Éléments de Mathématique: Fonctions d'une variable reelle. Theorie elementaire

BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE

N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE

FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE

Théorie élémentaire

123

Réimpression inchangée de l’édition orginale de 1976 © Hermann, Paris, 1976 © N. Bourbaki, 1981 © N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007

ISBN-10 3-540-34036-X Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-34036-2 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Imprim´e en Allemagne Cover Design: WMXdesign, Heidelberg Imprim´e sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 -

Mode d'emploi

.

f

e ce tralte

NOUVELLE É D I T I O N

1. Le traité prend les mathématiques à leur début, et donne des démonstrations complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathématique et un certain pouvoir d'abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l'université.

2. Le mode d'exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé, L'utilité de certaines considérations n'apparaîtra donc au lecteur qu'à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu' il ne possède déjà des connaissances assez étendues. 3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuellement publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants: désigné par E Théorie des Ensembles A Algèbre 3) TG Topologie générale Fonctions d'une variable réelle ,, FVK Espaces vectoriels topologiques , EVT Intégration Y' INT Algèbre commutative ,) AC Variétés différentielles et analytiques )> VAR Groupes et algèbres de Lie ,? LIE Théories spectrales 3' 1's i'

y

Dans les six premiers Livres (pour l'ordre indiqué-ci dessus), chaque énoncé ne fait appel qu'aux définitions et résultats exposés précédemment dans ce Livrc ou dans

ies Livres antérieurs. A partir du septième Livre, le lecteur trouvera éventuellement, au début de chaque Livre ou chapitre, l'indication précise des autres Livres ou chapitres utilisés (les six premiers Livres etant toujours supposés connus).

4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes Ils sont placés entre deux astérisques: *. . . ., Dans certains cas, il s'agit seulement de faciliter la compréhension du texte par des exemples qui se réfèrent à des faits que le lecteur peut déjà connaître par ailleurs. Parfois aussi, on utilise, non seulement les résultats supposés connus dans tout le chapitre en cours, mais des résultats démontrés ailleurs dans le traité. Ces passages seront employés librement dans les parties qui supposent connus les chapitres où ces passages sont insérés et les chapitres auxquels ces passages font appel. Le lecteur pourra, nous l'espérons, vérifier l'absence de tout cercle vicieux. 5. A certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fasciculles de résultats. Ces fascicules contiennent l'essentiel des définitions et des résultats du Livre, mais aucune démonstration.

6. L'armature logique de chaque chapitre est constituée par les déjnitions, les axiomes, et les théorèmes de ce chapitre; c'est là ce qu'il est principalement nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins importants, ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de >, >, etc; ceux qui peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de 0, il Y -X existe h > O tel que les conditions lx - x,l < h, ly - x,l < h (x # x,, y # x,)

pour x < y < x,. Inversement, si f(y) - f ( x ) tend vers c, pour tout

entraînent

Mais pour tout x E B et # x,, tel que lx - x,l < h, il existe k > O (dépendant de x) tel que la relation x < y < x + k entraîne

d'où, en tenant compte de (11):

pour lx - x,l < h, x E B et x # x,, ce qui prouve que f i (x) tend vers c. En outre, de la relation (11) on tire d'abord que

ce qui prouve (critère de Cauchy) que f a une limite d au point x,, lorsque x tend vers ce point en restant dans 1 et # x,; faisant alors tendre x vers x, dans (1l), il v i e n t , p o u r y ~ I , y# x,et Iy - x,l C h,

ce qui prouve que c est la dérivée au point x, de la fonction f prolongée par continuité à 1 r\ (x,). Remarque. - Un raisonnement analogue, basé sur le th. 1, montre que si f est une fonction numérique telle que f,'( x ) tende vers co au point xo, le rapport

+

( f (Y)

- f (x))l(y - x)

tend aussi vers +a,et réciproquement; si en outre f a une limite finie au point xo (ce qui ici n'est plus une conséquence de l'hypothèse), la fonction f prolongée au point xo par continuité a une dérivée égale à +CO en ce point.

FVR 1.28

3 3. DERIVÉES

D'ORDRE SUPÉRIEUR

1. Dérivées d'ordre n

Soit f une fonction vectorielle d'une variable réelle, définie, continue et dérivable dans un intervalle 1. Si la dérivée f ' existe dans un voisinage (par rapport à 1) d'un point x, E 1, et est dérivable au point x,, sa dérivée est appelée la dérivée seconde de f au point x,, et se note f1'(x,) ou D2f(x,). Si cette dérivée seconde existe en tout point de 1 (ce qui implique que f ' existe et est continue dans 1), x i-t f "(x) est une fonction vectorielle qu'on désigne par la notation f " ou D2f. Par récurrence, on définit de même la dérivée n-ème (ou dérivée d'ordre n) de f, qu'on note f(n)ou Dnf; par définition, elle a pour valeur au point x, E 1la dérivée de la fonction f(n-l)au point x,: cette définition suppose donc l'existence de toutes les dérivées f(k)d'ordre k 6 n - 1 dans un voisinage de x, par rapport à 1, et la dérivabilité de f(" au point x,. On dira que f est nfois dérivable au point x, (resp. dans un intervalle) si elle admet une dérivée n-ème en ce point (resp. dans cet intervalle). On dit que f est ind$iniment dérivable dans 1 si, pour tout entier n > O, elle admet une dérivée d'ordre n dans 1. Par récurrence sur rn, on voit que

De façon précise, lorsque l'un des deux membres de (1) est défini, l'autre est défini et lui est égal.

1. -L'ensemble desfonctions uectorielles déjïnies dans un intervalle 1 c R, PROPOSITION prenant leurs valeurs dans un même espace uectoriel topologique E, et admettant une dérivée n-èrne dans 1, est un espace vectoriel sur R, et f i-t Dnf est une application linéaire de cet espace dans l'espace vectoriel des applications de 1 dans E. On démontre en effet par récurrence sur n les formules

lorsque f et g ont une dérivée n-ème dans 1 (a constante). PROPOSITION 2 (( à la fonction linéaire f (a) + f'(a) (x - a) au voisinage de a (cf. chap. V, où cette notion est développée de façon générale). Nous allons voir que l'existence de la dérivée d'ordre n de f au point a entraîne de la même manière que f est à un polynôme en x, de degré n, à coefficients dans E (TG, X, p. 39) au voisinage de a. De façon précise : THÉORÈME 1. -Si lafonction

(7)

f admet une dérivée n-ème au point a, on a

(X - a) f(x) - f(a) - f'(a) l! lim x+a,x~I,x+a (X - a)n

. . . -f(%)(a)(X

Procédons par récurrence sur n. Le théorème est vrai pour n

-

n!

=

a)" =

O.

1. Pour n

FVR 1.30

DÉRIVÉES

83

quelconque, on peut, d'après l'hypothèse de récurrence, l'appliquer à la dérivée f ' de f: pour tout E > O, il existe donc h > O tel que, si on pose g(x)

=

(2 - a) - f " ( 4 (x - a)2 f(x) - f(a) - f'(a) 1! 2!

. . . - f(n)(a) (X -n !a)"

Appliquons le th. des accroissements finis (1, p. 22, th. 2) dans l'intervalle d'extrémités a, x (avec lx - al < h) à la fonction vectorielle g et à la fonction numérique croissante égale à E 1 y - aln/n si x > a, à - E 1 y - aln/n si x < a; il vient Ilg(x)II ,< E lx - aln/n,ce qui démontre le théorème. On peut donc écrire

où u(x) tend vers O lorsque x tend vers a en restant dans 1; cette formule est dite formule de Taylor d'ordre n, relative au point a, et le second membre de (8) est appelé le développement de Taylor d'ordre n de la fonction f au point a. Le dernier terme rn(z) = u(x) (x - ~ ) ~ /est n !appelé le reste de la formule de Taylor d'ordre n. Lorsque f admet une dérivée d'ordre n + 1 dans 1, on peut avoir en fonction de cette dérivée (n + 1)-ème une majoration de 1 rn(x)11 valable dans 1 tout entier, et non seulement dans un voisinage non précisé de a: PROPOSITION 3. -Si Ilf(n+l)(~) II 6 M dans 1,on a

dans 1. En effet, la formule est vraie pour n = 0, d'après 1, p. 23, th. 2. Démontrons-la par récurrence sur n; d'après l'hypothèse de récurrence appliquée à f', on a

d'où la formule (9) par application du th. des accroissements finis (1,p. 23, th. 2).

No 2

FVR 1.3 1

DÉRIVÉESD'ORDRE SUPÉRIEUR

COROLLAIRE. -S i f est une fonction numériquejnie admettant une dérivée ( n dans 1, et si m 6 f ("+l)(x) < M dans 1, on a, pour tout x 2 a dans 1

+ 1)-ème

le second membre ne pouvant être égal au premier (resp. au troisième) que si f ( " + l ) est constante et égale à m (resp. M) dans l'intervalle (a, x). La démonstration se fait de la même manière, mais en appliquant le th. 1 de 1, p. 17. Remarques. - 1) On a déjà noté, au cours de la démonstration du th. 1, que si f admet une dérivée n-ème dans 1, et si (11)

f ( x ) =a,

+- a,(x

- a)

+ a,(x

- a))

+ ... + a,(x

- a),

-P

r,(x)

est son développement de Taylor d'ordre n au point a, le développement de Taylor d'ordre n - 1 de f' au point a est

On dit qu'il s'obtient en dérivant terme à terme le développement ( 1 1 ) de f. 2) Dans les mêmes hypothèses, les coefficients a, de (11) sont déterminés par récurrence par les relations

a.

=

al

=

f (a) lim f

x-+a

(4 - f (a) X

-a

f ( x ) - f ( a ) - a,(x - a ) x-+a ( X - a)=

a, = lim

a, = lim x-ra

f(x)

-

f ( a ) - a,(x - a ) - . . . - a,-,(x ( X - a),

-

Dans le cas où a = O, on conclut de là en particulier que, si f ( x p ) (f entier > 0) admet une dérivée d'ordrepn dans un voisinage de O, le développement de Taylor d'ordre@ de cette fonction n'est autre que

r,(xP) étant le reste du développement (cf. V, p. 11). 3 ) La définition de la dérivée d'ordre n et les résultats qui précèdent se généralisent de façon immédiate aux fonctions d'une variable complexe; nous n'insistons pas davantage ici sur cette question, qui sera reprise en détail dans un Livre ultérieur de cet ouvrage.

F V R 1.32

8 4.

54

DÉRIVÉES

F O N C T I O N S C O N V E X E S D ' U N E V A R I A B L E RÉELLE

Soient H une partie de R, f une fonction numérique finie définie dans H, G le graphe ou ensemble représentatif de la fonction f dans R x R = R2, ensemble des points M, = ( x ,f ( x ) ) , où x parcourt H. Nous conviendrons de dire qu'un point (a, b) de R2 tel que a E H est au-dessus (resp. strictement au-dessus, au-dessous, strictement au-dessous) de G si on a b 2 f ( a ) (resp. 6 > f (a), b Q f ( a ) , b < f ( a ) ) . Si A = (a, a') et B = (6, b') sont deux points de R2,nous désignerons par A B le segment fermé d'extrémités A et B ; si a < 6, A B est le graphe de la fonction 6' - a' linéaire a' + -( x - a) définie dans (a, 6 ) ; nous désignerons par @ ( A B )la b-a b' - a' pente -de ce segment, et ferons usage du lemme suivant, dont la vérification b-a est immédiate :

Lemme. - Soient A = (a, a'), B = (b, b'), C = (c, a < b < c. Les propositions suivantes sont équivalentes: a ) B est au-dessous de A C ; b) C est au-dessus de la droitepassantpar A et B ;

CI)

trois points de R2 tels que

Fig. 1

c) A est au-dessus de la droitepassantpar 16 et C; d ) P ( W P ( A C ); e) p(BC). Le lemme est encore exact quand on y remplace au-dessus (resp. (( audessous ))) par strictement au-dessus )) (resp. ) et le signe Q par < (fig. 1). f ( x ) , y' > f (x') ; en faisant tendre y vers f ( x ) et y' vers f (x') dans cette formule, il en résulte que f est convexe. Exemples. - 1 ) Toute fonction linéaire affine (numérique) ax b est convexe dans R. 2) La fonction x2 est convexe dans Pi, car on a lx2 ( 1 - A)xf2 - (1% ( 1 - A ) x ' ) ~= A(1 - A)(x - x')' > O pour O < A < 1. 3) La fonction 1x1 est convexe dans R,car on a

+

+

+

+

+

Ihx

pour0

< A < 1.

+ (1 - h)x'

1 < A 1x1

+ ( 1 - A)lx'l

Il est clair que sif est convexe. dans 1, sa restriction à tout intervalleJ c I est convexe dans J.

FVR 1.34

54

DÉRIVÉES

Soient f une fonction convexe dans 1, x, x' deux points de 1 tels que x < x ' ; si z E 1 est extérieur à (x, x'), M, est au-dessus de la droite D joignant M, et Mx,; c'est une conséquence immédiate du lemme. O n en déduit que, si z est un point tel que x < z < x', et tel que M, soit sur le segment M,M., alors, pour tout autre point z' tel que x < z' < x', M,# est aussi sur le segment M,Md, car il résulte de ce qui précède que M,, doit être à la fois au-dessus et au-dessous de ce segment; en d'autres termes, f est alors égale à une fonction linéaire afJinedans (x, x'). DÉFINITION 2. - On dit qu'une fonction numériquejnief, définie dans un intervalle 1 c R, est strictement convexe dans 1, si quels que soient les points x, x' de 1(x < x'), tout point M, du graphe G de f tel que x < z < x' est strictement au-dessous du segment M,M,, (ou, ce qui revient au même, si tout point de ce segment, distinct des extrémités, est strictement au-dessus de G)

.

En d'autres termes, on doit avoir l'inégalité

pour tout couple (x, x') de points distincts de 1 et tout A tel que O < A < 1. Les remarques précédant la déf. 2 montrent que, pour qu'une fonction f convexe dans 1 soit strictement convexe, il faut et il suffit qu'il n'existe aucun intervalle contenu dans 1 (et non réduit à un point) tel que la restriction def à cet intervalle soit linéaire a$Ene. Des exemples donnés ci-dessus, le premier et le troisième ne sont pas des fonctions strictement convexes; par contre, on voit que x2 est une fonction strictement convexe dans R; un calcul analogue montre que 1/x est strictement convexe dans )O, + m(.

PROPOSITION 1. - Soitf une fonction numériquejnie, convexe (resp. strictement convexe) dans un intervalle 1 c R.Pour toute famille (xi), i,p de p 2 2 points distincts de 1, et

,

toutefamille (hi),

,,,,dep nombres réelstels que O < Ai < 1 et 5 hi = 1, on a i=l

(resp. (4)

La proposition (pour les fonctions convexes) se réduisant à l'inégalité (1) p l;

2

pour p = 2, nous raisonnerons par récurrence sur p > 2. Le nombre p = 1 = 1 Ai est > O; il est immédiat que si a et b sont le plus petit et le plus grand des xi, on a 1P - 1 Ai c 6, autrement dit le point x = hixi appartient à 1, et z=1

Z

p i=1

No 2

FVR 1.35

FONCTIONS CONVEXES P-1

l'hypothèse de récurrence entraîne pf (x)

< i=1 2 hif (xi); d'autre

part, on a,

d'après (1)

O n raisonne de même pour les fonctions strictement convexes en partant de l'inégalité (2). On dit qu'une fonction numérique finie f est concave (resp. strictement concave) dans 1 si - f est convexe (resp. strictement convexe) dans 1. Il revient au même de dire que, pour tout couple (x, x') de points distincts de 1 et tout h tel que O < h < 1,ona I

f (hx C (1 - h)xr) 2

+ (1 - h)f (x')

hf (x)

(resp.f ( h x + (1 - h)x') > Af(x)

+ (1 - A)f(x')).

2. Familles de fonctions convexes

PROPOSITION 2. -Soientf, (1

< i < p) p fonctions convexes dans un intervalle 1 c R, P

et ci (1

< i < p)

nombrespositij% quelconques; laj&ctionf =

1ciJ

i=l

est convexe dans 1.

En outre, si pour un indice j au moins, fi est strictement convexe dans 1 et ci > O, f est strictement convexe dans 1. Cela résulte aussitôt de l'inégalité (1) (resp. (2)) appliquée à chacune des f,, en multipliant les deux membres de l'inégalité relative à f, par ci, et ajoutant membre à membre.

l

/!

PROPOSITION 3. - Soit (fa) une famille defonctions convexes dans un intervalle 1 c R ; si l'enveloppe supérieure g de cettefamille estjnie en tout point de 1, g est convexe dans 1. En effet, l'ensemble des points (x, y) E R2 situés au-dessus du graphe de g est l'intersection des ensembles convexes formés respectivement des points situés audessus du graphe de chacune des fonctionsf,;il est donc convexe. PROPOSITION 4. -Soit H un ensemble defonctions convexes dans un intervalle 1 c R ; si 8 est un Jiltre sur H qui converge simplement dans 1 vers une fonction numérique finie f,, cettefonction est convexe dans 1. 11 suffit pour le voir de passer à la limite suivant 8 dans l'inégalité (1).

FVR 1.36

84

DÉRIVÉES

3. Continuité ecdérivabilité des fonrctions convexes

PROPOSITION 5. -Pour qu'une fonction numérique jnie f soit convexe (resp. strictement convexe) dans un intervalle 1, il faut et il sz@ que pour tout a E 1, la pente

soit une fonction croissante (resp. strictement croissante) de x dans 1 n C(a). Cette proposition est une conséquence immédiate des déf. 1 et 2 et du lemme de 1,p. 32. 6. - Soit f une fonction numériquejnie, convexe dam un intervalle 1 c R. PROPOSITION E n tout point a intérieur à 1, f est continue, admet une déride à droite et une dérivée à gauchejnies, et on af i ( a ) 6 fi (a). En eflèt, pour x

E

H et x > a, la fonction x 1--t

f(') -

-f

x-a 5) et bornée inférieurement, puisque si y < a et y E 1,on a

('1

est croissante (prop.

d'après la prop. 5; ccttc fonction admet donc une limite à droite finie au point a, autrement dit/,' (a) existe ct est h i e ; en outre, en faisant tendre x vers a (x > a ) dans (5), il vient

pour tout y < a appartenant à 1. On démontre de même que f i ( a ) existe, et que

pour x E 1 et x > a. En faisant tendre x vers a ( x > a) dans cette dernière inégalité, il vient f i (a) < f i ( a ) . L'existence des dérivées à droite et à gauche au point a entraine cvidemmcnt Ia continuité def en cc point. COROLLAIRE 1. - Soit f unefonction convexe (resp. strictement convexe) dans 1;si a et b sont deux points intérieurs à 1 tels que a < b, on a (fig. 3)

(resp. (9)

La double inégalité ( 8 ) provient de ( 6 ) et ( 7 ) par simple changement de

FONCTIONS CONVEXES

FVR 1.37

Fig. 3

notation. D'autre part, si f est strictement convexe et c tel que a < c < 6, on a, d'après (8) et la prop. 5

COROLLAIRE 2. - Sif est convexe (resp. strictement convexe) dans 1,f,' etfg sont croissantes (resp. strictement croissantes) dans l'intérieur de 1; l'ensemble despoints de 1 où f n'est pas dérivable est dénombrable, etf,' etf,' sont continues en tout point où f est dérivable. La première partie résulte aussitôt de (8) (resp. (9)) et de l'inégalité &'(a> < f,'(a). Soient d'autre pari E l'ensemble des points x intérieurs à 1où f n'est pas dérivable (c'est-à-dire fi (x) < f,'(x)). Pour tout x E E, soit J, l'intervalle ouvert )f ,'(x), f,'(x)(; il résulte de (8) que si x et y sont deux points de E tels que x < y, on a u < v pour tout u EJ, et tout u E J,; autrement dit, lorsque x parcourt E, les intervalles ouverts non vides J, sont deux à deux sans point commun; l'ensemble de ces intervalles est donc dénombrable, et il en est par suite de même de E. Enfin, f,' (resp.f,') étant croissante, a en tout point x intérieur à I une limite à droite et une limite à gauche; la prop. 6 de 1, p. 26 montre alors que la limite à droite de fd (resp.fi) au point x est égale à f,'(x), et sa limite à gauche à f,'(x) ; d'où la dernière partie du corollaire. Soient f une fonction convexe dans 1, a un point intérieur à I, D une droite passant par le point Ma, d'équation y - f (a) = a(x - a). Il résulte des inégalités (8) que sif,'(a) < a < f,' (a), tout point du graphe G def est au-dessus de D, et, sif est strictement convexe, Ma est le seul point commun à D et G; on dit que D est une droite d'appui de G au point Ma. Inversement, si G est au-dessus de D, on a

f (x) - f (a) 2 a(x - a) pour tout x E 1, d'où f(1' - f > a pour x 2 a, et x-a < a pour x < a; faisant tendre x vers a dans ces inegalités, il vient x -a

FVR 1.38

54

DÉRIVÉES

En particulier, si f est dérivable au point a, il n'existe qu'une seule droite d'appui de G au point M a , la tangente à G en M a . Remarque.

- Si

j est une fonction strictement convexe dans un intervalle ouvert 1,

,fi est strictement croissante dans 1, donc trois cas seulement sont possibles, d'après

la prop. 2 de 1, p. 21 : l 0f est strictement décroissante dans 1; Z0 f cst strictement croissante dans 1; 3 O il existe a E 1 tel que, pour x < a, f soit strictement décroissante, et, pour x 2 a, strictement croissante. Lorsque f cst convexc dans 1, mais non strictement convexe, f peut être constante dans un intcrvalle contenu dans 1 ; soit J = )a, b[ le plus grand intervalle ouvert où f est constante (c'est-à-dire l'intéricur de l'intervalle où fd(x) = O) ;f cst alors striciement décroissante dans l'intervalle formé des points x E 1 tels que x < a (s'il en existe), strictement croissante dans l'intervalle formé des points x E 1 tels que x 3 b (s'il en existe). Dans tous les cas, on voit que f possède une limite à droite à l'origine de 1 (dans R), une limite à gauche à l'extremité de 1; ces limites peuvent être finies ou infinies (cf. 1, p. 51, exerc. 5,6 et 7). Par abus de langage, on dit parfois que la fonction continuc (à valeurs dans ]R) égale à f dans l'inttkieur de 1, et prolongée par continuité aux extrémités de 1, est convexe dans Ï.

4. Critères de convexité

PROPOSITION 7. - SoitJ une fonction numériquejnie, d&nie dans un intervalle 1 c R. Pour que f soit convexe dam 1, il faut et il su@ que, pour tout couple de nombres a, b de 1 tels que a < O, et pour tout nombre réel p, la fonction f ( x ) + px atteigne sa borne supérieure dans (a, O) en l'un des points a, b. La condition cst nécessaire; en effet, comme px est convexe dans R, f ( x ) f px est convexe dans 1; on peut donc se borner au cas où p = 0. Or, pour

x

=

Aa

+ (1 - A)b(O G

h 6 l),

on a

f (4 G AS (a) f-

(1

-

A ) f (b) G Max

(f(4,f( b ) ) .

