Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen

Marcel Rossmy Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen GABLER EDITION WISSENSCHAFT Marcel Rossmy...

Author: Marcel Rossmy

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Marcel Rossmy Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen

GABLER EDITION WISSENSCHAFT

Marcel Rossmy

Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen Mit einem Geleitwort von Privatdozent Dr. Andreas Kleine

Deutscher Universitäts-Verlag

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dissertation Universität Hohenheim, 2007 D100

1. Auflage September 2007 Alle Rechte vorbehalten © Deutscher Universitäts-Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Frauke Schindler / Stefanie Loyal Der Deutsche Universitäts-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.duv.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Regine Zimmer, Dipl.-Designerin, Frankfurt/Main Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8350-0861-8

Geleitwort Bei der Performance-Messung von Unternehmen aus dem Dienstleistungssektor sollte es selbstverständlich sein, die Besonderheiten bei der Bereitstellung von Dienstleistungen zu berücksichtigen. Eine Methodik, der nachgesagt wird, dass sie diesem Anspruch in besonderem Maße genügt, ist die Data Envelopment Analysis (DEA). Bei einer genauen Betrachtung der vielfältig entwickelten Varianten der DEA fällt jedoch auf, dass sich diese Ansätze zur Leistungsmessung von Dienstleistungs- und Sachgüterproduktionen bislang kaum unterscheiden. Zumeist beschränken sich die Ansätze lediglich in einer Unterscheidung der zu berücksichtigen Beurteilungskriterien, das heißt der Inputs und Outputs. Die Modelle vernachlässigen damit eine wesentliche Besonderheit von Dienstleistungen, den so genannten externen Faktor. Dieser stellt aus produktionstheoretischer Sicht einen Input dar, den der Dienstleistungsanbieter bei der Leistungserstellung in seinem Entscheidungskalkül zu beachten hat, obwohl dieser zumeist nur unvollkommen bekannt ist. An diesem Aspekt setzt die vorliegende Dissertation von Herrn Dr. Marcel Rossmy an. Er entwickelt eine allgemeine Methodik zur Leistungsmessung von Dienstleistungsproduktionen unter Berücksichtigung des systematischen Einflusses eines externen Faktors. Aus Sicht des Dienstleistungsanbieters ist vielfach die Ausprägung oder Qualität des externen Faktors, wie z. B. der Zustand eines zu reparierenden Fahrzeugs und damit die Ursache für einen Defekt, nicht mit Sicherheit bekannt. Der externe Faktor stellt folglich einen stochastischen Input dar, den Unternehmen in Entscheidungen über die Bereitstellung anderer Inputs, wie z. B. die Qualifizierung der Mitarbeiter oder die vorzuhaltende Kapazität, einfließen lassen. Um einen „fairen“ Leistungsvergleich zu ermöglichen, muss den risikobehafteten Entscheidungen der Dienstleistungsunternehmen Rechnung getragen werden. Auf Grundlage einer adäquaten produktionstheoretischen Charakterisierung des externen Faktors wird daher das klassische deterministische Effizienzkonzept auf ein stochastisches Konzept erweitert. Dazu stellt Herr Rossmy neue Effizienzkennzahlen vor, indem er die Gesamteffizienz eines Unternehmens in eine Produktions-, Adaptions-, und Selektionseffizienz zerlegt. Diese

VI

Geleitwort

neuen Kennzahlen ermöglichen eine im Vergleich zu den bisherigen Ansätzen differenzierte Analyse der Effizienz von Dienstleistern. Damit erhalten Dienstleistungsunternehmen einen detaillierten Überblick von möglichen Ursachen der Ineffizienz. Zur systematischen Aufbereitung und Vergleichbarkeit der Effizienzkennzahlen wird auf stochastische Effizienzkonzepte zurückgegriffen. Die Anwendung der Methodik am Beispiel einer Rehabilitationsmaßnahme illustriert zudem anschaulich das vorgeschlagene Vorgehen. Mit der vorliegenden Schrift erweitert Herr Rossmy die bisherige wissenschaftliche Diskussion zur Leistungsmessung von Dienstleistungsunternehmen auf mehrfache Weise, einerseits durch die Vorstellung neuer präferenzbasierter Effizienzkonzepte und andererseits durch deren Aggregation mittels stochastischer Dominanzen. Zugleich kann dieser Beitrag als ein neuer Ansatzpunkt zur Entwicklung einer stochastischen Produktionstheorie gesehen werden. Die Arbeit ist des Weiteren ein wichtiger Baustein für eines von der Deutschen Forschungsgemeinschaft geförderten Projektes zur Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen. Andreas Kleine

Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Zeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet für Unternehmensforschung an der Universität Hohenheim. Nach der anderthalbjährigen Schaffensphase, in der mich zahlreiche Personen unterstützt haben, wurde sie im April 2007 von der Fakultät Wirtschafts- und Sozialwissenschaften der Universität Hohenheim als Dissertation angenommen. Mein ganz besonderer Dank gilt Herrn Privatdozent Dr. Andreas Kleine. Durch seine erstklassige Betreuung und zahlreichen Anregungen hat er maßgeblich zum Gelingen dieser Dissertation beigetragen. Meine Ideen und Ansätze diskutierten wir in unzähligen und ausführlichen Sitzungen. Herr Kleine erkannte früh, dass meine Besuche – auch wenn ich sie stets mit der Frage begann, ob er „kurz“ für mich Zeit habe – schnell eine oder gar mehrere Stunden in Anspruch nehmen konnten. Dafür, dass er sich trotzdem immer wieder (auch spontan) „kurz“ Zeit für mich genommen hat, möchte ich ihm herzlich danken. Besonderer Dank gilt auch Herrn Professor Dr. Ernst Troßmann für die (zeit-) intensive Beschäftigung mit meiner Arbeit und die Erstellung des Zweitgutachtens. Er hat wesentlich zu einem angeregten und spannenden Kolloquium beigetragen. Für die Übernahme des Prüfungsvorsitzes danke ich Herrn Professor Dr. Dirk Hachmeister. Allen Kollegen am Fachgebiet für Unternehmensforschung, insbesondere Frau Dipl. oec. Isabel Acker, Frau Dipl. oec. Regina Fuchs und Herrn Dipl.-Kfm. Thomas Bonke, danke ich für eine sehr angenehme Zusammenarbeit sowie für zahlreiche Anregungen und Diskussionen. Die sorgfältige Durchsicht des Manuskripts von Regina Fuchs hat die vorliegende Arbeit gegenüber der Rohfassung um zahlreiche Fehler ärmer und an mancher Stelle verständlicher gemacht. Hierzu hat auch Herr Dipl. oec. Felix Buß wesentlich beigetragen, indem er das Manuskript sogar mehrfach, in den unterschiedlichen Überarbeitungsstufen Korrektur gelesen hat – und das nach eigenen Angaben gerne! Meine Partnerin Katrin und meine Familie haben mich stets mit viel Verständnis und aufmunternden Worten unterstützt. Speziell meine Eltern, Rita und Bernd, haben auf vielfältige Weise zu meiner gesamten Ausbildung beigetragen. Da sie mir, neben so vielem anderen, die Möglichkeit und den Ansporn zur Promotion gaben, widme ich ihnen diese Arbeit aus tiefer Dankbarkeit. Marcel Rossmy

Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis

XIII

Tabellenverzeichnis Verzeichnis ausgewählter Symbole

XV XVII

1 Berücksichtigung der Unsicherheit in zu beurteilenden Dienstleistungsproduktionen

1

2 Kennzeichnung von Dienstleistungsproduktionen als stochastische Entscheidungsprobleme

6

2.1 Abgrenzung von Sach- und Dienstleistungen

6

2.1.1

Die Problematik einer eindeutigen Dienstleistungsdefinition

2.1.2

Produktionstheoretische Implikationen der Dienstleistungsmerkmale 12

2.2 Entscheidungen unter Unsicherheit

6 16

2.2.1

Arten betrieblicher Unsicherheit

16

2.2.2

Ansatzpunkte zur Berücksichtigung des Risikos in Entscheidungen

18

2.2.3

Stochastische Elemente der Dienstleistungserstellung

21

2.3 Anforderungen an die Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen 3 Verfahren zur Leistungsmessung von Entscheidungseinheiten 3.1 Leistungsmessung auf Grundlage von Effizienzkennzahlen

22 24 24

3.1.1

Relevante Effizienzkonzepte

24

3.1.2

Effiziente Produktionen und das Konzept der Produktionsfunktion

32

3.2 Produktionstheoretische Charakterisierung von Technologien 3.2.1

Allgemeine Anforderungen an eine Technologie

3.2.2

Besondere Kennzeichen von Technologien

33 33 35

3.3 Möglichkeiten der Klassifizierung von Methoden zur Leistungsbeurteilung

36

3.4 Parametrische Verfahren der Leistungsmessung

38

3.4.1

Vorgehensweise parametrischer Methoden

38

3.4.2

Deterministische parametrische Methoden

39

3.4.3

Berücksichtigung zufälliger Störungen durch die Stochastic Frontier Analysis

41

X

Inhaltsverzeichnis 3.4.4

Eignung parametrischer Verfahren zur Leistungsmessung von Dienstleistungsproduktionen

44

3.5 Nichtparametrische Methoden zur Effizienzbeurteilung 3.5.1

3.5.2

3.5.3

46

Grundlagen der Data Envelopment Analysis

46

3.5.1.1

Das Konzept der relativen Effizienz

46

3.5.1.2

Effiziente Produktionen empirischer Technologiemengen

48

3.5.1.3

Formulierung eines allgemeinen DEA-Modells

52

3.5.1.4

Modelle zur Bestimmung der radialen Effizienz

58

Stochastische Ansätze der Data Envelopment Analysis

65

3.5.2.1

Problematik der DEA in unsicheren Umgebungen

65

3.5.2.2

Statistische Fundierung der DEA-Effizienzwerte

67

3.5.2.3

Leistungsmessung bei unsicheren Daten

68

Ansätze zur Berücksichtigung ökonomischer Unsicherheit

73

3.6 Notwendigkeit eines modifizierten Verfahrens zur Leistungsmessung stochastischer Entscheidungen

75

4 Entwicklung einer Methodik zur Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen

85

4.1 Beurteilungsrelevante Teilbereiche von Organisationen

85

4.2 Grundlegende Annahmen zur Entwicklung der Methodik

90

4.2.1

Begründung der Entscheidung für die Data Envelopment Analysis

90

4.2.2

Wahl der Technologie aus nutzentheoretischer Sicht

91

4.2.3

Eignung eines inputorientierten radialen Effizienzmaßes

101

4.3 Bedingte Effizienz unter einer bestimmten Ausprägung des externen Faktors 103 4.3.1

Produktionstheoretische Charakterisierung des externen Faktors

103

4.3.2

Produktionsmöglichkeiten bei Vorliegen eines externen Faktors

104

4.3.3

Kennzahlen der bedingten technischen Effizienz

109

4.3.3.1

Produktions- und betriebliche Gesamteffizienz als Ausgangspunkt

109

4.3.3.2

Ableitung der Adaptions- und Selektionseffizienz

111

4.3.3.3

Weitere derivative Effizienzkennzahlen

119

4.3.3.4

Beziehungen zwischen externem Faktor und den Effizienzkennzahlen

4.3.4

120

Berücksichtigung von Präferenzen mittels wertorientierter Effizienzen 122

Inhaltsverzeichnis

XI

4.3.4.1

Vereinbarkeit der technischen Effizienz mit den Organisa-

4.3.4.2

122

Berücksichtigung von Präferenzen in der Effizienzanalyse

125

4.3.4.2.1

Modellierung exogener Wertinformationen

125

4.3.4.2.2

Empirische Ermittlung von Präferenzen

128

4.3.4.2.3

Verwertung empirischer Präferenzinformationen

130

4.3.4.3 4.3.5

tionszielen

Kennzahlen der bedingten Werteffizienz

132

Interdependenzen der technischen und wertorientierten Perspektiven 139

4.4 Ableitung aggregierter stochastischer Effizienzen

145

4.4.1

Bedeutung einer stochastischen Effizienzbetrachtung

145

4.4.2

Effizienzbeurteilung auf Basis stochastischer Dominanzkonzepte

147

4.4.2.1

Eignung stochastischer Dominanzen zur aggregierten Effizienzanalyse

4.4.2.2

Ableitung einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung

4.4.3

148

Mögliche stochastische Effizienzkriterien

151

4.4.3.1

Ungesättigte Präferenzen und Zustandseffizienz

151

4.4.3.2

Zustandsunabhängige Präferenzen und Wahrscheinlichkeitseffizienz

4.4.3.3 4.4.4

147

152

Risikoaversion und stochastische Effizienz zweiten Grades 165

Beurteilung der stochastischen Effizienzkennzahlen

171

5 Leistungsmessung von Rehabilitationsmaßnahmen als illustrierendes Beispiel der Methodik

174

5.1 Problemstellung

174

5.2 Ermittlung der bedingten Effizienzen in Abhängigkeit des externen Faktors 178 5.2.1

Bestimmung der technischen Effizienzen

178

5.2.2

Analyse der wertorientierten Effizienzkennzahlen

181

5.3 Stochastische Effizienzanalyse der Entscheidungseinheiten

186

5.3.1

Bestimmung einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung

186

5.3.2

Stochastische Effizienzbetrachtung

187

5.4 Interpretation der Ergebnisse

192

XII

Inhaltsverzeichnis

6 Ausgewählte Aspekte zur Verallgemeinerungen der Methodik

194

6.1 Berücksichtigung alternativer Technologiemengen

194

6.2 Behandlung individueller Zielsetzungen für die Entscheidungseinheiten

196

6.3 Fehler in den Daten als mögliche Folge der Immaterialität

200

6.4 Fehlende Verifizierbarkeit des externen Faktors

201

6.5 Integration eines weiteren stochastischen Einflussfaktors

203

6.6 Beurteilung strategischer Entscheidungen

204

7 Relevanz der Erkenntnisse auf Basis der neuen Methodik – Zusammenfassung und Ausblick

206

Literatur

211

Index

229

Abbildungsverzeichnis 2.1 Kriterien zur Charakterisierung von Leistungsbündeln 2.2

Marketing-Verbund-Kasten

9 10

2.3 Unsicherheit integrativer Produktionen

13

2.4 Effiziente Produktionsmöglichkeiten in Isoquantendarstellung

15

3.1

Beispielhafte Technologiemenge

35

3.2

Technologiemengen im Überblick

51

3.3 Modifizierte Tschebyscheff-Norm

56

3.4

Radiales Abstandsmaß nach Debreu/Farrell

63

3.5 Verzerrte Technologiemenge aufgrund von Fehlern in den Daten

66

3.6 Stochastische Leistungsmessung deterministischer Produktionen

79

3.7 Leistungsmessung stochastischer Produktionen

80

3.8 Stochastische Daten versus stochastische Produktionen in der Leistungsmessung 3.9 Vergleich stochastischer Entscheidungen und deren Leistungsmessung

81 82

4.1 Erklärungsbereich der verschiedenen Teileffizienzen bei „mittlerem Motorschaden“

87

4.2 Schritte der Leistungsmessung stochastischer Produktionen

88

4.3 Bestimmung der gewinnmaximalen Referenz

95

4.4 Effizienter Rand von TM2 bei ordinalskaliertem externen Faktor

106

4.5 Pareto-Koopmans- und Debreu-Farrell-effiziente Referenzen

108

4.6 Produktionseffizienz und Adaptions-Selektions-Effizienz

113

4.7 Produktions-, Adaptions- und Selektions-Effizienz

117

4.8 Sinkende technische Gesamteffizienz

121

4.9 Nichtsinkende wertorientierte Gesamteffizienz

135

4.10 Sinkende technische Gesamteffizienz unter variablen Skalenerträgen

137

4.11 Sinkende wertorientierte Gesamteffizienz unter variablen Skalenerträgen

138

4.12 Technische und wertorientierte Adaptionseffizienzen

142

4.13 Verteilungsfunktionen und Risikoprofile

155

4.14 Wahrscheinlichkeitsdominierte DMUA und DMUB

162

4.15 Stochastisch zweiten Grades dominierte DMUA , DMUB und DMUC

170

5.1 Zweidimensionaler externer Faktor

175

5.2 Beobachtete Produktionen in Abhängigkeit des externen Faktors

177

XIV

Abbildungsverzeichnis

5.3 Bedingte technische Effizienzen der DMUs

180

5.4 Bedingte wertorientierte Effizienzen der DMUs

184

5.5 Verteilungsfunktionen und kumulierte Verteilungsfunktionen von DMUE und ihrer Referenz DMU2∗ 6.1 Wertorientierte Effizienzen bei Vorliegen individueller Preise

191 199

Tabellenverzeichnis 3.1 Ausgewählte Mengen von Linearfaktoren

49

3.2

55

Wichtige Aggregationsvorschriften für DEA-Zielfunktionen

3.3 Input- und outputorientierte DEA-Zielfunktionen

56

3.4 Primale und duale Formulierung konvexer Technologiemengen

62

4.1 Technische und wertorientierte Adaptionseffizienzen

142

4.2 Bestimmung einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung

150

4.3 Erwartungswerte der bedingten Produktionseffizienz im Beispiel

161

5.1 Geordneter zweidimensionaler externer Faktor

176

5.2 Daten des Anwendungsbeispiels

176

5.3 Preisbeschränkungen

182

5.4 Bedingte technische und wertorientierte Effizienzkennzahlen

185

5.5 Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der fünf DMUs

187

5.6 Aggregierte technische und wertorientierte Effizienzkennzahlen

188

5.7 Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Effizienzwerte

189

5.8 Verteilungsfunktionen und kumulierte Verteilungsfunktionen von DMUE und ihrer Referenz DMU2∗

189

Verzeichnis ausgewählter Symbole y := (y1 , . . . , yN )T

Outputvektor

x := (x1 , . . . , xM )T

Inputvektor

z := (−x, +y)

T

Produktion

TM

Technologiemenge

ϕ

Zielvektor mit M zu minimierenden Zielen (Inputs) und N zu maximierenden Zielen (Outputs)

z ,z

technisch radial effiziente bzw. Pareto-Koopmans-effiziente Referenz

TM , TM

technisch radial effiziente bzw. Pareto-Koopmans-effiziente Teilmenge der Technologie

λ := (λ1 , . . . , λJ )T

Vektor der Linearfaktoren

Λ

Menge aller zulässigen Linearfaktoren

g(x, β)

Produktionsfunktion in Abhängigkeit des Inputvektors und eines (zu schätzenden) Parametervektors

θj (:=

θjI )

radiale inputorientierte Effizienz von DMUj

ξ

stochastischer Störeinfluss (in den Daten)

− d+ n , dm

Abweichungsvariablen (Überschreitung im n-ten Output bzw.

− t+ n , tm

Normierungsfaktoren (DEA-Zielgewichte) des n-ten Outputs

Unterschreitung im m-ten Input) bzw. des m-ten Inputs ψ

DEA-Zielfunktion

u n , vm

Gewichtungsvariablen des n-ten Outputs bzw. des m-ten Inputs im dualen Quotientenprogramm

µn , νm

Gewichtungsvariablen

im

dualen

linearen

DEA-Modell

(Multiplier-Form) µ0

(reellwertige) Skalenertragsvariable

Ω

Wertebereich der Skalenertragsvariable

Spezielle und erweiterte Symbolik für Kapitel 4 eh

h-te Ausprägung des externen Faktors

h TMh , TM

Technologiemenge/technische Referenzmenge unter eh bzw. wertorientierte Referenzmenge unter eh

XVIII

Verzeichnis ausgewählter Symbole

xjh := (x1jh , . . . , xM jh )T

Vektor der von DMUj unter eh eingesetzten Inputs

y jh := (x1jh , . . . , xM jh )T

Vektor der von DMUj unter eh erzeugten Outputs

z jh := (−xjh , +y jh ) z ˜ jh H , z jh H

T

Produktionsvektor von DMUj unter eh unter TMh technisch bzw. wertorientiert radial effiziente Referenz zu Produktion z jh

ω

Platzhalter für ein beliebiges Input- oder Outputgewicht (νm

a, a

Unter- bzw. Obergrenze eines Relativpreises

bnt , cmt

Koeffizienten zur Bestimmung der Relativpreisrestriktionen

bn , cm

Preis (Wert) des n-ten Outputs bzw. des m-ten Inputs

∆xmjh h , ∆ynjh h

Unterschreitung im m-ten Input bzw. n-ten Output der Pro-

qt

Trade-off-Variable

θjh H , θ˜jh H , θˇjh H

bedingte technische, wertorientierte bzw. allokative Effizienz

bzw. µn )

duktion z jh gegenüber z jh

von DMUj unter eh bei Bewertung gegenüber TMH u, u , u , u

Nutzenfunktion bzw. deren Ableitungen

pk

Eintrittswahrscheinlichkeit des k-ten (eventuell fiktiven) Szenarios

f

Dichtefunktion

F

Verteilungsfunktion

FF

kumulierte Verteilungsfunktion

R

Risikoprofil

˜j Θj , Θ

stochastische technische bzw. wertorientierte Effizienz von

˜j j, Θ Θ γk , γ k

DMUj dazugehörige Ineffizienzen (Kehrwerte der Effizienzen) Binärvariablen zur Bildung der wahrscheinlichkeitseffizienten Referenzen im Modell (FSDτ ) bzw. (FSDτK )

δk

Hilfsvariablen zur Bildung der stochastisch zweiten Grades effizienten Referenz im Modell (SSDτ )

Indexmengen J

Indexmenge der DMUs (J := {1, . . . , J})


XIX

N, M

Indexmengen der Outputs bzw. Inputs

H, H , h

Indexmengen des externen Faktors, wobei H alle Ausprägungen enthält und H bzw. h auf die ersten H bzw. h Elemente beschränkt sind

T, T

Indexmengen der relevanten bzw. aller Präferenzrestriktionen

K, K

Indexmengen der Szenarien einer gemeinsamen bzw. einer empirischen Wahrscheinlichkeitsverteilung

Technologie-Subskripte (für die Technologiemenge TMι ) CRS

mit konstanten Skalenerträgen

VRS

mit variablen Skalenerträgen

NIRS

mit nichtsteigenden Skalenerträgen

NDRS

mit nichtfallenden Skalenerträgen

FDH

Free Disposal Hull (endliche Technologie)

Funktions-Superskripte (für die Effizienzkennzahlen, wie θ τ und Θτ ) P

Produktion

A

Adaption

S

Selektion

PA

Produktion und Adaption

AS

Adaption und Selektion

PAS

Organisation (Produktion, Adaption und Selektion)

Abkürzungen, insbesondere für die Modelle VPM

vektorielles Produktionsmodell

DFA

Deterministic Frontier Analysis

SFA

Stochastic Frontier Analysis

DEA

Data Envelopment Analysis

CCR

DEA-Modell nach Charnes/Cooper/Rhodes (unter konstanten Skalenerträgen)

GE

Gewinneffizienz

KE

Kosteneffizienz

XX


TE

technische Effizienz

WE

wertorientierte Effizienz

I rad

inputorientiertes Modell mit einem radialen Effizienzmaß

D

duales lineares Programm (in Multiplier-Form)

DQP

duales Quotientenprogramm

AR

Modell mit Relativpreisgrenzen (Assurance-Region-Modell)

FSDτ

Testprogramm auf stochastische Dominanz ersten Grades bezüglich τ (First-order Stochastic Dominance, FSD)

FSDτK

Testprogramm auf stochastische Dominanz ersten Grades nach Timo Kuosmanen

SSDτ

Testprogramm auf stochastische Dominanz zweiten Grades bezüglich τ (Second-order Stochastic Dominance, FSD)

Weitere Symbole

hinreichend kleine Zahl

R

Menge der reellen Zahlen

R+

Menge der nichtnegativen reellen Zahlen

+N RM −+

N M N Kartesisches Produkt aus −RM + und R+ (−R+ × R+ )

1 Berücksichtigung der Unsicherheit in zu beurteilenden Dienstleistungsproduktionen Das offen verkündete Gewinnstreben vieler privatwirtschaftlicher Unternehmen sowie das verstärkte Kostenbewusstsein in sozialen Organisationen haben zu einem enormen Interesse an Maßnahmen zur Steigerung der Effizienz geführt. Den Ausgangspunkt für die Erhöhung der Effizienz stellt die Erfassung des Ist-Zustands, das heißt die Leistungsmessung, dar. Seit den grundlegenden effizienztheoretischen Arbeiten von Debreu 1951 und Farrell 1957 widmen sich zahlreiche wissenschaftliche Beiträge der Erfassung der aktuellen Effizienz und dem Aufdecken von Verbesserungspotenzialen. Dabei stehen neben der konzeptionellen Weiterentwicklung bekannter Methoden auch deren empirische Anwendungen im Mittelpunkt. Speziell bei letzteren kommt den Dienstleistungen ein besonderer Stellenwert zu, was vor dem Hintergrund des strukturellen Wandels von der Industrie- zur Dienstleistungsgesellschaft kaum überraschen kann. In diesem Strukturwandel, der so genannten „Tertiarisierung“, begründet sich auch die rege wissenschaftliche Diskussion über die Besonderheiten von Dienstleistungen und deren Implikationen für die Leistungserstellung und -vermarktung. Neben der Immaterialität des Dienstleistungsergebnisses wird häufig angeführt, dass die Integration eines externen Faktors in den Produktionsprozess, das heißt die Einbeziehung des Kunden oder eines von ihm bereitgestellten Objekts, charakteristisch für Dienstleistungsproduktionen ist. Die Immaterialität wirft dabei insbesondere praktische Probleme auf, wie die verringerte Messbarkeit und die erschwerte Vermittlung des Kundennutzens. Produktionstheoretisch interessanter ist der externe Faktor, denn dieser entstammt nicht dem Verfügungsbereich des Dienstleistungsanbieters (Produzenten), sondern dem des Kunden. Zwar werden zahlreiche der so genannten internen Faktoren, wie z. B. Rohstoffe oder Bauteile, durch den Produzenten zugekauft, also fremdbezogen, doch kann er den jeweiligen Lieferanten bewusst wählen und die Qualität des Inputs damit steuern. Dagegen ist der externe Faktor direkt mit dem Kunden verbunden und durch diesen in den Produktionsprozess einzubringen. Die Dienstleistung findet an dem externen Faktor selbst statt. So wird der externe Faktor „Kunde“ beispielsweise beraten, frisiert, geschult, befördert und therapiert. Ein Objekt des Kunden, etwa ein Motorrad, könnte u. a. überprüft, repariert, gereinigt und aufbewahrt werden. In jedem Fall kann der Anbieter einer Dienstleistung nicht unabhängig über die Annahme einer Kundenanfrage und den exter-

2

1 Berücksichtigung der Unsicherheit in Dienstleistungsproduktionen

nen Faktor entscheiden. Damit ist dem Produzenten die Ausprägung, z. B. die Qualität oder der Zustand, des externen Faktors vorgegeben. Ein Defekt, etwa eines Fahrzeugs, kann unterschiedliche Ursachen haben. Je nach konkretem Fehler ist die Reparatur unterschiedlich aufwendig, was die Planung, z. B. der vorzuhaltenden Kapazität, erschwert. Hinzu kommt, dass der Produzent die vorgegebene Ausprägung des externen Faktors vor oder zu Beginn der Produktion nicht exakt einschätzen kann. Das Auffinden des Problems ist in vielen Fällen Teil der Dienstleistung selbst. Damit handelt es sich jedoch nicht „nur“ um einen exogen bestimmten Faktor, sondern vielmehr um einen stochastischen Faktor, über dessen Ausprägung vor und zum Teil während der Produktion Unsicherheit besteht. Eine konsequente produktionstheoretische Modellierung stochastischer Dienstleistungsproduktionen steht bislang aus. Die Effizienztheorie ist eng mit der Produktionstheorie verbunden, denn beide dienen der Untersuchung von Produktionen. Während im Rahmen der Produktionstheorie die Produktionsmöglichkeiten ex ante analysiert werden, um Entscheidungen zu unterstützen, sollen mit Hilfe der Effizienztheorie die Produktionen ex post bewertet werden, das heißt, es sollen Ineffizienzen und Verbesserungspotenziale aufgezeigt werden. Trotz der intensiven Diskussion um die produktionstheoretische Behandlung von Dienstleistungen werden Dienst- und Sachleistungsproduktionen in der Effizienztheorie bisher undifferenziert behandelt. Zielsetzung der vorliegenden Arbeit soll es daher sein, ein Verfahren zur Leistungsmessung von Dienstleistungsproduktionen zu entwickeln. Im folgenden Kapitel 2 wird zunächst die teilweise kontrovers geführte Diskussion um die Abgrenzung von Dienst- und Sachleistungen aufgegriffen. Die Notwendigkeit, einen externen Faktor in die Leistungserstellung einzubeziehen, ist typisch für solche Leistungen, die im allgemeinen Sprachgebrauch als Dienstleistungen verstanden werden. Durch die Integration eines stochastischen externen Faktors sind Dienstleistungsproduktionen selbst als stochastisch zu charakterisieren, was ein geeignetes Verfahren zur Bewertung der Produktionen berücksichtigen muss. Kapitel 3 führt zunächst allgemein in die Grundlagen der Effizienzmessung ein. Dazu werden in Abschnitt 3.1 die verwendeten Effizienzkonzepte und in Abschnitt 3.2 wichtige Eigenschaften von Technologien vorgestellt. Es folgt eine Systematisierung der Verfahren zur Leistungsmessung in Abschnitt 3.3, bevor auf die wesentlichen Methoden eingegangen wird. Dabei handelt es sich um abstandsbasierte Verfahren, bei denen die Abweichung ei-


3

ner Produktion zu ihrer effizienten Referenz als Maß der Ineffizienz interpretiert wird. Die Methoden lassen sich in parametrische (Abschnitt 3.4) und nichtparametrische Verfahren (Abschnitt 3.5) differenzieren. Ihr wesentlicher Unterschied besteht in der Bestimmung der Menge der effizienten Referenzproduktionen. Während parametrische Verfahren die Vorgabe einer konkreten Form der Produktionsfunktion erfordern, deren Parameter anschließend mit Hilfe der Beobachtungswerte geschätzt werden sollen, sind nichtparametrische Verfahren frei von solchen Vorgaben. Die effizienten Referenzen werden hierbei aus den besten Beobachtungswerten und auf Grundlage allgemeiner Annahmen bezüglich der zu Grunde liegenden Technologie gebildet. Zur konsistenten Schätzung der Parameter mittels ökonometrischer Verfahren, wurde die parametrische Stochastic Frontier Analysis (SFA) vorgeschlagen (Abschnitt 3.4.3), die neben einer einseitigen Ineffizienz eine symmetrisch verteilte Störgröße berücksichtigt. Letztere soll Messfehler und andere Fehler in den Daten abbilden. Ferner wird in der Literatur teilweise angeführt, mit ihrer Hilfe könnten auch Unsicherheiten in der Produktion modelliert werden. Weshalb dies im Allgemeinen nicht möglich ist, wird im Anschluss an die Vorstellung des Verfahrens erläutert. In Abschnitt 3.5.1 wird die Data Envelopment Analysis (DEA) als wichtigstes nichtparametrische Verfahren ausführlich dargestellt. Aus theoretischer Sicht wird häufig ihr deterministischer Charakter bemängelt, der die Berücksichtigung einer zufälligen Komponente, wie bei der SFA, verhindert. Dieser Kritik wurde durch zahlreiche stochastische Ansätze entgegengewirkt, von denen einige in Abschnitt 3.5.2 diskutiert werden. Im Anschluss daran ist die Eignung der bekannten Verfahren zur Bewertung stochastischer Produktionen zu untersuchen. Es wird sich herausstellen, dass diese wiederum nur sehr bedingt gegeben ist. Kapitel 3 schließt mit einem Anforderungsprofil an eine geeignete Methodik zur Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen. Im Mittelpunkt der Arbeit steht die Entwicklung einer solchen Methodik in Kapitel 4. Der Benennung der zentralen Modellannahmen (Abschnitt 4.2) folgt – analog zur Entscheidungsfindung unter Unsicherheit – die Bestimmung der Ergebnisse in den unterschiedlichen Umweltzuständen (Abschnitt 4.3). Im Falle der Leistungsmessung bedeutet dies, dass die bedingten Effizienzen für jede Ausprägung des externen Faktors bestimmt werden. Zwar erfordert die Leistungsmessung stochastischer Produktionen zusätzliche Beobachtungen zu den verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors, doch ist dadurch

4


zugleich eine differenziertere Analyse möglich. So werden einerseits in Abschnitt 4.3.3 die Leistungserstellung selbst (Produktion) und die Auswahl (Selektion) des externen Faktors getrennt bewertet. Andererseits zeigt Abschnitt 4.3.4, wie durch Berücksichtigung implizit vorhandener Präferenzbeziehungen eine nutzentheoretisch fundierte Bewertung zu erreichen ist. Im Rahmen der stochastischen Effizienzanalyse werden die bedingten funktionalen Effizienzen einer Entscheidungseinheit unter den verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors zu einer stochastischen funktionalen Effizienzkennzahl aggregiert. Dieser Schritt entspricht aus entscheidungstheoretischer Perspektive der Alternativenbewertung und ist in Abschnitt 4.4 dargestellt. Hierzu erfolgt ein Rückgriff auf stochastische Dominanzkonzepte, die mit der Erwartungsnutzentheorie in Einklang stehen. Im Gegensatz zu deren direkter Anwendung ist die Vorgabe einer genau spezifizierten Risikonutzenfunktion für die stochastischen Dominanzen nicht notwendig. Auf Grundlage der stochastischen Dominanz ersten Grades können rationale Entscheidungsträger mit beliebigen ungesättigten, das heißt steigenden Präferenzen beurteilt werden (Abschnitt 4.4.3.2). Sind die Entscheidungsträger darüber hinaus risikoavers, lassen sich differenziertere Effizienzaussagen mittels der stochastischen Dominanz zweiten Grades ableiten (Abschnitt 4.4.3.3). Ebenso wie bei den nichtparametrischen Verfahren der Leistungsmessung wird auch an dieser Stelle versucht, die benötigten Eingangsinformationen möglichst begrenzt zu halten. In Kapitel 5 wird die Methodik Schritt für Schritt an einem zusammenfassenden Beispiel demonstriert. Zur Illustration werden fiktive Arbeitsgruppen eines Rehabilitationszentrums analysiert. Speziell im Gesundheitswesen fehlt es häufig an (Markt-) Preisen, so dass sich die Untersuchung der von den Preisen unabhängigen Effizienz anbietet. Da die Ausprägungen des externen Faktors (hier der Gesundheitszustand und die Bereitschaft der Patienten zur aktiven Mitwirkung) für die Therapeuten vorab nicht oder erst sehr kurzfristig bekannt und kaum steuerbar sind, handelt es sich bei der Rehabilitation um eine stochastische Dienstleistungsproduktion. An dem fiktiven Beispiel zeigt sich die Bedeutung einer adäquaten Methodik zur Leistungsmessung von Produktionen unter Unsicherheit. Kapitel 6 umfasst ausgewählte Ansatzpunkte zur Erweiterung der vorgestellten Methodik. Hierbei wird insbesondere die Lockerung der in dieser Arbeit zu Grunde gelegten Annahmen diskutiert, um Wege für künftige Forschungen aufzuzeigen. Schließlich resü-


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miert Kapitel 7 die zentralen Ergebnisse und gibt einen Ausblick auf die Bedeutung für angrenzende Forschungsgebiete, wie insbesondere die Produktionstheorie.

2 Kennzeichnung von Dienstleistungsproduktionen als stochastische Entscheidungsprobleme 2.1 Abgrenzung von Sach- und Dienstleistungen 2.1.1 Die Problematik einer eindeutigen Dienstleistungsdefinition Da unter dem Begriff „Dienstleistungen“ sehr heterogene Güter zusammengefasst werden, ist eine eindeutige Abgrenzung gegenüber Sachgütern schwierig. Es finden sich die folgenden drei Ansätze zur Abgrenzung von Dienstleistungen: 1 1. Bei so genannten enumerativen Definitionen werden diejenigen Leistungen, die als Dienstleistungen verstanden werden, explizit benannt. Hierbei unterbleibt jedoch die Herausarbeitung derjenigen Merkmale, die zur Klassifizierung als Sach- oder Dienstleistung geführt haben. 2. Negativdefinitionen, die lediglich Aussagen darüber treffen, was Dienstleistungen nicht sind, stellen eher „wissenschaftliche Verlegenheitslösungen“ 2 dar. 3. Positive Definitionsansätze basieren auf konstitutiven Merkmalen, anhand derer sich Dienst- und Sachleistungen unterscheiden lassen. Mit ihrer Hilfe ist eine Klassifizierung prinzipiell möglich. Allerdings existiert auch auf Grundlage konstitutiver Merkmale bisher keine allgemein akzeptierte Definition von Dienstleistungen. An dieser Stelle soll die in der deutschsprachigen Literatur durchaus kontrovers geführte Diskussion kurz skizziert werden. Hierauf aufbauend werden anschließend die relevanten Implikationen solcher Leistungen erarbeitet, die üblicherweise als Dienstleistungen verstanden werden. Positive Definitionsansätze von Dienstleistungen lassen sich in vier Kategorien einteilen, wobei diese teilweise miteinander verknüpft werden: 1. Der tätigkeitsorientierten Definition liegt die Auffassung zu Grunde, dass jedes menschliche Handeln – zumindest wenn es der Bedürfnisbefriedigung eines anderen dient – eine Dienstleistung darstellt.3 Eine derart weite Auffassung führt letztlich dazu, dass alle Güter 1 2 3

Vgl. Corsten 1984, S. 253, sowie die dort angegebenen Quellen. Corsten 1984, S. 253. Vgl. Schüller 1976, S. 19: „Das, was der Mensch tut, um seine physische und psychische Arbeitskraft mit oder ohne Verbindung zur materiellen Güterwelt in den Zweckbereich der menschlichen Bedürfnisbefriedigung zu bringen, ist eine Dienstleistung.“


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als Dienstleistungen zu verstehen sind, so dass eine Unterscheidung in Sach- und Dienstleistungen hinfällig ist. Dies erscheint insofern nicht sinnvoll, als es durchaus Unterschiede zwischen den (typischerweise) als Sach- und Dienstleistungen verstandenen Gütern gibt. 2. Bei der potenzialorientierten Definition stehen die durch Menschen und Maschinen aufgebauten Leistungsfähigkeiten im Mittelpunkt des Interesses. Das Bereithalten von Potenzialen stellt in diesem Sinne eine Dienstleistung dar. Da nur die Potenziale vor dem Kundenkontakt bestehen, können auch nur diese vermarktet werden.4 Eine solche Fokussierung auf die Vermarktung von Potenzialen (Kapazitäten) ist einerseits durch die Standardisierung von Dienstleistungen und den Einsatz von Trägermedien, wie z. B. bei Standardsoftware, fraglich. Andererseits spielt die Vorhaltung von Kapazitäten auch bei Sachgüterproduzenten eine zentrale Rolle, da diese ebenso wenig ohne beschäftigte Mitarbeiter und Maschinenkapazitäten produzieren können wie Dienstleistungsanbieter. 5 Zudem ist unklar, „ob überhaupt eine Nachfrage nach versprochenen Leistungen existiert oder ob nur eine Nachfrage nach Realisationen von Leistungen . . . besteht“.6 Im Übrigen wäre die Auftragsfertigung einer Werkzeugmaschine nach diesem Definitionsansatz dem Dienstleistungssektor zuzurechnen, obwohl Maschinenhersteller zumeist als Sachgüterproduzenten eingeordnet werden. 3. Prozessorientierte Definitionsansätze fokussieren den Prozess der Leistungserstellung (Produktion7 ). Demzufolge werden all jene Produkte als Dienstleistungen angesehen, die der Integration eines externen Faktors bedürfen. Ein solcher externer Faktor entstammt nicht dem Verfügungsbereich des Dienstleistungsanbieters, sondern dem des Leistungsnehmers bzw. Kunden.8 In diesem Kriterium sah beispielsweise Engelhardt „ein eindeutiges Trennkriterium zwischen Sach- und Dienstleistungsprozessen“. 9 In seiner Konsequenz führt dies dazu, dass die Auftragsfertigung einer Spezialmaschine – ebenso wie bei der potenzialorientierten Definition – als Dienstleistung zu klassifizieren ist. 10 Da die Her4

Vgl. Meyer 1987, S. 26 ff., wobei als zusätzliche Wesensmerkmale die Integrativität des Leistungserstellungsprozesses sowie die Immaterialität des Leistungsergebnisses angeführt werden. 5 Vgl. Engelhardt et al. 1993, S. 399. 6 Schweitzer 2003, S. 59. 7 „Produktion“ wird in dieser Arbeit allgemein als „Leistungserstellung“ verstanden und beschränkt sich nicht auf die Sachgütererstellung. Analog dazu wird ein weites Begriffsverständnis von „Gütern“ zu Grunde gelegt, das neben Sachgütern auch Dienstleistungen einschließt. 8 Vgl. Maleri 1997, S. 146 f.; erstmals 1973. 9 Engelhardt 1989, S. 281. 10 Dazu Engelhardt 1989, S. 281: „Selbstverständlich sind Maschinen, die in Auftragsfertigung erstellt werden, materielle Leistungen, aber der Prozeß ihrer Erstellung, der aus einer Interaktion zwischen Anbieter und Nachfrager besteht, ist ein Dienstleistungsprozeß.“

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2 Dienstleistungsproduktionen als stochastische Entscheidungsprobleme

stellung einer Maschine im Allgemeinen jedoch als Sachgüterproduktion verstanden wird, kann auch eine solche offensichtlich die Integration eines externen Faktors erfordern. 11 Ferner existieren auch Dienstleistungsproduktionen, die keiner oder einer vernachlässigbar geringen Integration des Kunden bedürfen, wie dies beispielsweise für Supermärkte der Fall ist. Hier nimmt der Kunde nicht an der Leistungserbringung des Produzenten, das heißt der Beschaffung und Bereitstellung der Waren, teil, sondern tritt nur zur Durchführung des Kaufes (oder zur Informationsbeschaffung) in Erscheinung. 12 Die notwendige Anpassung des Warenangebots an die Nachfrage stellt keine Integration des externen Faktors in den Produktionsprozess dar. Es handelt sich hierbei vielmehr um „normales“ Anbieterverhalten. 4. Ergebnisorientierte Definitionen machen den Dienstleistungscharakter eines Gutes an dessen Immaterialität fest.13 Im Gegensatz zur Materialität von Sachgütern wird Dienstleistungen eine nichtphysische Natur zugeschrieben. „Die ebenfalls als Kriterien herangezogenen Merkmale der Nichtlagerfähigkeit, der Individualität, der Simultaneität von Produktion, Absatz und Verbrauch sowie der fehlenden Eigentumsübertragung sind entweder Synonyma für die Immaterialität oder erfassen Tatbestände, die sich aus der Unstofflichkeit ergeben“.14 Die trennscharfe Differenzierung zwischen Sach- und Dienstleistungen ist auf dieser Grundlage jedoch nicht möglich. Denn es treten auch bei Dienstleistungen teilweise materielle Outputs auf.15 Diese können als „bloßes“ Trägermedium fungieren, wie beispielsweise das mit einem Abschlussbericht bedruckte Papier einer Wirtschaftsprüfung oder aber einen wesentlichen Output darstellen, wie ein erteiltes Zertifikat (z. B. der Prüfvermerk der Wirtschaftsprüfung). Mit Hilfe der tätigkeitsorientierten und potenzialorientierten Definitionsansätze lässt sich keine sinnvoll erscheinende Abgrenzung zwischen Dienst- und Sachleistungen erzielen. Auf Grundlage der Kriterien Immaterialität und Integrativität ist in vielen Fällen eine plausible Einteilung zu begründen. Allerdings ist eine eindeutige Zuordnung, die mit dem allgemeinen Sprachgebrauch vollständig übereinstimmt, mit keinem der beiden Kriterien möglich. Dasselbe gilt auch bei simultaner Berücksichtigung beider Merkmale, wie diese

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Vgl. dazu u. a. Corsten 1984, S. 262 f. Vgl. Fandel/Blaga 2004a, S. 12. Vgl. z. B. Fandel/Blaga 2004a, S. 5. 14 Engelhardt 1989, S. 279. 15 Vgl. u. a. Corsten 1984, S. 256; Engelhardt et al. 1993, S. 400; Dinkelbach/Rosenberg 2004, S. 8 ff. 12 13


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z. B. von Corsten16 vorgeschlagen wird. Demnach wäre eine Dienstleistung sowohl durch die Immaterialität des Ergebnisses als auch durch die Integrativität des Leistungsprozesses gekennzeichnet. Zwar handelt es sich bei allen Produkten, die diese Kriterien erfüllen um Dienstleistungen – denn hergestellte, immaterielle Güter sind niemals als Sachleistungen zu verstehen. Umgekehrt erfüllen jedoch auch zahlreiche Produkte, die üblicherweise zu den Dienstleistungen zählen, diese beiden Kriterien nicht. Das gilt zum einen für nicht nennenswert integrative Produktionen, wie die Warenbereitstellung eines Supermarktes, und zum anderen für integrative Produktionen, deren Ergebnis zumindest teilweise materieller Natur ist, wie z. B. die Jahresabschlussprüfung oder die Steuerberatung.17

immateriell

Standardisierter (Post-) Versand

Unternehmensberatungsleistung

materiell

Leistungsergebnis

Standardisiertes Gebrauchsgut

Kundenindividuelle Spezialmaschine

autonom

integrativ

Erstellungsprozess

Abbildung 2.1: Kriterien zur Charakterisierung von Leistungsbündeln Aufgrund der dargestellten Problematik einer eindeutigen Abgrenzung von Sach- und Dienstleistungen, schlagen Engelhardt/Kleinaltenkamp/Reckenfelderbäumer die Aufhe16 17

Vgl. u. a. Corsten 1984, S. 256; Corsten 2002, S. 51. Vgl. auch Engelhardt et al. 1993, S. 405.

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bung der Dichotomie von Sach- und Dienstleistungen und die Verwendung des umfassenden Begriffs des „Leistungsbündels“ vor. Dieses lässt sich nach dem Grad der materiellen Anteile am Ergebnis sowie nach der Stärke der Integrativität der Produktion charakterisieren.18 Dabei wird unterstellt, dass „ jedes Leistungsbündel ein gewisses Maß integrativer Prozesse (nämlich im Absatzbereich) und immaterieller Ergebnisbestandteile (nämlich Informationen) enthält“.19 Eine Integration in den Prozess der Leistungserstellung selbst, ist dagegen nicht in jedem Fall gegeben, weshalb auch im Folgenden nicht alle Produktionen als integrativ bezeichnet werden sollen. Abbildung 2.1 veranschaulicht die Charakterisierung von Leistungsbündeln anhand der genannten Dimensionen und gibt einige „typische“ Beispiele wieder. Eine Einteilung in Dienst- und Sachleistungen unterbleibt jedoch.20

Absatz von Konsumgütern

Absatz von Investitionsgütern

Absatz von Dienstleistungen

Sachleistungsanteil

Abbildung 2.2: Marketing-Verbund-Kasten

18

Vgl. Engelhardt et al. 1993, S. 404 ff. Engelhardt et al. 1993, S. 416. 20 Vgl. Engelhardt et al. 1993, S. 405. 19

Par tner verm ittlu ng

Haa resc hne iden

„Pro des blemlos tägl e iche “ Ware nB eda n rfs Fab rikv e Kle idun rkauf v o gm it A n npr obe War t Inve ungsin te stiti onsg nsives ut EDV mit Anlag e Serv icev ertr ag Plan u n g Bau u eine nd rG roßa nlag Ver e m von ittlung Imm obil ien Aut orep arat ur

Dienstleistungsanteil


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In der Literatur weiter verbreitet als die Aufhebung der Trennung von Sach- und Dienstleistungen ist die Inkaufnahme problematischer Einzelfälle, ohne jedoch deshalb die allgemeine Definition von Dienstleistungen in Frage zu stellen.21 Andere Autoren betrachten den Übergang zwischen Sach- und Dienstleistungen als fließend. Da der Absatz eines (Sach-) Gutes selbst als Dienstleistung verstanden wird, gibt es kein Produkt ohne einen Mindestanteil an Dienstleistungen. Umgekehrt ist eine Dienstleistungserbringung im Grenzfall ohne Ausbringung eines Sachgutes denkbar, wie z. B. bei der Partnervermittlung. Zur Darstellung dieses Sachverhaltes wird gerne auf den von Hilke eingeführten und in Abbildung 2.2 veranschaulichten „Marketing-Verbund-Kasten“ zurückgegriffen. 22 Allerdings erweist sich die Quantifizierung der Sach- bzw. Dienstleistungsanteile, z. B. über die Anteile an den Gesamtkosten oder -erlösen, als problematisch, wodurch wiederum die Einteilung in Sach- und Dienstleistungen erschwert wird.23 Meffert bezeichnet „Dienst- und Sachleistung[en] . . . als Extremausprägungen von Kontinuen“.24 Engelhardt/Kleinaltenkamp/Reckenfelderbäumer weisen jedoch zu Recht auf die problematische Grenzziehung zwischen „eher Dienstleistung“ und „eher Sachleistung“ hin. Sie kommen zu dem Schluss, dass aus „wissenschaftlicher Sicht . . . der Aufhebung dieses Begriffspaares allein das Argument entgegengehalten werden [kann], daß beide Begriffe im allgemeinen Sprachgebrauch etabliert sind. Insofern erscheint ihre Verwendung zwar legitim, muß bei theoretischen Untersuchungen aber stets kritisch hinterfragt werden“.25 Die Problematik hebt auch Bruhn hervor, wenn er schreibt, dass aufgrund des „Kontinuums, innerhalb dessen eine eindeutige Zuordnung für einzelne Absatzobjekte nur bedingt möglich erscheint . . . weitere Unterscheidungsmerkmale von Dienstleistungen auf ihre Brauchbarkeit zur Typologisierung hin zu untersuchen“ 26 seien. Als Beispiele führt er die Einteilung in konsumtive und investive sowie kommerzielle und nichtkommerzielle Dienstleistungen an. Dies dient jedoch nicht der Abgrenzung von Sach- und Dienstleistungen, sondern vielmehr der „Identifikation von in sich möglichst homogenen Dienstleistungssegmenten“,27 und ist damit hier nicht zielführend.

21

Vgl. u. a. Corsten 2002, S. 50 f.; Fandel/Blaga 2004a, S. 6. Vgl. Hilke 1989, S. 8. 23 Vgl. Engelhardt et al. 1993, S. 409. 24 Meffert 1994, S. 525. 25 Engelhardt et al. 1995, S. 676. 26 Bruhn 2006, S. 30 f. 27 Bruhn 2006, S. 31. 22

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Zwar erscheint die von Engelhardt/Kleinaltenkamp/Reckenfelderbäumer vertretene Auffassung schlüssig, doch sind die Immaterialität des Leistungsergebnisses und die Integrativität des Produktionsprozesses besonders „typisch“ für solche Leistungen, die im allgemeinen Sprachgebrauch als Dienstleistungen bezeichnet werden. Aus diesem Grund soll im folgenden Abschnitt untersucht werden, inwiefern sich aus den beiden Merkmalen Besonderheiten für die Leistungsmessung „typischer“ Dienstleistungsproduktionen ergeben.28 2.1.2 Produktionstheoretische Implikationen der Dienstleistungsmerkmale Die Implikationen der beiden zentralen Merkmale sind stark verschieden. So wirft die Immaterialität vornehmlich praktische Probleme in Bezug auf die Messbarkeit auf, da die Güterquantitäten nicht wie bei Sachgütern gezählt, gemessen oder gewogen werden können.29 Wird der Output hinreichend genau durch seine Eigenschaften bzw. Attribute spezifiziert, lassen sich die Outputquantitäten prinzipiell in ganzzahligen Einheiten bestimmen.30 Darüber hinaus ist die Vermarktung immaterieller Leistungen mit diversen Schwierigkeiten verbunden. Insbesondere können potenzielle Kunden die Qualität der Leistung weniger gut beurteilen und die Vermittlung des Nutzens eines immateriellen Produktes ist schwieriger.31 Aus produktionstheoretischer Sicht impliziert die Immaterialität zudem häufig eine Produktion ohne Lagermöglichkeit und führt dann zumindest zu einer partiellen Simultaneität von Produktion und Absatz.32 In solchen Fällen kommt sowohl der Nachfrageprognose als auch der Kapazitätsplanung eine (noch) größere Bedeutung zu als bei vorhandener Lagermöglichkeit, da Spitzennachfragen nicht durch den Abbau eines Lagerbestandes ausgeglichen werden können. Ebenso wenig ist es möglich, in Zeiten einer geringen Nachfrage auf Vorrat zu produzieren. Zu einem Zeitpunkt nicht genutztes Leistungspotenzial ist demnach „verloren“. Besonders bei der Erzeugung und Aufbereitung von Informationen ist durch den Einsatz von Trägermedien (elektronische Datenträger, Dokumente in Papierform, etc.) eine Lagerfähigkeit jedoch gegeben. Zudem können Informationen beliebig oft genutzt und nahezu kostenlos reproduziert werden. 33

28

Ob den genannten Merkmalen ein konstitutiver Charakter beigemessen wird oder nicht, ist dabei von untergeordneter Bedeutung. 29 Vgl. Maleri 1998, S. 141 f. 30 Vgl. Fandel/Blaga 2004a, S. 7. 31 Vgl. u. a. Engelhardt et al. 1993, S. 418 ff.; Steven/Schade 2004, S. 548. 32 Vgl. hierzu auch das „Uno-actu-Prinzip“ nach Maleri 1997, S. 62. 33 Vgl. Fandel/Blaga 2004a, S. 6.


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Die produktionstheoretischen Folgen der Integration eines externen Faktors sind für eine Leistungsmessung schwerwiegender als die der Immaterialität. Da der Kunde den externen Faktor in die Leistungserstellung einbringt, ist die konkrete Ausprägung (Qualität) eines solchen externen Faktors für den Dienstleistungsanbieter vor der Produktion nicht mit Sicherheit zu bestimmen und lässt sich nicht vollständig durch diesen steuern. Allgemein betrachtet Jahnke die Qualitätsunsicherheit bezüglich der Inputfaktoren als maßgeblichen Einfluss der internen strukturellen Produktionsunsicherheit,34 die durch Zufallsvariablen in der Produktion zu berücksichtigen sind.35 Im Rahmen der Dienstleistungsproduktion gilt es also einen stochastischen externen Faktor zu berücksichtigen, so dass es sich bei Dienstleistungsproduktionen um Produktionen unter Unsicherheit handelt.36 Abbildung 2.3 veranschaulicht dies beispielhaft an einem vereinfachten Input-Output-System einer Kfz-Werkstatt.37 Inputs

Transformation

Outputs

Mechaniker Anzahl Fahrzeuge Reparatur

Meister

Qualität Zustand Fahrzeug

Abbildung 2.3: Unsicherheit integrativer Produktionen

34

Vgl. Jahnke 1995, S. 24 und 45 ff. Vgl. Jahnke 1995, S. 62 ff. Vgl. auch Fandel/Blaga 2004a, S. 7: „Liegt die Indeterminiertheit des Outputs . . . in Unsicherheiten über die Art und Qualität des Inputs ’externer Faktor’ oder des Herstellungsprozesses, so handelt es sich bei der Modellierung um ein klassisches Problem der stochastischen Produktionstheorie“; Schweitzer 2004, S. 94: „Bei . . . Prozessen . . . mit intensiver Einbeziehung externer Faktoren treten hingegen eher große Schwankungen auf, die beispielsweise als Zufallsgrößen aufgefasst werden müssen“. Vgl. weiterführend auch Lasshof 2006, S. 89 ff. und 156 ff. Dagegen sind nach Schneeweiß 2002b, S. 202 f., Dienstleistungsproduktionen als Mehr-Personen-Entscheidungen zu verstehen, denn „der externe Faktor [hat] wesentlich mehr Struktur, als dass man . . . ihn lediglich durch eine Zufallsvariable . . . beschreiben könnte“. Dieser Meinung wird hier nicht gefolgt, da sich die „Struktur“ des externen Faktors entsprechend in unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen niederschlägt. 37 Vgl. zu Input-Output-Systemen allgemein u. a. Dyckhoff 2006, S. 26 ff.; Dinkelbach/Rosenberg 2004, S. 1 ff. 35 36

14


Im Beispiel gibt es drei Inputs, von denen der Arbeitseinsatz und die Werkstoffe durch den Leistungsanbieter bestimmt werden können. Diese sind die „internen Faktoren“. Für die Leistungserstellung der Kfz-Reparatur bedarf es eines dritten Faktors, dem zu reparierenden Fahrzeug des Kunden. Da der Kunde dieses in die Produktion einbringt und für dessen Zustand (Ausprägung, Qualität) verantwortlich ist, handelt es sich aus Sicht des Leistungsanbieters um einen „externen Faktor“: Das Dienstleistungsunternehmen kann keinen direkten Einfluss auf die ursprüngliche Qualität des externen Faktors nehmen. Da dem Unternehmen der Zustand des Fahrzeugs und damit die genaue Ursache für einen Defekt vorab in der Regel nicht mit Sicherheit bekannt ist, stellt das zu reparierende Fahrzeug aus seiner Sicht eine Zufallsgröße dar. Einem solchen stochastischen externen Faktor kommt bei integrativen Produktionen zumeist eine entscheidende Bedeutung auf die Produktionsleistung zu, so dass seine explizite Berücksichtigung im Rahmen der stochastischen Produktionstheorie sinnvoll erscheint. Zwischen dem externen Faktor und den internen Faktoren bestehen ähnliche Produktionsbeziehungen wie zwischen den internen Faktoren. Diese können entweder limitational oder substitutional sein. Im Allgemeinen ist von einer partiellen Substitutionalität von externem und internen Faktoren auszugehen: Während oftmals eine schlechtere Qualität des externen Faktors durch den Mehreinsatz interner Produktionsfaktoren ausgeglichen werden kann, ist im Extremfall vorstellbar, dass eine gewisse Mindestqualität des externen Faktors erforderlich ist, um den Output (in akzeptabler bzw. vorgegebener Qualität) herstellen zu können. Unter Vernachlässigung der Qualität als zweiten Output könnten bei drei verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors die in Abbildung 2.4 dargestellten Produktionsmöglichkeiten zur Reparatur eines Fahrzeugs bestehen.38 Die Isoquanten der drei Ausprägungen des externen Faktors „schwerer“, „mittlerer“ und „leichter Motorschaden“ zeigen an, welche Inputquantitäten (Arbeitsstunden) eines Mechanikers und eines Meisters eingesetzt werden müssen, um eine Reparaturleistung durchzuführen.39 Einen leichten und einen mittleren Motorschaden kann ein Meister ohne Mitwirkung eines Mechanikers er38

Hier sind nur die technisch effizienten Produktionsmöglichkeiten dargestellt. Auf die Berücksichtigung möglicher Ineffizienzen wird im Rahmen der Leistungsmessung ab Kapitel 3 eingegangen. 39 Vgl. zu einer ähnlichen Darstellung, die das Aktivitätsniveau des externen Faktors „Mensch“ berücksichtigt, Corsten 1986, S. 26 f. Von dem von Fandel/Blaga 2004a, S. 12 f., in diesem Zusammenhang verwendeten Begriff des Zeitbudgets, das eine gemeinsame Restriktion von Anbieter und Nachfrager darstellt, wird an dieser Stelle Abstand genommen, da eine solche gemeinsame Restriktion in der Regel nicht existiert.


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Meister

„schwerer Schaden“ „mittlerer Schaden“

„leichter Schaden“ Mechaniker

Abbildung 2.4: Effiziente Produktionsmöglichkeiten in Isoquantendarstellung bringen. Nur zum Beheben eines schweren Motorschadens bedarf es der Hilfe eines Mechanikers. Dagegen ist ein Mechaniker generell nicht in der Lage, ein Fahrzeug vollständig ohne Mitwirkung des Meisters zu reparieren. Für den Meister verbleibt bei einem leichten Schaden zumindest die Kontrolle der Reparaturarbeiten, bei schwierigeren Reparaturen wirkt er auch bei der eigentlichen Leistungserstellung zwingend mit, so dass der Arbeitseinsatz des Meisters partiell substitutional ist. Je nachdem, welche Ausprägung des externen Faktors (Schadensklasse) vorliegt, verändert sich nicht nur das Niveau der beiden Inputfaktoren, sondern auch die Grenzrate der Substitution. Bei der Reparatur eines mittleren Defekts ist die Arbeit eines Meisters schwieriger durch die eines Mechanikers zu ersetzen, so dass die Isoquante bei einem mittleren Schaden flacher verläuft als bei einem leichten. Bei einem schweren Motorschaden bedarf es eines zusätzlichen Einsatzes des Meisters. Allerdings ist hier zu beachten, dass er auf verstärkte Unterstützung des Mechanikers angewiesen ist. Die Isoquante verläuft deshalb nicht generell flacher als bei einem mittleren Motorschaden. Im Folgenden wird der stochastische externe Faktor als ein für das Produktionsergebnis relevanter Inputfaktor40 verstanden, der zumindest partiell durch interne Faktoren substituiert werden kann. Damit lassen sich schlechtere Ausprägungen (Qualitäten) des externen Faktors durch den verstärkten Einsatz interner Faktoren (teilweise) kompensieren. Es wird 40

Vgl. Fließ 2001, S. 22 ff.; zur Bedeutung der Interaktion auch Möller 2004, S. 33 f.

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angenommen, dass die vorab unbekannte Ausprägung des externen Faktors im Laufe der Produktion oder zumindest nach Abschluss der Leistungserstellung verifizierbar ist, das heißt bestimmt werden kann.41 Die Verfizierbarkeit der Ausprägung des externen Faktors stellt eine Voraussetzung für die Zuordnung einer beobachteten Produktion zu einer Ausprägung des externen Faktors dar. In vielen realen Situationen ist der externe Faktor ex post verhältnismäßig gut zu beurteilen. Dies gilt auch für ex ante kaum zu spezifizierende Faktoren, wie den Zustand eines defekten Fahrzeugs, die Verpackungsqualität eines Transportgutes oder die Verletzungen eines Patienten. Die Verifizierbarkeit der Ausprägung des externen Faktors ist vor allem bei Informationen fraglich, denn deren Qualität bleibt auch nach Abschluss der Dienstleistungserstellung unter Umständen verborgen: So ist beispielsweise ein „mittelmäßiges“ Ergebnis einer Unternehmensberatung möglicherweise auf eine moderate Leistung des Beraters zurückzuführen (z. B. durch schlechte Prognosen) oder aber die Folge fehlerhafter Informationen des Kunden. Letzteres ist speziell für einen Dritten im Rahmen der Leistungsmessung, aber eventuell selbst für den involvierten Berater, nicht immer zweifelsfrei zu beurteilen. Aufgrund der häufig vorliegenden Verifizierbarkeit, wird diese auch im Folgenden unterstellt.42 Bevor auf die Leistungsmessung von Produktionsentscheidungen bei Vorliegen eines stochastischen externen Faktors eingegangen wird, soll zunächst die (später zu bewertende) stochastische Produktionsentscheidung näher analysiert werden.

2.2 Entscheidungen unter Unsicherheit 2.2.1 Arten betrieblicher Unsicherheit In der betrieblichen Entscheidungslehre charakterisiert man Entscheidungssituationen u. a. nach der Vollständigkeit der verfügbaren Informationen. Liegen alle entscheidungsrelevanten Informationen vollständig vor, so dass eindeutig ist, welcher Zustand in der Zukunft eintreten wird, spricht man von einer Entscheidung unter Sicherheit. Dagegen liegt eine Entscheidung unter Unsicherheit vor, wenn mindestens eine entscheidungsrele41

Vgl. zur Erfassung der Qualitäten (entrance qualities) des externen Faktors „Studenten“ in Universitäten Fandel/Blaga 2004b, S. 393 f., wobei auch Qualitätsveränderungen durch den Produktionsprozess „Studium“ beschrieben werden. 42 Inwiefern die Lockerung dieser Annahme möglich ist, wird in Abschnitt 6.4 diskutiert.


