Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung: Ein mathematischer Zugang

Wendemuth

Andreas Wendemuth

Wendemuth

Professor Wendemuth studierte Physik an den Universitäten Gießen und Miami, Fl., USA, sowie Elektrotechnik an der FernUniversität Hagen. Er wurde 1994 promoviert in Theoretischer Physik an der University of Oxford, UK, mit einer Arbeit über Optimierungsverfahren in Künstlichen Neuronalen Netzen.Als Marie-Curie-Fellow war er Postdoctoral Researcher an der University of Oxford und am Niels-Bohr-Institut, Kopenhagen. Von 1995 bis 2001 arbeitete er als Wissenschaftler in den Philips Forschungslaboratorien Aachen im Bereich automatische Spracherkennung. Seit 2001 ist der Autor Professor für Kognitive Systeme an der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik. Seine Forschungsschwerpunkte liegen dort in der digitalen automatischen Sprachverarbeitung sowie in kognitiven Modellen biologischer Systeme.

Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung Ein mathematischer Zugang

1

Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung

Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung

Mit der flächendeckenden Einführung von Digitalen Signalprozessoren und Rechnern eröffnet sich heute eine universell verfügbare Möglichkeit zur Verarbeitung von Signalen von der Kaffeemaschine bis zum Kfz. Die dabei verwendete digitale Signalverarbeitung wird als Verarbeitung deterministischer und auch stochastischer Signale in diesem Buch vorgestellt. Zunächst werden physikalische und mathematische Signale und Signalparameter beschrieben, gefolgt von einer Betrachtung analoger zeitkontinuierlicher Systeme. Anschließend werden zeitdiskrete, lineare, zeitinvariante Systeme und die Verarbeitung zeitdiskreter Signale detailliert dargestellt. Die dazu notwendigen mathematischen Verfahren der Lösung von Differenzengleichungen und der diskreten Fouriertransformation werden detailliert behandelt. Es schließt sich die stochastische Signalverarbeitung an. Nach einem Kapitel über Schätzungen der Autokorrelationsfunktion widmet das Buch sich den immer stärker benutzten Modellsystemen. Literaturangaben schließen das Buch ab. Im Gegensatz zu anderen Werken ist dieses Buch über digitale Signalverarbeitung ohne mathematische Zusatzlektüre lesbar. Notwendiges mathematisches Wissen wird anschaulich hergeleitet und aufgefrischt. Das Buch wendet sich somit an Studierende, aber auch an Ingenieure, Informatiker und Naturwissenschaftler, die sich die Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung selbständig aneignen möchten.

ISBN 3-540-21885-8

9 783540 218852

› springer.de

1 23

Springer-Lehrbuch

Andreas Wendemuth

Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung Ein mathematischer Zugang Unter Mitarbeit von Edin Andelic, Sebastian Barth, Marcel Katz, Sven Krüger, Mathias Mamsch, Martin Schafföner

Mit 58 Abbildungen

13

Prof. Dr. rer. nat. Andreas Wendemuth Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Elektronik, Signalverarbeitung & Kommunikationstechnik Professur für Kognitive Systeme Postfach 41 20 39016 Magedeburg [email protected] http://iesk.et.uni-magdeburg.de/ko/

isbn 3-540-21885-8 Springer Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer. Ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satz: Gelieferte Daten des Autors Einbandgestaltung: design & production, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 7/3020/m - 5 4 3 2 1 0




















































%

=





















(



#





U







L



N

#









#

&



Ž



#



T







?

.



%



$



$



&







#



?



+

$



Y









5



%

















































!







#

n



































.























#







#

N



#

%

&

?



&

#

T

$

&

&

#



Š





&

n

#

?

3

&

?

?

&

&

#

@

U

?

$

?

@

?

.

$

@

5

@

#



.

?

2

#

#

3

3

#



N

?

?

?

L

#

U

#

3

L

\

#

L

#







$

+

#

?

.

W

&

‰



n

#



#

$



$

$

#

?

2

2



?

#



?

@

#

?

N

n

.

#

?

&



`

#

Š



.



u

&



#

#

#



 #



9

#

.



.



3

%



3

+

$

5

9

#

u

‰

U

.



#

9



?

#

2



2

$

€

?

$

9



.

&



#



#

$

+

L

%

+

#

#

.

$



n

&

?

?

3

B

.

$

$

$

&

#



2

$



5

:

#

5

L

N

U

5

(

#

$

#

I

?



3

L

@

$

‰

:



%

&

&

%

.

#



2

$



#

?

$

?

5

5



L

$

@

%

#

?

%

.

T

#



Ž

?

N



.

$

$



.

5



#

}



$

%

&

$

@

$



.

$

?

5

#

#





#

@

&

:

?

&

:

2

#

‰

H

W

$

:

U

U

%

#



+

%

B

$

%

&

L

W

&

#

3

#

?

3

L

$

2

$

$

#



U

u

3

5

#

L

‰

@

+



#

.

$

?

3

$

#

u

`

.

$

Y

&

?

#

#

2

#

+



.

3

$

+

?

2



3

%

Y



ˆ



$

+

#

#

&

‰

?

#

\

3

#



&

W



n

?

?

B

?





$

&





#

#

%

Y

n

+

#

5

#

$

&

U

%

N

W

#

.

#

$

%

&

#

W

#

2

&

+

#

+

#

%

$

5

L

#

.



@

%

B

U

?

.

#

&

#

#



U

@

$

L

U

+

.

L

%

$

U

?

2

?

+



`



.

$

#

$

n



3

L 

3

Y

.

‰

U

3

&

L

?





$

$

#

.





n

$

.

3



.



#

#

#



#

?

&



‰

#

#

5



?

#

#

@

+

N

=

?

&

.



.

‰

2

2

.

u

?



.

#

N

?

?

$

 

$

#

#



L

#

?

$

&

$

9

$



9

#

$



#

#

#

2

u

$

&

?



3

U



#

.



$

#

+

B

3

$

=



%

W

%

$

`



$

$



Y

B

#

L

5

#

#

?

&

?

&



2

N

#

n

&

?



?

?

.

+

B

2

#

#

U

#

$

#

&

U



3

U

3



#

#

&

+

5

.

&

+

#

H

Y

n

.

#

(



#

&

$

9

#

&

#

5

.



?

@



$

$

?

#

#

U

Œ

#

+

#

?

=

%

#

.



.

$



%

#

.

&

9

&

&

?

U

&

5

‰

U

U

%

?

U

#

#

$

#

%

L

.



L

&

%

$

#

?

(

L

3

Ž

2

#

?

N

&

#

#

2



?

?

&

#

%

L

3

2

R

&

U

+



.

L

#

?

B

$

#

\

N

@

O

W



+

?

.

$

:

+

.

&



+

W

$

#

?

W

`

.



$

$

`

%



Y

Y

.





$

#

$



3

#

+

:



n

+

L

#

&

$

#

$

$



$

#

+

3



T

?

$

+




$

.

$

3



L

#

#

&



$

‰



+

#

%

$

#

5

#



3

&

#

U

?

$

3

$

?

?

@

5

.

$

+

&

R

+

N

N

#

#



#

B

U

$

%

#

.

$

L

$

#

#

&

$

U

#

N



3

#

$

2

$

#

%

+

{

#



#



U





U

$

L

%

:

3



?

N

#

#

?

U

&

#

#

@

5

#

$

?

$

‰

$

(

3

#

:

#

$



$

.







%

:

&

#

2

‰



#

l

+

n

Y

?

#

&

$

#

?

#



+

L

#

#

?

&



9

#

3

$

$

L

„ :



$

+



3

$

2



L

#

#

%

H

‰

$

?



3

.

?







?

+

?

$

W

#

Œ

I

#

.









N

L

&

3

U

n

?

.

%

@

&

5



5

B

#

#

#

.

#

?

?

?

&

&

&

W

W

?

\

+

L



%

#

2

.

O

u



2

U

#

u

U

#

.

#

?

?

L

&

H

$

2

#

&

B

$

&

3



?

$

2

#

+

u



3

T

U

$

#



&

L

&

‰

#

+

?



#

#

.



$

?

‰

L

N

?

$

#

%

$

$

U



3

:

&

#

?

$



L

‰

&

%

H



#

5

N

U

#

$

?

L

&

U (

?

#

#

$

L

$

(

+





#

?

&

$



n

Y

5

#

`

2

$

.

#

9

&

#

$

9

‰

3

„ N

#

?

.

@

$

5

#







?



$

3

N

$

U



+

Y

#



?

&

3



/

?



$





&

+

N

#

?





$

?

#



L

&

%

#

%

%

.

U

$

#

&

.



3

?

&

?

&

L

#





@

U

#

W

+

?

#

&

U

@



5

&

.

‰

&

?

#



:

#

#

#

B



#

U

@

#

Y



U

#

.

5



.

%

?

$

.

@

@

L

?

%



W

?

+

&

+

+

&

#

#

$

&

L

$

3

#

%

#



L

#



&

@



3



&







#



5



#

$

#

+

#



L

L

#





%

9



&

}

3

9



#

2

9

B



?

9

&

$

.

%

?

#

?

U

#

.



$

?

#

#

+

‰

?



N

W

+

$



@

+

+

L

&



$



$

.

%

%

$

n

#

+









L

#



3

3

+

n





?

:

5

u

&

%

$

#

3



.

$

5





%

.

™

U

$



.



:

%

#

.

L

&

U

$

B

&

5

?

$

U

%

$

%

L

%

N

@

5

?

(

3

$

?

+





$

W

#

L

I

.

5



U

?

L

&

?

Y

?

?



.

&

#



3

+

+

Y

$

%

?

.

.

&

%

Y

L

5

U

U

#

?

5

#

%

#

U

#



$

$

$

#

&

#

%

n

@

?

+

.

&

3

‰

?

U

#

.



%

3

%

L



#

%

?

U

+

L

n

&

L



#

N

3

?

#

?



‰

#

?

?

.

?

+

2

L

U

u

#



?

%

.

2

D

?

+

™

3

$

$

$

$

#

$

?

#

˜

+

?

&

#

U

%

U

#

#

&

%

#

%

.

5

U

$

.

$

&

#

N

&

?

&

?

3

?

n

#

?





5

&

+

L

#

`

#

2

5

L

Y

2

#

?



$

?

$

2

+

#

3



#

˜

U

+

#



#

L

5

?

&

+

&

@



&

#

H



#

U

$

2

.



5

n

#



`

%

5

N



U

H

%

?

‰

&



$

@

L

.

.



5

?

+

`

#

@

$

%

&

$

.

#



.

%

$

B

?

Y

u

}

2

#

5

2

$

#

N

%

$

.





D

$

&

#

?

$

#

?

L

#

@

#



L

?

&

T

#

+

T

.

U

B

:

2





%



U

n

W

#

&

+



#

&



?

.

?



5

?

#

&

L



.

U

3

%

#

#

U

n

‰

5

$

?

#

+

#

{

?

@

&

D

&

$



+





L

?

#

$

$

?

U

Œ

&

$

#

L

.

U

#

$

$

U

5

+

U

#

$

(

N

?

#

#

T

$

R

.

5

$

#

u

$

L

@

%

3

%

.

?

?

#



.

?

#

+

#

#

&

U

$

$

#

5

+

2

.

@

#

W

.

+

#

+

?

N

&

.

$

n

Y

#

?



%

?

5

$

#

R

@

5

#

&

&

#

&

$

.

#



?

U

&

%

@

n

n

?

B



$

#



&

$

%



.

?

?

#

#

2

&

?

3

?



?

+

L

+

$

#

#

n

$

#

N



L

$



?



&



#



%



3

#

+



?

#

2

&

W

#

‰



5

$



#





#



.

@

#

:

L

#



?

U



$

n

L

%

U

$

#

#

+

U

5

&

:

$

#

@

.

W

H

&

?

`

$

&

.

#

$

$

$

2

.

#

.

‰



L

#

#

.

B



#

L

$

#

Ž

&

H

#



$



U

&

9

?

9

…

.

?

…

…

#

+



?

3

#

T

$

.

.

$



+

?



#

N

Y





#

`

&

#



#



#

+

?

?

Y

?

#

?

#



#

$

%

U

?

L



T

&

%

%

.

#

.





U

L

&

?

L

&

U

#

#

.



#

$

%

?



N

\

#

%

?

u

?

?

&

#

3

U

U

U

$

.

$

.

`



f

.

$

+

+

?

+

#

N

?

H

#

@

?

$

#

$

W

n

&

#

=

?

#

L

L

#

@

N

+



.

&

&

.

@

U

#

.

3

&

@



U

‰

5

#

%

$

L

?

?

?

9

$

U

2

L



%

2

2

?

5

3

$

.

#

#

W

#

#



?

$



L

%

n

#



$

%

+



$



+

H

R

#

9

#

#

$

?

&





#

5

#



n

#

@

‰

$





&

3

$

$

$

U

3

‰

%

W

L

#

#

%

$

5

&

 

&

U

#

#

{

+

?

™

2

#

u

+

#

#

&

N

.

#

&

n

$

#

R

?

U

&

$

$

5

?





#

Ž

U

$

#



U

2

#

5



#

%

%

L

@

&



$

.

?

.

#

L

3

$

$

%

#

#

?

.

:

5

#

L

#

3

3

.

3

?

T

U

.

?

‰

2



?

‰

U

.

Y

™

&



#



%



#

&

+

&

.

%



#



$

.

5

&

+

U

B

#

$

#

%



n

$

&

?

N

&

#

}

$

%

3

#

$

$

$

$

#

D

?

?

$

$

#

?

+

?



L

5

?

U

#

B

?

@

&

U

.

.

#

$

#

#

2

3

.

#

#

.

$

#

‰

?

&

3

5

&

e

3



W

@

#

&

#

?

+

.

U

+

+

˜

%

%

Y



&

L

+

&

2

?

$

#

W

?

?

$

$

L

%

#



?

R

#

3

$

n

n

‰

$

3

#

3

L

#

L

u

‰

%

%

5

#

&

L

?

{

$

$

N

@

.

#

?

$





#

#

+

%

L



U

?



2

3

$

#

%



&

#

#

L

3

\

&

&

$

‰

$



L

3

#

N

&

3

Y

?

‰

+

$

$



2

%



#

=

#

‰



#

#

&

n

2

$

N

Ž

#

#

$

#

#

&

&

$

#



U

?

3

?



%

\

N

#

#

&

#





2

#

+

.

?

`

#



$

`

+

.

:

5

5

?

#

#

#



&

+

?

#

U



=

.

L

&

.

U

@

+

U

#

%

.

?

3

&



.



Y

L

$

#

?

&

#

+

.



?

#

$

$

N

{

W



#

&

3

N

2

&

?

&

Y

5 @

#

2

?

B

#

#

2

R



}



#

?



2

B



N

$

3

O

.

#



U

Ž



?

L

$



+

.

 

.

$

#



L

U

#

?

%

$



#

%

L

+

+

?

$

%

W

5

$

&

+

:



@

L

U

&

#

?

?

+

#

?

#

#

5

5

#

?

%

@

&

#

5

&

$

@

:

.

U

Y

$

?

#

@

$

3

#

%

.

%

#





&

.

#

3

U

U

?

+

L

=

$

3

2

Ž

+

U



3



N

L

%

.

?

%



#



U

˜





?

N

&

$



&

B

.

L



&

.

3

?

%



#

Y

%

?

U

.

Y

+

B

L

#

#

U

.

u

?

&

$

$

%

2

$

#

:



L

#

%

%

5

5



?



2

+



N



B



2

$

.

$

@

%





.

#



2






5

+

+



.

#

@

#

$

%

$

3





B

%

3

&



?

Ž

3





#

.

?

#



L

#

.

.

.

@

U

?

‰

3

?

U

L

&



+

:

?

L

#

?

#

$

+

#

$

‰

T

5

$

U

2



&

?



&

+



W

.



?

#

&

&

$

9

#

#



%

.

{

‰

B

$

?



9

#

%

U





9

h

L

#

$

+

?

.

#

&



3

+

?

#



Y

L

B

$



?

%

U

&

$

3

#



\

$

%

u

L

$

%



L

?

#

U

N

#

#

&

%

:

#



%

#



#

B

U

U

U

&

&

?

$

.

3



.

%

&

#

?

#

?

$

$

?

L

2

?

U

•

+

9

#







+

$

?

#

.

.



B

$

#

.

&

#

$

?

}

&



$





#

#

#

#





O



&

+



#

%

$

$

%

.





.





2

?

5

&

?

$

.

+

U





?



&

#

$

&

5

%

d

?



?

R

9



@

#

W

$

2

?

&

‰

3

u



U

%

L

$

?

%

&

L

2

$

#

T



$



3

+

$

5

R



&



\

#





?

#

$

B

u

#

+

O

#

$

n

W



.

#

&

&

$



N

L

.

L





?

?

3

%

#

2

.

n

?

&

+

‰

&

3



W

3

5

#

#

#

3

+

#



L

%

@

+

B



&

?



$

L

#

3



&

#

3

$

3



U



u

%



3

‰

%

#

#

&

.

2

$

#

U

$

#

:

L

(



U

L

%

%

#

#

$

$

&





3

+

U

3

L

$



U

&

&

?

N

5

%

?

?

Y



&

%

+

#

(

#



#

#

#

#

%

N

N

U

?

n





%

I



%

%

&

+

?

#





?

#

#

&

#

$

L

.

#

L

#

?

.

:

:

?

N

&

?

U

%

%

5

&

%

$



@

n

%

+

#



?

#

$

$

L

$

L

L

L

?

$

/

.

?

?

$

3



$

2

Y

#



?

#

Y





?

N

$

L

&

&

#

2

#

#



#

#



+

?



L

U

B

#

?

#

3



n



%





&

W

U

$



&

.

+

•

B

}

#

$

%

%

2



.

$



#

$

$

L

#

2

%

+

#

#

#





+

?

%

+

?

:

$

&

#

#

#





$

‰

L

&

.

+



$

Œ

5

`

&

#

$

&

Y

?

5

#

$

3

@

.

W

5

U

U

%

.

#

2

+

.

L

&



$

#

$

#

#

%

N

3



+

?

+



B

W

3

+

#

?



n

‰

?

Y

#

.

+

?

+

?

2

#

.

+

#

D



&

.

?

#

N

Š

#

+

?

?

#

$

%

+

#

+

+

$

‰

2

&

$

?

3

#

?

L

#

+

L

U

+

$

.

?

9

@

5

$

?

$

’

\

%



u

#



$

W

j

#

‰

#

/

L

#

.

&



@

&

5



3

U

L

`

.

&

@



5

#



2

U

%

#

5

T

?



$

.

+

L

$

$

3

%

$

I

$

.

#

&

+

+

+

#

#

#

&

?

N

3

U

#

#

3



#

L

$

$

&

L



W



?

2

?

?

Y

?

#

&

.

#

#

O

#

&

5

#

%

3

&

.

#

+

#



L



$



+

g

.

#



T

d

U

:

#

&

#

?

L

#

$

#





N

3

.

@

5

%



@

+

5

3

#



&

&

#

$

ˆ

$

U

%

L

N

:

&

.

#

&

+



#

N

&

?

&

U



$

U

.

?

$

#

%

9

(

$

$

#

T

.



?

&

.

$

+

+

#



@

L

%

@

%

L

/

#

#

U

#



$

$

#

&

?

%

#

+

U

9

U

#

+

?

$

#

2

%



5

9

#

&

9

%

+

9

#

$

(

2

?

@

&

#

Y



B

N

.



3



U

#

#

#

2

B

?



9

U



&

#

@

?

?



L

#

$

&

5

H

?

$

?

&

?

&

#

L

.

%

3

n



#

?

.

W

#

.

#

N

2

•



#

3

$

#

?

9

$



N

L

#



?



&

5

5

&

&

L

#

L



?

#

#

?



I

&

&

?

u

#

&

@

+

#



$

#

:

%

+

$

3

%

5



$

.

Ž

:

#

?

5

%

#

+

%

+

L



$

U

$

$

#

5

‰

?

3

%



$

+

U

I

.

$

W

#

#



\

%

L

$



#

5



W

$

+

+



#

%

2

?

#

&

N

2

3

N



.

H

3

.

.

&

@

2

U

U

&

?





&

3

?

#

#

?

#

$

+

U

U

#

$

3

#

U

&

n

%

‰

#

#

#

.

&

+

L

#

#

?

3

?

$

&

+

&

?

n

.

3

.





?

&

&

5

#

5

n

Ž

+



$

.

.

.

&

2

.

#

?

3

U

O

&



L

#

&

#

@

L

#

#

#

%

\

$

u

.

3

%



.

3

U

&

$

L

%

L

2

?

L

+

#

#

N





.

+

3

%

.

+

3

#





#





$

Ž

&

#

&

3



.

L

#

&

#

`



U

$

#

.

.

%

&

3



€

#

#

$

?

Y

n

N

3

+

U

:

?

&

L

&

W

5

#

:

5

2

?

$

Y

2

&

%

3

2

?

5

H

+



@

5

U

L

@

.

+

L

$

?

?

@

#

$

3

U

#

#

%

3

&

&

#

+

+



.

Ž

ˆ

?

&

B

$

#

#

?



$



5

$



5



@

#

‰

+

}

B

%

#

+

@



?



n

N

R

$

$

I

3

&

?

L

#



H

5

U

#

$

%

@

+

$



?

%

n

.

U

2



%



%

$

$

#

}



%

%

g

#

2

$

f

L

#





3

#

$

?

N

#

5

2

3

$

#

%



+



(

:

#

$

N

u

.

U

H

+

?

%

$

@

&

W

%

?

?

(

&

L

%

&

#

#

#

#

#

2



5



.

$

U

+

?

%

#



3

%



5

$

U

+

5

\

+



N



U

L

5

#

#

@

@



.

#

$

.

?

#

.

#

&

+



?



+

$

$

Y

$

U

$

.

?

.

R

#

%

3

?

u



.

.

H

#

W

U

Y

&

+

$

2

L



#

#

$

.





U

2

$

`

#

5

5

.

U

#

@

n

3



L

$

@



3

%

Y

‰

`

$

5

%

Ž

?

&

%

#

@



3

+

$







3

.

%



$

$

#

.

%

&

?

.

5

#

3

%



U

N

@



%

L

#

&

+

$

&

:

L





%



3

L

#

%

?

#

$

?

&

$

.

n

?

3

?



u



.

$



Y

#

#

+

#



5

+

.

5

.

$

.

3

?

.

u

&

2

+

.

#

U

#

&

U

#



L

‰

#

.

#

W

N

$

#

%

#

O

+

?

&

5

#

L

%

.

5

L



$

L

U

@



$

+

?

U

#

5

%

$

`





U

I

H

&

3



#

?

$

&

$

$

&



?

}

L

?

5

#

$

%

L

N

.

%

U

%



u

@

&

3

@

n

+

%

?

%

.

#

$

2

#

U

?

L

(

U

$



5



$

L

3

N

#

$

#

$

3

@

%

#

u

$

.

&

$

$

#



?

%

3

%

%

u

\

Ž

+



.

B

?

#

%

%

#

H

#

+

#

2

N

5

Y

U



#

$



#

?

%

?

%

$

$

2

T

U

(

#

\

%

#

&

#

# 

?

.

$

$

5

&

?

#

L

$



$

:





W

#

3

#

#

L

U

L

3

5

3

#

.

:

L



%

+



%

Ž

%

U

$

=

$

?

2

?

+

`

?

?

%

.

+

5

Y

#

Y



@



?

$

#

?



%

@

#

5

U

#

+

&

$

:



2

:

.

Y

.

&

#

#

%

%



L

&



#

#

&

$

{

#



+

5

%

#

.

#

#

#

Y

U

5

.

2

5

@

?

?

$

N

3

/

$

#

@

#

•

$

L

U

@



#

U

#

$

#

U

U

?

?

N

5

.

?

U



$

@

?

&



#

(

.

&

L

%

#

.

%

.

:

+

.

#



$



%



$

Y

?

2

?



n



&

3

$

\

?



#

@

5

#

9

.

+

&

9

$

$

5

5

?

#



?

$

#


















e





e













e









\

U

f

Y



.

$

?



#

%

?

e




#

B

U





›

%

f





.

L







%

?

e





&

L

%

?

#

•

?

)

$

.

&

'



$

#



*

:

@

+

,



B

'

$

%

.





5

?



Y

&



#

#



?

$

&

#

L

$



#



Y

?



%

U



L

%

#

'





%

U

*





$

)

$





#



/







)















)







3











































.................. 



















































































































e



e





f

 h

e



f



f

(

2

u

U

?

&

3

+

#

$



3

%

$

&

?

.

?

# 

&

#

Y

?

L

$

%

U

#









































 h

e



f





?

L

?

&

%

U

#

Y

?

L

$

%

U

#







































































d

h

e





?

.

B



#

&

#

Y

? L

$

%

U

#

3

$

+

+

#



#

$

ˆ



&

%

&

?



$















































h

e



’

d

e

Y



u

Y

#

?

‰

L

?

$

#

U

%

U

U

#

}

2

%



{

U

L

#

#

‰

$

#



?

&

+



?



.



B







#

&



#









Y

?



L



$



%



U





#











































































































e

g

’

e



j

T

?

L



#

N

$

3

.

$

@

5

L

#

%



&

$

#



$



+



?





.

B







#



&



#





Y





?



L

$



%



U



#





















































































































e



d

e ’

6

7

'

f



f



f

)

*

9

e

%

Y

f



`

(



;

.

&



&

?



2

#

$



#

$

#





N

:

%



.



?

9

#

'

@

$

&

H



5





Y

`

&

'

#

.



,

?

&





N

3

#







>

$



?



#



*

L

2





$

















#













A































3



















....................... 























































































































































e i



f





g

f



e

f

f

h

f



f

d





?



#

?

O

2

#

O

u

3

2

U

u

.

3



U

3

.

$



B

3

&

$

?

B

&



$

?







$

#



U



&

#

U

%

9

&

}

%

3

9

}

$

B

3

$

&

B

?



&

$

?





%

$

U



.

%



U

?

.

.

(

&



N

U

?

N

#

?

3

&

&

3

?

$



$



L

+



#













f

j



’

Y

u



3

$

L



3

$

B &

?



$



















































































f i

f



j



?

#

O

2

u

3

U

.

%

$

&

n





&





































































 







f i

f





O

2

Y

u

`

3

.

U

&

#

.

%

$

2

#

&

n

$









&



%



U



.



(



N





U



#

?



&



3

$





L



+



#







Y





u







3



$



L



%



$



&



n











&



N



#





?



U



?

$



#



%







#



$











e h

f





(

$

%

U



L

#

}

%

U

&

3

$

L



















































































f h



N

3

$

L

#

$

































 



























































j h

B













e





I



%



&

5



#





D

2

%

&

E

?

.

F

@

H

5

#

A

#



=







3

3

$

................................. 

+

U

%

L

#

$

‰

#

?

&

+

?

.

B



#

&

#



Y

`

.

&

#

2

#























 h





h

h



e



e

}

3

$

B

&

?



$

#

$



H

3

2

#

3

$

+

ˆ





2

#

$



















 

























h h



e



f



?

.

B



#

&

#

}

%

U

&

3

$

L







































































h

h



e





h

#



?



+

?

.

@

5

#

}

%

U

&

3

$

L















 















































d

g

h

 h

e



d

•

9





%

$

.







2

%

&

?



$





































































d

e

…



:

5

6





=

e

,





[





O

h

"

>

$

:

:



#

"



=

.

#

•

9





%

$

.







2

%

&

?



$























































d

’



e



’

j



%



.

#

:

%

U




.

@

5

#

=

U

#

?

@

5

3 $

L

























































h ’



e





ˆ

?

@

5

&

U

?

$

#

%



#

Y

`

.

&

#

2

#































































f

’





h

’

Ž

#

.

@

5



#

?

N 3

$

L

.







2

#

$

‰

#

?

&

+

?

.

B



#

&

#





O

9

Y

`

.

&

#

2

#



























h ’

i

7 

f



e

u

#



%

&





+

%



.

&

#

U

U

3

$

L

3

$

+



3

$

B

&

?



$

%

U

#



%



.

&

#

U

U

3

$

L





 





h ’



f



f







N

U

#

2

.

&

#

U

U

3

$

L

#

$

+

#



Y

`

.

&

#

2

%

$

%

U

`

.

#

































i

j

g

h



f



O

h

2

u

3

U

.

%

$

&

n





&











































 



























j

e

h



f



d



?

#



?

#

#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L























































j

f

h



f





h

N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

#

$



 



















































j

’



f



h

j

Ž

U



@

B

.

@

5

%

U

&

N

?

U

+

#







































































j

h

h



f









U

9

ˆ

3

U

U

.

& #

U

U

#

$

9



%



.

&

#

U

U

3

$

L

W

(

$

%

U

`

.

#

3

$

+

Y

`

$

&

5

#

.

#

h

:



T

h

?

L

#

.

@

$

5

Y

%



`

&

#

.

&

$

#

‰

2

#

#

?

&

$

+



?

.



B







#

&



#















O



9



Y



`



.

&



#





2





#











































































j



j

j



h





h

e







%

d

'

\

d

%

3

U

U

.

U

I

3

*

$



=

f

?

?

&

H

&













































































 



j

%

U

?

&

H

&





















































































g

u

H

.

.

#





















































 































f

h



N

)

e



N

?

$

?

2

%

U

u

5

%

.

?

L

B

#

?

&







































































h





%

(

h





f



h

#

&

h

h

d

Y

h

h



$







(

L



3

&

$

)

$

N

#



+

%



U

.





#

&



L

3



#

$







,

$



'

+

L



#







3

Ž





%

#









L











?







;

#



#







3













$







+









?







•







#







U





.



&







#







'

U





U

#

3





$



A

L







#











$









3

















































g

............ '



























































 ’









j

 i

d



f



e

I

%

&

5

#

2

%

&

?

.

@

5

#

Ž

#

.

@

5



#

?

N

3

$

L

+

#

.

(

N

&

%

.

&

u





‰

#

.

.

#

.











 i

d



f



f



%

.

(

N

&

%

.

&

&

5

#





#

2







 























































j i

d



f





?

#



u

%

.

.

›

U

&

#



3

$

L





































































h

d



f



i

d



3

%

$

&

?

.

?

# 

3

$

L









































































i

 i

d



Š



+

?

#



3

$

L





























































































i

e

g

g

h

d





e

=



3

$

+

N

#

L



?

#

#











































































e

g

e

h

d





f

Š



+

?

#



3

$

L

.

%



&

#

$









































 

























e

g

e

h

d







h

d

3

%

$

&

?

.

?

#



3

$

L

.



#

5

U

#

































































e

g

j

h





d



3

%

$

&

?

.

?

#



3

$

L

.



#

5

U

#



% U

.

.

&



@

5

%

.

&

?

.

@

5

#

.

Y

?

L

$

%

U



















e

e

e

h

d







h

d



%

$

.







2

%

&

?



$

:



$

•

3



%

U

U

.

L





{

#

$

+

3



@

5

Y

`

.

&

#

2

#













e

e

e

’





j





%

$

.

 



2

%

&

?



$

+

#

.



3

%

$

&

?

.

?

#



3

$

L

.



%

3

.

@

5

#

$

.

+

3



@

5

h

d









O

=



9

#

Y

`

$

.

‰ ‰

&

#

`

2

B

U

#

3



.

.

@





5



n



?



$



L



3



$



L



#





$





































































































e



e

e

d

e

j

h

d







\

U

#

?

$

.

?

L

$

%

U



%

3

.

@

5

#

$

9

D

$

&

#



.

@

5



#

?

&

#

$

:



$

h



d





d

3

=

h

%



$



&

{

?

.

?

.

?

L

#



$

3

%

$

U



L

%

.

3

.

.

&

@

3



5

#

#

$



$

9









N



#







U



%



3





#



#



#



B



&



#

































































e



e

e

j

e





i



e

g

(

N

B

U

?

$

L

#

$

:



$

=



#

$

‰

‰

`

B

U

3

.

9

Y

@

5

n

?

$

L

3

$

L

#

$

























e

f

g

h

d



d

Œ

#

B



$

.

&



3

B

&

?



$























































 

































e

f h

d



d

d



d



d



e



d

(

f

$

Œ



%

#

Œ

U

B

#



L



B

n

$



#

.

$

&

.





&

&

3



#

B

3

%

&

B

?

&

3



?

.

+

$



+

$

?

3

L

N



?

#

@

&

%

U

5

?

#



$

3

$

Š

?

#

#

$



+



u

U

%

+

?

@

.

#

5

n

.





#







}



&

#





U

$



L





#



$





U





H





$





L





#

















































e





f

e



f

e

d

d

f

h

d

d





d

d



’

d



Œ

( ’

#

$

B

+



#

$



.

#

&

Œ



3

#

B

B

&



?

$



$

.

N

&



3

#

B

?

&

#

?

$



+

$

#

U

?

$

@

5

+

#

#



.

}

%



$

U

L

%

#

U

$



L

U

H

#

$

$

L

Y

#

?



L

$



%



U



.



































e

e

f



f i

…



N

3

$

L

#

$





























































:



5



6







=



,









[







"

>



:







"



=

…











e

g h














e



'



?

;





#

'

B

&

%

*

#







>

.

?

3

,

$

'

%

L

+



#

.................................... '





?

#

#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L







































e h



h

e

d

’

h



f



?

#

#

?

$

.

#

?

&

?

L

#

•

9





%

$

.







2

%

&

?



$









 











































e

’ h



’



.

3

$

L

+

#





?

#

#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

R

N

#



#

?

$

.

#

?

&

?

L

’

#

h

•

9





%

$

.







2

%

&

?



$





























 

















































e

j h



d



.

3

$

L

:



$



?

#

#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

.

.

`

.

&

#

2

#

$





































e



’

h



d



e

Y

`

.

&

#

2

L U

#

?

@

5

3

$

L

#

$

2

?

&

•

3

.

&

%

$

+

.

L





{

#

$





























e



’ h

„ 

d



f

I

%

&



?

u



&

#

$

‰

?

#



3

$

L

R

N

#



T

?

L

#

$

n

#



&

#



































e

’

h

i

„ 

d



I

’

%

&



?

u



&

#

$

‰

?

#



3

$

L

R

N

#



•

9





%

$

.







2

%

&

?



$























e

d

f

h

7 

d



d



N

#





R

5



#

$

?

$



?

#

#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

5



5

#



#

 

+

$

3

$

L





e

d

d

’



d



(

’

U

U

L

#

2

#

?

$

#

Y

`

.

&

#

2

N

#

.

@

5



#

?

N

3

$

L

?

2

•

9

Ž

#



#

?

@

5



















e

d



’



d



j

•

3

.

%

2

2

#

$

5

%

$

L

‰

n

?

.

@

5

#

$

Y

&



3

B

&

3



3 $

+

•

9





%

$

.







2

?

#



&

#



e

d

’ i



N

3

$

L

#

$































































































e

g ’








j









e



€



#





U



#



?



&



3

$

9

,

L



3

$







+







#

)

›

'

$



?

&



?

9





$

3

)













9



........................ '























































e

e ’



e

e ’

j



f

•

3

.

%

2

2

#

$

5

%

$

L

‰

n

?

.

@

5

#

$



}



3

$

+

%

$

+

#



#

$

 

%

$

.







2

%

&

?



$

#

$

e

 ’

j



T

?

L

#

$

.

@

5

%



&

#

$

+

#



+

?

.

B



#

&

#

$

}



3



?

#



&



%

$

.







2

%

&

?



$























e

j

e

h

j



j

d

}



#

$



?

.

&

#

#

.



@



5



U

$

L

#

#

U

U

$



#

}







3





?



#







&





%





$

.

















2



%

&



?









$







}



}















































































e



j

f

e j

’

j



’

j



?



#

?

N

$

3

:

$

#

L



#

.

#

$

.



@



5



$



#



U



U

#



}







3









?

#







&





%



$



.



















9

>

?

)









>

?



#



%

'

)

*







)











,

'

%



&



?







$







O



}



}



























































e



%



e

..........................

#

2

g



e

e

 h

„ 



e



%

.

\



2

u

U

#

?

&

H

&

.

u





N

U

#

2

































































e

 h





f

=



#

$

‰

#

$

+

#



+

#

&

#



2

?

$

?

.

&

?

.

@

5

#

$

Ž

#

&



%

@

5

& 3

$

L

.

n

#

?

.

#

























e

 h





T

?

$

Ž

#

?

.

u

?

#

U

%

3

.

+

#



Y

u



%

@

5

:

#



%



N

#

?

&

3

$

L









































e



d

h







d

I





•

&

#

?

?

&

:

%

+

?

&

.

?

B



$



+

#

&

#

#



.

.

&



&

@



@

5

5

%

%

.

&

.

?

&

.

?

@

.

@

5

5

#

#

$





Y



?

‰

#

L

$

.

.

%

U

#

:



#







%





N



#



?



&



3



$



L



















































e







d

e



’ ’







e

=



3

$

+

U

#

L

#

$

+

#

.

&



@

5

%

.

&

?

.

@

5

#

Ž

#

L



?

#

#



































e



’



’





f

T

?

L

#

$

.

@

5

%



&

#

$

.

&



@

5

%

.

&

?

.

@

5

#





 

‰

#

.

.

#

































e



’







j

i

I









&

?

?

#

:

%

(

&

?

3

&



$



‰

B



3







T

#

U

?

%

&

$

?





R

5

$





3



$



L



+





#







\

















#

U



%



&



?





$











































































e





e

f

 ’









\





Y

#

u

3

#

‰

B

B

&







%

U



#

+

U

%

%



&

.

?

&



#

$

U

U



3



$



L



.



&







@



5



%



.



&

?



.



@



5



#



















‰



#



.



.





#































































e









e

g

i



i

e

g





%

$

.







2

%

&

?



$

+

3



@

5

U

?

$

#

%



# Y

`

.

&

#

2

#













































e

f i





e

g



e



N

(

#

3



&

&





U

%

#

L

?

.

3

&

$

3

L

$

:

L

.



+

$

?

@

(

5

&

3

#

&







B













#



U



%

&



?







$



.









U



L





#

3



$





+



























e

f i





e

g



f

\



(

#

3

3

.

‰

L

B

%



$



L



.

#

u

U



%

&



?

‰



#

$

.

‰

.

n



?



.



@



5



#

$



T







?



$

L





%



$

L



.



9



3





$



+































e i





e

e

Y

@

5

H

&

‰

3

$

L

+

#



(

3

&



B







#

U

%

&

?



$

.





U

L

#















































h

e i





e

e



e

T



n

%



&

3

$

L

. &



#

3

#

3

$

+

B



$

.

?

.

&

#

$

&

#

(

\

}

9

Y

@

5

H

&

‰

3

$

L











i





e

e



f

Y

@

5

H

&

‰

3

$

L

2

?

&

€

?

U



#

+

#



}

}















































’

e



f

g

’

e

…

…

…







e

:

5

f

6

•



=

3

,

.



%



[

2



"

2

>

:

#



$



"

=

%

.

.

3

$

L

3

$

+

(

3

.

N

U

?

@

B























































f

g h






9













e



N

*

?

f

$



L

A

$

(

%

Œ

$



@

W

U

#





3 h



*

T





3



5

%



(

U





+

Œ

B















 



































































f

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

I

W

/





.

(

9



3

#

I

#



#

#

U

I



U

.

(

`

=

U

.

9

#

?

&

I

@

#

2



5

l

+

3

#

$

I

U

U

L

%

#











B







:





9























‰





#





.





.























































































































f

’

f





d

g





g

g



f



e

f

g

e

f



d



.

3

$

L

+

#



3

U

#

9

/

%

U

B #



9

=

U

#

?

@

5

3

$

L



R



#

$

+

U

?

@

5

#

I

#



B

2

%

U

.





U

L

#

$

f

e

j







?

$

#

%



#





H

+

?

B

&

?



$

3

$

+

/

?

#

$

#



9

€



u



9

=

U

#

?

@

5

3

$

L



























f

e

’

i

7  



j











&

#



5



:

I

?



L

$

+



.

#

$



U

%

$

U

U

.

9

`

?



&

H

3

.

&

&



#

+

N

?

2

#

$

#

.

9

?



Œ



#

$

H

B

+

3

%

?



&

&

.

?

B

&

?

@

?



#



$

$

9

.



Y

&







#



3

5

U



B



&

#





3

›



U





&

#











.



















































































































f





f





e

f



f

d

f

e h









e

(

N

U

#

?

&

3

$

L

+ #



(

$

%

U

`

.

#

L

U

#

?

@

5

3

$

L

#

$







































f

e h









f

O

$

:

#



.

#

.

}

?

U

&

#











































































f h

’

7  



&

5



L



$

%

U

?

&

H

&

+

#

.

Œ

R

@

B

n

H



&

.

9





H

+

?

B

&

?



$

.



#

5

U

#



.

























f



i

h

7 



e

g

=





%



2

e

9

g



Y

@

e

5

2

?

?

$

#

+

%

&



9



#

Œ

&

H

5

3



L

2



#

$

W

%

Ž

U

%

?

.

.

?

#

#



$

3

W

$

?

L

$



$

#









#













+





3



B



&



#





















































f



d

f

e

d

e

7 





e



g

e



g

f







?

=

$

#

‰

.

?

@

u

5

+

U



#

.



.

=

#

$



%

#

2

9



.

Y

@

3

5

$

2

L

?



R

+

&



9



+

?

&

#

5



=



L

%



$

2

%

9

U

Y

?

@

.

?

5

#



2

?

3

$

+

L

&

















f

d

d

9

h

7 

&

5



L



$

%

U

?

.

?

#



3

$

L





 

























































f

d ’





e

g



d

Ž

#



#

@

5

$

3

$

L

+

#

.





H

+

?

B

&

?



$

.



#

5

U

#



.

l

#

?

$

#

=



%

2

9

7 Y





e

e

(

3

.

N

U

?

@

@

5

B

2

l

?



+

#

&



9



Ž

3

&



5

L

9



L

(

U



$

L

%



U



?

?

&

.

?

5

# 

2

3

3

$

L

.





































































































f



d

f



d i





e

f

Ž

#

?

. u

?

#

U

Y

u



%

@

5

:

#



%



N

#

?

&

3

$

L































































f

g ’



N

3

$

L

#

$











































































 

















f

f ’

7







*



,

'

%









;





>

?

'



......................................... 







;





>

?

'



















/





*







F

D

'







;













)





>

,

?



'















,

'

%



'

f

......................................

’

f

 ’

...................................... f

’

......................................................

..........................................................

’

f

j

f

j

i

e

’




































































T

?

$

2

#

%

Ž

u

$

#

5



+

#

`

R

.



3

&

?

?

3

B

%

5

$



U

#

L

?

.

@

$

:

5

#



#



=



#

?



$





N





%





{

#



&

B





%

+

Ž

#

#

?

$

$



.

%

+

u

?

#

#

U

U

.

.

.

.

#

n



$

#

?

‰

.



#

#



?

B



&

%



U

?

$

#

@

5

$

?

#

+

$

#



$

#



N

‰





n

3









&



+





H



3

3



2

@



U

B

?



?

@

+

5

$

#

#

?

?

$

$

#

$



#

#

#

2

$



N

W

U

%

#

n

3

L

#





$

#

#

$

$

?

‰

$

#

&

#

$

D

Ž

#

U



#

#

L

?

#

@

$

5

#

#

Y

?

@

$

#

5

.

%

U

Œ

U

%

5

3

3

#

2

U

U

#

#

.

#



$

&



.

H

u

L



#

#



@

:

5

#



$

$

Y

+

u



#

%

3



@

&

5

+

?



$



3

@





B

2

.

%

@

5

&

?

n

%



$

$

.

B

#

3

?

$

$

W

L

#

n

#

$

$

%

$

3

#



+

?

#

$

#



$

Ž

%

%

.

5

?

#

.

L

#

?

#

$

9

#



D

Y

u



2

%

%

#

?



@

5

$

?

#

$

I

H

3



$

#

2

$

?

U



?

2

%

‰

%

%

#

2

5

B



Ž

B

@





#

U

&

+

U

W

3

u

$

3

?





%

%

:

U

3

#

L

$

@







#

.



#

R

L

?



:

%

&

B



L

+



.

#

$

.

#

`

5

&

%

N

5



3

+

R

#

?

#



?

#

&

$



N

#

?

T

%

L

?



$

$

&

#

#

5

&

?

u

%

.

&

&

5

`

W

W

.

N

+

?

#

?

B

‰

#

%

#

#

U

?

?

@

$

?

.

5

L

@

5

$

#

#

#

u

=

&





2

H

L



%

&

{

#

$

#

W

%

O

$



U





R

.







+



2

%



&

#



?





#





$



$

•



‰

3

W

#

?

.

%

&

U

U

?

@

&

.

%

$



+

%

5



U

+

.

#





5

#

•

3

.

&

H

$

+

# .

?

$

+

?

2

(

U

U

L

#

2

#

?

$

#

$

$

?

#

:



$

?

5



#



D

2

L

#

9

D

N

3

#

$

?

L

$

?

‰

.

3



.

U

%

?

#



2

&

2



#



$

?

5

#

H

\

$



L

#

u

$

u

+

U

#

3

$

.

L



‰





3



N



#



$

:

%



@

5

$

N

•

%

3



.

&

&

#

H

$

u

$

+

#

5

`

$

.

W

?

+

B

%

3

U



@

?

.

@

5

5

#

+

?

$

=

#

.

?



@



{

5

#

#

?

$

#

$



#

U

L



?

B

N

&

%

U

#





\



%



3



.



%



U

?



&



H

&



.





u



?





$

‰



?



u



.



%





3

.



N





3

#

?

$

&

&

#

&

#



Ž

#



R

@

B

.

?

@

5

&

?

L

3

$

L

+ #

.

Œ

#

U

%

&

?

:

?

&

H

&

.

9

3

$

+

+

#

.



8

(

L

#

%

$

$

L

%

#

.

#

U

%

2

#

3

+

#

?

.



U

#

#

$

+



&

.

‰

L

$



N

?

$

&

+

H

%

#





#

3

2

}

#

‰

$

%



#

$

#

U

#

?

#

?

?

$

U



$

#

3

U

+

%

$



:

$

5

%

%

=

.



@

$

.

#

5

:

$

L

$

?

@

$

L

Y

3

+



#

?



&

u

5

$

?

?

.

#

T

L

n

$

L

$



$

+

%

3

+

&

@

5

W

.

&

N

.

L

&

?

L



ˆ

#

%

.

?

#

U

&

#





$

#

U

$

@

&

?

?

.

3

?

U

$

#



?

@

#

@

$

L

$

3



?

3

U

+

?

@

&

.

#

$



%

$

#

U

3

#

$

#

5

%



?

%

+

3

L

#

?



$

Ž

?

?

&

$

3

Y

+

$

#

#

.

#

U



5

U

#

&

&

B

%

.

#

?

3

&

L

?

B

u

‰

#

+

?

%

5

Y

U

+

\

@

+



#

&

#

#



#

?

#

+

U

#

5

u

‰

$

L

:

U

%

$

#



2



\

#

L

#



.

$





}



#



2



?

+

.

?

#

&

W

%

#

5

%



+

U

@

&

#

#

U

%



n





$

$

#

?

.

?

#

5

$

L

Y



@

+

#

$



5

.

#

3

3

#

#

?

?

%

#

#

&

+



U



%



3



B

2

3

%

.

5

#

%

2

#

?

?

$

%

B

#

+

#

&

+

9

U

n

#

9

#

n

@

$

#

5

5

n

$

U

@

$

%



.

#

$

D

T

?

+

L

#

#

&

$

.

#

@

ˆ

5

%





2

&

#

#

$

$

N

B

U

#

%

&



3

#

?

&



?

.

N

2

#

B

\

%

%

$

u

$

?

