From Indivisibles to Infinitesimals Studies  on  Seventeenth­Century  Mathematizations of  Infinitely  Small  Quantities 

MONOGRAFIES  6  

ENRAHONAR

M 

Antoni Malet 

From Indivisibles to Infinitesimals Studies on Seventeenth­Century   Mathematizations of   Infinitely Small Quantities  

Universitat Autonoma de Barcelona   Servei de  Publicacions   Bellaterra,  1996  

DADES  CATALOGRAFIQUES  RECOMANADES  PEL  SERVEI  DE  BIBLIOTEQUES  DE  LA  UNIVERSITAT  AUTÓNOMA  DE  BARCELONA 

Malet, Antoni  (­'ram  Indivi,ibles to  Infinitesimals  : Studies on  Seventeenth­Century Mathematizations of Infinitely  Small Quantities.  ­ (Enrahonar.  Monografies : 6) 

ISBN  84­490­0520­5 

1.  Universitat Aut6noma de  Barcelona.  Departament de Filosofia (BeIlaterra)  [1.  Universitat Aut6noma de  Barcelona. Servei de  Publicacions (Bellaterra)  lll. Col·lecció  l.  Infinit (Matematica) ­ Historia ­ S.  XVII  2.  Caleul ­ Historia ­ S.  XVII  511"16" 

Coberta   Loni Geest &  Tone H,lVerstad  

Composició i  IiImació   MCMXCII. S.A.   Passatge de L1ívia.  39  entresol   08041  Barcelona  

Edició i impressiú   Universitat Autonoma de  Barcelona   Scrvci dc Publlcacions   08193  Bellaterra (Barcelona l.  Spain   TeL  (93) 581  1022. Fax  (93)581  20m  

ISBN  84­490­0520­5   Diposit legal:  B.  4241­1996   Impres a  Espanya.  Printed in  Spain  

Imprcs en paper ecologic 

A la  Clara 

CONTENTS   9 

PREFACE 

CHAPTER  l.  THE SEVENTEENTH­CENTURY METHOD  OF  INDIVISIBLES 

11 

Bonavenrura Cavalieri's  Indivisibles.  Indivisibles and «the analyrical an of quadrature».  Limirs in  Geomeuical Oprics. 

CHAPTER  2.  REMAKING  INDIVISIBLES:  PASCAL,  BARRO\X!,  WALLIS 

23 

Torricelli.  Pascal.  Barrow. Wallis.  Discussing the Hom Angle.  Infiniresimals in  Mathemarical  Proof 

CHAPTER  3.  OPPOSING  INDIVISIBLES:  HUYGENS,  GREGORIE,  NE\X!TON 

51 

Boulliau.  Huygens. James Gregorie on Quadratures. Transformarjon Theorems.  Newton. Newton and Gregorie on Cavalieri's  PrincipIe. 

CHAPTER  4.  JAMES  GREGORIE'S  «SOME  GENERAL  PROPOSITIONS  OF  GEOMETRY» 

75 

Inrroduceion.  Description of rhe Manuscrit.  Editorial  Convenrions.  '1' ranslarion.  CHAPTER  5.  METHODS  OF  TANGENTS  ca.

1670

101 

Inrroduction.  Fcrmat­Beaugrand's Method ofTangents. The Kinematic Method ofTangents. Gregorie's Second Method ofTangents. Analyric Computation ofTangenrs.  Barrow's  Method «withour Ca!cuJarion...  Tangents  to  rhe  Cycloids. A Formula  «'1'0  Change the Variable...  Tangents to  Curves ofTrigonomeuic Lines.  Newton's Merhods ofTangents around  1670. 

CHAPTER  6.  INFINITES  ANO  INFINITESIMALS  IN  SEVENTEENTH­CENTURY  NATURAL  PHlLOSOPHY 

137 

The Atomisation of Physical  Effects.  Bodies,  Fluids and Mechanical  Explanations.  In  and Out ofTheological Debates. 

REFERENCES 

157 

PREFACE  

Ir is  only fair  to  say  that the more powerful and sophisticated techniques of  quadrature of the late seventeenth century wt!re largely indebted ro  Cavalieri,  particularly ro  the program he set forth in his  1635  Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, and to the early practitioners of the  method of indivisibles, particularly Torricelli.  They introduced general rreatments for curves and surfaces. They emphasized the use of general theorems ruling the transformation of geomerric figures as essential rools for determining their dimensions. They developed the insight that the equivalence of figures could be proved by comparing their indivisible elements, and suggested that a geomerric quantity could be determined as the sum of an infinite number of infinitely small parts. That all this is essential background to understanding the great mathematical contributions of the seventeenth century is well known. There is, however, substantial disagreement as ro the demonsrrative status the method of indivisibles held during the century. Furthermore, while indivisibles and infinitesimals came ro be interchangeable words for most mathematical practitioners, particularly after 1650, originally two very different notions were behind them. Cavalieri's genuine indivisibles (points, lines, an so on) were soon discarded, ro be substituted by infinitesimals. This essay analyzes some seventeenth-century texts closely related either to the changing notion of indivisibles or ro the status of the method itself. Ir  is suggested here that the how and why of the rransformation of indivisibles into infinitesimals are related ro the hightened status acquired by the method of indivisibles among legitimate mathematical techniques. Chapter one, largely introducrory in character, reviews the first attacks and main objections raised against the method of indivisibles. Chapter two studies the main answers ro them, focusing on texts by Isaac Barrow and John Wallis. Chapter three compares the views of Christiaan Huygens, James Gregorie and Isaac Newron on the soundness of the method of indivisibles, and reviews some of the attempts to circumvent the flaws they discovered in it-including Ismael Boulliau's. Chapter four contains an annotated English version of James Gregorie's «Some General Propositions of Geometry»-an unpublished manus-

Indivisibles

(O

Infinitesimals

Anroni Maler

cript setting forth an Archimedean construction of the basic results of the method of indivisibles. This piece has the additional interest of con taining results  closely similar  to  the mathematicallemmas opening Newton's  Principia mathematica.  Chapter five  is  devoted  to  the methods of tangents  produced just  before  the publication of the  first  essays  on the Leibnizian  calculus,  paying  special attention to the role of infinitesimal notions in them.  Finally,  Chapter  six reviews  the role of the method of indivisibles  in  its  philosophical con texto  It  is  argued in conclusion that the main strength of the method was  its dovetailing with key elements of the mechanical philosophy.  In the chapter of acknowledgements I must gratefully mention the generous  support fram the Diputació de Barcelona that has made this publication possible. Josep Montserrat, whose general support and encouragement in  matters  academical is  a pleasure to acknowledge,  eagerly received my manuscript and  published it within  the collection  «Monografies»  of Enrahonar.  Material  in  Chapters 2 and 5 has  previously appeared in «Barrow, Wallis,  and the Remaking  of Seventeenth­Century Indivisibles»  (Centaurus,  38,  1995),  and  in  «James  Gregorie on Tangents and the  'Taylor'  Rule  for  Series  Expansions»  (Archive  jOr History 01Exact Sciences,  46,  1993, 97­137). I wish  to thank the publishers  for  kind permission to partially reproduce here  these  texts.  Kind permission  fram  Edinburgh University Library to publish an  English translation of James  Gregorie's Latin manuscript is  gratefully acknowledged.  Research  has  been  carried on in the University of Edinburgh Library,  the Bodleian Library,  and  during a two­month visit  to  the Munich Deutsches Museum in  the summer of  1991  in the State Library of Bavaria. The staffs of these institutions are sincerely thanked for their help and kindness.  Financial support from  the Spanish  Ministerio de Educación (Research Project PB90­0692)  is  also gratefully acknowledged.  For comments and discussions  on different parts of this  book I  am indebted to  e.e. Gillispie, M.S.  Mahoney,  and  K.  Andersen.  My thanks  to  Guillem and Jordi  for  their  noisy playfulness  and to  Clara  for her companionship. 

Sto   Cugat del  Valles,  September 1995 

CHAPTER 1 

The Sevenreenrh-Cenrury Merhod of Indivisibles

After the thirteenth and fourteenth centuries, when the notion that continua  are composed of indivisibles was  a  minority opinion,  the sixteenth century  saw the revival  of indivisibilism and the irruption of the troublesome  notion  of actually infinite space.  The novel  understanding of the continuum linked  to  these changes has not been yet properly explored, yet we know that attacks on  the Aristotelian continuum carne from  more  than one direction.  Innovative  ideas  carne  from  sixteenth­century Aristotelians such  as  Ruggiero  (who  was  lecturing on Aristotle's  Physics  in  the Collegio  Romano  in  the early  1590's).  He considered both partes divisibiles and partes indivisibiles of the continuum,  «thus conferring on indivisibles the status of parts also.» 1 Authors taking part  in,  or influenced by the  Neo­Platonic reviva!,  like Patrizi's  or Bruno's,  also  abandoned the Aristotelian continuum. Renewed interest in  Democritean and  Stoic ideas played a part too.  While these authors by no means agreed on their  arguments nor on their doctrines,  they variously defended  the existence of a  minimum of space,  the existence of indivisibles of different sorts, and that the  continuum was  composed by its  indivisibles. 2  How well  mathematical practitioners accepted these ideas, we do not know.  We have strong indications that mathematical  magnitudes that were  incomparable or incommensurable  (because  they were  too  big or too small)  with  finite magnitudes did come to play an ever growing role in sixteenth­century  mathematics and natural philosophy. Whether mathematicians agreed or not  on the soundness of infinitely large magnitudes,  Copernicus could use a clo-

1.   W.A.  Wallace,  «Traditional  Natural  I'hilosophy»,  in C.B.  Schmitt  et al eds.,  Cambridge  History  ofRenaissance Philosophy (Cambridge:  Cambridge University I'ress,  1988),201235, p.  214­216 (quotation comes from  p.  216).  2.   ].E. Murdoch,  «lnfinity and  continuity»,  in  N.  Kretzmann, A.  Kenny,].  I'inborg eds.,  Cambridge History ofLater Medieval Philosophy  (Cambridge:  Cambridge University I'ress,  1982),564­591, p.  567­584;  E.  Cassirer,  Elproblema del conocimiento en la filosofia yen la  ciencia modernas,  4 vol., W.  Roces  transo  (Mexico D.F.:  FCE,  1986;  1st German ed.,  1906),  l,  276­288;].  Henry,  «Francesco  I'atrizi da Cherso's Concept of Space  and its  Later  lnfluence»,  Annals ofScience,  36 (1979),  549­573. 