-f (b) -f

-

et soit g(x) 6-a f ( x ) -t px; on a g(a) = g ( b ) , donc g ( x ) < g(a) pour tout x E (a, b), et on vérifie aussitôt que cette inégalité équivaut à l'inégalité ( 1 ) où on a remplacé z par a et x' par b. La condition cst su$sante. Prenons en effet p

=

PROPOSITION 8. - Pour qu'une fonction numérique jnie f soit convexe (resp. strictement convexe) dans un intervalle ouvert 1 c Hi, il faut et il SUI@ qu'elle soit continue dans 1, admette une dérivée en tout point du complémentaire B par rapport à 1 d'une partie dénombrable de cet intervalle, et que cette dérivée soil croissante (resp. strictement croissante) dans B. La condition est nécessaire d'après la prop. 6 et son corollaire 2 (1, p. 3 6 ) ; montrons qu'elle est suffisante. Supposons doncf'croissante dans B, et supposons quef ne soit pas convexe; il existerait donc (1, p. 36, prop. 5) trois points a, b, c de

No 4

FONCTIONS CONVEXES

FVR 1.39

accroissementsfinis (1, p. 23, th. 1), on a

O n aurait donc

sup XEB,Q<XO; pour chaque valeur de n, l'entier fi prend les valeurs 1, 2, . . ., 2"; on a IoSl= )3, $(; siJ, est la réunion des intervalles 1,, correspondant aux nombres m < n, le complémentaire de Jn est réunion de P+lintervalles fermés Kn, (1 < p < 2"+l) deux à deux sans point commun. Si K,, est un intervalle (a, b), on prend alors pour I n + , , l'intervalle ouvert b-a b -3a ( l + & ) e t b - - . Soit E l'ensemble parfait complémentaire d'extrémités b - 3.2" de la réunion des In,, par rapport à (0, 1). Définir dans (0, 1) une fonction numérique continue f qui admette en tout point de (O, 1 [ une dérivée à droite, mais qui n'ait pas de dérivée à gauche aux points de l'ensemble non dénombrable dcs points de E distincts des extrémités d'intervalles contigus à E (cf. exerc. 7). (Prendre f (x) = O dans E, définir convenablement f dans chacun des intervalles In, de sorte que, pour tout x E E, il y ait des points y < x n'appartenant pas à E, arbitrairement voisins de x, et tcls quefb) -.f(x) = - l ) . y-x

,

,

,

,

9) Soient f et g deux fonctions numériques finies et continues dans (a, b) et ayant chacune une dérivée finie dans )a, b(; montrer qu'il existe c tel que a < c < b, et que

7 10) Soient f et g deux fonctions numériques finies, strictement positives, continues et dérivables dans un intervalle ouvert 1. Montrer que, si f' et g' sont strictcrnent positives, et f ' / g r strictement croissante dans 1, ou bien f/g est strictement croissante dans 1, ou bien il existe un nombre c E 1, tel que f/g soit strictement décroissante pour x < c, et strictement croissante pour x 2 c (remarquer que si on a f'(x)/g'(x) < f (x)/g(x), on a aussi pour tout y < x ) .

S'(Y)/~'(Y)< f ( Y ) / ~ ( Y )

I l ) Soit f une fonction à valeurs complexes, continue dans un intervalle ouvert 1, ne s'y annulant pas, et admettant en tout point de 1 une dérivée à droite. Pour que 1 f 1 soit croissant dans 1, il faut et il suffit que W(fiIf) > O dans 1.

fl 12) Soient f une fonction numérique dérivable dans un intervalle

ouvert 1, g sa dérivée dans 1, (a, b) un intervalle compact contenu dans 1; on suppose que g est dérivable dans l'intervalle ouvert )a, b(, mais n'est pas nécessairement continue à droite (resp. à gauche) a u point a (resp. 6); montrer qu'il existe c tel que a < c < b, et que d b ) - d a ) = (b (utiliser l'exerc. 4 c) de 1, p. 43).

-

a)gf(c)

13) O n appelle dérivée symétrique d'une fonction vectorielle f en un point xo intérieur à l'interf (xo h) - f (xo - h) lorsque h tend valle où est définie f, la limite (lorsqu'elle existe) de 2h vers O en restant >O. a) Généraliser à la dérivée symétrique les règles de calcul établies a u $ 1 pour la dérivée. b) Montrer que les th. 1 et 2 du 4 2 sont encore vrais quand on y remplace les mots ( par « dérivée symétrique ».

+

14) Soit f une fonction vectorielle définie et continue dans un intervalle compact 1 = (a, b) de R, à valeurs dans un espace normé sur R. O n suppose que f admet une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b( d'une partie dénombrable A de cet intervalle. Montrer qu'il existe un point x E )a, b( n CA tel quc Ilfi(x)ll(b - a). Ilf(6) - f(a)ll (Raisonner par l'absurde, en décomposant (a, b( en trois intervalles (a, t(, (t, t

+ h(

et

FVR 1.46

+

§3

DÉRIVÉES

(t h, b( avec t $ A; si k = Ilf(b) - f(a)/l/(b - a), noter que pour h assez petit, on a Ijf ( t h) - f (t) /j < k.h, et utiliser le th. 2 de 1, p. 23, dans les autres intervalles.)

+

§3 1) Avec les mêmes hypothèses que dans la prop. 2 de 1, p. 24, démontrer la formule

2) Avec les notations de la prop. 2 de 1. p. 28, on suppose que la relation [a.y] = O pour 1 fonctout y E F entraîne a = O dans E. Dans ces conditions, si g, (O < i < n) sont n tions vectorielles à valeurs dans E, définies dans un intervalle 1de R et telles que, pour toute fonction vectorielle f à valeurs dans F et n fois dérivable dans 1, on ait identiquement

+

[go.f]

+ [g1.f']

+ . a . +

[gn.f('q = O

les fonctions g, sont identiquement nulles. 3) Avec les notations de l'exerc. 2 et la même hypothèse sur [x. y], on suppose que chacune des fonctions gk est n fois dérivable dans 1; pour toute fonction f, n fois dérivable dans 1, à valeurs dans F, on pose

ce qui définit les fonctions h i (O identiquement [ho.f]

-

[h.f]'

+ [h2.fIn

+ . . a +

< i < n)

sans ambiguïté (exerc. 2); montrer que l'on a

(-l)n[hn.f](n) = [go.f]

+ [gl.f'] +...+

[gn.f(n)].

4) Soit f une fonction vectorielle n fois dérivable dans un intervalle 1 c R. Montrer que pour I/x E 1, on a identiquement

(raisonner par récurrence sur n).

5 ) Soient u et v deux fonctions numériques finies n fois dérivables dans un intervalle 1 c R. Si l'on pose Dn(u/u) = ( - l)nwn/vn+len tout point x où v(x) # O, montrer que l'on a

(posant w = u/v, dériver n fois la relation u = wu).

6 ) Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle ouvert 1 c R, prenant ses valeurs dans un espace normé E. O n pose Af (x; hl) = f ( x + hl) - f (x), puis, par récurrence, APf(x;h1, hz,..., hp-1, h,) = Ap-lf(x

+ hp; hl ,...,hp-1) - AP-lf(x;hl ,..., hp-1);

ces fonctions sont donc définies, pour chaque x E 1, lorsque les h, sont assez petits.

§3

FVR 1.47

EXERCICES

a) Si la fonction f est n fois dérivable au point x (et par suite n - 1 fois dérivable dans un voisinage de x), on a

(raisonner par récurrence sur n, en utilisant le th. des accroissements finis).

b ) Si f est n fois dérivable dans l'intervalle 1, on a

/j Anf(x; hi,

. . .,h,)

.

- fCn)(xo) hlhz. . hn 1 < Ihlhz. .hnl sup llf'n'(x

.

+ tlhl +

la borne supérieure étant prise dans l'ensemble des (tl) tels que O (même méthode).

. . + tnh,) - f(n)(xo)11

< tt
max(a, b) en un point xo, i. cxiste deux points x,, x2 tels que x, < xo < x2 et qu'en

xl et x2 la fonction f' prenne des valeurs assez petites pour f2 y2atteint sa borne supérieure valeurs < c ; considérer alors un point de (xl, x,) oùJ2 dans cet intervalle). b) Soit f une fonction numérique n fois dérivable dans Pa, et teile que l'on ait ( f( x ) ) ~ < a et (f(n)(x))2< b dans R;montrer que l'on a (f("-"(x))" (f ("-l)(x))" (f ("'(x))" max(a, b)

+

+

dans R pour 1 < k < n. (Raisonner par récurrence sur n; remarquer que, d'après l'exerc. 12, ~ IR est finie; montrer qu'on a nécessaircment la borne supérieure c de ( f ' ( ~ ) ) dans c < max(a, b) en raisonnant par l'absurde: dans l'hypothèse où c > max(a, b), choisir les p., on ait 1 g(x) 1 < l , / gf(x)1 < 1, mais constantes A et p. de sorte que pour la fonction g = Af < 1 pour tout x). qu'on ne puisse avoir ( g ( ~ ) ) ~

+

+

7 14) Soit f une fonction n - 1 fois dérivable dans un intervalle 1 contenant O, et soit fn la fonction vectorielle définie pour x # O dans 1 par la relation a) Montrer que si f admet une dérivée (n + p)-ème au point O, fn admet une dérivée fi-ème au point O et une dérivée (n p - 1)-ème en tout point d'un voisinage de O distinct de O; en k! outrc, on a fik)(0) = f(n+k'(0)pour O < k < p, ct f$'+k)(x). xk tend vers O avec x, (n k )! pour 1 6 k < n - 1 (exprimer les dérivées de f n à l'aide des développements de Taylor des dérivées successives d e f, et utiliser la prop. 6 de 1, p. 26). p - 1)-ème b) Inversement, soit f n une fonction vectorielle admettant une dérivée (n dans un voisinage de O dans 1, ct telle que f$'+Ic'(x). x" tende vers une limite pour O < k < n - 1. Montrer que la fonction f,(x) . xn admet une dérivée (n p - 1)-èmc dans 1; si en outre f, admet une d6rivi.c p-ème a u point O, f,(x). xn admet une dkrivée (n p)-ème a u point O. c) O n suppose 1 symétrique par rapport à O, et f paire (f(-x) = f (x) dans 1). Montrer, à l'aide de a) que, si f est Zn fois dérivable dans 1, il existe une fonction g définie et n fois dérivable dans 1, telle que E(x) = g(x2) dans 1.

+

+

.

+ +

+

FVR 1.50

53

DÉRIVÉES

7 15) Soit 1 u n intervalle ouvert de R, f une fonction vectorielle définie et continue dans 1 ; on suppose qu'il existe n fonctions vectorielles g, ( 1 < i < n) définies dans 1, et telles que la fonction de x

tende unijlormément vers O dans tout intervalle compact contenu dans 1, lorsque h tend vers O. a) O n pose f p ( x ,h) = APf ( x ; h, h, . . ., h) (1, p. 46, exerc. 6 ) . Montrer que pour 1 < fi < n, ( l / h p ) f p ( xh) , tend unijhmément vers g p ( x ) dans tout intervalle compact contenu dans 1, lorsque h tend vers O, et que les g, sont des fonctions continues dans 1 (le démontrer successivement pour fi = n, fi = n - 1 , etc.). b) En déduire que f possède dans 1 une dérivée n-ème continue et qu'on a f ( P ) = g, pour 1 < p < n (tenir compte de la relation f p + ,(x, h) = f ( x h, h) - fp(x,h)).

+

7 16)

+

Soit f une fonction numérique n fois dérivable dans 1 = )- 1 , 1(, et telle que ( x )1 < 1 dans cet intervalle. a) Montrer que, si mk(h) désigne le minimum de 1f ( k ) ( x )1 dans u n intervalle de longueur h contenu dans 1, on a

1f

( O n remarquera que si l'intervalle de longueur h est décomposé en trois intervalles de longueurs a, P, y, on a

b) Déduire de a) qu'il existe u n nombre p, ne dépendant que de l'entier n, tel que, si If'(0) 1 2 p,, la dérivée f ( n ) ( x )s'annule en au moins n - 1 points distincts de 1 (montrer par récurrence sur k quef")s'annule au moins k - 1 fois dans 1). 17) a) Soit f une fonction vectorielle ayant des dérivées de tous ordres dans u n intervalle ouvert 1 c R. O n suppose que, dans 1, on ait llf(n)(x)II < a. n!rn,où a et r sont deux nombres >O indépendants de x et de n; montrer qu'en tout point x,, la 0. c ) Déduire de a) et de l'exerc. 16 b ) que si, dans u n intervalle ouvert 1 c R, une fonction numérique f est indéfiniment dérivable et s'il existe u n entier fi indépendant de n tel que, pour tout n, f ( n )ne s'annule pas e n plus de fi points distincts de 1, alors la série de Taylor def au voisinage de tout point xo E 1 est convergente et a pour somme f ( x ) e n tout point d'un voisinage de xo. 18) Soit (a,) une suite quelconque de nombres complexes. O n pose, pour tout n 2 0, si0) = a,, et on définit par récurrence, pour k 2 0,

a) Prouver la a formule de Taylor pour les suites v: pour tout entier

(procéder par récurrence sur k ) .

84

FVR 1.51

EXERCICES

b) O n suppose qu'il existe u n nombre C tel que lna,l < C pour tout n, et que la suite (d2)/n),formke des moyennes arithmétiques 1 (so + . . . + ~ , , - ~ ) / des n sommes partielles a,-=, tend vers une limite o. Montrer que la série de terme général a, est s, = a. convergente et a pour somme o (a théorème taubérien de Hardy-Littlewood ))). (Ecrire + o . -

+

où Irnl est majoré à l'aide de l'inégalité jna,l tion de n.)

< C , et h est choisi convenablement

en fonc-

1 ) a) Soit H u n ensemble de fonctions convexes dans u n intervalle compact (a, b) c R; o n suppose que les ensembles H ( a ) et H(b) sont majorés dans R et qu'il existe u n point c tel que a < c < b et que H(c) soit minoré dans R; montrer que H est u n ensemble équicontinu dans )a, b( (TG, X , p. 10). b) Soit H u n ensemble de fonctions convexes dans u n intervalle 1 c R, et soit 8 u n filtre sur H qui converge simplement dans 1 vers une fonction f o ; montrer que 8 converge uniformément vers f o dans tout intervalle compact contenu dans 1. 2) Montrer que toute fonction f convexe dans u n intervalle compact 1 c R est limite d'une suite décroissante uniformément convergente de fonctions convexes dans 1 admettant une dérivée seconde dans 1 (considérer d'abord la fonction ( x - a) +,et approcher f par la

-

somme d'une fonction linéaire affine et d'une combinaison linéaire cients cf 2 0 ) .

2 c,(x - ai)

+

à coeffi-

3) Soit f une fonction convexe dans u n intervalle 1 c R. a) Montrer que si f n'est pas constante, elle ne peut atteindre sa borne supérieure e n u n point intérieur à 1. b ) Montrer que si 1 est relativement compact dans R, f est minorée dans 1. c) Montrer que si 1 = R et si f n'est pas constante,f n'est pas majorée dans 1.

4) Pour qu'une fonction f soit convexe dans u n intervalle compact (a, b) c R, il faut et il suffit qu'elle soit convexe dans )a, b( et que l'on ait f (a) 3 f ( a + ) et f (b) 3 f ( b - ) . 5) Soit f une fonction convexe dans l'intervalle ouvert )a, + a ( ; s'il existe u n point c > a tel que, dans )c, + a ( , f soit strictement croissante, on a lim f ( x ) = + m . x++m

6 ) Soit f une fonction convexe dans u n intervalle )a, + a ( ; montrer que f ( x ) / xa une limite (finie ou égale à co) lorsque x tend vers co ; cette limite est aussi celle de f i ( x ) et de f i ( x );elle est >O si f ( x ) tend vers co lorsque x tend vers + W .

+

+

+

7) Soit f une fonction convexe dans l'intervalle )a, b( où a 2 O ; montrer que dans cet intervalle, la fonction x Hf ( x ) - xf'(x) ((( ordonnée à l'origine )) de la demi-tangente à droite au point x au graphe de f ) est décroissante (strictement décroissante si f est strictement convexe). En déduire que: a) Si f admet une limite à droite finie au point a, ( x - a ) f i ( x ) a une limite à droite égale à O en ce point. b) Dans )a, b(, ou bien f ( x ) / x est croissante, ou bien f ( x ) / x est décroissante, ou bien il existe c E )a, b( tel que f ( x ) / xsoit décroissante dans )a, c( et croissante dans )c, b(. c) O n suppose que b = co; montrer que, si

+

est finie, il en est de même de a = lim f (x)/x, que la droite y = ax X+

+

+ P est asymptote1 a u

02

graphe d e f , et est située au-dessous de ce graphe (strictement au-dessous si f est strictement convexe).

8) Soit f une fonction numérique finie, semi-continue supérieurement dans un intervalle ouvert 1 c %a. Pour que f soit convexe dans 1, il faut et il suffit que, pour tout x E 1, on ait lin1 sup f (x + h) + f (x - h) - 2f (2) > O. (Démontrer d'abord que, pour tout E > 0, h2 h+O..h+O f (x) ex2 est convexe, en utilisant la prop. 9 de 1, p. 39).

+

~

7 9j

Soit f une fonction numérique finie, semi-continue inférieurement dans un intervalle 1 c W. Pour que f soit convexe dans 1, il suffit que, pour tout couple de points a, b de 1 tels que a < b, il existe un point z tel que a < z < 6, et que M, soit au-dessous du segment M,Mb (raisonner par l'absurde, en remarquant que l'ensemble des points x tels que Mx soit strictement au-dessus de MaMb est ouvert).

9j 10) Soit f une fonction numkrique finie définie dans un intervalle 1 c R, telle que

quels que soient x, y dans 1. Montrer que, si f est bornée supérieurement dans un intcrvalle ouvert )a, 6( contenu dans 1, f est convexe dans 1 (on montrera d'abord que f est bornée supérieurement dans tout intervalle compact contenu dans 1, puis que f est continue en tout point intérieur à 1).

7 11) Soitf une fonction continue dans un intervalle ouvert 1 c W, admettant en tout point de 1 une dérivée à droite finie. Si, pour tout x e I et tout y E 1 tel que y > x, le point M, = (y, f (y)) est au-dessus d e la demi-tangente à droite au point Mx = (x, f (x)) du graphe d e 5 montrer que f est convexe dans 1 (en utilisant le th. des accroissements finis, montrer que l'on a fi (y) 2 f (9) - f (') pour x < y). .,u - x Donner un exemple de fonction non convexe, ayant en tout point une dérivée à droite h i e , et telle que pour tout x E 1, il existe un nombre 11, > O dépendant de x, que M, soit y <x h,. au-dessus de la demi-tangente à droite a u point Mx pour tout y tel que x Cette dernière condition est toutefois suffisante pour que f soit convexe, si on suppose en outre quef est dérivable dans 1 (utiliser 1, p. 20, corollaire).

+

7 12) Soit f une fonction numérique continue dans un intervalle

ouvert 1 c IR; on suppose que, pour tout couple (a, b) de points de I tel que a < b, le graphe d e f soit tout entier audessus ou tout entier au-dessous du segment M,Mb dans l'intervalle (a, 6). Montrer que f est convexe dans tout 1 ou concave dans tout 1 (si, dans )a, 6(, il existe un point c tel que Mc soit strictement au-dessus d u segment M,Mb montrer que pour tout x E I tel que x > a, le graphe de f est au-dessus du segmcnt MaMx dans l'intervalle (a, x)).

13) Soit f une fonction numérique dérivable dans un intervalle ouvert 1 c R. O n suppose que, pour tout couple (a, b) de points de 1 tels que a < 6, il existe un seul point c E )a, 6( tel que f ( b ) - f (a) = (6 - a)f'(c); montrer que f est strictement convexe dans 1 ou strictement concave dans 1 (montrer que f' est strictement monotone dans 1). 14) Soit f une fonction numérique convexe et strictement monotone dans un intervalle ouvert 1 c R; soit g la fonction réciproque de f (définie dans l'intervalle f (1)). Montrer que si f est décroissante (resp. croissante) dans 1, g est convexe (resp. concave) dans f (1).

+

15) Soit 1 un intervalle contenu dans )O, co[; montrer que, sif (llx) est convexe dans 1, il en est de même d e xf (x), et réciproquement. C'est-à-dire que Lm ( f (x) - (ax +x++m

P))

= 0.

§4

FVR 1.53

EXERCICES

* 16) Soient f une fonction positive convexe dans )O, +a(,a et b deux nombres réels quelconques. Montrer que la fonction xaf ( x - ~ )est convexe dans 10, +CO(,dans les cas suivants : 1' a = + ( b l), Ibl a 1, 1); 2" xaf (xbb)croissante, a(b - a) 2 O, a à $(b 3' xaf ( x - ~ )décroissante, a(b - a) 3 O, a < +(b + 1). Dans les mêmes hypothèses surf, montrer que exI2f ( e - " ) est convexe (utiliser l'exerc. 2 de 1, p. 51).

+

+

,

17) Soient f et g deux fonctions positives convexes dans un intervalle 1 = [a, b); on suppose qu'il existe un nombre c E 1tel que, dans chacun des intervalles (a, c) et (c, b), f et g varient dans le même sens. Montrer que le produit fg est convexe dans 1. 18) Soit f une fonction convexe dans un intervalle 1 c R, g une fonction convexe et croissante dans un intervalle contenant f (1) ; montrer que g of est convexe dans 1.

7 19) Soient f et g deux fonctions numériques finies, f étant définie et continue dans un intervalle 1,g définie et continue dans R. O n suppose que, pour tout couple (A, p) de nombres hw p) soit convexe dans 1. réels, g(f (x) a) Montrer aue "P est convexe et monotone dans R. b) S i g est croissante (resp. décroissante) dans R, montrer que f est convexe (resp. concave) dans 1 (utiliser la prop. 7).

+

+

A

20) Montrer que l'ensemble IY des fonctions convexes dans un intervalle 1 # W est un ensemble réticulé pour la relation d'ordre f (x) + f (y) pour x 2 0, y 2 O, et f (O) = O.

+CD( est

suradditive si l'on a

a) Donncr dcs exemples de fonctions suradditives discontinues. b) Montrer que toute fonction f convexe dans (O, -tCO( et tellc quc f (O) = O est suradditive. c) Si f, et f, sont suradditives, il en est de même de inf (f,, f,) ; en déduire des exemples de fonctions continues suradditives et non convexes. d ) Si f est coniinue et > O dans un intcrvalle [O, a) ( a > O), tellc que f (O) = O et f (x/n) < f (x)/n pour tout entier n 2 1, montrer que f admet une dérivée à droite a u point O (raisonner par l'absurde). En particulier toute fonction continue suradditive et 2 O admet une dérivée à droite au point O.

CHAPITRE II

Primitives et intégrales

§ 1. PRIMITIVES ET INTÉGRALES Sauf mention expresse du contraire, nous ne considérerons, dans ce chapitre, que des fonctions vectorielles d'une variable réelle, prenant leurs valeurs dans un espace normé complet sur R. Lorsqu'il s'agit en particulier de fonctions numériques, il est donc toujours sous-entendu que ces fonctions sont Jinies si le contraire n'est pas spécifié.

1. Définition des primitives

Une fonction vectorielle f, définie dans un intervalle 1 c R, ne peut être en toutpoint de cet intervalle la dérivée d'une fonction vectorielle g (définie et continue dans 1) que si elle satisfait à des conditions assez restrictives: par exemple, si f admet une limite à droite et une limite à gauche en un point x, intérieur à 1,f doit être continue au point x,, d'après la prop. 6 de 1, p. 26; il en résulte que, si on prend pour 1 l'intervalle ( - 1, + 1)' pour f la fonction numérique égale à - 1 dans ( - 1, O(, à -I- 1 dans (O, 1), f n'est pas la dérivée d'une fonction continue dans 1 ; toutefois, la fonction 1x1 a pour dérivée f (x) en tout point # O ; on est ainsi conduit à poser la définition suivante : DÉFINITION 1. -Etant donnée unefonction vectorielle f, d@nie dans un intervalle 1 c HP, on dit qu'une fonction g déJinie dans 1est une primitive de f si g est continue dans I et admet une dérivée égale à f (x) en tout point x du complémeataire (par rapport à 1) d'une partie dénombrable de 1.

FVR 11.2

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

Si en outre g admet en tout point une primitive stricte de f.

$1

x de 1 une dérivée égale à f ( x ) , on dira que g est

Avec cette définition, on voit que la fonction numérique f considérée ci-dessus admet une primitive égale à 1x1. 11 est clair que, si f admet une primitive dans 1, toute primitive de f est aussi une primitive de toute fonction égale à f sauf aux points d'une partie dénombrable de 1. Bar abus de langage, on peut parler d'une primitive dans 1 d'une fonction fo définie seulement dans le complémentaire (par rapport à 1) d'une partie dénombrable de 1: il s'agira de la primitive de toute fonction f définie dans 1,et égale à foaux points où foest définie.

