B. Segre ( E d.)
Forme differenziali e loro integrali Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Saltino (Firenze), Italy August 23-31, 1960
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected] ISBN 978-3-642-10951-5 e-ISBN: 978-3-642-10952-2 DOI:10.1007/978-3-642-10952-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Roma 1963 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
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INDICE
G. Dr RHAM - La th6orie des formes diff6reutielles extdrienres et l'hornologie des vari6t6a diff6rentiables .
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68
P.. DOLBEAULT - Snr le gronpe de oohomologie entihe de dimension , dens d'une vsri6t4 analytique oomplexe
)>
139
pag.
1
G. F I C R E I ~ ATeoria assiomatioa delle forme armoniohe
W. V. D. H o ~ o r- Differential forms in algebraic geometry D. B. SCOTT- Correspondenoes between algebraic surfaces
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E. KXHLER- Der innere Differentialkalkul
.
GEORGES D E RHAM 1961 Rendiconti di Matematica (1-2) Vol. 20, pp. 105-146
La th6orie des formes diffdrentielles ext6rieures et l'homologie des vari6t6s diff6rentiablesC) Par GEORGES
DE RHAM (A
Laust~nne)
Dans ces legons, je lne suis prop086 d'exposer quelques points essentiels de la theorie des forlnes diffbrentielles et de l'hornologie des vari6tBs diff6rentiables, en prenaut les cl~osesdks le dkbut, d'nne rnanikre nusei simple qo'il a paru possible sans escamoter les difficult6s des d6monstrations. Lo leoteur dksireux de poursuivre 1'6tnde de ce sujet ponrrit consulter les ouvrages suivants. V. V. D. HODGE. The theory a?cd applications of lbarwonio integrals. Cambridge Uuiversity Press, 1952. G. DE RHAM.Varidtds difdrsntiables. Hermann, Paris, 1960. B. SEGRE. For?~tediferenzinli e loro integrali I e IT. Docet Edizioni Universitarie, Goma 1951. e 1956. H . W H I T N Eaeotttetvic Y. fntegration Theory. Princeton University Press, ,1957.
, ,
U11e fonction f (x) =f (xi ... x,,), d6fiuie daus nn ouvert 8 de R1*,A vitleurs rbelles, est dite Cr dans G', r btaat un entier 2 0, si sea ddriv6es ci'ordre G r existellt et sout coiltillues dnns 6.Elle est dite Cm si elle est Gr pour tout eutier r>O, et Cm si elle est analy tique.
(') Corso di otto leaioni tennto nel ~ i o i odel CINE (Centro lnternaeionale Matematico Estivo) 811 Rorme differenziali e lor0 integ~aliche ebbe lnogo a1 Saltino di Valloubrosa (Firet~ae)dal 23 a1 31 agosto 1960.
2
GEORGES DlC RHAM
[lo61
-
Uue application f : (1 Rna do 170uvert G c Rqz dans Rnz est dite Cr, r e'tant un entier 2 0 oil CXJ on w , si les coordonudes yi ym du point y =f (x) E Rn"ont des fouctions Cr d a m G. Un ko~ndomorphisme h sera dit Cr,si chacuue des applicatious h et k-1 est Cr. Une application Go est simplement ulie application continue. E n g6ndsa1, on supposere 1.21. Pour x E Rw, dksignons par lj, l'espace vectoriel constitu6 par tous les vecteurs d'origine x dans R9*, et par T ( G ) In reunion des Tx ponr x parcourar~t G. E n representant cllaque vecteur de T ( G ) par le couple ( x , E) forink par son origir~ex E G et le vecteur Bqnipolleut 6 d'origine 0, on reprdsente T ( G ) par I'ouvert G x R " c R ~ ~ ~ de R211. Soit f : ff Rn"ne application GI. On appellera oxtetzsiott d e f 26 T(G), et l'on de'signere par fT, l'npplicatiou
, ... ,
+
de'finie en posant
Cette derliibre lilnite existe et est fonctioli contir~~ie de (a, t) pa.rcerlx,, sent les cornposantes du vecteur 5, les que f est Cf.Si dx, cornposantes d o vecteur g sont
,... ,
,
( j = 1,2, ... tn).
I1 est Bvident que si f est Cv, est Cv-1 (on convient que r - 1 = ~ si v = o o ou w). La restriction de . f T A Tx est une application linkaive de Ij, dans Tm,. P a r suite, j'T (T*) est 1111 SOLIS-espacevectoriel de TflX,, La dimension de ce sous-espace est ay1)elee le vtsttg de f e n 2. U7est le nombre des diffe'rentielles dyj qui sont liu6airement ind6peudantes, ou encore le rang cle la mlttsioe
1 21
A ar lignes et 11 oo~onues.uu
poiut x E G oh le raug de j' est inf6rieus au plus petit des deux Rn* nombres wz et 1, est appele tun pobt critique d e f , son imagejV(x)E est appelde une valeur critique de f. Lorsque tn = n, les points critiques sont ceux oh le jacobien
[lo71
La th6orie des formes diff6rentielles etc.
3
dans Em, tel qoe EC G , on a entre les mesures (au sens de Lebesgue) de E et de son image f ( E ) la relation mes f (E)(K mes E,
I
oh K est la plus petite borne supbrieure de I I sur (K est fini parceque I est contiuoe et E compact). 11 en resulte immbdiatement 16s propositions suivantes : (1.1) Si f est une ccpplication Ci d'un o1tvet.t G de R n dnns R N , 17imcrye pap j' d'ujt. enselnble de tneszcre uz~lleest de mestere nulle. Hi f est zcue application C1 d7u7l ouvert G de R" dirlis RNa et si m 92, f (G) est tie mesure tiulle dans Rm.
>
(1.3) T H ~ O B E MDEE SARD.L'elasetwble des valeurs critiques d'une
nppliccttiot~Ci tl'un ouvevt de R" duns Rn est nulle.
14%
ensenzble de lnesure
2. - Yaribtbs et structures diffbrentiables. Cartes et atlas.
On tbppelle uc~ridtdir, n dimeusions, dans le sens le plus gbn6ra1, tout espace topologique dout chaque point a un voisinage ouvert hombomorphe b uu ouvert de EC". Dans ce q i ~ isuit, uous supposerous toi~jonrsqae cet espace est sbpar6 (c7est-&-dire satisfait A 17axiome de Httusclorf: deux poilrts disti~rctssont toujours contenus dans des ouverts disjoints) et possede une base d6nombrable d'ensembles ouverts. On appelle carte dans utre vari6tb b I L dilnensions V, et 170n dbsigne par (D, c), toute application topologique c d7un ouvert D de R9'sur uu ouvert c (D)de V . L'ouvert D de R" est la sottrce de la ~ ~ r t ec (,L ) ) en est le but. A tout point x E c (D) correspond x,,) E D, c7est-A-direulr systhne de 78 nomi1n point c-l (x) = (xi bres qu' on appelle iles coordo~tndeslocales de x. Toute carte dbfinit a i ~ ~ un s i systeme de coordonnbes locales. Etttut doulr6es deux cnrtes (D, 0,) el, ( D, c,) dans V , dbsignons par D,, l'ensemble des poiuts de U , dout l'imtrge par c, eat dans e, (U,). Cet ensemble Dzi = c;l [ci (D,) tl c, (U,)] est un ouvert contenu dans U , . L7application coe1pos6e c,'oc2=h2, est un home'omorphisme de passaye de la de D,, sur Dig, qu'on appellera 1~1~omdomorp1~isme premiere carte b le seco~rde. I1 est clitir que A*, et Wig sent inverses
,...,
,
,
4
[log1
GEORGES DIG RHAM
,
l'un de l'autre, et si l'on considere une troisihme carte ( D , c3), l'a-pplication compos6e h,, . h,, est Bgale A k,, partopt oh elle est de'finie. Tout ensemble de cartes dans V dont lea buts recouvrent V est appele' un atlas de V. Un atlas de V est dit Cv, si les hom6otrtorphismes de passage relatifs A deux quelconqnes de ses cartes sont Cv. Un atlas (7 serst di t complet Cr,s'il n'est pas contenu dans utl atlas Cr plus graitd, c'est-Mire si on ne peat IS lui adjoindye uue nouvelle carte sans qn'il cesse d'6tre Cv. On v6rifie facilement qne tout atlas Cr est contenu dans un atlas complet Cv, et dalts un seul. Une structure diffe're~ctitrbled'ordre r , 011 s/rctcture Cr, sur utle varie'te' V, n'est pas :hutre cllose qu'un atlas de V complet Q', et uue varie'te' diftfrentiable d'orclre r ou vnrihte' C9' est une viiri6t6 munie d'une structure Cr. D'aprbs la remarque ci-dessus, tout atlas Cr d66nit une structure Cr. Si r s, un atlas Cr est anssi un atlas C8, innis uii atlas complet C'' n7est pas complet CS. On verra que tout atlas co~nplet P ( r ) 1) contieut des atlas complets Cm, et qne ces derniers S O I I ~ , , en un certain sens, tons e'qoivstlents. E n partant d'une variBt6 et d7nn :~tlas, nous avoi~sclA6ni utte famille d~hoin6otnorphismes d'ouvert tle R1',les hoa~Boa~orpbismes de passage. Montrons comlnetlt iuvers6ment, en partatlt d'lu~efamille B qaelques coudid~homBomorp'hismes cl'ouverts cle R", satisfi~isn.i~t; tions, on peut d661~irr t ~ evltri6t6 7 et 1111 atlas dont les hom6omorpl~ismesde passages sotlt lee hom60111orphisaiesdottn6s. Sapposons do1ilt6e une hmille dlouvertjsDi de Rn, i parcou~,ant un certain ensemble d'indices, et pour ch:lyue coeple (i,j) cle deux hy de DV sur indices un ouvert Dij de R" et un hom6otuo~phis111e Dji, de manibre que les co~lditionssnivantes soiet~tv6rifi6es: a) Dii = 1Ii, D i j c Dj ; lhii est l'application identique de JIi sur Dim b) L7application conlpose'e kij o hjk est Bgale A Itil, pa,rtout oil elle est dBfinie. Alors, dans llet~semblede tons les cor~ples(a, i ) tels qlie $EDi, on d6fiuit une relation d'6qaivale11ce = en posw.t~t:
>
(a, i ) = (y, j) si et seulement si y = lhjc(a).
-
Soit V l'ensemble de ces classes d76quivalence, et ci: Di V 17ayplication canonique de Di dans V , qui e~ivoie tout x E Di sur la classe d'e'quivalence cle (s, i ) . Les ioliigea par lea ci des ouverts de
~ 0 9 1
La th6orie des formes diffbrentielles eto.
5
Yi (i pstrcoura~lt llensemble de tous les indices) foment une base dlurre topologie iliius V. Muui de cette topologie, V est une vi~rie'te' B 7t dimensions dans le sene le plns gBn6ral du ter~ne. On v6rifie que cet espace est sBpar6 et qu'il a urle base d61lombrable si les deux conditio~~s suivarrtes sont vBrifi6es : c) pour tout comp:wt K C D;, hji (K fl Dii) est ferm6 relativement A Dj; d) V est 6gal A la r6uuion d'un nombre fini ou infini de'nombrable des ci ([Ii). Si les qaatres conditions a), b), c) et d) sout satisfaites, V est dans le sells precis adopt6 ici, et les uue vari6t6 a 7r dimensio~~s (Di, ci) sont les cartes dlnn atlas de V. Nous dirons que V est la vtrvie'te' de'jhtfiltie pay la jiunil le tl11~ome'otnorp kismes (Dii hij). Cette 1n6thocle de d6firrition va nous servir pour introduire l'espace des vectetc9.s tnngejtts T ( V ) d'uue vari6t6 diff6rentiable V. Soit V une vari6tB Or et (Di,, hij) la famille d7hom60morphismes Gr d70uverts de B w associ6e 21 l'atlas complet GP de V. L7extension 1~: de hij A T(Dij) est un 1romBolnorphisme de llouvert T(Di,) de R2" sor T(Dji), et la famille (!!'(LJU), 11;) d6finit une vari6t6 A 2% di~nensio~rsavec u ~ ratlas Gr-1. On vbrifie ilnnl6diatement que les quatres contlitions ci.dessus s o ~ r tbien v6rifiQes. Cette vccrie'te' est appele'e l'espnce des vecteurs tangeuts de V et de'signe'e par T (V). Chaque cart,e (D, c) daus V fournit une carte (T(D),cT) dans l l ( V ) , ell desigr~ant par oT l'application canonique de T ( D ) dans l l ( V ) , qni envoie cbaque Blerneht sur sa classe d16quivalence. Si 6 est uo vecterir dlorigi~le x E D dans Rn, cT(m, E) est un point de T (V) aypel6 vectetm. ta11ge)bttie V en c (3). Pour chaqne point p = c(x) de V, l'euuernble de ces vecteors forme un espece vectoriel de dimensio~rn, que 1'011 d6signe encore par Tp 011 Tc',(,),et la restriction de cT A Ts est u11 isomorphisme de Ij, sur T,(,, Si (mi x,,) sont les coordonr16es locales d6tinies par In carte (L), c) dans V, e t si l'on d6signe cornme plus haut piir dx, ,dm,, lea co~nposantes dlnn vectenr 6 dlorigine 1.E D, les coordonn6es locales de'finies par la carte ( T (D), cT) dans T ( V ) sont (xi , ... x,, dm,, !ax,,). Un ,vectezcv tangef1.t de V ew p est ainsi de'terw&iwe'p a r Ees coordonntfes locales de p et u~ systbme de valeuvs des di.,fe'refttielles de ces coordoncn6es locales. Ces derllieres valeurs sont encore appel6es les composantes dn veoterlr relativement B la carte (D, c). Soient V et W (lea vari6t6s Cr, de dimensions 71 et nt respectivement. Une application f : V W est dite Cr, si les coordonu6es
,
,
, ... ,
.
,...
, ,
-+
...
6
[I101
GHORGES DE R H A M
locales de y =f (x) sont des fonctions Gr des coordonnBes locales de x. D'nne manibre pre'cise, cette coridi tion signifie qne, quelles qlle soient les cartes (D,c) dans V et (A, y) dans W, l'irpplication y-l o.fo c de 170uvert D n c-1 o f-1 o y (A) cle Rn dans Rn' est Cr (a11 sen8 dBfini no. 1). Une telle applicatiou posskde une extension a T ( V ) ,
Bgale A I'application y T o (y-1 o , f o c)T o (cT)-I partout oh cette dernibre est dBfiaie, q~iellesque soient les cartes (D,c) dans V et (A, y) dans W. Les composautes de l'image par f" d7un vecteur tarngent 6 de V en x s'obtiennent en remplapant dx, , ... ,ax,, par les composalrtes de 6 d a m les diffBre11tielles des coordo~~ue'eslocales de Y = f (4. I1 est clair que f applique linbirement Ta (oh .a E V ) dans Ty (oh y =f (x) E W ) ce qui permet de dBfinir colnme a a no. 1 le rang de f e% x, les points critiques et les valetus cvitiques de f. D a r ~ sle ctis particulier oh f est une fonctiou C r stir V , c'estA-dire line application f : V - R, la composante auique (ou i( vttleur algbbrique~) du vecteur image par gT d7nn vecteur l d'origine dx,,) relativeu~etit B un systbme de x E V, de composantes (dx, ,' df coordonnBee locales (xi x,,) est df = 2 -dxi La difhentielle I dxi d'une fonction Cr 8ur V est ainsi une fonction C sur T ( V ), et sa restriction a Tm est line'aire. La notion d7ensemble de niesure nulle s7Btend aux variBte's Cr ( r 2 1): l'ensemble E E:C V eat dit de mesure nulle, si, pour toute carte (D, c) dans V, c-1 (En c (D)) est de. meallre nulle d a m R". Les propositiotls (1.1) et (1.2) se ge'ue'ralisent immhdiatement :
,... ,
,... ,
.
(2.1) Si f : V- W est une applicatiol~Ci et si dim V = dim W, l'image f ( E ) de tout ensemble E de mesure nulle dnns V est de mesure nulle dalzs W. Si dim V < dim W, f ( V ) est de mesure nulle dane W.
-
(2.2) THBOREME DE BARD. Si 4: V W est trne applicafion Ci et si dim V = dim W, l'ensemble des valeurs critiques ds f est de mesure ?tulle dans IT. A. Sard a tnontrt5 que la conclusion subsiste lorsque dim V - dim W = q 0, pourvu que f soit C¶+l, mais la dBmonstration eat beaucoup plus delicate et nous ferona pas usage. Le cas oh dim W = 1 fait l'objet d'un th6orkme de A. P. Morse.
>
[Ill]
La thborie des .forme0 diffbrentielles etc.
7
Voici encore quelques propositio~lstrbs g6u6rales qui sont d'un emploi constal~ten Topologie diff6rentielle. 011appellera bozcle Cr ou simplelnent bozr.le, dans une vari6t6 C v a n dimensiolls, llirnage c (B), par tune carte (Dl c ) de 17atlas coinplet O r de la vari6t6: d'luile boule euclidienne R de En (int6rieur d7une sphere euclidienue) conteuue avec sa frontibre dans D, BC D. Vest uu o~ivertdolit la frontihre est Cr-home'omorphe A la sphere Sn-1 fronbibre de B dalis Rn. (2.3) Etatlt do~l~ct! uth recouvretnerzt ouvert % d e l a varikte' V , i l eaiste u t ~ vecoufreiuellt .jini o u ddnombrable d e V forvne' d e boules est codelitte d n n s un des ensemB, ( i = 1, 2 , ...), dottt 1'adhe't.ettce bles de % (vtrriable avec i), qui est localenzent $ni, c'est-&-dire que K c V n e relicotttre qzc'un nomb1.e jini d e ces boules. t o ~ compact t Pour Btablir ce thBoreme, partant d'iine suite de compacts K % (= i I , 2, ...) dout chacull est colltellu dm18 1'intBrieur du suivant,
Ki c K ~ + , et~ dont la r6tiuio1l est Bgale 11 V , V = U lTi1 on ve dBfinir uue suite croissa.nte d7entiers positifv
981,
(h = 1,2, ...) et une
nh
suite de boules B i , de lnauibre que Kh c U B ~Eh , fI Bi = 0 pour &l
>
i nh , E i c uu ensemble de 36. o n commence par recouvrir g1 par des boules B, , B,, ... B,, , dolit chacnne est contenue avec $011 adhBreuce dalis un ensemble de %, ce qui est Bvidemment possible. Ellsuite, proce'da~~tpar rBcorrence, supposons d6finis nj
,
pour j l; A et Bi pour i
< hh . Le
compact
(11
E = Kh+l n C U Bi
,
6taut collteliu d a l ~ sI1onvert CKh on peut le recouvl.ir par uh hom1, nh+l) dont les adhBrellces bre 611i rle boules Bj ( j= tth sont coatenties d a l ~ scet ouvert et dans nu ensemble de %(variable avec j), car chaqne point de K est dans une telle boule. Alors on e
+ ... ,
Kh+l
c K U .UBi
)
"h.+l
C U Bi, i-1
Kk
fl Bi = 0 pour i
> nh,
et la
suite qu'on obtiellt satisbit A toutes les conditiolls requises. (2.4) Etmtt doi~nt!un reoowvren,ent localemet~t$fid d e V p a r des boules Bi (i = 1 , 2, ...), oll peut trouver, p o u r cltaque i, u n e fonotion qi qui est C ', 0 d a m Bi et = 0 hors d e Bi d e ?)oattiire que
>
,
8
[112]
UEOK(iES 1)E K H A M
I1 sufflt en effet de prendre une foilction yi qui soit V , dans Bi et = 0 hors de Bi,et de poser
>0
('2.5) Si G' et H sont deux ouverts recozcvrlrnt V , i l eziste deum fonctions C r , p et X, 2 0, b supports cojtlenzcs respective~~ientnu718 G et dans H, telles qtie 1 = p X.
+
Ragpelons que le support d'une fo~~ctiolr o o l ~ t i ~ ~est t i e 17adh6rence de 17ensemble des points ou elle eat =+ 0. Ce derliier thCorbme est u i ~corollaire immddiat du prdcddent. On pr endra un reconvrement localement fini de V par des boules B, dont lpadh6rence est c o n t e n ~ ~ e soit dtlns G, soit dans H (le recouvrelnent % de (2.3) dttlnt form6 par Irs deux ensemble G et H), de sorte que le support des foections pi de (2.4) sera toujours contenu dalls G ou dans H. Ensuite, on prend cp = 1;) somme des (pi tels qne Bit G, = la solnlne des autres p,, pour lesquels a101.s &C 8.Ces fonctionv satisfont alors A toutes les conditions requises. Les formules qui apparaissent dims (2.4) et dans (2.5) sont appelbes des partitions de l'zcnite'.
x
3. - Plongement d'une vari6t6 dalis u n espace num6rique. Th6orhmes de Whitney.
Une application f : V -- RN, qui est partout de rang 7~ = dim 15 injective (ou biunivoque, c'est-Mire qlie f ( 3 ) f ( y ) pour x f y) et Cr, eat appelCe un plongemest Cr de V dans RN.
+
(3.1). Tozcte applicatio~c.Cr (2 < r 5 w) d'u~re varibte' ?I n dimecsions V duns R2*+1 peut &re approche'e d7awssi p r i s qzi'ojc veut par z t n plongentent Cr de V dnns en+l. On verra plus loin que la conclusioll subsiste si r = 1 , mais la ddmonstration eat moins facile. Nous commencerons par Otablir deux lemmes.
LEMME1. 8i f : V - RN est u n plongement Cr de In v a r i i t i b n dintezcsiotts V dairs RN, et si 2 5 r < co et N 2n 1, il existe des directions d duns RN, atcssi voisitzes qu'on veut de n'imnporte qwelle direction donne'e, telles que, n designant la projection de RN
> +
L;&tl~corieiles for~nesclifft?re~~tieIIes etc.
11131
9
stir u~ plna RN-1 ci N - 1 di~nethsio~is ftrite pczrn1ldlet)ient ic d , 17npplicntion n o f : V RN-I soit 2112 plonge?tie,~tde V duns RN-I. Ulle direction dwns R N peut 8tre reprCselrt6e par line droite l~assnntpar 170rigine de R y et 17ensentble de toutes les tlirections forrne ulle vari6tB P N - l , I1espace ~brojectif reel de dimension N-1. Dirol~s qu'une direction est bonne, si n o f eut 1111 plongeme~~t, ~nal~vaise dnns le crls ool~trt~ire. Pour Ctablir le lelnme, il suffira de montrer que I7elrsenlble des n~anvaises directions est de mesore iinlle. Si la direction d est maavaise, on bien n o f nlest pas injective, on Lie11 n o f it 1111 poi~lt critique. ])HIIS le jmemier cas, i l y :I cleux poiuts c!istillcts x et y de V tels que n o./'(x) = n o f (y), c'est-&dire qne d est pal.allble A la oorde pi~sstlnt ptlr f ( x ) e t .f (y). DHIISle second cas, n 0 .f a tin point critiqne x et d est parall8le A nne t ~ u g e ~ ~A tfe( V )en x. Les nlrtnvaises directions nont clone les directions des cortles et des tangentes de f (V). Soit 1 5 la vari6te' A 211 ciimensions form6e par les couples (a.,y) de points distincts x + y de V, et P, I7applic:~tio~~ de 1Y, dans PN-1 qui envoie (x, y) sur la direction de Is corde passaut par f ( x ) e t f (y). L a variBt6 NT, est Cr, conlme V, et El, est Cr, de sorte que, en vertn de (2.1), Pi (lIr,) est de mesure nulle, car dim 1% = 211 N. Soit TA I'ei~semble des directions dans T*, espnce des vecteurs tnngents a V en x, et TV2 la ~ i l r i e t 6etlgendr6e par TL lorsque n deerit V. C7est rille variete ti 211 - 1 dimeusions, inunie couline T ( V ) d1nne structure CY-l. L1apl)lication Fz : W2 I'*-l, qui euvoie tout 6 E T; snr Iw direction des images par .f l' des vecteurs e de de T% parall&les A 6, Btaut Cr-1 cotnnle f T , i l ~ e s ~ l l teacore (2.1) que E; (IV,) est de mesure unlle, car dim W2 N e t r--121. Ainsi, 17ensemble Fi(lFTi) IJF2 (FV2) tles directioas des cordes et des taugentes de f ( V ) est de mesure nolle. c.q.f.d.
-
2. Mitis 011 peut la modifier ldghrelnent et obteliir 1111 rest~lttbtplus precis encore valtible pour r = 1. Supyosolis que f : V - RN soit Ci et de rang n = dim V au point y. I1 existe nlors Iln ouvert U c V conte~irr~nt y, tel que pour x 6 U les coordonn6es de f (3) dalrs RN soient des fonctions Ci de n d'entre elles, colrve~rablement choisies (il suffit d7en choisir n dont les diff6re11tielles sout li~~eairementind6pendantes et de prendre ensliite U assez petit). Si ces .foncfinns sont C", on dira pie f ( V ) est Gm at&poist f (y). Remarquons que si une fo~rctioncontinue f ddfinie dans u n o~lvertG de Ria est Cm aux points de G, c G et si y est un poi~rt de G n7appertenitirt pas A G, , on pent approclrer f par uile foliction g, qui ne d i g h e de f que dans un voisinage de y et qui soit Cw daus un ouvert G, contenant C , eb y. On prend d7abord illie fonctiolr g, qui soit Cm daus CS et qai ilpproche f, puis ulle fonction p, B support deus un voisi~ragede y, =1 daus lul voisii~ageplus Btroit cle y, partout Cm et 2 0 ; alors la fonction g = p, g, (1- p,) f r6pond B In question. I1 r6snlte de 1s qne si f : V -- RN est de rang n en toils lea points d'un compact K c V, il existe une application g : V RN qui ne diffhre de f que dans un voisinage de K et d'anssi peu qn70n veut, telle que g ( V ) soit Cm en tous les points de K et en tous les points oh f ( V ) est Om. On peut alors Btltblir la veriante snivitnte du lemme 2.
+
-
LEMME3. Soient, dcrns In varidti V it 71 di~ensiolbs,D U I Lonvevt ic adhdreuce oompacte, B une botile et B' tcne autre boule contenant 2, et soit f: V RZn+l tine trpplicatioj, Or ( 1 < r m), dent l a vestriction 2c 3 est injective et telle qzie f ( V ) soit Gm num poiftts de f (5);alors i l existe une application C*', g : V R211+1, dont la r e s t ~ i -
-
- ( ~ 2 , ~ ) = ( ~ , - ~ 2 , 9 ) = ( b ~ , 9 7 ) = ( 1 ; W ) = 0 Pour toute forme ferm6e p. D7une luaniere analogue ou obtient 17isomorphisme de Hq ( V ) enr H,-, (P).
