EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS CONCEPTOS Y OPERACIONES
DANIEL BUITRAGO
JUNIO JUNIO 2008
1
TABLA DE CONTENIDO
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EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS CONCEPTOS Y OPERACIONES
DANIEL BUITRAGO
JUNIO JUNIO 2008
1
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
POTENCIACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LEYES DE LOS EXPONENTES. . . . . . . . . . . . . . . . .
4
6
EJERCICIOS DE LA SECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
INVERSO DE UNA POTENCIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 RADICALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
LEYES DE LOS RADICALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
EJERCICIOS DE LA SECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 LOGARITMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
PROPIEDADES DEL LOGARITMO. . . . . . . . . . . . . . . . 22 EJERCICIOS DE LA SECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA. . . . . . . . . . . . . . . . . 26 FACTORIZACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
EJERCICIOS DE LA SECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
APÉNDICE 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 APÉNDICE 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2
INTRODUCCIÓN
Este texto es una pequeña propuesta de ejemplos y ejercicios sobre operaciones y conceptos de Matemáticas Básicas, presentadas con el objeto de reforzar aquellos procedimientos teóricos y operativos que debe manejar el estudiante de primer semestre de Ingenierías. El desarrollo se hace primero con una breve introducción de cada concepto sobre su idea principal y los elementos que lo conforman, seguido de algunos ejemplos, para posteriormente llevarlos a los ejercicios propuestos sobre el tema. El presente trabajo no pretende ser de ninguna manera un texto guía. Para este objeto, pueden consultarse los libros propuestos en la Bibliografía que se encuentra al final.
3
POTENCIACIÓN Exponente: Exponente: Número de veces que se multiplica un determinado número (llamado base) por sí mismo. G : H
G I
JKLM
OPQRSMSTM
N H
Ejemplo 1: 1
a) 34 = 3x3x3x3
Donde la base es 3 y el exponente 4. Quiere decir que el número 3 se multiplica 4 veces por sí mismo, como se muestra en el desarrollo. A este producto se le lama potencia. b) -25 = (-2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2)= -32
Donde la base es -2 y el exponente es 5. Operaciones con potencias
De igual forma que con los números enteros, las potencias se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir. Suma
Ejemplo 2: Suma de potencias Calcule 23 + 33
Para sumar dos potencias basta con sumar cada uno de sus desarrollos: 23 = 2x2x2 = 8 y 33 = 3x3x3 = 27
Sumando resultados: 8 + 27 = 35 Por lo tanto 23 + 33 = 35
4
Resta
Se procede de la misma forma para la resta de potencias. Multiplicación
Para multiplicar dos potencias se multiplican cada uno de sus desarrollos Ejemplo 3: Producto de potencias Calcule 43 x 72
Se tiene: 43 = 4x4x4 y 72 = 7x7
Multiplicando resultados: (4x4x4)x(7x7) = (64)x(49) = 3136
Por lo tanto: 43 x 72 = 3136 División
Para dividir dos potencias se divide el desarrollo del numerador entre el desarrollo del denominador Ejemplo 4: División de potencias Dividir 83 entre 44
Se tiene: 83 = 8x8x8 y 44 = 4x4x4x4
Se pone el desarrollo del dividendo en el numerador y el desarrollo del divisor en el denominador:
Por lo tanto 83/44 = 2
512 8Y8Y8 = =2 4 Y 4 Y 4 Y 4 256
5
LEYES DE LOS EXPONENTES
Existen casos particulares importantes de productos de potencias y división de potencias que se pueden generalizar. Algunos de ellos son: 1. Producto de bases iguales
Si se tiene el producto de dos potencias, cuyas bases son iguales, el resultado se puede expresar como la base igual elevada a la suma de los exponentes. Es decir:
An x Am = An + m
Donde A representa la base igual y m y n los exponentes. Ejemplo 5: 5 Producto de bases iguales
Aplicar la ley de Producto de bases iguales a la operación 53 x 52 y posteriormente calcular su resultado. 53 x 52 Se puede escribir como:
53 x 52 = (5x5x5)x(5x5) = 5x5x5x5x5 = 55
55 = 3125
