Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan

Christofer Cronström Pertti Lipas

Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan

J o h d a t u s sähködynamiikkaan j a suhteellisuusteoriaan Christofer Cronström

Pertti Lipas

Kustantaja on saanut opetusministeriön tuotantotukea. © Limes ry 1.painos ISBN 951-745-187-3 Painettu Limes ry:n graafisissaa laitoksissa Helsingin Kruununhaassa 2000.

Esipuhe Tämän kirjan lähtökohtana on ollut toisen meistä (PL) alkujaan 1970 tekemä ja Limeksen kustantama moniste Elektrodynamiikka. Siitä tehtiin toinen, vain vähän muutettu painos 1977. Moniste rakentui Helsingin yliopiston samannimiselle cum laude -kurssille ja määritteli sen sisällön. Sittemmin Helsingissä pidettävän kurssin opetus ja kehittäminen siirtyivät toiselle meistä (CC). Kurssi on vahvistunut erityisesti teoreettiseen suuntaan. Potentiaaliteoria on nyt paljon aikaisempaa vahvemmalla matemaattisella pohjalla. Suhteellisuusteorian osuutta on ratkaisevasti lisätty ja modernisoitu. Vuosien kehitys tuotti 1986 yhteisen oikean kirjan, (CC&PL) Johdatus elektrodynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan. Nyt käsillä oleva laitos on tämän uudistettu versio. Se on edelleenkin kehittynyt erityisesti potentiaaliteorian ja suhteellisuusteorian osalta. Liisa Koivisto on osallistunut puhtaaksikirjoitukseen. Jouko Arponen on ratkaissut useita L-TgX-ongelmia. Kari Peräjärvi on tehnyt teoksen kaikki kuvat. Kiitämme kaikkia heitä ystävällisestä avusta. Helsingissä ja Jyväskylässä elokuussa 2000 Christofer Cronström

Pertti Lipas

s- vi

-

i •: •„ '

Sisältö

1

Johdanto

1

2

Sähköstatiikan perusteet

5

2.1

Coulombin laki

5

2.2

Gaussin laki

6

2.3

Pyörteettömyys ja potentiaali . . . .,

9

2.4

Sähköstatiikan potentiaaliongelma

11

2.4.1

11

2.5

Peilivarausmenetelmä

2.6

Potentiaaliteorian reuna-arvo-ongelmat

15

2.6.1

15

2.7

2.8 3

Poissonin ja Laplacen yhtälöt .

Yksikäsitteisyyslause ja Greenin funktiot

12

Vektorikentän potentiaalit

25

2.7.1

25

Lähteettömät ja pyörteettömät kentät

Vektorikentän kenttäviivat

29

Potentiaaliteorian sovelluksia

33

3.1

Laplacen yhtälö ja muuttujien erottelu

33

3.2

Laplacen yhtälö pallokoordinaatistossa

35

3.3

Pallon Greenin funktio GD

39

3.3.1

40

Harmonisten funktioiden Poissonin kaava iii

iv

SISÄLTÖ 3.4

4

Pallon Greenin funktio G n

41

3.4.1

42

3.5

Sähköiset multipolipotentiaalit

43

3.6

Dipolikenttä; dipolien vuorovaikutus

45

3.7

Johdepallo ulkoisessa kentässä

47

3.7.1

49 51

4.1

51

4.2

Aineen dipolirakenne Sähköpolaroituma P ja sähkövuon tiheys D

. . . .

52

Väliaineen potentiaaliongelma

55

4.2.1

56

E:n ja D:n reunaehdot rajapinnoilla

4.3

Eristepallo vakiokentässä

58

4.4

Johteet ja pintavarausjakauma

61

4.4.1

62

4.5

6

Pintavaraus ja polarisaatio

Sähköstatiikka väliaineessa

4.1.1

5

Pallofunktioiden yhteenlaskulause

Johdekappaleen kapasitanssi

Johdekuori ja Coulombin laki

67

Energian ja voiman kenttäkuvaus

71

5.1

Kentän energia tyhjiössä

71

5.2

Energiatiheys väliaineessa

75

5.3

Maxwellin jännitystensori

79

Magnetostatiikka

87

6.1

Varauksen säilyminen ja jatkuvuusyhtälö

87

6.2

Amperen laki

92

6.2.1

92

6.3

Magneettivuon tiheys ja vektoripotentiaali

Suoran ja ympyräjohtimen magneettikenttä

99

SISÄLTÖ

v 6.3.1

7

8

9

Magneettidipoli

103

6.4

Magneettinen multipolikehitelmä

103

6.5

Virtasilmukan magneettikenttä

107

6.5.1

108

Magneettinen skalaaripotentiaali

Magnetostatiikka väliaineessa

111

7.1

Magneettikentän voimakkuus H

111

7.2

Kenttien B ja H reunaehdot

114

7.3

Magneettinen jännitystensori

120

7.3.1

123

Vektoripotentiaalin fysikaalinen merkitys

Faradayn laki ja Maxwellin yhtälöt

125

8.1

Faradayn induktiolaki

125

8.2

Maxwellin yhtälöt

128

8.3

Kentät tyhjässä avaruudessa

131

8.3.1

131

Potentiaalien mittamuunnokset

8.4

Varauksisen hiukkasen liike kentässä

135

8.5

Magneettiset monopolit

137

Kentän energia ja liikemäärä

141

9.1

Sähkömagneettisen kentän energia

141

9.1.1

141

Energian säilyminen, Poyntingin lause

9.2

Kentän liikemäärä

144

9.3

Kenttäyhtälöiden yksikäsitteisyyslause

145

10 Kenttien E ja B aaltoyhtälöt

149

10.1 Yleinen aaltoyhtälö

149

10.2 Homogeeninen aaltoyhtälö; tasoaallot

151

vi

SISÄLTÖ 10.3 Tasoaallon polarisaatiotilat

152

10.4 Tasoaaltojen sironta rajapinnasta

155

11 Sähködynamiikka ja suhteellisuusteoria

159

11.1 Aaltoyhtälön invarianssiryhmä

160

11.2 Lorentzin muunnokset

162

11.3 Vakionopeudella liikkuva koordinaatisto

166

11.4 Kenttien E ja B muunnokset

170

11.5 Tasaisella nopeudella liikkuva pistevaraus

175

11.6 Aika-avaruus; Lorentz-tensorit

176

11.7 Suhteellisuusperiaate ja dynamiikka

180

12 Sähködynamiikan kovariantti muoto

187

12.1 Kentät E ja B sekä kenttätensori F ^

187

12.2 Nelipotentiaalrja mittamuunnokset

191

12.3 Nelipotentiaali ja Lorentzin muunnokset

194

12.4 Energia-liikemäärätensori

195

13 Epähomogeeninen aaltoyhtälö

199

13.1 Aaltoyhtälön ratkaisu

200

13.2 Viivästynyt Greenin funktio

204

13.3 Lienardin-Wiechertin potentiaalit

205

13.4 Liikkuvan varauksen kentät ja säteily

210

A Sähködynamiikan yksikköjärjestelmät

215

B Gaussin ja Stokesin lauseet

219

C Konformiryhmän muunnokset

225

x SISÄLTÖ D Operaattori V eri koordinaatistoissa Viitteet

Luku 1 Johdanto Klassinen sähködynamiikka eli elektrodynamiikka on yksi fysiikan kulmakiviä. Runsaat 100 vuotta sitten Maxwell (James Clerk Maxwell, 1813— 1879) yhdisti ja yleisti Coulombin, Amperen, Faradayn ym. aikaisempien tutkimusten tulokset. Maxwellin teoria on sähkömagneettisten kenttien teoria, joka sisältyy seuraaviin Maxwellin yhtälöihin: 1 V • E = —p eo V •B = 0

(1.1) (1.2)

(1.3) (1.4) Nämä osittaisdifferentiaaliyhtälöt kuvaavat sähkökentän E ja magneettikentän B riippuvuutta toisistaan sekä lähteistään varaustiheydestä p ja virrantiheydestä j; eo,/io j a c o v a t Sl-yksikköjärjestelmään kuuluvia vakioita (ks. liitettä A). Yhtälöt on tässä esitetty mikroskooppisessa muodossa; mahdollisen väliaineen ominaisuuksia ei ole otettu huomioon. Kentän E täydellinen nimi on sähkökentän voimakkuus ja kentän B magneettivuon tiheys; viittaamme niihin normaalisti kuitenkin vain sähkökenttänä E ja magneettikenttänä B. Näitä täydentäviä, väliaineeseen liittyviä kenttäsuureita otamme esille tuonnempana. Yhtälöt (1.1-1.4) ymmärretään yleensä osittaisdifferentiaaliyhtälöiksi, jotka määräävät kentät E(r, t) ja B(r, t), kun niille annetaan asianmukai-

LUKU 1.

2

JOHDANTO

set reunaehdot ja kun lähdetermit p(r', t') ja j(r', t') tunnetaan kun t' < t. Myös jälkimmäiset ovat siis yleensä sekä paikan r että ajan t funktioita. Maxwellin teoria, tai yleisemmin 1800-luvun lopun sähkön ja magnetismin teoria, on esitetty seikkaperäisesti Maxwellin omassa teoksessa A treatise on electricity and magnetism [1], joka luonnollisesti on oppikirjana vanhentunut mutta historiallisen arvonsa vuoksi edelleen kiintoisa. Voidaan sanoa, että Maxwellin yhtälöt määrittelevät sähkömagneettiset kentät E ja B. Usein kentät E ja B määritellään kuitenkin operationaalisesti Lorentzin voiman (Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928) lausekkeen avulla, F = g(E + v x B)

(1.5)

Tämä on sähkömagneettisessa kentässä (E, B) nopeudella v liikkuvaan sähkövarauksiseen (varaus q) testihiukkaseen kohdistuva voima F. Yhtälöt (1.1-1.5) sisältävät klassisen Maxwellin-Lorentzin sähködynamiikan. Tässä kirjassa esitämme, miten voidaan päätyä Maxwellin yhtälöihin (1.1-1.4) lähtien aikaisemmin tunnetuista sähköstatiikan ja magnetostatiikan lainalaisuuksista, sekä käsittelemme Maxwellin yhtälöiden sovelluksia. Kirjamme rakenne ön melko perinteinen. Käsittelemme ensin sähköjä magnetostatiikan perusteet ja osoitamme vasta luvussa 8, miten lopulta päädytään Maxwellin kenttäteoriaan. Luku 2 sisältää sähköstatiikan perusteet: Coulombin lain ja siihen liittyviä matemattisia tarkasteluja. Luku 3 sisältää potentiaaliteoriaan kuuluvaa aineistoa, josta on hyötyä sovelluksissa. Luvussa 4 käsitellään väliaineen sähköstatiikkaa. Väliaineen rakenne kuvataan yksinkertaisella tavalla fenomenologisten rakennevakioiden avulla. Luvussa 5 käsitellään energian ja voiman kenttäkuvausta, joka otetaan uudestaan täydellisemmin esille luvuissa 9 ja 12. Luku 6 alkaa perusluonteisella varauksen säilymislailla, ja jatkossa käsitellään Amperen lakia ja sen seurauksia magnetostatiikassa. Luku 7 taas on analoginen luvun 4 kanssa; siinä käsitellään magnetostatiikkaa magnetoituvassa väliainessa yksinkertaisten aineen rakenteeseen liittyvien rakennevakioiden avulla. Luvussa 8 otetaan esille aidosti ajasta riippuva ilmiö, nimittäin sähkömagneettinen induktio, joka melko suoraviivaisesti aikaisempien tulosten kanssa johtaa Maxwellin yhtälöihin. Tässä on ehkä paikallaan todeta, ettei Maxwellin yhtälöitä sinänsä voida aukottomasti johtaa Coulombin laista, Amperen laistaja Faradayn

3

induktiolaista. Maxwellin yhtälöt, jotka sisältävät nämä lait, yhdistävät ne ja ovat niiden yleistyksiä. Luvussa 9 palataan energian ja voiman kenttäkuvaukseen, kun kentät riippuvat ajasta, ja johdetaan energian ja liikemäärän säilymislait. Luvussa 10 johdetaan kenttien E ja B aaltoyhtälöt Maxwellin yhtälöistä sekä käsitellään yksinkertaisia tasoaaltojen sirontaongelmia. Luvussa 11 tutkimme Maxwellin yhtälöiden muunnosominaisuuksia koordinaatistosta toiseen siirryttäessä. Osoitamme, että jos vaaditaan, että Maxwellin yhtälöt säilyttävät muotonsa säännöllisissä koordinaattimunnoksissa ja että kentät muuntuvat lineaarisesti näissä muunnoksissa, kyseiset koordinaattimuunnokset ovat välttämättä ns. konformimuunnoksia. Konformimuunnokset sisältävät koordinaattien tietyt ehdot täyttävät lineaariset ja homogeeniset muunnokset, Lorentzin muunnokset. Käsittelemme näitä muunnoksia sekä niihin liittyvää tensoriformalismia seikkaperäisesti. Maxwellin yhtälöt ovat siis muotoinvariannteja konformimuunnoksissa (ks. liitettä C) ja täten erityisesti Lorentzin muunnoksissa. Tämä tarkoittaa, että Maxwellin yhtälöt ovat sopusoinnussa suppean suhteellisuusteorian kanssa. Käymme läpi suppean suhteellisuusteorian peruskäsitteistöä luvussa I l j a osoitamme sitten luvussa 12, että Maxwellin-Lorentzin sähködynamiikka voidaan kirjoittaa Lorentz- eli nelitensorimuotoon niin, että teoria on suhteellisuusperiaatteen mukainen eli että teoria on ilmiselvästi muotoinvariantti suppean suhteellisuusteorian koordinaattimuunnosten eli Lorentzin muunnosten suhteen. Viimeisessä luvussa 13 analysoidaan yleisen aaltoyhtälön ratkaisua sovelluksena pistemäisen liikkuvan varauksen aiheuttama kenttä, erityisesti sen aiheuttama säteilykenttä. Niistä monografioista ja artikkeleista, jotka ovat olleet tämän teoksen lähdemateriaalina, haluamme tässä erityisesti mainita sähködynamiikan klassikot Jacksonin Classical electrodynamics [2] sekä Panofskyn ja Phillipsin Classical electricity and magnetism [3], jotka ovat vakiintuneita oppikirjoja. Kvanttisähködynamiikasta Nobelin palkinnon saaneiden Richard Feynmanin kirjaa The Feynman lectures on physics [4] ja Julian Schwingerin kirjaa Classical electrodynamics [5] suositellaan oheislukemistoksi.

Luku 2 Sähköstatiikan p e r u s t e e t 2.1

Coulombin laki

Sähköstatiikka perustuu Coulombin lakiin (Charles Augustin Coulomb, 1736-1806). Tämä määrittelee sen sähköisen voiman, joka tyhjiössä vaikuttaa kahden toistensa suhteen levossa olevan varatun kappaleen välillä. Coulombin kokeelliset tulokset voidaan lausua seuraavasti, kun varaukset ovat pistemäisiä. Tarkastelemme liikkumattomia varauksia q\ ja pisteissä ri ja r 2 (kuva 2.1). Tällöin varaus q\ vaikuttaa varaukseen q2 voimalla F12 = -p— < M 2 r ^3 ' 47re0 |r 12 |

r

12 = r 2 ~ r i

(2.1)

Verrannollisuuskerroin e0 liittyy käytettyihin yksikköihin. Sl-järjestelmässä (voiman yksikkö N, pituuden yksikkö m ja varauksen yksikkö C) on o Nm 2 « 8,988 - 1 0 9 — 47TC0 C2 1

(2.2)

Vakiota eo sanotaan sähkövakioksi eli tyhjiön permittiivisyydeksi. Kaavan (2.1) mukaan varauksien qx ja q2 välillä vallitsee kaukovaikutus. Tämä kaukovaikutus voidaan korvata kenttäkuvauksella tarkastelemalla varauksen qi aiheuttamaa sähkökenttää E x (r) varauksen qi ympäristössä. Soveltamalla Lorentzin voiman lauseketta (1.5) esillä olevaan staattiseen tilanteeseen saadaan F12 = Q2 Ei(r 2 )

(2.3)

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

6

O

PERUSTEET

2

Kuva 2.1: Kahden pistevarauksen koordinaatit. joten 1

r — ri

(2.4)

3

Coulombin kokeet osoittavat myös, että useiden varausten q^ i = 1,... ,N aiheuttama kenttä on osakenttien summa, N

(2.5) Tämä on lineaarinen

superpositioperiaate.

Laskemalla kaavan (2.5) määrittelemän kentän divergenssi todetaan suoraan (harjoitustehtävä), että V • E = 0,

2.2

i = 1,2,...,

N

(2.6)

Gaussin laki

Johdamme nyt Gaussin lain, Maxwellin ensimmäisen yhtälön (1.1) Coulombin laista. Tätä varten tarvitsemme divergenssilauseen eli Gaussin lauseen, joka on vektorianalyysin kulmakiviä. Divergenssilause Olkoon U(r) koordinaattien r = (x, y, z) vektoriarvoinen funktio, joka on jatkuva ja jolla on jatkuvat ensimmäisen kertaluvun derivaatat, kun r kuuluu tiettyyn umpinaiseen alueeseen V = V U dV, jonka reunapinta dV on riittävän säännöllinen (sileä). Silloin pätee (2.7)

2.2. GAUSSIN

LAKI

7

missä Un(r) on vektorin U(r) komponentti pitkin pinnan dV ulospäin suuntautuvaa yksikkönormaalia n(r) (kuva 2.2) ja f d2a • • • tarkoittaa pinnan dV yli otettua pintaintegraalia. [Huom. vaihtoehtoinen tapa merkitä pintaintegraalia: f dS • U = f dSUn.]

Kuva 2.2: Divergenssilauseen geometria. Tässä emme todista divergenssilausetta, joka on puhtaasti matemaattinen lause. Täydellisyyden vuoksi annetaan kuitenkin todistus liitteessä B.

Tarkastelemme nyt tiettyä sileää pintaa dV, joka sulkee sisäänsä varauksen qi (kuva 2.3). Muodostamme integraalin Ii -.= [ d2a n ( r ) - E i ( r ) Jav

(2.8)

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

8

missä Ej(r) on varauksen

PERUSTEET

aiheuttama kenttä,

Ei(r) = —— 47re0

(2.9)

|r-r,|3

Olkoon Bp Tj-keskinen p-säteinen pallo, jonka reunapintaa merkitään symbolilla dBp (kuva 2.3). Alueessa V \ Bp on kaavan (2.6) perusteella V • E j = 0,

r eV\Bp

(2.10)

Integraaliksi (2.8) saadaan divergenssilauseen perusteella [ d2a n ( r ) - E i ( r ) = [ d2aep- E;(r) JdV J dBp

(2.11)

missä pallopinnalla dBp on r - r ; = pep ja d2a = p2dQ; dQ. on avaruuskulma-alkio (dO sin Qdcp pallokoordinaatteja käyttäen). Silloin f JdB0

d2aep • Ei(r) = - f dQ = ^ 47re0 J4n e0

(2.12)

Tämän seurauksena pätee d2crn(r) • Ej(r) = —

(2.13)

e

JdV

o

missä dV on mielivaltainen (riittävän sileä) pinta, joka sulkee sisäänsä varauksen q^. Seuraavaksi otamme useita varauksia qj, j = 1 ,...,N, jotka kaikki ovat pinnan dV sisäpuolella. Tulos (2.13) pätee jokaisen varauksen qj synnyttämään kenttään Ej, joten f

JdV

d2an(r)-E(r)

= Y

/

j=1

f

JdV

d2o n(r) • E,(r) = i e

o

(2.14) j=1

missä E(r) on kaikkien varauksien qj, j = 1 ,...,N synnyttämä kenttä [vrt. kaavaan (2.5)]. On huomattava, että pinnan dV ulkopuolellakin voi olla varauksia, mutta ne eivät sisälly summaan Yh^r Voidaan osoittaa, että E voi olla kaikkien (siis myös pinnan ulkopuolella olevien) varauksien aiheuttama kenttä. Yhtälö (2.14) on Gaussin laki pistevarausparvelle. Vaikka varaus onkin kvantittunut (ts. kaikki varaukset ovat elektronin varauksen 1,60 • 10 - 1 9 C kokonaislukumonikertoja), voidaan kuitenkin monissa yhteyksissä

2.3. PYÖRTEETTÖMYYS

JA

POTENTIAALI

9

käyttää jatkuvaa ja sileää varausjakaumaa, jonka varaustiheys on p(r) [tai p(r, t)]. Jos pistevarausparvi korvataan tällaisella (riittävän säännöllisellä) varausjakaumalla p(r), summa Y^ Qj 011 korvattava integraalilla: /d3rp(r) Jv

"

(2.15)

Tällöin saadaan yhtälöstä (2.14) [

d2a n(r) • E(r) = [ d 3 rp(r)

JDV

(2.16)

JV

Pistevarauksen kenttä on singulaarinen lähdepisteessä; nämä singulariteetit poistuvat kuitenkin, kun pistevaraukset korvataan (riittävän sileällä) varausjakaumalla p. Kentästä E tulee tällöin sileä paikan funktio, johon divergenssilause pätee. Soveltamalla lausetta kaavaan (2.16) saadaan [ d3r V • E(r) = e — d 3 rp(r) Jv o Jv

(2.17)