PROPOSITION1. - Soit f une fonction vectorielle d$nie dans 1, à valeurs dans E ; si f admet une primitive g dans 1, I'ensemble des primitives de f dans 1est identique à l'ensemble desfonctions g + a, où a est unefonction constante, à valeurs dans E. En effet, il est clair que g + a est une primitive de f quel que soit a E E; d'autre part, si g1 est une primitive de f, gl - g admet une dérivée égale à O sauf aux points d'une partie dénombrable de 1, donc est constante (1, p. 24, corollaire). O n dit que les primitives d'une fonction f (lorsqu'elles existent) sont définies à une constante additive près r). Pour définir sans ambiguïté une primitive de f, il sufit de se donner (arbitrairement) sa valeur en un point x, E 1; en particulier, il existe une primitive et une seule g de f telle que g(xo) = O; pour toute primitive ln de f, on a g(x) = h(x) - h(x,). G

2. Existence des primitives

Soit f une fonction définie dans un intervalle quelconque 1 c R;pour qu'une fonction g définie dans 1soit une primitive de f, il faut et il suffitque la restriction de g à tout intervalle compact J c 1soit une primitive de la restriction de f à J.

unjltre 8, (f,),,, unefamille defonctions v~ctoriellesà valeurs dans un espace normé complet E sur R, d@nies dans un intervalle 1 c IR; pour tout a E A, soit g, une primitiue de f,. On suppose que : l 0suivant lejltre 8, lesfonctions f, convergent uniformément dans tout partie compacte de 1vers unefonction f; 2 O il existe un point a E 1 tel que, suivant lejltre 8, la famille (g,(a)) a une limite dans E. Dans ces conditions, les fonctions g, convergent uniformément (suivant 8) dans toute partie compacte de 1, vers une primitive .g de f. D'après la remarque du dCbut de ce no, nous pouvons nous borner au cas où I est un intervalle compact. THÉORÈME 1. -Soient A un ensemblejltré par

No 2

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

FVR 11.3

Montrons d'abord que les g, convergent uniformément dans 1 vers une fonction continue g. Par hypothèse, pour tout E > O, il existe un ensemble M E 8 tel que, pour deux indices quelconques a, fi appartenant à M, on ait jlf,(x) - f B ( x )1 ,< E pour tout x E 1 ; on a par suite (1, p. 23, th. 2)

en désignant par 1 la longueur de 1 ; comme par hypothèse g,(a) tend vers une limite suivant 8, il résulte du critère de Cauchy que les g, convergent uniformément dans 1. Reste à voir que la limite g des g , est une primitive de f. Pour tout entier n > O, soit cc, un indice tel que jlf ( x ) - fEn(x)1 6 l l n dans 1 ; il est clair que la suite (f,,) converge uniformément vers f et que la suite (gNn) converge uniformément vers g dans 1. Soit H, la partie dénombrable de 1 où fEn n'est pas la dérivée de gun,et soit H la réunion des H,, qui est donc une partie dénombrable de 1 ; nous allons voir qu'en tout point x E 1 n'appartenant pas à H, g admet une dérivée égale à f (x). En effet, on voit comme ci-dessus que pour tout m 3 n et tout y E 1, on a

En faisant croître m indéfiniment, on a aussi

pour tout y E 1 ; or, il existe h > O tel que, pour 1 y - xl 6 h ct y E 1, on ait Ilg,.,,(y) - g,,(x) - fWacn(x) ( y - X ) II Q 1 y - xlln; comme d'autre part, on a I l f ( x ) - f,,(x) 1 < lln, on obtient finalement

pour y E 1 et 1 y - xl G h, ce qui achève la démonstration. COROLLAIRE 1. -L)ensemble Z des applications de 1 dans E qui admettent une primitive dans un intervalle 1 est un sous-espace vectorielfermé (donc complet) de l'espace vectoriel complet %,(I; E ) des applications de 1 dans E , muni de la tolopogie de la convergence uniforme dans toutepartie compacte de 1 (TG,X , p. 4). COROLLAIRE 2. -Soit x0 un point de 1, et pour chaque fonction f E Z,soit P ( f ) la primitive de f qui s'annule au point xo; l'application f HP ( f ) de Z dans e ( I ; E ) est une application linéaire continue. Le cor. 1 du th. 1 permet d'établir l'existence de primitives de certaines catégories de fonctions par le procédé suivant: si on sait que les fonctions appartenant à une partie d de F c ( I ; E) admettent une primitive, il en sera de même

FVR 11.4

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

51

E; ) du sous-espace vectoriel des fonctions appartenant à l'adhérence dans Fc(I engendre par al. NOUSallons appliquer cette méthode au no suivant. 3. Fonctions réglées

DÉFINITION 2. - On dit qu'une application f d'un intervalle 1 c R dans un ensemble E est unefonction en escalier s'il existe une partition de 1 en un nombrefini d'intervalles J , telle quef soit constante dans chacun desJ,. Soit (a,),,,,, la suite strictement croissante formée des extrémités distinctes des J,; comme les J, sont deux à deux sans point commun. chacun d'eux est, soit réduit à un point a,, soit un intervalle ayant pour extrémités deux points consécutifs ai, a,+l; en outre, comme 1 est réunion des J,, a, est l'origine, et a, l'extrémité de 1. Toute fonction en escalier dans 1 peut donc êtrc caractérisée comme une fonction constante dans chacun des intervalles ouvcris )a,, ai+l( (O 6 i 6 n - 1)' (a,), étant une suite strictement croissante de points de 1 telle que a, soit l'origine et a, l'extrémtié de 1.

, ,,

PROPOSITION 2. -L'ensemble des fonctions en escalier déjinies dans 1, à valeurs dans un espace vectoriel E sur ,est un sous-espace vectoriel B de l'espace vectoriel F(1;E ) de toutes les applications de 1 dans E. En effet, soientfet g deux fonctions en escalier, (A,)et (B,) deux partitions dc 1 en un nombre fini d'intervalles telles que f (resp. g) soit constante dans chacun des Ai (resp. Bi) ; quels que soient les nombres réels 1, p, il est clair que Af + pg est constante dans chacun des intervalles non vides A, n Bf, et ces intervalles forment une partition de 1. COROLLAIRE. - Le sous-espace vectoriel G est engendré par les fonctions caractéristiques d'intervalles. Considérons maintenant le cas où E est un espace normé sur R;alors, il est immédiat que la fonction caractéristique d'un intervalle J d'extrémités a, b ( a < b) admet une primitive, savoir la fonction égale à a pour x 6 a, à x pour a < x 6 b, et à 6 pour x 3 b. Le cor. de la prop. 2 montre donc que toutefonction en escalier à valeurs dans E admet une primitive. Nous pouvons maintenant appliquer la méthode cxposée au no 2. DÉFINITION 3. - On dit qu'une fonction vectorielle, déjinie dans un intervalle 1, à valeurs dans un espace normé complet E sur W,est unefonction réglée si, dans toute partie compacte de 1, elle est limite uniJorme defonctions en escalier. En d'autres termes, les fonctions réglées sont les éléments de l'adhérence dans

e(I; E) du sous-espace vectoriel 8, des fonctions en escalier; 2 est un sous-espace

No 3

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

FVR 11.5

vectoriel de e ( I ; E) et comme &(I: E) est complet, il en est de même de 2 ; autrement dit, si une fonction est dans toute partie compacte de 1 limite uniforme de fonctions réglées, elle est réglée dans 1. Pour que f soit réglée dans un ptervalle 1, il faut et il suffit que sa restriction à tout intervalle compact contenu dans 1soit réglée. Le cor. 1 de II, p. 3 montre que: THÉORÈME 2.

- Toute fonction réglée dans un intervalle 1 admet une primitive dans 1.

Nous allons transformer la déf. 3 de II, p. 4 en une autre équivalente : qu'une fonction vectorielle f d@nie dans un intervalle 1, à valeurs dans un espace normé complet E sur R, soit réglée, ilfaut et il su$t qu'elle ait une limite à droite et une limite à gauche en tout point intérieur à 1, une limite à droite à l'origine de 1 et une limite à gauche à l'extrémité de 1, lorsque ces points appartiennent à 1. L'ensemble des points de discontinuité de f dans 1est alors dénombrable. Comme tout intervalle 1est réunion dénombrable d'intervalles compacts, on peut se borner à démontrer le th. 3 lorsque 1est compact, soit 1 = (a, 6). l o La condition est nécessaire. Supposons en effet que f soit réglée, et soit x un point de 1distinct de b. Par hypothèse, pour tout E > O, il existe une fonction en escalier g telle que jlf (z) - g(z) < E pour tout z E 1; comme g admet une limite à droite au point x, il existe y tel que x < y < b et tel que, pour tout couple de points z, z' de l'intervalle )x, y), on ait llg(z) - g(zl)1 < E et par suite llf (z) - f (2') I < 3 ~cela ; prouve (critère de Cauchy) que f a une limite à droite au point x. On montre de méme que f a une limite à gauche en tout point de 1distinct de a. 2 O La condition est su$sante. Supposons-la remplie; pour tout x E 1, il existe un intervalle ouvert V, = )c,, dx( contenant x et tel que dans l'intersection de 1et de chacun des intervalles ouverts (c,, x( ,)x, dx( (lorsque cette intersection n'est pas vide), l'oscillation de f soit < E. Comme 1 est compact, il existe un nombre fini de points x, de 1tels que les V,, forment un recouvrement de 1; soit (a,), la suite obtenue en rangeant dans l'ordre croissant les points de l'ensemble fini formé de a, b et des points xi, c,, et d,, qui appartiennent à 1; chacun des intervalles )a,, a,+,( (O < k < n - 1) égant contenu dans un intervalle )cx,, xi( ou )xi, dxi(, l'oscillation de f y est < E ; soit c, une des valeurs de f dans )a,, a,+,(; en posant g(a,) = f (a,) pour O < k < n, et g(x) = c, pour tout x E )a,, a,+,( (O < k < n - l), on définit une fonction en escalier g telle que Ilf (z) - g (z) I < E dans 1;donc f est réglée dans 1. Montrons enfin que si f est réglée dans 1, l'ensemble de ses points de discontinuité est dénombrable. Pour tout n > O, il existe une fonction en escalier g, telle que lIf (x) - g,(x) I < l/n dans 1; comme la suite (g,) converge uniformément vers f dans 1, f est continue en tout point où les g, sont toutes continues THÉORÈME 3. -Pour

/I

,,,

FVR 11.6

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

91

(TG, X, p. 8, cor. 1) ;mais comme g , est continue sauf aux points d'un cnsemble fini H,, f est continue aux points du complémcntairc de l'ensemble H = IJ H,, n

qui est dénombrable.

COROLLAIRE 1. - Soit f une fonction réglée dans 1; en tout point de 1, saflf l'extrémité (resp. l'origine) de 1, toute primitive de f a une dérivée à droite égale à f (x + ) (resp. une dérivée à gauche égale à f ( x - )) ; en particulier, en tout point x où f est continue, f ( x ) est la dérivée d'une quelconque de ses prinzitives. C'est une conséquence immédiate du th. 3 ct de la prop. 6 de 1, p. 22 de I I , p. 5. COROLLAIRE 2. --Soient f, (1 d i 6 n ) n fonctions réglées dans un intervalle 1, f, prenant ses valeurs dans un espace normé complet Ei sur W. ( 1 6 i 6 n). S i g est une

- n Ei dans un espnce normé complet F sur R, i = ï 4 ( 1 ) de z = 1 n

applcation continue du sous-espace

lafonction composée x Hg ( f , ( x ),f2(x), . . ., P,(x)) est réglée dans 1. En effet, elle satisfait de façon évidente aux conditions d ~ ath. 3 de I I , p. 5. On voit ainsi que si f est une fonction vectorielle réglée dans 1, la fonction numérique x t>Ijf ( x ) est aussi réglée. De mème, les fonctions numériques réglées dans 1 forment un anneau; en outre, si f et g sont deux fonctions numériques réglées, sup(.h g) et inf (f,g) sont réglées.

/I

Remarque - 1.) Si f est une fonction numérique réglée dans 1, g une fonction vectorielle réglée dans un intervalle contenant f (I), la fonction composée g oJnYest pas nécessairement réglée (cf. II, p. 29, exerc. 4).

Deux cas particuliers du th. 3 de I I , p. 5 sont spécialement importants:

3. - Toute fonction vectorielle continue dans un intervalle 1 c PROPOSITION ses ualeurs dans un espace nornzé complet E sur , est réglée et admet dans 1 une primitive, dont elle est la dérivée en tout point. Remarques - 2.) Pour démontrer qu'une fonction continue admet une primitive, on peut utiliser le fait que tout polynôme (à coefficients dans E) d'une variable réelle admet une primitive; comme d'après le th. de Weierstrass (TG, X, p. 37, prop. 3) toute fonction continue cst limite unifornie de polynômes dans tout intervalle compact, le th. 1 de II, p. 2 montre que toute fonction continue admet une primitive. 3) Le principe de la remarque précédente s'étend sans modification importante aux fonctions vectorielles d'une variable complexe, à valeurs dans un espace normé complet sur 6. Si U est un ensemble ouvert dans C , homéomorphe à C , une primitive d'une telle fonction vectorielle % definie dans U est par définition une fonction continue dans U, ayant une dérivée égale à f en tout point de U. Avec cette définition, le th. 1 de II, p. 2 s'étend sans modirication (on démontre en effet, en tenant compte de ce que U est connexe, que (g,) est uniformément convergente suivant 3 dans un voisinage de toüt point d e U, d'où résulte que (gU)est uniformément convergente suivant $ dans toute partie compactc de U ; la fin de la démonstration se fait en utilisant !a prop. 4 de 1, p. 26). Par suite, toute fonction qui est limite uniforme de polynûmes

No 4

PRIMITIVES ET

INTEGRALES

FVR 11.7

dans toute partie compacte de U, admet une primitive dans U ; ces fonctions ne sont autres que les fonctions dites holomorphes dans U, que nous étudierons plus en détail dans un Livre ultérieur.

PROPOSITION 4. - Toute fonction numérique f monotone dans un intervalle 1 c IR est réglée, et tauteprimitive def est convexe dans 1. En effet, f satisfait au critère du th. 3 de TG, IV, p. 19, prop 4; la seconde partie de la proposition résulte cor. 1 ,de II, p. 6, et de la prop. 5 de 1, p. 36. Remarque - 4.) II ne faudrait pas croire que les fonctions rtglées dans un intervalle 1 soient les seules fonctions ayant une primitive dans 1 (cf. II, p. 29, exerc. 7 et 8). 4. Intégrales

Nous avons obtenu (II, p. 5, th. 2) une primitive d'une fonction réglée dans un intervalle 1 comme limite uniforme de primitives de fonctions en escalier. Ce procédé peut s'exprimer de façon legèrement différente: soient x,, x deux points quelconques de 1tels que x, < x; appelons subdivision de l'intervalle [x,, x) toute est une suite strictesuite d'intervalles (xi, x, + ,) de réunion (xo, x), où (xi) ment croissante de points de [x,, x) telIe que xn = x. Nous appellerons somme de Riemann relative à une fonction vectorielle f définie dans 1, et à la subdivision

,,,,

n-1

formée des (xi, xi + ,) toute expression de la forme tient à (xi, xi + ,) pour O

2 f (t,)(xi

i=O

- x) où t, appar-

< i < n - 1. On a alors la proposition suivante:

PROPOSITION 5. -Soient f une fonction réglée dans un interualle 1, g une primitive de f dans 1, (x,, x) un intervalle compact contenu dans 1. Pour tout E > O, il existe un nombre p > O tel que, pour toute subdivision de (xo, x) en intervalles de longueur < p, on ait

pour toute somme de Riemann relative à cette subdivision. En effet, soit f une fonction en escalier telle que Ilf ( y ) - f1(y) I/ y E (x,, x ) ; on a, en désignant par g, une primitive de f1dans 1,

< s pour tout

d'après le th. des accroissements finis, et d'autre part

Il suffit donc de démontrer la proposition lorsque f est une fonction en escalier. < k G m la suite finie strictement croissante des points de discontinuité de f Soit dans (xo, Pour toute subdivision de (xo, x) en intervalles de longueur < p, chacun des points y, appartient à deux intervalles au plus; il ne peut donc y avoir

XI.

FVR 11.8

$1

PRIMITIVES ET I N T ~ G R A L E S

que 2m intervalles au plus dans lesquels f ne soit pas constante; or, dans un tel intervalle (xi, xi + ,), on a

en désignant par M la borne supérieure de llf 1 dans (x,, x); au contraire, lorsque f est constante dans (xi, xi +1), on a

n-1

On voit donc que la différence /Ig(x) - g(x,) excéder 4Mmp; il suffit donc de prendre p

,

z=o

f(t,) (xi+, - xi) l/ ne peut

< ~/4Mmpour obtenir (1).

Remarque - 1.) Lorsque f est continue, la prop. 5 se démontre plus simplement : comme f est uniformément continue dans (x,, x), il existe p > O tel q u e dans tout intervalle d e

< p contenu dans (xo, x), l'oscillation d e f soit < x-A; pour toute sub- X,, division de (x,, x ) e n intervalles (xi, xi+l) d e longueur < p, et tout choix d e t, dans (xi, x i + l ) pour O < i < n - 1 , la fonction e n escalier f , égale à f (t,) dans (xi, xi +1(

longueur

(O

O sauf si f (x) = O aux points ouf est points où f est continue, on a -

a-A

continue.

FVR 11.12

$1

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

2. - Soient f et g deux fonctions numériques réglées dans 1, telles que COROLLAIRE g(x) 2 O aux points où g est continue; si m et M sont les bornes inférieure et supérieure de f dans l'ensemble des Points de 1 O&f est continue, on a

Les deux premiers membres (resp. les deux derniers) ne sont égaux que si g ( x )( J ( x ) - m) = O (resp. g(x) ( f ( x ) - M ) = O ) en toutpoint o.& f et g sont continues. Pour les fonctions vectorielles, le th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 2) donne de même la proposition suivante : PROPOSITION 7. - Soit f une fonction veclorielle r&lée dans un intervalle compact 1 = [a, b], à valeurs dans un espace normé complet E, et soitg unefonction numérique réglée dans 1, telle que g(x) 2 O aux points où g est continue; dans ces conditions, on a

En particulier, on a

6. Forme intégrale du reste de la formule de Taylor; primitives d'ordre supérieur

La formule d'intégration par parties d'ordre n (II, p. 10, formule ( 11 ) ) permet d'exprimer sous forme d'une intégrale le reste r,(x) du développement de Taylor d'ordre n d'une fonction f admettant une dérivée (r,+ 1)-ème réglée dans un intervalle 1 (1, p. 30) ; en effet, en remplaçant, dans (12), f par f', b par x et g(t) par la fonction ( t - ~ ) ~!, il / vient n

+

sax

f"

+

l) ( t )

( x - t)n

-Tdt

autrement dit

( x - t)n n!

Pn+l) ( t ) -dt formule qui permet souvent d'obtenir des majorations simples du reste. Étant donnée une fonction f réglée dans un intervalle 1, une primitive quelconque g de f, étant continue dans 1, admet à son tour une primitive; une quelconque des primitives d'une primitive quelconque de f est appelée primitive

No 1

INTÉGRALESDANS LES INTERVALLES NON COMPACTS

FVR 11.13

seconde de f. Plus généralement, on appelle primitive d'ordre n de f une primitive d'une primitive d'ordre n - 1 de f. On voit aussitôt, par récurrence sur n, que la différence de deux primitives d'ordre n de f est un polynôme de degré au plus égal à n - 1 (àcoefficientsdansE) .Une primitive d'ordre n de f est entièrement déterminée si on se donne, en un point a E 1,sa valeur et celles de ses n - 1 premières dérivées. i- celle des primitives d'ordre n O n désignera en particulier par la notation de f qui est nulle au point a ainsi que ses n - 1 premières dérivées. La formule de Taylor d'ordre n - 1, appliquée à cette primitive, montre que si g = f, on a

:1

:1

et ramène la détermination des primitives d'ordre n au calcul d'une seule intégrale.

5 2. INTÉGRALES

DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS

1. Définition d'une intkgrale dans un intervalle non compact

Soit 1 un intervalle compact (a, b) de la droit^ achevée (a et b pouvant donc être infinis) ;soit f une fonction définie dans )a, b(, prenant ses valcurs dans un espace normé complet E sur R. Généralisant la déf. I de II, p. 1, nous dirons qu'une fonction g, définie dans [a, b), à valeurs dans E, est une primitiue de f si elle est continue dans (a, b) (et en particulier aux extrémités a, b) et admet une dérivée égale à f (x) cn tous les points du complémentaire par rapport à Ba, b( d'une partie dénombrable de cet intervalle. Nous allons nous borner à considérer le cas suivant: il existe une suite finie strictement croissante (c,), de points de I = (a, b), telle que c, = a, c, = 6, et que f soit réglée dans chacun des intervalles ouverts )c,, c, + ,(, mais non réglée dans tout intervalle ouvert contenant au moins un point c, intérieur à 1; une telle fonction sera dite régléepar morceaux dans )a, b(. O n notera qu'une fonction réglée dans )a, b( est réglée par morceaux (en prenant n = 1 dans la définition précédente). Si f admct une primitive g dans 1 (au sens précisé ci-dessus), et si a cst un point de l'intervalle Bc,, c,+,( (O < i < n - 1), on a, par hypothèse, pour tout x appartenant à cet intervalle, g(x) - $(a) = f ( t ) d t ;g étant continue dans 1par hypothèse, on voit que f(t)dt doit tendre vers une limite dans E lorsque x tend vers c, à droite et lorsque x tend vers c,,, à gauche. Inversement, supposons que ces conditions soient vérifiées pour tout t, et soit gt une primitive de f dans l'intervalle )ci, c,+,( (O < i < n - 1); on constate aussitôt que la fonction g, définie dans le complémentaire par rapport à I de l'ensemble des c,, par la

,,,,

lz

i

condition d'être à égale à gi(x)

+ *Zl (gk- l(ck -)

-

g k ( i +)) dans )ci,ci+,(

FVR 11.14

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

§2

pour O Q i Q 12 - 1, est continue en tout point de 1 distinct des ci et admet une limite en chacun de ces points; elle peut donc être prolongée par continuité en chacun des ci, et la fonction prolongée est évidemment une primitive de f dans 1. Il est clair en outre que toute autre primitive de f est de la forme g + a (a élément de E) . DÉFINITION1. - On dit qu'une fonction vectorielle f réglée par morceaux dans un intervalle (a, b[ de R admet une intégrale dans cet intervalle si f admet une primitive dans (a, b); si g est une quelconque desprimitives de f dans (a, b], x, et x deux points quelconques de [a, b), on appelle intégrale de f de x, à x, et on note f (t) dt l'élément g(x) - g(xo).

lzo

Cette notion coïncide évidemment avec celle définie lorsque l'intervalle (x,, x) ne contient aucun des points c,. Les remarques qui précèdent la dé[. 1 montrent que, pour que f ait une intégrale dans )a, b(, il faut et il suffit que sa restriction à chacun des intervalles )c,, ci+ ,( admette une intégrale dans cet intervalle. Autrement dit, on est ramené au cas où f est réglée dans un intervalle non compact I c R, d'extrémités a, 6 (a < b), et où: lo ou bien un des nombres a, b (au moins) est infini; 2 O ou bien f n'est pas réglée dans un intervalle compact contenant au moins un des points a, b (les deux hypothèses ne s'excluant pas mutuellement). Pour que f a i t une intégrale dans 1, il faut et il suffit alors quc l'intégrale f(t)dt tende vers une

1:

limite lorsque le point (x, y) tend vers (a, b) E E2en rcstant dans 1 x 1, et cette limite n'est autre que f(t)dt d'après la déf. 1. Par abus de langage, au lieu de f(t)dt est dire que f a une intégrale dans 1, on dit encore que l'intégrale convergente.

