Innerbetriebliche Standortplanung: Das Konzept der Slicing Trees in exakten Verfahren und Metaheuristiken

Daniel Scholz Innerbetriebliche Standortplanung GABLER RESEARCH Produktion und Logistik Herausgegeben von Professor D...

Author: Daniel Scholz

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Daniel Scholz Innerbetriebliche Standortplanung

GABLER RESEARCH Produktion und Logistik Herausgegeben von Professor Dr. Wolfgang Domschke, Technische Universität Darmstadt, Professor Dr. Andreas Drexl, Universität Kiel, Professor Dr. Bernhard Fleischmann, Universität Augsburg, Professor Dr. Hans-Otto Günther, Technische Universität Berlin, Professor Dr. Stefan Helber, Universität Hannover, Professor Dr. Karl Inderfurth, Universität Magdeburg, Professor Dr. Thomas S. Spengler, Universität Braunschweig, Professor Dr. Hartmut Stadtler, Technische Universität Darmstadt, Professor Dr. Horst Tempelmeier, Universität zu Köln, Professor Dr. Gerhard Wäscher, Universität Magdeburg Kontakt: Professor Dr. Hans-Otto Günther, Technische Universität Berlin, H 95, Straße des 17. Juni 135, 10623 Berlin

Diese Reihe dient der Veröffentlichung neuer Forschungsergebnisse auf den Gebieten der Produktion und Logistik. Aufgenommen werden vor allem herausragende quantitativ orientierte Dissertationen und Habilitationsschriften. Die Publikationen vermitteln innovative Beiträge zur Lösung praktischer Anwendungsprobleme der Produktion und Logistik unter Einsatz quantitativer Methoden und moderner Informationstechnologie.

Daniel Scholz

Innerbetriebliche Standortplanung Das Konzept der Slicing Trees bei der Optimierung von Layoutstrukturen Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Dr. h.c. Wolfgang Domschke

RESEARCH

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dissertation Technische Universität Darmstadt, 2010 D 17

1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Gabler Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Ute Wrasmann | Nicole Schweitzer Gabler Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8349-2277-9

Geleitwort

V

Geleitwort Probleme der Layout- bzw. innerbetrieblichen Standortplanung gehören mathematisch zu den schwierigsten Problemen der kombinatorischen Optimierung. Daher wurden zu Beginn der Forschung auf diesem Gebiet Modelle betrachtet, welche die realen Gegebenheiten stark vereinfachen. Genannt seien das quadratische Zuordnungsproblem und das Problem der Bestimmung maximaler planarer Teilgraphen (eines gegebenen „Präferenzgraphen“ für die benachbarte Anordnung von Organisationseinheiten (OE = anzuordnende Maschinen oder Abteilungen)). Bei derartigen Modellen blieben v.a. die Abmessungen der OE und des gegebenen Standortträgers unberücksichtigt. Daher können die mit diesen Modellierungen ermittelten Anordnungen zumeist nicht in realisierbare Layouts umgesetzt werden. Diese Lücke schließt Daniel Scholz im Rahmen seiner Dissertation, indem er Modelle einsetzt, mit deren Hilfe es dem Planer ermöglicht wird, unterschiedliche Abmessungen der OE zu berücksichtigen. In erster Linie ist hierbei der so genannte Slicing Tree - Ansatz zu nennen, der im Mittelpunkt der Arbeit von Herrn Scholz steht. Auf diesem Ansatz aufbauend entwickelt er sowohl exakte als auch heuristische Lösungsverfahren. Mit letzteren werden mit relativ geringer Rechenzeit sehr gute und praktisch umsetzbare Lösungen erzielt. Daher ist es nur konsequent, dass die Arbeit ebenfalls ein Kapitel mit einer Anwendung des entwickelten Planungsverfahrens in der betrieblichen Praxis enthält. Die Ergebnisse sowohl dieses Praxisprojekts als auch des zu Grunde liegenden Verfahrens sind so viel versprechend, dass sie jeweils in einem Aufsatz beschrieben und in der hochrangigen Zeitschrift „European Journal of Operational Research“ veröffentlicht wurden. Gemessen an Zeitschriftenaufsätzen vermittelt eine Dissertation wie diejenige von Herrn Scholz dem Leser einen umfassenden Überblick über die historische Entwicklung und alle denkbaren Lösungsansätze des betrachteten Forschungsgebietes (hier der Layoutplanung). Sie ist didaktisch sehr gut aufgebaut und die Ausführungen sind entsprechend (gemessen an der Komplexität der Zusammenhänge) leicht nachvollziehbar. Dem vorliegenden Buch wünsche ich daher eine weite Verbreitung in Forschung und Praxis. Professor Dr. Dr. h.c. Wolfgang Domschke

Vorwort

VII

Vorwort Die innerbetriebliche Standortplanung umfasst die Suche nach geeigneten Anordnungen von Produktionsmitteln, um einen günstigen und schnellen Materialfluss sicherzustellen. Solche Produktionslayouts werden in der Regel über lange Zeiträume beibehalten, daher zählt ihre Planung zu den strategischen Entscheidungen in Unternehmen und sollte mit Bedacht durchgeführt werden. Aufgrund der hohen Komplexität des Planungsproblems erscheint eine Unterstützung des manuellen Planers durch computergestützte Verfahren dringend nötig. Bisherige Layoutplanungsverfahren bilden die praktischen Anforderungen allerdings oft nur mit unzureichender Genauigkeit ab oder sind nicht auf praxisrelevante Problemgrößen skalierbar. Die im Folgenden entwickelten Verfahren bezwecken eine Erhöhung der Abbildungsgenauigkeit, eine höhere Leistungsfähigkeit und damit eine gesteigerte Lösungsqualität der Layoutplanung. Damit soll zusätzlich zur wissenschaftlichen Leistung auch ein wertvoller Beitrag für die Praxis geliefert werden. Die vorliegende Dissertation entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet für Operations Research des Fachbereichs für Rechts- und Wirtschaftswissenschaften der Technischen Universität Darmstadt. Mein herzlicher Dank gilt all jenen, die zu ihrem erfolgreichen Abschluss einen Beitrag geleistet haben. Ganz besonders danke ich meinem Betreuer Prof. Dr. Dr. h.c. Wolfgang Domschke für die Unterstützung sowie die jederzeit angenehme und produktive Arbeitsatmosphäre. Ein herzlicher Dank gilt auch Prof. Dr. Herbert Meyr für die wertvollen Anregungen und die freundliche Übernahme des Korreferats. Außerdem möchte ich meiner Familie danken, besonders meinen Eltern Gisela und Götz, meinem Bruder Dorian und meiner lieben Frau Tana. Sie alle haben mich vielfältig unterstützt durch das Zuhören bei Probevorträgen, das Korrekturlesen und das große Vertrauen, das sie in mich setzen. Weiterer Dank gebührt meinen Freunden und meinen Kollegen am Fachbereich, die mir fachlich und privat zur Seite standen. Daniel Scholz

Inhalt

IX

Inhalt Abkürzungsverzeichnis .......................................................................... XIII 1

Einleitung / Motivation ............................................................................... 1

2

Layoutplanung / Innerbetriebliche Standortplanung .............................. 3

2.1

Ziele und Restriktionen................................................................................. 3

2.2

Problemmodellierungen und Lösungsverfahren ........................................... 8

2.2.1

Maximale planare gewichtete Graphen (MPWG) ........................................10

2.2.2

Quadratische Zuordnungsprobleme (QZOP) ..............................................11

2.2.3

Space Filling Curve .....................................................................................13

2.2.4

Slicing Tree .................................................................................................14

2.2.5

Flexible Bay .................................................................................................16

2.2.6

Überlappungen vermeidendes Modell (UA-FLP-MILP) ...............................17

2.2.7

Vergleich der Modellierungen ......................................................................19

3

Slicing Trees in der Layoutplanung.........................................................21

3.1

Layoutrepräsentation...................................................................................21

3.1.1

Slicing Layout ..............................................................................................22

3.1.2

Slicing Tree .................................................................................................23

3.1.3

Beziehung zwischen Slicing Tree und Slicing Structure ..............................26

3.2

Layoutgenerierung ......................................................................................28

3.2.1

Layoutgenerierung bei vollständig flexiblen OE ..........................................28

3.2.2

Layoutgenerierung bei starren nichtrotierbaren OE ....................................30

3.2.3

Bounding Curves bei gemischter Flexibilität der OE ...................................31

3.2.3.1 Grundtypen von Bounding Curves ..............................................................32 3.2.3.2 Linearisierung von Hyperbelabschnitten .....................................................36 3.2.3.3 Aggregation von Bounding Curves ..............................................................45 3.2.3.4 Layoutberechnung aus Bounding Curves ...................................................50 3.2.4

Lineare Programmierung bei gemischter Flexibilität der OE .......................54

X

Inhalt

4

Gemischt-ganzzahlige lineare Layoutplanungsmodelle ........................57

4.1

Slicing Tree basiertes Modell ......................................................................57

4.1.1

Zielfunktion ..................................................................................................58

4.1.2

Abmessungen der Organisationseinheiten..................................................61

4.1.3

Modellierung bei vollständig vorgegebenem Slicing Tree ...........................65

4.1.4

Modellierung bei freiem Slicing Tree ...........................................................68

4.1.4.1 Beschleunigung des Modells .......................................................................72 4.1.4.2 Modellierungsvarianten bei freiem Slicing Tree ...........................................79 4.1.5

Rechenzeiten ..............................................................................................83

4.1.5.1 Rechenzeiten bei freiem Slicing Tree ..........................................................83 4.1.5.2 Rechenzeiten bei vorgegebenem Slicing Tree ............................................85 4.2

Überlappungen vermeidendes non-slicing Modell .......................................86

5

Slicing Tree basiertes Tabu-Search-Verfahren .......................................89

5.1

Lösungsbewertung ......................................................................................89

5.2

Eröffnungsverfahren ....................................................................................91

5.3

Nachbarschaft .............................................................................................91

5.4

Tabulisten Strategie ....................................................................................96

5.5

Intensivierung und Diversifizierung der Suche ............................................96

5.6

Rechenergebnisse ......................................................................................97

5.6.1

Vorgegebene Layoutabmessungen ............................................................98

5.6.2

Beliebige Layoutabmessungen .................................................................100

5.6.3

Rechenzeiten ............................................................................................103

6

Fix-and-Optimize Heuristik zur Layoutoptimierung .............................107

6.1

Fixierungsstrategie für Binärvariablen .......................................................107

6.2

Partielle Freistellung relativer OE-Anordnungen .......................................110

6.3

Erweiterte Freistellung relativer OE-Anordnungen ....................................112

6.4

Varianten der iterativen Fix-and-Optimize Heuristik ..................................113

6.5

Rechenergebnisse ....................................................................................114

Inhalt

XI

7

Layoutplanung – Eine praktische Anwendung .....................................117

7.1

Einbeziehen zusätzlicher Restriktionen .....................................................117

7.1.1

Nicht-rechteckförmige Halle, Sperrflächen und feste OE-Positionen ........117

7.1.2

Mehrere Hallen ..........................................................................................121

7.1.3

Transportwege ..........................................................................................122

7.1.4

Hallenrandanordnung von Organisationseinheiten ...................................123

7.1.5

Unverträgliche Organisationseinheiten......................................................124

7.1.6

Organisationseinheiten außerhalb der Werkhalle .....................................125

7.2

Praktische Anwendung..............................................................................125

7.3

Rechenergebnisse ....................................................................................129

8

Schlussbetrachtung ................................................................................133 Anhang .....................................................................................................135 Literaturverzeichnis ................................................................................141

Inhalt

Abkürzungsverzeichnis

XIII

Abkürzungsverzeichnis BC

Bounding Curve(s)

FE

Flächeneinheiten

FLP

Facility Layout Problem

LP

Linear Programm

MILP

Mixed-Integer Linear Programm (Gemischt-ganzzahliges lineares Programm)

MPWG

Maximal Planar Weighted Graph

OE

Organisationseinheit(en)

QZOP

Quadratisches Zuordnungsproblem

SFC

Space Filling Curve(s)

ST

Slicing Tree(s)

UA-FLP Unequal Area-Facility Layout Problem VLSI

Very Large Scale Integration

Abkürzungsverzeichnis

Verwendete Symbole:

ª...º

Rundet den innen stehenden Wert auf die nächste ganze Zahl auf

į

Flächenbedarf einer OE

x

Breite einer OE

y

Länge einer OE (wird gelegentlich auch als Höhe bezeichnet)

Įmin/max

Minimales und maximales Seitenlängenverhältnis einer OE

Į=x

Seitenlängenverhältnis einer OE

y

1 Einleitung / Motivation

1

1 Einleitung / Motivation Um im Wettbewerb bestehen und langfristig Gewinne maximieren zu können, streben Unternehmen u. a. nach einer Minimierung der Kosten, was beispielsweise durch eine Beschleunigung von Abläufen gefördert werden kann. In der vorliegenden Arbeit werden diesbezügliche Optimierungsmöglichkeiten in der Layoutplanung betrachtet und computergestützte Lösungsverfahren entwickelt. Die Layoutplanung, auch als innerbetriebliche Standortplanung bezeichnet, beschäftigt sich u. a. mit der Aufgabe, eine für den Produktionsprozess günstige Anordnung von Maschinen innerhalb einer Fertigungshalle zu bestimmen. Dabei können Kosten-, aber auch Zeitziele im Fokus der Betrachtung stehen. Das Problem der Layoutplanung ist, in der Form wie es sich in der Praxis stellt, sehr komplex, daher wurden zu Beginn der Forschung in diesem Bereich Modelle erstellt, die stark vereinfachende Annahmen treffen. So blieben etwa die Abmessungen der Maschinen und der Produktionshalle zunächst unberücksichtigt. Infolgedessen können die mit diesen Vorgehensweisen ermittelten Anordnungen u. U. nicht in realisierbare Layouts umgesetzt werden. In neuerer Zeit kommen dagegen Modelle zum Einsatz, die solche Abmessungen einbeziehen und dafür Elemente eines zweidimensionalen Packproblems in die Layoutplanung integrieren. Es können damit hochqualitative und praktisch umsetzbare Lösungen erzielt werden, allerdings steigt durch die Realitätsnähe auch die Komplexität der Modelle und somit der Aufwand zur Ermittlung einer guten Lösung. An dieser Stelle knüpft die vorliegende Arbeit an und präsentiert Weiterentwicklungen solcher Modelle sowie neue heuristische und exakte Lösungsmöglichkeiten, wobei großer Wert auf eine praktische Anwendbarkeit gelegt wird. In Kapitel 2 werden zunächst Ziele und Restriktionen des Layoutplanungsproblems näher erläutert und anschließend die unterschiedlichen bestehenden Problemmodellierungen mit ihren jeweiligen Vor- und Nachteilen dargestellt. Kapitel 3 erklärt, worum es sich bei Slicing Trees handelt und wie sie zur Repräsentation von Layouts verwendet werden. Es sind verschiedene Verfahren der Layouterzeugung dargestellt, welche bei unterschiedlichen Arten von Abmessungsrestriktionen der Organisationseinheiten zum Einsatz kommen. Kapitel 4 stellt gemischt-ganzzahlige Modellierungen vor. Dabei handelt es sich um mehrere Modelle, die auf Slicing Trees basie-

2

1 Einleitung / Motivation

ren und daher nur Slicing Layouts berücksichtigen, sowie ein allgemeines Modell. Diese Modelle lassen sich für praxisrelevante Problemgrößen nicht mehr in vertretbarer Zeit optimal lösen. Aus diesem Grund schildert Kapitel 5 ein heuristisches Lösungsverfahren. Es handelt sich um ein Tabu-Search-Verfahren, welches Slicing Trees als Lösungsrepräsentation nutzt. Basierend auf dessen ohnehin schon recht hochwertigen Lösungen wird in Kapitel 6 eine Möglichkeit zur weiteren Optimierung vorgestellt. Dies ist eine Fix-and-Optimize Heuristik, die auf einem allgemeinen gemischt-ganzzahligen Modell basiert. Kapitel 7 demonstriert die praktische Anwendbarkeit von Layoutplanungsalgorithmen anhand einer Erweiterung des Verfahrens aus Kapitel 5 und dessen Einsatz zur Planung eines betrieblichen Layouts. Abschließend liefert Kapitel 8 eine Schlussbetrachtung.

2.1 Ziele und Restriktionen

3

2 Layoutplanung / Innerbetriebliche Standortplanung Die Layoutplanung1 beschäftigt sich mit der Frage nach einer günstigen Platzierung von Organisationseinheiten (OE) auf einem Standortträger. Letzterer wird als räumlich eng umgrenzt angenommen, wie etwa ein Betriebsgelände. Somit ist die Layoutplanung abzugrenzen von der betrieblichen Standortplanung, welche die geografische Platzierung des Betriebsstandorts (oder von mehreren räumlich getrennten Betriebseinrichtungen, wie Lagerstandorten und Produktion) abhängig von der Infrastruktur sowie den Kunden- und Lieferantenstandorten betrachtet. Layoutplanung kann auf unterschiedlichen Abstraktionsebenen und mit verschiedenen Detaillierungsgraden betrieben werden. So könnten die anzuordnenden OE die Gebäude und Lagerflächen und der Standortträger das Betriebsgelände sein. Genauso können Fragen nach einer günstigen Anordnung von Arbeitsmitteln an einem Arbeitsplatz oder von Maschinen und Lagerflächen in einer Werkhalle betrachtet werden. Der letzte Fall ist es, auf den in der vorliegen Arbeit hauptsächlich Bezug genommen wird; die anderen Fälle lassen sich mit den vorgestellten Methoden jedoch ebenso behandeln. Zusätzlich bestehen weitere Anwendungsmöglichkeiten außerhalb des Bereichs der innerbetrieblichen Standortplanung, wie etwa die Anordnung von funktionalen Einheiten (z. B. Speicher-, Rechen- und Kommunikationselementen) auf Halbleiterchips, die im VLSI-Design (Very Large Scale Integration Design) betrachtet wird.2 Das vorliegende Kapitel gibt einen Überblick zum Layoutplanungsproblem und diesbezüglichen Veröffentlichungen. Weitere Übersichtsartikel finden sich beispielsweise in Singh und Sharma (2006) sowie in Kusiak und Heragu (1987).

2.1 Ziele und Restriktionen In diesem Abschnitt werden Ziele und Restriktionen vorgestellt, welche in der Layoutplanung zu berücksichtigen sind. 1

2

Die Layoutplanung wird auch synonym als innerbetriebliche Standortplanung bezeichnet. Im Englischen wird das der Layoutplanung zugrunde liegende Entscheidungsproblem als „Facility Layout Problem“ bezeichnet und ist nicht zu verwechseln mit dem „Facility Location Problem“, obwohl beide mit „FLP“ abgekürzt werden. Einige Verweise auf Literatur zur VLSI-Design Planung finden sich in Fußnote 17 auf Seite 21.

4

2 Layoutplanung / Innerbetriebliche Standortplanung

Übergeordnetes Unternehmensziel ist die langfristige Maximierung des Gewinns. Im Allgemeinen kann davon ausgegangen werden, dass die Wahl des Layouts keinen Einfluss auf die Erlöse des Unternehmens hat.3 Somit beschränkt sich das Optimierungspotential auf die Minimierung von Kosten, welche durch die Verbesserung von Abläufen unterstützt wird. Wäscher (1982, Kap. 2.3) nennt eine ganze Reihe möglicher Ziele der Layoutplanung, wie etwa: -

Minimierung innerbetrieblicher Transportkosten,

-

Minimierung von Standortwechselkosten,

-

Minimierung der Durchlaufzeit,

-

Maximierung der Flexibilität,

-

sowie hohe Arbeitssicherheit, geringe Störungsanfälligkeit und gute Übersichtlichkeit.

Innerbetriebliche Transportkosten entstehen durch den Transport von Rohstoffen aus dem Wareneingang zu den jeweiligen Verbrauchsorten, den Transport von Zwischenerzeugnissen zwischen Bearbeitungsstellen sowie den Transport von Enderzeugnissen zum Warenausgangslager und von Abfällen zu Müllbehältern. Transportkosten hängen ab von der Wahl des Transportmittels, der Transportmenge und der zu überbrückenden Transportdistanz, welche durch die Layoutplanung ganz wesentlich beeinflusst wird. Die Minimierung der Transportkosten wird in den meisten Veröffentlichungen als das Hauptziel der Layoutplanung erachtet und durch die Zielfunktion (2.1) modelliert. (2.1)

Minimiere F

¦ ¦ n

n

i 1

j 1 ij jz i

d flow ij c ij

Es wird dabei angenommen, dass sich die Kosten proportional zu der bei einem Transport zurückzulegenden Entfernung dij verhalten. Ebenso hängen sie davon ab, wie häufig Transporte auf einzelnen Verbindungen durchgeführt werden müssen. Dies wird durch das Produkt aus der Transportintensität flowij und dem Kostensatz cij ausgedrückt. Dabei gibt die Transportintensität die Anzahl der zu transportierenden

3

Vgl. Domschke und Drexl (1996, S. 12).


5

Mengeneinheiten pro Zeiteinheit an. Der Kostensatz gibt die Kosten pro transportierter Mengen- und zurückgelegter Wegeinheit an, wobei in diesen Wert auch die Wahl des Transportmittels für die jeweilige Strecke einfließen kann. Die Werte der Transportintensität und des Kostensatzes werden als gegebene Parameter angesehen und daher in vielen Modellen zu einem einzigen Wert zusammengefasst. Summiert wird über die Transportbeziehungen zwischen allen OE-Paaren; dabei ist n die Anzahl der OE.4 Die Distanz zwischen zwei OE muss im Folgenden näher spezifiziert werden. Zum einen ist festzulegen, welche Distanzmetrik verwendet werden soll. Dabei wird in erster Linie die rechtwinklige Entfernungsmessung verwendet, weil sie der Wegeführung in der betrieblichen Praxis am besten entspricht. Alternativ könnten auch euklidische Distanzen (Luftlinie) oder quadrierte euklidische Distanzen verwendet werden.5 Ein zweiter wichtiger Punkt ist die Bezugsbasis für die Entfernungsmessung. In der vorliegenden Arbeit werden Distanzen, wie in den meisten in der Literatur zu findenden Verfahren, stets zwischen den Mittelpunkten von rechteckigen OE gemessen. Diese Abstraktion hat den Nachteil, dass Genauigkeit gegenüber der Messung zwischen den exakten Input- und Outputpunkten von OE verloren geht. Zwei Vorteile sind jedoch, dass letztgenannte Punkte in der Planungsphase noch unbekannt sein könnten und dass lediglich Drehungen der OE um 90° (d. h. die Frage, ob eine OE quer oder längs aufgestellt wird) betrachtet werden müssen. Drehungen um 180° sowie Spiegelungen haben dagegen keinen Einfluss, weder auf das Layout noch auf den Zielfunktionswert, da der Platzbedarf der OE und die Position des Bezugspunktes dadurch nicht verändert werden. Die Komplexität des Problems kann so reduziert werden, da nur noch zwei anstatt der bis zu acht Ausrichtungen jeder OE betrachtet werden müssen.

Abbildung 1: Rechtwinklige vs. euklidische Entfernung zwischen OE-Mittelpunkten

4

5

Zu verschiedenen Möglichkeiten der Summation bei Fällen von symmetrischen oder asymmetrischen Distanzen zwischen OE-Paaren sei auf Domschke und Drexl (1996, Kap. 6) verwiesen. Zur Unterscheidung weiterer Distanzmaße siehe Domschke und Drexl (1996, Kap. 5.1).

6


Standortwechselkosten fallen für die Umpositionierung von OE im Layout an. Sie sind daher zu beachten, wenn ein bereits bestehendes Layout im Rahmen einer Umgestaltung optimiert werden soll. Ebenso werden sie in der dynamischen Layoutplanung einbezogen, in welcher davon ausgegangen wird, dass sich die Materialflüsse im Zeitverlauf ändern und somit Layoutanpassungen erforderlich werden. Dabei müssen einerseits Transportkosten und andererseits Standortwechselkosten gegeneinander abgewogen werden. Dafür ist es allerdings nötig, die zukünftigen Veränderungen möglichst genau absehen zu können. Die Durchlaufzeit gibt an, wie lange sich ein Werkstück in der Fertigung befand. In dieser Zeit fallen Kapitalbindungskosten an, daher sollte sie möglichst kurz ausfallen. Die Durchlaufzeit beinhaltet neben reinen Produktionszeiten auch Transportdauern, welche durch kurze Transportwege in einem günstig geplanten Layout reduziert werden können. Durchlaufzeiten werden als abhängig von den Transportdistanzen erachtet, weshalb die Ziele der Minimierung von Durchlaufzeiten oder aber Transportkosten als komplementär gelten.6 Aus diesem Grund wird die Minimierung der Durchlaufzeit in der Regel nicht explizit als Ziel in die Modelle aufgenommen. Unter Flexibilität versteht man die leichte Anpassbarkeit eines Layouts an sich ändernde Anforderungen. Dies kann beispielsweise durch die Einplanung freier Flächen im Layout erreicht werden, welche neue oder umplatzierte OE aufnehmen können. Die Unterscheidung zwischen einem Ziel und einer Restriktion ist nicht immer eindeutig zu treffen, sondern hängt von der konkreten Problemstellung ab. Beispielsweise ist hinsichtlich der Abmessungen des Standortträgers zu unterscheiden, ob eine Werkhalle neu gebaut wird oder schon besteht. Im zweiten Fall bilden ihre Abmessungen einzuhaltende Restriktionen. Im ersten Fall dagegen erscheint es sinnvoll, eine Zielsetzung einzuführen, in welcher ein möglichst kompaktes Layout angestrebt wird und somit durch den Bau einer kleineren Werkhalle Kosten eingespart werden können. Trotz der gelegentlichen Schwierigkeit bei der Unterscheidung zwischen Zielen und Restriktionen werden im Folgenden einige Punkte aufgeführt, die üblicherweise zu den Restriktionen zählen. 6

Vgl. dazu Wäscher (1982, S. 63 und 70) und Domschke und Drexl (1996, S. 13 f.).


7

Eine ganz elementare Restriktion bilden die Abmessungen der einzelnen OE. Diese geometrischen Restriktionen können in unterschiedlicher Art und Weise angegeben werden, abhängig vom Detaillierungsgrad der Layoutplanung und vom bisherigen Wissen über die tatsächlichen Abmessungen der OE (evtl. noch in Planung befindliche Maschinen). Ebenso hängt diese Restriktion von der Art der OE ab, so mögen für eine Maschine genau bekannte Abmessungen einzuhalten sein, während für eine Zwischenlagerfläche nur eine bestimmte Fläche mit nahezu beliebigem Länge-zuBreite-Verhältnis eingeplant werden muss. Bei noch nicht genau bekannten OEAbmessungen kann es genügen einen geschätzten Flächenbedarf einzuplanen. Werden allerdings lediglich die Flächenbedarfe vorgegeben, kann dies zu praktisch nicht nutzbaren Layouts führen (sehr schmale lange Stellplätze). Daher ist es sinnvoll, eine Spanne von zulässigen Seitenlängenverhältnissen solcher OE anzugeben. Im Rahmen der Planung grober Blocklayouts wird hinsichtlich der Form der OE meist davon ausgegangen, dass sie rechteckig sind. Für eine detaillierte Planung kann es jedoch notwendig sein, genaue Grundrisse der OE zu berücksichtigen. In der vorliegenden Arbeit werden OE stets als rechteckig angenommen und dabei vier Arten von OE-Flexibilität unterschieden: 1. OE haben festgelegten Flächenbedarf und sind vollständig flexibel (sie dürfen beliebig schmal und lang sein). 2. OE sind starr (sie haben eine festgelegte Breite und Länge). 3. OE haben festgelegten Flächenbedarf und sind begrenzt flexibel (sie dürfen eine Mindestbreite bzw. -länge nicht unterschreiten). 4. OE können eine beliebige von mehreren zur Auswahl stehenden fixen Abmessungen annehmen. Diese vier Flexibilitätsarten wurden gewählt, da sie die oben genannten, aus praktischer Sicht wichtigen Anforderungen an OE-Abmessungen abbilden und einen Vergleich mit anderen Lösungsverfahren ermöglichen, die zumeist eine Teilmenge dieser Flexibilitätsarten berücksichtigen. Zusätzlich zu den unterschiedlichen Flexibilitätsarten muss betrachtet werden, ob eine Rotation von OE erlaubt sein soll. In dem Fall der vollständig flexiblen OE erübrigt sich diese Frage, da eine Rotation in dieser Flexibilität bereits enthalten ist. In den anderen Fällen kann die Rotation jedoch entweder erlaubt oder verboten werden.

8


Neben den OE muss das Layout auch Raum für Transportwege beinhalten. Deren Abmessungen hängen im Wesentlichen davon ab, welche Transportmittel eingesetzt werden sollen. Die Breite der Wege muss ausreichen für das Transportmittel inklusive Beladung und eventuell für ein zweites, sofern Überholvorgänge bzw. Zweirichtungsverkehr nötig sind. In den Modellen zur Grobplanung der Blocklayouts werden Transportwege in der Regel nicht explizit berücksichtigt. Details zur Berücksichtigung von Transportwegen im Layout finden sich in den Ausführungen in Abschnitt 7.1.3. Neben diesen für die Gesamtlayoutgröße besonders relevanten Restriktionen sind viele weitere denkbar, insbesondere solche, welche die Anordnung der OE untereinander bzw. in der Werkhalle betreffen: -

Bestimmte OE dürfen nicht benachbart sein (z. B. wegen wechselseitiger Staub- oder Vibrationsemission bzw. -empfindlichkeit)

-

Bestimmte OE müssen an einer Außenwand angeordnet werden (z. B. wegen benötigtem Abluftanschluss)

-

Bestimmte OE dürfen an manchen Stellen in der Halle nicht platziert werden (z. B. wegen geringer Bodentragfähigkeit oder geringer Deckenhöhe)

-

Bestimmte OE müssen an vorgegebener Stelle im Layout platziert werden (z. B. wegen ortsfester Installationen)

Welche dieser weiteren Bedingungen zu berücksichtigen sind, hängt jeweils vom speziellen Layoutplanungsproblem ab. Eine solche Anwendung in der betrieblichen Praxis findet sich in Kapitel 7 dieser Arbeit.

2.2 Problemmodellierungen und Lösungsverfahren Verfahren zur Lösung von Layoutplanungsproblemen werden in Domschke und Scholz (2008) drei Hauptgruppen zugeordnet: -

Manuelle Planung

-

Interaktive Layoutplanung

-

Computergestützte Layoutplanung

2.2 Problemmodellierungen und Lösungsverfahren

9

In der betrieblichen Praxis wird überwiegend eine strukturierte manuelle Planung angewendet.7 Wäscher (1982) sowie Wäscher und Chamoni (1987) dagegen stellen interaktive Planungsansätze vor, welche durch einen mehrfachen Informationsaustausch zwischen Layoutplanungsmodell und Entscheider gekennzeichnet sind. In der vorliegenden Arbeit wird jedoch, so wie im größten Teil der aktuellen wissenschaftlichen Literatur, der Fokus auf die computergestützte Layoutplanung gelegt. Dabei ist es nötig, zunächst ein Modell des zu lösenden realen Problems zu erstellen. In der Vergangenheit wurden dazu einige sehr unterschiedliche Modellierungsansätze verfolgt, die im Folgenden klassifiziert, jeweils kurz vorgestellt und anschließend miteinander verglichen werden. Abbildung 2 klassifiziert bestehende Layoutplanungsmodelle bezüglich ihrer wesentlichen Merkmale: Auf der ersten Ebene wird unterschieden, auf welcher Basis die Zielfunktionswerte ermittelt werden. Dabei kommt entweder eine Bewertung ausschließlich hinsichtlich der Nachbarschaftsbeziehungen zwischen OE in Frage oder komplexere Bewertungen, denen jeweils ein vollständiges Layout zugrunde liegt. Nachbarschaftsbasierte Bewertungen lassen sich leicht anhand eines Graphen ermitteln, dafür können bei layoutbasierten Bewertungen etwa Distanzen zwischen allen Paaren von OE zur Transportkostenermittlung herangezogen werden. Die nächste Ebene untergliedert nach verschiedenen Möglichkeiten zur Positionierung der OE bzw. der Aufteilung des Standortträgers. Im MPWG-Modell8 bleiben das Layout und damit auch dieser Gesichtspunkt während der Optimierung völlig unberücksichtigt. Die anderen Modelle unterscheiden sich dagegen durch entweder eine mögliche Positionierung von OE an einigen diskreten Punkten des Standortträgers oder aber an beliebigen kontinuierlichen Positionen. Eine weitere Aufteilung lässt sich in Bezug auf die berücksichtigten OEAbmessungen treffen. So können in der Grundform des quadratischen Zuordnungsproblems (QZOP) nur OE mit identischer Größe berücksichtigt werden, während die meisten anderen Modelle aufgrund der höheren Praxisnähe ungleiche Größen

7 8

Siehe dazu auch Grundig (2006) und Tompkins et al. (2002, Kap. 7). MPWG ist die englische Abkürzung für „Maximal Planar Weighted Graph“.

10


einbeziehen. Die einzelnen Modelle selbst werden in den folgenden Abschnitten kurz vorgestellt. FLP-Modelle FLP-Modelle

Zielfunktion

Layoutbasiert Layoutbasiert

NachbarschaftsNachbarschaftsbasiert basiert

Positionierung der OE

unberückunberücksichtigt sichtigt

Größen der OE

unberückunberücksichtigt sichtigt

nur identische identische nur Größen Größen

MPWG -- MPWG

QZOP -- QZOP

Modellbezeichnung

diskret diskret

kontinuierlich kontinuierlich ungleiche ungleiche Größen Größen

ungleiche ungleiche Größen Größen

Space Filling Filling UA-FLP-MILP -- Space -- UA-FLP-MILP Curve Slicing Tree Tree Curve -- Slicing modifiz. QZOP QZOP -- Flex Flex Bay Bay -- modifiz.

Abbildung 2: Layoutplanungsmodelle im Überblick

2.2.1 Maximale planare gewichtete Graphen (MPWG) Beim MPWG-Ansatz8 wird für jedes Paar von OE ein Wert (Gewichtung) angegeben, der die Präferenz dafür ausdrückt, dass diese beiden OE direkt benachbart angeordnet werden. Ebenso werden Präferenzen dafür angegeben, dass sich eine OE am äußeren Rand des Layouts befindet. Ziel ist es, ein Layout zu finden, in welchem die Summe der Präferenzen der realisierten Nachbarschaften maximal ist. Dabei wird die Tatsache genutzt, dass sich jedes Layout durch einen Nachbarschaftsgraphen repräsentieren lässt. Der zu einem bestimmten Layout korrespondierende Graph wird ermittelt, indem für jede OE ein Knoten eingeführt wird und zusätzlich ein weiterer, welcher die Umgebung des Layouts symbolisiert. Werden nun all diejenigen Knoten, deren zugehörige OE direkt aneinander grenzen, durch eine Kante verbunden und für OE, welche am Rand des Layouts liegen, Kanten zum Umgebungsknoten eingeführt, so entsteht ein planarer9 Graph. Abbildung 3 veranschaulicht dies an einem Beispiel. Es ist dort der vollständige Graph mit Kanten zwischen allen OE und der Umgebung angegeben, wobei diejenigen Kanten gestrichelt sind, welche nicht 9

Ein Graph ist planar, wenn er sich in der Ebene überscheidungsfrei zeichnen lässt.


11

die aktuellen Nachbarschaftsbeziehungen wiedergeben bzw. die Planarität des Graphen stören würden. Des Weiteren lässt sich ein zweiter Graph angeben, welcher zu dem planaren Teil des ersten dual ist. Seine Knoten sind die kleinen quadratischen Kästchen und seine Kanten werden durch die Umrisse der OE gebildet. Dabei handelt es sich um den Layoutgraphen, der aus dem Nachbarschaftsgraphen abgeleitet werden kann.

3 2

4

1

5

Abbildung 3: Layout und zugehöriger planarer Nachbarschaftsgraph

Lösungsverfahren machen sich zur Aufgabe, einen maximalen planaren Nachbarschaftsgraphen zu finden, aus welchem anschließend ein Layout erstellt werden soll. Dabei bedeutet „maximal“, dass die Summe aller Kantengewichte (Nachbarschaftspräferenzen) des Graphen maximal sein soll. In der anschließenden Konstruktion des Layouts aus dem Graphen liegt allerdings das Hauptproblem dieses Ansatzes, denn diese Aufgabe wurde bisher noch nicht befriedigend gelöst. Ansätze dazu sind in Irvine und Rinsma-Melchert (1997) und Watson und Giffin (1997) zu finden. Detaillierte Beschreibungen von MPWG-Ansätzen finden sich z. B. in Domschke und Drexl (1996, Kap. 7) und Merker (1998). Aktuellere Veröffentlichungen dazu sind beispielsweise Osman (2006), Osman et al. (2003) und Pesch et al. (1999).