,
8.
- RBgularisation.
,
DBtnonstrsltioll du theoreme d'isomorphie.
Jusqu'ici la condition de continui.tt5 figuraut dans la d6finition cles oourants n7a pas 6t6 utilis6e. Cette oanditiou a Bt6 introduite par L. Sohmarte dltns sa d6tinitiou des distributions, qui ne sont
34
[I381
GEORGES DE RHAM
pas ; ~ u t r echose que les coura~ltsde degr6 0 dans notre terminologie (ou les cournuts de dimension 0, ai on oonside're les distributions comme g6n6ri~lisant les luesures lblut81 que les fonctions). Pour la suite, l'utilite de cette colldition ;impparaitdans la propositiou suivaute, qui elr d6coule immhdiatemeut, et qui g6116ralise la reple b i e ~ i connue de d6rivat,ion d'une int6grale par rapport 9, nn parametre.
...
(8.1) S i p, est unefor*ne sur V qu? ddpentl d e pnramdt~es y, ,y, , , dont les coeflicients sowt fonotions Cw pirv rcrpport a 17ensewzble ties coordonntfes locales dans V et des parast&tves, dont le support 9-este dans u n compact lixe lorspue lei parccnahtves restelct borlztfs, et si T est zcn couvant daits V , ( T, 9 ) est Jovictioa Cm des pnt.cc.wbt?tres y, y, et l'on n :
, ,...
Cela permet d76tablir le t116oreme auivant. (S.2) S u r twute vavie'te', on peut d t f j a i r tles ope'rtstetc~s line'aives R et A, d.4pendnJ de partrm8tres posilifs s, e,, , tels que si 1' est u n ooccvant de dimension p, K1' et A T soltt des c o ~ i ~ a a tde s dillkensioll p et p f 1 respective?)~ent,jouisscc?tt des pt,opritfttfs suivanter :
, ...
RT-
l'=bAll$ Abl1.
2) Les szcpyovts de R1' et AT sont nussi voisins ~ Z L ' O ~ ueut L du support de 1; si les parundtres E , , E, , ... sent ( I S S P Z petits. 3 ) S i 2' est tute fo~.r~reQ' AT cst atcssi tine jbrtne 0''. 4 ) Rl' est toujours une forwe C". tendefzt vers zdvo, RT - T et 6 ) S i les paratndtres el 8, AT tendent uet-s z k o , 07est-&-direque
, , ...
pour toute jbrme Cm ik suypovt colilpact p,. J e me boruerai ici A donuer yuelques i n d i ~ l ~ t i o ~S lLsI ~lu cle'luoustration de ce theoreme, qu70n peut tror~verexposee d'uue manibre complete dan luou livre (Varie't6s diR&reutiables, pp. 72-82). Dans R", choisissons uue fonction f (:c) 2 0, Om, Q support contenu dans la boule I x 1 < & (elle depend du parametre E > 0), telle P
que
J
f (z)d ; ~= ' 1
(011
pose pour abr6ger d x = dxi A
... A dx'l,
et
La thkorie des formes diffArentielles eto.
i1391
35
+
...
dy = dyf A A dyl'). DBsigrions par s, la translation sf, (x) = x y et par M, et M,* les op6rateurs associBs A 17homotopiesty (0 < t < 1) (voir (4.1) et (7.2)). On d6finit alors des op6rateurs R et A, d6penda11t d'un seul parambtre E > 0, en posa11t
En v e r t l ~ de (7.3), ces op6rateurs satisfont A I), et en ce qui concerne 2), il est imm6diat que les supports de RT et de A 4 sont contenus dims 17eusemble des points de Rn dont le distance au supE. Lit v6rification de 3) et 5) ne presente pas de port de l' est difficult6s. Pour verifier 4), on peut se borner au cas oh 4 est de degr6 0, car 17expression de R1' par une forme ge'n6ralis6e se dBduit de 17expression (7.1) de T en appliquant 170p6ratioa R aux coefficients l'i i... ips Or, si T est de degr6 0, on a
= (.fi bc ) = ( 1% , c ) de sorte que f= df, est uu cobord : P' est l'trspace vectoriel des cobords da degvd q. 0 u a tllors le th6orbme sriivant : L7espace quotient B1/P' est casoniqzcewteat isowzorphe cru dzcul Be F/B. E u effet, toute forme lin6aire sur FIB correspoud St uue forme liu6aire sur F l~ullesur N, qui per~ttor~joursse prolonger en une forlne liubtlire snr 78 nulle sur B, ce qui est un Bltiment de B', c'est-$dire 1111 cocycle de clegr6 q ; r6ciproquement, tout cocycle de (legre' q d6fiuit nue forme li116aire sur FIR, et deax cocycles de degr6 q d6finissent la w6me forme linktire snr FIB si leur diff6rence s'aunule sur B', c'est-St-dire s'ils repre'sentent le meme Ble'ment de Bt/P', et dans ce ces seulement. D'uue lnanibre moins nbstraite, ce theorbme peut a'6noucer ainsi
+
*
,
(9.1). i3i c, ,c, ,... est tune suite de cycles $,tis de S Be dintension q d o ~ aucune t colnbinccisott lintfaire $nia ir coeflcients non tous nuls est une mite de nomne borde utte chtrtne $,t~ie de AY, et si pi pz bres donne's arbitrarienzent, il e ~ i s t e toujozo.~ U I E oocycle f tel qtte (f.cc) = pi (i = 1, 2, ...). U n cocycle qui s'annolle sur tout cycle $ni est u n cobord. On n un thtioritme analogue en permutant oycles et cocycles, bords et cobord,
, ,...
40
UEORGES UE K H A M
11441
Pour e'tablir le theorbme de dualite' (6.7), nons allons indiquer une co~~struction qui perlnet dJassocier A toiite ooohadne .f de degrh q une q-forme B (f)snr V , support compact si f est' finie, telle que
( f )= ( f , c ) pour toute chalne c de 8.
so) C
Comme au n? 8, nous supposerons que V est orientee et que les cellules ii YZ dimensions de 8 sont orientees comme V. Co11sicl6ro1is subdivision dliale >> on e polybdre rhciproque de Poiucar6 o alors la i< de S ; c'est un ensemble de chaines ei A supports compacts, qui iouit des proprietes suivsntes : a) dim ei = N - dim ad, on : degre' ei = dim o,$; b)
ei et ai ont un point commun et ei ne reucontre auculle autre cellule de tS de dimension (_dim a { .
D'aprbs (8.2), on peut tronvey uii rhgulariswteur R tel que le stipport R ei ne renoontre aucune cellule de h' de dilnensio~i< dim ai B l'exception de a i , et cela pour tout i. Nons d6finissons alors la forme Q(ai) en posalit B (a:)= R ei, et pour toute cocha,Ine f norls d6finissons Q ( f ) par lo). La propri6t6 2O) re'sulte alors imme'diatement de 0). Pour ve'rifier 30), il suffit de montrer que I'on a
ak
Si i f k, conlme dim a k = degre' ci, le supl~ortde Bei ne rencontre pas ah et l'inte'grale est bien nulle. Si i = k et si dim ak = n, el, est une O-chalne qui consiste en un point situe' dans a k , Rek est une n-forme a support conteuu dans ak et 170n a
42
GEORGES DE RHAY
[I461
Eastiite, il faut montrer que l~bomomorphismeen qnestion est injectif, ou, en d'itutrea tennes, que si une q-forme ferm6e o eat trlle que
pour tout q-cycle 6ni c, elle est homolog~ieb z6ro. Toute forme ferm6e p de degre qt - q A support compact 6twi1t compactement homologne b un q-cycle fini c, OII aiirit ( 0 , w ) = ( y , w)= 0. Mais o est homologue*Aune cllaine c, de 8, e t I'OII a ( c , ,p ) = ( w,p )= 0, done ( 6 , 2 ! ( f )) = ( c , ) = 0 pour tout cocycle fini f. I1 en r6sulte7 d7apr8s le tl16or8me analogue b (9.1), que c, est homologlie B z81.o. Done o est t~ussihomologue-il zero. Si 170n ne suppose pas que V ndmet une subdivision polye'drale, on peut yloi~ger V dans R2~*+], coinme au no. 8, et consid6rer uu voisin:~ge tubnlaire 2 de V. Ce voisinilge 6tai1t tine variBt6 qni admet Bvidemment uile subrlivisios poly6drale7 le th6orArne est vnlable pour 2.Or, la, rBtiraction r de 2 snr V, Btnnt I~omotope b 17identit6, induit un iso~norpl~islne de H: (2)siir H i ( V ) et aussi un isomorphislne de H q ( V ) sur Hq(Z), d'oh 1'011 dhdiiit que si le th6orAme vaut pour 2 il vant aussi pour V. En fait, on sa8it que toute variete differentiable admet line snbdivision poly6drale, mais les d6monstrations colnlnes de ce theorArne (on el1 trouvera une reinarqntcble dans 170nvrage de H. Whitney, Qeometric Integration) sont assez difficiles pour qu'il y ait int6r6t A s'en pa~sser. J'ai laiss6 comp18ten1eot de cBtA lcs va,rie't&s Ikon orientables, dans 1111 bnt de simplification. 0 1 1 pourra voir dans mou livre (Vari6t6s diffdrentiables) comment la thhorie peut s7y etendre.
,
,.fa
FICHERA, GAETANO 1961 Rendiconti di Matematic8 (1-2) Vul. 20, pp. 147-171
Teoria assiomatica delle forme armoniche (') cli GAETANO FICHELCA (Roma)
La presente trt\,tt;~eionesi propone di isolare gli assio~nisui qr~alipoggia la teoria delle forme l~rmor~iclie su u11a v:~rietSt diITerellzit~bilee costruire, in cotlsegrienza, uua teoria pnrarnente ast~attti* ~ a estenSi ginngerl., come applioaxione cli essa, at1 o ~ sostsuziwle s i o ~ ~della e teoriw drlle forlne arlnonicl~esu una v:~.riekAdifferel~eiabile ed a ricouoscere c l ~ e essn ha rlua portata a s s ~ ipib vastn di quella ~la~ssica, fonda.l,a s ~ l l l ~ i ~ i t , r o d n z11e1lw i o ~ ~ variets e di nua n~etrica rierni~nniana.,piir sussistendo, cou enuuciato f~rma~ltnente identico, il fond:bmeuttlle teorelna di HODGE.
1.
- Principio
d i esistenza. (2)
Sin 9 ' l i ~ i a varietil nstratta linea~i8e,reade o complessa e 11.1~ (i = 1,2) UII 01nolnor6slno lineare di 9 ' l~ellospaeio di BANACH Bi Sia I32 il duale (topologico) di Bi Assegnato g, in B y , si ricerclt y, in B; tale che ( ~ , , M , ( v ) ) = ( YM , 2(v))(3)
.
.
per ogni v € 9. Sia To il ~lucleodi 114,. E ovvio che g, deve veriacare le condiziolli ~lecessariedi compatibilitii ( y, Mi ( 8 , ) ) = 0 per ogni v, E 99,
.
(1) Gli argomenti contenuti nel presente lavoro so110 stati esposti i n tre seluinari tenliti it1 oorso estivo del C.I.M.E. : a Forme differelieiali e Itno integrali n (Saltitlo di Vall~~n~broua Firenze, 23-31 ltgosto 1960). ( 2 ) Cfr. G. Y I C H E R ~ Prerneaus ad ultn teor8a getterale dei problerni a1 contorno per le equazioni diffevenziali Corsi de1l'I.N A.M. (Edit. Veschi), Roma. 1058, pp. 30-43. ed il (3) Le parentesi ( ) denotano la dualit& fra uno spazio di BANACE suo duale topologioo.
-
-
44
GAETANO BICZ[EBA
[I481 -
Si indichi con Q lo spazio di BANAOH qnoziente B J M , ( T o ) . Sie, ni., l~omomorfismol i ~ ~ e a rche e porta v iu [ M , (v)] elemento di Q. La e q i ~ x ~ i o ncortsidet.ntti e B risolnbile qnalnnqne sia g? verifica,nte le oolldizioni necessarie di cotnpatibilitil se e solo se esist,e K tale che, per ogni v E 33 :
11 %, (v)11s & Kll M2(v) llB1. Sia Y o la totaliti delle autosolzcxioni del problema, cioB di tutti i ~p tali che ( ly, dl, ( u ) ) = 0 per ogni v E T . Consideriamo lo spazio quoziente 9= B $ / Y o .Se B verificata ( 1 1 ) 11 < E 11 % , (27) 11 , ad ogni la diseguttglianza fondamentttle 11 y E B,f resta A S S O C ~ ~ uuo ~ O ed un solo elemellto f € 9 che costituisce la classe di tutte le soluzioni del problema relative a1 < termine K y che chiatnasi la disegucchot0 $ 9. Orbene? si ha : f
mi
11 / I B T
11 1 6
o : rI2 0, ciob per ogni v E 33, d dv = 0. Le forme di T saran110 dette fovme vegoltrri e dv sarB derrotato come il ddferenzinle di v ; d sara detto l'operatore di differenziazione. dell'operatore d , cieB t ~ l e Urla forma appartenente a1 uucleo c l ~ edo = 0, s a d detka ohitcsa. Mentre una v apparteneute a d v , ciob tale che esiste w E tale clle dw = v, sarA detta omologa a zero. h ovvio che To 2 d v , ciob clle ogni forma o~nologatt zero e una forma chiusa. Sullo spazio J e su d faremo la seguente prima ipotesi fondamentale,
v
--
v,
Teoria assiomatica delle forme armoniche
V49J
45
1) Esiste una vavietk Q di d tale eke do= Q n T sia deliso d e tale clbe per oglhi zc E % e v E esistcr 211211 costnnte H ( u ) d i -
v
~ I L
pendeqtte da u t d e che
Possiamo evidel~telnelitesupporre che 5?! sia wtassimale rispetto sia la li la (1).Siffatta vavarieth di tutti i possibili 2~ per i q ~ i ~ sussiste rieth 1? ovvia~nente uuii vnrieth liueare. Nel seguito snpporremo sempre o l ~ eQ sia massilnale nel senso test& specifioato. La varieth % si caratterizzit a1 lnodo segoente. I. C o ~ d i z i o ~ ztbtoesscwia e e sujjiciegcte perch2 zc appartengn ad qt 2 eke esista zcnn for+~ta621 tale che per ogni v E C19 si abbitc :ills proprieth espressa in 1).Possiemo ciob suyporre che
( u , dv) = (6%)2)). L a 8u d uniuocame~ite tletevminata da u. La sufficienza B ovvia e riesce H (21) = 11 626 11 Per provtwe la ~ ~ e c e stas i si osservi' c l ~ ese u E Q,f(v) = (21, dv) B L I funzion;rle ~ liueiire e co~ttil~uo i n 33 ohe, esseudo 4, e quindi C13 clenso in d, plto proluugarsi a tutto d. Per il teorema di rappresentazione dei fuuziouali l ineari e con tinui in 3 sarh f ( v ) = (du, v ) con 6u elemeuto d~peudentode u , univoca~nelitetletermiuato. L'operatore 6 B ovviamente lilreare, B defiuito in Z[ ed i~ioltre B itutonul1ific:o. Si ha iufatti 821 c Q e 8 6u = 0, dato che (621, dv) = = (u, d2 v) 0. L'operatore 6 dicesi opel-atore di 00-difere~tziuxiolle e 811 il co-diiqevefcxiale di u . Le forme che apparte~~gouo a1 1111c1eo Vo di 6 dicousi co-diuse e quelle appartenenti a1 oodominio 6% di % ' co-ornologhe a zero. Ogni forniit co omologa a zero B co-chiusa. Oonsiderinu~oadesso la seoond;~ipotesi foud~me~lbale. 2 ) 1Sia -I)d l'operatore di proieziogte sul costplemento ovlogol~ale To.lddiste unis costtrrtte li tctle clbe quadella clbizcsz~1.adi Yo: d lultqzce sin v E V si abbits :
.
=
(e)
Sussistono i seguenti teoremi.
(4)
(u, r )
1 -
denota i l prodotto aca,lare in S e
11 v 11 = (u, v ) .
46
[I501
GAETANO FICHERA
11. Condizione necessn~iae suf3ciettte perch& x E 6 %! B cl~e (z, v) = 0 per oglti u E Vo La uecessitA segue dalla (2). lla sufficieuza B consegueuzll clel principio di esistenza del g 1. 111. I 1 oodontiuio 6 2 d i 6 B tit~a.varietk litbeare ol~iusa(sottosptrzio) di 3. fi ovvia couseg~ieuzadel teorema precedente. IV. 11 tztccleo %!, dell'opevato~e 6 2 un sottospaxio di 3. Infatti, 1c appartient! ad ZeO se e solo tie (21, du) = O per ogni
.
vE
23, V. Defto f's i l pf.oiettore su
3 (3) C2e,, si lrc~
2 la forlrlula di lni~ggiorazioueduale tlella (3).
Vogliau~oora prolungare 170peratore d ad rlua varieth g contenel~tey. A tsl proyosito direnlr, che to B il differeuzit~ledi v e scriverelrlo dv = w se per ogui u E 2 riesce (u, w j = (du, v). 2 ovvio che se v E allors ,w lo il differenziltle di v nel senso sopra definite. Pertallto d 15 stitto prolungato ad un:b varietk lineare
v,
g conteueute V. VI. I 1 codonziuio d g del prolu?zgamn,etzto di t i coincide con In chiusura d g di d V . Se w E d q si ha (24, zo) = 0 per ogui u E 2, e quindi per In (2), applicltudo il principio di esistenza, segue clle W E d'%
Sia ora
w E d q e, per assurdo, w 4 d q P e r i l teorema di Hahn-Ranach esiate un u, title che (u, w) = 1 e (2t0, dv) = 0 per ogni v E V.Deve allora essere 611, = 0. Ma per l'ipotesi esiste un v tale che ( 1 6 , w) =
,
-
d ,
,
= (6u, V ) per ogui u E 2. Quest'ul tima relazione sarebbe non Vera per u = u, VII. I 1 nuoleo qodel prolungamento di d coi~ocidecolt la qodi To. cl~it~eura Se v, E riesce (du, 0,) = 0 per ogni u E C2e e quindi vOE
.
9,.
Viceversa, sia vo E e, per a,ssurdo, v, 4 9,. Esiate allora un z tale clre (2, v,) = 1 e (2,v) = 0 per ogni v 6 Yo. Deve yertauto essere z = 826 e qaindi (2,vo)= (Eju, vO) = (u, dv,) = 0. Doude tuna contraddiaione. I1 prolzcngamcnto di d 2 tin operatore nutoaulli$co. Si ha infatti per ogni v E
g, du E
e d du = 0, d i ~ t oclle (6u, dv) = (ii22 ~ ,v) = 0.
Teoria assiomatica delle forme armoniche
~1511
47
VIII. P e r oglti v E Eij si ha
La (5) e Is ~n~~ggioraziolle cluele clella (4). Consideriamo ora la terza ipotesi fondamentale. 3 ) L o eyazio ( d i owtologia) V o / d ? V abbia clime~csionepnita. I X . Se t? varificata la 3), a w h e lo spanio g o / d c p k a dintellsiolze finitn.
-
Polliarno Vi = Go d g e sia Q il proiettore su 9,.Diciamo [v]la classe di equivaleuea elemento di q,,/dg e ( v )quellw cli V o / d V . Ad ogui [v] rimane uuivoca~lrentet~ssociatoI'elernento Qu di 9, e
- Qv b un isomorfismo lineare di g o / d G su 3,.Detta Q V O 17immagine (proiezione) di Voin g, , si consideri la trasformazione ( v - Qc. Anchlesse B un isomorfismo lineare di
la tresforluaeione
[u]
V o / d V su Q V o . Ne segue che Q V o ha dimensione finits uguale a quella di v o / d v . Se proviamo che =Q ,il teorema B acqui-
sito. Sia v, E gue
1)
Qv,,
gi. Si
gi
ha v, = liln vn con v,,E
Y o(teor. VIL). Ne se-
n-w
- v, 11 < 1) v,,- v, 11 , doude
17asserto.
D'ora in avanti supporremo d definito su tuttit
remo la (2) per u 6 2 e v E 9.
g, go
e considere-
,
Per semplioit$, iu luogo di scrivererno V e V o potendo e V0 con le sostiluire a lutti gli effetti le priulitive varietA
go.
v
Analogamente i concetti di forma chiusa o olllomove g e loga a zero sono cla intel~dereriferiti al170peratore d prolungeto.
3.
-I
teorelni di Koilaira, de 12han1 e Hodge.
Diremo armonioa ogni forma a la quale veridchi le due equazioui d a = 0, 6a = 0. X . (Decow~posiaionad i KODAIXA)- L o spcxzio t2 delle jo~7ne ormonicke, lo q a a i o d v a lo epazio 6% sotio v~tutucu~~ettte ortogolic~li e s i ha
(6) E intanto ovvio che d V 1 a%, dato che ( d c , u ) = (v,Su) = 0. Occorre solo provare che t2 ES ( d V $ GV).Se a € si hs
(5)
a,
48
[I621
GAETANO F I C H ~ ~ I ~ A
(5)
(a, dv) = (Ba, v) = 0 e (a,,8th) = (da, t ~= ) 0 epperb a E d ( d V ( 3 )6 2 ) . Viceversa, se cr, eyyartiene a tale spazio, deve essere (a, dv) = 0 e quiudi Bn = 0 e (a, 614) = 0 e quindi da = 0. Osservaxione. Per provare il teorelrra X ci si P, solo serviti delle iyotesi 1) e 2). Direlno spaxio d i co-omologia lo spazio %!,/6%!. X I . Se sussisto~ro 10 ipotesi 1)' a), 3), lo spazio di ontologin e qaello di 00-o?)tologia, essejtdo isonlo~jiccllo spaxio delle jbrnze avmoniche, Attnno la stessth di)1,e11rtiortefithito,. Dalla (6) segue To= El $ d v , V,,= El $ 6 2 , da cio la tesi. Direuo peviodo cli una forma chiusa reliltivo alla classe [u] dello spazio di co-omologia e lo indicheremo col silrlbolo n ([v], [u]), i l yrodotto scalitre ( u , v). ovvio che 3.t ( [ r ? ] , [ u ] ) dipende unicmueate clalla classe di o~nologiadi v e di co.owologiii di zt. Sussistouo i seguel~titeoreuri di de RHAM. XII. Esiste urctr jbrnta cl~iusaccve~ztei yeriodi tutti asseg)iccti. Sitr, 71 la tlimensione dello syazio di omologia e a , , a,, u n siatenia ortouo~.uraledi folrue armoi~iche. Sit~noc, ... o,, i periodi [a,]. La forma ~ s s e g u a t i relativi alle classi di co-omologia [cc,], ci a, $ c , L&,$ ~ B quellii cercata. XIII. U ~ i 6fovnu ckiusic t? omologa a zevo se e solo se hn i peviodi tutti nzhlli. fi oonseguensa del yrinciyio cli esistenza e della (4). XlV. (Teorema di Hodge) Esiste untr ed zma sola jbvqttn avntowicu ccve?ble i periodi trssegnati, La cliruostrazione del teorenlil XI1 piova :hnche I'esistenza asnerita dal teorewa XIV. L'uuicitB e ovvia, cousegueuza di XIII.
a
, ,
...,
... ,
... +
-
4.
- L'operntore di Lapli~eee l'eqnnzione Au
+ Izc = 0.
Ohiitmeremo opel.icto1.e di Litplace 170peratore A = dB $ 6d. & inrwediato constatare che esso B autoaggiullto, cioB se $4 e v sono due forme del dominio di A, si ha ( u , Av) = (Au, vj. XV. Tutte e sole le soluaioni del17equazione Azc = 0 sono le forme nvmoniche. L)a d 8th B du = 0 si trae, moltiplicando scalar~nenteper u : 11 6u 112 11 du [I2 = 0. Da cib la tesi. Oonsideriamo ora nn'iyotesi da sostituire alla 2) il cui verificarsi implica il sussistere della 2).
+
+
[I531
Teoria assiomatica delle forme armoniche
49
2') Se dv descl.ive un (qualsiasi) insieme limitato, allora Pdv desc~iveUIL ittsie~)tt!compatto. $G ovvio che 2') implica 2), ma non viceversa. La 2') pub esser yostnlata per 170peratore d prima di essere prolungata, ma B evidente, in base a1 teorema TI, che, in tal caso, essa sussiste anche per l'operatore prolungamento. I n base a1 prinoipio di esistenza si ha che se B verifioata 2'), sllora : XVI. Se 8u desorive un (qualsiasi) insieme liwitato, allora P6u descrive ulz itzsie~necomnpatto. Introduciamo ora nella vltrieta lineare do= Zen 99 un nuovo yrodotto soalare ponendo ((u, v)) = l (u, v) (du, dv) (du, dv), ove 1 B un qualsiasi fissato numero positivo. l?!l immediate constatare che do risulta complete. Esso B quindi uno spazio di Hilbert. La norma in do sarB indioatlt con Ill u 111. Diremo i~nniet.sionedi doin d 17isomorfismodi 3, in 3 costituito dalla trasformazione identica. XVII. L'im~~le)~sione di do in d b uu operatore compatto. Occorre far vedere ehe se u desorive un insieme limitato di do,esso dewrive un insittme colupatto di d. Cib B conseguenza immediata clella (6), delle ipotesi 3), 2') e del teorema XVL Da XVII, in particolare, segue : XVIII. Esiste una costante K tale oi~eper oyni v E do
+
+
Vogliamo ora prolungare 170pera,toreA. A tal proposito diremo che A B applicabile all'elemento u di do e dB come risultato w se per ogni v di do si ha : (du, dv) (du, dv) = (u, v). l?!l evidente che 6 du esso coincide con w. se esiste d du Sia A applicabile a u E do a s E 3, e sie Au = w, Ax = t. Si ha : (w, B ) = (du, dx) (du, dx) = (t, u) cioh : (Au, X) = (M, AX). Quindi il prolungalriento di A B un operatore autoaggiunto. Mostrialrlo anche che per il proluugsmento di A sbguita a valere il teor. XV. I n effetti, l'equazione Au = 0 irnplica (6u, 8u)+(du, d l & )= 0 donde l'asserto. ' D'ora in avauti, parlando di A, inteuderemo sempre riferirci all'operatore prolullgamento testB ottenuto. XX. ETissato I 0, esiste, qualunque sia w E 3, tcna ed una sola soluziotte dell'equazio~tedu Izc = w. Si consideri per ogni v E do l'equazione ((u, v)) = (w, v). Per la (7) e per il principio di esistenza, esiste unit (ed una sola) soluzione
+
+ +
>
+
G AITANO
80 14
di essa. Si ha (du, 81))
- 1u.