1;

Exemfiles. - 1) L'intégrale

2) L'intégrale

S:"

(lt/t2 est convergente et égale à

1, car

u't/dtest convergente et égale à 2, car

3) Soit (u,),,, une suite infinie de points de E, et soit f la fonction en escalicr définic dans l'intervalle (1, + a ( par les coiiditions: f (x) = u, pour n < x < n + 1. Pour que l'intégrale f (t)dt soit convergente, il faut et il suffit que la série de terme général ai, soit convergente dans E; cn effet, on a

"S:

donc la condition est nécessaire; réciproquement, si la série de terme général un

No 1

FVR 11.15

INTÉGRALES DANS LES INTERVALLES NON COMPACTS

converge dans E, on a lim u n

=

O; or, si n

n+ w

< x < n + 1, on

n-1

2 up + un(x - n), donc cette intégrale a pour

p=l

a

J," f (t) dt

=

m

limite

2 u n lorsque x

n=l

tend

vers +o. Il est immédiat que si une fonction f réglée par morceaux admet une intégrale dans 1, les formules (4) à (9) de II, p. 9 sont encore valables. De même, la formule (10) de II, p. 10 s'étend de la façon suivante: f et g sont supposées être des primitives de fonctions f', g' réglées dans )a, b(, et on désigne par [f.g] ;1 la limite (si elle existe) de [f.g] ,I: lorsque (x, y) tendvers (a, 6) (avec a < x < y < b) ; alors, si deux des expressions [f.g] [f(t) .g1(t)Idt, J: [f'(t) .g(t)] dt ont un sens, il en cst de même de la troisième, et la formule (10) de II, p. 10 subsiste. Enfin, soit f une fonction numérique définie et continue dans 1 = )a, b(, primitive d'une fonction f' réglée dans )a, b(; soit d'autre part g une fonction vectorielle continue dans un intervalle ouvcrt J contenant f (1) ; si la fonction g (f (x))f '(x) admet une intégrale dans 1, et si f tcnd vers une limite (finie ou non) aux points a et 6, g admet une intégralc de f ( a + ) à f (b-), et on a la formule

la, J":

+

En effet, si (x, y) tend vers (a, O), (f (x),f (y)) tend vers (f (a ), f (b - )) par hypothèse; il suffit donc d'appliquer la formule (12) de II, p. 11 entre x et y et de passer à la limitc pour avoir (1). Etant donnée une fonction f réglée dans un intervalle non compact 1 c R, d'extrémités a et b (a < b), la condition pour que f a i t une intégrale dans 1 peut se présenter de la manière suivante. Les intervalles compacts J c 1 forment un ensemble ordonnéjltrant %(I)pour la relation c (l), car si (a, P) et (y, 6) sont deux intervalles compacts contenus dans 1, et si on pose A = min(or, Y), p = max(p, a), l'intervalle (A, p) est contenu dans 1 et contient les deux intervalles considérés. Pour tout intervalle compact J = (cc, fi) contenu dans 1, posons alors

SJ

f(t) dt

=

SaR

f ( t ) dt;

pour que f admette une intégrale dans 1, il faut et il suffit que l'application J H f (t) dt ait une limite dam E suivant l'en~embleordonnéjltrant P(1) ; cette limite f (t) dt. est alors l'intégrale f ( t ) dt, que nous noterons encore J",

1;

l Rappelons (E, III, p. 12) qu'un ensemble 8 de parties de 1 est jltrant pour la relation c si, quels que soient X E 8, Y E 8 il existe Z E 8 tel que X c Z et Y c Z. Si S(X) désigne la partie de 8 formée des Y E 8 tels que U 3 X, les S(X) forment la base d'un filtre sur 8, ditjiltre des sections d e 8 ; l a limite (si elle existc) d'une application f de 8 dans un espace topologique, suivant le filtre des sections de 8, est encore dite limite de f suivant l'ordonnéjiltrant 5 (cf. TG, 1, p. 49 et TG, IV, p. 18).

FVR 11.16

§2

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

PROPOSITI~N 1 (Critère de Cauchy pour les intégrales). - Soit f une fonction réglée dans un intervalle 1 c , de bornes a et 6 (a < b ) . Pour que l'intégrale f ( t ) dt existe, il faut et il s u i t que pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO = [a, P) contenu dans 1, tel que pour tout intervalle compact K = (x, y) contem dans 1, et n'ayant aucun point intérieur commun avec JO, on ait f ( t ) dt 1 6 E .

1;

111,

En effet, comme E est complet, le critère de Cauchy montre que, pour que l'intégrale f ( t ) dt soit convergente, il b u t et il sufit que, pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO = [a, P) tel que, pour tout intervalle compact J tel que JO c J c 1, on ait f (t) dt f ( t ) dtll 6 E. La proposition résultera donc du lemme suivant:

SI

111,

lJo

Lemme. -Soit JO = ( a , P) un intervalle compact contenu dans 1. Pour qu'on ait I f( t ) dt - S,, f ( t ) dtll 6 E, pour tout couple d'intervalles compacts J , J' contenus dans 1 et contenant J,, il faut que f ( t ) dtll < E, et il sufit que j/!, f ( t ) dtjl 6 ~ 1 2 pour , tout interualle comnfiact K contenu dans 1el n'ayant aucun point intérieur commun auec JO.

1,

111,

En effet, si pourJO c J c 1etJO c J' c 1,on a

on voit en particulier que, pour x 6 y 6 or, ou pour P < x 6 y ( x et y dans I), on a f ( t ) dtll 6 E. Inversement, si / I f ( t ) dt 1 < ~ / pour 2 tout intervalle compact K c I tel que K n JO = a,et si J = ( x , y), J' = (2, t ) sont deux intervalles compacts contenus dans I et contenant JO,on a

111;

1,

puisque

x 6 a G P G y

et

z O tel que l'on ait identiquement II[x.y]II < hllxII. IIyII (TG, IX, P. 35, th. 1) ; si on pose = sup ] I f (x) 11, x Ei

on a donc (1 [f (x) .g(x)] 11 6 hkj(g(x)(1 dans 1; le principe de comparaison montre donc que l'intégrale de [f.g] dans 1est absolument convergente, et on a, d'après (2),

Remarque. - Une intégrale peut être convergente sans l'être absolument; c'est ce que montre l'Exemple 3 de II, p. 14, lorsque la série de terme général unest convergente sans être absolument convergente.

5 3.

INTEGRALES DE FONCTIONS DEPENDANT D'UN PARAMÈTRE

DERIVÉES E T

1. Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle compact

Le th. 1 de II, p. 2, appliqué au cas particulier des primitives de fonctions réglées dans un intervalle compact, se traduit de la manière suivante dans la notation propre aux intégrales :

No 1

INTÉGRALESDÉPENDANTD'UN PARAMÈTRE

FVR II. 19

PROPOSITION 1. -Soient A un ensemble filtré par un filtre 8, (f,),,, une famille de fonctions réglées dans un intervalle compact 1 = (a, 6); si les fonctions fa convergent miformément dans 1uers unefonction (réglée) f suivant lejltre 8, on a

Deux corollaires de cette proposition sont importants dans les applications: COROLLAIRE 1. -Soit (f,) une suite de fonctions réglées dans un intervalle compact 1 = (a, b). S i la suite ( f n ) converge uniformément dans 1vers une fonction (réglée) f, on a iim Jab fn(t) dt = n-r a,

1;

f ( t ) dt.

En particulier, si une série dont le terme général un est une fonction réglée dans 1, converge uniformément vers f dans 1, la série de terme général J: un(t)dt est convergente et a pour somme J: f ( t ) d t (Gintégration terme à terme d'une série uniformément convergente D). COROLLAIRE 2. -Soient A une partie d'un espace topologique F, f une application de 1 x A dans un espace normé complet E sur Pi, telle que, pour tout a E A, la fonction x i-t f ( x , a ) soit réglée dans 1. Si les fonctions x tt f ( x , a ) convergent uniformément dans 1vers une fonction (réglée) x i-t f ( x ) , lorsque a tend uers un point a, E A en restant dans A, on a iim

:1

tr-+ao,aeA

f ( x , a ) dx

=

1:

g ( x ) dx.

En particulier : PROPOSITION 2 (((continuité d'une intégrale par rapport au paramètre )>).-Soient F un espace compact, 1 = (a, b ) un intervalle compact de R, f une application continue de 1 x F dans un espace normé complet E sur R ; lafonction h ( ~=) f (ct, X ) dx est continue dans F. En effet, comme f est uniformément continue dans l'espace compact 1 x F, les fonctions f ( a , x ) convergent uniformément vers f ( x , a,) dans 1, lorsque u tend vers un point quelconque ct, E F.

Ji

Voici une application de cette proposition: la fonction (x, a) H xa est continue dans le produit 1 x J, où 1 = (a, b) est un intervalle compact tel que O < a < b, J un intervalle compact quelconque dans R;on en conclut que - - xa dx est une fonction conba+l - aa+l tinue de a dans R;or, pour a rationnel et # - 1, cette fonction est égale à J et a f l ba+l - aa+l est continue dans tout intervalle de R ne contenant la fonction cc H u + l ba+i - aa+l pas - 1; on a donc (prolongement des identités) xa dx = pour tout a ai-1 réel et $ - 1; cela signifie encore que, pour tout a réel, la dérivée de xa est axa-l (cf. III, p. 4).

l:

FVR 11.20

§3

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

2. Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle non compact

Le th. 1 de II, p. 2 s'applique à des fonctions plus générales que les fonctions réglées, puisqu'il suppose seulement que ces fonctions admettent des primitives. O n voit donc en particulier que la prop. 1 de II, p. 19 s'applique encore lorsque, dans un intervalle 1 c R,les fonctions f, sont seulement supposées réglées par morceaux et admettant une intégrale dans 1; toutefois, ce résultat suppose que soient vérifiées les deux autres hypothèses de la prop. 1, savoir: l01est un intervalle borné; 2O les f, convergent uniformément dans 1 vers f. La formule (1) de II, p. 19 peut être inexacte lorsque l'une de ces conditions cesse d'être remplie : il peut se faire alors que l'un ou l'autre des deux membres n'existe pas, ou qu'ils existent tous deux mais aient des valeurs distinctes. Par exemple, si f , est la fonction réglée dans )O, 11, définie par f,(x) = n pour O < x < I/n, f n ( x ) = O pour I/a < x ,( 1, la suite (f,) converge vers O un2formément dans tout intervalle compact contenue dans )O, 11, mais non uniformément dans )O, l), et on a f,(t) dt = 1 pour tout n. O n aurait un exemple où f n ( t ) f ne tend vers aucune limite en remplaçant la suite (f,) précédente par la suite ((- l)nfn) qui converge encore uniformément vers O dans tout intervalle compact contenu dans )O, 1). D'autre part, dans l'intervalle non borné 1 = (O, +CO(, soit f , la fonction réglée 1)2 et f n ( x ) = O pour toute autre valeur telle que fn(x) = l l n pour n2 < x ,( ( n de x dans 1 ( n 2 1) ; la suite (f,) converge uniformément vers O dans 1, mais l'intégrale J": f n ( t ) dt = (Zn + 1)ln tend vers 2 lorsque n croît indéfiniment. En d'autres termes, lorsque 1 est non borné, si on désigne par 9 l'espace vectoriel formé des fonctions f réglées dans 1, à valeurs dans E, et admettant une intégrale dans 1, l'application f i-t JI f ( t ) dt n'est pas continue lorsqu'on munit 9 de la topologie de la convergence uniforme dans 1 (cf. II, p. 4, cor. 2).

JD

Ji

+

Nous allons chercher des conditions su@antes pour assurer la validité de la prop. 1, sous les hypothèses suivantes : l o 1 est un intervalle quelconque de R, f, est réglée dans 1, et admet dans 1 une intégrale; 2O suivant le filtre 8, la famille (f,) converge uniformément vers f dans tout intervalle compact contenu dans 1. Désignant alors par ~ ( 1l'ensemble ) ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans 1 (II, p. 15), le premier membre de la formule (1) de II, p. 19 peut s'écrire limg (lim f (t) dt) ; d'autre part compte tenu de la prop. 1 (II, p. 19) JERU)

1

et du fait que la famille (f,) est uniformément convergente dans tout intervalle compact J c 1, le second membre de (1) (II, p. 19) peut s'écrire lirn (lim8 JJ f,(t) dt). O n voit donc que la prop. 1 de 11, p. 19 s'étendra J

PU)

lorsquYonpourra intervertir les limites de l'application (J,a ) t-t j, f,(t) dt suivant le filtre 8, et suivant le filtre des sections @ de l'ordonné filtrant !@(I).Or,nous connaissons une condition su$sante pour que cette interversion soit licite, savoir

No 2

INTÉGRALES

DEPENDANT

D'UN PARAMÈTRE

FVR 11.21

l'existence de la limite de l'application (J, a) i-t JJ f,(t) dt suivant le jltre produit x 8 (TG, 1, p. 58, cor. du th. 1). Nous allons transformer cette condition en une condition équivalente plus maniable. En premier lieu, comme E est complet, pour que (J, a) tt JJ f,(t) dt ait une limite suivant 0 x 8, il faut et il suffit que, pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO c 1 et un ensemble M E 8 tels que, quels que soient les éléments a, p de M ct l'intervalle compact J 3 JO contenu dans 1, on ait

Nous allons montrer d'autre part que cette condition est elle-même équivalente à la condition suivante: pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO c I et un ensemble M E 8 tels que, quels que soient a E M ct l'intervalle compact J 3 JO contenu dans 1,on ait

Il est évident en effet que cette dernière condition est nécessaire; inversement, si elle est satisfidite, il existe (en vertu dc la convergence uniforme de (fa) dans tout intervalle compact) un ensemble N E 8 tel que, quels que soient a, P dans N, on ait

IJ

et par suite, on a /lJJo f,(t) dt - &(t) dtll < 2~ quels que soient a et f~ dans M n N E 8 et quel que soit l'intervalle compact J 2 JO. Enfin, le lemme de II, p. 16 nous permet de mettre la dernière condition trouvée sous la forme équivalente suivante: pour tout E > O, il existe un intervalle compact JO c 1 et un ensemble M E 8 (dépendant de E ) tels que, pour tout interualle compact K c 1 n'ayant aucun point intérieur commun avec JO, et tout a E M , on ait

IIJ,

fE(t) d~ll 6 Le plus souvent, on utilise une condition plus restrictive, obtenue en supposant, dans l'énoncé précédent, que l'ensemble M ne dépendepas de E :

1,

DÉFINITION 1. - On dit que l'intégrale fw(t) dt est uniformément convergente pour a E A (ou uniformémeni convergente dans A) si, pour tout E > O, il existe un interualle compact JO c 1 tel que, pour tout intervalle compact K c 1 sans point intérieur commun avec JO, et tout a E A, on ait

FVR 11.22

43

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

Cette définition équivaut à dire q u e la famille des applications u HjJ f,(t) dt est uniformément convergente dans A (vers l'application u tt f,(t) dt) suivant le filtre des sections @ d e @ ( I );chacune des intégrales f,(t) est afortiori convergente (la réciproque étant inexacte). E n outre, d'après ce q u e nous venons d e voir ( o u d'après TG, X , p. 8, cor. 2 ) :

1,

II

PROPOSITION 3. - Soit (f,) unefamille defonctions réglées dans un intervalle 1, telles que: losuivant lejltre 8, la famille ( f a )converge uniformément vers unefonction f (réglée dans 1) dans tout intervalle compact contenu dans 1 ; 2O l'intégrale fI f,(t) dt soit uniformément convergentepour tout u E A. Dans ces conditions, l'intégrale f, f ( t ) dt est convergente, et on a

Les conditions de la prop. 3 sont remplies par exemple lorsque 1 est un intervalle borné, que les fa sont uniformément bornées dans 1, et convergent uniformément vers f dans tout intervalle compact contenu dans 1; en effet, si lIf,(x) 11 $ h pour tout x E 1 et tout CL, et si J O est tel que la différence entre les longueurs de 1 et de J O soit $ ~ / h , la condition ( 7 ) est vérifiée pour tout intervalle K c 1 sans point intérieur commun avec JO.

C o m m e pour la prop. 1 de I I , p. 19, deux corollaires d e la prop. 3 sont importants dans les applications : COROLLAIRE1. -Soit (f,) une suite de fonctions réglées dans un intervalle quelconque 1, uniformément convergente vers une fonction f dans tout intervalle compact contenu dans 1; si l'intégrale JI f,(t) dt est uniformément convergente, l'intégrale fI f ( t ) dt est convergente, et on a iim

n-. m

fn(t) dt

=

jIf ( t ) dt.

Remarque. -Les hypothèses faites dans ce corollaire sont suffisantes, mais non nécessaires pour la validité de la formule (9); nous généraliserons plus tard cette formule en même temps que la notion d'intégrale (voir INT, I V ) , et obtiendrons des conditions beaucoup moins restrictives. COROLLAIRE2. - Soient A une partie d'un espace topologique F, f une application de 1 x A dans un espace normé complet E sur R, telle que, pour tout a E A, la fonction x tt f (x, a) soit réglée dans 1. Si, d'une part, les fonctions x i-t f (x, a) convergent uniformément, dans tout intervalle compact contenu dans 1, vers une fonction x ++f ( x ) , lorsque u tend vers u, E A en restant dans A; si, d'autre part, l'intégrale fI f (x, a ) dx est uniformément convergente dans A, alors l'intégrale f, f ( x ) dx est convergente, et on a

No 3

INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE

FVR 11.23

En particulier : PROPOSITION 4 (((continuité d'une intégrale impropre par rapport au paramètre )>).- Soient F un espace compact, 1un interualle quelconque de R, f une application continue de 1 x F dans un espace normé complet E sur R ; si I'integrale h(a) = f (x, ci) dx est uniformément convergente dans F, elle estfonction continue de a dans F.

1,

Compte tenu de la prop. 2 de II, p. 19, cette proposition résulte aussi de la continuité d'une limite uniforme de fonctions continues (TG, X, p. 9, th. 2).

3. Intégrales normalement convergentes

Soit (fa) A une famille de fonctions réglées dans un intervalle quelconque 1 c R, à valeurs dans un espace normé complet E sur R. Supposons qu'il existe une fonction numérique finie g réglée dans 1, telle, que, pour tout x E 1 et tout a E A, on ait Ilf,(x) 1 6 g(x) et que l'intégrale g(t) dt soit convergente. Dans ces

SI

1,

conditions, l'intégrale f, (t) dt est absolument et uniformémentconvergente dans A; en effet, pour tout intervalle compact K contenu dans 1,on a

et la convergence de l'intégrale J", g(t) dt entraîne que, pour tout E > O, il existe un intervalle compact J c 1 tel que, pour tout intervalle compact K c 1 ne rencontrant pas J, on ait f, g(t) dt < E. Lorsqu'il existe une fonction numérique g ayant les propriétés précédentes, on dit que l'intégrale uergente dans A (cf. TG ,X, p. 22).

SI f,(t) dt est normalement con-

Une intégrale peut être uniformément convergente dans A sans être normalement convergente. * C'est ce qui se passe pour la suite (f,) de fonctions numériques définies 1, fn(x) = O pour les autres valeurs par les conditions fn(x) = l/x pour n < x < n de x dans 1 = (1, +CO(. Il est immédiat que l'intégrale j T fn(t) dt est uniformément convergente, mais elle n'est pas normalement convergente, car la relation&) > fn(x) pour tout x E 1et tout n entraîne g(x) 3 llx, et par suite l'intégrale de g dans 1n'est pas convergente.*

+

En particulier, considérons une série dont le terme général un est une fonction réglée dans l'intervalle 1, et supposons que la série de terme général Ilun(x)I (qui est une fonction réglée dans 1) converge uniformément dans tout intervalle compact contenu dans 1,et soit telle que la série de terme général f, llu,(t) I dt soit convergente; alors (II, p. 16, prop. 2) la fonction (réglée) g(x), somme de la série de terme général I l un(x)11, est telle que l'intégrale JI g(t) dt soit convergente. Si on n

pose f =

2 u,, l'intégrale

p=1

ffl(t)dt est normalement conuergmte, car on a

FVR 11.24

53

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

pour tout x E I et tout n; par suite, la somme f de la série de terme général unest une fonction réglée dans 1 telle que l'intégrale JI f(t) dt soit convergente, et on a

(((intégration terme à terme d'une série dans un intervalle non compact ))).

4. Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale dans un intervalle compact

Soient A un voisinage compact d'un point a, dans le corps (resp. le corps C ) , 1 = (a, b ) un intervalle compact dans R, f une application continue de I x A dans un espace normé complet E sur R (resp. @). O n a vu (II, p. 19, prop. 2) que, dans ces conditions, g(a) = f(t, a) dt est une fonction continue dans A. Cherchons des conditions su$santes pour que g admette une dérivée au point a,. On a, pour a # a,

fa

- convergent uniformédonc (II, p. 19, cor. 2), si les fonctions x Hf (x, a) - f (x9-a,) a - a, ment dans 1 vers une fonction (nécessairement continue) x K-h(x) lorsque a tend vers a, (en restant # a,), g admet une dérivée égale à h(t) dt au point a,;

d'ailleurs, pour chaque x E 1, (" a) -

a - a,

tend vers h(x), donc h(x) est la

dérivée au point a, de l'application a F+ f (x, a) ; nous désignerons cette dérivée (dite dérivée partielle de f par rapport à a) par la notation fk (x,a,) ; les hypothèses faites entraînent donc que

La proposition suivant donne une condition sufisante plus simple pour la validité de la formule (12) : PROPOSITION 5. - On suppose que la dérivée partielle fi (a, x) existe pour tout x E 1 et tout a appartenant à un voisinage ouvert V de a,, et que, pour tout a E V, l'application x ttf; (x, a) soit réglée dans 1. Dans ces conditions, si x t+ f: (x, a) converge uniformément dans 1 vers x H (x, a,) lorsque a tend vers a,, lahnction g(a) = f (t, a) dt admet au point a, une dérivée donnéepar laformule (12). En effet, pour tout E > O, il existe par hypothèse r > O tel que la - a,/ < r

a!

No 4

INTÉGRALES DÉPENDANTD'UN PARAMÈTRE

FVR 11.25

entraîne Ilfa (x, a ) - f; (x, a,) I < E quel que soit x E 1. D'après les prop. 3 et 5 de 1, p. 25, on a, pour la - a,/ < r ( a # a,) et pour tout x E 1

( x , a,) vers f; (x, a,) dans 1 a - a, lorsque a tend vers a , (en restant # a,), et établit donc la formule (12).

ce qui prouve la convergence uniforme de

f ( % , a )- f

COROLLAIRE. - Si la dérivée partielle f; (x,a ) existe dans 1 x V et est fonction continue de (x, a ) dans cet ensemble, lafonction g admet au foint a, une dérivée donnée par laformule (12). En effet, si MT est un voisinage compact de cc, contenu dans V, l'application (x, cc) t-f $4 (x, cc) est uniformément continue dans l'ensemble compact 1 x W, donc fi (x, a ) tend uniformément vers f; (x, a,) dans 1 lorsque a tend vers a,. De la prop. 5, on déduit une proposition plus générale permettant de calculer la dérivée d' une intégrale lorsque, non seulement la fonction intégrée f , mais aussi les limites d'intégration, dépendent du paramètre cc: PROPOSITION 6. - Les conditions de la prop. 5 étant sufiposées vérgées, soient a(&),b(a) deux fonctions déJilzies dans V, à valeurs dans 1; si les dérivées ar(a,), bf(a,) existent et sont .finies, la jimction g ( a ) = f (t, a)dt admet au point a, une dérivée donnée par la formule

sa:,";

En effet, pour tout a

EV

distinct de a,, on peut écrire

D'après la prop. 5 de I I , p. 24, la première intégrale du second membre tend vers f; (t, a,) dt lorsque a tend vers a,. Dans la seconde, nous allons remplacer f ( t , a ) par f(b(a,), a,), et montrer que la différence tend vers O. Posons M = Max(ljf (b(a,), a,) 11, 1 br(a,) 1 + 1) ; la fonction b(a) étant continue au point a,, et la fonction f continue au point (b(a,), a,), pour tout E tel que O < E < 1, il existe r > O tel que la relation la - a,/ < r entraîne Ilf (t, a ) - f (b(ao),a,) 1 < E pour tout t appartenant à l'intervalle d'extrémités b(cr,) et b ( a ) ; on peut aussi

c:z:;

supposer que la relation la - a,l

x o , f ne peut avoir deux valeurs d'adhérence distinctes: et utiliser a)).

.yo E

1 en

6) Pour qu'une fonction f, à valeurs dans un cspace normé complet E, ct définie dans un intervalle ouvert 1 c R, soit égale à une fonction réglée dans 1, en tous lcs points du complémentaire d'une partie dénombrable de 1, il faut et il suffit qu'elle satisfasse à la condition suivante: pour tout x E 1 et tout E > O, il existe un nombre h > O et deux éléments a, b de E tels que l'on ait [If(y) - al1 < E pour tout y E (x, x h), sauf au plus une infinité dénombrable de points de cct intervalle, et /If(z) - b I < E pour tout z E (x - 12, x) sauf a u plus une inf nité dénombrable de points de cet intervalle.