2.2.2 Quadratische Zuordnungsprobleme (QZOP) Das quadratische Zuordnungsproblem (QZOP) wurde bereits von Koopmans und Beckmann (1957) beschrieben. Es geht in seiner Grundform von n OE aus, die n Stellplätzen zugeordnet werden. Dabei sollen die Transportkosten minimiert werden. Diese Kosten werden für jede Transportstrecke zwischen einem Paar von OE h und i, welches auf den Stellplätzen j und k angeordnet ist, aus dem Produkt aus Transportintensität thi zwischen den OE und der zurückzulegenden Distanz djk

12


zwischen den Stellplätzen bestimmt. Die Binärvariablen xhj nehmen den Wert eins an, sofern OE h auf Stellplatz j positioniert wird. Als quadratisches Zuordnungsproblem wird es bezeichnet, da ein Produkt zweier Variablen in der Zielfunktion vorkommt. Dies ist notwendig, um die Transportintensitäten zwischen jedem Paar von OE (h, i) mit den Distanzen zwischen den ihnen zugeordneten Stellplätzen (j, k) richtig zu verknüpfen. Die Nebenbedingungen stellen sicher, dass auf jedem Platz genau eine OE und jede OE auf genau einem Platz angeordnet wird. n

n

n

n

¦¦¦¦t

min F(x)

hi

djk xhj xik

h 1 i 1 j 1 k 1 iz h kz j

n

¦x

hj

1

h

hj

1

j

j 1 n

¦x h 1

xhj {0, 1}

h, j

Die Problemformulierung geht davon aus, dass jede OE auf jedem Stellplatz angeordnet werden kann. Aus diesem Grund eignet sich diese Modellierung hauptsächlich für Problemstellungen, bei denen alle OE identische Abmessungen besitzen, bzw. genauer für Problemstellungen, bei denen alle OE auf Stellplätzen mit identischen Abmessungen angeordnet werden können. Ein Beispiel für ein solches Layout mit 16 Stellplätzen ist in Abbildung 4 angegeben. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Abbildung 4: Mögliches Layout beim QZOP

In Domschke und Drexl (1996, Kap. 6) sind einige Varianten des QZOP beschrieben, u. a. eine zur Berücksichtigung ungleich großer OE. Dabei wird der Standortträger mit einem feinen Raster unterteilt und jede OE in mehrere Hilfs-OE aufgeteilt, wobei letztere jeweils die Größe eines Rasterplatzes besitzen. Bei einer solchen Variante muss im Lösungsverfahren jedoch darauf geachtet werden, dass jede OE zusammenhängend bleibt, d. h. die Hilfs-OE nicht voneinander getrennt werden. Des Weiteren muss die Einhaltung eventueller Formvorgaben der OE beachtet werden.


13

Obwohl die Annahmen beim QZOP bezüglich des Layoutplanungsproblems sehr restriktiv sind, erscheinen zum QZOP nach wie vor viele neue Veröffentlichungen, da sich mit ihm auch andere Problemstellungen abbilden lassen. Einen Überblick über den Forschungsstand zu QZOP geben Loiola et al. (2007) und Drezner et al. (2005). Aktuelle Arbeiten zur QZOP-basierten Layoutplanung sind z. B. Singh und Sharma (2008) und Stützle (2006). Unter Einsatz langer Rechenzeiten (mehrere Monate) wurden Probleminstanzen des QZOP, welche bis zu 30 OE umfassen, optimal gelöst.10

2.2.3 Space Filling Curve Beim Ansatz der Space Filling Curves (SFC) wird der Standortträger mit einem feinen rechteckigen Raster überzogen, analog dazu, wie es beim QZOP für ungleich große OE der Fall ist. Durch dieses Raster wird eine SFC gelegt, welche jedes Rasterelement durchläuft und jeweils benachbarte Felder verbindet. Der Flächenbedarf jeder OE ist als Vielfaches der Einheitsrastergröße angegeben. Diese Rasterelemente der OE werden anschließend in einer vorzugebenden Reihenfolge entlang der SFC angeordnet. Durch das Aufreihen der OE auf der SFC wird sichergestellt, dass jede OE zusammenhängend ist. Im Beispiel in Abbildung 5 ist ein Standortträger mit zwei Sperrflächen gegeben, auf dem vier OE angeordnet werden. Im Layout auf der linken Seite sind die OE in der Reihenfolge (1; 2; 3; 4) entlang der SFC aufgefädelt, auf der rechten Seite dagegen in der Reihenfolge (2; 1; 3; 4).

10

Vgl. Loiola et al. (2007).

14


Platzbedarf

OE1

OE2

OE3

OE4

3

7

5

6

2

2

3

3

1

1

3

3

2

2

3

3

1

2

3

3

2

2

3

4

4

2

2

3

4

4

2

1

4

4

2

2

4

4

1

1

4

4

2

2

4

4

Abbildung 5: Layoutbeispiele für Space Filling Curves

In diesem Ansatz ist ein Layout durch den Verlauf der SFC und die OE-Reihenfolge vollständig charakterisiert. Daher versuchen Lösungsverfahren, nach der Auswahl einer geeigneten SFC, die Reihenfolge der OE auf der SFC zu optimieren. Solche Vorgehensweisen finden sich beispielsweise in Balakrishnan et al. (2003) und Bozer et al. (1994). Die benötigten SFC können entweder händisch oder automatisch erstellt werden. SFC besitzen neben der Layoutplanung einige weitere Anwendungsgebiete und werden in Sagan (1994) detailliert beschrieben. Beim SFC-Ansatz lassen sich OE unterschiedlicher Größe einbeziehen, allerdings lässt sich die Form ihres im Layout realisierten Umrisses nicht vorgeben. Ihre Form hängt von der gewählten SFC und der Position der OE auf der Kurve ab.

2.2.4 Slicing Tree Der Ansatz der Slicing Trees (ST) stellt einen Hauptaspekt dieser Arbeit dar, daher ist seiner grundlegenden Beschreibung ein eigenes Kapitel gewidmet. An dieser Stelle soll er lediglich kurz vorgestellt werden, für ausführliche Erläuterungen sei aber auf Kapitel 3 verwiesen. Im ST-Ansatz wird keine diskrete Aufteilung des Standortträgers vorgenommen, sondern eine kontinuierliche. Dazu wird er mit von Rand zu Rand durchgehenden vertikalen (V) oder horizontalen (H) Schnitten unterteilt und selbiges Vorgehen auf die entstandenen Teilbereiche wiederholt angewendet. Es ergibt sich ein so genanntes Slicing Layout, dessen Struktur durch einen ST abgebildet wird. Beides ist in Abbildung 6 beispielhaft abgebildet. Durch Modifikationen in einem ST ändert sich


15

das zugehörige Layout. Dies machen sich Lösungsverfahren zu Nutze, indem sie eine Suche innerhalb der Menge der ST durchführen. V 2 H 1

H 2

3

1

V 4

5

4

3

5

Abbildung 6: Slicing Tree und korrespondierendes Slicing Layout

In ST-Ansätzen lassen sich OE unterschiedlicher Größe einbeziehen, die auf stets rechteckigen Stellplätzen angeordnet werden. In Abschnitt 3.2 werden Verfahren vorgestellt, mit deren Hilfe sich die benötigte Stellplatzabmessung individuell für jede einzelne OE vorgeben lässt. ST wurden zuerst von Tam (1992b) in der Layoutplanung eingesetzt; als Lösungsverfahren nutzte er Simulated Annealing11, wobei allerdings die Struktur des ST unverändert blieb und lediglich Modifikationen an den Operatoren der Schnittknoten vorgenommen wurden. Später entwickelte ST-Ansätze nutzten hauptsächlich genetische Algorithmen als Lösungsverfahren, siehe z. B.: Tam (1992a), Kado (1995), Garces-Perez et al. (1996), Schnecke und Vornberger (1997), Tam und Chan (1998), Gau und Meller (1999), Al-Hakim (2000), Shayan und Chittilappilly (2004), Honiden (2004), Sirinaovakul und Limudomsuk (2007) sowie Diego-Mas et al. (2009). Kürzlich veröffentlichten Komarudin und Wong (2010) einen Ant Colony Optimization (ACO)11 Ansatz als Lösungsverfahren. In Kapitel 5 dieser Arbeit wird hingegen ein auf ST basierendes Tabu-Search-Verfahren vorgestellt, welches sehr gute Ergebnisse liefert.

11

Eine einführende Beschreibung von Metaheuristiken, wie Simulated Annealing, Tabu Search, genetischen Algorithmen und Ameisenoptimierung (engl. Ant Colony Optimization) findet sich in Domschke und Scholl (2010, Kap. 1.3).

16


2.2.5 Flexible Bay Beim Ansatz der Flexible Bays wird der Standortträger zunächst in einer Richtung mehrfach durch gleichgerichtete Schnitte unterteilt. Daraus resultieren mehrere Streifen, welche als Bays bezeichnet werden. Das fertige Layout entsteht, indem die OE den Streifen zugeordnet werden und anschließend auf jedem Streifen in einer vorzugebenden Reihenfolge aneinander grenzend platziert werden. Abbildung 7 zeigt ein Beispiel für ein Flexible Bay Layout mit horizontaler Streifenrichtung. Allgemein kann die Richtung der Streifen entweder horizontal oder vertikal sein. Unterschiedliche mögliche Layouts ergeben sich dadurch insbesondere bei Standortträgern, die keine quadratischen Abmessungen aufweisen. Daher ist es in diesem Fall sinnvoll, beide Streifenrichtungen zu betrachten. 1 5 8 12

2

3 6

4 7

9

10 11 13

14

Abbildung 7: Flexible Bay Layout mit horizontalen Streifen

Bei Flexible Bay Ansätzen wird in der Regel davon ausgegangen, dass die Streifen vollständig mit OE ausgefüllt werden und keine Leerflächen enthalten. Um dies zu erreichen, wird die Annahme getroffen, dass die OE keine festen Abmessungen besitzen, sondern ihre Länge und Breite innerhalb gewisser Grenzen variiert werden können. Flexible Bay Layouts besitzen eine sehr restriktive Struktur; sie bilden eine Teilmenge der Slicing Layouts. Sie lassen sich durch einen Slicing Tree darstellen, in welchem auf dem Weg von jedem Blattknoten zum Wurzelknoten maximal ein Wechsel der Schnittrichtung vorliegt. Tate und Smith (1995) beschreiben einen genetischen Algorithmus, in welchem zulässige OE-Abmessungen durch das Einbeziehen von Strafkosten erreicht werden sollen. Konak et al. (2006) hingegen stellen eine gemischt-ganzzahlige lineare Modellierung des Flexible Bay Ansatzes vor und lösen sie für Instanzen mit bis zu 14 OE optimal. Eklund et al. (2006) arbeiten an Details einer Implementierung eines genetischen Algorithmus. Alagoz et al. (2008) präsentieren ein Verfahren zur Planung von Transportwegen in einem Flexible Bay Layout. Chae (2003) beschäftigt


17

sich damit, eine begrenzte Flexibilität der Breite der Streifen des Flexible Bay Layouts in Lösungsverfahren einzubeziehen.

2.2.6 Überlappungen vermeidendes Modell (UA-FLP-MILP) Die in diesem Abschnitt beschriebenen Modelle zielen darauf ab, OE ohne gegenseitige Überlappung auf einem kontinuierlichen Standortträger anzuordnen. Es wird angenommen, dass OE rechteckig und nicht rotierbar sind. Sie weisen einen vorgegebenen Flächenbedarf auf und ihr Seitenlängenverhältnis ist dabei bis zu einer gegebenen maximalen Breite bzw. Länge flexibel.12 Maximale Abmessungen des Standortträgers können vorgegeben werden. Um zu betonen, dass diese Modelle eine andere Problemstellung als das QZOP in Angriff nehmen, lassen sie sich als Modellierungen des UA-FLPs13 bezeichnen, welches unterschiedliche Größen der einzelnen Stellplätze ermöglicht. Die Entwicklung solcher Modelle begann mit einer Arbeit von Montreuil et al. (1993). Darin wird ein lineares Programm beschrieben, welches bei vorgegebenen Nachbarschaftsbeziehungen zwischen OE ein diesbezüglich optimales Layout bestimmt. Die relative Lage der OE im Verhältnis zueinander muss dabei allerdings vorab festgelegt werden, was den Lösungsraum stark einschränkt. In einer anschließenden Arbeit, die schon vor der vorab genannten veröffentlicht wurde, stellt Montreuil (1991) u. a. ein gemischt-ganzzahliges lineares Programm (MILP) vor, welches eine Erweiterung des vorigen Modells ist und keine vorherige Fixierung der Nachbarschaftsbeziehungen mehr erfordert. Allerdings wird kein Versuch dokumentiert, dieses – durch die vielen enthaltenen Binärvariablen komplex gewordene – Optimierungsproblem zu lösen. Aufbauend auf Montreuils Arbeit stellen Meller et al. (1999) eine Reformulierung des UA-FLP-MILPs vor und lösen sie mit CPLEX14 für Probleminstanzen mit bis zu acht OE optimal.

12

13 14

Durch diese Flexibilität lässt sich u. U. die Möglichkeit der Rotation von OE einbeziehen (siehe Bemerkung 3.4 auf Seite 35). Abkürzung für das „Unequal Area-Facility Layout Problem“. Ein Standardsoftwarepaket zum Lösen von u. a. kombinatorischen Optimierungsproblemen.

18


Aktuellere Veröffentlichungen zum UA-FLP-MILP stammen von Sherali et al. (2003), Castillo und Westerlund (2005) sowie Castillo et al. (2005). Mit diesen drei Ansätzen und der zu dieser Zeit verfügbaren Rechenleistung war es möglich, innerhalb von 24 Stunden Probleminstanzen mit bis zu neun OE optimal zu lösen. Ein wesentlicher Unterschied zwischen den Ansätzen besteht in der Modellierung der Restriktionen zur Einhaltung der gewünschten OE-Abmessungen. Die ersten beiden nutzen dafür Linearisierungen, welche in Abschnitt 3.2.3.2 dieser Arbeit beschrieben sind. Der letzte dagegen löst das Problem mit Methoden der nichtlinearen Programmierung. Abgesehen von den genannten Unterschieden ist die Grundstruktur der Modellierungen sehr ähnlich, daher soll eine der Modellierungen exemplarisch vorgestellt werden. Kapitel 4 dieser Arbeit behandelt gemischt-ganzzahlige Layoutplanungsmodelle, in diesem Kontext wird das Modell von Castillo und Westerlund (2005) in Abschnitt 4.2 dargestellt. Durch die Modelle in diesem Abschnitt 2.2.6 wird das UA-FLP allgemeiner beschrieben als durch die der vorigen Abschnitte 2.2.1 - 2.2.5 und es sind nur wenige Abstraktionen und Einschränkungen nötig. Allerdings konnten die Modelle jeweils nur für Probleminstanzen mit maximal neun OE optimal gelöst werden. In der Praxis besitzen Probleminstanzen jedoch eine deutlich höhere Anzahl an OE, so dass eine praktische Anwendung noch nicht möglich ist. Es existieren weitere Arbeiten, die sich der beschriebenen Modelle bedienen und auf ihnen aufbauend Metaheuristiken anwenden. Dort werden so genannte Sequencepair Repräsentationen genutzt, welche die relative Lage von OE zueinander codieren. Liu und Meller (2007) implementieren einen genetischen Algorithmus und Kim und Goetschalckx (2005) nutzen Simulated Annealing als Lösungsmethode. Mit diesen Ansätzen sind größere Problemstellungen lösbar, allerdings kann nicht garantiert werden, optimale Lösungen zu finden. Ein weiteres exaktes Verfahren stammt von Meller et al. (2007). Sie stellen ein MILP vor, das auf der Sequencepair Repräsentation basiert. Damit wurden Probleme mit bis zu elf OE optimal gelöst. Allerdings werden die Ergebnisse dieser Veröffentli-


19

chung im Folgenden nicht berücksichtigt, weil das Modell offenbar nicht immer korrekte Ergebnisse liefert.15

2.2.7 Vergleich der Modellierungen Nachdem die einzelnen FLP-Modelle in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellt wurden, gibt nun Tabelle 1 einen vergleichenden Überblick und stellt die bestehenden Einschränkungen der einzelnen Modelle zusammenfassend dar. Modellierung Maximale planare Graphen (MPWG)

Einschränkungen Nur Interaktion der OE mit direkten Nachbarn berücksichtigt

Quadratisches Standortträger wird vorab in Zuordnungs- feste Raster aufgeteilt problem (QZOP)

OE-Flächen und Abmessungen bleiben zunächst unberücksichtigt

Erzeugung des Layouts aus dem Graphen ist schwierig

Es werden nur identische Optimal lösbar OE-Abmessungen nur mit bis zu berücksichtigt 30 OE (Grundmodell)

Form der OE ist kaum zu beeinflussen, sie hängt stark von der Position auf der SFC und deren Form ab

Standortträger wird vorab in feste (immerhin relativ feine) Raster aufgeteilt

Slicing Tree

Es können nur Slicing Layouts berücksichtigt werden

Optimal lösbar nur mit bis zu sechs OE16

Flexible Bay

Layoutstruktur ist sehr restriktiv auf Streifen festgelegt (nur Slicing Layouts mit einem einzigen Schnittrichtungswechsel H/V berücksichtigt)

Vor allem flexible OE Optimal lösbar betrachtet; OE mit unter- nur mit bis zu schiedlichen starren 14 OE Abmessungen würden zu viel Platzverschwendung führen

Space Filling Curves (SFC)

Überlappungen Optimal lösbar nur mit bis vermeidendes zu neun OE Modell (UA-FLP-MILP) Tabelle 1: Vergleich unterschiedlicher FLP-Modelle 15

16

Vgl. dazu die Ergebnisse zur Instanz mit 10 OE von van Camp et al. (1991). In mehreren Veröffentlichungen wurde für diese Instanz ein besserer Zielfunktionswert ermittelt als der den Meller et al. (2007) als optimale Lösung angeben. Es handelt sich u. a. um eine vorangegangene Arbeit von Liu und Meller (2007) in der Meller ebenfalls Mitautor ist sowie die vorliegende (s. Tabelle 8 auf S. 99). Siehe dazu Abschnitt 4.1.5.

20


Auf Basis des Überblicks und Vergleichs der bestehenden FLP-Modelle lässt sich folgendes Fazit ziehen: Nicht einmal das sehr restriktive QZOP lässt sich für praxisrelevante Problemgrößen in akzeptabler Zeit optimal lösen. Bei den weniger restriktiven, realitätsnäheren Modellen fällt der Lösungsaufwand noch höher aus. Daher erscheint es sinnvoll, sofern die praktische Anwendung im Blick behalten werden soll, als Lösungsverfahren für das UA-FLP eher Metaheuristiken und lokale Suchverfahren zu nutzen (siehe Kapitel 5 bis 7 dieser Arbeit). Trotzdem sind gemischt-ganzzahlige Modellierungen (siehe Kapitel 4) von hohem Interesse, da auf ihnen aufbauend heuristische Verfahren entwickelt werden können (siehe Kapitel 6) und damit auf im Laufe der Zeit schneller werdenden Computern immer größere Problemstellungen lösbar sind. Unter den verschiedenen Modellierungen macht das Überlappungen vermeidende Modell die geringsten Einschränkungen. Die Modellierung mit ST bietet dagegen eine einfache Repräsentation der Layouts in Form eines binären Baums. Sie macht im Vergleich zu den restlichen Modellierungen recht wenige Einschränkungen. Sie besitzt einen günstigen Abstraktionsgrad, der einen guten Kompromiss aus detaillierter Layoutabbildung und einfacher Repräsentation darstellt. Daher wird diese Modellierung ausgewählt und in der vorliegenden Arbeit genauer betrachtet und weiterentwickelt. Bemerkung 2.1:

In der vorliegenden Arbeit werden hauptsächlich zweidimensionale Layoutplanungsprobleme betrachtet. Nichtsdestotrotz sind die Verfahren in der Regel auch zur Lösung dreidimensionaler Problemstellungen geeignet (siehe Bemerkung 3.3 auf Seite 25) oder lassen sich mit geringem Aufwand anpassen. In den jeweiligen Verfahrensbeschreibungen steht das zweidimensionale Problem im Mittelpunkt der Betrachtung, daher wird von Flächen sowie von Längen und Breiten der OE gesprochen. Diese Beschreibungen gelten meist analog für Volumina sowie Längen, Breiten und Höhen von dreidimensionalen OE. Aufgrund der zweidimensionalen und aufrechten Darstellung der Beispiele auf dem Papier wird jedoch statt von Länge und Breite einer OE auch synonym von Höhe und Breite gesprochen. Wobei eben nicht die wirkliche Höhe sondern die Länge gemeint ist.

3.1 Layoutrepräsentation

21

3 Slicing Trees in der Layoutplanung Eine große Herausforderung für Verfahren der Layoutplanung ist es, eine günstige Form der Speicherung von Layouts zu finden. Das vorliegende Kapitel stellt das Konzept der Slicing Trees (ST) detailliert vor, welches geeignet ist, um Anordnungen von OE darzustellen. Dieses Konzept wurde im VLSI-Design erfolgreich verwendet, um die Platzierung von funktionalen Einheiten auf einem Mikroprozessor zu planen, wobei meist eine Minimierung des Flächenbedarfs angestrebt wurde.17 Wie ST in der Layoutplanung genutzt werden können, ist Inhalt dieses Kapitels. Weiterhin werden die Vor- und Nachteile des Konzepts sowie Möglichkeiten zur Vermeidung der Nachteile besprochen.

3.1 Layoutrepräsentation Die Art der Repräsentation von Layouts ist eines der größten Unterscheidungsmerkmale der verschiedenen Layoutplanungsverfahren (vgl. Kapitel 2). Für eine adäquate Repräsentation lassen sich einige Anforderungen formulieren: -

Berücksichtigung unterschiedlicher OE-Abmessungen

-

Vollständige Darstellbarkeit aller Layoutstrukturen

-

Geringer Speicher- und Berechnungsaufwand

-

Einfache Transformierbarkeit (für Nachbarschaftssuche)

-

Redundanzarmut

Damit der Ansatz in der Praxis Verwendung finden kann, ist es erforderlich, dass dabei OE unterschiedlicher Größe und Form berücksichtigt werden. Diese müssen somit auch in der gewählten Layoutrepräsentation darstellbar sein. Im Sinne eines guten Optimierungsergebnisses sollte jedes denkbare Layout durch die Repräsentation wiedergegeben werden können, damit der Suchraum vollständig abgedeckt wird. Dabei ist es im Hinblick auf eine effiziente Implementierung der Algorithmen wün-

17

Anwendungen von ST im VLSI-Design finden sich in: Deineko und Woeginger (2003), Valenzuela und Wang (2002), Lai und Wong (2001), Liu et al. (2001), Young et al. (2000), Young et al. (1999), Young und Wong (1998), Young und Wong (1997), Wong und Liu (1989) sowie Wong und Liu (1986).

22

3 Slicing Trees in der Layoutplanung

schenswert, dass der Speicheraufwand und der Aufwand für Berechnungen möglichst gering ausfallen. Des Weiteren ist es für das Durchführen einer lokalen Suche notwendig, dass sich basierend auf der Layoutrepräsentation geeignete Nachbarschaftsdefinitionen angeben lassen. Die gewählte Repräsentation sollte möglichst keine Redundanz aufweisen, d. h. gleiche Layouts mehrfach beinhalten. Andernfalls vergrößert sich der Lösungsraum und so kann sich bei Anwendung eines Verfahrens, welches die Menge der durch die Repräsentation darstellbaren Layouts nach einer optimalen Lösung durchsucht, der Lösungsaufwand unnötig erhöhen. Inwiefern der ST-Ansatz diese Ziele erfüllt, wird im Folgenden dargestellt.

3.1.1 Slicing Layout Ein Slicing Layout ergibt sich durch mehrfaches rekursives Unterteilen von rechteckigen Grundflächen. Die Flächen müssen dabei jeweils durch gerade Schnitte geteilt werden, welche sie vollständig von einem Rand bis zum gegenüberliegenden teilen. Diese Schnitte müssen parallel zu den Seiten der Rechtecke erfolgen und werden als Guillotine-Schnitte bezeichnet. Abbildung 8 zeigt beispielhaft ein Slicing Layout. Im Gegensatz dazu lässt sich das Layout in Abbildung 9 nicht mit der oben geschilderten Vorgehensweise erstellen, daher ist es kein Slicing Layout.

Abbildung 8: Slicing Layout

Abbildung 9: Non-Slicing Layout

Der nächste Abschnitt erläutert die Speicherung von Layouts durch Slicing Trees. Non-Slicing Layouts können mit diesem Konzept allerdings nicht behandelt werden. Daher geht die Verwendung von Slicing Trees mit einer Beschränkung des Lösungsraums auf Slicing Layouts einher. Diese Einschränkung kann allerdings in Kauf genommen werden, da sie wiederum Vorteile für die Planung der innerbetrieblichen


23

Transportwege mit sich bringt. Diese Wege werden in der Regel entlang der Schnitte eingeplant18 und sie sollten möglichst durchgängig sein, d. h. nicht in Sackgassen bzw. vielen Abzweigungen enden. Dies wird durch Slicing Layouts besser erfüllt als durch allgemeine Strukturen, weil die Guillotine-Schnitte bereits per Definition durchgehend sind.

3.1.2 Slicing Tree Ein Slicing Layout lässt sich durch eine Folge von horizontalen und vertikalen Schnitten angeben. Diese Folge von Schnitten wiederum kann durch einen ST wiedergegeben werden. Ein ST ist ein vollständiger binärer Wurzelbaum, d. h. jeder innere Knoten hat genau zwei Nachfolger. Innere Knoten19 werden als Schnittknoten bezeichnet, da sie die Richtung des jeweiligen Schnittes angeben. Die Blattknoten repräsentieren die OE bzw. die Stellplätze für OE.20 Ein ST gibt die relative Anordnung von OE zueinander an, d. h. welche OE nebeneinander bzw. übereinander angeordnet sind. Eine Aussage über das genaue Layout, also die exakten Positionen der OE und der Schnitte, enthält er zunächst nicht. In Abhängigkeit der Abmessungen der OE können aus einem ST unterschiedliche Layouts generiert werden; darauf geht Abschnitt 3.2 näher ein. In Abbildung 10 sind ein ST und ein dazu korrespondierendes Layout abgebildet. Der erste Schnitt teilt das Layout in horizontaler Richtung, er wird im ST durch den Eintrag H (für horizontal) im Wurzelknoten angegeben. Anschließend werden die Bereiche des Layouts, welche unterhalb und oberhalb des letzten Schnitts liegen, betrachtet. Sie werden durch den linken bzw. rechten Teilbaum des Wurzelknotens abgebildet. Im linken Teilbaum wird noch ein vertikaler Schnitt (V) durchgeführt und zu seinen beiden Seiten die OE 1 und 2 platziert. Im rechten Teilbaum werden dagegen noch zwei weitere Schnitte durchgeführt und die OE 3, 4 und 5 angeordnet.

18 19 20

Siehe dazu auch Abschnitt 7.1.3. Auch der Wurzelknoten wird in dieser Arbeit stets als innerer Knoten verstanden. Siehe Erläuterung in Bemerkung 3.2.

24

3 Slicing Trees in der Layoutplanung H V 1

2

3

4 H

4

5

3

V

1

2

5

Abbildung 10: Slicing Tree21 und korrespondierendes Layout Bemerkung 3.1:

In dieser Arbeit wird stets davon ausgegangen, dass im Layout links von einem vertikalen Schnitt liegende Teillayouts zu dem links an dem entsprechenden Schnittknoten hängenden Teilbaum des ST korrespondieren. Genauso korrespondieren die unter einem horizontalen Schnitt liegenden Teillayouts zum linken Teilbaum des entsprechenden Schnittknotens. Dies ist prinzipiell frei wählbar und kann in anderen Arbeiten abweichend gehandhabt werden.22 In Abbildung 11 wird nochmals verdeutlicht, wie sich in einem Slicing Tree die einzelnen OE zusammenfügen. In jedem Schnittknoten ist visualisiert, welches Teillayout zu dem Teilbaum korrespondiert, dessen Vater der Schnittknoten ist. Aufgrund der kompakteren und übersichtlicheren Darstellbarkeit werden ST im Folgenden allerdings stets wie in der vorangegangenen Abbildung 10 wiedergegeben.

21

22

Die Richtung der Pfeile ist in den Abbildungen der Übersichtlichkeit halber nicht explizit angegeben. Sie wird aus der Anordnung der Knoten ersichtlich; der Wurzelknoten ist jeweils zuoberst abgebildet und die Pfeile zeigen immer abwärts in Richtung der Blattknoten. Beispielsweise verwenden Tam (1992a/b) und Garces-Perez et al. (1996) vier Schnittrichtungsoperatoren, die jeweils nicht nur angeben, ob die nachfolgenden Teillayouts neben- oder übereinander angeordnet werden, sondern auch, welches von beiden links oder unten liegt.


25 5

3 1 1

1

H

4 2

V 2

3

2

5

V

4

H

3

5 4 5

4

Abbildung 11: Slicing Tree mit überlagertem Layout Bemerkung 3.2:

Jeder Blattknoten des ST steht gleichermaßen für den Stellplatz, auf dem eine bestimmte OE platziert wird, sowie für die OE selbst. Die Summe der Flächen aller Stellplätze entspricht somit der Fläche des Gesamtlayouts. Der Flächenbedarf einer OE darf hingegen das Flächenangebot seines Stellplatzes unterschreiten, wie es in Abbildung 12 dargestellt ist. 5 3

4 1

2

Abbildung 12: Layout mit Leerflächen Bemerkung 3.3:

Neben zweidimensionalen Layouts lässt sich auch die Struktur von dreidimensionalen Slicing Layouts durch ST ausdrücken. Hierfür ist es erforderlich eine weitere Schnittrichtung einzuführen. Diese Schnitte erfolgen entlang der Zeichenebene und lassen sich als Schnitte in der Tiefe (T) des dreidimensionalen Objekts bezeichnen. In dem dreidimensionalen Layout in Abbildung 13 sind die OE 3, 4 und 5 in der Ebene hinter den OE 1 und 2 angeordnet. Dies bewirkt die Schnittrichtung im Wurzelknoten, welche das Layout in seiner Tiefe unterteilt.

26

3 Slicing Trees in der Layoutplanung T

2

3

2

1

1

V

5

3

V

5 24

H 4

5

Abbildung 13: ST und korrespondierendes dreidimensionales Layout

3.1.3 Beziehung zwischen Slicing Tree und Slicing Structure Zu Beginn von Abschnitt 3.1 wurde die Redundanzarmut als günstige Eigenschaft einer Lösungsrepräsentation aufgeführt. Die Beziehung zwischen ST und Slicing Layout ist allerdings nicht eineindeutig. Versteht man ein Slicing Layout ausschließlich als relative Anordnung von orientierten Schnitten zueinander, die noch keine genauen Positionen und Abstände für die Schnitte vorgibt, so lässt sich ein ST eindeutig in ein Slicing Layout umwandeln, umgekehrt gilt dies jedoch nicht. Ein Beispiel dafür findet sich in Abbildung 14, dort sind ein Layout und zwei dazu korrespondierende ST abgebildet. Diese Redundanz entsteht, weil die beiden Schnitte, welche die OE 1, 2 und 3 trennen, die gleiche Richtung besitzen. Es steht daher nicht fest, in welcher Reihenfolge sie vorgenommen wurden. H

H 4

V

V

4 1

1

2

3

V 2

V 3

4

1

3 2

Abbildung 14: Redundante Slicing Trees

Skewed Slicing Trees Um das Problem der Reihenfolge von gleichgerichteten Schnitten zu lösen, schlagen Wong und Liu (1989) vor, skewed ST zu verwenden. Einen skewed ST definieren sie als einen ST, in welchem kein Vaterknoten und dessen rechtes Kind dieselbe Schnittrichtung besitzen. Dies führt dazu, dass die Reihenfolge der Schnitte implizit


27

vorgegeben wird. Bei vertikalen Schnitten werden weiter rechts liegende zuerst ausgeführt, bei horizontalen Schnitten gilt selbiges für weiter oben liegende. Wong und Liu (1989) definieren eine Äquivalenz zwischen Slicing Layouts. Sie bezeichnen zwei Slicing Layouts genau dann als äquivalent, wenn sie durch den gleichen ST repräsentiert werden. Jede Äquivalenzklasse von Slicing Layouts mit n Basisrechtecken bezeichnen sie als Slicing Structure. Anschließend stellen sie die Behauptung auf, dass eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen Slicing Structures mit n Basisrechtecken und skewed ST mit n Blattknoten besteht. Die Redundanz bei direkt aufeinander folgenden parallelen Schnitten kann daher vermieden werden, wenn ausschließlich mit der Menge der skewed ST gearbeitet wird. Ein weiterer verbliebener Fall der Redundanz offenbart sich bei der Betrachtung des Layouts und der ST in Abbildung 15. Dort ist beispielhaft ein Layout mit vier OE angegeben, wobei sich die drei Schnitte an einer Stelle berühren und ein „Kreuz“ bilden. An einer solchen Stelle kann nicht entschieden werden, ob der horizontale oder der vertikale Schnitt durchgehend ist und welcher der andere ist, der somit aus zwei Teilabschnitten besteht. Es lassen sich in dem Beispiel zwei verschiedene skewed ST finden, die dieses Layout repräsentieren. H

V

V 1

3

4

1

2

V 2

3

H 4

1

H 3

2

4

Abbildung 15: Layout und korrespondierende skewed ST

Nach der Definition von Wong und Liu (1989) handelt es sich bei dem Layout aus Abbildung 15 um zwei unterschiedliche Slicing Structures. Daher könnten, selbst wenn die Menge der skewed ST als Layoutrepräsentation genutzt wird, durchaus noch Redundanzen vorliegen. Ob unterschiedliche skewed ST ein identisches Layout ausdrücken, hängt allerdings von den Größen der OE, ihrer Anordnung, der Abmessung des Gesamtlayouts sowie von dem gewählten Vorgehen zur Layoutgenerierung ab. Daher kann für diesen Fall keine einfache, auf dem ST basierende Möglichkeit zur Vermeidung der Redundanz angegeben werden.

28


3.2 Layoutgenerierung Ein Slicing Tree gibt die relative Anordnung von OE zueinander an. Eine Aussage über das genaue Layout, d. h. die genauen Positionen der OE und der Schnitte enthält er zunächst allerdings nicht. Um Distanzen und damit Transportkosten zwischen OE berechnen zu können, ist ihre Kenntnis aber unerlässlich. Daher werden in diesem Abschnitt verschiedene Möglichkeiten zur Generierung von Layouts aus Slicing Trees behandelt. Abhängig von den jeweils zu berücksichtigenden Arten der Flexibilität von OEAbmessungen können unterschiedliche Methoden zum Erzeugen des Layouts verwendet werden. Die in dieser Arbeit einbezogenen vier Flexibilitätsarten wurden in Abschnitt 2.1 auf Seite 7 erläutert. Prinzipiell lässt sich in Bezug auf den anfallenden Rechenaufwand Folgendes aussagen: Sind alle OE vollständig flexibel, so ist die Layouterzeugung mit vergleichsweise geringem Rechenaufwand durchführbar, ein entsprechendes Vorgehen wird in Abschnitt 3.2.1 beschrieben. In Abschnitt 3.2.2 wird ein Verfahren für den Fall starrer, nichtrotierbarer OE behandelt, das einen kaum größeren Rechenaufwand verursacht. Aufwändiger ist es allerdings, begrenzt flexible OE, rotierbare OE oder gleichzeitig OE mit unterschiedlichen Flexibilitätsannahmen zu berücksichtigen. Diese Aufgabe wird durch die in den Abschnitten 3.2.3 und 3.2.4 beschriebenen Verfahren abgedeckt. Diese beiden Verfahren decken die Funktionalitäten der ersten zwei Verfahren (Abschnitte 3.2.1 und 3.2.2) mit ab. Die vierte Art von Flexibilität wird in dem Verfahren aus Abschnitt 3.2.3 berücksichtigt; der Aufwand für die Einbeziehung solcher OE ist daher vergleichbar mit dem für begrenzt flexible OE und hängt von der Anzahl der zur Auswahl stehenden Abmessungen ab.

3.2.1 Layoutgenerierung bei vollständig flexiblen OE Wird die Annahme getroffen, dass jede der OE einen bestimmten Platzbedarf hat und die Längen der Seiten der OE in beliebigem Verhältnis zueinander stehen dürfen (ausschließlich 1. Flexibilitätsart), so ist das Erzeugen eines Layouts mit Hilfe der folgenden Überlegungen leicht möglich: Die Gesamtfläche des Layouts kann der Summe der Flächenbedarfe der OE entsprechen; es müssen wegen der Annahme der vollständig flexiblen OE keine Leerflächen in Kauf genommen werden.