O aplicando directamente Producto de bases iguales tenemos: 53 x 52 = 53 + 2 = 55
= 5x5x5x5x5 = 3125
2. Cociente de bases iguales a) Si se tiene la división (cociente) de dos potencias, cuyas bases son iguales, el resultado se puede expresar como la base igual elevada a la resta de los exponentes. 6
Es decir:
[\ = [\^] ] [
b) Si se tiene que m = n llegamos a que
G_ = `
Todo número elevado a un exponente 0, da como resultado 1. (El desarrollo se deja como ejercicio) c) Y por otro lado, si se tiene que m = 0 llegamos a que ` = G^S GS
Es decir, un exponente negativo representa una fracción, donde el denominador es una potencia. (Y viceversa) Ejemplo 6: Cociente de bases iguales
Usar la ley de cociente de bases iguales para simplificar las siguientes expresiones: 1. 137/135 2. xy9/3y8 3. 9x6/yx9
Solución:
1. Vemos que en el cociente
abc abd
la base del numerador y la del denominador
son iguales y por lo tanto se puede aplicar directamente la ley de Cociente de bases iguales: 13e = 13e^f = 13g = 169 13f
2. En esta expresión es necesario discriminarla en dos fracciones: una que contenga las bases iguales en numerador y denominador y otra que contenga los demás términos (Ver sobre operaciones con fracciones en apéndice 1): i jk ij k = m n o p lq 3 j 3j l
7
Ahora podemos aplicar la ley de Cociente de bases iguales al segundo rs
factor m t n: r
i = m n o (uv^w ) 3 i = m n o ja 3 =
ij 3
3. De manera similar, aquí se discrimina el factor que contiene las bases iguales: 9 ix 9i x = y z o p kq j i ji k
Ahora podemos aplicar la ley de Cociente de bases iguales al segundo {|
factor m{ s n:
9 = y z o (i x^k ) j 9 = y z o i ^b j
Como el exponente resultante es negativo, aplicamos la ley de Cociente de bases iguales parte c): 1 9 =y zo b j i =
9 ji b
3. Potencia elevada a otro exponente
En el caso en que se tenga una potencia elevada a otro exponente, se puede expresar como la misma base, elevada al producto de ambos exponentes. (Y viceversa). Es decir:
(GH )S = GHoS
8
Ejemplo 7: Aplicar la ley a la expresión (34)3: (34)3 = 34*3 = 312 = 531441
4. Potencia de un producto
Si en vez de una potencia nos encontramos con un producto elevado a un exponente dado, el desarrollo correspondiente es asignarle a cada factor el exponente dado: (G o J)H = GH o JH
Ejemplo 8: Aplicar la ley a la expresión (xy)2: (ij)g = i g o j g
Nota: Obsérvese que la ley sólo funciona con la potencia de un producto, mas NO con la potencia de la suma, así que (i + j)g ~ i g + j g 5. Potencia de un cociente
De la misma manera si tenemos un cociente elevado a un exponente dado, podemos reexpresarlo asignándole el exponente al numerador y al denominador por aparte: (y viceversa) G H GH y z = H J J g b
Ejemplo 9: 9: Aplicar la ley a la expresión mfn : 8 2 b 2b y z = b= 5 125 5
9
Ejercicios de la Sección:
1. Exprese como potencia: a) 7 o 7 o 7 o 7
b) 11 o 13 o 11 o 13 o 11 o 13 o 13 c)
a
xoxox
d) 3i o 3i o 3i o 3i e)
boeoboeoboe gogogog
f) 17 o 17 o 17 o 19 o 19 + 13 o 15 o 13 o 15 2. Realice las siguientes operaciones: a) b) c) d) e)
(3 + 2)g 1g + 2g + 3g + 4g 4b 7g 2a + 2g + 2b + 2 5b o 3b o 2b e og f) f ob
3. Aplicar donde corresponda las Leyes de los exponentes para resolver o simplificar según sea el caso: a) ( + )g b) (3j)
10
c) (7i g )b
d) 3 o 2 o 5 o 3b o 2b o 5
e)
({r) (r{) g b
f) m n b
g) h) i)
{ oro
o
ro{oo{o
o b{ r
m
g{
g
n
+
b oooe
eobo ob
br { r
11
Inverso de una potencia
Cuando realizamos una suma de números enteros obtenemos un resultado. Si queremos devolvernos a los sumandos que lo ocasionaron, basta con restar uno de ellos del resultado para obtener el otro. Por ejemplo, tenemos que 3 + 2 = 5. Si a partir del 5 queremos obtener uno de los sumandos involucrados, le restamos 2 al 5 y así obtenemos el otro sumando, el 3: 3=5–2
O de la misma manera restarle al 5 el sumando 3 y obtener el otro sumando, el 2: 2=5–3
De manera más general podemos decir que si tenemos la suma A + B = C, podemos conocer el valor de A con la resta de C y B: A=C–B
O conocer el valor de B con la resta de C y A: B=C–A
En el caso de la potenciación, tenemos que = . Si queremos hallar el valor de A en términos de B y C o el valor de B en términos de A y C, esto nos lleva a dos nuevas operaciones llamadas radicación y logaritmo respectivamente.