&

&

#

.

U

?

e

$

+

W



.

%

$



U

.

U

#

&

#

5

$

#

.

$

?

3

@

$

5

+

+

?

B

#



?

$

$

$

+

#

$

?

#

+

.

%

#

2

$

Ž

$

2

3

?

@

5

&

:

#

?

#

$

#



n

#

2

$

+

9

#



h

$

H



5





&

@



#

#

.

U

#

$

"

$

?

&

%

#

$

@

$

\

5



&

'

Ž

I

%

'

#



u

*

&

L

?

@

U

-

%

?

#

+



U

&

@

5

5



&

0

&

#



3

D



*

$

&

%

3

.

&

5



5

L

$



#

$

7

n



#

#

.

?

@

3

.

5



5

#

#

U

?

+

:

%

.

3

.

$

*

#

=

L

$

5

.

.

B

&

?



@

?

$

&

5

?

5

Y

#



?

?

#

L

$

$

%

B

U



#

?

$

$

$

3

#

$

$

&

.

#

#



?

$

.

@

l

5

?

#

+

U

?

@

5

#

\

U

%

.

.

#

$

%

3



9




L 



• • • • • • • • • • •

•



E

.

%

#

#

+

#



$

U

?

2

@







P

"

+



5

$



&



$

‰

3

$

&

.

#

$

?

$

N

.

#

5

&



?

.

#

$



@

U

*

#

$

‰

&

5

#



?

&

L

Ž



&

‰

#

#

#

5



#

$

$

H

=

L

+

?

$

x 1(t)

#

3

2

*

#

&



H

%

=

3

@

&

?

5

#

&



5

&

'

6





↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔

5





N

&



:



5

L

#

?

$



@

#

?

U



#

(

U

L

#

R

+





&



G

N

%

u

#

#

.

L

+

2

=

L

.

$

%



$

3

"

U

?

?

$

?

%

3

+

#

&

%

$

$





#

L

L



L

?

?

&

N

?



&



&

B

.

U

$

#

.

?

&

%

u

#

?

$

B



L

#

%

"

3

$



P

"

+



5

6

8

5



5

_



E

&

%

.

.

2

+

?

.

?

@

$

?

@

3

$

E

#

5

.

$

?

@

5

&

$

?

@

5

&

.

&

L



#

@

$



%

%

$

$

%

.





#



2



#

L



#



.

U

&

#

L

?

:

?

U

.

?

%

@

#

N

&

#

3

L

+



"



6

"

>

O

&

?

+

.

+

#

?

.

.

3

$

&

#

$

Y

?

Y

?





&



0

?

?

L

10

15

20 t

-4



5



+



"







5

6



10

=

5

%



2



‰

$

?

.

@

5

&



#

$

‰

&

%

U

#

?

L

#

$

.

@

5

%



&

#

$

n

#



+

#

$

?

2

}



15

20 t

+

M

N



L

.

.



5



%

#



n



U

_

e



.

8

e

.

?

.

0

5

10

15

20 t

0

5

10

15

20 t

x1



"





"



x2 6



I

"

[

6

?

$

#



?



U

9

L



$





+

3

%

?

?

@



Y

?

(

"

6

#

.

5

>

"

:

>



:

L







.

&



L

"

%

u

#

?



$

2

x4 .

6





#

5

U

#



"







#



5



5





"



=

"



"

=



"













+

P

"

+

x3 O



5

6



I

I

(

.





L

I

M

_

8

6

"



"





"





6

"

>

:



=

5









5





"

=

"









5



x4





+





+

+

Y

x1

"





L



%

$

-4 5

-4

$

G

5

-2

+



L

$

-2

$

5

↔

#

L

0

N

@



0

$

?

5

2

(



U

&

$

N

2

"



&

#

$

x 4(t) 4



$

#

$

#

:



#

4



#



‰

-2

L

[

$

-2



?

$

0

!

&

3

0



=

#

$

5

G

N

u

L





?

2

X

+

B

&

@

L

+

2

%

#

?

$

.

$

U

#

5

?



+

#

+

B





G

.

2

0

.



L

N

3

$

?

?

&

?

#

+



.

&

&

%

E

#

&

@

+

x 2(t) 4

0





U

3

u

&

%

&

&

&

5

B

$

?

#

5

?

%



.

$

L

U

B

$

?

u

4

x 3(t)



7

-4

6



U

U

?

=

N

?

"

3

&







x2 #

&



.

+

?

#

3

$

@

+

5

$

x3 +

5

+

3

3

%



$

@

&

+

5

?

%

.

•

?



#

L

#



#

.

?

3

&

$

9

&

#

U

L

U

3

#

$

&

+

?

W

+

$

(

#

?

.

#

+

2

•

3

u

#

U

?



?

&

@

&

.

5

3

?

+

L

‰

#

$

?

#

%

$

5

U

&

U

?

@

5

#

x1 .

3

%

$



&

#

?

$

.

3

?

&

#

.

%



&

$

3

%

9

$

$

L

9

I






P

• #

?

$

•

#

?

&

.

?

L

$

%

U

x1 l

&

• •

#

?



.

&

#

.

•

?

#

$

?

#

&

}

3

$

B

&

?



$

+

#

.

#

?

$

+

?

2

"

#

+



$

5

.

?

6





"

$

+



%

U



#

=

>

$

:

5

Y

?

D

L





$



%

U

u

„ B



%

$

&

$

?

%

U

$

3



?

L

#



U

?

@

5

l

T

.

l



?

• .

B

%

U

%



l

#

#

?

+

#

2

#

?

+

&

#

?

Y

Y



.



L

#

?



L

$



&

%

U

?

‰

$

%

Y

%



%

2

#

9



%

L

3

U



%

U

#

#

3

$



n

&

&



2

•



#

#

#

&



n

+



#

#

$

&

?

:

#

&

?

U

&

u



3

‰

$

n

B

?

.

&

@

#

5

?

#

$

Y

$

‰

?

n

L

$

#

%

?

U

=

n

#



#



$

x1 (t) &

‰

#

$



B



%

$

$



.

&

#

?

$

Y

B

%

U

%



W

+



5



U

H

.

.

&

.

?

@

5

+

3



@

5

#

?

$

#

„ 

Y

Ž

#

.

?



u

L

N

?

#

$

%

U

%

@

.

U

5

n

#

&

#

.

3

?

?

$

.

$

+

L

#

$

#

B

%

?

$

?

$

#

$

@

5

U

$

D

?

#

&

.

#

#

#



2

$

U

&

n

\

%

N

‰

n

#

#

U

2

n

&

#

$

+

u





%

%

?



N

#

L

U

$

#

%

?

?

#



2

n

#

+

?

B

#

&

$



?

#

&

.



#

2

u

#

?

u

#



.



U





2



#







#

&

?

•



#

#







&

%

5



U



%



3

n

U

#







%

3

W

%

#

#

+

U

+

+

.

.

#

$



@



•

U

B

Y



%

R

?

#

.

#

#

L

?

?

$



$

%

&

#

$

‰

U

$

#

W

&

n

.

#

?

+

&

?

#

+

#

5

?

+

#

2

3

$

#

$

#

.

+

Y

#

?

.

L

$

Ž

?

%

U

U

+

W

#

?

.

$

+

+

%

#



2

.

&

N

#

U

U

#

&

?



.

O

u

?

2

#

U

}

.

n



U

#

L

?

#

.

$

#

+

+

#

?

#

$

}

n

%

#





N

+

#

#

#

$

?

n

$

?

#

}



%

3

U

U

$

#

B



&

+

?

?

$



$

L

R

.

N

:



#



$

+

•

#

#

?

2

.

&



.

?

L

$

?

U

5

#



?

$

9

%

9

(x, y) &

%

@

Ž

7 U





#

$

%

3

.

9

„ L

#

U

5

%

#

.

$

.

W

#

.

$



.



?

#

@



$

5

+



#

?

+

#

.



$

@

?

5

@

:

5

&

#



#

%

U

u

U

L

U

#

?

‰

2

?

#

&

?

%

$

$

#

+



# 

$

.

%

#

3





n

Y

H

?

L

5

$

$

%

&

U

n

#

?

W



+

+

?



#

Y

B

H

#

2

?

&

$

U

#

?

@

}

5

3

#

$

Y

B

%

&

?

@



5

:

$

#

+



#

5

%



U

•

&

#

#

?

&

7 . ?

$

$

+

#



&



?

#

•

#



9





?

‰

.

@

?

U

L

?

?

?

?

N

‰

$

@

n



#

+

#





&

n

#



+

#

$

%

U

.































+

#

.

Y

?

L

$

%

U

.

N

#

‰

#

?

@

5

9

+

?

?

L

.

#

U

#

.

#

&

$



?

#

%

.

$

@

@

#

#

?

&

H



#

?

L

9

5

U



?

%

#

?



%

#

&

&

#

%

#



?

U

$

.

•

‰



#

#

?

&

$

@

#

5

%



?

N

&

‰

&

H

#

U

$

%

%



$

3

$

&

#



#

U

3

&

L

%

Y

U

?

n

.

&

%

@

%

&

W

U

U

5

L

#



3

9

$



5

5

$

?

&

9

@

3

#

H

&

?

3

n

n

U

U

$

9

u



#

?

#

3

5

&

$



N

%

R

$

N

L

#









5



#



.

B

$



5

3



Ž

%



@

%

$

#



$



3

#

#

?



5

:

+

:

?



Ž

@

?





.



?

#

Y

#

$



L

$



.

$







#



:

&

}

#



?

?

5

#

#

$

?

@

2

.

+

n

#

?

U

$

$

$

.



N

#

?

%

#

#

$

%

L

$

+

#

#

u

5

?





+

U

›

#

#

3

?

%

3

+

n

#

$

H

$

%

5

L

5



L

&

@

?

+

:

$

.

.



W

3

5



Y

?

$

&

@

#

$

?

.

#

.

H

&

#

n

U

%

$

$

&

#

%

&

3

3



U

$

N

#

#

%

L

(

U

.

$

?



%

?

L

Y

#

$

&

?

$

5

L

$



2

Y

#

+

+

Y



&

L

.

3

#

#

$

#

2

L



%

5

U

?



B

L

&

$

&

U

.

$

#

.

.

%

?

3



#

%

#

$

+



B



$

N

G

$

.



%

&



B

?

-



?

$

$

?



#



2

+



‰

5

.

#

*

#



@

?

$



+

#



(

E



U

3

•

5





5

%



3

3

$

+



‰

(

L

$



&

#

Y

%



U

&

&





N



$

B

?

U

+

#



5

#





R

+

$

&







$



%



+

3

#

#



$

%



Y

n



$

B

.

#



5

$





5

.





3

#

?

#



!



&

5

+

5



#

#

&

@

#

U





$

5

$

#



5

@

#





?

H

‰



#

#

&







?

&

L



#

#

$

$

+



#

?

$

:

?

B

#

U



#

$

&

$

?

Y

$

?

3

L

?

$

#



%

U

U

?

n

@

#

5



#

&

#







(

9



2

9

L

u

$

%

%

N

E

U

U

‰



%

3

.

5

#

$





U

L

$

$





#

?

u

&

$

?

$

%

.

&

#

?

&

#



U

#

$

#

+

&

?

5

$

&

#

?



#

&

%

$

%

&

&

#

.

&

?

2

2

&

#

$

•



#

$



#

+

$

#

?

$

#

+

#

#

?

‰

?

3

@

5

#

O

#

$

$



#



•



3

2

.

%

?

&

?

$

&

#



:

%

U

U



?

2

$

@

3









&

&

%

?

$



$

+

.

#

#

?

$

5

?

#

$

?

L

#

$





&

$

H

2

U

W

.

.

3

$

N

#

L



#

$

‰

&

‰

3

?

5

#

?

3

+

.

U

L

#

.

?

n

5

#

$

#

?

™

$

#

%



.

:

#

3

‰

$

%

.

%

N

3

5

?

#

$

#

2

‰

?

n

+

?

?

$

#

#

3

#

#

B

‰

n

#

.

?

L .

#



#

•

?

3

U

$

$

.



Y

#



&

n

?

H

&

9

#

$

$

+

™

#

3

$

9



#

&

#

$

}

•

$

#

•

+

L

›

?

2

.



#

˜



3

.

U

+

#

L ?

%



n

+

+

+

L

#

&



$

$

?

$



#

?

#



&

?

#

?

%

U

u

&

3

.

@

$

U

.

$

B

5



$

#



&

?

3

&

9

#

.



ˆ

L

3



+

@

‰

u

˜

$

?

&

%

?



#

%

+

#



2

.

$

H 

2

$

%

N

$



#

&

$

#



.

#

L



L

3

+

$



#

•

#

$



=

$

/

5



2

#



H

%



?

?

$

#

-

$

3

#

#

*

2

%

$

Ž

(

5

$

#

$



#

L

$

#

&

. . . LLHLLHHHLHHH . . . L 

#



U

H

+

:

N



3

.

?

2



$

$

3

2

2



&

•

G

#

L

B

$

$

?

$

#





Y

3

$



*

#

u

:



5

&

&

#

l

.



?

3

@

/

#

#

&

?



.

L

.



#

#

*

•

.

$

$

&

#

$

3

&

$

L

.

$



2

$

W

B

#

%

#

3

L

N



I



#

3

$

#

?

$

/

+

Y

!



5

#

#

?

+

#

+

$



.

#

-



%

?

?

#

#

3

N

&

5

1

+

‰

t=0 &

3

$

@

.

&

U

%

.

3

$

5

3

#

?

#

H



&

:

.

#



3

‰

3

$

.



&



#

#

5





#

R

$



L

3

#

$

+



L

@

W

5

.



?

$

$

+

#

#



U

#

$

B

U

&

#





+

?

$

L

?

U

?

.

@

@

5

#

5

Y

$

Y

u

%

@

$

5

%

$

3

U

$

&

L

3

$

#

L

$

#

W

$

Y

B

&





#

?

$

2

#

#

N

W

?

$

%

H

+



3

#

$

$

Y

L

#

?

$

L

W

$

%



#

U

&



2

H

u

9

#

9



D

%

&

3



#

$

W

? D

@

5

&

.

&

H



B

#

$

#

&

@





%

Y

?

L

$

%

U

#

?

2

2

#



%

$

#

?

$

#

$

Y

?

L

$

%

U

&



H

L

#



L

#

N

3

$

+

#

$




L 



.

?

$

$

+

#



H

?

&

#

?

N

2

.

&

%

U

L

W

2

L

H

&

U

?

$

U

#

?



#

L

U

L

?

+



Y

%



$

$



+

#

‰



U

?

U

‰

&

?

H



@



?

$

5

+



U

?

&

+

#

#

&

#

5

?

u

5

L

$

$

?

B

‰

$

%

U

?

$

%

3



@

#

Y

$

I

$

#



3

$

#

$



?

#

$

?





&

#

#





@

&

#

_

u

#



?

5

2

L

5

?

5

%

%

2

5

8

$



%

E

6

?

&

W



5

#



&

#



W

#

ˆ

#

L

+

5



?

"

N

#

‰



@

R

+

B

%

P

3

+

.

L





$

?





#

&

#

6



L

.

&

5



H

$

$

$



#

&

#

%

#

"

$

%





P



#

%

U



$

=

%



5

L



$



%

?

+

#

%



Y

$

5

2

(



$

?

@

=

#

#

.

5

"



L

+

@

L



$



$

3

#

?

%

3



?

#

$

"

$

@



#

&

$

.

H 2,4

G

@

0

2

6

4



&

#

N





#

#



.





e

#

?

%



&

?

Y

+

N

#

+

.

$

$

%



.

?

n

$

?

#

+

?

$

#

?

?

Y

$

#

:

.

#

&

+

+





2

?

$

H

#

U

.

f

N

&

L

R

$

?

B

9

L

#

$

$

9

U

?

L

%

?

#

%

U

$



(b)

H L

0

undefiniert L

0,4

#

&

B

V p

5

?

?

(

?

(a)

V

.

#

$

+

L

?

B

O

?

3

&

5

-p

0

t fa

(c)

2

4

p

t fa

6

t fa

(d)

V p

V

6

0 -p

0 0















2








6

4 L





_

"





"





2

4



5



0

t fa



5



5



6

"

.

5



+







L







P

"

+





5



6



L

.



"



+











+



"





=

[



"



"

=

(











V

"







=

"

+



5

6

=





















T

9



?

#

?



%

#

2



3

&

B



‰

?

$

R



$

Ž

$

#

@

u

5

?

&



%

#

#

?

#

N

@

#

$

%

.

+

?

?



$

#

@

#

+



L

$

?

#



#

&

?

.

.

&

3

B

#

5

@

&

5

U

?

#

L

#

O





?

&

+

U

#

?

%

$

$

@

%

+

+

$

?

%

#

U

.



u

L

H

#

&

$

#

Y



N

?

&

+



#

+

e

#

#

#

2

.

#

%

#

&

?

&

+

?

&

?

?

.

+

?

?

B

&

#

%

#

&

#

%

%

L

3

3 

$

+

`

U

3

.

L

.

&

#

B

L

9

#

2

#

$

#

?

9

+

@

%



#

$

R

U

U

5

?

%



&

$



?

9

%

+

.

+

?

$

&

3

$

Y

$

$

‰

$

#

L

W

$

#



=

n

3

U

#

#

$

?

$

$

N



&

#

?

#

Y

%

.



#

?



&

O

3

#

.

?



&





#

5

=



.

5

L

$

U

.

?

@

&

?

#

$



2

&

#

%

.

#

.

+

%

#

?



+

+

.

D



$

L

n

#

B

L

$

.

$

$

5

U

+

?

3

N

5

3

d

@

#

.

#

&



&

@

?



U

.

#

.

3

U

?

+

L

&

&

&

u

$

?

‰

?

3

u

?

.

u

Y

#

?

$

.

?

2

#

.

#

.

.



#

2



%

$



L

(

?

5

•

&

?

?

.

+

$

#

&

#

&

3



$

N

.

&

3

B

%



?

.

W

?





?



#

U

#

?

3

U

u

\

$

$

#

.

h h

%

?



U

+



+

u

.

$

%

&

2

2

N





?

3

N

&



$

2

?

& L

#

n

L



&

$

#

$

(

U

L

#

+

$



?

%

$

+

Š

$

%



$

n

?

3



Y

#

#

&

3

?

#

+

3

#



&



?

%

#





#

%



#

U

$

#

$





?

$

$

?

$

#

n

2

Y

N

.

u

?



Š

#



&

3

?

%

+

2

#

&

&

B

%

%

2

2

+

?

.

$

#

$

.

#

Y

2

$

n

$

%

$

L

#

L



L

?

#

5

#

&

.

+

H

#

‰

U

&

U

%

#

$

+

$

$



&

?



U

#

?

&

3

#

3

#

.





3

‰

#

#

+

5

`

#

?

%

#

#

.

?



$

.

+

L



+

$

.



.

+

#

#

%

$

L













I

$

3

‰

$

H

@

#

2



$

Š

$

3



$

$

#

&

#

U

+

3

$

3

U

$



:

&

#



#

#

?

?

?

$

5

?

%

+

N

+

%

n

:

#

$

$

#



2

$

+

#

#

?

.

+

L

N

‰

W

#



U



#

?

?



%

u

#

#

}



#

.

n

n

#



$

n

&

#

?

?

‰

$

#

:

5

#



$

n

&

L

3

$

&

#

+

3

U

.

&

$

U

%

Ž

5

#



3

%

+

W

$

.

B

%

$





@



-

%



$

?

:

#



#

?



W

3

+

+

U

$

L

N

#



$



2

#

%

?

*

%

#

U

(

3

#

L

&

#

?

5

W

.

%

@

+

Y



$

$

3



n

+

?

L



$

\

+

U

?



&

‰



#

&





#

\

#

&

5





U



Y

@ ?

n

%

&

#

5

2

2

-



#

&

?

3



2

3

?



&

$

?

#

#

.

+

$



?

L

N

L

3



U

#

#

?



$

%

?





%

.

5

%

?



$

+





(

0...n−1

@

2

#



?

U





L

&

5

3

$

?

$

%

+



Y

3

•



$

$

5

:

K

L

#

$

.

%

@

5

U

x .



?

#

N

?

#

$

$

#

#

$

?

$

\

+



?

2

L

?

&

u

%



U

$

#

.

#

Y

$

&

?

#

L

$

$

W

%

+

xd U

?

#

+

?

:

#

#

.



&

%

#

$

@

.

5

@

$

5

?

%

.

3

@

U

5

?

@



5

#

&

%



U

(

?

.

N

?

#

N





#

$

e





d

‰

#

?

L

&




L 

"

=

(









P

"

+



5

6





2 0

-4

-2

2

0

x

4

-2 -4





















"



+

"





"



5

_

8

6

"



+

"



5

6



_

=





[





+

I

5

=





"

=

(









=

P

"

+



5

5



xd

L



6

5

]

6

.

;

:

"







6

D

G

%







_

"







6

=



"







"



=

;









X

.

_







=

>

:





"

;

;

"





"



M

;

;

"

6





Abtastung













"

,

Bandbegrenzung 



+

S&H



5

.



P

"



"





x

L

TP

analog



"

L

.



+





5



6

"



[



.







?

.



?

+



.



B



&

&

#

?



*



$

#



 

B

;

&

$

'

#

Y



?



?





Y

?

$

[

-

#

3

#





,





:



U

L

L

?

$

@

$



0

?

%

5

U

%

#

U

%



>

:

#

5

$

Y

#

?



:

*

#

$

n

5



"

.





L







#





>

5

:

"





V

"



 

=

"

+



5

6

5



D

5

=

"

+

"



5

6

=

"

+



"





5

"

=

"

x0b xd



L

6



#





;



"



5



+



=

x3b =



=

?

#

.

#

}



U

L

#

6

&

=

&

L

#

5

.

$

"



D

&

&

#

%



5

U

8

$

+

5



"

$







=

?

„

5



#

.



5

6

.

+





P

"

+



5

6

?

U



@

U

5

L

5

H



#

U

?

M

?

O

?

?

5

#





#

:



"

#

#

?

$

#

$

L

@

%

$









L

"

+

"



5

6





"



"

+

"



5

6



=

P

"

%

5

U

 3

3



&

0

@

#

>

:

3

P

5

_

8

6





. 



5

6

1

6

_

P

5

%



%

B

&

#



?

.

?

#



&

#

?

$

#

+

?

.

B



#

‰

‰

%

5

U

?

L

#

$

O

$

+

#

n %

3



+

&

?



#

#

+

}

#

#

3

$

N

:



%

&

%

U

$

.

.

%

}

&

3

$



$

%

U

L

U

L

#



#

L

$

#

?

$

#



$



&

?

#

.

+



%

#

#

$

%



U

$

5

&

$

‰

n ⇒ x(n) = xn

#

U

$

?

#





$

G 

U



H

3

.

L

%

#

$

.

&

$

&

?

9

l

E

e



E

e



e

G

$

C, 

?

B

"



5

(

‰

[a, b] U



*

5

$

+

L

+

0

+

Y

#



3

$

#

&

=



$

$

$



5

#

#

2

;

?

2

&

=

L





(

$

#

G



2

%

+



5

?

I

W

1

 ?

#

.

xn $



„ ?

"

D

L





X:Z⇒R +

=



x[n] = {xa , xa+1 , . . . , x0 , . . . , xb−1 , xb } = {xn }bn=a 

"



Digitalcodierung

Quantisierung

L

+

?



digital

L



.

L

+

6

L

_

5

†



L

V



L



L

>

+



L

1

x



L





0101 0100 0011 0010 0001 0000 1111 1110 1101 1100 1011

4





x d = {xb 3 … x b 0}

xq / q



L



Y

?

L

$

%

U

n

#



&

#

xn %

N

N

?

E

U

+

f

e

#

G

&

 h

G

l




L 





#





n

?





U

:

fa

#

L

(

#



?

#

›

&



$

+

N

$

"

}

?

#

.

?

2

$

"

%

/

#

=

&



(

3

U



#





L

+

L

$



$

+





L



B

%

$

P

%

.

+

$

‰

#

"



5

$

#

$

+

H

?

%

6

&

5

B

3



3



.



?

$

L

&

#



+

?

L

P

?

$

.

&

%

3

%

?

$



5

&



#

+

$

#

L

"

U

W

?

$

6

‰

@

5

3

5

n

8



#

#



H

+

?

#

_

U

Y



5

U



?

L

L

%

.







$

$



+

#



U



?

$

N

xa (t) U

U



U

H

.

.

#

H

U

5

&

?

#

.

3

?

N

?

@

?

+

?

5

#

L

.

#

&

?



%

%

$

$

$

+

&

#

#

%

(

N



N

&

#

L

%



#

.

/

&

&



%

#

.



#

&

?

#

5

.

#

&

3



#

$

‰

l

1 Ta xn = x(n) = xa (nTa ) fa =

/

?



U

#

L

#

$



#

.

&

W

+

%

.

.

2

?

E

e



E

e



+

?

?

&

#

#



?



$

#









+



#







N

#

?

+



x

#

$

+



#

%







.

&

%

#

U



U

?

3

%

N

$

U

L

#

#

n $

N

#

#

:

#

?

$



$





D

n







2

#

#

$

+



?

#



$





#

$



}

n

?

%



U





L

L





#

#



+

.

@



3

5





n

@

#



$

5

?

H

(



&

2

$

#

U

#

\

?

U

$

#

‰

#

?

@

5

$

#

&

n

?



+

W

n

H

5



#

$

+

n

?



5

?

$

L

#

?

@

5

+

$

2

+

2

%

#

#



n .





#

$

?

9

&

5

E

#

#

T

$

U

+

#

2

#

#



}

$

&



U



L

+

#

$

#

9



T

}

U

#



U

2

L

#

x[k] #

$

&

#

‰

3

N

#

$

‰



O

5

#

$

+

$

?

#

.

#





%



.

&

#

U

U

3

$

L

B

#

$

$

‰

#

?

?





ˆ





(

&

+

M



%

#





#

&

?

1

?

N

5

#



#

L



#

#

#






#

#

%

$

#

$



@

5

$

Y

%

?

$

N

L



#

%

.



?

‰

#

•

#

$

&

=



x4 U

?

&

3

*

$

%

$

n

?



#





+



.

#

.

&

@

%

.

#

T

U



+

#

2

E

#

$

x[0] &

+

3



@

5

D

$

&

#



.

&

e

(

#



e

N

:

%

#



‰

#

#

?

?

.

-

%

.



L



$

&

U

.

U

}

.

N

#

.

#

%

U

(



?



&



*

U

L

$

&

#

+

W

n



+

?

%



3

#

.

+

$



+

(

.

L

N

+

#

%

N

.

?

N

U

#

‰

+

$

3

Y

$

?

L

#

.

+



U

n=0 3

?

U

#

#

$

L

#

9





x4 [n] = {0, 3, 4, 2, 0, −1, 0, 0, 0, −1, −3, −3, −2, 1, 4, 3, 1, 0, −1, 0, 1} E



#



‰

#

?

&

U

?

@

5

#

Ž

#

‰

3

L

W

n

?

#

#



?

$

+

#



(

N

N

?

U

+

3

$

L

+

%



L

#

.

&

#

U

U

&

?

.

&

W

L

#

5

e

&



:

J

G

#



9

„ U





#

$



(

$

.

#

?

$

#

Y

&

x(0) = 0, x(1) = 3 W

#

3

U

U

.

#

n

&



?

&

&

#

?

$

L

%

$

‰

‰

%

5

U

? L

+

3



@

5

$

3

2

2

#



?

#



&

#



O

$

+

#

l



fa =

G

5

9

#

e









+





N

#

$



%

N

+

#

5

#

(

$

n

?





3

U

T

.

!



%

5

@

j

$

W

l

#





$



x0 &



+

.

‰

ms &

2





+

3

?

U

(

?

5

5

T

*



Y



$

#

/



$

&

?

?

-

#

.

T





$



?

#





#

e

#

&

x[n] = {0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0} @

L

$

%

%

G ’

x(n) = xn $

G

&

x[n] 2

d

1 = 1kHz 1ms E

e



G i

 





#

6

?

G

9




P



Ž





#

:

.





$

?

+

#





*

#

?

$

Ž

#

$

+

?



#

3

&

3



P

3

1

/

-

#

3

$

E



-

(

$

=

?

L



U

#

&



[

"



6

6



.

6

+







5

N

#

8

%

.



?



&

U

‰

L

#

$

#

+

W



?

?

#





%

@



G

U

L

#

$

+

#

$



R

$



}



U

L

#

$

l

l






δ[n] = {. . . , 0, 1, 0, . . .} = 

&



1

/

*

(

!



-

(









+





#

∞

1 n=0 0 n=  0

E

e



e

E

e



e

E

e



e

E

e



e

g

G

n=−∞









-

(










σ[n] = {. . . , 0, 1, 1, . . .} =

1 n≥0 0 n

_

:

5







σ(n) = 0 







>

:

L

_



…

5









"



;

O

>

G

I

]



5

=

"







P



"



_

6

"

6

6

"



5

n≥0







>



D

=





_

_

"





>



5

6

=







>

:

"



=

σ[n] = 1







P



"





D

1

=



.

]

1

:

D

]



"



„

.

=

"



"

.



_

_

"











…

_

8



6

=

D

.

6

+





;

5

G

:



6

6



5



_

_



6











I

$

3

?



%

#



U







#

@

…

1 

$

?







D

…





D

_

8

6




1

G

"



,

i = 0...∞

]





+





>



:

5

6





P





6

6









D



6

"



=



D





D



…

_

8



6

=

D

.

6

+



5



#

_

5

8



6

=

D

.

6

+





.

6

+





D

]



5

6

6









"

(

5

6





O

L

"











i = 0...∞ i n>0









,

L

O

D

]



"

0





„

.

=

"



"

.



.

>

"



G







>

:







P



_

V

I

L

;

"











6

"

5



>

D

:



























,



.





i 



O

L

"



"

>

6



"







D









"









>

:







P



"





D

]



‰





=

;



6

"



;

"

+





0...∞

L

%



"









5

_

"















L

5

_

"





"

_

_





O

5

;





D



=



"



n≥0 



B

#



$

Y

$

?

&

L

#

$

%

U

?

$

#

#

3

L

$

#

n

+

?

+

.

#

.

#





Y

#

3



2

n

%

2

$

%

&

+

?

&



.

$

@

5

N

%



? #

&

‰

+

?

n

.

?

B



.

#

@

&

5

#

#

$

$

+

Y

?

#

L



$

O

%

U

$

#

&

#

$

L







%

#

&

?





#

$

?

B

$





%

$

@

&

5

?

.

9

&

#

8

/

#

L

‰

3



N

#



u



R



3

$

L

+

#



=

R

U

&

?

L

B

#

?

&

+

#



=

U



E

e



e

G

?

.

&

+

?

#

Ž

#



#

@

5

$

3

$

L

#

?

$

#

.

i

N

#

U

?

#

? N

L

#

$

T

U

#

2

#

$

&

.

B



%

3

&

=

U



E

e



e

G

D

3

$

+

=

U



U



E

e



f

g

G





U

L

&

+

?



#

e



e

f

G

L

?

U

&

‰

3

2

Ž

#

?

.

u

?

#

U

l

i

⎧ ⎪ ⎨0 σk = 0 − 0 = 0 ⎪ ⎩ k+1−k =1 =

E

B

&

+

3



@

5

T

?

$

.

#

&

‰

#

$

%

3

k < −1 k = −1 k >= 0 .

=

U



E

e



E

e

G





%

.

N

#

+

#

3

&

#

&

e

W



f

+

e

%

G

.

.

i





#

+

+

#

#



N

Œ

#

%

U

2

?

#

N

u

?

#

L

$

#



}



U



L

#

U

L

$

#

L

%

#

U

.

.

@

L

5



#

?

n

#

N

?

#

@

$

5

&

n

#

&

#

#

3



Y

+

#

$

2

B

2

%

#

$

$

:







$

?



#

O

?

$



:

%

#

@







.

U

#

O

L



L

D



L



0 



:

L







G

L



5

]



L



L





L



L

P

.

I



I



L

M

,

L



L

5

=

L



L



6

I



L





O



"

I

L



(i − n) (−n) ≤ 0 . . . ∞ {−n, . . . , 0, . . .} i=n n=0 





=

L





. "

L



5












+

L



(i − n) (−n) > 0 . . . ∞ 0 L



n



L

+

7

L



#

$

?

W

.

B

Y



u

#

&



#

3

$

}

L





3





U

L

?

#

#



$

9







L 







%

$

.







2

"

%

L



&

"

?



=

(



$

E





\



P

%

u

"



+



j

5

G

6

.



&



#

U



U

P

&

+

„ :



$

L

#

n

?

@

5

&

#

&

#

$

W

B



2

u



U



#

1





-





9




#



$

T





+

#



•

5

#

6



8

U

5

#



L

5

_

3



$



L



#

?



$

#



N

#

U

?

#

N

?

L

#

$

}



U

L

#

%

U .

Y

3

2

2

#

„

#





?

"

u



$

#

$

&

?

%

U



3

$

B

&

?



$

#

$

+

%







+





*





*



#

&



(

*

+

-

#

+

-

#

&

/

3

3





*

+

3 1



*

R







-

ˆ



(

&



?

*

#





#

$

Y

?

#

+

?

#

}



U

L

#

 x[n] = %

U

.

M

L



#

#

n

/

?

*

@

5

(

&

#

&

#

Y

3

2

2

#

:



$

n−1 0 k ∈ Z] = 0} ⇒ R ∨ C

$

@



[n] : {Z; ∀x[n < k ∈ Z] = 0} ⇒ R ∨ C

B

#

?



%

&

#





%

#





N

&



U

2

n

L



$

U

#

N





?

$

%

U



#

#

#



&

%



?

.

.



$



$



%



/

L





5

.

L

.

L

$

#

5



@

%

&



?





+

$

U

#

+

.

#

#

#





#

+

3

L

Œ



$

W

?

$

Œ

?

L





‰

3



#

+

#

#

$

N

$

$

5

3

n

$

N

@

?

$

#

H

%

#

.

#

5

&

.

N

(

#

?





$

L

U

D



#

#

%

$

$

A

N



x :

@



2

$



l





x

3







3

$

#

$



-

x O



L

?

%

#



&

+

?



5

#



L

_

=



$

5

$

U

+

}



*

%

+

#

5

#

$

$

8

:

%

?

3

#

5



Y

&



?



H

+

0

$

%

U

"

?

#

#

%

+



-

?

+

3

#

'

T

W

%



*

U

$

\

$

5

5

2

?

T

"

?

5

+



P

Y







$



%



&



L

U



+





:

U



(



$

(

.

=





$

#

L



5

?

:

&

"

9

&

$

#

$

U

U

9

D

L

U



?



&

#

R

+ #

5

5



L

#



L

#



#

$

#

#

3

&

?

?

L

L

.

$

%

@

5

#

N

&

‰

#

%

3

%

.

N

$

#

#

‰

5

3

#



B

.

$

#

&

W

#

?

3

L

$

?

#

#

N



$

&

u



#



%

O

.

.

%

B

&

&

3

?

+

.

.

@

?

=

5

#



€

#

R

$

#

$

+

Œ

#



#

L

B

3

$

$

+

#

U

.



#

`

.

&

+



&

\

#

#

%

2



Y

3

#

.

&

%

W

+

U

?



?



&

3

H

#

$

&

?

.

L

$

N



#

+

#

+

#

?

+

$



L

@



5

3

%

$

$

L

?

L

#

‰

n

@

5

n

H

&

%





#

$

W

D

#

?

$

#

Œ



#







L

#

U

%

!

N







=

n



#

?

@

5

3

$

L

‰ 3

:

#



2

#

?

+

#

$











T

?

$

#

}



U

L

x[n] #

W



R



+

?

#

L

?

U

&

x[n] = x[n ± N k] k = 0, 1, 2, . . . 5

#

?

{

&

˜



1



3



@

5







!

™



#



?





+

?

‰

#

@

?

2

?

&

+

#





#



?



+

#

$

U

H

$

L

N #

A

&

H

&

:

#



#

?

$



%

@

5

#

$

.

?

@

5

.



n



5

U

E

e



d

6

G



+

?

#

Ž

#

.

@

5



#

?

N

3

$

L

#

?

$

#

.

Y

?

L

$

%

U

.

7



%

#

U

.

&

%

?

.

@

3

5

@

#

5

O

%

$





?



&



5

2

2

%

#

&

&

?

?



.

$

@

.

5

L

#

#

u

5

%

U

#

&



?

%

2

&

?

=



$

#

#

L

$

#

2

$

.

?

%

&

&

?

‰

5

‰

2

3

‰



#

•

?

3

&

U

2

?

@

?

5

$

$

+

?

#

@

.

5

&

&

N

N

U

#

#

L

?

N



&

#

$

+

‰

#

&



#

&

$

5

3

#

$



9

+

K


L

"

$

?

U

@

?

5

@

&

u

5

#

n ?





?

+



+

W

?

#

.

$

@

5

+

U

#

?

$

@

Y

5

?

#

L

(

$

U

%

L

U



#



$

?

N

&

5

#

2

.

#

@

5



$



H

R

$

B



+

&

N





W

#

=

n

.

&

>

:



?

5

+

2

D

3





2

&



@

"

5

#






#



=

(

.





R



N



N

U



#

#







2

P

5

.

"

%

&

+

3

#

U



u

U

5

6

&

3



#

$

L





#

.

&

2

$

‰



3

L

›

9

$

9

„ +

#

:

$

#

N



Y





#

#

&

$

&



}

9

?



+

+

?

?

?

.

#

#

&

#

}

?

$

$

W

%

2



#

#

L

&

%

U

#

2



?

%

@

L

#

#

$

5

#

%

3



.

?



U

+

.



#

.

U

U

?

U

+

#



2

$

?

#

@

#

#

.

.

@

&

.

?

+

2

?

.

$

L

3

R

9

$

#

%



#



?

$

.



U

#

#

#

#



%

:

$

U

&

$

&

?

%

#

L

?

U

$



$

?

#

%

B

&

Y

n

L

?

?

#

#

Y

&

5

?

$

?



?



?

#

‰

&

+



5







$

•

.

5

?

#

.

?

?





#



$

#

5

+



?

u

R

#

n

2





&

‰



R

$



N

&



#

#

%

$

&

U

5



W

‰

%

G

?

?

$

?

$

&



U

L

N

#

%

.

?

#

5

2

$

u

Y

?

@



#

$

#

.



#

#

n

?



?

5

+

.

5

W

@



$

R

&

.

#

?

%



U

?

u

#

&

U

+

.

u



#



?

E

?

&

?

#

.



.



N

3

3

.



u





?



3

G

}

#

:

‰

%



?

$



2

+

3

#

N





U

5

%

&

#

$

$

&



$

+

9

L

?



.

O

.

?



#

%



Y



+



3

.

L





2



5

U

+



5

#

@

$

?

n

&

(

?



‰



$

.

3

N



#





E

L

+

%

#

U



N

#

(

#

#

+

2

$

%

u

n

$

&

2

?

.

#

?

3

T

+

T

n

N

#





$

9

#

?

$










5

=

?

5



!

/

*

(



?



.

B



3

&



?




#





#

*

$



Y

?

*

#

-





U



L

@

#

A



$

&

+

#

/

$

3

Y

3

u

#



‰

?



%

U



%

U

U

#

?

$

#



3

$

#

$

+

U

?

@

5

#

$

Y

3

2

2

#

+

#



‰

n

#

?

9

„ .

#

?

&

?

L

#

$

T

u



$

#

$

&

?

%

U





U

L

#

l

N 

S = lim

N →∞

O

$

$



+

3



$

H

ˆ

&

‰

%

@

#



?

.

?

#

#



5

=

3

=

U



$



#

L

E

$

e

‰

:

n





#

$

6



=

G

U

&

U

L

%

3

#



E

&

2

#

#

&

{|a| = 1 3

$

a = 1} +

n=−N e



G h

3

a−|n|

?

+

$

%

%

.

n

?



+

5

?

#



L

#

$

%

3

%

$

L

#

L

#

N

#

$

W

+

%

.

.

+

#





N

#



#

h

.

2

T

‰



L

3

#

N

N

$

?

?

U

+

#

$

.

?

$

+



.

h

 S = 1 + 2 lim

N →∞



a = 1

%

a &

−N

#



%

+

$

#

/

B

$



#



#

3

$

$

5

$

$



T

?

?

?





L

?

L

&

?

$

U

W

.

L

#

#

%

$

#

#

2

&

|a| = 1

„ W

:

#

&

.

#

.

3

$



.

L

.

#

5

@

$



#



?

#



.

?

.





%

?

&



#

:

Y

$





.



#



N

&

−N

2



%



2

2



E

&

+

a

?



#



#

&





?

Y

N

#

n

n

$



n

‰

+

#

#

$

$

$

5

$

?

#

3

3

?

$



&

#

?

=

5

#

#



@

#

?

.

#

?

&

$

&

+

$

$

#





&

D

L

N

#





#

?

?

#

?



.

?

#

#



@

5

.

#

Y



.



.



&

?

N

#

#

#

U

.

#

.

@

5

#

+

$

#

#

?

?



.

Œ

2

3

#

2

#



W

.



+

#

#

$

/

%

H

#

$

L

$



2

&

5

?

#

#

U

%

&

+

2

5

U

#

?

L

&

%

+

5

?

#



$

@

−N

#

$

#

#



/

&

&

:

a



#



?

U

$

&

5

#

#



?

@

$

?

:

B

#



:

#

L

/

?

%

N #

H

S¯

.

2

/

2

$

&

#

#

‰



#

?

+

?

&



W

$

+

.

!

3

L

+

#





#

$

=



#

&



1 − a−N a−1

$

.

+

?

L

$

#

#



B



#

9

#

?

W

&



#



+

?

#

.

#



G

l

D

I

?

√ j = + −1

&

|a| = 1 .

?

@

5

#



ˆ

?

&

#

3

}

2

L

?

.

U

$

U

$



$

#

?



W

L

&

&

q l

#

#

U

#

e

‰

5

#

N

U

%

@

&

$

%

L

.

?

&

.

&

?

.

.

L

#

U

.

U

U

$



?

#

@

5

&





#

}

?

#

N



#

$

$

n

#



?

.

#



l

?

a = exp(j q 2π) q = k k ∈ Z W

W

n







%

2

?

2

?

&

+

&

?

?

#

.

&

Ž

+

#

+

?

?

#

$

Ž

L

#

3

+

$

?

$

L

3

$

L

a = 1 L



&

#

&

#



%

n

&





?

?



#

2

$





%



U

+

U



#

L

$



#

$

•

%

+

%

$

#

}

$

5

U

U

%

#

H

$

.

U

.

U

3

&

$

.

&

?

U V W

@

#



.

5

@

3

5

5

$

+

%

#

?

U

.

+

3



$

3

L



l

&

?

U = k V

#

$



q = U/V &



%

$

$

?

.

.

@

5



#

&

a−N = exp(−j 2π N U/V ) = exp(−j 2π (N + V ) U/V ) = a−(N +V )

?

N

#

$

W







L 



(



@

L

5

3

#







#

?

#







#

$

#



/

+

2

/

&

.

!

?



I

=

(

$

L

&

#

U

3

$

P

+

#



.



&

?

%

#



U



Ž

#

L

%



3

R

&

$

#

+

&

#

+

$

%

Y

.

?

T

W

L

%

+

3

I

#

?



+

?

&

6

5

8



.

U



5

#

#

$



@

+

&

#

+



a−N

n

"

R

#

3





R

L

_







a−N #

L



5



/

$

I

5

&

N

#

#

#

+

?

2

‰

U

}

.

U

#

#

&

B

N

.

?

`



#



?

?



#

@

#

U

&

.

N

L

#

(

#



U

?

.

›

Ž

‰

?

#

#



?

#

.

u

n

#

?

$

%

N

#

Y



$

U

?

#

$

3

+



#

@

U

%

?

&

N 2

5

V n∗

#

2

n∗ +V −1

H

3

3



N



#

&

?

#

$

L

$



%

?

3

?

$

$

$

#

#

2



+

$

V 

T



$



W









.



U

L



L



9



$



?



#

#

U





+

L

?

#

N

&

3

?

2

.

+



R

?



#

.

+

exp(−j 2π n U/V )

n=n∗ #

#

Y

$

3

2

2

?

2

&

&

#

U

#

E



#



R

$



N

/

#

#



U

?

#

N

?

S¯ &

L

%

#

U

n∗ .

.

N

#

#

+

&

?



#

%

.

@

#

5

.

&

#

T

$



n

L

#

?

N



$

+

?

#

.

$

+

#

3



?

@

$

%

@

+

N 

S(N ) =



5

?

5



#

#

$

B

}

&

#

a−|n|

%

.



U

ˆ

3

U

U

#



L

?

N

&



O

$

.

L

#

.

%

2

&

. a = −1

U

Ž

R

G



a+1 1 = S¯ = 1 + 2 a−1 a−1 

L

+

?

L

?

5

l

#



P

+

5

1 V U



5

.

@

&



@

.

3

&

6

.

+

+

?

5

.

+



2

+

.

$

U

"

%

3

%

L



W

$

$

a−N

&



#

#

$



?

N

%



Y

#

B

$

?

"

#





L





#



:

#

#



#

#

&

&

"

#

.

&

?

2

2

#



I

$

%

:

$



#



5

H

U

S¯ = 0 &



$

a = −1 

n=−N 

R



n

%

@

S¯ = 0 }

R

}

#

.

&

#

=



L

#

#

$

N

‰

$

n

?

.

?

?

&

&

U

&

E

.

?

@

&

5



&



L

.

%

&



?



.

$



L

#

%

N

%

.



?

›

N

.

?

%

&

&

+



N

L

?

2

#

$

&

#

#

%

.

#

.

/



#

.

?

R

.

#

#



5

%

U

#

#

#

.



$

?

$

.

a=j 

2

5

5

%

5

3

@

H

+

@



L



$

W

?

5



3

3

$

U

@

(

‰

#

B



+

$

#

3

3

%

`

+

L

$

?

‰

$

?

#

W

3



?



L

S(N ) 

3

U V $

L

%

B

?

#

#



R

?

#

&

#

$

W

.



U

U

&

#

$

3

2



$

U

U

?

$



$

#

5

$

Y

#

#

%

N

%

#

B





q

?

?

$

#



•

$

$

&

U

U

%

+

%

$

G

+

W

n

#

$

$

#

5

U

5

#

&

@

%

%

.

%

T

:

•



.

?

#



#

&

3



U

2

%

/



5

%

$

+

#

#

H

$

$

?

/

#



L

%



$

$

?

L

\

O

?

&



#

$

%

&





#





#

#

.



?



.

?

#

2

#

&

?

q

?

N #

&

Y

l

+

U/V $

+

?

$

f

W

$

2

#

U

.

#

.



U

3

.

U

5

%

%

5

%

&

$



#

$

#

#

?

$

@

5



=

N

?

$



&

%

N

U

2

&

&

%



?

#

U





$

.

L

%

#

U

U

?

$

@

5

$

#



Œ



$

S¯ = .

?

#

#

3

2

?

a+1 a−1

?



&

&

&

+

U

%

@

?

5

#

#



.

&

$

9

#

$

T



9



„ \

#

?

L

N



#

#

U

$



?

$

.

#

$

@

N

#

5

?

$

%

L

Y



#

&

?

:

.

E

#



L

O

5

q $







.

.

Œ

N

#

#

#

.

L

G



O



.

3

R

U

$

&

$

&

%

#

+

&



%

#

:

$

%

*

Ž

(

#





#

@



5

9




$

#



$

*

Y

?

U

(

+

#



/

?

V U



.

%

#

U

R

?



#



/

2

?

&

M

U

.

.

%

R

.