Koska integroimisalue V kaavassa (2.17) on mielivaltainen (eräät säännöllisyysehdot täyttävä) alue, täytyy olla voimassa lokaalinen kenttäyhtälö V • E(r) = —p(r)

(2.18)

joka on ensimmäinen Maxwellin yhtälö, Gaussin laki. Formaalinen yhteys pistevarauskuvauksen ja jatkuvan varaustiheyskuvauksen välille saadaan 5-funktiota (distribuutiota) käyttäen. Jos on vain yksi pistemäinen varaus ^ pisteessä r l . sitä esittää varaustiheys p(r) = qz5\r -

ri)

(2.19)

Kun tämä sijoitetaan yhtälöön (2.16), saadaan yhtälö (2.13). Vastaavasti pistemäisten varausten qj muodostama parvi voidaan kuvata tiheydellä P(r) = J > , 5 3 ( r - r j ) j

2.3

(2.20)

P y ö r t e e t t ö m y y s ja potentiaali

Pistevarausparven aiheuttama kenttä on kaavan (2.5) mukainen. Kaavan ilmeinen yleistys jatkuvan varaustiheyden tapaukseen on

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

10

PERUSTEET

(huom. kenttäpiste r, lähdepiste r'). Integroimisalueena V kaavassa (2.21) on se alue, jossa p(r') / 0. On selvää, että kaava (2.21) määrittelee kentän E(r) sileänä paikan r funktiona ainakin silloin, kun r ^ V. Jos r G V, niin integroitavalla on singulariteetti pisteessä r' = r integraalissa (2.21). Voidaan osoittaa, että integraali (2.21) suppenee ja määrittelee kentän E(r) sileänä paikan funktiona myös silloin, kun r G V, jos p(r) on riittävän säännöllinen. Tarvittavat suppenemistarkastelut kuuluvat matemaattisen potentiaaliteorian piiriin emmekä puutu niihin lähemmin tässä yhteydessä. Oivallinen klassinen viite on lähdeluettelossa mainittu Kelloggin kirja Foundations of potential theory [6]. Nykyaikainen suositeltava viite on S. G. Mikhklin: Mathematical physics, an advanced course [7]. Voidaan suoraan todeta, että r - r' 1 — i- = - V — — |r — r'| |r — r'|

(2.22) V

missä nabla-operaattori V tarkoittaa derivointia r:n suhteen (V = id/dx+ jd/dy + kd/dz karteesisin koordinaatein x,y,z). Sijoittamalla tulos (2.22) kaavaan (2.21) ja siirtämällä operaattori V integraalin ulkopuolelle (luvallista, koska V operoi r:ään) saadaan E (f) - - V ( —

[

\47T6O J

Kaava (2.23) määrittelee

|i" — r | /

(2.23)

skalaaripotentiaalin

ja E(r) = —V(r) (2.25) Koska gradienttikentän roottori häviää identtisesti (V x Vip = 0 kaikilla säännöllisillä funktioilla ip), kaavasta (2.25) seuraa, että sähköstaattinen kenttä E(r) on pyörteetön, V x E(r) = 0. (2.26) Edellä määritellyllä skalaaripotentiaalilla (r) on fysikaalinen tulkinta: potentiaali kuvaa sitä työtä, joka tehdään, kun yksikkövaraus siirretään paikasta r^ paikkaan r^ sähköstaattisessa kentässä E(r). Tämän näemme seuraavasti.

;

2.4. SÄHKÖSTATIIKAN

POTENTIAALIONGELMA

11

Lorentzin voiman lausekkeen mukaan kentässä E olevaan testivaraukseen q kohdistuu voima F(r) = gE(r) (2.27) joten kenttää vastaan suoritettava työ siirrettäessä testivarausta r i i s t a r#:hen on (huom. miinusmerkki) WA.+B = ~Q [ JrA

B

dv E(r) = +q f * dr • V0(r) = +q[<j>(rB) - (rA)] JrA (2.28)

Suure q
(2.57)

Jos reunaehto (2.53) on voimassa, vakio (2.57) on täsmälleen nolla, siis 4>i = (f)2 Dirchlet'n reunaehdon tapauksessa, ts. ratkaisu 0 on yksikäsitteinen. Jos taas reunaehto (2.54) on voimassa, on tuloksen (2.57) perusteella fa = (j)2 + vakio

(2.58)

siis ratkaisu / on vakiota vaille yksikäsitteisesti määritetty Neumannin reunaehdoin. Yksikäsitteisyyslause on näin todistettu. Huomautus. Dirichlefn reunaehtofunktio / kaavassa (2.47) voidaan antaa riippumatta yhtälön (2.46) varaustiheydestä p(r). Sen sijaan Neumannin reunaehtofunktio h ei ole riippumaton p:sta. Integroimalla yhtälö (2.46) divergenssilausetta käyttäen saadaan nimittäin - -e / d 3 r p ( r ) = [ d 3 r V - ( V 0 ) = [ d2adn(f) 0 Jv Jv JdV

(2.59)

eli f

d2a h — —~

e

/ d3rp(v)

(2.60)

JdV o Jv Ehto (2.60) on siten välttämätön ehto sille, että Neumannin reuna-arvoongelmalla on ratkaisu.

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

18

PERUSTEET

Seuraavassa osoitamme, miten Poissonin yhtälön ratkaisu konstruoidaan Dirchlefn tai Neumannin reunaehdoilla. Tarvitsemme kaksi Greenin kaavaa lisää. Ensimmäinen niistä (Green II) on seuraava: [ d3r («V 2 « Jv

V\72U)

= [

d2a (udnv - vdnu)

(2.61)

JDV

Kaava (2.61) seuraa Green I:stä vaihtamalla u ja v sekä vähentämällä saatu tulos alkuperäisestä kaavasta (2.49). Kolmas Greenin kaava (Green III) saadaan soveltamalla Green II:ta tapaukseen (r 0 G V on kiinteä) ^( r 0i r ) = t—~—r > r GV Fo - r l

(2.62)

Muodollisesti on [vrt. yht. (2.31)] V2i>(r0, r) - -47r5 3 (r 0 - r)

(2.63)

Kaavan (2.62) funktio v ei ole kahdesti jatkuvasti differentioituva y:ssä, sillä funktio v on singulaarinen pisteessä r = r 0 . Tarkkaan ottaen emme siis voi soveltaa kaavaa (2.61) tässä tapauksessa. Sijoittamalla lausekkeet (2.62) ja (2.63) Green II:een (2.61) saadaan kuitenkin oikea tulos, Greenin kolmas kaava (Green III): u(r0)

=

~

f d3r -—-—r V 2 w(r) 4tt Jv r0 - r iv

+ — f d2o t — 1 — r d n u ( r ) - (dn-—1—T 47T 'av Fo - r V Fo -

r

) u(r) (2.64)

Täydellisyyden vuoksi esitämme myös Green III:n klassisen todistuksen; yllä päädyimme kaavaan varsin muodollisella tavalla. Olkoon Be(ro) e-säteinen r 0 -keskinen pallo. Koska r 0 on V:n sisäpiste, kaikki alueen Be(r0) pisteet kuuluvat V:hen, kun e on riittävän pieni, ts. Be{r0) C V

(2.65)

Tarkastelemme aluetta Ve, missä Ve = V\Be(

r0)

(2.66)

Merkitään pallopinnan dBe(r0) yksikkönormaalia eo r :lla. Täten —e0r on alueen V6 ulkonormaali pinnalla dBe(r0) (kuva 2.6).

2.6. POTENTIAALITEORIAN

REUNA-ARVO-ONGELMAT

19

n

Alueessa Ve on kaavan (2.62) määrittelemä funktio v(ro, r) harmoninen r:n funktio, V 2 f ( r 0 , r) = 0 ,

rey£

(2.67)

Olkoon u mielivaltainen alueessa V määritelty jatkuva ja kahdesti jatkuvasti differentioituva funktio. Tällöin Green II pätee alueessa Ve funktiopariin u, v: d3r 'vc

1

— V 2, u(r) = / d2a Fo - r 'av.

1

-finu{v) Fo - r

- ( 8n-

) u(r) ro - r

(2.68) Pintaintegraali voidaan edelleen kirjoittaa reunapintojen dV ja dBe yli otettujen integraalien summana, d2a

u{ r) o - r| 1 1 da rdnu(r) - °JdBe \dp\r0-r\J

u(r) = — lim f dflu( r 0 4- ee 0r ) = —4nu(r0) e—>o J (2.74)

Kaavan (2.68) raja-arvo, kun e —» 0, on siis u(r 0 )

=

jrd03 —i—V - r| 2«(r) r 1 1 p [ d2a 47r 'av r0 - r 47T 'V JV f

fr, 1 "\ [dn-, r — r - U r V o L/ (2.75)

Green III on täten todistettu. Greenin kolmas kaava ei sovellu aivan suoraan Poissonin yhtälöön (2.46), sillä siinä esiintyy sekä dNU\QV että u\gy, ja yksikäsitteisyyslauseen perusteella tiedämme, että vain jompikumpi näistä reuna-arvoista voidaan antaa dV:llä. Green III:sta voidaan kuitenkin kehittää integraaliesitys, joka suoraan antaa Poissonin yhtälön ratkaisun, kuten seuraavassa osoitamme. Olkoon F (ro, r) alueessa V määritelty mielivaltainen harmoninen funktio, V 2 F ( r o , r ) = 0,

rG^,

r0 G V

(2.76)

Green II [yht. (2.61)] sovellettuna funktiopariin u, F johtaa silloin seuraavaan tulokseen: 0 = - f dzv F(r0, r) V 2 u(r) + f JV

JdV

d2a{F(r0, r ) c U ( r ) - [dnF(r0, r)]u(r)} (2.77)

2.6. POTENTIAALITEORIAN

21

REUNA-ARVO-ONGELMAT

Merkitään G(RO,

R

) := T—-—R

+ F (RO, r) (2.78) Fo — r| Laskemalla yhteen kaavat (2.75) ja (2.77) kerrottuna l/47r:llä saadaan siten

u(r0)

[ d3r G(r0, r) V 2 it(r) 4vr Jv

=

+J_ f d2a{G(r0,r)dnu(r)-[dnG(r0,r)}u(r)} 4vr J a v

(2.79)

Funktiota G(r 0 ,r) sanotaan Greenin funktioksi. Valitsemalla yllä esiintyvä harmoninen funktio F(r0,r) sopivasti saadaan kaavasta (2.79) Poissonin yhtälön (2.46) ratkaisun integraaliesitys erilaisilla reunaehdoilla. A. Dirichlefn

reunaehdot

Valitsemalla F(r0,r)

= FD(r0,v)

(2.80)

missä F:ssä harmoniselle funktiolle FD asetetaan reunaehdoksi 9V:llä 1 FD(

r 0 ,r) +

= 0

r0-r

(2.81)

redV

ja merkitsemällä vastaavasti GD(

r 0 ,r) =

-R-^—R

Fo — r|

+ FD(r0,r)

(2.82)

saadaan seuraava integraaliesitys kaavasta (2.79): u(r0) = - j - [ 4TT Jv

rf3rGfl(r0!r)V2u(r)-|

f 47T Jgv

d2a[dnGD(r0,r)]u(r) (2.83)

Integraaliesitys (2.83) soveltuu Poissonin yhtälön ratkaisemiseen Dirichlefn reunaehdoilla, V 2 0(r) = - - p ( r ) ,

r G

y.

\dv = f(x),

r G dV

(2.84)

Tämä ratkaisu saadaan muodollisesti kaavasta (2.83), u(r 0 ) = - ^ - f d3rGD(r0,r)p(r)-±47Te0 JV

[

47T JQV

d2a[dnGD(r0,r)]f(r)

(2.85)

LUKU 2. SÄHKÖSTATIIKAN

22

PERUSTEET

Kysymys siitä, onko Dirichlefn ongelmalla ratkaisu, palautuu siis kysymykseen, voidaanko konstruoida V:ssa harmoninen funktio FD{r0,r), joka alueen reunalla dV toteuttaa reunaehdon (2.81), sekä siihen, mitkä säännöllisyysehdot on asetettava annetuille funktioille p(r) ja / ( r ) . Matemaattisessa potentiaaliteoriassa, esimerkiksi teoksissa [6] ja [7] sekä myös klassikoissa [8], [9] ja [10], tällaisia kysymyksiä käsitellään yksityiskohtaisesti. Greenin funktio GD{ro,r) toteuttaa siis (muodollisesti) differentiaaliyhtälön V2GD(r0,r) = - 4 7 r 5 3 ( r 0 - r ) (2.86) sekä reunaehdon 0,

r0eV

(2.87)

Voidaan osoittaa, että G ö ( r 0 , r ) on symmetrinen, GD(r0,r)

= GD(r,r0)

(2.88)

Palaamme tähän todistukseen Neumannin reuna-arvotehtävän tarkastelun jälkeen. B. Neumannin

reunaehdot

Ensin todetaan^ että olipa F ( r 0 , r ) mikä tahansa harmoninen funktio yleisessä Greenin funktion lausekkeessa (2.78), on F:n harmonisuuden ja Gaussin lain perusteella [ks. yht. (2.13) ja (2.22)] - [ d2a dnG{r0, r) = 4tt , Jav

r0 G V

(2.89)

Tämän vuoksi ei ole mahdollista valita funktiota F(r0, r) Neumannin tapauksessa siten, että dnG^{r0,r) häviää reunalla dV, missä Gn(T0,

r) = — ! — ^ + FN(T0, lro ~ r l

r)

(2.90)

Sen sijaan voidaan kiinnittää funktio Fjv(r 0 ,r) reunalla dV vaatimalla, että dnGN(v0,v)\redv = C (2.91) missä C on sopiva vakio. Kaavasta (2.89), joka pätee erityisesti myös GV:ään, seuraa silloin, että - 4 t t = f d2aC Jav

= SC

(2.92)

2.6. POTENTIAALITEORIAN

REUNA-ARVO-ONGELMAT

missä S on pinnan dV ala. Funktio FN(r0,r) ehdosta

määräytyy siis pinnalla dV 47T

dn~,

23

(2.93)

—7 + dnFN( r 0 , r) rf=/5V

Kysymys Neumannin ongelman ratkeavuudesta palautuu siis kysymykseen, voidaanko konstruoida alueessa V harmoninen funktio FN(T0, r), joka reunalla dV toteuttaa ehdon (2.93). Tällä ongelmalla on additiivista vakiota vaille määrätty ratkaisu, kun V ja sen reuna dV on sopivasti rajoitettu säännöllisyysehdoilla. Sijoittamalla ehtojen (2.90) ja (2.93) määrittämä Greenin funktio GN(?o,r) integraaliesitykseen (2.79) saadaan u(r 0 )

=

~

[ 4vr Jv

rf3rGw(r„,r)V2ti(r)

f d2aGN(T0,T)dnu(v) 47T JdV

+ l f d2au{r) S Jqv

(2.94)

Viimeinen termi on vakio, nimittäin u:n keskiarvo pinnalla dV. Soveltamalla integraaliesitystä (2.94) Poissonin yhtälöön Neumannin reunaehdoilla, V2{v)\r=R

reaBÄ

(3.42)

Yhtälöistä (3.39) ja (3.40) saamme potentiaaliksi

=

^ i f

fdBR

d2a

'(R2-2Rrl*sL

+

r2y/2

^

Kaava (3.43) on Poiäsonin kaava alueessa BR harmoniselle funktiolle 4>(r), joka saa alueen reunalla dBR annetut arvot / ( r ) .

Kuva 3.2: Paikkavektorien r ja r' välinen kulma wrr>.

3.4. PALLON GREENIN FUNKTIO

3.4

GN

41

Pallon Greenin funktio G n

Edellisessä kappaleessa totesimme, että [vrt. yht. (3.40)] 8r,GD(r,r%,=R

= -

M R2

-r2' |r_r>|3

(3.44) r'=R

Toisaalta suoraan laskemalla nähdään, että ' R2 — r2' |r — r'| 3 r'=R

1 d 1 - 2R |r — r'| dr' !r — r' J r'—R

(3.45)

Edelleen pätee

- r'|

r'y/l - 2 (r/r') cosw rr / +

(3.46)

(r/r'f

Legendren polynomien generoivan funktion (3.24) mukaan, kun r' > r, saamme 00 i1 i v—r (3.47) r —r 1=0

Sijoittamalla kaava (3.47) sekä sen derivaatta r'\n suhteen arvolla r' — R kaavaan (3.45) saadaan 1 R2-r2 = £ ( 2 n + l)^Pn(coswrr0 R |r — r'| 3 r'=R —o n

(3.48)

Olemme siis päätyneet seuraavaan sarjakehitelmään: dr,GD(r,r')\r,=R

^ OO = __^(2n+l) n=0

n

Pn(cosu>rrn n=0

r i r + 1) — L ^

1/2

dQ'Pn(cosurr,)RlYlm(d',ip')

r

Nn

r) (3.51)

LUKU 3. POTENTIAALITEORIAN

42

SOVELLUKSIA

Kaava (3.51) on voimassa jokaisella r:n arvoilla 0 < r < R. Tästä seuraa, että kaavan (3.51) molemmilla puolilla täytyy esiintyä sama r:n potenssi, ts. on oltava j dVL'Pn{cosurT,)Ylrn(9',y')

l^n

(3.52)

Jf dV Pl{cosurt,)Ylm{0'47r , = maks.(r, r') ja r< = min(r, r') saadaan kaavojen (3.47) ja (3.56) avulla, kun r' ^ r, .

oo

;

= ^ E E 1=0 m=-l

i

i >

V)

(3-57)

3.5. SÄHKÖISET

MULTIPOLIPOTENTIAALIT

43

Tätä kaavaa (3.57) käytetään runsaasti myöhemmin. Tähän asti esitettyjen, funktioita Yjm koskevien tietojen avulla voidaan konstruoida pallon Greenin funktion Gjv(r, r') eksplisiittinen lauseke. Käyttämällä sarjakehitelmää (3.57) ei ole vaikeata ratkaista pallon reuna-arvo-ongelmaa (2.93), joka määrittää Neumannin Greenin funktion GN. Laskujen jälkeen päädytään seuraavaan tulokseen: =

1 1 1 17-^71+ Rö y/l — 2h COS u> i + h2 rr

1 ,

R

(1 — h cos UJttI + \Jl — 2/icosw r r / + h2

lf)ff log I

(3.58) missä

rr' h = -

,

(3.59)

v Tämä luku on tähän asti keskittynyt fysikaalisissa sovelluksissa tarvittavan "käyttömatematiikan" esittämiseen. Seuraavassa annamme useita esimerkkejä tällaisista sovelluksista.

3.5

Sähköiset multipolipotentiaalit

Tarkastellaan varausjakaumaa, jonka tiheys p on nollasta poikkeava ainoastaan äärellisellä alueella, esim. i?-säteisen origokeskisen pallon sisällä, p(r) = 0 ,

|r| > R

(3.60)

Kun varausjakautuman potentiaalille 4> asetetaan luonnollisena ehtona potentiaalin häviäminen äärettömyydessä, kaava (2.24) antaa suoraan r) = - i - f

Jr, ^ L

(3.97)

Lauseke on analoginen yhtälön (2.24):n kanssa. Johdekappaleen pintavaraustiheys on yleisesti verrannollinen kokonaispotentiaalin 4> normaaliderivaattaan dn(j) pinnalla S. Tässä emme todista tätä yleisesti vaan rajoitumme tarkastelemaan esimerkkitapaustamme, jossa pinta S on .R-säteisen pallon pinta. Olkoon kenttäpiste r pallopinnan |r'| = R ulkopuolella (r > R). Kehitelmästä (3.57) ja kaavasta (3.97 saadaan tällöin i+i Är^ 1 1 dQ! a(9', (p')Yj*m{Q', (p ) ^o lm , 21 + 1 (3.98) Potentiaali <j>a{v) on juuri kaavassa (3.93) esiintyvä "häiriötermi", ts.

f)

E

E R3 ' ° cos 9 r2 Vertaamalla lausekkeita (3.98) ja (3.99) saadaan

(3.99)

d£l' a(9', ip')YCn(ff, y') = V l ^ i ^ o ^ o

(3.100)

eli (p) = 3e0E0 cos 9 =

dr

(3.101) r=R

Pintavaraus on siis — cq kertaa potentiaalin 0 (huom. ei c/)a) normaaliderivaatta pinnalla. Palaamme yleisemmin tähän tulokseen seuraavassa luvussa. Pintavarauspotentiaali (3.99) on puhdas dipolipotentiaali. Vertaamalla kaavan (3.99) potentiaalia <j)ff origossa sijaitsevan (r 0 = 0) dipolin p aiheuttamaan potentiaaliin (3.76) päättelemme, että pintavaraukset antavat johdepallolle dipolimomentin p = 47re0£o-R3e2 Johdepallo polaroituu ulkoisen kentän vaikutuksesta.