De esta manera, para el valor de A se calcula la operación de radicación con B y C (que veremos en detalle más adelante) y el valor de B se calcula con la operación logaritmo con A y C. =
=
Para hallar el valor de A en términos de B y C
= Para hallar el valor de B en términos de A y C
Ejemplo 1: 1:
Dada la potencia 5b = 125, halle el valor de la base en términos del exponente y el resultado y el valor del exponente en términos de la base y el resultado. Solución:
La base en términos del exponente y el resultado queda: 12
5 = 125
Y el exponente en términos de la base y el resultado queda:
3 = f 125
RADICALES Ya se ha visto de dónde procede la operación de radicación. En esta sección se pretende especificar los elementos de esta operación y sus propiedades. Radicando: Resultado de una potencia al que se le va a calcular su base.
Índice: Número de veces que se ha multiplicado una base desconocida por sí misma para obtener el radicando. Cuando no se encuentra expresado, se entiende que su valor es 2. Raíz: Resultado de la operación. = :
Í N
I
í
N =
Ejemplo 1: 1: Cálculo de raíces
a) 216 : Hemos de encontrar un número que multiplicado 3 veces por sí mismo (el índice), dé como resultado 216 (el radicando). O en palabras de potencias, un número que elevado al exponente 3, dé como resultado 216.
En efecto tenemos que: 216 = 6, ya que 63 = 216 cumple con la condición.
b) 32 : Hemos de encontrar un número que elevado al exponente 5, dé como resultado -32. Éste número es -2, porque -25 = -32. d Luego 32 = 2. d
13
Operaciones con raíces
Las operaciones con raíces se manejan de forma semejante a las operaciones con potencias. Suma
Para sumar dos raíces se suman cada uno de sus desarrollos. Sólo si el radicando y el índice de dos raíces son iguales, se pueden sumar como objetos. Ejemplo 2: 2:
a) Sumar 16 + 8 :
16 + 8 = 4 + 2 =6
b) Sumar 311 + 711 :
Resta
311 + 711 = 1011 ¢ 33,167
Se procede de la misma forma que la suma de raíces. Multiplicación
Para el producto de dos raíces se multiplican sus resultados.
Ejemplo 3: 3:
a) Calcular 49 o 8 :
b) Calcular 16 o 16 :
49 o 8 = 7 o 2 = 14
16 o 16 = 4 o 16 ¢ 10,08
14
División
Similar a la multiplicación, en la división se calcula el cociente de los resultados de las raíces. Ejemplo 4: 4: Calcular
ge
ge
:
27
27
=
3
27
¢ 0,57735
Antes de iniciar con las Leyes de los Radicales es necesario destacar una propiedad importante: Interpretación de un exponente fraccionario
En ocasiones se encontrará una expresión de la forma £ , es decir una base elevada a un exponente fraccionario, que representa la raíz con índice C de una base de exponente B: J
G¤ = ¥GJ ¤
LEYES DE LOS RADICALES
Existen situaciones especiales de la radicación que se pueden reexpresar, con fines de simplificación o sencillamente en busca de una expresión más conveniente para la solución de un problema. 1. Raíz de una potencia cuyo exponente e índice son iguales
Si se tiene la raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice de la raíz, se puede eliminar la operación de radicación, dejando como resultado la base. J
¥GJ = GJ = G` = G
J
Nota: Más adelante se verá que es necesario distinguir este resultado cuando B es par y cuando es impar. 15
2. Factores en el radicando a) El producto de los radicandos es igual al producto de las raíces de los factores (y viceversa): G o J = G o J
S
S
S
b) Cuando se tiene un producto en el radicando y uno de los factores tiene un exponente igual al índice de la raíz, se puede excluir del radicando su base. Esto se conoce como simplificación de la raíz.