FICHYRA
+ (du, dv) =
[154
(W
i
- 121, v ) ciob AIL= w
+
X X I . Detta (TAW la soluxione dell'eqz~aeione Au 116 = w per I > 0 , la GA 2 zctza trasfovmaxione litteare oonzpatta d i d i n st?, autonggiunta e positiaa. I n effetti, la trasforlnazione risolvente B compatta da, d iu do. Indicattila con gh, la QA B data da 9 g A essendo 9 17ia~mersione di d , in 3. Si ha inoltre (Gnu, v ) = (Gau,( A -t 1) = (u, Gnv). E d infine (Gnu,u ) = (Gnu, ( A 1) UAtb)=111 $j"n//I2 2 0. X X I I . L o spettro dell'opevtrtore A 1 2 costitzcito d a un'i~zfi&tic numerabile di autovalovi non positivi, oiascuno dei quali ha wolteplicitb Jinita. li'equasione
,
+
+
ammette ujla ed una soln solttzione (appartcneste crd 4,) se I novc B autovalore. Se 1 b autovnlo~~e,l'eqnazione cottsiderata La soleczio~te se e solo se w B ortogonale ad ogn6 autosoluzione del17equcc.zioneoj~togenea A,u 1u = 0. Sia fisstt,to arbitrarittmente I, 0. Posto ,LA = 1 - A,, l'equazione (8) hs soluzione se e solo se Ira soluzione I'equazione.
+
>
PoichB UA,u = 0 implica u = 0, la (9) ammette un'infinitA uunlerabile di autovalori pn e qquindi i I, = ,LA,& 1, sono gli autoralori futti non positivi. Se I, i! autova101,eed u uua di (4, neoessarit~~nente corrispondente autosoluzio~~e,la coudiziontt (Cia, w, u ) = 0 per ogni siffatto u b necessaria e suficiente per la compatibilith della (9).
+
la tesi. Consideriamo il caso 1 = 0. La soluzione della (8) esiste se e 8010 se w B ortogol~alea110 spazio delle forme armonicbe. Detto E il proiettore su a,esiste ed B unica la soluzioue del problema Au = w - H w la quale verifica la condizione H u == 0. Diciamo C: (w) tale soluzione. Poicllb la (9) i! u~l'equazione di tipo Riesz, dalla teoria di tali equazioni segue che 8 B un operatore lineare e compatto di domiuio d e oodolni~lioin &(:)a. Detto I lo operatore identico, I'operatore Q verifioa le seguenti equazioni, come i: facile co~~atatare: A Q = GA= I- 8,CH =HC, 6G= 136,d U = Qd.
a
Teoria assioluatioa delle forme armoniohe
C1551
51
5. - Spazf
2 p di forme esterne sn una varieth differenziabile. Teoren~adi rappresentazione.
Con V ( 3 iudicheremo nna varietA differenziabile di dilnensione v compattn e orientabile sulla quale considereremo una struttura di classe Cq con q > 3. Sil Vtr) colisiderere~no esclusivamente coordinate locali di u11 fissato atlante orieutato. Une mappa a~nmissibile in tt~le atlaute verrk il~dicsta con € = [E, C, 2 1 ; E = v-oella di V sostegr~odella may pit, 29 o~neo~norfismo di ATsulla sfera (aperta) 2 dello spazio cartesiano X ( 3 . Oon indicheremo la vnriet8 delle forme di graito 7c di classe Cq-1 e tali c l ~ e dv sia al~chedi classe Cq-l. Con denoteremo I s somlna diretta V = 21, $ $ 9 ' 'e diremo regolaye ogni forma (no11 omogeuea) apyartenente e (39. La k-forma t( dicesi apparteuente ad &$[I7(')] ( p ) 0) se i suoi coefficienti relativi ad uu qualsiasi insierne chiuso C contenuto in € appartengono all0 spazio 2:. Supponiamo p 2 1. Sia v una 1 1 (v - k)-forma appartenents a 2)TP[-V b( r ) ] ,con - - = 1.
v,
v
...
+
P q Sia 0,, c2,... , G , nn ricoprimento di V(")mediante insiemi chiusi, con Cs contel~utoin una lriappa a~nmissibile. Sia R,= C, , Hz= 0,- c, 7 H3 = 0, - (ai C2),...,Hn, = C , - (0, ... C,-,). Dimostriamo che riesce
+
+ +
Si consideri infatti Ie k-forma u(*) cosi definita:
ur+
]
=u
mEH,
-0
x E V(')- H,
(8
= 1, 2, .,,
, 9th).
9%
Si hit, impiegando la partizioue dell7unit8 1= 2 p h (x), h--1
(6)
Con
i
tu
intendiamo I'integrale di nna r-forma snlla variettl orientit-
52
[I561
GAETANO FICEEBA n
=2 h-1
k!
(T
- k)!
/
6)::
9% US^.,.^^ V S ~ + ~ . , . ~ , .dg' (8)
... kr=
Hs
- k! (*
5
)) ! /d:::'
U8
,...
gk v~k+1,..8,
dxi
..a
dxr
=a
donde l'asserto. B, B2 R, siano insiemi boreliani che ricoprono V(+),con ogni B, contenuto con la suit chiusure in u ~ i amappa itmmissibile. Ad .&!' [V(')] pub darsi una struttura di spazio di Banach defiuerido la norma di un suo elemento a1 modo seguente
, ,... ,
Lo spazio risulta ovvia,mente complete. Si consideri una seconda norma in &'f relativa a1 ricoprimento Bi Bh Ba, Indichiamol~~ con 11 u 1 ;. & facile dimostrare l'isomorfismo fra le due norme, ciob l'esistenza di due costanti 0 k < K Supponiamo che i l riooprimentali che ' k 11 .u 1 ; (11 u 1 , ( K 11 u 1 ; to di V @ )sia otteuuto mediaute i boreliani disgiunti H, H,, ed della 7c-forma u quella reltttivn assumia~llocome norma I/ u llP iu a questo ricoprimento. Sia P ( u ) uu funzionale lineare e coutinuo
, ,..., .
< ,... ,
.
a
9%
definito in 2; [ V ( r ) ] .Si ha P ( u ) = 2 E ( u ( ~ ) )essendo , u ( ~ la ) 7c-forms h-1
dianzi introdotta. Per il teorema di rapprese~~taaione di Riesz in 2, si ha :
con vikS1,..ik appartenente a
&q (H,), ik+l...C 2)(8) Poniamo ~u~+~...u,.(x)= &k+,...,r ik+li,,.(~) per ed interpretiamo t~8,+l..,,r come coefficienti di una rispetto alle coordinate locali in H,. Si ha allora
P (u) =
I
uA
v.
(s=l,...,m) (1.
- k)-fonntb v
Teoria assiomatioa delle forme armouiche
[I571
~ ovvio che P ( u )
0 implica
53
v = 0. Si ha poi
avendo posto
.
e quirldi 11 P 11 (11 v 1, La, corrisponde~~ztlv
-- P stabilita frit 2:-,[V(")] lo spaeio H
z i [ V ( r ) ]duale di @[V(r)]b binniroce e continua nel senso v I
- I?.
Poichb 2; [V(')]B cornpleto e quindi, per il teorema dellacategoria di Ba.ire, di I1 categoria, deve esiatere una costante K 0 tale che
>
I1 ll 5 = I1 Pll (9
Indiclieremo con & l a somma diretta di tutti gli spazi 2$[V(r)] e sssumererrlo come norme di uu elemento di &p la, radice quadrata della somlna dei quadnl.ti delle riorme delle sue componenti. Se vk e 26h sou0 due forme omogeuee di grado k e h rispettir - k, porremo per defiliizione vameute e se h
1)
rimnne univocams~tteassociato zcw elemento u E &q ohe (g?,v)= La trasformaxione rp
2 p dU 6.
-
S
vAu.
u B zcn isotnor$stito (nel senso d i Banaoh) d i
2 q .
- Applicazione
della teorirt astratta a110 spazio me differenziali su VcT).
z2delle for-
6 evidente che l'ipotesi 3) del g 2 i ~ o ndipende dalla strnttura di spazio di Hilbert definita it) d. Facciamo vedere che la 2) e la 2') dipendono unicamente dalls topologia che lu struttura di spazio di Hilbert introduce in dl ma non dalls definizione di prodotto scalare. Oib significa che se in 4 introdaciamo una diversa definizione di prodotto scalare [u, v] la cui relstiva, llortna indichiamo 1 ~ accade clle h l l u I I < I z c I < ~ l l u l l con o < l ' ~ H , s1con 1 2 ~ se lora dall'essere verificata la 2) nel pri~nitivospazio d essa lo i! sltresi nel nnovo spazio di Hilbert che itidichiamo con 2. Osserviaino
intanto che d g e go sono sempre la stessa varieth sia in d ohe in 2, dato che a$'= -d e go= goed il concetto di chiusura i! un concetto pursmente topologico. Sia Jtd la proiezioile relativa a 2 andoga alla Pd di d. Si ha Pd v = v - v, essendo v, la proiezione, in d, di v au V,, Si ha I n d v ]= inf I v - w I < I u - v , I < HIIv-voII = a IIPdv/I
'"t.%ii.'.il~
. ..
... a$
j28i...Sk
Iii...ik
=
Ail..ik = Qhi ...hk j ,...jk (aSi...a s k As ...,,) hi
hk
1
.
il tensore 2k-plo considerato di clas-
0'1-l.
1 Sia p = -psi,..sr dx" ax" una forma regolare di grado r tale che r!
...
p1 ...,
>0
in ogni punto, ciob tale che
I?~memo: * ~ s ~ + ~ . . , , ps ,...s,
I> p
0 su ogni campo C.
C asi...s&i...ik
I
u ~ ~ . Si . . ha: ~ ~ (u, . u)= uA*u>O.
Adoperando una partizione delPunith 1= 2 vi (8) (con il supi=l
porto di yi nel sostegno Ei di una mappa ammissibile) si ha
L uguaglianza sussiste solo quando u = 0. Analogamente si prova che (u,v) = (9, u). anche facile provare che il prodotto scalare considerato introduce la topologia di
E2.
Teoria nssiomatica dell8 forlue ar~noniche
[I611 -
57
Dimostreremo ]lei successivi para.grafi che se v B lina forma regolare essa si ltlscia rappresentare al mod0 segoeute
z2 z2,
esseltdo 7 un operatore lineare cornpatto di in z una forma regolsre e c, ... c,, costallti (l'uuit e le altre dipendenti da v ) e in611e a, n lc-fol.lne regoltlri chiilse indipendeitfi da v. D ~ l l a(14) e dall'osservazioiie fattit, a1 1)rilicipio di questo paragrafo segue ehe, qualunque sia la struttura di spazio di Hilbert in & pztrcl12 introducente la topologia di P2,B verificaka 111, 2') del 5 4. Inoltre, scrivelido In (14) per una forms clliiisa ei constats che B verificltta 15potesi 3) del g 2. Si ha quindi il seg~ieut,eteorema cbe costitnisce il risultato 1)riucipale della yreseute trattnzione. XXIV. Perch2 8th V(r)possa costruirsi una teoria delle forete armoniche, per la quale sussista il teoremn di Hodge o, pi% i n gelte-
, ... ,
,
?.ale, perch2 possa farsi zcna teoria dell'eqttnzione (ellitticn del 2O ordine) qunle la (8), basta deJinire zcna trnaformaaione (di aggiuwxione) w ='rzc (isomor,fismo dell'insieme 1inea.re sostegno di z2szc se stesso) verifioante v.nica?nente le condizioni :
con O < h t H . L'operato~e di co-d{fferenziaziorte
7.
- Dimostrazione delln
t?
allora dato dalla (11).
(14).
Per provare la (14) si ptcb; a1 Jine di conseguirltr, zcsa.re una particolare strutturn ai spazio di Hilbevt ijt & clie introduce i n d la topologia di 2 2 . Trarrelno vibntaggio da tale circostsuza torlial~ilocomode sceylierc come operaxione di aggiuncio~ies qzcella cltcssica, cio che ci consentirA un rapido conseguimento dells (14). Supporre~r~opertallto di avere introdotto su V ( ' ) un tensore s 2 3 e aslnetrico aij che potrerno bell supporre di classe C-on
58
GAETANO FICRERA
[If32]
sumeremo come operazioiie a quells che ad una, k-formtt, associa la (r - 7c)-forme i cr~i cof6cie1\ti sollo dtlt,i dalla (13). L'operiizione 6 rlefinita di~lla(11) b qnindi ora e nei snccessivi p t ~ ~ ~ g r da a f i iutrodursi con ta,le sceltn di a , ciob nel senso classico.. I n segnito considereremo k-forme 1(x, y) dipendenti dai d ~ i e punti x ed y di V ( r ) , tali clte per ogni fissato x, I(x, y) silt una k-forma regolamrediperidente da, y iu V (1' - J: e viceversa. La 1 (x, y) iu 1111 sistema locale si rappreset~terha1 mod0 seguente
Lit 1(2,y) dicesi uuit k-forms lztboleare (o doppia). Sia E UIIH r-cell21 di V ( r )ed in essib sia fissato un sistema coordinate ammiusibili zi xr. Detti aij le componenti, in t.ale sterna, clel tellsore metric0 e posto a = det (aij), oonsideriamo y clle rispetto a1 k-forma nucleare definita per x E E, y E E, x stelna di coordinate fissato, si esprime a1 modo seguente
...
+
%, i,
(15)
,
1
(Y) as, ik (Y)
......
.... . . .
1(x,y) = (k!)2 5 (x, y)
a,
i,
di sila si-
(Y)...
ik
axsi
...dxSkayi, ... dyik
(Y)
avendo posto
(
=
2p a i j ( y ) ( x i -
(r-2)
wp
i,j
(xi-y )
per
i
> 2,
(cop = lnisura dell~ipersnperficiesferica unitarie p X(T)).Si ha :
Con cib inteudialno che o g ~ ~coefficiente i di I (x, y) verifictt 1s limi-
[I631
Teoria assiomatioa delle forme armoniohe
59
taaione inilicrtta dal secol~dotnelnbro della (17). T a l i lil~rittrzioni,essetdo veviflcale nel sistevza d i coorditzute scelto, lo so110 m i qualsiasi sistema d i coo t.di~atealtlmissibili. Si he anche:
az A (x, Y ) = o ( 1 (18)
- y p), 6, a (x, Y ) = o ( 1 x - y I I - ~ ) ,
ag L (x, y) = 0 ( 1 x - y
8, d (x, y) = 0 ( 1 a
-y
/I-*).
Proviamo che riesee :
A, L (x, y) = 0 ( I x
- y I1-").
Osserviamo intanto che se le aij fossero costanti e la metrica euclidea, sarebbe sllorib (per r 2 ed analoga~nenteper r = 2 ) :
>
e quindi, A, d (a, y ) = 0. Tale identits slissiste anche se le aij sono costanti. Iufatti, sia xk =?!!, 5iuna trrtsformezione lineare (dEr)2.SarA quindi ahkP!,!?:=q. tale che ds2= ~ ~ d x ~=d ( cxI Ej I ) ~ + Per provttre l'asserto basta solo verificare cl~elrt forma nucleare d espressa uelle move coordillate assume la' forma (20). Si ha intsnto:
...+
Riesce inoltre :
Da cio 17asserto. Siil ora
aij
1. le!
arbi trario. Pol~iarno: Azc = -AsI..., (u)dx"
... dxs*
con Asi..,sk(u) un operfitore diffeerenziale del secoudo ordine uei coefcienti di u. SarA precisamenhe
A+,
(u) =
1
i, ..Ak
1
+
d2ui,...ik 2. p8r;;:'iv." (aij)darndzn
na,n
avendo indicato con P un polilio~nionelle r2 variabili aij, con Q uno nelle variabili aij e
a Ili aij e 8%''
con It uno nelle vtlriabili aij,
8 aij 8% aij (h, 1 = 1, 2 ,..., r).
d z h ' dxhSx1 Fissato y, considerismo le aij come costanti ed uguali a1 valore aij (y). Detto A(y) il corrispo~~dente operatore di Laplaoe, si ha, per quanto si b sopra visto : A!$ 1(2, y) = 0 . Quindi
Teoria assiomatica delle forme armoniohe
[I661
61
Consideriamo la psrtiziol~e d e l l l ~ ~ n su i t ~ V(') : 2
cph (x)=
h--1
1
. ,
Possia~nosupporre che il support0 Uh di cph (x)sia contel~utoi l l El, s o s t e g ~ ~dio Eh e c l ~ ez Eh = Z h sia Unit sferib di rltggio 3, mentre che r Uh sit+ coilteni~to nella sfera 251' coilceutrica a Z h ed avente rltggio 1. Dicialno x1 xv (yl yr) le coordinate locali in Eh e Ah (8,y) la palametrice locule in Eh Porl.emo, come in p r e ~ e d e ~ ~ zper (t$
...
...
.
"EEh, Y E E ~ ,
Fissato y in V ( 4 , consideriamo la k-fonna nocleicre E;, (x, y ) cosi clefiy in V : nita per x
+
per X E U ~ , , ~ E V ( ~ ) - E ~ per
XE
,
V(")- Uh y
E
V(').
II seguente grafieo esplicativo - ottei~utori~ppresentandosimbolicaulel~te V(') cou 1111 quadrate del pitrno (r,y ) - mostra le diverse regioni in cui si 11it1111o le vltrie defil~izionidi E;, (a,3).
Fissato y, la &(x, y) B regolare in V(Y)-y. Se y B fissato nella immagine di (sfera colice~~trica a Zh e raggio 2), la sfera di centro t y e raggio 1 : 211)(y) B contenuta in Zk In essa la P h (x, y) coincide con vh (8)1(8, y) [I - x - y epperb B regolare - fatta a1 piii eoceziolie del punto y - D'altronde essa B nulla con le sue derivate prima e seconds sulla frontiere di 2(l)(y) ed ideilticarnellte uulla filori di X(') (y). . 811) (y) non interseca Sia ora y in Eh ma non ill t ~ f )Allora t Uh, sicch8 E;L (x, y) B ide~itic~mente ntilla tailto in Uh che iu
,Zt)
I
.
.
14]*
vcr)- uh
Sia iltfi~iey E V(V)- ah;aucbe in t ~ csso l (3, y) identicalneute nullit. L'asserto B cosi provato. ovvio che d,Ph (a, y) = O(l x-y 1 -+), d,E;,(x, y)=O ( x -y l -r),
a
1
98
A, PIh (x, y) = 0 ( 1 2,y 1'-3. La lc-for~nanucleare : P (x, y) = 2 E;, (x, y) h=l
sarA detta plx~ametvios su 'V(V).Essa verifica le limiteziolli
Per col~seguirela (14) basta evidentelne~~te linlitaroi a provarli~
,... ,
,.,
,... .,.,
per le foi-me omogenee di grado lc. Siallo a, a,, p, b, due wple di k-forme r e g ~ l a ~ per r i adesso nvbitrerie. Detto p un numero reale, poniaxno : H (x, y) = 3' (x, y)
+ p 2 a. (4A ,& (y). a fnoile pro8-1
vare, con classico, ben noto procedimento, che per ogni L-forma regolsre v si he :
ove A 8, come a1 solito, l'operatore dd integrazione per parti) :
+ Sd. Si ha anche (rnediante
Teoria assiomaticta delle forme armoniche
[167J
63
Poniamo
I
% ( I & ) = - -u ( x ) A + [AxH($,y)]. C?onsideriamo I'equazione di cr tipo Riesx >> nella k-forma u
, ,
Sia yi ... yq un sistema ortoliorl~~alecou~pletodi soluzioui dells eqnihzione 3CX (y)- y = 0. Diciii~no9 l'operaziol~edi proieziotie di U I I elelriel~to di 2; S L I I I ~ L viiriet8, delle yh. Indichiamo con u = = % (f- 9(f )) la k-forma soluzione del17equazione % (u) - u = =f - 9(f ) e verificante le col~dizioni (u, a,,) = 0 (I& = 1, ... q) esselldo ah le eutosoluzio~iidi %(a) - a = 0. F r a le oh vi sono tutte le k-forme arn~ouiche regolari, pih evelltualmeute ttltre k-forme. N Suppo~riamodi mere determinuto a , , ,b,' e p in guisn tale che le ah siano tulte at.mol~ic1te.Tale fatto sera dimostrato ill sbguito, a parte. ~to Detto d3y, il c o a ~ p l e l ~ r e ~ortogoilale p(2:) ed gala varietll ortogonale a qnella clelle n , , la % muta EV in Za in lnodo biunivoco e continuo. Sia v E Za Riesce % (v) - v = %, (v) E ZY e si ha % %, (o) = v. Quit~di,pela lh E Pa,(%%, (c), h) = (v, A) che iti~plica: di (q, (v), 9" (h))= (v, It) esseudo %* uua f msforrna~ziotiecollti~~tia &a in Zv Ed ancora : (I?,%: %" ( 1 1 ) ) = (v, h). Oio significa che %" (W) B la soluzione del17equazione
,
.
.
ortogonale w. totte le y. Dalla (24) segue
J
Riesce
S
( d , v) = d,v A
9 J (dv)
S
(a, H (x, Y)), ,Q(v)=
+ 9% (d 8v) = 0 e quindi
H (#, y) A +
(3).
64
[I681
GAETANO FICHERA
Vogliamo vedere che duo = (1% [% (d 6v) - 9 % (d dv)] = 0. A ta1 1)-forma w. fine basta col~statare che (v, dw) = 0 per ogui (k Ciob (%%(a 6r) - 9 2 9 % ((I. du), dw) = 0. Dato c l ~ e6w E Pa,possiamo applicare la ~.elazioue di reciyrocitth. Si ha : (% (d dv), P(Gw))- (9% (d Gw), 'E* (dw))= 0. Ma il seooudo yrodotto scl~lsre& nullo, dikto chu %* (u) E,+,P che b la varieM ortogonale 211 codominio di 9.Occorre qniudi solo provltre che ( d dv, %*92* (dw))= 0. Posto u = %* P(dw), riesce Au = 6w cioe d du = 6 (w - du) = 82. Cib implica 11 d du = (62, d 6u) = 0, ciob d Gu = 0 e quindi du = 0. Ne vieue : (d 613 u) = (du, du) = 0. L a (27) fornisce
+
,
,
]I2
+
svendo posto T(da)= - CX[J(dv) 9J(dv)], w = %(d 6v) - 9 % ( d dv). Attesa la coplpsttezzs della trasformaziol~eJ e In coutiuuitll d i 9 ed %, la 9 8 compatlt~.L a (28) coilloidera con la (14) appeua avremo provato che %(w) B o~nologaa zero. Poichb, per la definizione stessw di W riesce (%(to), ah)=O (1&=1,2, N), posto U=%*%*~(W) essendo % (w) chiusit, si hn: d Gu = % (w). CioB 17asserto. L'ultima cosl~da provitre B che le ah sollo tutte armoniche per
...,
-
u u s co~iveuientescelts di ah, pk, p. r
J
Poniauio : 3Co (u) = u (x) /\ x (Aa P (8, y)). Siauo
B, , Be , ... ,B,,
le autosoluzio~~i (liuearmente indipendenti) di
e
,& ,L , ... ,&, quelle di
Sia q il msssimo uuluero di k-forme i~~nnouiche liuearlnente intlipendenti su Vcr). Se riesce q = .n, basta assumere ,u = 0 uella dimostrazioue precedeute per couaeguire la (14). Supponiltluo q 7~ e yo~ ~ i n m911o= n - q. l u tale iyotesi susaiste il segueute lu~umi~. XXV. Esi81ot~011 lc+w)&e regolaoi a, a, tccli eke la caratteristica della wintrice
0.
7.2. In this section we make a second classification of the integrals. Unlike the work in section (7.1) this has no extra significance in the case where o is integral. Let P be any effective harmonic p-form, say
where P p - q . p is the part of P of type ( p - q, q). As A takes components of different types into components of differeut types it follows that A l3= O implies d PP-q,q = 0 for each q. I. e. Eroery pure part oj' an qfective p-j'ovm is itselj effective. Further as A transforms any pure (r,s) form into a pure (r, s) form it follows that Eoery pure part qf a, l~armonicp-form is itself harmonic. Thns if ehk is the number of independent eflective harmonic forms of type (lr.,k) it follows, from the two ]>receding results, that
The numbers e h k could, a priori, possibly depend on the metric chosen, but we shall now show that they do not and are thus true invariants of the manifold. To clo this we shall take another metric, with fnndamental %form Y , ancl with corresponding numbers ahk for the independent efeective llarmonic forms of type (A, Ir).
[ZOll
Differential forms in algebraic geometry
97
The namber of independent harmonic forms (effective or not) of trype (A, lc) for the first metric is r h k where (in view of (7.1.1)) rhk = e h k and hence rhk
=ehk
+
+
rh-1,k-1,
+
@h-1,k-1
@It-2.k-2
+ ...
and similarly for the second metric the number shk of independent harmonic forms of type ( l ~k) , is
...
Let pihk(i = 1, ,rhk)be an independent basis for harmonic shk) be an forms of type (8, k) for the first metric and Qj""( j= 1, independent ba.sis for the second metric. The forms P:-q'"ive an independent basis of R, harmonic p-forms. The (2nt -p)-forms P,?-q'q non"' will also be independent and me thus have a basis of Rp (2m -p)-forms
...,
PpO ,wm-P,
p;-lJ
,chln-P,
etc.
.
Similar bases can be constructed using the forms Q:~. Now if Pi"(i = 1, ,$) and Q;"-, ( j= 1, Rp) are bases respectively for p-and ( n ~ -p)-forms of M then the matrix
...,
...
is non-singular. I t follows that the matrix
is non-singular. NOW
+
q - r), and one of these indices is a form of type (m + r - q, m exceeds m unless q = 1.. Then if the bases for the Pi and Qj are arranged in the order given in (7,2.2) the matrix (7.2.3) breaks up into a number of non-zero sobmatrices, and the rows and columns of two submatrices never overlap. Thus if the big matrix is non-
singular so is each snbmatrix, and hence these submatrices are square. Hence r h k = shk for all h,k7 and thus by (7.2.1) ehk
= uhk for all h, k.