(3.102)

Luku 4 Sähköstatiikka väliaineessa 4.1

Aineen dipolirakenne

i

Tähän asti olemme käsitelleet vapaiden varauksien synnyttämiä kenttiä E. Olemme todenneet, että jos varaukset korvataan varausjakaumalla tiheydeltään p, voidaan edelleen määritellä kenttä E varausjakauman sisällä (missä p ^ 0). Tämä tarkoittaa, että kenttä E sellaisen "aineen" sisällä, joka koostuu vapaista varauksista, ei ole olennaisesti toisenlainen kuin aineen ulkopuolella. Tiedämme kuitenkin, että aineen rakenne ei ole näin yksinkertainen. Aineella on atomaarinen tai molekylaarinen rakenne. Atomi koostuu positiivisesti varautuneesta keskuksesta, atomin ytimestä, joka sisältää suurimman osan atomin massasta, sekä ydintä ympäröivästä elektroniverhosta. Elektroni verhon massa on pieni verrattuna ytimen massaan ja sen varausjakauma yleensä neutraloi ytimen varauksen. Mikroskooppiselta kannalta tällaisen atomin sähkövaraus on "vapaata varausta", joka aiheuttaa sähkökentän. Toisaalta makroskooppiselta kannalta emme voi käsitellä sähkökenttiä, jotka ovat atomien sisällä olevien yksittäisvarausten aiheuttamia. Siksi ajatellaan, että mitattavat sähkökentät ovat tasoitettuja kenttiä, jotka aiheutuvat atomien tai molekyylien keskimääräisistä sähköisistä ominaisuuksista. Makroskooppiselta kannalta atomi on olennaisesti sähköisesti neutraali; atomin varaukset eivät ole vapaita varauksia, vaan ne ovat sidoksissa toisiinsa. Nämä sidotut varaukset voivat kuitenkin vaikuttaa sähkökenttään, sillä voidaan ajatella, että atomit muodostavat alkeisdipoleja (esim.

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

52

atomin deformoituessa ulkoisten kenttien vaikutuksesta), jotka on otettava huomioon aineessa esiintyvien kenttien kuvauksessa. On myös molekyylejä, jotka (makroskooppiselta kannalta) muodostavat dipoleja ilman ulkoisten kenttien vaikutusta (esim. HC1). Näiden dipolien suunnat ovat normaalioloissa satunnaisesti jakautuneita, mutta ne orientoituvat ulkoisen kentän vaikutuksesta ja vaikuttavat siten kenttään aineessa. Aineen dipolirakenne voidaan myös ymmärtää kappaleessa 3.5 esitetyn multipolikehitelmän mielessä likimääräisenä kuvauksena aineen sähköisistä ominaisuuksista. Makroskooppisessa mittakaavassa riittää ottaa huomioon vain atomien (molekyylien) varausjakaumien ensimmäiset momentit eli juuri dipolimomentit; tarkemmassa kuvauksessa tulevat sitten korkeammat momentit (kvadrupoli jne.) mukaan. Esimerkiksi Jacksonin klassista elektrodynamiikkaa käsittelevän kirjan [2] luvussa 4, erityisesti kappaleessa 4.5, on analysoitu väliaineessa vallitsevat makro-ja mikroskooppiset kentät klassisen molekyylimallin avulla, ts. ilman kvanttimekaniikkaa. Seuraavassa käsiteltävissä yksinkertaisissa tapauksissa otetaan huomioon vain alkeisdipolit väliaineessa. Oletamme, että väliaineet voidaan riittävän tarkasti kuvata alkeisdipoleja (tai dipolimomenttitiheyttä) käyttäen. Lisäksi voi aineessa esiintyä vapaita varauksia, ts. varauksia, jotka voidaan johtaa pois.

4.1.1

S ä h k ö p o l a r o i t u m a P j a sähkövuon tiheys D

Sähkökentän lähteinä olkoot vapaat varaukset q.t ja dipolit pj. Potentiaali on tällöin

Ä r ) w

47re0^r-rJ i

+

4 7re0 ^ 3

r - r; 3

(4.D

Ensimmäinen termi kaavassa (4.1) on paikoissa vl sijaitsevien vapaiden pistevarauksien ql aiheuttama potentiaali ja toinen [vrt. yht. (3.76)] on pisteissä r j sijaitsevien dipolien p j aiheuttama potentiaali. Yleistämme nyt lausekkeen (4.1) koskemaan jatkuvaa tapausta. Olkoon siis p(r) varaustiheys siten, että (4.2)

4.1. AINEEN

DIPOLIRAKENNE

53

Vastaavasti olkoon P ( r ) dipolimomenttitiheys siten, että

E

Pj • l r [r — r,-|3

/ d r

,P(r')-(r-r') r — r'13

(4.3)

Dipolimomenttitiheys, kenttä P ( r ) tunnetaan myös sähköpolaroitumana. Sen laatu on C/m 2 . Sähköpolaroituma voi olla osittain tai kokonaan ulkoisen kentän aiheuttama. Jatkuvasti jakautuneen varauksen ja dipolimomentin tapauksessa yhtälö (4.1) saa muodon ( i

47ren

dV

^ + r — r'

47re(

d3r'

P(r') • ( r - r ' ) |r — r'| 3

(4.4)

Sijoitamme tähän identtisyyden (huom. derivointi lähdepisteen r' suhteen) , r

- r = V'- 1 '13 r — r'| r —r

(4.5)

ja saamme r

=

47ren

d3 r'

^ U p M - V ' r — r'

1

r — r

(4.6)

Huomautettakoon vielä, että integrointi kaavoissa (4.4) ja (4.6) on lähdealueen V yli, missä (4.7) Käyttämällä Greenin III:n kaavan (2.75) yhteydessä sovellettua rajaarvomenetelmää voidaan kaavan (4.6) viimeinen termi integroida osittain. Tulos on «Kr) = - i - [ d V — [ p ( r ' ) - V' • P(r')] + f dS'p^~ (4.8) 4tte0Jv |r — r'| 4tte0 JdV |r - r'| missä Pn on sähköpolaroituman P normaalikomponentti integroimisalueen rajapinnalla dV. Kaavan (4.8) viimeinen termi on pintavaraustiheyden a := Pn aiheuttama potentiaali. Jos tämä reunaefekti voidaan jättää huomiotta (ts. jos Pn häviää reunalla), on potentiaali (4.8) juuri se, jonka efektiivinen varaustiheys pef aiheuttaa, Pef(r) : = p ( r ) - V • P ( r ) : = p ( r ) + pP(r)

(4.9)

54

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

Kaava (4.9) määrittelee polarisaatiovarauksen - V • P.

avaruustiheydeksi

pP =

Sähkökenttä E on edelleen potentiaalin negatiivinen gradientti, E(r) - — V(r)

(4.10)

Tähän kenttään pätee Gaussin laki muodossa V • E(r) = e— Pef(r) = e — [p(r) - V • P(r)] 0 0

(4.11)

Kaavan (4.11) avulla voidaan määritellä uusi, väliaineeseen liittyvä sähkökenttä D(r), jota kutsutaan sähkövuon tiheydeksi. Kenttä D on D(r) :=e 0 E(r) + P(r)

(4.12)

Kaavan (4.11) mukaan kentän D lähteinä ovat vain vapaat varaukset, V • D(r) = p(r)

(4.13)

Tämä yhtälö on vapaita varauksia koskeva Gaussin laki. Ennen kuin väliaineen sähköstaattisia ongelmia voidaan ratkaista, tarvitaan vielä ns. rakenneyhtälö, joka kuvaa sähköpolaroituman P riippuvuuden polaroivasta kehtästä. Tämä riippuvuus lausutaan tavallisesti kokonaiskentän E avulla, P = P(E)

(4.14)

Usein rakenneyhtälö (4.14) on riittävän tarkasti lineaarinen, P(r) :=xe 0 E(r)

(4.15)

Suure x, joka ns. yksinkertaisissa aineissa on vakio, on nimeltään sähköinen suskeptiivisuus. Jos yksinkertainen lineaarinen rakenneyhtälö (4.15) on voimassa, saadaan vastaavanlainen rakenneyhtälö sähkövuon tiheyden D ja kokonaiskentän E välille, D(r) = (1 + x)eoE(r) := «e 0 E(r) := eE(r)

(4.16)

Suure K on suhteellinen permittiivisyys ja e on absoluuttinen permittiivisyys. Permittiivisyydestä on käytetty myös nimeä dielektrisyyskerroin. Aineen eristeominaisuudet (vakiot x, riippuvat yleensä jossakin määrin aineen termodynaamisista muuttujista, kuten paineesta ja lämpötilasta.

4.2. VALIAINEEN

POTENTIAALIONGELMA

55

Taulukko 4.1: Eri aineiden suhteelliset permittiivisyydet K normaaliolosuhteissa Aine

K,

ilma petroli lasi etyylialkoholi vesi

1,0006 2,2 5-16 26 81

Yllä olemme käsitelleet yksinkertaisia aineita, joissa vektorisuureet E , P ja D ovat yhdensuuntaiset. Epäisotrooppisissa aineissa (esim. kiteissä) tämä ei pidä paikkaansa. Silloinkin riippuvuus on yleensä riittävän tarkasti lineaarinen, ACr) = £ e ^ - ( r ) ' (4.17) i Kertoimet e t j muodostavat ns. permittiivisyystensorin (eli dielektrisyystensorin). Vielä yleisemmin D:n ja E:n välinen riippuvuus voi olla epälineaarinen (E:n korkeampia potensseja) tai epälokaalinen sekä ajallisesti että paikallisesti, A(

T,t)

Ej

dt' / d r' dj(r - r', t - t')Ej{r', t')

(4.18)

Seuraavassa rajoitamme tarkastelun ainoastaan tapauksiin (4.16) ja (4.17). Aineen eristeominaisuudet riippuvat ainoastaan permittiivisyyden arvosta; ideaalijohde on muodollisesti rajatapaus e —> oo.

4.2

Väliaineen potentiaaliongelma

Olemme päätyneet seuraaviin, väliaineessa päteviin sähköstatiikan perusyhtälöihin: VxE = 0 (4.19) joten E = -V(p

(4.20)

V-D = p

(4.21)

sekä

56

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

missä

(4.22)

D = e0E + P

Jotta yhtälöt (4.19-(4.22) muodostaisivat suljetun järjestelmän, tarvitaan vielä rakenneyhtälö P:n ja E:n välille tai vaihtoehtoisesti E:n ja D:n välille. Rakenneyhtälöksi kelpaa useimmiten yksinkertainen lineaarinen relaatio (4.16), D = eE (4.23) Väliaineen potentiaaliongelmalla tarkoitetaan potentiaalin 4> määrittämistä yhtälöistä (4.19)—(4.21) ja rakenneyhtälöstä (4.23), missä varaustiheyttä p ja permittiivisyyttä e pidetään tunnettuina suureina. Potentiaaliongelmalle voidaan asettaa reunaehtoja pinnoilla, jotka ovat osittain tai kokonaan eristeaineen sisä- tai ulkopuolella. Sen lisäksi on otettava huomioon ne reunaehdot, jotka ovat voimassa eristeiden rajapinnoilla.

4.2.1

E:n j a D:n r e u n a e h d o t rajapinnoilla

Johdamme nyt eristeen ja tyhjiön välisellä rajapinnalla (kuva 4.1) vallitsevat kenttien reunaehdot. Tarkastelemme ensin D-vektoria aineen 1 ja tyhjiön rajapinnassa. Merkitsemme D-vektoria aineessa 1 Didlä ja tyhjiössä D 0 :lla. Piirrämme pienen sylinterinmuotoisen "pillerirasian" rajapintaan, siten että sylinterin akseli on pinnan normaalin suuntainen (kuva 4.2).

tyhjiö

Kuva 4.1: Eristeen ja tyhjiön välinen rajapinta. Olkoon pillerirasian pohjapinta-ala A S ja korkeus 2A h. Soveltamalla divergenssilausetta (2.7) kaavaan (4.21) saadaan A S n • (D 0 - Di) + O (Ah) = f Jrasia

d3 r p( r)

(4.24)

4.2. VALIAINEEN

POTENTIAALIONGELMA

57

missä nyt D 0 :lla ja Di:llä tarkoitetaan kenttien D 0 ja Di raja-arvoja pinnalla ja O (Ah) on jäännöstermi, joka häviää kun Ah —> 0. Yhtälön (4.24) oikea puoli on pillerirasian sisällä oleva vapaa varaus. Kun Ah —> 0, tämä vapaa varaus on joko 0 tai a AS, missä a on (idealisoitu) pintavaraustiheys. Rajalla Ah —> 0 saadaan siis reunaehto n • (D 0 — Di) = a

(4.25)

Jos ei ole vapaita pintavarauksia, on a = 0. D-kentän reunaehto rajapinnalla on siis seuraava: D-kentän normaalikomponentti on jatkuva väliaineen ja tyhjiön välisessä rajapinnassa, jos rajapinnalla ei ole vapaita pintavarauksia, tai D-kentän normaalikomponentti on vapaan pintavaraustiheyden a verran epäjatkuva rajapinnassa. On selvää, että rajapinnan toisella puolella olevan tyhjiön voi korvata toinen aine. Reunaehto (4.25) pätee siis myös kahden eri väliaineen rajapinnassa.

Kuva 4.3: Suorakulmio rajapinnassa. Sähkökentän E reunaehto voidaan vastaavasti johtaa seuraavasti. Tarkastelemme rajapintaan upotettua pientä suorakaidetta, joka on kohtisuo-

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

58

rassa pintaa vastaan (kuva 4.3). Sovellamme nyt Stokesin lausetta (ks. liitettä B) sähkökenttään E, [ dS • V x E = [ JS

dl-E

(4.26)

JdS

Pyörteettömyysehdon (4.19) perusteella saadaan suoraan kuvan 4.3 osoittamassa tapauksessa, kun suorakulmion korkeus Ah —> 0, AI • (Ei - E 0 ) = 0

(4.27)

missä AI on mielivaltainen pinnassa oleva (ts. pinnan tangentin suuntainen) infinitesimaalinen vektori. Vaihtoehtoisesti tämä reunaehto voidaan ilmaista yhtälöllä [vrt. yht. (7.24)] nx(Eo-E1) = 0

(4.28)

E-kentän tangenttikomponentti on n x (E x n). E-kentän reunaehto rajapinnassa on siis seuraava: sähkökentän E tangenttikomponentit ovat jatkuvia rajapinnassa. Tämä reunaehto pätee myös sellaisenaan kahden eri väliaineen rajapinnassa. Yllä olemme johtaneet E- ja D-kenttien reunaehdot väliaineen rajapinnoissa vain staattisessa tapauksessa. Osoittautuu, että samat reunaehdot pätevät myös ei-staattisessa tapauksessa, kenttien E ja D kenttäyhtälöiden (Maxwellin yhtälöiden) perusteella.

4.3

Eristepallo vakiokentässä

Olkoon i?-säteinen homogeeninen eristepallo (vakio e) ulkoisessa, z-akselin suuntaisessa vakiokentässä E 0 (kuva 4.4). Oletamme, että pallon sisällä ei ole vapaita varauksia. Järjestelmän kenttäyhtälöt ovat silloin [vrt. yht. (4.19)—(4.21)] E = -\7(j)

(4.29)

V •D = 0

(4.30)

D = eE,

|r| < R

(4.31)

D = e 0 E,

|r| > R

(4.32)

Koska alueessa R < |r| < oo ei ole varauksia, pätee tässä ulkoalueessa ( = u)

V2u = 0

(4.33)

4.3. ERISTEPALLO

VAKIOKENTÄSSÄ

59

Kuva 4.4: Tyhjiössä oleva i?-säteinen eristepallo ulkoisessa vakiokentässä Eq.

Samoin sisäalueessa |r| < R (0 = <j>s) pätee V2^ = 0

(4.34)

Tilanteen aksiaalisymmetrian vuoksi potentiaali ei voi riippua kulmasta 99 (vrt. kappaleen 3.7 johdepallolaskuun). Tällöin harmonisten funktioiden s(r,6) = Y/ArlPi( 1 (j>u{r,e)

= YJ(Blrl

+

cos 6) Clr-l-l)Pl{cos9)

(4.35)

(4.36)

Vakiokenttää EqQz vastaava potentiaali (po on [Pi(cos#) = cosö] Mr,0)

= -E0z

= -E0rP1(cos9)

(4.37)

Vaatimalla taas luonnollisena ehtona, että potentiaali (f>u yhtyy 0:aan suurilla r: n arvoilla, saadaan Bi = —5nE0

(4.38)

Muut kertoimet Ai ja Ci määritetään rajapinnan reunaehdoista. Nämä ovat [vrt. yht. (4.25), (4.27)] lim [E0{R -h,9)-

Eg(R + h, 9)} = 0

(4.39)

lim [Dr{R -h,9)-

Dr(R + h, 9)} = 0

(4.40)

/1-+0

h—fO

eli Rd9^s

r=R

Rd99u

(4.41) r=R

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

60

d dr

9 A -eo -^-(Pu or r—R

s r=R

(4.42)

Sijoittamalla sarjat (4.35) ja (4.36) ehtoon (4.42) saadaan + l)ClR-2l~\

elAi=-eQ(l eA1 = -e0(E0

l+ l 3

+ 2Cii?- )

(4.43) (4.44)

Vastaavasti saadaan ehdosta (4.41) l+ l At = QR-21'1 At = -E0 + Cii?"3

(4.45) (4.46)

Yhtälöiden (4.43)-(4.44) sekä (4.45)-(4.46) ratkaisut ovat At = Ct = 0,

l+ l

Al =

e + 2e0 e- e0 Et]R Ci = e + 2e0 (4.47)

Potentiaali on siis 3en -E0r cos 9 e + 2e( e — e0 E0R3 cos 9 r 4>u( > 0) = ~E0r cos 9 + e + 2e0 r2 Mr, e) =

(4.48) Toisin kuin johdepallon tapauksessa (kappale 3.7) on pallon sisällä nyt vakiokenttä E s , joka on ^-akselin suuntainen. Kaavasta (4.48) seuraa, että |E,| =

~—Eq e + 2e,o

(4.49)

Sisäkenttä E s on voimakkaampi tai heikompi kuin kenttä E 0 riippuen siitä, onko e < eo vai e > 6q. Pallon sähköpolaroituma P on P = (e - e 0 )E s =

^ ^ E e + Z6n

0

(4.50)

4.4. JOHTEET

JA

PINTAVARAUSJAKAUMA

61

Pallon ulkopuolella kenttä E u on, alkuperäisen kentän E 0 lisäksi, origossa sijaitsevan dipolin p = pez aiheuttama kenttä. Vertaamalla kaavoja (3.76) ja (4.48) nähdään, että dipolimomentin p itseisarvo on (4.51) Dipolimomentti p on kaavan (4.50) määrittelemän vakiopolaroituman P tilavuusintegraali pallon yli, minkä näkee suoraan. Pallon ulkopuolella kenttäviivat muistuttavat johdepallon kenttäviivoja (kuva 3.5). Erona on kuitenkin se, että kenttäviivat eivät nyt kohtaa pallon pintaa kohtisuoraan. Vertaamalla tässä kappaleessa johdettuja kaavoja ja vastaavia kappaleessa 3.7 esitettyjä johdepalloa koskevia tuloksia toteamme, että jälkimmäiset ovat eristepallon rajatapaukset, kun suhteellinen permittiivisyys K = e/tQ —» oo. Lopuksi toteamme, että yllä johdetut tulokset pätevät sellaisinaan, jos ulkoalue |r| > R (tyhjiö, permittiivisyys e0) korvataan väliaineella, jonka permittiivisyys on esim. Silloin on vain suoritettava vaihto eo —> £2• Jos taas tutkitaan väliaineessa (e) olevaa tyhjiöpalloa, on yllä olevissa tuloksissa vain vaihdettava e ja e0.

4.4

Johteet ja pintavarausjakauma

Olemme aiemmin kappaleessa 3.7 määritelleet ideaalijohteen aineena, jossa varaukset voivat liikkua vapaasti. Reaalijohteessa "vapaat varaukset", ts. johtavuuselektronit liikkuvat suhteellisen vapaasti. Metallit ovat tunnetusti hyviä johteita (hopea, kupari, alumiini, rauta jne.). Tarkastelemme nyt mielivaltaista johdekappaletta staattisessa tilassa. Intuitiivisesti on selvää, että johteen vapaat varaukset kerääntyvät johteen pinnalle; johtavuuselektronit hylkivät toisiaan ja voivat tasapainotilanteessa vain olla johteen pinnalla. Muodollisesti tämän voi todistaa seuraavasti. Ensin toteamme, että sähkökenttä E häviää identtisesti johteen sisällä staattisessa tilassa. Sillä jos näin ei olisi, liikkuisivat varaukset johteen sisällä (tai pinnassa) kentän E voimavaikutuksen johdosta. Edelleen, koska E = 0 johteen sisällä, on potentiaali vakio johteen sisällä. Tämä vakio on potentiaalin arvo johteen pinnalla; johteen pinta

62

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

on siis tasapotentiaalipinta. Koska E häviää identtisesti johteessa, häviää myös sähkövuon tiheys D johteessa. Johteen sisällä on siis V •D = 0

(4.52)

joten yhtälöstä (4.21) seuraa, että p= 0

(4.53)

johteen sisällä. Staattisessa tilassa olevalla johdekappaleella voi olla siis vain pintavarausta, jonka tiheyttä merkitään dV+

(4.54)

missä merkintä limr_+ay+ tarkoittaa, että rajankäynti tapahtuu pinnan dV ulkopuoliselta alueelta. Olemme täten todenneet johdepalloa koskevan tuloksen (3.101) yleispäteväksi.