Ejemplo 5: 5:
a) Simplificar 8 :
Solución:
8 = 2 o 2 o 2 = ¥2g o 2
= ¥2g o 2
= 2 o 2
b) Simplificar 54 :
Solución:
54 = 3 o 3 o 3 o 2
= ¥3b o 2
= ¥3b o 2
= 3 o 2
3. Cociente de raíces con índices iguales
El cociente de raíces de igual índice es igual a la raíz (del mismo índice) del cociente de los radicandos. G
S
Ejemplo 6: 6:
J
S
= ¦ S
G J
Simplifique ge :
{
16
Solución: Aplicando la ley de Cociente con índices iguales tenemos: i b ib ¦ = 27 27 i = 3
4. Raíz de una raíz
Cuando se tiene la raíz de una raíz, se puede expresar como una raíz sobre el mismo radicando y como índice, el producto de los dos índices. G =
H S
G
HoS
Ejercicios de la sección:
1. Exprese como raíces las siguientes potencias a) 3f = 243 b) 8b
c) (ij)b d)
{
§¨
{
¨
e) (i b ) 2. Utilice la simplificación de raíces para realizar las siguientes operaciones: a) 7 o (345 + 1580)
17
b) (23 + 1027 548)g b 40 g
c)
a
a
+ 135 625 b f
3. Aplicar donde corresponda las leyes de los radicales para resolver o simplificar según sea el caso: a) ¥27j ag
b)
{
gf
d c) ¥ i af
d) ((2 o i ) o (3 o ¥j))e c
c
18
Logaritmos Hemos visto que si tenemos una potencia, por ejemplo AB=C y queremos expresar el exponente B en términos de A y de C usamos la operación Logaritmo. A continuación se presentan las características elementales de esta operación y sus propiedades. Para empezar, mencionemos los componentes de la operación logaritmo: Base: Es la base de la potencia a la que se quiere hallar su exponente.
Exponente o resultado: resultado: Resultado de la operación. log = :
log
I
©ª « «¬©®¯°¬
=
±{²³´³
N
Ejemplo 1: Cálculo de logaritmos.
a) Hallar log2 8: Con este enunciado, piden hallar un exponente al que debo elevar 2 (la base del logaritmo) para que dé como resultado 8. Éste número es 3, ya que 23=8. Por lo tanto, log2 8=3. b) Hallar log10 1000: Se pide hallar un exponente al que debo elevar 10 (la base del logaritmo) para que dé como resultado 1000. El resultado es 3, porque 103=1000. Por lo tanto, log10 1000=3.
Operaciones con logaritmos
Las operaciones básicas con logaritmos se manejan de forma similar a las ya vistas en potencias y raíces. Suma
Para sumar dos logaritmos se suman cada uno de sus desarrollos. Sólo si la base y el número al que se le aplica el logaritmo son iguales, se pueden sumar como objetos (Ver Ejemplo 2, b).).
19
Ejemplo 2:
a) Sumar log 64 + log b 9 :
log 64 + log b 9 = 3 + 2 =5
b) Sumar 5log g 32 + log g 32 :
5log g 32 + log g 32 = 6 log g 32 = 6(5) = 30
Resta
Se procede de la misma forma que la suma de logaritmos. Multiplicación
Para el producto de dos raíces se multiplican sus resultados. Sólo si la base y el número al que se le aplica el logaritmo son iguales, se pueden multiplicar como objetos (ver Ejemplo 3, b). ). Ejemplo 3:
a) Calcular log b 27 o logaµ 100 :
log b 27 o logaµ 100 = 3 o 2 =6 b) Calcular log f 125 o log f 125 : log f 125 o log f 125 = (log f 125)g = (3)g =9 División
Similar a la multiplicación, en la división se calcula el cociente de los resultados de los logaritmos. Ejemplo 4: Calcular
¶·¸c gµa
¶·¸s xfxa
: 20
log e 2401 4 = log k 6561 4 =1
Bases comunes del logaritmo
Se ha podido ver cómo se puede trabajar con el logaritmo en base cualquier número n, mientras n sea mayor que 1. Sin embargo, existen dos bases que son las más utilizadas, que son base 10 y base e. La e representa un número llamado constante de Neper o también número de Euler, y su valor es aproximadamente ¹ ¢ 2,7182818284590 º
Al logaritmo con esta base se le llama logaritmo natural y se denota ‘ln’. Es decir, ½¾¿ M G = ½] G
Nota: Cuando en un logaritmo (no natural) no se especifica su base, es porque está en base 10. Así por ejemplo, log está en base 10. Cambio de base
En muchas ocasiones, vamos a necesitar cambiarle la base a un logaritmo, ya sea para facilitar su cálculo o para aplicar cierta propiedad (como veremos más adelante). Para esto existe el siguiente método. Dado log (en base A) y queremos cambiarlo a un logaritmo en base X, entonces ½¾¿ G ¤ =
½¾¿ À ¤ ½¾¿ À G
Ejemplo 5: Cambio de base. Hallar loga 143.
