Grundkurs Theoretische Physik 7: Viel-Teilchen-Theorie

Springer-Lehrbuch Grundkurs Theoretische Physik Band 1 Klassische Mechanik 8. Auflage ISBN: 978-3-540-34832-0 Band 2 ...

Author: Wolfgang Nolting

157 downloads 1348 Views 4MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Springer-Lehrbuch

Grundkurs Theoretische Physik Band 1 Klassische Mechanik 8. Auflage ISBN: 978-3-540-34832-0 Band 2 Analytische Mechanik 7. Auflage ISBN: 978-3-540-30660-3 Band 3 Elektrodynamik 8. Auflage ISBN: 978-3-540-71251-0 Band 4 Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik 6., aktualisierte Auflage ISBN: 978-3-540-24119-5

Band 5/1 Quantenmechanik – Grundlagen 7. Auflage ISBN: 978-3-540-68868-6 Band 5/2 Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen 6., überarbeitete Auflage ISBN: 978-3-540-26035-6 Band 6 Statistische Physik 6. Auflage ISBN: 978-3-540-68870-9 Band 7 Viel-Teilchen-Theorie 7., aktualisierte Auflage ISBN: 978-3-642-01605-9

Wolfgang Nolting

Grundkurs Theoretische Physik 7 Viel-Teilchen-Theorie 7., aktualisierte Auflage Mit 163 Abbildungen und 113 Aufgaben mit vollständigen Lösungen

123

Professor Wolfgang Nolting Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Physik Newtonstraße 15 12489 Berlin Deutschland [email protected]

Umschlagabbildung: siehe Seite 341

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-01605-9 e-ISBN 978-3-642-01606-6 DOI 10.1007/978-3-642-01606-6 Springer Dordrecht Heidelberg London New York ISBN 978-3-540-24117-5 6. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002, 2005, 2009 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandgestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Satz und Herstellung: le-tex publishing services GmbH, Leipzig Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Allgemeines Vorwort Die sieben Bände der Reihe „Grundkurs Theoretische Physik“ sind als direkte Begleiter zum Hochschulstudium Physik gedacht. Sie sollen in kompakter Form das wichtigste theoretisch-physikalische Rüstzeug vermitteln, auf dem aufgebaut werden kann, um anspruchsvollere Themen und Probleme im fortgeschrittenen Studium und in der physikalischen Forschung bewältigen zu können. Die Konzeption ist so angelegt, dass der erste Teil des Kurses, Klassische Mechanik (Band 1) Analytische Mechanik (Band 2) Elektrodynamik (Band 3) Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik (Band 4), als Theorieteil eines „Integrierten Kurses“ aus Experimentalphysik und Theoretischer Physik, wie er inzwischen an zahlreichen deutschen Universitäten vom ersten Semester an angeboten wird, zu verstehen ist. Die Darstellung ist deshalb bewusst ausführlich, manchmal sicher auf Kosten einer gewissen Eleganz, und in sich abgeschlossen gehalten, sodass der Kurs auch zum Selbststudium ohne Sekundärliteratur geeignet ist. Es wird nichts vorausgesetzt, was nicht an früherer Stelle der Reihe behandelt worden ist. Dies gilt inbesondere auch für die benötigte Mathematik, die vollständig so weit entwickelt wird, dass mit ihr theoretisch-physikalische Probleme bereits vom Studienbeginn an gelöst werden können. Dabei werden die mathematischen Einschübe immer dann eingefügt, wenn sie für das weitere Vorgehen im Programm der Theoretischen Physik unverzichtbar werden. Es versteht sich von selbst, dass in einem solchen Konzept nicht alle mathematischen Theorien mit absoluter Strenge bewiesen und abgeleitet werden können. Da muss bisweilen ein Verweis auf entsprechende mathematische Vorlesungen und vertiefende Lehrbuchliteratur erlaubt sein. Ich habe mich aber trotzdem um eine halbwegs abgerundete Darstellung bemüht, sodass die mathematischen Techniken nicht nur angewendet werden können, sondern dem Leser zumindest auch plausibel erscheinen. Die mathematischen Einschübe werden natürlich vor allem in den ersten Bänden der Reihe notwendig, die den Stoff bis zum Physik-Vordiplom beinhalten. Im zweiten Teil des Kurses, der sich mit den modernen Disziplinen der Theoretischen Physik befasst, Quantenmechanik: Grundlagen (Band 5/1) Quantenmechanik: Methoden und Anwendungen (Band 5/2) Statistische Physik (Band 6) Viel-Teilchen-Theorie (Band 7), sind sie weitgehend überflüssig geworden, insbesondere auch deswegen, weil im Physik-Studium inzwischen die Mathematik-Ausbildung Anschluss gefunden hat. Der frühe Beginn der Theorie-Ausbildung bereits im ersten Semester gestattet es,

die Grundlagen der Quantenmechanik schon vor dem Vordiplom zu behandeln. Der Stoff der letzten drei Bände kann natürlich nicht mehr Bestandteil eines „Integrierten Kurses“ sein, sondern wird wohl überall in reinen Theorie-Vorlesungen vermittelt. Das gilt insbesondere für die „Viel-Teilchen-Theorie“, die bisweilen auch unter anderen Bezeichnungen wie „Höhere Quantenmechanik“ etwa im achten Fachsemester angeboten wird. Hier werden neue, über den Stoff des Grundstudiums hinausgehende Methoden und Konzepte diskutiert, die insbesondere für korrelierte Systeme aus vielen Teilchen entwickelt wurden und für den erfolgreichen Übergang zu wissenschaftlichem Arbeiten (Diplom, Promotion) und für das Lesen von Forschungsliteratur inzwischen unentbehrlich geworden sind. In allen Bänden der Reihe „Grundkurs Theoretische Physik“ sollen zahlreiche Übungsaufgaben dazu dienen, den erlernten Stoff durch konkrete Anwendungen zu vertiefen und richtig einzusetzen. Eigenständige Versuche, abstrakte Konzepte der Theoretischen Physik zur Lösung realer Probleme aufzubereiten, sind absolut unverzichtbar für den Lernenden. Ausführliche Lösungsanleitungen helfen bei größeren Schwierigkeiten und testen eigene Versuche, sollten aber nicht dazu verleiten, „aus Bequemlichkeit“ eigene Anstrengungen zu unterlassen. Nach jedem größeren Kapitel sind Kontrollfragen angefügt, die dem Selbsttest dienen und für Prüfungsvorbereitungen nützlich sein können. Ich möchte nicht vergessen, an dieser Stelle allen denen zu danken, die in irgendeiner Weise zum Gelingen dieser Buchreihe beigetragen haben. Die einzelnen Bände sind letztlich auf der Grundlage von Vorlesungen entstanden, die ich an den Universitäten in Münster, Würzburg, Osnabrück, Valladolid (Spanien), Warangal (Indien) sowie in Berlin gehalten habe. Das Interesse und die konstruktive Kritik der Studenten bedeuteten für mich entscheidende Motivation, die Mühe der Erstellung eines doch recht umfangreichen Manuskripts als sinnvoll anzusehen. In der Folgezeit habe ich von zahlreichen Kollegen wertvolle Verbesserungsvorschläge erhalten, die dazu geführt haben, das Konzept und die Ausführung der Reihe weiter auszubauen und aufzuwerten. Die ersten Auflagen dieser Buchreihe sind im Verlag Zimmermann-Neufang entstanden. Ich kann mich an eine sehr faire und stets erfreuliche Zusammenarbeit erinnern. Danach erschien die Reihe bei Vieweg. Die Übernahme der Reihe durch den Springer-Verlag im Januar 2001 hat dann zu weiteren professionellen Verbesserungen im Erscheinungsbild des „Grundkurs Theoretische Physik“ geführt. Herrn Dr. Schneider und seinem Team bin ich für viele Vorschläge und Anregungen sehr dankbar. Meine Manuskripte scheinen in guten Händen zu liegen. Berlin, im April 2001

Wolfgang Nolting

Vorwort zur 7. Auflage von Band 7 Am eigentlichen Konzept des „Grundkurs Theoretische Physik“ und damit auch an dem siebten Band der Reihe („Viel-Teilchen-Theorie“) hat sich natürlich mit der vorliegenden neuen Auflage nichts geändert. Er ist nach wie vor auf ein PhysikStudienprogramm zugeschnitten, das bereits im ersten Semester mit der Theoretischen Physik (Mechanik) beginnt, so wie es die meisten neuen Bachelor/MasterStudienordnungen an deutschen Hochschulen vorsehen. Techniken und Konzepte werden weiterhin so detailliert vermittelt, dass ein Selbststudium ohne aufwändige Zusatzliteratur möglich sein sollte. In diesem Zusammenhang spielen natürlich die Übungsaufgaben, die nach jedem wichtigen Teilabschnitt angeboten werden, eine für den Lerneffekt unverzichtbare Rolle. Die recht anspruchsvolle „Viel-TeilchenTheorie“, die möglicherweise unter anderer Bezeichnung („Höhere Quantenmechanik“, „Ausgewählte Kapitel der Theoretischen Physik“, . . . ) einem späten Modul des Masterprogramms zuzurechnen ist oder zur Vorbereitung einer Masterarbeit benötigt wird, macht das übende Anwenden von Konzepten und Methoden sogar besonders notwendig. Dabei sollten die ausführlichen Musterlösungen nicht von der selbständigen Bearbeitung der Aufgaben abhalten, sondern nur als Kontrolle der eigenen Bemühungen dienen. Die jetzt vorliegende 7. Auflage besitzt ein erweitertes Aufgabenangebot, kleinere Korrekturen im Text, einen Einschub zur Hochenergieentwicklung Green’scher Funktionen und ein zusätzliches Kapitel „Spektroskopien, Spektraldichte“, das einen Bezug der vielteilchentheoretischen Basis-Funktionen zu experimentellen Spektroskopien herstellen soll. Wie auch schon bei den früheren Auflagen haben ich sehr von Kommentaren, Druckfehlermeldungen und diversen Verbesserungsvorschlägen zahlreicher Kollegen und insbesondere Studierender profitiert. Dafür möchte ich mich an dieser Stelle ganz herzlich bedanken. Die Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag, insbesondere mit Herrn Dr. T. Schneider, verlief, wie auch früher schon, absolut reibungslos und produktiv. Berlin, im August 2009

Wolfgang Nolting

Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.5 3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7

Die Zweite Quantisierung Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Kontinuierliche“ Fock-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Diskrete“ Fock-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 9 21 28 34

Viel-Teilchen-Modellsysteme Kristallelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Jellium-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Hubbard-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Gitterschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Harmonische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Phononengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Elektron-Phonon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . 81 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Klassifikation der magnetischen Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Modellvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Magnonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Spinwellennäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Green-Funktionen Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linear-Response-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dielektrizitätsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektroskopien, Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109 109 115 119 121 123 125 130

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.5 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3

Zweizeitige Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektraldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektraltheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exakte Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kramers-Kronig-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erste Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Freie Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Zwei-Spin-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Quasiteilchenkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Elektronen-Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronische Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasiteilchenzustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wechselwirkende Teilchensysteme Festkörperelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Grenzfall des unendlich schmalen Bandes . . . . . . . . . . . . Hartree-Fock-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronenkorrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das exakt halbgefüllte Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kollektive elektronische Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ladungsabschirmung (Thomas-Fermi-Näherung) . . . . . . . Ladungsdichtewellen, Plasmonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spindichtewellen, Magnonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen . . . . . Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Methode des effektiven Mediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coherent Potential Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133 133 137 141 143 147 149 152 152 157 159 170 173 173 176 180 185 187 190 192

199 199 202 207 211 212 221 225 229 230 234 243 246 249 249 253 255

4.3.4 4.3.5 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.6 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3

Diagrammatische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spinsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tyablikow-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Renormierte“ Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektron-Magnon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische 4f -Systeme (s-f -Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das unendlich schmale Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legierungsanalogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das magnetische Polaron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungstheorie (T = 0) Kausale Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Konventionelle“ zeitunabhängige Störungstheorie . . . „Adiabatisches Einschalten“ der Wechselwirkung . . . . . . . Kausale Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wick’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Normalprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Wick’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feynman-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungsentwicklung für die Vakuumamplitude . . . . . . . . . Linked-Cluster-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptsatz von den zusammenhängenden Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Störreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dyson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungstheorie erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungstheorie zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korrelationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259 269 270 270 277 282 283 284 286 292 294 302 304

311 311 315 321 324 326 326 329 335 335 336 345 349 352 353 353 359 362 363 363 366 371

5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.6.4 5.7 6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.3

Diagrammatische Partialsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarisationspropagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effektive Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertexfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

382 382 388 393 396 398

Störungstheorie bei endlichen Temperaturen Matsubara-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matsubara-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Großkanonische Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wick’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammanalyse der großkanonischen Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ringdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

434

Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

437

403 403 409 411 415 415 419 426 429

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

Kapitel 1 Die Zweite Quantisierung

1

1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Die Zweite Quantisierung Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Kontinuierliche“ Fock-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Diskrete“ Fock-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 9 21 28 34

1. Die Zweite Quantisierung

3

1 Die Zweite Quantisierung Die physikalische Welt besteht aus wechselwirkenden Viel-Teilchen-Systemen. Deren exakte Beschreibung erfordert die Lösung von entsprechenden Viel-TeilchenSchrödinger-Gleichungen, was allerdings in der Regel unmöglich ist. Die Aufgabe der Theoretischen Physik besteht deshalb darin, Konzepte zu entwickeln, mit deren Hilfe ein Viel-Teilchen-Problem physikalisch vernünftig approximativ gelöst werden kann. Der Formalismus der zweiten Quantisierung führt zu einer starken Vereinfachung in der Beschreibung von Viel-Teilchen-Systemen, bedeutet letztlich aber nur eine Umformulierung der ursprünglichen Schrödinger-Gleichung, stellt also noch kein Lösungskonzept dar. Typisch für die zweite Quantisierung ist die Einführung von so genannten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die das mühsame Konstruieren von N-Teilchen-Wellenfunktionen als symmetrisierte bzw. antisymmetrisierte Produkte von Ein-Teilchen-Wellenfunktionen überflüssig machen. Die gesamte Statistik steckt dann in fundamentalen Vertauschungsrelationen dieser Konstruktionsoperatoren. Die in den Viel-Teilchen-Systemen ablaufenden Wechselwirkungsprozesse werden durch Erzeugung und Vernichtung gewisser Teilchen ausgedrückt. Sind die Teilchen eines N-Teilchen-Systems durch irgendeine physikalische Eigenschaft unterscheidbar, so ergibt sich die Beschreibung unmittelbar aus den allgemeinen Postulaten der Quantenmechanik. Bei nichtunterscheidbaren Teilchen tritt ein Prinzip in Kraft, das spezielle Symmetrieforderungen an die Hilbert-Raum-Vektoren der N-Teilchen-Systeme stellt. Wenn die Teilchen unterscheidbar sind, dann sind sie in irgendeiner Form numerierbar: H1(i) : Hilbert-Raum des i-ten Teilchens.

(i) Observabler in H1(i) , dann bilden Sei ϕ ein vollständiger Satz kommutierender (i) die (gemeinsamen) Eigenzustände ϕα eine Basis des H1(i) , die wir als orthonormiert annehmen können: (i) (i) ϕα ϕβ = δαβ (oder δ(α − β)) . HN : Hilbert-Raum des N-Teilchen-Systems HN = H1(1) ⊗ H1(2) ⊗ · · · ⊗ H1(N) . W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

4


Als Basis des HN verwenden wir die direkten Produkte der entsprechenden EinTeilchen-Basiszustände: (1) (2) ϕN = ϕ ϕ · · · ϕ(N) = α1 α2 αN = ϕα(1)1 ϕα(2)2 · · · ϕα(N) . (1.1) N Ein allgemeiner N-Teilchen-Zustand | ψN lässt sich dann nach den ϕN entwickeln:

ψN = . (1.2) C α1 , . . . , αN ϕα(1)1 ϕα(2)2 · · · ϕα(N) N α1 , ... , αN

Die statistische Interpretation eines solchen ist identisch mit N-Teilchen-Zustandes der für die Ein-Teilchen-Zustände. So ist C(α1 , . . ., αN ) 2 die Wahrscheinlichkeit, ϕ am Zustand ψN den Eigenwert zu mit der eine Messung der Observablen (1) ϕα · · · ϕα(N) liefert. – Die Dynamik des N-Teilchen-Systems resultiert aus einer 1 N formal unveränderten Schrödinger-Gleichung: ψN . ˙N =H (1.3) i¯ h ψ ist der Hamilton-Operator des N-Teilchen-Systems. H Die Behandlung der Viel-Teilchen-Systeme bringt in der Quantenmechanik bei unterscheidbaren Teilchen genau dieselben Schwierigkeiten mit sich wie in der Klassischen Physik, ganz einfach aufgrund der größeren Komplexität gegenüber dem Ein-Teilchen-Problem. Es gibt jedoch keine zusätzlichen, typisch quantenmechanischen Komplikationen. Das wird anders, wenn wir zu Systemen nichtunterscheidbarer Teilchen übergehen.

1.1

1.1 Identische Teilchen

1.1.1

Definition 1.1.1: Identische Teilchen Teilchen, die sich unter gleichen physikalischen Bedingungen vollkommen gleich verhalten und damit durch keine objektive Messung voneinander unterschieden werden können.

In der Klassischen Mechanik ist bei bekannten Anfangsbedingungen der Zustand eines Teilchens für alle Zeiten durch die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen festgelegt. Das Teilchen ist stets identifizierbar, da seine Bahn berechenbar ist. In diesem Sinn sind in der Klassischen Mechanik auch identische Teilchen (gleiche Masse, Ladung, Raumerfüllung u. a. m.) unterscheidbar. Im Gültigkeitsbereich der Quantenmechanik gilt dagegen das fundamentale Prinzip der Ununterscheidbarkeit.

1.1

Identische Teilchen

5

Dies besagt, dass miteinander wechselwirkende, identische Teilchen prinzipiell nichtunterscheidbar sind. Die Ursache liegt darin, dass als Folge der Unschärferelation keine scharfen Teilchenbahnen existieren. Das Teilchen wird vielmehr als zerfließendes Wellenpaket aufzufassen sein. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der miteinander wechselwirkenden, identischen Teilchen überlappen, was eine Identifikation unmöglich macht. Jede Fragestellung, deren Beantwortung die Beobachtung eines Einzelteilchens erfordert, ist für Systeme identischer Teilchen physikalisch sinnlos! Ein Problem besteht nun darin, dass aus rechentechnischen Gründen eine Teilchen-Nummerierung unvermeidbar ist. Diese muss aber so gehalten sein, dass physikalisch relevante Aussagen gegenüber Änderungen der Markierung invariant sind. Physikalisch relevant sind ausschließlich die messbaren Größen eines physikalischen Systems. Das sind nicht die nackten Operatoren oder Zustände, sondern vielmehr Erwartungswerte von Observablen oder Skalarprodukte von Zuständen. Diese dürfen sich nicht ändern, wenn man in den N-Teilchen-Zuständen die Nummerierung zweier Teilchen miteinander vertauscht. Ansonsten gäbe es ja eine Messung, durch die man die beiden Teilchen unterscheiden könnte. Man kann deshalb die folgende Beziehung als Definitionsgleichung für Systeme identischer Teilchen auffassen:

(j) A ϕα(1)1 · · · ϕα(i)i · · · ϕαj · · · ϕα(N) ϕα(1)1 · · · ϕα(i)i · · · ϕα(j)j · · · ϕα(N) = N N !

(1) ! (j) (j) . A ϕα1 · · · ϕαi · · · ϕα(i)j · · · ϕα(N) = ϕα(1)1 · · · ϕαi · · · ϕα(i)j · · · ϕα(N) N N

(1.4)

Das soll für eine beliebige Observable A und beliebige N-Teilchen-Zustände gelten. Aus (1.4) folgen eine Reihe von charakteristischen Eigenschaften sowohl für die Operatoren als auch für die Zustände. Gleichung (1.4) gilt natürlich für alle Paare (i, j) und natürlich auch nicht nur für die Vertauschung von zwei Teilchen, sondern für beliebige Permutationen der Teilchenindizes. Jede Permutation lässt sich aber als Produkt von Transpositionen der Art (1.4) schreiben. Definition 1.1.2:

Permutationsoperator P (i ) (i ) P ϕα(1)1 ϕα(2)2 · · · ϕα(N) = ϕα11 ϕα22 · · · ϕα(iNN ) . N

1.1.2

(1.5)

P soll hier auf die Teilchenindizes wirken, natürlich können auch Zustandsindizes αi

in Frage kommen. i1 , i2 , · · · , iN ist das permutierte N-Tupel (1, 2, . . . , N).

Definition 1.1.3:

Transpositionsoperator Pij (j) (j) Pij · · · ϕα(i)i · · · ϕαj · · · = · · · ϕαi · · · ϕα(i)j · · · .

1.1.3

(1.6)

6


Wir wollen einige Eigenschaften des Transpositionsoperators diskutieren. Zweimalige Anwendung von Pij auf einen N-Teilchen-Zustand führt offensichtlich auf den Ausgangszustand zurück. Dies bedeutet: Pij2 = 1 ⇐⇒ Pij = Pij−1 .

(1.7)

Gleichung (1.4) lässt sich nun wie folgt schreiben:

A ϕN = Pij ϕN A Pij ϕN = ϕN Pij+ ϕN APij ϕN . !

Dies gilt für beliebige N-Teilchen-Zustände des HN ; im Übrigen auch für beliebige A ψN , da diese durch die Zerlegung Matrixelemente der Form ϕN 1 A ϕN + ψN − ϕN − ψN A ϕN − ψN + ϕN A ψN = ϕN + ψN 4 A ϕN − iψN − i ϕN + iψN A ϕN + iψN + i ϕN − iψN auf Ausdrücke der obigen Gestalt gebracht werden können. Es ergibt sich damit die Operatoridentität: A = Pij+ APij

∀(i, j) .

(1.8)

Eine notwendige, fast triviale Voraussetzung für die Observablen eines Systems identischer Teilchen ist deshalb, dass sie explizit von den Koordinaten aller N Teilchen abhängen. Setzt man in (1.8) speziell A = 1, so folgt: 1 = Pij+ Pij ⇒ Pij = Pij+ Pij2 = Pij+ . Der Transpositionsoperator Pij ist also hermitesch und unitär im HN identischer Teilchen: Pij = Pij+ = Pij−1 .

(1.9)

Aus (1.8) folgt weiter: Pij APij . A = Pij Pij+ APij = Alle Observablen des N-Teilchen-Systems vertauschen mit Pij :

Pij , A − = Pij A − APij ≡ 0 .

(1.10)

des Systems: Dies gilt speziell für den Hamilton-Operator H

=0. Pij , H −

(1.11)

1.1

Identische Teilchen

7

Nach dem Prinzip Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen darf sich der N-Teil der Pij nur um einen unwesentlichen Phasenchen-Zustand ϕN nach Anwendung von faktor ändern, insbesondere muss ϕN Eigenzustand zu Pij sein: ! (j) (j) Pij · · · ϕα(i)i · · · ϕαj · · · = · · · ϕαi · · · ϕα(i)j · · · = ! (j) = λ · · · ϕα(i)i · · · ϕαj · · · .

(1.12)

Wegen (1.7) kommen nur die reellen Eigenwerte

λ = ±1

(1.13)

in Frage, die insbesondere von dem speziellen Paar (i, j) unabhängig sind. Dies bedeutet: Zustände eines Systems identischer Teilchen sind gegenüber Vertauschung eines Teilchenpaares entweder symmetrisch oder antisymmetrisch! HN(+) : Hilbert-Raum der symmetrischen Zustände ψ(+) N : (+) Pij ψ(+) = ψN N

∀(i, j) .

(1.14)

HN(−) : Hilbert-Raum der antisymmetrischen Zustände ψ(−) N : Pij ψ(−) = − ψ(−) N N

∀(i, j) .

Für den Zeitentwicklungsoperator

i U(t, t0 ) = exp − H t − t0 , h¯

H =/ H(t)

(1.15)

(1.16)

gilt wegen (1.11):

[Pij , U ]− = 0 .

(1.17)

Die Zustände eines Systems aus N identischen Teilchen behalten also für alle Zeiten ihren Symmetriecharakter bei. Wie konstruiert man solche (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zustände? Als Ausgangspunkt kann ein nicht symmetrisierter N-Teilchen-Zustand vom Typ (1.1) dienen. Auf diesen wendet man den folgenden Symmetrisierungsoperator an: εp P , (1.18) Sε = P

ε = ±; p = Zahl der Transpositionen, die P aufbauen. Summiert wird über alle für das N-Tupel (1, 2, . . . , N) denkbaren Permutationsoperatoren P . Multipliziert man

8


ein P aus der Summe mit einer Transposition Pij , so ergibt sich natürlich eine andere, ebenfalls in der Summe vorkommende Permutation P mit p = p ± 1. Die folgende Umformung ist deshalb einsichtig: εp Pij P = εp P = ε εp P . Sε = Pij P

P

P

Dies bedeutet: Pij Sε = ε Sε .

(1.19)

(ε) (N) ψ (1) (2) N = Sε ψα1 ψα2 · · · ψαN

(1.20)

Die Vorschrift

führt also auf einen symmetrisierten (ε=+) bzw. antisymmetrisierten (ε=−) N-Teilchen-Zustand, für den (1.14) bzw.(1.15) gültig ist. Für eine allgemeine Permutation P gilt dann offenbar: (ε) (ε) = εp ψN . Sε ⇐⇒ P ψN P Sε = εp

(1.21)

Wir haben bisher gezeigt, dass die N-Teilchen-Zustände identischer Teilchen nur sein können und ihren jeweiligen Symmetriecharakter für alle vom Typ ψ(±) N Zeiten beibehalten. Dies lässt sich noch etwas genauer formulieren: Die Zustände eines Systems aus N identischen Teilchen gehören sämtlich zum HN(+) oder sämtlich zum HN(−) . (ε ) (ε) und ψN zwei mögliche Dies kann man wie folgt plausibel machen: Wenn ϕN Zustände des N-Teilchen-Systems sind, dann sollte sich das System durch eine geeignete Maßnahme, d. h. durch Anwenden eines bestimmten Operators xˆ (oder eines Satzes von Operatoren), von dem einen in den jeweils anderen Zustand transformieren lassen. Formal heißt dies, dass das Skalarprodukt (ε) (ε ) ϕN xˆ ψN =/ 0 ist. Dann folgt weiter:

ε ϕN(ε) xˆ ψN(ε ) = Pij ϕN(ε) xˆ ψN(ε ) = ϕN(ε) Pij+ xˆ ψN(ε ) =

(ε) Pij xˆ ψ(ε ) = ϕ(ε) xˆ Pij ψ(ε ) = = ϕN N N N (ε) (ε ) xˆ ψ . = ε ϕN N Also gilt die Behauptung ε = ε .

1.2

„Kontinuierliche“ Fock-Darstellung

9

Welcher Raum, HN(+) oder HN(−) , für welchen Teilchentyp in Frage kommt, wird in der relativistischen Quantenfeldtheorie beantwortet. Wir übernehmen hier ohne Beweis den Spin-Statistik-Zusammenhang. HN(+) : Raum der symmetrischen Zustände von N identischen Teilchen mit ganzzahligem Spin. Die Teilchen heißen Bosonen. Beispiele π-Mesonen (S = 0), Photonen (S = 1), Phononen (S = 0), Magnonen (S = 1), α-Teilchen, 4 He, . . .

HN(−) : Raum der antisymmetrischen Zustände von N identischen Teilchen mit halbzahligem Spin. Die Teilchen heißen Fermionen. Beispiele Elektronen, Positronen, Protonen, Neutronen, 3 He, . . .

1.2

1.2 „Kontinuierliche“ Fock-Darstellung Wir wollen in diesem Abschnitt die für die zweite Quantisierung typischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren einführen. Dazu sind noch ein paar Vorbemerkungen notwendig. Die erste Aufgabe besteht darin, mithilfe passender Ein-Teilchen-Zustände ϕα

eine Basis des HN(ε) zu konstruieren. Dabei haben wir zu unterscheiden, ob die zugehörige Ein-Teilchen-Observable ϕˆ ein diskretes oder ein kontinuierliches Spektrum besitzt. Wir diskutieren in diesem Abschnitt zunächst den Fall des kontinuierlichen Ein-Teilchen-Spektrums. Wir setzen also voraus: ϕ : Ein-Teilchen-Observable mit kontinuierlichem Spektrum ϕ ϕα = ϕα ϕα ,

(1.22)

ϕα ϕβ = δ ϕα − ϕβ ≡ δ(α − β) .

Die Eigenzustände sollen eine Basis des H1 bilden: dϕα ϕα ϕα = 1 in H1 .

(1.23)

(1.24)

10


Ein nicht symmetrisierter N-Teilchen-Zustand ergibt sich wie in (1.1) einfach als Produktzustand: ϕα · · · ϕα = ϕ(1) ϕ(2) · · · ϕ(N) . (1.25) 1 N α1 α2 αN Der obere Index bezieht sich auf das Teilchen, die αi ’s sind vollständige Sätze von Quantenzahlen. Das N-Tupel der Zustandsindizes αi sei nach irgendwelchen Gesichtspunkten beliebig, aber fest angeordnet. Das Zustandssymbol auf der linken Seite von (1.25) enthalte eben diese Standardanordnung. Durch Anwendung des Operators Sε aus (1.18) machen wir aus (1.25) einen (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zustand ϕα · · · ϕα (ε) = 1 εp P ϕα1 · · · ϕαN . 1 N N!

(1.26)

P

Dabei haben wir noch einen passenden Normierungsfaktor 1 | N! eingeführt. Wenn keine Missdeutungen möglich sind, werden wir den Zustand (1.26) auch einfach (ε) symbolisieren. durch ϕN Man macht sich leicht klar, dass im Raum HN(ε) jeder Permutationsoperator P ein hermitescher Operator ist: (ε) + (ε) (ε) (ε) ∗ (ε) (ε) ∗ ψN P ϕN = ϕN P ψN = εp ϕN ψN = (ε) (ε) (ε) (ε) ϕ = εp ψN N = ψN P ϕN . Daraus folgt: P = P+

in HN(ε) .

(1.27)

Damit können wir für die Zustände (1.26) eine nützliche Beziehung ableiten. Sei A eine beliebige Observable. Dann gilt: (ε) (ε) (ε) 1 p = A ϕN = ψN ε ψα1 · · · ψαN P + A ϕN N! P

=

(ε) 1 p = AP ϕN ε ψα1 · · · ψαN N! P

(ε) 1 2p = A ϕN . ε ψα1 · · · ψαN N! P

A. Da P als Produkt von TransWegen (1.10) vertauscht jede Transposition Pij mit positionen dargestellt werden kann, kommutiert auch P mit jeder erlaubten Observablen A. Dies haben wir zusammen mit (1.27) im zweiten Schritt ausgenutzt. Da ε2p = +1 ist und die Summe gerade N! Terme enthält, bleibt: (ε) (ε) (ε) (1.28) A ϕN = ψα1 · · · ψαN A ϕN . ψN

1.2


11

Auf der rechten Seite ist der bra-Vektor also nicht symmetrisiert. Diese Beziehung gilt insbesondere dann, wenn A die Identität ist: (ε) ϕβ1 · · · ϕβN ϕα1 · · · ϕαN (ε) = = ϕβ1 · · · ϕβN ϕα1 · · · ϕαN (ε) = =

1 pα ε Pα ϕβ1 · · · ϕβN ϕα1 · · · ϕαN . N! Pα

Der Index α soll andeuten, dass Pα nur auf die Größen ϕα wirkt. Damit gilt für das Skalarprodukt zweier (anti-)symmetrisierter N-Teilchen-Zustände (ε) ϕβ1 · · · ϕβN ϕα1 · · · ϕαN (ε) = =

(N) 1 pα (1) (1) ϕ = ε Pα ϕβ1 ϕα1 · · · ϕβ(N) αN N N! Pα

1 pα ε Pα δ β1 − α1 · · · δ βN − αN . = N!

(1.29)

Pα

Dies ist die logische Verallgemeinerung der Orthonormierungsbedingung (1.23) für die Ein-Teilchen-Zustände auf die (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zustände. Mit (1.29) findet man dann: · · · dβ1 · · · dβN ϕβ1 · · · ϕβN (ε) (ε) ϕβ1 · · · ϕβN ϕα1 · · · ϕαN (ε) = =

1 2pα 1 pα ε Pα ϕα1 · · · ϕαN (ε) = ε ϕα1 · · · ϕαN (ε) = N! N! Pα

Pα

= ϕα1 · · · ϕαN (ε) .

(1.30)

Jeder beliebige N-Teilchen-Zustand ψN (ε) stellt eine Summe aus Produkten von jeweils N Ein-Teilchen-Zuständen | ψ dar. Da nach Voraussetzung die ϕα im H1 eine vollständige Basis bilden, lässt | ψ als Linearkombination der ϕα schrei sich ben. Dann ist klar, dass sich ψN (ε) stets nach den ϕα1 · · · (ε) wird entwickeln lassen können: (ε) ψN = Sε ψ(1) · · · ψ(N) = = Cα1 Cα2 · · · CαN Sε ϕα1 · · · ϕαN = α1

=

α1 ··· αN

α2

αN

C α1 · · · αN ϕα1 · · · ϕαN (ε) .

(1.31)

12


Damit folgt aus (1.30) die Vollständigkeitsrelation · · · dβ1 · · · dβN ϕβ1 · · · ϕβN (ε) (ε) ϕβ1 · · · ϕβN = 1

(1.32)

in HN(ε) . Die in (1.26) definierten Zustände ϕα1 · · · ϕαN (ε) bilden also eine vollständige, orthonormierte Basis des HN(ε) . Die vorstehenden Betrachtungen machen deutlich, wie mühselig das Arbeiten mit (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zuständen sein kann. Wir wollen diese deshalb nun mithilfe eines speziellen Operators sämtlich aus dem so genannten Vakuumzustand |0 ;

0 | 0 = 1

(1.33)

aufbauen. Die Eigenart dieses Operators, a+ϕα ≡ a+α , besteht darin, Viel-Teilchen-Hilbert-Räume, die zu verschiedenen Teilchenzahlen gehören, miteinander zu verknüpfen: a+α : HN(ε)

⇒

HN(ε)+ 1 .

(1.34)

Er ist vollständig definiert durch seine Wirkungsweise: √ a+α1 |0 = 1 ϕα1 (ε) , √ a+α2 ϕα1 (ε) = 2 ϕα2 ϕα1 (ε) ... Allgemein gilt: √ a+β ϕα1 · · · ϕαN (ε) = N + 1 ϕβ ϕα1 · · · ϕαN (ε) . (ε)

∈HN

(1.35)

(ε)

∈HN + 1

Man nennt a+β einen Erzeugungsoperator.

Er erzeugt anschaulich ein zusätzliches Teilchen im Ein-Teilchen-Zustand ϕβ . – Die Umkehrung von (1.35) lautet: ϕα · · · ϕα (ε) = √1 a+ a+ · · · a+ |0 . 1 N α α αN N! 1 2

(1.36)

1.2


13

Dabei ist streng auf die Reihenfolge der Operatoren zu achten. So gilt z. B.: a+α1 a+α2 ϕα3 · · · ϕαN (ε) = N (N − 1) ϕα1 ϕα2 ϕα3 · · · ϕαN (ε) ,

a+α2 a+α1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) = N (N − 1) ϕα2 ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) =

= ε N (N − 1) ϕα1 ϕα2 ϕα3 · · · ϕαN (ε) .

Da es sich um Basiszustände handelt, lesen wir hieran die folgende Operatoridentität ab:

+ + aα1 , aα2 −ε ≡ a+α1 a+α2 − εa+α2 a+α1 = 0 .

(1.37)

Die Erzeugungsoperatoren kommutieren für Bosonen (ε = +) und antikommutieren für Fermionen (ε = −). Wir diskutieren nun den zu a+α adjungierten Operator + aα = a+α ,

(1.38)

der die Hilbert-Räume HN(ε) und HN(ε)− 1 miteinander verknüpft: aα : HN(ε)

HN(ε)− 1 .

⇒

(1.39)

Die Bezeichnung Vernichtungsoperator wird durch die folgenden Überlegungen verständlich. Da aα zu a+α adjungiert ist, gilt zunächst einmal nach (1.35) bzw. (1.36): (ε)

√

ϕα1 · · · ϕαN aβ = N + 1

(ε)

1

ϕα1 · · · ϕαN = √

N!

(ε)

ϕβ ϕα1 · · · ϕαN

0| aαN · · · aα2 aα1 .

(1.40) (1.41)

Die Bedeutung des Operators aα ergibt sich durch die Berechnung des folgenden Matrixelements: (ε)

ϕβ2 · · · ϕβN aγ ϕα1 · · · ϕαN

(ε)

∈HN − 1

∈HN(ε)

(ε)

=

√ (ε) N ϕγ ϕβ2 · · · ϕβN ϕα1 · · · ϕαN (ε) = √

N pα ε Pα δ γ − α1 δ β2 − α2 δ β3 − α3 · · · δ βN − αN . = N!

=

Pα

14


Im letzten Schritt haben wir (1.29) ausgenutzt. Wir sortieren die Summe noch etwas um: (ε)


(ε)

=

p

1 1 δ γ − α1 ε α Pα δ β2 − α2 · · · δ βN − αN + =√ N (N − 1)! P

p

+ εδ γ − α2 ε α Pα δ β2 − α1 δ β3 − α3 · · · δ βN − αN + Pα

+ ···+ +ε

N −1

δ γ −αN

ε Pα δ β2 −α1 δ β3 −α2 · · · δ βN −αN − 1 pα

.

Pα

Die Summen auf der rechten Seite stellen wiederum Skalarprodukte dar, nun aber im HN(ε)− 1 : (ε)


(ε)

=

1 δ γ − α1 (ε) ϕβ2 · · · ϕβN ϕα2 · · · ϕαN (ε) + =√ N

+ εδ γ − α2 (ε) ϕβ2 · · · ϕβN ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) + + ···+ +ε

N −1

δ γ − αN

(ε)

(ε) . ϕβ2 · · · ϕβN ϕα1 · · · ϕαN − 1

Da der bra-Vektor ein beliebiger Basisvektor des HN(ε)− 1 ist, besagt diese Beziehung:

1 aγ ϕα1 · · · ϕαN (ε) = √ δ γ − α1 ϕα2 · · · ϕαN (ε) + N

+ εδ γ − α2 ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) + + ···+

+ εN − 1 δ γ − αN ϕα1 · · · ϕαN − 1 (ε)

(1.42)

ϕγ unter den Zuständen ϕα bis ϕα , die Wenn der Ein-Teilchen-Zustand 1 N (ε) den N-Teilchen-Zustand ϕα1 · · · ϕαN erscheint, dann resultiert ein aufbauen, ϕγ nicht mehr vorkommt. Man sagt, aγ (N − 1)-Teilchen-Zustand, in dem gerade vernichtet ein Teilchen im Zustand ϕγ . Kommt ϕγ in dem symmetrisierten

1.2


15

Ausgangszustand nicht vor, so bringt die Anwendung von aγ den Ausgangszustand zum Verschwinden. Insbesondere gilt der wichtige Spezialfall: aγ |0 = 0 .

(1.43)

Die Vertauschungsrelation für die Vernichtungsoperatoren folgt unmittelbar aus (1.37):

+ [aα1 , aα2 ]−ε = −ε [a+α1 , a+α2 ]−ε . Vernichtungsoperatoren kommutieren (ε = +; Bosonen) bzw. antikommutieren (ε = −; Fermionen):

[aα1 , aα2 ]−ε ≡ 0 .

(1.44)

Es bleibt noch eine dritte Vertauschungsrelation, nämlich die zwischen Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren:

(1.45) [aα1 , a+α2 ]−ε = δ α1 − α2 . (ε) Beweis ϕα1 · · · ϕαN (ε) sei ein beliebiger Basiszustand des HN . √ aβ a+γ ϕα1 · · · ϕαN (ε) = N + 1 aβ ϕγ ϕα1 · · · ϕαN (ε) =

= δ β − γ ϕα1 · · · ϕαN (ε) +

+ εδ β − α1 ϕγ ϕα2 · · · ϕαN (ε) + + ···+

+ εN δ β − αN ϕγ ϕα1 · · · ϕαN − 1 (ε) ,

a+γ aβ ϕα1 · · · ϕαN (ε) = δ β − α1 ϕγ ϕα2 · · · ϕαN (ε) +

+ εδ β − α2 ϕγ ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) + + ···+

+ εN − 1 δ β − αN ϕγ ϕα1 · · · ϕαN − 1 (ε) . Wenn wir diese beiden Gleichungen zusammenfassen, dann folgt:

aβ a+γ − εa+γ aβ ϕα1 · · · ϕαN (ε) = δ β − γ ϕα1 · · · ϕαN (ε) . Dies beweist (1.45). Wir haben mit (1.36) und (1.41) alle N-Teilchen-Zustände auf den Vakuumzustand |0 zurückführen können, und zwar mithilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Die Wirkung des Vernichters auf |0 ist trivial (1.43). Mithilfe der Vertauschungsrelationen (1.37), (1.44) und (1.45) können wir die Anordnung der Operatoren in gewünschter Weise verändern.

16


Sinnvoll wird die Einführung der Konstruktionsoperatoren aber erst, wenn es uns gelingt, auch die N-Teilchen-Observablen in demselben Formalismus darzustellen. Zunächst gilt mit der Vollständigkeitsrelation (1.32) für eine beliebige Observab le A: A = 1 · A·1= = · · · dα1 · · · dαN dβ1 · · · dβN ϕα1 · · · (ε) · · (ε) ϕα1 · · · A ϕβ1 · · · (ε) (ε) ϕβ1 · · · . Wir setzen nun (1.36) und (1.41) ein: 1 · · · dα1 · · · dαN dβ1 · · · dβN a+α1 · · · a+αN |0 · A= N! A ϕβ1 · · · (ε) 0| aβN · · · aβ1 . · (ε) ϕα1 · · ·

(1.46)

(1.47)

In der Regel wird A aus Ein-Teilchen- und Zwei-Teilchen-Anteilen bestehen: A=

n

A1(i) +

i=1

i =/ j

1 (i, j) A2 . 2

(1.48)

i, j

Wir diskutieren zunächst den Ein-Teilchen-Anteil, für den in (1.47) das folgende Matrixelement benötigt wird: (ε)

n

ϕα1 · · ·

A1(i) ϕβ1 · · · (ε) =

i=1

=

(N) 1 pβ (1) (1) (1) (2) (2) ϕ A1 ϕβ1 ϕα2 ϕβ2 · · · ϕα(N) ε Pβ ϕα1 βN + N N! Pβ

+ ···+ (N) (N) + ϕα(1)1 ϕβ(1) · · · ϕα(N) . A1 ϕβN N 1

(1.49)

Hier haben wir bereits (1.28) ausgenutzt. Man macht sich nun leicht klar, dass jeder Term der Summe über die Permutationen nach Einsetzenvon (1.49) in (1.47) exakt denselben Beitrag liefert. Jede permutierte Anordnung der ϕβ(i)i kann nämlich durch 1. Umbenennung der Integrationsvariablen βi und 2. anschließende Vertauschung der entsprechenden Vernichtungsoperatoren auf die Standardanordnung zurückgeführt werden. Das Vertauschen in 2. liefert wegen (1.44) einen Faktor εpβ . Insgesamt ergibt das für jede Permutation einen Koeffizienten ε2pβ = +1. Ganz ähnlich zeigt man, dass auch jeder Summand in der eckigen Klammer in (1.49) zu (1.47) denselben Beitrag liefert. Dies gelingt durch

1.2


17

1.

Vertauschung von entsprechenden Integrationsvariablen

αj ⇐⇒ αi , βj ⇐⇒ βi und 2. anschließende Umgruppierung von gleich vielen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. n Teil 2. liefert dabei in jedem Fall einen Faktor ε2 j = +1. – Damit erhalten wir das nun schon wesentlich vereinfachte Zwischenergebnis: n

A1(i) =

i=1

N · · · dα1 · · · dβN a+α1 · · · a+αN |0 · = N! (1) (1)

A1 ϕβ1 δ α2 − β2 · · · δ αN − βN · · ϕα(1)1 · 0| aβN · · · aβ1 = (1) (1) + A1 ϕβ1 aα1 · = dα1 dβ1 ϕα(1)1 ·

1 (N − 1)!

···

dα2 · · · dαN a+α2 · · · a+αN |0 0| aαN · · · aα2 aβ1 .

(1.50)

In der geschweiften Klammer steht, wie man an (1.32) abliest, die Identität 1 des HN(ε)− 1 . Es bleibt dann als Resultat: n + A1 ϕβ aα aβ . dα dβ ϕα (1.51) A1(i) ≡ i=1

Auf der rechten Seite erscheint nicht mehr explizit die Teilchenzahl N. Sie steckt natürlich implizit in der Identität, die nach (1.50) eigentlich zwischen a+α und aβ hinzugedacht werden muss. Völlig analog behandeln wir nun den Zwei-Teilchen-Anteil der Observablen A: i =/ j

1 (i, j) A2 = 2 i, j 1 · · · dα1 · · · dβN a+α1 · · · a+αN |0 · = 2N! (1, 2) (1) (2) 1 pβ ϕ A2 ε Pβ ϕα(1)1 ϕα(2)2 · β1 ϕβ2 · N! Pβ

(N) (N) · ϕα(3)3 ϕβ(3) · · · ϕαN ϕβN + 3 (1, 3) (1) (3) (2) (2) ϕ A2 + ϕα(1)1 ϕα(3)3 β1 ϕβ3 ϕα2 ϕβ2 · (N) (N) ϕ · · · + · · ·

0| aβN · · · aβ1 . · ϕα(4)4 ϕβ(4) ϕ αN βN 4

(1.52)

18


Exakt dieselbe Argumentation wie oben für den Ein-Teilchen-Anteil kann hier benutzt werden, um zu zeigen, dass alle N! Permutationen Pβ in gleicher Weise zum Vielfachintegral beitragen, und ferner, dass alle N(N − 1) Summanden in der eckigen Klammer gleichwertig sind. Dies bedeutet: i =/ j

1 (i, j) 1 A2 = 2 2

···

(1, 2) ϕβ ϕβ · dα1 dα2 dβ1 dβ2 ϕα1 ϕα2 A2 1 2

i, j

+

+

· aα1 aα2

1 (N − 2)!

···

dα3 · · · dαN ·

· aα3 · · · aαN |0 0| aαN · · · aα3 aβ2 aβ1 . +

+

(1.53)

In der geschweiften Klammer steht nun die Identität 1 des HN(ε)− 2 . Es bleibt damit: i =/ j

1 (i, j) 1 A2 = 2 2

···

dα dβ dγ dδ ϕα ϕβ A2 ϕγ ϕδ a+α a+β aδ aγ .

(1.54)

i, j

Das Matrixelement kann mit nicht symmetrisierten Zuständen gebildet werden, (1, 2) (1) (2) ϕ ϕ A2 ϕγ ϕδ = ϕα(1) ϕβ(2) A2 ϕα ϕβ γ δ , aber auch mit symmetrisierten Zwei-Teilchen-Zuständen: ϕγ ϕδ (ε) = 1 ϕ(1) ϕ(2) + ε ϕ(2) ϕ(1) . γ δ γ δ 2! Man macht sich wiederum leicht klar, dass in 1 (1) (2) (1, 2) (1) (2) (ε) A2 ϕγ ϕδ (ε) = A2 ϕα ϕβ ϕα ϕβ ϕγ ϕδ + 4 (1, 2) (2) (1) ϕ ϕ + ε ϕα(1) ϕβ(2) A2 γ δ + (1, 2) (1) (2) ϕ ϕ A2 + ε ϕα(2) ϕβ(1) γ δ + (1, 2) (2) (1) ϕ ϕ A + ε2 ϕ(2) ϕ(1) α

β

2

γ

δ

jeder Summand denselben Beitrag zum Integral in (1.54) beisteuert, sodass der Normierungsfaktor dafür sorgt, dass das symmetrisierte Matrixelement in (1.54) mit dem nicht symmetrisierten gleichbedeutend ist. Man kann die Wahl also nach Zweckmäßigkeit treffen. Fassen wir kurz zusammen, was wir bisher erreicht haben. Durch (1.36) und (1.41) haben wir das mühselige Konstruieren von (anti-)symmetrisierten Produkten aus Ein-Teilchen-Wellenfunktionen für die N-Teilchen-Wellenfunktionen ersetzen können durch Anwendung von Produkten aus Erzeugungsoperatoren auf den Vakuumzustand |0 . Die Anwendung ist einfach. Das Symmetrieverhalten der Wellenfunktionen wird durch die drei fundamentalen Vertauschungsrelationen (1.37), (1.44)

1.2


19

und (1.45) reproduziert. Auch die N-Teilchen-Observablen lassen sich durch die Konstruktionspoperatoren ausdrücken, (1.51) und (1.54), wobei die verbleibenden Matrixelemente einfach berechenbar sind. Wir werden dazu in Kap. 2 einige Anwendungsbeispiele diskutieren. Wir führen noch zwei wichtige, spezielle Operatoren ein: Besetzungsdichteoperator nˆ α = a+α aα .

(1.55)

Die Wirkungsweise dieses Operators ergibt sich aus (1.35) und (1.42):

nˆ α ϕα1 · · · ϕαN (ε) = δ α − α1 ϕα ϕα2 · · · ϕαN (ε) +

+ εδ α − α2 ϕα ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) + + ···+

+ ε N − 1 δ α − αN ϕα ϕα1 · · · ϕαN − 1 (ε) =

= δ α − α1 ϕα ϕα2 · · · ϕαN (ε) +

+ εδ α − α2 ε ϕα ϕα ϕα · · · ϕα (ε) + 1

3

N

+ ···+

+ ε N − 1 δ α − αN ε N − 1 ϕα1 · · · ϕαN − 1 ϕα (ε) . Die Basiszustände des HN(ε) sind also offensichtlich Eigenzustände des Besetzungsdichteoperators: n

nˆ α ϕα1 · · · ϕαN (ε) = δ α − αi ϕα1 · · · ϕαN (ε) . (1.56) i=1

In der geschweiften Klammer steht die mikroskopische Besetzungsdichte. Teilchenzahloperator = N

dα nˆ α =

dα a+α aα .

(1.57)

Aus (1.56) folgt unmittelbar, dass die Basiszustände des HN(ε) auch Eigenzustände sind, wobei in jedem Fall der Eigenwert die Gesamtteilchenzahl N ist. zu N N (ε)

= dα δ α − αi ϕα1 · · · ϕαN (ε) = N ϕα1 · · · ϕαN i=1

= N ϕα1 · · · ϕαN (ε) .

(1.58)

20


Mithilfe der fundamentalen Vertauschungsrelationen für die Konstruktionsoperatoren berechnen wir den folgenden Kommutator: nˆ α , a+β = nˆ α a+β − a+β nˆ α = −

= a+α aα a+β − a+β nˆ α =

= a+α δ(α − β) + εa+β aα − a+β nˆ α = = a+α δ(α − β) + ε2 a+β a+α aα − a+β nˆ α . Die beiden letzten Terme heben sich gerade auf: nˆ α , a+β = a+α δ(α − β) . −

(1.59)

Ganz analog zeigt man:

nˆ α , aβ − = −aα δ(α − β) .

(1.60)

Mit (1.57) ergeben sich dann unmittelbar die analogen Beziehungen für den Teilchenzahloperator:

, a+α = a+α ; N −

, aα = −aα . N −

(1.61)

Dies kann man auch wie folgt schreiben:

+1 ; a+α = a+α N N

aα = aα N −1 . N

(1.62)

Wenden wir diese Operatorkombinationen auf einen Basiszustand an, a+α ϕα1 · · · ϕαN (ε) = (N + 1) a+α ϕα1 · · · ϕαN (ε) , N aα ϕα1 · · · ϕαN (ε) = (N − 1) aα ϕα1 · · · ϕαN (ε) , N so erkennen wir noch einmal, dass die Bezeichnungen Erzeuger für a+α und Vernichter für aα offensichtlich sinnvoll sind. ϕ, Wir haben in diesem Abschnitt vorausgesetzt, dass die Ein-Teilchen-Observable (ε) aus deren Eigenzustände wir die N-Teilchen-Basis des HN konstruiert haben, ein kontinuierliches Spektrum besitzt. Ein prominenter Vertreter dieser Klasse ist der Ortsoperator rˆ. Die zugehörigen Konstruktionsoperatoren nennt man

ψ(r), ψ+ (r). Feldoperatoren

1.3

„Diskrete“ Fock-Darstellung

21

Für diese gelten natürlich alle oben abgeleiteten Beziehungen, allerdings mit einer speziellen Notation: √ ψ+ (r) r1 · · · rN (ε) = N + 1 rr1 · · · rN (ε) , (1.63)

r 1 r 2 · · · r N (ε) = √1 ψ+ r1 · · · ψ+ rN |0 . N!

(1.64)

Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren folgen direkt aus (1.37), (1.44) und (1.45):

+

ψ (r), ψ+ r −ε = ψ(r), ψ r −ε = 0 ,

(1.65) ψ(r), ψ+ r −ε = δ r − r . Wichtig ist der Zusammenhang mit allgemeinen Konstruktionsoperatoren aα , a+α . Die Vollständigkeitsrelation liefert: ϕα = d3 r |r r ϕα = d3 r ϕα (r) |r . ψ+ (r) |0 : Also folgt wegen ϕα = a+α |0 und |r = d3 r ϕα (r) ψ+ (r) , a+α = aα =

d3 r ϕα∗ (r) ψ(r) .

(1.66) (1.67)

ψ(r), ψ+ (r) Operatoren sind, während ϕα (r) die skalare WelMan beachte, dass lenfunktion zum Zustand ϕα ist. Die Umkehrungen zu (1.66) und (1.67) folgen aus |r = dα ϕα ϕα r mit derselben Überlegung wie oben: ψ (r) =

+

ψ(r) =

dα ϕα∗ (r)a+α ,

(1.68)

dα ϕα (r)aα .

(1.69)

1.3 „Diskrete“ Fock-Darstellung Wir nehmen wiederum an, dass die Basis des Hilbert-Raumes HN(ε) eines Systems aus ϕ N identischen Teilchen aus den Eigenzuständen einer Ein-Teilchen-Observablen konstruiert wird, wobei nun aber ϕ ein diskretes Spektrum besitzen möge:

1.3

22


ϕ ϕα = ϕα ϕα ,

ϕα ϕβ = δαβ , ϕα ϕα = 1 in H1 .

(1.70) (1.71) (1.72)

α

Im Prinzip haben wir dieselben Überlegungen durchzuführen wie in Abschn. 1.2, können deshalb hier etwas rascher vorgehen. Ausgangspunkt ist ein nicht symmetrisierter N-Teilchen-Zustand von der Form (1.25): ϕα · · · ϕα = ϕ(1) · · · ϕ(N) . (1.73) 1 N α1 αN Die Zustandsindizes α1 , . . . αN seien auch hier in einer beliebigen, aber festen Standardanordnung vorgegeben. Auf diesen Zustand wenden wir den Operator Sε aus (1.18) an und erhalten damit einen (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zustand ϕα · · · ϕα (ε) = Cε εp P ϕα1 · · · ϕαN , 1 N

(1.74)

P

der sich formal von (1.26) nur durch die noch zu bestimmende Normierungskonstante Cε unterscheidet. Man erkennt, dass sich für Fermionen (ε = −) der antisymmetrisierte Zustand auch als Determinante schreiben lässt: ϕ(1) ϕ(2) · · · ϕ(N) α1 α1 α1 (1) (2) ϕα2 ϕα2 · · · ϕα(N) (−) 2 ϕα · · · ϕα (1.75) = C− . 1 N . . . .. .. .. .. (1) (2) (N) ϕ αN ϕαN · · · ϕαN Slater-Determinante. Sind in dem N-Teilchen-Zustand zwei Sätze von Quantenzahlen gleich (αi = αj ), dann bedeutet dies, dass zwei Zeilen der Determinante gleich wären. Dieselbe würde also verschwinden. Die Wahrscheinlichkeit, zwei Fermionen in demselben EinTeilchen-Zustand anzutreffen, ist also Null. Das ist die Aussage des Pauli-Prinzips, das natürlich nicht nur für den Fall des hier diskutierten diskreten Spektrums gilt. Selbstverständlich kann man auch (1.26) für ε = − als Slater-Determinante schreiben. Wir wollen im nächsten Schritt die Normierungskonstante Cε festlegen und führen dazu die Besetzungszahl ni

1.3


23

ein. Damit ist die Häufigkeit gemeint, mit der der Ein-Teilchen-Zustand ϕαi im (ε) N-Teilchen-Zustand ϕα1 · · · vorkommt, oder anschaulicher, die Zahl der iden tischen Teilchen im Zustand ϕα : i

ni = N,

i

(1.76)

Fermionen ,

ni = 0, 1

ni = 0, 1, 2, . . . Bosonen . Cε sei reell und so gewählt, dass der N-Teilchen-Zustand ϕα1 · · · ϕαN (ε) auf 1 normiert ist. Dann folgt: ! (ε) (ε) ϕN 1 = ϕN

=

Cε

εp ϕα1 · · · ϕαN P + ϕN(ε)

(P + = P )

=

P (P + = P )

=

Cε

ε2p ϕα1 · · · ϕN(ε) =

P

=

(ε) . N! Cε ϕα1 · · · ϕαN ϕN

Dies bedeutet: (N) (1)

−1 p (1) (2) P ϕ N! Cε2 . = ε ϕα1 ϕα2 · · · ϕα(N) α1 · · · ϕαN N

(1.77)

P

Bei Fermionen kommt jeder Zustand genau einmal vor, d. h., alle N Ein-TeilchenZustände sind paarweise verschieden. Die rechte Seite ist also nur dann ungleich Null, wenn P die Identität ist, und ist dann wegen ε0 = +1 und wegen (1.71) gleich 1. 1 C− = √ . N!

(1.78)

Bei Bosonen (ε = +) kommen alle die Permutationen in Frage, die lediglich die Teilchen in den jeweils ni gleichen Ein-Teilchen-Zuständen | ϕαi miteinander vertauschen. Es gibt offenbar n1 ! n2 ! · · · ni ! · · · solcher Permutationen, die jeweils einen Summanden vom Wert +1 zu (1.77) beisteuern. Dies bedeutet: −1 | 2 ni ! . (1.79) C+ = N! i

Formal gilt dieser Ausdruck wegen 0! = 1! = 1 auch für Fermionen.

24


Wir erkennen, dass sich ein (anti-)symmetrisierter N-Teilchen-Zustand eindeutig durch Angabe der Besetzungszahlen charakterisieren lässt. Dies führt zu einer alternativen Darstellung, die man die Besetzungszahldarstellung nennt:

N; n1 n2 · · · ni · · · nj · · · (ε) ≡ ϕα · · · ϕα (ε) = 1 N ··· . εp P ϕα(1)1 ϕα(2)1 · · · · · · ϕα(p)i ϕα(p+1) = Cε i P

(1.80)

ni

n1

Es werden in dem Zustandssymbol alle Besetzungszahlen angegeben; die unbesetzten Ein-Teilchen-Zustände sind dann durch ni = 0 gekennzeichnet. Zwei Zustände sind offenbar genau dann identisch, wenn sie in allen Besetzungszahlen übereinstimmen. Die Orthonormierung (ε) N; · · · ni · · · N; · · · n¯ i · · · (ε) = δNN δni n¯ i

(1.81)

i

folgt unmittelbar aus der der Ein-Teilchen-Zustände. Dies gilt in gleicher Weise für die Vollständigkeit n1

···

n2

· · · N; · · · ni · · · (ε) (ε) N; · · · ni · · · = 1

(1.82)

ni

der so genannten Fock-Zustände. Summiert wird über alle erlaubten Besetzungszahlen mit der Nebenbedingung i ni = N. Die nun zu diskutierenden Konstruktionsoperatoren sind bis auf Normierungsfaktoren wie in Abschn. 1.2 definiert: Erzeugungsoperator: a+αr ≡ a+r a+r N; · · · nr · · · (ε) = = a+r ϕα1 · · · ϕαN (ε) ≡ √ ≡ nr + 1 ϕαr ϕα1 ϕα1 · · · · · · ϕαr ϕαr · · · · · · (ε) = =ε

n1

nr

nr + 1 ϕα1 ϕα1 · · · · · · ϕαr ϕαr · · · · · · (ε)

Nr √

n1

nr +1

(1.83)

1.3


25

Dabei soll Nr =

r−1

ni

(1.84)

i=1

sein. Der Erzeugungsoperator wirkt also wie folgt: Bosonen: √ a+r N; · · · nr · · · (+) = nr + 1 N + 1; · · · nr + 1 · · · (+) , Fermionen: a+r N; · · · nr · · · (−) = (−1)Nr δnr , 0 N + 1; · · · nr + 1 · · · (−) .

(1.85)

Jeder N-Teilchen-Fock-Zustand kann durch wiederholtes Anwenden des Erzeugungsoperators aus dem Vakuumzustand erzeugt werden: N; n1 · · · ni · · · (ε) =

np = N (a+p )np N ε p |0 . n ! p p = 1 ···

(1.86)

Der Vernichtungsoperator: ar ≡ (a+r )+ ist wiederum als der zum Erzeuger adjungierte Operator definiert. Seine Wirkungsweise lässt sich an dem folgenden allgemeinen Matrixelement ablesen: (ε) N; · · · nr · · · ar N; · · · n¯ r · · · (ε) = √ = ε Nr nr + 1 (ε) N + 1; · · · nr + 1 · · · N; · · · n¯ r · · · (ε) =

√ = ε Nr nr + 1 δN + 1,N δn1 n¯ 1 · · · δnr +1,¯nr · · · =

¯ √ = εNr n¯ r δN, N − 1 δn1 n¯ 1 · · · δnr ,¯nr −1 · · · = √ = εN r n¯ r (ε) N; n1 · · · nr · · · N − 1; n¯ 1 · · · n¯ r − 1 · · · (ε) . Dies gilt so für beliebige Basiszustände, sodass offensichtlich folgen muss: √ ar N; · · · n¯ r · · · (ε) = εN r n¯ r N − 1; n¯ 1 · · · n¯ r − 1 · · · (ε) . Bei Fermionen haben wir noch die Beschränkung für die Besetzungszahlen zu beachten: Bosonen: √ ar N; · · · nr · · · (+) = nr N − 1; · · · nr − 1 · · · (+) , (1.87) Fermionen: ar N; · · · nr · · · (−) = δnr ,1 (−1)Nr N − 1; · · · nr − 1 · · · (−) .

26


Zur Ableitung der fundamentalen Vertauschungsrelationen gehen wir von den Definitionsgleichungen (1.85) und (1.87) aus. Man liest unmittelbar die folgenden Relationen ab: 1. Bosonen (r =/ p): a+r a+p · · · nr · · · np · · · (+) = √ = nr + 1 np + 1 · · · nr + 1 · · · np + 1 · · · (+) = = a+p a+r · · · nr · · · np · · · (+) , ar ap · · · nr · · · np · · · (+) = √ √ = nr np · · · nr − 1 · · · np − 1 · · · (+) = = ap ar · · · nr · · · np · · · (+) , a+r ap · · · nr · · · np · · · (+) = √ √ = np nr + 1 · · · nr + 1 · · · np − 1 · · · (+) = = ap a+r · · · nr · · · np · · · (+) . a+r ar · · · nr · · · (+) = √ = nr a+r · · · nr − 1 · · · (+) = = nr · · · nr · · · (+) , ar a+r · · · nr · · · (+) = √ = nr + 1 ar · · · nr + 1 · · · (+) =

= nr + 1 · · · nr · · · (+) .

2. Fermionen (r < p): a+r a+p · · · nr · · · np · · · (−) = = (−1)Np (−1)Nr δnr , 0 δnp , 0 · · · nr + 1 · · · np + 1 · · · (−) , a+p a+r · · · nr · · · np · · · (−) =

(1.88)

(1.89)

(1.90)

(1.91)

(1.92)

1.3


27

= (−1)Nr (−1)Np + 1 δnr , 0 δnp , 0 · · · nr + 1 · · · np + 1 · · · (−) = = −a+r a+p · · · nr · · · np · · · (−) , (1.93) a+r ar · · · nr · · · (−) = = (−1)2Nr δnr , 1 · · · nr · · · (−) = δnr , 1 · · · nr · · · (−) , (1.94) ar a+r · · · nr · · · (−) = = (−1)2Nr δnr , 0 · · · nr · · · (−) = δnr , 0 · · · nr · · · (−) , (1.95) a+r ap · · · nr · · · np · · · (−) = = (−1)Np (−1)Nr δnp ,1 δnr , 0 · · · nr + 1 · · · np − 1 · · · (−) ap a+r · · · nr · · · np · · · (−) = = (−1)Nr (−1)Np + 1 δnr , 0 δnp , 1 · · · nr + 1 · · · np − 1 · · · (−) = = −a+r ap · · · nr · · · np · · · (−) . (1.96) Da alle diese Beziehungen für beliebige Basiszustände gelten, lassen sich an ihnen die folgenden Operationidentitäten ablesen:

[ar , as ]−ε = 0 ,

(1.97)

[a+r , a+s ]−ε = 0 ,

(1.98)

[ar , a+s ]−ε = δrs .

(1.99)

Dies sind die zu (1.37), (1.44) und (1.45) analogen fundamentalen Vertauschungsrelationen für die Konstruktionsoperatoren in der diskreten Fock-Darstellung. Um einen beliebigen Operator A, der wie in (1.48) aus Ein-Teilchen- und ZweiTeilchen-Anteilen besteht, im Formalismus der zweiten Quantisierung durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darzustellen, haben wir exakt dieselben Überlegungen wie im Fall des kontinuierlichen Spektrums durchzuführen: A1 ϕαr a+p ar + ϕαp A≡ p, r

+

1 (1) (2) (1) (2) + + A2 ϕαt ϕαs ap ar as at . ϕ ϕ 2 p, r, αp αr

(1.100)

s, t

Der einzige Unterschied zum kontinuierlichen Fall besteht darin, dass hier das ZweiTeilchen-Matrixelement auf jeden Fall mit nicht symmetrisierten Zwei-TeilchenZuständen zu bilden ist. In (1.54) konnte man auch die (anti-)symmetrisierten Zustände verwenden. Die Ursache liegt allein in der unterschiedlichen Normierung.

28


Das Analogon zum Besetzungsdichteoperator (1.55) ist im diskreten Fall der Besetzungszahloperator nˆ r = a+r ar .

(1.101)

An (1.90) und (1.94) erkennt man, dass die Fock-Zustände Eigenzustände zu nˆ r sind: nˆ r N; · · · nr · · · (ε) = nr N; · · · nr · · · (ε) . (1.102) nˆ r fragt also ab, wie viele Teilchen den r-ten Ein-Teilchen-Zustand besetzen: Teilchenzahloperator = N

nˆ r .

(1.103)

r

Auch dessen Eigenzustände sind die Fock-Zustände mit der Gesamtteilchenzahl N als Eigenwert: N; · · · nr · · · (ε) = nr N; · · · nr · · · (ε) = N r

= N N; · · · nr · · · (ε) .

(1.104)

Die Ableitung der folgenden nützlichen, für Bosonen wie Fermionen gleichermaßen gültigen Kommutator-Relationen gelingt mit (1.97) bis (1.99) und sei zur Übung empfohlen:

nˆ r , a+p = δrp a+p ; nˆ r , ap − = −δrp ap , −

+ , ap = −ap . , ap = a+p ; N (1.105) N − −

1.4

1.4.1

1.4 Aufgaben Aufgabe 1.4.1 Zwei identische Teilchen bewegen sich in einem eindimensionalen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden: ⎧ ⎨0 für 0 ≤ x ≤ a, V(x) = ⎩ ∞ für x < 0 und x > a.

Berechnen Sie die Energieeigenfunktionen und die Energieeigenwerte des Zwei-Teilchen-Systems, wenn es sich a) um Bosonen, b) um Fermionen handelt. Wie lautet die Grundzustandsenergie im Fall von N >> 1 Bosonen bzw. Fermionen?

1.4

Aufgaben

29

Aufgabe 1.4.2 Gegeben sei ein System von zwei Spin-1 | 2 -Teilchen. Die gemeinsamen Eigenzustände

Si , m(i) ; S

Si =

1 ; 2

der Spinoperatoren S2i , Szi , 1 $ 3 1 $ (i) 2 = ; S2i , m(i) h ¯ , m 2 S 4 2 S

1 m(i) S =± ; 2

i = 1, 2

1 $ $ (i) 1 (i) Szi , m(i) = , h ¯ m , m S 2 S 2 S

bilden eine vollständige Ein-Teilchen-Basis. Für die nicht symmetrisierten Zwei-Teilchen-Zustände, (1) (2) 1 (1) $ 1 (2) $ m , m S1 S2 = , mS1 , mS2 , 2 2 sei der Permutations- (Transpositions-)Operator P12 wie üblich definiert: (2) (1) (2) P12 m(1) S1 , mS2 = mS1 , mS2 . Beweisen Sie die folgenden Aussagen: 1. Die gemeinsamen Eigenzustände |S, MS t der Operatoren

2 S21 , S22 , S2 = S1 + S2 , Sz = Sz1 + Sz2 , |0, 0 t = 2−1 | 2 (1 | 2)(1) , (−1 | 2)(2) − (1 | 2)(2) , (−1 | 2)(1) , |1, 0 t = 2−1 | 2 (1 | 2)(1) , (−1 | 2)(2) + (1 | 2)(2) , (−1 | 2)(1) , |1, ±1 t = (±1 | 2)(1) , (±1 | 2)(2) sind Eigenzustände zu P12 . 2.

Im H2(ε) gilt: P12 S1 P12 = S2 ;

3.

Es gilt die Darstellung: P12

P12 S2 P12 = S1 .

4 1 1 + 2 S1 · S2 . = 2 h¯

1.4.2

30

1.4.3


Aufgabe 1.4.3 |0 sei der normierte Vakuumzustand ( 0 | 0 = 1) und ϕα ein Eigenzustand zu einer Observablen Φ mit kontinuierlichem Spektrum: ϕα ϕβ = δ(α − β) . a+α und aα sind Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren für ein Teilchen im Ein-Teilchen-Zustand Φα . Leiten Sie mit den Vertauschungsrelationen der a+α , aα die folgende Beziehung ab:

0 | aβN · · · aβ1 a+α1 · · · a+αN | 0 = εpα Pα δ β1 − α1 · · · δ βN − αN . Pα

Pα ist der Permutationsoperator, der auf die Zustandsindizes αi wirkt. ε ist +1 für Bosonen und −1 für Fermionen.

1.4.4

Aufgabe 1.4.4 Gegeben sei ein System von N identischen (spinlosen) Teilchen mit einer lediglich vom Abstand abhängigen Paarwechselwirkung

Vij = V |r i − r j | .

Zeigen Sie, dass sich der Hamilton-Operator H=

i=/ j n p2i 1 Vij + 2m 2 i=1 i,j

in der kontinuierlichen k-Darstellung (ebene Wellen!) wie folgt schreiben lässt: 2 2 1 h¯ k 3 a+k ak + d3 k d3 p d3 q V(q)a+k + q a+p − q ap ak . H= d k 2m 2 Dabei ist V(q) = (2π)−3

d3 r V(r) e iq · r = V(−q)

die Fourier-Transformierte des Wechselwirkungspotentials. Sie können die folgende Darstellung der δ-Funktion benutzen:

−3 d3 r e −i (k − k ) · r . δ k − k = (2π)

1.4

Aufgaben

Aufgabe 1.4.5 Zeigen Sie, dass der Teilchenzahloperator = N d3 k a+k ak

31

1.4.5

mit dem Hamilton-Operator aus Aufg. 1.4.4 kommutiert!

Aufgabe 1.4.6 Für ein System von N identischen (spinlosen) Teilchen mit einer nur vom Abstand abhängigen Paarwechselwirkung V( |r − r | ) lässt sich der Hamilton-Operator H in zweiter Quantisierung wie folgt durch Feldoperatoren ausdrücken: 2 h¯ ψ+ (r) − Δr ψ(r) + H = d3 r 2m

1 d3 r d3 r ψ+ (r) ψ+ r V r − r ψ r ψ(r) . + 2

1.4.6

Zeigen Sie die Äquivalenz mit der k-Darstellung für H, die in Aufg. 1.4.4 unter Benutzung von ebenen Wellen als Ein-Teilchen-Wellenfunktionen abgeleitet wurde.

Aufgabe 1.4.7 aϕα = aα und a+ϕα = a+α seien Vernichtungs- und Erzeugungs Φ mit disoperatoren für Ein-Teilchen-Eigenzustände ϕα einer Observablen kretem Spektrum. Berechnen Sie mithilfe der fundamentalen Vertauschungsrelationen für Bosonen und für Fermionen die folgenden Kommutatoren: 1. [nˆ α , a+β ]− ; 2. [nˆ α , aβ ]− ; , a+α ]− ; 3. [N , aα ]− . 4. [N

1.4.7

Aufgabe 1.4.8 Zeigen Sie, dass unter Voraussetzungen wie in Aufg. 1.4.7 für Fermionen die folgenden Beziehungen gültig sind: + 2 2 aα = 0 , 1. aα = 0 ; 2 2. nˆ α = nˆ α , 3. aα nˆ α = aα ; a+α nˆ α = 0 , 4. nˆ α aα = 0 ; nˆ α a+α = a+α .

1.4.8

32

1.4.9


Aufgabe 1.4.9 Gegeben sei ein System von nicht wechselwirkenden, identischen Bosonen bzw. Fermionen:

H=

N

H1(i) .

i=1

H1(i)

Der Ein-Teilchen-Operator habe ein diskretes, nicht entartetes Spektrum: (i) (i) H1(i) ϕr(i) = εr ϕr(i) ; ϕr ϕs = δrs . Die ϕr(i) werden zum Aufbau der Fock-Zustände N; n1 , n2 , . . . (ε) benutzt. Der allgemeine Zustand des Systems werde durch die nicht normierte Dichtematrix ρ beschrieben, für die in der großkanonischen Gesamtheit (variable Teilchenzahl!) gilt:

. ρ = exp −β H − μN 1. 2.

Wie lautet der Hamilton-Operator in zweiter Quantisierung? Verifizieren Sie, dass für die großkanonische Zustandssumme gilt: ⎧

& ⎪ ⎨ i 1 − exp −β εi − μ −1 Bosonen, Ξ(T, V, μ) = Sp ρ = &

⎪ ⎩ Fermionen. i 1 + exp −β εi − μ

3.

Berechnen Sie den Erwartungswert der Teilchenzahl: 1

= Sp ρN . N

Ξ

4.

Berechnen Sie die innere Energie: U = H =

5.

1

Ξ

Sp(ρH) .

Berechnen Sie die mittlere Besetzungszahl des i-ten Ein-Teilchen-Zustandes, 1

nˆ i = Sp ρa+i ai ,

Ξ

und zeigen Sie, dass gilt: U=

εi nˆ i ; i

= N nˆ i . i

1.4

Aufgaben

33

Aufgabe 1.4.10 Betrachten Sie ein System von Elektronen, die aus zwei verschiedenen Energieniveaus ε1 und ε2 stammen. Sie werden durch den folgenden Hamilton-Operator beschrieben:

(σ =↑ oder ↓) . H= ε1 a+1σ a1σ + ε2 a+2σ a2σ + V a+1σ a2σ + a+2σ a1σ σ

1.

Zeigen Sie, dass H mit dem Teilchenzahloperator

= N a+1σ a1σ + a+2σ a2σ σ

2.

3. 4.

5.

vertauscht. Entwickeln Sie mithilfe der Fock-Zustände |N; F = N; n1↑ n1↓ ; n2↑ n2↓ (−) ein allgemeines Lösungsverfahren zur Berechnung der Energieeigenwerte für beliebige Gesamtelektronenzahlen N (N = 0, 1, 2, 3, 4). Berechnen Sie die Energieeigenwerte für N = 0 und N = 1. Zeigen Sie, dass von den sechs möglichen Fock-Zuständen zu N = 2 zwei bereits Eigenzustände zu H sind. Lösen Sie die verbleibende 4 × 4 Säkulardeterminante. Finden Sie die Energieeigenwerte für N = 3 und N = 4.

1.4.10

34

1.5


1.5 Kontrollfragen Zu Abschn. 1.1 1. Was versteht man unter identischen Teilchen? 2. Warum sind in der Klassischen Physik auch identische Teilchen unterscheidbar? 3. Was besagt das Prinzip der Ununterscheidbarkeit? 4. Begründen Sie für eine beliebige Observable A eines Systems identischer Teilchen APij , wobei Pij der Transpositionsoperator ist. die Operatoridentität A = Pij+ 5. Wie konstruiert man (anti-)symmetrisierte N-Teilchen-Zustände? 6. Kann sich der Symmetriecharakter eines Zustands N identischer Teilchen mit der Zeit ändern? 7. Begründen Sie, warum alle Zustände eines Systems aus N identischen Teilchen denselben Symmetriecharakter haben. 8. Formulieren Sie den Spin-Statistik-Zusammenhang. 9. Was sind Bosonen, was sind Fermionen? Nennen Sie Beispiele. Zu Abschn. 1.2 1. Warum ist jeder Permutationsoperator P im Raum HN(±) eines Systems von N identischen Teilchen hermitesch? 2. Wie lautet das Skalarprodukt zweier(anti-)symmetrisierter N-Teilchen-Zustän de, die aus Ein-Teilchen-Zuständen ϕα mit kontinuierlichem Spektrum aufgebaut sind? 3. Formulieren Sie für Zustände wie in 2 die Vollständigkeitsrelation. 4. Wie lässt sich mithilfe ein (anti-)symmetrisierter N von Erzeugungsoperatoren (±) aus dem Vakuumzustand |0 konstruieren? Teilchen-Zustand ϕα1 . . . ϕαN 5. Wie wirkt der Vernichtungsoperator aγ auf den N-Teilchen-Zustandϕα1...ϕαN (±) ? 6. Wie wirken aα und a+α auf den Vakuumzustand |0 ? 7. Erläutern Sie die Begriffe Erzeugungsoperator, Vernichtungsoperator. 8. Formulieren Sie die drei fundamentalen Vertauschungsrelationen. 9. Drücken Sie einen allgemeinen Ein-Teilchen-Operator durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aus. 10. Bestehen irgendwelche Einschränkungen bezüglich der Ein-Teilchen-Basis ϕα , aus der die (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Basiszustände des H (ε) N aufgebaut sind? Welche Gesichtspunkte könnten ihre Wahl beeinflussen? 11. Wie sind Besetzungsdichte- und Teilchenzahl-Operator definiert? Wie sehen ihre Eigenzustände aus? 12. Was versteht man unter Feldoperatoren? 13. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Feldoperatoren und allgemeinen Konstruktionsoperatoren aα , a+α ?

1.5

Kontrollfragen

35

Zu Abschn. 1.3 1. Was beschreibt die Slater-Determinante? 2. In welchem Zusammenhang steht die Slater-Determinante mit dem Pauli-Prinzip? 3. Was versteht man unter der Besetzungszahl ni ? 4. Wie formuliert man einen N-Teilchen-Zustand in der Besetzungszahldarstellung? 5. Formulieren Sie die Orthonormierungs- und Vollständigkeitsbedingungen der Fock-Zustände. 6. Beschreiben Sie die Wirkungsweise von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf N-Teilchen-Zustände in der Besetzungszahldarstellung. 7. Wie kann man einen N-Teilchen-Fock-Zustand aus dem Vakuumzustand |0 erzeugen? 8. Wie lauten die fundamentalen Vertauschungsrelationen im diskreten Fall? 9. Zeigen Sie, dass die Fock-Zustände Eigenzustände des Besetzungszahl- und des Teilchenzahl-Operators sind.

Kapitel 2 Viel-Teilchen-Modellsysteme

2

2

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.5

Viel-Teilchen-Modellsysteme Kristallelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Jellium-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Hubbard-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Gitterschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Harmonische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Phononengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Elektron-Phonon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . 81 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Klassifikation der magnetischen Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Modellvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Magnonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Spinwellennäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

39

2 Viel-Teilchen-Modellsysteme In diesem Abschnitt sollen einige häufig diskutierte Modellsysteme eingeführt werden, an denen wir später die Elemente der abstrakten Theorie demonstrieren und testen wollen. Bei der Formulierung der Modell-Hamilton-Operatoren werden wir bereits das Transformieren von der ersten in die zweite Quantisierung üben können. Die ausgewählten Beispiele stammen sämtlich aus dem Bereich der Theoretischen Festkörperphysik und sollen mit ein paar einführenden Bemerkungen vorbereitet werden. Der Festkörper ist sicher ein Viel-Teilchen-System, FK =

N

(Teilchen)i ,

i=1

zusammengesetzt aus Atomen oder Molkülen, die miteinander wechselwirken. Das Teilchen besteht aus einem oder mehreren positiv geladenen Kernen und einer negativen Elektronenhülle. Man unterscheidet Rumpfelektronen und Valenzelektronen. Die Rumpfelektronen sind fest gebunden, d. h. in unmittelbarer Kernnähe lokalisiert. Sie stammen in der Regel aus abgeschlossenen Schalen – Ausnahmen sind z. B. die 4f Elektronen der Seltenen Erden – und haben damit kaum Einfluss auf typische Festkörpereigenschaften. Dies ist anders bei den Valenzelektronen, die aus nicht abgeschlossenen Schalen stammen und z. B. für die Festkörperbindung zuständig sind. Natürlich ist die Aufteilung in Rumpf- und Valenzelektronen nicht immer eindeutig. Darin liegt bereits eine gewisse Näherung. Unter einem Gitterion versteht man in diesem Sinne die Summe aus Kern plus Rumpfelektronen. Dies ergibt das folgende Modell: Festkörper: wechselwirkendes Teilchensystem aus Gitterionen und Valenzelektronen. Wie sieht der zugehörige Hamilton-Operator aus? H = He + Hi + Hei .

(2.1)

Das Teilsystem der Elektronen wird durch den Operator He beschrieben: He =

i =/ j Ne p2i e2 1 1 ≡ He, kin + Hee . + r i − r j 2m 2 4πε0 i=1 i, j

(2.2)

Ne ist die Anzahl der Valenzelektronen. Der erste Summand stellt deren kinetische Energie, der zweite Summand ihre Coulomb-Wechselwirkung dar. r i , r j sind die Elektronenorte. Das Teilsystem der Ionen wird bestimmt durch den Operator Hi : Hi =

α =/ β Ni 1 p2α + Vi Rα − Rβ ≡ Hi, kin + Hii . 2M 2 α α=1 α, β

W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

(2.3)

40


Die Ion-Ion-Wechselwirkung soll hier zunächst nicht weiter spezifiziert werden. Es handelt sich aber auf jeden Fall um eine Paarwechselwirkung. Sie ist mitverantwortlich dafür, dass die Gleichgewichtslagen der Ionen Rα(0) ein streng periodisches Kristallgitter definieren. Die Ionen führen um diese Gleichgewichtslagen Schwingungen aus. Deren Energien sind quantisiert. Das Elementarquant heißt Phonon. Es ist deshalb zweckmäßig, Hii noch einmal aufzuspalten in Hii = Hii(0) + Hp .

(2.4)

Hii(0) bestimmt z. B. die Festkörperbindung, Hp die Gitterdynamik. Die Wechselwirkung der beiden Teilsysteme wird schließlich durch Hei =

Ne Ni i=1 α=1

Vei r i − Rα

(2.5)

wiedergegeben, wobei auch hier eine weitere Aufteilung zweckmäßig ist: Hei = Hei(0) + Hep .

(2.6)

Hei(0) betrifft die Wechselwirkung der Elektronen mit in Gleichgewichtspositionen befindlichen Ionen. Hep ist die Elektron-Phonon-Wechselwirkung. Die exakte Lösung für das Gesamtsystem (2.1) erscheint unmöglich. Eine Approximation kann in den folgenden drei Schritten erfolgen: 1. Elektronenbewegung, z. B. im starren Ionengitter: He + Hei(0) . 2. Ionenbewegung, z. B. im homogenen Elektronensee: Hp . 3. Kopplung, z. B. störungstheoretische Behandlung von Hep . Entsprechend dieses Konzepts diskutieren wir im nächsten Abschnitt zunächst das elektronische Teilsystem.

2.1

2.1 Kristallelektronen 2.1.1 Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen Wir betrachten zunächst Elektronen in einem starren Ionengitter, die nicht miteinander, sondern nur mit dem periodischen Gitterpotential wechselwirken, d. h., wir suchen die Eigenlösungen des folgenden Hamilton-Operators:

H0 = He, kin + Hei(0) .

(2.7)

Die in ihren Gleichgewichtspositionen verankerten Ionen definieren das so genannte Gitterpotential: Ni Vei r i − Rα(0) . V ri =

α=1

(2.8)

2.1

Kristallelektronen

41

Für die Ionenpositionen Rα(0) gilt genauer: Rα(0) ⇒ Rsn = R n + Rs , n = n1 , n2 , n3 ; ni ∈ Z .