4.4.1

J o h d e k a p p a l e e n kapasitanssi

Pintavarausjakauman a laskemiseksi on ratkaistava edellä hahmoteltu sähköstatiikan ongelma. Tämä on ns. ulko-ongelma: on laskettava johdekappaleen ulkopuolisessa alueessa C(V) := R3 \ (V U dV) vallitseva potentiaali DV+

Reunaehdon (4.59) lisäksi on oltava voimassa asymptoottinen lauseke (4.55). Yhtälöt (4.58), (4.59) määrittelevät Dirichlefn probleeman ulkoalueessa C(V), jossa vielä on otettava huomioon lisäehto (4.55). Yllä annettu Dirichlefn ulko-ongelma voidaan ratkaista seuraavasti. Olkoon F{T) = -±-[ d3 r ' - ^ 47re0 Jc(v) |r - r'|

(4.60)

joten V 2 F(r) = ——p(r), eo

r G C(V)

(4.61)

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

64

kun oletetaan, että tiheys p on sileä r:n funktio, joka häviää oo:ssä riittävän nopeasti. Funktio F(r) on jatkuva myös rajalla r —» dV. Merkitsemme sen arvot rajapinnalla /(r):llä, lim

T-JrdV+

F(r) := / ( r ) ,

r G dV

(4.62)

Kirjoitamme nyt 4>{r) = F{t) + U{T)

(4.63)

missä funktio U(r) on valittava niin, että potentiaali (r) on ongelmamme ratkaisu. Yhtälöistä (4.57) ja (4.59) seuraa V 2 [/(r) = 0,

r eC(V)

(4.64)

ja U(r)\av

= d>c-f(T),

redV

(4.65)

Kuten helposti nähdään, ehtojen (4.64)ja (4.65) lisäksi on voimassa seuraava asymptoottinen ehto U(r):lle: U(v) =

Qv 4-/reo r

(4.66)

1+ 0 [ r

Yhtälöt (4.64) ja (4.66) tarkoittavat, että U(r) on harmoninen C(V):ssä. On siis konstruoitava C(y):ssä harmoninen funktio U(r), joka saa annetut reuna-arvot (4.65) pinnalla dV. Voidaan helposti todeta, että jos tällainen funktio U(T) on olemassa," se on yksikäsitteinen. Funktion U(r) konstruoiminen on verrattain monimutkainen tehtävä, joka osittain ylittää tämän esityksen vaatimustason. Täydellisyyden vuoksi hahmotellaan kuitenkin kyseisen funktion konstruktio seuraavassa. Oletetaan, että koordinaatiston origo on alueessa V; tähän ei sisälly fysikaalista rajoitusta. Etsitään muotoa U(r) =

fdy dS' h(v')dn, ^

,

r G C(V)

(4.67)

olevaa ratkaisua, missä n' on pinnan dV normaali pisteessä r'; h(r') ja Qv on määritettävä. Kun r G C(V), on ilmeistä, että lauseke (4.67) on harmoninen, ts. toteuttaa ehdot (4.64) ja (4.66). Funktio h(r), r G dV ja varaus Qv määräytyvät siten reunaehdosta (4.65). Reuna-arvotarkasteluja varten on tutkittava seuraavanlaisten funktioiden H(r) käyttäytymistä, kun r G dV\ H{r) := f dS' h(r')dnJdv

- . — - — ( 4 . 6 8 )

4.4. JOHTEET

JA

PINTAVARAUSJAKAUMA

65

Gaussin lain todistuksen yhteydessä [vrt. yht. (2.12, (2.13)] olemme todenneet, että

' av

dS' dr,'-

-47r, r G V 0, r eC(V)

r — r'

(4.69)

Jos pinta dV on riittävän sileä (ns. Liaponovin pinta), on pintaintegraali (4.69) määritelty myös kun r e dV, ja (todistus on esim. Kelloggin kirjasta [6]) [ dS'dn< r 1 r = -2Tr, Jav l ~ I

rtdV

(4.70)

Yllä olevien tulosten perusteella voidaan osoittaa, että kaavassa (4.68) määritelty funktio saa tietyt raja-arvot, kun r —> dV. Merkitään rajaarvoa, kun r —>• dV ulkoalueesta C(V), symbolilla H+{r) ja vastaavasti symbolilla r), kun r dV sisäalueesta V. Tällöin on H±(R) = ±27r/i(r) + HQ(T)

(4.71)

missä H0(R) on (heikosti singulaarinen) integraali, H.ir) Jav

1

dS'h{ r')dn

r G dV

(4.72)

|r-r'|

Soveltamalla tulosta (4.71) integraaliesitykseen (4.67) saadaan U+(r) = 2irh{r) + f dS'h(v')dn, Jav

1 r

l -rl

,+

,

47re

r G dV

(4.73)

o?"

Funktion U(r) reuna-arvot dV\Mä, ovat kaavan (4.65) mukaan U+{v) = (j>c-f(x),

vtdV

(4.74)

Yhtälöstä (4.74) seuraa siten seuraava integraaliyhtälö funktiolle h(r), r G dV: c - /(r)

Qv 47r e0r

(4.75) r edV

Yhtälö (4.75) on (heikosti singulaarinen) Fredholmin yhtälö funktiolle h{r), r e dV, jonka ydin K{r, r') on K{r,r')

:= dn>r—r

(4.76)

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

66

Yhtälön (4.75) ns. homogeeninen liittoyhtälö on 9(r') + ± [ dS g(r)K(r, r') = 0 ^ Jav

(4.77)

Jos homogeeniyhtälöllä (4.77) on ei-triviaali ratkaisu g ^ 0, on Fredholmin teorian mukaan alkuperäisellä yhtälöllä [tässä (4.75)] ratkaisu vain jos yhtälön epähomogeeninen termi ja homogeenisen liittoyhtälön ratkaisu ovat ortogonaaliset, ts.

/ Jav

dSg( r) c -

f(r)

Qv 47re0r

= 0

(4.78)

Yhtälöä (4.75) vastaavalla homogeeniyhtälöllä Ao(r) + i / dS'ho(v')dn,-^—=0 27T Jav |r - r'|

(4.79)

on ei-triviaali ratkaisu, nimittäin h0 — vakio, kuten kaavan (4.70) avulla todetaan. Täten myös yhtälöllä (4.77) on ei-triviaali ratkaisu g(r). Voidaan todistaa, että tähän ratkaisuun pätee ehto [ dS-^—g(r)#.0 Jav 47reor

(4.80)

Johdekappaleen varaus Qv määräytyy ehdosta (4.78), Qv f dS g(r) = f dSg(v)[d>c - / ( r ) ] Jdv 4ire0r Jav

(4.81)

Jos ulkoinen varaus p(r) on tasan nolla, on / ( r ) = 0 kaavassa (4.81) ja meillä on Qv = Cc (4.82) missä

c

=LdSs{i)/Lds^

(4

-83)

on johdekappaleen kapasitanssi. Tämä riippuu vain johdekappaleen koosta ja geometrisesta muodosta. Yksinkertaisissa tapauksissa (esim. johdepallo) voidaan kapasitanssi laskea helpommin ratkaisemalla potentiaaliongelma suoraan ongelman symmetriaominaisuuksia hyväksi käyttäen. Palaamme nyt alkuperäisen reuna-arvo-ongelman ratkaisuun. Olemme osoittaneet, että potentiaaliongelma palautuu integraaliyhtälöksi (4.75).

4.5. JOHDEKUORI

JA COULOMBIN

LAKI

67

Tämän (vakiota vaille määritetyn) ratkaisun avulla konstruoidaan funktio U{r) kaavan (4.67) mukaan [määrittämätön vakio ei vaikuta lausekkeeseen, kun r G C(V)], minkä jälkeen potentiaaliongelman ratkaisu (r) saadaan kaavasta (4.63). Tämän jälkeen voidaan laskea johdekappaleen pintavaraus o kaavasta (4.54). Yllä oleva esitys ulko-ongelman ratkaisemisesta on lyhyt ja epätäydellinen; yksityiskohtia ja todistuksia on esimerkiksi W. Pogorzelskin kirjan Integral equations and their applications osassa 1 [12].

4.5

J o h d e k u o r i j a Coulombin laki

Sähköstatiikka perustuu kokonaan Coulombin lakiin (2.1). Onkin luonnollista, että lain kokeellinen todentaminen on ollut sähköopin keskeisiä tehtäviä. Kysymyksen moderni asettelu liittyy sähkömagneettisen kentän kvantin, fotonin massaan. Jos fotonin massa on nolla (niin kuin tähänastiset kokemukset osoittavat), on sähkömagneettinen vuorovaikutus pitkän kantaman vuorovaikutus eli klassisesti Coulombin laki pätee tarkasti. Coulombin lain kokeellinen todentaminen klassisin keinoin on ollut huomion kohteena vielä 1970-luvun alussa. Käytetyt menetelmät ovat parannettuja versioita Cavendishin 1700-luvun lopussa suorittamista kokeista (Henry Cavendish (1731-1810)). Nämä kokeet perustuvat siihen, että johdekuoren ympäröimässä tyhjässä ontelossa ei ole sähkökenttää riippumatta siitä, mikä on staattinen sähkökenttä E johdekuoren ulkopuolella ja riippumatta johdekuoren staattisesta varauksesta. Keskeinen tulos on, että johdekuoren sisäpinta ei ole varattu, mikä on suora seuraus Gaussin laista, joka puolestaan on Coulombin lain matemaattinen seuraus. Kokeen teoria on lyhyesti seuraava. Oletetaan Coulombin lain (2.1) sijasta, että voima F kahden pistemäisen varauksen välillä pienenee etäisyyden r mukaan kuten F(r) oc

(4.84)

missä A on numeerinen parametri. Jos A ^ 2, on johdekuoren sisäpinnalla tietty kokonaisvaraus, joka riippuu kuoren kokonaisvarauksesta ja A:sta. Mittaamalla sopivan muotoisen varatun johdekuoren sisäpinnan varaus Qi saadaan arvo parametrille A. Tulos Qi = 0 vastaa A:n arvoa 2; poikkeamat arvosta QI — 0 antavat nollasta pikkeavan arvon suureelle A — 2. Viimeisimmät tällä tavalla mitatut A — 2:n arvot ovat johtaneet tulokseen

68

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

[Physical Review Letters 26 (1971) 721] |A — 2| < 12,7 ± 3,11 • 1CT16

(4.85)

joten Coulombin laki on hyvin tarkasti voimassa. Todistamme vielä täydellisyyden vuoksi, että kun Gaussin laki on voimassa, sähkökenttä E mielivaltaisen johdekuoren ympäröimän tyhjän ontelon sisällä on tasan 0, riippumatta kuoren varauksesta ja kuoren ulkopuolella olevasta staattisesta sähkökentästä. Tarkastelemme johdekuorta, joka ympäröi tyhjää onteloa V. Johdekuoren sisäpintaa (siis V:n reunaa dV) merkitään S^:11a ja ulkopintaa :11a. Kuoren muodosta oletamme vain, että pinnat S ^ ovat (matemaattisen potentiaaliteorian mielessä) riittävän sileitä (kuva 4.6).

Kuva 4.6: Johdekuoren sisällä oleva tyhjiöontelo. Staattisuudesta seuraa, että ontelon sisällä vallitseva kenttä E saadaan potentiaalista ( v) = cj>c, r e S - >

(4.87)

Koska ontelo on tyhjä, on Gaussin laki V • E(r) = 0 ,

veV

(4.88)

josta seuraa V 2 ^>(r)=0,

reV

(4.89)

Olkoon alueen V Dirichlefn ongelman Greenin funktio GD(r,r'). [vrt. yht. (2.85)] yhtälön (4.89) ratkaisu reunaehdolla (4.87) on = 47T . / 5 ( - )

dS'dn,GD{

r,r')

Silloin

(4.90)

4.5. JOHDEKUORI

JA COULOMBIN

LAKI

69

Mutta kun r G V, on (huom. n_ on V:n sisänormaali), on [ dS'dn,GD( Js(-)

r,r') = +47r

(4.91)

riippumatta suljetun pinnan S ^ muodosta, kuten aiemmin on todettu [vrt. (2.89) ja (4.69)]. Siis meillä on 0(r) = fo ,

r Gy

(4.92)

mistä seuraa, että E(r) = -V{r) = 0 , Merkitään sisäpinnan yht. (4.54)] meillä on

r GV

(4.93)

mahdollinen pintavaraus a b i l l a . Mutta [vrt.

a { _ ) (r) =

lim e 0 n_ • E(r) = 0

(4.94)

r >.S'(")

missä rajankäynti tapahtuu alueesta V. Siis sisäpinnalla S e i ole varauksia. Kaikki johdekuoressa olevat varaukset ovat ulkopinnalla S ^ . Todistus, jossa käytimme matemaattisen potentiaaliteorian hienouksia, on täten valmis. Esitämme vielä vaihtoehtoisen, suoraviivaisen todistuksen. Gaussin laista (4.88) seuraa divergenssilauseen perusteella, että 0 = [ d3rV-E(r) = - [ dS n_(r) • E(r) = - e- [ dSa{~\r) Jv Js(-1 0 Js(-) (4.95) eli sisäkuoren kokonaisvaraus häviää. Sovellamme nyt divergenssilausetta vektorikenttään (f)E ontelossa V: / d r V • [(r)E(r)] = dS 0(r)n_(r) • E(r) v Js(-) = -c f dS n_(r)-E(r) Js(-)

(4.96)

sillä (r) saa vakioarvon (j)C pinnalla S^ . Mutta kaavojen (4.86).ja (4. perusteella saamme V • (0E)

= CF)V - E + (V) • E

= -E2

(4.97)

70

LUKU7.M A G N E T O S T A T I I K K AVÄLIAINEESSA

Yhtälö (4.95) antaa nyt / d3r E 2 (r) = Jv

f dS n_(r) • E(r) = 0 Js(-)

(4.98)

Koska E 2 > 0, kaavasta (4.98) seuraa, että E(r) = 0, reV

(4.99)

ja edelleen [vrt. yht. (4.94)] että a ( - } (r) = 0,

re5

H

(4.100)

joten vaihtoehtoinen todistus on valmis. Lopuksi sitaatti Feynmanin mainioista sähködynamiikan luennoista [4]: "Now you also understand why it is safe to sit inside the high-voltage terminal of a million-volt Van de Graaff generator, without worrying about getting a shock—because of Gauss' law."

Luku 5 Energian j a voiman kenttäkuvaus Coulombin laki, johon sähköstatiikka perustuu, antaa kahden liikkumattoman varauksen välisen sähköisen voiman niiden etäisyyden funktiona. Vuorovaikutus on tällöin hetkellinen kaukovaikutus; varaus 1 vaikuttaa etäisyyden r 1 2 päässä olevaan varaukseen 2. Otimme kuitenkin heti käyttöön kentän: varaus 1 luo ympärilleen kentän Ei(r), jonka pisteessä r 2 oleva varaus 2 tuntee. Statiikassa kenttä ei ole välttämätön käsite; vasta dynamiikassa kenttä on välttämätön vuorovaikutuksen välittäjänä, joka etenee valon nopeudella. Kentän käsitteen kelpoisuus edellyttää, että varaus q kokee tietyn voiman kentässä E riippumatta E:n lähteiden luonteesta; määritelmä F = gE jo sisältää tämän ajatuksen. Jos nyt on kaksi varausta 1 ja 2 ja niillä kentät Ei ja E 2 , meidän pitäisi voida kuvata varausten välinen vuorovaikutus (voima ja energia) pelkästään kenttien avulla. Seuraavassa kehitämme tällaisen kuvauksen mielivaltaiselle varauskonfiguraatiolle.

5.1

K e n t ä n energia tyhjiössä

Tarkastellaan järjestelmää, jonka muodostaa n kappaletta varauksia qj äärellisellä alueella V. Ajatellaan, että varaukset ovat aluksi äärettömän kaukana toisistaan ja ne sitten tuodaan asemiinsa Tj. Tämä tehdään "adiabaattisesti", niin hitaasti että tilanne voidaan pitää staattisena koko ajan. Tällöin kenttä on koko ajan konservatiivinen (V X E = 0), ts. varauspar-

72

LUKU 5. ENERGIAN

JA VOIMAN

KENTTAKUVAUS

ven energia ei riipu niistä teistä, joita pitkin varaukset tuodaan paikoilleen. Täten kokoamistyö voidaan yksikäsitteisesti määritellä järjestelmän energiaksi. Tuodaan ensin varaus q\ paikkaan ri tyhjässä avaruudessa. Silloin ei tehdä työtä mitään sähkökenttää vastaan. Potentiaali (f) on tämän jälkeen 0«(r) = - ^ - r ^ — r 47re 0 | r -

(5.1)

ri|

Potentiaalia (5.1) vastaavassa kentässä tuodaan nyt varaus g2 paikkaan r 2 . Kaavan (2.28) mukaan tähän tarvittava työ W ^ on

4ne0 |r! - r 2 | Tämän jälkeen potentiaali on i

1

m. ^—

(5.7) r

5.1. KENTÄN

ENERGIA

TYHJIÖSSÄ

73

eli kaikkien parien (qi, qj) vuorovaikutusenergioiden summa. Lauseke (5.7) voidaan edelleen kirjoittaa muotoihin i n i l p 1 'Mj

E 47re i^j

2 ^

0

.1 . n

n

v-

V-

1=1

jfa

= 2ö^E ^^ E 1

r j - TJ\ J


(r) käyttäytyy asymptoottisesti kuten r~~l ja kenttä E kuten r~2. Tällöin divergenssilause pätee ja saamme lim [ J|r| dV) B(r) = f / d 3 r J ( r 0 x ( r - r 0 471 Jy |r — r'|3 missä tilavuusalkiota dV on merkitty oo siten, että silmukan magneettimomentti m on äärellinen, m = Magneettidipolin kenttä sähködipolin kenttä (3.77), B®(r) =

lim (nR2)In A—>0,7—>oo

(6.77)

on siten tarkalleen samanmuotoinen kuin

Po 3m • (r - r 0 ) (r - r 0 ) 47T ro

m r

o

r + r0

(6.78)

Kenttä B ® on vastaavan vektoripotentiaalin A ® roottori,

B(r) = V x A(2)'(r)

(6.79)

missä ^omx (,-ro) ( 4n |r — r 0 | 3 kuten suhteellisen helposti todetaan. Toisaalta magneettidipolikenttä B^2^ voidaan myös, analogisesti sähködipolikentän kanssa, johtaa magneettisesta skalaaripotentiaalista q>m [vrt. yht. (3.76] A(2)

Tämä tulos ei rajoitu yksinomaan dipolikenttään; osoitamme tuonnempana, että myös mielivaltaisen äärellisen virtasilmukan aiheuttama magneettikenttä voidaan johtaa skalaaripotentiaalista.

6.4

M a g n e e t t i n e n multipolikehitelmä

Palaamme nyt yleisen lähteettömän virrantiheyden synnyttämään vektoripotentiaaliin (6.49). Oletamme, että virrantiheys j on paikallinen, siis

LUKU 6.

104

MAGNETOSTATIIKKA

nollasta poikkeava vain äärellisen alueen V sisällä. Kaavasta (6.49) saadaan silloin vektoripotentiaalin A asymptoottinen kehitelmä, joka on analoginen sähköstaattisen potentiaalin multipolikehitelmälle. Analysoimme vain kehitelmän johtavat termit. Olkoon koordinaatiston origo alueen V sisällä. Kun paikkavektori r on alueen V ulkopuolella, voimme käyttää integraalissa (6.49) kenttäpisteen etäisyyden |r| = r käänteispotenssien mukaan etenevää kehitelmää I jo

1

j»' I

irjrt + ^ rp 3 +

Vi ry>)3

(6.82)

Silloin saadaan AW

= s ; /rfVj(r,) + s ? / d V ( r ' r ' ) j ( r , ) + 0 ( ? )

(6 83)

'

Ensimmäinen termi vastaa monopolia. Se häviää kuitenkin identtisesti, koska virrantiheys j on lähteetön. Tämä nähdään seuraavasti. Muodostamme divergenssin V • (xjj), missä Xj on yksi r:n suorakulmainen komponentti. Virrantiheyden lähteettömyyden perusteella saamme V - f c j H z i V - j + ( V x O - j = ii

(6-84)

Integroimme tämän ja sovellamme divergenssilausetta, f d3rji(r)

= f

JV

J dV

dSxzn-j

= 0

(6.85)

Tulos on 0, koska ulotamme V:n niin kauas, että virrantiheys j häviää sen reunalla dV (ja reunan ulkopuolella). Tulos (6.85) pätee j:n jokaiseen komponenttiin, joten 3

f d rj(r) = 0 (6.86) Jv eli vektoripotentiaalin (6.83) asymptoottisesti johtava termi on kertalukua r-2. Osoitamme nyt, että kehitelmän (6.83) r~ 2 -termi on ekvivalentti magneettisen dipolipotentiaalin kanssa. Todetaan ensin [esim. kaavan (6.84) avulla], että Xijk + Xkji = V • (xiZjj) (6.87) Integroimalla yhtälö (6.87) saadaan suoraan divergenssilauseen avulla ja lokaalisuuden perusteella f d3r {xtjk + xkji) = 0

(6.88)

6.4. MAGNEETTINEN

MULTIPOLIKEHITELMA

105

Kaavan (6.83) johtava termi sisältää integraalin r-1

d3r' r'ji(r') = I>*

/

=

k

(6-89)

J

missä olemme käyttäneet kaavaa (6.88). Mutta tulos (6.89) voidaan lausua vektorikolmitulon avulla,

dv ^ ( 0 = 4

r x J d3r'r'

x j(r')

(6.90)

Nimitämme kaavan (6.90) integroitavaa magneettimomentin tiheydeksi eli magnetoitumaksi M(r), M(r):=^rxj(r) ja sen integraalia magneettimomentiksi m,

(6.91)

(

m = y d3r M(r)

(6.92)

Kaavasta (6.83) saadaan silloin , , .