Este resultado no es entero, así que hallarlo por la definición requeriría mucho tiempo. Las calculadoras sólo manejan logaritmo en base 10, así que es necesario cambiar este logaritmo a base 10 para así poder usarla. Aplicando la ecuación anterior tenemos 21
log 143 log 14 2,1553 º ¢ 1,1431 º ¢ 1,8805 º
loga 143 =
LEYES (O PROPIEDADES) DE LOS LOGARITMOS
Estas propiedades serán útiles para muchas situaciones en las que se requiera manejo de expresiones logarítmicas para simplificar o solucionar un problema. 1. Logaritmo de un producto
El logaritmo del producto de dos números se puede expresar como la suma de los logaritmos de los factores. (Y viceversa) ½¾¿ S (G o J) = ½¾¿ S G + ½¾¿ S J
Ejemplo 6: Exprese como un sólo logaritmo log b 3 + log b 5.
Usando Logaritmo de un producto, se puede expresar como 2. Logaritmo de un cociente
log b 3 + log b 5 = log b (3 o 5) = log b 15
El logaritmo del cociente de dos números se puede expresar como el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. (Y viceversa) ½¾¿ S
G = ½¾¿ S G ½¾¿ S J J
Ejemplo 7: Exprese como un sólo logaritmo log 120 log 30.
Usando Logaritmo de un cociente, lo podemos expresar como 120 30 = log 4 =1
log 120 log 30 = log
3. Logaritmo de una potencia
Esta es una de las propiedades más importantes de los logaritmos; El logaritmo de una potencia puede expresarse como el logaritmo de la base de la potencia, multiplicada por su exponente. (Y viceversa) 22
½¾¿ S GJ = J o ½¾¿ S G ¨
Ejemplo 8: Hallar log b 81 .
Aplicando logaritmo de una potencia podemos expresar el enunciado como a
1 o log b 81 2 1 = o4 2 =2
log b 81g =
4. Base de un logaritmo elevada al logaritmo
Este es un resultado importante que se deduce cuando tenemos la base de un logaritmo elevada al logaritmo de un número. Esto es igual al número al que se le está aplicando el logaritmo. S½¾¿S G = G
Nótese que para que esto sea cierto, la base de la potencia debe ser igual a la base del logaritmo (en este caso es n). Similarmente, existe la propiedad cuando tenemos el logaritmo de una potencia, cuya base es igual a la base del logaritmo. Es decir: ½¾¿ S SG = G
Ejemplo 9: Si log = 2 hallar el valor de A.
Vemos que la base del logaritmo es 10 porque no está indicada. Conociendo esto, podemos expresar el enunciado como una potencia que tiene base 10. Es decir 10¶·¸ = 10g
Obsérvese que si vamos a expresar al logaritmo como potencia de base 10, debemos hacer lo mismo con el otro lado de la igualdad, es decir con 2. Es por esto que 2 queda expresado como el exponente de una potencia de base 10. Aplicando ahora la propiedad 4 al primer miembro de la igualdad: Luego
= 10g
= 100. 23
Ejercicios de la sección: 1. Exprese como logaritmos las siguientes potencias a) 10 = 10000 ¨
b) 49 c) 3^b d) 5{ = 625 ¨
e) (i x ) = 343
2. Realice las siguientes operaciones con logaritmos a) log b 243 + log g 128 log f 625 b) (log e 2401 log e 49) o log 1024 a
c) ylog ¨ lz
b
d) 3log x 1296 + 5log 64 2 log x 1296 + 9
3. Aplicar donde corresponda las propiedades de los logaritmos para simplificar o resolver según sea el caso a) log 32 + log 2 log 16
a
b) log k 6561b + 2log l 4096g log e 49 g
c) (log g 64)g 6 logaa 1331b d) ln ¹ + ln ¹ b + 3(4 logag 144 log 1000) g
e) 10¶·¸ ag + b log b 729 + 5
g
f) 2¶·¸ g + 3¶·¸ gfx + 5¶·¸d gf log m n + 1
b
4. Con ayuda de la calculadora, halle los siguientes valores a) b) c) d)
ln 43 log 123 2 log 43 log g 23
24
e) 2log b 52 + log 14 f) 3 log ¨ 26
25
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Hasta el momento hemos trabajado con expresiones numéricas conocidas. Sin embargo, existen métodos para trabajar también con cantidades desconocidas, que es lo que se verá grosso modo en esta sección.
Incógnita: Incógnita: Es un número o cantidad numérica desconocida que se simboliza por una letra del abecedario; a, b, c... x, y, z. Ecuación: Es una igualdad en la que están presentes una o más incógnitas.