(2.9)

R n definiert das Bravais-Gitter: Rn =

3

(2.10)

ni ai .

i=1

a1 , a2 , a3 sind die primitiven Translationen. Rs sind die Ortsvektoren der Basisatome. Die erwähnte Periodizität betrifft das Bravais-Gitter: ri . r i + R n =! V (2.11) V rî ist ein Ein-Teilchen-Operator, und dies überträgt sich auf: V ri = V Hei(0) =

Ne

rî . V

(2.12)

i=1

Wir haben deshalb die folgende Eigenwertgleichung zu lösen: h0 ψk (r) = ε(k)ψk (r) .

(2.13)

Man nennt ψk (r) eine Bloch-Funktion und ε(k) die zugehörige Bloch-Energie. k ist ein Wellenvektor der ersten Brillouin-Zone. Mit h0 ist der Operator p2 (ˆr ) +V (2.14) 2m gemeint. Die Lösung (2.13) stellt für realistische Gitter ein nichttriviales Problem dar. Aus der Perdiodizität (2.11) des Gitterpotentials leitet man das fundamentale Bloch’sche Theorem ab: n ψk r + R n = e i k · R ψk (r) . (2.15) h0 =

Macht man den üblichen Ansatz

ψk (r) = uk (r) e i k · r ,

(2.16)

so muss die Amplitudenfunktion gitterperiodisch sein: uk r + R n = uk (r) .

(2.17)

Die Bloch-Funktionen ψk (r) bilden ein vollständiges, orthonormiertes System: d3 r ψ∗k (r)ψk (r) = δk, k , (2.18) 1. BZ k

ψ∗k (r)ψk r = δ r − r .

(2.19)

42


Summiert wird über alle Wellenvektoren k der ersten Brillouin-Zone. Diese sind wegen periodischer Randbedingungen diskret. – Da h0 keine Spinanteile enthält, faktorisiert die Eigenfunktion in einen Spin- und einen Ortsanteil: |kσ

⇐⇒

Bloch-Zustand ,

r | kσ = ψkσ (r) = ψk (r)χσ ,

1 0 χ↑ = ; χ↓ = . 0 1

(2.20)

Falls Elektronen aus verschiedenen Energiebändern betrachtet werden, erscheint an der Bloch-Funktion noch ein Bandindex n. Wir beschränken uns hier jedoch auf Elektronen aus einem einzigen Band. Wir definieren: a+kσ

akσ :

Erzeugungs- (Vernichtungs-) operator eines Bloch-Elektrons.

Da H0 ein Ein-Teilchen-Operator ist, folgt aus (1.100): kσ | h0 | k σ a+kσ ak σ . H0 = kσ k σ

Das Matrixelement lässt sich leicht berechnen kσ | h0 | k σ = ε k kσ | k σ = ε(k) δkk δσσ , da |kσ Eigenzustand zu h0 ist. Damit folgt: ε(k)a+kσ akσ = ε(k)nkσ . H0 = kσ

(2.21)

(2.22)

kσ

Die Bloch-Operatoren akσ , a+kσ erfüllen natürlich die fundamentalen Vertauschungsrelationen:

[akσ , ak σ ]+ = [a+kσ , a+k σ ]+ = 0 ,

(2.23)

[akσ , a+k σ ]+ = δkk δσσ .

(2.24)

Vernachlässigt man die kristalline Struktur des Festkörpers und betrachtet das Ionengitter lediglich als positiv geladenen, homogenen Hintergrund für das Elektronensystem ( V (r) = const), so werden aus den Bloch-Funktionen ebene Wellen,

ψk (r)

1 √ ei k · r , V V =const] [ ⇒

(2.25)

2.1

Kristallelektronen

43

und aus den Bloch-Energien wegen p2 | 2m = − h¯2 | 2m Δ:

ε(k)

h¯2 k2 . 2m V =const] [ ⇒

(2.26)

(V ist das Volumen des Festkörpers! Man unterscheide V von V , dem Gitterpotential!) Wir wollen noch zwei weitere, für Anwendungen wichtige Darstellungen von H0 diskutieren, z. B. die mit Feldoperatoren ψ+σ (r) ,

ψσ (r) ,

die wie in (1.63) bis (1.69) zu verstehen sind, wobei wir allerdings zusätzlich den Spin des Elektrons berücksichtigen. Die Verallgemeinerung der früheren Formeln liegt auf der Hand. So gilt z. B.: ψσ (r), ψ+σ r + = δ r − r δσσ . (2.27) Damit folgt für H0 : d3 r d3 r r σ | h0 | r σ ψ+σ (r) ψσ r = H0 = σ, σ

=

σ, σ

=

σ

2 + h¯ d3 r d3 r δσσ − Δr + V r δ r − r ψσ (r) ψσ r = 2m

2 h¯ (r) d3 r ψ+σ (r) − Δr + V ψσ (r) . 2m

(2.28)

Eine weitere spezielle, häufig verwendete Ortsdarstellung benutzt Wannier-Funktionen

1. BZ 1 −i k · Ri e ψkσ (r) . Ni

ωσ r − Ri = √

(2.29)

k

Reωσv

Ri

r

Abb. 2.1. Qualitative Ortsabhängigkeit des Realteils einer Wannier-Funktion

44


Typisch für diese ist die relativ starke Konzentration um den jeweiligen Gitterplatz Ri . Mit (2.18) sowie 1. BZ 1 i k · Ri −Rj e = δij Ni

(2.30)

k

beweist man leicht die Orthogonalitätsrelation: d3 r ω∗σ r − Ri ωσ r − Rj = δσσ δij .

(2.31)

Mit den Bezeichnungen |iσ ⇐⇒ Wannier-Zustand, r | iσ = ωσ r − Ri , a+iσ

aiσ :

(2.32)

Erzeugungs- (Vernichtungs-)operator eines Elektrons in einem Wannier-Zustand am Gitterplatz Ri ,

lautet H0 in zweiter Quantisierung, H0 =

ijσ

Tij a+iσ ajσ ,

(2.33)

und beschreibt in anschaulicher Weise das Hüpfen eines Elektrons mit dem Spin σ vom Gitterplatz Rj – dort wird es vernichtet – zum Gitterplatz Ri , wo es erzeugt wird. Tij heißt deshalb auch das „Hopping“-Integral. Es gilt zunächst: iσ | h0 | jσ = δσσ iσ | h0 | jσ = = δσσ

iσ | kσ1 kσ1 | h0 | k σ2 k σ2 | jσ =

k, k

σ1 , σ2

= δσσ

ε(k ) iσ | kσ1 kσ1 | k σ2 k σ2 | jσ =

k, k

σ1 , σ2

= δσσ

k, σ1

ε(k) iσ | kσ1 kσ1 | jσ .

(2.34)

2.1

Kristallelektronen

45

Die verbleibenden Matrixelemente berechnen sich schließlich wie folgt: iσ | kσ1 = d3 r iσ | r r | kσ1 = =

d3 r ω∗σ r − Ri ψkσ1 (r) =

1 i k · Ri d3 r ψ∗k σ (r)ψkσ1 (r) = e =√ Ni k

1 i k · Ri e i k · Ri =√ e δkk δσσ1 = δσσ1 √ . Ni Ni k

Dies ergibt in (2.34): iσ | h0 | jσ = δσσ Tij

(2.35)

mit Tij =

1 ε(k) e i k · Ri −Rj . Ni

(2.36)

k

Die Umkehrung lautet

ε(k) =

1 Tij e −i k · Ri −Rj , Ni

(2.37)

i, j

wie man durch Einsetzen in (2.36) mithilfe von (2.30) verifiziert. Den Zusammenhang zwischen Bloch- und Wannier-Operatoren findet man wie in (1.66) am Beispiel der Feldoperatoren demonstriert: 1. BZ 1 i k · Ri e akσ , aiσ = √ Ni k

(2.38)

Ni 1 akσ = √ e −i k · Ri aiσ . Ni i = 1

(2.39)

Aus den Vertauschungsrelationen der Bloch-Operatoren (2.23) und (2.24) folgen dann unmittelbar die der Wannier-Operatoren:

(2.40) aiσ , ajσ + = a+iσ , a+jσ = 0 , +

aiσ , a+jσ = δij δσσ . +

(2.41)

46


2.1.2 Jellium-Modell Das Modell ist zur Beschreibung einfacher Metalle brauchbar und basiert auf den folgenden Annahmen: 1. Ne Elektronen im Volumen V = L3 üben aufeinander die Coulomb-Wechselwirkung

Hee =

2.

i =/ j e2

8πε0

i, j

1 r i − r j

(2.42)

aus. Die Ionen sind einfach positiv geladen: Ne = Ni = N .

(2.43)

3.

Die Ionen bilden einen homogen verschmierten Hintergrund und sorgen damit für a) Ladungsneutralität, b) konstantes Gitterpotential. Aus den Bloch-Funktionen werden ebene Wellen: 1 ψkσ (r) ⇒ √ e i k · r χσ . (2.44) V

4.

Periodische Randbedingungen auf V sorgen für diskrete Wellenzahlen: k=

2π nx , ny , nz , L

nx, y, z ∈ Z .

(2.45)

Wie sieht der diesen Annahmen entsprechende Modell-Hamilton-Operator in erster Quantisierung aus? Er sollte sich aus drei Termen zusammensetzen: H = He + H+ + He+ .

(2.46)

He ist so wie in (2.2) gemeint und ist der eigentlich entscheidende Term. H+ beschreibt die homogen verschmierten Ionenladungen, wobei homogen verschmiert heißen soll, dass die Ionendichte n(r) ortsunabhängig ist: n(r) −→ Damit lautet H+ : H+ =

e2 8πε0

N . V

n(r) · n r −α |r−r | d rd r e . |r − r | 3

3

(2.47)

(2.48)

Wegen der Annahme 4. müssen wir unsere Resultate im thermodynamischen Limes diskutieren, d. h. für N → ∞, V → ∞, N | V → const. Wegen der Langreichweitigkeit der Coulomb-Kräfte divergieren dann die Integrale. Aus diesem Grund wird ein konvergenzerzeugender Faktor exp(−α |r − r | ) mit α > 0 eingeführt. Nach Auswertung der Integrale wird der Grenzübergang α → 0 vollzogen.

2.1

Kristallelektronen

47

Wegen (2.47) benötigen wir in (2.48) das folgende Integral: −α |r − r | −αr 4πV 3 3 e 3 e d rd r d r . = V −−−→ |r − r | r V → ∞ α2 V

Damit ergibt sich: H+ =

2 4π e2 N . 8πε0 V α2

(2.49)

H+ divergiert zwar für α → 0, wird aber durch andere noch zu besprechende Terme kompensiert. He+ in (2.46) beschreibt die Wechselwirkung der Elektronen mit dem homogenen Ionensee: He+ = −

N e2

4πε0

i=1

n(r) −α |r−ri | e d3 r . r − r i

(2.50)

Mit denselben Überlegungen wie zu H+ folgt: He+ = −

=−

N e2 N e −α |r−ri | = d3 r r − r i 4πε0 V i = 1 N e2 N 4π . 4πε0 V i = 1 α2

Ersetzen wir wiederum die klassische Teilchenzahl N durch den Teilchenzahlopera, so bleibt: tor N He+ = −

2 4π e2 N . 4πε0 V α2

(2.51)

Insgesamt wird damit aus unserem Modell: H = He −

2 4π 1 e2 N . 2 4πε0 V α2

(2.52)

Dies sieht für α → 0 zwar immer noch kritisch aus, jedoch werden wir sehen, dass He einen ganz entsprechenden Term enthält, der den zweiten Summanden in (2.52) gerade aufhebt. He ist der eigentlich entscheidende Operator, der sich gemäß (2.2) aus der kinetischen Energie H0 (2.7) und der Coulomb-Wechselwirkung Hee (2.42) zusammensetzt. H0 haben wir schon im letzten Abschnitt in die zweite Quantisierung transformiert. Hee ist ein typischer Zwei-Teilchen-Operator, für den nach (1.100) in der Bloch-Darstellung gilt: Hee =

1 v k1 σ1 , . . . , k4 σ4 a+k1 σ1 a+k2 σ2 ak4 σ4 ak3 σ3 . 2 k1 ··· k4 σ1 ··· σ4

(2.53)

48


Das Matrixelement v k1 σ1 , . . . , k4 σ4 = =

(1) (2) (1) (2) e2 1 k3 σ3 k1 σ1 k2 σ2 (1) k4 σ4 (2) rˆ − rˆ 4πε0

ist sicher nur für

σ1 = σ3 und σ2 = σ4 von Null verschieden, da der Operator selbst spinunabhängig ist: e2 1 (2) (1) · d3 r1 d3 r2 k(1) v k1 σ1 , . . ., k4 σ4 = 1 k2 rˆ − rˆ (2) 4πε0 (2) (1) (2) (1) (2) · r (1) r 1 r 2 k3 k4 δσ1 σ3 δσ2 σ4 = 1 r2 e2 1 (2) (1) (2) k(1) d3 r1 d3 r2 = r1 r2 · 1 k2 4πε0 r1 − r2 (2) (1) (2) k3 k4 δσ1 σ3 δσ2 σ4 = · r (1) 1 r2 e2 1 ψ∗k r 1 ψ∗k r 2 · d3 r1 d3 r2 = 1 2 r 1 − r 2 4πε0 · ψk3 r 1 ψk4 r 2 δσ1 σ3 δσ2 σ4 . Mithilfe des Bloch’schen Theorems (2.15) können wir noch zeigen, dass zusätzlich k1 + k2 = k 3 + k 4 gelten muss. Es bleibt damit: v k1 σ1 , . . ., k4 σ4 = δσ1 σ3 δσ2 σ4 δk1 + k2 , k3 + k4 v k1 , . . .k4 , e2 v k1 , . . . , k4 = d3 r1 d3 r2 ψ∗k1 r 1 ψ∗k2 r 2 · 4πε0

(2.54)

1 ψk3 r 1 ψk4 r 2 . · r 1 − r 2 Für die Coulomb-Wechselwirkung Hee haben wir damit den folgenden Ausdruck gewonnen: Hee =

1 v k1 , . . . , k4 δk1 + k2 , k3 + k4 a+k1 σ a+k2 σ ak4 σ ak3 σ . 2 k1 , ... , k4 σ, σ

(2.55)

2.1

Kristallelektronen

49

Im Jellium-Modell sind die ψk (r) ebene Wellen, sodass wir noch zu berechnen haben: vα k1 , . . . , k4 = (2.56) e2 1 e −i (k1 − k3 ) · r1 e −i (k2 − k4 ) · r2 −α |r1 −r2 | 3 3 d = r d r e . 1 2 r 1 − r 2 4πε0 V 2 Wir setzen

1 r1 + r2 2 1 1 ⇐⇒ r 1 = r + R ; r 2 = − r + R . 2 2 und haben damit zu lösen: e2 1 vα k1 , . . . , k4 = d3 R e −i (k1 − k3 + k2 − k4 ) · R · 4πε0 V 1 1 d3 r e −αr e −(i | 2)(k1 − k3 − k2 + k4 ) · r = · V r e2 1 e −i (k1 − k3 ) · r e −αr d3 r = δk1 + k2 , k3 + k4 . 4πε0 V r Mit 4π e −iq · r −αr d3 r e = 2 r q + α2 r = r1 − r2 ;

R=

(2.57)

(2.58)

folgt schließlich: vα k1 , . . . , k4 = Dies setzen wir in (2.55) ein: (α) Hee =

e2 δk1 − k3 , k4 − k2 . ε0 V k1 − k3 2 + α2

(2.59)

1 vα (q) a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ , 2

(2.60)

e2 . ε0 V q2 + α2

(2.61)

k, p , q σ, σ

vα (q) =

Wir betrachten nun einmal den q = 0 -Term der Coulomb-Wechselwirkung: 1 e2 + + akσ apσ apσ akσ = 2 ε0 V α2 k, p

σ, σ

=

1 e2 −δσσ δkp nkσ + npσ nkσ = 2 2 ε0 V α k, p σ, σ

=

2 e2 + N − N . 2ε0 V α2

(2.62)

50


Wir erkennen, dass der zweite Summand von (2.62) den zweiten Summanden in (2.52) gerade kompensiert, d. h. den Beitrag von H+ und He+ aufhebt. Der erste Summand in (2.62) führt zu einer Energie pro Teilchen, die im thermodynamischen Limes verschwindet, −

e2 −−−−−−−−→ 0 , 2ε0 V α2 N → ∞; V → ∞

und deshalb von vornherein weggelassen wird. Wenn wir nun zum Schluss den Grenzübergang α → 0 vollziehen, so bleibt als Hamilton-Operator des Jellium-Modells H=

kσ

ε0 (k) a+kσ akσ +

q =/ 0 1 v0 (q) a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ . 2

(2.63)

k, p, q σ, σ

Nach (2.26) ist

ε0 (k) =

h¯2 k2 2m

(2.64)

das Matrixelement der kinetischen Energie und v0 (q) =

1 e2 V ε0 q2

(2.65)

das der Coulomb-Wechselwirkung. Wir wollen noch eine nützliche alternative Darstellung für H ableiten, und zwar mithilfe des Operators der Elektronendichte

ρˆ (r) =

N δ r − rî .

(2.66)

i=1

Es handelt sich dabei um einen Ein-Teilchen-Operator. Der Elektronenort rî ist hier ein Operator, die Variable r natürlich nicht. Nach (1.100) gilt für ρˆ im Formalismus der zweiten Quantisierung in der Bloch-Darstellung:

ρˆ (r) =

k, k σ, σ

kσ | δ r − rˆ |k σ a+kσ ak σ .

(2.67)

2.1

Kristallelektronen

51

Für das Matrixelement ist zu berechnen: d3 r kσ | δ r−ˆr |r σ r σ | k σ = kσ | δ r−ˆr |k σ = σ

=

σ

=

σ

d3 r δ r−r kσ | r σ r σ | k σ =

δσσ δσ σ kσ | rσ rσ | k σ =

= δσσ ψ∗k (r)ψk (r) . Beschränkt man sich wie im Jellium-Modell auf ebene Wellen, dann ist 1 kσ | δ r − rˆ |k σ = δσσ e i (k − k) · r . V

(2.68)

Dies bedeutet in (2.67):

ρˆ (r) =

1 + akσ ak + qσ e iq · r . V

(2.69)

k, q, σ

Für die Fourier-Komponente des Elektronendichteoperators gilt also: ρˆ q = a+kσ ak + qσ .

(2.70)

kσ

Man liest daran u. a. ab: . ρˆ q+ = ρˆ −q ; ρˆ q = 0 = N

(2.71)

Damit lässt sich der Hamilton-Operator des Jellium-Modells durch Dichteoperatoren ausdrücken. Die kinetische Energie bleibt unverändert: Hee =

q =/ 0 1 v0 (q) a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ = 2 k, p, q σ, σ

=

q=/ 0 1 v0 (q) a+k + qσ −δσσ δk, p − q + akσ a+p − qσ apσ = 2 k, pq σ, σ

=− ·

q =/ 0 q =/ 0 1 1 v0 (q) a+pσ apσ + v0 (q) a+k + qσ akσ · 2 q, p, σ 2 q

p, σ

kσ

a+p − qσ apσ .

52


Damit wird insgesamt aus dem Hamilton-Operator des Jellium-Modells: H=

kσ

ε0 (k) a+kσ akσ +

q =/ 0 1 . v0 (q) ρˆ q ρˆ −q − N 2 q

(2.72)

Um einen gewissen Einblick in die Physik des Modells zu gewinnen, untersuchen wir nun die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells. Dazu machen wir eine Störungstheorie erster Ordnung, die uns nach dem Variationsprinzip auf jeden Fall eine obere Schranke für die Grundzustandsenergie liefern wird. Wir betrachten die Coulomb-Wechselwirkung Hee als Störung; das ungestörte System ist deshalb durch H0 = ε0 k a+kσ akσ (2.73) kσ

gegeben (Sommerfeld-Modell). Dieses lässt sich exakt lösen. Im „ungestörten“ Grundzustand E0 besetzen die N Elektronen alle Zustände mit Energien, die nicht größer als eine Grenzenergie εF sind, die man die Fermi-Energie nennt:

ε0 (k) =

h¯2 kF2 h¯2 k2 ≤ εF = . 2m 2m

(2.74)

kF ist der Fermi-Wellenvektor, der sich wie folgt leicht berechnen lässt: Wegen der isotropen Energiedispersion

ε0 (k) = ε0 (k)

(2.75)

besetzen die Elektronen im k-Raum alle Zustände innerhalb einer Kugel mit dem Radius kF . Da die k-Punkte wegen der periodischen Randbedingungen im k-Raum diskret liegen (s. (2.45)), steht jedem k-Punkt ein Rastervolumen Δk =

(2π)3 (2π)3 = L3 V

(2.76)

zur Verfügung. Wenn wir noch die Spinentartung berücksichtigen, so ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen Elektronenzahl N und Fermi-Wellenvektor kF :

V 1 4π 3 N=2 kF = 2 kF3 . Δk 3 3π Dies bedeutet:

1 | 3

2N , kF = 3π V

h¯2 N 2|3 3π2 εF = . 2m V

(2.77)

(2.78)

2.1

Kristallelektronen

53

Für die mittlere Energie pro Teilchen ¯ε berechnet man leicht: ⎛ ⎞ 2 k2 2 ⎜ h ¯ 3 ⎟ 1 ¯ε = ⎝ d3 k = εF . ⎠ N 2m Δk 5

(2.79)

k ≤ kF

Damit kennen wir bereits die Grundzustandsenergie: E0 = N¯ε =

3 N εF . 5

(2.80)

Wir führen einige Standard-Abkürzungen ein: ne =

N : V

mittlere Elektronendichte ,

(2.81)

ve =

1 : ne

mittleres Volumen pro Elektron .

(2.82)

ve legt durch ve =

3 4π aB rs 3

(2.83)

den dimensionslosen Dichteparameter rs fest, wobei aB =

4πε0 h¯2 = 0,529 Å me2

(2.84)

der Bohr’sche Radius ist. Führt man noch in ähnlicher Weise einen Energieparameter ein, 1 ryd =

e2 = 13,605 eV , 4πε0 2aB 1

(2.85)

so gilt für die Fermi-Energie εF :

εF =

α2

[ryd] ; 2

rs

α=

9π 4

1 | 3 .

Damit lautet die ungestörte Grundzustandsenergie: 2,21 E0 = N 2 [ryd] . rs

(2.86)

(2.87)

Wir schalten nun die Störung Hee ein und berechnen die Energiekorrektur 1. Ordnung:

ε(1) =

q =/ 0 1 v0 (q) E0 a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ E0 . 2N

(2.88)

k, p, q σ, σ

Nur solche Terme liefern einen Beitrag, bei denen die Vernichter auf Zustände innerhalb der Fermi-Kugel wirken und die Erzeuger anschließend die durch die Vernichter geschaffenen Löcher in der Fermi-Kugel wieder auffüllen:

54


1) Direkter Term:

k=k+q;

p = p − q ⇐⇒ q = 0 .

(2.89)

Nach unseren Vorüberlegungen kommen solche Terme in der Summe allerdings nicht vor! 2) Austauschterm:

σ = σ ; k + q = p ; p − q = k .

(2.90)

Dies ist ein typisch quantenmechanischer Term, der klassisch nicht erklärbar ist. Er resultiert aus dem Antisymmetrisierungsprinzip für die N-Teilchen-Zustände:

ε(1) =

q =/ 0 1 v0 (q) E0 a+k + qσ a+kσ ak + qσ akσ E0 = 2N k, q, σ

q =/ 0

1 =− v0 (q) E0 nˆ k + qσ nˆ kσ E0 . 2N

(2.91)

k, q, σ

Da im ungestörten Grundzustand E0 alle Zustände innerhalb der Fermi-Kugel besetzt, alle außerhalb unbesetzt sind, folgt:

ε(1) = −

q =/ 0 1 v0 (q) Θ kF − |k + q| Θ kF − k . 2N

(2.92)

k, q, σ

Im thermodynamischen Limes können wir die Summen durch Integrale ersetzen: 1 V 3 d k= d3 k . ⇒ Δk (2π)3 k

Nach Ausführung der Spinsummation bleibt zu berechnen: V e2 1 3 d ε(1) = − k d3 q 2 Θ kF − |k + q| Θ kF − k . 6 N ε0 (2π) q Die Substitution 1 k ⇒ x=k+ q 2 führt zu

V e2 1 d3 q 2 2S(q) , N ε0 (2π)6 q

1 1 1 3 d x Θ kF − x + q Θ kF − x − q . S(q) = 2 2 2

ε(1) = −

(2.93)

(2.94)

2.1

Kristallelektronen

x kF

2 +1

x-

q

55

12

x

S=Volumen dieses Kugelsegments

q

q

kF

× Integrationsgebiet für x

ϑ

q 2

y(ϑ )

Abb. 2.2. Veranschaulichung des Integrationsgebietes zur Berechnung der Grundzustandsenergie

des Jellium-Modells in erster Ordnung Störungstheorie nach (2.93)

Für das in Abb. 2.2 skizzierte Kugelsegment haben wir offenbar zu berechnen: 1 kF q S(q) = Θ kF − d cos ϑ dϕ dx x2 , 2 q|2 kF

y(ϑ) =

y(ϑ)

q|2 . cos ϑ

Die Integration lässt sich leicht ausführen: q 3 3 2 1 3 2π kF − qkF + q . Θ kF − S(q) = 3 2 4 16

(2.95)

Die weitere Auswertung von (2.93) ist dann einfach: 0,916 ε(1) = − [ryd] . rs Damit ergibt sich insgesamt als Grundzustandsenergie pro Teilchen: 2,21 0,916 1 + εcorr = ε . Emin [ryd] = 2 − N rS rS

(2.96)

Der erste Summand ist die kinetische Energie (2.87), der zweite stellt die so genannte Austauschenergie dar. Letztere ist typisch für Systeme identischer Teilchen und eine direkte Folge des Prinzips der Ununterscheidbarkeit und damit für Fermionen des Pauli-Prinzips. Dieses sorgt dafür, dass sich Elektronen parallelen Spins nicht zu nahe kommen. Jeder Effekt, der gleichnamig geladene Teilchen auf Abstand hält, führt zu einer Reduktion der Grundzustandsenergie. Das erkärt das Minuszeichen in (2.96). Der letzte Summand wird Korrelationsenergie genannt. Diese gibt die Abweichung des störungstheoretischen Resultats vom exakten Ergebnis an und ist damit natürlich unbekannt. Moderne Methoden der Viel-Teilchen-Theorie haben die folgende Entwicklung ergeben (s. (5.177)):

εcorr =

2

π2

(1 − ln 2) ln rS − 0,094 + O rS ln rS [ryd] .

(2.97)

56


ε - ε corr[ryd] 0,3 0,2 0,1

-0,1

r0 2

4

6

8 10 12

rs

Abb. 2.3. Grundzustandsenergie pro

Teilchen im Jellium-Modell als Funktion des Dichteparameters rS

Das einfache Jellium-Modell liefert bereits recht brauchbare Ergebnisse, z. B.: ε − εcorr durchläuft ein Minimum bei r0 = rS min = 4,83 , ε − εcorr min = − 0,095 [ryd] = − 1,29 [eV] . Dies deutet auf eine optimale Elektronendichte hin, d. h. letztlich auf einen energetisch günstigen Ionenabstand, und erklärt damit, zumindest qualitativ, das Phänomen der metallischen Bindung. 2.1.3 Hubbard-Modell Die entscheidende Vereinfachung des Jellium-Modells besteht darin, die Festkörperionen lediglich als einen positiv geladenen, homogen verschmierten Hintergrund zu berücksichtigen, d. h. die kristalline Struktur vollständig zu vernachlässigen. Aus den Bloch-Funktionen werden dann ebene Wellen (2.44), sodass im Rahmen dieses Modells die Elektronen eine über den gesamten Kristall konstante Aufenthaltswahrscheinlichkeit besitzen. Man wird die Anwendung des Jellium-Modells deshalb von vornherein auf Elektronen aus breiten Energiebändern beschränken, also z. B. auf die Leitungselektronen der Alkalimetalle, für die diese Annahmen näherungsweise gültig sind. Die Elektronen schmaler Energiebänder besitzen eine vergleichsweise geringe Beweglichkeit und ausgeprägte Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeit an den einzelnen Gitterplätzen. Ebene Wellen sind zur Beschreibung solcher Bandelektronen natürlich unbrauchbar. Einen wesentlich besseren Startpunkt stellt dann die so genannte Tight-Binding-Näherung dar. (r) und eine schwache Beweglichkeit der Setzt man ein starkes Gitterpotential V Bandelektronen voraus, so sollte in der Nähe der Gitteratome der atomare HamiltonOperator

Hat =

Ni

h(i) at ,

(2.98)

i=1

der sich additiv aus denen der Einzelatome zusammensetzt, noch eine halbwegs vernünftige Beschreibung liefern, d. h. dem H0 aus (2.7) noch recht ähnlich sein: (2.99) h(i) at ϕn r − Ri = εn ϕn r − Ri .

2.1

Kristallelektronen

57

ϕn ist eine atomare Wellenfunktion, die wir als bekannt voraussetzen wollen. Der Index n symbolisiert einen Satz von Quantenzahlen. Uns interessiert der Fall, in dem die Funktionen ϕn nur wenig überlappen, falls sie um verschiedene Orte Ri , Rj zentriert sind. Das hat eine geringe Tunnelwahrscheinlichkeit der Elektronen von Atom zu Atom zur Folge und damit eine lediglich schwache Aufspaltung des Atomniveaus im Festörper, d. h. ein schmales Energieband. Für den Hamilton-Operator der nicht wechselwirkenden Elektronen (2.7), H0 =

Ne

h(i) 0 ,

(2.100)

i=1

machen wir den folgenden Ansatz: (2.101)

h0 = hat + V1 (r) .

Die Korrektur V1 (r) sollte also in der Nähe der Gitterionen klein sein, dagegen relativ stark in den Zwischenräumen, wo allerdings die ϕn praktisch schon auf Null abgefallen sind. Nach (2.13) haben wir eigentlich zu lösen: h0 ψnk (r) = εn (k)ψnk (r) .

(2.102)

Die volle Lösung dieses Eigenwertproblems erscheint außerordentlich kompliziert. Wir machen deshalb für die Bloch-Funktion ψnk (r) den folgenden Ansatz: Ni 1 e ik · Rj ϕn r − Rj . Ni j = 1

ψnk (r) = √

(2.103)

Dieser Ansatz erfüllt das Bloch-Theorem (2.15), ist in der Nähe der Ionenrümpfe (V1 (r) ≈ 0) praktisch exakt, während der Fehler in den Zwischenräumen wegen des geringen Überlapp der Wellenfunktionen dort im Rahmen bleiben dürfte. – Der Vergleich mit (2.29) zeigt, dass wir die exakten Wannier-Funktionen durch die atomaren Wellenfunktionen ersetzt haben. Mit (2.102) berechnen wir nun näherungsweise die Bloch-Energien εn (k). Zunächst gilt noch streng: ∗ 3 ϕn (r)h0 ψnk (r)d r = εn (k) ϕn∗ (r)ψnk (r)d3 r ,

ϕn∗ (r)V1 (r)ψnk (r)d3 r = εn (k) − εn

ϕn∗ (r)ψnk (r)d3 r .

Hier verwenden wir nun den Ansatz (2.103). Mit den Abkürzungen vn = d3 r V1 (r) ϕn (r) 2 , T0(n) = εn + vn , (j) αn = d3 r ϕn∗ (r)ϕn r − Rj ,

γn(j) =

d3 r ϕn∗ (r)V1 (r)ϕn r − Rj

(2.104) (2.105) (2.106) (2.107)

58


ergibt sich:

εn (k) − εn

Rj =/ 0 1 (j) ik · Rj = vn + √ γn − εn (k) − εn α(j) , n e Ni j

wobei wir die atomaren Wellenfunktionen als normiert vorausgesetzt haben. Für die Bloch-Energie bleibt dann:

εn (k) = εn +

vn + 1+

√1 Ni √1 Ni

=/ 0 (j) ik · Rj j γn e =/ 0 (j) ik · Rj j αn e

(2.108)

.

Die Überlapp-Integrale γn und αn sind nach Voraussetzung für Rj =/ 0 nur sehr kleine Größen, sodass wir getrost weiter vereinfachen können: εn (k) = T0(n) + γn(1) e ik · RΔ . (2.109) (j)

(j)

Δ

Δ indiziert die nächsten Nachbarn des Atoms im Koordinatenursprung. Die Summe lässt sich in der Regel leicht ausführen. So gilt für ein kubisch primitives Gitter: a(0, ±1, 0) ;

RΔ = a(±1, 0, 0) ;

a(0, 0, ±1) ,

εs.n c. (k) = T0(n) + 2γn(1) cos(kx a) + cos(ky a) + cos(kz a) .

(2.110)

a ist die Gitterkonstante, T0(n) und γn(1) sind Parameter, die dem Experiment entnommen werden müssen. γn(1) ist durch die Breite W des Bandes bestimmt: (2.111) Wns. c. = 12 γn(1) . Die Tight-Binding-Näherung, die zu (2.109) führte, ist streng genommen nur für so genannte s-Bänder in Ordnung. Für p-, d-, f - . . . -Bänder sind noch gewisse Entartungen zu berücksichtigen, auf die wir hier nicht näher eingehen wollen. Wir beschränken uns im Folgenden auf s-Bänder und lassen ab jetzt den Index n weg. Die Bloch-Energien (2.109) bzw. (2.110) zeigen jetzt deutlich den Einfluss der Kristallstruktur. Nur für sehr kleine |k| am Bandboden gilt noch in etwa die parabolische Dispersion ε(k) ⇒ ε0 (k) = h¯2 k2 | 2m, die im Jellium-Modell verwendet wird. In zweiter Quantisierung nimmt H0 dieselbe Gestalt wie in (2.33) an: Tij a+iσ ajσ . (2.112) H0 = ijσ

Die Tight-Binding-Näherung lässt für das Hopping-Integral, Tij =

1 ε(k) e ik · (Ri −Rj ) , Ni k

(2.113)

2.1

Kristallelektronen

59

nur elektronische Übergänge zwischen nächstbenachbarten Gitterplätzen zu. Für die Coulomb-Wechselwirkung der Bandelektronen gilt natürlich unverändert (2.55). Die Transformation in die Ortsdarstellung ergibt dann: Hee =

1 v(ij; kl) a+iσ a+jσ alσ akσ , 2

(2.114)

ijkl σ, σ

wobei das Matrixelement mit atomaren Wellenfunktionen zu bilden ist: v(ij; kl) = =

e2 4πε0

3

3

d r1 d r2

r 1 − r 2

ϕ∗ r1 − Ri ϕ∗ r2 − Rj ϕ r2 − Rl ϕ r1 − Rk

(2.115) .

Wegen des geringen Überlapps der um verschiedene Plätze zentrierten atomaren Wellenfunktionen wird das intraatomare Matrixelement U = v(ii; ii)

(2.116)

stark dominieren. Hubbard schlug vor, die Elektron-Elektron-Wechselwirkung deshalb auf diesen Anteil zu beschränken: Hubbard-Modell H=

ijσ

1 Tij a+iσ ajσ + U nˆ iσ nˆ i − σ 2 i, σ

(2.117)

(Schreibweise: σ =↑ (↓) ⇐⇒ −σ =↓ (↑)). Das Hubbard-Modell dürfte damit wohl das einfachste Modell sein, an dem man das Zusammenspiel von kinetischer Energie, Coulomb-Wechselwirkung, Pauli-Prinzip und Gitterstruktur studieren kann. Die drastischen Vereinfachungen, die zu (2.117) führten, bedingen natürlich eine entsprechend eingeschränkte Anwendbarkeit des Modells. Das Modell wird benutzt zur Diskussion von 1. elektronischen Eigenschaften von Festkörpern mit schmalen Energiebändern (z. B. Übergangsmetalle), 2. Bandmagnetismus (Fe, Co, Ni, . . . ), 3. Metall-Isolator-Übergängen („Mott-Übergänge“), 4. allgemeinen Gesetzmäßigkeiten der Statistischen Mechanik, 5. Hochtemperatur-Supraleitung. Trotz der einfachen Struktur liegt die exakte Lösung des Hubbard-Modells bis heute nicht vor. Man ist weiterhin auf Approximationen angewiesen. Beispiele werden in den nächsten Abschnitten diskutiert.

60


2.1.4 Aufgaben 2.1.1

Aufgabe 2.1.1 Ein Festkörper bestehe aus N = N 3 (N gerade) Einheitszellen im Volumen V = L3 L = aN . Für die erlaubten Wellenvektoren gelte infolge periodischer Randbedingungen:

2π N k= nx , ny , nz ; nx, y, z = 0, ±1, +2, . . . , ± − 1 , N |2 . L 2

Beweisen Sie die Orthogonalitätsrelation

δij =

1. BZ 1 exp ik · Ri − Rj . N k

Summiert wird über alle Wellenzahlen der ersten Brillouin-Zone.

2.1.2

Aufgabe 2.1.2 Berechnen Sie die folgenden, häufig auftretenden Integrale: 1. −α|r−r | 3 3 e ; α>0 I1 = d r d r |r − r | V

2.

V

d3 r

I2 = V

d3 r

V

e i(q·r+q ·r ) |r − r |

In beiden Fällen sei V endlich mit V → ∞.

2.1.3

Aufgabe 2.1.3 Leiten Sie mithilfe der fundamentalen Vertauschungsrelationen für Bloch-Operatoren a+kσ , akσ die entsprechenden für Wannier-Operatoren a+iσ , ajσ ab.

2.1

Kristallelektronen

61

Aufgabe 2.1.4 In der Theoretischen Festkörperphysik hat man es häufig mit Integralen vom Typ

+∞ dx g(x)f− (x) , I(T) =

−1 f− (x) = exp [β (x − μ)] + 1

−∞

zu tun. Diese werden von ihrem T = 0-Wert εF dx g(x)

I(T = 0) = −∞

durch einen Ausdruck abweichen, der praktisch allein durch das Verhalten der Funktion g(x) in der Fermi-Schicht (μ − 2kB T; μ + 2kB T) bestimmt ist, wobei μ das chemische Potential darstellt. Reihenentwicklungen sind deshalb vielversprechend! Setzen Sie voraus, dass g(x) → 0 für x → −∞, und dass g(x) für x → +∞ höchstens wie eine Potenz von x divergiert und regulär in der Fermi-Schicht ist. 1. Zeigen Sie, dass +∞ ∂ dx p(x) f− (x) I(T) = − ∂x −∞

gilt mit x dy g(y) .

p(x) = −∞

2.

Benutzen Sie eine Taylor-Entwicklung von p(x) um μ (chemisches Potential) für die folgende Darstellung des Integrals: I(T) = p(μ) + 2

∞ 1 − 21 − 2n β−2n ζ(2n)g (2n − 1) (μ) . n=1

g (2n − 1) (μ)

Dabei ist die (2n − 1)-te Ableitung der Funktion g(x) an der Stelle x = μ und ζ(n) die Riemann’sche ζ-Funktion:

ζ(n) =

∞ p=1

3.

−n

p

=

1 (1 − 21 − n )Γ(n)

∞ du

un − 1 . eu + 1

0

Berechnen Sie explizit die ersten drei Terme der Entwicklung für I(T).

2.1.4

62

2.1.5


Aufgabe 2.1.5 Das Sommerfeld-Modell kann viele elektronische Eigenschaften der so genannten einfachen Metalle wie Na, K, Mg, Cu, . . . in guter Näherung erklären. Es ist definiert durch die folgenden Modell-Annahmen: a) Ideales Fermi-Gas im Volumen V = L3 . b) Periodische Randbedingungen auf V. c) Konstantes Gitterpotential V(r) = const

1. 2. 3. 4. 5.

Geben Sie die Eigenenergien und Eigenfunktionen an. Berechnen Sie die Fermi-Energie und den Fermi-Wellenvektor als Funktion der Elektronendichte n = N | V. Wie hängt die mittlere Energie pro Elektron mit der Fermi-Energie zusammen? Bestimmen Sie die elektronische Zustandsdichte ρ0 (E). Benutzen Sie den dimensionslosen Dichteparameter rs aus Gleichung (2.83) zur Berechnung der Grundzustandsenergie E0 : E0 = N

2.1.6

2,21 [ryd] . rs2

Aufgabe 2.1.6 Diskutieren Sie einige thermodynamische Eigenschaften des in Aufg. 2.1.5 eingeführten Sommerfeld-Modells. 1. Berechnen Sie die Temperaturabhängigkeit der mittleren Besetzungszahl eines Ein-Teilchen-Niveaus. 2. Wie hängen Gesamtteilchenzahl N und innere Energie U(T) mit der Zustandsdichte ρ0 (E) zusammen? 3. Verifizieren Sie mithilfe der Sommerfeld-Entwicklung aus Aufg. 2.1.3, dass für das chemische Potential μ gilt: !

" π2 kB T 2 . μ = εF 1 − 12 εF 4 4. Berechnen Sie mit einer Genauigkeit von kB T |εF die innere Energie U(T) und die spezifische Wärme cV der Metallelektronen. 5. Berechnen und diskutieren Sie die Entropie

∂ kB T ln Ξ . ∂T Überprüfen Sie den Dritten Hauptsatz! Ξ ist die großkanonische ZustandsS=

summe.

2.1

Kristallelektronen

63

Aufgabe 2.1.7 1. Transformieren Sie den Operator der Elektronendichte

ρ=

2.1.7

N δ r −ri i=1

2. 3.

in die zweite Quantisierung mit Wannier-Zuständen als Ein-Teilchen-Basis. Leiten Sie mit dem Ergebnis aus 1. den Zusammenhang zwischen dem Elektronenzahl- und dem Elektronendichteoperator ab. Wie sieht der Elektronendichteoperator aus Teil 1. im Spezialfall des JelliumModells aus?

Aufgabe 2.1.8 Stellen Sie den Operator der Elektronendichte

2.1.8

N ρ= δ r −ri i=1

im Formalismus der zweiten Quantisierung durch Feldoperatoren dar.

Aufgabe 2.1.9 Transformieren Sie den Hamilton-Operator des Jellium-Modells in die zweite Quantisierung mit Wannier-Zuständen als Ein-Teilchen-Basis.

Aufgabe 2.1.10 Mithilfe des Elektronendichteoperators

ρ=

N δ r −ri i=1

berechnet man die so genannte Dichtekorrelation 1 d3 r ρ r − r, 0 ρ r , t G(r, t) = N sowie den dynamischen Strukturfaktor S(q, ω) =

+∞ d r dt G(r, t) e i (q · r−ωt) . 3

−∞

Als statischen Strukturfaktor bezeichnet man den Ausdruck +∞ dω S(q, ω) , S(q) = −∞

2.1.9

2.1.10

64


während die statische Paarverteilungsfunktion g(r) durch G(r, 0) = δ(r) + ng(r) (n = N | V) definiert ist. 1. Zeigen Sie, dass für die Dichtekorrelation G(r, t) =

2.

1 ρq ρ−q (t) e −iq · r NV q

gilt. Welche Bedeutung hat G(r, t)? Verifizieren Sie den Ausdruck ng(r) =

i =/ j 1 δ r + ri (0) − rj (0) . N i, j

3.

Überlegen Sie sich auch hier eine passende physikalische Interpretation. Beweisen Sie für den Strukturfaktor die folgenden Relationen: 1 S(q, ω) = N S(q) =

4.

2.1.11

+∞ dt e −iωt ρq ρ−q (t) , −∞

2π ρq ρ−q . N

Zeigen Sie, dass für T = 0 gilt: # $ 2π + 2 1 En − E0 . S(q, ω) = En ρq E0 δ ω − N n h¯ En sind die Eigenzustände des Hamilton-Operators, E0 ist der Grundzustand.

Aufgabe 2.1.11 1. Benutzen Sie die allgemeinen Resultate aus Aufg. 2.1.10, um mit den exakten Eigenzuständen des Sommerfeld-Modells den statischen Strukturfaktor S(q) zu bestimmen. Skizzieren Sie die q-Abhängigkeit. 2. Berechnen Sie ebenso die statische Paarverteilungsfunktion g(r). Skizzieren und diskutieren Sie die r-Abhängigkeit.

2.2

Gitterschwingungen

65

Aufgabe 2.1.12 Berechnen Sie in der Tight-Binding-Näherung die Bloch-Energien ε(k) für eine kubisch innenzentrierte und eine kubisch flächenzentrierte Gitterstruktur.

2.1.12

Aufgabe 2.1.13 Zeigen Sie, dass der Tight-Binding-Ansatz für die elektronische Wellenfunktion ϕnk (r) das Bloch-Theorem erfüllt.

2.1.13

2.2

2.2 Gitterschwingungen In Abschn. 2.1 wurden die Gitterionen als unbeweglich angenommen und lediglich Anregungen im Elektronensystem untersucht. Gemäß dem Programm nach (2.6) soll nun das Teilsystem der Ionen genauer diskutiert werden, d. h., der HamiltonOperator (2.3) wird jetzt im Mittelpunkt stehen. Überträgt man einem einzelnen Gitterion Energie, z. B. durch Teilchenstoß, so wird sich diese infolge der starken Ion-Ion-Wechselwirkung rasch auf das ganze Gitter verteilen. Aus der lokalen wird eine kollektive Anregung, an der letztlich alle Gitterbausteine beteiligt sind. Es ist deshalb zweckmäßig, bei der mathematischen Beschreibung anstelle von Ionenkoordinaten noch zu definierende Kollektivkoordinaten zu verwenden. In dieser Darstellung lassen sich die Gitterschwingungen dann quantisieren. Die entsprechenden Quanten heißen Phononen. 2.2.1 Harmonische Näherung Die für die Gitterschwingungen notwendigen rücktreibenden Kräfte sind die so genannten Bindungskräfte, die recht unterschiedlichen physikalischen Ursprungs sein können. Qualitativ hat das Paarpotential Vi Rα − Rβ jedoch stets den skizzierten (0) Verlauf. Das Potentialminimum definiert den Gleichgewichtsabstand Rαβ . Die so genannte harmonische Näherung besteht letztlich darin, den Kurvenverlauf durch eine Parabel anzunähern, was für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage vernünftig erscheint. Dies wollen wir nun etwas quantitativer diskutieren. Ausgangspunkt sei ein Bravais-Gitter mit einer p-atomigen Basis, das wie in (2.9) durch

Rsm = R m + Rs

(2.118)

Vi harmonische Näherung (0) Rαβ ´

Rα - Rβ

Abb. 2.4. Demonstration der harmonischen

Näherung für das Paarpotential im Festkörper

66


mit s = 1, 2, . . . , p und m ≡ m1 , m2 , m3 ; mi ∈ Z, Rm =

3

mi ai

(2.119)

i=1

beschrieben wird. Es sei xsm (t) :

momentane Position des (m, s)-Atoms ,

usm (t) :

Auslenkung des (m, s)-Atoms aus der Ruhelage.

Folglich gilt: xsm (t) = Rsm + usm (t) . Die kinetische Energie der Gitterionen lautet dann:

m 2 dus, i 1 Ms , i = x, y, z . Hi, kin = 2 m dt

(2.120)

(2.121)

s, i

Für die potentielle Energie schreiben wir: Hii = V xsm = V Rsm + usm .

(2.122)

Dabei stellt V0 = V

m Rs

(2.123)

die so genannte Bindungsenergie dar. Wir entwickeln V um die Gleichgewichtslage: V xsm = V0 + ϕm, s, i us,mi + m s, i

+

1 n, t, j m n ϕm, s, i us, i ut, j + O u3 . 2 m n s, i

(2.124)

t, j

Die harmonische Näherung besteht nun darin, den Rest O u3 zu vernachlässigen. Die Auslenkungen u betragen in der Regel weniger als 5% des Gitterabstandes, sodass die harmonische Näherung durchaus angemessen sein wird. Höhere, so genannte anharmonische Terme sollen uns deshalb zunächst nicht interessieren. Für die partiellen Ableitungen ϕ in (2.124) gilt: ∂V ϕm, s, i ≡ m = 0 . (2.125) ∂xs, i 0 Dies ist die Definition der Gleichgewichtsposition. Die zweiten Ableitungen bilden eine

2.2

Gitterschwingungen

67

Matrix der atomaren Kraftkonstanten n, t, j ϕm, s, i

∂2 V ≡ n m . ∂xt, j ∂xs, i 0

(2.126)

Zum Verständnis dieser bedeutenden Matrix dient die Feststellung: −ϕm, s, i ut,n j : n, t, j

Kraft in i-Richtung, die auf das (m, s)-Atom ausgeübt wird, wenn das (n, t)-Atom in j-Richtung um ut,n j ausgelenkt ist, und alle anderen Teilchen fest bleiben.

Die harmonische Näherung entspricht damit einem linearen Kraftgesetz wie beim harmonischen Oszillator: n, t, j ∂V Msüs,mi = − m = − ϕm, s, i ut,n j . (2.127) ∂us, i n t, j

Die Kraftkonstantenmatrix besitzt ein paar offensichtliche Symmetrien. Direkt aus der Definition folgt: n, t, j m, s, i ϕm, s, i ≡ ϕn, t, j .

(2.128)

Bei einer Translation des gesamten Festkörpers um Δx = Δx1 , Δx2 , Δx3 ändern sich die Kräfte natürlich nicht. Deswegen folgt aus n, t, j Δxj ϕm, − s, i = 0 n, t

j

die Beziehung

n, t, j ϕm, s, i = 0 .

(2.129)

n, t

Schließlich liefert noch die Translationssymmetrie: n, t, j t, j ϕm, s, i = ϕs, i (n − m) .

(2.130)

Zur Lösung von (2.127) machen wir nun einen ersten Ansatz der Form: uˆ s,mi us,mi = √ e −iωt . Ms

(2.131)

Dies ergibt die Eigenwertgleichung

ω2 uˆ s,mi =

n t, j

n, t, j

Dm, s, i uˆ t,n j

(2.132)

68


für die reelle und symmetrische Matrix

ϕ

. D= √ Ms Mt

(2.133)

Diese besitzt 3pN reelle Eigenwerte (ωs,mi )2 . Die Eigenwerte ωs,mi sind also ebenfalls reell oder rein imaginär. Nur die reellen Eigenwerte sind physikalische Lösungen. Durch Ausnutzung der Translationssymmetrie (2.130) wird die Dimension des Eigenwertproblems von 3pN auf 3p reduziert. s, t ω2 cs, i = Ki, j ct, j . (2.134) t, j

Dabei wurde definiert: cs, i us,mi = √ exp i q · Rm − ωt , Ms Ki,s,j t (q) =

ϕ0,p,s,t,ij exp iq · R p . √ M M s t p

(2.135)

(2.136)

Gleichung (2.134) ist eine Eigenwertgleichung für die Matrix K mit 3p Eigenwerten:

ω = ωr (q) , r = 1, 2, . . . , 3p .

(2.137)

Kristalle sind anisotrop. Die Dispersionszweige ωr (q) müssen deshalb für jede Raumrichtung q | |q| als Funktion von q = |q| bestimmt werden. Einzelheiten entnehme man dem Standardbeispiel diatomare, lineare Kette der Lehrbuchliteratur der Festkörperphysik. Man findet (Aufg. 2.2.1): 3 akustische Zweige ⇐⇒ ω(q = 0) = 0 , 3(p − 1) optische Zweige ⇐⇒ ω(q = 0) =/ 0 . Wegen periodischer Randbedingungen sind die Wellenzahlen q diskret. Ist G ein beliebiger reziproker Gittervektor, so gilt wegen exp(iG · R m ) = 1:

ωr (q + G) = ωr (q) .

(2.138)

Dies bedeutet, dass man die betrachteten Wellenzahlen q auf die erste Brillouin-Zone beschränken kann. Zeitumkehrinvarianz der Bewegungsgleichungen führt schließlich noch zu:

ωr (q) = ωr (−q) .

(2.139)

Zu jedem der 3p ωr -Werte hat die Gleichung (2.134) eine Lösung cs, i = ε(r) s, i (q) ,

(2.140)

2.2

Gitterschwingungen

69

die sich so wählen lässt, dass die Orthonormalitätsrelation

(r ) ε(r)∗ s, i (q) εs, i (q) = δr, r

(2.141)

s, i

erfüllt ist. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung (2.127) lautet schlussendlich: 3p 1. BZ 1 iq · R m Qr (q, t) ε(r) . us,mi (t) = √ s, i (q) e NMs r = 1 q

(2.142)

Dabei haben wir den Zeitfaktor exp −iωr (q)t mit in die Koeffizienten Qr (q, t) hineingezogen. Mit 1 exp i q − q · R m = δq, q N m findet man für die Normalkoordinaten Qr (q, t) 1 % −iq · R m Qr (q, t) = √ Ms us,mi (t) ε(r)∗ , s, i (q) e N m

(2.143)

s, i

die die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators

¨ r (q, t) + ω2r (q)Qr (q, t) = 0 . Q

(2.144)

erfüllen. 2.2.2 Phononengas Die harmonische Näherung des letzten Abschnitts liefert für die Lagrange-Funktion L = T − V des Ionensystems den folgenden Ausdruck:

L=

1 m 2 1 n, t, j m n Ms u˙ s, i − ϕm, s, i us, i ut, j . 2 m 2 m, s, i s, i

(2.145)

n, t, j

Wir wollen L in Normalkoordinaten darstellen. Zur Umformung benutzen wir: ⎧ ⎨1,

1 exp i q − q · R m = ⎩ N m 0

falls q − q = 0 oder G ,

(2.146)

sonst,

∗ = Qr (−q, t)ε(r) Qr (q, t) ε(r) s, i (q) s, i (−q) .

(2.147)

70


Gleichung (2.147) muss gelten, damit die Verschiebungen us,mi reell sind. Gleichung (2.146) haben wir schon verschiedentlich benutzt. 2 1 1 1 ˙ ˙ r q , t ε(r) Ms u˙ s,mi = Ms Qr (q, t) Q s, i (q) · 2 m 2 m N Ms s, i

q, q r, r

s, i

) i q + q · R m · ε(r = s, i q e

=

1 ˙ (r ) ˙ r (−q, t) Qr (q, t) Q ε(r) s, i (q) εs, i (−q) = 2 q s, i

(2.148)

r, r

=

1 ˙∗ ˙ r (q, t) . Q (q, t) Q 2 q, r r

Ganz analog bestimmen wir die potentielle Energie: 1 n, t, j m n ϕm, s, i us, i ut, j = 2 m, s, i n, t, j

=

1 n, t, j 1 ϕm, s, i √ Qr (q, t) Qr q , t · 2N m, s, i Ms Mt q, q r, r

n, t, j

(r ) iq · R m iq · ε(r) e s, i (q) εt, j q e

=

· Rn

=

1 (r ) Qr (q, t) Qr q , t ε(r) s, i (q) εt, j q · 2N s, i n, t, j

·

qq r, r

ϕs,t, ij (n − m) m n n e iq · (R − R ) e i q + q · R = √ Ms Mt m

1 (r ) = Qr (q, t) Qr q , t ε(r) s, i (q) εt, j q · 2 s, i t, j

q, q r, r

· Ki,s,tj (q) =

1 i q + q · R n e = N n

s, t ) 1 Qr (q, t) Qr (−q, t) ε(r) Kij (q) ε(r s, i (q) t, j (−q) = 2 s, i q r, r

=

1 2 (r ) ωr (−q) Qr (q, t) Qr (−q, t) ε(r) s, i (q) εs, i (−q) = 2 q s, i r, r

=

t, j

1 2 ω (q) Qr (q, t) Q∗r (q, t) . 2 q, r r

(2.149)

2.2

Gitterschwingungen

71

Insgesamt gilt damit für die Lagrange-Funktion: L=

1 ˙ ∗ ˙ r (q, t) − ω2r (q) Q∗r (q, t) Qr (q, t) . Qr (q, t) Q 2 r, q

(2.150)

Die zu den Normalkoordinaten kanonisch konjugierten Impulse,

∂L Πr (q, t) = ˙ = Q˙ ∗r (q, t) , ∂Qr brauchen wir für die klassische Hamilton-Funktion: 1 ∗ H= Πr (q, t) Πr (q, t) + ω2r (q) Q∗r (q, t) Qr (q, t) . 2 r, q

(2.151)

(2.152)

Dies ist ein bemerkenswertes Ergebnis, da wir durch Transformation auf Normalkoordinaten erreicht haben, dass die Hamilton-Funktion in eine Summe von 3pN ungekoppelten, linearen harmonischen Oszillatoren zerfällt. Der nächste Schritt ist die Quantisierung der klassischen Variablen. Die Verschiebungen us,mi und die Impulse Ms u˙ s,mi werden nun Operatoren mit den fundamentalen Vertauschungsrelationen: us,mi , ut,n j = Ms u˙ s,mi , Mt u˙ t,n j = 0 , (2.153) −

−

h¯ Ms u˙ s,mi , ut,n j = δm, n δs, t δi, j . − i

(2.154)

Durch Einsetzen erfolgen daraus die Vertauschungsrelationen für die Normalkoordinaten und deren kanonisch konjugierten Impulsen. Mit (2.143) und (2.153) ergibt sich unmittelbar: Qr (q), Qr q − = Πr (q), Πr q − = 0 . Für die dritte Relation benutzen wir (2.154):

Πr (q), Qr q

−

=

1 % iq · R m Ms Mt ε(r) · s, i (q) e N m n s, i

t, j

)∗ −iq · ε(r t, j q e

=

· Rn

1 Ms u˙ s,mi , ut,mj = Ms

h¯ 1 i (q − q ) · R m (r) e εs, i (q) εs,(ri)∗ q = iN m s, i

=

h¯ (r) εs, i (q) εs,(ri)∗ (q) δq,q . i s, i

(2.155)

72


Mit (2.141) folgt schließlich:

Πr (q), Qr q

−

=

h¯ δq, q δr, r . i

(2.156)

Wir führen als Nächstes neue Operatoren bqr , b+qr ein: ) Qr (q) =

h¯ bqr + b+−qr , 2ωr (q)

*

Πr (q) = i

(2.157)

1 h¯ωr (q) b+qr − b−qr . 2

(2.158)

Man liest direkt ab: Q+r (−q) = Qr (q) ;

Πr+ (−q) = Πr (q) .

(2.159)

Die Umkehrungen von (2.157) und (2.158) lauten: −1 | 2 bqr = 2h¯ωr (q) ωr (q)Qr (q) + i Πr+ (q) ,

(2.160)

−1 | 2 b+qr = 2h¯ωr (q) ωr (q)Q+r (q) − i Πr (q) .

(2.161)

Wir berechnen die Vertauschungsrelationen:

bqr , bq r − = −1 | 2 = 4h¯2 ωr (q)ωr q · = + iωr q Πr+ (q), Qr q · iωr (q) Qr (q), Πr+ q −

−

−1 | 2 = 4h¯2 ωr (q)ωr q ·

h¯ h¯ δrr δ−q,q = · iωr (q) − δrr δq,−q + iωr q i i =0, bqr , b+q r = −

−1 | 2 = 4h¯2 ωr (q)ωr q · + + = · −iωr (q) Qr (q), Πr q + iωr q Πr (q), Qr q −

−

2.2

Gitterschwingungen

73

−1 | 2 = 4h¯2 ωr (q) ωr q ·

h¯ h¯ = δr, r δ−q, −q · −iωr (q) − δr, r δqq + iωr q i i = δrr δqq . bqr , b+qr sind also Bose-Operatoren:

bqr , bq r − = b+qr , bq r = 0 ,

(2.162)

bqr , b+q r = δqq δrr .

(2.163)

−

−

Wir sind nun in der Lage, die Hamilton-Funktion zu quantisieren: 1 + 2 + H= Π (q) Πr (q) + ωr (q) Qr (q) Qr (q) = 2 r q, r =

1 = h¯ωr (q) bqr − b+−qr b+qr − b−qr + b+qr + b−qr bqr + b+−qr 4 qr

=

1 h¯ωr (q) bqr b+qr + b+−qr b−qr + b+qr bqr + b−qr b+−qr = 4 qr

=

1 h¯ωr (q) 2b+qr bqr +2b+−qr b−qr +2 . 4 qr

Wir können noch (2.139) ausnutzen und erhalten dann in der verwendeten harmonischen Näherung als Hamilton-Operator für die quantisierten Schwingungen des Ionen-Gitters: 1 . (2.164) h¯ωr (q) b+qr bqr + H= 2 qr Es handelt sich um ein System von 3pN ungekoppelten harmonischen Oszillatoren. Wir haben in (2.157), (2.158) die Zeitabhängigkeit der Normalkoordinaten Qr und deren kanonischen Impulse unterdrückt. Wie in (2.142) vereinbart, gilt für diese einfach: Qr (qt) = Qr (q) e −iωr (q)t .

(2.165)

bqr (t) = bqr e −iωr (q)t .

(2.166)

Dies impliziert nach (2.157):

74


Wir zeigen, dass dieses Resultat mit

i i bqr (t) = exp Ht bqr exp − Ht h¯ h¯ übereinstimmt. Dazu beweisen wir die Behauptung n bqr H n = h¯ωr (q) + H bqr ,

(2.167)

(2.168)

und zwar durch vollständige Induktion: n = 1:

bqr , H − = h¯ωr q bqr , b+q r bq r = h¯ωr (q) bqr −

q , r

⇒ bqr H = h¯ωr (q) + H bqr . n⇒n+1: n bqr H n + 1 = bqr H n H = h¯ωr (q) + H bqr H = n + 1 = h¯ωr (q) + H bqr . Dies beweist die Behauptung (2.168). Damit folgt dann weiter:

∞ (−i | h¯)n n −i bqr exp Ht = t bqr H n = h¯ n! n=0

$ # i = exp − h¯ωr (q) + H t bqr . h¯

Nach Einsetzen in (2.167) folgt hieraus (2.166). Die beiden Beziehungen sind also äquivalent. Das wesentliche Resultat dieses Abschnitts ist (2.164). Es macht deutlich, dass die Energie der Gitterschwingungen quantisiert ist. Das Elementarquant h¯ωr (q) wird als die Energie des Quasiteilchens Phonon gedeutet. Im einzelnen trifft man die folgenden Zuordnungen: b+qr :

Erzeugungsoperator eines (q, r)-Phonons,

bqr :

Vernichtungsoperator eines (q, r)-Phonons,

h¯ωr (q) :

Energie des (q, r)-Phonons.

Phononen sind Bosonen! Jeder Schwingungszustand kann deshalb mit beliebig vielen Phononen besetzt sein. Die in diesem Abschnitt zugrundegelegte harmonische Näherung benutzt letztlich als Modell des Ionengitters ein wechselwirkungsfreies Phononengas. Die in der

2.2

Gitterschwingungen

75

Entwicklung (2.124) vernachlässigten Terme von dritter oder noch höherer Ordnung in den Auslenkungen us,mi für das Potential V (Anharmonizität des Gitters) lassen sich als Kopplung, d. h. Wechselwirkung zwischen den Phononen, deuten. Sie sind wichtig zur Beschreibung von Effekten wie thermische Ausdehnung, Einstellung des thermischen Gleichgewichts, Wärmeleitung, Hochtemperaturverhalten von cp , cV , . . . 2.2.3 Aufgaben Aufgabe 2.2.1 Gegeben sei eine aus zwei verschiedenen Atomtypen (Massen m1 , m2 ) aufgebaute lineare Kette: n -1 f

n-2 m1

m2

2.2.1

n +1

n

r0

a z

Abb. 2.5. Modell der linearen diatomaren Kette

Die Wechselwirkung zwischen den Atomen kann in guter Näherung als auf nächste Nachbarn beschränkt angesehen werden. Im Rahmen der harmonischen Näherung (lineares Kraftgesetz) lässt sich die Kopplung zwischen benachbarten Atomen durch eine Federkonstante f ausdrücken. 1. Beschreiben Sie die Kette als lineares Bravais-Gitter mit zweiatomiger Basis. Bestimmen Sie die primitiven Translationen und die Vektoren des (reziproken) Gitters sowie die erste Brillouin-Zone. 2. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für longitudinale Gitterschwingungen auf. 3. Begründen und benutzen Sie den Lösungsansatz cα exp i qRn − ωt unα = √ mα 4.

für die Auslenkung des (n, α)-Atoms aus seiner Ruhelage. Skizzieren Sie für eine qualitative Diskussion die Dispersionszweige. Untersuchen Sie insbesondere die Spezialfälle q = 0, +π | a, −π | a, 0 < q h¯ω(q) 2 , ε(k + q) − ε(k) 2 < h¯ω(q) 2 .

Letztere Möglichkeit erkärt die Stabilität der Cooper-Paare, ist damit Grundlage für das Verständnis der Supraleitung. 2.3.3 Aufgaben 2.3.1

Aufgabe 2.3.1 Die Ausgangsidee der BCS-Theorie der Supraleitung ist die durch virtuellen Phononenaustausch vermittelte Formation von Leitungselektronen zu so genannten Cooper-Paaren, d. h. je zwei Elektronen mit entgegengesetzten Wellenvektoren und entgegengesetzten Spins,

(k ↑, −k ↓) , bilden einen gebundenen Zustand. Definieren Sie geeignete Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Cooper-Paare! Berechnen Sie die zugehörigen fundamentalen Vertauschungsrelationen! Sind Cooper-Paare Bosonen?

2.3

Elektron-Phonon-Wechselwirkung

85

Aufgabe 2.3.2 Die normale Elektron-Phonon-Wechselwirkung sorgt für eine durch Phononenaustausch induzierte effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung, die unter bestimmten Umständen auch anziehend sein kann (Abschn. 2.3.3). Betrachten Sie das folgende Modell: a) N wechselwirkungsfreie Elektronen in Zuständen k ≤ kF , alle Zustände mit k > kF unbesetzt ⇐⇒ gefüllte Fermi-Kugel |FK . b) Zwei zusätzliche Elektronen mit entgegengesetzten Wellenzahlen und entgegengesetzten Spins (Cooper-Paar, s. Aufg. 2.3.1) wechselwirken gemäß ⎧ ⎨−V , falls ε(k + q) − ε(k) ≤ h¯ω , D Vk (q) = ⎩ 0 , sonst

(ωD : Debye-Frequenz). 1. 2.

Formulieren Sie den Modell-Hamilton-Operator. Begründen Sie den Ansatz |ψ = ασ (k) a+kσ a+−k − σ |FK k, σ

für den Cooper-Paar-Zustand und zeigen Sie, dass

ασ (k) = −α−σ (−k) 3.

sein muss. Verifizieren Sie, dass aus der Normierung von | ψ und |FK k > kF k, σ

folgen muss.

ασ (k) 2 = 1

2.3.2

86

2.3.3


Aufgabe 2.3.3 Betrachten Sie weiterhin das in Aufg. 2.3.2 definierte CooperModell mit dem Ansatz | ψ für den Cooper-Paar-Zustand: 1. Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert der kinetischen Energie im Zustand | ψ gilt:

ψ | T | ψ = 2 2.

k > kF k, σ

ε(k) ασ (k) 2 + 2

k < kF

ε(k) .

k

Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert der potentiellen Energie im Zustand | ψ gilt: k, |k + q| > kF ψ | V | ψ = 2 Vk (q) α∗σ (k + q) ασ (k) . k, q, σ

2.3.4

Aufgabe 2.3.4 Betrachten Sie weiterhin das in Aufg. 2.3.2 definierte CooperModell mit dem Ansatz | ψ für den Cooper-Paar-Zustand: 1. Bestimmen Sie optimale Entwicklungskoeffizienten ασ (k) durch Minimierung der in Aufg. 2.3.3 berechneten Energie E = ψ | H | ψ . Beachten Sie dabei die aus der Normierung von | ψ folgende Nebenbedingung aus Aufg. 2.3.2, 3. 2. Zeigen Sie, dass die Energie des Cooper-Paares kleiner ist als die Energie zweier nicht miteinander wechselwirkender Elektronen an der FermiKante. Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus? Hinweis: k-Summationen lassen sich bisweilen günstig mithilfe der freien Bloch-Zustandsdichte 1 ρ0 (ε) = δ ε − ε(k) N k

in einfachere Energieintegrationen verwandeln!

2.3

Elektron-Phonon-Wechselwirkung

87

Aufgabe 2.3.5 Zur BCS-Theorie der Supraleitung (Phys. Rev. 108, 1175 (1957)): Das BCS-Modell unterdrückt von vorneherein alle die Wechselwirkungen, die für die normal- und die supraleitende Phase denselben Beitrag liefern. Es beschränkt sich deshalb auf den anziehenden Teil der phononeninduzierten Elektron-Elektron-Wechselwirkung. Als Testzustände für ein Variationsverfahren zur Berechnung der BCS-Grundzustandsenergie (⇐⇒ Unterschied der Grundzustandsenergien in normal- und supraleitender Phase) werden Produktzustände von Cooper-Paar-Zuständen gewählt, da letztere nach Aufg. 2.3.4 zu einer Energieabsenkung führen: $ #, uk + vk b+k |0 , |0 : Teilchenvakuum, |BCS = k

b+k = a+k↑ a+−k↓ : Cooper-Paar-Erzeugungsoperator (s. Aufg. 2.3.1). Die Koeffizienten uk und vk seien reell. 1. Zeigen Sie, dass aus der Normierung des Zustands |BCS u2k + vk2 = 1 2.

folgt. Berechnen Sie die folgenden Erwartungswerte: BCS | b+k bk | BCS ; BCS | b+k bk 1 − b+p bp | BCS ;

BCS | b+k bk b+p bp | BCS ; BCS | b+p bk | BCS .

2.3.5

88

2.3.6


Aufgabe 2.3.6 Zur BCS-Theorie der Supraleitung (Phys. Rev. 108, 1175 (1957)): Das BCS-Modell der Supraleitung beschränkt, wie in Aufg. 2.3.5 bereits erklärt, die Elektron-Elektron-Wechselwirkung auf den phononen-induzierten anziehenden Beitrag (s. Aufg. 2.3.2). Mit dem Variationsansatz |BCS aus Aufg. 2.3.5 wird eine obere Schranke der Grundzustandsenergie berechnet. 1. Begründen Sie den Modell-Hamilton-Operator:

HBCS =

k, σ

2.

k =/ p

t(k) a+kσ akσ

−V

b+p bk ;

t(k) = ε(k) − μ .

k, p

Berechnen Sie: E = BCS | HBCS | BCS .

3.

Zeigen Sie, dass für den Gap-Parameter

Δk = V

=/ k

up vp

p

aus der Minimum-Bedingung für E = E {vk } folgt:

Δk = 4.

2.3.7

=/ k −1 | 2 V 2 Δp t (p) + Δ2p . 2 p

Drücken Sie vk2 , u2k , E0 = E({vk }) min durch Δk und t(k) aus.

Aufgabe 2.3.7 Zur Ableitung der effektiven Elektron-Elektron-Wechselwir+ aus der eigentlichen Elektron-Phonon-Wechselwirkung H wird eine kung H kanonische Transformation (2.185),

+ = e −S H e S , H durchgeführt. Warum muss S+ = −S gefordert werden? Wird diese Forderung von der Lösung (2.186), (2.190), (2.191) erfüllt?

2.4

2.4 Spinwellen Besonders intensive Anwendung finden die Konzepte der Viel-Teilchen-Theorie im Bereich des Magnetismus. Für dieses an sich recht alte Phänomen existiert bis heute keine abgeschlossene Theorie. Man ist auf Modell-Vorstellungen angewiesen, die auf spezielle Erscheinungsformen des Magnetismus zugeschnitten sind. Die wichtigsten sollen in diesem Abschnitt entwickelt werden.

2.4

Spinwellen

89

2.4.1 Klassifikation der magnetischen Festkörper Mithilfe der magnetischen Suszeptibilität

∂M χ= (M : Magnetisierung) ∂H T

(2.194)

lassen sich die Erscheinungsformen des Magnetismus grob in drei Klassen einteilen: Diamagnetismus, Paramagnetismus, „kollektiver“ Magnetismus. Beim 1) Diamagnetismus handelt es sich im Grunde genommen um einen reinen Induktionseffekt. Das äußere Magnetfeld H induziert magnetische Dipole, die nach der Lenz’schen Regel dem erregenden Feld entgegengerichtet sind. Typisch für den Diamagneten ist deshalb eine negative Suszeptibilität:

χdia < 0 ; χdia (T, H) ≈ const .

(2.195)

Diamagnetismus ist natürlich eine Eigenschaft aller Stoffe. Man spricht von einem Diamagneten deshalb auch nur dann, wenn nicht zusätzlich noch Paramagnetismus oder kollektiver Magnetismus vorliegen, die den relativ schwachen Diamagnetismus überkompensieren. Entscheidende Voraussetzung für 2) Paramagnetismus ist die Existenz von permanenten magnetischen Momenten, die von dem äußeren Feld H ausgerichtet werden, wozu die thermische Bewegung der Elementarmagnete in Konkurrenz steht. Typisch ist deshalb: i. a.

χpara > 0 ; χpara (T, H) = χpara (T) .

(2.196)

Es kann sich bei den permanenten Momenten um 2a) lokalisierte Momente handeln, die aus einer nur teilweise gefüllten Elektronenschale resultieren. Ist diese durch weiter außen liegende, vollständig gefüllte Schalen hinreichend gegenüber Umwelteinflüssen abgeschirmt, so werden sich die Elektronen dieser Schale nicht am elektrischen Strom beteiligen, sondern sich stets im Bereich ihres Mutterions aufhalten. Prominente Beispiele sind die 4f -Elektronen der Seltenen Erden. – Eine nicht vollständig gefüllte Elektronenschale besitzt in der Regel ein resultierendes magnetisches Moment. Ohne äußeres Feld sind die Richtungen der Momente statistisch verteilt, sodass der Festkörper als Ganzes kein Moment aufweist. Im Feld ordnen

90


sich die Momente, wobei die Suszeptibilität bei nicht zu tiefen Temperaturen das so genannte Curie-Gesetz

χpara (T) ≈

C T

(C = const)

(2.197)

befolgt. Ein solches System nennt man einen Langevin-Paramagneten. Es kann sich bei den permanenten Momenten eines Paramagneten aber auch um 2b) itinerante Momente von quasifreien Leitungselektronen handeln, von denen jedes ein Bohr’sches Magne ton 1μB mit sich führt. Man spricht in diesem Fall von Pauli-Paramagnetismus, dessen Suszeptibilität als Folge des Pauli-Prinzips in erster Näherung temperaturunabhängig ist.

Dia- und Paramagnetismus kann man als im Wesentlichen verstanden ansehen. Sie sind mehr oder weniger Eigenschaften des Einzelatoms, also keine typischen Viel-Teilchen-Phänomene. Uns interessiert hier deshalb ausschließlich der 3) „kollektive“ Magnetismus, der aus einer charakteristischen, nur quantenmechanisch verständlichen Austauschwechselwirkung zwischen permanenten magnetischen Dipolen resultiert. Diese permanenten Momente können wiederum lokalisiert Gd, EuO, Rb2 MnCl4

oder aber auch itinerant (Fe, Co, Ni) sein. Die Austauschwechselwirkung führt zu einer kritischen Temperatur T ∗ , unterhalb der sich die Momente spontan, d. h. ohne äußeres Feld, ordnen. Oberhalb T ∗ benehmen sie sich wie beim normalen Paramagneten. Die Suszeptibilität ist für T < T ∗ im Allgemeinen eine komplizierte Funktion des Feldes und der Temperatur, die zudem auch noch von der Vorbehandlung der Probe abhängt: (2.198) χKM = χKM (T, H, Vorgeschichte) T ≤ TC . Der kollektive Magnetismus lässt sich in drei große Unterklassen gliedern: 3a) Ferromagnetismus In diesem Fall heißt die kritische Temperatur

T ∗ = TC :

Curie-Temperatur.

2.4

Spinwellen

91

Bei T = 0 sind alle Momente parallel ausgerichtet (ferromagnetische Sättigung). Diese Ordnung wird mit wachsender Temperatur geringer. Es bleibt für 0 < T < TC aber noch eine Vorzugsrichtung, d. h. eine spontane Magnetisierung der Probe, die bei TC dann verschwindet. Oberhalb TC ist das System paramagnetisch mit einem charakteristischen Hochtemperaturverhalten der Suszeptibilität, das man das CurieWeiß-Gesetz nennt: C T >> TC . (2.199) χ(T) = T − TC 3b) Ferrimagnetismus Das Gitter zerfällt in diesem Fall in zwei ferromagnetische Untergitter A und B mit unterschiedlichen spontanen Magnetisierungen:

M A =/ M B :

M A + M B = M =/ 0 für T < TC .

(2.200)

3c) Antiferromagnetismus Dies ist ein Spezialfall des Ferrimagnetismus. Unterhalb einer kritischen Temperatur, die hier

T ∗ = TN :

Néel-Temperatur

heißt, ordnen sich die beiden Untergitter ferromagnetisch mit entgegengesetzt gleichen spontanen Magnetisierungen: (2.201) T < TN : M A = M B =/ 0 ; M = M A + M B ≡ 0 . Oberhalb TN ist das System normal paramagnetisch mit einem linearen Hochtemperatur-Verhalten der inversen Suszeptibilität, ähnlich wie beim Ferromagneten:

χ(T) =

C T−Θ

T >> TN .

(2.202)

Θ nennt man die paramagnetische Curie-Temperatur. Sie ist in der Regel negativ. 2.4.2 Modellvorstellungen Wegen der noch ausstehenden abgeschlossenen Theorie des Magnetismus sind Modellvorstellungen unverzichtbar, die sich jeweils auf ganz spezielle Erscheinungsformen des Phänomens beziehen. Dabei geht es ausschließlich um den kollektiven Magnetismus, wobei der der Isolatoren und der der Metalle unterschiedlich behandelt werden müssen. 1) Isolatoren Der Magnetismus wird bewirkt von lokalisierten magnetischen Momenten, die einer unvollständig gefüllten Elektronenschale (3d-, 4d-, 4f - oder 5f -) zuzuschreiben sind.

92


Beispiele: Ferromagnete:

CrBr3 , K2 CuF4 , EuO, EuS , CdCr2 Se4 , Rb2 CrCl4 , . . .

Antiferromagnete: MnO, EuTe, NiO, RbMnF3 , Rb2 MnCl4 , . . . Ferrimagnete:

MO · Fe2 O3

(M = zweiwertiges Metallion wie

Fe, Ni, Cd, Mg, Mn, . . . ) Diese Substanzen werden sehr realistisch beschrieben durch das so genannte Heisenberg-Modell H=−

Jij Si · Sj .

(2.203)

i, j

Mit jedem lokalisierten magnetischen Moment ist ein Drehimpuls J i verknüpft: mi = μB Li + 2Si ≡ μB gJ · J i .

(2.204)

Li ist der Bahn-, Si der Spinanteil und gJ der Landé-Faktor. Wegen Si = gJ − 1 J i

(2.205)

kann man die Austauschwechselwirkung zwischen den Momenten als eine solche zwischen den zugehörigen Spins formulieren. Der Index i bezieht sich auf den Gitterplatz. Die Koppelkonstanten Jij werden Austauschintegrale genannt. Der Heisenberg-Hamilton-Operator (2.203) ist als ein effektiver Operator zu verste hen. Die Spin-Spin-Wechselwirkung Si · Sj , angewendet auf entsprechende Spinzustände, simuliert den Beitrag der Austauschmatrixelemente der Coulomb-Wechselwirkung (vgl. (2.90)), von denen man annimmt, dass sie für die spontane Magnetisierung verantwortlich sind. So gut das Heisenberg-Modell zu den magnetischen Isolatoren passt, so unbrauchbar ist es zur Beschreibung magnetischer Metalle.

Jij Si

Sj

Abb. 2.8. Modell eines Ferromagneten mit lokalisierten magnetischen Momenten. Jij sind die Austauschintegrale

2.4

Spinwellen

93

2) Metalle Es empfiehlt sich eine Unterteilung in solche magnetische Metalle, bei denen Magnetismus und elektrische Leitfähigkeit von derselben Elektronengruppe bewirkt werden, und solche, bei denen diese Eigenschaften verschiedenen Elektronengruppen zuzuschreiben sind. Im ersten Fall spricht man von 2a) Bandmagnetismus Prominente Vertreter dieser Klasse sind Fe, Co und Ni. Eine quantenmechanische Austauschwechselwirkung sorgt bei T < TC für eine spinabhängige Bandverschiebung. Da die beiden Spinbänder bis zur gemeinsamen Fermi-Kante EF mit Elektronen gefüllt sind, folgt

N↑ > N↓

T < TC

und damit ein spontanes magnetisches Moment. Man beobachtet, dass Bandmagnetismus vor allem in schmalen Energiebändern möglich ist, und glaubt deshalb, das Phänomen durch das in Abschn. 2.1 diskutierte Hubbard-Modell (2.117) erklären zu können.

ρ

EF

ρ¯

E Abb. 2.9. Austauschaufspaltung der Zustandsdichte

ρ(¯) : Zustandsdichte

für (¯) - Elektronen

eines Ferromagneten unterhalb der Curie-Temperatur. Die Zustände bis zur Fermi-Energie EF sind mit Elektronen besetzt

2b) „Lokalisierter“ Magnetismus Der Prototyp dieser Klasse ist das 4f -Metall Gd. Der Magnetismus wird von lokalisierten 4f -Momenten getragen, die man realistisch durch das Heisenberg-Modell (2.203) beschreibt. Der elektrische Strom wird von quasi frei beweglichen Leitungselektronen hervorgerufen, die man z. B. im Jellium-Modell (Abschn. 2.1.2) oder aber auch im Hubbard-Modell (Abschn. 2.1.3) verstehen kann. Interessante Phänomene resultieren aus einer Wechselwirkung zwischen den lokalisierten 4f -Momenten und den itineranten Leitungselektronen. Sie kann z. B. zu einer effektiven Kopplung der 4f Momente Anlass geben und damit den Magnetismus verstärken. Sie kann aber auch über Streuung der Leitungselektronen an den Momenten zum elektrischen Widerstand beitragen. Ein angemessenes Modell ist das so genannte

94


s-f (s-d)-Modell H = H (Hubbard, Jellium) + H (Heisenberg) − g

σ i · Si .

(2.206)

i

σ ist der Spinoperator des Leitungselektrons am Ort Ri , g eine entsprechende Koppelkonstante. 2.4.3 Magnonen Es gibt interessante Analogien zwischen den in Abschn. 2.2 behandelten Gitterschwingungen und den Elementaranregungen eines Ferromagneten. Die Oszillationen der Gitterionen um ihre Gleichgewichtspositionen lassen sich in Normalmoden mit quantisierten Amplituden zerlegen. Die Quantisierungseinheit heißt Phonon. Die den Normalmoden des Gitters entsprechenden Oszillationen der Ferromagneten werden nach Bloch

Spinwellen genannt, und ihre Quantisierungseinheit ist das Magnon. Dieses soll nun im Rahmen des Heisenberg-Modells (2.203) genauer analysiert werden. – Mit der üblichen Vereinbarung Jij = Jij (2.207) Jij = Jji ; Jii = 0 ; J0 = i

und den bekannten Spinoperatoren y Sj = Sjx , Sj , Sjz , Sj± = Sjx ± i Sj , y

j

(2.208) (2.209)

1 + 1 + y Sj + Sj− ; Sj = Sj − Sj− (2.210) 2 2i lässt sich das Skalarprodukt im Heisenberg-Hamilton-Operator in Komponenten zerlegen: 1 + − Si Sj + Si− Sj+ + Siz Sjz Si · Sj = 2 (2.211) 1 ⇒ H=− Jij Si+ Sj− + Siz Sjz − gJ μB B0 Siz . h¯ i Sjx =

i, j

Gegenüber (2.203) haben wir den Hamilton-Operator um einen Zeeman-Term erweitert, um die Wechselwirkung der lokalisierten Momente mit dem äußeren Feld B0 = μ0 H zu berücksichtigen.

2.4

Spinwellen

95

Bisweilen ist es zweckmäßig, die Spinoperatoren im k-Raum zu verwenden: S α (k) =

e −i k · Ri Siα ,

(2.212)

1 i k · Ri α e S (k) , N

(2.213)

i

Siα =

k

mit (α = x, y, z, +, −). Aus den bekannten Vertauschungsrelationen im Ortsraum, y Six , Sj = i h¯ δij Siz und zyklisch, −

(2.214)

Siz , Sj± = ±h¯ δij Si± ,

(2.215)

Si+ , Sj− = 2h¯ δij Siz ,

(2.216)

−

−

folgen unmittelbar die im k-Raum: [S + (k1 ), S − (k2 )]− = 2h¯S z k1 + k2 ,

(2.217)

z

S (k1 ), S± (k2 ) − = ±h¯S ± k1 + k2 ,

(2.218)

+ + S (k) = S − (−k) .

(2.219)

Mit den wellenzahlabhängigen Austauschintegralen, J(k) =

1 Jij e i k · (Ri − Rj ) , N

(2.220)

i, j

lässt sich dann der Hamilton-Operator (2.211) auf Wellenzahlen umschreiben: H =−

1 J(k) S + (k)S − (−k) + S z (k)S z (−k) − N k

(2.221)

1 − gJ μB B0 S z (0) . h¯ Der Grundzustand |S des Heisenberg-Ferromagneten entspricht der totalen Ausrichtung aller Spins. Wir berechnen zunächst seinen Energieeigenwert. Die Wirkung der Spinoperatoren auf |S ist unmittelbar klar: Siz |S = h¯S |S ⇒ S z (k) |S = h¯NS |S δk, 0 ,

(2.222)

Si+ |S = 0 ⇒ S + (k) |S = 0 .