The numbers r,, are often denoted by or h P , q in the literature : we shall frequently use the 1tP.q to a ~ o i dconfusion with cohomology groups. 7.3. The period matrices qf the efective kamotzic jbrornls il, the case where co is integral (i. e. fov qlgebraic variedtes). Associated with any harmonic p form is a dual (2nb -p)-cycle( i ) whose intersection with any p.cycle is equal to the value of the integral of the form over the cycle. Let A be (in our special case) the rational cycle dual to w. We shall suppose p < m.) The results a t the end of 5 7.1 will enable us to find a rational base, I'z",, (i = 1, ,,H, -- R p 4 for the (2n -- 2))-cycles dlli~lto the effective p-forms. (A complete base for (Sqn -2))-cycles will be i all the . Ar for sllitable values of r). . A"'-p). We define the rational matrix N by Nij = (I$,,-,, . .f~,,-, nTe can also obtain a base for p-cycles by intersecting the base for (2m -p)-cycles with A"'-, (dual to the method of g 7.2 for obtaining il base for (2n~- p)-forms from the p-forms). Let us . An'-* by denote Let Qrk ((1: = 1, pILic) be a base for the eflective harmonic be dnal to the cycle Supp-forms of type (8, k ) and let $k: j pose I'i'Lk = 2 A ihjk I'zn,-p
...
r2nt-p+2,.
I'iHt-p
rj.
rt".
...+,
.
Then (r?lc. lto be a mapping y : U F such that ny is the identical mapping of U into itself. I t is a consequence of the continuity condition (3) for a sheaf that the aggregate r ( U , I?) of sections y over U (which we shall denote simply by r ( U ) if it
-
Differential for~nsin algebraic geometry
I2091
106
is clear which sheaf is being considered) is a Cmodule. The presheaf 9 for which F ( U )= r ( U , P ) is called the canonical pre-sheaj' associatecl with F. If F is the Bheaf determined by a pre sheaf % the canonical pre-sheaf 7 of P can be different from %. However if 9 is the canonical pre-sheaf of F, the sheaf determined by 7 is F itself (for details see Hirzebruch). The use of sheaves and pre-sheaves is in defining globally over X ft~nctions,differential forms etc. which' satisfy local conditions : e.g. in the case of holomorphic functions the integral functions are the elements of the module r ( X ) . I n the case of holomorphic functions the elements of the stalk are neatly defined by power series. If ho-ivever we consider the presheaf defined by functions continuous in open sets of X the situation is very different. The elements of the stalks of .the associated sheaf are called s germs of co~~tinuous functions D but they do not correspond to any simply defined concept like the power series. This pre sheaf also illustrates that the homomorphisms h t are not always (as in the case of holomorphic functions) monomorphisms but may be more general homomorphisms. It is naturally interesting to know when a pre-sheaf is the canonical pre sheaf of the sheaf it defines. The technical conditions p. 109, F, and are given by Godement (u Tl~6orie des faisceaus F2). We simply remark here that these conditions are very simply fulfilled for all the parlicular sheaves of germs of functions or forms which we consider later. Goclement gives the name sheaf not ouly to the sheaves we have described but also to canonical presheaves.
>>,
9.6. Cohomology grozqs.
We now define the cohomology groups H r ( X ,%) of X with coefficients in a pre-sheaf %. The cohomology groups H r ( X ,2) with coefficients in a sheaf P are then defined to be H r ( X ,7 ) where 9is the canonical pre sheaf of F. Let 2e = { Ua) be any open covering of X. Suppose that for each up such that Ua,n Ualn n Uap is non-empty we have set a,, a, ,
... ,
...
(or f aze o ,$ if we wish to emphasise the covering 2)
an element fa ,,,, 0 P belonging to M (U, Ui n n Up). The function f is called a p-cochain of (Ua] for %. These p-cochains clearly form an additive group CP (Q,9 72).To proceed from cochains to cohoniology groups we have 7,
...
106
L2l01
WILLIAM HODGE
to define a coboundary operator d, i.e. a mapping
(The suffix p on dp will be omitted if there is no speoitbl reason to emphasise it). We define d by the rule 8 (fa
o...ap)
= $'do...
up+,
where
A
(the index a, under the magic hat being rendered invisible) where h, is the homomorphism from
I t is easily verified that d2 = 0 (more exactly dp dp,,-l = 0), i.e. that d is a coboundary operator. We then define Z P (24972)= dpl(0) to be the module of cocy%)= dp-1 Cp-I (Ze, %)to be the module of cobouncles and B P ((2, daries. We then define
Such a cohomology group is defined for each nonnegative in. teger p and each covering ?! of 1.If % is the canonical pre sheaf 9of a sheaf I? we can use.^ instead of 7 in all the symbols so far introduced. Next we partially order the coverings by writing
< Ze
(read
V
refines
Ze)
if there is a selection function zg such that V g c LTzg for all /? in the index set of the covering V = { V p ] . Of course there may be more than one selection function. The selection function
t
induces
a mapping
2 ;
from
Cp
('%, 5°K) to
Indeed if f =f;.,,? is a cochain of the covering ?[, chain of 9 'given by
t;
Cp
(V, %).
f is the
GO.
Differential forme i u algebraic geometry
12111
107
where I& is the homomorphism from
I t is easily seen that a homomorphism
:;.*
HP
.;
commutes with d and hence defines
-
(2, %) HP (99m). ,
A neat and basically simple formal hornotopy argument (Hireebruch, p. 29) shows that the homomorphism of cohomology groups is independent of the particular selection function chosen. I t is straightforward that the homomorphisms *zE of cohomology groups are compatible, i.e. XZ = ~z: %; and $%:is the identical homomorphism. Hence we have a direct limit of the cohomo logy groups. Hp (%!, %) and this limit is called thep-th cbhon~ology group, EP ( X , m) of X with coef$cients i n the pre sheaf %. If % is a canonical pre-sheaf 7 we also write it as Hp (S, I?) and call it the cohomology group of X with coefficients in the sheaf F. In view of this definition any element of Hp (X, %) can be represented in HP (%!, %) for ~uficientlyfine coverings %! (i.e. in at least one covering ancl all refinements of it). The following result is fundamental. The zero-dimensional cohon~ology group H0 (1, P)is isor~lorplbic with the module r ( X , F) of global sections qf I?. Given any covering %!,HO (%!, 7 ) is, by definition, the group of 0-cochains f u such that df = 0. a
But $1,
caf )uoa, = r..,:
nu,
.U~~U,,
fu0 - h,&.
fa,
i
r
. ,
This means that f U o , which is an element of ( U,, P)and,fbiwhich is an element of l' (U,, P ) must agree in Ua,n Uai Bnt fa is a mapping of U, into F, thus there is a function f , agreeing with fa in U,, which defines a globitl section of El. Thus H0 (V, 9) is isomorphic with r ( X , F )for all coverings %!, and the result then follows. Finally we remark that if X is a closed subspace of a space Y and I? is a sheaf on X and 2 (the trivial extension of F to Y) is
,
.
,
a sheaf on Y
$0
that the part of
lying over X is F and %y = 0
for every point y in Y - X, then
HP ( Y ,
= HP ( X , P ) .
(This is Theorem 2.6.3 of Hirzebruch). 9.7. Homomorphis~~uof sheaves nltd pre-sheaves. Exact sequetzce of
sheaves. Let P be a sheaf on X and P' another sheaf such that P' c P and P' is ope11 ( l ) in P. We say that P' is a sub slieaf of F. Suppose that P and G are two sheaves over the same space X , and that a continuous mapping of F into G induces I, : P, -- G , in each stalk (so that n F = nG 1) and that 1, is a homomorpllism for each z. We say that 1 is a sheaf homomorphism P G. The kernel of 1 (i.e. the aggregate of the kernels of each 1,) is a subsheaf P' of P and the image 1P of P is a snbsheaf P" of G (Hirzebruch p. 23). The notions of monomorphism, epimorphism, exact sequence, etc. can be carried over from modules to sheaves by requiring that the appropriate properties hold in every stalk. sheaf P ' as If P' is a subsheaf of P we can define a quotie~~t follows. The stalk Pjl. = (nu)-'z is defined to be F x / P k . There is a natural transformation from P into U F; given by the natural ho-
-
XEX
momorpl~ismFs --P;. 1TTe make this a mapping, and turn P" into a sheaf, by defining open sets of lp' to he images of open sets of P. We write the relation between sheaf, snbsheaf and quotient sheaf in the form of an exact sequence
where i is the injection mapping of P' in F ant1 j is the sheaf homomorl~lrism me have just defined of I? onto P". The relation (9.7.1) asserts the existence of an exact sequence
for every point x of
( I ) The point of this is that, if s is a section of r o v e r U aurl a in lik belongs to s (U) n F then there exists an open aet Y of X such that n(a)E V c U and Y (r)E 1'". Note that the zero aectiou of t' is always a snbsheaf o f P.
Differential for111s in algebraic geo~uet,ry
~ 1 3 1
109
9.8. The exact cohomology sequence.
A space X is called paracompact if i t is Hanssilorff and if every covering of the space has a locally finite retinement. We sliall henceforth consider sheaves only over paracompact spaces. I t is proved (Hirzebruch 2) that the exact sequence (9.7.1) implies, for paracompact X the exact sequence of cohomology groups 0
-
HO (X, P')
i +
H0(X, F )
- HO(X, P " ) -b Hi (X: F') - ... j
i
(9.8.1)
-
Intuitively the l~omomorphism HP (X, 3') Hp (X, F) can be obtained as follonrs. Any element of B P (X', F') is the direct limit (by refinement) of :in element of HP (%!, P') where %! = (Uai is a covering of X , this element being given by a set [F;~ where
0
n...nuo is a section of F' over Uaon
morphism 3'
P
- P induces
Buap ..nu, of F over U,o n
...
0
n
a mapping of Pha
,
gap.The homoP
0
)
a~
... n UGPand the set (Faa
on a section .,.,
0
%) deter-
mines an element of Hp (2,F), and then by the direct limit process, an element of HP(X, P).The llomomorphism liP(X,P) HP(X,FH) is obtained similarly. We now consider the homomorphism Hp-I (X, 3"') HP (X, F'). For suitable coverings %! an element of HP-l(li) P") is the direct limit of an element (Pga of HP-I (cl(, P") and if %! is suf-
-
-
t
ficiently fine we can write Pt;, ,., nunp=j F u a ,,.,,nu where Po,,n...n 4
is a section of P over Ua, n
QP
4
... n UaP. The set
gap
(PUain.. nuaP] is not
in general a cocycle. Now
has image zero under j (the image being 6 Pga 4
) and hence
is a section of F' over Uaon ... n UaP. Moreover it is trivial to show that Pba n...nuapisa cocycle, representing an element ofHP(T,F'), 0
and it is easy to show that the direct limit process leads to a uniquely determined element of HP (2;F'). This interpretation of the homomorphisms in (9.8.1) can he used to establish the exactness of the seqnence, bnt we leave the details to the reader.
110
WIILIAM
[2 1 41
HODGE
sheaves of $finite type. A sheaf P is of $nite type if (a) HT(X7 P) = 0 if r is sufficiently large; (b) Hr ( X , P) is a finite dimensional vector space for all r. It is easily seen, from the exact sequence of cohomology groups, that if, in an exact sequence of sheaves
two of the sheaves are of finite type then so is the third. For sheaves of finite type we can define the Enler-characteristio number X (P)= 2 (- l)idim Hi ( X , P).
-
-
i
If 0 P' F PP" 0 is an exact sequence of sheaves of finite type it is easy to prove that -+
+
X
(El)
= X (P')
X (3").
Pine sheaves. A sheaf P (on a paracompact space) is fine if it has the.propertg that given any locally finite covering (U,)there exists a set of homomorphisms 9, of F into itself snch that ( 1 ) 9,P is zero outside Uu (2) 2 q), P = P (or Z' 9, = 1). U
a
(The sum iu (2) is admissible on account of the local finiteness of 9l and conclition (1)). The important property of fine sheaves is that If P i s $rze then-lip (Ar, P) = 0 if p 0. Proof. Let any element of Hp (X7F ) be represented in Hp(ql, F ) by a cocycle fao...a?,, where (2 is a locally finite covering. (The possibility of finding snch a (2 depends on paracompactness). Then yafao... is zero ontsicle UU. Define the ( p - 1)-cochain g*a,...? by the rule
>
.
Then gu is zero outside Uu Now
Differential forms in algebraic geometry
[2157
111
Rut f is a cocycle so that
Hence
89" = F a f a ,...ap Hence f a ,...ap
=2 a
Ma f a ,...ap
.
= 2 aga = 8 2 ga? a
a
the sums 2 all being meaningful because C2e is locally finite and a
cp = 0 outside U d . Thus f belongs to the zero class, so that our
theorem is proved. 9.9. De Rham's Theorem.
The results we have given can now be applied to establish de Rham7s Theorem. Let d p be the pre-sheaf of real local Om p forms on ;F, defined by taking A p ( U ) to be tlie R-module of Cm p-forms on U. We shall denote the associatecl sheaf by Ap ( d P is in fact the canonical presheaf of A p j c.f. the remark a t the conclusion of 9.5). If we take a locally Hnite covering of X and a partition of unit?/ ( y,] associated with ( U a ) (c.f. the lectures of Prof, de Rham) we have associated an obvious homomorphism 9,: d p ancl A p . I t is immediate then that hence a homolnorphism qa: A p A P is fine. d p has a sub-pre sheaf % p , the sheaf of local closed P p-forms on X. ( B p ( U )is the module of p-forms in U whose exterior derivative vanishes in 77).Clearly we have the exact sequence
-
-
But with the aid of the Poilzcare' Lemwla,, -which asserts that every closed form is locally a derived form (c.f. again the lectures of Prof. de Rham), we see that d is locally onto. Hence the exact sequence
for sufficiently small neigbourhood and thus the exact sequence of sheaves
This then gives rise to the exact sequence of cohomology groups (where we write H1' (P) instead of HI' (X, P) as there is no risk of confusion)
9"
But the sheaf Ap-1 is fine if p 2 1 so that Hr (Ap-1) = 0 if 2 1. Hence i t follows that
Repeated use of the forinnla (9.9.2) thus shows that
But B0 is derived from the pre-sheaf of locally closed 0-forms, i.e. constants. Thus B0 is the constant sheaf R, where the sheaf R is the topological product of X and the additive group R of real numbers taken with the cliscrete topology. It is easily seen that Hp ( X , Rj is in fact the same as the ordinary r e d cohomology group. So v e have shown that
Hi (Bp-1) 2 H9 (X, R). Substituting this in (9.9.1) and using the property that H0 is the group of sections me have 0
r (RP-1) i r (Ap-1) -- r (B9) d
--
-+
+
H P
( X , R)
- 0.
Thus
Hp ( X , R) 2 I'(BP)/dr (Ap-1). But this quotient on the right is the quotient of the group of global closecl h firms modulo the group of derived p-forms. Thus formula (9.9.3) is simply a statement of de Rham's theorem on the representation of cohomology classes by closed forms.
PI4
Differential forms in algebraic geometry
10. Sheaves
rtad
113
Bundles.
10.1. Dolbeault's exact sequelzce. M is now a complex lcahler manifold and we shall consider sheayes on M for which the stalks are C-modules. (As opposed to the sheaves of R-modules over the real manifold X applied in section 9.9). The sheaves in which we are interested are sheaves of germs of certain classes of differential forms, defined in an obvious way by considering the pre-sheaf of local forms of the appropriate class. We define Ap,q to be the sheaf of germs of C* forms of type ( P, 4h
and Bpfq to be the sheaf of germs of C w forms of type (p, q) which are d" closed. If q = 0, Bps0 is the sheaf of holomorphic p-forms which we shall also denote by BP. It is easy to see (c.f. the sheaf A s of section 9.9) that APlq is fine. And with the aid of a complex Poinoare Lemma (analogous to the lemma used in 9.9) we have an exact sequence
This gives the corresponding exact cohomology sequence
Bnt, AN-1 being fine, H r (AP.q-l) = 0 if Hence (as in the previous section)
3.21.
and
A q-fold repetition of this last formula gives us
114
WIT,T.IA 31 HODGIC
PIg]
In particular
Now as we have already remarked, a t the end of 5 5, every d"-closed ( p , q) form is the sum of a harmonic (p,q) form and R dl ".derived (p, q) form. Thus
which is isomorphic to the module of harmonic ( p , q) forms. Hence from (10.1.9) and (10.1.5) we have shown that
Hq (gp) is isontorphio to the ntodule of ltavnzroaic ( p , q) fornzs.
(10.1.6)
This has several important consequences. In the first place clim Hq (gp) = 1P.q so that Q P is a sheaf of finit,e type. And, by (10.1.4), dim H T(RP3q) is finite if r 1.
>
10.2. L i ~ eBundles over conzplex manifolds. Suppose ( Ua] is a covering of N.A complex line-bundle P over M is defined ( l ) by a set of non-zero holomorphic ft~nct~ions1 fap] defined in Ua n Up whenever Ua n Up ;C1 0,and such that fa, = 1, fa! fpq= 1,and fap fpr j ' ~ =1 in Ua n Up n Uy whenever this latter intersection is non-empty. It is trivial to see how to define the same bundle for any covering ( T I ) which refines (U,J. [Geometrically a line bundle ca,n be regarded as an abstraction from a manifold (the bundle space) made up by piecing togetl~er the sets Ua x L, where L is a complex one dimensional vector space, 1 as follows. If x is a point in Ua n Up we identify the point x xfap in Ua x L with x x 1 in Up x L. The conditions imposed on f merely assert the consistency of this process]. Two bundles {faB), (gag]are equiz.alent (geometrically this asserts that the associated spaces are homeomorphic) if in each Ua there is a non-zero holomorphic function F, (which has the geometrical
(1)
In this section P is
B
line bundle, not a rrheaf.
Differential forms in algebraic geometry
r2191
115
effect of e changing the co-ordinates in the fibre >> in Ua x L) such -1 that gap = pa .faB 976 in Ua n u g A section of the line bundle is essentially a continuous mapping of the base space into the bundle space which is inverted by the natural projection. Formally a section of the bundle ( fag) is a set of functions ! P a , defined in each Ua so that !Pa =faB Pg If a bundle has a nowhere-vanishing section it is equivalent to the constant bundle. The sections of the bundle form an additive group (P). We can similarly define Cm line bundles and Cm equivalence of bundles. Of course any two holomorphically equivalent colnplex bundles are C equivalent.
.
,
.
r
(x~').
LEMMA.The complex line bundle j f.6) is Cm equivalent to the inverse conjngate (Cm, but not holomorphic) bundle It is not hard to see that ( f a g ]is equivalent to (hap)where hap is unimodnlar (the principal bundle is locally the product of Ua by the Argand plane with origin removed, and can hence be continuously mapped into the product of Ua and a circle). Thus -1 fap = hapap = 1 -hap ag =
aal
= 1,
a;
1 --I
l a
--I
-
fap Rg J B
and this establishes the lemma. Hence also there - exist real nowherevanishing Cm functions a, (where a, = (I, &)-I) snch that I fag = a,/a@. We wish now to define the sheaf APjq ( P ) of germs of (p, q)forms with coefficients in the complex line-bundle li'. We do this from the pre-sheaf d P s q ( P ) which we now define (this pre-sheaf will in fact be canonical: c.f. the remark at the end of section 9.5). If U is an open set of M we have an induced bundle PUon U, hence a group of sections T(Pu)of Elv. We define (As (Pj)( U ) (the module of our pre.sheaf associated with U j to be a set of ( p , q) forms cpa one defined in each non-empty U n UU, , such that pa = f a g tpp in each non-empty U n Ua n U p . Tn fact (AP8q (P))( U ) = = A P (u)(z)r ~ (PO). Similarly we can define sheaves Bp,q(P). In this case each g?, must satisfy d" pa = 0. This definition is legitimate only because fap is holomorphic. We can now define an operation d" : A p q (P)-. A.p,Q+l(3)by defining it for the appropriate pre-shea~es. If g? is an element of
l2
,
P201
WIT>TJAM HODGE
316
( A p , q (F)( U ) we define d" g, in (Apqfl ( F )( U ) by the relation it follonis tlrat (d" v), = (d" q), = d" (97,). AS fap is liolo~norpl~ic =fap (d'' v)fi Next we wish, assuming M to be a compact Kahler manifold, to define an operation 6" : A pfl (P) A p 9-I (P). Again we contine ourselves to (APtq (P))U and an element cp of t l ~ i smodule. Define 8" g, by the equation
.
-
Thus
(since cl'
(f,;;')= 0)
by clefinition of (8" q ) p , so that 8" q does actually belong to (A p q-l (F))(77). If 6" 9, and d" y are botli zero cp is said to bc lrarinonic. If fag = 1 we have harmonic forms in tlre usnal sense. I t can be proved direct11 that there is a finite nnmber of linearly intlependent global harmonic r-forms ~ r i t hcoefficients in F, :bud that these resolve into the sum of 11;hrmonic forms of type (p, q) with p q = Y . (These resnlts itre due to l(odnira : cS. Hirzebrilch, 1). 118, where references are given). The sheaf-tl~eoret~icanalysis of section 10.1 goes through unchanged when n-e have forms wit11 coefficierlts in F and we deduce that (t~B ) P ( F ) is of finite type, (b) dim H q ( Q P ( b')) is equal to the n~uiiiber of' independent harmonic forms of type (p, q) mith coefficients ill a'. Purtller the m:ipping of the global l~arulonic (p,q ) form y mith coefficients in P (represented in each U,, by cp,) on to t , l ~ e l~armonic(n, - p , m - q ) fort11 y+ (\\.it11 representative cp? in Ua)
+
Differential fur1118in algebraic geo~uetry
[2211
with coefficients in
-
El=
117
( j i ~ ldefined ] by
estttblishes an iso~norphismbetween the global harmonic (p, q)-forms - q)-forms with coefficients in - li'. Hence
with ooefficients in P and the global l~ttrmonic( m - p, nb
Hfl( n p ( F ) )z H m-(1 ( s ~ * J ~ - - Y(- I?)). This is a special case of the Serre duality tlbeore))~. 10.3. Line bu)zdles and dit~isors.
Any divisor D on a coml,les manifold ill is given as follorvs. If ( U a ) is a covering of ilZ the divisor is given in U , by the zeros and poles of a meromorphic fi~nction cp,, and the divisors in Ua and U p agree in U,, n Ub (if the intersection is non-empty) if and . P)a only lf - =Lp is a holomorphic nowhere-vanishing fhnction in 9?b'
Udn U p . I t is trivial to verif:y that ( f a B) defines a bundle, determined in this way by the divisor D. If another divisor E deterE determines the bundle { fa8 gap) mines a bundle (gup)then D which is called the s t h a of the bnndles ( fa8] and (gap). The functions p., determine a a meromorphic section 9 of the b~undle.If they are holomorphic functions we have a fl holomorphic section u and the corresponding divisor D is an integral divisor. Conversely, if any complex line bundle has a meromorphic (holomorphic) section, the sectio~ldefines a clivisor (integral divisor). If two divisors D, E correspond to sections ( y o ) , (y,) of the same bundle ( j i b ]then
+
P)B Hence 'Pa - = - so that we have a meromorphic function gloa
Y'P
bally defined on 11' whose divisor is U - E. Thus D , E belong to the same divisor class, and conversely two divisors of the same class define the same bnndle. Thus the group of holomorphic see. tions of a bundle defines a complete linear system of integral divisors.
What we have said establishes the relationship between eqnivalence classes of clivisors and a subset of the set of all bundles. We cannot say that all complex line bundles correspond to equivalence classes of divisors unless we can show that every line bundle has a (meromorphic) section. However for algebraic varieties we have the THEOREM.Every complex line bundle has a merornorphic section. We shall postpone tlie proof of this theorem till later. Meanwhile, assuming the result, we can give an elegant proof of Lefschetz7s theorem that on an nz-dimensional algebra'ic variety a (2nz - 2)cycle is homologous to a cycle representing a divisor if and only if every (2nt - 2)-form of type (m, 111. - 2) [or ( m - 2, nz)] has zero period on it. More conveniently we consider the dual 2-cocycle, and the theorem is that a 2-cocycle is (cohomologous to) the cocycle of a divisor if and only if it is of type (1,1). Let Z be the (constant) sheaf of integers, Q (= go) the sheaf of germs of holomorphic functions. We introduce a multiplicative sheaf F (in which the group operation is commutative mnltiplication) of germs of nowhere-vanishing holomorphic functions. Then
is exact, where i is the natural injection and-j is the homomorphism
-
e2nl/-1
.
The group Hi (P) is easily seen to be isomorphic with the group of compl~xline bundles. The exact sequence of sheaves (10.3.1) gives rise to an exact sequence of cohomology groups of which FO
ql
is part. If we follow out the process (c.f. Kodaira-Spencer, Proc. Nat. Acad. Sci., 39 (1953) 868-87'7) of passing from H i ( P )to H2(Z)
we see that the image of each line bundle is the cocyle dual to a' divisor determined by it. Conversely any 2-cocycle, i.e. element of H z ( Z ) , is the image of a bundle if and only if its image in H 2 ( 9 )
Differeutial forms in algebraic geoluetry
[a231
119
is zero. Eut H 2(0)being the group of harmonic (0,2)forms, the image of a cocycle in Hz(@ is the (0,2)part of the cohomologous harmonic form. Thns an element of H Y Z ) is the cocycle corresponding to a divisor only if the (0,'J)part of the cohomologous harmonic form is zero : the form being real the (2,O) part is also zero, so the form is necessarily of type (1,l).
10.4 The oalzonica.1 bundle. A line bundle .of speaial importance on a complex manifold is that corresponding to the canonical class. Let (8: x?) be local co-ordinates in U&.If U,n U p is not empty consider the function
, ... ,
f ,=
a
(7' ".' 1
a@,,
m . a * ,
: the bundle
E determined by
is ealled
Xi,)
the canonical btcndle. If, as in the case of an algebraic variety, there exists a meromorphic form defined globally and given in Ua by pa dxa n n Ilx? {qaj is a section of the canonical biindle and corresponds to a divisor of the canonical system. By means of the canonical bnndle we can prove the result
,
...
a0 (F) a' Qn ( F - E) for any line bundle F. For if an element of (00 (F)) ( U )is represented in U n U, by q9a (pa = fag qp in U n Uan Up) then yla = 9, a n (JX? is an element of ( Q(F ~ - A)) (77).Hence the required isomorphism. This isomorphism, coupled with the Serre duality theorem quoted at the end of 4 10.2 gives
...