U

U

N

&

#

.

L

#

?



@

+

5

2

?

#

+

?

$

#

%

#



q #

u

u

I



?

$

&

H



&

?

5

#

U

#



2

%

n

3

#

&

$



?

&

L

:

:

.

#

Œ



n

%

#

?

&

?



$

a−N $

.

#

N

#



#

%

R

U

N

@

?

&

5

#

H

&

$



.

#

#

$

9

?

$





*

&

U

H



!



#

+





/

$

#





#



T

#

$

/

#



*

L

(

?



#

3

$

+

+

?

#

2

?

&

&

U

#



#

#

?

.

& 3

$

L

+

#



‰

n

#

?

.

#

?

9

D

„ &

?

L

#

$

T

u



$

#

$

&

?

%

U





U

L

#



R



+

#

$

}

%

U

U

{|a| = 1 3

$

a = 1} +

8

Ž

#

%

@

5

&

#

$

Y

?

#

+

%

‰

3

W

n

#

$

$

$



&

?

L

W

+

?

#



.

3

$

L

.

5

?

$

n

#

?

.

#

%

3

.

N

3

$

L

e



e



D







/

%

G

N

G

(

/

G

@

*

?

ˆ

Y

&

#

#





U

&

U

?

U

#

#

%



3

&

$



K

#

Y

$




#



&

?

+

#

Y

/

?

?

+

#



?

#

#

+

3

}

#



Y

3

U

$

u

L

3

#

$





B

3

&

+

$

?



L

#

*

$



}

#

.

3



U

=

:



L

$







.

#

B



&

+

?

*

@

5

3







$



@

?

*



&

%

5

#

#

U

.

&

L

?

?

$

$



#

n

*



#

#

(

Œ

Œ

?

+

%

%

@

5

-

&



u

u

#

*

2

2

&



#

#

#

$

Y

$

3



9



2

U

}



L

U

2

#

L

#

#

+



:

%







$

Œ

%

2

u

#

$

9

}



U

L

#

$

l

K


L

"


x(n) = +

G

#

?

&

#

$

Y

?

#

+

?

#



#

.

3

U

&

?

#



#

$

+

#

}

n−1 0 3

$

B

&

?



R

.



+

$





%

>

:

5

D










"

=

(











P

"

+



5

6





0

$

#

2

%

Y

#

$

#

2

2

N

?

$

"




?

5

u

.





@

.

.

?

?

6



/

U

?

.

$

%

5

$




?



.

%

#

&

$

•



#

L

3





#

?

W

?

%

+

™

.

.

&

$



$

.

.

H



?

L

W

n

%

+

&

U

.

#

#

5

#

L



9

$

@

E

+



$

U

$

$

#

?

#

#

H

:

Y

$

$

$



2



L

3





$

L



?

$

%

#





R

/



?

+

?

#

#

+

.

#



#

5



\

U

U

%

3

.

$

.

L

G

#

:

%



3



$



Y



`



.




&

#



2



#

$

8

+

?



#

n

$

?

™

L

@

5



&



?

{

L

&

#

#

$

$

Ž

&

#

#

?

U

L

.



.

?

@



#

5



˜

O

$

2

N

u

#

B







%

$

.

#

B

+

#

.

%

Y

?

&

$

#

+

?



@



+

2

$

#

#



U

&

?

%

$

?



W

&

$

&

&

B

+

.

n



#

?



$

&





L

L

#

?



&



?

.

O

.

#

&

B

+

#

B

1

?



%

&





-

.

?

%



9

=

$

&

%



#

Œ

3

@





n

?




?

5

@

&

+

U

.

#

#



&

.

%

5

U

˜

&

}

#

%

$

U

&

3

$

L

™

3

$

+

˜

N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

$

?

n

?

5

#

$

.

C

&

3

#

&

#

#

\



$

3

#

3

3



$





+

L

?

Ž

#

N

5



+



#

#

$

U

#

L

#

#

?



#

&

$





$

%

n

(



+

?



B

W




I

#

&



$

N

B

#

%

.

.

#

&

B

&

`

U

$

&

.



%

#



5

.

?

.

(

u

2

.

?

#

?

#

`

#

$

#

.

5

2

.

+

N

u

5

3

#

+

?

N

%

U



@

#

#

#

?

+

5

+

$

B

#

.

.

#

?

.

%

B

5

.

3



U

#

$

.

%

‰

#

N

`

5

&

U

?

Y

#

#

#

$

#

#

&



#



=

%

@

5

.

$



.

@

U

&

&

#

3

&

+

3



F = p˙ O

2

u

\



L

3

H

3



#

+

T

L

&

?

.

.

?

@



&

U

$

•

@

$

5

.

?

2

%

&

?

&

5

%



U

N

?

.

W



$

5

+

L

5

$





&

$

n

%

U

&

?

•

B

3

$

+

-

L

%

#

+

+

-

U

n

%

.

/

3

?



(

$

.

#



.

+



3

5

.

&



+

#



-

+

$

5

#

n

% U

&



?

#

#



$

W

$

=

n

+

#

?

?

#

#

.

.

@

+

#

?



5

n

#

?

Y

\

$

@

3

+

5

L

?

n

&

3

m .

#

?

$

`

›

.

&

+

%

#

5

.

#

+

.

.

L

?

5

#

?

U

#

?



{

N

$

‰

#

$

L

$

#

.

?

@

\

$

‰



Ž

#

#



?

5

$

L

9

#

U



3

.

.

?





#

5

9

5



?

$

@

@

#

.

Y

`

.

&

#

2

.

:



U

U

?

L

n

?

U

U

B

R



U

?

#

?

$

5

5

.

#

$

$

+

#

n

2

?

$

9



W

@

L

#

+

5

#

.

$

+

#

$

#

3

L



#

?

=

@

$

#

&

#

?

3



B

#



L

%

3

#

$

™

u

U

+

%

U

&

=

$

U

#

?

?



#

L

#

+

L

3

•

+



#

3

2

$

#

5

\

#

#

?

U



+

+

N

&

#

$

#

$



?

+



#

#



%

?

5

#

#



}

@





+

+

˜

&

@

$

#

2

#

$

#

@

2

.

&

N

?

2

$

.

B

+

%

.

.

+

?

#

%














































+

9

L

#

n

H

5

U

&

n

#



+

#

$

B



$ $

#

$



I

%

$

B



$

$

&





#

+

?

?

#

$





+

U

3



?

n

3

Y

#

$

‰

Y

.

•

%

L



N

#

5

$

U

#

@

#

%

#



.

%

+

&

?

.

#

+

3

%

I

$

$

\

+

&

#

#

3

W

I

#

5

2

#

$

#

@

p˙

N



.

2

U

?



3

+

#

$

%

#



$



.

L

5

#

&

3

3

@

N

$

3



.

n

•

\

#

#

#

$



?

#

v &

U



ˆ

#

#

N

5

#

+

+

2

?

?

#

.

.

2

#

+

F

#

B

5

+

#

#

N

.

?

W

.

&

&

N

U

@

?

T

2

#

:

$



#



*

#

L

?

.

`

$

@

2

5



Y

#



@

#

.

+

+

.

+

$

$

#



$

?

#

&

#



#

@

.

.

!

#

?

L

U

#

:

#

8

L

&





Ž

%



#

3



5

u

L

%







W



@



$

.

?



$



.

.



$

#

#

#

.



#

5

2

.



$

+



H



#

5







™

=

U



$

@

5

.



3

#

#

2





$



#



3

?

*



+

#

L

.



n



?

`



3

R



Y



%

}



.



.

$







#

$

.

$

5

L

#

'



#

5

?

#

/

#

#

?

#

#

#

.

&

$

.






&

.

n

`

U

.

+

.

&

?

%

?

2

L

.

5

$

#

0

2

#

&

'





$

.

#

#



$

`





}



Y

L

:

U

%






3

#

#

#

%

9

$

.

$



9

+




M

=

#

L

B

Y

`

T

#

?

$

#

+

L



`



#

@

&

5

#

#

?

#

#

&

n

$

#

?

Y



+

`

?

.

&

.

#

2

?

L

H

@

5

$

U

#

#

?

5

?

U

#



@

•

5

3

3

%

L

$

$

+

+

.

#



%

N

{

#

@

B

#

.

5

.

&

#



?

#

N

3



.

L



?

&



#

.

#

?

?

U

(

3

.

#

.

$

L

L



$

#

3

$

9

%

\

3

.

I





+

3



$

5

$



.

$

#

@

%



?

+

#

W

_

#

#

$

U

$



%

&

5

=

{



+



N

%

#

=

$

#

#

N

L



3

.



L

?

P

G

.

H

3

N



#

#



U

.

{



\

+

$



#

}

#

$

#

,



&



?



L

$

$

#

%

{



.

?

+

+



L

&

+

&

3



$

N



$



$

?

L

%

%

#

%

•

L

.





#

$

L



#

5

$

\

?



@

?

#

n



.

L

T

+

U

L

#

.

E

$

#

.

%

3

$

#

N



#

B

L

$

(

&

.



3

$

#

#

.

$

U

3

$

.

?

%

U

$

#

3

\

L

H

&

+



n

#

.

}

$

U

?

3

$

?

#

+

(

#

#

L



.

+

#

3

3

U

n



$

#

?

N

\

%

%

$

#

U

#

#

#

%

:

#

?

+

N

I

L

+

?

$

$

+

3



+

3

O



$

\

3

5

G



B



%

@

+

$

3

#



3

U

?

$

2

+

#

%



#



#

&

5

.



{

?

+

&

&





.

@

#



#

$



$

B

.

Y

3

?

B

%

+

L

2

L

$

.

L

#

#

%

.

?

{



#

&

$

+



I



.

%

$



#



#

?

L

&

Ž

&

L

n

.

$



$

5

L

$

‰

?

@

$



E

N

.

%



#

+

#

U

%

T

?

.

$

9

  

$

L

+

%

5

#



%

U

U

L

#

2

#

?

$

N

#

.

@

5



S {x, e} = 0 2

?

.

@

&

+

5



#

#

?

$

•

N

3

3

$

.

L

&

+

%

#

$

+



?

.

$

L

&



#





{

#

#

.

x $

.

?

#



#

3

$

$

+

?

#

9

L

+

#

+

$

#

(

$

3

T

.

L

?

%

$

$

L

L

%

.

E

$

L



L



.

{

L

#





{

#

e $

3

$

+

+

3



@

5

#

?

$

f



#

e

G

Ž

#

9

y $

f {y, x, e} = 0. E

f



f

G

„ 

?

?

#

n

$

+

+

#

#

#

$

}

$



B

 

?

+



L

#

?

$



#

%

Y

$

#

U

`

U

.

$

L

#

&

W

2

#

E

#

2

5

L

?

#

?

U

$

#

#



?

.

}

@

#



5



3

?

2

$

+

?

+

L

#

#

#

$

3



+

$

%

•

3

3



N

.

@

5

&

%

5

H

$



$

L

+

?

?

L

.



N

#

#

#



#



.

$

%

@

&



?

5

?



%

%

#

U

N

?

L

U

N

U

3

#

#

?

+

$

@

?

L

5

?

3

.

#

$

&

L

•

#

+

#

?

?

#

$

#

N

&

&

u

#

G

.

+

U

@

?

?

5

‰



#

?

?

+

&

#

#

}

N

%

#

$





$

$

?

#

W

#

$



+

9

?

#

2

˙ x(t) = S {x(t), e(t)} y(t) = f (x(t), e(t)) L

2

n

N



%

@

5

&

n

#



+

#

$

B



$

$

#

$





?

#

=

U



E

f



G

N

#

.

@

5



#

?

N

E

f



G h

E

&

5

?

#



N

#

?

+

#

$

•

3

.

%

2

2

#

$

f



5

%

d

G

$

L

h

‰

n

?

Y

`

.

.

@

&

5

#

H

:

U



@

3

#

#

.

$

+

U

+

L



+

T

$

.



$

5

%

%

#

3



2



+

.

3

&



$

2



5

#

?

#

‰

$

3

&

.

%

2

$

?

%

3

&



T

?

•

&

#

$

2

$

#

+

$

?

L



+

%

B

#

L

%

{

3

$

&

.



•

5

$

3





$

$

•

.

#

#



L

+

2

$

#

$

$

2

%

L

+

%

$

+

?

(

.

L



{

#

$

3

$

+

+

#

2

%

B

&

3

#

U

U

#

$

•

3

.

&

%

$

+

+

#

.



n

$

$

$

&

‰

#

%

#

.

L

+

&

.

$

.

@



L

5

%



#

$



{

$

#

L

.

‰

x $

T

?

3

$

.

L

&

%

%

%

$

$

3

.

L

.

+

+

+

L



#

#



2

.

{

=

#

Y

$

`

U

.

3

&

#

?

$

#

@

5

+

2

3

(

.



$

3

L

.

=

#

.

L

.

%

5

`

.

$

&

L

2

&

.

#

%

L

2



$

#



+

{



%

#

9

:

$

W



$

8

%

3

.

W

+

%

.

.

+

#



(

$



%

$

L

.

‰

3

.

&

%

$

+

+

#

.

Y

`

.

&

#

2

.

g

?

.

&

W

B

%

$

$

$

3

$

+

?

#

N #



&



%

9



L

3



$



L

#



#

3

$



B



?

5

&





/

?

.

N

#

#

$

?

#



#

?

@

#

.

#



`

.

?

&

%

&

#

#

U

#

`

$

%

2

?

.

@

5

#



#

&

`

?

:

#

.

2

'

#

?

$

&

.

0

@



$

&

?

$

3

?

#



U

?

@

5

#

.

Y

#

&

#



2

?

$

?

#



&

#

.

Y

E

#

%

N

G

?

L

.

&

%

N

?

U

#

.

Y

`

.

&

#

2

.

↔



+

#

&

#

&

#

#



e

#

&

n

(

$

.

?

$

.

@

N

B

5

&

&

&

%

N

?

U

U

.

.

#

.

%

.



.

@

?

&

#



?

+

.

.

U

%

↔ ↔

2

2





?



+

#

$



5

u

#

↔ 2

.

$

@

.

5

.

?

$

›



‰

e

?

#





e

#

B

$

%



$

$

I

2



L

U

%

?

@

$

5

%

#

3

D

@

$

.

B

@

$

.

.

?

#

+

`

#

&

&



Y

&

.

.

.

.

#

%

`

#

#



5

Y

#

5

2

.

#

&

Y

@

5



#

`

#

?

.



U

?

#



2

.

.

&

#

Y

2

`

.

&

#

2

&

#

.

Y

`

.

&

5

&

l

`

`

›

?

%

5



+

#



\

.



B

+

?

$



↔ Y

#

$

.

2

.

.



$



+

`

:

$

%

5

Y

5

L

5

$

Y

.

3

Y

.

$

#

+

7

$

$

$

$

$

#





5

#

L

B

?

?

+

?

$



0

?

T

&

#

2

#

Y



.

`

@

.

5

&

#

#

?

2

+

#

3

$

$

L

%

.

B

@



5

?

9

M

U

?

$

#

%





#

5

.

6

Y

.

+

`



.

&

[

#



"



%

3

.

%

U

#

.

Y

`

.

&

#

2



Y

`

.

&

#

2

2

?

&

=

.



↔ ↔

2



B

(

#

+

H

@



$

"

?

@

%

5



5

B

&



&

%

$

"

U

‰

#

?

&

:

%



?

%

$

&

#

.

Y

`

.

&

#

?



?

L

#

#



$



+



}

$



%



?

$

#

2

?

%

$

5

U

&

n

?

?



#

3

%

U

#

Y

#





#

&

U

#

#

%

‰

:

?

$





#

&

#

#

:

#

2

2

%

L



&

#

?

?

_





T



.

&

2

%

$



`

.

&

$

=

Y

`

.

?



.

Y

`

&

P

#

.

Y

#

%

:

%

U

↔

.

>

5

$

#

$

&

$

#

#

.

=

.

@

#

Y

5

`

%



+

.

&

H

&

#

#

@

5

&

$

?

.

2

$

:



$

Y

`

.

&

#

2

#

$

n

#



+

#

$

?

2



`

?

.

$

&

#

2

#

L

?

$

#

?

%

U

&



+

B



?

#

2



N

?



$



%



&

?









$



N



#



U



?

#



N

?





L



#









T

?





$



‰

#



U



.

l

?

/

L

?

$

%

U



+

.

(

3

%

.

3

L



%

+

$

?

L

#

.

T

.

?

?

$

L

$

‰

%

#

U

y U

.

?

L

%

3

.

+

#



.

#

U

N

#

$

?

$

#

%



B



2

N

?

$

%

$

xi #

%

&

?



#

%

$

$

?

L

+

#



n



U

U

#

$

$

3

$

#

?

$

?

L

#

Ž

#

?

.

u

?

#

U

9



%

R

#



?

L

Y

9

&

`

W

.

9

D

$

#

U

U

U

#

l

lin.

?

U

$

#

S(αx1 + βx2 ) = αS(x1 ) + βS(x2 ). /





D

yi $

#

&

#

S

#

&

"

0



+

?

H



%

5

&

u

U

0

2

@





*

$

#

%

#



&

.

\



&

.

&

.

#

.

`

N

#

?

Y

L

.

H

#

.



#

5

+

#

#

#

+

*



&

#



#

.





R

$

R

6

$

.

↔ 2



?

3









#

U

#

B

&





$

?

.

@

5

#

Y

@

5

%

U

&

E

f



G ’

3

$

L

#

$

%

3



?

$

#

%



?

&

H

&

D

3

$

Y

&

B

@

.

%

$

2

3



5



?

#

U

&

$

U

#

$

&

+



%

N



?



U

+

?

5



@

#

B

U

‰

&

?

$

&

$

3

#

$

.

@







#

1



 -

9



9




M



*



.





5

@

#

@

#

?

#

N





n

#

?

?



&

.





*

@

5

™





`

.

#



5

$

5

3

#

U



&

@

#

N

#

$

U

‰

?

B

%



Ž

$

3

#



L

T

$

#

#



$

#

?

N

L

#

5

u

W

#

+

?

.

$

N

.

?

#

5

2

3

#

L

@

#

R

%

Ž

%

&

%

#

%

$

$





?

L

#

.

@





$

&

$

.

#

?

%

%

$

#

Y

#

U

#



$

2



3

:

&

%

?

?

.

5

&

5

5

#

B

#

.

3

Œ

U

5



+

?

?

#

@

%

$

$

2

2



#

5

H

#

+

&

@

&

$

.



$

#

.

3

#

?

$

&

#

‰

?

n

5

&

W

+

%

.

@

`

#

#

B

L

H

Y



$

#

$

$

˜

U

?

N

3

$

#

n

.

%

$

5

W



$

5

#

U

$

B

3

&

U

#

2

Y

@



5

$

&

%

.

#

#

%

?

&

B

U



2

#

$

#

.

.

%

+

#

3



#

?

‰



?



$







#

.

?

$

L

n

3

B

#





/

T

5

$

$

#

+

@

3

#

2

$

3

U

$



#

$

?

B

&

#

#



&

&



3

3



E

.

#



$

$

@

$

?

%

$

5

%

&

+

R



n

\

B

U

#



N

#

L

$







$

&

W

3

3

B

2



\

$

$

#

#

$

$

$

&

$

?

.

.

#

%

3

.

+







D

&

#



#

.

3

$

@



5

?

#



$

+

Y

#

$

?

.

#

@

+

5

%

?

U

#

&

?

3

$

$

#

L

%

2



?

&

?

&

H

&

+

#



%

N

L

#

N

?

U

9

l

i(t) i(t) = S {e(t)}

e(t)

M

#

#

/

2

*

+

(

?



#

?

$

#

%



?

&

H

&

+

?

#

.

#

.

Y

`

.

&

#

2

.

‰

3

R

N

#



u



R



#

$

W

.

&

#

U

U

#

$

n

?



‰

3

$

H

@

5

.

&

D

+

?

#

Y

`

.

&

#

2

L

U

#

?

@

5

3

$

L

%

3





Y

?

#

U

%

3

&

#

&

 y(t)  i(t) = IS e k − 1 O

$

Y

+

#

?

?

#

.

#



=

U

#

?

e1 (t) = E

@

5

#

3

?

$

$

L

#

?

=

.

U

&

#


˜

?

@

5

™

.

u

#

%

?

$

$

$

#

3

&

$

#

L

2

u

W

.

#



E



L

%

&

?

U

3



%

E

N

5

H

$

L

?

L

#

\



$

.

&

%

$

&

#

f



j

G



&

i1 = IS (e k − 1).

&



#

#

$



#

D

+

$

u

R

y(t) D

G

#

#



$

+

‰

u

!



#

E

f



6

G

#









}

R



#

?

$

#

.

?

$

3

.







2

?

L

#

/

#

@

5

.

#

U

.

u

%

$

H

T

?

5

$

U

L

#

$

%

n

$

L

?

.

.



?

$

L

3

$

$

%

U

+

W

.

?

#

Y



#



3

5

2

H

2

U

#

&

%

+

#



?

$

Y

`

.

&

#

2

.

@

5



#

?

N

n

#

?

.

#

$



N

#

?

+

#

e2 (t) = U sin(ωt) L

#





#

5





L

"

?





N



&

.

− 1).

$

Y

u

%

$

?

E

$

3

$

L

#

@

5

f



e1 (t) + e2 (t) $

J

G

%

U

.

$

E+U sin(wt) k

i = IS (e 

+

2

3

U sin(ωt) k

i2 = IS (e /

$

"

3

$

&

#





− 1) = i1 + i2

#



n

#

$

+

3

$

L

:



E

f



G i

$

E

f



G ’

S {e1 (t) + e2 (t)} = S {e1 (t)} + S {e2 (t)} 

?

L

#

#



$

D

?

N

#

2



?

+

+

.

?

#

u

?

?

#

.

&

U

#

?

%

5

$

?

#

U

$

.

%







B

?

#

?

&

@

H

#

5

?

#

&

$

U

$

#

?

?

+

$

$

#

3

#

%



2

.

#

.

+

Y

`

.

?

&

Y

`

#

#

.

ˆ

2

?

.

&

#

@



2

5



&

#

U

+

?



Y

$

#

#

@

U

%

N

5



%

.

?

U

&

U

&

:

H

L

#

&

#



#

.

?

2

&

$

#

H

#

?

$

+



$

U



‰

E

?

?

3

@

5



?

N

+

#

.

#

&

n

‰

#

#

3

?

?

#



g

G

=

#

$

e

$

‰

.

f

?

W

#

L

#

2

9

$

3



.

.

D

2

%

.

$

u

?

2

#

U

?

L

&

#

N

‰

#

#

?

U

L

?

&

#

N

?

L

#

$

T ?

$

L

%





#

1





-

9

L

.

.

?

L

$

%

U

#

$

%



N

#

?

&

#

$

W

n

?

#

?

2

$

H

@

5

.

&

#

$

Ž

#

?



9

 





$



K




M



*





+





!







*



#

M

R

-







#





i(t) D

$

&

#



.

3

@

5

#

$

Y

?

#

+

?

#

?

$

#

%



?

&

H

&

+

#

.

%

N

9

D

L L



/

?

E

/

*





y(t)

R

#

(

n

H

=

N

?

U

+

#

&

#

$

Œ

9

=

U

?

#

+

.

2

?

&

l

D

e(t)

M

#

i(t) = S {e(t)}



5

U

G



#

$

R

%



+

U

?

.

#

•

.

3

#

.

Y

&

@

%

5

$

%

+

U

.

&

L

3



$



{

L

U

#

%

+

3

#

&

#

$

&

Y

&





2

?





?

#



?



#



#

$

&

?

%

U

L

U

#

?

@

5

3

$

L

l

D

L 2

?

d i(t) + Ri(t) = e(t) dt



%

?

.

3

#

%

T

?

.

$

$

+

$

.



#

L

$

f



e

E

f



e

e

G

&

y(t) = Ri(t). 2

E

@

5

N

B

%

?

%

3

5



#

?

‰



#

#

#

?

Œ

e1 (t) i2 (t) U



N

?

:

@

3

%

#

.

#

#





&

5

$

$

3

#

$

#

2

3

3

$

L

&

?

$

#

B

L

?

U

&





W

%

R

#

$

$

e2 (t) +

$

2





#

&



.

+

?





%

$

2



+

?

#

#



.



.

#

+

+



.

.

?



#

R

N

$

+

+

?



%

#

#



3





5

u

‰

.



@



%

#



3



L

R

?



#

Y



#

?

5

#

L



$







$



$

l



%

?







#

#

#





=

L

U





$







L

#

(













N

#

3





$

.

L

5





%

.



$

#

?

L

%



$

+



#

.

?

L

U

#

2 $

.

#

N

$

&

B

T

.

@

%

?



5

$

U

L

#

$



$

#

%

f

G

&

?

#

$

N

&

L



.

9

i1 (t) $

l

di1 (t) + Ri1 (t) = e1 (t) dt di2 (t) + Ri2 (t) = e2 (t) L dt L

E

f



e

G

E

h

f



e

d

G

M

T

?

$

#



(

5

+

+

%



%

3

.

?

+

&



?

[





$

"





(

R

.

5







"

&



%



"

3



?

6

"

>

:



.





U

L

&

+

%

$

$



=





_



E

f



e

G ’

l

di∗ (t) + Ri∗ (t) = e∗ (t) dt E

f



e

E

f



e

j

G

&

i∗ (t) = i1 (t) + i2 (t) /

?



P



L 2



di1 (t) di2 (t) + Ri1 (t) + L + Ri2 (t) = e1 (t) + e2 (t). dt dt

L 

6



%

5

.

%

Y

N

`

#

.

$

&

+

#

%

2

2

?

?

.

&

&

L

U

?

#

$

‰

#

#

%

?



L



3

$

e∗ (t) = e1 (t) + e2 (t) +

6

G

S{e1 + e2} = S{e1} + S{e2}

&

l

/

?



B



$

$

#

$

+

%

.

%

$

Ž

#

?

.

u

?

#

U

#

$

2

?

&

+

#





.

3

$

L

D

+

#





=

R

N

#



u



R



#

$



D

(

U

.

5



2



L

#

$

#



.

3

$

L

+

?

#

.

#





=

#

D



5 H

U

&

2

%

$

l

D

t

ih (t) = ce− τ 2

?

&

#

?

$

#



$

τ = L/R 2



L

#

$

#





@



?

5

3

#

=

$

#

N

.

#

%

.

&

2

?

&

U

2

2



.

&

3

#

$

$

L

\

+

#





$

.



&

%

$

=

E

&

#

#

c $



L

?

N

3

&

$

.

?

+

@

+

5

#

%

U



•

.

Y

#

3

?

&

2

B



2

$

f

.

#



&

+

e

%

#

J

G

$



&

5

#



9

D

$

3

$

+

+

#



u

%



&

?

B

3

U

H



#

$



.

3

$

L

W

n



N

#

?

+

?

#

U

#

&

‰

&

#



#

.



n

?

#

+

? #

D

\

U



%

$

.

.

.

&

#

%

$

$

&

E

c #

(

3

@

.

5

?

@

n

5

$

#

$

3

$



+

N

?

#

#

?

5

\



#

2



$

L

$

#

&

$

$

?

.

#

+



.

#

3



T

$

L

?

#

$

?

L

L

%

#

$

$

L

&

U

.

?

@

.

u

%

5

$

$

?

$

@

3

5

$

&

L

:

%



$

#

5

H

?

$

%

$

L

&



W





.







/



H

=

U

%

&

$



5

#

U

?

L

3





#

u



$

U

3

#

+

Y

%

$

n

?





$

&

.



?

%

L

%



n

.

U

+

$

5

#



#

@

$

.

.

$



`

.

#

?

2

}

5

L

#

$

#

2

$

+

#

#

&

T

L

+

?

%



2

%

$

L

#

.



W

{

.

U

#

.



U

N

L

=



%

+

$

?

G

u

$

$

E



L

?

(

$



%

$

L

.

N

#

+

?

$

L

3

$

L

#

$

W

+

#

N

#

%

n

?



%

$

N

5

9

?

#





%

#

#

L

e(t) $

D

U

3

W

$

&

+

L

?

n

2

#

?

?

%

&

N

+

#

+

#

#

#





#



Y

n



u

.



?

&

#

N

‰

3

$

3

L

#

?

2



+

•

3

$

#

#

B

&

?

?



&



u



?

3



$

+

B

#

#

?

$

#

t=0 &

u(t) $

e1 (t) = Eu(t) 

?

#

u

%



&

?

B

3

U

H



#



.

3

$

L

U

%

3

&

#

&

+

%

2

?

&



R

t

U

$

:

:

%

#

6

$

2

%





U

#



P

$

#

L

?

=





y3 $

H

•



U

&

?

:

@

#

_

L

?

5





U

&

%

.

@

W

3

5

N

.

?



#



R

N

%

3

5

3



$

@

#

5

#

$

L

$

n

?



+

?

#

.

#

Œ

#

@

5

$

3

$

L



+

#

.

T ?

$

L

%

$

L

.

.

?

L

$

%

U

.

#

N

#

$

9



#

?

&

:

#



.

@

5

?

#

N

3

$

L

+

#

.

(

3

.

L

%

$

L

.

.

?

L

$

%

U

.

#



L

?

N

&

?

.

&

#

?

$

Œ

9

D

=

U

?

#

+

%

3

@

5

‰

#

?

&

?

$

:

%



?

%

$

&

3

$ +

+

%

2

?

&

#

?

$

U

?

$

#

%



&

?

2

#

9

?

$

:

%



?

%

$

&

E



O

G

D

Y

`

.

&

#

2



 






Ž





#

U

#

B

?

N

?

#

#

$

3

#

+

%

&

$

$

.

&

#

U



U

?



#



+

?



+

?

L

u



$

*

@

{

+

#

U

#

%

.

n

N

5

2

#

.





?

#

$

#

3

.

/

#

?





#

#

?

#

?

.

R



&

%

+

(

3

.

@



?

#

.



U

#

&



%

2

$

3

$

0



$

O

#

L

?

-

#

?

$

$



5

T

%



=

?



L

?



#

.



&



$

#

:

&



%

2

&

$

#

0

L



%



$

$

&

5

#

+

3

Y

.

?

?

$

$

$





$

#

?

#



u

$

T

$



5

Y

#

$

?

3

#

{

#

#

*

?

#

$

.

5

0

+



%



-

&

#

5

+

$

5

+

?

@

W



U

.

B

&



?

5

3

&

'

N

@

+

%

$

$



#

2



3

#



U

5

+

3

#

U

#



5

#

?

?

&

.

#

&

&

&

U

&



B

.

L

%

.

3

$

.

2

+

$

D

%

2

*

:

?

?

L

&

&

#

:

#

.

+

&

U

U

?

2

@

5





5

N

9

+



?

&

?

=

#

‰

$

#

5

W

3

&

3

(

.

R

‰

#

*

#

#

#

$

0

2

W

$

?

?



$

$

#

U



$

?



&

&

%

Y

*

#

Y

B

#



‰

$

L

0

.

$

#

'

#

#

#

5

%

?

+

+

@



*

&

?



?



H

#

#

%

'

&

B

n

2

$

$

3

@



5



&

{

#

„ #

?

$

%

U

L

#

.



˜

R

5









&



n





#







+

#



$





W



+

™

?



#

$

+

#

3





?

/



L

U

#

#

$

e

?

L

R



+

G

?

L

&

#

›

2

$



?

?

#

.



&

#



$

?

+

N

3

&

?

?

#





$



? .

&



?

N

3

&

3

#

#

?

$

U

.

1

&

?

%

/

9

$

$

-

}

#

3

#



$

%

/

B

U

*

&

.

?

#



?

#

$

.

™



#

?

N

$

$

#

‰

#

#

?

?

@

5

.

&

$

?

#

#

&



&

}

3

9

E

B

&

:

L

?



U



$

\

W

%

+

?

u

#





?

e



#





&

2

%

U





$

+

#

*

δ(t) $

$

$



%

U



l

L

‰

#

+

#

$

?

+

.

%



-

&

R

+

#



?

$

/

.

*

B

T



?

#

L

&

#

3

#

*



.

@

5





$

@



%

#

5

U

%

&



%

&

9

#

$

l

 

δ(t) = f





P

}

2

˜

0 t = 0 ∞ t=0 E

f



f

G

h





b

δ(t)dt = 1 2

?

0 ∈ [a, b] &

E

f



G h

h

a I

%

}

U

&

$

#

H

B

@



5

$

$

1 #





$

U

L

&

W

#

%

n

&

.

#



U

U



.

@





5

%



#

3

@

&

N

#

?

#

$

5

.

%

L

#

$

W

x=0 ?

#

+



?

&

&

#

B

+

?



W

#

$

+



‰

?

#

#

#

$

%

U

&

U

&



%

?



#

#

‰

#

?

@

5

$

#

&

n

?



+

3

&

?

.

$

.

B

&

&



/

?

(



$

3



:

N

}



?

.

!

#

-



&

?



*

.

+

#

#

+

.

#

?

#

$

#

$

}

N



#



R

3

?

$

+

B

#

&

?

$





$

T

?

2

L

?

#

$

&

.

+

@

#

5



%



9



:

+



#





(



*

#

@

A

+

l

 h





∞

−∞

f (t)δ(t − t0 )dt =

∞

f (t)δ(t0 − t)dt

−∞ ∞

f (t + t0 )δ(t)dt

= −∞



+c

f (t + t0 )δ(t)dt = f (t0 )

= lim

c→0

D

g

+

%

:

.

2

#



+





.

@



5

+

?

n

3

#

(

?

B

$

&

3

+

+

.

#

&

#

N



U

#

3

N

$

$

+

#

?

+

#

+

?

+

#

L

#

#

$

$



}

.

}

3

3

@

$

$

5

B

B

%

&

&



?

?

&





#

$

$

?

.

#

$

n

$

‰

3

.

#

−c 5

#

$

W

B

%

$

$

2

#

%

f (t + t0 )δ(t) f (0 + t0 ) R



&

:



$

N

#

$



n

%

.

U

?

U

?

@

#

%

5

:

#

3

?

.

$

.



#

#





.

\

%

&

U

U

#

+

$

.

f



d

G

h

#

$



E

&

#

%

$

W



+

$

Y

&

#

&

%

#

.

:

U

.



U

#



"

+

%

$

.

?

O

@

5

$

&

&

#

L



L

%

?



$

#

%

U

‰

O

L

B

2

#



u

‰



3





U

L

#

.

#



B

$

&

3

B

…

n

?

$



.

&

&

?

_

#

G

8



+



#

6

=

D

$



E



%

(

3



@

"

.

5



1

n

#



$

6

$



5

+



%



.



.

&

(





#

"

.

$



G

L

5

2

6

%

=

"

&

5

#

=



2



"

%

&

;



?



.

@

"

.



5



$

%

&



$

B

%

$

$

+

3



@

5

}



U

L

#

$

%

$

L

#

$

H

5

#



&

n

#



+

#

$

E

.



L



#

?

$

+

#



2

3

%

T



$

2

.

?

#

#



#

L

?

#

#

#

&

U



9

$

&

Ž



B

5

.

B

3

%

$

$

B

$

B

+

?

?

#

+

O

.

#

$

$

@

U

&

2

u

?

#

#

&

3

+

U

+

?

?





}

$

.



3

$

+

B

&

?



$

$

%

?



#

U

.

=



.

%

?

?

W



@

.

?

#

+

$

#

?

$

‰

&

n

#

.

#



&

&

%

E



#



&

?



R

.

U

?

@

5

!

@

#



$



#

$

?

3

3

L

?

5

5

?

+

/

*

+

R

n → ∞ 

$

L

Ž

#

L



#

#

?

$

&

+

?

#

$

#

@

$

5

&

+

L





?



N

.

#

&

%



#

#

U

?

%

L

#

N

U



?

#

.



$

Y

3

&

`

?

?

#

‰

.





&

&

$

9

#



#



9

R



8

&

.

5



#

U

U





#

&

?

.

@

5

#

N

#



U

#

L

3

$

L

#

$

$

R

&

‰

U

?

@

5

W

n

?

#

?

$





U

L

#

$

+

#

2

Ž

#

?

.

u

? #

U

L

#

‰

#

?

L

&

n

#



+











#

1





-

9












#

@



A



!



/

*



(





M





!

#

/

*

(





*



#

M

R

-





#





3







/



?



-

N

#

#



&





%



@

-

+

5 &

R

#



$

/

+

*

?



%



#

#

*

?

.

&



3

$

L

3

$

+

+

?

#

T

$

#



L

?

#

+

#

.

5



2



L

#

$

#

$

Y

&





2

.

D

+

3

+



?

@

5

+

#

#

?

#

.

$

&

/

3

$

?

L

.

+

#

?

@



.

5

&

%

N

$

#

R +

?

#

$

&

.

#

?

$

#

.

Œ

9

=

U

?

#

+

#

.



/

?



n

#



+

#

$



#

n

U

?

&

%

#

9

+

}

?

3

#

$

.

B

%

&

3

?

@



$

5

%

N

#

$

$

?

H

+

5

#

#







u



&

#

3

#

U

.

#

5

#

$

W

+

%

.

.

D

@

5

#

$

+

#



\



$

›

L

3



%

&

?



$

:



L $

D

&

$

%

+

9

+

}

3

%

$

.

B

.

&

+

?



?

#

$

T

+

$

#

#





}

L

?

%

U

#

+

U

?

.

%

&

N



#



?

?

B



3

$

#

$

.

#

?

&

.

%

&

R +

$

3

&

$

#

N

L

?

U

?

$

#

.

#

?



N

&

&

+

W

%

9

D

2

?



&

?

=

#

?

?

$

.

U



#

#

#

L

?

@

#

?

5

u

U

3

5

`

.

$



5

&

L

2



#



.

&

?

#

$

L

B

%

$

+

#

$

U

?

.

L

@

$

#



Ž

#



5

%

#

&

%

.

=

R 

3

3

#

$

U

9

=

U

?

#

+

?

2

Ž

#

?

.

u

?

#

?



@

#

{

#

5

W

$

2

#

+

3

$

U

f



N

D

?

&

@

U

R

%

#

?



=

n



.

.

#

#

#



i1,h (t) L

D

Œ



U

U



5

5

n

$

&



$

@

%

L

?

L

R

#

#

#

&

+

n

?

?

n

#

W

B



?

#

&

$



#

N

?

$

?

#

T

#

#

+

%

$

+



#

5

#



?

?

U

%

5

$

$

&

#

9

?

}

#

3

$



%

B

&

$

?

L



#

$

$

:



#

2



5

2

H

#

U

$

&

#



$



.

@

5

%

U

&

:





L

%

$

L

%

$

#

?

$

#

2

l

h

−E − t e τ u(t) ; R

i1,h (t) = 

?

#

#

?

.

&

3

$

P L

D

%

2

/

?

+

#



.

&

%

$

+

?

.

&

+

%

$

+

+

?

#

T

$

#



L

?

#

%

2

/

?



+

#



.

&

%

$

+

∞

H= 3

$

.



U

U

+

?

#

#

?

.

&

3

$

L

%

U

.

#

?

$

#



#



#

#



E2 R

P dt = −∞

ˆ

N

τ = L/R.

@

%

5

$

#

∞

9



G h

&

.

?

−2·t τ

@

5

E

’



?

.

&



?

‰

3

&

?



j

G

3

τ 2R

dt = E 2

N

f

h

0 &

f

$

e U

E

E 2 − 2t e τ u(t) R

P = Ri21,h (t) = 3

$



$

%

3



L

E

f



6

G

#

h



%

.

.

&

n

#



+

#

$



D



%

3

$

‰

3

+

5

n

H

%

5

U

U

&

#

#

$

$

n

L 3

?



$

+

+

?

#

R

T

%

$

U

.

#

}



L

3

?

$

H #

B

&

?



$

3

#

$

$

+

:

+

#



.

R(H, τ ) = E 2 

n

?

#

$

$

•

H τ 2H

#

3

?

&

$



+

%

B

&

τ





τ B

G

#





@

&

W

&

$

#

3



$

B

#

3

.

%

#

$

‰

B

%

#

+

+

3

&



$



}

3





#

#

#

$

u

#

D

n

#

.

‰

$

U

N



?

U

5

#

#

#

&

3

5

&

&

@

B

.

?



#

5

&

+

#

.



L

@

B

$

?

#

$

$

?

L

L

$

3

U





#



+

%

#

+

$

+

:

$

.

#

u

%

$

#

?

#

N



L

$

1 #

B

U

3

?

+

5

U

%

W

#

$



#

#

@

n 



#

H

#

O

5

R

n

U

2

#



&

#



.

€

?

:

#

.



2

&

+

5

U

#



5

&

+

#

‰

.

?

@

$

&

$

$

$

?

%

#

$



2

n





L

#

#

$



#

&

#

#

R

n

n



@

}



N

5

?

#



$

$

@

&

&

&

?

3

3

$

?

}

.

(

3

@

/

9

#



}



%

.

#

n



U

%

%



Œ

#

?

3

+

U

&

u

•

$

5



2





B



*

:

$

.

O





#

3

#

(

€



$

#

L

+

U



N

-

U

$

G





3

u

-

}

1/n O



*









3

R





$

.

&

%

$

&



#

.

&

l

W

E

f



J h

G

#

$

M



5

6

.

+



[



"



(

.





"





"





6

"

>

:



P



=





_



τ2 2H

L(H, τ ) = τ R = E 2 

%

$

$

?

.

?

G i

2 · H − 2t e τ τ E

f



d

g

G

&

%

.

τ

5

:

+

 h

H = const. 

f

&

P = 2

E

%





#



%

?

L

{

&

#

3

W

N

.

n

#

+

?

$

%



W

.

B

3

N



$

#

$

$

+



#

$

2

#

@

5

?

$

3

&

#

$

+

&

.

#

#

N



•

#

%

#

?

?

B

$

&

L

:

#



#



$

L

5

.

#

%

&

N

U

%

#

&

$

&

$

#

E

#



T

/

$

+

%

#

$

5

#

U





L

:

#

?

?



.

H R #

$

&

3

$

L



O

#

?

3

$

#

$

$

•

$

#

L +

(

N

N

?





&

#



.

f



f



%

e

B

3

U

f

d

E

&

&



?

%

G



#



G

?

&

.

&

D

+

#





#



U

%

3



+

#



#

?

.

&

3

$

L



R



+



#

?

:

#



. @

5

?

#

+

#

$

#

/

#



&

#

:



τ $

D

(a)

#

‰

#

?

L

&



(b)

P(t) t

8

L

tanh(nt) 1

t =0.25 4

0

t =0.5

n=1

t =1

n=10

0

-1

-0.4













0











t

0.8

0.4

-2

-1



"

=





"

;





"

.







I

1

G

M

8

8





8

"



6

O

Ž

#

&

/

1



?

G

%

+

@

#

M

5



&

.

8

#

&

8



$

%

t

L

.

"

_

5



"

.









n

$

"

?

_



5

+

R +

L L

.

?



#

"

.

$





2

•



#

#

U

?

&

%

?



&

$

?

P

:

&

"

#

#

 +

$





_

(

:

%

U

D

$

&



#



?

(

U



%

"



$



+

[0, n τ ] U

.

.

#







#

>

=



:

#

5

%

.

U

6



5







(



"

.



+



_



V

tanh(nt)

=

2

1

0



&

%

2

#

&

$

#

n

$

?

#





L

?

#

R

N

#



+

#

2

l

 nτ

P dt = 1 − e−2n H 98%

0 }

R

L

.

n=3 

$

%

U



.

$

?

H

2

•

5

#



N

#

&

#

?

.

+

&

?

?

#

@

$

3

&

&

#

5



+

#

&

:

?

+

%

U

?

#

#

.

W

+

%

.

[0, 3τ ] U

#

?

.

&

3

$

.

B

.



L

%

$

?

@

‰

5

#

2

+

$

&

/



?

?

+

#



#

&



#

.



&



I

%

%

E

$

T

$

@

+

5

?

#

#



L

$

2

?

#

n

2

?

#

+

#

.

τ 



n

?

#

(

3

2

?

.

2

&

#

#



L

%



+



$

B

#

f

L

U



d

#

.

?



f

G

.

$

?

#

#

U

9



&

W

%

9

D

}

3

‰

$

#

B

3



#



U

?

&

L

?

&

&

%

#

.



$

W

+

9

#

W

%

}

3

.

n

.

$



?

.

B

#

#

#

&



.

.

?

5



%

?

u

$

U

#



5

#

&

#

N

`

.

#

$

?

B

$

$

B



5

+

%

U

#

.

: $

%

?

#

&

.

›

@



#

$

5

L

?

?

#

?

#

$

#



=

&





#

#

n



$

u

3

{

#



+

$

#

L

?

% W

N

$

&



W

/

+

?

?

#

L



5

#

L

%

#

N

#

$

+

$

3

%

.

$

.



#

%



U

5

.

%



U

R

&

#

N

#

$

:



9



$



5

`

.

?

B

%

U

?

.

@

5

#

=



#

$

‰

#

W

n

#

$

$

+

?

#

?

$

#

%



?

9

D

&

H

$

&

%

.

@

#

?

L

5

#

=

U

$

.



@

E

5

f

%





&

J

#





N

U

#

2

?

$

+

#

+

#



Ž

%

R∝τ G

h



$





%

&



R

3

3

#

$

U

#

+

2

$

#

%

@

$

&

5

#

$

=

@ ?

U



5

E

&

f

2



B

U

#

?

$

#

τ %

3



l

+

?

5



i

#

T

L

#

n

H

5



L ∝ τ2 G

h



#

?

$

.

@

5

%

U

&

.

.

&

U

?

#

$



?

+



.

&

2

W

#

#

&

&

.



?

+

&

?

$

3

&

+



+



@

?

5



#

+

.

%

#

.

?

#



"



"

Ž

%

3

#

U

#

2

#

$

&

#

n

#



+

#

$

+

%

$

$

.



L





.

.

W

+

%

.

.

?

5



#

?

$

#



%

…



?

_

&

8

H

&



.

6

#

=

?

5

L





#

%

$

.

.

@



5



%



&

#

$

D

:

#



U

#

&

‰

&

n

#



+

#

$

N

‰

n



+ ?

#

Ž

%

3

#

U

#

2

#

$

&

#

‰

#



.

&





&

n

#



+

#

$

  














?





?

+

*

:

#

#

Y







u

2

?





%

3

{



$

#



5

L



$

=

3

+





$

%



B



$

?

#



5

&

L

'

-



.



0

-

*

3

0

#

U

U

&

n

*

3

5





?

#

B

%



$

+

$

#

2

$

?



&







5

-

0

*

3

5



&

$

'

$

?

*

0



5

=

?

&

€

?

U



#

+

#









‰

#

?

@

5

#

$



3

$

B

&

?



sgn(t) $





U

L

#

$

9

1 (1 + sgn(t)) 2 E

f



d

G h

&

t |t|

sgn(t) = ?

:

0

l

u(t) = 2

$

5

u(t) $

&

5

#









‰

#

?

@

5

#

tanh(nt) $

$

9



}

3

$

3

B

$

&

B

?

&

?



n

$



R

t = 0) 

sgn(t) n→∞

$



(



R

?

#

+

#





+

3

%

2



B

.

&

3

$

%

#

U

$

U

sgn(0) = 0. +

$

#

2

$

%

$

%

U

.

=



#

E

$

‰

n

#



&

#

?

$

#

f





}

d

d



U

G

L

#

l

sgn(t) = lim tanh(n · t), E

f



d

G ’

n→∞

.



B

(



N

$

N

:

#





f

L

?



#

f



E

&

N

G

W

‰

B



3

$



$



#

#

$



n

+

?

#

3



&

$

U

3

?

@

5

$

3

.

@

$

5

L





#

?



N

%

#

+

?

#

.

#

}



U

L

#

L

U

#

?