+

* 7) Montrer que la fonction égale à sin (llx) pour x f O, à O pour x = O, admet une primitive stricte dans R (remarquer que x2 sin (Ilx) admet une dérivée en tout point). E n déduire que, si g(x, u, v) est un polynôme en u, v, à coefficients fonctions continues de x dans u n intcrvalle 1 contenant O, la fonction égale à g(x, sin llx, cos llx) pour x f O, à une valeur convenable a (que l'on déterminera) pour x = O, admet une primitive strictc dans 1; donner un exemple où a f g(0, 0, 0). *

FVR 11.30

* 8) Montrer qu'il

PRIMITIVES ET

INTEGRALES

existe une fonction continue dans (- 1,

+ 1) admettant une dérivée finie

en tout point de cet intervalle, cette dérivée étant égale à sin de Ilnx (n entier f O) et de O. (Au voisinage de x

-

61

aux points x distincts ,lx)1

(SI.

llnx, faire le changement de variable

et utiliscr l'exerc. 7 ; à l'aide du même changement de variable, montrer nx Arc sin u qu'il existe une constante a > O indépendante de n, telle que x =

+

en déduire que si on pose g(x) = ~ i m E+O

g admet a u point x = O une dérivée nulle.)

):( sin

.

1

dt,

sin -

9 ) Soit f une fonction réglée dans un intervalle compact 1 = (a, O). Montrer que, pour j(f( t ) - g ( t ) /j dt < E (se tout E > O, il existe une fonction g continue dans 1 et telle que ramener a u cas où f est une fonction en escalier). E n déduire qu'il existe un polynôme h (à coefficients dans E) tel que j: jlf (t) - h ( t ) I/ dt < E.

fl

10) Soit f une fonction réglée dans (a, b), prenant ses valeurs dans E, g une fonction réglée dans (a, c ) (c > b ) , prenant ses valeurs dans F, et soit (x,y) tt [x.y] une application bilinéaire continue de E x F dans G (E, F, G espaces normés complets). Montrer que

(se ramener a u cas où f est une fonction en escalier). I I ) Les hypothèses étant les mêmes que dans I'exerc. 10, montrer que, pour tout E > 0, il existe un nombre p > O tel que pour toute subdivision de (a, O) en intervalles (x,, xl +1) de longueur < p (O ( i < n - l), on a

quels que soient, pour chaque indice i, les points u,, v, dans (x,, x,

,

(se ramener au cas où

f et g sont des fonctions en escalier).

7 12) O n dit qu'une suite (xn)de nombres réels appartenant à l'intervalle (0, 1) est également répartie dans cet intervalle si, pour tout couple de nombres cc. p tels que O < cc < p < 1 on a, en désignant par vn(a, P) le nombre des indices i tels que 1 < i < n et a < x, < jj P) = p - a. -

lim vn!., n+m

12

Montrer que, si la suite (x,) est également répartie, et si f est une fonction réglée dans

(0, 117 on a Iim

n-+ m

-1

Z f(r,)

l=l

=

1;

f (t) dt

(se ramener a u cas où f est une fonction en escalier). Réciproque. Montrer que, pour que la suite (.Y,,) soit égalemcnt répartic, il suffit que la relation (2)

si

FVR 11.31

EXERCICES

ait lieu pour toute fonction numérique f appartenant à un ensemble partout dense dans l'espace des fonctions numériques continues dans (O, 1), muni de la topologie de la convergence uniforme.

IT[ 13) Soitf une fonction numérique réglée dans un intervalle compact (a, b). O n pose

a) Montrer que, si f est croissante dans (a, b), on a

b) Sif est continue et admet dans (a, b( une dérivée à droite réglée et bornée, montrer qu'on a b -a b-a lim nr(n) = -(f (b) - f (a)) (en posant xk = a k -3 remarquer qu'on a

2

n+m

+

et appliquer la prop. 5 de II, p. 7). c) Donner un exemple de fonction f croissante et continue dans (a, 6 ) telle que nr(n) ne tende b-a pas vers -(f (b) - f (a)) lorsque n croît indéfiniment [prendre pour f la limite d'une

2

suite décroissante (f,) de fonctions croissantes dont les courbes représentatives sont des lignes brisées, telles que

14) Soit f une fonction vcctorielle primitive d'une fonction réglée f' dans (a, b), et telle que f (a) = f (6) = O. Montrer que si M est la borne supérieure de Ilf '(x) 11 dans l'ensemble des points de (a, b) où f' est continue, on a

15) Soit f une fonction numérique continue, strictement croissante dans un intervalle (O, a), et telle que f (0) = O; soit g sa fonction récriproque, définie et strictement croissante dans (O, f (a)); montrer que, pour O < x < a et O < y < f (a), on a

l'égalité n'ayant lieu que si y = f (x) (Ctudier les variations en fonction de x (y restant fixe) f ( t ) dt). En déduire que, pour x 2 O, y 2 O, de xy > 1, fi' = p/(p - l ) , on a xy -/ aap + byp' pour a > 0, b > O et ( p a ) ~ ' ( p ' b )> ~ 1. 16) Soient f une fonction vectorielle réglée dans I = (a, b) c R, u une primitive de f dans 1, D un ensemble convexe fermé contenant u(1).Montrer que si g est une fonction numérique monotone dans 1, on a

FVR 11.32

PRIMITIVES ET

31

INTEGRALES

où c appartient à D (se ramener a u cas où g est une fonction en escalier monotone). En déduire que sif est une fonction numérique réglée dans 1, il existe c G I tel que

(«deuxième théorème de la moyenne )>). 17) Soit g une fonction numérique admcttant une dérivée continue et f O dans (a, x); sif cst 1)-Cme réglke dans (a, x), montrer que le une fonction numérique ayant unc dérivée (n reste rn(x) du d&eloppemcnt d e Taylor d'ordre n def au point a, peut s'écrire

+

où a
O (remarquer que (1 - t2), dt > (1 - t ) n dt).

+

Ji

JE

Ji

f,(t) dt tend uniformément vers 1x1 dans (- 1, + l), En déduire que le polynôme gn(x) = ce qui donne une nouvelle dkmonstration du th. de Weierstrass (TG, X, p. 37, prop. 3). 21) Soit f une fonction numérique croissante convexe et continue dans un intervalle (O, a) et telle que f (O) = O. Si a, > a, > . 2 a, > O est une suite finie décroissante de points de (O, a), montrer que l'on a

..

f (al) -f(a,)

+ .- + (-

l)n-y(a,)

> f (al

- a2

+ .. + ( -

(On peut se borner au cas où n = 2m est pair; remarquer que pour 1

l)n-lan).

< j < m, on a

22) Soit f une fonction numérique continue croissante et > O dans l'intervalle (0, 1). a) Montrer qu'il existe une fonction convexe g > O dans (O, 1) telle que g G f et g(t) dt > 3 f: f ( t ) dt (cf. 1, p. 53, exerc. 23). b) Montrer qu'il existe une fonction convexe h dans (O, 1) telle que h > f et que

Ji

Io1 h(t) dt 4 2

JO1

f (t) dt.

§2

FVR 11.33

EXERCICES

(Pour tout a tel que O < a < 1, soit fa la fonction égale à f pour O $ t < a et à f (a) pour a < t < 1; soit A l'ensemble des a E )O, 1) pour lesquels il existe une fonction convexe ha dans (O, 1) telle que ha 3 fa et J" h,(t) : dt < 2 fa(t) dt. Montrer que la borne supérieure b de A appartient encore à A, en utilisant l'exerc. 1 de 1, p. 52. Prouver ensuite quefb= f en raisonnant par l'absurde. Pour cela, on se ramène à prouver le résultat suivant: si pi est continue et croissante dans {O, 1), non constante et telle que pi(0) = O, il y a un point telle que +(c) = pi(c) et c E )O, l ( tel que p(c) > O et que la fonction linéaire

J":

+

+(2c - 1) = O vérifie la relation $(t) 3 v(t) pour max(0, 2c

-

1)

$

t

< c.)

23) Soit f une fonction vectorielle continûment dérivable dans un intervalle (a, b) c R, à valeurs dans un espace normé complet. a) Montrer que pour a < t < b, on a

b) En déduire les inégalités

1) Soient cc et p deux nombres réels finis tels que cc < p. Montrer que si y et 6 sont deux nombres tels que cr < y < 6 < p, il existe une fonction numériquef, définie dans un intervalle (O, Q), ne prenant que les valeurs cc et p, telle que dans tout intervalle (E, a) (pour E > O), f soit une fonction en escalier et que, si on pose g(x) = f (t) dt, on ait

(prendre pour g une fonction dont le graphe est une ligne brisée dont les côtés consécutifs ont pour pentes a et p et dont les sommets se trouvent alternativement, soit sur les droites y = yx, y = Sx pour y # 8, soit sur la droite y = yx et la parabole y = yx x2 pour y = 6). Par la même méthode, montrer que si y et S sont finis ou non (y < 6 ) il existe une fonction numérique f définie dans )O, a) telle que, dans tout intervalle (E, a) (pour E > O), f soit une fonction en escalier, que l'intégrale g(x) = f ( t ) dt existe et que l'on ait encore les relations (*).

+

fi

2) a) Soit f une fonction réglée dans un intervalle )O, a) telle que l'intégrale

fi

f (t) j: dt soit t

convergente. Montrer que l'intégrale g(x) = f (t) dt est convergente et que g admet au point x = O une dérivée à droite (intégrer convenablement par parties). b) Donner un exemple de fonction numérique f telle que l'intégrale g(x) = f (t) dt soit convergente et admette au point O une dérivée à droite, mais que f (t)/t n'admette pas d'intégrale dans )O, a) (prendre pour f (x)/x la dérivée d'une fonction de la forme COS cp(x), où pi tend vers $ CO lorsque x tend vers O).

SE

3) Soit f une fonction numérique 2 0, définie dans un intervalle )O, a) et réglée dans cet

FVR 11.34

52

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

intervalle, telle que l'intégrale g(x) = J O f (t) dt soit convergente mais que g n'ait pas de dérivée à droite a u point O. Montrer qu'il existe une fonctionfl réglée dans )O, a), telle que (f1(x))" = f (x) pour tout x, que l'intégrale gl(x) = JE fl(t) dt soit convergente et que gl ait une dérivée à droite au point O. (Considérer d'abord le cas où f est identique à une fonction en escalier dans tout intervalle (E, a) (pour E > O). Dans ce cas, diviser chaque intervalle où f est constante en un assez grand nombre de parties égales, et prendre fi constante dans chacun de ces intervalles, le signe de fi étant différent dans deux intervalles consécutifs. Procéder de même dans le cas général.) 4) Définir dans l'intervalle (0, 1) deux fonctions numériquesf, g telles que f et g admettent des primitives strictes, mais que fg soit en tout point de (O, 1( la dérivée à droite d'une fonction continue qui n'admet pas de dérivée à gauche en un ensemble de points ayant la puissance du continu (utiliser des constructions analogues à celles de l'exerc. 8 de 1, p. 45 et de l'exerc. 3 ci-dessus).

5) a) Soit f une fonction réglée dans un intervalle ouvert borné )a, b(; on suppose qu'il existe une fonction numérique g, décroissante dans )a, b(, telle que Ilf (.Y)]/ < g(x) dans )a, b( et que l'intégrale g(t) dt soit convergente. Montrer que, si (en) est une suite de nombres > 0, tendant vers 0 et telle que inf nEn > O, on a n

'2 n-1

iim

n-rm

n

k=o

f(a

+ en + k*)

n

= /:f(t)

dt.

b) Donner un exemple de fonction numérique f réglée et >O dans )O, 1) telle que l'intégrale Ji f (t) dt soit convergente, mais que la relation (*) n'ait pas lieu pour E, = l/n (prendre f de sorte que sa valeur pour x = 2-P soit 2"P). c)

Avec les mêmes hypothèses que dans a), montrer que

6 ) Soit f une fonction réglée dans l'intervalle )a, +CO(;on suppose qu'il existe une fonction numérique g décroissante dans )a, + a ( , telle que llf (x) I < g(x) dans cet intervalle et que

2

f (a l'intégrale J,' " g(t) dt soit convergente. Montrer que la série n=l convergente pour tout h > O, et que l'on a iim h h- m

sl

f (a

+ nh)

=

:1

+ nh) est absolument

f ( t ) dl.

7) Soient f et g deux fonctions réglées et >O dans un intervalle ouvert )a, b(. Montrer que les intégrales des fonctionsf/(l + fg) et inf (f,1/g) dans )a, b( sont à la fois convergentes ou infinies. 8) Soit f une fonction réglée et 2 O dans un intervalle (a, + CO(, et soit g une fonction dérivable croissante définie dans (a, +CO(, et telle que g(x) - x 2 -h > O pour tout x > a. Montrer que si l'on a f (g(x))g'(x) < k.f (x) avec k < 1 (resp. f (g(x))gl(x) 2 k.f (x) avec k > l), l'intégrale f (t) dt est convergente (resp. égale à + a ) (critère d'Ermakoff: en f (t) dt et faire croître n désignant par gn la n-ème itérée de g, considérer l'intégrale J9,n(a) indéfiniment).

+

9) Soit GC un nombre > O, f une fonction 2 O et décroissante, définie dans l'intervalle )O, a ( et telle que l'intégrale JOmtf' (t) dt soit convergente. Montrer que pour tout x > O, on a

53

FVR 11.35

EXERCICES

(Le démontrer d'abord lorsque f est constante dans un intervalle )O, a) et nulle pour x > a, puis pour une somme de telles fonctions, et passer à la limite dans le cas général.)

1) Soient 1 un intervalle quelconque de R, A un ensemble, g une fonction numérique finie, définie dans I x A, telle que pour tout a E A, t Hg(t, a) soit décroissante et > O dans 1; on suppose en outre qu'il existe un nombre M indépcndant de a tel que g(t, a) < M dans 1 x A. f (t) dl soit cona) Montrer que si f est une fonction réglée dans 1, telle que l'intégrale

SI

SI

vergente, l'intégrale f(t)g(t, a)dt est uniformément convergente pour cc E A (utiliser le second théorème de la moyenne; CF. II, p. 31, exerc. 16). b ) O n suppose que 1 = (a, + C O ( ct en outre que g(t, cc) tendc uniformément vers O (pour a E A) lorsque t tend vers + co. Montrer que si f est une fonction réglée dans 1, et s'il existe un nombre k > O tel que / J, f (t) dt // < k pour tout intervalle compact J contenu dans 1,

SI

l'intégrale f (t)g(t, cc) dt est uniformément convergente pour a E A (même méthode). G)O n suppose que 1 = (a, + C O ( avec a > O, A = (O, +CO(, et g(t, a) = O, ne tend vers 1

aucune limite lorsquc a tend vers O (après avoir intégré par parties, faire le changcment de variables cct = u ; pour voir que f: e-CU+ilOgU du n'est pas nulle pour certains G > 0, utiliser la théorie de la transformation de Laplace.), 2) Soient f et g deux fonctions numériques réglées dans un intervalle compact (a, b), tclles que f soit décroissante dans (a, b), et O < g(t) < 1. Si on pose h = j: g(t) dt, montrer que l'on a

sauf lorsque f est constantc, ou que g est égale à O (resp. 1) en tous lcs points où cllc rst conj'(t)g(t) dt, faire tinue (auxquels cas les trois membres sont Cgaux). (Dans l'intégrale varier l'une des limites d'intégration.)

s:

-

+

3) Soitf(x, a) = 1 / d 1 - 2ax cr2 pour - 1 < x < 1 et a E R; montrer que la fonction d x / d l - Sccx cr2 est continue dans R, mais n'admet pas de dérivée pour g(cc) = or = 1 e t c c = - 1 ; m o n t r c r q u c f ~ ( x , c c ) c x i s t e p o u r t o u t c c ~ R e t p o u r x ~=I) - 1 , +1(, et est continue dans 1 x R, que I'intCgralc j+:f,' (x, cc) dx cxiste pour tout cc E R, mais vérifier que cette inttgrale n'est pas uniformément convergente dans un voisinage du point a = 1 ou du point or = -1.

Sr:

+

7 4) Soit 1 un intervalle dans ]ta, A un voisinage d'un point cco dans le corps W (resp. le corps C), f une application continue de 1 x A dans un espace normé complet E sur R, telle que fL(x, cc) existe et soit continue dans 1 x A. Soient a(a), b(a) deux fonctions définies et continues dans A, à valcurs dans 1, telles qu'on ait identiqueincnt f (a(cc), cc) = f (b(cc), cc) = O dans A. Montrer que la fonction g(a) = f (t, a) dt admet au point cco une dérivée égale

FVR 11.36

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

53

::S:

à fA(t, a,) dt, même si a et b ne sont pas dérivables au point oro (soit M la borne supérieure de Ilfa (x, a) I / dans un voisinage compact de (b(ao), a,) ;remarquer, à l'aide du th. de Bolzano appliqué à b(a), que pour tout point x appartenant à l'intervalle d'extrémités b(aO)et b(rx), on a, lorsque a est assez voisin de a,, jjf (x, a) 1 < Mla - ccol).

5) Soit f une fonction vectorielle continue dans l'intervalle compact 1 = (O, a). Montrer que si, au point a, E 1, il existe E > O tel que (f (x) - f(a,))/lx resteborné lorsque x tend vers a,, la fonction g(a) = J"(: f (x) d x l d z admet au point a, une dérivée égale à

pour a, > 0, à O pour uo = 0. Lorsque f est la fonction numérique d a , dérivée infinie au point cco.

- x,

montrer que la fonction g admet une

7 6) Soient 1 = (a, b), A = (c, d) deux intervalles compacts dans R ; soit f une fonction définie dans 1 x A, à valeurs dans un espace normé complet E sur R, telle que pour tout a E A, t Hf (t, a) soit réglée dans 1, que f soit bornée dans 1 x A, et que l'ensemble D des points de discontinuité de f dans 1 x A soit rencontré en un nombrejni de points par toute droite x = xo et toute droite a = a, (xo E 1, cco E A). a) Montrer que la fonction g(a) = f (t, a) dt est continue dans A (étant donnés cco E A et E > O, montrer qu'il existe un voisinage V de a, et un nombre fini d'intervalles Jk contenus dans 1 et dont la somme des longueurs est GE, tels que, si J désigne le complémentaire par rapport à 1 de UJk, f soit continue dans J x V).

SE

k

6) Montrer que la formule d'interversion des intégrations (II, p. 27, formule (15)) est encore valable (même méthode que dans a)).

7) Soit f une fonction numérique définie et ayant une dérivée continue dans l'intervalle + cc (, et telle que

)O,

lim f (x) = lim f (x) = 0.

L'intégrale

Sa

que l'intégrale

x-O

x-+m

f'(at) dt est définie et continue dans tout intervalle )O, a) borné; montrer

f l mdt J": f'(at)

da peut ne pas exister ou être distincte de

7 8) Soient 1 et J deux intervalles quelconques dans R, f une fonction définie et continue dans 1 x J, à valeurs dans un espace normé complet E sur R. O n suppose que: f (x, y) dx est uniformément convergente lorsque y décrit un intervalle Io l'intégrale compact quelconque contenu dans J; Z0 l'intégrale J", f (x, y) dy est uniformément convergente lorsque x décrit un intervalle compact quelconque contenu dans 1; 3O si, pour tout intervalle compact H contenu dans 1, on pose u,(y) = f (x, y) dx, l'intégrale u,(y) dy est uniformément convergente pour H E R(1) (ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans 1). dx j, f (x, y) dy et f, dy fS, f (x, y) dx Dans ces conditions, montrer que les intégrales existent et sont égales.

SI

S,

SI

* 9) Déduire de l'exerc. existent et sont égales.,

8 que les intégrales

§3

FVR 11.37

EXERCICES

10) a) Si h, ZL, v' sont des primitives de fonctions réglées numériques dans un intervalle ouvert )a, b( de R, v une primitive de v', et si v(x) > O dans cet intervalle, on a l'identité de Redheffer

aux points dc )a, b( où les dérivées sont définies.

* b) Soient v, w dcux w' < O. Déduire de a)

fonctions >O dans )a, b(, primitives de fonctions réglées v' > 0, que pour toute fonction u primitive d'une fonction réglée u' dans

)a, 6( et telle que lim.inf u(x) = 0, l'hypothèse que l'intégrale x-a.xia

vergente entraîne que l'intégrale

lab

v (x)

1."$;

-d2(x) dx est con-

u2(x)dx est convergente et que

lim sup u2 (x)w(x)/v(x) x-+b.xa

puis intégrer l'identité de Redheffer.) c) Déduire de (*) que si u est primitive d'une fonction réglée dans )O, l), si

et si l'intégrale J: ug2(t)dt est convergente, il en est de même de l'inégalité, pour tout v. > O

( ~ ( t ) / tdt) ~et on a

d) Soient cc un nombre > O, K une fonction > 0, dérivable et décroissante dans )O, +CO(et telle que lim K(x) = O. Si u est la primitive d'une fonction réglée dans )O, +CO(, x++m

telle que iimsinf u(x) = O, et si l'intégrale x-o.x>o

JO+ X1-mK(X)U12(X) dX est convergente, la

fonction ~ - ~ K ( x ) u ~tend ( x ) vers O lorsque x tend vers O ou vers

est convergente et l'on a

x ) l'identité de Redheffer). (prendre v(x) = xm,h(x) = ~ l - ~ K ( dans

+CO,l'intégrale

FVR 11.38

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

E n particulier, pour cc =

+ et K ( x ) = x-%, o n a

(inégalité de Hardy-Littlewood) . e) Soient cc > - 1 , K u n e fonction 2 0 , dérivable et croissante dans (0, q u e les intégrales JO+ rn

x - ' K ( x )d 2( x ) dx

et

JO+ rn

+CO(.

Supposons

x a ~ ( xu2(x) ) dx

soient convergentes. Alors K ( x ) u 2 ( x )tend vers O lorsque x tend vers

+CD, et

l'on a

(prendre v ( x ) = exp (-cxa) dans l'identité d e Redheffer, avec u n e constante c convenable). E n particulier, si a et b sont des constantes telles q u e b + 1 2 a et a + b 2 O, o n a (a

+ a)

x ~ + ~ - w ( xdx ) 4 2

(IO+

xZaur2( x ) dx)

"

(JO+ rn

X"Y ( x ) dx)

'

si les intégrales d u second membre convergent (inégalité de H. Weyl généralisée). = O, o n a

f )Si O < cc < 2 et u est primitive d'une fonction réglée dans (O, cc) et u(0)

(inégalité d'Opial généralisée). (Appliquer convenablement (*) e n remplaçant u ( x ) par e-X~(~).) g) Si u est primitive d'une fonction réglée dans (O, b) et u ( 0 ) = 0 ,

(inégalité de Hlamka) ( m ê m e méthode q u e dans f )). h ) Si u est la primitive d'une fonction réglée dans R, o n a, pour tout t E R uf2( x ) dx)

(s:

u2( x ) dx) m

'

si les d e u x intégrales d u second membre sont convergentes (considérer les deux intervalles ) - C O , t ) et (t, + K I ( ;prendre u(x) = eux dans les deux intervalles, h(x) = l/cc dans le premier intervalle et h(x) = - l / a dans le second, puis choisir cc > O convenablement).,

CHAPITRE III

Fonctions élémentaires

$1. DÉRIVÉES DES FONCTIONS EXPONENTIELLES E T CIRCULAIRES 1. Dérivées des fonctions exponentielles; nombre e

On sait que tout homomorphisme continu du groupe additif W dans le groupe multiplicatif R" des nombres réels # O est une fonction de la forme x tt a" (dite fonction exponentielle) où a est un nombre > O (TG, V, p. 11) ; c'est un isomorphisme de R sur le groupe multiplicatif R z des nombres >O si a # 1, et l'isomorphisme réciproque de R: sur R se note log, x et est appelé logarithme de base a. Nous allons voir que la fonction f (x) = aXa pour tout x E R une dérivée de la forme c. aX (où on a évidemment c = f'(0)). Cela résulte du théorème général suivant : THÉORÈME 1. - Soit E

une algèbre normée complète sur le corps R, ayant un élément unité e, et soit fun homomorphisme continu du groupe additifR dans le groupe multiplicatifG des éléments inversibles de E. L'application f est dérivable en tout point x E R , et on a

(1)

f'(x) = f(x)f'(O). Remarquons d'abord que, E étant une algèbre complhte, G est ouvert dans E (TG, IX, p. 40, prop. 14). Considérons la fonction g(x) = j t f(x -t t) dt, où a > O est un nombre que nous préciserons plus loin; comme f (x + t ) = f(x)f(t) par hypothèse, on a g(x) = : j f(x)f(t)dt = f(x) f ( t ) dt (1, p. 14, prop. 3). Soit a > O tel que la boule /lx - el\ 6 a soit contcnuc dans G; comme f(0) = e et que f est continue par hypothèse, on peut supposer que a est pris assez petit pour que Ilf(t) - e/l 6 a dans (0, a); par suite (II, p. 12, formule (16)), on a

1;

FVR 111.2

$1

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

1 et - f(t) dt appartient à G, autrement dit est inversible; il en est de même a de b = f(t) dt, et on peut écrire f(x) = g(x)bT1; il suffit donc de prouver que g(x) est dérivable; or, par le changement de variable x + t = u, on a g(x) = f:*a f (u) du; comme f est continue, g est dérivable pour tout x E W (II, p. 6, prop. 3), et on a

1;

Jl

gf(x) = f (x D'où f'(x) = gt(x)b-l ff(0) = e.