«o m x r

^ / 1 \

Paikallisen virrantiheyden j aiheuttaman vektoripotentiaalin A asymptoottisesti johtava termi on siis tarkalleen magneettinen dipolipotentiaali, missä dipolin momentti m on määritelty kaavojen (6.91) ja (6.92) mukaisesti. Olemme tarkastelleet mielivaltaista paikallista virrantiheyttä j. Erikoistapauksena laskemme vielä mielivaltaisen silmukan aiheuttaman potentiaalin A asymptoottisesti johtavan termin. Tämä saadaan tietenkin suoraan yleisestä kaavasta (6.93), kun virrantiheys j on nollasta poikkeava vain tietyssä kenttäputkessa, joka ohuen putken rajalla on virtasilmukka C. Voimme myös käyttää kaavaa (6.65), joka on saatu tällaisen rajankäynnin tuloksena. Sijoittamalla kehitelmä (6.82) kaavaan (6.65) saadaan

LUKU 6.

106

MAGNETOSTATIIKKA

On ilmeistä, että ensimmäinen termi on tasan nolla. Edelleen voimme osoittaa, että [vrt. yht. (6.90)] [ d\'R r' = --T x [ r' x dV Jc 2 J£

(6.95)

Vertaus yhtälöön (6.93) antaa tulokseksi, että silmukan C magneettimomentti on m = \ l [ r x dl 2 Jc

(6.96)

Erityisesti jos silmukka C on taso silmukka, on momentti m tason normaalin n suuntainen, missä normaalin suunta määräytyy siten, että virran kiertosuunta on positiivinen silmukassa (kuva 6.9). Tasosilmukan pintaalkio dS on dS=-\rxdl\

(6.97)

£

Jos tasosilmukan L rajoittamaa pinta-alaa merkitään 5:llä, kaava (6.96) antaa m = ISn (6.98) Tämä on ympyräsilmukan magneettimomentin (6.76) yleistys yleiseen tasosilmukkatapaukseen. Tämän tuloksen perusteella magneettidipoli voidaan määritellä mielivaltaisen tasosilmukan rajatapauksena, kun silmukan rajoittama pinta-ala S pienenee pienenemistään ja silmukassa kulkeva virta I vastaavasti kasvaa siten, että momentti m on äärellinen, m = lim(LS) n

Iin n suhteen.

(6.99)

6.5. VIRTASILMUKAN

6.5

MAGNEETTIKENTTÄ

107

Virtasilmukan m a g n e e t t i k e n t t ä

Tarkastelemme jälleen mielivaltaista virtasilmukkaa, jonka muodostaa säännöllinen umpinainen käyrä, joka ei leikkaa itseään. Olkoon silmukassa tietyn suuntainen vakiovirta I. Olkoon S mielivaltainen äärellinen sileä pinta, jonka reunakäyrä dS on juuri annettu silmukka. Jaamme nyt tämän pinnan pieniin pinta-alkioihin ASj, i — 1 , . . . , N (kuva 6.10).

Kuva 6.10: Pintaan S upotetut pienet virtasilmukat dASi. Pinnan S reunakäyrä dS on annettu virtasilmukka. Voimme kuvitella, että joka alkion ASi reunakäyrässä dAS% kulkee vakiovirta I positiiviseen kiertosuuntaan pinta-alkion yksikkönormaalin rij suhteen. Nämä pinnassa olevat virrat menevät pareittain vastakkain ja kumoavat siis toisensa paitsi reunakäyrällä dS, jossa virrat muodostavat annetun kokonaisvirran I. Täten virtasilmukan aiheuttaman magneettikentän B voidaan ajatella johtuvan pinnan S pinta-alkioiden ASi määrittelemistä virtasilmukoista dASi. Yksi tällainen pieni virtasilmukka aiheuttaa kentän AB,, joka on likimääräisesti dipolikenttä, AB,-fr)

/fo IASi 47r

3ni • (r - n) (r r — r-|5

n,; r - r,:

(6.100)

missä ^ on pinta-alkion ASi mielivaltainen piste ja missä olemme käyttäneet yleisen dipolikentän lauseketta (6.78) sekä silmukan, magneettimomentin likimääräistä lauseketta m,- = IASi n,-

(6.101)

Toisaalta tiedämme, että magneettinen dipolikenttä voidaan lausua vastaavan skalaaripotentiaalin (6.81) avulla. Koska silmukan kokonaiskenttä

LUKU 6.

108

MAGNETOSTATIIKKA

B on osakenttien (6.100) summa, tämä kenttä on johdettavissa skalaaripotentiaalista • 0.) Suure K tavuuden rajalla tarvittava vapaan pintavirran tiheys, ta/pituus. Rajalla AI —> 0 yksikkövektori Al/Al :— t pinnan tangentin suuntainen tarkastelupisteessä r, ja (7.21) ja (7.22) tuloksen

VÄLIAINEESSA on äärettömän johjonka laatu on viron täsmälleen rajasaamme yhtälöistä

t • (Hi — H 0 ) = (t x n) • K = t • (n x K)

(7.23)

Koska t on mielivaltainen tangenttiyksikkövektori, H-kentän tangenttikomponentti on jatkuva, jos ei ole pintavirtaa (ts. K = 0)'; jos on pintavirta, se on epäjatkuva kaavan mukaisesti. Kompaktimmin lausuttuna (harjoitustehtävä) H:n reunaehto on n x (H 0 - Hi) = K

(7.24)

Käytimme magnetostaattisia perusyhtälöltä (7.13) ja (7.14) reunaehtojen johtamiseen. Osoitamme myöhemmin Maxwellin yleisten kenttäyhtälöiden perusteella, että lopputulokset, ts. kaavat (7.19') ja (7.24), pätevät yleisesti. Esitämme nyt lyhyesti magnetostatiikan potentiaaliongelmien formuloinnin. Perusyhtälöt ovat (7.13) ja (7.14), ts. V x H(r) = j(r)

(7.25)

V • B(r) = 0

(7.26)

ja

Näiden lisäksi tarvitaan rakenneyhtälö B = B(H)

(7.27)

jotta yhtälöt (7.25) ja (7.26) muodostaisivat täydellisen yhtälöjärjestelmän. Lähteettömyysehto (7.26) takaa sen, että B-kenttä voidaan aina esittää roottorina, B(r) = V x A(r) (7.28) Tiedämme myös (ks. kappaletta 2.7), että rajoituksitta voidaan A-kentälle asettaa ehto V • A(r) = 0 (7.29) Jos oletamme yksinkertaisen isotrooppisen magnetoituvan aineen, rakenneyhtälö on B(r) = jiiH(r) (7.30)

7.2. KENTTIEN

B JA H

REUNAEHDOT

117

Tällöin saadaan yhtälöstä (7.25) vektoripotentiaalin A differentiaaliyhtälöksi V x

- V x A(r)

j(r)

(7.31)

Jokaisessa alueessa, jossa /j on vakio, saadaan edelleen yksinkertaisempi yhtälö ottamalla huomioon ehto (7.29), V 2 A(r) = —/i j(r)

(7.32)

mikä on aikaisemman tuloksen (6.54) yksinkertainen yleistys. Vektorimuotoinen Poissonin yhtälö (7.32) ratkaistaan periaatteessa samalla tavalla kuin sähköstaattisen potentiaalin vastaava yhtälö. Skalaaritapaukseen verrattuna olennaisen lisävaikeuden muodostavat vektorikentän A reunaehdot. Rajapinnoilla, siis yhtälössä (7.32) esiintyvän permeabiliteetin p epäjatkuvuuspinnoilla, on kenttien B ja H noudatettava reunaehtoja (7.19) ja (7.24). Panofskyn ja Phillipsin oppikirja [3] sisältää (s. 149-156) esimerkkejä yllä hahmoteltujen ongelmien ratkaisuista. Tarkastelemme vielä erikoistapausta, joka tarjoaa esimerkin magneettisen skalaaripotentiaalin 4>m käytöstä. Tämä esimerkki on magneettinen aine, jossa on pysyvä magnetoituma M mutta ei lainkaan virrantiheyttä j. Kestomagneetti on tällaista ainetta. Koska j = 0, kenttä H on pyörteetön yhtälön (7.25) mukaisesti. Tällöin H on lausuttavissa skalaaripotentiaalin (f)m avulla, H = -Vm

(7.33)

Kun käytämme H-, B- ja M-kenttien perusrelaatiota (7.12), toinen perusyhtälö (7.26) johtaa tulokseen - V 2 0 m = - V • M := pm

(7.34)

Tämä on efektiivisen magneettisen varaustiheyden pm sisältävä Poissonin yhtälö. Merkitään V:llä aluetta, jossa M ^ 0. Alueen V reunalla dV, siis aineen rajapinnalla, magnetoituma M on epäjatkuva ja se on tasan nolla dV\n ulkopuolella. Poissonin yhtälön (7.34) ratkaisu on nyt (n on pinnan dV ulkonormaali) M t )

= --L [ 47t Jv

Y ^ M |r — r'|

4tt

M Jdv

|r — r'|

(7.35)

Pintaintegraali takaa sen, että magneettikenttien H ja B asianmukaiset reunaehdot ovat voimassa pinnalla dV. Tämän toteaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

LUKU 7. MAGNETOSTATIIKKA

118

VÄLIAINEESSA

y Kuva 7.4: Vakiomagnetoituman M sisältävä Ä-säteinen pallo tyhjässä avaruudessa. Sovelluksena laskemme tasaisesti magnetoidun pallon kentät. Olkoon meillä i?-säteinen pallo BR, jonka sisällä on vakiomagnetoituma M. Valitsemme koordinaatiston siten, että ^-akseli on M:n suuntainen (kuva 7.4). Nyt on siis M = Me, (7.36) joten V • M = 0,

r e B}

(7.37)

Kaavasta (7.35) saadaan

4-rr

J

|r — r'|

(7.38)

Käytämme aikaisemmin johdettua sarjakehitelmää (3.57), i r — r'

00

1

i

i (7.39)

1=0 m=—l

Normitusrelaatioiden (3.27) perusteella on J dQ.'coSe'Yl*rn(e', = R, joten 4>m(r) =

l

-Mrcos6=l-Mz

(7.42)

Pallon sisällä H-kenttä on kaavan (7.33) mukaan Hs = ~ M e

z

= ~ M

(7.43)

ja B-kenttä yhtälön (7.12) avulla B s = /i 0 (H 5 + M) = ^ M

(7.44)

Toteamme, että pallon sisällä H ja B ovat vastakkaissuuntaiset. Pallon ulkopuolella on r< = R ja r> = r, joten

)= O

(7.45)

T

Potentiaali (7.45) on puhdas dipolipotentiaali. Vertaamalla kaavoja (7.45) ja (6.81) toteamme, että pallon magneettinen dipolimomentti m on m = ^TTR3 M O

(7.46)

Pallon ulkopuolella on puhdas dipolikenttä, ( % ) r = 3 MR3 —

,

(H u)g = -MR3

—

,

(Hv ) v = 0

(7.47)

ja Bf/(r) = /i 0 H^(r),

|r| > R

(7.48)

Voidaan suoraan todeta, että kentät (7.43)-(7.44) ja (7.47)-(7.48) toteuttavat reunaehdot (7.19) ja (7.23). Pallomagneetin ongelma olisi tietenkin myös voitu ratkaista käyttäen vektoripotentiaalia A. Skalaaripotentiaalimenetelmä on kuitenkin yksinkertaisempi tässä tapauksessa. Järjestelmän kenttäviivat nähdään kuvassa (7.5).

120

LUKU 7. MAGNETOSTATIIKKA

VÄLIAINEESSA

Kuva 7.5: Tasaisesti magnetoidun pallon kenttäviivat B ja H.

7.3

M a g n e e t t i n e n jännitystensori

Magneettisten voimien kenttäkuvaus on analoginen sähköstatiikan vastaavan kuvauksen kanssa (luku 5). Tarkastelemme mielivaltaista aluetta V, jossa on stationaarinen virrantiheys j. Alueen reunapintaa merkitään ja A asetettava lisäehto. Kappaleesta 2.7 tiedämme, että jos potentiaali A häviää riittävän nopeasti äärettömyydessä, ehto V •A = 0

(8.37)

8.3. KENTÄT

TYHJÄSSÄ

AVARUUDESSA

133

on mahdollinen mittaehto [vrt. magnetostatiikan yhtälöihin (6.50) ja (7.29)]. Ehtoa (8.37) kutsutaan Coulombin mittaehdoksi tai lyhyesti Coulombin mitaksi. Tätä ehtoa käytettäessä on jokaisen mahdollisen vektoripotentiaalin noudatettava vaatimusta (8.37). Yhtälöstä (8.35) seuraa silloin, että mittafunktion A on täytettävä ehto V2A = 0

(8.38)

Potentiaalin A vaaditun asymptoottisen (|r| —» oo) käyttäytymisen vuoksi funktio A on rajoitettu äärettömyydessä. Harmonisuusehdon (8.38) perusteella A:n täytyy silloin olla avaruusriippuvuudeltaan vakio, mutta se voi olla ajan funktio. Jos vielä voidaan vaatia, että yhtälön (8.34) skalaaripotentiaali (j) häviää äärettömyydessä, yhtälön (8.36) mukaan on oltava ÖA joten A on vakio sekä ajan että paikan suhteen. Tässä esitettyjen asymptoottisten ehtojen ollessa voimassa Coulombin mittaehto (8.37) on siis täydellinen: se kiinnittää potentiaalit A ja ^ epäolennaista vakiota vaille. On olemassa muita täydellisiä mittaehtoja sekä myös epätäydellisiä (mutta muuten mahdollisesti hyödyllisiä) mittaehtoja, kuten pian näemme. Olemme muotoilleet homogeenisten Maxwellin yhtälöiden (8.28) ja (8.29) ratkaisut potentiaaliesitysten (8.32) ja (8.34) avulla. Jäljellä ovat epähomogeeniset Maxwellin yhtälöt. Sijoitamme nyt kenttien potentiaaliesitykset (8.32) ja (8.34) ilman mittaehtoja viimeiseen Maxwellin yhtälöön (8.30). Tulos on 192A c , d t ,

__ s „(ldj> " V A ^ j - V ^ + V-Aj

(8.40)

Tämän yhtälön yksinkertaistamiseksi käytämme edellisestä poikkeavaa, ns. Lorenzin mittaehtoa (Ludvig V. Lorenz, 1829-1891) i f

+ V.A = 0

(8.41)

Palaamme kohta lähemmin mittaehtoon (8.41). Tässä oletamme, että se on voimassa. Määrittelemme d'Alembertin operaattorin eli aalto-operaattorin: 1 d2

134

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

Vektoripotentiaalin A yhtälöksi tulee silloin • A = /i 0 j

(8.43)

Tämä yhtälö on vektoripotentiaalin epähomogeeninen aaltoyhtälö. Sijoittamalla potentiaaliesitys (8.34) ja mittaehto (8.41) epähomogeeniseen Maxwellin yhtälöön (8.27) saadaan U<j>=-p = p0c2p

(8.44)

Tämä on samanmuotoinen kuin vektoripotentiaalin epähomogeeninen aaltoyhtälö (8.43). Potentiaalien

ja A, mittaehto (8.41) on mahdollinen ehto. Ehdosta (8.41) seuraa mittafunktion A yhtälöksi

Epähomogeenisella aaltoyhtälöllä (8.47) on yleensä ratkaisuja, jos yhtälön oikea puoli toteuttaa eräitä lieviä säännöllisyysehtoja. A siis voidaan ainakin periaatteessa ratkaista yhtälöstä (8.47), joten Lorenzin mittaehto (8.41) on mahdollinen. Ilman lisäehtoja (reunaehtoja tms.) yhtälö (8.47) ei määritä mittafunktiota A yksikäsitteisesti; erikoisratkaisuun voidaan aina lisätä homogeenisen aaltoyhtälön •A/i = 0

(8.48)

mielivaltainen ratkaisu A h- Lorenzin mittaehto (8.41) ei siis ole täydellinen; mitta on homogeenisen aaltoyhtälön (8.48) ratkaisua vaille määrätty.

8.4. VARAUKSISEN

8.4

HIUKKASEN

LIIKE

KENTÄSSÄ

135

Varauksisen hiukkasen liike kentässä

Tehtävänämme on määrittää sähkövarauksisen pistemäisen hiukkasen (varaus q, massa m) liike annetussa sähkömagneettisessa kentässä E, B. Hiukkasen liikkeen differentiaaliyhtälö on Newtonin mekaniikan mukaan mv = g(E + r x B) = F

(8.49)

Lorentzin voimayhtälön (1.5) mukaisesti. Kentät E ja B ovat tässä annettuja ajan ja paikan funktioita, E = E(r, t),

B = B(r, t)

(8.50)

Haluamme muuntaa liikeyhtälön (8.49) kanoniseen Hamiltonin mekaniikan mukaiseen muotoon. Tähän tarvitaan potentiaaliesityksiä (8.32) ja (8.34). Potentiaalien (r, t) ja A(r, t) avulla lausuttuna Lorentzin voiman lauseke (8.49) on F = q [ - V 0 - dtA + v x (V x A)]

(8.51)

Tässä ja jatkossa käytämme karteesisia koordinaatteja r = (xi, x2, £3) ja ly hennysmer kintöj ä (8.52) Tarkastelemme suuretta v x (V x A), [v x (V x A)]j = ^ v A A 3 - v • VAi 3=1

(8.53)

Toisaalta meillä on kokonaisderivaatta [vrt. yht. (6.9)] ' d A(r,t) = ( v V ) A ( r , t ) + ^ A ( r , t ) dt

(8.54)

ja, koska nopeudet ja koordinaatit ovat riippumattomia muuttujia, VjdiAj = öi(v • A) 3=1

(8.55)

Näiden kaavojen avulla saadaan Lorentzin voiman F lauseke (8.51) muotoon d A" F = q —V0 + V(v • A) — (8.56) dt

136

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

Edelleen on d dt

d_ ^ N ~dt OVi

_ d dt

+ v-A)

(8.57)

sillä skalaaripotentiaali ei riipu nopeudesta v. Lopputulokseksi saadaan d F ^ - J L t o - v r - V + z dv. (q(f> - qv • A)

(8.58)

Tulos (8.58) osoittaa, että Lorentzin voima on lausuttava Lagrangen mekaniikan mielessä yleistetyn potentiaalienergian U(r, v) avulla, U := q — qv • A

(8.59)

Liikeyhtälö (8.49) on yhtälön (8.58) perusteella mx; =

dU dxi

d dU dt dii

(8.60)

Muodostamme nyt Lagrangen funktion L, L := -mv2 2

—U

(8.61)

Siitä saadaan liikeyhtälöt (8.60) 8L dxs

—— - 0 dt dvi

(8.62)

Lagrangen liikeyhtälöt (8.62) ovat toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä. Siirrymme niistä Hamiltonin kanonisiin liikeyhtälöihin, jotka ovat ensimmäistä kertalukua. Koordinaatteja Xi (i = 1, 2, 3)vastaavat kanoniset liikemäärät pi ovat ÖL Pi := — = mvi + qAi (8.63) OVi On tärkeää huomata, että kanoninen liikemäärä p ei ole sama kuin hiukkasen mekaaninen liikemäärä mv; sähkömagneettinen kenttä antaa lisätermin qA. Hamiltonin funktio on H(r,p,t)

:= v • p - L

(8.64)

Yhtälöistä (8.59), (8.61) ja (8.63) saamme sen lausekkeeksi

H = _(p-9A)»

+

(8.65)

8.5. MAGNEETTISET

MONOPOLIT

137

Hamiltonin liikeyhtälöt ovat

dA dxi (8.66)

Derivoimalla ensimmäinen yhtälöistä (8.66) ajan suhteen ja eliminoimalla p näiden yhtälöiden avulla saadaan (harjoitustehtävä) (8.67) eli juuri alkuperäinen Newtonin liikeyhtälö (8.49), missä voima F on kaavan (8.56) mukainen. Yllä hahmoteltu Hamiltonin formalismi on varauksisten hiukkasten ja sähkömagneettisten kenttien kvanttimekaanisen kuvauksen perusta. Tällaisen järjestelmän Schrödingerin yhtälö saadaan suoraan Hamiltonin funktion (8.65) avulla muuntamalla tämä kvanttimekaaniseksi operaattoriksi. On aiheellista huomata, että Hamiltonin formalismissa eivät esiinny kentät E ja B vaan potentiaalit / ja A. Tämä liittyy siihen, että Gaussin laki ja B-kenttien lähteettömyysehto V • E = — p,

V •B = 0

(8.68)

eivät ole varsinaisia liikeyhtälöitä, ne kun eivät sisällä aikaderivaattoja. Jälkimmäinen näistä toteutuu identtisesti, kun kentät E ja B lausutaan potentiaalien ja A avulla, kuten aiemmin on osoitettu. Potentiaalit 0 ja A eivät kuitenkaan ole suoraan mitattavia suureita. Tämä ilmenee esimerkiksi siitä, että niihin voidaan tehdä mittamuutoksia.