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vante Größe nicht eindeutig bekannt ist. Zu letztgenannter Unsicherheitssituation zählt zum einen das Risiko, zum anderen die Ungewissheit.43 Im Falle der Ungewissheit sind nur die möglichen Ausprägungen der unsicheren Zufallsgrößen bekannt, nicht jedoch ihre Eintrittswahrscheinlichkeiten. In Risikosituationen liegen darüber hinaus ebendiese Wahrscheinlichkeitsinformationen vor, so dass sich Wahrscheinlichkeitsverteilungen der stochastischen Größen angeben lassen.44 Dabei spielt es keine Rolle, ob es sich um objektive, das heißt intersubjektiv überprüfbare Wahrscheinlichkeiten oder um subjektive „Überzeugungsgrade“ handelt, die auf einer individuellen Einschätzung beruhen.45 Ein Entscheidungsträger kann sich naturgemäß nur an den ihm zur Verfügung stehenden Wahrscheinlichkeitsvorstellungen orientieren. Glaubt er an bestimmte Wahrscheinlichkeiten, so sind diese für seine Entscheidung relevant – selbst wenn diese objektiv falsch sein mögen.46 Inwiefern überhaupt von objektiven Wahrscheinlichkeiten gesprochen werden kann, ist fraglich. Nach Eisenführ/Weber ist die „Objektivität von Wahrscheinlichkeiten nicht erreichbar. Relative Häufigkeiten sind zwar objektiv, aber keine Wahrscheinlichkeiten. Der Schluß von bekannten Häufigkeiten auf unbekannte Fälle ist eine subjektive Hypothese; man kann niemals objektiv feststellen, ob sie angemessen ist . . . Für objektive Wahrscheinlichkeiten findet man keine Definition, ja sie sind sogar ein Widerspruch in sich: Wie ‘wahr’ etwas ‘scheint’, kann per se nicht objektiv festgestellt werden. Objektiv feststellbar ist allenfalls, ob etwas wahr ist oder nicht. Wenn man das weiß, besteht keine Unsicherheit und ist kein Raum für Wahrscheinlichkeiten (außer null oder eins).47 Im Allgemeinen ist es wenig hilfreich, subjektive (Wahrscheinlichkeits-) Informationen zu vernachlässigen, nur um höchstmögliche Objektivität zu gewährleisten.48 Unterdrückt man die subjektiven Wahrscheinlichkeitsvorstellungen, so gelangt man künstlich in eine 43

Vgl. z. B. Bitz 1981, S. 14 f.; Dinkelbach/Kleine 1996, S. 62 f.; Bamberg/Coenenberg 2006, S. 19. Vgl. u. a. Dinkelbach/Kleine 1996, S. 62 f., sowie Bamberg/Coenenberg 2006, S. 19. 45 Vgl. Bamberg/Coenenberg 2006, S. 76 ff. 46 Dies kann insbesondere dann passieren, wenn ein Ereignis eintritt, der Entscheidungsträger aber keine Kenntnis über das Resultat bekommt. Dieser Sachverhalt lässt sich an einem Beispiel erläutern: Es wird angenommen, vor dem Wurf einer fairen Münze sei die subjektive Wahrscheinlichkeit identisch mit der objektiven, das heißt 0,5. Nach dem Münzwurf ist die objektive Wahrscheinlichkeit der ursprünglich möglichen Ereignisse null bzw. eins – je nachdem welches Ereignis eingetreten ist. Da der Entscheidungsträger das Ergebnis aber nicht kennt, hat er keinen Grund, seine individuellen Vorstellungen zu ändern und wird sich zwangsläufig weiterhin an diesen orientieren. Vgl. Laux 2005, S. 128 f. 47 Eisenführ/Weber 2003, S. 155. 48 Vgl. Laux 2005, S. 127. 44

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Entscheidungssituation unter Ungewissheit. Eisenführ/Weber halten den Fall der Ungewissheit gar für „realitätsfern und theoretisch dubios“,49 da ein Entscheidungsträger immer gewisse, wenn auch nur vage Wahrscheinlichkeitsvorstellungen hat. Unabhängig davon, ob man diese extreme Auffassung teilt und die Ungewissheitssituation als haltlos einstuft, ist doch in jedem Fall klar, dass entscheidungstheoretische Ergebnisse im Bereich der Ungewissheit eher bescheidene Einsichten gestatten.50 Sofern (subjektive) Wahrscheinlichkeitsinformationen vorliegen, sollten diese genutzt werden, um gegenüber Entscheidungsmodellen unter Ungewissheit aussagekräftigere Ergebnisse zu erhalten. Dementsprechend werden für die Leistungsmessung von Dienstleistungsproduktionen Kriterien entwickelt, die auf (subjektiven) Wahrscheinlichkeiten basieren. Allerdings wird sich zeigen, dass auch unabhängig von den Wahrscheinlichkeitsverteilungen wertvolle Informationen gewonnen werden können. 2.2.2 Ansatzpunkte zur Berücksichtigung des Risikos in Entscheidungen „Streng genommen gibt es keine Entscheidung unter totaler Sicherheit . . . Es ist eine subjektive Vorentscheidung, die grundsätzlich vorhandene Unsicherheit zu vernachlässigen oder zu berücksichtigen“.51 Je nachdem ob bzw. wie diese Unsicherheit modelliert wird, spricht man von einwertigen oder mehrwertigen Ansätzen. Bei einwertigen, das heißt deterministischen (Ersatzwert-) Modellen erfolgt die Behandlung der Unsicherheit außerhalb des Modells,52 indem man die unsichere Variable durch einen Ersatzwert, wie den Erwartungswert, ersetzt.53 Die Verwendung eines solchen deterministischen Modells sagt folglich noch nichts über die Informationslage der tatsächlichen Entscheidungssituation aus und ist insbesondere dann vertretbar, wenn abzusehen ist, dass es eine Alternative gibt, die in allen Szenarien optimal ist.54 In realen Situationen ist dieser Fall selten gegeben.55 Vielmehr stehen in Entscheidungssituationen in der Regel solche Alternativen zur Auswahl, die Vorteile in bestimmten Umweltzuständen haben, sich in anderen jedoch als nachteilig erweisen.56 Daher erscheint es in (fast) allen wichtigen Entscheidungssituationen sinnvoll, 49

Eisenführ/Weber 2003, S. 20, Fußnote 2. Vgl. auch Eisenführ/Weber 2003, S. 259 f. Vgl. auch Dinkelbach/Kleine 1996, S. 62. Eisenführ/Weber 2003, S. 19 f. 52 Vgl. Scholl 2001, S. 186. 53 Vgl. u. a. Kall 1976, S. 11 f. 54 Vgl. Eisenführ/Weber 2003, S. 20. 55 Vgl. Laux 2005, S. 145. 56 Jedes Sicherungsgeschäft basiert auf dem Prinzip, das Risiko durch eine fixe Zahlung, z. B. eine Versicherungsprämie, zu reduzieren. Eine solche Versicherungsprämie ist höher als der für einen Nichtversicherten beste Fall (kein Schaden) und geringer als der für einen Nichtversicherten schlechteste Fall (Schaden 50 51


19

die Unsicherheit, das heißt das Risiko, explizit in einem so genannten stochastischen Entscheidungsmodell zu berücksichtigen. Selbstverständlich gilt, dass alle unsicheren Größen als solche modelliert werden sollten. Da in der Realität jedoch nahezu jede Größe mit Unsicherheit behaftet ist, ist ein umfassendes stochastisches Entscheidungsmodell aufgrund der enormen Komplexität selten lösbar. Anstatt die Unsicherheit komplett zu vernachlässigen, sollte man sich in solchen Fällen auf die vermeintlich wichtigste(n) unsichere(n) Größe(n) konzentrieren und versuchen, zumindest diese als Zufallsvariable(n) zu modellieren. Beschränkt man in einem deterministischen Entscheidungsmodell die Betrachtung auf die Erreichung eines Ziels, z. B. auf die Maximierung eines (noch näher zu spezifizierenden) Gewinns, so ist eine zieladäquate Modellierung in der Regel problemlos möglich. Dagegen ist die Formulierung einer Zielfunktion in einem vektoriellen Entscheidungsmodell, das heißt bei simultaner Verfolgung mehrerer Ziele, und insbesondere in einem stochastischen Entscheidungsmodell ohne weitere Aussagen zu den Präferenzen bzw. der Risikoneigung des Entscheidungsträgers nicht möglich. Daher lässt sich zumeist keine, wie auch immer definierte, optimale Lösung bestimmen.57 Da sich ein Entscheidungsträger in der Regel bereits „hier und jetzt“, also ohne Wissen über die Realisation der Zufallsvariablen, festlegen muss, ist das Problem unvollständig definiert.58 Die Formulierung eines dem stochastischen Problem entsprechenden deterministischen Ersatzmodells ist nötig.59 Besonders verbreitet ist die Erwartungswertmaximierung. Daneben gibt es aber zahlreiche alternative Zielsetzungen, die versuchen, dem mit einer Alternative verbundenen Risiko Rechnung zu tragen.60 Während in deterministischen Entscheidungssituationen Alternativen hinsichtlich ihrer Zielwirkung direkt miteinander verglichen werden können, ist in Risikosituationen die Analyse der Zufallsvariablen bzw. ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilungen erforderlich. 61 maximaler Höhe). Anderenfalls gibt es entweder kein Versicherungsangebot oder keine Versicherungsnachfrage. Es ist offensichtlich, dass sich Versicherungen sowohl für den Versicherungsnehmer als auch den Versicherungsgeber in unterschiedlichen Situationen ex post als vorteilhaft erweisen, in anderen als nachteilig. 57 Vgl. Dinkelbach/Kleine 1996, S. 64. 58 Das Pendant zu „here and now“ ist „wait and see“, wobei zunächst die Realisation der Zufallsvariable(n) abgewartet und erst unter Kenntnis des Zufallsergebnisses eine Entscheidung getroffen wird; vgl. Kall 1976, S. 12. 59 Vgl. Kall/Wallace 1994, S. 15 und 25 ff. 60 Vgl. zu einem Überblick z. B. Dinkelbach/Kleine 1996, S. 82 ff. 61 Vgl. Dinkelbach/Kleine 1996, S. 69.

20


Die auf Bernoulli zurückgehende Erwartungsnutzentheorie62 stellt eine Möglichkeit zur Entscheidungsunterstützung unter Risiko dar. Dabei ist diejenige Alternative (ersatzziel-) optimal, die den erwarteten Nutzen maximiert. Dazu wird jeder Ausprägung der Zufallsvariable, z. B. dem Gewinn, ein Nutzenwert zugeordnet, bevor über diese Nutzenwerte der Erwartungswert – der so genannte Erwartungsnutzen – errechnet wird. Im Gegensatz zu anderen „klassischen Entscheidungsprinzipien, bei denen die Verteilungsparameter möglicherweise ‘willkürlich’ ausgewählt und aggregiert werden, läßt sich das Bernoulli-Prinzip axiomatisch begründen“.63 Die direkte Anwendung der Erwartungsnutzentheorie wird oftmals durch die Notwendigkeit, eine bis auf eine positiv-lineare Transformation spezifizierte kardinale Nutzenfunktion vorzugeben, behindert.64 Häufiger wird sie als Maßstab zur Beurteilung einfacherer Entscheidungskriterien herangezogen.65 Hierbei zeigt sich insbesondere, dass die Varianz – selbst in Verbindung mit dem Erwartungswert – ein problematisches Entscheidungskriterium darstellt. Der Grund hierfür ist die symmetrische Risikodefinition, bei der Abweichungen des Erwartungswerts nach unten, aber auch Abweichungen nach oben als zu minimierendes Risiko verstanden werden.66 In der Literatur werden daher zunehmend asymmetrische Risikomaße (downside risk measures), wie untere Momente (lower partial moments) einer Verteilung, der Value at Risk oder der Conditional Value at Risk, verwendet.67 Auf Grundlage der stochastischen Dominanzkonzepte lassen sich Alternativen (Zufallsvariablen) aus nutzentheoretischer Sicht miteinander vergleichen, ohne die konkrete Nutzenfunktion eines Entscheidungsträgers zu kennen. Die Dominanzaussagen basieren vielmehr auf allgemeinen Eigenschaften der Nutzenfunktionen.68 Damit verbinden stochastische Dominanzkonzepte den Vorteil der axiomatischen Begründbarkeit der Erwartungsnutzentheorie mit den Vorzügen verhältnismäßig einfach anwendbarer Ersatzkriterien. Den verschiedenen Dominanzkonzepten liegen unterschiedliche Risikopräferenzen des Entschei62

Vgl. Bernoulli 1738, S. 26 ff. der englischen Übersetzung. Dinkelbach/ Kleine 1996, S. 80. Vgl. von Neumann/ Morgenstern 2004 (erstmals 1944), S. 26 f., zur ersten axiomatischen Begründung des Bernoulli-Prinzips. Vgl. auch Herstein/Milnor 1953, S. 293 ff.; zum Überblick über weitere, teilweise abweichende Axiomensysteme Marx 2003, S. 60, Fußnote 12. 64 Vgl. zur Schätzung der Nutzenfunktion eines Entscheidungsträgers auf Grundlage einer subjektiven Bewertung von drei Ereignissen u. a. Laux 2005, S. 166 ff. 65 Vgl. u. a. Dinkelbach/Kleine 1996, S. 82 ff.; Laux 2005, S. 200 ff. 66 Vgl. zum Erwartungswert-Varianz-Kriterium Markowitz 1952, S. 82; Markowitz 1959, S. 129 ff.; zur Problematik vgl. u. a. Quirk/Saposnik 1962, S. 145 f.; Hanoch/Levy 1969, S. 341 ff.; Ogryczak/Ruszczyński 1999, S. 45 ff. 67 Vgl. z. B. Rockafellar/Uryasev 2000; Elton et al. 2003, S. 232 ff. 68 Vgl. hierzu und zu einem Überblick u. a. Levy 1992, S. 556 ff. 63


21

dungsträgers zu Grunde. In Abschnitt 4.4.3 wird ausführlich auf das Dominanzkonzept ersten Grades eingegangen, das lediglich nichtgesättigte Präferenzen, das heißt eine monoton steigende Nutzenfunktion unterstellt. Für den Spezialfall risikoaverser Entscheidungsträger wird die stochastische Dominanz zweiten Grades erläutert. 2.2.3 Stochastische Elemente der Dienstleistungserstellung Dienstleistungsproduktionen sind in vielerlei Hinsicht ähnlichen Risiken ausgesetzt wie Sachgüterproduktionen. Beispielsweise können Maschinen, insbesondere Datenverarbeitungssysteme, oder auch Menschen ausfallen, so dass die zur Verfügung stehende Kapazität stochastisch ist.69 Auch können verspätete Vorleistungen, z. B. die Konzeption einer Werbekampagne, die zu erbringende Dienstleistung, etwa die Gestaltung eines Werbeplakates, verzögern. Darüber hinaus treten im Rahmen einer Dienstleistungsproduktion verstärkt Unsicherheiten über die Qualitäten der eingesetzten Inputs auf. Dies gilt zum einen für alle immateriellen Inputs, wie Informationen, die auch in Sachgüterproduktionen einfließen. Zum anderen bezieht sich die Unsicherheit auf den fremdbestimmten externen Faktor. Der immaterielle Dienstleistungsoutput kann durch hinreichend genaue Spezifizierung seiner Eigenschaften bzw. Attribute verhältnismäßig gut modelliert werden,70 so dass diesbezüglich eine verhältnismäßig geringe Unsicherheit verbleiben dürfte. Aufgrund der in der Regel fehlenden Lagermöglichkeit von Dienstleistungen, wirken sich Nachfrageschwankungen direkt auf die Inanspruchnahme der Kapazität aus, so dass die Bedeutung der Unsicherheit über die künftige Nachfrage deutlich steigt. Dennoch ist eine sorgfältige Nachfrageprognose mittels bekannter Methoden möglich.71 Da über die konkreten produktionswirtschaftlichen Auswirkungen, das heißt beispielsweise die Substitutionsbeziehungen mit internen Faktoren, bislang wenig bekannt ist, stellt der externe Faktor den aus produktionstheoretischer Sicht wohl wichtigsten Unterschied zwischen Sachgüter- und Dienstleistungsproduktionen dar. Deshalb steht dieser Faktor im Mittelpunkt des Interesses, wobei er als einzige stochastische Größe begriffen wird. Dies stellt zwar eine erhebliche Vereinfachung der in fast jeder Hinsicht unsicheren Realität 69

Gerade bei personalintensiven Produktionen ist die Kapazität schwierig zu bestimmen, z. B. auch aufgrund persönlicher Leistungsschwankungen. Dies bewirkt auch die Unsicherheit über die Produktionskoeffizienten, die sodann als Zufallsvariablen zu modellieren sind, vgl. Schweitzer 2004, S. 97 ff. 70 Vgl. u. a. Behrens 2003, S. 43; Corsten/Gössinger 2005, S. 157 ff. 71 Vgl. zu einem Überblick über Prognosemethoden z. B. Troßmann 1998, S. 81 ff.

22


dar, liefert gleichzeitig jedoch eine deutliche Erweiterung der bisherigen, weitgehend identischen Betrachtungsweise von Sachgüter- und Dienstleistungsproduktionen. Hier werden integrative Produktionen vereinfachend auch als Dienstleistungsproduktionen bezeichnet. Die Ausführungen gelten analog für integrative Sachleistungsproduktionen.

2.3 Anforderungen an die Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen Aus der erforderlichen Integration eines stochastischen externen Faktors in den Produktionsprozess leiten sich wichtige Konsequenzen für die Leistungsmessung von Dienstleistungsproduktionen ab. Insbesondere ist das Risiko des Dienstleistungsproduzenten zum Zeitpunkt der Entscheidung in der Leistungsmessung zu berücksichtigen, um eine faire Bewertung gewährleisten zu können. Da sich ein rationaler Entscheidungsträger an der Verteilung der interessierenden Zielgröße orientieren muss, sollte die Leistungsmessung nicht auf einer einzelnen beobachteten Ausprägung des externen Faktors beruhen. Vielmehr ist die Berücksichtigung der gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung anzustreben. Nimmt man an, dass der externe Faktor für die Produktionsleistung relevant ist und deshalb in der Produktionsentscheidung berücksichtigt werden sollte, dann gilt dies auch für eine anschließende Leistungsbeurteilung. Ansonsten könnte der Fall eintreten, dass eine Produktion als ineffizient bezeichnet wird, in Wahrheit aber „nur“ unter einer schlechteren Ausprägung des externen Faktors „leidet“. Selbst wenn sichergestellt ist, dass nur Produktionen unter derselben Ausprägung des externen Faktors miteinander verglichen werden, ist eine isolierte Betrachtung dieser Produktionen mit Vorsicht zu genießen. Denn befindet sich ein Entscheidungsträger (hier Dienstleistungsproduzent) in einer Entscheidungssituation unter Unsicherheit, dann handelt er rational im Sinne Bernoullis, wenn er sich am Erwartungsnutzen orientiert. Dies schließt keineswegs aus, dass ein Produktionspunkt gewählt wird, der in einzelnen (möglicherweise extremen) Situationen schlechter beurteilt wird als ein anderer, mit dem ein geringerer Erwartungsnutzen verbunden ist. Dasselbe gilt etwa für den Abschluss einer Versicherung: Für risikoaverse Entscheidungsträger kann es durchaus erwartungsnutzenmaximal und damit rational sein, das Risiko durch eine fixe Versicherungsprämie zu vermeiden oder zumindest zu verringern. Tritt jedoch kein Schadensfall ein, so erweist sich der Abschluss der Versicherung ex post als suboptimal. Diese nachträgliche Erkenntnis hatte weder einen Einfluss auf die ursprüngliche Entschei-

2.3 Anforderungen an die Leistungsmessung

23

dung, noch wird sie die künftige Entscheidung verändern, sofern die Erwartungen und Versicherungsmodalitäten identisch bleiben. Einzig relevant ist der erwartete Nutzen der Versicherung. Wenn aber die Maximierung des Erwartungsnutzens in unsicheren Entscheidungen als rational anzusehen ist, dann sollte ein Entscheidungsträger letztlich danach beurteilt werden, wie gut er dieses Ziel erreicht. Dies schließt nicht aus, dass auch die Produktionen unter einer bestimmten (möglicherweise extremen) Ausprägung des externen Faktors gegebenenfalls verbessert werden sollten. Vielmehr ist sicherzustellen, dass die Leistung eines Produzenten A gegenüber der eines Produzenten B als „besser“ („schlechter“) eingeschätzt wird, wenn er a priori einen höheren (geringeren) Erwartungsnutzen erzielt. Ergibt sich der Nutzen eines Entscheidungsträgers aus dem erzielten Gewinn bzw. aus einer Erfolgsbeteiligung, dann hängt sein Nutzen von den zu Grunde liegenden Input- und Outputpreisen ab. In der Effizienztheorie werden die realisierten Produktionen in der Regel anhand der eingesetzten Input- und erzeugten Outputquantitäten bewertet. Eine solche Analyse ist unabhängig von den – dem Analysten möglicherweise unbekannten – Preisen. Auch in der vorliegenden Arbeit soll die Kenntnis der Preise nicht allgemein vorausgesetzt werden. Damit sind allerdings in der Regel keine direkten Aussagen über den Erwartungsnutzen verschiedener Produktionen möglich. Es wird sich jedoch zeigen, dass unter Umständen Informationen über die Relativpreise aus den beobachteten Produktionen abgeleitet und so zumindest partielle Preisinformationen berücksichtigt werden können.72 Unter vollständiger Kenntnis der Preise wäre eine einfache Gewinnvergleichsrechnung möglich. 73 Aufgrund fehlender Informationen, wie ein externer Faktor in das Produktionssystem einzubeziehen ist bzw. welche konkrete Wirkung er auf die Produktionsmöglichkeiten hat, sollte weitgehend auf restriktive Annahmen, z. B. bezüglich des funktionalen Zusammenhangs des Input-Output-Systems, verzichtet werden. Nichtparametrische Verfahren genügen dieser Anforderung besser als parametrische. Da es sich bei letzteren um statistische Verfahren handelt, wird ihnen im Allgemeinen eher die Fähigkeit zugeschrieben, konsistent mit einem stochastischen Störeinfluss umgehen zu können. Kapitel 3 führt die benötigten produktionstheoretischen Grundlagen ein, bevor anschließend die unterschiedlichen Verfahren der Leistungsmessung vorgestellt und bewertet werden.

72 73

Vgl. zu den so genannten wertorientierten Effizienzkonzepten Abschnitt 4.3.4, S. 122. Vgl. dazu auch Abschnitt 4.2.2, S. 91.

3 Verfahren zur Leistungsmessung von Entscheidungseinheiten 3.1 Leistungsmessung auf Grundlage von Effizienzkennzahlen 3.1.1 Relevante Effizienzkonzepte Die Leistungsmessung nimmt eine entscheidende Rolle im Rahmen der Effizienzverbesserung ein. Sie dient der Bestimmung des Ist-Zustands und stellt damit den Ausgangspunkt für die weiteren Überlegungen zur Leistungsverbesserung dar. Häufig wird die Ineffizienz einer Entscheidungseinheit – wie etwa einzelner Mitarbeiter, Abteilungen oder ganzer Unternehmen – anhand ihres Abstandes (ihrer Abweichung) von einer effizienten Referenzproduktion beurteilt.74 Als Referenzen kommen dabei alle vergleichbaren Produktionen in Frage, die unter derselben Produktionstechnologie realisierbar sind. Dies setzt insbesondere homogene Inputs und Outputs voraus. Bevor jedoch auf die Bestimmung einer solchen Referenzproduktion eingegangen wird, sollen zunächst einige Grundlagen und Effizienzdefinitionen eingeführt werden. Zur Herstellung von Gütern (Outputs) hat ein Produzent, außer bei streng limitationalen Produktionsbeziehungen, zumeist verschiedene technische Möglichkeiten. Damit steht er im Rahmen der Produktionsplanung vor der Wahl eines geeigneten Produktionspunktes, das heißt einer geeigneten Aktivität. Es bezeichnen M := {1, . . . , M } die Indexmenge der M Inputs und N := {1, . . . , N } die Indexmenge der N Outputs. Die nichtnegativen Quantitäten der eingesetzten M Inputs werden durch den Vektor ⎞ x1 ⎜ . ⎟ M . ⎟ x := ⎜ ⎝ . ⎠ ∈ R+ xM ⎛

74

Nicht abstandsbasierte Konzepte, wie Effizienzindizes, werden in der vorliegenden Arbeit nicht näher betrachtet, da sie die exogene Gewichtung der unterschiedlichen Dimensionen erfordern. Diese ist in der Regel subjektiv durch den Analysten vorzunehmen. Nur wenn die Preise der Inputs und Outputs bekannt und für alle Entscheidungseinheiten identisch sind, kann eine objektive Bewertung erfolgen. In diesem Fall resultiert jedoch ein einfacher Gewinnvergleich; vgl. Farrell 1957, S. 264. Dieser Aspekt wird auch in Abschnitt 4.2.2, S. 91, aufgegriffen.

3.1 Leistungsmessung auf Grundlage von Effizienzkennzahlen

25

beschrieben, die nichtnegativen Quantitäten der erzeugten Outputs durch den Vektor ⎛

⎞ y1 ⎜ . ⎟ N . ⎟ y := ⎜ ⎝ . ⎠ ∈ R+ . yN Damit lässt sich die Produktion z kompakt schreiben als ⎛ z := ⎝

−x +y

⎞ N M +N ⎠ ∈ −RM + × R+ =: R−+ .

Die Menge aller zulässigen Produktionen wird in der Technologiemenge TM zusammengefasst, so dass

+N

y kann mit x produziert werden . TM := z ∈ RM −+

(1)

Diese Technologiedefinition bildet den Ausgangspunkt für die Aktivitätsanalyse. Eine auf diese Art und Weise definierte Technologiemenge umfasst sowohl effiziente als auch ineffiziente, das heißt dominierte Produktionen. Eine effiziente Produktion ist dadurch gekennzeichnet, dass es keine dominierende Produktion gibt, die in jedem Ziel mindestens gleich gut und in mindestens einem Ziel besser ist als die betrachtete Produktion. Sofern es sich sowohl bei den Inputfaktoren als auch bei den Outputs ausschließlich um Güter (und nicht um Übel) handelt, stellen die zu produzierenden Güter (Outputs) zu maximierende Ziele und die eingesetzten Güter (Inputs) zu minimierende Ziele dar.75 Aus

75

Vgl. Koopmans 1951, S. 59; zur Verallgemeinerung Dyckhoff 1992, S. 62 ff.; Dyckhoff/Gilles 2004, S. 773 f.; Färe/Grosskopf 2004, S. 46 ff.; sowie speziell unter ökologischen Gesichtspunkten Allen 2002, S. 161 ff.

26

3 Verfahren zur Leistungsmessung von Entscheidungseinheiten

diesen Zielen resultiert ein Zielvektor mit M zu minimierenden und N zu maximierenden Zielfunktionen76 ⎛

−ϕ1 .. .

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −ϕ M ⎜ ϕ := ⎜ ⎜ +ϕM +1 ⎜ ⎜ .. ⎜ . ⎝ +ϕM +N

⎞

⎞ −x1 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎟ ⎛ ⎟ ⎜ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −x ⎟ −x M ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ = z, ⎟= ⎟=⎜ ⎟ ⎜ +y1 ⎟ +y ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ +yN ⎛

so dass sich unter Berücksichtigung der Alternativenmenge TM das vektorielle Produktionsmodell formulieren lässt als

(VPM)

⎫ ⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎬ ⎨ −x

−x +N ⎠ ⎝ ⎠ ∈ TM ⊆ RM . max ⎝ −+

⎭ ⎩ +y

+y

Aus entscheidungstheoretischer Sicht ist bemerkenswert, dass der Zielraum mit der Alternativenmenge zusammenfällt, so dass eine eindeutige Beziehung zwischen den Produktionen und den Zielen besteht.77

Definition 3.1 (Dominanz) 78 Eine Produktion z ∈ TM dominiert eine Produktion z ∈ TM bezüglich (VPM), falls sie in keinem Ziel einen schlechteren Wert erreicht und in mindestens einem einen besseren. Für zu maximierende Outputs und zu minimierende Inputs dominiert die Produktion z die Produktion z , wenn gilt xm xm

(∀m ∈ M)

und

yn yn

(∀n ∈ N)

xm < xm

(∃m ∈ M)

und/oder79

yn > yn

(∃n ∈ N).

und

76

Zu minimierende Zielfunktionen lassen sich ohne Beschränkung der Allgemeinheit durch Multiplikation mit −1 in zu maximierende Zielfunktionen transformieren. 77 Vgl. Kleine 2002, S. 86. 78 Vgl. u. a. Yu 1985, S. 15; Steuer 1986, S. 147.


27

Dies entspricht in Vektorschreibweise ⎛ ⎝

⎞

−x

⎛

⎠≥⎝

+y

−x +y

⎞ ⎠

bzw. z ≥ z . Definition 3.2 (Effizienz nach Pareto/Koopmans) 80 Eine Produktion z ∈ TM heißt effizient bezüglich (VPM), falls keine Produktion z ∈ TM existiert mit z ≥ z . Die bezüglich (VPM) effizienten Produktionen werden in der Menge TM zusammengefasst.81

Neben dieser klassischen Effizienzdefinition sind für die Leistungsmessung weitere Effizienzkonzepte relevant. Eine Produktion ist als schwach effizient zu bezeichnen, wenn es keine zulässige Produktion gibt, die diese strikt dominiert, das heißt die in jedem Ziel, also bezüglich aller Inputs und Outputs, einen besseren Wert erreicht.82 Definition 3.3 (Schwache Effizienz) 83 Eine Produktion z ∈ TM heißt schwach oder radial effizient bezüglich (VPM), falls keine Produktion z ∈ TM existiert mit xm < xm

(∀m ∈ M)

yn > yn

(∀n ∈ N),

und

bzw. in Vektorschreibweise z > z . 79

In der Literatur findet sich an dieser Stelle teilweise eine reine „oder“-Verknüpfung, womit inhaltlich jedoch stets ein verbindendes „und/oder“ gemeint wird. Vgl. hierzu auch Dinkelbach/Rosenberg 2004, S. 49. 80 Vgl. Koopmans 1951, S. 60, sowie zum volkswirtschaftlichen Konzept der ökonomischen Effizienz bereits Pareto 1906. Eine (Pareto-) effiziente Güterverteilung liegt demnach vor, wenn es nicht möglich ist, ein Individuum z. B. durch Umverteilung besser zu stellen, ohne die Wohlfahrt eines anderen zu verringern. Vgl. zur so genannten Pareto-Effizienz u. a. Pindyck/Rubinfeld 2005, S. 763 ff. 81 Um ihre Unabhängigkeit von den Input- und Outputpreisen hervorzuheben bezeichnet Farrell 1957, S. 254, die klassische Effizienz auch als technische Effizienz. 82 Vgl. Steuer 1986, S. 147 und 221. 83 Vgl. zu diesem und den folgenden Effizienzkonzepten z. B. auch Scheel 2000, S. 66 ff.

28


Die Menge der bezüglich (VPM) schwach effizienten Produktionen wird als TM bezeichnet.

Jede effiziente Produktion ist auch schwach effizient. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so dass TM ⊆ TM . Für die Leistungsmessung sind zudem input- oder outputorientierte Betrachtungen von Bedeutung. Bei einer inputorientierten Betrachtung bezieht sich die Dominanzüberprüfung nur auf die Inputs, während die Outputs der betrachteten Produktion als untere Schranke verstanden werden. Umgekehrt fungieren bei einer outputorientierten Analyse die Inputquantitäten der betrachteten Produktion als Obergrenzen für die Referenz. Definition 3.4 (Orientierte Effizienz) a) Eine Produktion z ∈ TM heißt inputorientiert effizient bezüglich (VPM), falls keine Produktion z ∈ TM existiert mit x ≤ x und y y . Die Menge der bezüglich (VPM) inputorientiert effizienten Produktionen wird als TM I bezeichnet. b) Eine Produktion z ∈ TM heißt outputorientiert effizient bezüglich (VPM), falls keine Produktion z ∈ TM existiert mit x x und y ≥ y . Die Menge der bezüglich (VPM) outputorientiert effizienten Produktionen wird als TM O bezeichnet. Jede input- oder outputorientiert effiziente Produktion ist auch schwach effizient bezüglich (VPM). Dies folgt unmittelbar aus den Definitionen 3.3 und 3.4. Denn ist z inputbzw. outputorientiert effizient, existiert keine Produktion z mit x ≤ x und y y bzw. x x und y ≥ y .


29

Dann kann auch keine Produktion z die höheren Anforderungen der strikten Dominanz x < x und y > y erfüllen, so dass z auch schwach effizient bezüglich (VPM) ist. Für die Leistungsmessung ist auch die schwache inputbzw. outputorientierte Effizienz relevant. Eine Produktion z ist dabei als schwach inputorientiert effizient zu betrachten, wenn es keine zulässige Produktion z gibt, die von allen Inputs geringere Quantitäten einsetzt und mindestens die gleichen Outputs erzielt. Analog zur Definition der outputorientierten Effizienz ist die schwache outputorientierte Effizienz einer Produktion z gegeben, wenn keine Produktion z existiert, die mit höchstens denselben Inputquantitäten von allen Outputs größere Quantitäten erzeugt. Definition 3.5 (Schwache orientierte Effizienz nach Debreu/Farrell) a) Eine Produktion z ∈ TM heißt schwach inputorientiert effizient bezüglich (VPM), falls keine Produktion z ∈ TM existiert mit x < x und y y . Die Menge der bezüglich (VPM) schwach inputorientiert effizienten Produktionen wird als TM I bezeichnet. b) Eine Produktion z ∈ TM heißt schwach outputorientiert effizient bezüglich (VPM), falls keine Produktion z ∈ TM existiert mit x x und y > y . Die Menge der bezüglich (VPM) schwach outputorientiert effizienten Produktionen wird als TM O bezeichnet. Auch jede input- oder outputorientiert schwach effiziente Produktion ist schwach effizient bezüglich (VPM), was wiederum direkt aus den Definitionen 3.3 und 3.5 folgt. Die Relevanz dieser Effizienzdefinitionen begründet sich durch das von Debreu und Farrell eingeführte radiale Maß, das entsprechend auch als Debreu-Farrell-Maß bekannt ist. 84 Die 84

Vgl. Debreu 1951, S. 285 f.; Farrell 1957, S. 254 f.

30


reellwertige Effizienzkennzahl gibt in ihrer inputorientierten Variante an, auf welchen Anteil alle Inputs einer zu beurteilenden Produktion verringert werden müssten, so dass diese radial, also schwach inputorientiert effizient würde.85 Bei einer outputorientierten Sicht zeigt das radiale Effizienzmaß an, welchen Anteil des Referenzoutputs die zu beurteilende Produktion bereits herstellt.

Definition 3.6 (Radiale Effizienzmaße nach Debreu/Farrell) 86 a) Das inputorientierte Debreu-Farrell-Maß ergibt sich als

−θ · x θI (z ) := min θ

∈ TM . y b) Das outputorientierte Debreu-Farrell-Maß resultiert aus

−x θO (z ) := min θ

−1 ∈ TM . θ ·y Beide Effizienzmaße sind auf das Intervall (0; 1] normiert, wobei der Wert eins eine radial inputbzw. outputorientiert effiziente Produktion kennzeichnet. Diese wird als vollständig (100%) effizient nach dieser Definition bezeichnet. Ein geringerer Wert gibt das Maß der Effizienz an, wobei ein kleinerer Wert eine geringere Effizienz ausdrückt. Angenommen z würde z inputorientiert dominieren und das inputorientierte DebreuFarrell-Maß minimieren, dann gilt z =

−x +y

−θI (z ) · x . +y

Dementsprechend muss für das inputorientierte Debreu-Farrell-Maß gelten θI (z ) := max

85 86

x1 x ;...; M x1 xM

Vgl. dazu auch Scheel 2000, S. 66 f. Vgl. auch Scheel 2000, S. 92 f.

,


31

denn durch das Maximum-Argument ist sichergestellt, dass θ I (z ) denjenigen Anteil angibt, auf den alle Inputs von z mindestens reduziert werden müssten, um eine radial effiziente Referenz zu erhalten.87 Wird z von z outputorientiert dominiert und minimiert z das outputorientierte DebreuFarrell-Maß, so gilt z =

−x −x +y +(θO (z ))−1 · y

und es ergibt sich das outputorientierte radiale Effizienzmaß als θO (z ) :=

min

y1 y ;...; M y1 yM

−1 = max

y1 y ;...; M y1 yM

.

Der Kehrwert der outputorientierten Debreu-Farrell-Effizienz gibt an, auf welches Niveau alle Outputs proportional, also mindestens, erhöht werden müssten, damit die Produktion z outputorientiert radial effizient würde. Durch das Maximum-Argument erfasst der Effizienzwert damit, welchen größten Anteil des radial effizienten Referenzoutputs die beobachtete Produktion z bereits herstellt.88 Der wesentliche Vorteil einer radialen Effizienzkennzahl liegt in der intuitiven Aggregation und der guten Interpretierbarkeit. Es ist jedoch zu beachten, dass eine modifizierte Effizienzdefinition unterstellt wird, die von der klassischen Effizienz nach Pareto und Koopmans im Sinne von Definition 3.2 in zweifacher Hinsicht abweicht. Die Fokussierung auf eine input- oder outputorientierte Sicht stellt eine starke Einschränkung der Analyse dar, deren Rechtfertigung im Einzelfall stets zu prüfen ist.89 Die Art der Aggregation führt letztlich dazu, dass das Effizienzmaß einzig durch die kleinste relative Abweichung bestimmt wird.90 Alle anderen Abweichungen, egal wie groß sie auch sind, fließen nicht in die Bewertung ein. Demnach gilt eine Produktion bereits dann als radial inputbzw.

87

Zur Bestimmung der radialen Effizienzmaße sind nur solche Inputs bzw. Outputs zu berücksichtigen, die von z in positiven Mengen eingesetzt bzw. hergestellt werden. Vgl. hierzu auch Scheel 2000, S. 66. 88 Die Ermittlung des outputorientierten radialen Effizienzmaßes erfolgt aufgrund der geringeren Komplexität in der Regel über den Kehrwert der Effizienz. 89 Nichtorientierte radiale Effizienzmaße finden sich in der Literatur u. a. bei Briec 1997, S. 107 (proportional distance), sowie bei Färe et al. 1985, S. 110 ff. (Farrell graph measure). 90 Dies wird durch das Maximum-Argument sichergestellt, wodruch nur diejenige Input- bzw. Outputdimension maßgeblich ist, bei der die betrachtete Produktion am wenigsten von ihrer Referenz abweicht.

32


outputorientiert effizient, wenn sie in einem einzigen Input bzw. Output gleich gut ist wie ihre Referenz.91 3.1.2 Effiziente Produktionen und das Konzept der Produktionsfunktion In der klassischen Produktionstheorie dienen Produktionsfunktionen der Beschreibung effizienter Aktivitäten.92 Sie geben die mindestens benötigte Einsatzmenge xm des m-ten Inputfaktors an (m ∈ M := {1, . . . , M }), die für die Herstellung einer Ausbringungsmenge y1 erforderlich ist. Produktionsfunktionen, die die Ausbringungsmenge als Funktion der Inputs betrachten, so dass y1 := g(x1 , . . . , xM ), ermöglichen die Berücksichtigung eines Outputs. Für mehrere Outputs ist in der Regel ein System von Produktionsfunktionen, also eine Art mehrdimensionale Produktionsfunktion notwendig. Eine explizite Produktionsfunktion gibt die Quantität einer Güterart in Abhängigkeit der Quantitäten der übrigen M + N − 1 Güterarten an, so dass eine effiziente Produktion resultiert. Allerdings kann durch die bereits festgelegten Quantitäten eine effiziente oder eine zulässige Lösung unerreichbar sein.93 In diesen Fällen verbleibt der Rückgriff auf eine implizite Produktionsfunktion (Produktionsgleichung), eine Distanzfunktion oder auf die Theorie der Produktionskorrespondenzen (Input-Output-Korrespondenzen). Während Distanzfunktionen eine Verallgemeinerung des Konzepts der Produktionsfunktion darstellen, bietet die Theorie der Produktionskorrespondenzen eine mengenwertige Abbildung der Produktionsmöglichkeiten bei mehreren Outputs.94 Für die Definition der Technologiemenge stehen die explizite Auflistung aller zulässigen Elemente (Produktionen) sowie die implizite Definition durch die Formulierung von Nebenbedingungen zur Verfügung. Auch funktionale und mengenwertige Abhängigkeiten lassen sich berücksichtigen, so dass Produktionsfunktionen und Produktionskorrespondenzen als Spezialfälle in einer Technologiemenge integriert werden können. 95 Während Produktionsfunktionen „von vornherein nur effiziente Produktionsmöglichkeiten im Sinne von Input-Output-Kombinationen“ 96 beschreiben, umfasst die Technologie91

Bei nichtorientierten Modellen wäre sogar die minimale relative Abweichung über Inputs und Outputs maßgeblich für den Effizienzwert, der demnach im Allgemeinen höher wäre. 92 Vgl. u. a. Ellinger/Haupt 1996, S. 11 f.; Fandel 1996, S. 51 f. 93 Vgl. u. a. Dyckhoff 2006, S. 142 ff. 94 Vgl. zum Konzept der Distanzfunktionen Shephard 1970, S. 64 ff., und Färe 1988, S. 22 ff., sowie zur Theorie der Produktionskorrespondenzen Shephard 1970, S. 178 ff., und Färe et al. 1994, S. 25 ff. 95 Vgl. Kleine 2002, S. 71. 96 Fandel 1996, S. 51.; vgl. auch Dyckhoff/Allen 1999, S. 419.

3.2 Produktionstheoretische Charakterisierung von Technologien

33

menge im Allgemeinen auch ineffiziente Produktionen. In der Realität sind keineswegs alle beobachteten Produktionen als effizient anzunehmen. Vielmehr liegt eine Vielzahl der realisierten Produktionen nicht auf der (theoretischen) Produktionsfunktion und somit auf dem (theoretischen) effizienten Rand der Technologiemenge, der – ebenso wie die Produktionsfunktion – die nicht dominierten Aktivitäten der Technologiemenge umfasst.97 Im Rahmen der Leistungsmessung wird in der Regel versucht, die Effizienz bzw. die Ineffizienz von Produktionen über den Abstand der beobachteten von einer effizienten Referenzproduktion zu quantifizieren. Dabei gilt: Je größer der Abstand von einer effizienten Referenz, desto ineffizienter, das heißt weniger effizient, ist eine Produktion.

3.2 Produktionstheoretische Charakterisierung von Technologien 3.2.1 Allgemeine Anforderungen an eine Technologie Bevor näher auf die Leistungsmessung eingegangen wird, sind einige allgemeine Anforderungen (Annahmen) an Technologien hilfreich. 1. Die Irreversibilität besagt, dass die Umkehrung des Transformationsprozesses, also die „Produktion“ −z = (+x, −y)T für alle positiven Input- und Outputquantitäten nicht zulässig ist. Einzig der Produktionsstillstand mit z = 0 ist auch nach Umkehrung des Vorzeichens realisierbar, so dass TM ∩ −TM = {0}.98 Dieser Forderung genügt die oben definierte Technologie bereits wegen Beschränkung auf nichtnegative Input- und Outputmengen. 2. „Keine Existenz des Schlaraffenlands“ bedeutet, dass ohne den Einsatz von positiven Inputs kein positiver Output möglich ist,99 das heißt x = 0 ⇒ y = 0. 3. Mit der Faktorverschwendung (free disposability) werden beliebig ineffiziente Produktionen zugelassen. Aus der Zulässigkeit der Produktion z folgt die Zulässigkeit aller Produktionspunkte, die von ihr dominiert werden, so dass z ∈ TM ⇒ z ∈ TM (∀z ≤ z ). Durch diese Annahme ist auch die Gütervernichtung, das heißt der Fak-

97

Vgl. zur Äquivalenz des effizienten Randes und der Produktionsfunktion u. a. Schneeweiß 2002a, S. 36 f.; zur sprachlichen Abgrenzung wird im Folgenden von „Produktionsfunktion“ im Rahmen der parametrischen Verfahren die Rede sein, während der Begriff des „effizienten Randes“ typisch ist für nichtparametrische Methoden. 98 Vgl. u. a. Koopmans 1951, S. 48 f.; Fandel 1996, S. 39. 99 Vgl. u. a. Koopmans 1951, S. 49 ff.; Shephard 1970, S. 14; Kleine 2002, S. 71.

34

3 Verfahren zur Leistungsmessung von Entscheidungseinheiten toreinsatz ohne Produktionsergebnis möglich.100 Diese Annahme macht nur dann Sinn, wenn es sich bei den Einsatzfaktoren um Güter und nicht um Übel, wie beispielsweise zu entsorgende Abfälle, handelt. Anderenfalls würde beispielsweise unterstellt, dass die Müllverbrennung in beliebigem Umfang erhöht werden könnte, ohne gleichzeitig den Schadstoffausstoß zu steigern. Ferner ist fraglich, inwiefern wirklich beliebige Mengen vernichtet werden können. Diesem Einwand könnte man durch entsprechende Oberschranken begegnen.101 Zu beachten ist, dass durch die Annahme der Faktorverschwendung, das heißt die Zulässigkeit ineffizienter Produktionen, nichts über die Vorteilhaftigkeit ineffizienter Produktionen ausgesagt wird. In vielen Situationen sind ineffiziente Produktionen gegenüber effizienten Produktionen wirtschaftlich nachteilig.102 4. Des Weiteren wird in der Regel die Abgeschlossenheit der Technologiemenge unterstellt, so dass ihr Rand Teil der Technologie ist. Diese Annahme ist insofern von Bedeutung, als insbesondere der (effiziente) Rand der Technologiemenge bzw. die Produktionsfunktion als Ort der effizienten Produktionen interessiert.103

Eine beispielhafte Technologie mit einem Input und einem Output, die diesen Anforderungen genügt, ist in Abbildung 3.1 dargestellt. Der (schwarz eingezeichnete) effiziente Rand der (grau dargestellten) Technologiemenge steht im Fokus des weiteren Interesses. Er enthält alle technisch (radial) effizienten Produktionsmöglichkeiten, die in der Menge TM ⊂ TM zusammengefasst werden. Nur diese kommen als Referenz zu beobachteten Produktionen in Frage, so dass sich die folgenden Abbildung auf den effizienten Rand der Technologiemenge konzentrieren. Neben diesen allgemeinen Annahmen bezüglich einer Technologie sind häufig weitere Annahmen relevant, die eine spezielle Technologie charakterisieren. Diese Hypothesen betreffen zum einen die Skalenerträge einer Technologie, zum anderen die Additivität verschiedener Aktivitäten. 100

Vgl. Fandel 1996, S. 38.; zur beschränkten Verschwendbarkeit (weak disposability) vgl. u. a. Shephard 1970, S. 186 ff. 101 Vgl. Kleine 2002, S. 143 f. 102 Die Wahl einer als technisch ineffizient eingestuften Produktion kann z. B. dann rational sein, wenn relevante Faktoren wie die Mitarbeiterzufriedenheit vernachlässigt werden; vgl. hierzu und zu weiteren Gründen Bogetoft/Hougaard 2003, S. 244 ff. Des Weiteren kann eine technisch ineffiziente Produktion (gewinn-) optimal sein, wenn mindestens ein Input- oder Outputpreis nichtpositiv ist; vgl. Fandel/Lorth 2006, S. 4 ff. Vgl. zur Begründung der Wahl einer technisch weniger effizienten Produktion auch Abbildung 4.8, S. 121, und die entsprechenden Ausführungen. 103 Vgl. z. B. Shephard 1970, S. 14 f.; Fandel 1996, S. 39.

3.2 Produktionstheoretische Charakterisierung von Technologien

35

y1

TM

TM

x1 Abbildung 3.1: Beispielhafte Technologiemenge 3.2.2 Besondere Kennzeichen von Technologien Im Rahmen der Aktivitätsanalyse wird üblicherweise eine größenproportionale Technologie unterstellt. Diese ist dadurch gekennzeichnet, dass alle nichtnegativen Vielfachen einer zulässigen Produktion z ∈ TM ebenfalls zulässig sind, so dass z ∈ TM ⇒ λ · z ∈ TM

(∀λ 0).

Unterstellt man dagegen eine größendegressive Technologie, so gilt z ∈ TM ⇒ λ · z ∈ TM

(∀λ ∈ [0; 1]),

das heißt, proportionale Produktionsverringerungen sind in beliebigem Maße zulässig, Produktionsausweitungen dagegen nicht. Bei einer größenprogressiven Technologie sind umgekehrt nur proportionale Produktionsausweitungen zulässig. Es gilt z ∈ TM ⇒ λ · z ∈ TM

104

(∀λ 1).104

Vgl. zu diesen so genannten Grundformen von Technologien u. a. Fandel 1996, S. 40 f.; Schweitzer/Küpper 1997, S. 44 f.

36


Die Additivität stellt eine weitere zentrale Eigenschaft von Technologien dar. Sie besagt, dass durch Addition der Gütervektoren mehrerer Aktivitäten eine neue zulässige Aktivität generiert werden kann, so dass für beliebige Produktionen z 1 und z 2 gilt z 1 , z 2 ∈ TM ⇒ z 1 + z 2 ∈ TM.105 Eine lineare Technologie weist sowohl die Eigenschaft der Größenproportionalität als auch die der Additivität auf. Für eine solche Technologie gilt für beliebige Produktionen z 1 und z2 z 1 , z 2 ∈ TM ⇒ λ1 · z 1 + λ2 · z 2 ∈ TM

(∀λ1 , λ2 0),

so dass ein konvexer Kegel mit dem Scheitel im Ursprung aufgespannt wird. Betrachtet man J Produktionsvektoren z j (j ∈ J := {1, . . . , J}), gilt für eine lineare Technologiemenge

+N

J z = z ∈ RM λ · z ; λ ∈ R , 106

j j −+ +

TML :=

(2)

j∈J

wobei λ := (λ1 , . . . , λJ )T ist. In der Realität liegen oftmals Restriktionen vor, die die lineare Technologie eingrenzen, so dass nur ein Teil des konvexen Kegels als Zulässigkeitsbereich zu verstehen ist. Dies lässt sich auch in der Technologiemenge modellieren.107

3.3 Möglichkeiten der Klassifizierung von Methoden zur Leistungsbeurteilung Es gibt eine Vielzahl an Möglichkeiten zur Klassifizierung von Methoden zur Leistungsmessung. Üblicherweise unterscheidet man die Methoden nach der Art der Konstruktion der Technologiemenge in parametrische und nichtparametrische Verfahren sowie bezüglich

105

Vgl. Fandel 1996, S. 42. Vgl. Fandel 1996, S. 43 ff.; Kleine 2002, S. 72 ff. 107 Vgl. Kleine 2002, S. 73 f.

106

3.3 Möglichkeiten der Klassifizierung von Methoden zur Leistungsbeurteilung

37

der Modellierung der Unsicherheit in deterministische und stochastische Ansätze. Darüber hinaus können statische und dynamische Verfahren unterschieden werden.108 Parametrische versus nichtparametrische Verfahren. Die zu Grunde liegende Technologiemenge ist von zentraler Bedeutung für die Leistungsmessung, denn die Effizienz einer Produktion wird gemäß den vorgestellten Definitionen 3.2 bis 3.5 immer bezüglich der Technologiemenge TM beurteilt. Sowohl im Rahmen der Produktionsplanung als auch im Zuge der Leistungsmessung stellt sich die Frage nach der Technologiemenge. Oftmals ist es nicht ohne Weiteres möglich, die Technologiemenge bzw. die Produktionsfunktion exakt zu spezifizieren. Dies gilt insbesondere für einen möglicherweise externen Analysten, der die Leistungsmessung durchführt. Im Allgemeinen muss eine Technologie unterstellt werden. Bei parametrischen Verfahren wird – wie der Name andeutet – eine Produktionsfunktion vorgegeben. Ihre Parameter sind anschließend mit Hilfe statistischer Verfahren zu schätzen. Bei Anwendung nichtparametrischer Methoden ist diese explizite Vorgabe einer Produktionsfunktion nicht erforderlich. Vielmehr basiert die abgeleitete Technologiemenge auf allgemeineren Annahmen, wie diese in Abschnitt 3.2.2 vorgestellt wurden. Diese zusätzliche Flexibilität führt zu einer größeren Störanfälligkeit gegenüber Messfehlern. Deterministische versus stochastische Verfahren. Abstandsbasierte Verfahren der Leistungsmessung ziehen effiziente Produktionen als Referenz zur Bewertung von Entscheidungseinheiten heran. Die effizienten Produktionsmöglichkeiten werden durch die Produktionsfunktion bzw. den effizienten Rand der Technologie erfasst, so dass diesen Konzepten eine zentrale Rolle zukommt. Sowohl bei parametrischen als auch im Besonderen bei nichtparametrischen Verfahren beeinflussen die beobachteten Produktionen die Menge der Referenzproduktionen: Die Parameter der Produktionsfunktion werden erst durch die Anwendung statistischer Schätzverfahren auf die beobachteten Werte bestimmt; bei nichtparametrischen Verfahren dienen die besten Produktionen (best practice) unmittelbar als Referenz. Im Grenzfall ist eine einzige Produktion maßgeblich für den effizienten Rand und damit für alle zur Bewertung der anderen Produktionen herangezogenen Referenzen. Fehler in den Daten oder sonstige Ausreißer können daher einen erheblichen und verzerrenden Einfluss auf das Ergebnis der Leistungsmessung haben. Um diesem Problem zu begegnen, werden stochastische Verfahren vorgeschlagen, die – im Gegensatz zu deter108

Teilweise erfolgt die Abgrenzung anhand weiterer Kriterien, wie z. B. der zu Grunde liegenden Methodik, wobei zwischen der ökonometrischen Schätzung der Effizienzen und der „Berechnung“ mittels (linearer) Programmierung differenziert wird.

38


ministischen Verfahren – nicht den gesamten Abstand einer Produktion von ihrer Referenz als Ineffizienz interpretieren, sondern teilweise auf eine zufällige Störgröße zurückführen. Hierdurch soll eine Beurteilung der absoluten Effizienz ermöglicht werden. Statische versus dynamische Verfahren. Bei einperiodigen Querschnittsbetrachtungen kommen statische Verfahren zur Anwendung. Liegen dagegen Paneldaten vor und wird ein Effizienzvergleich von Produktionen zu verschiedenen Zeitpunkten angestrebt, finden dynamische Verfahren Anwendung. Diese können der Produktivitätsentwicklung während des Untersuchungszeitraums, das heißt der Veränderung der effizienten Produktionsmöglichkeiten, Rechnung tragen.109 Auf die Verwendung dynamischer Verfahren kann verzichtet werden, wenn über den Betrachtungszeitraum von einer geringen Produktivitätsentwicklung und konstanten Rahmenbedigungen auszugehen ist. Dies gilt insbesondere für kurze Betrachtungszeiträume, die für die weitere Analyse unterstellt werden sollen. Im folgenden Abschnitt werden parametrische Verfahren der Leistungsmessung vorgestellt, wobei sowohl auf deterministische (Abschnitt 3.4.2) als auch auf stochastische Ansätze (Abschnitt 3.4.3) eingegangen wird. Es schließt sich die Darstellung der nichtparametrischen Data Envelopment Analysis in Abschnitt 3.5 an. Auch hier werden zuerst die Grundprinzipien dargestellt, bevor stochastische Erweiterungen thematisiert werden.

3.4 Parametrische Verfahren der Leistungsmessung 3.4.1 Vorgehensweise parametrischer Methoden Eine Voraussetzung für die Effizienzanalyse von Entscheidungseinheiten (Decision Making Units, DMUs) bzw. deren Produktionen ist ihre Gleichartigkeit. Diese ist gegeben, wenn sie dieselben Inputgüter einsetzen, um dieselben Outputgüter zu erzeugen und damit unter derselben Technologie produzieren. Bei den zu beurteilenden Entscheidungseinheiten kann es sich um einzelne Mitarbeiter, Arbeitsgruppen, Abteilungen oder ganze Unternehmen handeln. Da die Analyse der technischen Effizienz unabhängig von (Markt-) Preisen ist, können auch gemeinnützige Einrichtungen untersucht werden. Die grundsätzliche Möglichkeit, verschiedene Unternehmen hinsichtlich ihrer Effizienz zu untersuchen, wird durch ihre notwendige Gleichartigkeit eingeschränkt: Während beispielsweise staatliche Hochschulen verhältnismäßig homogen sind, ist ein Vergleich von staatlichen mit 109

Vgl. zur Verwendung eines Malmquist-Produktivitätsindexes im Rahmen der nichtparametrischen Leistungsmessung Färe et al. 1992, S. 90, sowie weiterführend Färe/Grosskopf 1996.


39

privaten Hochschulen aufgrund der sehr unterschiedlichen Rahmenbedingungen problematisch. Beim Versuch, privatwirtschaftliche Unternehmen miteinander zu vergleichen, fällt unmittelbar das Problem der heterogenen Güterarten auf: Ein Automobil von einem Hersteller A ist nicht ohne Weiteres mit einem Automobil eines anderen Herstellers B gleichzusetzen. Betrachtet man dagegen verschiedene Arbeitsgruppen einer Abteilung oder verschiedene Produktionsstandorte eines Unternehmens, so ist die Vergleichbarkeit tendenziell eher gegeben, wobei sie auch hier im Einzelfall kritisch zu überprüfen ist. 110 Das charakteristische Merkmal parametrischer Verfahren ist die Vorgabe der parametrischen Form einer Produktionsfunktion.111 Die unbekannten Parameter werden anschließend auf Grundlage der beobachteten Produktionsdaten, in der Regel mit Hilfe ökonometrischer Methoden, geschätzt. Im Unterschied zu durchschnittlichen Produktionsfunktionen, die man durch Regression der beobachteten Produktionen erhält, handelt es sich bei den für die Leistungsmessung relevanten Produktionsfunktionen um Grenzproduktionsfunktionen (frontier production functions). Ausschließlich letztere sind konsistent mit der Definition einer Produktionsfunktion, die den maximal möglichen Output bei gegebenem Input angibt.112 Bei Kenntnis der Parameter der Grenzproduktionsfunktion, das heißt der technisch effizienten Produktionspunkte, können die beobachteten Produktionen über den Abstand von einer effizienten Referenz beurteilt werden. In der Regel wird dazu das outputorientierte Debreu-Farrell-Maß verwendet. 3.4.2 Deterministische parametrische Methoden Bei deterministischen parametrischen Verfahren (Deterministic Frontier Analysis, DFA) wird die Produktionsfunktion so geschätzt, dass alle beobachteten Produktionen innerhalb der Technologiemenge liegen. Es handelt sich daher um eine vollständige Umhüllung aller Daten, was auch die in der Literatur zu findende Bezeichnung „full frontier models“ erklärt.

110

Beispielsweise könnte ein Werk in China mit einer anderen Technologie produzieren als ein deutsches Werk. Dies kann in den verschiedenen Qualifikationen der Mitarbeiter und/oder der Qualität der technischen Ausstattung begründet sein. 111 Die Prinzipien der parametrischen Verfahren werden am üblicherweise behandelten 1-Output-Fall erläutert. Vgl. zu einem parametrischen Ansatz zur Berücksichtigung mehrerer Outputs Löthgren 2000, S. 1534 ff. 112 Vgl. z. B. Aigner/Chu 1968, S. 827.

40


Die Produktionsfunktion, die die maximal mögliche Ausbringungsmenge y 1∗ des skalaren Outputs in Abhängigkeit der eingesetzten Inputs x angibt, lautet y1∗ = g(x; β).

(3)

Dabei ist β der zu schätzende Parametervektor der DMU-unabhängigen Produktionsfunktion. Mit Hilfe einer solchen Produktionsfunktion und unter Berücksichtigung möglicher Ineffizienzen gilt für die Produktion einer jeden DMUj (j ∈ J := {1, . . . , J}) y1j = g(xj ; β) · θjO ,

(∀j ∈ J)

(4)

wobei θjO ∈ (0; 1] die outputorientierte Debreu-Farrell-Effizienz der DMUj bezeichnet.113 Für θjO = 1 ist die betrachtete DMUj effizient, für θjO < 1 ineffizient. Das Ausmaß der Ineffizienz lässt sich an dem Kehrwert θ¯O := 1/θ O ∈ [1; ∞) ablesen. j

j

In der Regel wird eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion oder eine allgemeinere loglineare Funktion vorgeschlagen.114 Dann folgt aus Gleichung (4) ln y1j = ln g(xj ; β) · θjO = ln g(xj ; β) + ln θjO ,

(5)

mit ln θjO 0 wegen θjO ∈ (0; 1].115 Nach Umformung von Gleichung (5) ergibt sich − ln θjO = ln g(xj ; β) − ln y1j , als Maß der Ineffizienz der DMUj . Zur Bestimmung des Parametervektors β schlagen Aigner/Chu die Lösung des Modells (DFA) vor.116 (DFA) min (ln g(xj ; β) − ln y1j ) j∈J

u. d. N. (1) 113

ln g(xj ; β) ln y1j (∀j ∈ J).

Vgl. u. a. Murillo-Zamorano 2004, S. 46 f. Vgl. zur Log-Linearität allgemein z. B. Andersen 1994, S. 25 ff. 115 In der Literatur wird das Residuum häufig als Ineffizienz (ln θ¯jO 0) modelliert und deshalb von dem Wert der Produktionsfunktion subtrahiert. 116 Vgl. Aigner/Chu 1968, S. 832. Ferner stellen sie ein quadratisches Programm vor, das jedoch sensibler auf Ausreißer reagiert. 114


41

Sofern die logarithmierte Produktionsfunktion ln g(xj ; β) linear ist, ist das Modell (DFA) ein lineares Programm. Ziel des Optimierungsmodells ist die Bestimmung des Parametervektors β, so dass die Produktionsfunktion alle beobachteten Produktionen möglichst eng umhüllt. Dies wird erreicht, indem man die Summe der Ineffizienzen aller DMUs minimiert. Kennzeichnend für ein deterministisches Verfahren ist die unterstellte Freiheit von zufälligen Störeinflüssen, wie Messfehlern. Dementsprechend führt die durch die Restriktionen in (DFA) geforderte Umhüllung aller Produktionen zu einer starken Anfälligkeit gegenüber Ausreißern. Mit Hilfe des Chance-Constrained-Programming117 ließen sich die Nebenbedingungen durch Wahrscheinlichkeitsrestriktionen ersetzen, so dass nicht alle Produktionen von der Produktionsfunktion umhüllt werden, sondern nur ein vorgegebener Anteil. 118 Neben diesem Kritikpunkt wird insbesondere die fehlende statistische Fundierung bemängelt. So lassen sich selbst dann keine allgemeinen Aussagen über die Eigenschaften der Parameterschätzungen machen, wenn man eine bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Residuen unterstellt und eine Maximum-Likelihood-Schätzung anwendet.119 3.4.3 Berücksichtigung zufälliger Störungen durch die Stochastic Frontier Analysis Aus der Kritik an der Deterministic Frontier Analysis wurde zunächst 1976 von Aigner/Amemiya/Poirier die Verwendung einer allgemeineren Störgröße vorgeschlagen, die nicht ausschließlich einseitige Abweichungen von der Produktionsfunktion, das heißt Ineffizienzen, berücksichtigt.120 Die für die Stochastic Frontier Analysis (SFA) charakteristische explizite Modellierung zweier Zufallsvariablen – eine einseitige für die Ineffizienz, eine symmetrische für statistische Störungen – wurde 1977 unabhängig voneinander von Aigner/Lovell/Schmidt sowie Meeusen/van den Broeck vorgeschlagen. Die zu Grunde ge-

117

Vgl. Charnes/Cooper 1963. Vgl. Aigner/Chu 1968, S. 838, sowie ausführlich Timmer 1971. 119 Vgl. Schmidt 1976, S. 239. Der Grund für das genannte Problem liegt in der Verletzung einer Anwendungsvoraussetzung der Maximum-Likelihood-Schätzung, die besagt, dass der Wertebereich der Zufallsvariable unabhängig von den zu schätzenden Parametern sein muss. Vgl. allgemein zur Maximum-LikelihoodSchätzung z. B. Bohley 2000, S. 534 ff.; Wooldridge 2006, S. 778 f. 120 Vgl. Aigner et al. 1976, S. 378. 118

42


legte Produktionsfunktion, die durch die Zufallsvariable ξ ∈ (0; ∞) beeinflusst wird, lautet dann y1∗ = g(x; β) · ξ.

(6)

Damit handelt es sich bei Gleichung (6), im Gegensatz zu Gleichung (3), eindeutig um eine stochastische Produktionsfunktion. Unter Berücksichtigung der Effizienz der Produktion von DMUj gilt demnach121 y1j = g(xj ; β) · θjO · ξj

(7)

bzw. in logarithmierter Form ln y1j = ln g(xj ; β) + ln θjO + ln ξj . Die für DMUj gültige bzw. als gültig unterstellte Ausprägung der Zufallsvariable ξ wird dabei mit ξj bezeichnet. Dasselbe gilt für die bei der SFA als Zufallsvariable mit bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung modellierte Effizienz θ O , deren Realisation mit θjO gekennzeichnet wird. Für die Verteilung der Ineffizienz wird eine asymmetrische, nach oben durch null begrenzte Wahrscheinlichkeitsverteilung unterstellt. Häufig werden Halbnormal- oder Exponentialverteilungen verwendet.122 Die Störgröße wird als symmetrisch um einen Erwartungswert von null verteilt angenommen. Für diese Größe findet quasi ausschließlich die Normalverteilung Anwendung. Außerdem werden beide Größen in der Regel als stochastisch unabhängig sowie für alle DMUs identisch verteilt unterstellt.123 Die Schätzung des zusammengesetzten Störterms (ln θjO + ln ξj ) ist unter Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilungen beider Größen mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode möglich. Ferner kann die durchschnittliche Effizienz ohne größere Probleme geschätzt werden: Da der Erwartungswert der statistischen Störgröße per Definition null ist, muss der Erwartungswert der Effizienz dem der gesamten Störgröße entsprechen. Die Schätzung der DMU-spezifischen Effizienz erfordert dagegen die Trennung der beiden Ein121 122 123

Vgl. Aigner et al. 1977, S. 24; Meeusen/van den Broeck 1977, S. 436. Vgl. u. a. Bauer 1990, S. 42. Vgl. u. a. Kumbhakar/Lovell 2003, S. 73 f.