=

+ a) - f (x)

= f (x) (f(a)

- e).

f(x)c, où c = (f(a) - e)bP1,et on a évidemment

Réciproquement, on peut démontrer, soit directement (III, p. 24, exerc. l), soit à l'aide de la théorie des équations différentielles linéaires (IV, p. 29) que toute application dérivable f de R dans une algèbre normée complète E, telle que f ' ( x ) = f (x)c et f (O) = e, est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe multiplicatif G.

PROPOSITION 1. -Pour tout nombre a > O et # 1, la fonction exponentielle aXadmet en tout point x E R une dérivée égale à (log, a)aXoz2 e est un nombre > 1 (indépendant de a). L'application du th. 1 au cas où E est le corps R lui-même montre en effet que aXadmet en tout point une dérivée égale à y(a) .aX,où y(a) est un nombre réel # O ne dépendant que de a. Soit b un second nombre > O et Z 1; la fonction bX a une dérivée égale à cp(b) .bX d'après ce qui précède; d'autre part, on a bx = aX.'O% donc (1, p. 17, prop. 5), la dérivée de bX est égale à log, b . y(a)bx; par comparaison des deux expressions obtenues, il vient On en déduit qu'il existe un nombre b et un seul tel que y (6) = 1; en effet, cette relation équivaut, d'après (2), à b = II est d'usage de désigner par e le nombre réel ainsi déterminé; d'après (2), on a y(a) = log, a, ce qui achève de démontrer la prop. 1. On écrira souvent exp x au lieu de ex. La définition du nombre e montre qu'on a ce qui prouve que ex est strictement croissante, et par suite que e > 1. Au $ 2 (III, p. 15), nous verrons comment on peut calculer des valeurs aussi approchées qu'on veut du nombre e.

DÉFINITION1. -Les logarithmes naturels).

logarithmes de base e sont appelés logarithmes neériens (ou

On convient d'ordinaire d'omettre la base dans la notation d'un logarithme népérien. Sauf mention expresse du contraire, la notation log x (x 0) désignera

No 2

FVR 111.3

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

donc le logarithme népérien de x. Avec cette notation, la prop. 1 s'exprime par l'identité (4)

D(ax) = (log a)ax

valable pour a quelconque > O (puisque pour a = 1, log a = 0). Cette relation montre que ax a des dérivées de tout ordre, et qu'on a

(5)

Dn(ax) = (log a)nax.

En particulier, pour tout a > O et # 1, on a D2(aX)> O pour tout x ER, et par suite ax est strictement convexe dans R (1, p. 39, corollaire). On en déduit la proposition suivante:-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

PROPOSITION 2 ( G inégalité de la moyenne géométrique n). - Quels que soient les n

nombres z, > O (1

< i 6 n) et les nombres pi > O tels que i1 Pi = 1, on a =1

En outre les deux membres de (6) ne sont égaux que si tous les zi sont égaux. En effet, posons z, = exi; l'inégalité (6) s'écrit (7)

exp (plxl

+ p2x2 + . . + pnxn) < piexl + p2eX2+ . . . + Pnexn.

La proposition résulte alors de la prop. 1 de 1, p. 34, appliquée à la fonction ex, strictement convexe dans R. On dit que le premier membre (resp. le second membre) de (6) est la moyenne géométriquepondérée (resp. la moyenne arithmétique pondérée) des n nombres zi, relatives aux poids pi (1 < i < n). Si pi = lin pour 1 5 i-< n, on dit _que 1- moyennes aritl-i~iïéticquëetgélornétrique correspondantes sont les moyennes arithmétique et géométrique ordinaires des zi. L'inégalité (6) s'écrit alors -

-

-

-

-

2. Dérfvée de log, x

Comme aX est strictement monotone dans R pour a # 1, l'application de la formule de dérivation des fonctions réciproques (1, p. 17, prop. 6) donne, pour tout x 3 O D(log, x) = et en particulier

1 x log a

FVR 111.4

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

41

Si u est une fonction numérique admettant une dérivée au point x,, et telle que 21(xO)> 0, la fonction log u admet au point x, une dérivée égale à u'(x,)/u(x,). En particulier, on a D(log 1x1) = l/IxI = 11%si x > O, et

si x < O; autrement dit, on a D(1og 1.~1)= l/x quel que soit x # O. O n en conclut que si, dans un intervalle 1, la fonction numérique u n'est pas nulle et admet une dérivée finie, log lu(x) 1 admet dans 1 une dérivée égale à uf/u;cette dérivée est dite dérivée logarithmique de u. Il est clair que la dérivée logarithmique de lula est auf/u, et que la dérivée logarithmique d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des facteurs; l'application de ces règles permet souvent de calculer plus rapidement la dérivée d'une fonction. Elles redonnent en particulier la formule ( a réel quelconque, x > 0)

(11) D(xE) = ax"-l déjà démontrée par une autre voie (II, p. 19).

Exemple. - Si u est u n e fonction f O dans u n intervalle 1,v une fonction numérique quelconque, on a log(lulU)= u. log l u / ,donc si u et v sont dérivables 1 D(lulv) = u'log

14V

+ u-a 21'

Iicl

3. Dérivées des fonctions circulaires; nombre n

O n a défini, en Topologie générale (TG, VIII, p. 8) l'homomorphismc continu x i-t e(x) du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U des nombres complexes de valeur absolue 1; c'est une fonction pCriodique de période principale 1, et on a e(+) = i. O n sait (lm. cit.) que tout homomorphisme continu de Pi sur U est de la forme x tt e(x/a), et qu'on pose cos, x = &?(e(x/a)), sin, x = 9(e(x/a)) (fonctions trigonométriques, ou fonctions circulaires, de base a) ; ces dernières fonctions sont des applications continues de R dans (- 1, + 1)' admettant a pour période principale. O n a sin,(x + a/4) = cos, x, cos,(x + a/4) = -sin, x, et la fonction sin, x est croissante dans l'intervalle ( - a/4, a/4). PROPOSITION 3. -La fonction e(x) admet en tout point de R une dérivée égale à ànie(x), ozi n est une constante > 0. En effet, le th. 1 de 111, p. 1, appliqué au cas où E est le corps C des nombres complexes, donne la relation ef(x) = er(0)e(x); en outre, comme e(x) a une norme euclidienne constante, ef(x) est orthogonal à e(x) (1, p. 15, Exemple 3) ; on a donc et(0) = ai, avec a réel. Gomme sin, x est croissante dans (-$, 41, sa O, et comme e(x) n'est pas constante, dérivée pour x = O est 3 0, donc a a > O; il est d'usage de désigner le nombre a ainsi défini par la notation Zn.

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR 111.5

Nous montrerons au 3 2 (III, p. 23) comment on peut calculer des valeurs aussi approchées qu'on veut du nombre x.

On a donc la formule

On voit que cette formule se simplifie lorsque a = 2x; c'est pourquoi on utilise exclusivement en Analyse les fonctions circulaires relatives à la base 2x; on convient d'omettre la base dans la notation de ces fonctions; sauf mention expresse du contraire, les notations cos x, sin x et tg x désigneront donc respectivement cos,, x, sin,, x et tg,, x. Avec ces conventions, la formule (12), où on fait a = Zx, s'écrit D(cosx

(13)

+ isinx) = cos

ce qui équivaut à D(cos x) = -sin x,

(14)

D (sin x )

=

cos x,

d'où l'on tire

A côté des trois fonctions circulaires cos x, sin x et tg x, on emploie encore, dans la pratique du calcul numérique, les trois fonctions auxiliaires: cotangente, skcante et cosécante, définies par les formules 1 1 1 cotg x = - sec x = -Y cosec x = -' tg x' COS x sin x Rappelons (TG, VIII, p. 10) que l'unité d'angle correspondant à la base Zn est appelée radian.

4. Fonctions circulaires réciproques

La restriction de la fonction sin x à l'intervalle (-n/Z, +x/2) est strictement croissante; on désigne par Arc sin x sa fonction réciproque, qui est donc une application strictement croissante et continue de l'intervalle (- 1, + 1) sur (- 4 2 , + x/2) (fig. 6). La formule de dérivation des fonctions réciproques (1, p. 17, prop. 6) donne la dérivée de cette fonction D(Arc sin x) = Comme - 4 2

1 cos (Arc sin x)'

< Arc sin x < x/2, on a COS (Arc sin x) sin (Arc sin x)

=

x,

2 O, et comme

FVR 111.6

FONCTIONS ÉLÉMENTNRES .

on a cos (Arc sin x) = dl - x2, d'oit D(Arc sin x) =

1

d i -

De même, la restriction de cos x à l'intervalle (O, x] est strictement décroissante; on désigne par Arc cos x sa fonction réciproque, qui est une application strictement décroissante de (- 1, -) sur (O, x) (fig. 6). On a d'ailleurs

+

= cos (Arc cos x) =

x

Fig. 6

et comme -x/2

(17)

< n/2 - Arc cos x < n/2, on a Arc cos x =

n -2

- Arc sin x

d'où résulte en particulier que D (Arc cos x ) =

1 --fi2*

Enfin, la restriction de tg x à l'intervalle ) - x/2,

+ x/2(

est strictement

No 5

FVR 111.7

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLEMENTAIRES

croissante; on désigne par Arc tg x sa fonction réciproque, qui est une application strictement croissante de R sur ) - n/2, + x/2( (fig. 7) ; on a lim Arc tg x X-b

- Ca

=

7t

- -, 2

lim Arc tg x x-cm

=

X

2

Fig. 7

et par application de la formule de dérivation des fonctions réciproques et de la formule (15) de III, p. 5 , on a

5. L'exponentielle c o m p l e x e

O n a déterminé (TG, VIII, p. 8) tous les homomorphismes continus du groupe topologique (additif) C des nombres complexes sur le groupe topologique (multiplicatif) C* des nombres complexes #O; ce sont les applications où a,p, y, S sont quatre nombres réels assujettis à la seule condition a8 - py # O. Proposons-nous de déterminer ceux de ces homomorphismes z »f (z) qui sont dérivables dans 6 . Remarquons d'abord qu'il suffit que f soit dérivable au point z = O; en effet pour tout point z E 6,on a f ( 2 + h) - f ( 4 =f(z) f ( 4 - 1 . f h y si f'(0) existe, il en est donc de même de f'(z), et on a f '(2) = af(z), avec a = f'(0). D'autre part, si g est un second homomorphisme dérivable, tel que gf(z) = bg(z), on a g(az/b) = f ( z ) , car on constate aussitôt _que le quotient g(az/b)/f(z) admet p;lrtout une dérivée nÜlle et est égal à 1 pour z = 0; tous les -

-

FVR 111.8

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

91

homomorphismes dérivables sont donc de la forme z i-tf (Az), où f est l'un d'entre eux (supposé exister), et A une constante (complexe) quelconque. Cela étant, si f est dérivable au point z = O, chacune des applications x i-tf(x), y Hf(iy) de R dans C est nécessairement dérivable au point O, la première ayant comme dérivée f'(O), la seconde $'(O). Or les dérivées des applications x 14 eOlxe(yx),y i-t eme(Sy) au point O sont respectivement égales à a + 2xiy et p + 2rci6, d'où les conditions (3 = -2xy et a = 2x6; ces conditions sont en particulier remplies par l'homomorphisme x + iy F+exe(y/2n), que nous désignerons provisoirement par fo. Nous allons maintenant montrer qu'effectivement fo est dérivable au point z = 0. En effet, il est clair que x Hfo(x) et y i-tfo(iy) ont des dérivées de tout ordre; en particulier, la formule de Taylor d'ordre 1 appliquée à ces fonctions montre que, pour tout E > O, il existe r > O tel que, si on pose

pour lzl

< r, on a

1x1

r et IyI

ce qui prouve que le quotient f

f, admet au point z

< r, d'où

O(4

- 1-

2

Z

tend vers O avec z, c'est-à-dire que

O une dérivée égale à 1. Alors, ce qui précède prouve que, pour tout z E @, on a =

Cette propriété rapproche encorefo de la fonction ex, qui est d'ailleurs la restriction defo à l'axe réel; pour cette raison, on pose la définition suivante:

2. - On appelle exponentiellecomplexe l'homomo~hismex + iy M exe(y/2n) DÉFINITION de C sur C*; sa ualeurpour un nombre complexe quelconque z se note eZou exp z. 6. Propriétés de la fonction eZ

Le fait que z identités (22)

tt eZ

est un homomorphisme de C dans C* se traduit par les e~+a1 , e2 e2' ,

eO=l,

e-2=l/e".

On a par définition, pour tout z = x + iy ex+ iy = ex (cos y + i sin y)

(23)

No 6

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR 111.9

et comme ex > O, on voit que e2 a pour valeur absolue ex, pour amplitude y (modulo 2x). La déf. 2 (III, p. 8 ) donne en particulier ce qui permet d'écrire les formules qui définissent cos x et sin x sous la forme

(formules d'Euler). Comme 2n est période principale de e ( y / 2 ~ )2xi , est liériode princ@ale de eZ; autrement dit, le groupe des périodes de es est l'ensemble des nombres 2nxi, où n parcourt Z. Enfin, la formule (21) de III, p. 8 s'écrit

d'où, pour tout nombre complexe a Remarque. - Si, dans la formule (27), on restreint la fonction eaZ(a complexe) à l'axe réel, on obtient encore, pour x réel

Cette formule permet de calculer une primitive de chacune des fonctions Px COS Px, eax sin Px ( a et fJ réels); en effet, on a ecatiB)X = eax cos px + UC(Xsin pz, donc, d'après (28)

De la même manière, on raméne le calcul d'une primitive de xneaXcos Px, ou de xneax sin fJx (n entier > 0) à celui d'une primitive de xne(atiD)x;or, la formule d'intégration par parties d'ordre n + 1 (II, p. 10, formule (11)) montre qu'une primitive de cette dernière fonction est

En vertu des formules d'Euler, on peut d'autre part exprimer toute puissance entière positive de cos x ou de sin x comme conibinaison linéaire d'exponentielles e'px ( p entier positif ou négatif). D'après la formule (28), on pourra donc exprimer par une combinaison linéaire de fonctions de la forme xpeaXcos l x et xPeax sin vx, une primitive d'une fonction de la forme xneaX(cos Px)* (sin y ~ (n,) p,~r, s entiers, cr, p, y, 1, p. réels). Exemple. - O n a

FVR 111.10

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

d'où

Iox

( - ')" (:sin 2nx sinzn t dt = ZZn n

-

fn) sin (2n - 21% + 1 n-1

J-

.. .

et e n particulier

7. Le logarithme complexe

Soit B la ( O

Y

siy -

x

Arctg-

Y

=

O

siy < 0.

Il est clair que log z est un prolongement à F de 1ü fonction log x définie sur le demi-axe récl positif ouvert R:. Si z, z' sont deux points de F tcls que zz' ne soit pas réel négatif, on a log (zz') = log z + log z' + 2 ~ n i où , E = + 1, - 1 ou O suivant les valeurs de Am(z) et Am(zl). O n notera qu'aux points du demi-axe réel négatif, la fonction log z n'a pas de

No 8

DÉRIVÉES DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR 111.1 1

limite; de façon précise, si x tend vers xo < O et si y tend vers O en restant > O (resp. < O), log z tend vers log lxo1 ni (ïesp. log lxo1 - xi) ; lorsque z tend vers O, /log zl croît indéfiniment.

+

Nous verrons plus tard comment la théorie des fonctions analytiques permet de prolonger la fonction log z, et de définir le logarithme complexe dans toute sa généralité.

Comme log z est un homéomorphisme réciproque de e", la formule de dérivation des fonctions réciproques (1, p. 17, prop. 6) montre qu'en tout point z E F, log z est dérivable, et qu'on a

formule qui généralise la formule (10) de III, p. 3. 8. Primitives des fonctions rationnelles

La formule (31) permet de calculer une primitive d'une fonction rationnelle quelconque r(x) d'une variable réelle x, à coefficients réels ou complexes. En effet, on sait (A, VII, $2, No 2) qu'une telle fonction peut s'écrire (d'une seule manière) comme somme d'un nombre fini de termes, qui sont: a) soit de la forme axp ( p entier 2 O, a nombre complexe); b) soit de la forme a/(x - 6)" (m entier >O, a et 6 nombres complexes). Or, il est facile d'obtenir une primitive de chacun de ces termes: x~+ 1 a) une primitive de axp est a p + 1; a b) si m > 1, une primitive de a/(x - b)" est (1 - m)(x - b)"-l9 c) enfin, d'après les formules (10) (III, p. 3) et (31) (III, p. 1l ) , une primitive a de -est a . log lx - bl si b est réel, a . log (x - b) si b est complexe. Dans ce X-b iq, on a d'ailleurs (III, p. 10, formules (30)) dernier cas, si b = p

+

log (x - 6)

=

log d ( x - p)2

-P,i2. + q2 + i Arc tg X4 2

Nous renvoyons à la partie de cet ouvrage consacrée au Calcul numérique, l'examen des méthodes les plus pratiques pour la détermination explicite d'une primitive d'une fonction rationnelle donnée explicitement.

On peut ramener au calcul d'une primitive d'une fonction rationnelle: l0 le calcul d'une primitive d'une fonction de la forme r(eax), r étant une fonction rationnelle, a un nombre réel; en effet, par le changement de variable u = eax, on est ramené à trouver une primitive de r(u)/u;

FVR 111.12

81

FONCTIONS ÉLEMENTAIRES

2O le calcul d'une primitive d'une fonction de la forme f (sin ax, cos ax), où

fest une fonction rationnelle de deuxvariables et a un nombre réel; par le changement de variable u

=

tg ax/2, on est ramené à trouver une primitive de

9. Fonctions circulaires complexes; fonctions hyperboliques

Les formules d'Euler (25) (III, p. 9) et la définition de eZ pour tout z complexe, permettent de prolonger à C les fonctions cos x et sin x définies dans R, en posant, pour tout z E C

(cf. III, p. 28, exerc. 19). Ces fonctions sont périodiques de période principale 2x; on a cos (z -sin z, sin (z + 4 2 ) = cos z; on vérifie également les identités

+ 42) =

cos2 z + sin2 z = 1 COS (Z + zl) = COS z COS z1 - sin z sin z' sin (z + z') = sin z cos z' + cos z sin z'. Plus génkralement, toute identité algébrique entre fonctions circulaires de variables réelles est encore vraie lorsqu'on donne à ces variables des valeurs complexes quelconques (III, p. 27, exerc. 18). On pose tg z = sin z/cos z si z # (2k + 1) x/2 et cot g z = cos z/sin z si x # kn; ce sont des fonctions périodiques de période principale x.

La formule (27) (III,p. 9) montre que cos z et sin z sont dérivables dans C, et que l'on a D(cos z) Pour z

=

=

- sin z,

D(sin z)

=

cos z.

ix (x réel), les formules (32) donnent

Il est commode de désigner par une notation particulière les fonctions réelles qui s'introduisent ainsi; on pose (ch x = &(ex-t e-") sh x = &(ex- e-") (33)

(cosinus hyperbolique de x) (sinus hyperbolique de x)

shx - ex - e-% thx=-(tangente hyperbolique de x) c h x ex + e-%

.

FVR 111.13 On a donc, pour tout x réel cos ix = ch x, sin ix = i sh x. (34) De toute identité entre fonctions circulaires d'un certain nombre de variables complexes zk (1 < k < n) on déduit une identité entre fonctions hyperboliques, en remplaçant partout zkpar ixk (xkréel, 1 < k < n) et utilisant les formules (34) ; par exemple on a ch2 x - sh2x = 1 ch (x + x') = ch x ch x' + sh x sh x' sh (x + x') = sh x ch x' + ch x sh x'. Les fonctions hyperboliques permettent d'exprimer les parties réelles et imaginaires de cos z et sin z pour z = x + iy, car (X+ iy) sin (x + iy)

COS

= COS x COS iy - sin x sin iy = = sin x cos iy cos x sin iy =

+

cos x ch y - i sin x sh y sin x ch y + i cos sh y.

Enfin, on a

Comme ch x > O pour tout x, on déduit de là que sh x est strictement croissant dans R ; comme sh O = O, sh x a donc le signe de x. Par suite, ch x est strictement décroissante pour x < O, strictement croissante pour x > O; enfin th x est strictement croissante dans R. On a en outre lim s h x = - c o , -w

lim s h x = + c o

x-r

lirn chx

=

x-r-a3

x-t

+

00

lim chx

=

+co

%-++a3

lirn t h x = -1,

x-r-w

lirn t h % = + l

x-r+w

(fig. 8 et 9).

On désigne parfois par Arg sh x la fonction réciproque de sh x, qui est une application strictement croissante de R sur R ; cette fonction s'exprime d'ailleurs à l'aide du logarithme, car de la relation x = sh y = 2 (eu - e-Y), on tire e 2 Y - 2xeY - 1 = O, et comme eY > O, ey = x + d x 2 + 1, c'est-à-dire Argshx

=

log (x

+ d x 2 + 1).

De même, on désigne parfois par Arg ch x la fonction réciproque de la restriction de ch x à (O, +CO(; c'est une application strictement croissante de (1, +CO( sur (0, + co[; on montre comme ci-dessus que Arg ch x

=

log (x

+ d x 2 - 1).

FVR III.14

Fig. 9

No 1

FVR 111.15

DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

Enfin, on désigne par Arg th x la fonction réciproque de th x, qui est une application strictement croissante de ) - 1, + 1( sur R; on a d'ailleurs

r complexe, on écrit aussi parfois

Remarque.-Pour

+ +

ch z = (eZ e - Z ) = cos Êz sh z = 3 (eZ - e - 8 ) = - i sin iz.

Ces fonctions prolongent donc à C les fonctions hyperboliques définies dans IR. -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

- -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

fj 2. DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES ET CIRCULAIRES, E T DES FONCTIONS QUI S'Y RATTACHENT 1. Développement de l'exponentielle réelle

Comme Dn(ex) = ex, le développement de Taylor d'ordre n de ex est

Le reste de cette formule est > O pour x > O, du signe de ( - l ) n f l pour x < O; en outre, l'inégalité de la moyenne montre que

Or, on sait que la suite (xn/n!) a pour limite O lorsque n croit indéfiniment, pour tout x 3 O (TG, IV, p. 33) ; donc, en laissant fixe x et faisant croître indéfiniment n dans ( l ) , il vient, d'après (2) et (3)

et la série du second membre est absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact de R. En particulier, on a la formule

Cette formule permet de calculer des valeurs rationnelles aussi approchées que l'on veut du nombre e ; on obtient ainsi -

-

-

-

-

-

-

-

e

.-

= 2,718281 828.