@

5

2

H

{

?

L

L

#

L

#

sgn(t) $

$

   1 d 1 1 d  d du(t) = (1 + sgn(t)) = lim tanh(nt) = lim [tanh(nt)] dt dt 2 2 dt n→∞ 2 n→∞ dt 1 n = lim n→∞ 2 cosh2 (nt) = δ(t). E



%

Y

.



u

N



3

3

$



#

$

B

&

?



#





?

#

#

O

L

3

#

B

%

*

&

&

W

?

$

+



.

?

u

U

.

2

?

%

?

@



'

#

&

&

#

2



u

?

#

+

$



O

?



$





n

#

%

n

#

.

?

5

&

+

.

+



$

&

%

$



3

L

&

$

$

2

$

3

3







+

L

U



?

9

&

.



#

Y

3

U

U

+

&

?

0

#



$



$

?



@

%

5

?

$

&

.

$

+

&

?

#



5



?

N

3

2

#

&

#



#

$

?



$

$

B

‰

?

#

.





&

5

$

N

#

$

%

#







?

$

?

#

E

.

&



%



N

U

.

n

(



N

5

U

U

+

#

?

?

&

3

#

$

Y

€

?

n

?

#





?

#

$

$

+

#

.

&

$

#



&

‰



n

U

3

N

L

#

#

#



N

+

%

#

#

@

5

$

?

&

B

Y

#

%

`

$

$

.

W

&

+

$

#



2

%

/

#

.

.

$

?

#



+

2

.

$

?

?

2



N

?

#

d

j

L

u

+



3

#

G

$



L

9

G

?

.

&

+

?

#

(

$

&

n





&

+

?

#

.

#

.

Y

`

.

&

#

2

.

%

3



# ?

$

#

#



&

3

&

(

$

9

l

h(t) = S {δ(t)} . &



0

&

&

#

B

#

.

B

$

$



`

$

$

3

3

#

.

?

}

0

$

U

Y

%

Y

5

3

2

&

f





%



%

$



@

N

5

&

#

%

#

.

$

@



5

.

&

$



#

H

H

2

$

U

U

B

3

$

L

&

U

n

?

@

E

5

+

%

#



@







5

2

.

O

#

2

%

$

u

U

+

#

3

2

U

.



(

3

$

3

B

.

&

L

?

%



$

$

L

%

$

U

?

.

@

5

}

f



3

&

d

:

$

6

#

B

G

9



9



M



5

6

.

+



[



"



(

.





"





"





6

"

>

:





h(t) = S {δ(t)} = S 

?

.

@

@

#

5

5





#

#

H



$

$

&

B

+

%

&

#

3

#

.

@

Ž

5

3

S .

#

+

?

$

#

$



L

L

U

3

+

%

3

$

#

N

L

.

=

&

#

E

$





$

#

R



$

&



‰

n

+

n

#

?

#

#

$

.

?

#

&

=





_



 lim fn (t) = lim S {fn (t)} .

#

L





n→∞



+

P

.

2

#

#

Ž



&

?

#

%

&

+

3

+

?

.

E

f



$

@

#

L

5



3

3

Y

$

$

L

L

`

G



.



&

#

T

Ž

#

2



.

?

L

N

3

#

?

.

$

N

B

&

@

&

?

5

$







H

$

@

$

?

5

B

.

&

n

&

#

$

#

?

$

3

&



#





O



#

9

R

W

Y



5

.

&

+

?

#



#



&

%

3

.

@

5

3

$

L

#



U

%

3

N

&

`

.

&

$

#



2











#

1





-

9








P

3

1

/

-

#

+









!

*





*



#

M

R

-







#





7 Ž

#



#

@

5

$

#

$

Y

?

#

+

?

#

O 2

u

3

U

.

%

$

&

n





&

#

?

$

#

.

Œ

9

=

U

?

#

+

#

.

#



.

&

#





+

$

3

$

L



D

M





#

%

2

+

}

+

?

3

#



.

n



$

(

%

$

#

?

*

+

#

#

/

$

}

?



B



U



#

.

&

L

?

?

B

#

Ž

R



#

&

#

$

E

N

#

?

$

.



&

&

#

5

n $

#

#

#

G



:

?

?

2

?

}

#

G

$

$

+

3



$



Œ

#

%

@

#

B

&

‰

5



?

.

#

@

2

$

3

&

O



#

B

$

&



u

#

‰

3

3



#

$

U



U

$

B

.

L

n

&

?

%

$

&

#

E

?





$

n

}



?

$

&

$

2

#



3

.

+

&

%

+

2

?

#

&

@

5

2



}

n

#

Y

U

?

$

u

H

@

#

&



5



%

3

U

?



$

?

U

L

1 #

L





%

.

L

&

W

#

3

$

$

N

?

B

#

.

2

&

&

Y

?



?

?

2

$

9

$

#

u(t) $

l

     n T T δ(t) = lim u t+ −u t− n n→∞ T 2n 2

n T T 2n

#

#





2

$

T 2n E

f



d

G i

/

?

$

3



$

N

L

#



&



%



%

.

@

Y

5

&

#

`

$

.

&

+

#

?

#

2

Y

?

.

&

u



N

3

#

.

$

L

@

5

%



L T

.

L

?

U

$

?

&

#

n

N



#



7

y &

$

+

3

#

?

$

#

.

Œ

9

Y

`

.

&

#

2

.

#



.

&

#







@

&

9

5

di + Ri = u(t). dt E

f



g

G

’

&

t

?

+

D

y = (1 − e− τ )u(t). I

τ = L/R L

?

U

&



R



+

#

$

Y

`

.

&

#

2

%

3

.

L

%

$

E

f



e

G

’

L

  t+T /2n t−T /2n n n 1 − e− τ 1 − e− τ u(t) − u(t) T T  n = u(t)e−t eT /2n − e−T /2n . T

hn (t) =

3

$

+

2

?

&

sinh(x) = 12 (ex − e−x ) 3

$

+

J

N

?

D

?

d

G

n→∞

T



n

#

?

&

#



$

2

?

&

τ l

E

f



f ’

G

#

#

9

#

?

$

9

L



…

_

8

/



#

3

6

L

$

=

#

5





%

.





5

6

=

M

;

6



"









+





P

8







+

5





%

.





;



"

6

"





5







P



=





_



  T 1 −t 2nτ τ sinh hn (t) = e u(t) τ T 2nτ

∞ x2n+1 sinh(x) = n=0 (2n+1)! → x |x|→0   T 2nτ sinh → 1, T 2nτ n→∞ $

+



L



U

L

U

?

@

5

U

%

3

&

#

&

+

?

#

O

2

u

3

U

.

%

$

&

n





?

U

E

f



G ’

h

&

E

f



d

G

’

&

1 −t e τ u(t). τ

h(t) =






E

f



G ’

’

 






$



*

5

?

/

?

(

#

?

#

N

.

U

?



#

?



$

&

?

n



#

Y

Y



u



3

?

&

$

L



N

?

U

&

@

#

?

$




'

$

U

?

#

+

#



#

W

?

?



L

&

$

+

n

U

.

U





U

&

#

&

&

%

#

&

3

$

$

$

B

%

&



5

.

$

%

%

B

#

L

3

2

5

$

‰

&



.

#



3

#

.

2

&

#

&

?

*

0



5

=



?



:







5

=

&

5

0

3



0

?

O

&

?

.

#

?

u



3



$

+



u

3

#

u(t) ?

.

&

2

%

2

%

$

U

#

.

?

#

O

#

&



$

?

3

#

2

u

#



$

B

$

3

&

&

T

U

n

?

?

.



#



?

5

#

$

+

$

$

3



.

?

B

#

&

&

&

?

$

?

.

.



B

+

#

u



$

%

E

$

$

$

3

&

?

$



#



.

L

U



@

5



&

?

%

}

Y

2

O

9

#

?

2



3

`

&



#

#

L

B

&

+

U

$

.

#

&

?

2



‰

$



$

%

+

#

?

#



?

U

&

%

n

?



U

?

$

#

%



#

Y

`

.

&

&

U

$

?

‰

#

#



?

2

N

#



%

U



@

5

#

?

.



&

#

L

$

#

$

W

+

?

#

Y

`

.

&

#

2

%

$

&

n





&

+

%



%

3



n

#



+

#

%

U

.

Y

u



3

$

L

9

l

&

#

2

#

N

#

&



%

@

5

&

#

$

W

3

$

+

E

f



j

G

’

+

%

+

?

#



?



#



#

$

&

?

%

&

?



$

U

?

$

#

%



?

.

&

W

l



#

%

n






dS {u(t)} da(t) = =S dt dt &

G

$

a(t) = S {u(t)} L

*

5

L

#

.

:

#

$

&

`

5



3

.

0

?

.

`







Y

@

3

?

u



%

a(t) &

#

Y

#

$

0

0

Y



+

#







L

.



#



5

'

#

+



$

#

&



N

L



3

?



%



&

+

$

$

'

:

#

3

$

5

N

&



?

%

?

#

(



5

U

$

n

&



N



#

U

#

.

#

$

?

?

Ž

.

&

#

.

.

?

#

# 

#

5

‰





n

N

H

%

?

:



#

5

?

5

3

#

$

U

$

#

L

&

?

?

$

n



3

.

&

%

$

@



+

5

R

#

#

&



‰

U

W

N

?

.

?

#

@

5

.

&

W

&

+

?

?

#

#

1

.

#







%

2

#

?

@

$

U

5

+

&

U

%

9

H

?

.

}

.

3

= S {δ(t)} = h(t)

#

Y

&

u

%

$

B

U

&

?



3

.

$

+



L

?

$

%

&

#

O

#

@

$

&

2

n

5

u

$

?





3

.

U

@

&

.

?

%

$

5

$

%

&

$

n

3

%



%

f



U

&

U



L

W

#

.

+

$

#

ˆ

Y

$

H





!



-

9










*

P

3

1

/





&



1

/

*

(

+

-



#

+













*





!







*

M

R

-



!





5

#



3



/

@

A

:

-





R



7 Ž

#



#

@

5

$

#

$

Y

?

#

+

?

#

O

2

u

3

U

.

%

$

&

n

 

&

#

?

$

#

.

Œ

9

=

U

?

#

+

#

.

#



.

&

#





+

$

3

$

L



D

#

?

&

#

$

Y

?

#

+

%

‰

3

+

?

#

Y

u



3

$

L

%

$

&

n





&

+

?

#

.

#

.

Y

`

.

&

#

2

.

%

N



D

M



#

/

?

/

*



N

(

#



&



%

@

5

&

#

$

E

n

?

#

? 2

:





?

L

#

$

Ž

#

?

.

u

?

#

U

G

n

?

#

+

#



3

2

+

?

#



=

+

#

D

U

?

#

+

#

.

#



.

&

#





+

$

3

$

L

N

#

?

(

$



#

L

3

$

L

2

?

&

+

#



Y

u



3

$

L



3

$

B

&

?

.

ΠD

7 =



G

$

l

.

n



*

`

$





6 ’

$





E







+

2



du(t) dt

9

9

$

?

L

#



M



5

6

.

+



[



"



(

.





"





"





6

"

>

:



P



=





_



di + Ri = u(t). dt

L

E

f



J

G

’

8



?

.

#



.

$



%



2

#



#

%

+

%

$

?

n

$

3

‰

U



.

#

H

#



#





N

5

5

5

%

U

%

%



U

?

#

U

$

&

&

.

n

#

#





+

$

&

?

$

?

n

R

?



$



#



+

?

B

3

?

@

5

?

&

O

+

2

$

#

&

#

$

N

+



&



?

Y

#

&

?

5

2

%

`

2

.

&

#

#

&

?

‰

?

n



+

#

2



I

u



&

$

&

&

.

+

3



0

3

?

U

.

{

%

@

#



5

%

$

L

%

$

@

&

5

&

n

3



$



R

2

?

&

#

?



L

W

+

%



$

#

R

}

+

?

3

$

#

B

Y

&

u

?





3

$

$

#

L

$

%



$

?

L

&

R

3

L

H

$

N





N

#

L

+





#

#

?



U

L

n

#



f

#

t=0 ?

$

?

@

5

&

&



G ’

N

W



+

?

i



#

9

&







&

E

a(t) {









$

U





#

#

?



}

@





5

3



$

&

&

3

f



j

g

G



B

‰

E

?



N

$

#

#

.

&

$

?





2

U

2

L

#

#

5

$

%

+

#

N

#

$

$

Y

n

u



?

3



%

$

L

U

%

.



$

&

9

„ 2

R

#

.

.

?

.

@

&

#

5

#



#

%

+



B

@

&

#



n

#

?

.

#

+

%

a(0) = 0 5

N

#

?



#

+



@

5

.

#

u

%



%

&

  

=

&

#

?

(

$

#



5

+

3

a(0) 



5

&

U

.



@

?

$

#

n

?

#

N

#

W

$

U

(

$

$

&



#

$

#

(

U

#

5





U

€

@

B

#

#



#

%

$

#

&

&



?

+

.



$

#

=

.

#

?

n

3

$

&

‰

#

&

$

$

?

#

.

T

%

U

$

2

#



2



&

N

&

?

2

5

?

.

.

u

#

&



/

2

5



#



@



N



B

3

n



#

L





?



&

  da 1 t 1 t t = e− τ u(t) + δ(t) 1 − e− τ ≡ e− τ u(t). dt τ τ   

h(t) =



#

τ = L/R t>0   t a(t) = 1 − e− τ u(t). &

$

#

#

3

}



.

?



&

$

#

%

#

.

U

L

U

Y

#

#

W

`



$

3

.

&

N

#



$

2

R

.



+







.

#

#

R

+



:

#

$

$

+

#

#

#





3

.

@

5

#



?

?

(



#

$

#



+

#



#

#

$

$

L

&

#

?

3

(

$

%

U

$

L

L



U

%

#

?

#

3

@

L

@

5

3

$

5

3

L

#

$

L

?

#

#

$

$

N

#

$

$

E

#

#

u

9

%

3



#

&

?

9

D

B

3

U

H



#



.

3

$

L

G

N

#



#

@

5

$

#

&

n

#



+

#

$

2

3

.

.

W

3

2

+

?

#

(

$

&

n





&

+

#

.

Y

`

.

&

#

2

.

‰

3

›

$

+

#

$



D



?

+

?

#

(

#

$

Y

u

A







3



$

&

L

%

%

$

3

&



n

+



?



#

.

&

#

+

}

#



%

Y

L

3



9





















!







:

*









+







.





(





&

%

#

3

&

2

.







#

&

‰

˜

$

3

#

B

?

#

$

$

™





!

+







/





*

(



#



h(t) 

T

#

.

$

#



+









+

#



U



#

•

?

#

&

?

#

&

?

$

$

+

:

%

?



#

.

?

#

%

$

$

•

‰

3

+

.

#

%

.

2

Y

2

`

.

#

&

#

$

5

2

%

$

.

&

%

3

.



#

?

@

5

#

$

+

W

+

?

#

O

2

u

3

U

.

9





Y

#

#

?

?

3

$

$

$

3

#

B

x(T ) T $

2

&

B





$



.

+

&

%

%

#

$



E

$

L

‰

?

3

U

$

&

H

@

n

5

#

L

.

#

&

$



#

+

.



3

&

#

#















x(t)



























#









L

%



@

#

5

&

‰

W



&

x(T )h(t − T )dT

−∞ 5

R

∞

#







#



.

&

T

#

.

?

.

T .

E

h(t) = S {δ(t)} &

3

$

+

G

/



#

?

$

#



%

&

#



?

?

&

H

$

#

&



%

+

#

$

.

f



n

j

#

e

L

G

#

$

l

h(t − T ) = S {δ(t − T )} . u

+







?

.



=



S {x(t)} = x(t) ∗ h(t) = /

?



-





$









U



-



#

`









.









n





N

&



#

Y

L

`

E

#

.

$

&

+

#

#

2

$

.

}

3



I

$

B

3

&

U

&

?

?



u

$

U

‰

?

B

%

3

f

2

&

?



j

•



#

$

f

?

G

&

2

9

?

&

$

D

&

#

$

}

%

B

&





x(T )

l



x(T )h(t − T ) = S {x(T )δ(t − T )} . E

f



j

G h



M



5

6

.

+



5

6









+

7 

%

%

3

@

5

+

?

#

O

$

&

#



L



%

%

.

O

$

&

#

L



%

U

%

3

?



$

#

?

$

#

U

?

$

#

%



#

u

#



%

&




∞

x(T )h(t − T )dT = S

−∞ 

&



+

#





#

@

5

&

#

$

Y

#

?

&

#

?

.

?



$

$

%

@

.

&

W

L

?

U

&



#



$

#





∞

x(T )δ(t − T )dT

−∞

&

?

5

E

f



d

G

L

U

#

?

@

x(t) 5

h

.

@

5

U

?

#

{

U

?

@

5

.

@

5



#

?

N

#

$

B



$

$



#

$

∞

?

#

.

#

.

O

$

&

#

L



%

U

n

?



+

%

U

#

n

?

#

.

T

U

%

3

#

.

&

#

$



?

&

+

%

.

&

2

%

$

@

5

2

%

U

5

?

U





%



-

#



.



+

%

.

j

.

d

G

n

?

L



/

*

(

#





*



N

(

+

#

‰

#

?

@

5

$

#

&



E

f



j

G ’



%

2

?

&

?

.

&



5

#





#

2

f



e

-

 

l

$

.





?

@

5

∞

&



R



=

U

$



E

f



j

G

3

T W

+

3



@

(t − T ) 5

‰

3

.

3

N

.

&

?

&

3

?

#



#

$





%

.

T



L

#

x(t − T )h(T )dT = S {x(t)} .

−∞ I

W

f

l

.



N

E

x(T )h(t − T )dT = S {x(t)} .

−∞ 

.

$

+

E

f



j

j

G

l

x(t) ˜

’

n

?



+

2

?

E

h(t) &

N

L

#



%

U

&

#

&

™





?

#

}

$

f

%



U

?

&

j

.

j

3

G

$

L

7 ?

.

&

B

#



N

2

#

$

2



3

&

%

U

%

U

&

.

?

#

:

?

W

$

#

#

U

.

L ?

?

U

$

#

&

%

%



U

#

.

u



#



%

&

?



$





?

#

}

%

U

&

3

$

L

?

.

&

n

#

L

#

$





%



Y

3

N

.

&

?

&

3

?

.

5

#



5

%

N

#

$

n

?



$



@

?



$

l

S {x(t)} = h(t) ∗ x(t) = x(t) ∗ h(t). Ž

&

5

$

?

@

5

&

+

?

 #

+

/

#

+

-





+

#

.

Y

`

.

&

E

#

2

.

N

#

&



%

@

5

&

#

f

&





j

6

}

G

R







B

%

3

N

#

%

U

.

#

%

?

.

U

$

#

Y



3

`

.

.

.

#

&

#

$

2

W

#

+

?

B

#



N

$

?

$

.

#

‰

3

$

$

2

3

•



#

?

.

&



u

U

3

@

5

$

#

B

/

#

t &

%



3

&

#



+

+

#

#

.

$

T

Y

?

`

.

$

&

L

#

%

$

2

#

L

?

.

$

L

.

?

%

L

$

$

%

L

U

L

.

#

+

U

#

%

$

$

L

(

#

3

$



.

T

$

%

.

$

L

L

?

U

&



h(t) = 0 ∀t < 0 3

L

+

+

%

2

?

&



R



+

?

#

N

#

?

+

#

$





%



.

&

#

U

U

3

$

L

#

$

+

#



}

%

E

U

&

3

$

L

f



∞

E

f



x(t − T )h(T )dT = S {x(t)} . E

f



0 

#

1





-

9








!





@

A

*

/

*



(





P

3

1

/

-

#

+











*









*

M

R



!

-







3









-

#



+

-

/

*

(



7 Ž

#



#

@

5

$

#

$

Y

?

#

+

?

#

O

2

u

3

U

.

%

$

&

n





& #

?

$

#

.

Œ

9

=

U

?

#

+

#

.

#



.

&

#





+

$

3

$

L



D



#

M

O





n

$

#

#

Ž

/

$

+

*

#

#

(

?

.

$

Y

?

#

+

%

‰

3

+

?

#

}

%

U

&

3

$

L





u

?

#

U

f



5

%

&

&

#

$

n

?



%

U

.

(

$

&

n





&

+

#

.

Œ

’

$

3

$

L

.

.

u



3

$

L

9 =

U

?

#

+

#

.

%

3



#

?

$

#

$

Y

u

%

$

9

D

x(t) = u(t) +

?



#

B

&

5

#



L

#

U

#

?

&

#

&

E

n

?



U

%

.

.

#

j

G i

 

G

l

x(T )h(t − T )dT = S {x(t)} ,

−∞



J

t





j

$

?

$

+

#

$





U

L

#

$

+

#

$

6

g

G



M

Œ

#

%

@

$

?

5

$

$

#

2

?

3

5

2





.

L

+

#

#



[

$

$



+



"

%

}



(





u



3

$

L

%



$

#

&

"

u(t) .

R

.

?

$

n









n

"

#





L

6

W

"

>

+

:



%

P

n

?



=





+



%

_



.

Œ

=

U

?

#

+

%

U

.

#

?

$

B

%

3

.

%

U

#

.

Y

`

.

%

3

.

%

U

#

.

Y

`

.

&

#

2

?

.

&

+

?

#

Y

u



3

$

L

%

$

&

n





&



R

?

#

$

?

%



5



%

O

.

n

$

&

&

2

?

n

&

#

u





.

$

&

L

U

+



$

3

3

5

#

%

.

$

&

$

#

#

&

+

L

3

#

#



+



5

n

U



#

$



#

.

?

W

&

@

Y

+

%

+

5

&

?

+

#

&

2



`

.

&

#

2

.

.

@

5



#

?

N

#

$

n

?



+

%

5

#



%

U

.

l

t

+

#

t

:



P



=





_










5

=

?

5





/

Y

&

#



%

(

9








&

C



#



h(t) = u(t)te−t ?

?

$

G

G

N

*



+

G

Ž

?

#

#

2

Y

?

T



?

&

u

#

L

@



+

$

#

5

3

#

$

%

}

$

L

Y

L

2

%

$

.

%

.

?

?

$

U

&

&

L

+



?

#

O

+



2

%





u

3

U

*

.

%

+

$

&

/

n

#



P



&

3

#

?

n



$

%



L

&

.

?

+

$

#

&

.

#

Y

L

`



%

.

&

#

2

.

∞ U



*

(

9



9




&

#

.

-

Y

#

+

`









*

.

&



#

2

.

x(T )h(t − T )dT

−∞ U



/

$

/

u(t) E

?

.

&

+

?

#

Y

u



3

$

L



3

$

B

9

W




x(t) = 

1

#

3

$



3

C



#





3



+



%

?

#

Y

`

.

&

#

2



#

%

B

&

?



$

%

3



+

%

.

et t < 0 . e−t t > 0





+



*





R

&

@

A

+

-

/

*

(







?

#

O

2

u

3

U

.

%

$

&

n





&

#

?

$

#



Œ

Š

9

Y

@

5

%

U

&

3

$

L

h(t) = u(t) Ž

#

%

B



&

#

?

@



5

$

$

#

%

$

3

Y



+

?

%

#

2

.

?

Y

?

&

L

+

$

#

%

U

2

}

%

U

&

3

$

L

.

?

$

&

#

L

?

.

&

E

2

?

&

Y

u



3

$

L



3

$

B

&

?



1 −t/(RC) e . RC ∞ x(T )h(t − T )dT −∞ 

%

α x(t) = u(t) t, T

U

2

?

&

α > 0.

u(t) $

+

?

#

Y

G

`

.

&

#

2



#

9












































T

.

‰

‰

#

?

#

&

?

?

$

L

&

:

.

%



?

?

@

%

5

W

$

&

+

%

#

.

Y

`

.

#

.

&

.

#

?

2

$

+

#

#

E

$



2

O

9

#

Y

?

`

.

.

&

&

#

#

$

&

2

#

#

W

@

U

?

5

$

$

?

#

%

.

@

5



&

#

?

$

Ž

2

#

#

?

U

$

%

:

$

%

L



?

#

%

$

%

$

&

3

G

.

#

?



#

$

?

‰

@

3

5

.

&

#

W

&

U

‰

?

#

$

#

$

%







#

%

9

D

„ N

#

#

?

?

.

$

N

#

#

?

%



$

&



u

R

3

O

&

$

9

2

N

#

L

Y



3

`

.

%

.

@

$

&

#

$

.

5

%

+

3

+

2

#

?

5

N

#

#

@

%



$

+



#

Œ

&

?

B

Y

L

@

#

$

#

n

?

#

B

U

#

2

%

3

U



&

U

‰

$

&

u

%

L

n

.

#

$

9

3

#

2

3



+

(

$

#

%

&

+



$

5

Y

(

&

#

?

?

%

3

+

`

2

#

.

U

#

&

3

%

?

3

.

$

&



#

B

.

@

$

#

?

5

L

5

#

.

2

@

&

=

U

$

#



&

?

$

#

I

@

5

3

#

$

$

%

?

+



&

#

5

B



$

#

n



+

3

#

Y

#

&



`

#

+

#

#

&

$

‰

+

.

$

#

W

$

?

2

#



+

Y

#

2

3

?



}

L

.



U

$

$

#

#

B

%

u

L

+

U

‰

$

:

?

#

#

+

%



U

#

$

$

%

U





$



9

R



%

.

&

D

%

3

.

.

@

5

U

?

#

{

U

?

@

5



O

9

Y

`

.

&

#

2

#

N

#

5

%

$

+

#

U

&



(

$

L

#

L

#

N

#

$

#



Y

&

#

U

U

#

n

?



+



#

+



@

5

+

%



9

D

%

3

‰



#

5

?



&





?

$

#

%

?

#

.

2

#

?

%

U

‰

3

.

#

#

%

$







?





#



Y

?

/

?

N

3

%

#

L

$

U

.

5

L

#



%



N

#

%

@

5

&

%

.

.

#

&

?

&

&

&

5

#



+

?



n

$

?





.

+

#

.

B

#

+

5



$

&

W

#



#

&

W

$

.



U



U

3

$



L

?

.

/

U

&

U

#

&

%

#

#

?

$

‰

5

.

#

&

$

$

Y

`

.

&

#

2

$

?

@

5

&

U

?

$

#

%





+

#



$

?

@

5

&

#

#

#

?

2

#

$

*

0

$

+

?



#

#

*



n



?

'



@

-



5



+

&

#

?

?



L

0

&

.

?

#

&

#



?

:

$

$

?

?

L



#

$

'

=

0

+

?



#

.

?

3

#



$

?

+

2

N

#

D

L

$



&

#

?





#

B

%

9



3

n







$

?

`

+



*

=

Y

$

!

3

&

$



.

$

#

:



/

?



#

#

*

N

?

‰

I







$

#

#

*



3







:

'

:

@

$

‰

*



%

%

0

L

?

.



$

&

2

*

$

%

&



K

?

n



2

2

W

#

?



5

#

.



5

&

.

&

0

@

%

#

$

&

Ž

&

n





+

?

L

:

#

$

u

$



?

3

?

?

Ž



#

*

L



?



#

L

#

N

3

$

+

#

$

l

#



.

&

#

$

.

%

$

+

?

#

Y

?

L

$

%

9

„ U

#

3

2

%

$





+

&

U

?

L

‰

#

.

@

@

5

#

?

%

+

‰

#

5

#

3

@

#

3

$

$

5

@

?

?

#

.

5

.

.

?

Y

?

?

@

L

$

%

U

U

B

U

%

#

.

$

.

#

%



%



N

&

$

#

?

U



.

#

#

x 

&

#

?



2

.

3

#

#

#

?

.

?

@

&

5

#

$

+

#

#



$

#

Y

›

`

$

?

.

&

?

&

#



2

#

$

+



?

T

#

.

?

#

$

#



%

N

#

N

?

.

+

&

#



%

$

B

&

Ž

#

#

%

L



?

N



#



#

%

B

?



$



$

9

&

#

l

&

#

%

U

:

#

B

.

$

%

U

5

#

.

#

$

%

&

5

%

L

L

$



B

&

?

#

$

U

5

Y

L

%

.

?

%

?

2

.

#

$

?

#

3

&

$

.

&

%

.

L

$

#

#

$

?

&

&

3

#

$

O

#

U

W

+

#

u

#

$

#

#

‰

.

&

2

?

?

%





#

›

$

#



#

&



#

:

?

‰

B

?

$

‰

$

#

#

$





%

#

$

U



&

?

2

#

U

$

#

3

$

#

?

Y

%

%

$

#

U

%

&

%

%

U

#



+

B





$

#

U

#

$

?

U

%

+

#

#

$

L

W



2

L

?

2

#

L

Y



%

?

U

O

#

?





L









.

Y

&

$



.

.

B

#



$

+



$

#

%

U

%

3



#



&



‰

%

`

3

2



X 2

&

3

u

#

2

3



L

2



L

#

$

B

?

&

%





$

H

&

&

@

2

.

5

#

#

.

R

#

#

‰

&



#

U

N

#

$

#

5

.

$

&

&

$

&

#

2

2

%

U

Ž

l

?

9

#

2

9

&

2

n

&

#



9



/

T

H

#

Y

?

%

U

#

+

N

{

%

$

.

#

$

?

L

+

L

$

L

%

?

T

#



2

Y



&

3



$

3

?

%

+

?

x∈X ‰

#

5

$

T

n

?

$

#

.

?

?

L

&

$

#



%

5

U

:

?

#

$

n



%



#

N



#

+

?

#

&

#

#

$

?

+

$

#

#

.

\

Y

U

`

.

%

.

&

#

.

2

#

:

?



.

&

$

(

%

3

N

.

N

&

?

5

U

#

+



3



$

#

L

&

#

?

.

$

@

+

5

#

#



›

Y

$

?

?

@

#

5



&

&

S : y ⇐ S(x) l

:



U

U

.

&

H

$

+

?

L

+

3



@

5





L 



.

#

?

L

$

$

Y

#

%

?

(

U

L

B

$

S

%

:

N

U

%

U



U

B

U

(

?

.

U

.

U

N

.

.

"

3

?





(



L

%

.

.

E

+

=

$

+

#

$

ˆ



+

E

.

H

.

U

#

%

&

"

H



#

?

#

$

?

.

|| • || 2

P

5

.

U

=



.

%

%



%

L

+

$



@

$

5

L

…

.

%

@

?



$

L

U

#



L

?

2

+



?

T

$

L





_

@

L

$

5

%

U

3

%



%

(

#



&

?

.

:



.





%

#

B

%

L

N

%

G

?

L

#

#





$

&

&

3

.

$

?

#

?

.

+

?

#

.

?

$

#



#

L

$

%

$

&

O

U

Y

l

$

G

`

T

.

&

$

N

#

N

%

%

.

.

&



2

?

Y

#

U

+

#

y ‰



&

#

2

#

?

?

$

?

#

&

$

#



N

O

E

#

.

@

#

$

:

5

.

#



&

$

#

%

?

&

$

N

x ‰

3

#

&

U

+

U

+

%

?

#

#

$

.



+

#

Y

#



\

U

?

#

9

$

%

G

.

.

#



7 %

3



#

?

$

#

$



#

B

&





n

?



+

#

?

$

#

u

#



%

&

?



$

%

3



+

?

#

.

#

$



#

B

&





„ N

#

‰

#

?

@

5

$

#

&

W

+

?

#





U

L

#

$

+

#

$

(

x ≥ 0 x = 0 x + y ≤ x + y αx = |α| x $





E

?

3

$

#

?



+

E

%





?

2

$



%



&

#

$

#

W

?

H

$

n

#

@

&

L

#

B

+

$

.

#

#

R

$

L

ˆ

L

&

l

x=0 $

3



$

U



#



?

@

2

5

3

$

L

G

G

D



/

?

L

#

@

5

$

&

+

?

#

L



?

2

2

Ž

%

{

#

#



$

#

+

?

#

@

5

›

+

$

?

#

#





&

Y

?

L

$

%

U

:

#



%



N

#

?

&

3

$

L

.

?

$

+

+

?

Lp #

9

ˆ





2

#

$



Y

?

#

.

?

$

+





U

9

l



p1

b

p

xp :=

|x(t)| dt E



e

G

h

a T

?

$

#

$

Y

u

#

‰

?

%

U



%

U

U

+

#

Lp 

9

ˆ





2

#

$

.

&

#

U

U

&

+

?



#

T

3

B

b

U

?

+

?

.

@

5

#

ˆ





2

L2 E

9

ˆ





2

G

+

2

|x(t)| dt

x2 =

%

E





l

f

G

h

a 





O

.



&

#

%

1

+

?



#



-

}

K

3



$



B




&

?





/

*



%





*



*

√1 x

f (x) = $



/

T

U

#

3

2



#

$



&

+

#







U

L

#

$

+

#

$

}

3

$

B

&

?



$

#

$



H

3

2

#



L1 (0, 1) G





1

0

√ 1 √ dx = 2[ x]10 = 2 x

1

1

|f (x)| dx = 0

1 ⇒ √ ∈ L1 (0, 1) x N

L2 (0, 1) G





1

1

2

|f (x)| dx =

0

1 dx = [ln(x)]10 = ∞ x

0

1 ⇒√ ∈ / L2 (0, 1) x   

K

O







$

9

H



5

$

U



?

#

@



%

5



#







/



#

?

.

+

#

-

W

/

n

?

*

#

(

?

2

\

%

u



f



J

%

3



Y

#

?

&

#

f

+

?

#

%

$

%

U



L

#

}

%

U

&

3

$

L

#



U

H

3

&

#



&

h

n

3



+

#

W

B

%

$

$

%

3

@

5



R 

‰

#

?

&

+

?

.

B



#

&

#

Y

?

L

$

%

U

#

3

$

+

Y

`

.

&

#

2

#

#

?

$

#

}

%

U

&

3

$

L

+

#

›

$

?

#



&

7 n

#

U

?

@



5

+

&

#

$

n



#

(



3

+

#

@

$

5



%

$

+

?

#

.

#



Y

&

#

U

U

#

.



U

U

+

?

#

.

#

u

#



%

&

?



$

?

2

•

#

?

&

N

#

 #

?

@

5

:

#



%

$

.

@

5

%

3

9



L


5



:



_

5



"

=

>

:









L



6

5

+





[



"





"

=

(











P



=





_



„ Ž

?

#

2

‰

T

?

L

$

U

5

#

?

&

#

#

@



?

?

5

%

&

@

+

&

?

.

#

5

&

.

?

2

#

u

}

&



2

$

#

B

&

3

%

U

B

%

#

&

$

$

#

}

?

%

U

$

W

δ[n] .





.

B

%



U

#

U

+

E

%

%

%

3

?

.

#

.

.



+

=

&

?



#

.

#

R

U

(

$

+

?

$

$

#

#

&

%

n

$





+

#



#

.

‰

&

#

#



?

?

?

&

$

$

?

#

#

$

:

%

.

%

Y



?



?

&

`

%

H

.

$

&

&

&

#

#

.

2

+

Y

#

.

`

%

.

Y

.

3

`

&

#



.

&

2

#

#

W

?

$

2

.

#

.



L

$

G

.

+

?

?

B

U

&

%

#

%

U

3

?

3

#

}

R



#

#



?

$

•

#

#

?

$

&

3

?

$

k 2

:

%



?

%

•

#

$

?

&

?

#



&

#

O

2

u

3

U

.

%

$

&

n





h[n] &

?

.

&

2



#

+

#

$

.

+

N

‰

#

#

?

U

&

?

:

#

N

#

?



.

L

+

T

5

$

#

$

.

@

5



?

&

&

#

:

#



.

@

5



N

#

$

#

$

T

?

$

5

#

?

&

.

?

2

u

3

E



G

h

U

.

L

?

U

&





U

L

U

?

@

5

%

3



L



h

3

$

+

‰

#

@

5

#

l

x[n] = x1 δ[n − k] ⇒ y[n] = x1 h[n − k] 3

&

D

U

x[n] = x0 δ[n] ⇒ y[n] = x0 h[n] +

@





?

N

$

#

L

$

%

#

$

L

$

.

T

?

.

?

$

L

5

$

#

%

?

U

&

.

U

?

H

.

2

.

u

&

3

.

U .

?

#

@

5

‰

∞ 

x[n] =

%

$

3

3

.

.

%

#

2

?

$

#

2

#



$

Y

.

#

3

&

2

‰

2

#

$

E



d

G

h

#

:



$

L

#

n

?

@

5

&

#

&

#

$

l

xk δ[n − k] E



G

h

’

k=−∞ 8

„ I

?

‰

#

?

&

Y

&

3

+

?

u

.

B



N A









u

#

&



#

.

?

$

&

U

?

?



$

$

#



%





U

#

L

&

$

3





K



















!

















#







.



&

#







N

?

2

.

L

#












$

N

#



U





+



/





*





(







#





∞ 

y[n] =

L

3

$

L

#

$

+

?

#

(

$

&

n





&

+

#

.



#

U

%

?

#



&

#

$



-





#

l

















.



%





3

`









%

Y









#

#





+

=



!



















h[n] 





























x[n]















xk h[n − k] = x[n] ∗ h[n] E



j

G

h

k=−∞ 

?

#

.

#

Y

3

2

2

#

n

?



+

?

$

(

$

%

U



L

?

#

‰

3

2

}

%

U

&

3

$

L

.

?

$

&

#

L



%

U

E

f



j

G

%

U

.

˜

}

%

U

&

3

$

L

.

.

3

2

9

’

2

#

™

N

#

(

‰

3

@

#

?

@

5



5

$

R

#



&

+

W

?

+

#

?

#

+

+

?

.

?

B

#



#

+

&

?

.

#

B

}



%

#

U

&

&

#

3

$

$

}

L



L

U

?

U

L

#

&

x[n] $

3

$

h[n] +

2

?

&

#

?

$

%

$

+

#



˜



%

U

&

#

&

E



T

?



+



`

Y

#

?



Y

#





1

$

?

M

#

.

`



9




2

#

5

2

(

`

K

#

&

*

Y

&

.

/

#

-

%



%

$

N

&



#

n

#

+







%

E

?

&

#

O

%

3

2

+

R

N

2

#



%

.

&

$

?

#

+

@

3

%

+

U

.

-

.

%

Y

/

$

?

*

&

L

(

n

$



U

2

%

$

&

n





&

#



L

?

5

&

?

U

#

?

%

@

5

3

#

.



‰

}

3





R



5

2



#

&

.

Ž

$

+

N



#

%

+

#



.

?

&

@

%

%

$

&

5



#

Œ

@

U

#

U

#

3

5

&

&

$

@

l

5

+

#

#

&



$

2

.

+

@

%

5

?

.

B

+



$

?

&



&

?

#

#

#

&

#

N

}

$

#

%

?

U

.

}

&

%

3

u

G

G



Ž

#



U

?

$

#

U

L

&

3

.

.

$

n

.

L

#

3

:

?

2

#



@

5

$

#

$

Y

.

#

#

?

h[n] $

2

$



G

W



.





U

B

L

3

#



?

$

$

$

#

+

$

+

9

#

i





.

#

J

h

h



h[n] = {2, −1, 3} x[n] = {1, 3, 2, 1} 

%



E

E



.

x[n] y[n] = h[n] ∗ x[n] #



u



l

&



6

h





 h

(x1 [n] + x2 [n]) ∗ h[n] = x1 [n] ∗ h[n] + x2 [n] ∗ h[n] x[n] ∗ δ[n] = x[n] 



l

x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n] (αx[n]) ∗ h[n] = α(x[n] ∗ h[n])



™



e

g

G



L 



"



"

=

(













…

h[n] x[n]



P



=







e

f

e

h

f

f

9

_

j

e

d

9

e

f

9

9

f

9

e

h

j h

h

g

f

i

h

d

g

’

i

’

h

y[n] = {. . . , 0, 2, 5, 4, 9, 5, 3, 0, . . .} 

K







K





!

 







#

@

A





+

-

/

*

(



T

?

$

#

}

%

U

&

3

$

L

.

.

3

2

2

#

L

#

2

H

{

E



e

G

B



$

:

#



L

?

#



&

?

2

%

U

U

L

#

2

#

?

$

#

$

$

?

@

5

&



R



u

#



?

9

h



+

?

N

#

.

@

?

5



#

#

Y



xp [n]

?

3

?



L

+

$

$

#

%

$

U

U

#

H



$

I

L

$



N #

hp [n] +

%

%

U

.

#

?

#

+

$

3

#

‰

u

?

#

#





?

&

+



+

#

?

.

.

@

n

5

#

#

L

#

}

$

%

U

+

&

3

?

$

#

Y

L

+

3

#

2

2



N

#

#

?

$

+

L

#



#

$

$

u

‰

#

#



?

$

3



+

?

$

.

+

@

+

5

#

#

$

›

Y

$

?

?

L

#

$



%

&

U

#

l

N −1 1  xp [k]hp [n − k] N

yp [n] = xp [n]˜ ∗hp [n] =

E



e

e

G

h

k=0



?

n

#

?

u

#

#

+

#

R

5

3

$



+

u

3



?



•





#

+

&



#

#

?

$

.

?

@

?

#

%

U

$



#

+

.

#

5



$

hp [n] +

?

.

@

N

U

#

#

&

3

3

#

&

5

‰

%

}

?

N @



$

L

&



ˆ

?

$

?

+



U

U

2

$

#



%

5

#

+

Y

}

%

U

?

&

&

B



2

2

3

&

%

&

?

:





%

.

Œ

#

.

3

U

&

%

yp [n] &

?

.

&

.

#

U

N

.

&

%

3

@

5



3

&

.





R

3

$

5

.

$





#

L



$



:

+

#

2



$



+

L

Œ

#

#

#



$

@

}



%

2

5

U

2

#

&

$

3

#

.

$

@

5

$

L



‰

n

#

?

&

n



&

#

+

#

?

#

#

$

3

$



W

$

u

B

#

%

+



$

?

‰

$



3

+

+

2

?

?

.

.

#

@

.

#

5

U

#

%

3

N



#

Y

@

$

?

5

T

L

#

$

?



%

$

L

U

#

#

N



$

?

.

xp [n] #





2

%

U

#

„ 

#



B



&

%



‰







2

3

3

n

2

%

%

U

?

U

&

$

?

+

u

$

#

U

#

?

U

?

B

$

&

%

&

2

#

?

%



$

$

2

$



#

#

B

?

?

&



$

&

#

#



.

?

$

3

+

2

#

#





.

N



#

L

?

+



#

•

?

$

u



B

#

3



U

?



%

$

&

+

?

#

.

$

@

2

5

%

#

$

&



Y

?

?

:

L

$

%





U

L

#

#

E

$





#

2



2

?



#

+

#

$

n

$

U

H

#

$



+

L

#

$



N #

G

l

⎛

⎞

x0

⎜ xp [n] = {. . . , x0, x1, . . . , xN −1 , x0, x1, . . .} → x = ⎝

⎟ ⎠







E



e

f

G

h

xN −1 

%

.

%

$

+

#



#

u

#



?



+





?

.

.

@

5

#

Y

?

L

$

%

U

:

#



n

#

$

+

#

$

n

?



‰

$

+



Ž

?

U

+

3

$

L

+

T



L

#

N

$

?

.

+

#



}

%

U

&

3

$

























y = xp [n]˜ ∗hp [n] L

#



5

%

y =C·h 3

3

#



•

?



B

3

U

%

$

&

#

$

⎞ h0 hN −1 hN −2 · · · h1 ⎜ h1 h0 hN − 1 · · · h 2 ⎟ ⎜ ⎟ hp [n] → C = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ hN −1 hN −2 hN −3 · · · h0 l

%

?

2

%

9

⎛

„ &

#

?

$

#



%

$

.

@

5

U

?

#

{

#

$

+

#

$

ˆ





2

?

#



3

$

L

2

?

&

N

U

&

#

$

n

?



%

3

.

+

#

E



G



I

3

U

&

?

u

U

?

B

%

h

&

E

?

 h

l

e

h

e



d

$

G



L


5

⎛



:



_

5



"

⎞

y0

1 ⎜ 1 ⎟ y= ⎠ ⎝ N N yN −1

→











#

1





-

K







K












%

}

%

/

U

-

&

#

+



*



$

Y

?

*

3

#

#

?



#



%

:









6





L



5

+





[



"

N





+



-

/

*

(

1





M



#

/

*

(

"

!

=

(











P



=





_



E



#

@

A





&



(

*

+

-





e

G

h





#



3

!

’







?



+

#

$

9

u

#



?

 +

?

.

@

5

#

$

Y

?

L

$

%

U

h[n] = {1, 0, 2} #

h

x[n] = {1, 2, 3}








+

+

>


 y0 yN −1 ..., ,..., , . . . = yp [n] N N





=

3

$

+





⎛ ⎞ 1 x[n] = {. . . 3, 1, 2, 3, 1, . . .} → x = ⎝2⎠ 3 ⎛ ⎞ 120 h[n] → C = ⎝0 1 2⎠ 201 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 120 1 5 y = ⎝0 1 2⎠ ⎝2⎠ = ⎝8⎠ 201 3 5 /

?



$





2

?

#



#

$

2

?

&

3

$

+

#



5

%

U

&

#

$

l

h


5 8 5 ..., , , ,... 3 3 3

yp [n] =

  

K



O





$





:

Y

?

+

L

?

$

#

$

N

#

U

%

.

/

@

5

#

}

#

$

U

$

#

+

+

#

}

?

:

.

N

#



3

$

`

‰

$





#

Y

#

N

#

U

+

3

#

*

H

$

5

?



+

3





N

$

9



5

H

#

U

}

#

R

#

&



U

#

?

&

@

$

:

%

#

@

5

5

%



?

@

%



L

U

*



#

5

$

u

?

:

3

%



#

2

#

%



#



+



&

U

$

&

?

2

N

@

5

#



3



+

n

&

#

n

5

W

2



‰

?

$

2

}

9

.

#

#

$



#

.

N



#

?





.

@

%

u

#

?

#

2

?

‰

3

Ž

$

Ž

#

}

?

$

#

U

#

&

?



5



$

.

n

@

.

3

#



L

L

?

#

?

2

#



$

%

3

#

n





$

#

.

3



N

$

?

%

$

?

?

#

5

%

#

#

?

?

+

$

+

?

I



&

?

#

&

Ž



?

U

?

#

#

3

$

+

#

+

#

&

$

L

2

?

2

%

:

u

U

?

Ž

#





B

#

?

&

#

5



$



#



@

@



L

?

?

#

.



%





$

(

%

+

$

%

$

$

5

3

2



.

L

$

?

#

$

?

5

N

‰



$

@

#



:

?

N

N

#

L

&

?

U

?

+

&

$

&

&

#

B

&





$

9

D

&

?

$

•

3

9

Y

?



?

#



L

$

?

#

U

U

5



#



#

.

$

&

Y

5

5

?

%

+

@

@

Y

2

$

H

?

$



3

&

#

@

.

%

.

?

$

%



+



%

U

&

?

$



`

@

B

L

?

.

#

U

$

U

:

#

3

+

&

5



%

$

%

2

?

#

#

#

{



$

.

Y

$

&

`

.

.

u



&

#

#

@

2

#

5

#

#

$

+

?

$

L

#



#

#

#

$

?

+

L

$

%

#

$

&

&



#

(

R

N



+

N

?

?

#

U

+

3

\

U

$

%

L

.

.

+

#

%

+



#

.

&



#

‰

U

#

?

U

&

&

W

+

?

?

.

.

&

B

+



#

?

&

#

#

$



#

L

+

#

.

#

$

?

@

5

&

.

%

#

?

3

@

$

5

+



+

?

?

#

}

#



%

u

3

U



%

?

@

#

#



9

9

Œ



#



%

?