12   From Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

sely related notion to make a counterargument against the objection that no parallax can be observed. While he assened the finite dimension of the radius of the fixed stars orbs, he took the radius of the eanh orbs to be incommensurable with ir.  When taken  twice,  or several  times  (aliquotiens) , indivisibles  (minimis corpusculis ac insectilibus, quae atomi vocantur) or atoms do not add  up  to visible objects,  and yet they can be multiplied to such an extent that at  last they make up a visible magnitude (apparentem magnitudinem): The same  [can  be said]  of rhe place of the earth. Alrhough ir  is  nor the cenrer of  rhe world, yer rhe disrance ro  ir is  srill incomparable, particularly wirh rhe sphere  of the fixed stars."' 

The relationship  between finite  magnitudes and their points or indivisibles  raised  questions substantial enough to  be  used in the skeptical debate of  the second half of the sixteenth century.  In a letter to Clavius of a bout  1574  the  skeptic,  Francisco Sanches, was  to highlight the doubts this issue casts on the  soundness of mathematical  foundations.  Mathematics cannot be a  model of  scientia, Sanches argued, not only because it is  not causal,  but because even its  very principIes are  doubtful. «For example, one supposes that there are points,  but their existence and manner of being may be doubted. And the same applies  to lines and surfaces.»4  We do not know how sixteenth­century intellectual developments and contemporary changes in the social  status  of mathematics and  mathematicians  may have  predisposed sorne  first­rank  mathematicians  to embrace a  non  Aristotelian continuum.  By  the  turo of the seventeenth century,  however,  Johannes Kepler had very successfully used infinitesimal notions in  problems  involving quadratures and cubatures,  and others  soon  followed.  During the  first  two  or three decades  of the century a sizable group of mathematicians  developed mathematical techniques of quadrature that ro  a lesser or greater  extent rested on the notions of indivisibles and infinitesimals. 5  Bonaventura Cavalieri's Indivisibles  The origins of infinitesimals, one of the  most fruitful as  well as  debated mathematical notions from around  1600 to around 1800, can fairly accurately be 

3.   «Ita quoque de loco  rerrae,  quamvis  in  cenrro  mundi non fuerit,  distantiam ramen ipsam  incomparabilem adhuc esse  praesertim ad  non errantium srellarum sphaeram.»  See  N.  Copernicus,  De revolutionibus orbiunJ caelestiunJ libri sex (F.  Zeller,  K.  Zeller eds.,  München:  R.  Oldenburg Verlag,  1949),  p.  17.  4.   F.  Sanches,  That Nothing is Imown (E.  Limbrich ed.,  D.F.S. Thomson trad.,  Cambridge:  Cambridge University Press,  1988),  p.  49­50  (1  am  quoring Limbrick's paraphrase of  Sanches's words).  5.   M.  Baron,  The Origins ofthe Infinitesimal Ca!culus (New York:D?ver,  1969),  p.  108ff;  A.  Koyré,  «Bonaventura Cavalieri  er la  géomérrie des conrinusn.  in  Etudes d'histoire de la pensée scientifique (Paris:  Gallimard,  1973),320­349,  p.  322. 

Chapter  1  

The  Seventeenth­Century Method of Indivisibles  13 

traced  back to  Bonaventura Cavalieri's  1635  Geometría índivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, the book that first  introduced indivisibles into mainstream seventeenth­century mathematics. This is  by no means  to say that indivisibles or infinitesimals were not used before,  but that Cavalieri  first  offered  a  «rigorous»  geometrical  construction of the  powerful intuition  that sees  geometric magnitudes as  made up of infinitely many small constituents.  Up to the seventeenth century infinites and infinitesimals had no proper place in mathematical discourse, and Stevin and Kepler, whose contributions  appeared in works  that properly speaking belong not to pure mathematics,  made no attempt to bring their new notions and methods within the domain  of Euclidean canons. This is  what makes Cavalieri's work to occupy a special  place in the introduction of infinitesimal methods. 6  In possession of an ecclesiastical  education in philosophy and theology,  Cavalieri was well aware of the centuries old debate on the nature of the continuum­a debate that provided many arguments against the continuum being  made up by,  or equal to,  the reunion of its  «minimal pans» or indivisible elements.  He allowed himself only the son of indivisibles that classical geometry  and philosophical tradition knew of:  points, lines,  and surfaces. These indivisibles Archimedes did use  to good effect in his  «mechanica]"  method of quadratures  and cubatures.7 Within the  mathematical principIes  Euclid and  Archimedes set fonh, indivisibles cannot be «pans» of the mathematical object  they belong to­­because comparability and the quality ofbeing a pan go together.  If indivisibles were pans, they would be comparable and homogeneous  with their whole.  An  «infinitely small paw>  was  therefore  a contradiction in  terms,  words  designating objects  that cannot exist­in the same sense  that  triangles with one side  longer than  the other two  together could  not exisr.  Apparently embracing these views,  Cavalieri carefully  refrained  from  stating 

6.   G. Cellini, «Gli  indivisibili nel pensiero matematico e filosofico  di  Bonaventura Cavalieri)"  Periodico di matematiche, 4  ser.,  44,  1966,  1­21;  «Le  dimostrazioni  di  Cavalieri  del suo  principio»,  Periodico di matematiche, 4  ser.,  44,  1966, 85­105;  L  Lombardo­Radice,  Inrroduction ro  Geometria degli Indivisibili di Bonaventura Cal'alieri, L  Lombardo­Radice  ed.  (Torino:  Eunice,  1966);  K.  Andersen,  «Cavalieri's Method of Indivisibles»,  Archive fór History ofE>:act Sciences, 31,  1985,291­367; E.  Giusti,  Bonaventura Cavalieri and the Theory oflndivisible,- (Bologna:  Cremonese,  1980);  «Dopo Cavalieri.  La  disCllssione sugli indivisibili»,  in  Atti del Convegno «La Storia de!!e Matematiche in Italia».Cagliari. 29-30 settembre e 1 ottobre 1982 (Cagliari:  Universita di  Cagliari,  n.d.),  85­114;  E.  Festa,  «Quelques aspects  de la  conrroverse sur les indivisibles», in M.  Bucciantini, M. Torrini eds.,  Geometria e atomismo ne!!a scuola galilea na (Firenze:  Leo  S.  Olschki,  1992),  193­207;  D.M. ]esseph,  «Philosophical Theory and  Mathematical Practice in  the Seventeenth Century»,  Stud. Hist. Phi! Sci., 20,  1989,215­244;  F.  de Gandt, «Cavalieri's  Indivisibles and Euclid's Canons»,  in P.  Barker,  R.  Ariew eds.,  Revolution and Contilluiry. Essays in the History and Philosophy ofModern Science (Washington: The Catholic  Universíty of America  Press,  1991),  157182.  7.   E.].  Dijksterhuis, Archimedes (Princeton:  Princeton  Universiry Press,  1987, C.  Dikshoorn  trans., with a bibliographic essay  by W.R.  Knorr;  Isr ed.  1938), 313­336.  Of course Cavalieri  did not know of Archimedes's «mechanical theorems»,  which were published only in  1912. 

14

From Indivisibles

QI  S,

T

Antani Malet

ro  Infmitesimals

V R 

v 

] 

M 

A

;1/N

­IK  ;h

p 

L 

B 

G 

l

lE 

D 

e

H

Figure 1.

that magnitudes were made up by the reunion or addition of their indivisibles.  To  circumvent this difficulty,  however, he introduced mathematical objects  also foreign  to the Greek classical tradition, those of «all  the lines»  and «aH  the  planes». Anachronistically speaking,  «aH  the lines»  of a a given  figure is  the set  of aH  the straight line segmenrs conrained within a figure  and paraHel  to a  given line (the  reguia). These notions provided Cavalieri with means for  proving the so­called  Cavaiieri's principie along with several quadratures.  According to this principie (here exemplified only in the case of surfaces,  but of application to any twO  geometrical magnitudes whose indivisibles can  be  compared),  if two  figures ABT,  ABC  (see  Figure  1)  are such  that for  any  straight line NKO paraHel  to  the base TC the ratio NK : KO is  the same,  then  the twO  surfaces ABT, ABC also  are in the same ratio.  Cavalieri offered three  proofs of this  result,  but the three of them were  deemed incomplete by  his  contemporaries.  Cavalieri's flrst  proof is  given  in Proposition 4,  Bk.  2,  of his  Geometria indivisibilibus. Cavalieri was  careful enough ro  address the question  of whether a ratio between «all the lines»  of a figure and those of another could  possibly existo  The affirmative answer  ro  this  question is  proved in the opening Proposition  1 of Book 2.  Then he proved in  Proposition 3  that «aH  the  lines»  are  in the same ratio as  the figures.  The proof,  carried on by «superpositioll»,  may entail an infinite process­as his critic Guldin poinred out.  From  Propositions  1 and 3 his principie easily foHows.  Cavalieri's second and third  praofs,  both avoiding the use of the troublesome notion of «aH  the lines»,  are  given together in Proposition 1 of Book 7 of the  Geometria indivisibilibus. The  second proof depends on his attempt to demonstrate, also  by «superposition»,  the equality of two  figures  whose  «lines»  are  one by one equal.  His contemporaries found  the  proof objectionable as  well.  The third proof was  added  «Since the preceding proposition is  a most momentous one  and a differem  oo') 

The Seventeenth­Century Methad afIndivisibles  15 

Chapter  1  

manner, not differenr from Archimedes's style,  to proof its first  pan has come  ro  my mind».8 As  the words suggest,  this proof uses  an exhaustion technique.  Modern commentators, including CeHini  and  G.  Castelnuovo,  have defended its  soundness, even  though  Cavalieri's  contemporaries were  not convinced by it either. 9  As  is  weH  known,  Cavalieri's  indivisibles were soon substituted by infinitesimals, and the method of indivisibles grounded on the assumption that the  surfaces of figures,  the volumes of solids, and the lengths of lines are equal to  aH  the indivisibles they conrain taken rogether. 10  Provided that the operation  of «taking together»  is  understood as  sorne son of addition,  Cavalieri's principie can  be  derived from the assumption just menrioned. Let us assume  a

m 

b

n 

for all  the ordinates  a =  NK,  b =  KO in Figure  l.  lf for a finite number of /s it  is  a.  : b.  = m  : n,  then we obviously have Ia. : Ib. = m: n.  We may then concluJe that  i  I  i  1  AH the as 

m 

AlI  the b's 

n 

by analogy with the addition of a finite number of magnitudes.  Two difficulties arise.  One, which did not seem to bother seventeenth­century mathematicians, is  the very notion of a sum that involves an infinite number of terms, and the demonstration of a rule involving such a sumo  The second  and historicaHy more meaningful difficulty in this approach is  that the classical  notion of indivisible must be set aside.  lf «aH  the lines»  is  to yield the surface  of a figure,  and if «aH  the lines»  results fram sorne son of addition of the  lines,  the lines must be understood to  be rectangles whose heights are ordinasee,  in  the  te lines  and whose  bases  are infmitesimal segments.  As  we  ｾｨ｡ｈ middle decades  of the century indivisibles were explicitly transformed into  infinitesimals by sorne leading mathematicians, including Pascal  (around  1658)  and Barrow (around  1665,  first published in  1683). 