3.2 Layoutgenerierung

29

Es kann jede beliebige Layoutabmessung vorgegeben werden, die dem gesamten Flächenbedarf entspricht.23 Ausgehend von einer vorgegebenen Layoutabmessung lässt sich nun das genaue Layout bestimmen: 1. Beginnend mit den Blattknoten in der untersten Ebene des ST werden die Flächenbedarfe der jeweils eine Ebene höher liegenden Teillayouts berechnet. Diese Berechnung wird für jede Ebene durchgeführt, bis der Wurzelknoten erreicht ist. 2. Das zu Beginn noch leere Layout wird nun entsprechend der Schnittrichtung des Wurzelknotens geteilt. Die Schnittposition berechnet sich dabei aus dem Verhältnis der beiden Flächenbedarfe auf der folgenden Stufe des ST. 3. Der vorige Schritt wird für die beiden jeweils entstandenen Teillayouts rekursiv ausgeführt, bis die Blattknoten erreicht sind. In Abbildung 16 a) bis d) ist dieses Vorgehen an einem Beispiel dargestellt. In a) ist der erste Schritt dargestellt, in b) der zweite Schritt und in c) eine Aufteilung entsprechend dem dritten Schritt. Das resultierende Layout ist schließlich in d) abgebildet.

23

Im Sinne der Minimierung des Platzbedarfs für das Layout ist es sinnvoll kein größeres Layout anzunehmen. Tendenziell werden durch die Realisierung einer höheren Packungsdichte im Layout auch die Transportwege kürzer ausfallen. Sollen jedoch bewusst Leerflächen realisiert werden, so entstehen zusätzliche Freiheitsgrade. In einem solchen Fall ist ein Verfahren zur Layouterzeugung zu verwenden, welches über die Positionierung der Leerflächen entscheidet (z. B. das Verfahren aus Abschnitt 3.2.4).

30

3 Slicing Trees in der Layoutplanung b)

H 30 FE

V 20 FE

V

+

10 FE

20 = 30

a)

2

3

6 FE

4 FE

3 FE

H 17 FE

4

5

11 FE

6 FE

c)

10

1

d) 5 3 4 2

1 6

+

1

2

4 = 10

Abbildung 16: Layouterzeugung bei vollständig flexiblen OE mit vorgegebenem Bedarf an Flächeneinheiten (FE)

3.2.2 Layoutgenerierung bei starren nichtrotierbaren OE Weisen alle OE starre Abmessungen auf (ausschließlich 2. Flexibilitätsart) und sind sie nicht rotierbar, so kann die Abmessung des Gesamtlayouts mit einer ähnlichen Vorgehensweise berechnet werden wie im vorangegangenen Abschnitt. 1. Beginnend mit den Blattknoten in der untersten Ebene des ST werden die Abmessungen der jeweils eine Ebene höher liegenden Teillayouts berechnet. Dazu werden die Abmessungen der beiden Kindknoten in der geschnittenen Dimension addiert und in der anderen Dimension das Maximum ihrer Abmessungen bestimmt. Diese Berechnung wird für jede Ebene durchgeführt, bis der Wurzelknoten erreicht ist. Anschließend sind dort die Abmessungen des Gesamtlayout angegeben.


31

2. Nun können die Positionen der OE festgelegt werden. Das zu Beginn noch leere Layout wird dazu entsprechend der Schnittrichtung des Wurzelknotens geteilt. Die Schnittposition bestimmt sich dabei aus den Abmessungen der beiden OE bzw. Teillayouts auf der folgenden Stufe des ST.24 3. Der vorige Schritt wird für die beiden jeweils entstandenen Teillayouts rekursiv ausgeführt, bis die Blattknoten erreicht sind. In Abbildung 17 ist ein Beispiel für die beschriebene Vorgehensweise dargestellt. max{9;12} x (9+4) x H = 12 13

1

2

x4

x9

6

max{7;4} x (3+1) = 7x4 H

3

4

3

(5+7) x max{2;4} = 12 x 4 V

(3+6) x max{4;9} = 9x9 V

3

5

2

5x2 4

5

7x3

4x1

1

Abbildung 17: Layouterzeugung bei OE mit vorgegebener Länge und Breite

3.2.3 Bounding Curves bei gemischter Flexibilität der OE Eine Möglichkeit, OE mit unterschiedlichsten Abmessungsrestriktionen in der Layouterzeugung zu berücksichtigen, bietet ein Ansatz, der auf Bounding Curves basiert. In diesem Ansatz können die OE jeweils beliebige (auch unterschiedliche) aus allen vier auf Seite 7 erläuterten Flexibilitätsarten aufweisen sowie jeweils wahlweise rotierbar sein oder nicht. In den folgenden Abschnitten wird zunächst erläutert, worum es sich bei einer Bounding Curve handelt und wie sich Charakteristiken der OE durch sie abbilden lassen. Es folgt ein Abschnitt zur Linearisierung von Bounding Curves, welche für die anschließende Aggregation der Bounding Curves benötigt wird. Im Ergebnis liefert 24

Steht dabei mehr Platz zur Verfügung als benötigt, so werden die OE stets links bzw. unten platziert. Um den Freiraum optimal zur Positionierung nutzen zu können, sollte das Verfahren aus Abschnitt 3.2.4 verwendet werden, welches über die günstige Positionierung der Leerflächen entscheidet.

32


die Aggregation alle verschiedenen zulässigen Abmessungen des Gesamtlayouts. Dies dient als Grundlage zur letztendlichen Layoutberechnung, welche die Positionsbestimmung der einzelnen OE beinhaltet. 3.2.3.1 Grundtypen von Bounding Curves Unter einer Bounding Curve (BC) ist eine Begrenzungslinie zu verstehen, welche die Grenze zwischen zulässigen und unzulässigen Abmessungen von Stellplätzen für OE markiert. Eine BC lässt sich in einem Koordinatensystem darstellen und durch sie lassen sich die Annahmen bezüglich Form, Flexibilität und Rotierbarkeit von OE abbilden. In Abbildung 18 bis Abbildung 21 sind Beispiele für BC angegeben; sie sind jeweils im ersten Quadranten des \2 dargestellt. Jede Koordinate im gepunkteten Bereich und auf der BC steht für zulässige Abmessungen eines Stellplatzes; die BC ist die Grenzlinie zum unzulässigen Bereich. Der Bereich zulässiger Abmessungen entsteht aus der Vereinigung der Punktemengen, die rechts oberhalb aller zulässigen Abmessungen einer OE liegen. Prinzipiell lassen sich durch BC nahezu beliebige Anforderungen für Stellplatzabmessungen von OE wiedergeben. In diesem Abschnitt werden exemplarisch, analog zu den vier auf Seite 7 aufgeführten Flexibilitätsarten von OE, vier verschiedene Formen von BC vorgestellt. Vollständig flexible OE Die zulässigen Kombinationen von Breite x und Länge y einer bezüglich des Seitenverhältnisses vollständig flexiblen OE mit vorgegebenem Flächenbedarf G lassen sich durch die Beziehung x y = G ausdrücken. Dies lässt sich umformen und als Funktion der Länge y in Abhängigkeit von der Breite x angeben: y(x) = G / x für x > 0. In Abbildung 18 ist die BC einer OE mit einem Flächenbedarf von G = 12 Flächeneinheiten (FE) dargestellt. Von den möglichen Realisierungen der OE sind zwei beispielhaft skizziert. Die untere linke Ecke der OE befindet sich jeweils im Ursprung des Koordinatensystems, die obere rechte dagegen auf der Hyperbel. Ein zulässiger Stellplatz für eine OE muss stets eine mindestens so große Breite und eine mindestens so große Länge aufweisen, wie die Realisierung der OE selbst. Daher sind sowohl die Punkte auf der Hyperbel als auch rechts oberhalb davon zulässige Stellplatzabmessungen, zu denen sich passende Realisierungen der OE finden lassen.


33 y

4

1,5

y(x) = 12 / x 12 FE 12 FE 3

8

x

Abbildung 18: Bounding Curve einer vollständig flexiblen OE

Starre OE Im Falle einer OE mit festen Abmessungen gibt ein einzelner Punkt die zulässige Größe wieder. Mögliche Stellplätze für diese OE dürfen jedoch wiederum deren Größe übersteigen. Die BC besteht daher aus zwei Geraden, welche im Punkt der zulässigen Abmessung der OE beginnen und parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. In Abbildung 19 ist linkerhand ein Beispiel für eine starre OE mit x = 3 und y = 4 angegeben, rechterhand folgt ein Beispiel für die gleiche starre OE, die nun jedoch um 90° gedreht werden darf. Der Bereich der zulässigen Stellplatzgrößen für rotierbare OE geht durch eine Spiegelung des Bereichs aus dem nicht rotierbaren Fall an der Winkelhalbierenden und Vereinigung beider hervor. y

y

4

4 3 12 FE

12 FE

3

x

45° 3

4

x

Abbildung 19: Bounding Curve einer starren OE (nicht rotierbar vs. rotierbar)

34


Begrenzt flexible OE Eine OE, die innerhalb gewisser Grenzen Flexibilität bietet, kann durch ihren Flächenbedarf G sowie ein minimales Seitenverhältnis Dmin = xmin / ymax und ein maximales Seitenverhältnis Dmax = xmax / ymin charakterisiert werden. Die BC einer solchen OE besteht im flexiblen Bereich aus einer Hyperbel, die bei Erreichen des minimalen bzw. maximalen Seitenverhältnisses in die Senkrechte bzw. Waagerechte übergeht. Abbildung 20 zeigt dies linkerhand für eine nichtrotierbare OE mit G = 12, Dmin = 3/4 und Dmax = 8/1,5. Die BC einer rotierbaren OE umfasst in der Regel zwei Hyperbelabschnitte, welche aus einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden resultieren. In Abbildung 20 ist rechterhand die BC einer rotierbaren OE mit G = 12, Dmin = 4/3 und Dmax = 8/1,5 abgebildet. Bei solch einer OE können die beiden vorgegebenen Extremwerte für die Seitenverhältnisse entweder größer sein als eins, wie in diesem Beispiel, oder sie sind beide kleiner als eins. Die Werte aus dem Beispiel lassen sich in die entsprechenden Werte kleiner eins umrechnen: ' Įmin

1 Įmax

1 8

1,5

1,5 | 0,19 8

und

' Įmax

1 Įmin

1 4 3

3 4

0,75 .

Dieselben Beziehungen gelten auch für die gegenläufige Umrechnung. y

y

4

1,5

4

y(x) = 12 / x

y(x) = 12 / x 12 FE

12 FE

1,5 12 FE 3

8 x

12 FE

45° 3

8 x

Abbildung 20: Bounding Curve einer begrenzt flexiblen OE (nicht rotierbar vs. rotierbar)


35

Bemerkung 3.4:

Falls ein zulässiger Bereich von Seitenverhältnissen x/y für eine begrenzt flexible, rotierbare OE gegeben ist, welcher den Wert 1 enthält, so vereinigen sich die beiden Hyperbelabschnitte der BC zu einem einzigen. Denn das Seitenverhältnis von 1 beschreibt eine quadratische Form der OE und wird genau auf der Winkelhalbierenden angenommen. Eine solche rotierbare OE besitzt dementsprechend eine BC mit nur einem Hyperbelabschnitt, wie eine nicht rotierbare, wobei wegen der Drehbarkeit ' für das Seitenverhältnis gilt: Įmin

' min ^Įmin ,1/ Įmax ` und Įmax

' 1/ Įmin .

OE mit diskreter Menge möglicher Abmessungen In Abbildung 21 ist die BC einer OE dargestellt, die eine beliebige von mehreren zur Auswahl stehenden fixen Abmessungen annehmen kann. Die mit Punkten markierten Stellen sind dabei die möglichen Abmessungen der OE. Die senkrechten und waagerechten Abschnitte resultieren daraus, dass beispielsweise bei einer Verbreiterung des Stellplatzes der OE dessen Länge erst dann reduziert werden kann, wenn seine Breite die der nächst kürzeren Realisierung der OE erreicht oder übersteigt. Weitere zulässige Realisierungen der OE, die im gepunkteten Bereich liegen könnten, brauchen nicht berücksichtigt werden, da sie sowohl hinsichtlich des Flächenbedarfs als auch hinsichtlich der Transportdistanz durch die anderen Realisierungen dominiert werden. y

4

1,5

16 FE 12 FE 4

8

x

Abbildung 21: Bounding Curve einer OE mit diskreter Menge möglicher Abmessungen

36


3.2.3.2 Linearisierung von Hyperbelabschnitten Unter den in Abschnitt 3.2.3.1 vorgestellten Grundtypen von BC enthalten einige hyperbelförmige Abschnitte. Bevor auf das Erstellen von Layouts mit Hilfe von BC eingegangen wird, soll die stückweise Linearisierung von Hyperbelabschnitten beschrieben werden, da sie in Abschnitt 3.2.3.3 verwendet wird. Es gibt zwei Anwendungen, welche eine Linearisierung notwendig machen: 1. Um BC zur Berechnung von Layouts nutzen zu können, ist es erforderlich, sie wiederholt sowohl in x- und in y-Richtung als auch wechselweise in beiden Richtungen addieren zu können. Dies kann, wie in Abschnitt 3.2.3.3 gezeigt wird, wegen der vorhandenen Hyperbelabschnitte sehr aufwendig sein, aber nach einer Linearisierung lassen sich die BC effizient addieren. 2. Um die Charakteristika der OE in Modellen der linearen Programmierung abbilden zu können, müssen ihre Formrestriktionen durch lineare Bedingungen ausgedrückt werden. Bei der Suche nach einer geeigneten Linearisierung tritt ein Zielkonflikt auf. Einerseits soll der entstehende Approximationsfehler möglichst gering bleiben, andererseits sollen möglichst wenige Stützstellen verwendet werden, damit der Rechenaufwand der die linearisierten BC nutzenden Verfahren gering bleibt. Linearisierungsverfahren müssen sich daran messen lassen, wie gut sie diese konkurrierenden Ziele erfüllen bzw. ob sie effiziente Lösungen25 finden. Im Folgenden werden Linearisierungen der hyperbelförmigen Abschnitte vorgestellt, welche verschiedene Autoren für die Anwendung in der linearen Programmierung entwickelten. Die Verfahren werden anhand von Abbildungen veranschaulicht, in denen jeweils der zu linearisierende Hyperbelabschnitt einer beschränkt flexiblen OE, für deren Seitenverhältnis Į = Įmax = 1/Įmin gilt, dargestellt ist.26 Die linearen Nebenbedingungen sind jeweils mit Pfeilen versehen, die in Richtung zulässiger Lösungen zeigen. In der linearen Programmierung bildet der Raum der zulässigen

25 26

Siehe dazu auch Domschke und Scholl (2008, Kap. 2.3.3). Die Annahme eines symmetrischen Flexibilitätsbereiches dient der übersichtlicheren Darstellbarkeit. Sie wird zumindest bei den Verfahren von Sherali et al. (2003), Castillo und Westerlund (2005) sowie dem selbst entwickelten Verfahren aber nicht zwingend vorausgesetzt.


37

Lösungen eine konvexe Menge27, diese ist in den Abbildungen durch einen gepunkteten Bereich markiert. Besonders interessant ist hinsichtlich dieser Bereiche allerdings, wie gut ihr links bzw. unten liegender Rand die Hyperbel annähert. Die optimalen Abmessungen der OE befinden sich auf diesem Rand, da durch das Ziel der Minimierung der Distanzen zwischen OE-Mittelpunkten die OE so klein wie möglich realisiert werden.28 Lacksonen (1994) nimmt eine sehr einfache Linearisierung vor, dabei wird die Hyperbel durch zwei Geraden angenähert, die durch die quadratische Abmessung der OE mit den Seitenlängen x = y = į und jeweils eine der Abmessungen mit maximalem bzw. minimalem Seitenverhältnis verlaufen. Diese Approximation unterschätzt Flächenbedarfe von OE nie, daher können die erzeugten Layouts sicher realisiert werden. y

45°

G/D

G

GD

x

Abbildung 22: Linearisierung nach Lacksonen (1994)

Meller et al. (1999) nutzen neben Beschränkungen für die minimale und maximale Breite bzw. Länge der OE die Ungleichung 2 x y t 3 į 0,95 max ^x,y` . Diese Bedingung führt zu zwei Approximationsgeraden, deren Lage jedoch ausschließlich von į und einem empirisch ermittelten Faktor (0,95) abhängt und somit unabhängig von Dmax und Dmin ist. Dadurch ist die Approximation nicht für alle Spannweiten des Bereichs möglicher Seitenverhältnisse gleichermaßen geeignet. Aus dem in Abbil-

27 28

Siehe Domschke und Drexl (2007, S. 20). Ausnahmefälle, in denen eine OE nicht zwingend kleinstmöglich realisiert werden muss, sind solche, in denen eine OE von Leerfläche umgeben ist und z. B. ihre Transportinteraktion mit allen anderen OE gleich null ist. Auch in einem solchen Fall kann die Größe der OE im Nachhinein ohne Beeinträchtigung der Zielfunktion auf einen passenden Wert verkleinert werden.

38


dung 23 visualisierten Approximationsbereich ist ersichtlich, dass verschiedene Bereiche entstehen, innerhalb welcher die Fläche der OE entweder unter- oder überschätzt wird. y

45°

G / D 0,98 G

G D 2,86 G

x

Abbildung 23: Linearisierung nach Meller et al. (1999)

Sherali et al. (2003) nehmen eine andere Approximation der BC vor. Sie legen eine vorzugebende Anzahl von Tangenten in bezüglich der Abszisse äquidistanten Schrittweiten an den Hyperbelabschnitt an, wie es Abbildung 24 anhand von drei Tangenten veranschaulicht. Die erste Tangente wird in dem Punkt angelegt, in welchem das minimale Seitenverhältnis der OE erreicht ist, die letzte im Punkt des maximalen Verhältnisses. Die äquidistante Verteilung der Tangentialstellen führt allerdings zu einer ungleichmäßigen Verteilung des Linearisierungsfehlers. Generell wird der Flächenbedarf der OE durch die Verwendung der Tangenten stets unterschätzt. y

45°

G/D

G/D GD 2

GD

x

Abbildung 24: Linearisierung nach Sherali et al. (2003)


39

Castillo und Westerlund (2005) entwickeln ein Verfahren, welches ebenso Tangenten an den Hyperbelabschnitt anlegt. Die Anzahl der Tangenten muss allerdings nicht vorgegeben werden, stattdessen kann der maximal tolerierte prozentuale Fehler İmax angegeben werden, um den die Fläche der approximierten OE vom Original abweichen darf. Abbildung 25 zeigt die Linearisierung durch drei Tangenten, wobei der maximale Approximationsfehler geringer ausfällt als bei dem Modell von Sherali et al. (2003). Dies liegt an der günstigeren Verteilung der Stützstellen der Tangenten. y

45°

G/D

G

GD

x

Abbildung 25: Linearisierung nach Castillo und Westerlund (2005)

Zur Approximation des Hyperbelabschnitts werden C+1 lineare Segmente verwendet, wobei die x-Koordinaten ihrer Stützstellen folgendermaßen bestimmt werden:29 i

xi

§ xmax · C x für alle i {0, … , C} mit C min © xmin ¹

log xmax / xmin ª º « log 1 İmax / 1 İmax » « »

Die Linearisierung von Castillo und Westerlund (2005) ist die ausgefeilteste der bisher veröffentlichten Varianten, da sie mit einer sehr geringen Anzahl von Stützstellen einen vorzugebenden maximalen Approximationsfehler einhält. In dieser Arbeit wird ein Linearisierungsverfahren entwickelt, welches zwei Vorteile gegenüber jenem von Castillo und Westerlund (2005) bietet. Zum einen kommt es bei gleichem maximalen Fehler in der Regel mit einer Approximationsgerade weniger bzw. einem geringeren Approximationsfehler bei gleicher Anzahl von Geraden aus und zum zweiten unterschreitet es den vorgegebenen Flächenbedarf der OE nie, weswegen die Layouts auch stets realisierbar sind. Um Letzteres zu erreichen, wird

29

Dabei rundet der Ausdruck ª...º den innen stehenden Wert auf die nächste ganze Zahl auf.

40


der Hyperbelabschnitt nicht durch Tangenten, sondern durch ihm einbeschriebene Sekanten angenähert. Das Ergebnis einer solchen Linearisierung bei Verwendung von drei Sekanten ist in Abbildung 26 dargestellt. y

45°

G/D G/D 3 D 3 G/D D

x

2

GD

Abbildung 26: Eigene Linearisierung

In dem hier vorgestellten Ansatz soll die Fläche der OE nie um mehr als einen maximalen prozentualen Approximationsfehler İmax > 0 überschätzt werden, daher xy 1 . į

muss in jedem Punkt (x, y) der linearen Annäherung gelten: İmax t İ

Ausgehend von der Stelle mit der minimalen Breite xmin der OE auf der Hyperbel h(x) ist in Abbildung 27 die nächste Linearisierungsstützstelle xL > xmin gesucht.30 Diese Stelle muss so gewählt werden, dass ein Fehler von höchstens İmax realisiert wird. Die Hyperbel h*(x), die sich beim Flächenbedarf į*

į 1 İmax ergibt, stellt somit

eine obere Begrenzung dar, oberhalb welcher die Approximationsgerade g(x) nicht verlaufen darf. Die Stützstelle xL darf daher maximal so groß gewählt werden, dass die Gerade eine Tangente zur Hyperbel h*(x) bildet. Die Wahl eines geringeren Wertes für xL ist wiederum nicht zweckmäßig, da sie tendenziell eine größere Anzahl von Stützstellen auf dem gesamten Intervall [xmin, xmax] nach sich ziehen würde. Im Folgenden wird deswegen der Wert für xL so bestimmt, dass g(x) eine Tangente zu h*(x) bildet, wobei g(x) durch den gegebenen Startpunkt (xmin, į/xmin) sowie den gesuchten Endpunkt (xL, į/xL) verläuft, wobei İmax und į vorgegeben sind.

30

Der Wert von xmin lässt sich aus der Angabe des minimalen Seitenverhältnisses Dmin = xmin / ymax und des Flächenbedarfs į = xmin ymax unter Beachtung der jeweils angegebenen funktionalen Zusammenhänge folgendermaßen ableiten: xmin į Įmin 1/ 2 .


41

y G

gx

xmin

h* x

į 1 İmax x

į* x

h x

G xL

xmin x t

G x

xmax x

xL

Abbildung 27: Beispiel zur Approximation mit maximalem Fehler İmax

Die Zweipunkteform einer Geraden lautet: g(x)

y1

y2 y1 x x1 . x2 x1

Durch Einsetzen des Start- und Endpunkts ergibt sich die Approximationsgerade: g(x)

į

xmin

į į xL xmin x xmin xL xmin

į į x xmin xmin xL xmin

į į į x xmin xL xL xmin

Nach dem Gleichsetzen der Geraden g(x) mit der Hyperbel h*(x) lassen sich durch Auflösen nach x die Schnittpunkte der Funktionen bestimmen. h* (x) g(x)

į* į 1 İmax x x h* (x)

į 1 İmax x į 1 İmax į į į 0 x xmin xL xL xmin x 1 § 1 1 · x x 2 1 İmax 0 © xmin xL ¹ xL xmin į į į x xmin xL xL xmin

1 1 x2 § · x x x 1 İmax xL xmin © xmin xL ¹ L min x 2 xL xmin x 1 İmax xL xmin

0

0

2

x ǿ,ǿǿ

xL xmin x xmin · r § L 1 İmax xL xmin © ¹ 2 2

Es ergibt sich ein quadratisches Polynom, dessen Nullstellen durch die pq-Formel bestimmt werden können. Da die Gerade eine Tangente zu h*(x) bilden soll, muss es genau einen Berührpunkt geben. Damit die Hyperbel berührt, aber nicht geschnitten wird, muss das Polynom eine doppelte Nullstelle besitzen. Dies ist gerade dann der

42


Fall, wenn der Wurzelterm gleich null ist. Somit ergibt sich eine Nullstelle der Ord-

xL xmin / 2 ; an dieser Stelle

nung 2 auf halber Strecke zwischen xL und xmin bei x t *

tangiert g(x) dementsprechend h (x). Der gesuchte Wert von xL kann schließlich bestimmt werden, indem der Radikand gleich null gesetzt wird. 2

§ xL xmin · 1 İmax xL xmin © ¹ 2 2

0

2

§ xL · § xmin · § 1 İ · x x © 2¹ © 2 ¹ © 2 max ¹ L min 1 xL2 xmin2 4 § İmax · xL xmin ©2 ¹

0

0

xL2 2 1 2 İmax xmin xL xmin2

0

xLǿ,ǿǿ

1 2 İmax xmin r 1 2 İmax xmin

xLǿ,ǿǿ

1 2 İmax xmin r xmin 1 2 İmax 2 1

xLǿ,ǿǿ xLǿ,ǿǿ xLǿ,ǿǿ

1 2 İ 1 2 İ 1 2 İ

2

xmin2

max

r 1 4 İmax 4 İmax 2 1 xmin

max

r 2 İmax İmax xmin

max

r 2 İmax 1 İmax xmin

2

Für xL ergeben sich zwei mögliche Werte, wobei vorausgesetzt wurde, dass xL > xmin gelten soll; somit ergibt sich xL

1 2 İ

max

2 İmax 1 İmax xmin .31 Der Wert der

Stützstelle kann demnach durch Multiplikation des Startwertes xmin mit einem Faktor

q 1 2 İmax 2 İmax 1 İmax ! 1 bestimmt werden, welcher somit die relative Schrittweite zwischen den Stützstellen angibt. Die Linearisierung in Abbildung 27 ist damit allerdings noch nicht abgeschlossen; da das Ende des Hyperbelabschnitts (xmax) noch nicht erreicht ist. Obige Berechnung lässt sich durch Ersetzen von xmin durch xs und xL durch xs+1 auf den allgemeinen Fall übertragen, dass ausgehend von einer beliebigen gegebenen Stützstelle xs die nächste xs+1 gesucht wird, so dass der maximale Approximationsfehler İmax gerade nicht überschritten wird. Demnach gilt:

31

Die andere Lösung ist im umgekehrten Fall gültig, wenn statt von xmin ausgehend von xmax > xL eine Linearisierung in Richtung abnehmender x-Werte durchgeführt wird.


43 x s1 xs

q 1 2 İmax 2 İmax 1 İmax

Wird diese Beziehung mehrmals hintereinander angewandt, indem soeben bestimmte Stützstellen als Ausgangspunkte zur Ermittlung von weiteren genutzt werden, so lässt sich aus

x s1 xs 2 x ! sk x s x s1 x sk 1

qk

x s k die Beziehung xsk xs

qk x s ableiten. Bei

xs+k handelt es sich um das Ende des k-ten Linearisierungsabschnittes. Für einen gegebenen Hyperbelabschnitt muss nun ausgehend von xmin eine Anzahl k von Approximationsgeraden bestimmt werden, für die qk xmin t xmax gilt. Das bedeutet, dass so lange weitere Stützstellen erzeugt werden, bis die letzte xmax erreicht oder überschreitet. Das kleinste ganzzahlige k, welches diese Bedingung erfüllt, ist die mindestens notwendige Anzahl von Approximationsgeraden kmin. Durch Umformen der Beziehung qk xmin t xmax unter Beachtung der Wertebereiche der Parameter ergibt sich:

x q t max xmin k

x k log(q) t log § max · © xmin ¹

x log § max · © xmin ¹ kt log(q)

kmin

ª § xmax · º « log © xmin ¹ » « log(q) » « »

Für das Beispiel aus Abbildung 27, welches in Abbildung 28 noch einmal aufgegriffen wird, ergibt sich graphisch, dass mindestens zwei Approximationsgeraden nötig sind.

gx

y

h* x

G* x

G 1 Hmax x

h x

xmin

q1 xmin

G x

xmax q2 xmin x

Abbildung 28: Beispiel zur Approximation mit zwei Geraden

Eine Linearisierung wie in Abbildung 28 ausschließlich über Tangenten an h*(x) vorzunehmen ist allerdings nicht zweckmäßig; als letzte Stützstelle sollte statt q2 xmin vielmehr xmax verwendet werden. Ein solches Vorgehen führt zu einem verringerten maximalen Approximationsfehler im letzten Abschnitt, jedoch nicht in den vorangehenden. Es ist allerdings nicht zu erwarten, dass die Abmessungen der OE vornehm-

44


lich innerhalb des letzten Linearisierungsabschnitts realisiert werden. Daher ergibt sich die Idee, durch gleichmäßiges Verteilen der kmin Geraden in dem Intervall [xmin, xmax] den an einer beliebigen Stelle im Intervall maximal möglichen Linearisierungsfehler noch weiter zu reduzieren. Die gleichmäßig verteilten Stützstellen lassen sich durch eine Neuberechnung des Faktors q ermitteln. Nachdem kmin mit oben stehender Formel bestimmt wurde, soll für den verkleinerten Faktor qv nun gelten: qvkmin

xmax xmin

qv

kmin

xmax xmin

Die Höhe des verringerten Approximationsfehlers İv lässt sich aus der auf Seite 42 ermittelten Bedingung bestimmen, die sicherstellt, dass g(x) eine Tangente zu einer Hyperbel hİ x

į 1 İ mit einer Flächenüberschreitung in Höhe von İ bildet: x 2

§ xs1 xs · 1 İ x x s1 s © 2 ¹

0

2

xs1 § xs1 xs 1· ¨© ¸¹ 1 İ x 2 s

0

2

§ q 1· 1 q İ © 2 ¹

0

1 2 q 1 q İ q 4 1 2 1 q 1 1 İ 4 q 1 2 1 q 2 q 1 1 İ 4 q 1 § 1· q 2 ¸ 1 İ 4 ¨© q¹ q 1 1 4 4q 2

İ

In jedem der Linearisierungsabschnitte tritt nun gleichmäßig verteilt jeweils maximal ein Approximationsfehler in Höhe von İ v kmin

qv 1 1 d İmax auf, mit qv 4 4 qv 2

kmin

xmax , xmin

ª log xmax xmin º « » und q 1 2 İmax 2 İmax 1 İmax . log(q) « »

Die kmin+1 Stützstellen der kmin linearen Abschnitte werden bestimmt durch xi

qvi xmin und yi

į für alle i {0, …, kmin}. Die Gleichungen der kmin Approximatixi


45

onsgeraden lassen sich durch Einsetzen von (xi, yi) und (xi+1, yi+1) in die Zweipunkteform einer Geraden ermitteln und lauten dementsprechend für alle i {0, … , kmin-1}: gi (x)

į į į x xi xi1 xi1 xi į į į x qvi xmin qvi1 xmin qv i1 xmin qvi xmin į į qv 1 2i1 x qvi1 xmin qv xmin2

Bemerkenswert ist, dass der Flächenbedarf der OE aus der Berechnung herausfällt und somit für die notwendige Anzahl der Stützstellen sowie die Höhe des Linearisierungsfehlers keine Rolle spielt. Bemerkung 3.5:

Bei rotierbaren, begrenzt flexiblen OE, deren BC zwei Hyperbelabschnitte32 umfasst, wird jeder Abschnitt mit dem beschriebenen Verfahren linearisiert. Dazu muss die Linearisierung allerdings nicht doppelt berechnet werden, sondern nur für einen der Hyperbelabschnitte und für den anderen können die Umkehrfunktionen der linearen Funktionen genutzt bzw. die beiden Koordinaten jeder Stützstelle vertauscht werden. 3.2.3.3 Aggregation von Bounding Curves Dieser Abschnitt beschreibt, wie mit Hilfe der BC alle möglichen Abmessungen des zu einem gegebenen ST korrespondierenden Layouts bestimmt werden können. Die Blattknoten eines ST repräsentieren OE, daher ist jedem von ihnen eine BC zugeordnet. Abhängig von den Anforderungen, die an die Abmessungen der OE gestellt werden, können dies unterschiedliche Formen von BC sein. Innere Knoten des ST besitzen zunächst keine BC, allerdings lässt sich für jeden Knoten eine BC berechnen. Wobei diese BC dann als Begrenzungslinien zu verstehen sind, welche die Grenze zwischen zulässigen und unzulässigen Abmessungen von möglichen Stellflächen für ganze Teillayouts (nicht nur für einzelne OE) angeben. Um die BC eines Knotens berechnen zu können, müssen die BC seiner beiden Kinder bekannt sein. Abhängig von der Schnittrichtung des betrachteten Knotens ist die Richtung zu wählen, in der die BC der Kinder addiert werden. Es ist diejenige Additionsrichtung 32

Siehe dazu auch Bemerkung 3.4 auf Seite 35.

46


zu wählen, die orthogonal zur gegebenen Schnittrichtung ist, bei vertikalem Schnitt werden dementsprechend die x-, bei horizontalem die y-Koordinaten der BC der Kindknoten aufsummiert. Die Addition zweier BC soll an dem Beispiel in Abbildung 29 verdeutlicht werden. Betrachtet wird ein innerer Knoten mit horizontalem Schnitt. Seine Kinder sind Blattknoten mit zugeordneten BC, welche wegen des horizontalen Schnitts in yRichtung zu addieren sind: y(x) = y1(x) + y2(x). Bei der Addition lassen sich im vorliegenden Beispiel vier Bereiche (I bis IV) unterscheiden. Im Bereich I ist mindestens eine der BC der Kinder nicht definiert, selbiges ist daher auch bei der aggregierten Kurve der Fall. Im Bereich II sind beide OE flexibel bezüglich des Seitenverhältnisses, ihre BC sind daher Hyperbelabschnitte und die resultierende BC ergibt sich als Hyperbel mit y(x) = (G1+G2) / x, wobei G1 und G2 die Flächenbedarfe der OE angeben. Die OE 1 hat am Beginn des dritten Bereichs ihr maximales Seitenverhältnis erreicht und besitzt daher innerhalb dieses Bereichs eine konstante (minimale) Länge y1min , die resultierende BC lautet daher y(x)

į2 x y1min . Im letzten Bereich

haben beide OE die Grenze ihrer Flexibilität erreicht und die BC ergibt sich aus der y1min ymin 2 .

Summe ihrer minimalen Längen zu y(x)

y

H 2

1 H 2 1

ymin 2

y1min

I

II

III

IV

x

Abbildung 29: Addition zweier BC

Durch wiederholte Anwendung der in Abbildung 29 exemplarisch gezeigten Addition von BC lässt sich die BC des Wurzelknotens eines ST bestimmen. Dazu werden zunächst die BC solcher Knoten bestimmt, deren beide Kinder Blattknoten mit bekannten BC sind. Anschließend können die BC von Knoten ermittelt werden, die in höheren Ebenen im Baum liegen, bis schließlich die BC des Wurzelknotens berechnet ist. In Abbildung 30 ist die Berechnung der BC in einem ST schematisch darges-


47

tellt, wobei jeweils für die Wahl der Additionsrichtung zweier BC die Schnittrichtung des Vaterknotens beachtet wurde.

H

V

4

V

5

3

H

2

1

Abbildung 30: Aggregationsschema für BC im ST

Die BC des Wurzelknotens des ST bildet schließlich die Grenze zwischen zulässigen und unzulässigen Abmessungen des Gesamtlayouts. Jeder Punkt der BC selbst stellt für ein bestimmtes Breite-zu-Länge-Verhältnis des Gesamtlayouts die jeweils kleinste zulässige Abmessung dar. In diesen Abmessungen ist demnach die Einhaltung der Vorgaben und Restriktionen bezüglich der Abmessungen von einzelnen OE berücksichtigt, indem neben dem Flächenbedarf der OE auch Leerflächen mit einbezogen werden, sofern sie für die Einhaltung von Formrestriktionen der OE erforderlich sind. Passend zu dem ST aus Abbildung 30 findet sich ein Beispiel für die BC des Wurzelknotens und zwei mögliche Realisierungen des Layouts in Abbildung 31. Dort ist auch zu erkennen, dass verschiedene Realisierungen mit durchaus unterschiedlichen Leerflächenanteilen einhergehen können.