$

5

#

.



$



#



$

&

2

n

%

?

&

? 

@

B

U

$

3



$

R

L





‰

+

#

?

#

&



+



?

.

.

B



#



&

U

U

#

&

#

Y

?

9

D

L

$

&

%

#

Y

U

$

#

&

%

%

+

#

:

&

3

#

&



+

&

#







.

u

#

#

.

%

n

U

&

#

#

%

$

+

$

#

W

$

:

@

#

$

9

+

#





?



.

#

n



T

?

%

#

.

#

2

+



?

D

$

$

‰



#

&

.

2

&



L

L

2

2

%

%

%

&

?



5

$

$

?

@



L

#

+

2

?

$

#

?

$

?

#



&

+

?

?

?

#

U

?

$

B

#

s 9

€

%

U

N

#

N

#

$

#

?

$

+

%

.

O

$

$

#

W

@

#

5

?



#

+

&

&

+

9

%

+

U

z #

D

+

5

‰

$

$

@

?

?

$

.

N

.

.

+

B

#

T

#

.



%

#

#



#



u

Y



&

5

?

$



$

#

#

#

?

N

&

#

$

T

%

%

?

$

%

&

L

.

$

?

#

.

.

?

$



?

#

?

?

.

#

@

&

#

.

5

3

%

2

.

$

2



#

+

U









%





B



$

?





&

?

#

u

$

%

+



+

#



W



$

I

#

B

?

%



&

?

#

+



5

+

B

%

+

3

z

?



9

#

T

@

3

N

&

#

5

L

N

#

L

U

s #

?

9

.

T

U

#

#

?

N

#

$

B

$



$

$

3

9

+

#

%

?

#

L

$

&

+



L 



+

?

B

#

u



#

2

#

.

?

#

?

.

5

@







+

?

#

?

.

9

#

"

5

L







?

%



B

5



#

?



$



+



…

+

&

P

W

&

(

?



?

$

@

&

@

.

@

@

&

$

.

U

n

.

.

&

#

?

5

$

‰

U

5

@

%

&



@

?



#

.

.

.



#

$





#

L

#

#

3

5

5

&

:

%

U



?

#

5



3

$



?

%

#

5

_

#



+

.



B



$

N



L

5

#

?

=

&

#

$

%



3

2

#

$



#



2

#



5

3

#





&

B

.

L



#

3

@

$

U



I

&

U



(

$

Y



$

=

#

#



•

+



@

L

I

#

$

?

2



+

O





#

5

?



"



$

+

#

U



#



N

$

.

W

n

&

2

%

%

&

?

#

N



?

L

U

.

#

$

N

:

?

?



#

U



+

+

3

#

‰



&

3

@

5

n

$

#

+

#

5



?

2

+

#

#

#

$

$

$

3



W



$

T

#

2

#

.

+

L



@

5

H



N

5

#

5

%

&



$

+

?

#

=



3

$

+

U

%

L

#

$

# 

U

H

3

&

#



&

n

#



+

#

$

W

+

?

#

8

$



$

#

5

&

n

#

.

?

Y

$

$

+

`

.

3

&

$

O

.

?

L

#

.

?

2

+

+

.

n

?

W

:

#



+

x[n] &

$

#

+



?

2

$

#

#

3

#

‰

$



3

‰



#

?

?

‰

•

R

&

$

#

@

+

?

B

&

N

‰

.

?

&

B

?

#

+

#



3



?

#

&

#

&

B

?



#

.



@

%

5

.

Y

?

&

.

$

.

#

9



L

#

.

Y





%



$



2

%

?

.

?

U

W

L

$

&

#

#



.

%

U

U

#

U

3

$



.

$

n

?

L

?

#

+

$

?

#

?

#

N

$

#

#



%





&

.



&

%

#

L

U

3

U

$

3

L

$

.

L

?



3

$

B

z 2

&

9

?

Ž



$

#

#



#

?

?

9

@

5



N

#

‰

#

?

∞ 

X(z) =



@

5

$

#

&

2

%

$

2

?

&

xn z −n E



e



e

j

G

h

n=−∞ +

?

#

•

9





%

$

.







2

?

#



&

#

:



x[n] $

3

$

+

2

?

&

∞ 

Xe (z) =

xn z −n E

6

G

h

n=0 +

?



#

#

R

@

+

B

%

.

$

.

.

&

?

?

.

%

N

#

?

?

?

L

L

#

N

$

?

U



%

$

5

.



3



?

%

@

$



2



#

%

9





‰



%

.

9

#

&

•

&

•

.

L

&

&

$

%

Y

?

5

?

#

2

@

+



?

.

?

+

?

#

?

#



B

&

&

#

#

%

:

3

#

?

.

$



%

#

x[n] $

U

#

.

$

Y



?

L

#

$

?

%



U

U



+

?

#

.

#

#

.

2

Y

?

&

3

3

$

2

2

#

+





3

%

%

$

2

n

#



?

$

‰

#

#

%

U

?



@

?

&

#

&

$

?

L

#

B

&

Y

9

$

U

?

%

%

.

U



?



L



.

$



#

.

$

#

%

#

?

U

&

?

L

#

•

x[n] .

2

#

$

&

.

u

9







T



%

.

#

$

n

@

5

.

#

#





$





+

+

2

#

#

?

:

#

$

#





=

&

#



?



#

N

$

N

{

#

%

N

9



3

&

@

W

5

9

$

%

%

$

U

.



:



#





n

2

#

?

#

$



+

&

#

#

?

&

%

.

$

&

.

B

#

&

?

+

T

?

$

.

#



$

B

?

Y

@

?

5



L

2

$



u

%

5

U

U

$

#

?

#

#

$

O

$

•

$



•

#





?

%

&

5

+

2

%

&



?

U

.

&



U

#

#



.

U

3



•

B



&

&

$

#



$



U

:

#

3



#

$

+

}

z U

%

#

$

‰

.

2

5

+

#

#

2

$

&

n &

$

#

3

3

?



+

L

U

#

?

%

+

?

$

?

9

#

?

$

#



+

U

$

+

.

u

&



?

#

n #

.

3

+

$

&

&

#

$



#

#

$

%

:

$

#

#

?

5



?

L

@

?

Ž

.

.

#

#

W



@

5

#

$

@

#

%

.





+

$

?

#

$

$

?

.

+

5

#

$

%

$

5

•

$

9

+

#







$

H

3

Y





5

}

#

$

9

#

N

?

•

#

$

U

2

+

#

?

#



$

?

$

#

.



%

$



.

.



B

5

$

L

+

„ $

?

?



#

•

#

$



+

&

#

2

#





?



+

2

n

?







&

9



3



2

2

.

$



#



$

&

.

$



%

%

#

$

&

.







2

%

&

?



$

?

.

&

3

$

&

#



%

$

+

#

 #

2

+

3



@

5





U

L

#

$

+

#

T

?

L

#

$

.

@

5

%



&

#

$

L

#

9

l

&

D

Z {ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY (z) 

#



.

@

5

?

#

N

3

$

E



%

U

&

3

$

E



+



e

G i

L

3

U

%

&

?



E

#

.



$



f

g

G

h

$

% & Z eanT x[n] = X(e−aT z) Ž

G

h

Z {x[n] ∗ y[n]} = X(z)Y (z) I

J

L

Z {x[n − i]} = z −i X(z) }

e

h

+

#



#

Ž

#

%

@

5

&

3

$

L

:

#



U

%

$

L

&

+

?

#

\



$

:

#



L

#

$

‰

+

#



Y

3

2

E



f

e

G

h

2

#

E



e

j

G







%

$

.

9

h



U



#

$



2

W

?

+

#

%



.

&

.

2

%

$

X(z)

#

?

?

2

$

#

%

N

U

#

U

L

U

#

?

#

2

N

#

?

L

?

#

$

#

}

$



}

U

L

%

x[n] #

U

U

$

3





?

R

$



+

N

#

#

z $

.

&

?

2

9

Ž

2

#

&



#

#

?

@

z

5

B

W



n

$

?

:



#

+



2

L

#

%

$

&

$

?



.

&

#



.

&

}

.

%

&

.

#

.

U

&

9



L


5

2

%



z

@

9



T

•

$

N

9





%

U

#

$

%



_

5



"

=

>

:









L



6

.



B

L



#

$

#

2

W

.

$

u

+



@

%







#

U

G

#

L

2

%

#

#

%

.

&

$

&

?

#

.

•



U

@

%

U

$

5

&

%

5

U

3

n

#

?

#

U

%

$



+

?

@

3



+

#

5

#

3

?

W

B

$

&

?

$

%



L

#

$

ˆ

W

?

3

.

?

$

$

#

+

#



#

2



‰

\

2

5

?

#

&

Ž

n

(

#



#

$

?

.

?

+

#



+

?

#

L

3

?

&

&

%

•

3

U

3

+

$

L

u ?

?



:



#

%

#

2

N

#

#

[





L

$

L

#

+

Y



?

}



?

L

#

$

%

\

%

L

U

#



:

#

+

$



#

:

%

#







N

\

L

#



?

#

$

&

$

‰

3

:

N

$

#

#

L



?

5

L

#

+

%

$

#

&

‰



W

.



n

&

?

#

U

U

#





+

#

n

U

#

n

"

#





"

=

(











P



=





_



$

n

?

&

$

$



‰



.

%

3

#



?

‰

$

N

#

%

\

3



U





#

#

?

+

$

$

@

5

:

#



E

#





$

?

L

H

%

9

#

@

L

$

5



‰

.

%

N

&

2

#

#

2



$

#

W



Y

?

@

#

+

#

5

?

#

L

?

#

&



#

.

?

.



$



.



&

/

L



#

+

U

?

@

#

5

#

’

+

?

.

#



$

#

$

+

h

Ž

5



:

#

:

„

z $





L

3

3

$

+

$

H

&

@

#

#



•

$

5

.

#

&

9







U

#



H

.

%

3

&

$

&

W

.

#

+





%

&





2

%

&

?



$



R



+

?

#



.

.

=

#

?

@ 5

3

$

L

E



e

j

G

h

+

?

#

%

3



#

$

&

9

Œ

#

?

5

#

E

Ž





$

.

&

#

?

$

3



%



W

e

G

D

+

#

i





#

L

3

U

H



#



#

?

F U





(z) 

3

$

+

+

#



€

i

%

:



F (z) F (z) ?

$

i

3

u

&

&

#

?

U



F F 









(z) = 



(z) = 

∞ 







.

&





?

B

#



.

$

#

B

:

#





$

L

?

:

#

#





#

L

?

$

#



&

W

n

$

$





f (−n)z n

n=0 ∞ 

#

E



f



f

f

G

h

f (n)z −n E

G

h

h

n=1 Y

&

#

U

U

&

2

%

$

+

%

.

\



$

:

#



L

#

$

‰

L

#

N

?

#

&

+

#



%

3



#

$

&

9

Œ

#

?

5

#

?

$

+

#

z 

D

„ n

?

.

u



2



+

?

#

3

.

$

&

+

L

+

3

+

#



#

@

2

z 

2

5

Œ

%

9

%

T

+

N

?

?

#

3

$

2

%

#

U

N

‰

#

L

n



#

#

?

$

\

‰



&

#

?

+

.

%

#

2

.

?

\



&

$

+

:

#

#



$

Œ

L

#

%

$

+

‰

?

L

#

#

r $

N

?

#

N





&

‰

n

r 



U

?

#

L

&

?

$

$

#

9

T

N

#

$

3









5



#

+

2

+

%



#

W

.

$



D



9



%

U

N

+

#

.

\



#

?

.

#

.

.

r 



1 limn→∞ sup |f (−n)|1/n

= 

Im{z}

E



f

d

G

h

ROC rreg

0

rhaupt

0





















Re{z}

 L

X

3

$

+

%

3

{

#



5

%

U

N

+

#

.

\



#

?

T

r .

L

?

U

&

%

U

.





.

#



.

.



2



1

&



+

+

#





2

[

+

Œ



%

;

"

+



?





3





5













A



"

:



.

= lim sup |f (n)|1/n E







-

K


















*



< |z| < r 

!



(



*



=

E











R



N

 h



+

*

#







3



+



*



„ Ž

#

?

%

.

U



&



?

U

2

L

G ’



&

f

h

n→∞



#



l





,

?



r 



2

#

#

$

Y

?

#

+

%

f (n) = an

.

\



R





$

:

#



L

#

$

‰

L

#

N

?

#

&

n > 0 f (n) = 0 W

+

#

.







$

.

#

&

#

U

U

#

$

B

%

3

.

%

U

#

$

T u



$

#

$

9

f

j

G



L 



M



#

/

*

.





(

@

5

‰

?

:

N

#



U

?

&





#

.











#





&

.

?

…



P



=





_



?

#

2



?

.

&

?

U

H



.

$



&

R

n a l



+

&

L



#

$

%

#

Š

&

#





%

?

?

#

#

+

#

3

W

‰

Œ

$

$

5

&

n

?

#

$

#

2



&

.

@

#

L

%

?

%

.

L

.

n

%

.

U

#

2

U



L

$



$

}

.

#

.

.

3

$

2

#

$



?

2

$



=



$

5

?

:

.

%

@

#



&



#

#

U

.





N

2

&

9

#



7 %

#

•

N

f (n) = 0 $

W

N

5

€

$

#

$

&

3

$

#

@

5



L

= a 

@

Y

#



#

?

$

%

n



$

#

#

B

&

?

U

$

#

(

5



$

+

?

N



#

$

#

=

#

2

#

U

$

&



n

%

n

?

.

r

.

"



#

&

$



#

#

.

5

L

#

%

N

$

@

Y

$

%

3

#

3

L

?



(

F (z) T

"



‰

#

L

?

?

$



W

+

+

#

\

$



2



W

#

R

3

:

$



+

%

#

‰



.

+

?

#

N

#

.

%

?

$

@

9

#

#



?

•

$



u

.

#

?

#

.

5



?

5

&

#

L

L

&

.

%

U

9

#

$

Y

%

$



U

#

2

#

$

#

?



?

N

N



?

%

#



#

&

?

.

.



‰

U

$

H

R

$

#

%

&



#

N





@

+

@

?

?

5

9



$

%



&

D

+

#



•

9



$



?

#



%

#

?

$

•

$

#

.

9

%













B

2

%



%

$

.

2



&

N

?



?





$

$



2

%

%

&

?

&



?



$

$

?

‰

n

.

#

&

?

#

#

?



$

Y

#

?



L

$



%



U







#

%





3





+

%

?

$

.





%



#



?

D



2

$

#

%

%

&



?

B





$



2

Y

N

?



$

2

%

?

&

?



&

n

$

?

?



5

+



#

#

?



9

•

9

D

$

.







2

?

#



&

#

$

%

N

L

#

N

?

U

+

#

&

l

x[n] = x1 [n] + x2 [n] ⇔ X(z) = X1 (z) + X2 (z) E



f

6

G

h

„ Y



U

2

#

?

$

&

E

U

N

H

#

.

?

.

.

&

u

.

?

#

U

?

.

@

5

n

#

#

?

?

.

$

B

#

?



$

2

#

u

?

$

U

#

#

#

Y

.

3

Y

2

?

2

L

$

#

%

L

U

#

?

n

$

?

#

@

5

?

&

$

#

#

&

Y

#

3



2



2

?



#

%

@

9

:

}





$

U

#

L

#

?

$

$



G

%

‰

@

#

5



U

#

#



L

#

#

$

Y

$



?

L



?

$

#

%

9

•

9

„ 



•

9

%



$

.





%





$

2

.

?





#





&

2

#

?

+

#



#

&

#

.

B

$



+

2

#



u



#

U

?

#

$

#

‰

#

$

U

Y

$

#

?

L

$

$

Y







#

1





-

K





%

?

L

U

.

$

#

%

U





#

1





-



=

G

Œ

#

#

U

U

#

B

%

3

.

%

U

#

T

∞ 

X(z) =

u



$

#

$

&



%

U

∞ 

an z −n =

n=0

?

?

N

&

.



/

R



N

+



 U

L

#

?

@

5

+

%

$

*

#







l

3



*

n=0

Œ

#

#

U

U

#

$

?

@

5

&

B

%

3

.

−1 

X(z) =

%

U

#

T

u



$

#

$

&

?

#

•

9





%

$

.







2

?





U

L

#

#



&

#

$

.

?

$

+

?

+

#



Y

3

2

(a−1 z)n E

%

U

#

+



f

J

G

h

n=0

0 ≤ |z| < a

}

2

−an , n ≤ −1 0, n > −1

∞ 

a−n z n = 1 −

;

2

.

a < |z| ≤ ∞

x(n) = l

n=1

z a = =1− a−z z−a ?

U

∞ 

−an z −n = −

n=−∞



%

3



; 

G

%



+

z z−a

(az −1 )n =

„ N

$

x(n) = σ(n)an

„ %

L










#

U

%

G

3

$

+

N

E



f

G

G

h

?

+

#

$

&

?

.

@

5

W

N

#

.

?

&

‰

#

i

$



#

9

7 +





(

@

N



5

%

N

#

?

$

U

.

?

+

$



3

3



$



$

2

L

&

%

‰

#

&



#

?

.

?



L

$

@

&

5

?

#



#

?

ˆ

+

$

U

3

+

?

@

#



5

#

3

2

.

&

?

?

L

\

&



(



$

$

L

:

%

#

N



#

L

#

+

$

#

‰

.

L

#

\

N ?



#

$

&

:

E

#

Œ



Š

L

#

$

G

‰

L

W

#

n

N

?

?

#

#

+

&

.

?

#

?



.

&



U

+

L

?

#

#

$

+

•

#

9

#





L


5



:



_

5



"

=

>

:



(a)

Im{z}







L



6

+

ROC

a

a

0

-a

-a

a

0





[



"



"

=

(



-a 0

Re{z}









P



=





_





(b)

Im{z}

0

-a

5

a

Re{z}

  

K



D







P

2

$

+

3

$

&



&

e

#

#

$



?

(



•

&

U

$

O

+

3

&

?



%

?

?

?

R

$



%

2

#



#

#

.



+

?



$

?

5



*

#

&

Ž

5

#

#

2



#

#



&

#

?

I

@

.



5

@

L

$

5

U

3

$

#

?

L

@

I

5

:

#

B

#

?

&

&



$

5

#





+

$



#



N

+

U

#

#

2



#

Œ

$

R

?

@

B

2

&

•



%

#

$

.

?



&



N

#





2

#

%

?

&

@

?

5



$

l

$

Œ

#



?

#





3

$

#

&







&

N

.



#

&

.

&

#

$

*

%

?

L

+

?

2

W

L

L

L





#

+

$

R



N



#



$

$



$

$

3

R

.

$

%

#

L



%



$

#







#





L

B

n

#



B

?

#

$



9

#

3

+





•

‰

#





$

n



f

?

‰

*

#

U

#

.

?

W

+

+

3

#

#



$

#

.

$

%

O

&

$

‰

#

:

.

#



.

#

N

#

B

%

$

$

&

?

.

&

E

\







#

.

u



$

+

#

$

‰

&

%

N

U #

U

#

G

h

d



Ž

#

?

%

U

L

#

N



%

?

.

@

5

#

$

}

3

$

B

&

?



$

#

„ 

\



2

u

U

#

#





%

$

.







2

%

&

?





?

.

#



5

.

U

U



#

#

+



#

$

#

$

W



n

?



%

#

U

w 2

5

@



5

#

#

*



(

z

#



%

Ž

U

#



%



#





U



#

#

R

}

?

@

U

W

U

+

U

.

#

*

%



?

#

$

.

2

#

#

U

n

2

+

}

?

#

$

N



3



$

+

B

*

?

@

#

@

%

#

2



.

3

&

5



#

?



&

#

{

?

?

%

U

3

N



$

L

3

@

+

5

‰



#

3

O

U

H

3

#

&

I

$

$

#

#



&





&

@

n

5







#

#



L





U

$

$

H





%

+

L

#



+

+

U

n



3

#



‰



x[n] &

?

.





U

#

5

L



3

R

$

5

L



3

$

L

#

?

$

#



+

#







%



I

#

9



$

?



N

H

5

3

U

n





3

9

Œ

.

.



P

$

9

l

z = 1/w $

’

&

$

-

+

&

#

P

#

#







%



&

?

L



#

5

#

.

#

$

&



$

N

#

.

W

n



N

#

?

Ž

#

?

.

u

?

#

U

#

‰

#

?

L

#

$





+

R

+

?



(

$



#



*



L

#

+

*

# n



+

?

?

.

#

#

l

L

Y

#

#

.

X(z) ?

@

5

U



.

.

#

$

#

?

#

$

Y

\

3

?



L

$

:

%

U

?

Γ #

2

3

2

„ +

#

$

ˆ

3



N

A

U

U

u

3

$

B

&

?

$

+

#



B





2



u





3

K



9



P

*



U

#

#



$



#

T

N





*

#

#

#

!

+

$

&

%



N

%

#

$

?

.

&





?



$

#

+

?



$



&

&

2

#

O

#

.



#

%

$

•

:

&

5

#

9

?







#

$

.



$

#

?

%



#

$

$

.

.

%

@

5

/

%

5

U

+

.

N

\

#



#

@

5





#

3



R

$

+

*

#

$

2

 

N

#

?



3

&

€

?

U



#

+

#

.





U

L

#

$

+

#

$



+



*





' X(z)z n−1 dz E



g

h

G

h

Γ



$

:

#



L

#

$

‰

N

#



#

?

@

5

#

.

3

$

&

#



.

@

5

?

#

+

U

?

@

5

#

Œ

R

@

B

9



$ 

$

‰



=

1 x[n] = 2πj 

#













2

2

#

?

#

U



n

&



#

$

U

U

%

#

$

3

n

.

?

3

$





+

z m−1 F (z) =

#

&

2

‰

&

3

N

U

&

#

?

∞  n=−∞

u

n

U

#

?

‰

?

?

.

#

#



$

#



$

/

N

?

#

?



+

f (n)z m−n−1

L

#

#

5

Y

#

#

$

?

&

:

#

$



$

2

+

?

&

#



z



#

›

m−1

E

$

 h

?

9

l

e h

G



L 



ˆ

3

$

?

$

&

#

L

"



?



"

#



=

#

(



$





n



?







#

…

$



&

U

P



%

=

$





L

_

#



?

$

#

7 :

#



\

L



#

$

$

&

‰

3

L



#

#

N

?

$

#

+

&

#

#

.

$

ˆ

Š

3



L

#

.

@

5

U



.

.

#

$

#

$

\



$

&

3



?

$

$

#



5

%

U

N

+

#

.

\



$

9

7

Œ

U

U



u

3



$

%

B

+

&

?

#

Œ

Š

Œ

?

$

L

#

.

?

$

+

W

3

2



%

.

.

#

$

+

?

#

.

#

L

#

.

@

5

U



.

.

#

$

#

$



'

'

∞ 

z m−1 F (z)dz =

f (n)z m−n−1 dz E



f

h

G

h

n=−∞ 

%

+

?

#

Œ

#

?

5

#

L

U

#

?

@

5

2

H

.

.

?

L

B



$

:

#



L

?

#



&

'

W

:

#



&

3

.

@

5

#

$

n

?



'

∞ 

z m−1 F (z)dz =

%

z m−n−1 dz

f (n)

E



G

h

h

h

n=−∞ /

?



n

H

5

U

#

$

%

U

.

O

$

&

#

L



%

&

?



$

.

B



$

&

3



#

?

$

#

$

\



#

?

.

z = reiφ ; dz = jrejφ dφ = zjdφ 3

$

+

#



5

%

U

&

#

$

+

%

2

?



d

h

G

h

&

' m−1

z

E



∞ 

F (z)dz =

f (n)jr

ej(m−n)φ dφ

0

n=−∞ ∞ 

=

2π

m−n

E



G

h

m−n

f (n)jr

h

’

2πδ(m − n)

n=−∞

= 2πjf (m) 

%



%

3

.





U

L

&

+

?

#

L

#

.

3

@

5

&

#

D

2

B

#

5









2

#

U

$

%

@

5

T



.

#

&

‰

3

$

L

:



m $

2

?

n &

W

n



N

#

?

 

7 +

?

#

\





U

#

&

n

‰

#

N

%

%

&

3



$

#

#

5

&



#

.



ˆ



5

%



%

L



#

&

N

#

%

$

&

.

#

&



.

5



#

?

.

#

U

%

9

3



O

%

&

2



#

?

#

L





?



?

/



*

#

$

&

?

?

=








*



+

*

#

@

A

+

/

-



@

A





E

#

U

#

5

#

.



G

#

#

?

$

3

n

.

H



L

#

$

L

L

%

&

#

‰

#



?



N

%



#



.

3

#

@

2

$

2



?

?

?

?

\

#

#

&

#

$

N

&

n

#



U

$

?

$

&



5

#

U

$

O

%

#

Š

2

#

.

:

Œ

#

$

L

$

9

L

?

#

#

\

U

U

#



+

#

?

%

U

.

5



2

5

R

3

@



+

?



+

U



H

+

%

+

#

n

3

#

$

.

$

Œ

5

?

?

%

$

@

#

$





N

Φ

#

.

U

I

5

+

#

%

l

@



&

5

&

$

%

3



%

#

$

$

#

2

$

U

3

$



%

$

$

5

%

$

#



@



#

$

?

.



#

+

+

$

#

$

#

$



N

n

#

&

3

.

&

L

.

•

‰

#

U

.

$

+

+

%

%

$

#

$



#

#



2

2

N

#

n

?

3

#

L

?



&

:

#

#

@

B

$

L

:

?

$

?

$

#

U

3



2

!

 

u

%

%



U

#

&



L

U

+

?

u

3

U

$

W

Y

#

$

L

@

G

#

2

#

.

?





+

N



+

?



(

\

$

.

3

O

$

E

.

&

.

#

L

#

$

?

5

.

.

#

#

9

.

.

W







-





/

*

(



/

?

N

#



.

B

&

%



N

A



#

$

U

$

U #

&

$

?

.

5

&

?



#

T



‰



3

U

$

%

H

3

@

&

#

5

&

.

&





+

R

#



$

#

?

Œ

$

!



3

K



K





#



#

#

.

N

?

#

+

U

3

?

#

#

$

N

.

?

L

%

&

#

‰

}

:

3



$



B

W

&

+

?



#



%

3

.

+

Φ(z) $

#



}

3

$

B

&

?



$

#

$

&

5

#





?

#

l



/



*

#

+

=







' 

φ(z)dz = (2πi) ∗ 



































































































φ(z) 













E

 h







j h

G



L


5

/

+

3

+

%

U

?

#

$

.

N

#

?

#

&



&

?

3

n

%

#

$



U

‰

?

$

L

U

3

#

$

$

#

$

n

?

%

+

Y



$

+

%

+

&

%

+

?

#

‰

3

?

#

.

/





R

#







?

#

#

&

+

$

.

Y

H

U

#

?

U

#



L

5



#

Œ

#

L

_



/

U



#

+

#

5

:

&

#

?

@



?

#

&

"



˜

+

%

.

.

3

6

%

#

?



+

U

#

3

?



@

?

5

}



U

B

"

"

?

?

#

n

#

&



Ž

.



$



™

$

#

3

[

#

E

$





5

$

#

#

5

3

N

+

+

L



5

L

#

&



@

$

Œ





$

#



#



%

3

#

&

:

#

?

+

?

>

$

.

#

#

=

L

#

&



(



?

#

R



&



$





?

?







#



=

L

2



#

P

3

.

R

5



+

%

}

$



$

+



#



&

$

$

=

R

L

$

_

?

#

#

5

$

?

#





+

@

L

:





U

#

#



$

n

%

?

Œ

.

&

3

#

.

#

G

#

#

.

3

€

$

?

+

#

W

9

$

‰





9

Ž



D

E

Œ

#

2

2

#



&

W

f

g

g

e

G



7 

.

?

?

$

$

‰



3

+

˜

#

L

U

#

3

/

H



2

#

#

2

2

#

&

Y

%





$

$



+

&

#

+

.

@

?

5

#

U

U



Œ

#

}

n

?

#

z0 #

3

$

$

+

.



B

#

?

Ž

&

$

+

?

?

‰

3

U

#

+



U

N



?





#

1





-

K








P

-

-

H

5

L

$





5

@

$

#

/

L

#



&

u

?

$

™

%



2



#

L

.

Φ(z) $

3

$

?



:

5

#



$

$

U

+

H

.

#

.



&

(z − z0 )r &



+

2

%

3

.

U

+

$

&

Œ

?

3

#

u

U

?

$

.

‰

?

?

#

r L

+

3



3

&

+

2

W

#

.

3

.

?

2



@



+

5

?

U

N

#

.

#

Y

%

.

?

&

$

?

L

$

+

2

#

2

3

U

#

%



?



$

&

W

H

&





+

N

@

!



!

*



#



#



/

/

3

#





E



?

#

(

$ %

U



L

?

#

?

.

&

$

7 +

3

$

L



%

2



&

?

@

5

z0 #

&

?

.

n

&



?



&

U

z 2

?

9

@

5

‰

Œ

%

3

3

$

2

#

u

5



2



7 5

%

+

&

%

3



/

U

@

#

.



5



#

I

&

?

3

+

#

$

U

#

&

$

?





u

U

%

?

+



B

U

%

3

&

+

$

?

#

L







$



2



?

?

#

+

$

3

$

L

f

N

(z − z0 )2 &

.

2

%

@

5

&

%

$

#

W

.

@

$

5

+

%

U

?

G



&





?





#

3

$



z0 ?

3

#

u

%

.

@

&

‰

H

#

.

L

˜

#

U

+

?

+

3

&

L





#

3

#

U

?

$

#





Q (z−z0 )2

3

#



?

}

U

Œ

#

+

.

%

.

N

5

%

$

2

.



&

#

%

+

H



#



B



5

$

%

%



#

3



U

W

™

E

&

%

+

B

&

.

#

U

%

#

$

.

%

U

}

9

U

+

n



?

+

.



Œ

#

#

$

.

?

9

D

+

T

&

n

3

%

3

$

2

.



G





%

$

2

%

+

U

#

?



#

.

N

#

#

2

&





%

@

3

5

$

&

B

#

&

$

B

n

U

?

%





  

#

?

$

#

7

Φ(z) }

3

5

B

%

&

N

?

#



#

?

$

#

$





U

+

#





+

$

3

$

}

r L

N

3

#

$

B

&

z0 ?

?

W



G(z) G(z)

$

3

n

$

+

?

.

#

#



?



+

U

?

L

&

#

l

˜

%

3

.

2

3

U

&

?

u

U

?

‰

?

G(z) = Φ(z)(z − z0 )r 

%

2

?

&

5

z = z0



%

$

%

?

G(z) &

$

#

?

$

#

$

$





3

$

2

B

%

U

#

#

?

$



#

%

$

`



U







9

U

Œ

2

#

?

#

5

5



#

#

W

$

3

&

?

.

&



R

$

n

+

?

( ∞  1 dn G (( G(z) = ( n! dz n ( n=0

$

#



&

#

™

$

@

n

B

#

?

U

E



$



6

h

B



$

$

#

G(z) $

3

2

+

?

#

G

h

Y

&

#

U

U

#

l

(z − z0 )n E



J

h

G

h

(z=z0 )

z = z0 

( ∞  1 dn G (( φ(z) = ( n! dz n ( n=0

(z − z0 )(n−r) E



G

h

h

i

(z=z0 )

ˆ

U

3

z0 #

$

#

n

$

&



5

%

U

U

U

&

#

$

#

n

$

?

2





+

L

%

#

.



Œ

?

/

?

$

L



?

$

n

&

H

#

5

L

U

#



%

U

$

%

R

U

N

.

#

Φ(z) 

\



$

&

3



U



#

.

?

#

$

$

#

W

$

n



\



N

#

#

?

?

.

+

3

?

#

\



z0 2

$

3

&

$

3



+

+

.

?

@

#

5

Y



φ(z)dz = φ(z)d(z − z0 ) = φ(z)|z − z0 |je(jφ) dφ

#



%

.

#

.

.

T

U

?

?

#

?

#

.

#

#



&

‰

#

$

+

#



Œ

#

?

5

#

$

#

$

&

O

$

&

#

n

?

@

B

U

3

$

L



R



Φ(z) 3

$

+

Ž

#



R

@

B

.

?

@

5

&

#

U

E

N

9

#



d

$

g

G

?

h

L

3

$

L

+

#

.

\



#

?

9

&

( ∞  1 dn G (( φ(z)dz = ( n! dz n ( n=0

'



$



&

?

L



%

&

?



$

U

?

#



#



&

$

3



#

|z − z0 |(n−r+1) j $

#

$

e(j(n−r+1)φ) dφ

0

(z=z0 ) ?

2π



#



2

(2π) 

R



n=r−1 W

%

U

.



E

 h

d

e

G



L 



"



"

=

(













…



P



=





_



( d(r−1) G(z) (( 1 φ(z)dz = (2πj) (r − 1)! dz (r−1) ((z=z0 )

'

7 

?

.

#

u

.

#



?

$

:

@

‰

#

%

L

#

#



&

?

$

?

$

#

$

#

L

#



L



U

?

$

+

5

&

H

.



@

&

B

#

N



.

‰





L

\



&



?

$

#

#

#

#

/

#

?

#

$

+



&



?

#

U

#



$

@



2



#

#

?



2

%

+

&

#



3

3



?

U



Y

#

Y

:



#

n

$





?

Y

#

+

?



#

$

+

/

R

+

#

$

#



$

$

3

N

U

#

U

N

$

?

5

?

$

5

?

#



&

+

%

%

N

&

$

#

Ž

U

@

$

5

@

5

#

#



.

5

˜

$

#



5

#

#

#

.

&

:





.



3

?

H

$

#

.

+



\



.

+

L



%

$

#

$

2

r L

$

3

$

#

#

$

#

&

?

U

+

3

$

+

3

%

&

$

$

U

&

2

2

+



&

N

.

U

@

2

%

#

#

U

#

\

H

$

#



3

L



™

#

2

$



#

.

&

#

3

3

Œ

W

$

U

9

%

$

#



$

?

+

#

U

\

%

€

%

$



.



d

f

?

+

?

$

&

#

Œ

U

&

#

3

?

R

$

2

$

%

@

B

$

+

.

&

#



N

A

U

U

#

$

+

?

#







2

%



U







3

K







#

(

$



%

U

!





L

?

#



#





.

&



•

3

.

H

&

‰

U

?

@

5

#



5

%

U

&

#

$

$

+

n

?

9

?

#

#

#



L

.

™



.

n

&

+

?

+

3

#

$

.

%

&

‰

E



j

h

3

G

h



.

˜



#

#

%

.

#

N



+

#

L

L

&

W

+

5

#

?

$

L

@

L

#

#

5

?

$

5

$

.

%

n

#

%

&

$

$

&

E

G

h



!





#



/



*



















































φ(z) 









































z0



















r

d(r−1) G(z) 1 |(z=z0 ) (r − 1)! dz (r−1) !





Ž

#

%

#

+

?

5

U

#







d

G

h

h



@





E

G(z) = φ(z)(z − z0 )r €





&

#

?

#

&

/

$

Y

3

#

$



?

#

&

L

$

5

#

+

%

#



$

@

+



5

2

#

Œ

U

#

%

.

&

W

?

U

.

+

.

W



3

+

$

#

%

+

$

.

#





.

#

$



?

.

3

#

.

?

2

%

@

5

#

3

.

?

%

5

$

?

#

$

#

.

%

@



$

$

5

.

%

?

3

@

@

5

U

?

5

%

@

&

3

5

3

U

#

?

#

5

#

€

?

$

T

#



d

d

G

h

2

@



E



U

#



#

U

?

&

.

H

&

3

3



&

$

?

#

B

&



L

3



#

2

$

#

%

.

L

3

+

U

&

&

#

?

5

#



#



2

}

#

%



$



+

&

?

2

#

.

#

$

@

5

U

Y



H

#

&

R



‰

#

„ .

?

$

+

?

$

+

#

.

2

%

&



P

*



5

#

2

%





#





R

&

?



N

+

*

#

.

@

5

#



%





3

B

&





+





*

3



!





-

#



#





/



*

#

+

=



ˆ

3

$

/

?

.





.

U

#

U

&

+

‰

#

#



Œ

$

#

+

%

.

‰

?

+

3

3

#

+

$

#

.

$

%

&

Œ

‰

#



.

?

R



+

3

+

#

?

$

#

.

?

%

$

&

:

#

‰



.

E

•

9





%

$

N



.

A







2

%

&

?



$

#

?

$

3



$

+

#



5

%







3

K







P

*



U

&

#

#





R



N

+

•

j

9

G



?



%

$

$

+

.

?



#





}

2



%



&

2

?

#



U

$

#

E

?



h

$

g

h

L

#

G

.



#

R

&

‰



&

+

n

?

#

#

?



$

+

:

#

#

$





.

#

h

$





#

 h

*

#







3



+

! 



*

3

 

#





/



*

#

+

=







= 





































'

1 (2πj)

f (n) =













z n−1 F (z)dz





φ(z) = z n−1 F (z) 









































E

 h





















=















z0 























G(z, z 0 ) = (z − z0 )r[z0 ] z n−1 F (z) 



















!

!

 



#

1





-

K






P

*





#





R

N

+

*

#



3

+



*







*







#



+



=

%

$



.







2

?

#



#

$

Y

?

#

X(z) = 1 ?

$

+

#

$

•

#

?

&

N

#



#

?

@

5



#



/



*

d

G ’

r[z0 ]

d(r−1) G(z, z 0 ) 1 |(z=z0 ) (r − 1)! dz (r−1)

z0 



R



L


5

M



E

#

R

/

N

*

#

(





:



_

5



"

=

>

:









?

#

O

$

:

#



.

?



$

.







2

#

U

2

?

&

Œ

#

.

?

+

3



?

#

}

3

$

B

&

?



φ(z)

Œ

$

#

5

%

.

?

&

+



3

R

3

2

:



?

#

}

3

$

z0 = 0 O

$

&

#

L



B

&



?

ˆ



φ(z) $

%

@

5



n>0 

}

R

?

%

&

?



$

L

n=0 

#



#



5

#

5

%





&

#



R

B

n≤0 

2



?

h

#

+





[



"



"

=

(











P



=





_



#

?

$

%

U

U

?

.

#

.

@

5

U



.

.

#

$

.

&

#

$



#



\

3

:

?

%

#

%

&

‰

G

l



U

#

W

.



+

%

.

.

3

$

2

?

$

#

$

$



$



U

+

#





+

$

G(z, z 0 ) = 1 $

3

&

&

#

U

N

%



L

?

U

&

n>0 

r = 1−n

7 #

+



.



R

’

#

$

2

+

?

#

.

#





U

.

&

3

$

3

#

W

U

U

L

$

+

#

.

L

?

U

&



R

N

#



+

?

?

#

#

1 1 d(−n) 1 d(r−1) G(z, z 0 ) |(z=z0 ) = | (r−1) (r − 1)! (−n)! dz (−n) (z=0) dz

x[n] =

U

5

 φ(z) = z (n−1) X(z)

$

x[n] = 0 

6



+

x[n] = 

L



&

$

(

N

?

U

@

#

5

?

&

&

.

3

%

$

N

L

‰

#

3

$

U

+

#

?

#

&

#

$

$

W

/

#

3

$



&

+

g

n



?

•



3

#

.



%

5

2

%

U

2

&

#

#

x[0] = 1 $

$

L

#



%

.

.

&

#



5



}

%

R

U

n 0 x[n] = 1 n = 0 ⎪ ⎩ 0 n r = |z| 



.

@

%

.

5



.

?





2π

N

#

$

E

rn+1 ej(n+1)φ dφ (1 − aerjφ )

0

z=a &

#

_

1 2πa

f (n) = − %



L

$

#

?



@

5

2

&

#

1 (1 − 3

$

+

+

%

2

?



&





?

$

@

$

5

?

#

?

O

#

/

#

:

$

B





U

&

%

L



.

.

&

H

%

%

U

2π &

U

#

3

$

|z| < |a| &

#



1  n+1  r i r 2πa i=0 a ∞

+

.

Œ

?

5

#

3

$

+

n

?



B



$

$

#

$

G

&

f (n) = − 

?

#

∞   r i aejφ i=0

=

r ) aejφ

%

.



+

U

#

}

R

?







L

U

#

L

N

#

$



R



.

%

B

H

2

#

%

&



W

L

ej(n+1+i)φ dφ

0

i, n ≥ 0 0 f (n) = 0(n > 0) n |a| &

3

B

@

5



#

?

N



#

$

$

re−jφ

?

@

#

5

Ž

#

#

$



}

#

@



U

5

L

$

#

3

$

$

L

N

#

?

#

$

W

+

3

#

$

+

$

n

Ž



?

3

@



2

5

‰

R

3

.

$

.

H

#

@

$

W

5

.

&

#

O

$

#

$



&

5

#

L

%

U

E

L

(

i=0

#



2

#

&



?

.

@

5

#

Œ

#

?

5

#

G

a i ) re−jφ

&



1  n  a i r (2π) i=0 r ∞

?

$

∞ 

a

=−

r aejφ )

f (n) =

$

#

$

a − re−jφ a (1 − re−jφ )

=

r aejφ )

1

?

5

3



3



@

3

) * − az 1 = (1 − az ) (1 − az ) l

(1 −

3

&

‰

%

$

1 ˆ

$

+



z = a &

#

#

$



%

U

N

+

#

#

#





L

Y

#

3

N

#

2

$

$

2

%

3

&



?





$

R

.

n=i 

L



#

$

‰

#

2π

ej(n−i)φ dφ

0

2π 0 f (n) = an (n ≥ 0)

$

+

#

$

/

#



&

W

.



$

.

&

W



W

3

$



?

+

#

+

.

%

?

.

2

?

&

+

&

?

#

7 B

%

3

}

.

+

%

‰

#

%

?

U

&

#

}

+

2

#

#





.

U

?

#

L

$

#

?



:

N

#

#

$



?

?

.

#

+

?

5



$

#

2

•

#

.

#

9

Œ



2



.

Š

%

#

$

5

.







#





?

2

$

%



%

&

@

?

5



#

$

2

$

?

Ž

#

?

&

.

&

#

u

U

?

.

#

O

U

$

N

&

#

#



L

#



?

%

&

&

.

?

+



$

#

l

3

T

&

U

.

?

@

+

5

R

L



#



n

&

#







#

+

9

#

$

D

.

n

#

?

H

$

W

$

+

+

%

?

L

.

.

.

.

?

$



+

U

@

3

5

$

#

+

Ž



#

#



+

#

#

@

.

5

2

$

3

%

U

$

#

L

?

#

$

$

#

R

$

N

$

#

#



3

+

#

$

%

.

(

+

$

?

.



%

#

&

B

‰

&

#

#

O





$



&



#

+

L

#





%

$

U



.

/

#

5

?





‰

2

#



?

&

@

%

5

3

&



#

9

$



L


5

+

%



.



$



?

2

@

%

5

&

&

?

L



#



$

#





&

#



+



:

3





@

_

5

5





R

"

=

5

>



:

#



$







(

U



U

L



#

6



+

5

?

+

$



L



[

.

5



%

"






N

"

#

=

(

$



n



?









P

2

?



&

=

+



#



_











%

$

.

9

$

−( az ) 1 z = (1 − a ) (1 − az ) „ N

#







w 5

#

%

?

9

#



%

?



$



3

.

2

#

%

2

%

5

&



?

$

$

‰



R

3

&

‰

U

?

@

5

#

.

€

?

z = 1/w $

n

#

$

+

#

$

W

.

?

#

3

U



$

5

.

2

?

+

#

&



3

$

&

3

&

#

#

U



@

$

B

?

5

#



$

R

2

$

5

#

(



$

3

N

L

$

.

#

U

@

L

#

5

#

$

?

?

&



$

$

&

#

W



&

3



?

z/a \



G

?

:

L



L

@

%

‰

&



U

#

2

‰

#

3

%

$

#

N

$

%

&

\

L

$

.

L

#

$

5

U

?

5

#

#



?

?



#

#

U

&

#

Ž

&

u

2

$

$

2

?

L

3

&

?

$

+

#

2

n

?



+

?

#



%

a/z |z| > a |z| < a 5

#



&

n

#



&

#

?

2

#

W

?

&

€

?

U



#



.

#

&

‰

&

5

$

+

#

.

Œ

#

.

?

+



%

3

3

?

%

N

L

$

U

#

2

#

N

.

$



#

‰

#

n

B

&

+

W

#

%

#

e

#

#

.

L

2





l

#

?

&

#

B

#

/

2

n

%

#

?

I





&

5



+



?

&





5

2



5

u

%

+

U

N

#

#

#

#

$

?

$

+

2

?

#

.

’





5

2

+

h

#

N

.

.

Œ

?

?

&

$

?

N



#

O

#





L

$

$

&

?

U

.

#

?

@

@

5

#

5

$

‰

Œ

#

?

&

#

?

?

L

5

#

+

%

.



&

#

L



%

$

+

+

#

.

Œ

?

$

L

9

&

zn (z − a) N

e

G

\

/



#

H

?

.

n≥0 T

.

?

5

3

.

U

#

2

$

n



+

}

R

#

?

$



#

ˆ

?

3

$

U

#

U

3



$

$

B

&

&

3



2

?

W

+

&

?

Œ

z0 #

%

+

?

3

$

?

5

%

N

#

$

n

?



#

?

$

#

$





$

5

U

&

3

2

W

.

.

@



5

5

U

%

?

#

N

{

#

&

W

$

+

#





+

$

3

$

%

U

.



‰



Ž



#

?

$

#

$

f (n) = 0 (−n) z=0 n

?

L





N

#

R



?



&

1 z−a

G(z, z 0 ) = 3

@

< |a|

.

7

n

:











L



6

5

+





[



"



"

=

(











P



=





_









-

/

@

A

=



-



(

/

*

(





/

?



N

#

&



%

@

5

&

#

$

+

?

#

}

3 $

B

&

?



$

1 (z − a)(z − b)

F (z) = 

%



&

?

%

U

N



3

@

5

‰

#



U

#

L

3

$

L

U

?

#



#



&

A1 A2 A3 F (z) = + + z z (z − a) (z − b) 2

?

&

1 1 1 , A2 = , A3 = (ab) (a(a − b)) (b(b − a))

A1 = I

?

&

+

#

2

Y

%

&

‰

R

N

#



+

?

#



%



&

?

%

U

N



3

@

5

‰

#



U

#

L

3

$

L

#



5

%

U

&

#

$

n

?



.









&

[an−1 − bn−1 ] (a − b)

f (n) = u(n − 1)

7 

?

#

.

#

.

Œ

#

.

3

U

&

%

&

L

?

|z| > max{|a|, |b|}

U

&

$

3



W

n

#

$

$

%

U

U

#





U

#

?

2

Œ

Š

U

?

#

L

#

$

W

%

U

.





R



  



K









+

#





+

-

#

@

A



-





@

A

/

*

(



/

?

+





U

%

&

#

#



N

A

?

&

.

#

#

$

?

‰

$

#

3

$



H

}



@

U

5

L

.

&

#



5

#



U





L

#

$

+







3

K







R

#

$

(

3

.

+



3

@

B



R



N

+

*

#







3

∞ 

Z{f (n)f (n)} =



+

3

2

Ž

#

n

#

?

.

L

#

5

#

+

?

!



#

•

!

*



#



/

9

$

n

?



:



$

+

#





#

›

$

?

&

?



$

∞ 

Z{f (n)f (n)} =







%

$

.









+

2

%

&



+

+

#



'

1 (2πj)

f (n)f (n)z −n =

n=−∞ •



?



$

+

#

.



3

%

9





#





*







-

(







1 z  dv F (v) F v v •

9





%

$

.







2

%

&

?



E



J

$

h

%

3

.