8.5

Magneettiset monopolit

Olemme aikaisemmin sanoneet, että Maxwellin toinen yhtälö (8.21), ts. magneettivuon tiheyden B lähteettömyysehto V •B = 0

(8.69)

138

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

on suora seuraus siitä, että ei ole olemassa magneettisia varauksia. Tämä päätelmä perustuu siihen, että yhtälö (8.69) on analoginen sähkövuon tiheyttä D koskevan vastaavan yhtälön kanssa [Gaussin laki eli Maxwellin ensimmäinen yhtälö (8.21)], V • D = pe

(8.70)

missä nyt merkitsemme varaustiheyttä pe:llä. Yhtälö (8.69) ei kuitenkaan välttämättä kiellä magneettisten varausten eli magneettisten monopolien olemassaoloa, kuten seuraavassa osoitamme. Olettakaamme, että sähkövarausten qe lisäksi on olemassa myös magneettivarauksia qm. Merkitsemme magneettivaraustiheyttä p m :llä ja vastaavaa virrantiheyttä j m :llä. Maxwellin yhtälöiden (8.21) luonnollinen yleistys on silloin V • D = pe, —V x E = j m + dtB ,

V • B — pm V x H = j e + dfD (8.71)

Oletamme yksinkertaisen tapauksen D = e0E ,

B = /i 0 H

(8.72)

Yhtälöt (8.71) ovat invariantteja seuraavien ns. dyaliteettimuunnosten suhteen (a on mielivaltainen parametri): E

E' = E cos a + cB sin a

cB —» cB' = —E sin a + cB cos a (8.73) ja 1 qe —> q'e = qe cos a H qm sin a Po c 1 Qm -> Qm = Qe sin a. + qm COS a 6QC

(8.74) Yhtälöistä (8.74) seuraa, että varaustiheydet pe, pm ja virrantiheydet j e , j m muuntuvat samalla tavalla kuin varaukset qe, qm. Yhtälöiden (8.71)

8.5. MAGNEETTISET

MONOPOLIT

139

invarianssi muunnosten (8.72)-(8.74) suhteen tarkoittaa sitä, että samat yhtälöt pätevät kenttiin E', H', D' ja B': V-D'=ye, - V x E' = j' m + d t B',

V - B ' = p'm V x H' = j' e + dtD' (8.75)

Dyaliteettimuunnosten avulla voimme myös päätellä, mikä on Lorentzin voiman (1.5) yleistys koskemaan magneettista varausta qm. Sähkövaraukseen qe vaikuttava Lorentzin voima on F e = qe(E + v x B)

(8.76)

Suorittamalla dyaliteettimuunnos kulman a arvolla 7t/2 saadaan Fra = ? r a ( H - v x D )

(8.77)

Lähtökohtanamme olivat kenttäyhtälöt (8.71), jotka kuvaavat sähköjä magneettivarauksista aiheutuvia kenttiä. Jos kaikkien hiukkasten sähköjä magneettivarausten suhde on sama, voidaan magneettivaraukset qm poistaa kokonaan suorittamalla kulman qm a = arctan ( — — \l cqeJ

(8.78)

suuruinen kierto. Silloin nimittäin muunnetut yhtälöt (8.75) palautuvat täsmälleen Maxwellin yhtälöiksi (8.21). On siis tietyssä mielessä puhdas konventio, kun sanomme, että tavalliset Maxwellin yhtälöt (8.21) eivät salli magneettisia monopoleja. Kysymys magneettisten monopolien olemassaolosta on viime kädessä kokeellinen. Tämä kysymys on pitkään ollut kokeilijoiden huomion kohteena. Aika ajoin on julkaistu tuloksia, jotka viittaavat siihen, että monopoleja on olemassa. Tarkemmat analyysit ovat kuitenkin paljastaneet, että lähes kaikki nämä tiedonannot ovat olleet virheellisiä. B. Cabreran 1982 julkaisema raportti [Physical Review Letters 48 (1982) 1278] viittaa monopolien olemassaoloon. Tätä tietoa ei ole myöhemmin varmistettu eikä kumottu, joten kysymys magneettisten monopolien olemassaolosta on avoin.

140

LUKU 8. FARADAYN

LAKI JA MAXWELLIN

YHTÄLÖT

_

Luku 9 K e n t ä n energia j a liikemäärä Olemme luvuissa 5 ja 7 käsitelleet staattisten ja stationaaristen kenttien energiaa. Tässä luvussa yleistämme aikaisemmat tulokset yleisiin dynaamisiin (ajasta riippuviin) kenttiin — kuitenkin yksinkertaisuuden vuoksi ilman väliaineita — sekä johdamme sähkömagneettisen kentän liikemäärän. Nämä tarkastelut johtavat myös luontevasti Maxwellin yhtälöiden yksikäsitteisyyslauseeseen, jonka todistamme tämän luvun lopussa.

9.1 9.1.1

Sähkömagneettisen kentän energia Energian säilyminen, P o y n t i n g i n lause

Tarkastelemme aluksi pistemäistä varausta q annetussa kentässä (E,B). Olkoon varauksen nopeus v tiettynä hetkenä t. Varaukseen vaikuttaa Lorentzin voima (1.5), F = g(E + v x B )

(9.1)

joten pistevarauksen energian lisäys dW matkalla ds = vdt on dW = qE • vdt eli

dW l r

= ,E.v

(9.2)

(9.3)

Tämä ilmaisee kentän varaukselle q luovuttaman tehon eli kentän tehohäviön. Huomaamme, että magneettikenttä ei vaikuta tässä, koska v J_ v x B.

LUKU 9. KENTÄN

142

ENERGIA

JA

LIIKEMÄÄRÄ

Edellisen yleistyksenä tarkastelemme tilannetta, jossa meillä on jatkuva varaustiheys, mutta ei polaroituvaa tai magnetoituvaa ainetta. Silloin kentän tehohäviö äärellisessä alueessa V on ^ f

i

= j(/3rj(r,i)-E(r,t)

(9.4)

Kentän tehohäviö (9.4) tarkoittaa sitä, että kentän energia pienenee sen muuttuessa virrantiheyden j aiheuttavien varausten mekaaniseksi energiaksi. Käytämme nyt Maxwellin yhtälöitä (8.27)-(8.30) todetaksemme energian säilymisen lähtien kaavasta (9.4). Eliminoimme virrantiheyden j yhtälöstä (9.4) viimeisen Maxwellin yhtälön (8.30) avulla, [ d3r j • E = [ d3r [E • (V x H) - E • h

a v

(9-25)

Kun pinta dV valitaan niin etäiseksi, että kentät häviävät siellä, yhtälön (9.25) oikea puoli on nolla. Vasemmalla puolella oleva suure (.. ,)j on silloin säilyvä suure. Sen luonnollinen tulkinta on, että se on varausten ja kenttien muodostaman kokonaisjärjestelmän liikemäärän i-komponentti. Sähkömagneettisella kentällä on täten liikemäärää, jonka tiheys on D x B = e0p0E x H = —S 1

(9.26)

c

Vektori S on Poyntingin vektori (9.14). Kentällä on täten myös pyörimismäärää, jonka tiheys on •4- r x S c

9.3

(9.27)

K e n t t ä y h t ä l ö i d e n yksikäsitteisyyslause

Oletamme edelleen, että avaruudessa ei ole polaroituvaa tai magnetoituvaa ainetta, joten D = e 0 E,

H = —B Ho Maxwellin yhtälöt (8.21) tai (8.27)-(8.30) ovat V •D =

p,

V x H = j +

on ei-negatiivinen, joten yhtälö (9.40) voi toteutua vain jos £ = B = 0,

reV

(9.42)

Olemme siis päätyneet siihen, että Maxwellin yhtälöiden ratkaisut ovat yksikäsitteisiä yllä annetuilla alku- ja reunaehdoilla. Yllä todistimme Maxwellin yhtälöiden yksikäsitteisyyslauseen vain äärellisen avaruusalueen V tapauksessa. Lauseen laajentaminen koko avaruuteen R 3 on mahdollista. Tällöin voidaan ajatella, että ensin valitaan V = {r | |r| < R}

(9.43)

ja sitten suoritetaan rajankäynti R —> oo. Ehdon (9.39) tilalle tulee nyt lim /

<Pan- {£ x H) = 0

(9.44)

J\T\=R

Tämä ehto takaa Maxwellin yhtälöiden ratkaisujen E ja B yksikäsitteisyyden annetuilla alku- ja reunaehdoilla, kun alue V on koko avaruus R3. Todistamamme yksikäsitteisyyslause osoittaa, että tiettyyn hetkeen to (yllä to = 0) pätevien alkuehtojen lisäksi tarvitaan myös reunaehtoja tarkasteltavan alueen V reunalla dV, jotta Maxwellin yhtälöiden ratkaisut olisivat yksikäsitteisiä. Reunaehdot (9.39), tai vaihtoehtisesti (9.44) tapauksessa V = R3, ovat yksinkertaisia esimerkkejä tällaisista reunaehdoista. Sovelluksissa on aina tutkittava reunaehdot ongelmakohtaisesti. Reunaehdot (9.39) tai vaihtoehtoisesti (9.44), kun V = R3, saattavat asettaa liian ankaria vaatimuksia Maxwellin yhtälöiden ratkaisuille joissakin tapauksissa.

Luku 10 K e n t t i e n E j a B aaltoyhtälöt 10.1

Yleinen aaltoyhtälö

Luvussa 8 osoitimme, että skalaari- ja vektoripotentiaali toteuttavat epähomogeenisen aaltoyhtälön, kun käytetään Lorentzin mittaa. Tämä antaa aiheen uskoa, että myös kentät E ja B toteuttavat aaltoyhtälön. Osoitamme tämän todeksi. Oletamme, että avaruudessa on magnetoituvaa ja polarisoituvaa isotrooppista ainetta, mutta yksinkertaisuuden vuoksi oletamme, että aineen johtavuus on tasan nolla. Rakenneyhtälöt ovat silloin D = eE

(10.1)

(10.2)

Alueessa, jossa permittiivisyys e ja permeabiliteetti /1 ovat vakioita, Maxwellin yhtälöt (8.21) ovat nyt 1 V • E = -p e

(10.3)

V •B = 0

(10.4) (10.5) (10.6)

150

LUKU 10. KENTTIEN

E JA B

AALTOYHTALOT

Soveltamalla vektorioperaattoria V x yhtälöön (10.5) ja käyttämällä muita yhtälöitä (10.3)-(10.6) saadaan ^ - V » E = - i v , - „ !

(10.7)

Samalla tavalla saadaan yhtälöstä (10.6) ja muista yhtälöistä (10.3)—(10.5) 2 = 0. Toinen on taittunut aalto (E',B'), joka etenee väliaineessa (e'> A4')» E'(r, t) =

,

B'(r, t) = ^k' LO

x E'(r, t)

(10.38)

LUKU 10. KENTTIEN

156

E JA B

AALTOYHTALOT

missä

u' = v'h>,

v' = - 1, n

(10.39)

y e0yu0

Toinen on heijastunut aalto (E",B"), joka etenee väliaineessa (e, /i), E"(r, t) =

,

B"(r, t) = - ^ k " x E"(r, t) LO

(10.40)

missä UJ" = vk" ,

u= n

n = J ( 1 0 . 4 1 ) V e0/i0

Edeltävissä kaavoissa esiintyvät vapaat parametrit on määritettävä kenttien yleisistä reunaehdoista (8.25) ja (8.26), lim • [D(x, y, +h, t) — T)(x, y, — h, i)] = 0 /i—>o lim e 2 • [B(&, y, +h, t) — B(rc, y, —h, t)] = 0 h-¥ 0

(10.42)

ja lim e 2 x -E (.7;. y. +h, /.) - E(.t. y, /i-s-0 l i m e z x m(x,y,+h,t)-H(x,y,-h,t)] >o

=

0

=

0

- l i . t)}

(10.43)

missä rakenneyhtälöt (10.1) ja (10.2) ovat voimassa. Puoliavaruudessa z > 0 on E(r, t) = E'(r, t),

z>0

(10.44)

kun taas puoliavaruudessa z < 0 on E(r, t) = E tu i(r, t) + E"(r, t),

4 < 0

(10.45)

Vastaavat lausekkeet pätevät B-kenttiin. Tarkastelemme ensin tangenttikomponenttiehtoa (10.43) pisteessä x = y = o,

ez x (E ( ) (r i a ; ' + E{,Vr' v '' - E ^ e " ^ ) = 0

(10.46)

Tämä ehto voi toteutua vain jos CJ = UJ' = cv" kuten helposti todetaan (harjoitustehtävä).

(10.47)

10.4. TASO AALTOJEN

SIRONTA

RAJAPINNASTA

157

Vastaavasti tarkastelemalla ehtoa (10.43) hetkellä t — 0 todetaan, että (k • r) | z = 0 = (k' • r) U=0 - (k" • r) |, = 0

(10.48)

Nämä ehdot osoittavat, että vektorit k, k' ja k" ovat kaikki samassa tasossa, ts. rrz-tasossa, koska niiden erotukset ovat kohtisuorassa r-vektoria vastaan, e* x (k - k') = 0, e z x (k — k") = 0 (10.49) Ehdosta (10.47) seuraa, että |k| = |k'| = |k"|. Jälkimmäinen kaavoista (10.49) johtaa silloin heijastumisen lakiin (merkinnät kuvassa 10.5) 6 = 9" Tulosten (10.36) ja (10.39) avulla seuraa ensimmäisestä kaavasta taittumisen laki sin 6 v n' = sm 6' v' n Kaava (10.51) tunnetaan valon taittumista koskevana Snelliuksen

(10.50) (10.49) . (10.51) lakina.

Yllä olemme käyttäneet vain osan reunaehtojen informaatiosisällöstä. Ehtojen täydellisempi analyysi johtaa aaltojen amplitudien välisiin relaatioihin. Palaamme reunaehtoihin (10.42) ja (10.43). Niistä saadaan relaatiot e z • [e(E0 + E[,') - e'E'0] = 0

(10.52)

e z • (k x Eo + k" x E'0' - k' x E'0) = 0

(10.53)

e, x (E 0 + Eq - E'0) = 0

(10.54)

- ( k x E 0 + k" x E") - - k ' x E' fj, n'

(10.55)

Yhtälön (10.49) mukaan vektorit k, k' ja k" ovat samassa tasossa; tämän xz-tason virittävät esimerkiksi vektorit e 2 ja k. Tarkastelumme rajoittuu tasopolaroituneisiin aaltoihin. Oletamme, että tuleva aalto E tu i (ja siis Eo) on kohtisuorassa xz-tasoa vastaan, E 0 = E0yey

(10.56)

Vektorit Eq ja E'0' ovat kohtisuorassa vektoreita k' ja k" vastaan. Yhtälöistä (10.52)—(10.54) seuraa (harjoitustehtävä), että myös vektorit E'0 ja E'0' ovat kohtisuorassa zz-tasoa vastaan, E; = E'ey

(10.57)

158

LUKU 10. KENTTIEN

E JA B

AALTOYHTALOT

K = Ky*y

(10-58)

Yhtälöistä (10.54) ja (10.55) seuraa nyt, että E0y + Ky - E'0y

(10.59)

ja ^(Eoy

+ Ky) cos 9 - J^-E'0y

cos 9' = 0

(10.60)

Tästä yhtälöparista ratkaistaan E'0y ja E"y tulevan aallon amplitudikomponentin E$y funktioina: 2-y/e/pcos 9 K, =

K

\JtjH cos 9 + \Je'///

- E * cos 9'

\Jtj[i cos 9 — y V //i' COS 9' = ^V/ r/ -i cos 0„ +. \V tA J d I [ i ! cos 9'

(10.61)

^A(1)^

7

= ^A(2)X1), 7

= [M(1)M(2)] Q 7

(11.37)

Kahden Lorentzin muunnoksen tulo toteuttaa siis ehtojen (11.28) kanssa ekvivalentit ehdot (11.32). Johtopäätöksemme on, että kahden Lorentzin muunnoksen yhdiste, matriisitulo A(1)A(2), on Lorentzin muunnos. Ryhmäominaisuus 3 on näin todistettu, joten olemme todentaneet kaikki ryhmäominaisuudet 1-4. Sellaiset lineaarimuunnokset A, jotka toteuttavat ehdon (11.28) tai vaihtoehtoisesti ekvivalentin ehdon (11.34), muodostavat ryhmän, joka

166 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

on nimeltään Lorentzin ryhmä. Analysoimme vielä tämän ryhmän rakennetta. Kun /i = v = 0, ehtoyhtälöistä (11.28) saadaan (A°o) 2 - E

(A°,)2 = 1

(11-38)

fc=i Yhtälöstä (11.38) seuraa, että joko A°0 > 1

(11.39)

A°0 < - 1

(11.40)

tai

Yhtälöistä (11.28) edelleen seuraa melko suoraan, että joko det A = + 1

(H-41)

tai det A = —1

(11.42)

Lorentzin muunnokset jakaantuvat siis neljään luokkaan ominaisuuksien (11.39)—(11.42) mukaan. Rajoitamme jatkotarkastelun sellaisiin muunnoksiin, jotka eivät käännä ajan suuntaa. Niillä on ominaisuus (11.39) ja niitä kutsutaan ortokronisiksi muunnoksiksi. Emme myöskään käsittele koordinaattien peilauksia sisältäviä muunnoksia, joilla on leimallisena ominaisuus (11.42). Niitä muunnoksia, joilla on molemmat ominaisuudet (11.39) ja (11.41), kutsutaan varsinaisiksi ortokronisiksi Lorentzin muunnoksiksi. Ne muodostavat varsinaisen ortokronisen 6-parametrisen Lorentzin ryhmän, jota usein merkitään symbolilla L \ , L\ = { A | g

11.3

a P

A ^ = g ^ , A°0 > + 1 , det A = + 1 }

(11.43)

Vakionopeudella liikkuva koordinaatisto

Aaltoyhtälön lineaarinen ja homogeeninen invarianssiryhmä, homogeeninen Lorentzin ryhmä, muodostuu kaikista ei-singulaarisista koordinaattien (ja ajan) lineaarimuunnoksista, jotka jättävät neliömuodon (11.26)

11.3. VAKIONOPEUDELLA

LIIKKUVA

KOORDINAATISTO

167

tai vaihtoehtoisesti neliömuodon (11.33) invariantiksi. Jälkimmäisestä ehdosta seuraa, että myös koordinaattien xM neliömuoto S2 on invariantti Lorentzin muunnoksissa: S 2 := g ^ x

v

= {ct)2 ~x2-y2-z2

(11.44)

Neliömuodon (11.44) invarianssi karakterisoi koordinaatistojen välisiä muunnoksia. On kuitenkin aiheellista rajoittaa mahdollisia koordinaatistoja vaatimalla, että ne ovat ns. inertiaalijärjestelmiä. Inertiaalijärjestelmällä tarkoitetaan aika-avaruuskoordinaatistoa, jossa vapaa hiukkanen (johon siis ei vaikuta ulkoisia voimia) joko pysyy levossa tai liikkuu vakionopeudella. Osoitamme myöhemmin, että inertiaalijärjestelmä muuntuu inertiaa]ijärjestelmäksi Lorentzin muunnoksissa. Klassisesta mekaniikasta periytyvä inertiaalijärjestelmän käsite on relevantti ja hyödyllinen myös silloin, kun mahdolliset koordinaatistot muuntuvat toisikseen Lorentzin ryhmän muunnosten mukaisesti. Tarkastelemme nyt sellaista Lorentzin muunnosta, jonka avulla siirrytään z-akselin suuntaan vakionopeudella liikkuvaan koordinaatistoon. Olkoon meillä koordinaatisto K, jonka koordinaatit ovat aika t ja avaruuskoordinaatit x, y, z. Tarkastelemme toista koordinaatistoa K', joka liikkuu vakionopeudella v koordinaatiston K suhteen x-akselin suuntaan. Sovimme, että koordinaattitasot y = 0 ja z = 0 yhtyvät vastaaviin tasoihin y' = 0 ja z' = 0 K':ssa ja että koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t' = 0 (kuva 11.1).