Veremos que una incógnita puede representar uno o más números desconocidos. Por ejemplo, en la ecuación 5 + i = 7 podemos observar que la incógnita x está representando sólo a un valor: el 2, ya que éste es el único número que cumple la condición de que al sumarle 5, dé como resultado 7.
Por otro lado, la ecuación i g = 4 nos pide buscar un número que al elevarlo al cuadrado dé como resultado 4. Aquí entonces nos encontramos con que ése número puede ser tanto 2 como -2, ya que cualquiera de estos dos números cumple esa condición. Por lo tanto, aquí la incógnita x está representando no uno, sino dos valores. Sin embargo, la expresión i  3 nos está indicando que cualquier número que sea mayor que tres, cumple la condición. Pero estos números son demasiados: 4, 5, 6, 7, ...etc, luego la incógnita x está representando un número indeterminado de números. Representación de cantidades
Es importante resaltar que cuando se le asignan dos letras distintas a dos cantidades, se debe asumir que por tanto, las cantidades son diferentes. Así si nos encontramos con cierta cantidad x y cierta cantidad y, debemos asumir que tales cantidades son diferentes en valor porque están representadas por diferentes letras. De la misma manera, si nos encontramos con un x2, nos está representando una cantidad x elevada al cuadrado, y por tanto x2 Â x (para números enteros). Similarmente con las potencias de mayor orden.
26
Expresiones algebraicas
Las distintas expresiones algebraicas se separan por medio de los signos + ó - . El número que acompaña a la letra se llama coeficiente. Así por ejemplo 2xy + x2 contiene dos expresiones algebraicas. La primera es 2xy, tiene coeficiente 2. La segunda es x2 y tiene coeficiente 1. Un enunciado con una sola expresión algebraica se le llama monomio. monomio Uno con dos expresiones algebraicas se conoce como binomio, binomio uno con tres, trinomio. trinomio En general, un enunciado con una o más de una expresión algebraica (cualquiera que sea su número) se conoce como polinomio. polinomio 5i : b
Operaciones con polinomios
I 5
óij´³
i
ÅÆÇ
N b
Suma
Dos expresiones algebraicas se pueden sumar sólo si se trata de la misma cantidad. En el párrafo sobre Representación de cantidades vimos que dos cantidades se asumen diferentes si se representan por diferentes letras y también una cantidad x es diferente de x2, x3, x4 etc. Por otro lado, si las cantidades representadas son del mismo tipo, se suman sus coeficientes, conservando la variable. Ejemplo 1: Suma de polinomios Sumar a) 2x + x2
b) 3x + 2y
c) 10x + 7y - 3x + 2z
Solución:
a) 2i + i g no se pueden sumar, ya que x y x2 representan cantidades diferentes. b) 3i + 2j tampoco se pueden sumar, porque cantidades representadas con diferentes letras se asumen diferentes. c) 10i + 7j 3i + 2È = (10i 3i) + 7j + 2È = 7i + 7j + 2È
Aquí las únicas expresiones que podían sumarse eran 10x y -3x por ser del mismo tipo. Las demás expresiones permanecen igual. 27
Resta
Para la resta de polinomios se procede del mismo modo que en la suma. Sin embargo, hay que precisar la ley distributiva de los signos. Suponiendo que a, b, c y d representan expresiones algebraicas, tenemos que ( + É Ê) = É + Ê
Ya que el signo – afecta a todas las expresiones contenidas en el paréntesis de acuerdo con la ley de los signos: + - = - y - - = +. Ejemplo 2: Diferencia de polinomios
Calcular 10Ëf + 7Ëb + 2ËÌ (3Ëf + ËÌ Ëb ):
Aplicando la ley distributiva de los signos a las expresiones agrupadas en el paréntesis, tenemos: 10Ëf + 7Ëb + 2ËÌ 3Ëf ËÌ + Ëb