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flüsse (Effizienz und statistische Störung). Jondrow/Lovell/Materov/Schmidt schlagen als Schätzung für die Ineffizienz den bedingten Erwartungswert der Ineffizienz unter gegebenem Wert der gesamten Störgröße vor.124 Dieser Schätzer ist unverzerrt, jedoch zugleich inkonsistent.125 Die Stochastic Frontier Analysis weist bei Querschnittsuntersuchungen folgende zentrale Probleme auf:126 1. Die Schätzung der DMU-spezifischen Effizienzen liefert inkonsistente Ergebnisse. 2. Die Annahme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Störgröße und die Ineffizienz ist erforderlich. 3. Die Unabhängigkeit der Parameter β und der Effizienz θjO ist vorauszusetzen. Schmidt/Sickles schlagen einen Ansatz vor, bei dem diese Probleme durch Paneldaten in Verbindung mit einer über die Zeit konstanten Effizienz vermieden werden können.127 Allerdings wird die Effizienz weiterhin als identisch und unabhängig verteilte Zufallsvariable mit bekanntem Erwartungswert unterstellt.128 Cornwell/Schmidt/Sickles verallgemeinern das Modell zur Berücksichtigung einer über die Zeit variablen Effizienz. Um die eben genannten Nachteile bei Querschnittsdaten zu vermeiden, wird die Entwicklung der Effizienz (Produktivitätsentwicklung) über eine parametrisch bekannte Funktion mit DMU-spezifischen Parametern modelliert.129 Aufgrund der konzeptionell korrekten Trennung der Ineffizienz und der statistischen Störgröße, wird die Stochastic Frontier Analysis gegenüber der Deterministic Frontier Analy124

Vgl. Jondrow et al. 1982, S. 234 f. Hierzu auch Greene 1993, S. 81: „The inconsistency of the estimator of u i [dies entspricht hier θ¯jO ] is unfortunate in view of the fact that the purpose of the exercise to begin with is to estimate inefficiency. It would appear, however, that no improvement on this measure for the single-equation, cross sectional framework considered here is forthcoming.“ 126 Vgl. Schmidt/Sickles 1984, S. 367. 127 Liegen Paneldaten vor, ist die Anwendung des Within-Verfahrens, bei Modellierung der Ineffizienz als Parameter (im Fixed Effects Model ), oder des Generalized-Least-Squares-Verfahrens, bei Betrachtung der Ineffizienz als Zufallsvariable (im Random Effects Model ), möglich. Beide Verfahren sind frei von Verteilungsannahmen, vgl. u. a. Greene 2003, S. 287 ff.; Wooldridge 2006, S. 485 ff. Das Random Effects Model ist vorzuziehen, sofern die Unabhängigkeit von Ineffizienz und Störeinfluss einerseits und zu schätzenden Parametern andererseits unterstellt werden kann, vgl. Simar 1992, S. 177; vgl. aber auch Wooldridge 2006, S. 497 f. Sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bekannt, können mit Hilfe der Maximum-LikelihoodSchätzung konsistente Ergebnisse erzielt werden, vgl. Schmidt/Sickles 1984, S. 370. 128 Vgl. Schmidt/Sickles 1984, S. 368. 129 Vgl. Cornwell et al. 1990, S. 191 f.; zu einer Alternative Battese/ Coelli 1992. Zu einem Modell, das zusätzlich allokative Ineffizienzen berücksichtigt, dafür aber wiederum restriktiver Verteilungsannahmen bedarf, vgl. Kumbhakar 1990, S. 203. 125

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sis von den meisten Ökonometrikern bevorzugt. Als Vorteil der Trennung beider Einflüsse wird die Bestimmung eines absoluten Effizienzmaßes durch die SFA angeführt, im Vergleich zu relativen Effizienzmaßen auf Grundlage der DFA. Dies gilt jedoch nur, wenn die unterstellten Verteilungen exakt den wahren Verteilungen entsprechen.130 Da hiervon im Allgemeinen nicht ausgegangen werden kann, ist die Rangkorrelation zwischen den geschätzten und den wahren (aber in empirischen Untersuchungen unbekannten) Effizienzwerten als Gütekriterium für ein Verfahren der Leistungsmessung heranzuziehen. Ondrich/Ruggiero zeigen, dass die Rangkorrelation zwischen dem zusammengesetzten Störterm (ln θO +ln ξ) und der Ineffizienz (ln θ O ) eins beträgt, wenn der statistische Störterm ξ log-konkav ist, das heißt wenn ln ξ konkav ist. Die üblicherweise unterstellte Normalverteilung gehört zur Klasse der log-konkaven Funktionen. Für diese folgt, dass die Rangordnung der DMUs nach dem Grad ihrer Effizienz auf Basis der beiden Kriterien zu demselben Ergebnis führt, so dass die Rangordnung nach SFA und DFA identisch ist.131 3.4.4 Eignung parametrischer Verfahren zur Leistungsmessung von Dienstleistungsproduktionen Die Eignung parametrischer Verfahren zur Leistungsbeurteilung von Dienstleistungsproduktionen ist vor den Besonderheiten der Dienstleistungserstellung zu sehen. Trotz einer Vielzahl an Veröffentlichungen zur konzeptionellen Behandlung von Dienstleistungsproduktionen fehlt es bislang an einer allgemein anerkannten produktionstheoretischen Formulierung der Dienstleistungserstellung. Aus diesem Grund erscheint die Vorgabe einer parametrischen Produktionsfunktion speziell im Dienstleistungsbereich problematisch. Denn auch bei Verwendung einer flexiblen Produktionsfunktion führt deren Fehlspezifikation, insbesondere bei kleinen (realistischen) Stichproben, zu verzerrten Schätzungen.132 Vor diesem Hintergrund schränken die hohen Anforderungen an das a priori verfügbare Wissen des Analysten die Anwendbarkeit parametrischer Methoden im Dienstleistungsbereich stark ein. 130

Vgl. Ondrich/Ruggiero 2001, S. 436 f. Vgl. Ondrich/ Ruggiero 2001, S. 438 f. Vor diesem Hintergrund ist auch die Formulierung von Jondrow/Lovell/Materov/Schmidt interessant. Denn sie bezeichnen die Beobachtung mit dem größten Wert des zusammengesetzten Störterms (ˆ ε) unmittelbar als die technisch ineffizienteste Beobachtung: „The most positive εˆ (most technically inefficient observation) in the sample . . . “, Jondrow et al. 1982, S. 236. Dies legt die Vermutung nahe, dass sich bereits Jondrow/Lovell/Materov/Schmidt über die von Ondrich/Ruggiero bewiesene perfekte Rangkorrelation zwischen dem gesamten Störterm und der Ineffizienz im Klaren waren. 132 Dazu Ruggiero 1999, S. 561: „As a result, the often mentioned claim that a flexible production can be used to mitigate the problems of mis-specification is dependent on sample size“. 131


45

Dienstleistungsproduktionen, wie sie in dieser Arbeit verstanden werden, sind gekennzeichnet durch einen externen Faktor. Dieser stellt aus Sicht des Dienstleistungsanbieters eine exogen determinierte und vor Beginn der Produktion zumeist unbekannte Größe dar. Damit sollte die SFA, von der vorzugebenden Produktionsfunktion abgesehen, einen geeigneten Rahmen darstellen, um einen stochastischen Input, wie den externen Faktor, zu berücksichtigen. Zahlreiche Autoren führen als Gründe für die Störgröße ξ nicht nur unsichere Daten in der Leistungsmessung, das heißt insbesondere Fehler in der Messung oder Verarbeitung der Daten, sondern auch Unsicherheiten der zu bewertenden Produktion an. Zur allgemeinen Verwendung einer Störgröße in ökonometrischen Modellen schreibt z. B. Greene: „The disturbance arises for several reasons, primarily because we cannot hope to capture every influence on an economic variable in a model, no matter how elaborate. The net effect, which can be positive or negative, of these omitted factors is captured in the disturbance. There are many other contributors to the disturbance in an empirical model. Probably the most significant is errors in measurement“.133 Diese Charakterisierung von Störungen umfasst zwei Arten von Fehlern, nämlich Fehler in den Daten und Fehler in der Entscheidung.134 Die Unterscheidung ist von zentraler Bedeutung. Denn während Fehler in der Entscheidung im Rahmen der Leistungsmessung zu beurteilen sind, beziehen sich Fehler in den Daten auf die Qualität der Leistungsmessung selbst. Pope/Just machen die beiden Fehlerarten an ihrem Einfluss auf die (hier zu beurteilenden) Produktionsentscheidungen fest: Weichen z. B. die realisierten Inputs einer DMU von den erwartungsnutzenmaximalen Inputquantitäten ab, handelt es sich um einen Fehler in der Entscheidung, wenn der Output entsprechend verändert ist, so dass eine Transmission des Fehlers stattfindet.135 Umgekehrt liegen fehlerhafte Daten in den Inputs vor, falls der Output durch den Fehler in den Inputs nicht beeinflusst wird.136 Bei einer empirischen Untersuchung des US-amerikanischen Agrarmarktes von Pope/Just erwiesen sich Fehler in der Entscheidung als maßgeblich.137 133

Greene 2003, S. 8. Vgl. zu einer ähnlichen Auffassung speziell im Rahmen der Leistungsmessung z. B. Ondrich/Ruggiero 2001, S. 435. 134 Pope/Just 2003, S. 350, bezeichnen diese als „errors in measurement“ und “errors in optimization“. 135 Der Fall, dass in beiden Größen exakt derselbe Messfehler vorliegt, wird bei dieser Argumentation vernachlässigt. 136 Vgl. Pope/Just 2003, S. 351. 137 Vgl. Pope/Just 2003, S. 356. Die Hypothese, dass die Abweichungen nur durch Messfehler erklärt werden könnten, wird abgelehnt. Dagegen kann die Hypothese, dass die Abweichungen nur durch Fehler in der

46


Der hier interessierende externe Faktor im Rahmen der Dienstleistungsproduktion stellt eine für den Produzenten unsichere Größe dar. Letzterer hat die Möglichkeit, das mit dem externen Faktor verbundene Risiko in seiner Entscheidung zu antizipieren. Ob ein Anbieter das Risiko explizit (in einem Entscheidungsmodell) oder implizit (durch Verwendung eines im Voraus bestimmten Ersatzwertes) berücksichtigt, ist eine subjektive Vorentscheidung, die bewusst oder unbewusst getroffen werden kann. In jedem Fall ist die Unsicherheit der Dienstleistungsproduktion ex post im Rahmen der Leistungsbeurteilung zu berücksichtigen. Der der SFA zu Grunde liegende Störterm ist nicht geeignet, die Wirkung des externen Faktors sinnvoll abzubilden, da der externe Faktor im Allgemeinen nicht über alle DMUs identisch verteilt ist. Des Weiteren beeinflusst der externe Faktor die Effizienz der Produktionsleistung, so dass beide Komponenten nicht unabhängig voneinander zu sehen sind. Vielmehr sind durch den externen Faktor bedingte Effizienzkennzahlen zu modellieren. Nur so lässt sich berücksichtigen, dass ein Produzent, der seine Kapazität an einer schlechten Qualität des externen Faktors orientiert und in diesem Fall möglicherweise effizient produziert, bei einer guten Qualität des externen Faktors Ineffizienzen aufgrund ungenutzter Ressourcen aufweisen kann.138

3.5 Nichtparametrische Methoden zur Effizienzbeurteilung 3.5.1 Grundlagen der Data Envelopment Analysis 3.5.1.1 Das Konzept der relativen Effizienz Mit Hilfe der Data Envelopment Analysis (DEA) werden die Entscheidungseinheiten (Decision Making Units, DMUs) gegenüber einer empirisch ermittelten Technologiemenge bewertet. Eine Effizienzmessung auf Grundlage der DEA lässt sich insbesondere über die Aktivitätsanalyse produktionstheoretisch fundieren.139 Je nach den unterstellten EigenEntscheidung zustande kommen, nicht verworfen werden. Kritisch an dem Vorgehen von Just/Pope ist insbesondere die notwendige Parametrisierung der Fehler in der Entscheidung, denn diese erfordert ein weit reichendes Verständnis der zu Grunde liegenden Produktionsbeziehungen. 138 Besteht z. B. aufgrund der Immaterialität des Leistungsergebnisses Unsicherheit über die Daten der Leistungsmessung, so kann diese durch die Berücksichtigung einer unsystematischen Störgröße abgebildet werden. Vgl. hierzu auch Abschnitt 6.3, S. 200. 139 Dazu Färe/Grosskopf 1996, S. 16: „the activity analysis model of production . . . has proven to be very useful for measuring efficiency and productivity. In particular in Data Envelopment Analysis (DEA) it is the most frequently used model of the frontier technology“ (im Original hervorgehoben). Vgl. zu einer Fundierung über die Theorie der Produktionskorrespondenzen vor allem Charnes et al. 1985, S. 93 ff. Da „die Aktivitätsanalyse und die Theorie der Produktionskorrespondenzen prinzipiell ineinander

3.5 Nichtparametrische Methoden zur Effizienzbeurteilung

47

schaften der Technologie, sind neben den beobachteten (realisierten) Produktionen auch hypothetische (fiktive, aber unter den Annahmen plausible) Produktionen in der Technologiemenge (Referenzmenge, Alternativenmenge) enthalten. Demzufolge wird letztere durch die beobachteten Produktionen selbst sowie durch die unterstellten Annahmen zur Bildung hypothetischer Produktionen bestimmt. Ob eine DMU als effizient zu beurteilen ist oder nicht, hängt von dieser Technologiemenge und von den unterstellten Zielen (hier Input- und Outputkriterien) ab.140 Demzufolge ist es konsequent, von einer „relativen Effizienz“ einer DMU bezüglich der unterstellten Technologiemenge und der gewählten Inputs und Outputs zu sprechen. Produktionen auf dem effizienten Rand werden demnach häufig auch als „best practice“ bezeichnet.141 Dies bringt die Abhängigkeit von den besten beobachteten Produktionen zum Ausdruck. Wie die Ausführungen gezeigt haben, erfordert die Bestimmung absoluter Effizienzkennzahlen die Kenntnis der wahren zu Grunde liegenden Produktionsfunktion bzw. allgemein des effizienten Randes. Da diese im Allgemeinen nicht unterstellt werden kann, wird auch im Rahmen der parametrischen Leistungsmessung auf die Vorgabe einer parametrisch vollständig bestimmten Produktionsfunktion verzichtet. Vielmehr sind die Parameter hierbei in einem ersten, der eigentlichen Leistungsbewertung vorgelagerten Schritt zu schätzen. Die resultierende Produktionsfunktion ist damit ebenfalls von den beobachteten Produktionsdaten und – bei einer Querschnittsanalyse auf Grundlage der SFA – von den unterstellten Wahrscheinlichkeitsverteilungen abhängig. Damit sind im Ergebnis auch bei Anwendung parametrischer Verfahren „nur“ relative Effizienzmaße zu erwarten. Somit ist das Konzept der relativen Effizienz, das vor allem im Rahmen der DEA thematisiert und oftmals kritisiert wird, ein immanentes Problem aller empirischen Verfahren der Leistungsmessung. Relative Effizienzkonzepte können zwar möglicherweise nicht die gesamten Ineffizienzen aufdecken, die in den Produktionen vorliegen. Sofern die beobachteten Produktionen aber tatsächlich realisierbar sind, also von fehlerhaften Daten abstrahiert wird, stellen relative Effizienzkonzepte Obergrenzen der wahren Effizienzen bereit. Deren Akzeptanz dürfte häufig höher sein als bei Verwendung von Effizienzkennzahlen, die auf theoretischen und unbeobachteten Produktionszusammenhängen basieren. überführbar [sind, ist es] . . . eine Frage der Zweckmäßigkeit, welchen Ansatz man wählt“, Dyckhoff 1992, S. 51. 140 Vgl. u. a. Kleine 2002, S. 178. 141 Vgl. u. a. Dyckhoff/Allen 1999, S. 415.

48


Ist im Einzelfall die wahre Produktionsfunktion bzw. der wahre effiziente Rand bekannt, so können diese Informationen ohne Probleme zur Leistungsmessung herangezogen werden. Der erste Schritt der Leistungsmessung – die Schätzung der effizienten Produktionsmöglichkeiten – würde dann entfallen. Die exakte Kenntnis der effizienten Produktionsmöglichkeiten ist insbesondere bei limitationalen Produktionsbeziehungen plausibel, da bei diesen das Faktoreinsatzverhältnis fixiert ist und jede Abweichung davon entweder zur Unzulässigkeit oder zur Ineffizienz führen würde. Im Falle substitutionaler Produktionsbeziehungen könnten die unterschiedlichen Mischungsverhältnisse zur Herstellung eines chemischen Stoffes bekannt sein. Sobald jedoch komplexe und interaktive Produktionsbeziehungen vorliegen, die stark durch den Faktor „Mensch“ gekennzeichnet sind, ist die Benennung der effizienten Produktionsmöglichkeiten kaum möglich. Dies ist typisch für die Erstellung von Dienstleistungen, wenn auch nicht zwingend. Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf den realistischen Fall, in dem die theoretischen (wahren) Produktionsmöglichkeiten nicht bekannt sind. 3.5.1.2 Effiziente Produktionen empirischer Technologiemengen Da die Effizienz einer DMU bzw. ihrer Produktion stets bezüglich der zu Grunde gelegten Technologie beurteilt wird, ist diese in einem ersten Schritt zu bestimmen. Die allgemeine Definition der Technologiemenge (vgl. Gleichung (1), S. 25),

+N

y kann mit x produziert werden , TM := z ∈ RM −+ lässt sich für die Anwendung im Rahmen der DEA konkretisieren zu TMι :=

z∈

+N RM −+

J λj · z j ; λ ∈ Λι ⊆ R+

z =

j∈J

mit ι ∈ Υ := {CRS, NDRS, NIRS, VRS, FDH}. Tabelle 3.1 fasst ausgewählte Anforderungen an die Menge der Linearfaktoren Λ zusammen.142 Sieht man von der FDH-Technologie (Free Disposal Hull) ab, sind alle hier genannten Technologiemengen konvex. Die Free Disposal Hull stellt die höchsten Anforderungen an 142

Vgl. u. a. Petersen 1990, S. 306; Bogetoft 1996, S. 458; zur Modellierung einer verallgemeinerten Technologie Kleine 2002, S. 145 ff.


ι CRS NDRS NIRS VRS FDH

Bezeichnung Constant Returns to Scale Non-Decreasing Returns to Scale Non-Increasing Returns to Scale Variable Returns to Scale Free Disposal Hull

49

Λι

λ ∈ RJ+

J

ΛNDRS = λ ∈ R+ λj

j∈J

J

ΛNIRS = λ ∈ R+ λj

j∈J

J

ΛVRS = λ ∈ R+ λj

j∈J

ΛFDH = λ ∈ BJ λj

j∈J ΛCRS =

1 1 =1 =1

Tabelle 3.1: Ausgewählte Mengen von Linearfaktoren

eine Technologiemenge, denn sie umfasst, aufgrund der Binarität der Linearfaktoren λ und der Beschränkung ihrer Summe auf eins, nur die beobachteten Produktionen. Die anderen Technologien enthalten zumindest auch Konvexkombinationen derselben, die als virtuelle Referenzen in Frage kommen. Dabei ergibt sich die Technologie mit variablen Skalenerträgen (Variable Returns to Scale, VRS) als konvexe Hülle der beobachteten Produktionen. Größendegressive Technologien mit nichtsteigenden Skalenerträgen (Non-Increasing Returns to Scale, NIRS) gestatten ausgehend von einer zulässigen Aktivität, das heißt einer beobachteten Produktion oder einer Konvexkombination aus mehreren beobachteten Produktionen, beliebige Produktionsverringerungen, bis hin zum Produktionsstillstand. Umgekehrt erlauben größenprogressive Technologien mit nichtfallenden Skalenerträgen (Non-Decreasing Returns to Scale, NDRS) beliebige proportionale Steigerungen einer zulässigen Produktion. Bei einer Technologie mit konstanten Skalenerträgen (Constant Returns to Scale, CRS) handelt es sich um eine lineare Technologie (vgl. Gleichung (2), S. 36), so dass alle nichtnegativen Vielfachen einer zulässigen Produktion zur Technologiemenge TM CRS (= TML ) zählen.

50


Zwischen den Technologiemengen bestehen zentrale Beziehungen:143 Aus der Schnittmenge einer größenprogressiven und einer größendegressiven Technologie resultiert eine Technologie mit variablen Skalenerträgen, so dass TMVRS = TMNDRS ∩ TMNIRS . Die Vereinigung der größenprogressiven und der größendegressiven Technologie ergibt eine Technologie mit konstanten Skalenerträgen, das heißt TMCRS = TMNDRS ∪ TMNIRS . Außerdem steigen die Anforderungen an die Menge der zulässigen Linearfaktoren und damit an die Technologiemengen von einer Technologie mit konstanten Skalenerträgen über eine mit nichtsteigenden bzw. nichtfallenden sowie mit variablen Skalenerträgen zunehmend an, bis sich die Technologie auf die beobachteten Produktionen beschränkt. Damit gilt TMCRS ⊇ TMNIRS ⊇ TMVRS ⊇ TMFDH , TMCRS ⊇ TMNDRS ⊇ TMVRS ⊇ TMFDH . Abbildung 3.2 illustriert die Beziehung dieser Technologiemengen an einem 1-Input-1Output-System, wobei jeweils nur der radial effiziente Rand TMι (ι ∈ Υ) dargestellt ist.144 Aus den Beziehungen zwischen den Technologiemengen lassen sich auch Aussagen über die Effizienz der beobachteten Produktionen ableiten: Satz 3.1145 Eine bezüglich TMι effiziente Produktion z i ∈ TMFDH := {z 1 , . . . , z J } ist auch bezüglich TMι ⊆ TMι effizient.

Beweis: Die beobachtete Produktion z i ∈ TMFDH ist in jeder Technologiemenge enthalten, das heißt, sie ist auch zulässig bezüglich TMι . Da vorausgesetzt wird, dass keine Pro143

Vgl. z. B. Kleine 2002, S. 134. Die diskrete FDH-Technologie umfasst lediglich die drei effizienten beobachteten Produktionen als Referenzproduktionen (dunkelgrau dargestellt). Die vierte Produktion (hellgrau) wird ist ineffizient. 145 Vgl. Kleine 2002, S. 165, Satz 3.2. 144


51

y1 8 7 6 5 4

TMCRS TMVRS

3

TMNIRS

2

TMNDRS

1 0

TMFDH

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

Abbildung 3.2: Technologiemengen im Überblick duktion z ∈ TMι mit z ≥ z i existiert, kann es auch keine Produktion z ∈ TMι ⊆ TMι geben.

Als Konsequenz aus Satz 3.1 folgt, dass jede bezüglich TMCRS effiziente DMU auch bezüglich TMNDRS und TMNIRS effizient ist. Für die diesbezüglich effizienten DMUs folgt die Effizienz unter TMVRS , die wiederum die Effizienz unter TMFDH impliziert. Umgekehrt folgt für eine unter TMι ineffiziente Produktion z i , dass sie auch unter der nicht kleineren Technologiemenge TMι ⊇ TMι dominiert wird. Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass sich mit den in Tabelle 3.1 angegebenen Linearfaktoren nicht ohne Weiteres eine Technologie konstruieren lässt, die der in Abschnitt 3.2.1 als allgemeine Anforderung genannten Verschwendbarkeit genügt. Zwar werden dadurch plausible Produktionsmöglichkeiten vernachlässigt, für eine Effizienzanalyse, bei der nur effiziente Produktionen als Referenzen in Frage kommen, hat diese Einschränkung jedoch keine Auswirkungen.146 Die Zulässigkeit des Nullpunktes, das heißt eines Produktionsstillstandes, ist nur im Falle konstanter oder nichtfallender Skalenerträge ge146

Vgl. auch Kleine 2002, S. 143.

52


geben. Auch dies hat keine Auswirkung auf die Analyse der technischen Effizienz einer DMU, denn für eine Produktion mit positiven Outputquantitäten stellt der Nullpunkt ohnehin keine zulässige Referenz dar.147 3.5.1.3 Formulierung eines allgemeinen DEA-Modells Die Identifizierung effizienter und ineffizienter Entscheidungseinheiten ist das erste Ziel im Rahmen der Leistungsmessung. Darüber hinaus wird zumeist eine differenzierte Bewertung, das heißt eine Rangbildung, insbesondere der ineffizienten DMUs angestrebt.148 Ein DEA-Modell stellt deshalb eine „Kombination aus einem Testprogramm und aus einem Kompromissmodell [dar]. Jede zu beurteilende DMU erfordert die Lösung eines Testprogramms, dessen Kompromisszielfunktion bzw. DEA-Zielfunktion zusätzlich Informationen über das Maß der (In)Effizienz bereitstellt“.149 Dabei wird der Abstand einer Produktion vom effizienten Rand, das heißt einer effizienten Referenzproduktion, als Maß der Ineffizienz herangezogen. Allerdings gibt es unbegrenzt viele Möglichkeiten, diesen Abstand zu messen.150 Im folgenden DEA-Modell geben die nichtnegativen Abweichungsvariablen d− m die Unterschreitung im m-ten Input und d+ n die Überschreitung im n-ten Output wieder. Sie + − T + + T werden zu den Abweichungsvektoren d− := (d− 1 , . . . , dM ) und d := (d1 , . . . , dN ) zu+ sammengefasst. Der Parameter t− m normiert die Unterschreitung im m-ten Input, tn die − Überschreitung im n-ten Output. Es resultiert ein Normierungsvektor t − := (t− 1 , . . . , tM ) + für die Inputabweichungen und ein Normierungsvektor t+ := (t+ 1 , . . . , tN ) für die Out+ putabweichungen. Die Normierungsfaktoren („DEA-Zielgewichte“) t− m und tn haben die

Aufgabe, die Abweichungen in den einzelnen Inputs und Outputs so zu bewerten, dass durch die Aggregation ein transparentes Effizienzmaß erzeugt wird. Mit der DEA-Zielfunktion − − + + − + + ψ(t− · d− , t+ · d+ ) := ψ(t− 1 · d1 , . . . , tM · dM , t1 · d1 , . . . , tN · dN ),

147

Bei der in Abschnitt 4.3.4, S. 122, näher zu betrachtenden wertorientierten Effizienz ist dagegen zu beachten, dass der Produktionsstillstand durchaus gegenüber einer verlustbringenden Produktion bevorzugt wird. 148 Zu Ansätzen zur Rangordnung effizienter DMUs vgl. u. a. Andersen/Petersen 1993; zum Vergleich der Ergebnisse mit einem statistischen Bewertungsverfahren Zhu 1998; zum Überblick über weitere Ansätze Adler et al. 2002. 149 Kleine 2002, S. 179. 150 Vgl. Dyckhoff 2006, S. 157.


53

die die M Inputunterschreitungen und N Ouputüberschreitungen auf einen reellen Wert +N abbildet (ψ : RM → R, wobei ψ(0, . . . , 0) → 0), lässt sich ein allgemeines DEA-Modell −+

zur Effizienzbeurteilung von DMUi (i ∈ J) formulieren:151 (DEA) max ψ(t− · d− , t+ · d+ ) u. d. N. λj · xmj + d− (1) m = xmi (∀m ∈ M) j∈J

(2)

λj · ynj

j∈J

− d+ = yni n λ ∈ Λι

(3)

+ d− m , dn 0

(∀n ∈ N) (ι ∈ Υ) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N).

Dabei bezeichnet xmj die von DMUj eingesetzte Menge des m-ten Inputs. Entsprechend gibt ynj die von DMUj erzeugte Menge des n-ten Outputs an. Die Variablen λj (j ∈ J) bestimmen den Anteil der Produktion z j an der Bildung der Referenz zu z i . Der Vektor λ∗ := (λ∗1 , . . . , λ∗J )T gibt die Zusammensetzung der optimalen Referenz z ∗ :=

λ∗j · z j

j∈J + an. Durch die nichtnegativen Abweichungsvariablen d− m und dn wird der Zulässigkeitsbe-

reich auf dominierende Produktionen beschränkt, die innerhalb des so genannten „Dominanzkegels“ der betrachteten DMUi liegen.152 Ist ψ eine streng monoton steigende DEAZielfunktion, so dass

d− d+

≥

− d d+

=⇒

ψ(t− · d− , t+ · d+ ) > ψ(t− · d− , t+ · d+ ),

(8)

gilt:153

151

Vgl. Kleine 2002, S. 179 f. Der „Dominanzkegel“ wird durch die M + N Zielisoquanten der M zu minimierenden und N zu maximierenden Zielfunktionen bestimmt, vgl. z. B. Dinkelbach/Kleine 1996, S. 40. Vgl. dazu auch die folgende Abbildung 3.3, S. 56. 153 Vgl. Wendell/Lee 1977, S. 407 f., Theorem 1; Chankong/Haimes 1983, S. 151 f., Theorem 4.18; Kleine 2002, S. 181, Satz 3.5. 152

54


Satz 3.2 Gegeben sei eine DEA-Technologie mit M Inputs und N Outputs, eine gemäß (8) streng monoton steigende DEA-Zielfunktion ψ sowie eine DMUi mit einer Produktion z i ∈ TMι (ι ∈ Υ), dann gilt: a) Eine bezüglich (DEA) optimale Lösung z ∗ ∈ TMι ist effizient bezüglich (VPM). b) Eine DMUi bzw. ihre Produktion z i ist genau dann effizient bezüglich (VPM), wenn der optimale Zielfunktionswert von (DEA) null beträgt.

Beweis: a) Nimmt man an, dass z ∗ nicht effizient bezüglich (DEA) ist, dann existiert wenigstens eine zulässige Produktion z ≥ z ∗ . Dann ist aber auch mindestens eine Abweichungs+ variable d− m oder dn bei Verwendung von z als Referenz größer als bei Verwendung

von z ∗ und keine Abweichungsvariable kleiner. Damit wäre auch der Zielfunktionswert bei einer Referenz z größer als bei z ∗ , so dass z ∗ keine optimale Lösung von (DEA) sein kann. b) Ein Zielfunktionswert von null des Testprogramms (DEA) ist hinreichend für die Effizienz von DMUi , denn damit sind alle Abweichungsvariablen null und die Referenz entspricht der zu testenden Produktion, das heißt z ∗ = z i . Aus Teil a) dieses Satzes folgt hieraus die Effizienz von DMUi . Ein optimaler Zielfunktionswert von null ist notwendig, da bei einem positiven Zielfunktionswert mindestens eine Abweichungsvariable positiv wäre und eine Produktion z ∗ ≥ z i existieren würde.

Für eine monoton steigende DEA-Zielfunktion ψ mit

d− d+

d− d+

=⇒

ψ(t− · d− , t+ · d+ ) ψ(t− · d− , t+ · d+ ),

(9)

kann analog dazu gezeigt werden, dass eine optimale Lösung von (DEA) schwach effizient bezüglich (VPM) ist.154 Sofern alle Abweichungen in der Zielfunktion mit einem positiven Gewicht (Normierungsfaktor t− , t+ > 0) berücksichtigt werden, ist die DEA-Zielfunktion ψ streng monoton steigend. Dies gilt insbesondere für die additive Norm (L 1 -Metrik), bei der alle Abweichungen normiert aufsummiert werden. Neben der additiven Norm kommt insbesondere die Tschebyscheff-Norm (L∞ -Metrik) zum Einsatz.155 Da bei dieser jedoch 154 155

Vgl. Kleine 2002, S. 182. Vgl. allgemein zu Metriken u. a. Charnes/Cooper 1961, S. 154 ff. Vgl. zu alternativen Metriken in der DEA Glaser/Kleine 2004, S. 13 ff.


55

nur die kleinste normierte Abweichung für den Abstand maßgeblich ist und sie damit den radialen Abstand angibt, ist die Tschebyscheff-Norm nur monoton steigend in den Abweichungsvariablen.156

Aggregation Additiv

DEA-Zielfunktion ψ m∈M

Tschebyscheff

− t− m · dm +

n∈N

+ t+ n · dn

min

− + + {t− m · dm , t n · dn }

min

− + + {t− m · dm , t n · dn } + ·

m∈M,n∈N

-Tschebyscheff

m∈M,n∈N

m∈M

d− m +

n∈N

d+ n

Tabelle 3.2: Wichtige Aggregationsvorschriften für DEA-Zielfunktionen

Um auch bei Zugrundelegung der Tschebyscheff-Norm eine effiziente, und nicht nur eine schwach effiziente, Referenz zu ermitteln, wird die Addition aller normierten Abweichungen mit einer hinreichend kleinen Konstanten > 0, wie in Tabelle 3.2 angegeben, vorgeschlagen. Da in diesem Fall wiederum alle Abweichungsvariablen mit einem positiven Normierungsfaktor (t− , t+ > 0) in die Zielfunktion eingehen, wird die zu bewertende DMU auf Effizienz im Sinne von Pareto und Koopmans überprüft. 157 Dies hat den Vorteil, dass das gesamte Verbesserungspotenzial einer ineffizienten DMU aufgedeckt wird. Bei der so genannten -Tschebyscheff-Norm wird der Dominanzkegel leicht gespreizt, so dass sich Produktionen auf dem Rand des ursprünglichen Dominanzkegels innerhalb des modifizierten Dominanzkegels befinden und somit die betrachtete DMU strikt dominieren. Abbildung 3.3 veranschaulicht dies beispielhaft an einer Technologie mit zwei Inputs und einem normierten Output. Die Produktion z A ist radial Debreu-Farrell-effizient aber nicht Pareto-Koopmans-effizient.158 Entsprechend erhält sie bei einem rein radialen Maß

156

Vgl. auch Jahn 1985, S. 12. Aufgrund der zu maximierenden DEA-Zielfunktion ψ und dem MinimumKriterium der Tschebyscheff-Norm, wird diese auch als „Maximin-Norm“ bezeichnet. 157 Vgl. Steuer/Choo 1983, S. 328 f., zur Einführung dieser „Augmented“-Tschebyscheff-Norm im Rahmen vektorieller Entscheidungsmodelle. 158 Die durch den effizienten Rand repräsentierten Produktionen sind schwach inputorientiert effizient. Der Einfachheit halber und wegen TM I ⊆ TM wird hier und im Folgenden auch von der Menge der schwach effizienten Produktionen bzw. TM die Rede sein. Bei inputorientierter Betrachtung wird damit streng genommen nur auf diejenige Teilmenge Bezug genommen, die inputorientiert schwach effizient ist.

56


einen Effizienzwert von eins, bei Zugrundelegung einer modifizierten Tschebyscheff-Norm dagegen von kleiner als eins. x2 6 5

Dominanzkegel normal gespreizt

zA

4 3 2 TM

1 0

0

1

2

3

4

5

6

x1

Abbildung 3.3: Modifizierte Tschebyscheff-Norm Während bei nichtorientierten Abstandsnormen Abweichungen sowohl im Input als auch im Output berücksichtigt werden (t− , t+ > 0), beschränken sich orientierte Modelle auf die Abweichungen in den Inputs oder den Outputs. Bei inputorientierten Modellen werden die Abweichungen in den Outputs mit null normiert (t+ = 0), bei outputorientierten Modellen entsprechend die Inputs (t− = 0), so dass man die in Tabelle 3.3 angegebenen orientierten DEA-Zielfunktionen erhält.159 Aggregation

Additiv

ψ inputorientiert ψ outputorientiert (t+ = 0) (t− = 0) − − + + t m · dm tn · dn m∈M

Tschebyscheff

− min {t− m · dm }

m∈M

n∈N

+ min {t+ n · dn } n∈N

Tabelle 3.3: Input- und outputorientierte DEA-Zielfunktionen

Diese DEA-Zielfunktionen sind monoton steigend und die optimale Lösung des Modells (DEA) liefert eine schwach effiziente Referenz. Um auch bei Verwendung orientierter Mo159

Vgl. u. a. Kleine 2002, S. 186 f.


57

delle eine im klassischen Sinn effiziente Referenz zu ermitteln, kann analog zu oben genanntem Fall auf die Addition aller inputund outputorientierten Abweichungsvariablen mit einem hinreichend kleinen Gewicht zurückgegriffen werden. Während die Modifikation bei nichtorientierten Zielfunktionen nur im Falle der Tschebyscheff-Norm erforderlich war, ist sie bei orientierten Abstandsmaßen aufgrund der Vernachlässigung aller Outputoder Inputabweichungen für alle Metriken notwendig. Zieht man einen konstanten Wert, z. B. eins, als Normierungsfaktor für alle Inputund/oder Outputkriterien heran, resultiert die Zielfunktion eines gewöhnlichen Testprogramms zur Überprüfung von Alternativen (hier DMUs) auf Effizienz.160 Das Problem dieser Vorgehensweise ist, dass der Zielfunktionswert von den gewählten Maßeinheiten der Inputs und Outputs abhängig und damit nicht skaleninvariant (unit-invariant) ist. 161 Die Folge ist, dass das Abstandsmaß und damit die Ineffizienz mit der zu Grunde gelegten Skalierung der Inputs und Outputs variiert.162 Aus diesem Grund wurden skalenunabhängige Bandbreiten-Gewichte und DMU-spezifische Normierungsfaktoren vorgeschlagen. Die Bandbreiten-Gewichte („Range Adjusted“-Faktoren163 ) „erfassen somit . . . für jeden Input bzw. Output eine prozentuale Abweichung bezogen auf eine jeweils maximale (theoretische) Differenz in einer Technologie“.164 Bei DMU-spezifischen Gewichten werden die Abweichungen jeweils ins Verhältnis zu der Input- bzw. Outputquantität der zu bewertenden DMUi gesetzt, so dass sich prozentuale Abweichungen von den eingesetzten Inputbzw. hervorgebrachten Outputmengen ergeben. Die Zielgewichte ergeben sich als Kehrwerte der positiven Input- bzw. Outputquantitäten der zu bewertenden DMUi (t− m := bzw. t+ n :=

1 xmi

1 ). yni

Während die Bandbreiten-Gewichte für alle DMUs identisch sind, variieren die DMUspezifischen Gewichte mit der betrachteten Einheit. Eine in ihrer absoluten Höhe identische Abweichung im m-ten Input (bzw. n-ten Output) wird bei einer BandbreitenGewichtung unabhängig von der von DMUi eingesetzten (bzw. hervorgebrachten) Menge beurteilt. Der Fokus liegt damit bei Bandbreiten-Gewichten auf absoluten Abweichungen, 160

Vgl. z. B. Dinkelbach/Kleine 1996, S. 43. Vgl. u. a. Lovell/Pastor 1995; Cooper et al. 2006 S. 24, Theorem 2.2. Angenommen, die zu bewertende DMU setzt eine Personalstunde mehr ein als ihre effiziente Referenz. Dann steigt der Abstand bei Verwendung von Minuten als Maßeinheit auf 60 und bei Zugrundelegung von Industrieminuten auf 100. Dies wirkt sich unter Umständen auf das (In-) Effizienzmaß einer DMU aus. 163 Vgl. Cooper et al. 1999a, S. 18 ff. 164 Kleine 2002, S. 189. 161 162

58


die normiert werden, um die unterschiedlichen Abweichungen zu einem skaleninvarianten Maß aggregieren zu können. Wird dagegen eine DMU-spezifische Gewichtung zu Grunde gelegt, die die relativen Abweichungen von der eingesetzten Input- bzw. hervorgebrachten Outputquantität beurteilt, dann hängt das Maß von den Input- bzw. Outputmengen der DMUi ab. Dieser Ansatz scheint in vielen Situationen plausibel. So wird eine DMU, die nur eine Mengeneinheit eines skalaren Outputs herstellt und dafür eine Mengeneinheit des einzigen Inputs (z. B. Arbeitszeit) mehr als ihre effiziente Referenz einsetzt, in der Regel als weniger effizient eingestuft als eine andere DMU, die bei der Produktion von hundert Einheiten um insgesamt eine Stunde von einer effizienten Produktionsweise abweicht. 3.5.1.4 Modelle zur Bestimmung der radialen Effizienz Die folgenden Ausführungen beziehen sich soweit nicht anders angegeben auf radiale Effizienzmaße. Zumeist werden bei radialen Modellen input- oder outputorientierte Effizienzdefinitionen zu Grunde gelegt. Wie der weitere Verlauf der Untersuchung zeigen wird, bietet sich eine inputorientierte Perspektive an, da die Outputs über die Nachfrage nach oben beschränkt sind und eine Abweichung nach unten in der Regel nicht erstrebenswert ist.165 Mit Hilfe des folgenden Modells (DEAI rad ) wird die radiale Ineffizienz bestimmt. Sie gibt an, um welchen Anteil alle Inputs der DMUi reduziert werden müssten, bevor diese als schwach effizient zu bezeichnen wäre. Da für dieses Maß derjenige Input ausschlaggebend ist, bei dem die DMUi am wenigsten von der schwach effizienten Referenz abweicht, kann zur Bestimmung ein Maximin-Ansatz verwendet werden und das allgemeine Modell (DEA) konkretisiert sich zu:166

165 166

Vgl. ausführlich auch Abschnitt 4.2.3, S. 101. Vgl. zu den folgenden Transformationen Kleine 2002, S. 200 ff.


59

(DEAI rad ) 1 1 · d− · d− max min 1 ,..., M x1i xM i u. d. N. λj · xmj + d− (1) m = xmi (∀m ∈ M) j∈J

(2)

λj · ynj

j∈J

− d+ = yni n λ ∈ Λι

(3)

+ d− m , dn

0

(∀n ∈ N) (ι ∈ Υ) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N).

Nach Umformung der Restriktionen (1) erhält man d− m = xmi −

λj · xmj

(∀m ∈ M)

j∈J

⇔

1 1 · d− = 1 − · λj · xmj xmi m xmi j∈J

(∀m ∈ M).

Damit lässt sich die Zielfunktion schreiben als max min 1 −

1 1 · λj · x1j , . . . , 1 − · λj · xM j x1i j∈J xM i j∈J

.

Multipliziert man die Zielfunktion mit dem Wert −1, erhält man min max

1 1 · λj · x1j , . . . , · λj · xM j x1i j∈J xM i j∈J

− 1,

wobei die Subtraktion der Konstanten eins keinen Einfluss auf die optimale Lösung hat, so dass sie vernachlässigt werden kann. Durch diese Umformungen ändert sich die Interpretation gegenüber der ursprünglichen Abstandsmaximierung, das heißt der Maximierung der Ineffizienz, zur Minimierung der inputorientierten Effizienz θ iI (im Folgenden θi ) mit θi := max

1 1 · λj · x1j , . . . , · λ j · xM j x1i j∈J xM i j∈J

.

60


Dementsprechend muss für die zu minimierende Effizienz θi gelten θi

1 · λj · xmj xmi j∈J

(∀m ∈ M).

Es resultiert das Modell (DEAI rad ) mit modifizierter Zielfunktion und angepassten Nebenbedingungen (1)167 (DEAI rad ) − + min θi − · dm + dn m∈M

n∈N

u. d. N. (1) λj · xmj + d− m = θi · xmi (∀m ∈ M) j∈J

(2)

j∈J

(3)

λj · ynj

− d+ = yni n λ ∈ Λι + d− m , dn 0

(∀n ∈ N) (ι ∈ Υ) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N)

θi ∈ R. Die Abweichungsvariablen d+ n für die N Outputarten entsprechen denen des Modells (DEAI rad ). Dagegen unterscheiden sich die verwendeten Abweichungsvariablen d− m der M Inputquantitäten: Diese erfassen hier im Gegensatz zu Modell (DEAI rad ) nur den über die proportionale Verringerung der Inputs (θ i ) hinausgehenden Schlupf bezüglich der m-ten Inputquantität. Da im Folgenden ausschließlich dieser zusätzliche Schlupf von Bedeutung ist, wurde auf die Einführung spezieller Variablen verzichtet. Des Weiteren ist zu beachten, dass der vom Vorzeichen her unbeschränkte Effizienzwert faktisch auf das Intervall θi ∈ (0; 1] begrenzt ist.168 Da zur Herstellung eines positiven Outputs wenigstens von einem Input eine positive Menge eingesetzt werden muss,169 ist der Effizienzwert größer als null, das heißt θi > 0. Er ist nach oben durch den Wert eins beschränkt, da die Produktion z i stets eine zulässige Lösung von (DEAI rad ) darstellt. In 167

Die Zielfunktion enthält die bei der Herleitung vernachlässigte -Korrektur in eckigen Klammern. Die summierten Abweichungen sind zu subtrahieren, da das Maximierungsziel in ein Minimierungsziel transformiert wurde. 168 Die Unbeschränktheit von θi wird üblicherweise unterstellt, um das duale lineare Programm besser interpretieren zu können. Wegen der faktischen Beschränkung auf das Intervall (0; 1] hätte jedoch auch die Nichtnegativitätsbedingung θi 0 keinen Einfluss auf das Ergebnis. 169 Vgl. dazu die Annahme der Nichtexistenz des Schlaraffenlandes, S. 33.


61

diesem Fall wäre DMUi ihre eigene schwach effiziente Referenz, so dass sie entsprechend als schwach inputorientiert effizient klassifiziert würde. Um sicherzustellen, dass ausschließlich Pareto-Koopmans-effiziente Referenzen zur Bewertung herangezogen werden, ist der in eckigen Klammern angegebene -Term in der Zielfunktion von Modell (DEAI rad ) zu berücksichtigen. Das primale lineare Programm (DEAI rad ) wird in der Literatur auch als EnvelopmentForm bezeichnet, da eine empirische Technologiemenge konstruiert wird, die die beobachteten Produktionen umhüllt. Zu diesem Modell korrespondiert das duale lineare Pro gramm (DEAD I rad ) in der so genannten Multiplier-Form. Sein Name begründet sich in

der Interpretation der Entscheidungsvariablen als Input- und Outputgewichte. Das Modell übernimmt also die Bewertung der Inputs und Outputs, die ansonsten durch den Analysten subjektiv vorzunehmen wäre. (DEAD I rad ) max µn · yni + µ0 n∈N

u. d. N. (1) µn · ynj + µ0 − νm · xmj 0 n∈N m∈M (2) νm · xmi = 1

(∀j ∈ J)

m∈M

(3)

µ0 ∈ Ωι (ι ∈ Υ) µn , ν m

(∀n ∈ N, ∀m ∈ M),

Dabei bezeichnet µ0 die von Banker/Charnes/Cooper zur Berücksichtigung einer Technologie mit variablen Skalenerträgen eingeführte Skalenertragsvariable.170 An ihr lässt sich erkennen, ob eine DMUi mit ihrer realisierten Produktion unter konstanten (µ∗0 = 0), steigenden (µ∗0 > 0) oder fallenden Skalenerträgen (µ∗0 < 0) operiert.171 Durch Einschränkung ihres Wertebereichs Ωι lassen sich die konvexen Technologiemengen wie in Tabelle 3.4 schreiben.172 Darüber hinaus werden die Beziehungen zwischen der Beschränkung der Menge der Linearfaktoren Λι und der Definition des Wertebereichs der Skalenertragsvaria170

Vgl. Banker et al. 1984, S. 1084 ff. Vgl. Banker/Thrall 1992, S. 79 f.; vgl. auch Banker et al. 1984, S. 1087 f., wobei das umgekehrte Vorzeichen zu beachten ist. 172 Zu einem nichtkonvexen, gemischt-ganzzahligen linearen Programm, wie das bei einer diskreten Technologiemenge TMFDH , existiert kein duales Programm. Vgl. allgemein zur Dualitätstheorie u. a. Neumann/ Morlock 2004, S. 76 ff.; Domschke/Drexl 2005, S. 31 ff. 171

62


ble Ωι hergestellt. Da ausschließlich konvexe Technologien berücksichtigt werden, gilt für die Linearfaktoren die Nichtnegativitätsbedingung (λ ∈ RJ+ ), was sich im dualen linearen Programm in den Nebenbedingungen (1) durch die „“-Relationen niederschlägt. Tabelle 3.4 fasst nur die darüber hinausgehenden Restriktionen zusammen.

ι

Einschränkung der Menge Λι

CRS NDRS

–

Wertebereich Ωι ΩCRS = {0}

λj 1

ΩNDRS = R+

λj 1

ΩNIRS = R−

λj = 1

ΩVRS = R

j∈J

NIRS

j∈J

VRS

j∈J

Tabelle 3.4: Primale und duale Formulierung konvexer Technologiemengen

Unter konstanten Skalenerträgen wird die Menge der Linearfaktoren nicht näher eingeschränkt. Damit enthält ΩCRS nur den Wert null als Element; die Variable µ0 = 0 kann vernachlässigt werden. Nichtfallende bzw. nichtsteigende Skalenerträge lassen sich durch die Beschränkung auf nichtnegative bzw. nichtpositive Werte erreichen. Variable Skalenerträge, bei denen an manchen Stellen nichtsteigende Skalenerträge vorliegen können, während andere Stellen nichtfallende aufweisen, werden durch einen unbeschränkten Wertebereich von µ0 sichergestellt. Den weiteren Ausführungen liegt primär das nach Charnes/Cooper/Rhodes benannte CCR-Modell zu Grunde. Es konkretisiert das allgemeine inputorientierte Modell mit radialer Aggregation der Abweichungen (DEAI rad ) für den Fall konstanter Skalenerträge, das heißt ΛCRS bzw. λ 0, wie folgt:173

173

Vgl. Charnes et al. 1978, S. 442.

3.5 Nichtparametrische Methoden zur Effizienzbeurteilung (CCR)

min θi − ·

m∈M

u. d. N. (1)

j∈J

(2)

d− m +

n∈N

63

d+ n

λj · xmj + d− m = θi · xmi (∀m ∈ M) − d+ = yni n

λj · ynj

j∈J

(∀n ∈ N)

+ λj , d− m , dn 0

(∀j ∈ J, ∀m ∈ M, ∀n ∈ N)

θi ∈ R.

x2 6

zD

5 z D

4 3

zA

zC

z D z C = zC

2 1 0

TM

zB 0

1

2

3

4

5

6

x1

Abbildung 3.4: Radiales Abstandsmaß nach Debreu/Farrell

Abbildung 3.4 veranschaulicht die Bestimmung des radialen Effizienzmaßes für vier DMUs an einem Beispiel mit zwei Inputs und einem normierten Output. DMUA und DMUB liegen auf dem radial effizienten Rand und sind darüber hinaus effizient im Sinne von Pareto/Koopmans. Sie erhalten einen Effizienzwert von eins. Dagegen sind DMUC und DMUD ineffizient, so dass sich eine Referenz finden lässt, die von keinem Input mehr und von mindestens einem der beiden Inputs weniger einsetzt, um denselben Output zu erzeugen. Für die radiale Effizienzdefinition ist, wie durch die Maximin-Formulierung besonders deutlich wird, die geringste relative Abweichung maßgeblich für das Effizienzmaß. Dement-

64


sprechend wird einer ineffizienten DMU nur dann ein Effizienzwert kleiner als eins zugeordnet, wenn eine Referenz existiert, die von allen Inputs geringere Mengen einsetzt. Der Scheitel des Dominanzkegels wird im Input-Input-Diagramm also Richtung Ursprung verschoben, bis er ausschließlich radial effiziente Referenzen enthält. Für z C = (−6; −4; +1)T ergibt sich die Debreu-Farrell-effiziente und zugleich Pareto-Koopmans-effiziente Referenz T z C = z C = (−3; −2; +1) . DMUC wird als 50% (= x1C /x1C = 3/6 = x2C /x2C = 2/4)

effizient beurteilt. Zu DMUD bzw. z D = (−3; −6; +1)T ist die radial effiziente Referenz T z D = (−2; −4; +1) , so dass DMUD eine Effizienz von θD = 0,667 (= 2/3 = 4/6) erT reicht. Die dazugehörige Pareto-Koopmans-effiziente Referenz z D = z A = (−2; −3; +1)

weicht von der radialen Referenz ab, liefert jedoch stets dasselbe Effizienzmaß (hier max{2/3; 3/6} = 2/3).174 Zu dem linearen Programm (CCR) lässt sich das duale Programm schreiben als (CCRD ) µn · yni max n∈N

u. d. N. (1) µn · ynj − νm · xmj 0 (∀j ∈ J) n∈N m∈M (2) νm · xmi = 1 m∈M

µn , νm (∀n ∈ N, ∀m ∈ M). Unter Verwendung der Variablen un und vm mit νm =

vm vm · xmi

(∀m ∈ M)

un vm · xmi

(∀n ∈ N),

m∈M

µn = m∈M

kann dieses Programm mit Hilfe der so genannten Charnes-Cooper-Transformation in ein (lineares) Quotientenprogramm überführt werden:175

174

Der Zielfunktionswert ist aufgrund der Korrektur um die mit gewichteten Abweichungen in den einzelnen Inputs und Outputs geringfügig kleiner. 175 Vgl. Charnes et al. 1978, S. 431 f. sowie allgemein zur Transformation eines linearen Quotientenprogramms in ein lineares Programm Charnes/Cooper 1962, S. 182 ff.

3.5 Nichtparametrische Methoden zur Effizienzbeurteilung (CCRDQP ) n∈N

max

65

un · yni

vm · xmi

m∈M

u. d. N.

(1)

un · ynj

n∈N

vm · xmj

1

m∈M

un , vm ·

(∀j ∈ J)

vm · xmi (∀n ∈ N, ∀m ∈ M).

m∈M

Dieses Quotientenprogramm ist aus rechentechnischer Sicht relativ uninteressant, da das äquivalente lineare Programm leichter zu lösen ist. Allerdings bietet es eine interessante Interpretation, bei der un als Gewicht des n-ten Outputs und vm als Gewicht des m-ten Inputs aufgefasst werden. Gesucht ist eine Gewichtung, die DMUi in ihrem „besten Licht“ darstellt, das heißt bei der sie möglichst gut abschneidet. Durch die Nebenbedingungen (1) wird die Effizienz aller DMUs auf den maximalen Wert eins normiert, so dass wiederum direkt ablesbar ist, in welchem Maße eine DMU effizient ist. Findet sich keine Gewichtung der Inputs und Outputs, so dass der Zielfunktionswert eins beträgt, existiert mindestens eine DMU, die bei jeder beliebigen Gewichtung besser ist. Fasst man die Gewichtungsvariablen als Preise auf, so ergibt sich in der Zielfunktion die bekannte Kennzahl „Wirtschaftlichkeit“ der betrachteten DMUi , das heißt das Verhältnis von Ertrag und Aufwand. Da die Gewichte bzw. Preise stets als relative Größen zu verstehen sind, ist eine Normierung der relativen Wirtschaftlichkeit auf einen maximalen Wert von eins unkritisch. 3.5.2 Stochastische Ansätze der Data Envelopment Analysis 3.5.2.1 Problematik der DEA in unsicheren Umgebungen Im Gegensatz zur Stochastic Frontier Analysis ist die DEA kein statistisches Verfahren. Demnach werden die Effizienzwerte nicht geschätzt, sondern „berechnet“. Insbesondere wenn die Daten unsicher sind, z. B. aufgrund von Mess- oder Verarbeitungsfehlern, ist eine „Berechnung“ jedoch nicht ohne Weiteres möglich. Damit weist die DEA dieselbe funda-

66


mentale Problematik auf wie die Deterministic Frontier Analysis.176 Besonders im Falle nichtparametrischer Verfahren, bei denen keine funktionale Form der Produktionsfunktion bzw. des effizienten Randes vorgegeben wird, können positive Ausreißer die gesamte Effizienzanalyse verzerren, wenn sie den effizienten Rand beeinflussen. Abbildung 3.5 veranschaulicht dies beispielhaft an einer Technologie mit zwei Inputs und einem normierten ˆ A von der tatsächlichen Produktion z A Output. Hier weicht die beobachtete Produktion z Â von DMUA ab. Einerseits wird dadurch die Effizienz von DMUA überschätzt, denn z liegt auf dem effizienten Rand, während z A dominiert wird. Andererseits bestimmt die ) der beobachteten ˆ A den (inputorientiert) schwach effizienten Rand (TM „Produktion“ z ) maßgeblich mit und dominiert selbst zwei der anderen ProdukTechnologiemenge (TM tionen. Aufgrund des zuletzt genannten Effekts können Messfehler einen systemweiten verzerrenden Einfluss haben, indem die Technologiemenge überschätzt und die Effizienzwerte weiterer DMUs unterschätzt werden.177 x2 6 5 4

zA

3

Â z TM TM

2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

Abbildung 3.5: Verzerrte Technologiemenge aufgrund von Fehlern in den Daten An dieser Stelle sei jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass eine solch verzerrende Wirkung nicht DEA-spezifisch ist. Im Falle der DFA würde ein einziger Ausreißer die Produktionsfunktion ebenfalls verfälschen, da sie – ebenso wie die DEA – alle beobachteten Produktionen einschließen muss. Zumindest wenn ein log-konkaver Störterm, z. B. in Form 176 177

Vgl. Abschnitt 3.4.2, S. 39. Vgl. auch Ruggiero 2004, S. 1009 f.


67

einer Normalverteilung, unterstellt wird, wirkt sich diese Verzerrung auch direkt auf die Ergebnisse der SFA aus. Der Grund hierfür ist die von Ondrich/Ruggiero 2001 gezeigte Korrelation von eins zwischen dem zusammengesetzten Störterm und der Ineffizienz im Rahmen der SFA.178 In den folgenden Abschnitten soll ein Überblick über die Forschung im Rahmen der stochastischen Leistungsmessung mit Hilfe der DEA gegeben werden. Dazu werden einige wichtige Ansätze skizziert und bezüglich ihrer Eignung zur Analyse stochastischer Produktionen bewertet. 3.5.2.2 Statistische Fundierung der DEA-Effizienzwerte Obwohl die DEA kein statistisches Schätzverfahren ist, sind wünschenswerte statistische Eigenschaften der DEA-Effizienzwerte bewiesen. Banker untersucht 1993 die asymptotischen Eigenschaften der Effizienzwerte und zeigt, dass die DEA-Effizienzen die MaximumLikelihood-Schätzer der wahren Effizienzen liefern, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte der als Zufallsvariablen interpretierten Effizienz monoton abnimmt.179 Dies gilt insbesondere für die der SFA üblicherweise zu Grunde gelegten Halbnormal- und Exponentialverteilungen. Um den DEA-Effizienzwerten auch in empirischen Untersuchungen, die eine endliche und in der Regel relativ geringe Anzahl an Beobachtungen umfassen, eine statistische Fundierung zu geben, schlagen Atkinson/Wilson die Verwendung des Bootstrapping 180 vor. Das Ziel des Bootstrapping ist die Schätzung der Verteilung einer Zufallsvariable aus einer bekannten Stichprobe. Dazu werden aus dieser Stichprobe so genannte Pseudo-Stichproben unter Zurücklegen gezogen. Die auf diese Weise generierten Bootstrap-Stichproben verhalten sich zu der ursprünglichen Stichprobe wie diese zur unbekannten Grundgesamtheit. Führt man hinreichend viele solcher Pseudo-Stichproben durch, lassen sich beispielsweise Konfidenzintervalle für die mittlere Effizienz je Periode ableiten.181 Darüber hinaus wurden Schätzer für die Verzerrung (bias) und die Standardabweichung der Effizienzwerte vorgestellt.182 An dieser Stelle sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass mit Hilfe des 178

Vgl. Abschnitt 3.4.3, S. 41. Vgl. Banker 1993, S. 1268 f.; Kneip et al. 1998, S. 788 ff., beweisen die Konsistenz der DEA-Effizienzen für den Fall mehrerer Inputs und Outputs. 180 Vgl. Efron 1979. 181 Vgl. Atkinson/Wilson 1995, S. 139, die eine Paneluntersuchung betrachten. 182 Vgl. Simar/Wilson 1998, S. 51 ff. Die vom Erscheinungjahr her frühere Quelle Ferrier/Hirschberg 1997, S. 22 f., wird von Simar/Wilson 1999 in mehrfacher Hinsicht kritisiert: Zum einen liefere die vorgeschlagene 179

68


Bootstrapping nur dann konsistente Schätzungen über die Effizienz möglich sind, wenn keine symmetrische Störgröße vorliegt, so dass die einseitige Ineffizienz die einzige stochastische Größe ist.183 Im Falle einer symmetrischen Zufallsgröße würde die Verzerrung auf Grundlage des Bootstrapping mit steigender Stichprobengröße steigen.184 Der Grund hierfür ist, dass mit steigender Stichprobengröße die Wahrscheinlichkeit eines Ausreißers zunimmt, der nicht nur selbst ein falsches Effizienzmaß erhält, sondern – wenn er als Referenz fungiert – einen systemweiten Einfluss haben kann.185 3.5.2.3 Leistungsmessung bei unsicheren Daten Die in der Literatur diskutierten Ansätze zur robusteren und damit verlässlicheren Effizienzanalyse beziehen sich – wie die SFA – zumeist auf die Modifikation der Technologiemenge. Diese umfasst nicht mehr alle Produktionen, sondern nur solche, die ohne positive Störung technisch realisierbar sind. Demzufolge wird der effiziente Rand und damit der Abstand zu einer effizienten Referenz verändert. Nur wenige Arbeiten befassen sich mit der praktisch sehr bedeutsamen, aber methodisch weniger interessanten Frage nach der Identifikation von Ausreißern bzw. allgemein nach der Erkennung von Fehlern in den Daten. Verwendung von Mittelwerten. Liegen Paneldaten vor und kann eine über die Zeit konstante Effizienz je DMU unterstellt werden, sind durch Verwendung von Mittelwerten robustere Ergebnisse zu erzielen. Gong/Sickles schlagen die Berechnung der Effizienz einer DMU in jeder Periode vor und verwenden anschließend den Mittelwert dieser Effizienzen als Schätzwert.186 Da jedoch bei Vorliegen von Messfehlern in den Daten alle Einzelwerte tendenziell verzerrt sind, resultieren ebenfalls verzerrte Effizienzwerte, über die dann der Durchschnitt gebildet wird. Das umgekehrte Vorgehen, bei dem zunächst die Mittelwerte der Input- und Outputquantitäten ermittelt werden, bevor aus diesen Daten (einmalig) die mittlere Effizienz errechnet und als Schätzer verwendet wird, führt tendenziell zu einem Ausgleich von positiven und negativen Störungen.187 Methodik inkonsistente Schätzungen, zum anderen fehle die Zitation früherer Quellen, insbesondere von Diskussionspapieren von Simar/Wilson, aus denen u. a. die hier zitierte Arbeit (Simar/ Wilson 1998) hervorging. 183 Vgl. Löthgren 2000, S. 55. 184 Vgl. Löthgren 2000, S. 56. 185 Vgl. Abbildung 3.5. 186 Vgl. Gong/Sickles 1992, S. 270. 187 Vgl. Holland/Lee 2002, S. 16 ff., sowie Ruggiero 2004, S. 1010. Zur Schätzung DMU-spezifischer Produktionsfunktionen mit Paneldaten vgl. Kneip/Simar 1996, S. 190 ff.; zur Bestimmung von Schätzern auf Grundlage bedingter Wahrscheinlichkeiten Sengupta 1998, S. 288.


69

Identifikation von Ausreißern. In Querschnittsuntersuchungen besteht die Möglichkeit der Durchschnittsbildung über die Zeit naturgemäß nicht. Unter der Hypothese, dass Ausreißer in besonderem Maße als Referenz für andere DMUs dienen und/oder stark von diesen abweichen, wird versucht, Ausreißer mittels statistischer Kennzahlen zu identifizieren.188 Alternativ werden die zum Ranking effizienter DMUs eingesetzten „SuperEffizienz“-Modelle angewandt.189 Dabei führt man eine Effizienzanalyse durch, bei der die zu bewertende Produktion nicht Teil der Technologie- bzw. Referenzmenge ist. 190 Weist eine DMU eine besonders hohe Super-Effizienz auf, so deutet dies darauf hin, dass die gesamte Technologiemenge wesentlich durch diese DMU mitbestimmt wird. In solchen Fällen ist es ratsam, die Input-/Output-Daten der DMU zu überprüfen. Dieser Schritt ist von zentraler Bedeutung, denn nicht jede außerordentlich effizient operierende DMU muss auf Fehler in den Daten zurückzuführen sein. Nur wenn der Analyst die Daten für fehlerhaft hält, sollte er diese falls möglich korrigieren oder die Beobachtung von der Analyse ausschließen.191 Verwendung „ähnlicher“ Referenzen. Der Ansatz von Post/Cherchye/Kuosmanen trägt dem Problem Rechnung, dass durch die Abstandsmaximierung bzw. Minimierung der Effizienz besonders gute Produktionen als Referenzen ausgewählt werden und diese mit einer hohen Wahrscheinlichkeit von positiven Zufallseinflüssen profitiert haben. Um dies zu vermeiden, schlagen sie eine Strategie zur Auswahl der Referenz vor, die einerseits ein hohes Maß an Diversifikation, das heißt eine geringe Varianz, aufweist und andererseits der zu bewertenden Produktion „ähnlich“ ist. Dazu wird ein spezielles Ähnlichkeitsmaß vorgeschlagen, das die Unterschiede in den Inputquantitäten bewertet. Diese beiden Zielsetzungen werden durch ein Kompromissmodell mit Zielgewichtung berücksichtigt.192 Im Gegensatz zur SFA wird nicht die Unterstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Ineffizienz und Störgröße verlangt. Nur das Verhältnis der Varianzen der Ineffizienz und der Störgröße („signal to noise“-ratio) ist vorzugeben.193 Auch dieses ist jedoch in der Regel nicht bekannt und daher möglichst fundiert zu schätzen. Dieser Ansatz stellt eine interessante Alternative zur Berücksichtigung stochastischer Daten in der Leistungsmes188

Vgl. Andrews/Pregibon 1978, S. 87 ff., für einen skalaren Output, sowie Wilson 1993, S. 320 f., für den Fall multipler Outputs. 189 Vgl. Wilson 1995, S. 30 ff. 190 Vgl. Andersen/Petersen 1993, S. 1262 f.; Zhu 1996, S. 452. 191 Vgl. Wilson 1995, S. 43. 192 Vgl. Post et al. 2002, S. 647 f. 193 Vgl. Post et al. 2002, S. 649.

70


sung dar. Allerdings sollte dabei nicht übersehen werden, dass die Abstandsmaximierung, die sowohl den parametrischen als auch den nichtparametrischen Verfahren zur Leistungsmessung zu Grunde liegt, aufgegeben wird. Sie weicht einer Zielformulierung, die neben einer gut diversifizierten, das heißt aus vielen DMUs zusammengesetzten, vor allem eine ähnliche Referenz sucht und insofern in gewissem Sinne eine Abstandsminimierung anstrebt. Die Effizienz einer DMU wird auf diese Weise unter Umständen überschätzt.194 Chance-Constrained-DEA. Bei der Schätzung eines robusten effizienten Randes wird nicht explizit überprüft, ob es sich bei einer bestimmten Produktion um einen Ausreißer (mit fehlerhaften Daten) handelt oder nicht. Vielmehr bedient man sich Ansätzen, wie der Chance-Constrained-Programmierung, um eine Technologiemenge zu bestimmen, die nicht alle beobachteten Produktionen, sondern nur einen vorgegebenen Anteil umfasst. 195 Hieraus resultiert ein entsprechend modifizierter effizienter Rand.196 Zur Anwendung der Chance-Constrained-Programmierung wird die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der zufälligen Größen, das heißt in diesem Fall Inputs und/oder Outputs, unterstellt. Liegen ausschließlich Querschnittsdaten vor, so sind zusätzliche Annahmen erforderlich.197 Außerdem sei angemerkt, dass der Einfluss von z. B. Messfehlern auf die Referenzproduktionen einerseits und die jeweils zu beurteilende DMU andererseits in der Chance-Constrained-DEA nur unvollständig, nämlich nur bezüglich der Referenzproduktionen, berücksichtigt wird.198 Einen methodisch anderen, jedoch inhaltlich vergleichbaren Ansatz stellen Cazals/Florens/Simar vor. Im Mittelpunkt der Überlegungen steht dabei die Funktion der erwarteten minimalen Inputquantitäten der als Referenz herangezogenen Produktion. Sie hängt von der Anzahl der zugelassenen beobachteten Produktionen ab. Durch Berücksichtigung aller 194

Zwar legen Post/Cherchye/Kuosmanen ein outputorientiertes Effizienzmaß zu Grunde und beziehen den zu minimierenden Abstand auf die Inputquantitäten, doch folgen hieraus auch tendenziell ähnlichere Outputmengen und damit ein höheres Effizienzmaß als in klassischen Ansätzen auf Grundlage der Abstandsmaximierung. 195 Vgl. zu ersten Arbeiten zur Chance-Constrained-DEA Sengupta 1988, S. 277 ff. Zu einer dualen ChanceConstrained-Formulierung, bei der die Normierungsbedingungen mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit verletzt sein dürfen, vgl. Sengupta 1987, S. 123 ff. 196 Vgl. Land et al. 1993, S. 543. 197 Land et al. 1993, S. 546, unterstellen u. a. dass die beobachteten Werte gerade den Erwartungswerten der interessierenden Zufallsvariablen entsprechen. Diese Annahme ist kritisch. Allerdings ist sie erforderlich, da unklar ist, wie ansonsten sinnvolle Schätzwerte für die Verteilungsparameter ermittelt werden können, ohne denen die (unterstellte) Kenntnis der parametrischen Verteilung von geringem Nutzen ist, vgl. Desai et al. 2005, S. 160 f. Vgl. zu einer kritischen Bewertung ihres eigenen Ansatzes auch Land et al. 1993, S. 551. 198 Vgl. Desai et al. 2005, S. 160 f.


71

Produktionen, wird der ursprüngliche effiziente Rand zu Grunde gelegt. Mit abnehmender Anzahl berücksichtigter Produktionen steigt der Wert der Funktion, so dass weniger Produktionen von der Technologie umhüllt werden. Für dieses Verfahren ist wiederum die Vorgabe einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung erforderlich. 199 DEA mit zusammengesetztem Störterm. Bereits 1987 schlagen Banker/Datar/Rajan eine stochastische DEA-Variante vor, die ebenso wie die SFA einen zusammengesetzten Term aus Ineffizienz und zufälliger Störung enthält. Um die nichtparametrische Natur der DEA erhalten zu können, ist der Anteil der Ineffizienz gegenüber der zufälligen Störung vorzugeben. Das präsentierte Modell enthält als Spezialfälle sowohl die deterministische DEA, bei der jede Abweichung vom effizienten Rand als Ineffizienz gewertet wird, als auch die gewöhnliche Regression, die alle Abweichungen als rein zufällig interpretiert. 200 Im Rahmen einer empirischen Untersuchung liefert die vorgestellte DEA-Variante sehr ähnliche Ergebnisse wie die SFA,201 was aufgrund der konzeptionellen Parallelen des vorgestellten DEA-Ansatzes und der SFA sowie vor dem Hintergrund der Erkenntnisse von Ondrich/Ruggiero plausibel ist.202 Wang unterstellt ebenfalls die Kombination der deterministischen DEA einerseits und der Regression andererseits. Dazu werden in einer ersten Stufe DEA und Regression getrennt voneinander durchgeführt, bevor die Ergebnisse in einem zweiten Schritt zusammenzuführen sind.203 Die Gewichtung der beiden Modelle wird bei diesem Ansatz nicht wie bei Banker/Datar/Rajan exogen vorgegeben, sondern durch ein neuronales Netz übernommen. Der Gewichtungsparameter ist dabei so zu bestimmen, dass die Verteilung der Residuen die Form einer sehr speziellen Verteilung („extreme unbalanced two tailed distribution“) annimmt,204 die sich aus der Zusammenführung von asymmetrischer Ineffizienz und symmetrischem Zufall ergeben soll. Auf spezielle Verteilungsannahmen kann damit verzichtet werden. Sowohl bei dem Ansatz von Banker/Datar/Rajan als auch bei dem von Wang ist die Konstruktion der stochastischen Produktionsgrenze kritisch zu sehen. Diese muss sich keineswegs als gewichtetes Mittel aus zwei sehr verschiedenen Modellen, wie hier der Regression und der DEA, ergeben. 199

Vgl. Vgl. 201 Vgl. 202 Vgl. 203 Vgl. 204 Vgl. 200

Cazals et al. 2002, S. 5 f. Banker et al. 1987, S. 333. Banker et al. 1987, S. 346. hierzu auch Abschnitt 3.4.3, S. 41. Wang 2003, S. 288. Wang 2003, S. 282 ff.