48

3 Slicing Trees in der Layoutplanung y

y

5

3

4

5 4

3 1

2

1 x

2 x

Abbildung 31: BC eines Wurzelknotens und zwei mögliche Layoutrealisierungen

Wie die zu einem ST korrespondierenden Layouts auf Basis der BC berechnet werden, wird in Abschnitt 3.2.3.4 behandelt. Im Folgenden sind zunächst Schwierigkeiten dargestellt, die bei der Aggregation von BC durch wechselnde Additionsrichtungen entstehen. Schwierigkeiten bei der Addition von BC Die vorgestellten Grundtypen von BC bestehen aus senkrechten, waagerechten und hyperbelförmigen Abschnitten. Die wiederholte Addition solcher BC ist allerdings nicht so einfach, wie es im Beispiel in Abbildung 29 den Anschein gehabt haben mag. Um zwei BC in x-Richtung zu addieren, müssen die BC explizit als Funktionen x(y) der OE-Breite x in Abhängigkeit von deren Länge y angegeben werden, bei Addition in y-Richtung entsprechend als y(x). Um BC nacheinander in unterschiedlichen Richtungen addieren zu können, ist es somit notwendig, die Umkehrfunktion zu bilden bzw. bilden zu können. Dass es nicht immer leicht ist die Umkehrfunktion explizit anzugeben, soll an einem Beispiel verdeutlicht werden: Durch das Summieren in x-Richtung eines Hyperbelabschnitts x(y) = G1 / y und eines senkrechten Abschnitts x(y) = r entsteht beispielsweise eine nach rechts verschobene Hyperbel der Form x(y) = (G1 / y) + r, wobei r > 0 die Rechtsverschiebung angibt. Die Umkehrfunktion dazu lässt sich durch den Ausdruck y(x) = G1 / (x-r) für x > r explizit angeben. Zu dieser BC könnte nun in y-Richtung eine Hyperbel mit einem von r abweichenden Grad der Rechtsverschiebung addiert werden. Im einfachsten Fall wäre dies die Hyperbel y(x) = G2 / x, die keine Verschiebung aufweist und es ergibt sich y(x) = G1 / (x-r) + G2 / x für x > r. Soll letztgenannter Ausdruck nun in xRichtung mit einer weiteren BC zusammengefasst werden, so muss die Umkehrfunk-


49

tion explizit angegeben werden. Diese Funktion zu bestimmen, ist, wie in der folgenden Berechnung zu erkennen ist, zum einen aufwendig und zum anderen lässt sich die Funktion nicht mehr durch eine Addition verschobener Hyperbeln ausdrücken. į1 į2 x x r y x x r į1 x r į2 x y

y x 2 y r x į1 x į1 r į2 x į į º ª ªį r º x2 «r 1 2 » x « 1 » y ¼ ¬ ¬ y ¼

0

0 2

x ǿ,( ǿǿ )

į r r į1 į2 § r į1 į2 · 1 2 2 y ( ) ¨© 2 2 y ¸¹ y

... x ǿ,( ǿǿ )

2 r į1 į2 § į1 į2 · r į1 į2 § r · ¨ © 2 y ¸¹ 2 2 y ( ) © 2¹ 2 y

2

Da eine Aggregation von BC in den später vorgestellten Algorithmen sehr häufig durchgeführt werden muss, erscheint es nicht sinnvoll bzw. der Aufwand nicht vertretbar, die Addition der BC analytisch exakt durchzuführen. Daher wird die in Abschnitt 3.2.3.2 beschriebene Linearisierung der BC verwendet. Addition stückweise linearisierter BC Bei linearisierten BC fällt die Addition nicht weiter schwer. Alle vorgestellten BC sind monoton fallende Funktionen, daher lassen sich alle Stützstellen einer BC in einer sortierten Liste speichern. Die Sortierung erfolgt nach nicht fallenden x-Werten und nicht steigenden y-Werten, welches einem Durchlaufen der Kurve von links oben nach rechts unten entspricht. Ausgehend von dieser Speicherung werden die Kurvenpunkte zweier in y-Richtung zu addierender BC jeweils sequentiell in Richtung steigender Abszissenwerte durchlaufen, bis bezüglich der x-Koordinaten überlappende Kurvensegmente gefunden wurden. Der kleinste Abszissenwert, ab dem beide Kurven existieren, bildet den Beginn der aggregierten BC. Ab dieser Stelle wird für jeden Punkt der beiden BC der Funktionswert der jeweils anderen BC durch lineare Interpolation bestimmt. Die Summe der beiden Werte ergibt somit jeweils einen Funktionswert der neuen BC. Bei der Addition in x-Richtung wird analog vorgegangen.

50


Das erläuterte Vorgehen ist in Abbildung 32 an einem Beispiel dargestellt, dabei markieren die Punkte auf den BC die verwendeten Linearisierungsstützstellen, welche paarweise durch Geradensegmente verbunden sind. Die BC H ergibt sich durch Addition der BC 1 und 2 in y-Richtung; die BC V kann anschließend durch Addition von BC 3 und H in x-Richtung bestimmt werden. y 6 5

V

H

V

3

4 3

H 2

3 1

2

2 1

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9 x

Abbildung 32: Beispiel zur Addition stückweise linearisierter BC

3.2.3.4 Layoutberechnung aus Bounding Curves Im vorangegangenen Abschnitt wurde bereits erläutert, dass sich die Menge der zulässigen Abmessungen der zu einem gegebenen ST korrespondierenden Layouts an der BC des Wurzelknotens ablesen lässt. Hier wird nun zunächst ein Verfahren vorgestellt, welches zu einer zulässigen Abmessung ein gültiges Layout ermittelt. Anschließend wird ein Verfahren präsentiert, welches aus allen zulässigen Layoutabmessungen eine günstige bestimmt. Vorab sei an dieser Stelle angemerkt, dass in der Regel nicht nur ein einziges Layout mit einer zulässigen Layoutabmessung korrespondiert. Solch eine Mehrdeutigkeit existiert immer dann, wenn Leerflächen im Layout vorkommen. Leerräume ermöglichen es, die Positionen von OE oder Schnitten im Layout zu variieren.33 Außerdem könnten auf einer überdimensionierten Stellfläche unterschiedliche Realisierungen einer flexiblen oder rotierbaren OE Platz finden. Es ist allerdings kein triviales

33

Ein Beispiel dafür findet sich in Abbildung 35.


51

Problem, das optimale Layout bei gegebenem ST zu einer gegebenen Abmessung zu bestimmen. Daher wird diesbezüglich auf Abschnitt 3.2.4 verwiesen und im Folgenden ein Verfahren angegeben, mit welchem schnell eines der möglichen Layouts berechnet werden kann. Ausgehend von einem Punkt der BC jedes Schnittknotens lassen sich die Abmessungen der zu seinen Kindknoten korrespondierenden Teillayouts bestimmen. Dazu wird von dem Punkt der BC aus in der Richtung, in welcher die Addition der BC durchgeführt wurde, auf die BC der Kindknoten zurückgegangen. Die beiden gefundenen Punkte geben die Abmessungen der Teillayouts an. Nun lassen sich beide Teillayouts entsprechend der Schnittrichtung des Vaterknotens aneinander fügen und das Layout des Vaterknotens entsteht. Die Positionen der Teillayouts und OE werden jeweils bezüglich ihrer linken unteren Ecke bestimmt, sie entsprechen bei linken Kindern der des Vaters, bei rechten Kindern der des Vaters zuzüglich der Abmessung des linken Kindes. Das Verfahren zur Bestimmung des Gesamtlayouts beginnt an einem Punkt der BC des Wurzelknotens und ermittelt rekursiv alle untergeordneten Teillayouts. An dem Beispiel in Abbildung 33 wird das Verfahren veranschaulicht. Gegeben sind dort die Daten dreier flexibler, nicht rotierbarer OE sowie ein ST, außerdem ist das Ergebnis der Addition der BC abgebildet:34 Ausgehend von dem Punkt p auf der BC der Wurzel werden die Abmessungen der Teillayouts zu beiden Seiten des Wurzelschnittes bestimmt. Dabei wird wegen des vertikalen Wurzelschnittes in x-Richtung zurückgeblickt. Damit stehen die Abmessungen der flexiblen OE 3 fest sowie die Größe und Position des Teillayouts, welches zu Knoten H gehört. Im nächsten Schritt muss bestimmt werden, wie die Kindknoten von H in die ihm zugeordnete Fläche eingepasst werden. Dazu wird in yRichtung auf deren BC zurückgeblickt. Es ergibt sich der Fall, dass die gewählte Fläche breiter ist als die maximal zulässige Breite von OE 1, somit wird OE 1 mit ihrer Mindestlänge sowie ihrer Maximalbreite realisiert und es verbleibt ein entspre-

34

Die im Beispiel angegebenen Abmessungen wurden auf eine Nachkommastelle gerundet.

52


chender Leerraum.35 Dadurch ist die Einhaltung der Formrestriktion der OE sichergestellt. Die OE 2 dagegen kann einfach entsprechend der abgelesenen Abmessungen realisiert werden.

y 6 OE

1

į

2

3

3,9 9

20

0,5 0,6 0,77

Įmin

2

Įmax

3

5

2,8 3

1,3

2

1

1

V

1

5 3 4 2,8 3,2 4,8 4,8

2

H 2

6

7

4,2

8

9 x

3,2

1 1

p

V

3

2 1,4

3

H

4,2 4

1,4

2,8

3

2

2,8

8 Abbildung 33: Beispiel zur Layouterzeugung

Bei der Layoutbestimmung kann der Fall auftreten, dass nicht nur die Position einer OE unterbestimmt ist, sondern es können auch verschiedene Abmessungen möglich sein. Dieser Fall tritt insbesondere dann auf, wenn die Layoutbestimmung von einem senkrechten oder waagerechten Abschnitt der BC des Wurzelknotens gestartet wird oder von einem Punkt rechts oberhalb der BC, d. h. mit einer Gesamtlayoutabmessung, welche mehr als den unbedingt benötigten Platz bietet. Der oben genannte Fall kann aber auch sonst eintreten, wenn in der Layoutberechnung zur Einhaltung der Formrestriktionen von OE Leerflächen einbezogen werden müssen. Tritt im Laufe 35

Bezüglich der Position von OE 1 bestehen noch Freiheitsgrade, in dem hier vorgestellten Verfahren wird eine OE stets in der linken unteren Ecke ihres Stellplatzes positioniert.


53

der Berechnung überschüssiger Platz auf, so wird er von einem Schnittknoten stets an dessen rechtes Kind weitergegeben, während das linke mit seinen Mindestabmessungen realisiert wird. Letztendlich kann bei der Realisierung einer OE die Wahl zwischen unterschiedlichen Abmessungen verbleiben. Dies ist in Abbildung 34 beispielhaft veranschaulicht: Die OE kann bei der durch den fett markierten Punkt bezeichneten Stellplatzgröße mit einer der Abmessungen aus dem hervorgehobenen Abschnitt der BC realisiert werden. Zwei Realisierungen mit maximaler Höhe bzw. Breite wurden beispielhaft eingezeichnet, genau eine von diesen beiden wird auch im vorgestellten Verfahren gewählt, und zwar bei vorangegangenem vertikalem Schnitt die schmale Ausführung und bei horizontalem Schnitt die flache. y

x Abbildung 34: Mögliche Realisierungen einer OE bei überschüssiger Stellplatzgröße

Nachdem nun die Layoutberechnung zu einer vorgegebenen Abmessung beschrieben wurde, wird nun eine Vorgehensweise zur Bestimmung einer günstigen Layoutabmessung geschildert. Wie bereits erwähnt gibt die BC des Wurzelknotens die Menge der kleinstmöglichen Abmessungen des Layouts wieder. Davon ausgehend diejenigen Abmessungen zu bestimmen, welche zu den geringsten Transportkosten führen, ist wiederum ein Optimierungsproblem. Es wird hier heuristisch gelöst, indem für einige Punkte36 auf der BC Layouts ermittelt und die zugehörigen Zielfunktions-

36

Dazu werden diejenigen Punkte herangezogen, die sich bei der Aggregation der BC aus den Linearisierungsstützstellen ergeben haben. Ein Beispiel dafür bilden die Punkte auf der BC des Wurzelknotens in Abbildung 32.

54


werte berechnet werden.37 Das günstigste dieser Layouts wird dem ST zugeordnet und bestimmt seine Bewertung. Bemerkung 3.6:

Prinzipiell lassen sich auch dreidimensionale Layouts unter Verwendung von BC und der in Abschnitt 3.1.2 erläuterten zusätzlichen Schnittrichtung im ST erzeugen; die dazu nötigen Überlegungen erfolgen analog zum geschilderten zweidimensionalen Fall. Für die Aggregation und die eventuelle Linearisierung der BC sind allerdings weiterführende Überlegungen notwendig.

3.2.4 Lineare Programmierung bei gemischter Flexibilität der OE Eine weitere Möglichkeit, OE mit unterschiedlichen Abmessungsrestriktionen in der Layouterzeugung zu berücksichtigen, bietet ein Ansatz, der auf einer gemischtganzzahligen Modellierung (MILP) des Problems basiert, welche mit Standardsoftware gelöst werden kann. Ebenso wie in dem BC-Verfahren aus Abschnitt 3.2.3 können die OE in diesem Ansatz gleichzeitig jeweils unterschiedliche der auf Seite 7 erläuterten Flexibilitätsarten aufweisen sowie jeweils wahlweise rotierbar sein oder nicht.38 Dieser Ansatz bietet gegenüber dem BC-Verfahren den Vorteil, dass Freiheitsgrade im Layout genutzt werden können, um optimale Positionen der OE auf ihren Stellflächen zu bestimmen. Ein weiterer Vorteil besteht darin, dass unter allen zulässigen Abmessungen des Gesamtlayouts die optimale bestimmt wird. Allerdings ist dieses Modell hinsichtlich der Rechenzeit deutlich aufwendiger.39 Das Modell selbst wird in Abschnitt 4.1.3 dargestellt, weil es sich dabei um einen Teil eines Gesamtmodells zur Lösung des Layoutplanungsproblems handelt, welchem ein eigener Abschnitt gewidmet ist.

37

38

39

Nur Punkte auszuwählen, die genau auf der BC liegen, bedeutet nur kleinstmögliche Layoutabmessungen zu berücksichtigen. Größere Layouts könnten aufgrund von geänderten OE-Positionen zwar zu besseren Transportkosten führen. Im Allgemeinen kann allerdings davon ausgegangen werden, dass kompaktere Layouts tendenziell auch bezüglich der Distanzen im Layout günstiger ausfallen und damit geringere Transportkosten aufweisen. Einzig die vierte Flexibilitätsart wird von diesem Ansatz in der später geschilderten Form nicht direkt unterstützt. Das Modell ließe sich allerdings durch die Einführung weiterer Binärvariablen entsprechend erweitern. Ein Vergleich der Rechenzeiten findet sich in Abschnitt 4.1.5.2.


55

An dem Beispiel in Abbildung 35 wird ersichtlich, wie zu dem gleichen gegebenen ST bei identischer Gesamtabmessung unterschiedliche Layouts ermittelt werden. Linkerhand wurde das BC-Verfahren aus Abschnitt 3.2.3 angewendet, rechterhand die gemischt-ganzzahlige Modellierung. Letztere führt zu transportkostenoptimalen OE-Positionen.

Transportkosten: 1270,65

Transportkosten: 1206,10

Abbildung 35: Unterschiedliche Layouts zu identischem ST und gleicher Layoutabmessung

4.1 Slicing Tree basiertes Modell

57

4 Gemischt-ganzzahlige lineare Layoutplanungsmodelle Dieses Kapitel präsentiert gemischt-ganzzahlige Modellierungen (MILP) des Layoutplanungsproblems. Zunächst werden selbst entwickelte, auf der Slicing TreeRepräsentation basierende Modelle vorgestellt. Anschließend wird eine der Literatur entnommene, non-slicing Formulierung vorgestellt. An dieser Stelle findet sich zunächst eine Übersicht über diejenigen Parameter, welche in allen Modellen gleichermaßen Verwendung finden: Parameter: n įe e xmin e xmax re flowij İmax a sized M

Anzahl der OE Flächenbedarf einer OE e Minimale Breite einer OE e Maximale Breite einer OE e Gibt an, ob OE e rotiert werden darf (ja = 1, nein = 0) Transportintensität zwischen zwei OE i und j Maximal tolerierte prozentuale Flächenabweichung jeder OE Breite der Transportwege (Schnitte des ST) Abmessung des Standortträgers in Dimension d Hinreichend große Zahl

4.1 Slicing Tree basiertes Modell Im Folgenden werden lineare Modellierungen zur ST-basierten Layoutplanung entwickelt. Dabei soll zuerst ein Modell zur Bestimmung eines optimalen Layouts bei bereits vollständig vorgegebenem ST präsentiert werden. Anschließend wird darauf aufbauend ein allgemeines ST-Modell entwickelt, welches die Menge aller ST als zulässigen Lösungsraum besitzt und somit ein optimales Slicing Layout ermittelt. Vor der Präsentation dieser beiden Modelle werden zunächst einige Mengen und Variablen definiert. Anschließend wird auf Aspekte eingegangen, die gleichermaßen Grundlage beider Modelle sind. Mengen: root = {-(n-1)} I = {-(n-1), … , -1} E = {0, … , n-1} e e Eflex ^e Ǽ | x min z xmax ` Erot ^e Ǽ | re 1` A = Ǽ ǿ \ root D = {x, y}

Nummer des Wurzelknotens Interne Knoten (Schnittknoten) Externe Knoten (Blattknoten bzw. OE) Bezüglich des Seitenverhältnisses flexible OE Rotierbare OE Alle Knoten bis auf den Wurzelknoten Dimensionen

58

4 Gemischt-ganzzahlige lineare Layoutplanungsmodelle

Variablen: pde 0 sde d e1e2 d e1e2

d d

Re

,

Position der OE e E in Dimension d D (linke bzw. untere Seite)

0

Abmessung der OE e E in Dimension d

0

Distanz zwischen Mittelpunkten der OE e1 E und e2 E in Dimension d D (Hilfsvariablen für die Betragsfunktion)

{0,1} Rotation von OE e E (nicht rotiert = 0, rotiert = 1)

In Abbildung 36 ist die Bedeutung der verwendeten Positions- und Abmessungsvariablen grafisch veranschaulicht. Die Position der linken pex und unteren Seite pey jeder OE sowie ihre Abmessung sde in x- und y-Richtung werden als Variablen geführt.

sey e sex

y x

p , p x e

y e

Abbildung 36: Positions- und Abmessungsvariablen der OE

4.1.1 Zielfunktion Ziel der Layoutplanung ist die Minimierung der innerbetrieblichen Transportkosten. Separat für jede Dimension d lässt sich die Distanz dde1e2 zwischen Paaren von OE (e1 und e2) durch die Differenz ihrer Mittelpunktskoordinaten (Position pde der linken/unteren Seite der OE zuzüglich ihrer halben Abmessung sde ) ermitteln: (4.1)

dde1e2

§ d sde1 · § d sde2 · pe pe 2 ¹¸ ©¨ 1 2 ¹¸ ¨© 2

e1,e2 Ǽ, d D

Bei rechtwinkliger Entfernungsmessung ergibt sich die Gesamtdistanz zwischen den OE als Summe der Distanzen in allen Dimensionen. Allerdings muss jeweils der Betrag der Einzeldistanzen gebildet werden, da die Werte dde1e2 positiv oder negativ

ausfallen, je nach dem, welche der beiden OE die größere Mittelpunktskoordinate besitzt. Diese Gesamtdistanz wird zur Berechnung der Transportkosten mit der Transportintensität multipliziert und für alle OE-Paare summiert:40

40

Analog zu Fußnote 4 auf Seite 5 können auch hier verschiedene Summationen beim Vorliegen von symmetrischen oder asymmetrischen Distanzen zwischen OE-Paaren angewandt werden. Es werden symmetrische Distanzen angenommen, daher genügt es im Folgenden, die Summe nur für e1 < e2 zu bilden und in flow e1e2 die Transportintensität beider Richtungen zusammenzufassen.

4.1 Slicing Tree basiertes Modell (4.2)

59

Minimiere

¦

e1,e2 Ǽ

flow e1e2 ¦ ded1e2 dD

Die Betragsfunktion ist leider nichtlinear. Daher muss ein Modellierungstrick verwendet werden, um trotzdem ein lineares Modell aufstellen zu können. Hier werden zwei Möglichkeiten vorgestellt: 1. Es werden kontinuierliche Hilfsvariablen für die Einzeldistanzen zwischen Paaren von OE eingeführt und jeweils gefordert, dass diese größer oder gleich der Differenz der Mittelpunktskoordinaten sowie dieser Differenz mit umgekehrtem Vorzeichen sein sollen. Von den beiden Nebenbedingungen je OE-Paar ist jeweils die mit dem negativen Wert der Differenz trivial erfüllt und die andere zwingt die Hilfsvariable auf einen mindestens dem Abstand entsprechenden Wert. Wobei der Variablenwert dieses Mindestniveau in einer Optimallösung aufgrund der Minimierungszielsetzung nicht überschreiten wird, sofern alle Transportintensitäten als nichtnegativ vorausgesetzt werden. (4.3)

Minimiere

¦

e1,e2 Ǽ

dD

s · § s ·½ § dde1e2 t ¨ ped1 ¸ ¨ ped2 2¹ © 2 ¸° © ¹° ¾ e1,e2 Ǽ, d D d d s s § · § · dde1e2 t ¨ ped1 e1 ¸ ¨ ped2 e2 ¸ ° 2¹ © 2 ¹ °¿ © d e1

(4.4)

flow e1e2 ¦ ded1e2 d e2

2. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, zwei Hilfsvariablen dde1e2 und dde1e2 für

die Einzeldistanzen zwischen OE-Paaren einzuführen, wobei jeweils eine den Wert null annehmen soll und die andere den Wert des Abstandes zwischen den OE. In Nebenbedingung (4.6) werden die beiden Hilfsvariablen zusammengezählt, wobei dde1e2 mit positivem und dde1e2 mit negativem Vorzeichen versehen ist; dieser Ausdruck wird mit der Differenz der Mittelpunktskoordinaten der OE gleichgesetzt. Beide Hilfsvariablen werden mit jeweils positivem Vorzeichen in die Zielfunktion aufgenommen, so dass es (bei nichtnegativen Transportintensitäten) im Sinne der Minimierung günstig ist, möglichst kleine Werte für beide Variablen zu wählen. Dies führt dazu, dass diejenige Variable den Wert des Abstandes annimmt, welche das zum Wert auf der rechten Seite

60

4 Gemischt-ganzzahlige lineare Layoutplanungsmodelle der Nebenbedingung passende Vorzeichen trägt, während die andere jeweils gleich null ist.41 (4.5)

Minimiere

¦

e1,e2 Ǽ

(4.6)

dde1e2 ded1e2

flow e1e2 ¦ ded1e2 ded1e2 dD

§ d sde1 · § d sde2 · ¨© pe1 2 ¸¹ ¨© pe2 2 ¸¹

e1,e2 Ǽ, d D

Vergleichend lässt sich sagen, dass keine Variante klar als die günstigere identifiziert werden kann, sondern beide Vor- und Nachteile besitzen. So werden in Variante 1 halb so viele Hilfsvariablen benötigt, andererseits aber auch doppelt so viele Nebenbedingungen aufgestellt. Variante 2 wird ausgewählt und im Folgenden in den Modellen verwendet. Wird eine euklidische Entfernungsmessung (Luftlinie) verwendet, ergibt sich die Gesamtdistanz zwischen den OE als Quadratwurzel aus der Summe der quadrierten Distanzen in allen Dimensionen. Durch das Quadrieren ist es ohne Belang, ob die Distanzwerte dde1e2 positiv oder negativ waren, so dass sie nach Formel (4.1) berech-

net werden können. Schließlich werden die euklidischen Distanzen zur Berechnung der Transportkosten mit der Transportintensität multipliziert und für alle Paarungen von OE summiert: (4.7)

Minimiere

¦

flow e1e2

e1,e2 Ǽ

¦ d

2 d e1e2

dD

Die Zielfunktion (4.7) ist nichtlinear und kann daher nicht in einem MILP verwendet werden. Werden hingegen quadrierte euklidische Distanzen betrachtet, so ergibt sich eine zwar auch nichtlineare, aber zumindest rein quadratische Zielfunktion (4.8). Diese ist geeignet, in einem quadratischen Programm (QP) bzw. einem gemischtganzzahligen QP (MIQP) Verwendung zu finden, wofür geeignete Lösungsverfahren existieren.42 Auf diesen Punkt wird in Abschnitt 5.6.2 weiter eingegangen. (4.8)

Minimiere

¦

e1,e2 Ǽ

41

42

flow e1e2 ¦ ded1e2

2

dD

Eine theoretische Begründung, die sich auf den hier anschaulich erklärten Sachverhalt übertragen lässt, findet sich in Domschke und Drexl (1996, Kap. 5.3.2). Siehe dazu auch Domschke und Drexl (2007, Kap. 8.5 und 8.6).


61

4.1.2 Abmessungen der Organisationseinheiten Ein Abschnitt von Nebenbedingungen wird benötigt, um die zulässigen Abmessungen für OE vorzugeben. Dabei muss wiederum zwischen den verschiedenen auf Seite 7 erläuterten Flexibilitätsarten der OE unterschieden werden.43 Starre OE (Typ 2) Für OE, die keinerlei Flexibilität bezüglich ihres Seitenverhältnisses aufweisen, lautet e die Vorgabe xmin

e xmax . Somit gilt für ihre Abmessungen:

sex

(4.9)

y e

s

(4.10)

e xmin e įe / xmin

Hierbei ist es eigentlich nicht nötig, Variablen für die realisierten Abmessungen zu verwenden. Ist solch eine OE jedoch rotierbar, so werden kontinuierliche Variablen sde für ihre Abmessungen sowie eine Binärvariable Re , welche über die Durchführung der Rotation entscheidet, benötigt. Abhängig von einer eventuellen Drehung ergeben sich die Abmessungen folgendermaßen: (4.11)

sex

(4.12)

sey

e e Re xmin 1 Re įe / xmin e 1 Re įe / xmin

e xmin Re

Durch die Binärvariable wird in beiden Ausdrücken im Falle von Re = 0 keine Rotation realisiert und daher der linke Summand verwendet, während der rechte gleich null ist. Im Falle von Re = 1 verhält es sich genau umgekehrt und die Rotation wird realisiert. Flexible OE (Typ 1 und 3) Für OE, die einen vorgegebenen Flächenbedarf und Flexibilität hinsichtlich des realisierten Seitenverhältnisses besitzen, muss im Bereich zulässiger Breiten e e xmin d sex d xmax die Beziehung sex sey

įe gelten.44 Dieses Produkt aus Länge und

Breite ist allerdings nichtlinear und somit ist eine Linearisierung nötig, welche mit

43 44

Hinsichtlich der unterstützten Flexibilitätsarten beachte man auch Fußnote 38 auf Seite 54. Die Flexibilitätsart von Typ 1 wird hier wegen der nötigen Vorgabe eines Bereiches zulässiger Breiten der OE nicht direkt unterstützt. Allerdings kann dieser Bereich so groß gewählt werden, dass praktisch keine Einschränkung des Seitenlängenverhältnisses vorliegt. Im Falle vorgegebener e e max d{ x,y } {sized } und xmin įe / max d{ x,y } {sized } zu Gesamtlayoutabmessungen genügt es, xmax setzen.

62


Hilfe des in Abschnitt 3.2.3.2 entwickelten Verfahrens vorgenommen wird. So ergibt sich folgende lineare Approximation des Flächenbedarfs: (4.13)

sey t

įe į qv 1 2i1 e e 2 sex e qvi1 xmin qv xmin

i ^0,...,kmin 1` ,e Ǽ flex \ Ǽ rot

Die Größen von kmin und des Faktors qv bestimmen sich dabei wie in Abschnitt 3.2.3.2 angegeben und garantieren, dass der Flächenbedarf der OE höchstens um den vorgegebenen Prozentsatz İmax überschätzt wird. Weiterhin müssen Unterschreitungen der Mindestlänge und -breite der OE ausgeschlossen werden: (4.14)

e sex t xmin

(4.15)

e sey t įe / xmax

In Abbildung 37 ist am Beispiel einer nichtsymmetrisch flexiblen OE veranschaulicht, welche Abmessungen unter Beachtung der eingeführten Nebenbedingungen (4.13) bis (4.15) als zulässig gelten.

sey e įe / xmin

e įe / xmax

e xmin

e sex xmax

Abbildung 37: Lineare Nebenbedingungen und zulässiger Lösungsraum einer flexiblen nicht rotierbaren OE (bei zwei Approximationsgeraden) Bemerkung 4.1:

In Abbildung 37 fällt auf, dass der gepunktete zulässige Bereich auch all die Abmessungen umfasst, welche die Approximation des Hyperbelabschnitts übersteigen. Dies liegt daran, dass sich der Lösungsraum aus der Konjunktion (Schnittmenge) mehrerer Ungleichungen ergibt. In einem alternativen Modellierungsansatz wäre zu fordern, dass die Abmessungen der OE wahlweise genau einem der linearen Segmente der Hyperbelapproximation entstammen müssen. Dies wäre allerdings mit der Einführung zusätzlicher Binärvariablen verbunden und daher im Hinblick auf den Lösungsaufwand nicht wünschenswert. Der in der vorliegenden Modellierung vergrößerte Lösungsraum beeinflusst den bestmöglichen Zielfunktionswert ohnehin nicht, so


63

könnte er lediglich dazu führen, dass OE in der optimalen Lösung mehr Platz beanspruchen als nötig. Dies wird allerdings nur selten vorkommen, da vergrößerte OE in der Regel zu erhöhten Transportkosten führen und somit keine optimale Lösung bilden. Überdimensionierungen von OE treten daher nur auf, wenn sie nicht zur Erhöhung von Transportdistanzen führen, d. h. optimale Positionen des OEMittelpunktes liefern, welcher für die Transporte als Referenzpunkt dient. Die Größe einer solchen OE ließe sich bei Bedarf nachträglich auf die tatsächlich benötigte reduzieren, ohne dass die Lösung dadurch unzulässig oder der Zielfunktionswert geändert würde. Im Falle flexibler rotierbarer OE, deren BC zwei Hyperbelabschnitte umfasst, sind entsprechend Bemerkung 3.5 auf Seite 45 folgende Nebenbedingungen zur Approximation der Hyperbelabschnitte notwendig: (4.16) sey t

įe į qv 1 2i1 e e 2 sex e qvi1 xmin qv xmin

i ^0,...,kmin 1` ,e Ǽ flex Ǽ rot

(4.17) sex t

įe į qv 1 2i1 e e 2 sey e qvi1 xmin qv xmin

i ^0,...,kmin 1` ,e Ǽ flex Ǽ rot

Weiterhin ist zu fordern, dass die Mindest- und Höchstabmessungen jeder OE eingehalten werden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen e e und xmax , wie es in Abbildung 38 eingezeichnet werden, dass sich die Angaben xmin

ist, auf die aufrechte (schmale, hohe) Realisierung der OE beziehen. Die entsprechenden Nebenbedingungen lauten dann: (4.18)

e sex t xmin

(4.19)

e sey t xmin

(4.20)

e Re sex t įe / xmax

(4.21)

e 1 Re sey t įe / xmax

Dabei wird abhängig von der Orientierung, in welcher die OE ausgerichtet wird, durch die Binärvariable Re jeweils eine der beiden Nebenbedingungen (4.20) und (4.21) ausgeblendet. Der Grund hierfür ist leicht aus dem Beispiel in Abbildung 38 ersichtlich. Der gepunktete Bereich stellt die Menge der zulässigen Abmessungen der OE dar, er ist jedoch nicht konvex. Es darf jeweils wahlweise nur genau eine der beiden Nebenbedingungen (4.20) und (4.21) aktiv sein, damit der Lösungsraum nicht unzulässig beschnitten wird.

64


sey

e įe / xmax

e xmax e xmin

45° e e e xmin xmax įe / xmax

x

e se įe / xmin

Abbildung 38: Lineare Nebenbedingungen und zulässiger Lösungsraum einer flexiblen rotierbaren OE (bei je zwei Approximationsabschnitten) Bemerkung 4.2:

Die Nebenbedingungen (4.18) bis (4.21) für die Mindest- und Höchstabmessungen einer OE lassen sich alternativ auch etwas weniger anschaulich, aber dafür kompakter formulieren, so dass nur noch halb so viele benötigt werden: (4.22)

e Re sex t įe / xmax

(4.23)

s t įe / x y e

e max

e xmin 1 Re

e 1 Re xmin Re

Bemerkung 4.3:

Es könnte eine weitere Nebenbedingung eingeführt werden, welche fordert, dass die Abmessungen größer oder gleich der Verbindungsgeraden der beiden Punkte e e , įe / xmax xmax

e e und įe / xmax sein müssen. Dadurch könnte eine Verschärfung , xmax

der Werte der LP-Relaxation im Branch&Bound-Verfahren erreicht werden. Bemerkung 4.4:

Weisen OE eine begrenzte Flexibilität des Seitenlängenverhältnisses (Typ 3) auf und umfassen dabei das Seitenlängenverhältnis 1 (dürfen quadratisch sein), so braucht keine Binärvariable eingeführt werden, um ihre Rotierbarkeit im Modell abbilden zu können. Stattdessen besteht ihre BC gemäß Bemerkung 3.4 auf Seite 35 aus einem einzigen Hyperbelabschnitt. Selbiges gilt für OE, die eine vollständige Flexibilität des Seitenlängenverhältnisses aufweisen (Typ 1).


65

4.1.3 Modellierung bei vollständig vorgegebenem Slicing Tree In diesem Abschnitt werden Nebenbedingungen vorgestellt, die eine gegenseitige Überlappung der OE verhindern. Sie nutzen dazu eine ST-basierte Repräsentation des Layouts. Es wird hier davon ausgegangen, dass die Struktur des ST sowie die Schnittrichtungen und die Zuordnung der OE zu den Blattknoten des Baumes vollständig vorgegeben sind. Diese Annahme hat zwei Gründe: Es handelt sich dabei zum einen um das Layouterzeugungsmodell, worauf in Abschnitt 3.2.4 Bezug genommen wurde und zum anderen hat es didaktische Gründe, da so das später in Abschnitt 4.1.4 erläuterte allgemeine ST-Modell leichter verständlich wird. Parameter: o Zpc

CUTi Variablen: pad 0

sad

0

Zuordnung im ST von Kindknoten (child) c zu Vaterknoten (parent) p auf dessen Seite o {r, l} (rechts / links) (Zuordnung = 1, keine Zuordnung = 0) Schnittrichtung des internen Knotens i (Horizontal = 0, Vertikal = 1) Position in Dimension d D (linke bzw. untere Seite) des Stellplatzes, der zu Knoten a A des ST korrespondiert Abmessung in Dimension d D des Stellplatzes, der zu Knoten a des ST korrespondiert

ped

0

Position in Dimension d D (linke bzw. untere Seite) der OE e E

OE d e

0

Abmessung in Dimension d D der OE e E

0


OE

s

d e1e2 d e1e2

d d

Re

,


Zu jedem Knoten im ST, d. h. sowohl zu internen als auch zu Blattknoten, korrespondieren Stellplätze im Layout; die Position von deren linker pax und unterer Seite pay sowie ihre Abmessung sad in x- und y-Richtung werden, analog zu Abbildung 36 auf Seite 58, als Variablen eingeführt. Da Stellplätze durch OE nicht vollständig genutzt werden müssen, existieren in diesem Modell zusätzlich zu den genannten Variablen die Positions- und Abmessungsvariablen der OE selbst, welche zur Differenzierung einen entsprechenden Namenszusatz erhalten.45

45

Diese Unterscheidung zwischen Stellplatz- und OE-Variablen wird im Modell in Abschnitt 4.1.4 nicht benötigt, daher werden letztere nur hier zusätzlich verwendet.

66


Im ST muss für jeden Vaterknoten gelten, dass die zu ihm korrespondierende Stellfläche die seiner beiden Kinder vollständig und überlappungsfrei beinhaltet; dies ist an einem Beispiel in Abbildung 39 veranschaulicht. Dabei kann gefordert werden, dass die Kinder die Fläche ihres Vaterknotens (dunkle Fläche im Hintergrund) vollständig ausfüllen. Um dies zu erreichen, muss im Nebenbedingungssystem erzwungen werden, dass die beiden Kanten, welche in der Abbildung jeweils von einer eingekreisten Zahl überdeckt werden, die gleiche Position besitzen.

5 1

p 7

Linkes Rechtes 3 2 Kind (cl) Kind (cr) 4

6

Abbildung 39: Layoutrepräsentation eines Vaterknotens (mit vertikalem Schnitt) und seiner beiden Kinder

So ergeben sich analog zu Abbildung 39 sieben Nebenbedingungen (4.24) - (4.30) für jedes Tripel (p, cl, cr) aus Vaterknoten und seinen beiden Kindern. Drei davon betreffen die durch den Schnitt unterteilte Dimension und vier die jeweils andere. Diese Nebenbedingungen sollen im Folgenden am Beispiel aus Abbildung 39 näher erläutert werden. Der Schnitt im Vaterknoten verläuft dort vertikal (CUTp = 1), daher beziehen sich die Nebenbedingungen (4.24) - (4.26) auf die x-Richtung und fordern, dass: (4.24) die Position der linken Seite des Vaters mit der seines linken Kindes übereinstimmt, (4.25) die Position der rechten Seite des Vaters mit der seines rechten Kindes übereinstimmt und (4.26) die Summe der Breiten der Kinder (zuzüglich der Breite a eines möglichen Transportweges)46 der Breite des Vaters entspricht. Dies ist zusammen mit (4.24) und (4.25) äquivalent zur Forderung der Gleichheit der rechten Seite des linken

46

Zur Einplanung von Transportwegen sei auf Abschnitt 7.1.3 verwiesen.


67

Kindes (zuzüglich eventueller Transportwegbreite) und der linken Seite des rechten Kindes ist. Die Nebenbedingungen (4.27) - (4.30) beziehen sich im Beispiel auf die y-Richtung und fordern identische Positionen der unteren Seiten der Kinder und des Vaters sowie identische Abmessungen. (4.24)

pcdl

(4.25)

pcdr scdr

(4.26) scdl a scdr (4.27) pcdl

(4.28) (4.29) (4.30)

½ ° ppd spd ¾ d ° ¿ spd

x if CUTp ® ¯y if CUTp

1

½ ° ° ¾d ° °¿

y if CUTp ® ¯x if CUTp

1

ppd

ppd

d cl

spd

d cr

d p

s p

d cr

s

p

d p

s

0

0

½ ° ° p,cl ,cr p I,cl A, ½ ° ° ° ° l p,c ,c ® cr A,cl z cr ,Zpcl 1¾ ¾ l r ° ° ° r ¯ und Zpcr 1 ¿ ° ° ° ¿

Die Nebenbedingungen (4.24) - (4.30) gelten bei horizontaler Schnittrichtung entsprechend, wobei sich lediglich die Dimension ändert, auf die (4.24) - (4.26) bzw. (4.27) - (4.30) angewandt werden. Diese Bedingungen werden für jedes Tripel aus Vaterknoten und seinen beiden Kindern aufgestellt und so resultiert letztendlich eine Schnittstruktur, wie sie in Abbildung 40 schematisch dargestellt ist. In dieser Darstellung ist die Fläche eines Vaterknoten jeweils anders gefärbt und etwas größer dargestellt als die seiner Kinder, um diese Vater-Kind Beziehungen hervorzuheben.