H r (Q (F)) 2 2 Hr S j 21n (F- E))'U Hqn+ (B( E- F)) where, as usual, g = fjO. If D is any global divisor associated with the 1ine.bundle F, i.e. D is given by sa in U, , where s, =.fa@ S@ in U,n U B ,and if f: is a global section of Q P (F), then f:/sa is a global meromorphic p-form on M which is a multiple of - D. The same argument works w'ith everything restricted to an open set U of F. Thus Op (F)is isomorphic with the sheaf of germs of meromorphic p-forms which are multiples of - D. And H 0(QP (F)) is isomorphic with the group of global rneromorphic p-forms which are mnltiples of - D. This provides a motivation for the consideration of the sheaves with coefficients in a bundle,
11. Some R i e l l ~ s ~ ~ n - B oTheo~.ettts. ch 11.1 The four-term forr~rula oj' Kodaircb-~Ypewer.
We now show how to aspply the foregoing results to obtain certain formulae of classical algebraic geometry, including the classical Riemann.Roch Theorem. We first need to establish two exa,ct sequences. Let P be any complex line bundle over D.1 and S a non singular divisor (not ne. cessarily associated with P) given in U, whenever Ua n 8 0by the equation $2 = 0 (which ca,n always be achieved by a snita1 1 blc choice of local coordinat'e system in UJ. Let s , ~ = a,/za if Ua n Ug n S $ 0 : whenever U, n S = 0 -we replace xk in sap by 1. We shall wish to consider homomorl)hismsbet,weeu shea.ves over ill and sheaves over 8, and our clefillitions of sheaf homomorphism apply only to sheaves over the same base space. However we have already remarkeil, at the end of 3 9.6 that we ow.n extend a sheaf over S trivially to a sheaf over M and that it is irrelevant whether me consider cohomology grollps of S with coefficients in the sheaf over S, or'whether we consider the cohomology gronps of M with coefficients in the extended sheaf. over &I. We also need to extend a pre-sheaf over S into
,
+
9
This is done by defining d ( ~ =G ) ( U n AS'). With these conventions homorphisms of a sheaf or yre sheaf over IIf into one over 8 can be regarded as seusihle by the espedie~lt,which me sha,ll take for granted, of extending to N where necessary. consider now a section p of Dp (El)over the open set U, represented by 9, in every non-empty U, n U. Then
Let and
where the subscript S' denotes restriction to 8.
Differeutial forms in algebraic geoluetry
[a251
r
121
-
We then have a homomorphism ( U, Qp (P)) I'(U n S, Q; (PSI) given by ya - - y& For since pa=fag yg we have y: = (jig)8 ph, so that cp; does belong to r ( U n S, 8: (F,)),and the homomorphism is onto. Thus .eve shall have an exact sequence of sheaves (where B"P(F) is the kernel of the homomorphism and a subsheaf of Q P (P))
.
and the kernel Q"P ( F ) is to be determined. Remembering that sap = aA/zi and hence (sag), = (dzh/dx&. t l ~ e relation ya =fag Q)@ gives
,
Hence, if y is in r ( U ,
u" (F)J
Hence a mapping
which is a homomorphism onto, and the kernel consists of those ele ments Q) of r ( U , QP (P))which are such that (x;)-l pa is holomorphic (because rpa must vanish on 8).This kernel is thus r ( U , Qp (P- 8)). Hence me have an exact sequence of sheaves 0
-c
ap(P- S)
-
af'p(P)- ofl(P-
S),
-
0.
Now all the sheaves of the form SP(P)are of finite type. Thus in each of the exact sequences (11.1.1) aud (11.1.2) all the sheaves are of finite type, because two of them are, and we can therefore introduce the Euler characteristic X. The exact sequences then give
and
x (M, QP (PI)= X (4QNP(3)) + X ( 4 f2:
(PA)
x (x, ~ ' (P)) 9 = x ( M , QP (p- 8))+ x (S, Qf-' (P-
Hence we get our basic Riemann-Roch theorem (the four-term formula of ICotlaira-Spencer)
This theorem will be applied in various ways : before doing this we comment on some particular points. (i) If p = 0, ~ p - l = O ; if p = ?)t,o:= 0. Applying (11.1.2) and (11.1.1) we deduce
(ii) The formula applies to cot!/ comples line bundle F over a coml~lexmanifold on which there is a non-singnlar divisor 8. (iii) The process of deducing
-
from tlie exact sequence 0 -- A -- B C -- 0 of sheaves of finite type is only one example of a functorial operation on a class of sheaves. Others call be given, and this is the starting point of Grothenclieck7s generalisation of the Riemann-Roch theorem. 11.2. A theorem on afihple systems. rf now our complex manifold M is replaced by an algebraic variety V, we can consider on Ti the notion of an < ample >> system of divisors, i.e. the prime sections of a non-singular model. We have the following
T H I C ~ I ~IE fM 8 .is n non.singular divisor oj' an alrtple system 1 8 1 on V then
t)t
being the conaplex dinjelzsiotb qf V. Sincg Q " ' ~(F)= P(P) by (11.1.4) we dednce, by putting F = S
in (11.1.2),
Differential forms in algebraic geometry
[227]
123
Hence the exact sequence
-
Hq-1
(S, QF-1)
-
Hq
Bz~t Hq-l(S, Q*'-1) N %sm-l~'-l, forms on S and H' (V, Q*]') forms on V. But by 'duality
(V, Qnh)
-
Hq
-
(Ti; Q* (8))
(11.2.1)
the group of harmonic (m -1, q-1)(m, q)
qnh'Q, the group of harmonic
and, by a well known theorem there is a,n isomorphism (monomorphism) of % "'-' %:"-" if q > 2 (q = 1).But it is trivial to show that
'-
is commutative, the bottom line being the mapping dual to that %p'-q'O.Hence we deduce that the top line in the of %"-'.O diagram (11.2.2) is an isoluorphism if q 2 2 and an epimorphism if q = 1. Hence reverting to the seqnenqe (11.2.1) we deduce that Hq(V7Q ~ ~ ( S ) 0) =if 4 2 1.
-
COROLLARY.Hq (M, QO ( 8 ) )= 0 if q )1 and . S- E is ample. Because QO (8) Q~ (S - E ) as shown in $ 10.4.
"
11.3. The sections of line bundles over algebraic varieties. As a first application of a Riemann-Roch theorem we now pro. ve that : On an algebraic variety V,, any line bundle has a meromorphie section, i.e. there is a (1,l) co,rrespondenee between line bundles and divisor classes.
In the case p = 0 the exact sequence (11.1.1)becomes
where we may take 8 to be a prime section of V. Let us suppose that m > 1 and make the inductive hypothesis that the theorem is true in any dimension m' m,
Hs(~I,~O(Fr-l))lL'H~Jf,~O(Fr)) if s 1, so that
(d,(F9-1))- x (QO(Pr))= dim H 0 (SJO (Fr'r-l)) -
- clim E (ao(Fr))- dim H 1 (oO (P,.-l))
+ dim H'
(.QO
(Pr)).
But from the exact sequence (11.3.2) we deduce
giving
clim I f o (szO(Fr))- clim H O (SJO (I7'r-i)) = (11.3.3)
(q(F,,,)) $ clim H 1 (QO
= dim H O
if r>ro. Adding these results from ,ro
(Fr))- clim H 1(QO (F,.-,)),
+ 1 to ,r we get (Lr',,))+ dim H i(d(Fr))-
dim H O (a0(I??)) = dim H O (QO
- dim H 1 (QO ( F J )
(11.3.1)
r
+k=ro+l 2 dim H 0 (SJ:
But dim H O(Q: ( P k 8 ) )is positive since it is the dimension of the group of global meromorphic ftinctions on S which are multiples of and this system is of positive dimension. Thus dim H O(uO (F,)) increases atendily with r and hence for large enough r dim H O (saO (I?,.))
>0
P 2 9J
Differential foms i n algebraic geon>et,ry
125
+
i.e. there is a holomorphic section of the bundle Fr = F r ~ 9and hence a meromorpl~icsection of F. Thus the theorem is true once me have established it for varieties V of dimension 1. Similar arguments to those used above are immediately effective in that case, the situation being simplifiecl because S is of dimension 0 and the negative term on the right of equation (11.3.4) does not exist for any r.
Note. If M is a Riihler mauifolcl whose fundamental cohomology class is i'ntegral, me have an element of H 2( Z ) whose image in H " ( 9 ) is zero hecause it is a (1,l) form. Hence for the exact sequence (1.0.3.2) H' (P) H2( 2 ) H 2(B) -+
-
-
-
tliere is an element of H1 ( F ) which maps onto the fundamental class. A.n argument similar to the one above, using the positive definite property, shows that this has a section and we can prove the theorem of Kodaira, that RIhler manifolds of restricted type are algebraic. (Kodaira, Proc. Nat. Ac;~d. Sci. 39, (1953) 1273-1278; Hirzebruch, p. 140). 11.4. Arithmetic genera. of cclgebraic vu,rieties. Having proved tkst on an algebraic variety all bundles are associated with divisors all our bundles will in future be describeci in the divisor notation. Consider now X ( V, Q ( D ) ) where D is a divisor on the algebr:~ic variety V and '
x ( V , sz (D))= 2 (-
l)iclim Hi ( V , a (I))),
If 3 is snc.11 tlrat H1'( V, B ( D ) )= 0 if - h' is ample, we harye the case if
9 . 2
1, which is certainly
1 are not necessarily zero nre deIf the H" ( :I n (D)) for. r fine X (7,V; (D)) to be tlle aivtzcal dimejcsiojt of I D I
>
.
(1) dim I U I is here the geometrical dinlension plus one; i.8. it is the nnmber of indepeudent elenleuts of I D I . We tincl this definition more aonveuieut for our purposes.
For example if V is a curve (m = 1) X(V, g ( D ) )= dim HO(V,a ( D ) )- dim H1(V, aO(D))=
= dim
I D I - index of speciality
of D.
Now there are two classically defined arithmetic genera P a , p, in terms of a definition of virtual dimension which we have yet to show is the same as ours. P, (-1.p is the virtual dimension of I K 1 and (-1)" (pa+ (-lp) is the virtual dimension of I 0 I , the system of divisors equivalent to zero. We define the arithmetic genus as A (V,) - (- 1)'" where
+
A (7,= ) X (V, a0(I?)). But then
But X (V, SP (K)) is, with our definition, the vkttual dimension of E and X(V, aO)the virtual dimension (in onr sense) of the zero class. Tl~us,provided we can reconcile our notion of virtual dimension
with the classical one, the arithmetic genus toe Iavc dejined is equal to each of P, and p a . To establish the identity of the definitions of virtual dimensio~ we must first consider the definition of the arithmetic genus of sub-varieties of V. Let S be a non-singular clivisor. Then its arithmetic genus, on our definition is
But by the Riemmn-Roch theorem of
4
11.1 we have
Hence
x (fJ,
q-1)
- (- 1)l'b-1 = X (V, 32" (8))- X I V , ~2Tn:- (-
l)m-l.
Differential forms in algebraic geometry
127
We therefore define
is A v ( f i ) - (- I)"'-I. so that the arithmetic genus of But A v ( 8 ) is defined even if the divisor S is ?tot non-singular: we can therefore de$lze the virtz~alarithmetic ge9Lzc.s of a divisor 8 on V to be A V ( B )- (- 1)'"-I, which of course depends on V as well as 8, but which is acttia~llythe arithmetic genus if S is nonsingular. We can now extend this definition of virtual arithmetic genus to uq~ysubvariety 1' of dimension m - r 7 whether singular or not, is a co?)zp7ete intersection ?f divisors on C', . provided only that Indeed if I' = n n X, where & , is a divisor, we can choose a11 ample system I E I and then in succession choose Y i ( i = l , r ) to be a non-singular member of I ;ITi h, E 1 and such that Yl a n lriis non-singnlar, which will always be possible if hi is large enough, say Ai 1 ~ : . We can then define the arithmetic genus of the intersection Yl n n lr,.as a polynomial A ( l ~ , h,, E, Xi Xv,7 ) . I t is trivial to sllow that A (0 0, E,X, X,, V ) is illdependent of E' and we define it to be the virtual arithmetic We then define Av to be the virtual arithmetic genus of geniis plus (- l)m-T. I t is easily seen that this coincides with our ~reviousde8nition if r =; 1 . If now the X's are all talren equal to a single divisor D we call define Av(Di)for i = 1: 2, ... We define formally Av(DO)= A ( V ) . Nest nre remark that x(V,, , QO ( D ) )= ~(v,,',,Q'J' ( D - K ) ) b y
r x, ...
,
...,
+
....
>
,... ,
...
,...,
,...,
,...,
r.
(r)
.
,
(1 0.4.1).
Hence
x(v,lz,la0:D))=A(V,1)+APm(~-~), by definition of A ( V ) and A v ( B ) . If now in the Riemann.Roc11 Theorem of $ 11.2 we put p = 0, and write S for S ;md S r li for P we easily derive with the aid of (11.4.2) the relation
+ +
Nest we obtain the formula
The fbrmnla (11.4.4) is, of oonrse equivalent, by (11.4.3), t,o n8
A ("nt) f A v,,,( I ) - E ) = 2 (- l ) i Avm (Dnl-i
)a
0
We prove the formula (11.4.4) by induction on l i t . It is clearly true for m = 1. a11d we sllall suppose i t to be true for viclues of' t,he tlimension np to nt - 1. Let B he any ample system and sul)l)ose that,, for 5 2 k , , I I ) 11E I = I AS1 is ample. Then
+
A ( V ) + r l v ( ~ \ ' - l l ) = l l r + A V ( ~ S ) + A,(-Ir)+As(-K.N)by(11.4.3).
But
= X ( V , 9O)
- X (IT,S1"')=
((-
1 ) x(17, an') =
lyn
-
bg (10.2.1),
-,
And As (-K.8)= A, (A' - Ii,) where A S is a charl~cteristic divisor on AS Hence
Rnt, by the indnct,ive I~ypothesis,
, . ,
nt-l
.- 2 (-
IIencte
0
nr-1
1 As (Ayflt-l-i ) = 2 (-
.
na
11 ( T7,,) f A (AS - li ) = 2 0
i-
Both sitlex of this are polynomials in
whicl~is blir reqaired result.
1y , IJT(LYn1-i).
0
1)'A (fin*-"). 11.
Putting 11, = 0 we get
Differential forms in algebraic geometry
[2333
129
We have thus proved
But this is precisely the relationship obtained by Severi connecting a virtual dimension in his sense and his arithmetic genus. As the virtual dimension in either sense gives the correct dimension for sufficiently ample systems, we can establish the identity of our definition of arithmetic genus with his by induction on m. Having done this we can then use the identity of the two formulae to iilerl tifx the notions of virtual dimension. So we have now proved that (a) (V, f2 (D))is the classical virtual dimension of I D I (11.4.5) while (b) H0(V, Q(D)) is the effective dimension. Thus the virtual and effective dimensions coincide if dim Hr (V, 8 (D))= 0 for all r 1. We have given sufficient conditions for this in $11.2 (D - E ample). We have shown how to calculate X (V, a ( D ) ) in terms of the Av(Di) which is the classical way of writing the Riemann-Boch Theorem. Hirzebruch in turn has examined (V, Q (D)) in terms of topological properties of V, and has expressed it in terms of the intersection numbers of D and the canonical systems of V. The numbers dim H r (V, a0(D)) can also be expressed in geometrical terms as deficiencies of linear systems (c.f. @ A note on the Riemann Roch Theorem, Journal of the London Math. Soc. 30 (1955), 291-296, especially § 5). I t is also possible using the Riemann-Roch Theorem to get similar results for virtual dimensions of the set of p-forms (n7e have just dealt with 0-forms) with assigned polar loci.
x
>
x
11.5. A Riemann-RocA Theorem for p-forms. The Riemann-Roch theorem in its classical form is essentidlg a study of functions on a variety having assigned polar loci. We wish now to consider forms with assigned polar loci. liodaira has shown that, for suf6ciently ample D,Hq( V,QP(I))) = 0. Hence in this case
x ( V, Q P
(D))= dim H 0 (V, ~p (D))= dimension of
the (vector) space of p-forms hltving singularities (of first order) on I). We t,herefore define ( V , SIP (I)))to he the airtun1
x
130
P341
WILT~IAMHODGE
dlimeasioa of the space of p-fold analytic forms having D as polar locus, and we follow the same methods as above to find a formula for this. I n the case in which S, S2, B3. are non-singular we have, from the Riemann-Roch theorem 11.1.2,
..
Hence
X (7,QP (8))- X (8,Q i (S2)) = X (V, QP)
+
X (fl7Qf-l).
X (X, Q: (89)-x(flP, Q$ (S3))= X (4Qgp) f X (X2, l2S-l)
x (ar-', Q;-I
(ST)) - x (ST,0.: (A'?'"))
x
= (AS''-',
Q$-I)
+ x ( R T , 8;:)'.
Adding we get
with the convention that So= V. Taking r = m -p we have
Hence, with this value of r, x (BT,Q: (8"')) is the virtual dimension of ,y m-p+l - KSm9 on 8mna-p. The terms x (Si Q): and x (Si, are characteristic invariants of S. Hence we are able to express the virtual dimension of the system of p-forms having 8 as polar singularity in terms of known invariants of 8. Since
,
~5-l)
where h:: is the number of independent harmonic forms of type (t, q) on Si, we thus have an example of tliese numbers appearing in a geometrical formula.
I should like to express my indebtedness to Dr. D. R. Scott, whose help in preparing these lectures for publication has been invaluable.
SCOTT D. B. 1961 Rendiconti di Matematica (3-4) V O ~ .ao, pp. 395-402
Correspondences between algebraic surfaces (") by D. B. SCOTT (a Londra)
The use of differential forms and their integrals is one of the oldest tricks in the theory of correspondences. It is not our intention to give a review of this aspect of the subject : we are concerned here to comment only on one problem which arises in the theory of correspondences between surfaces. In Lefschetz's classic paper (5) the base number for correspondences between two curves is established by using the condition for a 2-cycle on the product of the two curves to be algebraic, this condition being that the double integrals of the first kind all have zero period on the cycle. The extension of this result to correspondences between surfaces was undertaken by Hodge in a pair of classic papers (3 and 4). The extension is incomplete in that the conditions for a 4-cycle on an algebraic fourfold (in this case the product of the two surfaces) to be algebraic are not well-determined. Necessary conditions, in terms of the periods of integrals, are known, but the problem of whether they are also sufficient is, I think, still open, but I know that the problem has long been close to Hodge's heart. But, even if we know the conditions for a correspondence to be algebraic, it seems likely that there might be further conditions for a correspondence to be effective and irreducible. I n two forthcoming papers (7, 8) I have been able to determine a condition of this type.
(*) Conferenza tennta nel ciclo del CIME (Centro Internezionale Matematico Estivo) su Rorme diferemziali e loro Ctegrali ch'ebbe luogo a1 Saltino di Vallomhm.0 (Pi-nnoa) a l l 23 a1 31 agosto 1960.
13961
D. B. SCOTT
1 ~ 2
Tbe problem of finding such conditions is implicit in Hodge7s work and underlined, as I shall shortly explain, by various theorems on correspondences with valency. This partic~~lar problem is clearly raised by Hodge7s work with differential forms, but I must confess at once that these techiques have so far made no impression on it and the methods I have used are, unlike my problem, only indirectly within the subject matter of this conference unless one takes the broad view that, in view of de Rham's theorems, everything related to the homology and cohomology of algebraic varieties is something to do with differential forms. Let us now consider a correspondence between two curves C1 and 0 2 . On a curve C of genus p we have a base for cycles as follows 2-cycles C
0-cycles
z
((a
point of C).
For the curves C i and 0" of genera pi and p2 respectively, we denote everything by the obvious symbol with index 1 or 2, upper or lower as convenient. E. g. the general 1-cycle on C i is yt, (i, = 1 , 2 , ,2p1). But clearly the upper index is redundant as the information it gives is implied by the lower sub-suffix : we shall accordingly omit it whenever we feel like it. An (a,, a%) correspondence between Ci and G 2 is represented by a cycle on C1 x Ce of dimension 2. Hence rx ai xi x C2 a2 Ci X x2 E6i, yi, x ya (Here and henceforth we sum over the range of values of all repeated literal suffixes). The transforms of the 1-cycles under T and T-I are given by
...
r
+
+
.
where each of t, q n determines, ancl is determined by, any of the othera. In particular if one of the three matrices vanishes so do the other two, this being easentially the theorem that if l' is of valency zero so also is F-1 (and conversely). Consider now a pair of surfaces and P v n o t necessarily distinct). On a surface P we have bases (for weak homology: torsion
[3971
Correspondences between algebraic surfaces
133
is neglected throughont this lecture) as follows
... , for agebraic cycles ...,a for transcendental cycles)
4-cycles C, ,cp (r = 1, = 1, l-cyoles yi (i = 1,2,
Q
... ,Y q )
With the same conventions for Pi and P h s me used with the ourves C 1 and C2, it point-point <w2)correspondence of indices a1 and a2 is given by a cycle r satis$ing the homology
The conditions of IIodge (4) determine the possible values o f f and g itnci give necessary conditions for 1. The effect of the correspondence on the cycles depends on f, g and 1 as follows:
(r)and
f
controls
2'
g
controls
T (y)
and
P-I
1
controls
P (o)
and
P-1 (c),
2'-1
(y)
(r)
If we arrange to take the y's and r 7 s so that on each surface
(yi
rj)= dij
(the Eronecker delta)
we have the results
Xow the notion of valency zero can be generalised from curves to surfaces in several ways : of course once we have the notion of
valency zero the notion of valency v for self-correspondances is defined. (T is of valency v if P vI is of valency zero, where I is the identical oorrespondance.) The difficulty in extending the idea of valency zero is that on a curve there is an inevitable confusion between primals and sets of points, while in higher dimensions the ideas are clearly separate. One way of looking at a correspondence of valency zero on a curve is to say that the transform of a single point belongs to a linear series of points. The generalisation of this is that the transform of a point on a surfwe belongs to a series of equivalence: this is valency zero in the sense of Severi. Another way of looking at things is to say that the transform of any continuous system of primals belongs to a linear system (since on a curve a continuous system consists of sets of a fixed number of points). Taking this idea over to surfaces we get correspondences of valency zero in Albanese's sense. These correspondences are also defined by the property that the transform of any 1-cycle is homologically trivial. Severi's correspondences of valency zero require also that the transform of any transcendental 2-cycle is trivial. In view of what we have said T is of valency zero in Albanese's sense if g = 0 . And T-I is of valency zero i f f = 0. Hodge's conditions on f and g are quite independent so that we are left with the obvious question whether, if a correspondence is of valency zero in Albanese's sense so also is its inverse, i.e. whether f = 0 implies g = 0 and conversely ? ( F o r correspondences of Severi valency the extra condition for both 9 and T-1 is that 1 = 0 so that there is no further serious problem of reciprocity in this case.) The answer to this question is certainly not, as it is for curves, an unrestricted affirmative. For if this were so it would imply that if a self correspondence T were of valency v then T-l must also be of valency v, and this theorem is known, by examples, to be false, though it had long been erroneously asserted (of. 6). However Albanese (1) and Todd' (10) have both published proofs that the result for correspondences of valency zero holds if T is irreducible, non-singular and non-degenerate. (This implies the corresponding result for correspondences with Severi valency zero). It is thus shown that if P is irreducible, non-singular and non-degenerate then f and g can only vanish together, a condition nowhere implied in Hodge's conditions for !l'to be algebraic. The question naturally arises, e does the irreducibility of P impose a relation between f and g in all cases % $ Such a condition has now
+
[3991
Correspondeuces between algebraic surfaces
135
been found, but it is established on certain restrictions which I shall snmmarize as
={0 - 1 eat un o
o
entier. La relation R [(B, o),o] = R [(Of,of),o]
ba
pour toute chaine o admissible pour lea deux couples (0, w) et (Or, of) est une relation d'Qquivalence ; 011 d6signe par 18, o ] la classe d'6quivalence du couple (0, co) ; l'eusemble eX( X , 2) des classes de couples [0, o ] est un groupe gradud par le degr6 de 0 et possbde la ddrivatioil d d6finie par : d [0, w ]= [O, 01. Allendoerfer et Eells [2] inoutrent qu'il existe un isomorphisme canoniqne du groupe de cohomologie de e " ( X , 2) snr le groupe de cohomologie H " ( X , 2) B coefficients entiers de X(leque1 s9Ctend d'ailleurs aux structures d7anneaux). (*) I1 present8 lavoro sviluppa un Seminariv tenuto dal17A. a1 oorsv estivo del C. I. M. E. : a Forms differenziali e loro btegr'ali D (Saltinv di Vallombrvsa Piren~e,23-31 agosto 1960).