72


DEA mit Intervalldaten. Können nur Intervallgrenzen für einige Input- und/oder Outputquantitäten angegeben werden, lassen sich diese Informationen in so genannten „Imprecise DEA“-Modellen berücksichtigen.205 Aus entscheidungstheoretischer Sicht handelt es sich um eine Situation der Ungewissheit, bei der nur die Wertebereiche der unsicheren Input- und Outputmengen bekannt sind, nicht jedoch die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Dementsprechend gering ist die Trennschärfe eines solchen Vorgehens. Um diese zu erhöhen, wurde eine Erweiterung auf Grundlage der Fuzzy-Logik vorgeschlagen. 206 Da im Folgenden von der Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der stochastischen Größen ausgegangen werden soll, sind Modelle von Vorteil, die diese Informationen berücksichtigen können. Mean-Variance-DEA. Mit der Mean-Variance-DEA (MV-DEA) wird ein nutzentheoretisches Element in der DEA berücksichtigt. Es werden ein Bernoulli-rationaler, risikoaverser Analyst und normalverteilte Störgrößen unterstellt.207 Der Nutzen des Analysten ergebe sich aus der Differenz zwischen den eingesetzten Input- und erzeugten Outputquantitäten der Referenz und der zu beurteilenden Produktion. Die Höhe dieser Differenz sei ein Maß für die Trennschärfe der Effizienzanalyse und das aufgedeckte Verbesserungspotenzial.208 Da das Erwartungswert-Varianz-Kriterium für risikoaverse Entscheidungsträger in Verbindung mit einer normalverteilten Zufallsvariable mit der Erwartungsnutzentheorie vereinbar ist,209 kann auf eine explizite stochastische Dominanzbetrachtung verzichtet werden. Die MV-DEA liefert dieselben Effizienzwerte wie ihr deterministisches Pendant. Der einzige Unterschied existiert bei Mehrfachlösungen, denn in solchen Fällen wird durch die MV-DEA sichergestellt, dass keine bezüglich Erwartungswert und Varianz dominierten Referenzen gewählt werden.210 Aus diesem Grund ist die Bedeutung der MV-DEA eher als gering einzuschätzen. Zudem ist der Nutzen des Analysten in der Realität von untergeordneter Bedeutung. Vielmehr wäre die Berücksichtigung der Präferenzen der Entscheidungseinheiten (DMUs) relevant. Dasselbe gilt für die von Gong/Sun vorgeschlagene 205

Vgl. Cooper et al. 1999b, S. 603. Vgl. Yu et al. 2004, S. 596 f.; vgl. auch Triantis/Girod 1998, S. 89 ff. 207 Vgl. Post 2001, S. 284 f. Einen ähnlichen Ansatz schlägt bereits Sengupta 1990, S. 432 ff. 208 Vgl. Post 2001, S. 283. 209 Vgl. Tobin 1958, S. 74 ff. (Darüber hinaus behauptet Tobin an dieser Stelle, dass das ErwartungswertVarianz-Kriterium mit der Erwartungsnutzentheorie vereinbar sei, sofern eine durch zwei Parameter charakterisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung oder eine quadratische Nutzenfunktion vorliegt. Beide Aussagen sind jedoch unzutreffend, vgl. Fishburn/Vickson 1978, S. 82.; vgl. zur Unvereinbarkeit quadratischer Nutzenfunktionen mit der plausiblen Annahme absolut abnehmender Risikoaversion Pratt 1964, S. 132.) 210 Vgl. Post 2001, S. 287. 206


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DEA-Variante, bei der die stochastischen Input- und Outputdaten durch ein (deterministisches) Sicherheitsäquivalent ersetzt werden.211 Verbindung parametrischer und nichtparametrischer Methoden. Neben den rein parametrischen und nichtparametrischen Verfahren werden in der Literatur unterschiedliche Ansätze vorgeschlagen, die beiden Methoden miteinander zu verknüpfen. Hierzu werden in einem ersten Schritt mit Hilfe der nichtparametrischen DEA so genannte PseudoEffizienzen geschätzt.212 Diese erfassen neben der eigentlichen Effizienz auch den zufälligen Störeinfluss und entsprechen damit dem aus der SFA bekannten zusammengesetzten Störterm. In einem zweiten Schritt wird dann eine Zerlegung dieser Störgröße in Ineffizienz und Zufall angestrebt.213 Bei einem derartigen Vorgehen ist zu beachten, dass die Pseudo-Effizienzen, das heißt die DEA-Effizienzwerte, nicht unabhängig voneinander sind. Denn wird eine Referenzproduktion aufgrund von Messfehlern zu positiv beurteilt, erhöht sich der Abstand und damit die Ineffizienz all jener Produktionen, die anhand dieser Referenz bewertet werden.214 Damit erscheinen häufig getroffene Annahmen, wie die einer identisch und unabhängig verteilten zusammengesetzten Störgröße,215 fraglich. 3.5.3 Ansätze zur Berücksichtigung ökonomischer Unsicherheit In der Literatur zur nichtparametrischen Leistungsmessung finden sich teilweise dieselben Gründe für stochastische Daten wie zur parametrischen. Dementsprechend werden auch hier Unsicherheiten in der Leistungserstellung, die ex post zu bewerten ist, als Ursache unsicherer Daten angesehen.216 Dieser Aussage ist hier aus denselben Gründen wie bei den parametrischen Verfahren nicht zuzustimmen. Denn sie vernachlässigt die wichtige Unterscheidung, ob sich eine DMU in einer stochastischen Entscheidungssituation befand oder ob sich erst und ausschließlich der Analyst im Rahmen der Leistungsbeurteilung unsicheren Daten gegenübersieht. Ansätze, die bewusst die Berücksichtigung von Unsicherheiten

211

Vgl. Gong/Sun 1998, S. 63 ff. Vgl. Gstach 1998, S. 163. 213 Vgl. zur Effizienzschätzung mittels Maximum-Likelihood-Schätzung bei beschränktem Störeinfluss Gstach 1998, S. 164 f.; zu einem empirischen Bayes-Ansatz Tsionas 2003, S. 500 ff. 214 Vgl. dazu auch Abbildung 3.5, S. 66. 215 Vgl. u. a. Gstach 1998, S. 168, wobei das von ihm vorgestellte Verfahren lediglich eine identisch und unabhängig verteilte (rein zufällige) Störgröße erfordert, vgl. Gstach 1998, S. 163. 216 Vgl. z. B. Land et al. 1993, S. 541 f. 212

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in der zu beurteilenden Produktion anstreben, sind rar. Im Prinzip beschränken sie sich auf zwei Arbeiten, die im Folgenden kurz dargestellt werden sollen. Unsicherheit in den Preisen. Kuosmanen/Post betrachten den Fall, in dem die DMUs in Unkenntnis der Preise handeln. Die dem Analysten im Allgemeinen unbekannten Erwartungsnutzenfunktionen der DMUs können nicht ohne Weiteres in einer Effizienzanalyse berücksichtigt werden. Aus diesem Grund wird eine Analyse auf Grundlage der stochastischen Dominanz ersten Grades vorgeschlagen, die für alle rationalen Entscheidungsträger mit nichtgesättigten Präferenzen Gültigkeit hat. Es werden stochastische Dominanzbedingungen hergeleitet, die interessante Spezialfälle umfassen: Ist der Wertebereich der Preise auf einen eindeutigen Preisvektor beschränkt, entspricht die Betrachtung der stochastischen Dominanz einer Analyse auf „Gewinneffizienz“. Ist der Wertebereich der Preise nur durch die Nichtnegativität beschränkt, folgt daraus das technische Effizienzkriterium. 217 Unsicherheit in der Produktion. Die Leistungsmessung von stochastischen Produktionen wurde bislang nur von Post/Spronk diskutiert. Im Unterschied zur Berücksichtigung von unsicheren Daten, die häufig unabhängig voneinander modelliert werden können, ist eine derartige Annahme im Falle stochastischer Produktionen kaum haltbar. 218 Die Annahme unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen ist auch zur Modellierung unsicherer Daten z. B. dann unzutreffend, wenn die verschiedenen DMUs unterschiedliche Mess- und Dokumentationsmethoden einsetzen. Greifen dagegen die DMUs (z. B. Abteilungen) auf ein und dasselbe Computer-System zu, so führen Probleme von letzterem unter Umständen zu fehlerhaften Daten in mehreren DMUs, was die Unabhängigkeitsannahme in Frage stellt. Die Berücksichtigung der Unsicherheit in der Produktion erfolgt durch das Erwartungswert-Varianz-Kriterium. Dieses ist – entgegen der Aussage von Post/Spronk 219 – nicht generell mit der Erwartungsnutzentheorie vereinbar, sondern erfordert neben speziellen 217

Vgl. Kuosmanen/Post 2002, S. 189 f. Dazu Post/Spronk 2000, S. 254: „However, unlike parameter uncertainty, economic uncertainty generally can not be modeled by independent random variables. For example, banks with a poor asset quality typically are all hurt by an economic recession.“ 219 „Mean-variance analysis assumes that the complete distribution of the stochastic variables can be represented by their mean and variance terms. This assumption is consistent with the Expected Utility Theory for all normalized risk comparable distributions, which is a general class of distributions that includes the normal distribution . . . If that assumption holds, a DMU maximizes expected utility if and only if it is not possible to achieve a more preferred combination of means and variances“, Post/Spronk 2000, S. 256 f. 218

3.5 Notwendigkeit eines modifizierten Verfahrens zur Leistungsmessung

75

Verteilungsannahmen einen risikoaversen Entscheidungsträger mit einer konkaven Nutzenfunktion.220 Selbst wenn man einen risikoaversen Entscheidungsträger unterstellt, verbleibt das Problem der Bestimmung der Verteilungsparameter, das heißt des Erwartungswertes und der Varianz. Hierzu wird die Verwendung eines Multifaktor-Risiko-Modells (multi-factor risk model) vorgeschlagen. Das Ziel dieses Modells ist die Charakterisierung der Wirkung externer Störeinflüsse auf die Produktionsleistung der DMUs, die durch DMU-spezifische Eigenschaften mitbestimmt wird.221 Da die erforderlichen Informationen oftmals nicht verfügbar sind, schlagen Post/Spronk ein spezielles Modell vor, bei dem nur solche DMUs als Referenz in Frage kommen, die exakt dieselben Charakteristika aufweisen wie die zu bewertende Entscheidungseinheit. Hierdurch wird jedoch die Referenzmenge erheblich eingeschränkt.222 Eine DMU mit einer einzigartigen (schlechten) Kombination der Charakteristika wäre in einem solchen Modell mangels Referenzen stets effizient.

3.6 Notwendigkeit eines modifizierten Verfahrens zur Leistungsmessung stochastischer Entscheidungen Die Eignung der genannten Verfahren der Leistungsmessung zur Beurteilung stochastischer Produktionen ist nur bedingt zu bejahen. Die parametrischen Verfahren zur stochastischen Leistungsmessung unterstellen zumeist eine Fehlerstruktur, die nicht geeignet ist, die Unsicherheit in der Produktionsentscheidung abzubilden. Dasselbe gilt für nichtparametrische Methoden, die auf Verteilungsannahmen basieren: Entweder es wird stochastische Unabhängigkeit, teilweise sogar in Verbindung mit der Annahme identischer Verteilungen für alle Zufallsvariablen, unterstellt, oder die Zurechnung der Störung zu Ineffizienz und Zufall erfolgt durch einen vorgegebenen oder zu schätzenden Parameter. In jedem Fall ist die Zerlegung des Abstandes in Ineffizienz und Zufall problematisch. Selbst im praktisch kaum relevanten Fall a priori bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilungen beider Größen, ist die Effizienzschätzung im Einzelfall fraglich, denn sie erfolgt immer so, dass die DMU bezüglich der Effizienz denselben Rang einnimmt wie bezüglich der gesamten Störgröße. Damit werden weder DMUs, die effizient produzieren aber durch eine Störung negativ beeinflusst werden, noch solche, die nur aufgrund eines positiven Stör220 221 222

Vgl. u. a. Hanoch/Levy 1969, S. 343. Vgl. Post/Spronk 2000, S. 258 ff. Vgl. Post/Spronk 2000, S. 261 f.

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einflusses effizient erscheinen, korrekt bewertet. Für die Bewertung einer speziellen DMU sind die Ergebnisse daher immer mit Vorsicht zu interpretieren, unabhängig davon, ob der gesamte Störterm, wie bei der DEA und der DFA, oder die „reine“ Ineffizienz, wie bei der SFA, herangezogen wird. Die Verwendung der gesamten Störgröße als Beurteilungsmaß hat sogar einen gewissen Vorteil, denn es ist offensichtlich, dass sie die Situation vor Bereinigung der Zufallseinflüsse wiedergibt. Bei Anwendung der SFA wird eine entsprechende Korrektur zwar angestrebt und oftmals propagiert, sie ist jedoch im Allgemeinen nicht erreichbar. Für die Bewertung der Ineffizienz der Gesamtheit der DMUs erscheint die statistische SFA besser geeignet. Allerdings ist sie hierfür – zumindest in Querschnittsuntersuchungen – nicht erforderlich, denn die Kenntnis der Verteilung der Ineffizienz ist eine Anwendungsvoraussetzung für dieses Verfahren. Die Erkenntnisse von Ondrich/Ruggiero223 machen deutlich, dass die Ergebnisse der DFA denen der SFA stark ähneln. Dies gilt zwar nicht für die Effizienzwerte selbst, wohl aber für die Rangordnung auf deren Grundlage. Sieht man von der Vorgabe der parametrischen Produktionsfunktion bei Anwendung der DFA ab, entsprechen sich die Ausgangssituationen von DFA und DEA weitgehend. Je nachdem, wie nahe die unterstellte Produktionsfunktion der wahren Produktionsfunktion kommt, schneidet die DEA etwas besser oder schlechter ab als parametrische Methoden.224 Verglichen mit den hohen Anforderungen an den Analysten, scheint der Nutzen parametrischer Methoden eher gering.225 In einer Situation, in der nur relativ vage Aussagen über die Produktionsbeziehungen gemacht werden können, bietet sich der Rückgriff auf nichtparametrische Methoden an. Zur Leistungsmessung von Dienstleistungsproduktionen erscheint die DEA demnach besser geeignet als parametrische Verfahren. Die Chance-Constrained-DEA, die im Rahmen der nichtparametrischen Leistungsmessung besonders intensiv diskutiert wird, bietet am ehesten die Möglichkeit der Berücksichtigung 223

Vgl. auch Abschnitt 3.4.3, S. 41. Vgl. zu einer Simulationsstudie ohne zufällige Messfehler mit Vorteilen für DEA Banker et al. 1988, S. 46 ff.; bei einer Monte-Carlo-Analyse unter Einbeziehung zufälliger Messfehler sind Vor- und Nachteile von DEA und SFA von der konkreten Ausgestaltung abhängig (z. B. Stichprobenumfang, Verhältnis von Störung zu Ineffizienz), vgl. Banker et al. 1993, S. 337 ff.; zu einer Simulationsstudie, bei der stochastische DEA-Ansätze kaum Vorteile gegenüber deterministischen Methoden bieten, vgl. Resti 2000, S. 570 f.; zu einer empirischen Untersuchung mit exogen fixierten Variablen, bei der DEA und SFA zu einer sehr ähnlichen Rangordnung führen, vgl. Reinhard et al. 2000, S. 296 ff. 225 Beispielsweise kann der Vorteil einer besseren ökonomischen Interpretierbarkeit von Produktionsfunktionen, etwa durch die Berechnung von Elastizitäten, durch die parametrische Approximation eines nichtparametrischen effizienten Randes ausgeglichen werden, vgl. Florens/Simar 2004, S. 98 ff. 224


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stochastischer Inputs und Outputs in der Produktion. Allerdings erfordert sie die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Störungen. Selbst bei Unterstellung identisch verteilter und unabhängiger Normalverteilungen sind Erwartungswert und Varianz vorzugeben.226 Nimmt man eine nicht-normalverteilte Störgröße an, so führt dies häufig zu komplexen nichtlinearen Programmen, deren Lösung schwierig ist.227 Des Weiteren würde eine konsistente Verwendung der Chance-Constrained-DEA zur Beurteilung stochastischer Produktionen eine entsprechende Zielsetzung der Entscheidungseinheiten voraussetzen: Nur wenn eine DMU ihre Produktionsentscheidungen mit Hilfe einer ChanceConstrained-Formulierung plant und darüber hinaus dieselbe maximale Wahrscheinlichkeit einer Unzulässigkeit vorgibt wie der Analyst, erscheint eine Beurteilung anhand dieses Kriteriums gerechtfertigt. Anderenfalls würde die Kongruenz zwischen dem verfolgten Ziel und dem Bewertungskriterium fehlen. Es ist jedoch keineswegs so, dass sich jeder rationale Entscheidungsträger an der Wahrscheinlichkeit einer Restriktionsverletzung orientiert. Oftmals steht nicht alleine die Wahrscheinlichkeit einer Nebenbedingungsverletzung (z. B. Kapazitätsüberschreitung) im Mittelpunkt, sondern auch die mit diesem Ereignis verbundenen finanziellen Folgen. Diese Kompensationskosten, das heißt die Kosten der Unzulässigkeit, werden beispielsweise in so genannten Kompensationsmodellen berücksichtigt. 228 Aufgrund der Vielzahl an Entscheidungskriterien, an denen sich ein rationaler Entscheidungsträger orientieren kann, bietet sich ein Rückgriff auf die Erwartungsnutzentheorie bzw. auf die äquivalenten stochastischen Dominanzkonzepte an.229 Das Erwartungswert-Varianz-Kriterium ist genau dann mit der Erwartungsnutzentheorie konsistent, wenn ein risikoaverser Entscheidungsträger und ausschließlich solche Zufallsvariablen zu Grunde gelegt werden, deren Risiko mit steigender Varianz ebenfalls zunimmt.230 Demzufolge stellt der auf dem Erwartungswert-Varianz-Kriterium basierende Ansatz von Post/Spronk ebenfalls nur einen Spezialfall dar. Eine Verallgemeinerung 226 Vgl.

u. a. Land et al. 1993, S. 546; Cooper et al. 2002, S. 62. Zwar können Verteilungsparameter empirisch geschätzt werden, doch setzt dies die Beobachtung einer Stichprobe voraus, vgl. Jagannathan 1985, S. 97. Damit sind entweder für alle DMUs unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen oder Paneldaten erforderlich. Vgl. zur Modellierung des Chance-Constrained-Modells mit Paneldaten Olesen/ Petersen 1995, S. 450 ff. 227 Vgl. u. a. Sengupta 1998, S. 287. 228 Vgl. zu einfachen Kompensationsmodellen z. B. Dinkelbach/Kleine 1996, S. 118 ff., sowie zu allgemeineren rekursiven Programmen Kall/Wallace 1994, S. 26 ff. 229 Vgl. hierzu auch Kuosmanen/Post 2002 für den Fall unsicherer Input- und Outputpreise. 230 Diese werden unter der Klasse der normalized-risk comparable distributions zusammengefasst, zu der auch die Normalverteilung zählt. Vgl. hierzu und zum Beweis des genannten Zusammenhangs Bigelow 1993, S. 189 f.

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zur Berücksichtigung beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen und beliebiger rationaler Präferenzen scheint jedoch erstrebenswert. Des Weiteren ist unklar, wie die erforderlichen Verteilungsparameter in empirischen Untersuchungen gewonnen werden können. Der Vorschlag von Post/Spronk, zur Referenzbildung nur solche DMUs zu zuzulassen, die exakt dieselben Charakteristika aufweisen,231 ist speziell bei realitätsnahen Untersuchungen mit wenigen beobachteten DMUs unbefriedigend. Hierdurch würde nämlich eine Vielzahl an DMUs mangels Referenzen mit identischen Merkmalen als effizient ausgewiesen. Sofern eine stochastische Größe in der Leistungsmessung modelliert wird, wird eine (zumeist additive) Separierbarkeit von Ineffizienz und Zufall unterstellt. Dies mag für einen Faktor zutreffen, der nicht während der Produktion, sondern erst in der anschließenden Leistungsmessung auftritt, denn ein solcher Faktor beeinflusst die bereits abgeschlossene Leistungserstellung nicht. Wird jedoch die Produktion durch einen zufälligen Einfluss tangiert, ist eine solche Modellierung problematisch. Eine Effizienzkennzahl soll Auskunft darüber geben, in welchem Maße eine DMU effizient produziert, das heißt, die ihr zur Verfügung stehenden technischen Möglichkeiten ausschöpft. Hat ein stochastischer Faktor, wie z. B. das Wetter, Maschinenstillstände oder ein externer Faktor, einen Einfluss auf die Produktion, z. B. durch Veränderung der Kapazität oder der Produktionskoeffizienten, dann sind die Produktionsmöglichkeiten nicht unabhängig von diesem stochastischen Faktor zu sehen. Da die Leistungsmessung auf dem Vergleich der realisierten Leistung mit den theoretischen oder empirischen (best practice) Produktionsmöglichkeiten basiert, ist auch die Effizienz in Abhängigkeit der Ausprägung der Zufallsvariable zu modellieren. 232 Die Produktionsmöglichkeiten, das heißt die Technologiemenge TM , werden damit durch die Ausprägung des externen Faktors e, der im Folgenden stellvertretend für einen die Produktion beeinflussenden stochastischen Faktor steht, bedingt, das heißt TM (e). Im Weiteren wird der externe Faktor als diskret verteilt angenommen, und seine Ausprägung im h-ten Szenario wird mit eh (h ∈ H := {1, . . . , H}) bezeichnet. Die Technologiemenge unter dieser h-ten Ausprägung wird als TMh := TM (eh ) geschrieben. Auf dieselbe Weise werden die eingesetzten Input- und erzeugten Outputquantitäten sowie die erreichte Effizienz indiziert.

231 232

Vgl. S. 74. Vgl. zu den Unterschieden in der Schätzung von Ex-post- und Ex-ante-Kostenfunktionen auch Pope/Just 1996, S. 232 ff.; Moschini 2001, S. 361 ff.


79

Deterministische Produktion y1

x1 .. .

.. .

Produktion

yN

xM

⇒ Deterministische (wahre) Effizienz: θ Unsicherheit in den Daten (ξ)

Leistungsmessung mit unsicheren Daten xˆ1 = x1 .. . xˆM = xM

yˆ1 = y1 .. .

Produktion

yˆN = yN ⇒ Unsicherheit über deterministische Effizienz: θˆ = θ

Abbildung 3.6: Stochastische Leistungsmessung deterministischer Produktionen Abbildung 3.6 zeigt den Fall von unsicheren Daten im Rahmen der Leistungmessung anhand eines Input-Output-Systems. Hierbei ist die oben erwähnte (additive) Separierbarkeit durchaus plausibel, denn die DMUs operieren unter deterministischen bzw. als sicher angenommenen Bedingungen. Erst nach erfolgter Produktion, das heißt bei Erhebung der Input- und Outputdaten für die Leistungsmessung, tritt die Unsicherheit auf: Die gemessenen Werte (ˆ xm , yˆn ) weichen, z. B. aufgrund von Messfehlern (ξ), von ihren wahren Werten (xm , yn ) ab. Dieses Phänomen hat zweifellos einen Einfluss auf die Güte der Effizienzmessung, denn die wahre Effizienz (θ) kann nicht direkt berechnet werden, ˆ Dagegen bleibt die Produksondern ist mittels der beobachteten Daten zu schätzen (θ). tionsentscheidung der DMUs durch nachträgliche Messfehler unberührt. Eine abweichende Situation ergibt sich in Abbildung 3.7 aufgrund der Betrachtung einer stochastischen (Dienstleistungs-) Produktion, die neben den internen Inputs der Integra-

80


Stochastische Produktion x1 .. . xM

y1 Produktion

.. . yN

e ⇒ Stochastische (wahre) Effizienz: θ(e) Keine Unsicherheit in den Daten

Leistungsmessung mit sicheren Daten xˆ1 = x1 .. . xˆM = xM

yˆ1 = y1 Produktion

.. . yˆN = yN

eˆ = e ˆ = θ(e) ⇒ Keine Unsicherheit über stochastische Effizienz: θ(e) Abbildung 3.7: Leistungsmessung stochastischer Produktionen tion eines externen Faktors (e) bedarf. Hier findet die Produktionsentscheidung der DMUs unter Unsicherheit statt. Dementsprechend hängt die ex post erzielte, wahre Effizienz (θ) von der Ausprägung des externen Faktors ab, das heißt θ(e). Im Unterschied zu Abbildung 3.6 wird hierbei von sicheren Daten ausgegangen, so dass die beobachteten Inputund Outputdaten den wahren entsprechen. Die Herausforderung besteht nun nicht in einer möglichst guten Schätzung der einwertigen wahren Effizienz, sondern vielmehr in der korrekten Modellierung und Bestimmung der Effizienzverteilung.


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stochastisch

stochastische Leistungsmessung deterministischer Produktionen

stochastische Leistungsmessung stochastischer Produktionen

deterministisch

Daten

„klassische“ Leistungsmessung

„klassische“ Leistungsmessung stochastischer Produktionen

deterministisch

stochastisch

Produktion

Abbildung 3.8: Stochastische Daten versus stochastische Produktionen in der Leistungsmessung Unsicherheiten in der Produktionen und in den Daten sind also zwei unabhängige Dimensionen, die sich in einer Vier-Felder-Matrix gegenüberstellen lassen (Abbildung 3.8). Die in Kapitel 3.5.1 präsentierte „klassische“ Data Envelopment Analysis unterstellt vollständig bekannte Daten und zumindest implizit deterministische Produktionen. Die in Abschnitt 3.5.2.3 skizzierten stochastischen Ansätze berücksichtigen mögliche Fehler in den Daten, wobei ebenfalls von einer deterministischen Produktion ausgegangen wird. Hier wird der Unsicherheit in der Bestimmung der wahren Effizienz Rechnung getragen: Da diese auf Grundlage fehlerhafter Daten im Allgemeinen nicht ohne Weiteres berechnet, sondern nur geschätzt werden kann, sind Aussagen über die Güte der Schätzung erforderlich. Auch die Modelle zur Berücksichtigung ökonomischer Unsicherheiten (Abschnitt 3.5.3) behandeln Ineffizienz und Störung als separierbar. In Anbetracht der Wirkung eines stochastischen Faktors in der Produktion, der zwangsläufig zu unsicheren Outputs mit entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen führt, scheint dieses Vorgehen nicht gerechtfertigt. Viel-

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mehr ist auch die wahre Effizienz bei der Leistungsmessung stochastischer Produktionen unsicher. Das heißt, unter der Annahme fehlerfreier Daten kann bestenfalls die Effizienzverteilung bestimmt werden. Die Entwicklung einer Methodik zur Bestimmung und Bewertung der Effizienzverteilungen der DMUs steht im Fokus der vorliegenden Arbeit und wird im nächsten Kapitel erläutert. Der Fall, in dem stochastische Produktionen auf Grundlage unsicherer Daten zu beurteilen sind, wird in Abschnitt 6.3 aufgegriffen.

Stochastische Entscheidungstheorie

Leistungsmessung stochastischer Entscheidungen

Prognose der Handlungskonsequenzen

Erfassung realisierter Handlungskonsequenzen Inputs/ Outputs

Bewertung mit Nutzenfunktion

Bewertung mit Effizienzkennzahlen Nutzen je Zustand

Verteilung der Zustände

Verteilung des Nutzens (Erwartungsnutzen-) optimale Entscheidung

Stochastische Effizienzanalyse

Abbildung 3.9: Vergleich stochastischer Entscheidungen und deren Leistungsmessung

Abbildung 3.9 zeigt die Parallelen zwischen der Entscheidungsfindung unter Risiko und einem Verfahren zur Leistungsmessung solch unsicherer Entscheidungen. Auf der linken Seite sind wichtige Schritte der Entscheidungsfindung unter Unsicherheit dargestellt. Sind die zur Verfügung stehenden Alternativen bekannt, prognostiziert ein rationaler Entschei-


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dungsträger die mit ihnen verbundenen Konsequenzen für die möglichen bzw. als möglich erachteten Umweltzustände, das heißt, er bestimmt die Ergebnismatrix.233 Im Fall einer stochastischen Produktionsentscheidung sind insbesondere die für einen Zustand (hier eine Ausprägung des externen Faktors) prognostizierten Input- und Outputquantitäten von Bedeutung. Diese bewertet der Entscheidungsträger in einem zweiten Schritt für jeden Zustand mit Hilfe seiner Nutzenfunktion. In Verbindung mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Zustände (Ausprägungen des externen Faktors) kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung seines Nutzens bestimmt werden. Auf ihrer Grundlage wählt ein im Sinne Bernoullis rationaler Entscheidungsträger eine optimale Alternative. Dazu kommt neben der direkten Anwendung der Erwartungsnutzentheorie insbesondere die Anwendung einfacherer Entscheidungskriterien in Frage. Das zu entwickelnde Verfahren zur Leistungsmessung stochastischer (Dienstleistungs-) Produktionen, das auf der rechten Seite von Abbildung 3.9 dargestellt ist, orientiert sich logisch an dem Prozess der Entscheidungsfindung. Liegen Daten für jeden relevanten Umweltzustand vor, können die dazugehörigen Handlungskonsequenzen in Form der eingesetzen Input- und erzeugten Outputquantitäten beobachtet werden. Im Gegensatz zur Entscheidungssituation, in der sinnvollerweise alle möglichen Alternativen betrachtet werden, um eine optimale auswählen zu können, liegen bei einer nachträglichen Leistungsmessung im Allgemeinen nur Informationen über die tatsächlich realisierten Alternativen vor. Die von einer DMU gewählte Alternative (hier Produktion) wird für jeden Zustand mittels einer Effizienzkennzahl bewertet. Dieser Schritt entspricht der Nutzenzuordnung im Rahmen der Entscheidungstheorie und wird in Abschnitt 4.3 dargestellt. Hierzu stehen vor allem die in Abschnitt 3.1.1 präsentierten Effizienzkonzepte zur Verfügung. Diese üblicherweise als technische Effizienz bezeichneten Kennzahlen, sind – von positiven Input- und Outputpreisen abgesehen – unabhängig von den Präferenzen eines Entscheidungsträgers (Abschnitt 4.3.3). Sind Wertvorstellungen des Entscheidungsträgers bekannt oder lassen sich diese aus den beobachteten Daten ableiten, ist ein modifiziertes Effizienzkonzept anwendbar, das im Folgenden als wertorientierte Effizienz oder Werteffizienz bezeichnet wird (Abschnitt 4.3.4). Unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände (Ausprägungen des externen Faktors) lässt sich analog zur Verteilung der künftigen Nutzenwerte in der 233

Vgl. u. a. Bamberg/Coenenberg 2006, S. 23 ff.

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Entscheidungsfindung im Rahmen der Leistungsmessung eine Verteilung der Effizienz bestimmen. Die gewählte (unsichere) Alternative einer DMU kann sodann gegenüber den von anderen DMUs realisierten Produktionen auf Grundlage stochastischer Dominanzkonzepte überprüft werden (Abschnitt 4.4).

4 Entwicklung einer Methodik zur Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen 4.1 Beurteilungsrelevante Teilbereiche von Organisationen Neben den bereits formulierten Anforderungen an die konzeptionelle Gestaltung eines Verfahrens zur Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen sind weitere inhaltliche Aspekte zu beachten. Würden alle Produktionen, unabhängig von der Ausprägung des externen Faktors, zur Bildung der Technologiemenge herangezogen, ließe sich eine Art betriebliche Gesamteffizienz einer DMU bestimmen. Mit ihrer Hilfe kann zwar die abteilungsübergreifende Leistung einer DMU als Ganzes bewertet werden, sie bietet jedoch nur wenig Aufschluss über die Leistung der einzelnen Kettenglieder. Im Folgenden wird insbesondere zwischen der Produktion und dem Marketing unterschieden. Eine niedrige Gesamteffizienz einer DMU kann demnach durch eine ineffiziente Leistungserstellung und/oder eine bezüglich des externen Faktors suboptimale Kundenakquisition bzw. -selektion begründet sein. Die Differenzierung der Gesamteffizienz in ihre funktionalen (Teil-) Effizienzen für die Produktions- und Selektionsleistung ist wichtig, um einerseits Schwachstellen zu identifizieren und andererseits eine „faire“ Leistungsbeurteilung sicherzustellen. Denn letztere setzt die Steuerbarkeit der zur Bewertung herangezogenen Kriterien durch die analysierten DMUs bzw. deren Subeinheiten voraus. Mit anderen Worten, zur Leistungsbewertung von Entscheidungseinheiten sollten Größen verwenden werden, die möglichst frei von äußeren Einflüssen sind. Dementsprechend sollte die Produktionsabteilung nicht an der Kundenselektion bewertet werden, wenn sie diese nicht beeinflussen kann. Umgekehrt ist das Marketing nicht für eine ineffiziente Leistungserstellung verantwortlich. Um die Teilbereiche an geeigneten Kennzahlen beurteilen zu können, ist eine Zerlegung der betrieblichen Gesamteffizienz in eine Produktionseffizienz und eine Selektionseffizienz anzustreben. Die Produktionseffizienz dient der Beurteilung der Leistungserstellung im engeren Sinn und beantwortet damit die Frage, wie effizient unter einem gegebenen externen Faktor produziert wurde. Zu diesem Zweck wird eine realisierte Produktion anhand der für diese Ausprägung des externen Faktors gültigen Produktionsmöglichkeiten beurteilt.

86

4 Entwicklung einer Methodik zur Leistungsmessung

Die Selektionseffizienz soll dagegen die Auswirkung des externen Faktors auf die für alle DMUs identische Technologiemenge (Produktionsmöglichkeiten) erfassen.234 Zur Quantifizierung dieses Effekts wird der Abstand der Isoquanten (effizienten Ränder) unter verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors herangezogen. Die Veränderung der Produktionsmöglichkeiten infolge des externen Faktors ist von der Leistungserstellung selbst zu trennen und der Kundenselektion zuzurechnen, vorausgesetzt, diese kann prinzipiell gesteuert werden. Ist diese nicht oder nur unwesentlich kontrollierbar, handelt es sich nicht um ein Effizienzkriterium, sondern um ein Maß der Unterschiedlichkeit der exogen bestimmten Kundenstrukturen verschiedener DMUs. Der externe Faktor kann je nach gewähltem Produktionspunkt (Produktionsmix) einen zusätzlichen Einfluss auf die Produktionsmöglichkeiten haben. Dieser Effekt ist weder der Kundenselektion, noch der Produktion direkt zurechenbar und wird deshalb durch die im Folgenden Adaptionseffizienz genannte Kennzahl erfasst. Sie quantifiziert die Wirkung des externen Faktors auf eine Produktion, die über das Mindestmaß, das heißt den über die Selektionseffizienz ausgedrückten Abstand der Isoquanten, hinausgeht. Im Gegensatz zur Selektionseffizienz kann sich die Adaptionseffizienz durchaus zwischen den einzelnen Produktion unterscheiden, da eine schlechtere Ausprägung des externen Faktors nicht zwangsläufig nur eine proportionale Erhöhung aller Inputs zur Folge hat. Vielmehr sind auch veränderte Substitutionsmöglichkeiten denkbar, die sich auf die Krümmung der Isoquanten auswirken. Dies wurde bereits an dem in Abbildung 2.4, S. 15, eingeführten Beispiel einer Kfz-Reparatur offensichtlich. Abbildung 4.1 greift dieses Beispiel auf, um den Erklärungsbereich der unterschiedlichen funktionalen (Produktions-, Adaptions- und Selektions-) Effizienzen am Beispiel der Produktion z i2 von DMUi bei einem „mittleren Motorschaden“ (= e2 ) zu illustrieren. Die betriebliche Gesamteffizienz ergibt sich dabei aus der Bewertung der Produktion z i2 = (−2; −4; +1)T gegenüber den Produktionsmöglichkeiten unter der besten Ausprägung des externen Faktors (hier e3 , „leichter Motorschaden“). Die entsprechende Referenz ist z PAS = (−1; −2; +1)T und bestimmt die Gesamteffizienz von 50% (= 1/2 = 2/4).235 i2 Derjenige Teil der Gesamtineffizienz, der durch produktive Ineffizienzen zu erklären ist, 234

Eine für alle DMUs einheitliche Technologie ist die Voraussetzung, um Abweichungen von den effizienten Produktionsmöglichkeiten als Ineffizienz interpretieren zu können. 235 Die Superskripte P, A und S weisen auf die entsprechenden Funktionsbereiche Produktion, Adaption und Selektion hin. Zusammengesetzte Superskripte zeigen an, dass mehrere Funktionen berücksichtigt werden. Die Organisation, die alle drei Teilbereiche umfasst, wird entsprechend mit PAS gekennzeichnet.


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Meister 6 Erklärungsbereich Produktion Adaption Selektion

5 z i2

4

z P i2 PA z i2 z PAS i2

3 2

Schaden „mittel“ (e2 ) „leicht“ (e3 )

1 0

0

1

2

3

4

5

6

Mechaniker

Abbildung 4.1: Erklärungsbereich der verschiedenen Teileffizienzen bei „mittlerem Motorschaden“ beschränkt sich auf den horizontal schraffierten Bereich. Die produktive Referenz zu T z i2 ist z P i2 = (−1,55; −3,1; +1) . Demnach beträgt die Produktionseffizienz hier 77,5%

(= 1,55/2 = 3,1/4). Die Effizienzverluste infolge einer schlechten Ausprägung des externen Faktors resultieren aus dem kleinsten Abstand der beiden Isoquanten. Gemäß der Tschebyscheff-Norm wird der Abstand radial gemessen. Der geringste radiale Abstand der beiden Isoquanten besteht zwischen den Punkten (−0; −4; +1)T und (−0; −5; +1)T . Hieraus folgt die Selektionseffizienz von 80% (= 4/5) für die Reparatur eines mittleren Motorschadens. Die „80%-Projektion“ des effizienten Randes bei einem leichten Motorschaden beschränkt die Produktionsmöglichkeiten bei einem mittleren Motorschaden und ist gepunktet dargestellt.236 Der Teil der Gesamtineffizienz, der in dem vertikal schraffierten Bereich verläuft, ist durch die Selektionsineffizienz erklärbar. Im Beispiel zeigt sich jedoch, dass der Abstand zwischen den beiden Isoquanten nur an einer Stelle minimal ist. Hier berührt die projizierte Isoquante den bei einem mittleren Motorschaden gültigen effizienten Rand. Demzufolge existiert ein Teil der Gesamtineffizienz, der weder durch Selektions-, noch durch Produktionsineffizienzen erklärt werden kann. 236

Die radiale Projektion der Isoquante wird erreicht, indem alle Inputquantitäten mit dem Faktor 1,25 (= 1/0, 8) multipliziert werden. Denn in diesem Fall gibt die projizierte Isoquante diejenigen Produktionen an, die eine radiale Effizienz von 80% aufweisen.

88


Vielmehr ist die Wahl des Produktionspunktes (Produktionsmixes) ursächlich für derartige Effizienzverluste, die durch die adaptive Ineffizienz berücksichtigt werden (kariert eingezeichnet). Die adaptive Effizienz von z i2 ergibt sich aus dem Vergleich der produkT tiv effizienten Referenz z P i2 = (−1,55; −3,1; +1) und der produktiv-adaptiv effizienten PA T Referenz z i2 = (−1,25; −2,5; +1) = (−1/0,8; −2/0,8; +1)T . Sie beträgt etwa 80,6%

(= 1,25/1,55 = 2,5/3, 1). Aufgrund der multiplikativen Zerlegung der Gesamteffizienz, entspricht diese dem Produkt der drei funktionalen Effizienzwerte (0,775·0,806·0,8 = 0,5).

Ausprägung des externen Faktors „Motorschaden“

e1 „schwer“

e2 „mittel“

e3 „leicht“

1

Wahrscheinlichkeit

p1 = 0,3

p2 = 0,5

p3 = 0,2

0

Effizienzkennzahlen – Gesamtbetrieb

– Produktion

– Adaption

– Selektion

1 0

1 0

1 0

1 0

P {e eh } eh e1 e2 e3 FiPAS (s) s 0

1

FiP (s) s 0

1

FiA (s) s 0

1

FiS (s) s 0

1

Abbildung 4.2: Schritte der Leistungsmessung stochastischer Produktionen


89

Die in Abbildung 4.1 skizzierte differenzierte Effizienzbetrachtung liefert den Ausgangspunkt der in Abbildung 3.9, S. 82, allgemein dargestellten Leistungsmessung stochastischer Produktionen für die Reparatur eines mittleren Motorschadens (e 2 ). Analog dazu sind für alle möglichen Ausprägungen des externen Faktors die zugehörigen funktionalen Effizienzen zu bestimmen. Abbildung 4.2 stellt die Ergebnisse dieses Schrittes (vertikal) für insgesamt drei Ausprägungen des externen Faktors beispielhaft dar, wobei eine höhere Effizienz durch einen größeren (grauen) Balken gekennzeichnet wird. Ein vollständig ausgefüllter Balken zeigt eine Effizienz von eins an, ein leerer Balken eine Effizienz von null. Die funktionalen Effizienzen sind durch kürzere Balken dargestellt, um anzudeuten, dass sie im Allgemeinen nur einen Teil der Gesamteffizienz erfassen. Man beachte, dass aufgrund der multiplikativen Verknüpfung, die Gesamt(in)effizienz nicht der Summe der funktionalen (In-) Effizienzen entspricht. Da sich die Ergebnisse dieser Analyse jeweils auf eine Ausprägung des externen Faktors beziehen, handelt es sich um eine durch den externen Faktor bedingte Effizienzanalyse. Diese wird in Abschnitt 4.3 ausführlich vorgestellt, wobei eine weitere – in Abbildung 4.2 nicht thematisierte – Unterscheidung in technische und wertorientierte Effizienzkennzahlen vorgenommen wird. Während bei erstgenannten die klassische Effizienzdefinition nach Pareto und Koopmans zu Grunde liegt, werden bei letzteren modifizierte Effizienzkonzepte verwendet. Diese ermöglichen die Berücksichtigung der durch die DMUs offenbarten Präferenzen. Um die Leistung einer DMU bzw. ihrer Funktionsbereiche nicht nur für die einzelnen Ausprägungen des externen Faktors, sondern insgesamt bewerten zu können, wird in Abschnitt 4.4 eine aggregierte stochastische Effizienzanalyse vorgeschlagen. Während bei der bedingten Effizienzanalyse unter den verschiedenen Szenarien unterschiedliche Referenzen zugelassen sind, wird bei der stochastischen Dominanzanalyse überprüft, ob es eine Referenzeinheit gibt, die die zu beurteilende DMUi dominiert, so dass ihre Verteilung von allen Entscheidungsträgern mit bestimmten Präferenzen als „besser“ bezeichnet wird. Hierzu werden die bedingten Effizienzwerte, die als Ausprägungen einer Zufallsvariable zu interpretieren sind, mit den entsprechenden Eintrittswahrscheinlichkeiten zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen zusammengefasst. Diese lassen sich sodann mit Hilfe stochastischer Dominanzkonzepte bewerten. Für die in Abbildung 4.2 dargestellte DMUi resultieren die Verteilungsfunktionen aus der zeilenweisen Aggregation der szenarioabhängigen Effizien-

90


zen mit ihren jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten. Sind die Ausprägungen des externen Faktors eh (h ∈ H := {1, . . . , H}, wobei h die Ausprägungen in aufsteigender Qualität indiziert) diskret verteilt, so erhält man auch für die Verteilungen der stochastischen Effizienzwerte θiτ diskrete Verteilungen Fiτ (s) := P {θiτ s} mit τ ∈ {PAS, P, A, S}. Bevor jedoch auf die Darstellung der Methodik eingegangen wird, sind im nächsten Abschnitt 4.2 die Auswahl des Modells und die zu Grunde gelegten Annahmen zu begründen.

4.2 Grundlegende Annahmen zur Entwicklung der Methodik 4.2.1 Begründung der Entscheidung für die Data Envelopment Analysis Die in den Abschnitten 2.3, S. 22, und 3.6, S. 75, formulierten Anforderungen an ein Verfahren zur Beurteilung stochastischer Dienstleistungsproduktionen werden von bisher bekannten parametrischen und nichtparametrischen Verfahren nur eingeschränkt erfüllt. Der als wesentlicher Vorteil der SFA angeführte stochastische Charakter ist zur Beurteilung stochastischer Produktionen von untergeordneter Bedeutung. So erfolgt die Schätzung der Produktionsfunktion bei der SFA zwar mittels stochastischer Verfahren, der mögliche Einfluss eines stochastischen Faktors auf die Produktionsmöglichkeiten bleibt dagegen ebenso unberücksichtigt, wie bei stochastischen DEA-Ansätzen. Damit ist weder auf Grundlage der diskutierten parametrischen, noch auf Basis der skizzierten nichtparametrischen Verfahren eine faire Leistungsbeurteilung stochastischer Entscheidungen möglich. Der Verzicht auf die Vorgabe einer parametrischen Produktionsfunktion ist der zentrale Vorteil der DEA. Speziell im Dienstleistungsbereich, in dem es an einer allgemein akzeptierten produktionstheoretischen Fundierung fehlt, wäre die Notwendigkeit, eine parametrische Produktionsfunktion zu spezifizieren, problematisch. Aus diesem Grund bietet sich die DEA als Basis für die zu entwickelnde Methodik an.237 In den beiden folgenden Abschnitten soll auf die grundlegenden Annahmen eingegangen werden. Wie in Abschnitt 3.5.1 allgemein dargestellt wurde, ist insbesondere die Wahl der Technologiemenge und des Abstandsmaßes kritisch und daher zu begründen.

237

Es wird sich jedoch zeigen, dass sich in analoger Weise eine Methodik auf Basis der parametrischen Verfahren ableiten ließe.


91

4.2.2 Wahl der Technologie aus nutzentheoretischer Sicht Die auch dem CCR-Modell zu Grunde liegende Technologiemenge mit konstanten Skalenerträgen ist die wohl am häufigsten verwendete Technologie zur Beurteilung der technischen Effizienz. Dagegen wird zur Beurteilung der allokativen Effizienz, die die Kenntnis der Relativpreise voraussetzt, in der Regel auf eine Technologiemenge mit variablen Skalenerträgen zurückgegriffen.238 Dabei bleibt jedoch zumeist offen, weshalb diese Einschränkung erfolgt. In diesem Abschnitt soll die zu Grunde liegende Problematik untersucht und eine modifizierte Interpretation einer Technologie mit konstanten Skalenerträgen vorgeschlagen werden, die in Einklang mit der Nutzentheorie steht. Hierzu sind einige Ausführungen zu Präferenzen und der so genannten Bewertungsfunktion hilfreich: Ein Entscheidungsträger besitzt eine Präferenz zwischen zwei Produktionen z A und z B , wenn er z A vorzieht (z A z B ), z B vorzieht (z B z A ) oder zwischen beiden Produktionen indifferent ist (z A ∼ z B ). Wird eine Produktion als mindestens gleichwertig beurteilt, ist von schwacher Präferenz (z A z B bzw. z A z B ) die Rede. Im Folgenden wird eine vollständige und transitive Präferenzordnung unterstellt: Die Vollständigkeit besagt, dass der Entscheidungsträger eine Präferenz zwischen allen Produktionspaaren angeben kann. Transitivität liegt vor, wenn aus z A z B und z B z C folgt z A z C . Solche ordinalen Relationen lassen sich äquivalent durch eine Bewertungsfunktion (Wertfunktion) abbilden:239 Definition 4.1 (Bewertungsfunktion) Man bezeichnet G(z) als Bewertungsfunktion, wenn sie einer Produktion z A genau dann einen größeren Wert zuordnet als einer Produktion z B , falls z A gegenüber z B präferiert wird, so dass G(z A ) > G(z B ) ⇔ z A z B und analog dazu G(z A ) G(z B ) ⇔ z A z B , G(z A ) = G(z B ) ⇔ z A ∼ z B . 238

Vgl. z. B. Lovell 1994, S. 208 f.; Cooper et al. 2000a, S. 106; Cooper et al. 2000b, S. 226 f. Vgl. auch Bardhan et al. 1996, S. 327, wobei zusätzlich die Binarität der Linearfaktoren, also eine FDH-Technologie unterstellt wird. 239 Vgl. u. a. Bamberg/Coenenberg 2006, S. 33 ff.; Eisenführ/Weber 2003, S. 98 f.

92


Unterstellt man ein anreizkompatibles Entlohnungssystem, so dass die Entscheidungsträger der DMUs an dem erwirtschafteten Erfolg beteiligt werden, steigt ihre Entlohnung streng monoton mit dem erzielten Erfolg, z. B. dem Gewinn240 . Wird ferner davon ausgegangen, dass die Entscheidungsträger ihren (subjektiven) Nutzen lediglich aus ihrer Entlohnung erhalten, ist der Nutzen uj eine Funktion des Gewinns, das heißt uj (G(z j )). Dann erfüllt der Gewinn die Anforderungen einer Bewertungsfunktion nach Definition 4.1. Bei konstanten Input- und Outputpreisen bn und cm liegt eine lineare Bewertungsfunktion vor. Zudem werden identische Preise für alle DMUs zu Grunde gelegt.241 Es ist zu beachten, dass die Bewertungsfunktion keine Aussagen darüber zulässt, um wie viel eine Produktion besser eingestuft wird als eine andere. Folglich lässt sich aus ihr der Nutzen einer DMU nicht ohne Weiteres bestimmen. Allerdings ist klar, dass die DMU ihren Nutzen durch diejenige Produktion maximiert, für die die Bewertungsfunktion ihr Maximum erreicht, denn in diesem Fall existiert keine andere präferierte Produktion. Annahme 4.1 (Rationalität) DMUj (j ∈ J) verhält sich rational und maximiert durch die Wahl ihrer Produktion z j den Gewinn G(z j ) und damit ihren Nutzen uj (G(z j )). Die so genannte Gewinneffizienz umfasst neben der technischen auch die allokative (Preis) Effizienz.242 Als nichtorientiertes Modell berücksichtigt sie die mit Preisen bewerteten Abweichungen bezüglich der Outputs und Inputs. Mit ihrer Hilfe soll beurteilt werden, in welchem Maß die betrachtete DMUi das Gewinnpotenzial ausschöpft. Hierzu wird eine Referenzproduktion bestimmt, die den maximal möglichen Gewinn erzielt. Das folgende additive DEA-Modell liefert ein Ineffizienzmaß, das die zusätzlichen Inputkosten sowie die entgangenen Erlöse, kurzum die Opportunitätskosten, erfasst.243

240

Hier und im Folgenden bezieht sich der Begriff „Gewinn“ stets auf die der Produktion selbst zurechenbaren Effekte, das heißt auf den Gewinn- oder Deckungsbeitrag; Fixkosten der DMUs sind entscheidungsirrelevant und daher nicht zu berücksichtigen. 241 Diese Annahme wird in Abschnitt 6.2, S. 196, aufgegeben. 242 Aus methodischer Sicht dienen Gewinneffizienz und technische Effizienz als Basis zur Ermittlung der allokativen Effizienz. Letztere erfasst jenen Teil der Gewinneffizienz, der nicht durch die technische Effizienz erklärt wird; vgl. Farrell 1957, S. 260 f. 243 Vgl. Cooper et al. 1999a, S. 27. Hier wurde auf die Möglichkeit, DMU-individuelle Preise zu berücksichtigen, verzichtet.


93

(DEA-GE) bn · d+ cm · d− max n + m n∈N

m∈M

u. d. N. (1) λj · xmj + d− m = xmi (∀m ∈ M) j∈J

(2)

λj · ynj

j∈J

− d+ = yni n

(3)

(∀n ∈ N)

λj = 1

j∈J

λj 0 + d− m , dn ∈ R

(∀j ∈ J) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N).

Neben der direkten Interpretation der Zielgewichte (Normierungsfaktoren) b n (= t+ n ) als Outputpreis des n-ten Outputs und cm (= t− m ) als Inputpreis des m-ten Inputs der DMUi , − fällt die Unbeschränktheit der Schlupfvariablen d + n und dm auf. Hierdurch werden Sub-

stitutionsbeziehungen von Inputs und Outputs ermöglicht. Im Unterschied zu den DEAModellen zur Beurteilung der technischen Effizienz interessieren hier nicht Input- und Outputquantitäten; nur der erreichte Gewinn ist von Bedeutung.244 Das heißt, der verstärkte Einsatz einzelner Inputs und/oder die verringerte Ausbringung einzelner Outputs der Referenzproduktion ist zulässig, solange der Gewinn der Referenz nicht kleiner ist als der von DMUi . − Das Modell (DEA-GE) lässt sich nach Substitution von d+ n und dm in der Zielfunktion

schreiben als (DEA-GE’) max

bn ·

n∈N

λj · ynj − yni

j∈J

+

m∈M

cm ·

xmi −

λj · xmj

j∈J

u. d. N. (1) λj = 1 j∈J

λj 0

244

(∀j ∈ J).

Durch die Reduzierung auf ein skalares (Gewinn-) Ziel ist hier der Begriff „Effizienz“ gleichbedeutend mit „Optimalität“.

94


Die Zielfunktion lautet nach Umformung max

j∈J

!

λj · !

bn · ynj −

n∈N

cm · xmj

m∈M

"#

− $

(konstanter) Gewinn G(z j ) der DMUj

"#

$

!

n∈N

bn · yni −

m∈M

"#

cm · xmi . $

(konstanter) Gewinn G(z i ) der DMUi

Gewinn der zu bestimmenden Referenz

Dabei gibt der erste Term den zu maximierenden Referenzgewinn an. Mit dem zweiten Term wird der Gewinn der DMUi subtrahiert, um ihre Ineffizienz als (positive) Abweichung von dem höchstmöglichen Gewinn zu bestimmen. Der zweite Term ist aufgrund seiner Konstanz nicht entscheidungsrelevant und kann zur Bestimmung der optimalen Lösung λ∗j (∀j ∈ J) vernachlässigt werden. Das Programm (DEA-GE’) entspricht dann einem Gewinnmaximierungsproblem, bei dem die „Durchführungshäufigkeiten“ λj der einzelnen Alternativen (DMUj ) bestimmt werden sollen. Da die Durchführungshäufigkeiten beschränkt sind und keine weiteren Nebenbedingungen vorliegen, ist mindestens eine beobachtete DMUj mit höchstem Gewinn, also eine Ecke245 des Alternativenraums, maßgeblich für die optimale Lösung.246 Abbildung 4.3 zeigt die Produktionsmöglichkeiten einer 1-Input-1-Output-Technologie mit variablen Skalenerträgen. Darüber hinaus stellt sie zwei Gewinnisoquanten, das heißt Punkte gleichen Gewinns, bei den Preisen b1 = c1 = 1 dar. Die Produktion z B erzielt als einzige einen maximalen Gewinn von G(z B ) = 3 (= 6 − 3). Die Produktionen z A und z C erzielen einen Gewinn von G(z A ) = G(z C ) = 2 (= 4 − 2 bzw. 7 − 5). Damit ist z B die gewinnoptimale Referenz zu allen beobachteten Produktionen, und zwar unabhängig von deren eingesetzten Input- und Outputquantitäten.247 Bei einer Technologie mit konstanten Skalenerträgen, also unter Vernachlässigung von Restriktion (1) des Modells (DEA-GE’), sind die Entscheidungsvariablen λj (∀j ∈ J) nicht nach oben beschränkt. Falls auch nur eine einzige DMUj (∃j ∈ J) mit einem

245

Vgl. zur Definition einer Ecke z. B. Domschke/Drexl 2005, S. 19, Definition 2.7. Vgl. Dantzig 1963, S. 154 f., Theorem 3; Neumann/Morlock 2004, S. 48 f., Satz 1.1.5; Domschke/Drexl 2005, S. 20, Satz 2.2. Dabei sind Mehrfachlösungen möglich, wenn mehrere DMUs (Ecken) denselben maximalen Gewinn erzielen. 247 Man beachte, dass alle drei beobachteten Produktionen technisch effizient im Sinne von Pareto/Koopmans sind. 246

4.2 Grundlegende Annahmen zur Entwicklung der Methodik G=3

y1

95

G=2

8 7

TMVRS

zC

6

zB

5 4

zA

3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

Abbildung 4.3: Bestimmung der gewinnmaximalen Referenz (beliebig kleinen) positiven Gewinn existiert, gehen λj und damit der Zielfunktionswert von (DEA-GE’) gegen unendlich. Das heißt

bn · ynj −

n∈N

cm · xmj > 0 ⇒ λj → ∞ (∃j ∈ J)

m∈M

⇒

j∈J

λj ·

n∈N

bn · ynj −

cm · xmj

→ ∞.

m∈M

Dies gilt selbst dann, wenn die betrachtete DMUi den höchsten Gewinn aller DMUs erzielen würde. Sie würde dann ihre eigene Referenz (mit-) bestimmen, wobei λ i → ∞. Die Problematik wird in Satz 4.1 zusammengefasst:

Satz 4.1 Unter einer nichtbeschränkten Technologie mit konstanten Skalenerträgen und unter konstanten Input- und Outputpreisen (cm und bn ) ist die Wahl einer positiven, endlichen Produktion z j nur dann rational, wenn mit ihr ein Gewinnbeitrag von G(z j ) = 0 verbunden ist.

96


Beweis: Unter konstanten Skalenerträgen folgt aus der Zulässigkeit der Produktion z j einer DMUj die Realisierbarkeit der Produktion λ · z j (∀λ 0), das heißt T z j = −xj , +y j ∈ TM

⇒

T λ · z j = −λ · xj , +λ · y j ∈ TM

(∀λ 0).

Mit den Outputpreisen (bn ) und den Inputpreisen (cm ) ist die Bewertungsfunktion G bestimmt. Sie quantifiziert den Erfolg, wie z. B. den Gewinn- oder Deckungsbeitrag, der Produktion z j als G(z j ) =

bn · ynj −

n∈N

cm · xmj .

m∈M

Der Nutzen für DMUj ergibt sich durch Bewertung des Gewinns mit ihrer (subjektiven) Nutzenfunktion uj als uj (G(z j )) = uj

bn · ynj −

n∈N

cm · xmj

.

m∈M

Die λ-fache Produktion führt zu einem λ-fachen Gewinn, denn G(λ · z j ) =

bn · (λ · ynj ) −

n∈N

=λ·

cm · (λ · xmj )

m∈M

bn · ynj −

n∈N

cm · xmj

m∈M

= λ · G(z j ). Unterstellt man einen rationalen Entscheidungsträger mit ungesättigten Präferenzen (u > 0)248 folgt aus einem höheren Gewinn unmittelbar ein höherer Nutzen. Es sind drei Fälle zu unterscheiden: a) Bei einem positiven Gewinn von G(z j ) > 0 ist eine Erhöhung der Produktion sinnvoll. Ohne einer Beschränkung von λ 0 nach oben, ginge λ, das heißt die Produktionsausweitung und damit der Gewinn, gegen unendlich, so dass λ → ∞ =⇒ G(λ · z j ) → ∞. 248

Es bezeichnet u die erste Ableitung der Nutzenfunktion u, deren Existenz im relevanten Bereich angenommen wird.


97

Entsprechend ginge in diesem Fall auch der Nutzen gegen unendlich. b) Bei einem negativen Gewinn von G(z j ) < 0 wäre eine Verringerung der Produktion vorteilhaft, so dass λ und damit der Gewinn auf null reduziert würden. Demnach gilt λ = 0 =⇒ G(λ · z j ) = 0, was den Nutzen maximiert. c) Bei einem Gewinn von G(z j ) = 0 hat die Wahl von λ keinen Einfluss auf den Gewinn. Dieser bleibt unverändert null, das heißt G(z j ) = 0 =⇒ G(λ · z j ) = λ · G(z j ) = 0 (∀λ 0). Dementsprechend wird auch der Nutzen uj durch den Parameter λ nicht verändert. Die Wahl einer endlichen Produktion λ · z j mit λ ∈ (0; ∞), also insbesondere auch λ = 1, ist unter konstanten Skalenerträgen nur dann rational, wenn G(λ · z j ) = 0 (∀λ 0). Für alle anderen Situationen stellt λ = 1 eine irrationale Wahl dar, da sich entweder der positive Gewinn vergrößern ließe, oder der negative Gewinn reduziert werden könnte. In der Realität lassen sich aber weder unendlich große Quantitäten noch „Nullproduktionen“, bei denen definitionsgemäß keine Leistung erstellt wird, beobachten. Die Rationalität einer Entscheidung für eine positive, aber endliche Produktion z j setzt unter konstanten Skalenerträgen daher einen Erfolg von G(z j ) = 0 voraus. Sofern dies nicht gilt, ist die Annahme der Rationalität nicht ohne Weiteres mit der Annahme konstanter Skalenerträge vereinbar. Der aufgezeigte Widerspruch resultiert aus der vernachlässigten Unterscheidung der technischen Möglichkeiten einerseits und des erreichten Erfolgs bzw. Nutzens andererseits.249 Während aus effizienztheoretischer Sicht die Input- und Outputquantitäten als Grundlage zur Ermittlung der technischen Effizienz dienen, interessiert aus nutzentheoretischer Sicht der mit den Outputs bzw. Inputs verbundene Gewinnzuwachs bzw. -verlust. Unterstellt man eine Technologie mit konstanten Skalenerträgen, so verändert sich der (technische) Output proportional zu den Inputs. Die Verdopplung der Inputs würde somit den Output, 249

Vgl. dazu auch Dyckhoff 1992, S. 85 f.

98


z. B. die Ausbringungsmenge oder auch die Qualität der Leistung, verdoppeln.250 Hieraus lässt sich jedoch keine direkte Aussage über den erzielten Erfolg und damit den Nutzen ableiten. Dieser resultiert beispielsweise aus der abgesetzten Menge oder (mittelbar) der erreichten Kundenzufriedenheit. Damit steigt der Erfolg nur dann proportional mit der Ausbringungsmenge, wenn eine entsprechend hohe Nachfrage besteht, so dass sich die zusätzliche Produktionsmenge absetzen lässt. Analog dazu realisiert ein Unternehmen auch nur dann einen zusätzlichen Gewinn aus einer höheren Qualität, wenn die Kunden diese wahrnehmen und entsprechend würdigen. Steigert eine weitere Verbesserung der Qualität die Kundenzufriedenheit dagegen nicht, resultiert auch kein zusätzlicher Gewinn für das Unternehmen und damit auch kein Nutzenzuwachs für den Entscheidungsträger. Die Modellierung eines begrenzten Bereichs mit positivem Grenzertrag erfolgt über eine abschnittsweise Definition der DMU-spezifischen Outputpreise mit

bnj (ynj ) =

⎧ ⎪ ⎨bn , ynj y , nj ⎪ ⎩0,

ynj > y nj ,

wobei y nj die Obergrenze des n-ten Outputs angibt, bis zu der DMUj einen positiven Gewinnzuwachs aus der Produktion dieses Outputs zieht. Möglicherweise sind auch Untergrenzen y nj 0 gegeben, die nicht unterschritten werden dürfen, um eine Mindestqualität oder eine gewisse Lieferbereitschaft sicherzustellen. Dann würde zusätzlich gelten ynj y nj 0. Für ynj ∈ [y nj ; y nj ] stiftet eine produzierte Einheit einen, für alle DMUs als identisch angenommenen, positiven Erfolg von bn . Übersteigt die produzierte Menge jedoch die Obergrenze y nj , so beträgt der Gewinnbeitrag einer weiteren Produktionseinheit null. Dieser Grenzwert könnte beispielsweise durch die Nachfrage determiniert werden. Im Allgemeinen sind weder Ober- noch Untergrenze dem Analysten a priori bekannt. Es gilt jedoch der folgende Satz 4.2, nach dem sich die relevanten Informationen aus den Produktionsdaten ableiten lassen. Satz 4.2 Die beobachtete DMUj (j ∈ J) sei rational gemäß Annahme 4.1. Sie stelle unter konstanten Skalenerträgen N Outputs her, über die sie autonom entscheiden könne und zwischen denen keine gemeinsamen Restriktionen bestünden. Ferner existiere ein beschränkter Bereich [y nj ; y nj ], in dem sich der Erfolg (z. B. der gesamte Verkaufserlös) mit bn · ynj proportional zum Output verhalte (∀n ∈ N). 250

Vgl. zur Messung der Dienstleistungsqualität u. a. Bruhn 2006, Kapitel 4, S. 83 ff.


99

a) Realisiert DMUj mit der Herstellung des n-ten Produkts einen positiven Deckungsbeitrag, versucht sie den Output dieses Produkts zu maximieren. Es gilt y nj = ynj , das heißt, die DMU produziert das n-te Produkt an der Obergrenze des Bereichs mit positivem Grenzertrag. b) Entsteht DMUj durch die Herstellung des n-ten Produkts ein negativer Deckungsbeitrag, versucht sie die Ausbringung dieses Produkts zu minimieren. Es gilt y nj = ynj , das heißt, die DMU produziert das n-te Produkt in der geforderten Mindestmenge. c) Bei einem Deckungsbeitrag von null einer produzierten Einheit des n-ten Produkts kann keine Aussage über die Ober- und Untergrenze des Bereichs mit positivem Grenzertrag gemacht werden. Es gilt lediglich y nj ynj y nj .

Beweis: Kann eine DMU über all ihre Outputs individuell entscheiden und bestehen keine gemeinsamen Restriktionen, können die einzelnen Outputs isoliert betrachtet werden. Denn das N -Produkt-Unternehmen lässt sich (gedanklich) in N Ein-ProduktUnternehmen zerlegen. Der Beweis erfolgt daher für den Einproduktfall, so dass n = N = 1. a) Erhält DMUj aus der Produktion des n-ten Guts einen positiven Erfolg (und damit Nutzen), kann sie durch Ausweitung ihrer Produktion bis zu einer maximalen Ausbringungsmenge von y 1j einen weiteren Nutzenzuwachs realisieren. Für y1j > y 1j ist der Grenzertrag der Produktion dagegen negativ und der Nutzen sinkt, denn während die zusätzliche Ausbringung keinen Ertrag (Verkaufserlös) stiftet, fallen nach wie vor Produktionskosten an. Eine rationale DMUj realisiert das Gewinnund damit das Nutzenmaximum, das heißt y1j = y 1j . b) Ein umgekehrtes Bild ergibt sich, wenn DMUj einen negativen Ertrag aus der Herstellung des n-ten Produkts zieht. Sie versucht diesen so weit wie möglich durch Einschränkung der Produktion zu reduzieren. Den minimalen Verlust erleidet sie für y1j = y 1j , so dass sie die geringstmögliche Ausbringung wählt. c) Ist mit dem n-ten Produkt ein Stückdeckungsbeitrag von null verbunden, hat die Produktionsmenge keinen Einfluss auf den Gesamterfolg einer Produktion. 251 Jede erzeugte Menge des n-ten Produkts im Intervall [y 1j ; y 1j ] führt zu demselben 251

Probleme infolge einer beschränkten Kapazität werden bei dieser Argumentation außen vor gelassen.