G

’

l

f (n)f (n)z −n E



G

h

’

i

n=−∞ T

?

=

$

U

#



}

E



U



L

h

e

f (n) #

G

W

%

3

.

L

n

?



+

+

%



?

$

2

?

&

€

?

U



#

+

#

.

O

$

:

#



.

?



$

.

9



5

#





#

2

.



j

%

3



Y

#

?

&

+



R

@

B

&

?



:

W ’

h

l

' ∞  1 −n Z{f (n)f (n)} = f (n)z F (v)v n−1 dv (2πj) n=−∞ /

#

h

#

’

#



&

%

3

.

@

5

#

$

Y

3

2

2

%

&

?



$

3

$

+

1 Z{f (n)f (n)} = (2πj)

O

$

'

&

#

L



%

&

?



$

3

$

+

#



5

%

U

&

#

E



j



j

g

G

h

$

∞  z −n 1  f (n) dv F (v) v n=−∞ v E

h

e

G



L 





ˆ

%

@

5



#

›

"

$

?



"

&

?



=

(



$



+





#







•

…

9





P





%

=

$



.





_







2

%

&

?

#

&

‰

#

$

n

?



=

U



E



G

h



J

:

#



U

%

$

L

&

#

•

9

’



?

$

=

U



E



i



j

$

?

.

&

+

f

G

#

?

$

%

'

1 (2πj)

Z{f (n)f (n)} = Y



W

.

.

L

#



%

+

#

1 z dv F (v) F v v



#



L

?

N

&

.

?

@

5

L

#



%

E



j

f

G

h

+

#

+

?

#

?

$



5

#





#

2

h

%

$

.







2

?

#



&

#

+

#

.

3

%

+



%

&

#

.

#

?

$

#



Y

3

2

2

#

  

h

(

3

.



5

#





#

2



J

B



$

$

#

$

n

?



U

#

?

@

5

&

%

U

.

Y

u

#

‰

?

%

U



%

U

U

+

?

#



%



.

#

:

%

U




.

@

5

#

=

U

#

?

9

h

@

5

3

$

L

?



N

A

2

‰

9

Ž

#



#

?

@

5

#





2

?

&

&

#

U

$

l







3

K







+

#





+

-

#

@

A



-





@

A

/

*

(



3

=



R







@

A







'

∞ 

1 f (n)f (n) = (2πj) n=−∞ •

3

2

Ž

#

n

#

?

.

:

#



&

%

3

.

@

5

#

$

n

?



?

$



5

#





#

  1 dz z

1 F (z) F z

2



J

+

?

#



%



?

%

N

U

#

f (n)f (n)v

n=−∞ }

R

v=1 

€

?

#



N

A



%

#



L

?

N

&

.

?

@

5

.









&



5

#





#

2



.

B



$

$

#

$

n

?





+

?

#

˜

R

N

U

?

@

5

#

™



3

K









#





+

-

#

@

A





-

%



G

$

v +

h

l

E



j

d

G

h

 

i



.

#

:

%

U




.

@

5

#

=

U

#

?

@

5

3

$

L

5



+

3

1 v dz F (z) F z z





j



h

3

'

1 = (2πj)

−n

 h

z $

h

∞ 

E



@

A

/

*

(



3

#











/ 

*

U

#

?

&

#

$

l



=







@

A







∞ 

|f (n)|2 =

n=−∞ 

%

‰

3

#



.

#

&

‰

#

$

n

f ∗ (n) dz/z = jT dω W

3

$

+

n

?

?





#

N

#

?

&

$



#

%

+

@

5

#

&



#

}



$



1 Ω

( ( (F (ej ω T )(2 dω

−Ω 2

U



Ω 2

L

5

#

#



#

2



ˆ

%

@

5

T

?

$

.

#

&

‰

#

$

?

$



+

3



5

#



%

h

@

5

$

+

+

?

#

#

B



Y



&

$

#

U



U

3

L





j

G

h

#

2





h



U

L

&

+

?

#



&

B



2

u

z = ej ω T #

i



E

’

„

f (n) $



2π T

mit Ω =

%

.

L

#

n

R

$

.

@

5

U



#

#

&



}

%

#



Œ

2

#

?

.

U

L

&

3

#

?

U

&

%

.

&

&



i

  

?

#



%



.

#

:

%

U




.

@

5

#

=

U

#

?

@

5

3

$

L

N

#

.

%

L

&

∞ 

%

U

.



W

+

%

.

.

+

?

#

˜

T

$

#



L

?

#

+

#



}



U

L

#

|f (n)|2

™

E



j

j

G

h

n=−∞



#

$

+

&

#

n

#



+

#

+

3



+



@

3

5



O

@

$

5

&

Y

#

L

3



2

%

&

2

?



%

&

$

?

R



N

$



#

R



N

+

?

#



#

+

.

?

u

#

#

B

T

&



?

%

$

U

‰

#

#

U

$

#

$

T

#

$

#





L

?

L

?

#

#

$

$

N

#



#

@

5

$

#

&

n

#



+

#

$

B

%









#

1





-

K





9




+

#





+

-

#

@

A



-





@

A

/

*

(





/

?



#

@



5

N

$

#

#

&

$



%

?

@

5

5



&

#

#

T

$

n

$

#

?



L

#

+

?

#

#





+

?

#

}



U

L

#

f (n) = an u(n) 2

?

&

|a| < 1 3

$

+

N

#

9

$

$



L


5

I

?

&

+

?



#

B

&

#



Ž

#



#

@

5

$



3

:

$



_

L

5

L

∞ 

?



U

"

=

&

>

E

:

L



#



?

F (z) = z/(z − a) &

∞  n=−∞ 3

$

+

R

N

#



+

#

$

Œ

#

.

?

+

3

L



&

6



?

.

5

@

+

5



#

[

Œ

U

&

2

?

&



5

#





#

2





#

"

?

.

∞ 

%

&

‰

W

+

|a| < 1 %

W

n=−∞

#

=

(











P



=





_







G

W



%



.

#

:

%

U

.

@

5

#

=

U

#

?

@

5

3

$

L

W

i

L

#

1 1 − az

f 2 (n) =

"

5

'

1 1 1 F (z) F ( )dz = z z (2πj)

$



1 1 − a2

(a2 )n = h

#



n=0

?

'

1 (2πj)

f 2 (n) =



#

∞ 

f 2 (n) =

L



2

n=−∞ I



5

&

$

3



+

#







U

N

#

z=a ?

#

?

$

l

1 1 − a2

=

z=a

1 dz ((z − a)(1 − az))

  





 K



T



?

.



$



#

$

(

?

%

+

3

&



#



.

$



n

@

A

U

?

$

#

@

%

#

%

5



`

&

?

2

2





*

@

U

U

%

U

+



#

U

L

5



5

%



#



.

}

+

.

-

D

#

?

$

#

@

&

?

5

#

&

$



$

&

#

#

ˆ



.

@

3

5

$



3

‰

@

?

#





?

T

C

5

.

&

U

#

$

&

$

U

%

%

L

‰

#

$



3

H

?

%

3

U



?



@

#

`

?



#



&



5

#

.



3

5



•

B

@



$





#



.

?

#



?

&

:





:

#

.



%





Y

3



?

`

$

‰

%

$

.

L

#

&

&

?

%

2

#

+

2

#

+

?

‰

#



.

&

‰



?

B



5

#

?



#

#

L

#

&

#



%

#



#

2

$

?

?

$

Y

&

‰

`

.

$

$

&

5

:

#

.

@

?

L

#

U

#

2

$

U

#

#

?

#

3



$

@

?

3

&

?

}

5

.

2

H

$

U

#

?

$

5

U

L

?

&

.



$

.

@

&

N

#

5

#

5

+

%

%

9

2



9

2

?

&

D

$

?

@

5

&

2

#

5

 2



L

U

?

@

5



„ O

$

+

#







%

?

.

:

#



.

3

@

5

&

2

%

$

%

3

.

+

?

#

.

#

$

=



R

$

+

#

$

$

?

@

5

&

U

?

$

#

%



#

Y

`

.

&

#

2

#

n

#

?

9

„ &

#

.

%

&

3

L



+

?

#

L

.

5

#

B





#

L



#

:

%

3

`

#

$

3

W

Y

Ž

#

‰

&



.

N

+

5

&

U

#

$

R

#

(

L

#

?



.

.

&

u

#

n

#

?



#

#

2

#

2

U

@

#

U

.

5

.

#

?

#

#

&

?

+

?







#

$

{



&

$





#

N

U

.

#

5

%

2

U

#

N

.

2

%

#

? %

$

N

$

#

+

?

+

?

#

#

.



#



D

Y

$

&

&

#

#



U

.

U

#

3

U

@

5

#

+

3

?

$

L

U

L

?

@

$

5

?

#

@

5

#

&

U

?

2

$

u

#

%

U



%

#





T

.

5

#

%

‰

+

2

@

#

5

?

& 9

‰

#

?

&

+

?

.

B



#

&

#

.

Y

`

.

&

#

2

2

?

&





U

L

#

$

+

#





?



#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

l

$

2

.



xn+1 = axn (1 − xn ) &

?

#

?

U

&

&

.

#

?

?

$

@

5

#

5

?

2



#





#

N

?

#

#

?

3

$

2



#

%



%

?

$

#

2

#

$

&

#

?

@

5

&

U

?

$

#

%



#

.

W

‰

#



j

6

G

h

?

&

?

$

:

%



?

%

$

&

#

.

W



#

B

3



.

?

:

#

.

Y

`

.

9

7

a 

E



N

n



5

U

#

?

$

#

:

#



L

U

#

?

@

5

N

%



#



?



#



#

$

&

?

%

U

9

„ L

U

#

?

@

5

3

$

L

?

2

‰

#

?

&

B



$

&

?

$

3

?

#



U

?

@

5

#

$

Ž

#



#

?

@

5

#

u

U

?

‰

?

&

U



.

N

%



?

.

&

W



R

5



&

+

%

.

: #



9

„ L

U

#

?

@

5

N

%



#

‰

#

?

&

+

?

.

B



#

&

#

Y

`

.

&

#

2

‰

3

#

?

$

#



#

&



#

2

B



2

u

U

?

‰

?

#



&

#

$



.

3

$

L

.

2

#

$

L

#



D

T

?

$

#

$

&

?

#



#



#

$

T

?

$

N

U

?

@

B

#



5

H

U

&

+

#



L #

$

#

?

L

&

#

#

.

#



?

$

+

#

2

B

U

%

.

.

?

.

@

5

#

$

(

3



.

%

&

‰

D

E

}

#

?

L

#

$

N

%

3

2

W

e

J

g

G



i

/

?

#

2

%

$

?

$

(

N

N





f

3

$

+



h

L

#

L

#

xn

$

‰

#

n

?

?

.

$

#

@

$

5



#

#

.

&

#

$

/

#

h



&



/

H

5

U

2, 4, 8, . . . , 2f (a) $

.

?

#

5

&

W

B



$

:

#



L

?

#



&

+

%

.

Y

`

.

&

#

2

$ 3





R

a≤3 

h

&

2

/

%

#



$

&

+

#

$

#



$

}



R





#

?

#

/

$



#



%

&

#



%



2

N

#

#



&

#

5



%

L

U



N



@

{

%

#



W

.





3, 8



.

n

‰

?

?



U

U

?

#

+

+



&

?

#

„

.

3

$

L

.

2

#

$

L

#

+

#



%



&

B



2

u

U

#

W

+

%

.

.

+

$

D

?

.

&

?

.

@

5

@

5

%



&

?

.

@

5

™

N

#

‰

#

?

@

5

$

#

&

n

? 

+



%

.



#



5

%

U

&

#

$

+

#

.

Y

`

.

&

#

2

.

%

U

.

˜

+

#

&

#



2

?

9



L 





"



"

=

(













…



P



=





_



xn

1

5

0.5

4 3 2 1

0

1






















2

3

a

4

 L

V

"

D





(

5



"

.



L

=

"

5

+



5

_

_

D

]



"







=







[



:



…







5



"

.







1

P



5





%







I




G

xn

1

0.5

0

1





















2

3

L

V

a

:





"

;





+

=

D

.



_





[



"






"

=

(















…



P



=





_



y[n] = Θ(x[n]) .



U

e

%

.

#



 h

/

L

#

$

.

x[n] y[n] x[n] 

f

.

H

N

#

3

5



?

.

$

+

$

#

.

$

#

?

$

:

?

.

+

#



Θ Θ y[n]

+

$



+

+

$

3

B

@

$

3

5

$

?

$

?

@

?



@

5

#

L

.



.

L

+

+

&

$

&

#



W

‰

$

?

U

?

.

@

&

U

2

#



#

5

%

}

#

(



6

G

h

3



L

%

N

#

$

.

&

#

U

U

3

$

L

#

$







2

3

U

?

h

#



#

$

l

y[n] x[n] Θ

#

#

&

#

&

?

$

2

#

&

5

N

n

`

5

@





U

@

#

#





%



#



#

$

#

N

$

+

%

N

W

$

#

&

#

W

$

%

.



$

$

#

B



#

#

#

N

#

#



+

N

#

N

2

#

#

L

+



?

L

#

$

?

#



+

$

5

W

#

E

U

%

U

U

U

U

#

#

+

?

?

L

$

U

?

D

@

5

$

2

.

&

3

#

2

U

U

#

#



$

?

.

+

@

#

5

#





=

U



#

?



N

@

U

5

3

#

2

$

#

#

L

E





9

J

G

h

$

%



@

%

5

&

(

3

T

%

L

N

%



2

Θ

L

$

u

#





?

Y

+



%

#

$

@

?

$

L

5

2

−1

:

&

.

#

U

3

?

#

‰



?

&

5

:

%

U

#

&



#

B

$

$



R

u

/



#

?

&

#

&

$

%

T

3

.

?

.

$

@

L

5

%

$

n

?

L

#

.



?

.

L

?

L

#

$



%

B

7

x[n] U

%

$

$

.

?

W

3

@

2

5

#

#

?

$

?

$

#

#

$



?

.

3

$

:

$

#

L



+

.

#

#

$

u



+



?

&

#

&

#

9

$

D

.

.

u

‰

#

?



U

L

U

$

%



3

$

%

N

U

L

#

#

?

L

$

&

#

?

3

.

$

$

&

%

N

L

U

#

B

&

.

%

#

&

$

$

?

l

2

$

T

.

2

#

&

.

.

?

#

?

.

&

(

@

#

5

3

N

?

.

#

.

?

$

Y

.

L

%

u

?

`

$

#

.

L

U

&

.

.

#

.

n

2

?

#

‰

L

?

$

.

3

%

#

U

3

›

#

$

3

+

2

2

#

#

‰

?

$

3

$

W

3

n

Y

%

`

.

2

$

&

#

+

#

#

U

2

?

$

$

5

#



%

$

O

Y

$

2

%

}

+

#

U

&

‰

%

$

U

W

:

U



+

#

$

+

%

#

.



#

?

$

„ %

$

%

+

%

U

.



L

.

#



.

R

Y



u

+



?

%

@

5

#

.



.

?

L

3

$

$

%

U

L

?

+

?

$

L

#

.

#

#

.



@

5







?



#

N

N

U

#

#

$

2

#

.

$

&



#

U

U

#

3

&

$

3

L

B

2

#

n

?

$

%

#

$

+

%

U

#

U

L

U

#

&



2

€

?

#

?

# 

$

L

n

?

R

U

&



?

+

L

+

#

#

%

3

U

&

L

U



?



@

?

5

&

W

5

9

D

2

?

.

@

5

#







L

#

5

#

$

.

n

#



K



N



#

9



+

#

K

P

#

$

+

#

3

?

.

B

δ $

1

/



9

}

#

-

&



U

#

+

#

#



.



# %



$

L

#

L

#

N

#

$

n

#



+

#

$

B

%

$

$





*

}

L

?



U

$

L

‰

#

3

.

U

%

H

.

2

.

&

.

2

#

?

$

@

5

.

#

‰

&

‰

3

#

#

$

?

$

#



Y

3

2

2

#

:



$

L

#

n

?

@

5

&

#

&

#

$

3

$

+

:

#



.

@

5



9

l

b 

x[n] = {xn }bn=a =

x(i)δ[n − i] E



6

d

G

h

i=a 2

?


&











#

1





-

K





K










=



#

L

*

#



N



#

.



E





*





*



#

&



(

*

+

-

#

+

-

#

&

/

3

+

#

R

?

#



-

?

$

#

(



}

*

3







*

(





@

A



U

R



L

#

n

?

#





U

L &

l

x[n] = {xn }3n=−1 = {2, 1, 3, 5, 7} 

?

L

#

#

.

#

2

U

H

H

.

.

&

.

?

@

5

+

%



.

&

#

U

U

#

$

%

U

.

Y

3

2

2

#

:



$

L

#

n

?

@

5

&

#

&

#

$



#

U

&

%

9

}



U

L

#

$

{

x[n] = 2δ(n + 1) + 1δ(n) + 3δ(n − 1) + 5δ(n − 2) + 7δ(n − 3) 

?

#

.

#

$

&

.

u



?

@

5

&

+

#





%



.

&

#

U

U

3

$

x[n] =

L

3 

6

G ’

n=−∞



+

 h



-

$





∞

1; n = 0 0; n = 0

δ[n] = {. . . , 0, 1, 0, . . .} =

x(i)δ[n − i]

i=−1

 



L 



(

U

.

O

2

"

u



"

3

U

=

.

(

%



$



&





n









…



P



=



h[n] &



E

_

%



3

@

5

l

˜

=

#

n

?

@

5

&

.



3

$

B

&

?



$

™

G

n

?



+

n

?

#

?

2

‰

#

?

&

B



$

9

„ &

?

$

3

?

#



U

?

@

5

#

$

}

%

U

U

+

?

#

(

$

&

n





&

#

?

$

#

.



#

U

%

?

#



&

#

$



O

9

Y

`

.

&

#

2

.

E

•

3

.

& %

$

+

.

:

#

B

&





D

ˆ

3

U

U

G

%

3



+

#

$

T

?

$

5

#

?

&

.

9

O

2

u

3

U

.

+

?

#

+

?

.

B

h[n] = Θ O

.

h[n] &

(

N

.

@

5

$



R



#

?

$



O

9

Y

`

.

&

#

2



Y

2

`



.

&

L

#

&

&

#



$

2

#

B

%

$

$

&





#



W

&

#



.











B

#

U

&

%

9

f



e

%

3



Y

#

?

&

#

#

?

.

’

&

%

H

&

3

3



$

#

?

+

$

•

#

#

N

?

#

U

&

?

?

#

$

:

N

?



U

H

3

&

#



&

#

#

(

$

U

L

δ[n] #

N

#

‰

#

?

@

5

$

#

&



$

$

3

$

E



6

j

G

h





L

O

9

Y

`

.

&

&

#

#





L

%

N

#

+

#



O

2

u

3

U

2

#

T



?

n

L

#

#

$

$

.

+

@

3

5

$

%

L



&

+

#

#



$

+

?

?

#

%

$

T

‰

?

+

$

L

?

%

#

Y

$

L

`

.



.



&

U

$



#

#

%

?



?

?

&

2

H

&

W

D

#

L

2

%

$

&

n



x[n] #

N



#

.

„

y[n] &

&

?

2

2

#

?

$

#

.



#

U

%

?

#



&

#

$



O

9

D

&

∞ 

x(i)δ[n − i] ⇔ y[n] =

.

9

D

i=−∞ ?



(δ[n]) 

%

$

i

%

∞ 

x[n] = 

}

D

?

h

€

N



n

#



+

#

$

l

x(i)h[n − i] E



6

6

G

h

i=−∞

%

$

&

n





&

#

?

$

#

.



O

9

Y

`

.

&

#

2

.



#

?

@

5

&

+

#

2

‰

3





U

L

#

%

3

.

W

+

%

.

D



O

9

Y

`

.

&

#

2

:



U

U

.

&

H

$

+

?

L

‰

3

N

#

.

@

5



#

? N

#

$



O

$

.

N

#

.



$

+

#



#

N

#

?

+

#



D

$

&

#



.

3

@

5

3

$

L

D



#

%

U

#





O

9

Y

`

.

&

#

2

#

N

?

#

&

#

&

.

?

@

5

5

?

#



2

?

&

#

?

$

#

u



%

B

&

?

.

@

5

#

I



L

U

?

@

5

B

#

?

&

W

+

%

.



#



9

D

5

%

.

U

#

&

$

$

Y



.

?

3

&

L

3

.

u

?

#

N



#

+

$

?

$

#

#



Y

#

?

.

$

&

L

#





%

$



&

n

2

%





L





.

#



%

3

?

#

L





&

‰

.

+





#

$

u[n]

#

2

`

T

$

+

&

#

L

#

.

&

?



N

`

$

N

?

%

Y

$

#

&

L



%

U

B

$

#

B

#

3

(

#

#

N

L

?

N

5

$

+

%

@

$

$

%

T



3



?





U

$



2

#

&

&

#

5

#




?



ρ[n] 

?

#

N

&

#

.



U

N

9

.

Œ

$

/

U

u

`

.



?

%

2

Y

.





%

E

#



$



#

$

‰

3

9

2

Y

(

3

U

&

.

L

5

?

#

&

&

n

&

N

%

#

3

.

@



5

+

5



#

%

?

d

&



N

L

#

&

.

u[n] 

@

e

?

ρ[n]



2

$

L

$



#

@

#

#

n

&

.

2



$

`

N

2

}

%



$

Y

$

#

?

.

#

&

#

3

#

#

&

U

L

2

L

U

&

9

?

(

@

9

.

2

#

?

.

?



?

%

#

Y

+



U

5





W

$

$

#

&

?

#

+

L

?

T

U



$

#



#

G

‰

&

$

5

9





K



(

9



3



@



5



n



#



$



$



+



?



#



*

3

=

$

B



&

*

?

(



-

$



%

U



@

A

#

/



*

%



(

.

&

#

U

U

3

$

L

E



f

G

% 3

.

.

`

.

&

#

2

&

5

#





#

&

?

.

@

5

#



Y

?

@

5

&

h

7 L



3

N

$

#



U

R

+



L

3

:

#

#

(



$

U

?

Ž

@

#

#

#

U

.

$

+

5

#

#

%

@

?

5

?





$

?

#

&

W

#

&

?

.

Y

5

N

?

`

2

3

&

+

.

#

$

.

&

&

L

?

#

.

#

#

u

2

@

?

?

N

5

$

#

#

#



#



.

‰

#

@



#

?



5



&

%

$

N

?

#

.





3

U

+

&

$

5

#



%

.



@

L

2

B

.

&

&

$

#

U

#

#

?

N

5

U

%

3

$

$

n

$

#

O

?

+

L



#

.

#

$

3

Y

`

?

?

$

9

#

#

$

.

$



L

&

:

L

#

#

?

#

#

2

#

?

#

L

L

.

U

#

$

B

$

N

#

%

}

#

&

$

H

$



#

?

+

U

#

$

T

$

U

O

$

3

$

$

2

u

#



n

@

?

+

5

3

#

5

@

U

?

?

&

&

.

%

#

#

u





$

&

#

(

%

n

%

$

L

B



U

%

&

U

?



L

%

&

#

N

B

2

#

9

?

.

&

#

#

?

?

$

9

#



D





+

#







2





T



?



$



L



%



$



L



.





9



3



$



#

+

+



#





U

2

L

#

(

$

3

W

.

+

L

?

%

#

$

+

L

#

.

.

$

?



L

$

3

$

%

B

U

?

&

?

$





$



%

U

U

L

#

#

$

$

•

+

3

#

.



%

2

/

2

#

?

.

#

#

$

N

5

#

%

.

$

@

L

5

‰



#

?

n

?

N

&

.

yn + a1 yn−1 + . . . + aN yn−N = b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bM xm−M (

$

2

#

Y



?

B

$

3

$

x +



L

#

&

G

#

W

L



+



#

.

L

3

%

U

&



y N

?

#

3

+

+

U

‰

$

%

#

$

$

$



&

#

#

#

$

E

.

.

?

&

#



?

$

.

#

&

$

#

@

#

@

#

#

3



?

#

‰

?

&

u

?

?

5

$

#

#



5

#

$

E



6

J

G

h

l

#



‰

I

L

2

#

$

$

2





$

5

$

\

u

#

?

L

?

$

5

U

$

+

$

.

L

%

5

?

?

#



@

#

%

‰

5

B

2

$

3

5

#

#

%

@

5

#

N

#



&



#

‰

+

%

?

n

?



2



@

l

U

+

G

$

U

#

#

#

&

?

#

$

$

‰




an

T

$



$

?

3

$







3

3

Ž



$

.

#

%

#

2

#

bm

.



E

+

3

@



5

+

$

3

5

:

?

$



#

#

B

#

?

L



&

#

T





2

#

#

}

?

$

?

?



#

$

U

9

U

#

U

w

L

3

.

Š

#

.

(

$

$



5

+

O

#

9

Y

L

H

%



$

$

B

:

`

.

&

9

%

9



#



9

2

.

D

5

1

%

&

W

.



U

U

5

?

#



:



$

.

B

%

U

%



#

$



#

#

U

U

n

#



&

?

L

#

$

\



#



‰

?

#

$

&

#

$

%

3

.

L

#

L

%

$

L

#

$

n #



+

#

$



L 





8



5

(



"

=

>

:













=



>

:





L

5





%

.





=



6







,

L







L

%



,





=

>

:

%

"



+

,

.



[



"



(

.









"





5

:

"





D ]





"





5









6

"

>

:





P



=





_







;





c



"

+



%

]

%

"

L



"



…

_

8

"



+

5



+

=

=

"

+



5

6









5

6

.

+



P



=





_



]

;





:

5



8





=

8







+

D



:

"

6

"

>

:





M

_

8

6

"











P

=







L 



+

6

L



=





[

6

"

>

:

[



"

+



=

"

>

:

O

5

=

=

 



%





L

5



L



L



"

K

O

L





L





=





_

"

+



L



5



=





6

6







=

.

_

"



;

6



"

;



"



=



L

M







+





+

"

_

M

6

6

+



_



"







% "



(





+

=

6

.

=

…

_

K

[



"



"

=

(











5

6

6



:

"



+



+





"

=





"



L

5

"





:



"



=

"

_

8



6

=

=



:





"



D

5

>

:

[







[





+









;

"









=

"

>

:

D

]





"





P 

=





_

5



5

6



=



L 

V

Y

?

$

+

+

?

#

\



#



‰

?

#

$

&

#



#

O

$

.

$

&

&

#

2

?

%

$

#

$

%



+

3

#

@

3





+

n



#

O

#







+

$

$



#

+

T





$

#

?



.



$

L







%

W

U

?

U

+

a 



%

5

9

\

$

%

%

3

.



?

.

#

.

‰

#

+

`



+



Y

#

L

:

.

$

;

#



?

?

#

U

$

.







%

&

B

?

T

#

?

#

@

"

#

=

$

(

‰



#





$



L



U



#

?



@

…

5



3

P

$



=

L



‰



#

_

?



&

?

$

:

%



?

%

$

&

W



n

u

.







™

9

u

"

#

&

U



$





$

U

B

L

[

?

%

3

L







ˆ

@

#

_

#

:

5

R

U

D

+

?

@



=

$

&

?

.

‰

?

#

$

2

#

+

bi ‰

$

#

u



+

˜

&

&

.

"

2

$

.



$

#

`

#



3

&

#

Y

.

>

ai $



$

=

?

#

5

U

%



+

&



%

9

&

#

#

U



$

.



5

n

+

H

#

U

?

%

&

&

.

(

2

#

%



3

3

$

$

.

#

&

#

L

?

%

$

$

L

$



#

?

$

.




L

.

?



#

L



L

$



%

%





$

U



L



#

$





#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@ 5

3

$

L

n

?



+

+

#



Y

`

.

&

#

2

‰

3

.

&

%

$

+

$

?

@

5

&

#





%

.

.

&



D

2



#

?

$

B



$

B



#

&

#

.



O

9

Y

`

.

&

#

2

2

?

&

#

?

$

#





?



#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

B



2

u

U

#

&

&

‰

3

N

#

9

D

.

@

5

+

?



#

L

D

?

N

#

$

W

?

.

&

%

U

.



%

3

@

5

5

?

#



+

?

#

(

$

L

%

N

#

:



$

(

$



%

$

L

.

N

#

+

?

$

L

3

$

L

#

$

$



&

n

#

$

9



2

%

3

.

#

?

$

#

2

L

#

L

#

N

#

$

#

$

T

?

$

L

%

$

L

.

.

?

L

$

%

U

+ %

.

(

3

.

L

%

$

L

.

.

?

L

$

%

U

‰

3

N

#



#

@

5

9



$

#

$

E



.

#



+

$

#

:





3

2

$

L



?

#



B

#

#



5

#



$

&

&

?

G

W

%

U

?

L

.

U

&

#

+

?

@

?

5

#



3

$

?

L



#

#



$

#

.

?

$

$

‰

#

+

$

+

L

%

U



#

R

?

@



5

:

3

#

$



L

.

‰

@

5

3

?

#

U

+



#

.

$

#

$

#





I

5

#

&

$

5

U



?

+

@

5

#

+

$

#

2

2



L

9

D

U

?

@

5

W

%

3



+

?

#

?

2

\

%

u



%

3



Y

#

?

&

#

e

#

’

h

?

$

L

#

L

%

$

L

#

$

n

?



+



T

?

$

#

$



# 

L

U

#

?

@

5

h

8

:



$



?



#



#

$

&

?

%

U

9

3

$

+



?



#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

#

$

N



?

$

L

&

N

3

$

L





h



K



9

















+

(

/

*

(

#



/

*

i



%



*



*

8

/

?



U

#

?

&

#

$



#

&

‰ &



%



.

&

#

U

U

3

$

L

#

$

+

#



N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

?

z 2

h

e



(

3

.

E



e

e

G

?

.

&

N

#

B

%

$

$

&

W

+

%

y[n] h[n]

{

h

2

?

:

%

#

?

+



Y

.

L

%

@

?

%

5

U

?

9

.

$





$

%

%

U

$

.

$



$



%



?





G

&

3



•

2

%

#

&



U

?

?

R

L

#

&



9

‰

%

U

U



.

?

@

5

+

%

%

I



3

U

.

U

&

&

?

.

}

#

U

u

U

U

?

%

#

U

&

$

B

3

U

%

&

?

$

H

L



{

#

(

$



#

L

3

$

L

#

+

&



$

?

Y (z) = H(z)X(z) X(z)

$



3

x[n] = δ[n] 

2

@

}

2



?



9

#

Ž



#

z 2

N

‰

n

T

$

?

3

9

&

Ž

$

L

‰

#

#



%

#

$

$

#

Ž

L

n

?

@



.

?

5

#







W

?

U

+

.

@

5

L

?



5

#





l

x[n] #

#

#



5

5

%

3

U

?

&

9

#

$

H(z) = Y (z)/X(z) 

E

e





%



.

&

#

U

U

3

$

L

+

#



N

#



9

%

5

&

+

?

?



$

#

#

•

9





5



%

%

U

$

&

.

#

n

H



$

5

U

n





?

2

?

#

$

W

+

%

$

$

?

.

#



&

#

+

#



O

2

u

y[n] &

X(z) = 1 

3

3

$

U

+

.

+

+

%

$

?

%

&

#

O

2

n

?





2

u

3

U

.

%

$

&

n





&



Y (z) = H(z) &

&

E

f





%



.

&

#

U

U

3

$

L

8

+



#



T

?

N

$

#

#

n



#

?

&

&



#

%

L



3

#

W

$

L

2

.

%



&

3

5

$

#

B

&

2

%

?

&



$

?

G

.

@



5

%

$

L

#

$

#

5

2

#

}





2

:



H(z) $

h

n

?

n













&

2

+

%

3

U



@

#

?

5

$

}

#

%

T

U

&

?

3

$

$

L

%

L

$

L

#

L

L

.



#



N

U

#

L

x[n] = z n #

$

‰

n

H

5

U

#

$





%

$

#

$



?

5

.

%

U

&

&

+

#

?

$

#

n

Y

?

`

.



&

W

n

#

#

2

$

%

$

$

&

9

3

∞ 

y[n] =

h[k]z n−k = z n H(z) E



6

G

h

i

k=−∞ %

U



.

#

H(z) = y[n]/z n 

+

#

2

}

%

U

U

:

#



.

@

5

n

?

W

n

$



+

#

N

&

#



Y

?

+

?

u

#

#

(

‰

?

#

N

U

5

U

L

H

?

$

U

L

?

L

B

#

?

&

:



n $

H(z) = y[0] &

%

N

3

#



?

+

E



#









2

#

@

%

5

U

&

#



#

$

G

Y

(

$

#



?

&

#

#

L

?

3

$

$

L

8

+

#

.

Y

`



K



T

9

?



$

&

.

2

?



%

x[n] = z n &



-

L

2





#

#

@

u

5

%

?

#

.

@

@

A

5

#

+



!

}

-











%



.

&

#

U

U

3

$

L

+

#



N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

G



h



-

2

E



+

#





%



.

&

#

U

U

3

$

L

#

?

$

#

.



O 9

Y

`

.

&

#

2

.

N

?

#

&

#

$

Ž

U



@

B

.

@

5

%

U

&

9

D

N

+

?

#

U



+

#

#

G





Y

/

`

2

?

N





:

U

#

#



l

n

#

$

+

#

W

8

$



n





L

.

$

.



H(z)

?

#

n

$

#

&

&

3

%

N

B

$



&

U

$

&



#

3

B

•

H(z)



%

U



.

.

%

9

.

.

U

}

•

L

U

3

$

+

#

u

5

$

‰

2



@

&

3

#

ˆ

%

?

u

O

:

$

%



‰

.



#

$



%

&

+

U

n

f

&

9

$



R



+

?

#

Ž

U



@

B

.

@

5

%

U

&

N

?

U

+

9



%



.

&

#

U

U

3

$

L





U

L

#

$

+

#

E

3

$

+

%

$

9





L 



"



"

=

(













…



P



=





x[n-1]

x[n]

_



a[n]

A

x[n]

Ax[n]

a[n]+b[n]

Z-1

b[n]

Zeitverzögerung um 1











a[n]









+

a[n]-b[n]

b[n]

b[n]

Filterung

a[n]

a[n]b[n]

P

Summation

P(x[n])

x[n]



Verstärkung um Faktor A

-

Summation mit Vorzeichen

Multiplikation

 L

V

6

.

>

(

=

>

:

5

6



;

"

L

6





D

]



=



>

:

=

,





=

>

:

"

L









!

8





5



"

.







_

"







P

"



L

+



5

6





5



?



#



%

U



U



L

;

#

2

#



?



$

#

 ?



#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

+

#

.



O

9

Y

`

.

&

#

2

.

D

yn + a1 yn−1 + a2 yn−2 + . . . + aN yn−N = b0 xm + b1 xm−1 + b2 xm−2 + . . . + bM xm−M 

R

5



&

‰

3





U

L

#

$

+

#

2

E

(

N

N





@

&

5



%

H

3

(

.

$

5

@



?

$

5



$

L

B

3

$

$

#

3

L

+

N #

+

L

#

3

$

$

L

$

#

#

(

U

M +

+

N



?

?

#

2

+

?

G

#

L

#



?



U



$

?

B

2

&

#

?

#

2

$

U

#

2

#

#

‰

?

#

(

D



















Ž

U



@

B

.

@

5

%

U

&

N

?

U

+

W

n



N

#

?



J

g

G

h



5

$

#

Ž

#

9

’

5

Ž

%

#

?


G

h

.

E

?

$

2

@

5

‰

.

N ≥ M &

$

%

#

3

5

&

U

‰

#

$

W

L

$

$

B

H

%

2

+

$

U

#



%

$



?

@

L

$

?

.

$

U





@

E

2







2

5

N 5

=

#

#

R

J

5



g

#

‰

G





?

$

n

&

+

L

#

$

%



#

3

:

#

?



+





$

N

$

#

5

#

Ž

U

E

#

$



&

B

$





@

%

W

?

.

.

+

L

@



%

&

5

$

.

&

#

?

#

U

&

.

n

%

.



?

:

$

+

+

N

$

#

U

?

$

#

#

.

W

+

E





n

.

?

9

#



#

9

5

#

h

(

N

N



J



E @

G

(N + M ) G

h



N

A

+

#



‰



L

#



#



N

#

$



&

?

L

&

n





3

K













/



*

*



#



+

#

$



/

?









%







#

@





A



&







+

-



*

=

+

-

-

(



3





*



$

$

#

$

$

3

$

‰

#

?

L

#

$

l





M

N

P

R







!





*

=



*

(

-





@

A

/

*

(

/ *









B



@





A

+



-



/



*



(













































E



J

g

G










































h















?





#





5





3

?



:

%



U

#

#



$

#

‰





:







$



=



U









E





J





g





G

3



#

$

+

(

N

N





h

/

?

b0 (



9

+

I

#

N

3

N

›

U

$



&

?

Ž

#

?

.

#

@

&



#

#

U





?

#

‰



?

$

U

#

%



L

#

#

U



$

s[n] .



+

}

#

R

‰



n

+

#

=

B

h





.

.

#

?

2



N

#



#



$

$

#

$

n

?



n

•

#

$

&



3

2

+

#



(

N

?

?

#



B

?





#

$



$

#

#

$

$

‰

#

n

$

L

?

U



?

#

?

@

2



5

3

$

#

L

@

#

5

&

$

#

+

$

?

3



#

$

B

&

+

%

?

N

U

2

U

#

.

#

%

@

5

N

?

$

#







$

U

L



B

W

H

$

B

3

bi $

$

.

#

L

?

+

#

#

$



+

(

?

U

#

U

U

#

L

&

#

‰

2

&

#

#

?

$

5

#

?

&

%

$

$

(N − M ) $

#

:

5

2

?

#

#

U

#

$

:

W



:

2



$

/

+

#

#



$

&

N bi = 0 +

#

%



L

&

W

‰

#

n

$



:

#



?



L

#

+

$

#

l

2

’

•

N

#

n

?

#

n

?

?

L

+





#

5



$

#

#

•

9





%

$

.







2

%

&

?



$

#



L

?

N

&

.

?

@

5

l

.

&

#

U

U

&

#

$

\



#



9



yn = b0 sn + b1 sn−1 + b2 sn−2 + . . . + bM sn−M sn = xn − a1 sn−1 − a2 sn−2 − . . . − aN sn−N ˆ

?

’

$

h

.

#

?

’

5

$

u

 h

‰

?

E

 h

J

e

G

L 

V



=

>

:





"

;





+

=

D

.



_





[



"



"

=

(















…



P



=





_





b0

x[n]

y[n] Z-1

-a1

b1

Z-1

-a1

b2

Z-1

-a N























bN

 L

X

5



.



"

=

>

:



V

6

.

>

(

=

>

:

5

6



;

"

L

6



5



=





6

6





+



"





=

"

+

"



5

6





"

6

Y (z) = S(z)[b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bM z −M ]







E



=

J

f

G

h

X(z) = S(z)[1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + aN z −N ] ˆ

%

#

@

.

5

#

T



L

?

?

$

N

.

&

#

.

&

?

‰

@

#

$

5

+

3

$

#



2

N

?

&

#

&

?

#

U

+

#

N

$

%

=



+

U

?

#

?

#



@

5



U

3

L

$

#

L

$

#

+

$

?

#

$

=

#

U

#

?

?

$

@

%

5

$

+

3

$

#



L

n

?



S(z) +

#

U

?

2

?

$

?

#



&

W

3

$

+

l

Y (z)[1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + aN z −N ] = X(z)[b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bM z −M ] 

?

L

#

#

.

#

2

U

#

N

?

#

$

=

#

U

#

?

$

@



5

O

3

9

$



L

?

#



#





L

#

?

$

N

‰

&

#

.

$

?

L

U

@

5

#

?

+

@

5

3

3



@

5



L $



#

%



?

&

H

&

.

#

?

%

J

$

g

.

G











2

%

%

N

&

#

?



?

$

N

2

%

#

@

?

5

+

#

#



$

Y

n

#

?

?



$ %

.







L

2

#

:

#

$

.

@

5

%



&

E



e

J

G

3

$

+

+

#



$



J

G

+

#

$

h



+

%

#

U

%

&

?



$

=

#

N



#



.

@

5

?

#

N

3

$

L

.

#

?

L

#

$

.

@

5

%



&

E



e

G

h

%

3

@

5





%

2

?

&

?

.

&

U

9



?

9

D



h



&



 h

h D

$



E

E



5

#





#

2



e

e

N

#

n

?

#

.

#

$

+

#



•

9

i



h

I

$

#

?

?

$

&

+

$

#



#



#





#





›



$



?



&



?







$

#





?



$

#





E

€

#

?

$

L

U

U



.



L

.



&



%

.

&

.

s[n] #

#

:

%



?

%

5

N

U

%

#

N

W

#

+

$

%

n

5

#

?





‰

+

?

3

2

#

#

Ž

#

‰



.

#

?

&

@

#

$

5

I

$

3

%

$

U

#

?

.

&

$

L

%

#

$



+

R

5

.

L





&





.



.

?

#

#

$

.

?

#

?

2

.

&

\

:

%



u

?

&

$

#

%

3

U

.

$

.

#



@

$

$

5

?

%

3

@

5

.

&



R

N

5

#



U



?

N

%

5

@

@

N

5

&

#

$

N

%

3

&



‰



/

#

$

?



n

#



+

#

$

.



U

@

#

?

s[n] L




5

#

•

9

G

3

9

  

’

8

/

?







%

L

#

$

$

3

$

$

%

@

5

+

#



N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

+

#



Y

@

5

%

U

&

3

$

L

?

$

(

N

N







h

’

8

I

?

&

+

#



e





%



.

&

#

U

U

3

$

L

+

#



N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

E

.

?

#

5

#

(

N

.

@

5

$

?

&

&



f



Y

h

#

?

&

#

j

G





U

L

&

%

3

.

=

h

U



E

 h

H(z) =

J

G

.









%

3



’

&

h

b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bM z −M Y (z) = X(z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + aN z −N E

 h

J

d

G



L 



/

?









B

2



%

$

&

$

?

#



"



"

$

$

%

+

?

=

U



(

.

#











N

B

&



#

%

?

N





…



U

#

?

.

#



P





#

$

=





#



$

_



‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

#

$

+

?

#



%



.

&

#

U

U

3

$

L

?

$

+

#



•

9





%

$

.

9









!





 K



9



-

R



/

-

-

#



-

-



*

R



+

#



-

-

/

*

(

:

*

+

-

C

#



/

*

&

C

*

A



#





*





&

C

#



3



*

8

/

?



N



?

$

L

#

$



#

&

‰

&

+

?

#





U

`

$



2

#

$ 9



%



.

&

#

U

U

3

$

L

+

#



N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

E



J

d

G

h

?

$

#

?

$

#





U

9

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

#

$

9

}





2



%

@

5

+

#

2

}

3

$

+

%

2

#

$

&

%

U

.

%

3



@

5

D

2

.

@

5



#

?

N

#

$

#



5

%

U

&

#

$

n

?

&

‰

+

#



(

U

L

#

N



%

E

(



L

%

$

+

W

e

J

e

W

e

J

e

G

h



#

+



#



+

.

U

#



`



$

$



•

U

`

2

H

$



.

5

U

3

#

k 2

$

+

9

&

L

#

L

$



=



#



?

$

%

+

#

#

$



b0 z M + b1 z M−1 + b2 z M−2 + . . . + bM z N + a1 z N −1 + a2 z N −2 + . . . + aN

H(z) = z N −M ˆ



.

?

L

U

$



#

N

?

%

U

$



#



$



}

%

+

B

3

&

B



&

%



3

3

.

2

+

.

@

#

5

k $



#

?

N



J

G

h



U

H

{

&

.

?

@

’

5

$

3

$

’

ˆ

#

E

3

$

U



U

.

T

&

#

.

U

U

L

#

?

$

U



&

%

B

%

U

&

.







#

‰

$



+

Ž

#





.

R





M +

b0 z M + b1 z M−1 + b2 z M−2 + . . . + bM = b0

(z − z0i ) E



J

j

G

h

i=1 /

?





R

5



#

$

+

?

#

.

%

3

@

5



R



+

#

$

ˆ

#

$

$

#



+

3



@

5

W

+

#

.

.

#

$

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

#

$

n

?



2

?

z∞ &

8

N

#

‰

#

?

@

5

$

#

$





?

#

N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

U

%

&

#

&

+

%

$

,M

N −M

H(z) = b0 z

3

$

i=1 (z

− z0i )

i=1 (z

− z∞i )

,N

E



J

6

G

h

8



?

#

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

#

$

+

#

.

ˆ

#

$

$

#



.

.

?

$

+

+

?

#





U

#

+

#



N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$





?

#

.

#

8



%





$

.

&

#

U

U

3

$

L

5

#

?

.

.

&

+

%

5

#







U

9

ˆ

3

U

U

. &

#

U

U

#

$

9



%



.

&

#

U

U

3

$

L

+

#



N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?

9



T

.

?

.

&

B

U

%



W

+

%

.

.

+

?

#

D

2

n

%

$

+

U

3

$

L

+

#







U

`

$



2

9



%



.

&

#

U

U

3

$

L

?

$

+

?

#





U

9

8

ˆ

3



U

#

.

&

U





#

#

U

N

?

#

+

(

5

+

U

?

@

(

R

#

#

U

L

#

@

U

.

&

5

U

#

L

3

3

L

%

$



.

%

L



5

H

9

U



+

&

#

%



3

#

?



.

?

.

&

?

U



#

$

?



#

5

#

U

5

U

ˆ

?

U

U

#

5

5

U

3

?

#

9



.



L

9



+

U

9

$

#

W

U





#

+

#

&

%



&

.



ˆ



#

%

?

+



/



L

$

$

#

$

9

+

U

+

#

$

$

#

9

$

&

#

#

&





2

n

.

3

#





U

5

@

B

$

3

3

H

U

#

`

%

9

•

L

L



@



2



.





3

#

?



2

2

?

#

+

@

#

+

5

$

.

+

$

@

+

U

?

&

#



#

#

?

L



%

2

2

$

$

n

U

3

5

3



‰

U

$

@

U

?

&

3



U

&

ˆ

3

#

B

#



$

&

$

&

.

.



$

>5 #

$

$

L

$

#

U

%

%

+

:

#





%

.

&

N







#

=

+

3

#





$

ˆ

U

Ž



9

N

#

(

U





5





#

5

@

+



#

+



$



L

‰

+

%

#

$

&

@

#

n

+

3

%

H





U

.

.

&

3

U

U

&

.

L

#

%

%

?

$

&

&

&

#

3

.

$

#

$

U



#

2

5

$

%

2

+



@



%

$

?

%

9

W

`

U

$

+

L

U

n

#

$

$



2

U

3

3

u

5

D

&

}

U

#

#

.



#

$

U

&

#

3



$

L

8

‰

+

#

?



N

#



&

#

n

2



#

&





+

%

L

#

$

3

$

L

.



3

$

B

&

?

L









$



€

?

#



2

R

.

.

#

L



5

_







5

6

=

5







+





M

6

+



;



5

%



"

+



#







+

3

B &

#

U

#

+

?

L

U

?

@

5

%

L





;

L



?

L

[

L

=

$

3

.

2

3

"



+



D

]

:





†

.



_

5

6





%



"

=



%

"







"



=

,

.



=

>

:



"



;







; 

5

>

:



?

u

U

?

9

ˆ

M

6



_

;









D

5

=

:

5







,



"

:



"



=



"







.

L



5

D

]



%



(



.



5



;

L





"

:

.

6

6



L









=





,

.