Ce tl16oreme est, en particulier, valable pour lib structure analytiyue rt5elle d6finie par uue vnrietie' ailalytiqiie courl)lexe, u~ais,t~lors, se pose le probleme des relatious e ~ ~ t la r e utructrrre complexe et la eohomologie entiere. Quelques r6sultatv snr le grollpe cle col~omologie elltiere de dime~lsion 2 d'une vttriBt6 arralytique coluplexe s o ~ t obtenus daus cet article; le principal est le suivaut : Soit V nue vari6tB a,ni~lytique complexe parilcompacte ; aoit H 1 ( V , Z) le sous-groupe des Bl6me1lts de H 2(V, Z ) dont les imrrges, ditlrs le groupe de cohomologie complexe sout repr6selltables par des formes ditY6rentielles fenne'es de type (1,l).Alors, si V satishit B uue autre conditio~r(vbrifike, en particulier, par les vari6t6s kOh16rieuues oompsctes), il existe : 1) nn groupe E l J ( V , 2 ) de classes de couples de formes diff6rentielles (8,a) ou 8 eut ulre (1,l)-forme G w ferm6e sur V et oh o est de degrB 1 et possede c e r t ~ i u e s IA de E I J(V, Z ) stir ( V , Z) singolaritBs ; 3) un Cpiu~orphie~~le (th6or81rre 10); le noyitu tle h est aussi d6terlniub (th6olelrle 11). Les siug11lsrit6s des formes w sont porte'es par des euse~llbles aualytiques reels d6finis, en chaque poiut par les zCros d'lule fo~lction analytique r6elle a valeurs complexeu. Par ailslogie avec lea rbsidus de formes diff6re11tielles a~e'romorphes, oil associe :tux forlnes w des Btres g6ne'ralisicnt les diviselirs et qu70n itppellera pseudo-diviseurs. Les proprie'tks des psendo-divisel~rs atilis6es ici sorlt groupees au no 1; elles sout Btablies dwns uu t ~ u t r earticle [6] en utilisant, ell particulier, des r6sultiits de H. Cartau [4]. La codimension (r6elle) des singnlarite's cles formes w est )1, de sorte que la c o ~ ~ d i t i oimposee u A la dimeusion des si1lgularit6s de cu dsns [2] n'est pas toi~joursremplie; cela complique uu pea la d6fiuitio11 des couples (8, a). Les r6sultats sont pr6cis6s dans le cwsdes vilrie'tes algdbriques projectives sails siugularitB (tl16orblne 12) et des vari6tBs de Steill (thborbmes 14 et 16), lea formes u, consid6re'es Btilnt semi-mCromorphrs ou m6romorphes. H1ll
1 . Prbliminrires : germes de f o l ~ e t i o i ~m6romoryhes s do variables r6elles; pseudo-diviseurs, Soit V une varie'te' aualytique complexe, paraco~npacte, de diuleusio~l complexe ~ I Z2 2 ; la vari6t6 V povsbde uue structure a~~adytique rbelle ( O m )sonsjaceute R, sa structure analytiqoe cornplexe. Soit @, le faiscet~ades germes de fonctions C W A vi~leurs
12211
Snr le goupe de cohomologie enticre etc.
14 1
complexes sur V ; c7est un faisceau d7anneaux d7iatBgrit6 fitctoriels (voir [3], expos6 11); on d6vig11erw par A', le faisceau des groupes elultiplicatifs des corps de fractions des tutneaax de ar e t on 17appellerii le faisceau des gervies de j'onctio~cs atd~ot~tovphes de v a ~ i a b l e s vielles ir rtrleztvs c o ~ ~ t p l c x e sSoit, . f un Blement de i V p ; l'anneltu 3, &ant factoriel, 011 a : $= u 11 e k o u a E El, et ne s7annnle pas, oil k
,
a,e t est
irr6dtlctihle et oil 1.k est ttu entier; pour tout .fE A7,. olt c o n v i e ~ ~tle t designer par Q 1'6161nent de a, 6gal ii 1 7 ~ k cet ; pk
E
k
6161neltt iliusi associ6 8 .f est d6tennin6 au produit prbs par un facteur iuversible tlans a,. De m h e si uu Bl6ment de 3, est d6sigut5 par .Ii, oil 1 appartieut B un ensemble (17iudices, ou conviendra de designer par el 17elemel~te associ6 8 ficomme ci-dessus. Soit T" le sous-faiscean de a~(donc de N,) form6 de germes ii valenrs uon nulles; re faisceau CX:des groupes multiplictitifs des germes de fol~ctions ltolon~orphes B valeurs uon nulles est uu sous-faisceau de 5". Par aniilogie ibvec la definition des germes de diviseurs sur une vari6t6 aualytique colnplexe, on appellera germe de pseudo-divisetlr snr V en x tout Bl6ment de (N,/ S*),et N,/SX sera appelk le jaisceati des gev9)tes de pseudo-diviseuvs de V . On i~l)pellel.iipsexdo-diviseur dd V tout 6l6ment du groupe atlditif A0 ( V ,i\-,IT") et pseudo-diuiseuv spe'cial (en ahreg6 1). (1. s.) Be V tout 6161neut de 17image de l'hornon~orphisute: HO ( V , H o (7,Xr/cJ-")iuduit par 176pimorpltisme canoniqoe : KT/(?* AT,/7". On delnoutre (voir [ 6 ] ): IIEMME1. I;e groztpe des diviseurs de V est u~ sour-gvoupe d u g ~ ~ i r pdes e p. d . s. de V. -- N, N,./9* t 0 et 1)et;l suites exactes : 0
&,/en) -
-
-.
-
oh, daus 1ii seconde, B dbsigue le fiitiscean coustnut cles entiers cl, -- exp (272 i y ) r6snlte le rlbtionrleln sur V e t e 17bl~imorpl~isme: diagramme :
L'image d'un pseudo-diviseur W tlauv H (V, Z) est appelke l a cltrsse de cohomologie y ( W ) cle W ; I'iuli~ge cle y ( W ) d:rus H z ( V , C) p;lr l'hotno~trorplristlro indnit pill. I7ir~clnsioii%C C rst appelbe la
142
(222 1
P. DOLBEAULT
classe de cohotr~ologie oomplexe de W . Soit W , le germe de pseudodiviseur d6fini par W en m E V ; on appellera support W de W , 17ensemble des points m E V oh 0. C7est la reunion d7ensembles analytiques re'els de dimension 1;2711 - 1. Le pseudo.diviseur W Btant donn6, on montre [6] qu7il existe un ensemble analytique reel 8, de dimension < 2m - 3 on chacun de ses points, tel que les conditions suivantes soient rBalis6es. Sur la variBt6 paracompactk F' = V - S qu'ou dira associde ic W , on considere le pseudodiviseur W induit par W et on dBsigue par 3C les points du support de W* oh la dimension est 2m - 2. L7ensemble tlnalytique %. est la rbunion, localement finie, de sous-varie'tBs analytiques r6elles Xi connexes, de dimension 2m - 2, aanoniquement orientbes; de plus, la donnbe de W permet d7aEecter, chacune d7elles, un entier ai; lea entiers ai definissent un Bl6ment a ' E H 0 (%, Z), d70u un Blbment a E 'Hznt-2 (3C, 2)(i).Soit /3 1' image de a dans *H2,,-2 (V', 2) dans l'hon~omorpbisme induit par 17inclusion%C V' et soit /?' E H* ( V', Z ) 17616ment correspondant il /3 dans la dualit6 des varibtbs; par de'finition, fl' est la classe cat.nctdristipue de W. Enfin, 011 montre [GI : a) qn'il existe un recouvrement r de V' suffisamment fin pour que, dnns chaque ouvert ut de v, le pseudo-diviseur W soit dBfini par une f o n c t i o ~me'romorphe ~ de variables r6e11es fi et b) qne, pour tout simplexe sil~guliera, de dimension 2, contenu dnus uu ouvert
+
"
I -.
P
de r , le nombre : a, =(1/2ni) lim
(dfifi) est un entier bgal zlu coef-
e+o
.I e r .I Z s o
ficient d'enlacement de o et de la chaine sillgoli8re 2 ai & . Alors, Z
Ia classe caract6ristique /3"de W est la classe de cdhornologie du cocycle qui associe, chaque 2-simplexe a, l7entier a,. On dbmontre [6j: LEMME2. Soit W un pseudo-diviseur de V et soit V' la sous-aaridtd de V associde a W ; alovs l'hoatoi~lorpllisme: HZ (V, 2 ) H z ( F", 2 ) indtrit par 17i~~clusion V' c V est injectif.
-
LEMME3. 8oit W un psevtlo.diviseur de V et soit V' la soz~svtrvie'td de V,associda B W ;nlors, l a classe cat actdvistipue p ~ H (2V', Z ) de W est l'ktnge, par l'bomomorphisme induit par l'itlclusiolz V'C V d'un 61dment zcnique y E H 2 (V, Z) qui est la classe de cohotnologie de W. (i) On d6signe par 'Ep (8,Z) le p-i&me groupe d'homologie singnlihre des ohaiues looalement fillies dans l'espaoe topologiqae &.
Sur le groupe de cohomologie entiere etc.
t.2231
143
Oonsid6rons l~homomorphisme: A ( V , 2) H e ( V, C ) induit par l'injection canonique : 2- C et de'signons par H l J (V,2 ) le sousgroiipe de H 2 ( V , 2 ) form6 des 616ments dont les images, dans H2(V, C) sout d6finissables par des formes diff6rentielles ferme'es de type (1,l). Alors, on d6montre [GI: -+
LEMME4. a) Pour qu'zln dldmettt de H2[V,2) soit la olasse de cokomo-
Zogie d 7 u ~psezcdo-divisezlr spdciacl, i l fnut et i l suf$t qu'il apparbienne a H ( V , 2). b) Hi tcn pseudo-divisezcr W a wze otasse de oohomologie nzclle, c'est u n p. d, s. et c'est le psezulo-divisezlr d'une fonotion CW d valeurs complexes (i.e. : l'i?)tage, darts E0( V , B,/eX) d'zln hlhrnent ae E0(7,a,)). IJEMXE4'. (Lefschetz-Hodge [TI). H i V eSt une varidth algdbripue projective, sans singula,ritd, dd$nie s u ~le corps des complexes, pour qu'un dlkment tr, de H 2 ( V ,2 ) soit la clnsse de coho~~zologie d'un diviseur, i l faut et i l s z ~ j i tque a E H I J (7,2). LEMYE 4". (Serre [8l). S i T est une varidtk de Stein, tout 616tnetit de H z ( V ,2 ) est la classe de cohomologie d'un diviseug.. S i u n diviseur a tune classe de cohomologie nulle, e'est le divisellr d'ulze foliotion mdromorphe.
2. Forlrles diff6rentielles m61.omorphes de variables rbelles. Sur la vari6t.6 analytique r6elle 'V, sous-jacente B V , de'signons par k: (resp. m i ) le faisce~udes germes de formes diff6re1ltielles de vttriables re'elles m6rolnorphes (resp- m6romorphes ferme'es) de degr6 1, Zt valeurs complexes. D6signo11s par ,u: le sons-faisceau cle groupes de m: constit116 des germes de la forme: ( 1 / 2 n i ) ( d f / f ) oh f E N,; on voit que le faisceau ,ui est engendr6 par les germes cle 1s forme (1/2ni)( d f l J ) oh f E a,.
,
=a
REMARQUE.Si a = (1/2ni) ( d f l f ) E (,u:)@. on a :f E N, et f = l I e k r k oh a E (El,), et ne s'annule pas, oh e, E (a,), et eat k
irrdductible et oh rk est un entier, par00 que l'anneau factoriel.
(a,),est
PROPOSITION 5. Si le germe de lforme difbrentielle (1/2ni)(df/f)E o& f € a,, est de type (1,0) ou de type (0, I), alors, le germe d7ensemble dbjini p a r f = 0 est un germe 'd7ensemble al~alytiqzce cowaplexe prittcipal. E (,u:),
r
DI~MONSTRATION. Si (dflf) est de type (1,0), 011 a : d" f = 0, donc .f est un germe de fonction holomorphe et r est un germe d7enselnble allalytique complexe pri~~cip:ll;si (dflf) est de type (0, I), on a : d'f= 0 donc d"f= 0, alors f est un germe de fonction holomorpl~e; comme r est de'finissable par .f= 0 , ce germe d'ensemble est anltlytique co~nplexe pri~icipltl, ce qui achbve la cltSmonstration.
r
n'est pas un germe d'ensemble analytique CONS~~QTJENGE. Si con~plexeprincipal, (dflf) eat la solnme de cleux germes non nuls de types (1, 0) eb (0, 1).
3. Le faisceau @yo.
DEFINITION.Soit al.0 un sous-hisceau du faiscea~ides germes de formes diffe'rentielles Om, (1e type (1,O) sui- P, poss6dant les propri6t6s suivantes : 1) le faisceau des germes cie 1-formes holomorplles ferme'es E i est le sous-faisceau de constitu6 par les germes de formes d-fennees ; 2) il existe un sows-faisceau & d u faisceau El2 des germes cle 2-fonnes' diffe'rentielles Om, d-fermdes, tel que I'application de allo/Ei dans a2d6finie par d soit nn isomorphisme cte al,O/Ei sur f. Autrement dit : on a la suite exacte : all0
oh lal secoade flbche ddsigue Pinclusio~iet la troisibme l'homomorphiame d. EXEB[PLES: a) @lo et € sont, respectivement, le faisceau des germes de 1-formes ]iolomorphes 8 1 et 1-e faisceau des germes de 2-formes holomorphes fermCes E 2 ; Pexactitnde de la suite (1) r6sulte clu lemme de PoincartS.
Sur le groupe de oohomologie entiere eto.
i2251
-145
b) a110et & sont, respectivement, le faisceau des germes de (1,0)-formesa'-ferm6es et le faisceau EIJdes germes de formes de type (1,1),d-ferm6s. Etablissons l'exactitude de la suite (1)dans ce cas : d est un homomorphisme de alvO dans EIJ dont le noyau est le faisceau des germes de formes de type (1,O) d-fermBes, i. e. : Ei ; montrons que cet homomorphisme est surjectif: soit OIJ E Ell'; puisque 0 est d' et d"-ferm6, on sait qn'il esiste un germe de fonction p, tel que: 81J= d"dlp ([5, corollaire 1.3 du lemme de Grothendieck] ou [9, IV.41); soit I l l 1 0 = d'p, alors : 8111 = df'171~0avec d'IT1,O = 0, done nl10 Ea 1O . et =dIlllO, C. q. f. d. Soit pl le sous-faisceau de p: engendr6 par les 616ments (112 n i ) (df/ f ) oh f E Go, faisceau des germes de fonctions holomorphes sur V. Le faisceau El est un sous-faisceau de pi, en effet : si o E Ei, il existe, d'aprhs le lemme de Poincar6, un germe p E Q0 tel que d = dp j soit y = exp 2n ip, alors o = (112 ni) (dylly) E ,ui. Soit cTi le faisceau des germes de formes diffdrentielles $ valeurs complexes qui sont des quotients de germes de 1-formes Cm par et p: sont des sousdes 616ments de aTnon nuls ; les faisceaus a110 faisceaux de d1; soit %: (resp. %I) le sous-faisceau de d1 Bgal $: alto pi (resp. all0 pl).
+
+
LENME 6. Le faisceau %:/E' (resp. %'/E') est ca?towiqueme?zt isonlorplbe ic la somme directe allO/E1 $ &/El (resp. allO/E1 @ pl/E1). d6finition de %:, on a : %:/E' = p:/El ; il suffit de montrer que si a E aljO/E1 l l &/Ei on a : a =0. Si a E a1>Ol,/E il est represent6 par un germe a' E alto,done Cm e t de type (1,O) ; si a E p:/E1, il est repr6sent6 par un germe a" E A , done d-ferm6 ; en outre a' - a" E El, donc a' est d-ferm6 ; comme a' est de type (1,0), il appartient Ei, done : a = 0. (meme d6monstration quand ,u: est remplac6 par pl). Considkrons les homomorphismes suivants : v*: Hq( V, &) Hq( V,aI-O/El),isomorphisme induit par l'isomorphisme D ~ X ~ N S T R A T I O N Par .
= t2l,o/El+
-
I&,: Hq
( V , al,O/El) l?q+l(V, El) d6fini par la suite esacte : +
,
146
Pzfil
P. DOLBEAULT
d : Hq(V, 972:)-. Hq(7, &) ddfini par 17Bpimorphisme:
a:%:-u2 : H q ( V, ,u:/El)
-+
it :H~(7,
l)
( V , El) d6fini par la suite exacte :
H O
&
- - $/El
E'
-+
p:
-+
0;
- Hq
(7,,u:/E1) induit par la projection :
i3: %:/El
-
&/El,
qui est canonique d7aprbs le lemme 4 ; a, et
.u, :Hq(V, %):
2 H q (T, c ~ : / ~ " .Kq" (v:-El),
d6finis par la suite exacte :
On designera par les mdmes notations les homomorphismes obtenus apr& substitution de ,u' i+,u:. L E ~ 7.E Soielzt e€Hq(V, &) et GEH~(V,~:/E l) (resp. Hq(V, ,uPE1)) tels que : u, v* (0) = u2 ( 8 ) ; alors, il existe w € Hq(7,%f) (resp. et que i$u, o = - 6. Hq (T, tel que : 8 =
mi))
~ ~ M O N S T R A T I O NConsid6rons .
les homomorphismes suivants:
-. %:/E' definis, respectivement, par les injections il : al'O/E1 %:/Id1 ; ,u;/E1 W : Hq(I7,9?2;/4')- Hq(V,&)
et
+
defini par lee Bpimorphismes : %:/.E1 4 al"/E 5' &, canonigues d'aprhs le Lemme 6 et la definition de & respeotivement,
'
exacte d'aprks le Lemme 6, d6iinit la suite exacte cle oohomologie : if
E q ( V ,,LL/E')? ITq(", %:/E1)-+ H q ( V ,@ l ' O / ~ l ) , d'oh :
i:iz+ (8)= 0 ; comme : zu = (vx:)-1i f , cela entraine :
Les relations (4),(5), (6) entrsinent : tuu3(m) = w (ifv" (0) -- it
(8))= 8.
,
L7image de p: par d Btant nulle, on 5.: d = tou, done : d m = 8. De plus : $u, (w) = - igi; (8; = - 8, C. q. f. d. Mi3me d6monstration quand ,ul est substitu6 pf. Oonsid6rons le diagramme commutatif suivant :
oh les flkches verticales d6signent les homomorphismes qui associent, au germe de fonction y, le germe de forme diffbrentielle (112 n i ) (dyly); on voit que les homomorphismes j et j, sont surjectifs et j, bijectif. Consid6rons le diagramme commutatif:
oh la premibre flhche verticale d6signe 19njection et la seconde l'identit6 : De ces deux diagrammes, r6sulte le diagramme de cohomologie suivant :
oh u, est un isomorphisme.
Sur le groupe de cohomologie entiere eto.
[22'JI
149
Tous les raisonnement ci-dessus sont valables lorsque les faiaceaux N, et p: sont remplace's par leurs aous-faisceaux respectifs N (2) et pi. DJ~FINIT~ON. L'image o d7un 616ment w E Hq (V, N,/e") dans Hq+2(V, C ) est dite: olasse de oohomologie oomplexe de w ; on voit que, si q = 0, la classe c est la classe de oohomologie complexe du p. d. a. ddfini par w. DI~FINITION.On appelle q-rbidu d7un dltfment w E l T q (V, m:), l'image, dans H (N,/T"), de w, par llhomomorphisme u, u ~i!lu3 , oh u, eat llhomomorphisme Hq ( V , N,/e") -- Hq ( V , N,/T"). Dana le cas : q= 0, on voit que le 0-re'sidu de w eat un p. d. s. LEMME8. Soit V tbne varidtd analytique oompleae, paraoompacte, telle que 17homomorphisme: Hq+l( V, QO)-. Hqtl ( V, El) induit par d soit nul. Soit 8 E Hq (V, &) et soit w un dlbmelzt de Ha (V, N,/eX) (resp. Hq (V, N/eX))dont la classe de oohomologie oomplexe est l'image de 8 dans H"~(V, C ) , alors, i l existe un bldment w E H"V,W:) (resp. Hq ( V, Wi)) tel que : 1) d w = 8 ; 2 ) le q-rdsidu de o soit
w dams
Hq
- W, oh
W est l'image canolzique de
(V,N,/TF).
D~MONSTRATION. Soit 6 =u, (w); par hypothese : u, est injectif, done 8 et 6 ont m&me image dans Hq+l (V, El); d'aprhs le Lemme 7, il existe w E Hq(V, 97'2:) (resp. w E HYV, 97'2')) tel que clw = 8 et ." que 2, zc, w = - 6 ; done u,l i! u, o = - w, ce qui, d7apres la de'finition du q-r6sidu, d6montre le Lemme.
Soit (8, w) un couple de formes diffbrentielles oh 0 E H0(V, &) o E H 0 (V, m:). Toute chaine singulihre Om, localement finie, c,
coeficients entiers, yoss6dant les propribt6s suivantes, sera dite admissible pour le couple (8, w) : 1) le bord do de o ne rencontre le support du 0-r6sidu CW de w qu'en des points oh la dimension est 2m - 1 et au voisinage 1; en un tel point desquels 9 9 est une vari6t6 de dimension 2m do coupe 9#transverkalement.
-
(2)
Note de bas de page
110
2.
2) la chdne c ne rencontre I'ensemble des points du support du O-r6sidu de m oh la dimension est 2m - 2 qu7en,des points isol6s. Toutes les chaines c consid6re'es d6sormais seront suppose'es sdmissibles.
On considere 17eapression
;\
ayant la signification suivante :
J
ac
d6composons c en somme de simplexes singuliers oj admissibles et suffisamment petits pour que chacun d'eux soit contenu dans un ouvert uj d'un recouvrement (uj) de V dans lequel : o = aj igj 013 bj E HO (zcj a''0)et aj = (112 n i ) (dfiifj) avec fj E H O (T, ; alors, par d6finition, on a :
w:)
,
J
ac
o = 2 lim j
a-0
a4 1~~12~
cette expression est ind6pendante de la subdivision de o, en vertu des Preliminaires (no 1). DI~FINITION. Le couple (8, o)est appel6 nn Z-couple si :
pour toute chaine admissible c. Soit z. E V un point n'appartenant pas au support W du O-r6sidu de o ; alors, quand le simplexe o tend vers le point a, l'expression
[9 -
m tend vers 0 ; or R [(B, m), o] E 2,done :
[8 -
I
- m =0 pour les simplexes o contenus dans un voisinage suffisamment petit de a; il r6sulte de cela, d'aprbs la formule de Stokes, que : 8 = dm s u voisinage de a. Dens Pensemble des Z-couples, on considere la rdation % suivante (cf. f21):
Psl]
Sur le groupe de oohomologie entiere etc.
161
Bquivant A : R [(0, co), C ] = [(Of,m'), c] pour h u t e 2.chaine o admissible pour les deux couples. L E ~ 9.E L a relatiow %? est uwe relation d'tfquivalernce. DI?MONSTRATION. I1 est clair que % est r6flexive et sym6trique. Pour montrer que 32 est transitive, on va Btablir, d'abord, la propri6t6 suioante: si o, est un eimplexe admissible et si ot(O < t < 1) est une deformation U w de a, admissible pour le couple (0, co), alors:
Soit Db la chaine d6crite par la chaine b au cours d'une d6dDoo, alors : formation de b, on a : a, - a, =Daa,
+
Mais : aa Do,
=0
et
J
0 = 0, d'aprbs la formule de Stokes, donc:
boao
R [(O, w), dDo,] = 0. Supposons la deformation suffisamment petite pour que ot reste dans un ouvert uj consid6r6 -ci-dessus; alors :
De plus, d'aprbs la for~nnlede Stokes :
R [(O, o),.D do,]
= lim E-0
J
DBsignous par 99 le support du 0-rBsidu de o. Si fj s7annule en un point de Dda,, c'est qu7en ce point la dimension de 99 est 2m 1, done (voir [6], no a), pourvu que Do, soit suffisamment petit, il existe, dans un voisinage de Do,, une fonction Ow A
-
valenrs reelles et une fonction g Cm(g $. 0 sur Ddo,) kelles que : (Qj/ej) = (dg/g) (dill) ; de plus :
+
done :
...,
Soient x: (k = 1, p) les points d7intersectionde W et de dot; le simplexe at Btant admissible, le nombre p est independant de t E [0, 11. DBsignons par ykk-, et yik l q points d7intersection de do, et de I ~j 1 = E qu'on rencontre imme'diatement avant et immbdiatement aprbs xi qqund on parcourt dot dans le sens conforme a son orientation et par 9; le nombre g (yk) (h = 1, ,212). Alors :
...
qui tend vers 0 quand a tend vers 0. Done: lim e-0
1
w = 0, d70U
nboo lejl
=a
Montrons que 92 est transitive. Soient (Oi, wi) (i = 1, 2, 3) trois couples tels que (8, w,) 92 (8,, w,) et (8, w,) % (8, w,) et soit o une chaine admissible pour les deux couples (8, 0,) et (8, w,). On sait qu'il existe une d6formation of de o, arbitrairement voisine de o admissible pour (8, uj,) et (8, cb,) qui est aussi admissible pour (8, 6,).Alors, d7aprbs le rdsultat de'montr6 ci-dessus :
,
,
,
,
,
,
,
,
P331
Sur le groupe de cohomologie entibre etc.
163
ce qui achbve la d6monstration du Lemme. On designera par [8, w] la classe dle'quivalence du couple (8,o). Par d&finition,la somme des couples (8,, w,) et (0, w,) est le 8, , W , o,); la relation % Btant compatible avec 17sdcouple (8, dition, on en d6duit la definition de la so~nmede deux classes d76quivalence de couples et on ve'rifie que l'ensemble & (V, 2)des classes d7e'quivalencede Z-couples sur V muni de 1,addition est un groupe ab6lien. On designera & ( V, 2) par Ell1(V, 2) si & =
+
,
+
.