-

-

-

-

-

-

-

-

FVR 111.16

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

82

à 1/109 près par défaut. L a formule (5) prouve en outre que e est un nombre irrationnell (TG, VI, p. 41). Remarque. - Comme le reste de la formule (1) est > O pour x > O, on a, pour x > O

et a fortiori

+

pour tout entier n; on en déduit que ex/xn tend vers CO avec x, pour tout entier n; nous retrouverons ce résultat au chap. V par une autre méthode (V, p. 2 1).

2. Développements de l'exponentielle complexe, de cos x et sin x

Soit z un nombre complexe quelconque, et considérons la fonction O; il vient donc six

O. Comme ci-dessus, on en conclut que

la série étant absolument et unÊformémentconvergente dans toute partie compacte de C. De (6) on tire en particulier, pour x réel

Ch. HERMITE a démontré en 1873 que e est un nombre transcendant sur le corps Q des nombres rationnels (autrement dit, n'est racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels) (ühvres, t. III, p. 150, Paris (Gauthier-Villars), 1912).

No 2

DÉVELOPPEMENTSDES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

FVR III.17

d'où on déduit les développements de Taylor de cos x et de sin x: en prenant la partie réelle de (10) pour l'ordre 2n + 1, on a (11) c o s x = 1 - -

x2 2!

x4 +4!

(-1)n-

+ . - a +

x2n (Zn) !

avec la limitation du reste

1 J.Gx

+ l COS

(;2i+

l)!

t dt

IxI""'"

( < (Zn + 2) !*

De même, en prenant la partie imaginaire de (10) pour l'ordre 2n, il vient

(13) sinx

=

x3 x5 x - - + - + .. 3! 5!

+ (-

1)n-1

-1 (2n - 1) ! +

(-

'1%

l0

(X - t)2n cos t dt (Zn) !

avec la limitation du reste

En outre, en comparant les restes de (11) pour l'ordre 2n on a

+ 1 et l'ordre 2n + 3,

et, en tenant compte de (12), on voit que le reste de (1 1) est du signe de (- l ) n + l quel que soit x; de même manière, on montre que le reste de (13) est du signe de (-l)nx. En particulier, pour n = O et n = 1 dans ( I l ) , pour n = 1 et n = 2 dans (13), on obtient les inégalités (15)

x2 1-p t

(16)

X - -

Enfin, en faisant z

=

x3 6

COS

x

- 1 appartenant à'

l'intervalle d'extrémités O et x, on a la limitation suivante du reste, pour met n quelconques et x > - 1

No 3

DÉVELOPPEMENTSDES FONCTIONS ÉLÉMENTALRES

Si l'on suppose x > O, et n 2 m - 1, on a (1 valle d'intégration, donc

FVR 111.19

+ t)n-m+l > 1 dans l'inter-

ce qui donne la majoration du reste

D'autre part, supposons - 1

<m

< O; si dans l'intégrale de (19) on fait le x-t changement de variables u = on obtient x(l t)

+

Pour majorer l'intégrale pour x > - 1, on remarque que, puisque m + 1 < 1, un du est convergente et majore l'intégrale du second membre l'intégrale (1 - u)"+l de (22) puisque 1 + ux > 1 - u. Or, pour - 1 < x < 0, l'hypothèse sur m en-

I

de (19) sont

(y)r , ):(

. . ., (:lxn figurant au second membre 2 O, et par suite rn(x) B (1 + x ) ~ d'où , en divisant par (1 + x ) ~ ,

traîne que tous les termes

x2,

D'ailleurs pour - 1 < x < O, le facteur devant l'intégrale est 30, d'où en faisant tendre x vers - 1,

et par suite, pour - 1 (23)

<m

< O et x > - 1 Irn(%)/< (1

+~)~lxl~+l.

De ces inégalités, nous allons déduire d'abord que, pour 1x1 < 1, on a (1

+ x)"

3

= n=O

(n)xn

la série du second membre (dite série du binôme) étant absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans ) - 1, l(. En effet on peut écrire

+

FVR 111.20

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

d'où

Si 1x1

1, la valeur absolue du terme général de la série (24) croit indéfiniment avec n, si m n'est pas un entier 2 O; en effet, d'après (25), on a, pour n > n, 2 lm + 11

lm n ll > l/x', où 1 < x' < x. Soit no > n, tel que, pour n 2 no, on ait 1 - --Si on pose +

on aura, pour n > no,

d'où la proposition. On notera que, pour m

=

- 1, l'identité algébrique

donne l'expression du reste de la formule générale (19) sans intégration; la formule (23) se réduit dans ce cas à l'expression de la somme de la série (ou progression) géométrique (TG, IV, p. 32). En second lieu, étudions la convergence de la série du binôme pour x = 1 ou x = - 1 (le cas trivial m = O étant exclu) :


O, et est O , o n a l + t > 1 p o u r O ~ <x,et,pour t - 1 < x < 0 , 1 + t > 1 - 1x1 pour x < O; d'où les limitations du reste pour x 2 O

(29)

IIo~ f t "l tndt

Ixln+l ( a + l ) ( l - 1x1) pour - 1 < x

< 0.

De ces deux dernières formules, on déduit aussitôt que, pour - 1 < x on a


1, le terme général de la série du second membre de (30) croit indéfiniment en valeur absolüc avec n (III, p. 16). Pour x = - 1, la série se réduit à la série harmonique, qui a pour somme +a (TG, IV, p. 33).

De même, remplaçons dans (26) x par x2 et intégrons les deux membrcs entre O et x ; on obtient le développement de Taylor d'ordre 2n - 1 de Arc tg x, valable pour tout x réel

+- t 2 3

Le reste est du signe de ( - l)"x, et comme 1 limitation

d'où on tire que, pour 1x1


0, il faut et il suffit que fi > 3 (resp. p < O) ;pour O < fi < +, la fonction est décroissante dans un intervalle )O, xo(, croissante dans lxo, a(.Dans tous les cas, la fonc~iontend vers e lorsque x tend vers CO.

+

+

6) Etudier de même les fonctions (1 - I / X ) ~ -(1 ~ ,iI / X ) ~ (+ I p/x) et ( 1 x

>

o.

3) a) Démontrer que pour a x 2 0, (1 x)= < 1 ax.

+

+

b) Démontrer que pour O

<x

>

1 et x 3 0, (1

+ ,Y)=

,< 1 et CL >, O, on a (1

2 1

+ a,?, et

+ ~ / x )l ~pour +

pour O ,< a


O et y réel quelconque, montrer que l'on a

< log x -t eY-l

xy

(cf. II, p. 31, exerc. 15) ;dans quels cas les deux membres sont-ils égaux? 6) On note A, et G, les moyennes arithmétique et géométrique ordinaires des n premiers nombres d'une suite (ak) (k 3 1) de nombres >O. Montrer que n(An

- Gn)
(1 - a)A, pour O < a
0

1 ces résultats en considérant la courbe plane définie par x = -cos f, f (4 1 y = '- sin t ((( convexité par rapport à l'origine p).,

* Interpréter f (t)

18) a) Montrer que, dans l'espace vectoriel des applications de R dans C, les fonctions distinctes de la forme xneOlx(n entier, u complexe quelconque) forment un système libre (raisonner par l'absurde, en considérant une relation entre ces fonctions ayant le plus petit nombre possible de coefficients # O, et dérivant cette relation). b) Soit f (XI, X,,. .., X,,J un polynôme par rapport à m indéterminées, à coefficients complexes, tels que lorsqu'on substitue à X, la fonction cos (k$Lhk~k)

(5

pour 1 < j < r, la fonction

pour r + I < j < m, où les fijk sont réels et les xk rie&, on obtienne une foncsin k=l tion des xk identiquement n@le;montrer que l a même identité a l i e u lorsqu'on-donneaux x, des valeurs comp~exe~arbitraires (utiliser a)).

FVR 111.28

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

31

'/[ 19) On sait (A, IX, 8 10, exerc. 2) que, dans le plan compbxe C2, le groupe des angles de droites pointées A est isomorphe au groupe orthogonal O,(@), l'isomorphisme canonique faisant correspondre à l'angle 0 la rotation d'angle 0; on transporte au groupe A la topologie de Oz(C) (considéré comme sous-espace de l'espace M2(C) des matrices d'ordre 2 sur C) par cet isomorphisme, ce qui fait de A un groupe topologique localement compact; en outre l'application 6 H cos 6 + i sin 8 est un isomorphisme du groupe topologique A sur le groupe multiplicatif C* des nombres complexes # 0, l'isomorphisme réciproque étant défini par

les formules cos 0 = &(z

I + l/z), sin 0 = (z - 112). Déduire de ces relations que tout 2i

homomorphisme continu z H y(z) du groupe additif @ sur A, tel que les fonctions complexes cos y (z), sin O tel que ui/tViE F. (Décomposer les u;/u, et v en éléments simples dans une extension galoisienne convenable de F et utiliser I'exerc. 26.)*

* 28) a) Soit F c M(A) un corps différentiel. On dit qu'un corps Ff élémentaire de F s'il existe une suite finie

3

F est une extension

telle que pour tout j < n - 1, on ait FI+, = Fj(tj), où l'on a, ou bien t; = aj/a, pour un a, f O dans F, (de sorte que l'on peut écrire tj = log a,, ou bien tilt, = a; pour un ai E Fi (de sorte que t, = exp (aj)). Une fonction élémentaire est une fonction qui appartient à une extension élémentaire de C(z) (corps des fonctions rationnelles sur C). Par exemple, les fonctions

sont des fonctions élkmentaires,

FVR 111.30

31

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

6) Soit a E F tel qu'il existe des éléments u, (1 < j < m) et u d'une extension élémentaire F' de F, et des constantes y, E C (1 < j < m) tels que l'on ait

Montrer alors qu'il existe des éléments f j (1 1 j (1 < j < fi) tels que l'on ait

< fi)

et g de F et des constantes

EC

(Se ramener par récurrence sur le nombre n dans la suite (1) au cas où F' = F(t). En modifiant les uj, montrer d'abord qu'on peut supposer les yj linéairement indépendants sur Q. Lorsque t est transcendant sur F, utiliser l'exerc. 27: si t' = s'/s avec s E F, on a nécessairement u, E F et c E F[t]; en utilisant (*) et raissonant par l'absurde, montrer qu'on on a nécessairement u = ut + 6 avec E. C et b E F. Si t'lt = r' avec r E F, montrer qu'en k . r pour un entier k E Z convenable, on peut encore supposer que remplaçant v par u u, E F, u E F[t]; montrer par l'absurde que u est de degré 0, donc u E F. Enfin, si t est algébrique sur F, plonger F' dans une extension galoisienne K de F et considérer les transformés de (*) par le groupe de Galois de K sur F.),

+

* 29) Soient f et g deux fonctions rationnelles de z (éléments de C(z)). Montrer que, pour que la primitive J"f (z)eg(~) dz soit une fonction élémentaire (exerc. 28), il faut et il suffit qu'il existe une fonction rationnelle r E C(z) telle que f = r' + rg'. (Poser t = eg et considérer le corps différentiel F = C(z, t), extension élémentaire de C(z), puisque t'lt = g'. Montrer d'abord que t est transcendant sur C(z) :en raisonnant par l'absurde, considérer une extension galoisienne K de C(z) contenant t, et les transformés de l'équation t'lt = g' par le groupe de Galois de K ; on obtiendrait une équation g' = u'lu avec u E C(z), et il est impossible que gr n'ait que des pôles simples dans C. Appliquant l'exerc. 28, on aj? =

2 y 6 + u',

avec

Uf

yj E C,les u, et u dans F; on peut se ramener au cas où les y, sont linéairement independants sur Q. Appliquant ensuite l'exerc. 27 à l'extension C(z)(t),montrer que l'on a,ft = vu' h, avec h E C(z) et v E C(z)[t]. En conclure que u est nécessairement de degré 1 en t, et par suite que f est égal au coefficient de t dans v'.) En déduire que les primitives ez2 dx et J" eZdzjz ne sont pas des fonctions élémentaires (théorème de Liouuille), en examinant dans la relation f = r' - rg' l'allure des deux membres au voisinage d'un pôle de r.,

+

30) a) Si m et n sont deux entiers tels que O < m < n, démontrer, la formule X

mn n sin n b) Montrer que, pour O < a < 1, l'intégrale

dx est uniformément convergente, pour a variant dans un intervalle compact, et déduire de a) que "

31) Si 1,. est une primitive de sinmx cosn x (m et n nombres réels quelconqucs), montrer que, sim+n+Z#O Im+,.n

est une primitive de sinm+ x

= COS

s ~ ~ ~ + ~ x c o sm ~ ++ l~ x ----m+n+2 m +n+21m,"

+

51

FVR 111.31

EXERCICES

Retrouver à l'aide de cette formule la formule (29) de III, p. 10 et démontrer la formule 2.4.6 ...2n 1) 1.3.5 ...(2n

sinZn+lx dx =

+

(n entier 3 0).

32) Démontrer laformule de Wallis 1 2 . 4 . 6 . . .2n lim I i ' 1 . 3 . 5 . . .(2n - 1) =

n+m

x

en utilisant l'exerc. 3 1 et l'inégalité sinn

+

< sinnx pour O

dn d x d x/2.

33) a ) Calculer les intégrales

pour n entier > 0, à l'aide de l'exerc. 3 1. b) Montrer que l'on a 1

- 2 2 < 8-x2

pour O

<x
O, la dérivée de i(a) = est égale à

-JO+"

Io +

.-Ex-

sin x x d~

eWuX sin x dx.

b) En déduire que JO+

"

dx =

-. 2

Tc

35) Démontrer, par dérivation par rapport au paramètre, et utilisation de I'exerc. 33 c), les formules

[o'mexp(-x2

- $)dX

= fie-2u

2

(a > O).

36) Déduire de l'exerc. 33 c) ci-dessus et de II, p. 36, exerc. 9, que l'on a

'J"'2

JO+ "

sin x2 dx = -

2

.

37) Soit f une fonction vectorielle réglée dans 10, l(, telle que i'intégrale f (sin x) dx soit convergente. Montrer que l'intégrale j: xf (sin x ) dx est convergente et que l'on a

Ion

f (sin x) dx. y JOZ

x f (sin x) dx = -

FVR 111.32

82

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

38) Soit f une fonction vectorielle réglée pour x 3 O, continue au point x = O et telle que f (x) dx/x soit convergente pour a > O. Montrer que pour a > O et b > 0, l'intégrale l'intégrale

Ji O

x

* (bX) dx est convergente et égale

à f (O) log a/b.

39) Soient m une fonction convexe dans (O, + CO(,telle que m(0) = 0, e t p un nombre tel que - 1 < p < +CO. Montrer que si l'intégrale xp exp(-ma(x)) dx est convergente, il en xp exp( - m(x)/x) dx, et l'on a est de même de l'intégrale

J":

Siw

(Pour k > 1 et A > O, remarquer que m(kx) l'inégalité

m(x)

+ (k - I)xmA(x),

et en déduire

Majorer la seconde intégrale à l'aide de l'inégalité de Holder (II, p. 24, exerc. 3) puis faire tendre A vers + CO et k vers 1.) §2 1) Soit f une fonction vectorielle n fois dérivable dans un intervalle 1 c R. Démontrer la formule

en tout point x tel que ex E 1, le cofficient amayant pour expression

(méthode de 1, p. 47, exerc. 7, en utilisant le développement de Taylor de ex). 2) Soient f une fonction numérique n fois dérivable au point x, g une fonction vectorielle n n

fois ddrivable au point f (x). Si l'on pose Dn(g(f (x))) =

d k ) (f (x))uk(x), uk ne dépend

que de la fonctionf; en déduire que uk(x) est le coefficient de tk dans le développement (par rapport à t ) de e-tf(x)Dn(etf(x)). 3) Pour tout x del > O et tout m I. y + iv complexe, on pose xm = emlogx;montrer que la formule (19) de III, p. 18, est encore valable pour m complexe et x > - 1, et que le reste rn(x) de cette formule satisfait aux inégalités

Généraliser l'étude de la convergence de la série de binôme au cas où m est complexe. 4) Pour tout x réel et tout nombrep > 1 démontrer l'inégalité

5 z!

FVR 111.33

EXERCICES

où on a posé m =

[pl (partie entière de p) et @(fi- 1) ...(fi - m + 1) h, = (m - l)!

7 5) Montrer que TC est irrationnel, de la façon suivante: si on avait x = p/q (p et q entiers), en posant f (x) = (x(x - ~ ) ) ~ / l'intégrale n! qn jt f (x) sin x dx serait un entier > O (utiliser 1); mais montrer d'autre part que la formule d'intégration par parties d'ordre n CO. qn f (x) sin x dx tend vers O lorsque n tend vers

+

+

6) Montrer que dans l'intervalle (- 1, + l), la fonction 1x1 est limite uniforme de polynômes, en remarquant que 1x1 = (1 - (1 - x2))lI2et utilisant la série du binôme. En déduire une nouvelle démonstration du th. de Weierstrass (cf. II, p. 32, exerc. 20).

7 7) Soientp un nombre premier, Q, le corps des nombresp-adiques (TG, III, p. 84, exerc. 23 à 25), Z, l'anneau des entiersp-adiques, & l'idéal principal (fi) dans Z,. a) Soit a = 1

+ $6, où b E Z,

est un un élément du groupe multiplicatif 1

+ &;

lorsque l'entier rationnel m augmente indéfiniment, le nombre p-adique tend vers une limite égale à la somme de la série convergente

(1

montrer que

+ pb)pm - 1 Pm

O n désignera cette limite par log a. aX - 1 b) Montrer que, lorsque le nombre p-adique x tend vers O dans Q,, le nombre -tend X

vers log a (utiliser a) et la définition de la topologie de Q,). c ) Montrer que, si p # 2, on a log a = pb (mod. b2), et si = 2, log a r O (mod. b2), et log a = - 4b4 (mod. b3). d) Montrer que, si p # 2 (resp. p = 2), x H log x est un isomorphisme du groupe topologique multiplicatif 1 + & sur le groupe topologique additif & (resp. b2) ; en particulier, si e, est tel que log e, = (resp. log e, = 4), l'isomorphisme de Z, sur 1 &, l'élément de 1

+

+

1

réciproque de x H 1log x (resp. x »$ log x) est y Hep (cf. TG, III, p. 84, exerc. 25). h

ir

e) Montrer que pour tout a E 1 f &, la fonction continue x n aX,définie dans Z,, admet en tout point une dérivée égale à ax log a; en déduire que la fonction log x admet en tout point de 1 + & une dérivée égale à llx.

7 8) a) Avec les notations de l'exerc. 7, montrer que la série de terme général xn/n! est convergente pour tout x E t) si p # 2, pour tout x E b2 (mais pour aucun x 6 b2) si p = 2, pour tout x E Pz (mais pour aucun x 4 b2) si p = 2 (déterminer l'exposant de p dans la décomposition de n! en facteurs premiers). Si f (x) est la somme de cette série, montrer quef est un homomorphisme continu de b (resp. b2) dans 1 b2. En déduire que l'on a, pour tout z E ZP,f (pz) = e; (resp.f (p2z) = eg), autrement dit, que

+

(utiliser l'exerc. 7 e)). b) Pour tout a E 1 + & et tout x E Z,, montrer que log(ax) = x log a, et déduire de a) et de l'exerc. 7 d) que l'on a x log a +--x2(log a)2 + . . . xn(loga)" ax=l+l! 2!

+.--J-

+"'

FVR 111.34

§2

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

+

Pour tout m E Z,, montrer que la fonction continue x H xm, définie dans 1 #, admet une dérivée égale à mxm- l (utiliser b) et l'exerc. 7 e)). d) Montrer que pour tout m E 2, et tout x E j~si p # 2 (x E b2 si p = 2) la série de terme général

c)

(r).

xn est convergente et que sa somme est fonction continue de m ; en déduire que cette

,

somme est égale à (1

+x

) en ~ remarquant que Z est partout dense dans Z,.

7 9) Avec les notations de l'exerc. 7), on désigne par pace Q;) le groupe des matrices de la forme

0 2 (Q,) (groupe des rotations de l'es-

à éléments dans Q,, tels que x2 + y2 = 1, ce groupe étant muni de la topologie définie dans TG, VIII, p. 27, exerc. 2. a ) O n désigne par G, le sous-groupe de O,+(Q,) formé des matrices telles que t = y/(l x) E bn. Montrer que G, est un groupe compact, que G,/G,,+l est isomorphe à Z/pZ, et que les seuls sous-groupes compacts de G1 sont les groupes G, (cf. TG, III, p. 84, exerc. 24). b ) Montrer que Gl est identique au sous-groupe des matrices

+

+

+

+

1 b 3 e t y ~ b 2 s i p= 2. tellesquex2 y2 = 1 , x 1~ b 2 e t y ~ $ s i p# 2 , x ~ Montrer que les séries de terme général ( - l)nx2n/(2n)! et ( - l)n-1x2n+1/(2n+ 1) ! sont convergentes pour tout x E b si p # 2, pour tout x E b2 si p = 2; soient cos x et sin x les sommes de ces séries. Montrer que l'application

c)

-sin 'Osx x cos x est un isomorphisme du groupe topologique additif # (resp. b2) sur le groupe G,. d) S i p est de la forme 4h + 1 ( h entier), il existe dans Q, un élément i tel que i2 = - 1. Si à tout z E QP on fait correspondre la matrice

on définit un isomorphisme du groupe multiplicatif Q*, sur le groupe O,+(4, ;) au groupe # correspond par cet isomorphisme le groupe G,, et on a cospx i sinpx = ep (III, 1 p. 33, exerc. 8). e) Si p est de la forme 4h 3 (h entier), les matrices de O,+(Q,) ont nécessairement leurs éléments entiers p-adiques. Le polynôme X2 + 1 est alors irréductible dans Q,; soit Qp(i) l'extension quadratique de Q, obtenu par adjonction d'une racine i de X2 + 1; on munit Q,(i) de la topologie définie dans TG, VIII, p. 27, exerc. 2. Le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe a u groupe multiplicatif N des éléments de Q,(i) de norme 1, par l'isomorphisme qui à la matrice

+

+

+

(-t :) . < ,

fait correspondre l'élément z = x

+ iy. Montrer que, dans Q,(i),

il existe p

+

1

racines de l'équation xP+l = 1, qui forment un sous-groupe cyclique R de N (raisonner comme dans TG, III, p. 84, exerc. 24: montrer d'abord qu'il existe, dans Q,(i), p + 1 racines distinctes de la congruence x p + l E 1 (modp) et, pour chaque racine a de cette congruence, former la suite ( a p z n ) ) . En déduire que le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe auproduit des groupes R et Cl. f ) Montrer que, pour j~ = 2, le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe au produit du groupe G1 et d'un groupe cyclique d'ordre 4.