K

'z

-z

Kuva 11.1: Tasaisella nopeudella v x-suuntaan liikkuva koordinaatisto. Tiedämme, että K:n ja K':n välinen muunnos säilyttää neliömuodon (11.44) invarianttina, (ct)2

-x2-y2

2

- (ct1)2 - x'2 - y'2

~'2

(11.45)

168 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Olemme sopineet, että koordinaattitasot y = 0 ja y' = 0 sekä z — 0 ja z' = 0 yhtyvät, joten y

= 0&y'

= 0,

z

z' -0

(11.46)

Sijoittamalla y = z = 0 kaavaan (11.45) saadaan {ct)2 - x2 = {ct')2 - x'2

(11.47)

Vähentämällä yhtälö (11.47) yhtälöstä (11.45) saadaan 2 y

+ ^ = y'2 + z12

(11.48)

Kun z = 0, saadaan kaavasta (11.48) y = ±y'

(n.49)

s = ±z'

(11.50)

sekä vastaavasti Rajalla v —> 0 täytyy olla z' —> z, y' —> y, joten ainoastaan positiivinen etumerkki kelpaa kaavoissa (11.49)—(11.50) eli eli y' = y,

z' = z

(11.51)

Arvoa x' = 0 vastaa a;:n arvo x = vt, joten x' = A(x-vt)

(11.52)

missä A on (mahdollisesti i>:stä riippuva) vakio. Muuttuja t' on a;:n ja t:n lineaarinen funktio, t' = Bx + Ct

(11.53)

missä B ja C ovat (taas mahdollisesti v:stä riippuvia) vakioita. Sijoittamalla lausekkeet (11.52) ja (11.53) ehtoyhtälöön (11.47) ja vertaamalla muuttujien x2, xt ja t2 kertoimia saadaan 1

A = C=—= , v/l - w2/c2

-v/c2 B = 7 ' = v/l - z;2/c2

(11.54)

Lorentzin muunnos pitkin z-akselia vakionopeudella v liikkuvaan koordinaatistoon K' on siis seuraava: x — vt x v/l - v2/c2 y' = y

z = z (v/c2)x t, = t y i - v 2 /c 2 (11.55)

11.3. VAKIONOPEUDELLA

LIIKKUVA

KOORDINAATISTO

169

Muunnos (11.55) on mielekäs vain jos < c; Lorentzin muunnos ei salli siirtymistä valoa nopeammin liikkuvaan koordinaatistoon. Toisaalta, jos nopeus v on pieni verrattuna valon nopeuteen c, on muunnos (11.55) likimain klassisen fysiikan Galilein muunnos (11.22). Galilein muunnos on Lorentzin muunnoksen rajatapaus muodollisella rajalla c —» oo. Muunnoksen (11.55) käänteismuunnos on odotettavasti olemassa. Se saadaan ratkaisemalla yhtälöt (11.55) alkuperäisten muuttujien (x,y,z) suhteen. Yksinkertaisimmin ratkaisu saadaan vaihtamalla (t', x', y', z') -O(t,x,y,z) ja v t'

= t,

x

x' = i?x, |x| = |x'|

(11.60)

Yhdistämällä nämä eri Lorentzin muunnokset voidaan siirtyä mielivaltaisen suuntaiseen suorakulmaiseen koordinaatistoon, joka liikkuu vakionopeudella v mielivaltaiseen suuntaan (kuva 11.2).

y X

Kuva 11.2: Vakionopeudella v mielivaltaiseen suuntaan liikkuva koordinaatisto K'.

11.4

Kenttien E ja B muunnokset

Toteamme kertauksena kappaleen 11.1 tuloksen. Lähteettömien Maxwellin yhtälöiden muotoinvarianssivaatimuksen seurauksena sallitut muunnokset ovat konformiryhmän muunnoksia. Olemme rajoittaneet koordinaattimuunnosten yksityiskohtaisen tarkastelun konformiryhmän aliryhmään, nimittäin Lorentzin ryhmään, ja vielä tarkemmin varsinaiseen ortokroniseen Lorentzin ryhmään L\, joka määriteltiin kaavassa (11.43). Olennaiset oletukset olivat seuraavat: 1. Valon nopeus ei muutu koordinaatimuunnoksissa (valon nopeuden invarianssi); suureet e0 ja eivät muutu koordinaatimuunnoksissa.

11.4. KENTTIEN

E JA B

171

MUUNNOKSET

2. Kentät E ja B muuntuvat lineaarisesti

koordinaattimuunnoksissa.

Tarkoitus on nyt selvittää, miten itse kentät E ja B muuntuvat Lorentzin muunnoksissa A € L+. Täydellisyyden vuoksi oletamme nyt, että kentillä E ja B on lähteitä, ts. että avaruudessa on tietty varausjakauma p(t, x) ja virrantiheys j(t, x), mutta ei polaroituvaa tai magnetoituvaa ainetta. Maxwellin yhtälöt ovat silloin [vrt. yht. (8.21)] V - E (t,x) = - p ( t , x )

(11.61)

V • B(t,x) = 0

(11.62)

V x E(t, x) = - d t B ( t , x)

(11.63)

V x B(t, x) = p 0 j(t, x) + e 0 /2 0 d t E(t, x)

(11.64)

missä 1 eono = — (11.65) & Aikaisemmasta tiedämme, että Maxwellin yhtälöihin sisältyy varauksen säilyminen jatkuvuusyhtälönä (6.11) lausuttuna. Komponenttimuotoisena se on d . . d . . . = 7 \dx +

,

dy> = dy ,

dz> = dz (11.71)

Tarkastelemme ensin jatkuvuusyhtälöä (11.66). Lausumme tässä yhtälössä esiintyvät osittaisderivaatat muuttujien (£', x', y', z') avulla. Kaavat (11.70) antavat d.

7P ~ 1~Ö3X + dx> [7jx - -yvp] + dyi [jy] + dz> [jz] = 0 c

(11.72)

Yhtälö (11.72) antaa aiheen seuraaviin alustaviin tunnistuksiin: p'(t', x', y', z') = 7 (p(i, x, y, z) j'x>if,x\y',z!)

= j(jx(t,x,y,z)

j'y>{t',x',y',z')

=

j'zl(t',x',y',z')

= jz(t,

-

jx(t, x, y, z)j vp(t,x,y,z)^J

jy{t,x,y,z) x,y,z) (11.73)

Yhtälöt (11.73) viittaavat siihen, että komponentit ( p , j x , j y , j z ) muuntuvat Lorentzin muunnoksissa samalla tavalla kuin koordinaatit ( t , x , y , z ) . Tarkastelemme tämän jälkeen homogeenisia Maxwellin yhtälöitä (11.62) ja (11.63). Eliminoimme näistä yhtälöistä muuttujien ( t , x , y , z ) suhteen otetut osittaisderivaatat samalla tavalla kuin jatkuvuusyhtälön tapauksessa. Tulos on dx,[Bx]+dy,

7 (By +

-E,

dz, 7 [ B z ~ T 2 E y

0

(11.74)

11.4. KENTTIEN

E JA B

173

MUUNNOKSET

ja dx'h'(Ey - vBz)} - dy,[Ex dy^(Ez

+ vBy)] -

-

dz,[Ex] - dx,[j(Ez

-d,

7 [Bz-

= -dt>[Bx]

+ vBy)} = -dt,

7

(By +

~EZ) (11.75)

Nämä yhtälöt antavat aiheen seuraaviin tunnistuksiin: E'x,(t',x',y',z') E'yi (t',x',y', E'z,(t',x',y',z')

=

Ex(t,x,y,z)

z') = 7(Ey(t,x,y,z) = 7 (Eg(t,x,y,z)

-vBz(t,x,y,z)^) +

vBy(t,x,yiz)^ (11.76)

B'xl(t',x',y',z')

=

Bx(t,x,y,z)

B'y,(t', x', y\ z') = 7(Bv(t, B'z,(t',x',y',z')

x, y, z) + ^Ez{t,

= 7(^Bz(t,x,y,z)

x, y, z f j

- ^Ey(t,x,y,

z)) (11.77)

Tähänastisen tarkastelun tiivistelmänä voimme todeta seuraavan. Jos kentät E'(f', a/, y\ z') ja B ' ( t ' , x ' , y ' , z ' ) määritetään kaavojen (11.76) ja (11.77) mukaisesti Lorentzin muunnoksessa K —>• K', kun koordinaatit muuntuvat kaavojen (11.67) mukaisesti, niin homogeeniset Maxwellin yhtälöt (11.62)—(11.63) ovat voimassa samanmuotoisina koordinaatistossa K' kuin koordinaatistossa K. On siis vielä tutkittava, pätevätkö epähomogeeniset Maxwellin yhtälöt (11.61) ja (11.64) koordinaatistossa K' yhtälöiden (11.76) ja (11.77) mukaisiin kenttiin E'(£', x', y', z') ja B'(£', x', y', z') eli ovatko seuraavat yhtälöt voimassa: V ' - E , (t',x , ) = - p ' ( t ' , x ' ) Co V' x B'(i',x') = /i 0 j'(i',x') + e 0 / i o ^ E ' ( t , x ' )

(11.78) (11.79)

Kaavojen (11.76) antamat E'-kentän (x', y', z')-komponentit ja osittaisderivaatat (11.71) tuottavat tuloksen V' • E' = 7 V • E - yv ( V x B - —dtEyj

174 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA 7 1

P 0

^vfj,0Jx

/

JV .

e

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

— e0 1V7 P - ~2 c Jx (11.80)

missä olemme käyttäneet Maxwellin yhtälöitä (11.61) ja (11.64) sekä relaatiota (11.65). Näemme, että yhtälö (11.78) on voimassa, jos varaustiheys p' koordinaatistossa K' on p'(t\ x', y\ z') = 7 (p(t, x, y, z) - ~jx(t,

(11.81)

x, y, z)j

Tämä on sama tulos, ensimmäinen yhtälö (11.73), johon päädyimme jatkuvuusyhtälön (11.66) muuntumista tarkastellessamme. Käyttäen kaavoja (11.76) ja (11.77), osittaisderivaattalausekkeita (11.71) sekä Maxwellin yhtälöitä (11.61)-(11.64) ja relaatiota (11.65) saamme yhtälöstä (11.79) dx,B'y, - dy-B'x, - ^dt,E'z,

= dxBy - dyBx - i d t E z = Pojz

dy,B'z, - dz,B'ylV - -q2 2dvE'x, x = 7 (dyBz I

- dzBy - \dtEx

- ^2V • E c

= PolUx - vp) dz>B'x, - dx:B'z, - ^dt,E'y,

= dzBx - 8XBZ - ~8tEy

(11.82)

(11.83) = poJy

(11.84)

Näistä tuloksista päättelemme, että Maxwellin yhtälöt (11.79) ovat voimassa, jos myös virrantiheys j muuntuu kaavojen (11.73) mukaisesti. Tarkastelujemme tuloksena voimme todeta, että Maxwellin yhtälöt (11.61)—(11.64) ovat muotoinvariantteja Lorentzin muunnoksessa (11.67), jos muunnoskaavat (11.76) pätevät kenttään E ja muunnoskaavat (11.77) kenttään B sekä jos varaustiheys p ja virrantiheys j muuntuvat kaavojen (11.73) mukaisesti. Tuloksemme voidaan yleistää koskemaan muunnoksia y- tai z-suunnassa vakionopeudella liikkuviin koordinaatistoihin sekä myös koordinaatiston kiertoihin. Koska yleinen Lorentzin muunnos G L \ on tällaisten muunnosten yhdiste, voidaan kussakin tapauksessa konstruoida sellaiset kenttien E ja B sekä varaustiheyden p ja virrantiheyden j muunnoskaavat, että Maxwellin yhtälöiden muotoinvarianssi toteutuu. Palaamme tähän kysymykseen, kun kenttien E ja B Lorentz-tensoriluonne on selvitetty luvun 12 alussa.

11.5. TASAISELLA

11.5

NOPEUDELLA

LIIKKUVA

PISTEVARAUS

175

Tasaisella nopeudella liikkuva pistevaraus

Kenttien E ja B muunnosominaisuuksien sovelluksena laskemme vakionopeudella liikkuvan pistevarauksen sähkömagneettisen kentän. Oletamme, että varaus q liikkuu nopeudella v suuntaan, jonka valitsemme koordinaatiston K x-akseliksi. Varaus on siis levossa koordinaatistossa K', joka liikkuu nopeudella v pitkin K:n x-akselia ja joka yhtyy K\hon tämän mittaamalla hetkellä t = 0. Koordinaattien muunnoskaavat (11.67) sekä kenttien muunnoskaavat (11.76) ja (11.77) soveltuvat suoraan. Kokeellisesti tiedetään, että varaus on Lorentz-invariantti suure, q' = q. Oletamme, että koordinaatistossa K' levossa oleva pistemäinen varaus q sijaitsee K':n origossa. Levossa olevalla varauksella on Coulombin staattinen sähkökenttä mutta ei mitään magneettikenttää. Kenttä (E', B') on täten F'

-

q

X

'

F'

-

q

y

'

F'

q

-

z

'

m

missä R! := y/x'2 + y'2 + z'2

(11.86)

ja B'x, = 0,

B'y, =0,

B'z, = 0

(11.87)

Koordinaatistossa K vallitsevat kentät lasketaan suoraviivaisesti kaavojen (11.76) ja (11.77) käänteiskaavoista Ex(t, x, y, z) = E'x,(t', x\ y', z') Ey(t, x, y, z) = 7[£;, {t', x', y\ z') + vB'z, ( f , x', y\ z')] Ez (t, x, y, z) = j[E'z, ( f , x', ?/, z') - vB'y, ( f , x', y', z')\ (11.88)

Bx(t,x,y,z)

=

By(t,x,y,z)

= 7 B'(t',x',y',z')--E'z,(t',x',y',z')

Bz (t, x, y, z) =

B'x,(t',x',y',z')

7

(B'z, (t\ x', y\ z') + -E'

( f , x',y', z')) (11.89)

176 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Kun vielä käytetään relaatioita (11.67), lausekkeista (11.85) ja (11.87) saadaan n Ewx(t, x, y, z) =

9 7(z - vt) 47re0 Ä3 _J7 y_ = 7 47re0 R 3 g ^ = 7 47re0 Ä 3

Ey(t,x,y,z) Ez(t,x,y,z)

(11.90) Bx(t,x,y,z) /, BDy(t,x,y,z) Bz(t,x,y,z)

=0 \

= =

7v q z c2 47re0 -R3 y_ ' c 2 47ren R3

(11.91) missä

R:= ^^(x

- vty + yi + z2

(11.92)

Tasaisella nopeudella liikkuvalla pistevarauksella on siis paitsi sähkökenttä E myös magneettikenttä B, kuten voidaan odottaa Amperen laista lähtien. Kun liike tapahtuu nopeudella v x-akselin suuntaan, kenttien täsmälliset lausekkeet ovat yhtälöt (11.90) ja (11.91). On huomattava, että saamamme kvantitatiiviset tulokset pätevät vain tasaisella nopeudella liikkuvaan pistevarukseen. Yleisessä liikkessä olevan pistemäisen varauksen synnyttämät kentät johdetaan luvussa 13.

11.6

Aika-avaruus; Lorentz-tensorit

Palaamme kappaleessa 11.1 esitettyyn aika- ja paikkakoordinaattien merkintätapaan (x°, x\ X2, X3) = (ct, x, y, z) (11.93) Komponentit x^ (p = 0,1, 2, 3) ovat tietyn inertiaalijärjestelmän K muodostaman neliulotteisen avaruuden eli ns. aika-avaruuden tai neliavaruuden pisteiden karteesiset koordinaatit. Siirtyminen toiseen inertiaalijärjestelmään K' tapahtuu yleisen Lorentzin muunnoksen (11.21) avulla, x» -> x'" = t ^ y ,

(0,1,2,3)

(11.94)

11.6. AIKA-AVARUUS;

LORENTZ-TENSORIT

177

Kertoimet A ^ toteuttavat ehdon (11.28) tai vaihtoehtoisesti ehdon (11.34), f » A \ A \ = g"",

w

= (0,1,2,3)

(11.95)

tai gap A%A*V =

(11.96)

9tw

Ainoastaan ne lineaarimuunnokset (11.94), jotka toteuttavat jommankumman ehdoista (11.95) tai (11.96) (toinen on toisen seuraus) ovat Lorentzin muunnoksia. Nelikomponenttinen suure x := (x°,x\x2,x3)

(11.97)

on aika-avaruuden paikkavektori. Tämä vektori muuntuu kaavan (11.94) ilmoittamalla tavalla Lorentzin muunnoksissa. Yleistämme nyt vektorikäsitettä seuraavasti. Jokaista nelikomponenttista yläindeksistä suuretta V = (V0,V\V2,V3)

(11.98)

joka muuntuu kuten paikkavektori, yhtälö (11.94), sanotaan tiksi nelivaktoriksi. Sen muunnoskaava on siis V"(x) A V'"(x') = A'LuVv{x)

kontravarian-

(11.99)

Kertomalla kahden kontravariantin vektorin U ja V komponentit keskenään saadaan kaksi-indeksinen suure T ^ , TtiV{x) Suure

:= U»{x)V»{x)

(11.100)

muuntuu seuraavasti Lorentzin muunnoksessa A: T^(x)

A T'^(x')

= A»aAu0T^(x)

(11.101)

Muunnosominaisuus (11.101) otetaan nyt käyttöön toisen kertaluvun tensorin määritelmänä: jokaista yläindeksistä suuretta , joka Lorentzin muunnoksessa muuntuu kaavan (11.101) mukaisesti, sanotaan toisen kertaluvun kontravariantiksi tensoriksi. Tätä puhetapaa käyttäen nelivektori on ensimmäisen kertaluvun kontravariantti tensori ja skalaari nollannen kertaluvun tensori. Voidaan edelleen määritellä kolmannen kertaluvun kontravariantteja tensoreita X a / 3 l t , __ ^a y^/3

vu

(11.102)

178 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

sekä ilmeisenä yleistyksenä iV:nnen kertaluvun kontravariantteja (yläindeksisiä) tensoreita. Kohdassa 11.2 määrittelimme suureen g1*", kaava (11.23). Tarkistamme onko se tensori. Muodostamme suureen g,»u =

A ,aAUggap

(1L103)

Lorentzin muunnosehdon (11.95) mukaan on

{

+1 jos n = v — 0

- 1 jos 0 = 1/= (1,2,3) (11.104) 0 jos [i + v Muunnosominaisuus (11.103) takaa siis sen, että määritelmä (11.23) pätee jokaisessa koordinaatistossa. Täten komponenttikokoelma g ^ määrittelee tensorin g, jolla on se erikoisominaisuus, että sen komponentit ovat muuttumattomia Lorentzin muunnoksissa. Tensoria g^v sanotaan (kontravariantiksi) metriseksi tensoriksi. Tensoreista yleisesti käytettävä terminologia on sikäli väljää, että tensorin g komponentteja myös sanotaan tensoriksi. Olemme määritelleet myös suureen g a p [yht. (11.24)] r

( 1 U 0 5 )

=

Ratkaisuksi saimme [yht. (11.25)]

{

+ 1 jos fJL = v = 0

- 1 jos n — v — (1, 2, 3) (11.106) 0 jos [i + v Määrittelemme seuraavan operaation yläindeksin muuttamiseksi alaindeksiksi: (11.107) Komponentit

n = (0,1, 2, 3), muodostavat ns. kovariantin vektorin x, x := (x0,xi,x2,x3)

(11.108)

Voi myös puhua vektorin x kovarianteista komponenteista xM ja kontravarianteista komponenteista p = (0,1, 2, 3). Kaavan (11.105) mukaan indeksit nostetaan käytämällä g ^ : t ä , x^ = g» v x v

(11.109)

11.6. AIKA-AVARUUS;

LORENTZ-TENSORIT

179

Näitä indeksien nosto- ja laskusääntöjä sovelletaan yleisesti moni-indeksisiin suureisiin, esimerkiksi Tf =

(11.110)

On huomattava, että indeksien sijainti on merkityksellinen sekä vaakaettä pystysuunnassa. Jos kirjoittaa indeksit päällekkäin esimerkiksi kaksikomponenttisessa suureessa, ei voi tietää indeksien järjestystä kontravariantissa tai kovariantissa komponenttimuodossa eli silloin kun indeksit ovat vierekkäin ylä- tai alaindekseinä. Selvitämme nyt, miten paikkavektorin kovariantit komponentit muuntuvat Lorentzin muunnoksissa. Pudottamalla paikkavektorikomponenttien indeksit kaavassa (11.94) yllä annetun säännön mukaisesti saadaan x^\x'^gmKapg^xv

(11.111)

Mutta Lorentzin muunnoksen ehdoista (11.95)—(11.96) seuraa [vrt. yht. (11.31) ja (11.32)], että ( a - T ^ s ^ A / ^ A ; '

(ii.II2)

Tästä kaavasta saadaan käänteisesti yhtälöt (11.95)—(11.96). Paikkavektorin kovariantit komponentit muuntuvat siis kaavan ( A " 1 ) ^ - A;xu

(11.113)

mukaisesti. Yhtälön (11.44) määrittelemä neliömuoto S2(x) on S2{x) = g ^ x

u

= xvxv

(11.114)

Kaavojen (11.94) ja (11.113) avulla todetaan heti, että S2 on invariantti, S2(x') = x^x"1 = xw(\-1)%Miaxa = xv5\xa = xvxv = S2(x)

(11.115)

Kovarianttien tensorikomponenttien Lorentz-muunnoskaavat saadaan yleisesti vastaavista kontravarianttien komponenttien muunnoskaavoista pudottamalla indeksit, esimerkkinä T^x)

A TlJx')

=

A*AfTa0(x)

(11.116)

180 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Voidaan todeta, että kovariantit komponentit g m u o d o s t a v a t toisen kertaluvun tensorin g, jolla on se erikoisuusominaisauus, että komponentit pysyvät muuttumattomina Lorentzin muunnoksissa. Olemme edellä esittäneet ne Lorentzin tensorialgebran alkeet, joiden avulla sähködynamiikka voidaan pukea yksinkertaiseen, ns. kovarianttiin eli relativistiseen muotoon.