Abbildung 40: Schematische Aufteilung eines Layouts in Stellplätze für fünf OE

Zuletzt müssen die OE noch in ihre jeweiligen Stellplätze eingepasst werden, indem gefordert wird, dass sie an keiner der vier Seiten aus ihrem Stellplatz herausragen: pde d

(4.31) (4.32)

OE

ped

OE

OE

ped

e Ǽ,d D

sed d ped sed e Ǽ,d D

Außerdem sollte noch die Position des Gesamtlayouts fixiert werden. Die Position und Abmessung des vollständigen Layouts werden durch die entsprechenden Variablen des Wurzelknotens (root) repräsentiert, daher kann die linke untere Ecke des Layouts folgendermaßen auf die Koordinate (0, 0) festgesetzt werden:

68

4 Gemischt-ganzzahlige lineare Layoutplanungsmodelle d proot

(4.33)

0

d D

Sofern Vorgaben bezüglich der Abmessung des Standortträgers (sized) bestehen, können diese durch eine Beschränkung der Abmessungen des Wurzelknotens umgesetzt werden: d sroot d sized

(4.34)

d D

Zusammenfassend lässt sich das Gesamtmodell darstellen durch die Zielfunktion (4.5) und die folgenden Blöcke von Nebenbedingungen: 1. Betrag der rechtwinkligen Distanz zwischen OE-Mittelpunkten ermitteln (4.6)47 2. Abmessungen der OE entsprechen den Anforderungen (4.9) - (4.21)47 3. Die Flächen der Vaterknoten beinhalten die ihrer Kinder (4.24) - (4.30) 4. OE müssen auf die ihnen zugeordneten Stellflächen passen (4.31) - (4.32) 5. Position bzw. Abmessung des Gesamtlayouts wird festgesetzt (4.33) - (4.34)

4.1.4 Modellierung bei freiem Slicing Tree Mit Hilfe des in diesem Abschnitt präsentierten allgemeinen ST-Modells soll aus der Menge aller Slicing Layouts ein optimales bestimmt werden. Daher muss der ST innerhalb des Modells beliebig zusammengestellt werden können. Das bedeutet, sowohl die Schnittrichtungen der internen Knoten als auch die Verbindungen innerhalb des ST müssen durch Variablen modelliert werden. Variablen: pad 0 sad d e1e2 d e1e2

d d

Re

47

0

,

0

Position in Dimension d D (linke bzw. untere Seite) des Stellplatzes/der OE, der/die zu Knoten a A des ST korrespondiert Abmessung in Dimension d D des Stellplatzes/der OE, der/die zu Knoten a A des ST korrespondiert



In dem vorliegenden Modell müssen in diesen Nebenbedingungen statt der Variablen pde bzw. sde die Variablen OE ped bzw. OE sed verwendet werden.

4.1 Slicing Tree basiertes Modell o Zpc

69

{0,1} Zuordnung im ST von Kindknoten (child) c A zu Vaterknoten (parent) p I auf dessen Seite o {r, l} (rechts / links) (keine Zuordnung = 0, Zuordnung = 1)

CUTi {0,1} Schnittrichtung Vertikal = 1)

des

internen

iI

Knoten

(Horizontal = 0,

Die Zielfunktion und die Abmessungen der OE werden wiederum mit den in den Abschnitten 4.1.1 und 4.1.2 vorgestellten Bedingungen (4.5) und (4.6) sowie (4.9) bis (4.21) modelliert. Im Gegensatz zum vorherigen Modell müssen hier keine separaten Variablen für die OE und deren Stellplätze geführt werden. Stattdessen geben die zu den externen Knoten des ST gehörigen Variablen direkt die OE-Daten wieder. Dies liegt daran, dass im vorliegenden Modell in den Bedingungen (4.38) bis (4.41), welche analog zu Abbildung 39 auf Seite 66 die Überlappungsfreiheit garantieren, Ungleichungen verwendet werden, daher muss die Fläche des Vaters nicht vollständig durch seine Kinder ausgefüllt werden. Des Weiteren können die Bedingungen (4.33) und (4.34) analog angewandt werden. o , welche die möglichen Verbindungen Der ST wird modelliert durch Binärvariablen Zpc

im ST darstellen; sie nehmen den Wert eins an, sofern Kindknoten c mit der Seite o des Vaterknotens p verbunden wird. In Abbildung 41 ist ein Beispiel angegeben, o welches die Bedeutung der Variablen Zpc veranschaulicht; dabei sind die Variableno werte an realisierten Verbindungen angegeben, alle anderen Zpc sind gleich null. An

diesem Beispiel wird außerdem die verwendete Nummerierung der Knoten des ST deutlich, so besitzen interne Knoten negative Nummern und externe nicht-negative. -4 Zl4,3

Zr4,2

1

-3 l 3,0

Z

1

0

r 3,1

Z

1

-2 1

1

l 2,2

Z

1

Zr2,1

2 Zl1,3

1

-1 1

Zr1, 4

3

4

1

Abbildung 41: ST mit Knotennummerierung und Strukturvariablen

In den Nebenbedingungen, die eine gültige Struktur des ST sicherstellen, muss gefordert werden, dass jedes Kind an genau einer Seite eines Vaterknotens angehängt ist, Bedingung (4.35), und dass jeder Vater auf seinen beiden Seiten jeweils genau ein Kind besitzt, Bedingung (4.36).

70


¦

(4.35)

o Zpc

1 c ǹ

pǿ;o{l,r }

¦Z

o pc

(4.36)

1 p ǿ,o {l,r}

c ǹ

Diese beiden Forderungen genügen jedoch noch nicht, denn es könnten Zyklen im Baum entstehen, wie das Beispiel in Abbildung 42 zeigt. Um dies zu verhindern, lässt sich eine topologische Sortierung des ST erzwingen, indem festgelegt wird, dass Verbindungen nur von Vaterknoten mit niedrigerem Index zu Knoten mit höherem Index bestehen dürfen.48 Daher werden mögliche Verbindungen im ST in Form der o Strukturvariablen Zpc nur eingeführt für alle p < c:49

(4.37)

^p,c,o p ǿ,c ǹ,o {l,r} und p c`

o Zpc ^0,1`

-4 -2 -3

3 2

0

-1

1 4

Abbildung 42: Zu verhindernder Zyklus im ST

Analog zum Modell mit vorgegebenem ST aus Abschnitt 4.1.3 müssen sich die Flächen jeweils beider Kindknoten innerhalb der ihres Vaters befinden und sie dürfen einander nicht überlappen. Dies wurde in Abbildung 39 dargestellt und es waren für jeden Vaterknoten sieben Nebenbedingungen aufzustellen, um die Forderungen einzuhalten. In dem hier vorliegenden Modell ist jedoch nicht vorab bekannt, welche Knoten Kinder welchen Vaters sind, daher müssen die entsprechenden Bedingungen für alle möglichen Vater-Kind-Beziehungen formuliert werden. o Einige dieser Bedingungen werden dann mit Hilfe der Variablen Zpc ausgeblendet,

sofern die entsprechende Vater-Kind Beziehung nicht realisiert wird. Um das Ausblenden zu vereinfachen, werden die Nebenbedingungen hier im Gegensatz zu dem 48

49

Diese Beschränkung führt gleichzeitig dazu, dass der Knoten mit der kleinsten (negativen) Nummer stets den Wurzelknoten bildet. Entsprechend werden alle dargestellten Nebenbedingungen natürlich nur für Vater-KindKombinationen (p, c) aufgestellt, für die tatsächlich Variablen eingeführt wurden. Der Übersichtlichkeit halber wird jedoch jeweils auf die Angabe dieser Einschränkung verzichtet.


71

Modell aus Abschnitt 4.1.3 nicht als Gleichungen sondern als Ungleichungen formuliert.50 Im vorliegenden Modell wird gefordert, dass alle vier Außenseiten eines Kindes innerhalb des Vaters liegen. Daher müssen für jede mögliche Vater-Kind-Beziehung die folgenden zwei Nebenbedingungen für jeweils beide Dimensionen formuliert werden:51 (4.38)

ppd d pcd M (1

¦Z

o pc

p ǿ,c A,d D

)

o {l,r }

(4.39)

pcd scd d ppd spd M (1

¦Z

o pc

) p ǿ,c A,d D

o {l,r }

Des Weiteren ist zu fordern, dass sich Geschwister nicht überlappen. Die Wirkungsrichtung dieser Nebenbedingung hängt allerdings von der Schnittrichtung im Vaterknoten ab, welche hier variabel ist, so dass wiederum beide Nebenbedingungen formuliert und die jeweils nicht zutreffende ausgeblendet werden muss. Die Schnittrichtung eines Vaterknotens wird durch die Binärvariable CUTi (Horizontal = 0, Vertikal = 1) wiedergegeben. Für den Fall eines vertikalen Schnittes des Vaterknotens wird daher in (4.40) gefordert, dass die Position der rechten Seite des linken Kindes (zuzüglich der Breite a eines eventuell eingeplanten Transportweges)52 kleiner oder gleich der linken Seite des rechten Kindes sein muss. Diese Bedingung darf nur eingeblendet sein, wenn cl linkes und cr rechtes Kind von Vater p sind und dieser einen vertikalen Schnitt beinhaltet, daher ist der logische Ausdruck, mit dem M multipliziert wird, so formuliert, dass er nur in genau diesem Fall gleich null wird. In (4.41) ist Entsprechendes für den Fall eines horizontalen Schnitts gefordert.

50

51 52

(4.40)

l r pcxl scxl a d pcxr M (1 CUTp 2 Zpc Zpc ) l r

p ǿ,cl ,cr A,c l z cr

(4.41)

l r pcyl scyl a d pcyr M (CUTp 2 Zpc Zpc ) l r

p ǿ,c l ,cr A,c l z cr

Eine Ungleichung kann ausgeblendet werden, indem auf derjenigen Seite, die den größeren Wert besitzen soll, eine hinreichend große Zahl M hinzuaddiert wird; dadurch wäre die Ungleichung unabhängig von den Werten der anderen in ihr enthaltenen Variablen stets erfüllt. Die Zahl M kann mit einer Binärvariablen multipliziert werden, um diese Nebenbedingung nur unter bestimmten Bedingungen auszublenden. Dabei lassen sich auch logische Verknüpfungen mehrerer Variablen formulieren und zum Ausblenden nutzen. Die Bedingung wird nur bindend, sofern der logische Ausdruck den Wert null annimmt. Auf die geeignete Wahl des Wertes von M wird in Abschnitt 4.1.4.1 eingegangen. Zur Einplanung von Transportwegen sei auf Abschnitt 7.1.3 verwiesen.

72


4.1.4.1 Beschleunigung des Modells Das Modell ist, so wie es bis hierher geschildert wurde, funktionsfähig, allerdings kann der Lösungsraum noch weiter eingeschränkt werden, ohne zulässige Layouts auszuschließen. Dadurch lässt sich der Lösungsprozess beschleunigen. Im Folgenden werden verschiedene solcher Möglichkeiten betrachtet: Wie in Abschnitt 3.1.3 erläutert wurde, genügt es, die Menge aller skewed ST zu betrachten, um die Menge aller Slicing Layouts zu durchsuchen. Der zulässige Lösungsraum besteht bisher jedoch aus der Menge aller ST, so dass an dieser Stelle eine weitere Beschränkung möglich wird. In den Nebenbedingungen (4.42) ist gefordert, dass die Summe der binären Schnittrichtungsvariablen zweier Knoten gleich eins sein muss, d. h. ihre Schnittrichtungen müssen ungleich sein. Diese Forderung ist nur aktiv, sofern es sich bei den betreffenden Knoten um einen Vater und sein rechtes Kind handelt ( Zrpc = 1). Andernfalls darf der Wert zwischen null und zwei liegen und es liegt somit keine zusätzliche Beschränkung vor. (4.42)

r CUTp CUTc t Zpc

CUTp CUTc d 2 Z

p ǿ,c ǿ,p z c r pc

p ǿ,c ǿ,p z c

Eine weitere Möglichkeit zur Beschleunigung ergibt sich daraus, dass noch bestehende Redundanzen im Lösungsraum reduziert werden. So lassen sich identische Lösungen beispielsweise durch ST repräsentieren, in denen lediglich die Nummern zweier interner Knoten vertauscht sind und beide Knoten die Schnittrichtung und die Vorgänger- sowie Nachfolgeknoten ihres Tauschpartners annehmen. Der ST in Abbildung 43 und der in Abbildung 41 unterscheiden sich nur durch die Position der Knoten -2 und -3. Nimmt Knoten -2 bei diesem Tausch die ursprüngliche Schnittrichtung von Knoten -3 an und umgekehrt, so repräsentieren beide ST identische Layouts. Trotzdem handelt es sich hinsichtlich der realisierten Variablenwerte um verschiedene Lösungen.


73 -4

Zl4,2

Zr4,3

1

-2 l 2,0

Z

-3

r 2,1

1

1

Z

0

l 3, 2

1

Z

1

1

Zr3,1

2

1

-1

Zl1,3

1

Zr1, 4

3

4

1

Abbildung 43: Zum ST in Abbildung 41 korrespondierender redundanter ST

Allgemein ist es stets möglich, die Schnittknoten eines ST derart zu nummerieren, dass der Wurzelknoten den kleinsten Index besitzt und die Indizes im Baum auf jeder folgenden Ebene ansteigen. Ebenso kann innerhalb jeder Ebene eine aufsteigende Nummerierung der Schnittknoten von links nach rechts vorgenommen werden. Dies ist in Abbildung 44 visualisiert, wobei ein Pfad eingezeichnet ist, entlang dessen eine ansteigende Nummerierung gefordert ist. Dabei gilt es zu beachten, dass ausdrücklich nur die Indizes der Schnittknoten zu berücksichtigen sind, nicht aber die der Blattknoten (OE). Letztere sollen beliebigen Positionen zugeordnet werden können. -4 -3 0

-2 4

2

-1 1

3

Abbildung 44: Ansteigende Nummerierung der Schnittknoten im ST

Gelingt es die geschilderte eindeutige Anordnung der Schnittknoten im ST in der Modellierung sicherzustellen, werden redundante Repräsentationen unterbunden. Unter Beachtung dieser Art der Nummerierung ist es etwa im Beispiel in Abbildung 44 nicht möglich, dass Knoten -1 ein Kind von Knoten -4 werden kann. Dementsprechend bräuchten die Variablen Zl4 1 und Zr4 1 nicht eingeführt werden. Ebenso kann auf alle Ausprägungen der Nebenbedingungen (4.38) - (4.42) verzichtet werden, welche diese Vater-Kind-Beziehung betrachten. Welche Verbindungen von Knoten bei der vorgeschlagenen Art der Nummerierung im Allgemeinen nicht vorkommen können und somit ausgeschlossen werden dürfen,

74


lässt sich unter Beachtung der beiden in Abbildung 45 dargestellten Extremfälle von Baumstrukturen, dem vollständig balancierten und dem vollständig einseitigen Baum, bestimmen. In einem einseitigen Baum besitzt jeder Schnittknoten p genau einen Schnittknoten als (rechtes oder linkes) Kind und zwar denjenigen mit der nächst höheren Indizierung p+1. Im vollständig balancierten Baum dagegen lässt sich die höchste mögliche Differenz zwischen dem Index eines Vater- und dem seines Kindknotens beobachten. Linke Kinder eines Knotens p besitzen höchstens den Index 2p+n, rechte Kinder höchstens den Index 2p+n+1, maximal allerdings den Index -1 (letzter Schnittknoten).53 -7 5

-6 -5

6

-4

7 -7

0

-6

-5

-4 1

-3 2

3

-2 4

5

2

7

-2 3

-1 6

-3

0

-1 1

4

Abbildung 45: Vollständig balancierter und einseitiger ST mit n = 8 OE o Den vorangegangenen Erläuterungen folgend kann die Anzahl der Variablen Zpc

ohne Verlust zulässiger Layouts weiter eingeschränkt werden. So wird neben der weiter oben eingeführten Forderung, dass interne Knoten nur Kindknoten mit höherem Index besitzen dürfen, zusätzlich eine Beschränkung eingeführt für den höchsten Index eines Schnittknotens, der einem internen Knoten folgen darf. Die Auswir-

53

Diese Höchstwerte für die Indizes ergeben sich aus der Betrachtung eines vollständig balancierten ST, welcher auf einer Ebene k {0,1,2,…} genau 2k Knoten besitzt.


75

o des ST ist kung dieser Beschränkungen auf die zu nutzenden Strukturvariablen Zpc

in Abbildung 46 an einem Beispiel mit n = 8 OE und Knoten -7 als Wurzelknoten dargestellt. Die mit x markierten Variablen brauchen nicht eingeführt werden, lediglich die Variablen mit Indizes zwischen p+1 und 2p+n bzw. 2p+n+1 sind nötig. Vaterknoten p -5 -4 -3 x x x x x x x x x p+1 x x p+1 x 2p+n p+1 x -1 -1

linker Kindknoten cl

-6 x x p+1 2p+n x x x

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

rechter Kindknoten cr

-7 x p+1 x x x x x

-7 x x x -6 p+1 x x -5 2p+n+1 p+1 x -4 x p+1 -3 x 2p+n+1 -2 x x -1 x x 2p+n+1

x x x x p+1 -1

x x x x x p+1 -1

-2 x x x x x x p+1

-1 x x x x x x x

x x x x x x p+1

x x x x x x x

Abbildung 46: Beispiel zur Einführung von Strukturvariablen eines ST mit n = 8 OE

Durch diese Einschränkungen der Variablenmenge ist der ST aus Abbildung 43 beispielsweise nicht länger im Lösungsraum enthalten. o nun nicht für alle Vater-Kind-Kombinationen eingeführt werden, Da die Variablen Zpc

brauchen auch die Nebenbedingungen nicht für alle Kombinationen eingeführt werden. Dies betrifft insbesondere jene, welche ausgeblendet sind, sofern ein darin o vorkommendes Zpc gleich null ist. Die Bedingungen (4.40) bis (4.42) brauchen daher o existieren. Die nur aufgestellt werden, wenn jeweils alle darin vorkommenden Zpc

Bedingungen (4.38) und (4.39) dagegen werden aufgestellt, sofern mindestens eines o der darin vorkommenden Zpc existiert.

Eine weitere Form von Redundanz besteht darin, dass im Lösungsraum alle spiegelund rotationssymmetrischen Layouts enthalten sein können. Dadurch existieren jeweils bis zu acht verschiedene Lösungen, die ein, im Hinblick auf die Transportbeziehungen, identisches Layout darstellen. Abbildung 47 stellt die acht Ausprägungen eines Layouts dar, die jeweils durch einen anderen ST repräsentiert werden. Es sind jeweils die horizontalen und vertikalen Spiegelachsen dargestellt, wobei zwischen

76


den Gruppen von Layouts in der linken und der rechten Hälfte der Abbildung nur durch Rotation aller OE und des Layouts um 90° übergegangen werden kann.54 3

3 3

0

0

4

4

1 3

0

1

4

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

3

4

4

0

0

3

0

4 1

4

0

4

0

1

3

3

Abbildung 47: Bis zu acht spiegelund rotationssymmetrische Layouts

Diese Redundanz lässt sich vermeiden, indem für ein Paar von OE (p, q) die Forderung eingeführt wird, dass der Mittelpunkt der einen nicht rechts oder oberhalb des Mittelpunkts der anderen liegen darf: (4.43)

pdp

sdp sqd d pqd 2 2

d D

Diese Nebenbedingung kann für ein beliebiges Paar von OE (p, q) aufgestellt werden. Im Folgenden werden die beiden OE mit den kleinsten Indizes gewählt (p=0, q=1). Castillo und Westerlund (2005) erzielten mit dieser Auswahlstrategie bessere Ergebnisse als bei anderen getesteten Auswahlvarianten. Durch Nebenbedingung (4.43) verbleiben nur noch zwei der redundanten Layouts aus Abbildung 47. Um nur noch eine Variante übrig zu behalten, kann für eine beliebige rotierbare OE t vorgegeben werden, dass sie mindestens genauso lang wie breit sein muss:55 (4.44)

stx d sty

Sind die Abmessungen des Gesamtlayouts vorgegeben und nicht quadratisch, enthält der Lösungsraum von Beginn an nur vier der redundanten Layouts aus 54 55

Abgesehen von dem Spezialfall, dass alle OE und das Gesamtlayout quadratisch sind. Im Folgenden wird t = 0 gewählt.


77

Abbildung 47. Selbiges ist der Fall, wenn nicht alle OE rotierbar sind. In diesen Fällen wird demnach auf Nebenbedingung (4.44) verzichtet. Das Lösungsverfahren lässt sich auch beschleunigen, indem schärfere (höhere) untere Schranken bestimmt werden. Dadurch können Teilprobleme eventuell früher ausgelotet werden. Untere Schranken für Minimierungsprobleme werden in Standardlösungsverfahren in der Regel durch das Lösen der LP-Relaxation bestimmt. Eine Verschärfung lässt sich erzielen, indem die hinreichend große Zahl M, die zum Ausblenden von Nebenbedingungen dient, jeweils so klein wie möglich gewählt wird. Ein zu kleiner Wert von M führt allerdings dazu, dass zulässige Lösungen ungewollt ausgeschlossen werden. In den Bedingungen (4.38) und (4.39) muss der Wert von M so groß sein, dass diese Bedingungen zuverlässig ausgeblendet werden können, falls Knoten p nicht Vater von Knoten c ist. In Bedingung (4.38) muss daher für den Wert von M folgendes gelten: ppd pcd d M p ǿ,c A,d D . Da auch der ungüns-

tigste Fall abgedeckt werden muss, bedeutet das, dass M den größten Wert, welchen der Ausdruck auf der linken Seite zulässigerweise annehmen kann, nicht unterschreiten darf. Dieser Fall tritt ein, wenn, wie in Abbildung 48 dargestellt, Knoten c in der unteren linken Ecke des Layouts positioniert ist, d. h. an Position (0; 0) und Knoten p in der rechten oberen Ecke. Der Wert von M muss daher mindestens der Gesamtlayoutabmessung ( sized ) abzüglich der Abmessung von Knoten p entsprechen. Die kleinste mögliche Größe nimmt der interne Knoten p an, wenn er nur zwei OE enthält, wobei sie über- oder nebeneinander liegen könnten. Um an dieser Stelle nicht zu viele Fallunterscheidungen zu treffen, wird eine untere Grenze für diesen Wert genutzt, nämlich die Abmessung der kleinsten OE (min_size_OEd). Für beide Dimensionen können unterschiedliche Werte für M genutzt werden. Daher gilt: M1d

sized min_size_OEd

d D

sizey p

ppy

c pcy

pcx

ppx

sizex

Abbildung 48: Bestimmung des Wertes von M

78


Bei der Betrachtung von Bedingung (4.39) ergibt sich ebenfalls die in Abbildung 48 dargestellte Anordnung als kritischer Fall, wobei nun der Abstand zwischen der rechten bzw. oberen Seite von Knoten p zur ebenfalls rechten bzw. oberen Seite von Knoten c relevant ist. Damit ergibt sich der gleiche Wert für M, wobei die Abmessung der kleinsten OE hierbei keine Abschätzung, sondern wirklich den Grenzfall darstellt, da Knoten c nicht mehrere OE beinhalten muss. Für die Bedingungen (4.40) und (4.41) ergibt sich ein kleinstmögliches M in Höhe der Gesamtlayoutabmessung zuzüglich einer Transportwegbreite:

Md2

sized a

d D

Sollten für die Abmessungen des Layouts keine Vorgaben bestehen, so ist eine obere Schranke dafür zu bestimmen. Sie ergibt sich für beide Dimensionen aus der direkten Aneinanderreihung aller OE, mit jeweils maximaler Abmessung in Richtung der Aneinanderreihung.56 Bemerkung 4.5:

Das vorgestellte Modell lässt sich auch verwenden, um Flexible Bay57 Layouts zu erstellen. Dazu müssen zusätzlich entweder die Nebenbedingungen (4.45) oder (4.46) eingeführt werden. Durch erstere wird erzwungen, dass die Werte der Schnittrichtungsvariablen von Vaterknoten zu Kindknoten nicht kleiner werden. Das bedeutet, dass innerhalb jedes Astes des ST nur genau einmal von einem horizontalen (CUTp=0) zu einem vertikalen (CUTc=1) Schnitt gewechselt werden kann und nicht wieder zurück. Demzufolge erzwingt (4.45) ein Flexible Bay Layout mit horizontalen Streifen. Durch den rechts stehenden Ausdruck wird die Nebenbedingung ausgeblendet, sofern c nicht Kind von p ist. Analog dazu kann mit (4.46) erreicht werden, dass pro Ast nur einmal von einem vertikalen zu einem horizontalen Schnitt gewechselt werden kann und somit ein Flexible Bay Layout mit vertikalen Streifen sichergestellt ist.

56

57

(4.45)

CUTp d CUTc 1 Zlpc Zrpc

p ǿ,c ǿ \ root

(4.46)

CUTc d CUTp 1 Z Z

p ǿ,c ǿ \ root

l pc

r pc

Ein Layout mit noch größeren Abmessungen kann keine geringeren Transportkosten aufweisen, da es zwangsläufig Leerräume zwischen OE beinhalten muss, deren Eliminierung keine einzige Transportdistanz erhöhen würde. Siehe dazu Abschnitt 2.2.5.


79

Die hier beschriebene Flexible Bay Variante ist im Gegensatz zu den in Abschnitt 2.2.5 genannten bisherigen Ansätzen in der Lage, bei Bedarf Leerflächen innerhalb des Layouts einzuplanen. Dadurch können potentiell bessere Positionierungen der OE innerhalb der Streifen und flexiblere Zuordnungen der OE zu den Streifen vorgenommen werden. 4.1.4.2 Modellierungsvarianten bei freiem Slicing Tree Dieser Abschnitt beschreibt Varianten zur Modellierung der Struktur und der Schnittrichtungen im ST. Solche alternativen Formulierungen könnten, gegenüber der im vorangegangen Abschnitt vorgestellten, hinsichtlich der zur Lösung benötigten Rechenzeit vorteilhaft sein. Diese Varianten betreffen nur diejenigen Nebenbedingungen, welche entweder die Struktur und die Schnittrichtungen im ST festlegen oder lediglich die zugehörigen Variablen beinhalten. Für die Zielfunktion und die Abmessungen der OE werden unverändert die in den Abschnitten 4.1.1 und 4.1.2 vorgestellten Modellierungen (4.5) und (4.6) sowie (4.9) bis (4.21) verwendet. Ebenso werden für die Festlegung von Position und Größe des Gesamtlayouts die Bedingungen (4.33) und (4.34) beibehalten. Variante A: Mit Variante A sei im Folgenden die im vorangegangenen Abschnitt beschriebene o ordnen darin einem Vaterknoten p Modellierung bezeichnet. Die Binärvariablen Zpc

jeweils ein Kind c auf einer seiner beiden Seiten o (rechts oder links) zu. Für die Festlegung der Schnittrichtung eines Knotens existieren separate Binärvariablen CUTi. Variante B:

Im Gegensatz dazu wird in Variante B nur ein Typ von Variablen genutzt, der gleichzeitig die Schnittrichtung und beide Kindknoten eines internen Knoten, d. h. ein ganzes Tripel von Knoten, festlegt:

80

4 Gemischt-ganzzahlige lineare Layoutplanungsmodelle cut

Zpclcr {0,1} Zuordnung im ST von linkem Kindknoten (child) cl A und rechtem Kindknoten (child) cr A zu Vaterknoten (parent) p I, welcher die Schnittrichtung cut {x, y} (Vertikal / Horizontal) aufweist (keine Zuordnung = 0, Zuordnung = 1)

¦

(4.47)

cut

cut D, cl ,cr A

¦

(4.48)

Zpclcr

cut

cut D, pI,cl A

¦

(4.49)

cl A

(4.50)

cut

¦

Zpclc

Zpclcr

ppd d pcd M (1

¦

cut

crl ,crr A

¦

cut

cut D, pI,cr A

cut D, cl A

(4.51)

p ǿ

1

cut

¦

¦

cut D, cr A cut

cut D, cl A

(4.52)

c A

1

cr Zcrcr d1 l r

Zpclc

pcd scd d ppd spd M (1

Zpccr

cut

p,cr I,cut D

p I,c A,d D

Zpccr )

Zpclc

¦

cut D, cr A

pcdl scdl a d pcdr M (1 d Zpclcr )

cut

Zpccr ) p I,c A,d D

p I,cl ,cr A,cl z cr ,d D

Die Bedingungen (4.47) und (4.48) beschreiben die Baumstruktur und haben folgende Bedeutungen: -

(4.47): Jeder Schnittknoten hat genau ein linkes und ein rechtes Kind und eine Schnittrichtung.

-

(4.48): Jeder Knoten (außer der Wurzel) ist genau einmal Kind eines Vaterknotens, entweder als linkes oder rechtes Kind.

Bedingung (4.49) erzwingt einen skewed ST indem sie fordert, dass ein Vater p und sein rechtes Kind cr nicht beide die gleiche Schnittrichtung besitzen. Die Ausdrücke (4.50) und (4.51) sorgen dafür, dass Kinder innerhalb der Fläche ihres Vaterknotens positioniert werden. Dazu fordert (4.50), dass die Position der linken unteren Ecke eines Kindes größer gleich der des Vaters ist und (4.51), dass die Position der rechten oberen Ecke des Kindes kleiner gleich der des Vaters ist. Letztendlich stellt Bedingung (4.52) sicher, dass Kinder des gleichen Vaters einander nicht überlappen, dazu fordert sie, dass sich die rechte (bzw. obere) Seite des linken Kindes links (bzw. unterhalb) von der linken (bzw. unteren) Seite des rechten Kindes befindet. Dabei kann eine benötigte Transportwegbreite a zwischen den beiden Flächen freigehalten werden.


81

Variante C: Die Variante C nutzt drei Typen von Variablen, um die Baumstruktur und Schnittrichtungen abzubilden: {0,1} Zuordnung im ST von Kindknoten (child) c A zu Vaterknoten (parent) p I (keine Zuordnung = 0, Zuordnung = 1)

Zpc

CUTi {0,1} Schnittrichtung Vertikal = 1)

des

internen

Knoten

iI

(Horizontal = 0,

{0,1} Gibt an, ob das Kind c1, welches einen niedrigeren Index besitzt als Kind c2, das rechte Kind von Vaterknoten p I ist (Nein = 0, Ja = 1)

LRp

(4.53)

¦Z

pc

1

c ǹ

¦Z

pc

2

p ǿ

p ǿ

(4.54)

c ǹ

(4.55)

ppd d pcd M (1 Zpc )

p I,c A,d D

(4.56)

p s d p s M (1 Zpc )

p I,c A,d D

d c

d c

d p

d p

p s a d p M (2 Zpc1 Zpc2 1 CUTp

LRp ) ½ ° pcx2 scx2 a d pcx1 M (2 Zpc1 Zpc2 1 CUTp 1 LRp ) °p I,c1 A, ¾ pcy1 scy1 a d pcy2 M (2 Zpc1 Zpc2 CUTp LRp ) ° c 2 A,c1 c 2 pcy2 scy2 a d pcy1 M (2 Zpc1 Zpc2 CUTp 1 LRp ) °¿ x c1

(4.57)

(4.58)

(4.59)

(4.60)

x c1

x c2

¦ ¦ ¦ ¦

CUTp CUTc2 t 1 1 Zpc2 CUTp CUTc2 d 1 1 Zpc2

CUTp CUTc1 t 1 1 Zpc1 CUTp CUTc1 d 1 1 Zpc1

LRp d 1 Zpc1 1 Zpc2

c A, c2 c c A, c2 c

c A, c c1 c A, c c1

LR ½°¾ p,c I Z LR °¿ Z 1 LR ½ ° ¾ p,c I Z 1 LR ° ¿ Zpc

p

2

pc

p

pc

p

pc

p

1

p,c1,c 2 I, c1 c 2

Dabei haben die Nebenbedingungen die folgenden Bedeutungen: -

(4.53): Jeder Knoten außer der Wurzel hat genau einen Vaterknoten.

-

(4.54): Jeder Schnittknoten hat genau zwei Kinder.

-

(4.55) und (4.56): Die Flächen von Kindknoten befinden sich innerhalb derer ihres Vaters.

82

4 Gemischt-ganzzahlige lineare Layoutplanungsmodelle -

(4.57): Die Flächen der beiden Kindknoten des gleichen Vaters überlappen einander nicht. Dabei kann eine benötigte Transportwegbreite a zwischen den beiden Flächen freigehalten werden. Bei diesen Nebenbedingungen werden zwei Fallunterscheidungen vorgenommen. Zum einen bezüglich der vorliegenden Schnittrichtung, d. h. es sind entweder die x- oder die y-Positionen zu berücksichtigen. Zum anderen ist zu unterscheiden, welches der beiden Kinder c1 und c2 das linke Kind und welches das rechte ist. Dabei ist c1 das Kind mit dem kleineren Index und wird abhängig vom Wert der Variable LRp rechts oder links angeordnet.

-

(4.58) und (4.59): Es wird die Einhaltung eines skewed ST sichergestellt. Dazu wird für jeden Vaterknoten und sein potentielles rechtes Kind gefordert, dass die Summe ihrer Schnittrichtungen gleich eins ist. Diese Forderung wird nur bindend, sofern entweder in (4.58) oder (4.59) drei Bedingungen gleichermaßen erfüllt sind. In (4.58), falls c2 ein Kind von Vater p ist und es das Kind mit dem größeren Index ist und das Kind mit dem größeren Index das rechte Kind ist. Die Bedingungen (4.59) decken dagegen den Fall ab, dass c1 ein Kind von Vater p ist und es das Kind mit dem kleineren Index ist und das Kind mit dem kleineren Index das rechte ist.

-

(4.60): Aufgrund der in Abschnitt 4.1.4.1 erläuterten Überlegungen zur Beschleunigung des Lösungsprozesses lässt sich, wie in Abbildung 44 dargestellt, eine von links nach rechts ansteigende Nummerierung der Schnittknoten auf einer Ebene des ST fordern. Demnach kann in der vorliegenden Modellierung der Lösungsraum beschränkt werden, indem erzwungen wird, dass, sofern zwei interne Knoten c1 und c2 Kinder eines gemeinsamen Vaters p sind, LRp den Wert null annimmt und somit das niedriger indizierte Kind c1 immer das linke ist. Aus dieser Überlegung lässt sich weiterhin folgern, dass von den Bedingungen (4.57) die zweite und die vierte nie bindend sein können, sofern c1 und c2 beide interne Knoten sind. Somit brauchen sie für diese Kombinationen nicht aufgestellt werden. Ebenso kann in diesen Fällen bei der ersten und dritten Bedingung die Variable LRp wegfallen, da sie zu null fixiert ist.

Für alle drei Modellierungsvarianten wurden die in Abschnitt 4.1.4.1 erläuterten Methoden zur Einschränkung des Lösungsraumes analog angewandt. Dementspre-


83

chend werden die Variablen und Nebenbedingungen nur für die unbedingt zu berücksichtigenden Vater-Kind-Kombinationen aufgestellt. Der besseren Übersicht halber wurde auf die genaue Angabe der Einschränkung der Kombinationen an den einzelnen Nebenbedingungen verzichtet.

4.1.5 Rechenzeiten Dieser Abschnitt vergleicht zunächst die Rechenzeiten der im vorangegangenen Abschnitt präsentierten Modellvarianten bei freiem ST. Anschließend wird die Rechenzeit des Modells bei fest vorgegebenem ST betrachtet. Für die Berechnungen wurde ein Pentium IV mit 2,4 GHz und 2 GB Hauptspeicher verwendet. Die gemischt-ganzzahligen Modellierungen wurden mit Xpress-MP, gelöst; dabei wurde die Version 18.00.04 des Xpress-Optimizers genutzt. 4.1.5.1 Rechenzeiten bei freiem Slicing Tree Mit den drei Modellierungsvarianten A bis C wurden zwei FLP-Instanzen mit 5 OE und zwei Instanzen mit 6 OE optimal gelöst.58 Die Abmessungen des Layouts sind nur bei der zweiten Instanz mit 6 OE beschränkt, bei den anderen Instanzen existiert für sie keine Einschränkung.59 Anhand der Ergebnisse soll nun die Leistungsfähigkeit der Modellierungen verglichen werden. In den folgenden Tabellen ist jeweils die Lösungsdauer in Sekunden sowie die Anzahl der Knoten, die im Laufe des Branch&Bound-Verfahrens betrachtet wurden, angegeben. Außerdem ist die Anzahl der nicht-null Elemente (nonzero) der Matrix des Optimierungsproblems angegeben und die durchschnittliche Rechenzeit pro Knoten des Branch&Bound-Verfahrens.

