Grundbegriffe der Mathematik, algebraische Strukturen 1, lineare Algebra und analytische Geometrie, numerische Algebra

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Springer-Lehrbuch

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Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik 1 Grundbegriffe der Mathematik, Algebraische Strukturen 1, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Numerische Algebra

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Professor Dr. Dietlinde Lau Universität Rostock FB Mathematik Universitätsplatz 1 18055 Rostock Deutschland e-mail: [email protected]

Mathematics Subject Classification (2000): 15-01, 65Fxx

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44/3142ck - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Soll ich mich im allgemeinen Sinne u adago¨ber P¨ ” gik ¨ außern, so will ich folgende Betrachtung vorausschicken: Man kann das p¨ adagogische Problem mathematisch formulieren, indem man die individuellen Qualit¨ aten des Lehrers und seiner n Sch¨ uler als ebensoviele Unbekannte einf¨ uhrt und verlangt, eine Funktion von (n + 1) Variablen F (x0 , . . . , xn ) unter gegebenen Nebenbedingungen zu einem Maximum zu machen. Ließe sich dieses Problem eines Tages entsprechend den bisher realisierten Fortschritten der psychologischen Wissenschaft direkt mathematisch behandeln, so w¨ are die (praktische) P¨ adagogik von da ab eine Wissenschaft, — solange das aber nicht der Fall ist, muß sie als Kunst gelten.“ ¨ (F. Klein (1849 – 1926) in seinem Vortrag: Uber Auf” gabe und Methode des mathematischen Unterrichts an Universit¨ aten“)

Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die die Autorin f¨ ur Physik-, Mathematik- und insbesondere Informatikstudenten zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie bzw. im Rahmen eines Grundkurses Mathematik f¨ ur die Informatikstudenten an der Universität Rostock gehalten hat. Eingedenk der Probleme, die insbesondere viele Studienanfänger mit dem Fach Mathematik als solches, der Umstellung von der Schulvermittlung des Fachs Mathematik zum (komprimierten) Vorlesungsstil an den Universitäten haben und wegen des Heranf¨ uhrens an die Beweistechniken der Mathematik, wird versucht, die wichtigsten Beweise sehr ausf¨ uhrlich darzustellen und sie durch Beispiele vor- und nachzubereiten. Wert wird außerdem darauf gelegt, Teile der Schulmathematik zu wiederholen und zu ergänzen. Anliegen des Buches ist es auch, diejenigen Teile des Vorlesungsstoffes, die aus Zeitgr¨ unden sehr kurz behandelt werden m¨ ussen, zu ergänzen.

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Vorwort

Besonders wichtige Teile (meist gewisse S¨ atze) der einzelnen Kapitel sind schattiert, und Teile, die beim ersten Lesen u ¨bergangen werden können bzw. zu den zwar wichtigen, aber in Vorlesungen meist nicht angegebenen Teilen des hier vermittelten Stoffes geh¨ oren, sind im Kleindruck angegeben. Um m¨ oglichst eng an der Vorlesungsvermittlung des Stoffes zu sein, sind Definitionen und S¨ atze unter Verwendung von (platzsparenden) Symbolen — meist aus der mathematischen Logik — formuliert, die eingangs des ersten Kapitels erl¨ autert werden. F¨ ur besonders oft auftretende Begriffe werden auuhrt. ßerdem — wie in der Vorlesung — Abk¨ urzungen1 eingef¨ Es sei darauf verwiesen, daß einzelne Kapitel auch unabhängig von den anderen Kapiteln lesbar sind, so daß man nicht gezwungen ist, zum Verständnis z.B. von Kapitel 3 die beiden vorherigen zu lesen. Die einzelnen Kapitel sind numeriert und sind wiederum in einzelne — mit einer neuen Zählung beginnende — Abschnitte untergliedert. S¨ atze und Lemmata aus Kapitel x, Abschnitt y, werden in der Form x.y.i fortlaufend numeriert. Das Ende eines Beweises wird durch kenntlich gemacht. ¨ steht f¨ ¨ Die Abk¨ urzung UA ur Ubungsaufgabe. Da sich bekanntlich das Verständnis f¨ ur Mathematik u ¨ber das Bearbeiten von Aufgaben vertiefen läßt, sind ¨ nicht nur im nachfolgenden Text eine Reihe von Ubungsaufgaben angegeben, sondern zu jedem der Kapitel 1 – 15 findet man in den Kapiteln 16 – 18 eine ¨ Zusammenstellung von Ubungsaufgaben, anhand der die Leser testen können, ob sie den behandelten Stoff verstanden haben und ob sie ihn auch anwenden k¨ onnen. Die Anzahl der Aufgaben ist so gew¨ ahlt, daß gen¨ ugend Aufgaben ¨ f¨ ur die zur Vorlesung geh¨ orenden w¨ ochentlichen Ubungen und Hausaufgaben sowie f¨ ur das Selbstudium vorhanden sind. Zum Inhalt: Kapitel 1 beginnt mit einer Zusammenstellung von mathematischen Begriffen (wie z.B. die Begriffe: Menge, Relation, Korrespondenz, Abbildung, Operation, Graph, ...) die in sp¨ ateren Kapiteln, aber auch in vielen hier nicht behandelten Gebieten der Mathematik zu den Grundbegriffen gehören. Dem Anf¨ anger wird erfahrungsgem¨ aß die Abstraktheit“ dieser Begriffe etwas ” zu schaffen machen, jedoch ist es — eine langjährige Erfahrung — nur eine ¨ Frage der Zeit und der Ubung, bis man sich daran gewöhnt hat bzw. man es lernt, den Nutzen dieser Begriffsbildungen zu erkennen. Den Lesern sei gerade ¨ f¨ ur dieses Kapitel die Bearbeitung der Ubungsaufgaben aus 16.1 empfohlen, um sich m¨ oglichst schnell diesen Begriffsapparat u ¨ber die Anwendungen zu erschließen. Kapitel 2 f¨ uhrt kurz in die — f¨ ur die Entwicklung der Mathematik der letzten zwei Jahrhunderte sehr wichtige — Denkweise, nämlich der in algebraischen ” Strukturen“, ein. Behandelt werden einige Grundlagen aus der Theorie der 1

Eine Liste der verwendeten Symbole und Abk¨ urzungen sowie Hinweise, auf welcher Seite sie eingef¨ uhrt wurden, findet man ab S. 475.

Vorwort

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Halbgruppen, Gruppen, Ringe, K¨ orper, Verb¨ ande und Booleschen Algebren. Sie dienen außerdem als erste Vorbereitung auf Methoden und Denkweisen in der Theoretischen Informatik. Eine Fortsetzung findet dieses Kapitel im Teil III von Band 2, wo u.a. auch weitere Eigenschaften von Körpern hergeleitet werden und Anwendungen der K¨ orpertheorie (z.B. in der Codierungstheorie) gezeigt werden. Der in den Kapiteln 3 – 11 behandelte Stoff wird allgemein zur sogenannten Linearen Algebra und analytischen Geometrie gerechnet und ist nach soviel Abstrakten“ in den ersten beiden Kapiteln eine Art Erholung“. Anwendun” ” gen dieser Teile der Mathematik sind entweder sofort oder leichter erkennbar. ¨ Da ein erster Schwerpunkt unserer Uberlegungen L¨ osungsmethoden und L¨ osbarkeitskriterien f¨ ur beliebige lineare Gleichungssysteme sind, werden im Kapitel 3 zun¨ achst Hilfsmittel dazu — n¨ amlich die Determinanten und Matrizen — vorgestellt und ihre Eigenschaften ermittelt. Die anschließende Untersuchung der linearen Gleichungssysteme ist dann sehr einfach und — spart man einmal den rein numerischen Aspekt (wie Rundungsfehler u.ä.) bei der Behandlung von Gleichungssystemen aus, mit denen wir uns später befassen werden — f¨ ur die nachfolgenden Kapitel ausreichend behandelt. Es sei hier bereits darauf verwiesen, daß die Matrizen und Determinanten auch Anwendungen haben, die weit u ¨ber die hier behandelten hinausgehen. Mit den im Kapitel 4 eingef¨ uhrten Vektorraumbegriff wird einer der grundlegenden und Verbindungen schaffender Begriff aus der Algebra, Analysis, Geometrie und mathematischen Physik behandelt. So lassen sich z.B. die Anschauungsebene bzw. der Anschauungsraum, in denen man Geometrie betreiben kann, mit Hilfe des Vektorraumbegriffs einheitlich beschreiben und zu sogenannten affinen Punktr¨ aumen verallgemeinern, was im Kapitel 5 gezeigt wird. Wir beginnen in diesem Abschnitt auch mit der Wiederholung geometrischer Grundaufgaben. Besonders wichtig und interessant sind Vektorr¨ aume mit Skalarprodukt, die im Mittelpunkt des Kapitels 6 stehen. Auch hier soll die Leistungsf¨ ahigkeit der neuen Begriffen zunächst anhand von Anwendungen in der Geometrie — genauer bei der Behandlung der euklidischen und unit¨ aren affinen Punktr¨ aume — im Kapitel 7 erläutert werden. In Vorbereitung auf Kapitel 9 behandeln wir im Kapitel 8 die sogenannten Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen. Auch hier behandeln wir Begriffe und S¨ atze, die nicht nur in der Linearen Algebra eine Rolle spielen. Es sei hier schon angemerkt, daß f¨ ur das Verständnis von Kapitel 9 nur die Aussagen u ¨ber die Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von symmetrische Matrizen aus Kapitel 8 benötigt werden. Die Ergebnisse u ur beliebige Matrizen (u.a. die Jordansche Normalform) ¨ber Normalformen f¨ werden im Kapitel 10 verwendet. Im Kapitel 9 geht es u.a. um die Frage, welche geometrischen Objekte durch Gleichungen, in denen (grob gesagt) die Variablen höchstens im Quadrat vor-

VIII

Vorwort

kommen, beschrieben werden k¨ onnen. Das hierbei entwickelte Verfahren — die sogenannte Hauptachsentransformation — wird es uns ermöglichen, ausgehend von gewissen Gleichungen, die Bedingungen f¨ ur die Koordinaten gewisser geometrischer Objekte angeben — durch reines Rechnen — Lage und Typ dieser Objekte zu erfassen. Eingesetzt werden dabei auch viele in vorherigen Kapitel eingef¨ uhrten Hilfsmittel (wie z.B. die Matrizen), durch die ¨ unsere durchzuf¨ uhrenden Uberlegungen und Rechnungen erst u ¨bersichtlich und durchschaubarer werden. Mit den Kapiteln 3 – 9 (mit Ausnahme gewisser Aussagen u ¨ber Normalformen von Matrizen) haben wir einen gewissen Grundstandard, den man auch in vielen anderen B¨ uchern u ¨ber Lineare Algebra und analytischer Geometrie findet, behandelt. Um den Leser den Einstieg in weiterf¨ uhrende Literatur 2 zu ermöglichen, sind in den Kapiteln 10 und 11 Begriffe und S¨ atze zusammengestellt, die in meist f¨ ur Mathematiker geschriebenen B¨ uchern viel fr¨ uher eingef¨ uhrt werden, um den hier in den Kapitel 3 – 9 behandelten Stoff allgemeiner zu erarbeiten. Konkret geht es im Kapitel 10 um Eigenschaften sogenannter lineare Abbildungen zwischen Vektorr¨ aumen und im Kapitel 11 um Eigenschaften affiner Abbildungen zwischen Punktr¨ aumen. Da in der Vorlesung meist nicht viel Zeit ist, den Inhalt von Kapitel 10 und 11 sowie den von gewissen Teilen von Kapitel 8 ausf¨ uhrlich zu behandeln, seien diese Kapitel den Lesern insbesondere f¨ ur das Selbstudium empfohlen. Der Inhalt der Kapitel 12 – 14 wird u ¨blicherweise der Numerischen Mathematik zugeordnet. Unter Numerischer Mathematik bzw. unter Numerik versteht man diejenigen Teile der Mathematik, in denen mathematische Größen aus gegebenen Zahlen auch zahlenm¨ aßig berechnet werden. Insbesondere besch¨ aftigt sich die Numerik mit dem Aufstellen von Rechenvorschriften, nach denen aus Eingangsdaten, die oft mit (bekannten) Fehlern behaftet sind, die gew¨ unschten Ausgangsdaten mit abschätzbarer Genauigkeit berechnet werden. Die Numerik setzt in der Regel dort ein, wo ein Problem (z.B. der Algebra oder Analysis) als gel¨ ost angesehen werden kann, weil z.B. die Existenz einer L¨ osung nachgewiesen oder ein Lösungsalgorithmus (möglicherweise aus unendlich vielen Schritten bestehend) gefunden wurde. Bei der konkreten Ermittlung der L¨ osung eines Problems ergeben sich dann aber eine Reihe von Schwierigkeiten, die numerische Verfahren erfordern. Welche Schwierigkeiten dies sind und welche L¨ osungsans¨ atze es zum Beheben dieser Schwierigkeiten gibt, wird im Kapitel 12 erl¨ autert. Im Kapitel 13 geht es um N¨ aherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen. Grundlage fast aller angegebenen Verfahren ist dabei der sogenannte Banachsche Fixpunktsatz. 2

Damit ist nicht nur Literatur zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie, sondern auch Literatur zur Funktionalanalysis gemeint.

Vorwort

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Kapitel 14 setzt unsere Untersuchungen zu linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS), die jeweils nur genau eine L¨ osung besitzen, fort. Es wird erläutert, warum f¨ ur LGS mit sogenannter schlechter Kondition unsere Lösungsverfahren aus Kapitel 3 beim praktischen Rechnen (auf dem Computer oder per Hand) i.w. unbrauchbar sind und N¨ aherungsverfahren f¨ ur das Lösen solcher LGS entwickelt, die nicht nur f¨ ur schlecht konditionierte LGS geeignet sind. Im kurzen Kapitel 15 u ¨ber Interpolation wird (unter Verwendung von zwei Ergebnissen aus Kapitel 3) das Interpolationsproblem mit Polynomen gelöst. Anwenden lassen sich die hierbei erzielten Resultate z.B. bei der numerischen Integration. Die in den Kapiteln 13 – 15 vorgestellten Verfahren gehören bereits zur angewandten Mathematik. Mehr u ¨ber die Anwendungen der in diesem Band zusammengestellten mathematischen Gebiete sowie eine Fortsetzung der Theorie findet der Leser dann im Band 2, der aus den Teilen • Lineare Optimierung • Graphen und Algorithmen • Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen besteht. Große Teile der im Band 2 behandelten Gebiete rechnet man zur sogenannten Diskreten Mathematik. Das Wort diskret“ steht hierbei nat¨ urlich nicht ” f¨ ur verschwiegen“ oder unauff¨ allig“, sondern charakterisiert Teilbereiche der ” ” Mathematik, die sich vorrangig mit endlichen Mengen beschäftigen. Dies geschieht zwar in fast jedem Teilbereich der Mathematik, jedoch hat die Entwicklung der elektronischen Datenverarbeitung dazu gef¨ uhrt, daß fr¨ uher (wegen des großen Rechenaufwandes“) nicht praktikable Algorithmen inzwischen ” ihre Anwendungen und Verbesserungen erfahren haben. Seit einigen Jahren ist es deshalb u ¨blich, Gebiete der Mathematik, die gewisse Anwendungen in der Informatik besitzen oder die sich durch den enormen Aufschwung der elektronischen Datenverarbeitung entwickelten, unter dem Oberbegriff Diskrete ” Mathematik“ zusammenzufassen. Inzwischen ist die Diskrete Mathematik mit ihren Kernbereichen Kombinatorik, Graphentheorie, Algorithmentheorie, Optimierung und Theorie der diskreten Strukturen eine Grundlagenwissenschaft f¨ ur Mathematiker und Informatiker. Anliegen von Band 2 wird es sein – aufbauend auf Band 1 – f¨ ur ausgew¨ ahlte Gebiete der Diskreten Mathematik dies nachzuweisen. Insbesondere soll gezeigt werden, wie effektiv sich der vorher behandelte mathematische Apparat“ beim L¨ osen der verschiedensten — ins” besondere auch praktischen — Aufgaben einsetzen läßt. Nicht vers¨ aumen m¨ ochte ich es, mich bei Herrn Dipl.-Math. Hans-Christian Pahlig zu bedanken, der die erste LATEX–Fassung des vorliegenden Buches aus einer — von der Verfasserin von einigen Jahren auf den PC 1715 geschriebenen — alten Computervariante entwickelt hat, wobei insbesondere von ihm s¨ amtliche Zeichnungen neu entworfen und programmiert wurden.

X

Vorwort

Meinen Rostocker Kollegen Herrn Prof. Dr. R. Knörr, Herrn Dr. F. Leitenberger und Frau Dr. K. Mahrhold gilt mein Dank f¨ ur die kritische Durchsicht ¨ einzelner Kapitel und einiger Anderungsund Ergänzungsvorschläge. Bei den Mitarbeitern des Springer-Verlages m¨ ochte ich f¨ ur die sehr angenehme Zusammenarbeit bedanken. Rostock, im November 2003

Dietlinde Lau

Inhaltsverzeichnis

Teil I Grundbegriffe der Mathematik und Algebraische Strukturen 1

Mathematische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Elemente der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Korrespondenzen, Abbildungen und Verkn¨ upfungen . . . . . . . . . . 1.5 M¨ achtigkeiten, Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Boolesche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 15 21 27 35 45

2

Klassische algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ringe und K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Verb¨ ande und Boolesche Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 54 60 76 87

Teil II Lineare Algebra und analytische Geometrie 3

Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Matrizen . 101 3.1 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.3 Rang von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.4 L¨ osbarkeitskriterien und L¨ osungsverfahren f¨ ur LGS . . . . . . . . . . 137

4

Vektorr¨ aume u orper K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ¨ ber einem K¨ 4.1 Die Definition eines Vektorraums u ¨ber K, Beispiele . . . . . . . . . . 151 4.2 Untervektorr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.3 Lineare Abh¨ angigkeit und lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . 158 4.4 Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

XII

Inhaltsverzeichnis

4.5 Lineare Unabh¨ angigkeit und Basen u ¨ber einem Untervektorrraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.6 Dimensionss¨ atze, Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.7 Koordinaten, Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 →

→

4.8 Anwendungen der Vektoren aus V2 bzw. V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5

Affine R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.1 Die Definition eines affinen Raumes, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.2 Koordinaten und Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.3 Affine Unterr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.4 Schnitt und Verbindung affiner R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.5 Parallele affine Unterr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6

Vektorr¨ aume mit Skalarprodukt (Unit¨ are und Euklidische VR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 →

→

6.1 Das Skalarprodukt in V2 bzw. V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.2 Das Skalarprodukt in Vektorr¨ aumen u ¨ber den Körpern R oder C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.3 Norm (Betrag) von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.4 Winkel zwischen Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.5 Orthogonalit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.6 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7

Euklidische und unit¨ are affine Punktr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.1 Abstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.2 Winkel- und Volumenmessung in Euklidischen Punkträumen . . 238 7.3 Koordinatentransformationen in kartesischen Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8

Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.1 Motivation, Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.2 Eigenwerte von Matrizen und Nullstellen von Polynomen . . . . . 253 8.3 Verallgemeinerte Eigenr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 ¨ 8.4 Uberf¨ uhrung von symmetrische Matrizen in Diagonalgestalt . . . 273 8.5 Jordansche Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

9

Hyperfl¨ achen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 9.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 9.2 Hauptachsentransformation (Beweis von Satz 9.1.1) . . . . . . . . . . 294 9.3 Klassifikation der Kurven 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 9.4 Klassifikation der Fl¨ achen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Inhaltsverzeichnis

XIII

10 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 10.1 Allgemeines u ¨ber lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 10.2 Adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 10.3 Normale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 10.4 Selbstadjungierte und antiselbstadjungierte Abbildungen . . . . . 338 10.5 Unit¨ are und orthogonale Abbildungen, Isometrien . . . . . . . . . . . 339 10.6 Normalformen linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 10.7 Gruppen aus linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 11 Affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 11.1 Allgemeines u ¨ber affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 11.2 Gruppen gewisser affiner Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 11.3 Einige Invarianten affiner Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Teil III Numerische Algebra 12 Einf¨ uhrung in die Numerische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . 355 12.1 Fehlertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 12.2 Fehlerfortpflanzung bei differenzierbaren Funktionen . . . . . . . . . 357 12.3 Maschinenzahlen, Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 12.4 Intervallarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 13 Gleichungsaufl¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 13.1 Problemstellung, geometrische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 13.2 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 13.3 Das Newton–Verfahren, die Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 13.4 Polynomgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 13.4.1 Absch¨ atzungen f¨ ur Polynomnullstellen . . . . . . . . . . . . . . . 378 13.4.2 Das Horner–Schema und das zweizeilige Horner–Schema 379 13.4.3 Verfahren zur Nullstellenberechnung von pm . . . . . . . . . . 382 14 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer L¨ osung . . . . . . . . 385 14.1 Der Gauß–Algorithmus (mit Pivotisierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 14.2 Vektor- und Matrizennormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 14.3 Die Kondition von LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 14.4 Elementare Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 14.4.1 Das Jacobi–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 14.4.2 Das Gauß–Seidel–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.4.3 Konvergenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.5 Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 14.5.1 Grundidee der Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 14.5.2 Projektion auf Hyperebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 14.5.3 Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

XIV

Inhaltsverzeichnis

15 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 15.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 15.2 Interpolation mit Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

¨ Teil IV Ubungsaufgaben ¨ 16 Ubungsaufgaben zum Teil I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 16.1 Aufgaben zum Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 16.2 Aufgaben zum Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 ¨ 17 Ubungsaufgaben zum Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 17.1 Aufgaben zum Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 17.2 Aufgaben zum Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 17.3 Aufgaben zum Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 17.4 Aufgaben zum Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 17.5 Aufgaben zum Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 17.6 Aufgaben zum Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 17.7 Aufgaben zum Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 17.8 Aufgaben zum Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 17.9 Aufgaben zum Kapitel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 ¨ 18 Ubungsaufgaben zum Teil III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 18.1 Aufgaben zum Kapitel 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 18.2 Aufgaben zum Kapitel 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 18.3 Aufgaben zum Kapitel 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 18.4 Aufgaben zum Kapitel 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Teil I

Grundbegriffe der Mathematik und Algebraische Strukturen

1 Mathematische Grundbegriffe

1.1 Logische Zeichen In vielen mathematischen Gebieten hat es sich als zweckmäßig erwiesen, bestimmte Formulierungen durch Verwendung logischer Zeichen zu formalisieren. Nachfolgend sind die von uns verwendeten wichtigsten Symbole in einer Tabelle zusammengefaßt:

Zeichen

Lesart

∧

und

∨

oder

¬

nicht

=⇒

wenn - dann; daraus folgt

⇐⇒

genau dann, wenn

:=

definitionsgleich

:⇐⇒

definitionsgem¨ aß äquivalent

∃

es existiert (mindestens) ein

∃!

es existiert genau ein

∀

f¨ ur alle

Das Zeichen := benutzen wir, um z.B. die Bezeichnung A durch eine Formel ϕ zu erkl¨ aren, wobei dann A := ϕ geschrieben wird. Wird A dagegen durch einen umgangssprachlichen Satz S, der entweder wahr oder falsch ist, erklärt, schreiben wir A :⇐⇒ S.

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Um Klammern zu sparen, schreiben wir anstelle von ∃x ( E ) (gelesen: Es ” existiert ein x mit der Eigenschaft E“) kurz ∃x : E. Entsprechendes sei f¨ ur Formeln, die das Zeichen ∀ enthalten, vereinbart. Außerdem steht ∀x ∃y : ... f¨ ur ∀x (∃y (...)), usw. Erste Anwendungen obiger Zeichen folgen im nächsten Abschnitt, so daß wir hier auf Beispiele verzichten k¨ onnen. Die mathematische Theorie zu diesen Zeichen ist Gegenstand der sogenannten Aussagenlogik und Pr¨ adikatenlogik, von denen wir Teile im Abschnitt 1.6 behandeln werden.

1.2 Elemente der Mengenlehre Wir beginnen mit der Einf¨ uhrung des Mengenbegriffs nach dessen Begr¨ under Georg Cantor1 : Definition“ Eine Menge ist jede Zusammenfassung von bestimmten, ” wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche die Elemente dieser Menge genannt werden – zu einem Ganzen. Das Wort Definition steht hier in Anf¨ uhrungszeichen, da der zu erklärende Begriff Menge mittels weiterer, undefinierter Begriffe (z.B. Objekt) erläutert wird. Unter einer echten Definition versteht man dagegen die Erklärung eines neuen Begriffs aus bereits definierten Begriffen. Wir werden weiter unten sehen, daß die obige Definition sehr schnell zu Unklarheiten und sogar zu logischen Widerspr¨ uchen (!) f¨ uhrt. Man hat deshalb versucht (bzw. man versucht immer noch), den Mengenbegriff exakter zu fassen. Das ist jedoch letztlich unm¨ oglich, denn irgendwelche Begriffe muß man undefiniert lassen, um die erste Definition einer Theorie angeben zu k¨ onnen. Es ist jedoch gelungen2 , den Mengenbegriff so einzuf¨ uhren, daß zumindest bis heute keine logischen Widerspr¨ uche herleitbar waren. Dieser exakte Weg der Begr¨ undung der Mengenlehre kann hier jedoch aus Platzgr¨ unden nicht angegeben werden. Wir bleiben also bei der obigen naiven Definition“, m¨ ussen jedoch beim Umgang ” damit vorsichtig sein. Warum das so ist, wird nach der Angabe einiger Vereinbarungen und Bezeichnungen an zwei Beispielen erläutert. Zun¨ achst einige Vereinbarungen: 1

2

Georg Cantor (1845–1918). Er schrieb von 1875 bis 1884 grundlegende Arbeiten zur Mengenlehre und legte damit das Fundament f¨ ur das moderne Verst¨ andnis vom Wesen der Mathematik. Wer mehr u ater noch erw¨ ahnten Mathematikern wissen ¨ber Cantor und die sp¨ ¨ m¨ ochte, sei auf [Mes 73] oder [Wuß-A 89] verwiesen. Einen ersten Uberblick u ¨ber die Geschichte der Mathematik mit vielen Verweisen auf weitere Literatur findet man in [Wuß 89]. Historische Anmerkungen zu den in diesem Band behandelten Teilgebieten der Mathematik, die u ubersicht hinausgehen, entnehme ¨ber eine Kurz¨ man [Alt 2003], [Scr-S 2003] und [Bri 83]. Siehe z.B. [Ass 75].

1.2 Elemente der Mengenlehre

Bezeichnungen f¨ ur Mengen:

große Buchstaben;

Bezeichnungen f¨ ur die Elemente der Mengen:

kleine Buchstaben;

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Kurzschreibweise f¨ ur x ist Element von M“: x ∈ M; ” Kurzschreibweise f¨ ur x ist nicht Element von M“: x ∈ / M. ” Eine Menge M kann man (u.a.) auf drei Arten angeben: (1.) Durch eine (unmißverst¨ andliche) verbale Formulierung. Beispiel M sei die Menge aller im Jahre 2000 an der Rostocker Universit¨ at immatrikulierten Studenten. (2.) Durch Aufz¨ ahlen (falls m¨ oglich) der Elemente a1 , a2 , . . . der Menge M . Wir schreiben: M = {a1 , a2 , . . .}. (3.) Durch eine charakteristische Eigenschaft E f¨ ur Objekte aus einer Grundgesamtheit G, die genau den Elementen von M zukommen soll. Wir schreiben: M := {x | x ∈ G erf¨ ullt E} oder M := {x ∈ G | x erf¨ ullt E}. Beispiel

G :={1, 2, 3, 4, . . .} (die Menge der nat¨ urlichen Zahlen), M := {x ∈ G | x ist eine gerade Zahl}.

Nun zwei Beispiele zur Erl¨ auterung der Schwierigkeiten mit dem oben definierten Mengenbegriff. Erstes Beispiel Ist A := . . . . {{{{{{{{ a }}}}}}}}. . . . unendlich viele Klammern

eine Menge? Diese Frage ist nach obiger Definition einer Menge nicht zu beantworten. Wer A als Menge akzeptieren will (er muß es nicht!), der hat als nächstes zu klären, ob A ∈ A gilt. Zweites Beispiel Sei M := {x | x Menge ∧ x ∈ / x}, d.h., M ist die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. M ist nach obiger Definition“ offensichtlich eine ” Menge. Jedoch aus M ∈ M folgt M ∈ / M und aus M ∈ / M folgt M ∈ M . Zitat aus [Lid-P 82]:

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Wie man sich dreht und wendet: es geht nicht — es bleibt uns nur der ” Strick!“ Das obige zweite Beispiel heißt nach Bertrand Russell (1872 - 1970) Russellsches Paradoxon, obwohl es nicht nur paradox ist, sondern in eine logische Sackgasse f¨ uhrt. Halten wir also fest: Vorsicht bei zu großz¨ ugiger Mengenbildung! Man vermeide unendlich viele Klammern (d.h., man bilde nur in endlich vielen Schritten aus bekannten Mengen neue Mengen) und definiere nicht so global, wie etwa M sei die ” Menge aller Mengen“! Besonders h¨ aufig auftretende Mengen erhalten von uns besondere Bezeichnungen und Namen: N := {1, 2, 3, . . .} Menge der nat¨ urlichen Zahlen P := {2, 3, 5, 7, 11, . . .}

Menge der Primzahlen

Z := {0, 1, −1, 2, −2, . . .} Q := {x | ∃a ∈ Z ∃b ∈ N : x =

Menge der ganzen Zahlen a b}

Menge der rationalen Zahlen

R := {x | x ist ein (endlicher oder unendlicher) Dezimalbruch} Menge der reellen Zahlen C := {x | ∃a ∈ R ∃b ∈ R : x = a + bi ∧ i2 = −1} Menge der komplexen Zahlen (Ausf¨ uhrlich wird C im Abschnitt 2.3 behandelt.) N0 := {0, 1, 2, 3, . . .} X + := {x ∈ X | x > 0} f¨ ur X ∈ {Z, Q, R} ur X ∈ {Z, Q, R} X0+ := {x ∈ X | x ≥ 0} f¨ [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} [a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b} (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} (a, b) := {x ∈ R | a < x < b} Auf eine exakte Definition der Zahlenmengen N, Z, Q und R wollen wir an dieser Stelle verzichten und uns mit der naiven Vorstellung begn¨ ugen, daß man sich die reellen Zahlen geometrisch als Punkte auf einer Geraden vorstellen kann, wobei Q die Gerade noch nicht, jedoch R diese Gerade ausf¨ ullt“. ” Die u ur die Zahlenmengen N0 , Z, Q, R setzen wir nach¨blichen Rechenregeln f¨ folgend als bekannt voraus. Als spezielle Eigenschaft von N (bzw. N0 ) sei le-


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diglich genannt, daß jede Menge nat¨ urlicher Zahlen, die aus mindestens einem Element besteht, ein kleinstes Element enth¨ alt. Mit Hilfe dieser Eigenschaft läßt sich nun ein wichtiges Beweisverfahren, die sogenannte vollst¨ andige Induktion, begr¨ unden. Satz 1.2.1 Sei A(n) eine Aussage u urlichen Zahlen n ≥ a (a ¨ber alle nat¨ dabei aus N und fest gew¨ ahlt). A(n) ist f¨ ur alle n ≥ a richtig, wenn folgende zwei Bedingungen erf¨ ullt sind: (I) A(a) ist richtig. (II) Aus der Annahme der G¨ ultigkeit von A(n) f¨ ur alle n mit a ≤ n ≤ k folgt stets die G¨ ultigkeit von A(k + 1). ullt, jedoch gilt A(n) nicht f¨ ur Beweis 3 Angenommen, (I) und (II) sind erf¨ alle n ≥ a. Dann gibt es ein kleinstes b, f¨ ur das A(b) falsch ist, wobei b > a (wegen (I)). Folglich ist A(b − 1) richtig und b − 1 ≥ a. Das ist jedoch ein Widerspruch zu (II). (I) aus obigem Satz wird Induktionsanfang und (II) Induktionsschritt genannt, wobei die in (II) getroffene Annahme oft auch Induktionsvoraussetzung und die Begr¨ undung f¨ ur (II) Induktionsbeweis heißt. Man beachte, daß in (II) keine Aussage u undung, mit der man von ¨ber die Begr¨ A(n) f¨ ur a ≤ n ≤ k zu A(k+1) gelangt, gemacht wird. Diese Begr¨ undung kann also im Prinzip f¨ ur jedes n eine andere sein; das Versagen einer Beweisidee f¨ ur gewisses k l¨ aßt also keinen Schluß auf das Versagen der vollständigen Induktion bei einer konkreten Aufgabenstellung zu. Außerdem kann es möglich sein, daß eine bestimmte Beweisidee beim Induktionsschritt die Richtigkeit der Behauptung f¨ ur paarweise verschiedene Zahlen n ≤ k erfordert. In diesem Fall ist der Induktionsanfang (I) nicht nur f¨ ur eine Zahl, sondern entsprechend f¨ ur mehrere Zahlen durchzuf¨ uhren. Ein Beispiel dazu wie auch zwei weitere ¨ A.1.5. Musterbeweise zur vollst¨ andigen Induktion findet man in der UA Die vollst¨ andige Induktion wird von uns vorrangig als Beweishilfsmittel Verwendung finden. Sie kann jedoch auch bei der sogenannten rekursiven Definition bzw. rekursiven Konstruktion von Objekten herangezogen werden: Man definiert von n (∈ N) abh¨ angige Objekte O(n), indem man zuerst O(1) angibt und dann ein Verfahren, mit dem man O(n + 1) aus O(n) (bzw. O(k) mit k ≤ n) erhalten kann. Wegen Satz 1.2.1 ist damit O(n) f¨ ur alle n ∈ N definiert. 3

Dies ist unser erstes Beispiel f¨ ur einen sogenannten indirekten Beweis. Wir nehmen an, daß bei den gegebenen Voraussetzungen die Behauptung falsch ist, und zeigen, daß sich hieraus ein Widerspruch ergibt. Geht man davon aus, daß eine Behauptung entweder wahr oder falsch ist, folgt hieraus die Richtigkeit der Behauptung.

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Der folgende Satz mit Eigenschaften von Primzahlen ist den meisten Lesern sicher aus der Schule her bekannt. Sein Beweis dient hier zur Erläuterung der bisher eingef¨ uhrten Beweistypen (vollst¨ andige Induktion und indirekter Beweis). Wir werden sp¨ ater sehen, daß Primzahlen wichtige Anwendungen besitzen. Satz 1.2.2 (a) Jede nat¨ urliche Zahl n mit n ≥ 2 l¨ aßt sich auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen: α2 αr 1 n = pα 1 · p2 · ... · pr ,

(1.1)

wobei p1 , p2 , ..., pr ∈ P mit p1 < p2 < ... < pr und α1 , α2 , ..., αr ∈ N. (b) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. (a): Wir beginnen mit dem Beweis der Existenz von (1.1) durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber n ≥ 2. (I) n = 2. Da 2 eine Primzahl ist, gilt offenbar (1.1) f¨ ur n = 2. (II) k −1 −→ k. Angenommen, f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n mit 2 ≤ n ≤ k −1 ist (1.1) richtig. F¨ ur n = k sind zwei F¨ alle m¨ oglich: Fall 1: k ∈ P. Dann gilt offenbar (1.1). Fall 2: k ∈ P. In diesem Fall existieren Zahlen a, b ∈ N mit k = a · b, 1 < a < k und 1 < b < k. F¨ ur a und b existieren laut Annahme Darstellungen in Form von Produkten aus Primzahlpotenzen. Wegen k = a · b besitzt dann auch k eine Darstellung als Produkt von Primzahlpotenzen. Die Eindeutigkeit der Darstellung (1.1) l¨ aßt sich durch einen indirekten Beweis zeigen. Angenommen, f¨ ur eine gewisse nat¨ urliche Zahl n existieren zwei verschiedene Darstellungen der im Satz angegebenen Art. Durch Division von gemeinsamen Potenzen gelangt man dann zu einem Widerspruch (ausf¨ uhrlich: ¨ UA). (b): Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen, die mit p1 , p2 , ..., pt bezeichnet seien, wobei p1 < p2 < ... < pt gelte. Wir betrachten die nat¨ urliche Zahl n := 1 + p1 · p2 · ... · pt . Nach (a) existieren gewisse α1 , ..., αt ∈ N0 mit α2 αt 1 n = pα 1 · p2 · ... · pt .

Da n > 1, ist mindestens ein αi mit i ∈ {1, 2, ..., t} von 0 verschieden. Aus obigen Darstellungen von n folgt dann, daß pi sowohl ein Teiler von n als auch von n − 1 ist, d.h., es existieren u, v ∈ N mit n = pi · u und n − 1 = pi · v. Folglich gilt auch pi · (u − v) = 1, was wegen pi > 1 und pi , u, v ∈ N nicht sein kann. Also war unsere Annahme falsch und damit die Behauptung richtig.


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Wir kommen nun zu den Grundbegriffen bzw. wichtigen Begriffen der Mengenlehre. Definitionen • Die Menge, die aus gar keinem Element besteht, heißt leere Menge und wird mit ∅ bezeichnet, d.h., z.B. ∅ := {x | x = x}. • A und B seien Mengen. A ⊆ B ( A ist Teilmenge von B“ bzw. B ist Obermenge von A“) ” ” :⇐⇒ ∀x ∈ A : x ∈ B. A = B :⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A. A = B :⇐⇒ ¬(A = B). A ⊂ B :⇐⇒ A ⊆ B ∧ A = B. Offenbar gilt f¨ ur beliebige Mengen A, B, C: (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) =⇒ A ⊆ C. Man beachte: {a} ∈ / {a}, aber {a} ⊆ {a} und a ∈ {a}. {{a}} = {a}. Definition

Sei A eine Menge. Die Menge P(A) := {M | M ⊆ A}

aller Teilmengen von A heißt Potenzmenge von A. Beispiel

A = {0, 1}, P({0, 1}) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}.

Satz 1.2.3 Sei M eine endliche, nichtleere Menge und bezeichne |M | die Anzahl ihrer Elemente. Dann gilt |P(M )| = 2|M | . ¨ Beweis. UA. Die Aussage von Satz 1.2.3 motiviert auch folgende u ur ¨bliche Bezeichnung f¨ die Potenzmenge einer Menge M : 2M .

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F¨ ur beliebige Mengen A, B kann man folgende vier Mengenoperationen definieren, die wir uns mittels sogenannter Venn4 –Diagramme (Eulersche5 Kreise) veranschaulichen: • Durchschnitt von A und B: A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} A∩B C ' $ C CW B A & %

Falls A ∩ B = ∅, nennen wir A und B disjunkt. • Vereinigung von A und B: A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} A∪B B A '$ & %

• Differenz von A und B: A\B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ / B} 4 5

John Venn (1834–1923), englischer Philosoph. Leonhard Euler (1701–1783), schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosoph. Schrieb entscheidende Beitr¨ age zu fast allen damaligen Gebieten der Mathematik, Physik und Astronomie. Verfasser hervorragender Lehrb¨ ucher. Einige von ihm eingef¨ uhrte Begriffe und Bezeichnungen werden noch heute verwendet.


A\B B A'$ & %

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Bei einer fixierten Grundmenge G und A ⊆ G bezeichnen wir G\A auch mit A und nennen diese Menge das Komplement von A (bez. G). • Symmetrische Differenz von A und B: AB := (A\B) ∪ (B\A) AB B A' Q $ s Q

& %

Zusammenfassend geben wir die oben definierten Mengenoperationen noch in Form von Tabellen an, die man zum sp¨ ateren Nachweis von Rechenregeln f¨ ur diese Operationen heranziehen kann. Dazu schreiben wir die vier möglichen F¨ alle f¨ ur ein beliebiges x: x∈ /A x∈ /A x∈A x∈A

und und und und

x∈ /B x∈B x∈ /B x∈B

kurz durch A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

auf. Eine vollst¨ andige Charakterisierung der Mengen A∩B, A∪B, A\B und AB liefert dann die nachfolgende Tabelle, in der eine 0 oder 1 in der entsprechenden Spalte unter A ∩ B, . . . angibt, ob im jeweiligen Fall x zu dieser Menge nicht geh¨ ort oder geh¨ ort:

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A B A ∩ B A ∪ B A\B AB 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 . Allgemeiner kann man f¨ ur Mengen Ai (i aus einer Indexmenge) Durchschnitte und Vereinigungen durch i∈I Ai := {x | ∀i ∈ I : x ∈ Ai } und i∈I Ai := {x | ∃i ∈ I : x ∈ Ai } definieren. Auch u ¨blich sind die Schreibweisen A bzw. A, A∈S

A∈S

wobei S ein Mengensystem (z.B. S := {Ai | i ∈ I}) bezeichnet. Eine weitere Beschreibung f¨ ur die Menge A∈S A (bzw. A∈S A) ist {A | A ∈ S} ( {A | A ∈ S} ). Im nachfolgenden Satz fassen wir wesentliche Eigenschaften der oben definierten Mengen zusammen. Satz 1.2.4 F¨ ur beliebige Teilmengen A, B, C eines Grundbereichs G gilt: (a) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (AB)C = A(BC) (b) A ∩ B = B ∩ A A∪B =B∪A AB = BA (c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C) (d) A ∪ A = A A∩A=A (e) (A\B) ∩ C = (A ∩ C)\(B ∩ C) A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) (A\B) ∪ B = A ∪ B A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) (f ) A ∩ B = A ∪ B A∪B =A∩B (g) A.

(Assoziativgesetze)

(Kommutativgesetze)

(Distributivgesetze) (Idempotenzgesetze)

(Morgansche Gesetze)


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Beweis. Wir wollen hier nur (A\B) ∩ C = (A ∩ C)\(B ∩ C) beweisen. Die Begr¨ undungen f¨ ur die anderen Aussagen verlaufen analog. Zun¨ achst eine Veranschaulichung unserer Behauptung durch ein Venn–Diagramm: linke Seite der Gleichung: A B '$ '$ '$ > A\B&% 7 &% C &% (A\B) ∩ C

rechte Seite der Gleichung: A B '$ '$ '$ @@ @ l@@ B∩C @@ &% &% 6l C &% (A ∩ C)\(B ∩ C) A∩C

Diese Veranschaulichung l¨ aßt vermuten, daß unsere Behauptung richtig ist. Sie ist jedoch kein Beweis! Nachfolgend werden zwei Beweise angegeben. Im ersten Beweis wird gezeigt, daß (A\B)∩C ⊆ (A∩C)\(B ∩C) und (A∩C)\(B ∩C) ⊆ (A\B)∩C gilt, woraus sich nach der Defintion der Gleichheit von zwei Mengen die Behauptung (A\B) ∩ C = (A ∩ C)\(B ∩ C) ergibt. (A\B) ∩ C ⊆ (A ∩ C)\(B ∩ C) folgt aus x ∈ (A\B) ∩ C =⇒ =⇒ =⇒ =⇒

x∈A\B ∧ x∈C (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C x ∈ A ∩ C ∧ x ∈ B ∩ C x ∈ (A ∩ C) \ (B ∩ C).

(A ∩ C)\(B ∩ C) ⊆ (A\B) ∩ C folgt aus x ∈ (A ∩ C) \ (B ∩ C) =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒

x ∈ A ∩ C ∧ x ∈ B ∩ C (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ x ∈ B x∈A\B ∧ x∈C x ∈ (A \ B) ∩ C.

Ein weiterer Beweis wird durch die folgende Tabelle erbracht, indem – die oben vereinbarte Codierung benutzend – f¨ ur die m¨ oglichen 8 Fälle der Zugehörigkeit bzw. Nichtzugeh¨ origkeit eines beliebigen Elements x zu den Mengen A, B und C aufgeschrieben wird, welche Zugeh¨ origkeit/Nichtzugehörigkeit von x zu den in der ersten Zeile angegebenen Mengen sich hieraus ergibt. Die Gleichheit der unterstrichenen Spalten liefert die Behauptung.

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A B C A\B (A\B) ∩ C A ∩ C B ∩ C (A ∩ C)\(B ∩ C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0

Seien A und B nichtleere Mengen. Die Menge

Definitionen

A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} heißt kartesisches Produkt der Mengen A, B. Die Elemente (a, b) von A × B nennt man geordnete Paare, wobei (a, b) = (c, d) :⇐⇒ (a = c ∧ b = d). Allgemeiner: Seien A1 , A2 , . . . , An nichtleere Mengen. Die Menge n

n A1 × A2 × . . . × An = i=1 Ai (oder = i=1 Ai ) := {(a1 , a2 , . . . , an ) | ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : ai ∈ Ai } heißt kartesisches Produkt der Mengen A1 , A2 , . . . , An . Die Elemente von A1 × A2 × . . . × An nennt man (geordnete) n-Tupel, wobei (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) :⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} : ai = bi . Weiter seien A1 := A, A2 := A × A, A3 := A × A × A, . . . . Man beachte, daß A × (A × A) = A × A2 = A3 ist. ur ein gewisses i ∈ {1, 2, ..., n}, sei A1 × A2 × ... × An = ∅. Falls Ai = ∅ f¨ Beispiel

W¨ ahlt man A = {0, 1} und B = {∅, a}, so gilt A × B = {(0, ∅), (1, ∅), (1, a), (0, a)}, A3 = {(a, b, c) | a, b, c ∈ {0, 1}} und A × A2 = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ A2 }.

Satz 1.2.5 F¨ ur beliebige nichtleere endliche Mengen A1 , A2 , . . . , An gilt: |A1 × A2 × . . . × An | = |A1 | · |A2 | · . . . · |An |. Beweis.

¨ UA.

1.3 Relationen

15

1.3 Relationen Zwischen den Elementen einer Menge k¨ onnen gewisse Beziehungen ( Rela” tionen“) wie z.B. 0 |M(B2 , B2 )| < 0

!

Zur Festlegung einer bestimmten Orientierung hat man einfach eine der beiden Klassen auszuzeichnen, etwa durch Wahl einer repr¨ asentierenden Basis (z.B. der Standardbasis).

6.6 Das Vektorprodukt

233

F¨ ur den VR R Rn×1 heißt dann z.B. jede Basis B Rechtssystem, wenn sie in dersel¨ ben Aquivalenzklasse wie die Standardbasis liegt, was nichts anderes bedeutet, als daß die Determinante, deren Spalten die Elemente von B sind, einen Wert > 0 hat. Ist in V eine Orientierung ausgezeichnet, so nennt man V einen orientierten VR. − → Der Vorbereitung einer zweiten Definition eines Vektorproduktes f¨ ur V3 dienen die − → nachfolgenden Bemerkungen, in denen ϕ stets das f¨ ur V3 in 6.1 definierte Skalarprodukt bezeichnet. •

Offenbar gilt: ϕ(a, a) ϕ(a, b) ϕ(b, a) ϕ(b, b)

•

= ϕ(a, a) · ϕ(b, b) − |ϕ(a, b)|2 = |a|2 · |b|2 − |a|2 · |b|2 · cos2 ∠(a, b) = |a|2 · |b|2 · (1 − cos2 ∠(a, b)) sin2 ∠(a, b) = |a × b|2 .

− → Falls a, b ∈ V3 l.a. sind, haben wir ϕ(a, a) ϕ(a, b) = 0. ϕ(b, a) ϕ(b, b) − → Sind a, b ∈ V3 l.u., so gibt es genau zwei Vektoren e mit der L¨ ange 1 und der Eigenschaft ϕ(a, e) = ϕ(b, e) = 0. Definiert man 1 1, falls |a/B , b/B , e/B | ≥ 0, sign(|a/B , b/B , e/B |) := −1, falls |a/B , b/B , e/B | < 0, so gilt f¨ ur jeden dieser Vektoren e: sign(|a/B , b/B , e/B |) · e = sign(|a/B , b/B , −e/B |) · (−e).

Aus diesen Bemerkungen folgt nun, daß folgende Definition eine Abbildung von − → − → − → V3 × V3 in V3 liefert, die im Fall B ∈ [(i, j, k)]Ror nur eine andere Beschreibung des urspr¨ unglichen Vektorproduktes ist. − → Definition Seien a, b ∈ V3 und e ∈ {a, b}⊥ \{o}. Weiter bezeichne B eine Basis − → von V3 . Dann sei das Vektorprodukt a × b von a und b wie folgt definiert: 2 ϕ(a, a) ϕ(a, b) 1 a × b := sign(|a/B , b/B , e/B |) · · ·e ϕ(b, a) ϕ(b, b) |e| Im Gegensatz zur urspr¨ unglichen Definition des Vektorproduktes l¨ aßt sich diese neue Beschreibung f¨ ur (n + 1)-dimensionale Vektorr¨ aume u ¨ber R verallgemeinern: Definition Seien a1 , . . . , an Vektoren aus einem (n + 1)-dimensionalen Vektorraum u ¨ber R und bezeichne e einen Vektor aus {a1 , . . . , an }⊥ \{o}. Dann ist das Vektorprodukt der Vektoren a1 , . . . , an (n ≥ 2) definiert durch

234

6 Vektorr¨ aume mit Skalarprodukt (Unit¨ are und Euklidische VR) 3 4 4 ϕ(a1 , a1 ) . . . ϕ(a1 , an ) 1 4 ·e a1 × a2 × . . . × an := sign(|a1 , . . . , an−1 , e|) · 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · ϕ(an , a1 ) . . . ϕ(an , an ) eϕ

¨ u Als UA ¨berlege man sich analog zu oben, daß obige Definition sinnvoll ist, d.h., wirklich eine Abbildung liefert.

7 Euklidische und unit¨ are affine Punktr¨ aume

In diesem Kapitel soll kurz gezeigt werden, wie man einige Begriffe und Sätze aus der Anschauungsebene bzw. aus dem Anschauungsraum, die mit dem Skalarprodukt zusammenh¨ angen, auf n-dimensionale Punkträume u ¨bertragen kann. Definition Sei Rn ein n-dimensionaler affiner Punktraum u ¨ber K ∈ {R, C}. ar), wenn der zu Rn gehörende VR Dann heißt Rn euklidisch (bzw. unit¨ euklidisch (bzw. unit¨ ar) ist. Nachfolgend bezeichnet Rn stets einen euklidischen (bzw. unitären) Punktraum, f¨ ur dessen zugeh¨ origen VR das Skalarprodukt ϕ erklärt ist.

7.1 Abstandsmessung Definitionen

Seien P, Q ∈ Rn . Die Maßzahl −−→ d(P, Q) := !P Q!ϕ (= !Q − P !ϕ ) ϕ(Q − P, Q − P ) =

heißt Abstand von P , Q. Als Abstand d(M, N ) von Punktmengen M, N ⊆ Rn legen wir fest: d(M, N ) :=

min

P ∈M, Q∈N

d(P, Q).

Beispiel W¨ ahlt man im zu Rn geh¨ orenden VR Vn eine orthonormierte Basis B und ein A ∈ Rn , so gilt bez. des Koordinatensystems S := (A; B), falls P/S = (1; p1 , . . . , pn )T und Q/S = (1; q1 , . . . , qn )T : d(P, Q) = ϕ(Q − P, Q − P ) = |q1 − p1 |2 + |q2 − p2 |2 + . . . + |qn − pn |2 . Eigenschaften der Funktion d, die leichte Folgerungen aus den Normaxiomen sind, faßt der nachfolgende Satz zusammen.

236


Satz 7.1.1 (mit Definition) F¨ ur beliebige P, Q, R ∈ Rn gilt: (a) (b) (c) (d)

d(P, Q) = d(Q, P ); d(P, Q) ≥ 0; d(P, Q) = 0 ⇐⇒ P = Q; d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q).

D.h., jeder euklidische (bzw. unit¨ are) Raum Rn ist ein sogenannter metrischer Raum mit der Metrik d : Rn × Rn → R, (P, Q) → !Q − P !ϕ .

Satz 7.1.2 Seien E = P + W eine k-Ebene des Rn und Q ∈ Rn . Dann gilt: d(Q, E) = !a −

k

ϕ(a, ei ) · ei !ϕ ,

i=1

wobei a := Q − P und e1 , . . . , ek eine orthonormierte Basis von W bezeichnet. Beweis. Sei X = P + x ein beliebiger Punkt aus E und bezeichne a die orthogonale Projektion von a in W . Dann gilt nach Satz 6.5.10 (S. 224): d(X, Q) = !P + a − (P + x)!ϕ = !a − x!ϕ ≥ !a − a !ϕ . Folglich haben wir d(E, Q) = !a − a !ϕ . Unsere Behauptung folgt dann aus der Formel zur Berechnung von a aus Satz 6.5.11. Als Folgerung aus obigen Satz erh¨ alt man u ¨brigens unsere Abstandsformel von S. 200, die die Parallel- und Normalkomponente eines Vektors a bez. eines Vektors b verwendet. Zwecks Verallgemeinerung von Satz 7.1.2 und unserer Methoden zur Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden in R3 zunächst die Definition Seien E = Q + W und E = Q + W Unterpunkträume des Rn . −−→ a ∈ Vn heißt Lot von E und E :⇐⇒ ∃P ∈ E ∃P ∈ E : a = P P ∧ a ⊥ W ∧ a ⊥ W . Satz 7.1.3 F¨ ur beliebige disjunkte Unterpunktr¨ aume E, E des Rn gilt: (a) Es existiert genau ein Lot a von E und E ; (b) d(E, E ) = !a!ϕ ; −−→ (c) (b = XX ∧ X ∈ E ∧ X ∈ E ∧ !b!ϕ = d(E, E )) =⇒ b ist Lot von E und E . Beweis. (a): Zwecks Nachweis der Existenz eines Lotes u ¨berlegen wir uns zun¨ achst folgende zwei Aussagen u ¨ber Teilmengen W , W von Vn :

7.1 Abstandsmessung

237

(i) (a ⊥ W ∧ a ⊥ W ) ⇐⇒ a ⊥ W + W = [W ∪ W ]. ( ⇐=“ ist trivial. ” =⇒“: Sei b ∈ W + W . Dann existieren b1 ∈ W und b2 ∈ W mit ” b = b1 + b2 . Bildet man nun ϕ(a, b1 + b2 ), so erhält man die Behauptung.) (ii) Vn = (W + W ) ⊕ (W + W )⊥ . (Folgt aus Satz 6.5.12.) −−→ Wir wollen nun zwei Punkte P und P mit der Eigenschaft P P ⊥ E und −−→ P P ⊥ E ermitteln. Dazu betrachten wir zwei beliebige Punkte X ∈ E und X ∈ E. !! E Pq!!! !q D !! ``` q ! D ! `` ! ` D q ! ```` X! ! ``` Dq q ` ! X ``` !! P E Dann gilt nach (ii) −−→ XX = x1 + x2 = (y + y ) + x2 , wobei x1 ∈ W + W , y ∈ W , y ∈ W und x2 ∈ (W + W )⊥ . −−→ −−→ W¨ ahlt man P := X + y und P := X + (−y ), so erhält man P P = P X + −−→ −−− → XX + X P = (X − P ) + (X − X) + (P − X ) = −y + y + y + x2 − y = x2 ∈ (W + W )⊥ . unschte Wegen (i) folgt hieraus, daß die so definierten P und P das Gew¨ leisten. Also gibt es ein Lot. Die Eindeutigkeit dieses Lotes kann man sich wie folgt u ¨berlegen: −−→ −−→ Angenommen, a = P P und b = QQ sind Lote von E und E , wobei P, Q ∈ E −−→ −−→ −−→ −−−→ und P , Q ∈ E . Dann gilt P P = P Q + QQ + Q P bzw. −−→ −−→ −−→ −−−→ P P − QQ = P Q + Q P . ∈(W +W )⊥

∈W +W

Folglich und unter Verwendung von (ii) haben wir dann: −−→ −−→ P P − QQ ∈ (W + W )⊥ ∩ (W + W ) = {o}, −−→ −−→ was P P = QQ impliziert. (b): F¨ ur beliebige X ∈ E und X ∈ E und den oben bestimmten P und P −−→ bzw. a := P P gilt: −−→ −−→ −−→ −−−→ XX = XP + P P + P X und

238


−−→ −−→ −−−→ !XX !2ϕ = ϕ((XP + P X ) + ∈W +W

−−→ PP

−−→ −−→ −−−→ , (XP + P X ) + P P )

∈(W +W )⊥

−−→ −−→ −−−→ = !XP + P X !2ϕ + !P P !2ϕ −−→ ≥ !P P !2ϕ . Also ist (b) richtig. −−→ (c): Seien X ∈ E, X ∈ E , b := XX und !b! = d(E, E ). Wir haben zu zeigen, daß b ein Lot von E und E ist. Nach den Rechnungen im Beweis von (b) haben wir: −−→ −−→ −−→ −−−→ !XX !2ϕ = d(E, E )2 = !XP + P X !2ϕ + !P P !2ϕ , −−→ −−→ −−−→ woraus (wegen !P P !ϕ = d(E, E )) !XP + P X !ϕ = 0 und damit (nach −−−→ −−→ den Normaxiomen) XP = −P X folgt. Die letzte Gleichung liefert dann −−→ −−→ P P = XX , womit b Lot ist.

7.2 Winkel- und Volumenmessung in Euklidischen Punktr¨ aumen Analog zu den Definitionen in der Anschauungsebene bzw. im Anschauungsraum (siehe S. 215) lassen sich unter Verwendung der f¨ ur Euklidische Vektorr¨ aume erkl¨ arten Winkel zwischen Vektoren (siehe 6.4) Winkel zwischen je zwei Geraden, zwei Hyperebenen sowie Geraden und Hyperebenen definieren. Wir geben hier nur ein Beispiel an: Sind g = P + W und g = P + W Geraden im Rn u ¨ber R mit g ∩ g = ∅ ahlt, daß 0 ≤ ∠(a, a ) ≤ π/2, versteht und a ∈ W \{o}, a ∈ W \{o} so gew¨ man unter dem Winkel der Geraden g, g den (eindeutig bestimmten) Winkel ∠(a, a ). Zwecks Einf¨ uhrung einer Volumenmessung im Rn zunächst die Definition Seien P0 , P1 , . . . , Pk Punkte eines affinen Raumes Rn u ¨ber R −−−→ −−−→ und P0 P1 , . . . , P0 Pk l.u. Dann heißt die Menge Sp(P0 , P1 , . . . , Pk ) := {X ∈ Rn | ∃λi ∈ R : X = P0 +

k i=1

−−→ λi · P0 Pi ∧ (∀i : 0 ≤ λi ≤ 1)}

k-Spat im Rn . F¨ ur n = k = 3 stimmt diese Definition mit der eines Spates (bzw. Parallelepipeds) im R3 u ¨berein:

7.3 Koordinatentransformationen in kartesischen Koordinatensystemen

7P P2 3 P0

239

- P1

In Verallgemeinerung der im Satz 6.6.3 (S. 231) angegebenen Volumenformel f¨ ur diesen Spat: a1 a2 a3 VSpat = b1 b2 b3 (= |a/B , b/B , c/B |) c1 c2 c3 −−−→ −−−→ −−−→ mit a := P0 P1 /B = (a1 , a2 , a3 )T , b := P0 P2 /B = (b1 , b2 , b3 )T , c := P0 P3 /B = (c1 , c2 , c3 )T und B := (i, j, k), die sich wegen ⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞ a a · a a T · b aT · c ⎟ ⎜ /B T ⎟ ⎜ b ⎝ bT · a b T · b b T · c ⎠ ⎝ /B ⎠ · (a/B , b/B , c/B ) = cT · a c T · b c T · c cT /B und dem Determinantenmultiplikationssatz 3 4 4 ϕ(a, a) 4 |a/B b/B c/B | = 5 ϕ(b, a) ϕ(c, a)

auch in der Form ϕ(a, b) ϕ(a, c) ϕ(b, b) ϕ(b, c) ϕ(c, b) ϕ(c, c)

mit ϕ(x, y) := xT · y f¨ ur x, y ∈ R3×1 aufschreiben läßt, erhalten wir die Definition Bezeichne ϕ das Skalarprodukt des euklidischen Raumes Rn −−→ und seien P0 , . . . Pk ∈ Rn und ai := P0 Pi f¨ ur i = 1, . . . , k l.u. Dann heißt 3 4 4 ϕ(a1 , a1 ) ϕ(a1 , a2 ) . . . ϕ(a1 , an ) 4 4 ϕ(a2 , a1 ) ϕ(a2 , a2 ) . . . ϕ(a2 , an ) 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ϕ(an , a1 ) ϕ(an , a2 ) . . . ϕ(an , an ) das Volumen des Spats Sp(P0 , . . . , Pk ).

7.3 Koordinatentransformationen in kartesischen Koordinatensystemen Definition Ein Koordinatensystem S = (A; e1 , . . . , en ) des Rn heißt kartesisches Koordinatensystem, falls (e1 , . . . , en ) eine orthonormierte Basis orenden VRs Vn ist. des zu Rn geh¨

240


Im Abschnitt 5.2 hatten wir uns bereits u ¨berlegt, daß zwischen den Koordinaten X/S eines beliebigen Punktes X bez. des Koordinatensystems S := (A; B) und den Koordinaten X/S des Punktes X bez. des Koordinatensystems S := (A ; B ) folgender Zusammenhang besteht:

X/S = A/S + M(B, B ) · X/S . Wir wollen nun kl¨ aren, welche Eigenschaften die Matrix M(B, B ) besitzt, falls B und B orthonormiert sind. Dazu die Definition Seien A ∈ Rn×n und B ∈ Cn×n . Dann heißt • A orthogonal :⇐⇒ A−1 = AT ; • B unit¨ ar :⇐⇒ B−1 = BT . Satz 7.3.1 Seien A, A ∈ Rn×n und B, B ∈ Cn×n . Dann gilt: (a1 ) A ist orthogonal

⇐⇒

A · AT = En ⇐⇒ AT · A = En

⇐⇒

die Zeilen (bzw. Spalten) von A sind bez. des Skalarproduktes ϕ(x, y) := xT · y orthonormiert.

(a2 ) B ist unit¨ ar

⇐⇒

B · BT = En ⇐⇒ BT · B = En

⇐⇒

die Zeilen (bzw. Spalten) von B sind bez. des Skalarproduktes ϕ(x, y) := xT · y orthonormiert.

(b1 ) A orthogonal =⇒ |A| ∈ {1, −1}; ar =⇒ |B| ∈ {1, −1}; (b2 ) B unit¨ (c1 ) A, A orthogonal =⇒ A · A orthogonal; ar =⇒ B · B unit¨ ar. (c2 ) B, B unit¨ Beweis. Es gen¨ ugt, die obigen Behauptungen nur f¨ ur unitäre Matrizen zu beweisen, da sich die Aussagen u ¨ber orthogonale Matrizen hieraus als Spezialf¨ alle ergeben. (a2 ) folgt aus den Eigenschaften inverser Matrizen (siehe S. 131) und aus der Definition einer unit¨ aren Matrix. (b2 ) ergibt sich unter Verwendung von Satz 3.2.5 (S. 130), Satz 3.1.4 (S. 109) und Satz 2.3.1 (S. 77) aus |B·BT | = |B|·|BT | = |B|·|B| = | |B| |2 = |E| = 1.


241

(c3 ) erhalten wir unter Verwendung der bekannten Regel f¨ ur das Transponieren und des Bildens von konjugiert komplexen Zahlen aus: T

T

T

T

T

T

(B·B )·(B · B ) = (B·B )·(B ·B ) = B·(B ·B )·B = B·E·B = E. Als leichte Folgerung aus obigen Satz 7.3.1 und Satz 5.2.2 (S. 186) erhalten wir dann den Satz 7.3.2 Bezeichne S := (A; B) ein kartesisches Koordinatensystem des ur ein beliebiges Koordinatensystem S := Rn u ¨ber K ∈ {R, C}. Dann gilt f¨ (A ; B ): S kartesisch ⇐⇒

Beweis.

(K = R ∧ M(B, B ) orthogonal) ar). (K = C ∧ M(B, B ) unit¨

∨

¨ UA.

Nachfolgend u ¨berlegen wir uns noch einige Eigenschaften orthogonaler Matrizen. Wir beginnen mit Satz 7.3.3 Jede orthogonale (2, 2)-Matrix A u aßt sich in der Form ¨ber R l¨ cos α − sin α ε · sin α ε · cos α darstellen, wobei ε ∈ {1, −1} und −π < α ≤ π gilt. Umgekehrt ist jede Matrix dieser Form eine orthogonale Matrix. a c b d eine orthogonale Matrix. Nach Definition einer orthogonalen Matrix haben wir dann 2 a + b2 ac + bd 1 0 A · AT = = . ac + bd c2 + d2 0 1 Beweis.

Sei

A :=

Also gilt a2 + b2 = c2 + d2 = 1 und a · c + b · d = 0. Im Fall a = 0 folgt hieraus offenbar 0 1 0 −1 0 1 0 −1 A∈ , , , 1 0 −1 0 −1 0 1 0 und die Behauptung ist leicht verifizierbar.

242


Analog u uft man die Richtigkeit der Behauptung f¨ ur b = 0. ¨berpr¨ Wir k¨ onnen also nachfolgend a = 0 und b = 0 voraussetzen. Wegen a2 +b2 = 1 gibt es ein α ∈ (−π, π] mit a = cos α(= cos(−α)). Außerdem folgt aus b2 = 1 − a2 = sin2 α, daß b ∈ {− sin α, sin α}. Falls b = sin α ist, gilt f¨ ur α := −α: a = cos α und b = − sin α . Also existiert ein α ∈ (−π, π] mit a = cos α

und

b = − sin α.

Aus ac + bd = 0 erh¨ alt man nun die Gleichungen c/b = −d/a =: t, c = (−d/a) · b = t · b und d = (−c/b) · a = −t · a, woraus sich t ∈ {1, −1} mit Hilfe von c2 + d2 = 1 ergibt. Also hat die orthogonale Matrix A die behauptete Gestalt. Daß jede Matrix der Gestalt cos α − sin α ε · sin α ε · cos α mit ε ∈ {1, −1} und −π < α ≤ π orthogonal ist, rechnet man leicht nach. Geometrisch lassen sich α und ε aus Satz 7.3.3 z.B. auf folgende Weise deuten: Seien S := (A; b1 , b2 ) und S := (A; b1 , b2 ) kartesische Koordinatensysteme der Ebene R2 . Nach Satz 5.2.2 (S. 186) gilt dann f¨ ur jedes X ∈ R2 : X/S = A/S + M(B, B ) · X/S . W¨ ahlt man nun B und B wie in

b2

AA K

b2 6 A A * b1 Aα A A α A b1

angegeben, so erh¨ alt man

M(B, B ) =

cos α − sin α sin α cos α

,

womit sich α (im Fall ε = 1) aus Satz 7.3.3 als Drehwinkel deuten läßt, um ¨ uhrung in b1 , b2 gedreht werden den die Achsenrichtungen b1 , b2 bei der Uberf¨ m¨ ussen (in mathematisch positiven Drehsinn).


243

¨ Wird bei der Uberf¨ uhrung von B in B nicht nur gedreht“ sondern (wie ” weiter unter angegeben) auch gespiegelt“, ” b2

6 −b2 α -b1 Hα HH HH j b 1 b2

so erh¨ alt man

M(B, B ) =

cos α − sin α − sin α − cos α

,

und α ist im Fall ε = −1 als Winkel bei einer Drehspiegelung“ deutbar. ” Unmittelbar einzusehen ist, daß auch Matrizen der Gestalt

1 0 .. .

En;r,s (α) :=

0

s-te Spalte ? 0 ... ... ... ... 0 .. .. . . cos α − sin α 0 r-te Zeile .. . . .. = (eij )n,n , . . . cos α 0 sin α . . .. . . 0 0 ... 0 ... 1 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

wobei eij :=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1 cos α − sin α sin α 0

f¨ ur i = j und i ∈ / {r, s}, f¨ ur i = j ∈ {r, s}, f¨ ur (i, j) = (r, s), f¨ ur (i, j) = (s, r), sonst,

f¨ ur beliebige verschiedene r, s ∈ {1, . . . , n} orthogonal sind. Außerdem gilt: En;r,s (0) = En und

(En;r,s (α))−1 = En;r,s (α)T = En;r,s (−α).