Dl1
THI~OREME 10. Eoit V une varidth analytique complexe, paraco9paote, telle que l~honzomorphisme: Hi (V, GO)-- H i(V,Ei) induit par d soit nul. Alors, i l existe un dpimorphisme canonique h de EIJ(V, 2) szcr H ( V , 2). Ce theorbme est, en particulier, valable si V est kahldrienne compacte, d7apr&sla Proposition 1.13 de [5]. DEMONSTRATION DU T ~ O R E M E . Construisons llhomomorphisme h. Soit [8, 611 E Ell1(V, 2 ) et soient (Oil mi) et (8$, w2) deux couples appartenant B la classe [O, w]. DBsignons par W, et W, les deux 0-rbsidus des formes w, et w2 par V, V2 les vari6te's associe'es aux p. d. s. W, et W2 respectivement et par V" la vari6t6 associee W, W , . D'aprbs le Lemme 2, les inclusions induisent les cinq monomorphismes canoniques tels que le diagramme suivant soit commutatif :
,
,
+
7H 2 ( V i , 2) '. H 2 ( V , Z ) +- H 2 ( V " , Z ) L H2(V,, 2) 7'
,
Par ddfinition, on a : R [(8, w,), o] = R [(8, , w2), c] E Z pour tonte chaine o admissible pour les deux couples ; il en r6sulte que TV, et W2 ont des classes caract6ristiques dont les images, dans Hz (V", 2) colncident, done, d7apri?sle Lemme 3, ont des classes de cohomologie qui colncident. A [8, 01, on associe la classe de cohomologie s du p. d. S. qui est le 0-rdsidu de w, pour un couple (8, w,) E [8, w] ; d7aprbs ce qui pr&cbde, s ne depend que de la donnee de 18, w]; de plus, d'aprbs le Lemme 4, 1'616ment s appartient B H1J ( V , 2). Enfin, il resulte
,
de la definition de l'addition dans (V, Z ) que l'application qui envoie, comme ci-dessus, [0, w] sur s est un homomorphisme d6fini canoniquement et que l'on designe par h. Montrons que h est surjectif. Soit s E HIJ ( V, Z ) ; d'aprks le Lemme 4, il existe un p. d. s. W dont la classe de cohomologie est s ; soit 0 E H0(V, EIJ) une forme diff6rentielle fermee dont la classe de cohomologie complexe est 17imagede s dans H z(V,C ) ; alors, d7aprbs le Lemme 8, il existe CG € Ho( V , %:) telle que dw = 0 et que le 0-re'sidu de h soit - IT. Montrons que (0, w) est un Z-couple. Ell1
Pour cela, il suffit d7Btablir que R [(0, w), o] = entier pour tout 2 simplexe o admissible et suffisamment petit. Supposons o oontenu dans un ouvert U de* P suffisamment petit pour qu7il existe une fonction Om q, sur U, et des formes a et ,6 telles que: 0 = d U d ' q ; U E H O ( U , ~ : )b; € H O ( U , a l s O ) et w = a + P . On a : dd'q =B =dco =db, done : d (d'q -,6)=O, d'oh : d'v-,6=dy oh
y
~
~
O
I' (d'p,
(
~
,
~
l
t
uo o)r s. : ~ [ ( ~ , w ) , o J] d=( d ' q ) - J b r + p =
,6) - a = dy -
ha
aa
/ b =aa
aa
(I
qui est un entier d7aprbs a0
le no 1. Le couple (0, co) est donc un Z-couple et, d'aprks sa construction, l'image de sa classe d'equivalenoe par h est s ; il en resulte que h est un Bpimorphisme, ce qui achbve la d6monstration du th6orkme. Determinons le noyau de 176pimorphismeh. Pour que [0, w] appartienne au noyau de h, il faut et il suffit que le r6sidu W de w ait une classe de cohomologie nulle ce qui e'quivaut aux deux conditions : 1) la classe de cohomologie de 0 est nulle, donc il existe une 1-formetp telle que :0=dy; 2) d7aprPsle lemme 4, W eat le pseudodiviseur drune fonction g7,€H0(V,a,);alors : w -y (1/2ni)dlogq,= =(1/2 ni)dlogq2oil q2€H0(V,yX), donc : (0, w)=(dy,y - (1/2ni)dlogy,+ (118 ni) d log q,). Mais, pour toute chaine c admissible pour (0, w),
-
+
+
i
on a : R [(9,co),c]= dy
= (112 n i ) ,
I
I
- (112 n i)
a0
(2 n i y - d log y,
+ d log y2)=
d log 9, d'aprbs la formule de Stokes, dono : [0, w] =
do
= [O, - (112 ni) d log y,]. I1 rBsulte de cela :
[235]
Sur le groupe de oohomologie entibre etc.
155
THEOREME 11. Soit V we variWB analytique complexe paracowpacte telle que Z'homonoorpMsme : H i (V, QO) Hi (V, Ei) induit pay d soit nul, alors le noyazc de h est le sous-groupe B1ll (V, Z) de EIJ(V, Z) fo.rmB des classes de couples [O, -.(1/2 ni)d log p,] 04 pl, E H0(V, et le groupe quotient El21 (V, Z)/B'J (V, 5) est canoniquement isomorphe au groupe HIJ(V, Z).
-
6. Z-couples : crts des vnrihths nlghbriques projectives.
Soit V une vari6tB algebrique projective sans singularit6 dBfinie sur le corps des complexes : elle est munie canoniquement d7une structure de variete ki5hlBrienue compscte. On considerera seulement les Z-couples (8, w )dans lesquels 8 E H 0 (V, E I J ) et w E H0(V, ; alors le 0-residu de w est un diviseur, son support a la dimension 2m - 2 en chacun de ses points et, pour toute chaine c admissible ponr (8,co), on a :
mi)
DBsignons par ell1(V, Z ) le groupe des classes d76quivalencede Z-couples (8, w ) ci-dessus ; &I31 (V, Z) est canoniquement isomorphe un sous-groupe de Ell1 (V, Z ) avec lequel on 17identifiera; en remplagant, dans la demonstration du Th6r8me 10, le Lemme 4 par le Lemme 4', on obtient: la restriction h' de h b &lJ(V, Z) est un (V, Z ) sur HI11 ( V, Z ). Bpimorphisme de Le noyau (V,Z ) de h' est constitue' des classes de Z-couples de la forme [0, - (112 ni) d log yij oh pi est une fonction Cm B valeurs complexes dont le pseudo-diviseur est defini par un diviseur (unique d7apr8s le Lemme I), de classe de cohomologie nulle. On deduit de celn : 9111
TH~OBEME 12. Si V est une varitfttf alge'brique projective sans simgularittf dkjinie szcr le corys des complexes, il eaiste un isomorphisme (V, Z ) / 9 l J (V, Z) sur HIJ (V, Z). canonique de 7 . Z-couples; couples analytiques : cas des vari6tds de Stein.
DBsignons par E2( V, Z ) le groupe des classes de Z-oouples pour lesquels & est le faisceau E2 des germes de 2-formes holomorphes
ferm6es et le faisceau Qi des germes de 1-formes holomorphes. L'ensemble E2 (V, Z) form6 des classes de Z-couples [8, o] du type ci-dessus pour lesquels a, E VZi est canoniquement isomorphe B un sous-groupe de EZ(V, Z ) avec lequel on 17identifiera. PROPOSITION 13 : 80it V une vari8t8 de Stein, alors il existe un dpimorphisme canonigue h" de E2( V , Z ) sur H2(V, Z). : Elle se dBduit de celle du Theoreme 10 par D~~MONSTRATION A1.O et substitution du Lemme 4" au Lemme 4, les faisceaux ,u: Btant remplac6s par E2,Qi et pi respectivement et compte tenn des r6sultats suivants : H i (V, QO)est nu1 sur une vari6t6 de Stein (voir par exemple [3], expos6 19, th6ol%me B) de sorte que I1hypothese du Lemme 8 est satisfaite; de plm toute classe de cohomologie de dimension 2 eat d6finissable, B l'aide du theoreme de de Rham par un 6l6ment de HO( L r , E" ([8], theoreme 1). On constate comme dans la d6monstration du Th6orbme 11 et en utilisant le Lemme 4" que le noyau q2(V, Z) de h" est constitu6 des classes de Z couples de .la forme [O, (112 ni) d log pl,] oh pl, est une fonction m6romorphe sur X; d70h: Ell',
THEOREME14. Hoit V tone variW8 de Stein, alors il existe un iso+)torplLisn~e canonique de t s(V, Z )/%I2 ( V, Z ) sur H z ( V, Z). Soit le sous faisceau du faisceau m* des germes de 1-formes m6romorphea ferme'es defini ainsi: pour tout ouvert U de V, pour toute section de m" au-dessus de U et pour tout 2-simplexe sin-
w
gulier 0" admissible a B support dans U, le nombre
I
o eat un -
do
entier. D6signona par M 0 le faiscesu des germes de fonctions m6romorphes. LEMME15. Le faisceau a 1O
.
wt'l
est la Romnte des faisceaux ,ui et
D~MONSTRATION : Soit x un point de V, soit & E , montrons d i l l 0 . Soit une section de nt" sur un voisinage U que Z, E ,ui de x qni d6finit Gxen a; si U est suffisamment petit, on a anssi:
+
o
Sur le gronpe de cohomologie entiere eto.
[2371
157
oh ek est une fonction holomorphe sur U d6finissant un germe de Q: irreductible, oii Ak est une constante et oh y eat une fonction meromorphe snr U dont llensemble polaire est contenu dans l'en= 0 ([5]. Proposition 3. 6). Alors, pour tout semble d76quation k
simplexe singulier Cmo admissible contenn dans
U,le nombre :
eat un entier par definition de m'l ; mais a Btnnt admissible, y) est holomorphe sur do, clonc :
S =J dy
do
Stolzes ; done :
.a0Iw =
y
=0
d7apr8s la formule de
bbb
2ni 2 nk Al, oh chaqne ak est un entier; on k
voit qu'on peut choisir o pour que a,, = 0 si lc f 7~ et ah = 1, done ce qni n~ontre que 2 Ak(dek/ek) 2ni An est un entier pour tout k
ctBbnit, en x un germe de pk ; cte plns y definit en m un Blement cle M_O c. q. f. d. dMo apRBciproquement, il est clair que tout Blement de partient A m'l, ce qui achbve la de'monstration du Lemme.
,
+
DEFINITION : On appelle couple analytiqf~e 17ensemble(8, bj) dlune 2-forme holomorphe fermee J€ sur V et d'une 1-forme m6romorphe a) sur V telles que : pour tonte 2 cllaine singnlihre Cw c, B coefficients entiers clont le bord ne rencontre pas llensemble polaire de w. le nombre :
soit un entier. Comme pour les Z-couples, on voit, qu7en dehors de l'ensemble polaire de o, on a : d o = 8. En tout point x E V, il existe un germe q~ E 9' tel qne 8 = dcl, ; alors, d7apr8sla definition ci-dessus et celle du faiscean n&Ii on a : w - y E m'l, done w E Qi m'l ; re'ciproquement, tout couple (8, w) tel que 0 E H o ( V, E 2, et o E Ho(V, Qi $ m'l) est un couple analytique. Dans l'ensemble des couples analytiqnes, on delinit, comme yonr les Z-couples et de 1%m6me fapon, nne yelation cl'6qnivalence
+
%. L7ensemble quotient par % sera design6 par :€ (7,Z!; il est muni d b n e addition qui en fait un groupe commutatif. A tout 616ment [B, w ]E &: (V, Z), on asaocie la classe de cohomologie du r6sidu de w (voir [5], chapitre 111, 3 B, no 3 ) ; cela d6finit un homornorphisme k de &: (V, Z ) dans H' ( V, Z ) qui eat aurjectif d7aprbs la Proposition 13 lorsque V eat une vari6t6 de Stein. DBterminons le noyau % z ( V , Z ) dans le cas oh V est une vari6t6 de Stein. Soit [0, cu] E 93: (V, Z) et soit W le r6sidu de w ; d'aprhs le Lemme 4", il existe une fonction mhomorphe v, telle que le r6sidu de (112 n i) (dyi/pi) soit W; alors le r6sidu de w , = =co - (112 z i) (dy,/y,) est nu], donc, d'aprbs le Lemme 15, cette forme d6finit, en chaque point xE V, , u n germe Bgal A dYm oh !Pa eat un germe de fonction m6romorphe en x ; la forme o, dBfinie sur V, est done localement exacte, alors V Btant une vari6t6 de Stein, w, eat la diffhrentidle d'une fonction m6romorphe u ([5], p. 228), done : w = (1/2n i) (dyi/p,) $ du. I1 r6sulte de cela : THI~OREME 16. Soit V une vari6t6 de Stein, alors le noyau de 176pimorphisnze k est le sous groupe %:' (V, Z ) de (7,Z ) form6 des classes de couples [O, (1/2n i) (dyi/y,) du) 0% y, et u sont des fonctions mh-omorphes sur V et le groupe-quotient &: ( V, Z )I%':( V, Z ) est canoniquement isomorphe au groupe H2(V, Z) (3).
,
+
€z
(3) Le th6orhme 16 a 6t6 6nonc6, sans d6monstratiot1, avec nne d6finition incomplhte de 33: (T,Z), dans nne commnnioatiol~(Atti del sesto Congr. del17Un. mat. ital., Napoli, 1959, p. 406).
Sur le groupe de cohomologie entiere eto.
[239]
159
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-
-
-
ERICH KAHLER 1962 Rendiconti. di Matematica (3-4) Vol. 21, pp. 425-523.
Der innere DifferentialBalkiil(") Dem Andenken Wilheln%Blasohkes getwidmet
von ERICH I I A H ~ R(in Berlin)
Wenn eine Metrik vorliegt, wie es in der Physik der Fall ist und in der Funktionentheorie sich als fruchtbare Voraussetzung erwiesen hat, gewinnt der Lussere Differentialkalkiil ein rechnerisch nahezu ebenso einfaches Spiegelbild, den inneren Differentialkalkiil. Was ich dariiber bei einem Lehrgang des Centro Internazionale Matematico Estivo im September 1960 in' Vnllombrosa vorgetragen hatte, findet in der ~0rliegeTIdenAbhandlung ausfiihrliche nnd reifere Darstellung. Die grosse Verzogerung dieser Veroffentlichung erklart sich aus der erfreulichen Tatsache, dass jeder Versuch einer Ausarbeitung jener Vortrage neue Vereinfachungen ergab mit dem Erfolg, dass insbesondere meine in den Abhandlungen der Berliner Akademie verijffentlichte Untersuchung der Dirac-Gleichung nunmehr als iiberholt anzusehen ist. Da der innere Differentialkalkiil seine Bewahrungsprobe in der Quanten- und Relativitatstheorie zu bestehen hat, muss er dem Physiker zugiinglich sein, weshalb es lhir zweckmassig schien, auch uber den ausseren Differentialkalkiil mehr zu sagen, a18 zur Vorbereitung des inneren Ealkiils notwendig gewesen ware. Gern hatte ich, wenn mehr Zeit geblieben w t e ein viertes Kapitel der funktionentheoretischen Seite des inneren Kalkiils gewidmet, was nunmehr einer anderen Arbeit vorbehalten bleiben muss.
C) Corso di otto lezioni svolto rlel Ciolo del CIME (Centro Internazionale Mateluatico ~ a t i v o )sa Forme Dverenaiali e loro irtegrnli, tennto a1 Saltino di V ~ l l n r n l ~ i ~ o(Firenze) nn dal 23 a.1 31 agosto 1960.
[4261
Der innere Differentialkalkiil
161
Ein Inhaltsverzeichnis ersetze den fiilligen einleitenden Bericht iiber die Untersuchung, und eine Formelsammlung am Ende der Abhandlung erleichtere die Anwendung des neuen Kalkuls. Herrn SEGRE habe ich nicht nur fur sein freundschaftliches Interesse an meiner Arbeit, sondern auch fiir die Geduld zu danken, mit der er die vorliegende Niederschrift immer wieder gefordert hat. Es tut mir wohl, nun dooh noch zurecht zu kommen, um mit dieser Arbeit fur die schijnen, anregenden Tage von Vallombrosa, die mir insbesondere durch Herrn BOMPIANISfreundliches Eingehen an€ meine ~ e r s u c h eunvergesslich bleiben werden, meinen Dank zu sagen.
I. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
-
DIFFERENTIALE UND DIFFERENTIALTENSOREN
uss sere Multiplikation Invarianz der IGusseren Multiplil du zur Folge hat, mit dxh A -- und darum mit dem in (3.1) definierten dmh du iibereinstimmt. Unter Beachtung von (6.4) und (6.10) geminnt man aus (6.9) und (6.6) folgenden Ausdrnck fiir die Komponenten von du:
Der erste Summand auf der rechten Seite dieser Gleichung ist das nach der Regel (3.1) zu berechnende Sussere Differential der (lea Differentialtensors u, das darch seine BeKomponente u t klammerung dentlich unterschieden wird von der mit gleichen Indizes versehenen Komponente des- 2insseren Differentials des Differentialtensors u.
::
7. Kriinlmungsdifferentinle
Urn das (nicht-tensorielle) Verhalten der Curtnnschen Diferentiule i
(7.1)
Wk
=
rkl.dmI i
bei Eoordinatenwechsel zu beschreiben, empfiehlt es sich, die ~ a t r i z e n
G = (gik),
o = (o:),
dx = (dxi)
zn bilden, in denen i Zeilen- unil k Spaltenindex seien.
Der innere Differeu tialkalkiil
14441
179
Die Matrix a) kann dim11 gekennzeichnet werden als die einzige, aus homogenen Differentialen ersten Grades gebildete Matrix, die den Gleichungen
geniigt. Links oben stehendes t bedeute dabei Transponieren, und Anwendung von d rtuf eine Matrix, deren Glieder Differentiale sind, bedeute ansseres Differenzieren der Matrixglieder. Beim Differenzieren eines Busseren Produkts A A B von Matrizen ist die aus (3.2) folgende Regel d (A A B) = dA A B yA A dB zu beachten. Auwendung einer eit~eintlentigen differe~izierbarenSubstitution
+
auf alle Clieder einer Matrix werde durch Vorausetzen von o vor drts Zeichen cter Matrix angedeutet, wie a. B. in den Cleichungen d (ox)= odx = A*,
wo A =
($),
dg = (dyi).
entsprecl~end zu G lind w Fiir die itn y-Koordi~itlte~~syste~n gcbildeteu. Matriaen G ui~d gilt
o
mobei wiederum durch tliese Gleich~lngenbestiln~ntist. Verwendet lr1a11die ans (7.2) folgende Beziehung d (oG) = (aG) (ow)
+ t(aw)(aG)
sowie (7.5) bei der Berechuung von -
~G=~~~A~(~G).A+'A.~(oG).A+~A-(oG).~A. so entsteht
&? = t ( a ~ta-lG ) (7.7)
+tAt(oW). t = G(A-1
. dA +A-1.
+G . ~ - l .
A-1
. (ow) . A +
G + G . A-1.
(ow). Aj
~AE=
+ t(A-l - dA + A-I
(om) A)
. G.
Andererseits gilt such
weil zufolge von (ow)A (adx) = 0 und A-1 A-'
. d A . A-l
A
(adx)
+ A-I
. d A . A-1 = - d (A-1)
(am)A (od5) = - d (A-1)A (adx)=
= - d (A-l
A
(odx))= - d (dy)= 0
+
ist. Da nsch (7.7) und (7.8) die Matrix A-I d A A-l. (am).A die fiir & keiinzeichnenden Gleicllungell (7.2) erfiillt, muss (7.9)
sein. Bildet man nun die Matrix
luid entsprechend im y-Eoordinntensystern
so zeigt (7.9), dsss -
Q=-A-l.
d A . A - l n d ~- A - l . d A . A - l n ( o ~ ) . A +
+ A-'
. (ow)A d A + (A-l d A + A-1 (ow). A) A (A-1 . d A -1A-1 (ow) . A) = A-I (d (aco) + (am)A ( n o ) ). A = A-1 (oQ) . A (dow) A - A-1
ist. Wegen (7;ll)
bedeutet dieses Ergebnis
-
0 = A-1 dtus die Elemente (7.12)
. (00). A,
Der innere Differentialkalkiil
[4461
181
der Matrix Q sich wie die Ko~npoueuten eiues Differentialteusors rom Typus
(:)
uerhalteo:
Dieser Tensor werde wie die Matrix seiner Kompo~ienteumit S2 bezeichnet, weuu dadurch keine Missverstaudnisse zu befiircl~tell
sind. Qi, geniigen den Gleichuugen Die K~C$ttmzotgsdiferelrtii~le
den11 die ans der zweiten der Gleich~u~gen (7.9) durch anssere Differe~rtiatiol~ folgeude Beziehung 0 = d (w A dx) = dw A dx sagt nach (7.10) uud (7.2) (7.14)
Q ~ d x = 0
und damit (7.13) aus. Eine weitere Belation zwischen Kriiu~mungsdifferentielen, namlich
die mit auch so gesohrieben werden k a ~ :n
folgt durch aussere Diilereutii~tionder ersten Gleichung (7.2) : Aus O=dG~w+G.dw+*(dw). G - t w ~ d Q ergibt siah mittels (7.2) zuuaohst
u ~ l ddamit die Gleichui~g(7.16), wen'fi man die Folgerung - - t(w A w) der allgemeinen Regel
A
'w =
fiir das Transponieren von Differentialmatrizen R vom Grade p, 19 vom Grade p beachtet. (Eine Differeiltialmatrix hat den Grad p, wenu alle ihre Ele~nentehomogene Differentiale p t e n Grades sind.) Die Moglichkeit, Tensorii~dizesherrluf- order herunterznziehen, nehmen wir, wie iiblich, ziim Aulass, die 2 ,u Iudizes eines Tensors vom Tyyua
(::1%?)
iu %
+
+ ,u Vertikaleu
nnterzubriugei~, was
erlaubt, mit eiuem uild delnselben Zeicl~ell2"+p Teilsoren zu bezeichQ zn drei nen. So gibt z. B. der Kriirnmniigsdiffere~~tittlte~~sor s, weiteren, ebenfwlls mit 9 ZII bezeichnenden Tensoren A ~ ~ l i l s deren Eom youeliten die Krii,tnntcftgsd($erestiale Qik
,
= ga Q 1 , bezw. Qi, = g7c19.a1-9 Qik = gij
.
gkQjl
sind. I n der F O ~ I I I
Qij =
1
.
+
Rijkl dmkA dm1 mit Ilijki Rijlk= 0
die Kompolieilteu ausgeschrieben, liefern die Krii~n~nuirgsdiffere~ltiale Rijkl des Rievbcr~awscheit K r i i ~ ) ~ n t ~ ~ s g c t e l ~ s o r s . Zu den Yatrizenrelatioue~~ (7.14), (7.15) gesellel~sich 11oc11die sogen. Birc~~rWi-Idetititatett, die del- eiliel~Matrix-Gleicl~ung
aquivelei~tsind. Ijiese ergib't sic11 d o ~ ~ cBussere h Differentiati011 voii (7.10), iude~rlaas d 0 = dw A w - w A tlw die Matrix clw il~ittels(7.10) eliminiert w i d . Qik vou Q sagt (7.19) das Fiir die e i ~ ~ z e l ~Matrixelelnerlte ~en Beatehen der Gleichung
aus, die, in der Form
geschriebeu, uaoh (6.11) das Verschwinden des Differeutialteusors dl2 bedentet : (7.20)
dQ = 0 (ist gleichbedeutend mit (7.19)).
Der innere Differentialkrilkiil
-
[4481
8.
18.3
Relrtiol~enzwischen kovnrinnten Ableitungen Unter dem > eines Differentials (1.1)in einelu Punkte
P verstehen wir das Differential
dessen Koeffizienten die Werte cc (Z'), nil .. ip ( P ) sind, die die Koeffizieuteu a, ai,.,iP van 2~ im Puukte I' aunehmen. ] in P ist das System der .. kp Differeutic~leuil (t'): Sind die Werte zweier Differentialtensoren zc, v in alleu Punktell des Gebietes G eiuauder gleioh, so ist u = v. E s sei daran erinrlert, dass in eiuer Umgebung eines beliebigen Puuktes P die Koordiniitell so gew8hlt werden Manen, dasa
Der Wert eilles Tellaura t kl
gilt, wobei die Auzahl der negativen Vorzeiche~lder g$i(P) gleich dein Traglreitsir~dex der quadr~tiscl~enForm gik .dxi dxk ist. Die Riemauusuhe~~ Normalkoordiurtte~~ erfiillell die Porderung (8.1). TJlu die Gleictrheit zweier Differentialtensoren u und v zu beweisen, geuugt es, u ( P )= v(P) fur alle P ECS zu beweisen, uild dazu wiederum empfiehlt es sich, Nonnalkoordinnten in P einz~~fiihren, weil wie bei gewohliche~lTe~lsorenn u s der Gleichheit .zc ( P ) = v ( P ) i n eiuein ICoordilit~tensystem die entsprechende Aussage in jedem anderen Koordiuatensysteln folgt. Normrtlkoordinaten in P haben den Vorteil. dass k l .. k (dh uil .. (P) = ist. Ant' solche Weise wird z. B. die Regel
fiir das kovariibnte Difterenzieren eilles ausseren Tensorprodukts, die, ausgeschriebeu, (5.3)
dh
... . 2I . . .
...I
,Unll
b...
=d
h
,,&I?... A El...
V"'l
... f
h...
u; ...
... A ahv:.:'
bealtgt, evident, weil aie fiir Norms.1koordinate11i11 P im P ~ i l ~ k tPe als Prodnktregel f i r partiellea Differensieren unmittelbar eil~leuchtet. Beim Beweise der Ricci-Idelltititen durch Verwenduug von Normalkoordinaten ist wegen cler zweimaligen Differentiation Vorsicht geboten. Zunachst folgt aus (6.6)
k k (dl dh - d h d 1 ) ZL.".. P = - ---- - 11..9 (Gli
+
-
(2 -+@)
. dxl I\ a,. u2.y
.i 11 .. ..!p+eee
axh
(%- 2). lt:ip- ...
(in p);
und da nttch (7.18) oud (7.10')
also
ari ar2 - ~ axh
$
= 1 Rlh ~
lG
,. (in P )
ist, ergibt sich idt dh
- dh dl) U: ..'.k~ . =- ~ e~
~, ~ *tL? i!P + R4. + ... ... (in P ), - Rib h .. d%j
aT
~ ; ~ . ; , t
7
a
ukl..kNv iL
%I .,, .EL
[4501
Der innere Differentialkalkiil
185
woraus (mit etmas alderen Bezeichnungen) die Ricci-Idetatitiitel1.b
hervorgehen. Nunmehr kann das Quadrat d d des Operators d berechuet werden :
wobei der letzte Summalid nach (7.13) verschwindet. Es ist a,lso
Im Falle einen skalaren Differentials zc ist, wie schon friiher festgestellt, ddzi = 0, und die Gleichung (8.4) nimint die Gestalt
-
an, wobei e'' dell Operator gr8 e, bedeutiet.