58

59

Für den Vergleich wurden für jedes der drei Modelle alle in Abschnitt 4.1.4.1 genannten Beschleunigungsoptionen genutzt, außer den Bedingungen (4.43) und (4.44). Der maximal tolerierte Linearisierungsfehler betrug İmax = 0,001. Die detaillierten Instanzdaten inklusive der optimalen Zielfunktionswerte finden sich im Anhang dieser Arbeit.

84

4 Gemischt-ganzzahlige lineare Layoutplanungsmodelle Instanz 5a Modell A Modell B Modell C

Zeit [s] 21,4 26,8 12,6

B&BKnoten 13209 11921 7699

nonZeit [ms]/ zero B&B-Knoten 2039 1,62 3554 2,25 2637 1,64

Tabelle 2: Ergebnisse für Instanz 5a

Instanz 5b Modell A Modell B Modell C

Zeit [s] 20,8 24,1 14,5

B&BKnoten 14689 12059 10071


Tabelle 3: Ergebnisse für Instanz 5b

Instanz 6a

Zeit [s]

Modell A Modell B Modell C

659,7 795,3 713,0

B&BKnoten 350767 269241 297573


Tabelle 4: Ergebnisse für Instanz 6a

Instanz 6b

Zeit [s]

Modell A Modell B Modell C

672,2 508,6 313,7

B&BKnoten 259809 119917 108963


Tabelle 5: Ergebnisse für Instanz 6b

In den Rechenergebnissen in Tabelle 2 bis Tabelle 5 zeigt sich, dass keine der Modellvarianten immer am schnellsten gelöst werden konnte. Modell C zeigt jedoch bei drei der vier Instanzen die beste Performance. Bei allen vier Instanzen zeigt sich, dass Modell A die wenigsten nicht-null Elemente umfasst und die Rechenzeiten pro Branch&Bound-Knoten am kürzesten ausfallen. Demnach scheint bei diesem Modell das Lösen der LP-Relaxation weniger Aufwand zu verursachen als bei den anderen. Allerdings umfasst der Lösungsgang in den betrachteten Fällen stets einige Knoten mehr als bei Modell C, so dass die Gesamtrechenzeit eher etwas schlechter ausfällt. Modell B benötigt zwar bei Instanz 6a die geringste Zahl an Knoten, aber der Aufwand pro betrachtetem Knoten ist stets höher als bei den anderen Modellen. Größere Probleminstanzen lassen sich mit den vorgestellten Modellen kaum mehr lösen. Der Lösungsgang für eine Instanz mit sieben OE (Instanz O7, siehe dazu Abschnitt 5.6.1) und beschränkten Layoutabmessungen wurde nach 26321 Sekun-


85

den (7:19 Stunden) abgebrochen, weil kein weiterer Arbeitsspeicher verfügbar war. Die Lücke zwischen oberer und unterer Schranke für den Zielfunktionswert betrug zu diesem Zeitpunkt 22,3 %. Für diesen Test wurde Modell C verwendet und alle beschriebenen Beschleunigungsmöglichkeiten inklusive den Nebenbedingungen (4.43) genutzt. Abschließend lässt sich feststellen, dass die vorgestellten Modellierungen zur Bestimmung optimaler Slicing Layouts nicht ausreichend leistungsfähig sind, um in der Praxis auftretende Problemgrößen zu lösen. Außerdem scheinen sie allgemeinen, Überlappungen vermeidenden Modellierungen unterlegen zu sein, mit welchen bereits Problemstellungen mit bis zu neun OE gelöst wurden. Ein solches Modell wird in Abschnitt 4.2 erläutert. 4.1.5.2 Rechenzeiten bei vorgegebenem Slicing Tree Im Folgenden wird die Berechnungsdauer von optimalen Layouts zu vollständig vorgegebenen ST, unter Verwendung des Modells aus Abschnitt 4.1.3, betrachtet. Dazu wurden Tests an drei Probleminstanzen durchgeführt und die Rechenzeiten mit denen des BC-Verfahrens aus Abschnitt 3.2.3 verglichen. In beiden Verfahren wurde mit einem maximalen Linearisierungsfehler in Höhe von İmax = 0,01 gearbeitet. Die Instanz Ba12 stammt aus Bazaraa (1975) und umfasst 12 OE. Die OE sind nicht rotierbar, aber begrenzt flexibel in ihren Abmessungen. Die Probleminstanz Du62 mit 62 OE, welche von Dunker et al. (2003) eingeführt wurde, umfasst ausschließlich rotierbare OE mit starren Abmessungen. Um die Rotationen der OE berücksichtigen zu können, müssen Binärvariablen genutzt werden und das Modell ist nicht länger ein reines LP mit ausschließlich reellwertigen Variablen. Um den Einfluss der Binärvariablen auf die Rechenzeit einschätzen zu können, wird auch eine Variante Du62NR dieser Probleminstanz genutzt, in welcher alle OE als nicht rotierbar angenommen werden. In den Testläufen wurden für viele zufällig erzeugte ST die optimalen Layouts berechnet und der Mittelwert der Rechenzeiten bestimmt. In Tabelle 6 sind die Ergebnisse dargestellt; es zeigt sich, dass bei vorgegebenem ST sehr schnell optimale Layouts bestimmt werden. Dies gilt sowohl für die kleine Probleminstanz Ba12 als auch für die recht große Instanz Du62NR, bei der die Rechenzeit unter einer Sekunde liegt. Selbst inklusive der Binärvariablen in Instanz Du62 verdoppelt

86


sich die Rechenzeit lediglich gegenüber dem Fall ohne rotierbare OE. Der Vergleich des Rechenaufwandes des BC-Verfahrens und der linearen Modellierung zeigt jedoch einen großen Unterschied. Die Rechenzeit fällt bei letzterer deutlich höher aus, selbst bei der kleinen Instanz Ba12 beträgt sie schon das 37-fache. Bei der größeren Instanz Du62NR ist sie 443-mal so hoch wie die des BC-Verfahrens und dies verstärkt sich bei zu berücksichtigenden OE-Rotationen nochmals. Lineares Modell [ms] BC-Verfahren [ms] Quotient

Ba12 Du62NR Du62 28,56 686,00 1348,50 0,77 1,55 2,35 37 443 574

Tabelle 6: Mittlere Rechenzeit pro Layout in ms und Quotient der Rechenzeiten

4.2 Überlappungen vermeidendes non-slicing Modell Nachdem in Abschnitt 2.2.6 einleitend, verbal auf Überlappungen vermeidende Modelle eingegangen wurde, soll an dieser Stelle exemplarisch das Modell von Castillo und Westerlund (2005) vorgestellt werden. Es handelt sich dabei um ein Modell, welches im Gegensatz zu dem aus dem vorangegangenen Abschnitt nicht auf Slicing Layouts beschränkt ist. Um eine konsistente Darstellung zu gewährleisten, wurde die Bezeichnung und Bedeutung der Variablen des Originalmodells an die, der bereits vorgestellten Modelle angepasst. Variablen: pde d e

s

d e1e2

d

Position der OE e in Dimension d D (linke bzw. untere Seite)

0 0

Abmessung der OE e in Dimension d D

0

Distanz zwischen Mittelpunkten der OE e1 und e2 in Dimension d D (Hilfsvariablen für die Betragsfunktion)

Xe1e2 ,Ye1e2 {0,1}

Binärvariablen für die relative Positionierung von OE e1 im Verhältnis zu OE e2 n 1

(4.61)

Minimiere ¦

n

¦

e1 1 e2 e1 1

dD

s · § s · § dde1e2 t ¨ ped1 ¸ ¨ ped2 2¹ © 2 ¸¹ ©

1 d e1 e2 d n, d D

sd · § sd · § dde1e2 t ¨ ped1 e1 ¸ ¨ ped2 e2 ¸ 2¹ © 2¹ ©

1 d e1 e2 d n, d D

d e1

(4.62)

flow e1e2 ¦ ded1e2

d e2

4.2 Überlappungen vermeidendes non-slicing Modell e e xmin d sex d xmax

(4.63)

įe / x

e min

d s d įe / x y e

1 d e d n e max

į į s e2 sex d 2 e xi e xi e y e

1 d e d n 1 d e d n,0 d i d Ce

(4.64)

pex2 sex2 d pex1 M (Xe1e2 Ye1e2 )

(4.65)

p s d p M (1 Xe1e2 Ye1e2 ) 1 d e1 e2 d n

(4.66)

pey2 sey2 d pey1 M (1 Xe1e2 Ye1e2 ) 1 d e1 e2 d n

(4.67)

pey1 sey1 d pey2 M (2 Xe1e2 Ye1e2 ) 1 d e1 e2 d n

(4.68)

x e1

x e1

87

1 d e1 e2 d n

x e2

pde sde d sized

1 d e d n,d D

Die Zielfunktion (4.61) und die Betragsbildung bei den Distanzvariablen (4.62) werden im vorliegenden Modell analog zu den Bedingungen (4.3) und (4.4) formuliert, wobei der Fall symmetrischer Distanzen aufgeführt ist (siehe dazu Fußnote 4 auf Seite 5). Die Abmessungen der OE werden mit Hilfe des, in Abschnitt 3.2.3.2 auf Seite 39, vorgestellten Linearisierungsverfahrens von Castillo und Westerlund durch die Nebenbedingungen (4.63) approximiert. Der Parameter Ce und die Positionen der Linearisierungsstüztstellen xie werden dabei für jede OE individuell bestimmt. Um Überlappungen zwischen OE zu verhindern wird die Tatsache genutzt, dass in einem überlappungsfreien Layout für jedes OE-Paar (e1, e2) mindestens eine der folgenden vier Bedingungen gültig ist: -

(4.64): OE e2 befindet sich links von OE e1 (Position der rechten Seite von e2 ist kleiner gleich der linken Seite von e1)

-

(4.65): OE e1 befindet sich links von OE e2 (Position der rechten Seite von e1 ist kleiner gleich der linken Seite von e2)

-

(4.66): OE e2 befindet sich unter OE e1 (Position der oberen Seite von e2 ist kleiner gleich der unteren Seite von e1)

-

(4.67): OE e1 befindet sich unter OE e2 (Position der oberen Seite von e1 ist kleiner gleich der unteren Seite von e2)

Damit nur die Einhaltung einer dieser vier Bedingungen erzwungen wird, müssen die anderen jeweils ausgeblendet werden. Dazu wird eine hinreichend große Zahl M benötigt; ihr Wert muss mindestens der größten zulässigen Layoutabmessung in xbzw. y-Richtung entsprechen. Multipliziert wird diese Zahl in jeder der vier Bedingun-

88


gen mit einem anderen logischen Ausdruck. Für jede Wertekombination der Binärvariablen Xe1e2 und Ye1e2 nimmt genau einer dieser Ausdrücke den Wert null an. Die

anderen drei Ausdrücke besitzen dann den Wert eins oder zwei und blenden ihre Nebenbedingung aus. Sofern die Abmessungen des Standortträgers sized in der Problemstellung vorgegeben sind, kann durch die Nebenbedingungen (4.68) eine Anordnung der OE innerhalb des Standortträgers erzwungen werden. Dabei ist es lediglich nötig zu fordern, dass die Positionen der rechten und oberen Seiten der OE nicht die des Standortträgers übersteigen. Für die linken und unteren Seiten ist dies durch die Nichtnegativitätsbedingungen der Positionsvariablen bereits implizit sichergestellt. Bemerkung 4.6:

Abstände zwischen den OE zur Einplanung von Transportwegen sind von Castillo und Westerlund nicht vorgesehen worden. Sie könnten aber leicht integriert werden, indem eine Wegbreite a als Mindestabstand zwischen jedem OE-Paar eingeführt wird. Dazu muss auf den linken Seiten der Nebenbedingungen (4.64) bis (4.67) dieser Wert hinzuaddiert werden. Zusammenfassend lässt sich an dieser Stelle sagen, dass bei der Suche nach optimalen Lösungen das Überlappungen vermeidende Modell der ST-basierten Modellierung hinsichtlich der maximal lösbaren Problemgröße überlegen ist. Im folgenden Kapitel wird jedoch die Leistungsfähigkeit des ST-Ansatzes in einer Metaheuristik deutlich, wo die Baumrepräsentation sehr effektiv genutzt werden kann. Weiterhin findet in diesem Lösungsverfahren auch das ST-Modell aus Abschnitt 4.1.3 zur Lösung von Teilproblemen Verwendung. Auf das Überlappungen vermeidende Modell wird anschließend in Kapitel 6 bei der Entwicklung eines Verbesserungsverfahrens zurückgegriffen.

5.1 Lösungsbewertung

89

5 Slicing Tree basiertes Tabu-Search-Verfahren Exakte Verfahren, die im vorigen Kapitel vorgestellt wurden, sind nicht in der Lage praxisrelevante Problemgrößen zu behandeln. Deswegen ist der Einsatz von leistungsfähigen heuristischen Verfahren notwendig. In diesem Kapitel wird ein als STaTS60 bezeichnetes Tabu-Search-Verfahren vorgestellt, in welchem ST zur Repräsentation der Layouts genutzt werden. Ein Zeitschriftenaufsatz dazu wurde bereits im European Journal of Operational Research veröffentlicht, siehe Scholz et al. (2009). Durch kleine Änderungen am ST wird iterativ nach verbesserten Layouts gesucht. Hauptziel ist die Minimierung der Transportkosten entsprechend Zielfunktion (2.1). Dabei sollen die Vorgaben bezüglich der OE-Abmessungen stets eingehalten werden.

5.1 Lösungsbewertung Um während der Suche die Güte eines ST beurteilen zu können, ist es notwendig, zunächst das entsprechende Layout zu erzeugen. In Abschnitt 3.2 wurden verschiedene Verfahren vorgestellt, die dies ermöglichen. Damit die unterschiedlichen OEAbmessungsrestriktionen sicher eingehalten werden, kommt entweder das in Abschnitt 3.2.3 vorgestellte Bounding-Curve-Verfahren zur Layoutgenerierung in Frage oder das in Abschnitt 3.2.4 diskutierte und in Abschnitt 4.1.3 vorgestellte gemischt-ganzzahlige Programm. Letzteres würde zwar sogar zu einer optimalen Positionierung der OE auf den gegebenen Stellflächen führen, aber auch erheblich mehr Rechenzeit benötigen (siehe Abschnitt 4.1.5). Daher wird das Bounding-CurveVerfahren genutzt. Weiterhin sollen zwei Arten von Layoutplanungsproblemen betrachtet werden: 1. solche, bei denen die Größe des Standortträgers nicht beschränkt ist und 2. solche, bei denen die Größe des Standortträgers vorgegeben ist. Der Fall unbeschränkter Standortträgerabmessungen erscheint dann sinnvoll, wenn von einer Neuplanung der Fabrik ausgegangen wird, d. h. die zu bestückende Werkhalle noch nicht gebaut wurde. Dann erscheint es allerdings erstrebenswert, 60

Slicing Tree and Tabu Search (STaTS)

90

5 Slicing Tree basiertes Tabu-Search-Verfahren

weil kostengünstiger, mit einer möglichst kleinen Hallen- bzw. Layoutabmessung auszukommen. Daher wird in Formel (5.1) die ursprüngliche, Transportkosten minimierende Zielfunktion F (siehe Formel (2.1) auf Seite 4) um die mit einem Kostensatz k gewichtete Layoutleerfläche ES erweitert. Diese Leerfläche bestimmt sich dabei aus der Differenz zwischen der Fläche des kleinsten das Layout beinhaltenden Rechtecks und der Summe der OE-Flächen.

min F1

(5.1)

F k ES

Im Falle vorgegebener Hallenabmessungen ist dagegen dafür Sorge zu tragen, dass ein passendes Layout gefunden wird. Dazu wird in Formel (5.2) die ursprüngliche Zielfunktion F um einen Strafkostenterm erweitert, der die Suche in den Bereich zulässiger Abmessungen lenkt, sofern zwischenzeitlich unzulässig große Layouts betrachtet werden. Der Strafkostenterm erhöht den Zielfunktionswert um die Überschreitung der verfügbaren Hallenfläche, multipliziert mit einem Gewichtungsfaktor k. Die Überschreitung bestimmt sich aus der Differenz der Leerfläche ES im betrachteten Layout und der tatsächlich verfügbaren Leerfläche FS. Ist diese Differenz negativ, fällt keine Bestrafung an. (5.2)

min F2

F k max ^ 0, ES FS `

Bisher wurde ausschließlich die Fläche der Halle bzw. des Layouts betrachtet. Zumindest für den Fall gegebener Hallenabmessungen muss jedoch auch das richtige Verhältnis der Seitenlängen des Layouts sichergestellt werden. Daher werden ausgehend von der BC des Wurzelknotens (siehe dazu Abschnitt 3.2.3.4) nur Layouts erzeugt, welche ein entsprechendes Seitenlängenverhältnis aufweisen oder aber kleiner sind als die Hallenabmessungen. In Abbildung 49 sind diese beiden Fälle beispielhaft dargestellt; es sind jeweils die BC eines Wurzelknotens sowie die Hallenabmessungen eingezeichnet. Im linken Beispiel verläuft die BC rechts oberhalb der Hallenabmessungen, daher existiert kein passendes Layout. Es wird dasjenige Layout gewählt, welches sich in Verlängerung der Hallendiagonalen befindet (identisches Seitenlängenverhältnis); zusätzlich fallen Strafkosten entsprechend obiger Formel (5.2) an. Im rechten Beispiel sind alle Layouts zulässig, die links unterhalb der Hallenabmessungen liegen, also beispielsweise die Abmessungen innerhalb des durch Punkte eingeschlossen Bereichs der BC; es fallen keine Strafkosten an.

5.2 Eröffnungsverfahren

91

y

y

sizey

sizey

sizex

x

sizex

x

Abbildung 49: Layoutgenerierung bei vorgegebenen Werkhallenabmessungen

5.2 Eröffnungsverfahren Das Tabu-Search-Verfahren benötigt zu Beginn eine zulässige Startlösung. Dafür können ein zufällig generierter ST und das dazu korrespondierende Layout herangezogen werden. Denn zu jedem ST lässt sich ein bezüglich der OE-Abmessungen zulässiges Layout erzeugen. Einzig der Fall vorgegebener Werkhallenabmessungen bedarf besonderer Aufmerksamkeit, da eine maximale Layoutgröße sich unter Berücksichtigung der zulässigen OE-Abmessungen nicht garantieren lässt. Im vorangegangenen Abschnitt wurde diese harte Restriktion jedoch aufgelöst und als weiche Bedingung in die Zielfunktion aufgenommen, sodass auch für diesen Fall eine zulässige Lösung vorliegt. In dem hier implementierten Verfahren wird eine vorzugebende Anzahl r von ST zufällig erzeugt, die zugehörigen Layouts werden erstellt und hinsichtlich ihres Zielfunktionswertes evaluiert. Der beste dieser ST wird als Startlösung für TabuSearch verwendet.

5.3 Nachbarschaft Die Startlösung wird im Laufe des Verfahrens durch Änderungen am ST modifiziert. Diese Änderungen am Baum entsprechen kleinen Änderungen des Layouts und beabsichtigen eine schrittweise Verbesserung. Durch die definierte Nachbarschaft sollte es möglich sein, ausgehend von einer beliebigen (Start-)Lösung jede andere mit einer endlichen Anzahl von Zügen erreichen zu können. Dies ist notwendig, damit der gesamte Lösungsraum zusammenhängend und somit unabhängig vom Startpunkt die Möglichkeit des Auffindens einer optimalen Lösung gegeben ist. Im vorliegenden Verfahren werden vier Arten von Zugtypen genutzt, welche diese

92


Forderung gemeinsam erfüllen.61 In der folgenden Tabelle 7 ist jeweils ihr Einfluss sowohl auf den ST als auch auf das Layout angegeben: Zug Slicing Tree Typ 1 Vertauschen zweier Blattknoten

Layout Vertauschen zweier OE

Typ 2 Schnittrichtung eines Knotens ändern (H/V)

Richtung eines Schnittes drehen (H/V)

Typ 3 Vertauschen eines Schnittknotens inkl. anhängendem Vertauschen eines Teillayouts Teilbaum mit entweder einem Blattknoten oder einem mit entweder einer OE oder anderen Schnittknoten und dessen Teilbaum Typ 4 Verschieben eines Knotens (inkl. evtl. anhängendem Teilbaum) und seines Vaters in eine andere (nicht zu

einem anderen Teillayout Verschieben einer OE oder eines Teillayouts

diesem Teilbaum gehörende) Kante des ST Tabelle 7: Zugtypen

Die Bedeutung der Zugtypen 3 und 4 ist in den folgenden Abbildungen anhand von Beispielen illustriert: In Abbildung 50 ist ein Zug des Typs 3 dargestellt, bei welchem das aus OE 1 und 2 bestehende Teillayout seine Position mit OE 4 tauscht. Anstatt einen Blattknoten mit einem Schnittknoten zu tauschen, hätte auch ein Tausch zwischen zwei Schnittknoten stattfinden können, so dass zwei Teillayouts ihre Plätze gewechselt hätten. Hingewiesen sei an dieser Stelle darauf, dass die Flächenbedarfe bzw. Abmessungen der OE bzw. Teillayouts bei der Auswahl der Züge zunächst nicht beachtet werden müssen, da ein Zug lediglich auf dem ST durchgeführt und anschließend ein entsprechendes Layout auf Basis des BC-Verfahrens erstellt wird.

61

Ein Beweis dafür, dass die genannten Zugtypen die Forderung erfüllen, findet sich in Scholz et al. (2009).

5.3 Nachbarschaft

93 H

H

3

V

V

V 1

H 5

2

3

4 H

5

4

V 1

3

4

2

1 4 5

2

3

2

1 5

Abbildung 50: Illustration des Zugtyps 3

In Abbildung 51 ist ein Zug des Typs 4 dargestellt, wobei der Blattknoten 5 für den Umzug ausgewählt wird. Ein Knoten kann nicht alleine im ST verschoben werden, deshalb wird zusätzlich sein Vaterknoten ausgewählt. Knoten 5 ist ein Blattknoten und besitzt daher keinen anhängenden Teilbaum, der sonst auch mit verschoben worden wäre. Anschließend wird der Vaterknoten in die gewählte Zielkante zwischen Knoten 1 und dessen Vaterknoten eingefügt. Somit ist OE 5, welche weiterhin linkes Kind seines Vaters bleibt, im Layout unter OE 1 umgezogen. Statt eines Blattknotens hätte auch ein Schnittknoten ausgewählt werden können, was einen Umzug eines Teillayouts zur Folge gehabt hätte.

94

5 Slicing Tree basiertes Tabu-Search-Verfahren H

H V

V 3

1

H

2

3

V

1

2

5

4 5

1

5 2

1

3

2

H

4

4

5

3

V

4

Abbildung 51: Illustration des Zugtyps 4

Die Zugtypen 1 und 3 sind miteinander verwandt, sie könnten gemeinsam als ein einziger Zugtyp aufgefasst werden, bei dem zwei beliebige Knoten inklusive ihrer eventuell anhängenden Teilbäume die Positionen tauschen. Die Zugtypen unterscheiden sich jedoch, da stets jeder Zug vom Typ 1 durchgeführt werden kann, ein Zug vom Typ 3 jedoch nur, sofern sich nicht einer der beiden zu tauschenden Knoten im anhängenden Teilbaum des anderen befindet. Denn dies hätte einen nicht zusammenhängenden ST zur Folge und wäre auch mit Blick auf das Layout keine sinnvolle Operation. Bei Zugtyp 4 existiert eine ganz ähnliche Einschränkung, weil ein Umzug eines Knotens nicht in den eigenen anhängenden Teilbaum stattfinden kann. Generell definiert Zugtyp 4 eine Nachbarschaft, die auch kleine Änderungen zulässt und nicht wie etwa der Tausch zweier OE paarweise Änderungen im Layout erfordert. Solch ein Nachbarschaftsoperator ist beispielsweise bei einer Modellierung des Layoutproblems als quadratisches Zuordnungsproblem mit voll besetztem Standortträger nicht möglich. Dort kommen vor allem Tauschoperationen in Frage, da aufgrund der starren Standortträgeraufteilung nicht einfach einzelne OE umplatziert werden können. In einer Iteration des Tabu-Search-Verfahrens wird jeweils die gesamte, durch die vier Zugtypen gebildete, Nachbarschaft betrachtet. Die beste darin gefundene Lösung wird als Startpunkt für die nächste Iteration gewählt (best-fit Strategie). Bei

5.3 Nachbarschaft

95

Probleminstanzen mit sehr vielen OE kann es jedoch vorteilhaft sein, nur einen Teil dieser recht umfangreichen Nachbarschaft zu betrachten. Bemerkung 5.1:

Damit im Suchraum jedes Slicing Layout enthalten ist, genügt es, wie in Abschnitt 3.1.3 erläutert, lediglich die Menge aller skewed ST zu betrachten. Daher wurden Varianten des Eröffnungsverfahrens und der Züge implementiert, welche einen skewed ST erzeugen und beibehalten. So wird ein Zug nur dann betrachtet, wenn er wiederum zu einem skewed ST führt. Dies bedeutet allerdings eine Einschränkung der Nachbarschaft und führte zu schlechteren Ergebnissen als die Optimierung auf der Menge aller ST; daher wird im Folgenden letztere als Suchraum gewählt. Bemerkung 5.2:

Um Rotationen von OE zu berücksichtigen braucht kein separater Zug eingeführt zu werden, da sie, wenn sie von Vorteil ist, jeweils in den Verfahren zur Layouterzeugung ausgeführt wird. Bemerkung 5.3:

Bezüglich der Erzeugung eines Nachbarlayouts sei an dieser Stelle angemerkt, dass nicht alle BC im ST neu berechnet werden müssen. Stattdessen ist es nötig, lediglich die BC all derjenigen Knoten zu aktualisieren, welche auf dem Weg vom Wurzelknoten zu den Stellen liegen, an denen Veränderungen vorgenommen wurden. Im Beispiel in Abbildung 52 wurden die Positionen der Knoten 3 und 4 getauscht (Zugtyp 1), daher ist es nötig, die BC der fett umrandeten Schnittknoten zu aktualisieren. In dem kleinen Beispiel kann die Berechnung daher für einen Schnittknoten eingespart werden. Insbesondere bei Problemen mit vielen OE und einem entsprechend großen ST entfaltet dieses Vorgehen ein besonders großes Einsparpotential. H V

V 3

1

H 5

2

4

Abbildung 52: Knoten mit neu zu berechnenden BC nach einem Zug vom Typ 1

96


5.4 Tabulisten Strategie Damit es dem Tabu-Search-Verfahren möglich ist, lokale Optima wieder zu verlassen, muss der Übergang zu kürzlich besuchten Lösungen verboten werden. Zu diesem Zweck wird eine Tabuliste geführt, in der alle temporär gesperrten Züge eingetragen werden. -

Zugtyp 1 wird für ein OE-Paar tabu gesetzt, wenn sie getauscht wurden.

-

Zugtyp 2 wird für einen Schnittknoten tabu gesetzt, wenn seine Schnittrichtung geändert wurde.

-

Zugtyp 3 wird für ein Paar von Knoten tabu gesetzt, wenn ihre Positionen im ST getauscht wurden.

-

Zugtyp 4 wird für alle Knoten tabu gesetzt, wenn ein Blattknoten/Teilbaum verschoben wurde.

Beim letzten Zugtyp fällt auf, dass er als einziger nicht spezifisch für einzelne Knoten oder Knotenpaare, sondern generell tabu gesetzt wird, sobald er einmal angewendet wurde. Diese Wahl wurde getroffen, da es recht zeitaufwendig ist, diesen Zugtyp zu überprüfen. Er wird demnach nur relativ selten geprüft und soll insbesondere dazu dienen, kleine Verbesserungen zu finden, wenn die anderen Zugtypen versagen. Die Länge der Tabuliste gibt an, für wie viele Iterationen ein Zug verboten ist. Welche Länge günstig ist, hängt vom betrachteten Problem ab. Je mehr OE eine Problemstellung beinhaltet, desto größer ist der Lösungsraum und desto länger sollte auch die Tabuliste sein. Für Probleme mit 10 bis 70 OE haben sich Tabulängen von 8 bis 20 als günstig erwiesen.

5.5 Intensivierung und Diversifizierung der Suche Eine Intensivierung der Suche dient dazu, in viel versprechenden Lösungsbereichen genauer nach guten Lösungen zu suchen. Nachdem das Tabu-SearchVerfahren nach einer festgelegten Anzahl von Iterationen oder einer vorgegebenen Zeitspanne endet, wird ausgehend von der besten bisher gefundenen Lösung eine weitere Suche initiiert. Dabei handelt es sich um ein reines Verbesserungsverfahren, in welchem die in Abschnitt 5.3 erläuterte Nachbarschaft vollständig betrachtet wird und kein Zug tabu gesetzt ist. Die Suche endet in dem lokalen Optimum bezüglich der definierten Nachbarschaft.

5.6 Rechenergebnisse

97

Letztendlich kann die Bewertung des besten gefundenen ST nochmals verfeinert werden, indem die Layoutberechnung mit Hilfe des in Abschnitt 5.1 genannten gemischt-ganzzahligen Programms durchgeführt wird. Die Rechenzeit fällt hierbei nicht mehr so sehr ins Gewicht, da nur einmalig am Ende eines Suchlaufs ein Layout auf diese Weise berechnet werden muss. Dabei tragen zwei Aspekte zur Verbesserung des Layouts und dessen Zielfunktionswert bei: 1. Es werden optimale Positionen der OE und optimale Layoutabmessungen ermittelt. 2. Es wird eine genauere Linearisierung der BC der OE verwendet. Der gleichzeitige Einsatz der in Abschnitt 3.2.3.2 beschrieben Linearisierungstechnik für BC bei Vorgabe eines sehr kleinen maximalen Linearisierungsfehlers İmax führt zu nur noch sehr geringen Überschätzungen der OE-Abmessungen und damit zu kürzeren Transportdistanzen in dem kompakteren Layout. Des Weiteren kann eine Diversifizierung der Suche sinnvoll sein, um zu vermeiden, dass sich die Suche auf eine bestimmte Region des Lösungsraumes beschränkt und eventuell bessere Bereiche unerreicht bleiben. Daher wird das Suchverfahren mehrfach hintereinander gestartet, jeweils ausgehend von, gemäß Abschnitt 5.2, zufällig erzeugten Startlösungen.

5.6 Rechenergebnisse Dieser Abschnitt liefert einen Vergleich zwischen dem hier präsentierten Lösungsansatz und anderen in der Literatur vorgestellten Verfahren. Dafür werden einige in der Literatur häufig genutzte Probleminstanzen ausgewählt und die erreichten Zielfunktionswerte einander gegenübergestellt. Bei allen im Folgenden betrachteten Probleminstanzen wird von ungleichen Größen der OE ausgegangen, wobei der exakte Flächenbedarf jeder einzelnen OE vorgegeben ist. Unterschiede bestehen bezüglich der angenommen Flexibilität der zulässigen Seitenlängenverhältnisse der OE sowie hinsichtlich der Layoutabmessung. Zunächst werden Probleminstanzen betrachtet, bei denen maximale Abmessungen des Layouts vorgegeben sind. Danach folgt ein Abschnitt zu Instanzen mit beliebigen Layoutabmessungen. Abschließend wird auf die benötigten Rechenzeiten eingegangen. Im Anhang dieser Arbeit sind die erzielten Layouts abgebildet.

98


5.6.1 Vorgegebene Layoutabmessungen Ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal bei Instanzen mit vorgegebenen Layoutabmessungen ist, ob Leerflächen im fertigen Layout existieren oder nicht. Dies hängt davon ab, wie groß die gegebene Layoutfläche im Vergleich zur Summe der OEFlächen ist. Im Gegensatz zu den meisten anderen der in Abschnitt 2.2 vorgestellten FLP-Modellierungen ist der ST-Ansatz durch die Verwendung des BC-Verfahrens (oder des MILP) zur Layouterzeugung sehr gut gerüstet, um mit Instanzen zu arbeiten, die u. U. erhebliche Leerflächen im Layout beinhalten. Bei der Layouterzeugung mit Hilfe des MILP können diese Leerflächen sogar optimal platziert werden. Keine Leerfläche verbleibt in der vC10-Instanz, welche 10 OE umfasst und von van Camp et al. (1991) eingeführt wurde. Die Gesamtlayoutabmessung ist mit 25 x 51 vorgegeben und jede OE darf eine minimale Breite xmin bzw. Höhe ymin von 5 annehmen. Ebenso keine Leerflächen enthält die AB20-Instanz mit 20 OE, die aus Armour und Buffa (1963) entnommen wurde. Die Gesamtlayoutabmessung ist dort mit 30 x 20 vorgegeben und jede OE darf ein maximales Verhältnis von 4 zwischen längster und kürzester Seitenlänge aufweisen. Tate und Smith (1995) folgend wurde die Matrix der Transportkosten korrigiert und zwischen den OE L und S in beiden Richtungen mit einem Wert von 22,5 pro Entfernungseinheit gearbeitet. Leerfläche verbleibt dagegen in den Instanzen Ba12 und Ba14 mit jeweils 12 bzw. 14 OE, die von Bazaraa (1975) stammen. In Ba12 (bzw. Ba14) beträgt die Layoutabmessung 10 x 6 (bzw. 9 x 7). Unter Berücksichtigung der Flächenbedarfe der OE verbleiben insgesamt Leerflächen von 7 (bzw. 2) Flächeneinheiten. In beiden Instanzen dürfen die OE eine minimale Seitenlänge von 1 nicht unterschreiten; eine Ausnahme bildet lediglich die letzte OE in Ba14, für die keine Beschränkung existiert. In Tabelle 8 sind die Zielfunktionswerte verschiedener Ansätze einander gegenübergestellt. Für einige Instanzen konnten die in Scholz et al. (2009) veröffentlichten Ergebnisse des STaTS-Verfahrens nochmals verbessert werden. Der Grund dafür ist die, in Abschnitt 5.5 erläuterte, Neuberechnung des zum besten durch STaTS gefundenen ST korrespondierenden Layouts mit dem gemischt-ganzzahligen


99

Programm (MILP).62 Diese Ergebnisse sind in der vorletzten Spalte von Tabelle 8 angegeben.63 In der letzten Spalte ist die prozentuale Verbesserung erfasst, welche gegenüber dem besten Ergebnis aus den anderen Verfahren erzielt wurde. Dabei wurde STaTS nicht zu den anderen Verfahren gezählt und daher bei der Berechnung der Verbesserung nicht mit berücksichtigt. Im Vergleich zu den Verfahren aus 2007 und früher zeigt sich, dass insbesondere für die Instanzen Ba14 und AB20 enorme Verbesserungen erzielt werden. Die kürzlich erschienen Ergebnisse von Komarudin und Wong (2010) sind recht gut und setzen eine deutliche neue Bestmarke für AB20 und eine knappe für vC10.64 Das hier vorgestellte Verfahren liefert weiterhin beste Layouts für Ba12 und Ba14 mit Verbesserungen um etwa 2 %. Tate und Castillo Smith

Logendran

et al. und Kriausakul

Liu und Komarudin Meller

und Wong STaTS

STaTS + VerbesMILP

serung

(1995)

(2005)

(2006)

(2007)

vC10

20472,2

21298

21142

19997

Ba12

8861,0

8180

10286

8702

8252,67 8264,00

8021,00

Ba14

5080,1

-

-

5004

4724,68 4712,33

4628,87

2,03 %

AB20

5743,1

-

-

5668

5073,82 5225,96

5215,20

-2,79 %

(2010)

19967,60 19994,10 19973,50

-0,03 % 1,94 %

Tabelle 8: Zielfunktionswerte für Instanzen mit vorgegebenen Layoutabmessungen

Mit exakten Verfahren können bisher nur kleine Probleminstanzen des FLP gelöst werden. Dennoch soll ein Vergleich zu den optimalen Lösungen solcher Instanzen vorgenommen werden. Die Probleminstanzen O7 - O9 mit 7 bis 9 OE sind die größten, zu denen optimale Lösungen bekannt sind.65 Diese Instanzen wurden von

62

63

64

65

Im MILP wurde mit einem maximalen Linearisierungsfehler İmax = 0,00001 gearbeitet. Hinsichtlich der erzielten Ergebnisse scheint er daher vernachlässigbar. Die Instanzen vC10 und AB20 enthalten keine Leerfläche im Layout. Um trotz Flächenüberschätzung zulässige Lösungen zu erhalten, wurde ihre maximal zulässige Layoutlänge mit 1+İmax multipliziert. Auch dies ist hinsichtlich der Auswirkungen auf den Zielfunktionswert zu vernachlässigen. Die mit STaTS+MILP ermittelten Layouts sind im Anhang dieser Arbeit abgebildet, während sich die Ergebnislayouts des reinen STaTS-Verfahrens im Anhang des Papers von Scholz et al. (2009) finden. Die benötigten Rechenzeiten sind bei diesem Ansatz sehr hoch, sie liegen bei den betrachteten Instanzen mit 10 bis 20 OE zwischen gut einer Stunde und beinahe 21 Stunden. Auch wenn die Höhe der Rechenzeiten aufgrund der strategischen (langfristigen) Natur einer Layoutentscheidung nicht so kritisch ist, erscheint doch die Skalierbarkeit auf größere praxisrelevante Problemstellungen, bei weiterhin hoher Lösungsgüte, fraglich. Zu Rechenzeiten von STaTS sei auf Abschnitt 5.6.3 verwiesen. Siehe dazu auch die Ausführungen in Abschnitt 2.2.6.