244


Satz 7.3.4 Jede orthogonale (n, n)-Matrix A mit n ≥ 2 und |A| = 1 l¨ aßt sich als Produkt von h¨ ochstens n·(n−1)/2 Matrizen der Form En;r,s (α) darstellen. Beweis. Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion u ¨ber n. (I) F¨ ur n = 2 folgt der Satz 7.3.4 aus Satz 7.3.3. (II) Angenommen, die Behauptung ist f¨ ur alle orthogonalen Matrizen B des Typs (k, k) mit 2 ≤ k < n und |B| = 1 richtig. Ist dann A = (aij )n,n eine orthogonale Matrix mit |A| = 1, so bilden wir A := (aij )n,n = A · En;1,2 (−α1 ), wobei

a11 = a11 · cos α1 − a12 sin α1 a12 = a11 · sin α1 + a12 cos α1 .

und

Den Winkel α1 l¨ aßt sich so bestimmen, daß a12 = 0

und

a11 ≥ 0

gilt. Bildet man nun A := (aij )n,n = A · En;1,3 (−α2 ), so haben wir

a11 = a11 · cos α2 − a13 sin α2 a13 = a11 · sin α2 + a13 cos α2 .

und

Der Winkel α2 ist dann wieder so bestimmbar, daß a13 = 0

und

a11 ≥ 0

ist. Fortsetzung dieses Verfahrens liefert nach n − 1 Schritten: A(n−1) := A · En;1,2 (−α1 ) · En;1,3 (−α2 ) · . . . · En;1,n (−αn−1 ). (n−1)

Die Matrix A(n−1) =: (dij )n,n ist als Produkt orthogonaler Matrizen mit der Determinante 1 wieder eine orthogonale Matrix mit der Determinante 1. (n−1) ist nicht negativ, und alle folgenden Elemente der ersten Das Element d11 (n−1) sind 0. Da die Zeilen einer orthogonalen Matrix bez. des Zeile von A (n−1) 2

Standardskalarproduktes orthonormiert sind, haben wir (d11 ) = 1 und (n−1) = 1. Folglich m¨ ussen die restlichen Elemente der ersten Spalte damit d11 (n−1) alle gleich 0 sein. Also: von A ⎛ ⎞ 1 0 ... 0 ⎜ 0 d(n−1) . . . d(n−1) ⎟ 22 2n ⎟ A(n−1) = ⎜ ⎝ ....................... ⎠. (n−1) (n−1) 0 dn2 . . . dnn


245

Streicht man in A(n−1) die erste Zeile und die erste Spalte, so entsteht eine orthogonale Matrix, die nach unserer Annahme als Produkt von höchstens (n − 1)(n − 2)/2 Matrizen der Form En−1;r,s (α) dargestellt werden kann. Folglich ist auch A(n−1) ein Produkt von Matrizen der Form En;r,s (α). Multipliziert man nun die obige Darstellung von A(n−1) von rechts der Reihe nach alt man (unter Verwendung der mit En;1;k (αk−1 ), k = n, n − 1, . . . , 3, 2, so erh¨ Darstellung von A(n−1) in Form eines Produktes von höchstens (n−2)(n−1)/2 ur A. Die Anzahl Matrizen der Form En;r,s (α)) die behauptete Darstellung f¨ der Faktoren ist dabei maximal (n − 1)(n − 2)/2 + n − 1 = n(n − 1)/2

Als Folgerung erhalten wir aus dem Beweis des obigen Satzes den Satz 7.3.5 F¨ ur jede orthogonale (3, 3)-Matrix A mit |A| = 1 gibt es gewisse α1 , α2 und α3 mit ⎛

1 0 A = ⎝ 0 cos α3 0 sin α3

⎞⎛ 0 cos α2 − sin α3 ⎠ ·⎝ 0 cos α3 sin α2

⎞⎛ cos α1 0 − sin α2 1 0 ⎠ ·⎝ sin α1 0 cos α2 0

⎞ sin α1 0 − cos α1 0 ⎠ . 0 1

Zwei Bemerkungen zu Satz 7.3.5: (1.) Geometrisch l¨ aßt sich die Aussage von Satz 7.3.5 wie folgt deuten: ¨ Ist A = M(B, B ∗ ) die Ubergangsmatrix bei einer Koordinatentransformation im R3 , so entstehen die Koordinatenachsen von S ∗ := (A; B ∗ ) aus den Koordinatenachsen von S := (A; B) (nachfolgend von uns x-, y- bzw. z-Achse genannt), indem man zunächst in der x, y-Ebene die xund die y-Achse jeweils um den Winkel α1 dreht, dann in der (so entstandenen) x , z -Ebene die Achsen um α2 dreht und abschließend in der so gebildeten y , z -Ebene die Achsen um α3 dreht. U.a. heißt dies auch: Gleichorientierte Basen des Raumes lassen sich durch Drehungen ineinander u uhren. ¨berf¨ (2.) Ein zu Satz 7.3.5 analoges Ergebnis erh¨ alt man f¨ ur orthogonale Matrizen A mit |A| = −1, indem man die orthogonale Matrix ⎛ ⎞ 1 0 ... 0 0 ⎜ 0 1 ... 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ A := ⎜ ⎜ ⎟·A ⎝ 0 0 ... 1 0 ⎠ 0 0 . . . 0 −1 bildet und |A | = 1 beachtet.

8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen

Nachfolgend geht es um die Erarbeitung von Sätzen, die wir in den Kapiteln 9 und 10 ben¨ otigen. F¨ ur das Verst¨ andnis von Kapitel 9 sind nur die Sätze u ¨ber symmetrische Matrizen und der Abschnitt 8.4 erforderlich. Die restlichen ¨ Uberlegungen dieses Kapitels werden wir im Kapitel 10 erstmals anwenden. F¨ ur weitere Anwendungen (z.B. beim L¨ osen von Differentialgleichungssystemen 1 ) sei z.B. auf [Hup 90] verwiesen.

8.1 Motivation, Grundbegriffe Bevor wir zu den Definitionen der Begriffe Eigenwert“ und Eigenvektor“ ” ” kommen, zun¨ achst drei Probleme, bei deren Lösung wir später als Hilfsmittel Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen werden. Erstes Problem Im affinen Raum Rn u ¨ber R bezeichne S := (A; B) ein kartesisches Koordinatensystem und es sei T die Menge aller Punkte X, die der Gleichung T · A · X/S = a X/S

mit a ∈ R gen¨ ugen. Z.B. sei T in R2 definiert durch 1 4 x1 (x1 , x2 ) · · =1 3 8 x2 bzw. x21 + 7x1 x2 + 8x22 = 1. Kann man dann ein kartesisches Koordinatensystem S := (A; B ) mit T : X T · A · X = a /S /S 1

¨ A.8.12. Siehe dazu UA

(8.1)

248

und


⎞ λ1 0 . . . 0 ⎜ 0 λ2 . . . 0 ⎟ ⎟ A := (M(B, B ))T · A · M(B, B ) = ⎜ ⎝ ................ ⎠ 0 0 . . . λn ⎛

finden? ¨ Mit anderen Worten: L¨ aßt sich die orthogonale Ubergangsmatrix M(B, B ) so bestimmen, daß beim Ersetzen von X/S durch M(B, B ) · X/S in (8.1)

die beschreibende Gleichung von T in Koordinaten bez. S eine einfachere Struktur hat (genauer: A in der beschreibenden Gleichung von T eine Diagonalmatrix ist) ? Falls eine L¨ osung dieses Problems existiert, nennt man die Matrix A aus der Gleichung von T diagonalisierbar. Zweites Problem Seien Vn ein n-dimensionaler VR u ¨ber dem Körper K, B eine Basis von Vn und f eine Abbildung von Vn in Vn , die sich mit Hilfe einer Matrix Af ∈ K n×n wie folgt beschreiben l¨ aßt: ∀x ∈ Vn : f (x)/B := Af · x/B .

(f ist eine sogenannte lineare Abbildung von Vn in Vn 2 (bzw. ein Endomorphismus von Vn bzw. ein linearer Operator von Vn .) Gibt es dann eine Basis B , so daß die Abbildung f auch durch eine Gleichung der Form ⎛ ⎞ λ1 0 . . . 0 ⎜ 0 λ2 . . . 0 ⎟ ⎟ f (x)/B := ⎜ ⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ · x/B 0 0 . . . λn mit passend gew¨ ahlten λ1 , . . . , λn ∈ K charakterisiert werden kann? Da bekanntlich x/B = M(B, B ) · x/B gilt (siehe Satz 4.7.2), ist obige Fragestellung gleichwertig mit: Existiert eine Matrix M(B, B ) ∈ K n×n mit der Eigenschaft, daß ((M(B, B ))−1 · Af · M(B, B ) eine Diagonalmatrix ist? Falls dieses Problem eine L¨ osung besitzt, heißt die lineare Abbildung f diagonalisierbar. Drittes Problem Sei A ∈ K n×n nicht diagonalisierbar. Gibt es dann gewisse Matrizen Ai ∈ astchen von A) und eine K ni ×ni (i = 1, ..., t) (die sogenannten Diagonalk¨ regul¨ are Matrix B ∈ K n×n mit 2

Siehe Kapitel 10.

8.1 Motivation, Grundbegriffe

⎛

249

⎞ On1 ,n2 ... On1 ,nt ⎜ On2 ,n1 A2 ... On2 ,nt ⎟ ⎟ B−1 · A · B = ⎜ ⎝ ......................... ⎠ ? Ont ,n1 Ont ,n2 ... At A1

Dabei sollen die Matrizen Ai eine noch festzulegende Struktur besitzen. Z.B. verlangen wir sp¨ ater, daß die Ai sogenannte elementare Jordan-Matrizen3 sind. Falls f¨ ur A eine solche Matrix B existiert, nennen wir A quasi-diagonalisierbar. Die drei Probleme f¨ uhren damit auf die folgende Aufgabenstellung: Gegeben: A ∈ K n×n Gesucht: M ∈ Krn×n mit MT · A · M bzw. M−1 · A · M ist eine Diagonalmatrix, d.h., nur in der Hauptdiagonalen dieser Matrix k¨ onnen Elemente ungleich 0 stehen, oder sie ist eine QuasiDiagonalmatrix, d.h., nur l¨ angs der Hauptdiagonalen befinden sich quadratische Untermatrizen, in denen Elemente = 0 stehen k¨ onnen. Die Matrix A := M−1 · A · M heißt dann eine Normalform von A. Nun zu den angek¨ undigten Begriffen und Bezeichnungen, die mit der Lösung dieser Aufgabenstellung in Verbindung stehen: Definition Zwei Matrizen A1 , A2 ∈ K n×n heißen ¨ ahnlich, wenn es eine orthogonale Matrix B ∈ K n×n mit B−1 · A1 · B = A2 gibt. Lemma 8.1.1 (mit Definitionen) (a) Auf der Menge K n×n ist die Relation R := {(A1 , A2 ) ∈ R | ∃B ∈ Krn×n : B−1 · A1 · B = A2 } ¨ ¨ eine Aquivalenzrelation, die sogenannte Ahnlichkeitsrelation von Matrizen. ahnliche Matrizen, d.h., (A1 , A2 ) ∈ R, so gilt (b) Sind A1 , A2 ∈ K n×n ¨ ur alle λ ∈ K und alle i ∈ N. rg(A1 − λ · En )i = rg(A2 − λ · En )i f¨ Beweis. (a): Wegen E−1 ur alle A ∈ K n×n ist R reflexiv. Da aus n · A · En = A f¨ −1 −1 = A1 folgt, ist R symmetrisch. F¨ ur den B · A1 · B = A2 stets B · A2 · B Nachweis der Transitivit¨ at seien (A1 , A2 ), (A2 , A3 ) ∈ R, d.h., es existieren gewisse regul¨ are Matrizen B und C mit B−1 · A1 · B = A2 und C−1 · A2 · C = A3 . Folglich haben wir C−1 · (B−1 · A1 · B) · C = A3 , woraus sich (B · C)−1 · A1 · (B · C) = A3 und dann (A1 , A3 ) ∈ R ergibt. ur eine gewisse regul¨ are Matrix B ∈ K n×n . Dann gilt (b): Sei B−1 · A1 · B = A2 f¨ 3

Siehe 8.5.

250

8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen (A2 − λ · En )i = (B−1 · A1 · B − λ · B−1 · B)i = (B−1 · (A1 − λ · En ) · B)i = B−1 · (A1 − λ · En )i · B.

(b) folgt damit aus Satz 3.3.3.

Sei A ∈ K n×n . Dann heißt

Definition

• λ ∈ K Eigenwert (kurz: EW) von A :⇐⇒ ∃x ∈ K n×1 \{o} : A · x = λ · x. Die Gleichung A · x = λ · x l¨ aßt sich auch in der Form (A − λ · En ) · x = o aufschreiben, so daß man auch definieren kann: • λ ∈ K Eigenwert von A :⇐⇒ ∃x ∈ K n×1 \{o} : (A − λ · En ) · x = o. Beispiel

Seien K = R und

⎛

⎞ 1 0 1 A = ⎝ 0 1 0 ⎠. 1 1 1

Dann ist λ1 := 0 ein Eigenwert, da f¨ ur x1 := (1, 0, −1)T die Gleichung A · x1 = ur x2 := (1, −1, 0)T gilt: o = 0 · x1 gilt. Auch λ2 := 1 ist EW von A, da z.B. f¨ A · x2 = x2 . Definitionen Seien A ∈ K n×n und λ ∈ K ein EW von A. Dann heißt • die Menge

LA (λ) := {x ∈ K n×1 | A · x = λ · x}

Eigenraum des Eigenwerts λ von A und jedes Element von LA (λ)\{o} ein zu λ geh¨ orender Eigenvektor (abgek¨ urzt: EV).

• die Menge

LiA (λ) := {x ∈ K n×1 | (A − λ · En )i · x = o} (i ∈ N), verallgemeinerter Eigenraum des Eigenwerts λ von A und jedes Element von orender verallgemeinerter Eigenvektor (abgek¨ urzt: LiA (λ)\{o} ein zu λ geh¨ vEV).

Offenbar ist ein Eigenraum auch ein verallgemeinerter Eigenraum. Außerdem ist jeder verallgemeinerte Eigenraum (als L¨ osungsraum eines homogenen LGS) ein Untervektorraum. Definitionen Seien A ∈ K n×n und U eine UVR des VRs K n×1 . Dann heißt U •

A-invariant :⇐⇒ A · U := {A · x | x ∈ U } ⊆ U ;

•

A-zerlegbar :⇐⇒ ∃ A-invariante UVRe U1 , U2 : dimU1 ≥ 1 ∧ dimU2 ≥ 1 ∧ U1 ⊕ U2 = U ; A-unzerlegbar :⇐⇒ U ist nicht A-zerlegbar.

•

Beispiele zu obigen Begriffen findet man im Abschnitt 8.3. Bevor wir uns Methoden zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren u uck zu den eingangs angegebenen drei Problemen, f¨ ur die ¨berlegen, kurz zur¨ die n¨ achsten zwei Lemmata und der Satz 8.1.4 Lösungswege zeigen.

8.1 Motivation, Grundbegriffe

251

Lemma 8.1.2 Seien A, B, C ∈ K n×n , B := (b1 , ..., bn ) regul¨ ar, C := onnen die Spalten b1 , ..., bn von B als (c1 , ..., cn ) und C = B−1 · A · B. Dann k¨ Basis B von K n×1 aufgefaßt werden und es gilt: ∀i ∈ {1, ..., n} : ci = (A · bi )/B ,

(8.2)

d.h., f¨ ur jedes i ist die i-te Spalte von C die Koordinatendarstellung des Vektors A · bi bez¨ uglich der Basis B. Beweis.

Seien dT1 , ..., dTn die Zeilen der Matrix B−1 , womit 1 f¨ ur k = l, ∀k, l ∈ {1, 2, ..., n} : dTk · bl = δk,l = 0 f¨ ur k = l

(8.3)

gilt. Sei weiterhin ci := (ci1 , ci2 , ..., cin )T = (A · bi )/B (i = 1, 2, ..., n), d.h., es gelte A · bi = c1i · b1 + ... + cni · bn . ¨ Dann folgt mit Hilfe von (8.3) aus den folgenden Uberlegungen die Behauptung (8.2): ci = B−1 · (A · bi ) = B−1 · (c1i · b1 + ... + cni · bn ) ⎛ T ⎞ d1 = ⎝ ... ⎠ · (c1i · b1 + ... + cni · bn ) dTn ⎛

c1i · (dT1 · b1 ) + c2i · (dT1 · b2 ) + ... + cni · (dT1 · bn )

⎜ ⎜ c1i · (dT2 · b1 ) + c2i · (dT2 · b2 ) + ... + cni · (dT2 · bn ) = ⎜ ⎜ ................................................ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

c1i · (dTn · b1 ) + c2i · (dTn · b2 ) + ... + cni · (dTn · bn ) ⎛ ⎞ ci1 = ⎝ ... ⎠ cni = ci

Eine unmittelbare Folgerung aus dem obigen Lemma ist: Lemma 8.1.3 Seien A ∈ K n×n , B := (b1 , ..., bn ) ∈ Krn×n und Ai ∈ K ni ×ni f¨ ur i = 1, ..., t. Dann gilt ⎛ ⎞ A1 On1 ,n2 ... On1 ,nt ⎜ On2 ,n1 A2 ... On2 ,nt ⎟ ⎟ B−1 · A · B = ⎜ ⎝ ........................ ⎠ Ont ,n1 Ont ,n2 ... At genau dann, wenn der UVR Ui := [{bn1 +n2 +...+ni−1 +1 , ..., bn1 +n2 +...+ni }] f¨ ur jedes i ∈ {1, ..., t} A-invariant ist und K n×1 = U1 ⊕ U2 ⊕ ... ⊕ Ut gilt.

252


Satz 8.1.4 Seien A ∈ K n×n ⎛ λ1 0 . . . ⎜ 0 λ2 . . . ⎜ B−1 · A · B = ⎜ . .. ⎝ .. .

und B := (b1 , . . . , bn ) ∈ Krn×n . Dann gilt ⎞ 0 0 ⎟ ⎟ .. ⎟ ⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} : . ⎠ bi ist EV zum EW λi von A ∧ 0 . . . 0 λn b1 , . . . , bn sind l.u.

Beweis.

Die Matrix

⎛

λ1 0 . . . ⎜ 0 λ2 . . . ⎜ ⎜ .. .. ⎝ . . 0 0 ...

0 0 .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

λn

bezeichnen wir nachfolgend mit D. =⇒“: Sei B−1 · A · B = D. Dann gilt A · B = B · D bzw. ” (A · b1 , A · b2 , . . . , A · bn ) = (λ1 · b1 , λ2 · b2 , . . . , λn · bn ), womit A · bi = λi · bi f¨ ur alle i ∈ {1, . . . , n}. Da bi f¨ ur jedes i die Spalte einer regul¨ aren Matrix ist, gilt bi = o und bi ist folglich EV zum EW λi von A. ⇐=“: Seien b1 , . . . , bn l.u. EVen zu den EWen λ1 , . . . , λn von A. Dann exi” ur i = 1, ..., n haben wir: stiert B−1 und wegen A · bi = λi · bi f¨ ∀i ∈ {1, ..., n} : (A · bi )/B = (0, .., 0,

, 0, ..., 0)T . λi i-te Stelle

Damit ergibt sich unsere Behauptung aus Lemma 8.1.2. Als Folgerungen aus Satz 8.1.4 erhalten wir: (a) Das erste Problem ist genau dann l¨ osbar, wenn eine orthonormierte Basis f¨ ur Vn aus EVen zu den EWen von A existiert. (b) Das zweite Problem ist genau dann l¨ osbar, wenn in Vn eine Basis aus EV zu den EWen der Matrix Af existiert. (c) Das dritte Problem ist genau dann l¨ osbar, wenn der VR K n×1 als direkte Summe von A-invarianten UVRen dargestellt werden kann. Wie kann man aber nun die EWe und EVen einer Matrix A sowie A-invariante (m¨ oglichst auch A-unzerlegbare) UVRe bestimmen? Wir beginnen mit Aussagen u ¨ber EWe.

8.2 Eigenwerte von Matrizen und Nullstellen von Polynomen

253


Satz 8.2.1 Seien A ∈ K n×n und λ ∈ K. Dann gilt: λ ist EW von A ⇐⇒ |A − λ · En | = 0. Beweis. Wie wir nach der Definition eines Eigenwertes bereits angegeben haben, ist λ genau dann ein EW von A, wenn das homogene LGS (A − λ · En ) · x = o eine nichttriviale L¨ osung x besitzt. Dieses homogene LGS besitzt aber nach Satz 3.4.5 genau dann eine nichttriviale L¨ osung, wenn rg(A − λ · En ) < n ist, was mit |A − λ · En | = 0 gleichwertig ist. Beispiele Seien K = R und ⎛ ⎞ 1 0 1 A = ⎝ 0 1 0 ⎠. 1 1 1 Offenbar gilt 0 = |A − λ · E3 | =

1−λ 0 1 0 1 − λ 0 = (1 − λ) · 1−λ 1 1 1 1−λ

1 1−λ

= (1 − λ) · ((1 − λ)2 − 1) = (1 − λ)(λ2 − 2 · λ) = (1 − λ) · (λ − 2) · λ nur f¨ ur λ ∈ {0, 1, 2}, womit 0, 1 und 2 die EWe von A sind. W¨ ahlt man ebenfalls K = R, jedoch 2 1 A= , −5 0 1 2 so ergibt sich aus |A−λ·E2 | = 2−λ −5 −λ = λ −2λ+5 = 0, daß nur λ1 := 1+2·i oder λ2 := 1 − 2 · i dieser Gleichung gen¨ ugen, womit A im Körper der reellen Zahlen keine Eigenwerte besitzt. Definition Die (ausgerechnete) Determinante |A−λ·En |, wobei A ∈ K n×n , heißt charakteristisches Polynom von A. ahnliche Matrizen, d.h., es gibt eine regul¨ are Satz 8.2.2 Seien A, A ∈ K n×n ¨ Matrix B ∈ K n×n mit B−1 · A · B = A . Dann besitzen A und A dasselbe charakteristische Polynom. Beweis. 130):

Aus B−1 · A · B = A folgt unter Verwendung von Satz 3.2.5 (Seite

254


|A − λ · En | = |B−1 · A · B − λ · En | = |B−1 · A · B − B−1 · B| = |B−1 · (A − λ · En ) · B| = |B−1 | · |A − λ · En | · |B| = |B|−1 · |A − λ · En | · |B| = |A − λ · En |, w.z.b.w. Satz 8.2.1 besagte, daß λ ∈ K genau dann EW der Matrix A ist, wenn λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Aus diesem Grunde werden wir uns jetzt kurz mit Nullstellen von Polynomen befassen. Einiges u ¨ ber die Nullstellenberechnung von Polynomen Definitionen Unter einem Polynom u ¨ber dem Körper K versteht man eine Abbildung pn von K in K, die definiert ist durch ∀x ∈ K : pn (x) = an · xn + an−1 · xn−1 + . . . + a1 · x + a0 , wobei a0 , . . . , an die sogenannten Koeffizienten des Polynoms aus K sind ur den Fall und n ∈ N0 ist. Falls an = 0, heißt pn Polynom n-ten Grades. F¨ a0 = a1 = ... = an = 0 habe pn den Grad −1. Die Gleichung an · xn + an−1 · xn−1 + . . . + a1 · x + a0 = 0 heißt algebraische Gleichung in x und die Lösungen (∈ K) dieser Gleichung werden Nullstellen oder Wurzeln des Polynoms pn genannt. Wegen der sp¨ ateren Anwendungen werden uns nachfolgend nur Aussagen u ¨ber Nullstellen von Polynomen u orper der reellen oder komplexen Zah¨ber den K¨ len interessieren. Wir beginnen mit Satz 8.2.3 (Fundamentalsatz der Algebra) Jede algebraische Gleichung mit reellen oder komplexen Koeffizienten hat mindestens eine Wurzel in C. Beweis. Es gibt verschiedene M¨ oglichkeiten, dieses Satz zu beweisen. So hat bereits Gauß 5 Beweise f¨ ur den Fundamentalsatz gegeben. Der Beweis wird um so einfacher, je mehr S¨ atze man aus der Analysis heranziehen kann.4 Der nachfolgend angegebene Beweis f¨ ur den Fundamentalsatz benutzt nur die Begriffe Limes einer Folge, stetige Funktion und den Satz: Seien r ∈ R, Kr := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ r2 } und f : Kr −→ R eine stetige 4

Siehe dazu z. B. [Wae 50], S. 236, wo gezeigt wird, wie man aus S¨ atzen der Funktionentheorie den Fundamentalsatz als unmittelbare Folgerung erh¨ alt.


255

Funktion. Dann existiert ein (a, b) ∈ Kr mit f (a, b) ≤ f (x, y) f¨ ur alle (x, y) ∈ Kr . Sei nachfolgend

5

p(z) := an · z n + an−1 · z n−1 + ... + a1 · z + a0 ein Polynom mit Koeffizienten a0 , ..., an ∈ C und an = 0. F¨ ur beliebige z := x+i·y ∈ C k¨ onnen wir f (x, y) := |p(x + i · y)| setzen. f : R2 −→ R ist offenbar eine stetige Funktion, von der wir zeigen werden, daß ihr Minimum 0 ist. Wegen ∀w ∈ C : |w| = 0 ⇐⇒ w = 0 folgt hieraus unmittelbar die Existenz eines z ∈ C mit p(z) = 0. Wegen |p(z)| = |an z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0 | = |an | · |z|n · |1 +

an−1 1 an z

+ ... +

a1 1 an z n−1

+

a0 1 | an z n

ist lim|z|−→∞ |p(z)| = ∞, womit man sich bei der Suche nach dem Minimum von ahltem r ∈ R f (x, y) auf die (x, y) aus einer gewissen Menge Kr mit passend gew¨ beschr¨ anken kann. Bezeichne nachfolgend α := a+b·i ein Element aus C mit f (a, b) = min(x,y)∈Kr f (x, y). Angenommen, p(α) = 0. In diesem Fall l¨ aßt sich ein Polynom q durch p(w + α) p(α)

∀w ∈ C : q(w) :=

definieren. Dieses Polynom l¨ aßt sich mit passend gew¨ ahlten Koeffizienten b, ck+1 , ..., cn ∈ C auch in der Form n ci · wi 1 + b · wk + i=k+1

darstellen, wobei man k stets so w¨ ahlen kann, daß b = 0 ist. Nach Satz 2.3.6 existiert ein c ∈ C mit b · ck = −1. Folglich haben wir q(c · w) = 1 − wk + wk+1 ·

n

ci · ci · wi−k−1

i=k+1

und f¨ ur alle w ∈ R mit 0 < w < 1 gilt n

|q(c · w)| ≤ 1 − wk + wk+1 ·

|ci | · |ci | · wi−k−1

i=k+1

≤

≤ 1 − wk · (1 + w · C).

n

i=k+1

|ci |·|ci |=:C

Die reelle Zahl w l¨ aßt sich nun so klein w¨ ahlen, daß 0 < 1 + w · C < 1 und damit 1 − wk · (1 + w · C) < 1 gilt. Folglich haben wir die Existenz eines w ∈ R und 5

Ein Spezialfall des Satzes: Jede zweistellige reelle Funktion, die auf einer beschr¨ ankten und abgeschlossenen Menge definiert ist, besitzt auf dieser Menge ein Minimum.

256

8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen eines c ∈ C mit p(c·w+α) < 1 nachgewiesen. Die hieraus folgende Ungleichung p(α) |p(c · w + α)| < p(α)| ist jedoch ein Widerspruch zu unserer Definition von α. Also ist p(α) = 0, w.z.b.w.

Satz 8.2.4 Ist x1 eine Nullstelle des Polynoms pn mit pn (x) =

n

ai · xi ,

i=0

n ≥ 1 und an = 0, so existiert ein Polynom pn−1 des Grades n − 1 mit pn (x) = (x − x1 ) · pn−1 (x). Mit anderen Worten: Das Polynom pn ist durch x − x1 teilbar, falls x1 eine Nullstelle von pn ist. Beweis.

Man rechnet leicht nach, daß xi − xi1 = (x − x1 ) · (xi−1 + x1 · xi−2 + . . . + xi−2 · x + xi−1 1 1 )

f¨ ur jedes i ∈ N gilt. Wegen pn (x1 ) = 0 folgt hieraus n pn (x) = pn (x) − pn (x1 ) = i=1 ai · (xi − xi1 ) n = (x − x1 ) · ai · (xi−1 + x1 · xi−2 + . . . + xi−1 1 ) i=1

= (x − x1 ) · pn−1 (x).

:= pn−1 (x)

Da pn−1 offenbar ein Polynom (n − 1)-ten Grades ist, ist folglich unsere Behauptung bewiesen. Vor weiteren Eigenschaften der Polynome u ¨berlegen wir uns als nächstes ein Verfahren zur Berechnung von pn (x)/(x − x1 ), wobei x1 nicht notwendig eine Nullstelle sein muß: Seien

pn (x) := an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , pn−1 (x) := bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0

und es gelte f¨ ur gewisse x1 , α: pn (x)/(x − x1 ) = pn−1 (x) + α/(x − x1 ) bzw. pn (x) = (x − x1 ) · pn−1 (x) + α.


257

Dann erh¨ alt man durch Ausmultiplizieren von (x − x1 ) · pn−1 (x), anschließendem Zusammenfassen der Summanden und Koeffizientenvergleich mit pn (x) folgende Beziehungen zwischen den Koeffizienten: bn−1 = an , bn−2 = an−1 + x1 · bn−1 , bn−3 = an−2 + x1 · bn−2 , .. . b0 = a1 + x1 · b1 , α = a0 + x1 · b0 , aus denen man bei gegebenem Polynom pn die Koeffizienten des gesuchten Polynoms pn−1 und den Divisionsrest“ α berechnen kann. Die dabei durch” zuf¨ uhrenden Rechnungen lassen sich sehr u ¨bersichtlich nach dem sogenannten uhren: Horner-Schema6 durchf¨ an

an−1

an−2

...

an−3

+ + + x1 bn−1 x1 bn−2 x1 bn−3 . . .

x1 ? bn−1

? bn−2

? bn−3

? bn−4

...

a1

a0

+ x1 b1

+ x1 b0

? b0

? α

Aus diesem Schema lassen sich nun bei gegebenen ai (i = 0, . . . , n) und x1 nicht nur die Koeffizienten bj (j = 0, . . . , n − 1) des Polynoms pn−1 ablesen, sondern auch α = pn (x1 ). Beispiel Seien p4 (x) = 2x4 − 3x3 + 6x − 1 und x1 = −2. Dann hat das zugeh¨ orige Horner-Schema die folgende Gestalt: −2

2 −3 0 6 −1 −4 14 −28 44 2 −7 14 −22

43

Also haben wir p4 (−2) = 43 und (2x4 − 3x3 + 6x − 1) : (x + 2) = 2x3 − 7x2 + 14x − 22 + 6

43 . x+2

Benannt nach dem englischen Mathematiker W. G. Horner (1774 - 1834), obwohl bereits chinesische Mathematiker sich eines ¨ ahnlichen Verfahrens Jahrhunderte vor Horner bedienten und auch L. Euler dieses Verfahren kannte.

258


Es sei noch bemerkt, daß eine Fortsetzung dieses Verfahrens (sogenanntes vollst¨ andi” ges Horner-Schema“): 2 −3 0 6 −1 −2 −4 14 −28 44 −2

−7 14 −22 −4 22 −72

−2

2 −11 36 −94 −4 30

−2

2 −15 66 −4

2

−2

43

2 −19

2 die Koeffizienten ci (i = 0, 1, 2, 3) des mit p4 (x) identischen Polynoms liefert: 2(x + 2)4 − 19(x + 2)3 + 66(x + 2)2 − 94(x + 2) + 43.

4 i=1

ci (x+2)i

Als Folgerung aus den S¨ atzen 8.2.3 und 8.2.4 l¨ aßt sich nun durch vollständige Induktion u ber n beweisen: ¨ n Satz 8.2.5 Jedes Polynom n-ten Grades pn (x) = i=0 ai · xi mit Koeffizienten aus R oder C l¨ aßt sich in Linearfaktoren mit passend gew¨ ahlten reellen oder komplexen xi zerlegen: pn (x) = an · (x − x1 ) · (x − x2 ) · . . . · (x − xn ). Ein Polynom n-ten Grades hat also h¨ ochstens n verschiedene Nullstellen in C. Beweis.

¨ UA.

Die xi (1 ≤ i ≤ n) aus Satz 8.2.5 sind i.allg. nicht alle verschieden. Wir definieren daher: Definition xi heißt eine k-fache Nullstelle von pn (x) :⇐⇒ ∃ Polynom q des Grades n − k: pn (x) = (x − xi )k · q(x) ∧ q(xi ) = 0.


259

Wir kommen nun zur konkreten Bestimmung der Nullstellen von Polynomen nten Grades mit Koeffizienten aus R bzw. C: Die F¨ alle n = 1 und n = 2 sind klar (Schulstoff!). n = 3: 7 ¨ u uhrt man zur Nullstellenberechnung des Polynom Ublicherweise ¨berf¨ p3 (x) = x3 + a2 · x2 + a1 · x + a0 dieses Polynom durch die Substitution x = y − (a2 /3) zun¨ achst in

p∗ (x) := y 3 + py + q,

wobei p := a1 − (a22 /3) und q := 2 · (a32 /27) − (a1 · a2 /3) + a0 . Um nun die Nullstellen des reduzierten Polynoms p∗ zu berechnen, gibt es eine Reihe von Verfahren, von denen hier nur eine Variante angegeben werden soll. Wir setzen D := (p/3)3 + (q/2)2 und unterscheiden zwei F¨ alle: Fall 1: D ≥ 0. In diesem Fall sind / / √ √ 3 3 y1 := −(q/2) + D + −(q/2) − D := u =: v y2 := −(u + v)/2 + 3 · ((u − v)/2) · i y3 := −(u + v)/2 − 3 · ((u − v)/2) · i Cardanosche Formeln“ 8 ” die Nullstellen des Polynoms p∗ (Beweis: Nachrechnen! Eine Herleitung dieser Formel findet man z.B. in [Cig 95] oder [Enz 68]; S. 108/109). Fall 2: D < 0. 7

8

Genauer: In vielen Formelsammlungen findet man die nachfolgend angegebenen L¨ osungsformeln f¨ ur Gleichungen dritten und vierten Grades. Dar¨ uberhinaus gibt es jedoch viele weitere Methoden der Berechnung von Nullstellen von Polynomen. Siehe dazu z.B. [Mat 1878]. Benannt nach Geronimo Cardano (1501 - 1576), der diese Formeln als erster publizierte, obwohl von del Ferro und insbesondere von Niccolo Tartaglia (um 1500 - 1557) diese Formeln bereits vorher entdeckt wurden.

260


Auch in diesem Fall k¨ onnte man die in Fall 1 angegebenen Cardanoschen Formeln verwenden, jedoch rechnet man hier im Komplexen“, obwohl die Null” unstiger sind deshalb die folgenden Lösungsstellen von p∗ alle reell sind. G¨ formeln: Seien := −p3 /27 und cos ϕ := −q/(2 · ). Dann erh¨ alt man durch √ y1 := 2 · 3 · cos(ϕ/3) √ y2 := 2 · 3 · cos((ϕ/3) + (2π/3)) √ y3 := 2 · 3 · cos((ϕ/3) + (4π/3)) die Nullstellen von p∗ . Die gesuchten Nullstellen des Polynoms p3 sind dann xi := yi − a2 /3

(i = 1, 2, 3).

n = 4: Durch die Substitution x = y − a3 /4 geht das Polynom p4 (x) = x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 in das Polynom pˆ4 (y) = y 4 + py 2 + qy + r mit den neuen Koefizienten p, q, r u ¨ber. Das L¨ osungsverhalten der algebraischen Gleichung pˆ4 (y) = 0 ist abhängig vom L¨ osungsverhalten ihrer kubischen Resolvente: z 3 + 2pz 2 + (p2 − 4r)z − q 2 = 0. Sind z1 , z2 , z3 die L¨ osungen dieser Gleichung, so lassen sich die Nullstellen y1 , . . . , y4 des Polynoms pˆ4 (y) auf folgende Weise berechnen: y1 y2 y3 y4

:= := := :=

√ √ √ (1/2) · ( z1 + z2 + z3 ) √ √ √ (1/2) · ( z1 − z2 − z3 ) √ √ √ (1/2) · (− z1 + z2 − z3 ) √ √ √ (1/2) · (− z1 − z2 + z3 ),

womit xi := yi − a3 /4

(i = 1, . . . , 4)

die Nullstellen des Polynoms p4 (x) sind. Gleichungen ab dem f¨ unften Grad sind i.allg. nicht mehr durch Radikale (Wurzelausdr¨ ucke) l¨ osbar.9 Bewiesen wurde dieser tiefliegende Satz erstmalig vollst¨ andig vom norwegischen Mathematiker Nils Henrik Abel (1802 - 1829) 9

Benutzt man sogenannte Theta-Funktionen, so gibt es jedoch L¨ osungsformeln f¨ ur Gleichungen beliebigen Grades. Siehe dazu z.B. [Kin 96].


261

im Jahre 1826. Einen Beweis findet der Leser z.B. in [Koc 74], [Cig 95] oder Band 2. Wir werden uns sp¨ ater noch einige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen von Polynomen u ¨berlegen. Zunächst jedoch werden wir versuchen, durch Probieren bzw. Erraten“ von Nullstellen xi und anschlie” ßendem Abspalten des Linearfaktors (x − xi ) vom Polynom pn (x) schrittweise die Nullstellen zu bestimmen. Dabei erweist sich folgender Satz als hilfreich, den man leicht verifizieren kann. Satz 8.2.6 (Vietascher10 Wurzelsatz) Sind x1 , x2 , . . . , xn die Wurzeln des Polynoms pn (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , so besteht zwischen diesen Wurzeln und den Koeffizienten a0 , . . . , an−1 von pn (x) der folgende Zusammenhang: x1 + x2 + x3 + . . . + xn = −an−1 , x1 x2 + x1 x3 + . . . + x1 xn + x2 x3 + . . . + xn−1 xn = an−2 , x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + xn−2 xn−1 xn = −an−3 , .. . x1 x2 x3 . . . xn = (−1)n a0 . Speziell bedeutet dies: Hat pn (x) ganzzahlige Koeffizienten und eine ganzzahlige Wurzel, so ist diese als Teiler in a0 enthalten.11 Weiter mit Eigenschaften der Eigenwerte von Matrizen: Eine unmittelbare Folgerung aus Satz 8.2.5 ist der Satz 8.2.7 Sei A ∈ K n×n , K ∈ {R, C}. Dann gilt: (a) A hat h¨ ochstens n EWe, falls K = R. (b) A hat genau n EWe (Vielfachheiten mitgez¨ ahlt), falls K = C. Die Aussage des folgenden Satzes ergibt sich aus Satz 8.2.6 und ist bei Proberechnungen verwendbar. 10

11

Benannt nach dem franz¨ osischen Juristen Francois Viète (lateinisiert: Vieta; 1540–1603), f¨ ur den Mathematik Freizeitbesch¨ aftigung war. Seine Arbeiten verbesserten die algebraische Sprache und f¨ orderten das Buchstabenrechnen“. Man ” hat Viète deshalb auch Vater der Algebra“ genannt. ” Die letzte Aussage erh¨ alt man leicht unter Verwendung des Horner-Schemas: Aus der Berechnung von pn (α) mittels Horner-Schema folgt a0 = −x1 · b0 . Sind die ai ∈ Z, so auch die bj , womit x1 ein Teiler von a0 ist.

262


Satz 8.2.8 (mit Definition) Sei A := (aij )n,n ∈ Cn×n und bezeichnen λ1 , . . . , λn die n EWe von A. Dann gilt: (a) |A| = λ1 · λ2 · . . . · λn . (b) a11 + a22 + . . . + ann = λ1 + λ2 + . . . + λn . (a11 + . . . + ann nennt man auch Spur der Matrix A.) Satz 8.2.9 Seien A ∈ Rn×n und A symmetrisch (d.h. AT = A) oder A ∈ T Cn×n und A hermitisch (d.h. A = A). Dann besitzt das charakteristische Polynom von A genau n reelle Nullstellen (Vielfachheiten mitgez¨ ahlt). Beweis. Wir beweisen den Satz hier nur f¨ ur den Fall A ∈ Rn×n und A symmetrisch. Der andere Fall ist unter Verwendung von Satz 2.3.5, (a) leicht analog zu begr¨ unden. Wegen Satz 8.2.7 haben wir nur zu zeigen, daß A nur reelle EWe besitzt. Angenommen, es gibt einen EW λ1 ∈ C\R von A mit zugehörigem EV x1 . Dann gilt A · x1 = λ1 · x1 , woraus sich die Gleichung x1 · A · x1 = λ1 · xT1 · x1 ergibt. Da xT1 ·x1 ∈ R, ist die rechte Seite dieser Gleichung aus C\R. Wir zeigen nun, daß die linke Seite der Gleichung zu R gehört, woraus ein Widerspruch und damit unsere Behauptung folgt: Offenbar ist eine Zahl z ∈ C genau dann reell, wenn z = z ist. Bildet man nun z f¨ ur z := xT1 · A · x1 , so erh¨ alt man wegen der Symmetrie von A und den Eigenschaften konjugiert komplexer Zahlen sowie den Regeln f¨ urs Transponieren: T

z = xT1 · A · x1 = (xT1 · A · x1 )T = xT1 · A · x1 = xT1 · A · x1 = z, womit xT1 · A · x1 reell ist. Satz 8.2.10 (a) Sei A ∈ K n×n . Dann stimmen die charakteristischen Polynome von A und AT u ¨berein. (b) Die Eigenwerte einer orthogonalen (bzw. unit¨ aren) Matrix haben stets den Betrag 1. (c) Ist λ ein EW einer orthogonalen Matrix A, so gilt λ = 0 und 1/λ ist ebenfalls ein EW von A. Beweis.

¨ UA.

Abschließend u ur einen Klassiker“ aus ¨berlegen wir uns noch den Beweis f¨ ” der Theorie der EWe.


263

Satz 8.2.11 ( Satz von Cayley-Hamilton12 ) Es sei A ∈ Rn×n und ϕ(x) := |A − x · En | = (−1)n · xn + an−1 · xn−1 + ... + a1 · x + a0 . Dann gilt (−1)n · An + an−1 · An−1 + ... + a1 · A + a0 · En = On,n . Beweis. Offenbar gibt es unendlich viele x ∈ R, f¨ ur die ϕ(x) = 0 ist. F¨ ur solche x existiert dann die Matrix (A−x·En )−1 , die sich bekanntlich mit Hilfe der Adjunkten aßt: Bi,j der Determinante B := |A − x · En | wie folgt berechnen l¨ (A − x · En )−1 =

1 · (Bi,j )Tn,n . ϕ(x)

In jeder Adjunkten Bi,j ist der gr¨ oßte Exponent von x h¨ ochstens gleich n−1. Folglich l¨ aßt sich die Matrix (A − x · En )−1 mit Hilfe geeignet festgelegter (n, n)-Matrizen Bn−1 , ..., B1 , B0 auch in der Form (A − x · En )−1 =

1 · (xn−1 · Bn−1 + xn−2 · Bn−2 + ... + x · B1 + B0 ) ϕ(x)

darstellen. Aus der Gleichung (A − x · En ) · (A − x · En )−1 = En folgt dann ϕ(x) · En = (A − x · En ) · (xn−1 · Bn−1 + xn−2 · Bn−2 + ... + x · B1 + B0 ) = −xn · Bn−1 + xn−1 · (A · Bn−1 − Bn−2 ) + xn−2 · (A · Bn−2 − Bn−3 ) +... + x · (A · B1 − B0 ) + A · B0 . Koeffizientenvergleich liefert die Gleichungen (−1)n · En = −Bn−1 an−1 · En = A · Bn−1 − Bn−2 an−2 · En = A · Bn−2 − Bn−3 ................................ a1 · En = A · B1 − B0 a0 · E n = A · B 0 . Multipliziert man nun die obige erste Gleichung von links mit An , die zweite Gleiamtliche Gleichungen, so erh¨ alt chung mit An−1 , usw. und addiert anschließend s¨ man die Behauptung.

12

A. Cayley (1821 - 1895), W. R. Hamilton (1805 - 1865).

264


8.3 Verallgemeinerte Eigenr¨ aume Nachfolgend sollen wesentliche Eigenschaften der verallgemeinerten Eigenr¨ aume hergeleitet werden. Insbesondere geht es dabei darum, mit Hilfe der verallgemeinerten Eigenr¨ aume A-invariante UVRe zu konstruieren. Durch die konstruierten A-invarianten UVRe und 8.1.3 gelingt uns dann per Induktion der Nachweis der L¨ osbarkeit von Problem 1 und 2 aus 8.1 f¨ ur symmetrische und unit¨ are Matrizen. Außerdem werden einige S¨ atze bewiesen, die es uns in 8.4 und 8.5 erm¨ oglichen werden, f¨ ur gewisse K¨ orper K (z.B. K = C) und einer beliebigen Matrix A ∈ K n×n Verfahren zur Berechnung einer regul¨ aren Matrix B ∈ K n×n anzugeben, die A mit−1 tels B · A · B in eine Diagonalmatrix, falls A diagonalisierbar ist, oder, im Falle uhrt. der Nichtdiagonalisierbarkeit von A, in eine Quasi-Diagonalmatrix13 u ¨berf¨ In Vorbereitung auf einige nachfolgende Beweise sei dem Leser empfohlen, sich den ¨ Abschnitt 4.5 noch einmal anzusehen. Außerdem u daß f¨ ur ¨berlege man sich als UA, beliebige A ∈ K n×n , i ∈ N und λ ∈ K die folgende Gleichung gilt: A · (A − λ · En )i = (A − λ · En )i · A.

(8.4)

Nun aber zu den angek¨ undigten Eigenschaften von verallgemeinerten Eigenr¨ aumen. Satz 8.3.1 Sei λ ein EW der Matrix A ∈ K n×n . Dann ist f¨ ur jedes i ∈ N der verallgemeinerte Eigenraum LiA (λ) ein A-invarianter UVR des VRs K n×1 mit dimLiA (λ) = n − rg(A − λ · En )i .

(8.5)

Außerdem existiert ein kleinstes r ∈ {1, ..., n} – nachfolgend (bei einer fixierten Matrix A) mit r(λ) bezeichnet – mit der Eigenschaft: L1A (λ) ⊂ L2A (λ) ⊂ ... ⊂ LA

r(λ)−1

r(λ)

(λ) ⊂ LA

r(λ)+1

(λ) = LA

(λ) = ... .

(8.6)

Beweis. Sei T := A − λ · En . Da λ EW von A ist, gilt rgT < n. Bis auf die A-Invarianz von LiA (λ) folgt unser Satz damit aus Satz 4.5.4. Die A-Invarianz von aßt sich wie folgt zeigen: LiA (λ) l¨ ahlt. Dann gilt (A − λ · En )i · x = o, und wegen (8.4) haben Sei x ∈ LiA (λ) beliebig gew¨ wir (A − λ · En )i · (A · x) = A · (A − λ · En )i · x = o, =o

d.h., A · x ∈

LiA (λ)

gilt. Folglich ist

LiA (λ)

A-invariant.

Satz 8.3.2 Seien A ∈ K n×n , λ ein EW von A und f¨ ur ein gewisses t ∈ N gelte t Lt−1 A (λ) ⊂ LA (λ).

Dann ist f¨ ur jedes b ∈ 13

LtA (λ)\Lt−1 A (λ)

Genauer: Jordan-Matrix; siehe 8.5.

die Menge

(8.7)

8.3 Verallgemeinerte Eigenr¨ aume

265

B := {b, (A − λ · En ) · b, (A − λ · En )2 · b, ..., (A − λ · En )t−1 · b} l.u. und [B] ist ein A-invarianter und A-unzerlegbarer UVR von LtA (λ). Beweis.

Mit Hilfe von Lemma 4.5.3, (c) folgt aus (8.7) zun¨ achst t L1A (λ) ⊂ L2A (λ) ⊂ ... ⊂ Lt−1 A (λ) ⊂ LA (λ).

und dann (nach 4.5.3, (e)), daß B l.u. ist. F¨ ur den Beweis der A-Invarianz von [B] gen¨ ugt es, A · B ⊆ [B] zu zeigen: A · b ∈ [B] folgt aus ·b. A · b = (A − λ · En + λ · En ) · b = (A − λ · En ) · b + λ ∈B

∈[B]

Sei nun bi := (A − λ · En )i · b f¨ ur i = 1, 2, ..., t. Dann gilt (wegen b ∈ LtA (λ)) bt = o ur i ∈ {1, ..., t − 1} aus und analog zu oben folgt A · bi ∈ [B] f¨ A · bi = (A − λ · En + λ · En ) · bi = (A − λ · En ) · bi + λ · bi . =bi+1 ∈B

∈[B]

Also ist [B] A-invariant. Es bleibt noch die A-Unzerlegbarkeit von [B] zu zeigen: Angenommen, [B] ist die direkte Summe zweier A-invarianter UVR U1 und U2 , die beide ungleich dem UVR {o} sind. Offenbar enth¨ alt U1 oder U2 ein Element c t−1 (λ). (Falls dies nicht gilt, haben wir U aus LtA (λ)\Lt−1 1 ∪ U2 ⊆ LA (λ) und damit A t−1 U1 + U2 = [U1 ∪ U2 ] ⊆ LA (λ), im Widerspruch zu U1 + U2 = [B] und [B] ∩ (LtA (λ)\Lt−1 A (λ)) = ∅.) Analog zu oben kann man dann zeigen, daß c, (A − λ · En ) · c, (A − λ · En )2 · c ..., (A − λ · En )t−1 · c l.u. sind, womit sie eine Basis f¨ ur [B] bilden. O.B.d.A. sei c ∈ U1 . Wegen c1 := ort dann auch c1 zu U1 . Aus (A − λ · En ) · c = A · c − λ · c und A · U1 ⊆ U1 geh¨ c2 := (A − λ · En )2 · c = (A − λ · En ) · c1 ergibt sich analog c2 ∈ U1 . Fortsetzung ¨ dieser Uberlegungen liefert B ⊆ U1 , was [B] = U1 zur Folge hat. Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Annahme [B] = U1 ⊕ U2 und dimU2 ≥ 1. Satz 8.3.3 Seien λ ein EW von A ∈ K n×n und r(λ) wie in Satz 8.3.1 definiert. Dann ist die Menge EA (λ) := {(A − λ · En )r(λ) · x | x ∈ K n×1 } ein A-invarianter UVR von K n×1 . Außerdem gilt r(λ)

LA Beweis.

(λ) ⊕ EA (λ) = K n×1 .

ahlt. Dann existiert ein x ∈ K n×1 mit Sei y ∈ EA (λ) beliebig gew¨ y = (A − λ · En )r(λ) · x

und es gilt wegen (8.4) und Satz 8.3.1:

(8.8)

266

8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen A · y = A · (A − λ · En )r(λ) · x = (A − λ · En )r(λ) · (A · x) ∈ EA (λ). r(λ)

∈LA

(λ)

Folglich ist EA (λ) A-invariant. r(λ) r(λ) Als n¨ achstes u ¨berlegen wir uns LA (λ)∩EA (λ) = {o}. Sei dazu y ∈ LA (λ)∩EA (λ) n×1 r(λ) mit y = (A − λ · En ) · x und es gilt beliebig gew¨ ahlt. Dann existiert ein x ∈ K (A − λ · En )r(λ) · y = o. Folglich haben wir (A − λ · En )2·r(λ) · x = o, woraus sich mit r(λ) r(λ) Hilfe von (8.6) x ∈ LA (λ) und damit y = o ergibt. Also ist EA (λ) + LA (λ) eine r(λ) r(λ) ) ist, haben direkte Summe. Da bekanntlich dimLA (λ) = n − rg((A − λ · En ) wir zum Beweis von (8.8) nur noch dimEA (λ) = rg((A − λ · En )r(λ) ) zu zeigen. Seien dazu T := (A − λ · En )r(λ) , (e1 , ..., en ) := En und x := (x1 , ..., xn )T ein beliebiges Element aus EA (λ). Dann folgt aus T · x = T · (x1 e1 + ... + xn · en ) = x1 · (T · e1 ) + ... + xn · (T · en ), daß x eine LK der Spalten von T ist. Mit Hilfe von Satz 4.3.1 folgt hieraus dimEA (λ) = rgT, w.z.b.w. Satz 8.3.4 Seien λ ein EW von A ∈ K n×n und r(λ) wie in Satz 8.3.1 definiert. Dann ist K n×1 genau dann A-unzerlegbar, wenn r(λ) = n ist. Beweis. =⇒“: Sei K n×1 A-unzerlegbar. Da laut Voraussetzung A einen EW λ ” r(λ) r(λ) besitzt, ist dimLA (λ) ≥ 1. Mit Hilfe von Satz 8.3.3 folgt hieraus dimLA (λ) = n. Angenommen, r(λ) < n. Dann muß es wegen (8.6) ein t ≤ r(λ) geben, sodaß eine alt. Mit Hilfe Basis f¨ ur LtA (λ) u ¨ber Lt−1 A (λ) mindestens 2 Elemente b1 und b2 enth¨ von 8.3.2 und 4.5.3 folgt hieraus ein Widerspruch zur A-Unzerlegbarkeit von K n×1 . ⇐=“: Sei r(λ) = n. Dann gilt Ln−1 (λ) ⊂ Ln A (λ), woraus sich mit Hilfe von Satz A ” n×1 = Ln 8.3.2 die A-Unzerlegbarkeit von K A (λ) ergibt. Lemma 8.3.5 Seien A ∈ K n×n und λ, µ ∈ K zwei verschiedene und µ, λ1 , λ2 , ..., λt ∈ K paarweise verschiedene Eigenwerte von A. Dann gilt: (a) ∀i ∈ N ∀x ∈ LiA (λ) : (A − µ · En ) · x ∈ LiA (λ). (b) LA (λ) ∩ LA (µ) = {o}, d.h., LA (λ) + LA (µ) ist eine direkte Summe. (c) Seien LrA1 (λ1 ) + LrA2 (λ2 ) + ... + LrAt (λt ) + LsA (µ) eine direkte Summe f¨ ur gewisse ur s = 0 und L0A (λ) := {o}. Dann ist r1 , ..., rt ∈ N und s ∈ N0 , wobei t ≥ 2 f¨ auch LrA1 (λ1 ) + LrA2 (λ2 ) + ... + LrAt (λt ) + Ls+1 A (µ) eine direkte Summe. Beweis.

(a): Wegen (8.4) gilt f¨ ur alle x ∈ LiA (λ): (A − λ · En )i · ((A − µ · En ) · x) = (A − λ · En )i · A · x − µ · (A − λ · En )i · x = A · (A − λ · En )i · x =o

= o, d.h., (A − µ · En ) · x ∈ LiA (λ).

=o


267

(b): Sei x ∈ LA (λ) ∩ LA (µ). Dann gilt A · x = λ · x und A · x = µ · x. Folglich haben wir λ · x = µ · x beziehungsweise (λ − µ) · x = o, was wegen λ = µ nur f¨ ur x = o gelten kann. Also ist LA (λ) + LA (µ) ist eine direkte Summe. (c): Seien xi ∈ LrAi (λi ) (i = 1, ..., t) und y ∈ Ls+1 A (µ) sowie x1 + x2 + ... + xt + y = o. = xt = y = o zeigen k¨ onnen (siehe Lemma (c) ist bewiesen, wenn wir x1 = x2 = ... 4.2.5). Multipliziert man die Gleichung ( ti=1 xi ) + y = o von links mit A − µ · En , so erh¨ alt man unter Verwendung von (a) und der Voraussetzung (A − µ · En )s+1 · y = o (d.h., (A − µ · En )s · ((A − µ · En ) · y) = o): o=(

t i=1

(A − µ · En ) · xi ) + (A − µ · En ) · y . r ∈LAi (λi )

(8.9)

∈Ls (µ) A

Da nach Voraussetzung ( ti=1 LrAi (λi )) + LsA (µ) eine direkte Summe ist, folgt aus (8.9) ∀i ∈ {1, 2, ..., t} : (A − µ · En ) · xi = o, d.h., es gilt:

∀i ∈ {1, 2, ..., t} : xi ∈ L1A (µ).

Wegen L1A (µ) ⊆ LsA (µ) ist damit xi ∈ LrAi (λi ) ∩ LsA (µ). Nach Voraussetzung ist LrAi (λi ) + LsA (µ) eine direkte Summe. Folglich gilt x1 = ... = xt = o und damit auch y = o. Satz 8.3.6 Seien A ∈ K n×n und λ1 , ..., λt ∈ K die Eigenwerte von A (t ≥ 2). Dann ist die Summe der Eigenr¨ aume LA (λ1 ) + LA (λ2 ) + ... + LA (λt ) und die Summe der verallgemeinerten Eigenr¨ aume r(λ1 )

LA

r(λ2 )

(λ1 ) + LA

r(λt )

(λ2 ) + ... + LA

(λt )

eine direkte Summe. Beweis. Mit Hilfe von Lemma 8.3.5, (b), (c) l¨ aßt sich leicht per Induktion zeigen, daß die Summe der Eigenr¨ aume ti=1 LA (λi ) direkt ist. Dies benutzend, folgt dann aus Lemma 8.3.5, (c) und unter Verwendung der Kommutativit¨ at von +, daß auch t r(λ) (λi ) eine direkte Summe ist. i=1 LA Abschließend untersuchen wir die Eigenr¨ aume von Matrizen aus Rn×n (bzw. Cn×n ) etwas n¨ aher. Satz 8.3.7 Seien K ∈ {R, C}, A ∈ K n×n , T

T

A·A =A ·A

(8.10)

und b1 ∈ K n×1 ein EV von A zum EW λ1 ∈ K mit bT1 · b1 = 1. Außerdem seien die ahlt, daß – bez¨ uglich des Standardskalarprodukts Vektoren b2 , ..., bn ∈ K n×1 so gew¨ ur K n×1 bildet. Dann gilt: ϕ 14 – die Menge {b1 , ..., bn } eine orthonormierte Basis f¨ T

(a) A · b1 = λ · b1 . 14

∀x, y ∈ K n×1 : ϕ(x, y) := xT · y

268 (b) (c) (d) (e)

8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen B := (b1 , ..., bn ) ist orthogonal f¨ ur K = R und unit¨ ar f¨ ur K = C. [{b1 }] ⊕ [{b2 , ..., bn }] = K n×1 . [{b1 }] und [{b2 , ..., bn }] sind A-invariante UVRe von K n×1 . Setzt man B1 := B\{b1 } und A1 := ((A · b2 )/B1 , ..., (A · bn )/B1 ), so gilt T O1,n−1 λ1 . (8.11) B ·A·B = On−1,1 A1 T

T

und A1 · A1 = A1 · A1 . Beweis. Wir beweisen obigen Satz nur f¨ ur K = C. Der Beweis f¨ ur K = R verl¨ auft analog. ¨ (a): Durch Ubergang zu den konjugiert komplexen Zahlen folgt aus (8.10) die GleiT chung A · AT = AT · A. Setzt man y := A · b1 − λ · b1 , so rechnet man (unter Verwendung der oben angegebenen Gleichung) leicht nach, daß ϕ(y, y) = yT · y = bT1 · AT · A · b1 − λ · bT1 · A · b1 − λ · bT1 · AT · b1 + |λ|2 · bT1 · b1 = (A · b1 − λ · b1 )T · (A · b1 − λ · b1 ) ist. Wegen der positiven Definitheit von ϕ und der Voraussetzung A · b1 − λ · b1 = o folgt hieraus y = o, womit (a) gezeigt ist. (b) folgt aus Satz 7.3.1 und (c) aus der Konstruktion der Menge B. (d): Nach Voraussetzung gilt A · b1 = λ1 · b1 . Folglich ist [{b1 }] A-invariant. Die A-Invarianz des UVRs [{b2 , ..., bn }] = [{b1 }]⊥ ergibt sich aus (a) wie folgt: F¨ ur beliebig gew¨ ahltes x ∈ [{b1 }]⊥ ist T

T

bT1 · (A · x) = bT1 · (A · x) = (A · b1 ) · x = λ · (bT1 · x) = 0, =0

λ·b 1

womit A · x ∈ [{b1 }]⊥ . (e): Die Gleichung (8.11) ist eine Folgerung aus (d), Lemma 8.1.2 und Lemma 8.1.3. T T Setzt man D := B · A · B, so folgt aus (8.11), B · B = En und (8.10) 6 7 |λ1 |2 O1,n−1 T D ·D = T On−1,1 A1 · A1 T

T

T

T

T

(8.10)

T

= (B · A · B) · (B · A · B) = B · A · A · B = BT · A · A · B T

= D·D 6 7 O1,n−1 |λ1 |2 = , T On−1,1 A1 · A1 T

was A1 · A1 = A1 · A1

T

ergibt.


269

Mit Hilfe des obigen Satzes k¨ onnen wir jetzt eine weitere notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die Diagonalisierbarkeit einer Matrix u ¨ber dem Körper R oder C beweisen, aus der sich unmittelbar die Lösbarkeit des ersten und zweiten Problems aus 8.1 f¨ ur symmetrische und hermitische Matrizen ergibt. Satz 8.3.8 Seien K ∈ {R, C}, A ∈ K n×n , {λ1 , ..., λn } ⊂ K und ⎞ ⎛ λ1 0 . . . 0 ⎜ 0 λ2 . . . 0 ⎟ ⎟ D := ⎜ ⎝ . . ... 0 ⎠. 0 0 . . . λn Dann gilt: (a) Es existiert genau dann eine regul¨ are Matrix B ∈ K n×n mit den EigenT T schaften B−1 = B und B · A · B = D, wenn T

(α) A · A = A · A

T

und

(β) |A − x · En | = (λ1 − x) · (λ2 − x) · ... · (λn − x) gilt. (b) Ist K = R und A symmetrisch, so existiert eine orthogonale Matrix B und eine gewisse Diagonalmatrix D ∈ Rn×n mit BT · A · B = D, wobei die in der Hauptdiagonalen von D stehenden Werte λ1 , ..., λn gerade die EWe von A sind. (c) Ist K = C und A hermitisch, so existiert eine unit¨ are Matrix B und eine T n×n mit B · A · B = D, wobei die in der gewisse Diagonalmatrix D ∈ C Hauptdiagonalen von D stehenden Werte λ1 , ..., λn gerade die EWe von A sind. Beweis. (a): O.B.d.A. sei K = C. T T =⇒“: F¨ ur eine unit¨ are Matrix B sei B · A · B = D. Dann gilt A = B · D · B ” T T T T und – wie man leicht nachpr¨ uft – A · A = B · D · D · B sowie A · A = T T T T B · D · D · B . Wegen D · D = D · D folgt hieraus (α). (β) ergibt sich unmittelbar aus unserer Voraussetzung und Lemma 8.1.1. ⇐=“: Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion u ¨ber n. ” (I) F¨ ur n = 1 ist B = (1)1,1 und die Behauptung trivial. (II) Angenommen, die Behauptung ist f¨ ur (n − 1, n − 1)-Matrizen mit fixiertem n ∈ N\{1} und den entsprechenden Eigenschaften (α) und (β) richtig. Erf¨ ulle nun A ∈ Cn×n die Bedingungen (α) und (β). Wegen (β) besitzt A die ahlt). Zum EW λ1 sei x1 ∈ Cn×1 \{o} n EWe λ1 , ..., λn (Vielfachheiten mitgez¨ ein zugeh¨ origer EV.

270


Der Vektor x1 l¨ aßt sich durch Vektoren x2 , . . . , xn zu einer Basis f¨ ur Cn×1 erg¨ anzen, aus denen durch Anwendung des Schmidtschen ONV eine (bez. Standardskalarprodukt) orthonormierte Basis b1 (= (1/!x1 !) · x1 ), b2 , . . . , bn f¨ ur Rn×1 berechenbar ist. Die aus diesen Vektoren bildbare Matrix B1 := ullt die Voraussetzungen von Satz 8.3.7 und mit Hilfe dieses (b1 , b2 , . . . , bn ) erf¨ Satzes erh¨ alt man T λ1 O1,n−1 B1 · A · B1 = , On−1,1 A1 wobei die Matrix A1 des Typs (n−1, n−1) wegen Satz 8.3.7, (e) die Gleichung T T A1 · A1 = A1 · A1 erf¨ ullt und wegen Satz 8.2.2 offenbar die EWe λ2 , ..., λn hat. Nach Annahme existiert f¨ ur A1 eine unit¨ are Matrix B2 mit ⎛ ⎞ λ2 0 . . . 0 ⎜ 0 λ3 . . . 0 ⎟ T ⎟ B2 · A1 · B2 = ⎜ ⎝ ............ ⎠. 0 0 . . . λn

W¨ ahlt man nun B3 :=

1 On−1,1

O1,n−1 B2

,

so ist diese Matrix unit¨ ar. Demzufolge ist B := B1 · B3 als Produkt unitärer Matrizen auch unit¨ ar, und man rechnet leicht nach, daß diese Matrix die im Satz angegebene Eigenschaft besitzt. (b), (c): Offenbar erf¨ ullt eine Matrix A, die symmetrisch oder hermitisch ist, die Bedingung (α) aus (a). Die Bedingung (β) ist f¨ ur K = C wegen dem ullt. F¨ ur K = R Fundamentalsatz der Algebra f¨ ur alle Matrizen aus Cn×n erf¨ und symmetrische Matrizen aus Rn×n gilt (β) wegen Satz 8.2.9 ebenfalls. Damit sind die Aussagen (a) und (b) Folgerungen aus (a). Es sei noch bemerkt, daß im nachfolgenden Abschnitt 8.4 f¨ ur eine beliebige symmetrische Matrix A ein effektives Berechnungsverfahren einer Matrix B uhrt angegeben wird, das A mittels BT · A · B in eine Diagonalmatrix u ¨berf¨ und sich von dem aus dem obigen Beweis ablesbarem Verfahren wesentlich unterscheidet. Zun¨ achst jedoch eine Verbeserung des obigen Satzes f¨ ur K = R. Satz 8.3.9 Die Matrix A ∈ Rn×n besitze die Eigenschaft (α) aus Satz 8.3.8. Dann existiert eine orthogonale Matrix B, die mittels BT ·A·B die Matrix A in eine Quasi-Diagonalform u uhrt, wobei die K¨ astchen dieser Diagonalform ¨berf¨ entweder die Gestalt (λ)1,1 oder die Gestalt a b −b a


271

haben, wobei λ ∈ R ein EW von A und a + b · i ∈ C\R eine komplexe Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A ist.15 Beweis. Der Satz l¨ aßt sich a ¨hnlich wie Satz 8.3.8, (a) durch vollständige Induktion u ber n beweisen. Der Induktionsanfang f¨ ur n = 1 ist trivial. An¨ genommen, unser Satz gilt f¨ ur alle Matrizen A ∈ Rm×m mit m ≤ n − 1 und fixiertem n, die (α) aus Satz 8.3.8 erf¨ ullen. Sei nun A ∈ Rn×n . Besitzt A einen reellen Eigenwert, so kann man analog zum Beweis von Satz 8.3.8, (a) weiter verfahren. Es bleibt also nur noch der Fall zu untersuchen, wo das charakteristische Polynom keine einzige reelle Nullstelle besitzt. Sei dazu λ := a + b · i eine Nullstelle von |A − x · En | in C\R. Dann ist auch λ = a − b · i eine Nullstelle von |A − x · En |. Unser nächstes Ziel ist die Konstruktion von zwei (bez¨ uglich Standardskalarprodukt in Rn×1 ) orthonorn×1 mit den Eigenschaften mierten Vektoren c1 , c2 ∈ R A · c1 = a · c1 − b · c 2 , A · c2 = b · c1 + a · c2 .