9. Innere Multiplikation
Wahrend aussere Mnltiplikation ulld Differe~tiatiollvou Differelltialen substitetiousinva~~isnt iln weitesteu Sinne und vou jeder Metrik unabhal~gigsind, ist der jetzt zu elltwickelnde innere Differelitialkalkul erst erkla~bar, weun eiue Metrik gegeben ist. Die folgendell Betrachtungen setzen vor;~us,dass eiue den Bediuguugen (6.1) geuiigende Metrik gik gegeben ~ e i . Dss inltere Produkt uvv
zweier Differentiale
tc, v'E A
ist (tie Summe
Gereclttfertigt mird diese Defiuitioll dnrch die offenbare Giiltigkeit des I)istribativgesetzes nlid den jetst folge~idel~ Beweis cles Assoziati vgesetzes (u v v) V W = u V (v v w). (9.2) Dabei geliiigt es offenbw, die Giiltiglreit dieser Gleich~ulgfiir die Werte von u, v, to in irgend einem Piinkte P nachzuweisen, mobei werden kann, und vornuszuzngleich gllc (P)= f13ik a~lge~ioln~nen setzeu, dtlss u (P),v (P),w (P)Mouolne der Gestalt dxi A dxk A A dxl seien. Bei diesen Mollotrlen kann iiberdies die Reihelifolge der Faktoreu dx lloch nach Bedarf veraudert werden, da Formel (9.1) zeigt, d ~ s s u1 v v1 = Q . a . zc v v ist, wenn u' = Q - 2 4 , v' = a. v (mit Q, a = f1)nus u, v durch Permutation der Faktoren dx hervorgehen. Fiir die weitere Reehnung bemerkeu mir zunSiclrst, dass fiir zwei Moliome u = w,A up, v = wf A vq die einen gemei~lsamenFaktor to, voln Grade 1. uud zwei z~~eiuallder teilerfremde Faktorea u p , v, von den Graden p, q haben,
...
,
(in 23
Der iunere Differelltialknlkiil
r4521
187
ist. Dies folgt atis (9.1), wenn man beachtet, dnss wegen
2 q1,ei, eCll16 sich von ail ,.i,, nur um Monome positiven Grades unterscheidet, die bei ausserer Multiplikation mit dem homogeneu Differential (m - n).teu Grades eil ein z annulliert werden. Nach (14.3) ist des Duale eines liomogenen Differeutials p-ten tirades homogen von dem komplementken Grade ?w -p. Insbesondere ergibt sich aus (14.2)
..
wtbs die Operatorgleichung
zur Polge hat und gestettet,
zu setzen. Mit + lraun danach der Operator d tmnsformiert, d. 1h.r-1 d + gebildet werden. Wegen der Konstsnz von x ist uach (13.2)
wobei nach (14.3) (lah v x statt eh x geschrieben werdeu kauu. Der dann entuteheude Subtrahend ydh u v d x h ist nach (9.8) und (11.2) gleich d x h v dh th - 2eh dh u = 6u - 2ah dh z~ = du ti" $1, worltiis
-
folgt, ein Ergebnis, daa Illit der Bezeicl~nuugd" schon angekiiudigt werden sollte. Nuumelrr ist mit +-1 d x = a" auch
ale cine im Bereich T ( A ) aller Differentii~ltensorengiiltige Operatorgleiohung bewieseu. Da fiir Differentiale $1 c ? d u = 0 ist, gilt auch (14.9)
und damit (14.10)
d " 6 u =0
(21 E
A)
ss zc = ( d + d") ( d + d") 21 = (dd* + d"d) u
(z6 E A )
was die friiher erwa,l~nte Gleichheit VOII 66 mit dein Operator A von Hodge und de Rhaln im Bereiche der Differelltiale beweist. Aus (14.7) und (11.2) folgt die Invarianz
der inneren Differelltiation beim Transforlnieren mit sofort bestatigt werdeu k a u i ~: aach ~ r ~ i t t e (13.2) ls
x,
hie iibrigens
Der Operator :F bedeutet innere Recl~tsmultiplikation mit x. Die naheliegende Frage, was int~ereLiuks~nultiplikatioumit x bedeutet, wird durch die fiir alle Differentialtellsoren giiltige Formel
beantmortet. I n der Gestalt (14.1 3)
xv
11 v 2-I
= t)~"'+~ZL
geschrieben, ist sie leicht einzusehen.
Der innere Differentialkalkul
[as81
203
Es gel~iigt offenbt~r,sie unter der Vor;lussetzung, dass u ein Differential sei, zu beweisen. DH fbrl~erdie ijbeig51nge r' -+ x v u v a-1 I I I I ~zc -+ ? l m f l ti A~ttomorl)hiame~~ des il~nerenDiffere~~tialriuges A sind uud dieser Ring VOII A , , der Geuamtheit der Differentiale 0-ten Grtides, und den dx; erzei~gtmird, geniigt ea, die Gleichung (14.13) fiir die FaIle 1) u E A,, 2 ) 21 = dxi zn beweiseu, was im ersten Ftllle oh110 Rechl~ul~g,ill1 zweiteu mittels (9.8) und (14.3) geechiel~t: z v axi v #-I= a v yx-I v axi 2 . zv ei Z-l = (- l ) m a ~ i 2. x v d x ; v Z-1.
+
+
15. Skalrrprodnkte Aus zwei Differentiallen u , v g e w i ~ ~ nman t ein n.fHches Differential (15.1) (u, v ) = ((u v v ) A 2 , das als Sktrlarprodzckt vall u ulrd v bezeichaet werde, obwohl es dem iibliehe~i Gebraucl~e tlieses Wortes besser entspriiche, d t ~ sIntegral dieses Differentials so zu neonen. E s uutersd~eidetsich vo~rlVol~l~nendifferel~tial nm dell Faktor ( [ u v v ) , , der die Glieder 0-ten Grades in der Zerlegu~lg
von
5uvv
in ho~nogeneBeutaudteile ([ u v v),, zusail~menfasst:
Da aus (15.2) durcll Anmendung von [ die Zerlegung [v v
14
= 2 (m8
(3 (521 v v),
1)
von [ v v u in homogene Bestandteile folgt, ist (cv v zc), = ( [ u v v), und darum (15.4) (v, 4 = ( ~ 2)). 9 A of al~~lliche Weise ergibt sic11 ((yu v yv), = ((-21 v v), (15.5)
beweiat.
, wa,a
-
Wegeu I v i. (V ( Z V V ) = [ U V V WHS ,
ist
l)@
53 v
z = 1 uud darum ( (z v u ) v
und znfolge von (14.12) und (15.5) auch
ergibt. Piir beliebige Differeutiale zc, v, w ist 5 ( t o v zl) v v = [zc v (Sw v v ) ulld deshalb (15.8) (wvu,vj=(u,[w VV). Die sogleich zu beweiseude Beziehuug
und die Sy~nmetrie(15.4) des Skalarprodukts gestatten, aus (15.8) auf das Bestehen einer ahnlichen For~nel
(15.10) (zc v w, v ) = (u,v v Sw) zu schliessen. Die eben angewandte Eigenschaft (15.9) des Skalarprodukts ist unmittelbare Folge der Tatsache, dass (zc, v) die Sumnle
der Skalarprodukte der homogenen Bestanclteile t i , , v, a-ten Grades von zc nnd v ist, und dieses wiederum ergibt sich duch Verwaudel~i von Szc v v = 2 (up v vq mittel8 (9.1) in eiue Summe von 5usseren Produkten
P>P
(-
I)@
+
rz!
+ -
..e h up e*. ..e'X. vq ,
""il
A
die nur fiir ( p - rz) (q a) = 0, p - rz 0 , q - rz 2 0, d. h. p = q = 12, nicht-verschwiudende Beitrgge zn ([zcv v), lieferll kounen. Zugleich iat damit die Formel
Der innere Differentialkalkiil
[1701
205
bemiesen, die zeigt, wie sich (u, v) aus den Eoeffizienten
berechnet. Aus (15.11) ulicl (15.12) folgt, class im Falle eilier positiv-definiten Metrik das skal:~.~*e Quadrat (u, 2s) eilies Differentials 26 sic11 i Paktor vo~i tle~n Volr1iriendiffere1itilr1z urn e i ~ i e ~aicht-negativen ~~nterscheidet, der iiberidl clort positiv ist, mo u ~iiclitverschwindet. Durch 1 (u, v), = --i , ei, eip (axil v
..
P
...v dxip v
U,
v)
wird gin ($it-p)-fiches Diflerential erkliirt, das ahihuliche Eigeuscbaften wie das Skalarprodnkt hat uad darnm d r ~ sp-te abgeleitete Skalarprodakt von u und v Iieisse. Da mit to = dxilv v dxip l~ach(18.8) nnd (15.4) sic11 (wvu, v)=
...
(ZC, [W
e) (u, w v v) =
v v ) = (- 1)
(v, .Ip
(-
= (-
1)("> (w v v,
U)
ergibt, ist
I.)@ (u, v ) ~
Anweudung von (15.5) auf die in (15.13) auftreteuden Skalarprodukte fiihrt Z I I der Gleichung
und unmittelbrtr aus (15.10) ist abzulesen : (U
v W, v), = (u, v v (w), fiir beliebige u, v, w E A.
Die zunacbst nur fiir Differentittle e r k l t t e n Skalwrprodukte kolll~euallgemeiuer fiir Differeutialte~~soren
von gleichem Typns definiert werden, indem
gesetzt mird. Alle fur Skiclerprodnkte bemieseae~~ R e l i ~ t i o n eclieses ~ ~ Abschnitts bleiben bestehe~~, wellu darin u, v als Zeiche~ifiir Differet~tialte~~soren gleiohell Typs itngesel~eu werden und w eiu beliebiges Differeutiiil bezeichnet. Neben d e ~ nSkalarprodukt (u, v) ist am wicl~tigstendas erste abgeleitete Skwlarprodukt
cli~.smie jenes synlmetriscl~in u und v ist. Seine B e d e n t ~ u ~liegt g vornelr~rilicl~ i ~ nBestehet~ der Gleichnl~g
die, uicht gsnz zn Recht, einfacl~ Greensolbe .Formel genaunt merde. Der Beweis dieser Gleichuug wird einfach, a e n u tnan nach (11.14) den Operiitor dei durch di - eid ersetzt U I I ~beacl~tet, dwss desseu Wirkung aof ein w-faches DiEerentiitl (daivu,v)= ( [ u v d d v v ) ~ ~ dieselbe ist wie die der kovariantet~ Differe~~titttiou di. Die Regel11 (8.2) u t ~ d(10.4) ergeben dicen wegen der I < o u s t ~ l ~des e Volumendlfferentirils z und des Differel~tiltltelisorsdx:
+ (iui1..:, Hier ist
.
''1
Y
dxi v a, V"
. +, kl .. S~ A a.
Der innere Differentiallmlkiil
14721
207
und
za setzeu, um die rechte Seite von (15.20) zu erhalteu. Das skalare Quadrt~t(u, u) eiues beliebigen Differentialtensors u unterscheidet sioh im Falle eiuer positiv-definiten Metrik vom Volumendifferential a urn einel~Faktor, der iibera.11 2 0 ist und in jedeln Punkte l', wo u ( P ) $: 0 ist, sogar positiv ausfiillt. Erw51111tsei schliesslich noch die Gleichung
die mit besserem Grn~ideals (15.20) den Nalnen Greensclle Formel verdiente. Sie gilt ebeufalls fiir ein beliebiges Paar vou Differentit~ltel~sorengleichen Typs und folgt aus (15.20), indem man dort da.s eille M ~ L Iu durch du, dau andere Ma1 v durcl~Sv ersetzt und die beiden ertlaltenen G l e i c h ~ ~ ~ l unter g e ~ i Beichtuug der Symlnetrie der auftretenden Skalarp~odt~kte voueinander abzieht.
111. - DIRAC-GLEICHUNGEN 16. Lie-Operatoren
ill1
iiosserel~Differelitialkalkiil
Ein z~ulacl~stnur auf Punlitionen, d. h. Differenti:~.le 0-ten Grades mirkender Lie-Operator
dessen Eompone~itenai im betrachtetel~ Gebiete G nirgends verschwi~ideumogen und differenzierbar seieu, bestilnlnt einen kontravariauten Tensor (ai!, init (lessen Hilfe aus jedem Differential u E A i l l einer vorn Koordiuatensystem uuabhaagigeu Weise ein Differential
gebildet merden lianu.
Die Invarianz dieses Ausdrucks wird offensichtlich, welin in der Umgebung eines Puuktes willkiirlich eilie Metrik eingefiihrt und du ~ d durch diu o: A e,u, d (ai)durch (daygemBss (6.7) u ~ (6.21) dxa - CD; ak ersetzt werden ; denn so entsteht der invariante Ausdruck
-
+
... ,
yna, in welohem Pi die KompoIm neuen Eoordinatensystem yt, nenten des Tensors [ai]seien, bat derum X u eiue zu (16.3)entspreclrende Gestalt, die I I H C ~ elalleuter A ~ ~ a e n d u ~von r g (6.7)u ~ ~ d du (6.11)in die zu (16.2)a~rslogeDarstell~l~lg- d ($) heiu iibergeht. dyt Da die Gleichling (16.2) im Palle einer F ~ i n k t i o ~u l sich a ~ i f du Xu = ai-- reduziert, dehnt. sie die Wirkuug des urspriinglich nur axa im Ringe A, der Differentiale 0-ten Grades wirkenden Operators X snf den gsuzen Busseren Differentialring aus. (Vgl. E. CARTAN, Lepons sur les Invariants Int6g~aux,Chap. IX). Zn einern beliebigen Punkte P von G' kann eine Umgebung U gefunden werden, in cier eine umkehrbare differenzierbare Koordinatentransformation
+
oxc= xi (y',
... y"')
moglich ist, welche
bewirkt. Solche Roordinaten y werden wir knnoniscl~in Eezug anf X nennen. Ans der oben bemiesenen Invarianz cles Ausclrucks (16.2) folgt, dass nacll solchem Koordinatenwechsel dau uxu = -
a
wird. Umgekehrt fiihrt die Pordernng, dass in einem bezuglich X lianonischen Koordinatensystem die Gleichung (16.4) gelte, zu der Darstellung (16.2) von Xu. Diese Bemerliung legt nahe, dem Operator X auch Wirkung auf Differenti:tlt,ensoren zuznschreiben, inclem man forclert, dass X u
Der innere Differentialkalkiil
[a741
209
ein Tensor von gleichem Typus wie u = ( u: .. '.42 I"P ) sei und in Koordinaten yi, fn, die beziiglich X kanonisoh sind, die Komponenten
... .
habe. Um zu zeigen, dass sich auf diese Weise in beliebigen Koordinaten
6 ar
d a'.
el..'
ergibt, geniigt es, die rechte Seite nach lokaler Einfiihrung einer Metrik mittels (6.6) und (6.11) so umzuschreiben, dass sie den von der linken Seite angedeuteten Tensorcharakter sichtbar werden lasat. In der Tat gelingt dies, und es entsteht
Aus dem hiermit bewiesenen Tensorcharakter der rechten Seite von (16.6) folgt, dass diese Gleichung einen Differentialtensor Xu definiert, dessen Komponenten in kanonischen Koordinaten, d.h. unter m), am= 1. die gewiinschte einfache der Voraussetzung ai = 0 ((i Gestalt (16.5) annehmen. Aus der Moglichkeit, die Koordinaten in einer Umgebung eines beliebigen Ponktes von G so zu wahlen, dass fiir jeden Differentialtensor die Wirkung von X einfach Differentiation nach einer der ICoordinaten bedeutet, folgt unmittelbar die fiir beliebige Differentialtensoren
uud j v = (ull... j gegeben, so ist
(4A (u) nur erklart, wenn , I= a ist uud zwar d s die Matrix, die deln Tensor
[
: :
1
l i
s,. kQ 1
entspricht. ~ h n l i c hist drts innere Mst~.ixe~~prod~,lit,
(4 v (21) zn verstehen. Anwendung eines Operators auf e i l ~ eDifferentidmatrix bedeute seine Anwendnng nuf jedes Glied der Matrix ~ i n dBewahruug der Matrizengestalt. Dnuach sind z. B. (du) von d (u), (6u) von 6 (u) zu nnterscheiden. Urn den ia (6.11) und (11.17) siclltbaren Zusammenhltng zwischen diesen M ~ t r i z e n uud auch i~ndereBeziei~ungenin die Matrizensprnche iibersetzen zu konnen, fiihren wir d-reihige quadratische Mntrizen Wi?
,
QA
... ,
9
An
, ,... ,lci
ein, die in der Zeile i , i , , iL und der Spltlte k , k2 folgenden 1-gliedrigen Su~nrnennls Elemente hsben :
die
14821
Der innere Differel~tialkalkul
217
oi
Die erste, mit den U:~rtandifferentialen gebildete Matrix coL stelit zu der z w e i t e ~ ~mit , dell Eriiln~nuugsdifferentialeu95 gebildeten Matrix RA in det. Beziehung
1 i t 1 (7.10) bereits ar~sgesttgtist. Die Matrix Ar setzt vorans, die fur ,I= X gegeben ist, :bus desseu Teusor (ai)die class e i ~Killing.Operntor ~ Elemeete gelniiss obiger Formel zu bilden sind. Die Gleichnr~geu (6.11), (11.17) und (17.4) gesttbtten dauacll folgel~dei j b e ~ . s e t z ~in~ adie ~ Matrizensprache : (du) = d (u) (621)= B ( u )
+ o,,
A (ZC)
- t(tco~A t(zh))
+ cop v ( u ) -
t ( t v~ t ~ (~6))
(18.4) wobei
ist. Das u ~ i tliukem oberen t augedeutete Trausponieren geniigt bei Dussereu Matrizeuprodukten der aus (9.6) folgenden Regel (18.6)
Y(u) A (v)) = yyhv) A yu),
t((v)A ( u ) )= t(zc) A t(qhv)
(wenn u homogen vom Grade h ist), und bei inneren Matrizenyrodnkten gilt nach (9.7)
"(u)v (v)) = t(qhv)v l(u)
+ 2ei l(qh+]v)v ei
- 2eiek
t ( ~ )
t ( y h )v eiek t(u)
- USW. (wenu u homogen vom Grade h ist). Weudet mttn diese Regeln rtuf den Fall an, wo der cine Faktor die Matrix on ist, so gewinnt mall nachstehe~~de Fassungen der Gleichungen (18.3) (18.8) (18.9)
(dl&)= d ( u ) (6u) = 6 (u)
+ w,
A
(zc)
- (yu)A
WA
+ cop v ( u )- (yu)v o~- 2 . ei ( u )v ebb .
Die ~ b e r s e t z n u ~ eVOII n (8.5) ond (12.4) in Matrizenspreche sind (18.9) und (18.10)
.
(66u)=gik didk(z1)
+ Rile . dzi v ek(u)- Qik v eieTC(u) + Q, v - t(tQlv t(u)) (U)
Die Gleichung (18.8) kanu unter Beschtung von (18.2) und dd (u)= 0 sowie der Produktregel
auch durch zwei~naligeAnwendung der Gleichung (18.8) gewonueu werden. Erwahnt sei schliesslich noch die Differelltiatiousregel fiir inilere Matrizenprodukte : (18.12)
6 ( ( u )v (v)) = 6 (zc) v (v)
+ (qu)v 6 (v)+ 2 . ei (u)v di (u)
*19. Dirac-Gleichungen und ihre Integrle
Jede Gleichung
worin ein gegebener und
der geauchte Differentialtensor aind, nennen wir Dirnc-Gleichuwg. Die an8 (11.17) folgende Beziehung
[4841
Der inuere Diffeerentialkalkiil
219
zeigt, dasv Veljiiageng ulld inl~ereDifferelltinti011 n~iteiuallder vertnlischbar sind, wie iibrigens auch, gemass (6.6) und (6.11)) kovarii~nteund Bussere Differentiation mit Verjungung vertanschbar sind, sofern nicht gerade der bei der kovarianten Differentiati011 entstandeue Index an der V e r j i i ~ ~ g n r beteiligt ~g ist. Da das He1'81lf- odor Her~lntel.ziehelieines llitlex bei einem Tensor u d r ~ sErgebnis V(g.u) eiuer Verjul~gul~g des Produkts voil g = ( g i k ) oder g = ( g i k )mit zc ist, gilt wegel] der eben festgestellte~~Vertsuschbarkeit und der Koustalix deu Tensors g iracl! den Prodnktrcgeln fiir d;ts innere, aussere oder kovarisnte Differenxiereu
d. h. Eernuf - oder Heruiiterziehen eines Index silid wit innerer, aasselQerulid Bovzirit~l~ter Differel~ti~~tion vertauscllbar. Aus eil~er Dirac.Gleichuug (19.1) folgt clemliach eine mit ihr gleichwertige
in der der unbekannte Tensor u reill kontri~variant ist. Diese
e Normalform >
einer Dirac-Gleichung (iI-ter < Stufe s ) nirnmt in Matrizenschreibmeise die Gestalt (19.3)
(826) = (a)v (u)
an, in welcher ( u ) als ~"gliedrige, der Gleichung
geuiigeude Spalte erscheint. Vorbild aller dieser Gleicliungen ist die Dirac.Gleichung 0-ter Stufe 6u = a v u, der nach der Diracscl~euTheorie des Elektrolis im elektromagnetische~iFelde das Zustaudadiffere~ltinl u des Elektrons im EinsteinMinkowski-Raum geniigt.
Einem Sprachgebrauoh der Quententheorie folgend, nenilen wir jeden in der Gesamtheit T ( 8 ) aller Differentialtensoren wirkenden Operator, der jede Losung der Dirac.Gleichung wieder in eine Losung derselben Dirac-Gleichung iiberfiihrt, Integval der Dirac-Gleichung. Rechtsmultipliketion v o mit einem konstanten Differential c ist Integral jeder Dirnc-Gleichung; denn naclt (13.2) ist 6(zcvc) = = 6u v o, weshalb ans (6u)= (a) v (u) stets (6 (u v o)) = (a) v (u)v o = = (a) v (u v c) folgt. Operatoren in T(A), wie iiblich, a18 Linksfaktoren schreibend, werden wir statt u v o euweilen auch (vc) u schreibeu, vor allem dann, wenn die Gess.mtheit aller Integrale einer u ~ i dderselben Dirac-Gleichung als U n t e r r i ~ ~dea g Ringes aller Operatoren in P ( A ) aufgefasst werden 8011. Wenn von einer 1-gliedrigen, durch den Lie-Operator X bestimmten Gruppe bekaunt ist, daas sie die Metrik und zugleich den Tensor a invariant lasst, in deln Sinne, dass X Killing-Operator und X a = 0 isti, so ist auch X ein (mit gleichem Buchstaben zu bezeichnendes) Integral der Dirac.Gleichnng. Denn trird (6%)=(a) v (u) wieder ale Tensorgleichung geschrieben : 6zc = V (a v u), wobei V eine Verjiingung bedeutet, so folgt mittels (17.6) und (17.7), dass d X z c = Y k = X V ( a v z ~ ) = VX(avtc)= V(avX2c) ist, wegen der nus (17.4) ablesbaren Vertauschbsrkeit von X mit V. Die Bedingung Xa = 0 ist nach (18.4) mit
X (a) - An . (a)
+ (a) . An = 0
gleichbedeuteud und die Wirkuug von X auf eine Lijsung der DiracGleichung ist (19.6) (XU)= X (u) - An (u),
-
wobei daran erinnert sei, dass
ist und ~ h n l i c h e sfiir X(a) gilt. 20. Adjungierte Dirnc-Clleichung
Zn der Dirac-Gleichong (20.1)
(6u)i~.. in
- $1 ..iAh .. Jq
%kl
.. ka
14861
Der innere Differentiallralkiil
221
adjutjgiert ist die Dirac-Gleichung (20.2) mit (20.3)
. . $"aAkl.,kl.
= - &kl..ki.
il
..52
Gerechtfertigt wird dieser Begriff durch die ans der Greenschen Formel folgende Tatsaclie, dass jede Liisong u vo11 (20.1) 111it irgend einer Liisung v VOII (20.2) zusammen ein im Sinne von d (u, v), = 0
geachlosse~~es abgeleitetes Sk~lerprodukt(u, v), hat. I n cler Tat ist nach (18.8) nnd (20.3)
woraus mittels (15.20) die Gleichung (20.4) folgt.
21. Har~no~iische und streng hnr~nonischeDifferentiale
Unter den Dincc.Gleichungen verdient zurracllst die Gleichung
besondere Beachtung. Erfiillt ein homogenes Differential diese Gleichung, so ist megen der Ho~nogenit#tder Operatoren d und 8, in die die iunere Differentiation zerlegt werden kann, nnch du = 0 und d+u = 0, d. W. u ist in dem vou HODGEurspru~lglichgewiihlten Sinrle harmonisch. Wach eineln Vorschl~gevon DE RHAM wird heute ein ho~nogenes Differential genau dann hal'molti8ch geuannt, wenn es der Gleichung
geniigt. Daru~u sei das Besteller~tlieser Gleicllnng : I I I C ~ im Falle eiues i~il~o~noger~en Differentials oder eines Differentialtensols das Kennaeicheu des Hannol~ischseins. Btvetcy l~avmonisohheisse dltgegen eiu Differentialtensor erst dam, we1111 er auch der Gleichuug (21,l) geniigt. DR der Operrrtor A hon~oge~i ist, k a ~ ~einn Differential nur dilnn harmo~~isch seiu, weun auch seine 1101nogene11Bestandteile hsrmoniscl~sind, und deshalb eriibrigt es sich, iuhomogene hannouiscl~e Differentiale besonders zu betyachten. Bei streng har~nonische~l Differel~tialenist im allgemeinell Inl~o~nogrnitat zu erwarten. Die Invarianz der inneren Differentiation gestattet, die Begrife cler Harmonie oder der strengen Harmopie von Differentialen und Differentialtensoren anch im Grossen zu erklaren, d.h. fiir differenzierbare m-dimensionale Riemsnnsche Mannigfaltigkeiten R, die nicht lnehr mit einem JCoordinatensystem allein beschrieben werden konnen. Da der Begriff 6 harmonisoh in R >> Gegenstand klassischer Untersuchungen gemorden ist, diirfen die Begriffe c( Differential in R a, 6 Differentialtensor in R s, 6 streng harmonischer Differentialtensor in 1i 9 a18 hinreichend erklart vorausgesetzt werden. 1st der Raum R orientierbar und kompakt und seine Metrili positiv-definit, so sind alle in R harmonischen Differentiale bereits streng harmonisch ; denn aus der Greenschen Formel (15.20) folgt d (u, 621), = (u, 66u)
+ (Ilu,
611)
uncl (larans (lurch Integration iiber cien ganzen Raum
Geniigt also zc der Gleichnng 68u = 0, so folgt nach einer Bemerliung gegen Ende von 3 15 ans der Definitheit cler Metrik auch 6%= 0. Im Falle nicht-kompakter Raurne oder nicht-definiter Metrik bedentet 6u = 0 eine weit schgrfere Auswahl unter den Differentialen als 862~= 0. Wie alle Dirac-Gleichungen hat anch 8u = 0 das Integral x = v a, weshalb mit jedem streng harmonischen Differential u auch sein