Ahora se efectúan las operaciones correspondientes
(10Ëf 3Ëf ) + (7Ëb + Ëb ) + (2ËÌ ËÌ) = 7Ëf + 8Ëb + ËÌ
Multiplicación:
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica tanto sus coeficientes como sus variables. Recordando que i o i = i g y que i o j = ij. Aquí también ha de tenerse en cuenta la ley de los signos para cuando se multipliquen los coeficientes. Ley distributiva del Producto
Recuérdese que de la aritmética elemental tenemos que si m, n y p son números naturales, entonces Ë(Ì + Í) = ËÌ + ËÍ. Relacionando esta idea con expresiones algebraicas, tenemos que si a, b, c y d son expresiones algebraicas, entonces K(Î + Ï) = KÎ + KÏ K(Î Ï) = KÎ KÏ
Y de manera más general tenemos el siguiente concepto
(K + Î) o (Ï + Ð) = KÏ + KÐ + ÎÏ + ÎÐ
Ejemplo 3: Multiplicación de polinomios. 28
Multiplicar las siguientes expresiones: a) b) c) d)
(4i g ) o (3i b ) (2i g ) o (5j ) 2Ñ b (Ñ + Ò 1) (Ë + Ì)g
Solución:
a) El producto de los coeficientes da: 4 o 3 = 12 y el producto de las variables da: i g o i b = i f (por ley de la potencia). Por lo tanto el resultado es (4i g ) o (3i b ) = 12i f b) El producto de los coeficientes da: 2 o (5) = 10 y el producto de las variables da: i g o j = i g j . Luego el resultado es (2i g ) o (5j ) = 10i g j c) Aquí por la ley distributiva de números enteros, nos encontramos con tres productos distintos a saber: 2Ñ b o Ñ, 2Ñ b o Ò, 2Ñ b o (1) . Podemos calcular cada producto aparte y luego sumar los resultados. De esta manera obtenemos 2Ñ b (Ñ + Ò 1) = 2Ñ + 2Ñ b Ò 2Ñ b d) (Ë + Ì)g = (Ë + Ì) o (Ë + Ì). Aplicando la ley distributiva del producto, tenemos (Ë + Ì) o (Ë + Ì) = ËË + ËÌ + ËÌ + ÌÌ = Ë g + 2ËÌ + Ìg
Factorización
La factorización busca expresar un polinomio dado, como un producto. Así como podemos decir que 4+4+4 se puede expresar como (3)(4), también ciertas expresiones algebraicas que cumplen determinadas características pueden expresarse como factores. Las más comunes son: a) b) c) d) e) f) g)
g + 2 + g = ( + )g (Binomio al cuadrado) g 2 + g = ( )g g g = ( + ) o ( ) (Diferencia de cuadrados) b + 3g + 3 g + b = ( + )b (Binomio al cubo) b 3g + 3 g b = ( )b b + b = ( + ) o (g + g ) (Suma de cubos) b b = ( ) o (g + + g ) (Diferencia de cubos)
Donde A y B denotan expresiones algebraicas.
29
Ejemplo 4: Factorización de polinomios. Factorizar: a) b) c) d)
ib 8 4 9Ëg Ò g + 2ÒÓ + Ó g i g + 2i + 1
Solución:
a) i b 8 lo podemos ver como i b 2b y así podemos aplicarle la factorización g), que resulta i b 2b = (i 2) o (i g + 2i + 2g ). b) 4 9Ëg lo podemos ver como 2g (3Ë)g y así podemos aplicarle la factorización c), que resulta 2g (3Ë)g = (2 + 3Ë) o (2 3Ë). c) Ò g + 2ÒÓ + Ó g cumple con las características de la factorización a). Aplicándola, resulta Ò g + 2ÒÓ + Ó g = (Ò + Ó)g . d) i g + 2i + 1. Podemos verlo como i g + 2(1)i + 1g , que cumple con la factorización a). Aplicándola, resulta i g + 2(1)i + 1g = (i + 1)g .
Ejercicios de la sección 1. Identifique el número de valores que representan cada una de las siguientes incógnitas. Considere sólo los números enteros (ver Apéndice 2). De ser un número finito, especifique qué valores son. a) b) c) d) e) f)
jb = 8 2È + 5 = 9 i + j = 10 Ô g = 16 iÕ5 2 Õ j Ö 10
a) b) c) d)
2ij + 3i 5È + 11 13ji = 3j 7Ô + 11Ë 17Ô g + (19 + 3)Ì = 5Ô i(14 + j) + Ô Ô g = 5i { i + = 39
2. En las siguientes ecuaciones, indique el número de expresiones algebraicas, identifique las diferentes variables y coeficientes presentes.