(8.12)

Wir konstruieren diese Vektoren mit Hilfe von zwei (bez¨ uglich des Standardskalarprodukts ϕ in Cn×1 ) orthonormierten Vektoren aus Cn×1 . Nach Voraussetzung existiert ein EV b1 ∈ Cn×1 zum EW λ, von dem wir o.B.d.A. auch onnen, d.h., b1 ist bez¨ uglich ϕ normiert. Dann gilt bT1 · b1 = 1 voraussetzen k¨ ¨ zu den konjugiert komplexen Zahlen erhält A·b1 = λ·b1 , und durch Ubergang man A · b1 = λ · b1 , da wir A ∈ Rn×n vorausgesetzt haben. Also ist b1 ein T T EV zum EW λ von A in Cn×1 . Wegen ϕ(b1 , b1 ) = b1 · b1 = (b1 · b1 )T = ϕ(b1 , b1 ) = 1 ist b1 normiert. Aus λ · ϕ(b1 , b1 ) = λ · bT1 · b1 = (λ · b1 )T · b1 = (A · b1 )T · b1 = bT1 · (AT · b1 )

8.3.7,(a)

=

bT1 · (λ · b1 )

= λ · ϕ(b1 , b1 ) und λ = λ folgt ϕ(b1 , b1 ) = 0. Also sind die Vektoren b1 und b1 bez¨ uglich ϕ ¨ orthonormiert. Wie man leicht nachpr¨ uft (UA), sind dann die beiden Vektoren √ c1 := √12 · (b1 + b1 ) = 2 · Re b1 , √ c2 := √12·i · (b1 − b1 ) = 2 · Im b1 aus Rn×1 orthonormiert und sie erf¨ ullen die Gleichungen aus (8.12). Ergänzt man nun die Vektoren c1 , c2 durch die Vektoren c3 , ..., cn zu einer orthonormierten Basis von Rn×1 , so ist [{c3 , ..., cn }] ein A-invarianter UVR und die Matrix C := (c1 , ..., cn ) hat wegen (8.12) die Eigenschaft 15

Bekanntlich ist dann auch a − b · i eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A.

272


⎛

a b 0 ... 0 ⎜ −b a 0 ... 0 ⎜ BT · A · B = ⎜ ⎜ 0 0 d11 ... d1,n−2 ⎝ ......................... 0 0 dn−2,1 ... dn−2,n−2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

wobei man auf die Matrix (dij )n−2,n−2 die Induktionsannahme anwenden kann. Die oben kurz geschilderten Beweisschritte verlaufen damit analog zu den Beweisen der S¨ atze 8.3.7 und 8.3.8. Ausf¨ uhrlich u ¨berlege man sich dies ¨ als UA. Satz 8.3.10 Es sei A eine symmetrische (bzw. hermitische) (n, n)-Matrix origen EVen x1 , x2 . und λ1 , λ2 zwei verschiedene EWe von A mit den zugeh¨ Dann gilt xT1 · x2 = 0 (bzw. xT1 · x2 = 0). Mit anderen Worten: LA (λ1 ) ⊥ LA (λ2 ) bez. Standardskalarprodukt. Beweis. gen gilt:

Sei zun¨ achst A ∈ Rn×n symmetrisch. Nach unseren VoraussetzunA · x1 = λ1 · x1 und A · x2 = λ2 · x2 .

Multipliziert man von links die erste dieser Gleichungen mit xT2 und die zweite alt man mit xT1 , so erh¨ xT2 · A · x1 = λ1 · (xT2 · x1 ) = λ1 · (xT1 · x2 ) und xT1 · A · x2 = λ2 · (xT1 · x2 ). Da xT2 · A · x1 eine (1, 1)-Matrix ist und außerdem A als symmetrisch vorausgesetzt wurde, haben wir xT2 · A · x1 = (xT2 · A · x1 )T = xT1 · AT · x2 = xT1 · A · x2 . Mit Hilfe der ober hergeleiteten Gleichungen folgt hieraus λ1 · (xT1 · x2 ) = λ2 · (xT1 · x2 ), was (wegen λ1 = λ2 ) nur f¨ ur xT1 · x2 = 0 gelten kann. Den Fall A hermitisch“ beweist man analog. ” Satz 8.3.11 (mit Definitionen) Es sei A eine symmetrische (oder hermitische) (n, n)-Matrix und λ ein EW von A. Außerdem bezeichne µa (λ) die Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms |A − λ · E| = 0 und sei µg (λ) := dim LA (λ). (µa (λ) heißt algebraische Vielfachheit von λ und µg (λ) wird geometrische Vielfachheit von λ genannt.) Dann gilt

¨ 8.4 Uberf¨ uhrung von symmetrische Matrizen in Diagonalgestalt

273

µa (λ) = µg (λ). Mit anderen Worten: Zu einem EW einer symmetrischen (oder hermitischen) Matrix mit der Vielfachheit t gibt es genau t l.u. EVen. Beweis. Wir beweisen den Satz hier nur f¨ ur symmetrische Matrizen. Der Beweis f¨ ur hermitische Matrizen verl¨ auft analog. Nach Satz 8.3.8 findet man f¨ ur A eine orthogonale (n, n)-Matrix B mit ⎛ ⎞ λ1 0 . . . 0 ⎜ 0 λ2 . . . 0 ⎟ ⎟ BT · A · B = ⎜ ⎝ . . . . . . . . . . . . ⎠ (=: D), 0 0 . . . λn wobei die Elemente der Hauptdiagonalen von D die EW von A sind. Folglich ist A zu D ¨ ahnlich, und A und D haben nach Satz 8.2.2 die gleichen EWe. Wegen Satz 3.3.3 (S. 136) gilt außerdem rg(A − λ · E) = rg(B−1 · (A − λ · E) · B). Unsere Behauptung folgt dann hieraus unter Verwendung von µg (λ) = dim LA (λ) = n − rg(A − λ · E), B−1 (A − λ · E) · B = D − λ · E, rg(D − λ · E) = n − µa (λ).

¨ 8.4 Uberf u ¨ hrung von symmetrische Matrizen in Diagonalgestalt Eine Folgerung aus den S¨ atzen 8.2.9, 8.3.8, 8.3.10 und 8.3.11 ist das folgende Verfahren zur Berechnung einer orthogonalen Matrix B, die eine vorgegebene symmetrische Matrix A ∈ Rn×n mituhrt: tels BT · A · B in eine Diagonalmatrix u ¨ berf¨

(a) Man bestimme die EWe von A: λ ...λ λ ...λ ...... λ ...λ 1 1 2 2 r r ...... t1 t2 tr (t1 + t2 + . . . + tr = n; λ1 , . . . , λr paarweise verschieden). (Daß es genau n reelle EW gibt (Vielfachheiten mitgezählt) folgt aus Satz 8.2.9.) (b) Zu jedem EW λi mit der Vielfachheit ti (i = 1, . . . , r) berechne man ti l.u. EVen. (Die Existenz dieser Vektoren folgt aus Satz 8.3.11.) Sind dies die Vektoren

274


. . .. x1 , . . . , xtr , a1 , . . . , at1 b1 , . . . , bt2 .. ...... ∈ LA (λ1 ) ∈ LA (λ2 ) ∈ LA (λr ) so gilt nach Satz 8.3.10 bez. Standardskalarprodukt: ai ⊥ bj , . . . , ai ⊥ xj , . . . , bi ⊥ xj , . . . (c) Man orthonormiere die EV gruppenweise“ (d.h., man bestimme f¨ ur ” LA (λi ), i = 1, . . . , r) jeweils (bez. Standardskalarprodukt) eine orthonormierte Basis). Man erh¨ alt auf diese Weise n orthonormierte EVen e1 , e2 , . . . , en zu den EWen von A, die die Spalten der gesuchten Matrix B bilden: B := (e1 , e2 , . . . , en ). (Siehe dazu auch Satz 8.1.4.)

Beispiele (1.) Sei

⎛

⎞ 2 −1 2 A = ⎝ −1 2 −2 ⎠ . 2 −2 5

Aus |A − λ · E3 | = 0 erh¨ alt man, daß λ1 = 1 ein zweifacher EW und λ2 = 7 ein einfacher EW von A ist. Die zugeh¨ origen EVen berechnen sich aus den LGS (A − E3 ) · x = o und osungen des ersten LGS lassen sich durch (A − 7 · E3 ) · x = o. Die L¨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 −2 x = t1 · ⎝ 1 ⎠ +t2 · ⎝ 0 ⎠ 0 1 =:a1

=:a2

und die des zweiten LGS durch ⎛

⎞ 1 x = t · ⎝ 1 ⎠ −1 =:b

(t1 , t2 , t ∈ R) beschreiben. Zwecks Ermittlung einer orthogonalen Matrix B mit der Eigenschaft

¨ 8.4 Uberf¨ uhrung von symmetrische Matrizen in Diagonalgestalt

275

⎞ 1 0 0 BT · A · B = ⎝ 0 1 0 ⎠ 0 0 7 ⎛

haben wir nach dem Schmidtschen ONV die Vektoren a1 , a2 (bez. Standardskalarprodukt) zu orthonormieren und den Vektor b nur zu normieren. Es gilt: ⎛ ⎞ 1 √ e1 = (1/!a2 !) · a1 = (1/ 2) · ⎝ 1 ⎠ , 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −2 1 −1 ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 1 ⎠, b2 = a2 − ϕ(a2 , e1 ) · e1 = ⎝ 1 ⎠ − −2 2 · 0 0 1 ⎛ ⎞ −1 √ e2 = (1/!b2 !) · b2 = (1/ 3) · ⎝ 1 ⎠ , 1 ⎛ ⎞ 1 √ e3 = (1/!b!) · b = (1/ 6) · ⎝ −1 ⎠ . 2 Folglich leistet

√ √ √ ⎞ 1/√2 −1/√3 1/√6 B = ⎝ 1/ 2 1/√3 −1/√6 ⎠ 0 1/ 3 2/ 6 ⎛

das Gew¨ unschte. (2.) Bezeichne T die Menge aller Punkte X, deren Koordinaten (bez. eines kartesischen Koordinatensystems S) x1 , x2 der Gleichung √ 7x21 + x22 + 2 · 7 · x1 · x2 = 1 6

bzw. (x1 , x2 ) ·

√ 7 x1 7 7 √ · =1 7 1 x2

gen¨ ugen. Gibt es ein kartesisches Koordinatensystem S := (A; e1 , e2 ) mit λ1 0 T ·X/S = 1 X/S · 0 λ2 =: D (X T = (x1 , x2 ))? Mit anderen Worten (siehe S. 186): Gibt es eine or/S thogonale Matrix B mit X/S = B · X/S und BT · A · B = D? Nach dem obigen Verfahren l¨ aßt sich B wie folgt mit Hilfe der EWe und EVen von A ermitteln:

276


7 − λ √7 √ = 7 − 8λ + λ2 − 7 = λ2 − 8λ 7 1 − λ

Aus

ergeben sich f¨ ur A die EWe λ1 = 8 und λ2 = 0. Die EVen zum EW 8 von A erh¨ alt man als L¨ osungen = o des LGS √ 7 x=s· 1

(A − 8 · E) ·x = o : √ −1 7 √ 7 −7

(s = 0).

Die EVen zum EW 0 von A sind dann die nichttrivialen Lösungen von

(A − 0 · E) ·x = o : √ √7 7

x=t·

7 0

1 √ − 7

(t = 0).

Normieren der EVen (7, 1)T und (1, −7)T von A liefert: 7 6√ √ 7 1 √ , B = (1/ 8) · 1 − 7 womit die Kurve T auch durch die 8 (x1 , x2 ) · 0 bzw.

Gleichung 0 x1 · =1 0 x2

8x1 = 1 2

beschrieben werden kann. Aus dieser Beschreibung folgt dann unmittelbar, daß T sich aus zwei parallelen Geraden zusammensetzt. Das eben behandelte Beispiel wird im Kapitel 9 verallgemeinert, um sogenannte Hyperfl¨ achen zweiter Ordnung zu klassifizieren.

8.5 Jordansche Normalformen Die Hauptergebnisse dieses Abschnittes beziehen sich auf einen K¨ orper K, in dem andig in das charakteristische Polynom einer jeden Matrix A ∈ K n×n (n ∈ N) vollst¨ Linearfaktoren zerf¨ allt. Dies ist z.B. f¨ ur K = C der Fall. Ziel dieses Abschnittes ist es, herauszufinden, ob es f¨ ur den Fall, wo eine Matrix are Matrix A ∈ K n×n nicht diagonalisierbar ist, nicht doch noch eine gewisse regul¨ oglichst einfacher Bauart“ ist. B ∈ K n×n existiert, so daß B−1 · A · B von m¨ ” Einfach bedeutet hier (mit Blick auf sp¨ atere Anwendungen), daß m¨ oglichst viele −1 Elemente in B · A · B u ¨ber und unter der Hauptdiagonalen 0 sind. Wir beginnen mit Bezeichnungen f¨ ur gewisse Matrizen, die nachfolgend eine Rolle spielen.

8.5 Jordansche Normalformen

277

Definitionen •

•

Eine Matrix der Form (λ)1,1 oder der Form ⎛ λ 1 0 0 ... 0 0 0 ⎜ 0 λ 1 0 ... 0 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 λ 1 ... 0 0 0 ⎜ ⎜ .................... ⎜ ⎜ 0 0 0 0 ... λ 1 0 ⎜ ⎝ 0 0 0 0 ... 0 λ 1 0 0 0 0 ... 0 0 λ

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ∈ K n×n ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

f¨ ur n ≥ 2 heißt elementare Jordan-Matrix mit dem Eigenwert λ (kurz: Jordan-K¨ astchen) und wird nachfolgend mit Jn (λ) bezeichnet. Ist Jni (λi ) eine elementare Jordan-Matrix des Typs ni × ni (i = 1, ..., r) mit dem Eigenwert λi , so nennt man die Matrix, die sich wie folgt aus den Untermatrizen ahlten Nullmatrizen Oni ,nj ∈ K ni ×nj aufbaut: Jni (λi ) und passend gew¨ ⎛ ⎞ Jn1 (λ1 ) On1 ,n2 On1 ,n3 ... On1 ,nr−1 On1 ,nr ⎜ On2 ,n1 Jn2 ( λ2 ) On2 ,n3 ... On2 ,nr−1 On2 ,nr ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ........................................................ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Onr−1 ,n1 Onr−1 ,n2 Onr−1 ,n3 ... Jnr−1 (λr−1 ) Onr−1 ,nr ⎠ Onr ,n1 Onr ,n2 Onr ,n3 ... Onr ,nr−1 Jnr (λr ) (∈ K (n1 +...+nr )×(n1 +...+nr ) ),

•

eine Jordan-Matrix. (Man beachte, daß die λ1 , ..., λr nicht alle paarweise verschieden sein m¨ ussen!). Existiert zu einer Matrix A ∈ K n×n eine regul¨ are Matrix B ∈ K n×n und eine −1 gewisse Jordan-Matrix J mit B · A · B = J, so heißt J eine Jordansche Normalform von A.

Einige Eigenschaften von Jordan-Matrizen sind zusammengefaßt im Lemma 8.5.1 Sei J ∈ K n×n eine Jordan-Matrix mit |J − x · En | = (λ1 − x)α1 · (λ2 − x)α2 · ...(λt − x)αt , wobei die λ1 , ..., λt paarweise verschieden seien. Außerdem bezeichne jq,k die Anzahl der in J vorkommenden Matrizen Jq (λk ) (q ∈ N, k ∈ {1, 2, ..., t}). Ferner seien die ur alle q ≥ sk + 1 ist. Zahlen sk ∈ N so festgelegt, daß jsk ,k = 0, jedoch jq,k = 0 f¨ Dann gilt: k q · jq,k f¨ ur alle k ∈ {1, ..., t}; (a) αk = sq=1 sk −i (b) rg(J − λk · En )i = n − αk + l=1 l · ji+l,k f¨ ur alle i ∈ {1, 2, ..., sk − 1} und m ur alle m ≥ sk , wobei k ∈ {1, 2, ..., t}; rg(J − λk · En ) = n − αk f¨ (c) Bei Vorgabe von n, λ1 , ..., λt , α1 , ..., αt und von den Zahlen rg(J − λk · En )i f¨ ur ur alle q ∈ N alle k ∈ {1, ..., t} und alle i ∈ {1, 2, ..., n − 1}, sind die Zahlen jq,k f¨ und alle k ∈ {1, ..., t} aus den unter (a) und (b) angegebenen Gleichungen auf eindeutige Weise berechenbar. ochstens durch (d) Eine zu J ¨ ahnliche Matrix J ∈ K n×n unterscheidet sich von J h¨ die Reihenfolge der in J vorkommenden elementaren Jordan-Matrizen.

278


¨ Beweis. (a) und (b) rechnet man leicht nach (UA!). 1 (c): Wegen (b) gilt rg(J − λk · En ) > rg(J − λk · En )2 > ... > rg(J − λk · En )αk −1 sowie rg(J − λk · En )m = n − αk f¨ ur alle m ≥ sk . Hieraus lassen sich zun¨ achst die ur alle k ∈ {1, ..., t} berechnen. Ist sk = 1, so gilt offenbar j1,1 = αk und Zahlen sk f¨ ur alle m ≥ 2. Im Fall sk ≥ 2 gilt jm,k = 0 f¨ ur alle m ≥ sk + 1 und die jm,1 = 0 f¨ ur q = 1, ..., sk lassen sich aus dem LGS Zahlen jq,k f¨ sk q=1 q · jq,k = αk , , sk −i i (i ∈ {1, 2, ..., sk − 1}) l=1 l · ji+l,k = rg(J − λk · En ) − n + αk das wegen der Regularit¨ at der Koeffizientenmatrix genau eine L¨ osung besitzt, berechnen. ahnliche Jordan-Matrizen aus K n×n , so haben sie nach Lemma (d): Sind J und J ¨ 8.1.1, (a) das gleiche charakteristische Polynom und nach Lemma 8.1.1, (b) stimmen ur alle i ∈ N u die R¨ ange der Matrizen rg(J − λk · En )i und rg(J − λk · En )i f¨ ¨berein. Folglich ergibt sich (d) aus (c). Lemma 8.5.2 Seien A ∈ K n×n , λ ∈ K und B := (b1 , ..., bn ) ∈ Krn×n . Außerdem sei B−1 · A · B = Jn (λ). Dann gilt: (a) |A − x · En | = (λ − x)n , d.h., λ ist der EW von A mit der Vielfachheit n. (b) ∀i ∈ {1, ..., n − 1} : bi = (A − λ · En )n−i · bn . (c) (A − λ · En )n−1 = On,n und (A − λ · En )n = On,n . Beweis. (a): Offenbar gilt |Jn (λ) − x · En | = (λ − x)n . (a) folgt damit aus Satz 8.2.2. (b): Aus B−1 · A · B = Jn (λ) folgt mit Hilfe von Lemma 8.1.2 A · b1 = λ · b1 , A · b2 = b1 + λ · b2 , A · b3 = b2 + λ · b3 , ........................... A · bn−1 = bn−2 + λ · bn−1 A · bn = bn−1 + λ · bn . Folglich ist b1 ∈ L1A (λ) und man erh¨ alt die Behauptung (b), indem man obige Gleichungen (mit der letzten Gleichung beginnend) etwas umformt und die bereits abgeleiteten Gleichungen benutzt: bn−1 = (A − λ · En ) · bn , bn−2 = (A − λ · En ) · bn−1 = (A − λ · En )2 · bn , ................................................ b2 = (A − λ · En ) · b3 = (A − λ · En )n−2 · bn , b1 = (A − λ · En ) · b2 = (A − λ · En )n−1 · bn .


279

(c): Man rechnet leicht nach, daß (Jn (λ) − λ · En )n−1 = On,n und (Jn (λ) − λ · En )n = ahnliche Matrizen sind, sind nach On,n gilt. Da Jn (λ) und A nach Voraussetzung ¨ Lemma 8.1.1, (b) die R¨ ange der Matrizen (A − λ · En )n und (J − λ · En )n gleich. Wegen rg(J − λ · En )n = 0 ist damit (A − λ · En )n = On,n . Analog kann man dann auch (A − λ · En )n−1 = On,n zeigen. Satz 8.5.3 Seien A ∈ K n×n , λ ∈ K und r(λ) wie in Satz 8.3.1 definiert. Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: ahnlich. (a) A ist zu Jn (λ) ¨ (b) Es gilt |A − x · En | = (λ − x)n , (A − λ · En )n−1 = On,n und (A − λ · En )n = On,n . (c) λ ist EW von A und r(λ) = n. Beweis. (a) =⇒ (b)“ folgt aus Lemma 8.5.2. ” (b) =⇒ (c)“ ergibt sich aus den Eigenschaften der verallgemeinerten Eigenr¨ aume ” (siehe Satz 8.3.1). Wir haben also nur noch (c) =⇒ (a)“ zu zeigen. ” (λ) ⊂ Ln Sei also λ ist EW von A und r(λ) = n. Dann gilt Ln−1 A (λ) und nach Satz A n−1 n 8.3.2 sind f¨ ur jedes b ∈ LA (λ)\LA (λ) die Vektoren b1 := (A − λ · En )n−1 · b, b2 := (A − λ · En )n−2 · b, ..., bn−1 := (A − λ · En ) · b, bn := b l.u.. Sei B := (b1 , ..., bn ). Man rechnet nun leicht nach, daß B−1 · A · B = Jn (λ) gilt (siehe dazu auch den Beweis von 8.5.2, (b)). Satz 8.5.4 Sei A ∈ K n×n eine Matrix, deren charakteristisches Polynom vollst¨ andig in Linearfaktoren zerf¨ allt. Dann gilt: (a) A ist zu einer gewissen Jordan-Matrix ¨ ahnlich. (b) Die zu A ¨ ahnliche Jordan-Matrix J ist bis auf die Reihenfolge der in J auftretenden Jordan-K¨ astchen eindeutig bestimmt. Beweis. (a): Wir beweisen (a) durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber n. (I) F¨ ur n = 1 ist unsere Behauptung offensichtlich. (II) Angenommen, unser Satz ist f¨ ur alle Matrizen A ∈ K m×m , deren charakteristisches Polynom vollst¨ andig in Linearfaktoren zerf¨ allt, und m < n richtig. Sei nun A ∈ K n×n . Nach Voraussetzung existieren dann gewisse λ1 , ..., λt ∈ K und ahlen einen gewisse α1 , ..., αt ∈ N mit |A − λ · En | = (λ1 − λ)α1 · ... · (λt − λ)αt . Wir w¨ EW λ ∈ {λ1 , ..., λt } und erhalten nach Satz 8.3.3 die folgende Zerlegung von K n×1 in A-invariante UVRe: r(λ) (8.13) LA (λ) ⊕ EA (λ) = K n×1 . Folgende zwei F¨ alle sind dann m¨ oglich: Fall 1: r(λ) = n. In diesem Fall folgt unsere Behauptung aus Satz 8.5.2. Fall 2: r(λ) < n. Folgende zwei F¨ alle sind dann m¨ oglich: r(λ) Fall 2.1: m := dim LA (λ) < n. Wegen (8.13) ist K n×1 in diesem Fall A-zerlegbar. Nach Satz 8.3.3 ist (8.13) eine

280


Zerlegung von K n×1 in A-invariante UVRe. Mit Hilfe von Lemma 8.1.3 folgt hieraus, daß A zu einer Matrix der Form Om,n−m A1 A := On−m,m A2 a ¨hnlich ist. Offenbar gilt |A − λ · En | = |A1 − λ · Em | · |A2 − λ · En−m |, womit nach Voraussetzung und Lemma 8.2.2 auch die charakteristischen Polynome von A1 und A2 vollst¨ andig in Linearfaktoren zerfallen. Nach unserer Induktionsannahme existiert damit eine regul¨ are Matrix Bi , die Ai in eine Jordan-Matrix Ji (i = 1, 2) u uhrt: B−1 · Ai · Bi = Ji . W¨ ahlt man nun ¨berf¨ i B1 Om,n−m B3 := , On−m,m B2 so gilt B−1 3 · A · B3 =

J1 On−m,m

Om,n−m J2

.

Folglich ist A im Fall 2.1 zu einer Jordan-Matrix ¨ ahnlich. r(λ) Fall 2.2: dim LA (λ) = n. r(λ) oglich. Da jedoch LA (λ) nach Satz 8.3.4 Dieser Fall ist nur f¨ ur EA (λ) = {o} m¨ A-zerlegbar ist, k¨ onnen wir analog zu Fall 2.1 die Existenz einer zu A a ¨hnlichen Jordan-Matrix nachweisen. ¨ (b) folgt aus (a), der Transitivit¨ at der Ahnlichkeitsrelation und Lemma 8.5.1, (d). Es sei noch bemerkt, daß man Satz 8.5.4 auch ohne die im obigen Beweis herange¨ zogenen S¨ atze durch Ahnlichkeitstransformationen auf elementare Weise beweisen kann (siehe dazu z.B. [?]). Offen bleibt dabei jedoch die Begr¨ undung f¨ ur das weiter unten angegebenen Konstruktionsverfahren der Jordan-Matrizen. F¨ ur die Begr¨ undung dieses Verfahrens fehlt uns nur noch der folgende andig Satz 8.5.5 Sei A ∈ K n×n eine Matrix, deren charakteristisches Polynom vollst¨ in Linearfaktoren zerf¨ allt, d.h., es existieren gewisse paarweise verschiedene λ1 , ..., λt ∈ K und gewisse α1 , ..., αt ∈ N mit den Eigenschaften α1 + ... + αt = n und |A − x · En | = (λ1 − x)α1 · (λ2 − x)α2 · ... · (λt − x)αt .

(8.14)

Dann gilt: r(λi )

(a) ∀i ∈ {1, ..., t} : dimLA r(λ1 )

(b) LA

r(λ2 )

(λ1 ) ⊕ LA

(λi ) = αi . r(λt )

(λ2 ) ⊕ ... ⊕ LA

(λt ) = K n×1 .

Beweis. (a): Nach Satz 8.5.4 ist A zu einer gewissen Jordan-Matrix J ¨ ahnlich, d.h., es existiert eine regul¨ are Matrix B mit B−1 · A · B = J. Sei λ ∈ {λ1 , ..., λt } beliebig gew¨ ahlt und bezeichne α die Vielfachheit von λ. Dann steht wegen Satz 8.2.2 in der Hauptdiagonalen von J genau α-mal der EW λ und man rechnet leicht nach, daß rg(J − λ · En )r(λ) = n − α ist (siehe dazu auch Lemma 8.5.1). Andererseits r(λ) gilt nach Satz 8.3.1 dimLA (λ) = n − rg(A − λ · En )r(λ) . Unsere Behauptung (a) folgt damit aus der nach Lemma 8.1.1, (b) geltenden Gleichung rg(A − λ · En )r(λ) = rg(J − λ · En )r(λ) . (b) ergibt sich aus (a), Satz 8.3.6 und Lemma 4.5.1.


281

Als Folgerung aus Lemma 8.5.2 und den S¨ atzen 8.1.2, 8.1.3, 8.3.1, 8.3.2, 8.3.4, 8.3.6 und 8.5.5 ergibt sich nun: Ein Verfahren zur Berechnung einer regul¨ aren Matrix B, die mittels B−1 · A · B die Matrix A ∈ Cn×n in eine JordanMatrix u uhrt ¨ berf¨ are Matrix B ∈ Cn×n , die mittels B−1 · A · B eine zu A Sei A ∈ Cn×n . Eine regul¨ ahnliche Jordan-Matrix liefert, erh¨ alt man mit Hilfe des folgenden Verfahrens: ¨ (1.) Zerlegen des charakteristischen Polynoms |A − x · En | in Linearfaktoren: |A − x · En | = (λ1 − x)α1 · (λ2 − x)α2 · ... · (λt − x)αt (t, α1 , ..., αt ∈ N, λ1 , ..., λt ∈ Cn×n und die Eigenwerte λ1 , ..., λt paarweise verschieden). (2.) F¨ ur jedes λ ∈ {λ1 , ..., λt } verfahre man anschließend wie folgt: •

Berechnen der Matrizen A − λ · En , (A − λ · En )2 , (A − λ · En )3 , ... solange, bis ein kleinstes r(λ) mit rg(A − λ · En )r(λ) = rg(A − λ · En )r(λ)+1

•

gefunden ist. Maximal kann r(λ) gleich der Vielfachheit von λ sein. L¨ osen der r(λ) LGS mit den Matrizendarstellungen (A − λ · En ) · x = o, (A − λ · En )2 · x = o, ..., (A − λ · En )r(λ) · x = o. (Falls λ der einzige EW von A ist, gilt (A − λ · En )r(λ) = On,n .) Aus den Matrizendarstellungen der L¨ osungen sind dann Basen Gi f¨ ur die verallgemeinerten Eigenr¨ aume LiA (λ) (i = 1, ..., r(λ)) abzulesen. Die verallgemeinerten Eigenr¨ aume haben die Eigenschaft L1A (λ) ⊂ L2A (λ) ⊂ ... ⊂ LA

r(λ)−1

r(λ)

(λ) ⊂ LA

(λ)

und wir setzen mi := dim LiA (λ) = n − rg (A − λ · En )i . •

r(λ)

Bestimmen einer Basis Br(λ) von LA

r(λ)−1

(λ) u ¨ber LA r(λ)−1

Br(λ) := Gr(λ) \LA

(λ) durch

(λ).

Anschließend bildet man (A − λ · En ) · Br(λ) := {(A − λ · En ) · x | x ∈ Br(λ) } und erg¨ anzt diese l.u. Menge durch die (eventuell leere) Menge Ar(λ)−1 zu einer r(λ)−1 ur LA (λ). Dies ist unter Beachtung von Lemma Basis Br(λ)−1 u ¨ber Br(λ)−2 f¨ 4.5.1 leicht m¨ oglich.

282

8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen Als n¨ achstes bildet man die Menge (A − λ · En )2 · Br(λ) ∪ (A − λ · En ) · Ar(λ)−1 und erg¨ anzt diese Menge von l.u. Vektoren durch die (eventuell leere) Menge r(λ)−2 Ar(λ)−2 zu einer Basis Br(λ)−2 u ur LA (λ), u.s.w. ¨ber Br(λ)−3 f¨ Man erh¨ alt durch B(λ) := Br(λ) ∪ Br(λ)−1 ∪ ... ∪ B1 r(λ)

eine Basis f¨ ur LA (λ), deren Elementezahl mit der Vielfachheit des Eigenwerts λu ¨bereinstimmt. Mit Hilfe der Bezeichnungen T := A − λ · En und r := r(λ) liefert die folgende ¨ Tabelle eine Ubersicht u ¨ber die Konstruktion der Basis B(λ): i Ui r LrA (λ) r − 1 Lr−1 A (λ) r − 2 Lr−2 A (λ) r − 3 Lr−3 A (λ) ... ... 1 L1A (λ) •

dimUi mr mr−1 mr−2 mr−3 ... m1

Basis Bi von Ui u |Bi | ¨ber Ui−1 Br mr − mr−1 T · Br ∪ Ar−1 mr−1 − mr−2 T2 · Br ∪ T · Ar−1 ∪ Ar−2 mr−2 − mr−3 T3 · Br ∪ T2 · Ar−1 ∪ T · Ar−2 ∪ Ar−3 mr−3 − mr−4 ......................................... ... Tr−1 · Br ∪ Tr−2 · Ar−1 ∪ ... ∪ T · A2 ∪ A1 m1

Die Elemente von B(λ) werden dann zu einer Matrix Bλ zusammengefaßt, indem man die Vektoren dieser Basis in der Reihenfolge ihres Auftretens in den Spalten (von unten nach oben gelesen!) der obigen Tabelle anordnet. Genauer: alt als erste Spalten von Bλ : Man w¨ ahlt ein a ∈ Br(λ) und erh¨ (A − λ · En )r(λ)−1 · a, (A − λ · En )r(λ)−2 · a, ..., (A − λ · En ) · a, a Falls ein b ∈ Br(λ) \{a} existiert, werden als n¨ achste Spalten von Bλ die Vektoren (A − λ · En )r(λ)−1 · b, (A − λ · En )r(λ)−2 · b, ..., (A − λ · En ) · b, b gew¨ ahlt. Existiert ein solches b nicht, w¨ ahlt man ein c ∈ Ar(λ)−1 und legt als n¨ achste Spalten von Bλ die Vektoren (A − λ · En )r(λ)−2 · c, (A − λ · En )r(λ)−3 · c, ..., (A − λ · En ) · a, c fest, usw.

(3.) Eine Matrix B mit den geforderten Eigenschaften ist dann B := (Bλ1 , Bλ2 , ..., Bλt ), f¨ ur die die Matrix B−1 · A · B die Struktur ⎛ A(λ1 ) Oα1 ,α2 Oα1 ,α3 ... Oα1 ,αt ⎜ Oα2 ,α1 A(λ2 ) Oα2 ,α3 ... Oα2 ,αt ⎜ ⎝ .................................. Oαt ,α1 Oαt ,α2 Oαt ,α3 ... A(λt )

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

hat, wobei f¨ ur jedes λ ∈ {λ1 , ..., λt } in der Matrix A(λ) – unter Verwendung der Bezeichnungen aus (2.) – folgende elementare Jordan-Matrizen zum EW λ (l¨ angs der Hauptdiagonalen) stehen:


283

|Br |-mal die Matrix Jr(λ) (λ), |Ar−1 |-mal die Matrix Jr(λ)−1 (λ), |Ar−2 |-mal die Matrix Jr(λ)−2 (λ), ... |A2 |-mal die Matrix J2 (λ), |A1 |-mal die Matrix J1 (λ).

Beispiele (1.) Sei

⎛ ⎜ ⎜ A := ⎜ ⎜ ⎝

⎞ 3 −1 0 0 −2 1 3 1 0 0⎟ ⎟ 0 1 3 0 2⎟ ⎟. 1 0 1 3 1⎠ 0 0 0 0 3

Wie man leicht nachpr¨ uft, gilt |A − λ · E5 | = (3 − λ)5 , womit λ = 3 der einzige EW von A ist. r(λ) ist gleich 3, da rg(A − 3 · E5 ) = 3, ⎛ ⎞ −1 0 −1 0 0 ⎜ 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎟ rg((A − 3 · E5 )2 ) = 1 (A − 3 · E5 )2 = ⎜ ⎜ 1 0 1 0 0 ⎟, ⎝ 0 0 0 0 0⎠ 0 0 0 0 0 ur und (A − 3 · E5 )3 = O5,5 ist. Damit sind wir in der Lage, die obige Tabelle f¨ unser Beispiel zu pr¨ azisieren: i Ui dimUi Basis Bi von Ui u |Bi | ¨ber Ui−1 3 L3A (3) 5 b3 1 2 L2A (3) 4 b2 := (A − 3 · E5 ) · b3 , b5 2 1 L1A (3) 2 b1 := (A − 3 · E5 )2 · b3 , b4 := (A − 3 · E5 ) · b5 2 wobei b3 ∈ C5×1 \L2A (3) und b5 ∈ L2A (3)\[L1A (3) ∪ {b2 }] noch zu bestimmen sind. Es sei bemerkt, daß man an dieser Stelle schon sieht, wie eine zu A ¨ ahnliche amlich nach Satz 8.5.4 und Jordan-Matrix aussieht. Mit B := (b1 , ..., b5 ) gilt n¨ Lemma 8.5.2: ⎛ ⎞ 3 1 0 0 0 ⎜0 3 1 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎟ B−1 · A · B = ⎜ ⎜ 0 0 3 0 0 ⎟. ⎝0 0 0 3 1⎠ 0 0 0 0 3 Zwecks Bestimmung der Vektoren b3 und b5 haben wir das LGS (A−3·E5 )i ·x = o f¨ ur i = 1 und i = 2 zu l¨ osen. Aus der Matrizendarstellung der L¨ osungen sind dann z.B. die folgenden Beschreibungen der verallgemeinerten Eigenr¨ aume ablesbar:

284

8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen ⎞ ⎛ ⎞⎫⎤ ⎡⎧ ⎛ −1 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ ⎪⎥ ⎢⎨ ⎬ ⎜ ⎜ ⎟ ⎥ ⎟ ⎢ ⎜ 1 ⎟,⎜ 0 ⎟ ⎥ L1A (3) = ⎢ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎥ ⎢⎪ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪ ⎦ ⎣⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 0 0 und

⎡⎧ ⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎨⎜ ⎜ ⎢ 2 ⎜ LA (3) = ⎢ ⎢⎪ ⎜ ⎪⎝ ⎣⎪ ⎪ ⎩

⎞ ⎛

0 1 0 0 0

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟,⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎛

Offenbar ist

⎜ ⎜ b3 := ⎜ ⎜ ⎝ Damit erhalten wir

⎛ ⎜ ⎜ b2 = ⎜ ⎜ ⎝

W¨ ahlt man nun

⎛ ⎜ ⎜ b5 := ⎜ ⎜ ⎝

0 0 0 0 1

−1 0 1 0 0

0 1 0 1 0

1 0 0 0 0

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟,⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

0 0 0 1 0

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟,⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

0 0 0 0 1

⎞ ⎫⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎟ ⎪ ⎟ ⎬⎥ ⎟. ⎥ ⎟ ⎪⎥ ⎦ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ∈ C5×1 \L2A (3). ⎟ ⎠

⎛

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ und b1 = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

−1 0 1 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ∈ L2A (3)\[L1A (3) ∪ {b2 }], ⎟ ⎠ ⎛

so ist

⎜ ⎜ b4 := ⎜ ⎜ ⎝

−2 0 2 1 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

Eine regul¨ are Matrix B, die unsere Matrix A in eine Jordan-Matrix u uhrt ¨berf¨ ist folglich: ⎛ ⎞ −1 0 1 −2 0 ⎜ 0 1 0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0 2 0 ⎟. ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 0 1 0⎠ 0 0 0 0 1 (2.) Sei

⎛ ⎜ ⎜ A := ⎜ ⎜ ⎝

⎞ 2 −1 0 0 −2 −5 2 −5 0 −6 ⎟ ⎟ 0 1 2 0 2⎟ ⎟. 1 0 1 5 1⎠ 3 0 3 0 5


285

Wie man leicht nachpr¨ uft, gilt |A − λ · E5 | = (2 − λ)3 · (5 − λ)2 , womit λ1 := 2 und λ2 := 5 die einzigen EW von A sind. Wir bestimmen zun¨ achst eine Basis f¨ ur LA (λ1 ) nach dem in obigem Schritt (2.) beschriebenen Verfahren: r(λ1 ) ist gleich 3, da rg(A − 2 · E5 ) = 4, ⎛ ⎞ −1 0 −1 0 0 ⎜ −18 0 −18 0 −18 ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 1 0 0⎟ rg((A − 2 · E5 )2 ) = 3, (A − 2 · E5 )2 = ⎜ ⎜ ⎟, ⎝ ⎠ 6 0 6 9 6 9 0 9 0 9 ⎛ ⎞ 0 0 0 0 0 ⎜ −54 0 −54 0 −54 ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 0 0⎟ rg(A − 2 · E5 )3 ) = 2 (A − 2 · E5 )3 = ⎜ ⎜ ⎟, ⎝ 27 0 27 27 27 ⎠ 27 0 27 0 27 oßer als 3 sein kann. Wie im ersten Beispiel k¨ onnen wir die und r(λ1 ) nicht gr¨ im allgemeinen Verfahren angegebene Tabelle pr¨ azisieren: i Ui dimUi Basis Bi von Ui u ¨ber Ui−1 |Bi | 3 L3A (2) 3 b3 1 2 L2A (2) 2 b2 := (A − 2 · E5 ) · b3 1 1 L1A (2) 1 b1 := (A − 2 · E5 )2 · b3 1 wobei b3 ∈ L3A (2)\L2A (2) noch zu bestimmen ist. ur i = 2 und i = 3 zu l¨ osen. Dazu gen¨ ugt es, die LGS (A − 2 · E5 )i · x = o f¨ Aus den Matrizendarstellungen der L¨ osungen sind dann z.B. die folgenden Beschreibungen der verallgemeinerten Eigenr¨ aume ablesbar: ⎞⎫⎤ ⎡⎧ ⎛ ⎞ ⎛ 0 −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎟⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢⎪ ⎢⎨ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎬ ⎥ 2 ⎜ 0 ⎟,⎜ 1 ⎟ ⎥ LA (2) = ⎢ ⎟ ⎥ ⎢⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪⎦ ⎪⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎪ ⎣⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ 0 0 und

Offenbar ist

⎞⎫⎤ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎡⎧ ⎛ 0 −1 ⎪ −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎟⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢⎪ ⎢⎨ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎬ ⎥ 3 ⎜ 1 ⎟,⎜ 0 ⎟,⎜ 0 ⎟ ⎥. LA (2) = ⎢ ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎢⎪ ⎜ ⎪ ⎦ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎪ ⎣⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ 1 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ b3 := ⎜ ⎜ ⎝

−1 0 0 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ∈ L3A (2)\L2A (2). ⎟ ⎠

286

8 Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen Damit erhalten wir

⎛ ⎜ ⎜ b2 = ⎜ ⎜ ⎝

−2 −1 2 0 0

⎛

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ und b1 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠

1 0 −1 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠ r(λ)

Als n¨ achstes haben wir eine Basis f¨ ur den Eigenraum LA (5) zu bestimmen. ¨ lautet: Da rg(A − 5 · E5 ) = 1 ist, gilt r(5) = 2 und unsere Ubersichtstabelle i Ui dimUi Basis Bi von Ui u ¨ber Ui−1 |Bi | 2 L2A (5) 2 b5 1 1 L1A (5) 1 b4 := (A − 5 · E5 ) · b5 1 wobei b5 ∈ L2A (5)\L1A (5) ist. Zwecks Bestimmung von ur i = 1 und i = 2 zu l¨ osen, wobei (A − 5 · E5 )i · x = o f¨ ⎛ 8 6 −1 0 12 ⎜ 12 9 12 0 18 ⎜ (A − 5 · E5 )2 = ⎜ ⎜ 1 −6 10 0 −12 ⎝ 0 0 0 0 0 −9 0 −9 0 0 Man erh¨ alt hieraus z.B.

und

⎡⎧ ⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎢⎪ ⎨⎜ ⎢ 1 ⎢ LA (5) = ⎢ ⎜ ⎜ ⎪⎝ ⎣⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎡⎧ ⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎨⎜ ⎜ ⎢ 2 ⎜ LA (5) = ⎢ ⎢⎪ ⎜ ⎝ ⎣⎪ ⎪ ⎪ ⎩

Hieraus folgt dann unmittelbar ⎛ 0 ⎜ −2 ⎜ b5 := ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 1 F¨ ur die Matrix

0 0 0 1 0

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟,⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

und

⎛ ⎜ ⎜ B := (b1 , ..., b5 ) = ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

⎞⎫⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎟⎪ ⎟⎬⎥ ⎟ ⎥ ⎟⎪⎥ ⎪⎦ ⎠⎪ ⎪ ⎭

0 −2 0 0 1

⎞⎫⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎟⎪ ⎟⎬⎥ ⎟ ⎥. ⎟⎪⎥ ⎦ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎛

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

0 0 0 1 0

b5 hat man die LGS

⎜ ⎜ b4 = ⎜ ⎜ ⎝

0 0 0 1 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

⎞ 1 −2 −1 0 0 0 −1 0 0 −2 ⎟ ⎟ −1 2 0 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 1 0 ⎠ 0 0 1 0 1

8.5 Jordansche Normalformen gilt damit

⎛ ⎜ ⎜ B−1 · A · B = ⎜ ⎜ ⎝

2 0 0 0 0

1 2 0 0 0

0 1 2 0 0

0 0 0 5 0

0 0 0 1 5

287

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠

Der obige Satz 8.5.4 zeigte, daß zu jeder Matrix A ∈ K n×n f¨ ur K = C eine ¨ ahnliche ort. F¨ ur K = R gilt dieser Satz nur, wenn die Matrix Jordan-Matrix aus K n×n geh¨ A genau n reelle EWe (Vielfachheiten mitgez¨ ahlt) besitzt. Wie man im Fall, wo das charakteristische Polynom von A nicht vollst¨ andig in Linearfaktoren zerf¨ allt, eine Normalform von A in Rn×n konstruieren kann, soll Gegenstand der letzten ¨ Uberlegungen dieses Kapitels sein. Genauer: Wir werden zeigen, daß zu jeder Matrix are Matrix B ∈ Rn×n existiert, die A mittels B−1 · A · B in eine A ∈ Rn×n eine regul¨ Matrix K ∈ Rn×n der Gestalt ⎞ ⎛ On1 ,n2 On1 ,n3 ... On1 ,nr K1 ⎜ On2 ,n1 K2 On2 ,n3 ... On2 ,nr ⎟ ⎟ ⎜ (8.15) ⎝ .................................. ⎠ Kr Onr ,n1 Onr ,n2 Onr ,n3 ... u uhrt, wobei jede Matrix Kj ∈ Rnj ×nj (j = 1, ..., r) entweder eine gewisse ¨berf¨ elementare Jordan-Matrix ist oder die Form ⎛ ⎞ aj bj 1 0 0 0 ... 0 0 0 0 ⎜ −bj aj 0 1 0 0 ... 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 aj bj 1 0 ... 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −bj aj 0 1 ... 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ (8.16) Kj = Jnj (aj , bj ) := ⎜ ⎜ ......................................... ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ... aj bj 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 ... −bj aj 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 aj bj ⎠ 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 −bj aj f¨ ur gewisse aj , bj ∈ R hat. Die Berechnung der Spalten der Matrix B, die zu den reellen EWen von A geh¨ oren und die in (8.15) die elementaren Jordan-Matrizen liefern, verl¨ auft wie bei der Berechnung einer Jordan-Matrix f¨ ur A. Ist z ∈ C\R ein EW von A im K¨ orper C, so ist orenden Spalten auch z ein EW von A und die Konstruktion der zu diesen EWen geh¨ von B ergibt sich aus dem nachfolgenden Satz. Satz 8.5.6 Seien A ∈ R(2·n)×(2·n) , a, b ∈ R, z := a + i · b ∈ C\R, |A − x · E2·n | = ahnlich zur Matrix (z − x)n · (z − x)n und A ¨ Jn (z) On,n J2·n (z, z) := ∈ C(2·n)×(2·n) . On,n Jn (z)

288


Dann gilt: (a) Es existiert eine regul¨ are Matrix B1 := (b1 , ..., b2·n ) ∈ C(2·n)×(2·n) mit B−1 1 ·A· B1 = J2·n (z, z) und die mit Hilfe der ersten n Spalten aus B bildbare Matrix B := (b1 , ..., bn , b1 , ..., bn ) ist ebenfalls regul¨ ar und hat die Eigenschaft B−1 · A · B = J2·n (z, z). (b) Bildet man mit Hilfe der Vektoren b1 , ..., bn aus (a) die Vektoren cj := bj + bj , cj := i · (−bj + bj ) (j = 1, ..., n), so sind diese Vektoren aus R(2·n)×1 und die Matrix C := (c1 , c1 , c2 , c2 , ..., cn , cn ) ist regul¨ ar und erf¨ ullt die Gleichung C−1 · A · C = J2·n (a, b).

Beweis. Die Existenz der Matrix B1 mit B−1 1 · A · B1 = J2·n (z, z) folgt aus Satz 8.5.4, dem Fundamentalsatz der Algebra und unseren Voraussetzungen. Setzt man alt man hieraus (unter Verwendung von Lemma 8.1.2) b0 := o, so erh¨ ∀j ∈ {1, 2, ..., n} : A · bj = bj−1 + z · bj .

(8.17)

¨ Ubergang zu den konjugiert komplexen Zahlen liefert aus (8.17) ∀j ∈ {1, 2, ..., n} : A · bj = bj−1 + z · bj .

(8.18) r(z)

Mit Hilfe von (8.18) u ¨berlegt man sich leicht, daß b1 , ..., bn Vektoren aus LA (z) r(z) r(z) sind, die – da b1 , ..., bn l.u. sind – auch l.u. sind. Wegen LA (z) ∩ LA (z) = {o} (siehe Lemma 8.3.5, (b)) ist dann die Matrix B regul¨ ar und aus (8.17) und (8.18) folgt B−1 · A · B = J2·n (z, z). ¨ u (b): Offenbar ist cj = 2 · Re bj und cj = 2 · Im bj (j = 1, ..., n). Als UA ¨berlege man sich, daß C regul¨ ar ist16 . Die restlichen Behauptungen unseres Satzes folgen mit Hilfe von Lemma 8.1.2, (8.17) und (8.18) aus A · cj = A · bj + A · bj = bj−1 + (a + b · i) · bj + bj−1 + (a − i · b) · bj = bj−1 + bj−1 + a · (bj + bj ) − b · i · (−bj + bj ) = cj−1 + a · cj − b · cj und

A · cj = −i · A · bj + i · A · bj = i · (−bj−1 − (a + b · i) · bj + bj−1 + (a − i · b) · bj ) = i · (−bj−1 + bj−1 ) + a · i · (−bj + bj ) + b · (bj + bj ) = cj−1 + a · cj + b · cj ,

wobei c0 :=

c0

:= o ist.

Wie bereits oben erl¨ autert, folgt aus Satz 8.5.6 der folgende 16

Siehe dazu auch die Aufgabe A.4.8 aus Kapitel 12.


289

Satz 8.5.7 Zu jeder Matrix A ∈ Rn×n existiert eine regul¨ are Matrix B ∈ Rn×n und nj ×nj (j = 1, ..., r) mit gewisse Matrizen Kj ∈ R ⎞ ⎛ On1 ,n2 On1 ,n3 ... On1 ,nr K1 ⎜ On2 ,n1 K2 On2 ,n3 ... On2 ,nr ⎟ ⎟ B−1 · A · B = ⎜ ⎝ ................................. ⎠ . Kr Onr ,n1 Onr ,n2 Onr ,n3 ... Jede Matrix Kj ∈ Rnj ×nj (j ∈ {1, ..., r}) ist dabei entweder eine gewisse elementare Jordan-Matrix oder hat die Gestalt (8.16), wobei die Zahlen zj := aj + bj · i und zj EWe von A im K¨ orper C sind.

9 Hyperfl¨ achen 2. Ordnung

9.1 Grundbegriffe Bezeichne nachfolgend Rn stets einen euklidischen n-dimensionalen Punktraum (also einen n-dimensionalen Punktraum u ¨ber R mit Skalarprodukt). Außerdem sei S := (A; e1 , . . . , en ) ein kartesisches Koordinatensystem des Rn . Definition Die Menge T aller Punkte X ∈ Rn , deren Koordinaten x1 , . . . , xn (bez. S) der Gleichung n n

n αij ·xi ·xj + αi ·xi +α0 = 0

i=1 j=1

(∗)

i=1

(α11 , . . . , αnn , α0 , . . . , αn ∈ R) gen¨ ugen, heißt Hyperfl¨ ache 2. Ordnung. Zwecks Charakterisierung der Menge T schreiben wir kurz T :

n n i=1 j=1

αij · xi · xj +

n

αi · xi + α0 = 0

i=1

Hyperfl¨ achen in R2 (∼ = R2 ) heißen auch Kurven 2. Ordnung und Hyperachen 2. Ordnung. fl¨ achen in R3 (∼ = R3 ) nennt man auch Fl¨ Beispiele (1) F¨ ur n = 2 lautet (∗) α11 x21 + α12 x1 x2 + α21 x2 x1 + α22 x22 + α1 x1 + α2 x2 + α0 = 0. Speziell sind damit Geraden mit den beschreibenden Gleichungen a1 x1 + a2 x2 + a0 = 0 (a1 = 0 oder a2 = 0)

292


und Kreise mit den beschreibenden Gleichungen (x1 − a)2 + (x2 − b)2 = r2 (a, b, r ∈ R) Kurven 2. Ordnung. (2) Ein Beispiel f¨ ur eine Fl¨ ache 2. Ordnung ist x21 + x22 − x3 = 0, ein sogenannter Rotationsparaboloid.

Hauptziele dieses Kapitels sind: • Klassifikation der Hyperfl¨ achen 2. Ordnung (Insbesondere suchen wir Antwort auf die Frage: Welche Typen von Kurven und Fl¨ achen 2. Ordnung gibt es ?) • Herleitung von Verfahren, mit denen man feststellen kann, welches geometrische Gebilde durch eine vorgegebene Gleichung der Form (∗) beschrieben wird. Unser L¨ osungsweg wird darin bestehen, das Koordinatensystem S mit dessen Hilfe T durch (∗) charakterisiert werden kann, durch ein (der Hyperfläche angepaßtes) Koordinatensystem S zu ersetzen, so daß T in Koordinaten bez. S durch eine (einfachere) Gleichung der Gestalt γ1 x1 + . . . + γn xn + βxn + γ = 0 2

2

beschrieben werden kann. Aus dieser sogenannten Normalform ist dann erkennbar, um welchen Typ (etwa Gerade, Ellipse, Parabel, . . . f¨ ur n = 2) es sich bei der Hyperfl¨ ache T handelt. Um das oben angedeutete Verfahren m¨ oglichst schreibökonomisch behandeln zu k¨ onnen, werden wir uns zun¨ achst eine Matrizenschreibweise f¨ ur Hyperfl¨ achen 2. Ordnung u ¨berlegen. Die Gleichung einer Kurve 2. Ordnung

9.1 Grundbegriffe

293

ax21 + bx22 + cx1 x2 + dx1 + ex2 + f = 0 kann in der Form

(x1 , x2 ) ·

a c/2 c/2 b

x1 x1 · + 2 · (d/2, e/2) · +f =0 x2 x2

und die Gleichung einer Fl¨ ache 2. Ordnung ax21 + bx22 + cx23 + dx1 x2 + ex1 x3 + f x2 x3 + gx1 + hx2 + ix3 + j = 0 in der Form

⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ x1 a d/2 e/2 x1 (x1 , x2 , x3 ) · ⎝ d/2 b f /2 ⎠ · ⎝ x2 ⎠ + 2 · (g/2, h/2, i/2) · ⎝ x2 ⎠ + j = 0 x3 x3 e/2 f /2 c ⎛

aufgeschrieben werden (Beweis: Nachrechnen!). Allgemein l¨ aßt sich die Gleichung (∗) einer Hyperfläche 2. Ordnung auch durch die folgende Matrixgleichung angeben: xT · A · x + 2 · bT · x + c = 0 (A = (aij )n,n ; bT = (b1 , . . . , bn ); aij = aji = (αij + αji )/2, bi = αi /2; c = α0 ). Den Ausdruck xT · A · x nennt man quadratische Form und 2 · bT · x ist die Zusammenfassung der sogenannten linearen Glieder. A wird auch Formenmatrix der quadratischen Form genannt. Hauptziel des Kapitels 9 ist der Beweis des folgenden Satzes. Satz 9.1.1 Es sei A eine symmetrische (n, n)-Matrix, bT = (b1 , . . . , bn ), S ein kartesisches Koordinatensystem des Rn und X T = (x1 , . . . , xn ) =: xT . /S Die Hyperfl¨ ache 2. Ordnung T : xT · A · x + 2 · bT · x + c = 0 l¨ aßt sich durch maximal zwei Koordinatentransformationen mit orthogonalen ¨ Ubergangsmatrizen (bzw. durch geeignete Wahl eines kartesischen Koordinatensystems S ) in eine der folgenden Normalformen (Ia) α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0 2 2 2 (Ib) α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 1 2 2 (II) α1 x1 + . . . + αr xr − 2xn = 0 (r < n) 2

2

2

u uhren. ¨berf¨ Ein Beweis dieses Satzes ist die sogenannte Hauptachsentransformation“, die ” wir im n¨ achsten Abschnitt ausf¨ uhrlich mit Beispielen behandeln wollen.

294


9.2 Hauptachsentransformation (Beweis von Satz 9.1.1) Wir beginnen mit einem Versuch, die linearen Glieder 2·bT ·x in der Gleichung xT · A · x + 2 · bT · x + c = 0

(1)

durch die Wahl eines anderen Koordinatenursprungs A bzw. durch die Koordinatentransformation x = c + x (x := X/S ; x := X/S ; c := A ) zu beseitigen. /S Ersetzt man x in (1) durch x + c, so erh¨ alt man: (x + c)T · A · (x + c) + 2 · bT · (x + c) + c = 0 und hieraus x · A · x + x · A · c + cT · A · x + cT · A · c + 2 · bT · x + 2 · bT · c + c = 0. T

T

Da x · A · c eine (1,1)-Matrix ist und wir A als symmetrisch vorausgesetzt haben, gilt T

x · A · c = (x · A · c)T = cT · AT · x = cT · A · x T

T

womit sich die Summanden in unserer obige Gleichung wie folgt zusammenfassen lassen: x · A · x + 2 · ( cT · A + bT ) · x + (cT · A · c + 2 · bT · c + c) = 0. =: c = (A · c + b)T T

Die linearen Glieder von (1) verschwinden folglich durch die Transformation x = x + c genau dann, wenn A · c + b = o bzw. A · c = −b gilt. Aus unseren L¨ osbarkeitsbedingungen f¨ ur LGS ergeben sich somit zwei F¨ alle: Fall 1: rgA = rg(A, −b). In diesem Fall hat das LGS A · c = −b mindestens eine Lösung c. Die Gesamtheit dieser L¨ osungen heißt singul¨ ares Gebilde der Hyperfl¨ ache T . Besteht das singul¨ are Gebilde nur aus einem Punkt, so wird dieser Punkt der Mittelpunkt von T genannt. Fall 2: rgA < rg(A, −b). In diesem Fall lassen sich die linearen Glieder aus der Gleichung (1) durch eine Koordinatentransformation der Form x = x + c nicht vollst¨ andig beseitigen.

9.2 Hauptachsentransformation (Beweis von Satz 9.1.1)

295

Nachfolgend sollen nun diese zwei F¨ alle weiter studiert werden. Wir werden sehen, daß Hyperfl¨ achen, die der Bedingung von Fall 1 gen¨ ugen, durch eine weitere Koordinatentransformation in eine der Normalformen (Ia) oder (Ib) u uhrt werden k¨ onnen. F¨ ur die restlichen Hyperflächen, die die Bedingung ¨berf¨ von Fall 2 erf¨ ullen, werden dann anschließend zwei Koordinatentransformationen angegeben, die diese in eine Normalform (II) u uhren. Wir beginnen ¨berf¨ mit Fall 1: rgA = rg(A, −b). Wie wir bereits oben begr¨ undet haben, k¨ onnen wir durch die 1. Transformation: x = x + c, wobei A · c = −b ist, die Gleichung (1) auf die Form x · A · x + c = 0 T

(2)

· c +2 · bT · c + c = bT · c + c bringen. mit c = cT · A = −b Als n¨ achstes werden wir die Koordinatenachsen so neu festlegen, daß die Matrix A von (2) in eine Diagonalmatrix u ¨bergeht. Genauer: Nachdem wir zun¨ achst T bez. unseres Ausgangskoordinatensystem S = (A; e1 , . . . , en ) durch die Gleichung (1) und anschließend durch Wahl eines neuen Koordinatenurache T durch (2) bez. S := (A ; e1 , . . . , en ) chasprungs A die Hyperfl¨ rakterisiert haben, bestimmen wir jetzt ein kartesisches Koordinatensystem S := (A ; e1 , . . . , en ) derart, daß T durch die weiter unten stehende Gleichung (3) bez. S beschrieben werden kann. Setzt man bi := ei /(e , . . . , e ) (i = 1, . . . , n) sowie B := (b1 , . . . , bn ), so be1

n

steht zwischen x := X/S und x := X/S nach Satz 5.2.2 (S. 186) wegen A = o folgender Zusammenhang: /S x = B · x .

Ersetzen von x in (2) durch B · x liefert (B · x )T · A · (B · x ) + c = 0 bzw.

x · (BT · A · B) · x + c = 0. T

W¨ ahlt man nun B als orthogonale Matrix, deren Spalten aus (bez. Standardskalarprodukt) orthonormierten EVen zu den EWen von A besteht, so liefert (wegen Satz 8.3.8, (b)) die sogenannte 2. Transformation: x = B · x , einen ¨ Ubergang von (2) zu der Gleichung ⎛ ⎞ λ1 0 . . . 0 T ⎜ 0 λ2 . . . 0 ⎟ ⎟ x · ⎜ (3) ⎝ . . . . . . . . . . . . ⎠ ·x +c = 0, 0 . . . . . . λn

296


wobei λ1 , . . . , λn die EWe von A sind. F¨ ur c = 0 liegt durch (3) eine Normal form des Typs (Ia) f¨ ur T vor. Ist c = 0, so liefert die Division durch −c aus (3) eine Normalform des Typs (Ib). Also gilt der Satz 9.1.1 im Fall 1. Bevor wir uns mit dem noch zu untersuchenden Fall 2 beschäftigen, wollen wir uns zun¨ achst drei Beispiele zum Fall 1 ansehen. In sämtlichen Beispielen verwenden wir aus Abk¨ urzungsgr¨ unden dieselben Bezeichnungen wie oben. 1. Beispiel

Seien n = 2 und √ √ T1 : 2x2 + 4y 2 + 2 3 xy + 8x + 4 3 y + 7 = 0.

Die Matrizenschreibweise f¨ ur T1 lautet: 6 √ 7 √ x 3 x 2 (x, y)· √ +7 = 0. · +2·(4, 2 3)· y 3 4 y

(1B1 )

Da offenbar rgA = 2, liegt Fall 1 vor. Aus dem LGS A · c = −b: 6 √ 7 c1 −4 3 2 √ √ · = −2 3 3 4 c2 alt man c1 = −2 und c2 = 0. Folglich ist c := bT · c + 7 = (cT = (c1 , c2 )) erh¨ −8 + 7 = −1. Durch die 1. Transformation: x = c + x geht (1B1 ) damit in x ·A·x −1 = 0 T

(2B1 )

u ¨ber. Zwecks Durchf¨ uhrung der 2. Transformation haben wir die EWe und EVen von A zu berechnen. Aus 2 − λ √3 √ = λ2 − 6λ − 3 = (λ − 5) · (λ − 1) = 0 3 4 − λ ur A. ergeben sich die EW λ1 = 5 und λ2 = 1 f¨ Die EVen zum EW 5 sind die nichttrivialen L¨ osungen y des LGS 6 7 √ 1 −3 3 √ ·y=o: y=t· √ (t ∈ R), 3 −1 3 und die EVen zum EW 1 die nichttrivialen L¨ osungen y von 7 6 √ √ − 3 3 1 √ ·y=o: y=t· (t ∈ R). 3 3 1


297

Da die EVen zu verschiedenen EWen orthogonal zueinander sind, haben wir (zwecks Bestimmung einer orthogonalen Matrix B) zwei EVen zu verschiedenen EWen von A zu normieren. Wir erhalten 7 6 √ 1/2 − 3/2 . B= √ 3/2 1/2 Folglich u uhrt die 2. Transformation: x = B · x die Gleichung (2B1 ) in ¨berf¨ 5 0 x · −1=0 (3B1 ) (x , y ) · 0 1 y bzw.

5 · x + y = 1. 2

2

Wir haben damit die Gleichung einer Ellipse erhalten (siehe dazu auch Abschnitt 9.3, S. 310ff), die sich im Koordinatensystem S wie folgt geometrisch darstellen l¨ aßt:

Um die konkrete Lage dieser Ellipse im Ausgangskoodinatensystem S angeben zu k¨ onnen, fassen wir unsere oben vorgenommenen Koordinatentransformationen zusammen: Aus x = c + x und x = B · x ergibt sich x = c + B · x bzw. (siehe Satz 5.2.2) X/S = A/S + (e1 /B , e2 /B ) · X/S , wobei B = (e1 , e2 ),

298


c=

7 6 √ 1/2 − 3/2 −2 . und B = √ 0 3/2 1/2

Also haben wir:

2. Beispiel

Seien n = 2 und T2 : 8x2 + 6xy − 14x − 12y − 4 = 0

bzw.

T2 : (x, y)·

8 3 x x · +2·(−7, −6)· −4 = 0. 3 0 y y

(1B2 )

Da rgA = 2, liegt Fall 2 vor. Aus A · c = −b ergibt sich cT = (2, −3), womit c = bT · c − 4 = 0 ist. Die 1. uhrt also (1B2 ) in Transformation x = c + x u ¨berf¨ x · A · x = 0. T

(2B2 )

Wie man leicht nachrechnet, sind λ1 = 9 und λ2 = −1 die EWe von A. Außerdem pr¨ uft man leicht nach, daß (3, 1)T ein EV zum EW 9 und (1, −3)T ein EV zum EW -1 ist. Die f¨ ur die 2. Transformation x = B · x erforderliche orthogonale Matrix B erh¨ alt man folglich durch Normieren dieser beiden Vektoren: 7 6 √ √ 3/ 10 1/ 10 √ √ . B= 1/ 10 −3/ 10 (2B2 ) geht damit u ¨ber in 9 0 x (x , y )· · = 0 0 −1 y

(3B2 )


bzw.

299

9 · x − y = 0 2

2

( ⇐⇒ y = 3x ∨ y = −3x ). Dieser Gleichung ist nun unmittelbar zu entnehmen, daß die Kurve T2 aus zwei sich schneidende Geraden besteht. Die konkrete Lage dieser Geraden im Ausgangskoordinatensystem l¨ aßt sich (wie im obigen 1. Beispiel) durch ein Zusammenfassen der Koordiatentransformationen 7 √ 6 √ 3/ 10 1/ 10 2 √ √ + · x x=c+B·x = −3 1/ 10 −3/ 10 und der daraus ablesbaren Lage des Koordinatenursprungs A und der Koordinatenachsen von S ermitteln:

3. Beispiel

Seien n = 3 und T3 : 2x2 + 2y 2 + 5z 2 − 2xy + 4xz − 4yz + 1 = 0

bzw. ⎛

⎞ ⎛ ⎞ 2 −1 2 x T3 : (x, y, z) · ⎝ −1 2 −2 ⎠ · ⎝ y ⎠ + 1 = 0. 2 −2 5 z

(1B3 )

In diesem Beispiel entf¨ allt die 1. Transformation, da in (1B3 ) keine linearen Glieder auftreten. Zwecks Durchf¨ uhrung der 2. Transformation x = B · x hat man die EWe von A zu berechnen. Man erhält λ1 = λ2 = 1 und λ3 = 7. Orthonormieren zugeh¨ origer EVen liefert dann die orthogonale Matrix √ √ ⎞ ⎛ √ 1/√2 −1/√3 1/√6 B = ⎝ 1/ 2 1/√3 1/√6 ⎠ 0 1/ 3 −2/ 6

300


(siehe auch Beispiel (1.) von S. 273). Wir erhalten dann als Ergebnis der Transformation x = B · x die Gleichung: ⎞ ⎛ 1 0 0 T x · ⎝ 0 1 0 ⎠ · x + 1 = 0 0 0 7 bzw.

x + y + 7 · z + 1 = 0, 2

2

2

die von keinem Punkt X mit reellen Koordinaten (x, y, z)T erf¨ ullt wird. Folglich ist T3 die leere Menge. Es sei noch bemerkt, daß, falls in (1B3 ) das Absolutglied +1 durch −1 ersetzt wird, durch die so erhaltene Gleichung ein 2 2 2 Ellipsoid: x + y + 7 · z = 1 beschrieben wird. Weiter mit dem allgemeinen Beweis.