11.7

Suhteellisuusperiaate j a dynamiikka

Tähän mennessä olemme todenneet, että jos Maxwellin yhtälöt pätevät yhdessä inertiaalikoordinaatistossa, ne pätevät samanmuotoisina myös kaikissa tämän koordinaatiston Lorentzin muunnoksilla saatavissa inertiaalikoordinaaatistoissa. Sähködynamiikan ilmiöiden avulla ei siis voida osoittaa, että mikään inertiaalikoordinaatisto olisi erikoisasemassa muiden Lorentz-ekvivalenttien inertiaalikoordinaatistojen rinnalla. On osoittautunut hedelmälliseksi yleistää kyseinen toteamus kaikkia fysikaalisia ilmiöitä koskevaksi periaatteeksi. Tämä on ns. suppea suhteellisuusperiaate. Suppea suhteellisuusperiaate eli Einsteinin periaate (Albert Einstein, 1879-1955) voidaan lausua seuraavasti: Kaikki Lorentzin muunnosten yhdistämät inertiaalijärjestelmät manarvoisia kaikkien fysikaalisten tapahtumien kuvailussa.

ovat sa-

Fysiikan teorianmuodostuksen kannalta tämä suhteellisuusperiaate tarkoittaa sitä, että kaikki dynaamiset yhtälöt (järjestelmän liikeyhtälöt, kenttäyhtälöt) on voitava lausua siten, että ne ovat muotovariantteja Lorentzin muunnoksissa. Klassisessa fysiikassa (= fysiikka ilman kvanttimekaniikkaa) tämä tarkoittaa sitä, että ainoastaan sellaiset yhtälöt, jotka voidaan kirjoittaa Lorentz-tensoriyhtälöinä, voivat tulla kysymykseen. Tarkastelemme seuraavassa massapistemekaniikkaa käyttäen suhteellisuusperiaatetta ohjenuorana. Klassisessa mekaniikassa kuvaamme pistemäisen hiukkasen liikettä pitkin hiukkasen liikerataa, joka on kolmiulotteisen avaruuden käyrä, rataparametrinä aika t. Olemme todenneet, että Lorentzin muunnokset johtavat luonnollisella tavalla neliulotteisiin inertiaalijärjestelmiin, joissa koordinaatti x° vastaa koordinaattiaikaa t. Täten on luonnollista yleistää liikeradan käsite tarkoittamaan neliavaruudessa sijaitsevaa käyrää. Tällaista liikerataa kutsutaan hiukkasen maailmanvii-

11.7. SUHTEELLISUUSPERIAATE

JA DYNAMIIKKA

181

vaksi (kuva 11.3).

valokartio. Merkitsemme maailmanvirralla olevan pistemäisen hiukkasen koordinaatteja a^illä. Differentiaalit dxM ovat verrannollisia maailmanviivan tangenttivektorin komponentteihin ja määrittävät hiukkasen differentiaalisen siirtymän pitkin maailmanviivaa. Muodostamme skalaarisuureen (Lorentzinvariantin) ds2 = g^dx^dx" (11.117) Suure ds on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tämän differentiaalin fysikaalinen merkitys saadaan esille seuraavasti. Hiukkasen sijainti alkuperäisessä koordinaatistossa K on x — (x°, xl, x2, x 3 ). Siirrymme koordinaatistoon K j o s s a hiukkanen on hetkellisesti levossa. Silloin koordinaatistossa K' on dx' = (dx10,0,0,0)

(11.118)

ja ds2 = g0o{dx'0)2 = c2{dt')2

(11.119)

Suure (1 /c)ds on invariantti aikaväli hiukkasen hetkellisessä lepokoordinaatistossa mitattuna; se on hiukkasen mukana liikkuvan kellon mittaama aikaväli. Suuretta (kuva 11.3)

(11.120)

182 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

sanotaan hiukkasen ominaisajaksi; se on laskettu mielivaltaisesta kiinteästä maailmanviivan pisteestä s A- Kaavassa (11.120) esiintyy kolminopeus v koordinaatistossa K havaittuna, v =

dx1 dx2

dx3\

(11.121)

Kaavan (11.120) differentiaalinen muoto on dr

= dt

2

yjl-v /c2

(11.122)

joka on ns. aikadilaatiokaava. Olemme näin todenneet, että on olemassa invariantti ominaisaika r, jota voidaan käyttää ainehiukkasen maailmanviivan käyräparametrina. Hiukkasen nelinopeus u = (u") määritellään yhtälöllä dx" u" := — dr

11.123)

Tämä on nelivektori, sillä dx" on nelivektori ja dr on invariantti ominaisaika. Kolminopeuden v avulla lausuttuna nelinopeus u on

(

C

V

V

\

,-p

,

13:=-

(11.124)

Nelinopeuden u neliö on invariantti, = c2

(uf := (u, u) := g^uV

(11.125)

Tämä tulos on määritelmän (11.124) suora seuraus. On huomattava, että nelinopeuden u avaruusosa muodollisella rajalla c —> oo (eli (3 —> 0) on kolminopeus v. Nelikiihtyvyys a on nelinopeuden u derivaatta ominaisajan suhteen, du"

d2x" L

Nelikiihtyvyys on kohtisuorassa nelinopeutta vastaan. Kaavasta (11.125) seuraa nimittäin suoraan, että (a, u) = g^a"uv

= 0

(11.127)

11.7. SUHTEELLISUUSPERIAATE

JA DYNAMIIKKA

183

Näiden kinemaattisten valmistelujen jälkeen voimme kysyä, mikä on massapisteen liikeyhtälö. Luonnollisena lähtökohtana on Newtonin liikeyhtälö f

= F

(11.128)

Tiedämme kuitenkin, että tämä kaava (missä liikemäärä p on mv) Galileiinvarianttina yhtälönä ei voi olla sopusoinnussa suhteellisuusperiaatteen kanssa. Yritämmekin yleistää kaavan (11.128) nelivektoriyhtälöksi, muotoon m 0 - f u » = K tx (11.129) dr missä mo on massanlaatuinen suure ja KM on nelivektorivoima, jota kutsutaan Minkowskin voimaksi (Hermann Minkowski, 1864-1909). Yleistykseltä (11.129) on vaadittava, että muodollisella rajalla c —> oo (eli (5 -» 0) saadaan liikeyhtälö (11.128) kaavan (11.129) avaruusosasta. Lausumme kaavan (11.129) avaruuskomponentit (p = 1,2,3) käyttäen koordinaattiaikaa t ja kolminopeutta v kaavojen (11.122) ja (11.124) mukaisesti, (11

'130)

Jos ulkoinen voima häviää [K1 = 0, i = (1, 2, 3)], liikemäärä pl säilyy, kun liikemääräksi määritellään p' := - ^ L

(11.131)

Rajalla /? —> 0 määritelmä (11.131) yhtyy Newtonin mekaniikan liikemäärän lausekkeeseen. Kaavat (11.128) ja (11.130) ovat siis sopusoinnussa, kun liikemäärä määritellään kaavan (11.131) mukaisesti ja kun kolmivoiman F ja Minkowskin voiman K\ i = (1, 2, 3), välinen relaatio on • Fi = K ^ l - p

2

(11.132)

Nelivektoriyhtälö (11.129) sisältää vielä yhden komponentin (/i = 0). Selvitämme, mikä on sen vastine Newtonin mekaniikassa. Sitä varten kirjoitamme yhtälön (11.129) muotoon m0aM = K " missä

(11.133)

on nelikiihtyvyys (11.126). Relaatiosta (11.127) seuraa, että (K,u) = g^K^

=0

(11.134)

184 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Sijoittamalla tähän yhtälöt (11.124) ja (11.132) saadaan

Tästä saamme

1 F•v K° = - — . =

(11.136)

joten yhtälön (11.129) O-komponentti on d rriQC2

F v

dty/

(11.137)

Massahiukkasen liike-energia E määritellään Newtonin mekaniikassa siten, että sen aikaderivaatta eli teho on juuri F • v, dE ^ ~dt ~

(11.138)

Jos pidämme kiinni kaavasta (11.138), toteamme, että (mahdollisesti vakiota vaille) E = - ^ L

(11.139)

Kaavasta (11.139) saadaan E

2

v2 2?

_ / v4 0 ?

=

moc

=

m0c2 + ^m0v2 + ...

1 +

+

(11.140)

Näemme, että vakiota moc2 lukuun ottamatta liike-energian lauseke (11.139) yhtyy epärelativistisella rajalla (/3 —> 0) Newtonin mekaniikan liike-energian lausekkeeseen \m0v2. Vakiota moc2, joka esiintyy kaavoissa (11.139) ja (11.140), kutsutaan m 0 -massaisen hiukkasen lepoenergiaksi. Yhdessä liikemääräkomponenttien (11.131) kanssa suure E p° := —

(11.141)

p = (p») := m 0 K )

(11.142)

muodostaa neliliikemäärän

11.7. SUHTEELLISUUSPERIAATE

JA

DYNAMIIKKA

185

Todettakoon, että yhtälön (11.125) seurauksena on (p,p) = 9^PV

= (w)2

(11.143)

Tiivistelmänä voimme todeta, että hiukkasen relativistiset liikeyhtälöt ovat =

M

= (0,1,2,3)

(11.144)

missä p on neliliikemäärä (11.142) ja K on Minkowskin nelivoima. Epärelativistisella rajalla ( v / c —> 0) yhtälöt (11.144) yhtyvät Newtonin mekaniikan yhtälöihin. Hiukkasen massa m 0 on Lorentz-invariantti suure; tämä määrittelee myös hiukkasen lepoenergian EQ, E0 :=

lim E

= TTIQC2

(11.145)

186 LUKU 11. SÄHKÖDYNAMIIKKA

JA

SUHTEELLISUUSTEORIA

Luku 12 Sähködynamiikan kovariantti muoto 12.1

K e n t ä t E j a B sekä k e n t t ä t e n s o r i

Olemme useasti todenneet, että kentät E ja B voidaan määritellä operationaalisesi Lorentzin voiman lausekkeen (1.5) avulla, F = q(E + v x B)

(12.1)

Osoitamme nyt, että lauseke (12.1) on sopusoinnussa suhteellisuusperiaatteen kanssa ja johtaa siihen, että kenttien E ja B komponentit voidaan identifioida tietyn antisymmetrisen tensorin, ns. kenttätensorin komponenttien kanssa. Numeroimme kaavassa (12.1) esiintyvien suureiden komponentit seuraavasti: F = (F1, F2, F3) E = {E1, E2, E3) B = (B1, B2, B3) (12.2)

sekä , i 9 o, v = ( „ W ) =

f dx1 dx2 dx3\ ( — , — , — j

(12.3)

Tarkastellaan testihiukkasta, jonka invariantti massa on VHQ ja varaus q. Hiukkasen neliliikemäärä on = m0M'
(*) A

(12.43)

Olkoon A^x)

(12.44)

Silloin pätee tietenkin F ' ^ ' ) = d l A ^ x ' ) - d^AKx')

(12.45)

Kaavasta (12.43) seuraa, että dlA^x')

- dlA'u(x') = A «Af[daAp(x)

- dpAa(x))

(12.46)

Nyt on d'e =

(12.47)

Käyttämällä tulosta (12.47) kaavassa (12.46) saadaan dl [A^x')

- A«Aa(x)}

- ö; [A!v{x') - A„%(x)]

= 0

(12.48)

Yhtälön (12.48) yleinen ratkaisu on 4 ( x ' ) = A ^ A a ( x ) + d'^A(x')

(12.49)

missä $a(x') on mielivaltainen (riittävän säännöllinen) funktio. Kaava (12.49) on siis nelipotentiaalin yleinen muunnoskaava homogeenisissa Lorentzin muunnoksissa A. Vasta jos asetetaan $a(x') = 0 kaavassa (12.49), saadaan potentiaalille Afl (x) tavallinen nelivektorin muunnoskaava. Valinta $ A (x') = 0 ei ole millään tavalla välttämätön. Mainittakoon täydellisyyden vuoksi, että sähkömagneettisen kentän kvanttiteoriassa, kvanttisähködynamiikassa, on usein hyödyllistä käyttää juuri muunnoskaavaa (12.49), missä silloin valitaan $ a ^ 0 teoriassa käytetyn mittaehdon mukaisesti. Tällä tavoin voidaan saada aikaan se, että käytetty mittaehto on sellaisenaan voimassa kaikissa Lorentzin muunnosten yhdistämissä koordinaatistoissa, jos se on voimassa yhdessä koordinaatistossa. Tällä tavalla ymmärrettynä esimerkiksi Coulombin mittaehto on muotoinvariantti Lorentzin muunnoksissa.

12.4. ENERGIA-LIIKEMAARATENSORI

12.4

T»>

195

Energia-liikemäärätensori TIU/

Tässä kappaleessa palaamme luvun 9 keskeisiin kysymyksiin, sähkömagneettisen kentän energian ja liikemäärän säilymiseen (Poyntingin lause). Lähtökohtana aikaisemmissa tarkasteluissa oli Lorentzin voimatiheys f{x) = p(x)E(x)

-1- j (:».') x B(x)

(12.50)

Yhtälön (12.24)) mukaan varaustiheys p ja virrantiheys j yhdessä muodostavat nelivirran 3 = ( f ) = (cp, j)

(12.51)

Kentät E ja B yhdessä muodostavat kenttätensorin F'w kaavojen (12.11)(12.14) mukaisesti. Näihin suureisiin pätevät kovarianttiin muotoon puetut Maxwellin yhtälöt , dpF0* = p0ja (12.52) ja daFPl + dfjFia + d^Fap = 0

(12.53)

Tarkastelemme nyt lauseketta (12.50) käyttäen relativistista merkintätapaa. Merkitsemme f =(/\/ä,/3)

(12.54)

Silloin kaavasta (12.50) saadaan, /'

-f j 2 /i : ! — f B ' 2 = cpF01 + J2F12 - F F31 = JOF01 + J2F21 + J3F31

(12.55)

missä on käytetty yhtälöitä (12.11)—(12.13) sekä indeksien pudotussääntöä (11.110). Ulottamalla tarkastelu myös komponentteihin 2 ja 3 saadaan fi(x)=jaFai(x),

i = 1,2,3

(12.56)

Lorentzin voimatiheys on siis nelivektorin F •= JaFa"

(12.57)

avaruusosa. Tämän nelivektorin 0-komponentti on f° = j«Fa0 = -F0aja

= -E •j c

(12.58)

196

LUKU 12. SÄHKÖDYNAMIIKAN

KO VARIANTTI

MUOTO

Komponentti f ° ilmoittaa siis kentän tehohäviön tilavuusyksikköä kohti kaavaan (9.4) yhteydessä esitetyn tulkinnan mukaan. Eliminoimme nyt nelivirran j kaavasta (12.57) Maxwellin yhtälöiden (12.52) avulla, /" = — (duFau) Fa" (12.59) Mo Osoitamme seuraavaksi, että homogeenisten Maxwellin yhtälöiden (12.53) seurauksena on olemassa tensori TMl/, josta voidaan johtaa nelivoimatiheys Ff = dpT^ (12.60) Olkoon Tvw

— [FauFau Vo V

- \g™FapFaP)

(12.61) J

4

Silloin saadaan dvT™ = — ( d p F a p ) F a u + — ( F j 3 d p f t t u Mo Po \ 2

l

-Fa^FaP\

J

(12.62)

Mutta koska F Q/3 on antisymmetrinen, on FapdpFaoJ - ^FapdPF"0 = FaP (dpFa"

-

= -Fap (dpFa" + daF+ 2

= 0

d^F^) (12.63)

missä viimeisessä vaiheessa on käytetty Maxwellin homogeenisia yhtälöitä (12.53). Siis kaavan (12.59) mukaan on dvTvw = —(df)Fj')Fau Po

= r

(12.64)

Olemme täten näyttäneet toteen, että Lorentzin voimatiheysnelivektori voidaan esittää kaavassa (12.61) määritellyn symmetrisen tensorin (T^) divergenssinä. Tensoria (TMl/) kutsutaan energia-liikemäärätensoriksi. Tutkimme nyt energia-liikemäärätensorin komponentteja tarkemmin. Määritelmä (12.61) sisältää invariantin =

E2-B2)

(12.65)

12.4. ENERGIA-LIIKEMAARA

TENSORI

T"

197

Tämän tuloksen avulla todetaan suoraviivaisesti, että jiOO __1 F 0 Fa0 -+= - 1-E 2 - B' 2 Mo a 1 1 B' :e 0 E 2 2 ' 2p 0

(12.66)

eli —T00 on juuri kaavassa (9.12) määritelty kokonaisenergiatiheys w - T oo

w = -E • D + -B • 2 2

H

(12.67)

Edelleen saamme Toi = —F a °Fai = — — (E x B) p0 /i0c ' -S1

= - - ( E x H) c

(12.68)

missä S 1 (i = 1, 2, 3) on Poyntingin vektorin (9.14) i-komponentti. Viimeksi laskemme energia-liikemäärätensorin komponentit Tkl (k, l — 1,2,3), rpkl

A»o

F ak Fal

4-

1 kl -a 2

= e0EkEl + gkl-E2 2 kl kl T = T:

1

E 2 - B'

1 + — BkBl + gkl . po 2muo (12.69)

missä Tkl on kaavassa (5.63) määritelty Maxwellin sähköinen jännitystensori ja T ^ on vastaava kaavassa (7.56) määritelty magneettinen jännitystensori. Kenttäsuureet energiatiheys, Poyntingin vektori ja jännitystensorit, jotka aiemmin esiintyivät irrallisina suureina, ovat siis saman energialiikemäärätensorin komponentteja. Palaamme lopuksi yhtälöihin (12.57) ja (12.60). Niistä seuraa, että — oo) annettua kenttää. Laskemme nyt liikkuvan pistevarauksen aiheuttamat potentiaalit ja kentät yhtälön (13.53) mukaan. Oletamme, että tunnemme pistemäisen

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN

206

AALTOYHTALO

varauksen q radan r(t) ja nopeuden v(t) = r ( t ) inertiaalikoordinaatistossa K. Varaustiheys p on tällöin kaavan (2.19) mukaan p(t,x) = qS3(x-

r{t))

(13.55)

ja virrantiheys j on kaavan (6.14) mukaan j(i,x) = qv(t)53(x-v(t))

(13.56)

Nelivirta j^1 on siten ( f ) = (cp,j)

(13.57)

Merkitsemme rataa r ( t ) vastaavaa pistevarauksen maailmanviivaa r(r):lla, missä r on varauksen ominaisaika (kappale 11.4), dr = dty/l-v2/c2

(13.58)

Nelivirran (13.57) kovariantti esitysmuoto on tällöin, f ( x ) =qc I dru'1{T)5A(x - r(r))

(13.59)

missä U^(T) on hiukkasen nelinopeus, u*(r)

=

ar

= (7Cj

7V)

i

7

= (1 - v2/c2) " 1 / 2

(13.60)

On luonnollista olettaa, että pistemäisen hiukkasen aiheuttama kenttä ja potentiaali häviävät kaukana menneisyydessä (.x° —> —oo). Tämä merkitsee sitä, että A"ul(x) = 0 kaavassa (13.53). Sijoittamalla lausekkeen (13.59) tähän kaavaan saamme A"(x) = p0qc J dTu^(r)Dr{x

- r(r))

(13.61)

Käyttämällä viivästyneen Greenin funktion Dr lauseketta (13.51) saamme Av{x) = — f dru"(r)6(x° 27T J

- r°(r))6 ([x - r(r)] 2 )

(13.62)

Kaavan (13.62) integraali yli ominaisajan voidaan suhteellisen helposti laskea kaavassa esiintyvän 5-funktion johdosta. Toteamme, että integroitava häviää lukuun ottamatta pisteitä, joissa maailmanviiva r(r) leikkaa x\n kautta kulkevan valokartion eli (kuva 13.1) [x - r(r)] 2 = 0

(13.63)

13.3. LIENARDIN

- WIECHERTIN

POTENTIAALIT

207

olevan mielivaltaisen pisteen x kautta kulkevan valokartion tasan kahdessa pisteessä r(r 0 ) ja T(TQ)

Yhtälön (13.63) juurista tulee kysymykseen vain se (ne), johon (joihin) pätee z 0 > r°(r) (13.64) kaavassa (13.62) esiintyvän 0-funktioehdon mukaisesti. Väitämme, että yhtälöillä (13.63) ja (13.64) on enintään yksi juuri V0. Todistaaksemme tämän väittämän siirrymme hetkeksi takaisin kolmigeometriaan. Olkoon maailmanviivaa r(r) vastaava kolmiavaruuden ratakäyrä r(*) = (£(*), 77(*),C(*)) (13-65) missä aikamuuttujaa on merkitty t:llä. Olkoon P' käyrän r ( t ) mielivaltainen piste r(£'), johon pätee t' < t, missä t on annettu kiinteä arvo. Piirrämme pallopinnan, jonka keskipiste on P' ja jonka säde on R' = c(t — t'). Tarkastelemme sitten käyrän r ( t ) pistettä P", joka aikajärjestyksessä on ennen pistettä P' eli t" < t', ja piirrämme toisen pallopinnan, jonka säde on R" = c(t — t") ja keskipiste P". Väitämme nyt, että ensimmäinen pallopinta on kokonaan toisen pallopinnan sisällä. Pallopintojen lyhin etäisyys toisistaan (euklidisessa mielessä) on (kuva 13.2) dmin = R" - R! - d(P', P")

(13.66)

missä d(P', P") on lyhin etäisyys (taas euklidisessa mielessä) pisteiden P' ja P" välillä. Etäisyyteen d(P', P") pätee d(P', P") < [ dt|v(t)| Jt"

(13.67)

208

LUKU 13. EPÄHOMOGEENINEN

AALTOYHTALO

Kuva 13.2: Kolmiavaruuden ratakäyrä r(t) sekä pisteet P' ja P" keskipisteinä piirretyt R'- ja ^"-säteiset pallopinnat. missä v(£) on kolminopeus pitkin ratakäyrää r(£). Jos ratakäyrä r(t) on massallisen hiukkasen liikerata kolmiavaruudessa, on oltava |v(t)|