(2.223)

96


Damit folgt: −

1 J(k)S + (k)S − (−k) |S = N k

=−

1 J(k) S − (−k)S + (k) + 2h¯S z (0) |S = N k

= −2N h¯2 SJii |S = 0 , −

1 J(k)S z (k)S z (−k) |S = N k

1 J(0)S z (0) |S = −NJ0 h¯2 S 2 |S . N Dies ergibt die Grundzustandsenergie E0 des Heisenberg-Ferromagneten: = −h¯NS

H |S = E0 |S , E0 = −NJ0 h¯2 S 2 − NgJ μB B0 S .

(2.224)

Wir zeigen nun, dass der Zustand S − (k) |S ebenfalls ein Eigenzustand zu H ist. Dazu berechnen wir den folgenden Kommutator:

[H, S − (k)]− =−

1 J(p) [S + (p), S − (k)]− S − (−p) + N p

+ Sz (p) [S z (−p), S − (k)]− + [S z (p), S − (k)]− S z (−p) − 1 − gJ μB B0 [S z (0), S − (k)] = h¯ 1 J(p) 2h¯S z (k + p)S − (−p) − h¯S z (p)S − (k − p) − =− N p − h¯S − (k + p)S z (−p) + gJ μB B0 S − (k) = = gJ μB B0 S − (k) −

1 J(p) −2h¯2 S − (k) + N p

+ 2h¯S − (−p)S z (k + p) + h¯2 S − (k) − h¯S − (k − p)S z (p) − − h¯S − (k + p)S z (−p) .

2.4

Spinwellen

97

Wegen Jii = bleibt schließlich:

[H, S − (k)]− = gJ μB B0 S − (k) −

1 J(p) = 0 N p

(2.225)

h¯ J(p) 2S − (−p)S z (k + p) − N p

(2.226)

− S (k − p)S (p) − S (k + p)S (−p) . −

z

−

z

Die Anwendung dieses Kommutators auf den Grundzustand |S ergibt: [H, S − (k)]− |S = h¯ω(k) S − (k) |S , h¯ω(k) = gJ μB B0 + 2Sh¯2 J0 − J(k) .

(2.227) (2.228)

Dabei haben wir noch J(k) = J(−k) ausgenutzt. Unsere Behauptung, dass S − (k) |S Eigenzustand zu H ist, ist jetzt leicht zu zeigen: H S − (k) |S = S − (k)H |S + [H, S − (k)]− |S = = E(k) S − (k) |S ,

(2.229)

E(k) = E0 + h¯ω(k) .

(2.230)

Setzt man den Grundzustand |S als normiert voraus, so folgt: S| S + (−k)S − (k) |S = S| 2h¯S z (0) + S − (k)S + (−k) |S = 2h¯2 NS . Wir haben damit das folgende wichtige Schlussresultat: Der normierte Ein-Magnonenzustand 1 |k = √ S − (k) |S h¯ 2SN

(2.231)

ist Eigenzustand zur Energie E(k) = E0 + h¯ω(k) . Dies entspricht der Anregungsenergie h¯ω(k) = gJ μB B0 + 2Sh¯2 J0 − J(k) ,

(2.232)

die dem Quasiteilchen Magnon zugeschrieben wird. Der Feldterm gJ μB B0 gibt weiteren Aufschluss. Man erkennt daran, dass sich das magnetische Moment der Probe im

98


Zustand |k gegenüber dem Grundzustand |S gerade um gJ μB geändert hat. Das Magnon hat deshalb einen Spin S = 1: Magnonen sind Bosonen! Ein weiteres interessantes Ergebnis liefert der Erwartungswert des lokalen Spinoperators Siz im Ein-Magnonenzustand |k : k | Siz | k = 1 S | S + (−k)Siz S − (k) | S = 2SN h¯2 1 = e i q · Ri S | S + (−k)S z (q)S − (k) | S = 2SN 2 h¯2 q

=

=

1 e i q · Ri S| S + (−k) −h¯S − (k + q) + S − (k)S z (q) |S = 2 2 2SN h¯ q

=

1 e i q · Ri −2h¯2 S | S z (q) | S + h¯NSδq, 0 2h¯ S | S z (0) | S = 2 2 2SN h¯ q

=

1 −2h¯2 N h¯S + 2h¯2 NSN h¯S = 2SN 2 h¯2

= h¯S −

h¯ . N

Wir haben also das bemerkenswerte Ergebnis

1 z k | Si | k = h¯ S − N

∀i, k .

(2.233)

Die rechte Seite ist unabhängig von i und k. Dies bedeutet, dass sich die Spindeviation 1h¯ des Ein-Magnonenzustands |k gleichmäßig über alle Gitterplätze Ri verteilt. Gegenüber dem total geordneten Grundzustand |S mit S | Siz | S = h¯S ∀i

(2.234)

ergibt sich pro Gitterplatz eine Abweichung des lokalen Spins um h¯ | N. Dies führt unmittelbar zum Begriff der Spinwelle, unter der man eben diese kollektive Anregung |k versteht. Jede existierende Spinwelle bedeutet also für das gesamte Gitter eine Spindeviation um genau eine Drehimpulseinheit. Die Spinwelle ist charakterisiert durch die Wellenzahl k, was man sich in einem halbklassischen Vektormodell wie folgt vorzustellen hat. Der lokale Spin Si präzediert um die z-Achse mit einem Öffnungswinkel, der gerade so ist, dass die Projektion des Spins der Länge h¯S auf die z-Achse h¯(S − 1 | N) beträgt. Von Gitterplatz zu Gitterplatz haben die präzedierenden Spins eine durch k = 2π | λ festgelegte, konstante Phasenverschiebung. Sie definieren damit offensichtlich eine Welle.

2.4

Spinwellen

99

2.4.4 Spinwellennäherung Das Heisenberg-Modell (2.211) ist für den allgemeinen Fall nicht exakt lösbar. Um zu einer approximativen Lösung zu gelangen, erweist es sich manchmal als zweckmäßig, die etwas unhandlichen Spinoperatoren auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der zweiten Quantisierung zu transformieren:

Holstein-Primakoff-Transformation: √ Si+ = h¯ 2S ϕ(ni ) ai , √ Si− = h¯ 2S a+i ϕ(ni ) , Siz = h¯ S − ni . Dabei bedeuten ni = a+i ai ;

*

ϕ ni = 1 −

(2.235) (2.236) (2.237)

ni . 2S

(2.238)

Durch Einsetzen überzeugt man sich, dass die Vertauschungsrelationen der Spinoperatoren (2.214) bis (2.216) genau dann erfüllt sind, wenn die Konstruktionsoperatoren a+i , ai Bose-Operatoren sind:

ai , aj − = a+i , a+j =0, − (2.239) = δij . ai , a+j −

Die entsprechenden Fourier-Transformierten 1 −i q · Ri 1 i q · Ri + e ai ; a+q = √ e ai aq = √ N i N i

(2.240)

können als Magnonenvernichter bzw. -erzeuger interpretiert werden. Der ModellHamilton-Operator (2.211) nimmt nach der Transformation die folgende Gestalt an: H = E0 + 2Sh¯2 J0 ni − 2Sh¯2 Jij ϕ ni ai a+j ϕ(nj ) − h¯2 Jij ni nj . (2.241) i

i, j

i, j

Dabei ist E0 die Grundzustandsenergie (2.224). Ein Nachteil der Holstein-PrimakoffTransformation liegt auf der Hand. Das explizite Arbeiten mit H fordert eine Entwicklung der Quadratwurzel in ϕ(ni ):

ϕ(ni ) = 1 −

n2 ni − i 2 − ··· 4S 32S

(2.242)

Dies bedeutet, dass H im Prinzip aus unendlich vielen Termen besteht. Die Transformation ist also nur dann sinnvoll, wenn es eine physikalische Rechtfertigung für ein Abbrechen der unendlichen Reihe gibt. Da ni als Operator der Magnonenzahl am

100


Ort Ri interpretiert werden kann, bei tiefen Temperaturen aber nur wenige Magnonen angeregt sind, kann man sich in einem solchen Fall auf die niedrigsten Potenzen von ni beschränken. Die einfachste Näherung in diesem Sinne ist die so genannte Spinwellennäherung: H SW = E0 + 2Sh¯2 J0 δij − Jij a+i aj . (2.243) i, j

Nach Transformation auf Wellenzahlen wird H SW diagonal h¯ω(k) a+k ak H SW = E0 +

(2.244)

k

mit h¯ω(k) aus (2.232). In dieser Tieftemperatur-Näherung wird der Ferromagnet also durch ein Gas von nicht wechselwirkenden Magnonen beschrieben. Nach den Regeln der statistischen Mechanik ist die mittlere Magnonenzahl nk bei T > 0 dann durch die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion gegeben: nk =

1

. exp βh¯ω(k) − 1

Damit ergibt sich für die Magnetisierung des Ferromagneten:

1 N nk . S− M(T, H) = gJ μB V N

(2.245)

(2.246)

k

Bei tiefen Temperaturen wird dieses Resultat experimentell ausgezeichnet bestätigt. 2.4.5 Aufgaben 2.4.1

Aufgabe 2.4.1 Leiten Sie aus den bekannten Vertauschungsrelationen der Spinoperatoren im Ortsraum die entsprechenden der wellenzahlabhängigen Spinoperatoren ab: S α (k) = e −i k · Ri Siα . i

2.4.2

Aufgabe 2.4.2 Formulieren Sie den Heisenberg-Modell-Hamilton-Operator, μB z Jij Si+ Sj− + Siz Sjz − gJ B0 Si , H=− h¯ i i, j

mithilfe der k-abhängigen Spinoperatoren aus Aufg. 2.4.1 um.

2.4.3

Aufgabe 2.4.3 Führen Sie am Heisenberg-Modell-Hamilton-Operator (Aufg. 2.4.2) die Holstein-Primakoff-Transformation durch.

2.4

Spinwellen

101

Aufgabe 2.4.4 In der Spinwellennäherung gilt für die spontane Magnetisierung eines Heisenberg-Ferromagneten bei tiefen Temperaturen: 1 1 M0 − MS (T) (s. (2.246)) . = M0 NS q exp[βh¯ω(q)] − 1

2.4.4

M0 = gJ μB S N V ist die Sättigungsmagnetisierung und h¯ω(q) = 2Sh¯2 J0 − J(q) die Magnonenenergie. Beweisen Sie das Bloch’sche T 3 | 2 -Gesetz: M0 − MS (T) ∼ T3|2 . M0 Hinweise: a) Verwandeln Sie die q-Summation in ein Integral. b) Überlegen Sie sich, dass es bei tiefen Temperaturen ausreicht, die Magnonenenergien in der für kleine q gültigen Form D 2 q 2Sh¯2 zu verwenden, und dass es erlaubt ist, die q-Integration statt über die erste Brillouin-Zone über den gesamten q-Raum zu erstrecken. h¯ω(q) =

Aufgabe 2.4.5 Es seien:

H :

2.4.5

Hamilton-Operator mit H |n = En |n ;

Wn =

exp(−βEn ) , Sp[exp(−βH)]

A, B, C: beliebige Operatoren. 1. Zeigen Sie, dass (A, B) =

En =/ Em

n | A+ | m m | B | n

n, m

2.

3.

Wm − Wn En − Em

ein (semidefinites) Skalarprodukt darstellt. Zeigen Sie, dass mit B = [C+ , H ]− gilt: (A, B) = [C+ , A+ ]− ; (B, B) = [C+ , [H, C]− ]− ≥ 0 , 1 (A, A) ≤ β [A, A+ ]+ . 2 Beweisen Sie mit 2. die Bogoliubov-Ungleichung:

β 2

[A, A+ ]+ [[C, H]− , C+ ]− ≥ [C, A]− 2 .

102


2.4.6

Aufgabe 2.4.6 1. Zeigen Sie, dass für das in Aufg. 2.4.5 definierte Skalarprodukt (H, H) = 0 gilt, wenn H der Hamilton-Operator des Systems ist. 2. C sei ein mit dem Hamilton-Operator H kommutierender Operator. Zeigen Sie, dass für diesen die Bogoliubov-Beziehung aus Aufg. 2.4.5 als Gleichung zu lesen ist.

2.4.7

Aufgabe 2.4.7 Diskutieren Sie das isotrope Heisenberg-Modell: gJ μB . Jij Si · Sj − bB0 Siz exp(−i K · Ri ) ; b = H=− h¯ i i, j

Der Wellen-Vektor K hilft, verschiedene magnetische Konfigurationen zu unterscheiden. So führt K = 0 zu Ferromagnetismus. Wir setzen schließlich noch

Q=

1 Ri − Rj 2 Jij < ∞ N i, j

voraus, was keine übermäßige Einschränkung bedeutet. Für die Magnetisierung gilt: 1 exp i K · Ri Siz . M T, B0 = b N i Im Fall des Antiferromagneten (K = (1 | 2)Q, Q: kleinster reziproker Gittervektor) stellt M die Untergittermagnetisierung dar. 1. Wählen Sie A = S − (−k − K) ;

C = S + (k)

und beweisen Sie damit 2h¯N a) [C, A]− = M T, B0 , b b) [A, A+ ]+ ≤ 2h¯2 NS (S + 1), k c) [[C, H]− , C+ ]− ≤ 4N h¯2 B0 M +h¯2 k2 QS(S + 1) . 2.

Beweisen Sie mithilfe der Bogoliubov-Ungleichung (Aufg. 2.4.5) das Mermin-Wagner-Theorem (Phys. Rev. Lett. 17, 1133 (1966)): Im d = 1und d = 2-dimensionalen, isotropen Heisenberg-Modell kann es keine spontane Magnetisierung geben.

2.4

Spinwellen

103

a) Zeigen Sie dazu, dass gilt: M 2 vd Ωd S (S + 1) ≥ 2 2 βh¯ b (2π)d

k0 dk 0

kd − 1 . |BM| + h¯2 k2 QS (S + 1)

Dabei ist k0 der Radius einer Kugel, die vollständig innerhalb der Brillouin-Zone liegt, Ωd die Oberfläche der d-dimensionalen Einheits kugel Ω1 =1, Ω2 =2π, Ω3 =4π und vd = Vd | Nd das spezifische Volumen des d-dimensionalen Systems im thermodynamischen Limes. b) Verifizieren Sie für die spontane Magnetisierung: MS (T) = lim M T, B0 = 0 für T =/ 0 und d = 1 und 2. B0 → 0

104

2.5


2.5 Kontrollfragen Zu Abschnitt 2.1 1. Aus welcher Eigenwert-Gleichung folgen Bloch-Funktionen und Bloch-Energien? 2. Was besagt das Bloch’sche Theorem? 3. Wie lauten Orthogonalitäts- und Vollständigkeitsrelationen für Bloch-Funktionen? 4. Geben Sie den Hamilton-Operator H0 nicht miteinander wechselwirkender Kristallelektronen in zweiter Quantisierung in der Bloch-Darstellung, Ortsdarstellung mit Feldoperatoren und in der Wannier-Darstellung an. 5. Wie lauten die Vertauschungsrelationen für Bloch-Operatoren a+kσ , akσ und Wannier-Operatoren a+iσ , aiσ ? 6. Wann wird eine Bloch-Funktion zur ebenen Welle? 7. Was versteht man unter einem Hopping-Integral? 8. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Bloch-und Wannier-Operatoren? 9. Welche Annahmen definieren das Jellium-Modell? 10. Begründen Sie die Notwendigkeit eines konvergenzerzeugenden Faktors in den Coulomb-Integralen des Jellium-Modells. 11. Wie lautet der Hamilton-Operator des Jellium-Modells? Worin besteht die Auswirkung der homogen verschmierten positiven Ionenladung? 12. Wie stellt sich der Operator der Elektronendichte im Formalismus der zweiten Quantisierung dar, wenn man ebene Wellen als Ein-Teilchen-Basis benutzt? 13. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Elektronendichteoperator und dem Teilchenzahloperator? 14. Formulieren Sie den Hamilton-Operator des Jellium-Modells mithilfe des Elektronendichteoperators. 15. Definieren Sie die Begriffe Fermi-Energie, Fermi-Wellenvektor. 16. Was versteht man unter dem direkten Term und dem Austauschterm in der Coulomb-Wechselwirkung des Jellium-Modells? 17. Geben Sie die beiden führenden Terme in der Entwicklung der Grundzustandsenergie des Jellium-Modells nach dem dimensionslosen Dichteparameter rs an und interpretieren Sie diese. 18. Was versteht man unter Korrelationsenergie? 19. Warum ist das Jellium-Modell unbrauchbar zur Beschreibung von Elektronen in schmalen Energiebändern? 20. Beschreiben Sie die so genannte Tight-Binding-Näherung. 21. Was sind die entscheidenden Vereinfachungen, die schließlich zum HubbardModell führen? 22. Wie lautet der Hamilton-Operator des Hubbard-Modells?

2.5

Kontrollfragen

105

23. Von welchen physikalischen Parametern werden die Aussagen des HubbardModells vor allem beeinflusst? 24. Nennen Sie einige wichtige Anwendungsbereiche des Hubbard-Modells?

Zu Abschnitt 2.2 1. Warum ist es sinnvoll, bei der Beschreibung der Gitterschwingungen anstelle von Ionenkoordinaten Kollektivkoordinaten zu verwenden? 2. Wie lässt sich die harmonische Näherung rechtfertigen? 3. Wie ist die Matrix der atomaren Kraftkonstanten definiert? Welche Bedeutung haben ihre Elemente? 4. Nennen Sie einige offensichtliche Symmetrien der Kraftkonstantenmatrix. 5. Begründen Sie die Bezeichnung akustischer bzw. optischer Dispersionszweig. 6. Welcher Bewegungsgleichung genügen die so genannten Normalkoordinaten? Wie hängen diese mit den realen Ionenverschiebungen zusammen? 7. Wie schreibt sich die Lagrange-Funktion des Ionensystems in Normalkoordinaten? 8. Wie lauten die zu den Normalkoordinaten kanonisch konjugierten Impulse? 9. Geben Sie die klassische Hamilton-Funktion des Ionensystems an. Interpretieren Sie diese. 10. Nennen Sie die Vertauschungsrelationen der Normalkoordinaten und der zu ihnen kanonisch konjugierten Impulse. 11. Wie hängen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperator b+qr , bqr mit den Normalkoordinaten und deren kanonisch konjugierten Impulsen zusammen? 12. Warum handelt es sich bei bqr und b+qr um Bose-Operatoren? 13. Geben Sie den Hamilton-Operator für das Ionensystem in harmonischer Näherung in Termen der Konstruktionsoperatoren bqr , b+qr an. 14. Was ist ein Phonon?

Zu Abschnitt 2.3 1. Beschreiben Sie die Elementarprozesse, die zu einer Elektron-Phonon-Wechselwirkung führen. 2. Welche Approximation der Elektron-Phonon-Wechselwirkung entspricht der harmonischen Näherung für die Gitterschwingungen? 3. Welche Operator-Kombination bestimmt im Formalismus der zweiten Quantisierung die Elektron-Phonon-Wechselwirkung? 4. Was versteht man unter Normal-, was unter Umklappprozessen? 5. Beschreiben Sie, wie man die Elementarprozesse der Elektron-Phonon-Wechselwirkung kombinieren kann.

106

6.

7.


Welches Verfahren der Theoretischen Physik lässt erkennen, dass die ElektronPhonon-Wechselwirkung Terme einer effektiven, phononeninduzierten Elektron-Elektron-Wechselwirkung enthält? Kann diese effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung auch anziehend sein?

Zu Abschnitt 2.4 1. Welche physikalische Messgröße erscheint besonders geeignet für eine Klassifikation magnetischer Festkörper? 2. Warum ist Diamagnetismus eine Eigenschaft aller Stoffe? 3. Was ist die entscheidende Voraussetzung für Paramagnetismus und kollektiven Magnetismus? 4. Wie unterscheiden sich Langevin- und Pauli-Paramagnetismus? 5. Kommentieren Sie das Curie-Gesetz. 6. In welche drei große Unterklassen gliedert man den kollektiven Magnetismus? 7. Wie lautet der Hamilton-Operator des Heisenberg-Modells? Auf welche Klasse von magnetischen Substanzen ist das Modell zugeschnitten? 8. Wann spricht man von Bandmagnetismus? 9. Auf welche magnetischen Materialien passt das s-f-(s-d)- Modell? 10. Skizzieren Sie die Ableitung des so genannten Ein-Magnonenzustands

−1 | 2 − S (k) |S |k = h¯2 2SN

(|S ⇐⇒ ferromagnetische Sättigung)

als Eigenzustand des Heisenberg-Hamilton-Operators. 11. Welchen Spin hat das Magnon? 12. Was ergibt der Erwartungswert des lokalen Spinoperators Siz im Ein-Magnonenzustand |k ? Interpretieren Sie das Ergebnis. 13. Erläutern Sie den Begriff Spinwelle. 14. Formulieren Sie die Holstein-Primakoff-Transformation der Spinoperatoren. 15. Was versteht man unter der Spinwellennäherung? Unter welchen Bedingungen ist diese gerechtfertigt?

Kapitel 3 Green-Funktionen

3

3

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.5

Green-Funktionen Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linear-Response-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dielektrizitätsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektroskopien, Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweizeitige Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektraldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektraltheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exakte Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kramers-Kronig-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erste Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Freie Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Zwei-Spin-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Quasiteilchenkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Elektronen-Green-Funktion .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronische Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasiteilchenzustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109 109 115 119 121 123 125 130 133 133 137 141 143 147 149 152 152 157 159 170 173 173 176 180 185 187 190 192

3.1

Vorbereitungen

109

3 Green-Funktionen Die Aufgabe der Theoretischen Physik besteht darin, Verfahren zur Berechnung physikalischer Messgrößen zu entwickeln. Physikalische Messgrößen sind: 1. die Eigenwerte von Observablen, 2. die Erwartungswerte von Observablen A(t) , B t , ... , 3. die Korrelationsfunktionen zwischen Observablen A(t) · B t . . . Im Rahmen der Statistischen Mechanik sind die Berechnungen von Messgrößen vom Typ 2. oder 3. genau dann möglich, wenn die Zustandssumme des betrachteten physikalischen Systems bekannt ist. Dies setzt auf der anderen Seite die Kenntnis der Eigenwerte und Eigenzustände des Hamilton-Operators voraus, was bei realistischen Viel-Teilchen-Problemen in der Regel nicht gegeben ist. Die Methode der Green-Funktionen gestattet eine, im Allgemeinen natürlich approximative, Bestimmung von Erwartungswerten und Korrelationsfunktionen ohne explizite Kenntnis der jeweiligen Zustandssumme. Entsprechende Verfahren werden in diesem und den folgenden Kapiteln besprochen. Dazu sind einige Vorbereitungen vonnöten, die zum Teil Wiederholungen aus den ersten Bänden dieser Reihe Grundkurs: Theoretische Physik sind.

3.1

3.1 Vorbereitungen 3.1.1 Bilder Zur Beschreibung von Zeitabhängigkeiten physikalischer Systeme benutzt man, je nach Zweckmäßigkeit, eines der drei äquivalenten Bilder:

Schrödinger-, Heisenberg-, Dirac-Bild. Wir beginnen mit dem Bild, das im Band Quantenmechanik fast ausschließlich verwendet wurde. 1) Schrödinger-Bild (Zustandsbild) In diesem Bild wird die Zeitabhängigkeit von den Zuständen getragen, wohingegen die Operatoren zeitunabhängig sind, falls sie nicht explizit von der Zeit abhängen, z. B. durch Ein- und Ausschaltvorgänge. Wir übernehmen aus der elementaren Quantenmechanik die

Bewegungsgleichungen a) für reine Zustände: ˙ s (t) = H ψs (t) , i¯ h ψ W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

(3.1)

110

3. Green-Funktionen

b) für gemischte Zustände:

i h¯

ρ˙ S = [ρS , H ]− . Dabei ist ρS die Dichtematrix mit den bekannten Eigenschaften: ρS = pm ψm ψm

(3.2)

(3.3)

m

(pm ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand ψm befindet), A = Sp ρs A , (3.4) Sp ρs = 1 , ⎧ ⎨ 1: Sp ρs2 = ⎩ t2 , TD A t1 B t2 = ⎩B t A t für t > t . 2 1 2 1

(3.15)

Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Operatoren liegt auf der Hand. An Abb. 3.1 macht man sich die folgenden Beziehungen klar: t

t1 dt1

t0

t dt2 Ht1 Ht2 =

t0

t dt2

t0

dt1 Ht1 Ht2 . t2

Auf der rechten Seite Zeile der Gleichung vertauschen wir t1 und t2 : t

t1 dt1

t0

t2

t dt2 Ht1 Ht2 =

t0

t dt1

t0

dt2 Ht2 Ht1 . t1

t1 = t 2

t t

dt2 ò dt1 t2

t0

t

t1

t1

dt1 ò dt2 t0

Abb. 3.1. Veranschaulichung zur Umformung des Zeitordnungsoperators von (3.14) nach (3.17)

112

3. Green-Funktionen

Dies bedeutet, wenn man die beiden letzten Beziehungen kombiniert: t

t1 dt1

t0

1 = 2 1 = 2!

dt2 Ht1 Ht2 = t0

t

t dt1

t0

dt2 Ht1 Ht2 Θ t1 − t2 + Ht2 Ht1 Θ t2 − t1 =

(3.16)

t0

t

dt1 dt2 TD Ht1 Ht2 .

t0

Dieses Ergebnis lässt sich auf n Terme verallgemeinern, sodass aus (3.14) nun wird: US(n) t, t0

n t t 1 i − = · · · dt1 · · · dtn TD Ht1 Ht2 · · · Htn . n! h¯ t0

(3.17)

t0

Damit lässt sich der Zeitentwicklungsoperator kompakt in der folgenden Form darstellen: ⎞ ⎛ t i (3.18) US t, t0 = TD exp ⎝− dt Ht ⎠ . h¯ t0

Einen Spezialfall stellt das abgeschlossene System dar:

∂H i = 0 ⇒ US t, t0 = exp − H t − t0 . ∂t h¯

(3.19)

2) Heisenberg-Bild (Operatorbild) In diesem Bild wird die Zeitabhängigkeit von den Operatoren getragen, während die Zustände zeitlich konstant bleiben. Das in 1) diskutierte Schrödinger-Bild ist natürlich keineswegs zwingend. Jede unitäre Transformation der Operatoren und Zustände, die die Messgrößen (Erwartungswerte, Skalarprodukte) invariant lässt, ist selbstverständlich erlaubt. Für die Zustände im Heisenberg-Bild möge gelten: ψH (t) ≡ ψH =! ψS t0 . (3.20)

Dabei ist t0 ein beliebiger, aber fester Zeitpunkt, z. B. t0 = 0. Mit (3.7), (3.9) und (3.10) folgt: ψH = U −1 t, t0 ψS (t) = US t0 , t ψS (t) . (3.21) S Wegen ψH AH (t) ψH =! ψS (t) AS ψS (t)

(3.22)

3.1

Vorbereitungen

113

gilt dann für die Observable A im Heisenberg-Bild: AH (t) = US−1 t, t0 AS US t, t0 .

(3.23)

Falls H nicht explizit von der Zeit abhängt, vereinfacht sich diese Beziehung zu

i i ∂H AH (t) = exp H t − t0 AS exp − H t − t0 =0 . (3.24) h¯ h¯ ∂t Insbesondere gilt dann: HH (t) = HH = HS = H .

(3.25)

Wir leiten schließlich noch die Bewegungsgleichung der Heisenberg-Operatoren ab: ∂AS d AH (t) = U˙ S+ t, t0 AS US t, t0 + US+ t, t0 U t, t + dt ∂t S 0 + US+ t, t0 AS U˙ S t, t0 = =− =

1 + 1 ∂AS US HAS US + US+ AS HUS + US+ U = i¯ h i¯ h ∂t S

i + ∂AS U [H, AS ]− US + US+ U . h¯ S ∂t S

Wir definieren ∂AS ∂AH = US−1 t, t0 U t, t ∂t ∂t S 0

(3.26)

und haben dann als Bewegungsgleichung: d ∂AH h AH (t) = [AH , HH ]− (t) + i¯ . (3.27) dt ∂t Eine Mittelstellung zwischen Schrödinger- und Heisenberg-Bild nimmt das

i¯ h

3) Dirac-Bild (Wechselwirkungsbild) ein, d. h., die Zeitabhängigkeit wird auf Zustände und Operatoren verteilt. Ausgangspunkt ist die übliche Situation,

H = H0 + Vt ,

(3.28)

in der sich der Hamilton-Operator aus einem Anteil H0 für das freie System und einer eventuell explizit zeitabhängigen Wechselwirkung Vt zusammensetzt. Dann wird der folgende Ansatz vereinbart: ψD (t0 ) = ψS (t0 ) = ψH , (3.29) ψD (t) = UD t, t ψD t , (3.30) ψD (t) = U −1 t, t0 ψS (t) . (3.31) 0

114

3. Green-Funktionen

Dabei soll

i U0 t, t = exp − H0 t − t h¯

(3.32)

der Zeitentwicklungsoperator des freien Systems sein. Daraus ergibt sich, dass bei fehlender Wechselwirkung das Dirac- mit dem Heisenberg-Bild identisch ist. Wegen (3.29) bis (3.31) gilt die folgende Umformung: ψD (t) = U −1 t, t0 ψS (t) = U −1 t, t0 US t, t ψS t = 0 0 ! = U0−1 t, t0 US t, t U0 t , t0 ψD t = UD t, t ψD t . Wir haben damit die Verknüpfung zwischen dem Dirac’schen und dem Schrödinger’schen Zeitentwicklungsoperator gefunden: UD t, t = U0−1 t, t0 US t, t U0 t , t0 .

(3.33)

Wir erkennen, dass für Vt ≡ 0, d. h. US = U0 , UD t, t ≡ 1 wird. Dirac-Zustände sind dann zeitunabhängig. Wir fordern

ψD (t) AD (t) ψD (t) = ψS (t) AS ψS (t) !

für einen beliebigen Operator A. Dies ergibt mit (3.31) und (3.32):

i i . H0 t − t0 AS exp − H0 t − t0 AD (t) = exp h¯ h¯

(3.34)

Die Dynamik der Operatoren ist im Dirac-Bild also durch H0 festgelegt. Dies erkennt man insbesondere an der Bewegungsgleichung, die sich unmittelbar aus (3.34) ableitet:

i¯ h

d ∂AD h AD (t) = [AD , H0 ]− + i¯ . dt ∂t

(3.35)

Analog zu (3.26) haben wir dabei definiert: ∂AS ∂AD = U0−1 t, t0 U t, t . ∂t ∂t 0 0 Für die Zeitabhängigkeit der Zustände gilt nach (3.31): ψ ˙ D (t) = U˙ 0+ t, t0 ψS (t) + U0+ t, t0 ψ˙ S (t) = i + U0 t, t0 H0 − U0+ t, t0 H ψS (t) = h¯ i = U0+ t, t0 (−Vt )U0 t, t0 ψD (t) . h¯

=

(3.36)

3.1

Vorbereitungen

115

Es folgt damit: ˙ D (t) = VtD (t) ψD (t) . i¯ h ψ

(3.37)

Die Dynamik der Zustände wird also durch die Wechselwirkung Vt festgelegt. Man unterscheide die beiden unterschiedlichen Zeitabhängigkeiten in VtD (t)! Analog zu (3.37) leitet man die Bewegungsgleichung der Dichtematrix ab:

ρ˙ D (t) =

i ρD , VtD − (t) . h¯

(3.38)

Setzt man (3.30) in (3.37) ein, so ergibt sich mit

i¯ h

d UD t, t = VtD (t)UD t, t dt

(3.39)

eine Bewegungsgleichung für den Zeitentwicklungsoperator, die formal-identisch mit (3.11) ist. Derselbe Gedankengang wie der im Anschluss an (3.13) führt dann auf die wichtige Beziehung:

t i D , dt Vt t UD t, t = TD exp − h¯

(3.40)

t

die den Ausgangspunkt für die später zu besprechende Diagrammtechnik dar stellt. Man beachte, dass sich UD t, t im Gegensatz zu US t, t auch bei fehlender expliziter Zeitabhängigkeit nicht weiter vereinfachen lässt, da dann lediglich VtD (t ) → V D (t ) zu ersetzen ist. Eine Zeitabhängigkeit bleibt also. 3.1.2 Linear-Response-Theorie Wir wollen die Green-Funktionen in Verbindung mit einer ganz konkreten physikalischen Fragestellung einführen:

Wie reagiert ein physikalisches System auf eine äußere Störung? Zuständig für diesen Problemkreis sind die so genannten Response-Größen, zu denen insbesondere 1. elektrische Leitfähigkeit, 2. magnetische Suszeptibilität, 3. Wärmeleitfähigkeit zählen. Es stellt sich heraus, dass es sich bei diesen Größen um retardierte GreenFunktionen handelt. Um dies zu zeigen, führen wir mit der Linear-Response-Theorie ein wichtiges Lösungsverfahren der Theoretischen Physik ein.

116

3. Green-Funktionen

Wir beschreiben das vorliegende System durch den Hamilton-Operator: H = H0 + Vt .

(3.41)

Dabei hat Vt eine etwas andere Bedeutung als in (3.28). Es beschreibt die Wechselwirkung des Systems mit einem äußeren Feld (Störung). H0 betrifft das wechselwirkende Teilchensystem bei abgeschaltetem äußeren Feld. Wegen der Teilchenwechselwirkungen wird deshalb bereits das Eigenwertproblem zu H0 nicht exakt lösbar sein. B des Systems: Das skalare Feld Ft kopple an die Observable Vt = BFt .

(3.42)

Man beachte, dass B ein Operator und Ft eine c-Zahl ist. A sei eine nicht explizit zeit abhängige Observable, deren thermodynamischer Erwartungswert A als Messwert aufgefasst werden kann. Es soll untersucht werden, wie A auf die Störung Vt reagiert. Ohne Feld gilt A , (3.43) A 0 = Sp ρ0 wobei ρ0 die Dichtematrix des feldfreien Systems ist: exp −βH0 . ρ0 = Sp[exp −βH0 ]

(3.44)

Gemittelt wird in der großkanonischen Gesamtheit: . H0 = H0 − μN

(3.45)

μ ist das chemische Potential. Wenn wir nun das Feld Ft einschalten, wird sich auch die Dichtematrix entsprechend ändern: ρ0 −→ ρt . Dies überträgt sich auf den Erwartungswert von A: A . A t = Sp ρt

(3.46)

(3.47)

Wir benutzen hier zunächst das Schrödinger-Bild, lassen den Index S aber weg. Die Bewegungsgleichung der Dichtematrix lautet nach (3.2):

i¯ hρ˙ t = [H0 , ρt ]− + [Vt , ρt ]− .

(3.48)

Wir nehmen an, dass das Feld zu irgendeinem Zeitpunkt eingeschaltet wird, können deshalb als Randbedingung für die Differentialgleichung erster Ordnung (3.48) lim ρt = ρ0

t → −∞

verwenden.

(3.49)

3.1

Vorbereitungen

117

Wir wechseln nun (vorübergehend) in das Dirac-Bild, in dem mit t0 = 0 nach (3.34) gilt:

i i ρtD (t) = exp H0 t ρt exp − H0 t . (3.50) h¯ h¯ Die Bewegungsgleichung (3.38) führt mit der Randbedingung (3.49), lim ρD (t) t → −∞ t

= ρ0 ,

(3.51)

zu dem Resultat:

ρtD (t)

i = ρ0 − h¯

t

dt VtD t , ρtD t − .

(3.52)

−∞

Diese Gleichung kann durch Iteration bis zu beliebiger Genauigkeit gelöst werden:

ρtD (t) = ρ0 +

∞

ρtD(n) (t) ,

(3.53)

n=1

ρtD(n) (t)

t n − 1

n t t1 i = − dt1 dt2 · · · dtn · h¯ −∞ −∞ −∞ D D D . · Vt1 t1 , Vt2 t2 , . . ., Vtn tn , ρ0 − . . . − − −

(3.54)

Diese Formel ist zwar exakt, aber in der Regel auch unbrauchbar, da die unendliche Reihe nicht berechenbar sein wird. Wir setzen deshalb hinreichend kleine, äußere Störungen voraus, sodass wir uns auf lineare Terme in der Störung V beschränken können: Linear Response

i ρt ≈ ρ0 − h¯

t −∞

i i dt exp − H0 t VtD t , ρ0 − exp H0 t . h¯ h¯

(3.55)

Dabei haben wir die Dichtematrix bereits wieder in die Schrödinger-Darstellung zurücktransformiert. Wir können zur Berechnung des gestörten Erwartungswertes diesen Ausdruck nun in (3.47) einsetzen:

t i i i dt Sp exp − H0 t VtD t , ρ0 − exp H0 t A 0− A = At= h¯ h¯ h¯ −∞

i = A 0− h¯ i = A 0− h¯

t

dt Ft Sp

D B D t , ρ0 − A (t) =

−∞

t −∞

D dt Ft Sp ρ0 B D t − . A (t),

118

3. Green-Funktionen

Wir haben mehrmals die zyklische Invarianz der Spur ausnutzen können. Damit kennen wir die Reaktion des Systems auf die äußere Störung, wie sie von der Observablen A vermittelt wird:

t

i ΔAt = At− A 0=−

h¯

D dt Ft B D t − 0 . A (t),

(3.56)

−∞

Man beachte, dass die Reaktion des Systems durch einen Erwartungswert des unge B D t störten Systems bestimmt wird. Die Dirac-Darstellung der Operatoren A D (t), entspricht der Heisenberg-Darstellung bei abgeschaltetem Feld. Wir definieren: zweizeitige, retardierte Green-Funktion ret GAB t, t = A(t); B t = −i Θ t − t A(t), B t − 0 .

(3.57)

Die Operatoren sind hier stets in der Heisenberg-Darstellung des feldfreien Systems gedacht. Den entsprechenden Index lassen wir weg. ret beschreibt also die Reaktion des Systems, wie Die retardierte Green-Funktion GAB sie sich in der Observablen A manifestiert, wenn die Störung an der Observablen B angreift: 1 ΔAt = h¯

+∞ ret t, t . dt Ft GAB

(3.58)

−∞

Mit der Fourier-Transformierten F(E) der Störung Ft =

+∞ i dE exp − E + i0+ t F(E) , 2πh¯ h¯ 1

(3.59)

−∞

und im Vorgriff auf ein späteres Ergebnis, dass die Green-Funktion bei nicht explizit zeitabhängigem Hamilton-Operator selbst nur von der Zeitdifferenz t − t abhängt, können wir (3.58) auch in der folgenden Form schreiben: Kubo-Formel 1 ΔAt = 2πh¯2

+∞ i ret dE F(E)GAB (E + i0+ ) exp − E + i0+ t . h¯

(3.60)

−∞

Der Term i0+ im Exponenten sorgt für die Erfüllung der Randbedingung (3.49). Das Feld Ft wird dadurch, wie man sagt, adiabatisch eingeschaltet. Wir wollen in den nächsten drei Abschnitten Anwendungsbeispiele für die wichtige Kubo-Formel diskutieren.

3.1

Vorbereitungen

119

3.1.3 Magnetische Suszeptibilität Die Störung werde durch ein räumlich homogenes, zeitlich oszillierendes Magnetfeld bewirkt:

+∞ i + dE exp − E + i0 t B(E) . Bt = 2πh¯ h¯ 1

(3.61)

−∞

Dieses koppelt an das magnetische Moment des Systems: gJ μB m= mi = Si . h¯ i i

(3.62)

Dadurch erscheint im Hamilton-Operator der folgende Störterm: Vt = −m · Bt = =−

i dE exp − E + i0+ t mα B α (E) . h¯

+∞ (x, y, z)

1 2πh¯

α −∞

(3.63)

Von besonderem Interesse ist natürlich die Reaktion der Magnetisierung auf das eingeschaltete Feld. Wegen gJ μB 1 Si

m = V h¯V i

M=

(3.64)

werden wir demnach in der Kubo-Formel (3.60) bzw. (3.58) für beide Operatoren A und B den Momentenoperator m wählen. (3.58) liefert dann: 1 Mt − M0 = − V h¯ α β

β

+∞ . dt Btα mβ (t); mα t

(3.65)

−∞

β

Die feldfreie Magnetisierung M0 ist natürlich nur beim Ferromagneten von Null verschieden. (3.65) definiert den Tensor der magnetischen Suszeptibilität

μ0 gJ2 μ2B

χijβα t, t = −

V h¯

h¯2

β Si (t); Sjα t

(3.66)

als eine retardierte Green-Funktion. Es gilt

ΔMtβ =

1

+∞

μ0

i, j

α −∞

βα

dt χij

t, t Btα

(3.67)

120

3. Green-Funktionen

oder in der Energiedarstellung: 1 i βα + ΔMt = dE exp − E + i0 t χij (E)B α (E) . 2πh¯μ0 h¯ i, j α −∞ β

+∞

(3.68)

Wir haben durch (3.62) implizit vorausgesetzt, dass das betrachtete physikalische System permanente, lokalisierte Momente enthält (s. (2.204)). Für solche Situationen sind zwei spezielle Typen von Suszeptibilitäten von besonderem Interesse: 1) longitudinale Suszeptibilität

χijzz (E) = −

μ0 gJ2 μ2B V h¯

h¯2

Siz ; Sjz

E

(3.69)

.

Der Index E kennzeichnet die energieabhängige Fourier-Transformierte der retardierten Green-Funktion. Man kann an χijzz wichtige Aussagen über die Stabilität magnetischer Ordnungen ableiten. Dazu berechnet man die räumliche Fourier-Transformierte 1 zz χqzz (E) = χij (E) e iq · Ri −Rj (3.70) N i, j

für die paramagnetische Phase. Bei den Singularitäten dieser Response-Funktion genügt ein infinitesimales Feld, um in der Probe eine endliche Magnetisierung hervorzurufen, d. h. eine spontane Ordnung der Momente zu bewirken. Man untersucht deshalb, unter welchen Bedingungen −1 =0 (3.71) lim χqzz (E) (q, E) → 0

wird und liest daran die Kenndaten des Phasenübergangs Para- ⇐⇒ Ferromagnetismus ab. Von beträchtlicher Aussagekraft ist auch die 2) transversale Suszeptibilität

χij+− (E) = −

μ0 gJ2 μ2B V h¯

h¯2

Si+ ; Sj−

E

,

deren Pole mit den Spinwellenenergien (Magnonen) identisch sind: −1 χq+− (E) = 0 ⇐⇒ E = h¯ω(q) .

(3.72)

(3.73)

Diese Beispiele zeigen, dass die Linear-Response-Theorie nicht nur ein Näherungsverfahren für schwache äußere Störungen darstellt, sondern auch Aussagen über das ungestörte System liefert.

3.1

Vorbereitungen

121

3.1.4 Elektrische Leitfähigkeit Wir nehmen nun als Störung ein räumlich homogenes, zeitlich oszillierendes elektrisches Feld:

+∞ i + dE exp − E + i0 t F(E) . Ft = 2πh¯ h¯ 1

(3.74)

−∞

Wir wählen für das Feld den Buchstaben F statt des üblichen E, um Verwechslungen mit der Energie E zu vermeiden. Das elektrische Feld koppelt an den Operator des elektrischen Dipolmomentes P: P = d3 r r ρ(r) . (3.75) Wir betrachten N Punktladungen qi an den Orten rî (t). Dann lautet die Ladungsdichte

ρ(r) =

N

qi δ r − rî

(3.76)

i=1

und damit der Dipolmomentenoperator: P=

N

qi rî .

(3.77)

i=1

Das elektrische Feld bewirkt im Hamilton-Operator den Zusatzterm: Vt = −P · F t = =−

1 2πh¯

i dE exp − E + i0+ t P α F α (E) . h¯

+∞ (x, y, z)

α −∞

(3.78)

Man interessiert sich natürlich insbesondere für die Reaktion der Stromdichte auf das Feld. Der Erwartungswert des Stromdichteoperators, j=

N 1 ˙ 1 qi rî = P˙ , V i=1 V

(3.79)

ist ohne Feld sicher Null: j 0=0.

(3.80)

Nach Einschalten des Feldes gilt wegen (3.58): β 1 j t =− h¯ α

+∞ . dt Ftα j β (t); P α t

−∞

(3.81)

122

3. Green-Funktionen

Daraus wird in der Energiedarstellung: β 1 j t= 2πh¯ α

+∞ i + dE exp − E + i0 t σ βα (E)F α (E) . h¯

(3.82)

−∞

Diese Beziehung (Ohm’sches Gesetz) definiert den Tensor der elektrischen Leitfähigkeit

σβα (E) ≡ −

1 β α j ;P E , h¯

(3.83)

dessen Komponenten retardierte Green-Funktionen darstellen. Es empfiehlt sich, diesen Ausdruck noch etwas umzuformen. Wir nutzen dazu die schon einmal verwendete, später noch zu beweisende zeitliche Homogenität der Green-Funktionen aus: +∞ β i α + E + i0 t = dt j (0); P (−t) exp h¯ h¯

1 σβα (E) = −

−∞

∞

i = h¯

dt

i + E + i0 t = exp h¯

j β , P α (−t)

−

0

=

β α j , P (−t) − E + i0+ ∞ −

∞ i + E + i0 t − exp h¯ 0

exp (i | h¯) E + i0+ t d β α j , P (−t) = dt + − E + i0 dt

(3.84)

0

=−

=−

β α j ,P − E + i0+ β α j ,P − E + i0+

∞ +

dt

exp[(i | h¯) E + i0+ t ] = − E + i0+

j β , P˙ α (−t)

0

β α j ;j E + iV . E + i0+

Der erste Summand kann leicht weiter ausgewertet werden:

j β, P α

−

=

β 1 1 h¯ δij δαβ qi qj ˆr˙ i , ˆrjα = qi qj . − V V i mi i, j

i, j

Wir setzen identische Ladungsträger voraus, qi = q ;

mi = m ∀i ,

(3.85)

3.1

Vorbereitungen

123

und haben dann mit (3.85) in (3.84) gefunden: (N | V)q2 δαβ + iV σβα (E) = i¯h m E + i0+

β α j ;j E . E + i0+

(3.86)

Der erste Summand stellt die Leitfähigkeit eines nicht wechselwirkenden Elektronensystems dar, wie sie aus der klassischen Drude-Theorie bekannt ist. Der Einfluss der Teilchenwechselwirkung wird somit vollständig durch die retardierte Strom-StromGreen-Funktion ins Spiel gebracht. 3.1.5 Dielektrizitätsfunktion Bringt man eine externe Ladungsdichte ρext (r, t) in ein Metall, so werden sich in dem System der quasifreien Leitungselektronen Dichteänderungen ergeben, die zu einer Abschirmung der Störladung führen. Dieser Abschirmeffekt wird durch die Dielektrizitätsfunktion ε(q, E) beschrieben, die damit ein Maß für die Antwort des Systems auf die äußere Störung ρext (r, t) darstellt. Sie ist ein weiteres Beispiel für eine Response-Größe und lässt sich ebenfalls durch eine retardierte Green-Funktion ausdrücken. Dies soll in diesem Abschnitt gezeigt werden, wobei wir das Problem zunächst mit einer klassischen Betrachtung aufbereiten wollen. Für die Extraladungsdichte setzen wir an:

ρext (r, t) =

1 2πh¯V

+∞ i dE ρext (q, E) e iq · r exp − E + i0+ t . h¯ q

(3.87)

−∞

Zwischen ρext und der Ladungsdichte der Leitungselektronen, e ρq e iq · r , −eρ(r) = − V q besteht die Wechselwirkungsenergie ρ(r)ρext r , t −e d3 r d3 r Vt = . 4πε0 |r − r |

(3.88)

(3.89)

Wie in (2.58) zeigt man, dass exp i q · r + q · r 4πV d3 rd3 r = δq, −q 2 |r − r | q gilt. Damit wird aus Vt , wenn man noch v¯(q) =

v0 (q) 1 −e = −e V ε0 q2

(3.90)

definiert und (3.87) sowie (3.88) in (3.89) einsetzt: Vt =

+∞ i dE exp − E + i0+ t v¯(q)ρ−q ρext (q, E) . 2πh¯ h¯ q 1

−∞

(3.91)

124

3. Green-Funktionen

Wir benutzen für das Metall das Jellium-Modell, nehmen also an, dass sich im Gleichgewicht Elektronen- und Ionenladungsdichten gerade kompensieren. Ferner soll die Störladung nur das beweglichere Elektronensystem polarisieren, die Ionenladungen dagegen homogen verschmiert lassen. Die gesamte Ladungsdichte setzt sich dann additiv aus ρext und der hierdurch induzierten Ladungsdichte ρind im Elektronengas zusammen:

ρtot (r, t) = ρext (r, t) + ρind (r, t) .

(3.92)

Aus den Maxwell-Gleichungen

iq · D(q, E) = ρext (q, E) , iq · F(q, E) =

(3.93)

1

ε0

ρext (q, E) + ρind (q, E)

(3.94)

sowie der Materialgleichung D(q, E) = ε0 ε(q, E)F(q, E) folgt für die induzierte Ladungsdichte: 1 ρind (q, E) = − 1 ρext (q, E) . ε(q, E)

(3.95)

(3.96)

Wir transformieren nun unsere bislang klassischen Überlegungen in die quantenmechanische Darstellung. Aus der Elektronendichte ρ−q in (3.91) wird der in (2.70) in zweiter Quantisierung formulierte Dichteoperator: ρq = a+kσ ak + qσ ; ρ−q = ρq+ . (3.97) kσ

Die in (3.91) definierte Wechselwirkungsenergie wird dann ebenfalls ein Operator: ρq+! (3.98) Ft (q) . Vt = q

Das Störfeld ! Ft (q), v¯(q) ! Ft (q) = 2πh¯

+∞ i dE exp − E + i0+ t ρext (q, E) , h¯

(3.99)

−∞

bleibt dagegen eine skalare c-Zahl. Uns interessiert, wie der Erwartungswert der induzierten Ladungsdichte (Operator!),

ρind (q, t) = −e ρq t − ρq 0 ,

(3.100)

3.1

Vorbereitungen

125

auf das Störfeld reagiert. Die entsprechende Information vermittelt die Kubo-Formel (3.60): 1 Δ(ρq )t = h¯

+∞ . dt ! Ft q ρq (t); ρq+ t

(3.101)

q −∞

Die Translationssymmetrie des ungestörten Systems sorgt dafür, dass die retardierte Green-Funktion nur für q = q von Null verschieden ist. Dies bedeutet

ρind (q, t) =

−e h¯

+∞ dt ! Ft (q) ρq (t); ρq+ t

(3.102)

−∞

oder nach Fourier-Transformation: −e¯v(q) ρind (q, E) = ρext (q, E) ρq ; ρq+ E . h¯

(3.103)

Vergleicht man dieses Resultat nun mit dem klassischen Ausdruck (3.96), so zeigt sich, dass auch die Dielektrizitätsfunktion durch eine retardierte Green-Funktion bestimmt ist: 1 1 = 1 + v0 (q) ρq ; ρq+ E . (3.104) ε(q, E) h¯ Ist ε(q, E) sehr groß, so folgt nach (3.103) und (3.104) ρind −ρext . Die Abschirmung der Störladung durch die induzierten Ladungen im Elektronengas ist also praktisch vollständig. Der andere Grenzfall ε(q, E) → 0 entspricht einer Singularität der Green Funktion ρq ; ρq+ E . Nach (3.103) genügen dann schon beliebig kleine Störladungen, um endliche Dichteschwankungen im Leitungselektronensystem zu provozieren. Die Pole von ρq ; ρq+ E entsprechen deshalb gewissen Eigenschwingungen (Resonanzen) des Systems. Diesen kollektiven Anregungen des Elektronensystems ordnet man das Quasiteilchen Plasmon zu, in demselben Sinne, wie wir in Abschn. 2.4.3 zur Spinwelle das Quasiteilchen Magnon eingeführt haben. 3.1.6 Spektroskopien, Spektraldichte Eine weitere wichtige Motivation für die Beschäftigung mit Green-Funktionen ist ihr enger Bezug zu

Elementaranregungen des Systems, die mit geeigneten Spektroskopien direkt beobachtbar sind. Gewisse Green-Funktionen erlauben also einen unmittelbaren Zugang zum Experiment. Noch direkter gilt dieses eigentlich für eine weitere fundamentale Funktion, die aber in sehr engem Zusammenhang mit den Green-Funktionen steht, nämlich für die so genannte Spektraldichte.

126

3. Green-Funktionen

Abbildung 3.2 zeigt in schematischer Form, welche Elementarprozesse in vier bekannten Spektroskopien zur Bestimmung der elektronischen Struktur herangezogen werden. Die Photoemission (PES) und die Inverse Photoemission (IPE) sind so genannte Ein-Teilchen-Spektroskopien, da das System (der Festkörper) nach dem Anregungsprozess ein Teilchen mehr (weniger) als vor dem Prozess enthält. In der Photoemission wird die Energie h¯ω eines Photons von einem Elektron eines (teilweise) besetzten Energiebandes absorbiert. Der Zugewinn an Energie kann es dem Elektron gestatten, den Festkörper zu verlasssen. Eine Analyse der kinetischen Energie des Photoelektrons erlaubt dann Rückschlüsse auf die Energien der besetzten Zustände des betreffenden Energiebandes. Der Übergangsoperator Z−1 = aα entspricht dann dem Vernichtungsoperator aα , wenn sich das Elektron vor dem Anregungsprozess in dem Ein-Teilchen-Zustand |α befand. In der Inversen Photoemisssion läuft gewissermaßen der umgekehrte Prozess ab. Ein Elektron wird in den Festkörper ge schossen und landet dort in einem unbesetzten Zustand β des teilweise gefüllten e− EF

(1)

hω hω

e−

Z −1 = aα

EF

(2) Z

1

= aα+

e− EF

EC

(3) Z − 2 = aα aβ

e− EF

EC

(4) Z + 2 = aβ+ aα+

Abb. 3.2. Schematische Darstellung der zentralen Elementarprozesse in vier verschiedenen

Spektroskopien: 1. Photoemission (PES), 2. Inverse Photoemission (IPE), 3. Auger-Elektron Spektroskopie (AES), 4. Appearance-Potential Spektroskopie (APS). Zj is der Übergangsoperator, wobei j der beim Elementarprozess auftretenden Änderung in der Elektronenzahl entspricht

3.1

Vorbereitungen

127

Energiebandes. Die frei werdende Energie wird als Photon h¯ω emittiert und anschließend analysiert. Das System enthält nun ein Elektron mehr als vor dem Prozess. Das entspricht dem Übergangsoperator Z+1 = a†β . PES und IPE sind in gewisser Weise komplementäre Spektroskopien. Die erste gestattet Aussagen über besetzte, die andere über unbesetzte Zustände des Energiebandes. Auger-Elektronen-Spektroskopie (AES) und Appearance-Potential-Spektroskopie (APS) sind Zwei-Teilchen-Spektroskopien. Die Ausgangssituation der AES ist charakterisiert durch die Existenz eines Loches in einem tief liegenden core-Zustand. Ein Elektron des teilweise gefüllten Energiebandes wechselt in diesen core-Zustand und übergibt die frei werdende Energie einem anderen Elektron desselben Energiebandes, das damit den Festkörper verlassen kann. Die Analyse der kinetischen Energie des entweichenden Elektrons verschafft Information über die Energiestruktur der besetzten Bandzustände (Zwei-Teilchen-Zustandsdichte). Das System (Energieband) enthält nach dem Anregungsvorgang zwei Teilchen weniger als vorher: Z−2 = aα aβ . Praktisch der umgekehrte Prozess wird in der APS ausgenutzt. Ein Elektron landet auf einem unbesetzten Zustand des Energiebandes. Die dabei frei werdende Energie wird einem core-Elektron zur Anregung in einen weiteren freien Zustand des Bandes übertragen. Die sich daran anschließenden Abregungsprozesse können im Hinblick auf den unbesetzten Teil des Energiebandes analysiert werden. Das System (Energieband) enthält also nach dem Prozess zwei Elektronen mehr als vor dem Prozess. Als Übergangsoperator haben wir deshalb in diesem Fall: Z+2 = a†β a†α . AES und APS sind offensichlich komplementäre Zwei-Teilchen-Spektroskopien. Wir wollen nun mit einfachen Überlegungen die bei den einzelnen Messprozessen auftretenden Intensitäten abschätzen. Das zu untersuchende System werde durch den Hamilton-Operator H = H − μN

(3.105)

der Teilchenzahlbeschrieben. Dabei sind μ das chemische Potential und N Operator. Wir verwenden hier H anstelle von H, da wir im Folgenden Mittelungen in der großkanonischen Gesamtheit durchführen wollen. Diese bietet sich an, da der oben diskutierte Übergangsoperator Zj die Teilchenzahl verändert. H und N sollen aber kommutieren, also einen gemeinsamen Satz von Eigenzuständen besitzen: H |En (N) = En (N) |En (N)

;

|En (N) = N |En (N)

N

Damit besitzt H die Eigenwertgleichung: H |En (N) = (En (N) − μN) |En (N) → En |En

(3.106)

Um Schreibarbeit zu sparen, werden wir im Folgenden, so lange keine Verwechslungen zu befürchten sind, die Kurzform rechts verwenden, also für die Eigenwerte (En (N) − μN) kurz En und für die Eigenzustände |En (N) einfach |En

128

3. Green-Funktionen

schreiben. Die tatsächliche Abhängigkeit der Zustände bzw. Eigenenergien von der Teilchenzahl muss aber stets beachtet werden. Mit der Wahrscheinlichkeit 1 exp(−βEn )

Ξ

befindet sich das System bei der Temperatur T in einem Eigenzustand |En des Hamilton-Operators H. Ξ ist die großkanonische Zustandssumme: Ξ = Sp exp(−βH . (3.107) Der Übergangsoperator Zr erzwingt einen Übergang zwischen den Zuständen |En und |Em mit der Wahrscheinlichkeit: | Em |Zr |En |2

r = ±1, ±2

Die Intensität der zu messenden Elementarprozesse entspricht der Gesamtzahl der Übergänge mit Anregungsenergien zwischen E und E + dE: 1 −βEn | Em |Zr |En |2 δ(E − (Em − En )) e (3.108) Ir (E) =

Ξ

m,n

Liegen die Anregungsenergien (Em − En ) hinreichend dicht, was für einen Festkörper, z. B., auf jeden Fall gilt, dann wird es sich bei Ir (E) um eine kontinuierliche Funktion der Energie E handeln. Wir vernachlässigen an dieser Stelle einige Nebeneffekte, die für eine quantitative Analyse des entsprechenden Experiments durchaus von Bedeutung sein können, die aber für den eigentlich interessierenden Prozess nicht entscheidend sind. Das gilt z. B. in PES und AES für die Tatsache, dass das den Festkörper verlassende Photoelektron noch eine Kopplung an das Restsystem aufweisen wird (sudden approximation). Ferner werden Matrixelemente für den Übergang vom Bandniveau ins Vakuumniveau hier nicht berücksichtigt. Die „nackte Linienform“ der genannten Spektroskopien sollte aber durch (3.108) korrekt beschrieben sein. Man beachte, dass für den Übergangsoperator † Zr = Z−r

(3.109)

gilt, d. h. komplementäre Spektroskopien werden in gewisser Weise miteinander zusammenhängen. Das soll jetzt genauer untersucht werden. 1 βE −βEm | Em |Zr |En |2 δ(E − (Em − En )) e e Ir (E) =

Ξ

m,n

1 βE −βEn | En |Zr |Em |2 δ(E − (En − Em )) = e e

Ξ

=

n,m

e βE

Ξ

n,m

e −βEn | Em |Z−r |En |2 δ((−E) − (Em − En ))

3.1

Vorbereitungen

129

Im zweiten Schritt wurden lediglich die Summationsindizes n, m vertauscht; der letzte Übergang benutzte dann (3.109). Wir haben damit eine Symmetrierelation für komplementäre Spektroskopien abgeleitet: Ir (E) = e βE I−r (−E) Wir definieren nun die für das Folgende wichtige Spektraldichte: " # 1 (±) Sr (E) = I−r (E) ∓ Ir (−E) = e βE ∓ 1 Ir (−E) h¯

(3.110)

(3.111)

Die Vorzeichenfreiheit wird später gedeutet werden können. An (3.110) und (3.111) erkennt man, dass Intensitäten von komplementären Spektroskopien auf einfache Art und Weise durch ein und dieselbe Spektraldichte bestimmt sind. h¯ Ir (E) =

1

e −βE

∓1

S(±) r (−E)

e βE h¯ I−r (E) = βE S(±) (E) e ∓1 r

(3.112) (3.113)

Die neu eingeführte Spektraldichte hängt also sehr eng mit den Intensitäten der Spektroskopien zusammen. Wir wollen sie deshalb weiter untersuchen, indem wir eine Fourier-Transformation in die Zeitdarstellung durchführen: +∞ i 1 dE e − ¯h E(t−t ) I−r (E) 2πh¯ −∞ =

1 1 −βEn − i (Em −En )(t−t ) † e e ¯h Em |Z−r |En En |Z−r |Em

2πh¯ Ξ m,n

=

i i i i 1 1 −βEn e Em | e ¯h Ht Z−r e − ¯h Ht |En En | e ¯h Ht Zr e − ¯h Ht |Em

2πh¯ Ξ m,n

=

1 1 −βEn e En |Zr (t)|Em Em |Zr† (t )|En

2πh¯ Ξ m,n

=

1 1 −βEn e En |Zr (t)Zr† (t )|En

2πh¯ Ξ n

=

1 Zr (t) Zr† (t )

2πh¯

Ganz analog findet man +∞ i 1 1 dE e − ¯h E(t−t ) Ir (−E) = Z † (t ) Zr (t)

2πh¯ −∞ 2πh¯ r

130

3. Green-Funktionen

Das bedeutet mit (3.111) für die zweizeitige Spektraldichte: +∞ i 1 Sr(ε) (t, t ) = dE e − ¯h E(t−t ) Sr(ε) (E) 2πh¯ −∞ =

1 Zr (t), Zr† (t ) −ε

2π

(3.114)

Dabei ist ε = ± lediglich ein zunächst willkürlicher Vorzeichenfaktor. [· · · , · · · ]−ε ist entweder der Kommutator oder der Antikommutator: Zr (t), Zr† (t ) −ε = Zr (t) Zr† (t ) − ε Zr† (t ) Zr (t) (3.115) Wir haben zeigen können, dass die Spektraldichte in (3.114) für die Intensitäten der Spektroskopien von zentraler Bedeutung ist. Es lässt sich aber darüberhinaus feststellen, dass die Verallgemeinerung der Spektraldichte auf beliebige Operatoren A und B in engem Zusammenhang mit der in (3.57) eingeführten retardierten Green-Funktion steht. Das gilt auch für die anderen, im nächsten Abschnitt noch zu definierenden Typen von Green-Funktionen. Die Spektraldichte (ε) (t, t ) = SAB

1 A(t), B(t ) −ε 2π

(3.116)

hat denselben fundamentalen Stellenwert für die Viel-Teilchen-Theorie wie die Green’s-Funktionen. 3.1.7 Aufgaben 3.1.1

Aufgabe 3.1.1 Berechnen Sie für das nicht wechselwirkende Elektronengas (He ) und das nicht wechselwirkende Phononengas (Hp ),

1 , ε(k)a+kσ akσ ; Hp = h¯ωr (q) b+qr bqr + He = 2 q, r k, σ

die Zeitabhängigkeiten der Vernichtungsoperatoren akσ (t), bqr (t) imHeisenbergBild.

3.1

Vorbereitungen

131

Aufgabe 3.1.2 A und B seien lineare Operatoren mit A =/ A(λ) und B =/ B(λ), λ ∈ R. 1. Schreiben Sie

e λA B e −λA =

∞

3.1.2

αn λn (αn Operatoren!)

n=0

2.

und berechnen Sie die Koeffizienten αn . Zeigen Sie, dass aus

[A, [A, B]− ]− = 0 folgt:

e λA B e −λA = B + λ[A, B]− . 3.

4.

Benutzen Sie die Teilergebnisse aus 1. und 2., um die Differentialgleichung # " d " λA λB # = A + B + λ[A, B]− e λA e λB e e dλ für [A, [A, B]− ]− = [B, [A, B]− ]− = 0 abzuleiten. Beweisen Sie mit 3.: 1

e A e B = e A + B + 2 [A,B]− ,

falls [A, [A, B]− ]− = [B, [A, B]− ]− = 0.

Aufgabe 3.1.3 A(t) sei ein beliebiger Operator in der Heisenberg-Darstellung und ρ der statistische Operator:

ρ=

3.1.3

e −βH . Sp e −βH

Beweisen Sie die Kubo-Identität:

i [A(t), ρ]− = ρ h¯

β

˙ − iλh¯). dλ A(t

0

Aufgabe 3.1.4 Zeigen Sie mithilfe der Kubo-Identität (Aufg. 3.1.3), dass sich die retardierte (Kommutator-)Green-Funktion wie folgt schreiben lässt:

A(t); B t ret = −h¯Θ t − t

β 0

dλ B˙ t − iλh¯ A(t) .

3.1.4

132

3.1.5

3. Green-Funktionen

Aufgabe 3.1.5 Benutzen Sie die Kubo-Identität (Aufg. 3.1.3), um den Tensor der elektrischen Leitfähigkeit durch eine Strom-Strom-Korrelationsfunktion auszudrücken:

σβα (E) = V

β 0

dλ

∞

dt j α (0)j β (t + iλh¯) exp

i E + i0+ t . h¯

0

V ist das System-Volumen!

3.1.6

Aufgabe 3.1.6 Berechnen Sie den Stromdichteoperator ˆj im Formalismus der zweiten Quantisierung für die 1. Bloch-Darstellung, 2. Wannier-Darstellung.

Wie sieht in diesen Fällen der Leitfähigkeitstensor aus?

3.1.7

Aufgabe 3.1.7 Im so genannten Tight-Binding-Modell (s. Abschn. 2.1.3) für stark gebundene Festkörperelektronen gilt näherungsweise für das Matrixelement: pijσ = d3 r wσ∗ r − Ri rwσ r − Rj Ri δij .

Hier ist wσ (r−Ri ) die um den Gitterplatz Ri zentrierte Wannier-Funktion (2.29). 1. Wie lauten Dipolmomentenoperator P und Stromdichteoperator ˆj in zweiter Quantisierung bei Verwendung der Wannier-Darstellung? 2. Das wechselwirkende Elektronensystem werde durch einen HamiltonOperator der Form Tij a+iσ ajσ + Vijσσ niσ njσ H= i, j, σ

i, j, σ , σ

beschrieben. Berechnen Sie den Stromdichteoperator ˆj. Welche GreenFunktion bestimmt den Leitfähigkeitstensor σ αβ (E)?

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

133

3.2

3.2 Zweizeitige Green-Funktionen 3.2.1 Bewegungsgleichungen Zum Aufbau des vollen Green-Funktionsformalismus reicht die bisher eingeführte retardierte Funktion nicht aus. Man benötigt noch zwei weitere Typen GreenFunktionen:

Retardierte Green-Funktion ret GAB t, t ≡ A(t); B t ret = = −i Θ t − t A(t), B t −ε .

Avancierte Green-Funktion av t, t ≡ A(t); B t av = GAB = +i Θ t − t A(t), B t −ε .

(3.117)

(3.118)

Kausale Green-Funktion

c GAB t, t ≡ A(t); B t c = . = −i Tε A(t)B t

(3.119)

Die die Green-Funktionen aufbauenden Operatoren stehen hier in ihrer zeitabhängigen Heisenberg-Darstellung, d. h. nach (3.24) bei nicht explizit zeitabhängigem Hamilton-Operator:

i i X(t) = exp Ht X exp − Ht . (3.120) h¯ h¯ H ist wie in (3.45) definiert: . H = H − μN

(3.121)

Gemittelt wird in der großkanonischen Gesamtheit: X =

1

Ξ

" # Sp e −βH X , "

(3.122)

#

Ξ = Sp e −βH .

(3.123)

134

3. Green-Funktionen

Ξ ist die großkanonische Zustandssumme. ε = ± ist der in Kap. 1 eingeführte Vorzeichenindex. Die Festlegung von ε in den Definitionen (3.117) bis (3.119) ist völlig willkürlich. Handelt es sich bei A und B um reine Fermi-(Bose-) Operatoren, so erweist sich die Wahl ε = −(+) als zweckmäßig, wie wir noch sehen werden. Sie ist aber keineswegs zwingend. Wir erinnern uns, dass (3.124) [A(t), B t ]−ε = A(t)B t − εB t A(t) für ε = + den Kommutator und für ε = − den Antikommutator meint. Bleibt schließlich noch der Wick’sche Zeitordnungsoperator Tε zu definieren, der Operatoren in einem Produkt nach ihren Zeitargumenten sortiert: (3.125) Tε A(t)B t = Θ t − t A(t)B t + εΘ(t − t)B t A(t) . Wegen ε ist er nicht mit dem Dyson’schen Zeitordnungsoperator TD (3.15) identisch. – Die Stufenfunktion Θ, ⎧ ⎨1 für t > t , Θ t − t = (3.126) ⎩ 0 für t < t , ist für geiche Zeiten nicht definiert. Dies gilt damit auch für die Green-Funktionen. Wegen des Mittelungsprozesses in den Definitionsgleichungen (3.117) bis (3.119) sind die Green-Funktionen auch temperaturabhängig. Wir werden später zeigen, wie man Zeit- und Temperaturvariable in einen engen Zusammenhang bringen kann (Kap. 6). Es gibt eine weitere, sehr wichtige Funktion der Viel-Teilchen-Theorie die wir bereits an dieser Stelle einführen wollen. Dies ist die so genannte Spektraldichte, deren Aussagekraft mit der der Green-Funktion identisch sein wird: 1 A(t), B t −ε . SAB t, t = 2π

(3.127)

Wir können nun die in Abschn. 3.1 schon mehrfach benutzte Tatsache beweisen, dass bei nicht explizit zeitabhängigem Hamilton-Operator Green-Funktionen und Spektraldichte homogen in der Zeit sind: ∂H α t, t = G α t − t (α = ret, av, c) , (3.128) = 0 ⇒ GAB AB ∂t SAB t, t = SAB t − t . (3.129) Der Beweis ist offensichtlich erbracht, wenn wir diese Homogenität für die so genannten Korrelationsfunktionen

A(t)B t ,

B t A(t)

3.2


135

nachweisen können. Das gelingt durch Ausnutzen der zyklischen Invarianz der Spur: Sp exp −βH A(t)B t =

i i i = Sp exp(−βH) exp Ht A exp − H t − t B exp − Ht = h¯ h¯ h¯

i i = Sp exp(−βH) exp H t − t A exp − H t − t B = h¯ h¯ = Sp exp(−βH)A t − t B(0) . Daraus folgt:

A(t)B t = A t − t B(0) .

(3.130)

B t A(t) = B(0)A t − t .

(3.131)

Analog findet man:

Damit sind (3.128) und (3.129) bewiesen! Zur konkreten Berechnung der Green-Funktion benötigen wir in der Regel deren Bewegungsgleichung. Diese ergibt sich unmittelbar aus der allgemeinen Bewegungsgleichung (3.27) für Heisenberg-Operatoren. Wegen d d Θ t − t = δ t − t = − Θ t − t dt dt findet man für alle drei Green-Funktionen (3.117) bis (3.119) formal dieselbe Bewegungsgleichung:

i¯ h

∂ α G t, t = h¯δ t − t [A, B]−ε + [A, H]− (t); B t α . ∂t AB

(3.132)

Die Lösungen für die drei Funktionen unterliegen allerdings verschiedenen Randbedingungen: ret t, t = 0 für t < t , (3.133) GAB av t, t = 0 für t > t , GAB (3.134) ⎧ ⎨−i A t − t B(0) für t > t , c GAB t, t = (3.135) ⎩ für t < t . −iε B(0)A t − t Auf der rechten Seite von (3.132) taucht eine neue Green-Funktion auf, da der Kommutator [A, H]− selbst ein Operator ist. Es handelt sich dabei in aller Regel um eine so genannte höhere Green-Funktion, d. h. um eine, die aus mehr Operatoren aufgebaut

136

3. Green-Funktionen

α t, t . Es gibt für diese natürlich ebenfalls eine ist als die ursprüngliche Funktion GAB Bewegungsgleichung vom Typ (3.132), in der dann auf der rechten Seite eine weitere neue Green-Funktion erscheint,

i¯ h

∂ [A, H]− (t); B t α = h¯δ t − t [[A, H]− , B]−ε + ∂t +

[[A, H]− , H ]− (t); B t α ,

(3.136)

auf die das Verfahren dann erneut angewendet werden kann, usw. Dies führt bei nichttrivialen Problemen zu einer unendlichen Kette von Bewegungsgleichungen, die zur approximativen Lösung an irgendeiner Stelle entkoppelt werden muss. Letzteres sollte allerdings physikalisch begründbar sein. Zweckmäßiger als die Zeitdarstellung der Green-Funktionen und der Spektraldichte ist häufig ihre Energiedarstellung: α (E) ≡ A; B α = GAB E

+∞ α i = , d t − t GAB t − t exp E t−t h¯

(3.137)

−∞

α t − t = GAB

+∞ i α . dE GAB (E) exp − E t − t 2πh¯ h¯ 1

(3.138)

−∞

Ebenso transformiert sich die Spektraldichte. Benutzt man dann noch die FourierDarstellungen der δ-Funktionen, 1 δ E − E = 2πh¯ 1 δ t − t = 2πh¯

+∞ i , d t − t exp − E − E t − t h¯

(3.139)

+∞ i , dE exp E t − t h¯

(3.140)

−∞

−∞

so wird aus der Bewegungsgleichung (3.132): E A; B

αE = h¯ [A, B]−ε +

[A, H]− ; B αE .

(3.141)

Es handelt sich nun nicht mehr um eine Differentialgleichung, sondern um eine rein algebraische Gleichung. Allerdings ergibt sich auch jetzt eine unendliche Kette von solchen Bewegungsgleichungen, die entkoppelt werden muss. – Die unterschiedlichen Randbedingungen (3.133) bis (3.135) manifestieren sich in der Energiedarstelα (E) in der lung in unterschiedlichem analytischen Verhalten der Green-Funktion GAB komplexen E-Ebene. Dies soll im nächsten Abschnitt untersucht werden.

3.2


137

3.2.2 Spektraldarstellungen Um das aus (3.141) entstehende Gleichungssystem durch Randbedingungen zu ergänzen, ist es wichtig, die so genannten Spektraldarstellungen der Green-Funktionen zu kennen. Es seien En und En Eigenenergien und Eigenzustände des Hamilton-Operators H des betrachteten physikalischen Systems:

H En = En En .

(3.142)

Die Zustände En mögen ein vollständiges, orthonormiertes System bilden: En En = 1 ; En Em = δnm . (3.143) n

Wir wollen zunächst die Korrelationsfunktionen A(t)B t , B t A(t) diskutieren: −βH En e Ξ A(t)B t = Sp e −βH A(t)B t = A(t)B t En = n

=

En A(t) Em Em B t En e −βEn =

n, m

=

En A Em Em B En e −βEn ·

n, m

i En − Em t − t = · exp h¯ En B Em Em A En e −βEn e −β(Em − En ) · =

(3.144)

n, m

i . · exp − En − Em t − t h¯ Im dritten Schritt haben wir zwischen die Operatoren den vollständigen Satz von Eigenzuständen eingeschoben, wodurch die Zeitabhängigkeit der Heisenberg-Operatoren trivial wird. Im letzten Schritt haben wir noch die Indizes n und m vertauscht. – Ganz analog ergibt sich für die zweite Korrelationsfunktion: −βE En B Em Em A En e n · Ξ B t A(t) = n, m

i . · exp − En − Em t − t h¯

(3.145)

Einsetzen von (3.144) und (3.145) in (3.127) führt nach Fourier-Transformation auf die wichtige

138

3. Green-Funktionen

Spektraldarstellung der Spektraldichte h¯ −βEn En B Em Em A En e · SAB (E) =

Ξ n, m ·

"

# δ E − En − Em .

(3.146)

e βE − ε

Man beachte, dass in den Argumenten der δ-Funktionen die möglichen Anregungsenergien des Systems stehen. Wir wollen nun die Green-Funktionen durch die Spektraldichte ausdrücken. Dazu benutzen wir die folgende Darstellung der Stufenfunktion: +∞ i e −ix t − t Θ t−t = dx . (3.147) 2π x + i0+ −∞

Der Beweis gelingt leicht mithilfe des Residuensatzes. Mit (3.147) lässt sich die retardierte Green-Funktion (3.117) wie folgt umformen:

+∞ i ret −iΘ t−t 2πSAB t−t = d t−t exp E t−t GAB (E) = h¯ −∞

+∞ i = −iΘ t−t · d t−t exp E t−t h¯ −∞

1 · h¯

+∞ i dE SAB (E ) exp − E t−t = h¯

−∞

+∞ +∞ SAB E = dE dx · x + i0+ −∞

−∞

+∞ i · = d t−t exp − h¯x − E + E t−t 2πh¯ h¯ 1

−∞

+∞ SAB E 1 1 E−E x− . dE dx δ x + i0+ h¯ h¯

+∞ = −∞

−∞

Damit haben wir die Spektraldarstellung der retardierten Green-Funktion ret GAB (E)

+∞ = dE −∞

SAB E . E − E + i0+

(3.148)

3.2


139

Die Behandlung der avancierten Funktion erfolgt völlig analog: Gav AB (E)

+∞ i = d t − t exp E t − t iΘ t − t 2πSAB t − t = h¯ −∞

+∞ +∞ SAB E = dE dx · x + i0+ −∞

−∞

−1 · 2πh¯

+∞ i d t − t exp − −h¯x − E + E t − t = h¯

−∞

+∞ +∞ SAB E 1 1 =− dE dx δ −x − E−E . x + i0+ h¯ h¯ −∞

−∞

Dies ergibt die Spektraldarstellung der avancierten Green-Funktion +∞ SAB E av (E) = dE . GAB E − E − i0+

(3.149)

−∞

Das Vorzeichen von i0+ ist der einzige, aber wichtige Unterschied zwischen retardierter und avancierter Funktion, aus dem das unterschiedliche analytische Verhalten resultiert: ret ist in die obere, G av in die untere Halbebene analytisch fortsetzbar! GAB AB

Die noch zu besprechende kausale Green-Funktion ist dagegen weder in die obere noch in die untere Halbebene fortsetzbar. Wenn wir nun die Spektraldarstellung (3.146) der Spektraldichte in (3.148) bzw. (3.149) einsetzen, so ergibt sich der folgende bemerkenswerte Ausdruck: ret

av = GAB

h¯

Ξ n, m

En B Em Em A En e −βEn

e β(En − Em ) − ε . E − En − Em ± i0+

(3.150)

Es handelt sich also in beiden Fällen um eine meromorphe Funktion mit einfachen Polen bei den exakten Anregungsenergien des wechselwirkenden Systems. Wenn wir in der Lage sind, die Green-Funktion irgendwie zu bestimmen, so können wir an den Singularitäten genau die Energien En − Em ablesen, für die die Matrixelemente der Operatoren A und B von Null verschieden sind. Man kann also durch passende Wahl von A und B dafür sorgen, dass ganz bestimmte Anregungsenergien als Pole in Erscheinung treten. Wegen ihrer identischen physikalischen Aussagekraft fasst man die retardierte und die avancierte Green-Funktion bisweilen zu einer einzigen Funktion GAB (E) zusam-

140

3. Green-Funktionen

ret und G av als die beiden Zweige einer einheitlichen men. Konkret betrachtet man GAB AB Green-Funktion in der komplexen E-Ebene: ⎧ +∞ ⎨G ret (E) , S falls Im E > 0 , AB E AB GAB (E) = dE = (3.151) ⎩ av E−E G (E) , falls Im E < 0 . AB −∞

Die Singularitäten liegen nun auf der reellen Achse. Wir haben in (3.148), (3.149) und (3.151) die Green-Funktionen durch die Spektraldichte ausgedrückt. Mithilfe der Dirac-Identität 1 1 (3.152) =P ∓ iπδ x − x0 , + x − x0 ± i0 x − x0 in der P den Cauchy’schen Hauptwert bezeichnet, können wir auch leicht die Umkehrung ableiten: i SAB (E) = GAB E + i0+ − GAB E − i0+ . (3.153) 2π Wenn man die Spektraldichte in (3.151) als reell voraussetzt, so folgt: ret 1 av (E) . SAB (E) = ∓ Im GAB (3.154)

π

Es fehlt nun noch die Spektraldarstellung der kausalen Green-Funktion. Ausgehend von der Definition (3.119)

+∞ i c (E) = −i d t − t exp Θ t − t A(t)B t + GAB E t − t h¯ −∞

+ εΘ t − t B t A(t) erhalten wir nach Einsetzen von (3.144), (3.145) und (3.147): c (E) = GAB

=

1

Ξ n, m

1 En BEm Em AEn e −βEn 2π

+∞ +∞ dt dx −∞

−∞

1 · x + i0+

i E − En − Em − h¯x t + · exp[β En − Em ] exp h¯ i E − En − Em + h¯x t = + ε exp h¯ h¯ = En B Em Em A En e −βEn ·

Ξ n, m

+∞ dx ·

1 β(En − Em ) e δ E − En − Em − h¯x + + x + i0 −∞ + εδ E − En − Em + h¯x .

3.2


141

Dies ergibt die Spektraldarstellung der kausalen Green-Funktion h¯ −βEn c En B Em Em A En e (E) = · GAB

Ξ n, m $

·

e β(En − Em ) ε − + E − En − Em + i0 E − En − Em − i0+

%

(3.155) .

Die kausale Green-Funktion hat also sowohl in der unteren als auch in der oberen Halbebene Singularitäten, ist also in keine von beiden analytisch fortsetzbar. Für konkrete Rechnungen sind deshalb in der Regel die retardierte und die avancierte Funktion bequemer. Die später zu besprechende Diagrammtechnik ist dagegen nur mit der kausalen Funktion durchführbar. 3.2.3 Spektraltheorem Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass aus den Green-Funktionen bzw. aus der Spektraldichte wertvolle mikroskopische Informationen über das betrachtete physikalische System zugänglich wird. Die Singularitäten dieser Funktionen sind mit den Anregungsenergien des Systems identisch. Die Green-Funktionen liefern aber noch wesentlich mehr. Wir werden nun zeigen, dass die gesamte makroskopische Thermodynamik durch passend definierte Green-Funktionen festgelegt ist. Zu diesem Zweck leiten wir zunächst das fundamentale Spektraltheorem ab. Wir beginnen mit der Korrelationsfunktion B t A(t) ,

deren Spektraldarstellung (3.145) der entsprechenden Darstellung (3.146) der Spektraldichte sehr ähnlich ist. Die Korrelation lässt sich deshalb durch die Spektraldichte ausdrücken. Dies gelingt unmittelbar durch die Antikommutator-Spektraldichte (ε = −). Kombination von (3.145) und (3.146) liefert:

+∞ 1 S (−) (E) i B t A(t) = . (3.156) dE AB exp − E t − t h¯ h¯ e βE + 1 −∞

Diese fundamentale Beziehung wird Spektraltheorem genannt. Mit ihr lassen sich beliebige Korrelationsfunktionen und Erwartungswerte (t = t ) über passend definierte Spektraldichten berechnen. Man hat jedoch zu beachten, dass bei Verwendung von Kommutator-Spektraldichten (ε = +) der obige Ausdruck um eine Konstante D erweitert werden muss, sodass das Spektraltheorem vollständig wie folgt formuliert werden muss: 1 B t A(t) = h¯

+∞ S (ε) (E) 1 i E t − t + (1 + ε)D . dE AB exp − β E h¯ 2 e −ε

−∞

(3.157)

142

3. Green-Funktionen

Dass im (ε = +)-Fall zu (3.156) ein Korrekturterm hinzukommen muss, macht das folgende Beispiel klar. Ersetzen wir in der Definition (3.127) für die KommutatorSpektraldichte die Operatoren A und B durch ! A = A − A ;

! B = B − B ,

(3.158)

so ändert sich die Spektraldichte selbst überhaupt nicht: (+) (+) t − t = S! t − t . SAB A! B Ohne D würde sich also auch die rechte Seite von (3.156) nicht ändern, wohl hingegen die linke Seite: ! B t ! (3.159) A(t) = B t A(t) − B A . Die Kommutator-Spektraldichte bestimmt also die Korrelationsfunktion nicht vollständig. Die Ursache lässt sich an (3.146) ablesen, wenn man die Spektraldichte in einen diagonalen und einen nichtdiagonalen Anteil zerlegt: (ε) (ε) SAB (E) = SAB (E) + h¯ (1 − ε)Dδ(E) .

(3.160)

Dabei gilt: (ε) SAB (E) =

E =/ E h¯ nm

Ξ ·

D=

En B Em Em A En e −βEn ·

n, m

"

# e βE − ε δ E − En − Em ,

E =E 1 nm

Ξ

En B Em Em A En e −βEn .