Fall 2: r := rgA < rg(A, −b). In diesem Fall hat das LGS A · c = −b keine Lösung c. Außerdem haben wir |A| = 0 und wegen unserer Voraussetzung r := rgA < n ist 0 ein EW mit der Vielfachheit n − r von A. Wir beginnen mit der 1. Transformation: x = B · x . B bezeichne dabei eine orthogonale Matrix, deren Spalten wir mit b1 , . . . , bn bezeichnen wollen. Wir u achst, daß B stets so bestimmbar ¨berlegen uns zun¨ ist, daß durch die 1. Transformation die Gleichung (1) in eine Gleichung der Form x · D · x + 2 · b · x + c = 0, T

wobei

T

⎛

λ1 ⎜ .. ⎜ . ⎜ ⎜ 0 D := ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ . ⎝ .. 0

(4)

⎞ ... 0 ... 0 .⎟ . . .. . . . . . .. ⎟ ⎟ . . . λr . . . 0 ⎟ ⎟, ......... 0 ⎟ ⎟ .. ⎟ ......... . ⎠ ......... 0

b = (b1 , . . . , br , 0, . . . , 0, bn ) mit bn = 0 und bi = bT · bi f¨ ur i ∈ {1, . . . , r, n}, u uhrt werden kann. Ersetzt man x in (1) durch B · x , so erhält man die ¨berf¨ Gleichung T x · (BT · A · B) · x + 2 · (bT · B) · x + c = 0. T

Folglich muß B den nachfolgenden Bedingungen gen¨ ugen:


⎛

301

⎞ 0 .. ⎟ .⎟ ⎟ 0⎟ ⎟, 0⎟ ⎟ .. ⎟ .......... . ⎠ 0 .......... 0

λ1 ⎜ .. ⎜ . ⎜ ⎜ 0 T B ·A·B=⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ . ⎝ ..

... 0 ... . . .. . . ... . . . λr . . . ..........

d.h., b1 , . . . , br sind orthonormierte EVen zu den von 0 verschiedenen EWen von A und br+1 , . . . , bn sind orthonormierte EVen zum EW 0 von A, sowie bT · B = (bT · b1 , bT · b2 , . . . , bT · bn ) = (b1 , . . . , br , 0, . . . , 0, bn ), d.h., die EVen br+1 , . . . , bn zum EW 0 erf¨ ullen noch die Bedingungen bT · br+1 = . . . = bT · bn−1 = 0 bT · bn = 0.

und

Zusammenfassend sind also bi (i = 1, . . . , r) gewisse orthonormierte Lösungen von (A − λi · En ) · y = o, wobei λi = 0, br+1 , . . . , bn−1 gewisse orthonormierte L¨ osungen von A A·y=o · y = o ((A, b)T · y = o) bT · y = 0 bT osung von A · y = o, die orthogonal zu br+1 , . . . , bn−1 ist, jedoch und bn eine L¨ keine L¨ osung von (A, b)T · y = o sein darf. ur b1 , . . . , br unmittelbar aus Satz 8.3.8 Die Existenz solcher b1 , . . . , bn folgt f¨ ¨ (S. 269) und f¨ ur die restlichen bj (j = r + 1, . . . , n) aus folgenden Uberlegungen: Wegen rg(A, b)T = rg(A, −b) = r + 1 besitzt das LGS (A, b)T · y = o n − r − 1 l.u. L¨ osungen a1 , . . . , an−r−1 (siehe Satz 3.4.4, S. 148). Da laut Voraussetzung dim LA (0) = n − r ist, existieren nach Satz 8.3.11 (S. 272) n − r l.u. EVen zu dem EW 0 von A, von denen einer (sagen wir an−r ) keine Lösung von A·y = o ist. Menge der L¨ osungen von A · y = o ' '

$ $

a1 , a2 , . . . , an−r−1 & &

@ I @

an−r % %

@ Menge der L¨ osungen von bAT · y = o

302


Orthonormiert man nun der Reihe nach die Vektoren a1 , . . . , an−r , so erhält man die gew¨ unschten br+1 , . . . , bn . Also l¨ aßt sich durch die erste Transformation die Gleichung (1) in die Gleichung (4) u uhren. ¨berf¨ Das Ziel der 2. Transformation: x = c + x ist es, in der Gleichung (4) das Absolutglied und – bis auf die n-te Variable – die linearen Glieder zu beseitigen. Wie m¨ ogliche c zu wählen sind, ergibt sich aus den sich anschließenden Rechnungen. alt man nach einigen ZusammenErsetzt man in (4) x durch x + c, so erh¨ fassungen, die wir bereits zu Beginn dieses Abschnittes einmal durchgef¨ uhrt haben (siehe S. 294), folgende Gleichung: x · D · x + 2 · (D · c + b )T · x + (cT · D · c + 2 · b · c + c) = 0. T

T

Der Vektor c := (c1 , . . . , cn )T mit den Koordinaten des neuen Koordinatenursprungs (bez. S ) soll so bestimmt werden, daß D · c + b = (0, 0, . . . , 0, bn )T und

cT · D · c + 2 · b · c + c = 0 T

sind. Aus der ersten Gleichung ergibt sich unmittelbar: ci = −

bi λi

(i = 1, . . . , r).

Außerdem sieht man, daß cr+1 , . . . , cn−1 beliebig wählbar sind. Wir setzen hier cj = 0 (j = r + 1, . . . , n − 1). Die noch fehlende Koordinate cn ergibt sich aus der Gleichung cT ·D·c+2·b · c + c = 0, indem man die bereits bestimmten Werte der ck (k = 1, . . . , n − 1) ost: einsetzt und die Gleichung nach cn aufl¨ T

1 b1 br · ( + . . . + − c). 2 · bn λ1 λr 2

cn =

2

Zusammenfassend erhalten wir damit b1 b 1 b1 br , . . . , − r , 0, . . . , 0, · ( + . . . + − c)). λ1 λr 2 · bn λ1 λr 2

cT = (−

2

(4) geht folglich durch die 2. Transformation u ¨ber in x · D · x + 2 · (0, . . . , 0, bn ) · x = 0. T

(5)


303

Division durch −bn ergibt aus (5) eine Normalform des Typs (II). Nachfolgend einige Beispiele zu Fall 2. 4. Beispiel

Seien n = 3 und √ T4 : 2x2 + 2y 2 + 4xy + 2x − 2y + 2 2z = 0.

(1B4 )

Die Matrizendarstellung von T4 lautet: ⎛ ⎞ 2 2 0 √ xT · ⎝ 2 2 0 ⎠ · x + 2 · (1, −1, 2) · x = 0. 0 0 0 Wegen rgA = 1 (= r) und rg(A, −b) = 2 liegt Fall 2 vor. Außerdem ergibt ¨ sich aus unseren obigen Uberlegungen, daß A genau einen EW = 0 besitzt und 0 ein EW von A mit der Vielfachheit 2 ist. Wir beginnen mit der 1. Transformation: x = B · x , wobei B = (b1 , b2 , b3 ), b1 ein normierter EV zum einzigen EW = 0 und b2 , b3 orthonormierte EVen zum EW 0 sind, die außerdem noch bT · b2 = 0 und ullen. bT · b3 = 0 erf¨ Zwecks Berechnung von B haben wir zun¨ achst die EWe von A zu bestimmen: 2−λ 2 0 2 2 − λ 0 = −λ((2 − λ)2 − 4) = −λ2 (−4 + λ) = 0 0 0 −λ =⇒ λ1 = 4 ∧ λ2 = λ3 = 0. (Dies folgt aber auch unmittelbar aus rgA = 1 und mit Hilfe von Satz 8.2.8, (b).) Die EVen zum EW 4 erh¨ alt man aus ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −2 2 0 1 ⎝ 2 −2 0 ⎠ · y = o : y = t · ⎝ 1 ⎠ (t ∈ R), 0 0 −4 0 woraus sich

⎛ ⎞ 1 √ b1 := (1/ 2) ⎝ 1 ⎠ 0

ergibt. Zwecks Ermittlung von b2 , b3 haben wir zun¨ achst zwei LGS zu lösen. Es gilt

304


⎛

2 2 ⎜2 2 T (A, b) · y = o ⇐⇒ ⎜ ⎝0 0 1 −1

⎞ 0 0 ⎟ ⎟·y=o ⎠ √0 2

⇐⇒ y1 + y2 = √ 0 y1 − y2 + 2 y3 = 0 ⎞ ⎛ −1 ⇐⇒ y = t · ⎝ √1 ⎠ (t ∈ R) 2 und

⎛

⎞ 2 2 0 A · y = o ⇐⇒ ⎝ 2 2 0 ⎠ · y = o 0 0 0 ⇐⇒ y1 + y2 + ⎛ 0 · y3⎞= 0 ⎛ ⎞ −1 0 ⇐⇒ y = t1 · ⎝ 1 ⎠ + t2 · ⎝ 0 ⎠ 0 1

(t1 , t2 ∈ R).

√ W¨ ahlt man nun a1 := (−1, 1, 2)T (als eine Lösung des 1. LGS) und a2 := osung des 2. LGS, die keine Lösung des 1. LGS ist), so (0, 0, 1)T (als eine L¨ erh¨ alt man durch Anwenden des ONV auf die Vektoren a1 , a2 (Reihenfolge einhalten!!!) die noch fehlenden Spalten b2 , b3 von B: ⎞ ⎛ −1 b2 := a11 · a1 = 12 · ⎝ √1 ⎠ , ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ −1 1 0 √ √ −1 ⎠ , a2 − ϕ(a2 , b2 ) · b2 = ⎝ 0 ⎠ − 42 · ⎝ √1 ⎠ = 42 · ⎝ √ 1⎛ 2 2 ⎞ 1 −1 ⎠ . b3 := 12 · ⎝ √ 2 Die Matrix B hat somit die Gestalt ⎞ ⎛ √ 1/√2 −1/2 1/2 ⎝ 1/ 2 1/2 −1/2 ⎠ √ √ 0 2/2 2/2 und es gilt b1 := bT · b1 = 0 (Zufall!), b2 := bT · b2 = 0 (nach Konstruktion von B) sowie b3 := bT · b3 = 2 (= 0 nach Konstruktion von B).


305

Die Gleichung (1B4 ) geht damit durch die 1. Transformation u ¨ber in die Gleichung ⎞ ⎛ 4 0 0 T (4B4 ) x ·⎝ 0 0 0 ⎠·x +2·(0, 0, 2)·x = 0 0 0 0 bzw.

4 · x + 4 · z = 0. 2

Die 2. Transformation er¨ ubrigt sich, da (4B4 ) (bis auf einen gewissen Faktor) bereits in der gew¨ unschten Normalform (II) vorliegt. T ist folglich ein sogenannter parabolischer Zylinder. Eine Skizze dieser Fläche im x , y , z -Koordinatensystem kann man sich z.B. mit Hilfe der Abbildung eines parabolischen Zylinders von Seite 320 u ¨berlegen. Die Lage der Fl¨ ache T im Ausgangskoordinatensystem ist dann aus der Transformationsformel x = B·x ablesbar. Bekanntlich sind die Spalten von B gerade die Koordinaten der neuen Basisvektoren bez. der alten Basis des Koordinatensystem S. Außerdem ¨ andert sich der Koordinatenursprung nicht. 5. Beispiel

Seien n = 2 und T5 : x2 + 4y 2 + 4xy + 2x + 2y − 7 = 0

bzw. T5 : x · T

1 2 2 4

· x + 2 · (1, 1) · x − 7 = 0.

(1B5 )

Da r := rgA = 1 < rg(A, −b) = 2 ist, liegt Fall 2 vor. Um die 1. Transformation: x = B · x mit B = (b1 , b2 ) normierter EV zum EW λ1 = 0 von A

@ I @ @

@ normierter EV zum EW 0 von A

durchf¨ uhren zu k¨ onnen, haben wir zun¨ achst die EWe und die zugehörigen EVen von A zu berechnen. EWe λ1 , λ2 von A: 1−λ 2 = λ · (λ − 5) = 0 =⇒ λ1 = 5 ∧ λ2 = 0. 2 4−λ EVen zum EW λ1 = 5 von A:

306


−4 2 2 −1

· y = o =⇒ y = t ·

1 2

(t ∈ R)

EVen zum EW λ2 = 0 von A: 1 2 2 · y = o =⇒ y = s · (s ∈ R). 2 4 −1 Normieren der entsprechenden EVen liefert √ 1 2 B = (1/ 5) · . 2 −1 (1B5 ) geht folglich durch die 1. Transformation in 5 0 T x · ·x +2·(b1 , b2 )·x −7 = 0 0 0 √ √ u ¨ber, wobei b1 = bT · b1 = 3/ 5 und b2 = bT · b2 = 1/ 5 ist. Durch die 2. Transformation x = c + x mit −b1 /λ1 c = 2 (1/(2b2 )) · (b1 /λ1 − c) ≈ −0,268 8,229 l¨ aßt sich (4B5 ) in T

x bzw.

·

5 0 0 0

(4B5 )

√ · x + 2 · (0, 1/ 5) · x = 0

√ 2 5x + (2/ 5) · y = 0

u uhren, womit T eine Parabel ist, die im x , y -Koordinatensystem wie ¨berf¨ folgt skizzierbar ist:


307

Die Lage dieser Parabel im Ausgangskoordinatensystem erhält man, indem man die oben durchgef¨ uhrten Koordinatentransformationen zusammenfaßt: x = B · x = B · (c + x ) = B·c+ b · x 7, 24 ≈ + −3, 92 Koordinaten des neuen Koordinatenursprungs im Ausgangskoordinatensystem

0, 45 0, 9 0, 9 −0, 45

·x

Koordinaten der neuen Basisvektoren im Ausgangskoordinatensystem

Wir erhalten damit folgende Skizze der Kurve T5 :

Abschließend seien noch einmal die einzelnen Schritte der Hauptachsentransformation zusammengefaßt.

308


Hauptachsentransformation (Zusammenfassung) Seien A eine symmetrische (n, n)-Matrix, bT = (b1 , . . . , bn ), S ein kartesisches Koordinatensystem des Rn und X T = (x1 , . . . , xn ) =: xT . Die Hyperfläche /S 2. Ordnung T : xT ·A·x+2·bT ·x+c = 0

(1)

l¨ aßt sich durch maximal zwei Koordinatentransformationen mit orthogonalen ¨ Ubergangsmatrizen (bzw. durch geeignete Wahl eines kartesischen Koordinatensystems S ) in eine der folgenden Normalformen (Ia) (Ib) (II)

α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0 2 2 2 α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 1 2 2 α1 x1 + . . . + αr xr − 2xn = 0 2

2

2

(r < n)

auf folgende Weise u uhren: ¨berf¨ 1. Fall: rgA = rg(A, −b). 1. Transformation: x = c + x . c berechnet man aus A · c = −b. (1) geht dann u ¨ber in x · A · x + c = 0, T

(2)

wobei c = b · c + c. 2. Transformation: x = B · x . B ist eine orthogonale Matrix, deren Spalten orthonormierte EVen zu den EWen von A sind. (2) geht durch diese 2. Transformation u ¨ber in ⎞ ⎛ λ1 . . . 0 T (3) x · ⎝ . . . . . ⎠ ·x +c = 0, 0 . . . λn T

wobei λ1 , . . . , λn die EWe von A sind. F¨ ur c = 0 liegt durch (3) eine Normal form des Typs (Ia) f¨ ur T vor. Ist c = 0, so liefert die Division durch −c aus (3) eine Normalform des Typs (Ib). 2. Fall: rgA =: r < rg(A, −b). 1. Transformation: x = B · x . B = (b1 , . . . , br , br+1 , . . . , bn−1 , bn ) und b1 , . . . , br sind orthonormierte EVen zu den von 0 verschiedenen EWen von A. br+1 , . . . , bn sind orthonormierte EVen zum EW 0 von A, die so gew¨ ahlt sind, daß bT br+1 = . . . = bT br−1 = 0 T alt man durch Anwenden des E.und b bn = 0, d.h., br+1 , . . . , bn erh¨ Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens auf gewisse Vektoren a1 , . . . , an−r , angige L¨ osungen von (A, b)T ·x = o sind und wobei a1 , . . . , an−r−1 linear unabh¨ osung von A · x = o, aber keine von (A, b)T · x = o ist. an−r eine L¨ Man kann also nach folgendem Verfahren B berechnen:


309

• Ermittlung der n EWe von A (Vielfachheiten mitgezählt): λ1 , . . . , λr , = 0

0, . . . , 0 n−r

• Zu den EWen λ1 , . . . , λr ermittle man r l.u. EVen und orthonormiere sie anschließend nach dem ONV. Man erh¨ alt b1 , . . . , br . • L¨ osen der LGS (A, b)T · y = o : y = t1 · a1 + . . . + tn−r−1 · an−r−1 und A·y=o:

y = s1 · a1 + . . . + sn−r · an−r

Wahl der Vektoren a1 , . . . , an−r−1 , ai

(i ∈ {1, . . . , n − r}),

wobei ai ∈ / [{a1 , . . . , an−r−1 }] und anschließendes Orthonomieren (dabei unbedingt den Vektor ai als letzten Vektor beim ONV einsetzen!!!) liefert br+1 , . . . , bn . (1) geht durch die Transformation x = B · x u ¨ber in x · D · x + 2 · b · x + c = 0, T

T

⎛

wobei

λ1 ⎜ .. ⎜ . ⎜ ⎜ 0 D=⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ . ⎝ .. 0

(4)

⎞ ... 0 ... 0 .⎟ . . .. . . . . . .. ⎟ ⎟ . . . λr . . . 0 ⎟ ⎟, ......... 0 ⎟ ⎟ .. ⎟ ......... . ⎠ ......... 0

T

b = (b1 , . . . , br , 0, . . . , 0, bn ) und bi = bT · bi f¨ ur i ∈ {1, . . . , r, n}. 2. Transformation: x = c + x . c berechnet man aus D · c + b = (0, . . . , 0, bn )T und cT · D · c + 2 · b · c + c = 0. T

Z.B. kann man folgendes c w¨ ahlen: 2 2 (−b1 /λ1 , . . . , −br /λr , 0, . . . , 0, (b1 /λ1 + . . . + br /λr − c)/(2bn ))T . (4) geht durch die 2. Transformation u ¨ber in x · D · x + 2 · (0, . . . , 0, bn ) · x = 0. T

Division durch −bn ergibt aus (5) eine Normalform des Typs (II).

(5)

310


9.3 Klassifikation der Kurven 2. Ordnung Zwecks Kl¨ arung der Frage, welche geometrischen Gebilde durch Gleichungen der Form (1) (siehe S. 293) in der Ebene beschrieben werden, haben wir nach Satz 9.1.1 (S. 293) nur folgende drei Gleichungen zu untersuchen: (Ia) (Ib) (II)

α · x2 + β · y 2 = 0 α · x2 + β · y 2 = 1 α · x2 − 2 · y = 0.

Die nachfolgende Tabelle gibt m¨ ogliche Vorzeichenverteilungen f¨ ur α und β an, die wiederum den Typ der durch die oben stehenden Gleichungen beschriebenen Kurven T bestimmen. Weggelassen wurden dabei Vorzeichenverteilungen, die sich durch Vertauschen von x und y bzw. durch Multiplikation der obigen Gleichungen mit −1 auf die in der Tabelle bereits behandelten F¨ alle zur¨ uckf¨ uhren lassen. Die mit Ellipse und Hyperbel bezeichneten Kurven 2. Ordnung werden anschließend noch durch gewisse geometrischen Eigenschaften definiert, und dann gezeigt, daß die so eingef¨ uhrten Punktmengen als charakterisierende Gleichungen die in der Tabelle angegebenen besitzen, wenn sich die Kurven in sogenannten Mittelpunktslagen befinden. Normal- α form N (Ia) 0 0 + + (Ib) 0 0 + + − (II) 0 +

β durch N beschriebene Punktmenge ⊆ R2 0 x, y-Ebene + Gerade y = 0 + Punkt (0, 0) − Geradenpaar y = ±(|α/β|) · x + Doppelgerade y = ±1/β − ∅ ( imagin¨ ares Gebilde“) ” + Ellipse − Hyperbel − ∅ ( imagin¨ ares Gebilde“) ” 0 Gerade y = 0 0 Parabel

Folglich gilt: Satz 9.3.1 Durch Gleichungen der Form xT · A · x + 2 · bT · x + c = 0 werden im R2 folgende Punktmengen bzw. geometrische Gebilde beschrieben: ∅, Punkt, Gerade, zwei parallele Geraden, zwei sich schneidende Geraden sowie die sogenannten nichtausgearteten Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel. Mit Hilfe des nachfolgenden Satzes l¨ aßt sich leicht feststellen, um welche Gebilde es sich bei einer vorgegebener Gleichung f¨ ur eine Kurve 2. Ordnung handelt:

9.3 Klassifikation der Kurven 2. Ordnung

311

Satz 9.3.2 Die Kurve T (⊆ R2 ), die durch die Gleichung T : ax2 + by 2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0 beschrieben wird, ist genau dann ein nichtausgearteter Kegelschnitt, wenn f d e d a c = 0 e c b gilt. Und zwar handelt es um eine ⎧ Ellipse ⎨ Parabel , wenn ⎩ Hyperbel Beweis.

a c

⎧ >0 c ⎨ =0 . b ⎩ 0) haben.1 Diese Definition einer Ellipse f¨ ur e > 0 liefert sofort folgende G¨ artnerkon” struktion“: Man fixiere durch zwei St¨ abe die Punkte F1 , F2 , nehme ein verknotetes Band der L¨ ange 2a + 2e und ziehe mit Hilfe eines weiteren Stabes (wie unten angegeben) die Ellipsenkurve:

Die aus der oben angegebenen Definition einer Ellipse E folgende beschreibende Gleichung |X − F1 | + |X − F2 | = 2a ist f¨ ur konkrete Rechnungen nicht allzu handlich“. Wir zeigen deshalb ” zun¨ achst, daß eine Ellipse in sogenannter Mittelpunktslage“ durch eine Glei” chung der Art x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 beschreibbar ist, und leiten anschließend noch eine sogenannte Parameterdarstellung her. Satz 9.3.3 Seien a > e ≥ 0, b :=

√

a2 − e2 und F1 , F2 ∈ R2 mit F1/S = (S: kartesisches Koordinatensystem des R2 ) und

(−e, 0)T , F2/S = (0, e)T ur alle X ∈ R2 mit X/S = (x, y)T : |F1 − F2 | = 2e. Dann gilt f¨

X ∈ E :⇐⇒ |X − F1 | + |X − F2 | = 2a ⇐⇒ x2 /a2 + y 2 /b2 = 1.

1

F¨ ur e = 0 ist die Ellipse ein Kreis.


313

Beweis. =⇒“: Sei |X − F1 | + |X − F2 | = 2a. Wegen a > e gilt a2 − e2 > 0, ”√ 2 womit b := a − e2 festlegbar ist. Geometrisch läßt sich b wie folgt deuten:

Aus den oben vereinbarten Koordinaten von X, F1 , F2 und der Voraussetzung |X − F1 | + |X − F2 | = 2a ergibt sich nun (x + e)2 + y 2 = 2a − y 2 + (x − e)2 . Quadriert man diese Gleichung, so erh¨ alt man (x + e)2 + y 2 = 4a2 − 4a · y 2 + (x − e)2 + y 2 + (x − e)2 sowie (nach einigen Zusammenfassungen) 4xe − 4a2 = −4a · y 2 + (x − e)2 bzw. a2 − xe = a · y 2 + (x − e)2 . Erneutes Quadrieren liefert die Gleichung (a2 − xe)2 = a2 (y 2 + (x − e)2 ), die sich wie folgt zusammenfassen l¨ aßt: a4 − 2a2 xe + x2 e2 = a2 y 2 + a2 x2 − 2a2 xe + a2 e2 , 0 = (a2 − e2 ) · x2 + a2 · y 2 + a2 · (e2 − a2 ) = b2 · x2 + a2 · y 2 − a2 · b2 .

314


Dividiert man die letzte Gleichung durch a2 · b2 , so erhält man 0 = x2 /a2 + y 2 /b2 − 1, w.z.b.w. ur dessen Koordinaten x, y (bez. des karte⇐=“: Sei X ∈ R2 ein Punkt, f¨ ” sischen Koordinatensystem S := (A; i, j)) x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 gilt. Folgende Gleichungen pr¨ uft man leicht nach: |X − F1 | = (x + e)2 + y 2 = x2 + 2xe + e2 + b2 − (b2 /a2 ) · x2

=

= =

-

( da y 2 = b2 (1 − (x2 /a2 )) x2 + 2xe + e2 + a2 − e2 − x2 + (e2 /a2 )x2 ( wegen b2 = a2 − e2 ) 2xe + a2 + (e2 /a2 ) · x2 (a + (e/a) · x)2

= |a + (e/a) · x|. Analog rechnet man leicht nach, daß |X − F2 | = |a − (e/a) · x| gilt. Wegen x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 ist |x| ≤ a. Hieraus und aus der Voraussetzung e < a l¨ aßt sich nun schlußfolgern, daß a + (e/a)x ≥ 0 sowie a − (e/a)x ≥ 0, womit |X − F1 | + |X − F2 | = 2a gilt. Eine weitere M¨ oglichkeit der Charakterisierung einer Ellipse gibt das folgende Lemma an. Lemma 9.3.4 F¨ ur beliebige x, y ∈ R gilt: x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 ⇐⇒ ∃ϕ ∈ [0, 2π) : x = a · cos ϕ y = b · sin ϕ.

∧

Mit anderen Worten: aßt sich auch durch Eine Ellipse E : x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 l¨ x = a · cos ϕ E: ϕ ∈ [0, 2π) y = b · sin ϕ (sogenannte Parameterdarstellung von E) beschreiben, d.h., man erh¨ alt alle Punkte einer Ellipse, wenn man ϕ alle reellen Zahlen aus [0, 2 · π) durchlaufen l¨ aßt. Beweis.

¨ UA.

Geometrisch l¨ aßt sich der Parameter ϕ aus obigem Lemma wie folgt deuten:


315

Sei o.B.d.A. a > b. Zeichnet man nun um den Koordinatenursprung A einen Kreis mit dem Radius a und einen Kreis mit dem Radius b, so schneidet ein von A ausgehender Strahl, der mit der positiven x-Achse den Winkel ϕ bildet, den Kreis mit dem Radius a im Punkt P1 und den anderen im Punkt P2 . Der Schnittpunkt der Parallelen zur y-Achse durch P1 mit der Parallelen zur x-Achse durch P2 ist dann ein Punkt P der Ellipse mit den Koordinaten x = a · cos ϕ sowie y = b · sin ϕ. Aus der oben angegebenen Eigenschaft der Ellipse ist u ¨brigens ein einfaches Verfahren zur Konstruktion von Ellipsenpunkten mit Zirkel und Lineal ablesbar. ur die Definition Die Hyperbel H ist die Menge aller Punkte X ∈ R2 , f¨ die Differenz der Abst¨ ande zu zwei gegebenen Punkten F1 , F2 (|F1 −F2 | = 2e, e > 0) den festen Betrag 2a (a < e) hat. Es gilt also X ∈ H :⇐⇒ | |X − F1 | − |X − F2 | | = 2a. Analog zum Beweis von Satz 9.3.3 l¨ aßt sich der folgende Satz begr¨ unden. √

e2 − a2 , F1/S := (−e, 0)T , F2/S := ur beliebige X ∈ R2 mit X/S := (x, y)T : (e, 0)T . Dann gilt f¨

Satz 9.3.5 Seien e > a > 0, b :=

X ∈ H ⇐⇒ | |X − F1 | − |X − F2 | | ⇐⇒ x2 /a2 − y 2 /b2 = 1.

Skizzieren l¨ aßt sich eine Hyperbel wie folgt:

316


Dabei sind die Geraden y = (b/a) · x bzw. y = −(b/a) · x die sogenannten Asymptoten der Hyperbel (also Geraden, denen sich die Hyperbelbögen f¨ ur x → ∞ bzw. x → −∞ beliebig ann¨ ahern). Der Kurvenverlauf l¨ aßt sich z.B. auf folgende Weise begr¨ unden: Geht man vom Koordinatensystem S := (A; i, j) zum Koordinatensystem S := (A; a · i + b · j, a · i − b · j) u ¨ber (d.h., man wählt die Asymptoten als neue Koordinatenachsen), so besteht zwischen den Koordinaten bez. S und denen bez. S folgender Zusammenhang: a a X/S = · X/S b −b bzw., falls X/S = (x, y)T und X = (x , y )T , /S x = a · (x + y ) y = b · (x − y ). Im Koordinatensystem S lautet damit die Gleichung der Hyperbel H (x + y )2 − (x − y )2 = 1 bzw.

4 · x · y = 1.

Da diese Gleichung nur f¨ ur x = 0 erf¨ ullt sein kann, charakterisiert die Gleichung y = 1/(4 · x ) ebenfalls die Hyperbel H im Koordinatensystem S . Aus der letzten Gleichung ergibt sich dann der oben skizzierte Kurvenverlauf. Es sei noch bemerkt, daß sich mit Hilfe der sogenannten Hyperbelfunktionen

9.4 Klassifikation der Fl¨ achen 2. Ordnung

317

cosh x := (1/2) · (ex + e−x ), sinh x := (1/2) · (ex − e−x ) (Lies: cosinus hyperbolicus bzw. sinus hyperbolicus) auch eine Parameterdarstellung f¨ ur H einf¨ uhren l¨ aßt. Es gilt n¨ amlich (siehe dazu z.B. [Bre-B 66]): x2 /a2 − y 2 /b2 = 1 ⇐⇒ ∃t ∈ R : x = a · cosh t ∧ y = b · sinh t.

9.4 Klassifikation der Fl¨ achen 2. Ordnung Nach Satz 9.1.1 kann man sich bei der Beantwortung der Frage, welche geometrischen Gebilde des R3 durch die Gleichung (1) (S. 293) beschrieben werden k¨ onnen, auf die Untersuchung folgender Gleichungen beschränken: (Ia) (Ib) (II)

α · x2 + β · y 2 + γ · z 2 = 0 α · x2 + β · y 2 + γ · z 2 = 1 α · x2 + β · y 2 − 2 · z = 0.

O.B.d.A. gen¨ ugt es (wie in 9.3), nur die in der nachfolgenden Tabelle angegebenen Vorzeichenverteilungen zu untersuchen. Die nicht angegebenen Fälle sind trivial oder lassen sich durch Vertauschen der Variablen oder durch Multiplikation der Gleichungen mit −1 auf die in der Tabelle behandelten Fälle zur¨ uckf¨ uhren. ¨ Der besseren Ubersicht wegen sind in der Tabelle – neben den Vorzeichenverteilungen – nur noch die allgemein u ¨blichen Bezeichnungen der zugehörigen Fl¨ achen angegeben. Skizzen der Fl¨ achen findet man ab Seite 318. Normal- α β form N (Ia) + 0 + − + + + + + + (Ib) + 0 − 0 + + + − − − + + + + + − − − (II) + 0 + + + −

γ durch N beschriebene Punktmenge ⊆ R3 0 Ebene 0 zwei sich schneidende Ebenen 0 Gerade + Punkt − Kegel 0 Doppelebene 0 ∅ (bzw. imaginäres Gebilde“) ” 0 elliptischer Zylinder 0 hyperbolischer Zylinder 0 ∅ + Ellipsoid − einschaliges Hyperboloid − zweischaliges Hyperboloid − ∅ 0 parabolischer Zylinder 0 elliptisches Paraboloid 0 hyperbolisches Paraboloid

318


Eine geometrische Vorstellung von den oben durch Gleichungen definierte Flächen erh¨ alt man durch Schneiden dieser Flächen mit gewissen Ebenen, die parallel zu zwei Achsen verlaufen. Die Punkte einer solchen Schnittkurve sind dann durch eine gewisse Gleichung charakterisierbar, die aus der vorgegebenen Gleichung der Fl¨ ache 2. Ordnung durch Ersetzen einer Variablen durch eine gewisse Konstante entstehen, womit die Schnittkurve offenbar eine Kurve 2. Ordnung ist. Mit Hilfe der Ergebnisse aus Abschnitt 9.3 lassen sich damit die folgenden Skizzen von (nichtausgearteten) Flächen 2. Ordnung verifizieren:

Kegel:

x2 y2 z2 + 2 − 2 =0 2 a b c

elliptischer Zylinder:

x2 y2 + =1 a2 b2


hyperbolischer Zylinder:

Ellipsoid:

x2 y2 − =1 a2 b2

x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2

einschaliges Hyperboloid:

x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 2 a b c

319

320


zweischaliges Hyperboloid:

parabolischer Zylinder:

x2 y2 z2 − 2 − 2 =1 2 a b c

x2 −2·z =0 a2


elliptisches Parabolid:

x2 y2 + 2 −2·z =0 2 a b

hyperbolisches Paraboloid:

x2 y2 − 2 −2·z =0 2 a b

321

10 Lineare Abbildungen

Nachfolgend sollen die homomorphen Abbildungen zwischen Vektorräumen u orper K – die sogenannten linearen Abbildungen – studiert wer¨ber dem K¨ den. Nach einem Abschnitt u ¨ber allgemeine Eigenschaften von linearen Abbildungen geht es in den folgenden Abschnitten vorrangig um lineare Abbildungen zwischen Vektorr¨ aumen u ¨ber K ∈ {R, C}, auf denen Skalarprodukte definiert sind. Es werden der Begriff der zu einer linearen Abbildung adjungierten Abbildung eingef¨ uhrt und dann einige grundlegende Eigenschaften von sogenannten normalen, selbstadjungierten, antiselbstadjungierten und orthogonalen (bzw. unit¨ aren) Abbildungen hergeleitet. Ziel dieser Abschnitte ist es, ein gewisses Grundwissen u ¨ber die genannten Abbildungen zu vermitteln, da diese Abbildungen in verschiedenen Gebieten der Mathematik ihre Anwendung finden. F¨ ur einige Typen von linearen Abbildungen werden wir uns anschließend sogenannte Normalformen, d.h., gewisse M¨ oglichkeiten der einfachen Beschreibung der behandelten linearen Abbildungen, u ¨berlegen. Im letzten Abschnitt bilden wir dann gewisse Gruppen G := (G; 2) aus linearen Abbildungen f : V −→ V und f¨ uhren den Begriff einer Invarianten einer solchen Gruppe ein. In Kapitel 11 werden wir sehen, daß mit Hilfe der Ergebnisse aus 10.7 Aussagen u aume klassifiziert beziehungsweise ¨ber Punktr¨ geordnet werden k¨ onnen.

10.1 Allgemeines u ¨ ber lineare Abbildungen Wir verallgemeinern den Begriff der isomorphen Abbildung zwischen Vektorr¨ aumen aus Abschnitt 4.6. Definition Seien V und W Vektorr¨ aume u ¨ber dem Körper K. Eine Abbildung f von V in W heißt lineare Abbildung (oder homomorphe Abbildung), wenn sie die folgende Bedingung erf¨ ullt: ∀a, b ∈ V ∀λ, µ ∈ K : f (λ · a + µ · b) = λ · f (a) + µ · f (b).

(10.1)

324


Wir bemerken, daß die Bedingung ∀a, b ∈ V ∀λ ∈ K : f (a + b) = f (a) + f (b) ∧ f (λ · a) = λ · f (a)

(10.2)

zu (10.1) ¨ aquivalent ist, d.h., f : V → W ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie mit + und · vertr¨ aglich ist. Beispiele (1.) Offenbar ist f1 : V → {o}, a → o eine lineare Abbildung. (2.) Bezeichne C[a, b] den Vektorraum aller stetigen Funktionen u ¨ber dem Intervall [a, b] ⊂ R 1 . Dann ist die Abbildung . f2 : C[a, b] → R, g(x) →

b

g(x) dx a

linear, da f¨ ur beliebige g1 , g2 ∈ C[a, b] und beliebige λ, µ ∈ R gilt: f2 (λ · g1 (x) + µ · g2 (x)) =

0b

(λ · g1 (x) + µ · g2 (x)) dx 0b = a λ · g1 (x) dx + a µ · g2 (x) dx 0b 0b = λ · a g1 (x) dx + µ · a g2 (x) dx a

0b

= λ · f (g1 (x)) + µ · f (g2 (x)). (3.) Bezeichne D(a, b) die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen u ¨ber dem offenen Intervall (a, b) ⊂ R. Da jede Linearkombination von zwei differenzierbarer Funktionen aus D(a, b) bekanntlich wieder beliebig oft differenzierbar ist, ist D(a, b) ein Untervektorraum des Vektorraums C(a, b) aller (auf dem Intervall (a, b) definierten) stetigen Funktionen u ¨ber dem Körper R. Betrachtet man nun die Abbildung f3 : D(a, b) −→ D(a, b), y → y (n) + an−1 · y (n−1) + ... + a1 · y + a0 · y, (10.3) wobei a0 , a1 , ..., an−1 ∈ R, so pr¨ uft man leicht nach, daß ∀y1 , y2 ∈ D(a, b) ∀α1 , α2 ∈ R : f3 (α1 · y1 + α2 · y2 ) = α1 · f3 (y1 ) + α2 · f3 (y2 ) gilt. Also ist f3 eine lineare Abildung. (4.) Bezeichne K einen beliebigen K¨ orper und sei A ∈ K m×n . Dann ist f4 : K n×1 → K m×1 , x → A · x linear, da f¨ ur alle a, b ∈ K n×1 und λ, µ ∈ K 1

Siehe 4.1, Beispiel (3.).

10.1 Allgemeines u ¨ber lineare Abbildungen

325

f4 (λ · a + µ · b) = A · (λ · a + µ · b) = A · (λ · a) + A · (µ · b) = λ·A·a+µ·A·b = λ · f4 (a) + µ · f4 (b) gilt. Keine lineare Abbildung wird durch f5 : K n×1 → K m×1 , x → A · x + b definiert, falls b ∈ K m×1 \{o}. (5.) Sind U , V und W Vektorr¨ aume u ¨ber dem Körper K sowie f : U −→ V und g : V −→ W lineare Abbildungen, so ist f 2g eine lineare Abbildung von V in W , da f¨ ur beliebige λ, µ ∈ K und beliebige a, b ∈ U gilt: (f 2g)(λ · a + µ · b) = g(f (λ · a + µ · b)) = g(λ · f (a) + µ · f (b)) = λ · g(f (a)) + µ · g(f (b)) = λ · (f 2g)(a) + µ · (f 2g)(b). (6.) Falls die lineare Abbildung f : K V −→ K W eine bijektive Abbildung ist, existiert bekanntlich die inverse Abbildung f −1 : K W −→ K V . Diese inverse Abbildung ist dann ebenfalls linear, da sich aus der Annahme f −1 (λ·a+µ·b) = ur gewisse λ, µ ∈ K und a, b ∈ W wegen der Bijektivität λ·f −1 (a)+µ·f −1 (b) f¨ von f −1 die Ungleichung λ · a + µ · b = f (λ · f −1 (a) + µ · f −1 (b)) ergibt, die wegen der Linearit¨ at von f nicht gelten kann. Satz 10.1.1 F¨ ur jede lineare Abbildung f : V → W ist f (V ) := {y | ∃x ∈ V : f (x) = y}, der Wertebereich der Abbildung f , ein Untervektorraum von W . Beweis. Offenbar ist f (V ) = ∅. Nach Satz 4.2.1 bleibt damit zu zeigen, daß f (V ) bez. + und · abgeschlossen ist. Seien dazu a, b ∈ f (V ) und λ, µ ∈ K beliebig gew¨ ahlt. Dann gibt es a , b ∈ V mit f (a ) = a und f (b ) = b. Folglich haben wir λ · a + µ · b = λ · f (a ) + µ · f (b ) = f (λ · a + µ · b ) ∈ V (f ). Satz 10.1.2 Seien V und W Vektorr¨ aume u orper K. Seien außer¨ber dem K¨ dem B := {bi | i ∈ I} eine Basis von V und A := {ai | i ∈ I} eine Teilmenge von W . Dann gilt: (a) Jede lineare Abbildung f : V → W ist vollst¨ andig durch die Angabe von f (B) := {f (bi ) | i ∈ I} bestimmt. ur alle (b) Es gibt genau eine lineare Abbildung f : V → W mit f (bi ) = ai f¨ i ∈ I. Diese Abbildung l¨ aßt sich wie folgt mit Hilfe der Basis B definieren: x ∈ V =⇒ ∃b1 , ..., bn ∈ B ∃x1 , ..., xn ∈ K : f (x) = f (x1 · b1 + ... + xn · bn ) = x1 · f (b1 ) + ... + xn · f (bn ) = x1 · a1 + ... + xn · an .

326


Beweis. Die Behauptungen folgen unmittelbar aus unseren Sätzen des Kapitels 4 u ¨ber Basen eines Vektorraums und der Definition einer linearen Abbildung. Satz 10.1.3 Sei f eine lineare Abbildung von K n×1 in K m×1 . Dann existiert eine Matrix A ∈ K m×n mit ∀x ∈ K n×1 : f (x) = A · x.

(10.4)

Beweis. Sei x = (x1 , ..., xn )T ∈ V . Als Basis B von V wählen wir die Standardbasis e1 = (1, 0, ..., 0)T , ..., en = (0, 0, ..., 0, 1)T . Außerdem sei f (ej ) := (a1j , a2j , ..., amj )T , j = 1, 2, ..., n. Dann gilt nach 10.1.2 f (x) = f (x1 · e1 + ... + xn · en ) = x1 · f (e1 ) + ... + xn · f (en )

⎛

⎞ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎟ = f (e1 ) f (e2 ) ... f (en ) · ⎜ ⎝ ... ⎠ xn ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 a11 a12 ... a1n ⎜ a21 a22 ... a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ · ⎝ ... ⎠ am1 am2 ... amn xn Der obige Satz l¨ aßt sich noch etwas verallgemeinern: Satz 10.1.4 Sei f eine lineare Abbildung von K Vn in K Wm . Außerdem beur V und BW eine Basis f¨ ur W . Dann zeichne BV := (b1 , ..., bn ) eine Basis f¨ existiert eine Matrix Af ∈ K m×n mit Af := (f (b1 )/B , f (b2 )/B , ..., f (bn )/B ) W

W

W

(10.5)

und ∀x ∈ V : f (x)/B

W

= Af · x/B . V

(10.6)

ur ein beBeweis. Indem man von einer Darstellung x = x1 · b1 + ... + xn bn f¨ liebiges x ∈ V ausgeht und von der Gleichung f (x) = x1 · f (b1 ) + ... + xn · f (bn ) die Koordinatendarstellung bez¨ uglich der Basis BW betrachtet, kann man die¨ sen Satz analog zu Satz 10.1.3 beweisen (UA). Zur Illustration des obigen Satzes noch ein Beispiel:


327

Sei V der Vektorraum aller Polynome des maximalen Grades n mit Koeffizienten aus R u orper R: ¨ber dem K¨ V := Pn = {pn | ∃a0 , ..., an ∈ R : ∀x ∈ R : pn (x) = an · xn + an−1 · xn−1 + ... + a1 · x + a0 }. Als lineare Abbildung von V in V w¨ ahlen wir f (pn )(x) := (

dpn =)n·an ·xn−1 +(n−1)·an−1 ·xn−1 +...+2·a2 ·x+a1 . (10.7) dx

Indem wir BV = BW = (xn , xn−1 , ..., x, 1) w¨ ahlen und f (xn ) = n · xn−1 , ..., f (x) = 1, f (1) = 0 ber¨ ucksichtigen, erhalten wir f¨ ur Af aus Satz 10.1.4 die Matrix ⎞ ⎛ 0 0 0 ... 0 0 ⎜n 0 0 ... 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 n − 1 0 ... 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 n − 2 ... 0 0 ⎟ ⎟. ⎜ ⎜ ...................... ⎟ ⎟ ⎜ ⎝0 0 0 ... 0 0 ⎠ 0 0 0 ... 1 0 Definition Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann ist nach Satz 10.1.1 f (V ) ein Vektorraum. Die Dimension dieses Vektorraums nennt man Rang von f und sie wird mit rg f abgek¨ urzt. Satz 10.1.5 Sei f : V → W eine lineare Abbildung, die die Voraussetzungen aus Satz 10.1.4 erf¨ ullt. Dann gilt rg f = rg Af .

(10.8)

Beweis. Nach Voraussetzung ist BV = (b1 , ..., bn ) eine Basis f¨ ur V , womit nach Satz 10.1.2 f (V ) = [{f (b1 ), ..., f (bn )}] gilt. Folglich ist rg f = dim f (V ) gleich der Maximalzahl linear unabh¨ angiger Vektoren unter den Vektoren f (b1 ), ..., f (bn ). Wegen Satz 4.7.1, (b) stimmt diese Maximalzahl mit dem Rang der Matrix Af = (f (b1 )/B , ..., f (bn )/B ) u ¨berein. Also gilt (10.8). W

W

Satz 10.1.6 Sei f : Vn −→ Wm die durch ∀x ∈ V : f (x)/B

W

= Af · x/B V

(10.9)

definierte lineare Abbildung, wobei BV eine Basis des Vektorraums V und BW eine Basis des Vektorraums W ist. W¨ ahlt man die neuen Basen BV bzw. BW f¨ ur V bzw. W , so l¨ aßt sich f mit Hilfe von

328

10 Lineare Abbildungen Af = M−1 (BW , BW ) · Af · M(BV , BV )

(10.10)

auch wie folgt beschreiben: ∀x ∈ V : f (x)/B = Af · x/B . W V

(10.11)

¨ Beweis. Nach Satz 4.7.2 existieren die sogenannten Ubergangsmatrizen M(BV , BV ) und M(BW , BW ) mit den Eigenschaften x/B = M(BV , BV ) · x/B , V V

f (x)/B

W

= M(BW , BW ) · f (x)/B . W

Mit Hilfe dieser Gleichungen erh¨ alt man aus (10.9) die Gleichung ) · f (x)/B = Af · M(BV , BV ) · x/B , M(BW , BW W

V

aus der sich die Behauptung (10.11) ergibt. Definition die Menge

Bezeichne f : V → W eine lineare Abbildung. Dann nennt man Ker f := {a | f (a) = o}

(10.12)

den Kern von f . Beispiel Sei f die durch ⎛

∀x ∈ R3×1

⎞ 1 0 0 : f (x) := ⎝ 1 1 1 ⎠ · x 2 1 1

(10.13)

definierte Abbildung von R3×1 in R3×1 . Dann gilt ⎧ ⎛ ⎫ ⎞ 0 ⎨ ⎬ Ker f = t · ⎝ −1 ⎠ | t ∈ R . ⎩ ⎭ 1 Satz 10.1.7 F¨ ur jede lineare Abbildung f : V → W u ¨ber K ist Ker f ein Untervektorraum von V . Beweis.

Wegen f (o) = f (a − a) = f (a) − f (a) = o

ist o ∈ Ker f und damit Ker f = ∅. Seien a, b ∈ V und λ, µ ∈ K. Dann gilt f (λ · a + µ · b) = f (λ · a) + f (µ · b) = λ · f (a) +µ · f (b) = o, =o

=o

d.h., λ·a+µ·b ∈ Ker f . Nach Satz 4.2.1 ist Ker f folglich ein Untervektorraum von V .


329

Wegen Satz 10.1.7 l¨ aßt sich jetzt folgender Begriff einf¨ uhren. Definition F¨ ur endlich-dimensionale Vektorräume V und einer beliebigen linearen Abbildung f : V → W heißt def f := dim (Ker f ) der Defekt von f . Beispiel F¨ ur die lineare Abbildung (10.13) haben wir def f = 1. Satz 10.1.8 Sei f eine lineare Abbildung von

K Vn

in

K Wm .

Dann gilt

def f + rg f = dim V.

(10.14)

Beweis. Nach Satz 10.1.4 existiert f¨ ur f eine Matrix Af ∈ K m×n mit f (x)/B = Af ·x/B . Ker f ist dann die Menge aller Lösungen von f (x)/B = W V W Af · x/B = o und die Dimension dieses L¨ osungsraumes ist nach Satz 3.4.4 V

gleich n − rg Af . Also gilt (10.14).

Durch eine lineare Abbildung f : V → W (wie durch jede andere Abbildung auch) wird V (wie in Satz 1.4.4 beschrieben) in disjunkte Teilmengen zer¨ legt und man kann auf V die sogenannte von f induzierte Aquivalenzrelation (kurz: Abbildungs¨ aquivalenz) Rf ∀a, b ∈ V : (a, b) ∈ Rf :⇐⇒ f (a) = f (b)

(10.15)

definieren, die wir nachfolgend n¨ aher studieren wollen. ¨ Lemma 10.1.9 F¨ ur die in (10.15) definierte Aquivalenzrelation gilt: ∀a, b ∈ V : (a, b) ∈ Rf ⇐⇒ a − b ∈ Ker f. Beweis.

(10.16)

¨ (10.16) ergibt sich aus folgenden Aquivalenzen:

(a, b) ∈ Rf ⇐⇒ f (a) = f (b) ⇐⇒ f (a) − f (b) = o ⇐⇒ a − b ∈ Ker f.

Lemma 10.1.10 Bezeichne U einen Untervektorraum des Vektorraums V u ¨ber K und sei R die wie folgt definierte Relation auf V : ∀a, b ∈ V : (a, b) ∈ R :⇐⇒ a − b ∈ U.

(10.17)

Dann gilt: ¨ (a) R ist eine Aquivalenzrelation. ¨ (b) F¨ ur beliebiges a ∈ V ist die Aquivalenzklasse [a]R := {x ∈ V | (a, x) ∈ R} auch wie folgt beschreibbar: [a]R = a + U := {a + x | x ∈ U }.

(10.18)

330


(c) R ist mit den Verkn¨ upfungen + und · von V vertr¨ aglich. (d) F¨ ur U = Ker f ist R = Rf . Beweis. (a): R ist reflexiv, da a − a = o ∈ U f¨ ur alle a ∈ V . R ist symmetrisch, da aus a − b ∈ U auch −(a − b) = b − a ∈ U und damit (b, a) ∈ R folgt. Die Transitivit¨ at von R l¨ aßt sich wie folgt zeigen: (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R =⇒ a − b ∈ U ∧ b − c ∈ U =⇒ (a − b) + (b − c) = a − c ∈ U =⇒ (a, c) ∈ R. (b) ergibt sich wie folgt: b ∈ [a]R ⇐⇒ (a, b) ∈ R

⇐⇒ a − b ∈ U

⇐⇒ ∃c ∈ U : a − b = c ⇐⇒ ∃c ∈ U : b = a − c ⇐⇒ b ∈ a + U. (c): Wegen (a, b) ∈ R ∧ (c, d) ∈ R =⇒ a − b ∈ U ∧ c − d ∈ U =⇒ (a − b) + (c − d) ∈ U =⇒ (a + c) − (b + d) ∈ U =⇒ (a + c, b + d) ∈ R ist R mit + und wegen (a, b) ∈ R =⇒ a − b ∈ U =⇒ ∀λ ∈ K : λ · (a − b) ∈ U =⇒ ∀λ ∈ K : λ · a − λ · b ∈ U =⇒ ∀λ ∈ K : (λ · a, λ · b) ∈ R mit · vertr¨ aglich. (d) folgt aus Lemma 10.1.9. Wir betrachten nun f¨ ur einen beliebigen Untervektorraum U des Vektorraums V u ¨ber K die Faktormenge V/U := {a + U | a ∈ U },

(10.19)

auf der sich nach Satz 1.4.5 und Lemma 10.1.10, (c) folgende Verkn¨ upfungen definieren lassen:


331

∀a, b ∈ V ∀λ ∈ K : (a + U ) ⊕ (b + U ) := (a + b) + U

(10.20)

λ (a + U ) := (λ · a) + U. Lemma 10.1.11 F¨ ur jeden Untervektorraum U eines Vektorraums K V ist die Menge V/U (siehe (10.19)) mit den Verkn¨ upfungen ⊕, aus (10.20) ein Vektorraum u orper K. ¨ber dem K¨ Beweis. Offenbar ist ⊕ eine innere Verkn¨ upfung und eine äußere Verkn¨ upfung auf V/U . (V/U ; ⊕) ist eine kommutative Gruppe, da U = o + U ∈ V/U ein neutrales Element ist, −a + U das zu a + U inverse Element und (a + U ) ⊕ ((b + U ) ⊕ (c + U )) = (a + U ) ⊕ ((b + c) + U ) = (a + (b + c)) + U = ((a + b) + c) + U = ((a + U ) ⊕ (b + U )) ⊕ (c + U ) wegen der Assoziativit¨ at von + sowie (a + U ) ⊕ (b + U ) = (a + b) + U = (b + a) + U = (b + U ) ⊕ (a + U ) wegen der Kommutativit¨ at von + gilt. Außerdem haben wir 1 (a + U ) = (1 · a) + U = a + U, (λ · µ) (a + U ) = ((λ · µ) · a) + U = (λ · (µ · a)) + U = λ ((µ · a) + U ) = λ (µ (a + U )), (λ + µ) (a + U ) = ((λ + µ) · a) + U = (λ · a + µ · a) + U = ((λ · a) + U ) ⊕ ((µ · a) + U ), λ ((a + U ) ⊕ (b + U )) = λ ((a + b) + U ) = (λ · (a + b)) + U = (λ · a + λ · b) + U = (λ (a + U )) ⊕ (λ (b + U )).

332


Satz 10.1.12 (Homomorphiesatz f¨ ur Vektorr¨ aume) (a) Sei f : V → W eine lineare Abbildung des Vektorraums V in den Vektorraum W u orper K. Dann sind Ker f (⊆ V ) sowie V/Ker f ¨ber dem K¨ (mit den Verkn¨ upfungen ⊕ und ) Vektorr¨ aume und es gilt V/Ker f ∼ = f (V ).

(10.21)

Umgekehrt: (b) Sei U ein Untervektorraum des Vektorraums K V . Dann ist V/U ein Vektorraum u ¨ber K und es existiert eine lineare Abbildung ϕ : V → V/U mit ∀x ∈ V : ϕ(x) = x + U.

(10.22)

Beweis. Nach Satz 10.1.7 ist Ker f ein Untervektorraum von V und damit U := V/Ker f nach Lemma 10.1.11 ein Vektorraum u ¨ber K mit den Verkn¨ upfungen ⊕ und . F¨ ur den Nachweis von (10.21) betrachten wir die Abbildung g mit g : V/Ker f → f (V ), g(a + U ) := f (a). Die Abbildung g ist offenbar nach Definition surjektiv und wegen g(a + U ) = g(b + U ) =⇒ f (a) = f (b) =⇒ (a, b) ∈ Rf =⇒ [a]Rf = [b]Rf =⇒ a + U = b + U (siehe Lemma 10.1.10 und Satz 1.3.1) auch injektiv. Also ist g eine bijektive Abbildung. Die Vertr¨ aglichkeit von ⊕ und mit g und damit unsere Behauptung (10.21) folgt dann aus g(λ (a + U ) ⊕ µ (b + U )) = g((λ · a + µ · b) + U ) = f (λ · a + µ · b) = λ · f (a) + µ · f (b) = λ · g(a + U ) + µ · g(b + U ). (2): Sei U ein Untervektorraum von K V . Dann ist nach Lemma 10.1.11 V/U mit den Verkn¨ upfungen ⊕ und ein Vektorraum u ¨ber K. Wir haben zu zeigen, daß die durch (10.22) definierte Korrespondenz ϕ linear ist. Offenbar ist ϕ eine Abbildung und f¨ ur beliebige a, b ∈ V , λ, µ ∈ K gilt:

10.2 Adjungierte Abbildungen

333

ϕ(λ · a + µ · b) = (λ · a + µ · b) + U = (λ · a + U ) ⊕ (µ · b + U ) = (λ (a + U )) ⊕ (µ (b + U )) = (λ ϕ(a)) ⊕ (µ ϕ(b)). Satz 10.1.13 Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann ist f genau dann eine isomorphe Abbildung von V auf W , wenn f surjektiv ist und Ker f = {o} gilt. Beweis. =⇒“: Sei f : V → W eine isomorphe Abbildung. Folglich ist f ” surjektiv. Angenommen, Ker f = {o}. Dann gibt es zwei verschiedene a, b ∈ V mit f (a) = f (b) = o, was der Injektivit¨ at von f widerspricht. ⇐=“: Die lineare Abbildung f : V → W sei surjektiv und es gelte Ker f = ” {o}. Die zu zeigende Injektivit¨ at von f ergibt sich aus: f (a) = f (b) =⇒ f (a − b) = o =⇒ a − b ∈ Ker f =⇒ a − b = o =⇒ a = b.

Satz 10.1.14 Sei f : V → W eine lineare Abbildung und B := {bi | i ∈ I} eine Basis von V . Dann ist f genau dann eine isomorphe Abbildung von V auf W , wenn {f (bi ) | i ∈ I} eine Basis von B ist. Beweis.

¨ UA.

10.2 Adjungierte Abbildungen Definition Seien K V bzw. K W Vektorr¨ aume mit den Skalarprodukten ϕ bzw. ψ, K ∈ {R, C}. Falls nichts anderes angegeben ist, w¨ ahlen wir im Fall V = W stets ϕ = ψ. Außerdem sei f eine lineare Abbildung von V in W . Dann heißt eine Abbildung f : W → V mit der Eigenschaft ∀x ∈ V ∀y ∈ W : ψ(f (x), y) = ϕ(x, f (y))

(10.23)

eine zu f adjungierte Abbildung. Beispiel

W¨ ahlt man K := C, V := Cn×1 = W , f (x) := A · x,

ϕ = ψ und ϕ als Standardskalarprodukt (d.h., ϕ(x1 , x2 ) := xT1 · x2 f¨ ur alle x1 , x2 ∈ V ), so ist T f (y) := A · y (y ∈ W ) die zu f adjungierte Abbildung, da ψ(f (x), y) = (f (x))T · y = (A · x)T · y = xT · AT · y und ϕ(x, f (y)) = xT · (f (y)) = xT · AT · y.

334


I.allg. muß zu einer linearen Abbildung keine adjungierte Abbildung geh¨ oren. Falls sie jedoch existiert, so ist sie eindeutig bestimmt, wie im n¨ achsten Satz gezeigt wird. Wie dann f¨ ur endlich-dimensionale VRe u ¨ber C solche adjungierten Abbildungen aussehen, hat bereits das obige Beispiel gezeigt. Genauer: Satz 10.2.1 Seien K V und K ∈ {R, C}. Dann gilt:

KW

Vektorr¨ aume mit den Skalarprodukten ϕ und ψ,

(a) Existiert zu einer linearen Abbildung f : V → W die adjungierte Abbildung f : W → V , so ist sie eindeutig bestimmt. (b) Sind V und W endlich-dimensionale Vektorr¨ aume, so gibt es zu jeder linearen ur V bzw. W sowie Abbildung f : V → W orthonormierte Basen BV bzw. BW f¨ eine Matrix A ∈ K (dim W )×(dim V ) mit der Eigenschaft ∀x ∈ V : f (x)/BW = A · x/BV .

(10.24)

Die zugeh¨ orige (eindeutig bestimmte) adjungierte Abbildung f l¨ aßt sich dann wie folgt beschreiben: ∀y ∈ W : f (y)/BV = A · y/BW , wobei

1

A :=

(10.25)

AT , falls K = R, T

A , falls K = C.

Beweis. (a): Angenommen, es gibt zu f zwei verschiedene adjungierte Abbildungen f1 und f2 . Wegen ϕ(x, f1 (y) − f2 (y)) = ϕ(x, f1 (y)) − ϕ(x, f2 (y)) = ψ(f (x), y) − ψ(f (x), y) = o gilt ϕ(x, f1 (y) − f2 (y)) = o

(10.26)

f¨ ur alle x ∈ V und alle y ∈ W . Indem wir x = (10.26) w¨ ahlen, − f2 (y) = o f¨ ur erhalten wir aus der positiven Definitheit von ϕ und alle y ∈ W , im Widerspruch zu f1 = f2 . Also gilt (a). (b): (10.24) wurde bereits im Satz 10.1.5 gezeigt. Da BV und BW orthonormierte Basen sind, gilt nach Satz 6.5.3 − f2 (y) in (10.26) f1 (y)

f1 (y)

∀x, x ∈ V ∀y, y ∈ W : ϕ(x, x ) = xT/BV · x/BV ∧ ψ(y, y ) = yT/BW · y/BW . Analog zum obigen Beispiel pr¨ uft man leicht nach, daß die durch (10.25) definierte Abbildung f eine zu f adjungierte Abbildung ist, die nach (a) eindeutig bestimmt ist. Satz 10.2.2 Bezeichne f : V → W eine lineare Abbildung, f¨ ur die die adjungierte Abbildung f existiert. Dann gilt:

10.3 Normale Abbildungen (a) (b) (c) (d) (e) (f )

335

(f ) = f , d.h., ϕ(f (y), x) = ψ(y, f (x)) f¨ ur alle x ∈ V und alle y ∈ W ; Ker f = (f (V ))⊥ ; Ker f = (f (W ))⊥ ; f surjektiv =⇒ f injektiv; f surjektiv =⇒ f injektiv; falls rg f (bzw. rg f ) endlich ist, so gilt: f (bzw. f ) surjektiv ⇐⇒ f (bzw. f ) injektiv.

ullen. Beweis. Seien f und f lineare Abbildungen, die (10.23) erf¨ (a) folgt aus ϕ(f (y), x) = ϕ(x, f (y)) = ψ(f (x), y) = ψ(y, f (x)). (b) folgt aus y ∈ Ker f ⇐⇒ f (y) = 0 ⇐⇒ ∀x ∈ V : ϕ(x, f (y)) = 0 = ψ(f (x), y) ⇐⇒ y ∈ (f (V ))⊥ . (c) folgt aus (a) und (b), da (b)

(a)

Ker f = Ker (f ) = (f (W ))⊥ . (d): Sei f surjektiv. Dann gilt (f (V ))⊥ = {o} und (wegen (b)) Ker f = {o}. Nach Satz 10.1.13 ist dies nur f¨ ur eine injektive Abbildung f m¨ oglich. (e) folgt aus (d) und (a): (d)

(a)

f surjektiv =⇒ (f ) injektiv =⇒ f injektiv. (f): Wegen (d) und (e) haben wir bei beiden Aussagen nur ⇐=“ zu beweisen. (f) ” folgt somit aus f injektiv

(b)

=⇒ Ker f = {o} =⇒ (f (V ))⊥ = {o} 6.5.12

=⇒ f (V ) = {o}⊥ = W =⇒ f surjektiv

und f injektiv

(c)

=⇒ {o} = Ker f = (f (W ))⊥ 6.5.12

=⇒ f (W ) = {o}⊥ = W =⇒ f surjektiv.

10.3 Normale Abbildungen Definition Sei K V ein VR mit Skalarprodukt ϕ. Die lineare Abbildung f : V → V heißt normal, wenn die zu f adjungierte Abbildung f existiert und die Eigenschaft f 2f = f 2f besitzt.

336


Beispiel W¨ ahlt man als VR K V :=R Rn×1 , so hat eine lineare Abbildung f : V → V die Gestalt f (x) = A · x mit einer passend gew¨ ahlten Matrix A ∈ Rn×n . orende adjungierte AbbilNach Satz 10.2.1, (b) ist dann f (x) := AT · x die zu f geh¨ dung. Es gilt dann (f 2f )(x) = A · AT · x, (f 2f )(x) = AT · A · x, womit f nur dann normal sein kann, wenn AT · A = A · AT ist. Damit sind z.B. alle linearen Abbildungen f (x) = A · x normal, f¨ ur die A eine Diagonalmatrix oder eine symmetrische oder orthogonale Matrix ist. Satz 10.3.1 Sei f : V → V eine lineare Abbildung. f ist genau dann normal, wenn eine zu f adjungierte Abbildung f mit ∀x, y ∈ V : ϕ(f (x), f (y)) = ϕ(f (x), f (y)).

(10.27)

existiert. Beweis. =⇒“: Sei f normal, d.h., die zu f adjungierte Abbildung f existiert ” und es gilt f 2f = f 2f . Hieraus, aus der Definition von f und Satz 10.2.2, (a) folgt dann ϕ(f (x), f (y)) = ϕ(x, f (f (y))) = ϕ(x, (f 2f )(y)) = ϕ(x, f (f (y))) = ϕ(f (x), f (y)). (f 2f )(y)

⇐=“: Es gelte (10.27). Dann haben wir unter Beachtung von Satz 10.2.2, (a) ” ϕ(f (f (x), y) = ϕ(f (x), f (y)) = ϕ(f (x), f (y)) = ϕ(f (f (x)), y), woraus sich ∀x, y ∈ V : ϕ((f 2f )(x) − (f 2f )(x), y) = o

(10.28)

ergibt. Da man in (10.28) auch y = (f 2f )(x) − (f 2f )(x) w¨ ahlen kann, folgt aus ur alle (10.28) und der positiven Definitheit von ϕ, daß (f 2f )(x) = (f 2f )(x) f¨ x ∈ V gilt. Also ist f normal.

Satz 10.3.2 F¨ ur jede normale Abbildung f : V → V ist Ker f = Ker f . Beweis. Ist f eine normale Abbildung, so gilt ϕ(f (x), f (x)) = ϕ(f (y), f (y)) nach Satz 10.3.1. Aus der positiven Definitheit von ϕ ergibt sich dann ϕ(f (x), f (x)) = 0 ⇐⇒ f (x) = 0 ⇐⇒ f (y) = 0, womit Ker f = Ker f ist. Als n¨ achstes verallgemeinern wir einige Begriffe und S¨ atze aus Kapitel 6. Definition Es sei V einen Vektorraum u ¨ber K, f : V −→ V eine lineare Abbildung und λ ∈ K. Dann heißt λ ein Eigenwert von f , wenn es ein x ∈ V \{o}, einen sogenannten Eigenvektor von λ, mit f (x) = λ · x gibt. Offenbar gilt nach Satz 3.4.5:

10.3 Normale Abbildungen

337

Satz 10.3.3 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum u orper K. Sei f : ¨ber dem K¨ V −→ V eine lineare Abbildung, die mittels einer Basis B von V und einer Matrix aß Satz 10.1.6) durch Af ∈ K n×n (gem¨ ∀x ∈ V : f (x)/B = Af · x/B

(10.29)

beschrieben ist. Dann ist λ ∈ K genau dann eine Eigenwert von f , wenn λ ein Eigenwert der Matrix Af ist bzw. wenn det(Af − λ · En ) = 0 gilt. Satz 10.3.4 Sei f : V → V eine normale Abbildung. Dann gilt: (a) f und f besitzen dieselben Eigenvektoren. (b) a ∈ V ist genau dann ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ, wenn a ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ ist. Beweis.

Aus der Definition einer adjungierten Abbildung und aus Satz 10.3.1 folgt ϕ(f (a) − λ · a, f (a) − λ · a) = ϕ(f (a), f (a)) − ϕ(λ · a, f (a)) − ϕ(f (a), λ · a) + ϕ(λ · a, λ · a) = ϕ(f (a), f (a)) − λ · ϕ(f (a), a) − λ · ϕ(a, f (a)) + |λ|2 · ϕ(a, a) = ϕ(f (a) − λ · a, f (a) − λ · a)).