8.   B.  Cavalieri,  Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam mtione promota (Bologna,  1653),  p.  488.  9.   For very good detailed accoums ofCavalieri's proofs,  see Andersen's «Cavalieri's  Method  ofIndivisibles»,  and Ce]]jnj's  «Gli  indivisibili  ne!  pensiero matematico e filosofico  di  Bonaventura Cavalieri»,  and «Le  dimostrazioni  di Cavalieri de!  SUD  principio»;  see also  Lombardo­Radice's editorial notes ro  his  Italian edition of Cavalieri's  book.  10.  Cavalieri  never asserted  such a  thing,  bur T orricelli and many others did;  see Andersen,  «Cavalieri's Method of Indivisibles»,  passim.

16

From Indivisibles ro Infinitesimal,

Antoni Maler

Indivisibles and «the analytical art of quadrature» From the very beginning, fruitfulness was recognized as the major virtue of the method of indivisibles. However, while it was recognized to be a powerfui  analytical tool,  its  demonstrative status was  much debated in the decades  following the publication of Cavalieri's  Geometria. In this period Cavalieri and  Torricelli  worked hard  to  legitimate the use  of indivisibles.  Generally speaking, they managed  to  ensure a place for them in the mathematicians's armory,  but only as  a heuristic weapon. While  proudly stressing that the  method of  indivisibles was  very fruitful  indeed,  they assumed a  rather defensive stance  towards the soundness of its  foundations.  Cavalieri  and Torricelli  compared the method of indivisibles  to Algebra  and  to  the analytic art  that the ancients  must have used,  and left hidden,  to  make their discoveries.  This was  a  powerful  theme in  the early seventeenth  11  century,  as  M.S.  Mahoney convincingly argued in his  srudy on Fermat.  Cavalieri,  for  instance,  compared  the aggregates or congeries of lines  to  irrational arithmetical quantities,  and used the algebraist's  handling of irrational  quantities as  justification for  his  notion of «all  the lines»:  1 have  used an  artifice  [artijicio] similar ro  rhar often used by Algebraists for solving  problems.  For,  however  ineffable  [ineffabilisJ, absurd and unknown  the  roots  of  numbers be,  they none the less  add, subtract, multiply and divide  them; and they  are  convinced of having sufficiently met their obligation when  they have succeeded in  finding out from  the given  problem  the  result which was  required.  Not  differently,  therefore,  it  is  legitimate for  me  ro  make use­in arder ro  investigate  the measure of continua­of the congeries of indivisibles,  either of lines  ar planes,  ... for  if they are  nameless  [innorninabilisJ, absurd and unknown with respect  to their  number [ofindivisiblesJ,  rheir magnirude  [rnagnitudo] is  enclosed in  welldefined limits. 12  The comparison with the analytical art of the ancients is  explicit in Torricelli:  But this Geometry of rhe  indivisibles is  hardly a new  invention .,. [.]  1would rather  believe  rhat i:he  aneient Geometers  did  use  this  merhod  in  arder  ro  discover  their most difficult Theorems, although they preferred taking a different path ro  prove  them­either to  hide  their secret art, ar else  not ro  allow invidious detractors any occasion for  criricism.]3 

11.  M.S.  Mahoney,  The Mathematical Career ofPierre de Fermat 1601-1665 (Princeron:  Princeron Universiry Press,  1973),  p.  26­48.  12. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bologna,  1653),  b2  recto (all  references  are  made ro  rhis  edirion).  Translarions are  my own, bur 1 have  benefired fram  L.  Lombardo­Radice's lralian  rranslarion,  Geometria degli [ndivisibili di Bonaventura Cavalieri (Torino,  1966).  13.  E.  Torricelli,  Opere, 3 vol., G. Loria  eta1ed. (Faenza,  1919),1­1,139. Translarions are  my  own. 

Chaprer  I  

The Scventeenth­Century Method of Indivisibles  17 

Among the many advantages of the «geometry of the indivisibles», Torricelli  listed its  eHiciency in providing short proofs and its heuristic power:  Be ir as  it may,  rhe  rruth is  that this geometry provides an exuaordinary short cut  ro  rhe  faculty  of invention  and thar  it supporrs  innumerable very  difficult  rheorems  by short, direct,  posirive  [aff¡'rrnativus] demonstrarions, which can hardly be  achieved  by  means  of the  doctrine of the ancients.  In  fact,  rhis  geomerry  is  rhe  ttuly  royal  road  for  sharp  mathematicians,  and Cavalieri,  aurhor of wonderful  invenrions, was  rhe [¡rst  to  discover  it and  ro  explain  it for  [he  public benefit.]4  William Oughtred, the influential English mathematics teacher,  and someone not involved in the creation of the method of indivisibles, did not faíl  to  notice and stress  its power.  He says,  in his  1645  answer  to  one Keylway interested in the quadrarure of the circle,  1 ...  am  induced to  a better confidence of your performance,  by  reason  of a geometric­analytical  art ar pracrice found out by one Cavalieri,  an  Italian,  of which  about three years  since 1 received information by a lerter from  Paris, wherein was  praelibated only a small  taste  thereoE,  yer so  that 1 divine grear enlargement of the  bounds of the marhematical empire will  ensue.]5  During the middle decades  of the seventeenth century recognition that  indivisibles involved conceptual problems was more often than not accompanied  by the  notion that they were very much needed to deal  with otherwise  intractable problems. Cavalieri himself, however hard he tried  to  provide sound  foundations  for  his  method,  could not avoid  recognizing  that the new  principies he was  using would not convince every mathematician. He was thus led  to  advance the notion that concerns about foundations are philosophical rather than mathematical.  He also  used the argument that the basic notions and  techniques of the method of indivisibles  must be sound because the results  they provide agree with those found by other means.  He says,  in his  Geometria indivisibifibus (the argument reappears twelve years later in his  Ey;ercitationes geometricae sex):  1 do  nar think ir  is  useless  ro  no rice  .. , that mosr of rhe  things that were disclosed  by Euclid, Archimedes, and others, have  also  been  demonstrared by  me,  and rhar  my  conclusions  agree  perfectly with their conclusions.  This  must be  an  evident  indication that 1 have gathered  rrue things  in  rhe  basic  principies  [o!rny  rnethodJeven  though 1 know that from  false  principIes  rruths can  be  sophisrical1y deducedo  But that that had happened ro  me  in  so  many conclusions  [otherwúej  proved  geometrically,  1would deem  ro  be  absurd. 16  14. [bid.,  p.  140.  15.  Oughrred ro  Roben Keylway,  [Ocrobre  1645], in  S.].  Rigaud ed.,  Correspondence ofscientiflc men ofthe seventeenth century  (2  vols.,  Oxford,  1841, repr.  Hildesheim:  Georg Olms,  1965),1,65.  16. Geometria  indivisibilibus,  p.  112;  ExereitiUiones geometricae sex  (Bologna,  1647), p.  195. 

18

From Indivisibles

to  Infinitesimals

Antoni Malct

Let us stress, incidental!y, that Leibniz was to use a similar argument in the early 1690s to foster the cause of his «nouvel!e analyse des infinis». As a positive test of the sour.dness of his infinitesimal analysis, he produced the perfect agreement between results found through it and those found by other means, «quoiqu'il n'y ait eu aucune communication entre les auteurs des solutions;  ce  qui est une marque de la vérité».17  We  now know that Cavalieri's arguments  failed  to convince most of his  contemporaries.  Overlooking or rejecting his  subtile treatment of the col!ection  of indivisibles  induded in any magnitude as  a  mathematical object distinct  from  the magninide itself,  most mathematicians assumed Cavalieri's  method  of indivisibles  ro  entail an aromistic view of geometrical magnitudes. Wel!known, centuries­old arguments against mathematical atomism did also play  a  role  in  the development of the method through the seventeenth century.  As  is  well  known,  the most direct and formal  attacks on the method of  indivisibles carne from  two Jesuits, Paul Guldin (1577­1643) and André 1'acquet  (1612 ­ 1660). 1'he mathematical part of Guldin's  attack  (he  also  blamed  Cavalieri for  plagiarizing Kepler and Soverus)  rests on his  rejeetion of «al!  the  lines»  and «al!  the planes»  as  legitimate mathematical objects susceptible  to  have a ratio to one another. 1'he main argument in 1'acquet's  1651  criticism was  that no magnitude  is  an aggregation of its  heterogeneous  indivisibles. 18  Al!  competent mathematicians, however,  knew that no kind of geometrical continuum could be conceived as  composed of indivisibles heterogeneous  to the  continuum itself Arguments against, for instance, a line being but an aggregate  of its  points can be traced  back to Arisrotle,  and they had lost  none of their  strength and cogency in  the seventeenth century.  Let us stress,  therefore,  that mathematicians opposing the method of indivisibles were not the only ones aware of the logical dangers lurking in an uncritical  acceptance of indivisibles.  Highly articulate expositions  of the  need of  banning indivisibles  from  geometry are  found,  however confusing that may  appear,  in at  least three very distinguished practitioners of «indivisible»  techniques, Isaac Barrow,  Blaise Pascal and John Wal!is. 1'0 account for  this apparent contradiction we must pay attention to the changing meaning of the word 

