Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 249—272
УДК 512.54
G-ТОЖДЕСТВА И G-МНОГООБРАЗИЯ М. Г. АМАГЛОБЕЛИ, В, Н. РЕМЕСЛЕННИ...
17 downloads
1449 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра, и логика,, 39, N 3 (2000), 249—272
УДК 512.54
G-ТОЖДЕСТВА И G-МНОГООБРАЗИЯ М. Г. АМАГЛОБЕЛИ, В, Н. РЕМЕСЛЕННИКОВ Введение
В [1] Г. Баумслаг, А. Мясников и В. Ремесленников изложили основы алгебраической геометрии над фиксированной группой G. В частности, в этой работе введены категория G-групп, понятие G-свободной группы и категория алгебраических множеств над группой G. Морфизмами послед ней категории служат словарные отображения. Поэтому наряду с поняти ем G-гомоморфизма понятие словарной функции должно стать одним из основных в категории G-rpynn. Отметим несколько работ, в которых обсуждалось это понятие. Так, в [2] дано описание так называемых функционально полных конечных групп, т.е. групп, в которых любое отображение из Gn в G реализуется с помощью словарных функций. Конечные неабелевы простые группы, и только они, оказались функционально полными группами. Этот результат нашел приложение в теории кодирования и криптографии. Одной из основных задач в теории словарных отображений является задача нахождения канонического представления словарной функции. На этом пути возникают понятия G-тождества и G-многообразия. Отметим, что указанные понятия, несколько в другой редакции, встречаются в [3—б], где главным образом обсуждалась проблема конечной базируемости для G-многообразий. В частности, эта проблема положительно была решена В.С.Анашиным [5] для случая, когда G является конечно-порожденной нильпотентной или метабелевой группой.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
250
М. Г. Амаглобели, В. Я. Ремесленников В [7] указаны все G-тождества для случая, когда G является 2~сту-
пенно нильпотентной группой. В частности, установлено, для каких групп указанного типа соответствующие многообразия конечно базируемы, а для каких нет. Цель настоящей статьи — изложить прежде всего основы теории мно гообразий в категории G-групп. Для этого в первой части работы вводят ся, следуя [1], основные понятия категории G-групп и на их базе основные понятия, связанные с теорией G-многообразий в данной категории групп. Принципиально новым понятием является понятие группы редуцирован ных G-тождеств ранга га. Во второй части устанавливаются связи между группой редуцированных G-тождеств и некоторыми понятиями алгебра ической геометрии над группой G, а также с понятием G-аппроксимируемости (теор. 2.2). Заключительная часть посвящена вычислению груп пы редуцированных G-тождеств. Основными здесь являются следующие два результата: — пусть группа G принадлежит категории групп, близких к свобод ным, тогда группа редуцированных G-тождеств любого ранга равна еди ничной группе (теор. 3.1); — пусть группа G является относительно свободной для некоторого многообразия нильпотентных групп ранга не меньшего ступени нильпо тентности G, тогда группа ее редуцированных G-тождеств любого ранга равна единичной группе (теор. 4).
§ 1. Категория G-rpynn 1.1. Определения и примеры. Категорию G-групп мы зададим, следуя статье [1]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G — некоторая группа. Тогда группу Н бу дем называть G-epynnouj если зафиксирован мономорфизм
ip:G—>H. Точнее, G-группой следует назвать пару (у>, Н). Группа G может быть пре вращена в G-группу, если взять в качестве