Folglich gilt f (a) = λ · a ⇐⇒ f (a) = λ · a, woraus sich unmittelbar die Behauptungen des obigen Satzes ergeben. Satz 10.3.5 Sei V ein n-dimensionaler VR u ¨ber K ∈ {R, C} (n ≥ 1) mit dem Skalarprodukt ϕ. Dann gilt: (a) Im Fall K = C ist eine lineare Abbildung f : V → V genau dann normal, wenn es eine bez¨ uglich ϕ orthonormierte Basis f¨ ur V aus Eigenvektoren von f gibt. (b) Im Fall K = R ist eine lineare Abbildung f : V → V genau dann normal, wenn f n reelle EWe (Vielfachheiten mitgez¨ ahlt) und eine bez¨ uglich ϕ orthonormierte Basis f¨ ur V aus Eigenvektoren von f besitzt. Beweis. (a): Da auf V ein Skalarprodukt ϕ definiert ist, besitzt V nach Satz 6.5.2 eine bez¨ uglich ϕ orthonormierte Basis B. Wegen Satz 6.5.3 gilt dann ϕ(x, y) = ur alle x, y ∈ V . F¨ ur jede lineare Abbildung f : V −→ V existiert (x/B )T · y/B f¨ außerdem eine Matrix Af ∈ Cn×n mit der Eigenschaft (4) aus Satz 10.1.4. Dabei sei B die oben erw¨ ahnte orthonormierte Basis. =⇒“: Sei f : V −→ V eine normale Abbildung. Aus obigen Bemerkungen u ¨ber ” f und ϕ, Satz 10.3.1 und Satz 10.2.1 folgt dann die Gleichung ATf · Af = Af · Af , aus der sich die Bedingung (α) aus Satz 8.3.8 ergibt. Nach Satz 8.3.8, (a) existiert folglich eine unit¨ are Matrix B mit ⎞ ⎛ λ1 0 ... 0 ⎜ 0 λ2 ... 0 ⎟ T ⎟ (10.30) B · Af · B = ⎜ ⎝ ............. ⎠, 0 0 ... λn

338


wobei f¨ ur jedes j ∈ {1, 2, ..., n} die j-te Spalte von B ein EV zum EW λj ∈ C von Af ¨ ist (siehe Satz 8.1.4). Da B offensichtlich regul¨ ar ist, kann sie als Ubergangsmatrix M(B, B ) von B zu einer anderen Basis B := (b1 , ..., bn ) von V aufgefaßt werden. Wegen M(B, B ) = ((b1 )/B ... (bn )/B ) (siehe Satz 4.6.2), ist B durch B und B eindeutig bestimmt. Mit Hilfe von (10.30) und Satz 7.3.1, (a2 ) ist dann leicht zu uglich ϕ orthonormierte Basis f¨ ur V aus EVen von f ist. zeigen, daß B eine bez¨ ⇐=“: Bezeichne B nachfolgend nicht nur eine bez¨ uglich ϕ orthonormierte Basis ” von V , sondern auch aus EVen zu den EWen λ1 , ..., λn von f bestehende. Dann gilt nach Satz 10.1.4 Af = (f (b1 )/B ... f (bn )/B ) = (λ1 · (b1 )/B ... λn · (bn )/B ), womit uft man nun leicht nach, Af eine Diagonalmatrix ist. Mit Hilfe von Satz 10.2.1 pr¨ daß f eine normale Abbildung ist.

10.4 Selbstadjungierte und antiselbstadjungierte Abbildungen Definition Eine lineare Abbildung f : V → V heißt selbstadjungiert, falls f = f ist. Offenbar sind selbstadjungierte Abbildungen auch normal. Der folgende Satz ergibt sich unmittelbar aus der obigen Definition und Satz 10.2.1: Satz 10.4.1 Es sei K V ein n-dimensionaler VR, K ∈ {R, C}, B eine orthonormierte Basis von V bez. des Skalarproduktes ϕ und f die durch f (x)/B := Af · x/B definierte lineare Abbildung. Dann ist f genau dann selbstadjungiert, wenn 1 ATf , falls K = R, Af = T Af , falls K = C gilt. Einen Spezialfall des nachfolgenden Satzes hatten wir bereits im Satz 8.2.9 behandelt: Satz 10.4.2 (a) Eine selbstadjungierte Abbildung f eines Vektorraums V u ¨ber C besitzt nur reelle Eigenwerte. (b) Ist f eine selbstadjungierte Abbildung eines VR V u ¨ber R, so hat die sogenannte komplexe Fortsetzung f: : V + i · V −→ V + i · V von f , die definiert ist durch f:(x) = f:(a + i · b) := f (a) + i · f (b) f¨ ur alle x ∈ V + i · V , nur reelle Eigenwerte. Beweis. (a): Sei λ ein beliebig gew¨ ahlter EW von f und x ein zugeh¨ origer EV. Aus Satz 10.3.4 folgt dann, daß λ eine EW von f mit dem EV x ist. Wegen f = f ist damit x sowohl EV zum EW λ als auch zum EW λ. Hieraus folgt (λ − λ) · x = o, was nur f¨ ur λ = λ gelten kann. Also ist λ reell.

10.5 Unit¨ are und orthogonale Abbildungen, Isometrien

339

¨ u (b): Als UA ¨berlege man sich, daß f: selbstadjungiert ist. Folglich ergibt sich (b) aus (a). Definition Eine lineare Abbildung f : V → V u ¨ber einem VR V mit Skalarprodukt heißt antiselbstadjungiert, falls die adjungierte Abbildung f existiert und f = −f ist. Als Folgerung aus obiger Definition und Satz 10.2.1 erh¨ alt man: Satz 10.4.3 Es sei K V ein n-dimensionaler VR, K ∈ {R, C}, B eine orthonormierte Basis von V bez. des Skalarproduktes ϕ und f die durch f (x)/B := Af · x/B definierte lineare Abbildung. Dann ist f genau dann antiselbstadjungiert, wenn 1 −ATf , falls K = R, Af = T −Af , falls K = C ist. Eine Verallgemeinerung von Satz 8.3.10 ist der folgende Satz. Satz 10.4.4 Bezeichne f : V → V eine lineare Abbildung u ¨ber den VR Skalarprodukt ϕ. Dann ist f genau dann antiselbstadjungiert, wenn

KV

mit

∀x ∈ V : Re(ϕ(f (x), x)) = 0 gilt. Beweis.

¨ UA.

10.5 Unit¨ are und orthogonale Abbildungen, Isometrien Definitionen Seien K V ein VR mit dem Skalarprodukt ϕ und K W ein VR mit dem Skalarprodukt ψ, K ∈ {R, C}. Die lineare Abbildung f : V → W heißt orthogonal (bzw. unit¨ ar), falls K = R (bzw. K = C) und ∀x ∈ V : ϕ(x, x) = ψ(f (x), f (x))

(10.31)

gilt. Ist speziell V = W , so nennt man eine orthogonale (bzw. unit¨ are) Abbildung eine Isometrie oder eine isometrische Abbildung. Satz 10.5.1 Es sei K V ein n-dimensionaler VR, K ∈ {R, C}, B eine orthonormierte Basis von V bez. des Skalarproduktes ϕ und f die durch f (x)/B := Af · x/B definierte lineare Abbildung. Dann ist f genau dann eine Isometrie, wenn 1 T orthogonal (d.h., A−1 f = Af ), falls K = R, Af T unit¨ ar (d.h., A−1 falls K = C f = Af ), gilt.

340


Beweis. O.B.d.A. sei K = C. =⇒“: Sei f eine Isometrie. Dann folgt aus (10.31) und der Tatsache, daß B bez¨ uglich ” ϕ orthonormiert ist, ∀x ∈ V : xT/B · x/B = xT/B · (ATf · Af ) · x/B , was nur f¨ ur ATf · Af = En m¨ oglich ist. Folglich gilt Af A−1 f

T

· Af = En und damit

T

= Af , was zu zeigen war. ¨ ⇐=“: Pr¨ uft man leicht nach (UA). ” Satz 10.5.2 Seien K V ein VR mit dem Skalarprodukt ϕ und K W ein VR mit dem Skalarprodukt ψ, K ∈ {R, C}. Außerdem seien die nachfolgend angegebenen Normen mit Hilfe der auf V bzw. W definierten Skalarprodukte erkl¨ art (siehe Satz 6.3.1) und f : V −→ W sei eine lineare Abbildung. Folgende Aussagen sind dann ¨ aquivalent: (a) f : V → W ist eine orthogonale (unit¨ are) Abbildung. (b) ∀x ∈ V : x = 1 =⇒ f (x) = 1. (c) ∀x ∈ V : x = f (x). (d) Sind e1 , e2 , ..., en orthonormierte Vektoren von V , so sind f (e1 ), f (e2 ), ..., f (en ) orthonormierte Vektoren von W , n ∈ N. Beweis. O.B.d.A. sei K = C. (a) =⇒ (b)“ folgt aus der Definition einer unit¨ aren Abbildung. ” 1 · x = 1 (b) =⇒ (c)“: F¨ ur x = o gilt offenbar (c). Sei nun x = o. Dann ist x ” 1 und wegen (b) erhalten wir hieraus f ( x · x) = 1 beziehungsweise f (x) = x, w.z.b.w. (c) =⇒ (d)“: Seien e1 , e2 , ..., en orthonormierte Vektoren aus V . Dann gilt ei = 1 ” f¨ ur alle i ∈ {1, ..., n}, was wegen (a) f (ei ) = 1 zur Folge hat. Im Fall i = j (i, j ∈ {1, ..., n}) rechnet man leicht nach, daß f (ei + ej )2 = ψ(f (ei + ej ), f (ei + ej )) = 2 + 2 · Re(ψ(f (ei ), f (ej ))) und

ei + ej 2 = 2

gilt. Wegen (c) folgt hieraus Re(ψ(f (ei ), f (ej ))) = 0. Indem man oben ei + i · ej anstelle von ei + ej w¨ ahlt, kann man analog zu oben Im(ψ(f (ei ), f (ej ))) = 0 zeigen. Also ist ψ(f (ei ), f (ej )) = 0 und damit (d) gezeigt. (d) =⇒ (a)“: Sei x ∈ V beliebig gew¨ ahlt. Dann existieren gewisse orthonormierte ” Vektoren e1 , e2 , ..., en ∈ V und gewisse x1 , ..., xn ∈ K mit x = x1 ·e1 +x2 ·e2 +...+xn ·en . Mit Hilfe dieser Darstellung von x rechnet man nun leicht (unter Verwendung von (d)) nach, daß ϕ(x, x) = |x1 |2 + ... + |xn |2 = ψ(f (x), f (x)) gilt. Folglich ist f eine unit¨ are Abbildung.

10.6 Normalformen linearer Abbildungen Wir betrachten hier nur lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen VRen. Solche Abbildungen lassen sich bekanntlich mit Hilfe von Matrizen

10.6 Normalformen linearer Abbildungen

341

beschreiben. Unter der Normalform einer linearen Abbildung f versteht man dann eine solche Beschreibung von f , in der die Matrix Af in möglichst einfacher Struktur vorliegt, d.h., die Matrix Af ist eine Diagonalmatrix oder eine Quasi-Diagonalmatrix. Am einfachsten sind die Normalformen von linearen Abbildungen zwischen verschiedenen Vektorr¨ aumen, wie der n¨ achste Satz zeigt. Satz 10.6.1 Seien V und W zwei verschiedene n-dimensionale Vektorr¨ aume u orper K und f : V −→ W eine lineare Abbildung. ¨ber dem K¨ Dann existieren Basen BV und BW von V beziehungsweise W mit f (x)/BW = ur beliebige x ∈ V und Af · x/BV f¨ ⎞ ⎛ 1 0 0 ... 0 0 ... 0 ⎜ 0 1 0 ... 0 0 ... 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 1 ... 0 0 ... 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ (10.32) Af = ⎜ ⎜ 0 0 0 .... 1 0 ... 0 ⎟ , ⎜ 0 0 0 .... 0 0 ... 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ................... ⎠ 0 0 0 .... 0 0 ... 0 wobei rg Af = rg f (= dim V ). Beweis. Es sei r := dim f (V ) und U := Ker f . Nach Satz 10.1.7 ist U ein Untervektorraum von V mit der Dimension n−r und V läßt sich mit Hilfe gewisser Vektoren b1 , ..., br in die Nebenklassen U, b1 +U, ..., br +U zerlegen. Wählt ur U aus, so ist BV := (b1 , b2 , ..., bn ) eiman dann noch eine Basis br+1 , ..., bn f¨ ne Basis f¨ ur V und die Abbildung f ist durch die Bilder der Basiselemente von BV eindeutig bestimmt. Insbesondere ist Bf (V ) := (b1 , ..., br ) mit bi := f (bi ) (i = 1, ..., r) eine Basis f¨ ur f (V ), die sich zu einer Basis BW von W ergänzen ur i = 1, ..., r und f (bj ) = o f¨ ur j = r + 1, ..., n l¨ aßt. Wegen f (bi ) = 1 · bi f¨ folgt unsere Behauptung (10.32) damit aus Satz 10.1.4. F¨ ur die linearen Abbildungen f : K Vn −→ K Vn ist der Aufwand zur Bestimmung einer Normalform erheblich gr¨ oßer. Wir werden uns nachfolgend mit Hilfe der Ergebnisse aus Kapitel 8 nur Normalformen f¨ ur den Fall K = C ¨ u u ¨berlegen. Dem Leser sei es als UA ¨berlassen, sich mit Hilfe von Sätzen aus Abschnitt 8.5 ¨ ahnliche Aussagen f¨ ur den Fall K = R oder beliebigen Körpern K zu u ¨berlegen. Eine Folgerung aus Satz 10.1.4, dem Fundamentalsatz der Algebra, Satz 8.5.4 und Satz 4.7.2 ist der folgende Satz: Satz 10.6.2 Es sei V ein n-dimensionaler VR u orper C mit der ¨ber dem K¨ Basis B und f : V −→ V eine lineare Abbildung. Die Abbildung f sei (gem¨ aß Satz 10.1.4) mit Hilfe einer gewissen Matrix Af ∈ Cn×n durch

342


f (x)/B := Af · x/B f¨ ur alle x ∈ Cn×1 beschrieben. Dann existieren eine regul¨ are Matrix B ∈ Cn×n und eine gewisse Jordann×n ¨ mit der Eigenschaft B−1 · Af · B = J. Die aus der UberMatrix J ∈ C gangsmatrix M(B, B ) := B 2 ablesbare Basis B von V hat dann die Eigenschaft: (10.33) ∀x ∈ V : f (x)/B = J · x/B .

Auf dem n-dimensionalen Vektorraum V u orper C sei ab jetzt auch ein ¨ber dem K¨ Skalarprodukt ϕ definiert. Außerdem bezeichne B eine bez¨ uglich ϕ orthonormierte Basis von V . Mit Hilfe der S¨ atze 10.2.1, 10.3.1, 10.4.1 und 10.5.1 u ¨berlegt man sich nun leicht die folgenden Eigenschaften zweier linearer Abbildungen f und f , die ur alle x ∈ Cn×1 durch f (x)/B := Af · x/B beziehungsweise f (x)/B := Af · x/B f¨ beschrieben sind: T

f ist die zu f adjungierte Abbildung ⇐⇒ Af = Af , f ist normal

⇐⇒ Af · Af

T

= Af

T

· Af ,

T

f ist selbstadjungiert

⇐⇒ Af = Af ,

f ist antiselbstadjungiert

⇐⇒ Af = −Af ,

f ist isometrisch

⇐⇒ A−1 f = Af .

T

T

¨ Aus obigen Uberlegungen und Satz 8.3.8 folgt dann (unter Beachtung der oben angegebenen Vereinbarungen) der Satz 10.6.3 Eine lineare Abbildung f : C Vn −→ C Vn ist genau dann unit¨ ar diagonalisierbar (d.h., die Matrix J aus (10.33) ist eine Diagonalmatrix und die Transformationsmatrix B ist eine unit¨ are Matrix), wenn f eine normale Abbildung ist. Da selbstadjungierte, antiselbstadjungierte oder isometrische Abbildungen auch normale Abbildungen sind, ist eine Folgerung aus Satz 10.6.3 der Satz 10.6.4 Ist die lineare Abbildung f : C Vn −→ C Vn selbstadjungiert, antiselbstadjungiert oder isometrisch, so ist sie unit¨ ar diagonalisierbar.

10.7 Gruppen aus linearen Abbildungen Nachfolgend werden nur Abbildungen von einem VR V in V (sogenannte Endomorphismen) betrachtet. Wir fassen diese Abbildungen zu einer Menge EV := {f | f : V −→ V ist lineare Abbildung } zusammen. Da f¨ ur beliebige f, g ∈ EV stets f 2g ∈ EV gilt3 , 2 nach Satz 1.4.1 ort, gilt: assoziativ ist und offenbar die identische Abbildung zur Menge EV geh¨ 2 3

Siehe Satz 4.6.2. Siehe Beispiel 5 aus 10.2.

10.7 Gruppen aus linearen Abbildungen

343

Lemma 10.7.1 EV := (EV ; 2) ist ein Monoid, d.h., eine Halbgruppe mit Einselement. Im Monoid EV sind nun gewisse Teilmengen sogar Gruppen. Einige Beispiele f¨ ur solche Mengen gibt der nachfolgende Satz an. Satz 10.7.2 Es sei BV := {f ∈ EV | f ist bijektiv }, IV

:= {f ∈ EV | f ist isometrisch und surjektiv },

FV := {f ∈ EV | ∃g ∈ IV ∃λ ∈ K\{0} : f = λ · g}. Dann ist f¨ ur jedes G ∈ {BV , IV , FV } die Struktur G := (G; 2) eine Gruppe. Beweis. Wegen Lemma 10.7.1 ist nur zu zeigen, daß 2 eine innere Verkn¨ upfung auf den angegebenen Mengen ist und zu jedem f ∈ G die inverse Abbildung f −1 existiert, die ebenfalls zu G geh¨ oren muß. F¨ ur G = BV ist dies eine unmittelbare Folgerung aus Satz 1.4.2 und Beispiel 6 aus 10.1. upfung von G, da f¨ ur beliebige f, g ∈ I Sei nun G = IV . Dann ist 2 eine innere Verkn¨ und beliebige x ∈ V ϕ((f 2g)(x), (f 2g)(x)) = ϕ(g(f (x)), g(f (x))) = ϕ(f (x), f (x)) = ϕ(x, x) gilt. Da jede isometrische Abbildung f die Eigenschaft (c) aus Satz 10.5.2 besitzt, ist Ker f = {o} f¨ ur alle f ∈ IV . Nach Satz 10.1.13 existiert folglich zu jedem f ∈ IV die inverse Abbildung. Wegen ϕ(f (x), y) = ϕ(f (x), f (f −1 (y))) = ϕ(x, f −1 (y)) ist f −1 die zu f ∈ IV adjungierte Abbildung, womit f auch eine normale Abbildung ur alle f ∈ IV mit Hilfe von Satz 10.3.1. ist. Hieraus ergibt sich dann f −1 ∈ IV f¨ Also ist (IV ; 2) eie Gruppe. Daß auch (FV ; 2) eine Gruppe ist, beweist man analog ¨ (UA). Abschließend soll noch kurz erl¨ autert werden, wie man mit Hilfe von Gruppen aus linearen Abbildungen Aussagen u aume sortieren bzw. klassifizieren kann. ¨ber Vektorr¨ Die Idee dazu wurde zun¨ achst f¨ ur Geometrien“ (Punktr¨ aume) von F. Klein (1849 ” - 1925) im sogenannten Erlanger Programm 1872 entwickelt. Da wir hier nur affine Punktr¨ aume, die mit Hilfe von Vektorr¨ aumen definiert wurden, behandeln, und sich die meisten Aussagen u aume aus Aussagen u aume ¨ber affine Punktr¨ ¨ber Vektorr¨ ergeben, k¨ onnen wir hier schon einen Begriff einf¨ uhren, der in Kapitel 11 – wie viele andere Ergebnisse u aume u ¨ber lineare Abbildungen auch – auf Punktr¨ ¨bertragen wird und mit dem die Grundidee des Erlanger Programms beschreibbar ist. Definition Es sei K V ein VR und G := (G; 2) eine gewisse Gruppe aus linearen Abbildungen. Außerdem bezeichne A(U ) eine gewisse Aussage u ¨ber die Vektoren einer Teilmenge U von V . Dann nennt man die Aussage A(U ) eine Invariante von G, wenn der Wahrheitsgehalt von A(U ) mit dem von A(f (U )) (f (U ) := {f (x) | x ∈ U }) f¨ ur jedes f ∈ G u ¨bereinstimmt.

344


Beispiel Sind auf dem VR V ein Skalarprodukt ϕ sowie mittels ϕ eine Norm .. definiert, so sind Aussagen der Form ϕ(x, y) = a oder x = b Invarianten der Gruppe IV . Seien G1 und G2 Gruppen aus linearen Abbildungen mit G1 ⊆ G2 . Faßt man dann s¨ amtliche zugeh¨ origen Invarianten zu Klassen Inv G1 , Inv G2 zusammen, so gilt Inv G2 ⊆Inv G1 . Speziell bedeutet dies, daß eine große Gruppe eine kleine Klasse von Invarianten besitzt und umgekehrt. Mit Hilfe von Gruppen aus linearen Abbildungen k¨ onnen folglich Aussagen u ¨ber Vektoren zu Invariantenklassen zusammengefaßt werden, und die Inklusionen bei den Gruppen sagen etwas u ¨ber den Zusammenhang zwischen den S¨ atzen aus den Invariantenklassen aus. Eine solche Sortierung macht nat¨ urlich nur dann Sinn, wenn man viele Aussagen hat und die Zusammenh¨ ange zwischen diesen Aussagen kl¨ aren m¨ ochte. Eine solche Situation bestand z.B. in der Mitte des 19. Jahrhunderts, wo eine Vielzahl von Arbeiten zu neuen Geometri” ¨ en“ vorlag, jedoch der Uberblick u ange verloren ¨ber die wechselseitigen Zusammenh¨ zu gehen schien. Das viele Material zu den Geometrien“ erhielt damals durch die ” gruppentheoretische Denkweise eine klare, logisch durchsichtige Struktur.4 Einige Details dazu findet man im n¨ achsten Kapitel. Es sei noch bemerkt, daß die Idee, gewissen Objekten Invarianten zuzuordnen, bei der L¨ osung einer Reihe von Problemen die entscheidende L¨ osungsidee war. Beispiele dazu findet man im Band 2.

4

Inzwischen gibt es jedoch Geometrien (z.B. die Riemannsche Geometrie), die durch das Erlanger Programm nicht erfaßt werden.

11 Affine Abbildungen

In diesem kurzen Kapitel sollen Abbildungen zwischen affinen Punkträumen studiert werden. Dabei interessieren uns nur solche Abbildungen, die Zusammenh¨ ange zwischen Aussagen u ¨ber Teilmengen von affinen Punkträumen herstellen. Wir werden sehen, daß letztlich die zu den affinen Punkträumen geh¨ orenden Vektorr¨ aume und die linearen Abbildungen zwischen diesen Vektorr¨ aumen die uns interessierenden Abbildungen bestimmen.

11.1 Allgemeines u ¨ ber affine Abbildungen Der nachfolgend eingef¨ uhrte Begriff der affinen Abbildung f zwischen zwei affinen Punktr¨ aumen ist so gew¨ ahlt, daß das Bild f (g) einer Geraden g ein Punkt oder wieder eine Gerade ist und – wie wir später noch sehen werden – die Eigenschaft der Parallelit¨ at von zwei Geraden sich durch Anwenden von f nicht ¨ andert sowie das sogenannte Teilverhältnis von Punkten auf einer Geraden beim Abbilden durch f erhalten bleibt. Der Richtungssinn einer Geraden, Streckenl¨ angen, Fl¨ acheninhalte und Winkel können sich dagegen beim Anwenden von f i.allg. a ¨ndern.1 Definition Seien R und R Punktr¨ aume mit den zugehörigen Vektorräumorper K. en V und V u ¨ber dem gleichen K¨ Die Abbildung f : R → R heißt affine Abbildung von R in R , wenn es → − eine lineare Abbildung f : V → V mit der Eigenschaft

bzw.

−−−−−−→ → −−→ − ∀P, Q ∈ R : f (P Q) = f (P )f (Q)

(11.1)

→ − ∀P, Q ∈ R : f (Q − P ) = f (Q) − f (P )

(11.2)

gibt (siehe Abbildung 11.1). 1

Ohne Beweis sei hier noch erw¨ ahnt, daß affine Abbildungen Figuren verzerren, aber nicht zerreißen.

346

11 Affine Abbildungen R

R

-rf (Q) BM B B B − − − − − − −− -B − − − − − − − −− → B f B

P

r

rQ

f

B -Br

f

f (P )

Abb. 11.1

Seien ⎧⎛ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎜ ⎪ x ⎨⎜ 1 R = R := ⎜ ⎜ x2 ⎪ ⎪⎝ ... ⎪ ⎪ ⎩ xn

Beispiel

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ | ∀i : xi ∈ R , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

⎧⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎜ ⎜ V = V := ⎜ ⎜ ⎪ ⎪⎝ ⎪ ⎪ ⎩

0 x1 x2 ... xn

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ | ∀i : xi ∈ R ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

und die Abbildung f durch f : R → R, X → A + A · X sowie

⎛⎛

1 ⎜ ⎜ x1 ⎜⎜ ⎜ f⎜ ⎜ ⎜ x2 ⎝ ⎝ ... xn

⎞⎞

⎛

1 ⎜ a1 ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟ := ⎜ a2 ⎜ ⎟⎟ ⎝ ... ⎠⎠ an =:A

⎞

⎛

0 0 0 ... 0 ⎟ ⎜ 0 a11 a12 ... a1n ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ 0 a11 a12 ... a1n ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ .................. 0 an1 an2 ... ann =:A

(11.3) ⎞ ⎛

1 ⎟ ⎜ x1 ⎟ ⎜ ⎟ · ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ... xn

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

=:X

definiert. Diese Abbildung ist affin, da die mit Hilfe von A definierbare Abbildung → − ∀x ∈ V : f (x) := A · x → − offenbar eine lineare Abbildung ist und sich (11.2) f¨ ur die obigen f und f wie folgt (unter Verwendung bekannter Rechenregeln f¨ ur Matrizen) leicht nachpr¨ ufen l¨ aßt:

11.1 Allgemeines u ¨ber affine Abbildungen

347

− → → − → − f (Q − P ) = A · (Q − P ) = A · Q − A · P = f (P ) − f (Q). Mit unserem obigen Beispiel haben wir bereits die Struktur der affinen Abbildung i.w. erfaßt, wie der folgende Satz zeigt. Satz 11.1.1 Seien R und R affine Punktr¨ aume mit den zugeh¨ origen Vektorr¨ aumen V und V . Dann gilt: (a) Sei f : R → R eine affine Abbildung mit der zugeh¨ origen linearen Abbil→ − dung f : V → V . Dann gilt: → − ∀P ∈ R ∀x ∈ V : f (P + x) = f (P ) + f (x).

(11.4)

→ − (b) Ist umgekehrt f : V → V eine lineare Abbildung und T ∈ R sowie ahlt, so erh¨ alt man mittels T ∈ R fest gew¨ → − ∀x ∈ V : f (T + x) = T + f (x)

(11.5)

eine affine Abbildung definiert. Beweis. (a): Seien P ∈ R und x ∈ V beliebig gewählt. Wir setzen Q := P +x, → − d.h., es ist x = Q − P . Nach Definition von f gilt dann f (x) = f (Q) − f (P ) = f (P + x) − f (P ). Hieraus folgt dann unmittelbar (11.4). −→ (b): Seien P, Q ∈ R beliebig gew¨ ahlt. Dann gilt P = T + T P und Q = → −→ − −→ T + T Q. Aus der Voraussetzung (11.5) erh¨ alt man dann f (P ) = T + f (T P ) → − → − → − − → − → −→ und f (Q) = T + f (T Q). Folglich gilt f (Q) − f (P ) = f (T Q) − f (T P ) = → −→ −→ − → − f (T Q) − T P ) = f (Q − P ), womit die durch (11.5) definierte Abbildung affin ist. Satz 11.1.2 Seien R und R affine R¨ aume mit den zugeh¨ origen Vektorr¨ aumorper K. Ferner sei f : R −→ R eine affine Abbilen V und V u ¨ber dem K¨ dung. Dann gilt: (a) Ist A ein affiner Unterraum von R, so ist f (A) := {f (x) | x ∈ A} ein affiner Unterraum von R mit dimf (A) ≤ dimA. (b) Sind A und B parallele affine Unterr¨ aume, so sind f (A) und f (B) ebenfalls parallel. Beweis. (a): Ein affiner Unterraum l¨ aßt sich in der Form A = P + U darstellen, wobei P ∈ A und U ein gewisser UVR von V ist. Mit Hilfe von Satz → − → − 11.1.1 folgt hieraus f (A) = f (P ) + f (U ). Wegen der Linearität von f , Satz 10.1.1 und Satz 10.1.2 gilt damit (a). (b): Seien A = P + U und B = Q + W mit P ∈ A, Q ∈ B und U , W passend gew¨ ahlten UVRen von V . Nach Definition sind A und B parallel, wenn → − → − U ⊆ W oder W ⊆ U . Sei o.B.d.A. U ⊆ W . Dann gilt f (U ) ⊆ f (W ), was nach Definition die Parallelit¨ at von f (A) und f (B) zur Folge hat.

348


11.2 Gruppen gewisser affiner Abbildungen Zur Vorbereitung: Lemma 11.2.1 Seien f : R → R und g : R → R affine Abbildungen. Dann gilt: −→ → → − g. (a) f 2g ist eine affine Abbildung mit f 2g= f 2− → − (b) f ist injektiv ⇐⇒ f ist injektiv. → − (c) f ist surjektiv ⇐⇒ f ist surjektiv. → − (d) f ist bijektiv ⇐⇒ f ist bijektiv. → → − (e) f ist bijektiv =⇒ f −1 ist eine affine Abbildung mit f −1 = ( f )−1 . → − → Beweis. (a): Da f und − g lineare Abbildungen sind, ist nach 10.1 (Beispiel 5) → − − → auch f 2 g eine lineare Abbildung. (a) folgt damit aus ∀P, Q ∈ R : → → − → − → → ( f 2− g )(Q − P ) = − g ( f (Q − P )) = − g (f (Q) − f (P )) = g(f (Q) − g(f (P )) = (f 2g)(Q) − (f 2g)(P ). ¨ (b) – (e) u ¨berlege man sich als UA. Satz 11.2.2 Sei Rn ein affiner Punktraum mit dem zugeh¨ origen Vektorraum Vn u orper K. Dann gilt: ¨ber dem K¨ (a) Sei G ⊆ EVn 2 eine Untergruppe der Gruppe EVn . Dann ist auch Ga := (Ga ; 2) mit → − Ga := {f | f : Rn → Rn ∧ f ist affin ∧ f ∈ G} ebenfalls eine Gruppe. → (b) Ist A := ({f | f : Rn → Rn ∧ f affin }; 2) eine Gruppe, so ist (A; 2) mit → − A:= { f | f ∈ A}

→

ebenfalls eine Gruppe. Beweis. (a): Wegen Lemma 11.2.1, (a) ist 2 eine innere Verkn¨ upfung von Ga , die nach Satz 1.4.1 assoziativ ist. Nach Voraussetzung geh¨ ort die identische Abbildung ort, die wiederum das idV zu G, womit die identische Abbildung idRn zu Ga geh¨ Einselement von Ga ist. Mit Hilfe von Lemma 11.2.1, (e) zeigt man leicht, daß zu jeder affinen Abbildung f ∈ Ga die inverse Abbildung in Ga existiert. Folglich ist Ga eine Gruppe. ¨ (b): UA. Satz 11.2.3 (mit Definitionen) Seien Rn ein affiner Punktraum mit dem zuorper K ∈ {R, C} und geh¨ origen Vektorraum Vn u ¨ber dem K¨ → − − → → − G1 := ({ f | f : Vn → Vn ∧ f bijektive Abbildung }; 2), → − → − → → → g : Vn → Vn ∃λ ∈ K\{0} : − g isometrisch ∧ f = λ · − g }; 2), G2 := ({ f ∈ G1 | ∃− → − → − G3 := ({ f ∈ G1 | f isometrisch }; 2). Dann sind folgende algebraische Strukturen Ai := (Ai ; 2), i ∈ {1, 2, 3}, mit 2

Siehe 10.7.

11.3 Einige Invarianten affiner Abbildungen

349

→ − (a) A1 := {f | f : Rn → Rn ∧ f ∈ G1 }, die Menge der sogenannten Affinit¨ aten 3 des Rn , → − ¨ (b) A2 := {f ∈ A1 | f ∈ G2 }, die Menge der sogenannten Ahnlichkeitsabbildungen des Rn , → − (c) A3 := {f ∈ A1 | f ∈ G3 }, die Menge der sogenannten Kongruenzen (bzw. Bewegungen) des Rn , Gruppen. Beweis. (a) und (c) folgen aus Satz 11.2.2 und Satz 10.7.2. ¨ (b) pr¨ uft man mit Hilfe von (a) leicht nach (UA). Satz 11.2.4 Es sei f : Rn → Rn eine affine Abbildung und auf dem zugeh¨ origen Vektorraum Vn von Rn sei eine Norm .. definiert. Dann gilt: f ∈ A3 ⇐⇒ ∀P, Q ∈ Rn : f (Q) − f (P ) = Q − P ,

(11.6)

d.h., die Abbildung f ist genau dann eine Kongruenz, wenn sie beim Abbilden den Abstand zweier beliebiger Punkte nicht ¨ andert. → − Beweis. =⇒“: Sei f ∈ A3 , d.h., es existiert eine isometrische Abbildung f mit ” → − ur beliebige P, Q ∈ Rn f (X + x) = f (X) + f (x) f¨ ur beliebige X ∈ Rn und x ∈ Vn . F¨ mit y := Q − P gilt dann → − f (Q) − f (P ) = f (P + y) − f (P ) = f (P ) + f (y) − f (P ) = f (y). → − Unter Verwendung von Satz 10.5.2 folgt hieraus f (Q) − f (P ) = f (y) = y. ⇐=“: Angenommen, f¨ ur alle P, Q ∈ Rn gilt f (Q) − f (P ) = Q − P . Wegen ” → − → − f (Q) − f (P ) = f (P − Q) folgt hieraus f (x) = x f¨ ur alle x ∈ Vn . Nach Satz → − → − 10.5.2 ist damit f orthogonal oder unit¨ ar und damit f isometrisch. Analog kann man den folgenden Satz beweisen. Satz 11.2.5 (mit Definition) Sei f : Rn → Rn eine affine Abbildung und auf dem zugeh¨ origen Vektorraum Vn von Rn sei eine Norm .. definiert. Dann gilt: f ∈ A2 ⇐⇒ ∃c > 0 : ∀P, Q ∈ Rn : f (Q) − f (P ) = c · Q − P .

(11.7)

¨ Das c aus (11.7) nennt man Ahnlichkeitsfaktor.

11.3 Einige Invarianten affiner Abbildungen Analog zu Kapitel 10 lassen sich die Invarianten affiner Abbildungen definieren. Definition Es sei Rn ein affiner Punktraum und G eine gewisse Gruppe von auf Rn definierten affinen Abbildungen. Außerdem bezeichne A(T ) eine gewisse Aussage u ¨ber T ⊆ Rn . Dann nennt man die Aussage A(T ) eine Invariante von G, wenn der Wahrheitsgehalt von A(T ) mit dem von A(f (T )) (f (T ) := {f (X) | X ∈ T }) f¨ ur jedes f ∈ G u ¨bereinstimmt. Aus der obigen Definition ergibt sich unmittelbar die folgende Eigenschaft von Invarianten:. 3

A1 ist auch f¨ ur einen beliebigen K¨ orper K eine Gruppe.

350


Lemma 11.3.1 Es sei U eine Untergruppe der Gruppe G, die aus affinen Abbildungen eines Rn auf sich besteht. Dann ist jede Invariante von G auch eine von U. Beispiele f¨ ur Invarianten gibt der folgende Satz an. Satz 11.3.2 (mit Definition) Es sei Rn ein affiner Punktraum mit dem zugeh¨ oriorper K = R. Außerdem seien Ai f¨ ur i = 1, 2, 3 die gen Vektorraum Vn u ¨ber dem K¨ im Satz 11.2.3 definierten Gruppen aus affinen Abbildungen des Rn auf sich. Dann gilt: (a) Aussagen u at von Punktr¨ aumen sind Invarianten der Gruppe ¨ber die Parallelit¨ A1 . (b) Aussagen u ¨ber Winkel zwischen Punktmengen sind Invarianten von A2 .4 (c) Aussagen u ande von Punkten sind Invarianten von A3 . ¨ber die Abst¨ (d) Seien P0 , P1 , R Punkte des Rn mit den Eigenschaften: P0 = P1 und R liegt auf −−→ der Geraden durch P0 und P1 . Die dann existierende Zahl r ∈ R mit P0 R = −−−→ altnis des Tripels (P0 , P1 , R) und ist eine Invariante r · P0 P1 heißt Teilverh¨ von A1 . Beweis. (a) folgt aus Satz 11.1.2 und (c) aus Satz 11.2.4. −−→ −−→ (b): Seien P, P1 , P2 ∈ Rn , a := P P1 und b := P P2 . Dann berechnet sich der Winkel ∠(a, b) durch ϕ(a, b) . cos ∠(a, b) = a · b → − ¨ aßt sich f (Siehe 6.4 und 7.2). Ist nun f eine Ahnlichkeitsabbildung auf Rn , so l¨ n×n und mit Hilfe einer Basis B von Vn , einer gewissen orthogonalen Matrix A ∈ R eines λ ∈ R\{0} wie folgt beschreiben: → − ∀x ∈ Vn : f (x)/B = λ · A · (x/B ). Mit Hilfe dieser Darstellung rechnet man leicht nach, daß → − → − cos ∠( f (a), f (b)) = cos ∠(a, b) gilt. ¨ (d): UA. Ausgehend von Satz 11.3.2 findet man nun eine Reihe von S¨ atzen (wie z.B. den aus der Schule her bekannten Strahlensatz), die weitere Invarianten der von uns definierten Gruppen sind. Zusammenfassen s¨ amtlicher Invarianten einer Gruppe liefert die zur Gruppe geh¨ orende Geometrie“: ” Die Invarianten von A1 bilden die sogenannte affine Geometrie, die von A2 die ¨ Ahnlichkeitsgeometrie und die von A3 die euklidische Geometrie (Kongruenzgeometrie). ¨ Mit Hilfe von Lemma 11.3.1 sieht man, daß sich die Inklusionen beim Ubergang von den Gruppen zu den zugeh¨ origen Geometrien (oder von den Geometrien zu den Gruppen, die aus all den affinen Abbildungen bestehen, die s¨ amtlichen Aussagen der Geometrien als Invarianten haben) umkehren. In der Allgemeinen Algebra 4

Zur Definition der Winkel zwischen Punktmengen siehe 7.2 und 6.4.

11.3 Einige Invarianten affiner Abbildungen

351

nennt man einen solchen Zusammenhang eine Galois-Beziehung, die nicht nur bei Geometrien und ihren Invarianten, sondern auch in anderen Teilen der Mathematik auftritt. Mehr dazu im Band 2. Die Idee zu obigen Klassifizierungen von Geometrien stammt aus dem sogenannten ¨ Erlanger Programm von Felix Klein. Eine Ubersicht u ¨ber die durch dieses Programm bewirkte Entwicklung der klassischen Invariantentheorie findet man z.B. in [Olv 99].

Teil III

Numerische Algebra

12 Einfu ¨ hrung in die Numerische Mathematik

Unter Numerischer Mathematik bzw. unter Numerik versteht man diejenigen Teile der Mathematik, in denen mathematische Größen aus gegebenen Zahlen auch zahlenm¨ aßig berechnet werden. Insbesondere beschäftigt sich die Numerik mit dem Aufstellen von Rechenvorschriften, nach denen aus Eingangsdaten, die oft mit (bekannten) Fehlern behaftet sind, die gew¨ unschten Ausgangsdaten mit absch¨ atzbarer Genauigkeit berechnet werden. Die Numerik setzt in der Regel dort ein, wo ein Problem (z.B. der Algebra oder Analysis) als gel¨ ost angesehen werden kann, weil z.B. die Existenz einer L¨ osung nachgewiesen oder ein L¨ osungsalgorithmus (möglicherweise aus unendlich vielen Schritten bestehend) gefunden wurde. Bei der konkreten Ermittlung der L¨ osung eines Problems ergeben sich dann aber eine Reihe von Schwierigkeiten. Oft sind die Ausgangsdaten reelle Zahlen, die man durch endliche Dual- oder Dezimalbr¨ uche ann¨ ahern muß, oder gewisse Meßdaten, von denen man in etwa weiß, mit welchen Fehlern sie behaftet sind. Da man nicht unendlich lange rechnen kann, muß man sich bei Lösungsalgorithmen mit unendlich vielen Schritten nat¨ urlich mit einer endlichen Schrittzahl begn¨ ugen. Besteht der L¨ osungsalgorithmus nur aus endlich vielen Schritten, so kann es passieren, daß dieser Algorithmus numerisch instabil ist, d.h., durch die fehlerhaften Eingangsdaten k¨ onnen Ergebnisse entstehen, die — selbst wenn die Fehler der Eingangsdaten sehr klein sind — stark von den wahren Lösungen abweichen. Die Numeriker suchen in solch einem Fall nach neuen Lösungsalgorithmen, die diese unangenehme Eigenschaft nicht besitzen. Man sieht also, daß man bei konkreten Berechnungen in der Regel ständig gezwungen ist, Fehler zu machen. Da diese Fehler aber meist unvermeidbar sind, besteht die Aufgabe der Numerik darin, die Fehler in berechenbare Schranken zu halten. In den folgenden drei Kapiteln soll eine kurze Einf¨ uhrung in die Numerik gegeben werden, wobei wir uns auf diejenigen Teile beschränken, die sich mit dem n¨ aherungsweisen L¨ osen von gewissen Gleichungen beschäftigen. Grundlage fast aller angegebenen Verfahren ist dabei der sogenannte Banach¨ sche Fixpunktsatz. Insbesondere setzen wir dann unsere Uberlegungen zu den

356

12 Einf¨ uhrung in die Numerische Mathematik

Gleichungssystemen aus Teil II fort, indem wir uns Näherungsverfahren f¨ ur LGS u ¨berlegen werden. In diesem Kapitel sollen anschließend noch m¨ oglichen Fehlertypen angegeben, in einfachen F¨ allen die Fehlerfortpflanzung analysiert und gezeigt werden, wie man mit Hilfe der Intervallarithmetik die Fehler während einer numerischen Rechnung (meist recht grob) unter Kontrolle halten kann.

12.1 Fehlertypen Bei Fehlern in der Numerik meint man nicht logische Fehler, Rechenfehler u.ä., sondern die Unterschiede zwischen N¨ aherungswerten und exakten Werten. Falls der exakte Wert und der N¨ aherungswert Zahlen sind, definieren wir Absoluter Fehler := |N¨ aherungswert − exakter Wert| und Relativer Fehler :=

absoluter Fehler |exakter Wert|

bzw. (falls der exakte Wert nicht bekannt ist und wir Abschätzungen f¨ ur den Fehler vornehmen m¨ ussen) Relativer Fehler :=

absoluter Fehler . |N¨ aherungswert|

Etwas allgemeiner (und auf die nachfolgenden Abschnitte zugeschnitten) lassen sich diese Begriffe wie folgt einf¨ uhren. Definitionen Seien x und x ; Elemente eines Vektorraums V, auf dem eine Norm !..! definiert ist, und sei ∆x := x ; − x. Dann heißt !∆x! = !; x − x! der absolute Fehler zwischen N¨ aherungswert x ; und exaktem Wert x. Falls x = 0 und x bekannt bzw. x ; = 0 und x unbekannt ist, versteht man unter dem relativen Fehler den Ausdruck !∆x! !∆x! bzw. . !x! !; x! Auftreten k¨ onnen Fehler bei der mathematischen Behandlung eines Problems als • Modellfehler, Fehler bei den Ausgangsdaten (Z.B. wird bei der Herleitung einer Differentialgleichung, die den freien Fall charakterisiert, nicht der Luftwiderstand ber¨ ucksichtigt; irrationale Zahlen (wie etwa π oder e) sind nur n¨ aherungsweise angebbar.); • Fehler durch Rechnen mit Maschinenzahlen, Rundungsfehler (siehe dazu Abschnitt 12.3);

12.2 Fehlerfortpflanzung bei differenzierbaren Funktionen

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• Verfahrensfehler (Z.B. durch Ersetzen eines Grenzwertprozesses durch einen finiten Prozeß). Oft treten bei der mathematischen Behandlung gewisser Probleme alle drei Fehlertypen auf. Ihre Gesamtanalyse ist dabei meist recht aufwendig, manchmal auch unm¨ oglich. Die nachfolgenden Abschnitte 12.2 – 12.4 geben deshalb nur einige (sehr allgemeine) Methoden der Fehleranalyse bei gewissen Schritten der Abarbeitung von Algorithmen an. Später (bei der Behandlung konkreter numerischer Verfahren) werden wir dann Fehleranalysen konkreter Algorithmen vornehmen.

12.2 Fehlerfortpflanzung bei differenzierbaren Funktionen Wir beginnen mit Absch¨ atzungen f¨ ur die absoluten Fehler beim Rechnen mit den elementaren Rechenoperationen +, -, ·, :. Es sei dazu f¨ ur ◦ ∈ {+, −, ·, :} und x, y, x ;, y; ∈ R : ∆x := x ; − x , ∆y := y; − y und ∆(x ◦ y) := (x + ∆x) ◦ (y + ∆y) − (x ◦ y). Dann folgt offensichtlich im Fall ◦ = + aus ∆(x + y) := (x + ∆x) + (y + ∆y) − (x + y) = ∆x + ∆y, daß |∆(x + y)| ≤ |∆x| + |∆y| ist. ¨ Ahnlich leicht u ¨berlegt man sich die folgenden Abschätzungen bzw. Näherungen f¨ ur den absoluten Fehler bei Anwendung der anderen Grundrechenarten. |∆(x + y)| ≤ |∆x| + |∆y| |∆(x − y)| ≤ |∆x| + |∆y| |∆(x · y)| ≈ |y| · |∆x| + |x| · |∆y| |∆(x : y)| ≈

1 |x| · |∆x| + 2 · |∆y| |y| |y |

Bei den Absch¨ atzungen f¨ ur die relativen Fehler benutzen wir das sogenannte Landausche O-Symbol1 , das wie folgt definiert ist: ur x → 0 Seien f1 und f2 einstellige Funktionen von R in R. f1 heißt dann f¨ von der Gr¨ oßenordnung f2 mit der Bezeichnung f1 (x) = O(f2 (x)), 1

Edmund Landau (1877–1938), deutscher Mathematiker. Sein Arbeitsfeld war vor allem die Zahlentheorie und die Analysis der komplexen Ebene.

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12 Einf¨ uhrung in die Numerische Mathematik

wenn eine positive Konstante c existiert, so daß in einer Umgebung von x = 0 die Ungleichung |f1 (x)| ≤ c · |f2 (x)| erf¨ ullt ist. Es gilt dann ∆(x + y) |∆x| + |∆y| x+y ≤ |x + y| ∆(x − y) |∆x| + |∆y| x−y ≤ |x − y| ∆(x · y) ∆x ∆y 2 x · y ≤ x + y + O( |∆x| + |∆y| ) ∆(x : y) ∆x ∆y 2 ≤ + x : y x y + O( |∆x| + |∆y| ) ¨ (Beweis: UA). Noch einige Bemerkungen zu obigen Absch¨ atzungen der absoluten und relativen Fehler: Aus der Ungleichung f¨ ur die Subtraktion ist ablesbar, daß bei Subtraktion fast gleicher Zahlen der relative Fehler sehr groß ist. ( Auslöschung g¨ ultiger ” Ziffern“). Gleiches gilt f¨ ur den absoluten Fehler bei der Division durch (betragsmäßig) kleine Zahlen. Ein kleiner Divisor liefert i.allg. einen großen absoluten Fehler. Die O-Terme in den Ungleichungen haben in der Regel keinen Einfluß auf die Fehlerschranken und k¨ onnen deshalb meist weggelassen werden. (Sind z.B. ∆x und ∆y von der Gr¨ oßenordnung 10−6 , so sind die O-Terme von der Größenordnung 10−12 .) ;, x 0 werden. Folglich ist unsere Folge (xn )n∈N konvergent. Zu (2.): Da in jedem Banach–Raum die Grenzwerte von konvergenten Folgen zum Raum geh¨ oren und A abgeschlossen ist, existiert in A ein x∗ mit x∗ := limn→∞ xn . Zum Nachweis von f (x∗ ) = x∗ betrachten wir die folgenden Ungleichungen: !f (x∗ ) − x∗ ! = !f (x∗ ) − f (xn−1 ) + f (xn−1 ) − x∗ ! ≤ !f (x∗ ) − f (xn−1 )! + ! f (xn−1 ) −x∗ ! = xn ≤ k · !x∗ − xn−1 ! + !xn − x∗ !.

(13.9)

Aus der Konvergenz der Folge (xn )n∈N folgt nun, daß die rechte Seite von (13.9) beliebig klein bei einem passend gew¨ ahlten n werden kann. Da !..! ≥ 0, ur ergibt sich hieraus !f (x∗ ) − x∗ ! = 0, was nach den Normaxiomen nur f¨ oglich sein kann. f (x∗ ) − x∗ = 0 bzw. f (x∗ ) = x∗ m¨ Zu (3.): Angenommen, es existiert ein von x∗ verschiedener zweiter Fixpunkt x∗∗ von f . Dann gilt (unter Verwendung von (13.5)): !x∗ − x∗∗ ! = !f (x∗ ) − f (x∗∗ )! ≤ k · !x∗ − x∗∗ !, woraus sich (1 − k) · !x∗ − x∗∗ ! ≤ 0

(13.10)

ergibt. Da 1 − k > 0 und !..! ≥ 0 ist (13.10) nur im Fall !x∗ − x∗∗ ! = 0 erf¨ ullbar, d.h., es gilt x∗ = x∗∗ , im Widerspruch zu unserer Annahme x∗ = x∗∗ .

372

13 Gleichungsaufl¨ osung

Dem Beweis von Satz 13.2.1 kann man zwar bereits Fehlerabschätzungen entnehmen, jedoch wollen wir uns nachfolgend noch eine Abschätzung u ¨berlegen, ur x vorkommen. in der nur k und die ersten N¨ aherungen x0 sowie x1 f¨ Satz 13.2.2 f erf¨ ulle die Voraussetzungen von Satz 13.2.1 und es sei f (x∗ ) = x∗ . Dann gilt kn · !x1 − x0 ! !x∗ − xn ! ≤ (13.11) 1−k f¨ ur alle n ≥ 2. Beweis. Aus der Definition der xi und den Voraussetzungen erhält man zun¨ achst !x∗ − xn ! = !f (x∗ ) − f (xn ) + f (xn ) − xn ! ≤ !f (x∗ ) − f (xn )! + ! f (xn ) −xn ! = xn+1 ≤ k · !x∗ − xn ! + !xn+1 − xn !, woraus sich unter Verwendung von (13.7) aus dem Beweis von Satz 13.2.1 (1 − k) · !x∗ − xn ! ≤ !xn+1 − xn ! ≤ k n · !x1 − x0 ! und dann unsere Behauptung ergibt. Wie kann man aber nun feststellen, ob eine gegebene Abbildung die Lipschitz– Bedingung erf¨ ullt? Wir werden diese Frage f¨ ur gewisse Klassen von Abbildungen f in den sich anschließenden Abschnitten beantworten. Ein erstes einfaches Beispiel liefert der folgende Satz. Satz 13.2.3 Bezeichne f eine Funktion aus C[a, b] (d.h., f ist eine stetige Funktion u ur alle x ∈ (a, b) differenzierbar ¨ber dem Intervall [a, b] ⊂ R ), die f¨ ort. Dann gilt ist und deren Ableitung f zu C[a, b] geh¨ ∀ x1 , x2 ∈ [a, b] : |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ ( max |f (x)|) · |x1 − x2 |.

(13.12)

x∈[a,b]

Beweis. Die Behauptung unseres Satzes ist eine direkte Folgerung aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung4 , nach dem (unter den gegebenen Voraussetzungen) f¨ ur beliebig ausgew¨ ahlte x1 , x2 ∈ [a, b] ein gewisses τ ∈ (x1 , x2 ) mit f (x1 ) − f (x2 ) = f (τ ) x1 − x2 existiert. 4

Siehe ein beliebiges Buch u ¨ber Analysis.

13.3 Das Newton–Verfahren, die Regula falsi

373

13.3 Das Newton–Verfahren, die Regula falsi Sei nachfolgend g ∈ C[a, b], d.h., g ist eine (reellwertige) stetige Funktion u ¨ber dem Intervall [a, b] ⊂ R . Wechselt die Funktion g im Intervall [a, b] ihr Vorzeichen (d.h., gilt g(a) · g(b) < 0), so besitzt g in [a, b] mindestens eine Nullstelle, die man durch das sogenannte Bisektionsverfahren (Methode der Intervallhalbierung) grob ann¨ ahern (bzw., falls man nur lange genug rechnet, auch berechnen) kann: Gegeben: g (Funktion) a, b (Intervallgrenzen mit a < b, g(a) > 0 und g(b) < 0) ε (Genauigkeitsschranke) Bisektionsverfahren: (Intervallhalbierung) 1. x := a+b 2 2. falls g(x) ≤ 0, dann b := x, sonst a := x (Auswahl des neuen Intervalls) 3. falls |b − a| > ε, dann Schritt 1., (R¨ ucksprung, falls Intervall noch zu groß) sonst drucke a, b Das Ergebnis dieses Verfahrens sind neue Intervallgrenzen a, b einer Nullstelle von g, f¨ ur die |b − a| ≤ ε gilt. Offenbar konvergiert das Bisektionsverfahren f¨ ur jede Funktion g gleich langsam. Aus diesem Grunde ist dieses Verfahren zumeist nur dazu geeignet, erste N¨ aherungen f¨ ur die Nullstellen von g zu ermitteln. Nachfolgend sollen nun zwei Verfahren vorgestellt werden, mit denen man vorhandene Nullstellen von g unter Kenntnis gewisser Anfangsnäherungen berechnen kann. Herleiten lassen sich diese Verfahren mit Hilfe des Banach¨ schen Fixpunktsatzes unter Verwendung der folgenden Uberlegung, die man leicht nachpr¨ uft. Lemma 13.3.1 Sei µ eine Funktion mit µ(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ [a, b] und f (x) := x − µ(x) · g(x). Dann gilt f¨ ur beliebige x ∈ [a, b]: g(x) = 0 ⇐⇒ f (x) = x, d.h., die Berechnung einer Nullstelle von g ist gleichbedeutend mit der Berechnung eines Fixpunktes von f. Wir wollen jetzt die Funktion µ so festlegen, daß die Berechnung des Fixpunktes von f m¨ oglichst gut durch das in 13.2 beschriebene Iterationsverfahren (13.6) m¨ oglich wird. ur alle x ∈ [a, b] von Null Falls die erste Ableitung g von g existiert und f¨ verschieden ist, können wir

374


µ(x) :=

1 g (x)

w¨ ahlen. Dann gilt f (x) := x −

g(x) g (x)

und als Spezialfall von Satz 13.2.1 erhalten wir: Newton–Verfahren5 : x0 (vorgegebene Näherung) n = 0, 1, 2, . . . (Schrittnummer) n) xn+1 := xn − gg(x (x ) n Geometrisch l¨ aßt sich dieses Verfahren wie folgt deuten (siehe Abbildung 13.3): Zu vorgegebenen x0 lege man im Punkt (x0 , g(x0 )) die Tangente an den Graph der Funktion g, die sich bekanntlich durch die Gleichung y − g(x0 ) = 0) aßt. x1 := x0 − gg(x g (x0 ) · (x − x0 ) beschreiben l¨ (x ) ist dann der Schnitt0 punkt dieser Tangente mit der x-Achse. Konstruktion der Tangente im Punkt (x1 , g(x1 )) und Berechnung des Schnittpunktes mit der x-Achse liefert dann x2 , usw. Offenbar konvergiert dieses Verfahren in dem in der Abbildung 13.3 angegebenen Fall. Ein Beispiel f¨ ur das Versagen dieses Verfahrens kann man der Abbildung 13.4 entnehmen. y 6

g(x)

x0

x∗ x2 x1

-x

Abb. 13.3

5

Isaac Newton (1642–1727), englischer Physiker und Mathematiker. Begr¨ under der theoretischen Physik und der Himmelsmechanik, Mitbegr¨ under der Infinitesimalrechnung.


y 6

375

g(x)

x1 = x3-= ... x

x0 = x2 = ...

Abb. 13.4

Satz 13.3.2 Das Newton–Verfahren zur Berechnung der Nullstelle x∗ ∈ [a, b] von g(x) konvergiert f¨ ur eine beliebige Anfangsn¨ aherung x0 ∈ [a, b], falls g ur alle x ∈ [a, b] ist und ein k ∈ [0, 1) zweimal differenzierbar ist, g (x) = 0 f¨ mit der folgenden Eigenschaft existiert: g(x) · g (x) ≤ k. ∀x ∈ [a, b] : (g (x))2 Beweis. Unser Satz l¨ aßt sich mit Hilfe der Sätze 13.2.1 und 13.2.3 beweisen. Dazu sei daran erinnert, daß wir das Newton–Verfahren durch Wahl von f (x) := x − gg(x) (x) aus Satz 13.2.1 erhalten haben. Wegen Satz 13.2.3 konvergiert folglich unser Verfahren, wenn wir zeigen können, daß die erste Ableitung der Funktion f (x) im betrachteten Intervall betragsmäßig echt kleiner 1 ist. Offenbar gilt f (x) = 1 −

(g (x))2 − g(x) · g (x) g(x) · g (x) = . (g (x))2 (g (x))2

Erf¨ ullt also g die im Satz genannten Voraussetzungen, so konvergiert das Newton–Verfahren nach Satz 13.2.3. Beispiel Seien g(x) := x2 − a und a > 0. Da in diesem Fall g (x) = 2 · x 2 −a und damit f (x) = x √ − x 2x = 12 · (x + xa ) ist, l¨ aßt sich eine der zwei Nullstellen von g – wir w¨ ahlen a – mit dem Newton–Verfahren wie folgt berechnen: 1+a 2 xn+1 = 12 ·

x0 :=

(xn +

a xn )

(n = 0, 1, 2, . . .). √ √ x0 :=√1+a wurde gew¨ ahlt, weil in diesem Fall 2 √ x0 ∈ [ a, b] mit b > a, ur alle n ∈ N und f¨ ur alle x ∈ [ a, b] xn ∈ [ a, x0 ] f¨

376


g(x) · g (x) 1 = − a ≤ 1− a 0, so setzt man a1 := c und b1 := b0 und beginnt die Iteration von neuem, u.s.w.

Ist die Funktion g nicht differenzierbar oder die erste Ableitung von g schwer berechenbar, so kann man z.B. µ :=

x − x0 g(x) − g(x0 )

w¨ ahlen und erh¨ alt als neues Verfahren zur Berechnung einer Nullstelle von g: Regula falsi, erste Form: x0 , x1 n = 1, 2, . . . xn+1 := xn −

xn − x0 · g(xn ) g(xn ) − g(x0 )

(vorgegebene Näherungen) (Schrittnummer)

Geometrisch l¨ aßt sich dieses Verfahren analog zum Newton–Verfahren deuten, indem man anstelle der Tangente im Punkt x0 die Gerade durch die Punkur die te (x0 , g(x0 )) und (x1 , g(x1 )) betrachtet und als neue Näherung x2 f¨ gesuchte Nullstelle von g den Schnittpunkt dieser Geraden mit der x−Achse ¨ w¨ ahlt (siehe Abbildung 13.5; Beweis: UA). y g(x) 6

x0

x2 x3

x1 x

Abb. 13.5

I.allg. konvergiert die Regula falsi (1. Form) schlechter als das Newton– Verfahren. Auch die Modifikation dieses Verfahrens


377

Regula falsi, zweite Form: x0 , x1 n = 1, 2, . . . xn+1 := xn −

xn − xn−1 · g(xn ) g(xn ) − g(xn−1 )

(vorgegebene Näherungen) (Schrittnummer)

liefert keine wesentliche Verbesserung, jedoch ist auch hier — wie bei der ersten Form — der Rechenaufwand in einem einzelnen Schritt i.allg. geringer als beim Newton–Verfahren. Ein Konvergenzkriterium f¨ ur den Fall, daß die Funktion g zweimal differenzierbar ist, l¨ aßt sich analog zum Beweis von Satz ¨ 13.3.2 (unter Verwendung von Satz 13.2.3) herleiten (UA). Sämtliche in diesem Abschnitt vorgestellten Verfahren zur Nullstellenberechnung sind nat¨ urlich auch kombinierbar. Nachfolgend geben wir hier als Beispiel ein Verfahren an, das man ausf¨ uhrlich in [Mae 88], S. 24–25 erl¨ autert findet. Regula–falsi–Newton–Verfahren zum Einschließen von Nullstellen: g differenzierbare Funktion (muß als Unterprogramm vorliegen) erste Ableitung von g (muß als Unterprogramm vorliegen) g a, b Intervallgrenzen mit g(a) > 0 und g(b) ≤ 0 ε Genauigkeitsschranke M AX maximale Schrittanzahl α Steuerparameter mit 0 ≤ α < 0.25 Funktionswerte ga := g(a), gb := g(b) n = 1, 2, . . . , M AX Schrittz¨ ahler 1 x := a − gbb−a · ga Regula falsi −ga gx := g(x) Funktionswert falls gx ≤ 0, dann b := x, gb := gx , x := a, gx := ga , sonst a := x, ga := gx , x := b, gx := gb . g1 := g (x) Wert der 1. Ableitung falls |g1 | < ε, dann Schritt 4 Newton–Schritt 2 x := x − ggx1 b−x q1 := x−a , q := 2 b−a b−a 3 falls q1 · q2 > α, dann Schritt 5 Intervallhalbierung, 4 x := a + (b − a) · 0.5 falls Newton–N¨ aherung ungeeignet Funktionswert zur 5 gx := g(x) Newton– oder Bisektionsn¨ aherung falls gx ≤ 0, dann b := x, gb := gx , sonst a := x, ga := gx drucke n, a, b 6 falls |b − a| < ε, dann stop drucke: Geforderte Genauigkeit nicht erreicht.

378


Obiger Algorithmus findet wie das Bisektionsverfahren eine Einschließung f¨ ur eine Nullstelle aus dem Startintervall. Das gilt auch, wenn sich im Startintervall mehrere Nullstellen befinden.

13.4 Polynomgleichungen Wegen ihrer leichten Berechenbarkeit treten Polynome in vielen Bereichen der angewandten Mathematik auf. Oft werden sie als Näherungen f¨ ur kompliziertere Funktionen benutzt.6 Eine erste Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften von Polynomen erfolgte bereits im Kapitel 8. Nachfolgend wollen wir einiges dazu ergänzen und uns kurz mit N¨ aherungsverfahren zur Nullstellenberechnung von Polynomen befassen. Bezeichne in diesem Abschnitt pm das folgende Polynom m–ten Grades: pm (x) := am · xm + am−1 · xm−1 + . . . + a1 · x + a0 ,

(13.13)

wobei ai ∈ R (i = 0, 1, . . . , m) und am = 0. F¨ ur viele N¨ aherungsverfahren zur Nullstellenberechnung benötigt man (grobe) N¨ aherungen dieser Nullstellen. Wir beginnen deshalb mit dem Ermitteln von Intervallen, in denen sich die Nullstellen von pm befinden. Anschließend wird dann das f¨ ur unsere N¨ aherungsverfahren ben¨ otigte Horner–Schema wiederholt und etwas modifiziert. 13.4.1 Absch¨ atzungen f¨ ur Polynomnullstellen Eine erste Grobabsch¨ atzung liefert der Satz 13.4.1.1 Bezeichne α (∈ C) eine beliebige Nullstelle des Polynoms (13.13) und seien A := max |ai | (13.14) i∈{0,1,...,m−1}

sowie B :=

max i∈{1,...,m}

Dann gilt

|ai |.

|a0 | |am | + B ≤ |α| ≤ . |a0 | + A |am |

Beweis. Siehe [Kie-M 74], S. 113. Beispiel Sei p4 (x) := x4 − 3x3 − 8x2 − 17x − 4. 6

Siehe auch Kapitel 15.

(13.15)

(13.16)

13.4 Polynomgleichungen

379

Da |a0 | = 4, |am | = 1 und A = B = 17, erhalten wir aus (13.16) f¨ ur beliebige Nullstellen α dieses Polynoms die Absch¨ atzung 0.19 ≤ |α| ≤ 18, d.h., α befindet sich in einem Ringgebiet der komplexen Zahlenebene mit dem inneren Radius 0.19 und dem ¨ außeren Radius 18. Diese Abschätzung ist sehr grob, da die betragsm¨ aßig gr¨ oßte Nullstelle 5.1972 ist. Weitere Absch¨ atzungen f¨ ur die Nullstellen findet man in [Mae 88], S. 38. Ohne Beweis sei hier noch auf eine Eigenschaft der Nullstellen spezieller Polynome hingewiesen: Satz 13.4.2 (Satz von Laguerre7 ) Ist (13.13) ein Polynom mit nur reellen Nullstellen und ist am = 1, so liegen alle Nullstellen von pm in dem Intervall, das von den beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung m · x2 + 2 · am−1 · x + 2 · (m − 1) · am−2 − (m − 2) · a2m−1 = 0

(13.17)

gebildet wird. Beispiel

Das Polynom p3 (x) := x3 − 2x2 − 12x + 4

ist das charakteristische Polynom der symmetrischen Matrix ⎛ ⎞ 123 ⎝2 0 0⎠. 301 Bekanntlich besitzt p3 dann nur reelle Nullstellen. Nach obigem Satz liegen folglich die Nullstellen dieses Polynoms im Intervall [x1 , x2 ], wobei x1 und x2 die Nullstellen des Polynoms 3x2 − 4x − 52 / sind, die sich leicht berechnen lassen. Es gilt x1/2 := 23 ± 160 . Also x2 ≈ 4.883 und 9 x1 ≈ −3.550.

In den ermittelten Intervallen f¨ ur die Nullstellen kann man dann durch Wertetabellen eine Skizze des Polynoms herstellen und daraus Näherungen der Nullstellen ablesen. Verbessern lassen sich diese ersten Näherungen f¨ ur die Nullstellen durch das in 13.3, S. 373 angegebene Bisektionsverfahren. 13.4.2 Das Horner–Schema und das zweizeilige Horner–Schema Wie wir uns bereits im Kapitel 8 u ¨berlegt haben, lassen sich die Koeffizienten des Polynoms qm−1 (x) := bm−1 · xm−1 + bm−2 · xm−2 + . . . + b1 · x + b0 und pm (α) mit pm (x) = (x − α) · qm−1 (x) + pm (α) mittels der Vorschrift 7

Edmond Laguerre (1834–1886), franz¨ osischer Mathematiker.