17.  G.W.  Leibniz,  «De la chainette,  ou solurion d'un probleme fameux,  proposé par Galilei,  pour servir  d'essai d'une nouvelle analyse  des  infinis,  ... "  Uournd des S,avam, 1692), in  Mathematische Schriften, el. Gerhardr ed.  (Hildesheim,  1962), V,  258­263,  p.  260.  18.  Guldin's argumenrs are  reproduced verbarim in  exercitatio III  of Cavalieri's  Exercitationes geometrú;ze sex, p.  177­241. T acquer's much more brief ones are  found  in  his  Cvlindricorum et ammlarium libri IV (Anrwerp,  1651),  p.  21­24.  See E.  Giusri,  Borzaventura Cavalieri and the Theory o/Indivisibles, p.  55­65  and 73­76; and  «Dopo  Cavalieri.  La discussione  sugli indivisibili",  in  Atti del Convegno "La Storia del/e Matematiche in Italia". Cagli,zri, 2930 settembre e 1  ottobre 1982 (Cagliari:Universira di  Cagliari.  n.d.),  85­114;  E.  Fesra,  "Quelques aspecrs  de  la  conrroverse sur les  indivisibles",  in  M.  Buccianrini,  M.  Torrini  eds.,  Geometria e atomismo nel/,z scuola galileana (Firenze:  Leo  S.  Olschki,  J 992),  193­207.  See also H.  Bosmans,  «André T acquen>,  in Académie Royale de Belgique,  Biographie nationale (Bruxelles,  1926­1929), XXIV, mis. 440­464. 

Charter 1  

The Seventeenth­Centu'ry Method of Indivisibles  19 

,ándivisible,).  Mathematicians of the middle decades  of the seventeenth century explicitiy abandoned the old  notion of heterogeneous  indivisibles and  gave the leading role  to infinitesimals, a quite new notion occupying an  intermediate position between indivisibles  a Lancienne and finite geometrical magnitudes. As  we shal! see,  they did so  partiy by giving a new meaning ro  one of  the main Arisrotelian arguments against dassical atomism­the infinite divisibility of the geometrical continuum. Interpreted as  providing an  actuaL infinite division,  this argument supported the view that a finite line can be divided  into an infinite number of infinitely sma11  pam.  Interestingly enough,  the substitution was  not registered  at the rherorical  level,  tor the expression «method of indivisibles» was ro  be used through the century. 19  In common with the old  indivisibles,  infinitesimals had the property  that no finite  number of them taken  rogether could be equal to or greater than  any finite  magnitude­in modero jargon, infinitesimals were non­Archimedean  magnitudes.  But Cavalierian indivisibles and Barrow's «indefinitely smal!linelets»  (indefinite parvis LineoLis) differ  in  three essential  aspects.  Infinitesimals  are  divisibLe; that  is,  it makes  mathematical sense  to halve  an infinitesimal.  1'hey are  hornogeneous with the magnitude they originated from.  In particular,  by taking together infinitesimal surfaces, a larger surtace is  gained­which  wil!  be infinitesimal itself,  if their number be finite,  or it wi11  be finite,  if their  number be  infinite.  Finally,  infinitesimals can actually be reached by a process  of infinite division­a process which can never yield a point, say,  starting from  a linear segmento  Ir has  been said that the method of indivisibles encountered no real opposition during the seventeenth century. As  this account has it, worries about rigor  and sound  reasoning were  not central ro seventeenth­century mathematical  thought,  and with the exception of1'acquet and Guldin no real mathematician  positioned  himself publidy against  the new notions of Cavalieri and his fo11owers.  Those who did,  mostiy persons of no consequence, were motivated by  conceros,  philosophical or otherwise, of no  importance to  the mathematical  community.20 Although this  picture contains sorne truth, it is  incomplete.  For  one thing,  many first­rank  mathematicians,  induding Newton, Gregorie and  Huygens, did worry about the foundations of the method of indivisibles.  Newton  and Gregorie did offer their particular version of a demonstration of Cavalieri's  principie.  On the other hand,  the method of indivisibles was  not straightforward in its application. Himself an advocate of indivisibles,  Pascal was led ro  use  the method of exhaustion to setde a question in which two proofs, one by indi19.  While rhe  notíon  of infiniresimals was  clearlv introduced  inro  mainstream marhemarical  rhoughr by  rhe  middle of rhe  17rh cenrury,  rhe  word «infiniresima["  is  almosr never ro  be  found  in  sevenreenrh­cenrury rexrs.  More ofren  rhan  nor,  rhe  rerm  used  is  "indivisible",  The French also  used  "infinimenr perir".  In Larin  ir was common ro  refer  ro  parrs  rhar were  ((infinice parvae»  or (exiguae).  20.  See E.  Giusri,  Bonaventura Cavalieri and the Theory o/Indivisibles (Bologna,  1980), p.  48.  Compare wirh  D.T. Whireside's "Parrerns of Marhematícal Thoughr in  rhe ¡arer Sevenreenrh  Cenrury",  Archive ftr History o/Exact Sciences, 1(1960),  179­388,  p.  327. 

20

From Indivisibles ro Infinitesimals

Antoni Malet

Chaptet  I 

visibles and the other by motion, yield conflicting conclusions. 21  As  we shall see, the use of indivisibles could produce paradoxes involved enough to lead the young Huygens to consider the method of indivisibles completely unreliable. It must be stressed, however, that the status of the method of indivisibles improved markedly as the cenrury went on. We know that Fermat and Torricelli could appreciate the advantages of indivisibles as tools of discovery, but would use them only warily as tools of proof. In the second half of the seventeenth century we  find many leading mathematicians, such as  Pascal, Wallis,  Sluse,  and  Barrow, willing to grant fulllegitimacy  to  the method of indivisibles.  In the  same period a growing number of authors asserted  the essential eguivalence  between proofs involving indivisibles and proofs patterned according  to  the  classical  exhaustion method.  In  Pascal's well­known words,  «tout ce  gui est  demontre par la veritable regle des  indivisibles se demontrera aussi a la rigueur  et a la maniere des anciens;  ...  l'une de ces methodes ne differe de l'autre gu'en  la maniere de parien).22  This meant that the method of indivisibles had gained a  new status:  it was  now deemed able to  provide legitimate demonstrations, which was something that few  mathematicians would have dared to say  in the  1630s and  1640s. In the next chapter we shall find evidence that beneath this significant modification of the logical status of the method of indivisibles lies  the substitution of infinitesimals for classical indivisibles. 

The ｓ･ｶ ｮｲ･ ｮｲｨｾｃ･ｮｴｵｲｹ

Method of Indivisibles  21 

L 

o  A 

F

E 

D  T 

G 

e 

Limits in Geometrical Opties 

It has  been said that seventeenth­century mathematicians got entangled with  infinitesimals because they failed  to  use  the notion of mathematicallimit.  Historically speaking, it is  true that the vexed guestion of the  métaphysique du calcul infinitésimal-to put it in eighteenth­century lingo­ was  definitely  setded through Cauchy's definition oflimit in the first decades of the nineteenth century.  The  6­10  definition of limit,  however,  has litde to do with  the  foundational guestions that worried seventeenth­century mathematicians, with  the notions they were handling, and with the mathematicallanguage they had  at their disposal.  Although in the seventeenth century mathematicallimits were of no conseguence  in  relation either to the solution of mathematical problems or to  foundational  matters,  perhaps it is worthwhile recalling that seventeenth­century geometrical optics did use a notion closely related  to  the modero notion  oflimit. Let us assume that a family of rays  LF,  OE, ...  (see  Figure 2),  the prolongation of which gather in sorne point D, is  refracted by the surface AFE.  Christiaan Huygens established that the point T,  defined by taking TA : DA  21.  «Lenre de  A.  Denonville a  Monsieur A.D.D.S.  en  luy envoyanr la  Demonstration a  la  maniere des Aneiens de I'Egalite des  Lignes  Spiraie et Parabolique»  (10  Deeember  1658),  in  Oeuvres, VlII, p.  255ff.  22.  B.  Pascal,  Oeuvres, P.  Bourroux,  L.  Brunsehvieg,  F.  Gazier eds.,  (14  vols.,  Paris,  19041914), VIll,  p.  352. 

Figure 2. 

egua! to the refraction index,  is  the actual or «real»  gathering point after refraction.  In order to demonstrate it he proves,  first,  that no ray  reaches  the axis  AD between A and T.  Secondly, that EA >  FA implies CT >  GT. And finally,  that there are always  rays  that after refraction meet the axis AD at points whose  distance  to  T  is smaller than any given distance. 2.3  T  is,  therefore,  the limit of  all  the intersections  C,  G,  ...  as  the angle ADF gets  smaller,  and Huygens's  characterization seems  to  be as  good a  (geometrical)  definition of limit as  it  could be hoped for in the seventeenth century.  Huygens,  however,  never carne  to  use  a notion similar to it out of the context of geometrical optics. As  we  shall see,  he was indeed worried about the cogency of indivisibles and infinitesimals.  He used them  to discover results,  but was  reluctant  to  use  them in  mathematical demonstrations and avoided them as  much as he could. A similar consideration can be made in relation to  Barrow's geometrical definition  of optical  images,  although he was  not reluctant  to  use  infinitesimals. 24  For  23.   C.  Huygens,  Dioptrica (1653),  in  Oeuvres completes de Christiaan Huygens (22  vol.. La  Haye,  1888­1950), XIII:1,  p.  18.  24   For Barrow's geometrieal ¡imits, see  1.  Barrow,  Lectiones XVIII ... in quibus opticorum phaenomenon genuinae rationes investigantur, ac exponuntur (1669),  in  The Mathematiml Works, W. WheweIl ed.  (Cambridge,  1860),  p.  51­52. 