100

4 Entwicklung einer Methodik zur Leistungsmessung Ertrag von null und einem identischen Nutzen. DMUj wählt eine beliebige Produktionsmenge aus diesem Intervall, da sie die Mindestgrenze nicht unterschreiten darf und das Überschreiten der Obergrenze den Erfolg und damit den Nutzen schmälern würde.

Gemäß Satz 4.2 ist die Kenntnis des Gültigkeitsbereichs der Outputpreise b n (∀n ∈ N) für DMUj (∀j ∈ J) nicht erforderlich. Alle DMUs werden solche Produktionen wählen, für die der Preis bn gilt, da das Unterschreiten des Bereichs nicht zulässig und das Überschreiten irrational wäre. Methodisch können daher im relevanten Bereich für alle Outputs konstante Preise bn unterstellt werden. Damit sind die beobachteten Produktionen nutzentheoretisch begründbar. Allerdings ist alleine aus den Produktionsdaten keine Aussage darüber möglich, ob eine betrachtete DMUj einen Gewinn oder einen Verlust realisiert, das heißt, ob sie an der Ober- oder Untergrenze des Intervalls [y 1j ; y 1j ] produziert. Das Phänomen verlustbringender Produktionen besteht nur kurzfristig. Mittel- bis langfristig sind aufgrund der Variabilität der kurzfristig fixen Kosten nur Produktionen mit einem nichtnegativen Gewinnbeitrag zu erwarten, sofern ein freier Marktaustritt möglich ist. Sieht man von dem eher unrealistischen Fall eines Gewinns von null ab, werden mittel- bis langfristig alle DMUs an der Obergrenze y 1j produzieren. Kann über die Herstellung verschiedener Outputs nicht autonom entschieden werden, z. B. aufgrund einer verfahrensbedingten Kuppelproduktion mit nicht vollständig flexiblem Ausbringungsverhältnis, so gilt Satz 4.2 im Allgemeinen nicht. Um den Erfolg und damit den Nutzen zu maximieren, kann es durchaus sinnvoll sein, einzelne Produkte auch dann herzustellen, wenn der Ertrag (Verkaufserlös) dieses Produkts null beträgt, sich dadurch aber der Ertrag aus mindestens einem der Verbundprodukte und damit insgesamt erhöhen lässt. Umgekehrt kann auch der Fall auftreten, dass die Obergrenze des Bereichs mit positivem Grenzertrag nicht ausgeschöpft wird, wenn z. B. die Produktionsausweitung des betrachteten Produkts eine Produktionsausweitung eines anderen Produktes nach sich ziehen würde, das keinen positiven Grenzertrag bietet und sich deshalb insgesamt ein geringerer Erfolg ergäbe. Auch die Untergrenze des relevanten Bereiches wird bei verlustbringenden Produkten nicht zwangsläufig realisiert, wenn dadurch z. B. die Herstellung anderer gewinnträchtiger Produkte so stark einzuschränken wäre, dass der Gesamterfolg sinken würde. Dieser Aspekt wird einerseits dadurch abgeschwächt, dass eine starre


101

Kuppelproduktion mit einem durch das Verfahren vollständig determinierten Ausbringungsverhältnis als Ein-Output-Fall modelliert werden kann; es ist dann lediglich über das Niveau der Produktion zu entscheiden. Zum anderen können flexible Kuppelproduktionen bzw. die damit verbundenen Restriktionen an das Ausbringungsverhältnis durch konvexe Technologien nur bedingt abgebildet werden, denn bei einer verfahrensbedingten Verbundproduktion folgt aus der Zulässigkeit zweier Produktionen nicht unmittelbar die Zulässigkeit beliebiger Konvexkombinationen. Eine Möglichkeit dies zu berücksichtigen stellt die Modellierung einer verallgemeinerten nichtkonvexen Technologie dar, die jedoch zusätzlicher exogener Informationen bedarf.252 Eine DMUj (j ∈ J) hat zwar kurzfristig meist keinen Einfluss auf die Ober- und Untergrenzen der Ausbringungsmengen, so dass eine proportionale Skalierbarkeit nur innerhalb des begrenzten, aber zumindest teilweise unbekannten Intervalls möglich ist.253 Zur Effizienzbeurteilung der Produktion einer anderen DMUi kann DMUj aber auch dann herangezogen werden, wenn sie sich einer viel kleineren (oder größeren) Nachfrage gegenübersieht. Die Begründung liegt in dem Zweck der Größenanpassung. Für DMU j sollen hierdurch keine Handlungsempfehlungen abgeleitet werden, die – unter der Annahme eines rationalen Verhaltens – ohnehin nicht realisierbar oder irrational wären. Vielmehr soll eine Vergleichsbasis für die zu bewertende DMUi geschaffen werden. Ihre Leistung kann mit der von DMUj verglichen werden, indem für letztere dieselbe Ausgangsposition, das heißt dieselben Grenzwerte (z. B. eine identische Nachfrage), unterstellt wird. Insbesondere wenn sich DMUj einer kleineren Nachfrage gegenübersieht als DMUi , so dass ynj = y nj < y ni = yni , stellt die zur Bewertung von DMUi herangezogene virtuelle Referenz ein rein theoretisches Konstrukt dar. Das Verständnis der Technologiemenge primär als Referenzmenge hat keine methodischen Auswirkungen auf die Effizienzanalyse, sondern verändert „nur“ die Interpretation. Im Folgenden soll die in diesem Abschnitt nutzentheoretisch begründete Technologie mit konstanten Skalenerträgen unterstellt werden. 4.2.3 Eignung eines inputorientierten radialen Effizienzmaßes Da der Output marktseitig durch eine endliche Nachfrage exogen beschränkt ist und die DMUs bei rationalem Verhalten bei einem positiven Deckungsbeitrag genau diesen Grenzwert realisieren werden, bieten sich inputorientierte Modelle an. Der Output wird hierbei 252 253

Vgl. zu einer verallgemeinerten Technologie Kleine 2002, S. 145 ff. Unter den oben unterschiedenen Konstellationen lässt sich in der Regel nur eine Schranke ableiten, die obere oder die untere. Die jeweils andere bleibt unbekannt.

102


als untere Schranke für die Referenz vorgegeben, so dass diese mindestens den Output der zu beurteilenden DMUi erzeugt. Dagegen haben Überschreitungen der Outputs der Referenz- gegenüber der Test-Produktion keine Auswirkung auf das Effizienzmaß. Dieses wird ausschließlich durch die Inputeinsparungen bestimmt, wobei dem Sachverhalt Rechnung getragen wird, dass die DMUs ihren Output, z. B. aufgrund spezifischer Nachfragebeschränkungen, nicht ohne Weiteres anpassen können. Sie sollen daher nicht für eine höhere (exogene) Nachfrage belohnt bzw. für eine niedrigere benachteiligt werden. Da hier alle Outputs – und nur diese – als vom Markt beschränkt unterstellt werden, kann eine Modellierung exogener Variablen, wie sie von Banker/Morey vorgeschlagen wurde, unterbleiben.254 Im Unterschied zu nichtorientierten Modellen können inputorientierte DEA-Modelle z. B. zur Bestimmung der Kosteneffizienz auch unter konstanten Skalenerträgen formuliert werden.255 Denn die Linearfaktoren λj (∀j ∈ J) sollen aufgrund des negativen Vorzeichens in der zu maximierenden Zielfunktion möglichst kleine Werte annehmen, während sie gleichzeitig mindestens die Outputs der zu testenden DMUi sicherzustellen haben. (DEA-KE) max

cm ·

xmi −

m∈M

λj · xmj

j∈J

u. d. N. λj · ynj yni (1)

(∀n ∈ N)

j∈J

λj 0

(∀j ∈ J).

Der Zielfunktionswert gibt an, um welchen Betrag die Kosten zur Herstellung der Outputs von DMUi von einer kostenminimalen Produktionsweise abweichen. Durch die Restriktionen (1) ist sichergestellt, dass die Referenz mindestens dieselben Ausbringungsmengen erzeugt wie DMUi . Unter der hypothetischen Annahme, dass sich die Referenz derselben Nachfrage gegenübersieht wie DMUi , ist bei gleicher Ausbringung auch der Absatz derselbe. Höhere Produktionsmengen werden nicht bewertet, da aufgrund der Rationalität von DMUi bei einem positiven Nutzen das Absatzpotenzial vollständig ausgeschöpft wird und DMUi daher (kurzfristig) keine zusätzlichen Absatzmöglichkeiten hat. Bei negativem 254

Vgl. zur Modellierung einzelner Inputs oder Outputs als exogene Variablen Banker/ Morey 1986a, S. 514 ff., sowie zur Modellierung von klassifizierenden, nicht metrisch skalierten Variablen („categorical variables“) Banker/Morey 1986b, S. 1615 ff. 255 Vgl. auch Cooper et al. 2000b, S. 236.

4.3 Bedingte Effizienz unter einer bestimmten Ausprägung des externen Faktors

103

Nutzen aus der Produktion würde eine rationale DMUi die Ausbringungsmengen auf ein Minimum reduzieren. Dieses Minimum würde dann gleichermaßen für die zum Vergleich herangezogene Referenzeinheit gelten. Eine weitere Reduzierung des Outputs von DMU i wäre aufgrund des vorgegebenen Minimums nicht umsetzbar. Höhere Ausbringungsmengen der Referenz wären mit einem zusätzlichen (Verkaufs-) Nutzen von null verbunden, so dass diese nicht positiv zu bewerten wären. In Verbindung mit einer inputorientierten Betrachtung bietet sich die Verwendung eines radialen Effizienzmaßes mit DMU-spezifischer Gewichtung aufgrund seiner intuitiven Interpretierbarkeit an. Es bringt zum Ausdruck, auf welchen Anteil alle Inputs proportional reduziert werden müssten, so dass die DMU zumindest als schwach effizient eingestuft wird. Durch Verwendung der korrigierten Tschebyscheff-Norm256 lassen sich auf einfache Art und Weise Pareto-Koopmans-effiziente Referenzen identifizieren.

4.3 Bedingte Effizienz unter einer bestimmten Ausprägung des externen Faktors 4.3.1 Produktionstheoretische Charakterisierung des externen Faktors Im Folgenden wird der externe Faktor als ein Inputfaktor mit unterschiedlichen Ausprägungen (Qualitäten) verstanden. Aus Sicht des Dienstleistungsproduzenten handelt es sich um einen exogen determinierten Input, dessen Ausprägung ihm zunächst unbekannt ist. Somit ist der externe Faktor aus seiner Sicht als stochastisch anzusehen. Je nach konkreter Situation, kann der Dienstleistungsanbieter eingeschränkt Einfluss auf die Auswahl der Kunden nehmen. Beispielsweise lässt sich die Zielgruppe durch geeignete Marketingaktivitäten bewusst ansprechen. Zudem betreiben insbesondere Versicherungen große Anstrengungen, versteckte Eigenschaften der potenziellen Versicherungsnehmer zu erkennen, um deren Auswahl zu verbessern.257 Trotz solcher Selektionsmöglichkeiten, ist nicht davon auszugehen, dass das Ergebnis der Kundenselektion eine einzige Ausprägung des externen Faktors ist. Im Allgemeinen verbleibt eine gewisse Unsicherheit über seine Qualität.

256 257

Vgl. Tabelle 3.2, S. 55. Vgl. zur Problematik und zu Lösungsansätzen der adversen Selektion z. B. Varian 2003, S. 671 ff., sowie weiterführend Bannier 2005, S. 111 ff.

104


Im Gegensatz zu einem verhältnismäßig gut steuerbaren externen Faktor sind auch solche Situationen denkbar, in denen die zu beurteilenden Entscheidungseinheiten keinen oder nur sehr geringen Einfluss auf die Verteilung des externen Faktors haben. Dies gilt speziell z. B. für öffentliche Krankenhäuser, aber auch generell für Abteilungen oder Niederlassungen eines Unternehmens. In diesem Fall ist eine entsprechende Interpretation der oben erwähnten Selektionsleistung geboten. Ist die Kundenselektion nicht primär durch die DMUs steuerbar, so sollte die „Selektionseffizienz “ vielmehr als ein exogenes Maß struktureller Unterschiede interpretiert werden. Für die weitere Analyse werden mindestens ordinal skalierte Ausprägungen des externen Faktors unterstellt, so dass „unterschiedlich gute“ Ausprägungen bezogen auf die Produktivität der Entscheidungseinheiten existieren. Mit steigender Qualität des externen Faktors vergrößern sich im Allgemeinen die Produktionsmöglichkeiten; zumindest verringern sie sich nicht.258 Somit sind Produktionen, die unter einer bestimmten Ausprägung realisierbar sind, auch unter einer besseren Ausprägung erreichbar. Es wird also angenommen, dass die Reparatur eines leichten oder mittleren Motorschadens mit nicht größeren Inputquantitäten durchführbar ist wie die eines schweren Motorschadens. Dasselbe wird bei der Unternehmensberatung mehr oder weniger kooperativer Kunden unterstellt.259 4.3.2 Produktionsmöglichkeiten bei Vorliegen eines externen Faktors Ist ein externer Faktor e mit mehreren verschiedenen Ausprägungen eh zu berücksichtigen (h ∈ H := {1, . . . , H}, wobei h die Ausprägungen in aufsteigender Qualität indiziert), wird ein weiterer Index h zur Kennzeichnung der Variablen und Parameter benötigt.260 Die Inputquantitäten einer DMUj (j ∈ J) unter der Ausprägung eh des externen Faktors (h ∈ H) werden entsprechend mit xjh := (x1jh , . . . , xM jh )T bezeichnet, die Outputquantitäten mit y jh := (y1jh , . . . , yN jh )T . Kompakt lassen sich die Produktionen einer DMUj unter eh +N auch als Vektoren z jh := (−xjh , +y jh )T ∈ RM schreiben. −+

258

Vgl. zur Behandlung qualitativer Unterschiede im Rahmen der so genannten z-Situation Gutenberg 1983, S. 329 ff., sowie Bloech/Lücke 2002, S. 196 f. Vgl. in diesem Zusammenhang auch Schweitzer/Küpper 1997, S. 47: „Jede Produktionsfunktion gilt für eine bestimmte Qualität der Einsatz- und Ausbringungsgüter . . . Ein Wechsel der Güterqualität . . . bedeutet den Übergang auf eine andere Produktionsfunktion.“ 259 Die Zulässigkeit einer solchen Aktivität bedeutet nicht, dass diese zwingend realisiert wird. Dieser Aspekt wird in den folgenden Abschnitten ausführlich diskutiert. 260 Die Technologiemenge wird dann geschrieben als TMιh , wobei auf die Angabe des Indexes ι verzichtet werden soll, wenn eindeutig ist, dass es sich um eine Technologie mit konstanten Skalenerträgen handelt.


105

Annahme 4.2 (Produktionsmöglichkeiten) Eine zulässige Produktion z jh ∈ TMh einer DMUj ist auch für höhere, das heißt bessere Ausprägungen (h > h ) des externen Faktors für diese DMUj erreichbar und stellt daher eine zulässige Referenzproduktion unter eh dar. Es gilt also z jh ∈ TMh ⇒ z jh ∈ TMh

(∀j ∈ J, ∀h , h ∈ H, h > h ).

Da die Umkehrung dieser Implikation im Allgemeinen nicht gilt, ist TMh ⊆ TMh

(∀h , h ∈ H, h > h ).

Abbildung 4.4 veranschaulicht die Bedeutung von Annahme 4.2 zur Bildung der Technologiemenge TM2 unter der Ausprägung e2 . Dazu werden zwei Ausprägungen des externen Faktors (e1 und e2 ) in einem Input-Input-Diagramm mit einem auf eins normierten Output betrachtet. Die gestrichelten Linien stellen die radial effizienten Ränder der Technologiemengen TM1 (grau) bzw. TM2 (schwarz) dar, wenn diese jeweils nur aus Linearkombinationen der unter der dazugehörigen Ausprägung des externen Faktors beobachteten Produktionen gebildet würden. Man erkennt, dass sich diese Linien in Punkt (5,5; 2) T schneiden. Damit würde z C1 radial effiziente Produktionen von TM2 dominieren und die Ordinalskalierung des externen Faktors wäre in Frage zu stellen, denn letztere äußert sich annahmegemäß durch mit der Ausprägung des externen Faktors steigende Produktionsmöglichkeiten. Unter Berücksichtigung von Annahme 4.2 resultiert ein unveränderter radial effizienter Rand für TM1 und ein modifizierter radial effizienter Rand TM2 für TM2 (graue durchgezogene Linie), der alle Produktionen z jh (∀j ∈ J, ∀h ∈ {1, 2}) einschließt. Aufgrund von Annahme 4.2 enthält die Technologiemenge TMH alle Produktionen z jh , die unter einer nicht besseren Ausprägung als e H des externen Faktors realisiert wurden (j ∈ J, h ∈ H := {1, . . . , H }, H H).261 Aus der Lösung des folgenden linearen Programms resultiert das Effizienzmaß θih H (i ∈ J, h ∈ H , H ∈ H) der Produktion z ih bei

261

Für H < h würden zulässige Referenzen bewusst vernachlässigt, wie dies für „Super-Effizienz“-Modelle typisch ist; vgl. S. 69. Hier gibt es keinen Grund für ein solches Vorgehen, so dass im Folgenden stets H h gilt.

106

4 Entwicklung einer Methodik zur Leistungsmessung x2 8 7 6

z A1

5

z A2

4 3

z B2

z B1 z C2

2

z C1

1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

TM2 x1

Abbildung 4.4: Effizienter Rand von TM2 bei ordinalskaliertem externen Faktor Bewertung gegenüber dem effizienten Rand unter der Ausprägung eH , also bezüglich der Technologiemenge TMH :262 (CCR-TEh H ) min θih H − ·

m∈M

d− m +

n∈N

d+ n

u. d. N. (1) λjh · xmjh + d− m = θih H · xmih (∀m ∈ M) j∈J h∈H

(2)

j∈J h∈H

λjh · ynjh − d+ n = ynih λjh 0 + d− m , dn 0

(∀n ∈ N) (∀j ∈ J, ∀h ∈ H ) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N)

θih H ∈ R. Gegenüber dem Modell (CCR), S. 63, enthält das modifizierte Programm J · (H − 1) zusätzliche Entscheidungsvariablen λjh (j ∈ J, h ∈ H ) zur Bildung der Referenz. Das 262

Dieses Modell ist für jede interessierende Kombination aus Produktion z ih (i ∈ J, h ∈ H) und Technologiemenge TMH (h H H) separat zu lösen.


107

Ergebnis aus dem Modell ist neben dem Effizienzwert θih H insbesondere eine bezüglich TMH Pareto-Koopmans-effiziente Referenz zur Produktion z ih (i ∈ J, h ∈ H ). Kenn+∗ zeichnet man die optimalen Lösungswerte der Variablen mit einem Stern (λ ∗jh , d−∗ m , dn , ∗ θih H ), kann die Pareto-Koopmans-effiziente Referenz im Folgenden als

T z ih H := −xih H , +y ih H geschrieben werden, wobei x mih H := ynih H :=

λ∗jh · xmjh

(∀m ∈ M),

λ∗jh · ynjh

(∀n ∈ N).

j∈J h∈H

j∈J h∈H

Die inputorientierte Debreu-Farrell-effiziente (radiale) Referenz wird analog dazu bezeichnet als T z ih H := −xih H , +y ih H mit ∗ x mih H := θih H · xmih

(∀m ∈ M),

ynih H := ynih

(∀n ∈ N).

Der Zusammenhang zwischen den beiden Referenzen wird durch die Schlupfvariablen d − m und d+ n in den Nebenbedingungen (1) und (2) des Modells (CCR-TEh H ) hergestellt, denn j∈J h∈H

!

∗ λ∗jh · xmjh +d−∗ m = θih H · xmih

"#

x mih H

!

"#

x mih H

λ∗jh · ynjh −d+∗ n = ynih

j∈J h∈H

!

$

"#

ynih H

$

!"#$

ynih H

(∀m ∈ M),

$

(∀n ∈ N).

108


Abbildung 4.5 veranschaulicht den Zusammenhang zwischen radialer Debreu-Farrell- und Pareto-Koopmans-effizienter Referenz. Zu beurteilen sind dabei die Produktionen von DMUA und DMUC unter der Ausprägung eh des externen Faktors gegenüber der Technologiemenge TMH unter der Ausprägung eH . Dabei stellt z DH sowohl die radiale als auch die Pareto-Koopmans-effiziente Referenz zu z Ch dar, so dass gilt z DH = z Ch H = z Ch H .

Im Unterschied dazu weicht die effiziente Referenz (z Ah H = z BH ) zur Produktion z Ah von deren radialer Referenz (z Ah H ) um den positiven Schlupf in Input 2 in Höhe von 263 d− 2 = 1 ab.

x2 6

z Ah

5 z Ah H

4 3

z Ah H

z BH

2

z Ch

1 0

z DH 0

1

2

z Ch H = z Ch H

3

4

5

6

TMH x1

Abbildung 4.5: Pareto-Koopmans- und Debreu-Farrell-effiziente Referenzen

Das zu (CCR-TEh H ) korrespondierende duale lineare Programm lautet: (CCR-TED h H ) µn · ynih max n∈N

u. d. N. (1) µn · ynjh − νm · xmjh 0 (∀j ∈ J, ∀h ∈ H ) n∈N m∈M νm · xmih = 1 (2) m∈M

µn , νm (∀n ∈ N, ∀m ∈ M). 263

Auf die Angabe der Produktionen z AH , z Bh , z CH und z Dh wurde der Übersichtlichkeit halber verzich tet. Dabei wird angenommen, dass sie den radial effizienten Rand TM H nicht beeinflussen.


109

Verglichen mit dem Modell (CCRD ), S. 64, weist dieses Modell J · (H − 1) zusätzliche Nebenbedingungen (1) auf. Diese sind erforderlich, um für die zulässigen H Produktionen aller J DMUs, das heißt z jh (∀j ∈ J, ∀h ∈ H ), sicherzustellen, dass bei den gewählten Input- und Outputgewichten (νm bzw. µn ) die bewerteten Outputs die bewerteten Inputs nicht übersteigen. Dadurch wird die Effizienz auf das Intervall (0; 1] normiert. Zwar ist eine Dominanzbeziehung zwischen Produktionen einer DMU bei unterschiedlichen Ausprägungen des externen Faktors denkbar, doch ist diese nicht zwangsläufig. Eine stark personalintensive Produktion bei Vorliegen einer schlechten Ausprägung (z. B. eines Bankkunden, der Überweisungen am Schalter tätigt) wird nicht von einer Produktion unter einem besseren externen Faktor dominiert, sobald für diese marginal mehr Kapital eingesetzt wird (z. B. für das Angebot von Online-Banking zur eigenständigen Abwicklung von Transaktionen). Liegt eine Dominanzbeziehung zwischen zwei Produktionen einer DMU vor, das heißt z ih ≥ z ih (h , h ∈ H, h > h ), so ist die Berücksichtigung von z ih als mögliche Referenzproduktion nicht nötig, da sich eine effiziente Referenz nur aus Linearkombinationen effizienter DMUs zusammensetzen kann. Fehlt eine solche Dominanzbeziehung, kann eine Produktion z ih auch unter TMh eine effiziente Referenz darstellen, wie dies in Abbildung 4.4, S. 106, für z C1 unter TM2 beispielhaft dargestellt ist. In dem konkreten Fall ist die Wahl von z C2 = (−4; −2; +1)T ≥ (−7; −1; +1)T = z C1 wirtschaftlich sinnvoll, wenn die Gesamtkosten durch die Reduktion des ersten Inputs um drei Einheiten stärker verringert werden als sie durch den zusätzlichen Einsatz einer Einheit des zweiten Inputs steigen. Im folgenden Abschnitt 4.3.3 ist die Analyse auf Grundlage technischer Effizienzkennzahlen dargestellt. Ausgehend von den Gesamt- und Produktionseffizienzen, die sich aus Varianten des DEA-Modells (CCR-TEh H ) bestimmen lassen, sind Rückschlüsse auf die Adaptions- und Selektionseffizienzen möglich. Zwischen den im Anschluss vorgestellten wertorientierten Kennzahlen gelten analoge Beziehungen (Abschnitt 4.3.4). 4.3.3 Kennzahlen der bedingten technischen Effizienz 4.3.3.1 Produktions- und betriebliche Gesamteffizienz als Ausgangspunkt Methodisch ergeben sich sowohl die produktive als auch die betriebliche Gesamteffizienz aus Spezialfällen des DEA-Modells (CCR-TEh H ). Für H := h wird die Produktion z ih nur mit Referenzproduktionen unter höchstens derselben Ausprägung e h (= eH )

110


des externen Faktors verglichen (H := h = {1, . . . , h }).264 Im Ergebnis erhält man P θih := θih h als Maß für die Produktionseffizienz der DMUi unter der Ausprägung eh .

Das DEA-Modell (CCR-TEh H ) konkretisiert sich zu

(CCR-TEPh )

min θih h − ·

m∈M

d− m +

n∈N

d+ n

u. d. N. (1) λjh · xmjh + d− m = θih h · xmih (∀m ∈ M) j∈J h∈h

(2)

j∈J h∈h

λjh · ynjh − d+ n = ynih λjh 0 + d− m , dn

0

(∀n ∈ N) (∀j ∈ J, ∀h ∈ h ) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N)

θih h ∈ R. Das Modell enthält mit λjh (j ∈ J, h ∈ h ) gegenüber (CCR-TEh H ) keine zusätzlichen Variablen. Da TMh die kleinste zur Bewertung von z ih heranzuziehende Referenzmenge ist, gilt H h . Für H > h ist die Anzahl der Variablen geringer als bei (CCR-TEh H ). PAS Um mit dem Modell (CCRh H ) die Gesamteffizienz θih bestimmen zu können, ist

H := H (H := H = {1, . . . , H}) zu setzen. Damit wird die Produktion z ih den Produktionsmöglichkeiten unter der höchsten Ausprägung eH (= eH ) des externen Faktors gegenübergestellt. Entsprechend kommen alle J · H beobachteten Produktionen z jh (j ∈ J, h ∈ H) zur Bildung der Referenz in Frage. Im Vergleich zur Produktionseffizienz werden zur Bestimmung der Gesamteffizienz J ·(H −h ) zusätzliche Variablen λjh benötigt; PAS := θih H für h = H sind die beiden Modelle identisch. Das folgende Modell liefert θih

als Maß für die Gesamteffizienz der DMUi unter der Ausprägung eh :

264

Vgl. zu einem ähnlichen Ansatz zur Berücksichtigung eines deterministischen exogenen Faktors Lovell 1994, S. 212 f., sowie Ruggiero 1996, S. 557 f.; zu einer alternativen Modellierung u. a. Banker/Morey 1986a, S. 514 ff. Vgl. zur Diskussion beider Ansätze auch Staat 1999, S. 29 ff., und zu deren Verknüpfung Syrjänen 2004, S. 30 f.

4.3 Bedingte Effizienz unter einer bestimmten Ausprägung des externen Faktors (CCR-TEPAS h ) min θih H − ·

m∈M

d− m +

n∈N

111

d+ n

u. d. N. λjh · xmjh + d− (1) m = θih H · xmih (∀m ∈ M) j∈J h∈H

(2)

j∈J h∈H

λjh · ynjh − d+ n = ynih λjh 0 + d− m , dn

0

(∀n ∈ N) (∀j ∈ J, ∀h ∈ H) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N)

θih H ∈ R.

Die eindeutige Beziehung zwischen der Gesamt- und der Produktionseffizienz einer jeden DMU fasst der folgende Satz zusammen: Satz 4.3 Die technische Gesamteffizienz von DMUj unter einer Ausprägung eh des externen Faktors ist nicht größer als ihre technische Produktionseffizienz unter derselben PAS P θjh Ausprägung, das heißt θjh (∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

Beweis: Die beiden Modelle (CCR-TEPh ) und (CCR-TEPAS h ) unterscheiden sich nur bezüglich der Definition der Technologiemenge. Gemäß Annahme 4.2, S. 104, gilt TM h ⊆ TMH (h ∈ H). Hier zeigt sich dies durch die zusätzlichen Variablen λjh (j ∈ J, h ∈ {h + 1, P . . . , H}) im Modell (CCR-TEPAS h ) gegenüber (CCR-TEh ). In Verbindung mit der zu mi-

nimierenden Zielfunktion folgt unmittelbar die Gültigkeit von Satz 4.3.

Einzig für Produktionen z jH unter der höchsten Ausprägung des externen Faktors gilt PAS P = θjH (∀j ∈ J). In allen anderen Fällen, das heißt für h < wegen h = H immer auch θjH

H, erfasst die produktive Effizienz im Allgemeinen nur einen Aspekt der Gesamteffizienz. 4.3.3.2 Ableitung der Adaptions- und Selektionseffizienz Der nicht durch produktive Effizienzverluste erklärte Teil der Gesamteffizienz resultiert im weitesten Sinne aus einer schlechteren Ausprägung des externen Faktors und wird AS im Folgenden als Adaptions-Selektions-Effizienz θjh bezeichnet. Hierbei handelt es sich

112


um eine derivative Kennzahl, die aus den originären Gesamt- und Produktionseffizienzen durch die Beziehung PAS P AS θjh =: θjh · θjh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H)

(10)

abgeleitet wird.265 Kehrt man diese Beziehung um, so entspricht die Adaptions-SelektionsEffizienz dem Quotienten aus Gesamt- und Produktionseffizienz: AS θjh =

PAS θjh P θjh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

Damit erfasst sie jenen Teil der Gesamteffizienz, der nicht durch die Produktionseffizienz PAS P PAS P , θjh ∈ (0; 1] und θjh θjh gilt zu erklären ist. Wegen θjh

AS PAS AS θjh θjh sowie θjh ∈ (0; 1]

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

(11)

Abbildung 4.6 veranschaulicht die Differenzierung der Gesamteffizienz in die Produktionseffizienz (schwarz) einerseits und die Adaptions-Selektions-Effizienz (hell- und dunkelgrau) andererseits. Dargestellt sind die Produktionen von drei DMUs unter zwei Ausprägungen des externen Faktors. Während die Gesamteffizienz der Produktionen unter der guten Ausprägung des externen Faktors (e2 ) vollständig auf die Produktionseffizienz zurückzuführen ist, wird sie unter einer schlechten Ausprägung (e 1 ) nur partiell durch den Produktionsbereich erklärt.266 Verwendet man die nichtproduktive Adaptions-Selektions-Effizienz zur Quantifizierung des Einflusses des externen Faktors, so fällt auf, dass seine Wirkung von der jeweiligen Produktion bzw. dem gewählten Produktionsmix abhängt. Zur genaueren Analyse des externen Faktors soll die Adaptions-Selektions-Effizienz in die Selektionseffizienz θhS und A die Adaptionseffizienz θjh differenziert werden. Die Selektionseffizienz ist dabei als Min-

destabstand der Isoquante unter eh von den radial effizienten Produktionsmöglichkeiten unter der besten Ausprägung eH des externen Faktors zu verstehen. Sie stellt also die 265

Eine multiplikative Verknüpfung von Teileffizienzen ist in der Literatur weit verbreitet. Vgl. Farrell 1957, S. 254 f., zur multiplikativen Verknüpfung von technischer und allokativer (Preis-) Effizienz; Afriat 1972, S. 590 f., zur Verknüpfung der technischen Effizienz mit einem Kostenfaktor; Banker et al. 1984, S. 1088, zur Verbindung von purer technischer Effizienz und Skaleneffizienz; sowie Cooper et al. 2006, S. 140 ff. 266 Im Gegensatz zu Abbildung 4.1, S. 87, wird hier, wie bei der DEA üblich, eine empirische Technologiemenge aus den beobachteten Produktionen abgeleitet.


113

x2 10 9 z A1

8 7

z C1

AS θA1

z A2

6

P θC1

z C2 P θC2

5

AS θC1

4

z B1

TM1

AS θB1

3 2

TM2

z B2

1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x1

Abbildung 4.6: Produktionseffizienz und Adaptions-Selektions-Effizienz kleinste obere Schranke der technischen Gesamteffizienz der beobachteten Produktionen z jh unter der Ausprägung eh des externen Faktors dar (∀j ∈ J, ∀h ∈ h , h ∈ H), so dass

θhS

:= max

⎧ ⎨ ⎩

PAS θjh

⎫

j∈J ⎬

.

h ∈ h ⎭

(12)

Anders formuliert spiegelt die Selektionseffizienz die „unvermeidbaren“ Effizienzverluste wider, die unabhängig von der einzelnen DMUj bei allen Produktionen unter der Ausprägung eh des externen Faktors mindestens auftreten. Damit gilt sie für alle DMUs bzw. deren Produktionen unter derselben Ausprägung des externen Faktors gleichermaßen, weshalb auf die Angabe des Indexes j verzichtet werden kann: S S θjh := θh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

114


Aufgrund des folgenden Satzes erfasst die Selektionseffizienz θhS damit das Maximum der Gesamteffizienzen der Produktionsmöglichkeiten unter der Ausprägung eh des externen Faktors. Dieses entspricht zugleich der maximalen Adaptions-Selektions-Effizienz: Satz 4.4 Für die technische Selektionseffizienz θhS unter der Ausprägung eh (∀h ∈ H) des externen Faktors gilt: a) Die technische Selektionseffizienz entspricht dem Maximum der technischen Gesamteffizienz der Produktionsmöglichkeiten unter eh . Virtuelle Referenzen müssen bei der Ermittlung der technischen Selektionseffizienz nicht berücksichtigt werden. b) Die technische Selektionseffizienz erfasst zugleich das Maximum der technischen Adaptions-Selektions-Effizienz der beobachteten Produktionen z jh (∀j ∈ J, ∀h ∈ h ) und damit aller zulässigen Produktionen unter eh , so dass θhS

= max

⎧ ⎨ ⎩

PAS θjh

⎧

⎫

⎫

⎨

j∈J ⎬

j∈J ⎬ AS

≡ max θjh

.

⎩

h ∈ h ⎭

h ∈ h ⎭

Beweis: a) Aus der Lösung des Modells (CCR-TEPAS h ) für jede der Produktionen z jh (j ∈ J, h ∈ h ⊆ H) resultiert zu allen Produktionen eine bezüglich TMH radial effiziente Referenz z jhH , für die gilt ∗ x mjhH := θjhH · xmjh

(∀m ∈ M),

ynjhH := ynjh

(∀n ∈ N).

Aus der unterstellten Verschwendbarkeit folgt die Zulässigkeit aller Produktionen, die mehr Inputs einsetzen und/oder weniger Outputs herstellen als diese radial efPAS θhS (∀j ∈ J, ∀h ∈ h ) und daraus fiziente Referenz. Wegen θjhH =: θjh

⎛ ⎝

PAS −xjh · θjh

+y jh

⎞

⎛

⎠⎝

−xjh · θhS +y jh

⎞ ⎠

(∀j ∈ J, ∀h ∈ h )


115

gilt ⎛ ⎝

PAS −xjh · θjh

+y jh

⎛

⎞

⎠ ∈ TMH ⇒ ⎝


⎞ ⎠ ∈ TMH

(∀j ∈ J, ∀h ∈ h ).

Somit sind alle mit θhS projizierten Produktionen z jh (j ∈ J, h ∈ h ) und daher alle Eckpunkte in der Technologiemenge TMH enthalten. Aus der Konvexität von TMH folgt unmittelbar, dass alle Konvexkombinationen zwischen den projizierten Punkten ebenfalls zulässig sind. Da die Selektionseffizienz dem Maximum der Gesamteffizienz der Produktionen z jh entspricht (∀j ∈ J, ∀h ∈ h ), gibt es mindestens eine Produktion z jh mit (∃j ∈ J, ∃h ∈ h )

PAS = θhS θjh

und daher auch ⎛ ⎝

PAS −xjh · θjh

+y jh

⎞

⎛

⎠=⎝


⎞ ⎠

(∃j ∈ J, ∃h ∈ h ).

Folglich ist eine beobachtete Produktion und damit eine Ecke der Technologiemenge TMh maßgeblich für die Selektionseffizienz. Konvexkombinationen (virtuelle Referenzen) können demnach vernachlässigt werden.267 b) Eine Ecke der Technologiemenge ist durch ihre produktive Effizienz gekennzeichnet. Da eine produktiv ineffiziente DMU durch eine solche Ecke oder durch Konvexkombinationen aus mehreren Ecken dominiert wird und damit ihre Gesamteffizienz nicht größer sein kann als die ihrer Referenz, ist eine produktiv ineffiziente DMU in keinem Fall maßgeblich für die Selektionseffizienz. Hieraus folgt produktive Effizienz als notwendige Voraussetzung für die maximale Gesamteffizienz unter einer 267

Liegt eine Mehrfachlösung vor, das heißt, existieren mehrere Produktionen z jh ∈ TMh mit derselben maximalen Gesamteffizienz, so müssen nicht alle zwangsläufig Ecken darstellen. In diesem Fall gibt es jedoch mindestens zwei beobachtete „Eckproduktionen“, aus denen sich die übrigen als Konvexkombination rekonstruieren lässt. Für die Selektionseffizienz ist somit immer mindestens eine effiziente Ecke der Technologie ausschlaggebend. Die Gültigkeit dieses Satzes hängt von der unterstellten Konvexität der Technologiemengen TMh (∀h ∈ H) ab. Bei nichtkonvexen Technologien (mit einem nichtlinearen effizienten Rand), wie in Abbildung 4.1, S. 87, wäre die Betrachtung der realisierten Produktionen im Allgemeinen nicht ausreichend.

116

4 Entwicklung einer Methodik zur Leistungsmessung Ausprägung eh (h ∈ H) des externen Faktors. Da im Falle produktiver Effizienz die Adaptions-Selektions-Effizienz vollständig die Gesamteffizienz bestimmt, das heißt P PAS AS θjh = θjh = 1 ⇔ θjh ,

entspricht die Selektionseffizienz zugleich der maximalen Adaptions-SelektionsEffizienz unter der Ausprägung eh des externen Faktors.

In Verbindung mit Ungleichung (11), S. 112, gilt zwischen den Effizienzkennzahlen stets AS PAS θjh θhS θjh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ h ⊆ H).

(13)

Als Oberschranke der Adaptions-Selektions-Effizienz gibt die Selektionseffizienz θhS also die geringste Wirkung der Ausprägung eh des externen Faktors auf die Produktionsmöglichkeiten wieder. Unter Gültigkeit der empirischen Technologiemenge sind die durch die Selektionseffizienz bestimmten Effizienzverluste infolge eines schlechteren externen Faktors für die DMUs unvermeidlich; sie lassen sich nicht durch die Wahl einer technisch zulässigen Produktion verringern. Allerdings kann der externe Faktor – je nach gewähltem Produktionsmix – einen über das Mindestmaß hinausgehenden Einfluss auf A die effizienten Produktionsmöglichkeiten haben. Die Adaptionseffizienz θ jh quantifiziert

diesen Effekt und ist definiert als derjenige Teil der Adaptions-Selektions-Effizienz, der nicht durch die Selektionseffizienz erklärt wird, so dass AS A =: θjh · θhS θjh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

(14)

Nach Umformung ergibt sich die Adaptionseffizienz als Quotient aus Adaptions-SelektionsEffizienz und Selektionseffizienz, das heißt A = θjh

AS θjh θhS

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

AS , θhS ∈ (0; 1] und θhAS θhS folgt Aus θjh

A AS A θjh θjh sowie θjh ∈ (0; 1]

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).


117

Durch Kombination von Gleichung (10), S. 112, und (14) erhält man für die Gesamteffizienz PAS P AS P A θjh = θjh · θjh = θjh · θjh · θhS

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

(15)

x2 10 9 z A1

8 7

z C1

θ1S

6

P θC1

z C2

z A2

P θC2

5

A θC1

z A12

4 3

z B1

A θB1

θ1S

TM1 TM2S

θ1S

2

TM2

z B2

1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x1

Abbildung 4.7: Produktions-, Adaptions- und Selektions-Effizienz Abbildung 4.7 zeigt die Zerlegung der Gesamteffizienzen in ihre drei Komponenten für das in Abbildung 4.6 eingeführte Beispiel. Die in Abbildung 4.6 hell- und dunkelgrau gekennzeichnete Adaptions-Selektions-Effizienz kann nun auf ihre beiden Bestandteile zurückgeführt werden. Die Selektionseffizienz (hellgrau eingezeichnet) bestimmt sich über den Abstand der Produktion z A1 = (−4; −8; +1)T zu ihrer gesamteffizienten Referenz T S z A12 = (−2,5; −5; +1) mit θ1 = 5/8 (= 2,5/4). Durch Projektion des effizienten Randes

TM2 mit dem Kehrwert der Selektionseffizienz, erhält man TM2S als Menge derjenigen Produktionen, die eine Gesamteffizienz von 5/8 erreichen. In dem Beispiel befindet sich nur eine unter e1 realisierbare Produktion, nämlich z A1 , auf diesem projizierten Rand.

118


Dementsprechend weisen z B1 und z C1 eine Adaptionseffizienz (dunkelgrau eingezeichnet) kleiner als eins auf. Je nachdem, ob die DMUs die Kundenauswahl steuern können oder nicht, sind unterschiedliche Interpretationen der Selektionseffizienz erforderlich. Ist die bewusste Einflussnahme auf die Kundenselektion gegeben, z. B. durch zielgruppenspezifische Werbemaßnahmen oder durch entsprechende Kundenauswahlverfahren, so stellt die Ausprägung des externen Faktors eine weitere beurteilungsrelevante Größe dar. Ein Beispiel, in dem die bewusste Einflussnahme auf die Qualität des externen Faktors weitgehend angenommen werden kann, ist die Versicherungsbranche. Versicherungsunternehmen streben durch den Einsatz von Monitoring- und Screening-Instrumenten eine möglichst „gute“ Zusammensetzung der Kunden an. Damit sollen Anträge von Kunden, die über die Erlöse (Beiträge) hinausgehende Kosten (Versicherungsleistungen) erwarten lassen, abgelehnt werden. Im Allgemeinen lässt sich die Zahl solcher Kunden zwar reduzieren, vollständig auszugrenzen sind diese Kunden jedoch zumeist nicht.268 Somit bleiben die Ausprägungen (Qualitäten) des externen Faktors mehrwertig und sein stochastischer Charakter wird erhalten. Führt man die Effizienzverluste durch eine schlechtere Ausprägung des externen Faktors im Wesentlichen auf eine schlechte Selektionsleistung des Dienstleistungsanbieters zurück, so werden diese im Folgenden auch als „Selektionsineffizienz “ bezeichnet. Dagegen finden sich in der Realität auch Beispiele, in denen die DMUs keinen oder nur einen geringen Einfluss auf die Kundenstruktur und damit auf die Qualität des externen Faktors ausüben können. Exemplarisch seien hier städtische Krankenhäuser erwähnt, die kaum Einfluss auf die Kundenauswahl haben.269 Analog dazu ist die Kundenselektion bei Subeinheiten, wie einzelnen Abteilungen oder Niederlassungen, einer Organisation stark durch die Werbemaßnahmen und das Ansehen des gesamten Unternehmens geprägt. Für die DMUs (hier Abteilungen) verbleibt, wenn überhaupt, nur ein sehr geringer Spielraum für eine „gute“ Auswahl der Kunden. Aber selbst in solchen Fällen ist davon auszugehen, dass die Qualitäten des externen Faktors nicht über alle DMUs identisch verteilt sind. Hier können beispielsweise demographische Faktoren eine entscheidende Rolle spielen und zu signifikanten Unterschieden in der Verteilung der Qualität des externen Faktors beitragen. Unter diesen Umständen 268 269

Vgl. zu asymmetrischen Informationen im Versicherungsmarkt u. a. Campbell 2006, S. 303 ff. Vgl. zu einem Überblick über vertikale Kooperationsmöglichkeiten von Krankenhäusern, mit denen zumindest eine bedingte Steuerung des externen Faktors möglich erscheint, Hajen et al. 2004, S. 186 ff.


119

sind die Effizienzverluste in Folge einer schlechteren Ausprägung des externen Faktors nicht als Ineffizienz, sondern vielmehr als Maß der strukturellen Unterschiede zwischen den DMUs zu interpretieren. Folglich ist auch auf eine geeignet modifizierte Interpretation der „Adaptions-Selektions-Effizienz “ bzw. der „Gesamteffizienz “ zu achten, die definitionsgemäß die Selektionseffizienz als einen Bestandteil enthalten. Zur Vorstellung der Methodik wird hier der sprachlichen Einfachheit halber von „Selektionseffizienz“ die Rede sein. Bei empirischen Untersuchungen ist jedoch stets eine angemessene Interpretation zu wählen.270 4.3.3.3 Weitere derivative Effizienzkennzahlen Analog zur Adaptions-Selektions-Effizienz, die sich als Produkt aus Adaptionseffizienz und Selektionseffizienz ergibt, lassen sich zwei weitere Effizienzkennzahlen ableiten. Dabei ist insbesondere die Produktions-Adaptions-Effizienz von Interesse, die sich ergibt als PA P A := θjh · θjh = θjh

PAS θjh θhS

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

(16)

Im Falle einer nicht steuerbaren Kundenselektion ist sie die am stärksten verdichtete Effizienzkennzahl. Neben der Leistungserstellung selbst bewertet sie die Adaption, das heißt die Wahl des Produktionsmixes unter einer bestimmten Ausprägung des externen Faktors. Letztere ist zwar kurzfristig häufig fixiert, zumindest auf mittlere oder lange Frist ist sie jedoch variabel. Demnach kann die Wahl eines bestimmten Produktionsmixes durchaus Gegenstand einer entsprechend ausgerichteten Effizienzanalyse sein. Die zusammenfassende Bewertung der Produktions- und Selektionsleistung kann mittels der Produktions-Selektions-Effizienz erfolgen, wobei PS P := θjh · θhS = θjh

PAS θjh A θjh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

Ihre Bedeutung wird durch zwei Aspekte eingeschränkt. Zum einen ist die ProduktionsSelektions-Effizienz ebenfalls nur dann als Effizienzkennzahl zu verstehen, wenn die Kundenselektion steuerbar ist. Zum anderen erschwert das Fehlen der Adaption als Bindeglied zwischen beiden Bereichen die Interpretation der Produktions-Selektions-Effizienz.

270

Vgl. dazu auch das Anwendungsbeispiel in Kapitel 5, S. 174.

120


Aus den genannten Gründen wird die Produktions-Selektions-Effizienz im Folgenden nicht weiter betrachtet. 4.3.3.4 Beziehungen zwischen externem Faktor und den Effizienzkennzahlen Betrachtet man eine Kennzahl unter verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors, ist interessant, wie sich diese in Abhängigkeit der Qualität des externen Faktors verändert. Es ist also zu untersuchen, ob sich die monoton wachsenden Produktionsmöglichkeiten in Folge einer besseren Ausprägung des externen Faktors in monoton steigenden Effizienzkennzahlen niederschlagen. Für die Selektionseffizienz liegt ein solcher Zusammenhang vor: Satz 4.5 Die technische Selektionseffizienz steigt monoton mit der Ausprägung des externen Faktors, so dass θhS θhS (∀h , h ∈ H, h < h ).

Beweis: Die Gültigkeit des Satzes 4.5 folgt direkt aus Annahme 4.2, gemäß der jede unter der Ausprägung eh des externen Faktors realisierbare Produktion auch unter der Ausprägung eh zulässig ist, so dass TMh ⊆ TMh (h < h ). Gegebenenfalls bestimmt die unter eh für die Selektionseffizienz maßgebliche Produktion auch die Selektionseffizienz unter eh .

Für die anderen Effizienzkennzahlen, das heißt insbesondere die Produktions-, Adaptionsund Gesamteffizienz, gelten keine solchen monotonen Zusammenhänge mit der Ausprägung des externen Faktors. Da die Adaptionseffizienz als Residualgröße denjenigen Teil der Adaptions-Selektions-Effizienz wiedergibt, der nicht durch die Selektionseffizienz erklärt wird, hängt sie unmittelbar von letzterer ab. Angenommen, eine DMUi weist unter der Ausprägung eh des externen Faktors die höchste Gesamteffizienz aller DMUs auf und bePAS AS S = θih stimmt damit die Selektionseffizienz θhS . Dann gilt wegen Satz 4.4, S. 114, θih = θh A und folglich auch θih = 1. Die Monotonie der Adaptionseffizienz würde erfordern, dass

DMUi auch unter allen besseren Ausprägungen eh (h > h ) eine Adaptionseffizienz A von θih = 1 und somit die jeweils maximale Gesamteffizienz aller DMUs erzielt. Dies

ist jedoch keineswegs zwangsläufig, so dass die Adaptionseffizienz im Allgemeinen nicht monoton mit der Ausprägung des externen Faktors steigt. Die fehlende Monotonie der Gesamt- und Produktionseffizienz lässt sich an einem Beispiel verdeutlichen. Eine Kfz-Werkstatt, die oftmals denselben verhältnismäßig schwierigen Fehler zu beheben hat, kann dies aufgrund von Lern- und Erfahrungskurveneffekten


121

in der Regel besser als eine Werkstatt, die denselben Defekt selten lösen muss. Die produktive Effizienz der ersten Werkstatt wäre in diesem Fall höher, z. B. aufgrund der besseren Qualifizierung der Mitarbeiter (Input 1) für Problemlösungen dieser Art. Gleichzeitig ist vorstellbar, dass die zweite Werkstatt bei weniger anspruchsvollen Reparaturleistungen aufgrund moderner Maschinen und Werkzeuge (Input 2) eine höhere produktive Effizienz erreicht. In diesem in Abbildung 4.8 dargestellten Beispiel entwickeln sich die produktiven Effizienzen (schwarz eingezeichnet) der beiden Werkstätten entgegengesetzt: Während die P = produktive Effizienz von DMUB mit steigender Qualität des externen Faktors von θB1 P P P 0,83 (= 7,5/9 = 5/6) auf θB2 = 1 wächst, sinkt sie bei DMUA von θA1 = 1 auf θA2 = 0,5

(= 1/2 = 5/10). Dieses Phänomen ist unproblematisch, denn die produktiven Effizienzkennzahlen treffen lediglich eine Aussage darüber, wie gut (effizient) eine DMU unter einer bestimmten Ausprägung des externen Faktors (eh ) verglichen mit anderen Produktionen unter ebendieser Ausprägung agiert. Dass verschiedene DMUs in unterschiedlichen Situationen relative Vorteile aufweisen erscheint plausibel. x2 z A2

10 9 8

z C1 PAS θA2

7

z B1

6 z A1

5

z C2

TM1

PAS θA1

4 3

PAS θB1

TM2

z B2

2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Abbildung 4.8: Sinkende technische Gesamteffizienz

x1

122


Für die Gesamteffizienz, die eine Bewertung der Produktion bezüglich der besten Ausprägung des externen Faktors (eH ) vornimmt, könnte man jedoch erwarten, dass diese monoton mit der Qualität des externen Faktors steigt. Denn annahmegemäß bleibt die unter eh realisierte Produktion unter eh (h > h ) in jedem Fall erreichbar. Dass eine solche monotone Beziehung zwischen der Ausprägung des externen Faktors und der technischen Gesamteffizienz im Allgemeinen nicht besteht, zeigt Abbildung 4.8 beispielhaft. PAS PAS Während die Gesamteffizienz von DMUB von θB1 = 0,5 (= 4,5/9 = 3/6) auf θB2 =1 PAS PAS = 0,6 (= 3/5) auf θA2 = 0,5 (= 2/10 = 1/5). steigt, sinkt diejenige von DMUA von θA1

Die für DMUA skizzierte Situation, bei der eine bessere Ausprägung des externen Faktors zu einer Verringerung der Gesamteffizienz führt, ist erklärungsbedürftig. Sie tritt bei rationalem Verhalten des Entscheidungsträgers (hier DMUA ) insbesondere dann auf, wenn durch eine bessere Ausprägung des externen Faktors ein teurer Input (hier Input 1, z. B. Personal) durch einen billigeren (hier Input 2, z. B. Kapital) substituiert werden kann. Während die Produktionen von DMUB und DMUC unter der Ausprägung e1 des externen Faktors von ihren Produktionen unter e2 dominiert werden, liegt keine Dominanzbeziehung zwischen den Produktionen von DMUA vor. Dennoch wird die Produktion z A2 offensichtlich gegenüber z A1 bevorzugt, denn anderenfalls hätte DMUA weiterhin PAS = 0,6 unter der AusProduktion z A1 realisiert. Die sinkende Gesamteffizienz von θA1 PAS prägung e1 auf θA2 = 0,5 unter e2 kann auf die Verletzung einer Annahme, wie z. B. die

Freiheit von Störeinflüssen oder die Rationalität der Entscheidungsträger zurückzuführen sein. Anderenfalls könnte sie auf die Unvereinbarkeit der technischen (Gesamt-) Effizienz mit den Zielen der Entscheidungseinheiten hinweisen. Im folgenden Kapitel wird das zuletzt genannte Problem aufgegriffen, um anschließend eine zieladäquate Effizienzdefinition vorschlagen zu können. Die Konsequenzen verletzter Annahmen und damit verbundene Lösungsansätze werden in Kapitel 6 diskutiert. 4.3.4 Berücksichtigung von Präferenzen mittels wertorientierter Effizienzen 4.3.4.1 Vereinbarkeit der technischen Effizienz mit den Organisationszielen Rationale Entscheidungsträger orientieren sich bei der Wahl ihrer Produktion im Allgemeinen an dem erreichbaren bzw. erwarteten Nutzen. Für die folgende Analyse wird die Gültigkeit von Annahme 4.1 (Rationalität) auch für integrative (stochastische) Produktionen vorausgesetzt, so dass gilt:


123

Annahme 4.3 (Rationalität bei integrativen Produktionen) DMUj (j ∈ J) verhält sich auch bei Vorliegen eines stochastischen externen Faktors rational und maximiert durch die Wahl ihrer Produktionen z jh (h ∈ H) ihren Nutzen uj (G(z jh )). Dabei wird die Identifikation der zu Beginn der Leistungserstellung möglicherweise unbekannten Ausprägung eh (h ∈ H) des externen Faktors als Teil der Produktion verstanden. Ferner wird eine für alle DMUs einheitliche Gewinnfunktion G unterstellt, die wiederum maßgeblich ist für den individuellen Nutzen uj der DMUj . Dies ist insbesondere dann plausibel, wenn es sich bei den Entscheidungseinheiten um Subeinheiten einer Organisation handelt und die individuellen mit den Unternehmenszielen durch ein anreizkompatibles Motivationssystem in Einklang gebracht werden. Allerdings soll weder die Kenntnis der Gewinnfunktion (Bewertungsfunktion) und damit der Input- und Outputpreise, noch die Kenntnis der Nutzenfunktion für die Effizienzanalyse vorausgesetzt werden. Wären diese dem Analysten bekannt, ließen sich die Gewinn- bzw. Nutzenerwartungen der DMUs exakt bestimmen und direkt miteinander vergleichen; auf eine Effizienzanalyse könnte demnach verzichtet werden. Abstrahiert man von sonstigen Zufallseinflüssen neben dem externen Faktor, so kann eine DMU ihre Produktionen unter den verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors bewusst wählen.271 In diesem Fall wird jede rationale DMUj (j ∈ J) bei einer besseren Ausprägung eh des externen Faktors mindestens den gleichen Gewinn und damit den gleichen Nutzen erzielen wie unter eh (h > h ). a) DMUj wählt unter der Ausprägung eh eine Produktion z jh = z jh , wenn diese sie besser stellt als z jh , so dass G(z jh ) > G(z jh ). b) DMUj realisiert unter der Ausprägung eh die Produktion z jh = z jh , wenn keine Produktion z jh = z jh existiert mit G(z jh ) > G(z jh ). Der Gewinn bleibt in diesem Fall unverändert. c) DMUj ist indifferent zwischen z jh und z jh , wenn beide Produktionen denselben Gewinn ermöglichen und es keine bessere Produktion gibt. In diesem Fall ist der Erfolg ebenfalls konstant G(z jh ) = G(z jh ). Zwischen der Qualität des externen Faktors, dem Gewinn aus einer Produktion und dem Nutzen einer DMU besteht demzufolge ein monoton positiver Zusammenhang. Da dieser 271

Dies gilt auch für eine zu Beginn der Produktion unbekannte Ausprägung des externen Faktors. Denn hierbei zählt die Identifikation, wie etwa die Feststellung des Problems, zur Leistungserstellung der DMU.

124


für alle rationalen Entscheidungsträger bzw. für alle rationalen Nutzenfunktionen gilt, muss ein mit den Unternehmenszielen konsistentes Maß der Gesamteffizienz ebenfalls monoton mit der Ausprägung des externen Faktors steigen. Dieser Forderung genügt die technische Gesamteffizienz, wie Abbildung 4.8, S. 121, zeigt, jedoch im Allgemeinen nicht. Die Gültigkeit der Annahmen 4.2 (Produktionsmöglichkeiten) und 4.3 (Rationalität) vorausgesetzt, wird keine DMU, die nach einer möglichst hohen technischen Effizienz strebt, eine Produktion z C2 gegenüber z C1 vorziehen (Abbildung 4.8). Dies gilt insbesondere dann, wenn den DMUs bewusst ist oder sie erwarten, dass ex post eine Effizienzbeurteilung auf Grundlage der technischen Effizienz vorgenommen wird, diese also (implizit) als Zielvorgabe dient. In diesem Fall würde die dargestellte Konstellation auf die Verletzung mindestens einer Annahme hindeuten. In der Realität verfolgen sowohl privatwirtschaftliche als auch gemeinnützige Organisationen vielfältige Zielsetzungen. Private Unternehmen und damit auch ihre Abteilungen streben zumeist einen möglichst hohen wirtschaftlichen Erfolg an. In diesem Zusammenhang sind insbesondere finanzielle Zielsetzungen, wie der Gewinn oder der Cashflow, relevant. Auch für gemeinnützige Organisationen ist die technische Effizienz der Leistungserstellung zwar wichtig, „um mit den gegebenen Ressourcen ein Maximum an qualitativ hochwertigen sozialen Dienstleistungen anbieten zu können. Als Basis für die Zielfestlegung dienen [jedoch] idealerweise die Kundenbedürfnisse“.272 Entsprechend steht der Nutzen der Kunden, wie z. B. der Patienten eines städtischen Krankenhauses, im Mittelpunkt des Interesses: Wird eine dringend benötigte Leistung auf technisch suboptimale Art und Weise erbracht, ist der durch sie gestiftete Nutzen in jedem Fall höher als der Nutzen einer nicht benötigten aber technisch effizient erstellten Leistung. Analog dazu können sich gewinnmaximierende Unternehmen besser stellen, indem sie ein Produkt mit geringem gegen eines mit hohem Deckungsbeitrag ersetzen, selbst wenn die Herstellung von letzterem technisch weniger effizient erfolgen würde. Inputseitig könnte die Substitution teurer Arbeitskraft durch günstigere Maschinenkraft wirtschaftlich sein, selbst wenn dies die technische Effizienz verringern würde. Kurzum, die Inkaufnahme einer verringerten technischen Effizienz einer DMU ist rational, wenn sich dadurch das verfolgte Ziel und damit der Nutzen, verbessern lässt.

272

Vgl. von Mitschke/Böhlich 1997, S. 8.


125

Aus diesem Grund ist eine differenzierte Betrachtungsweise angebracht, um neben der technischen Effizienz einer Produktion auch deren wirtschaftliche Effizienz oder allgemein deren Werteffizienz beurteilen zu können. Im folgenden Abschnitt werden die Vorgehensweise zur Ableitung von Präferenzen bzw. Wertvorstellungen der Entscheidungsträger sowie die Integration dieser Informationen in die Effizienzanalyse diskutiert. 4.3.4.2 Berücksichtigung von Präferenzen in der Effizienzanalyse 4.3.4.2.1 Modellierung exogener Wertinformationen Als nichtparametrische Methode ist die DEA im Allgemeinen frei von einer A-prioriGewichtung der Inputs und Outputs. Diese ist vielmehr das Ergebnis der Analyse. Die einzige Beschränkung der Gewichte erfolgt durch die Nichtnegativitätsbedingungen µn , νm 0 bzw. die Forderung nach einer strikt positiven Bewertung aller Inputs und Outputs durch µn , νm (∀n ∈ N, ∀m ∈ M). „Die völlig flexiblen Skalenfaktoren . . . sind die wesentliche Stärke und zugleich auch Schwäche der DEA“.273 Der Vorteil liegt in der Unabhängigkeit von subjektiven Einschätzungen des Analysten. Als problematisch erweisen sich zum Teil mit der Realität unvereinbare Gewichtungen. Um diese zu vermeiden, wurden in der Literatur Ansätze zur Beschränkung der Gewichtungsvariablen µn bzw. νm vorgeschlagen. Den Ausgangspunkt dieser Überlegungen bilden die Assurance-Region-Modelle, bei denen zusätzliche Restriktionen in den klassischen DEA-Modellen berücksichtigt werden.274 Die Nebenbedingungen werden dabei in verschiedene Restriktionsklassen unterteilt: 1. Absolute Gewichtsbeschränkungen stellen eine direkte Möglichkeit zur Eingrenzung des Wertebereichs der Input- und Outputgewichte dar. Problematisch bei absoluten Schranken der Gewichte ist die mögliche Unzulässigkeit des DEA-Modells bei entsprechend enger Wahl der Grenzen. Auch sind die Auswirkungen einer absoluten Gewichtsbeschränkung zu beachten. So impliziert beispielsweise eine absolute Obergrenze eines Inputgewichts unter variablen Skalenerträgen eine Untergrenze für die restlichen Inputgewichte.275 273

Dyckhoff/Allen 1999, S. 432, wobei die Gewichtungsvariablen µ n und νm als „Skalenfaktoren“ bezeichnet werden. 274 Vgl. Thompson et al. 1986, S. 45 ff. Der Begriff „Assurance Region“ wurde eingeführt, da auf Grundlage einer Sensitivitätsanalyse und eines Konfidenzbereichs die Verlässlichkeit der Effizienzwerte eingeschätzt werden sollte. 275 Vgl. auch Podinovski 1999, S. 587 ff.; Thanassoulis et al. 2004, S. 109 f. und S. 129.

126


2. Relative Gewichtsbeschränkungen zwischen den Inputs oder den Outputs definieren einen konvexen Kegel (convex cone). Diese Gewichtsbeschränkungen lassen sich entweder mit Hilfe von Restriktionen in dualen DEA-Modellen, wie z. B. (CCRTED h H ), S. 108, oder durch Transformation der Daten in den Standardmodellen der DEA berücksichtigen. Die zweite Möglichkeit wird im Rahmen der Cone Ratio Analysis 276 diskutiert. 3. Relative Gewichtsbeschränkungen zwischen Inputs und Outputs bilden keine konvexen Kegel und lassen sich daher nicht mit Hilfe der Cone Ratio Analysis implementieren.277 Hierzu sind die verwendeten DEA-Modelle um entsprechende Restriktionen zu ergänzen. Im vorliegenden Fall sind relative Gewichtsbeschränkungen zwischen Inputs und/oder Outputs relevant. Deshalb wird zunächst die Formulierung entsprechender Restriktionen betrachtet, bevor anschließend die Ableitung und Berücksichtigung der Präferenzen bei integrativen Produktionen thematisiert wird. Auf eine Darstellung der Cone Ratio Analysis wird hier aufgrund der eingeschränkten Anwendbarkeit verzichtet. Bei relativen Gewichtsbeschränkungen wird das Verhältnis von Input- und/oder Outputpreisen nach oben und/oder unten beschränkt. Es bezeichnen ω1 und ω2 zwei beliebige Input- und/oder Outputgewichte (ω1 , ω2 ∈ {ν1 , . . . , νM , µ1 , . . . , µN }). Dann lässt sich der Wertebereich des Relativpreises ω2 /ω1 auf das Intervall [a; a ] eingrenzen durch a

ω2 a. ω1

Nach Linearisierung lauten diese Beziehungen ω1 · a − ω2 0, −ω1 · a + ω2 0.

276 277

Vgl. Charnes et al. 1990, S. 77. Vgl. Thompson et al. 1990, S. 102.


127

Darüber hinaus lassen sich mehrere Inputs und Outputs zueinander in Beziehung setzen und in eine lineare Form bringen. Existieren T derartige Relativpreisrelationen mit T := {1, . . . , T }, lauten diese in normalisierter Form n∈N

µn · bnt −

νm · cmt 0

(∀t ∈ T).278

(17)

m∈M

Dabei sind die Preise (Gewichtungsvariablen) µn , νm positiv, die dazugehörigen Koeffizienten bnt , cmt ∈ R nicht vorzeichenbeschränkt.279 Durch die Einführung von Relativpreisrestriktionen wird die Interpretation der Effizienzwerte verändert. Sie bezeichnen nun nicht mehr das Maß, auf das alle Inputs reduziert werden müssten, um radiale technische Effizienz zu erreichen. Vielmehr geben sie den Wert an, auf den alle Inputs vermindert werden könnten, ohne dass die betrachtete Produktion einen höheren Erfolg (Gewinn) bzw. Nutzen stiftet als ihre wertorientiert effiziente Referenz. Dabei ist im Allgemeinen die technische Realisierbarkeit der vorgeschlagenen Reduktion nicht gewährleistet.280 Diese Effizienzkennzahl soll im Folgenden zur Abgrenzung zur technischen Effizienz als wertorientierte Effizienz bezeichnet werden. Im Gegensatz zu dieser Vorgehensweise, bei der Preisgrenzen vorgegeben werden, begründet Podinovski die Einführung der Gewichtsbeschränkungen aus produktionswirtschaftlicher Sicht. Dabei sollen die Substitutionsbeziehungen auf einen allgemein akzeptierten Wertebereich eingeschränkt werden, so dass in der DEA Ober- und Untergrenzen der als möglich erachteten Trade-off -Beziehungen berücksichtigt werden.281 Sofern die unterstellten Trade-off-Beziehungen Gültigkeit besitzen, bleibt die Interpretation der technischen Effizienz unverändert: Der Zielfunktionswert gibt im inputorientierten Fall weiterhin das Maß an, auf das alle Inputs proportional reduziert werden müssten, damit die DMU technisch radial effizient wird.282 Während sich die Interpretation der Restriktionen von der preisorientierten Sicht unterscheidet, werden in beiden Fällen die Restriktionen aus exogenen Vorgaben des Analysten abgeleitet.283 Hierin ist der grundlegende Unterschied zu 278

Vgl. Podinovski 2004, S. 1317. Absolute Gewichtsbeschränkungen ergeben sich wenn man auf der rechten Seite eine positive oder negative Konstante addiert, vgl. dazu Podinovski 2004, S. 1317. 280 Vgl. u. a. Thanassoulis 2003, S. 211. 281 Vgl. Podinovski 2004, S. 1315 f. 282 Vgl. Podinovski 2004, S. 1319. 283 Vgl. Podinovski 2004, S. 1312.; vgl. zu einem Überblick über mögliche Ansatzpunkte zur exogenen Fundierung der Gewichtsbeschränkungen Thanassoulis et al. 2004, S. 115 ff. 279

128


dem in dieser Arbeit verfolgten Ansatz zu sehen, der keiner A-priori-Gewichtung bedarf. Vielmehr sollen die Präferenzen aus den beobachteten Daten und auf Basis einiger zentraler Annahmen ermittelt werden. Der Vorteil dieses Ansatzes ist in seiner vollständig nichtparametrischen Natur und der damit einhergehenden Unabhängigkeit von subjektiven Vorgaben des Analysten zu sehen. 4.3.4.2.2 Empirische Ermittlung von Präferenzen Der Ausgangspunkt für die Ableitung von Präferenzen aus beobachteten Produktionen ist die in Annahme 4.3 unterstellte Rationalität. Da rationale DMUs stets solche Produktionen realisieren, die ihren Nutzen maximieren, erlaubt der Vergleich zweier Produktionen einer DMU Rückschlüsse auf deren Präferenzen.284 Damit lassen sich aus den beobachteten Produktionen, auch ohne Kenntnis der zu Grunde liegenden Nutzen- und Gewinnfunktionen, Aussagen über die Präferenzen der DMUs bzw. deren Entscheidungsträger285 sowie über die gültigen Preise treffen, denn es gilt: Satz 4.6 Unter Gültigkeit von Annahme 4.2 (Produktionsmöglichkeiten) und 4.3 (Rationalität) wird für zwei Ausprägungen eh und eh des externen Faktors (∀h , h ∈ H, h > h ) die realisierte Produktion z jh gegenüber der gemäß Annahme 4.2 ebenfalls zulässigen Produktion z jh von DMUj schwach präferiert mit z jh z jh .