6

6

=







"

+



V



%



"

=



5



[

L

O

L



&






L



L

+

U





"



1



G

;



"



„

D

5

b

"







6

_

=
















L

_

"



_

]



6

"

>

:



„



]

D





+





6

5

=

=







5



;



:

5



8







L

"



=



"







M



;



"



]

;



"

+





=



"

>

:



O





:

5

;







 

=









"

>

:



"

+

L







"







=



"







V



%



"

=

6

L

> :



,

.

6

6

=





"

L

A

.

;







M



+

5



+

O

=

.

"

+

6

"

>

:











†

5

>













=





6

]

>

(

L





:







"

+





P



5



V

=

>

:

"

>

:









6

.

=



V



%



"

=



%



"

=





;

5

=





5

>



=

"

G

=

=







5

_

5



_



ˆ

,

V

.

_



 

5

6

=

5



[



=

=







O

%






5

:







"

=




1

L





L












:

L





L



L





"



:



1

„







.

,

5

O







G

5





K 

L

"



U

3

$

%

3

#

#

N

+

?

$

(

$

.

$

#



#

#

#

.

+

&

?

L

#

$

n

+

`

.



#

&

D

`



.

Y

#

Y

:

U

#

?





%

?

#

#

L

N

?

?

#

#

+

%

2

&

U

L

#

?

#



@

3

5

#

U



L

#

?

Y

%

#

$



$

5

+

U

@

$



+

.

Y

&

$

#

N

#

H

%

N

#

.

&

n

2

U

L

#

?

#

.

U



@

.

#

#

#

[

U

$

5



"

?

n

@

(

.



#

U



#

+

.

9

&

?

U

U

$

U

.

&



=



U

U

#

_



#

$

@

#



3

N

U

+



(

L

#

$

P

$

$

.





#

3

+

:

…

$

U

3

L



#

#

ˆ

.

$



?



W

3



5

U

$

&



%



+

%



@





5





9

#

#

Y

=

#

2

+





:

$

$

#

"

f

`

&

#

+



$



?

$



5



+

#



#



&

D

#



?

%

5

u

?

.

n

5

:

+

W

#



>

&

&

L

/

=

$

.

$

:



#

O

3

$



#



&



.

L

L

%

$

%

#

$

5

3

5

n

3

@

&



.

N

+

5

L

#

N

%

T



?

L

$

$

%

%

#

$







%

B

9



&

.

L

&

#

#

&

U

9

Ž

3

@



$

5



U



U

.

#

#

‰

#

$

+

.

W

L

%







9

U

#

D

3

$

#

+

?

ˆ

$

#

3



O

U

#

@

$

U

.

5

&

#

$

+

#

U

#

U





#

?

Y

$

.

%

@

`

N

5

$

5

%

&

5

H

3

#



.

$

L

n

#

#

?

L

$

#

?

W

+

$

?

#

+

L

?

#

#

.

.

#



Y

2



`

.



&

R

‰

#

#

.

+

2

.

3

#

$



.

.

%

U

.



N #



#

@

5

$

#

&

n

#



+

#

$





?

#

.

?

.

&

%

U

.







U

U

5

?

$

L

#

L

#

$

#

?

$

N #

.

&

?

2

2

&

#

.

Y

`

.

&

#

2

:

#



9

8

5

%

L

U

3

&

#

$



L

%

n

.



#

.



?

$



&

3

‰

$

#

+



U

3

B

U

2

#

&

3

?

$

%

L

&



n

$

L



3

$

$

?

#

$

@

#



.

&

+

5

+

L

+

&

?

#

$

#

%



U #

L

2

$



?

#



&

?

#

‰



&

+

%

3



?

$

#

2

n

#

?

}

#

%

$

%

+

$

#

U



.

Y

U

+

#

@

@

?

#

$

5

U

5



+

?

%

#

#

U

$

.

&

?

?



.

3

L

#

#

$



$

+

L

#

@

#

3

#

?

Y

U

D

.

&

5

$

2



%

U

&

+

n

#

@

3

ˆ

%

5

$

3

$

$

+

#

L



n

U

U

?

H

U

.

&

3

#

$

@

5

.

#

$

$

?

#

#

U

L

5

U

U

?

W

$



?

#

+

$

+

+

%

?

@

#

N

#



5

+





?



(



#

U

U

B

#

U

`

&

$

#

&





%



%



+

2

?

3

9

9

$

L

.

.

+

#



8

%

U

L

#

2

#

&

N



$

%

U

%

?

n

#

?

$

.

@

5



Y

#

3

@

5

$

$

%

Y

.

U

&

$

&

3





$

3

@

L

B

&

5

#

3

N

$



#

+

?

#

+



#

N



Ž

#

#



&

&





%

%

@

L

5

3

&

$

3

L

$

.



L

3

+

$

#

B

&



?







$









U





L



&









?



#



.

Y

#

&

$

(

%

N

?

.

U

?

u

&

#

H

B

&

&

#

:

$



n

$

?

+

?

+

9

L

?

9



„ (

2

%

B



.

@

&



H



&

5



?

.

#

5

*

=

?



K









+



-

'



-

&

?

U

$



.

Y



@

`



.

5

#



?

.

3

0

‰

#

*

'

@

-

#

L



#

?

N

@

?

5

$



U

&

?

@

5

B

&

%

#



U

N

%

@

H

W

T

L

?

‰

U



$

#

?

?

$

3



&

N

#

#

&

#

R

%



+

U

:

&

#



%

$

ˆ

Y

&

}

#

#

#

#

$

N

5

2

?

n

#

%

#

n

$

&

L



$

•

.

3

?

&

#

2

#



U

&

?

U

3

L

#



L

#





#

%

$

(



?

5

L

#

2

*

@

N

#

.

&

?

N

%

#

+

.

2

?



$

$

&



#

#

#

#

5

&

5

L



@



&

?

5

?



@

#

$

%

%

2

#

N

?

.

#



+



‰

.

&

#



$

?

+

#





Ž

n



#



5

%

$

?

•

%

.

9

#

3

.

L



$

+

?

.



:

#

&

%

#

#

$

.

?

@

5

?

2

9

Ž

#



&

#

@

U

9

2

$

?

$

3

D

?

9

#

u

#

#



U

2

$





%

O

?

.

5



#

y[n] = h[n] ∗ x[n] z 5

$



?

9

5

$

#

N

#

9



?

0

?







:



'

0

?



?









2

#

5

.

.

0





@

+



#

&

N

.

#

+

&



?

%

N

.

.

2

&

+

%

#

`

#

B

5

.





@

5

Y

.

%

&



5





&

#

`



B

n

+



&

3

$

?

Y

u

#

`







&



W

+



‰

Y

5

#

?

N

#

@



+



K

?

+

L

@



?

U

h[n]

$

U

n

&

3

+

3

&

#

3

&

L

U

@





$

%

.

#

%



3

5

`

+

$

n

‰

U

$

#

&

&

%



$

$

#

Y

?

$

%

.

$

&

3

















@

A

7 T

?

n

$

#

&

Y

$

#

`

.

$

.



(

&

#

3

#

2

+

.

n

#

L

.

%

?

%

$



2

L

+

˜

u

.

.

?

U

L

?

Ž

&

$

O

3

Ž

%

+

U

9

#

U

?

$

#

N



.

#

#



&

%

L

&





N

#

?

$

}

U

™

‰

R

E

&



#

N



T

+

?

?

#

3

$

$

Y

L

&

+

%

%

#

$

N

+

L

?

U

?

?

.

&

.

$

?

H

u

L

3

&

$

#

&

%

?

9

U

$

#

N

%

3



@

.

3

$

5



#

O

9

+

?

#

+

$

Y



%

`

.

3

2

&

#

u

&

2

U

u

?

3

.

&

&

3

L

G

#

+

U

L

#

&

$

#

#

N

$

$

%

#



$

L



U



$

#

L

&

$

#

W

‰

$

9

+

#

D

=

#

.

#

&

‰

2

H

{

?

L

B

#

?

&

#

$

l

7 

#

+

#

.

$

?

@

5

&



#

B

3



.

?

:

#

Y

`

.

&

#

2

?

.

&

Ž

O

Ž

9

.

&

%

N

?

U



7 Œ

#

B

3



.

?

:

#



O

9

Y

`

.

&

#

2

#

.

? $

+

Ž

O

Ž

9

.

&

%

N

?

U

W

n

#

$

$

+

?

#

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

#

λi $

D





%

B

L

&

3

T

#

$

?



?

&

?

.

@

5

#

$



|λi | < 1 L

$

.

H

5

3

?

:

%

U

#

L

$



#

&

U

$

#

`

R

.

$

L



\

#



2

$

.

?

+

#



‰

3

L

#

5





?

L

#

$



?



#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

+

+

#

#



.

@

Ž

5

#

%

+

?

9

$

9



&

#



?

3

2



R



+

?

#

Y

&

%

N

?

U

?

&

H

&

U

#

?

&

#

&

.

?

@

5

%

3

.

+

#



O

2

u

3

U

.

%

$

&

9



n







N

A







&

?

$

#

.

Y

`

.

&

#









2

.







#

3



K











9









#



&









l



+



5



-











#









%

























.

/

3

!









3



















%





@

A































∞  k=−∞

|hk | < ∞ E

 h

J

J

G



L 



"



"

=

(













…



P



=





_



7 /

&

#

?

2

.



‰

+

%

#

?

$

L

#

$

$

3

W

$

+

%

+

.

$

.

3

%



3

+

.

%

N

$

#

L

$







#

U

$

L

‰

&

&

W

#

2

n

?

#

$

∞ 

$

u

3

&

N

#

L



#

$

‰

&

#





3

&

u

3

&

E

Ž

O

Ž

G

+

#

.

Y

`

.

9

$

|h[n]| = M < ∞ E



J

G

h

i

n=−∞ •

%

$

‰

3

3

$

L

H

#

@

N

5

#

.

$

&



N

#

/

n

?

#



?

$

.

#

#

$

5

n

2

?

#



+

$

?

%

U

#

.

ˆ







&

R

n



#



$



U

+

L

?

#

x[n] =

L

B

$

.

?

#

+

L

?

#

&



N



#

%

.

@

‰

5

3





H

#

$

?

B

@

&

5

&

#

#

T

.

?

W

$

#

L

?

%

$

=

$

L

#

.



L



#

U

$

L

N

#

?

(h[−n]) $

.

u

?

#

U

#

E



g

h

G

i

7 %

$

W

+

?

#

(



*



#

@



#

3





.

R

L

U

U

%

$

&

?

L

.

.

&







U



L

#

#

n



H

/



#



#

%

&

+

3

#

@



5

+

(

3

%

.

$

L

$

%

N

$

L

#

. 

L





U

#

L

$

‰

#

&

+

W

#

n

.

#

Y

$

`

$

.

+

&

#

?

2

#

Ž

.

W

O

.

u

Ž

#

9

‰

?

#

U

Ž

#

U

+

N

#

?

$



#

@

5

$

#

&

.

?

@

5

+

%

$

$

‰

3

$

L

W

3

∞ 

y[0] =

L

n=0 ?

A

∞ 

x[k]h[−k] =

k=−∞

∞ 

|h[−k]| =

|h[k]| E



e

h

G

i

k=−∞

k=−∞ 7

3

$

+

+

%

$

%

@

5







%

3

.

.

#

&

‰

3

$

L

+

?

#

Ž

O

Ž

9

Ž

#

+

?

$

L

3

$

L

$

?

@

5

&

#





R

U

U

&

?

.

&

W

L

?

U

&

y[0] ⇒ ∞ E



f

h

G

i

7 

%

2

?

&

?

.

&

+

?

#

ˆ



&

n

#

$

+

?

L

B

#

?

&

+

#



Ž

O

Ž

9

Ž

#

+

?

$

L

3

$

L

N

#

n

?

#

.

#

$



7 /

.

#

?

?

%

U



.

‰



#

#

?

?

$

L

#

$

#

$

N

#

3

.

$

@

+

5



?

H



$

#

B

B

&

&

W

#

+

%

T

?

.

$

.

L

+

%

?

$

#

Ž

L

.



O



Ž

U

9

L

#

Ž

2

#

?

+

?

$

L

3

$

L

5

?

$



# ?

@

5

#

$

+

?

.

&



=

#

L

#

|x[n]| < Q 

%

$

$

L

?

U

N

#

$

&

E



G

h

i

h

&

∞ 

|y[n]| = |

x[k]h[n − k]|

k=−∞ ∞ 

≤

|x[k]h[n − k]|

k=−∞ ∞ 

≤Q

E

 h

d

G

i

|h[n − k]|

k=−∞

< QM < ∞ 8

7 n



Ž

N

#

#

+

?

?



+

$

#

L



-

#

&

L



+

U

$



&



3

‰

&



%

#

3

@

N

5

z







#

5

3

?



$

L



%

#



$

?

@

L

5

%

#

3

$

.

+

+

#



Ž

O

7

Ž

9

Ž

#

+

?

$

L

3

$

L





U

L

&





%

2

?

&

?

.

&

+

?

#

Ž

O

Ž

9

  



R







@

A

7 /

U

?

?

#





‰

3

$

#

?

L

L

#



R

$

$



+

3

?

$

#

#

Y

?

`

$

.

#

&

‰

#

2

3





Ž

3

$

O

B

Ž

&

9

?



$

Y

&

E

%

?

2

N

?

U

z

?

9

&

H

Ž

&

#

E



#

?

2

?

•

@

5

G

#



?

&

N

#



#

?

@

5

G

H

5

3

?

:

%

U

#

$

&

#

}





2

3

9



K 

L

"



N

A





%













&

?

U



%









3

@

?





K





#

zk

N





‰









$

U

K



?

#

3



/









L









#

ˆ





$

%

@

?

5







+



#

#

#



-





$

?





#







3



.

2

%





2

N

.



#

@

5












$

$

>

:

‰

#



U

#

L

3

$

L

E



5

#





#

2



D







$







U





6

%





e





"



"

=

z 

R





#

5

?

#



%

$











U





?











.

&

&

#



A





#

&

@





`

#





Y

#









#

L

(





…



P



=





_





R





!





$



.



2

#









3

$





























#

B

5

&

#

?







$

#

2

?

2

R

&

#

N

#

?

$





+

%

?

@

5

#

#



$

%



9

’

3



Y

#

?

&

#

d

h

%

[

3





L

&





h

5

5

3





%

&

/





5

?

=









2

(















%



%

•

2









.

+



+








&



+

G

B

%

$

$

+

? #

.

#

+

%



L

#

.

&

#

U

U

&

n

#



+

#

$

’

.

K 

h[n] = Cδ[n] + u[n]

Ak zkn 

R

z > zk 

E



G

h

i

’

k=1 

?

Ak #

#



L

#

N

#

$

.

?

@

5

+

%

N

#

?

%

3

.

+

#



Y

`

.

&

#

2



3

$

B

&

?



H(z) $

‰

3

H(z) |[z=zk ] z

Ak = (z − zk )

E



j

h

G

i

7 O

$

+

?

#

.

#



∞ 



%



.

&

#

U

%



2

R

U

?



?

%

|h[n]| =

#

L

#

+

U

?

#

%

k #

$



$

L

U

%

3

&

#

&

+

?

#

Ž

O

Ž

9



L

?

2

#

T

U

&

#

#

$

$

%

+

|Cδ[n] + u[n]

W

L

#

2

#

.

?

+

&

#

#

?



#

+

?

$

L

3

Ak zkn |

$

L

$

3

$

K 

≤ |C| +

5

#

$



$

2



+

U

R

#

#

.

?

L

.

.

#

&

#



$

.

2

%



U

2

#

U

?

&

#





&

?

.



5

?

@

U

$

∞ 

|Ak |

5

#

#



+

#

Œ

#

?

@

#



?

Y

5

#

5

`

$

#

.

+

B

&

#



$

2



:

3

#

$



L

B

&

|zkn | E



6

h

G

i

n=0

k=1

k=1 &

5

Ž

K 

n=−∞

&

U

3

∞ 

n=−∞ 

U

?

?

#





&

$

W

?

2

3

2

.

T

?

|zk | < 1 .

$

5

#

?

&

.

B



#

?

.



D

 ?

#

ˆ



&

n

#

$

+

?

L

B

#

?

&

+

#



%

L

#

+

#







U

#

‰

#

?

L

&

2

%

$

%

$

#

?

$

#

2

=

#

L

#

$

N

#

?

.

u

?

#

U

l

D

8



?

#

N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

5

%

N

#

$

3



#

?

$

#

$

#

?

$

‰

?

L

#

$ #

?

$



%

@

5

#

$





U

N

#

z1 = 1 ?



7 

%

$

$

?

.

&

∞ 

+

%

.

Ž

O

Ž

9

\



∞ 

|h[n]| =

n=−∞

?

&

#



?

3

2

K 

|Cδ[n]+u[n]

n=−∞

∞ 

Ak zkn | = |C+A1 |+

|A1 | → ∞ E



J

h

G

i

n=1

k=1 7

:

#



U

#

&

‰

}

&

R

W

3



$

+

?

+

.

#

Y



&

2

%

?

N

?

U

&

?

?

&

.

&

H

+

&

%

?

.

.

Y

&

`

+

?

.

&

#

#

2

%

$

L

?

#

@

+

5

&

#

Ž



O

ˆ

Ž

3

9

U

U

.

&

#

.

&

U

U

%

#

N

?

$

U



+

#



Y

`

.

&

#

2 

3

$

B

&

?



$



5

$

#

D

Ž

#

+

#

3

&



?

3

$

L

#

  

%

L

#

+

#







U

#

?

2

T

?

$

5

#

?

&

.

B



#

?

.

5

%

&

#

?

$

#

\







#

.

u



$

+

#

$

‰

‰

3

+

#



N

#

?

D

+

#



%

u

U

%

@

#

9





%

$

.







2

%

&

?



$

L

#







+

#



&

#

$

Y

&

%

N

?

U

?

& H

&

.

#

?

L

#

$

.

@

5

%



&

W

$

%

@

5

+

#



%

U

U

#

D





.

U

#



%



?

2

3

„

sk s = σ + jw #

?

$

&

L

#

+

$

+



%

L

.

?

O

#

N



&

$

U

?

#

?



B

#

$

€

2

%

%

u

U

U

%

N

#

@

N

#



#

%

$

#

3

U

2

?

#

B

L



#



$



2

#

u

R



.

$

.

+

?

#

$

#







&

‰

?

3

#

B

#

#

U

+

?

#

$

B

.

#

T

€

?

$

%

5

#

U

?

N

#

&

.

N

B

#



#

$

?

.

#

.

?

&

@



$

?

.

2

&

9



?

u

Œ

?

2

U

%

#

3

#

}

2

:



?

#

5

3

#

$

‰

L





.

9

z = eσ+jw %

%

u

U

%

@

#



%

3

2

$

%

@

5

T

u



$

#

$

&

?

#



9

D

Œ

%

3

2

W

3

$

+

#

?

$

:

#



&

?

B

%

U

#

.

?

$

?

#

$

.

&

R

@

B

D

{w = w0 . . . w0 + 2π} σ= eσ z {w = w0 + n2π . . . w0 + (n + 1)2π} n z s → z 2

2

9

„

σ < 0 z

#



z 2

D

+

$

$

?

2

%

u

U

%

@

#



%

3

2

n

?



+

?

$

#

?

$

#

$

\



#

?

.

3

2

9

D

U

%

3

?



$

2

?

?

#

$

&

.

Œ

&

R

%

@

+

B

?

3

.

?

2

9

Œ

%

3

2

%

N

L

#

N

?

U

+

#

&



/

?



.

#

5

#

#

$

2

?

W

+

&

%

+

#

.

.

2

n

.

#

#

U

N

?

&

#

#



2

%

u

U

%

@

#



%

3

2



R



L

%

$

‰

‰

%

5

U

?

L

#

?

$

+

#

$

.

#

U

N

#

$

\



#

?

.

3

2

U

%

3



2

:

#



&

σ = $

D

?

#

?

&

Œ

%

?

@

+

B



?

%

$

3

.

2

#

9

?

$

#

Œ

.

%

Y

3

&



2

#

%

?



#

N

$

L

.

#

?

N

?

U

+

2

#

%

&

u

n

U

%

#

@



#



+

%

#

3

$

W

+

2

?

2

#

?

(

&

N

+

#

N

?



?

U

+

3

2

%

$

L

L

?

$

H



#

$

(

3

?

.

.

&

+

#

%

5

U

.

$



3

$

$

3

%





Y



U

@

5

#

Y

&



#

?



#

$

+

#



U

?

$

B

#

€

%

U

N

#

$

#

$

#

?

2

%

u

U

%

@

#



%

+

D

%

.

O

$

$

#



#

+

#

.

T

?

$

5

#

?

&

.

B



#

?

.

#

.

?

2

z 9

Œ

%

3

2

%

N

L

#

N

?

U

+

#

&



3

2

n

#



+

#

?

$

$

2π L

D

N



$



#

n

3

#



#

2

5

?

B

U

&

%

#

.

#



eσ .

D

?

U

U

%

5

N

3



9





L 





"



"

=

(





K



K



9

+

/

#

+

-













…



P



=





_











+

/

#

+

-











*

M

+



/





*

R







A



*

R





+

#



-

-

/

*

(



/

?

L

?

U



n

?

.

.

#

$

N

#



#

?

&

.

W

+

%

.

.

# ?

$

Y

`

.

&

#

2

B

%

3

.

%

U

?

.

&

W

n

#

$

$



R



.

#

?

$

#

O

2

u

3

U

.

%

$

&

h[n] = 0 ∀n < 0 

n





&

&

%



%

3

.



N

A

#

$

&

$

#

5

2

#

$

n

?



#

?

$

#











3

K









+

/

#

+

-

%





.

&

#

U

U

3

$

L











3





R





+

?

E



G

h

#

\

%

3

.

%

U

?

&

H

&

?

z 2

9

Ž

#



#

?

@

5

i

i













@

A







%





































































































































.



!





















%













!












































 







#

8

D

2

2

+

?

#



?

&

#

.

#

‰

+

3

#

‰



O

#

?

2

L

u

#

$

3

U

W

.

.

%

&

$

#

&

U

n

U

#



$



n

&

?

3

$



+

+

?

#

#



N

5

%

U

#

&

#



&



∞ 

H(z) =

%

L

3 $

L

.



3

$

B

&

?



$

+

%



%

U

.

•

9





%

$

.







9

$

h[n]z −n E



e

g

g

G

h

n=0 T

.

#



L

?

N

&

.

?

@

5

%

U

.



$

3



+

#



€

%

3



u







#

1





-

K










+

/

#

+

-

&



&

#



?

U

  

!





















+

(

/

*

(

#



/

*



%



*





H(z) = z/(z − a)

8

/

?



N

|a| U

#

%

&

3



&

%

#

@

&

5

&

+

?

#

$

#

+

T

?

$

#

&

N

n

?

?

#

B

U



&

3



$

%

L

L

3

+

?

$

#

L

.

.

#



3



$

}

B

3

&

$

?

B



&

$

?



$

?

$

#

?

$

#

%

3



#

$

&



}



R

#

?

|z| < 

5

#

D

z 

H(z) = − 

@

#

%

3



#

$

&



#

?

5

#

1 1−

a

#

$

&

5

H

U

&

%

U

z a .

∞ ∞  z   z n =− a−n z n a n=0 a n=1

=−



$

3



+

#

$

Œ

#

L

3

U

H



&

#

?

U

W

+

%

.

Y

`

.

&

#

2

?

.

&

:



U

U

9

D

.

&

H

$

+

?

L

%

B

%

3

.

%

U



}

R

|z| > |a| 

1 1−

H(z) = 

?

#

%

3



#

$

&



#

?

5

#

#

$

&

5

H

U

&

%

L

.

U

&

l

∞  n  a

=

a z

U

?

z

n=0



$

3



+

#

$

∞ 

=

an z −n

n=0

€

%

3

u

&

&

#

?

U

W

+

?

#

\



#



‰

?

#

$

&

#

$

.

?

$

+

D

h[n] = an W

+

%

.

Y

`

.

&

#

2

?

.

&

B

%

3

.

%

U

  

8

Ž

#

.

&

#

5

&

+

?

#

%

3



#

$

&



#

?

5

#

+

#



N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

%

3

.

+

#

2

€

%

3

u

&

&

#

?

U

.



9

D

„ n

?



#



•

‰

#

&

#

#

?

?

#

?

#

$

&

&

$

#

?



@

#

$

+

zm ‰

N

U



#

5

?

#

@

U

W

.

5



@

5

#



#

$

?

?

$

#

&



.

.

‰

$

&

u



(





L

#

?

#

@



$

+

5

3

‰

%

#

5

}

&

+

$

U

3

?

L

:

3

#

$



.

$

B

#

&

?

?

$

r 2

\







#

1





-

K










+

/

#

+

-



5







‰

?

#

$

&

#

$

+ #

.

Œ

#

L

3

G(z) = z −r H(z)



@

#

$

#

Y







#

?



&



&

.

#

@

5

?

#

N

3

$

L

+

#



O

U

2

H

?

2

u



&

#

?

U

.

2

?

&

2

r ≥ m &

3

U

.

%

$

&

n





%

B

&

%

?

W

3

%

.

U

2

.

%

%

U





#



/

*

%



!















#

@





A



*







*







+

(

/

*

(

#

R





*



H(z) = z m z/z − a

8

/

?



N

#

&

|z| < |a|



U

%

%

@

3

5

&

&

#

#

&

$

+

+

?

#

?

#

N

T

$

&

#

n



?

&

@



B

%

U

L

3

3

$

$

L

L

+

.

?



#

3

$

.

#

B



&

}

?



3

$

$

B

&

?



$

?

$

#

?

$

#

% D

3



#

$

&





}

#

R

?

5



#

O

?





U

$

#

2



#





K 

L

"

z m+1 1 a 1−

H(z) = − 

?

#

%

3



#

$

&



#

?

5

#

#

$

&

5

H

U

&

%

U

.





=

>

:

5

D







[



"






"

=

(















…



P



=





_





∞ ∞  z m+1   z n = −am a−n z n a n=0 a n=m+1

=−

z a

+



3

$

#

$

+

U

?

@

5

:

?

#

U

#



#



2

#

+

#

.

Œ

#

L

3

U

H



&

#

?

U

.



D

8



%

N

2

#

?

$

&

B

n

#

%



$

+

$

#

B

$

#



?

}

$

#

R

2



?

#

%

3



#

$

&



#

?

?

›

‰

?

#

|z| > |a| 

1 1−

H(z) = z m 

+

5

#

#

$

&

5

H

U



L

?

#

U

B

%

3

.

%

U

#

N

U

.



∞  n  a

&



%

L 3

$

L

.



3

$



$

3



+

#

$

∞ 

= am

z

n=0

%

#

B

&

?



$

%

$

L

#

L

#

9

&

= zm

a z

&

&

an z −n

n=−m

€

%

3

u

&

&

#

?

U

W

.



n

?

#

#

$

+

U

?

@

5

m E

D

G

:

?

#

9

7 U

#

\

}



3

$

#

B



&

‰

?



?

$

#

#

$

&

#

$

+

#

.

Œ

#

L

3

U

H



&

#

?

G(z) = z −r H(z) $

1 1−

G(z) = z m−r

U

.



2

?



$

.

?

@

5

r≥m &

&

B

U

%

@

5

.

.

%

U

?

W

$

+

+

#

%

$

U

U

#

2



+

?

›

‰

?

#



&

#

$

$

∞ 

= am−r

z

n=0

?

3

∞  n  a

= z m−r

a z

#

an z −n

n=r−m

8

+



&

5

#



?

U

+

?

/

#

2



+

?

›

‰

?

#



&

#

N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



G(z) $

5

%

&

$

3



#

?

$

#

$

€

%

3

u

&

9

  



+

#

+

-



 







*

-



R



/

-

-



#



-

-



*

R





+

#



-

-

/

*

(









+

#

2

€

?

$

&

#



L



3

$

+

+

#



\

%

3

.

%

U

?

&

H

&

?

$

%

3



#

$

&



#

?

5

#

$

9



%



.

&

#

U

U

3

$

L

B



$

$

# $

n

?



D

8

$

3

$

+

?

#

N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

?

$





U

9

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

,Q

+

U

%



#

U





#

U

.

2

?

U

U

?

$

+

&

H

%

3

ˆ

U

%

U

#

#

&

&

3

Ž

.

#



2

$

5

$

+

.

&

‰

#

?

W

?

#



$

#

#

U

?

U

@

#



ˆ

$

5

•

$



2

2

N

#

N ≥Q &



#

@

$

U

#

5

#

#

U







#

#

L

5



L

?

$



$

#

.

?

#

&

?

+

5

+

#

$

%

&

N

n

B

%

.

?

#

%

#



&

2

.

U



$



3

#

#

N

#

%

&

?

2

+

.

‰

#

#

\



?

L

2





U







R

u

T

#



?

.





&

&

$

3

#

?



%

+

3

U

+

‰

#

\

5



$

$



H

.



#

3



U

?

H

+

#

#

u

U



`

ˆ

3

5

?

Y

+

%

•

:

$

€

2

?

%

#

#

&

#





#

$

#

?

2

3

$

&

#



.

3

@

5

#

$



Y

?

#

U

%

3

E

&



#

e

&

g

l

e

G

h

#

U

#



2

#





zQ W

n

&

}

$

&



&

.

9

− z∞n )

n=1 (z

3

$

− z0q )

q=1 (z

H(z) = C ,N I

#

+

W

.

?

$

#



%

$

?

2

%

?

U

.

+

&

2



#

3

&

{



N

.

U

3

$

%

3

3

2

#

5

%

#

3

W

$

.

+

&

&

.

&

3

2

?

#

L

#

2



$





#

?

U

$

{

+

.

@

U

.

$

2

#

#

?

+

?

@

.

%

$

$

$

#

&

L



#

&

5



:



#

3



.



$

.

&

$

5

.

.

#

&



$

#

U

:

?

?

l

2

@

5

#

U

#



?

$

+

#

z 

9

T

N

#

$

#

#



L

?

N

&

.

?

@

5

+

%

$

$

+

3



@

5

T

$

&

n

?

@

B

U

3

$

L

8

%

5

U

U

#

#

$







#

T

?

.

U

9

L

N

?

U

#

&





R

&





3

Ha (z) = $

+



%

L

#

#

3

?

$

$

L

.



3

Ha

$

3

B

$

&

?



$

+

1 1 1 = z−a z1−

Ha |z| > |a| #

$

a z



=

R



+

?

#





U

.

&

#

U

U

#

$

a ?

$

L

#



2

#

&



?

.

@

5

#

Œ

#

?

9

l

∞ ∞ 1   a n 1  n −n = a z z n=0 z a n=1 E



e

g

e

g

f

G

h

|z| > maxn |z∞n | . ,Q Q N ∞ + + 1  k −k q=1 (z − z0q ) =C H(z) = C ,N (z − z0q ) z∞n z z∞n n=1 q=1 n=1 (z − z∞n ) k=1 +

%

2

?

&



R



l

E

 h

G h



L 





/

?

+

#



2

3

U

N 2

9

&

?



"

u



U



"

?



‰

?

+

=

#

3

(





B



#





$

&



%

2

?

U



U

…

#

P



z &



W



#



n





2

%

_



#

.

?

?

$

2

q=1 /

?

2

#

?

2

&

%

u



$

.

.

?

&

?

?

#

:

5

#

&

W

$

#



$



&

&

5

#

%

$

U

‰

&

#

#

$

$



:

R



+

L

Q  +

Q−N

H(z) = Cz

=

#

%

$

Q 2

‰

#

9



?



$



#

+

3

$

B

n

&

#

?

2

&

#

?



#

1/z &

$

}

%

B

3

&

$



+

%

U

U

#



#

z Q−N 

#





2

L

#

?

N

?

&

E



$

l

e

g

d

G

h

k=0

+

?

#

d

}

%

B

&





#

$

+

#

.







+

3

B

&

.

B

#

?

$

#



#



2

#

7

z $

#

. -∞ N z0q  +  k −k 1− z∞n z z n=1

N ≥Q 

$



/

?



N

#

&



%

@

5

&

#

$

+

?

#



+

$

3

$

L

+

#





#



2

#

l

C = Ord(z 0 ), z Q−N = Ord(z Q−N ) ≤ Ord(z 0 ), Q  +

z0q  = Ord(z 0 ), z .

1−

q=1

-

N + n=1

∞ 

k z∞n z −k

E



e

g

G

h

’

= Ord(z 0 )

k=0

8



?

+

#

N

%

2

?

&

B



N

A

#



&

%



3

%

.

L

%

3

U

$



L

.

/

?



3



$



B

%

&

.

.

?



#

$

#

$

$







3

K









+

/

#

+

-

&

@





$

5

H

5



U

#

?

&





































#












.

%



%

U

‰

3

3

%



.

















.

@

2



5

U

2

 










!











?

#

#

{

$

U

?

@

5

+

R



/

-

-

#

$



#



-

€

%

3

u

&

&

#

?

U

3

$

+

?

.

&

l



*























































!











q=1 (z − z0q ) C ,N n=1 (z − z∞n )



















-





*







R

















+











#















-





-

/





*













(












!










































. -∞ N z0q +  k −k ) z∞n z (1 − z n=1 q=1 Q +

Q−N

= Cz





,Q

H(z) =

.

.





|z| > maxn |z∞n |

U

2



%

%

$

k=0

E



e

g

j

G

h

!







h[n]







T



?





$







#





$



}



%

3



@

N

5

?

W

L

#

+

%

.

.

Ž

.

?



U









W

?











$





+

#











2





#

?





$















#





:





#











U





#





&

‰



&









#





\






















































#

%

3

.

%

U

?

&

H

&

.

@

5



$

+

3



@

5

#

?

$

#

$





U

2

?

&

8

:

#



3



.

%

@

5

&

?

.

&

W

›

$

+

#

$

Y

?

#

?

$

N

3

$

L



e



h

O

$

.

N

#

.



$

+

#



#

L

?

U

&

+

%

$

$

h

8

?

#





U

|z| < |z∞n | %



.

$

+

u

?

?

#

#

.

U

#



z 2

e

G

h

#

9

Ž

#

N

#



$

#



?

%

@

U

5

U



.

#

$

+

?

#

@

:

5

#

&



B

.

%

@

3

5

.



%

N

U

#

.

$

#

#

?

N

$

B

%

#

$



$

&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

E

.

?

#

5

#



’



K



K

 K

:

-

-

1

#

#





:

-

-

1

+

#

#

R





(



*

#

@

A

+









* -

R



/

-

-



#



-

-



*

R





3



T

?

}



$

(

#

U

5

3

U

u

#

%

$

‰

.

#

.

?

$

B

.

&

#



$

.

?

$

&

Y

%

$

`

.

&

?

&

.

#

2

&

W

W

%

U

N

.

#

?

+

#

2

+

#



Ž

#

|H[z = ejwt ]| = /

?

%

3





n







U

U

U

#

#

$

3

$

$

3

+

$

3

ˆ

$

3

&

U

U

#

.



&

.

#

3

U

@

U

#

5

$

#

$

5

W

%

&



%

L

+

#



Y

`

.

&

#

2



3

$

B &

?



$



R



%

U

U

#



n

&

#



U

Ž

@

5

#

#

&



(

%

3

@

5

.

&

n

#

?

$

@





B

n

$

3

.

$

?



(w) &

L

#

+

$

?

#

E

+

&



e

g

6

G

h

?

`

#

.

u

#

?

:

.

@

#

5



#

U



%

n

$

L

#

&

?

.

#

#

T

?

%

3

L

#



&

$



.

#

@

&

5

#

%

$



+

&

#



K 

L

"



%

U

&

#

?





$

u

%



U

U

`

#

Y

$



`

.

2

&

#

2



3

$

Q[z] .

B

3

&

$

?



+

$

W

ˆ

#

.



$

U

$

#

H



.

.

u

+

&





.

U

`



?

=

@

$

>

:

5



5

+

2

?

#

#

&



%

ejwt

@

W

5

.

&

#



$

#

n



L

?

?

N



+

&

.

?

?

#

@

.

#



%



.

&

#

U

U

3

$

L

?

$



U

+

?

#

(

U

U

u

%

.

.

9

#

[

+



%

"



.

2





"

&

?

#

&

=

U

&

(

U

#



#

U





$



%



U



.



…



3



P





&

?

=

#





$

_

&



#

?



$

#

.

%

B

&





?

.

E

#

U

&

#

$





?

#

.

?

.

&

Ž

?

H

5

9



e

g

J

G

h

?

#



&

#



}





2

%

$

+

#

$

Y

&

#

U

U

#

z = $

#

+

?

$

L

3

$

L

L

#

U

&

#

$

W

.



R

z = ejwt 



2

3

E



$

.

N

#

.



$

+

#



#

+

%

$

$

+

#



}

e

g

G

h

i

{

C|Q(ejwt )| = |N (ejwt )| ∀w L

•

.

Q(z) N (z)

− z∞n )

n=1 (z

U



− z0q )

q=1 (z

H(z) = C ,N 

.



5

,Q

Y



N [z] .

H(z) = Ž

D

%

U

U

W

n

#

$

$

•

H

E



e

e

g

G

5

h

U

#



9

3

$

+

ˆ

#

$

$

#



u



U

`

$



2

„ B



$



3

L

?

#



&

B



2

u

U

#

‰

3

#

?

$

%

$

+

#



.

? $

+

W

%

U

.



CQ(ejwt ) = N ∗ (ejwt ) T

#

.

.



%

(



&

.

@

$

U

5

U

U

?

$

W

#

+

%

#

&

.

#

B

$

$

n

.

%

$

n

3

?

$

3

.

L

L

#

L

$

%

n

?

‰

#

?

L

&

n

#

H = C

#

.

#

U

‰

$

3

+

#

%

?



3

@

#

T

.

#

5





$



?

R

U



U

?

W

#

3

$

&

$

#

?

$

.

H

+

5

5

%

?

L

@

@

+

&

$

.

#

$

+

N

$

#

O

(

5

+

G

#

&

.

+



&

(



+

U



E

?

#

.

#



•

3

.

%

CQ = N &

˜

U

%

L

u

%

2

#

.

?

$

%

.

9

&

Ž

.

3

?

+

#

$

+

?

$

$

U

W

#

L

%

$

#

+



#

5

$

L

?



Y

?

+

$

‰





&



#

3

2

?

L

#

L

e

e

e

&

#

5

&

?

?





$

U

+

n

#

?

L

$



?

$



#

.

3

E

L

#

‰

$

?

?

‰

H

B

#

?

?

$

#

?

#

/

#

Ž

n

#



+



?

+

$

G

.

+

$

#

™

L

&

.

U

$

%

L



$

%



$

#

n

$



3

U



G

h

2

$

+

%

2

?

E

@

#



$

?

$

\

9

#

.

U



#

5

2



&



9

2

9

„ u

U

#

5

#

?

&

L

?

U

&

l

,Q

q=1 (e

−jwt

H(z) = C ,Q

− z0q ) ,Q

jwt

∗ (−e−jwt z0q ) ,Q

−

jwt

− z0q )

q=1 (e

Q +

=C

∗ − z0q )

jwt

$

+

+

%

2

?

&

L

?

U

&



R



+

#

$

Ž

#

&



%

L

q=1 (e

,Q

Q +

q=1 (e

|z0q || ,Q

R



U

&

?

#

+

?



@

?







A

}

2

$

N

#

5

?

U



#

&

L

5

+

&

3

#

#



$



‰

N

N

#

#

%

@

$

5

L

&

#

3

L

$

#

L

N

?

#

$

.

#

&

$

$

3

%

U



U

+

L

#

#



2



#



?

$

3

#



3

K









:

-





/

-



$





R



%

e



e

e

f

G

&

?



#

$

&



#

.

&

|

− z0q )

jwt

%

1 ∗ ) z0q

$

#

U

&

U

.

3

@

$

5

#

L



E

G

h

?

+

R

#



$

+

+

?





#

Y

3

`



.

&

@

h

5

#



2



#

3



$

9

B

9

l



-

&

$

−

jwt

q=1 (e

q=1 }

e

l

|H(z)| = |C|

L

 h

q=1 (e

q=1 3

E

1 ∗ ) z0q

-

-

1



#



-

-



*

R

+

#

#

R







(



*

#

@

A

+























+

(

/

*

(

#



/

*



%



*

 *



*





3

/

-





/

*

(







%

























.



!






















































































































































Q





























%























L 































"









"





 



=



!

(
































…









P



%







=

















_




























































































.



!

































1 ∗ = z∞q z0q




























































































.

















∀q = 1 . . . Q



























.





















E





%





e

e

d

G

h




















































#







































%








































#



:

-

-

1

+

#

#

R





(



*

#

@

A

+









*

-

C



*

3

R





3



T

?

#

$

?

#

$

%

#

$

Y

+

`

#

.



&

#

#

E

2



%

U

3

L

$

#

B

N

&



?

%



?

.

$

@

?

5

#

$

G



}



U



`



2

$

3



U

2

9

?

#

}





3

$



L

2

#







L

?

?

#

N

Q

.

&

T

?

‰

&

L

N

#

$

#

.

@

&

5



%

%

@



5

&

&

5

#

%

$

n

N

#

?

$



•

+

H

#

5

U

$

#

(



9

U

3

U

$

u

%

.

+

.

ˆ



#

ˆ

$

%

$

#

@



5

u

+



?

H

@

.

5

.

n

&

?

.

?

#

@



5



U

n

L

?

&



#



/



?

U

L



N

&

+

#

%

&





.

%

&

U

#

`

@

#

5

U

U

&

#

E

#

$

$



l

e

e

G

h

’

ejwT n

n=1 bn

#

.

U

aq ejwT q

q=1

H(z) = C N 

&

#

2

$







2

%

+



#

Y

$

%

L

&

U

‰

#

?

R

@

5

N

#

#



$

+

=

?



%

#

(

+

U

3

$

U

u

%

+

.

.

?

.

9

$

+

„ B



$

2



3

3

U

L

&

?

?

u

#

U



?

&

‰

?

B

#





2

&

u

n

U

#



#

‰

+

#

3

$

#

3

?

$

$

%

+

$

U

+

%

#

3



&

W

#

.

&



+

2

%

?

$

&

B

%

$

$

+

?

#

.

#

Y

`

.

&

#

2



3

$

B

&

?



$

%

3

@

5

%

3

.

9

$

Q

∗ −jwT q q=1 bq e

H(z) = C Q

q=1 bq



?

#

.

U

H

{

&

.

?

@

5

3

2







2

#

$

‰

E



e

e



e

e



e

e

j

G

h

ejwT q

3

Q H(z) = Ce 3

$

+

+

%

2

?

&

L

?

U

&



R



+

#

$

Ž

#

&



%

L



%

?



#

u

.

$

%

#

3

3

5

L

%



.

L

?

#

B

L

L

N

%



B

?

$



$



#

#

$

R

$

+

&

?

N

n

?



@

Y

#

#

%

#

#



.



+

5

`

%

&

$





#

#

.

&





L

2



#

?

U

#

U

.

U

3

#

?

$

3

$

#

@

5

B

L

U

%

2

&

?



+

3

#

?

$

#

&

Q

q=1 bq e

E

6

G

h

jwT q

l

&

+

.





Y

&

#



`



&

∗ jwT q | q=1 bQ−q e

Q | q=1 bq ejwT q |





.

Q

|

|H(z)| = |C|

U

∗ jwT q q=1 bQ−q e

−jwT Q



&

#

N

#

?

2



#

$

$

%

#

3

$

\

$

B

L



&

?

#



#

L



#

‰

$

?

N

?

#

$

#

$

%

E

$

&

#

3

#

.

J

G

h

$

%

$

N

2

#

3

U

U

U

+

&

?

?

L

#

$

2

u

L

U

#

?

3

‰

$

?

?

$

#

#

L





&

$

}

#

R







+

}



?



2



#

3

(

9

U

2

%

U

9

$ 9

l





















 N

A







3

K





-

C







*

3

R

:

-

-

1

+

#

#





(



*

#

@

A

+









+

(

/

*

(

#



/

*

%



*



*



*





3







%






































.





!












































































































































































































%











!















aq = b∗Q−q Ž

u

#

%

%

.

@

.

5

&

%

#

3

$

@

Y

5

?

.

#

&

W

%

+

N

%

?

U

.

?

.

.

2

&

%



$

%

$

+

?

#

.

#



}





∀q = 1 . . . Q 2

3

U

?

#



3

$

L

$

?

@

E



e

e

G

5

h

&

.

#

5

#

$

B

%

$

$

W



N

+

#



i

(

U

U

9



K 

L

"








(

-



@

A







+

+





#



-

-

/

*

(



*

=



=

>

:

5

D







[



/



"

!







-

-

/

*



"

=

(

















(

…





P



:

-

-

1

+

#

#



=





_







!

R





*

(

/

*

(

7 N

#

2

3

$

.

n

.

3 

+

#

L

#

‰

#

?

L

&

W

+

%

.

.



R



+

?

#

=

R

U

&

?

L

B

#

?

&

+

#



(

U

U

u

%

.

.

9

Ž

#

+

?

$

L

3

$

L

L

#

U

&

#

$

l

C|Q(ejwt )| = |N (ejwt )| ∀w 

?

#

.

?

.

&

?

$

.

N

#

.



$

+

#



#

+

%

$

$

+

#



}

%

U

U

W

n

#

$

$

•

H

5

U

#



9

3

$

+

ˆ

#

$

$

#



u



U

`

$



2

B



$

9

„ 

3

L

?

#



&

B



2

u

U

#

‰

3

#

?

$

%

$

+

#



.

?

$

+

W

%

U

.



jwt

CQ(ejwt ) = N ∗(e /

?

n



#

‰

3

?

n

?





T

$

T



?

?

$



$

•

#

U

U

#

$

$

H =C U

#

3

#

R

U

?

@

&

.

&

%

?

$

?

?

@

#

&

#

?

#

W

U

W

%

U

n

B

.

.

?



%

.

.

+

?

#

.

#

CQ = N u

%

$

T

+

&

U

&

#

$

H

(

L

5

L

?



B

#

U

?

&

#

L

‰

3

#

#

+

3

5

5

‰

+

L

#

@

.

$

O

$

+

H

$

3

$

$

%

U

3

G

9

+

H

Ž

˜



U

.



?



#

L

#

3

+

#

?

L

3

#

?

$

#

N

?

?



$

?



#

?

&

$

?

L

$

.

‰

2

™

&

?

?



&

L

n

?

2

L

?

#



U

&

+

L

+

U

#

?

?

#

@

E

5



#

Y

3

$

$

%

?

$



&

&

‰

%

R



N

#



.

#

&

#

.

#

U



.

U

%

$

(

3

U

&

$

U

#

L

u

W

#

H

$

.

.

#



%

#

%

#

%

$

#

5

5

#



$

B

@

$

+

+

L

%

#

&

n

&

&

2

%

W

3

#

2



.

$

+



%



L

%

$

?

.

#

$

+

/

3

+

L

3

$



•

$

$

%

T

$

?

$



?

)

U

$

L

#

#

?

N



$

%



?



.

U

9

@

5

ˆ

W

3

+

U

%

U

.

$

&

$

#

U

L

U

#

#

$

N

9

#



$

n

%

%

?



?



+

%



R



H(z) $

W

jwt

(e −z0q ) (ejwt −z∞q ) 

}

R



+

#

$

Ž

#

?



2

3

U

&

?

u

U

?

‰

?

#



#

$

+



%

L

2

3

.

.

L

#

U

ejΩ − z0q |= ejΩ − z∞q

| /

&

%

.

Ž

#

&



%

L

.

5

3

%

&

@

#



$

+



$

%

.

(Ω) &

&

%

3

.

3

( jΩ ( 2 ( e − z0q (2 ( ( = 1 + |z0q | − 2 cos Ω ( ejΩ − z∞q ( 1 + |z∞q |2 − 2 cos Ω



?