22

Fmm Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

limits to be of any use in solving the puzzle posed by infinitesimal notions, the objeets of the infirtitesimal ca!culus must be funetions expressed and defined analytieally,  but those objeets were absent fram  seventeenth­eentury  mathematies. 

CHAPTER2  

Remaking Indivisibles: Pascal, Barrow, Wallis

As  is  well  known  Cavalieri's  notions were  urrerly misrepresented during the  seeond  half of the seventeenth­eentury,  and Torrieelli ­ one of Cavalieri's  keenest followers ­ has  been partieularly blamed for  this misrepresentation. 1  Examples showing how the word «indivisible» was  misused in the seeond half  of the seventeenth eentury eould easily  be  multiplied.  K.  Andersen,  for  instanee,  pointed to Roberval as  one among many who «prajeeted his own ideas  into  [Cavalieri's theoryJ;  thus he intradueed the idea that it was  based on infinitesimals». 2  A good example of the muddling of Cavalieri's ideas  is  pravided  by John Wallis's following aecount. He explained in his  1685  Treatise o/Algebra that the «Geometry ofIndivisibles, or Method ofIndivisibles» was "First inttodueed by Bonaventura Cavallerius,  in a Treatise by him Published in the Year  1635; and pursued by Torrieellius,  in his Works Published in the Year  1644.»  Wallis had no qualms about handling infinitesimal magnitudes, as  if they involved  no  logieal diffieulty whatsoever,  but he did stress  that the so­ealled indivisibles  should not be  understood as  points, lines,  or planes­whieh, as  we  now know,  is how Cavalieri undersrood them. Rather they had ro  be substituted  by infinitesimals:  According ro  this Method [oflndivisibles], a  Line is  considered,  as  consisting of  an Innumerable Multitude ofPoints: A  Surface, ofLines, ...: A Solid, ofPlains, or  other Surfaces.....  Now this  is  not ro  be so  undersrood,  as  if those Lines  (which  have no breadth) could 611  up a Surface; or those Plains or Surfaces,  (which have no 

l.   K.  Andersen,  «Cavalieri's method of indivisibles»,  Archive ftr History o[Exact Sciences, 31  (1985),  291­367;  E.  Giusti,  Bonaventura Cavalieri and the Theory o[Indivisibles (Bologna:  Cremonese,  1980);  F.  de Gandt, «Les  indivisibles de Torricelli», in  F.  de  Gandr ed.,  L oeuvre de Torricelli: science galiléenne et nouvelle géométrie (Nice:  Les  Belles  Lettres,  1987),  147206;  and «Cavalieri's Indivisibles and Eudid's Canons», in P.  Barker,  R.  Ariew eds.,  Revolution and Continuity. Essays in the History and Philosophy o[Modern Science (Washingron:  The  Catholic Universiry of America Press,  1991),  157­182.  2.   K.  Andersen,  «The Method ofIndivisibles: Changing Understandings», in A.  Heinekamp  (ed.),  300]ahre «Nova methodus» von G.  W Leibniz (1684 ­ 1984)  (Wiesbaden:  Steiner  Verlag,  1986),  14­25,  p.  23. 

,..  24

From Indivisibles to Infinitesimals

Antoni MaJet

Chapter 2 

B 

thickness) could compleat a Solido But by such Lines are ro be undersrood, small Surfaces, (of such a length, but very narrow,) ... 3

And Wallis makes clear that in this context «very narrow» stands for infinitely narrow.  Once we  accept  that important differences  exist  between  Cavalieri's indivisibles and their putative  descendants,  the infinitesimals,  it  seems historically pertinent to  try and answer sorne related questions:  Why  were infinitesimals introduced? How were  they introduced? Why were  they  preferred ro  classical  indivisibles? The secondary literature,  particularly the  older one,  mostly suggests  that  mathematical  rigor  and  unassailable foundations were  not of paramount importance during this period­that the  fruitfulness  of the new methods and notions balanced,  as  it were,  the logical  deficiencies in their foundations.  Wc would like  ro  suggest here that just the  opposite  may be  the  truth. That  it was  precisely  because  mathematicians  cared a  lot  about questions uf rigor  and foundations  that  they set out to  modify Cavalieri's theory.  By focusing on detailed discussions  by Blaise  Pascal,  Isaac Barrow and John Wallis on foundational  questioIlS  re1ated  to  indivisibles and infinitesimals, we will demonstrate that at least for  them,  influential  mathematicians all,  the shift from indivisibles  to infinitesimals was one  ro  which they devoted much  thought.  When they came eventually to embrace infinitesimals and  reject  indivisibles,  they did  so  because  they thought  that  the former  offered much more sol id foundations  than  the  latter.  By  substituting infinitesimals for  indivisibles  mathematicians  provided a  new  status to the method of indivisibles, which  thereby became a legitimate method of proof. 4  Torricelli,  in  answer  to  a  numbet of paradoxes  apparently entailed by  Cavalieri's method, set out to modify Cavalierian indivisibles. 5 As  F.  de Candt  has  recently shown,  Torricellian indivisibles could be  compared  by «quantity»  and were  reachable through infinite subdivision. 6  They are our starting  puint. 

3.   J.  Wallis,  A Treatise ofAlgebra, bot/' Hirtorical and Practical (London,  1685),285­286.  4.   Compare with  D.M. Jesseph,  "PhiJosophical  Theory and  Mathemarical  Praetice in the  Seventeenth Century»,  Stud. Hist. Phi/. Sci., 20, 1989, 215­244; and also  with A.  Malet,  "Providing Foundations m  New Methods of Quadraturen, in "Studies on James  Gregorie  (1638­1675)>>  (Ph.D.  Diss.,  Princemn University,  1989),216­283.  5.   Torricelli gathered an impressive collection of f¿1se  mathematÍcal resu1rs  derived  by using  indivisibles.  They are  found  in  "Contro gl'infiniri»,  in  E.  Torricelli,  Opere, 3  vol.  (in  4),  G.  Loria,  G.  Vasurra eds.  (Faenza,  1919),  1­2,  p.  47ff,  and  in  "De indivisibilibus»,  ibid., p.415ff.  6.   F.  de  Gandt, «Les  indivisibles de T orricellí», in F.  de  Gandt ed.,  L 'oeuvre de Torricelli: science galiléerme et nouvelle géométrie (Nice:  Les  BeHes  Lettres,  1987),  147­206;  «L'evolutÍon  de  la  théorie des  indivisibles et l'apport de  Torricelli»,  in  Bucciantini,  M.  Torrini eds.,  Geometria e atomismo /leila scuola gaülea/la, 103­118. See  alsu  E.  Bortolotti,  ,,1  progressi  del metodo infinitesimale nell'opera geometrica di  Evangelista Torricelli»,  Periodico di matematiche, 4 ser,  8,1928,19­59. 

... 

Remaking  Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  25 

ｐｃｾ

Q 

A 

R 

D 

s 

e 

Figure  1. 

Torricelli  To  put Torricelli's  thought in context let us  review a paradox,  ofren dealt with  by both supporters and critics of indivisibles alike,  that Cavalieri and Torricelli  deemed particularly damaging.  In the non­isosceles triangle ABC (see  Figure  1)  the  two  triangles  BDA,  BDC are  different.  Every line PQ parallel  ro  the  base AC determines two  equaflines PR, QS. As  the line PQ moves parallel to  the base and occupies every position from D  to B,  it determines an equal  number of equal indivisibles PR and QS. Hence,  «AlI the lines PR»  '"  «AlI rhe lines  QS», and the triangles  BDA and BDC ought to be equa!.?  A second paradox, concerning concentric cirdes, is worth memioning because  we shall see  below how Barrow dealt with  ir.  Consider two concentric cireles and join the center to al!  the poims of rhe larger circumference.  It is  obvious,  says Torrice1li,  that as  many points will be determined by the intersccrion of all  the radii  with  the smaller circumference as  there are  points  in  the larger one.  Torriccl!i conduded from here that the points in the smaller circumference were  «smaller»  (sic) than  those in  the greater­indeed,  the  points were  in  the  same  proponiun as  the diameters. 8  Torricelli,  therefore,  endowed indivisibles with  different magnitudes and imroduced comparisons between them:  That all  the indivisibles  be equal ro one another,  that is,  poims ro poims, lines (in  width)  ro  lines, ... ,  is  an  opinion,  in  my view,  not only hard  to  prove,  but false.9 

7.   Cavalieri discusses  this  paradox in his  5 April1644leIter to Torricel1i,  in Turricelli's  Opere, IIJ,  170­1;  he  returns to  it in  his  1647  Exercitationes geometriwe sexo CL 11.  Bosmans,  «Sur  une  concradiction  reprochée  a  la  théorie des  "indivisibles»  chez  Cavalieri",  Arma/e,· de la Société Scientifique de Bruxelles, 42  (1922­23),82­9.  8.   T orricelli,  Opere, 1­2,  320.  9.   This, and rhe  nexr fragments,  must have  been writren ca.  1645, see  Opere, 1­2,  320. 

26

Antoni Malet

From Indivisibles ro Infinitesimals

Chapter 2 

Facing a paradox very similar ro one of the aboye, Torricelli explained away the different lengths of the sides AB and BC (in Figure 1) by introducing the idea that the points on each side had different lengths:

if this division is  made,  or if it  is assumed  ro  have been made,  an inhnite number  of times,  we  would come  ro  have,  instead of trapezoids,  a line  BC  equal  ro  the  line  BA.  1 mean equal in quantity (quantita), not in length, for even though both  of them  are  indivisibles,  the line  BC will  be as  much  larger than the  line  BA  as  the latter is  longer than the former. 11 

e' 

ｾ

e 

I 

r

V'

Ｏｾ

jB

A 

lA'  I 

I 

•.. 

, 

B 

] 

G'l 

ｾＺｈ

ＧｂＯｾ

V/ I

E 

A 

D' 

1 

D 

Figure 3. 