Beweis: Der Beweis folgt unmittelbar aus den Annahmen 4.2 (Produktionsmöglichkeiten) und 4.3 (Rationalität). Wegen der nicht kleineren Alternativenmenge TM h ⊇ TMh (h > h ) und einer unter beiden Ausprägungen identischen Zielsetzung von DMUj , kann der Erfolg (Gewinn) und der damit verbundene Nutzen von DMUj , unter eh nicht geringer sein als unter eh .286

Eine Dominanzbeziehung z jh ≥ z jh (h > h ) ist möglich, aber nicht notwendig. Dagegen ist die umgekehrte Dominanz, also z jh ≥ z jh , ausgeschlossen: Da z jh ∈ TMh gemäß Annahme 4.2 eine zulässige Produktion darstellt, ist die Rationalität der Entscheidung zu Gunsten von z jh (Annahme 4.3) bei positiven Preisen nur für z jh z jh gegeben. 284

Vgl. zum mikroökonomischen Prinzip der offenbarten Präferenzen z. B. Varian 2003, S. 118 ff.; Pindyck/ Rubinfeld 2005, S. 134 ff. 285 Existiert ein Gremium aus mehreren Entscheidungsträgern, können aus den beobachteten Daten im Allgemeinen nur Rückschlüsse auf die offenbarten Präferenzen des Gremiums gezogen werden. Die Analyse von Präferenzen einzelner Gremiumsmitglieder ist dagegen nicht ohne Weiteres möglich. 286 Es sei darauf hingewiesen, dass dem Analysten das durch die DMU zu lösende Optimierungsproblem, das heißt ihre Zielfunktion und ihre Nebenbedingungen, nicht bekannt sein muss. Vielmehr sind durch die getroffenen Annahmen Rückschlüsse auf das zu Grunde liegende Entscheidungsmodell möglich.


129

Aus der schwachen Präferenz z jh z jh kann ein Rückschluss auf die dem Analysten zunächst unbekannten Präferenzen bzw. Preise der DMUs bezüglich der Inputs und Outputs erfolgen: Die Rationalität der DMUs setzt voraus, dass die bewerteten Outputerhöhungen und Inputverringerungen beim Übergang von z jh auf z jh nicht kleiner sind als die bewerteten Outputverringerungen und Inputerhöhungen. Formal muss demnach gelten

µn · (ynjh − ynjh ) −

n∈N

⇔

νm · (xmjh − xmjh ) 0

m∈M

µn · (ynjh − ynjh ) −

n∈N

νm · (xmjh − xmjh ) 0

m∈M

(∀j ∈ J, ∀h , h ∈ H, h < h ).

(18)

Definiert man die Output- und Inputveränderungen als ∆ynjh h := ynjh − ynjh

(∀n ∈ N, ∀j ∈ J, ∀h , h ∈ H, h < h ),

∆xmjh h := xmjh − xmjh

(∀m ∈ M, ∀j ∈ J, ∀h , h ∈ H, h < h ),

so werden Verringerungen (Erhöhungen) einer Output- oder Inputquantität beim Übergang von z jh auf z jh durch positive (negative) Werte ausgedrückt. Durch entsprechende Substitution in Ungleichung (18) resultiert

µn · ∆ynjh h

−

n∈N

νm · ∆xmjh h

0 (∀j ∈ J, ∀h , h ∈ H, h < h ). (19)

m∈M

Gelten für alle DMUs dieselben Input- und Outputpreise, das heißt, sind die wahren aber dem Analysten unbekannten Preise von der betrachteten DMUj und der Ausprägung eh des externen Faktors unabhängig, so ist es irrelevant, aus welcher Konstellation (DMUj , eh , eh ) eine Präferenzbeziehung resultiert. Denn sofern der Nutzen mit dem Erfolg streng monoton steigt, präferiert eine DMU einen höheren Gewinn stets gegenüber einem niedrigeren. Die Indizierung mit jh h kann in diesem Fall durch einen neuen Index t ersetzt werden, der die Präferenzrestriktionen eindeutig mit t ∈ T := {1, . . . , T } kennzeichnet. Es gilt n∈N

µn · ∆ynt

−

m∈M

νm · ∆xmt

0 (∀t ∈ T).

(20)

130


Für J DMUs und H verschiedene Ausprägungen des externen Faktors existieren T =J·

H · (H − 1) . 2

solcher Wertrelationen. Im Falle der Dominanz z jh ≥ z jh (j ∈ J, h , h ∈ H, h < h ) gilt stets ynjh − ynjh 0 ⇔

∆ynjh h 0 (∀n ∈ N),

xmjh − xmjh 0 ⇔ ∆xmjh h 0 (∀m ∈ M), so dass die in Ungleichung (19) bzw. (20) formulierte Bedingung für alle positiven Preise erfüllt ist. Die entsprechenden Restriktionen sind in keinem Fall bindend und können daher vernachlässigt werden. Liegt dagegen keine Dominanzbeziehung vor, so existieren Preise µn , νm , die die betroffene Preisrelation verletzen. Auch in diesem Fall sind redundante Restriktionen möglich, auf deren Berücksichtigung verzichtet werden kann.

Die Restriktion t wird durch die Restriktion t (t , t ∈ T, t = t ) redundant, wenn für alle Preise (∀µn , νm ) gilt n∈N

µn · ∆ynt −

νm · ∆xmt

m∈M

µn · ∆ynt −

n∈N

νm · ∆xmt 0.

(21)

m∈M

Aus dieser Überlegung resultieren T T relevante, das heißt möglicherweise bindende Wertrestriktionen, die in der Menge T := {1, . . . , T } zusammengefasst werden. Die Überprüfung auf redundante Nebenbedingungen kann unterbleiben, da nicht bindende Restriktionen keine Auswirkung auf die optimale Lösung haben. Bei einer Vielzahl derartiger Restriktionen kann sich der Rechenaufwand zur Ermittlung einer optimalen Lösung jedoch zum Teil stark erhöhen. 4.3.4.2.3 Verwertung empirischer Präferenzinformationen Für bnt := ∆ynt und cmt := ∆xmt ergibt sich Ungleichung (20) als Spezialfall von Ungleichung (17), S. 127, so dass die abgeleiteten Präferenzen analog zu exogenen Preisinformationen in die DEA-Modelle integriert werden können. Besonders anschaulich ist die Darstellung in der dualen Multiplier-Form, in der die Restriktionen vom Typ (20) dem 287 Modell (CCR-TED h H ), S. 108, hinzuzufügen sind: 287

Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die T relevanten Restriktionen identifiziert wurden. Anderenfalls wäre der Index t ∈ T durch t ∈ T zu ersetzen.


131

(CCR-WED h H ) max µn · ynih n∈N

u. d. N. µn · ynjh (1)

−

n∈N

m∈M

m∈M

(2) (3)

µn · ∆ynt −

n∈N

νm · xmjh

0 (∀j ∈ J, ∀h ∈ H )

νm · xmih

=1

νm · ∆xmt 0 (∀t ∈ T)

m∈M

µn , νm (∀n ∈ N, ∀m ∈ M).

Die zusätzlichen Restriktionen (3) im Multiplier-Modell führen im primalen EnvelopmentModell zu einem erweiterten Entscheidungsspielraum. Das wertorientierte Effizienzmaß θ˜ih H ergibt sich aus der Lösung des folgenden Modells, das gegenüber (CCR-TE h H ), S. 106, T zusätzliche Entscheidungsvariablen qt (t ∈ T) enthält: (CCR-WEh H ) min θ˜ih H − ·

m∈M

d− m +

n∈N

d+ n

u. d. N. ˜ (1) λjh · xmjh + ∆xmt · qt + d− m = θih H · xmih (∀m ∈ M) j∈J h∈H

(2)

j∈J

h∈H

t∈T

λjh · ynjh

+

t∈T

∆ynt · qt

− d+ = ynih n λjh 0 qt 0 + d− m , dn

0 ˜ θih H ∈ R.

(∀n ∈ N) (∀j ∈ J, ∀h ∈ H ) (∀t ∈ T) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N)

Durch diese Modifikation wird der Dominanzkegel im Envelopment-Modell gespreizt. Damit werden „Wertdominanz“-Beziehungen zugelassen, die den Dominanzbegriff von Pareto und Koopmans erweitern, indem – in begrenztem Maße – auch Verschlechterungen in einzelnen Zielen zugelassen sind. Im Modell wird dies durch die Möglichkeit von Trade-offs zwischen den Zielen erreicht: Verbleiben nach radialer Projektion einer Produktion auf den technisch effizienten Rand positive Schlupfvariablen in einzelnen Zielen (Inputs und/oder Outputs), so lassen sich diese entsprechend der eingegrenzten Präferenzbeziehungen gegen andere Inputs oder Outputs ohne Schlupf „tauschen“. Die wertorientierte Referenzmenge

132


ist aufgrund der zusätzlichen Variablen qt (t ∈ T) nicht kleiner als die technische Referenzmenge. In Verbindung mit der zu minimierenden Zielfunktion folgt eine gegenüber der technischen Effizienz nicht größere wertorientierte Effizienz, so dass eine wertorientiert radial effiziente Projektion nicht zwangsläufig technisch erreichbar ist. Das wertorientierte Effizienzmaß einer Produktion soll jedoch auch keine Aussagen über die technisch mögliche Reduktion der Inputs treffen; dies ist Aufgabe der technischen Effizienz. Vielmehr zeigt die wertorientierte Effizienz an, auf welchen Anteil alle Inputs proportional reduziert werden müssten, um werteffizient im Sinne von „höchstens gleichwertig mit der effizienten Referenz“ zu sein. Während die radiale Projektion zwar außerhalb der Technologiemenge liegen kann, ist die letztlich maßgebliche Referenz sowohl wertmäßig effizient als auch technisch erreichbar.288 4.3.4.3 Kennzahlen der bedingten Werteffizienz Analog zur Bestimmung der technischen Effizienzen ergeben sich die wertorientierten Produktions- und Gesamteffizienzen aus Spezialfällen des Modells (CCR-WEh H ). Für H := h (und damit H = h ) werden nur solche Produktionen zur Bildung der Referenz herangezogen, die unter derselben oder einer schlechteren Ausprägung e h des externen Faktors entstanden sind (h ∈ h ). Aus der Lösung des entsprechenden Modells resultiert P ˜ θ˜ih := θih h als Maß der wertorientierten Produktionseffizienz von DMU i unter der Ausprägung eh des externen Faktors: (CCR-WEPh ) min θ˜ih h − ·

m∈M

d− m+

n∈N

d+ n

u. d. N. ˜ (1) λjh · xmjh + ∆xmt · qt + d− m = θih h · xmih (∀m ∈ M) j∈J h∈h

(2)

j∈J

h∈h

t∈T

λjh · ynjh

+

t∈T

∆ynt · qt


0 θ˜ih h ∈ R.

288

Vgl. dazu auch Abbildung 4.9, S. 135.

(∀n ∈ N) (∀j ∈ J, ∀h ∈ h ) (∀t ∈ T) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N)


133

Dieses Modell umfasst höchstens gleich viele Variablen λjh (j ∈ J, h ∈ h ) wie das allgemeine wertorientierte Modell (CCR-WEh H ), denn es gilt h ⊆ H . Entsprechend ist der Zielfunktionswert des Modells nicht geringer. Zur Ermittlung der wertorientierten Gesamteffizienz ist H := H zu setzen, so dass alle beobachteten Produktionen z jh (∀j ∈ J, ∀h ∈ H) zum Vergleich herangezogen werden können. Wegen H ⊇ H weist dieses Modell nicht weniger Variablen auf als das allgemeine Modell (CCR-WEh H ). Aus der Lösung resultiert θ˜PAS := θ˜ih H als Maß für die wert ih

orientierte Gesamteffizienz von DMUi unter der Ausprägung eh des externen Faktors: (CCR-WEPAS h ) min θ˜ih H − ·

m∈M

d− m

+

n∈N

d+ n

u. d. N. ˜ (1) λjh · xmjh + ∆xmt · qt + d− m = θih H · xmih (∀m ∈ M) j∈J h∈H

(2)

j∈J h∈H

t∈T

λjh · ynjh

+

t∈T

∆ynt · qt


0 ˜ θih H ∈ R.

(∀n ∈ N) (∀j ∈ J, ∀h ∈ H) (∀t ∈ T) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N)

Analog zu dem durch Satz 4.3, S. 111, hergestellten Zusammenhang zwischen technischer Gesamt- und technischer Produktionseffizienz gilt bei wertorientierter Betrachtung: Satz 4.7 Die wertorientierte Gesamteffizienz von DMUj unter einer Ausprägung eh des externen Faktors ist nicht größer als ihre wertorientierte Produktionseffizienz unter derPAS P selben Ausprägung, das heißt θ˜jh θ˜jh (∀j ∈ J, ∀h ∈ H). Beweis: Die Beziehung folgt wiederum direkt aus der zu minimierenden Zielfunktion und der gegenüber (CCR-WEPh ) nicht kleineren Alternativenmenge des Modells (CCRWEPhAS ).

Die abgeleiteten wertorientierten Effizienzkennzahlen sind ihren technischen Pendants entsprechend definiert. Zwischen ihnen bestehen die aus den Definitionsgleichungen (15),

134


S. 117, und (16), S. 119, für die technische Sichtweise bekannten Zusammenhänge analog für die wertorientierte Betrachtung, so dass PAS P AS P A θ˜jh := θ˜jh · θ˜jh = θ˜jh · θ˜jh · θ˜hS

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H),

PA P A := θ˜jh · θ˜jh θ˜jh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).289

Gemäß Satz 4.6, S. 128, realisiert DMUj (j ∈ J) unter einer besseren Ausprägung eh des externen Faktors einen nicht geringeren Nutzen als unter der Ausprägung e h (h > h ). Der Nutzen steigt daher monoton mit der Ausprägung (Qualität) des externen Faktors. Eine faire Leistungsbewertung erfordert die Berücksichtigung der verfolgten Ziele von DMUj , so dass unter Gültigkeit der getroffenen Annahmen die Effizienzkennzahl ebenfalls monoton mit der Ausprägung des externen Faktors steigen muss. Diese Anforderung wird durch die Zugrundelegung einer wertorientierten Gesamteffizienz erfüllt, denn es gilt: Satz 4.8 Die wertorientierte Gesamteffizienz steigt monoton mit der Ausprägung des exPAS PAS θ˜jh ternen Faktors, so dass θ˜jh (∀j ∈ J, ∀h , h ∈ H, h < h ). Beweis: Die Wertrestriktion (18), S. 129, die die Präferenzbeziehung z jh z jh (j ∈ J, h , h ∈ H, h < h ) zum Ausdruck bringt, lässt sich schreiben als ⇔

µn · (ynjh − ynjh )

n∈N

µn · ynjh −

n∈N

νm · (xmjh − xmjh )

m∈M

νm · xmjh

m∈M

µn · ynjh −

n∈N

νm · xmjh .

m∈M

Der Charnes-Cooper-Transformation290 zufolge, substituiert man νm =

vm un (∀m ∈ M), µn = (∀n ∈ N). vm · xmjh vm · xmjh

m∈M

m∈M

Es ergibt sich

un · ynjh

n∈N

m∈M 289

−

vm · xmjh

m∈M

vm · xmjh

m∈M

un · ynjh

n∈N

vm · xmjh

m∈M

−

vm · xmjh

m∈M

vm · xmjh

vm · xmjh

.

m∈M

Die Produktions-Selektions-Effizienz ließe sich analog dazu definieren. Wegen ihrer eingeschränkten Aussagekraft wird hierauf jedoch verzichtet; vgl. auch S. 119.


135

In Quotientenform gilt

un · ynjh

n∈N

un · ynjh

n∈N

vm · xmjh

m∈M

vm · xmjh

,

m∈M

so dass keine zulässige Gewichtung (mit positiven Preisen) existiert, für die die Produktion z jh einen höheren Zielfunktionswert und folglich eine höhere wertorientierte Gesamteffi

zienz erreicht als die Produktion z jh . x2 z A2

10 9 8

PAS θÃ2

7 6 5

z C2

4

PAS θÃ1

3

TM2

z B2 = z A12

z˜ A12

2 1 0

z A1

z ˜ A22 = z A22

TM 2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x1

Abbildung 4.9: Nichtsinkende wertorientierte Gesamteffizienz Abbildung 4.9 veranschaulicht die aus Abbildung 4.8, S. 121, bekannte Konstellation, in der die zu beurteilende DMUA unter einer schlechteren Ausprägung (e1 ) des externen Faktors eine höhere technische Gesamteffizienz aufweist als unter einer besseren (e 2 ). 290

Vgl. auch S. 64. Da die Produktion z jh zu testen ist, werden ihre Inputs zur Normierung verwendet. Diese ist für das Ergebnis allerdings ohne Bedeutung; dasselbe Resultat ergibt sich insbesondere bei Überprüfung von z jh und entsprechender Normierung mit deren Inputquantitäten.

136


Durch die Berücksichtigung der schwachen Präferenz von z A2 gegenüber z A1 wird der Dominanzkegel von letzterer (gepunktet eingezeichnet) gespreizt und z A1 von z A2 schwach wertorientiert dominiert. Diese Modifikation führt zu dem wertorientiert schwach effizien ten Rand TM 2 . Die wertorientierte Referenzmenge TM 2 enthält also technisch unzulässige Produktionen, die nicht in TM2 enthalten sind, aber auch nicht höher bewertet werden als die technisch zulässige Produktion z˜ A22 = z A22 (= z C2 ). Einerseits entspricht wegen z˜ A22 = z A22 die wertorientierte Gesamteffizienz der Produktion z A2 ihrem technischen Pendant, das heißt θ˜PAS = θAS = 0,5. Andererseits gilt z˜ < z (= z B2 ) und damit A2

A2

A12

A12

PAS PAS θÃ1 = 0,5 < 0,6 = θA1 . Für die wertorientierten Gesamteffizienzen der DMUA folgt PAS PAS θÃ2 = θÃ1 , was in Einklang mit der schwachen Präferenz z A2 z A1 steht.

Exkurs: Die Gültigkeit von Satz 4.8 ist abhängig von den unterstellten Skalenerträgen. Denn während die Zielfunktion und die Restriktionen (1) des dualen Modells (CCR-WED h H ), S. 131, um die zusätzliche Variable µ0 ergänzt werden,291 bleiben die Wertrestriktionen (3) davon unberührt. Damit stellen letztere zwar weiterhin den im Beweis verdeutlichten Zusammenhang sicher, dieser garantiert dann jedoch (aufgrund der modifizierten Zielfunktion und der Restriktionen) nicht, wie im Fall konstanter Skalenerträge, dass der Zielfunktionswert von z jh und damit die Effizienz nicht größer sind als bei einer präferierten Produktion z jh z jh (h > h ). Diesen Sachverhalt verdeutlichen die folgenden beiden Abbildungen an einem Beispiel mit einem Input und einem Output. Abbildung 4.10 demonstriert die Ermittlung der technischen Gesamteffizienz zweier Produktionen von DMUA , wobei z A1 unter einer schlechten Ausprägung (e1 ) des externen Faktors zustande kam und z A2 unter einer guten (e2 ). Bei dieser Analyse ergibt sich die Gesamteffizienz der Produktion z A1 in Höhe von PAS θA1 = 0,667 (= x 1A12 /x1A1 = 4/6). Dagegen weist die Produktion z A2 eine technische PAS = 0,5 (= x Gesamteffizienz von θA2 1A22 /x1A2 = 1,5/3) auf.

291

Vgl. dazu auch S. 61.

4.3 Bedingte Effizienz unter einer bestimmten Ausprägung des externen Faktors y1

137

TMCRS 2

8 7 6

TMVRS 2

z A12

5

z A1

PAS θA1

4 z A22

3 2

z A2

PAS θA2

1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

Abbildung 4.10: Sinkende technische Gesamteffizienz unter variablen Skalenerträgen Gemäß Satz 4.6, S. 128, wird Produktion z A2 schwach gegenüber z A1 präferiert, hier z. B. aufgrund eines relativ hohen Inputpreises. Unter Berücksichtigung dieser Präferenzbeziehung lassen sich die wertorientierten Gesamteffizienzen der beiden Produktionspunkte, wie in Abbildung 4.11 dargestellt, ermitteln. Die Einführung der Präferenzbeziehung z A2 z A1 äußert sich in einer Spreizung des Dominanzkegels, so dass z A2 in dem Dominanzkegel von z A1 liegt. Die wertorientierte radiale Referenz z˜ A12 liegt außerhalb der technischen Produktionsmöglichkeiten (TM2 ) und ist damit technisch nicht durchführ 2 ) wird nach oben und links durch den bar.292 Die wertorientierte Referenzmenge (TM grau dargestellten effizienten Rand begrenzt.293 Dennoch zeigt sich bei wertorientierter Betrachtung ein analoges Bild zur technischen Effizienzanalyse: Zwar ist die wertorientierte Gesamteffizienz mit θ˜PAS = 0,583 (= A1

PAS x˜ = 1A12 /x1A1 = 3,5/6) kleiner als die entsprechende technische Effizienzkennzahl θ A1

292 293

Vgl. dazu auch Thanassoulis 2003, S. 211. Aufgrund des modifizierten Dominanzkegels resultiert eine wertorientierte Referenzmenge, die – im Gegensatz zu den technischen Produktionsmöglichkeiten – nicht nach oben durch den höchsten beobachteten Output (hier sechs) beschränkt ist. Sie umfasst zusätzlich solche Produktionen, die einen nicht höheren Gewinn und damit Nutzen erzielen als die beobachtete Produktion (−2; +4) T .

138

4 Entwicklung einer Methodik zur Leistungsmessung y1

TMCRS 2 = TM CRS 2

8

TM VRS 2

7 6

TMVRS 2

z˜ A12

5

z A1

PAS θÃ1

4 3

z˜ A22

PAS θÃ2

z A2

2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x1

Abbildung 4.11: Sinkende wertorientierte Gesamteffizienz unter variablen Skalenerträgen 0,667. Allerdings ist sie immer noch größer als die wertorientierte Gesamteffizienz der Produktion z A2 in Höhe von θ˜PAS = θPAS = 0,5.294 A2

A2

Ende des Exkurses. Die wertorientierte Selektionseffizienz wird analog zur technischen Selektionseffizienz (Definitionsgleichung (12), S. 113) als kleinste obere Schranke der wertorientierten Gesamteffizienz der beobachteten Produktionen z jh unter der Ausprägung eh des externen Faktors festgelegt (∀j ∈ J, ∀h ∈ h , h ∈ H), so dass

⎫

⎬

j ∈ J PAS

. θ˜hS := max θ˜jh

⎩

h ∈ h ⎭ ⎧ ⎨

Dann gelten die folgenden beiden Sätze für die wertorientierte Selektionseffizienz in Analogie zu den Sätzen für die technische Selektionseffizienz:

294

Würde man dagegen die Gesamteffizienz unter Zugrundelegung einer Technologie mit konstanten SkalePAS = 0,417 (= 2,5/6) < nerträgen ermitteln, ergäben sich technische Gesamteffizienzen in Höhe von θA1 PAS 0,5 = θA2 . Die wertorientierten Kennzahlen wären in diesem Fall identisch.


139

Satz 4.9 Für die wertorientierte Selektionseffizienz θ˜hS unter der Ausprägung eh (∀h ∈ H) des externen Faktors gilt: a) Die wertorientierte Selektionseffizienz entspricht dem Maximum der wertorientierten Gesamteffizienz der Produktionsmöglichkeiten unter e h . Virtuelle Referenzen müssen bei der Ermittlung der wertorientierten Selektionseffizienz nicht berücksichtigt werden. b) Die wertorientierte Selektionseffizienz erfasst zugleich das Maximum der wertorientierten

Adaptions-Selektions-Effizienz

der

beobachteten

Produktionen

z jh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ h ) und damit aller zulässigen Produktionen unter eh , so dass θ˜hS

= max

⎧ ⎨ ⎩

PAS θ˜jh

⎫

⎫ ⎧

⎨

j∈J ⎬

j∈J ⎬ AS

≡ max θ˜jh

.

⎩

h ∈ h ⎭

h ∈ h ⎭

Beweis: Der Beweis erfolgt analog zu dem von Satz 4.4, S. 114.

Entsprechend gilt auch Ungleichung (13), S. 116, bei wertorientierter Betrachtung, so dass die wertorientierte Selektionseffizienz die Adaptions-Selektions-Effizienz beschränkt und diese wiederum nicht kleiner ist als die Gesamteffizienz. Folglich gilt für alle h ∈ H (und damit h ⊆ H) AS PAS θ˜jh θ˜hS θ˜jh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ h ).

Satz 4.10 Die wertorientierte Selektionseffizienz steigt monoton mit der Ausprägung des externen Faktors, so dass θ˜hS θ˜hS (∀h , h ∈ H, h < h ). Beweis: Die Beweisführung folgt der von Satz 4.5, S. 120.

4.3.5 Interdependenzen der technischen und wertorientierten Perspektiven Von besonderem Interesse ist der Vergleich der technischen Effizienzkennzahlen mit ihren wertorientierten Pendants. Die Verknüpfung der technischen und der wertorientierten Sicht wird in der Literatur unter dem Begriff der allokativen Effizienz diskutiert. 295 Dabei wird die vollständige Kenntnis der Gewichtungsvariablen (Preise) vorausgesetzt, so dass 295

Vgl. auch Abschnitt 4.2.2, S. 91.

140


die eingesetzten Inputs und die erzeugten Outputs exakt bewertet werden können und sich finanzielle Zielgrößen, wie Umsatz, Kosten und Gewinn, ermitteln und vergleichen lassen. Auf Grundlage der in Abschnitt 4.3.4.2, S. 125, dargestellten Vorgehensweise können zwar die Wertebereiche der Gewichtungsvariablen (µn , νm ) zum Teil stark eingeschränkt werden, im Allgemeinen ist jedoch nicht davon auszugehen, dass sich die Präferenzen bzw. die Preise exakt bestimmen lassen. Dies unterscheidet die hier betrachtete Situation von der in der Literatur unterstellten. Zudem wird in Anlehnung an Farrell ein radiales Maß der allokativen Effizienz verwendet.296 τ Nach Farrell bestimmt das Verhältnis aus wertorientierter Effizienz (θ˜jh ) und dazugehöτ τ 297 riger technischer Effizienz (θ ) die allokative Effizienz (θˇ ), so dass jh

τ θˇjh :=

τ θ˜jh τ θjh

jh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H, ∀τ ∈ Γ := {PAS, P, PA, A, AS, S}).298

(22)

Die zentralen Zusammenhänge der technischen und der wertorientierten Effizienzkennzahlen fassen die folgenden beiden Sätze zusammen. Satz 4.11 Sowohl die wertorientierte Produktionseffizienz als auch die wertorientierte Gesamteffizienz sind nicht größer als die dazugehörigen technischen Kennzahlen. Die allokative Produktionseffizienz und die allokative Gesamteffizienz sind nicht größer als eins. Es gilt P P θjh θ˜jh

⇔

P θˇjh =

PAS PAS PAS θ˜jh θjh ⇔ θˇjh =

P θ˜jh 1 P θjh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H),

PAS θ˜jh 1 (∀j ∈ J, ∀h ∈ H). PAS θjh

Beweis: Die Modelle zur Bestimmung der wertorientierten Effizienz unterscheiden sich von denen zur Ermittlung der technischen Effizienz nur durch zusätzliche Entscheidungsvariablen qt (t ∈ T). Damit stellt die optimale Lösung von (CCR-TEPh ) bzw. (CCRP TEPAS h ), S. 110 f., immer auch eine zulässige Lösung von (CCR-WE h ) bzw. (CCR-

WEPAS h ), S. 132 f., dar. Bei einer zu minimierenden Zielfunktion wird von dieser Lösung 296

Vgl. Farrell 1957, S. 260 f. Vgl. Farrell 1957, S. 254 f. Dabei bezeichnet er die allokative Effizienz als Preiseffizienz und die Werteffizienz als Gesamteffizienz, die die technische und allokative Effizienz umfasst. 298 Auf die Berücksichtigung der prinzipiell berechenbaren Produktions-Selektions-Effizienz wird aus den genannten Gründen verzichtet; vgl. S. 119. 297


141

abgewichen, wenn sich dadurch ein geringerer Zielfunktionswert erreichen lässt. Existiert keine bessere Lösung, so ist die optimale Lösung eines Modells zur Bestimmung der technischen Effizienz auch bezüglich des dazugehörigen wertorientierten Modells optimal. Der Zielfunktionswert eines wertorientierten Modells ist nach oben durch den Zielfunktions

wert des entsprechenden technischen Modells beschränkt.

Satz 4.12 Die wertorientierte Selektionseffizienz übersteigt die technische Selektionseffizienz nicht. Die allokative Selektionseffizienz ist nicht größer als eins, das heißt θ˜S θ˜hS θhS ⇔ θˇhS = hS 1 (∀h ∈ H). θ h

Beweis: Gemäß Satz 4.11 gilt PAS PAS θjh θ˜jh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H)

und wegen h ⊆ H insbesondere PAS PAS θjh θ˜jh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ h ).

Dies impliziert, dass das Maximum der wertorientierten Gesamteffizienz keinesfalls größer sein kann als das Maximum der technischen Gesamteffizienz, das heißt θ˜hS

= max

⎧ ⎨ ⎩

PAS θ˜jh

⎧

⎫

⎫

⎨

j∈J ⎬

j∈J ⎬ PAS

max θjh

= θhS

⎩

h ∈ h ⎭

h ∈ h ⎭

(∀h ∈ H).

Die obere Schranke von eins für die allokative Selektionseffizienz ergibt sich wiederum direkt aus ihrer Definition.

Für die übrigen Kennzahlen, die die Adaptionseffizienz einschließen, lassen sich keine genaueren Angaben über den Definitionsbereich der allokativen Effizienzen treffen. Insbesondere bleibt offen, ob die allokative Adaptionseffizienz kleiner oder größer als eins A > 1 und andeist. Abbildung 4.12 veranschaulicht eine Situation, in der einerseits θˇA1 A ˇ rerseits θ < 1 ist. Die technisch effizienten und die wertorientierten Referenzen zu den B1

Produktionen z A1 bzw. z B1 sowie die entsprechenden Effizienzwerte sind in Tabelle 4.1 angegeben.

142

4 Entwicklung einer Methodik zur Leistungsmessung x2 10 9 8 7 z A1

6 5

z B2

4

z ˜ A12 = z A12

3

z B1

TM1 TM 1

z A2 z˜ B12

2

TM2

z B12

TM 2

1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x1

Abbildung 4.12: Technische und wertorientierte Adaptionseffizienzen DMUj

DMUA

DMUB

z j1

(−3; −6; +1)

T

(−8; −4; +1)T

z j12 z˜ j12

(−2; −4; +1)T

(−6; −3; +1)T

AS θj1 ˜ θAS

0,667 (= 2/3)

0,75 (= 3/4)

0,667 (= 2/3)

0,625 (= 5/8)

j1

(−2; −4; +1)

T

θ1S A θj1 θ˜1S A θ˜j1 θˇ1S A θˇj1

(−5; −2,5; +1)T

0,75 0,889 (= 8/9)

1 0,667

1

0,9375 (= 15/16) 0,889

1,125 (= 9/8)

0,9375

Tabelle 4.1: Technische und wertorientierte Adaptionseffizienzen


143

In dem gewählten Beispiel erzielt DMUA mit ihrer Produktion zA1 eine technische AS Adaptions-Selektions-Effizienz von θA1 = 0,667 (= x 1A12 /x1A1 = 2/3 = x2A12 /x2A1 = AS = 4/6).299 Dieser Wert entspricht auch der zugehörigen wertorientierten Effizienz θÃ1

0,667. Dagegen erreicht DMUB mit ihrer Produktion z B1 eine technische Adaptions AS Selektions-Effizienz von θB1 = 0,75 (= x 1B12 /x1B1 = 6/8 = x2B12 /x2B1 = 3/4). Ihre AS = 0,625 (= x˜ entsprechende wertorientierte Effizienz beträgt θ˜B1 1B12 /x1B1 = 5/8 =

x˜ 2B12 /x2B1 = 2,5/4). Maßgeblich für die jeweilige Selektionseffizienz ist das Maximum der Adaptions-Selektions- bzw. der Gesamteffizienz der DMUs. Bei Betrachtung der technischen Effizienz unter der Ausprägung e1 des externen Faktors ergibt sich also AS AS θ1S = max θA1 ; θB1 = max {0,667; 0,75} = 0,75. Für die entsprechende wertorientierte & ' AS ÃS ; θB1 = max {0,667; 0,625} = 0,667. Gemäß Satz Selektionseffizienz gilt θ˜1S = max θÃ1 4.12 ist die wertorientierte Selektionseffizienz nicht größer als die technische. Hier gilt θ˜S = 0,667 < 0,75 = θS und demnach θˇS = 0,889 (= 0,667/0,75) < 1. 1

1

1

A AS = θj1 /θ1S , die wertorientierten Die technischen Adaptionseffizienzen ergeben sich als θj1 als θÃ = θÃS /θ˜S (∀j ∈ {A, B}). Aus den entsprechenden Werten lassen sich die allokativen j1

j1

1

A Adaptionseffizienzen bestimmen. Für DMUA resultiert θˇA1 = 1,125 (= 9/8) > 1, für A ˇ DMUB ergibt sich θ = 0,9375 (= 15/16) < 1. B1

A > 1 bedarf einer genaueren Analyse: Die adaptive Ineffizienz erfasst als Der Fall θˇA1

Residualgröße jenen Teil der Gesamtineffizienz, der sich weder durch produktive Ineffizienzen noch durch die für alle DMUs gleichermaßen relevanten Effizienzverluste infolge einer schlechteren Ausprägung des externen Faktors (selektive Ineffizienz) erklären lässt. Damit wird die dazugehörige allokative Adaptionsineffizienz wesentlich durch den Erklärungsgehalt der produktiven und selektiven Ineffizienzen beeinflusst. Ist der durch sie erklärte Teil der Gesamtineffizienz bei wertorientierter Betrachtung größer als aus technischer Perspektive, das heißt, steigt ihr Erklärungsgehalt durch Einführung einer Präferenzrelation, so ist die wertorientierte gegenüber der technischen Adaptionsineffizienz geringer. Umgekehrt ist die wertorientierte Adaptionseffizienz größer als die technische. Es resultiert eine allokative Adaptionseffizienz von größer als eins. Ebenso uneindeutig ist die Beziehung zwischen den technischen und wertorientierten Varianten der Produktions-Adaptions- und der Adaptions-Selektions-Effizienz. Auch bei die299

P PAS AS Wegen θj1 = 1 gilt hier z = θj1 (∀j ∈ {A, B}). j11 = z j1 und θj1

144


sen beiden Kennzahlen lässt sich der nichtnegative Wertebereich der dazugehörigen allokativen Effizienz nicht näher einschränken. Steigt der relative Erklärungsgehalt der produktiven Ineffizienz durch Einführung von Präferenzrelationen, sinkt gleichzeitig die Adaptions-Selektions-Ineffizienz bzw. steigt die Adaptions-Selektions-Effizienz. Der relative Erklärungsgehalt der produktiven Ineffizienz steigt genau dann, wenn sich die produktive Effizienz relativ stärker verringert als die Gesamteffizienz, so dass P PAS θ˜jh θ˜jh < PAS . P θjh θjh

Denn hieraus folgt unmittelbar AS θjh =

PAS PAS θjh θ˜jh AS < P = θ˜jh P ˜ θjh θjh

und es gilt AS θˇjh =

AS θ˜jh > 1. AS θjh

Analog dazu resultiert aus einem relativ höheren Erklärungsgehalt der wertorientierten Selektionsineffizienz eine allokative Produktions-Adaptions-Effizienz größer als eins, so dass PAS θ˜jh θ˜hS < PAS θhS θjh

⇒

PA θjh =

PAS PAS θjh θ˜jh PA < = θ˜jh θhS θ˜hS

⇒

PA θˇjh =

PA θ˜jh > 1. PA θjh

A ˇPA ˇAS , θjh , θjh ) zeigen primär an, ob Die allokativen Effizienzen der adaptiven Kennzahlen (θˇjh

und in welchem Maße sich der nicht durch produktive und selektive Effizienzen erklärte Teil der Gesamteffizienz verändert. Isoliert betrachtet ist die Adaptionseffizienz problematisch, da sie als Residualgröße die weder der Selektions- noch der Produktionsleistung direkt zurechenbaren Effekte erfasst und damit nur in Verbindung mit diesen beiden Größen sinnvoll interpretierbar ist. Führen die Präferenzinformationen der DMUs nicht zu perfekt bekannten Gewichtungsvariablen (Preisen), stellen die auf ihrer Grundlage ermittelten Kennzahlen lediglich obere


145

Schranken der wahren wertorientierten und allokativen Effizienzen dar. Der Grund hierfür liegt in der einseitigen Wirkung von Präferenzrestriktionen: Während die technischen Effiτ (τ ∈ Γ) definitionsgemäß nicht durch Präferenzen (Preise) beeinflusst werden, zienzen θjh verringern sich die wertorientierten Effizienzen (θ˜τ ) tendenziell durch zusätzliche oder rejh

striktivere Nebenbedingungen.300 Aus Definitionsgleichung (22), S. 140, folgt unmittelbar, dass sich die allokativen Effizienzen (θˇτ ) in dieselbe Richtung und in demselben relativen jh

Maß verändern wie die Werteffizienzen. Bei der empirischen Ermittlung von Präferenzen können Widersprüche, das heißt sich gegenseitig ausschließende Relativpreisgrenzen, wie z. B. µ1 /ν1 1 und µ1 /ν1 2, auftreten. In diesem Fall sind die wertorientierten Modelle unlösbar. Dies ist jedoch nicht als Nachteil der Modelle zu verstehen. Vielmehr deutet die Unlösbarkeit auf die Verletzung mindestens einer Annahme hin. Insbesondere die unterstellte Rationalität, die Freiheit von Störeinflüssen, die Auswahl der Inputs und Outputs sowie die Einheitlichkeit ihrer Preise sind dann kritisch zu prüfen. Soll z. B. die Rationalitätsannahme aufgegeben werden, kann eine Beschränkung auf die technischen Effizienzkonzepte erfolgen. In Kapitel 6 werden ausgewählte Möglichkeiten zur Lockerung der Annahmen diskutiert, um die Methodik zu verallgemeinern.

4.4 Ableitung aggregierter stochastischer Effizienzen 4.4.1 Bedeutung einer stochastischen Effizienzbetrachtung Die bisherige Analyse erfolgte jeweils für eine bestimmte Ausprägung des externen Faktors. Die daraus resultierenden bedingten Effizienzkennzahlen erlauben die Leistungsbeurteilung einer DMU unter ebendieser Ausprägung. Die Besonderheit dieser Vorgehensweise gegenüber den in der Literatur diskutierten Ansätzen ist die explizite Berücksichtigung der Ausprägung (Qualität) des externen Faktors und die daraus entwickelte differenzierte Effizienzbewertung. Bei der Analyse bedingter Effizienzen ist jedoch zu beachten, dass die Ergebnisse unter verschiedenen Ausprägungen – trotz der aufgezeigten Beziehungen – als weitgehend isoliert anzusehen sind. Insbesondere wird eine zu beurteilende DMU unter den verschiedenen 300

Eine Nebenbedingung (B) ist „restriktiver“ als eine Restriktion (A), wenn (A) durch die Einführung von (B) redundant wird. Vgl. hierzu auch die Prüfung auf redundante Präferenzrestriktionen in Ungleichung (21), S. 130.

146


Ausprägungen des externen Faktors unter Umständen mit völlig verschiedenen Referenzen verglichen, die durch Spezialisierung besondere Vorteile in bestimmten Situationen erzielen. Da zu einer DMU im Allgemeinen unterschiedliche Referenzen existieren, ist die Ableitung einer eindeutigen Strategie zur Effizienzverbesserung in der Regel nicht möglich. Eine DMU mit geringen oder keinen Kapazitätsreserven ist bei einer guten Ausprägung des externen Faktors womöglich effizient, da ihre Kapazität unter diesen guten Bedingungen ausreicht und ihre Kosten geringer sind als bei einer DMU mit großen Kapazitätsreserven. Unter schlechten Ausprägungen des externen Faktors schneiden dagegen die DMUs mit größerem Kapazitätsangebot zumeist besser ab, da DMUs mit knappen Ressourcen z. B. eine verminderte Qualität, Überstundenzuschläge und Verzugskosten in Kauf nehmen müssen. Demzufolge könnte eine DMU mit geringer Kapazität eine DMU mit mittlerer Kapazität unter einem guten externen Faktor dominieren, während bei schlechten Ausprägungen DMUs mit größerer Kapazität die Referenz bilden. Es ist offensichtlich, dass die beiden (impliziten) Handlungsempfehlungen, Verringerung der Kapazität unter schlechter Ausprägung des externen Faktors und Erhöhung derselben unter guter Ausprägung, nicht gleichzeitig realisierbar sind. Denn die Kapazität ist vor der eigentlichen Leistungserstellung und somit auch vor Kenntnis des externen Faktors in einem speziellen Fall festzulegen. Aus diesem Grund ist eine Aggregation der bedingten Effizienzen zu einer Kennzahl erforderlich, wobei nur eine Referenz für die Beurteilung der funktionalen Effizienz einer DMU maßgeblich ist.301 Sollen verschiedene Funktionsbereiche einer DMU, z. B. ihre Produktion und ihre Selektion, beurteilt werden, so existiert jeweils eine Effizienzkennzahl pro funktionalem Beurteilungsbereich. Der Zufallsabhängigkeit des externen Faktors wird durch die bedingte Effizienzanalyse nicht Rechnung getragen. Hierbei wird der externen Faktor als Datum angesehen. Seine Mehrwertigkeit kommt nur durch unterschiedliche Effizienzwerte zum Ausdruck. Es resultieren Effizienzwerte je Funktionsbereich und Ausprägung des externen Faktors. Diese Kennzahlen stellen den Ausgangspunkt für die stochastische Effizienzanalyse dar. Aus entscheidungstheoretischer Sicht handelt es sich bei den bedingten Effizienzwerten um Realisationen von Zufallsvariablen. Können diesen (subjektive) Eintrittswahrscheinlichkeiten zugeordnet werden, liegt ein Entscheidungsproblem unter Risiko vor, bei dem die 301

Diese Formulierung schließt Mehrfachlösungen nicht aus. Dagegen soll sie zum Ausdruck bringen, dass die Referenz (und gegebenenfalls eine Mehrfachlösung) für die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung gilt – und nicht, wie die bedingten Effizienzkennzahlen, jeweils nur für eine Ausprägung.


147

Alternativen (hier DMUs) bewertet werden sollen. Im Allgemeinen gibt es jedoch keine Alternative, die in jedem Szenario gleichermaßen optimal ist, so dass es sich um ein unvollständig definiertes Problem (ill-defined problem) handelt.302 Zur Bewertung unsicherer Alternativen sind die Verteilungen ihrer Ergebnisse zu bestimmen und zu vergleichen.303 Entsprechend sind bei einer Effizienzanalyse die Verteilungen der bedingten funktionalen Effizienzen von Interesse. Abbildung 4.2, S. 88, veranschaulicht diese beispielhaft für DMUi (horizontal). Die Eignung stochastischer Dominanzen zur Bewertung unsicherer Produktionsentscheidungen auf Basis der Effizienzverteilungen wird im folgenden Abschnitt 4.4.2 untersucht. Anschließend sind unterschiedliche Dominanzkonzepte und geeignete Testprogramme zur Überprüfung auf stochastische Effizienz vorzustellen (Abschnitt 4.4.3). In Abschnitt 4.4.4 werden die verschiedenen stochastischen Dominanzkriterien bewertet und Verbindungen zwischen ihnen aufgezeigt. 4.4.2 Effizienzbeurteilung auf Basis stochastischer Dominanzkonzepte 4.4.2.1 Eignung stochastischer Dominanzen zur aggregierten Effizienzanalyse Ein rationaler Entscheidungsträger orientiert sich bei der Entscheidungsfindung unter Risiko an seiner Risikonutzenfunktion. Diese ordnet jedem möglichen Ergebnis einer Handlungsalternative einen Nutzenwert zu. Gegenüber der in Definition 4.1, S. 91, eingeführten Bewertungsfunktion, die (ordinale) Präferenzordnungen abbildet, ist die Risikonutzenfunktion damit als kardinale Funktion zu verstehen, das heißt, sie ist bis auf eine positivlineare Transformation eindeutig bestimmt.304 Im Gegensatz zu den in Abschnitt 4.3.4.2, S. 125, thematisierten Präferenzen (Preisen) bezüglich der Inputs und Outputs, die den DMUs unter Verwendung eines entsprechenden Anreizsystems durch die Organisation vorgegeben werden können, ist die Risikoneigung von außen kaum steuerbar. Ein leistungsbzw. erfolgsorientiertes Entlohnungssystem führt bei Entscheidungen mit unsicherem Ergebnis zu einer unsicheren Auszahlung an den Entscheidungsträger. Dementsprechend beeinflusst die persönliche Risikoneigung seine Entscheidungen, im Speziellen auch die für das Unternehmen zu treffenden. Die Risikopräferenzen und damit die Risikonutzenfunktionen der DMUs bzw. ihrer Entscheidungsträger können sich durchaus unterscheiden, so

302

Vgl. auch Abschnitt 2.2, S. 16. Die Verwendung spezieller Momente einer Verteilung zieht im Allgemeinen die Vernachlässigung wertvoller Informationen der Verteilung nach sich. Von dieser Möglichkeit wird hier deshalb abgesehen. 304 Vgl. u. a. Bitz 1981, S. 155 ff.; Laux 2005, S. 180 f. 303

148


dass Unternehmen bzw. deren Subeinheiten nicht zwangsläufig risikoneutral sind, wie dies insbesondere für Versicherungsgesellschaften305 häufig unterstellt wird.306 Die Erwartungsnutzentheorie lässt sich speziell bei einer nachträglichen Leistungsbewertung durch einen externen Analysten nicht unmittelbar anwenden, da die benötigten Daten fehlen. Aufgrund ihrer axiomatischen Begründbarkeit wird die Erwartungsnutzentheorie jedoch häufig als Gütekriterium für einfachere Entscheidungskriterien herangezogen.307 Die stochastischen Dominanzkonzepte basieren auf der Erwartungsnutzentheorie und stehen mit dieser in Einklang. Im Gegensatz zu letzterer erfordern stochastische Dominanzkonzepte jedoch nicht die Kenntnis der Risikonutzenfunktion. Ihre Aussagen gelten jeweils für eine bestimmte Klasse von Risikonutzenfunktionen. Je nachdem, inwiefern sich die Risikoeinstellung der zu beurteilenden DMUs spezifizieren lässt, können unterschiedliche stochastische Dominanzkonzepte Anwendung finden. Im Folgenden werden drei stochastische Dominanzkonzepte unterschieden, die Aussagen für verschiedene Klassen von Nutzenfunktionen gestatten. Aus stochastischen Dominanzen nullten und ersten Grades ergeben sich Handlungsempfehlungen für alle rationalen Entscheidungsträger. Auf Grundlage der stochastischen Dominanzen zweiten Grades werden Aussagen speziell für risikoaverse Entscheidungsträger begründet. Mit steigendem Grad der stochastischen Dominanzen wird der Gültigkeitsbereich der Aussagen eingeschränkt. Gleichzeitig sind für diesen genauere Bewertungen und Handlungsanweisungen möglich. Bevor auf die einzelnen Dominanzkonzepte und auf die Modellierung geeigneter Testprogramme zur Überprüfung von DMUs auf stochastische Effizienz eingegangen wird, ist die Ableitung einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung zu thematisieren, denn diese stellt eine Anwendungsvoraussetzung für die Testprogramme dar. 4.4.2.2 Ableitung einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung Im Allgemeinen sehen sich die DMUs nicht derselben Wahrscheinlichkeitsverteilung des externen Faktors gegenüber. Einerseits kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch individuelle Akquisitions- und Selektionsmaßnahmen beeinflussbar sein, andererseits können sich die DMUs in unterschiedlichen, exogen bestimmten Situationen befinden, z. B. bei regional verschiedenen Einkommens- und/oder Altersstrukturen der Kunden. 305 306 307

Vgl. z. B. Pindyck/Rubinfeld 2005, S. 233. Vgl. zur Modellierung eines risikoaversen Produzenten u. a. Coto-Millán 2003, S. 196 f. Vgl. auch Abschnitt 2.2.2, S. 18.


149

In der Literatur werden zur Überprüfung auf stochastische Effizienz jedoch üblicherweise eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung und damit für alle DMUs identische Eintrittswahrscheinlichkeiten eines Szenarios unterstellt. Diese Annahme ist hier unproblematisch, denn diskrete Verteilungen lassen sich ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf eine Verteilung mit identischen Eintrittswahrscheinlichkeiten für alle Szenarien und alle Zufallsvariablen überführen. Im Folgenden soll erläutert werden, wie DMU-spezifische Wahrscheinlichkeitsverteilungen in eine so genannte empirische Verteilung308 überführt werden können, die für alle DMUs und alle Szenarien eine identische Wahrscheinlichkeit aufweist. Anschließend soll auf die Verdichtung zu einer für alle DMUs gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung eingegangen werden, die im Allgemeinen weniger Szenarien erfordert und damit die Komplexität der Testprogramme reduziert. Die relative Häufigkeit, mit der sich DMUj der Ausprägung eh des externen Faktors gegenübersieht, wird als Eintrittswahrscheinlichkeit pjh ∈ [0; 1] interpretiert. Da die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Szenarien letztlich auf K H beobachteten Realisationen einer Zufallsvariable beruhen, kann anstelle der DMU-spezifischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit H Ausprägungen die Verteilung der ursprünglichen K Realisationen verwendet werden. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung weist für alle DMUs und alle Szenarien eine identische Wahrscheinlichkeit von p = 1/K auf. Tabelle 4.2 veranschaulicht die Konstruktion einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung an einem numerischen Beispiel: Die vorgegebenen DMU-spezifischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen des externen Faktors und der damit verbundenen Verteilungen der Produktionseffizienz mit H = 3 verschiedenen Ausprägungen je DMUj (j ∈ J := {A, . . . , D}) sind in Tabelle 4.2 oben angegeben.Die DMU-spezifischen Eintrittswahrscheinlichkeiten pjh (j ∈ J, h ∈ H) werden in Tabelle 4.2 Mitte in eine denkbare309 empirische Wahrscheinlichkeitsverteilung überführt mit K = 10 Szenarien und einer identischen Eintrittswahrscheinlichkeit für alle DMUs und alle Szenarien von p = 1/K = 0,1 (∀j ∈ J, ∀k ∈ K := {1, . . . , K}). Ausgehend von der empirischen Verteilung können nun diejenigen Szenarien zusammengefasst werden, in denen sich die Realisationen aller Zufallsvariablen nicht unterscheiden. Man erhält K Szenarien (k ∈ K := {1, . . . , K}), die mit der über die entsprechenden Sze308 309

Vgl. zur Verwendung des Begriffs z. B. Kuosmanen 2004, S. 1390. Es existiert eine unbegrenzte Anzahl möglicher empirischer Verteilungen. Die vorliegende ist jedoch diejenige mit der kleinsten Zahl künstlicher Szenarien.

150


h p

0,1

pAh P θAh H pBh P θBh H pCh P θCh H pDh P θDh H k p P θAk

K

P θBk K P θCk K P θDk K

k pk P θAk K P θBk K P θCk K P θDk K

1 0,1

2 0,1

0,1

0,1

0,3 0,9 0,3 0,5

0,1

0,1

3 0,1

0,1

0,4 0,8 0,4 0,7 0,4 1,0

0,3 0,7 0,3 1,0 0,3 0,7

0,3 0,9

0,3 0,8

0,1

0,3 1,0

0,4 0,9

1 0,1

2 0,1

3 0,1

4 0,1

5 0,1

6 0,1

7 0,1

8 0,1

9 0,1

10 0,1

0,9

0,9

0,9

0,8

0,8

0,8

0,8

0,7

0,7

0,7

0,5

0,5

0,5

0,7

0,7

0,7

0,7

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,9

0,9

0,9

0,7

0,7

0,7

0,8

0,8

0,8

1,0

1,0

1,0

0,9

0,9

0,9

0,9

1

2

3

4

5

0,3 0,9 0,5 1,0 0,8

0,1 0,8 0,7 1,0 1,0

0,2 0,8 0,7 0,9 1,0

0,1 0,8 0,7 0,9 0,9

0,3 0,7 1,0 0,7 0,9

Tabelle 4.2: Bestimmung einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung narien k ∈ K kumulierten Wahrscheinlichkeit eintreten. Die auf diese Weise gewonnene gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung umfasst K K Szenarien, so dass K ⊆ K ist. Diese K Szenarien werden mit den DMU-unabhängigen Wahrscheinlichkeiten p k (k ∈ K) realisiert (Tabelle 4.2 unten).310 Durch Zusammenfassung der für alle DMUs identischen 310

τ Dabei sind die bisher in dieser Arbeit als θjh bezeichneten bedingten Effizienzwerte einer DMU j unter der τ Ausprägung eh des externen Faktors explizit als θjh angegeben, um zum Ausdruck zu bringen, dass die H τ ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Anwendung finden und h ∈ H ist. Entsprechend weist θ jk K

τ auf den Index der empirischen Wahrscheinlichkeitsverteilung (k ∈ K) hin. Die Effizienzen θ jk beziehen K sich auf die bedingten Effizienzwerte bei Zugrundelegung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung (mit k ∈ K). Der Einfachheit halber soll im Folgenden auf die Indexmenge (H, K bzw. K) als Subskript der bedingten Effizienz verzichtet werden, sofern diese eindeutig aus dem Zusammenhang hervorgeht.


151

Szenarien kann die virtuelle empirische Verteilung in diesem Beispiel in eine allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit fünf Szenarien (K = 5) überführt werden. Zwar ist es generell möglich, mit der virtuellen empirischen Verteilung zu arbeiten, jedoch erhöht sich durch die zusätzlichen Szenarien der Rechenaufwand zum Teil erheblich.311 4.4.3 Mögliche stochastische Effizienzkriterien 4.4.3.1 Ungesättigte Präferenzen und Zustandseffizienz Bei der stochastischen Dominanz nullten Grades (Zero-order Stochastic Dominance, ZSD) handelt es sich streng genommen um keine stochastische Kennzahl. Denn eine stochastisch vom Grade null dominierte DMU weist in keinem Szenario eine höhere bedingte Effizienz auf als die dominierende Referenz und in mindestens einem Szenario eine geringere. Dieses Kriterium ist also ohne Kenntnis der Eintrittswahrscheinlichkeiten des externen Faktors bzw. der bedingten Effizienzen anwendbar.312 Damit basiert die stochastische Dominanz nullten Grades – die im Falle diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen auch Zustandsdominanz genannt wird – auf derselben Dominanzdefinition wie die Dominanz in vektoriellen Entscheidungsmodellen, wobei die Realisationen in den unterschiedlichen Umweltzuständen als Ziele aufzufassen sind.313 Die Ergebnisse der stochastischen Dominanzanalyse nullten Grades gelten für alle rationalen Entscheidungsträger, die nicht gesättigte Präferenzen und damit eine monoton steigende Nutzenfunktion aufweisen: Kein rationaler Entscheidungsträger mit einer Nutzenfunktion u aus der Klasse der monoton steigenden Nutzenfunktionen U 0 , das heißt u ∈ U0 , präferiert eine zustandsdominierte Alternative. Unabhängig von den konkreten Zielvorstellungen wird eine zustandsdominierte DMU von jedem Entscheidungsträger mit steigender Nutzenfunktion – also auch von sich selbst – als ineffizient bezeichnet. Dies gilt auch für zustandsabhängige Präferenzen, das heißt falls die Entscheidungseinheit unterschiedliche Nutzenvorstellungen unter verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors aufweist.314

311

Dieser Aspekt wird am Ende des folgenden Abschnitts 4.4.3.2 diskutiert. Vgl. z. B. Dinkelbach/Kleine 1996, S. 73 f. 313 Vgl. auch Abschnitt 3.1.1, S. 24, sowie die klassische Effizienzdefinition nach Pareto und Koopmans. 314 Zustandsabhängige Präferenzen bzw. zustandsspezifische Nutzenfunktionen sind beispielsweise dann plausibel, wenn mit den Zuständen unterschiedliche Preisniveaus verbunden sind und so dasselbe Einkommen unter verschiedenen Realisationen der Zufallsvariable unterschiedliche Konsummöglichkeiten impliziert. Vgl. hierzu z. B. Laux 2005, S. 190 ff. 312

152


Da bei der Zustandsdominanz die Ausprägungen verschiedener Alternativen (hier DMUs) unter den möglichen Umweltzuständen verglichen werden, ist die Abhängigkeit von einem gemeinsamen stochastischen Einfluss, wie z. B. der Konjunktur, vorauszusetzen. 315 Werden jedoch gleichartige Entscheidungseinheiten miteinander verglichen, ist ein gemeinsamer externer Faktor, der für alle DMUs zugleich gilt, kaum vorstellbar. Denn aufgrund ihrer Gleichartigkeit werden die DMUs von den Kunden als Alternativen verstanden und ein Kunde in der Regel nur von einem Anbieter bedient. Entsprechend wird ein externer Faktor nur jeweils bei einer der DMUs in die Leistungserstellung eingebracht. Die Verteilung der Ausprägungen des externen Faktors ist damit DMU-spezifisch und nicht für alle DMUs gleichermaßen gültig. Dies gilt auch dann, wenn die DMUs identische Verteilungen aufweisen sollten. Aus diesem Grund und weil sich unter plausiblen Annahmen an die Präferenzen einer Entscheidungseinheit die trennschärfere Wahrscheinlichkeitsdominanz als Kriterium anbietet, unterbleibt hier die Darstellung eines Testprogramms zur Überprüfung der Zustandseffizienz einer DMU. 4.4.3.2 Zustandsunabhängige Präferenzen und Wahrscheinlichkeitseffizienz Für alle Bernoulli-rationalen Entscheidungsträger kann die stochastische Dominanz ersten Grades (Wahrscheinlichkeitsdominanz, First-order Stochastic Dominance, FSD) zur Beurteilung herangezogen werden. Denn kein im Sinne Bernoullis rationaler Entscheidungsträger, der seinen erwarteten Nutzen zu maximieren versucht, wird eine wahrscheinlichkeitsdominierte Alternative wählen.316 Dies gilt unabhängig von seiner Risikoneigung, solange er eine Nutzenfunktion u ∈ U1 besitzt. Die Nutzenfunktionsklasse U1 enthält wie U0 nur monoton steigende Nutzenfunktionen, wobei sie im Gegensatz zu U 0 ausschließlich zustandsunabhängige Präferenzen (state-independent preferences) einschließt. 317 Für die Untersuchung stochastischer Produktionen auf technische und/oder wertorientierte Effizienz ergibt sich die folgende Interpretation: Eine wahrscheinlichkeitsdominierte DMU wird von jedem Entscheidungsträger mit ungesättigten Präferenzen bezüglich der technischen 315

Dies betont auch Riess 1996, S. 49, denn „liegt keine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der zu den Alternativen gehörenden stochastischen Zielfunktionswerte vor, ist eine Überprüfung auf Zustandsdominanz in der Regel nicht möglich“. Dabei ist zu beachten, dass Riess als „gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung“ einen gemeinsamen stochastischen Einfluss versteht, und nicht wie hier in Abschnitt 4.4.2.2 eine identische Wahrscheinlichkeitsverteilung mehrerer Zufallsvariablen. 316 Vgl. zur Beziehung mit der Erwartungsnutzentheorie Quirk/Saposnik 1962, S. 140 ff.; Hanoch/Levy 1969, S. 336 f.; Hadar/Russell 1969, S. 28 ff.; vgl. zum Beweis auch Bawa 1975, S. 101 f. 317 Vgl. Hanoch/Levy 1969, S. 336. Demnach ist die z. B. von Hadar/Russell 1969, S. 30, geforderte strikte Monotonie zur Überprüfung auf stochastische Dominanz ersten Grades nicht erforderlich, vgl. dazu auch Marx 2003, S. 72, Fußnote 32.


153

bzw. wertorientierten Effizienz als ineffizient betrachtet. Weist eine wahrscheinlichkeitsdominierte DMU diesbezüglich ungesättigte Präferenzen auf, so beurteilt sie sich selbst ebenfalls als ineffizient. Für die Nutzenfunktionsklasse gilt also U1 := {u(θ)| u (θ) 0} , wobei die Existenz der ersten Ableitung im relevanten Bereich θ ∈ (0; 1] vorausgesetzt wird.318 Zustandsabhängige Präferenzen, wie sie bei Betrachtung der Zustandsdominanz zugelassen sind, werden im Rahmen der Erwartungsnutzentheorie in der Regel ausgeschlossen. 319 Für den vorliegenden Fall sind zustandsunabhängige Präferenzen eines Entscheidungsträgers durchaus plausibel, da er seinen Nutzen zumindest mittelbar (z. B. über eine Erfolgsbeteiligung) aus dem erreichten Zielwert (z. B. dem Gewinn) zieht und nicht anzunehmen ist, dass die Ausprägung des externen Faktors (z. B. durch ein verändertes Preisniveau) seine Konsummöglichkeiten und damit seinen Nutzen beeinflusst. Folglich kann die Effizienz auf Grundlage der stochastischen Dominanz ersten Grades (Wahrscheinlichkeitsdominanz) beurteilt werden. Der Wert des Risikoprofils Rjτ (s) einer DMUj gibt die Erfolgswahrscheinlichkeit an, mit der die technische Effizienz320 θjτ (τ ∈ Γ) nicht kleiner ist als s, das heißt Rjτ (s) := P {θjτ s}. Definition 4.2 (Stochastische Effizienz vom Grade eins) Eine DMUi heißt stochastisch effizient vom Grade eins (wahrscheinlichkeitseffizient) bezüglich τ ∈ Γ, falls keine dominierende DMUj existiert, deren Risikoprofil an keiner Stelle unterhalb dem von DMUi verläuft und an mindestens einer Stelle darüber, so dass

318

Rjτ (s) Riτ (s)

(∀s ∈ R),

Rjτ (s)

(∃s ∈ R).

>

Riτ (s)

Vgl. zur Lockerung dieser Annahme z. B. Marx 2003, S. 62 f. Vgl. zum so genannten Unabhängigkeitsaxiom (Substitutionsaxiom) von Neumann/Morgenstern 2004, S. 618, sowie zu dessen Diskussion z. B. Bitz 1981, S. 189 ff. 320 Da die Betrachtung wertorientierter Effizienzkennzahlen vollkommen analog erfolgt, beschränkt sich die Darstellung der Methodik auf technische Effizienzen. 319

154


Mit anderen Worten, DMUj wahrscheinlichkeitsdominiert DMUi genau dann, wenn sie bei keinem Anspruchsniveau s ∈ R eine geringere Wahrscheinlichkeit bietet, dieses zu überschreiten und für mindestens ein s eine größere Wahrscheinlichkeit aufweist. Äquivalent zum Vergleich der Risikoprofile kann die Überprüfung auf stochastische Dominanz ersten Grades auf Grundlage der Verteilungsfunktion F jτ (s) erfolgen. Da ihr Wert angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein vorgegebener Wert s nicht überschritten wird, das heißt Fjτ (s) := P {θjτ s}, wird eine DMUi von einer DMUj genau dann wahrscheinlichkeitsdominiert, wenn die Verteilungsfunktion von DMUj an keiner Stelle oberhalb der von DMUi verläuft und an mindestens einer Stelle darunter, so dass Fjτ (s) Fiτ (s)

(∀s ∈ R),

Fjτ (s)

(∃s ∈ R).

0 = F2 (0,2) sowie F1 (0,8) = 1 > 0,5 = F2 (0,8), ein Rückschluss auf die Wahrscheinlichkeitsdominanz von DMU2 gegenüber DMU1 wäre jedoch z. B. wegen F1 (0,7) = 0,3 < 0,5 = F2 (0,7) unzulässig. Dasselbe gilt in diesem Beispiel auch, wenn man DMU2 auf diese Weise auf Wahrscheinlichkeitseffizienz prüfen wollte.

4.4 Ableitung aggregierter stochastischer Effizienzen F1 (s)

F2 (s)

R1 (s)

1,0

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2 s

0 0

0,2

155

0,4

0,6

0,8

1,0

R2 (s)

s

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Abbildung 4.13: Verteilungsfunktionen und Risikoprofile Die Betrachtung der Trägerstellen des Risikoprofils einer zu testenden DMUi ist dagegen hinreichend, um Aussagen über ihre Wahrscheinlichkeitseffizienz treffen zu können. Für das Beispiel erkennt man ohne Schwierigkeiten, dass weder das Risikoprofil von DMU 1 noch das von DMU2 an einer seiner Trägerstellen unterhalb des Risikoprofils der jeweils anderen DMU verläuft. Somit werden beide DMUs korrekterweise als wahrscheinlichkeitseffizient ausgewiesen. Die Allgemeingültigkeit dieser Aussage fasst Satz 4.13 zusammen. Hier und im Folgenden wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen, die Szenarien seien aufsteigend nach der bedingten Effizienz der jeweils zu bewertenden τ τ τ θi2 . . . θiK . Die Sortierung ist also vor der Überprüfung DMUi sortiert, so dass θi1

einer jeden DMUj (∀j ∈ J) entsprechend durchzuführen. Satz 4.13321 Zur Überprüfung einer DMUi auf stochastische Dominanz ersten Grades beτ τ züglich τ ∈ Γ ist die Betrachtung der Risikoprofile an den K Trägerpunkten {θi1 , . . . , θiK }

ausreichend. Denn für ohne Beschränkung der Allgemeinheit sortierte Effizienzwerte τ τ . . . θiK sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent θi1 τ τ ) Riτ (θik ) (a) Rjτ (θik

(∀k ∈ K),

(b)

(∀s ∈ R)

Rjτ (s)

Riτ (s)

und DMUi wird von DMUj schwach wahrscheinlichkeitsdominiert.