(3.161) (3.162)

n, m

In der Kommutator-Spektraldichte tauchen die in D enthaltenen Diagonalterme nicht auf. Sie werden allerdings zur Bestimmung der Korrelationsfunktionen (3.144) und (3.145) benötigt. Die (ε = +)-Spektraldichte reicht deshalb zur Festlegung der Korrelationen nicht aus, falls die Diagonalelemente von Null verschieden sind. Es gilt vielmehr 1 B t A(t) = D + h¯

1 A(t)B t = D + h¯

+∞ S (ε) (E) i , dE AB exp − E t − t h¯ e βE − ε

(3.163)

+∞ S (ε) (E) e βE i , dE ABβE exp − E t − t h¯ e −ε

(3.164)

−∞

−∞

wie man direkt an den allgemeinen Spektraldarstellungen (3.144) und (3.145) abliest. (+) Beim Einsetzen in die Kommutator-Green-Funktion GAB (E) oder in die Kommutator-

3.2


143

Spektraldichte fällt die Konstante D heraus. Die Spektraldarstellung der in (3.151) definierten Green-Funktion GAB (E) lautet damit: (−) GAB (E) =

=

h¯

Ξ n, m

e β(En − Em ) + 1 , En B Em Em A En e −βEn E − En − Em

(3.165)

(+) (E) = GAB

=

E =/ E h¯ nm

Ξ

n, m

e β(En − Em ) − 1 . En B Em Em A En e −βEn E − En − Em

(3.166)

(ε) (E) nur Der folgende Grenzübergang, der im Komplexen durchzuführen ist, da GAB dort definiert ist, (ε) lim EGAB (E) = (1 − ε)h¯D ,

E→0

(3.167)

liefert eine praktische Möglichkeit zur Bestimmung der Konstanten D. Das allgemeine Spektraltheorem (3.157) erfordert D bei Benutzung der Kommutator-Funktionen. Bestimmen können wir diese über (3.167) aus der zugehörigen Antikommutator(−) (E). – Zwei weitere wichtige Konsequenzen lassen sich an (3.167) Green-Funktion GAB ablesen: (+) (E) ist in jedem Fall regulär im Nullpunkt. 1. Die Kommutator-Green-Funktion GAB Diese Tatsache kann als Kriterium für approximative Lösungen verwendet werden. (−) (E) hat im Fall D =/ 0 bei E = 0 einen 2. Die Antikommutator-Green-Funktion GAB Pol erster Ordnung mit dem Residuum 2h¯D. Wir werden einfache Anwendungen des fundamentalen Spektraltheorems in Abschn. 3.3 diskutieren. 3.2.4 Exakte Relationen Für realistische Probleme sind Green-Funktionen und Spektraldichten leider fast nie exakt berechenbar. Approximationen müssen deshalb toleriert werden. Dann ist es aber sehr nützlich, einige allgemeine exakte Relationen (Grenzfälle, Symmetrierelationen, Summenregeln usw.) zur Verfügung zu haben, an denen man die Näherungen testen kann. Wir listen in diesem Abschnitt einige solcher exakten Relationen auf. Direkt an den allgemeinen Definitionen der Green-Funktionen liest man ab: ret av t, t = εGBA t ,t . (3.168) GAB

Mit (3.117) und (3.118) gilt nämlich: A(t); B t

ret = −iΘ t − t A(t), B t −ε = = +iεΘ t − t B t , A(t) −ε = = ε B t ; A(t) av .

144

3. Green-Funktionen

Nach Fourier-Transformation wird aus (3.168):

+∞ ret i t − t exp d t − t GAB E t − t = h¯

−∞

+∞ av i E t − t = t − t exp =ε d t − t GBA h¯ −∞

+∞ av i t − t exp (−E) t − t . =ε d t − t GBA h¯ −∞

Dies bedeutet: ret av GAB (E) = εGBA (−E) (E reell) .

(3.169)

ret (E) und G av (E) nur in jeweils Ist E komplex, so hat man zu bedenken, dass GAB AB einer Halbebene analytisch sind. Bei komplexem E empfiehlt sich die kombinierte Funktion (3.151), die wiederum für reelle E nicht definiert ist:

GAB (E) = εGBA (−E)

(E komplex) .

Für retardierte wie avancierte Green-Funktionen gilt gleichermaßen: ret, av ∗ av GAB t, t . = εGAret, + B+ t, t

(3.170)

(3.171)

Diese direkt aus der Definition folgende Beziehung hat für den Fall, dass die Green Funktionen aus hermiteschen Operatoren A = A+ , B = B+ aufgebaut sind, wie z. B. die Response-Größen aus Abschn. 3.1, die Konsequenz, dass die KommutatorFunktionen rein reell und die Antikommutator-Funktionen rein imaginär sind. Mit der Bewegungsgleichung (3.141) führen wir die folgende Umformung durch: +∞ dE E A; B Eret − h¯ [A, B]−ε = −∞

+∞ = dE [A, H]− ; B Eret = −∞

+∞ ∞ i dE (−i) dt [[A, H]− (t), B(0)]−ε exp = Et = h¯ −∞

∞ = h¯

0

˙ dt A(t), B(0) −ε

−∞

0

= 2πh¯2

+∞ i dE exp Et = h¯

∞ dt 0

˙ A(t), B(0) −ε δ(t) .

3.2


145

Wegen ∞

dx δ(x)f (x) =

1 f (0) 2

(3.172)

0

folgt schließlich: +∞ ret ˙ dE EGAB (E) − h¯ [A, B]−ε = πh¯2 A(0), B(0) −ε .

(3.173)

−∞

Die analogen Beziehungen für die beiden anderen Green-Funktionen lauten: +∞ av ˙ dE EGAB (E) − h¯ [A, B]−ε = −πh¯2 A(0), B(0) −ε ,

(3.174)

−∞

+∞ c ˙ ˙ dE EGAB (E) − h¯ [A, B]−ε = πh¯2 A(0)B(0) + ε B(0)A(0) .

(3.175)

−∞

Die Bedeutung dieser Relationen liegt in dem folgenden Schluss: Die rechten Seiten sind als Erwartungswerte von Produkten aus Operatoren (Observablen) endliche Größen. Die Integrale auf den linken Gleichungsseiten müssen deshalb konvergieren. Notwendige Bedingung dafür ist: α (E) ≈ lim GAB

E→∞

h¯ [A, B]−ε . E

(3.176)

Der Erwartungswert rechts ist in aller Regel direkt berechenbar, so dass das Hochenergieverhalten der Green-Funktion auf einfache Weise bestimmbar ist. Man denke αβ z. B. an die wichtigen Response-Größen χij (E), σ αβ (E), ε(q, E) aus Abschn. 3.1. Für die Spektraldichte SAB (E) existieren nützliche Summenregeln, die unabhängig von der Funktion selbst berechnet werden können und deshalb als Kontrolle für die unvermeidlichen Näherungsverfahren dienen. Aus der Definition der Spektraldichte in (3.167) folgt:

∂ n ∂ n 2πSAB t, t = i¯ [A(t), B t ]−ε = i¯ h h ∂t ∂t

+∞ ∂ n1 i = i¯ h dE SAB (E) exp − E t − t = (3.177) ∂t h¯ h¯ −∞

1 = h¯

+∞ i n . dE SAB (E)E exp − E t − t h¯

−∞

146

3. Green-Funktionen

Für t = t ergeben sich hieraus die so genannten Spektralmomente (n) MAB

1 = h¯

+∞ dE E n SAB (E) .

(3.178)

−∞

Setzen wir auf der linken Seite von (3.177) die Bewegungsgleichung (3.27) für Heisen berg-Operatoren ein und bedenken wir, dass wir auf SAB t, t mit demselben Resultat p ∂ n ∂ n − p −i¯ statt i¯ h ∂t auch i¯ h ∂t h ∂∂t mit 0 ≤ p ≤ n hätten wirken lassen können, so ergibt sich die folgende alternative Darstellung der Momente: (n) = [ [· · · [[A, H]− , H ]− · · · H ]− , [H, · · · [H, B]− · · · ]− ]−ε MAB & '( ) & '( ) (3.179) p-facher Kommutator (n − p)-facher Kommutator (0 ≤ p ≤ n ;

n = 0, 1, 2, . . . )

Bei bekanntem Hamilton-Operator lassen sich über diese Beziehung im Prinzip alle Momente der Spektraldichte exakt berechnen, und das unabhängig von SAB (E). Mit den Spektralmomenten läßt sich eine häufig sehr nützliche Hochenergieentwicklung für die Green’s-Funktionen formulieren. Für die „kombinierte“ Green’s-Funktion (3.151) gilt +∞ SAB (E ) GAB (E) = dE E − E −∞

1 = E

+∞ SAB (E ) dE 1 − EE

−∞

+∞

n ∞ 1 E = dE SAB (E ) E n=0 E −∞

Der Vergleich mit (3.178) liefert dann: GAB (E) = h¯

∞ (n) MAB En+1 n=0

(3.180)

Dieses bedeutet für das extreme Hochenergieverhalten (E → ∞) (vgl. (3.176)): h¯ (0) h¯ M = [A, B]−ε

(3.181) E AB E Die rechte Seite ist in der Regel leicht berechenbar. Das Hochenergieverhalten der wichtigen Response-Funktionen aus Abschn. 3.1, z. B., ist damit bereits bekannt. GAB (E) ≈

3.2


147

3.2.5 Kramers-Kronig-Relationen ret und G av vollständig durch Nach (3.148) bzw. (3.149) sind die Green-Funktionen GAB AB die Spektraldichte SAB festgelegt. Andererseits ist diese wiederum nach (3.154) allein aus dem Imaginärteil dieser Funktionen ableitbar. Real- und Imaginärteile der GreenFunktionen sind demnach nicht unabhängig voneinander. Man betrachte das Integral * ret (E) GAB . IC (E) = dE E − E − i0+ C ret (E) GAB

ist analytisch in der gesamten oberen Halbebene. Dies gilt, wenn wir E als reell voraussetzen, dann auch für den kompletten Integranden, sodass IC (E) = 0 folgt. Schließen wir den Halbkreis im Unendlichen, so verschwindet der Integrand wegen (3.176) auf diesem. Es bleibt damit, wenn wir die Dirac-Identität (3.152) benutzen: +∞ dE 0= −∞

ret (E) GAB =P E − E − i0+

+∞ G ret (E) ret + iπGAB dE AB (E) . E−E

−∞

Daraus folgt: ret (E) GAB

+∞ G ret (E) . = P dE AB π E−E

i

(3.182)

−∞

Ganz analog findet man, wenn man den Halbkreis in der unteren Halbebene schließt, av (E) analytisch ist, und −i0+ durch +i0+ ersetzt: in der GAB av GAB (E)

+∞ G av (E) . =− P dE AB π E−E

i

(3.183)

−∞

Genau genommen braucht man die vollen Green-Funktionen gar nicht zu kennen. Es reicht die Bestimmung des Real- oder des Imaginärteils aus. Der jeweils andere Teil folgt dann aus den an (3.182) und (3.183) ablesbaren Im E C Abb. 3.3. Integrationsweg in der komplexen E-Ebene zur

Re E

Berechnung des Integrals IC (E)

148

3. Green-Funktionen

Kramers-Kronig-Relationen ret av (E) Re GAB

ret +∞ av (E) Im GAB , =∓ P dE π E−E

(3.184)

ret +∞ av (E) Re GAB . =± P dE π E−E

(3.185)

1

−∞

ret av (E) Im GAB

1

−∞

Setzen wir voraus, dass die Spektraldichte SAB (E) reell ist, so gilt (3.154) und damit: ret (E) Re GAB

+∞ SAB (E) , =P dE E−E

=

av Re GAB (E)

=

av − Im GAB (E)

(3.186)

−∞

ret Im GAB (E)

= −πSAB (E) .

(3.187)

Die Verbindung zur kausalen Green-Funktion gelingt mit (3.146) und (3.155):

e βE + ε Im GcAB (E) = −πSAB (E) βE , e −ε

(3.188)

ret, av c Re GAB (E) = Re GAB (E) .

(3.189)

Während (3.184) und (3.185) noch allgemein gültig sind, setzen (3.186) bis (3.189) voraus, dass die Spektraldichte reell ist. Ist dies, wie in der Regel, der Fall, so können diese Relationen als Transformationsformeln für den Wechsel von einem Typ GreenFunktion zum anderen herhalten. Dies ist nicht ganz unwichtig, da, wie bereits erret, av benutzt, die später zu besprechende wähnt, die Bewegungsgleichungsmethode GAB c Diagrammtechnik dagegen GAB .

3.2


149

3.2.6 Aufgaben Aufgabe 3.2.1 Beweisen Sie

3.2.1

d d Θ t − t = δ t − t = − Θ t − t , dt dt

wobei Θ t − t die Stufenfunktion sein soll.

Aufgabe 3.2.2 Leiten Sie die Bewegungsgleichung der kausalen Green’schen c t, t ab. Funktion GAB

3.2.2

Aufgabe 3.2.3 Zeigen Sie, dass für zeitabhängige Korrelationsfunktionen B(0)A(t + i¯ hβ) = A(t)B(0)

3.2.3

gilt, falls der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt.

Aufgabe 3.2.4 Beweisen Sie die Darstellung (3.147) der Stufenfunktion:

i Θ t − t = 2π

3.2.4

+∞ e −ix(t − t ) dx . x + i0+

−∞

Aufgabe 3.2.5 Beweisen Sie, dass eine komplexe Funktion F(E) eine analytische Fortsetzung in die obere (untere) Halbebene besitzt, wenn ihre FourierTransformierte f (t) für t < 0 (t > 0) verschwindet.

3.2.5

Aufgabe 3.2.6 Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus Aufg. 3.1.7 den Leitfähigkeitstensor für das nicht wechselwirkende Elektronensystem

3.2.6

Aufgabe 3.2.7 Zeigen Sie, dass für retardierte und avancierte Green-Funktionen gleichermaßen gilt: ret (av) ∗ GAB t, t t, t . = εGAret+ B(av) +

3.2.7

150

3.2.8

3. Green-Funktionen

Aufgabe 3.2.8 Beweisen Sie für die kausale Green-Funktion die Beziehung (3.175):

+∞ c ˙ ˙ dE [EGAB (E) − h¯ [A, B]−ε ] = πh¯2 A(0)B(0) + ε B(0)A(0) . −∞

3.2.9

Aufgabe 3.2.9 Berechnen Sie für ein System von wechselwirkungsfreien Elektronen,

H=

k, σ

ε(k)a+kσ akσ ,

sämtliche Spektralmomente, + Mk(n) σ = [. . .[akσ , H]− , . . . , H]− , H]− , akσ ]+ , und daraus die exakte Spektraldichte: Skσ (E) = −

1

π

Im akσ ; a+kσ Eret .

3.2


151

Aufgabe 3.2.10 Betrachten Sie ein freies, spinloses Teilchen in einer Dimension:

H=

p2 , 2m

[x, p]− = i h¯

Der (gemischte) Zustand des Systems sei durch den Dichteoperator

ρ = e −βH (nicht normiert) gegeben. β = kB1T ist ein Parameter. 1. Berechnen Sie die Spur des Dichteoperators: Sp(ρ) = e −βH dp 2.

Zeigen Sie, dass für den Energie-Erwartungswert 1 H = kB T 2

3.

4. 5.

gilt. H soll jetzt aus der Kommutator-Greenfunktion Gp(+) (E) = p; p

(ε = +) berechnet werden. Lösen Sie die Bewegungsgleichung für Gp(+) (E)! (Das Ergebnis ist trivial.) 1 p · p aus dem SpektraltheoVersuchen Sie, den Erwartungswert H = 2m rem zu bestimmen. Beachten Sie dabei die Konstante D (s. (3.157))! Berechnen Sie die Konstante D mithilfe der Beziehung lim EGp(−) (E) = 2h¯D

E→0

6.

aus der Lösung der Bewegungsgleichung der Antikommutator-Greenfunktion Gp(−) (E) = p; p

(ε = −) ! Gelingt die Bestimmung von H ? Es sei nun ein infinitesimales, symmetriebrechendes Feld durch H =

7. 8. 9.

m p2 + ω2 x2 2m 2

(ω → 0)

eingeführt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Kommutator-Greenfunktion auf und lösen Sie diese für ω =/ 0! (Dazu ist auch die KommutatorGreenfunktion x; p

(ε = +) zu bestimmen.) Bestimmen Sie die Konstante D! Berechnen Sie H ω aus dem Spektraltheorem für Gp(+) (E) für ω =/ 0! Zeigen Sie, dass 1 lim H ω = kB T . 2

ω→0

3.2.10

152

3.3

3. Green-Funktionen

3.3 Erste Anwendungen Wir wollen in diesem Abschnitt den abstrakten Green-Funktionsformalismus des letzten Abschnitts auf einfache Systeme anwenden. Deren Eigenschaften sind natürlich aus der elementaren statistischen Mechanik bekannt. Sie helfen uns hier lediglich, mit der Methode vertraut zu werden. 3.3.1 Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen Wir diskutieren als erstes Beispiel ein System von nicht miteinander, nur mit dem periodischen Gitterpotential wechselwirkenden Festkörperelektronen, beschrieben durch den Hamilton-Operator (2.22):

, H0 = H0 − μN

H0 =

kσ

= N

kσ

(3.190)

ε(k)a+kσ akσ ,

(3.191)

a+kσ akσ .

(3.192)

Wir können alle uns interessierenden Eigenschaften des Elektronensystems aus der so genannten Ein-Elektronen-Green-Funktion Gkασ (E) =

akσ ; a+kσ αE ,

α = ret, av, c ; ε = − .

(3.193)

ableiten. Da es sich um ein reines Fermionensystem handelt, ist die Wahl der Antikommutator-Green-Funktion (ε = −) nahe liegend, jedoch nicht zwingend. Wir gehen bei der Lösung dieses einfachen Problems genauso vor, wie man auch in komplizierteren Fällen verfahren würde. Der erste Schritt ist das Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung: (3.194) EGkασ (E) = h¯ [akσ , a+kσ ]+ + [akσ , H0 ]− ; a+kσ α . Mithilfe der fundamentalen Vertauschungsrelationen (2.23) und (2.24) für Fermionen findet man leicht: ε(k ) − μ [akσ , a+k σ ak σ ]− = [akσ , H0 ]− = k ,σ

=

k ,σ

ε(k ) − μ δkk δσσ ak σ =

= ε(k) − μ akσ .

(3.195)

3.3

Erste Anwendungen

153

Dies führt nach Einsetzen in (3.194) zu der einfachen Bewegungsgleichung: EGkασ (E) = h¯ + ε(k) − μ Gkασ (E) .

(3.196)

Auflösen und Erfüllen der Randbedingungen durch Einfügen von +i0+ bzw. −i0+ ergibt: Gkret, σ

av

(E) =

h¯ . E − ε(k) − μ ± i0+

(3.197)

Die Singularitäten dieser Funktion entsprechen offensichtlich den möglichen Anregungsenergien des Systems. Bei komplexem Argument E benutzen wir die kombinierte Green-Funktion (3.151): Gkσ (E) =

h¯ . E − ε(k) − μ

(3.198)

Wichtig ist die Ein-Elektronen-Spektraldichte Skσ (E) = h¯δ E − ε(k) − μ .

(3.199)

Wie sehen die zugehörigen zeitabhängigen Funktionen aus? Betrachten wir zunächst die retardierte Green-Funktion: Gkret σ

1 t − t = 2πh¯

+∞ i h¯ dE exp − E t − t . h¯ E − ε (k) − μ + i0+

−∞

Wir substituieren E durch E = E − ε(k) − μ : Gkret σ

+∞ 1 exp − ¯hi E t − t i t − t = exp − ε (k) − μ t − t dE . h¯ 2π E + i0+ −∞

Dies ergibt mit (3.147): i t − t = − t − t exp − . i Θ ε (k) − μ ) t − t ( Gkret σ h¯

(3.200)

Die Randbedingung (3.133) ist also in der Tat durch das Einfügen des Infinitesimals +i0+ erfüllt. Ganz analog finden wir die avancierte Funktion: i (3.201) Gkavσ t − t = iΘ t − t exp − ε(k) − μ t − t . h¯ Im nicht wechselwirkenden System zeigen die zeitabhängigen Green-Funktionen also ein oszillatorisches Verhalten mit einer Frequenz, die einer exakten Anregungsenergie entspricht. Wir werden später sehen, dass das in analoger Weise auch für die

154

3. Green-Funktionen

wechselwirkenden Systeme gültig bleibt. Typisch wird dann jedoch ein zusätzlicher Dämpfungsfaktor sein, der als endliche Lebensdauer der Quasiteilchen zu interpretieren sein wird. Wir wollen noch die kausale Green-Funktion untersuchen, die gemäß (3.135) die etwas unhandlichen Randbedingungen Gkcσ t − t = 0+ = −i 1 − nkσ , Gkcσ t − t = −0+ = +i nkσ

(3.202) (3.203)

zu erfüllen hat. Wir schreiben deshalb die Lösung der Bewegungsgleichung (3.194) in der folgenden Form: Gkcσ (E) =

C1 C2 + . E − ε(k) − μ + i0+ E − ε(k) − μ − i0+

Die Transformation auf die Zeitfunktion erfolgt wie zu (3.200):

C2 c C1 Gkσ t − t = −iΘ t − t · + iΘ t − t h¯ h¯ i . · exp − ε(k) − μ t − t h¯

(3.204)

Die Randbedingungen (3.202) und (3.203) sind also erfüllt mit C1 = h¯ (1 − nkσ ) ;

C2 = h¯ nkσ .

(3.205)

Wir erkennen an diesem einfachen Beispiel, dass die rechnerische Handhabung der kausalen Green-Funktion, Gkcσ (E) =

h¯ (1 − nkσ ) h¯ nkσ

+ , E − ε(k) − μ + i0+ E − ε(k) − μ − i0+

(3.206)

wesentlich komplizierter ist als die der retardierten oder avancierten Funktion. Insbesondere muss der Erwartungswert nkσ des Anzahloperators noch bestimmt werden. Die Bewegungsgleichungsmethode konzentriert sich deshalb praktisch ausschließlich auf die retardierte und die avancierte Funktion. Die zeitabhängige Spektraldichte findet sich leicht mit (3.199): 1 i . (3.207) exp − (ε(k) − μ) t − t Skσ t − t = 2π h¯ Die mittlere Besetzungszahl nkσ des (k, σ )-Niveaus können wir durch Einsetzen von (3.199) in das Spektraltheorem (3.157) angeben. Wir finden das bekannte Ergebnis der Quantenstatistik: nkσ =

1 . exp β ε(k) − μ + 1

(3.208)

3.3

Erste Anwendungen

155

Dies ist die Fermi-Funktion 1 f− (E) = β(E − μ) e +1

(3.209)

an der Stelle E = ε(k). Mithilfe von nkσ können wir durch Summation über alle Wellenzahlen k und beide Spinrichtungen σ die Gesamtelektronenzahl Ne festlegen: +∞ 1 1 Ne = dE Skσ (E) βE = h¯ e +1 kσ

−∞

+∞ 1 dE f− (E)Skσ (E − μ) . = h¯ kσ

(3.210)

−∞

Bezeichnen wir mit ρσ (E) die Zustandsdichte pro Spin für das freie Fermionensystem, für das natürlich auch ρσ (E) = ρ−σ (E) gilt, so lässt sich Ne noch wie folgt schreiben:

+∞

Ne = N

σ −∞

dE f− (E)ρσ (E) .

(3.211)

N ist die Zahl der Gitterplätze; ρσ (E) ist auf 1 normiert. Der Vergleich von (3.210) und (3.211) führt zur wichtigen Definition der (Quasiteilchen-)Zustandsdichte

ρσ (E) =

1 Skσ (E − μ) . N h¯

(3.212)

k

Die obigen Überlegungen zur Elektronenzahl Ne sind natürlich nicht nur für das freie System richtig, sondern gelten ganz allgemein. Wir werden deshalb später sehen, dass (3.212) bereits die allgemeine Definition der Quasiteilchenzustandsdichte eines beliebigen, wechselwirkenden Elektronensystems darstellt. Für nicht wechselwirkende Elektronensysteme können wir noch (3.199) einsetzen:

ρσ (E) =

1 δ E − ε(k) . N k

Spielt das Gitterpotential keine Rolle, ist also

ε(k) =

h¯2 k2 , 2m

(3.213)

156

3. Green-Funktionen

so zeigt ρσ (E) die bekannte

ρσ (E) =

√ E-Abhängigkeit:

1 V h¯2 k2 3 = d E − δ E − ε(k) = k δ N N (2π)3 2m k

=

V 2π2 N

∞ dk k2

2m 2mE 2 = δ − k h¯2 h¯2

0

mV = 2 2 2π h¯ N

∞

$ +, dk k δ

+, -% 2mE 2mE −k +δ +k . h¯2 h¯2

0

Nur die erste δ-Funktion liefert einen Beitrag: ⎧

3 | 2 √ 2m ⎪ ⎨ V E, 2 2 ρσ (E) = 4π N h¯ ⎪ ⎩ 0

falls E ≥ 0 ,

(3.214)

sonst.

Die innere Energie U ist als thermodynamischer Erwartungswert des HamiltonOperators in einfacher Weise durch nkσ festgelegt: ε(k) nkσ = U = H0 = kσ

1 = 2h¯

+∞ dE E + ε(k) f− (E)Skσ (E − μ) .

(3.215)

kσ −∞

Die kompliziertere Darstellung der zweiten Zeile wird sich als die allgemein gültige Definition von U für wechselwirkende Elektronensysteme herausstellen. Aus U gewinnen wir die freie Energie F, und damit letztlich die gesamte Thermodynamik, durch die folgende Überlegung: Wegen

∂F F(T, V) = U(T, V) − TS(T, V) = U(T, V) + T ∂T V gilt auch: U(T, V) = −T

2

∂ 1 F(T, V) ∂T T

. V

Mithilfe des Dritten Hauptsatzes der Thermodynamik, ∂F 1 F(T) − F(0) = lim (T = 0) = −S(T = 0, V) = 0 , T →0 T ∂T V

(3.216)

3.3

Erste Anwendungen

157

sowie F(0, V) = U(0, V), lässt sich (3.216) integrieren: T F(T, V) = U(0, V) − T

dT

U(T , V) − U(0, V) . T 2

(3.217)

0

Alle weiteren Größen der Gleichgewichtsthermodynamik lassen sich aus F(T, V) ableiten. Wir haben in diesem Abschnitt die nicht wechselwirkenden Festkörperelektronen mithilfe der wellenzahlabhängigen Green-Funktion Gkασ (E) beschrieben. Wir hätten natürlich die Ein-Elektronen-Green-Funktion auch in der Wannier-Darstellung untersuchen können. Für H0 hätten wir (2.33) verwendet. Man findet für (3.218) Gijασ (E) = aiσ ; a+jσ αE eine Bewegungsgleichung, EGijασ (E) = h¯δij +

α Tim − μδim Gmj σ (E) ,

(3.219)

m

die nicht direkt entkoppelt wie Gkασ (E) in (3.196), aber durch Fourier-Transformation leicht gelöst werden kann: ret 1 exp ik · (Ri − Rj ) Gijavσ (E) = . (3.220) N E − ε(k) − μ ± i0+ k Die physikalischen Aussagen, die aus dieser Funktion ableitbar sind, sind natürlich dieselben wir die oben aus Gkασ gefolgerten. 3.3.2 Freie Spinwellen Wir wollen als weiteres, sehr einfaches Anwendungsbeispiel ein System von nicht wechselwirkenden Bosonen diskutieren und betrachten dazu die in Abschn. 2.4.4 eingeführten Spinwellen eines Ferromagneten. Ausgangspunkt ist also der HamiltonOperator (2.244): h¯ω(q)a+q aq . (3.221) HSW = E0 + q

E0 und h¯ω(q) sind in (2.224) bzw. (2.232) erklärt. Wir definieren die folgende Ein-Magnonen-Green-Funktion Gqα t, t = aq (t); a+q t α ,

(3.222)

α = ret, av, c; ε = +. Da Magnonen Bosonen sind, werden wir hier zweckmäßig von der Kommutator-Green-Funktion ausgehen. Für Magnonen gilt keine Teilchenzahlerhaltung. Es stellt sich bei einer gegebenen Temperatur T genau die Magnonenzahl ein, für die die freie Energie F minimal wird:

∂F ! =0. (3.223) ∂N T, V

158

3. Green-Funktionen

Der Differentialquotient links ist nichts anderes als das chemische Potential μ. Also folgt:

μ=0.

(3.224)

Dies bedeutet, dass wir in der Bewegungsgleichung für die Green-Funktion H = H − μN = H setzen können. Wir benötigen den Kommutator aq , HSW − = h¯ω(q ) aq , a+q aq = −

q

=

q

h¯ω(q ) aq , a+q aq =

(3.225)

−

= h¯ω(q)aq . Die Bewegungsgleichung wird damit sehr einfach: EGqα (E) = h¯ + h¯ω(q)Gqα (E) . Auflösen und Berücksichtigen der Randbedingungen liefert dann: ret

Gqav (E) =

h¯ . E − h¯ω(q) ± i0+

(3.226)

Die Pole stellen wiederum die Anregungsenergien dar, also die bei Erzeugung oder Vernichtung eines Magnons aufzubringenden Energien. Dies ist natürlich gerade h¯ω(q). Mit (3.154) folgt unmittelbar aus (3.226) die fundamentale Ein-Magnonen-Spektraldichte Sq (E) = h¯δ E − h¯ω(q) .

(3.227)

Die zeitabhängige Green-Funktion, z. B. die retardierte, stellt, wie in (3.200) die der freien Bloch-Elektronen, eine ungedämpfte harmonische Schwingung dar: (3.228) Gqret t − t = −iΘ t − t e −iω(q)(t − t ) . Die Frequenz der Schwingung entspricht wiederum einer exakten Anregungsenergie des Systems. Mithilfe des Spektraltheorems (3.157) und der Spektraldichte Sq (E) erhalten wir den Erwartungswert des Magnonenanzahloperators, die so genannte Magnonenbesetzungsdichte mq = a+q aq =

1 + Dq . exp βh¯ω(q) − 1

(3.229)

3.3

Erste Anwendungen

159

Da wir von der Kommutator-Green-Funktion ausgegangen sind, müssen wir, wie in Abschn. 3.2.3 ausführlich erläutert, die Konstante Dq noch über die entsprechende Antikommutator-Green-Funktion festlegen. Die fundamentalen Vertauschungsrelationen für Bose-Systeme (1.99) liefern für die Inhomogenität in der Bewegungsgleichung: (3.230) [aq , a+q ]+ = 1 + 2mq . Ansonsten erfüllt die Antikommutator-Green-Funktion dieselbe Bewegungsgleichung wie die Kommutator-Funktion. Man erhält: Gq(−) (E) =

h¯ (1 + 2mq ) . E − h¯ω(q)

(3.231)

Bei einem zumindest infinitesimalen, symmetriebrechenden äußeren Feld (B0 ≥ 0+ ) sind die Magnonenenergien auf jeden Fall von Null verschieden, und zwar positiv. Dann gilt aber nach (3.167): 2h¯Dq = lim EGq(−) (E) = 0 . E→0

(3.232)

Damit folgt für die Besetzungsdichte: 1 . mq = β¯hω(q) e −1

(3.233)

Dies ist die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion, also das aus der elementaren Quantenstatistik für freie Bose-Systeme bekannte Resultat. Die innere Energie des Spinwellensystems entspricht dem Erwartungswert des Hamilton-Operators, ist demnach mit (3.221) durch U = H = E0 + h¯ω(q)mq (3.234) q

gegeben. Die gesamte Gleichgewichtsthermodynamik leitet sich schließlich aus der freien Energie F ab, die sich wie in (3.217) aus der inneren Energie bestimmt. Letztlich folgt also alles aus der Magnonenbesetzungsdichte mq und damit aus der Spektraldichte Sq (E). Auch für kompliziertere, wechselwirkende Systeme werden wir später zeigen können, dass alle Aussagen der Gleichgewichtsthermodynamik zugänglich sind, sobald wir die Spektraldichte oder, gleichwertig damit, eine der GreenFunktionen berechnet haben. 3.3.3 Das Zwei-Spin-Problem Wir wollen als dritte Anwendung ein Modellsystem mit Wechselwirkungen diskutieren, dessen Zustandssumme noch exakt berechenbar ist, sodass alle interessierenden Korrelationsfunktionen im Prinzip bekannt sind. Es liefert damit die Möglichkeit, die Resultate der Green-Funktions-Methode mit den exakten Lösungen zu vergleichen.

160

3. Green-Funktionen

Das Modellsystem bestehe aus zwei Spins vom Betrag 1 , (3.235) 2 die über eine Austauschwechselwirkung J miteinander gekoppelt sind und sich in einem homogenen Magnetfeld befinden mögen. Wir beschreiben sie durch das entsprechend vereinfachte Heisenberg-Modell (2.211): (3.236) H = −J S1+ S2− + S1− S2+ + 2S1z S2z − b S1z + S2z , S1 = S2 =

wobei 1 gJ μB B0 . (3.237) h¯ Die Beschränkung auf S1 = S2 = 1 | 2 hat einige Vereinfachungen zur Folge: b=

h¯2 ∓ h¯Siz , 2

(3.238)

h¯ Si± Siz = −Siz Si± = ∓ Si± , 2

(3.239)

Si∓ Si± =

+ 2 Si =0;

z 2 h¯2 Si = . (3.240) 4 Für die weiteren Betrachtungen benötigen wir eine Reihe von Kommutatoren:

[S1− , H ]− = −J [S1− , S1+ ]− S2− − 2J [S1− , S1z ]− S2z − b [S1− , S1z ]− = = 2h¯J S1z S2− − S1− S2z − h¯bS1− .

(3.241)

Ganz analog findet man: [S2− , H ]− = 2h¯J S1− S2z − S1z S2− − h¯bS2− , [S1z , H ]− = −J [S1z , S1+ ]− S2− + [S1z , S1− ] S2+ = = −h¯J S1+ S2− − S1− S2+ = − [S2z , H ]− .

(3.242)

(3.243)

Wir brauchen schließlich noch:

[S1z S2− , H ]− = = [S1z , H ] S2− + S1z [S2− , H ]− =

" 2 # = −h¯J S1+ S2− − S1− S2+ S2− + 2h¯J S1z S1− S2z − S1z S2− − h¯bS1z S2− =

2

¯ ¯ h¯2 − h z − zh − 2h¯J S2− − h¯bS1z S2− = + 2h¯J −S1 S2 = h¯J S1 + h¯S2 2 2 4 1 = h¯3 J S1− − S2− − h¯bS1z S2− . 2

(3.244)

3.3

Erste Anwendungen

161

Vertauscht man in dieser Beziehung, bei deren Ableitung (3.238) bis (3.240) ausgenutzt wurden, die Indizes 1 und 2, so folgt: 1 [S2z S1− , H ]− = h¯3 J S2− − S1− − h¯bS2z S1− . 2

(3.245)

Hauptanliegen ist die Berechnung der Magnetisierung des Spinsystems, d. h. der Erwartungswerte S1z = S2z ≡ S z . Die dazu passende Green-Funktion (retardiert oder avanciert) ist nach (3.238) (+) t, t = S1− (t); S1+ t (+) , G11 (3.246) wobei sich die Kommutator-Funktion (ε = +) als zweckmäßig erweist. Die Bewe(+) enthält natürlich neue, höhere Green-Funktionen, für die gungsgleichung für G11 wir dann weitere Bewegungsgleichungen konstruieren können. Wir erhalten jedoch (+) noch die folgenden ein geschlossenes System von Gleichungen, wenn wir zu G11 Funktionen hinzunehmen: (+) t, t = S2− (t); S1+ t (+) , G21 (3.247) (+) t, t = Γ12

z − S1 S2 (t); S1+ t (+) ,

(3.248)

(+) Γ21 (t; t ) =

z − S2 S1 (t); S1+ t (+) .

(3.249)

Die Bewegungsgleichungen der energieabhängigen Fourier-Transformierten dieser Funktionen leiten wir mithilfe der Kommutatoren (3.241) bis (3.243), (3.244), (3.245) ab, benötigen aber noch die Inhomogenitäten: − + (3.250) [S1 , S1 ]− = −2h¯ S z , − + (3.251) [S2 , S1 ]− = 0 , z − + (3.252) [S1 S2 , S1 ]− = h¯ S1+ S2− , z − + (3.253) [S2 S1 , S1 ]− = −2h¯ S2z S1z . Wenn wir noch zur Abkürzung definieren, ρ12 = S1+ S2− + 2 S1z S2z ,

(3.254)

(+) (+) R (+) (E) = Γ12 (E) − Γ21 (E) ,

(3.255)

so ergeben sich die folgenden Bewegungsgleichungen: (+) (E) = −2h¯2 S z + 2h¯JR (+) (E) , (E + h¯b)G11 (+) (E + h¯b)G21 (E) = −2h¯JR (+) (E) , " # (+) (+) (E + h¯b)R (+) (E) = h¯2 ρ12 + h¯3 J G11 (E) − G21 (E) .

(3.256) (3.257) (3.258)

162

3. Green-Funktionen

Dieses Gleichungssystem lässt sich leicht lösen: " # (+) (+) (E) + G21 (E) = −2h¯2 S z , (E + h¯b) G11

(3.259)

# 4h¯4 J 2 " (+) (+) E + h¯b − G11 (E) − G21 (E) = E + h¯b h¯2 ρ12 . = −2h¯2 S z + 4h¯J E + h¯b

(3.260)

Es stellt sich heraus, dass die Green-Funktionen Pole erster Ordnung bei den folgenden Energien haben: E1 = −h¯b ;

E2 = −h¯b − 2J h¯2 ;

E3 = −h¯b + 2J h¯2 .

(3.261)

Damit formen wir (3.259) und (3.260) weiter um: −2h¯2 S z

, E − E1

1 1 (+) (+) 2 z − + G11 (E) − G21 (E) = −h¯ S E − E2 E − E3

1 1 . − h¯ρ12 − E − E2 E − E3

(+) (+) G11 (E) + G21 (E) =

Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Gleichungen führt schließlich zu: (+) G11 (E) = −

h¯2 S z h¯ η+ h¯ η− − − , E − E1 2 E − E2 2 E − E3

(3.262)

(+) (E) = − G21

h¯2 S z h¯ η+ h¯ η− + + . E − E1 2 E − E2 2 E − E3

(3.263)

Dabei haben wir noch die Abkürzung

η± = h¯ S z ± ρ12

(3.264)

benutzt. Die noch verbleibende höhere Green-Funktion R (+) (E) bestimmt sich am einfachsten aus (3.257): E − E1 (+) G (E) = 2h¯J 21

2J h¯2 2J h¯2 h¯ z 1 S − + η− 1 + . η+ 1 − = 2J 4J E − E2 E − E3

R (+) (E) = −

Dies ergibt: R (+) (E) =

h¯2 η+ h¯2 η− − . 2 E − E2 2 E − E3

(3.265)

3.3

Erste Anwendungen

163

Wegen (3.167) müssen diese Kommutator-Green-Funktionen bei E = 0 regulär sein. Dies ist bei eingeschaltetem Feld (B0 =/ 0 ⇐⇒ b =/ 0 ⇐⇒ E1 =/ 0) unmittelbar klar. Bei ausgeschaltetem Feld ist dies jedoch nur durch z S = 0 für B0 = 0 (3.266) gewährleistet. Aus den allgemeinen analytischen Eigenschaften der KommutatorGreen-Funktionen folgt also bereits die physikalisch wichtige Aussage, dass es in dem austauschgekoppelten Zwei-Spin-System keine spontane Magnetisierung geben kann. ZurvollständigenBestimmungderGreen-Funktionenin(3.262),(3.263)und(3.265) haben wir noch mithilfe des Spektraltheorems (3.157) die Erwartungswerte S z

und ρ12 festzulegen. Die zu den Green-Funktionen gehörenden Spektraldichten sind mit (3.152) und (3.154) direkt an (3.262), (3.263) und (3.265) abzulesen: h¯ h¯ (+) (E) = −h¯2 S z δ(E − E1 ) − η+ δ(E − E2 ) − η− δ(E − E3 ) , (3.267) S11 2 2 h¯ h¯ (+) S21 (E) = −h¯2 S z δ(E − E1 ) + η+ δ(E − E2 ) + η− δ(E − E3 ) , 2 2

(3.268)

h¯2 h¯2 η+ δ(E − E2 ) − η− δ(E − E3 ) . (3.269) 2 2 Das Spektraltheorem (3.157) liefert dann, wenn man noch die Abkürzungen Sr(+) (E) =

1 ; mi = βE e i −1 verwendet:

i = 1, 2, 3

+ − 1 S1 S1 = −h¯ S z m1 − η+ m2 − 2 + − 1 S1 S2 = −h¯ S z m1 + η+ m2 + 2

(3.270)

1 η− m3 + D11 , 2

(3.271)

1 η− m3 + D21 , 2

(3.272)

+ z − + z − h¯ h¯ S1 S1 S2 − S1 S2 S1 = η+ m2 − η− m3 + DR . 2 2

(3.273)

Mit z h¯ 1 S = − + S1+ S1− , 2 h¯ 2 η+ = − S1+ S1z S2− − S1+ S2z S1− , h¯ η− = −η+ + 2h¯ S z ,

(3.274) (3.275) (3.276)

z z 1 1 S1 S2 = (η+ − η− ) − S1+ S2− (3.277) 4 2 sind dann, bis auf die Konstanten D11 , D21 , DR , alle benötigten Korrelationsfunktionen festgelegt.

164

3. Green-Funktionen

Nach (3.167) stellen diese Konstanten gerade die Residuen der E = 0 -Pole der (−) (−) zugehörigen Antikommutator-Green-Funktionen G(−) 11 (E), G21 (E) und R (E) dar. Deren Bewegungsgleichungen unterscheiden sich von denen der Kommutator-Funktionen (3.256) bis (3.258) nur durch die Inhomogenitäten auf der rechten Gleichungsseite: − + [S1 , S1 ]+ = h¯2 , − + [S2 , S1 ]+ = 2 S1+ S2− , z − + [S1 S2 , S1 ]+ = 0 , z − + [S2 S1 , S1 ]+ = h¯2 S z . Es ergeben sich die folgenden Bewegungsgleichungen: (−) (E + h¯b)G11 (E) = h¯3 + 2h¯JR (−) (E) ,

(3.278)

(−) (E + h¯b)G21 (E) = 2h¯ S1+ S2− − 2h¯JR (−) (E) , " # (−) (−) (E + h¯b)R (−) (E) = −h¯3 S z + h¯3 J G11 (E) − G21 (E) .

(3.279) (3.280)

Dies formen wir weiter um:

h¯2 + 2 S1+ S2− = h¯ , E − E1

# 4h¯4 J 2 " (−) (−) G11 (E) − G21 E + h¯b − (E) = E + h¯b

(−) (−) G11 (E) + G21 (E)

S z

. = h¯3 − 2h¯ S1+ S2− − 4h¯4 J E + h¯b Dies ergibt: (−) (−) G11 (E) − G21 (E) =

1 = h¯3 − 2h¯ S1+ S2− 2

1 1 + E−E2 E−E3

2

+ h¯

1 1 − E−E2 E−E3

z S .

Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Gleichungen führt schließlich zu: (−) G11 (E) =

1 h¯ 2 h¯ + 2 S1+ S2− + 2 E − E1

h¯ h¯2 1 + + + h¯ S z − S1+ S2− 2 2 E − E2

z + − h¯ h¯2 1 + , − h¯ S − S1 S2 2 2 E − E3

(3.281)

3.3

Erste Anwendungen

165

(−) G21 (E) =

1 h¯ 2 h¯ + 2 S1+ S2− − 2 E − E1

h¯ h¯2 1 − − + h¯ S z − S1+ S2− 2 2 E − E2

z + − h¯ h¯2 1 − h¯ S − S1 S2 − . 2 2 E − E3

Zur Bestimmung von R (−) (E) benutzen wir (3.279): h¯3 1 R (−) (E) = + h¯ S1+ S2− − 2h¯J 2

h¯ h¯2 + 1− + h¯ S z − S1+ S2− 2 2

z + − h¯ h¯2 + 1+ − h¯ S − S1 S2 2 2 Dies ergibt:

2J h¯2 E − E2 2J h¯2 E − E3

+

h¯2 2

.

h¯2 1 + + h¯ S z − S1+ S2− 2 E − E2

z + − h¯2 h¯2 1 . + − h¯ S − S1 S2 2 2 E − E3

R (−) (E) = −

(3.282)

Gemäß (3.167) lesen wir an diesen Ausdrücken direkt ⎧ ⎪ ⎨0 für b =/ 0 , D11 = D21 = h¯2 1 ⎪ ⎩ + S1+ S2− für b = 0 , 4 2 DR ≡ 0

(3.283)

(3.284)

(3.285)

ab. Damit sind die Gleichzeit-Korrelationsfunktionen (3.271) bis (3.275) vollständig festgelegt. Von besonderem Interesse ist die Magnetisierung S z des Zwei-Spin-Systems für b =/ 0, für die wegen (3.271), (3.274) und (3.284) gilt: z h¯ η+ η− S = − − S z m1 − m2 − m3 . 2 2h¯ 2h¯ Mit (3.276) ergibt sich hieraus: z h¯ η+ S 1 + m1 + m3 = − − m2 − m3 . 2 2h¯ Gleichung (3.273) führt auf m3 η+ = 2h¯ S z . 1 + m2 + m3

(3.286)

166

3. Green-Funktionen

Kombiniert man diese beiden Gleichungen, so folgt als Zwischenergebnis:

−1 z h¯ 1 + 2m2 S =− 1 + m1 + m3 . 2 1 + m2 + m3 Einsetzen der mi gemäß (3.270) liefert dann nach einfachen Umformungen: z h¯ exp(βh¯b) − exp(−βh¯b) S = . 2 1 + exp −2βh¯2 J + exp(βh¯b) + exp(−βh¯b)

(3.287)

Für verschwindendes äußeres Magnetfeld (B0 → 0+ ) wird auch die Magnetisierung des Zwei-Spin-Systems Null. Es gibt also keine spontane Magnetisierung, wie wir ja aus den allgemeinen analytischen Eigenschaften der Kommutator-Green-Funktion (+) (E) bereits in (3.266) gefolgert hatten. Bei fehlender Kopplung zwischen den G11 beiden Spins (J → 0) ergibt sich das bekannte Resultat für den S = 12 -Paramagneten:

z h¯ 1 S −−→ tanh gJ μB B0 . (3.288) J →0 2 2 Die durch J vermittelte Austauschkopplung zwischen den beiden Spins drückt sich vor allem in den Korrelationen S1+ S2− und S1z S2z aus, für die ja in der J → 0 -Grenze gelten muss: + − S1 S2 −−→ S1+ S2− = 0 , (3.289) J →0

S1z S2z

−−→ J →0

z z z 2 S1 S2 = S .

(3.290)

Nach (3.271) und (3.272) gilt zunächst: + − S1 S2 = − S1+ S1− − 2h¯ S z m1 = h¯2 = − − h¯ S z (1 + 2m1 ) . 2

(3.291)

Im letzten Schritt haben wir noch (3.238) ausgenutzt. Einsetzen von (3.287) führt dann auf

h¯2 1 − exp(−2βh¯2 J) S1+ S2− = . 2 1 + (−2βh¯2 J) + exp(−βh¯b) + exp(βh¯b)

(3.292)

Der Grenzfall (3.289) ist offensichtlich erfüllt. Die zweite Korrelationsfunktion S1z S2z finden wir wie folgt: Zunächst ergibt sich aus (3.273), (3.275) und (3.276): 1 + m2 − m3 . 1 + m2 + m3

η+ − η− = −2h¯ S z Dies bedeutet nach (3.277):

z z h¯ 1 + m2 − m3 1 + − S1 S2 = − S z − S S . 2 1 + m2 + m3 2 1 2

3.3

Erste Anwendungen

167

Einsetzen von (3.287) und (3.292) führt dann zu:

h¯2 exp(βh¯b) + exp(−βh¯b) − exp(−2βh¯2 J) − 1 . S1z S2z = 4 1 + exp(βh¯b) + exp(−βh¯b) + exp(−2βh¯2 J)

(3.293)

Auch hier erkennen wir, dass der Grenzfall J → 0 korrekt reproduziert wird (3.290). Wir haben bisher b =/ 0 vorausgesetzt, müssen daher noch den Spezialfall b = 0 gesondert betrachten. Wir erwarten natürlich, dass er sich als Grenzübergang b → 0 aus (3.292) bzw. (3.293) ergibt. Zunächst einmal muss notwendig S z = 0 sein (3.266), (+) (E) bei E = 0 keinen Pol haben darf. Ferner da die Kommutator-Green-Funktion G11 sind in (3.271) bis (3.277) die Konstanten D11 und D21 nun ungleich Null (3.284). DR ist jedoch nach wie vor Null. Aus (3.271) folgt: h¯2 1 + − h¯2 1 m + ρ − m (3.294) = + S1 S2 0 . 12 3 2 0 2 2 4 2 Dieselbe Gleichung ergibt sich aus (3.272), sodass wir für S1+ S2− keine weitere Bestimmungsgleichung zur Verfügung haben. Die bei b = 0 vorliegende Isotropie führt jedoch zu + − S1 S2 0 = 2 S1z S2z 0 (3.295) + − und damit zu ρ12 = 2 S1 S2 0 . Gleichung (3.294) enthält dann nur noch eine Unbekannte:

1 h¯2 + − . = S1 S2 0 m3 − m2 + 4 2

S1+ S1−

=

Daraus folgt in der Tat mit

S1+ S2− b = 0

h¯2 1 − exp −2βh¯2 J = 2 3 + exp −2βh¯J

(3.296)

der b → 0-Grenzfall des Resultats (3.292) und wegen (3.295) auch der von (3.293). Man beachte, dass dies nicht der Fall gewesen wäre, wenn wir die aus der Anwendung des Spektraltheorems resultierenden Konstanten D11 und D12 unberücksichtigt gelassen hätten. Wir wollen zum Schluss die Bedeutung der Konstanten D im Spektraltheorem noch an einem weiteren Beispiel demonstrieren. Das für die Korrelation S1z S2z exakte Resultat (3.293) haben wir letztlich mithilfe der in (3.249) definierten Green(+) Funktion Γ21 (E) gewonnen. Dasselbe hätten wir aber auch mit der Green-Funktion (+) (E) = S2z ; S1z E(+) (3.297) P21 und dem Spektraltheorem (3.157) erreichen können. Wir wollen diese Funktion deshalb berechnen. Mit dem Kommutator (3.243) lautet ihre Bewegungsgleichung: (+) (E) = h¯JQ (+) (E) . EP21

(3.298)

168

3. Green-Funktionen

Mit Q (+) (E) bezeichnen wir die Green-Funktion Q (+) (E) = S1+ S2− − S2+ S1− ; S1z E(+) .

(3.299)

Für deren Bewegungsgleichung benötigen wir den folgenden Kommutator:

[S1+ S2− , H ]− = [S1+ , H ]− S2− + S1+ [S2− , H ]− = + = − [S1− , H ]− S2− + S1+ [S2− , H ]− . Wir setzen (3.241) und (3.242) ein [S1+ S2− , H ]− = −2h¯J S1z S2+ − S1+ S2z + h¯bS1+ S2− + + S1+ 2h¯J S1− S2z − S1z S2− − h¯bS2− , und nutzen (3.238) und (3.239) aus:

2 ¯ h¯ − + − z h z + + + h¯S2 − S1 − S2 [S1 S2 , H ]− = −2h¯J S1 2 2 2

h¯ h¯ + − z z + 2h¯J + h¯S1 S2 − − S1 S2 = 2 2 = −J h¯3 S1z − S2z = − [S2+ S1− , H ]− . Mit der Inhomogenität + − [S1 S2 − S2+ S1− , S1z ]− = h¯ −S1+ S2− − S2+ S1− = −2h¯ S1+ S2− lautet die Bewegungsgleichung für Q (+) (E): (+) (+) (E) − P21 (E) . EQ (+) (E) = −2h¯2 S1+ S2− − 2J h¯3 P11

(3.300)

Die entsprechende Bewegungsgleichung der Funktion (+) (E) = S1z ; S1z E(+) P11

(3.301)

ergibt sich unmittelbar mit (3.243) zu (+) (E) = −h¯JQ (+) (E) . EP11

(3.302)

Aus (3.298) und (3.302) schließen wir: (+) (+) (E) = −P21 (E) . P11

(3.303)

Dies führt über (3.300) zu

(+) (+) (E) = −2h¯3 J S1+ S2− + 4J 2 h¯4 P21 (E) . E2 P21

(+) (E) leicht berechnen: Damit lässt sich P21

h¯ + − 1 1 (+) . P21 (E) = S1 S2 − 2 E + 2h¯2 J E − 2h¯2 J

(3.304)

3.3

Erste Anwendungen

169

Mit dem Spektraltheorem (3.157) und dem Ergebnis (3.292) für S1+ S2− erhalten wir schließlich: z z 1 + exp −2βJ h¯2 h¯2 S1 S2 = − (3.305) + Dp . 4 1 + exp −2βh¯2 J + exp(βh¯b) + exp(−βh¯b) Ohne die Konstante Dp würde sich ein Widerspruch zu unserem früheren Ergebnis (3.293) ergeben. Dp darf hier also auf keinen Fall vernachlässigt werden. Zur Festlegung von Dp müssen wir schließlich noch die Antikommutator-Green(−) Funktion P21 (E) berechnen. Mit

[S2z , S1z ]+ = 2 S1z S2z

lautet deren Bewegungsgleichung: (−) (E) = 2h¯ S1z S2z + h¯JQ (−) (E) . EP21

(3.306)

Wegen + − z − + z [S1 S2 , S1 ]+ = S2 S1 S1 + S1z S1+ = 0 gilt für Q (−) (E) analog zu (3.300): (−) (−) (E) − P21 (E) . EQ (−) (E) = −2J h¯3 P11

(3.307)

Mit

h¯2 2 [S1z , S1z ]+ = 2 S1z = 2

folgt schließlich noch wie in (3.302): (−) (E) = EP11

h¯3 − h¯JQ (−) (E) . 2

(3.308)

Die Gleichungen (3.306), (3.307) und (3.308) bilden ein geschlossenes System, das (−) (E) aufgelöst werden kann: leicht nach P21 2h¯ E2 − 2h¯4 J 2 z z h¯2 2h¯4 J 2 (−) . (3.309) S − P21 (E) = S E E2 − 4h¯4 J 2 1 2 4 E2 − 4h¯4 J 2 Im Gegensatz zur Kommutator-Green-Funktion (3.304) hat also die AntikommutatorGreen-Funktion bei E = 0 einen Pol erster Ordnung. Nach (3.167) gilt deshalb: Dp =

h¯2 1 1 (−) lim EP21 . (E) = S1z S2z + 2h¯ E → 0 2 8

(3.310)

Setzt man diesen Ausdruck für Dp in (3.305) ein, so ergibt sich für S1z S2z das korrekte Resultat (3.293).

170

3. Green-Funktionen


Aufgabe 3.3.1 Nach (2.164) werden die quantisierten Schwingungen des Ionengitters durch ein nicht wechselwirkendes Phononengas beschrieben:

1 + . H= h¯ωr (q) bqr bqr + 2 q, r

Als so genannte Ein-Phononen-Green-Funktion definiert man: α t, t = b (t); b+ t α Gqr (α = ret, av, c) . qr qr 1. 2. 3. 4.

3.3.2

Begründen Sie, warum für Phononen das chemische Potential μ gleich Null ist. ret, av (E). Berechnen Sie Gqr ret, av t, t ab. Leiten Sie die zeitabhängige Green-Funktion Gqr Berechnen Sie die innere Energie U.

Aufgabe 3.3.2 In den Aufg. 2.3.5 und Aufg. 2.3.6 wurde die BCS-Theorie der Supraleitung behandelt. Der vereinfachte Modell-Hamilton-Operator, 1 bk + b+k + Δ2 , H∗ = t(k)a+kσ akσ − Δ V k, σ k

in dem b+k = a+k↑ a+−k↓ der Cooper-Paar-Erzeugungsoperator ist, und t(k) = ε(k) − μ ;

t(−k) = t(k)

definiert wurde, führt zu denselben Ausdrücken für die Grundzustandsenergie und für die Koeffizienten uk und vk im BCS-Ansatz |BCS (Aufg. 2.3.5), wenn man noch bk = V b+k Δ = Δ∗ = V k

k

wählt. 1. Berechnen Sie mit der Ein-Elektronen-Green-Funktion ret + Gkret σ (E) = akσ ; akσ E

2.

das Anregungsspektrum des Supraleiters. Zeigen Sie, dass dieses eine Energielücke Δ besitzt. Leiten Sie mithilfe des Spektraltheorems für eine passend definierte GreenFunktion eine Bestimmungsgleichung für Δ ab. Zeigen Sie für T → 0 die Äquivalenz mit dem Lückenparameter Δk aus Aufg. 2.3.6, falls Δk kunabhängig angenommen wird.

3.3

Erste Anwendungen

171

Aufgabe 3.3.3 1. Zeigen Sie mit dem Modell-Hamilton-Operator H ∗ aus Aufg. 3.3.2, dass für den p-fachen Kommutator von akσ mit H ∗ gilt: . . . [akσ , H ∗ ]− , H ∗ . . . , H ∗ = −

3.3.3

−

⎧ ⎨t 2 (k) + Δ2 n a , kσ = n ⎩ 2 2 t(k)akσ − zσ Δa+−k − σ , t (k) + Δ

falls p = 2n , falls p = 2n + 1 ,

n = 0, 1, 2, . . .

2.

Berechnen Sie damit sämtliche Spektralmomente der Ein-Elektronen-Spektraldichte. Wählen Sie einen Zwei-Pol-Ansatz für die Ein-Elektronen-Spektraldichte Skσ (E) =

2

aiσ (k)δ E − Eiσ (k)

i=1

und bestimmen Sie die spektralen Gewichte αiσ (k) und die so genannten Quasiteilchenenergien Eiσ (k) aus den exakt berechneten, ersten vier Spektralmomenten. Aufgabe 3.3.4 Der Modell-Hamilton-Operator H ∗ der BCS-Supraleitung,

H∗ =

k

Hk +

Δ2 V

,

# " # " Hk = t(k) a+k↑ ak↑ + a+−k↓ a−k↓ − Δ a+k↑ a+−k↓ + a−k↓ ak↑ , soll untersucht werden. 1. Bestimmen Sie die Energieeigenwerte zu Hk . 2. Wie lauten die zugehörigen Eigenzustände? 3. Geben Sie die möglichen Anregungsenergien des Systems an.

3.3.4

172

3.3.5

3. Green-Funktionen

Aufgabe 3.3.5 1. Zeigen Sie, dass die Anregungen des BCS-Supraleiters aus Aufg. 3.3.4 durch die Operatoren + + ρk↑ = uk a+k↑ − vk a−k↓ ; ρ−k↓ = uk a+−k↓ + vk ak↑

erzeugt werden. Die Koeffizienten uk und vk sind so wie in Aufg. 2.3.6 definiert: + t(k) 1 2 2 2 1+ uk = 1 | 2 , vk = 1 − uk . 2 2 2 t (k) + Δ 2. 3.

Beweisen Sie, dass es sich bei diesen Operatoren um reine Fermi-Operatoren handelt. Berechnen Sie den Kommutator + H ∗ , ρk↑ . −

4.

3.3.6

Wie ist das Ergebnis zu interpretieren? Formulieren und lösen Sie die Bewegungsgleichung der retardierten GreenFunktion: ret ret + (E) = ρk↑ ; ρk↑ Gk↑ E .

Aufgabe 3.3.6 Berechnen Sie für ein freies Bose-Gas (μ = 0): H = E0 + h¯ωqr nqr q,r

die freie Energie nach der Formel (3.217) T F(T) = U(0) − T

dT

U(T ) − U(0) T 2

0

Bestätigen Sie die allgemein gültige Formel: F(T) = −kB T ln Sp exp(−βH) Bedenken Sie dabei, dass wegen μ = 0 die freie Energie mit dem großkanonischen Potential Ω(T) übereinstimmt.

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

173

3.4 Das Quasiteilchenkonzept In Abschn. 3.3 haben wir relativ einfache, exakt lösbare Modellsysteme diskutiert, die natürlich genau genommen den Formalismus der Green-Funktionen gar nicht erforderlich machen. Sie sollten lediglich mit der Lösungstechnik vertraut machen. Die volle Tragweite des Verfahrens wird erst bei der Behandlung von wechselwirkenden Viel-Teilchen-Systemen deutlich. In den meisten Fällen werden wir dann allerdings auch nicht mehr in der Lage sein, das Viel-Teilchen-Problem mathematisch streng durchzurechnen. Approximationen werden unvermeidlich und müssen toleriert werden. Als außerordentlich nützlich hat sich in diesem Zusammenhang das Konzept des Quasiteilchens erwiesen, mit dem wir uns in diesem Abschnitt ausführlich befassen wollen. Um konkret zu sein, werden wir zunächst wechselwirkende Elektronensysteme im Auge haben. Die Übertragung auf andere Viel-Teilchen-Systeme wird keine Schwierigkeiten machen. Wir wollen untersuchen, welche Aussagen über wechselwirkende Elektronensysteme mithilfe von Green-Funktionen möglich sind. Dazu müssen wir zunächst die Operatoren (oder Operatorkombinationen) A und B festlegen, die die zu diskutierende Green-Funktion aufbauen sollen. In den meisten praktischen Fällen ist der Typ dieser Funktion ziemlich eindeutig durch die physikalische Fragestellung und durch die Darstellung des Modell-Hamilton-Operators vorgegeben. 3.4.1 Ein-Elektronen-Green-Funktion Nach (2.55) lautet der Hamilton-Operator eines Systems von Ne miteinander wechselwirkenden Elektronen in der Bloch-Darstellung: 1 H= ε(k)a+kσ akσ + vkp (q)a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ . (3.311) 2 kσ

kpq

σσ

Wir beschränken uns auf Elektronen eines einzelnen Energiebandes, so dass wir Bandindizes unterdrücken können. Für die so genannten Bloch-Energien ε(k) gilt nach (2.14) und (2.21): 2 h¯ ε(k) = d3 r ψ∗k (r) − Δ + V(r) ψk (r) . (3.312) 2m

ψk (r) ist eine Bloch-Funktion und V(r) das periodische Gitterpotential. Wir fassen die ε(k) im Folgenden als vorgegebene Modellparameter auf. Das CoulombMatrixelement haben wir in (2.54) berechnet: ψ∗k+q r1 ψ∗p−q r2 ψp r2 ψk r1 e2 3 3 d r1 d r2 . (3.313) vkp (q) = r 1 − r 2 4πε0

3.4

174

3. Green-Funktionen

Für konstantes Gitterpotential V(r) ≡ const geht dieses über in vkp (q) −−−−−→ v0 (q) = V(r)=const

e2 . ε0 Vq2

(3.314)

Häufig benutzt man den Modell-Hamilton-Operator (3.311) auch in seiner WannierDarstellung (s. z. B. (2.115)): 1 Tij a+iσ ajσ + v(ij; kl)a+iσ a+jσ alσ akσ . (3.315) H= 2 ijσ

ijkl

σσ

Die so genannten Hopping-Integrale, 2 h¯ 3 ∗ Tij = d r ω r − Ri − Δ + V(r) ω r − Rj , 2m

(3.316)

sind über Fourier-Transformation mit den Bloch-Energien ε(k) verknüpft (s. (2.113)). ω(r − Ri ) ist die bei Ri zentrierte Wannier-Funktion. e2 d3 r1 d3 r2 ω∗ r 1 − Ri ω∗ r 2 − Rj · v(ij; kl) = 4πε0 (3.317) 1 · ω r2 − Rl ω r1 − Rk . r 1 − r 2 Wir werden in diesem Abschnitt zeigen können, dass die bereits durch Gleichung (3.193) eingeführte Ein-Elektronen-Green-Funktion Gkασ (E) ≡ akσ ; a+kσ αE , (3.318) Gijασ (E) ≡ aiσ ; a+jσ αE , (3.319)

α = ret, av, c (ε = −) bzw. die dazu äquivalente Ein-Elektronen-Spektraldichte 1 Skσ (E) = 2π 1 Sijσ (E) = 2π

+∞ i akσ (t), a+kσ t + , d t − t exp − E t − t h¯

(3.320)

+∞ i aiσ (t), a+jσ t d t − t exp − E t − t + h¯

(3.321)

−∞

−∞

auch für wechselwirkende Elektronensysteme die gesamte Gleichgewichtsthermodynamik bestimmt. Voraussetzung ist natürlich, dass man sie irgendwie hat berechnen können.

3.4


175

Dazu stellen wir zunächst die Bewegungsgleichung der k-abhängigen Green’schen Funktion auf, wobei wir den folgenden Kommutator benötigen: [akσ , H ]− = ε(k) − μ akσ + (3.322) vp, k + q (q)a+p + qσ apσ ak + qσ + p, q

σ

(Ableitung als Übung!). Mit der höheren Green-Funktion α α Γ σ σ (E) ≡ a+ + pk; q p + qσ apσ ak + qσ ; akσ E lautet dann die Bewegungsgleichung: (E − ε(k) + μ)Gkασ (E) = h¯ +

p, q, σ

(3.323)

σ σ (E) . vp, k + q (q) α Γpk; q

(3.324)

Die unbekannte Funktion Γ auf der rechten Seite verhindert ein direktes Auflösen dieser Gleichung. Wir postulieren jedoch, dass die folgende Zerlegung erlaubt ist: σ σ (E) ≡ vp, k + q (q) Γpk; [akσ , H − H0 ]− ; a+kσ αE = q p, q, σ

(3.325)

≡ Σσα (k, E)Gkασ (E) . Diese Gleichung definiert die so genannte Selbstenergie Σσα (k, E), die wir noch ausführlich diskutieren werden. Mit ihr lässt sich die Bewegungsgleichung (3.324) formal einfach lösen: Gkασ (E) =

h¯ . E − ε(k) − μ + Σσα (k, E)

(3.326)

Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem für das nicht wechselwirkende System (3.197), so erkennt man, dass der gesamte Einfluss der Teilchen-Wechselwirkungen in der Selbstenergie Σσ (k, E) steckt. Im Regelfall handelt es sich um eine komplexwertige Funktion von (k, E), deren Realteil die Energie und deren Imaginärteil die Lebensdauer der noch einzuführenden Quasiteilchen bestimmt. Man kann (3.326) noch etwas umformulieren. Bezeichnen wir mit Gk(0) σ (E) die Ein-Elektronen-Green-Funktion der nicht wechselwirkenden Elektronen, so folgt aus (3.326): −1 −1 Gkσ (E) = h¯ h¯ Gk(0) (E) − Σ (k, E) σ σ ⇒

−1 1 Gk(0) (E) − Σ (k, E) Gkσ (E) = 1 . σ σ h¯

176

3. Green-Funktionen

Der Index α ist hier der besseren Übersicht wegen unterdrückt. Wir erhalten schließlich die so genannte Dyson-Gleichung 1 (0) Gkσ (E) = Gk(0) G (E)Σσ (k, E)Gkσ (E) . σ (E) + h ¯ kσ

(3.327)

Unser Ziel wird eine zumindest approximative Bestimmung der Selbstenergie sein. Einsetzen eines Näherungsausdrucks für Σσ (k, E) in die Dyson-Gleichung bedeutet bereits das Aufsummieren einer unendlichen Teilreihe. Es sei jedoch daran erinnert, dass wir zur Ableitung von (3.327) die Zerlegung (3.325) der höheren Green-Funktion postulieren mussten. 3.4.2 Elektronische Selbstenergie Wir wollen uns in diesem Abschnitt ein gewisses Bild von den allgemeinen Strukturen der fundamentalen Größen Selbstenergie, Green-Funktion und Spektraldichte machen. Ausgangspunkt ist die Darstellung (3.326) der Ein-Teilchen-Green-Funktion, wobei es sich bei der Selbstenergie im Allgemeinen um eine komplexe Größe handelt:

Σσα (k, E) = Rσα (k, E) + iIσα (k, E) .

(3.328)

Der Index α steht für retardiert, avanciert oder kausal. Die entsprechenden Selbstenergien sind durchaus unterschiedlich. So gilt z. B. nach (3.186) und (3.187) bei reeller Spektraldichte: av ∗ Gkσ (E) = Gkret σ (E) . Dies impliziert

Σσav (k, E) ∗ = Σσret (k, E) .

(3.329)

Der Zusammenhang ist also einfach. Wir werden unsere Betrachtungen deshalb o. B. d. A. auf die retardierten Funktionen konzentrieren können. Dabei verzichten wir auf den Zusatz +i0+ , falls Iσ =/ 0 ist. Den Index „ret“ an der Selbstenergie lassen wir im Folgenden weg. Zunächst formen wir Gleichung (3.326) noch etwas um: E − ε(k) − μ + Rσ (k, E) + iIσ (k, E) ret Gkσ (E) = h¯ . (3.330) 2 E − ε(k) − μ + Rσ (k, E) + Iσ2 (k, E) Nach (3.154) gilt dann für die Spektraldichte: h¯ Iσ (k, E) . Skσ (E) = − π E − ε(k) − μ + Rσ (k, E)2 + Iσ2 (k, E)

(3.331)

3.4


177

Mit (3.146) hatten wir die allgemeine Spektraldarstellung der Spektraldichte angeben können, die für den Fall der hier interessierenden Ein-Elektronen-Spektraldichte in # h¯ + 2 −βEn " βE En akσ Em e Skσ (E) = e +1 · Ξ n, m (3.332) · δ E − En − Em übergeht. Skσ (E) ist also nichtnegativ für alle (k, σ , E). Dies bedeutet aber nach (3.331) für den Imaginärteil der Selbstenergie (retardiert!): Iσ (k, E) ≤ 0 .

(3.333)

Wir wollen den Ausdruck (3.331) nun etwas genauer untersuchen. Ohne explizite Kenntnis über Rσ (k, E) und Iσ (k, E) erwarten wir doch für den Normalfall mehr oder weniger ausgeprägte Maxima in der Spektraldichte an den durch ! (3.334) Eiσ (k) = ε(k) − μ + Rσ k, Eiσ (k) ; i = 1, 2, 3, . . . definierten Resonanzstellen Eiσ (k). Dabei haben wir zwei Fälle zu unterscheiden. Fall A: Es sei Iσ (k, E) ≡ 0

(3.335)

in einem gewissen Energiebereich, der die Resonanz Eiσ enthält. Dann müssen wir in (3.331) den Grenzübergang Iσ → −0+ vollziehen. Mit der Darstellung der δ-Funktion als Grenzprozess

δ E − E0 =

1

x lim 2 π E − E0 + x2 x→0

(3.336)

folgt dann: Skσ (E) = h¯δ E − ε(k) − μ + Rσ (k, E) .

(3.337)

Nutzen wir noch

δ [ f (x)] =

i

1 δ x − xi ; f (xi )

f (xi ) = 0

(3.338)

aus, so können wir statt (3.337) auch schreiben: Skσ (E) = h¯

n

αiσ (k)δ E − Eiσ (k) ,

(3.339)

i=1

αiσ (k) = 1 −

−1 ∂ . Rσ (k, E) ∂E E = Eiσ

(3.340)

178

3. Green-Funktionen

Summiert wird dabei über jene Resonanzen Eiσ , die in dem Energiebereich liegen, in dem (3.335) gilt. Fall B: Es gelte Iσ (k, E) =/ 0 , wobei allerdings in einer gewissen Umgebung der Resonanz Eiσ Iσ (k, E) 0 :

+∞ dE . . . ⇒

dE . . . ,

−∞

+∞ t − t < 0: dE . . . ⇒

dE . . . ,

−∞

dann sorgt die Exponentialfunktion in (3.347) dafür, dass die im Unendlichen geschlossenen Halbkreise keinen Beitrag liefern. Nach dem Residuensatz trägt für t − t > 0 dann nur der zweite Summand, für t − t < 0 nur der erste Summand zum Integral in (3.347) bei. Dies ergibt schließlich:

1 i Sk(i)σ t − t ≈ αiσ (k) exp − Eiσ (k) t − t · 2π h¯ (3.349)

1 · exp − αiσ (k)Iiσ (k) |t − t | . h¯ Die zeitabhängige Spektraldichte stellt also in der Tat eine gedämpfte Schwingung dar, wobei die Frequenz wieder einer Resonanz Eiσ entspricht, während die Dämpfung im Wesentlichen durch den Imaginärteil der Selbstenergie reguliert wird. Im Allgemeinen ist also für wechselwirkende Systeme zu erwarten, dass Skσ t − t aus einer Überlagerung von gedämpften und ungedämpften Oszillationen, deren Frequenzen den Resonanzenergien Eiσ entsprechen, bestehen wird. Die resultierende Zeitabhängigkeit kann dann durchaus kompliziert werden. Genau dieses qualitative Bild vom Zeitverhalten der Spektraldichte wird uns im nächsten Abschnitt zum für die Viel-Teilchen-Theorie typischen Begriff des Quasiteilchens führen. 3.4.3 Quasiteilchen Wir wollen in diesem Abschnitt ein erstes Fazit ziehen. Was ist eigentlich der neue Aspekt des Green-Funktions-Formalismus, verglichen mit konventionellen Methoden? Was haben Green-Funktionen oder Spektraldichten mit Quasiteilchen zu tun? Was sind überhaupt Quasiteilchen? Wir vermuten, dass sie etwas mit den mehr oder weniger ausgeprägten Resonanzpeaks in der gerade diskutierten Spektraldichte zu tun haben. Dies wollen wir uns nun qualitativ etwas verdeutlichen, und zwar an dem Spezialfall

T=0;

|k| > kF ;

t > t .

3.4


181

Mit kF istder Fermi-Wellenvektor gemeint. Das System befinde sich in seinem Grund zustand E0 . Durch Hinzufügen eines (k, σ )-Elektrons zur Zeit t entsteht der Zustand ϕ0 (t) = a+ (t) E0 , (3.350) kσ bei dem es sich nicht notwendig um einen Eigenzustand des Hamilton-Operators handeln muss. Von den beiden Summanden in der Definition (3.127) des Propagators Skσ t − t kann wegen |k| > kF nur einer beitragen. Es ist deshalb (3.351) 2πSkσ t − t = ϕ0 (t) ϕ0 t . Damit erhält die zeitabhängige Spektraldichte eine klare Interpretation. der zur Zeit t durch 2πSkσ t − t ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass Hinzufügen eines (k, σ )-Elektrons aus dem Grundzustand E0 entstandene Zustand ϕ0 zur Zeit t > t noch existiert. Skσ t − t charakterisiert damit die zeitliche Entwicklung (Propagation) eines zusätzlichen (k, σ )-Elektrons in dem N-Teilchen System. Hätten wir |k| < kF vorausgesetzt, so würde Skσ t − t die Propagation eines Loches beschreiben. Zwei typische Fälle sind nun zu unterscheiden: ϕ0 (t) ϕ0 t 2 = const ⇐⇒ stationärer Zustand, ϕ0 (t) ϕ0 t 2 −−−−→ 0 ⇐⇒ Zustand mit endlicher Lebensdauer. t −t →∞

Betrachten wir zunächst einmal wieder 1) Nicht wechselwirkende Elektronen, beschrieben durch H0 = ε(k) − μ a+kσ akσ . k, σ

Man berechnet leicht

[H0 , a+kσ ]− = (ε(k) − μ)a+kσ , womit H0 a+kσ E0 = a+kσ H0 E0 + [H0 , a+kσ ]− E0 = = E0 + ε(k) − μ a+kσ E0 folgt.

182

3. Green-Funktionen

In diesem Spezialfall ist also a+kσ E0 ein Eigenzustand zu H0 . Damit ergibt sich weiter:

ϕ0 (t) = exp i H0 t a+ exp − i H0 t E0 = kσ h¯ h¯

i i (3.352) = exp − E0 t exp H0 t a+kσ E0 = h¯ h¯

i ε(k) − μ t a+kσ E0 . = exp h¯ Wegen |k| > kF und E0 E0 = 1 gilt noch:

E0 akσ a+kσ E0 = E0 E0 − E0 a+kσ akσ E0 = 1 .

Damit haben wir schließlich:

ϕ0 (t) ϕ0 t

i = exp − ε(k) − μ t − t . h¯

(3.353)

Der Propagator Sk(0) σ t − t stellt also, wie schon anderweitig abgeleitet, eine ungedämpfte harmonische Schwingung dar. Die Frequenz entspricht einer exakten Anregungsenergie des Systems, nämlich ε(k) − μ . Wegen ϕ0 (t) ϕ0 t 2 = 1 (3.354) handelt es sich um einen stationären Zustand. Re Sk(0σ) Abb. 3.5. Manifestation eines

t - t'

stationären Zustands in der zeitabhängigen Spektraldichte in Form einer ungedämpften harmonischen Schwingung

2) Wechselwirkende Elektronensysteme Für den Propagator Skσ t − t erhalten wir aus (3.351) durch Einschieben eines vollständigen Satzes von Eigenzuständen En zwischen die beiden zeitabhängigen Konstruktionsoperatoren:

+ 2 En a E0 exp − i En − E0 t − t . (3.355) 2πSkσ t − t = kσ h¯ n

3.4


183

Im freien System ist ak+σ E0 ein Energieeigenzustand. Deren Orthogonalität sorgt dann dafür, dass nur ein Term der Summe von Null verschieden ist. Dies gilt im wechselwirkenden System nicht mehr. In der Entwicklung ϕ0 = a+ E0 = (3.356) cm Em kσ m

werden mehrere, im Allgemeinen unendlich viele, Entwicklungskoeffizienten ungleich Null sein. Jeder Summand für sich stellt zwar wieder eine harmonische Schwingung dar. Die Überlagerung mehrerer Schwingungen unterschiedlicher Frequenz wird jedoch dafür sorgen, dass die Summe in (3.355) für t = t maximal ist. Für t − t > 0 werden sich die Phasenfaktoren exp −(i | h¯)(En − E0 ) t − t allmählich über den gesamten Einheitskreis der komplexen Zahlenebene verteilen und damit möglicherweise durch destruktive Interferenz für ϕ0 (t) ϕ0 t 2 −−−−→ 0 (3.357) t − t → ∞ sorgen. Der zur Zeit t geschaffene Zustand ϕ0 t hat dann nur eine endliche Lebensdauer. Unter gewissen Umständen gelingt es jedoch, die unregelmäßige Zeitabhängigkeit des Propagators als Überlagerung gedämpfter Oszillationen wohldefinierter Frequenz darzustellen: i . (3.358) αiσ (k) exp − ηQT (k) t − t 2πSkσ t − t = h¯ iσ i Dieser Ansatz hat formal dieselbe Struktur wie der entsprechende Ausdruck (3.353) für das freie System, nur sind nun die neuen Ein-Teilchen-Energien im Allgemeinen komplexe Größen: QT QT ηQT iσ (k) = Re ηiσ (k) + i Im ηiσ (k) .

(3.359) Der Imaginärteil Im ηQT iσ < 0 ist für die exponentielle Dämpfung der Oszillation verantwortlich. Wir schreiben diese neuen Energien ηQT iσ einem fiktiven Teilchen zu, das wir Quasiteilchen nennen wollen. Es ist nämlich gleichsam so, als ob das zur Zeit t als (N + 1)-tes Teilchen in das N-Teilchen-System eingepflanzte (k, σ )-Elektron in mehrere QuasiRe Skσ

t - t'

Abb. 3.6. Typisches Zeitverhalten der

Spektraldichte im Fall wechselwirkender Teilchensysteme

184

3. Green-Funktionen

teilchen zerfällt, deren Energien durch die Realteile und deren Lebensdauer durch die Imaginärteile der ηQT iσ festgelegt sind: Quasiteilchenenergie Quasiteilchenlebensdauer

= Re ηQT iσ (k) , h¯ = . Im ηQT iσ (k)

(3.360)

Jedes Quasiteilchen ist mit einem spektralen Gewicht αiσ (k) versehen, wobei wegen der Erhaltung der Gesamtteilchenzahl αiσ (k) = 1

(3.361)

i

gelten muss. Vergleichen wir nun Sk(i)σ t

1 i QT −t = αiσ (k) exp − Re ηiσ (k) t − t · 2π h¯

1 QT · exp − Im ηiσ (k) t − t h¯

(3.362)

mit (3.349), so erkennen wir den Zusammenhang der Quasiteilchenkenngrößen mit der elektronischen Selbstenergie: Quasiteilchenenergie: Eiσ (k) ! Eiσ (k) = ε(k) − μ + Rσ k, E = Eiσ (k) ,

(3.363)

Quasiteilchenlebensdauer: τiσ (k) h¯

. τiσ (k) = αiσ (k) · Iiσ (k)

(3.364)

Die spektralen Gewichte αiσ (k) sind nach (3.340) durch den Realteil der Selbstenergie bestimmt. Damit wird die Lebensdauer der Quasiteilchen nicht allein durch den Imaginär-, sondern auch durch den Realteil von Σσ (k, E) beeinflusst. Allerdings ist für Iiσ (k) = 0 in jedem Fall τiσ = ∞. Die Lorentz-Peaks in der Spektraldichte Skσ (E) sind also Quasiteilchen zuzuschreiben, deren Energien durch die Positionen und deren Lebensdauer durch die Breiten der Peaks gegeben sind. δ-Funktionen (3.339) sind dann Spezialfälle, die Quasiteilchen unendlich langer Lebensdauer entsprechen. Man kann die Analogie zum freien System schließlich noch zur Definition einer effektiven Masse m∗iσ (k)

3.4


185

des Quasiteilchens ausnutzen. Für kleine Wellenzahlen lassen sich die Bloch-Energien stets wie folgt entwickeln:

ε(k) = T0 +

h¯2 k2 + O k4 . 2m

(3.365)

T0 ist die untere Kante des betreffenden Energiebandes. Formal denselben Ansatz postulieren wir für die Quasiteilchenenergien: Eiσ (k) = T0iσ +

h¯2 k2 + O k4 . 2m∗iσ

(3.366)

Wir setzen (3.365) ein: Eiσ (k) = T0iσ +

m ε(k) − T0 + · · · . ∗ miσ

Damit folgt: m ∂Eiσ (k) = . m∗iσ (k) ∂ε(k)

(3.367)

Dies bedeutet aber nach (3.363):

∂Rσ ∂Rσ ∂Eiσ m = 1 + + ∗ miσ ∂ε(k) Eiσ ∂Eiσ ε(k) ∂ε(k) ⇒

m ∂Rσ ∂Rσ 1 − = 1 + . m∗iσ ∂Eiσ ε(k) ∂ε(k) Eiσ

Der Realteil der elektronischen Selbstenergie bestimmt also die effektive Masse des Quasiteilchens: # " Eiσ ) 1 − ∂Rσ∂(k, ∗ E i σ miσ (k) #ε(k) . " (3.368) = ∂ Rσ (k, Eiσ ) m 1+ ∂ε(k) Eiσ

Eine weitere wichtige Quasiteilchenkenngröße lernen wir im nächsten Abschnitt kennen. 3.4.4 Quasiteilchenzustandsdichte Auch diese Größe wollen wir in strenger Analogie zum freien Elektronengas begründen. Für die mittlere Besetzungszahl nkσ des (k, σ )-Niveaus erhalten wir mithilfe des Spektraltheorems (3.157) aus der Ein-Elektronen-Spektraldichte:

1 nkσ = a+kσ akσ = h¯

+∞ dE f− (E)Skσ (E − μ) .

(3.369)

−∞

Im nicht wechselwirkenden System wird daraus (3.208), wenn man für die Spektraldichte (3.199) einsetzt. Wir können aus nkσ durch Summation über alle Wellenzah-

186

3. Green-Funktionen

len k und alle Spins σ die Gesamtelektronenzahl Ne gewinnen: Ne =

kσ

+∞ dE f− (E)Skσ (E − μ) .

1 nkσ = h¯

(3.370)

kσ −∞

Wie im freien System muss Ne auch durch Energieintegration über eine Zustandsdichte ρσ (E) des wechselwirkenden Systems zu bestimmen sein:

+∞

Ne = N

σ −∞

dE f− (E)ρσ (E) .

(3.371)

N ist hier die Zahl der Gitterplätze, und ρσ (E) ist offensichtlich auf 1 normiert. Der Vergleich mit (3.370) ergibt dann die Quasiteilchenzustandsdichte

ρσ (E) =

1 Skσ (E − μ) . N h¯

(3.372)

k

Denselben Ausdruck haben wir bereits in Abschn. 3.3.1 für wechselwirkungsfreie Bloch-Elektronen begründen können. Es besteht also ein sehr enger Zusammenhang zwischen Zustandsdichte und Spektraldichte. Alle Eigenschaften der Spektraldichte übertragen sich demnach ziemlich direkt auf die Quasiteilchenzustandsdichte. Setzen wir z. B. (3.332) in (3.372) ein, so erkennen wir, dass ρσ (E) im Gegensatz zur so genannten Bloch-Zustandsdichte ρ0 (E) ((3.213) bzw. (3.214)) des nicht wechselwirkenden Elektronensystems temperaturabhängig sein wird. Ferner werden wir an späteren Beispielen erkennen, dass sie auch entscheidend durch die Teilchenzahl beeinflusst wird. Da schließlich die Spektraldichte nach (3.332) eine gewichtete Überlagerung von δ-Funktionen darstellt, in deren Argumenten die Anregungsenergien stehen, die aufgebracht werden müssen, um ein zusätzliches (k, σ )-Elektron in dem N-Teilchensystem unterzubringen oder ein entsprechendes aus diesem herauszuholen, hat auch ρσ (E) einen direkten Bezug zum Experiment (Photoemission!). Wegen ihrer fundamentalen Bedeutung wollen wir die Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E) noch für einen relativ einfachen Spezialfall diskutieren. Wir nehmen an, dass die elektronische Selbstenergie k-unabhängig und reell ist: Rσ (k, E) ≡ Rσ (E) ;

Iσ (k, E) ≡ 0 .