e
30
e)
b f
j f 17g j b = 5Èj
3. Realice las siguientes operaciones con polinomios. a) 3i g j i + 17ji g + 5j
b) 15È g + 35Ô + 2ij g 3Ô + (2È)g
c) 2i + 15j 12ij + 31È i + 41ji 23j f 5È + 11i + 3i g + 17j f + i g
d) Ëg + 2Ì + 10Ò (14Ì + 2Ò)
e) 2Í× g + × 3Íg (3× + Í× g Íg ) f) () o (É + Êɹ )
g) (i g + j È) o (i j) o (j + È) h) (Í + ×)b
¨
i) Ø(i + j + È) Ù
j) (i j)g + 2ij + { § + j(j + 1) j g a
4. Factorice las siguientes expresiones. a) b) c) d)
Ëb + 3ËÌg 3Ëg Ì Ìb (i + j)b + (i j)b Íg + 2Í× + × g ig 1
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Apéndice 1 Suma de fracciones Fracción:
SÚHMÛKÐRÛ
N G J I
ÐMSRHÜSKÐRÛ
Recordemos que para sumar dos fracciones debemos observar primero sus respectivos denominadores. Si éstos son iguales, los numeradores se pueden sumar directamente sobre el mismo denominador. G ¤ G+¤ + = J J J
Si los denominadores de las fracciones son distintos, hay que hacer un producto entre denominadores y numeradores antes de sumarlos. G ¤ GoÝ+Jo¤ + = J Ý JoÝ
Ejemplo 1: (Suma de fracciones con denominadores iguales) g
a) Sumar + Solución:
e
af e
:
Ambas fracciones comparten el mismo denominador (el 7), así que podemos sumar los numeradores directamente y el denominador permanece igual:
b) Restar
Solución:
f ae
be ae
:
2 15 2 + 15 + = 7 7 7 17 = 7
32
Ambas fracciones comparten el mismo denominador (el 17), así que podemos proceder de la misma manera que la suma. Restamos los numeradores directamente y el denominador permanece igual: 45 37 45 37 = 17 17 17 8 = 17
Ejemplo 2: (Suma de fracciones con denominadores distintos) e
a) Sumar + Solución:
b
ag f
Þ
En este caso los denominadores de cada fracción son distintos, así que la fracción del resultado se obtiene de la siguiente manera: El denominador es el producto de los denominadores. El numerador es el numerador de la primera multiplicado por el denominador de la segunda más el numerador de la segunda multiplicada por el denominador de la primera:
b) Restar
Solución:
aµ aa
k
f
7 12 7 o 5 + 12 o 3 + = 3 5 3o5 71 = 15
:
Procedemos similarmente al ejemplo anterior al tener denominadores distintos: 10 9 10 o 5 9 o 11 = 11 5 11 o 5 49 = 55
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar dos fracciones se realiza el producto directamente entre numeradores y denominadores por separado. No es necesario conocer si los denominadores son iguales o no. Siempre se procede de la misma manera. G ¤ Go¤ o = J Ý JoÝ
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Ejemplo 3:
x
a) Multiplicar o k
Solución:
^f
Þ
Al multiplicar directamente numeradores se obtiene el numerador del resultado. Así mismo, al multiplicar directamente denominadores se obtiene el denominador del resultado: 6 5 6 o (5) o = 9 4 9o4 30 = 36
División de fracciones
Para dividir dos fracciones, multiplicamos el numerador de la fracción dividendo por el denominador de la fracción divisor. Este producto será el numerador del resultado. A continuación multiplicamos el denominador de la fracción dividendo por el numerador de la fracción divisor. Este producto será el denominador del resultado. Ejemplo 4: a) Dividir
Solución:
G ¤ GoÝ ß = J Ý Jo¤
be l
e
ß : b
La fracción dividendo es
be l
y la fracción divisor es
e b
. Así que el numerador
del resultado será 37 o 3 = 111 y el denominador del resultado será 8 o 7 = 56. 37 7 37 o 3 ß = 8 3 8o7 111 = 56
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Apéndice 2 Conjuntos numéricos
Los números usados para el proceso de contar objetos, se llaman números naturales: 1, 2, 3, ...etc. Si a éstos le añadimos el 0 y los números negativos obtenemos el conjunto de los números enteros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Existe un conjunto todavía más amplio que abarca los números naturales, los números enteros y las fracciones, llamado conjunto de números racionales. De esta manera, si por ejemplo deseo conocer las soluciones de la ecuación i+j =3
En el conjunto de números naturales, encontramos que pueden ser i = 1, j = 2 ó i = 2, j = 1. Pero si las soluciones están en el conjunto de números enteros, el número de soluciones crece. Ya que no sólo están las anteriores, sino que podemos agregar por ejemplo i = 4, j = 1 ya que 4 + (1) = 3. De la misma manera, son soluciones i = 5, j = 2 y así sucesivamente.
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Bibliografía -
ZILL Dennis. Álgebra y Trigonometría. McGraw Hill, 1992. FLEMING, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 3era edición. BALDOR, Aurelio. Aritmética Teórico Práctica. Códice. Madrid, 1984.
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