321

Vgl. Marx 2003, S. 161, Satz 5.11.

156


τ τ Beweis: Die Implikation (b) ⇒ (a) gilt unmittelbar wegen {θi1 , . . . , θiK } ⊂ R. Sofern (a)

erfüllt ist, gilt Rjτ (s) = Riτ (s) = 1

τ (s θi1 ),

Rjτ (s) Riτ (s) = 0

τ (s > θiK ).

τ τ τ Zu untersuchen bleibt der Bereich s ∈ (θi1 ; θiK ). Für zwei beliebige Trägerpunkte θik und τ θik +1 (∀k ∈ {1, . . . , K − 1}) gilt

τ Riτ (s) = Riτ (θik +1 )

Rjτ (s)

τ Rjτ (θik +1 )

τ τ (∀s ∈ (θik ; θik +1 ]),

(23)

τ θik +1 ).

(24)

(∀s

Unter Gültigkeit von (a) und insbesondere τ τ τ Rjτ (θik ) Ri (θik ), τ τ τ Rjτ (θik +1 ) Ri (θik +1 )

(25)

folgt aus Kombination von (23) bis (25) Rjτ (s) Riτ (s) und damit für alle s ∈ R.

τ τ (∀s ∈ [θik ; θik +1 ])

(26)

Aufgrund der Gültigkeit von Satz 4.13 lässt sich eine DMUi mit Hilfe des folgenden gemischt-ganzzahligen linearen Programms (FSDτ ) auf stochastische Effizienz ersten Grades bezüglich τ ∈ Γ überprüfen.322 Es resultiert ein reellwertiges Ineffizienzmaß 1τ ∈ [1; ∞), das als Verhältnis der erwarteten bedingten Effizienz der Referenz und der Θ i 322

Vgl. zu einer ähnlichen Formulierung Marx 2003, S. 162, dessen Modell auf Riess 1996, S. 88, aufbaut. Unterschiede zu dem hier dargestellten Modell bestehen insbesondere hinsichtlich der Zielfunktion und der Restriktionen (1). Als Ziel formuliert Marx die Maximierung der Fläche zwischen den Risikoprofilen. Hier wird die Abweichung des Erwartungswertes als Kriterium verwendet. Für die Restriktionen (1) setzt Marx eine hinreichend große Konstante („Big-M“) ein, um unzutreffende Restriktionen im Modell redundant zu machen. Auf diese kann hier verzichtet werden, da die bedingten Effizienzwerte allesamt positiv sind. Es sei darauf hingewiesen, dass der von Bawa et al. 1985, S. 423, vorgeschlagene Test keine Kombinierbarkeit von Alternativen ermöglicht. Bei diesem als Convex Stochastic Dominance bezeichneten Testprogramm werden vielmehr nur die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Alternativen miteinander kombiniert, was hier nicht zielführend ist. Vgl. dazu auch Post/Kopa 2005, S. 16.


157

zu testenden DMUi definiert wird. Die stochastische Effizienz ersten Grades ergibt sich als Kehrwert dieser Ineffizienz, das heißt Θ1τ i :=

1 . Θ1τ i

Damit ist die Effizienz wiederum im Bereich Θ1τ i ∈ (0; 1] definiert. (FSDτ )

1τ Θ i

max

τ p · λj · θj ∈K j∈J := τ pk · θik k∈K

u. d. N. (1)

j∈J

(2)

∈K

(3)

τ τ λj · θj θik · γk

(∀k, ∈ K)

τ p · γk Riτ (θik ) λj = 1

(∀k ∈ K)

j∈J

(Z1)

γ1 = 1

(∀ ∈ K)

(Z2)

γk γk

(∀k , k , ∈ K, k < k )

λj 0,

(∀j ∈ J)

γk ∈ B

(∀k, ∈ K).

Die Binärvariablen γk geben an, ob der Effizienzwert der Referenz in Szenario als Benchmark der zu testenden DMUi in Szenario k dienen kann. Dies ist genau dann möglich und γk = 1, wenn die Referenz in Szenario mindestens die gleiche Effizienz aufweist wie die zu testende DMUi in Szenario k. Anderenfalls ist γk = 0, so dass gilt

γk =

⎧ τ τ ⎪ ⎨1 falls λj · θj θik , j∈J

⎪ ⎩0 sonst,

(∀k, ∈ K).

Diese Beziehung ist in dem Modell (FSDτ ) durch die Restriktionen (1) abgebildet.323 Neτ τ , . . . , θiK } benbedingungen (2) stellen sicher, dass die Referenz an keinem Trägerpunkt {θi1 323

Streng genommen stellt das Modell (FSDτ ) lediglich „“-Beziehungen für γk sicher. Demnach ist es möglich, dass γk = 0 ist, obwohl der Referenzwert nicht kleiner ist als der Wert der zu testenden DMU i . Dies hat jedoch keine Auswirkung auf die Bestimmung der optimalen Referenz oder des Zielfunktionswertes und sich durch Addition eines hinreichend kleinen Korrekturterms in der Zielfunktion beheben ließe (+ · γk ). k∈K ∈K

158


τ eine geringere Wahrscheinlichkeit als die zu testende DMUi bietet, den Effizienzwert (θik )

zu erreichen oder zu überschreiten. Somit verläuft das Risikoprofil der Referenz an keinem Trägerpunkt und gemäß Satz 4.13 an keiner Stelle s ∈ R unterhalb des Risikoprofils der zu testenden DMUi . Während das Risikoprofil von letzterer als Parameter an das Modell übergeben wird, ist das Risikoprofil der Referenz modellendogen zu bestimmen. Es τ als kumulierte entspricht der Erfolgswahrscheinlichkeit und ergibt sich an der Stelle θ ik

Wahrscheinlichkeit derjenigen Szenarien , in denen die Referenz eine mindestens gleich hohe Effizienz aufweist wie die zu bewertende DMUi . Methodisch wird dies durch die mit γk gewichtete Summe über die Wahrscheinlichkeiten erreicht, denn Misserfolge, das heißt Unterschreitungen der Effizienz von DMUi durch die Referenz, werden wegen γk = 0 bei der Bestimmung des Risikoprofils nicht berücksichtigt. Durch Nebenbedingung (3) wird die Referenzmenge, das heißt der Alternativenraum, festgelegt. Eine Begrenzung der Linearfaktoren λj ist erforderlich, da ansonsten – aufgrund der zu maximierenden Zielfunktion 1τ → ∞. und der positiven bedingten Effizienzwerte – gelten würde λj → ∞ (∀j ∈ J) ⇒ Θ i

In dem hier betrachteten Fall ist die Beschränkung auf Konvexkombinationen inhaltlich gerechtfertigt. Denn im Unterschied zur Analyse der bedingten technischen bzw. wertorientierten Effizienz auf Grundlage absoluter Input- und Outputquantitäten, treten bei Verwendung relativer Effizienzkennzahlen keine Skalenunterschiede auf. Somit ist die Skalierung der DMUs zur Referenzbildung nicht erforderlich und wegen des genannten Problems auch nicht sinnvoll. Dies gilt analog für die im nächsten Abschnitt darzustellende stochastische Effizienz zweiten Grades einer DMU, so dass die Menge der zulässigen Linearfaktoren λ := (λ1 , . . . , λJ )T im Folgenden auch geschrieben wird als ΛSD :=

λ∈

RJ+

λj = 1 .324

j∈J

Zur schnelleren Lösbarkeit des Programms lassen sich zusätzliche Restriktionen (Z1) und (Z2) formulieren, die keinen Einfluss auf das Ergebnis haben, sondern die Suche nach einer optimalen Lösung unterstützen. Dies geschieht, indem die Eigenschaften einer zulässigen Lösung ausgenutzt und explizit beschrieben werden: 324

Dabei gilt ΛSD ≡ ΛV RS . Die Differenzierung in der Schreibweise soll ausdrücken, dass bei den Testprogrammen auf stochastische Effizienz keine Freiheitsgrade in der Festlegung der Referenzmenge bestehen, wie dies im Rahmen der DEA der Fall ist.


159

(Z1) Aufgrund der Sortierung der Effizienzwerte gilt für das Risikoprofil von DMUi an der τ τ τ Stelle θi1 = min{θik }k∈K immer Riτ (θi1 ) = 1, denn der kleinste bedingte Effizienzwert

wird mit einer Wahrscheinlichkeit von eins nicht unterschritten. Das Risikoprofil der Referenzeinheit muss (mindestens) denselben Wert annehmen. Dies setzt voraus, dass die Referenz in keinem Szenario einen niedrigeren Effizienzwert aufweist als die zu testende DMUi in ihrem schlechtesten Szenario, so dass γ1 = 1 ist (∀ ∈ K). Hierdurch lassen sich die K 2 Binärvariablen des Modells (FSDτ ) um K auf K·(K−1) reduzieren. (Z2) Ist die Effizienz der Referenzeinheit in einem Szenario kleiner als die Effizienz der zu testenden Einheit in Szenario k , so ist sie auch kleiner als die nicht geringere Effizienz der zu testenden DMUi in Szenario k > k . Denn aus der Sortierung der τ τ Szenarien folgt unmittelbar θik θik (∀k , k ∈ K, k < k ), so dass gilt

τ τ λj · θj < θik ⇒ γk = 0

j∈J

=⇒

τ τ λj · θj < θik ⇒ γk = 0

(∀k , k , ∈ K, k < k ).

j∈J

Nebenbedingungen (Z2) stellen diesen Zusammenhang sicher. Falls γk = 1 ist, sind die Restriktionen wegen γk ∈ B redundant. Dagegen schränken sie für γk = 0 den Handlungsspielraum effektiv ein, so dass unzulässige Lösungen frühzeitig erkannt werden können.

Satz 4.14 Gegeben sei eine DMUi bzw. λi ∈ ΛSD (wobei λi = 1 und λj = 0 (∀j ∈ J \ i)) τ der bedingten Effizienz θiτ , dann gilt: mit K diskreten Realisationen θik

a) Eine optimale Lösung λ1∗ ∈ ΛSD von (FSD τ) ist wahrscheinlichkeitseffizient bezüglich τ ∈ Γ. b) DMUi bzw. λi ist genau dann wahrscheinlichkeitseffizient bezüglich τ ∈ Γ, wenn der 1τ ∗ = Θ1τ ∗ = 1 beträgt. optimale Zielfunktionswert von (FSD τ) Θ i i

160


Beweis: a) Nimmt man an, dass λ1∗ nicht wahrscheinlichkeitseffizient ist, dann existiert wenigstens eine zulässige Referenz λ1 ∈ ΛSD mit R1τ (s) R1τ ∗ (s)

(∀s ∈ R),

R1τ (s)

(∃s ∈ R).

>

R1τ∗ (s)

Die stochastische Dominanz ersten Grades impliziert, dass der Erwartungswert der bedingten Effizienz einer dominierten DMU (λ1∗ ) kleiner ist als der einer dominierenden DMU (λ1 ), denn eine linear steigende Nutzenfunktion ist in der Klasse der monoton steigenden Nutzenfunktionen U1 enthalten und damit zulässig.325 Folglich gilt k∈K

pk ·

θ1τ k

>

k∈K

pk ·

θ1τ∗ k

⇔ k∈K

pk · θ1τ k

k∈K

τ pk · θik

> k∈K

pk · θ1τ∗ k

k∈K

τ pk · θik

und der Zielfunktionswert von λ1∗ ist geringer als der von λ1 . Dann kann λ1∗ allerdings auch keine optimale Lösung von (FSDτ ) sein. ∗ 1τ = 1 des Testprogramms (FSDτ ) ist hinreichend b) Ein Zielfunktionswert von Θ i

für die Wahrscheinlichkeitseffizienz von DMUi , da alle Restriktionen (2) bindend, das heißt mit Gleichheit erfüllt sind, so dass DMUi ihre eigene optimale Referenz darstellt. Gäbe es einen positiven Schlupf in einer der Restriktionen (2), so wäre eine identische erwartete bedingte Effizienz der Referenz und DMUi und somit ein Zielfunktionswert von eins nur durch Verletzung einer anderen Restriktion (2) erreichbar. Aus Teil a) dieses Satzes folgt hieraus die Wahrscheinlichkeitseffizienz von DMUi . Ein optimaler Zielfunktionswert von eins ist notwendig, da bei einem Zielfunktionswert größer eins das Risikoprofil der Referenz an mindestens einer Stelle über dem von DMUi verliefe und letztere wahrscheinlichkeitsdominiert würde.

Im Unterschied zur radialen Debreu-Farrell-Effizienz ist in diesem Fall nicht alleine die kleinste Abweichung von der zu testenden DMU zu der herangezogenen Referenz relevant. Vielmehr gehen alle Realisationen über den Erwartungswert in das (In-) Effizienzmaß ein. 325

Vgl. Hanoch/Levy 1969, S. 338.


161

Hierbei ist jedoch zu beachten, dass zur Bestimmung der bedingten Effizienzkennzahlen mit Hilfe der DEA unterschiedliche Ziele (Inputs und Outputs) simultan berücksichtigt werden müssen. Es handelt sich aus modelltheoretischer Sicht also um ein deterministisches, vektorielles Entscheidungsproblem. Die Aggregation auf Grundlage der so ermittelten Effizienzen basiert dagegen auf einer skalaren Zielgröße (der bedingten funktionalen Effizienz), jedoch in einer stochastischen Entscheidungssituation. Diesem Unterschied wird durch die verwendeten Effizienzmaße Rechnung getragen. Da es sich bei der stochastischen Effizienzbetrachtung jeweils um die Abweichungen bezüglich ein und desselben Ziels in unterschiedlichen Szenarien handelt, erscheint die Verwendung des Erwartungswertes der Abweichungen sinnvoll. Zweifellos sind andere Zielformulierungen, wie die Minimierung einer Risikokennzahl (z. B. des (Conditional) Value at Risk) oder eine radiale Effizienzdefinition, denkbar. Speziell bei einer Maximin-Norm ist jedoch die verringerte Trennschärfe kritisch zu beurteilen. Da die Selektionseffizienz definitionsgemäß für alle Produktionen unter derselben Ausprägung des externen Faktors identisch ist und ferner für die beste Ausprägung eH eine Selektionseffizienz von θS ≡ θ˜S ≡ 1 gilt, ist die kleinste Abweichung der Selektionseffizienz H

H

zwischen allen DMUs gerade null. Alle DMUs würden auf Grundlage einer Maximin-Norm bezüglich der aggregierten Selektionsleistung als effizient beurteilt. Bei Betrachtung des Erwartungswertes ist dies nicht der Fall. k pk P θAk P θBk P θCk P θDk

1

2

3

4

5

0,3 0,9 0,5 1,0 0,8

0,1 0,8 0,7 1,0 1,0

0,2 0,8 0,7 0,9 1,0

0,1 0,8 0,7 0,9 0,9

0,3 0,7 1,0 0,7 0,9

E[θjP ] 0,80 0,73 0,88 0,90

Tabelle 4.3: Erwartungswerte der bedingten Produktionseffizienz im Beispiel

Sowohl die Wahrscheinlichkeitseffizienz als auch die stochastische Effizienz zweiten Grades soll an dem in Tabelle 4.2, S. 150, eingeführten Beispiel verdeutlicht werden. Es ergeben sich die in Tabelle 4.3 angegeben Erwartungswerte der bedingten Produktionseffizienzen. Die dazugehörigen Verteilungsfunktionen und Risikoprofile der vier DMUs sind in Abbildung 4.14 dargestellt.

162

4 Entwicklung einer Methodik zur Leistungsmessung FAP (s)

FBP (s)

FCP (s)

FDP (s)

P RA (s)

1,0

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2 s

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

P RB (s)

RCP (s)

P RD (s)

s

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Abbildung 4.14: Wahrscheinlichkeitsdominierte DMUA und DMUB Bei der Analyse zeigt sich, dass sowohl DMUA als auch DMUB jeweils von DMUC und DMUD produktiv wahrscheinlichkeitsdominiert werden. Die bezüglich (FSDτ ) optimale Referenz zu DMUA und DMUB ist DMUD , da diese den höchsten Erwartungswert der bedingten Effizienz aufweist. Aus diesem Grund kann DMUD (auch von keiner Konvexkombination) wahrscheinlichkeitsdominiert werden und ist folglich stochastisch effizient vom Grade eins. Verglichen mit den anderen DMUs bietet DMUC eine höhere Wahrscheinlichkeit, eine bedingte Effizienz von eins zu erreichen. Also ist auch sie wahrscheinlichkeitseffizient. Exkurs: Kuosmanen stellt ein alternatives Modell vor, das im Falle einer empirischen Wahrscheinlichkeitsverteilung, das heißt mit identischen Eintrittswahrscheinlichkeiten p für alle Szenarien und DMUs, anwendbar ist.326 Wie in Abschnitt 4.4.2.2, S. 148, diskutiert, kann dies für jede diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ohne Beschränkung der Allgemeinheit unterstellt werden, indem entsprechende fiktive Szenarien konstruiert werden. Bezeichnet K die Anzahl der hierbei zu berücksichtigenden Szenarien, so gilt K K. Mit angepasster Notation und derselben Zielfunktion wie in Modell (FSDτ ) lässt sich das ebenfalls gemischt-ganzzahlige lineare Programm folgendermaßen formulieren:

326

Vgl. Kuosmanen 2004, S. 1394.

4.4 Ableitung aggregierter stochastischer Effizienzen (FSDτK ) max

1τ Θ i

:=

∈K

p·

j∈J

k∈K

τ λj · θj

τ p · θik

=

∈K j∈J

163

τ λj · θj

k∈K

τ θik

u. d. N. τ τ λj · θj θik · γ k (∀ ∈ K) (1) j∈J

(2)

k∈K

γk = 1

(∀ ∈ K)

γk = 1

(∀k ∈ K)

k∈K

(3)

∈K

(4)

λj = 1

j∈J

λj 0 γk ∈ B

(∀j ∈ J) (∀k, ∈ K).

Mit Hilfe der Binärvariablen γ k (k, ∈ K := {1, . . . , K}) wird durch Nebenbedingungen (1) jedem Szenario der Referenzeinheit ein Szenario k der zu testenden DMUi gegenübergestellt, so dass zu jedem Effizienzwert von letzterer ein nicht kleinerer Referenzwert existiert. Da die Restriktionen (2) die Summe der Binärvariablen über alle k ∈ K Szenarien beschränken, wird dem Szenario der Referenzeinheit jeweils genau ein Szenario k der zu testenden DMUi gegenübergestellt. Umgekehrt gewährleisten Nebenbedingungen (3) die Zuordnung genau eines Referenzszenarios zu jedem Szenario k der zu testenden DMUi . Damit handelt es sich bei γ k (∀k, ∈ K) um Elemente einer Permutationsmatrix,327 für die gilt

γk =

⎧ τ τ ⎪ ⎨1 falls λj · θj Referenz zu θik ist, j∈J

⎪ ⎩0 sonst,

(∀k, ∈ K).

Restriktion (4) beschränkt die Möglichkeiten zur Konstruktion der Referenzeinheit wiederum auf Konvexkombinationen.

327

Vgl. Kuosmanen 2004, S. 1393.

164


Das Modell (FSDτK ) überprüft die Wahrscheinlichkeitsdominanz mit Hilfe des so genannten Quantilsansatzes.328 Demnach dominiert eine DMUj eine zu testende DMUi stochastisch vom Grade eins, wenn das Quantil von Fjτ für keinen Wert der Verteilungsfunktion niedriger ist als das Quantil von Fiτ und für einen Wert größer. Da alle Szenarien annahmegemäß dieselbe Wahrscheinlichkeit p aufweisen, ist die Sprunghöhe der Verteilungsfunktion an jedem Trägerpunkt identisch. Um sicherzustellen, dass die Verteilungsfunktion F jτ von DMUj an keiner Stelle oberhalb von Fiτ verläuft, ist es folglich ausreichend, die Trägerstellen der Verteilungsfunktionen zu vergleichen.329 τ Nebenbedingungen (1) stellen sicher, dass zu jedem bedingten Effizienzwert θik ein mindes-

tens gleich hoher Referenzwert existiert. Analog zu dem paarweisen Vergleich der Verteilungsfunktionen oder Risikoprofile zweier Zufallsvariablen, müssen auch hier die Szenarien DMU-individuell aufsteigend sortiert werden, so dass die beste Ausprägung der Testeinheit mit der besten Ausprägung der konstruierten Referenzeinheit verglichen wird, die zweitbeste mit der zweitbesten, usw. Die Ausprägungen der zu testenden DMUi lassen sich ohne Probleme vorab sortieren. Dagegen kann die Sortierung der Referenzwerte erst nach Bildung der Referenz, das heißt nach Fixierung der Linearfaktoren λ j , und somit modellendogen erfolgen. Würde man die Ausprägung der DMUs bereits vorab (individuell) sortieren, ginge die Information, welche Realisationen verschiedener DMUs unter demselben Umweltzustand zustande gekommen sind, verloren. Diese Information ist jedoch zur Bildung der Referenz unerlässlich, da aus der Kombination von Realisationen aus unterschiedlichen (realen) Umweltzuständen fehlerhafte Ergebnisse resultieren könnten. Während das Modell (FSDτK ) 3 · K + 1 Nebenbedingungen erfordert, sind für das Modell (FSDτ ), ohne den Nebenbedingungen (Z1) und (Z2), K 2 +K +1 Restriktionen notwendig. Durch die im Allgemeinen höhere Anzahl an Szenarien K K bedarf das Modell (FSD τK ) 2

jedoch K Binärvariablen, während das Modell (FSDτ ) mit K 2 Binärvariablen auskommt. Sehen sich die DMUs unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Ausprägung des externen Faktors gegenüber, kann – je nach konkreter Datenkonstellation – eine erheblich höhere Zahl (hypothetischer) Szenarien benötigt werden, um eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung mit identischer Wahrscheinlichkeit für alle Szenarien zu generieren.330 Aufgrund der mit der Anzahl der Binärvariablen exponentiell steigenden 328

Vgl. zur äquivalenten Formulierung der stochastischen Dominanz auf Grundlage des Quantilsansatzes Levy/Kroll 1978, S. 555 ff. Vgl. Kuosmanen 2004, S. 1392, Theorem 1. 330 Vgl. auch das in Tabelle 4.2, S. 150, dargestellte Beispiel. 329


165

Komplexität, wird im Folgenden das Modell (FSDτ ) verwendet und darauf aufbauend das Testprogramm zur Beurteilung der stochastischen Effizienz zweiten Grades abgeleitet. Ende des Exkurses. 4.4.3.3 Risikoaversion und stochastische Effizienz zweiten Grades Die Nutzenfunktion u eines Bernoulli-rationalen, risikoaversen Entscheidungsträgers ist monoton steigend und konkav. Die Klasse solcher Nutzenfunktionen U 2 ist eine echte Teilmenge der monoton steigenden Nutzenfunktionen, das heißt U2 ⊂ U1 , wobei ⎧ ⎨

⎫

u (θ) 0 ⎬ 331 U2 := u(θ)

. ⎩

u (θ) 0 ⎭ Hier werden die Nutzenfunktionen u ∈ U2 im relevanten Bereich θ ∈ (0; 1] als mindestens zweimal differenzierbar unterstellt.332 Sind die zu beurteilenden DMUs nicht nur ungesättigt, sondern auch risikoavers, so können sie auf Grundlage der stochastischen Dominanz zweiten Grades (Second-order Stochastic Dominance, SSD) bewertet werden. Die kumulierte Verteilungsfunktion FFjτ (s) bezüglich τ ∈ Γ ist definiert als (s FFjτ (s) :=

Fjτ (r) dr. −∞

Ihr Wert entspricht der Misserfolgserwartung (unteres Moment erster Ordnung, lower partial moment one),333 die die erwartete Unterschreitung eines kritischen Wertes s ∈ R angibt. Die Überprüfung auf stochastische Dominanz zweiten Grades bezüglich τ ∈ Γ kann demzufolge als Analyse der Misserfolgserwartungen zweier Zufallsvariablen für alle kritischen Werte s ∈ R interpretiert werden. Generell beurteilen risikoaverse Entscheidungsträger eine Alternative (DMU) nach den unteren Momenten ihrer Verteilung.334 Eine DMUi wird stochastisch vom Grade zwei dominiert, wenn eine Referenz existiert, die zu jedem Anspruchsniveau s ∈ R eine nicht größere und für mindestens ein s eine geringere Misserfolgserwartung aufweist als die zu testende DMU i , so dass die kumulierte

331

Vgl. Vgl. Vgl. 334 Vgl. 332 333

u. a. Hadar/Russell 1969, S. 30; Hanoch/Levy 1969, S. 338. zur Lockerung dieser Annahme Marx 2003, S. 71 ff. u. a. Fishburn 1976, S. 297 f.; Bawa 1978, S. 258 f.; Riess 1996, S. 68 f. Marx 2003, S. 118 ff.

166


Verteilungsfunktion der Referenz an keiner Stelle über und an mindestens einer Stelle unter der von DMUi verläuft. Definition 4.3 (Stochastische Effizienz vom Grade zwei) Eine DMU i heißt stochastisch effizient vom Grade zwei bezüglich τ ∈ Γ, falls keine dominierende DMU j existiert mit FFjτ (s) FFiτ (s)

(∀s ∈ R),

FFjτ (s)

(∃s ∈ R).

θiK gilt für die Verteilungsfunktionen τ ) = 1. Fjτ (s) Fiτ (s) = Fiτ (θiK 335

Vgl. Marx 2003, S. 168 f., Satz 5.12; modifizierte Beweisführung.

τ (∀s < θi1 ).


167

τ Damit ist die Steigung der kumulierten Verteilungsfunktion FF jτ (s) für s > θiK nicht τ größer als die von FFiτ (s). In Verbindung mit (a) und insbesondere FFjτ (θiK ) τ ) folgt, dass die kumulierte Verteilungsfunktion von DMUj nicht über der FFiτ (θiK

von DMUi verläuft. Formal gilt wegen τ τ τ τ FFjτ (s) − (s − θiK ) FFjτ (θiK ) FFiτ (θiK ) = FFiτ (s) − (s − θiK )

auch FFjτ (s) FFiτ (s)

τ (∀s > θiK ).

τ τ τ τ 3. Für s ∈ [θi1 ; θiK ] ist (a) für zwei beliebige Trägerpunkte θik ∈ und θik +1 (k τ τ {1, . . . , K − 1}) erfüllt. Angenommen für ein s ∈ (θik ; θik +1 ) sei

FFjτ (s ) > FFiτ (s ). Dann impliziert dies wegen (a) eine größere Steigung der kumulierten Verteilungsfunktion von DMUj gegenüber der von DMUi , so dass τ Fjτ (s ) > Fiτ (s ) = Fiτ (θik ).

Aufgrund der Monotonie der Verteilungsfunktionen gilt dann aber auch τ τ τ τ FFjτ (θik +1 ) FFj (s ) + (θik +1 − s ) · Fj (s ) τ τ τ τ τ > FFiτ (s ) + (θik +1 − s ) · Fi (θik ) = FFi (θik +1 ),

was im Widerspruch zu (a) steht.

Aufgrund von Satz 4.15 kann eine DMUi mit Hilfe des folgenden linearen Programms (SSDτ ) auf stochastische Effizienz zweiten Grades bezüglich τ ∈ Γ überprüft werden. 336 336

Dentcheva/Ruszczyński 2006, S. 439, stellen ein ähnliches lineares Programm zur Überprüfung der notwendigen Dominanzbedingung vor. Marx 2003, S. 170, präsentiert ein Modell mit nichtlinearer Zielfunktion, das auf Riess 1996, S. 90, aufbaut. Kuosmanen 2004, S. 1395 f., benötigt zwei lineare Programme zur Überprüfung der notwendigen und der hinreichenden Bedingungen bei empirischen (diskret gleichverteilten) Zufallsvariablen; vgl. dazu auch die Ausführungen zum Modell (FSD τK ), S. 163. Des Weiteren stellt Marx 2003, S. 171 ff., Testprogramme zur Überprüfung einer Alternative auf stochastische Dominanz zweiten

168


Analog zum Test auf Wahrscheinlichkeitseffizienz wird hierzu ein Maß der stochastischen 2τ ∈ [1; ∞) definiert. Die stochastische Effizienz zweiten GraIneffizienz zweiten Grades Θ i

2τ des entspricht wiederum ihrem Kehrwert, so dass Θ2τ i := 1/Θi ∈ (0; 1]. τ p · λj · θj − ∈K j∈J := + · dk τ pk · θik k∈K

2τ (SSDτ ) max Θ i

k∈K

u. d. N. (1) (2)

∈K

(3)

j∈J

τ τ λj · θj θik − δk

τ p · δk + d− = FFiτ (θik ) k λj = 1

(∀k, ∈ K) (∀k ∈ K)

j∈J

0 λj , δk , d− k

(∀j ∈ J, ∀k, ∈ K)

Nebenbedingungen (1) definieren die Misserfolge δk (∀k, ∈ K). Dazu wird die Unterschreitung der bedingten Effizienz der DMUi in Szenario k durch die der Referenz in Szenario erfasst. Die Restriktionen (2) operationalisieren das stochastische Dominanzkriterium zweiten Grades, indem sie fordern, dass die Misserfolgserwartung der Referenz τ an keinem Trägerpunkt θik (∀k ∈ K) und damit gemäß Satz 4.15 für keinen Wert s ∈ R τ ). Nebenbedingung größer ist als die Misserfolgserwartung von DMUi , das heißt FFiτ (θik

(3) ist gegenüber dem (FSDτ ) unverändert. Die Zielfunktion unterscheidet sich gegenüber diesem nur durch den mit einer hinreichend kleinen Zahl ( > 0) gewichteten Korrekturterm. Dazu werden in den Nebenbedingungen (2) die nichtnegativen Schlupfvariablen d − k definiert, die die Unterschreitung der Misserfolgserwartung von DMUi durch ihre Referenz im k-ten Szenario erfassen (∀k ∈ K). Ohne diese Korrektur könnte nur eine notwendige Bedingung für die stochastische Effizienz zweiten Grades sichergestellt werden: Bei gleichem Erwartungswert wie ihre Referenz ist DMUi nur dann stochastisch effizient vom Grade zwei, wenn die Referenz zu keinem Anspruchsniveau s eine geringere Misserfolgserwartung aufweist als DMUi , das heißt, wenn die Summe der Abweichungsvariablen gerade null ist.

Grades bei Vorliegen eines risikofreudigen Entscheidungsträgers sowie eines Entscheidungsträgers mit wechselnder Risikoeinstellung vor. Post 2003, S. 1911 f., präsentiert einen Ansatz, bei dem versucht wird, eine Nutzenfunktion zu generieren, für die ein Portfolio die beste Wahl darstellt. Existiert eine solche, heißt das zu testende Portfolio SD-optimal. Zur Abgrenzung dazu wird ein nach Pareto/Koopmans effizientes Portfolio als SD-zulässig bezeichnet. Vgl. hierzu auch Post/Kopa 2005, S. 16: „our efficiency test is based on the efficiency criterion of FSD optimality rather than the weaker criterion of FSD admissibility“.


169

Satz 4.16 Gegeben sei eine DMUi bzw. λi ∈ ΛSD (wobei λi = 1 und λj = 0 (∀j ∈ J \ i)) τ mit K diskreten Realisationen θik der bedingten Effizienz θiτ . Dann gilt:

a) Eine optimale Lösung λ2∗ ∈ ΛSD von (SSD τ) ist stochastisch effizient vom Grade zwei bezüglich τ ∈ Γ. b) DMUi bzw. λi ist genau dann stochastisch effizient vom Grade zwei bezüglich τ ∈ Γ, 2τ ∗ = Θ2τ ∗ = 1 beträgt. wenn der optimale Zielfunktionswert von (SSD τ) Θ i i Beweis: a) Nimmt man an, dass λ2∗ nicht stochastisch effizient vom Grade zwei ist, dann existiert wenigstens eine zulässige Referenz λ2 ∈ ΛSD mit FF2τ (s) FF2τ∗ (s)

(∀s ∈ R),

(27)

FF2τ (s)

(∃s ∈ R).

(28)

k∈K

pk · θ2τ∗ k

k∈K

pk ·

τ θik

+ ·

d−∗ k

k∈K

und der Zielfunktionswert von λ2∗ ist geringer als der von λ2 . Dann kann λ2∗ allerdings auch keine optimale Lösung von (SSDτ ) darstellen.

170


2τ ∗ = 1 des Testprogramms (SSDτ ) ist hinreichend b) Ein Zielfunktionswert von Θ i für die stochastische Effizienz zweiten Grades von DMUi , da alle Restriktionen (2) bindend (mit d− k = 0) erfüllt sind und folglich DMUi ihre eigene optimale Referenz darstellt. Gemäß Teil a) dieses Satzes folgt hieraus die stochastische Effizienz zweiten Grades von DMUi . Ein optimaler Zielfunktionswert von eins ist notwendig, da bei einem Zielfunktionswert größer eins die kumulierte Verteilungsfunktion der Referenz an mindestens einer Stelle unter der von DMUi verliefe mit d− k > 0 (∃k ∈ K) und gegebenenfalls einem höheren Erwartungswert, so dass DMUi stochastisch vom

Grade zwei dominiert würde.

Die DMUs des bekannten Beispiels aus Tabelle 4.2, S. 150, und Tabelle 4.3, S. 161, sollen abschließend auch auf stochastische Produktionseffizienz zweiten Grades überprüft werden. Abbildung 4.15 (rechts) zeigt die kumulierten Verteilungsfunktionen, die sich als Integral über die Verteilungsfunktionen (links)337 ergeben. FAP (s)

FBP (s)

FCP (s)

FFAP (s) FFBP (s) FFCP (s) FFDP (s)

FDP (s)

1,0 0,30 0,8

0,25

0,6

0,20 0,15

0,4

0,10 0,2

0,05 s

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

s

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Abbildung 4.15: Stochastisch zweiten Grades dominierte DMUA , DMUB und DMUC Die kumulierte Verteilungsfunktion FFDP verläuft an keiner Stelle oberhalb der anderen kumulierten Verteilungsfunktionen. Damit dominiert DMUD alle anderen DMUs stochastisch vom Grade zwei und ist als einzige diesbezüglich effizient.338 Werden die DMUs also als risikoavers unterstellt, so ist DMUD als einzige als stochastisch effizient zu bezeichnen: 337 338

Vgl. dazu auch Abbildung 4.14, S. 162. Auf die Überprüfung von Konvexkombinationen kann in diesem Fall verzichtet werden.


171

Kein risikoaverser rationaler Entscheidungsträger würde eine der anderen DMUs bezüglich der Produktionseffizienz als vorteilhaft einstufen. Das stochastische Dominanzkriterium dritten Grades unterstellt neben nichtgesättigten Präferenzen (u 0) und Risikoaversion (u 0) zusätzlich eine mit der Höhe der Realisation absolut abnehmende Risikoaversion (u 0).339 Ein Entscheidungsträger mit derartigen Präferenzen beurteilt eine Schwankung zwischen beispielsweise 100 und 101 als höchstens gleich riskant wie eine Schwankung zwischen 0 und 1. Interpretiert man die Realisation als sein Einkommen, so ist dieses Verhalten durchaus plausibel, denn der Entscheidungsträger ist bei einer Schwankung zwischen 0 und 1 unter Umständen existenziellen Gefahren ausgesetzt, während eine Schwankung zwischen 100 und 101 eher als eine Frage des „Luxus“ bezeichnet werden könnte. Zur Ermittlung der stochastischen Dominanz dritten Grades ist die zweifach kumulierte Verteilungsfunktion heranzuziehen.340 Diese entspricht der Misserfolgsvarianz (lower partial variance) bzw. dem unteren Moment zweiter Ordnung (lower partial moment two) 341 und erfordert die Modellierung eines quadratischen Programms. An dieser Stelle wird auf die Darstellung verzichtet, da trotz der gegenüber der stochastischen Dominanz zweiten Grades höheren Trennschärfe oftmals keine eindeutige Präferenz zwischen zwei Zufallsvariablen hergestellt werden kann.342 Stochastische Dominanzen höheren Grades sind zum einen komplex zu überprüfen, zum anderen fehlt es an einer plausiblen ökonomischen Interpretation.343 4.4.4 Beurteilung der stochastischen Effizienzkennzahlen Bei der Auswahl des zu verwendenden stochastischen Dominanzkriteriums ist ein Tradeoff zwischen dem Gültigkeitsbereich und der Trennschärfe der Ergebnisse zu beachten: Während stochastische Dominanzkriterien höheren Grades im Allgemeinen einen geringeren Gültigkeitsbereich aufweisen, liefern sie gleichzeitig differenziertere Ergebnisse als stochastische Dominanzkriterien niedrigeren Grades. Der Gültigkeitsbereich wird unmit-

339

Vgl. Whitmore 1970, S. 457 f. Vgl. Whitmore 1970, S. 457 f. 341 Vgl. z. B. Bawa 1978, S. 258 f. 342 Vgl. Whitmore 1970, S. 458; vgl. zur Überprüfung einer Zufallsvariable auf stochastische Optimalität dritten Grades durch Konstruktion einer Nutzenfunktion Post/van Vliet 2006, S. 828 f. 343 Vgl. auch Marx 2003, S. 75. 340

172


telbar durch die steigenden Annahmen bezüglich der Risikopräferenz der Entscheidungseinheiten eingeschränkt. Die erhöhte Trennschärfe folgt aus Satz 4.17: Satz 4.17 Die stochastische Effizienz ersten Grades einer DMUi bezüglich τ ∈ Γ ist nicht ∗

∗

Θ2τ kleiner als ihre stochastische Effizienz zweiten Grades, so dass Θ1τ i i .

Beweis: Es bezeichnet λ1∗ eine bezüglich (FSDτ ) optimale Lösung. Restriktionen (2) des Modells (FSDτ ) stellen in Verbindung mit Nebenbedingungen (1) sicher, dass die Referenz DMU1∗ (λ1∗ ) die zu testende DMUi (λi ) schwach wahrscheinlichkeitsdominiert, so dass (a) R1τ ∗ (s) Riτ (s) ⇔ F1τ∗ (s) Fiτ (s)

(∀s ∈ R).

Angenommen, DMU1∗ (λ1∗ ) dominiert DMUi nicht schwach bezüglich der stochastischen Effizienz zweiten Grades, dann muss für mindestens ein s gelten (s (b) FF1τ∗ (s) =

(s F1τ∗ (t) dt >

−∞

Fiτ (t) dt = FFiτ (s)

(∃s ∈ R).

−∞

Da dies im direkten Widerspruch zu (a) steht, ist DMU1∗ (λ1∗ ) eine zulässige Lösung des Modells (SSDτ ), weshalb für dieses mindestens derselbe Ineffizienzwert resultiert wie ∗ ∗ ∗ ∗ 1τ 2τ bei Lösung des Modells (FSDτ ). Wegen Θ Θ ⇔ Θ1τ Θ2τ ist der Beweis i i i i

vollständig. Satz 4.17 beinhaltet zwei wichtige Implikationen:

1. Eine bezüglich τ ∈ Γ wahrscheinlichkeitsdominierte DMUi (i ∈ J) wird auch sto∗

∗

chastisch vom Grade zwei dominiert, denn es gilt 1 > Θ1τ Θ2τ i i . 2. Eine stochastisch vom Grade zwei bezüglich τ ∈ Γ effiziente DMU i (i ∈ J) ist auch ∗

∗

wahrscheinlichkeitseffizient, denn es gilt 1 = Θ2τ Θ1τ i i . Aufgrund der differenzierteren Bewertung sollte das stochastische Dominanzkriterium zweiten Grades Anwendung finden, sofern es mit den Präferenzen der DMUs in Einklang steht, diese also risikoavers sind. Um die Vergleichbarkeit zu gewährleisten, bietet sich die Verwendung ein und desselben Kriteriums für alle zu bewertenden DMUs an. Anderenfalls resultieren die Effizienzwerte der DMUs als Abstand zu unterschiedlichen effizienten Rändern. In der Terminologie der Data Envelopment Analysis handelt es sich


173

dabei um unterschiedliche Referenzmengen. Sofern Unsicherheit über die Risikopräferenzen der DMUs besteht, kann die Analyse mit beiden stochastischen Effizienzkriterien durchgeführt werden, um zu überprüfen, ob und inwiefern der Grad der stochastischen Effizienz Einfluss auf die Bewertung in einem konkreten Anwendungsfall hat. Rechnerisch ist das Modell (SSDτ ) als unkritisch zu betrachten, da es sich um ein lineares Programm handelt, das mit Standardsoftware in der Regel schnell gelöst werden können.344 Das Modell (FSDτ ) zur Bestimmung der stochastischen Effizienz ersten Grades enthält, nach Vereinfachung durch die Zusatzrestriktion (Z1), K · (K − 1) Binärvariablen γk . Die Komplexität des gemischt-ganzzahligen linearen Programms wächst exponentiell mit der Anzahl zu berücksichtigender Szenarien. Werden viele Ausprägungen des externen Faktors unterschieden oder benötigt man zahlreiche hypothetische Szenarien, um eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung abzuleiten, ist das Modell (FSDτ ) nur unter hohem Rechenaufwand lösbar. Dagegen spielt die Anzahl der berücksichtigten DMUs eine untergeordnete Rolle, so dass die Anwendbarkeit für reale Situationen mit nur wenigen Ausprägungen des externen Faktors in vielen Fällen gegeben sein dürfte. Durch Aggregation der in Abschnitt 4.3 ermittelten bedingten Effizienzkennzahlen mit Hilfe stochastischer Dominanzkriterien ist eine zusammenfassende Leistungsbeurteilung der DMUs bzw. ihrer Funktionsbereiche möglich. Der Vergleich einer DMU bzw. eines Funktionsbereichs mit nur einer Referenz, stellt – im Gegensatz zur bedingten Effizienzanalyse – eindeutige Handlungsempfehlungen sicher. Neben der Bewertung der Leistungserstellung selbst, ist insbesondere die Quantifizierung der Wirkung des externen Faktors auf die Produktionsmöglichkeiten von Bedeutung. Mit der Selektionseffizienz wurde eine Kennzahl vorgeschlagen, die der empirischen Analyse des Einflusses des externen Faktors dienen kann.

344

Zur Lösung von großen Probleminstanzen (large scale problems) vom Typ (SSD τ ) auf Grundlage eines Dekompositionsverfahrens vgl. Dentcheva/Ruszczyński 2006, S. 440 ff.

5 Leistungsmessung von Rehabilitationsmaßnahmen als illustrierendes Beispiel der Methodik 5.1 Problemstellung Die im vorangegangenen Kapitel entwickelte Methodik zur Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen soll an einem fiktiven Anwendungsbeispiel veranschaulicht werden. Gegenstand der Untersuchung ist ein Rehabilitationszentrum, das fünf Arbeitsgruppen (DMUA , . . . , DMUE ) zur orthopädischen Rehabilitation von an Fußgelenken und Beinen operierten Patienten bewerten möchte. Speziell bei gemeinnützigen Institutionen mangelt es häufig an Preisen für die erbrachten Leistungen und infolgedessen an eindeutigen Erfolgsindikatoren zur Bewertung der Effizienz.345 Aus diesem Grund bietet sich die Anwendung der DEA an, die keine Kenntnis der Preise bzw. Präferenzen erfordert. Die Patienten sollen durch die Therapie insbesondere die Fähigkeit des Laufens zurückgewinnen. Je nach Schwere der Beeinträchtigung ist dazu der Umgang mit einer Prothese zu erlernen. Damit beeinflusst der anfängliche Gesundheitszustand eines Patienten den Arbeitsaufwand der Orthopäden und Physiotherapeuten erheblich.346 Des Weiteren ist die Bereitschaft der Patienten zur aktiven Mitwirkung als Dimension des externen Faktors zu berücksichtigen. Während die Beteiligung an der Therapie erst während der Behandlung offensichtlich wird, kann der anfängliche Gesundheitszustand bereits vor Beginn der Therapie festgestellt werden. Allerdings sind auch hier in der Regel keine kurzfristigen Anpassungsmöglichkeiten gegeben, denn wesentliche Entscheidungen, wie die über die Ausbildung der Therapeuten und die Zusammensetzung der Teams, mussten bereits zuvor in Unkenntnis des Gesundheitszustandes eines Patienten erfolgen. Damit handelt es sich um einen zweidimensionalen stochastischen externen Faktor. Hier wird der Einfachheit halber angenommen, es seien bezüglich beider Dimensionen jeweils nur zwei Ausprägungen zu unterscheiden, so dass sich die in Abbildung 5.1 dargestellte Vier-Felder-Matrix zur Charakterisierung des externen Faktors ergibt.

345 346

Vgl. u. a. Larisch 1999, S. 34 f. Vgl. zu einer empirischen Untersuchung im Gesundheitswesen, die neben dem anfänglichen Gesundheitszustand auch den Geburtsjahrgang der Patienten berücksichtigt Greißinger 2000, S. 161 ff. Allerdings werden die genannten Kriterien nicht – wie es inhaltlich sinnvoll wäre – als unbeeinflussbare Inputs modelliert. Greißinger 2000, S. 147, begründet dies damit, dass „bislang keines der verfügbaren Softwarepakete zur DEA diese Möglichkeit . . . umfasst“.

5.1 Problemstellung

175

gut

passiver Patient nach Oberschenkelbruch

aktiver Patient nach Oberschenkelbruch

schlecht

Gesundheitszustand

passiver Patient mit Beinprothese

aktiver Patient mit Beinprothese

gering

hoch

Mitwirkung

Abbildung 5.1: Zweidimensionaler externer Faktor Darüber hinaus wird unterstellt, die Dimensionen stünden in einem hierarchischen Verhältnis, wobei der Gesundheitszustand zu Beginn der Therapie das wichtigere Kriterium sei. Der Bereitschaft des Patienten, an seiner Genesung aktiv mitzuwirken, käme demnach eine eher untergeordnete Rolle zu. In diesem Fall ließe sich die Qualität des externen Faktors hinsichtlich seiner Wirkung auf die Produktionsmöglichkeiten wie in Tabelle 5.1 (ordinal) ordnen.347 Da Subeinheiten ein und derselben Organisation zu beurteilen sind, denen die Patienten von der Verwaltung zugeteilt werden, sind sie nicht für die Qualitäten des externen Faktors verantwortlich. Demnach dürfen die Effizienzverluste infolge einer schlechteren Ausprägung des externen Faktors nicht als Ineffizienz interpretiert werden, sondern sind vielmehr als Maß der strukturellen Unterschiede der DMUs zu verstehen. Die „Gesamteffizienz“, die 347

Dabei wird analog zur bisherigen Vorgehensweise eine höhere Ausprägung eh gegenüber einer niedrigeren Ausprägung eh (h > h ) als vorteilhaft angesehen.

176

5 Leistungsmessung von Rehabilitationsmaßnahmen als illustrierendes Beispiel

Ausprägung eh h

Gesundheitszustand

Mitwirkung

1 2 3 4

schlecht schlecht gut gut

gering hoch gering hoch

Tabelle 5.1: Geordneter zweidimensionaler externer Faktor

die „Selektionseffizienz“ einschließt, kann zwar berechnet werden, ist aber ebenfalls keine reine Effizienzkennzahl.348 Ihre Ermittlung ist erforderlich, da sie als Ausgangspunkt zur Bestimmung der abgeleiteten nichtproduktiven (Adaptions- und Selektions-) Kennzahlen dient. Zur einfacheren grafischen Veranschaulichung beschränkt sich die Analyse auf einen Output und zwei Inputs. Als Output (y1jh ) wird die Anzahl der Patienten verwendet, die von DMUj unter der Ausprägung eh behandelt wurden. Dazu werden sowohl Gruppenübungen (x1jh ) als auch individuelle Physiotherapien (x2jh ) eingesetzt. Beide Inputs werden in Trainingseinheiten zu je 30 Minuten gemessen. Die zu Grunde liegende Technologie wird als linear angenommen, da sowohl die Größenproportionalität als auch die Additivität plausibel erscheinen. Die damit einhergehenden konstanten Skalenerträge erlauben eine Normierung des Outputs. Tabelle 5.2 gibt einen Überblick über die eingesetzten Inputmengen zur Behandlung eines Patienten bei den unterschiedlichen Ausprägungen des externen Faktors. DMUj j A B C D E

e1 (h = 1) x1j1 x2j1 y1j1 11 12 14 14 9

14 22 11 17 19

1 1 1 1 1

e2 (h = 2) x1j2 x2j2 y1j2 6 8 11 8 7

15 12 12 14 18

1 1 1 1 1

e3 (h = 3) x1j3 x2j3 y1j3 5 8 13 4 4

15 9 8 11 14

1 1 1 1 1

e4 (h = 4) x1j4 x2j4 y1j4 3 7 14 3 2

16 6 7 9 11

1 1 1 1 1

Tabelle 5.2: Daten des Anwendungsbeispiels

348

Da die Kundenselektion in dem Anwendungsbeispiel als unbeeinflussbar unterstellt wird, sind alle Kennzahlen, die (auch) diese bewerten keine Effizienzen und stehen deshalb hier in Anführungszeichen.

5.1 Problemstellung

177

x2 z B1

22 20

z E1

z E2

18

z D1

z A4

16

z A3 z A2

14

z E3

z A1

z D2 z B2

12

z E4

10

z C2 z C1

z D3

z D4

z B3 z C3 z C4

8 z B4

6 4 2 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x1

Abbildung 5.2: Beobachtete Produktionen in Abhängigkeit des externen Faktors Abbildung 5.2 stellt die beobachteten Produktionen in einem Input-Input-Diagramm dar. Da es sich bei beiden Inputs um Güter (und nicht um Übel) handelt, ist der Einsatz von möglichst geringen Mengen zur Herstellung des Outputs erstrebenswert. Zur besseren Übersicht sind die Produktionen einer DMU unter den verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors durch gepunktete Linien verbunden. Verläuft die Verbindungslinie zwischen den Produktionen einer DMUj unter zwei aufeinanderfolgenden Ausprägungen z jh und z jh +1 innerhalb des Dominanzkegels von Produktion z jh (nach links unten Richtung Ursprung), so dominiert z jh +1 die Produktion z jh . Dagegen weist eine nach links oben oder rechts unten zeigende Linie auf eine fehlende Dominanz hin. Hieraus werden bei der

178


wertorientierten Betrachtung Rückschlüsse auf die Präferenzen der DMUs gezogen. Das Verhalten von DMUA zeigt beispielsweise die Bereitschaft, Input 2 zu erhöhen, um Input 1 reduzieren zu können. Durch den verhältnismäßig flachen Verlauf der Verbindungslinien kann nur sehr bedingt auf die zu Grunde liegenden Präferenzen geschlossen werden. Denn je stärker die Verbindungslinien von dem Dominanzkegel abweichen, desto stärker sind die offenbarten Präferenzbeziehungen, und desto genauer können die wahren, aber a priori unbekannten Präferenzen eingegrenzt werden. Analog zu DMUA offenbart DMUC beim Übergang von z C1 auf z C2 eine Präferenz zur Substitution von Input 1 durch Input 2. Gegenüber einem externen Faktor mit der Ausprägung e3 ersetzt sie dagegen unter e4 Input 2 durch Input 1. Ein solches Verhalten stellt nicht zwangsläufig einen Widerspruch dar. In dem hier gewählten Beispiel wird sich zeigen, dass durchaus Preise existieren, unter denen DMUC vollkommen rational handelt.349 Die Durchführung der Effizienzanalyse orientiert sich an dem in Kapitel 4 allgemein dargestellten Ablauf. Konkret bedeutet dies, dass in Abschnitt 5.2 die bedingten Effizienzen für die verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors analysiert werden. Der Ermittlung der technischen Effizienzen (Abschnitt 5.2.1) folgt die Bestimmung der wertorientierten Kennzahlen (Abschnitt 5.2.2). In Abschnitt 5.3 werden diese zu stochastischen Effizienzen verdichtet. Hierzu wird in Abschnitt 5.3.1 eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung abgeleitet, die als Grundlage für die stochastische Effizienzanalyse (Abschnitt 5.3.2) dient. Abschnitt 5.4 schließt das Kapitel mit einigen Interpretationen.

5.2 Ermittlung der bedingten Effizienzen in Abhängigkeit des externen Faktors 5.2.1 Bestimmung der technischen Effizienzen In einem ersten Schritt sind die technischen „Gesamteffizienzen“ und die technischen Produktionseffizienzen zu ermitteln. Hierzu löst man die Modelle (CCR-TEPh ), S. 110, und (CCR-TEPAS h ), S. 111, für jede der J ·H = 5·4 = 20 beobachteten Produktionen unter Berücksichtigung der gültigen Technologiemenge TM h bzw. TMH . In einem zweiten Schritt

349

Vgl. dazu Tabelle 5.3, S. 182.

5.2 Ermittlung der bedingten Effizienzen in Abhängigkeit des externen Faktors

179

können aus diesen Kennzahlen die übrigen Effizienzen abgeleitet werden. Die bekannten Definitionsgleichungen stellen die relevanten Zusammenhänge her:350 AS θjh =

PAS θjh P θjh

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H),

PAS AS = max θjh θhS = max θjh j∈J,h∈h

A θjh =

j∈J,h∈h

AS θjh θhS

PA P A = θjh · θjh = θjh

(∀h ∈ H), (∀j ∈ J, ∀h ∈ H),

PAS θjh θhS

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H).

Abbildung 5.3 stellt die Produktionen (Rehabilitationsmaßnahmen) in dem bekannten Input-Input-Diagramm dar und veranschaulicht die technisch radial effizienten Ränder TMh in Abhängigkeit der Ausprägung eh des externen Faktors (∀h ∈ H). Die entsprechenden radial effizienten Referenzen z jhH sind der Übersichtlichkeit halber nicht ein gezeichnet; die produktiv radial effiziente Referenz z jhh (mit H := h) ergibt sich aus

der Projektion der Produktion z jh auf den radial effizienten Rand unter derselben Aus prägung TMh , die gesamtbetrieblich radial effiziente Referenz z jh4 (mit H := H = 4)

resultiert aus der Projektion auf den radial effizienten Rand TM4 unter der besten Ausprägung des externen Faktors. Der Abstand einer Produktion von ihrer Referenz wird als Ineffizienzmaß interpretiert. Dabei dient die Gesamtstrecke von einer Produktion bis zum radial effizienten Rand unter der besten Ausprägung des externen Faktors (TM 4 ) als Maß für die „Gesamtineffizienz“ einer Produktion. Sie wird durch ihre drei Komponenten produktive Ineffizienz (schwarz eingezeichnet), adaptive Ineffizienz (dunkelgrau) und selektive Effizienzverluste (hellgrau) erklärt. Im vorliegenden Beispiel, in dem die Patientenselektion nicht durch die Arbeitsgruppen beeinflusst werden kann, stellen die selektiven Effizienzverluste eine exogene Größe dar. Zur Beurteilung der Therapeuten ist ein Rückgriff auf die Produktionseffizienz möglich, denn diese gibt an, wie effizient die Inputs (Gruppen- und Individualtherapien) eingesetzt werden, um einen Patienten (einer bestimmten Ausprägung) zu behandeln. Zusätzlich kann die Adaptionseffizienz zu Bewertungszwecken herangezogen werden, sofern der Input-

350

Vgl. ausführlich die Abschnitte 4.3.3.2, S. 111, und 4.3.3.3, S. 119.

180

5 Leistungsmessung von Rehabilitationsmaßnahmen als illustrierendes Beispiel x2 z B1

22 20

z E1 z E2

18

z D1 z A4

16

z A3 z A2

14

z D2 z A1

z E3

z B2

12 z D3

z E4

10

z D4

8

z C2

z B3

6

z C1

TM1 TM2

z C3 z C4

TM3 TM4

z B4

4 2 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x1

Abbildung 5.3: Bedingte technische Effizienzen der DMUs mix beeinflussbar ist. Im vorliegenden Fall soll dies angenommen werden.351 Dann ist die Adaptionsleistung ein beurteilungsrelevanter Teilbereich und die Produktions-AdaptionsEffizienz eine sinnvolle Kennzahl. Die Ergebnisse der Analyse der technischen Effizienzen werden gemeinsam mit den wertorientierten Kennzahlen in Tabelle 5.4, S. 185, wiedergegeben.

351

Anderenfalls wäre zu erklären, weshalb den unterschiedlichen DMUs derart verschiedene Inputmixe (von der Zentrale) vorgegeben würden.


181

5.2.2 Analyse der wertorientierten Effizienzkennzahlen Unterstellt man ein rationales Verhalten der Arbeitsgruppen sowie die Freiheit von Störeinflüssen, offenbaren die Arbeitsgruppen Präferenzen, die in der technischen Effizienzanalyse unberücksichtigt bleiben (Abbildung 5.3). So bevorzugt DMUA beispielsweise z A2 z A1 und z A4 z A3 , obwohl keine Dominanzen (z A2 ≥ z A1 und z A4 ≥ z A3 ) vorliegen. Von DMUC werden ähnliche Präferenzen deutlich. Solche, nicht durch Dominanzbeziehungen begründete, Präferenzbeziehungen sind in der folgenden wertorientierten Effizienzanalyse von Bedeutung. Zur Bestimmung der Präferenzen sind Produktionen einer DMU unter verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors zu betrachten, zwischen denen keine Dominanzbeziehung existiert. Dieser Sachverhalt kommt dadurch zum Ausdruck, dass eine Produktion z jh nicht innerhalb des nach links unten zeigenden Dominanzkegels von z jh (j ∈ J, h , h ∈ H, h < h ) liegt. Im betrachteten Beispiel offenbaren nur DMUA und DMUC durch die Wahl ihrer Produktionen Präferenzen bezüglich der Inputs. Aus dem Vergleich der Produktionen z A1 = (−11; −14; +1)T und z A2 = (−6; −15; +1)T resultieren folgende Werte für die Verringerungen in den Inputs (∆xmA12 ) beim Übergang von z A1 auf z A2 : ∆x1A12 = x1A1 − x1A2 = 11 − 6 = 5

⎫ ⎬

∆x2A12 = x2A1 − x2A2 = 14 − 15 = −1 ⎭

∆xA12 =

5 . −1

Aufgrund der Normierung des Outputs gilt ∆ynjh h = 0

(∀j ∈ J, ∀h , h ∈ H, h < h ).

Analog dazu erhält man aus dem paarweisen Vergleich der Produktionen z jh und z jh (h < h ) die in Tabelle 5.3 angegebenen Werte für die Inputverringerungen beim Übergang von z jh zu z jh . Bei genauerer Betrachtung der T = 9 Relativpreisrestriktionen fällt auf, dass sieben redundante Beziehungen vorliegen. Da die Restriktionen für t¯ = 5 (bzw. t = 1) und t¯ = 9 (bzw. t = 2) die übrigen implizieren, können letztere vernachlässigt werden. In dem gewählten Beispiel ist nur ein Relativpreis, nämlich der zwischen den beiden

182


Inputs, von Bedeutung. Somit sind höchstens zwei Relativpreisrestriktionen – eine für die Ober-, eine für die Untergrenze – relevant.352 t¯

j

h

h

∆x1jh h =: ∆x1t¯

∆x2jh h =: ∆x2t¯

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A A A A A C C C C

1 1 1 2 3 1 2 2 3

2 3 4 4 4 2 3 4 4

5 (= 11 − 6) 6 (= 11 − 5) 8 (= 11 − 3) 3 (= 6 − 3) 2 (= 5 − 3) 3 (= 14 − 11) −2 (= 11 − 13) −3 (= 11 − 14) −1 (= 13 − 14)

−1 −1 −2 −1 −1 −1 4 5 1

(= 14 − 15) (= 14 − 15) (= 14 − 16) (= 15 − 16) (= 15 − 16) (= 11 − 12) (= 12 − 8) (= 12 − 7) (= 8 − 7)

Restriktion

t

ν1 · 5 + ν2 · (−1) 0 ν1 · 6 + ν2 · (−1) 0 ν1 · 8 + ν2 · (−2) 0 ν1 · 3 + ν2 · (−1) 0 ν1 · 2 + ν2 · (−1) 0 ν1 · 3 + ν2 · (−1) 0 ν1 · (−2) + ν2 · 4 0 ν1 · (−3) + ν2 · 5 0 ν1 · (−1) + ν2 · 1 0

1

2

Tabelle 5.3: Preisbeschränkungen

Aus diesen Daten lassen sich die in der vorletzten Spalte von Tabelle 5.3 angegebenen Präferenzrestriktionen ableiten, die dem dualen Multiplier-Modell (CCR-WE D h H ), S. 131, direkt hinzugefügt werden können. Hierbei genügt die Berücksichtigung der in der letzten Spalte von Tabelle 5.3 angegebenen nicht redundanten Restriktionen (t ∈ T := {1, 2}). 353 Alternativ können die dazugehörigen ∆-Werte im primalen Envelopment-Modell (CCRWEh H ), S. 131, als Koeffizienten der Trade-off-Variablen qt verwendet werden (t ∈ T). Dann konkretisiert sich dieses Modell zu (CCR-WEh H ).354

352

Liegen mehrere identische möglicherweise bindende Relativpreisrestriktionen vor, so braucht nur eine berücksichtigt werden. Vgl. zur Identifikation redundanter Restriktionen auch Ungleichung (21), S. 130. 354 Restriktion (2) ist wegen y1jh = 1 (∀j ∈ J, ∀h ∈ H) gleichbedeutend mit λjh 1. 353

j∈J h∈H


183

(CCR-WEh H ) min θ˜ih H − · d− + d− + d+ 1

2

1

u. d. N. λjh · x1jh + 2 · q1 − 1 · q2 + d− = θ˜ih H · x1ih (1a) 1 j∈J h∈H

(1b)

j∈J h∈H

(2)

j∈J h∈H

λjh · x2jh − 1 · q1 + 1 · q2 + d− = θ˜ih H · x2ih 2 λjh · y1jh − 0 · q1 + 0 · q2 − d+ = y1ih 1 λjh 0

(∀j ∈ J, ∀h ∈ H )

− + q1 , q2 , d− 1 , d2 , d1

0 ˜ θih H ∈ R.355

Abbildung 5.4 veranschaulicht die Analyse der bedingten wertorientierten Effizienzen. Durch die Trade-off-Variablen qt lassen sich zu jeder zulässigen Produktion z ∈ TMh diejenigen (möglicherweise technisch unzulässigen) Produktionen z angeben, die nicht höher bewertet werden als z , so dass z z . Damit kann z aus wertorientierter Sicht als radiale Referenz zu einer beobachteten Produktion dienen. Die ∆-Werte geben also das höchste durch die Beobachtungsdaten gestützte Substitutionsverhältnis zwischen den Inputs und/oder den Outputs an. Ausgehend von einer technisch zulässigen effizienten Referenzproduktion können gemäß den angegebenen Substitutionsverhältnissen radiale Referenzen gebildet werden. Das Modell (CCR-WE PAS h ) liefert beispielsweise die unter TM 4 radial efT fiziente (aber möglicherweise nicht realisierbare) Referenz z˜ E34 zu z E3 = (−4; −14; +1) .

Diese ergibt sich aus der effizienten Referenzproduktion z D4 = (−3; −9; +1)T mit λ∗D4 = 1 und q2∗ = 13 , so dass x ˜ E34 = xD4 +

1 2 23 − −1 1 3 · = + 13 = 1 . 1 3 9 9 3 3

Im Gegensatz zu einer Situation unter einem perfekt bekannten Preisverhältnis, ist die Substitution von Input 2 durch Input 1 nicht in demselben Maße möglich. Dies kommt durch die Nichtnegativitätsbeschränkung von q t 0 (∀t ∈ T) zum Ausdruck. Aus der Lösung des Modells (CCR-WEPh ) resultiert beispielsweise die produktiv wertorientierte 355

Das Modell zur Bestimmung der wertorientierten Produktionseffizienz (CCR-WE P h ), S. 132, resultiert für H := h . Analog dazu erhält man für H := H das Modell (CCR-WEPAS h ), S. 133, zur Ermittlung der Gesamteffizienz. Auf die explizite Darstellung soll an dieser Stelle verzichtet werden.

184

5 Leistungsmessung von Rehabilitationsmaßnahmen als illustrierendes Beispiel x2 z B1

22 20

z E1 z E2

18

z D1 z A4

16

z A3 z A2 z E3

14

z D2 z A1 z B2

12

z E4

10

z˜ E34

8

z C2 z C1

z D3 z B3

z D4

6

TM 1

z C3 z C4

TM 2

z B4 z˜ C44

4

TM 3

2 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

TM 4 x1

Abbildung 5.4: Bedingte wertorientierte Effizienzen der DMUs Referenz zur Produktion z C4 = (−14; −7; +1)T aus z B4 = (−7; −6; +1)T mit λ∗B4 = 1 und q1∗ = 1 14 . Somit gilt 1 1 92 22 7 2 1 = . + ·1 = 4 6 −1 −1 14 4 34

x ˜ C44 = xB4 +

Tabelle 5.4 fasst die bedingten technischen und wertorientierten Effizienzen zusammen. Diese sind nach den Effizienzkennzahlen geordnet, so dass der „Gesamteffizienz“ die Kennzahlen mit absteigendem Bezug zur eigentlichen Leistungserstellung folgen (τ ∈ Γ = {PAS, P, PA, A, AS, S, }).


τ PAS

P

PA

A

AS

S

DMUj j

e1 (h = 1) τ τ θ˜j1 θj1

e2 (h = 2) τ τ θ˜j2 θj2

e3 (h = 3) τ τ θ˜j3 θj3

A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E

0,51 0,36 0,55 0,53 0,41 0,44 1 0,80 0,74 1 0,81 1 0,89 0,93 0,96 0,67 0,69 1 0,75 0,78 0,80 0,83 0,93 0,96 0,83 0,94 1 0,93 0,96 0,80 0,93 0,51 0,45 0,49 0,55 0,53 0,51 0,44 0,49 0,55 0,53

0,58 0,63 0,56 0,56 0,48 1 0,95 1 0,96 0,91 0,92 0,91 0,86 0,80 0,92 1 0,89 0,90 0,77 0,92 0,97 1 0,92 0,97 0,98 0,99 0,90 0,97 0,58 0,61 0,63 0,58 0,61 0,61 0,62 0,56 0,60 0,63

0,60 0,75 0,75 0,66 0,80 0,68 0,67 0,80 0,75 1 1 0,90 1 1 0,83 0,75 0,93 0,93 0,82 1 0,85 0,83 0,93 1 0,93 0,93 0,91 1 0,85 1 0,75 0,80 0,75 0,75 0,73 0,80 0,68 0,80 0,80

185

e4 (h = 4) τ τ θ˜j4 θj4 0,68

0,63 1

0,86

0,68 1

1 0,68

0,92 0,63 1

0,86

0,68 1

1 0,68

0,92 0,63 1

0,86

0,68 1

1

0,92 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabelle 5.4: Bedingte technische und wertorientierte Effizienzkennzahlen

Die bedingte Effizienzanalyse deckt die unterschiedlichen Stärken und Schwächen der DMUs auf. Beispielsweise erreicht DMUA bei der Behandlung von Patienten mit einer Beinprothese (e1 und e2 ) hohe bedingte technische und wertorientierte Produktionseffizienzen, während sie Schwächen bei der Therapierung von Patienten nach einem Oberschenkelbruch (e3 und e4 ) offenbart. Für DMUD ist dies genau umgekehrt.356

356

Allgemein wird unter der besten Ausprägung eH des externen Faktors die Gesamteffizienz vollständig PAS P durch die Produktionseffizienz erklärt, so dass θjH = θjH . Entsprechend sind unter eH alle DMUs AS A S adaptiv und selektiv effizient mit θjH = θjH = θH = 1 (∀j ∈ J). Vgl. hierzu auch S. 109 ff.