(3.373)

Dann gilt gemäß (3.337):

Skσ (E) = h¯δ E − ε(k) + μ − Rσ (E) .

Dies bedeutet für die Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E): 1 ρσ (E) = δ [E − ε(k) − Rσ (E − μ)] . N k

(3.374)

(3.375)

3.4


187

Der Vergleich mit der Bloch-Zustandsdichte, 1 ρ0 (E) = δ E − ε(k) , N k

ergibt schließlich:

ρσ (E) = ρ0 [E − Rσ (E − μ)] .

(3.376)

ρσ (E) ist also für solche Energien von Null verschieden, für die die Funktion [E − Rσ (E − μ)] Werte annimmt, die zwischen der unteren und der oberen Kante des freien Bloch-Bandes liegen. Ist Rσ lediglich eine schwach veränderliche, glatte Funktion von E, so wird ρσ gegenüber ρ0 nur leicht deformiert sein, sodass man den Einfluss der Teilchenwechselwirkungen durch Einführung effektiver Teilchenmassen oder ähnlicher Hilfskonzepte der Festkörperphysik hinreichend genau berücksichtigen kann. Man kann sich jedoch auch leicht Situationen vorstellen, für die ρσ (E) sich qualitativ deutlich von ρ0 (E) unterscheidet. Dies ist z. B. der Fall, wenn die Funktion [E − Rσ (E − μ)] an irgendeiner Stelle E0 singulär wird, wie in der Skizze angedeutet. Diese Situation führt notwendig zu einer Bandaufspaltung. Bei passender Bandfüllung kann das chemische Potential μ dann gerade in die Bandlücke fallen, was zur Folge hat, dass das System nach konventioneller Bandtheorie metallisch sein sollte, während die Viel-Teilchen-Theorie einen Isolator oder Halbleiter voraussagt. Ein prominentes Beispiel für eine solche Situation (Mott-Isolator) ist das antiferromagnetische NiO. E - Rσ (E - μ )

E

μ E

E0

μ ρσ

Isolator

E

Metall Abb. 3.7. Qualitatives

ρ0

Energieverhalten der Selbstenergie eines wechselwirkenden Teilchensystems, das zu einer korrelationsbedingten Bandaufspaltung Anlass gibt (Mott-Isolator)

3.4.5 Innere Energie In den Abschnitten 3.1.2 bis 3.1.5 haben wir den Gebrauch von Green-Funktionen an Hand so genannter Response-Größen wie

σαβ (E) :

elektrische Leitfähigkeit (3.83) ,

χαβ (E) :

magnetische Suszeptibilität (3.66) ,

ε(q, E) :

Dielektrizitätsfunktion (3.104)

188

3. Green-Funktionen

motiviert, die sich als retardierte Kommutator-Green-Funktionen herausstellten. Es handelt sich dabei durchweg um Mehrteilchen-Funktionen, d. h. um Green-Funktionen, die aus mehr als einem Erzeugungs- und einem Vernichtungsoperator aufgebaut sind. Zu dieser Klasse zählt Gkσ (E) natürlich nicht. Wir wollen nun aber am Beispiel der inneren Energie zeigen, dass über Gkσ (E) die gesamte Gleichgewichtsthermodynamik des wechselwirkenden Elektronensystems festgelegt ist. Für die innere Energie gilt zunächst mit (3.311): 1 (3.377) ε(k) a+kσ akσ + vkp (q) a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ . U = H = 2 kσ

p, k, q

σσ

Wir substituieren q → −q ,

dann k − q → k

und nutzen gemäß (3.313) vk + q, p (−q) = vp, k + q (q) aus. Dann wird aus (3.377): 1 ε(k) a+kσ akσ + vp, k + q (q) a+kσ a+p + qσ apσ ak + qσ . U= 2 kσ

(3.378)

k, p, q σ, σ

Mithilfe des Spektraltheorems (3.157) können wir die Erwartungswerte auf der rechten σσ (E), letztere definiert in (3.323), Seite durch die Green-Funktionen Gkσ (E) und Γpk; q ausdrücken: 1 U= h¯

+∞

1 dE ret ε (k) − Im G (E) + kσ π e βE + 1 kσ

−∞

1 1 σ σ (E) vp, k + q (q) − Im ret Γpk; . + q 2 π

(3.379)

kpq

σσ

Mithilfe der Bewegungsgleichung (3.324) lässt sich schließlich noch die höhere Greenσ σ durch die Ein-Elektronen-Green-Funktion G ret (E) ersetzen: Funktion ret Γpk; q kσ 1 σ σ (E) = 1 −h¯ + E − ε(k) + μ Gkret vp, k + q (q) ret Γpk; (E) . q σ 2 2

(3.380)

kσ

kpq

σσ

Einsetzen in (3.379) führt dann zu: 1 U= 2h¯

+∞

kσ −∞

1 dE ret E + μ + ε(k) − Im Gkσ (E) . π e βE + 1

(3.381)

3.4


189

Nach (3.154) steht auf der rechten Seite gerade die Ein-Elektronen-Spektraldichte Skσ (E). Substituieren wir noch E durch E − μ und setzen die Fermi-Funktion f− (E) (3.209) ein, so bleibt das bemerkenswerte Resultat, 1 U= 2h¯

+∞ dE f− (E) E + ε(k) Skσ (E − μ) ,

(3.382)

kσ −∞

das wir in (3.215) bereits im Zusammenhang mit dem nicht wechselwirkenden Elektronensystem kennen gelernt haben. Es ist uns mit (3.382) gelungen, selbst den Beitrag der Zwei-Teilchen-Coulomb-Wechselwirkung zur inneren Energie durch die Ein-Elektronen-Spektraldichte auszudrücken. Wegen des allgemein gültigen Zusammenhangs (3.217) zwischen innerer Energie U und freier Energie F(T, V) ist letztere ebenfalls allein durch Skσ (E) bestimmt. Damit ist die Behauptung verifiziert, dass die gesamte Gleichgewichtsthermodynamik des wechselwirkenden Elektronensystems allein aus der Ein-Elektronen-Green-Funktion bzw. -Spektraldichte ableitbar ist. Wir wollen uns zum Schluss dieses Kapitels noch einmal an die eingangs formulierten Ziele erinnern. Es geht uns um die Berechnung von thermodynamischen Erwartungswerten und Korrelationsfunktionen. Das können wir durch Lösen der Schrödinger-Gleichung erreichen, indem wir Eigenzustände und Eigenwerte des Hamilton-Operators H zur Konstruktion der Zustandssumme verwenden. Aus dieser ist dann jede gewünschte Information ableitbar. Abgesehen davon, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung nur approximativ gelingen wird, erscheint dieses Verfahren in vielen Fällen unökonomisch, da möglicherweise ein Großteil der mühselig bestimmten Terme sich gegenseitig beim Aufsummieren durch die in Abschn. 3.4.3 diskutierte destruktive Interferenz aufheben werden. Die Spektraldichte Skσ (E), aus der ebenfalls die gesamte thermodynamische Information erhältlich ist, ist gewissermaßen eine pauschale Größe, die den erwähnten Interferenzeffekt bereits implizit enthält. Nur die hinreichend ausgeprägten Quasiteilchen-Peaks in der Spektraldichte, also die Quasiteilchen mit hinreichend langer Lebensdauer, werden entscheidend zu den diversen Energieintegralen beitragen. In diesem Sinne erscheint die Methode der Green-Funktionen, die keine Zustände berechnet, sondern gleich auf die entscheidenden Größen wie die Spektraldichte zusteuert, als ein recht ökonomisches Verfahren. Die Grundidee besteht darin, das an sich kompliziert miteinander wechselwirkende Viel-Teilchen-System durch ein freies Gas von Quasiteilchen zu ersetzen. Die tatsächlich ablaufenden Wechselwirkungsprozesse manifestieren sich in den renormierten Energien und in den eventuell endlichen Lebensdauern dieser Quasiteilchen.

190

3. Green-Funktionen


Aufgabe 3.4.1 Berechnen Sie für ein wechselwirkendes Elektronensystem,

H=

k, σ

ε(k)a+kσ akσ +

1 vkp (q)a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ , 2 k, p, q σ, σ

die Bewegungsgleichung der retardierten Ein-Teilchen-Green-Funktion. Bestätigen Sie damit Gleichung (3.324) des Textes.

3.4.2

Aufgabe 3.4.2 E0 sei der Grundzustand des wechselwirkungsfreien Elektronensystems (Fermi-Kugel). Berechnen Sie die Zeitabhängigkeit des Zustands ψ0 = a+ ak σ E0 kσ

k > kF , k < kF !

Handelt es sich um einen stationären Zustand?

3.4.3

Aufgabe 3.4.3 Für die Ein-Elektronen-Green-Funktion eines wechselwirkenden Elektronensystems gelte: −1 Gkret ¯ E − 2ε(k) + E2 | ε(k) + iγ |E| , γ>0. σ (E) = h / 1. Bestimmen Sie die elektronische Selbstenergie σ (k, E). 2. Berechnen Sie Energien und Lebensdauern der Quasiteilchen. 3. Unter welcher Voraussetzung ist das Quasiteilchenkonzept brauchbar? 4. Berechnen Sie die effektiven Massen der Quasiteilchen.

3.4


191

Aufgabe 3.4.4 Für ein wechselwirkendes Elektronensystem sei die Selbstenergie aσ E + μ − bσ aσ , bσ , cσ positiv-reell; cσ > bσ Σσ (E) = E + μ − cσ

3.4.4

berechnet worden. Für die Zustandsdichte der wechselwirkungsfreien Elektronen gelte: ⎧ ⎨1 | W für 0 ≤ E ≤ W , ρ0 (E) = ⎩ 0 sonst. Bestimmen Sie die Quasiteilchenzustandsdichte. Gibt es eine Bandaufspaltung?

Aufgabe 3.4.5 Ein wechselwirkendes Elektronensystem werde durch das Hubbard-Model (Abschn. 2.1.3) beschrieben. Zeigen Sie, dass für die innere Energie U die Formel (3.382) gültig ist, dass diese sich also durch die EinElektronen-Spektraldichte Skσ (E) ausdrücken lässt.

3.4.5

192

3.5

3. Green-Funktionen

3.5 Kontrollfragen Zu Abschnitt 3.1 1. Warum bezeichnet man die Schrödinger-Darstellung der Zeitabhängigkeit physikalischer Systeme auch als Zustandsbild? 2. Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften des ZeitentwicklungsoperatorsUS (t, t0) des Schrödinger-Bildes. 3. Wie lautet der Zeitentwicklungsoperator des Schrödinger-Bildes für den Fall, dass der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt? 4. Geben Sie eine kompakte Darstellung von US t, t0 für den Fall an, dass ∂H | ∂t =/ 0 ist. 5. Wie lautet die Bewegungsgleichung für zeitabhängige Heisenberg-Operatoren? 6. Welche Beziehung besteht zwischen den Operatoren des Heisenberg- und denen des Schrödinger-Bildes? 7. Charakterisieren Sie das Dirac-Bild. 8. Wie lautet die Verknüpfung zwischen dem Dirac’schen und dem Schrödinger’sche Zeitentwicklungsoperator? 9. Nennen Sie Beispiele physikalisch wichtiger Response-Größen. 10. Worin besteht die vereinfachende Annahme der Linear-Response-Theorie? 11. Was ist eine zweizeitige, retardierte Green’sche Funktion? 12. Interpretieren Sie die Kubo-Formel. 13. Durch welche retardierte Green’sche Funktion ist der Tensor der magnetischen Suszeptibilität bestimmt? 14. Wie lässt sich über die Suszeptibilität die Curie-Temperatur Tc des Phasenübergangs Para-/Ferromagnetismus bestimmen? 15. Welche physikalische Bedeutung haben die Singularitäten der transversalen Suszeptibilität χq± (E)? 16. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Dipolmomentenoperator und dem Stromdichteoperator? 17. Welche Green’sche Funktion bestimmt den Einfluss der Teilchenwechselwirkungen auf den Leitfähigkeitstensor? 18. Skizzieren Sie den Gedankengang zur Ableitung der Dielektrizitätsfunktion ε(q, E). 19. Welche physikalische Bedeutung haben die Pole der Green-Funktion ρq ; ρq+ Eret ?

Zu Abschnitt 3.2 1. Definieren Sie retardierte, avancierte und kausale Green-Funktionen. 2. Erklären Sie die Wirkungsweise des Wick’schen Zeitordnungsoperators. 3. Wann sind Green’sche Funktionen homogen in der Zeit?

3.5

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19.

Kontrollfragen

193

Wie lautet die Bewegungsgleichung für zeitabhängige, retardierte (avancierte, kausale) Funktionen? Welchen Randbedingungen unterliegen diese? Wie kommt es zu einer Bewegungsgleichungskette? Wie lautet die Spektraldarstellung der Spektraldichte SAB (E)? Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Spektraldichte SAB (E) und den ret (av) (E)? Green’schen Funktionen GAB Welche physikalische Bedeutung haben die Pole der Green’schen Funktionen? ret (E) und G av (E)? Wie unterscheiden sich GAB AB Formulieren Sie die so genannte Dirac-Identität. Warum ist die kausale Green-Funktion für die Bewegungsgleichungsmethode unbequemer als die retardierte oder die avancierte Funktion? Formulieren und interpretieren Sie das Spektraltheorem. Kann eine Kommutator-Green-Funktion bei E = 0 einen Pol haben? Was können Sie über das Hochenergie-Verhalten (E → ∞) der Green-Funktion α (E) (α = ret, av, c) aussagen? GAB Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Spektraldichte und Spektralmomenten. Wie kann man aus den Spektraldarstellungen der Green’schen Funktion folgern, dass die Real- und Imaginärteile dieser Funktionen nicht unabhängig voneinander sind? Was versteht man unter Kramers-Kronig-Relationen? Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den verschiedenen Green-Funktioret (E), G av (E) und G c (E) sowie der Spektraldichte S (E)? nen GAB AB AB AB c (E) sei auf irgendeine Weise bestimmt worden. Die kausale Green-Funktion GAB Wie können Sie daraus auf die retardierte Funktion schließen?

Zu Abschnitt 3.3 1. Wie ist die Ein-Elektronen-Green-Funktion definiert? 2. Wie lautet für wechselwirkungsfreie Bloch-Elektronen die Ein-Elektronen-Spektraldichte? 3. Welches typische Zeitverhalten zeigen die Ein-Teilchen-Green-Funktionen des freien Elektronensystems? 4. Skizzieren Sie die Ableitung der kausalen Ein-Teilchen-Green-Funktion für nicht miteinander wechselwirkende Bloch-Elektronen. 5. Wie bestimmt man die mittlere Besetzungszahl nkσ des freien Elektronensystems? Wie lautet deren Temperaturabhängigkeit? 6. Welche Überlegung führt zur Definition der Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E)? Wie hängt diese mit der Spektraldichte zusammen? 7. Auf welche Weise ist die innere Energie U = H0 des nicht wechselwirkenden Elektronensystems durch die Spektraldichte festgelegt?

194

3. Green-Funktionen

8. 9.

Wie lässt sich aus U(T, V) die freie Energie F(T, V) gewinnen? Wie lautet die Ein-Magnonen-Spektraldichte für ein System von nicht wechselwirkenden Magnonen? 10. Warum ist das chemische Potential μ von Magnonen gleich Null? 11. Warum ist es sinnvoll, zur Beschreibung von Magnonen die Kommutator-GreenFunktion zu verwenden? 12. Begründen Sie für Spin-1 | 2 -Teilchen (Si+ )2 = 0 und (Siz )2 = h¯2 | 4.

Zu Abschnitt 3.4 1. Wie wird die elektronische Selbstenergie Σσα (k, E) (α = ret, av, c) in die Bewegungsgleichung der Ein-Elektronen-Green-Funkion eingeführt? 2. Wie lautet die formale Lösung für Gkασ (E) unter Einbeziehung der Selbstenergie? 3. Formulieren und interpretieren Sie die Dyson-Gleichung der Ein-ElektronenGreen-Funktion. 4. Welcher Zusammenhang besteht zwischen retardierter und avancierter Selbstenergie? 5. Warum kann der Imaginärteil der retardierten Selbstenergie nicht positiv sein? 6. Was können Sie über das Vorzeichen des Imaginärteils der avancierten Selbstenergie aussagen? 7. Demonstrieren Sie, warum der Realteil der Selbstenergie die Resonanzstellen Eiσ (k) der Ein-Elektronen-Spektraldichte bestimmt, bei denen diese ausgeprägte Maxima aufweist. 8. Wie sieht die Spektraldichte des wechselwirkenden Elektronensystems für den Fall aus, dass der Imaginärteil Iσ (k, E) der Selbstenergie identisch Null ist? 9. Welche Bedingung an den Imaginärteil der Selbstenergie garantiert ein ausgeprägtes Maximum in der Spektraldichte? 10. Unter welchen Voraussetzungen besitzt die Spektraldichte in der Nähe einer Resonanz Lorentz-Gestalt? 11. Welche allgemeine Struktur ist im Normalfall für die Spektraldichte zu erwarten? 12. Wie sieht bei identisch verschwindendem Imaginärteil der Selbstenergie die zeitabhängige Spektraldichte aus? 13. Wie wirken sich Lorentz-Peaks von Skσ (E) in Skσ t − t aus? 14. Welche wohldefinierte physikalische Bedeutung besitzt der Propagator Skσ t − t für den Spezialfall T = 0; k > kF ; t > t ? Wie ändert sich diese für k < kF ? 15. Wann bezeichnet man ϕ0 (t) als stationären Zustand? Wann sagt man, er habe eine endliche Lebensdauer? 16. Welche Zeitabhängigkeit besitzt der Propagator 2πSkσ t, t = ϕ0 (t) ϕ0 t ϕ0 = a+ E0 , E0 : Grundzustand, k > kF für das nicht wechselwirkende kσ Elektronensystem?

3.5

Kontrollfragen

195

17. Wie dürfte sich diese Zeitabhängigkeit für das wechselwirkende Elektronensystem ändern? 18. Erläutern Sie, wie diese Zeitabhängigkeit zum Begriff des Quasiteilchen führt. 19. Was versteht man unter dem spektralen Gewicht und was unter der Lebensdauer eines Quasiteilchens? 20. Wie hängen Quasiteilchenenergien und Quasiteilchenlebensdauern mit der elektronischen Selbstenergie zusammen? 21. Wie manifestiert sich ein Quasiteilchen in der Spektraldichte Skσ (E)? 22. Wann hat ein Quasiteilchen eine unendlich lange Lebensdauer? 23. Wie ist die effektive Masse eines Quasiteilchens definiert? 24. Welcher enge Zusammenhang besteht zwischen der Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E) und der Spektraldichte eines wechselwirkenden Elektronensystems? 25. Die Selbstenergie sei reell und k-unabhängig und habe eine Singularität bei der Energie E0 . Was bedeutet das für die Quasiteilchenzustandsdichte? 26. Wie hängt die innere Energie eines wechselwirkenden Elektronensystems mit der Ein-Elektronen-Spektraldichte zusammen?

Kapitel 4 Wechselwirkende Teilchensysteme

4

4

4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.6

Wechselwirkende Teilchensysteme Festkörperelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Grenzfall des unendlich schmalen Bandes . . . . . . . . . . . . Hartree-Fock-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronenkorrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das exakt halbgefüllte Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kollektive elektronische Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ladungsabschirmung (Thomas-Fermi-Näherung) . . . . . . . Ladungsdichtewellen, Plasmonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spindichtewellen, Magnonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen . . . . . Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Methode des effektiven Mediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coherent Potential Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spinsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tyablikow-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Renormierte“ Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektron-Magnon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische 4f -Systeme (s-f -Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das unendlich schmale Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legierungsanalogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das magnetische Polaron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199 199 202 207 211 212 221 225 229 230 234 243 246 249 249 253 255 259 269 270 270 277 282 283 284 286 292 294 302 304

4.1

Festkörperelektronen

199

4 Wechselwirkende Teilchensysteme Wir wollen in diesem Abschnitt den im letzten Kapitel diskutierten abstrakten Formalismus der Green-Funktionen auf einige realistische Probleme der Viel-TeilchenTheorie anwenden, wobei wir insbesondere die Modellsysteme aus Kap. 2 zugrunde legen werden. Wir wollen dabei zum einen erkennen, welche Informationen durch passend gewählte Green-Funktionen zugänglich sind, und zum anderen, wie solche Green-Funktionen in praktischen Fällen berechnet werden können. Die in der Regel unumgänglichen Approximationen sollen kritisch erläutert werden.

4.1

4.1 Festkörperelektronen Wir beginnen mit der Untersuchung von wechselwirkenden Festkörperelektronen, wobei wir uns hier auf einige typische Probleme konzentrieren wollen, ohne den Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben. Zwei in Abschn. 2.1 vorgestellte Modelle, das Jellium- und das Hubbard-Modell, sollen dabei die Grundlage bilden. Wir beginnen mit einem exakt lösbaren Spezialfall des Hubbard-Modells. 4.1.1 Der Grenzfall des unendlich schmalen Bandes Das Hubbard-Modell beschreibt wechselwirkende Elektronen in relativ schmalen Energiebändern. Es ist charakterisiert durch den Hamilton-Operator (2.117):

H=

1 Tij − μδij a+iσ ajσ + U niσ ni − σ . 2 i, σ

(4.1)

ijσ

Wir wollen die Ein-Elektronen-Green-Funktion berechnen. Die Darstellung des Hamilton-Operators in (4.1) legt die Verwendung der Wannier-Formulierung (3.319) nahe: Gijασ (E) =

aiσ ; a+jσ αE .

(4.2)

Für die Bewegungsgleichung benötigen wir den Kommutator Tim − μδim amσ + Uni − σ aiσ . [aiσ , H ]− =

(4.3)

m

Der zweite Summand führt zu einer höheren Green-Funktion:

α + + Γilm; jσ (E) = ai − σ al − σ amσ ; ajσ

α E

.

Damit lautet die Bewegungsgleichung der Ein-Elektronen-Green-Funktion: α (E) + U Γ α (E) , Tim Gmj (E + μ)Gijασ (E) = h¯δij + σ iii; jσ m


(4.4)

(4.5)

200

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

α (E) auf der rechten Seite nicht direkt die wegen der höheren Green-Funktion Γiii; jσ lösbar ist. Wir stellen deshalb auch für diese Funktion die entsprechende Bewegungsgleichung auf:

[ni − σ aiσ , H0 ]− = Tlm − μδlm [ni − σ aiσ , a+lσ amσ ]− = = lmσ

=

Tlm − μδlm δil δσσ ni − σ amσ −

lmσ

(4.6)

− δil δσ − σ a+i − σ aiσ amσ − δim δσ − σ a+lσ ai − σ aiσ =

=

Tim − μδim ni − σ amσ + a+i − σ am − σ aiσ − a+m − σ ai − σ aiσ , m

[ni − σ aiσ , H1 ]− = =

1 U [ni − σ aiσ , nmσ nm − σ ]− = 2 m, σ

=

1 ni − σ [aiσ , nmσ nm − σ ]− = U 2 m, σ

=

(4.7)

1 U ni − σ δim δσσ amσ nm − σ + δim δσ − σ nmσ am − σ = 2 m, σ

= Uaiσ ni − σ . Im letzten Schritt haben wir die für Fermionen gültige Beziehung n2iσ = niσ ausgenutzt. Insgesamt ergibt sich damit die Bewegungsgleichung: α (E) = (E + μ − U)Γiii; jσ

= h¯δij ni − σ +

m

α α α Tim Γiim; jσ (E) + Γimi; jσ (E) − Γmii; jσ (E) .

(4.8)

Wir wollen uns in diesem Abschnitt auf den relativ einfachen, aber durchaus aufschlussreichen Grenzfall des unendlich schmalen Bandes beschränken,

ε(k) ≡ T0 ⇐⇒ Tij = T0 δij ,

(4.9)

4.1


201

fürdensichdieBewegungsgleichungshierarchievonselbstentkoppelt.Gleichung(4.8) vereinfacht sich nämlich zu: α ¯δij n−σ . E + μ − U − T0 Γiii; jσ (E) = h

(4.10)

Wegen Translationssymmetrie wird der Erwartungswert des Anzahloperators gitter platzunabhängig niσ = nσ ∀i . Wir setzen die Lösung von (4.10) in (4.5) ein: E + μ − T0 Giiασ = h¯ + h¯

U n−σ . E − T0 − μ + U

Damit ergibt sich schließlich für die retardierte Funktion: h¯ 1 − n−σ h¯ n−σ ret + . Giiσ (E) = + E − T0 − μ + i0 E − T0 + U − μ + i0+

(4.11)

Giiret σ (E) hat also zwei, den möglichen Anregungsenergien entsprechende Pole: E1σ = T0 − μ = E1 − σ ,

(4.12)

E2σ = T0 + U − μ = E2 − σ .

(4.13)

Das ursprüngliche Niveau T0 spaltet aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung in zwei spinunabhängige Quasiteilchenniveaus E1σ , E2σ auf. Die Spektraldichte berechnet sich mit (3.154) leicht aus (4.11): Siiσ (E) = h¯

2

αjσ δ E − Ejσ .

(4.14)

j=1

Die spektralen Gewichte

α1σ = 1 − n−σ ; α2σ = n−σ

(4.15)

sind ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass das σ -Elektron an einem Gitterplatz ein (−σ )-Elektron antrifft α2σ oder an einen unbesetzten Platz gerät α1σ . Im ersten Fall muss es die Coulomb-Wechselwirkung U aufbringen. Die Quasiteilchenzustandsdichte

ρσ (E) =

1 1 Siiσ (E − μ) = Siiσ (E − μ) = N h¯ i h¯

= 1 − n−σ δ E − T0 + n−σ δ E − (T0 + U)

(4.16)

besteht in diesem Grenzfall aus zwei unendlich schmalen Bändern bei den Ener gien T0 und T0 + U. Das zum Niveau entartete untere Band enthält 1 − n−σ , das obere n−σ Zustände pro Atom. Die Zahl der Zustände in einem Quasiteilchensubband ist also temperaturabhängig!

202


Wir müssen zur vollständigen Festlegung der Quasiteilchenzustandsdichte noch den Erwartungswert n−σ mithilfe des Spektraltheorems (3.157) bestimmen: n−σ =

1 h¯

+∞

−1 dE Sii − σ (E) e βE + 1 = −∞

= 1 − nσ f− T0 + nσ f− T0 + U . f− (E) ist hier wieder die Fermi-Funktion. Wir setzen noch den entsprechenden Ausdruck für nσ ein und finden damit: f− T0 . n−σ = (4.17) 1 + f− T0 − f− T0 + U Die vollständige Lösung für ρσ (E) lautet also:

ρσ (E) =

1 1 − f− T0 + U δ E − T0 + 1 + f− T0 − f− T0 + U + f− T0 δ E − T0 − U =

(4.18)

= ρ−σ (E) . Die Quasiteilchenzustandsdichte ist also spinunabhängig. Spontane Magnetisierung, d. h. Ferromagnetismus, scheidet im Grenzfall des unendlich schmalen Bandes demnach aus: 1 nσ = n−σ = n . 2

(4.19)

4.1.2 Hartree-Fock-Näherung Wir wollen in diesem Abschnitt eine sehr einfache, aber auch sehr typische Approximation kennen lernen, die für gehobene Ansprüche zwar viel zu grob ist, häufig jedoch bereits einen ersten wertvollen Einblick in die Physik des zugrunde liegenden Modells vermitteln kann. Die Hartree-Fock-Näherung des Hubbard-Modells ist in der Literatur unter der Bezeichnung Stoner-Modell bekannt und wird als solches zur Diskussion des magnetischen Verhaltens von Bandelektronen herangezogen. Ausgangspunkt ist die folgende Identität für das Produkt zweier Operatoren A und B:

AB = (A − A)(B − B) + A B + A B − A B .

(4.20)

Die Vereinfachung besteht in einer Linearisierung dieses Ausdrucks. Wir stellen uns das Produkt AB als Bestandteil einer Green-Funktion vor, die ja als thermodynamischer Mittelwert definiert ist. Die Hartree-Fock-Näherung oder auch Molekularfeld-

4.1


203

näherung vernachlässigt in den Green-Funktionen die Fluktuation der Observablen um ihre thermodynamischen Mittelwerte, ersetzt also AB −→ A B + A B − A B . HFN

(4.21)

Der letzte Summand ist eine reine c-Zahl, die in den Bewegungsgleichungen nicht erscheint. α (E) in (4.5) durch. Wir führen die Näherung (4.21) an der Green-Funktion Γiii, jσ Wegen aiσ ni − σ −→ aiσ n−σ + aiσ ni − σ − aiσ n−σ = aiσ n−σ HFN

α (E) in der Hartree-Fock-Näherung: gilt für die höhere Green-Funktion Γiii; jσ α (E) −→ n G α (E) . Γiii; −σ jσ ijσ HFN

(4.22)

n−σ kann als Skalar aus der Green-Funktion herausgezogen werden. Damit vereinfacht sich die Bewegungsgleichung (4.5) zu α (E) Tim Gmj E + μ − U n−σ Gijασ (E) = h¯δij + σ m

und kann durch Fourier-Transformation auf Wellenzahlen leicht gelöst werden: h¯ ≡ E − ε(k) + U n−σ − μ ≡ Gk(0) σ E − U n−σ .

Gkσ (E) =

(4.23)

In der Hartree-Fock-Näherung hat also die Ein-Elektronen-Green-Funktion des Hubbard-Modells dieselbe Gestalt wie die des freien Systems, allerdings mit renormierten, spinabhängigen Ein-Teilchen-Energien. Mithilfe der dimensionslosen

Magnetisierung m =

1 n↑ − n↓ 2

(4.24)

und der Teilchendichte n = n↑ + n↓

(4.25)

lauten die Quasiteilchenenergien:

1 (4.26) Eσ (k) = ε(k) + Un − zσ mU . 2 zσ ist dabei ein Vorzeichenfaktor z↑ = +1 , z↓ = −1 . Zur vollständigen Lösung des Problems haben wir noch den Erwartungswert n−σ in (4.23) festzulegen. Dies

204


gelingt mithilfe des Spektraltheorems. An (4.23) lesen wir unmittelbar den folgenden Ausdruck (4.27) Skσ (E) = h¯δ E − ε(k) − U n−σ + μ für die Spektraldichte ab. Das Spektraltheorem (3.157) liefert dann: 1 1 + ni − σ = n−σ = ak − σ ak − σ = N i N k

=

1 1 N h¯ k

Dies bedeutet: n−σ =

+∞

dE f− (E)Sk − σ (E − μ) .

−∞

−1 1 1 + exp β ε(k) + U nσ − μ . N

(4.28)

k

Dies ist eine implizite Bestimmungsgleichung für die mittleren Teilchenzahlen nσ , n−σ , die wir in eine entsprechende für die Magnetisierung m umschreiben können: m=

1 1 sinh(βUm) gk (β, n, m) . 2 N

(4.29)

k

Dabei haben wir abgekürzt:

−1 1 . gk (β, n, m) = cosh(βUm) + cosh β ε(k) + Un − μ 2 Für die Teilchendichte gilt:

1 1 exp −β ε(k) + Un − μ + cosh(βUm) gk (β, n, m) . n= N 2

(4.30)

(4.31)

k

Man erkennt unmittelbar, dass der nichtmagnetische Zustand m = 0 stets eine mögliche Lösung darstellt. Um zu sehen, ob es weitere Lösungen m =/ 0 gibt, formen wir mit der Zustandsdichte (3.213) des nicht wechselwirkenden Systems, 1 ρ0 (E) = δ E − ε(k) , N k

die wir als bekannt voraussetzen dürfen, den Ausdruck (4.30) noch etwas um: +∞ 1 gk (β, n, m) = dx ρ0 (x) cosh(βUm) + N k

−∞

−1 1 . + cosh β x + Un − μ 2

(4.32)

4.1


205

Für hohe Temperaturen (T → ∞ ⇐⇒ β → 0) können wir die hyperbolischen Funktionen entwickeln: sinh x = x +

1 3 x + ··· ; 3!

cosh x = 1 +

1 2 x + ··· . 2!

Dies bedeutet: +∞ 1 1 1 gk (β, n, m) −−−→ dx ρ0 (x) = T →∞ 2 N 2 k

(4.33)

−∞

oder mit (4.29): m −−−→ T →∞

1 βUm . 4

(4.34)

Diese Gleichung hat nur die Lösung m = 0. Bei hohen Temperaturen gibt es also keine spontane Magnetisierung m =/ 0. Wenn also überhaupt eine ferromagnetische Lösung m =/ 0 existiert, dann offenbar nur unterhalb einer kritischen Temperatur TC (Curie-Temperatur). Nähern wir uns von unten TC , so sollte m sehr klein werden (Phasenübergang zweiter Ordnung!), sodass wir in (4.32) den ersten Summanden entwickeln können. In der Nähe von TC sollte demnach mit (4.25) gelten: < T → TC :

1 1 ≈ βC U 2

+∞ dx −∞

ρ0 (x) . 1 + cosh βC x + 12 Un − μ

(4.35)

Damit wirklich Ferromagnetismus vorliegt, muss mindestens βC = kB TC −1 → ∞ TC = 0+ gefordert werden. Mit der folgenden Darstellung der δ-Funktion (Beweis als Übung!), 1 β , β → ∞ 2 1 + cosh(βx)

δ(x) = lim

(4.36)

erhalten wir aus (4.35) das Kriterium

1 1 ≈ U ρ0 μ − Un . 2

(4.37)

Bei T ≈ 0 kann man das chemische Potential μ durch die Fermi-Energie EF ersetzen. Nach (4.26) hängt diese mit der des freien Systems εF wegen m ≈ 0 über EF ≈ εF + 12 Un zusammen. Damit ergibt sich aus (4.37) das bekannte Stoner-Kriterium 1 ≤ U ρ0 (εF )

(4.38)

206


für das Auftreten von Ferromagnetismus. Ist diese Relation erfüllt, so sollte das Elektronensystem eine spontane, d. h. nicht durch ein äußeres Magnetfeld erzwungene Magnetisierung m =/ 0 aufweisen. Trotz der diversen, stark vereinfachenden Annahmen, die letzlich zu (4.38) führten, erweist sich das Stoner-Kriterium als trendmäßig richtig. Wir kommen zum Schluss noch einmal zu den Quasiteilchenenergien Eσ (k) (4.26) zurück. Wir haben gesehen, dass unter bestimmten Bedingungen (4.38) die Magnetisierung m =/ 0 sein kann. Dies entspricht einer temperaturabhängigen Austauschaufspaltung ΔEex

ΔEex = 2Um , die in diesem einfachen Beispiel starr, d. h. k-unabhängig ist. Entsprechend der Bedeutung der Ein-Elektronen-Green-Funktion sind die Quasiteilchenenergien Eσ (k) gerade die Energien, die aufgebracht werden müssen, um ein zusätzliches (k, σ )Elektron in dem N-Teilchensystem unterzubringen. Als eigentliche Anregungsenergie innerhalb des Systems ergibt sich dann:

ΔEσσ (k; q) = Eσ (k + q) − Eσ (k) = = ε(k + q) − ε(k) + mU zσ − zσ .

(4.39)

Erfolgt eine solche Anregung ohne Spinflip (σ = σ ) innerhalb eines Teilbandes, dann ist diese wegen der starren Bandverschiebung mit einer entsprechenden im nicht wechselwirkenden (U = 0)-System identisch. Bei einem kugelsymmetrischen Fermi-Körper, d. h. ε(k) = h¯2 k2 | 2m∗ , liegt das Anregungsspektrum dann zwischen den beiden Kurven: h¯2 2 q + 2kF |q| , ∗ 2m ⎧ 2 ⎪ ⎨ h¯ q2 − 2k |q| , F ΔEmin (q) = 2m∗ ⎪ ⎩0

ΔEmax (q) =

(4.40)

falls

|q| > 2kF ,

(4.41)

sonst.

Eσ 2Um

Abb. 4.1. Spinabhängige Aufspaltung der Quasiteilchenenergien des

k

Stoner-Modells für Temperaturen unterhalb der Curie-Temperatur

4.1


207

DEσσ DEmax DEmin ´ 2kF

Abb. 4.2. Anregungsspektrum im Stoner-Modell für

q

Übergänge ohne Spinflip

Anregungen mit Spinflip bedeuten dagegen Übergänge zwischen den beiden Teilbändern:

ΔE↑↓ (k; q) = ε(k + q) − ε(k) + 2Um .

(4.42)

Man unterscheidet zwischen starkem 2Um > εF und schwachem Ferromagnetis mus 2Um < εF (s. Abb. 4.3): 4.1.3 Elektronenkorrelationen Die im letzten Abschnitt besprochene Hartree-Fock-Näherung des Hubbard-Modells α (E) vollzogen (s. (4.22)), die in der Bewewird an der höheren Green-Funktion Γiiij σ gungsgleichung (4.5) für die Ein-Elektronen-Green-Funktion erscheint. Man macht sich leicht klar, dass sich dieselben Resultate ergeben hätten, wenn man die Näherung (4.21) direkt auf den Modell-Hamilton-Operator (4.1) angewendet hätte:

H → HS =

Tij + U n−σ − μ δij a+iσ ajσ =

i, j, σ

=

(4.43)

Eσ (k) − μ a+kσ akσ . k, σ

HS definiert das eigentliche Stoner-Modell. Es handelt sich um einen Ein-TeilchenOperator, für den Gkσ (E) leicht exakt berechenbar ist und mit (4.23) übereinstimmt.

DE¯

2Um < εF

2Um Um ´

2Um Um ´

(a)

q

(b)

2Um

t2 > t3 , 2. t1 > t3 > t2 .

5.2.2

Kontrollieren Sie die Resultate durch direkte Berechnungen der Erwartungswerte, d. h. ohne Anwendung des Wick’schen Theorems.

5.3 Feynman-Diagramme Das Wick’sche Theorem zeigt den Weg für Störungsentwicklungen der verschiedenen Erwartungswerte. Die Hauptaufgabe besteht darin, aus vorgegebenen Produkten von Konstruktionsoperatoren alle denkbaren Kontraktionen zu bilden, wobei diese nach (5.79) und (5.82) direkt mit den ungestörten, kausalen Green-Funktionen zusammenhängen. Diese Aufgabe ist in der Regel mit beträchtlichem Aufwand verbunden, der jedoch durch Einführung von Feynman-Graphen ganz erheblich gesenkt werden kann. Wir beginnen mit dem Erwartungwert des Zeitentwicklungsoperators, η0 Uα t, t η0 , den man auch die Vakuumamplitude nennt. Andere Beispiele werden dann ganz zwanglos folgen.

5.3

336

5. Störungstheorie (T = 0)

5.3.1 Störungsentwicklung für die Vakuumamplitude Nach (5.27) haben wir zu berechnen:

η0 Uα t, t η0 = 1 +

∞

η0 Uα(n) t, t η0 ,

(5.89)

n=1

n t (n) 1 i − · · · dt1 · · · dtn · η0 Uα t, t η0 = n! h¯ t

· e −α( |t1 | + ··· + |tn

|)

η0 Tε V t1 · · · V tn η0 .

(5.90)

V(t) soll eine Paarwechselwirkung vom Typ (5.60) sein. Es erweist sich für später als zweckmäßig, in diese eine triviale Integration einzubauen: 1 V t1 = v(kl; nm) 2 kl mn

+∞ dt1 δ t1 − t1 a+k t1 a+l t1 am t1 an t1

(5.91)

−∞

Betrachten wir als Beispiel einmal den ersten Term der Störreihe (5.89):

i η0 Uα(1) t, t η0 = − 2h¯

t dt1 e

−α |t1 |

+∞ dt1 δ t1 − t1 · klmn−∞

t

· v(kl; nm) η0 Tε a+k t1 a+l t1 am t1 an t1 η0 .

Zur Auswertung des Matrixelements benutzen wir das Wick’sche Theorem: η0 Tε {. . . } η0 = a+k t1 an t1 a+l t1 am t1 − − a+k t1 am t1 a+l t1 an t1 = c − c − −iG0, = −iG0, k (0 )δkn l (0 )δlm − c

0, c

t − t − t δ i G − t − −iG0, 1 1 km 1 1 δln . k l Dies ergibt mit (5.83) nach Einsetzen: (1) η0 Uα t, t η0 =

i = 2h¯

t t

dt1 e −α |t1 |

k, l

nk (0) nl (0) v(kl; lk) − v(kl; kl) .

(5.92)

5.3

Feynman-Diagramme

337

Wir wollen uns dieses Ergebnis durch Diagramme veranschaulichen. Dabei soll im Folgenden schrittweise eine eineindeutige Übersetzungsvorschrift der komplizierten Terme in der Störreihe auf die so genannten Feynman-Graphen erarbeitet werden. Vertex. Die Wechselwirkung wird durch eine gestrichelte Linie symbolisiert. Die Zeitindizes ti , ti dienen nur zur Unterscheidung der Enden der Wechselwirkungslinie. Wegen δ(ti − ti ) im Integranden von (5.91) geben beide Punkte natürlich letztlich denselben Zeitpunkt an. Eine in einen Vertexpunkt einlaufende Linie symbolisiert einen Vernichtungs-, eine auslaufende Linie einen Erzeugungsoperator. ti¢ l

m

v(kl; nm) n

k

Abb. 5.1. Bezifferung eines Vertex als Grundelement eines

ti

Feynman-Diagramms

Eine Kontraktion wird durch eine ausgezogene, mit einem Pfeil versehene Linie repräsentiert, die zwei Vertexpunkte miteinander verbindet. Wir denken uns eine Zeitachse mit von links nach rechts zunehmendem Zeitindex. Man unterscheidet: 1) Propagierende Linien Im Zeitargument der Green-Funktion steht, wie schon früher vereinbart, stets (Vernichterzeit − Erzeugerzeit). ti ¢

t j¢

⇐⇒ nj

ki ti

tj

ti¢

t j¢

c = −iG0, ki tj − ti δki nj ,

⇐⇒ ni ti

a+ki ti anj tj = (5.93)

ani ti a+kj tj =

kj tj

c = iG0, kj ti − tj δni kj .

(5.94)

Innerhalb der Kontraktion erscheint vorn der Operator mit der weiter links angeordneten Zeit.

338


2) Nicht propagierende Linien Darunter versteht man eine ausgezogene Linie, die an ein und demselben Vertex ausund einläuft. Es gibt dazu mehrere Möglichkeiten: ti¢

a+ki (ti )aki (ti ) =

⇐⇒ ti

=

c − −iG0, ki (0 )δki ni

= nki

(0)

(5.95)

δki ni .

ki

Diese Zuordnung ist Konvention, der Pfeil an der Blase also eigentlich überflüssig. mi ti¢

ki

ti

li

ti¢

ni

ti

a+ki (ti )ami (ti ) =

⇐⇒

(0) c − = −iG0, δki mi . ki (0 )δki mi = nki

(5.96)

ani (ti )a+li (ti ) =

⇐⇒

(0) c − = iG0, δli ni . ni (0 )δni li = − nli

(5.97)

Wir vereinbaren, im Tε -Produkt die Kontraktionen immer so zu sortieren, dass bei Gleichzeitigkeit die Operatoren mit den „gestrichenen“ Zeiten rechts von denen mit den „ungestrichenen“ Zeiten platziert sind. Kombiniert man (5.96) mit (5.97), so erkennt man, dass man innerhalb einer Kontraktion die „gestrichenen“ mit den „ungestrichenen“ Zeiten vertauschen kann. Dies werden wir später noch ausnutzen. Der erste Term in der Störreihe für Uα t, t hat nur einen einzigen Vertex. Als ausgezogene Linien kommen deshalb nur nicht propagierende Linien in Frage. Die Vierfach- wird dadurch zur Zweifachsumme:

i η0 Uα(1) t, t η0 = − 2h¯

t dt1 e t

+∞ dt1 δ t − t1 ·

−α |t1 |

−∞

(5.98)

å k,l

v(kl; kl)

+

l k

.

v(kl; kl)

Mit den oben aufgelisteten Diagrammregeln ergibt sich hierfür unmittelbar das Ergebnis (5.92). Da an jedem Vertex zwei Linien ein- und zwei Linien auslaufen müssen, ist klar, dass in erster Ordnung keine weiteren Diagramme als die beiden in (5.98) möglich sind.

5.3

Feynman-Diagramme

339

Für den ersten Term der Störreihe ist die Diagrammdarstellung eine Spielerei, von Nutzen wird sie erst bei höheren Termen und beim partiellen Aufsummieren werden. Wie viele verschiedene Graphen sind bei n Vertizes möglich? Das kann man sich wie folgt klar machen: Bei n Vertizes gibt es 2n auslaufende Pfeile. Der erste auslaufende Pfeil hat dann 2n Möglichkeiten, als einlaufender Pfeil an einem Vertex zu enden, dem zweiten Pfeil bleiben dann noch (2n − 1) Möglichkeiten, dem dritten (2n − 2) usw.: n Vertizes ⇐⇒ (2n)! verschiedene Graphen zur Vakuumamplitude. Es werden jedoch nicht immer alle wirklich explizit zu zählen sein. Graphen, die lediglich durch Vertauschung der Indizes an einer Wechselwirkungslinie auseinander hervorgehen, sind natürlich identisch, da ja über alle Wellenzahlen später summiert wird. Auch sind solche Diagramme gleich, bei denen lediglich die Anordnung der Zeitindizes modifiziert wurde, da ja über alle Zeiten unabhängig integriert wird. In diesen Sachverhalt werden wir später eine gewisse Systematik einzubringen haben. Bevor wir allgemeine Diagrammregeln formulieren, wollen wir zur Übung noch den zweiten Summanden der Störreihe genauer untersuchen: (2) η0 Uα t, t η0 = 2 t 1 i = 2 − · · · dt1 dt1 dt2 dt2 e −α( |t1 | + |t2 | ) δ t1 − t1 · 2 2! h¯ t

· δ t2 − t2

(5.99)

v k1 l1 ; n1 m1 v k2 l2 ; n2 m2 ·

k1 l1 m1 n1 k2 l2 m2 n2

· η0 Tε {(2)} η0 .

Die totale Paarung des zeitgeordneten Produkts in η0 | Tε {(2)} | η0 enthält 24 Terme:

ak+1 t1 al+1 t 1¢ am1 t ¢ an1 t1 ak+2 t 2 a+2 l t 2¢ am2 t 2¢ an2 t 2 1) 2) 3) 4) 5)

340


ak+1 t1 al+1 t 1¢ am1 t ¢ an1 t1 ak+2 t 2 a+2 l t 2¢ am2 t 2¢ an2 t 2

6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

18) 19) 20)

5.3

Feynman-Diagramme

341

ak+1 t1 al+1 t 1¢ am1 t 1¢ an1 t1 ak+2 t 2 a+l 2 t 2¢ am2 t 2¢ an2 t 2 21) 22)

23)

24)

Bei der Auswertung der hier angedeuteten Kontraktionen hat man zu beachten, dass die zu kontrahierenden Operatoren nebeneinander stehen müssen. Die dazu notwendigen paarweisen Vertauschungen liefern jeweils einen Faktor (−1). Ferner hatten wir noch vereinbart, in einer Kontraktion die Operatoren so anzuordnen, dass links der Operator mit dem kleineren Zeitindex steht und bei Gleichzeitigkeit der Operator mit der ungestrichenen Zeit. – Das klingt alles sehr kompliziert, wird aber durch die später zu beweisende Schleifenregel stark vereinfacht werden. Wir übersetzen die obigen Beiträge der totalen Paarung in die Diagrammsprache: t1¢

t 2¢

1)

2)

t1¢

t 2¢

3)

5)

4)

6)

7)

342


8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

Alle 24 Diagramme müssen natürlich gezählt werden. Sehr viele dieser Diagramme liefern aber denselben Beitrag zur Störreihe. Eine erste wertvolle Vereinfachung liefert die so genannte Schleifenregel. 1.

Jede ausgezogene, propagierende Linie erhält den Faktor c iG0, kν tν − tμ δkν ,kμ (tν : Vernichterzeit; tμ : Erzeugerzeit).

5.3

2.

Feynman-Diagramme

343

Jede nicht propagierende Linie erhält den Faktor (0) c − iG0, δkν kμ . kν (0 )δkν kμ = − nkν

3.

(5.100)

Vorzeichen des Gesamtbeitrags (−1)S , S: Zahl der geschlossenen Fermionenschleifen, Schleife: geschlossener Zug von ausgezogenen Linien.

Beweis In den Termen n-ter Ordnung der Störreihe treten die Operatoren in Viererpäckchen der Form a+k (t)a+l t am t an (t)

auf. Wir können diese ohne Vorzeichenwechsel auf a+k (t)an (t)a+l t am t

umschreiben, da dazu im Tε -Produkt jeweils zwei Vertauschungen notwendig sind. – Gleichzeitige Operatoren gehen in eine Schleife immer in der Form a+k (t)an (t) ein, falls es sich nicht um eine Blase handelt, die wir gesondert behandeln wollen. Solche Operatorprodukte lassen sich wiederum ohne Vorzeichenwechsel beliebig durch das Tε -Produkt ziehen. Dann lässt sich eine Schleife aber immer wie folgt anordnen: a+ t1 a t1 a+ t2 a t2 · · · a+ (tn − 1 )a(tn − 1 )a+ tn a tn . Man halte dazu a+ t1 a t1 fest, ziehe a+ tn a tn ganz nach rechts, schließe a+ (tn − 1 )a(tn − 1 ) an usw. Sind nun die Zeitindizes in einer Kontraktion unterschiedlich, so entspricht dies einer propagierenden Linie. Die inneren Kontraktionen in dem obigen Ausdruck haben dann die Operatorenreihenfolge, die nach (5.94) zu einem Beitrag der Form 1. führt. Werden gleichzeitige Operatoren mit gestrichenen und ungestrichenen Zeiten kontrahiert, so entspricht dies einer nicht propagierenden Linie der Form (5.97), die einen Beitrag wie in 2. liefert. Dies gilt wiederum für die inneren Kontraktionen. Die einzige Ausnahme stellt die äußere Kontraktion dar, in der die zu kontrahierenden Operatoren in der falschen Reihenfolge angeordnet sind. Wertet man die gesamte Schleife also nach den Vorschriften 1. und 2. aus, so bekommt sie noch einen zusätzlichen Faktor (−1).

344


Besteht der Diagrammterm aus mehreren Schleifen, so kann man die Operatoren im Tε -Produkt gleich so umordnen, dass in der totalen Paarung die Schleifen direkt faktorisieren. Dies geht ohne Vorzeichenwechsel, da jede Schleife natürlich aus einer geraden Anzahl von Operatoren aufgebaut ist. Die Blase a+k (t)ak (t) stellt einen Spezialfall einer Schleife dar. Nach 2. liefert sie den Beitrag − nk (0) , nach 3. noch einmal einen Faktor (−1), insgesamt also + nk (0) . Dies stimmt aber in der Tat mit (5.95) überein. Damit ist die Schleifenregel bewiesen. „Vorläufige“ Diagrammregeln. Term n-ter Ordnung in der Störreihe für η0 | Uα (t, t ) | η0 : Man zeichne alle (!) Diagramme mit n Vertizes, deren Endpunkte paarweise mit ausgezogenen, gerichteten Linien verknüpft sind. Der Beitrag eines Diagramms berechnet sich dann wie folgt: 1. Vertex i ⇐⇒ v(ki li ; ni mi ). c 2. Propagierende Linie ⇐⇒ iG0, ki (ti − tj )δki ,kj . (0) δki ,kj . 3. Nicht propagierende Linie ⇐⇒ − nki 4. Faktor (−1)S ; S = Zahl der Fermionenschleifen. 5. Summation über alle Wellenzahlen und evtl. Spins . . . , ki , li , mi , ni , . . . . 6. δ-Funktionen δ(ti − ti ), Einschaltfaktor exp [−α( |t1 | + · · · + |tn | )] einfügen. 7. Über alle ti , ti von t bis t integrieren. n 8. Faktor n!1 − 2i¯h hinzufügen. Beispiel Diagramm 3)

t 1 i 2 − 3) = · · · dt1 dt1 dt2 dt2 δ t1 − t1 δ t2 − t2 · 2! 2h¯ t

· e −α( |t1 | + |t2 | )

v k1 . . . v k2 . . . (−1) ·

k1 , ... , n1 k2 , ... , n2

(0) (0) c

c t2 − t1 iG0, − nk1 − nn2 · · iG0, n1 t1 − t2 l1 · δl1 , m2 δn1 , k2 δk1 , m1 δn2 , l2 = t +1 i 2 − = dt1 dt2 e −α( |t1 | + |t2 | ) 2! 2h¯ t

v k1 l1 ; n1 k1 ·

k1 , l1 , n1 , n2

(0) (0) c c t2 − t1 G0, nn2 · v n1 n2 ; n2 l1 G0, . n1 t1 − t2 nk1 l1

5.3

Feynman-Diagramme

345

5.3.2 Linked-Cluster-Theorem Das bisher entwickelte Verfahren erscheint so noch zu kompliziert. Wir wollen es weiter vereinfachen durch Ausnutzen der Topologie. Was ist in den obigen Regeln eigentlich unter

„alle“ Diagramme mit n Vertizes gemeint? Unter diesen gibt es zunächst einmal eine ganze Reihe von Diagrammen, die alle denselben Beitrag zur Störreihe liefern: Diagramme gleicher Struktur sind solche, die durch Vertauschung der Vertizes und durch Vertauschung der Zeitpunkte an den Vertizes auseinander hervorgehen. Bei n Vertizes gibt es n! Vertauschungsmöglichkeiten derselben untereinander und 2n Vertauschungen von oben und unten an den einzelnen Vertizes. Zu einem gegebenen Diagrammtyp mit n Vertizes existieren also Diagramme gleicher Struktur, die zur Störreihe denselben Beitrag liefern, da unabhängig über alle Wellenzahlen summiert und alle Zeiten integriert wird. Die Indizes an den Wellenzahlen und an den Zeiten sollen ja nur die Variablen unterscheiden helfen. Beispiel

Wir finden alle Diagramme gleicher Struktur wie das skizzierte z. B. nach der folgenden Vorschrift: Lasse die Pfeile weg und konstruiere alle Diagramme durch Vertauschen von rechts und links sowie oben und unten:

Bei jedem dieser Diagramme gibt es nun noch zwei Möglichkeiten für den Umlaufsinn. Insgesamt haben wir also acht Diagramme (22 2!) gleicher Struktur. Unter den 2n n! Diagrammen gleicher Struktur sind nun aber auch solche, die schon topologisch gleich

346


sind. Das sind Diagramme mit gewissen Symmetrien, die dafür sorgen, dass das Vertauschen gewisser Vertizes oder das Vertauschen der Vertexpunkte identische Diagramme liefert. So ist das Diagramm 1.

invariant gegenüber einem Vertauschen von oben und unten. Das Diagramm 2.

bleibt unverändert, wenn man die beiden Vertizes miteinander vertauscht und gleichzeitig an beiden Vertizes oben und unten wechselt. Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein:

Θ:

Struktur eines Diagramms,

h(Θ) :

Zahl der topologisch gleichen Diagramme

An (Θ) :

Zahl der topologisch verschiedenen Diagramme

innerhalb einer Struktur Θ,

innerhalb einer Struktur

An (Θ) =

2n n! . h(Θ)

(5.101)

Topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur entsprechen unterschiedlichen Kombinationen von Kontraktionen in der totalen Paarung, die aber sämtlich zum Störterm denselben Beitrag liefern. Man nehme also aus allen paarweise verschiedenen Strukturen

Θ1 , Θ2 , . . . , Θν , . . . (n) jeweils einen Vertreter D(n) ν heraus und berechne dessen Beitrag U(Dν ) nach den Diagrammregeln des letzten Abschnitts. Dann lautet der Gesamtbeitrag der Struktur Θν : , , = an Θν U ∗ D(n) . (5.102) U Θν = An Θν U D(n) ν ν

5.3

Feynman-Diagramme

347

(n) Hier ist U ∗ (D(n) ν ) der Beitrag des Diagramms Dν ohne den in Regel 8. geforderten Faktor, d. h. n 1 i an Θν = − . (5.103) h¯ h Θν

Anschließend summiere man über alle Strukturen: (n) ∗ , (n) . η0 Uα t, t η0 = an Θν U Dν

(5.104)

ν

Wir definieren nun zusammenhängende Diagramme als solche, die durch keinen Schnitt in zwei selbstständige Diagramme niedrigerer Ordnung zerlegt werden können, ohne dass dabei eine Linie des Diagramms unterbrochen würde. – Die Diagramme 1), 2), 7) und 8) in Abschn. 5.3.1 sind offensichtlich nicht zusammenhängend. Sei nun D(n) ein Diagramm der Struktur Θ, das in zwei zusammenhängende 2) der Strukturen Θ1 und Θ2 zerfällt, selbst also nicht Diagramme D1(n1 ) und D(n 2 zusammenhängend ist. Dann gilt für Θ1 =/ Θ2 : (5.105) h(Θ) = h Θ1 h Θ2 , da zu jedem Diagramm aus Θ1 h(Θ2 ) topologisch gleiche Diagramme der Struktur Θ2 existieren. Der Gesamtbeitrag der Struktur Θ beträgt dann: i n1 + n2 , − U(Θ) = ¯h U ∗ D(n) . h Θ1 h Θ2 Nicht zusammenhängende Diagramme haben keine gemeinsamen Integrationsoder Summationsvariable in den Unterstrukturen. Deshalb faktorisiert der Gesamtbeitrag U ∗ (D(n) ): , , , (n2 ) ∗ 1) U ∗ D(n) = U ∗ D(n U D . (5.106) 1 2 Dies bedeutet aber auch: U(Θ) = U Θ1 U Θ2

Θ1 =/ Θ2 .

Bei gleichen Strukturen (Θ1 = Θ2 ) gilt statt (5.105): h(Θ) = h Θ1 h Θ2 2! = 2! h2 Θ1 ,

(5.107)

(5.108)

da das Vertauschen der gleichen Strukturen weitere topologisch gleiche Diagramme liefert: 1 (5.109) Θ1 = Θ2 . U(Θ) = U 2 Θ1 2!

348


Diese Überlegungen lassen sich leicht auf beliebige Strukturen Θ verallgemeinern. Sei

Θ = p1 Θ1 + · · · + pn Θn ; pν ∈ N ,

(5.110)

wobei Θν zusammenhängende Strukturen sind. Dann gilt für den Gesamtbeitrag dieser Struktur: 1 pn 1 p1 1 p2 (5.111) U(Θ) = U Θ1 U Θ2 · · · U Θn . p1 ! p2 ! pn ! Betrachten wir nun einmal die volle Störreihe des Zeitentwicklungsoperators Uα t, t :

η0 Uα t, t η0 = 1 +

Θ

U(Θ) =

= 1 + U Θ1 + U Θ2 + · · · + ! Beiträge aller zusammenhängenden Diagramme

1 2 U Θ1 + U Θ1 U Θ2 + U Θ1 U Θ3 + · · · + 2! 1 + U 2 Θ2 + U Θ2 U Θ3 + · · · + 2! .. . 1 + U 2 Θn + U Θn U Θn + 1 + · · · + ! 2! +

Beiträge aller nicht zusammenhängenden Diagramme, die in zwei zusammenhängende zerfallen

1 3 1 2 U Θ1 + U Θ1 U Θ2 + · · · + 3! 2! + U Θ1 U Θ2 U Θ3 + · · · +

+

+

1 3 1 2 U Θ2 + U Θ2 U Θ1 + · · · + 3! 2! !

Beiträge aller nicht zusammenhängenden Diagramme, die in drei zusammenhängende zerfallen

+ ··· = * zus. + =1+ U Θν + ν

1, 2 + U Θ1 + 2U Θ1 U Θ2 + · · · + 2!

5.3

Feynman-Diagramme

349

+ U 2 Θ2 + 2U Θ2 U Θ3 + · · · + +

1, 3 U Θ1 + 3U 2 Θ1 U Θ2 + 6U Θ1 U Θ2 U Θ3 + · · · + 3!

+ ··· = . zus. / /2 . zus. 1 U Θν + U Θν + ··· . =1+ 2! ν ν Damit haben wir das wichtige Linked-Cluster-Theorem

. zus / η0 Uα t, t η0 = exp U Θν

(5.112)

ν

abgeleitet mit der bemerkenswerten Konsequenz, dass wir nur die zusammenhängenden Diagramme aufzusummieren haben, die paarweise verschiedene Strukturen aufweisen. Wir können nun die Diagrammregeln des letzten Abschnitts auf den neuesten Stand bringen: Störungstheoretische Berechnung der Vakuumamplitude η0 Uα t, t η0 . Man suche alle zusammenhängenden Diagramme mit paarweise verschiedenen Strukturen auf und berechne den Beitrag eines Diagramms n-ter Ordnung wie folgt: 1. Vertex ⇐⇒ v(kl; nm). c 2. Propagierende Linie ⇐⇒ iG0, kν (tν − tμ )δkν ,kμ . (0) δkν ,kμ . 3. Nicht propagierende Linie ⇐⇒ − nkν 4. Summation über alle . . . , ki , li , mi , ni , . . . 5. Multiplikation mit exp −α( |t1 | + · · · + |tn | ) δ(t1 − t1 ) · · · δ(tn − tn ), dann Integration über alle ti , ti von t bis t. n S 6. Faktor − ¯hi (−1) h(Θ) . Man setze schließlich den resultierenden Beitrag U(Θ) in (5.112) ein. 5.3.3 Hauptsatz von den zusammenhängenden Diagrammen Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich auf die Diagrammentwicklung der Vakuumamplitude η0 Uα t, t η0 ,

350


die für t = +∞ und t = −∞ in die Streumatrix Sα (5.53) übergeht. Eigentlich interessiert sind wir jedoch an Ausdrücken der Form (5.58): H E0 Tε A (t)BH t E0 = ν

∞ 1 1 i − · · · dt1 · · · dtν · η0 Sα η0 ν = 0 ν! h¯ +∞

= lim α→0

(5.113)

−∞

· e −α( |t1 | + ··· + |tν | ) η0 Tε V t1 · · · V tν A(t)B t η0 ,

wobei die Operatoren rechts in der Dirac-Darstellung stehen und A(t), B t Produkte von Fermi-Konstruktionsoperatoren sein sollen. Die Störentwicklung des Zählers auf der rechten Seite erfolgt ganz analog zu der der bisher besprochenen Vakuumamplitude: 1. Wick’sches Theorem: totale Paarung der auftretenden Konstruktionsoperatoren. 2. Summationen über alle inneren ki , li , . . . Über die äußeren Indizes der in A und B auftretenden Operatoren wird nicht summiert. 3. Integrationen über alle inneren Zeitvariablen von −∞ bis +∞, aber nicht über t und t . ¯ wobei m ¯ + n¯ eine gerade Zahl sein A(t) enthalte n¯ Konstruktionsoperatoren, B t m, soll. Ein Diagramm n-ter Ordnung lässt sich symbolisch dann wie folgt darstellen: t1¢

t 2¢

tn¢

t1

t2

tn

n innere Vertices

t

n äußere Linien

t¢

m äußere Linien

Abb. 5.2. Allgemeine Struktur eines offenen Diagramms n-ter Ordnung

Man unterscheidet: „offene“ Diagramme

= Diagramme mit äußeren Linien,

„geschlossene“ Diagramme; Vakuum-FluktuationsDiagramme

= Diagramme ohne äußere Linien.

Es gilt offenbar: Jedes offene Diagramm besteht aus offenen, zusammenhängenden Diagrammen plus zusammenhängenden Vakuum-Fluktuations-Diagrammen.

5.3

Feynman-Diagramme

351

Zus offene Diagramme Beitrag: U(D0 ) Zus Zus

VakuumFluktuationsDiagramme

Zus

Abb. 5.3. Allgemeine

Struktur eines beliebigen Diagrammbeitrags zur Vakuumamplitude

t¢

t

Man erhält alle solche Diagramme, wenn man zu jeder Kombination D0 von offenen, zusammenhängenden Diagrammen alle denkbaren Vakuum-FluktuationsDiagramme hinzunimmt. Letztere ergeben nach (5.112) den Faktor / . zus. . exp U Θν ν

Alle Diagramme mit der gleichen Kombination D0 von offenen zusammenhängenden Diagrammen tragen deshalb zum Zähler in (5.113) mit . zus. / U D0 exp U Θν ν

bei. Daraus folgt: Gesamtbeitrag aller Diagramme der Störreihe: ⎛ ⎞ / . zus. ⎝ . U D0 ⎠ exp U Θν D0

(5.114)

ν

Summiert wird über alle Kombinationen offener zusammenhängender Diagramme. Dies ist der Hauptsatz von den zusammenhängenden Diagrammen, ohne den jede Diagrammentwicklung illusorisch wäre. Setzen wir ihn in (5.113) ein, so kürzt sich der Beitrag der Vakuum-Fluktuations-Diagramme gerade gegen η0 | Sα | η0 heraus. H (5.115) U D0 . E0 Tε A (t)BH t E0 = lim α→0

D0

Dabei ist also D0 eine Kombination von offenen, zusammenhängenden Diagrammen mit insgesamt n bei t und m bei t angehefteten äußeren Linien, wobei n und m die Zahlen der Fermionenoperatoren in A(t) und B t sind.

352


Ganz analog finden wir für den einfacheren Ausdruck (5.56): H E0 A (t) E0 = lim U D0 . α→0

(5.116)

D0

Dabei ist nun D0 eine Kombination von offenen, zusammenhängenden Diagrammen mit so vielen festen, bei t angehefteten Linien, wie Fermionenoperatoren in A(t) enthalten sind. Für beide Fälle (5.115) und (5.116) diskutieren wir in den nächsten Abschnitten Anwendungsbeispiele. 5.3.4 Aufgaben 5.3.1

Aufgabe 5.3.1 Werten Sie die Vakuumamplitude η0 | Uα t, t | erster Ordnung Störungstheorie für das 1. Hubbard-Modell, 2. Jellium-Modell

η0 in

aus.

5.3.2

Aufgabe 5.3.2 Zur zweiten Ordnung Störungstheorie für die Vakuumamplitude gehört das Diagramm: t1¢

t1

1. 2. 3.

5.3.3

t 2¢

t2

Berechnen Sie den Beitrag dieses Diagramms. Was ergibt sich für das Hubbard-Modell? Wie sieht dieser Beitrag für das Jellium-Modell aus?

Aufgabe 5.3.3 Untersuchen Sie, welche der in Abschn. 5.3.1 aufgelisteten Diagramme zweiter Ordnung zur Vakuumamplitude topologisch verschieden, aber von gleicher Struktur sind, d. h. unterschiedlichen Termen der totalen Paarung mit gleichem Beitrag zur Störreihe entsprechen. Wie viele der 24 Diagramme müssen demnach explizit ausgewertet werden?

5.4

Ein-Teilchen-Green-Funktion

353

5.4

5.4 Ein-Teilchen-Green-Funktion 5.4.1 Diagrammatische Störreihe Eine wichtige Anwendung der diagrammatischen Störungstheorie betrifft die kausale Ein-Teilchen-Green-Funktion:

iGckσ t − t = E0 Tε akσ (t)a+kσ t E0 .

(5.117)

Dies entspricht dem Fall (5.115), d. h., es ist über alle paarweise verschiedenen Strukturen von zusammenhängenden Diagrammen mit zwei festen äußeren Linien, den Operatoren akσ (t) und a+kσ t entsprechend, zu summieren. Wir schieben eine Bemerkung zur Wechselwirkung ein. Bei dieser soll es sich um eine Paarwechselwirkung handeln ((v( |r 1 − r 2 | )). Das ganze System besitze Translationssymmetrie. Dann sind die Impulse an einem Vertex nicht beliebig, es ist vielmehr Impulserhaltung am Vertex zu fordern: k−n=m−l =q.

(5.118)

Die Summe der einlaufenden ist gleich der Summe der auslaufenden Impulse. – An jedem Vertexpunkt gelte zudem Spinerhaltung:

σk = σn ; σl = σm .

(5.119)

Durch (5.118) und (5.119) reduziert sich die Zahl der Summationen noch einmal sehr stark. Dies werden wir an passender Stelle ausnutzen. Wir kommen nun zur Diagrammentwicklung der Green-Funktion. In nullter Ordnung ergibt sich lediglich eine von t nach t propagierende Linie: k, σ

t¢ .

t

Dies entspricht dem Beitrag: c

. iG0, kσ t − t Für die erste Ordnung

354


haben wir auszuwerten: +∞ +∞ 11 i − dt1 dt1 δ t1 − t1 e −α |t1 | 1! 2 h¯ −∞

−∞

v k1 l1 ; n1 m1 ·

k1 l1 m1 n1

σ1 σ1

η0 TÎ ak σ (t)a+k σ (t¢) ak+1σ1(t1) an1σ1(t1) al+1σ1¢ (t1¢)am1σ1¢ (t1¢) η0 1) 2)

Nur offene, zusammenhängende Diagramme brauchen berücksichtigt zu werden. t1¢

1)

t1¢

2)

l1 ,σ 1¢

δ σ ,σ 1 q = 0

q = k - l1

k,σ

t¢

l1 ,σ 1

δ σ ,σ 1 × δ σ ,σ 1¢

t

kσ

t1

kσ

t¢

t

k,σ

t1

Man kann am Vertex natürlich noch oben und unten vertauschen. Dies liefert topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur, die durch den Faktor 21 · 1! berücksichtigt werden. Zweite Ordnung Wir haben die folgenden offenen, zusammenhängenden Diagramme zu zählen:

5.4


355

Zu jedem dieser Diagramme gibt es wieder 22 · 2! = 8 topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur, die denselben Beitrag liefern. Topologisch gleiche Diagramme gibt es wegen der äußeren Anschlüsse nicht. Man wählt für die GreenFunktions-Diagramme bisweilen eine etwas modifizierte Darstellung, indem man die propagierenden Linien streckt, dafür die Vertizes nicht notwendig als senkrechte Linien einzeichnet. Obige Diagramme zeichnet man dann wie folgt:

„Gestreckte“ Diagramme Die Regeln für die Auswertung dieser nicht bezifferten Diagramme ergeben sich unmittelbar aus denen in Abschn. 5.3.2 für die Vakuumamplitude: Man zeichne je ein Mitglied aus jeder Struktur Θ zusammenhängender Diagramme mit zwei äußeren Anschlüssen. Jedes Diagramm n-ter Ordnung enthält n Vertizes und (2n + 1) ausgezogene Linien, darunter zwei äußere. Der Beitrag eines solchen Diagramms berechnet sich dann wie folgt: 1. Vertex ⇐⇒ v(kl; nm). c 2. Propagierende Linie ⇐⇒ iG0, kν (tν − tμ )δkν ,kμ . c − 3. Nicht propagierende Linie ⇐⇒ iG0, kν (0 )δkν ,kμ . 4. Impulserhaltung am Vertex; Spinerhaltung am Vertexpunkt. 5. Multiplikation mit e −α( |t1 | +... + |tn | ) δ(t1 − t1 ) · · · δ(tn − tn ). 6. Summation über alle inneren Wellenzahlen und Spins . . . , ki , li , mi , ni , . . . sowie Integration über alle inneren Zeiten ti , ti von −∞ bis +∞. n 7. Faktor − ¯hi (−1)S ; S = Schleifenzahl (h¯(Θ) ≡ 1). In 2. und 3. sind mit kν , kμ die Indizes (Wellenzahl, Spin) gemeint, die der Propagator iG0, c miteinander verbindet.

356


Die Auswertung der Diagramme nach diesen Regeln gestaltet sich etwas unbequem, da nach (5.78) die kausale Ein-Elektronen-Green-Funktion eine ungünstige Zeitabhängigkeit aufweist. Man geht besser zur Fourier-Transformierten über: c t G0, k

+∞ i c

. −t = dE G0, (E) exp − E t − t k 2πh¯ h¯

1

(5.120)

−∞

In den Diagrammen wird der Übergang wie folgt vollzogen: t1¢

t 2¢

i Gk0,c (t1 - t 2 ) t1

t2

exp − ¯hi Et1 , 0, c - exp ¯hi Et2 iGk (E) √ √ 2πh¯ 2πh¯ Der bei t2 auslaufenden Linie ordnen wir den zusätzlichen Faktor exp ¯hi Et2 √ 2πh¯ zu. Die bei t1 einmündende Linie bringt dagegen den Term exp − ¯hi Et1 √ 2πh¯ mit. Es empfiehlt sich deshalb, die aus einem Vertex ein- und auslaufenden Linien zusätzlich mit Energien zu indizieren. Dem gesamten Vertex ist dann außer dem Matrixelement v(kl; nm) noch der Faktor

i i 1 E E t + t exp − E − E − α |t| δ t − t

n m k l 2 (2πh¯) h¯ h¯

l, El

k, Ek

t¢

t

m, Em

n, En

Abb. 5.4. Bezifferung eines Vertex in einem Diagramm zur

energieabhängigen Ein-Elektronen-Green-Funktion

5.4


357

zugeordnet. Die anschließende Zeitintegration wird einfach:

+∞ +∞ i Ek −En t + El −Em t exp −α |t| δ t−t = dt dt exp h¯

−∞

−∞

0

+∞ i i dt exp Et − αt + dt exp Et + αt = = h¯ h¯ −∞

0

1 2α −1 + = 2 , 1 2 − α ¯hi E + α ¯ hE + α E = Ek − En + El − Em . =

i ¯ hE

Der anschließende Grenzübergang α → 0 (adiabatisches Einschalten) macht aus diesem Ausdruck dann eine δ-Funktion:

+∞

1 i

Ek − En t + El − Em t · lim dtdt exp α → 0 (2πh ¯)2 h¯ −∞

· exp −α |t| δ t − t = =

1

(5.121)

δ Ek + El − Em + En

2πh¯ Dies bedeutet aber nichts anderes als

.

Energieerhaltung am Vertex. Eine gewisse Sonderstellung nehmen die äußeren Linien ein: t1¢

i Gk0,c (t - t1) t

t1

exp − ¯hi Et , 0, c - exp − ¯hi Et1 iGk (E) √ √ 2πh¯ 2πh¯ √ Der Faktor exp [(i | h¯)Et1 ] | 2πh¯ wird, wie oben beschrieben, in den Vertex bei t1 hineingezogen und trägt nach Integration über t1 zu der (5.121) entsprechenden δ-Funktion bei. Es bleibt dann noch der Term exp − ¯hi Et , 0, c iGk (E) , √ 2πh¯ der am Schluss über alle E integriert wird, um Gck t − t zu erhalten.

358


Analoges gilt für die von t rechts in das Diagramm einlaufende Linie: c E iG0, k

exp ¯hi E t

. √ 2πh¯

Wenn die inneren Summationen und Integrationen insgesamt den Zahlenwert I liefern, so gilt für das Gesamtdiagramm: Gk t − t = i

i 2πh¯

, -, c c

dE dE iG0, iG0, k (E) k (E ) ·

! i

E t − Et = · exp h¯ !

Gk = i =

t + t0 − t + t0 =

i 2πh¯

, -, c c dEdE iG0, E · iG0, k (E) k

i

i

E t − Et exp E − E t0 . · exp h¯ h¯ Da nach (3.129) die Green-Funktion nur von der Zeitdifferenz abhängt, folgt: Gk t − t = i

i 2πh¯

, -2 i 0, c dE iGk (E) exp . E t −t h¯

Dies bedeutet für die Fourier-Transformierte: , -2 c Gk (E) = I iG0, i . k (E)

(5.122)

Die beiden äußeren Anschlüsse eines Diagramms zur Ein-Teilchen-Green-Funktion Gck (E) tragen also nicht nur gleiche Wellenzahl und Spin k = (k, σ ), sondern auch dieselbe Energie E. Wenn wir uns nun noch in Erinnerung rufen, wie die freie, energieabhängige, kausale T = 0 -Green-Funktion nach (3.206) aussieht, c G0, kσ (E) =

+ für

h¯ E − ε(k) − εF ± i0+

|k| > kF ,

− für

(5.123)

|k| < kF ,

dann haben wir alles zusammen, um die Diagrammregeln für iGckσ (E) zu formulieren: Diagrammregeln für iGckσ (E):

5.4


359

Je ein Mitglied aus jeder Struktur Θ zusammenhängender Diagramme mit zwei äußeren Anschlüssen ist aufzusuchen. Ein Diagramm n-ter Ordnung (n Vertizes, (2n + 1) ausgezogene Linien) liefert dann den folgenden Beitrag: 1. Vertex ⇐⇒ 2π1 ¯h v(kl, nm)δ [(Ek + El ) − (Em + En )]. c 2. Propagierende und nicht propagierende Linie ⇐⇒ iG0, kν (Ekν )δkν kμ . n 3. Faktor: (−1)S − ¯hi . 4. Summation über alle inneren Indizes ki , li , . . . ; Integration über alle inneren Energien Eki , Eli , . . . c 5. Äußere Anschlüsse: iG0, k (E). 5.4.2 Dyson-Gleichung Wie wir bereits früher angemerkt haben, ist das Aufsummieren endlich vieler Terme einer Störreihe nicht immer sinnvoll, z. B. dann, wenn die Störung nicht wirklich klein ist oder wenn Divergenzen in den einzelnen Störtermen auftreten. Es ist dann häufig besser, eine Approximation durch Aufsummieren einer unendlichen Teilreihe zu entwickeln. Eine solche Möglichkeit ergibt sich über die so genannte DysonGleichung, die wir bereits in (3.327) kennen gelernt haben. Sie soll nun mit unserer Diagrammtechnik rekonstruiert werden. Definition 5.4.1 Selbstenergieanteil = Teil eines Diagramms, das durch zwei propagierende Linien mit dem Rest des Diagramms verknüpft ist.

5.4.1

Beispiele 1)

Diagramm

Selbstenergieanteil

oder

2)

Diagramm

Selbstenergieanteil

Ein Selbstenergieanteil ist also ein Diagrammteil mit zwei äußeren Anschlüssen für je eine ein- und eine auslaufende propagierende Linie.

Definition 5.4.2 Eigentlicher (irreduzibler) Selbstenergieanteil = Selbstenergieanteil, der nicht durch Auftrennen einer propagierenden Linie in zwei unabhängige Selbstenergieanteile zerlegt werden kann.

5.4.2

360


Beispiele

„ eigentlich“ ; ...

;

„ nicht eigentlich“

Bis zur zweiten Ordnung besitzt die kausale Green-Funktion die folgenden irreduziblen Selbstenergieanteile: 1. Ordnung ;

2. Ordung

Mit Ausnahme des Diagramms nullter Ordnung kann man jedes zu iGckσ (E) beitragende Diagramm wie folgt zerlegen: c iG0, (I): k (E), (II): eigentlicher Selbstenergieanteil, (III): irgendein Green-Funktions-Diagramm.

k, E

k, E

k, E

(I) (II)

(III)

Wegen Energie- und Impulserhaltung an jedem Vertex trägt der mittlere Propagator dieselben festen Indizes k, E wie die ein- und auslaufenden propagierenden Linien. Man bekommt offensichtlich alle Diagramme, wenn man in (II) über alle eigentlichen Selbstenergieanteile und in (III) über alle Green-Funktions-Diagramme summiert.

5.4


361

Definition 5.4.3 Selbstenergie Σkσ (E) = i¯ h · Summe aller eigentlichen Selbstenergieanteile. Mit den Bezeichnungen : iGckσ (E) c : iG0, kσ (E)

i : − Σkσ (E) h¯ finden wir die Diagrammdarstellung der Dyson-Gleichung =

+

Die Selbstenergiediagramme sind in der Regel von einfacherer Gestalt als die GreenFunktions-Diagramme. Sobald die Selbstenergie (approximativ oder exakt) berechnet ist, ist auch die Green-Funktion bestimmt: i 0, c 0, c c iGkσ (E) = iGkσ (E) + iGkσ (E) − Σkσ (E) iGckσ (E) , h¯ (5.124) 1 0, c 0, c Gckσ (E) = Gkσ (E) + Gkσ (E) Σkσ (E)Gckσ (E) . h¯ Diese Gleichung lässt sich formal lösen: Gckσ (E) = =

c G0, kσ (E)

c 1 1 − G0, kσ (E) ¯ h Σkσ (E)

=

h¯ . E − ε(k) + εF − Σkσ (E)

(5.125)

(5.126)

Im letzten Schritt haben wir (5.123) ausgenutzt, wobei wir das imaginäre Infinitesimal ±i0+ mit in Σkσ (E) hineingezogen haben, da es sich dabei in der Regel um eine komplexe Funktion handelt. Bei reellem Σkσ (E) ist ±i0+ im Sinne von (5.123) wieder einzuführen. – Die physikalische Bedeutung der Selbstenergie ist ausgiebig in Abschn. 3.4 diskutiert worden, braucht hier also nicht wiederholt zu werden. Man beachte, dass selbst die denkbar einfachste Näherung für Σkσ (E) nach (5.124) das Aufsummieren einer unendlichen Teilreihe bedeutet: Setzen wir wie beim Jellium-Modell (Abschn. 2.1.2) v(q = 0) = 0

(5.127)

5.4.3

362


voraus, so tragen alle Diagramme mit Blasen nichts bei, da sie einem Impulsübertrag q = 0 entsprechen. Es bleibt dann als einfachste Näherung: q, E ¢

i 0 = − Σk(1) (E) . h¯ σ

k + q,σ E + E¢

Die Auswertung ergibt sich unmittelbar aus den Diagrammregeln in Abschn. 5.4.1: q=/ 0

i i 1 − Σk(1) (E) = − v(q) σ h¯ h¯ 2πh¯ q

c

dE iG0, k+qσ E + E =

q =/ 0 −i c − v(q)i2πh¯G0, = k + qσ (0 ) . 2πh¯2 q

Dabei haben wir hier speziell wie im Jellium-Modell v(kl; nm) = v(k − n) = v(m − l) = v(q) vorausgesetzt. Es bleibt damit Σk(1)σ (E) = − v(q) nk+q,σ (0) . (5.128) q


Aufgabe 5.4.1 Berechnen Sie für das Hubbard-Modell den Beitrag erster Ordnung zur Selbstenergie der Ein-Elektronen-Green-Funktion. Welcher Approximation der Bewegungsgleichungsmethode (Kap. 4) entspricht diese Selbstenergie?

5.4.2

Aufgabe 5.4.2 Diskutieren Sie die Selbstenergiediagramme zweiter Ordnung für das Hubbard-Modell, die einen von Null verschiedenen Beitrag zur EinElektronen-Green-Funktion liefern können.

5.4.3

Aufgabe 5.4.3 Berechnen Sie für das Hubbard-Modell die Green’sche EinElektronenfunktion in erster Ordnung Störungstheorie und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Green’schen Funktion, die sich ergibt, wenn man die Selbstenergie in erster Ordnung berechnet (Aufg. 5.4.1).

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

363

Aufgabe 5.4.4 Selbst die Näherung niedrigster Ordnung für die Selbstenergie bedeutet für die Ein-Elektronen-Green-Funktion das Aufsummieren einer unendlichen Teilreihe von Diagrammen. Geben Sie alle bis zur zweiten Ordnung auftretenden Diagramme an.

5.4.4

Aufgabe 5.4.5 Welche Näherung ergibt sich, wenn man in der Selbstenergie erster Ordnung die freien durch die vollen Green-Funktions-Propagatoren ersetzt:

5.4.5

+

0 Σ (1) (E) = kσ

Geben Sie Beispiele von Diagrammen an, die durch diese so genannte Renormierung der Teilchenpropagatoren neu gegenüber der Näherung in Aufg. 5.4.4 hinzukommen.

5.5

5.5 Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell) 5.5.1 Störungstheorie erster Ordnung Nach der Ein-Elektronen-Green-Funktion diskutieren wir nun eine weitere Anwendung der in Abschn. 5.3 entwickelten Diagrammtechnik. Es soll um die Grundzustandsenergie des wechselwirkenden Elektronengases gehen, zu dessen Beschreibung wir das Jellium-Modell (Abschn. 2.1.2) benutzen. Dieses ist durch den Wechselwirkungsoperator

V(t) =

1 v(kl; nm)a+k (t)a+l (t)am (t)an (t) , 2 klmn

k ≡ k, σk

(5.129)

charakterisiert, wobei für das Matrixelement v(kl; nm) = v(k − n)δk + l, m + n δσk σn δσm σl

(5.130)

gilt: v(q) =

e2 ; ε0 Vq2

v(0) = 0 .

(5.131)

Das q = 0-Matrixelement wird durch den homogen verschmierten, positiv geladenen Ionen-Hintergrund kompensiert.