100


Meller et al. (1999) eingeführt; sie besitzen vorgegebene Layoutabmessungen und beinhalten keine Leerflächen, weitere Spezifikationen sind in Tabelle 12 angegeben. In Tabelle 9 sind die Zielfunktionswerte dreier exakter Verfahren dargestellt, wobei Sherali et al. (2003) sowie Castillo und Westerlund (2005) Approximationen der OEAbmessungen nutzen, welche die Flächenbedarfe (und damit auch die Zielfunktionswerte) unterschätzen. Castillo et al. (2005) arbeiten dagegen mit genauen OEAbmessungen, so dass zu erwarten wäre, dass dort etwas höhere, genaue Zielfunktionswerte ermittelt werden. Zumindest bei Instanz O8 ist es jedoch nicht so, allerdings befinden sich diese Differenzen im Nachkommabereich. Für die Instanz O7 wird das von Castillo und Westerlund (2005) angegebene optimale Layout gefunden, auch wenn sich der Zielfunktionswert aufgrund der unterschiedlichen Approximation der OE-Abmessungen leicht unterscheidet.66 Die Abweichungen bei O8 liegen auf einem ähnlichen Niveau, so dass davon ausgegangen werden kann, dass auch für diesen Fall das optimale Layout gefunden wurde. Anders dagegen verhält es sich bei O9, wo die Abweichung über einem Prozent liegt und auch das erzielte Layout ein anderes ist als das in Sherali et al. (2003) abgebildete. Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass trotz der Einschränkung auf Slicing Layouts optimale oder beinahe optimale Lösungen für diese Instanzen ermittelt wurden. Sherali et

Castillo und

Castillo et

al. (2003)

Westerlund (2005)

al. (2005)

O7

131,64

131,57

131,64

132,00

131,66

0,01 % - 0,06 %

O8

242,89

242,77

242,73

243,16

243,07

0,07 % - 0,14 %

O9

235,95

235,87

236,14

239,07

239,06

1,24 % - 1,35 %

STaTS

STaTS + MILP

Abweichung

Tabelle 9: Zielfunktionswerte für Instanzen mit bekannten optimalen Lösungen

5.6.2 Beliebige Layoutabmessungen Instanzen eines FLP mit beliebigen Layoutabmessungen wurden von Tam und Li (1991) eingeführt. Sie umfassen 5 bis 30 OE (TL05-30), wobei der Bereich der zulässigen Seitenlängenverhältnisse für jede der um 90° rotierbaren OE individuell

66

Das in Castillo und Westerlund (2005) abgebildete Layout O7 unterscheidet sich von dem im Anhang dieser Arbeit abgebildeten lediglich durch die abweichende OE-Nummerierung und eine 180°-Drehung des Layouts. Letztere ist entsprechend der Ausführungen in Abschnitt 4.1.4.1 allerdings unerheblich.


101

vorgegeben ist. Bei den meisten OE umfasst der Bereich zulässiger Seitenverhältnisse den Wert eins, so dass nur bei wenigen eine echte Rotation berücksichtigt werden muss.67 Im Gegensatz zu den bisher betrachteten Instanzen verwenden Tam und Li (1991) eine andere Zielfunktion G mit quadrierten euklidischen Distanzen zwischen OE-Mittelpunkten, wobei cij = 1 für alle (i, j) gilt: (5.3)

min G

n n 1 dij2 flow ij cij 2 ¦ i 1 ¦ jjz1i

Die Instanzen TL05-30 wurden von Kado (1995), Garces-Perez et al. (1996) sowie Schnecke und Vornberger (1997) zum Test ihrer Verfahren aufgegriffen. Tam und Li (1991) verwendeten als einzige einen Lösungsansatz, der nicht auf Slicing Layouts beschränkt ist; sie konnten damit jedoch die größeren Instanzen TL20 und TL30 nicht im Ganzen lösen und somit dafür keine Zielfunktionswerte angeben. Leider sind einige der von Tam und Li angegebenen Zielfunktionswerte fehlerhaft, daher werden im Folgenden korrigierte Werte genutzt.68 Tabelle 10 stellt die Ergebnisse der verschiedenen Autoren einander gegenüber. Auch für diese Art von Probleminstanzen lässt sich zum besten durch STaTS ermittelten ST mit der gemischtganzzahligen Modellierung erneut das Layout berechnen, allerdings bereitet die verwendete Zielfunktion Schwierigkeiten, da sie nichtlinear ist. Deswegen kommt eine leicht abgeänderte Modellierung69 zum Einsatz, in welcher die Zielfunktion (5.3) umgesetzt ist. Es handelt sich um ein gemischt-ganzzahliges quadratisches Programm (MIQP), welches mit Xpress-MP gelöst werden kann, sofern die Zielfunktion konvex ist.70 Diese Vorraussetzung ist im vorliegenden Fall erfüllt. In der letzten

67 68

69 70

Siehe dazu auch Bemerkung 3.4 auf Seite 35. Tam und Li (1991) haben die Zielfunktionswerte und Abbildungen der zugehörigen Layouts dargestellt. Die Zielfunktionswerte entsprechen jedoch nicht denen der abgebildeten Layouts. Dies wurde mit dem in Kapitel 6 dieser Arbeit beschriebenen Modell überprüft. Die relativen Positionen der OE aus den Abbildungen von Tam und Li wurden mit der in Abschnitt 6.1 geschilderten Vorgehensweise fixiert und jeweils ein optimales Layout zu dieser Anordnung bestimmt. Dabei lag die quadratische Zielfunktion (4.8) zugrunde. Die ermittelten Layouts sind zwar hinsichtlich der exakten OE-Positionen nicht mit den heuristisch bestimmten von Tam und Li identisch, allerdings müssten sie mindestens so gute Zielfunktionswerte aufweisen, da es sich um optimale Layouts zur selben relativen Anordnung handelt. Dies ist nicht bei allen Instanzen der Fall. Daher sind in Tabelle 10 in den markierten Fällen korrigierte Zielfunktionswerte (bzw. deren untere Schranken) angegeben. Es wird die Zielfunktion (4.8) mit den Distanzen gemäß (4.1) genutzt. Zur Lösung wird das Newton-Barrier-Verfahren eingesetzt, welches zu den Innere-PunkteVerfahren (interior point methods) gehört.

102


Spalte von Tabelle 10 ist die prozentuale Verbesserung angegeben, die mit STaTS + MIQP gegenüber den anderen Verfahren (außer der STaTS-Version in Scholz et al. (2009)) erzielt wird. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das vorgestellte Verfahren sehr zuverlässig gute Lösungen liefert und den anderen Ansätzen überlegen zu sein scheint. Ausreißer bildet lediglich das Ergebnis für TL06. Tam und

Kado

Li (1991)

(1995)

Garces-

Schnecke

Perez et

und Vorn-

STaTS

al. (1996) berger (1997)

STaTS

Verbes-

+ MIQP

serung

TL05

25768

228

226

214

213,48

210,05

1,85%

TL06

514

361

384

327

348,76

345,00

-5,51%

TL07

75768

596

568

629

562,91

546,00

3,87%

TL08

839

878

878

833

810,43

792,93

4,81%

TL12

416968

3283

3220

3164

3054,23

3005,93

5,00%

6615,81

68

7384

7510

6813

6571,81

3,54%

TL20

-

16393

14033

13190

13198,40 12981,30

1,58%

TL30

-

41095

39018

35358

33721,20 32943,40

6,83%

TL15 10054

Tabelle 10: Zielfunktionswerte für Instanzen mit beliebigen Layoutabmessungen

An dieser Stelle soll demonstriert werden, dass der vorgestellte Lösungsansatz sich für den Einsatz bei praxisrelevanten Problemgrößen eignet. Dazu wird eine recht große Probleminstanz Du62 mit 62 OE herangezogen, welche von Dunker et al. (2003) eingeführt wurde. Jede der darin enthaltenen OE ist rotierbar, muss jedoch eine individuell vorgegebene feste Abmessung annehmen. Die Distanzen werden durch die rechtwinklige Entfernungsmessung bestimmt. In Tabelle 11 zeigt sich, dass STaTS + MILP das Ergebnis von Dunker et al. (2003) zwar um 2,75 % verbessert, allerdings findet das kürzlich veröffentlichte Verfahren von McKendall und Hakobyan (2010) eine um knapp ein halbes Prozent bessere Lösung. Dieses Verfahren beschränkt sich allerdings auch nicht auf Slicing Layouts. Ein Verfahren für non-slicing Layouts, welches diese Ergebnisse noch verbessert, findet sich in Kapitel 6.

Du62

Dunker et al.

McKendall und Hakobyan

(2003)

(2010)

3 939 362

3 812 825

STaTS

STaTS +

Verbesserung

MILP 3 871 510

3 831 110

Tabelle 11: Ergebnisse für die Instanz Du62

-0,48 %


103

Abschließend ist in Tabelle 12 die Übersicht zu den Spezifikationen der genutzten Instanzen dargestellt.

vC10

Distanz-

Ziel-

Layout-

Leer-

OE-

OE-

maß

funktion

abmessung

fläche

Geometrie

Rotation

rechtwinklig

F (2.1)

25 x 51

0

xmin = ymin = 5

zulässig zulässig

x

Ba12

rechtwinklig

F (2.1)

10 6

7

xmin = ymin = 1

Ba14

rechtwinklig

F (2.1)

9x7

2

xmin = ymin = 1

zulässig

AB20

rechtwinklig

F (2.1)

30 x 20

0

Įmax = 4

zulässig

O7

rechtwinklig

F (2.1)

8,54 x 13

0

Įmax = 4

zulässig

O8

rechtwinklig

F (2.1)

11,31 x 13

0

Įmax = 4

zulässig

x

rechtwinklig

F (2.1)

12 13

0

Įmax = 4

zulässig

TL05 - 30 euklidisch2

G (5.3)

beliebig

beliebig

Individuell pro OE

zulässig

Du62

F (2.1)

beliebig

beliebig

Individuell pro OE

zulässig

O9

rechtwinklig

Tabelle 12: Spezifikationen der Probleminstanzen

5.6.3 Rechenzeiten Layoutplanungsprobleme werden in der Regel gelöst, um die Grundlage für strategische Entscheidungen in einem Betrieb zu liefern. Aufgrund der geringen Häufigkeit, mit der solche Entscheidungen getroffen werden, stellt die Höhe der benötigten Rechenzeit kein allzu wichtiges Kriterium dar. In der Praxis kann jedoch eine Interaktion mit dem Planer gewünscht sein, um Ergebnisse zu interpretieren und evtl. Anpassungen an den Daten vorzunehmen. Dafür ist es günstig, dass die Optimierungsergebnisse besser innerhalb von Minuten oder Stunden als von Tagen vorliegen. In diesem Abschnitt wird daher auf die benötigten Rechzeiten eingegangen. Für die Evaluation wurde ein Pentium IV mit 2,4 GHz und 768 MB Hauptspeicher verwendet. STaTS ist in C++ implementiert und die gemischt-ganzzahligen Modelle in Xpress-Mosel, gelöst wurden letztere mit der Version 18.00.04 des XpressOptimizers. Für jede der betrachteten Instanzen wurden 10 Diversifizierungsläufe gemäß Abschnitt 5.5 durchgeführt. Ein Lauf wurde dann abgebrochen, wenn innerhalb von 3 bis 20 Sekunden (je nach Problemgröße) keine weitere Verbesserung gefunden wurde. Tabelle 13 gibt Mittelwerte dafür an, wie viele Iterationen jeder dieser Läufe umfasste und wie lange ein Lauf dauerte. Ebenso ist die Zeit angegeben, die eine Iteration eines Laufes durchschnittlich benötigte. Die letzte Spalte zeigt die Dauer,

104


die zur Nachoptimierung der besten Lösung eines Laufes mit Hilfe der gemischtganzzahligen Modellierungen (MIP) benötigt wurde. Bei den TL05-30 Instanzen handelt es sich dabei um das quadratische Modell, bei allen anderen um das lineare. Es wurde hier mit einem sehr kleinen maximalen Linearisierungsfehler in Höhe von İmax = 0,00001 gearbeitet, um besonders genaue Ergebnisse zu erhalten.71 Iterationen

Dauer pro

Dauer pro

Dauer pro

pro Lauf

Lauf [Sek.]

Iterat. [Sek.]

MIP [Sek.]

vC10

173

8,9

0,051

0,125

Ba12

272

13,6

0,050

0,156

Ba14

234

16,1

0,069

0,171

AB20

102

13,6

0,133

0,343

O7

180

4,3

0,024

0,078

O8

203

6,2

0,031

0,078

O9

216

8,9

0,041

0,078

TL05

250

2,3

0,009

0,047

TL06

270

3,0

0,011

0,032

TL07

215

2,5

0,012

0,046

TL08

156

4,7

0,030

0,047

TL12

96

12,5

0,130

0,219

TL15

145

17,0

0,131

0,141

TL20

185

50,0

0,270

0,235

TL30

119

95,4

1,336

0,422

Du62

280

252,0

0,900

1,349

Tabelle 13: Rechenzeiten

Es zeigt sich, dass die Dauer einer Iteration maßgeblich von der Anzahl der OE einer Instanz abhängt. Das liegt daran, dass die Größe der zu betrachtenden Nachbarschaft von der Anzahl der Knoten im ST bestimmt wird. Ebenso ist der Aufwand zur Layoutberechnung von der Anzahl der OE abhängig. Bei der Instanz Du62 wurde aufgrund der Problemgröße in jeder Iteration nur 5 % der Nachbarschaft betrachtet, daraus erklärt sich dort die verhältnismäßig geringe Dauer. Weiterhin auffällig ist die 71

Dies ist auch der Grund, warum sich die Rechenzeit des MIP bei der Instanz Ba12 von derjenigen unterscheidet, welche am Ende von Abschnitt 4.1.5 ermittelt wurde. In der Instanz Du62 kommen dagegen gar keine flexiblen OE vor. Somit hat dort die Wahl der Linearisierungsgenauigkeit auch keinen Einfluss auf die Rechenzeit.


105

recht lange Dauer zur Lösung des MILP für Du62. Sie ist, neben der hohen Anzahl an OE, begründet durch die in diesem Fall große Anzahl von Binärvariablen zur Rotation der OE. Die OE besitzen im Gegensatz zu denen in anderen Instanzen starre Abmessungen und sind rotierbar, was die Einführung von Binärvariablen nötig macht.72

72

Siehe dazu, ob für die Rotation einer OE eine Binärvariable nötig ist Bemerkung 4.4 auf Seite 64.

6.1 Fixierungsstrategie für Binärvariablen

107

6 Fix-and-Optimize Heuristik zur Layoutoptimierung Im vorangegangenen Kapitel wurden günstige Slicing Layouts ermittelt. Ist diese Slicing Eigenschaft jedoch nicht nötig bzw. vorausgesetzt, so können durch den vergrößerten Lösungsraum eventuell bessere Zielfunktionswerte erzielt werden. Im vorliegenden Kapitel wird ein Verfahren präsentiert, welches Layouts weiter verbessern kann, die z. B. mit dem STaTS-Verfahren aus Kapitel 5 erstellt wurden. Diese Verbesserung soll sukzessive in mehreren aufeinander folgenden Iterationen stattfinden. Es wird das Überlappungen vermeidende UA-FLP-MILP aus Abschnitt 4.2 verwendet.73 In jeder Iteration werden die meisten der Binärvariablen des Modells fixiert und das dadurch vereinfachte Problem optimal gelöst. Dabei wird die relative Lage der OE zueinander, welche durch die Binärvariablen abgebildet wird, zu großen Teilen aus dem Layout des vorangegangen Iterationsschrittes übernommen. Im folgenden Abschnitt 6.1 wird zunächst beschrieben, mit welcher Strategie die Binärvariablen basierend auf dem Ausgangslayout fixiert werden. Anschließend werden in den Abschnitten 6.2 und 6.3 zwei Auswahlstrategien vorgestellt, um einige relative OE-Anordnungen freizustellen und damit dem Lösungsverfahren Optimierungsspielraum einzuräumen. Darauf aufbauend werden in Abschnitt 6.4 drei Varianten einer iterativen Fix-and-Optimize Heuristik vorgestellt. Abschließend werden Rechentests durchgeführt, um die Leistungsfähigkeit des Verfahrens zu dokumentieren.

6.1 Fixierungsstrategie für Binärvariablen Die Nebenbedingungen (4.64) bis (4.67) verhindern Überlappungen zwischen OE. Dazu legen sie die relative Lage je zweier OE zueinander fest, d. h. dass eine OE entweder rechts von, links von, unter oder über einer anderen liegt. Allerdings beinhalten sie viele Binärvariablen, die den Lösungsprozess sehr aufwendig machen und damit die optimal lösbare Instanzgröße sehr stark begrenzen. Die Vorgabe von Binärvariablenwerten entspricht einer Vorgabe von relativen OE-Positionen und soll

73

In dem Modell ist ursprünglich keine Rotierbarkeit von OE vorgesehen. Im vorliegenden Kapitel werden nicht die Nebenbedingungen (4.63) sondern die Bedingungen (4.9) - (4.21) verwendet, um die Abmessungen der OE zu berücksichtigen und auch rotierbare OE einzubeziehen.

108

6 Fix-and-Optimize Heuristik zur Layoutoptimierung

den Lösungsverlauf deutlich beschleunigen. In Tabelle 14 sind die Bedeutungen der möglichen Wertekombinationen der Binärvariablen angegeben und welche Nebenbedingung jeweils bindend wird.

Xe1e2

Ye1e2

Bindende Nebenbedingung

Bedeutung

0

0

(4.64)

e2 links von e1

0

1

(4.65)

e2 rechts von e1

1

0

(4.66)

e2 unter e1

1

1

(4.67)

e2 über e1

Tabelle 14: Bedeutungen der Wertekombinationen der Binärvariablen

Aus dem Startlayout bzw. jenem der letzten Iteration werden die meisten relativen OE-Positionen übernommen. Die dafür verwendeten Regeln werden anhand von Abbildung 53 veranschaulicht. Dort stellt e1 eine OE dar, deren relative Lage in Bezug auf eine andere OE zu fixieren ist. Liegt die zweite OE mit mindestens einem Teil ihrer Fläche in einem der vier eindeutigen Teilbereiche (über, unter, links von, rechts von e1), so wird diese Beziehung entsprechend fixiert. Liegt die OE dagegen mit ihrer gesamten Fläche innerhalb eines der vier Eckbereiche, so besteht eine Wahlmöglichkeit, da gleichzeitig zwei relative Lagebeziehungen erfüllt sind. Es soll aber genau eine davon festgelegt werden, damit möglichst viele Binärvariablen fixiert werden können. Die Auswahl soll so getroffen werden, dass die Flexibilität für Verschiebungen im Layout möglichst wenig eingeschränkt wird. Deswegen wird eine Vorgehensweise gewählt, welche diejenige relative Lage fixiert, in deren Richtung (xoder y-Dimension) der minimale Abstand zwischen den zwei OE am größten ist. Grafisch bedeutet dies, dass bei OE, die sich in den nicht eindeutigen Bereichen befinden, diejenige ihrer Ecken als Entscheidungshilfe genutzt wird, welche die geringste Entfernung zu OE e1 aufweist. Ihre Lage bezüglich der Winkelhalbierenden, die von der zugehörigen Ecke von OE e1 ausgeht, entscheidet über die Zuordnung.

6.1 Fixierungsstrategie für Binärvariablen über e1 oder links von e1

links von e1

links von e1 oder unter e1

109

über e1

e1

unter e1

über e1 oder rechts von e1

rechts von e1

rechts von e1 oder unter e1

Abbildung 53: Relative Lagen von OE zueinander

In Abbildung 54 wird die Fixierung von relativen Lagen bezüglich e1 an mehreren Beispielen verdeutlicht. Für OE 1 besteht keine Wahlmöglichkeit, weil sie sich zumindest teilweise über e1 befindet. Die anderen OE befinden sich bezüglich e1 nicht in eindeutigen Positionen. Die jeweils am geringsten von e1 entfernten Ecken der OE sind mit einem Punkt gekennzeichnet. Anhand der Position dieses Punktes wird die Zuordnung vorgenommen. Gemäß oben beschriebener Regel ist OE 2 über, OE 3 links von, OE 4 unter und OE 5 links von e1 anzuordnen.

1

2

5 e1

4 3 Abbildung 54: Beispiel zur Fixierung relativer Lagen Bemerkung 6.1:

Es ist sinnvoll, nicht nur die Werte der Binärvariablen zu fixieren, um relative Positionen von OE-Paaren festzulegen, sondern auch nur tatsächlich benötigte Nebenbedingungen aufzustellen. Dann wird für jedes fixierte Paar von OE nur eine der vier Nebenbedingungen (4.64) bis (4.67), ohne den Ausblendterm auf der rechten Seite, aufgestellt. Es wird diejenige Nebenbedingung formuliert, welche die geforderte

110


relative Anordnung sicherstellt. Dies führt im Ergebnis zu keinem allzu großen Unterschied, da innerhalb der Presolve-Phase in der Optimierungssoftware ohnehin Nebenbedingungen eliminiert werden, die z. B. durch die Fixierung von Binärvariablen ausgeblendet (d. h. redundant) wurden. Allerdings erspart es doch einigen Rechenaufwand, zumal es von der verwendeten Software abhängig ist, ob alle redundanten Nebenbedingungen tatsächlich erkannt werden.

6.2 Partielle Freistellung relativer OE-Anordnungen Selbst trotz einer Fixierung der relativen Anordnungen aller OE-Paare lassen sich schon Verbesserungen des Zielfunktionswertes erzielen. Sie resultieren aus dem Wegfallen der Slicing Restriktion und nachfolgenden leichten Verschiebungen von OE-Positionen. Allerdings sind eben doch die relativen Positionen unveränderlich.74 Daher treten Fälle auf, in denen eine weitergehende vorteilhafte Verschiebung einer OE daran scheitert, dass sie eine andere OE berührt und nicht daran vorbei bewegt werden kann. Aussichtsreiche Kandidaten von OE-Paaren, bei denen sich durch Veränderungen der Position eine Verbesserung erzielen lassen könnte, sind diejenigen, welche nur eine kurze Berührstelle miteinander aufweisen. Ein solches Beispiel ist links in Abbildung 55 illustriert. OE 2 liegt oberhalb von OE 1, allerdings könnte sie rechts davon (d. h. weiter unten) günstiger positioniert sein, wie es im mittleren Teil der Abbildung dargestellt ist. Dazu müsste sie aufgrund der kurzen Berührstelle mit OE 1 nur wenig in horizontaler Richtung verschoben werden, was den Zielfunktionswert potentiell auch nur geringfügig ändert. In der Abbildung sind keine anderen OE abgebildet, die das dargestellte OE-Paar umgeben. Diese anderen OE bilden jedoch auch keine starren Grenzen für eine mögliche Verschiebung, da ihre absoluten Positionen nicht fixiert sind sondern lediglich die relativen.

74

Ein Beispiel dafür findet sich später in Abbildung 58 (nach dem 1. Optimierungsschritt).

6.2 Partielle Freistellung relativer OE-Anordnungen

111

2 1

2 1

2

1

Abbildung 55: Eckberührung von OE, verbesserte Anordnung und erweiterter Freiheitsgrad

Um die beschriebene Modifikation im Layout vornehmen zu können, soll nun freigestellt werden, ob OE 2 oberhalb oder rechterhand von OE 1 platziert wird. In dem rechten Teil von Abbildung 55 ist die Fläche markiert, innerhalb derer OE 2 dann bezüglich OE 1 positioniert werden darf.75 Um dies dem Lösungsverfahren zu ermöglichen, genügt es, die Variable Y12 auf eins zu fixieren und für X12 keine Vorgabe zu machen. Tabelle 15 gibt für die vier unterschiedlichen Fälle an, welche Vorgabe jeweils nötig ist, um eine relative Anordnung zweier OE nur partiell vorzugeben. Diese Vorgaben lassen sich aus den Angaben in Tabelle 14 ableiten. Vorgabe

Ye1e2

Bindende Nebenbedingung

Bedeutung

(4.65) oder (4.67)

e2 rechts oder oberhalb von e1

(4.65) oder (4.66)

e2 rechts oder unterhalb von e1

0

(4.64) oder (4.66)

e2 links oder unterhalb von e1

Ye1e2

(4.64) oder (4.67)

e2 links oder oberhalb von e1

1

Xe1e2 Ye1e2 Ye1e2 Xe1e2

1

Tabelle 15: Nötige Vorgaben zur partiellen Vorgabe der relativen Anordnung von OE

Ausgehend von einem Inputlayout können nun die zulässigen Anordnungsmöglichkeiten für ein oder mehrere OE-Paare auf vorab erläuterte Weise erweitert werden. Um eine vorteilhafte Auswahl dieser OE-Paare treffen zu können, wird das oben genannte Kriterium der Berührstellenlänge zwischen den OE genutzt. Es wird jedoch nicht die absolute Länge der Berührstelle b betrachtet. Stattdessen wird diese Länge ins Verhältnis zur Breite bzw. Länge der kleineren OE gesetzt. Dies ist in Abbildung 75

Die tatsächlich nutzbare Fläche wird, durch die festgelegte relative Position in Bezug auf andere OE in der Umgebung, in der Regel weiter eingegrenzt.

112


56 anhand der OE 1 und 2 dargestellt. Weiterhin ist ein Fall zwischen OE 1 und 3 aufgeführt, in welchem die relative Berührstellenlänge rB13 gleich eins ist. Im letztgenannten Fall soll auf eine Erweiterung der Anordnungsmöglichkeiten der beiden OE verzichtet werden, weil sie weniger Erfolg versprechend erscheint. OE-Paare mit kleinen relativen Berührstellen werden dagegen bevorzugt freigestellt.

rB12 =

b12 b12 min{s1,s2}

s2

2

s1

1

3

Abbildung 56: Relative Berührlängen von OE-Paaren

6.3 Erweiterte Freistellung relativer OE-Anordnungen In diesem Abschnitt wird eine Idee zur erweiterten Freistellung relativer OEAnordnungen vorgestellt. Durch die Freistellungen im vorangegangen Abschnitt war es möglich, dass sich OE quasi „umeinander herum“ verschieben lassen. Hier soll zusätzlich ein direkter Positionstausch von OE ermöglicht werden. In Abbildung 57 sind ausgehend von einem Startlayout (links) zwei Veränderungsmöglichkeiten des Layouts dargestellt. Die mittig abgebildete lässt sich bereits mit der Vorgehensweise aus dem vorigen Abschnitt erreichen. In der rechts abgebildeten Anordnung ist OE 2 noch weiter unten positioniert und dafür ist OE 4 über sie gewechselt. Denkbar wäre weiterhin sogar ein Tausch der Positionen zwischen OE 1 und 2. Solche Umgruppierungen lassen sich ermöglichen, indem nicht nur die aneinander eckenden OE (im Beispiel OE 1 und 2) im Verhältnis zueinander vollständig freigestellt werden, sondern auch ihre Beziehungen zu allen OE, welche in das beide umhüllende Rechteck (siehe Abbildung 57 links) hineinragen. Das ist nötig, da fixierte relative Anordnungen bezüglich dieser OE einen Tausch verhindern würden.

3

2 1

3 4

2

1

4

4

3 1

2

Abbildung 57: Freistellung der OE im einhüllenden Rechteck und mögliche Neuanordnungen

6.4 Varianten der iterativen Fix-and-Optimize Heuristik

113

Trotz dieser recht weitgehenden Freistellung könnten immer noch Beschränkungen bei der Anordnung der OE innerhalb des umhüllenden Rechtecks bestehen, da für jede der OE auch die relativen Anordnungen in Bezug auf die weiteren OE in der Umgebung zu berücksichtigen sind. Um zumindest die Möglichkeit eines Platztausches zwischen den ausgewählten OE (1 und 2) sicherzustellen, wird für sie das Fixierungsverfahren aus Abschnitt 6.1 modifiziert angewendet. Um die relative Position der ausgewählten OE gegenüber jenen außerhalb des einhüllenden Rechteckes festzulegen, werden ihre Position und Abmessung jeweils als identisch mit denen des einhüllenden Rechtecks angenommen. Dies führt dazu, dass ihre Position innerhalb des einhüllenden Rechtecks nicht durch Beziehungen zu außen liegenden OE beschränkt ist. Die Anzahl von Binärvariablen, welche durch die geschilderte Vorgehensweise freigestellt ist, hängt von der Anzahl der OE ab, die innerhalb des umhüllenden Rechtecks liegen. Bei einer Anzahl von m OE existieren m(m-1)/2 Paarungen. Für jede Paarung werden zwei Binärvariablen freigestellt, somit umfasst das Modell insgesamt m(m-1) Binärvariablen.

6.4 Varianten der iterativen Fix-and-Optimize Heuristik Im Folgenden werden aufbauend auf den Fixierungs- und Freistellungsstrategien der vorangegangenen Abschnitte drei Varianten einer iterativen Fix-and-Optimize Heuristik vorgestellt. Bei diesen Verfahren handelt es sich um reine Verbesserungsverfahren, die enden, sobald keine weitere Verbesserung gefunden wird. Eine Verschlechterung wird allerdings in keinem Iterationsschritt vorkommen, da die Fixierungsstrategie aus Abschnitt 6.1 mindestens den Freiraum umfasst, das vorherige Layout wiederherzustellen. Bei Variante 1 sind die relativen Positionen grundsätzlich fixiert (siehe Abschnitt 6.1), nur bei all jenen OE-Paaren, deren gemeinsame Berührstelle eine absolute Länge von weniger als 0,1 Längeneinheiten aufweist, wird eine partielle Freistellung mit der Vorgehensweise aus Abschnitt 6.2 vorgenommen. Sofern eine Verbesserung gegenüber dem Ausgangslayout erzielt wird, erfolgen eine erneute Fixierung der relativen Positionen basierend auf diesem Ergebnislayout und ein weiterer Optimierungsschritt. Falls keine Verbesserung mehr erzielt wird, bricht das Verfahren ab. Bei

114


dieser Vorgehensweise resultiert die Verbesserung des Zielfunktionswertes im Wesentlichen aus dem Aufbrechen der Slicing Struktur. Bei Variante 2 ist das Vorgehen analog zu dem in Variante 1, allerdings wird zusätzlich in jeder Iteration genau ein weiteres OE-Paar partiell freigestellt. Nacheinander werden unterschiedliche OE-Paare zur Freistellung ausgewählt, bis ein verbessertes Layout gefunden wird, von welchem dann ein neuer Optimierungsschritt startet. Die OE-Paare werden dabei in der Reihenfolge aufsteigender Längen ihrer relativen Berührstellen ausgewählt (siehe Abschnitt 6.2). Führt die Freistellung keines der Paare zu einer Verbesserung endet das Verfahren. In Variante 3 wird die gleiche Vorgehensweise wie in Variante 2 verwendet, allerdings erfolgt nicht nur eine partielle Freistellung des ausgewählten OE-Paares, sondern eine vollständige Freistellung aller OE im umhüllenden Rechteck, wie in Abschnitt 6.3 beschrieben.

6.5 Rechenergebnisse In diesem Abschnitt sollen die drei Varianten der Fix-and-Optimize Heuristik getestet und miteinander verglichen werden. Für diese Tests wird die, bereits am Ende von Abschnitt 5.6.2 verwendete Probleminstanz Du62 herangezogen. Sie enthält 62 rotierbare OE mit festen Abmessungen. Die Abmessungen des Gesamtlayouts sind nicht beschränkt. Als Startlayout für die Verfahrensvarianten wird das Ergebnislayout von STaTS + MILP (siehe Kapitel 5) verwendet. Dieses Layout ist in Abbildung 58 links oben angegeben. Davon ausgehend präsentiert die Abbildung die Ergebnislayouts der drei Verfahrensvarianten. In den Layouts sind jeweils die wesentlichen Stellen hervorgehoben, an denen durch das nächste Verfahren noch weitere Verbesserungen vorgenommen werden. Im ersten Schritt zeigen sich Veränderungen an Stellen, an denen ein durchgehender Schnitt des Slicing Layouts eine günstigere Platzierung einer OE verhinderte. Im zweiten Schritt resultiert die Verbesserung aus dem „umeinander herum“ Verschieben von OE und darauf folgenden OE-Rotationen. Im letzten Schritt zeigen sich Positionstausche, die durch die umfassendere Freistellung möglich werden. Durch die gestrichelten Rechtecke ist dabei die zu Grunde liegende Freistellung nur grob angedeutet, denn insbesondere die große Änderung im linken unteren Bereich des Layouts ist nur im Verlauf mehrerer Iterationen


115

möglich geworden. Insgesamt wurden für den ersten Schritt fünf verbessernde Iterationen durchgeführt, für den zweiten 14 und für den dritten 28.

Variante 1

STaTS + MILP

1.

Variante 3

Variante 2

2.

3.

Abbildung 58: Ergebnislayouts der drei Fix-and-Optimize Varianten

Abbildung 59 zeigt die Höhe der Verbesserung des Zielfunktionswertes, die sich mit den drei Varianten erzielen lässt. Es ist jeweils angegeben, wie viele Prozentpunke an Verbesserung die jeweils nächste Variante gegenüber der vorigen brachte. Wie zu erwarten war, unterscheiden sich die Varianten hinsichtlich der benötigten Rechenzeiten deutlich. Während Variante 1 weniger als eine Minute benötigt, braucht Variante 3 etwa zwölf Stunden. Insgesamt lässt sich durch Variante 3 der Zielfunktionswert, des mit STaTS + MILP ermittelten Layouts, noch um 2,4 % verbessern.

116


3850000

12 min.

32 s.

12 Stunden

0,5 %

3700000

1,3 %

Gesamt

3730000

2,4 %

Variante 3

3760000

0,6 %

Variante 2

3790000

Variante 1

Layout STaTS + MILP

3820000

Abbildung 59: Erreichte Zielfunktionswerte der Fix-and-Optimize Varianten

In Tabelle 16 sind die, durch verschiedene Verfahren für Du62 ermittelten, Zielfunktionswerte und die jeweils benötigten Rechenzeiten angegeben. Die Tabelle ist nach absteigenden Zielfunktionswerten sortiert. Die Varianten 2 und 3 liefern die bisher besten bekannten Lösungen für Du62. Die mit Variante 3 ermittelte Lösung ist um 1,9 % besser als die von McKendall und Hakobyan (2010). Zu den Rechenzeiten der Varianten 1 bis 3 wurde jeweils diejenige von STaTS + MILP hinzugerechnet, um einen fairen Vergleich zu ermöglichen. Es zeigt sich, dass Variante 2 innerhalb einer moderaten Zeitspanne ein sehr gutes Ergebnis ermittelt, welches nur von dem aus Variante 3 übertroffen wird, die aber deutlich länger rechnet. Verfahren

Zielfunktionswert

Rechenzeit [s]

Dunker et al. (2003)

3 939 362

4 996

STaTS + MILP

3 831 110

2 521

Variante 1

3 813 130

2 553

McKendall und Hakobyan (2010)

3 812 825

7 304

Variante 2

3 790 310

3 261

Variante 3

3 740 160

44 368

Tabelle 16: Zielfunktionswerte und Rechenzeiten bei Instanz Du62

7.1 Einbeziehen zusätzlicher Restriktionen

117

7 Layoutplanung – Eine praktische Anwendung Die praktische Anwendbarkeit und Leistungsfähigkeit der vorgestellten Modelle soll in diesem Kapitel demonstriert werden. Dazu wird eine Layoutplanung für einen Betrieb durchgeführt, welcher Formteile und Dichtungselemente aus Schaumstoffen fertigt. Es wird auf das in Kapitel 5 vorgestellte STaTS-Lösungsverfahren zurückgegriffen und Erweiterungen daran vorgenommen, um in der Praxis auftretende Restriktionen abbilden zu können. Zu dem hier vorgestellten Verfahren wurde ein Zeitschriftenaufsatz im European Journal of Operational Research veröffentlicht, siehe Scholz et al. (2010). In Abschnitt 7.1 sind zunächst Möglichkeiten beschrieben, zusätzliche Nebenbedingungen einzubeziehen. Abschnitt 7.2 behandelt die Anwendung auf die vorliegende praktische Problemstellung. Schließlich werden in Abschnitt 7.3 Rechenergebnisse präsentiert.