186


Die für eine abschließende Effizienzbeurteilung erforderliche Aggregation der bedingten Effizienzwerte ist in dem folgenden Abschnitt 5.3 dargestellt.

5.3 Stochastische Effizienzanalyse der Entscheidungseinheiten 5.3.1 Bestimmung einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung Im Folgenden soll aus den H bedingten Effizienzkennzahlen je DMUj (j ∈ J), Funktionsbereich τ (τ ∈ Γ) und Ausrichtung der Kennzahl (technisch versus wertorientiert) eine stochastische Effizienz bestimmt werden. Voraussetzung für die Anwendung der Testprogramme auf stochastische Effizienz ist eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der verschiedenen Arbeitsgruppen (DMUs). Deren Ermittlung ist in Tabelle 5.5 dargestellt. Den Ausgangspunkt stellen die fünf DMU-spezifischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen des externen Faktors mit H = 4 Szenarien dar (Tabelle 5.5 oben). Zur Konstruktion einer empirischen Verteilung, mit einer für alle Szenarien identischen Eintrittswahrscheinlichkeit p, sind (mindestens) zehn Szenarien erforderlich (Tabelle 5.5 Mitte). Um das für alle Effizienzkennzahlen τ identische Vorgehen übersichtlich darzustellen, erfolgt die abstrakte τ τ ) zu den Effizienzwerten (θjk ) Zuordnung der H = 4 ursprünglichen Effizienzwerte (θjh H K

der K = 10 teilweise künstlichen Szenarien der empirischen Verteilung. Dabei besagt die τ τ := θB1 beispielsweise, dass DMUB in dem künstlichen SzeZuordnungsvorschrift θB2 H K

nario k = 2 der empirischen Verteilung unter der Ausprägung e1 (h = 1) des externen Faktors agiert und damit die entsprechenden funktionalen Effizienzen erzielt. Diese Zuordnungsvorschrift gilt für alle Kennzahlen τ sowie für die technische und wertorientierte Betrachtung gleichermaßen. Auf die explizite Angabe der jeweiligen Effizienzwerte wird daher verzichtet. Im unteren Teil von Tabelle 5.5 wird wiederum eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung mit szenariospezifischen Wahrscheinlichkeiten generiert. Angegeben ist die allgemeine Zuordnungsvorschrift der H = 4 Ausprägungen des externen Faktors zu den K = 8 Szenarien der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die dazu erforderlichen Informationen sind wahlweise der ursprünglichen oder der empirischen Verteilung zu entnehmen. Ausgehend von letzterer werden Szenarien zusammengefasst, in denen sich die Effizienzwerte aller DMUs nicht unterscheiden. Beim Übergang von der ursprünglichen Verteilung ist ein künstliches Szenario immer dann erforderlich, wenn sich die Werte der


h p

1 0,1

pAh pBh pCh pDh pEh

0,1

k p

1 0,1

2 0,1

3 0,1

4 0,1

5 0,1

6 0,1

7 0,1

8 0,1

9 0,1

10 0,1

τ θAk K

τ θA1 H

τ θA2 H

τ θA2 H

τ θA3 H

τ θA3 H

τ θA3 H

τ θA3 H

τ θA3 H

τ θA4 H

τ θA4 H

τ θBk K τ θCk K τ θDk K τ θEk K

τ θB1 H τ θC1 H τ θD1 H τ θE1 H









τ θB4 H

1 0,1

2 0,1

3 0,1

4 0,2

5 0,1

6 0,2

7 0,1

8 0,1

τ θA1 H τ θB1 H τ θC1 H τ θD1 H τ θE1 H








k pk τ θAk K τ θBk K τ θCk K τ θDk K τ θEk K

2 0,1

0,1

0,1

0,1

0,2

3 0,1

187

4 0,1

0,1

0,1

0,5

0,2 0,2 0,2

0,2

0,4

0,3

0,3 0,3

0,1

0,1 0,1

0,3

0,2 0,4

0,4

0,1

0,3

0,2

τ θC4 H τ θD4 H τ θE4 H

Tabelle 5.5: Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der fünf DMUs

Verteilungsfunktionen mehrerer DMUs unterscheiden. In Tabelle 5.5 oben kommt dies durch vertikale Striche in mindestens einer Zeile zum Ausdruck.357 5.3.2 Stochastische Effizienzbetrachtung Zur Ermittlung der stochastischen Effizienzkennzahlen erfolgt ein Rückgriff auf die Modelle (FSDτ ), S. 157, und (SSDτ ), S. 168. Die dazugehörigen Effizienzwerte sind Tabelle 5.6 zu entnehmen. Bevor auf die Interpretation der Ergebnisse eingegangen wird, soll zunächst der durch Satz 4.17, S. 172, allgemein hergestellte Zusammenhang der beiden stochastischen Dominanzdefinitionen an der technischen Produktions- und Adaptionseffizienz von 357

Vgl. analog zu diesem Vorgehen Tabelle 4.2, S. 150.

188


DMUE beispielhaft veranschaulicht werden. Beim Test auf Wahrscheinlichkeitsdominanz erhält DMUE einen Effizienzwert von Θ1PA = 0,920. Ein risikoaverser EntscheidungsträE = ger würde sie auf Grundlage der stochastischen Dominanz zweiten Grades mit Θ2PA E 0,918 geringfügig schlechter bewerten.

τ PAS

P

PA

A

AS

S

DMUj j A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E

(FSDτ ) Θ1τ j

˜ 1τ Θ j

1 1 1 1 1 0,871

0,916

0,9997 0,955 0,871 0,999 1 0,977 0,982 0,855 0,992 0,999

0,893 1 0,978 0,975

0,918 0,965 0,968 0,978

0,991

0,916

0,928 1 0,902 0,843 1 1

0,920 0,965 0,968 0,978

0,989 1

0,899

0,873 1

0,947

0,954 0,910

0,894 0,942 0,917 0,954

0,896 0,944 0,919 0,954

1 0,896 0,944 0,919 0,954

0,893 0,9998 0,978 0,975 1

1 1 1 1 0,910

1 0,967 0,836 1 0,928 1 0,902 0,843 0,992 0,916 1

1 0,916

0,995 1

0,836

1

˜ 2τ Θ j

1 0,963

1 1 0,977 1 0,855

(SSDτ ) Θ2τ j

0,924 0,947 1 0,894 0,942 0,917 0,954

Tabelle 5.6: Aggregierte technische und wertorientierte Effizienzkennzahlen


189

Die Lösung des Modells (SSDPA ) liefert die Referenz, die die betrachtete DMUE stochastisch vom Grade zwei dominiert und dabei den höchsten Erwartungswert der bedingten Effizienz aufweist (DMU2∗ ). Diese setzt sich aus DMUC und DMUD zusammen, wobei λ∗C = 0,097 und λ∗D = 0,903 sind. In Tabelle 5.7 werden die dazugehörigen Realisationen bestimmt: k

1

2

3

4

5

6

7

8

pk

0,1

0,1

0,1

0,2

0,1

0,2

0,1

0,1

PA θAk

0,927

0,923

0,923

0,747

0,747

0,747

0,682

0,682

PA θBk PA θCk PA θDk PA θEk θ2PA ∗k

0,665

0,665

1

1

1

0,933

0,933

1

1

1

0,889

0,889

0,933

0,933

0,857

0,857

0,750

0,750

0,900

0,900

1

1

1

1

0,801

0,774

0,774

0,774

0,848

0,848

1

1

0,774

0,774

0,899

0,899

0,994

0,994

0,986

0,986

Tabelle 5.7: Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Effizienzwerte Sortiert man die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von DMUE und ihrer optimalen Referenz DMU2∗ individuell aufsteigend, so erhält man die in Tabelle 5.8 angegebenen Verteilungsfunktionen und kumulierten Verteilungsfunktionen.358 Der Index k bringt dabei die τ τ individuell aufsteigend sortierten Effizienzwerte zum Ausdruck, für die gilt θ jk θjk +1

(∀j ∈ J, ∀k ∈ {1, . . . , K − 1}, ∀τ ∈ Γ). k

1

2

3

4

5

6

7

8

PA θEk

0,774

0,774

0,774

0,801

0,848

0,848

1

1

pEk

0,1

0,1

0,2

0,1

0,2

0,1

0,1

0,1

PA FEPA (θEk )

0,1

0,2

0,4

0,5

0,7

0,8

0,9

1

0

0

0

0,011

0,034

0,034

0,156

0,156

θ2PA ∗ k

0,774

0,774

0,899

0,899

0,986

0,986

0,994

0,994

p2∗ k

0,1

0,1

0,2

0,1

0,1

0,1

0,2

0,1

PA F2PA ∗ (θ2∗ k )

0,1

0,2

0,4

0,5

0,6

0,7

0,9

1

0

0

0,025

0,025

0,0685

0,0685

0,074

0,074

PA FFEPA (θEk )

PA FF2PA ∗ (θ2∗ k )

Tabelle 5.8: Verteilungsfunktionen und kumulierte Verteilungsfunktionen von DMUE und ihrer Referenz DMU2∗ 358

Hierdurch geht im Allgemeinen der Bezug zwischen den bedingten Effizienzen verschiedener DMUs unter demselben Szenario verloren. Diese Information ist für die grafische Analyse jedoch nicht von Bedeutung.

190


Die Werte der kumulierten Verteilungsfunktion FFjτ von DMUj (j ∈ J) bei Betrachtung des Funktionsbereichs τ ergeben sich als τ τ τ τ τ FFjk := FFjk−1 + Fjk−1 · (θjk − θjk−1 )

(∀k ∈ K),

wobei τ τ τ = Fj0 = θj0 := 0. FFj0

Auf diese Weise erhält man z. B. PA PA PA PA PA FFE7 = FFE6 + FE6 · (θE7 − θE6 )

= 0,034 + 0,8 · (1 − 0,848) = 0,156. Bei Beurteilung anhand der produktiv-adaptiven Effizienz zeigt sich, dass DMU 2∗ – die optimale Referenz zu DMUE bei Zugrundelegung des stochastischen Dominanzkriteriums zweiten Grades – DMUE nicht wahrscheinlichkeitsdominiert. Diesen Sachverhalt illustriert Abbildung 5.5. Hierbei wird auch deutlich, dass die Wahrscheinlichkeitsdominanz nur durch einen sehr kleinen Bereich verhindert wird. Dieses Ergebnis ist für viele der stochastisch vom Grade zwei dominierten DMUs zu beobachten. Häufig ist die Effizienz einer DMU bei Anwendung des Modells (SSDτ ) nur geringfügig niedriger als bei Verwendung des Modells (FSDτ ). Als Konsequenz kann die stochastische Dominanz zweiten Grades zur Approximation der aufwendiger zu bestimmenden Wahrscheinlichkeitsdominanz verwendet werden. Während zwischen den bedingten technischen und wertorientierten Effizienzkennzahlen eine eindeutige Beziehung besteht, existiert eine solche zwischen den entsprechenden aggregierten Kennzahlen nicht. Bei der bedingten Effizienzanalyse wurde gezeigt, dass die technische Referenzmenge eine Teilmenge der wertorientierten darstellt.359 Dabei kann letztere neben den technisch sicher zulässigen Produktionen auch technisch nicht realisierbare Referenzproduktionen beinhalten. Im Ergebnis weisen die beobachteten DMUs bzw. ihre Produktionen einen nicht kleineren Abstand zum wertorientiert effizienten Rand auf als zum technisch effizienten Rand; die bedingten wertorientierten Produktions-, Gesamt359

Vgl. dazu die Ausführungen zum Modell (CCR-WEh H ), S. 131.

5.3 Stochastische Effizienzanalyse der Entscheidungseinheiten FEPA (s)

191

F2PA ∗ (s)

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 s

0 0,6

0,7

0,8

FFEPA (s)

0,9

1,0

0,9

1,0

FF2PA ∗ (s)

0,20 0,15 0,10 0,05 s

0 0,6

0,7

0,8

Abbildung 5.5: Verteilungsfunktionen und kumulierte Verteilungsfunktionen von DMUE und ihrer Referenz DMU2∗ und Selektionseffizienzen sind damit nicht größer als die technischen. Die Aggregation zu stochastischen Effizienzen basiert auf den ermittelten bedingten Effizienzkennzahlen. Da alle DMUs eine gegenüber der bedingten technischen Effizienz tendenziell niedrigere bedingte wertorientierte Effizienz aufweisen, ist a priori keine Aussage über die Nettowirkung möglich: Werden die bei technischer Sicht für DMUi als Referenz herangezogenen DMUs bei wertorientierter Betrachtung schlechter bewertet, kann die aggregierte wertorientierte Effizienz der DMUi durchaus höher sein als die technische. So gilt etwa für ˜ 1P .360 DMUD : Θ1P = 0,977 < 1 = Θ D

360

Vgl. Tabelle 5.6, S. 188.

D

192


5.4 Interpretation der Ergebnisse Die „Gesamteffizienz“ enthält einerseits die Produktions-Adaptions-Effizienz, andererseits umfasst sie die Folgen der exogen determinierten Patientenstruktur („Selektionseffizienz“). Damit ist sie kein geeigneter Maßstab für die Beurteilung der Effizienz einer DMU. Unabhängig davon wäre auf ihrer Grundlage im vorliegenden Fall keine differenzierte Bewertung möglich. Nur wenn die DMUs als risikoavers angenommen werden können, würden DMUB , DMUD und DMUE teilweise als ineffizient ausgewiesen. Die Effizienzverluste aufgrund einer schlechten Zusammensetzung der Patientenstruktur („Selektionsineffizienz“) sind zwar aus effizienztheoretischer Sicht weniger relevant, können aber durchaus wertvolle Erkenntnisse über die strukturellen Unterschiede der DMUs liefern. Eine hohe „Selektionseffizienz“ deutet dabei auf eine vorteilhafte Ausgangssituation hin, die sich entsprechend positiv auf die „Gesamteffizienz“ auswirkt. Die um die Kundenselektion bereinigte Produktions-Adaptions-Effizienz ist dagegen eine geeignete aggregierte Kennzahl zur Bewertung der Arbeitsgruppen. Die „Selektionseffizienz“, deren Kehrwert vielmehr als Effizienzverlust durch eine ungünstige Kundenstruktur zu interpretieren ist, zeigt ein eindeutiges Bild zu Gunsten von DMUA : Die Verteilung des externen Faktors ist für diese so günstig, dass sie die Kundenstrukturen aller anderen DMUs wahrscheinlichkeitsdominiert.361 Dies geht auch aus Tabelle 5.5, S. 187, hervor, denn DMUA agiert in jedem der teilweise künstlichen Szenarien unter mindestens der gleich guten Ausprägung eh des externen Faktors wie die anderen DMUs (∀h ∈ H). Hinsichtlich der Leistungserstellung selbst wird DMUA am schlechtesten bewertet. Zum 2P einen weist sie mit Θ1P A = ΘA = 0,871 die geringste technische Produktionseffizienz

auf, zum anderen erzielt sie aus technischer Sicht mit Θ1PA = Θ2PA = 0,855 ebenfalls A A die niedrigste Produktions-Adaptions-Effizienz aller DMUs. Auch bei wertorientierter Betrachtung erzielt sie diesbezüglich die geringsten Effizienzwerte. Die übrigen DMUs haben bezüglich der produktiven und/oder der produktiv-adaptiven Effizienz bei technischer und wertorientierter Perspektive unterschiedliche Vor- und Nachteile. So ist beispielsweise DMUC aus technischer Sicht produktiv effizient bezüglich der stochastischen Dominanz zweiten Grades, während sie bei wertorientierter Sichtweise als 361

Vgl. Tabelle 5.6, S. 188.

5.4 Interpretation der Ergebnisse

193

ineffizient eingestuft wird. Bei DMUB und DMUD ist dies umgekehrt, wobei DMUB wenn überhaupt nur marginale produktive Ineffizienzen aufweist (Θ 2P B = 0,999). DMUD ist die einzige Entscheidungseinheit, die sowohl aus technischer als auch aus wertorientierter Sicht produktiv-adaptiv effizient bezüglich der stochastischen Dominanz zweiten Grades ist, so ˜ 2PA dass Θ2PA = Θ = 1. Bei Zugrundelegung der Wahrscheinlichkeitsdominanz erweist D D sich neben DMUD auch DMUB aus technischer und wertorientierter Sicht als produktivadaptiv effizient. DMUC erreicht hierbei eine technische Produktions-Adaptions-Effizienz von eins, wird jedoch aus wertorientierter Perspektive wahrscheinlichkeitsdominiert. An diesem fiktiven Beispiel zeigt sich, dass die Bewertung der „Gesamteffizienz“ zu einer fehlerhaften Einschätzung führen kann, speziell wenn die Kundenselektion nicht beeinflussbar und damit als Leistungsindikator ungeeignet ist. Durch die vorgestellte Methodik scheint eine plausible Trennung der verschiedenen Einflüsse, insbesondere der Selektion und der Produktion, erreichbar. Im folgenden Kapitel 6 werden einige der in dieser Arbeit zu Grunde gelegten Annahmen hinterfragt. Dabei sollen ihre Implikationen aufgezeigt und die Möglichkeiten ihrer Lockerung diskutiert werden, um Ansatzpunkte zur Verallgemeinerung der Methodik darzustellen.

6 Ausgewählte Aspekte zur Verallgemeinerungen der Methodik 6.1 Berücksichtigung alternativer Technologiemengen Abhängig davon, welches Betrachtungsobjekt und insbesondere welche Aggregationsebene verwendet wird, sind unterschiedliche Skalenerträge mehr oder weniger plausibel. Vergleicht man beispielsweise Unternehmen als Ganzes miteinander, so verwendet man häufig hoch aggregierte Kriterien, wie z. B. die Anzahl der Mitarbeiter und das zur Verfügung stehende Kapital, als Inputgrößen und stark verdichtete Outputkriterien, etwa die Anzahl der Kunden oder der Aufträge. In solchen Fällen ist die Annahme konstanter Skalenerträge als relativ kritisch zu sehen. Beispielsweise werden Firmenzusammenschlüsse häufig durch Einsparungspotenziale und Synergieeffekte begründet und Studien belegen in der Tat einen signifikanten Einfluss von Fusionen auf die technische Effizienz, wenn auch nicht immer einen positiven.362 In solchen Fällen sind jedoch auch andere grundlegende Annahmen zu hinterfragen. Die Grundvoraussetzung vergleichbarer Einheiten ist bei der Analyse verschiedener Unternehmen selten gegeben, da sich die Outputs häufig unterscheiden und kaum als homogen anzusehen sind. Dies gilt selbst beim Vergleich verschiedener Sparten oder Ländergesellschaften eines Unternehmens, wenn die Produktionsmöglichkeiten stark variieren, wie dies beispielsweise bei der Automobilherstellung der Fall ist. Während in Industrieländern aufgrund hoher Lohnkosten moderne Maschinen eingesetzt werden, steht diese Alternative in weniger fortschrittlichen Ländern nur bedingt zur Verfügung.363 Besser erfüllt sind diese Anforderungen beim Vergleich von Abteilungen, Arbeitsgruppen oder Mitarbeitern, die sehr ähnliche Aufgaben erfüllen. Als Beispiele für solche weitgehend 362

Vgl. zum Überblick über verschiedene Untersuchungsergebnisse z. B. Poddig/Varmaz 2004, S. 238 und 242. Bei der anschließenden eigenen Studie fällt auf, dass alle (Teil-) Effizienzen durch Fusionen tendenziell sinken, vgl. Poddig/Varmaz 2004, S. 244, Tabelle 3. Dies ist jedoch nicht zwangsläufig ein Indiz für eine negative Wirkung von Fusionen. Da die DEA ausschließlich relative Effizienzwerte liefert, sind die von Poddig/Varmaz angegebenen mittleren Effizienzwerte möglicherweise durch wenige, deutlich verbesserte Referenzeinheiten zu erklären. Um diesem Sachverhalt Rechnung zu tragen wären dynamische Verfahren einzusetzen gewesen, wie selbst Poddig/Varmaz 2004, S. 243, Fußnote 52, feststellen: „Für die Messung von Effizienzveränderungen im Zeitablauf eignen sich die so genannten Malmquist-DEA-Verfahren, die hier jedoch nicht behandelt wurden“. Darüber hinaus kann eine sinkende technische Effizienz auch durch die unvollständige Kongruenz zwischen den primären (zumeist finanziellen) Unternehmenszielen und der technischen Effizienz erklärbar sein, wie im Rahmen der wertorientierten Effizienzanalyse in Abschnitt 4.3.4, S. 122, erläutert wurde. 363 Davon abgesehen wäre ein verstärkter Einsatz teurer Maschinen in Niedriglohnländern möglicherweise unwirtschaftlich.

6.1 Berücksichtigung alternativer Technologiemengen

195

homogenen Entscheidungseinheiten könnten, neben den in Kapitel 5 betrachteten Therapeuten, Unternehmensberater oder Wirtschaftsprüfer (-teams) ebenso genannt werden wie Ärzte in der Notaufnahme oder Abteilungen in der Schadensbearbeitung von Versicherungen. Auf einer derart detaillierten Betrachtungsebene finden nun auch andere Kriterien Anwendung als bei einer stark aggregierten Sichtweise. Die Mitarbeiter oder Teams einer Schadensabteilung einer Versicherung könnten beispielsweise nach den eingesetzten Stunden (als Input), den regulierten Fällen (als positiver Output) und verursachten Rechtsstreitigkeiten (als negativer Output) beurteilt werden. Auf dieser Grundlage lassen sich wertvollere Aussagen treffen als bei aggregierter Betrachtung verschiedener Versicherungsgesellschaften.364 Für eine disaggregierte Betrachtung erscheint die Annahme konstanter Skalenerträge keineswegs unplausibel. Denn sieht man von negativen Ermüdungsund positiven Lerneffekten ab, ist anzunehmen, dass mit der doppelten Arbeitszeit (etwa) die doppelte Arbeit verrichtet werden kann bzw. sollte. Dies gilt vor allem, wenn Abteilungen zu bewerten sind und die Personalstärke variabel ist.365 Im Grunde genommen ist die dargestellte Methodik als unabhängig von den konkreten Annahmen bezüglich der Technologiemenge zu betrachten. Sollen nichtkonstante, wie beispielsweise variable Skalenerträge unterstellt werden, so ist dies durch entsprechende Restriktionen in den DEA-Modellen (CCR-TEP ), S. 110, und (CCR-TEPAS ), S. 111, möglich. Die dargestellten Programme zur Bewertung der aggregierten Effizienz einer Entscheidungseinheit sind hiervon nicht betroffen, sofern die Konvexitätsannahme aufrechterhalten wird. Anderenfalls ließen sich die Linearfaktoren in den Modellen (FSDτ ), S. 157, und (SSDτ ), S. 168, auf binäre Werte beschränken.366 Eine wesentliche Einschränkung erfahren die Effizienzwerte hinsichtlich ihrer Konsistenz zu den implizit geäußerten Präferenzen der Entscheidungsträger.367 Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Methodik grundsätzlich nicht anwendbar ist. Je nach konkreter Konstellation der Daten sind durchaus konsistente Ergebnisse möglich. Inkonsistente Ergebnisse, das heißt eine mit steigender Qualität des externen Faktors sinkende wertorientierte 364

Häufig werden zum aggregierten Vergleich von Unternehmen monetäre Größen herangezogen. Diese bergen jedoch die Gefahr, die technische Effizienz durch Kostenineffizienzen zu verfälschen. Im Übrigen sei noch einmal darauf hingewiesen, dass zur Ermittlung der Gewinneffizienz ein „einfacher“ Vergleich der erzielten Gewinne ausreicht. Vgl. auch Kapitel 4.2.2, S. 91. 365 Bei dieser Argumentation wird zweifellos eine im Durchschnitt gleichbleibende Qualität der Mitarbeiter (oder allgemein der Inputs) vorausgesetzt. 366 In diesem Fall wären keine Optimierungsprogramme erforderlich, denn eine DMU könnte durch paarweise Vergleiche mit den anderen DMUs auf stochastische Dominanz überprüft werden. 367 Vgl. hierzu auch den Exkurs in Abschnitt 4.3.4, S. 136.

196


Gesamteffizienz, sind dabei ein deutlicher Hinweis auf die Verletzung mindestens einer Annahme. Einerseits können fehlerhafte Daten vorliegen, die durch Messfehler oder aufgrund einer Fehlspezifikation des zu Grunde liegenden Produktionssystems hervorgerufen wurden, was insbesondere durch Vernachlässigung von internen und/oder externen Inputs oder Outputs möglich ist. Andererseits könnten Annahmen verletzt sein, so dass z. B. die unterstellte vollkommene Rationalität eingeschränkt ist und damit nicht nur Ineffizienzen in der Leistungserstellung, sondern auch in der Entscheidungsfindung der DMUs vorliegen. Letztlich könnte auch die Annahme einer Technologie mit nichtkonstanten Skalenerträgen unzutreffend sein. Selbst wenn korrekterweise variable Skalenerträge unterstellt wurden, ist zu beachten, dass die konvexe Hülle der beobachteten Produktionen sehr anfällig gegen fehlende Beobachtungen und Messfehler in den Daten ist: Sowohl die kleinste als auch die größte DMU bestimmen den effizienten Rand unter variablen Skalenerträgen stets mit, und zwar unabhängig davon, wie ineffizient sie unter konstanten Skalenerträgen zu beurteilen wären. Denn Produktionen, die von einem Output die größte Menge erzeugen oder von einem Input die geringste Menge einsetzen, sind unter variablen Skalenerträgen generell effizient. Zudem wird die Effizienz besonders großer und kleiner DMUs unter variablen Skalenerträgen mangels (guter) Referenzen eventuell überschätzt.368

6.2 Behandlung individueller Zielsetzungen für die Entscheidungseinheiten Das dargestellte Vorgehen behandelt die mit den Inputs und Outputs verbundenen relativen Werte (Preise) als für alle DMUs identisch. Dies ist insbesondere dann plausibel, wenn die DMUs Subeinheiten einer Organisation sind, da letztere den DMUs die (Relativ-) Preise der Inputs und Outputs vorgeben kann. Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass auch für Unternehmen, die üblicherweise als risikoneutral angenommen werden, risikoaverse Verhaltensweisen denkbar sind: Da Unternehmen von Menschen geführt werden, die von negativen Ergebnissen des Unternehmens direkt (z. B. durch eine leistungsabhängige Entlohnung) oder indirekt (z. B. durch die Gefahr personeller Konsequenzen) betroffen sein können, ist es für risikoaverse Entscheidungsträger vollkommen rational, sich auch im Rahmen ihres Berufes risikoavers zu verhalten. Ebenso ist zu beachten, dass ein Entscheidungsträger seinen Nutzen nicht 368

Vgl. auch Dyson et al. 2001, S. 248.


197

zwangsläufig nur aus dem Unternehmenserfolg zieht. Hat er beispielsweise durch abweichendes Verhalten die Möglichkeit, seinen persönlichen erwarteten Nutzen zu steigern, wird er dies versuchen. Das heißt, selbst die Vorgabe einheitlicher Preise durch die Unternehmensleitung, führt nicht zwangsläufig zu einheitlichen Präferenzen bezüglich der Inputs und Outputs. Die Abstimmung der Interessen des Auftraggebers und des Ausführenden wird im Rahmen der Principal-Agent-Theorie ausführlich diskutiert. Mit ihrer Hilfe lassen sich anreizkompatible Entlohnungssysteme gestalten, die ein (unternehmens-) zielkonformes Verhalten fördern und gegebenenfalls durch negative Anreize abweichendes Verhalten sanktionieren.369 Gelingt dies nicht oder liegen tatsächlich unterschiedliche Preise für die einzelnen DMUs vor, so ist dies im Rahmen der Effizienzanalyse zu berücksichtigen. Während die technische Effizienz definitionsgemäß unabhängig von den (positiven) Preisen ist, werden die Preise bzw. Präferenzen in der wertorientierten Effizienzanalyse berücksichtigt. Die abgeleiteten Präferenzen sind bei DMU-spezifischen Preisen nicht für alle Entscheidungseinheiten gleichermaßen gültig, sondern nur für die DMU, die solche Präferenzbeziehungen offenbart. Demzufolge wird die wertorientierte Effizienz einer DMU unter Umständen unter anderen Relativpreisrestriktionen ermittelt als die von DMU . Für das DEA-Modell (CCR-WEh H ), S. 131, in Envelopment-Form bedeutet dies, dass je nach zu beurteilender DMU andere Trade-off-Beziehungen (∆-Werte) und damit unterschiedliche Dominanzkegel gelten. Im Ergebnis kann dies zu verschiedenen radial effizienten Rändern führen, die die wertorientiert schwach effizienten Referenzproduktionen enthalten. Da die durch Ungleichung (19), S. 129, zum Ausdruck gebrachten Präferenzbeziehungen in diesem Fall nur für DMUi Gültigkeit haben, wird die Verdichtung der Indizes zu einem einzelnen Index t ∈ T durch die Verwendung eines Doppelindexes tj ∈ Tj := {1, . . . , Tj } (∀j ∈ J) ersetzt. Dabei enthält die Menge Ti nur diejenigen Restriktionen, die für DMUi abgeleitet werden können und nicht redundant sind. Berücksichtigt werden in der Multiplier-Form (CCR-WED ih H ), S. 131, demnach Ti Präferenzrelationen n∈N

369

µn · ∆ynti

−

νm · ∆xmti

0

(∀ti ∈ Ti ).

m∈M

Vgl. z. B. Pindyck/Rubinfeld 2005, S. 824; zur Behandlung eines nicht verifizierbaren Reservationsnutzens des Agenten mit Hilfe eines vektoriellen Entscheidungsmodells Kleine 1996, Kapitel 5, S. 147 ff.

198


Unter Verwendung der Variablen qti 0 (∀ti ∈ Ti ) ändert sich das Envelopment-Modell (CCR-WEh H ), S. 131, zu: (CCR-WEih H ) min θ˜ih H − ·

m∈M

d− m+

u. d. N. (1) λjh · xmjh + (2)

j∈J

h∈H

j∈J

h∈H

λjh · ynjh

+

n∈N

ti ∈Ti

ti ∈Ti

d+ n ˜ ∆xmti · qti + d− m = θih H · xmih (∀m ∈ M) ∆ynti · qti

− d+ = ynih n λjh 0 qti 0 + d− m , dn

0 ˜ θih H ∈ R.

(∀n ∈ N) (∀j ∈ J, ∀h ∈ H ) (∀ti ∈ Ti ) (∀m ∈ M, ∀n ∈ N)

Gegenüber dem ursprünglichen Modell, das Trade-off-Variablen zu allen vorhandenen Präferenzrelationen berücksichtigt, ist die Anzahl der Entscheidungsvariablen in diesem Modell tendenziell geringer, denn es gilt Tj ⊆ T (∀j ∈ J). Demzufolge ist der zu minimierende Zielfunktionswert von (CCR-WEih H ) nicht kleiner als der von (CCR-WEh H ). Abbildung 6.1 verdeutlicht die unterschiedlichen wertorientiert effizienten Ränder, gegenüber denen die verschiedenen DMUs beurteilt werden, an einem Beispiel mit zwei Inputs und einem normierten Output.370 Die aus den Produktionsdaten der DMUs abgeleiteten Präferenzen werden nun, im Gegensatz zum bisherigen Vorgehen, nicht für alle DMUs zu Grunde gelegt, sondern gelten nur für die DMU, die die Präferenzen offenbart. DMUA bewertet Input 2 mindestens so hoch wie Input 1, denn sie präferiert z A2 = (−10; −5; +1)T (−5; −10; +1)T = z A1 und damit die Inputersparnis von fünf Einheiten des zweiten Inputs unter Inkaufnahme der Erhöhung des ersten Inputs um dieselbe Menge. Dagegen zeigt DMUB eine Präferenz z B2 = (−4; −9; +1)T (−12; −4; +1)T = z B1 . Mit anderen Worten, sie bewertet die Inputersparnis im ersten Input um acht Mengeneinheiten als mindestens gleichwertig mit der Inputerhöhung um fünf Einheiten des zweiten Inputs. Dementsprechend ergeben sich die beiden eingezeichneten wertorientiert radial effizienten und TM ) für die Ausprägung e2 des externen Faktors.371 Die gültiRänder (TM A2

370 371

B2

Ein ähnliches Vorgehen findet sich bei Charnes et al. 1981, S. 684 ff., wobei unterschiedliche technisch effiziente Ränder zur Bewertung verschiedener Gruppen von DMUs herangezogen werden. Der technisch radial effiziente Rand unter der Ausprägung e2 des externen Faktors (TM2 ) ist gestrichelt dargestellt.


199

gen wertorientierten Ineffizienzen sind dabei durchgezogen eingezeichnet. Diese sind um die gepunkteten Strecken geringer und damit die Effizienzen höher als bei Unterstellung identischer Präferenzen bezüglich der Inputs und Outputs.

x2 10

z A1 z B2

9 8 7 6 5

z A2 z B1

4

TM2 TM A2

3 2 TM B2

1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x1

Abbildung 6.1: Wertorientierte Effizienzen bei Vorliegen individueller Preise Die Verwendung unterschiedlicher technisch radial effizienter Ränder – wie bei Charnes/Cooper/Rhodes 1981 – ist kritisch, da bei der DEA für alle DMUs ein und dieselbe Produktionstechnologie unterstellt wird. Allerdings bezieht sich die hier vorgeschlagene Modifikation auf den wertorientierten radial effizienten Rand. Da der Nutzen einer DMU aus einer Produktion von ihren individuellen Präferenzen (z. B. den für sie gültigen Preisen) abhängt, ist es möglich, dass eine DMU durch die Wahl einer bestimmten technisch effizienten Produktion ihren Nutzen maximiert, während dieselbe Produktion für eine andere DMU (mit anderen Präferenzen) eine nutzenmäßig suboptimale Wahl darstellt. In solchen Fällen erscheint die Verwendung individueller wertorientiert effizienter Ränder angebracht.

200


Probleme ergeben sich insbesondere aus der verringerten Vergleichbarkeit der Effizienzwerte zwischen den DMUs. Denn eine DMU kann nun z. B. auch deshalb eine hohe Gesamtund/oder Produktionseffizienz erzielen, weil sie keine Präferenzen offenbart. In diesem Fall müsste der technisch effiziente Rand als Approximation für den wertorientiert effizienten Rand dieser DMU verwendet werden. Da gemäß Satz 4.11, S. 140, der Abstand einer Produktion von dem technischen Rand nicht größer ist als von dem wertorientierten, sind ihre technische Produktionseffizienz, Gesamteffizienz und folglich ihre Selektionseffizienz nicht kleiner als die jeweiligen wertorientierten Kennzahlen. Im Extremfall wäre es sogar möglich, dass die DMUs auf die Offenbarung von Präferenzen verzichten, um eine höhere wertorientierte Effizienz zu erzielen. Vor diesem Hintergrund sollte auf eine Rangordnung entsprechend der wertorientierten Effizienzen bei Vorliegen DMU-individueller Präferenzen verzichtet werden.

6.3 Fehler in den Daten als mögliche Folge der Immaterialität In der vorliegenden Arbeit wurde dem externen Faktor besonderes Gewicht beigemessen, während die Rolle der Immaterialität als weniger bedeutsam eingestuft wurde. Dies setzt voraus, dass der immaterielle Output einer Dienstleistungsproduktion hinreichend genau spezifiziert und gemessen werden kann. Ist dies nicht der Fall und sind die gemessenen Input- und vor allem Outputquantitäten als stochastisch anzusehen, so kann dies im Rahmen der stochastischen Leistungsmessung auf Grundlage der in Abschnitt 3.5.2.3, S. 68, vorgestellten Verfahren berücksichtigt werden. Je nachdem, welche Daten dem Analysten bekannt sind, bieten sich unterschiedliche Verfahren mit speziellen Vor- und Nachteilen an. Liegen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht bereits in aggregierter Form vor, sondern sind diese erst aus Paneldaten abzuleiten, dann könnten Schwankungen in den Daten einer DMU je Ausprägung des externen Faktors durch simple Mittelwertbildung berücksichtigt werden. Es ist offenkundig, dass diesem Vorgehen die Hypothese einer über die Zeit konstanten Effizienz je Ausprägung des externen Faktors zu Grunde liegt. Es sei darauf hingewiesen, dass die Risikoneigung der Entscheidungseinheiten keinen Einfluss auf die Verteilung der Datenfehler hat. Da Fehler in den Daten erst im Rahmen der Leistungsmessung zu einer Unsicherheitssituation und zwar für den Analysten führen, ist die Produktionsentscheidung der DMUs von Datenfehlern unabhängig. Wenn überhaupt,

6.4 Fehlende Verifizierbarkeit des externen Faktors

201

wäre an dieser Stelle (zusätzlich) die Risikoneigung des Analysten zu berücksichtigen. 372 Allerdings ist nicht ohne Weiteres klar, woraus der Analyst seinen Nutzen zieht. Es wäre vorstellbar, dass er einen höheren Nutzen erzielt, wenn er die DMUs korrekt bewertet, wobei die Korrektheit der Ergebnisse auch für den Analysten selbst kaum überprüfbar ist. Ferner muss sein Nutzen nicht zwangsläufig monoton mit den aufgezeigten Ineffizienzen steigen, wie dies teilweise in der Literatur373 behauptet wird. Liegen keine Paneldaten vor, sind Annahmen bezüglich der Verteilung der unsicheren Daten unumgänglich. Problematisch ist hierbei vor allem, dass die Annahme der beobachteten Werte als Erwartungswerte374 wenig sinnvoll ist, wenn der Vergleich der Effizienzwerte nur auf erwarteten Effizienzen beruht. Denn damit würden die eigentlich unsicheren Daten für das Modell als deterministisch unterstellt. Inwieweit ohne Paneldaten eine plausible Effizienzanalyse mit unsicheren Daten möglich ist, ist im Einzelfall kritisch zu überprüfen.

6.4 Fehlende Verifizierbarkeit des externen Faktors Sind die Ausprägungen des externen Faktors nicht verifizierbar, besteht zunächst keine Möglichkeit, die bedingten Effizienzen einer DMU zu analysieren. Denn einerseits ist nicht klar, unter welcher Ausprägung die betrachtete DMU eine bestimmte Produktion realisiert hat. Andererseits fehlt die Zuordnung der Produktionen anderer Entscheidungseinheiten zu den verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors. Somit ist die Identifikation einer zulässigen produktiv effizienten Referenzproduktion nicht ohne Weiteres möglich. 375 Liegen Dominanzbeziehungen nach Pareto/Koopmans zwischen zwei Produktionen einer DMUi vor und sind die Input-Output-Daten deterministisch bekannt, so wird eine Zuordnung der Produktionen zu den Ausprägungen des externen Faktors einer DMUi zumindest teilweise möglich: Eine dominierende Produktion z ih ≥ z ih muss unter einer besseren Ausprägung des externen Faktors stattgefunden haben, so dass h > h sein muss. Eine solche Zuordnung der Ausprägungen des externen Faktors zu beobachteten Produktionen nutzt die Präferenzbeziehung zwischen den Ausprägungen des externen Faktors. 372

Die oben vorgeschlagene Erwartungswertbildung unterstellt letztlich einen risikoneutralen Analysten. Vgl. u. a. Sengupta 1987, S. 122 f.; Post 2001, S. 283. 374 Vgl. z. B. Land et al. 1993, S. 546. 375 Die Gesamteffizienz lässt sich dagegen bestimmen, da hierfür alle J · H beobachteten Produktionen zur Referenzbildung herangezogen werden können. Allerdings ist auch hier die Zuordnung der erzielten Effizienzwerte zu den Ausprägungen des externen Faktors problematisch. 373

202


Damit wird eine wertorientierte Effizienzanalyse in diesem Fall unmöglich bzw. sie entspricht der technischen Effizienzanalyse. Denn während bei verifizierbaren Ausprägungen des externen Faktors die Präferenz einer Produktion z ih gegenüber z ih aus der höheren Ausprägung des externen Faktors (h > h ) abgeleitet werden kann, setzt nun die Rangordnung der Produktionen nach der Ausprägung des externen Faktors eine Dominanzbeziehung voraus. Liegt keine Dominanz vor, ist im Allgemeinen unklar, welche Produktion unter der höheren Ausprägung eh des externen Faktors stattgefunden hat und damit gegenüber der unter eh bevorzugt wird. Aus diesem Grund kann eine Effizienzanalyse bei fehlender Verifizierbarkeit des externen Faktors nur dann (sinnvoll) erfolgen, wenn zwischen allen Produktionen einer DMU jeweils eine eindeutige Präferenz in Form einer Dominanzbeziehung vorliegt. Dies setzt bei Rationalität der Entscheidungseinheiten voraus, dass die Maximierung des (wirtschaftlichen) Unternehmensziels stets zu dominierenden Produktionsentscheidungen führt. Im Allgemeinen gilt ein solcher strikter Zusammenhang jedoch nicht.376 Darüber hinaus geben selbst vorhandene Dominanzbeziehungen nur Aufschluss über die ordinale Rangordnung der Produktionen einer DMU. Angenommen es gäbe fünf verschiedene Ausprägungen des externen Faktors, und es würden zwei DMUs mit je vier Produktionen beobachtet. Dann könnten zwar die Produktionen beider DMUs besseren und schlechteren Ausprägungen des externen Faktors zugeordnet werden, das heißt (ordinal) geordnet werden, es bliebe jedoch offen, welche Produktion unter welcher (absoluten) Ausprägung des externen Faktors stattgefunden hat: Aufgrund der geringeren Anzahl unterschiedlicher beobachteter Produktionen gegenüber den Ausprägungen des externen Faktors ist keine eindeutige Zuordnung der Produktionen zu den Ausprägungen möglich. Die Kenntnis der (absoluten) Ausprägung ist aber eine notwendige Voraussetzung, um Produktionen verschiedener DMUs unter derselben Ausprägung miteinander vergleichen zu können. Nimmt man an, dass die Selektion des externen Faktors nicht vollständig gesteuert werden kann, so ist zwar zu erwarten, dass bei einer hinreichend großen Panelerhebung alle DMUs unter allen verschiedenen Ausprägungen des externen Faktors produzieren mussten und zumindest die technische Effizienzanalyse durchgeführt werden kann. Da mit steigender Länge des Panels jedoch die Annahme einer über die Zeit konstanten Effizienz der

376

Vgl. auch die Ausführungen zu Abbildung 4.8, S. 121.

6.5 Integration eines weiteren stochastischen Einflussfaktors

203

DMUs weniger plausibel erscheint, ist die Leistungsmessung bei fehlender Verifizierbarkeit insgesamt kritisch zu beurteilen.

6.5 Integration eines weiteren stochastischen Einflussfaktors Der externe Faktor wurde in dieser Arbeit als eindimensionale Größe verstanden. In dem Fallbeispiel in Kapitel 5 konnten die beiden Dimensionen eines Patienten (Gesundheitszustand und Mitwirkung an der Therapie) annahmegemäß zu einer eindimensionalen Größe verdichtet werden. Im Allgemeinen ist eine solche Aggregation jedoch nicht möglich. Bei Krankheiten, deren Heilungsprozess in besonderem Maße durch die Beteiligung des Patienten beeinflusst wird, könnte sich die Ausprägung „guter Gesundheitszustand/geringe Mitwirkung“ gegenüber der Ausprägung „schlechter Gesundheitszustand/hohe Mitwirkung“ durchaus als nachteilig erweisen.377 Auch ist vorstellbar, dass DMUA mit motivierten, aber stark geschädigten Patienten besser arbeiten kann als mit weniger motivierten und weniger geschädigten Patienten, während es für DMUB genau umgekehrt ist. Der Grund hierfür könnte sein, dass die Physiotherapeuten von DMUA und die Psychologen von DMUB exzellent ausgebildet sind, während die Psychologen von DMUA , ebenso wie die Physiotherapeuten von DMUB weniger gut geschult wurden. In solchen Fällen ist die ordinale Reihenfolge der Ausprägungen nicht nur a priori unbekannt, sondern auch zwischen den DMUs verschieden. Für die Ermittlung der bedingten technischen Effizienzkennzahlen ist diese Erweiterung relativ unproblematisch, da hierfür nur bekannt sein muss, welche Produktionen unter derselben Ausprägung des (möglicherweise mehrdimensionalen) externen Faktors realisiert wurden. Auch die Aggregation zu stochastischen technischen Effizienzen bereitet kaum Schwierigkeiten, sofern eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der beiden Einflüsse abgeleitet werden kann. Bei den wertorientierten Effizienzen sind jedoch nur eingeschränkte Präferenzaussagen möglich. Während zwischen einer dominierenden Ausprägungskombination (wie hier „guter Gesundheitszustand/hohe Mitwirkung“) und einer dominierten (in diesem Fall jeder anderen Ausprägungsvariante) nach wie vor eine Präferenz zugunsten der besseren Ausprägung bestehen muss, ist eine solche Aussage für Ausprägungsvarianten ohne eindeutige Rangordnung (hier „guter Zustand/geringe Mitwirkung“ gegenüber „schlechter Zustand/hohe Mitwirkung“) nicht ohne Weiteres möglich. 377

Dieser Fall wurde in dem Anwendungsbeispiel in Kapitel 5 ausgeschlossen. Vgl. Tabelle 5.1, S. 176.

204


Fehlt eine solche eindeutige Ordnung, existiert jedoch auch kein „Konsistenzproblem“, das zur Einführung wertorientierter Effizienzen geführt hat. Demzufolge können mehrdimensionale stochastische Faktoren im Rahmen der Leistungsmessung prinzipiell berücksichtigt werden. Praktisch erhöhen sie die Anforderungen an die benötigten Daten sowie die Komplexität allerdings erheblich. Die Ausführungen gelten analog für die Berücksichtigung mehrerer (eindimensionaler) stochastischer Faktoren. Beispielsweise könnte neben dem externen Faktor auch die zur Verfügung stehende Kapazität einer Maschine oder die Leistungsfähigkeit eines Mitarbeiters unsicher sein. Insbesondere bei mehreren unabhängigen stochastischen Einflüssen erscheint eine ordinale Ordnung selten möglich. Denn es dürfte schwierig sein, Konstellationen, wie „schlechter externer Faktor/hohe Leistung des Mitarbeiters“ und „guter externer Faktor/schlechte Leistung des Mitarbeiters“ zu ordnen.

6.6 Beurteilung strategischer Entscheidungen Langfristige und strategische Entscheidungen, wie die der Festlegung der Kapazität und die Schulung von Mitarbeitern, wurden in dem Fallbeispiel in Kapitel 5 vernachlässigt. Dort wurden zur einfacheren Darstellung lediglich zwei Inputs (Individual- und Gruppentherapie) unterschieden und in der Quantität erfasst, mit der sie zur Produktion unter einem bestimmten externen Faktor eingesetzt wurden. Dieses Vorgehen ist legitim, wenn sich alle DMUs denselben Rahmenbedingungen gegenübersehen oder die Auswirkung unterschiedlicher Rahmenbedingungen vernachlässigbar erscheint. So könnte man Kapazitätsengpässe beispielsweise dann außer Acht lassen, wenn sich bei knappen personellen Ressourcen der Behandlungszeitraum entsprechend verlängert, ohne dabei negative Folgen, wie beispielsweise Überstundenzuschläge oder unzufriedene Kunden (Patienten), nach sich zu ziehen. Soll die Wirkung verschiedener Kapazitätsstrategien oder bestimmter Schulungsmaßnahmen auf die Effizienz der Entscheidungseinheiten überprüft werden, bietet sich deren Berücksichtigung über zusätzliche Parameter an. Analog zu dem Ansatz von Charnes/Cooper/Rhodes 1981 könnten die Entscheidungseinheiten zunächst mit denjenigen DMUs verglichen werden, die dieselbe Strategie verfolgen, um die Effizienz der Umsetzung zu beurteilen.378 Der nicht durch die Umsetzung erklärte Teil der Gesamteffizienz, 378

Vgl. Charnes et al. 1981, S. 684 ff.

6.6 Beurteilung strategischer Entscheidungen

205

die sich aus der Bewertung gegenüber den Produktionsmöglichkeiten ergibt, würde dann der Wahl der Strategie zugerechnet. Dementsprechend wäre die in Abschnitt 4.3.3, S. 109, dargestellte Effizienzzerlegung um eine weitere Dimension zu ergänzen. Alternativ wäre denkbar, die Effizienzanalyse, wie in Kapitel 5, durchzuführen und anschließend den Bezug zu den getroffenen Maßnahmen herzustellen. Das heißt, es könnte nachträglich überprüft werden, ob und inwieweit, die Maßnahmen eine Wirkung auf die Effizienz der DMUs hatten.379 Schließlich besteht die Möglichkeit, mittels Hypothesentests zu untersuchen, ob eine Strategie, also eine bestimmte Gruppe von DMUs, besondere Vorteile gegenüber einer anderen aufweist.380

379

Vgl. zu einem zweistufigen Ansatz, bei dem Teile der DEA-Effizienzwerte mittels Regression durch exogen fixierte Variablen erklärt werden sollen, Ray 1988, S. 170 ff., sowie Ray 1991, S. 1623 f. 380 Vgl. Banker 1993, S. 1271 f.

7 Relevanz der Erkenntnisse auf Basis der neuen Methodik – Zusammenfassung und Ausblick Mit der vorliegenden Arbeit sollte ein Beitrag zur Leistungsmessung von Dienstleistungsproduktionen erbracht werden. Ausgangspunkt der Überlegungen bildete die für Dienstleistungsproduktionen typische Integration des externen Faktors, da diese aus produktionstheoretischer Sicht den wichtigsten Unterschied zur Herstellung von Sachgütern darstellt. Bekannte Verfahren zur stochastischen Leistungsmessung sind geeignet, um unsichere Daten in der Leistungsmessung zu berücksichtigen. Dagegen ist eine Abbildung und Bewertung stochastischer Produktionsentscheidungen nicht konsequent möglich, weshalb eine erweiterte Methodik entwickelt wurde. Sie beschränkt sich im Gegensatz zu bekannten Verfahren der Leistungsmessung nicht auf eine einzige Realisation, sondern versucht die Entscheidungssituation der Dienstleistungsproduzenten und die damit verbundene Unsicherheit über die künftige Entwicklung abzubilden. Es ist konsequent, dass sich der Aufbau der Leistungsmessung stochastischer Produktionen an dem Entscheidungsprozess unter Unsicherheit orientiert. Im Rahmen der Entscheidungsfindung sind zunächst für jeden Umweltzustand die relevanten Konsequenzen zu prognostizieren, bevor anschließend eine zusammenfassende Bewertung der Alternativen erfolgen kann. In Abschnitt 4.3, S. 103, wurden analog dazu die bedingten Effizienzen bestimmt, die sodann in Abschnitt 4.4, S. 145, mit Hilfe stochastischer Dominanzkonzepte zusammenfassend bewertet werden konnten. Das vorgestellte Verfahren benötigt gegenüber der deterministischen Data Envelopment Analysis zusätzliche Eingangsinformationen. Ebenso wie bei den stochastischen DEAAnsätzen wird hierbei die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stochastischen Größe vorausgesetzt. Im Unterschied dazu handelt es sich jedoch nicht um die Verteilung der Beobachtungswerte bzw. der Messfehler, sondern um die Verteilung einer produktionsbzw. entscheidungsrelevanten Inputgröße. Zweifellos ist diese Information in der Realität nicht immer bekannt oder ohne Weiteres zu bestimmen. Kann nicht auf einen ständig wiederkehrenden und konstanten Prozess, wie bei den in Kapitel 5, S. 174, dargestellten Rehabilitationsmaßnahmen, zurückgegriffen werden, sind Experteneinschätzungen über die künftige Entwicklung in Betracht zu ziehen.

7 Relevanz der Erkenntnisse auf Basis der neuen Methodik

207

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind sowohl für die Entscheidung selbst als auch für deren spätere Leistungsmessung relevant. Im Allgemeinen ist die Berücksichtigung von Wahrscheinlichkeitsinformationen sinnvoll, wenn die zu Grunde liegende Entscheidung unter Risiko zu treffen ist. Auch für die Leistungsmessung ergeben sich Vorteile, denn neben der Bewertung der Gesamt- und der Produktionseffizienz werden durch die Selektionseffizienz differenzierte Aussagen über den Einfluss des externen Faktors auf die Produktionsmöglichkeiten und die Effizienz einer DMU möglich. Die Diskrepanz zwischen der zur Bewertung herangezogenen technischen Effizienz und den von den DMUs möglicherweise verfolgten Zielsetzungen wurde durch die unterstellte Ordinalskalierung des externen Faktors offensichtlich. Dieses Phänomen ist nicht anwendungsspezifisch. Vielmehr handelt es sich um ein verdecktes, fast allgegenwärtiges Problem der Effizienzanalyse, denn die wenigsten Unternehmen streben eine höchstmögliche technische Effizienz an. Das primäre Ziel ist bei privatwirtschaftlichen Unternehmen zumeist die Maximierung eines – wie auch immer definierten – Gewinns. Auch soziale Organisationen ziehen ihren Nutzen in der Regel nicht unmittelbar aus der erreichten technischen Effizienz, sondern eher aus dem gestifteten Nutzen, z. B. dem eines geheilten Patienten. Durch anreizkompatible Motivationssysteme lassen sich die Zielvorstellungen (Preise) der Organisation auf ihre Subeinheiten (DMUs) übertragen, so dass auch diese die technische Effizienz nicht als primäres Ziel verfolgen. In jedem Fall ist darauf zu achten, mit den (Unternehmens-) Zielen in Einklang stehende Bewertungskriterien zu verwenden. Anderenfalls wäre die Bewertung ungerecht, da andere als die verkündeten Ziele zu Grunde gelegt würden. Letztlich könnte dies sogar zur Institutionalisierung der technischen Effizienz als Zielgröße führen, so dass das eigentliche Ziel (z. B. die Gewinnmaximierung) vernachlässigt würde. Da dem Analysten die Preise häufig nicht bekannt sind, wurde in dieser Arbeit das Konzept wertorientierter Effizienzkennzahlen vorgeschlagen (Abschnitt 4.3.4, S. 122). Es wurde gezeigt, wie ein Rückschluss von den beobachteten Produktionen auf die zu Grunde liegenden Präferenzen der DMUs (Input- und Outputpreise) erfolgen kann, wenn die Ausprägungen des externen Faktors zumindest ordinal skaliert sind und die DMUs rational handeln. Die in dieser Arbeit konzeptionell entwickelte Methodik zur Leistungsmessung von Dienstleistungsproduktionen lässt sich ohne Weiteres zur Beurteilung stochastischer Sachgüterproduktionen sowie allgemein zur Bewertung von Entscheidungen unter Unsicherheit ein-

208


setzen. Anwendungsvoraussetzung für das Verfahren ist ein stochastischer Faktor, dessen Ausprägungen mindestens ordinal skaliert und ex post verifizierbar sind. Im Falle von Sachgüterproduktionen, die im Allgemeinen keine Integration des externen Faktors erfordern, liegen häufig andere stochastische Größen vor: Beispielsweise kann die Kapazität einer Spezialmaschine durch unsichere Ausfallzeiten schwanken. Dasselbe gilt für (Fach-) Arbeiter, deren Leistung und/oder Anwesenheit krankheitsbedingt variieren kann. Zu alledem kommt die Unsicherheit über die künftige Nachfrageentwicklung. Im Allgemeinen ist die Produktion nicht losgelöst von der potenziellen Absatzmenge zu betrachten. So erfolgt bei Auftragsfertigung die Endmontage erst nach Erhalt eines Kundenauftrags, aber auch bei Massenfertigung für einen anonymen Markt wird sich die Produktionsmenge mittelfristig an die Nachfrageprognosen anpassen, um die Bestände begrenzt zu halten. Insbesondere für den Produktionsbereich ist die Nachfrage als exogen zu betrachten und für diesen daher nicht beurteilungsrelevant. Doch selbst der Vertrieb kann die Nachfrage nicht vollständig steuern, so dass es auch hier angebracht sein kann, die Unsicherheit in der Leistungsmessung zu berücksichtigen. Da Entscheidungen in der Realität faktisch immer unter Unsicherheit zu treffen sind, ließe sich die Liste der Anwendungsgebiete beliebig fortsetzen. Hier soll als letztes Beispiel die Bewertung von Anlageentscheidungen (portfolio selection) angeführt werden, da diesen in der Literatur seit den grundlegenden Arbeiten von Markowitz381 besondere Beachtung geschenkt wird. Dabei bewertet man die Leistung eines Investors oder eines Fondsmanagements üblicherweise anhand der tatsächlich realisierten Renditen oder Überschüsse. Gegeben sei ein Anleger, der in ein wahrscheinlichkeitsdominiertes Portfolio A investiert, das kein Bernoulli-rationaler Investor wählen würde. Sofern es zustandseffizient ist, erzielt es ex post in mindestens einem Umweltzustand eine höhere Leistung (Rendite) als das wahrscheinlichkeitsdominierende Portfolio B. Würden in einem solchen Fall nur die tatsächlich erzielten Renditen der Portfolios betrachtet, müsste man zu dem Schluss kommen, dass die Investition in das wahrscheinlichkeitsdominierte Portfolio A besser war als die Anlage in Portfolio B. Dennoch würde sich – bei unveränderten Erwartungen über die künftige Kursentwicklung – kein rationaler Anleger für Portfolio A entscheiden. Der An-

381

Vgl. Markowitz 1952; Markowitz 1959.


209

leger hat demnach bei seiner Investition in Portfolio A nicht rational gehandelt, sondern hatte schlichtweg Glück.382 Die Beurteilung seiner Entscheidung sollte daher nicht auf der realisierten Rendite beruhen, sondern vielmehr die Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Zeitpunkt der Entscheidung berücksichtigen. Dies ist – unter Kenntnis der zum Entscheidungszeitpunkt gültigen Wahrscheinlichkeitsverteilung – mit der in Kapitel 4 dargestellten Methodik möglich. Zugleich stellt die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung die wohl stärkste Einschränkung der praktischen Anwendbarkeit dar. Oftmals, wie auch in Abschnitt 4.4.2.2, S. 148, werden relative Häufigkeiten früherer Realisationen als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. Insbesondere im Finanzbereich findet dieses Vorgehen starken Anklang.383 Allerdings sind relative Häufigkeiten de facto keine Wahrscheinlichkeiten, sondern können lediglich zu deren Approximation dienen. Gerade bei langen Beobachtungszeiträumen oder bei Maßnahmen zur gezielten Beeinflussung der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die implizit unterstellte Zeitstabilitätshypothese fragwürdig, so dass aus der Vergangenheit nicht ohne Weiteres auf die Zukunft geschlossen werden kann.

Die Produktions- und Effizienztheorie analysieren denselben Gegenstand aus verschiedenen Perspektiven. Während die Produktionstheorie der Erklärung und Prognose von Input-Output-Systemen dient und damit die allgemeine Entscheidungstheorie für produktionswirtschaftliche Fragestellungen konkretisiert, wird im Rahmen der Effizienzanalyse eine nachträgliche Leistungsbeurteilung bereits getroffener Entscheidungen bzw. bereits realisierter Produktionen angestrebt. Damit ist die Leistungsmessung zwar generell rückwärts gerichtet, sie erlaubt jedoch ex post häufig eine genauere Bewertung der ex ante zur Verfügung stehenden Alternativen. Die vorliegende Methodik unterscheidet sich von den in der Literatur genannten Verfahren durch die konsequente Berücksichtigung des Risikos in der zu bewertenden Produktion. Damit beschränkt sich die Analyse nicht auf eine einzelne, nämlich die tatsächlich eingetretene Situation, sondern berücksichtigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Qualität des externen Faktors, der sich der Entscheidungsträger gegenüber gesehen hat. In der vorliegenden Arbeit wurde also das effizienztheoretische Pendant zur stochastischen Produktionstheorie entwickelt. Mit Hilfe der Effizienztheorie können nicht nur Ineffizien382 383

Vgl. hierzu auch Campbell 2006, S. 215 f. Vgl. zur Begründung z. B. Spremann 2003, S. 92 f.

210


zen und damit Verbesserungspotenziale aufgezeigt werden. Sie kann auch der empirischen Fundierung von Produktionstechnologien dienen.384 Während die in der Literatur diskutierten Verfahren zur stochastischen Leistungsmessung auf eine stochastisch fundierte Schätzung der in Wahrheit deterministischen bzw. als deterministisch unterstellten effizienten Produktionsmöglichkeiten zielen, wurde hier tatsächlich versucht, die zu Grunde liegende stochastische Produktionsfunktion möglichst gut abzubilden. Gerade im Dienstleistungsbereich, in dem es an einer allgemein akzeptierten Produktionstheorie fehlt, können Rückschlüsse auf die in Folge des externen Faktors stochastischen Produktionsmöglichkeiten wertvoll sein und der Entwicklung einer Produktionstheorie für Dienstleistungen nützen. Zur Verknüpfung mit der Produktionstheorie bietet die Aktivitätsanalyse einen aus methodischer Sicht naheliegenden Anknüpfungspunkt: Anstatt bereits realisierte (beobachtete) Produktionen ex post zu bewerten, könnten zur Auswahl stehende Produktionsmöglichkeiten (Aktivitäten) ex ante auf stochastische Effizienz untersucht werden. Liegen entsprechend detaillierte Informationen über die Wahrscheinlichkeitsinformationen und die Produktionsmöglichkeiten vor, ist eine stochastische Aktivitätsanalyse möglich. Neben zahlreichen Aspekten zur Verallgemeinerung und Übertragung der Methodik, von denen nur ausgewählte angeführt wurden, ist eine empirische Anwendung erstrebenswert.

384

Vgl. Dyckhoff/Allen 1999, S. 434.

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Index Abstand, 52

allokative, 91, 139–145

Aktivitätsanalyse, 25, 35, 46

bedingte, 103–145, 178–185

stochastische, 210 Anwendungsgebiete, 208–209 Ausreißer, 66, 69 Bewertungsfunktion, 91, 96, 123 Bootstrapping, 67

funktionale, 86 Adaptions-Selektions-Effizienz, 111, 117, 139 Adaptionseffizienz, 86, 116 Gesamteffizienz, 85, 110, 117, 124, 132, 139

Chance Constrained Data Envelopment Analysis, 76 Programming, 41, 70 Data Envelopment Analysis, 46 Assurance Region, 125 CCR-Modell, 62 DEA-Zielfunktion, 52 Envelopment-Modell, 61 Multiplier-Modell, 61 Quotientenprogramm, 64 Dienstleistungsmerkmale, 12 Immaterialität, 8, 12, 21, 200 Integrativität, 7, 13 Dominanz, 26 fehlende, 109, 130 stochastische, 20, 72, 148 dritten Grades, 171 ersten Grades, 74, 152–165 nullten Grades, 151–152 zweiten Grades, 165–171 Dominanzkegel, 53, 64, 131, 197

Produktions-Adaptions-Effizienz, 119, 192 Produktions-Selektions-Effizienz, 119 Produktionseffizienz, 85, 110, 132 Selektionseffizienz, 85, 112, 118, 138 Gewinneffizienz, 92–94 Kosteneffizienz, 102–103 orientierte, 28, 55 radiale, siehe schwache relative, 47 schwache, 27, 55 schwache orientierte, 29 stochastische, siehe aggregierte technische, 27, 38, 91, 124, 139, 178– 180 wertorientierte, 125, 127, 131–139, 181– 184, 197 Effizienzmaß, 160 radiales, 30, 55, 58, 103 Entscheidungseinheit, 38 Gleichartigkeit, 38 Erfolgswahrscheinlichkeit, 153

Effizienz, 27 aggregierte, 145–173, 187–191

Erwartungsnutzentheorie, 20, 148

230

Index

Erwartungswert-Varianz-Kriterium, 72, 77

Principal-Agent-Theorie, 197

externer Faktor, 78, 104, 203

Produktion, 25, 104

als Input, 15

effiziente, 25

Ausprägungen, 89

Produktionsfunktion, 32, 47

ordinal skalierter, 104–105

Produktionskorrespondenz, 32

stochastischer, 13, 21

Produktionsmöglichkeiten, 104

Verifizierbarkeit, 16

Produktionsmodell, 26

fehlende, 201 zweidimensionaler, 174 Gewichtsbeschränkung, 125, 126 Gewichtungsvariable, 61 Input-Output-System, 13 Inputorientierung, 101 Intervalldaten, 72 Kfz-Reparatur, 14, 86, 104, 120 Linearfaktor, 48 Misserfolgserwartung, 165 Misserfolgsvarianz, 171 Normierungsfaktor, 54 Nutzen, 72, 92, 96, 122 monoton steigender, 134 Nutzenfunktion, 123–124 kardinale, 20, 147 parametrische Verfahren Deterministic Frontier Analysis, 39 Stochastic Frontier Analysis, 41 Präferenz, 91, 130, 145, 147, 181, 198, 201 Ableitung, 128 Präferenzrestriktion, 129 Preis, 126, 128–129, 196, 197

Produktionstheorie, 13, 209 Rationalität, 22, 92, 95, 122, 165, 181 Referenz, 106 ähnliche, 69 Referenzmenge, siehe Technologiemenge wertorientierte, 131 Rehabilitationszentrum, 174 Relativpreisrestriktion, 127, 197 Risikoaversion, 165, 196 Risikoprofil, 153, 155 Skalenertrag, 49, 61, 91, 95, 136, 194 Steuerbarkeit, 85 Technologie, 91 lineare, 36 Technologiemenge, 25, 32, 47, 48, 78 Annahmen, 33 effizienter Rand, 34, 47 Modifikation, 68 Trägerpunkt, 154–155 Trade-off, 131, 182, 183, 197 Unsicherheit, 13, 21, 103 ökonomische, 73 in den Daten, 45, 65, 79 in den Preisen, 74 in der Produktion, 45, 46, 74, 80

Index Risiko, 17, 146 Ungewissheit, 17 Verteilungsfunktion, 154, 189 kumulierte, 165, 189 Quantil der, 164 Wahrscheinlichkeitsdominanz, 152 Wahrscheinlichkeitsverteilung, 17, 22 gemeinsame, 148–151, 186–187 Widerspruch, 97, 145 Zufallsvariable, 41, 146 zusammengesetzter Störterm, 42, 71, 73 Separierbarkeit, 78 Zustandsdominanz, 151

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Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen

Statistik stochastischer Prozesse 001

Zum Einfluß stochastischer Anregungen auf mechanische Systeme German

Zur Stabilitat dynamischer Systeme mit stochastischer Anregung German

Leistungsmessung stochastischer Dienstleistungsproduktionen

Statistik stochastischer Prozesse 001

Zum Einfluß stochastischer Anregungen auf mechanische Systeme German

Zur Stabilitat dynamischer Systeme mit stochastischer Anregung German

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