364


Für die Grundzustandsenergie bzw. die Niveauverschiebung gilt nach (5.5) oder (5.43): η0 Hα ψDα (0) , (5.132) E0 = lim α→0 η0 ψDα (0) η0 V(t = 0)Uα (0, −∞) η0 ΔE0 = E0 − η0 = lim . (5.133) α→0 η0 Uα (0, −∞) η0 Alle Operatoren sind natürlich hier wieder in ihrer Dirac-Darstellung gemeint. Den Nenner kennen wir bereits aus Abschn. 5.3. Es ist die Vakuumamplitude für t = −∞ und t = 0. Es bleibt auszuwerten: n ∞ 1 1 i − ΔE0 = lim · α → 0 η0 Uα (0, −∞) η0 n! h¯ n=0

0

···

·

dt1 · · · dtn e −α( |t1 | + ··· + |tn | ) ·

(5.134)

−∞

· η0 V(t = 0)Tε V t1 · · · V tn η0 .

Wir können den Operator V(t = 0) wie angedeutet in das Tε -Produkt ziehen, da die Zeiten t1 , . . . , tn sämtlich ≤ 0 sind. Die Diagrammentwicklung dieses Ausdrucks entspricht der Situation (5.116): (5.135) ΔE0 = lim U 0 D0 . α→0

0 D0

Summiert wird über alle Kombinationen 0 D0 von offenen, zusammenhängenden Diagrammen mit vier festen, bei t = t = 0 angehefteten Linien. Nach dem Wick’schen Theorem haben wir aus typischen Termen der Störreihe wie & Tε a+k (t = 0)a+l t = 0 am t = 0 an (t = 0)a+k1 t1 a+l1 t1 · ' · am1 t an1 t1 · · · a+kn tn a+ln tn amn tn ann tn die totale Paarung zu konstruieren. Die Feynman-Diagramme haben formal dieselbe Gestalt wie die der Vakuumamplitude in Abschn. 5.3.1 mit der Ausnahme, dass der linke Vertex bei t = t = 0 fest ist. Über die Zeiten, Impulse, Spins der inneren Vertizes wird integriert bzw. summiert. Wir können uns an dieser Stelle bereits überlegen, wie viele topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur es zu einer gegebenen Ordnung geben kann. Wegen der Integrationen und Summationen kann man die inneren Vertizes untereinander vertauschen und an denselben oben und unten wechseln. Der linke Vertex ist fest. Es lässt sich aber auch dort oben und unten vertauschen: 2n + 1 n! (5.136) A Θn = . h Θn h(Θn ) ist die Zahl der topologisch gleichen Diagramme.

5.5


t ¢= 0

t1¢

t 2¢

tn¢

t =0

t1

t2

tn

fester Vertex

365

Abb. 5.5. Äußere und innere Vertizes bei der

Berechnung der Grundzustandsenergie des Jellium-Modells

innere Vertices

Die Diagramme der ersten Ordnung Störungstheorie (n = 0) enthalten keine inneren Vertizes: l

t ¢= 0

t¢= 0 l

k

n=0

t =0 t =0

k

Eine Blase wie im linken Diagramm liefert wegen v(k − n) = v(0) = 0 im Jellium-Modell keinen Beitrag. Es bleibt also nur das zweite Diagramm. Vertauschen von oben und unten liefert ein topologisch gleiches Diagramm. Es ist damit h(Θ0 ) = 2; A(Θ0 ) = 1. Die Regeln des Abschn. 5.3 ergeben dann:

ΔE0(1) = −

1 v(kl; nm) nk (0) nl (0) δkm δln = 2 klmn

=−

(0) (0) 1 nlσl v(k − l)δ2σk σl nkσk . 2 kl

σk , σl

Mit l = k + q und σk = σl = σ bleibt also zu berechnen:

ΔE0(1)

q =/ 0

=−

v(q)Θ kF − k Θ kF − |k + q| .

(5.137)

k, q

Einen solchen Ausdruck haben wir bereits in Abschn. 2.1.2 ausgewertet. Nach (2.96) gilt:

ΔE0(1) = −

0,916 N[ryd] . rs

(5.138)

366


Mit (2.87) für η0 ergibt sich in erster Ordnung Störungstheorie für die Grundzustandsenergie die so genannte Hartree-Fock-Energie: 2,21 0,916 [ryd] . (5.139) E0(1) = η0 + ΔE0(1) = N − rs2 rs Der erste Term stellt die kinetische Energie, der zweite die Austauschenergie dar. 5.5.2 Störungstheorie zweiter Ordnung Wie sehen nun die Diagramme der zweiten Ordnung Störungstheorie aus? Nach (5.134) ist der folgende Ausdruck auszuwerten:

ΔE0(2)

1 = lim α → 0 η0 Uα (0, −∞) η0

+∞ · −∞

+∞

0 i

dt δ t dt1 · − h¯ −∞

1 dt1 δ t1 − t1 e −α |t1 | 4

−∞

v(kl; nm)v k1 l1 ; n1 m1 ·

klmn k1 l1 m1 n1

& ' · η0 Tε a+k (0)a+l t am t an (0)a+k1 t1 a+l1 t1 am1 t1 an1 t1 η0 .

(5.140) Nur zusammenhängende, offene Diagramme brauchen betrachtet zu werden. Zu jeder Diagrammstruktur gibt es nach (5.136) 4 A Θ1 = (5.141) h Θ1 topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur. Folgende Strukturen treten auf: 2)

1)

h(θ1) = 2

4)

3)

h(θ1) = 2

5)

h(θ1) = 1

h(θ1) = 1

6)

h(θ1) = 1

h(θ1) = 1

Wegen des festen Vertex links sind die Diagramme 5) und 6) anders als im Fall der Vakuumamplitude nicht von gleicher Struktur. Wegen (5.131) liefern alle Diagramme mit Blasen keinen Beitrag. Die Strukturen 4), 5) und 6) brauchen deshalb nicht ausgewertet zu werden. Man kann sich leicht klar machen, dass dies auch für Diagramme vom Typ 3) gilt:

5.5


367

Wir führen dazu die genaue Bezifferung des Diagramms durch: l ,σl

t¢

m,σm t1¢

v(k - n)δk +l ,m+n δσk σn δσn σl n,σn

t

k, σ k

t1

t¢

k, σ

t1¢

n,σ

(k - n) t

t1

k, σ

c

Wegen t > t1 ist der Propagator oben, iG0, kσ (t − t1 ), nach (5.78) nur für k > kF von 0, c Null verschieden, der unten, iGkσ (t1 −t), wegen t1 < t aber nur für k < kF . Beides geht nicht gleichzeitig. Der Diagrammbeitrag verschwindet also. Da die ti , ti stets kleiner sind als die festen Zeiten t, t (nach Ausführen der trivialen Integrationen), gilt dies auch für alle höheren Ordnungen. Diagramme der Art

t¢

t

können für das Jellium-Modell keinen Beitrag liefern. Wir konzentrieren unsere Betrachtungen auf die Strukturen 1) und 2). Der Beitrag von 1) berechnet sich wie folgt: 41 i − (−1)2 v(kl; nm) · U(1) Θ1 = lim α→0 2 4 h¯ ·

klmn

+∞

0

−∞

−∞

v k1 l1 ; n1 m1

k1 l1 m1 n1

dt δ t

dt1 e −α |t1 | ·

+∞ - , c c t1 − 0 δkn1 iG0, 0 − t1 δnk1 · · dt1 δ t1 − t1 iG0, n k −∞

, - c

c

· iG0, t − t δ iG0, lm 1 m t − t1 δml1 = 1 l i v(kl; nm)v(nm; kl) · = lim − α→0 2h¯ klmn

0 · −∞

, , 0, c - 0, c c 0, c t1 dt1 e −α |t1 | iG0, iGn −t1 iGl t1 iGm −t1 . k

368


In diesen Ausdruck setzen wir nun die freien, kausalen Green-Funktionen nach (5.78) ein: |l| , |k| kF

=−

k, l kF

ε(k) + ε(p) − ε(k + q) − ε(p − q)

.

(5.143)

Wir wollen nun durch explizite Auswertung die oben aufgestellte Behauptung bewei sen, dass der Beitrag U(1) Θ1 divergiert:

ε(k) + ε(p) − ε(k + q) − ε(p − q) =

h¯2 q · (p − k − q) . m

Wir normieren die Wellenzahlen q¯ = −

q ; kF

k k¯ = − ; kF

p¯ =

p kF

und ersetzen wie üblich die Summen durch Integrale:

V d3 k . ⇒ (2π)3 k

Es bleibt dann auszurechnen: −2V 3 3 e4 U(1) Θ1 = k (2π)9 F ε20 V 2

d3 q¯ q¯ 4

d3 k¯ d3 p¯

m | h¯2 . q¯ · (p¯ + k¯ + q¯ )

Wir benutzen noch die Energieeinheit „ryd“ (2.35): 1 ryd =

me4 2h¯2 (4πε0 )2

3N U(1) Θ1 = − 5 8π ,

(5.144)

,

p¯ , k¯ < 1 |k¯ + q¯ | , |p¯ + q¯ | > 1

-

d3 q¯ d3 k¯ d3 p¯

1 1 . 4 q¯ q¯ · (p¯ + k¯ + q¯ )

(5.145)

Dabei haben wir noch kF3 = 3π2 N |V ausgenutzt. Wir kürzen ab xp = und betrachten das Integral

p¯ · q¯ ; p¯ q¯

I(¯q) =

d3 p¯ d3 k¯

xk =

k¯ · q¯ ¯q k¯

1 . ¯ k + q¯ 2 q¯ p¯ xp + q¯ kx

Der Integrationsbereich ist durch k¯ < 1 < |k¯ + q¯ | ;

p¯ < 1 < |p¯ + q¯ |

(5.146)

370


festgelegt. Wir schätzen diese Ausdrücke für kleine q¯ ab. 1 2 1 | 2 ¯qxk = k¯ 1 + 2xk q¯ + q¯ = |k¯ + q¯ | = k¯2 + q¯ 2 + 2k¯ k¯ k¯2 = k¯ + q¯ xk + O(¯q2 ) , |p¯ + q¯ | = p¯ + q¯ xp + O(¯q2 ) . Dies bedeutet für den Integrationsbereich: 1 − q¯ xk < k¯ < 1 ;

1 − q¯ xp < p¯ < 1 .

Wir legen die Polarachse parallel zu q¯ und haben dann auszuwerten: I(¯q) ≈ 4π

+1 2

+1 dxk

−1

1

1 dk¯

dxp −1

1 − q¯ xk

dp¯

1 − q¯ xp

k¯2 p¯ 2 . ¯ k + q¯ 2 q¯ p¯ xp + q¯ kx

¯ p¯ = 1 + O(¯q) annehmen: Für q¯ → 0 können wir im Nenner des Integranden k, I(¯q) ≈ 4π2

+1

+1 dxk

−1

4π2 = 9

+1

−1

1

1 dk¯

dxp −1

1 − q¯ xk

dp¯

1 − q¯ xp

k¯2 p¯ 2 = q¯ xp + xk

3 3 1 − 1 − q¯ xk 1 − 1 − q¯xp dxk dxp ≈ q¯ xp + xk

(5.147)

≈ αq¯ + O q¯ 2 . Dabei ist

α = 4π

+1

2

dxk dxp −1

xk xp xk + xp

ein einfacher Zahlenwert. Setzen wir dieses Ergebnis in (5.145) ein,

U(1) Θ1

3N ≈ − 4α 2π

?

d¯q , q¯

(5.148)

0

so erkennen wir, dass das Integral an der unteren Grenze divergiert. Für die obere Grenze gilt unsere Abschätzung nicht, jedoch treten wegen des 1|q¯ 4 -Terms dort keine Besonderheiten auf. Für die Struktur 2) gilt nach (5.143): U(2) Θ1 =

1 V 3 e4 m d3 q d3 k d3 p 2 =− = 2 9 2 2 2 (2π) ε0 V h¯ , q |k+q−p| q · (p−k−q) k, p < kF |k + q| , |p − q| > kF

5.5


=−

VkF3 16π7,

¯ p¯ < 1 k, |k¯ + q¯ | , |p¯ − q¯ | > 1

371

1 d3 q¯ d3 k¯ d3 p¯ 2 [ryd] . ¯ − q¯ | 2 q¯ · (p¯ −k−¯ ¯ q) ¯ q ¯ | p − k -

Wir substituieren noch q¯ durch −¯q und k¯ durch −k¯ und erhalten dann einen Ausdruck, der analytisch integriert werden kann (L. Onsager et al., Annalen der Physik 18, 71 (1966)):

3

3N d q¯ 1 3¯ d k d3 p¯ [ryd] = U(2) Θ1 = ¯ + k¯ + q¯ | 2 q¯ · (p¯ + k¯ + q¯ ) 16π5 , q¯ 2 | p ¯ p¯ < 1 k, (5.149) |k¯ + q¯ | , |p¯ + q¯ | > 1

= 0,0484 · N[ryd] . Die Ursache für die Divergenz der Struktur 1) liegt in dem Faktor v2 (q). Dies gilt auch für alle höheren Ordnungen, die jeweils ein Diagramm vom Typ 1) enthalten, welches einen Faktor vn + 1 (q) beisteuert, der die Divergenz erzeugt. Solche Diagramme nennt man Ringdiagramme, die durchgehende Folgen von Bauteilen (Abb. 5.6) darstellen. Diese liefern an jeder Wechselwirkungslinie denselben Impulsübertrag q. Wir machen für das Jellium-Modell damit die seltsame Beobachtung, dass die Störungstheorie in erster Ordnung gute Resultate liefert (5.138), wohingegen jeder weiterer Term der Störreihe divergiert. Summiert man jedoch die unendliche Reihe auf, so kompensieren sich die Beiträge der Ringdiagramme zu einem endlichen Wert. −

;

− Abb. 5.6. Bauteile eines Ringdiagramms

5.5.3 Korrelationsenergie Die so genannte Hartree-Fock-Lösung (5.139) für die Grundzustandsenergie des wechselwirkenden Elektronengases, die wir hier mit einer Störungstheorie erster Ordnung abgeleitet haben, ergab sich letztlich als Erwartungswert der Coulomb Wechselwirkung im ungestörten Grundzustand η0 . Dieser berücksichtigt das PauliPrinzip, das dafür sorgt, dass sich Elektronen parallelen Spins nicht zu nahe kommen. Dies führt zu einer Reduktion der Grundzustandsenergie, da dadurch gleichnamig geladene Teilchen auf Abstand gehalten werden. – Wegen der abstoßenden Elektron-Elektron-Wechselwirkung sollte es aber auch unwahrscheinlich sein, dass sich Elektronen antiparallelen Spins zu sehr nähern. Dieser Tatsache, dass auch Teilchen entgegengesetzten Spins miteinander korreliert sind, wird in der HartreeFock-Näherung nicht Rechnung getragen. Man bezeichnet deshalb die Abweichung der exakten Grundzustandsenergie von dem Hartree-Fock-Resultat als

Korrelationsenergie,

372


die wir in diesem Abschnitt nach einem Verfahren von M. Gell-Mann und K. A. Brueckner (Phys. Rev. 106, 364 (1957)) für den Grenzfall hoher Elektronendichten genauer abschätzen wollen. Nach dem Rayleigh-Ritz’schen Variationsprinzip stellt das störungstheoretische Resultat (5.139) bereits eine obere Schranke für die Grundzustandsenergie dar. Die Berücksichtigung der Korrelationen sollte deshalb zu einer weiteren Absenkung führen. Als Maß für die Elektronendichte benutzen wir den dimensionslosen Dichteparameter rs , der durch (2.83) definiert wird: 3 V 4π aB rs ; = N 3

aB =

4πε0 h¯2 . me2

aB ist der Bohr’sche Radius. Hohe Elektronendichten bedeuten kleine Werte für rs . Bei der Abschätzung höherer Störungskorrekturen kann es sich als sinnvoll erweisen, den Übergang von (3.14) nach (3.18) für den Zeitentwicklungsoperator wieder rückgängig zu machen. Wir können dann anstelle von (5.134) auch die folgende Formel für die Grundzustandsenergie verwenden: ∞ 1 i n − ΔE0 = lim · α → 0 η0 Uα (0, −∞) η0 h¯ n=0

0 ·

t1 dt1

−∞

t n − 1

dtn e −α( |t1 | + ··· + |tn | ) ·

dt2 · · ·

−∞

(5.150)

−∞

· η0 V(t = 0)V t1 V t2 · · · V tn η0 .

Die Operatoren sind in diesem Fall bereits zeitgeordnet. Tε wirkt deshalb wie die Identität und kann weggelassen werden. Man beachte, dass in (5.150) gegenüber (5.134) der Faktor 1|n! fehlt. Bei der Abzählung der topologisch verschiedenen Diagramme gleicher Struktur haben wir aufzupassen, da die Vertizes wegen der festen Zeitordnung nicht mehr beliebig vertauscht werden dürfen. Das macht gerade den Faktor 1|n! aus. Statt (5.136) gilt nun: A∗ (Θn ) =

2n + 1 = 2n + 1 . h Θn

(5.151)

Wegen der festen Anordnung der Vertizes gibt es nun keine zusammenhängenden, topologisch gleichen Diagramme mehr. Betrachten wir zunächst einmal aus der dritten Ordnung Störungstheorie (n = 2) das entsprechende Ringdiagramm, das wir mit (5.150) auswerten wollen. URing Θ2 = = lim 8 α→0

2 1 i − (−1)3 v(kl, nm)v k1 l1 , n1 m1 v k2 l2 , n2 m2 · 8 h¯ klmn k1 ... k2 ...

5.5


0 ·

t1 dt1

−∞

373

- , c c t −t2 δnk2 · dt2 e −α( |t1 | + |t2 | ) · iG0, δ iG0, 2 kn n 2 k

−∞

, - - , 0, c c c c · iG0, t1 δl, m1 iG0, iGk1 t2 −t1 δk1 m2 iG0, m −t1 δm, l1 n1 t1 −t2 δn1 l2 . l Wir setzen gemäß (5.130) die expliziten Coulomb-Matrixelemente ein und führen die Spinsummationen aus, die triviale Zahlenwerte liefern, da die freien GreenFunktionen spinunabhängig sind: 2 i lim v(k − n)v(n − k) · = −8 − h¯ α→0 klmn k1

0 t1 , c 0, c t2 iGn −t2 · · v(n − k) dt1 dt2 e −α( |t1 | + |t2 | ) δk + l, m + n iG0, k −∞

−∞

, , 0, c - , 0, c c 0, c · iG0, t −t t t . i G i G − t i G − t 1 1 2 1 2 m l k1 k1 + k − n 1 Wir schreiben k → k1 ;

l → k2 ;

m → k2 + q ;

n → k1 − q ;

k1 → k3

und erhalten dann nach Einsetzen von (5.78):

URing Θ2

2

0

t1 q =/ 0 i 3 =8 − lim v (q) dt1 dt2 e α(t1 + t2 ) · h¯ α → 0 k 1 , k2 , k3 q

−∞

−∞

· Θ kF − k1 Θ |k1 − q| − kF · · Θ kF − k2 Θ |k2 + q| − kF · · Θ kF − k3 Θ |k3 + q| − kF · i, - · exp − ε k2 −ε k2 +q −ε k3 +ε k3 +q t1 · h¯ i, - · exp − ε k1 −ε k1 −q +ε k3 −ε k3 +q t2 = h¯ q =/ 0

=8

k 1 , k2 , k3 , q k1 < kF < |k1 − q| k2 < kF < |k2 + q| k3 < kF < |k3 + q|

v3 (q) · ε k1 − ε k1 −q + ε k3 − ε k3 +q

1 . · ε k2 − ε k2 +q + ε k1 − ε k1 −q

374


m l q k

q

k1 n1

q

n

Abb. 5.7. Ringdiagramm dritter Ordnung

Wir substituieren q→−

q ; kF

k2 → −

k2 ; kF

k3 → −

k3 kF

und verwenden wiederum die Energieeinheit „ryd“ (5.144). Mit kF aB =

α rs

;

α=

9π 4

1|3 (s. (2.86))

folgt dann als Zwischenergebnis: 3N URing Θ2 = rs 4π7 α

d3 q¯ q¯ 6

d3 k¯1 d3 k¯2 d3 k¯3 · k¯i < 1 < |k¯ i + q¯ | i = 1, 2, 3

(5.152)

1 [ryd] · ¯ ¯ q¯ · (k1 + k3 + q¯ ) q¯ · (k¯ 1 + k¯ 2 + q¯ ) Wir wollen uns wie zu (5.79) klar machen, dass auch dieser Beitrag divergiert. Dazu untersuchen wir zunächst das Dreifach-Integral über die k¯ i

& I(2) (¯q) ≡ d3 k¯1 d3 k¯2 d3 k¯3 q¯ k¯1 x1 + q¯ k¯3 x3 + q¯ 2 · k¯i kF , und negativ, falls |k| < kF . Wir lösen das Integral durch komplexe Integration. Liegen beide Pole in derselben Halbebene, so können wir den Integrationsweg in der anderen Halbebene schließen. Im vom Integrationsweg umschlossenen Gebiet liegt dann kein Pol. Das Integral verschwindet also. Zwei Fälle bleiben zu diskutieren: 1. |k + q| > kF ; |k| < kF In diesem Fall ist folgendes Integral zu lösen:

−1

−1 E − ε(k) + εF − i0+ dE E + E − ε(k + q) + εF + i0+ = −1 = = 2πi E + ε(k) − εF − ε(k + q) + εF + i0+ −1 = 2πi E + ε(k) − ε(k + q) + i0+ .

392

2.


|k + q| < kF ; |k| > kF

−1

−1 E − ε(k) + εF + i0+ dE E + E − ε(k + q) + εF − i0+ = −1 = = 2πi −E + ε(k + q) − εF − ε(k) + εF + i0+ −1 = −2πi E + εk − ε(k + q) − i0+ .

Dies ergibt insgesamt für Λ(0) q (E):

Λ(0) q (E) = 2

⎧ , (0) nk (0) ⎨ 1 − nk+q k

⎩ E + ε(k) − ε(k + q) + i0+

− (5.192)

(0) ⎫ ⎬ 1 − nk (0) nk+q −

E + ε(k) − ε(k + q) − i0+ ⎭

.

Wir können schließlich noch die Grundzustandsenergie des wechselwirkenden Elektronengases durch den Polarisationspropagator ausdrücken. Wegen v(0) = 0 (JelliumModell) sind alle Grundzustandsdiagramme zusammenhängend und offen. Mit dem festen Vertex bei t = t = 0 sind vier äußere Linien (zwei Erzeuger und zwei Vernichter) verbunden. t ¢= 0 p,σ

p - q,σ ihΛq(E)

k,σ t =0

k + q,σ

veff (q, E)

Das an den Vertex angeschlossene Restdiagramm entspricht dem allgemeinen Diagramm der Dichtekorrelation. Es lässt sich deshalb wiederum ein irreduzibler Polarisationsanteil abspalten. Der Rest ist dann ein Diagramm der effektiven Wechselwirkung

+∞

ΔE0 = 2

q −∞

dE hΛq (E) . veff (q, E)i¯ 2πh¯

(5.193)

Die Faktoren 2 und 1 | 2πh¯ resultieren aus der Spinsummation bzw. aus der Energieerhaltung am Vertex. Der nach Diagrammregel 1. für iDq (E) mit einem Vertex verknüpfte Faktor −i | h¯ resultiert letztlich aus der Störreihe für den Zeitentwicklungsoperator, erscheint also nur bei den inneren Vertizes. In (5.193) geht die effektive

5.6

Diagrammatische Partialsummen

393

Wechselwirkung deshalb ohne diesen Faktor ein. Mit (5.188) und (5.189) lässt sich schließlich die Niveauverschiebung durch die Dielektrizitätsfunktion ausdrücken:

i

+∞

ΔE0 =

π

dE

q −∞

1 − 1 . εc (q, E)

(5.194)

ΔE0 ist natürlich reell, deswegen muss bereits gelten:

1

+∞

ΔE0 = −

π

dE Im

q −∞

1

εc (q, E)

(5.195)

.

Wie im letzten Abschnitt ausführlich diskutiert, sind für die Grundzustandsenergie insbesondere die Ringdiagramme wichtig. Diese finden wir genau dann, wenn wir in (5.193) für den Polarisationspropagator dessen niedrigste Nährerung Λ(0) q (E) einsetzen:

+∞ v(q)Λ(0) i q (E) RPA ΔE0 = dE . π q 1 − v(q)Λ(0) q (E) −∞

5.6.3 Vertexfunktion Die Methode, Diagrammentwicklungen durch Einführung gewisser Diagrammblöcke zu vereinfachen, lässt sich noch in vielfältiger Weise ausdehnen. Wir haben bis jetzt die Selbstenergie der Ein-Teilchen-Green-Funktion, den Polarisationspropagator der Dichtekorrelation und die effektive Wechselwirkung eingeführt. Schauen wir uns noch einmal den Polarisationspropagator Λq (E) etwas genauer an. In den niedrigsten Ordnungen ergeben sich die folgenden Diagrammbeiträge: 0. Ordung

1. Ordnung

;

;

;

;

; ...

;

;

;

2. Ordnung

Wir definieren: Definition 5.6.4 Vertexanteil = Diagrammteil mit zwei Anschlüssen für Teilchenlinien und einem Anschluss für eine Wechselwirkungslinie.

5.6.4

394


Beispiele ;

5.6.5

;

; ...

;

Definition 5.6.5 Irreduzibler Vertexanteil = Vertexanteil, von dem sich nicht durch Auftrennen einer propagierenden Linie ein selbstständiges Selbstenergiediagramm oder durch Auftrennen einer Wechselwirkungslinie ein selbstständiges Polarisationsdiagramm abspalten lässt. Beispiele irredzibel

; ...

;

; ...

;

reduzibel

Wir definieren schließlich noch: 5.6.6

Definition 5.6.6 Vertexfunktion k, E ¢,σ

Γσ (qE; kE ) = Summe aller irreduziblen

⇐⇒

q, E k + q, E + E ¢,σ

Vertex-Anteile.

Wir geben die niedrigsten Ordnungen an: =

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ ...

5.6


395

Wir können die Vertexfunktion zur Darstellung des Polarisationspropagators benutzen: Gkcσ (E ¢)

Γσ (qE; kE ¢)

=

ihΛq (E)

Gkc + qσ (E + E ¢)

Über innere Variable muss summiert bzw. integriert werden: −1 i¯ hΛq (E) = 2πh¯

+∞ dE iGckσ E ·

kσ −∞

(5.196)

, - · iGck+qσ E + E Γσ qE; kE .

Der Faktor 1 | 2πh¯ folgt aus Regel 4. für iDq (E); das Vorzeichen entspricht der Schleifenregel. Die niedrigste Näherung liefert bereits das RPA-Ergebnis (5.182): c RPA: Gckσ −→ G0, kσ ,

(5.197)

Γσ −→ 1 .

Physikalisch bedeutet dies eine Vernachlässigung sämtlicher Streuprozesse des Teilchen-Loch-Paares. Besser werden diese durch die so genannte Leiternäherung berücksichtigt: (k, E ¢) (q, E )

=

+

=

+

+

+ ...

Ø

Γσ

(k + q, E + E ¢)

(5.198)

Die durchgezogenen Linien sind in dieser Näherung als freie Propagatoren gemeint. Die Dyson-Gleichung für die Leiternäherung der Vertexfunktion lässt sich für bestimmte Wechselwirkungstypen exakt aufsummieren. Wir können schließlich die Vertexfunktion noch dazu verwenden, die elektronische Selbstenergie zu zerlegen: veff (q, E ′) = (k, E)

(k, E)

(k, E)

Γσ (qE ′; kE) (k, E)

Gkc + qσ (E + E ′)

396


Als Formel geschrieben lautet diese Zerlegung:

i − Σkσ (E) = h¯

+∞ , c - −i

q, E E + E dE v i G Γσ qE ; kE . = eff k+qσ 2πh¯2 q

(5.199)

−∞

Benutzen wir die einfachste Näherung (5.197) zusammen mit veff → v, so ergibt sich bereits die Hartree-Fock-Näherung (5.128). 5.6.4 Aufgaben 5.6.1

Aufgabe 5.6.1 Berechnen Sie approximativ über passende Partialsummen im Rahmen des Hubbard-Modells die transversale Suszeptibilität,

χ±q (E)

+∞ 1 , i −i E0 Tε a+k↑ (t)ak+q↓ (t) · = −γ d t − t exp E t − t

h¯ N k, p

−∞

- · a+p↓ t ap−q↑ t E0

γ

=− 0 χ ± (E) , N q

die sich diagrammatisch ganz analog zur in Abschn. 5.6 besprochenen DichteDichte-Green-Funktion Dq (E) behandeln lässt. χ±q (E) vollständig durch den 1. Zeigen Sie mithilfe der Dyson-Gleichung, dass 0 passend definierten Polarisationspropagator bestimmt ist. 2. Berechnen Sie die Vertexfunktion in der Leiternäherung. 3. Stellen Sie die transversale Suszeptibilität durch die volle Ein-ElektronenGreen-Funktion und die Vertexfunktion dar. 4. Ersetzen Sie in der exakten Darstellung der transversalen Suszeptibilität aus Teil 3. die vollen durch die freien Propagatoren und verwenden Sie für die Vertexfunktion die Leiternäherung aus Teil 2. Vergleichen Sie das Ergebnis für die transversale Suszeptibilität mit dem aus Abschn. 4.2.3.

5.6


397

Aufgabe 5.6.2 Die in Abschn. 4.3.1 eingeführte T-Matrix lässt sich wie folgt defnieren: i − Tkσ (E) = Summe aller eigentlichen und h¯ uneigentlichen Selbstenergieanteile.

5.6.2

Finden Sie mithilfe der T-Matrix eine exakte diagrammatische Darstellung der Ein-Elektronen-Green-Funktion. Leiten Sie den Zusammenhang zwischen T-Matrix und Selbstenergie ab.

Aufgabe 5.6.3 In Aufg. 4.2.4 wurde gezeigt, dass die so genannte AppearancePotential-Spectroscopy (APS) und Auger-Elektronen-Spektroskopie (AES) vollständig bestimmt sind durch die Zwei-Teilchen-Spektraldichte

S(2) iiσ (E) = − 1. 2.

3.

1

π

Im ai − σ aiσ ; a+iσ a+i − σ E .

Überlegen Sie sich eine angemessene Diagrammdarstellung. Beschreiben Sie wie in Aufg. 4.2.6 das wechselwirkende Elektronensystem durch das Hubbard-Modell und überlegen Sie sich eine Approximation, die die direkten Wechselwirkungen der beiden angeregten Teilchen (direkte Korrelationen) exakt mitnimmt, dafür die Wechselwirkungen mit dem Restsystem (indirekte Korrelationen) vernachlässigt. Wie könnte man mit einer vorher bestimmten vollen Ein-ElektronenGreen-Funktion die Näherung aus Teil 2. erweitern, um die indirekten Korrelationen zumindest approximativ zu berücksichtigen?

5.6.3

398

5.7


5.7 Kontrollfragen Zu Abschnitt 5.1 1. Wie lautet die störungstheoretische Grundformel? 2. Wie gehen Schrödinger-Störungstheorie und Brillouin-Wigner-Störungstheorie aus der Grundformel hervor? 3. Welchen Nachteil weist die konventionelle, zeitunabhängige Störungstheorie auf? 4. Was versteht man unter adiabatischem Einschalten einer Wechselwirkung? 5. Formulieren und interpretieren Sie das Gell-Mann–Low-Theorem. 6. Wie entwickelt sich nach dem Gell-Mann–Low-Theorem der normierte Grundzustand des wechselwirkenden Systems aus dem des freien Systems? 7. Stellen Sie den Erwartungswert einer beliebigen, zeitabhängigen HeisenbergObservablen im Grundzustand mit dem Trick des adiabatischen Einschaltens durch einen Ausdruck dar, der sich auf den Grundzustand η0 des freien Systems bezieht. 8. Diskutieren Sie die Struktur der kausalen Ein-Elektronen-Green-Funktion, wie sie sich für eine diagrammatische Störungstheorie als zweckmäßig erweist.

Zu Abschnitt 5.2 1. Was wird als Fermi-Vakuum bezeichnet? 2. Wie ist das Normal-Produkt definiert? Zu welchem Zweck wird es eingeführt? 3. Was versteht man unter einer Kontraktion? 4. Was ergibt die Kontraktion zweier Vernichtungsoperatoren? 5. Warum ist die Kontraktion ak (t)a+k t kein Operator?

6. 7.

Wie hängt sie mit der kausalen T = 0 -Green-Funktion zusammen? Was ist für Gleichzeitigkeit t = t vereinbart? Formulieren Sie das Wick’sche Theorem. Was bedeutet totale Paarung?

Zu Abschnitt 5.3 1. Welcher Erwartungswert wird Vakuumamplitude genannt? 2. Welche Diagramme enthält der erste Term der Störreihe für die Vakuumamplitude? 3. Was versteht man unter einem Vertex? 4. Wie viele verschiedene Graphen mit vier Vertizes gibt es zur Vakuumamplitude? 5. Formulieren Sie die Schleifenregel. 6. Welche Diagramme bezeichnet man als von gleicher Struktur?

5.7

Kontrollfragen

399

7.

Wie viele Diagramme gleicher Struktur zur Vakuumamplitude gibt es bei n Vertizes? 8. Was sind topologisch gleiche Diagramme? 9. Was ist ein zusammenhängendes Diagramm? 10. Formulieren und interpretieren Sie das Linked-Cluster-Theorem. 11. Was ist ein offenes Diagramm? Was ist ein Vakuum-Fluktuations-Diagramm? 12. Was besagt der Hauptsatz von den zusammenhängenden Diagrammen?

Zu Abschnitt 5.4 1. Was bedeutet Impulserhaltung am Vertex? 2. Was versteht man unter gestreckten Diagrammen der Ein-Teilchen-Green-Funktion? 3. Welche Überlegung führt zur Energieerhaltung am Vertex? 4. Wie lauten die Diagrammregeln für die kausale Ein-Elektronen-Green-Funktion iGckσ (E)? 5. Was ist ein Selbstenergieanteil? Wann nennt man diesen eigentlich oder irreduzibel? 6. Wie ist die Selbstenergie definiert? 7. Wie sieht die Diagrammdarstellung der Dyson-Gleichung aus?

Zu Abschnitt 5.5 1. Welcher Ausdruck ist zur Berechnung der Niveauverschiebung ΔE0 = E0 − η0 auszuwerten? 2. Wie unterscheiden sich die Feynman-Diagramme für ΔE0 von denen der Vakuumamplitude? 3. Wie viele topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur Θn gibt es zur Ordnung n in der Entwicklung für ΔE0 ? 4. Was ergibt sich in erster Ordnung Störungstheorie für die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells? 5. Warum liefern Diagramme mit Blasen für das Jellium-Modell keinen Beitrag? 6. Welche Diagrammstrukturen tragen zur Störungstheorie zweiter Ordnung für die Grundzustandsenergie bei? 7. Welcher Diagrammtyp sorgt für Divergenzen bereits in zweiter Ordnung Störungstheorie für die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells? 8. Was versteht man unter Ringdiagrammen? 9. Interpretieren Sie den Begriff Korrelationsenergie. 10. Wie hängt ein Grundzustandsdiagramm n-ter Ordnung vom Dichteparameter rs ab?

400


11. Warum darf man sich bei der approximativen Bestimmung der Grundzustandsenergie des Jellium-Modells für hohe Elektronendichten bei nicht divergenten Diagrammen auf niedrige Ordnungen beschränken, während die Ringdiagramme als unendliche Partialsumme aufsummiert werden müssen? 12. Was ist die physikalische Ursache für die Divergenz eines Ringdiagramms?

Zu Abschnitt 5.6 1. Formulieren Sie die Diagrammregeln für die Zwei-Teilchen-Green-Funktion iDq (E) (Dichte-Dichte-Korrelation). 2. Was ist ein Polarisationsanteil? Wann heißt dieser eigentlich oder irreduzibel? 3. Was versteht man unter dem Polarisationspropagator? Welche Form nimmt er in der so genannten RPA an? 4. Formulieren Sie mithilfe des Polarisationspropagators die Dyson-Gleichung für iDq (E). 5. Wie kann man über den Polarisationspropagator eine effektivere Wechselwirkung veff (q, E) definieren? 6. Was sind Skelettdiagramme? 7. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der effektiven Wechselwirkung veff (q, E) und der Dielektrizitätsfunktion? 8. Wie kann man die so genannte RPA der Selbstenergie Σkσ (E) diagrammatisch mithilfe der angekleideten Wechselwirkung veff (q, E) darstellen? 9. Stellen Sie die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells durch den Polarisationspropagator und die effektive Wechselwirkung dar. 10. Drücken Sie die Niveauverschiebung ΔE0 durch die Dielektrizitätsfunktion aus. Welches Ergebnis ergibt sich in RPA? 11. Was ist ein Vertexanteil? Wann ist dieser irreduzibel? 12. Wie ist die Vertexfunktion definiert? 13. Stellen Sie den Polarisationspropagator mithilfe der Vertexfunktion dar. 14. Was versteht man unter der Leiternäherung? 15. Wie kann man die Selbstenergie Σkσ (E) durch die Vertexfunktion darstellen?

Kapitel 6 Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

6

6

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.3

Störungstheorie bei endlichen Temperaturen Matsubara-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matsubara-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Großkanonische Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wick’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammanalyse der großkanonischen Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ringdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

403 403 409 411 415 415 419 426 429 434

6.1

Matsubara-Methode

403

6 Störungstheorie bei endlichen Temperaturen 6.1 Matsubara-Methode Bislang haben wir uns ausschließlich um störungstheoretische Methoden gekümmert, die bei T = 0 angewendet werden können. Experimente werden jedoch bei endlichen Temperaturen durchgeführt. Da jede Theorie letztlich die Aufgabe hat, Experimente zu erklären bzw. vorherzusagen, ist die Erweiterung auf T > 0 unumgänglich. Zumindest haben wir zu untersuchen, ob die T = 0 -Methoden des letzten Kapitels auf den T =/ 0 -Fall in irgendeiner Form übertragbar sind. Überlegungen dieser Art sind sehr eng mit dem Namen Matsubara verknüpft (T. Matsubara, Progr. Theoret. Phys. 14, 351 (1955)). Wir nennen deshalb das in diesem Abschnitt zu besprechende Verfahren die Matsubara-Methode. Wir haben in Kap. 3 gezeigt, dass die retardierte Green-Funktion einen direkten Bezug zum Experiment aufweist (z. B. Response-Funktionen, Quasiteilchenzustandsdichte, Korrelationsfunktionen, Anregungsenergien). Zu ihrer approximativen Bestimmung gibt es eine Reihe von Verfahren (Bewegungsgleichungsmethode, Momentenmethode, CPA, . . . ), eine störungstheoretische Diagrammtechnik im Sinne von Kap. 5 lässt sich jedoch nicht formulieren. Für die retardierte Funktion gibt es kein Wick’sches Theorem, obwohl sich eine Dyson-Gleichung wie in (3.327) konstruieren lässt. Die retardierte Green-Funktion ist also störungstheoretisch nicht so einfach zugänglich. Dazu ist jedoch zumindest bei T = 0 die kausale Funktion hervorragend geeignet. Die spezielle Form (5.85) des Wick’schen Theorems macht eine recht effektive Diagrammtechnik möglich. Da andererseits bei T = 0 die Transformation von der kausalen auf die retardierte Funktion sehr einfach ist ((3.188), (3.189)), lohnte es sich, die Störungstheorie für die kausale Green-Funktion in Kap. 5 zu entwickeln. Bei endlichen Temperaturen sind nun aber die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Wick’schen Theorems in der speziellen Form (5.85) nicht mehr erfüllt. Wir können Mittelwerte nicht mehr ausschließlich mit dem Grundzustand | η0 des wechselwirkungsfreien Systems bilden, das Verschwinden der Normalprodukte wie in (5.70) kann nicht mehr ausgenutzt werden. Die nun einzuführenden MatsubaraFunktionen sind eigentlich nichts anderes als passend verallgemeinerte kausale Green-Funktionen, die die Anwendung eines modifizierten Wick-Theorems erlauben und damit störungstheoretisch zugänglich werden. Ferner werden wir zeigen können, dass der Übergang von diesen zu den eigentlich interessierenden retardierten Funktionen sehr einfach ist. 6.1.1 Matsubara-Funktionen Mit den Gleichungen (3.130) und (3.131) hatten wir abgeleitet, dass bei nicht ex plizit zeitabhängigem Hamilton-Operator die Korrelationsfunktionen A(t)B(t ) , W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

6.1

404

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

B(t )A(t) und damit alle drei Green-Funktionen nur von der Zeitdifferenz t − t abhängen: A(t)B t = A t − t B(0) = A(0)B t − t , B t A(t) = B t − t A(0) = B(0)A t − t . Die beiden Korrelationsfunktionen, die die Green-Funktionen GαAB (t, t ) (α = ret, av, c) aufbauen, sind nicht unabhängig voneinander, wenn man formal die Zeitvariable komplexe Werte annehmen lässt: Ξ A(t − i¯hβ)B t = i i = Sp exp −βH exp H(t − i¯ hβ) A(0) exp H(t − i¯ hβ) B t = h¯ h¯

i i = Sp B t exp −βH exp +βH exp Ht A(0) exp − Ht exp(−βH) = h¯ h¯

= Sp exp −βH B t A(t) . Wir haben hier mehrmals die zyklische Invarianz der Spur ausgenutzt. Die resultierende Beziehung A(t − i¯ (6.1) hβ)B t = B t A(t) legt es nahe, auch die Definitionen der Green-Funktionen auf komplexe Zeiten auszudehnen. Das hätte einen weiteren Vorteil: Jede normale Störungstheorie basiert auf der Annahme, dass sich der Hamilton-Operator H des Systems gemäß H = H0 + V zerlegen lässt, wobei angenommen wird, dass das Eigenwertproblem zu H0 exakt lösbar ist. Bei T =/ 0 -Mittelwerten (3.122) erscheint die Störung V dann an zwei verschiedenen Stellen, einmal in der Heisenberg-Darstellung der zeitabhän gigen Operatoren via exp ± ¯hi Ht , zum anderen im Dichteoperator exp(−βH) der großkanonischen Mittelung. Für beide müsste dann eigentlich eine Störentwicklung durchgeführt werden. Das lässt sich im Arbeitsaufwand reduzieren, wenn man h¯β als Real- oder Imaginärteil einer komplexen Zeit auffasst. Man kann die beiden Exponentialfunktionen dann zusammenfassen. Die Matsubara-Methode geht von rein imaginären Zeiten aus und führt die reelle Größe

τ = it ein. Dies ergibt eine modifizierte Heisenberg-Darstellung für Operatoren:

1 1 A(τ) = exp H τ A(0) exp − H τ . h¯ h¯

(6.2)

(6.3)

6.1

Matsubara-Methode

405

Ein bisschen werden wir beim Gebrauch dieser Darstellung aufpassen müssen, da der die imaginären Zeitverschiebungen verursachende Operator exp ¯h1 H τ nicht unitär ist. Die Bewegungsgleichung lautet nun: −h¯ Mit der Stufenfunktion ⎧ ⎨1 , Θ(τ) = ⎩ 0,

∂ A(τ) = [A(τ), H ]− . ∂τ

falls τ > 0 ⇐⇒ t

negativ imaginär,

falls τ < 0 ⇐⇒ t

positiv imaginär

(6.4)

(6.5)

können wir einen Zeitordnungsoperator definieren: Tτ A(τ)B τ = Θ τ − τ A(τ)B τ + εp Θ τ − τ B τ A(τ) .

(6.6)

p ist die Zahl der Permutationen von Konstruktionsoperatoren, die notwendig sind, um den zweiten Summanden wieder in die Operatorreihenfolge des ersten Summanden zu bringen. ε ist wie üblich definiert (ε = +1 : Bosonen; ε = −1 : Fermionen). Wir wollen jedoch im Folgenden der Einfachheit halber annehmen, dass es sich bei A und B um reine Fermi- bzw. Bose-Operatoren handelt, sodass wir p = 1 setzen können. Nach diesen Vorbereitungen definieren wir nun die Matsubara-Funktion M GM = − Tτ A(τ)B τ . AB τ, τ ≡ A(τ); B τ

(6.7)

Aus der Definition folgt unmittelbar die Bewegungsgleichung dieser Funktion, wenn wir (6.4) und (6.6) einsetzen: ∂ −h¯ GM ¯δ τ − τ [A, B]−ε + [A(τ), H ]− ; B τ M . (6.8) AB τ, τ = h

∂τ

Wir wollen einige wichtige Eigenschaften auflisten. Wegen Ξ A(τ)B τ =

1 1 1 = Sp exp −βH exp H τ A exp − H τ−τ B exp − H τ = h¯ h¯ h¯

1 1 = Sp exp −βH exp H τ−τ A exp − H τ−τ B = h¯ h¯ = Ξ A τ − τ B hängt auch die Matsubara-Funktion nur von Zeitdifferenzen ab: M M GM AB τ, τ = GAB τ − τ , 0 = GAB 0, τ − τ .

(6.9)

406


Eine ganz wichtige Eigenschaft betrifft ihre Periodizität. Sei h¯β > τ − τ + nh¯β > 0 n ∈ Z , dann gilt:

ΞGM ¯β = AB τ − τ + nh

>0

= − Sp exp −βH Tτ A τ − τ + nh¯β B(0) =

= − Sp exp −βH A τ − τ + nh¯β B(0) =

1 = − Sp exp −βH exp H τ − τ + nh¯β A(0) · h¯

1 · exp − H τ − τ + nh¯β B(0) = h¯

1 = − Sp exp H τ − τ + (n − 1)h¯β A(0) · h¯

1 · exp − H τ − τ + (n − 1)h¯β exp −βH B(0) = h¯ = − Sp exp −βH B(0)A τ − τ + (n − 1)h¯β = τ − τ + nh¯β > 0 : GM ¯β = εGM ¯β . AB τ − τ + nh AB τ − τ + (n − 1)h

(6.10)

Insbesondere gilt für n = 1: GM ¯β = εGM AB τ − τ + h AB τ − τ , falls

− h¯β < τ − τ < 0 .

(6.11)

Die Matsubara-Funktion ist demnach periodisch mit einem Periodizitätsintervall 2h¯β. Wir können unsere Betrachtungen auf das Zeitintervall −h¯β < τ − τ < 0 beschränken.

6.1

Matsubara-Methode

407

Wegen der Periodizität bietet sich für die Matsubara-Funktion eine Fourier-Entwicklung an: ∞ 1 nπ nπ an cos τ + bn sin τ , GM (τ) = a0 + 2 h¯β h¯β n=1 1 an = h¯β

1 bn = h¯β

+¯hβ nπ dτ GM (τ) cos τ , h¯β

−¯ hβ

+¯hβ nπ dτ GM (τ) sin τ . h¯β

−¯ hβ

Wir definieren En =

nπ

β

1 GM En = h¯β an + ibn 2

;

(6.12)

und können dann schreiben:

+∞ 1 i G (τ) = exp − En τ GM En , h¯β n = −∞ h¯ M

1 G En = 2 M

+¯hβ i M dτ G (τ) exp En τ . h¯

−¯ hβ

Dies lässt sich noch etwas weiter vereinfachen: 1 G En = 2

¯hβ

M

1 ... + 2

0

1 = 2

¯hβ

0 ... = −¯ hβ

dτ GM (τ) exp

i En τ + h¯

0

1 + 2

¯hβ

dτ G

M

i τ − h¯β exp En τ exp −iEn β = h¯

0

τ = τ + h¯β

¯hβ 1 i dτ GM (τ) exp En τ . = 1 + ε exp −iβEn 2 h¯ 0

(6.13)

(6.14)

408


Die Klammer verschwindet für Fermionen (ε = −1), falls n gerade, und für Bosonen (ε = +1), falls n ungerade ist. Es bleibt also:

+∞ 1 i exp − En τ GM En , G (τ) = h¯β n = −∞ h¯ M

G En =

¯hβ

M

dτ GM (τ) exp

i En τ , h¯

(6.15)

(6.16)

0

⎧ ⎨2nπ | β : En = ⎩ (2n + 1)π | β :

Bosonen,

(6.17)

Fermionen.

Für diese Matsubara-Funktionen werden wir später ein Wick’sches Theorem formulieren können. Um zu zeigen, dass sie auch einen direkten Bezug zum Experiment gewährleisten, stellen wir noch den Zusammenhang mit der retardierten Funktion her. Dies gelingt mithilfe der Spektraldarstellung (Notation wie in Abschn. 3.2.2): A(τ)B(0) =

=

1

Ξ

n

1

Ξ n, m

En A(τ)B(0) En exp −βEn = 1 En − Em τ . En A Em Em B En exp −βEn exp h¯

Für die Spektraldichte SAB (E) hatten wir mit (3.146) abgeleitet: SAB (E) =

h¯

Ξ n, m

En A Em Em B En e −βEn ·

· 1 − ε e −βE δ E − Em − En . Also gilt: 1 A(τ)B(0) = h¯

+∞ dE −∞

SAB (E) 1 exp − Eτ . 1 − ε exp(−βE) h¯

(6.18)

Im Integrationsintervall in (6.16) ist τ stets positiv, sodass für die Matsubara-Funktion auszuwerten bleibt: GM AB

En = −

¯hβ 0

i dτ exp En τ A(τ)B(0) . h¯

(6.19)

6.1

Matsubara-Methode

409

Wir setzen ¯hβ 0

h¯ 1 exp iβEn exp −βE − 1 = dτ exp iEn − E τ = h¯ iEn − E =

h¯ ε exp −βE − 1 iEn − E

zusammen mit (6.18) in (6.19) ein: GM AB

En =

+∞ SAB E dE . iEn − E

(6.20)

−∞

Der Vergleich mit (3.148) bestätigt die formale Übereinstimmung mit der Spektraldarstellung der retardierten Green-Funktion, wenn man die Ersetzung

iEn −→ E + i0+

(6.21)

vornimmt. Man erhält also die retardierte Green-Funktion aus der MatsubaraFunktion ganz einfach durch analytische Fortsetzung von der imaginären Achse auf die reelle E-Achse. – Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, dass die avancierte Green-Funktion aus der Matsubara-Funktion (6.20) durch den Übergang iEn → E − i0+ erhältlich ist. 6.1.2 Großkanonische Zustandssumme Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf Systeme von Fermionen oder Bosonen, die wie üblich einer Paarwechselwirkung unterliegen mögen:

H = H0 + V , ε(k) − μ a+k ak , H0 =

(6.22) (6.23)

k

V=

1 v(kl; nm)a+k a+l am an . 2

(6.24)

klmn

Im Fall von S = 1 | 2 -Fermionen ist k ≡ (k, σ ), bei S = 0 -Bosonen k = k zu lesen. Letztlich wird die Aufgabe darin bestehen, Erwartungswerte von zeitgeordneten Operatorprodukten zu berechnen, wobei die Mittelung in der großkanonischen Gesamtheit durchzuführen ist: ! 1 (6.25) Tτ · · · I τi · · · J τj · · · = Sp e −βH Tτ · · · I τi · · · J τj · · · .

Ξ

Ξ ist die schon häufig verwendete großkanonische Zustandssumme

Ξ = Sp e −βH .

(6.26)

410


Es wird sich herausstellen, dass diese wichtige Funktion in etwa die Rolle übernehmen wird, die die Vakuumamplitude im T = 0 -Formalismus spielte. Zum Aufbau der T = 0 -Störungstheorie hatte sich die Dirac- oder Wechselwirkungsdarstellung als besonders günstig erwiesen. Dies gilt in modifizierter Form auch für den Matsubara-Formalismus. Die folgenden Überlegungen laufen deshalb weitgehend parallel zu denen in Abschn. 3.1.1. Man definiert zunächst analog zu (3.34) für einen beliebigen Operator AS des Schrödinger-Bildes den Übergang ins Dirac-Bild wie folgt:

1 1 (6.27) AD (τ) = exp H0 τ AS exp − H0 τ . h¯ h¯ Für die Transformation ins Heisenberg-Bild gilt nach (6.3):

1 1 AH (τ) = exp H τ AS exp − H τ . h¯ h¯

(6.28)

AS ist höchstens explizit zeitabhängig. Wir definieren als Analogon zum Dirac’schen Zeitentwicklungsoperator (3.33):

1 1 1 (6.29) exp − H0 τ . UD τ, τ = exp H0 τ exp − H τ − τ h¯ h¯ h¯ Dieser Operator ist zwar nichtunitär, hat aber wie sein Analogon (3.33) für reelle Zeiten die Eigenschaften: (6.30) UD τ1 , τ2 UD τ2 , τ3 = UD τ1 , τ3 , UD (τ, τ) = 1 .

(6.31)

Über UD lassen sich Dirac- und Heisenberg-Bild miteinander verknüpfen:

1 1 1 1 AH (τ) = exp H τ exp − H0 τ AD (τ) exp H0 τ exp − H τ = h¯ h¯ h¯ h¯ = UD (0, τ)AD (τ)UD (τ, 0) .

(6.32)

Mit (6.29) lässt sich leicht die Bewegungsgleichung des Zeitentwicklungsoperators ableiten: ∂ − h¯ UD τ, τ =

∂τ

1 1 1 exp − H0 τ = = − exp H0 τ H0 − H exp − H τ − τ h¯ h¯ h¯

1 1 1 1 1 exp − H0 τ , = exp H0 τ V exp − H0 τ exp H0 τ exp − H τ − τ h¯ h¯ h¯ h¯ h¯ − h¯

∂ UD τ, τ = VD (τ)UD τ, τ . ∂τ

(6.33)

6.1

Matsubara-Methode

411

VD (τ) ist die Wechselwirkung in der Dirac-Darstellung. Mit (6.31) als Randbedingung lautet die formale Lösung der Bewegungsgleichung: UD

1 τ, τ = 1 − h¯

τ

dτ VD τ UD τ , τ .

(6.34)

τ

Dies stimmt bis auf unwesentliche Faktoren mit (3.12) überein. Wir finden deshalb mit denselben Überlegungen wie zu (3.13) und (3.17): UD

τ

τ

n ∞ 1 1 − τ, τ = dτ1 · · · dτn Tτ VD τ1 · · · VD τn . n! h¯ n=0

τ

(6.35)

τ

Mit derselben Begründung wie zu (5.56) haben wir hier den eigentlich in der Entwicklung (6.35) erscheinenden Dyson’schen Zeitordnungsoperator TD (3.15), der ohne den Faktor ε sortiert, durch den Operator Tτ aus (6.6) ersetzen können. Das ist erlaubt, da nach (6.24) die Wechselwirkung V durch eine gerade Anzahl von Konstruktionsoperatoren aufgebaut ist. Gleichung (6.35) ist der Ausgangspunkt der T > 0-Störungstheorie. Eine erste wichtige Folgerung ziehen wir für die großkanonische Zustandssumme. Aus (6.29) folgt:

1 1 exp − H τ = exp − H0 τ UD (τ, 0) . h¯ h¯ Wählen wir speziell τ = h¯β,

e −βH = e −βH0 UD (h¯β, 0) ,

(6.36)

so können wir die Zustandssumme mit UD in Verbindung bringen: Ξ = Sp e −βH0 UD (h¯β, 0) =

n ¯hβ ∞ (6.37) 1 1 − = · · · dτ1 · · · dτn Sp e −βH0 Tτ VD τ1 · · · VD τn . n! h¯ n=0 0

6.1.3 Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion Von besonderem Interesse wird die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion sein: + GM k (τ) = − Tτ ak (τ)ak (0) .

Wir werden später zeigen, dass diese eine Dyson-Gleichung erfüllt:

+∞ 1 i M exp − En τ GM Gk (τ) = k En , h¯β n = −∞ h¯ GM k

En =

h¯

. iEn − ε(k) − μ − ΣM k, En

(6.38)

(6.39)

412


Dabei hängt die Selbstenergie ΣM (k, En ), durch die der Einfluss der Teilchenwechselwirkungen Berücksichtigung findet, durch den folgenden Übergang mit der uns vertrauten retardierten Selbstenergie zusammen: −−−→ Σret (k, E) = Rret (k, E) + iI ret (k, E) . ΣM (k, En ) i−E−− → E + i0+

(6.40)

n

Rret und I ret bestimmen nach (3.331) direkt die Ein-Teilchen-Spektraldichte Sk (E), deren Aussagekraft und direkter Bezug zum Experiment in Kap. 3 ausgiebig diskutiert wurden. Für die anschließend zu besprechende Störungstheorie benötigen wir die MatM subara-Funktion G0, k (τ) des durch H0 definierten, nicht wechselwirkenden Teilchensystems, die sich natürlich exakt berechnen lässt. Dazu leiten wir zunächst die Zeitentwicklung des Heisenberg-Operators ak (τ) explizit ab. Die Beziehung n ak H0n = ε(k) − μ + H0 ak (6.41) beweisen wir durch vollständige Induktion. Wegen [ak , H0 ]− = ε(k) − μ ak ist die Behauptung für n = 1 offensichtlich richtig: ak H0 = [ak , H0 ]− + H0 ak = ε(k) − μ + H0 ak . Der Schluss von n auf n + 1 gelingt wie folgt: ak H0n + 1 = (ak H0n )H0 = n = ε(k) − μ + H0 ak H0 = n = ε(k) − μ + H0 ε(k) − μ + H0 ak = n + 1 = ε(k) − μ + H0 ak

q. e. d.

Mit (6.27) gilt weiter:

1 1 exp H0 τ ak exp − H0 τ = h¯ h¯

n ∞ 1 τ 1 = exp H0 τ − ak H0n = h¯ n! h ¯ n=0

= exp

∞ n 1 1 1 − ε(k) − μ + H0 τ ak = H0 τ h¯ n! h¯ n=0

1 1 = exp H0 τ exp − ε(k) − μ + H0 τ ak . h¯ h¯

6.1

Matsubara-Methode

Dies bedeutet:

413

1 ak (τ) = ak exp − ε(k) − μ τ . h¯

Ganz analog beweist man: a+k (τ) = a+k exp

(6.42)

1 ε(k) − μ τ . h¯

(6.43)

Man erkennt, dass in der modifizierten Heisenberg-Darstellung ak (τ) und a+k (τ) für τ =/ 0 nicht mehr zueinander adjungiert sind. Mit (6.42) und (6.43) ist die freie Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion leicht berechenbar: (0) M = − Tτ ak (τ)a+k (0) = G0, k (0) (0) = = −Θ(τ) ak (τ)a+k (0) − εΘ(−τ) a+k (0)ak (τ)

(0) (0) 1 = − exp − ε(k) − μ τ Θ(τ) ak a+k , + εΘ(−τ) a+k ak h¯

1 M G0, ( τ ) = − exp − ε (k) − μ τ Θ(τ) 1 + ε nk (0) + Θ(−τ)ε nk (0) . k h¯

(6.44)

Dieses Resultat erinnert stark an die Darstellung (3.204) für die kausale Funktion. Den Erwartungswert des Anzahloperators nk (0) bestimmen wir mit (6.18):

(0) ak a+k

1 = h¯

+∞ S(0) (E) dE k −βE 1 − εe

(3.199)

=

1 1 − ε e −β(ε(k) − μ)

−∞

=

e β(ε(k) − μ) ε = 1 + β(ε(k) − μ) = 1 + ε nk (0) . = β(ε(k) − μ) e −ε e −ε Dies ergibt das aus der Quantenstatistik bekannte Resultat (Fermi- bzw. BoseFunktion): −1

nk (0) = e β(ε(k) − μ) − ε . (6.45) Die energieabhängige Matsubara-Funktion berechnet sich schnell durch Einsetzen von (3.199) in (6.20): M En = G0, k

h¯ . iEn − ε(k) − μ

(6.46)

Natürlich hätten wir auch (6.44) in (6.16) verwenden und direkt transformieren können. – Die Temperaturabhängigkeit steckt hier lediglich noch in den Energien En ∼ β−1 . Wir werden später sehen, wie die mittleren Besetzungszahlen bei expliziter Auswertung von Diagrammen und Korrelationsfunktionen in die Gleichungen zurückkehren.

414


Wir wollen nun die Ein-Teilchen-Funktion des wechselwirkenden Systems (6.38) in eine der Störungstheorie angemessene Form bringen: + . GM k (τ1 , τ2 ) = − Tτ ak τ1 ak τ2

(6.47)

Die Operatoren stehen hier noch in ihrer modifizierten Heisenberg-Darstellung. Die Zeitdifferenzen τ1 − τ2 sind auf das Intervall −h¯β < τ1 − τ2 < +h¯β beschränkt. Wir können deshalb für τ1 und τ2 0 < τ1 , τ2 < h¯β

(6.48)

annehmen. Gleichung (6.47) lässt sich mit (6.36) und (6.32) weiter umformen, wobei wir zunächst τ1 > τ2 voraussetzen wollen: 1 −βH + = Tτ ak τ1 ak τ2 GM k τ1 , τ2 = − Sp e

Ξ

=− =−

=−

1

Ξ 1

Ξ

1

Ξ

Sp e −βH ak τ1 a+k τ2 = Sp e −βH0 UD (h¯β, 0)UD 0, τ1 · +D U 0, a U τ τ , 0 U τ τ τ , 0 = · aD 1 D 1 D 2 2 D 2 k k +D U a U Sp e −βH0 UD (h¯β, τ1 )aD τ τ , τ τ τ , 0 . 1 D 1 2 2 D 2 k k

Da nach (6.48) h¯β die späteste Zeit ist, sind die Operatoren in der Spur bereits zeitgeordnet. Wir können deshalb den Zeitordnungsoperator Tτ wieder einführen und +D im Argument von Tτ die Operatoren UD ohne Vorzeichenänderung an aD k bzw. ak vorbeiziehen, da sie nach (6.35) und (6.24) aus einer geraden Anzahl von Konstruktionsoperatoren aufgebaut sind: GM k τ1 , τ2 = +D 1 = − Sp e −βH0 Tτ UD h¯β, τ1 aD U a U τ τ , τ τ τ , 0 = 1 D 1 2 k 2 D 2 k

Ξ

=− =−

1

Ξ 1

Ξ

+D a = Sp e −βH0 Tτ UD h¯β, τ1 UD τ1 , τ2 UD τ2 , 0 aD τ τ 1 k 2 k +D Sp e −βH0 Tτ UD (h¯β, 0)aD τ2 . k τ1 ak

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

415

Im letzten Schritt haben wir noch einmal (6.30) benutzt. Wir müssen nun noch den anderen Fall τ1 < τ2 untersuchen: GM k τ1 , τ2

ε −βH + Sp e ak τ2 ak τ1 = Ξ ε = − Sp e −βH0 UD (h¯β, 0)UD 0, τ2 a+D τ2 · k Ξ

=−

· UD τ2 , 0 UD 0, τ1 aD U τ τ , 0 = 1 D 1 k

ε −βH0 Sp e UD h¯β, τ2 a+D τ2 UD τ2 , τ1 aDk τ1 UD τ1 , 0 = k Ξ D ε U a U = − Sp e −βH0 Tτ UD h¯β, τ2 a+D τ τ , τ τ τ , 0 = 2 D 2 1 1 D 1 k k Ξ D ε τ2 ak τ1 = = − Sp e −βH0 Tτ UD (h¯β, 0)a+D k Ξ =−

=−

1

Ξ

+D Sp e −βH0 Tτ UD (h¯β, 0)aD τ2 . k τ1 ak

Beide Fälle τ1 > τ2 und τ1 < τ2 führen also zu demselben Ergebnis. Dieses lautet, wenn wir ab sofort den Index D an den Operatoren unterdrücken, da nun alle Operatoren in ihrer Dirac-Darstellung gemeint sind: Sp e −βH0 Tτ U(h¯β, 0)ak τ1 a+k τ2 M Gk τ1 , τ2 = − . (6.49) Sp e −βH0 U(h¯β, 0) Setzen wir noch den Zeitentwicklungsoperator U nach (6.35) ein, so erkennen wir eine starke Analogie zur kausalen T = 0 -Green-Funktion (5.59). Es ist deshalb nicht weiter verwunderlich, dass wir später zur Auswertung von (6.49) praktisch dieselben Verfahren wie in Kap. 5 werden verwenden können. Wichtige Unterschiede sind, dass die Zeitintegrationen über endliche Intervalle zu erstrecken sind und keine Einschaltfaktoren auftreten. Wir haben nirgendwo die Hypothese des adiabatischen Einschaltens (s. Abschn. 5.1.2) benutzen müssen .– Die Zustandssumme Ξ übernimmt im Matsubara-Formalismus in etwa die Rolle, die die Vakuumamplitude (5.89) im T = 0 -Formalismus spielte. Das wird im nächsten Abschnitt noch klarer werden.

6.2 Diagrammatische Störungstheorie 6.2.1 Das Wick’sche Theorem Für eine diagrammatische Analyse der zeitgeordneten Produkte in (6.49) benötigen wir ein Hilfsmittel, das die Rolle des Wick’schen Theorems (5.85) im T = 0 -

6.2

416


Formalismus für die kausale Funktion übernimmt. Wir wollen dieses nun zu begründende Hilfsmittel verallgemeinertes Wick’sches Theorem nennen. Es wird darum gehen, Ausdrücke der folgenden Form auszuwerten: (0) Sp e −βH0 Tτ (UVW · · · XYZ) = Ξ0 Tτ (UVW · · · XYZ) .

Ξ0 ist die großkanonische Zustandssumme des nicht wechselwirkenden Systems. U, V, W . . . sind Konstruktionsoperatoren in der Dirac-Darstellung, die jeweils zu irgendeiner Zeit τ wirken. Wir definieren: Kontraktion (0) UV = Tτ (UV) = εVU .

(6.50)

Da U und V Konstruktionsoperatoren sein sollen, wird es sich bei der Kontraktion analog zum T = 0 -Fall im Wesentlichen um die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion handeln. Wir beweisen nun ein verallgemeinertes Wick-Theorem (0) Tτ (UVW · · · XYZ) = (UVW · · · XYZ) + (UVW · · · XYZ) + · · · = (6.51) = {totale Paarung} . Man beachte, dass dieses Theorem keine Operatoridentität darstellt. Unter totaler Paarung verstehen wir wie in Abschn. 5.2.2 die vollständige und auf alle denkbaren Arten und Weisen durchgeführte Aufteilung des Operatorproduks UVW · · · XYZ in Produkte von Kontraktionen, was natürlich eine gerade Anzahl von Operatoren voraussetzt. Letzteres wird jedoch immer gegeben sein. H0 vertauscht nämlich mit "; die Teilchenzahl ist deshalb eine Erhaltungsgröße. Ein dem Teilchenzahloperator N Erwartungswert der Form UV · · · YZ(0) ist deshalb nur dann von Null verschieden, wenn das Produkt eine gleiche Zahl von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren enthält. Insgesamt handelt es sich also immer um eine gerade Operatorzahl. – Wir treffen für (6.51) noch die Vorzeichenvereinbarung, dass die zu kontrahierenden Operatoren zunächst in benachbarte Positionen zu bringen sind. Jede dazu notwendige Vertauschung liefert einen Faktor ε. WirkönnenzunächstwiederwiebeimBeweisdesWick’schenSatzesinAbschn. 5.2.2 davon ausgehen, dass die Operatoren auf der linken Seite von (6.51) bereits zeitgeordnet sind. Wenn dies nicht der Fall wäre, würden die entsprechenden Vertauschungen für jeden Term in (6.51) denselben Faktor εm bedeuten. Wir können also ohne Beschränkung der Allgemeinheit für den Beweis

τU > τV > τW > · · · > τX > τY > τZ

(6.52)

6.2


417

voraussetzen. – Wegen (6.42) und (6.43) ist die Zeitabhängigkeit der Konstruktionsoperatoren sehr einfach. Wir schreiben: U = γU τU αU ;

γU (τU ) = exp σU

αU = a+U oder aU ,

1 ε(U) − μ τU h¯

;

(6.53)

⎧ ⎨− , σU = ⎩ +,

falls αU = aU , falls αU = a+U .

(6.54)

Betrachten wir zunächst einmal die Kontraktion (0) = UV(0) = γU (τU )γV (τV ) αU αV (0) . UV = Tτ (UV)

(6.55)

Da die Mittelung im freien System erfolgt, kann man weiter schließen:

αU αV (0) =/ 0 nur, falls 1) αU = aU ,

αV = a+U ,

2) αU = a+U ,

αV = aU .

Daraus folgt mit (6.45): 1. (0) = 1 + ε nU (0) = aU a+U 1 ε = 1 + β(ε(U)−μ) = = e − ε 1 − ε e −β(ε(U)−μ)

[aU , a+U ]−ε . 1 − εγU (h¯β)

= 2.

a+U aU

(0)

= nU (0) = =

−ε

1 = γU (h¯β) − ε

1 − εγU (h¯β)

=

[a+U , aU ]−ε . 1 − εγU (h¯β)

Wir können die beiden Fälle offensichtlich zusammenfassen: [αU , αV ]−ε UV = γU (τU )γV τV . 1 − εγU (h¯β) Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis von (6.51). Es gilt zunächst:

UV · · · YZ

(0)

(0) = γU γV · · · γY γZ αU αV · · · αY αZ .

(6.56)

418


Wir versuchen nun, den Operator αU ganz nach rechts zu ziehen: (0)

UV · · · YZ(0) = [αU , αV ]−ε αW · · · αZ + γU γV · · · γY γZ (0) + + ε αV [αU , αW ]−ε · · · αZ + ···+

(6.57)

(0) + εp − 2 αV αW · · · [αU , αZ ]−ε + (0) . + εp − 1 αV αW · · · αY αZ αU p ist die Zahl der Operatoren im Erwartungswert. Da p gerade sein muss, ist εp − 1 = ε. Wir formen den letzten Summanden in (6.57) noch einmal um. Dabei hilft uns (6.41): aU e −βH0 =

=

∞ 1 (−β)n aU H0n = n! n=0 ∞ n 1 −β(ε(U) − μ + H0 ) aU = n! n=0

= e −β(ε(U) − μ + H0 ) aU = = γU (h¯β) e −βH0 aU . Analog findet man a+U e −βH0 = e +β(ε(U) − μ)−βH0 a+U = γU (h¯β) e −βH0 a+U , sodass wir zusammenfassen können:

αU e −βH0 = γU (h¯β) e −βH0 αU .

(6.58)

Unter Ausnutzung der zyklischen Invarianz der Spur finden wir mit (6.58) für den letzten Summanden in (6.57):

1 αV αW · · · αZ αU (0) = Sp e −βH0 αV αW · · · αZ αU =

Ξ0

=

1

Sp αU e −βH0 αV αW · · · αZ =

Ξ0

γU (h¯β) −βH0 Sp e αU αV · · · αZ = = Ξ0

(0) = γU (h¯β) αU αV · · · αZ .

6.2


419

Dies ergibt in (6.57):

UV · · · YZ(0) 1 − εγU (h¯β) = γU γV · · · γZ (0) = [αU , αV ]−ε αW · · · αZ + (0) + + ε αV [αU , αW ]−ε · · · αZ + ···+ (0) + εp − 2 αV αW · · · [αU , αZ ]−ε . Es folgt schließlich mit (6.56): (0) (0) UVW · · · XYZ = UVW · · · XYZ + (0) + ε VUW · · · XYZ + + ···+ (0) + εp − 2 VW · · · UZ = (0) = UVW · · · XYZ +

(6.59)

(0) + UVW · · · XYZ + + ···+ (0) + UVW · · · XYZ . Die Kontraktion selbst ist eine C-Zahl, kann also aus dem Erwartungswert herausgezogen werden. Auf den verbleibenden Mittelwert lässt sich wieder (6.59) anwenden. Schließlich erhalten wir die totale Paarung. Mit (6.52) ist dann das verallgemeinerte Wick’sche Theorem (6.51) bewiesen. 6.2.2 Diagrammanalyse der großkanonischen Zustandssumme Wir beginnen mit der Analyse der großkanonischen Zustandssumme Ξ, aus der sich die gesamte makroskopische Thermodynamik des wechselwirkenden Teilchensystems ableiten lässt. Wir setzen die großkanonische Zustandssumme Ξ0 des nicht wechselwirkenden Systems als bekannt voraus und haben dann nach (6.37) zu berechnen:

(0) 1 Ξ = Sp e −βH0 U(h¯β, 0) = U(h¯β, 0) . (6.60)

Ξ0

Ξ0

420


Die zugehörige Störreihe ist ebenfalls in (6.37) angegeben. Ihr n-ter Term lautet:

n ¯hβ (0) 1 1 − · · · dτ1 · · · dτn Tτ V τ1 · · · V τn = n! h¯ 0

n 1 1 1 − ··· v k1 l1 ; n1 m1 · · · v(kn · · · ) · = n n! h¯ 2 k1 l1 m1 n1

·

¯ hβ

···

kn ln mn nn

(6.61)

dτ1 · · · dτn Tτ a+k1 τ1 a+l1 τ1 am1 τ1 an1 τ1 ·

0

!(0) · · · · · a+kn τn a+ln τn amn τn ann τn . Bis auf die Einschaltfaktoren und (−1 | h¯)n anstelle von (−i | h¯)n ist dieser Ausdruck mit (5.90), der Entwicklung für die Vakuumamplitude, identisch. Da auch die algebraische Struktur des verallgemeinerten Wick’schen Theorems (6.51) dieselbe ist wie im T = 0 -Fall, wenn man (5.84) mit dem Grundzustand | η0 des freien Systems mittelt, können wir praktisch alle in Abschn. 5.3 abgeleiteten Regeln und Gesetzmäßigkeiten direkt übernehmen. Die Feynman-Diagramme werden dieselben Strukturen wie im T = 0 -Fall haben. Wir können deshalb die in Abschn. 5.3 für die Vakuumamplitude durchgeführten Überlegungen fast unverändert hier wiederholen, wollen das aber nur stichpunktartig tun. Die Zeitargumente in einem Viererpaket a+k (τ)a+l (τ)am (τ)an (τ) haben wir früher in τ und τ aufgeteilt, um formal an einem Vertex unten und oben unterscheiden zu können. Darauf verzichten wir jetzt, vereinbaren aber, dass a+k und an an dem einen und a+l und am an dem anderen Vertexpunkt ankoppeln. Jede Kombination von Kontraktionen aus der totalen Paarung wird durch ein FeynmanDiagramm dargestellt. Die Zahl der Vertizes entspricht der Ordnung des Diagramms. Wir übernehmen die Notation aus Abschn. 5.3.2. Demnach bezeichnet Θ die Struktur eines Diagramms. Alle topologisch verschiedenen Diagramme gleicher Struktur liefern denselben Beitrag zur Störreihe, gehören aber zu unterschiedlichen Kombinationen von Kontraktionen, müssen deshalb gesondert gezählt werden. Ihre Zahl lässt sich angeben. Es gilt wie in (5.101): An (Θ) =

2n n! . h(Θ)

(6.62)

Der Faktor 2n resultiert aus dem Vertauschen von unten und oben am Vertex, n! aus der Permutation der Vertizes. h(Θ) ist die Zahl der topologisch gleichen Diagramme innerhalb der Struktur Θ. Diese entsprechen identischen Kombinationen von Kontraktionen, dürfen deshalb nur einmal gezählt werden.

6.2


421

Als zusammenhängende Diagramme bezeichnen wir wiederum solche, die durch keinen Schnitt in zwei selbstständige Diagramme niedrigerer Ordnung zerlegt werden können. Für den Beitrag aller zusammenhängenden Diagramme der Struktur Θ zur Ordnung n schreiben wir:

n 1 2n − (6.63) Un (Θ) = Un∗ D(n) , h(Θ) h¯ ¯ hβ

Un∗

(0) D(n) = · · · dτ1 · · · dτn Tτ V τ1 · · · V τn zus. .

(6.64)

0

Wir betrachten nun ein nicht zusammenhängendes Diagramm, das aus p zusammenhängenden Diagrammteilen mit n1 , n2 , . . ., np Vertizes besteht (n1 + n2 + · · · + np = n). Nicht zusammenhängende Diagramme haben keine gemeinsamen Integrations- oder Summationsvariablen in den Unterstrukturen. Deshalb faktorisiert der Gesamtbeitrag nach (6.64): Un∗ D(n) = Un∗1 D(n1 ) · · · Un∗p D(np ) . Gibt es unter den p zusammenhängenden Diagrammteilen p1 , . . . , pν gleiche der Struktur Θ1 , . . . , Θν

Θ = p1 Θ1 + p2 Θ2 + · · · + pν Θν ; p1 + p2 + · · · + pν = p , so ist in (6.63) h(Θ) = p1 ! hp1 Θ1 p2 ! hp2 Θ2 · · · pν ! hpν Θν

(6.65)

zu setzen. Die Fakultäten p1 !, p2 !, . . . , pν ! resultieren aus der Tatsache, dass das Vertauschen der pμ Diagrammteile untereinander zu topologisch gleichen Diagrammen führt. Als Gesamtbeitrag der Struktur ergibt sich dann: Un (Θ) =

1 pν 1 p1 1 p2 U Θ1 U Θ2 · · · U Θν . p1 ! p2 ! pν !

(6.66)

Wir können jetzt leicht die gesamte Störreihe für Ξ | Ξ0 kompakt formulieren: 0 ... ∞ Ξ 1 p1 1 p2 U Θ1 U Θ2 · · · = Ξ0 p1 , p2 , ... p1 ! p2 !

(6.67)

In dem Produkt rechts erscheinen alle paarweise verschiedenen zusammenhängenden Diagrammstrukturen. Jedes pν läuft von 0 bis ∞. Dies bedeutet Ξ = exp U Θ1 exp U Θ2 · · · Ξ0

422


oder

#

$

zus. Ξ . = exp U Θν Ξ0 ν

(6.68)

Dies entspricht dem Linked-Cluster-Theorem (5.112). Wir können uns also ab sofort bei der Auswertung der großkanonischen Zustandssumme auf die zusammenhängenden Diagramme beschränken. Die Analyse eines Diagrammteils erfolgt völlig analog zum T = 0 -Spezialfall. l

m

v(kl; nm) k

τi

n

Abb. 6.1. Bezifferung eines Vertex in der Diagrammanalyse von Matsubara-Funktionen

Die Vertizes werden mit Zeiten τi beziffert, deren Indizes von links nach rechts zunehmen. Jeder Vertex erhält den Faktor v(kl; nm). Die Faktoren 1 | 2 kürzen sich in der Gesamtbilanz gegen den Term 2n in (6.63) weg. ki

nj

M " = a+ki τi anj τj = εG0, τj − τi δki nj , ki

(6.69)

ni

kj

M τi − τj δni kj . " = ani τi a+kj τj = −G0, ni

(6.70)

τi

τi

τj

τj

Bei Gleichzeitigkeit (τi = τj = τ) vereinbaren wir wie im T = 0 -Fall, dass der Zeitordnungsoperator den Erzeuger nach links bringt: (0) ! = a+k (τ)ak (τ) = Tτ a+k (τ)ak τ − 0+ M + −0 = = −εG0, k

(6.71)

= εak (τ)a+k (τ) . Mit (6.44) bedeutet dies: a+k (τ)ak (τ) = nk (0) . Damit sind wir nun endgültig in der Lage, die Diagrammregeln für die großkanonische Zustandssumme Ξ | Ξ0 zu formulieren:

(6.72)

6.2


423

Man suche alle zusammenhängenden Diagramme mit paarweise verschiedener Struktur auf und berechne den Beitrag eines Diagramms n-ter Ordnung (n Vertizes, 2n Propagatoren) wie folgt: 1. Vertex ⇐⇒ v(kl; nm). M 2. Propagierende Linie ⇐⇒ −G0, kν (τν − τμ )δkν ,kμ (von τμ nach τν ). M + 3. Nicht propagierende Linie (Gleichzeitigkeit) ⇐⇒ −G0, kν (−0 )δkν kμ . 4. Summation über alle . . ., ki , li , mi , ni , . . . 5. Integration über alle τ1 , . . ., τn von 0 bis h¯β. n s 6. Faktor: − ¯h1 h(εΘ) ; S = Zahl der Schleifen. Die Schleifenregel, die in Regel 6. zu dem Faktor εs führt, wird wie im T = 0 Fall (5.100) bewiesen. M Die Zeitabhängigkeit der freien Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion G0, k (τ) ist nach (6.44) etwas unhandlich. Die notwendige Fallunterscheidung τ ≷ 0 macht die Auswertung der Feynman-Diagramme relativ kompliziert. Die energieabhängige Funktion ist dagegen wesentlich einfacher strukturiert (6.46). Nach (6.15) gilt:

0, M 1 i M = En . τ − τ exp − τ − τ E G0, 2 1 n 2 1 Gk k h¯β n h¯

(6.73)

In den Diagrammen vereinbaren wir die folgende Zuordnung:

τ1

τ2 - Gk0, M (τ2 - τ1) - Gk0, M (En )

1 i exp( En τ1) hβ h

1 i exp(- En τ1) hβ h

Jede an einem Vertexpunkt auslaufende Linie erhält einen zusätzlichen Faktor exp ¯hi En τ1 % . h¯β 1 i exp( El τ) hβ h 1 i exp( Ek τ) hβ h

τ

1 i exp(- Em τ) hβ h 1 i exp(- En τ) hβ h

Abb. 6.2. Vertex-Bezifferung für den

Übergang von zeit- zu energieabhängigen Matsubara-Funktionen

424


Die entsprechende, bei τ2 einlaufende Linie bringt den Faktor

% i exp − En τ2 | h¯β h¯ mit. Die Zeitabhängigkeiten stecken ausschließlich in diesen Exponentialfunktionen. Der Vertex bei τ enthält dann die skizzierten Faktoren, mit denen man die Zeitintegrationen leicht ausführen kann: 1 (h¯β)2

¯hβ

i Ek + El − Em − En τ = dτ exp h¯

0

¯hβ 1 exp ¯hi Ek + El − Em − En τ = = i (h¯β)2 0 ¯ h Ek + El − Em − En ⎧ falls Ek + El =/ Em + En , 1 ⎨0 , = h¯β ⎩1 , falls Ek + El = Em + En . Die Kombination (Ek + El − Em − En ) ist nach (6.17) sowohl für Bosonen als auch für Fermionen ein geradzahliges Vielfaches von π | β. Die Zeitintegrationen führen also zur Energieerhaltung am Vertex. Wir können nun noch einmal die Diagrammregeln für die großkanonische Zustandssumme Ξ | Ξ0 neu formulieren: Man suche alle zusammenhängenden Diagramme mit paarweise verschiedenen Strukturen und berechne den Beitrag eines Diagramms n-ter Ordnung nach den folgenden Vorschriften: 1. Vertex ⇐⇒ v(kl; nm) ¯h1β δEk +El ,Em +En . 2. Ausgezogene Linie (propagierend oder nicht propagierend): M Enk = −G0, k

−h¯ . iEnk − ε(k) − μ

3.

Nicht propagierende Linien zusätzlich:

i exp Enk 0+ . h¯

4. 5.

Summationen über alle . . ., ki , li , mi , ni , . . . und über alle Eni . n s Faktor: − ¯h1 h(εΘ) ; S = Zahl der Schleifen.