7.1 Einbeziehen zusätzlicher Restriktionen Bisher nicht im Modell berücksichtigte, nun einzubeziehende praktische Restriktionen sind im Folgenden aufgelistet und werden in den anschließenden Abschnitten einzeln erläutert und in das Lösungsverfahren integriert: -

Nicht-rechteckförmige Werkhalle

-

Sperrflächen in der Werkhalle

-

Mehrere Werkhallen

-

Festgelegte Position einiger OE

-

Einplanen von Transportwegen

-

Zwangsweise Anordnung einiger OE an Hallenaußenwänden

-

Verbot direkter Nachbarschaft für einige OE-Paare

-

Anordnen von OE außerhalb der Werkhalle

7.1.1 Nicht-rechteckförmige Halle, Sperrflächen und feste OE-Positionen Grundsätzlich besteht der zulässige Lösungsraum, den STaTS durchsucht, aus der Menge der ST, welche wiederum zur Menge der Slicing Layouts korrespondiert. Da

118

7 Layoutplanung – Eine praktische Anwendung

diese Slicing Layouts Rechtecke sind, setzt das Verfahren implizit eine Werkhalle in Form eines Rechtecks voraus. Diese Vorraussetzung ist in der Praxis jedoch nicht immer erfüllt. Um diese Einschränkung aufzuheben, wird das kleinste Rechteck betrachtet, welches die reale Hallenform vollständig beinhaltet. Darin werden Dummy-OE so platziert, dass sie alle Flächen abdecken, die nicht zur verfügbaren Hallenfläche gehören. Jede von ihnen besitzt dementsprechend feste Abmessungen und Positionen, ist nicht rotierbar und weist keine Transportinteraktion mit anderen OE auf. Die Dummy-OE selbst sind wiederum Rechtecke, so dass die modellierte Werkhalle zwar kein Rechteck, aber zumindest rechtwinklig sein muss. Dies stellt jedoch in der Praxis keine ernsthafte Einschränkung dar, weil Werkhallen in aller Regel mit rechtwinkligen Grundrissen konstruiert werden. Letztendlich muss die Hallenmodellierung samt den Dummy-OE in ein Slicing Layout und den zugehörigen ST überführt werden. Dabei gilt es zu beachten, dass eine (Dummy-)OE mit jedem ihrer vier Ränder an entweder einen Schnitt oder eine Außenseite des werkhallenumhüllenden Rechtecks grenzen muss. Es existieren mehrere Slicing Layouts, welche eine gewünschte Anordnung von Dummy-OE abbilden. Dies ist aus dem kleinen Beispiel in Abbildung 60 ersichtlich, in welchem entweder der horizontale oder der vertikale Schnitt zuerst ausgeführt werden kann.

Abbildung 60: Nicht-rechteckige Werkhalle und zwei korrespondierende Slicing Layouts

Im Allgemeinen kann die Reihenfolge der Schnitte beliebig gewählt werden, allerdings sollte dies mit Bedacht geschehen, da sie die Struktur des verbleibenden Lösungsraumes bestimmt. Dabei ist es wichtig sich dessen bewusst zu sein, dass


119

eine OE nicht über einen Schnitt hinweg verlaufen darf. Insbesondere, wenn eine Probleminstanz sehr lange OE beinhaltet, kann eine ungünstige Wahl die Anzahl der möglichen Anordnungen stark einschränken oder gar zur Unlösbarkeit des Problems führen (vgl. Abbildung 61, wo die rechte Aufteilung die Platzierung langer OE stark einschränkt). Oftmals wird aber ein sinnvoller Verlauf der Schnitte durch die Konstruktion der Werkhalle bereits vorgegeben sein, etwa durch den Verlauf einer Reihe von Stützpfeilern. Entsprechend der gewählten Schnittreihenfolge lässt sich nun ein Teil des zugehörigen ST aufstellen. In Abbildung 62 ist der ST dargestellt, der zum linken Layout aus Abbildung 61 korrespondiert. Dabei handelt es sich um den fixierten Teil des ST, welcher durch das Tabu-Search-Verfahren nicht verändert werden darf. Ausschließlich an den mit a, b und c markierten Knoten dürfen Veränderungen vorgenommen werden und weitere Teilbäume angehängt werden. Diese Knoten entsprechen den drei gleichermaßen markierten Hallenteilen, die bisher nicht weiter von Schnitten unterteilt sind. Dabei wird angenommen, dass anstelle der markierten Knoten entweder eine OE oder ein Teilbaum angehängt wird, d. h. in jedem Hallenteil wird mindestens eine OE angeordnet.

2 c

b 1

a

3

d b 1

a

2 c 3

Abbildung 61: Verschachtelte Werkhalle und zwei korrespondierende Slicing Layouts

120

7 Layoutplanung – Eine praktische Anwendung V H

H b

V

H a

1

2 c

3

Abbildung 62: ST korrespondierend zum linken Layout in Abbildung 61

STaTS wurde derart modifiziert, dass es den fixierten Teil des ST als Input bekommt und zufällig generierte Teilbäume an den offenen Ästen anhängt, um eine Startlösung zu erhalten. Anschließend wird Tabu-Search durchgeführt, wobei für die Züge nur Knoten an den offenen (nicht fixierten) Ästen des ST berücksichtigt werden dürfen. Jeder der betrachteten Hallenteile besitzt vorgegebene Abmessungen, allerdings dürfen diese während des Suchprozesses überschritten werden, damit leicht eine zulässige Startlösung generiert werden kann. Um das Suchverfahren dazu zu drängen wirklich passende Lösungen zu finden, wird das Überschreiten der Abmessungen eines Hallenteils in der Zielfunktion bestraft. Die vorgegebene Größe geg Abmhd jedes Hallenteils wird dazu mit seiner aktuell benötigten Größe akt Abmhd verglichen. Die Höhe der Überschreitung wird über alle Hallenteile für beide Dimensionen aufsummiert und mit einem Gewichtungsfaktor g1 multipliziert. Der Strafkostenterm P1 wird zur Zielfunktion hinzuaddiert. (7.1)

P1

g1

¦

d ^ x,y` h Hallenteil

max ^0;akt Abmhd geg Abmhd `

Das in diesem Abschnitt beschriebene Vorgehen kann analog angewandt werden, wenn Sperrflächen in einer Werkhalle vorliegen. Ebenso können damit OE mit einer vorgegebenen Position eingeplant werden. Dabei ist lediglich zu beachten, dass diese OE, im Gegensatz zu den Dummy-OE, Transportbeziehungen zu anderen OE besitzen. Bemerkung 7.1:

Einschränkend ist an dieser Stelle hinzuzufügen, dass durch den fixierten Teil des ST keine genauen Positionen von (Dummy-)OE vorgegeben werden können. Daher


121

funktioniert das Verfahren besonders gut für Positionen am Rand des Layouts, weniger gut dagegen für Positionen mitten in einer Halle. Aber auch hallenmittige Positionierungen lassen sich erreichen: Entweder durch Einführen eines weiteren Strafkostenterms, welcher Positionsabweichungen bestraft, oder durch Fixierung, wenn die hallenmittige OE mit ihren Außenseiten an andere fixierte OE grenzt, welche wiederum an den Hallenrand grenzen.

7.1.2 Mehrere Hallen Erstreckt sich der Produktionsprozess eines Unternehmens über mehrere Werkhallen auf einem Fabrikgelände, so sollten ihre Layouts nicht unabhängig voneinander, sondern simultan geplant werden. Nur auf diese Weise kann ein bestmögliches Planungsergebnis erzielt werden. Die OE müssen dabei sowohl den verschiedenen Hallen zugeordnet als auch darin positioniert werden. Dazu lässt sich die Idee aus dem vorangegangenen Abschnitt nutzen. Es wird das kleinste Rechteck betrachtet, welches alle Werkhallen des Fabrikgeländes umfasst. Überall dort, wo sich keine nutzbare Hallenfläche befindet (siehe beispielsweise Abbildung 67), werden DummyOE platziert. Auch hierfür lässt sich ein entsprechender fixierter Teil eines ST angeben, der als Ausgangspunkt für das anschließende Tabu-Search-Verfahren dient. Bei der Abstandsmessung zwischen OE-Paaren muss allerdings berücksichtigt werden, dass unabhängig von der verwendeten Distanzmetrik durch die Art der Modellierung der direkte Weg zwischen den OE zugrunde gelegt wird. Das heißt Transportumwege, die eventuell nötig werden, da Transporte nur über ein Hallentor aus einer Halle heraus und genauso in eine andere hereingelangen können, bleiben zunächst unberücksichtigt. Um eine genauere Transportdistanz bestimmen zu können, wie sie in Abbildung 63 dargestellt ist, muss festgestellt werden, in welchen Hallen sich die betreffenden OE befinden. Dies lässt sich leicht anhand des ST ermitteln, indem für jede der OE betrachtet wird, an welchem der offenen Äste des vorgegebenen ST sie hängt. Anschließend können die Abstände von OE-zu-Tor, Tor-zu-Tor und Tor-zu-OE addiert werden. Dabei können falls gewünscht auch unterschiedliche Distanzmetriken innerhalb und außerhalb der Hallen verwendet werden, z. B. euklidische außerhalb und rechtwinklige innerhalb.

122


2

1

Abbildung 63: Rechtwinkliger Abstand zwischen OE in unterschiedlichen Werkhallen

7.1.3 Transportwege Um Materialtransporte zwischen den OE durchführen zu können, müssen Transportwege im Layout eingeplant werden. Im Folgenden werden zwei Möglichkeiten vorgestellt, um Wege mit vorgegebener Breite a im Layout zu integrieren. Eine Möglichkeit besteht darin, die Schnitte im Slicing Layout als Transportwege zu nutzen. Dies kann folgendermaßen in der Layouterzeugung berücksichtigt werden: Bei jeder Aggregation zweier BC (siehe dazu Abschnitt 3.2.3.3) wird die Transportwegbreite a in der Additionsrichtung hinzugefügt, d. h. bei vertikalem (horizontalem) Schnitt zu allen x-Werten (y-Werten). Dadurch sind in der BC des Wurzelknotens alle Transportwegabmessungen berücksichtigt und sie gibt die möglichen Gesamtabmessungen des Layouts inklusive der Wege an. Dieser Ansatz führt jedoch zu Problemen, wenn er mit den in den Abschnitten 7.1.1 und 7.1.2 beschriebenen Vorgehensweisen gemeinsam verwendet wird. Denn es würden unerwünschter Weise auch zwischen den und am Rand der dort eingeführten Dummy-OE Wege eingeplant (siehe Abbildung 64). Um dieses Problem in den Griff zu bekommen, bestehen zwei Möglichkeiten: 1. Die Abmessungen der Dummy-OE könnten um die Breiten der angrenzenden Schnitte/Wege verringert werden. 2. Die Breite derjenigen Schnitte, welche an Dummy-OE angrenzen, könnte gleich null gesetzt werden. Da diese Schnitte nicht ausschließlich Dummy-OE berühren, würde letzteres jedoch zu fehlenden Transportwegen zwischen den Teilabschnitten der Werkhalle führen. 2

5

7

4 6 1

8

3

Abbildung 64: Layout mit drei Dummy-OE und Schnitten mit Transportwegbreite


123

Eine zweite Möglichkeit Platz für Transportwege einzuplanen besteht darin, die Abmessungen jeder OE (außer den Dummy-OE) künstlich zu vergrößern. Die OEAbmessungen werden in beiden Dimensionen um jeweils eine Wegbreite a erhöht, so dass jede OE, wie linkerhand in Abbildung 65 visualisiert, auf allen vier Seiten von einer halben Wegbreite Freiraum umgeben ist. Im Algorithmus lässt sich diese Vergrößerung der OE-Abmessungen präzise integrieren, indem die BC jeder OE je um eine Wegbreite a nach rechts und nach oben verschoben wird. Ein Beispiel für ein, aus solchen vergrößerten OE, zusammengesetztes Layout ist rechterhand in Abbildung 65 gegeben. Darin wird deutlich, dass zusätzlich zu den korrekt eingeplanten Wegen an jeder Außenseite des Layouts eine halbe Wegbreite Freiraum verbleibt. Dieser kann entweder durch die Vorgabe von, um eine Wegbreite, künstlich überhöhten Hallenabmessungen vermieden werden oder tatsächlich realisiert und vom Layoutplaner für anschließende manuelle Verschiebungen und Anpassungen genutzt werden. Die in diesem Absatz beschriebene Idee zur Berücksichtigung von Transportwegen kann ebenfalls in Ansätzen genutzt werden, welche nicht mit Slicing Layouts arbeiten.

a

1

2 2

3

4

Abbildung 65: Von Platz für Transportwege umgebene OE und Layoutentwurf

7.1.4 Hallenrandanordnung von Organisationseinheiten Im vorliegenden praktischen Layoutplanungsproblem müssen einige OE aufgrund eines benötigten direkten Frischluft- bzw. Abluftanschlusses direkt an einer Hallenaußenwand positioniert werden. Des Weiteren könnte solch eine Forderung auch für Warenein- und Warenausgangslager vorliegen, welche direkt über LKW-Laderampen bedient werden sollen. Ob die geforderte Hallenrandanordnung einer OE in der aktuellen Lösung im TabuSearch-Verfahren vorliegt, kann auf zwei unterschiedlichen Wegen geprüft werden. 1. Anhand des ST, denn darin gilt: Befindet sich eine OE stets im linken (rechten) Teilbaum aller ihrer Vorgängerknoten mit vertikaler Schnittrichtung, so liegt ihr Stellplatz auch am linken

124

7 Layoutplanung – Eine praktische Anwendung (rechten) Rand des Layouts. Die Position hinsichtlich der Vorgänger mit horizontaler Schnittrichtung spielt dabei keine Rolle. Für die Anordnung am unteren (oberen) Layoutrand gilt analog, dass die OE sich stets im linken (rechten) Teilbaum all derjenigen Vorgängerknoten mit horizontalem Schnitt befinden muss. Werden eine nicht-recheckige Werkhalle oder mehrere Werkhallen betrachtet und damit ein fixierter Teil des ST verwendet, so brauchen nur diejenigen Vorgängerknoten betrachtet werden, die nicht zum fixierten Teil gehören, um zu bestimmen, an welchem Rand des entsprechenden Hallenabschnitts sich die OE befindet.

2. Anhand des Layouts: Indem die Positionen der Ränder der OE mit denen der Außenwände verglichen werden. Existieren in der betrachteten Problemstellung mehrere Werkhallen, so ist zunächst zu bestimmen, in welcher Halle die OE überhaupt platziert ist. Dies kann über ihre Koordinaten im Layout geschehen oder anhand des ST, indem geprüft wird, an welchem der offenen Äste des fixierten Teils des ST sie angehängt ist. Wird die Information über die Hallenrandplatzierung nicht aus dem ST sondern aus dem Layout ermittelt, so lässt sich zusätzlich die minimale Entfernung der OE vom Hallenrand bestimmen. Bei Nichteinhaltung einer Hallenrandplatzierung kann entweder eine Bestrafung des Zielfunktionswertes in vorab festgelegter Höhe vorgenommen werden oder in einer vom aktuellen Wandabstand abhängigen Höhe. Letzteres wird im Folgenden anhand von Gleichung (7.2) realisiert, wobei demin_Wand den aktuellen minimalen Abstand des Stellplatzes der OE e von der nächstgelegenen Außenwand angibt. Die minimalen Wandabstände aller OE mit dieser Anordnungsrestriktion werden summiert, mit einem Faktor g2 gewichtet und der Zielfunktion hinzugefügt. (7.2)

P2

g2

¦

demin_Wand

e Rand_OE

7.1.5 Unverträgliche Organisationseinheiten Wegen technischer Restriktionen kann es nötig sein, einen Mindestabstand zwischen manchen Paaren von OE einzuhalten. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn Sägemaschinen Staub erzeugen und Klebemaschinen empfindlich gegen diesen Staub

7.2 Praktische Anwendung

125

sind. Ebenso kann zwischen Vibrationen verursachenden und vibrationsempfindlichen Maschinen ein Mindestabstand erforderlich sein. Die Unterschreitung vorgegebener Mindestabstände zwischen einem solchen Paar unverträglicher OE (e1, e2) wird bestraft. Dazu werden anhand des Layouts für beide Dimensionen die minimalen Abstände dist ex1e2 ,distey1e2 zwischen den Rändern der OE

ermittelt. Sofern die Luftliniendistanz zwischen den OE kleiner ist als der nötige Mindestabstand distmin wird diese Unterschreitung in Gleichung (7.3) mit dem Faktor g3 gewichtet und zum Zielfunktionswert addiert. (7.3)

P3

g3

¦

e1,e2 unverträgliche_OE

^

max 0;distmin dist ex1e2 2 dist ey1e2 2

`

7.1.6 Organisationseinheiten außerhalb der Werkhalle In einem Layoutplanungsproblem kann es OE geben, welche nicht innerhalb der Werkhalle(n) anzuordnen sind, sondern außerhalb. Diese OE sollten dennoch berücksichtigt werden, wenn Transporte zu ihnen stattfinden, welche Kosten verursachen. Um diese Kosten ebenfalls zu minimieren und den Lösungsraum nicht unnötig einzuschränken, ist es sinnvoll solche OE nicht fest zu positionieren, sondern dies dem Lösungsverfahren zu überlassen. Der Platz außerhalb der Halle ist in der Regel nicht knapp und braucht daher nicht explizit berücksichtigt werden. Aus den genannten Gründen lässt sich für diese OE ein Flächenbedarf von null annehmen und fordern, dass sie am Hallenrand (vgl. Abschnitt 7.1.4) angeordnet werden. Ihre günstige Position außerhalb der Halle kann nach der Optimierung aus ihrer Platzierung im Layout abgelesen werden.

7.2 Praktische Anwendung In dem vorliegenden Layoutplanungsproblem nutzte das Unternehmen bisher drei Produktionshallen. Aufgrund der Neuanschaffung von Maschinen entstand Platzmangel, so dass eine weitere Halle erworben wurde. Demnach stand eine völlige Neuplanung des Produktionslayouts an. In Abbildung 66 ist die Anordnung der vier Werkshallen dargestellt. Außerdem sind dort die möglichen Lagerstätten für zwei Sorten von Rohstoffen (RS 1 und RS 2) angegeben. Der Rohstoff RS 1 kann entweder bei Halle A oder D gelagert werden.

126

7 Layoutplanung – Eine praktische Anwendung RS 2 B

A

C

D

RS 1

RS 1

Abbildung 66: Anordnung der Werkshallen

Zwei weitere Lager, eines für Rohstoffe RS 3 und eines für Endprodukte, sind innerhalb der Hallen zu platzieren. Dabei ist zu beachten, dass sie direkt mit einem LKW erreichbar sein sollen. Nur die Hallen A und D besitzen eine solche Anfahrtsmöglichkeit. Der Platz reicht allerdings in keiner dieser zwei Hallen aus, um beide Lager gemeinsam darin unterzubringen. Dementsprechend ist je eines in Halle A und eines in Halle D zu platzieren. Verbunden mit der Forderung, dass Rohstofflager RS 1 nahe dem Lager RS 3 platziert werden soll, ergeben sich zwei relevante Szenarien. Szenario 1: Im ersten Szenario werden Endprodukte in Halle A, Rohstoff RS 3 in Halle D und Rohstoff RS 1 rechts von Halle D gelagert. Um das gesamte Produktionslayout abbilden zu können, werden, entsprechend den in den Abschnitten 7.1.1 und 7.1.2 erläuterten Vorgehensweisen, Dummy-OE eingeführt. Abbildung 67 zeigt die gewählte Anordnung, wobei Dummy-OE und fixierte OE mit römischen Ziffern beschriftet sind. Die Halle C wurde mit Hilfe des Dummys IX in zwei Hälften geteilt, da sie von einer Pfeilerreihe durchzogen ist, welche eine dort durchgehende Platzierung von OE verhindert. Halle A ist durch das Endproduktlager I vollständig ausgefüllt und wurde im Gegensatz zu den realen Gegebenheiten auf einer Höhe mit den Hallen B und C angeordnet, dafür aber in horizontaler Richtung entsprechend weiter von ihnen entfernt. Dies ermöglicht eine einfachere Modellierung, wobei die rechtwinkligen Distanzen zwischen den Hallen bzw. OE nahezu unverfälscht bleiben. Die Abmessungen der Rohstofflager RS 1 und RS 2 sind der Einfachheit halber verändert worden, da sie ohnehin irrelevant sind und es lediglich auf die richtige Position ihrer Mittelpunkte ankommt. Weiterhin ist zu bemerken, dass Dummy-OE III wegen der übersichtlicheren Darstellbarkeit deutlich weniger breit in der Abbildung eingezeichnet ist, als es ihrer realen Größe entspricht; dies wird durch die geschwungenen Linien kenntlich gemacht.

7.2 Praktische Anwendung V1

II

V2

127 V3

V4

V5

V6

VII (RS 2)

Coben

III

B

V

I (Endproduktlager)

V7

D VIII (RS 3)

Cunten

X (RS 1)

VI V8

IV

IX

Abbildung 67: Szenario 1

Die in Abbildung 67 vorgeschlagene Struktur des Layouts lässt sich durch einen fixierten Teil des ST wiedergeben. Dieser ist in Abbildung 68 dargestellt, wobei die vertikalen Schnitte sowohl im Baum wie auch im Layout nummeriert wurden, um dem Leser eine schnellere Zuordnung von Knoten und Schnitten zu ermöglichen. V4

V2

H

V1

V3

H

I

H

III

II

V8

Cunten

V

V6

VI

V5

H

B

IV

IX

V7

X

H

VII

Coben VIII

D

Abbildung 68: Fixierter Teil des ST korrespondierend zum Layout in Abbildung 67

Szenario 2: Im zweiten Szenario ist Rohstofflager RS 3 in Halle A positioniert und die Endproduktlagerung in Halle D. Das Rohstofflager RS 1 wurde ohne Flächenbedarf modelliert und ist in Abbildung 69 nur der Sichtbarkeit halber mit einer Fläche visualisiert. Der zu diesem Layout gehörige fixierte Teil des ST ist in Abbildung 70 dargestellt. V1

II I (RS 3)

V2

III

V3

V

B

V6

VI

Cunten V9

V8

X (RS 1)

IV

Abbildung 69: Szenario 2

VIII (Endproduktlager)

VII (RS 2)

Coben

A V7

V5

V4

IX

128

7 Layoutplanung – Eine praktische Anwendung V4

V2

H

V1

H

V7 I

V3

H

III

II

IV

V9

V

Cunten

H

VI

B

V8

A

V6

IX

V5

Coben

VIII

VII

X

Abbildung 70: Fixierter Teil des ST korrespondierend zum Layout in Abbildung 69

Insgesamt sind in beiden Szenarien gleichermaßen je 61 OE im Layout enthalten, die sich folgendermaßen in Kategorien einordnen lassen: -

10 OE mit fixierten Abmessungen und Positionen, von denen vier Materialflüsse aufweisen (RS 1, RS 2, RS 3 und das Endproduktlager), während es sich bei den anderen sechs um Dummys handelt.

-

38 Maschinen mit fest vorgegebenen Abmessungen. Dabei handelt es sich nach der Klassifikation von Seite 7 um OE der 2. Flexibilitätsart. Eine mögliche Rotation dieser Maschinen um 90° wird bei der Optimierung berücksichtigt. Vier dieser Maschinen erzeugen Staub und fünf andere sind staubempfindlich, so dass ein Mindestabstand von 5 Metern (euklidische Distanz) zwischen diesen Paaren von Maschinen eingehalten werden muss. Für insgesamt fünf der Maschinen wird eine Hallenrandanordnung gefordert.

-

2 Gruppierungen gleichartiger Maschinen. Für sie werden ein gegebener Flächenbedarf und minimale sowie maximale Seitenlängenverhältnisse angenommen (3. Flexibilitätsart).

-

9 (Zwischen-)Lagerstätten mit gegebenem Flächenbedarf und minimalem sowie maximalem Seitenlängenverhältnis (3. Flexibilitätsart).

-

2 Abfallbehälter mit fest vorgegebenen Abmessungen (2. Flexibilitätsart) und möglicher Rotation.


129

Ziel ist die Transportkostenminimierung gemäß Formel (2.1); zusätzlich werden die Strafkostenterme P1, P2 und P3 einbezogen, um zulässige Layouts zu erhalten. Die Distanzen zwischen den OE werden rechtwinklig gemessen, da dies der Wegeführung im Betrieb am besten entspricht. Bei werkhallenübergreifenden Transporten werden, obwohl es gemäß der Ausführungen in Abschnitt 7.1.2 möglich wäre, die Positionen der Tore der Hallen für die Wegeführung nicht gesondert berücksichtigt. Die Auswirkung des entstehenden Fehlers auf das Anordnungsergebnis ist vernachlässigbar, da im vorliegenden Layoutplanungsproblem die Hallen ihre Tore an allen einander zugewandten Seiten besitzen und die hohen horizontalen Abstände zwischen den Werkhallen die eventuell nötigen Umwege in vertikaler Richtung erheblich übersteigen. Bereits im Vorfeld der Planung war absehbar, dass das bestehende Layout grundlegend geändert werden muss, d. h. beinahe alle OE müssen umplatziert werden. Aus diesem Grund konnten die Kosten der Layoutänderung als konstant angenommen werden und brauchten nicht in die Optimierung einbezogen werden. Der Platzbedarf für die Transportwege wird, entsprechend der zweiten in Abschnitt 7.1.3 vorgeschlagenen Variante, zu den einzelnen OE hinzugerechnet. Die Eingabedaten für STaTS, die sich aus dieser praktischen Problemstellung ergeben, sind im Wesentlichen die folgenden: -

Der fixierte Teil des ST (siehe Abbildung 68 und Abbildung 70)

-

Abmessungen bzw. BC aller OE sowie Dummy-OE

-

Hallenrandanordnungs- und Unverträglichkeitsbedingungen von OE

-

Transportintensitäten zwischen den OE-Paaren

7.3 Rechenergebnisse Das Layoutplanungsproblem wurde mit dem erweiterten STaTS-Verfahren gelöst. Dazu wurde das Verfahren zehn Mal ausgeführt. Jeder dieser Durchläufe startete mit der besten von 30 zufällig generierten Lösungen. Bei jedem Iterationsschritt wurden 35 % der Nachbarschaft der aktuellen Lösung betrachtet und zum besten Nachbarn übergegangen. Die verwendete Tabulistenlänge betrug 22. Ein Abbruch der Suche erfolgte, wenn der beste gefundene Zielfunktionswert sich 20 Sekunden lang nicht weiter verbesserte. Dies führte pro Lauf im Mittel zu rund 500 Iterationen. Die

130


Strafkostenterme der Zielfunktion wurden folgendermaßen gewichtet: g1 = 300, g2 = g3 = 50. Der Mindestabstand distmin, der zwischen zwei unverträglichen OE einzuhalten ist, betrug fünf Meter. Um die Qualität der erzielten Ergebnisse bewerten zu können, braucht es einen Vergleich. Anzustreben wäre ein Vergleich mit den Ergebnissen eines anderen in der Literatur vorgestellten Verfahrens. Diejenigen Verfahren, welche sich ebenfalls praktischen Anwendungen der Layoutplanung widmen, betrachten verschiedene Variationen der Problemstellung oder weisen Restriktionen auf, die es nicht erlauben, die hier vorgestellte Problemstellung mit ihnen zu lösen. Dem Autor ist keine Veröffentlichung bekannt, welche sich für einen sinnvollen Vergleich heranziehen ließe. Daher soll ein Vergleich mit dem Ergebnis erfolgen, welches sich nach einem regelbasierten Verfahren per Hand erzielen lässt. Dieses Ergebnis soll ein Layout widerspiegeln, welches ein erfahrener Produktionsplaner ohne die Verfügbarkeit von STaTS hätte erstellen können. Dieses Layout entsteht zunächst aus der Fixierung der Position der vier OE mit vorgegebenen Plätzen. Anschließend sind die folgenden Regeln anzuwenden, um die noch nicht fixierten OE anzuordnen: -

Solange es noch nicht fixierte OE gibt, ist ein Paar aus einer nicht fixierten OE i und einer fixierten OE j zu bestimmen, welches miteinander die höchste Transportinteraktion aufweist:

argmax

1d i,j d n i nicht fixiert, j fixiert

^ flow

ij

flow ji `

OE i ist die als nächstes zu platzierende OE. -

Positioniere OE i so nahe bei OE j, wie es unter Beachtung der Restriktionen möglich ist und betrachte sie fortan als fixiert. Dabei ist es möglich, die Abmessungen bereits platzierter OE im Rahmen ihrer Formvorgaben anzupassen.

-

Nachdem alle OE fixiert sind, versuche den Zielfunktionswert zu verbessern, indem Positionstausche von OE-Paaren durchgeführt werden.

Diese Regeln wurden allerdings nicht stur angewendet, sondern immer dann missachtet, wenn ihre Befolgung zu offensichtlich ungünstigen Lösungen geführt hätte. Dies war insbesondere dann der Fall, wenn eine Werkhalle beinahe voll war, aber


131

noch wahlweise eine große oder zwei kleinere OE Platz fanden. Falls es vorteilhaft erschien, wurden die beiden kleinen OE platziert, selbst wenn regelgemäß die große an der Reihe gewesen wäre. Tabelle 17 vergleicht die mit beiden Vorgehensweisen erzielten Zielfunktionswerte und gibt die relative Abweichung des regelbasierten Verfahrens gegenüber dem modifizierten STaTS-Verfahren an. Dabei sind in den Werten keine Strafkostenbeiträge enthalten, weil die gefundenen Layouts alle Restriktionen erfüllen. Es zeigt sich, dass für beide Szenarien mit dem computerbasierten Verfahren deutlich bessere Layouts erzielt werden. regelbasiertes

modifiziertes

relative

Verfahren

STaTS

Abweichung

Szenario 1

3446,4

3219,9

7,03 %

Szenario 2

3678,8

3301,6

11,42 %

Tabelle 17: Vergleich der Zielfunktionswerte

Hinsichtlich des Lösungsaufwands lässt sich anmerken, dass die Erstellung der regelbasierten Lösungen Stunden dauerte. Das STaTS-Verfahren wurde auf einem Pentium IV mit 2,4 GHz ausgeführt und benötigte etwa 180 Sekunden für jeden der zehn Optimierungsläufe. Fairer Weise muss dazu jedoch noch der Aufwand für das Erstellen der Inputdaten (z. B. des fixierten Teils des ST) hinzugerechnet werden.

8 Schlussbetrachtung

133

8 Schlussbetrachtung Diese Arbeit liefert einen Überblick zu verschiedenen Modellierungen des Layoutplanungsproblems, welche innerhalb der letzten Dekaden vorgestellt wurden. Es werden verschiedene Lösungsverfahren zur Layoutplanung entwickelt, die mehrheitlich auf der ST-Modellierung beruhen. Dies sind zum einen exakte und zum anderen heuristische Verfahren. Für eine Anwendung in der Praxis sind insbesondere letztere von hoher Relevanz. Generell muss bei der Entwicklung von Layoutplanungsmodellen und den zugehörigen Lösungsverfahren stets im Fokus stehen, dass praxistaugliche Ergebnisse erzielt werden können. Im Gegensatz zu früheren Modellen ermöglicht dies die ST-Modellierung zusammen mit dem BC-Verfahren oder der gemischtganzzahligen Modellierung zur Layoutberechnung. Sie lässt die gleichzeitige Berücksichtigung von OE mit unterschiedlichen Größen und Abmessungsrestriktionen sowie das Einbeziehen von Leerflächen im Layout zu. Auf dieser Grundlage konnten weitere Restriktionen, die sich aus der betrieblichen Praxis ergeben, einbezogen werden. Die entwickelten heuristischen Lösungsverfahren konnten ihre Leistungsfähigkeit sowohl im Vergleich mit Verfahren aus der Literatur unter Beweis stellen als auch bei der Anwendung auf ein reales Layoutplanungsproblem.

Anhang

135

Anhang Instanzdaten zu Abschnitt 4.1.5.1: Instanz 5a opt. Zielfkt.wert: 558,782 į [ 31 22 41 52 8 ] Įmin [ 0,25 0,47 0,2 0,7 0,85 ]

Instanz 5b opt. Zielfkt.wert: 197,6 į [ 24 16 36 8 21 ] Įmin [ 0,8 0,75 0,54 0,3 0,85 ]

Įmax [

4 2,15

5 1,43 1,18 ]

Įmax [ 1,25 1,33 1,85 3,33 1,18 ]

r

[

0

0

0

0

0 ]

r

flow [

0 0 0 0 0

12 0 0 0 0

23 22 0 0 0

1 11 8 0 0

5 5 10 15 0 ]

[

0

0

0

0

0 ]

flow [

0 0 0 0 0

10 0 0 0 0

4 6 0 0 0

8 0 0 0 0

2 4 0 10 0 ]

Instanz 6a opt. Zielfkt.wert: 61 į [ 16 16 16 36 9 9 ] Įmin [ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ]

Instanz 6b opt. Zielfkt.wert: 67,5864 į [ 14 10 9 6 10 25 ] Įmin [ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ]

Įmax [

4

4

4

4

4

4 ]

Įmax [

4

4

4

4

4

4 ]

r

[

0

0

0

0

0

0 ]

r

[

0

0

0

0

0

0 ]

flow [

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

5 3 2 0 0 0

0 0 0 4 0 0

0 0 0 4 0 0 ]

flow [

0 0 0 0 0 0

2,4 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 12 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 12 6 0 ]

size [ 7,37 11,1 ]

136

Anhang

Ergebnislayouts von STaTS+MILP bzw. STaTS+MIQP (zu Abschnitt 5.6): vC10

Ba12

Ba14

AB20

Anhang

137

TL05

TL06

TL07

TL08

138

Anhang

TL12

TL15

TL20

TL30

Anhang

139

Du62

O7

O8

O9

Literaturverzeichnis

141

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Innerbetriebliche Standortplanung: Das Konzept der Slicing Trees in exakten Verfahren und Metaheuristiken

Das Konzept der Metakompetenz

Das Gruppendelphi: Konzept und Fragebogenkonstruktion

Das Harvard-Konzept. Das Standardwerk der Verhandlungstechnik

Maschinentechnik in der Abwasserreinigung: Verfahren und Ausrustung

Das Harvard - Konzept

Standortplanung in globalen Wertschöpfungsketten

Das Konzept der Metropolregion in Theorie und Praxis: Ziele, Umsetzung und Kritik. Dissertation, Universität Nürnberg 2009

das hemi-sync-verfahren

Handbuch der Baugrunderkennung: Geräte und Verfahren

Bildgebende Verfahren in der Rheumatologie

Hochfrequenzmesstechnik: Verfahren und Meßsysteme

Pharmazeutische Produkte und Verfahren

Knotenorientierte Verfahren der Netzberechnung

Verfahren zur Metallartefaktreduktion und Segmentierung in der medizinischen Computertomographie German

Information und Kommunikation: Grundlagen und Verfahren der Informationsübertragung

Konzept zur Analyse der Lokomotion auf dem Laufband bei inkompletter Querschnittlahmung mit Verfahren der nichtlinearen German

Mischen und Rühren: Grundlagen und moderne Verfahren

Das Konzept der Solidarität: Handlungstheoretische Fundierung eines soziologischen Schlüsselbegriffs

Klebtechnik: Klebstoffe, Anwendungen Und Verfahren

Der Imperator und das Ungeheuer

Das Madchen und der Nakk

Der Kommissar und das Schweigen

Das Mädchen und der Zauberer

Der Loower und das Auge

Der Loower und das Auge

Der Minister und das Mädchen

Der Hüter und das Kind

Das Kind und der Pflanzenvater

Innerbetriebliche Standortplanung: Das Konzept der Slicing Trees in exakten Verfahren und Metaheuristiken

Das Konzept der Metakompetenz

Das Gruppendelphi: Konzept und Fragebogenkonstruktion

Das Harvard-Konzept. Das Standardwerk der Verhandlungstechnik

Maschinentechnik in der Abwasserreinigung: Verfahren und Ausrustung

Das Harvard - Konzept

Standortplanung in globalen Wertschöpfungsketten

Das Konzept der Metropolregion in Theorie und Praxis: Ziele, Umsetzung und Kritik. Dissertation, Universität Nürnberg 2009

das hemi-sync-verfahren

Handbuch der Baugrunderkennung: Geräte und Verfahren

Bildgebende Verfahren in der Rheumatologie

Hochfrequenzmesstechnik: Verfahren und Meßsysteme

Pharmazeutische Produkte und Verfahren

Knotenorientierte Verfahren der Netzberechnung

Verfahren zur Metallartefaktreduktion und Segmentierung in der medizinischen Computertomographie German

Information und Kommunikation: Grundlagen und Verfahren der Informationsübertragung

Konzept zur Analyse der Lokomotion auf dem Laufband bei inkompletter Querschnittlahmung mit Verfahren der nichtlinearen German

Mischen und Rühren: Grundlagen und moderne Verfahren

Das Konzept der Solidarität: Handlungstheoretische Fundierung eines soziologischen Schlüsselbegriffs

Klebtechnik: Klebstoffe, Anwendungen Und Verfahren

Der Imperator und das Ungeheuer

Das Madchen und der Nakk

Der Kommissar und das Schweigen

Das Mädchen und der Zauberer

Der Loower und das Auge

Der Loower und das Auge

Der Minister und das Mädchen

Der Hüter und das Kind

Das Kind und der Pflanzenvater

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