As  Torricelli himself showed, this new notion of indivisible not only solves  paradoxes,  but also  is  very helpful to determine tangents.  Let AB'B  (see Figure  3)  be the general parabola 

ｾＺｹ

o 

e:T' 

In order to  determine the point E  such that EB  is  the tangent at B,  complete the rectangle EFBD and consider the lines FB  and BD, which are equal  «in quantity,) as just shown. To determine the ratio FB:  GB, which is  the same  as  ED; AD and so will give us  the point E,  Torricelli points out that the ratio  between FB and GB  is  the same  both «in  quantity» and in length. Whence  ED 

BD «in quantity» 

AD 

GB «in quantity» 

To determine this  last ratio,  Torricelli assumes  that BD and GB  are  reached by infinite division. That makes this ratio equal to m/n. Knowing that the  figure BB'D'D is  ro  the figure  BB'G'G as  are the exponents  m, n, he takes the  middle point 1 on D'D and poinrs out that the figures  BHID and BH]G are  in the same ratio.  So  he can conclude,  if we  make this  division,  or assume  thar  ir  has  been  made,  an  inhnire  number of  times,  rhere will  remain,  instead of hgures,  two  lines  [BD]  and  [BG]  rhar,  nor in  length,  but in quamity will be as  rhe  exponem [m]  is  to  rhe exponent  [n].12 

Figure 2. 

10. ¡bid., 320­1. Cf.  Bortolotti,  ,,1  progressi del  merado infinitesimale".  11. ¡bid., 322.

G 

F 

Were all the inhnite lines parallel ro the base AC drawn, the segment [PQ] would mark as many points on the straight line AB as in the straight line BC; whence any point of the former is ro any point of the latrer as the whole line [AB] is ro the whole line [Bq. 10  Torricelli did not drop the word «indivisible», but the notion he used here is by no means the same one Cavalieri had in mind. Furthermore, in Torricelli's hands indivisibles became not only comparable among themselves, they became reachable by infinite division as well, thus allowing the mathematician ro translate ratios between figures into ratios between indivisibles.  For instance, starting from  the obvious equality of the trapezoids EBAA' and EBCC' (see  Figure 2), he would point out that, by taking  the middle point 1 ofEB, two trapezoids IBA,  IBC, which were equal as  well,  were obtained. So, 

Remaking Indivisibles:  Pascal,  Barrow.  Wallis  27 

12.  ¡bid, 322­3 . 

28

From Indivisibles

to  Infinitesimals

Antoni Malet

Since 1'orricelli's indivisibles have no precedem in classical mathematics, securing their soundness seemed a necessary condition for the method of indivisibles to beco me an standard mathematical too!' 1'orricelli himself seems ro  have thought as  much, although the most imeresting views on the marrer carne  from  Pascal  and Barrow.  Pascal 

Pascal justified the use of «indivisibles»  by explicidy transforming them imo infinitesimals,  and  then dismissing any suggestion that the larrer  notion involved  logical difficulties.  He said, in the well­known words ofhis 1658letter ro  Carcavi,  je  ne feray aucune difficulre d'user de cerre expression;  la somme des ordonnees, qui  semble n'esrre  pas  Geomeuique a ceux qui n'emendem pas  la doctrine des  indivisibles,  er qui s'imaginem que  c'esr pecher comre  la  Geometrie que d'exprimer  un plan par un nombre indefiny de lignes;  ce  qui ne vient que de leur manque de  imelligence, puisqu'on n'emend auue chose par la,  sinon la somme d'un nombre  indefiny de recrangles fairs  de chaque ordonnee avec chacune des  perires ponions  egales  du diametre, dom la  somme est cenainemenr un plan, qui  ne  differe  de  !'espace du demy cercle que d'une quamire moindre qu'aucune donnee. 13 

Pascal was  not in the least willing to conclude that a surface was  the aggregation of all  of its ordinates. He saw no problems, however,  in understanding  it as  made up by infinitely many rectangles with infinitesimal bases. We shall  come back ro  his comemion that this infinite sum would yield the surface of  the figure with undetectable error.  Pascal's  thoughts on indivisibles and infinitesimals are  fully set forrh  in the  opuscule «De l'esprit géométrique», undated but probably written in 1657 or  1658. 14  Geometry's objects  are,  according to  Pascal,  motion,  number,  and  space ­things that encompass the whole universe,  according ro  the Holy Writ,  and which have a «reciprocal and necessary relationship». 1'0 them time must  be  added,  because  time and motion are  umhinkable without each other. 15  Knowledge of what belongs in common to all  these notions,  therefore,  «ouvre  13. Oeuvres, VIII,  352­3.  14.  "De l'esprit geometrique», in  Oeuvres, IX,  240­70, particularly 256ff. On Pascal's  indivisibles,  see  H.  Bosmans,  "La notion des  indivisibles chez  Blaise  Pascab, Archivio di Storia della Scienza, IV,  1923,369­79; ].­L.  Gardies,  Pascal entre Eudoxe et Cantor (Paris:  Vrin,  1984);  J.  de Lorenzo, "Pascal y Jos  indivisibles»,  Theoria, 1,  1985,87­120. The interpreraríon  here  offered is  at odds with  Bosmans's and Gardies's.  15.  ,,[Mollvement, nombre, espace],  qui comprennent tout l'universe, selon ces  paroles:  Deus ficit omnia in pondere, in numero, et mensura (Sap. XI, 21), Ont  une liaison  reciproque er necessaire.  Car on  ne  peut imaginer de  mouvement sans quelque chose qui se  meuve;  et cene  chose etant une, cette unite esl  ['origine de tous Jes  nombres;  enEn le  mouvement ne  pouvant estre sans espace, on voit ces  trois choses enfermees dans la  premiere.  Le  temps mesme  y  est aussi  compris:  car le  mouvemem et le  temps sont relalifs l'un a l'aune; la  promptitude et la  lenteur, qui SOnt  les  differences des  mouvemems, ayant un rapport necessaire avec  le  temps.»  From B.  Pascal,  "De l'esprit geometrique", in  Oeuvres, IX,  240­70,  p.  256. 

Chapler  2  

Remaking  Indivisibles:  Pascal,  Barrow,  Wallis  29 

l'esprit aux plus  grandes  merveilles  de la  nature». 1'he most imponam thing  they have in common is  infinity:  La  principale  (propriéré commune]  comprend les  deux  infinirés qui se  rencon-

uem dans coures:  l'une de grandeur er l'aurre de peritesse. 16 

Pascal considers the two infinities to  be imimately related,  «de telle sone que  la connaisance de l'un mene necessairement ala connaisance de l'autre.»17  He  also  assumes  that the actual  infinity of space emails its  subdivision  in  actual  infinitesimal pans:  De sone que l'augmemation infinie enferme necessairemem aussi la division infinie.  Er dans I'espace  le  mesme rappon se voir emre ces deux infinis comraires: c'est  a dire que, de ce qu'un espace peut esue infinimem prolongé,  il s'ensuir qu'il peut  esue infinimem diminué, ... 18 

Pascal  adduces  here  an example that involves  an  optical device.  Imagine  that through a telescope we observe a boat gerring away in a straight lineo  1'he  spot on  the glass  where one specific  poim on  the  boat is  observed would go  cominuously up  (haussera toujours par un flux continueb as  the vessel  would  go  away.  If the  boat goes to  infinity,  the spot will  go  up  and yet it will  never  reach  the poim where a horizomal ray coming from  the eye reaches the telescope.  D' ou l'on voit la conséquence necessaire qui se  tire de  la  infiniré de l'erendue du  cours de vaisseau, a la  division infinie er infinimem perite de ce  perir espace resram  au dessous de ce  poim horizomal. 19 

Elsewhere he used another optical analogy.  He stressed that pans so  tiny  as  ro  be invisible  (imperceptibles) can  be enlarged by lenses umil they equal the  firmamem ­which shows that a litde space may have as  many fcans  (in  particular,  we may add,  an infinite number of pans) as  a large one.  o  1'hese considerations,  however,  were  but  bagatelles. 1'he basic  argumem  rested on the infinite divisibility of space. 1'his notion assumed by all  geometers, says  Pascal,  emailed the existence of infinitesimals ­unless the end product of infmite division  be  truly indivisibles. 1'herefore Pascal endeavored ro  demonstrate that indivisibles cannot be  reached  by division,  nor can  they be  pans of a cominuum. 

16. 17. 18. 19. 20.

¡bid. ¡bid., p.  261.  ¡bid. ¡bid. ¡bid., p.  258. He concluded by poiming out rhat  nOlhing assures  us  that we see objects in  its  «lme»  (veritable) size, for  lenses may have re­established the  (fue size  «que la figure  de notre  oei]  avait changee et raccourcie». 

30

From Indivisibles to Infinitesimals

Anroni Malet

He rehearsed two of the most well-known argumems against a cominuum made up of indivisibles. Two indivisibles cannot make up extended space because this entails they must touch each other. If they touch everywhere, they cannot be two different indivisibles. If they rouch in part, they have parts, so they are not indivisibles. The second classical argument goes against the notion that space is made up of a finite number of indivisibles. If this were rhe case, then there cannot exist an square the surface of which doubles the surface of a given square. 21  He also stressed the heterogeneous (sic) characrer of indivisibles vis-a-vis the cominuum. Ir is obvious rhat any space, howsoever small ir be, can be halved, and the parts obrained halved again.  How could ir be that at some poim  two  half­parts turned out ro  be indivisibles? This is  absurd, because then two  indivisibles wirhout extension  (etendue), taken  rogether would make up extended space.  Pascal highlighred  the evidence and clarity of this conclusion:  Il  n'y a point de connaissance naturelle dans l'homme qui precede celles­la, et qui  les  surpasse en dane. 22  Why is  it,  then,  that excellem  minds deny the existence of >  (Ph.D.  Diss.,  Princeton  U niversity,  1989),  Appendix to chaprer  l.  30.  See Newron's  Mathematical Papers,  Ir,  222­32.  31.  In  1691­92, rhat is;  cf.  Newton's  Mathematical Papers,  VII, 48  nI. 

Opposing Indivisibles:  Huygens,  Gregorie,  Newton  61 

A second difference  between Newton's  De Analysi and  the  Exercitatio  is  found in how the two works prove the basic lemma that we express  x   fax"'/ndx  =  Ｎｾ :!m+n)/n,  m,n being positive integers.  [1]  O  m+n 

To  prove this  result  Newton assumed  x (see  Figure 4)  to  be equal to  z  = 2.. >.3/2. 