Der konvergenzerzeugende Faktor für nicht propagierende Linien in Regel 3. kann direkt an (6.73) abgelesen werden. Er folgt aus unserer Vereinbarung, bei Gleichzeitigkeit den Grenzübergang

τ2 −→ τ1 − 0+

6.2


425

zu vollziehen. Dies bedeutet aber, dass wir einer ausgezogenen Linie, die an ein und demselben Vertex beginnt und endet, neben dem Beitrag 2. noch den Faktor 3. zuordnen müssen. Die in Regel 4. geforderten Wellenzahlsummationen werden wir praktisch immer durch Übergang in den thermodynamischen Limes durch eine entsprechende Integration ersetzen können: V d3 k . ⇒ (6.74) (2π)3 k

Neu für uns sind die Summationen über die Matsubara-Energien En , für die (6.17) gilt. Auch diese Summationen lassen sich in Integrationen umwandeln. Sei F = F(iEn ) irgendeine Funktion dieser En , dann gilt: +∞ −1 1 F E F(iEn ) = dE (6.75) . h¯β n = −∞ 2πh¯i 1 − ε e βE C

Mit C ist der in Abb. 6.3 skizzierte Weg der komplexen E -Ebene gemeint. – Wenn die Funktion F(E ) im Unendlichen stärker als 1 | E verschwindet, dann werden wir später C durch die Kontur C ersetzen dürfen. Zum Beweis von (6.75) formen wir die rechte Seite wie folgt um: F E −1 I= dE f E . 2πh¯i n E − iEn Cn

Dabei soll

E − iEn f E = 1 − ε e βE sein. f E bleibt endlich für E = iEn : d dE E − iEn f E = iEn = lim d = βE E → iEn dE 1 − ε e 1 1 . = lim = − β E → iEn −εβ e βE Im E ¢ Im E ¢ E¢

´ C

´ ´ ´

En

Re E ¢

´

C¢

´ ´

E¢

´ ´ ´ ´

Re E En

Abb. 6.3. Integrationswege in der komplexen Energieebene zur Durchführung von Summationen

über Matsubara-Energien

426


Der Integrand von I hat also einen Pol erster Ordnung bei E = iEn mit dem Residuum − β1 F(iEn ). Nach dem Residuensatz folgt dann für I: I=

1 F iEn . h¯β n

Das beweist die Behauptung (6.75). Wir wollen im nächsten Abschnitt an einem konkreten Beispiel die Anwendung der Diagrammregeln üben. 6.2.3 Ringdiagramme Wie in Abschn. 5.5 für die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells demonstriert, so spielen auch bei der großkanonischen Zustandssumme Ξ die Ringdiagramme eine entscheidende Rolle. Sie lassen sich exakt aufsummieren. Das wollen wir wieder für das Jellium-Modell, also für ein System von Fermionen, durchführen. Betrachten wir als Beispiel das Ringdiagramm dritter Ordnung: k1 + q, E1 + E0

k1 , E1

q

k2 + q, E 2 + E0

q

k3 + q, E 3 + E0

k2 , E2 q

k3 , E3

Energie- und Impulserhaltung sind bei der Bezifferung des Diagramms bereits berücksichtigt worden. Die Eν ’s sind nach Voraussetzung Fermiquanten, π , Eν = 2nν + 1

β

folglich muss der Energieübertrag E0 ein Bose-Quant sein: E0 = 2n0

π . β

Wir haben wegen der Spinerhaltung am Vertex noch drei unabhängige Spinsummationen zu berücksichtigen. Der Beitrag I3 ergibt sich dann zu:

6.2


427

3 1 (−1)3 V 4 · · · d3 q d3 k1 d3 k2 d3 k3 I3 = 23 − h¯ h(Θ3 ) (2π)12 (5)

·

E0 E1 E2 E3

(4)

3

& 1 3 −h¯ −h¯ v (q) . · (h¯β)3 iEν − ε kν + μ i Eν + E0 − ε kν + q + μ ν=1 (1)

(2)

Wir ziehen den Term 1 −h¯ −h¯ ' Λq k; E0 = h¯β E iEn − ε(k) + μ i En + E0 − ε(k + q) + μ

(6.76)

n

heraus und definieren noch h¯Λ(0) q (E0 ) = 2

V (2π)3

d3 k ' Λq k; E0 .

(6.77)

Dies entspricht der niedrigsten Näherung (5.182) des Polarisationspropagators. Der Faktor 2 resultiert aus der Spinentartung. Damit lässt sich nun der Diagrammbeitrag I3 wie folgt schreiben: 3 1 V d3 q v(q)Λ(0) E0 . (6.78) I3 = q 3 h Θ3 (2π) E 0

Dies lässt sich leicht auf eine beliebige Ordnung n des Ringdiagramms erweitern. Für die Zahl h(Θn ) der topologisch gleichen Ringdiagramme findet man (6.79) h Θn = 2n . Topologisch gleiche Diagramme erhält man z. B. durch zyklisches Vertauschen der Vertizes. Das ergibt n Möglichkeiten. Vertauschen von oben und unten gleichzeitig an den Vertizes liefert noch einmal einen Faktor 2. Für den Beitrag n-ter Ordnung gilt also: 1 n 1 V 3 v(q)Λ(0) d E0 q , n≥2. (6.80) In = q 2 (2π)3 n E 0

Der Beitrag n = 1 ist noch ausgespart. Es handelt sich um ein Gleichzeit-Diagramm, das nach Regel 3. einen zusätzlichen Faktor exp ¯hi E0 0+ bekommt. Wir werden sehen, dass ohne diesen Faktor der n = 1 -Beitrag zur großkanonischen Zustandssumme

k1 + q1 E1 + E0

q

k1 + E0

Abb. 6.4. Diagramm erster Ordnung in der Ringdiagramm-Näherung

zur großkanonischen Zustandssumme

428


divergieren würde. Da er andererseits in den n ≥ 2 -Termen nicht stört, fügen wir ihn in (6.80) allgemein für alle n ein:

n

∞ ∞ 1 V 1 i 3 (0) + v(q) E d . In = q Λ (E ) exp 0 0 0 q 2 (2π)3 n h¯ E n=1 n=1 0

Mit ln(1 − x) = −

∞ n x n n=1

lässt sich die Ringdiagramm-Näherung der großkanonischen Zustandssumme dann wie folgt schreiben, wenn man noch bedenkt, dass der n = 0 -Term gerade die 1 liefert:

1 V Ξ d3 q =1− ln 1 − v(q)Λ(0) (6.81) q (E0 ) . 3 Ξ0 Ring 2 (2π) E 0

Wir schreiben den konvergenzerzeugenden Faktor nicht explizit hin, fügen ihn lediglich bei Bedarf ein. Bleibt schließlich noch Λ(0) q (E0 ) auszuwerten. Wir berechnen dazu zunächst nach ' (6.76) Λq (k; E0 ). Mit (6.75) gilt: −1 dE h¯2 ' . Λq k; E0 = β E 2πh¯i 1+e E − ε(k) + μ E + iE0 − ε(k + q) + μ C

Der Bruch rechts verschwindet im Unendlichen wie 1 | E2 . Wir können also den Weg C durch C ersetzen (s. Abb. 6.3). Zwei Pole erster Ordnung liegen im von C berandeten Gebiet, die jeweils mathematisch negativ umlaufen werden. Mit dem Residuensatz folgt dann: h¯ ' + Λq (k; E0 ) = β ( ε (k) − μ ) 1+e ε(k) − ε(k + q) + iE0 h¯ . + 1 + e β(ε(k + q) − μ) e −iβE0 E0 ist ein Bose-Quant, und damit ist e iβE0 = +1. Es bleibt: (0)

n (0) − nk+q ' Λq (k; E0 ) = h¯ k . ε(k) − ε(k + q) + iE0

(6.82)

Das Ergebnis

Λ(0) q (E0 ) vergleiche man mit (5.192).

2V = (2π)3

(0)

nk (0) − nk+q d k ε(k) − ε(k + q) + iE0 3

(6.83)

6.2


429

Wenn wir dieses Resultat in (6.81) einsetzen, so können wir die Summation über die Matsubara-Frequenzen E0 wieder mithilfe von (6.75) in eine Integration verwandeln. In der Reihenentwicklung für den Logarithmus würde der n = 1 -Term dann ohne den konvergenzerzeugenden Faktor exp ¯hi E0 0+ Schwierigkeiten machen, da Λ(0) q sich im Unendlichen nur wie 1 | E0 verhält. Mit diesem Faktor sind zwei Fälle zu unterscheiden: 1. |E| → ∞ mit Re E > 0: Der gesamte Integrand verhält sich asymptotisch wie 1

+ 1 ¯ h Re E0 + Re E . exp ∼ exp − βh¯ − 0 exp(βE) |E| |E| h¯

2.

Da βh¯ > 0+ > 0 gilt, sind die Voraussetzungen für Jordan’s Lemma erfüllt. Wir können also die Kontur C durch C ersetzen. |E| → ∞ mit Re E < 0: Der Integrand verhält sich nun asymptotisch wie exp ¯h1 Re E0+ 1 1 |E| und erfüllt damit ebenfalls die Voraussetzungen.

6.2.4 Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion Die wichtigsten Vorbereitungen für eine diagrammatische Analyse der Ein-TeilchenMatsubara-Funktion haben wir bereits in Abschn. 6.1.3 getroffen. Die folgenden Überlegungen bauen auf (6.49) auf und laufen weitgehend parallel zu denen in Abschn. 5.3.3. Die zum mit 1 | Ξ0 multiplizierten Zähler in (6.49) beitragenden Diagramme der Störreihe sind sämtlich offen. Sie besitzen zwei ausgezogene äußere Linien, von denen die eine bei τ2 startet, die andere in τ1 einläuft. Hängt ein Diagrammteil an einem dieser beiden äußeren Anschlüsse, dann notwendig auch an

τ1

τ2

Abb. 6.5. Allgemeine Struktur eines offenen Diagramms für die

Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion

430


dem anderen. Das erfordert die Teilchenzahlerhaltung. Zu jeder Kombination von Kontraktionen tragen gleich viele Erzeuger wie Vernichter bei. Jedes so geartete offene Diagramm besteht aus einem offenen, zusammenhängenden Diagramm plus Kombinationen von geschlossenen, zusammenhängenden Diagrammen aus der Entwicklung von Ξ. Man erhält demnach alle Diagramme, wenn man zu jedem offenen, zusammenhängenden Diagramm D0 mit zwei äußeren Anschlüssen alle möglichen Ξ | Ξ0 -Diagramme hinzunimmt. Letztere ergeben nach (6.68) den Faktor $ # zus. . exp U Θν ν

Der Gesamtbeitrag aller Diagramme der Störreihe für den mit 1 | Ξ0 multiplizierten Zähler in (6.49) ist dann: ⎧ ⎫ $ # zus. ⎨ ⎬ . U(D0 ) exp U Θν ⎩ ⎭ ν D0

Der letzte Faktor kürzt sich gerade gegen den mit 1 | Ξ0 multiplizierten Nenner in (6.49) weg, sodass für die Matsubara-Funktion bleibt: (0) ¯β, 0)ak τ1 a+k τ2 zus. . GM k τ1 , τ2 = − Tτ U(h offen

(6.84)

Die Diagrammregeln für die zeitabhängige Funktion leiten sich direkt aus denen für die großkanonische Zustandssumme ab, die wir im Anschluss an (6.72) formuliert haben, wobei lediglich Summationen und Integrationen auf innere Variable zu beschränken sind. Wir gehen deshalb direkt zu der energieabhängigen Funktion über. Zunächst erkennt man leicht, dass jedes zusammenhängende Diagramm mit zwei äußeren Linien kein topologisch gleiches Diagramm gleicher Struktur besitzt: h Θn = 1 ∀n .

(6.85)

Wir können praktisch alle Regeln aus Abschn. 6.2.2 übernehmen, lediglich die äußeren Linien benötigen eine gewisse Sonderbehandlung. Wegen Energieerhaltung an jedem Vertex werden die beiden äußeren Linien dieselbe Energie En tragen: Links:

τ1

τi

6.2


431

M − G0, τ1 − τi = k + + , ,

i 1 1 1 0, M % exp − En τ1 % exp = En τi En −Gk . h¯ h¯ h¯β h¯β n (1)

(2)

(3)

Der Beitrag (3) wird dem Vertex zugeordnet und sorgt dort für Energieerhaltung. (2) wird von der durchgezogenen, äußeren Linie übernommen. (1) wird für die gesamte Fourier-Zerlegung benötigt. Rechts:

τj

τ2

M − G0, τj − τ2 = k + + , ,

i 1 1 1 0, M % exp − En τj % exp = −Gk En . En τ2 h¯ h¯ h¯β h¯β n (1)

(2)

(3)

(1) geht in den Vertex, (2) wird der äußeren Linie zugeordnet, (3) erscheint in der Fourier-Zerlegung. Liefern die inneren Linien insgesamt den Beitrag I, so folgt:

1 0, M 2 i = E , (6.86) τ − τ I −G exp − τ − τ −GM E 1 2 n n 1 2 k k h¯β n h¯ 2 0, M E = I G E −GM . n n k k

(6.87)

Damit haben wir nun die Diagrammregeln für −GM k En . Man suche alle zusammenhängenden Diagramme mit zwei äußeren Linien und paarweise verschiedener Struktur. Ein Diagramm n-ter Ordnung (n Vertizes; 2n + 1 ausgezogene Linien, davon 2 äußere) wird nach folgenden Vorschriften ausgewertet: 1. Vertex: v(kl; nm) ¯h1β δEk +El ,Em +En . 2. Ausgezogene (propagierende und nicht propagierende) Linie: M = −G0, ki

−h¯ . iEnki − ε ki + μ

432


3.

Zusätzlicher Faktor für nicht propagierende Linie

i exp Enk 0+ . h¯

4. 5. 6.

Summation über alle inneren ki , li und alle inneren Matsubara-Energien. M En . Ausgezogene äußere Linien: G0, k 1 n s Faktor: − ¯h ε ; S = Zahl der Schleifen.

Wir wollen zum Schluss als Anwendungsbeispiel die Diagramme nullter und erster Ordnung für das wechselwirkende Elektronensystem (ε = −1) explizit berechnen: l, El

k, En

=

k, En

+

q=0 k, En

k, En

l ¢- k +

k, En

l,¢ El ¢

k, En

Obige Regeln schreiben den folgenden Beitrag vor: 0, M M (1) 2 V 0, M 3 d = Gkσ En + 2 l Glσ El · Gkσ En h¯ β (2π)3 n l

i + 0, M 2 Gkσ En · v(0) exp El 0 + h¯

0, M 1 V d 3 l Gl σ El v l − k · + − 2 3 h¯ β (2π) n l

2 i M E · exp . El 0+ G0, n kσ h¯

Dies kann man wie folgt zusammenfassen: M (1) M M 1 (1) 0, M En + G0, En Σkσ En Gkσ En , Gkσ En = G0, kσ kσ h¯ 1 (1) 1 V d3 l Σ En = 2 (2v(0) − v(l − k)) · h¯ kσ h¯ β (2π)3 n l

i + 0, M · exp El 0 Glσ (El ) . h¯

(6.88)

(6.89)

In dieser Näherung ist die Selbstenergie energieunabhängig. Wir sehen aber an diesem Beispiel, dass auch der T =/ 0 -Matsubara-Formalismus die Definition einer Selbstenergie zulässt. Das ist natürlich auch kein Wunder, da T = 0 und T =/ 0 Diagramme strukturell identisch sind. Sämtliche Dyson-Gleichungen des fünften Kapitels können direkt übernommen werden.

6.2


433

Der T =/ 0 -Matsubara-Formalismus benötigt an keiner Stelle die Hypothese des adiabatischen Einschaltens, die mit einer gewissen Unsicherheit behaftet ist. Das Gell-Mann–Low-Theorem garantiert nur, dass der adiabatisch eingeschaltete Zustand ein Eigenzustand des vollen Hamilton-Operators ist. Es muss, ausgehend vom Grundzustand des freien Systems, sich nicht notwendig nach dem Einschalten der Wechselwirkung der Grundzustand des wechselwirkenden Systems ergeben. Das wird zwar in der Regel der Fall sein, man kann aber auch in einem angeregten Zustand landen. Der T → 0 -Grenzübergang im Matsubara-Formalismus ergibt dagegen in jedem Fall den Grundzustand (W. Kohn, J. M. Luttinger: Phys. Rev. 118, 41 (1960)).

434

6.3


6.3 Kontrollfragen Zu Abschnitt 6.1 1. Warum ist die retardierte Green-Funktion für Störungstheorien ungeeignet? 2. Warum lässt sich das Wick’sche Theorem aus Abschn. 5.2.2 nicht auch für T =/ 0 Probleme ausnutzen? 3. Welcher enge Zusammenhang besteht zwischen den Korrelationsfunktionen A(t)B t und B t A(t) , wenn man für die Zeitvariable formal komplexe Werte zulässt? 4. Die Matsubara-Methode geht von rein imaginären Zeiten aus (τ = it reell!). Wie sieht die modifizierte Heisenberg-Darstellung für zeitabhängige Operatoren in diesem Fall aus? 5. Wie ist die Matsubara-Funktion definiert? Wie lautet ihre Bewegungsgleichung? 6. Welche Periodizität weist die Matsubara-Funktion auf? 7. Wie erhält man aus der Matsubara-Funktion die eigentlich interessierende retardierte Green-Funktion? 8. Geben Sie Bewegungsgleichung und weitere Eigenschaften des Zeitentwicklungsoperators in der Dirac-Darstellung bei rein imaginären Zeiten an. 9. Wie lautet die formale Lösung des Zeitentwicklungsoperators UD (τ, τ )? 10. Drücken Sie e −βH durch UD aus. 11. Wie ist die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion GM k (τ) definiert? 12. Wie sieht die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion für das nicht wechselwirkende System aus? 13. Welche Form der Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion eines wechselwirkenden Systems ist für die diagrammatische Störungstheorie geeignet? 14. Wird die Hypothese des adiabatischen Einschaltens der Störung im MatsubaraFormalismus auch benötigt? 15. Welche Größe übernimmt im Matsubara-Formalismus die Rolle der Vakuumamplitude in der T = 0 -Theorie?

Zu Abschnitt 6.2 1. Wie wird im Matsubara-Formalismus die Kontraktion definiert? 2. Formulieren Sie das so genannte verallgemeinerte Wick-Theorem! Handelt es sich um eine Operatoridentität? 3. Wie unterscheiden sich die Diagrammregeln für die großkanonische Zustandssumme Ξ von denen für die T = 0 -Vakuumamplitude? 4. Gibt es ein Linked-Cluster-Theorem für Ξ? 5. Wie führt man Summationen über Matsubara-Energien aus? 6. Beschreiben Sie die Ringdiagramm-Näherung der großkanonischen Zustandssumme.

6.3

7. 8. 9.

Kontrollfragen

435

Erläutern Sie, warum für die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion nur offene, zusammenhängende Diagramme mit zwei äußeren Linien aufzusummieren sind. Formulieren Sie die Diagrammregeln für die energieabhängige Ein-TeilchenMatsubara-Funktion. Lassen sich auch im Matsubara-Formalismus Dyson-Gleichungen formulieren?

Lösungen der Übungsaufgaben

437

Lösungen der Übungsaufgaben Abschnitt 1.4 Lösung zu Aufgabe 1.4.1 1. Hamilton-Operator des Zwei-Teilchen-Systems:

H = H1 + H2 = −

1.4.1

h¯2 Δ1 + Δ2 + V x1 + V x2 . 2m

Nicht symmetrisierter Eigenzustand: | ϕα1 ϕα2 = | ϕα(1)1 | ϕα(2)2 . Ortsdarstellung:

x1 x2 | ϕα1 ϕα2 = ϕn x1 ϕm x2 χS m(1) , χS m(2) S S

χS :

Spinfunktion (identische Teilchen haben gleichen Spin S)

α1 = n, mS ; α2 = m, mS . 2.

Lösung des Ein-Teilchen-Problems: 2 h¯ − Δ + V(x) ϕ(x) = Eϕ(x) . 2m Zunächst gilt:

ϕ(x) ≡ 0 für x < 0 und x > a . Für 0 ≤ x ≤ a ist zu lösen: −

h¯2 Δϕ(x) = Eϕ(x) . 2m

Lösungsansatz:

ϕ(x) = c sin γ1 x + γ2 . Randbedingungen:

ϕ(0) = 0

⇒

ϕ(a) = 0

⇒

γ2 = 0 , π γ1 = n ; n = 1, 2, 3, . . . . a

Energie-Eigenwerte: E=

h¯2 2 γ 2m 1

⇒

En =


h¯2 π2 2 n ; 2ma2

n = 1, 2, . . . .

438


Eigenfunktionen:

π ϕn (x) = c sin n x , a

a

!

1=c

2

1

π sin n x dx a 2

⇒

c=

2 , a

0

⎧1 ⎪ ⎨ 2 sin n π x a a ϕn (x) = ⎪ ⎩0

für 0 ≤ x ≤ a , sonst.

3.

Zwei-Teilchen-Problem:

4.

(+): Bosonen, (−): Fermionen: (n, mS ) =/ (m, mS ) wegen Pauli-Prinzip. Grundzustandsenergie des N-Teilchen-Systems:

1

± χS m(2) | ϕα1 ϕα2 (±) −→ √ ϕn x1 ϕm x2 χS m(1) S S 2

(1) ± ϕn x2 ϕm x1 χS m(2) m , χ S S S

Bosonen: Alle Teilchen im n = 1 -Zustand: E0 = N

h¯2 π2 . 2ma2

Fermionen: N |2

E0 = 2

h¯2 π2 h¯2 π2 N 3 2 n ≈ 2ma2 2ma2 24 n=1

mit N |2

n=1

1.4.2

2

n

≈

N >> 1

N |2 N3 1 N3 2 −1 ≈ . n dn = 3 8 24 1

Lösung zu Aufgabe 1.4.2 1.

P12 |0, 0 t = − |0, 0 t P12 1, MS t = 1, MS t

MS = 0, ±1

antisymmetrisch, symmetrisch.


2.

439

Beweis wird komponentenweise geführt: $ (2) P12 S1z P12 m(1) S1 , mS2 = $ $ (2) (1) (1) = , m h ¯ m P , m = P12 S1z m(2) m S 12 2 S1 S2 S1 S2 = $ $ (2) (2) z (1) = h¯mS2 m(1) S1 , mS2 = S2 mS1 , mS2 . Gilt für beliebige Zwei-Teilchen-Zustände, damit auch für die symmetrisierten Basis-Zustände des H2(±) . Es ist somit im H2(±) P12 S1z P12 = S2z eine Operatoridentität. Analog zeigt man: P12 S2z P12 = S1z . Bleiben noch die x- und y-Komponenten: 1 + 1 + y Sj + S−j ; Sj = Sj − S−j ; j = 1, 2 . Sxj = 2 2i Es gilt: $ $ (1) (2) ± (2) (1) P12 S± 1 P12 mS1 mS2 = P12 S1 mS1 mS2 = 0

(1) $ 1 1 ∓ mS2 ± mS2 + 1 P12 m(2) = = h¯ S1 , mS2 ± 1 2 2 0

(2) $ 1 1 = h¯ = ∓ mS2 ± mS2 + 1 m(1) S1 , mS2 ± 1 2 2 $ (1) (2) = S± , m m S1 S2 . 2 Schlussfolgerung wie oben: ± P12 S± 1, 2 P12 = S2, 1 .

Damit folgt auch: x, y

x, y

P12 S1, 2 P12 = S2, 1 . 3.

Dies beweist die Behauptung.

S1 · S2 = S1z S2z + 12 S+1 S−2 + S−1 S+2 . mS1 = mS2 = mS

$ (2) ∓ (1) =0, S± S , m m S S 1 2

$ h¯2 $ (1) (2) (2) S1z S2z m(1) = , , m , m m S S S S 4 $ $ $ 4 1 (1) (2) (2) (1) (2) 1 + 2 S1 · S2 m(1) = = . , m , m , m m m S S S S S S 2 h¯

440


mS1 =/ mS2 $

(1)

(2) $ (2) 2 = = S+1 S−2 m(1) , m h ¯ δ δ , mS2 − 1 mS1 , −(1 | 2) mS2 , (1 | 2) mS1 + 1 S1 S2 $ (2) , m = h¯2 δmS1 , −(1 | 2) δmS2 , (1 | 2) m(1) S2 S1 = $ (1) = h¯2 δmS1 , −(1 | 2) δmS2 , (1 | 2) m(2) S1 , mS2 . Analog:

$ $ (2) (1) S−1 S+2 m(1) ¯2 δmS2 , −(1 | 2) δmS1 , (1 | 2) m(2) S1 , mS2 = h S1 , mS2 , $ h¯2 $

1 + − (2) (1) (2) S1 S2 + S−1 S+2 m(1) , m mS1 , mS2 . S1 S2 = 2 2

Außerdem gilt: $ h¯2 (1) (2) $ (2) S1z S2z m(1) mS1 , mS2 . S1 , mS2 = − 4 Insgesamt bleibt somit: $ 4 1 (2) 1 + 2 S1 · S2 m(1) S1 , mS2 = 2 h¯ 4 h¯2 (1) (2) $ 1 4 h¯2 (2) (1) $ 1 1− 2 = mS1 , mS2 + mS1 , mS2 = 2 h¯ 4 2 h¯2 2 $ (1) = m(2) S1 , mS2 . Damit gilt offensichtlich ganz allgemein: $ $ (2) (1) (2) P12 m(1) S1 , mS2 = mS1 , mS2 .

1.4.3

Lösung zu Aufgabe 1.4.3 Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang: N=1:

0 | aβ1 a+α1 | 0 = 0| δ β1 − α1 + εa+α1 aβ1 |0 =

= δ β1 − α1 0 | 0 + ε 0 | a+α1 aβ1 | 0 =

= δ β1 − α1 .


441

N=2:

0 | aβ2 aβ1 a+α1 a+α2 | 0 =

= 0| aβ2 δ β1 − α1 + εa+α1 aβ1 a+α2 |0 =

= δ β1 − α1 0| δ β2 − α2 + εa+α2 aβ2 |0 +

+ ε 0| aβ2 a+α1 δ β1 − α2 + εa+α2 aβ1 |0 =

= δ β1 − α1 β2 − α2 + ε β1 − α2 0| β2 − α1 + εa+α1 aβ2 |0 =

= β1 − α1 β2 − α2 + ε β1 − α2 β2 − α1 . Induktionsschluss N − 1 → N: αβ1 nach rechts „durchziehen“! ↓

0| aβN · · · aβ1 a+α1 · · · a+αN |0 =

= β1 − α1 0| aβN · · · aβ2 a+α2 · · · a+αN |0 +

+ ε β1 − α2 0| aβN · · · aβ2 a+α1 a+α3 · · · a+αN |0 + + ···+

+ εN−1 δ β1 − αN 0| aβN · · · aβ2 a+α1 a+α2 · · · a+αN − 1 |0 = Induktionsvoraussetzung

P

↓ = β1 − α1 ε α Pα δ β2 Pα

+ εδ(β1 −α2 )

− α2 · · · δ βN − αN +

εPα Pα δ(β2 − α1 )δ β3 − α3 · · · δ βN − αN +

Pα

+ ···+

P

+ εN−1 δ β1 − αN ε α Pα δ β2 − α1 δ β3 − α2 · · · δ βN − αN − 1 = =

Pα

εPα Pα δ β1 − α1 δ β2 − α2 · · · δ βN − αN

q. e. d.

Pα

Lösung zu Aufgabe 1.4.4 Ein-Teilchen-Basis:

|k

1.4.4

⇐⇒

r | k = ϕk (r) = (2π)−3 | 2 e ik · r ebene Welle.

442


Operator der kinetischen Energie: N p2i 2m i=1

Matrixelement:

⇒

d3 kd3 k k|

p2 + |k ak ak . 2m

2 p2 h¯ 3 ∗ d r k | r r| |k = d r ϕk (r) − Δ ϕk (r) = 2m 2m

h¯2 k2 h¯2 k2 δ k − k . = (2π)−3 d3 r e −i (k−k ) · r = 2m 2m

p2

k| |k = 2m

3

Ein-Teilchen-Operator: N p2i 2m i=1

⇒

dk

h¯2 k2 + a ak . 2m k

Operator der Coulomb-Wechselwirkung: i =/ j

1 Vij 2

1 2

⇒

i, j

···

d3 k1 d3 k2 d3 k3 d3 k4 k1 k2 V12 k3 k4 a+k1 a+k2 ak4 ak3 .

Das Matrixelement darf symmetrisiert, aber auch nicht symmetrisiert sein: ' $ $ ' (2) (1) (2) . k V M ≡ k(1) k k 12 1 2 3 4 Ortsdarstellung günstig, da dann V12 diagonal ist: ' ' $' $' (1) (1) (2) (2) (2) r r r k r M = · · · d3 r1 · · · d3 r4 k(1) 1 1 1 2 2 2 · (1) $ ' (1) (1) $ (2) $ ' (2) (2) $ r 3 k3 r 4 k4 = · V rˆ(1) − rˆ(2) r 4 r 3 =

···

$' $ ' (1) (1) (1) r1 r3 · d3 r1 · · · d3 r4 V r 3 − r 4 k(1) 1 r1

$' $' $' $ ' (2) (2) (2) (1) (1) (2) (2) r2 r4 r 3 k3 r 4 k4 = · k(2) 2 r2 = (2π)

−6

d3 r1 d3 r2 V r 1 − r 2 e −i (k1 − k3 ) · r1 e −i (k2 − k4 ) · r2 .

Mit Koordinatenwechsel r = r1 − r2 ;

R=

1 r1 + r2 2

⇒

1 r1 = r + R , 2 1 r2 = R − r 2


folgt weiter: M = (2π)−6 ·

443

d3 R e −i (k1 − k3 + k2 − k4 ) · R · 1

d3 r V(r) e − 2 (k1 − k3 − k2 +k4 ) · r =

= (2π)−3 δ k1 − k3 + k2 − k4

d3 r V(r) e −(k1 − k3 ) · r =

= V(k1 − k3 )δ k1 − k3 + k2 − k4 . Substitution: k1 → k + q ,

k2 → p − q ,

k3 → k .

Ergebnis: i =/ j

1 1 Vij → 2 2

d3 k d3 p d3 q V(q)a+k + q a+p − q ap ak

q. e. d.

i, j

Lösung zu Aufgabe 1.4.5

1.4.5

H = T+ V, h¯2 k2 + T = d3 k a ak , 2m k 1 d3 k d3 p d3 q V(q)a+k + q a+p − q ap ak . V= 2 1.

, N T −=

3

d p

d3 k

h¯2 k2 nˆ p , nˆ k − , 2m

nˆ p , nˆ k − = a+p ap a+k ak − nˆ k nˆ p =

= a+p δ(p − k) + εa+k ap ak − nˆ k nˆ p = = δ(p − k)a+p ak + ε2 a+k a+p ap ak − nˆ k nˆ p = = δ(p − k)ˆnk + εa+k a+p ak ap − nˆ k nˆ p = = δ(p − k)ˆnk + εa+k εak a+p − εδ(p − k) ap − nˆ k nˆ p = = δ(p − k)ˆnk + nˆ k nˆ p − δ(p − k)a+k ap − nˆ k nˆ p =

⇒

=0

, N T −=0.

444


2.

1 , V = N 2 =

1 2

d3 q¯ d3 k d3 p d3 q V(q) a+q¯ aq¯ , a+k + q a+p − q ap ak =

d3 q¯ d3 k d3 p d3 q V(q) δ(¯q − k − q)a+q¯ a+p − q ap ak +

−

+ εδ(¯q − p + q)a+q¯ a+k + q ap ak − ε5 δ(¯q − p)a+k + q a+p − q ak aq¯ − − ε6 δ(¯q − k)a+k + q a+p − q ap aq¯ = =

1 2

d3 k d3 p d3 q V(q) a+k + q a+p − q ap ak + εa+p − q a+k + q ap ak −

− εa+k + q a+p − q ak ap − a+k + q a+p − q ap ak = 1 = 2

d3 k d3 p d3 q V(q) 2a+k + q a+p − q ap ak − 2a+k + q a+p − q ap ak =

=0 ⇒

1.4.6

, N V −=0.

Lösung zu Aufgabe 1.4.6 Nach Abschn. 1.2 gilt für den Zusammenhang zwischen Feldoperatoren und allgemeinen Konstruktionsoperatoren: ψ+ (r) = dα ϕα∗ (r)a+α ,

ψ(r) =

dα ϕα (r)aα .

In der k-Darstellung mit ebenen Wellen bedeutet dies: ψ+ (r) = (2π)−3 | 2 d3 k e −ik · r a+k ,

ψ(r) = (2π)−3 | 2

d3 k e ik · r ak .

Wir diskutieren zunächst die kinetische Energie: 2 h¯ 3 + ψ (r) − Δr ψ(r) = T = d r 2m 2 h¯ d3 r d3 k d3 k e −ik · r − Δr e ik · r a+k ak = = (2π)−3 2m


=

d3 k

=

d 3 k d 3 k

445

h¯2 k2 2m

2

h¯2 k 2m

a+k ak (2π)−3

d3 r e −i (k − k ) · r =

δ(k−k )

a+k ak .

Etwas mehr Aufwand erfordert die potentielle Energie:

1 d3 r d3 r V= ψ+ (r) ψ+ r V r − r ψ r ψ(r) = 2

1 d3 r d3 r V r − r · · · d3 k1 · · · d3 k4 · = (2π)−6 2

· a+k1 a+k2 ak3 ak4 e −i (k1 r + k2 r ) e i (k3

· r + k4 · r)

.

Schwerpunkt- und Relativkoordinaten: r¯ = r − r ; ⇒ Dies bedeutet: V=

1 2

d3 R e −i (k1 + k2 − k3 − k4 )R ·

1

d3 ¯r V(¯r) e i 2 (−k1 + k2 − k3 + k4 )¯r =

···

· (2π)−3 1 2

1 1 r¯ + R ; r = R − r¯ . 2 2

d3 k1 · · · d3 k4 a+k1 a+k2 ak3 ak4 ·

···

· (2π)−3

=

1 r + r 2

· (2π)−3

1 = 2

r=

R=

d3 k1 · · · d3 k4 a+k1 a+k2 ak3 ak4 δ k1 + k2 − k3 − k4 · 1

d3 ¯r V(¯r) e i 2 (−k1 + k2 − k3 + k4 ) · r¯ =

d3 k1 d3 k2 d3 k3 a+k1 a+k2 ak3 ak1 + k2 − k3 ·

· (2π)−3

d3 ¯r V(¯r) e i (k2 − k3 ) · r¯ .

Setzt man k1 → k + q ;

k2 → p − q ;

k3 → p ,

dann gilt mit V(q) = V(−q): 1 = d3 k d3 p d3 q V(q)a+k + q a+p − q ap ak V 2

q. e. d.

446

1.4.7


Lösung zu Aufgabe 1.4.7 1. nˆ α , a+β = nˆ α a+β − a+β nˆ α = a+α aα a+β − a+β nˆ α = − = a+α δαβ + εa+β aα − a+β nˆ α = δαβ a+α + ε2 a+β a+α aα − a+β nˆ α =

= δαβ a+α . 2.

3.

nˆ α , aβ − = nˆ α aβ − aβ nˆ α = εa+α aβ aα − aβ nˆ α =

= aβ a+α − δαβ aα − aβ nˆ α = −δαβ aα . 1.

+ ˆ a+α = n ˆ , a = δγα a+α = a+α . N, γ α − − γ

4.

γ

, aα = N nˆ γ , aα − = δγα (−aα ) = −aα . − γ

1.4.8

γ

Lösung zu Aufgabe 1.4.8 1. [aα , aβ ]+ = 0. Daraus folgt speziell für α = β: 2 2 2 0 = [aα , aα ]+ = aα + aα = 2 aα

⇒

2 aα = 0 .

Wegen des Pauli-Prinzips können zwei Fermionen nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen. Es können deshalb auch nicht zwei gleiche Fermionen vernichtet werden. Analog folgt: 0 = [a+α , a+α ]+ 2.

3.

⇐⇒

(a+α )2 = 0 .

2

nˆ α = a+α aα a+α aα = a+α 1 + a+α aα aα = 2 2 = nˆ α + a+α aα = nˆ α (Deutung?) .

2 aα nˆ α = aα a+α aα = 1 + a+α aα aα = aα + a+α aα = aα , 2 a+α nˆ α = a+α aα = 0 .


4.

447

2 nˆ α aα = a+α aα = 0 ,

2 aα nˆ α = 1 + a+α aα aα = aα + a+α aα = aα .

Lösung zu Aufgabe 1.4.9 1. Nicht wechselwirkende, identische Bosonen bzw. Fermionen:

H=

N

H1(i) .

i=1

Eigenwert-Gleichung:

$ $ H1(i) ϕr(i) = εr ϕr(i) ,

'

$

ϕr(i) ϕs(i) = δrs .

Ein-Teilchen-Operator in zweiter Quantisierung: ϕr H1 ϕs a+r as = εs δrs a+r as H= r, s

⇒

H=

r, s

εr a+r ar =

r

2.

εr nˆ r .

r

Nicht normierte Dichtematrix der großkanonischen Gesamtheit:

, ρ = exp −β H − μN = nˆ r . N r

Die normierten Fock-Zustände N; n1 n2 · · · ni · · · (ε) und H: sind Eigenzustände zu nˆ r und damit auch zu N 5 4 H N; n1 · · · (ε) = εr nr N; n1 · · · (ε) , r

N; n1 · · · (ε) = N N; n1 · · · (ε) . N Spurbildung deshalb zweckmäßig mit diesen Fock-Zuständen:

(ε) N; n1 n2 · · · (ε) = N; n1 n2 · · · exp −β H − μN / .

mit = exp −β εr − μ nr nr = N . r

r

1.4.9

448


Daraus folgt:

N =0

{nr } nr = N)

Sp ρ =

(

N =0

r {nr } nr = N)

n1

=

···

n2

4

e

/

εr − μ nr =

r

(

exp −β

∞

=

=

.

∞

e −β(εr − μ)nr =

···

nr

e −β(εr − μ)nr =

r

−βn1 (ε1 − μ)

54

n1

5

e

−βn2 (ε2 − μ)

··· .

n2

Großkanonische Zustandssumme:

Ξ(T, V, μ) = Sp ρ =

4 r

5

e

−βnr (εr − μ)

.

nr

Bosonen (nr = 0, 1, 2, . . . ):

ΞB (T, V, μ) =

r

1 . 1 − ε−β(εr − μ)

Fermionen (nr = 0, 1):

ΞF (T, V, μ) =

1 + e −β(εr − μ) . r

3.

Erwartungswert der Teilchenzahl: 1 = Sp(ρN ) . N

Ξ

Spurbildung empfiehlt sich mit den Fock-Zuständen, da diese Eigenzustände sind: zu N 9 . /8 ∞

1 N exp −β εr − μ nr = N =

Ξ N =0

(

=

1 ∂

β ∂μ

{nr } nr = N)

ln Ξ .

r


449

Mit Teil 2.:

9

8

∂ ∂ − ln ΞB = ln 1 − e −β(εr − μ) = ∂μ ∂μ r =−

−β e −β(εr − μ) 1 =β − β ( ε − μ ) β ( ε − μ) − 1 , r r 1−e e r r 9

8

∂ ∂ ln ΞF = ln 1 + e −β(εr − μ) = ∂μ ∂μ r =β

r

Dies bedeutet:

4.

e −β(εr − μ) 1 =β − β ( ε − μ ) β ( ε − μ) + 1 . r r 1+e e r

⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎪ β ( ε − μ) − 1 : ⎨ r e r N = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ β ( ε − μ) + 1 : r e r

Bosonen, Fermionen.

Innere Energie: 1

U = H =

Ξ

Sp(ρH) .

Fock-Zustände sind auch Eigenzustände zu H, eignen sich deshalb wiederum zur hier erforderlichen Spurbildung! .4 5 / ∞ 1 −β r (εr − μ)nr U= = εi ni e

Ξ N =0

{nr } nr = N)

(

=−

i

∂ , ln Ξ + μ N ∂β

εr − μ e −β(εr − μ) ∂ εr + − ln ΞB = = −μ N − β ( ε − μ ) β ( ε − μ) − 1 , r r ∂β 1−e e r r

−

− εr − μ e −β(εr − μ) ∂ εr + ln ΞF = − = −μ N − β ( ε − μ ) β(εr −μ) + 1 . r ∂β 1+e e r

Dies ergibt schließlich:

⎧ εr ⎪ ⎪ ⎪ β ( ε − μ) − 1 : ⎨ r e r U= εr ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ β ( ε − μ) + 1 : r e r

Bosonen, Fermionen.

450

5.


Fock-Zustände sind auch Eigenzustände zum Besetzungszahloperator:

ˆni =

1

Sp(ρnˆ i ) =

Ξ

∞ 1

Ξ N =0

−

1 ∂

β ∂εi

ln ΞB = +

1 ∂

β ∂εi

ln ΞF = −

nˆ i =

=

1 +β e −β(εr − μ) ∂εr = β r 1 − e −β(εr − μ) ∂εi (Bose-Funktion) ,

1 −β e −β(εr − μ) ∂εr = β r 1 + e −β(εr − μ) ∂εi

1 = β(ε − μ) i e +1 Es folgt:

− μ)nr

1 ∂ ln Ξ , β ∂εi

1 = β(ε −μ) e i −1 −

r (εr

{nr } nr = N)

(

=−

ni e −β

(Fermi-Funktion) .

⎧ −1

⎪ ⎪ ⎨ exp β εi − μ − 1

Bosonen,

−1 ⎪

⎪ ⎩ exp β εi − μ + 1

Fermionen.

Man erkennt unmittelbar durch Vergleich mit den vorangegangenen Aufgaben: =

ˆnr ; U = εr ˆnr . N r

1.4.10

r


= nˆ 1σ + nˆ 2σ , N σ

H= ε1σ nˆ 1σ + ε2σ nˆ 2σ + V c1+σ c2σ + c2+σ c1σ . σ

Es gilt natürlich:

nˆ iσ , nˆ jσ − = 0 ,

i, j ∈ {1, 2} .

Dies bedeutet:

/ .

+ + N, H − = nˆ 1σ + nˆ 2σ , V c1σ c2σ + c2σ c1σ = σ

σ

−


=V

451

[nˆ 1σ , c1+σ c2σ ]− + [nˆ 1σ , c2+σ c1σ ]− + σ

σ

+ [nˆ 2σ , c1+σ c2σ ]− + [nˆ 2σ , c2+σ c1σ ]− . Wir benutzen die allgemein-gültige Beziehung:

C + B A, B C −= A, C − . A, B − Ferner zeigt man leicht (s. Aufg. 1.4.7):

nˆ iσ , cjσ − = −δij δσσ ciσ , nˆ iσ , cj+σ = δij δσσ ci+σ . −

Es bleibt also:

+ + + + , H = V c =0. c − c c − c c + c c N 2 σ 1 σ 2 σ 1 σ 1σ 2σ 1σ 2σ − σ

2.

Fock-Zustände: |N; F = N; n1↑ n1↓ ; n2↑ n2↓ (−) . Eigenwert-Gleichung: H |E = |E ⇒ ⇒

N; F | H | E = E N; F | E

N; F | H | N ; F N ; F | E = E N; F | E . N

F

Nach 1. erhält H die Teilchenzahl. Dies bedeutet:

N; F | H | N ; F ∼ δNN . Wir haben demnach für N = 0, 1, 2, 3, 4 das folgende, homogene Gleichungssystem zu lösen:

N; F | H | N; F − EδFF N; F | E = 0 . F

Die Eigenwerte bestimmen sich aus der Lösbarkeitsbedingung: ! (N) (N) det HFF = 0 , HFF − EδFF = N; F | H | N; F . 3.

N=0 |0; F = |0; 00; 00 (−) ist offenbar Eigenzustand mit E(0) = 0.

452


n=1 Vier mögliche Fock-Zustände: |1; F = |1; 10; 00 (−) ; |1; 01; 00 (−) ; |1; 00; 10 (−) ; |1; 00; 01 (−) . H |1; 10; 00 (−) = ε1 |1; 10; 00 (−) + V |1; 00; 10 (−) , H |1; 01; 00 (−) = ε1 |1; 01; 00 (−) + V |1; 00; 01 (−) , H |1; 00; 10 (−) = ε2 |1; 00; 10 (−) + V |1; 10; 00 (0) , H |1; 00; 01 (−) = ε2 |1; 00; 01 (−) + V |1; 01; 00 (−) , ⎛ ⎞ ε1 0 V 0 ⎜ ⎟ ⎜ 0 ε 0 V⎟ 1 ⎜ ⎟ (1) HFF ≡ ⎜ ⎟ ⎜V 0 ε2 0 ⎟ ⎝ ⎠ 0 V 0 ε2 Lösbarkeitsbedingung:

V 0 ε1 − E 0 0 ε −E 0 V ! 1 0= = V 0 ε2 − E 0 0 V 0 ε2 − E V 0 ε1 − E 0 V 0 ε2 − E 0 = − = 0 ε1 − E 0 V 0 V 0 ε2 − E 0 0 ε1 − E V V ε −E 0 0 2 = = 0 0 ε1 − E V 0 0 V ε2 − E 2 = (ε1 − E)(ε2 − E) − V 2

⇒

E1(1) = E2(1) = E+ ; E3(1) = E4(1) = E− , A

2 1 2 ε1 + ε2 ± ε1 − ε2 + 4V . E± = 2


4.

453

N=2 Sechs mögliche Fock-Zustände: |2; F = |2; 11; 00 (−) , |2; 00; 11 (−) ; |2; 10; 10 (−) ; |2; 10; 01 (−) ; |2; 01; 10 (−) ; |2; 01; 01 (−) . Zwei der Fock-Zustände sind bereits Eigenzustände zu H:

H |2; 10; 10 (−) = ε1 + ε2 |2; 10; 10 (−) ,

H |2; 01; 01 (−) = ε1 + ε2 |2; 01; 01 (−) ⇒

(2) E1, 2 = ε1 + ε2 ,

H |2; 11; 00 (−) = 2ε1 |2; 11; 00 (−) − V |2; 01; 10 (−) + V |2; 10; 01 (−) , H |2; 00; 11 (−) = 2ε2 |2; 00; 11 (−) + V |2; 10; 01 (−) − V |2; 01; 10 (−) ,

H |2; 10; 01 (−) = ε1 + ε2 |2; 10; 01 (−) + V |2; 00; 11 (−) + V |2; 11; 00 (−) ,

H |2; 01; 10 (−) = ε1 + ε2 |2; 01; 10 (−) − V |2; 11; 00 (−) − V |2; 00; 11 (−) . Es bleibt demnach die folgende 4 × 4-Säkulardeterminante zu lösen: 2ε − E 0 V −V 1 0 2ε2 − E V −V ! = 0 = V ε1 + ε2 − E 0 V −V −V 0 ε1 + ε2 − E 2ε − E −2ε + E 0 0 2 1 0 2 ε − E V −V 2 = = V ε1 + ε2 − E 0 V 0 0 ε1 + ε2 − E ε1 + ε2 − E 2ε1 − E −2ε2 + E 0 − = (ε1 + ε2 − E) 0 2ε2 − E V V V ε1 + ε2 − E 2ε1 − E −2ε2 + E 0 − (ε1 + ε2 − E) 0 2ε2 − E −V . V V 0

454


Daran lesen wir eine weitere Lösung ab: E3(2) = ε1 + ε2 . Es bleibt weiter zu berechnen:

0 = 2ε1 − E 2ε2 − E ε1 + ε2 − E − V 2 (2ε2 − E) −

− V 2 2ε1 − E − V 2 2ε2 − E − V 2 2ε1 − E =

= 2ε1 − E 2ε2 − E ε1 + ε2 − E −

− 2V 2 2ε2 − E + 2ε1 − E . Dies ergibt unmittelbar die nächste Lösung: E4(2) = ε1 + ε2 . Schließlich haben wir nur noch eine quadratische Gleichung:

0 = 2ε1 − E 2ε2 − E − 4V 2 5.

⇒

(2) E5, 6 = 2E± .

N=3 |3; F = |3; 01; 11 (−) , |3; 10, 11 (−) , |3; 11, 01 (−) , |3; 11, 10 (−) , H |3; 01, 11 (−) = (ε1 + 2ε2 ) |3; 01, 11 (−) − V |3; 11, 01 (−) , H |3; 10, 11 (−) = (ε1 + 2ε2 ) |3; 10, 11 (−) − V |3; 11, 10 (−) , H |3; 11, 01 (−) = (2ε1 + ε2 ) |3; 11, 01 (−) − V |3; 01, 11 (−) , H |3; 11, 10 (−) = (2ε1 + ε2 ) |3; 11, 10 (−) − V |3; 10, 11 (−) . Säkular-Determinante: ε + 2ε − E 0 −V 0 2 1

0 0 −V ε1 + 2ε2 − E ! = 0 =

−V 0 2ε1 + ε2 − E 0

0 −V 0 2ε1 + ε2 − E ε + 2ε − E 0 −V 0 2 1

−V 0 2 − E 0 ε + ε 1 2 = = −

0 0 −V ε1 + 2ε2 − E

0 −V 0 2ε1 + ε2 − E


=

=

455

ε + 2ε − E −V 0 0 2 1

−V 2 − E 0 0 ε + ε 1 2 =

0 0 −V ε1 + 2ε2 − E

0 0 −V 2ε1 + ε2 − E

ε1 + 2ε2 − E

2

2ε1 + ε2 − E − V 2

(3) 2 E1, 2 = E+ ;

⇒

(3) 2 E3, 4 = E− ,

2 E± = E± + ε1 + ε2 . N=4 |4; F = |4; 11, 11 (−) ,

H |4; F = 2 ε1 + ε2 |4; 11, 11 (−) ⇒

E(4) = 2 ε1 + ε2 .

Abschnitt 2.1.4 Lösung zu Aufgabe 2.1.1

k=

2π nx , ny , nz , L

2.1.1

nx, y, z = 0, ±1, ±2, . . ., ±

L = N ax = N ay = N az ,

N N −1 , , 2 2

ax, y, z = a .

Wir erkennen unmittelbar: e ik · (Ri − Rj ) = N 3 = N ,

falls i = j .

k

Es bleibt also der Fall i =/ j zu diskutieren: e ik · (Ri − Rj ) = k

=

e ikx (Rix − Rjx )

kx

=

nx

e iky (Riy − Rjy )

ky 2π

e i N nx (ix − jx )

ny

e ikz (Riz − Rjz ) =

kz 2π

e i N ny (iy − jy )

nz

2π

e i N nz (iz − jz ) .

456


Wir berechnen stellvertretend den ersten Faktor: N N ix , jx ∈ Z mit − < ix , jx ≤ + . 2 2 i 2π n (i − j ) e N x x x = nx N | 2

=

=

nx =− N2 +1 2π

e i N nx (ix − jx ) +

=

−1 N

nx =0 N −1

2π

e i N nx (ix − jx ) =

nx =0 N | 2

−1

2π

e i N nx (ix − jx ) +

2π

2π

nx = N2 −1 2π

e i N nx (ix − jx ) =

nx =0

e i N nx (ix − jx ) e −i N N(ix − jx) = =+1

1 − e i2π (ix − jx ) 2π

1 − e i N (ix − jx )

.

Für ix =/ jx ist der Zähler Null, der Nenner endlich. Völlig analoge Ausdrücke ergeben sich für die y- und z-Komponenten. Damit ist die Behauptung 1 ik · (Ri − Rj ) e = δij N k

bewiesen! 2.1.2

Lösung zu Aufgabe 2.1.2 Für beide Integrale ist (wegen V → ∞) die Einführung von Relativ- und Schwerpunktkoordinaten sinnvoll: 1 x = r − r ; R = (r + r ) 2 1 1 r = x+R ; r =− x+R. 2 2 Mit Hilfe der Jacobi-Determinante zeigt man zudem:

d3 r d3 r = d 3 R d3 x 1.

3

I1 =

d r V

V

E−α|r−r | d r = |r − r | 3

3

d R

e −αx d x = V · 4π x

∞

3

d = V · 4π − dα

0

∞ 0

d 1 = V · 4π − dα α

dx e −α x

dx x e −α x


457

Damit bleibt I1 = 2.

D

4πV

α2

Zunächst folgt mit d3 R exp i(q1 − q2 ) · R = V δq1 −q2 : exp(i(q · r + q · r )) 3 I2 = d r d3 r |r − r | V

V

d3 R d3 x

=

1 i exp (q − q ) · x exp i(q + q ) · R x 2

I = V δq,−q · Zur Berechnung von I empfiehlt sich die Einführung eines konvergenzerzeugenden Faktors: 1 I = lim+ d3 x e iq·x e −αx x α→0 = lim+ 2π α→0

= lim+ 2π α→0

2π = lim + α→0 iq 2π = lim α→0+ iq

∞

+1 dx x

0

d cos ϑ e iqx cos ϑ e −αx

−1

∞ dx

x −αx iqx e e − e −iqx iqx

0

∞

dx e iqx−αx − e −iqx−αx

0

∞ ∞ 1 1 e iqx−αx 0 − e −iqx−αx 0 iq − α −iq − α 1 2π −1 − = lim+ α→0 iq iq − α iq + α 4π 2π −2 = 2 = iq iq q Wir haben damit gefunden I2 =

4πV δq,−q q2

458

2.1.3


Lösung zu Aufgabe 2.1.3 1. BZ 1 ik · Ri aiσ = √ e akσ N k

⇒

1 i (k · Ri + k aiσ , ajσ + = e N k

Ganz analog findet man:

· Rj )

k

[akσ , ak σ ]+ = 0. =0

a+iσ , a+jσ = 0 . +

Bleibt noch zu bestimmen: 1 i (k · Ri − k aiσ , a+jσ = e + N

· Rj )

[akσ , a+k σ ]+ =

1 i (k · Ri − k e N

· Rj )

δσσ δkk =

k

=

k

= δσσ

k

k

1 ik · (Ri − Rj ) e = N k

= δσσ δij

2.1.4

(s. Aufg. 2.1.1) .


y p(y) =

dx g(x)

⇐⇒

g(y) =

−∞

dp(y) . dy

Es folgt mit partieller Integration: +∞ +∞ +∞ ∂f− (x) dx g(x)f− (x) = p(x)f− (x)−∞ − dx p(x) . ∂x

−∞

−∞

Der erste Term verschwindet an der oberen Grenze, da f− (x) schneller verschwindet als p divergiert. An der unteren Grenze sind f− (x) = 1 und p(x) = 0. Wir haben also gefunden: +∞ ∂f− (x) dx p(x) I(T) = − . ∂x −∞


2.

459

Der zweite Faktor auf der rechten Seite ist nur in der schmalen Fermi-Schicht (μ ± 4kB T) merklich von Null verschieden! Taylor-Entwicklung: ∞ (x − μ)n dn p(x) p(x) = p(μ) + . n! dxn x = μ n=1 Der erste Summand liefert den folgenden Beitrag: J0 (μ) = −p(μ)

+∞ ∂f− (x) = p(μ) . dx ∂x

−∞

Aus der Summe tragen nur die geraden Potenzen von (x − μ) bei, da −β ∂f− (x) e β(x − μ) = −β 2 = 2 β (x − μ ) (1 | 2) β (x − μ ) ∂x e +1 e + e −(1 | 2)β(x − μ) eine gerade Funktion von (x − μ) ist. Wir setzen diese Entwicklung von p(x) in das Integral I(T) ein: 2n − 1 ∞ 1 d I(T, μ) = J0 (μ) + β g(x) J2n (T) . (2n)! dx2n − 1 x=μ n=1 Dabei haben wir zur Abkürzung definiert: +∞ dx (x − μ)2n J2n (T) = −∞

e β(x − μ)

2 . e β(x − μ) + 1

Dies lässt sich weiter auswerten: J2n (T) = β

−(2n + 1)

+∞ dy y2n

−∞

⎛

d = −2β−(2n + 1) ⎝ dλ

ey = ( e y + 1)2

∞

⎞ y2n − 1 ⎠ dy λy e +1

= −2β−(2n + 1) ⎝

λ=1

0

⎛ d −2n λ dλ

= ⎞

∞ du

u2n − 1

eu + 1

⎠

0

= 4nβ−(2n + 1) 1 − 21 − 2n Γ(2n)ζ(2n) .

λ=1

=

460


Riemann’sche ζ-Funktion: ∞ 1 un − 1 1

ζ(n) = = du , pn eu + 1 1 − 21 − n Γ(n) p=1 ∞

0

dann: Γ(n) = (n − 1) !

n∈N; Speziell:

ζ(2) =

π2 6

ζ(4) =

;

π4 90

;

ζ(6) =

π6 945

;

...

Dies bedeutet: I(T, μ) = p(μ) + 2

∞

2n 1 − 21 − 2n kB T ζ(2n)g (2n − 1) (μ) . n=1

3.

Der Wert dieser so genannten Sommerfeld-Entwicklung wird besonders deutlich für Funktionen g(x), für die g(μ) g (n) (x)x = μ ≈ n

μ

√ gilt, wie z. B. die Zustandsdichte ρ0 (x) ∼ x im Sommerfeld-Modell (s. Aufg. 2.1.5). Dann konvergiert die Reihe nämlich sehr rasch, da die Verhältnisse aufeinander folgender Reihenglieder von der Größenordnung

kB T 2 ≈ 10−4 für Metalle bei Raumtemperatur

μ

sind. In der Regel kommt man bereits mit den allerersten Summanden aus: +∞ μ π2 2 kB T g (μ) + dx g(x)f− (x) = dx g(x) + 6

−∞

−∞

+

6

4 7π4 kB T g (μ) + O kB T | μ . 360


461

Lösung zu Aufgabe 2.1.5 1. Schrödinger-Gleichung:

2.1.5

−

h¯2 Δψk (r) = ε(k)ψk (r) , 2m

Δ=

d2 d2 d2 + + . dx2 dy2 dz2

Lösungsansatz:

ψk (r) = α e ik · r , ψk (r) 2 d3 r =

Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Volumenelement d3 r am Ort r vorzufinden.

Normierung: !

1=

d3 r ψk (r) 2

⇒

1

α= √ .

V

V

Eigenfunktionen: 1

ψk (r) = √ e ik · r . V

Diese Lösung berücksichtigt noch keine Randbedingungen. Sind die Elektronen auf den Kristall beschränkt, so wäre eigentlich ψ ≡ 0 an den Rändern zu fordern. Dies erweist sich als unzweckmäßig. Periodische Randbedingungen sind handlicher und lassen sich im thermodynamischen Limes (N → ∞, V → ∞ , N | V → const) rechtfertigen. !

!

!

ψk (x + L, y, z) = ψk (x, y + L, z) = ψk (x, y, z + L) = ψk (x, y, z) 2π nx, y, z , nx, y, z ∈ Z . L „Rastervolumen“ = Volumen pro Zustand im k-Raum: ⇒

kx, y, z =

Δk =

(2π)3 (2π)3 . = L3 V

Eigenenergien:

ε(k) = 2.

2h¯2 π2 h¯2 k2 h¯2 2 2 2 2 = kx + ky2 + kz2 = n . + n + n x y z 2m 2m mL2

Hieraus folgen diskrete Energieniveaus durch Randbedingungen! Im Grundzustand besetzen die Elektronen alle Zustände mit

ε(k) ≤ εF =

h¯2 kF2 , 2m

462


εF : Fermi-Energie, kF : Fermi-Wellenvektor. kz

ky kx

kF

Abb. A.1.

Gesamtelektronenzahl: N=2

k ≤ kF

1.

k

Faktor 2 erscheint wegen der Spinentartung: 2V 4π 3 2 d3 k = N= k Δk (2π)3 3 F k ≤ kF

⇒

1 | 3 kF = 3π2 n ;

εF =

h¯2 2 2 | 3 3π n . 2m

3. k≤k 2 F h¯2 k2 1 2 h¯2 ¯ε = = 4π dk k4 = N 2m N 2m Δk kF

k

0

4πh¯2 kF5

=

2 4πh¯2 kF2 2 V 2 V = 3π n 3 = 3 N 2m 5 (2π) N 2m 5 8π

=

3 h¯2 kF2 3 = εF . 5 2m 5

4.

ρ0 (E)dE =

Zahl der Zustände im Energieintervall [E; E + dE] , 2 ρ0 (E)dE = d3 k . Δk Schale [E;E + dE]

Integriert wird über eine Schale im k-Raum, die die k-Vektoren enthält, die zu Energien zwischen E und E + dE gehören. Mit dem Phasenvolumen 4π 3 4π 2m 3 | 2 3 k ϕ(E) = d k= = E 3 ε(k) = E 3 h¯2 ε(k) ≤ E


463

folgt 3 | 2 √ dϕ(E) 2m E. = 2π dE h¯2 Es gilt ferner:

2V dϕ(E) dE (2π)3 dE ⎧ √ ⎨d E , falls E ≥ 0 , ρ0 (E) = ⎩ 0 sonst,

ρ0 (E)dE = ⇒

d=

V 2π2

2m h¯2

3 | 2 =

3N 3|2

2εF

.

5. n = N|V :

mittlere Elektronendichte,

v = 1|n : 4π (aB rs )3 , 3

v=

4πε0 h¯2 : me2

aB = 1 ryd ≡

Bohr’scher Radius,

me4 e2 =

, 4πε0 2aB 2h¯2 4πε0 2 1

aB rs =

mittleres Volumen pro Elektron,

3v 4π

1 | 3

=

3 4πn

1 | 3

⇒

kF aB rs =

9π 4

1 | 3

Damit folgt:

2 1 h¯2 kF2 h¯2 = kF aB rs = 2m 2m a2B rs2 4 5 4 5 α2 h¯2 m2 e4 α2 me4 = 2 . = 2

rs 2m 4πε0 2 h¯4 rs 2h¯2 4πε0 2

εF =

=α.

464


Es ist also:

εF = ⇒

2.1.6

α2 rs2

[ryd] (α = 1,92)

3 2,21 E0 = N¯ε = N εF = N 2 [ryd] . 5 rs

Lösung zu Aufgabe 2.1.6 1. Nach Aufg. 1.4.9 gilt:

−1

ˆni = exp β εi − μ + 1 . Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand mit der Energie εi bei der Temperatur T besetzt ist! Für das Sommerfeld-Modell der Metallelektronen bedeutet dies:

ˆnkσ = f− [E = ε(k)] , 1 f− (E) = β(E − μ) . e +1

f-

T =0

1 1 2

T =0

μ

E

Abb. A.2.

Bei T =/ 0 wächst die kinetische Energie der Elektronen. Einige wechseln aus Niveaus ε < εF in höhere, bei T = 0 unbesetzte Niveaus. Es gilt jedoch für alle Temperaturen: f− (E = μ) =

1 . 2

Das Aufweichen an der Fermi-Kante erfolgt symmetrisch: f− (μ + ΔE) = 1 − f− (μ − ΔE) , 1 e β(E − μ) df− (E) = −β . −→ −

2 − E→μ β (E − μ ) dE 4k BT e +1


465

Die Breite der aufgeweichten Fermi-Schicht lässt sich deshalb auf etwa 4kB T abschätzen!

μ = μ(T) (s. Teil 3.) ; μ(T = 0) = εF . Zahlenwerte: kB T[eV] =

T[K] , 11605

εF = 1,10 eV (typisch für Metalle) ⇒

kB T

εF

≥

1 40

(bei T = 290 K) .

Bei normalen Temperaturen wird also nur ein sehr schmaler Bereich um die Fermi-Kante herum aufgeweicht. Hochenergetischer Ausläufer der Verteilung: E − μ >> kB T ;

2.

f− (E) ≈ exp [−β(E − μ)] ,

entspricht der klassischen Boltzmann-Verteilung. f− (E)ρ0 (E) = Dichte der besetzten Zustände: +∞ N=2 dE f− (E)ρ0 (E) , −∞

+∞ dE Ef− (E)ρ0 (E) . U(T) = 2 −∞

ρ0 (E )

T =0 T =0

μ

E

Abb. A.3.

466


Formaler: N=

ˆnkσ = 2

kσ

U(T) = H =

kσ

f− ε(k) ,

k

ε(k) ˆnkσ = 2

ε(k)f− ε(k) ,

k

ρ0 (E) = δ E − ε(k) k

+∞ ⇒

dE f− (E)ρ0 (E) ,

N= −∞

+∞ U(T) = dE Ef− (E)ρ0 (E) . −∞

3.

Die Teilchenzahl N ist natürlich nicht wirklich temperaturabhängig! ⎧ 3N √ ⎪ ⎨ E für E ≥ 0 , ρ0 (E) = 2ε3F | 2 ⎪ ⎩0 sonst. erfüllt die Voraussetzungen der Sommerfeld-Entwicklung! μ N≈

dE ρ0 (E) +

−∞

⇒

3N

=

3|2

6

2

ρ0 (μ) + · · · =

2εF 3 | 2 μ π2 kB T 2 1+ 1≈ +··· εF 8 μ 2 π2 kB T μ ≈1− εF 3 8 μ .

⇒

kB T

2 1 −1 | 2 2 3 | 2 π2 kB T μ + μ + ··· 3 6 2

⇒

π2

π2 kB T 1− 12 εF

μ ≈ εF

≈10−4 in typischen Fällen!

2

2 / .

Die Temperaturabhängigkeit ist also in der Regel sehr schwach! 4. μ U(T) ≈

dE Eρ0 (E) +

π2 6

kB T

2

[μρ0 (u) + ρ0 (μ)] =

0

=

2 2 π2 2 kB T ρ0 (μ) = μ ρ0 (μ) + 5 4


467

3N

=

3|2

2εF

2 2 5 | 2 π2 kB T μ1 | 2 = μ + 5 4

5π2 kB T 2 μ 1 | 2 , + 8 εF εF n μ π2 kB T 2 ≈1−n , εF 12 εF / . 5π2 kB T 2 5π2 kB T 2 − + ··· U(T) = U(0) 1 + 8 εF 8 εF 3 = N εF 5

5π2 U(T) − U(0) = U(0) 12

⇒

Spezifische Wärme:

μ εF

5 | 2

γ = U(0) 5.

+O

εF

∂U cV = ∂T

.

2

kB T

kB T

4 / .

εF

= γT

V

k2 5π2 kB2 1 1 = N π2 B = π2 kB2 ρ0 εF . 2 6 εF 2 εF 3

Großkanonische Gesamtheit: Entropie: S = kB

∂ (T ln Ξ) , ∂T 9

8

∂ kB T = ln 1 + e −β(ε(k) − μ) S= ∂T kσ = kB

ln 1 + e −β(ε(k) − μ) +

kσ

+ kB T

1 e −β(ε(k) − μ) (ε(k) − μ) kB T 2 1 + e −β(ε(k) − μ) kσ

⇒

kB ln S= kσ

1

ˆ 1 − nkσ

+ kB β(ε(k) − μ) ˆnkσ ,

−β ε(k) − μ = ln ˆnkσ + ln 1 + e −β(ε(k) − μ) =

= ln ˆnkσ − ln 1 − ˆnkσ .

∂μ ≈0 , ∂T

468


Damit haben wir dann:

ln 1 − ˆnkσ + ˆnkσ ln nkσ − ˆnkσ ln 1 − ˆnkσ , S = −kB kσ

S = −kB

ˆnkσ ln ˆnkσ + 1 − ˆnkσ ln 1 − ˆnkσ . kσ Beitrag der Elektronen

Beitrag der Löcher

Verhalten bei T → 0:

ε(k) > μ

⇒

→

ˆnkσ T−− →0 0 ;

→ ln 1 − ˆnkσ T−− →0 0 ,

ε(k) < μ

⇒

−→

ˆnkσ − T →0 1 ;

−→ ln ˆnkσ − T →0 0 .

Daraus folgt insgesamt die Gültigkeit des Dritten Hauptsatzes: −→ S − T →0 0 .

2.1.7

Lösung zu Aufgabe 2.1.7 1. Operator der Elektronendichte:

ρ(r) =

N

δ r − rî . i=1

Zweite Quantisierung mit Wannier-Zuständen |iσ :

ρ(r) =

iσ | δ r − rˆ | jσ a+iσ ajσ . ij

σσ

Matrixelement:

d3 r iσ | δ r − rˆ | r σ r σ | jσ =

iσ | δ r − rˆ | jσ = σ

=

σ

=

σ

⇒

d3 r δ r − r iσ | r σ r σ | jσ =

δσσ δσ σ i | r r | j =

= δσσ ω∗ r − Ri ω r − Rj

ρ(r) = ω∗ r − Ri ω r − Rj a+iσ ajσ . ijσ


2.

469

⇒

d3 r ω∗ r − Ri ω r − Rj = δij d3 r ρ(r) =

= ⇒ N 3.

ijσ

δij a+iσ ajσ =

iσ

nˆ iσ

d3 r ρ(r) .

Jellium-Modell: Bloch-Funktionen ⇒ ebene Wellen. Wannier-Funktionen:

1 −ik · Ri 1 ik · r ω r − Ri = √ e . √ e N k V Dies bedeutet:

1 −ik(r − Ri ) ik (r − Rj ) e e =

iσ | δ r − rˆ | jσ = δσσ VN kk

1 iq · r 1 ik · Ri −i (k + q) · Rj = δσσ e e e . V q N k

Damit folgt:

ρ(r) = ρq =

1 ρq e iq · r , V q 1 ik · Ri −i (k+q) · Rj + e e aiσ ajσ = a+kσ ak + qσ . N ijσ

k

k, σ

Lösung zu Aufgabe 2.1.8 +

d3 r d3 r r σ δ(r − rˆ) r σ ρ(r) = ψσ r ψσ r = σ , σ

d3 r d3 r δ r − r r σ | r σ ψ+σ r ψσ r = = σ , σ

= d3 r d3 r δ r − r δ r − r δσ σ ψ+σ r ψσ r = σ , σ = ψ+σ (r) ψσ (r) . σ

2.1.8

470

2.1.9


Lösung zu Aufgabe 2.1.9 Coulomb-Wechselwirkung Hee :

1 v iσ1 , jσ2 ; kσ3 , lσ4 a+iσ1 a+jσ2 alσ4 akσ3 . Hee = 2 ijkl σ1 , ..., σ4

Matrixelement: $

e2 ' (1) (2) 1 (1) (2) iσ1 = jσ2 lσ4 v iσ1 , jσ2 ; kσ3 , lσ4 = kσ3 (2) (1) 4πε0 ˆ rˆ − r = δσ1 σ3 δσ2 σ4 v(ij, kl) , v(ij, kl) =

e2

4πε0

' d3 r1 d3 r2 i(1) j(2)

1

$' $ (1) (2) (1) (2) (1) (2) r = r r r 1 2 k l (2) 1 2

rˆ(1) −rˆ ' $' $ e2 1 (2) (2) (1) (2) i(1) j(2) r (1) d3 r1 d3 r2 r (1) , = 1 r2 1 r2 k l 4πε0 |r 1 − r 2 |

r | i = ω r − Ri : Wannier-Funktion

∗

∗ e2 3 3 ω r 1 −Ri ω r 2 −Rj ω r 1 −Rk ω r 2 −Rl d r1 d r2 v(ij, kl) = . 4πε0 |r 1 −r 2 |

⇒

Hamilton-Operator: H=

ijσ

Tij a+iσ ajσ +

1 v(ij; kl)a+iσ a+jσ alσ akσ . 2 ijkl

σσ

Jellium-Modell:

ω r − Ri = √

1

VN

e ik · (r − Ri ) .

k

Wie in Abschn. 2.1.2 ausführlich erläutert, benötigt die explizite Berechnung des Coulomb-Matrixelements die Einführung eines konvergenzerzeugenden Faktors: 1 e2 d3 r1 d3 r2 e −α |r2 − r2 | · vα (ij; kl) = 2 2 V N 4πε0 k1 , ..., k4

e −ik1 (r1 − Ri ) e −ik2 (r2 − Rj ) e ik3 (r1 − Rk ) e ik4 (r2 − Rl ) = |r 1 − r 2 | 1 i (k1 Ri + k2 Rj − k3 Rk − k4 Rl ) = 2 e · N ·

k1 , ..., k4

·

e2

1 4πε0 V 2

d3 r1 d3 r2

e −i (k1 − k3 ) · r1 e −i (k2 − k4 ) · r2 −α |r1 − r2 | e . |r 1 − r 2 |


471

Die Integrale wurden bereits in (2.56) bzw. (2.59) berechnet: vα (ij; kl) = =

1 i (k1 e N2

· Ri + k2 Rj − k3 Rk − k4 · Rl )

δk1 − k3 , k4 − k2

k1 , ..., k4


2.1.10

ρ(r) = Damit folgt: G(r, t) =

e2 .

ε0 V k1 − k3 2 + α2

1 ρq e iq · r . V q

1 1 (t) ρ ρ d3 r e iq · (r − r) e iq q q 2 NV

· r

=

q, q

=

1 ρq ρq (t) e −iq · r δ−q, q = NV q, q

=

1 ρq ρ−q (t) e −iq · r . NV q

Dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t bei r ein Teilchen vorzufinden, wenn zur Zeit t = 0 eines bei r = 0 war. Homogenes System:

ρ r − r, 0 ρ r , t = ρ(−r, 0)ρ(0, t) = ρ(0, 0)ρ(r, t) ⇒ 2. G(r, 0) =

=

1 N

d3 r

G(r, t) =

V ρ(0, 0)ρ(r, t) . N

1

δ r − r − rî δ r − rˆj = δ r + rî − rˆj = N i, j

i, j

i =/ j

1 1 δ(r) + δ r + rî − rˆj = N i N i, j

= δ(r) +

i =/ j

1 δ r + rî (0) − rˆj (0) . N i, j

Durch Vergleich ergibt sich: ng(r) =

i =/ j

1 δ r + rî (0) − rˆj (0) . N i, j

472

3.


g(r) ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, zu einem bestimmten Zeitpunkt zwei Teilchen im Abstand r anzutreffen. Dynamischer Strukturfaktor: S(q, ω) =

+∞ dt G(r, t) e i (q · r − ωt) =

d3 r

−∞

+∞ 1 3 d r = dt e i (q − q ) · r e −iωt ρq ρ−q (t) = NV 1.

q

−∞

+∞ 1 = dt e −iωt δq, q ρq ρ−q (t) N q −∞

⇒

S(q, ω) =

1 N

+∞

dt e −iωt ρq ρ−q (t) .

−∞

Mit 1 2π

+∞ dω e −iωt = δ(t) −∞

folgt dann schließlich: 2π ρq ρ−q . N T = 0 ⇒ Mittelung mit dem Grundzustand |E0 . S(q) =

4.

S(q, ω) =

1 N

+∞ dt e −iωt E0 ρq ρ−q (t) E0 . −∞

Zeitabhängigkeit: i

i

ρ−q (t) = e ¯h Ht ρ−q e − ¯h Ht . Vollständigkeit: 1=

En En . n

Damit folgt: 1 S(q, ω) = N

=

+∞ E0 dt e −iωt ρq En En ρ−q (t) E0 = −∞

n

+∞ i 1 E0 ρq En En ρ−q E0 dt e −iωt e ¯h (En − E0 )t = N n −∞


=

473

2π 1 E0 ρq En En ρ−q E0 δ ω − En − E0 . N n h¯

Wir benutzen noch ρ−q = ρq+ : S(q, ω) =

2π + 2 1 En ρq E0 δ ω − En − E0 . N n h¯

Lösung zu Aufgabe 2.1.11 1. Der Operator

2.1.11

ρq+ =

kσ

a+k + qσ akσ

erzeugt Teilchen-Loch-Paare. Der Grundzustand |E0 entspricht der gefüllten Fermi-Kugel. + q=0 : En ρq E0 = N δn, 0 ,

q =/ 0 :

+ En ρq E0 =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨1 ,

falls |En einer Teilchen-Loch-Anregung ρq+ vorkommt, entspricht, die in

⎪ ⎪ ⎩ 0,

sonst.

Mit dem allgemeinen Resultat 4. aus Aufg. 2.1.10 folgt dann:

(q =/ 0) 2π S(q, ω) = 2 Θ kF − k 1 − Θ kF − |k + q| · N

k

· δ ω−

1 ε(k + q) − ε(k) , h¯

S(0, ω) = 2πN δ(ω) . Der Term q = 0 entfällt im Jellium-Modell. Wir setzen also ab jetzt q =/ 0 voraus: +∞ S(q) = dω S(q, ω) = −∞

=

4π Θ kF − k − Θ kF − k Θ kF − |k + q| = N k

= 2π −

4π Θ kF − k Θ kF − |k + q| = N k

2 V 3 d k Θ kF − k Θ kF − |k + q| . = 2π 1 − N (2π)3

474


Das Integral auf der rechten Seite wurde in Abschn. 2.1.2 gerechnet. Wir übernehmen (2.95):

3 3 2 2 V 4π 1 3 . S(q) = 2π 1 − Θ 2kF − q kF − qkF + q N 8π3 3 4 16 Mit kF3 = 3π2 N V folgt schließlich:

3q q3 . S(q) = 2π 1 − Θ 2kF − q 1 − + 4kF 16kF3 S(q = 0) = 2πN. S(q) 2π

q

2kF

2. 1.

G(r, 0) =

=

Abb. A.4.

1 1 ρq ρ−q e −iq · r = S(q) e −iq · r = NV q 2πV q

1 −iq · r 2 2πN + e − Θ kF − k Θ kF − |k + q| e −iq · r . 2πV V q VN q k

Wir können in den beiden letzten Summanden den eigentlich fehlenden q = 0-Term hinzuzählen, da er sich gerade weghebt: G(r, 0) = n + δ(r) −

! 2 −i (p − k) · r e Θ kF − k Θ kF − p = δ(r) + ng(r) . VN p k

Hieraus folgt:

2 1 d3 p d3 k e −i (p − k) · r Θ kF − k Θ kF − p = 2 6 n (2π)

2 2 1 3 −ip · r d k p e Θ − p = =1− 2 F n (2π)3 ⎡ ⎤2 kF −ipr

2 ⎣ 1 2 1 ipr ⎦ dp p e −e = =1− 2 n 4π2 −ipr

g(r) = 1 −

0

⎡ =1−

2 ⎣ 1 1 n2 2π2 r

kF 0

⎤2 dp p sin pr⎦ =


475

2 1 sin kF r kF − r = cos k F 2π4 n2 r2 r2 r . /2

sin kF r − kF r cos kF r kF6 . =1− 4 2 2π n kF3 r3 =1−

1

Damit haben wir das Schlussresultat: . /2

9 sin kF r − kF r cos kF r g(r) = 1 − . 2 kF3 r3 Mit der Regel von l’Hospital zeigt man: 1 sin x − x cos x −−→ 3 x→0 3 x 1 ⇒ g(r) −→ Fermi-Loch, r→0 2 g(r) −−→ 1 . r→∞

g (r ) 1 1 2 r

Abb. A.5.

Das Fermi-Loch resultiert aus dem Pauli-Prinzip, das dafür sorgt, dass sich zwei Elektronen parallelen Spins nicht zu nahe kommen. Der Wert g(r = 0) = 1 | 2 ist trotzdem unsinnig. Das Sommerfeld-Modell vernachlässigt die CoulombWechselwirkung, sodass sich zwei Elektronen mit antiparallelem Spin im Prinzip beliebig nahekommen können. Lösung zu Aufgabe 2.1.12

ε(k) = T0 + γ1 1.

2.1.12

e ik · RΔ .

Δ

Kubisch innenzentriert Anzahl der nächsten Nachbarn: z1 = 8 a RΔ = (±1, ±1, ±1) 2 a : Gitterkonstante, a a a a a a e ik · RΔ = e ikx 2 + e −ikx 2 e iky 2 + e −iky 2 e ikz 2 + e −ikz 2 Δ 1 1 1 ⇐⇒ εb. c. c. (k) = T0 + 8γ1 cos kx a cos ky a cos kz a . 2 2 2

476

2.


Kubisch flächenzentriert z1 = 12 a a a RΔ = (±1, ±1, 0) ; (±1, 0, ±1) ; (0, ±1, ±1) , 2 2 2 a a a a e ik · RΔ = e ikx 2 + e −ikx 2 e iky 2 + e −iky 2 + Δ

a a a a + e ikx 2 + e −ikx 2 e ikz 2 + e −ikz 2 + a a a a + e iky 2 + e −iky 2 e ikz 2 + e −ikz 2

1 1 kx a cos ky a + ⇐⇒ εf. c. c. (k) = T0 + 4γ1 cos 2 2 1 1 1 1 kx a cos kz a + cos ky a cos kz a + cos . 2 2 2 2 2.1.13

Lösung zu Aufgabe 2.1.13 Tight-Binding-Ansatz: Ni

1 e ik · Rj ϕn r − Rj Ni j = 1

ψnk (r) = √

Ni

1 e ik · Rj ϕn r + Ri − Rj Ni j = 1

ψnk r + Ri = √

⇒

(Substitution: Rk = Rj − Ri )

Ni

1 e ik · Rk ϕn r − Rk = Ni

ψnk r + Ri = e ik · Ri √

⇒

k=1

= e ik · Ri ψnk (r) . Dies ist das Bloch-Theorem!

Abschnitt 2.2.3 2.2.1

Lösung zu Aufgabe 2.2.1 1. Lineares Bravais-Gitter mit zweiatomiger Basis: n -1 m1

f

m2

n +1

n

r0

n+2 a z

Abb. A.6.


477

Primitive Translationen: a = aez = 2r0 ez . Basis: R1 = 0, Gittervektoren: Rn1

= na ;

Rm 2

R2 = r0 ez .

1 a; = m+ 2

n, m ∈ Z .

Primitive Translationen im reziproken Gitter: b = bez ;

2π . a

b=

1. Brillouin-Zone: −

π a

≤q≤+

π a

.

Reziproke Gittervektoren: Gm = mb . 2.

Longitudinalwellen, d. h., die Bewegung der Kettenmoleküle ist auf die Kettenrichtung beschränkt. Kraft auf (n, 1)-Atom in z-Richtung:

von rechts: f un2 − un1 ; u : Auslenkung aus der Ruhelage

von links: f un2 − 1 − un1 ⇒

Bewegungsgleichung für (n, 1)-Atom:

m1ün1 = f un2 + un2 − 1 − 2un1 .

Analog für (n, 2)-Atom:

m2ün2 = f un1 + 1 + un1 − 2un2 . 3.

Dieser Ansatz enthält die Translationsinvarianz bezüglich der zweiatomigen Zelle und berücksichtigt, dass die Amplituden wegen unterschiedlicher Teilchenmassen verschieden sein können. Einsetzen in die obigen Bewegungsgleichungen liefert das folgende Gleichungssystem:

c2 fc2 c1 1 + e −iqa − 2 √ f , m1 √ (−ω2 ) = √ m1 m2 m1

fc1 iqa c2 c2 m2 √ (−ω2 ) = √ e + 1 − 2√ f . m2 m1 m2

478


Die Säkulargleichung des homogenen Gleichungssystems, ⎛

⎞ 4 5 2f −f 2 −iqa √ 1 + e m1 − ω m m 1 2 ⎠ c1 , 0=⎝

−f 2f i qa 2 √ c2 1+e m −ω m m 1

2

2

liefert die Eigenfrequenzen (Dispersionszweige): ⎡ ⎤ 0 2 1 1 2 1 1 ± ω21, 2 (q) = f ⎣ + + − (1 − cos qa) ⎦ . m1 m2 m1 m2 m1 m2 Die beiden Dispersionszweige sind periodisch in q mit der Periode 2aπ . Für einen beliebigen Vektor G des reziproken Gitters, Gm = mb = m

2π ez , a

gilt offenbar:

ω(q) = ω(q + Gm ) . Alle physikalischen Informationen lassen sich deshalb bereits aus der 1. BrillouinZone, −

π a

≤q≤+

π a

,

ableiten. Außerhalb liegende q’s lassen sich durch Addition eines passenden reziproken Gittervektors in die 1. Brillouin-Zone tranformieren, ohne dass sich dabei die Dispersionsrelation ändert. 4.

0

ω

π -

a

0 q

ω1

ωg = 2f

ω2

ω(1) g

π +

ω(2) g

0

a

= 0 =

1 1 + m1 m2

2f m2 2f , m1

m1 > m2 .

Spezialfälle: a) q = 0; ω = ω2 ⇒ ω2 (q = 0) = 0 Aus dem homogenen Gleichungssystem folgt dann für die Amplituden: 1 c1 m1 = . c2 m2 Basisatome schwingen gleichphasig, aber mit unterschiedlichen Amplituden.


479

b) q 2a. Für solche Wellenlängen wird die atomistische Struktur des Festkörpers unbedeutend und die Kontinuumstheorie näherungsweise anwendbar. Diese liefert für Schallwellen die Beziehung

ω = vs q (vs = Schallgeschwindigkeit) . Da der untere Dispersionszweig ω2 also für große Wellenlängen (kleine q) in normale Schallwellen übergeht, heißt er akustischer Zweig. c) q = 0, ω = ω1

0 ⇒ ω1 (q = 0) = ωg =

2f

1 1 + m1 m2

Grenzfrequenz des Spektrums. Jetzt folgt für die Amplituden:

1 m2 c1 =− . c2 m1

Basisatome schwingen mit unterschiedlichen Amplituden gegenphasig. Sind die Basisatome elektrisch entgegengesetzt geladen (z. B. NaCl-Kristall), so ergibt sich ein zeitlich oszillierendes, elektrisches Dipolmoment. Dieses kann mit elektromagnetischer Strahlung wechselwirken, Wellen absorbieren oder emittieren. Man nennt ω1 deshalb den optischen Zweig. d) Zonenrand: q = ± πa

0 π 2f = ω(1) (optisch) , g = ω1 q = ± a m2 0 π 2f (2) ωg = ω2 q = ± = (akustisch) . a m1

480


Aus dem homogenen Gleichungssystem folgt:

ω = ω(1) g

⇒

c1 = 0 :

nur m2 -Atome schwingen,

ω = ω(2) g

⇒

c2 = 0 :

nur m1 -Atome schwingen.

Typisch für die zweiatomige Kette ist die (1) Frequenzlücke: ω(2) g < ω < ωg .

Lösungen mit reellem ω in der Lücke haben komplexe Wellenzahlen q. Die Welle ist dann räumlich gedämpft.

2.2.2

Lösung zu Aufgabe 2.2.2 Lösungsansatz:

xαn (t) = na + unα (t) ,

cα exp i qz na − ωt . unα (t) = √ mα Periodische Randbedingungen: !

unα (t) = unα + N (t) !

e iNqz a = 1 ,

⇐⇒

qz = n¯

2π ; Na

n¯ = 0, ±1, ±2, . . . , +

N . 2

Der Term −N | 2 wird nicht mitgezählt, da sich qz von −N | 2 nach +N | 2 gerade um 2π | a, also einen reziproken Gittervektor ändert.

ω qz = ω −qz = ω(q) ; q = |qz | ⇒

D(ω)dω = D(q) dq = 2D qz dqz .

Zu jedem Betrag q gehört die Frequenz ω zweimal, zu jeder Wellenzahlkomponente qz = ±q dagegen nur einmal.