380


bm−1 := am bm−i−1 := am−i + bm−i · α (i = 1, . . . , m − 1) und pm (α) := a0 + b0 · α

(13.18)

berechnen. F¨ ur die Handrechnung benutzt man dabei das (sogenannte) HornerSchema: am−1

am α

–

*

bm−1

am−2

am−3

... ...

a1

a0

bm−1 · α bm−2 · α bm−3 · α b1 · α b0 · α * * * * * ... bm−2 bm−3 bm−4 pm (α) b0

Wie man leicht nachrechnet, gilt f¨ ur den Wert der 1. Ableitung von pm (x) an der Stelle x = α: pm (α) = qm−1 (α), womit sich dieser Wert nach (13.18) wie folgt berechnen läßt: cm−2 := bm−1 cm−i−2 := bm−i−1 + cm−i−1 · α (i = 1, . . . , m − 2) und pm (α) := b0 + c0 · α

(13.19)

F¨ ur die Handrechnung ergibt sich damit zusammengefaßt das folgende Schema zur Berechnung von pm (α) und pm (α): am α −

am−1 am−2 am−3 . . . a1 bm−1 · α bm−2 · α bm−3 · α . . . b1 · α

bm−1 bm−2 bm−3 bm−4 . . . b0 α − cm−2 · α cm−3 · α cm−4 · α . . . c0 · α cm−2 cm−3

cm−4

cm−5

a0 b0 · α pm (α)

. . . pm (α)

Das Horner–Schema kann nat¨ urlich auch zur Berechnung komplexer Werte eines Polynoms herangezogen werden, um die (eventuell vorkommenden) komplexen Nullstellen zu berechnen. Diese Rechnungen sind jedoch meist sehr aufwendig. Wir werden uns deshalb anschließend ein etwas modifiziertes Horner– Schema f¨ ur diese Zwecke u ¨berlegen. Zur Herleitung eines solchen Verfahrens dividieren wir zun¨ achst pm (x) durch das Polynom x2 + p · x + q und erhalten pm (x) = (x2 +p·x+q)·(bm−2 ·xm−2 +bm−3 ·xm−3 +. . .+b1 ·x+b0 )+c1 ·x+c0 , (13.20) wobei


bm−2 bm−3 bm−4 bm−5 b1 b0 c1 c0

:= := := := .. .

am am−1 − p · bm−2 am−2 − p · bm−3 − q · bm−2 am−3 − p · bm−4 − q · bm−3

:= := := :=

a3 − p · b2 − q · b3 a2 − p · b1 − q · b2 a1 − p · b0 − q · b1 a0 − q · b0

.

381

(13.21)

Verifizieren lassen sich obige Formeln (13.21) auch durch Ausrechnen der rechten Seite von (13.20), anschließendem Zusammenfassen und Koeffizientenvergleich mit der linken Seite von (13.20). F¨ ur die Handrechnung ist das sogenannte zweizeilige Horner–Schema geeignet: am−3

...

a2

–−p · bm−2−p · bm−3−p · bm−4 – –−q −q · bm−3 · bm−2 : : bm−2 bm−3 bm−4 bm−5

...

−p · b1

am −p −q

am−1

am−2

... ...

a1

a0

– −p · b0 −q · b2 −q · b1 :−q · b0 c1 c0 b0

Beispiel Sei pm (x) := x4 − 3 · x3 − 8 · x2 − 17 · x − 4, p = 2 und q = 3. Mit Hilfe des zweizeiligen Horner–Schemas 1 −3 −8 −17 −4 −2 − −2 10 2 − −3 − − −3 15 3 1 −5 −1 0 −1 erh¨ alt man dann x4 − 3 · x3 − 8 · x2 − 17 · x − 4 = (x2 + 2 · x + 3) · (x2 − 5 · x − 1) − 1. Das zweizeilige Horner–Schema ist nun verwendbar bei der Berechnung von pm (α + i · β) mit α + i · β ∈ C, wobei s¨ amtliche Zwischenergebnisse reell sind. Wir wählen dazu (13.22) p := −2 · α und q := α2 + β 2 . Das Polynom x2 + p · x + q hat dann n¨ amlich die Nullstellen α + i · β und α − i · β, wie man leicht nachrechnet. Aus (13.20) ergibt sich folglich: pm (α + i · β) = c1 (α + i · β) + c0 ,

382


wobei sich die Koeffizienten c1 und c0 nach (13.21) berechnen lassen. Beispiel Seien pm (x) = x3 + x2 − x + 1 und α + i · β = 2 + i. Nach (13.22) haben wir dann p = −4 und q = 5 und aus dem Schema 1 1 −1 1 −4 − 4 20 − −5 − − −5 −25 1 5 14 −24 erhalten wir pm (2 + i) = 14 · (2 + i) − 24 = 4 + 14 · i. Zum Vergleich sei noch die Rechnung mit dem einfachen Horner–Schema angegeben: 1 1 −1 1 2+i 2 + i 5 + 5 · i 3 + 14 · i 1 3 + i 4 + 5 · i 4 + 14 · i 13.4.3 Verfahren zur Nullstellenberechnung von pm Nach den Vorbereitungen aus den beiden vorangegangenen Abschnitten lassen sich unsere Verfahren aus Abschnitt 13.3 leicht ergänzen. Nachfolgend sei hier nur das Newton–Verfahren zur Berechnung einer reellen Nullstelle des Polynoms pm angegeben: Newton–Verfahren zur Berechnung einer Nullstelle α von pm (x): m Polynomgrad a := (am , am−1 , . . . , a0 ) Koeffizienten von pm M AX vorgegebene maximale Schrittzahl ε Genauigkeitsschranke erste N¨ aherung f¨ ur α x0 x := x0 ⎡ n = 1, 2, . . . , M AX Schrittzähler ⎢ bm−1 := am , cm−2 := am Startwerte ⎢ = Horner–Schema zur ⎢ ⎢ j = 2, 3, . . . , m Berechnung der ⎢ ⎢ bm−j := am−j+1 + x · bm−j+1 Hilfsgrößen bj ⎢ ⎢ p := a + x · b pm (x) ⎢ x 0 0 ⎢ falls |p | < ε, dann 1 ⎢ x ⎢ = Horner–Schema zur ⎢ k = 3, 4, . . . , m ⎢ Berechnung der ⎢ cm−k := bm−k+1 + x · cm−k+1 ⎢ Hilfsgrößen ck ⎢ ⎢ px := b0 + x · c0 pm (x) ⎢ ⎣ falls |px | < ε, dann drucke x0 ¨ andern“, stop ” x := x − ppx Newton–Schritt x

drucke Genauigkeit nach M AX Schritten nicht erreicht“ ” 1: drucke n, x.


383

Beispiel Sei p5 (x) := 3 · x5 − 2 · x4 + x2 − 7 · x − 4. Nach Satz 13.4.1.1 gilt f¨ ur die Nullstellen α von p5 : 0.36 ≤ |α| ≤ 3.34. Ermitteln einiger Werte von pm (x) aus dem Intervall [−3.34, 3.34] liefert die in Abbildung 13.6 angegebene Skizze der Funktion p5 . y 6

−1

1 2

-x

Abb. 13.6

Die gr¨ oßte (reelle) Nullstelle von p5 l¨ aßt sich dann mit x0 := 1.3 nach dem Newton–Verfahren berechnen. Wir erhalten (bei Rechnung auf 10 Stellen nach dem Punkt genau): x1 x2 x3 x4 x5

= 1.5867609211, = 1.5039834213, = 1.4911055770, = 1.4908196230, = 1.4908194846,

pm (x1 ) = 4.9089328451 pm (x2 ) = 0.5864525474 pm (x3 ) = 0.0124710275 pm (x4 ) = 0.0000060316 pm (x5 ) = 0.0000000000

Analog erh¨ alt man (nach maximal 5 Schritten) die beiden anderen reellen Nullstellen des Polynoms pm , indem man als Startwert x0 := −1 bzw. x0 = 0 w¨ ahlt. p5 hat damit (bei Rechnung auf 10 Stellen nach dem Punkt genau) die reellen Nullstellen: α1 := −0.9037672474 α2 := −0.5855311056 α3 := 1.4908194846 Zur Berechnung der komplexen Nullstellen z von pm , die, da pm nur reelle Koeffizienten besitzt, in der Form z und z auftreten, ist das sogenannte Bairstow–Verfahren (siehe [Kie-M 74], S. 109 oder [Mae 88], S. 51) geeignet, das das zweizeilige Horner–Schema mit dem Newton–Verfahren kombiniert und mit dessen Hilfe vom Polynom pm (bei Vorgabe eines Polynoms 2. Grades bzw. von N¨ aherungswerten f¨ ur zwei Nullstellen) ein Polynom 2. Grades abgespalten wird.

384


Sind alle Nullstellen eines Polynoms geraden Grades pm (x) gesucht, so besteht auch die M¨ oglichkeit, durch simultane Aufspaltung von pm (x) in Quadratfaktoren, sich N¨ aherungen f¨ ur die Nullstellen zu verschaffen (siehe [Mae 88], S. 53/54). Es sei noch erw¨ ahnt, daß es auch N¨ aherungsverfahren gibt, die ohne Näherungswerte f¨ ur die gesuchten Nullstellen des Polynoms pm auskommen. Eines dieser Verfahren ist der sogenannte Quotienten–Differenzen–Algorithmus (kurz: QD–Algorithmus), den man z.B. in [Kie-M 74], S. 115 oder [Mae 88], S. 55 erl¨ autert findet. Allerdings konvergiert dieses Verfahren sehr langsam, so daß man in der Regel dieses Verfahren nur benutzt, um sich Startwerte f¨ ur die oben genannten Verfahren zu verschaffen.

14 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lo ¨sung

Wir haben zwar in einem vorangegangenen Abschnitt bereits ein Lösbarkeitskriterium sowie den Gauß–Algorithmus als Lösungsverfahren f¨ ur beliebige Gleichungssysteme kennengelernt, wollen jedoch die LGS noch einmal unter numerischen Aspekten betrachten. Insbesondere auch deshalb, weil viele andere numerische Verfahren als Kernst¨ ucke das Lösen von LGS beinhalten, wie man den im Literaturverzeichnis angegebenen B¨ uchern u ¨ber Numerische Mathematik entnehmen kann. Der Einfachheit halber betrachten wir hier nur LGS der Form a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ....................................... an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn

(14.1)

u orper der reellen Zahlen, die wir kurz (unter Verwendung von ¨ber dem K¨ Matrizen) in der Form A·x=b (14.2) aufschreiben werden. Bekanntlich ist ein solches LGS genau dann lösbar, wenn |A| = 0 ist. F¨ ur ¨ unsere nachfolgenden Uberlegungen nehmen wir deshalb |A| = 0 an. Diese Voraussetzung muß jedoch bei konkreten Rechnungen nicht unbedingt sichern, daß man das LGS auch l¨ osen kann. Durch Rechnen mit Ma; = 0 auftreten, was man insbeschinenzahlen kann n¨ amlich als N¨ aherung |A| sondere bei der Programmierung exakter Verfahren zu ber¨ ucksichtigen hat. Nachfolgend soll zun¨ achst der Gauß–Algorithmus in etwas modifizierter Form wiederholt werden. Anschließend werden einige Hilfsmittel (wie z.B. Normen f¨ ur Vektoren und Matrizen) f¨ ur die folgenden Abschnitte mit elementaren Iterationsverfahren zum L¨ osen von LGS der Form (14.1) bereitgestellt. Den Abschluß bilden dann gewisse Projektionsverfahren, von denen eins auch ein exaktes Verfahren zum L¨ osen von LGS ist.

386

14 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer L¨ osung

14.1 Der Gauß–Algorithmus (mit Pivotisierung) ¨ Wir kn¨ upfen an unsere Uberlegungen aus Kapitel 3 an. Als allgemeines und auch wichtigstes Verfahren zum L¨ osen von LGS hatten wir dort den Gauß–Algorithmus kennengelernt. Hat das LGS (14.1) genau eine Lösung, so u uhrt man (zwecks Einsparung von Rechenschritten) das Ausgangsglei¨berf¨ chungssystem durch ¨ aquivalente Umformungen am besten in ein System der Gestalt c11 x1 + c12 x2 + · · · + c1n xn = d1 c22 x2 + · · · + c2n xn = d2 (14.3) ...................................... cnn xn = dn bzw. (in Matrizenschreibweise) ⎛

c11 c12 c13 . . . c1n ⎜ 0 c22 c23 . . . c2n ⎜ ⎜ 0 0 c33 . . . c3n ⎜ ⎝ ................... 0 0 0 . . . cnn

⎞

⎛

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟·x=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

d1 d2 d3 .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

(14.4)

dn

wobei c11 · c22 · . . . · cnn = 0 ist. Aus (14.3) erh¨ alt man dann leicht die L¨ osung von (14.3) durch Lösen der Gleichungen von unten nach oben: = dn /cnn xn xn−1 = (dn−1 − cn−1,n · xn )/cn−1,n−1 . .......................................... = (d1 − c12 · x2 − . . . − c1n · xn )/c11 x1 Wenn alle hierbei auftretenden Rechenschritte exakt ausgef¨ uhrt werden, dann ist es egal, auf welche Weise man vom Ausgangsgleichungssystem (14.1) zu (14.3) gelangt. In der Regel hat man es jedoch mit approximierten Dezimalbzw. Dualzahlen zu tun und die Fehlerfortpflanzung ist stark abhängig von der Art der konkreten Rechnung. Wie wir in 12.2 gesehen haben, wirken sich insbesondere Divisionen durch betragsm¨ aßig kleine Elemente und Differenzen von nahezu gleichgroßen Zahlen ung¨ unstig aus. Durch eine geschickte Wahl der Umformungen (die sogenannte Pivotisierung) kann man jedoch diese Fehler verkleinern. Zwecks Beschreibung der Pivotisierung sei noch einmal an den entscheidenden Umformungsschritt beim Gauß–Algorithmus ( Gauß–Schritt“) erinnert: ” Man subtrahiert geeignete Vielfache einer ausgewählten i-ten Gleichung des LGS, der Pivotgleichung), zu den anderen Gleichungen des LGS. Die neuen Gleichungen berechnen sich dann nach folgender Vorschrift: neue j-te Gleichung := alte j-te Gleichung −

αji · (Pivotgleichung), αii

14.1 Der Gauß–Algorithmus (mit Pivotisierung)

387

wobei αji bzw. αii Koeffizienten der i-ten Variablen in der j-ten bzw. i-ten Gleichung bezeichnen. Das Element αii bezeichnet man auch als Pivotelement. Bei der allgemeinen Pivotisierung wird dann als Pivotgleichung unter den m¨ oglichen ausw¨ ahlbaren Gleichungen, die in ihrer Reihenfolge und in der Anordnung der Summanden ver¨ andert werden k¨ onnen, eine solche i-te Gleichung ausgew¨ ahlt, deren Koeffizient αii ein betragsmäßig größtes Element unter den m¨ oglichen Elementen ist. Man spricht von Zeilen- bzw. Spaltenpivotisierung, wenn man die Reihenfolge der Summanden in den Gleichungen bzw. die Reihenfolge der Gleichungen festschreibt und folglich Pivotelemente nur innerhalb gewisser (bezogen auf die Matrizenbeschreibung des Gauß–Algorithmus) Zeilen“ bzw. Spalten“ sucht. Dabei ist Zeilenpivotisierung nur sinnvoll, wenn ” ” vorher in allen Gleichungen die Koeffizienten auf die gleiche Größenordnung gebracht worden sind. Anderenfalls k¨ onnte jedes von Null verschiedene Element einer festen Spalte durch Multiplikation der betreffenden Gleichung mit einem gewissen Faktor zum betragsm¨ aßig gr¨ oßten Element gemacht werden. Als Beispiel betrachten wir hier nur eine Spaltenpivotisierung. Ausf¨ uhrlich erl¨ autert findet man dieses Beispiel auch in [Mae 84], S. 55 - 61. Gauß–Algorithmus (mit Spaltenpivotisierung): A ∈ Rn×n (Koeffizientenmatrix) b ∈ Rn×1 (Matrix der rechten Seite) osungsvektors) x ∈ Rn×1 (Matrix des L¨ S := (A, b) = (sij )n,n+1 (Systemmatrix) p := (p1 , . . . , pn ) = (1, 2, . . . , n)T (Indexvektor) ε (Testgr¨ oße) ⎡ j = 1, 2, . . . , n − 1 (Schrittz¨ ahler) ⎢ Pivotisierung: Bestimmung eines Index t mit ⎢ ⎢ ∀i ∈ {j, j + 1, . . . , n} : |sp ,j | ≥ |sp ,j | t i ⎢ ⎢ Tausch der Komponenten pt und pj ⎢ ⎢ Regularit¨ atspr¨ ufung: ⎢ ⎢ Falls |sp ,j | < ε, dann Abbruch: Matrix numerisch singul¨ ar“ ⎢ j ” ⎢ ⎢ Gauß–Schritt: ⎢⎡ ⎢ i = j + 1, j + 2, . . . , n (Zeilenindex) ⎢ ⎢ ⎢ l := spi ,j /spj ,j ⎢⎢ ⎣ ⎣ k = j + 1, j + 2, . . . , n + 1 (Spaltenindex) spi ,k := spi ,k − l · spj ,k R¨ uckw¨ artseinsetzen: ⎡ j = 0, 1, . . . , n − 1 ⎣ m := n − j (Zeilenindex) xm := (spm ,n+1 − n α=m+1 spm ,α · xα )/spm ,m Schlußkontrolle: = q = 1, 2, . . . ,n rq := bq − n j=1 aqj · xj

388


14.2 Vektor- und Matrizennormen ⎛

Sei

⎜ ⎜ ⎜ ⎝

x1 x2 .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

xn ein Element aus dem Vektorraum Rn×1 . In Verallgemeinerung der Länge (des Betrages) von Vektoren verwenden wir in diesem Kapitel folgende Normen: x21 + x22 + . . . + x2n (= xT · x; Euklidische Norm“), !x!2 := ” !x!∞ := max1≤i≤n !xi ! ( Maximumnorm“), ” !x!1 := |x1 | + |x2 | + . . . + |xn | ( Betragssummennorm“). ” Trotz der unterschiedlichen Werte, die man bei der Berechnung der Normen ¨ ein und desselben Vektors erh¨ alt, besteht eine gewisse qualitative Ubereinstimmung: F¨ ur einen Vektor mit kleiner L¨ ange“ werden alle Normen klein ” ausfallen und f¨ ur einen Vektor mit großer L¨ ange“ groß. ” Mit Hilfe einer Vektornorm kann man nun eine Norm f¨ ur Matrizen wie folgt einf¨ uhren. Definition Bezeichne !..! eine zu dem VR Rn×1 gehörende Norm (z.B. !..! = !..!α mit α ∈ {1, 2, ∞, . . .}) und sei A ∈ Rn×n . Die kleinste Zahl k ∈ R mit der Eigenschaft: ∀x ∈ Rn×1 : !A · x! ≤ k · !x! sei mit !A! bezeichnet und heißt die zur Norm !..! gehörende Matrixnorm. Lemma 14.2.1 (a) Eine Matrixnorm l¨ aßt sich auch wie folgt definieren: ∀A ∈ Rn×n : !A! :=

!A · x! . \{o} !x!

max n×1

x∈R

(b) F¨ ur beliebige Matrizen A, B ∈ Rn×n gilt !A · B! ≤ !A! · !B!. Beweis.

¨ UA.

.

Satz 14.2.2 Die zu einer Vektornorm !..! des VR Rn×1 geh¨ orende Matrixnorm bildet eine Norm f¨ ur den Vektorraum Rn×n aller Matrizen des Typs n×n u ¨ber R.

14.2 Vektor- und Matrizennormen

Beweis.

389

¨ UA.

Matrizennormen werden wir beispielsweise im Abschnitt 14.4.3 benutzen, um Konvergenzbedingungen f¨ ur gewisse N¨ aherungsverfahren f¨ ur LGS aufzustellen. Eine erste Anwendung erfolgt bereits im nächsten Abschnitt. Die nachfolgenden drei S¨ atze zeigen zun¨ achst, wie man (unabhängig von der Definition) konkrete Matrizennormen berechnen kann. Satz 14.2.3 Sei A := (aij )n,n ∈ Rn×n . Dann gilt ⎛ ⎞ n !A!∞ = max ⎝ |aij |⎠ , 1≤i≤n

j=1

d.h., !A!∞ ist die maximale Zeilenbetragssumme. Beweis.

Zum Beweis haben wir zu zeigen: n (1.) ∀x ∈ Rn×1 : !A · x!∞ ≤ (max1≤i≤n ( j=1 |aij |)) · !x!∞ n (2.) ∃x ∈ Rn×1 \{o} : !A · x!∞ = (max1≤i≤n ( j=1 |aij |)) · !x!∞ Zu (1.): alt man nach Definition der Maximumnorm Falls x := (x1 , x2 , . . . , xn )T , erh¨ sowie durch Anwenden der Dreiecksungleichung f¨ ur den Betrag: ?⎛ ⎞? ? a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn ? ? ? ?⎜ a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn ⎟? ⎜ ⎟? !A · x!∞ = ? ?⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠? ? ? ? an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn ? ∞ =

max1≤i≤n |ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn |

≤

(max1≤i≤n (|ai1 + ai2 + . . . + ain |) · (max1≤i≤n |xi |)

≤

max1≤i≤n (|ai1 | + |ai2 | + . . . + |ain |) · ( max |xi |) 1≤i≤n = !x!∞

Zu (2.): Bezeichne k die Nummer einer Zeile von A, deren Zeilenbetragssumme maullt, erhält man ximal ist. Ein x := (x1 , . . . , xn )T , das die Bedingung (2.) erf¨ dann wie folgt: ⎧ ⎨ 1, falls aki > 0, xi := −1, falls aki < 0, ⎩ 0, falls aki = 0 (i = 1, 2, . . . , n).

390


Satz 14.2.4 Sei A := (aij )n,n ∈ Rn×n . Dann gilt 6 n 7 !A!1 = max |aij | , 1≤j≤n

i=1

d.h., !A!1 ist die maximale Spaltenbetragssumme. Beweis.

¨ UA.

Satz 14.2.5 Sei A := (aij )n,n ∈ Rn×n . Dann gilt √ !A!2 = τ , wobei τ den gr¨ oßten Eigenwert der Matrix AT · A bezeichnet. Beweis. (1.) (2.) (3.) (4.)

Wir zeigen:

S¨ amtliche Eigenwerte von AT · A sind nicht negativ. AT · A ist symmetrisch. ∀x ∈ Rn×1 : !A · x!22 ≤ τ · !x!22 . ∃x ∈ Rn×1 \{o} : !A · x!22 = τ · !x!22 .

Aus (3.) und (4.) ergibt sich dann unmittelbar die Behauptung des Satzes. Zu (1.): Bezeichne λ einen EW von AT · A mit dem zugehörigen EV x. Dann gilt (AT · A) · x = λ · x, woraus sich (durch Multiplikation mit xT ) xT · (AT · A) · x = λ · (xT · x) bzw. (A · x)T · (A · x) = λ · ( xT · x) 2 2 = !A · x!2 = !x!2 ergibt. Hieraus und aus !x!2 > 0 (wegen x = 0) sowie den Normeigenschaften ergibt sich unmittelbar, daß λ ≥ 0 ist. Zu (2.): Aus den Rechenregeln f¨ ur Matrizen (siehe Kapitel 3) folgt (AT · A)T = AT · T T T ((A ) ) = A · A, d.h., AT · A ist symmetrisch. Zu (3.): Nach (2.) und den Eigenschaften symmetrischer Matrizen (siehe Kapitel 8) besitzt AT · A n reelle EWe τ1 , τ2 , . . . , τn , zu denen n orthonormierte EVen e1 , oren, d.h., es gilt: e2 , . . . , en geh¨ ∀i : (AT · A) · ei = τi · ei

14.3 Die Kondition von LGS

und eTi

· ej =

391

1 f¨ ur i = j, 0 f¨ ur i = j.

B := (e1 , e2 , . . . , en ) ist dann eine Basis des Vektorraums Rn×1 , womit f¨ ur jedes x ∈ Rn×1 gewisse α1 , α2 , . . . , αn mit x=

n

αi · ei

i=1

existieren. Folglich haben wir 6 !A · x!22 = xT · (AT · A · x) =

n

7T αi · ei

i=1

6

woraus !A ·

x!22

≤

n

⎞ n n ⎟ 2 ⎜ ·⎝ αj · AT · A · ej ⎠ = αi · τi , j=1 i=1 τj · ej (14.5) 7 ⎛

·( max τi ) 1≤i≤n =: τ = !x!22 αi2

i=1

folgt, w.z.b.w. Zu (4.): Bezeichne r den Index eines Eigenwerts τi mit τi = τ und sei x := (er )/B = (0, 0, . . . , 0,

1 , 0, . . . , 0)T . r-te Stelle

Dann gilt (unter Verwendung von (14.5)) !A · x!22 = xT · (AT · A · x) = τr = τr · !x!22 = τ, =1 womit (4.) und damit auch unser Satz bewiesen ist.


; ∈ Rn×n , b, ; ; = Satz 14.3.1 Seien A, A b, x, ;x ∈ Rn×1 , |A| = 0 und |A| 0. (a) Falls A · x = b und A · ;x = ; b, so gelten die folgenden Absch¨ atzungen: b − b! !;x − x! ≤ !A−1 ! · !; (Absch¨ atzung des absoluten Fehlers)

(14.6)

392

14 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer L¨ osung ;x−x x

≤ !A! · !A−1 ! ·

; b−b b

(14.7)

(Absch¨ atzung des relativen Fehlers). ; · ;x = b, so gelten die folgenden Absch¨ (b) Falls A · x = b und A atzungen: ; −1 − A−1 ! · !b! !;x − x! ≤ !A

(14.8)

(Absch¨ atzung des absoluten Fehlers) ;x−x ;x

≤ !A! · !A−1 ! ·

; A ; A− A

(14.9)

(Absch¨ atzung des relativen Fehlers). Beweis. (a): Aus A · x = b und A · ;x = ; b ergeben sich (wegen |A| = 0) die Gleichungen x = A−1 · b und ;x = A−1 · ; b. Folglich haben wir b − A−1 · b! = !A−1 (; b − b)!, !;x − x! = !A−1 · ; woraus sich nach Definition der Norm einer Matrix zunächst die Abschätzung des absoluten Fehlers b − b! !;x − x! ≤ !A−1 ! · !; und dann (unter Verwendung von !b! = !A · x! ≤ !A! · !x!) die Abschätzung des relativen Fehlers !A−1 ! · !; b − b! !;x − x! !; b − b! ≤ ≤ !A−1 ! · !A! · !x! !x! !b! ergibt. (b): Offenbar gilt ; −1 − A−1 ) · b! ≤ !A ; −1 − A−1 ! · !b!. ; −1 · b − A−1 · b! = !(A !;x − x! = !A ; · ;x = x ist. Hieraus ergibt ; · x = b = A · x, daß A−1 · A Außerdem folgt aus A sich nun unter Verwendung der obigen Absch¨ atzung und Lemma 14.2.1, (b): ; · ;x! = !A−1 · (A − A) ; · ;x! !;x − x! = !E · ;x − x! = !A−1 · A · ;x − A−1 · A ; · !;x!, ≤ !A−1 ! · !A − A! womit

gilt.

; !;x − x! ; = !A! · !A−1 ! · !A − A! ≤ !A−1 ! · !A − A! !;x! !A!


393

Aus den Absch¨ atzungen (14.7) und (14.9) der relativen Fehler aus Satz 14.3.1 ist erkennbar, daß diese Fehler abh¨ angig sind vom Faktor !A! · !A−1 !. Ist dieser Faktor groß (bzw. klein), so ist auch der entsprechende relative Fehler groß (bzw. klein). Erfassen wollen wir dies mit den folgenden Begriffen. . Die Zahl Definitionen Sei A ∈ Rn×n r !A! · !A−1 ! heißt Kondition des LGS A · x = b. Das LGS A · x = b wird gut (bzw. schlecht) konditioniert genannt, wenn die Kondition !A! · !A−1 ! klein (bzw. groß) ist. Beispiele (1.): Sei

⎛

1 3 1 4 1 5

1 2 1 3 1 4

⎜ A := ⎝

1 4 1 5 1 6

⎞ ⎟ ⎠.

W¨ ahlt man im LGS A · x = b als rechte Seite b := ( 12 , 13 , 14 )T , so ist x3 = 0. alt man dagegen x3 = 1500 · ε. Ein Im Fall b = ( 12 + ε, 13 − ε, 14 + ε)T erh¨ kleiner Fehler ε bei den Eingangsdaten f¨ uhrt also zu einem 1500-fachen bei den Ausgangsdaten. Bei der Kondition des LGS spiegelt sich dies auf folgende Weise wieder: Da ⎛ ⎞ 70 −240 180 A−1 = ⎝ −240 900 −720 ⎠ , 180 −720 600 haben wir (unter Verwendung von Satz 14.2.3) !A!∞ = und

13 12

!A−1 !∞ = 1860,

woraus sich als Kondition !A!∞ · !A−1 !∞ = 2015 ergibt. (2.): Seien A :=

1 0.99 0.99 0.98

,

b :=

1.99 1.97

Bei exakter Rechnung erh¨ alt man x=

1 1

,

; b :=

1.989903 1.970106

.

394


als L¨ osung von A · x = b und

;x =

3 −1.0203

als L¨ osung von A · ;x = ; b. Die Daten¨ anderung −0.000097 ; b−b= 0.000106 ¨ bewirkt eine Anderung der L¨ osung von 2 ;x − x = . −2.0203 Also gilt: !;x − x!∞ !; b − b!∞ = 2.0203 bei = 0.000053266 . . . , !x!∞ !b!∞ was einem Konditionsfaktor“ von ” 2.0203 ≈ 37928 0.000053266 entspricht. Mit Hilfe von −1

A

=

−9800 9900 9900 −10000

erh¨ alt man als Kondition !A!∞ · !A−1 !∞ = 1.99 · 19900 = 39601.

14.4 Elementare Iterationsverfahren In diesem Abschnitt sollen zwei elementare Iterationsverfahren, und zwar das Jacobi– und das Gauß–Seidel–Verfahren, vorgestellt werden. Das Jacobi–Verfahren werden wir uns aus dem Banachschen Fixpunktsatz herleiten. Das Gauß–Seidel–Verfahren ist dann ein bez. Konvergenz verbessertes Jacobi–Verfahren. 14.4.1 Das Jacobi–Verfahren osen des LGS (14.1) anwenden zu können, Um das Jacobi1 –Verfahren zum L¨ muß die Koeffizientenmatrix A folgende Voraussetzung erf¨ ullen, die wir im Abschnitt 14.4.3 noch etwas pr¨ azisieren werden. 1

Carl Gustav Jacobi (1804–1851), deutscher Mathematiker.

14.4 Elementare Iterationsverfahren

395

Die Diagonalelemente aii von A sind alle = 0 und dem Betrage nach wesentlich gr¨ oßer als die u ¨brigen Elemente aij (i = j) von A. Schreibweise: ∀i = j : |aii | ' |aij |. Man sagt: Das LGS A · x = b ist diagonal dominant“. ” Beispiel 7x1 + 2x2 − x3 = 4 x1 + 10x2 + x3 = 1 (14.10) x1 + x2 − 13x3 = 1 bzw. in Matrizenschreibweise: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 7 2 −1 4 ⎝ 1 10 1⎠·x=⎝1⎠ 1 1 −13 1

(14.11)

Um unser Iterationsverfahren x0 gegeben, xm+1 := f (xm ) , m ∈ N0

(14.12)

aus dem Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können, haben wir unser LGS in eine gewisse Form x = f (x) zu u uhren. Beim Jacobi–Verfahren ¨berf¨ geschieht dies dadurch, daß man die i-te Gleichung des LGS (14.1) nach der ost. i-ten Variablen xi (i = 1, 2, . . . , n) aufl¨ Im obigen Beispiel erhalten wir auf diese Weise x1 = x2 = x3 =

4 7 1 10 −1 13

− 1 10 1 13

· x1 · x1

bzw. in Matrizenschreibweise ⎛ 4 ⎞

⎛

⎜ x=⎝

− +

7 1 10 −1 13

⎟ ⎜ ⎠+⎝

· x2 + − 1 + 13 · x2

0 −1 10 1 13

2 7

−2 7

0

1 7 −1 10

1 13

0

1 7 · x3 1 10 · x3

⎞ ⎟ ⎠ · x.

Im allgemeinen Fall l¨ aßt sich das Ergebnis dieser Umformung in Matrizenform wie folgt beschreiben: ⎛ b1 ⎞ ⎛ ⎞ −a12 1n 0 . . . −a a11 a11 a11 ⎜ b2 ⎟ ⎜ −a21 2n ⎟ ⎜ a22 ⎟ ⎜ 0 . . . −a a22 a22 ⎟ · x. ⎟ (14.13) x=⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ + ⎜ ⎝ . ⎠ ⎝ ..................... ⎠ −an1 −an2 bn 0 ann ann . . . ann

Mit Hilfe von (14.12) ergibt sich hieraus das folgende Verfahren.

396


Sei x0 := (

b1 b2 bn T , ,..., ) a11 a22 ann

(14.14)

oder x0 irgendwie gew¨ ahlt. Als N¨ aherungen f¨ ur die Lösung x des LGS (14.1) erh¨ alt man dann f¨ ur m ∈ N0 : ⎛ b1 ⎞ ⎛ ⎞ −a12 1n 0 . . . −a a11 a11 ⎜ b2 ⎟ ⎜ −a21 a11 2n ⎟ ⎜ a22 ⎟ ⎜ 0 . . . −a a22 ⎟ · x . ⎟ + ⎜ a22 (14.15) xm+1 := ⎜ m . ⎜ . ⎟ ⎝ ..................... ⎟ ⎠ ⎝ . ⎠ −an1 −an2 bn 0 ann ann . . . ann

Ohne vollst¨ andige Verwendung der Matrizenschreibweise läßt sich dieses Verfahren auch wie folgt aufschreiben. Jacobi–Verfahren: aherung f¨ ur x, z.B. (14.14)) x0 (gegebene N¨ m = 0, 1, 2, . . . (Nummern der Schritte) i = 1, 2, . . . , n (Nummern der Komponenten) (m) (m) (m) xm := (x1 , x2 , . . . , xn )T n aik (m) bi (m+1) xi := − · xk aii aii k=1,k=i

Beispiel F¨ ur das LGS (14.1) erhalten wir das folgende Iterationsverfahren zur Berechnung der L¨ osung: x0 := (m+1)

x1 = (m+1) x2 = (m+1) x3 =

4 7 1 10 −1 13

− +

1 10 1 13

· ·

4 1 −1 , , 7 10 13

(m) x1 (m) x1

T

(m)

−

2 7

· x2

+

1 13

· x2

+ −

(m)

(m) 1 7 · x3 (m) 1 10 · x3

wobei m = 0, 1, 2, . . .. Die ersten N¨ aherungen (auf 5 Stellen nach dem Punkt genau angegeben) der Lösung des LGS sind dann: x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

= = = = = = =

(0.57143, 0.10000, −0.07692), (0.53187, 0.05055, −0.02527), (0.55338, 0.04934, −0.03212), (0.55274, 0.04787, −0.03056), (0.55338, 0.04778, −0.03072), (0.55339, 0.04773, −0.03068), (0.55341, 0.04773, −0.03068), .. ..


397

Zum Vergleich: Die exakte L¨ osung des LGS (14.10) lautet: 487 42 −27 , , xT = = (0.55340909 . . . , 0.0477272 . . . , −0.03068181 . . .). 880 880 880 Konvergenzbedingungen f¨ ur das Jacobi–Verfahren u ¨berlegen wir uns im Abschnitt 14.4.3. Zun¨ achst wollen wir jedoch das Jacobi–Verfahren etwas verbessern. 14.4.2 Das Gauß–Seidel–Verfahren (m+1)

nach dem Jacobi–Verfahren berechnet, so liegt es nahe, Hat man x1 (m) diese bereits bekannte N¨ aherung anstelle von x1 in die weitere Rechnung (m+1) einzubeziehen. Allgemein kann man dann bei der Berechnung von xi (m+1) (m+1) (i = 2, 3, . . . , n) die schon bekannten Werte x1 , . . . , xi−1 verwenden. Ein solches abge¨ andertes Jacobi–Verfahren nennt man Gauß–Seidel– Verfahren.2 Beispiel F¨ ur (14.10) ergibt sich x0 := (0, 0, 0)T , (m+1)

x1 = (m+1) x2 = (m+1) x3 =

4 7 1 10 −1 13

− − +

1 10 1 13

· ·

(m+1) x1 (m+1) x1

+

(m)

· x2

2 7 1 13

·

+ −

(m+1) x2

(m) 1 7 · x3 (m) 1 10 · x3

,

wobei m = 0, 1, 2, . . .. Als erste N¨ aherungen (auf 10 Stellen nach dem Punkt genau angegeben) erhalten wir in diesem Fall: x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

= = = = = = = =

(0.0000000000, 0.0000000000, 0.0000000000), (0.5714285714, 0.0428571429, −0.0296703297), (0.5549450549, 0.0474725275, −0.0305832629), (0.5534959546, 0.0477087308, −0.0306765627), (0.5534151394, 0.0477261423, −0.0306814399), (0.5534094679, 0.0477271972, −0.0306817950), (0.5534091158, 0.0477272679, −0.0306818166), (0.5534090925, 0.0477272724, −0.0306818181), .. ..

Allgemein l¨ aßt sich dieses Verfahren wie folgt beschreiben: 2

Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855); Philipp Ludwig von Seidel (1821 - 1896). Seidel bewies 1874 die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens.

398


Gauß–Seidel–Verfahren: aherung f¨ ur x, z.B. x0 = o) x0 (gegebene N¨ m = 0, 1, 2, . . . (Nummern der Schritte) i = 1, 2, . . . , n (Nummern der Komponenten) (m) (m) (m) xm := (x1 , x2 , . . . , xn )T i−1 n aik (m+1) aik (m) bi (m+1) xi := − · xk − · xk aii aii aii k=1

k=i+1

F¨ ur den n¨ achsten Abschnitt ben¨ otigen wir noch eine Matrizendarstellung des Gauß–Seidel–Verfahrens. Seien ⎞ ⎛ 0 0 0 ... 0 0 ⎜ −a21 0 0 ... 0 0⎟ ⎜ ⎟ a22 ⎜ −a ⎟ −a32 31 ⎜ ⎟ 0 . . . 0 0 a33 a33 ⎜ ⎟, L := ⎜ ⎟ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎜ ⎟ ⎜ −an−1,1 −an−1,2 −an−1,3 . . . 0 0⎟ ⎝ an−1,n−1 an−1,n−1 an−1,n−1 ⎠ −an1 ann

⎛

0

−an2 ann

−a12 a11

−an3 ann

−a13 a11 −a23 a22

...

...

−a1,n−1 a11 −a2,n−1 a22

−an,n−1 ann −a1n a11 −a2n a22

⎜0 0 ... ⎜ ⎜ R := ⎜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎜ −an−1,n ⎝0 0 0 ... 0 an−1,n−1 0 0 0 ... 0 0 und

⎛

b1 a11 b2 a22

0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ c := ⎜ ⎜ .. ⎟ . ⎝ . ⎠ bn ann

Mit Hilfe dieser Bezeichnungen l¨ aßt sich die Iterationsvorschrift des Gauß– Seidel–Verfahrens auch wie folgt aufschreiben: xm+1 = c + L · xm+1 + R · xm . Da diese Gleichung nicht zum Rechnen geeignet ist, lösen wir sie nach xm+1 auf und erhalten: xm+1 = (E − L)−1 · c + (E − L)−1 · R · xm ,

(14.16)

womit wir durch Wahl von f (x) := (E − L)−1 · c + (E − L)−1 · R · x

(14.17)

das Gauß–Seidel–Verfahren auch aus dem Banachschen Fixpunktsatz hätten herleiten k¨ onnen.


399

14.4.3 Konvergenzbedingungen Unsere obigen Iterationsverfahren zum L¨ osen von LGS entstanden aus Gleichungen der Form x = c + B · x, wie man den Gleichungen (14.13) und (14.15) f¨ ur das Jacobi–Verfahren sowie den Gleichungen (14.16) und (14.17) f¨ ur das Gauß–Seidel–Verfahren entnehmen kann. Aussagen u ¨ber die Konvergenz dieser Verfahren folgen demnach aus: Satz 14.4.3.1 Sei f (x) := c + B · x, wobei x, c ∈ Rn×1 und B ∈ Rn×n . Das Iterationsverfahren x0 gegeben, (14.18) xm+1 := f (xm ), m ∈ N0 konvergiert, falls !B! < 1 ist. Beweis.

F¨ ur beliebig gew¨ ahlte x1 und x2 aus Rn×1 gilt:

!f (x1 ) − f (x2 )! = !c + B · x1 − c − B · x2 ! = !B · (x1 − x2 )! ≤ !B! · !x1 − x2 !. Mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatz ergibt sich hieraus unsere Behauptung. I.allg. ist es nicht schwierig, !B!∞ oder !B!1 f¨ ur das Jacobi–Verfahren zu ermitteln. Beispiel F¨ ur das LGS 7x1 + x2 + 3x3 = 1 2x1 + 3x2 + x3 = 0 −x1 + 2x2 + 4x3 = 0 haben wir

⎞ 0 − 17 − 73 0 − 31 ⎠ . B := ⎝ − 23 1 2 0 4 −4 ⎛

Mit Hilfe der S¨ atze 14.2.3 und 14.2.4 erh¨ alt man dann: !B!∞ = 1 und !B!1 = 11 . 12 F¨ ur das Gauß–Seidel–Verfahren mit B = (E − L)−1 · R ist es viel zu aufwendig, erst B und dann !B! zu berechnen. G¨ unstiger ist das folgende Absch¨ atzungsverfahren f¨ ur die Maximumnorm.

400


Satz 14.4.3.2 Seien n a1j α1 := a11 , j=2

k−1

n akj akj ∀ k ∈ {2, 3, . . . , n} : αk := akk · αj + akk j=1

(14.19)

j=k+1

und α := max αk .

(14.20)

!(E − L)−1 · R!∞ ≤ α.

(14.21)

1≤k≤n

Dann gilt Beweis.

Seien

B := (E − L)−1 · R, y := B · x

(14.22)

und yT := (y1 , y2 , . . . , yn ). Zum Beweis haben wir zu zeigen, daß !y!∞ = !B · x!∞ ≤ α · !x!∞ f¨ ur alle x ∈ Rn×1 gilt. Durch Umformungen von (14.22) erh¨ alt man die Gleichung y := L · y + R · x, aus der sich f¨ ur k ∈ {1, 2, . . . , n} ⎞ ⎛ k−1 n akj akj yk = − ⎝ · yj + · xj ⎠ a a kk j=1 kk j=k+1

und hieraus die Absch¨ atzung |yk | ≤

k−1

n akj akj · |yj | + akk akk · |xj | j=1

(14.23)

j=k+1

ergibt. Speziell f¨ ur k = 1 erhalten wir aus (14.23) ⎞ ⎛ n n a1j a1j ⎠ max |xj |) . ⎝ |y1 | ≤ a22 · |xj | ≤ a11 · (1≤j≤n j=2 j=2 = !x! ∞ = α1 Angenommen, f¨ ur k ∈ {2, . . . , i − 1} gelten analoge Abschätzungen |yk | ≤ αk · !x!∞ .

(14.24)

14.5 Projektionsverfahren

401

Wir zeigen, daß (14.24) dann auch f¨ ur k = i richtig ist. i−1 aij n aij · |y |yi | ≤ | + j j=1 aii j=i+1 aii · |xj | i−1 aij aij n · α ≤ · !x! + j ∞ j=1 aii j=i+1 aii · !x!∞ = αi · !x!∞ . Folglich gilt (14.24) f¨ ur jedes i ∈ {1, 2, . . . , n} und wir können !y!∞ durch !y!∞ ≤ ( max αi ) · !x!∞ 1≤i≤n

absch¨ atzen, woraus (14.21) folgt.

.

14.5 Projektionsverfahren In diesem Abschnitt sei unser Vektorraum Rn×1 erg¨ anzt durch ein Skalarprodukt ϕ und die Norm sei stets in der Form !x! := ϕ(x, x) gewählt. Nachfolgend sollen drei sogenannte Projektionsverfahren zum iterativen Lösen des LGS (14.1) vorgestellt werden. 14.5.1 Grundidee der Projektionsverfahren Die Grundidee der Projektionsverfahren l¨ aßt sich leicht geometrisch veranschaulichen (siehe Abbildung 14.1). Der Einfachheit halber deuten wir uns dabei die L¨ osung x∗ sowie ihre N¨ aherungen xm als Punkte in einem ndimensionalen Raum (bzw. wir deuten x∗ und xm als Ortsvektoren gewisser ur die Lösung x∗ Punkte). Angenommen, wir haben bereits eine Näherung xm f¨ ermittelt. Wir suchen eine neue N¨ aherung xm+1 , die einen geringeren Abstand ur die als xm zu x∗ hat, d.h., f¨ !xm+1 − x∗ ! < !xm − x∗ ! gilt. Geht man nun, ausgehend von xm , l¨ angs einer Geraden, die durch xm geht und den (gegebenen) Richtungsvektor pm+1 hat, so ist ein Punkt xm+1 dieser Geraden, f¨ ur den ϕ(xm+1 − x∗ , pm+1 ) = 0

(14.25)

und ϕ(xm − x∗ , pm+1 ) = 0 gilt, sicher dichter an x∗ als xm . (Man u ¨berlege sich dazu, daß der Satz des Pythagoras auch in allgemeinen Vektorr¨ aumen mit Skalarprodukt gilt!).

402


x∗p

pm+1

+ p xm

-? p xm+1

Abb. 14.1

Rechnerisch erh¨ alt man xm+1 wie folgt: Offenbar gilt f¨ ur einen gewissen Faktor µ ∈ R die Gleichung xm+1 − x∗ = xm − x∗ − µ · pm+1 ,

(14.26)

aus der man durch Bildung des Skalarproduktes mit dem Vektor pm+1 unter Beachtung von (14.25) den Faktor µ berechnen kann, der wiederum in (14.26) eingesetzt die folgende Berechnungsvorschrift f¨ ur xm+1 liefert: xm+1 = xm − µ · pm+1 = xm −

ϕ(xm − x∗ , pm+1 ) · pm+1 . !pm+1 !2

(14.27)

Eine auf diese Weise mit Hilfe von gewissen Projektionsvektoren p1 , p2 , p3 , . . . konstruierte Folge x0 , x1 , x2 , . . . konvergiert offensichtlich gegen x∗ , da nach Konstruktion die Folge (!xm − x∗ !)m∈N0 eine streng monoton fallende Nullfolge bildet. Es gilt sogar: Satz 14.5.1.1 Verwendet man zyklisch t Projektionsvektoren p1 , p2 , . . . , pt (d.h., f¨ ur die Folge (p1 , p2 , p3 , . . .) gilt: pi = pj :⇐⇒ i = j (mod t)), so konvergiert die Folge ⎧ ⎨ x0 gegeben; ϕ(xm − x∗ , pm+1 ) · pm+1 , m ∈ N0 ⎩ xm+1 := xm − !pm+1 !2 f¨ ur einen beliebig gegebenen Vektor x0 gegen einen Vektor x mit der Eigenschaft: ∀i ∈ {1, 2, . . . , t} : ϕ(x − x∗ , pi ) = 0. Enth¨ alt die Menge {p1 , p2 , . . . , pt } n linear unabh¨ angige Vektoren, so ist x = osung von A · x = b. x∗ die gesuchte L¨ Beweis.

Siehe [Kie-M 74], 61 - 63.

Um ein Projektionsverfahren praktisch durchf¨ uhren zu können, muß nat¨ urlich ϕ(xm − x∗ , pm+1 ) ohne Kenntnis von x∗ berechenbar sein. Dies gelingt durch


403

• geeignete Wahl der Projektionsvektoren und durch • Verwendung geeigneter Skalarprodukte. Die nachfolgenden Abschnitte bringen dazu jeweils ein Beispiel. 14.5.2 Projektion auf Hyperebenen Als Skalarprodukt w¨ ahlen wir das Standardskalarprodukt ϕ(x, y) := xT · y. Jede Gleichung ak1 · x1 + ak2 · x2 + . . . + akn · xn = bk

(14.28)

k ∈ {1, 2, . . . , n} des LGS A · x = b beschreibt eine sogenannte Hyperebene des n-dimensionalen euklidischen Raumes Rn . Bekanntlich kann (14.28) auch in einer Hesseschen Form (x − c)T · e = o dargestellt werden, wobei c die Koordinatendarstellung eines festen Punktes der Hyperebene und e die Koordinatendarstellung eines auf der Hyperebene senkrechten Vektors, z.B. e = (ak1 , ak2 , . . . , akn )T , ist. Wir w¨ ahlen nun diese zu den Hyperebenen (14.28) orthogonalen Vektoren als Projektionsvektoren: ⎛ ⎞ ak1 ⎜ ak2 ⎟ ⎜ ⎟ pk := ⎜ . ⎟ (k = 1, 2, . . . , n). ⎝ .. ⎠ akn Dann sind diese Vektoren (wegen der Voraussetzung |A| = 0) linear unabh¨ angig und unser Projektionsverfahren konvergiert (bei zyklischer Anwendung der gegebenen Projektionsvektoren). osung des LGS (14.1) ist, haben wir außerdem f¨ ur Da x∗ := (x∗1 , . . . , x∗n )T L¨ m + 1 = k(mod n) xT∗ · pm+1 = ak1 · x∗1 + ak2 · x∗2 + . . . + akn · x∗n = bk , woraus sich (xm − x∗ )T · pm+1 = xTm · pm+1 − bk ergibt. Zusammengefaßt erhalten wir damit das Verfahren

404


Projektion auf Hyperebenen: x0 (gegebener N¨ aherungsvektor) t = 0, 1, 2, . . . (t Nummer des Zyklus) k = 1, 2, . . . , n (k Nummer des Teilschritts innerhalb eines Zyklus) m + 1 := t · n + k (m + 1 Nummer des Schrittes) pm+1 := (ak1 , ak2 , . . . , akn )T (Projektionsvektor) xT · pm+1 − bk · pm+1 xm+1 := xm − m !pm+1 !2 Die Konvergenz dieses Verfahrens ergibt sich aus Satz 14.5.1.1 und der Voraussetzung |A| = 0. Geometrisch l¨ aßt sich das Verfahren Projektion auf Hy” perebenen“ z.B. f¨ ur n = 2 wie folgt deuten: p1

a x1 + a12 x2 = b1

@ q x1 11 I

q x0

x∗

q Abb. 14.2

q x2 a21 x1 + a22 x2 = b2 p2 ?

Aus dieser geometrischen Deutung ist bereits ablesbar, daß dieses Verfahren i.allg. langsam konvergiert. Ausgenommen der Fall, wo die Projektionsvektoren orthogonal oder fast“ orthogonal zueinander sind. ” 14.5.3 Gradientenverfahren Nachfolgend sei die Koeffizientenmatrix A unseres LGS (14.1) eine symmetrische und positiv definite Matrix, d.h., es gilt AT = A und ∀ x ∈ Rn×1 \{o} : xT · A · x > 0. (Erf¨ ullt A diese Voraussetzung nicht, so l¨ aßt sich (14.2) durch Multiplikation uhren, wobei AT · A mit AT in eine Matrixgleichung AT · A · x = AT · b u ¨berf¨


405

¨ symmetrisch und positiv definit ist, was man leicht nachpr¨ uft (UA).) Wählt man nun als Skalarprodukt ϕ(x, y) := xT · A · y und als Projektionsvektoren p1 := r0 = A · x0 − b p2 := r1 = A · x1 − b .. . pi+1 := ri = A · xi − b .. ., so gilt (wegen der Symmetrie von A) ϕ(xi −x∗ , pi+1 ) = (xi −x∗ )T ·A·(A·xi −b) = (A·xi −A · x∗ )T ·(A·xi −b) = rTi ·ri . =b Damit erhalten wir: Gradientenverfahren: A (symmetrische, positiv-definite Matrix) x0 (gegebener N¨ aherungsvektor) m := 0, 1, 2, 3, . . . (m Nummer des Schrittes) rm := A · xm − b (Restvektor) rT · rm · rm xm+1 := xm − T m r m · A · rm Es sei noch bemerkt, daß man bei jedem Schritt zwei Vektoren, nämlich xm und rm , mit der Matrix A zu multiplizieren hat. Man kann eine Multiplikation einsparen, wenn man rm direkt aus rm−1 und A · rm−1 aus dem vorangegangenen Schritt nach der Formel rm = rm−1 −

rTm−1 · rm−1 · (A · rm−1 ) rTm−1 · (A · rm−1 )

(14.29)

¨ berechnet (Beweis: UA). Eine bessere Konvergenz liefert das Verfahren der konjugierten Gradienten, das abschließend erl¨ autert werden soll. Wir beginnen wie beim Gradientenverfahren: p1 := r0 = A · x0 − b, x1 := x0 −

rT0 · r0 · r0 · A · r0

rT0

406


Beim zweiten Schritt und bei allen folgenden nehmen wir als Projektionsvektoren pm+1 die folgenden Linearkombination: pm+1 = rm − αm · pm , wobei αm sich aus der Forderung ϕ(pm , pm+1 ) = 0 ermitteln l¨ aßt: αm = Also erhalten wir: pm+1 = rm −

rTm · A · pm . pTm · A · pm rTm · (A · pm ) · pm . pTm · (A · pm )

Weiter wie gehabt (siehe obige Rechnungen zur Herleitung des Gradientenverfahrens): rT · pm+1 xm+1 := xm − T m · pm+1 . pm+1 · A · pm+1 Zusammengefaßt erhalten wir: Verfahren der konjugierten Gradienten: A (symmetrische, positiv-definite Matrix) x0 (gegebener N¨ aherungsvektor) p1 := r0 = A · x0 − b (Projektionsvektor) rT · r0 · r0 x1 := x0 − T 0 r0 · (A · r0 ) m := 1, 2, 3, . . . (m Nummer des Schrittes) rT · pm rm := A · xm − b = rm−1 − T m−1 · (A · pm ) (Restvektor) pm · (A · pm ) rT · (A · pm ) pm+1 = rm − m · pm (Projektionsvektor) pTm · (A · pm ) rT · pm+1 · pm+1 xm+1 := xm − T m pm+1 · (A · pm+1 ) Satz 14.5.3.1 Das Verfahren der konjugierten Gradienten konvergiert und f¨ uhrt bei exakter Rechnung nach h¨ ochstens n + 1 Schritten zum L¨ osungsvektor x∗ von (14.1). Beweis.

F¨ ur die Restvektoren gilt (siehe [Mae 84], S. 129/130): ∀m ∈ N ∀i ∈ {0, 1, . . . , m − 1} : rTm · ri = 0.

(14.30)

Aus (14.30) ergibt sich nun ein einfacher Beweis f¨ ur unseren Satz: ur ein gewisses m ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} gilt, sind alle weiteren Falls rm = o f¨


407

Restvektoren ebenfalls gleich o und xm ist die Lösung von (14.1), womit unser Satz bewiesen w¨ are. Wir k¨ onnen also im folgenden annehmen, daß r0 , r1 , . . . , rn−1 alle von o verschieden sind und damit (wegen (14.30)) eine orthonormierte Basis (bez. Standardskalarprodukt) f¨ ur den Vektorraum Rn×1 bilden. Aus dem Spezialfall ∀i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} : rTn · ri = 0

(14.31)

von (14.30) folgt dann rn = o, d.h., das Verfahren der konjugierten Gradienten ist ein direktes Verfahren, denn es f¨ uhrt nach höchstens n + 1 Schritten zur L¨ osung. Es sei noch bemerkt, daß bei Rundungsfehlern das Verfahren der konjugierten Gradienten in der Regel noch keine L¨ osung liefert, so daß man einige weitere Schritte durchzurechnen hat, um die Rundungsfehler auszugleichen. Bei allen Vorz¨ ugen des Verfahrens der konjugierten Gradienten muß beachtet werden, daß der Rechenaufwand f¨ ur jeden Schritt recht groß ist, vor allem bei Gleichungssystemen mit vielen Unbekannten und Koeffizientenmatrizen, die nur wenige Nullen enthalten. Deshalb lohnt sich dieses Verfahren nur bei LGS spezieller Struktur.

15 Interpolation

In diesem kurzen Kapitel werden noch einige weitere Eigenschaften von Polynomen hergeleitet, die man z.B. ben¨ otigt, um numerisch integrieren zu ¨ ist das im nächsten Abschnitt k¨ onnen. 1 Ausgangspunkt unserer Uberlegungen erl¨ auterte Problem.

15.1 Einfu ¨ hrung Bei der Auswertung von Meßwerten (in der Technik oder Physik) bzw. beim Versuch, komplizierte Funktionen durch einfache näherungsweise zu ersetzen, ist die L¨ osung des folgenden Problems hilfreich. Allgemeines Interpolationsproblem Gegeben: Eine nichtleere Menge A ⊆ R, eine Referenz x0 , x1 , ..., xn ∈ A, d.h., es gilt x1 < x2 < x3 < ... < xn , gewisse Abbildungsswerte f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn ) ∈ R und gewisse Abbildungen y0 , y1 , y2 , ..., yn von A in R. Gesucht: c0 , c1 , ..., cn ∈ R, so daß die Funktion g(x) :=

n

ci · yi (x)

i=0

die Eigenschaft ∀i ∈ {0, 1, 2, ..., n} : g(xi ) = f (xi ) hat. 1

¨ A.15.5. Siehe dazu auch UA

410

15 Interpolation

Satz 15.1.1 Das obige allgemeine Interpolationsproblem ist genau dann f¨ ur beliebige Referenzen x0 , x1 , ..., xn ∈ A und beliebig vorgegebene f (x0 ), f (x1 ), ..., osbar, wenn die sogenannte Haarsche Bedingung f (xn ) eindeutig l¨ ∀x0 , x1 , ..., xn ∈ A : x0 < x1 < x2 < ... < xn =⇒ y0 (x0 ) y1 (x0 ) ... yn (x0 ) y (x ) y1 (x0 ) ... yn (x0 ) H := 0 0 .......................... y0 (xn ) y1 (xn ) ... yn (xn )

= 0

erf¨ ullt ist. Beweis.

Wir betrachten das aus n + 1 Gleichungen bestehende LGS ∀k ∈ {0, 1, ..., n} :

n

ci · yi (xk ) = f (xk )

(15.1)

i=0

mit den Unbekannten c0 , c1 , ..., cn . Offenbar ist unser Interpolationsproblem mit der Aufgabe identisch, dieses LGS zu l¨ osen. Wie man leicht nachpr¨ uft, ist die Koeffizientendeterminante von (15.1) gleich der Determinante H aus der Haarschen Bedingung. Obiger Satz ist folglich eine Folgerung aus dem Satz 3.1.11. Nach obigem Beweis ist das Interpolationsproblem mit Hilfe der Cramerschen Regel l¨ osbar, was jedoch viel zu aufwendig ist. Im folgenden Abschnitt soll deshalb gezeigt werden, wie man das Interpolationsproblem f¨ ur die Funktionen yi (x) := xi , i = 0, 1, ..., n, ohne Verwendung von Verfahren zum Lösen von LGS l¨ osen kann.

15.2 Interpolation mit Polynomen In diesem Abschnitt sei stets y0 (x) := 1, y1 (x) := x, y2 (x) := x2 , ..., yn (x) := xn , n d.h., wir suchen ein Polynom g(x) := i=0 ci ·xi , das an vorgegebenen Stellen x0 < x1 < ... < xn mit der Funktion f u ¨bereinstimmt. Da die Determinante H aus Satz 15.1.1 bei dieser Wahl der yi die Vandermondesche Determinante ist, die – wie in Abschnitt 3.1 gezeigt wurde – wegen der paarweisen Verschiedenheit der xi stets ungleich 0 ist, folgt aus Satz 15.1.1 unmittelbar der Satz 15.2.1 Das Interpolationsproblem mit Polynomen ist f¨ ur eine beliebige Referenz x0 < x1 < ... < xn und eine beliebig gegebene Funktion f (bzw. osbar. beliebig gegebenen Werten f (x0 ), f (x1 ), ..., f (xn )) eindeutig l¨

15.2 Interpolation mit Polynomen

411

Eine erste M¨ oglichkeit der konkreten Berechnung von Interpolationspolynomen liefert der folgende Satz. Satz 15.2.2 F¨ ur eine beliebige Referenz x0 < x1 < ... < xn (x0 , ..., xn ∈ R) ullt das sogenannte und beliebige Funktionswerte f (x0 ), f (x1 ), ..., f (xn ) ∈ R erf¨ Lagrangesche Interpolationspolynom g(x) :=

n

f (xi ) · Li (x)

i=0

mit den Lagrangekoeffizienten Li (x) :=

(x − x0 ) · (x − x1 ) · ... · (x − xi−1 ) · (x − xi+1 ) · ... · (x − xn ) (xi − x0 ) · (xi − x1 ) · ... · (xi − xi−1 ) · (xi − xi+1 ) · ... · (xi − xn )

die Bedingung ∀i ∈ {0, 1, 2, ..., n} : g(xi ) = f (xi ). Beweis.

Wegen

Li (xk ) =

(i, k ∈ {0, 1, ..., n}) gilt

n i=0

1 f¨ ur i = k, 0 f¨ ur i = k

f (xi ) · Li (xk ) = f (xk ) f¨ ur alle k ∈ {0, 1, ..., n}.

Beispiel F¨ ur n = 2, x0 = 2, x1 = 4, x2 = 7, f (2) = 4, f (4) = 16 und f (7) = 49 erh¨ alt man nach obigen Satz das folgende Interpolationspolynom: g(x) = 4 · Bemerkung

(x − 2)(x − 7) (x − 2)(x − 4) (x − 4)(x − 7) + 16 · + 49 · . (2 − 4)(2 − 7) (4 − 2)(4 − 7) (7 − 2)(7 − 4) Eine Folgerung aus den S¨ atzen 15.2.1 und 15.2.2 ist n

Li (x) = 1.

i=0

Wie das obige Beispiel zu Satz 15.2.2 bereits zeigte, ist das Lagrange Interpolationspolynom zwar allgemein leicht hinzuschreiben, jedoch f¨ ur konkrete Berechnungen nicht besonders gut geeignet. Man nutzt es deshalb meist nur zu Beweiszwecken. Ohne Beweis sei noch eine andere Methode zur Berechnung von Interpolationspolynomen, die

412

15 Interpolation

Interpolation nach Newton, kurz erl¨ autert. Bei dieser Methode hat das Interpolationspolynom (das sogenannte Newtonsche Interpolationspolynom) die Gestalt g(x) = α0 + α1 · (x − x0 ) + α2 · (x − x0 ) · (x − x1 ) + ...+ αn · (x − x0 ) · (x − x1 ) · ... · (x − xn−1 ), wobei sich die Koeffizienten α0 , α1 , ..., αn iterativ mit Hilfe der Hilfspolynome gi (x) := αi + αi+1 (x − xi ) + αi+2 (x − xi )(x − xi+1 ) + ...+ αn (x − xi )(x − xi+1 )...(x − xn−1 ), wobei i = 0, 1, ..., n und g0 = g, wie folgt berechnen lassen: α0 = f (x0 ), α1 =

f (x1 )−f (x0 ) x1 −x0

α2 =

g1 (x2 )−g1 (x1 ) x2 −x1

= g1 (x1 ) = g2 (x2 )

... αk+1 =

gk (xk+1 )−gk (xk ) xk+1 −xk

= gk+1 (xk+1 )

... αn = gn (xn ) F¨ ur die Handrechnung kann man folgendes Rechenschema verwenden: x0 x1 x2 .. .

f (x0 ) = α0 f (x1 ) f (x2 ) .. .

xn f (xn )

g1 (x1 ) = α1 g1 (x2 ) .. . g1 (xn )

g2 (x2 ) = α2 .. .. . . g2 (xn ) gn (xn ) = αn

Bezeichnet man die erste Spalte dieses Rechenschemas als Abszisse und setzt g0 (xi ) := f (xi ) (i = 0, 1, ..., n), so steht in der (k + 3)-ten Spalte des obigen Schemas f¨ ur k ≥ 0 in der (i − 1)-ten Zeile: gk+1 (xi ) := d.h., gerechnet wird wie folgt:

gk (xi ) − gk (xk ) , xi − xk

15.2 Interpolation mit Polynomen

413

(linker Nachbar) – (oberstes Element der linken Nachbarspalte) Differenz der entsprechenden Elemente der Abszisse Beispiel

Es sei x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, f (0) = 1, f (1) = 1, f (2) = 11, f (3) = 61, f (4) = 205.

Die Koeffizienten des Newtonschen Interpolationspolynoms berechnen sich dann mit Hilfe des obigen Schemas wie folgt: 1 0 1 0 1 2 11 5 5 3 61 20 10 5 4 205 51 17 6 1 Es gilt damit g(x) = 1 + 5x(x − 1) + 5x(x − 1)(x − 2) + x(x − 1)(x − 2)(x − 3) = 1 − x + x2 − x3 + x4 . Noch eine abschließende Bemerkung (ohne Beweis): Der Wert des Interpolationspolynoms g an der Stelle a ∈ R kann unmittelbar aus den Daten (xi , f (xi )) (i = 0, 1, ..., n) berechnet werden, ohne daß vorher die Koeffizienten von g(x) bestimmt werden m¨ ussen. Der folgende Neville-Algorithmus liefert den Wert g(a): P0,0 := f (x0 ) ∀i ∈ {1, 2, ..., n} : Pi,0 := f (xi )

∧

∀k ∈ {1, 2, ..., i} : Pi,k := Pi,k−1 + (a − xi ) ·

Pi,k−1 −Pi−1,k−1 xi −xi−k

g(a) = Pn,n Beispiel

Es sei x1 = 1, x2 = 2 x0 = 0, f (0) = 1, f (1) = 3, f (2) = 7.

Den Wert g(3) erh¨ alt man dann mit Hilfe des Neville-Algorithmus wie folgt:

414

15 Interpolation

P0,0 = 1, P1,0 = 3, P2,0 = 7, P1,1 = P1,0 + (3 − 1) ·

P1,0 −P0,0 1−0

=3+2·

3−1 1

=7

P2,1 = P2,0 + (3 − 2) ·

P2,0 −P1,0 2−1

=7+1·

7−3 1

= 11

P2,2 = P2,1 + (3 − 2) ·

P2,1 −P1,1 2−0

= 11 + 1 ·

11−7 2

= 13 = g(3).

Ist n bei dem Interpolationsproblem von oben sehr groß, so ist die Berechnung des Interpolationspolynoms entsprechenden Grades sehr aufwendig. Außerdem f¨ uhrt eine Graderh¨ ohung des interpolierenden Polynoms i.allg. nicht zu einer besseren N¨ aherung f¨ ur die Funktion f . Man verzichtet deshalb oft darauf, Polynome hohen Grades zu verwenden und setzt die Interpolationsfunktion aus Polynomst¨ ucken mit kleinem Grad zusammen. Ausf¨ uhrlich findet ¨ man dies und Verallgemeinerungen der obigen Uberlegungen z.B. in [Sto 99] erl¨ autert.

Teil IV

¨ Ubungsaufgaben

16 ¨ Ubungsaufgaben zum Teil I

16.1 Aufgaben zum Kapitel 1 A.1.1 Man dr¨ ucke die folgenden S¨ atze mit Hilfe der Zeichen ∀, ∃, ∃!, ¬, ∧, ∨, =⇒ , ⇐⇒ und bekannten weiteren mathematischen Sybolen wie z.B. +, ·, ..., N, ... so weit wie m¨ oglich aus. (a) Zu jedem x und jedem y gibt es ein z mit x + y = z. (b) Kein x ist kleiner als y. (c) Es gibt ein x mit x + y = y f¨ ur alle y. (d) F¨ ur jedes x ist x + y = y + x f¨ ur alle y. (e) Jede ganze Zahl ist gerade oder ungerade. (f) Nicht alle Primzahlen sind ungerade. (g) Zu jeder nat¨ urlichen Zahl gibt es eine gr¨ oßere Primzahl. (h) Die Menge M ⊆ R hat kein gr¨ oßtes Element. urliche Zahlen (i) Es gilt x + z < y + z, falls x < y und x, y, z beliebige nat¨ sind. (j) Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = y und umgekehrt. (k) Es gibt genau eine L¨ osung x ∈ N der Gleichung x2 = 1. (l) F¨ ur das Potenzieren der nat¨ urlichen Zahlen gilt das Kommutativgesetz ab = ba nicht. Außerdem negiere man die Aussagen (h), (i) und (k). A.1.2 Man beweise die folgenden Aussagen f¨ ur nat¨ urliche Zahlen n ∈ N: (a) Wenn n ungerade ist, so ist auch n2 ungerade. (b) Wenn n2 gerade ist, so ist auch n gerade. A.1.3 Man beweise: (a) Wenn p ∈ P, a ∈ N und a ∈ {n · p | n ∈ N}, dann existieren α, β ∈ Z mit α · p + β · a = 1. (b) Wenn eine Primzahl ein Produkt aus zwei ganzen Zahlen teilt, dann teilt sie mindestens einen Faktor dieses Produktes. Hinweise. Zu (a): Siehe auch Satz 2.2.3. Zu (b): Man verwende (a). √ A.1.4 Man beweise: F¨ ur jede Primzahl p ∈ P gilt: p ∈ Q. Hinweise. (1.) F¨ ur p = 2 l¨ aßt sich die Behauptung z.B. durch einen indirekten √ Beweis wie folgt zeigen: Angenommen, 2√∈ Q. Dann existieren gewisse teilerfremde nat¨ urliche Zahlen s und t mit 2 = st . Hieraus ergibt sich die 2 Gleichung 2 · t = s2 . Folglich ist s2 gerade und (wegen A.1.2) auch s gerade.