=  AB  and a surface such as  ADB 

3 

For a different  x, say AC or  x +  o, the surface  z becornes  z +  ov,  v  being  sorne interrnediate value  benveen the ordinates BD and CE. Therefore,  ; (x +  0)3  =  (z +  ov)2.

Newton concludes, after developing parentheses and canceling,  lf we  now suppose  [Be]  ro  be  infinite1y small,  rhar  is,  o ro  be  zero,  v  and y  [rhe ordinare  DB,  rhar is]  will  be equal and rerms  mu1tiplied by  o will  vanish and  rhere will  consequendy remain ...  x l / 2 = y. Conversely  rherefore  if x l / 2  = y, rhen  will  _2_  x)/2 = z.

3  

Finally,  Newton explained why the argurnent works for any rational positive exponent of x. 32  In the  Exercitatio  Geometrica  the proof of the result  [1]  is  referred,  for  m/n  positive,  to Proposition 54 of the  Geometriae pars universalis,  and for  m/n negative to Proposition  59 of the sarne.  We shalllook in detail at the first of these  theorems.  Let rhe curve ICA (see  Figure 5)  be defined by  AB  _(  AK 

­­­ ­

EC 

) 

)P/q , 

AE 

AK,  AB  being the sides of a given  rectangle, and DE being any parallel ro AB.  Proposition 54 of the  Geometriae pars universalis states that the whole paralle!ogr am  ABIK is  to the figure ACIK as  p +  q to  q. To prove this result,  Gregorie  mtroduces an auxiliary curve AHG defined by taking, for every C  on the curve  ｾｃａＬ CH (parallel to KA)  equal to the subtangent EF at  C.  Now,  says Gregorie,  1t  has been proved in Proposition  11  that  Figure ACIGHA  =  Figure ACIK.  32.  Newron's  Mathematical Papers,  !l, 242­4  (Whiteside's  translation). 

62

Amoni Malet

From Indivisibles ro Infinitesimals

Q

J

ｾ

Opposing Indivisibles: Huygens, Gregorie, Newton

63

figure ACIGHA as pro q, whence rhe whole recrangle Al, which is equal ro ACIGHA plus ABICA, is ro ACIGHA, or AClKA, as p +  q ro q.33 Ler us look now ar Proposition 11, which plays a crucial role in rhe foregoing proof and provides an interesring relarionship between quadrarures and rangenrs generally.34 Proposirion 11 esrablishes, for any curve wharsoever ACI (see Figure 5),  rhar figure ACIK = figure ACIGHA, where rhe curve AHG has been defllled by drawing from every point C a segment CH parallel ro AK and equal ro rhe subrangent EF ar C.  Gregorie's exhausrion proof is grounded in rhe following inequaliries:

s

rrapezoid ICEK >  mixtilinear figure ICHH' recrilinear figure IMCEK   mixrilinear figure ICHH' trapezoid CAE >  mixrilinear figure CAL,

F  and also

B 

A 

E

K Figure 5.

On rhe orher hand, rhe subrangent EF of rhe curve ICA is always found by raking AE : FE :: p : q. (Gregorie does nor explicirly deduce rhis result, bur says ir is a consequence of rhe general merhod ro find rangents he has ser forth in Proposirion 7.) Therefore, by Cavalieri's principie, rhe figure ABICA is ro rhe

recrilinear figure IMCEK   B.  18.   As  shown  in  Figure 20,  C  and L are assumed  ro  be on rhe straight lines  QP and ZP,  respectively. 

90

From Indivisibles to Infinitesimals

Anton; Malet

A: 13 > PC : PQ.19 Then, from C, let the tangent CF to the curve be drawn, and [from Q] let a straight line parallel to ir and meeting the curve at E be drawn. Through E let the straight line PEO, which meets CF produced at O, be drawn. Then, as ir has just been done, let the tangent OIL, from O, and its parallel EHM be drawn. This is ro be repeated until finally the whole curve is surrounded by the tangents. 1 say, that the ratio of the circumscribed srraight lines CO  +  OL to  the inscribed ones QE +  EM is  less  than the  ratio of A to  B.  By construction A:  13  > PC:  PQ.  Bur  PC : PQ:: CO : QE ::  PO : PE ::  OL : EM, whence PC : PQ ::  CO  +  OL : QE  +  EM. That is,  [theyare] in a  ratio less  than rhat of Ato B.  Q.E.D. PROPOSITION 8.  PROBLEM  J say, the same things being assumed, that the circumscribed fines are greater than the curve and the inscribed ones less than it. FO  +  DI > curve  FI  (see  Figure  10);20  likewise F4  +  Q4 > curve QF.  But C4  > Q4, because the angle CQ4 is  greater than an  acure one and therefore the  [angle] QC4 is  to that extent less than an acute one.  Ir is  therefore C4  + 4F >  Q4  + 4F,  and C4 + 4F,  or CF > curve QF.  Ir is  proved similarly that IL > curve  IZ.  Whence FO  +  DI  +  CF  +  IL  > curve  FI  +  curve FQ +  curve IZ, that is,  CO  +  OL > curve QZ.  Q. E. D. Now,  curve QE > straight line  QE. 2 1  Since  the angle  LZE  [read IZ3] is  greater than an acure one,  of necessity  [angfe] ZL3  = angle  PMH is  acute.  Whence it follows  that the angle HML is obtuse and EZ > EM. But the curve  EZ > the srraight line EZ, hence the curve EZ > the straight line EM, and curves QE + EZ> straight lines QE + EM. That is,  the curve QEZ is greater than  the straight lines QE +  EM.  Q.E.D. PROPOSITION 9  J say, the same things being assumed, that the circumscribed fines can be greater than the inscribed ones by less than any given lineo

James  Gregorie', "Sorne General  Proposirions  of Geomerry"  91 

Chapter 4 

Let curve QEZ = a  (see  Figure  10)  and the given line  = Y.  Let PC : PQ  QE +   EM.  Ir is,  therefore,  CO  +  OL ­ QE ­ EM : QE + EM  < Y : QE +  EM. That   is, Y > CO  +  OL ­ QE ­ EM.  Q. E. D. PROPOSITION 10. THEOREM 

Similar curves are as corresponding straight lines. Let QEZ, AVK be similar curves  (see  Figure  10); 1 say,  that they are  ro  one  another as  corresponding srraight lines.  Inside the curve QEZ let a point  P be  raken such thar each of rhe angles CQ4, LZ3 is greater than an acute one, and  23  let this point P be the common corresponding point. 1 say,  that curve QEZ  : curve AVK ::  srraight line PQ:  [straight line] PA.  If it  is  denied,  let PQ: PA  ::  a: AVK,  and let the difference between  a  and QEZ be equal to Y.  According to the preceding result, let us take CO + OL  _ QE _EM  a.   Similady,  [since] QP : AP:: QE + EM: AV + VY,   therefore  QE +  EM : AV +  VY:: a  :  [curve] AVK   and alternando QE + EM : a  :: AV + VY: AVK,  but AV + VY  ,

Chapter 4

97

11

drawn from point G through [a point in] the perimeter of the figure NLM a1so goes through [a point in] the perimeter of the figure KIH. Therefore (according ro the e1eyenth proposition aboye) the figures KIH, NLM are in the duplicate ratio of that between the straight lines GL and GH. Q.E.D.

'1 

'11  1 1

11 '1 1

1

I

11 1

PROPOSITION 15. THEOREM

111'1

Similar sofids are in the tripficate ratio o/that between corresponding straight fines.

li'l 

,l'

PROPOSITION 14. THEOREM Let two simifar sofids be cut by paraffefplanes going through the extreme points o/ corresponding straight fines. 1 say, that the pfane figures cut, or the common intersections, are in the dupficate ratio o/that between corresponding straight fines.

Let GABC, GEDF be two similar solids (see Figure 12) cut by parallel planes KIH, NLM that go through L and H, the end points of corresponding straight lines GL, LH. I say, that the figures KIH, NLM are in the duplicate ratio of GL toHG. Let any point in the perimeter of the figure NLM, say M, be joined by the straight line GM to the common corresponding point G, and let GM be produced until it meets the other plane at 1. It is manifest, because the planes are parallel, that GL : GH :: GM : G1. Because of this (and since the solids are similar), the point I is also on the surface of the solid GABC; as a consequence, I is also in the perimeter KIH. For the same reason, eyery straight line

A

Let A and B be similar solids (see Figure 13), O their common corresponding point, and DE, DF corresponding straight lines. I say, that A is to B in the triplicate ratio ofDE to DE If the solids A and B are not in the triplicate ratio ofDE to DF, let A be to X in the said triplicate ratio of DE to DF, and let Z be the difEerence between B and X.  Let right cylinders with the same height be inscribed in and circumscribed about the solid B, and let the difference between the inscribed cylinders and the circumscribed ones be less than Z. Let MC be one oE the inscribed cylinders and MK a circumscribed one. From the perimeters of the bases oE the cylinders let straight lines CD, LO, etc, which cut the surface oE solid A at N, H, etc, be drawn. Let planes parallel to the bases oE the cylinders EN, IH, etc, be drawn to intersect the solid A; then having for bases these intersections, \\ [7]  the cylinders IN, IG, etc, inscribed in and circumscribed about the solid A are to be completed. It is maniEest that the plane EN is to the plane FC in the duplicate ratio oE that between the corresponding straight lines DE and DE Similarly, the figure IH is to the figure ML in the duplicate ratio of OH to DL, or DE to DE Let us take aplane that runs through [the sofids A and E], cuts perpendi-

e

F 

Aq¡;;:::::::::

I

K

M ｇｾｆ｜

ｾｉ E 

El 

-'L

B 

Figure 12 (Figure 7 in rhe manuscripr).

figures ABT, ABe wirh heighr AB equal rhe solids ABT, ABC, respecrively. Now rhe resulr foll ows from Proposirion 3. 28. Thar is, rhe inrersecrions on rhe same plane.

1 I 

,1'

---,

x

D   Figure 13 (Figure 8 in rhe manuscripr).

8 va-

11  1 1'

I!II 

11I 

1I

11 1

98

From Indivisibles

tO

Infinitesimals

Antoni Malet 

,  p.  354­355.  T¡'e Leibniz-Clarke eorrespondenee' (Manchesrer:  Manchesrer Universiry  3.   H.G. A1exander  Press,  1956), p.  48. 