#

.

.

@

5



#

?

N

#

$

n

?



3

2

‰

@



$

.

%

2

#

?

$

Y

&

+

#

?

&

%

.

#



:

#

R





.

%

@

5

U

n

U

?

#

Ω #

$

+

#

+

#



5

%

U

&

#

E

O

#

z0q z∞q

2

O

2

E

`

L

$



?

U

&



?

u



3

$

+

+

%

2

?

W

2

#

R

.

?

Œ

z0q ) + 2 sin Ω(k #

.

.

.

&

#

$

+

?

+

#

?

#

?

#

N

$

‰

?

#

L

?

+

#

#

$

I

R



%

U

U

#

n

?

#

%

.

.

#

$

%

3



U

L



#

R

N





%

?

.

@

5

#

=

U

#

‰

?

@

5

3

2

$

L



?

L

‰

.

U

n

O

z∞q − 2

\



L

U

U

?

@

%

5

2

2

B

#

#

?

&



W

O

z0q ) 2

.

g



e

f



e

f

$

%

=

U

#

3

?



@

E

G

e

G

+

5

3





R

U

U

#

&

?



@

R

5

Œ

$

#



&

I

‰

&

%

$

W

.

n

%

?

#

5

&

.

+

$

%

%

@

.

W

#

$

?

5

$





?

#

#

.

&

%



U

U

#

/

$

?

z0q = z∞q



#

O

O

2

2



3

5

%



U

B

&

#

$



#

%



U

‰

.

?

#

$

&

#

$

n

#

?

.



L

+



#

#

3

#

f

G

h



@

:

2

5

+



U



R

?

?

2

%

#

#





U

9



2

%

#

#

$



Œ

U

#

.

k= %

3

&

N



f

h

a + b cos Ω = c sin Ω Ω cos Ω = x sin2 Ω = 1 − x2 a2 + 2abx + b2 x2 = c2 (1 − x)2 a2 − c2 + 2abx + (b2 + c2 )x2 = 0 x a=b=c=0 

e

$

z0q − 2 sin Ω z∞q − 2 sin Ω #

 h

3

Œ



Ω = wt &

(Ω) &

− (1 + |z0q |2 ) + k(1 + |z∞q |2 ) = 2 cos Ω(k z∞q − &

?

$

Œ

Œ

=k=

2

#

U

$

#

$

N



&

%





W



z0q z∞q E



e

f

G

h

h



Œ

O

#

2

z0q = z0q

Œ

O

#

2

z∞q z∞q E

 h

e

f

d

G



L 





%

U

.

"



"

=

(













…



P



=





_





Φ0q = Φ∞q 



U

n

#

#

?

3

&

$

#

+

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

#

$

5

%

N

#

$

%

U

.



+

?

#

.

#

U

N

#

Œ

(1 + |z0q | ) = ‰

n

5



%

.

#



I

?

&

+

#

2

T



L

#

N

$

?

.



R

%

z0q (1 + |z∞q |2 ) z∞q #

Œ

#



?

#



3



.

U

?

$

#

#

.

+

.

Y

3

3

?

&

$

#

3

&

#

?



U

L

&



e

f



e

f



e

f

j

G

h

+

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

#

$

+

?

#

.

#

#

U

Œ

N

#



5

%

.

#

5

#

%

N

#

$

W





U

E

&

?

2

$

L

$

#

#

+

5

B

n

#

#

3

%

5





+

+

&



G

#

%



L

&

U

Y

?

#

#

?

.

@

?

@

5

#

=

U

#

?

@

5

3

$

L

?

$

+

#

$

ˆ

z0q −1/C = −1/C(z0q ) %

U

5

.



‰



Ž



L

#

L

#

N

#

$

W

3

.

L

U



#

U

?

.

#

.

.

&

L

&

+

%



%

3

.

%

3

@

&

‰

&

J

G

h

U

+

G

5

E

#

&

6

h

U

?

#

$



#

W

U



?

%

n

$

#

B

$

$

#

$

Y

$





+

#

U

?

L

#

&



#



&

+

%



#

3

U





=

.

+

#

U

#

.

#



&

?



U

@

?

5

#

#

L

3

@

&

$

5

&

L

#

$

#

1 + C|z∞q | + |z∞q |2 = 0 



E

|z0q | |z∞q | = 2 1 + |z0q | 1 + |z∞q |2 E

G ’

k 

z0q z∞q = 1 + |z0q |2 1 + |z∞q |2



f



Œ



e

h



2

N



E

#

.

#

5

3

%

+



%

&

?

.

@

5

#

=

U

#

?

@

5

3

$

L



R



+

#

$

Ž

#

&



%

L

+

#





E



e

f

G

h



U

.

&

#

U

U

#

5

%

&

$

3



f



i

.

3

$

L

#

$

D

E





R

R



#



?

+

?

$

#

#





#

.



U

&

L

#

#

N

5

%

#



U

#

&

?

#

&

$

#

.

ˆ

2

?

3

U

U

.

&

#

U U

#

G





%

n

?





$





#

+

#

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

z0q #

+

?

#

.

#



.

3

L

#

$

D

1 ∗ z0q E



e

g

h

G

h

+

z∞q = z0q %

$

&

z∞q = 3

R

$

L

#

L

#

N

#

$

5

%

&

&

#

$

W

L

?

N

&

#

.

B

#

?

$

#

n

#

?

&

#



#

E



e

e

h

$



.

3

$

L

#

$





%

.

.

+

?

#

.

#





U

#

G

h

+

?

#

=

U



D

8

E



e

f

G

h

?

.

3

@

5

n

?



B

U

?

@

5

U



.

#

$

W

n

?



+

?

$ N

3

$

L



&

.



5

2

?

?

#

e

j

L

#

‰

#

?

L

&





#



Y

%

&

‰

R

N

#



(

U

U

u

H

.

.

#

h

/

@

%

i

(

&



#

B

3

.

?



$

#

$

n

?

?

$



$

#

B

+

#

$

3



$

3

#

L

&

&

#

‰

?

L

&

$

  

#

+

?

?

$

#

#

%

Ž

#

$

.

+

?

@

$

5

L

%

3

3

$

U

L

?

@

#

5

#

$

L

+

#

#



2

.

#



5

&

#





?

.



#

@

5

2

#

Ž

#

.



L

e



R

j

$



+

R

3



$

L





L

U

9

#

ˆ

N

3

#

U

U

$

.

W

&

n

#

U

#

U

#

U

9

$

9

h

u



%

%





U

9

#

ˆ

?

3

$

U

U

+

.

&

#

#

z 

U

U

#

$

9

9

T

N

#

$

#

5

%

&





%

‰

3

.

#

&

‰

#

$

n

?



+

?

#

%

U

L

#

N



%

?

.

@

5

#



.

3

$

L

?

$

#

?

$

D



%

%



#

?

$

3

$

+







2

#

$

3

2

l

jwt

(1 − ez0y ) (ejwt − z0y ) −jwt e = −z 0y −jwt (ejwt − z1∗ ) (1 − e z∗ ) 0y

}

R



+

#

$

Ž

#

&



%

L

L

?

U

&

+

%

$

$

E



e

f

h

G

h

0y

l

jwt

(1 − ez0y ) (ejwt − z0y ) | jwt || | | = |z 0y jwt (e − z1∗ ) (1 − ez )∗ 0y

0y

E

 h

e

G h

h



K 

L

"



#



#



.

&

#



#



2

%

3



+

#





#

@

5

&

#

$

+

Y



#



?

=

&

>

:

#

5

?

.

D





&



B

[



$



.

"

&



"

%

$

=

(



&



N



‰



L



U





…

w 



W

P

+



#

=







‰

_



n

#



?

&

#

.

&

#



U

U

&

„ L

#



+

%

#

L

.

#

?

B



.

#

&

#

2

=

#

N

#

.

?

W

.

N

?

2

@

.

%

#

#

?

U

O

.

›

?

%

#

+

?

#

$

#

$

?

$

W

3

N

#

#

?

+

&

@

5



%



.

?

&

3

3

5

#

.



L

5

#

U

U

Ž

H

%

‰

&

5

%

H

.

.

&

$

N

?

@

+



Ž

%

&

L

@

#



#

?

?

@

3

#

.

#

B

+

9

.

5

5

‰

2

#

%

?

@

$

2

#

+

#

?



$

?



U

U

#

$

W

L

L

U

#

5

?

•

5

#



@



+

u

3

?

#



&

2

%

.

I

$

L



U

&

#

#

U

B

+

#

.

H

&

L

.

L





#

%

&

.

U

?

U



#

$



‰

.

#

?

3

#

$

5

5

L

L



?

U

@

%

?

3

#

3

N

#



3



#

#

n

.





R

‰

#

$

&

L

?

&

W

Ž

#

›

+

$



$

3

Ž

.

B

%

W



&

#

$

#

&

.

I

$

.

#

+

#

.

#

%



%

$



L

+

5



#

%

@

5





@

#



:

&

?

?

u

B



#

#

#

L

.

3

$

#

U

U

L

#

$

L

+

%

L

$

L

$

#

Ž



$

%

@

#

#

3



$

$

.

L

$



ˆ

U

H

L

#

#

$

%



%



L

+

#

$

&



N

$

.

(

T

5

#

Ž

9

.

#



.

?

@

N

#

#

+

#

Ž

#

z

#

%

5

+



Ž

2

@

+

#

Ž

?

L

W

5

?



#

#





+

#

U

+

#

#

L

#

%

w ?

$

.

+

$

+

#

.

$

#

$

?

?

#

#

U

$

+

U

L

Ž



#

U

l

$

&

5

#

%

w

+

@

ˆ



#

&

3

+

R

L

?



$



#

3

Ž

3

$

&

&

$



w #

.

+

B

Y

l

#

3

L

U

#

w .

U

#

$

L

?

$

U

?

$

+

?

5

.

?

$



?

H

&

+

+

#

•

?

5

L

?

#

R

u

&



n



?

#

2

5

%

2

Ž

@

$

$

$

&

#



&

%

$

.

&

.

+

#

#

U

%

L

#

U

?

W

+

L

#

.

L

?

U

Ž



?

#

#

$

#

.

N

$

%

U

%

#

?

#

5

5

.

/

+

H

u

#

+

#

•

$

+

$

+

&

5



9

@



5

#

?

$





K



K



/

?

Y

n

.

%






`

U



&

3

#

#

&

$

$

n

?

$

2

#

&

W

#





?

U



@

&

U

+

$

5

L

z 0x

&

#

+

G

%

#

.

$

%

#

}



%

$



3

%

5

#

.

@



#

&

#

%





+

5

?



#

$

@

#

?



.

$

n

(

+

%

#



$

5

?

#

3



@

&

A

.

T

%

L

1

$

#



E



-

$

#

5

#



+

3

#

N

#

3

$

U

N

%

n

#

+

#



5



W

n

?

*

+

#

/

?



L

3

$

&

?

N

%

?

3

+

L

+

%

5

#

$

#

U

.



I

#

`

Y

#



N

Y

#

.

#

E

.

`

%

&

U

n

#

?

&

#



$

U

?

#



#



&



#



ˆ

#



#





.

3

‰

,X

U

U

.

&

n

&

#

U

Ž

?

U

#

&



#

3

$

Ž

u

@

5



%

#

3

%





2

2

5

3



%

@

$

3

$

u

5

%

&

B

?

&



?

G

. ?

L

B

#

H(z) 2

B

z0y E

U

#

$

+



.

U

@

&

.

T

?

$

‰

2

5

#

5

#

3

?



H(z) $

#



?

G

?

Y

?

&

.

B



%

2

`

2

?



$

%

.

&

&

#

?

U

.

.

.

&

#

3

#

3

?

2

ˆ



‰

U

#

U

.

&

N

U



5

?

%

#



@



5

.

3



U

?

#

#

#

$



#

#

.

n

&

.



#



L

3



.

?

%

2

.

.

n

}

$

#

$

#

, − z0x ) Yy=1 (z − z0y ) ,N n=1 (z − z∞n )

x=1 (z

@

#

$

&

5

5

.

?

+

#

.

.

H

U

E

U



5

U



U

#

e

$

d

h

$

#

(

U

,Y

∗ y=1 (1 − 1/(z0y z)) z∞n n=1 (1 − z )

&

&

,Y

− z0x z ) ,N

x=1 (1

X+Y −N

#

#

?

G

h

l

H(z) = Cz

#

?

#

2

N

,X



#

$

U

l

H(z) = C T

L

&

.

5

?

?

?

3

$

U

$

$

.

u

%

.

&

%

.

3

N

#



.

?

U

ˆ

B

#

3

%



U

(

$

U

U

$

.

%

U

N

&

u

#

U

%

L

U

.

#

U

#

$

.

#

?



.



#

$

$

?

$

#



#

n

5



#



%

5

+

y=1 (z

− z0y )

y=1 (z

−

,Y

#

%

U

.

$

N

+

#

%

$

#

.

+

3



.

T

#

5

?

3

E



e

G

h

h

’

1 ∗ ) z0y $

5

$

#

L

?

&

#

?

.

B

$



#

#

?

.

.

#



.





U

9

l

jwt

(1 − ez0y ) (ejwt − z0y ) −jwt e = −z 0y −jwt (ejwt − z1∗ ) (1 − e z∗ ) 0y

0y

= 

#



U

#

&

‰

&

#

Ž



3

@

5

?

$

E



e

G

h

h

U

?

E



e

j

h

G

h

jwt (1 − ez0y ) −jwt −z0y e jwt (1 − ez0y )∗

#



#



&

n

’

#

L

#

$

|z0y | > 1 $

3



#

?

$

#

N

#

L



#

$

‰

&

#

„ 

5

%

.

#

$

+



#

5

3

$

L

2Φ(1 −

:



$

2

%

?

2

%

U

#

2

Ž

#

&



%

L

ejwt |z0y | < π[ ) = 2 arctan z0y |z0y |2 − 1 

R



|z0y | = 1] E

 h

e

6 h

G



L 







?

:

#





5

$

%

g

.

N



#

#

?

"



+

"

#

.

2π .



#



.

&

=

(



(

W

?

U

.

#



U

&



u





%

%

Ž



U

3

.

.



.

#



@

…

.

$

5

P



+

?

?



@



5

$

=



#

5

&

?



$

5



?

U

#

#

$

#

&

3

+

N

?



B

$

#

L

.



+

#

$

‰

?

.

ˆ

2

#

#

3

N

&

#

U

#

?

.



U

.

$

.

Y

&

#

N

&

W

U

#

3

#

?

U

#

5

$

$

E



$

%

+

#



.

$

‰

?

+

@

#

n

%

#



$

3







?

.

&



#

5

U

?

U

$

Ž

?

&



@

#

5



?

Ž

.

R

2

#

#

$

#

.



?

€

@

H

+

&

5

$



B

#

?

L

U

H



$

3

%

‰

+

B

$

$

#

3

L

#

#

$



$

#



L

+







.

U

#







5

#

#

&

ˆ

#

%





5

U

U

?

.

&

W

3

$

#

.

#

$

3

$

&

+



U

+

ˆ

n

H

U

?

@

%

3

U

5

#

2

U

?

.

&

$

2

&

#

$

U

U

?

?

$



U

&

N

$

3

#

5

U



#

@

3

:

U

.

#





.

#

$

W

5

$

L

3

+

+



$

$

#



#

#

@

wt &

5

$

&

2

3

&

+





‰

+

=

U

W

$

+

#

3

5

#



&

U

3

$

H(z) $

#

U

$

#

$

L

.

+

.

#

?



#







#

R

+

?

3

$

$

+

?



?

#

@

@

@



5

#



+

n

2

%



U

H

U

#

u

?

@

5

5

$

.

%

$

.

#

&

?



+

L

%

$

#



R

.

&

%

B

ˆ

3

&

%

.



@



5

A



#

$

#



+

#

L



#

2

5

}

+

?

#

3

%

$

5

U



L

%

U

5

#

U

N

#

%

$

+

N

.

+



#

$



#

#

$

$

.

+



.





@

5

n

#

5

?

3

#

$

L

|z0y | = 1] 

E



e

J

h

G

h



?

&



n

+

#



(

U



T

U

+

.

u

#

.

%

$

.

#

.

W

$

9

&

+



?

%

#

#

U



.

U

.

?

&

.

2

&

%

W





&

.

+



H

%



@

.



5

.

U

+

?

?





@

5

#



.



#





&



$

L

5



#

%

%

U





&

%

#

€

.

.

$

#

&

+



U

#

R

#

?





&



3





$











2



















#









B







%

D



K





3

/

*

?

#



3





?

#

N

&

$

$



5









3















$





W

L





L





?





.

+

#

+

N

#

$

.

-

&

@



1

5

%

A

@



+

5

$

#

&

L



#

(

?

#



@

5

$

L





#

$

#



.

#

#

5 #





W

$

?

+

%

+

N

&

?

.

.

#

?

.

.

@

2

#



5

?

R

$

?

5 

2

#

%

$

U

‰

u

5

3

%

3

.

$

?

L

N

#

#

Y

L



`

#

.

$

&

‰

#

&

2

#

#



B



#

5

?

%

$

.

#

#

(

$

U

+



U

u

#

%

5

.

3

.

$

9

L



l

.

#

&

‰

-



.

1



Y

N

A



%

#

+



#





&

‰

‰

#

?

#

@

&

+

%

(

%























n

$

#

#



&





















































+

#

$

$

?

@

5



?

N

&

.

#

B

C



$



#

#



&





#



3

Y

#

&

&



`

#

2

?

$

?

2

%

U

u

5

%

.

?

L

#

Y

`

.

&

#

2

#

%

3

@

5

%

U

.







5





.

5





$



#





+





%

3





+



*







L












+

#

3








O



2

#

#





2

$

+

%



%

#



N



&



•



?

M < (X + Y + N )π/2 M U

$



3

?




?

2



5

5

n

+

$

5

5

H

&

?

@

n

%

?

?



3

L

+

%

U

|z0x | π [ < 1 − |z0x |2 2 @

5

?

B

#

3

+

L

Ž

&

3

$

$

$

.

ˆ

.

#

&

&

$

#



+

%

n

B

3

#

&

Ž

$

2

$

5

N

‰

3

$

3





&

#

H

#

Φ(1 − e−jwt z0x ) = arctan 2

?



5

+



U



.

5

’

#

$

u

U

@

G

.

%

&

.

e

%

5

U



%

#

h

5

_

&

N

h

T



.

&

*

$

3

#

?

2

$

#

+

?





 

W

n

#

.

?

#



#

-

-

n

$

Y

`



?

.

*






&

.

#

?

2

/

#



#



N

$



-

#

$

1

-

$

3



?





=



$

#



Ž

#

U

U





U

#

*



@

I

B

3

.

U

&

@

5

?

%

u

U

U

?

‰

&

N

?

?

#

U



9

#



8

%

3



W

.



5

%

&

+

?

#

N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

?

$





U

`

$



2

#

$

9



%



. &

#

U

U

3

$

L

$

3





#

#

U

U

#

8

\



#



‰

?

#

$

&

#

$





%



%

3

.





U

L

&

W

+

%

.

.

+

?

#

N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

?

$





U

9

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

#

$

9

„ 

%

N

‰



.

n



&

%



#



U

ˆ

.

U

3

3

&

#

$

U

U

U

U

L

3

.

$

&

$

#

3

U

L

U



#



$

#

9

U

U



#

ˆ

%

%

3



#

U

5

U

.

%

&

#

N

U

#

U

#

$

$

3

B

%

$

$

+

$









U

?

#

#

W

.



.

+

?

#

#

5



B

&

2

Q

n=1 bn

L

ˆ

#

&

3

$



%

U

\

@

U

.

&



5

#

&

U

#

#

U



#

$

‰

$



%

3

$

U

L

?

#

?

#

@



5

&

B

&



%

3

2

u

.

U

+

#

#

#











U

U

`

9



$



aq z −q

q=1

#

$

%

%

2



#

#

$

9

l

H(z) = C N Ž



n

9

?



#

?

$

%

&



.



#

u

#

&

?

#

U

U



#

aq b n $

.

‰

#

W

U

U

3

$

L

L

?

#

U

#

&

?

U

W

$

U

n

2

#

#

R





#

&

.

#

?

.

#

U

L

U

z = x #

$

#

}

n

?

3



$

B

5

,Q

q=1 (x

H(z = x) = C ,N

n=1 (x

&

%

?

N

W

.



#

$

E



e

G

h

h

i

z −n 



?



.

H(z = x) &

%

2

?

&

+

%

.

%

3

@

N

5

#

?





R

#



#

U

U

+

?

n

#

#



&



?



9

U

$

9

− z0q ) − z∞n )

⇒ 

#

#

U

U

E

 h

e

d

g

G



K 

L

"

+





=

>

:

5

D







1

1

0

0

-1

-1 -1

1

0

101

101

100

10 0

10 -1

10-1 1

0

0

-360

-360 1

0

0

-10

-10 1












?

:

#

P

.

8

L

#

"

5



+



&

$

6







…



P



=





_





1

0

Re{z}

1

f [Hz]

1

f [Hz]

1

f [Hz]





>







3

"



(

=

I

"



"

_

5

6

8

:

5



W

n

=

"

+



=

P



=





_

A



>

:



=

I

M

6

L

+



0

f [Hz]

L

5



10

0





tg(f) [ms]

10





0

f [Hz]

t g(f) [ms]



(

360

0



=

f(f) [°]

360



"

0

f [Hz]

f(f) [°]





|H(f)|

0

"

-1

Re{z}

|H(f)|



Im{z}

Im{z}



[

#



$

†

$





6



6

=

U



#



6

6

3



$



V

+

ˆ

"

3

U

6

8

5

=

=

:

5

6



"

+



=

P



=





_




6 

U

.

&

5

#

>

U

U

:

#

1

$

,



.

#



#



U

U

.



?

]



$

"

+

+

W







O

+

#

G



n

#

$

$

.

?

#

?

$

B



$



3

L

?

#



&

„

#

B

?



$

2

#

u



U

ˆ

#

3

#

U

$

U

.



&

#

%

U

U

%

#



#

$

%

3



&



#

&

#

$

W

+

%

+

%

$

$



R



#

?

$

.



U

@

5

#

.



%

%



E

5

?

#



%

2

Ž

#

?

.

u

?

#

U

G

∗ (x − z0q )(x − z0q ) = (x −

= (x − Œ

#

Œ

#

z0q − j 2

z0q ) + ( O

2

O

2

z0q )(x − 2

z0q ) = 

#

U

U

Œ

#

z0q + j O

2

z0q ) E

 h

e

d

e

G



L 



/

?



N

#

"

&



"



%

=

@

(

5



&



#







$





#

…

&

‰



P

&



#

=

?





$

_



Ž

#

?

.

u

?

#

U



R



#

?

$

.



U

@

5

#

.

Y

`

.

&

#

2

W

n



N

#

?

n

?



+

#

$

8



3







/



*

=

z = ejwt

(

+

*

$

& #



.

3

@

5

#

$





?

#

.

?

.

&

+

?

#

N

#



&



%





3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

%

$

+

#



Y

&

#

U

U

#







L

(

#

1





-

K














@



A

R






*



3

+

-

1

A

+

#



(

%



!





!

/

@

A

&

1





(



-

/

*



(







/



-

%

-

#

.



Y

`

-

.

-

&



#

*



2

?

$

(

N

N





j

2

?

&





U

#

$

3

$

+

ˆ

3

U

U

. &

#

U

U

#

$

?

2

T

?

$

5

#

?

&

.

B



#

?

.

?

.

&

h

2

?

L

$

%

&

?

&

?

?

2

L

%



#

$

U

W

.

u

5

+

Y

#

%

`

.

.



?

&

ˆ

L

#



3

U

ˆ

2

U

%

.

&

2

?

@

#

5

U

&

U

9

Y

#

u

$

N

?

%

?

#

L

#

.

2

U

%

T

3

3

?



#

$

$

L

?

5

$

W

#

#

?

+

&



.

$

5



B

B





Ž

#

$

?

#

.

&

.

&



#

%

%

$

$

L

&

&

.

#

.

&

?

#

$

:

5

$

#

&

}



+

%

&

?

B

%

&

#







%



3

3

$

L

.

9

#

L

U

3

#

?

$

$

?

+

%

@

5

U

#

\

U

u



%

$

2

.



Ž

.

5

3

#

9

%

&



U

9

%

L

8

+

#



+

#



N

?

#

$



+

&

#



%



L



3

%

$

L

&

.

:





3

$

B

0 $

&

N

?

?



$

W

%

2π .

N

#

+





#

$

5

?

&

@

5

&

2

?

$

?

2

%

U

u

5

%

.

?

L

#

2



5

%

.

#

$

L

%

$

L

W



 

8

„ O

$

+

#



N

3

$

L



e

n

h

}

2

%

B



?

#

L

.

5

.

&

#



u

#

Ž

R

U

#



?

:

L

U

#

?



+



ˆ

2

#

$

}

#

#

&

%

.

&

2

#

5

#

#

&

B



+

#

.

L



L

?

`

.

.

%

u

Y

%

#

#

#

U

&

#

5

$

#



+

#

U

#

+

U

%

$

$

#

U

L

U

U

n

3

‰

U

#

&

ˆ

#

.



@

#

3

U

&

?

$

5

3

?



?

?

#

.

#

.



#



5

%

U

&

#

$

#

u

U

?

‰

?

&

N

#



#

@

5

$

#

&



’

.

#

#

L

u

U

#

%

3

+

&

$

I



%

U

$

?

U

$

u

%

u

N

3

&

B

#

.



U

$

%

#

?



+



$

$

#



?

&

%

#

T

N

#

5

$

2

%

$

#

#

%

+

H

#

n

#

&



‰

W



N

#

?

$

%

?

:

U

$

?

$

N

?

N

:

#

#

5

#

.

$

$

?

%

n

&

&

3

.

3

?

#

B

U





#



%

U

#

%

?

?

$

U

.

3

.



.

L

#

#

#

$

L

.

.

}

#



u

%

.

5

?

#

B

#

5

%

U

L

&



#

$

N

#

W

+

U

&

+

#

%

.

n

#

.

I

?



|z0 |2 

.

T

+



$

#

R

?

5

$

#





$

?

?

&





#

9

.

#

9

+



#

.










5

=

?

5





/

Y

?

$

*

(

+



K



U

L



#



$




+

&

#

Y

C



`

#

.



&

#

3



2



#

(





O

*

9

#

Y

@

`

A

.

+

&

#





2

#

*





D

y(t) = x(t) + b y(t) = x(t) m(t)











/

Ž

*

(

#



K

#

@



5

9

$




#



$

3



$

#



%

+





.

B



?

‰

‰



?

#

+



-

#

/

$

Y

*

?

(

#



+

?

#

U

?

$

#

%



#

}

%

U

&

3

$

L



R





x[n] = {. . . , 0, 2, 7, −5, 3, 4, 0, . . . } 3

$

+

h[n] = {. . . , 0, 2, −5, 4, 1, 0, . . . } ˆ

#

5

2

#

$

Y

?

#

%

$

W

+

?

#

Y

?

L

$

%

U

#



R

n = 0, 1, 2, 3 



Ž

#



#

@

5

$

#

$

Y

?

#

+

?

#

u

#



?



+

?

.

@

5

#

}

%

U

&

3

$

L



n

R



+

#

$

u

#



?



+

?

.

@

5







&

L

#



R

5



&





K 

L

"







/

*

(

K



K






R



N

+

*

#







3

+





=

>

:



+

5

D







[



"






"

=

(















…



P



=





_



!



*

/

* 



Ž

#

Y



?

#

L

@

$

5

%

$

U

#

$

Y

?

#

+

?

#

‰

9





%

$

.







2

% &

?



∞

Z{x[n]} = X(z) = $

xn z −n

n=−∞

+

#



#




an n ≥ 0 0
n −a n ≤ −1 x[n] = 0 x[n] = 



.



$

.

.



#





L

U

#

?

@

5

#

$

Y

?

#

+

?



$

#

.

&

T





L

#

N

$



/

•

&

#

?

*

L

(

#

K

$

Y



?



#




W



+

%

R

{



N



+

R



#



}

%

U

&

3

$

L

.

.

*

+

%

?

$

+



R



+

?

#

(

‰

9

U

#

?

&

3

$



(

K








+

%

+



*



+



L



/



3

!



$

.



*





/

2



*

%

&



?



+



-

/

*

(

#

#

Ž

L

#

ˆ

#

.

&

3

#

?

U



N

U

$

2

.

.

2

&

#

#

#

U

U

?

+

$

#

%

Y

$

?

:

/

#

+

-



#



‰

9







%

$

.













R



N

+

*

#

2

?

#



&



#

$





3

 

+



.

Y

+

?

?

L

#

$

‰

9



*

(

K





%




x[n] = U





X(z) $



/

L

?

U

&





*

R



/

-

-

#



-

-



*





#





xn z −n


#

=

$



=

+

W







Z{x(n)  h(n)} = X(z) · H(z) −z dFdz(z) = Z{n · f [n]}

‰

N

#





#

.

n=−∞

&



3

#

.

∞

Z{x[n]} = X(z) = +

?

%

$

.









.

2

?

#



&



$

.



O

.

&

+

%

.

Y

?

L

$

%

U

B

%

3

.

%

U



&

#

+

#

.

Y

?

L

$

%

U

.



/

?

#

U

%

3

&

#

$

+

?

#





U

9

3

$

+





+



1/4 0 < n < 5 0 X(z)

+





-

/

@

A

=





-



(

/

*

(



*







#





R



N

+

*

#







3



+



*





}

R

5

2

#



#

$

Y

?

#

$



%



$

.





?

?

#



%



&

#

?



2

?

#

%

+



&

#

:



U

%

N



2

3

?

@

5

‰

#



U

&

#

L

3

3

$

$

$

L

:



2

⇔

z (z+0.5)(z−1)

F (z) = $

+

|z| > |z0 | F (z)

1 (z−z0 ) ,

X(z) = 

+

Y

?

&

€

?

U



#

+

+

#

3



@

5



Ž



#

Œ

x[n] = u[n − 1]z0n−1 +

?

#

?

.

$

#

:

U

#

&

?

%



2

&

.

9

?



#

$

‰

9

















!



 /

*

(

K






P

*





#





R

N

+

*

#



3

+



*



#



/



*

#

+

=





Ž

#



#

@

5

$

#

G

Ž

#

}

$

R

3

5

G

Ž

#

&



1/z N

9

$

Y

?

#

+

‰

#

#

Ž

Y

&



‰



u[n] ?

?

Y

#

3

$

$

#

#

?

?

$

@

.

&

#

?

#

+

#

?

?

#

?

T

(

K



.

#

#

#

#

&

?

‰

9



Œ

L

#

.

.

.

+

#

#

$

?

+





%

?

@

3

Y

u






3

$

$

.







2

?

+

+

.



3

5





#

%

U





$



$

&

&

‰

#



&

#

+

#



}

3

$

B

&

?



$





.

#

%

R

+

%

$

&

+

‰

#

#

G

$

+



‰

}

3

9





L

#

G

%

5

%

$

.

@

n U







2






*



Œ

{

|z| +

#

$

3

2



/

:

#

%

E

Y

$



5

1 (z−z∞ ) , E

?

1 z 3 (2z−1)

F (z) = %

$

+



Ž

?

#

#

⇔

?

$

3

&

‰

#

$

:

$

#

Y



.

?

#

#

‰



%



&

?

9

%



U



N

x[n] = u(n − k)

%





$

3

.

@



5

n−1 k−1



‰



#



2



?

U

#

#

L



3

&

#

$

z0n−k ,

+

L

3

$

+

#



+

}

?

#

Ž

#

3

$

‰

|z| > |z0 | 

?

B

#

5

&

3

?



$

$

L



L 





"



"

=

(



*

O

*

(

(

Ž



K













…



P



=





_












(

+

*

(















*



+

-

(

-





@

A

/

*

(

=

/











*

=



*

(

-





@

A

R



2

E





/

/



#



=

#

?

G

@

#

5

?

+

$

#

#



:

‰

#



#

N

?



&

#

B

?



&

$

#

&

&

?

#

$

3

}

?



#





U

2

?

@

W

5

Y

#

`

$

.

Y

&

#

`

.

2

:

&

#

#

2



#

5

%

.

U

&

?

#

$

+

$

+

2

?

%

&

#



5

#

?

2



#

%

&



?

#

.

$

@

&

?

5

%

‰

U

L

U

3

#

#

?



@



5

%

3

.

$

.

#

L

#

$

$



O

$

D

n

#

U

@

5

#



€

?

$

.

?

@

5

&

.

&

#

U

U

#

$



?



#



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L

#

$

#

?

$

:

#



L

U

#

?

@

5

N

%



#

.



5

3

?

:

%

U

#

$

&

8

‰

3

+

#

$



=

.

+

%





Ž #

&



%

@

5

&

#

$

Y

?

#

+

#

$

N

#



L

%

$

L

:



2



?



#



#

$

&

?

%

U

5

3



&

?

#

$

&

#

$

D

‰

3

2





?



#



#

$

‰

#

$

5

3





&

?

#

$

&

#

$







/

*

(

K







?

.

B

3

&

?

#



#

$

Y






-

R



/

-

-

?

#



%



%

U

U

#

U

#

$

3

$

+

D

$

& #



.

@

5

?

#

+

#





#



-

-



*











*

=



*

(

-





@

A

/

*

(





8



%



.



Ž

#

.

U

U

@

$

#

3

#

N

?

#

%

+

#



?



&

.

?

#





/

.

N

*

+

@

(

%

5

K

.

+



Y

?

`



.

#



&




#



#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

‰

#

?

L

&

#

?

$

#

ˆ 3

U

U

.

&

#

U

U

#

N

#

z=0 ?

3

$

+



#

$

‰

#

$

L

U

#

?

@

5

3

$

L



R



+

%

.

Y

`

.

&

#

2

3

$

+

#

?

$

#

Œ

#

%

U

?

.

?

#



3

$

L

.

9





O





?

$

#

z = 3/4 ± j/2 H(z) #

+

L

%

?

Y

?

$

2

#

$

Y

&

5

$

$

%

Y

#

5

#

5



U

@

N

9

#

#

#

@

ˆ

&



=

.



U

.

2

$

?

L



+

2

3



&

.



&

+



-

#

n















5

?

U

?



9

2

=

U

•

#

y[n] = ay[n − 1] + 2δ[n] 

?

&

9

%

U

.

%

3

@

5

?

2

•

9

Ž

#



#

?

@

5

8

.

&

%

N

?

U



N

#



U

#

L

#

$

Y

?

#



D







/

*

(

K





9




+

/

#

+

-











8

=

#

L

#

N

#

$

?

.

&

+

?

#

N

# 

&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?

$

&

#



.

3

@

5

#

$

Y

?

#

+

3



@

5

T

$

&

n

?

@

B

U

3

$

$

1 . (z − 1)(z − 3)

H(z) = D



L

?

$

#

?

$

#

%

3



#

$

&



#

?

5

#



R



+

?

#

N

#

?

+

#

$

Ž

#



#

?

9

D

@

5

1 < |z| < 3 #

D

$

&

&

#

#

2





.

.

3

@

5

#

$

Y

?

3

$

#

+

+



?

#

R

|z| > 3 

Y

&

%

N

?

U

?

&

H

&



+

N

3

+



@

%

.

5

Y

Ž

`

#

&

.



&

%

#

@

2

B

5

&

3

%

$

3

.

L

+



/

#

*

(

K



 K










-

!



=

/

*

 

(

+ 

/

#

+

-



*

•

(

#

E

?

#

5

$

#

Y





?

#

#

W

+

%

2



.



U

.

&

#

U

U

&





ˆ

9



%



.

&

#

U

U

3

$

L

+

#

.

Y

`

.

9







* -

R



/

-

-



#



-

-



*

R





+

#



-

R



+

%

#

3



Y



Y

%

#

&

?

‰

&

R

#

N

6

#

f



G

+

.

@

?

5

#

\



%

$

3

+

.

%

$

%

U

?

$

&

H

:

&

#

?



U

#

$



&

‰



&

U

?

.

9

ˆ

&

3

W

U

n

U

.

#

&

$

#

U

U

$

#

$

$

9

3



%





R



.

&



#

#

U

?

U

$

3

$

L

#

E



G

’

p #

.

e

h



.



L



?









/

U





-

%

L

?

U

&

|z| < |z∞p | 

%

#

$

‰

N

&

3

#

.

U

€

#

u

?

%



#

#

N

3

$

@

?

u

&

5

L

&

n

#

#

&

?

@

B

$

+

/

#

?

#

#

%

U

N

U

Y

L

5

#

$

#

U

.

&



:

#

?

+

2



5

#

#



$

B

%

#

?

N $

#

&

?



.

@

3

5

$

$

#

?

#

R

N

Œ

#

#

Q +

$

U

?

G



5

+

&



#

?

%

L

3

#

3

$

$

L

=

+

#

‰

.

%

.

#



?

2

3

L

&

$

#

B

R

$

&

N

W

?

#

+



&





Ha $

%

.

%

.

+

L

3

%

$



$

L

R

.

a = z∞p 

$



%

3

3

$



B

B

&

?

#



?

$

$

#

$

$

?

}

3



$

?

%

%

U

3

5

U



E

.



+

#

R



#

2



8

O



$

$

E

.

.

?

N

#

#

.

5



#

$

+

Ž

#

#

?



.

#

L

u

?

#

?

U

&

+

U



%

$

e

$

%

%

h

3

3



@

Y

5

#

W

?

&

+

%

#

.

6

.

g



#

G

+

#

#

N

:

#

$



#

%



U

.

U

@

.

5



$

N

?

@

#

5

$

#

N

&

B

%

3

#

.



%

&



U

%

.

L

#

?

3

$

$

L

B

.

%



$

3

$

$

B



&

?



9

?

#

’

8



#

I



3

.

U

@

&

5

?

?

u

#

U

?

N

‰

3

?

$

#

L



#

+

$

#

:





N

#



m $

&

n



#

%

?

&

L

3

#



$

#

L

.

$



3

ˆ

$

3

B

U

U

&

.

?

&

#



U

$

U

3

#

m 2

$

&

#



2

?

8

#

$

O

5



#





N

?

L

#

$

N

#



U

#

L

3

$

L

N

#



#

?

&

.

#

$

&

5

%

U

&

#

$



$

•

#

?

&

.

@

5



?

&

(z − z0q )

&

#

2

#

?

$

&

&

.

&

#

5

&



z0q = 0

%

W

+

?

.

3

&



%

@

U

5

.





K 

L

"



+





=

>

:

5

D







[



"





"

=

(















…



P



=





_





/

*

(

K










:

-

-

1

+

#

#



8



?

#

N

#



&



%

L

z∞1 = 1/2 #

?

$

+

#

?

$

#

(

(



U

U

U

u

U

u

.

.

.

$

$

%

%

3

3

+

Œ

.

N

.

9

L

+

%

#

U



#



%

3

$

.

&

&

?

B

&

H(z) = 1 +j ?



z∞2 ?

#



U

$

U

&

#

$





Ž

$

#

+

#



#



@

5

\

#

$

#

#

.

5

$

‰

?

Y

U

Y





#

H

$



?

/

?

#

`

#

+

&

#

*

(

K












@

A

*

/

*

(



#

?

%

2

.

#

+

$

$



/

&

Y

#

$

.

$

$

+

5

?

?



N

ˆ

+

#

%

#

#

•

#

3

.

H

L

U

#

U

.

U

$

#

%

U

U

3

#

#



9

3

$

‰

$

H(z) .

5

#

&

n

.

W

3

+





@

$

3



*



3

+

-

1

A

+

#



(

%



U

{

R

$



%

+

#



+



A

?

W

$

ˆ





#



N

#

#



&

#

%



u

!

.

+

u



U

.



U

U

#

Y

R

`

$

N

`



$

.

#

&

#

#

$



Y

2

?

2

?

#

#







/

@

A

&

1





(



R



!

-

/

*



(







/

-

-

#



-

-



*



„ •

#

?

L

#

$

Y

?

(z0 , z0 ∗) }



#

5

3

#

$

#

+

W

+

3

%



.

@

.

5

?

Œ

$

#

+

@

#

5

$

2

3

$

Ž

#

L

?



.

u

?

R



#

+

U



%

e

.

E

j

%

B



3

$





3

Y

L

#

?

?

&

#



#

&

J

B

g



&

‰

L

%

$

L

#

.

N

?

.

%

3



#

?

$

#

$

B



$

.

&

%

$

&

#

$

}

%

B

&



#



&



%

u

&

.

U

H

#

@

#

5

|z0 |2 

8

N

2

%

U



?

G

@

ˆ

5

3

+

U

#

U

.



&

#

Ž

U

#

U

&

#

$



u

%

%

L

%

+



#

.

h

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$

#

?

$

#

$

$

?

@

5

&

2

?

$

?

2

%

U

u

5

%

.

?

L

#

$



5

L

%

U

.

#

#

?

$

@

5

L

N

%

U

$

#

?

L

N

%

&

W

3



%

n

N

#

#

?

.



&

+

W

?

+

#

#



8

?

$

+

#

?

$

#



#





.

%

ˆ

&

3

U

:

U

.



&

0 $

#

U

U

#

$

N

?

u

%

2π .

%



#

+

.



N

#



#

5

&

*

(

K














*





Ž

#

&





*

%

@

z = ejwt ?

!

/







(

%



&

#

$

Y

?

#

+

%

‰

3

+

?

#

N

#



&



%

L

3

$

L

.



3

$

B

&

?



$





/

5

!









:

-

-

1

+

#

!

#





*

(

/

*

(



8

N

#



‰

#

3

L

#

$

Y

?

#

.

?

@

5

W

+

%

.

.

+

?

#

?

$

(

N

.

@

5

$

?

&

&





h

Ž

#

+

?

$

L

3

$

L

#

%

h

3



Y

#

?

&

#

6

5

h

#

 L

#

U

#

?

&

#

&

#

$

’

$

|z0q | |z∞q | = 1 + |z0q |2 1 + |z∞q |2 3

$

+

Φ0q = Φ∞q 8



R





3

+

$

B

#

&

$

?

•



3

$

.

#

?

%

$

2

#

2

.

#

(

U

$

U

5

u

%

%

$

.

.

L

#

‰

.

n

&

%

?

&

.

.

@

H

5

@

#

5

$

U



?

@



5

U

:

#



$

3

$

+

ˆ

3

U

U

.

&

#

U

U

#

$

+

#



N

#



&



%

L

3

$

L

.

9

1 ∗ z0q

z∞q = 3

$

$

+

z∞q = z0q #







R

U

U

&

n

#



+

#

$















 /



?

*

#

Y

(

u

K



3



$



L




%

$

&

P

n



3

1



&

/

#

?

-

$

Ž

#

5



$

#

@

#

5

‰

$

9

#



$



Y

%

$

?

.

#

+





?



#

2

O

%

2

&

u

?



+

#

a[n] = u[n](4 − 0.25n ) 

#

.



‰

#

?

&

+

?

.

B



#

&

#

$

Y

`

.

&

#

2

.

U

%

3

&

#

&



3

$

*

U

G

.



%

$

&

n





&

+

#

.

Y

`

.

&

#

2

#

.

?

2

•

#

?

&

N

#



#

?

@

5

E

+



5



+

?



#

B

&

3

$

+



O





2

Ž

\

%

n

+

%





%

&

&

+

+

@

5

#

$

?



:



%

$

%

(

U

3

n

+

.

Y

?

$

#

%

$

%

U

%

U

U

R

+



$

#

3

L



#

@

.

5

Y

?

W

+

L

5

$

%

%

.

?

U

B

$



$

%

#

:

$

U

Ž

%



#

+



#



u

U

#

‰

U

#

.

?

#

2

5

‰

@

U

?

#

$

L

$

#

u

&

#

?

#

?

#

T

$

@

&

n

3



$

&

U

B

.

?

$

#

u

@



B

U

#

@

#

2

.

`

.

%

5

$



#



3

$

%

.

#

9

#



L

&

U

N

#



$

?



L

#

#

#

#

$

2

L

n

&

?

H

B

.





‰

U

?

›

#



3

&

?

+

2

$

?

n

&

+

#

#

3

:





.

?

H

G

$



.

$

‰



&

#



.

5

$







#

:

&

T

#



2

?

+

?

+

%

#

?

#

2

#





$

+

#

.

5

#



n

2

&

+

#

3

&

?



#

2

.



?

O

`



n



#

3



W

#

Y

N

$

#

U

Œ

#

.

#

U

$

$




2

#

5

#

L

#



#

$

#

+



&

U

#

&

$

#

3

%

?

?



Œ

&

+

$

?

%

5

U



#

2

$

@

?

#

+

.

#

L

#



`

{

$

$



Y



?

n

3



#



#

›

U



%

L

L

+

3

#

L

+

$

$



L

$

3

2

3



#



&

#

$

W

#

U



U

$

:

%



%

?

2

3



$

#

5



#

+



%

5

?

#

#





#

3

.

?

.

U

#

#

+

:

%

U

?

&

%

U





U

&

$

?

9



#

?

9

$

L

+

+

#



$

?

n

U

?

.

2

$

5



#



#

@

#

?

T

+



%

3

+





?

$

?

2



3

&

5

&

#

#

%

@

$

&

&

n

2





.

?

.



+

`

}



#

B

Y



U

$



.

.

#

#

O

&

3

#

L

L



.

%



$

#

?

5

&

U

#

$

@

?

%

L

$

?

L

$

$

#

5

%

3

2

@



U

U

&

H

$

#

#

#

.

.

?

:

&



`

&

#

&

&

.

u

5

B

2

.

L

3

@

%

U

U

$

%



$

N

#

3

5

+

?



&

&

#

#



?

U



#



#

N

$

.

#

$



n

$

#

+

%

2

B

n

$



#

D

.

#

$

U

#

U

L

$



#

#

U



#

?

U

?

%

2

%

#

?



%

L

.

u



.



&

%



@



$





B





/

.

.

L

?



#

#



?

?

$

$

&

N

U

&

@



#

Y

?

#

L

U

:

}

.

n

5

#

$

$

#

$

#

&

?

™

Y

3

#

#

U

3

3

$

%

&

?

&



$



?

?

?

L



u

E



#

+

%

#

?



+

.

n

L

U

#

$

.

n

#



#



L

%

#



5

2



?

$

#

:

#

W

N

W

N

$



#

?

%

$

˜

$

@

$

#

+

3

&

U

&

#

3

%

%

&

:

&

$

L

&

.

5

$

W

@

.

&

?

%

#

#

?

&



?

N

#

%

#

N

#

#

U

:

#

?

N

U

$

?

`



?

?

#

W

$

#

#

?

N

#

3

U

#



#

U

L

U

$

+

%

‰

N

%



$

&





B

L

#



.

%

%

L

#

?

?

L

$

+

?

$

L

$

#

#

T

?



#

?

%



$

Y

+

#

N



#

#



I

%

%

&

5



N

#

$

@

$



:

$

Y

#



U

5

#

?



%

#

L



#



N

.

.

&

%

@

$

$

#

$

#

T

N

L

&

B

R

$

:

5

.

+

#

#

?

$

.

2

#

?

#

U

#

%



5

%

L

L

Y

@

$





3

.

2

?

.

U



$

?

$



%

#

+

#

$

N

&

L

.

%

L

#

?

#

#

U

U



.

%

?

L

#

%







.

?

W

?

#

L



?



‰

#




Y

5

5

.

#

#

#

?

.

l

#

N

#

&

#

$

$

#

.

@

@





.



$

.

#

#

+

?

#



+

N

#

?

?

#

$

.

.

$



5

+

?

#

2

@



%

N

$

#

?

#



f

$

#

L



?

U

+

n



#

#

#

W





&

+

&

3

:

?



#

T

#