418

¨ 16 Ubungsaufgaben zum Teil I

Es gibt also eine nat¨ urliche Zahl α mit s = 2 · α. Aus s = 2 · α und s2 = 2 · t2 folgt dann die Gleichung 2 · α2 = t2 . Analog zu oben folgt aus der Gleichung 2 · α2 = t2 , daß 2 ein Teiler von t ist. Wir haben damit 2 als Teiler von s und t nachgewiesen, was jedoch unserer Voraussetzung s und t sind teilerfremd“ √ ” widerspricht. Also war die Annahme 2 ∈ Q falsch. (2.) F¨ ur den allgemeinen Beweis verwende man A.1.3, (b). A.1.5 Man beweise durch andige Induktion nach n: n vollst¨ n(n+1) i = . (a) ∀n ∈ N : 2 i=1 n(n+1)(2n+1) n 2 (b) ∀n ∈ N : i = . i=1 6 n 3 n2 (n+1)2 . (c) ∀n ∈ N : i=1 i = 4 2 (d) ∀n ∈ N : n i=1 (2i − 1) = n . n n 1 = n+1 . (e) ∀n ∈ N : i(i+1) i=1 n n 1 (f) ∀n ∈ N : i=1 (3i−1)(3i+2) = 2(3n+2) . n 1−q n+1 i . (g) ∀n ∈ N0 ∀q ∈ R\{1} : i=0 q = 1−q 1 ur alle (h) Es sei a0 = 0, a1 = 1 und an+1 = 2 (3an − an−1 ). Dann gilt f¨ n −1 . n ∈ N0 : an = 22n−1 (i) Jede nat¨ urliche Zahl n, welche gr¨ oßer als 7 ist, l¨ aßt sich mit geeigneten a, b ∈ N0 in der Form n = 3a + 5b darstellen. ur ungerade n ≥ 3 durch 8 teilbar. (j) n2 − 1 ist f¨ (k) F¨ ur alle n ∈ N ist n3 − n durch 6 teilbar. (l) F¨ ur alle n ∈ N0 ist 11n+2 + 122n+1 durch 133 teilbar. (m) Die Summe der dritten Potenzen dreier aufeinanderfolgender Zahlen aus N0 ist durch 9 teilbar. (n) F¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 5 gilt 2n > n2 . (o) F¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 10 gilt 2n > n3 . (p) F¨ ur alle n ∈ N mit n ≥ 3 gilt: n! > 2n−1 . (q) Sei a > 0 oder −1 < a < 0. Dann gilt: ∀n ∈ N\{1} : (1 + a)n > 1 + n · a

( Bernoullische Ungleichung“) ”

Hinweise: Kurz lassen sich die Beweise von (a), (h) und (n) z.B. wie folgt aufschreiben: Zu (a): Zu . (I) n = 1: Offenbar gilt 1 = 1·2 2 (II) k −→ k + 1: Angenommen, ki=1 i = k+1 i=1

= k+1+ k+1 2

f¨ ur gewisses k ≥ 1. Dann gilt:

i

= k+1+

=

k(k+1) 2

k i=1

i

k(k+1) 2

· (2 + k),

(nach Annahme) q.e.d.

16.1 Aufgaben zum Kapitel 1

419

(h): (I) n = 0 und n = 1: Offenbar gilt die Behauptung f¨ ur n ∈ {0, 1}. (II) k − 1, k −→ k + 1: n −1 f¨ ur alle n mit Angenommen, f¨ ur gewisses k ≥ 1 ist an = 22n−1 0 ≤ n ≤ k. Dann gilt: ak+1 =

Zu (n):

1 (3ak 2

− ak−1 )

=

k 1 −1 (3 22k−1 2

=

1 (3 2k

· 2k − 3 − 2(2k−1 − 1))

=

1 (3 2k

· 2k − 3 − 2k + 2)

=

2k+1 −1 , 2k

−

2k−1 −1 ) 2k−2

(nach Annahme)

q.e.d.

(I) n = 5: Offenbar gilt unsere Behauptung f¨ ur n = 5: 25 = 32 > 2 25 = 5 . (II) k −→ k + 1: ur gewisses k ≥ 5. Dann haben Angenommen, es gilt 2k > k 2 f¨ wir: 2k+1 = 2 · 2k > 2 · k2 = k2 + k · k (nach Annahme) (wegen k ≥ 5) ≥ k2 + 5 · k ≥ k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 q.e.d.

A.1.6 Man beweise durch vollst¨ andige Induktion: F¨ ur alle n ∈ N und alle a, b ∈ R gilt: (a + b)n =

n i=0

n i

an−i bi .

Hinweis: Man u Eigenschaft der Binomial¨berlege sich zun¨ achst die folgende k k k+1 koeffizienten: + = . i−1 i i A.1.7 (Turm von Hanoi) n h¨ olzerne Kreisscheiben verschiedener Durchmesser mit einer Bohrung durch den Mittelpunkt der Kreisscheibe seien nach abnehmender Gr¨ oße geordnet auf einem Stab gesteckt. Zwei weitere St¨ abe seien gegeben. Man kann die Scheiben in gleicher Ordnung auf einen dieser St¨ abe umsetzen, indem man immer nur eine einzelne Scheibe auf einen anderen Stab steckt und dabei niemals eine gr¨ oßere Scheibe u ¨ber eine kleinere Scheibe legt. Wie viele Einzelbewegungen“ von Scheiben reichen aus, um alle n Scheiben ” in der genannten Art vom ersten auf einen zweiten Stab umzusetzen? Hinweis: Sei u(n) := 2n − 1. Man zeige durch Induktion, daß u(n) (n ∈ N) Einzelbewegungen von Scheiben ausreichen, um alle n Scheiben in der genannten Art vom ersten auf den zweiten Stab umzusetzen. A.1.8 Wo steckt der Fehler im folgenden Beweis“ durch vollst¨ andige Induktion? ” Behauptung: Wenn von n M¨ adchen eines blaue Augen hat, dann haben alle n M¨ adchen blaue Augen (n ∈ N). Beweis“: ” 1. Induktionsanfang: n = 1 richtig (klar!) 2. Induktionsannahme: Die Behauptung sei richtig f¨ ur k ≤ n. 3. Induktionsbehauptung: Die Behauptung ist richtig f¨ ur n + 1.

420


4. Induktionsbeweis: Wir betrachten n+1 M¨ adchen, von denen eins blau¨ augig ist und bezeichnen sie mit M1 , M2 , ..., Mn+1 , wobei M1 die Blau¨ augige sein soll. Wir betrachten die beiden Mengen {M1 , ..., Mn } und {M1 , ..., Mn−1 , Mn+1 }. Beide enthalten M1 und haben n Elemente, bestehen also laut Induktionsannahme aus lauter blau¨ augigen M¨ adchen. Da jedes der n + 1 M¨ adchen in einer dieser beiden Mengen vorkommt, sind alle n + 1 M¨ adchen blau¨ augig. A.1.9 Man ermittle die Anzahl dn der Diagonalen in einem ebenen n-Eck (n ≥ 4) und beweise die gefundene Formel per Induktion. A.1.10 Man beschreibe die folgenden Mengen durch die Angabe wenigstens einer Eigenschaft E(x) in der Form {x | E(x)}. (a) {7, 35, 14, 42, 28, 21}, (b) {2, 3, 5, 9, 17, 33, 65}, {2, 11, 101, 1001, 10001}, (c) {−12, −7, −2, 3, 8, 13, 18}, (d) {a, bab, bbabb, bbbabbb, bbbbabbbb}, (e) { 14 , 23 , 32 , 41 }, (f) {1, −1}. A.1.11 Auf der Grundmenge aller Dreiecke G seien folgende Mengen definiert: A := {x ∈ G | x ist gleichseitiges Dreieck} B := {x ∈ G | x ist gleichschenkliges Dreieck} C := {x ∈ G | x ist rechtwinkliges Dreieck} D := {x ∈ G | x ist Dreieck mit wenigstens einem 45◦ Winkel} Man stelle die Beziehungen zwischen diesen Mengen durch ein Venn-Diagramm dar! A.1.12 Gegeben seien die Mengen A := {1, 2}, B := {1, 2, 3, 4}, C := {2}, D := {1, A, B, C}. Welche der folgenden Beziehungen sind richtig? (a) 4 ∈ B

(b) A ⊂ B

(c) A ∈ D

(d) A ⊂ D (e) 2 ∈ D

(f ) 1 ∈ D

(g) ∅ ∈ C

(h) ∅ ⊂ D

(i) C ∈ B

(j) 1 ⊂ D

(k) {1, B} ⊆ D (l) A ∪ C ⊂ B (m) C ⊂ D (n) C ∈ D (o) {C} ⊂ D A.1.13 Seien A, B und C Teilmengen einer gewissen Menge M . Man veranschauliche die folgenden Mengengleichungen durch Venn-Diagramme und beweise diese Aussagen. (a) (A\B)\C = A\(B ∪ C); (b) (A∆B) ∩ C = (A ∩ C)∆(B ∩ C); (c) (A∆B)\C = (A ∪ B)∆(B ∪ C). A.1.14 Seien A, B, C Mengen. Man beweise: (a) (A\B) × C = (A × C)\(B × C); (b) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C); (c) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C). A.1.15 Seien A1 , A2 , B1 , B2 Mengen. Man beweise (A1 × B1 ) ∪ (A2 × B2 ) ⊆ (A1 ∪ A2 ) × (B1 ∪ B2 ) und gebe ein Beispiel an, f¨ ur das in (16.1) ⊂ anstelle von ⊆ steht.

(16.1)


421

A.1.16 Folgt aus A ∪ B = A ∪ C, daß B = C ist? Folgt aus A ∩ B = A ∩ C, daß B = C ist? A.1.17 Ein Meinungsforscher sendet seinem Chef das Ergebnis seiner Umfrage u ¨ber die Beliebtheit von Bier und Wein: Anzahl der Befragten: 100 Anzahl derer, die Bier trinken: 75 Anzahl derer, die Wein trinken: 68 Anzahl derer, die beides trinken: 42 Warum wurde der Mann entlassen? (Begr¨ undung mittels Mengen!) A.1.18 Man zeige, daß die Mengen {{x1 , y1 }, {x1 }} und {{x2 , y2 }, {x2 }} genau dann gleich sind, wenn x1 = x2 und y1 = y2 gilt. A.1.19 Welche der Eigenschaften Symmetrie, Asymmetrie, Reflexivit¨ at, Antisymmetrie, Transitivit¨ at

A.1.20 A.1.21 A.1.22

A.1.23

sind bei den folgenden Relationen vorhanden: (a) R1 := {(x, y) | x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x = y}, (b) R2 := {(X, Y ) | X ⊆ M ∧ Y ⊆ M ∧ Y = M \X} (M gewisse Menge), (c) R3 := {(x, y) | x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x < y} , (d) R4 := {(x, y) | x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ x teilt y}, (e) R5 := {(x, y) | x ∈ Z ∧ y ∈ Z ∧ x + y gerade } ? Welche Relation R ⊆ A × A ist reflexiv, symmetrisch, transitiv und antisymmetrisch? Man gebe auf der Menge A := {1, 2, 3, 4} eine bin¨ are Relation R an, die nicht reflexiv, nicht irreflexiv, jedoch transitiv und symmetrisch ist. Man begr¨ unde, wo in dem folgenden Beweis“ der Herleitung der Reflexivit¨ at ” aus der Symmetrie und Transitivit¨ at einer Relation R u ¨ber der Menge A der Fehler steckt. Behauptung: Jede symmetrische und transitive Relation R ⊆ A × A ist auch reflexiv (d. h., ∀ a ∈ A : aRa). Beweis“: Wir betrachten ein beliebiges a aus A und ein b ∈ A mit aRb. ” Wegen der Symmetrie von R ist dann auch bRa und aus aRb und bRa folgt dann wegen der Transitivit¨ at von R die Beziehung aRa. Daher ist R reflexiv. Sei M die Menge aller Menschen (tot oder lebendig). Seien die Relationen R und S definiert durch: (x, y) ∈ R :⇐⇒ x ist Schwester von y, (x, y) ∈ S :⇐⇒ x ist Vater von y

Was bedeuten umgangssprachlich (x, y) ∈ R2S und (x, y) ∈ S2R? A.1.24 Ein Theater verf¨ uge u atzen. Jeder Platz ist durch ¨ber 27 Reihen zu je 19 Pl¨ seine Reihennummer r und seine Sitznummer s, also das Paar (r, s) eindeutig festgelegt. Seien R := {1, 2, ..., 27} und S := {1, 2, ..., 19}. Demzufolge kann man jede Vorstellung M als Menge der verkauften Pl¨ atze ansehen und es gilt M ⊆ R × S. Man mathematisiere damit folgende Sachverhalte: (a) von jeder Reihe wurde mindestens ein Platz verkauft; (b) die Vorstellung ist ausverkauft; (c) die Menge aller m¨ oglichen Vorstellungen; (d) keine Karte andig besetzt; (f) keine wurde verkauft; (e) wenigstens eine Reihe ist vollst¨ Reihe ist vollst¨ andig besetzt. A.1.25 Seien R, S und T bin¨ are Relationen u ¨ber A. Man beweise: (a) (R ∪ S)2T = (R2T ) ∪ (S2T ), (b) (R\S)−1 = R−1 \S −1 .

422


A.1.26 Sei A := {1, 3, 4, 5, 7, 8, 9}. Wie hat man x, y ∈ A zu w¨ ahlen, damit R := {(x, 7), (1, 8), (4, 4), (9, 8), (7, 3), (5, 5), (9, 1), (8, 9), (8, 1), (1, 9), (3, 3), (8, 8), (7, 7), (1, 1), (y, y)}

A.1.27

A.1.28

A.1.29

A.1.30

¨ eine Aquivalenzrelation auf A ist? Man gebe außerdem ¨ (a) die Aquivalenzklassen von R, (b) die zu R geh¨ orende Zerlegung Z von A und ¨ (c) die zu den Aquivalenzrelationen Q ⊂ R geh¨ orenden Zerlegungen an! Man gebe die durch die folgenden Zerlegungen Zi (i ∈ {1, 2, 3}) der Menge ¨ R charakterisierten Aquivalenzrelationen Ri an: (a) Z1 := {{x, −x} | x ∈ R}, (b) Z2 := {{y + x | x ∈ R ∧ 0 ≤ x < 1} | y ∈ Z}, (c) Z3 := {{y + x | y ∈ Z} | x ∈ R ∧ 0 ≤ x < 1}. Man gebe Eigenschaften der nachfolgenden Relationen R ⊆ A × A an und ¨ bestimme, falls R eine Aquivalenzrelation ist, die zugeh¨ orige Zerlegung von A. (a) {( (a, b), (c, d) ) ∈ N2 × N2 | a + c = b + d}, (b) {(a, b) ∈ N2 | a · b ist eine gerade Zahl oder a = b}, (c) {(a, b) ∈ N2 | a · b ist eine ungerade Zahl oder a = b}, (d) {(a, b) ∈ N2 | ∃c ∈ N : b = c · a}, (e) {( (a, b), (c, d) ) ∈ N2 × N2 | (a < c ∨ a = c) ∧ b ≤ d}. ¨ Es seien R und Q Aquivalenzrelationen auf der Menge A. Man beweise, daß ¨ dann R ∩ Q ebenfalls eine Aquivalenzrelation auf A ist und beschreibe die ¨ Aquivalenzklassen von R ∩ Q durch die von R und Q. Ist R ∪ Q auch eine ¨ Aquivalenzrelation auf A? Auf der Menge A := R × R sei die Relation R wie folgt erkl¨ art: (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a2 + b2 = c2 + d2

(a, b, c, d ∈ R). ¨ (a) Man zeige, daß R eine Aquivalenzrelation auf A ist. ¨ (b) Wie lauten die Aquivalenzklassen von R? ¨ (c) Man gebe eine geometrische Deutung der Aquivalenzklassen von R an. A.1.31 Man w¨ ahle auf alle Arten zwei der drei Bedingungen reflexiv“, symme” ” trisch“, transitiv“ aus und gebe jeweils ein Beispiel f¨ ur eine Relation an, die ” diese zwei Bedingungen, aber nicht die dritte Bedingung erf¨ ullt. ¨ A.1.32 Man bestimme alle Aquivalenzrelationen auf {1, 2, 3, 4}, die mit der folgenden inneren Verkn¨ upfung ◦ auf {1, 2, 3, 4} vertr¨ aglich sind? ◦ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 2 4

3 3 2 1 4

4 4 4 4 4

¨ A.1.33 Man bestimme alle Aquivalenzrelationen auf einer n-elementigen Menge mit n ∈ {2, 3, 4, 5}. ¨ Bemerkung (ohne Beweis): Bezeichne µ(k) die Anzahl aller Aquivalenzrelationen auf einer k-elementigen Menge. Dann gilt

16.1 Aufgaben zum Kapitel 1 µ(k) =

k i=0

(−1)i

i

(−1)t

t=0

423

tk . t!(i − t)!

¨ A.1.34 Es seien R und Q Aquivalenzrelationen auf der Menge A. Man beweise: R2Q ¨ ist genau dann eine Aquivalenzrelation, wenn R2Q = Q2R gilt. A.1.35 Bei welchen der folgenden Relationen Ri (i = 1, 2, 3, 4) handelt es sich um eine reflexive, teilweise Ordnung auf der Menge A := {1, 2, 3}? R1 R2 R3 R4

:= {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}, := {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}, := {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}, := {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}.

A.1.36 Welche der folgenden Diagramme sind Hasse-Diagramme einer halbgeordneten Menge?

r @ @r

r @ @ r @r

r @r r @ @ r @ @r r

r @r r @ @ r @ @r r

A.1.37 Auf A ∈ {a, b, c} sei eine reflexive teilweise Ordnung R definiert. Welche M¨ oglichkeiten gibt es dann f¨ ur das zugeh¨ orige Hasse-Diagramm HR dieser Relation, wobei die Knoten (Punkte) dieses Diagramms nicht bezeichnet sein sollen. Man gebe f¨ ur jedes gefundene Diagramm auch ein Beispiel f¨ ur R ⊆ A2 in Relationenschreibweise an. A.1.38 Sei A := R × R. Auf A seien durch (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 ), (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) := (x1 · x2 − y1 · y2 , x1 · y2 + x2 · y1 ) eine Addition und eine Multiplikation definiert. Man zeige, daß man auf A keine irreflexive Halbordnung < mit den folgenden drei Eigenschaften definieren kann: (a) ∀z ∈ A : z = (0, 0) ∨ z < 0 ∨ (0, 0) < z, (b) ∀z, w ∈ A : (((0, 0) < z ∧ (0, 0) < w) =⇒ ((0, 0) < z · w ∧ (0, 0) < z + w)), (c) ∀z, w ∈ A : ((z < (0, 0) ∧ w < (0, 0)) =⇒ (0, 0) < z · w). A.1.39 Zwei Posets (A; ≤1 ) und (B; ≤2 ) heißen isomorph, falls es eine bijektive Abbildung ϕ : A −→ B gibt, so daß f¨ ur alle x, y ∈ A folgendes gilt: x ≤1 y ⇐⇒ ϕ(x) ≤2 ϕ(y). Man beweise: F¨ ur jede Poset (A; ≤) gibt es ein Mengensystem M , so daß (A; ≤) und (M ; ⊆) isomorph sind. Hinweis: Man w¨ ahle zur Poset (A; ≤) das folgende Mengensystem: M := { {x ∈ A | x ≤ a} | a ∈ A}.

424


A.1.40 Man w¨ ahle auf alle Arten zwei der drei Bedingungen reflexiv“, antisymme” ” trisch“, transitiv“ aus und gebe jeweils ein Beispiel f¨ ur eine Relation an, die ” diese zwei Bedingungen, aber nicht die dritte Bedingung erf¨ ullt. A.1.41 Seien A := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1} und f1 : A −→ A, x → sin x, f2 : A −→ A, x → x2 , √ f3 : A −→ A, x → x.

A.1.42

A.1.43 A.1.44

A.1.45

ur {i, j} ⊂ {1, 2, 3} Durch welche Zuordnungsvorschriften sind dann fi 2fj f¨ und i = j bestimmt? Man untersuche, ob die angegebenen Abbildungen f injektiv, surjektiv oder bijektiv sind: (a) f : N → N, n → 2n + 1, (b) f : Z → Z, z → −z + 3, (c) f : Q → Q, q → 5q + 9, (d) f : R → R, r → (r − 1)(r − 2)(r − 3). Man gebe eine Abbildung f : N −→ N an, die surjektiv, aber nicht bijektiv ist. Man l¨ ose die folgende Aufgabe f¨ ur die Menge A ∈ {Z, Q}. Es sei c ∈ A und fc die durch fc : A −→ A, x → x + c − x · c definierte Abbildung. F¨ ur welche c ∈ A ist (a) fc surjektiv; (b) fc injektiv? Sei f eine Abbildung von A := R × R in B := R × R verm¨ oge (x, y) → (αx + βy, γx + δy),

wobei α, β, γ, δ gewisse fest gew¨ ahlte Zahlen aus R sind. Unter welchen Bedingungen f¨ ur α, β, γ, δ ist f eine bijektive Abbildung? Wie lautet in diesem Fall f −1 ? A.1.46 Welche der folgenden Relationen Ri (i ∈ {1, 2, ..., 6}) sind Abbildungen von D(Ri ) ⊆ R in R? (a) R1 := {(x, y) ∈ R2 | y = sin x}, (b) R2 := {(x, y) ∈ R2 | y = tan x}, (c) R3 := {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ y = x21−1 }, (d) R4 := {(x, y) ∈ R2 | x > 0 ∧ y = ln x}, (e) R5 := {(x, y) ∈ R2 | − 5 ≤ x ≤ 5 ∧ x2 + y 2 = 25}, (f) R6 := {(x, y) ∈ R2 | y + x = 0}. A.1.47 Sei A eine endliche Menge und sei f : A −→ A eine Abbildung. Man beweise: f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv ⇐⇒ f ist bijektiv. A.1.48 Es sei F die Menge der Paare (x, y) ∈ N0 × N0 , die den folgenden Ungleichungen gen¨ ugen: 10x − 2y ≥ 0, 10y − 2x ≥ 0, x + y ≤ 12.


425

Offenbar ist F eine Korrespondenz aus N0 in N0 und die Elemente (x, y) ∈ F kann man als Koordinaten von Punkten in der x, y-Ebene auffassen. Man gebe (a) eine Skizze f¨ ur F an und bestimme (b) D(F ) und W (F ), (c) F −1 , (d) F 2F . A.1.49 Seien f : A −→ B, g : B −→ C Abbildungen. Man beweise: f, g surjektiv (injektiv) =⇒ f 2g surjektiv (injektiv). A.1.50 Man beweise: Ist M eine unendliche Menge, dann ist auch P(A) eine unendliche Menge. A.1.51 Man beweise, daß die Intervalle (0, 1) und [0, 1] aus reellen Zahlen gleichm¨ achtig sind. achtig A.1.52 Man beweise: Je zwei der Mengen N, N0 , N × N, N × Z sind gleichm¨ (und damit abz¨ ahlbar). A.1.53 Man beweise: Die Menge F := {(a1 , a2 , a3 , ..., ai , ...) | ∀i ∈ N : ai ∈ {0, 1}}

A.1.54 A.1.55 A.1.56

A.1.57 A.1.58 A.1.59

A.1.60

A.1.61

A.1.62

(Menge aller Folgen, deren Folgeglieder 0 oder 1 sind) ist nicht abz¨ ahlbar. (Bemerkung: (a1 , a2 , ..., ai , ...) = (b1 , b2 , ..., bi , ...) :⇐⇒ ∀i ∈ N : ai = bi ) Sei F wie in A.1.53 definiert. Man zeige, daß die Menge F × F zu F gleichm¨ achtig ist. Sei F wie in A.1.53 definiert. Man zeige, daß F sowohl zu P(N) als auch zu P(Z) gleichm¨ achtig ist. Sei F wie in A.1.53 definiert und bezeichne F die Menge derjenigen Tupel aus F , die keine 1-Perode besitzen, d.h., f¨ ur kein (a1 , a2 , a3 , ...) ∈ F existiert ein k ∈ N, so daß ak+1 = ak+2 = .... = 1 ist. Man beweise, daß F und F gleichm¨ achtig sind. Man beweise, daß die Menge M aller reellen Zahlen x mit 0 < x < 1 zur Menge F (siehe A.1.53) gleichm¨ achtig ist. Man beweise, daß R zur Menge P(N) gleichm¨ achtig ist. Man u uhre den folgenden Satz in einen aussagenlogischen Term: Sonntags ¨berf¨ besuchen wir unsere Freunde und, sofern es nicht gerade regnet, machen wir eine Wanderung oder eine Radpartie. Oft sind S¨ atze der Umgangssprache unpr¨ azise oder mehrdeutig, was man meist erst bei der logischen Analyse entdeckt. Man erl¨ autere dies anhand der folgenden zwei Aussagen A und B. A: Unsere Zimmer sind mit Radio und Fernseher oder Telefon ausgestattet. B: Werktags außer samstags verkehrt um 23.20 Uhr entweder ein Zug oder ein Bus von X nach Y . Man entscheide, ob der folgende Schluß korrekt ist, wenn man die Voraussetzungen als Aussagen aufschreibt und nachpr¨ uft, ob die Konjunktion dieser Aussagen die Behauptung impliziert. Falls die Besch¨ aftigten eines Betriebes nicht streiken, so ist eine notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur eine Gehaltserh¨ ohung, daß die Arbeitsstundenzahl erh¨ oht wird. Im Falle einer Gehaltserh¨ ohung wird nicht gestreikt. Falls die Arbeitstundenzahl erh¨ oht wird, so gibt es keine Gehaltserh¨ ohung. Folglich werden die Geh¨ alter nicht erh¨ oht. Gegeben seien die Aussagen

426

¨ 16 Ubungsaufgaben zum Teil I A1 : A2 : A3 : A4 : A5 : A6 :

Die Sonne scheint. Ein Auftrag liegt vor. Miss Peel u ¨bt Karate. Miss Peel besucht Mr. Steed. Mr. Steed spielt Golf. Mr. Steed luncht mit Miss Peel.

Mit Hilfe der Aussagen A1 , ..., A5 und Aussagenverbindungen stelle man die folgenden Aussagen dar. A: Wenn die Sonne scheint, spielt Mr. Steed Golf. B: Wenn die Sonne nicht scheint und kein Auftrag vorliegt, luncht Mr. Steed mit Miss Peel. C: Entweder u ¨bt Miss Peel Karate oder sie besucht Mr. Steed. D: Miss Peel u ¨bt Karate genau dann, wenn Mr. Steed Golf spielt – oder ein Auftrag liegt vor. E: Entweder scheint die Sonne und Mr. Steed spielt Golf – oder Miss Peel besucht Mr. Steed und dieser luncht mit ihr. F : Es trifft nicht zu, daß Miss Peel Mr. Steed besucht, wenn ein Auftrag vorliegt. G: Nur dann, wenn kein Auftrag vorliegt, luncht Mr. Steed mit Miss Peel. ¨ A.1.63 Man gebe f¨ ur jede der folgenden Aquivalenzen eine sprachliche (verbale) Interpretation an! (a) (x ∧ x) ⇐⇒ x, (b) (¬¬x) ⇐⇒ x, (c) (¬(x ∧ y)) ⇐⇒ (¬x ∨ ¬y), (d) (¬x ∨ y) ⇐⇒ (x =⇒ y), (e) (x ∧ (x ∨ y)) ⇐⇒ x, (f) ((x =⇒ y) ∧ (y =⇒ x)) ⇐⇒ (x ⇐⇒ y). A.1.64 Die Booleschen Funktionen f bzw. g seien durch f (x, y) := (x ⇒ y) ∧ (x ∨ y) bzw. g(x, y, z) := (x ⇔ z) + y definiert. (a) Man gebe die Wertetabellen und die disjunktiven Normalformen von f und g an. (b) Wie l¨ aßt sich f nur unter Verwendung der Zeichen ∧ und − darstellen? A.1.65 Man vereinfache mit Hilfe der algebraischen Methode die folgenden Booleschen Terme: (a) t1 (x, y) := ((x ∧ y) ∨ (x ∧ y)) ∨ (x ∨ y), (b) t2 (x, y, z) := ((x ∨ y) ∨ z) ∧ (x ∨ z), (c) t3 (x, y, z) := (x ∧ (y ∧ z)) ∨ (¯ x ∧ (¯ y ∧ z¯)) ∨ ((x ∨ y¯) ∧ (x ∨ z¯)), (d) t4 (x, y, z, u) := (((x ∧ y) ∨ z¯) ∨ ((¯ x ∧ z¯) ∨ (¯ y ∧ u))). A.1.66 Eine Aussage, deren Negation eine Tautologie ist, heißt Kontradiktion. Eine Aussage, die weder eine Tautologie noch eine Kontradiktion ist, nennt man Kontingenz. Man entscheide anhand von Wahrheitstafeln, welche der folgenden Aussagen Tautologien, Kontradiktionen oder Kontingenzen sind. (a) (x =⇒ (y =⇒ z)) ⇐⇒ ((x =⇒ y) =⇒ z), (b) ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z)) ⇐⇒ ((x ∧ z) ∧ (y ∨ z)),


427

(c) ((x ∧ y) ∨ (x ∧ y)) ∨ (x ∧ y), (d) (x ∧ x) ∧ ((y ∨ y) =⇒ z), (e) (x =⇒ (y =⇒ z)) =⇒ ((x ∧ y) =⇒ z), (f) (x ∨ x) ∧ ((y ∧ y) =⇒ z). A.1.67 F¨ ur Abstimmungen in einem vierk¨ opfigen Gremium gelten folgende Regeln: Stimmenthaltung unzul¨ assig; die Abstimmung erfolgt dadurch, daß jedes Mitglied des Gremiums einen bei seinem Platz angebrachten Schalter in eine der beiden m¨ oglichen Stellungen Ja“ oder Nein“ bringt. Ein gr¨ unes Licht ” ” leuchtet bei Annahme eines Antrags auf, ein rotes bei Ablehnung. Bei Stimmengleichheit leuchten beide Lichter auf. Man erstelle die disjunktiven Normalformen der beiden Stromf¨ uhrungsfunktionen und vereinfache diese. A.1.68 Man ermittle (m¨ oglichst einfach strukturierte) Terme zur Beschreibung der nachfolgend angegebenen Booleschen Funktionen, die nur die Zeichen ∨, ∧ achst, falls erforderlich, die disjunktive Norund − enthalten, indem man zun¨ malform der entsprechenden Terme ermittelt, und dann (nach dem Verfahren aus Abschnitt 1.6) die disjunktive Normalform so weit wie m¨ oglich vereinfacht: (a) f (x, y, z) := (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z), (b) g(x, y, z, u) = (x ⇐⇒ y) ∧ (z ∨ u). A.1.69 Eine n-stellige Boolesche Funktion f heißt selbstdual (oder autodual), wenn f¨ ur alle x1 , ..., xn ∈ {0, 1} gilt: f (x1 , ..., xn ) = f (x1 , x2 , ..., xn ) Eine n-stellige Boolesche Funktion f heißt linear, wenn es gewisse a0 , a1 , ..., an ∈ {0, 1} gibt, so daß f (x1 , ..., xn ) = a0 + a1 · x1 + a2 · x2 + ... + an · xn (mod 2) f¨ ur alle x1 , ..., xn ∈ {0, 1} gilt. Eine n-stellige Boolesche Funktion f heißt monoton, wenn ∀a1 , ..., an , b1 , ..., bn ∈ {0, 1} : (∀i ∈ {1, 2, ..., n} : ai ≤ bi =⇒ f (a1 , ..., an ) ≤ f (b1 , ..., bn )) gilt. (a) Wie viele selbstduale ein- oder zweistellige Boolesche Funktionen gibt es? (b) Wie viele lineare ein- oder zweistellige Boolesche Funktionen gibt es? (c) Wie viele monotone ein- oder zweistellige Boolesche Funktionen gibt es? (d) Man beweise: Eine lineare n-stellige Boolesche Funktion f mit f (x1 , ..., xn ) = a0 + a1 · x1 + a2 · x2 + ... + an · xn (mod 2) ist genau dann selbstdual, wenn a1 + a2 + ... + an = 1 (mod 2) gilt. (e) Man beweise: Eine lineare, n-stellige Boolesche Funktion f der Form f (x1 , x2 , ..., xn ) := a0 + x1 + x2 + a3 · x3 + ... + an · xn , wobei a0 , a3 , a4 , ..., an ∈ {0, 1}, ist nicht monoton.

428


(f) Welche der folgenden Booleschen Funktionen sind selbstdual, welche Funktionen sind linear und welche Funktionen sind monoton? i. f1 (x, y, z) := (x ⇐⇒ y) ⇐⇒ z, ii. f2 (x, y, z) := (x =⇒ y) =⇒ z, iii. f3 (x, y, z) := (x ⇐⇒ y) + z, iv. f4 (x, y, z) := (x + y) ⇐⇒ z, v. f5 (x, y, z) := (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ∨ (y ∧ z). A.1.70 Geplant ist ein Tischtennisturnier mit den 5 Teilnehmern A, B, C, D, E und nur einer Tischtennisplatte. Außerdem soll gelten: (1.) Jeder Teilnehmer spielt gegen jeden anderen genau einmal, (2.) kein Teilnehmer spielt in zwei aufeinanderfolgenden Spielen. Mittels Graphen kl¨ are man, ob ein solches Tischtennisturnier m¨ oglich ist. Hinweis: Die Teilnehmer des Turniers kann man als Knoten eines Graphen auffassen und eine Kante zwischen zwei Knoten x und y gibt an, daß x und y miteinander spielen. Wegen Bedingung (1.) erhalten wir: Aq

@ B B@ B @q E Bq b B"" B b b" B B " b bBq Bq" C

D

Folglich muß das Turnier aus 10 Spielen bestehen. Zu Veranschaulichung von (2.) kann man einen Graphen verwenden, dessen Knoten die Spiele sind und eine Kante zwei Knoten genau dann verbindet, wenn sie keine gemeinsamen Spieler haben: AB q #c # c # q CE c # c AE BB BC CD # q cq DE q q Z B A Z Z A B q ZBq BD A AD A A Aq Aq BE

AC

A.1.71 Man gebe die Menge aller B¨ aume mit der Knotenmenge {1, 2, 3, 4} an und zerlege diese Menge in Klassen bez. Isomorphie, d.h., man entscheide, welche der B¨ aume untereinander isomorph sind. A.1.72 Mit Hilfe der in Abschnitt 1.7 beschriebenen zwei Verfahren ermittle man ein Minimalger¨ ust f¨ ur folgenden Graphen (Zwischenschritte angeben!).


r

29

429

r A

A 18 A11 Ar r 3 r r 24 HH A @ A HH @ 10 14 28 25 27 16 @ 8 2 HH 19 77 A 9 H 40 HHr 20 AAr @r r 26 r 4 r 23 @ H HH HH 5 H 30 22 80 6 13 HH r Hr 15 17 r 7

12

16.2 Aufgaben zum Kapitel 2 A.2.1 Man berechne d := a b und bestimme ganze Zahlen α, β mit d = α · a + β · b f¨ ur (a) a = 362 und b = 22, (b) a = 1033 und b = 52, (c) a = 3584 und b = 498, (d) a = 4823 und b = 975. A.2.2 Man l¨ ose die folgenden Gleichungen. (a) 8 · x = 1 (mod 5), (b) 20 · x = 10 (mod 25), (c) 8 · x = 3 (mod 14), (d) 271 · x = 25 (mod 119), (e) 12 · x = 21 (mod 97), (f) 18 · x = 17 (mod 71). A.2.3 F¨ ur eine beliebige nat¨ urliche Zahl n, die keine Primzahl ist, gebe man eine Gleichung der Form a · x = b (mod n) an, die (a) keine L¨ osung, (b) mindestens zwei L¨ osungen hat. A.2.4 Mit Hilfe von Zahlenkongruenzen beweise man: (a) F¨ ur keine nat¨ urliche Zahl n ist die Zahl 6·n+2 das Quadrat einer ganzen Zahl. (b) F¨ ur keine nat¨ urliche Zahl n ist die Zahl 7·n+3 das Quadrat einer ganzen Zahl. (Hinweis zu (a): Man nehme indirekt z 2 = 6 · n + 2 an und betrachte die Restklassen modulo 6.) A.2.5 Seien a, b, α, β ∈ Z, d ∈ N und d = α · a + β · b. Gibt es dann gewisse α , β ∈ Z\{α, β} mit d = α · a + β · b? A.2.6 Sei H := (H; ◦) eine endliche Halbgruppe. Wie erkent man anhand der Verkn¨ upfungstafel, ob H

430


(a) ein neutrales Element besitzt, (b) ein Nullelement besitzt, (c) zu jedem x ∈ H ein inverses Element existiert, (d) kommutativ ist? A.2.7 Sei G := (G; ◦) eine endliche Gruppe. K¨ onnen in der Verkn¨ upfungstafel von G in einer Zeile (oder Spalte) an verschiedenen Stellen zwei gleiche Elemente stehen? A.2.8 In einer Rindergesellschaft“ von schwarzen und braunen Rindern, die ganz” farbig oder gescheckt sein k¨ onnen, weiß man, daß bei Kreuzungen von zwei Rindern die schwarze Farbe die braune dominiert“ und daß die Ganzfar” bigkeit dominant gegen¨ uber der Scheckung ist. Es gibt also vier m¨ ogliche Rindertypen: (a): schwarz, ganzfarbig, (b): schwarz, gescheckt, (c): braun, ganzfarbig, (d): braun, gescheckt. Bei Kreuzung eines schwarzen, gescheckten Rindes (b) mit einem braunen, ganzfarbigen Rind (c) ist also ein schwarzes, ganzfarbiges Rind (a) zu erwarten; dies kann man durch b c = a symbolisieren. Man stelle f¨ ur die Verkn¨ upfung eine Tabelle auf, aus der alle m¨ oglichen Paarungen ablesbar sind und zeige (unter Verwendung des Light-Test), daß ({a, b, c, d}; ) eine kommutative Halbgruppe mit einem Nullelement und einem Einselement ist. A.2.9 Sei H := (Q; ◦), wobei ∀ a, b ∈ Q : a ◦ b := a + b − a · b. Man zeige, daß H eine Halbgruppe ist und bestimme (falls vorhanden) Nullelemente, Einselemente und invertierbare Elemente von H. Ist H eine Gruppe? A.2.10 Man zeige durch Best¨ atigung der Gruppenaxiome, daß die Menge M := {x ∈ Q | ∃n ∈ Z : x = 2n } zusammen mit der gew¨ ohnlichen Multiplikation eine kommutative Gruppe bildet, die zu (Z, +) isomorph ist. A.2.11 Sei G die Gruppe der primen Restklassen modulo 14. Man berechne: (a) die Verkn¨ upfungstafel von G, (b) die Ordnungen der Elemente von G, (c) die Untergruppen von G. Gibt es eine Gruppe der Form (Zn ; + (mod n)), die zu G isomorph ist? A.2.12 Bezeichne G := (G; ◦) eine Gruppe und seien die Abbildungen f und ga f¨ ur a ∈ G wie folgt definiert: f : G −→ G, x → x ◦ x, ga : G −→ G, x → a−1 ◦ x ◦ a. Man beweise: (a) f ist genau dann ein Homomorphismus, wenn ◦ kommutativ ist. (b) ga ist eine isomorphe Abbildung von G auf G.


431

A.2.13 Seien α, β ∈ R. Durch ◦ : R × R −→ R, (x, y) → α · x + β · y ist auf R eine innere Verkn¨ upfung definiert. Wie hat man α, β ∈ R zu w¨ ahlen, damit (a) (R; ◦) eine Halbgruppe, (b) (R; ◦) eine Gruppe ist. A.2.14 Sei M eine nichtleere Menge. Auf der Potenzmenge von M seien außerdem die folgenden zwei Operationen definiert: A∆B := (A ∪ B)\(A ∩ B), A ◦ B := (A ∩ B) ∪ (M \(A ∪ B)) Man zeige, daß (P(M ); ∆) und (P(M ); ◦) kommutative Gruppen sind. A.2.15 Ist e neutrales Element einer vierelementigen Gruppe (G; ◦) mit G := {a, b, c, e}, so ist die Verkn¨ upfungstafel mit der Angabe c ◦ c = b bereits eindeutig bestimmt. Wie lautet demnach die Tafel? A.2.16 Seien G := (G; ◦) und G := (G ; ◦ ) Halbgruppen und f : G −→ G eine isomorphe Abbildung von G auf G . Man beweise: (a) Ist e ein neutrales Element von G und e ein neutrales Element von G , so gilt f (e) = e . (b) Ist o ein Nullelement von G und o ein Nullelement von G , so gilt f (o) = o . (c) Sei G ein Monoid mit dem neutralen Element e und sei a ∈ G ein invertierbares Element von G. Dann ist f (e) das neutrale Element von G und f (a) ist ein invertierbares Element von G . ur alle a ∈ G: ord f (a) = ord a. (d) Sind G und G endliche Gruppen, so gilt f¨ A.2.17 Seien Gi := (Gi ; ◦i ) (i = 1, 2, ..., r; r ≥ 2) Gruppen. Die Gruppe G := (G; ◦) mit G := G1 × G2 × ... × Gr und ∀(a1 , a2 , ..., ar ), (b1 , b2 , ..., br ) ∈ G : (a1 , a2 , ..., ar ) ◦ (b1 , b2 , ..., br ) := (a1 ◦1 b1 , a2 ◦2 b2 , ..., ar ◦r br ). heißt dann das direkte Produkt der Gruppen G1 , G2 , ..., Gr , das auch mit G1 × G2 × ... × Gr bezeichnet wird. Bezeichne nachfolgend Zn , n ∈ N, die Restklassengruppe (Zn ; +). (a) Man gebe die Verkn¨ upfungstafel der Gruppe Z2 × Z3 an und zeige, daß die Gruppe Z2 × Z3 zur Gruppe Z6 isomorph ist. (b) Man beweise, daß Z2 × Z2 nicht zu Z4 isomorph ist. (Bemerkung (Nicht als Beweishilfsmittel bei (a) und (b) verwenden!): Zn × Zm ist genau dann zu Zn·m isomorph, wenn n m = 1 gilt.) A.2.18 F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n sei P ar(n) := {(a1 , ..., at ) | t ∈ N ∧ {a1 , ..., ar } ⊂ N ∧ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ at ∧ a1 + a2 ... + at = n}

432

¨ 16 Ubungsaufgaben zum Teil I (die Menge aller Partitionen der Zahl n). Z.B.: P ar(5) = {(5), (1, 4), (2, 3), (1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 1, 1)}. Der Hauptsatz u ¨ber endliche abelsche Gruppen, der in Band 2 bewiesen wird, besagt: Falls n = pk1 1 · pk2 2 · ... · pkr r (p1 , ..., pr ∈ P paarweise verschieden; k1 , ..., kr ∈ N) ist, so gibt es (bis auf Isomorphie) genau m := |P ar(k1 )| · |P ar(k2 )| · ur ... · |P ar(kr )| verschiedene abelsche Gruppen mit n Elementen. Beispiele f¨ m paarweise nichtisomorphe abelsche Gruppen mit n Elementen lassen sich nach folgendem Rezept bilden: F¨ ur jedes i ∈ {1, 2, ..., r} und eine Partition (a1 , ..., as ) ∈ P ar(ki ) bilde man das direkte Produkt Hi := Zpa1 × Zpa2 × ... × Zpas . i

i

i

Man erh¨ alt r (Hilfs-)Gruppen, aus denen sich die n-elementige Gruppe aßt. H1 × ... × Hr konstruieren l¨ Man bestimme nach diesem Rezept (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen mit n = 600 Elementen. A.2.19 Seien 1 2 3 4 1 2 3 4 d := und s := 2 3 4 1 2 1 4 3 Permutationen. Man zeige G :=< {d, s} >= {e, d, d2 , d3 , s, s2d, s2d2 , s2d3 }, indem man die Verkn¨ upfungstafel dieser Gruppe aufstellt. Man bestimme die Ordnungen der Gruppenelemente. Außerdem gebe man m¨ oglichst viele Untergruppen von G der Ordnung 2 und 4 an. A.2.20 Man beweise: Der Durchschnitt von Untergruppen einer Gruppe G := (G; ◦) ist wieder eine Untergruppe von G. A.2.21 Man charakterisiere die m¨ oglichen homomorphen Abbildungen von der Gruppe G auf eine andere Gruppe G durch die Angabe der auf G existierenden Normalteiler f¨ ur (a) G := (S3 ; 2), (b) G := (Z10 ; + (mod 10)), (c) G := (Z12 ; + (mod 12)). A.2.22 Seien d :=

1 2 3 ... n − 1 n 2 3 4 ... n 1

und s :=

1 2 ... n − 1 n n n − 1 ... 2 1

.

Die Untergruppe Dn :=< {d, s} >= {d, d2 , ..., dn , s2d, s2d2 , ..., s2dn } von Sn heißt Diedergruppe. Nachfolgend soll diese Gruppe bei der Bestimmung der Anzahl gewisser chemischer Verbindungen benutzt werden. Gegeben sei ein Kohlenstoffring aus n Kohlenstoffatomen (im Beispiel n = 6):


C

C

S S

C

433

S

C

S S SC

C

Durch Anh¨ angen“ von Wasserstoffatomen (−H) oder Methylgruppen ” (−CH3 ) an die Kohlenstoffatome kann man zahlreiche organische Verbindungen gewinnen. Z.B. H

H

@

CH3

H C

C

C

S S S

C

S S SC

@

H

H

@

C

H

C

C

S S S

C

S S SC

C

H

CH3

H

C

@

H

H

Benzol

Xylol

Problem: Wie viele chemische Verbindungen kann man durch das oben beschriebene Anh¨ angen“ erhalten? ” Offenbar kann man f¨ ur einen Ring aus n Elementen 2n verschiedene Bilder der oben angegebenen Form zeichnen. Verschiedene Bilder m¨ ussen jedoch nicht immer verschiedene chemische Verbindungen charakterisieren. Z.B. CH3

CH3

@

H

C

C

S S SC H

C

S S S

C

C @

H

H

H

H

@

H C

C

S S SC CH3

C

S S S

C

H

C @

CH3

repr¨ asentieren Xylol. ur die m¨ oglichen Bilder solcher chemiSeien a1 , a2 , ..., a2n Bezeichnungen f¨ schen Verbindungen und sei A := {a1 , a2 , ..., a2n }. Zwei Bilder ai , aj liefern genau dann die gleiche chemische Verbindung (Bezeichnung: (ai , aj ) ∈ R), wenn es eine Deckbewegung (d.h., eine Kombination aus Drehungen und Spieuhrt. Genauer: gelungen) gibt, die das Bild ai in das Bild aj u ¨berf¨

434

¨ 16 Ubungsaufgaben zum Teil I (ai , aj ) ∈ R :⇐⇒ ∃ g ∈ Dn : g(ai ) = aj . ¨ Die Relation R ist offenbar eine Aquivalenzrelation auf der Menge A, die die ¨ Menge A in die Aquivalenzklassen Ba := { α ∈ A | ∃g ∈ Dn : g(a) = α } ¨ (a ∈ A) zerlegt. Die Anzahl der verschiedenen Aquivalenzklassen (Bezeichnung: tn ) ist dann offenbar gleich der gesuchten Anzahl der chemischen Verbindungen, die sich nach dem Satz von Burnside auf folgende Weise berechnen l¨ aßt: tn := ( g∈Dn ϕg )/|Dn | = ( a∈A |Ua |)/|Dn |, wobei ϕg := |{ a ∈ A | g(a) = a }| und Ua := { g ∈ Dn | g(a) = a }.

Beweisen l¨ aßt sich dieser Satz z.B. durch Nachweis der folgenden Hilfsaussagen: ur jedes a ∈ A eine Untergruppe von Dn . (1.) Ua ist f¨ (2.) ∀ a ∈ A : |Ba | = |Dn : Ua |. (3.) Ba = B a =⇒ |Ua | = |Ua |. (4.) t n = ( a∈A |U a |)/|Dn |. (5.) a∈A |Ua | = g∈Dn ϕg . Man berechne t6 mit Hilfe der oben angegebenen Formel. A.2.23 Sei M eine nichtleere Menge. Sind (P(M ); ∆, ∩) und (P(M ); ∆, ∪) Ringe? A.2.24 Sei R := ({o, a, b}; +, ·) ein Ring. Wie viele M¨ oglichkeiten (bis auf Isomorphie) gibt es f¨ ur R? A.2.25 Auf der Menge R × R seien die folgenden Operationen definiert: (x, y) ⊕ (u, v) := (x + u, y + v), (x, y) (u, v) := (x · u − y · v, x · v + y · u). Man zeige, daß (R × R; ⊕, ) ein K¨ orper ist. A.2.26 Sei R := (R; +, ·) ein Ring mit der Eigenschaft, daß die Halbgruppe (R; ·) kommutativ ist und ein Einselement 1 besitzt. Außerdem bezeichne E die Menge {x ∈ R | ∃y ∈ R : x · y = 1}. Man beweise: (E; ·) ist eine kommutative Gruppe. A.2.27 Man berechne f¨ ur (a) z1 = 1 − 2 · i und z2 = 3 + 4 · i, (b) z1 = 1 − 2 · i und z2 = 3 + 5 · i die komplexen Zahlen z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 , z1 · z2−1 und z14 . A.2.28 Man√stelle folgende Terme in der Form r · (cos ϕ + i · sin ϕ) dar. 1 + 3 · i, −3 + 7 · i, −3 − 7 · i, (1 + i)100 . A.2.29 Man berechne s¨ amtliche komplexen L¨ osungen der Gleichungen: (a) z 2 + z + 1 = 0, (b) z 3 + 1 = 0, (c) z 6 + 64 = 0, (d) z 6 + 729 = 0.


435

A.2.30 Man beweise: ∀a, b, r, s ∈ R ∀n ∈ N : a + b · i = (r + s · i)n =⇒ a2 + b2 = (r2 + s2 )n . A.2.31 Welche komplexen Zahlen z erf¨ ullen die Gleichung |z|2 + 2 · Re z = 3 ? osunA.2.32 Sei E := {a ∈ C | an = 1} die Menge der n verschiedenen komplexen L¨ gen der Gleichung xn = 1. Man zeige, daß diese Menge zusammen mit der Multiplikation f¨ ur komplexe Zahlen eine Gruppe bildet.

17 ¨ Ubungsaufgaben zum Teil II

17.1 Aufgaben zum Kapitel 3 A.3.1 Mit Hilfe der Cramerschen Regel l¨ ose man das folgende LGS u orper ¨ber dem K¨ C: 2·i·x + y = −3 + i (1 − i) · x + (4 + 2 · i) · y = A.3.2 Man berechne die folgenden Determinanten u ¨ber 1 10 8 10 −1 (b) (a) −11 4 −5 , 1 10 0 −2 0 1 1 1 0 3 −1 −1 1 2 0 (c) 1 0 2 1 −5 , 0 1 2 1 5 1 2 1 1 0

(d)

1 0 1 1 0 8

dem 2 0 4 5 0 2 1 2

1 K¨ orper R: 3 2 , 4 1

0 −1 −1 1 1 0 1 3 1 1 2 0 0 1 1 4 0 1 3 0 9 13 5 −6

0 0 0 0 0 3

.

A.3.3 Sei A := |ai,j |n eine Determinante mit 1 1, falls j = n − i + 1, ai,j := 0 sonst, u orper R. Man berechne A. ¨ber dem K¨ A.3.4 Wie ¨ andert sich die Determinante |A| f¨ ur die (n, n)-Matrix A := (aij )n,n ∈ ur alle i, j die Elemente aij von A durch ti−j · aij (t ∈ Rn×n , wenn man f¨ R\{0}) ersetzt? A.3.5 Sei ⎛ ⎞ λ 1 0 C := ⎝ 0 λ 1 ⎠ . 0 0 λ ur n ∈ N an und beweise diese Formel f¨ ur Cn durch vollst¨ andige Man gebe Cn f¨ Induktion u ¨ber n ≥ 3.

438

¨ 17 Ubungsaufgaben zum Teil II

A.3.6 Man berechne (a) ⎛

⎞−1 2 6 4 ⎝ −2 1 1 ⎠ (mit Hilfe von Adjunkten), 0 2 0 (b) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ rg ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

3 3 4 −2 2 1 1

3 3 3 3 −2 5 1 0 −1 6 2 1 −1 7 0 1 −1 15 5 6 −3 12 1 1 2 3 4 5

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(c) ⎛ ⎞T ⎛ ⎞ 0 1 0 2 4 0 −1 1 ⎜ ⎝ 0 1 1 ⎠ ·⎝ 0 1 1 1 ⎠·⎜ 0 ⎝0 1 2 3 0 2 0 1 1 ⎛

⎞ 1 0⎟ ⎟. 1⎠ 0

A.3.7 Man berechne in Abh¨ angigkeit von t ∈ R den Rang der Matrix ⎞ ⎛ 1 2 3 4 5 ⎜1 t t + 1 2t 5 ⎟ ⎟. A := ⎜ ⎝2 6 8 10 ⎠ t2 0 4−t 1 0 0 A.3.8 Man gebe zwei (2,2)-Matrizen A, B u orper (Z5 ; +, ·) an, f¨ ur die ¨ber dem K¨ A · B = B · A gilt. A.3.9 Man berechne die Determinante von ⎛ ⎞ a b c d ⎜ −b a d −c ⎟ ⎟ A := ⎜ ⎝ −c −d a b ⎠ , −d c −b a indem man von der Determinante |A · AT | ausgeht. A.3.10 Man beweise: Seien n ungerade, A ∈ Rn×n und A = −AT . Dann gilt |A| = 0. A.3.11 Man zeige, daß die Determinante einer Matrix A des Typs (n, n) gleich 0 ist, falls A mehr als n2 − n Elemente besitzt, die gleich 0 sind. A.3.12 Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A ist. Eine Matrix A heißt schiefsymmetrisch, wenn AT = −A gilt. Man beweise: Jede (n, n)-Matrix A l¨ aßt sich als Summe einer symmetrischen Matrix As und einer schiefsymmetrischen Matrix At darstellen. A.3.13 Seien A und B (n, n)-Matrizen. Man beweise: (a) Ist A symmetrisch, so ist auch BT · A · B symmetrisch. (b) Ist A schiefsymmetrisch, so ist auch BT · A · B schiefsymmetrisch. A.3.14 Sei A eine regul¨ are Matrix. Man beweise: (A−1 )T = (AT )−1 .


439

A.3.15 Eine Matrix B ∈ Rn×n \{o} heißt positiv definit, wenn ∀x ∈ Rn×1 : xT B · x ≥ 0

∧

(x B · x = 0 ⇐⇒ x = o) T

gilt. Man zeige, daß f¨ ur eine beliebige regul¨ are Matrix A ∈ Rn×n die Matrix T B := A · A symmetrisch und positiv definit ist. A.3.16 Man berechne mit Hilfe der zwei im Kapitel 3 angegebenen Verfahren die zur Matrix ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 0 1 3 1 2 ⎜ 0 3 −2 0 ⎟ ⎜3 1 0 2⎟ ⎟ ⎟ (a) A := ⎜ (b) A := ⎜ ⎝0 5 0 1⎠ ⎝1 0 1 2⎠ 0 1 1 0 2 2 2 5 inverse Matrix. A.3.17 Zum Verschl¨ usseln einer Nachricht kann man folgendes Verfahren verwenden. Den 26 Buchstaben des Alphabets werden Zahlen von 0 bis 25 zugeordnet: A 19 N 13

B 2 O 12

C 21 P 16

D 0 Q 18

E 4 R 1

F 7 S 25

G 6 T 20

H 9 U 3

I 17 V 22

J 24 W 5

K 11 X 8

L 15 Y 23

M 14 Z 10

Der Klartext (z.B. ALGEBRA) wird in Bl¨ ocke zu je zwei Buchstaben unterteilt, wobei man nach Bedarf eventuell noch einen Buchstaben (etwa X) hinzuf¨ ugt: AL GE BR AX. Jedem Buchstabenpaar entspricht nach der obigen Tabelle ein gewisses Zahlenpaar (a1 , a2 ), dem man mittels 4 7 b1 a1 = (mod 26) · b2 a2 9 22 ein anderes Paar (b1 , b2 ) zuordnen kann, denen wiederum nach obiger Tabelle ein gewisses Buchstabenpaar entspricht. Auf diese Weise l¨ aßt sich Algebra zu SFDOLMBH kodieren. (a) Man dekodiere SIVNXBMHNOTE. besitzen, damit jede (b) Welche Eigenschaften m¨ ussen Matrizen A ∈ Z2×2 26 usselt werden durch (b1 , b2 )T = A · (a1 , a2 )T kodierte Nachricht entschl¨ kann? A.3.18 Bezeichne G einen ungerichteten Graphen mit der Knotenmenge {1, 2, ..., n}. F¨ ur diesen Graphen lassen sich folgende drei Matrizen bilden: B := (bij )n,n ( Adjazenzmatrix von G“), ” wobei bi,j f¨ ur i = j die Anzahl der Kanten, die den Knoten i mit den Knoten j verbinden, bezeichnet, und bii gleich der doppelten Anzahl der mit dem Knoten i inzidierenden Schlingen ist; V := (vi,j )n,n ( Valenzmatrix von G“), ” wobei vij = 0 f¨ ur i = j und vii die Anzahl der Kanten ist, die vom Knoten i ausgehen und Schlingen dabei doppelt gez¨ ahlt werden; A := V − B ( Admittanzmatrix von G“). ”

440

¨ 17 Ubungsaufgaben zum Teil II Dann gilt der Matrix-Ger¨ ust-Satz (Satz von Kirchhoff-Trent) 1 : F¨ ur beliebiges i ∈ {1, 2, ..., n} gibt die Adjunkte Aii der Determinante A := |A| die Anzahl der Ger¨ uste des Graphen G an. (Ger¨ uste sind zusammenh¨ angende spannende Teilgraphen von G mit minimaler Kantenzahl.) Man verifiziere diesen Satz f¨ ur den Graphen 4 s

s2

Q

Q Q Q Q Q s 3 Qs 1 A.3.19 Jedem schlichten gerichteten Graphen G mit der Knotenmenge {1, 2, ..., n} kann man eine sogenannte Adjazenzmatrix B := (bij )n,n zuordogen angibt, die vom Knoten i zum Knoten nen, wobei bij die Anzahl der B¨ j gerichtet sind. F¨ ur die Matrix Bk =: (cij )n,n gilt dann, daß cij die Anzahl der gerichteten Kantenfolgen der L¨ ange k vom Knoten i zum Knoten j angibt. Man verifiziere diese Aussage f¨ ur den Graphen 4

6 r

@

r 6

r

r

- r5

@ @ R r @ 3 6

2

1

und k = 3. A.3.20 Sei K = R. Man bestimme die allgemeine L¨ osung der folgenden LGS: (a) x1 − x2 + 4 · x3 = 0 x3 + x4 = 7 2 · x1 + x2 − (b) x1 + x2 x2 x1 x2 2x1

1

+ + + − −

x3 x3 x3 x3 x3

+ x4 = 7 + x4 = 5 + x4 = 6 = 2 + x4 = 10

Den Beweis dieses Satzes wie auch den Beweis der Aussage aus der Aufgabe A.3.19 findet man im Band 2.


441

(c) x1 + x2 2x1 − x2 x2 2x1

− − − +

x3 + x4 + x5 + x6 x3 + 2x4 x3 + x6 2x3 + 2x4

= = = =

0 0 0 0

(d) 2x1 + 4x2 + 6x3 − 10x4 = 14 x1 + x2 + x3 − 3x4 = 11 x1 + 3x2 + 5x3 + 5x4 = 123 (e) − 2x4 + 2x5 −2x1 + 6x2 + x3 2x1 − x5 4x1 + 5x2 4x1 + 16x2 − x3 − 2x4

= = = =

0 0 0 0

(f) + 3x2 + 3x2 − 2x2 − 4x2 − x2 A.3.21 Man begr¨ unde mit Hilfe des x1 x1 x1 x1

+ 5x3 − 4x4 = 1 + 2x3 − 2x4 + x5 = −1 + x3 − x4 − x5 = 3 + x3 + x4 − x5 = 3 + 3x3 + x4 = 0 Rangkriteriums, daß das LGS

x1 + x2 x2 x1 x2 x1 + x2

+ + + + +

x3 x3 6x3 2x3 8x3

+ x4 = 3 + x4 = 5 = 1 + x4 = 3 + x4 = 4

keine L¨ osungen besitzt. A.3.22 Welchen Einfluß hat der Wert a ∈ R auf die Struktur der allgemeinen L¨ osung des LGS 7x1 − 3x2 − 5x3 + ax4 − 2x5 = 4 2x1 + x2 + x3 + 3x4 − x5 = 0 3x1 − 2x2 − 4x3 + 2x4 + x5 = 2 + 4x4 + 5x5 = b −x1 + 2x2 und f¨ ur welche b ∈ R ist dieses LGS bei festem a ∈ R l¨ osbar? F¨ ur den Fall a = 4 gebe man außerdem s¨ amtliche L¨ osungen des LGS an. A.3.23 Sei K = R. F¨ ur welche t ∈ R hat ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ x1 0 1 2 3 4 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 5 − t2 2 3 4 ⎟·⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 2 3 5 − t2 1 ⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎝ 0 ⎠ x4 2 3 4 1 0 nichttriviale L¨ osungen? osungen von A.3.24 Sei K = Z7 . Man berechne die Anzahl der L¨ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 0 1 −1 6 1 ⎜ x2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠. ⎝ 1 2 1 4⎠· = ⎝ x3 ⎠ 0 3 4 −6 0 x4

442


17.2 Aufgaben zum Kapitel 4 A.4.1 Man beweise, daß die Menge der L¨ osungen der Matrixgleichung A · x = o (A ∈ K m×n ) einen Untervektorraum des Vektorraums K n×1 bilden. Gilt dies auch f¨ ur die L¨ osungen der Gleichung A · x = b, falls b ∈ K m×1 \{o} ? A.4.2 Welche der folgenden Teilmengen Ti ⊆ R4×1 (i = 1, 2, 3) sind Untervektorr¨ aume von R4×1 ? (a) T1 := {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4×1 | x2 + x3 − 2x4 = 0}, (b) T2 := {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4×1 | x1 + x2 = 1}, (c) T3 := {(x1 , x2 , x3 , x4 )T ∈ R4×1 | x1 ∈ Q}. A.4.3 Seien ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 1 −1 + 2i −i −i ⎜1⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 2i ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ a1 := ⎝ ⎠ , a2 := ⎝ , a3 := ⎝ , a4 := ⎝ 0 −1 ⎠ 0 ⎠ 1 1 2i 1+i 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

orper C. Man bestimme die DiVektoren des Vektoraums C4×1 u ¨ber dem K¨ ur diesen UVR mension des UVRs U := [{a1 , a2 , a3 , a4 }] und gebe eine Basis f¨ an. A.4.4 Seien ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 1 1 ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a1 := ⎜ ⎜ 0 ⎟ , a2 := ⎜ 1 ⎟ , a3 := ⎜ 0 ⎟ , a4 := ⎜ 0 ⎟ , a5 := ⎜ 1 ⎟ ⎝1⎠ ⎝1⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝0⎠ 1 0 0 1 1 Vektoren des Vektoraums K 5×1 u orper K mit K ∈ {R, Z2 }. Man ¨ber dem K¨ bestimme die Dimension des UVRs U := [{a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }] und gebe eine Basis f¨ ur diesen UVR an. A.4.5 Mit Hilfe von Vektoren beweise man, daß durch die Verbindung der Mittelpunkte benachbarter Seiten in einem Viereck stets ein Parallelogramm entsteht. A.4.6 In einem Vektorraum R V seien die Vektoren a, b, c fixiert. Außerdem seien x := b + c, y := c + a, z := a + b. Man beweise: (a) [{a, b, c}] = [{x, y, z}]. (b) a, b, c sind genau dann linear unabh¨ angig, wenn x, y, z linear unabh¨ angig sind. Sind die Aussagen (a) und (b) auch f¨ ur Vektorr¨ aume u ¨ber einem beliebigen K¨ orper richtig? angige Vektoren a1 , a2 , a3 geA.4.7 In dem Vektorraum R V seien drei linear unabh¨ geben. F¨ ur welche k ∈ R sind die Vektoren b1 := a2 + a3 − 2a1 , b2 := a3 + a1 − 2a2 , b3 := a1 + a2 − k · a3 linear abh¨ angig? Gibt es einen Vektor a ∈ V , ein k ∈ R und gewisse µi ∈ R ur alle i ∈ {1, 2, 3} ? (i = 1, 2, 3) mit bi = µi · a f¨


443

A.4.8 Seien a1 , ..., an , b1 , ..., bn ∈ K V , α ∈ K mit α + α = 0 und cj := aj + bj , dj := ur j = 1, ..., n. Man beweise: Sind die Vektoren a1 , ..., an , b1 , ..., bn α·(bj −aj ) f¨ l.u., so auch die Vektoren c1 , ..., cn , d1 , ..., dn . A.4.9 Man verifiziere die Dimensionsformel f¨ ur Untervektorr¨ aume im Fall V = 4×1 und f¨ ur die Untervektorr¨ aume RR U = [{(1, 0, 1, 2)T , (0, 1, 1, 1)T }] und W = [{(1, 1, 4, 0)T , (2, −3, −1, 1)T , (3, 1, 0, 0)T }] von V . A.4.10 Seien a, b, c Vektoren des Vektorraums K V und α, β, γ ∈ K. Man beweise, daß α · a − β · b, γ · b − α · c, β · c − γ · a linear abh¨ angig sind. A.4.11 Die folgenden Mengen sind UVR des VR R R4×1 : U

:= [{(1, 0, 1, 2)T , (1, 1, 0, 3)T }],

W := [{(1, −1, 1, 1)T , (4, 0, 1, 1)T }]. Ist U + W eine direkte Summe? angige Vektoren des Vektorraums K V . AußerA.4.12 Seien b1 , b2 , ..., bn linear unabh¨ dem sei a eine Linearkombination dieser Vektoren, d.h., es exstieren gewisse a1 , ..., an ∈ K mit a = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn . Man beweise, daß die ai (i = 1, 2, ..., n) in dieser Darstellung von a durch die Vektoren b1 , b2 , ..., bn eindeutig bestimmt sind. angig Gilt obige Aussage auch, wenn die Vektoren b1 , b2 , ..., bn linear abh¨ sind? A.4.13 Bezeichne V den Vektorraum R4×1 u ¨ber R. (a) Man beweise, daß b1 := (1, 0, 1, 0)T , b2 := (1, 0, 0, 1)T , b3 := (0, 1, 1, 0)T , b4 := (1, 1, 1, 2)T eine Basis B von V bildet. uglich der Basis (b) Man gebe die Koordinaten von a := (1, 2, 3, 4)T bez¨ B := (b1 , b2 , b3 , b4 ) an. ¨ (c) Man berechne die Ubergangsmatrix M(B, B ), wobei B die Standardbasis (b1 , b2 , b3 , b4 ) = ((1, 0, 0, 0)T , (0, 1, 0, 0)T , (0, 0, 1, 0)T , (0, 0, 0, 1)T ) von V bezeichne.