ｾ

oo., 

138

From Indivisibles ro Infinitesimals

de [elle sone que la connaissance de l'un mene nécessairemene l'aurre. 4

Anroni Malet

a la connaissance de

Apparently, these were thoughts widely held. In 1669 an obscure correspondent ofHuygens, the Baron de Nulandt, conveyed to him similar feelings:  I'infiní et le  rien  a  peine peuuene  ils  estre  cODl;:eus  l'un sans  l'autre,  car ce qui est  infini a l' esgard de quelque chose, cette mesme chose est rien  a l' esgard de \' autre,  de sone que rien  a  la  mesme propon ion a  quelque chose  finie,  que cette  mes me  chose a a  l'infini;  ...  J' aij  remarque de  mesme que ces  noms sone  aequiuoques  et  relatifs  et que la  mesme chose peut estre infinie a l'esgard d'une, et rien a l' esgard de quelque autre  chose,  comme une  ligne donne est infinie a  I'esgard d'un point et touteffois est  rien  a l'esgard d' une surface;  ... 5 

We have seen  in Chapter 2  that the old problem of the composition of  continua in terms of indivisibles became irrelevant as  infinitesimals were substituted for  indivisibles.  Almost simultaneously,  as  we shall  see  in  the present  Chapter,  arguments  traditionally regarded as  formidable objections  to  the  handling of infinites large and small  seem  to  have lost their punch sometime  during the second half of the seventeenth century. Time­honored cautions and  theological connotations traditionally linked to discussing infinites faded quite  suddenly as  well.  This,  I would suggest, was  at least  partially a consequence  of the majar role infinites and infinitesimals carne ro  play in seventeenth­century natural  philosophy.  The mechanical  philosophy relies  on the tacit assumption that each partide's essential  (mechanical)  properties ­its size,  mass,  inertia,  and so  onare  independent of the existence of other partides. 6  The mere addition of partides's  mechanical  magnitudes accounts  for  the properties of macroscopic  bodies. As  there is  no longer a  whole body that bestows properties on its  parts,  so  it is  possible  to consider the infinitesimal magnitudes of the parts independently of the magnitude of the whole.  Even while the handling of individual partides  ar the actual measuring of any of their magnitudes was obviously  out of question ­and it was  recognized explicidy to  be so,  the seventeenth­century natural philosopher had no qualms assuming observable mechanical effects  ro  be equal ro  the sum of very small magnitudes.  In practice and mathematical computation, these very small magnitudes were handled as  indivisibles or  infinitesimals.  A few  years  ago  A. G.  Molland argued that one feature  of the Scientiflc  Revolution was what he called «the atomization of motion».  He convincingly  4.   Pascal,  "De ¡'esprit géométrique et de  l'are  de  persuaden"  p.  354.  5.   F.W.  de Nulandt to  Huygens,  23  May 1669, in Huygens,  Oeuvres, VI,  p.  435.  6.   G.  Freudenthal has convincingly shown the essential  rale this  assumption plays  in  Newton's  natural philosophy. See  his  Atom and Individual in the Age ofNeu'ton. On the Genesis ofthe Mechanistic World View, P.  McLaughlin  transo  (Dordrecht:  D.  ReideI.  1986). 

r ,'/

Chaptet 6

Infinites and Infinitesimals in Seventeenth-Century Natural Philosophy

139

argued that analysis  in terms of «moments»  or «atoms»  of time was  typical of  the seventeenth­century,  and so  it was  the view that motions and speeds were  «composed of a uniquely determined set of ultimate elements»,7 Galileo  provides the obvious example, but many others may be added. As the fol1owing exampie from Isaac Beeckman's diary indicates, the atomization of motion could be  used to obtain many sorts of results, sorne ofwhich are not deemed correet roday.  In  1618  Beeckman analyzed free fall  by looking at it as  constituted by successive  motions through the  indivisible moments making up the time of fall.  He  assumed that in every moment the body would describe a "parallelepiped»  (sic) that would increase in length as  the body's falling  speed increases. When the  quantity of air in the parallelepiped equals the body's weight, Beeckman argues,  the force  pulling the body down will be balanced by a contrary pull of the same  magnitude coming from the air ­apparently applying in sorne innovative way  Archimedes's principie ro  the airo  This demonstrates, he concludes, the existen8  ce of an «equality poino)  in which the body gets a uniform falling speed.  With the  advent  of the calculus  in the late seventeenth century,  M.S.  Mahoney has convincingly identified a «process of bootstrapping by which  mathematics and mechanics assisted and provoked one another ro deeper sophistication».9 The process, we may add,  had strong roots in the way indivisibles  and infinitesimals were  used ro  gain  quantitative results  in  many fields,  not only in  motion, ever since  the first  decades of the century.  In  a famous  passage,  Galileo  argued ­from the observable fact  that ants carry wheat  grains­ that a multitude of ants can pul1  ashore a big boat loaded with wheat.  But this was  merely introducrory stuff to his  treatment of the paradox involved in the so­cal1ed Arisrotle's wheel, which in tum al10wed him to argue that  an infinite number of minimal forces  provides cohesion ro solid bodies. ID  He  also argued that particles in fluids  must be something like mathematical indivisibles,  and so  must be the minimum particles of fire  and of the sun's  rays.11 

7.   A.G. Molland, «The atomisation of motion»,  Studies in History and Philosophy ofScience, 13 (1982):  31­54; quotation comes  fram  p.  43.  8:   e. de Waard ed., Journal ten upar Isaac Beeckman de 1604 a1634, 4 vol.  (La Haye: Martinus  Nijhoff,  1939),  1, ［ＵＶＲｾＴ quoted in R.  Dugas,  La mécanique au XVIIi: sii:cle (des antécédents  scolastiques  a la pensée classique)  (Neuchátel:  Éditions du Griffon,  1954),  527­528.  For a further example of «atomio>  analysis of motion,  this time fram Descartes, see  ibid.,  p.  528­529. 9.   M.S.  Mahoney,  «Infinitesimals and transcendent relations: The mathematics of moríon in  the late  seventeenth century»,  in  D.e. Lindberg,  R.S.  Westman eds.,  Reappraisals ofthe  Scientific Revolution  (Cambridge:  Cambridge University Press,  1990), 461­491, p.  484.  10.   Discorsi e dimostrazioni matematiche,  in torno  adue nuoue seienze,  in  Opere,  20 vol.  (in 21),  A.  Favaro  ed.  (Repr.  Firenze:  Barbera,  1968;  1st ed.,  1890­1909), VIII, 39­346, p.  67ff.  11.   Discorsi,  in  Opere,  VIII,  p.  85; see  also  Opere,  IV,  p.  106. The role  this view of fluids  play  in  Galileo's  physical arguments has  been  pointed out in  M.  Biagioli,  «Anthropology of  Incommensurability»,  Studies in History and Philosophy ofScíence,  21  (1990),  183­209.  For  the indivisibles of fire  and light, see  Opere,  VIII, p.  86;  VI,  347­352; and his comments to  Baliani's lener of 8 August  1619, in  Opere,  XII,  p.  475. On Galileo's corpuscularism, see  W.R. Shea,  Galileos intellectual revolution  (London:  Macmillan,  1972), p.  27­31,101­105. 

140 From Indivisibles ro Infinitesimals

Anroni Malet

Tuming to others authors, Huygens decomposed surfaces and bodies in infinitesimal e1ements in order to calculate centers of gravity and centers of oscilIation. 12  Another, less  familiar  example of the application of indivisibles is  James Gregorie's use  in optics of a typical  Cavalierian technique.  In his  1663 Optica promota, containing the first attempt to quantifY optical devices,  Gregorie  used indivisibles ro  measure «the strength to bum or illuminate» of radiation  cones coming from a radiating body.  First he found a proportion between the  strength to  bum or illuminate of two radiation cones coming from  a radiating point A and the squares of a trigonometric function of their angles at the  vertex.  Next, he proceeded ro  «divide the radiating body in its radiant points».  Finally,  by taking «all  the antecedents» and «all  to consequents» he extended the  proportion to radiation cones coming from  the  whole radiating body.13  This is  the most well­known use natural  philosophers made of infinites,  infinitesimals and indivisibles through the seventeenth century ­but it was  by no means the only one,  nor perhaps the most decisive one.  As we shall see  presently,  infinites and infinitesimals were also  used  to define notions and  characterize hypothetical substances.  Huygens, for instance,  characterized the force  of percussion  as  being infinite  (infinie)  vis­a­vis  static force. 14  Key notions of  the mechanical philosophy ­such as  Huygens's atoms and gravitational ether,  Hooke's  menstruum,  or Newton's empty space­ were characterized byendowing them, or the particles constituting them, with sorne physical  property  (fluidity,  ve1ocity,  hardness, emptiness,  ..  ) in an  infinite degree.  In Book nI of the  Principia  mathematica Newton's  (empty) space is  pro-  ved as  a corollary ofProposition VI  (the weights ofbodies, at equal distances   from  the center of the planet, are proportional to  their quantities of maner).   Corollary In asserts  that «all  spaces  are not equally fuI!».  Therefore, «if the   quantity of maner in a given space  can,  by any rarefaction,  be  diminished,   what should hinder a diminution  to  infinio/»  (italics added). Next, assuming   that bodies are made up,  in the last analysis, of solid particles of the same den-  sity that «cannot be rarefied without pores»,  Newton concludes in Corollary IV   that «a  void,  space or vacuum must be granted». 15  So  (infinite)  emptiness is   conceived by opposition ro  absolute fullness.  12.   C.  Huygens,  Oeuvres completes,  XVI,  384­555, passim.  13.  Proposition  33 of Gregorie's  text establishes  that "Vites  Conorum tadiosotum,  in  illus-  ttando, ve! comburendo (radiis nimirum in spatia aequalia absque debilitatione congrega-  6s)  sunr in duplicata ra60ne Chordarum, suorum semiangulorum radiosorum.»  Corollary   1 exrends rhe result, first ptoved for points,  to a "corpus radiosum"  by the  rypica1 expedient   oF