1 Na , D qz = 2π = 2π Na vg =

dω dqz

⇒

D qz : Anzahl der qz pro Wellenzahleinheit , dqz Na 1 D(ω) = 2D qz = . dω π vg


481

Bei mehreren Dispersionszweigen gilt also insgesamt: Na 1 3p

D(ω) =

π

s=1

vg(s)

.

ω L0

DL0

DLA

L0: longitudinal-optisch, LA: longitudinal-akustisch

LA

DL

q

Abb. A.7.

Lösung zu Aufgabe 2.2.3 1. a1 , a2 , a3 : primitive Translationen

2.2.3

V = N1 a1 · N2 a2 × N3 a3 = NVz Periodizitätsvolumen, Vz = a1 · [a2 × a3 ] Elementarzelle, N = N1 N2 N3 Anzahl der primitiven Elementarzellen im Periodizitätsvolumen = Anzahl der Bravais-Gitterpunkte des Kristalls. Periodische Randbedingungen: Für die Auslenkungen aus den Gleichgewichtslagen soll gelten: !

!

!

(m1 + N1 , m2 , m3 ) (m1 , m2 + N2 , m3 ) 1 ,m2 ,m3 ) = uS, = uS, = u(m S, i i i !

(m1 , m2 , m3 + N3 ) = uS, i

⇒

q · ai =

2π ni , Ni

i = 1, 2, 3 ,

ni = 0, ±1, ±2, . . . , +

Ni . 2

482


Es gibt also N = N1 N2 N3 verschiedene Wellenzahlen q: q=

3 nj bj , Nj

bj : primitive Translationen des reziproken Gitters.

j=1

2.

Rastervolumen

Δ3 q = b1 =

V∗ 1 b 1 · b2 × b3 ≡ z , N1 N2 N3 N

2π a2 × a3 Vz

und zyklisch

(s. (1.72), Bd. 1) ,

a2 × a3 · b2 × b3 = a2 · b2 a3 · b3 − a2 · b3 a3 · b2 = (2π)2

Δ3 q =

⇒ 3. Dr (ω) dω =

1

Δ3 q

1 (2π)3 ; N Vz

Vz∗ =

d3 q = Schale (ωr , ωr + dω)

(2π)3 . Vz

V (2π)3

d3 q . Schale (ωr , ωr + dω)

4. dfω =

Element der Fläche ω = const im q-Raum,

∇q ω = Vektor senkrecht zur Fläche ω(q) = ω = const ⇒ dω = dq · ∇q ω = dq⊥ |∇q ω| = vg dq⊥ ⇒ Volumenelement der Schale: d3 q = dfω dq⊥ = ⇒ Zustandsdichte: Dr (ω) = 5.

V (2π)3

ω = const

dfω vg(r)

1 dω dfω vg

.

Gesamtzustandsdichte: D(ω) =

3p

Dr (ω) .

r=1

2.2.4

Lösung zu Aufgabe 2.2.4 Für die Zustandsdichte benutzen wir den in Teil 4. von Aufg. 2.2.3 abgeleiteten Ausdruck:

Gruppengeschwindigkeit: Bravais-Gitter: p = 1

⇒

vg(r) = v¯r , r = 1, 2, 3 .


483

Es gibt einen longitudinal akustischen und zwei (im Allgemeinen entartete) transversale akustische Dispersionszweige: 1 1 4πω2 dfω 2 ⇒ df = 4 π q ( ω ) = . ω v¯r v¯r v¯r3 vg(r) ω = const

Zustandsdichte:

ω = const

⎧ V ⎪ ⎨ ω2 2v 3 D 2 π ¯ r Dr (ω) = ⎪ ⎩0

für 0 ≤ ω ≤ ωD r , sonst.

Debye-Frequenz: Forderung: Anzahl der möglichen Frequenzen pro Dispersionszweig = N, ωr

D

N=

V

dω DD r (ω) =

6π2 v¯r3

0

⇒

ωDr = v¯r 6π2

N V

ωDr

3

1 | 3 .

Lösung zu Aufgabe 2.2.5 1. Innere Energie:

2.2.5

U(T) = H =

3p 1. BZ r=1 q

h¯ωr (q)

+ 1 , bqr bqr + 2

−1 +

bqr bqr = exp βh¯ωr (q) − 1 . a) Hohe Temperaturen: kB T >> h¯ωr (q) −1 + kB T h¯ωr (q) + ···− 1 bqr bqr = 1 + ≈ kB T h¯ωr (q) 1 h¯ωr (q) + · · · ≈ 3pNkB T . ⇒ U(T) ≈ kB T 1 + 2 kB T r, q Dies ist das bekannte klassische Resultat. Jeder der 3pN Oszillatoren steuert im Mittel kB T ( 12 kB T aus kinetischer, 12 kB T aus potentieller Energie: Gleichverteilungssatz) zur inneren Energie bei! ⇒ Spezifische Wärme: CV 3pNkB („Dulong-Petit’sches Gesetz“). b) Tiefe Temperaturen: kB T k

F 1 ασ (q) 2 = ε(k)Θ kF − k + 2 2 kσ

=

qσ

k>k k < kF 1 F ε(k) ασ (k) 2 (2 + 2) + ε(k) = 2 kσ

=2

k > kF kσ

kσ

ε(k) ασ (k) 2 + 2

k < kF k

ε(k) q. e. d.

488


2. 2 ψ | V | ψ = =

kqσ p1 σ1 p2 σ2

Vk (q)α∗σ1 (p1 )ασ2 p2 Θ p1 − kF Θ p2 − kF ·

· FK| a−p1 − σ1 ap1 σ1 a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ ·

=

· a+p2 σ2 a+−p2 − σ2 |FK =

Vk (q)α∗σ1 (p1 )ασ2 (p2 )Θ p1 − kF Θ p2 − kF ·

kqσ p1 σ1 p2 σ2

· FK| δσ1 σ δp1 , k + q a−p1 − σ1 a+−k − q − σ a−k − σ akσ · · a+p2 σ2 a+−p2 − σ2 − δσ1 − σ δp1 , −k − q · · a−p1 − σ1 a+k + qσ a−k − σ akσ a+p2 σ2 a+−p2 − σ2 + + δσ1 σ2 δp1 p2 a−p1 − σ1 a+k + qσ a+−q − k − σ a−k − σ akσ a+−p2 − σ2 −

− δσ1 − σ2 δp1 , −p2 a−p1 − σ1 a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+p2 σ2 |FK =

=

kqσ p2 σ2

Vk (q)ασ2 p2 Θ p2 − kF ·

· FK|

α∗σ (k + q)Θ |k + q| − kF ·

· a−k − q − σ a+−k − q − σ − α∗−σ (−k − q) ·

· Θ |k + q| − kF ak + qσ a+k + qσ · · a−k − σ akσ a+p2 σ2 a+−p2 − σ2 +

+ α∗σ2 p2 Θ p2 − kF a−p2 − σ2 a+k + qσ · · a+−q − k − σ a−k − σ akσ a+−p2 − σ2 −

− α∗−σ2 −p2 Θ p2 − kF ap2 σ2 a+k + qσ · · a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+p2 σ2

|FK =


=

kqσ p2 σ2

489

Vk (q)ασ2 p2 α∗σ (k + q)Θ |k + q| − kF ·

· 2 FK a−k − σ akσ a+p2 σ2 a+−p2 − σ2 FK +

+ Vk (q) ασ2 (p2 ) 2 Θ p2 − kF FK| δ−σ2 σ · kqσ p2 σ2

· δ−p2 , k + q a+−q − k − σ a−k − σ akσ a+−p2 − σ2 − − δσσ2 δp2 , k + q a+k + qσ a−k − σ akσ a+−p2 − σ2 +

+ a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ 1 − nˆ −p2 − σ2 + + δσσ2 δp2 , k + q a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+p2 σ2 −

=

kqσ p2 σ2

− δσ − σ2 δp2 , −k − q a+k + qσ a−k − σ akσ a+p2 σ2 +

+ a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ 1 − nˆ p2 σ2 |FK =

2Vk (q)ασ2 (p2 )α∗σ (k + q)Θ |k + q| − kF Θ(k − kF ) ·

· FK| δσσ2 δkp2 1 − nˆ k − σ − δσ − σ2 δk − p2 1 − nˆ k − σ |FK +

+

kqσ

Vk (q) ασ (k + q) 2 Θ |k + q| − kF ·

· FK| a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+k + qσ − a+k + qσ a−k − σ akσ a+−k − q − σ + + a+k+qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ + a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+k + qσ − − a+k + qσ a−k − σ akσ a+−k − q − σ + a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ |FK .

Die zweite Summe verschwindet, da

FK| a+k + qσ = FK| a+−k − q − σ = 0 ,

falls

|k + q| > kF .

In der ersten Summe benutzen wir, wie bereits mehrfach vorher:

ασ (k) = −α−σ (−k) . Damit bleibt:

ψ | V | ψ = 2

k > kF |k + q| > kF

kqσ

Vk (q)α∗σ (k + q)ασ (k) q. e. d.

490

2.3.4


Lösung zu Aufgabe 2.3.4 Energie des Modellsystems im Cooper-Paar-Zustand nach Aufg. 2.3.3:

E = ψ | H | ψ

=2

k > kF k, σ

1.

k > kF

|k + q| > kF k ≤ kF ε(k) ασ (k) 2 + 2 ε(k) + 2 Vk (q)α∗ (k + q)ασ (k) .

σ

k, q, σ

k

Zur Bestimmung der ασ (k) minimieren wir E, wobei wir die Randbedingung k > kF k, σ

ασ (k) 2 = 1

mit einem Lagrange-Parameter λ ankoppeln: ⎛ ⎞ >k k F 2 ∂ ⎝ ασ k ⎠ = E−λ ∂α∗σ (k) k ,σ

(k > kF )

=

k > kF |k + q| > kF

2ε(k)ασ (k) + 2

!

Vk − q (q)ασ (k − q) − λασ (k) = 0 .

q

Multiplizieren mit α∗σ (k), dann summieren über alle k und σ (k > kF ):

λ=E−2

k < kF

ε(k) = E.

k

Der Lagrange-Parameter entspricht also der Zusatzenergie durch die beiden Elektronen des Cooper-Paares. – Mit der in Aufg. 2.3.2 vereinbarten Vereinfachung für das Matrixelement folgt weiter:

k > kF

E ασ (k) = 2V ασ k ≡ 2Aσ 2ε(k) − k

⇐⇒ Aσ =

k

2VAσ . 2ε(k) − E

Die k-Summation läuft natürlich nur über solche Wellenzahl-Vektoren, für die V =/ 0 ist. Wir verwandeln die Summe in ein Integral: εF + ¯hωD

dx

1 = 2NV εF

ρ0 (x)

2x − E

≈ 2NV ρ0 (εF )

εF + ¯hωD εF

dx ≈ 2x − E


491

E 1 2 εF + h¯ωD − ≈ 2NV ρ0 (εF ) ln 2 2εF − E

exp −1 | NV ρ0 (εF )

. E ≈ 2εF − 2h¯ωD 1 − exp −1 | NV ρ0 (εF )

⇒

Für V =/ 0 ist demnach die Energie des Cooper-Paares kleiner als die Energie zweier nicht miteinander wechselwirkender Elektronen an der Fermi-Kante. Das Cooper-Paar stellt somit einen gebundenen Zustand dar. Die Fermi-Kugel ist instabil gegenüber Cooper-Paarbildung!


2.3.5

!

1 = BCS | BCS = 0|

uk + vk bk up + vp b+p |0 . k

p

Alle Operatoren kommutieren für unterschiedliche Wellenzahlen. Wegen bk |0 =

0| b+k = 0 bleibt dann:

1

!

0|

=

uk + vk bk uk + vk b+k |0 = k

0|

=

u2k + vk bk + b+k uk + vk2 bk b+k |0 = k

0|

=

u2k + vk2 bk b+k |0 = k

Aufg. 2.3.1

=

0|

u2k + vk2 b+k bk +1−ˆnk↑ −ˆn−k↓ |0 k

b+k bk |0 = nˆ kσ |0 = 0

⇒

1

!

=

0|

u2k + vk2 |0 = u2k + vk2 . k

k

Alle k-Terme sind gleichberechtigt und unabhängig voneinander: 1 = u2k + vk2 .

492


2.

BCS | b+k bk | BCS = = 0|

uq + vq bq b+k bk up + vp b+p |0 = q

p

⎧ ⎫ =/ k =/ k ⎨ ⎬

+ = 0| u + vk bk b+k bk uk + vk b+k |0 = uq + vq bq up + vp bp ⎩ q p ⎭ k ⎫ ⎧ =/ k =/ k ⎨ ⎬

v2 b b+ b b+ |0 . uq + vq bq up + vp b+p = 0| ⎭ k k k k k ⎩ q p Wie in Teil 1.: bk b+k |0 = |0

BCS | b+k bk | BCS = vk2 0|

⇒

=/ k =/ k

uq + vq bq up + vp b+p |0 = q

1.

= vk2

p

=/ k 1. u2p + vp2 = vk2 . p

vk2 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Cooper-Paar (k↑, −k↓) existiert! Der zweite Erwartungswert berechnet sich völlig analog: k =/ p: ⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬

uq + vq bq uq + vq b+q ·

BCS | b+k bk b+p bp | BCS = 0| ⎭ ⎩ q q

· (uk + vk bk )b+k bk uk + vk b+k up + vp bp b+p bp up + vp b+p |0 = ⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬

uq + vq bq uq + vq b+q vk2 vp2 bk b+p bk b+k bp b+p bp b+p |0 = = 0| ⎭ ⎩ q

q

⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬

uq + vq bq uq + vq b+q |0 = = vk2 vp2 0| ⎭ ⎩ q q

= vk2 vp2

2 = vk

für k = p .

BCS | b+k bk 1 − b+p bp | BCS = vk2 − vk2 vp2 = vk2 u2p ,

falls k =/ p

(= 0, falls k = p). u2p ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Cooper-Paar (p↑, −p↓) nicht existiert!


493

Bleibt noch zu berechnen: BCS b+p bk BCS = ⎧ ⎫ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬

= 0| · uq + vq bq uq + vq b+q ⎩ q ⎭ q

· up + vp bp b+p up + vp b+p uk + vk bk bk uk + vk b+k |0 = ⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬

uq + vq bq uq + vq b+q u v b b+ u v b b+ |0 = = 0| ⎭ p p p p k k k k ⎩ q q

⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬

uq + vq bq uq + vq b+q |0 = = up vp uk vk 0| ⎭ ⎩ q

q

s. o.

= up vp uk vk .

Dabei wurden Ergebnisse aus Aufg. 2.3.1 ausgenutzt: + 2 2 bk = bk = 0 .

Lösung zu Aufgabe 2.3.6 1. Phononen-induzierte Elektron-Elektron-Wechselwirkung (s. Aufg. 2.3.2):

H=

kσ

ε(k)a+kσ akσ − V

q =/ 0

a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ .

kpq

σ, σ

Variation soll mit |BCS durchgeführt werden. Nach Aufg. 2.3.5 enthält dieser Testzustand nur Cooper-Paare. Deshalb kann H auf H=

kσ

ε(k)a+kσ akσ − V

p =/ k

b+p bk

p, k

reduziert werden. Alle anderen Terme liefern, auf |BCS angewendet, keinen Beitrag. Multipliziert man das Produkt in |BCS aus, so treten Terme mit unterschiedlicher Anzahl von Erzeugungsoperatoren b+k auf. Daraus folgt: |BCS ist kein Zustand fester Teilchenzahl! Die Nebenbedingung N = const muss deshalb mithilfe eines Lagrange’schen Parameters μ (s. Bd. 2, Abschn. 1.2.5) angekoppelt werden: HBCS = H(ε(k) → t(k)) t(k) = ε(k) − μ .

2.3.6

494

2.


Der Erwartungswert der potentiellen Energie wurde in Teil 2. von Aufg. 2.3.5 berechnet. Alle Operatoren kommutieren, solange sie zu unterschiedlichen Wellenzahlen k gehören: Deswegen kann man BCS | a+kσ akσ | BCS wie folgt sortieren: ⎫ ⎧ / ±k ⎨ = ⎬

up + vp bp up + vp b+p ·

BCS | a+kσ akσ | BCS = 0| ⎭ ⎩ p

· uk + vk bk u−k + v−k b−k a+kσ akσ uk + vk b+k u−k + v−k b+−k |0 , [a+kσ akσ , b+k ]− = a+kσ akσ , a+k↑ a+−k↓ = δσ↑ b+k , −

[a+kσ akσ , b+−k ]− = δσ↓ b+−k ,

[a+kσ akσ , b+k b+−k ]− = δσ↓ + δσ↑ b+k b+−k = b+k b+−k . Damit folgt:

a+kσ akσ uk + vk b+k u−k + v−k b+−k |0 =

= vk u−k δσ↑ b+k + uk v−k δσ↓ b+−k + vk v−k b+k b+−k |0 . Es gilt weiter:

0| uk + vk bk u−k + v−k b−k a+kσ akσ uk + vk b+k u−k + v−k b+−k |0 =

2 = vk u−k δσ↑ 0 | bk b+k | 0 + (uk v−k )2 δσ↓ 0 | b−k b+−k | 0 + 2 + vk2 v−k

0 | bk b−k b+k b+−k | 0 = 2 = vk2 δσ↑ + v−k δσ↓ .

Schlussfolgerungen wie in der letzten Aufgabe: 2 δσ↓ .

BCS | a+kσ akσ | BCS = vk2 δσ↑ + v−k

Wegen t(−k) = t(k) und Teil 2. von Aufg. 2.3.5 bleibt schließlich: E=2

k =/ p

t(k)vk2 − V

k

3.

Minimum-Bedingung: !

0=

dE = dvk

∂E ∂vk

vk vp uk up .

k, p

+

u

= 4t(k)vk − 2V

∂E ∂uk =/ k p

∂uk ∂E = ∂ v ∂ vk k v

vp up uk + 2V

− u

vk uk

∂E ∂uk

=/ k vk vk vp up = uk p

= v


495

4 = 4t(k)vk + 2Δk ⇐⇒

vk2 − uk uk

5

2

4t 2 (k)vk2 u2k = Δ2k vk2 − u2k = Δ2k 4vk4 − 4vk2 + 1 = = −Δ2k 4vk2 u2k + Δ2k .

Damit folgt: uk vk =

1 Δk A . 2 t 2 (k) + Δ2 k

Einsetzen in die Definitionsgleichung für Δk ergibt schließlich: 1 2

Δk = V

=/ k p

Δp

A . t 2 (p) + Δ2p

4. Δ2 1 2 1 1 + = 2 k 2 u2k vk2 = −vk4 + vk2 = − vk2 − 2 4 4 t (k) + Δk ⎛ ⎞ t(k) 1 negative Wurzel, da für Δ → 0 ⎠ , ⇒ vk2 = ⎝1 + A keine Cooper-Paare existieren. 2 2 2 − t (k) + Δ k

⎛ u2k =

⎞

t(k) 1⎝ ⎠ . 1+ A 2 t 2 (k) + Δ2k

BCS-Grundzustandsenergie: 4 5 t(k 1 1− − t(k) vk uk Δk E0 = 2 2 t 2 (k) + Δ2 k k ⎧ ⎫ ⎨ t 2 (k) + 12 Δ2k ⎬ t(k) − A . E0 = ⎩ t 2 (k) + Δ2 ⎭

⇒

k

k


eS :

unitäre Transformation

2.3.7

⇐⇒

S + S −1 e = e

⇐⇒

S+ = −S .

496


Nach (2.186):

S=

kqσ

⇒

S+ =

kqσ

⇒

Tq x(k, q)bq + y(k, q)b+−q a+k+qσ akσ Tq∗ x∗ (k, q)b+q + y∗ (k, q)b−q a+kσ ak+qσ ,

∗ = Tq (2. 183) , q → −q ; k → k + q ; T−q S+ = Tq x∗ (k + q, −q)b+−q + y∗ (k + q, −q)bq a+k+qσ akσ . kqσ

S+

= −S gilt also offensichtlich genau dann, wenn !

y∗ (k + q, −q) = −x(k, q) , !

x∗ (k + q, −q) = −y(k, q) erfüllt. Das ist nach (2.190) und (2.191) wegen h¯ω(−q = h¯ω(q) offensichtlich der Fall!

Abschnitt 2.4.5 2.4.1


+ − S k 1 , S k2 − = e −i (k1 Ri + k2 Rj ) S+i , S−j = −

i, j

=

e −i (k1 Ri + k2 Rj ) 2h¯δij Siz = 2h¯

e −i (k1 + k2 ) · Ri Siz =

i

i, j

= 2h¯S z k1 + k2 .

z ± S k1 , S k2 − = e −i (k1 i, j

= ±h¯

· Ri + k2 · Rj )

Siz , S± = j −

e −i (k1 · Ri + k2 · Rj ) δij S± ¯S± k1 + k2 . i = ±h

i, j

2.4.2

Lösung zu Aufgabe 2.4.2 β Jij Sαi Sj = i, j

=

1 J(k)Sα (p)Sβ (q) e −ik · (Ri − Rj ) e ip · Ri e iq · Rj = N3 i, j kqp


=

497

1 1 J(k)Sα (p)Sβ (q)δkp δk, −q = J(k)Sα (k)Sβ (−k) , N N kqp

k

Siz = S z (0) .

i

Hieraus folgt: H=−

i, j

=−

μB z Jij S+i S−j + Siz Sjz − gJ B0 Si = h¯ i

1 μB J(k) S+ (k)S− (−k) + S z (k)S z (−k) − gJ B0 S z (0) . N h¯ k


2.4.3

H=− Jij S+i S−j + Siz Sjz − b Siz = i

i, j

μB b = gJ B0 h¯

=− Jij 2Sh¯2 ϕ ni ai a+j ϕ nj + i, j

+ h¯2 S − ni S − nj − b h¯ S − ni , i

Jij = NJ0 ;

Jij =

i

i, j

Jij = J0 .

j

Grundzustandsenergie:

E0 = −NJ0 h¯2 S − NgJ μB B0 S = E0 B0 . Hieraus folgt: H = E0 (B0 ) + 2Sh¯2 J0

ni − 2Sh¯2

i

− h¯2

Jij ni nj

Jij ϕ ni ai a+j ϕ nj −

i, j

q. e. d.

i, j


1 M0 − Ms (T) 1 . = M0 NS q exp [βh¯ω(q)] − 1

2.4.4

498


Zunächst verwandeln wir die Summe in ein Integral: V 1 3 β¯hω(q) − 1 −1 = = d q e exp [βh¯ω(q)] − 1 (2π)3 q =

V (2π)3

d3 q

∞ V e −β¯hω(q) d3 q e −nβ¯hω(q) . = 1 − e −β¯hω(q) (2π)3 n = 1

Integriert wird über die erste Brillouin-Zone. Für tiefe Temperaturen ist β sehr groß, sodass zum Integral nur die kleinen Magnonenenergien wesentlich beitragen. Das sind die mit kleinem |q| :

2 1 1 D 2 Jij 1 − e iq · Rij ≈ Jij q · Rij ≡ q J0 − J(q) = N 2N 2Sh¯2 i, j

⇒

ij

h¯ω(q) ≈ Dq2 .

Aus demselben Grund können wir auch die Integration über die erste Brillouin-Zone durch eine solche über den gesamten q-Raum ersetzen: ∞ V M0 − Ms (T) 2 = 2 dq q2 e −nβDq = M0 2π NS n = 1 ∞

0

∞ V 1 3 −3 | 2 (nβD) . = 2 Γ 2π NS n = 1 2 2 1 Riemann’sche ζ-Funktion: ζ(m) = ∞ n = 1 nm . Daraus folgt: Tief-Temperatur-Magnetisierung:

M0 − Ms (T) = C3 | 2 T 3 | 2 M0

> (T → 0)

„Bloch’sches T 3 | 2 -Gesetz“, C3 | 2 =

2.4.5

V kB 3 | 2 3 ζ . NS 2 4πD

Lösung zu Aufgabe 2.4.5 1. Wir überprüfen die Axiome des Skalarprodukts: a) (A, B) ist eine komplexe Zahl mit

(A, B) = (B, A)∗ , denn Wm − Wn En − Em


499

ist eine reelle Zahl und

∗

n | B+ | m m | A | n = n | A+ | m m | B | n . b) Linearitätseigenschaften des Skalarprodukts,

A, α1 B1 + α2 B2 = α1 A, B1 + α2 A, B2

α1 , α2 ∈ C ,

folgen unmittelbar aus denen des Matrixelements m | B | n . c) (A, A) ≥ 0, denn Wm − Wn n | A+ | m 2 Wm − Wn ≥ 0 . ≥ 0 ⇒ (A, A) = n, m En − Em En − Em d) Aus A = 0 folgt natürlich (A, A) = 0. Die Umkehrung gilt allerdings nicht (s. Aufg. 2.4.6)! Es handelt sich deshalb um ein semidefinites Skalarprodukt! 2. (A, B) =

n | A+ | m m | [C+ , H ]− | n

n, m

=

Wm − Wn = En − Em

n | A+ | m m | C+ | n Wm − Wn .

n, m

Wegen des Faktors rechts können die Diagonalterme nun mitgezählt werden. Mithilfe der Vollständigkeitsrelation und der Definition von Wn folgt weiter: Wn n | A+ C+ | n + Wm m | C+ A+ | m = (A, B) = − n

m

= − A+ C+ + C+ A+ = [C+ , A+ ]− , (B, B) = [C+ , B+ ]− = [C+ , [H, C]− ]− . Für die dritte Beziehung führen wir zunächst die folgende Abschätzung durch: 0
t2 > t3 :

η0 Tε akσ t1 a+kσ t2 akσ t3 a+kσ t3 η0 = i i = e − ¯h (ε(k) − μ)(t1 − t3 ) 1 − nkσ (0) nkσ (0) e − ¯h (ε(k) − μ)(t3 − t2 ) − 1 = 0 . Kontrolle durch direkte Rechnung:

η0 Tε akσ t1 a+kσ t2 akσ t3 a+kσ t3 η0 =

= − η0 akσ t1 a+kσ t2 nkσ t3 η0 = 0 . ←− −→ = 0 für k ≤ kF

2.

t1 > t3 > t2 :

= 0 für k > kF

η0 =

η0 Tε akσ t1 a+kσ t2 akσ t3 a+kσ t3

i = e − ( ¯hε(k) − μ)(t1 − t3 ) 1 − nkσ (0) ·

i · − 1 − nkσ (0) e − ¯h (ε(k) − μ)(t3 − t2 ) − nkσ (0) = i = − 1 − nkσ (0) e − ¯h (ε(k) − μ)(t1 − t2 ) = ⎧ ⎪ ⎨0 i =

⎪ ⎩− exp − ε(k) − μ t1 − t2 h¯

für k ≤ kF , für k > kF .


575

Kontrolle durch direkte Rechnung:

η0 Tε akσ t1 a+kσ t2 akσ t3 a+kσ t3 η0 =

= − η0 akσ t1 nkσ t3 a+kσ t2 η0 = i = − e − ¯h (ε(k) − μ)(t1 − t2 ) η0 akσ nkσ a+kσ η0 = i = − 1 − nkσ (0) e − ¯h (ε(k) − μ)(t1 − t2 ) .

Abschnitt 5.3.4 Lösung zu Aufgabe 5.3.1 Nach (5.92) gilt für die erste Ordnung Störungstheorie der Vakuumamplitude:

η0 Uα(1) t, t η0 = U 1

i 2h¯

t dt1 e

−α |t1 |

.

t

Das Zeitintegral lässt sich einfach ausführen:

nk nl [v(kl; lk) − v(kl; kl)] . U1 ≡ kl

1.

Hubbard-Modell k ≡ (k, σk ), . . . Nach Aufg. 4.1.1 gilt für den Wechselwirkungsterm: 1 V= vH (kl; nm)a+k a+l am an , 2 klmn

vH (kl; nm) ≡

U δk + l, m + n δσk σn δσl σm δσk − σl . N

Man erkennt unmittelbar: U vH (kl; lk) = δk + l, k + l δσk σl δσl σk δσk − σl = 0 , N vH (kl; kl) = Es bleibt somit: U1 = − Nσ =

U U δk + l, l + k δσk σk δσl σl δσk − σl = δσk − σl . N N

U U

nkσ nl − σ = − Nσ N−σ , N N

k

klσ

nkσ :

Zahl der Elektronen mit Spin σ .

5.3.1

576

2.


Jellium-Modell

vj (kl; nm) = v(k − n) 1 − δkn δk + l, m + n δσk σn δσm σl . Das bedeutet für die hier benötigten Spezialfälle: vj (kl; lk) = v(k − l)(1 − δkl )δσk σl , vj (kl; kl) = v(0)(1 − δkk ) = 0 . Blasen liefern keinen Beitrag! Es bleibt somit: U1 = v(k − l)(1 − δkl ) nkσ nlσ . klσ

Dieser Term wurde explizit in Abschn. 2.1.2 (s. (2.92)) ausgewertet.

5.3.2

Lösung zu Aufgabe 5.3.2 1. Beitrag des Diagramms nach den Regeln aus Abschn. 5.3.1:

t

1 i 2 − · · · dt1 dt1 dt2 dt2 δ t1 − t1 δ t2 − t2 e −α ( |t1 | + |t2 | ) · (D) = 2! 2h¯ t

·

v k1 l1 ; n1 m1 v k2 l2 ; n2 m2 (−1)2 ·

k1 l1 m1 n1 k2 l2 m2 n2

c c t − t δ iG0, · iG0, l m 2 1 n1 t1 − t2 δn1 l2 · 1 2 l1

· − nk1 δk1 m1 − nk2 δk2 n2 =

=

1 8h¯2 ·

t

dt1 dt2 e −α ( |t1 | + |t2 | ) ·

t

v k1 l1 ; n1 k1 v k2 n1 ; k2 l1 ·

k1 , l1 , n1 , k2

c c · G0, t2 − t1 G0, n1 t1 − t2 nk1 nk2 . l1 2.

Hubbard-Modell:

U vH k1 l1 ; n1 k1 = δl1 , n1 δσk1 σn1 δσl1 σk1 δσk1 − σl1 = 0 N ⇒

(D) = 0 .


3.

577

Jellium-Modell:

vj k2 n1 ; k2 l1 = v(0) 1 − δk2 k2 δn1 l1 δσl1 σn1 = 0 ⇒

(D) = 0 .

Lösung zu Aufgabe 5.3.3 Die Indizes entsprechen im Folgenden der Diagramm-Bezifferung aus Abschn. 5.3.1:

h Θ1 = 8 −→ A Θ1 = 1 ,

5.3.3

h Θ2 = 4 −→ A Θ2 = 1 , gleicher Beitrag der Diagramme (2), (8) ,

h Θ3 = 2 −→ A Θ3 = 4 , gleicher Beitrag der Diagramme (3), (6), (15), (22) ,

h Θ4 = 1 −→ A Θ4 = 8 , gleicher Beitrag der Diagramme (4), (5), (9), (12), (13), (16), (20), (21) ,

h Θ7 = 8 −→ A Θ7 = 1 ,

h Θ10 = 2 −→ A Θ10 = 4 , gleicher Beitrag der Diagramme (10), (11), (14), (19) ,

h Θ17 = 4 −→ A Θ17 = 2 , gleicher Beitrag der Diagramme (17), (24) ,

h Θ18 = 4 −→ A Θ18 = 2 , gleicher Beitrag der Diagramme (18), (23) .

Abschnitt 5.4.3 Lösung zu Aufgabe 5.4.1 Für die Elektron-Elektron-Wechselwirkung gilt im Hubbard-Modell (s. Aufgabe 5.3.1):

vH (kl; nm) =

U δk + l, n + m δσk σn δσl σm δσk − σl . N

Zur Selbstenergie gehören in erster Ordnung die beiden folgenden Diagramme:

5.4.1

578


1. vH

(kσ E)

k + q,σ E + E¢

(kσ E) Abb. A.11.

k = (k + q, σ ) , ⇒

l = (k, σ ) ,

m = (k + q, σ ) ,

n = (k, σ )

vH (kl; nm) = 0 wegen δσk − σl = 0 .

2. (lσ ¢E ¢) vH

(kσ E)

(kσ E)

Abb. A.12.

k = (k, σ ) ,

l = l, σ ,

m = l, σ ,

vH (kl; nm) =

n = k, σ ,

U δσ − σ N

⇒ Beitrag zur Selbstenergie:

1 U i i c

(−1) dE iG0, E (E) = − − Σk(1) σ σ l − h¯ h¯ 2πh¯ N l

⇒

U 0, c − U

nl − σ (0) = U n−σ (0) . Σk(1)σ (E) = − iGl − σ (0 ) = N N l

l

Dies ergibt die folgende kausale Ein-Teilchen-Green-Funktion: Gckσ (E) =

h¯

.

E − ε(k) + U n−σ (0) − εF ± i0+

Sie ist im Wesentlichen mit der des T = 0 -Stoner-Modells (4.23) identisch, entspricht also der Hartree-Fock-Näherung der Bewegungsgleichungsmethode. Allerdings ist hier n−σ der Erwartungswert des Anzahloperators für das nicht wechselwirkende System. Dasselbe gilt auch für das chemische Potential μ(T = 0) = εF . 5.4.2

Lösung zu Aufgabe 5.4.2 1. Die Bezifferung des Diagramms ergibt sich aus Impuls- und Energieerhaltung am Vertex, Spinerhaltung am Vertexpunkt und

vH (kl; nm) ∼ δσk − σl .


579

Nach den Diagrammregeln aus Abschn. 5.4.1 bleibt dann auszuwerten: (lσE ¢¢ ) 1 U 2π h N (l - sE ¢) 1 U 2π h N (kσ E)

(l - sE ¢ )

(kσ E)

Abb. A.13.

i − Σk(2,σ a) (E) = h¯

2 i 1 U 2 2 dE dE (−1) − · h¯ 2πh¯ N ¯

l, l

2 c

c

E · iG0, iG¯0, l−σ E lσ ⇒

Σk(2,σ a) (E)

= U nσ 2

(0)

2 i 1 1 c

dE iG0, − E . l− σ h¯ N 2πh¯ l

2.

Die Bezifferung des Diagramms begründet sich wie oben. (l ,- σ, E ¢¢ - E ¢ )

1 U 2π h N

1 U 2π h N

(l + q,- σ, E ¢¢)

(kσ E)

(k + q, σ, E + E ¢ )

⇒

Σk(2,σ b) (E)

(kσ E) Abb. A.14.

i 1 1 0, c dE E + E · =U dE i G k + qσ h¯ N 2 (2πh¯)2 2

lq

0, c

c · iG0, iGl − σ E − E . l+q−σ E Alle anderen Diagramme zweiter Ordnung sind wegen vH (kl; nm) ∼ δσk − σl Null. Lösung zu Aufgabe 5.4.3 Störungstheorie erster Ordnung:

2 i c 0, c (0)

n U iGckσ (E) ≈ iG0, (E) − i G (E) − σ kσ kσ h¯ 1 c (0) 0, c

n ⇒ Gckσ (E) ≈ G0, (E) 1 + G (E) . U −σ kσ kσ h¯

5.4.3

580


Dyson-Gleichung (Aufg. 5.4.1):

1 c (0) c

n Gckσ (E) ≈ G0, (E) 1 + G (E) . U − σ kσ kσ h¯

Die Störungstheorie erster Ordnung entspricht also dem ersten Entwicklungsterm in der unendlichen Teilreihe, die durch die Dyson-Gleichung vermittelt wird. 5.4.4


Σk(1σ) (E) =

+ Abb. A.15.

Über die Dyson-Gleichung ergibt das für die Ein-Elektronen-Green-Funktion bis zur zweiten Ordnung die folgenden Diagramme:

+

+

= +

+

+ +

+ Abb. A.16.

5.4.5


i (1) − Σ (E) = h¯ kσ

i 1 dE −v(kl; kl) iGclσ E + v(lk; kl)δσ σ iGclσ E =− . h¯ 2πh¯ l,σ

Es gilt: 1 2πh¯

'

$ dE Gclσ E = −i Tε alσ (t)cl+σ t + 0+ = +i nlσ .

Dabei haben wir die Gleichzeitigkeits-Konvention ausgenutzt: Σk(1) [v(kl; kl) − v(lk; kl)δσ σ ] nlσ . σ (E) = l, σ

Der Unterschied zur Lösung von Aufg. 5.4.4 besteht lediglich darin, dass der Erwartungswert des Besetzungszahloperators nun für das wechselwirkende, nicht mehr für das freie System zu bilden ist.


581

Die Renormierung führt zu einer ganzen Reihe von neuen Diagrammen, wie z. B.

Abb. A.17.

Abschnitt 5.6.4 Lösung zu Aufgabe 5.6.1 1. Wir schreiben:

5.6.1

γ ± χ±q (E) = − χq (E) .

N i χq± (E) hat bis auf die Spins der beteiligten Propagatoren dieselbe Struktur wie iDq (E) in (5.180). Die in Abschn. 5.6 besprochene Entwicklung kann deshalb bis (5.198) fast direkt übernommen werden. Wir müssen nur darauf achten, dass die bei den festen Zeiten t und t ein- bzw. auslaufenden Propagatoren (s. z. B. (5.182)) unterschiedliche Spins haben. Nach Fourier-Transformation auf p - q

k t

t¢

k + q¯

=

i χq± t, t

p¯

Abb. A.18.

Energien verschwindet dann aber in der zu (5.184) analogen Dyson-Gleichung der zweite Summand, da wegen Spinerhaltung am Vertexpunkt an die Endpunkte des obigen Diagramms keine Wechselwirkungslinie angeschlossen werden kann. ⇒

i χq± (E)

=

i¯ hΛq↑↓ (E) 2.

Vertex-Funktion in der Leiter-Näherung: (k, , E ¢ )

(k, , E ¢ ) (q, E)

=

+

( p, , E ¢¢) (q, E)

( p + q, ¯, E ¢¢+ E) (k + q, ¯, E + E ¢ )

(k + q, ¯, E + E ¢ ) Abb. A.19.

ΓL↑↓ qE; kE = 1 U =1+ 2πh¯ N

↑↓ i c

c − dE iG0, qE; pE . iG0, p↑ E p+q↓ E + E ΓL h¯ p

582


Da im Hubbard-Modell das Wechselwirkungs-Matrixelement eine Konstante ist, ist die rechte Seite von (k, E ) unabhängig. Dies bedeutet

ΓL↑↓ qE; kE ≡ ΓL↑↓ (qE) und somit:

ΓL↑↓ (qE) =

=

↑↓ 1 + ΓL (qE)

=

↑↓ 1 + ΓL (qE)

1 iU 0, c

0, c − dE iGp↑ E iGp+q↓ E + E = h¯ N 2πh¯ p

i U (0) i¯ hΛq↑↓ (E) . h¯ N

Die Leiter-Näherung lässt sich also im Fall des Hubbard-Modells exakt aufsummieren:

ΓL↑↓ (qE) = 3.

1 1+

U (0) N Λq↑↓ (E)

.

Exakt gilt: c Gk (E ¢)

Γ ¯ (qE; kE ¢)

Gkc + q¯ (E + E ¢)

4.

i χq± (E) ≈ −

Abb. A.20.

↑↓ 1 c) c

dE iG0, E E + E ΓL (q, E) . iG(0, k↑ k + q↓ 2πh¯ k

Der erste Faktor stammt von den äußeren Anschlüssen links! ↑↓ i χq± (E) ≈ i¯hΛ(0) q↑↓ (E)ΓL (q, E) .

Daraus folgt für die Suszeptibilität:

χq± (E)

=

¯ h (0) N Λq↑↓ (E) −γ (0) 1+ U N Λq↑↓ (E)

.

γ

Bis auf den Faktor − N ist Λ(0) q↑↓ mit der freien Suszeptibilität identisch. Das obige Ergebnis stimmt also mit (4.183) überein! Λ(0) q↑↓ (E) wurde in (5.192) berechnet.


583


5.6.2 i : - Tkσ (E) . h

Alle anderen Symbole haben dieselbe Bedeutung wie im Text: T-Matrix-Gleichung: +

=

iGckσ (E)

Abb. A.21.

c 0, c iG0, kσ (E) + iGkσ (E)

=

i c − Tkσ (E) iG0, kσ (E) , h¯

1 0, c c c Gckσ (E) = G0, G (E)Tkσ (E)G0, kσ (E) + h kσ (E) . ¯ kσ Vergleich mit der Dyson-Gleichung: Dies bedeutet: = +

=

Abb. A.22.

+

=

Abb. A.23.

i i i i 0, c − Tkσ (E) = − Σkσ (E) + − Σkσ (E) iGkσ (E) − Tkσ (E) h¯ h¯ h¯ h¯ ⇒

Tkσ (E) =

1−

Σkσ (E) 1 0, c ¯ h Gkσ (E)Σkσ (E)

.

Lösung zu Aufgabe 5.6.3 Zu berechnen ist die folgende Zwei-Teilchen-Spektraldichte:

S(2) iiσ (E − 2μ) = −

1 1 Im Dq (E − 2μ) . πN q

Dabei ist:

i Dqσ (E) =

+ ∞

i

d t − t e ¯h E t−t · −∞

·

kp

σ

E0 Tε ak − σ (t)aq − kσ (t)a+q − pσ t a+p − σ t E0 .

5.6.3

584

1.


Das allgemeine Diagramm hat die Form: q − k,σ, E ′

q − p,σ, E ′′

(q, E)

(q, E)

p,− σ , E − E ′′

k,− σ , E − E ′

Abb. A.24.

Bis auf die Bezifferung und die Pfeilrichtungen haben wir dieselben Diagrammtypen wie bei der Dichte-Korrelation Dq (E) in Abschn. 5.6. Die Diagramm-Regeln entsprechen weitgehend denen nach (5.183) in Abschn. 5.6.1. Wir haben lediglich die äußeren Anschlüsse (Regel 4) gemäß dem obigen Bild zu indizieren. – Wegen der speziellen Pfeilrichtungen kann es allerdings keine reduziblen Polarisationsanteile im Sinne von Abschn. 5.6.1 geben. 2. iDÆqσ (E) »

+

+

+

=

i¯ h Λ(0) qσ = −

+

Γ Lσ -σ (q, E)

Abb. A.25.

1 c

c dE iG0, E E − E . iG0, σ σ q − k k − 2πh¯ k

Wie in Aufg. 5.6.1 findet man:

ΓLσ − σ (q, E) =

1 1+

U (0) N Λqσ (E)

.

Dies ergibt: Dqσ (E) = h¯

Λ(0) qσ (E) 1+

U (0) N Λqσ (E)

.

Λ(0) qσ (E) berechnet sich völlig analog zu (5.192). 3. Ersetzen Sie in Λ(0) qσ (E) die freien durch die vollen Propagatoren!

Sachverzeichnis

585

Sachverzeichnis Fette Seitenzahlen verweisen auf eine Definition, die Formulierung eines Satzes oder eine wichtige Aussage, kursive auf eine Aufgabe. 4f -System, 285, 285, 286 − magnetisches, 285, 287 Abschirmeffekt, 123, 378 Abschirmlänge, 231, 233 Abschirmung, 123, 125, 229, 233, 390 Absorption, 77, 80, 81 adiabatisch, siehe Einschalten AES, siehe Augen-Elektronen-Spectroskopie Anregungsenergie, 97, 138, 139, 141, 153, 158, 171, 182, 186, 201, 206, 403 Antiferromagnet, 92, 102, 187, 225 Antiferromagnetismus, 91 Antikommutator-Green-Funktion, 143, 152, 159, 164, 169, 272 Antikommutator-Spektraldichte, 141 Appearance-Potential-Spectroscopy (APS), 248, 249, 397 ATA, siehe Average T-Matrix Approximation Atomares Limit, siehe Limit Auger-Elektronen-Spektroskopie (AES), 248, 249, 397 Austauschaufspaltung, 206 Austauschenergie, 55, 366 Austauschintegrale, 92, 95, 224, 273, 280, 283 Austauschterm, 54 Austauschwechselwirkung, 90, 92, 93, 160, 285, 286 Average T-Matrix Approximation (ATA), 263, 265, 266 Bahnanteil, 92 Baker-Hausdorff-Theorem, 326 Band − exakt halbgefülltes, 221, 224 − unendlich schmales, 199–202, 226, 229 Bandaufspaltung, 187, 191, 210, 269 Bandbesetzung, 218–220, 291–293, 296 Bandkorrektur, 215–219

Bandlimit, 209, 211, 212, 225 Bandmagnetismus, 59, 93, 93, 212 Bandverschiebung, 206, 219 − spinabhängige, 93, 214 Basis, 3, 4, 9, 11, 12, 20, 21, 29, 65 Basisvektor, 14 Basiszustand, 13, 15, 19, 20, 25, 27 BCS-Supraleitung, 171, 172, 229 BCS-Theorie, 84, 87, 170, 171 Besetzungsdichteoperator, 19, 19, 28 Besetzungszahl, 22, 24, 25, 235, 237 − mittlere, 32, 62, 154, 185, 225, 413 Besetzungszahldarstellung, 24 Besetzungszahloperator, 28 Bewegungsgleichung, 68, 69, 75, 109, 203, 405, 411 − der Dichtematrix, 115–117 − der Ein-Elektronen-Green-Funktion, 199, 200, 203, 207, 209, 304 − der Ein-Teilchen-Green-Funktion, 211, 251, 299 − der Green-Funktion, 135, 135, 136, 144, 149, 152–154, 157–159, 161, 164, 167–169, 172, 175, 188, 190, 199, 235–237, 243–245, 249, 271, 272, 276, 284, 288, 295, 303, 304 − der Heisenberg-Operatoren, 113, 114, 135, 146, 216, 275, 316, 317 − des harmonischen Oszillators, 69 − des Zeitentwicklungsoperators, 110, 115, 410 Bindung, metallische, 56 Bindungsenergie, 66 Blase, 338, 343, 344, 362, 365, 366 Bloch-Band, 187, 220, 291, 295, 301 Bloch-Darstellung, 47, 50, 78, 132, 173, 225 Bloch-Elektronen, 40, 42, 152, 186 Bloch-Energie, 41, 43, 57, 58, 65, 77, 173, 174, 185, 262, 296, 325 Bloch-Funktion, 41, 41, 42, 46, 56, 57, 79, 173

586

Sachverzeichnis

Bloch-Operatoren, 42, 45, 60 Bloch-Zustand, 42 Bloch-Zustandsdichte, 86, 186, 187, 218, 219, 249, 297 Bloch’sches T 3 | 2 -Gesetz, 246, 273, 283 Bloch’sches Theorem, 41, 48, 57, 65, 250 Bogoliubov-Ungleichung, 101, 102, 228 Bohr’scher Radius, 53, 372 Bohr’sches Magneton, 90, 246 Bose-Einstein-Verteilungsfunktion, 76, 100, 159 Bose-Funktion, 413 Bose-Operatoren, 73, 99, 134, 278, 322, 405 Bosonen, 9, 13, 15, 23, 25, 26, 28, 74, 84, 98, 157, 405, 408, 409, 424 Bravais-Gitter, 41, 41, 65, 75, 76, 80 Brillouin-Wigner-Störungstheorie, 315, 325 Brillouin-Zone, erste, 41, 42, 60, 68, 75, 76, 80, 101, 103, 281, 325 Cauchy’scher Hauptwert, 140 Coherent Potential Approximation (CPA), 255, 258, 259, 265, 265, 268, 269, 292, 297 Cooper-Modell, 85, 86 Cooper-Paar-Erzeugungsoperator, 87, 170 Cooper-Paare, 81, 84, 84, 85, 86 Core-Zustand, 248 Coulomb-Matrixelement, 48, 173, 363, 373 Coulomb-Potential, abgeschirmtes, 231, 233, 378 Coulomb-Wechselwirkung, 39, 46, 46, 47– 50, 52, 59, 81, 92, 189, 201, 218, 286, 293, 326, 368, 371, 376 CPA, siehe Coherent Potential Approximation Curie-Gesetz, 90 Curie-Temperatur, 91, 205, 219, 273 − paramagnetische, 91 Curie-Weiß-Gesetz, 91 Debye-Frequenz, 76, 85 Debye-Modell, 76 delta-Funktion (δ-Funktion), 138, 156, 177, 179, 184, 186, 214, 296, 344, 357, 380, 388 delta-Funktion (δ-Funktion), 30, 136, 205, 225

Diagonalelemente, 142 Diagrammdarstellung, 339, 397 − der Dyson-Gleichung, 361, 388, 390 Diagramme, 260–267, 337–342, 344, 345, 351, 352, 356–362, 363, 365–367, 371, 376–378, 382–393 − gekreuzte, 263, 264 − geschlossene, 350 − „gestreckte“, 355 − gleicher Struktur, 345, 346, 354, 355, 364, 366, 372, 420 − nicht zusammenhängende, 347, 348 − offene, 350–354, 364, 366, 383, 430 − topologisch gleiche, 345–347, 355, 364, 365, 372, 420, 421, 430 − topologisch verschiedene, 346, 354, 355, 364, 366, 372, 420 − zusammenhängende, 347–349, 351, 351, 352–355, 359, 364, 366, 383, 421 Diagrammentwicklung, 364, 387, 393 − der Green-Funktion, 353, 388, 389 Diagrammregeln, 260, 263, 338, 339, 344, 346, 349, 358, 358, 362, 384, 386, 388, 389, 392, 426, 430, 431 − für die großkanonische Zustandssumme, 422, 424 Diagrammtechnik, 115, 141, 148, 259, 359, 363, 390, 391 Diamagnetismus, 89, 89, 90 Dichtekorrelation, 63, 64, 382, 392, 393 Dichtematrix, 110, 115–117 Dichteoperator, 51, 124, 234, 383, 404 Dichteparameter, 53, 62, 233, 372, 376 Dielektrizitätsfunktion, 123, 123, 125, 187, 233, 233, 234, 237, 238, 240, 241, 382, 390, 393 − statische, 241, 242 Dipolmomentenoperator, 121, 132 Dirac-Bild, 109, 113, 114, 117, 315, 319, 410 Dirac-Darstellung, 118, 321, 322, 326, 350, 364, 410, 411, 415, 416 Dirac-Identität, 140, 147 Dirac-Zustand, 114, 316 Dispersion, 52, 58, 287 Dispersionsspektrum, 77 Dispersionszweige, 68, 75, 76

Sachverzeichnis

Drude-Theorie, 123 Dyson-Gleichung, 176, 176, 252, 253, 255, 259, 261, 263, 359, 361, 382, 387, 388, 390, 395, 396, 403, 411, 432 Dyson-Maleév-Transformation, 278 Dyson’sche Spinwellentheorie, 280 Dyson’scher Zeitordnungsoperator, 111, 134, 322, 411 Eigenenergie, 62, 137, 325 Eigenfrequenz, 75 Eigenfunktion, 42, 62 Eigenlösung, 40 Eigenschwingung, 125, 234, 238 Eigenwert, 4, 7, 19, 28, 33, 68, 109, 189, 221, 277, 312, 313, 325 Eigenwertgleichung, 41, 67, 68, 222, 312 Eigenwertproblem, 57, 68, 116, 311, 404 Eigenzustand, 3, 7, 9, 19–21, 28, 29–31, 33, 42, 64, 96, 97, 137, 181–183, 189, 221, 277, 317, 320, 325, 433 Ein-Elektronen-Green-Funktion, 152, 157, 170, 174, 175, 188, 189, 190, 199, 203, 206, 207, 209, 229, 291, 295, 304, 362, 363, 382, 387, 396, 397 − kausale, 324, 356 Ein-Elektronen-Spektraldichte, 153, 171, 174, 177, 185, 189, 212, 216, 225, 229, 229, 291 Ein-Elektronenoperator, 78 Ein-Magnonen-Green-Funktion, 157 Ein-Magnonen-Spektraldichte, 158, 279 Ein-Magnonenzustand, 97, 98, 277 Ein-Phononen-Green-Funktion, 170 Ein-Teilchen-Anteil, 16, 27, 250 Ein-Teilchen-Basis, 29, 63 Ein-Teilchen-Energie, 183, 203, 218, 230, 231 Ein-Teilchen-Funktion, 414 Ein-Teilchen-Green-Funktion, 176, 190, 211, 251, 256, 258, 259, 262, 265, 299, 358, 384, 388, 393 − kausale, 353 Ein-Teilchen-Kontinuum, 238 Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion, 411, 416, 423, 429 − freie, 413

587

Ein-Teilchen-Modell, 208, 210 Ein-Teilchen-Observable, 9, 20, 21 Ein-Teilchen-Operator, 41, 42, 50, 207 Ein-Teilchen-Problem, 4 Ein-Teilchen-Spektraldichte, 412 Ein-Teilchen-Wellenfunktionen, 3, 31 Ein-Teilchen-Zustand, 4, 9, 11, 12, 14, 22–24, 28, 32 Einschalten, adiabatisches, 118, 317, 357, 415, 433 − der Wechselwirkung, 315, 316 Elektron-Elektron-Wechselwirkung, 59, 81, 85, 87, 88, 229, 251, 326, 371 − effektive, 81, 82, 84, 88 Elektron-Magnon-Wechselwirkung, 284 Elektron-Phonon-Kopplung, 79 Elektron-Phonon-Wechselwirkung, 40, 77, 80, 81, 84, 85, 88, 284 Elektronendichte, 50, 56, 62, 63, 124, 234, 372, 376, 379, 382 − mittlere, 53 Elektronendichteoperator, 51 Elektronengas, 124, 125, 130, 185, 363, 371, 376, 378, 392 Elektronenkorrelation, 207, 210, 249 Elektronenpaarbildung, 81 Elektronensystem, 42, 65, 124, 125, 152, 206, 226, 230, 234, 237 − nicht wechselwirkendes, 123, 149, 155, 186, 189, 190, 246 − wechselwirkendes, 132, 155, 156, 173, 174, 182, 188, 189, 190, 191, 209, 229, 397, 432 Elektronenvakuum, 296 Elektronenzahl, 52, 155, 186 Elementarprozess, 77, 81, 301 Energie, 40, 50, 52, 53, 65, 74, 86, 87, 121, 139, 158, 162, 170, 177–179, 183, 184, 186, 187, 189, 201, 206, 225, 231, 248, 250, 269, 296, 297, 301, 314, 317, 356, 358, 369, 374, 376, 385, 387, 413, 426, 430 − freie, 156, 157, 159, 189, 275 − innere, 32, 62, 76, 156, 159, 170, 188, 189, 225, 273–275, 359 − kinetische, 39, 47, 50, 51, 55, 59, 66, 86, 248, 286, 366

588

Sachverzeichnis

− mittlere, pro Teilchen, 53, 62 − potentielle, 66, 70, 86, 230 Energieband, 42, 56, 57, 59, 93, 173, 185, 199, 210, 229, 248, 249, 291, 293 Energiedarstellung, 120, 122, 136 − der Spektraldichte, 136 Energieeigenfunktion, 28 Energieeigenwert, 28, 33, 95, 171 Energieeigenzustand, 97, 171 Energieerhaltung am Vertex, 357, 360, 388, 392, 424, 426, 430 Entropie, 62 Erwartungswert, 5, 32, 86, 87, 98, 106, 109, 112, 116–118, 121, 124, 141, 145, 154, 156, 158, 159, 161, 163, 188, 189, 201–203, 213, 215– 217, 271, 273, 276, 277, 291, 321, 322, 326, 335, 335, 371, 409, 413, 416, 418, 419 Erzeuger, 20, 25, 53, 99, 327–329, 331, 332, 392, 422, 430 Erzeugerzeit, 329, 337, 342 Erzeugungsoperator, 3, 9, 12, 13, 15, 17, 18, 24, 25, 27, 30, 42, 44, 74, 84, 99, 188, 287, 327, 337, 416 Feldoperatoren, 20, 21, 43, 45, 63 Fermi-Energie, 52, 53, 62, 205, 219 Fermi-Funktion, 155, 189, 202, 218, 248, 413 Fermi-Kugel, 53, 54, 85, 241, 326, 327 Fermi-Operatoren, 134, 172, 350, 405 Fermi-Schicht, 61 Fermi-System, 326 Fermi-Vakuum, 327, 331, 332 Fermi-Wellenvektor, 52, 62, 181 Fermionen, 9, 13, 15, 22, 23, 25, 25, 26, 28, 31, 55, 152, 155, 200, 322, 343, 344, 405, 408, 409, 424, 426 Fermionenoperatoren, 330, 331, 351, 352 Ferrimagnetismus, 91, 91, 92 Ferromagnet, 91, 92, 94–96, 100, 101, 119, 157, 225, 270, 274, 275, 277, 281 Ferromagnetismus, 90, 102, 120, 202, 205– 207, 212, 219, 247 Festkörper, 39 Festkörperelektronen, 152, 157, 199 Feynman-Diagramme, 335, 337, 364, 420, 423

Fock-Darstellung, diskrete, 21, 27 Fock-Zustände, 24, 28, 33 Fourier-Darstellung, 78, 136 Fourier-Entwicklung, 407 Fourier-Transformation, 125, 137, 144, 203, 209, 232, 251, 262, 274, 385, 386 Fourier-Transformierte, 30, 99, 118, 120, 149, 157, 161, 174, 243, 271, 295, 356, 358, 384, 385 Friedel-Oszillationen, 242 Gap-Parameter, 88 Gell-Mann–Low-Theorem, 316, 317, 320, 321, 433 Gewicht, spektrales, 171, 184, 201, 210, 214, 215, 229, 289–292 Gitter, 41, 75, 76, 79, 81, 91, 98, 208, 209, 250, 252, 253, 273 − kubisch primitives, 58 Gitterionen, 39, 39, 57, 65, 66, 77, 94 Gitterpotential, 40, 40, 41, 43, 46, 56, 152, 155, 173, 174, 239, 286 Gitterschwingungen, 65, 74, 75, 76, 77, 94, 284 Gitterstruktur, 59, 65, 75, 249, 250, 273 Gleichzeit-Diagramm, 427 Green-Funktion, 109, 115, 118, 122, 125, 132, 134–141, 143–145, 147, 148, 153, 157–159, 161– 163, 167, 168, 170, 173, 176, 179, 180, 187–189, 199, 202, 203, 208, 209, 229, 234, 236, 243, 244, 252, 253, 255, 256, 258, 261, 263, 269, 271, 272, 275, 276, 284, 288, 290, 291, 296, 298, 300, 311, 321, 337, 353, 358, 361, 373, 385, 386, 396, 404 − avancierte, 133, 139, 144, 145, 147, 149, 153, 161, 170, 409 − höhere, 135, 136, 162, 175, 176, 188, 199, 200, 203, 207, 236, 237, 249, 271, 295, 303, 304, 391 − kausale, 133, 139–141, 145, 148, 150, 154, 322, 324, 328–330, 335, 335, 358, 360, 368, 390, 403, 415 − retardierte, 115, 118, 118, 119, 120, 122, 123, 125, 131, 133, 138, 139, 144, 147, 149, 153, 161, 170, 172, 190, 234, 249, 271, 284, 296, 403, 409 Green-Funktions-Diagramme, 355, 360, 361

Sachverzeichnis

589

Green-Funktions-Matrix, 251, 253 Grenzfall des unendlich schmalen Bandes, 199, 200, 202, 226, 229 Grundformel, störungstheoretische, 313 Grundzustand, 95, 97, 98, 181, 221, 225, 296, 311, 315, 320–322, 326 − entarteter, 221 − ungestörter, 52, 54, 313, 371 Grundzustandsdiagramme, 392 Grundzustandsenergie, 28, 52, 53, 55, 55, 81, 87, 88, 96, 99, 274, 363, 364, 366, 371, 372, 382, 392, 393, 426 Gruppengeschwindigkeit, 75, 76

„Hopping“-Integral, 44, 58, 174, 228 Hubbard-Entkopplungen, 212 Hubbard-Lösung, 210–212, 214, 216, 219 Hubbard-Modell, 56, 59, 59, 93, 199, 202, 203, 207, 212–214, 221, 224, 225, 226, 228, 229, 244, 247, 249, 269, 270, 278, 352, 362, 362, 396, 397 Hubbard-Näherung, 225, 226

Hamilton-Funktion, 71, 73 Hamilton-Operator, 4, 6, 30–33, 39, 40, 46, 56, 57, 64, 65, 73, 77, 80, 82, 85, 88, 92, 94, 95, 99, 100, 102, 109, 110, 113, 115, 118, 119, 121, 132, 133, 134, 137, 146, 149, 152, 156–159, 170, 171, 173, 174, 181, 189, 199, 207, 214, 221, 225–227, 229, 243, 250, 252–254, 270, 273, 277, 278, 286, 287, 311, 315, 324, 403, 404, 433 − des Jellium-Modells, 50, 51, 52, 63, 225, 235 − effektiver, 222, 253 Hamilton’sche Bewegungsgleichungen, 4 Hartree-Fock-Energie, 366 Hartree-Fock-Lösung, 203, 209, 366, 371 Hartree-Fock-Näherung, 202, 203, 207, 208, 214, 225, 237, 271, 304, 371, 396 Hauptsatz − der Thermodynamik, Dritter, 62, 156 − von den zusammenhängenden Diagrammen, 351 Heisenberg-Bild, 109, 112, 112, 113, 114, 130, 410 Heisenberg-Darstellung, 118, 131, 133, 321, 404 − modifizierte, 404, 413 Heisenberg-Modell, 92, 92, 93, 94, 99, 100, 102, 160, 221, 224, 228, 243, 270, 283, 286 Hilbert-Raum, 3, 21 − der antisymmetrischen Zustände, 7 − der symmetrischen Zustände, 7 Holstein-Primakoff-Transformation, 99, 100, 277, 278

Jellium-Modell, 46, 49–52, 56, 58, 63, 93, 124, 199, 225, 225, 235, 352, 361–365, 367, 371, 376, 382, 383, 392, 426

Impulserhaltung, 237 − am Vertex, 353, 355, 360, 383, 426 Interpolationsmethode, 211, 212, 214 Invarianz, zyklische, der Spur, 118, 135, 404, 418

Kette − diatomare lineare, 68, 75 − lineare, 75 − von Bewegungsgleichungen, 136, 208 Kommutator-Green-Funktion, 142, 143, 157, 159, 163, 166, 167, 169, 188, 271 Kommutator-Spektraldichte, 141–143, 248 Konfigurationsmittelung, 252, 253, 257, 259 Konstruktionsoperator, 3, 16, 20, 21, 24, 27, 83, 99, 182, 322, 327–329, 335, 350, 405, 411, 414, 416, 417 Kontraktion, 327, 328–333, 335, 335, 337, 338, 341, 343, 346, 416, 416, 417, 419, 420, 430 Korrelation, 141, 142, 166, 167, 262, 372, 397 Korrelationsenergie, 55, 371, 376, 379, 382 Korrelationsfunktion, 109, 132, 134, 137, 141, 142, 149, 159, 163, 165, 166, 189, 216, 249, 403, 404, 413 Kramers-Kronig-Relationen, 147, 147 Kubo-Formel, 118, 119, 125 Kubo-Identität, 131, 132 Ladungsdichte, 121, 123, 124, 231, 234, 237, 242 Ladungsdichtewellen, 229, 234 Lagrange-Funktion, 69, 71 Landé-Faktor, 92 Langevin-Paramagnet, 90

590

Sachverzeichnis

Lebensdauer, 154, 181, 183, 296, 300, 301, 382 Legierung, binäre, 269, 270 Legierungsanalogie, 269, 270, 292 Leiternäherung, 395, 396 Leitfähigkeit, elektrische, 93, 115, 121, 122, 132, 187 Leitungselektronen, 84, 90, 93, 94, 123, 125, 285, 286, 292 Limes, thermodynamischer, 46, 50, 54, 103, 238, 375, 376, 425 Limit, Atomares, 209, 211, 212, 214, 216, 221, 221, 225, 269 Lindhard-Funktion, 237 Lindhard-Korrektur, 242 Linear Response, 117 Linear-Response-Theorie, 115, 120 Linie − nicht propagierende, 338, 343, 344, 349, 355, 359, 423, 424, 431, 432 − propagierende, 337, 342–344, 349, 353, 355, 359, 360, 394, 423, 424, 431 Linked-Cluster-Theorem, 345, 349, 422 Lonke-Theorem, 220, 229 Lorentz-Funktion, 179, 213 Lorentz-Gestalt, 178 Lorentz-Peak, 179, 184 Magnetisierung, 89, 100, 102, 119, 120, 161, 165, 166, 203, 204, 206, 228, 246, 270, 281, 287, 292, 293 − spontane, 91, 92, 101–103, 163, 166, 202, 205, 212, 219, 228, 284 Magnetismus, 88, 89, 91, 93, 214 − kollektiver, 89–91 − lokalisierter, 93 Magnonen, 9, 94, 97, 98, 98, 100, 120, 125, 157–159, 229, 243, 250, 278, 284, 300 Magnonenbesetzungsdichte, 159 Magnonenbesetzungszahloperator, 278 Magnonenemission, 301 Magnonenenergie, 101, 159, 299, 300 Magnonenvakuum, 296 Masse, effektive, 184, 185, 190, 239 Matrix der atomaren Kraftkonstanten, 66

Matrixelement, 6, 13, 16, 18, 19, 25, 27, 42, 45, 48, 50, 51, 59, 79–81, 92, 132, 139, 222, 256, 336, 356, 363 − der Elektron-Phonon-Kopplung, 79 Matsubara-Energien, 425, 432 Matsubara-Funktion, 403, 405–409, 412, 413, 430 Matsubara-Methode, 403, 404 Maxwell-Gleichungen, 124 Medium, effektives, 253 Mehrteilchen-Funktionen, 188 Mermin-Wagner-Theorem, 102, 228 Mesonen, 9 Methode des effektiven Mediums, 253 Mode, kollektive, 238 Modellsystem, 39, 159, 160, 173, 199, 211 Modified Propagator Method (MPM), 263, 263, 265 Molekularfeldnäherung, 203, 262 Moment, magnetisches, 93, 285 Momentenmethode, 212, 216, 220, 278, 280, 403 Mott-Isolator, 187 MPM, siehe Modified Propagator Method Multisubbandstruktur, 293 N-Teilchen-Zustand, 4–8, 11, 14, 15, 22–24, 54 − antisymmetrisierter, 7, 8, 10, 11, 12, 22 − nicht symmetrisierter, 10, 22 − symmetrisierter, 7, 8, 10, 11, 12, 22 Näherung, harmonische, 65, 66, 67, 69, 74, 75 Néel-Temperatur, 91 Nest-Diagramme, 266 von Neumann’sche Reihe, 110 Niveau, atomares, 57, 221, 251, 262, 268, 270 Niveauverschiebung, 312–314, 325, 364, 393 Normalkoordinaten, 69, 71, 73, 79 Normalprodukt, 327, 329, 330, 333, 335, 403 Normalprozesse, 80 Observable, 3–6, 10, 16, 17, 19, 20, 34, 109, 113, 116, 118, 145, 203, 322 Ohm’sches Gesetz, 122 Operator, 5, 8, 10, 12, 13, 15, 21, 22, 25, 27, 50, 72, 77, 78, 82, 109, 111–114, 116, 118, 124, 135,

Sachverzeichnis

142, 144, 173, 257, 276, 315, 321, 322, 328–331, 333, 338, 341, 343, 344, 350, 364, 372, 410, 414–416, 418 − der Elektronendichte, 50, 63 − effektiver, 92, 221, 224 Operatorbild, 112 Operatoridentität, 6, 273, 276, 284, 330, 416 Ordnung eines Diagramms, 260, 420 Orthogonalprojektor, 312, 324 Orthonormierung, 24 Ortsoperator, 20 Oszillator, harmonischer, 67, 69, 71, 73 Paarung, totale, 330, 330, 334, 335, 339, 350, 364, 416, 419 Paarverteilungsfunktion, statische, 64 Paarwechselwirkung, 30, 31, 40, 326, 336, 353, 409 Paramagnet, 90, 166, 225 Paramagnetismus, 89, 89, 90, 120 Partialsumme, 376, 382, 396 Pauli-Paramagnetismus, 90 Pauli-Prinzip, 22, 55, 59, 90, 225, 371 Pauli-Suszeptibilität, 246 Permutationsoperator, 5, 7, 10 Phasenübergang, 120, 205, 281 Phonon-Phonon-Wechselwirkung, 81 Phononen, 9, 40, 65, 74, 75, 77, 80, 81, 83, 94, 170, 250, 284 − longitudinale, akustische, 80 Phononengas, 75, 130, 170 Photoemission, 186 Photonen, 9 Plasmafrequenz, 240 Plasmaschwingung, 238 Plasmonen, 125, 229, 234, 238 Plasmonendispersion, 238, 240 Poisson-Gleichung, 231, 242 Polarisation, 237, 390 Polarisationsanteil, 387, 389 − irreduzibler, 387, 388, 392 Polarisationsdiagramm, 394 Polarisationspropagator, 388, 390–393, 395, 396, 427 Polaron, magnetisches, 301, 304

591

Potential, 242, 250, 253 − abgeschirmtes, 242 − chemisches, 61, 62, 116, 170, 187, 205, 218, 291 − elektrostatisches, 230 Prinzip der Ununterscheidbarkeit, 5, 7, 55 Projektionsoperator, 222, 312, 324 Propagator, 179, 181–183, 263, 266, 299, 355, 360, 363, 367, 386, 423 − freier, 265, 266, 268, 382, 395, 396 − voller, 263, 266, 382 Quantisierung, zweite, 3, 3, 9, 27, 31, 32, 39, 44, 47, 50, 58, 63, 78, 99, 124, 132, 287 Quasi-(Kristall-)Impuls des Phonons, 80 Quasiteilchen, 97, 125, 154, 173, 175, 179, 180, 183, 184, 185, 189, 190, 210, 254, 291, 296, 301, 382 Quasiteilchenenergie, 171, 175, 183–185, 190, 203, 206, 210, 214, 215, 229, 262, 263, 272, 273, 276, 296 Quasiteilchenkonzept, 190 Quasiteilchenlebensdauer, 175, 184, 189, 190, 210 Quasiteilchenzustandsdichte, 155, 155, 186, 191, 201, 202, 210, 211, 218, 219, 259, 293, 295, 296, 403 Randbedingungen, periodische, 42, 46, 52, 60, 62, 68, 75, 76 Random Phase Approximation (RPA), 236, 237, 244, 391, 395, 551 Rastervolumen, 52, 76 Rayleigh-Ritz-Variationsprinzip, 372 Renormierung, 363 Residuensatz, 138, 179, 180, 232, 426, 428 Resonanz, 125, 177, 177, 178, 180 Response-Funktion, 120, 403 Response-Größen, 115, 145 Riemann’sche zeta-Funktion (ζ-Funktion), 61 Ringdiagramm-Näherung, 428 Ringdiagramme, 371, 371, 372, 375–379, 390, 391, 393, 426 − topologisch gleiche, 427

592

Sachverzeichnis

RPA, siehe Random Phase Approximation Rumpfelektronen, 39 s-f-Modell, 93, 286, 287, 292, 295, 303, 304, 325 s-f-Wechselwirkung, 287, 297 Säkulargleichung, 221 Schleife, 343, 344, 355, 423, 424, 432 Schleifenregel, 341, 342, 344, 384, 386, 395, 423 Schrödinger-Bild, 109, 109, 112, 113, 116, 117, 319, 410 Schrödinger-Gleichung, 3, 4, 189, 230, 250 Schrödinger-Störungstheorie, 313, 314, 325 Schwerpunktfunktion, 211 Selbstenergie, 175, 175, 176, 177, 180, 184–186, 190, 191, 209, 210, 212, 226, 254, 258, 262, 267, 268, 270, 293, 295, 296, 299, 300, 304, 361, 362, 363, 382, 390, 391, 393, 395, 397, 412, 432 Selbstenergieanteil, 359, 382, 397 − irreduzibler, 359–361 Selbstenergiediagramme, 361, 362, 394 Seltene Erden, 89, 284, 285 Single Site Approximation (SSA), 262, 262, 263, 264 Skalarprodukt, 5, 8, 14, 94, 101, 102, 112 − zweier (anti-)symmetrisierter N-Teilchen-Zustände, 11 Skelettdiagramm, 390 Slater-Determinante, 22 Sommerfeld-Modell, 52, 62, 64, 230 Spektraldarstellung, 137, 139–143, 177, 213, 408 − der avancierten Green-Funktion, 139 − der kausalen Green-Funktion, 141 − der retardierten Green-Funktion, 139 − der Spektraldichte, 137 Spektraldichte, 134, 136–143, 145–148, 150, 154, 158, 159, 163, 176–181, 184–186, 189, 201, 204, 210, 213–215, 218, 248, 249, 272, 273, 275, 279, 280, 296, 301, 408 − höhere, 291 Spektralmomente, 146, 150, 171, 213–215, 221, 229, 279 Spektraltheorem, 141, 143, 154, 158, 163, 167, 169, 170, 185, 188, 202, 204, 213, 216, 217, 225, 272, 275, 276, 280, 291

Spin, 43, 44, 81, 84, 85, 92, 95, 98, 160, 166, 186, 210, 214, 221, 225, 243, 276, 286, 291, 297, 355, 358, 364, 371, 387 − ganzzahliger, 9 − halbzahliger, 9 Spin-Statistik-Zusammenhang, 9 Spin-Umklappprozesse, 245 Spinanteil, 42 Spindichtewellen, 229 Spinerhaltung, 225, 244, 353, 426 − am Vertexpunkt, 355, 383 Spinflip, 206, 207, 287, 296, 297, 300 Spinoperatoren, 29, 94, 95, 98–100, 100, 222, 223, 226, 226, 278, 284, 287 Spinsysteme, 246 Spinwelle, 94, 98, 125, 157, 243, 245, 246, 277, 278 Spinwellenenergie, 120, 243, 274, 278, 281, 299 − renormierte, 280 Spinwellennäherung, 100, 101, 277 Spinzustand, 92 Spur, 118, 135, 404, 414, 418 SSA, siehe Single Site Approximation Standardanordnung, 10, 16, 22 Stoner-Kriterium, 205, 206, 212 Stoner-Modell, 202, 207, 212, 235, 243, 244, 248 Stoner-Näherung, 225 Störfeld, 124, 125 Störladung, 123–125, 234 Störreihe, 311, 314, 336–339, 342–345, 348, 351, 352, 359, 364, 371, 376, 385, 387, 392, 420, 421, 429, 430 Störung, 82, 118, 221, 234, 317, 359 Störungstheorie, 221, 311, 317, 321, 322, 375– 377, 391, 403, 404, 410–414 − diagrammatische, 311, 324, 353 − dritter Ordnung, 372 − erster Ordnung, 52, 221, 352, 362, 363, 365, 366, 371 − stationäre, 313 − zweiter Ordnung, 222, 225, 352, 366, 376 Streumatrix, 252, 255, 322, 350 − atomare, 255, 257

Sachverzeichnis

Streuspektrum, 301 Stromdichte, 121 Stromdichteoperator, 121, 132 Struktur eines Diagramms, 346 Strukturfaktor, 64 − dynamischer, 63 − statischer, 63, 64 Stufenfunktion, 134, 138, 149, 380, 405 Substitutionsunordnung, 250, 251 Supraleiter, 170, 172 Supraleitung, 59, 81, 84, 84, 87, 170, 171, 229, 284, 317 Suszeptibilität, 89–91, 235, 244, 246 − des freien Systems, 235 − diagonale, 247 − longitudinale, 120 − magnetische, 89, 115, 119, 187 − transversale, 120, 243, 244, 396 − verallgemeinerte, 234, 235, 237, 245, 246 Symmetrisierungsoperator, 7 Systeme − identischer Teilchen, 5–8, 21, 30, 31, 55 − ungeordnete, 250 T-Matrix, 252, 254, 256, 397 − atomare, 262, 265 T-Matrix-Approximation (TMA), 257, 258, 265 T-Matrix-Gleichung, 253 Teilchen, identische, 4, 4, 5–9, 21, 23, 28, 30, 31, 55 Teilchen-Korrelationen, 208 Teilchen-Loch-Symmetrie, 292, 295 Teilchendichte, 203, 204, 212, 230, 231 Teilchenzahloperator, 19, 20, 28, 31, 33, 47, 416 Teilreihe, unendliche, 176, 312, 314, 359, 361, 363, 382, 387, 391 Temperatur, 76, 90, 100, 157, 205, 219, 240, 273, 277, 281, 291, 293, 297, 403 − kritische, 90, 91, 205, 219, 285 Tensor − der elektrischen Leitfähigkeit, 122, 132, 149 − der magnetischen Suszeptibilität, 119 Term, direkter, 54

593

Thomas-Fermi-Abschirmlänge, 378 Thomas-Fermi-Näherung, 230, 231, 233, 233, 234, 241, 242 Tight-Binding-Näherung, 56, 58, 65 TMA, siehe T-Matrix-Approximation topologisch gleich, verschieden, siehe Diagramme, Ringdiagramme Transformation, kanonische, 82, 88 Translationssymmetrie, 67, 68, 125, 201, 209, 250, 251, 271, 353 Transpositionsoperator, 5, 6 Tyablikow-Näherung, 270, 273, 279, 283, 284 Überkorrekturen, 264 Überlapp-Integrale, 58 Umklappprozesse, 80, 245 Unordnung, strukturelle, 250 Unordnungstyp, 250, 250 Untergittermagnetisierung, 91, 102 Ununterscheidbarkeit, Prinzip der, siehe Prinzip Vakuum-Fluktuations-Diagramme, 350, 351 Vakuumamplitude, 335, 339, 349, 350, 352, 355, 364, 366, 410, 415, 420 Vakuumzustand, 12, 15, 18, 25, 327 Valenzelektronen, 39 Variationsprinzip, 52 − von Rayleigh-Ritz, 372 VCA, siehe Virtual Crystal Approximation Vernichter, 15, 20, 53, 99, 327–329, 331–333, 392, 430 Vernichterzeit, 329, 337, 342 Vernichtung, 3, 80, 158 Vernichtungsoperator, 3, 9, 13, 15–17, 25, 27, 42, 44, 74, 84, 99, 130, 188, 287, 327, 337, 416 Vertauschungsrelation, 21, 30, 45, 71, 72, 95, 99, 100, 223, 226, 327 − fundamentale, 3, 15, 15, 19, 20, 26, 27, 31, 42, 60, 71, 84, 152, 159, 278 Vertex, 337–339, 344, 349, 353–357, 359, 364, 366, 375, 376, 384, 386, 388, 392, 420, 422– 426, 430, 431 Vertexanteil (irreduzibler), 393, 394

594

Sachverzeichnis

Vertexfunktion, 394, 395, 396 Vertexpunkt, 262–264, 337, 346, 353, 355, 383, 420, 423 Viel-Teilchen-Effekte, 208 Viel-Teilchen-Problem, 3, 109, 173, 253, 270, 287, 288, 311 Viel-Teilchen-System, 3, 4, 39, 173, 189 Viel-Teilchen-Theorie, 55, 88, 134, 180, 187, 199, 212, 269, 270, 280 Vielfachbesetzungskorrekturen, 265 Virtual Crystal Approximation (VCA), 261, 262 Vollständigkeit, 24 Vollständigkeitsrelation, 12, 16, 21, 222 Volumenintegral, 76

Wannier-Darstellung, 132, 157, 174, 251, 252, 258 Wannier-Funktion, 43, 57, 132, 174 Wannier-Operatoren, 45, 60 Wannier-Zustand, 44 Wärmeleitfähigkeit, 115 Wechselwirkung, 3, 40, 47, 75, 77, 84, 93, 94, 114–116, 123, 209, 220, 244, 250, 269, 278, 287, 291, 292, 315, 316, 319, 321, 325, 337, 353, 389–391, 395, 397, 411 − effektive, 388–393 Wechselwirkungenergie, 77, 123, 124 Wechselwirkungsbild, 113, 316 Wechselwirkungslinie, 260, 264, 337, 371, 382, 387–390, 393, 394 Wechselwirkungsoperator, 363 Wechselwirkungspotential, 30 Wellenfunktion, 18, 21, 57, 65, 285 − atomare, 57–59 Wick’scher Satz, siehe Wick’sches Theorem Wick’scher Zeitordnungsoperator, 134, 322 Wick’sches Theorem, 329, 330, 331, 333, 335, 335, 336, 350, 364, 403, 408, 416 − verallgemeinertes, 416, 416, 419

Yukawa-Potential, 233 Zeeman-Term, 94 Zeitentwicklungsoperator, 7, 110, 112, 114, 115, 315, 316, 321, 322, 335, 348, 372, 392, 410, 415 Zeitordnungsoperator, 111, 134, 322, 405, 411, 414, 422 Zustand, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 22–24, 32, 52, 84, 86, 87, 96, 98, 110, 112–115, 137, 181, 183, 189, 190, 201, 221, 236, 248, 250, 301, 316, 317, 320, 321, 433 − adiabatisch eingeschalteter, 433 − antisymmetrischer, 7 − antisymmetrisierter, 22 − gemischter, 110 − nicht symmetrisierter, 18 − nichtmagnetischer, 204 − reiner, 109, 110 − stationärer, 181, 182, 190 − symmetrischer, 7 − ungestörter, 222 Zustandsbild, 109 Zustandsdichte, 62, 75, 76, 155, 155, 186, 191, 204, 248, 259, 268, 269, 293, 299–301 Zustandssumme, 109, 159, 189 − großkanonische, 32, 62, 134, 409, 411, 415, 416, 419, 422, 424, 426, 428, 430 Zwei-Pol-Ansatz, 171, 213, 218 Zwei-Pol-Funktion, 229, 289 Zwei-Pol-Struktur, 214 Zwei-Spin-Problem, 159 Zwei-Spin-System, 163, 165, 166 Zwei-Teilchen-Anteil, 16, 17, 27 Zwei-Teilchen-Green-Funktion, 382, 384, 386–388 Zwei-Teilchen-Matrixelement, 27 Zwei-Teilchen-Operator, 47 Zwei-Teilchen-Spektraldichte, 248, 248, 249, 397 Zwei-Teilchen-Zustand, 18, 27, 29 Zweig, akustischer, optischer, 68

Grundkurs Theoretische Physik 7: Viel-Teilchen-Theorie

Grundkurs Theoretische Physik 6

Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 3-Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 1: Klassische Mechanik

Grundkurs Theoretische Physik 5-1 Quantenmechanik-Grundlagen

Grundkurs Theoretische Physik 5-1: Quantenmechanik - Grundlagen

Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik

Grundkurs Theoretische Physik 4: Spezielle Relativitaetstheorie, Thermodynamik

Grundkurs theoretische Physik 5. Quantenmechanik 1. Grundlagen

Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik, 8. Auflage

Grundkurs Theoretische Physik 6: Statistische Physik 5. Auflage (Springer-Lehrbuch)

Theoretische Physik

Theoretische Physik

Theoretische Physik

Theoretische Physik

Theoretische Physik 1. Theoretische Mechanik

Theoretische Physik 1. Theoretische Mechanik

Grundkurs Theoretische Physik 1: Klassische Mechanik, 9. Auflage

Grundkurs Theoretische Physik 4: Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik, 8. Auflage

Grundkurs Theoretische Physik 5-2: Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen

Grundkurs Theoretische Physik 5-2 Quantenmechanik-Methoden und Anwendungen

Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik, 8. Auflage (Springer-Lehrbuch)

Repetitorium Theoretische Physik

Repetitorium - Theoretische Physik

Theoretische Physik 1: Mechanik

Theoretische Physik 1: Theoretische Mechanik, 2. Auflage

Grundkurs Theoretische Physik 5 2: Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen, 7. Auflage

Theoretische Physik 3: klassische Feldtheorie

Theoretische Physik 2- Nichtrelativistische Quantentheorie

Grundkurs Theoretische Physik 7: Viel-Teilchen-Theorie

Grundkurs Theoretische Physik 6

Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 3-Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik

Grundkurs Theoretische Physik 1: Klassische Mechanik

Grundkurs Theoretische Physik 5-1 Quantenmechanik-Grundlagen

Grundkurs Theoretische Physik 5-1: Quantenmechanik - Grundlagen

Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik

Grundkurs Theoretische Physik 4: Spezielle Relativitaetstheorie, Thermodynamik

Grundkurs theoretische Physik 5. Quantenmechanik 1. Grundlagen

Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik, 8. Auflage

Grundkurs Theoretische Physik 6: Statistische Physik 5. Auflage (Springer-Lehrbuch)

Theoretische Physik

Theoretische Physik

Theoretische Physik

Theoretische Physik

Theoretische Physik 1. Theoretische Mechanik

Theoretische Physik 1. Theoretische Mechanik

Grundkurs Theoretische Physik 1: Klassische Mechanik, 9. Auflage

Grundkurs Theoretische Physik 4: Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik, 8. Auflage

Grundkurs Theoretische Physik 5-2: Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen

Grundkurs Theoretische Physik 5-2 Quantenmechanik-Methoden und Anwendungen

Grundkurs Theoretische Physik 2: Analytische Mechanik, 8. Auflage (Springer-Lehrbuch)

Repetitorium Theoretische Physik

Repetitorium - Theoretische Physik

Theoretische Physik 1: Mechanik

Theoretische Physik 1: Theoretische Mechanik, 2. Auflage

Grundkurs Theoretische Physik 5 2: Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen, 7. Auflage

Theoretische Physik 3: klassische Feldtheorie

Theoretische Physik 2- Nichtrelativistische Quantentheorie

Recommend Documents