17.3 Aufgaben zum Kapitel 5 A.5.1 Bezeichne R3 einen dreidimensionalen affinen Raum u orper Z2 . ¨ber dem K¨ alt Wie viele Punkte, Geraden und Ebenen enth¨ alt R3 ? Wie viele Punkte enth¨ eine Gerade? Wie viele Punkte und Geraden enth¨ alt eine Ebene? Wie viele parallele Geraden gibt es zu einer gegebenen Geraden?

444


A.5.2 Man bestimme eine parameterfreie Darstellung f¨ ur die 2-Ebene E des 5orper R, die gegeben ist durch: dimensionalen affinen Raumes R5 u ¨ber dem K¨ E : X = (1; 1, 0, 1, 2, 0)T + r · (0; 1, 0, 1, 1, 1)T + s · (0; 1, 2, 1, 1, 2)T . orper R und S ein KoA.5.3 Sei R4 ein 4-dimensionaler affiner Raum u ¨ber dem K¨ uglich S seien die folgenden Punkte des R4 geordinatensystem des R4 . Bez¨ geben: P0 := (1; 3, −4, 1, 6)T , P1 := (1; 3, −2, −10, 0)T , P2 := (1; 2, 0, −3, 0)T und P3 := (1; 1, 2, 4, 4)T . Man bestimme: (a) die Dimension des von den Punkten P0 , P1 , P2 , P3 aufgespannten affinen Unterraums E; (b) den Durchschnitt von E mit der durch die Gleichung 4x1 + x2 + x3 − 2x4 + 6 = 0 gegebenen Hyperebene H. orper K ist A.5.4 Eine Hyperfl¨ ache E eines affinen Punktraumes Rn u ¨ber dem K¨ durch n ihrer Punkte P1 , ..., Pn in allgemeiner Lage eindeutig bestimmt. Andererseits ist E parameterfrei durch eine Gleichung der Form a1 ·x1 +a2 ·x2 + ... + an · xn = b beschreibbar. Man beweise, daß man eine E beschreibende Gleichung erhalten kann, indem man x1 x2 ... xn 1 p11 p12 ... p1n 1 p21 p22 ... p2n 1 = 0 .................. pn1 pn2 ... pnn 1

A.5.5

A.5.6

A.5.7

A.5.8

A.5.9

bildet, wobei (Pi )/S := (1; pi1 , pi2 , ..., pin )T (i = 1, 2, ..., n) und S ein Koordinatensystem des Rn bezeichnet. Wie k¨ onnen zwei verschiedene 2-Ebenen E und E im (a) R3 , (b) R4 , (c) orper K zueinander gelegen sein? Bei der Fallunterscheidung R5 u ¨ber dem K¨ verwende man: Parallelit¨ at, E ∩ E , E + E . Seien A ∈ K r×n , B ∈ K s×n , b ∈ K r×1 , c ∈ K s×1 und x ∈ K n×1 . Durch die LGS A · x = b und B · x = c seien zwei Unterr¨ aume E und E eines orper K gegeben. Man gen-dimensionalen Punktraumes Rn u ¨ber dem K¨ be eine notwendige und hinreichende Bedingung f¨ ur die Koeffizienten dieser LGS (beziehungsweise f¨ ur Matrizen an, die aus diesen Koeffizienten gebildet werden k¨ onnen), unter der E und E parallel sind. Seien E und E zwei affine 2-Ebenen im R4 mit E ∩ E = ∅. Man zeige: (a) Gilt dim E ∩ E = 0, so schneidet E jede zu E parallele affine 2-Ebene E in genau einem Punkt. (b) Gilt dim E ∩ E = 1, so gibt es zu E eine parallele affine 2-Ebene E , die E nicht schneidet. Man zeige, daß f¨ ur q = 1, 2, 3, ... s¨ amtliche Punkte des affinen 3-dimensionalen Raumes R3 u ¨ber R, deren Summe der Koordinaten gleich q ist, in einer Ebene ur Eq an. Außerdem l¨ ose man Eq liegen und gebe die Parameterdarstellung f¨ die analoge Aufgabe f¨ ur den n-dimensionalen affinen Rn anstelle von R3 . Im affinen 5-dimensionalen Raum R5 u ¨ber R sei die Ebene E durch den Punkt A und die Vektoren a1 , a2 bestimmt und die Ebene E durch den Punkt B und die Vektoren a3 , a4 . Wie kann man die gegenseitige Lage der angigkeiten zwischen den Vektoren Ebenen E und E durch die linearen Abh¨ −→

a1 , a2 , a3 , a4 , AB ausdr¨ ucken?


445

A.5.10 Man zeige: Zu beliebigen k + 1 paarweise verschiedenen Punkten P1 , ..., Pk+1 eines affinen Raumes Rn , die nicht in einem affinen Unterraum einer Dimension ≤ k − 1 liegen, gibt es genau einen Unterraum E der Dimension k, der diese k + 1 Punkte enth¨ alt. Man sagt, E wird von P1 , ..., Pk+1 aufgespannt. Welche Aussagen der Schulgeometrie werden durch obige Aussage verallgemeinert?

17.4 Aufgaben zum Kapitel 6 A.6.1 Seien S := (A; i, j, k) ein Koordinatensystem f¨ ur R3 und B := (i, j, k) orthonormiert. Außerdem seien (in Koordinaten bez. S bzw. B): P := (1; 1, 2, 3)T , Q = (1; 0, 3, −1)T , R := (1; −1, 2, 0)T , h : X := (1; 0, 1, 1)T + t · (0; 1, 1, 1)T , E : x1 + x2 − 2x3 = 4, E : X := (1; 2, 3, 1)T + t1 · (0; 1, 0, 1)T + t2 · (0; 0, 2, 1)T . Man berechne: (a) eine Parameterdarstellung der Geraden g(P, Q); (b) eine Parameterdarstellung der Ebene ε(P, Q, R); (c) eine Hessesche Form der Ebene ε(P, Q, R); (d) die Hessesche Normalform von E; (e) den Abstand von A zu h; (f) den Abstand von A zu E; (g) zwei Ebenen in Hessescher Form, deren Schnitt die Gerade h ist; (h) den Abstand von g zu h; (i) die Fußpunkte T1 , T2 des Lotes von g auf h(T1 , T2 ) 2 ; (j) eine Parameterdarstellung f¨ ur E; (k) (l) (m) (n)

→

einen Vektor aus V 3 , der auf E senkrecht steht; eine Ebene, die durch A geht und auf h senkrecht steht; E ∩ E; die Koordinaten des Punktes P ∈ ε(P, Q, R) bez. des Koordinatensy−→

−→

ur die Punkte der Ebene ε; stems (R; P Q, P R) f¨ (o) die Parameterdarstellung einer zu E parallelen Ebene, die von E den Abstand 2 hat; (p) den Schnittpunkt von h mit E. A.6.2 Es sei V :=R R3×1 und ϕ die wie folgt definierte Abbildung von V × V in R: ϕ((x1 , x2 , x3 )T , (y1 , y2 , y3 )T ) := 3 · x1 · y1 − x1 · y2 − x2 · y1 + x2 · y2 + 2 · x3 · y3 . Man zeige, daß ϕ ein Skalarprodukt ist und bestimme eine bez¨ uglich dieses Skalarprodukts orthonormierte Basis mit Hilfe des Schmidtschen ONVs, indem man von der Basis a1 := (1, 0, 0)T , a2 := (0, 1, 0)T , a3 := (0, 0, 1)T ausgeht. A.6.3 Man bestimme mit Hilfe des Schmidtschen ONVs eine orthonormierte Basis f¨ ur den Untervektorraum [{a1 , a2 , a3 , a4 }] von R R4×1 , wobei a1 := (2, 1, 3, −1)T , a2 := (7, 4, 3, −3)T , a3 := (1, 1, −6, 0)T , a4 := (5, 7, 7, 8)T . A.6.4 Seien B := (i, j, k) und a/B := (0; 1, 0, 3)T , b/B := (0; 2, −6, 1)T , c/B := (0; −1, 0, 2)T . 2

Diese Fußpunkte sind eindeutig bestimmt, da g und h windschief zueinander sind.

446


(a) Welche Orientierung besitzt die Basis (a, b, c)? ¨ (b) Welche der 5 aus (a, b, c) durch Andern der Reihenfolge der Vektoren bildbaren Basen sind rechtsorientiert? (c) Man ermittle das Volumen und die Oberfl¨ ache des von den Vektoren a, b, c aufgespannten Spats. A.6.5 Seien S := (A; i, j, k) und P/S := (1; 7, 0, 3)T , Q/S := (1; 14, 2, −1)T , R/S := (1; 1, 5, 1)T . Man gebe die Pl¨ uckersche Normalform der Geraden g(P, Q) an und berechne den Abstand des Punktes R zu g. A.6.6 Man bestimme den Winkel zwischen zwei verschiedenen Raumdiagonalen eines W¨ urfels. A.6.7 Sei V ein Vektorraum u ¨ber K ∈ {R, C}, auf dem ein Skalarprodukt ϕ definiert ist. Außerdem bezeichne B eine Menge von Vektoren aus V , die nicht den Nullvektor enth¨ alt und f¨ ur die gilt: ∀a, b ∈ B : ϕ(a, b) = 0. Man beweise, daß dann B linear unabh¨ angig ist. aren Vektorraums V u A.6.8 Es seien ϕ1 und ϕ2 zwei Skalarprodukte eines unit¨ ¨ber dem K¨ orper C. Man beweise, daß aus ∀x ∈ V : ϕ1 (x, x) = ϕ2 (x, x) stets ϕ1 = ϕ2 folgt. A.6.9 Man gebe im R3 die Gleichung einer Ebene E an, die vom Punkt Q := (1; 3, 5, 7)T (in Koordinaten bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem S) den Abstand 4 hat und auf den Koordinatenachsen von S Abschnitte abtrennt, die proportional zu 1, 2, 3 sind. A.6.10 Von dem Dreieck ∆ABC weiß man, daß der Mittelpunkt der Strecke AC (beziehungsweise BC) auf der y-Achse (beziehungsweise in der x, z-Ebene) des verwendeten affinen Koordinatensystems S liegt. Außerdem kennt man die Koordinaten der Punkte A und B: A/S := (1; −4, −1, 2)T , B/S := uglich S. (1; 3, 5, −16)T . Man bestimme die Koordinaten von C bez¨ A.6.11 Die Ecken eines Tetraeders T im Anschauungsraum R3 seien durch ihre Koordinaten bez¨ uglich eines kartesischen Koordinatensystems gegeben: P1 := (1; 1, 0, 1)T , P2 := (1; 2, 1, −1)T , P3 := (1; 5, −2, −4)T , P4 := (1; −4, 2, 5)T . Man berechne: (a) die von P1 ausgehende H¨ ohe h, (b) den Fußpunkt S und die L¨ ange l des von P1 auf die Kante P2 P3 gef¨ allten Lotes, (c) den Winkel zwischen den Gegenfl¨ achen von P2 und P3 . A.6.12 Mit Hilfe von Vektoren und dem Skalarprodukt in der Anschauungsebene beweise man (a) den Satz des Pythagoras; (b) Im Rhombus stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht. A.6.13 Man beweise: Im Parallelogramm ist die Summe der Diagonalquadrate gleich der Summe der 4 Seitenquadrate. A.6.14 Bezeichne S := (A; i, j) ein kartesisches Koordinatensystem f¨ ur R2 . In Koordinaten bez¨ uglich S seien die Punkte B := (1; −3, 2)T und P := (1; 2, −3)T gegeben. Wie lauten die Koordinaten von P bez¨ uglich des Koordinatensystems S := (B; b1 , b2 ), wobei die Basis (b1 , b2 ) aus der Basis (i, j) durch


447

Drehung um den Winkel ϕ := 60o im mathematisch positiven Drehsinn entsteht? A.6.15 Seien a und b Einheitsvektoren, die einen Winkel von 45o miteinander einschließen. Man bestimme den Fl¨ acheninhalt F des Parallelogramms, dessen Diagonalen die Vektoren d1 := 2a − b und d2 := 4a − 5b sind. A.6.16 Bezeichne V einen Vektorraum u orper K ∈ {R, C}, auf dem ein ¨ber dem K¨ Skalarprodukt ϕ definiert sei. Seien außerdem x1 , x2 , ..., xt ∈ V Man beweise: Falls {y ∈ V | ∀i ∈ {1, ..., t} : ϕ(y, xi ) = 0} = {o} gilt, ist {x1 , x2 , ..., xt } ein Erzeugendensystem f¨ ur V . A.6.17 Man beweise: →

∀a, b, c ∈V 3 : (a × b) × c = (a · b) · b − (b · c) · a A.6.18 Man berechne das Volumen eines Tetraeders mit den Eckpunkten A, B, C, D, die in Koordinaten bez¨ uglich S := (O; i, j, k) wie folgt angebbar sind: A := (1; 1, 4, 4)T , B := (1; −1, 3, 2)T , C := (1; 0, 5, 7)T , D := (1; 1, −2, 3)T . Hinweis: Der Rauminhalt eines Tetraeders ist ein Sechstel des Inhalts eines Spats, der von drei seiner Seitenvektoren aufgespannt wird.

17.5 Aufgaben zum Kapitel 7 A.7.1 Ist die f¨ ur einen affinen Raum R definierte Abbildung d mit 0 f¨ ur P = Q, d(P, Q) := 1 sonst, f¨ ur alle P, Q ∈ R eine Metrik? A.7.2 In einem 4-dimensionalen affinen Raum R4 := {(1, x1 , x2 , x3 , x4 )T | x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R} mit dem zugeh¨ origen VR V := {(0, x1 , x2 , x3 , x4 )T | x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R} (auf dem das Standardskalarprodukt definiert sei) u orper R seien zwei ¨ber dem K¨ Unterr¨ aume E und E durch E = P + [{a, b}] und E = Q + [{c}] beschrieben, wobei P := (1, 1, −1, 0, 6)T , Q := (1, 4, 2, 4, −3)T , a := (0, 1, 2, −1, 0)T , b := (0, 0, 1, 1, 1)T und c := (0, 2, −1, 0, 1)T . Man berechne: (a) den Abstand von P zu E , (b) den Abstand von Q zu E, (c) ein Lot und die Fußpunkte des Lotes von E und E , (d) den Abstand von E zu E , (e) das Volumen des Spats Sp(P, P + a, P + b, P + c). Hinweis zu (c): Siehe Beweis von Satz 7.1.3. ahlt. Man berechne eine orthonorA.7.3 Seien R4 , V , P , Q, a, b, c wie in A.7.2 gew¨ mierte Basis B := (b1 , b2 , b3 , b4 ) von V mit den Eigenschaften: b1 ∈ [{a}], uglich des kartesischen Koordinatensyb2 ∈ [{a, b}] und b3 ∈ [{a, b, c}]. Bez¨ stems S := (P, B) berechne man außerdem die Koordinaten von Q. A.7.4 Man bestimme x, y, z ∈ R so, daß ⎛ ⎞ 8 4 −1 1 ⎝ A := · −1 4 8 ⎠ 9 x y z eine orthogonale Matrix ist. Außerdem verifiziere man Satz 7.3.5 f¨ ur diese orthogonale Matrix.

448


17.6 Aufgaben zum Kapitel 8 A.8.1 Sei p4 (x) := x4 − 3x3 − 24x2 − 25x − 21. Man berechne: (a) p4 (8) und

p4 (x) x−8

mittels Horner-Schema;

(b) die Nullstellen von p4 (x). (Hinweis: Zwei der Nullstellen von p4 sind ganzzahlig.) A.8.2 Sei α eine k-fache Nullstelle des Polynoms p(x) ∈ Pn . Man zeige, daß dann α eine (k − 1)-fache Nullstelle der Ableitung p (x) ist. A.8.3 Man berechne die Eigenwerte und die Eigenvektoren der ur ⎛ ⎞ Matrix A f¨ 1 0 2 0 ⎜0 1 2 0⎟ 4 6 ⎟ (a) A = , (b) A = ⎜ ⎝ 2 2 12 2 ⎠ . 7 3 0 0 2 1 A.8.4 F¨ ur die in A.8.3, (b) angegebene Matrix A berechne man eine orthogonale Matrix B mit der Eigenschaft, daß BT · A · B eine Diagonalmatrix ist. A.8.5 Man beweise, daß die Matrix ⎛ ⎞ 0 1 0 0 ⎜ 0 0 1 0⎟ ⎟ A1 = ⎜ ⎝ 0 0 0 1⎠ −6 1 7 −1 diagonalisierbar ist und gebe eine Matrix B an, die mittels B−1 · A · B die Matrix A in eine Diagonalmatrix u uhrt. Man begr¨ unde außerdem, daß ¨berf¨ die Matrix ⎛ ⎞ 1 0 1 A2 = ⎝ 0 1 0 ⎠ 0 0 1 nicht diagonalisierbar ist. A.8.6 Sei A ∈ R2×2 . Man zeige: (a) Besitzt A einen Eigenwert λ ∈ R mit der 2, so existiert eine Vielfachheit λ 0 −1 regul¨ are Matrix B mit B · A · B = . 0 λ (b) Besitzt A einen Eigenwert λ ∈ R mit der 1, so existiert eine Vielfachheit λ 1 regul¨ are Matrix B mit B−1 · A · B = . 0 λ (c) Besitzt A zwei verschiedene Eigenwerte 2 ∈ R, so existiert eine re λ1 , λ λ1 0 −1 gul¨ are Matrix B mit B · A · B = . 0 λ2 (d) Besitzt A keinen Eigenwert are Matrix B λ ∈ R, so existiert eine regul¨ 0 −d −1 mit B · A · B = , wobei s die Spur von A ist und d := det A. 1 s n×n und λ ein EW von A. Man zeige, daß λr f¨ ur jedes r ∈ A.8.7 Seien A ∈ C r ur an, daß die N ein EW von A ist. Außerdem gebe man ein Beispiel daf¨ oßer sein kann als die Vielfachheit von Vielfachheit von λr als EW von Ar gr¨ λ als EW von A. A.8.8 Man beweise: Seien A ∈ K n×n und A = −AT . Dann treten in dem charakteristischen Polynom von A nur gerade λ-Potenzen auf.


449

A.8.9 F¨ ur A ∈ Cn×n seien n − 1 EWe bekannt. Wie kann man dann einen weiteren EW von A bestimmen? ar ist, wenn 0 kein EW von A A.8.10 Man beweise, daß A ∈ K n×n genau dann regul¨ ist. A.8.11 F¨ ur die folgende Matrix A berechne man eine Jordan-Matrix J sowie eine regul¨ are Matrix B mit B−1 · A · B = J. (a) ⎛ ⎞ 7 1 −8 −1 ⎜0 3 0 0⎟ ⎟ A := ⎜ ⎝ 4 2 −5 −1 ⎠ 0 −4 0 −1 (b) ⎛

⎞ 8 −3 −2 −2 ⎜ 1 7 −2 −1 ⎟ ⎟ A := ⎜ ⎝ 1 −2 5 −2 ⎠ , −1 0 2 8 (c) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ A := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

2 −2 1 3 29 0 0 −3 2 0 6 −1 42 −34 60 −6 1 −8

−4 −3 −21 19 31 217 0 −3 −21 6 7 49 26 −36 −266 −6 1 9

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠

Hinweis zu (c): Es gilt |A − λ · E6 | = (2 − λ)6 . ur differenzierbare FunkA.8.12 Seien y, y1 , ..., yn nachfolgend die Bezeichnungen f¨ tionen mit einem gewissen Definitionsbereich A ⊆ R. Die Ableitungen dieser Funktionen seien mit y , y1 , ..., yn bezeichnet. Außerdem seien α, C ∈ R und f eine u uft, ist dann ¨ber A stetige Funktion. Wie man leicht nachpr¨ ur jedes C ∈ R eine L¨ o0sung der Differentialgleichung y(x) = C · eα·x f¨ ur beliebiges y (x) = α · y(x), und y(x) = C · eα·x + eα·x · ( f (x) · e−α·x dx) f¨ C ∈ R eine L¨ osung der Differentialgleichung y (x) − α · y(x) = f (x). Diese L¨ osungsformeln kann man benutzen, um ein Differentialgleichungssystem (mit den unbekannten Funktionen y1 , ..., yn und gegebener Konstanten α) der Form y1 (x) = α · y1 (x) y1 (x) + α · y2 (x) y2 (x) = y2 (x) + α · y3 (x) y3 (x) = .................................................................. yn−1 (x) + α · yn (x) yn (x) = zu l¨ osen. Man berechne eine L¨ osung des obigen Differentialgleichungssystems f¨ ur n = 3 und α = 2. Es sei nun y := (y1 (x), y2 (x), ..., yn (x))T , y := (y1 (x), y2 (x), ..., yn (x))T und osung der Gleichung y = A · y kann man y = B · z A ∈ Rn×n . Zwecks L¨

450

¨ 17 Ubungsaufgaben zum Teil II mit einer geeigneten regul¨ aren Matrix B substituieren und erh¨ alt aus y = −1 A · y die Gleichung z = B · A · B · z mit der neuen Unbekannten z := (z1 (x), ..., zn (x))T . Wie hat man B zu w¨ ahlen, um zun¨ achst z und dann y bestimmen zu k¨ onnen?

17.7 Aufgaben zum Kapitel 9 A.9.1 Man berechne f¨ ur die folgende Kurve 2. Ordnung Ti (i ∈ {1, 2, ..., 5}) eine Normalform. Insbesondere gebe man die zugeh¨ origen Koordinatentransformationen und die Art der Kurve an. Außerdem skizziere man die Kurve im x, y-Koordinatensystem. (a) T1 : 7x2 − y 2 + 6xy + 52x + 4y + 58 = 0, (b) T2 : 6x2 + 3y 2 + 4xy − 4x + 8y + 9 = 0, (c) T3 : x2 + y 2 + 8xy − 10x + 20y − 35 = 0, √ (d) T4 : x2 + 7y 2 + 2 7xy − 2y = 0, (e) T5 : 2x2 + 2y 2 − 4xy + 2x + 6y = 0. A.9.2 Man berechne f¨ ur die folgende Fl¨ ache 2. Ordnung Ti (i ∈ {1, 2, ..., 6}) eine Normalform. Insbesondere gebe man die zugeh¨ origen Koordinatentransformationen und die Art der Fl¨ ache an. Außerdem skizziere man die Fl¨ ache im x, y, z-Koordinatensystem. √ √ √ (a) T1 : 3x2 + 3y 2 + 3z 2 + 4 2xz − 2yz − 12x − 6 2y + 6 2z − 1 = 0, (b) T2 : x2 + y 2 + 16z 2 + 8xz + 2x − 2y + 2z = 0, (c) T3 : x2 + y 2 + 2xy + 4x − 2y + 6z + 183 = 0, (d) T4 : x2 + 9y 2 + 16z 2 − 6xy − 8xz + 24yz + 2x − 12y − 16z + 1 = 0, (e) T5 : xy + xz + yz + x + y + z = 0, (f) T6 : 3x2 + 3y 2 + 6xy + 2x + 2y − 4z + 3 = 0. (A , a, b) der A.9.3 Gegeben seien zwei Koordinatensysteme S := √ (A; i, j) und S := √ 1 3 Ebene, wobei A := A + 3 · i + j, a := 2 · i + 2 · j und b := − 23 · i + 12 · j. Weiter sei bez¨ uglich des Koordinatensystems S eine Ellipse E:

1 2 ·x +y 2 =1 4

gegeben. Berechnen Sie die beschreibende Gleichung f¨ ur E bez¨ uglich des Koordinatensystems S. A.9.4 Zeichnen (nicht skizzieren) Sie 2 2 (a) die Ellipse E : x25 + y9 = 1; 2

2

(b) die Hyperbel H : x25 − y9 = 1 und ihre Asymptoten. Außerdem gebe man die Parametergleichungen der Ellipse und Hyperbel an. ache 2. Ordnung bestimme A.9.5 F¨ ur die durch F : 14 x2 + 19 y 2 − z 2 = 1 gegebene Fl¨ man (a) ihre Schnittpunkte mit der Geraden g : X = (1; 4, 9, 2)T + t · (0; 2, 6, 1)T ,


451

(b) ihre Schnittkurve S mit der Ebene E : y + 3z − 3 = 0, (c) die Gestalt von S und das singul¨ are Gebilde von S. A.9.6 Durch x2 + y 2 − z 2 = 49 ist ein einschaliges Hyperboloid H gegeben und es seien P1 := (1; 7, 0, 0)T und P2 := (1; 20, 15, 24)T . Man berechne Geraden ur die g, g , g , g ⊆ H f¨ (a) P1 ∈ g, P1 ∈ g und g = g , (b) P1 ∈ g , P2 ∈ g und g ∩ g = ∅ gilt. Außerdem zeige man, daß g und g windschief zueinander sind. A.9.7 Man berechne f¨ ur die folgende Hyperfl¨ ache 2. Ordnung Ti (i ∈ {1, 2}) des origen Koordinatentransformationen R4 eine Normalform und gebe die zugeh¨ an. (a) 2(x1 x2 + x1 x3 − x1 x4 − x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 − x2 − 2x3 − 3x4 ) + 5 = 0, (b) 4(x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) + 3x24 + 14x4 + 11 = 0.

17.8 Aufgaben zum Kapitel 10 A.10.1 Welche der folgenden Abbildungen fi (i ∈ {1, 2, 3}) ist linear? (a) f1 : K n×1 −→ K 2×1 , (x1 , ..., xn )T → (x1 , x2 − x3 )T , (b) f2 : K n×1 −→ K, (x1 , ..., xn )T → x1 + x2 + ... + xn , (c) f3 : K n×1 −→ K, (x1 , ..., xn )T → x21 + x2 . A.10.2 Man beweise, daß f : K −→ K, x → x2 genau dann linear ist, wenn |K| = 2 gilt. A.10.3 Sei V ein eindimensionaler VR u orper K. Man beweise, daß eine ¨ber dem K¨ Abbildung f : V −→ V genau dann linear ist, wenn es ein gewisses Element a ∈ K gibt, so daß f (x) = c · x f¨ ur alle x ∈ V gilt. A.10.4 Sei V ein 4-dimensionaler VR u orper R mit der Basis B := ¨ber dem K¨ (b1 , b2 , b3 , b4 ). Eine lineare Abbildung f : V −→ V besitze außerdem bez¨ uglich B die Abbildungsmatrix ⎛ ⎞ 1 2 0 1 ⎜ 3 0 −1 2 ⎟ ⎟ Af := ⎜ ⎝ 2 5 3 1 ⎠. 1 −2 1 3 Man berechne die Abbildungsmatrizen von f bez¨ uglich der Basis (a) (b4 , b3 , b2 , b1 ) (b) (b1 , b1 + b2 , b1 + b2 + b3 , b1 + b2 + b3 + b4 ). A.10.5 Durch ⎛⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x t−2 2 −1 x 2 t 2 ⎠·⎝ y ⎠ f ⎝ ⎝ y ⎠ ⎠ := ⎝ z 2t 2t + 2 t + 1 z (t ∈ R) ist eine lineare Abbildung von R3×1 in R3×1 definiert. Man bestimme ur die F¨ alle von t, wo rgf ≤ 2. rgf in Abh¨ angigkeit von t und f (R3×1 ) f¨ A.10.6 Seien K V := R R4×1 und E : x1 + x2 + x3 + x4 = 0 eine Hyperebene eines ahlt man U := {y ∈ V | (1, 1, 1, 1)T · y = o} zugeh¨ origen Punktraums Rn . W¨ als Menge aller Vektoren aus V , die auf E senkrecht stehen, so l¨ aßt sich eine Abbildung f : V −→ V (Orthogonalprojektion genannt) wie folgt festlegen: ∀x ∈ V ∃y ∈ U : f (x) + y = x. Man beweise, daß f eine lineare Abbildung ist und bestimme die Abbildungsmatrix Af .

452


A.10.7 Im Vektorraum P2 aller Polynome vom maximalen Grad 2 u orper ¨ber dem K¨ K = R, die auf dem Intervall [a, b] definiert sind, sei als Skalarprodukt 0b ϕ(f, g) := a f (x) · g(x) dx, f, g ∈ P2 , festgelegt. Außerdem sei f : P2 −→ P2 , ax2 + bx + c → 2ax + b der sogenannte Ableitungsoperator, der eine liuglich der neare Abbildung ist. Man bestimme die Matrizen Af und Af bez¨ Basen (a) (1, x, x2 ), (b) ( 12 x2 − 12 x, x2 − 1, 12 x2 + 12 x). A.10.8 Seien K V ein VR mit Skalarprodukt ϕ und f und g linearen Abbildungen von V in V . Man beweise: (a) (f + g) = f + g , (b) ∀λ ∈ K : (λ · f ) = λ · f , (c) (f 2g) = g 2f . A.10.9 Sei V ein Vektorraum, auf dem ein Skalarprodukt ϕ definiert sei. Man beweise: Ist ein UVR U ⊆ V invariant bez¨ uglich der linearen Abbildung f : V −→ V , so ist das orthogonale Komplement von U invariant bez¨ uglich der Abbildung f . A.10.10 Man beweise: Haben zwei Vektoren x und y eines euklidischen n-dimensionalen Vektorraums V gleiche L¨ ange, so gibt es eine orthogonale Abbildung f : V −→ V mit f (x) = y. A.10.11 Sei f : V −→ V eine normale Abbildung. Man zeige, daß dann |f (x)| = |f (x)| f¨ ur beliebige x ∈ V gilt. A.10.12 Sei V ein 2k + 1-dimensionaler VR u orper R. Man beweise, daß ¨ber dem K¨ jede lineare Abbildung f : V −→ V mindestens einen Eigenwert besitzt.

17.9 Aufgaben zum Kapitel 11 A.11.1 Sei Rn ein n-dimensionaler affiner Raum mit dem zugeh¨ origen VR Vn u ¨ber dem K¨ orper K. Man zeige, daß die nachfolgend definierten Abbildungen fT ( Translation“), fP ( Parallelprojektion“) und fZ ( Zentralprojektion“) affine ” ” ” Abbildungen von Rn in Rn oder von E in Rn sind. (a) fT : Rn −→ Rn sei eine Abbildung mit der Eigenschaft: fT (P ) − P = ur alle P, Q ∈ Rn . fT (Q) − Q f¨ (b) Auf Vn sei ein Skalarprodukt definiert. Zwecks Definition von fP seien ahlt. Nach Definition eines ein Q ∈ R und ein UVR U von Vn fest gew¨ affinen Raumes existiert zu jedem X ∈ Rn ein x ∈ Vn mit X = Q + x. Da aßt sich x auf eindeutige Weise als LK zweier Vn endlichdimensional ist, l¨ Vektoren xU ∈ U und xU ⊥ ∈ U ⊥ mittels x = xU + xU ⊥ darstellen (siehe 6.5.12). Die Abbildung fP sei dann durch fP (X) := Q + xU definiert. (c) Seien E, E zwei parallele Hyperebenen des Rn und S ∈ E ∪ E fest gew¨ ahlt. Außerdem bezeichne g(X, S) f¨ ur alle X ∈ E die Gerade durch die Punkte X und S. Mit Hilfe dieser Festlegungen l¨ aßt sich dann die Abbildung fZ : E −→ E wie folgt festlegen: fZ (X) sei der Schnittpunkt von g(X, Z) mit E . A.11.2 Man beweise, daß eine affine Abbildung Parallelogramme in Parallelogramme u uhrt. ¨berf¨ A.11.3 Seien f : R −→ R eine affine Abbildung, g ⊆ R und h ⊆ R Geraden und P ∈ R. Man beweise:


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(a) Die Menge f (g) := {f (X) | X ∈ g} ist eine Gerade oder besteht nur aus einem Punkt. (b) Sind g und h parallel sowie |f (g)| = 1, dann ist auch |f (h)| = 1. A.11.4 Sei f : Rn −→ Rn eine affine Abbildung. Wie viele Punkte Pi (i ∈ I) mit welchen Eigenschaften ben¨ otigt man mindestens, damit f durch die Festlegung f (Pi ) := Qi eindeutig bestimmt ist? A.11.5 Man beweise: F¨ ur eine Affinit¨ at f ∈ A1 (siehe Satz 11.2.3) sind die folgenden Aussagen ¨ aquivalent: (a) f ist eine Translation, d.h., f¨ ur beliebige P, Q ∈ Rn gilt f (P ) − P = f (Q) − Q. (b) F¨ ur alle Punkte P, Q ∈ Rn gilt f (Q) − f (P ) = Q − P . →

(c) f = idVn . A.11.6 Ein Punkt P eines affinen Raumes R heißt Fixpunkt einer affinen Abbildung f : R −→ R, wenn f (P ) = P ist. at f ∈ A1 in der (a) Man beweise: Bei fixiertem P ∈ Rn kann jede Affinit¨ Form f = g2h dargestellt werden, wobei h ∈ A1 eine Translation und g ∈ A1 den Fixpunkt P besitzt. (b) Sind g und h aus (a) bei gegebenen f und P eindeutig bestimmt? A.11.7 Sei f : R −→ R eine affine Abbildung. Man beweise: →

(a) Falls f genau einen Fixpunkt hat, dann ist 1 kein Eigenwert von f . (b) Besitzt f mindestens zwei verschiedene Fixpunkte, so ist 1 eine Eigenwert →

von f . ahlt. Man beweise die A.11.8 Sei als affiner Raum R die Anschauungsebene R2 gew¨ Kongruenzs¨ atze f¨ ur Dreiecke, d.h., man beweise, daß zwei Dreiecke aus R2 genau dann durch eine Kongruenz (siehe Satz 11.2.3) aufeinander abgebildet werden k¨ onnen, wenn sie in folgenden St¨ ucken u ¨bereinstimmen: (a) den L¨ angen aller Seiten, (b) den L¨ angen zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, (c) der L¨ ange einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln oder (d) den L¨ angen zweier Seiten und dem der gr¨ oßeren Seite gegen¨ uberliegende Winkel. A.11.9 Ist die Dimension von Unterr¨ aumen eine Invariante von (a) surjektiven, (b) injektiven affinen Abbildungen?

18 ¨ Ubungsaufgaben zum Teil III

18.1 Aufgaben zum Kapitel 12 A.12.1 Man u uhre die rationalen Zahlen ¨berf¨ (a) −55, (b) 4520, (c) 87 mit der Einleseabbildung γ : in die Kodierung des Maschinenzahlbereichs M(2, 9, 3). A.12.2 Wie sehen die Zahlen (a) +0.110100001(+011), (b) −0.100110011(+101), (c) −0.100000001(−001) aus M(2, 9, 3) in Dezimalschreibweise aus? A.12.3 Seien a := 0.4872 · 102 , b := 0.4671 · 10−2 und c := 0.4023 · 10−2 . Man zeige, daß bei 4-stelliger dezimaler Rechnung (mit Runden) nicht mehr a+(b+c) = (a + b) + c gilt. A.12.4 Welches der folgenden (algebraisch ¨ aquivalenten) Ausdr¨ ucken A1 := (y + z) − 2 · x, A2 := (y − x) + (z − x) ist beim Rechnen mit Maschinenzahlen f¨ ur x ≈ y ≈ z g¨ unstiger? Man erl¨ autere die Beantwortung der Frage durch Beispielen aus (M(10, 3, 1); γ :) und (M(2, 4, 2); γ :). A.12.5 Man berechne das Intervall, in dem z :=

x+y u·v

liegt, falls x ∈ [1.45, 1.55], y ∈ [−0.005, 0.005], u ∈ [0.95, 1.05] und v ∈ [−2.05, −1.95]. A.12.6 Man begr¨ unde, daß f¨ ur die Intervalladdition und Intervallmultiplikation das Distributivgesetz nur in der abgeschw¨ achten Form der sogenannten Subdistributivit¨ at [a, b] · ([c, d] + [e, f ]) ⊆ [a, b] · [c, d] + [a, b] · [e, f ]

(18.1)

g¨ ultig ist. Anhand eines Beispiels zeige man insbesondere ⊂“ in (18.1). ”

456

¨ 18 Ubungsaufgaben zum Teil III

18.2 Aufgaben zum Kapitel 13 A.13.1 Man bestimme f¨ ur die Funktion f ∈ C[a, b] mit (a) f (x) := x3 + x2 − 1, [a, b] = [0, 14 ], (b) f (x) := 1 +

1 7

· ex +

(c) f (x) := cos x −

A.13.2

A.13.3

A.13.4

A.13.5

A.13.6

A.13.7

1 x2

1 9

· x3 , [a, b] = [0, 1],

+ 1, [a, b] = [ π2 , π]

ein m¨ oglichst kleines k mit 0 ≤ k < 1 und |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ k · |x1 − x2 | f¨ ur alle x1 , x2 ∈ [a, b]. ur x ∈ [1.4, 1.5] die Voraussetzungen Sei g(x) := x2 + x1 . Man zeige, daß g(x) f¨ des Banachschen Fixpunktsatzes erf¨ ullt und berechne den Fixpunkt von g (a) direkt, (b) mit Hilfe des Iterationsverfahrens aus dem Banachschen Fixpunktsatz. Sei 1 1 f (x) := ( + 1) · + 1. x x aßt sich Eine L¨ osung x der Gleichung f (x) = x aus dem Intervall [1.8, 2] l¨ mit Hilfe des Iterationsverfahrens aus dem Banachschen Fixpunktsatz berechnen, wobei sich die Lipschitz-Konstante k grob mit k ≤ 0.7 absch¨ atzen l¨ aßt. Wie viele Iterationsschritte n (beginnend mit x0 = 2) hat man mindeuhren, damit die n-te stens zur n¨ aherungsweisen Berechnung von x auszuf¨ ur x der Absch¨ atzung xn − x ≤ 10−4 gen¨ ugt? N¨ aherung xn f¨ Die L¨ osung x der Gleichung f (x) := 16 x3 + 18 x2 + 0.7 = x aus dem Intervall [0.9; 1.1] l¨ aßt sich mit Hilfe des Iterationsverfahrens aus dem Banachschen ur die Fixpunktsatz berechnen. Man bestimme eine Absch¨ atzung k < 1 f¨ Konstante k aus der Lipschitzbedingung. Wie viele Iterationsschritte n (beur die n-te N¨ aherung ginnend mit x0 := 1) hat man zu berechnen, damit f¨ osung x die Absch¨ atzung xn − x ≤ 10−4 gilt? x l¨ aßt sich auch xn der L¨ mit Hilfe des Newton-Verfahrens berechnen. Man gebe dieses Verfahren an! 1 + 2. f besitzt den Seien A := [0, 3] ⊆ R und f : A −→ A, x → f (x) := x+2 √ Fixpunkt 5. (a) Zeigen Sie, daß f (x) f¨ ur x ∈ [0, 3] die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erf¨ ullt. √ (b) Geben Sie ein Iterationsverfahren zur Berechnung von 5 an. Wie viele √ Iterationsschritte hat man bei diesem Verfahren auszuf¨ uhren, um 5 auf vier Stellen nach dem Punkt genau zu berechnen? ur Man skizziere den Graphen der Funktion f (x) := x3 − 2x2 − 26x − 14 f¨ x ∈ [−4, 7] und berechne mit Hilfe des Newton-Verfahrens die betragsm¨ aßig gr¨ oßte Nullstelle von g auf drei Stellen nach dem Punkt genau. Man berechne Nullstellenschranken f¨ ur das Polynom p4 (x) :=

1 4 2 x − + 3x2 − 4x + 1 24 3

und bestimme mit Hilfe des Bisektionsverfahrens Intervalle, in denen sich jeweils genau eine der Nullstellen von p4 befindet. Wie lassen sich die Nullstellen mit Hilfe des Newton-Verfahrens oder der Regula falsi berechnen?


457

A.13.8 Unter geeigneten Voraussetzungen f¨ ur die Funktion g (wie z.B. Differenzierbarkeit) stelle man Konvergenzkriterien f¨ ur die Regula falsi (1. und 2. Form) auf und beweise sie. A.13.9 Die Abbildungen f, g : R −→ R seien durch g(x) := α · ln x + β · x + γ und

γ α · ln x − β β f¨ ur gewisse α, β, γ ∈ R und β = 0 definiert. Dann ist bekanntlich x genau dann eine Nullstelle von g, wenn x ein Fixpunkt von f ist. (a) F¨ ur (α, β, γ) ∈ {(2, −2, 3.802775422), (2, −0.2, −1.597224578)} und x0 := 2 untersuche man die Konvergenz i. des Iterationsverfahrens aus Satz 13.2.1; ii. des Newton-Verfahrens; iii. der Regula falsi, 1. Form (mit passend gew¨ ahltem x1 ); iv. der Regula falsi, 2. Form (mit passend gew¨ ahltem x1 ) zur Berechnung des Fixpunktes x = 3 beziehungsweise der Nullstelle x von g. (b) F¨ ur (α, β, γ) = (1, −1, 1.901387711), x0 := 2.8 und x1 := 3.1 berechne man mit Hilfe des Bisektionsverfahrens die N¨ aherungen x2 , x3 , ur die Nullstelle x = 3 von g. x4 , x5 f¨ Hinweis: S¨ amtliche Rechnungen sind 10-stellig durchzuf¨ uhren. A.13.10 Mit Hilfe des zweizeiligen Horner-Schemas berechne man f (x) := −

x4 + x3 − 2x2 + 3x − 1 . x2 − x + 1 A.13.11 Sei

p6 (x) := x6 − 4x4 − 7x2 + 3x − 1.

Mit Hilfe des zweizeiligen Horner-Schemas berechne man (a) ein Polynom q(x) und gewisse c1 , c0 ∈ R mit p6 (x) := (x2 + 4x + 20) · q(x) + c1 · x + c0 ; (b) p6 (2 − 4 · i), p6 (−1 + 3 · i). A.13.12 F¨ ur die Matrix ⎛

⎞ 0.2 0.1 0.1 ⎝ −0.1 0.2 −0.1 ⎠ 0.1 −0.1 0.2

aherungsweise. berechne man A1 und A∞ exakt sowie A2 n¨ Hinweis: Zur n¨ aherungsweisen Berechnung von A2 siehe A.13.14 und A.13.15. A.13.13 F¨ ur die Matrix ⎞ ⎛ 1 0 0 2 ⎝ 0 1 1 ⎠ 2 3 0 14 15 berechne man A1 und A∞ und A2 .

458

¨ 18 Ubungsaufgaben zum Teil III

√ A.13.14 Man beweise die folgende Absch¨ atzung f¨ ur A2 = τ , wobei τ der gr¨ oßte Eigenwert der Matrix AT · A ist und A := (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn×n (siehe Satz 14.2.5). / A2 ≤

aT1 · a1 + aT2 · a2 + ... + aTn · an

Hinweis: Siehe Satz 8.2.8, (b). A.13.15 F¨ ur eine Matrix B := (bij )n,n ∈ Cn×n seien die folgenden Mengen definiert: Ki := {x ∈ C | |bii − x| ≤

n

|bij |}

j=1,j=i

und Ki := {x ∈ C | |bii − x| ≤

n

|bij |}

i=1,i=j

(i = 1, 2, ..., n). Man beweise, daß dann alle Eigenwerte von B zur Menge (K1 ∪ K2 ∪ ... ∪ Kn ) ∩ (K1 ∪ K2 ∪ ... ∪ Kn ) geh¨ oren.

18.3 Aufgaben zum Kapitel 14 A.14.1 Man l¨ ose das LGS

0.89x − 0.87y = 3.4 −0.96x + 0.97y = −3.6

durch eine (a) 2-stellige, (b) 10-stellige Rechnung und bestimme die Kondition dieses LGS. A.14.2 Seien −0.025 0.075 0.05 0.04 A := , b := , ; b := , 0.05 −0.125 −0.075 −0.07 A · x = b und A · ;x = ; b. Man berechne eine Absch¨ atzung f¨ ur den relativen Fehler x − ;x∞ . x∞ Wie groß ist die Kondition des LGS A · x = b? A.14.3 F¨ ur die nachfolgenden Aufgaben sei als LGS 2x + y = 7 −x + 4y = 10. gew¨ ahlt. (a) Man berechne bzw. gebe an: i. die Kondition (bez. der Maximumnorm) des LGS;


459

ii. das Gauß-Seidel-Verfahren zur n¨ aherungsweisen Berechnung der aherung x1 , wobei x0 = o gew¨ ahlt L¨ osung x des LGS sowie die N¨ sei; iii. den relativen Fehler von x1 bez. Maximumnorm (Hinweis: Die exakte L¨ osung des LGS ist x = 2, y = 3.); (b) Man begr¨ unde die Konvergenz des Gauß-Seidel-Verfahrens. (c) Wie viele Iterationsschritte sind beim Gauß-Seidel-Verfahren erforderur x die Absch¨ atzung x −xn < 10−4 lich, damit f¨ ur die N¨ aherung xn f¨ gilt? (d) Man fertige eine Skizze zum Verfahren Projektion auf Hyperebenen“ ” ur das obige LGS an. (x0 = o) f¨ A.14.4 Gegeben sei das folgende LGS (a) 10x1 x1 −2x1 x1

− x2 + 2x4 + 12x2 − x3 + 2x4 + x2 + 15x3 − 2x2 + 20x4

= = = =

11 14 14 19.

(b) 8x1 + 2x2 + 3x3 + x4 4x2 + x3 + 2x4 + 8x3 3x4 x1 + 4x4 x1 + x2

= 7 = 3 = −1 = 9.

Man gebe f¨ ur dieses LGS das Jacobi- und das Gauß-Seidel-Verfahren an und berechne jeweils x1 und x2 auf 5 Stellen nach dem Punkt genau, indem man mit x0 := o beginnt. Man begr¨ unde die Konvergenz dieser Verfahren. Man gebe f¨ ur beide Verfahren ein (m¨ oglichst kleines) i mit xi − x∗ ∞ < 10−6 an. A.14.5 Man gebe f¨ ur das LGS x2 − 7x3 = 2 α · x1 + 5x3 = 0 x1 − 13x2 − x2 − −13x3 = 7 x1 + das Jacobi- und das Gauß-Seidel-Verfahren zur n¨ aherungsweisen Bestimmung der L¨ osung dieses LGS an. F¨ ur welche α ∈ R konvergieren diese Verfahren bez¨ uglich der Maximumnorm? A.14.6 Man berechne mit Hilfe der Projektion auf Hyperebenen drei N¨ aherungen ur die L¨ osung x ( = (1, 1, 1, )T ) des LGS x1 , x2 , x3 f¨ = 3 x1 + 2x2 = −1 x1 − 2x2 x2 + 3x3 = 4, ahlt sei. wobei x0 = o gew¨ A.14.7 Man berechne mit Hilfe des Gradientenverfahrens die L¨ osung des folgenden LGS:

460

¨ 18 Ubungsaufgaben zum Teil III 4x2 − 2x3 = 2 4x1 + x2 − 3x3 = 2 −2x1 − 3x2 + 7x3 = 2

A.14.8 Man berechne mit Hilfe des Verfahrens der konjugierten Gradienten die L¨ osung des folgenden LGS: (a) = 9 x1 − x2 x1 − 3x2 − x3 = −5 −2x1 + x2 + 4x3 = 20 (b) 3x1 + 2x2 + 2x3 = 3 2x1 + 3x2 + 2x3 = 4 2x1 + 2x2 + 3x3 = 0

18.4 Aufgaben zum Kapitel 15 A.15.1 Ist das Interpolationsproblem mit n := 2, [a, b] := [0,

π ], y1 (x) := sin x, y2 (x) := cos x 2

f¨ ur beliebige Referenzen aus dem Intervall [a, b] und beliebigen f ∈ C[a, b] l¨ osbar? ur i = 0, 1, 2, 3 und A.15.2 Seien xi := 2 · i f¨ f (0) = 7, f (2) = 2, f (4) = −6, f (6) = 0. Geben Sie das Lagrangesche Interpolationspolynom p3 (x) mit p3 (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, 2, 3 an. A.15.3 Seien xi := i f¨ ur i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 und f (0) = −1, f (1) = 0, f (2) = 13, f (3) = 146, f (4) = 723, f (5) = 2404. Berechnen Sie das Newtonsche Interpolationspolynom p5 (x) mit p5 (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. A.15.4 Mit Hilfe des Neville-Algorithmus berechne man den Wert des Polynoms ur x = 6. p5 (x) aus A.15.3 f¨ A.15.5 Interpolationspolynome lassen sich auf folgende Weise benutzen, um Integrale n¨ aherungsweise zu berechnen: Zu gegebener Referenz a ≤ x0 < x1 < x2 < ... < xn ≤ b und den Funktionswerten f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn ) l¨ aßt sich das Lagrangesche Interpolationspolynom g(x) :=

n

f (xi ) · Li (x),

i=0

bestimmen. Integriert man anstelle von f die Funktion g, so erh¨ alt man

18.4 Aufgaben zum Kapitel 15 .

b

f (x) dx ≈ a

n

.

b

f (xi ) ·

i=0

461

Li (x) dx.

(18.2)

a

Setzt man h := b−a und xi := a + i · h, so folgen aus (18.2) die sogenannten n Newton-Cotes-Formeln zur numerischen Integration von f u ¨ber dem Intervall [a, b]: .

b

f (x) dx ≈ a

n

.

b

f (a + i · h) ·

i=0

Li (x) dx

(18.3)

a

mit Li (x) := (x−a)(x−(a+h))...(x−(a+(i−1)h))(x−(a+(i+1)h))...(x−b) (ih)((i−1)h)...(h)(−h))...((i−n)h)

Man verifiziere die folgenden drei Spezialf¨ alle von (18.3): n

h

1 b−a

Newton-Cotes-Formel

Bezeichnung

h 2

· (f (a) + f (b))

Trapezregel

· (f (a) + 4f (a + h) + f (b))

Simpson-Regel

2

b−a 2

h 3

3

b−a 3

3h 8

· (f (a) + 3f (a + h) + 3f (a + 2h) + f (b))

3 -Regel 8

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Index

¨ Ahnlichkeitsabbildung, 349 ¨ Ahnlichkeitsfaktor, 349 ¨ Ahnlichkeitsgeometrie, 350 ¨ Aquivalenzklasse Vertreter, 27 ahnliche Matrizen, 249 ¨ lineare Abbildung, Kern, 328 Abbildung, 23 adjungierte, 333 affine, 345 antiselbstadjungierte, 339 bijektiv, 25 Bild der, 24 eindeutig, 23 eineindeutig, 24 Einschr¨ ankung, 24 Fixpunkt, 367 homomorphe, 323 identische, 24 injektiv, 24 isometrische, 339 lineare, 323 normale, 335 orthogonale, 339 selbstadjungierte, 338 surjektiv, 25 unit¨ ar diagonalisierbare, 342 unit¨ are, 339 Urbild der, 24 Abschluß, 57, 69 absoluter Fehler, siehe Fehler Adjunkte, 112

¨ Aquivalenz, 37 ¨ Aquivalenzklasse, 18 ¨ Aquivalenzrelation, 16 affine Abbildung, 345 affiner Raum, 183 Abstand, 235 Achsenrichtungen, 185 affiner Unterraum, 187 Ebene, 187 Gerade, 187 Hyperebene, 187 allgemeine Lage, 190 euklidisch, 235 k-Ebene, 187 Koordinatensystem, 185 kartesisch, 239 Koordinatenursprung, 185 Lot, 236 parallel, 191 senkrecht,orthogonal, 194 unit¨ ar, 235 Verbindung, 190 Affinit¨ at, 349 Algorithmus von Neville, 413 antisymmetrisch, 15 asymmetrisch, 15 Ausdruck, siehe Term Aussage, 36 ¨ Aquivalenz, 37 Disjunktion, 37 Implikation, 37 Konjunktion, 37

468

Index

Kontravalenz, 37 Negation, 37 Bahn, siehe Weg Bairstow–Verfahren, 383 Banach–Raum, 369 Besselsche Ungleichung, 221 Bewegung, 349 bijektiv, 25 bin¨ are Funktion, 35 Bisektionsverfahren, 373 Block, 19 Boolesche Funktion, 35 Boolesche Algebra, 90 Boolescher Ring, 94 Cardanosche Formel, 259 Cauchy–Schwarzsche Ungleichung, 211 charakteristisches Polynom, 253 Cramersche Regel, 114 Defekt einer linearen Abbildung, 329 Definitionsbereich, 22 Determinante, 103, 104, 106 diagonal dominant, siehe LGS diagonalisierbar, 248 Diagonalk¨ astchen, 248 Differenz, 10 disjunkt, 10 Disjunktion, 37 DNF, disjunktive Normalform, 40 Durchschnitt, 10 Eigenraum, siehe Matrix Eigenvektor, siehe Matrix einer linearen Abbildung, 336 Eigenwert, siehe Matrix einer linearen Abbildung, 336 Einleseabbildung, 361 Element, siehe Menge elementare Jordan-Matrix, 277 Ellipse, 312 Endomorphismus, 248 Erlanger Programm, 343 Euklidischer Algorithmus, 64 Eulersche Linie, 49 exakter Wert, siehe Fehler Exponent, siehe Maschinenzahlen Faktorgruppe, 75

Faktormenge, 21 Falksches Schema, 125 Fehler absoluter, 356 exakter Wert, 356 Modell-, 356 N¨ aherungswert, 356 relativer, 356 Rundungs-, 356 Verfahrens-, 357 Fehler bei den Ausgangsdaten, siehe Modellfehler Fehler durch Rechnen mit Maschinenzahlen, siehe Rundungsfehler Fixpunkt, siehe Abbildung Folge Grenzwert, 369 konvergent, 369 Formel, siehe Term Fundamentalsatz der Algebra, 254 Funktion, 23 Gauß–Algorithmus, 140, 387 Gauß–Schritt, siehe LGS Gauß–Seidel–Verfahren, 397 Geometrie affine, 350 geordnetes Paar, 14 ggT, siehe gr¨ oßter gemeinsamer Teiler achtig, siehe Menge gleichm¨ Grad d(x), 46 Gradientenverfahren, 405 Gramsche Matrix, 206 Graph, 45 adjazent, 46 Adjazenzmatrix, 121 einfach, 46 Endknoten, 46 endlich, 46 Eulersche Linie, 49 gerichtet, 47 Ger¨ ust, 50 Grad, 46 inzident, 46 isolierter Knoten, 46 isomorph, 48 Kante, 46 Knoten, 46 Mehrfachkante, 46

Index Minimalger¨ ust, 49, 50 Schlinge, 46 spannender Teil-, 48 stark zusammenh¨ angend, 49 Teil-, 47 ungerichtet, 46 zusammenh¨ angend, 49 Grenzwert, siehe Folge Gruppe, 60 Abschluß, 69 Dieder-, 65 Faktor-, 75 Index, 74 Nebenklasse, 73 Normalteiler, 73 Ordnung von a, 69 Ordnung von G, 69 prime Restklassen modulo n, 63 Restklassen modulo n, 62 symmetrische, 61 Unter-, 70 gr¨ oßter gemeinsamer Teiler, 63 Haarsche Bedingung, 410 Halbgruppe, 54 Einselement, 56 homomorphe Abbildung, 59 homomorphes Bild, 59 Homomorphismus, 59 isomorph, 59 kommutativ, 56 Nullelement, 56 Unter-, 56 halblogarithmischen Darstellung, siehe Maschinenzahlen Hasse–Diagramm, 17 Hauptachsentransformation, 308 Hessesche Form, 198, 199 Hintereinanderausf¨ uhrung, siehe Verkettung Homomorphismus, 59 Horner–Schema, 380 zweizeiliges, 381 Horner-Schema, 257 Hyperbel, 315 Asymptoten, 316 Hyperebene, siehe affiner Raum Hyperfl¨ ache, 291 2. Ordnung, 291

469

Fl¨ ache, 291 Kurve, 291 Mittelpunkt, 294 nichtausgeartete Kegelschnitte, 310 quadratische Form, 293 singul¨ ares Gebilde, 294 einschaliges Hyperboloid, 319 Ellipsoid, 319 elliptischer Zylinder, 318 elliptisches Parabolid, 321 hyperbolischer Zylinder, 319 hyperbolisches Paraboloid, 321 Kegel, 318 parabolischer Zylinder, 320 zweischaliges Hyperboloid, 320 Implikation, 37 Index, 74 Infimum, 88 Injektion, 24 injektiv, 24 inneres Produkt, siehe Skalarprodukt Interpolationspolynom Lagrangesches, 411 Newtonsches, 412 Invariante einer Gruppe aus affinen Abbildungen, 349 Invariante von G, 343 inverse Korrespondenz, siehe Korrespondenz inverses Element, 56 Inversion, 105 invertierbar, 56 irreflexiv, 15 Isometrie, 339 isomorph, 93, 173 Jacobi–Verfahren, 395 Jordan-K¨ astchen, 277 Jordan-Matrix, 277 Jordansche Normalform, 277 k-Ebene, siehe affiner Raum Kantenfolge, 48 geschlossen, 49 Kreis, 49 offen, 49 Weg, 49

470

Index

kartesisches Produkt, 14 Kern, 75 Kern einer linearen Abbildung, 328 Kette, 88, 164 maximales Element, 164 Klasseneinteilung, siehe Zerlegung Komplement, 11 komplexe Zahlen, 78 Betrag, 81 Eulersche Formel, 87 Exponentialdarstellung, 87 imagin¨ are Einheit, 79 Imagin¨ arteil, 79 komplexe Zahlenebene, 80 konjugiert, 81 Moivresche Formel, 84 Realteil, 79 trigonometrische Darstellung, 81 Kondition, siehe LGS Kongruenz, 27, 349 Kongruenz modulo n, 21 Kongruenzgeometrie, 350 Konjunktion, 37 Kontravalenz, 37 konvergent, siehe Folge Korrespondenz, 21 aus A in B, aus A auf B, von A in B, von A auf B, 22 Definitionsbereich, 22 inverse, Umkehr-, 22 Verkettung, 22 Wertebereich, 22 Kreis, 49 K¨ orper, 77 der komplexen Zahlen, 78 Lagrangekoeffizienten, 411 Landausches O-Symbol, 357 leere Menge, 9 LGS, siehe Lineares Gleichungssystem nichttriviale L¨ osung, 115 triviale L¨ osung, 115 linear, 15 abh¨ angig u ¨ber U , 169 unabh¨ angig u ¨ber U , 169 lineare Abbildung, 248, 323 adjungierte, 333 antiselbstadjungierte, 339 diagonalisierbar, 248

isometrische, 339 normale, 335 orthogonale, 339 Rang, 327 selbstadjungierte, 338 unit¨ ar diagonalisierbare, 342 unit¨ are, 339 lineare Abbildung, Defekt, 329 lineare H¨ ulle, 156 Lineares Gleichungssystem allgemeine Pivotisierung, 387 diagonal dominant, 395 Gauß–Schritt, 386 Kondition, 393 gut, 393 schlecht, 393 Pivotelement, 387 Pivotgleichung, 386 Pivotisierung, 386 Zeilen- bzw. Spaltenpivotisierung, 387 Lineares Gleichungssystem (LGS), 101 a ¨quivalent, 139 Absolutglieder, 102 Gauß–Algorithmus, 140 homogen, 102 inhomogen, 102 Koeffizienten, 102 Pivotelement, 146 Unbekannte, 102 Linearkombination (LK), 152 Linkssystem, 226 Lipschitz–Bedingung, 370 Lot, 223, 236 Mantisse, siehe Maschinenzahlen Maschinenzahlen, 360 Basis, 360 halblogarithmischen Darstellung, 360 Exponent, 360 Mantisse, 360 Matrix, 120 A-invariant, 250 A-unzerlegbar, 250 A-zerlegbar, 250 ¨ Ahnlichkeitsrelation, 249 a ¨hnlich, 249 Addition, 124 Additions-, 127

Index Adjazenz-, 121 charakteristisches Polynom, 253 Diagonal-, 123 diagonalisierbar, 248 Eigenraum, 250 Eigenvektor (EV), 250 Eigenwert (EW), 250 Einheits-, 123 elementare Jordan-Matrix, 277 erweiterte Koeffizienten-,System-, 121 Gleichheit, 123 inverse, 131 Jordan-Matrix, 277 Jordansche Normalform, 277 Koeffizienten-, 121 Multiplikation, 124 Multiplikation mit Skalar, 132 Normalform, 249 Null-, 123 orthogonal, 240 Permutations-, 127 Rang, 133 regul¨ ar, 128 singul¨ ar, 128 Spur, 262 transponierte, 131 Trapez-, 134 unit¨ ar, 240 Unterdeterminante, 133 verallgemeinerter Eigenraum, 250 verallgemeinerter Eigenvektor (vEV), 250 verkettet, 124 Matrixnorm, 388 Menge, 4 u ahlbar, 31 ¨berabz¨ abz¨ ahlbar, 31 Differenz, 10 disjunkt, 10 Durchschnitt, 10 Element, 4 endlich, 31 Faktor-, 21 gleichm¨ achtig, 28 kartesisches Produkt, 14 Komplement, 11 leere, 9 Ober-, 9 partiell geordnet, siehe Poset

471

Potenz-, 9 Symmetrische Differenz, 11 Teil-, 9 total geordnet, siehe Kette unendlich, 31 Vereinigung, 10 Zerlegung, 19 Methode der Intervallhalbierung, siehe Bisektionsverfahren Modellfehler, siehe Fehler Monoid, 56 M¨ achtigkeit, Kardinalzahl, 30 Nebenklasse, 73 Negation, 37 Newton–Verfahren, 374, 382 Normalform einer Matrix, 249 Normalkomponente, 197 Normalteiler, 73 Nullstelle k-fache, 258 N¨ aherungswert, siehe Fehler Obermenge, 9 Operation, 26 Operator, 23 Ordnung, 69 irreflexive teilweise, 16 lineare, 16 reflexive teilweise, 16 orthogonale Projektion, 223 orthogonales Komplement, 223 Orthogonalsystem, 216 Parallelkomponente, 197 Parsevalsche Gleichung, 222 Partition, siehe Zerlegung Permutation, 61 Pivotelement, 146, siehe LGS Pivotgleichung, siehe LGS Pivotisierung, siehe LGS Pl¨ uckersche Form, 230 Polynom, 152, 254 algebraische Gleichung, 254 Grad, 254 Koeffizienten, 254 Wurzeln,Nullstellen, 254 Poset, 88 Potenzmenge, 9

472

Index

Produkt, siehe Verkettung Projektion auf Hyperebenen, 403 Punkt, 153, 183

surjektiv, 25 symmetrisch, 15 Symmetrische Differenz, 11

Quotienten–Differenzen–Algorithmus (QD–Algorithmus), 384

Tautologie, 39 Teilmenge, 9 Teilverh¨ altnis, 350 Term, 38 gleich,¨ aquivalent,gleichwertig, 39 transitiv, 15

Rang einer linearen Abbildung, 327 Rang einer linearen Abbildung, 327 Raum metrischer, 236 Rechtssystem, 226 Referenz, 409 reflexiv, 15 Regula falsi erste Form, 376 zweite Form, 376 Regula–falsi–Newton–Verfahren, 377 Relation, 15 ¨ Aquivalenz-, 16 antisymmetrisch, 15 asymmetrisch, 15 bin¨ ar, 15 ¨ induzierte Aquivalenz-, 25 irreflexiv, 15 linear, 15 reflexiv, 15 symmetrisch, 15 transitiv, 15 relativer Fehler, siehe Fehler Ring, 76 kommutativ, 77 Nullteiler, 77 nullteilerfrei, 78 Rundungsfehler, siehe Fehler Russell’sches Paradoxon, 6 Schmidtsches Orthonormierungsverfahren (ONV), 217 Skalarprodukt, 194, 204 bilinear, 204 hermitisch, 205 positiv definit, 205 Standard-, 205 symmetrisch, 204 spannender Teilgraph, 48 Spat, 231, 238 Supremum, 88

Umkehrkorrespondenz, siehe Korrespondenz Untergruppe, 70 Vandermondesche Determinante, 119 Vektor, 151 Betrag, 154 Einheits-, 194 Koordinaten, 175 linear abh¨ angig u ¨ber U ,l.a. u ¨ber U , 169 linear abh¨ angig,l.a, 159 linear unabh¨ angig u ¨ber U ,l.u. u ¨ber U , 169 linear unabh¨ angig,l.u, 158 Lot, 223 negativ orientiert, 226 Normalen-, 230 normiert, 194, 215 Null-, 153 orthogonal, 215 orthogonale Projektion, 223 orthonormiert, 216 positiv orientiert, 226 Repr¨ asentant, 154 Skalarprodukt, 194, 204 bilinear, 204 hermitisch, 205 positiv definit, 205 Standard-, 205 symmetrisch, 204 Spatprodukt, 231 Vektorprodukt, 226 Vektorprodukt, 226, 233 Vektorraum, 151 Basis, 160 ¨ Ubergangsmatrix, 177 gleichorientiert, 232 Orientierung, 232

Index Basis u ¨ber U , 169 Dimension, 167 euklidisch, 206 isomorph, 173 lineare H¨ ulle, 156 Linearkombination (LK), 152 Norm, 212 euklidische, 213 Maximum-, 213 normierter Raum, 212 orientiert, 233 orthogonal, 222 orthogonale Projektion, 223 orthogonales Komplement, 223 Parallelverschiebung, 153 unit¨ ar, 206 Unter-, 155 direkte Summe, 157 Projektion, 157 Summe, 157 Verschiebung, 153 verallgemeinerter Eigenraum, siehe Matrix verallgemeinerter Eigenvektor, siehe Matrix

473

Verband, 87 distributiv, 90 erste Definition, 87 zweite Definition, 88 Vereinigung, 10 Verfahren der konjugierten Gradienten, 406 Verfahrensfehler, siehe Fehler Verkettung, 22 Verkn¨ upfung, 26 außere, 26 ¨ innere, 26 kompatibel, 26 vertr¨ aglich, 26 Vietascher Wurzelsatz, 261 vollst¨ andige Induktion, 7 Weg, 49 Wertebereich, 22 Zerlegung, 19 Block einer, 19 Zyklus, siehe Kreis

Glossar

∧ ....................................3 ∨ ....................................3 ¬ ....................................3 =⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 := . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 :⇐⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ∃ ....................................3 ∃! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ∀ ....................................3 ∈ ....................................5 ∈ / ....................................5 ··· | ··· .............................. 5 N ....................................6 N0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 P ....................................6 Z ....................................6 Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 R ....................................6 C ....................................6 [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 [a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 (a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 X0+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 X+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ∅ .................................... 9 ⊆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 ⊂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 P(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2|M | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

∩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ∪ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 \ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 i∈I i Ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 i∈I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 A∈S A∈S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

ni=1 i i=1 Ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 aRb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ≤R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 M ⊥ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222 M ⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 a × b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 (a × b) · c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Ror . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 d(P, Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 d(M, N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Sp(P0 , . . . , Pk ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 En;r,s (α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 EW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 LA (λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 EV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 LiA (λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 vEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 r(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 EA (λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 µa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272 µg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Jn (λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Jnj (aj , bj ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 J2·n (z, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 D(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 f (V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Af . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 rg f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Ker f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 def f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Rf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 V/U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 f: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 EV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 FV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Inv G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 → . f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 x ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 ∆x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 ∆(x ◦ y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 f1 (x) = O(f2 (x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 M(p, l, m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 γ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 R∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361 Rmin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 γ ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 (M(p, @ l, m); γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 x∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 limn→∞ xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 x∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 Li (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

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