NOTE HISTORIQUE (Chapitres I, II, et III)

(N-B. - Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.) En 1604, à l'apogée de sa carrière scientifique, Galilée croit démontrer que, dans un mouvement rectiligne où la vitesse g o î proportionnellementa~chemin ~ parcou?u,la loi dumouvementsera bien celle (x = ct2) qu'il a découverte dans la chute des graves ((III), t. X, p. 115-1 16). Entre 1695 et 1700, il n'est pas un volume des Acta Eruditorum mensuellement publiés à Leipzig, où ne paraissent des mémoires de Leibniz, des frères Bernoulli, du marquis de l'Hôpital, traitant, à peu de chose près avec les notations dont nous nous servons encore, des problèmes les plus variés du calcul différentiel, du calcul intégral, du calcul des variations. C'est donc presque exactement dans l'intervalle d'un siècle qu'a été forgé le calcul infinitésimal, ou, comme ont fini par dire les Anglais, le Calcul par excellence (((calculus >)); et près de trois siècles d'usage constant n'ont pas encore complètement émoussé cet instrument incomparable. Les Grecs n'ont rien possédé ni imaginé de semblable. S'ils ont connu sans doute, ne fût-ce que pour s'en refuser l'emploi, un calcul algébrique, celui des Babyloniens, dont une partie de leur Géométrie n'est peut-être qu'une transcription, c'est strictement dans le domaine de l'invention géométrique que s'inscrit leur crCation mathématique peut-être la plus géniale, leur méthode pour traiter des probkmes qui pour nous relèven* du calcul intégral. Eudoxe, traitant du volume du cône et de la pyramide, en avait donné les premiers modèles, qu'Euclide nous a plus ou moins fidèlement transmis ((1),livre XII, prop. 7 et 10). Mais surtout, c'est à ces problèmes qu'est consacrée presque toute l'ceuvre d'Archimède ((II) et (II bis)) ; et, par une fortune singulière, nous sommes à même de lire encore dans leur texte original, dans le sonore dialecte dorien où il les avait si soigneusement rédigés, la plupart de ses écrits, et jusqu'à celui, retrouvé récemment, où il expose les procédés (( heuristiques >)par lesquels il a été conduit à quelques-uns de ses plus beaux résultats ((II), t. II, p. 425-507). Car c'est là une des faiblesses de I').Le langage géométrique que s'impose Barrow est ici cause que le lien entre différentiation et intégration, si clair tant qu'il s'agissait de cinématique, est quelque peu obscurci. D'autre part, diverses méthodes avaient pris forme, pour ramener les problèmes d'intégration les uns aux autres, et les ( déjà classés. Sous sa forme géométrique la plus simple, l'intégration par parties consiste à écrire l'aire comprise entre Ox, Oy, et un arc de courbe monotone y = f (x) joignant un point (a, O) de Ox à un point (O, 6) de Oy comme j,"y dx = x dy; et elle est fréquemment utilisée d'une manière implicite. Chez Pascal ((XII c), p. 287-288) apparaît la généralisation suivante, déjà beaucoup plus cachée :J(x) étant comme ci-dessus, soit g (x) une fonction 3 0, et soit G(x) = J," g(x) dx; alors on a J," yg(x) dx = G ( x )dy, ce qu'il démontre ingénieusement en évaluant de deux manières le volume du solide O < x < a,

Si

1:

0 6y

< f (x), 0 6

%ni-i

z 6 g(x) ;le cas particulier g(x) = xn, G(x) =

-joue un +

rôle important, a la fois chez Pascal (loc. cit., p. 289-291) et chez Fermat ((XI), t. 1, p. 271) ; ce dernier (dont le travail porte le titre significatif de > I(m, n) = (1 - xl'm)ndx (dont la valeur, pour m et n > O est I'(m + l)I'(n + l)/I'(m + n + 1)) et autres semblables, dresse, pour m et n entiers, le tableau des valeurs de l/I(m, n) qui n'e'st autre que celui des entiers

JO

(m

n), et, par des méthodes presque identiques à celles qu'on emploie

aujourd'hui pour exposer la théorie de la fonction I', aboutit au produit infini il n'est pas difficile d'ailleurs de rendre sa pour I(3, 2) = 7cI4 = méthode correcte au moyen d'intégrations par parties et de changements de variables très simples, et de la considération de I(m, n) pour toutes les valeurs réelles de m et n, ce à quoi il ne pouvait guère songer, mais que l'analyse newtonienne allait bientôt rendre possible. C'est en tout cas l'cc interpolation )> cffectuke par Wallis des entiers

+

( n )

à des valeurs non entières de rn (plus

FVR 111.56

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

précisément aux valeurs de la forme n = p/2, avec p entier impair) qui sert de point de départ à Newton débutant ((XXII), p. 204-206)' l'amenant, d'abord par l'étude du cas particulier (1 - x2)pI2, à la série du binôme, puis de là à I'introduction de xa (ainsi noté) pour tout a réel, et à la différentiation de xa au moyen de la série du binôme; tout cela sans grand effort pour obtenir des démonstrations ni même des définitions rigoureuses; de plus, innovation remarquable, c'est de la connaissance de la dérivée de xa qu'il déduit jxa dx pour a # - 1 ((XIX a) et (XXII), p. 225). Du reste, et bien qu'il ait été bientôt en possession de méthodes beaucoup plus générales de développement en série de pissances, telles la méthode dite du polygone de Newton (pour les fonctions algébriques) ((XXII), p. 221) et celle des coefficients indéterminés, il revient maintes fois par la suite, avec une sorte de prédilection, à la série du binôme et à ses généralisations; et c'est de là, par exemple, qu'il semble avoir tiré le développement de xa(l + x)xd" dont il a été question plus haut ((XXII), p. 209). L'évolution des idées sur le continent, cependant, est fort différente, et beaucoup plus abstraite. Pascal s'était rencontré avec Fermat dans l'étude des coefficients du binôme (dont il forme ce qu'il nomme le Q triangle arithmétique )>)et leur emploi en calcul des probabilités et en calcul des différences; lorsqu'il aborde l'intégration, il y introduit les mêmes idées. Comme ses prédécesseurs, quand il emploie le langage des indivisibles, il conçoit l'intégrale F(x) = :f f(x) dx comme valeur du rapport de la

ou langue symbolique universelle, qui devait être à l'ensemble de la pensée humaine ce que la notation algébrique est à l'algèbre, où tout nom ou signe eût été la clef de toutes les qualités de la chose signifiée, et qu'on n'eût pu employer correctement sans du même coup raisonner correctement. Il est aisé de traiter un tel projet de chimérique; ce n'est pas un hasard pourtant que son auteur ait été l'homme même qui devait bientôt reconnaître et isoler les concepts fondamentaux du calcul infinitésimal, et douer celui-ci de notations à peu près définitives. Nous avons déjà assisté plus haut à la naissance de celles-ci, et observé le soin avec lequel Leibniz, qui semble conscient de sa mission, les modifie progressivement jusqu'à leur assurer la simplicité et surtout l'invariance qu'il recherche (XXI a et b). Ce qu'il importe de marquer ici, c'est, dès qu'il les introduit (sans rien connaître encore des idées de Newton), la claire conception de Jet de d, de l'intégrale et de la différentielle, comme opérateurs inverses l'un de l'autre. Il est vrai qu'en procédant ainsi il ne peut éviter l'ambiguïté inhérente à l'intégrale indéfinie, qui est le point faible de son système, sur lequel il glisse adroitement, de même que ses successeurs. Mais ce qui frappe, dès la première

FVR 111.60

FONCTIONS D'UNE VARIABLE

REELLE

apparition des nouveamx symboles, c'est de voir Leibniz occupé aussitôt A cil formuler les d'emploi, se demander si ci(xy) = dx dy ((XXII), p. 16-166), et se répondre à lui-même par la négative, pour en venir progressivement à la règle correcte (XXI a), qu'il devait plus tard généraliser par sa fameuse formule pour dn(xy) ((XXP), t. III, p. 175). Bien entendu, au moment où Leibniz tâtonne ainsi, Newton sait depuis dix ans dCjà que z = xy entraîne i = iy + xj; mais il ne prend jamais la peine de le dire, n'y voyant qu'un cas particulier, indignc d'être nommé, de sa règle pour différentier une relation F(x, y, z) = O entre fluentes. Au contraire, le principal souci de Leibniz n'est pas de faire servir ses méthodes à, la résolution de tels problèmes concrets, ni non plus de les déduire de principes rigourcux et inattaquables, mais avant tout de mettre sur pied un algorithme reposant sur le maniement formel de quelques règles simples. C'est dans cet esprit qu'il améliore la notation algébrique par l'emploi dcs parenthèses, qu'il adopte progressivement log .x ou Zx pour lc logarithme1, et cju7ilinsiste sur le c< calcul exponentiel c'est-&-dire la considération systématique d'exponenticlles, aX,xX, xy, où l'exposant est une variable. Surtout, tandis que Newton n'introduit les fluxions d'ordre supérieur que strictement dans la mesure où elles sont nécessaires dans chaque cas concret, Leibniz s'oriente de bonne heure vers la création d'un t( calcul opérationnel >> par l'itération de d et de J; prenant peu à peu claire conscience de l7analogicentre la nlultiplication des nombres et la composition des opérateurs de son calcul, il adopte, par une hardiesse heureuse, la notation par exposants pour écrire les itérés de ci, écrivant donc dn pour le n-Cme itéré ((XXIH), p. 595 et 6012, et (XXI), t. V, p. 221 et 378) et même d-l, d-" pour et ses itérés ((XXI), t. III, p. 167); et il cherche même à donner un sens à du pour u. réel quelconque ((XXP), t. II, p. 301-302, et t. III, p. 228). Ce n'est pas à dire que Leibniz ne s'intéresse aussi aux applications de son calcul, sachant bicn (comme Huygens le lui répète souvent ((XXII), p. 599)) qu'elles en sont la pierre dc touche; mais il manque de patience pour les approfondir, ct y cherche surtout I'oecasion de formuler de nouvelles règles générales. C'est ainsi qu'en 1686 (XXI c) il traite de la courbure des courbes, et du cercle osculateur, pour aboutir en 1692 (XXI d) aux principes généraux sur le contact des courbes planes 3; en 1692 (XXI e) et 1694 ( X X I f ) il pose Ics bases de la )>,

1

l Mais il n'a pas de signe pour les fonctions trigonométriques, ni (faute d'un symbole pour e ) pour le « nombre dont le logarithme est x >). « ...c'est à peu pres comme si, au lieu des racines et puissances, on uouloit toujours substituer des lettres, et au lieu de xx, ou x3, prendre m, ou n, après avoir déclaré que ce doivent estre les puirsances de la grandeur x. Jugés, Mons., combien cela embarasseroit. Il en est de mesme de dx ou de ddx, et les differences ne sont pas moins des agections des grandeurs indeterminées dans leurs lieux, que les puissances sont des affections d'une grandeur przse à part. I l me semble donc qu'il est plus naturel de les designer en sorle qu'elles fassent connoistre immediatement la grandeur dont elles sont les affections. i> Il commet d'abord IA-dessus une erreur singulière, croyant que le (c'est-à-dire, en notre langage, algébrique) (cf. D, MAHNKE, Abh. Paeuss. Akad. der Wiss., 1925, Nr. 1, Berlin, 1926).

NOTE HISTORIQUE

FVR 111.63

volontiers X, ou E,, pour une fonction arbitraire de x ((XXI), t. III, p. 531); Leibniz approuve, mais propose aussi ilLi, 2@là où nous écririons fl(x), f,(x) ; et il propose, pour la dérivée dzldx d'une fonction z de x, la notation dx (par opposition à dz qui est la différentielle) alors que Bernoulli écrit Az ((XXI), t. III, p. 537 et 526).

* **

Ainsi, avec le siècle, l'époque héroïque a pris fin. Le nouveau calcul, avec ses notions et ses notations, est constitué, sous la forme que Leibniz lui a donnée. Les premiers disciples, Jakob et Johann Bernoulli, rivalisent de découvertes avec le maître, explorant à l'envi les riches contrées dont il Icur a montré Ic chemin. Le premier traité de calcul différentiel et intégral a été écrit en 1691 et 1692 par Johann Bernoulli1, à l'usage d'un marquis qui se montre bon élève. Peu importe d'ailleurs que Newton se soit décidé enfin, en 1693, à publier parcimonieusement un bref aperçu de scs fluxions ((XV),t. II, p. 391-396) ;si ses Principia ont de quoi fournir aux méditations de plus d'un siècle, sur le terrain du calcul infinitésimal il est rejoint, et sur bien des points dépasse. Les faiblesses du nouveau système sont d'ailleurs visibles, du moins à nos yeux. Newton et Leibniz, abolissant d'un coup une tradition deux fois millénaire, ont accordé à la différentiation le rôle primordial, et réduit l'intégration à n'en Ctre que l'inverse; il faudra tout le xrxe siècle, et une partie du xxe, pour rétablir un juste équilibre, en mettant l'intégration à la base de la théorie générale des fonctions de variable réelle, et de ses généralisations rnoderncs (voir les Notes historiques du Livre sur l'Intégration). C'est de ce renversement de point de vue aussi que découle le rôle excessic ct presque exclusif, que prend déjà chez Barrow, et surtout à partir de Newton et Leibniz, l'intégrale indéfinie aux dépens de l'intégrale définie: là aussi le xlxe siècle eut à remettre les choses au point. Enfin la tendance proprement leibnizienne au maniement formel des symboles devait aller en s'accentuant à travers tout le xvme siècle, bien au delà de ce que pouvaient autoriser les ressources de l'analyse de ce temps. En particulier, il faut bien reconnaître que la notion leibnizienne de différentielle n'a à vrai dire aucun sens; au début du xlxe siècle, elle tomba dans un discrédit dont elle ne s'est relevée que peu à pcu; et, si l'emploi des différentielles premières a fini par être complètement légitimé, les différentielles d'ordre supérieur, d'un usage pourtant si commode, n'ont pas encore été vraiment réhabilitées jusqu'à ce jour. Quoi qu'il en soit, l'histoire du calcul diflércntiel et intégral, à partir de la fin du XVII"siècle, se divise en deux parties. L'une se rapporte aux applications de ce calcul, toujours plus riches, nombreuses et variées. A la géométrie différentielle La partie de ce traité qui se rapporte au calcul inttçral fut publiée en 1742 seulement ((XXIV), t. III, p. 385-558) ;celle qui a irait au calcul différentiel n'a été retrouvéc et publiée que récemment

(XXIV bir) ;il est vrai que le marquis de l'Hôpital l'avait publiée en français, légèrement remaniée, sous son propre nom, ce dont Bernoulli marque quelque amertume dans ses lettres à Leibniz.

FVR 111.64

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

des courbes planes, aux équations différentielles, aux séries de puissances, au calcul des variations, dont il a déjà été question plus haut, viennent s'ajouter la géométrie différentielle des courbes gauches, puis des surfaces, les intégrales multiples, les équations aux dérivées partielles, les séries trigonométriques, l'étude de nombreuses fonctions spéciales, et bien d'autres types de problèmes, dont l'histoire sera exposée dans les Livres qui leur seront consacrés. Nous n'avons à nous occuper ici que des travaux qui ont contribué à mettre au point, approfondir et consolider les principes mêmes du calcul infinitésimal, en ce qui concerne les fonctions d'une variable réelle. De ce point de vue, les grands traités du milieu du XVIII~siècle n'offrent que peu de nouveautés. Maclaurin enAngleterrel, Euler sur le continent (XXV a et b), restent fidèles aux traditions dont chacun d'eux est l'héritier. Il est vrai que le premier s'efforce de clarifier quelque peu les conceptions newtoniennes2 tandis que le second, poussant le formalisme leibnizien à l'extrême, se contente, comme Leibniz et Taylor, de faire reposer le calcul différentiel sur un passage à la limite fort obscur à partir du calcul des différences, calcul dont il donne du reste un exposé fort soigné. Mais surtout Euler achève l'euvre de Leibniz en introduisant et faisant adopter les notations encore aujourd'hui en usage pour e, i, et les fonctions trigonométriques, et répandant la notation x. D'autre part, et si le plus souvent il ne fait pas de distinction entre fonctions et expressions analytiques, il insiste, à propos de séries trigonométriques et du problème des cordes vibrantes, sur la nécessité de ne pas se borner aux fonctions ainsi définies (et qu'il qualifie de (( continues >)), mais de considérer aussi, le cas échéant, des fonctions arbitraires, ou a discontinues )>, données expérimentalement par un ou plusieurs arcs de courbe ((XXV c ) , p. 74-91). Enfin, bien que cela sorte quelque peu de notre cadre, il n'est pas possible de ne pas mentionner ici son extension de la fonction exponentielle au domaine complexe, d'où il tire les célèbres formules liant lYexponentieIleaux fonctions trigonométriques, ainsi que la définition du logarithme d'un nombre complexe; par là se trouve élucidée définitivement la fameuse analogie entre logarithme et fonctions circulaires réciproques, ou, dans le langage du X V I I ~siècle, entre les quadratures du cercle et de l'hyperbole, observée déjà par Grégoire de St. Vincent, précisée par Huygens et surtout par J. Gregory, et qui, chez Leibniz et Bernoulli, était apparue dans 1

2

2

l'intégration formelle de -= 1 +x2 2(x+i) 2(x-i) D'Alembert cependant, ennemi de toute mystique en mathématique comme ailleurs, avait, dans de remarquables articles (XXVI), défini avec la plus grande clarté les notions de limite et de dérivée, et soutenu avec force qu'au fond c'est C . MACLAURIN, A comjlete treatise ofj¶uuxbns, Edimburgh, 1742. Elles avaient fort besoin, en effet, d'être défendues contre les attaques philosophico-théologicohumoristiques du fameux évêque Berkeley. D'après celui-ci, qui croit aux fluxions ne doit pas trouver fort difficile de prêter foi aux mystères de la religion: argument ad hominem,qui ne manquait ni de logique ni de piquant. l

FVR 111.65

NOTE HISTORIQUE

là toute la )), f désignant une fonction à valeurs dans E, définie dans I x H, où H est une partie ouuerte non vide de E. Nous élargirons d'autre part un pcu la notion de solution (ou iîtégrale) d'une telle équation (dans l'intervalle 1) : nous dirons qu'une fonction u définie et continue dans 1, à valeurs dans H, est une solution (ou intégrale) de i'équation (1) s'il existe une partie dénombrable A de I telle qu'en tout point t du complémentaire de A par rapport à 1, in adnxtte une dérivée u f ( t ) t e k que uf(t) = f(t, ~ ( t ) )Si. u est dérivable et vérifie la relation précédente en tout point t E 1, nous dirons que c'est une solution stricte de l'équation (1) dans 1. Dans Ir cas particulier d'une équation différentielle de la forme x' = f (t), f étant une application dc I dans E, les solutions a u sens précédent sont les primitives de la fonction f (II[,p. l ) , et les solutions strictes sont lespri9nitiues ~trictes.

Lorsque E est un ~roduitd'espaces normés complets E, (1 < i < n), on peut écrire x = (x,),,,,, ct f = (B;) où x, est unc application de 1 dans E,, et f, une application de 1 x H dans E,; l'équation (1) est alors équivalente au rystème d'équations rlz&entielles

,,,,,

xi = f,(t,x1,x2,..., xn)

(2)

(1

< i < n).

Lc cas le plus important est celui où tous les Ei sont égaux à R ou à C; on dit alors que (2) est un système d'équations différentielles scalaires. A l'6tucle des systèmes (2) se ramènc celle des relations de la forme x(") = f (t, X, x f , . . .,x(n - 1))

(3)

où x est une fonction vcctorielle n fois dérivable dans 1: en posant en effet x, = x, x, = x(,-l) pour 2 < f < n, la relation (3) est équivalente au système

Une relation dc la forme (3) est appelée équation dzfirentielle d'ordre n (résolue par rapport à x(IL));par opposition, les équations de la forme (1) sont dites Cquations différentielies du premier ordre. O n ramène dc même à un système de la [orme (2) tout àil-Tcrentirllrs de la forme (5)

(1

((

systkme d'équations

Dn%xi= f , ( t , XI, Dxl, . . ., D n l - l ~ l ., . . , xp, D x p. . ., Dnp-lxp)

< i < p), où xi est une fonction ni fois dérivable dans 1 (pour 1 < i < fi).

2. Équations diRérentielles admettant gour solutiolas des primitives de fonctions réglées

Rappelons (II, p. 4, déf. 3) qu'une fonction vcctorielle an définie dans un intervalle I c R est dite réglée si, dans toute partie compacte de 1, elle est limite

No 2

THÉORÈMES D'EXISTENCE

FVR IV.3

uniforme de fonctions en escalier; une condition équivalente est qu'en tout point intérieur à 1, u ait une limite à droite et une limite à gauche, ainsi qu'une limite à droite à l'origine de I et une limite à gauche à l'extrémité de 1, lorsque ces points appartiennent à 1 (II, p. 5, th. 3). Nous allons dans ce chapitre nous restreindre aux équations différentielles ( 1 ) dont toute solution est une primitive d'une fonction réglée dans 1. Cette condition est évidemment satisfaite si, pour toute application continue ai de I dans H, la fonction f(t, u ( t ) ) est réglée dans 1; le lemme suivant donne une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi:

Lemme 1. - Soit f une application de 1 x H dans E telle que, en désignant par fx (pour tout x E H ) l'application t i-t f ( t , x) de 1 dans E, les conditions suivantes soient réalisées: l 0 fx est réglée dans 1pour tout x E H ; 2, l'application x ++f, de H dans l'ensemble T(1,E ) des applications de 1dans E est continue quand on munit F ( I , E ) de la topologie de la convergence compacte (TG, X , p. 04). Dans ces conditions: 1" Pour toute application continue u de 1 dans H, la fonction t i-t f ( t , u ( t ) ) est réglée dans 1; de f a p précise, la limite à droite (resp. à gauche) de cette fonction en un point t , E 1 est égale à la limite à droite (resp. à gauche) de la fonction t i-t f(t, u ( t , ) ) au point t,. 2" S i (un)est une suite d'applications de 1 dans H, qui converge unformément vers une application continue u de I dans H, dans toute partie compacte de 1, la suite des fonctions f ( t , u n ( t ) ) converge uniformément vers f ( t , u ( t ) ) dans toute partie compacte de I . l o Soit c la limite à droite de f ( t , ~ ( t , ) au ) point t,; pour tout E > O, il existe un voisinage compact V de t , dans I tel que l'on ait jlf(t, u ( t , ) ) - cl1 < E pour t E V et t > t,. D'autre part, il existe 8 > O tel que les relations

entraînent I/f(s,x) - f(s, u ( t , ) ) 1 < E pour tout s E V; si W c V est un voisinage de t, dans 1 tel que l'on ait / l u ( t ) - u(t,) I < S pour tout t E MT, on aura donc j/f(t, ~ ( t ) -) cl1 < 2o pour t E W et t > t,, ce qui prouve que c est limite à droite de f (t, ~ ( t )au ) point t,. 2" Soit K une partie compacte de 1; comme u est continue dans 1, u ( K ) est une partie compacte de H; pour tout E > O et tout x E u ( K ) il existe un nombre 8, telque, poury E H, / / y- X I I < 8, et pour tout t E K , on ait I/f(t,y) - f ( t , x)I / < E. Il existe un nombre fini de points xiE u ( K ) tels que les boules fermées de centre xi et de rayon 4 S,, forment un recouvrement de u ( K ) ; soit S = Min (8,,). Par hypothèse, il existe un entier no tel que pour n 2 no, on ait IIuEi,(t)- u ( t ) / j < $8 pour tout t E K. Or, pour tout t E K , il existe un indice i tel que

par suite, on a I/un(t) tout t E K et tout n 2 no.

xi11


O, nous dirons qu'une application continue u d e 1 dans H est u n e solution approchée à E près d e l'équation différentielle x'

=

f (t, x)

si, e n tous les points d u coniplémentaire par rapport à 1 d'un ensemble dénombrable, u admet u n e dérivée qui satisfait à la condition

No 3

THÉORÈMESD'EXISTENCE

FVR IV.5

Soit (t,, x,) un point de I x 13; f satisfaisant par hypothèse aux conditions du lemme 1 (IV, p. 3), il existe un voisinage compact Q de t, dans I tel que f(t, x,) soit bornée dans J, et une boule ouverte S de centre x,, contenue dans H, telle que f(t, x) - f(t, x,) soit bornée dans J x S; il en résulte que f(t, x) est bornée dans J x S. Dans tout ce no,J désignera un intervalle compact, uoisinage de t, dans 1, S une boule ouverte de centre x, et de rayon r, contenue dans H, J et S étalzt tels que f soit bornée dans J x S; M désignera la borne supérieure de Ilf(t, x) II dans J x S. PROPOSITION 3. -Daru tout interualle compact d'origine (ou d'extrémité) t,, contenu dans J et de longueur < r/(M + E), il existe une solution approchée à E près de l'équation (l), à valeurs dans S, et égale à x, au point t,. Nous allons supposer que t, n'est pas l'extrémité de J, et démontrer la proposition pour les intervalles d'origine t,. Soit R l'ensemble des solutions approchées de (1) à E près, dont chacune prend ses valeurs dans S, est égale à x, au point t,, et est définie dans un intervalle semi-ouvert (t,, b[ contenu dans J (intervalle dépendant de la solution approchée que l'on considère). Montrons d'abord que rJn n'est pas vide. Soit c la limite à droite de f(t, x,) au point t,; d'après le lemme 1 (IV, p. 3), la fonction f(t, X, + ~ ( -t tO))a une limite à droite égale à c au point t,, donc la restriction de la fonction x, + c(t - tO)à un intervalle semiouvert (t,, b( assez petit appartient à R. Ordonnons l'ensemble % par la relation O dans 1, f ( t , x) une fonction définie et lipschitzienne pour la fonction k(t) dans 1 x H. Si u et v sont deux solutions approchées de l'équation (1) à E, et E, près respectivement, définies dans 1et prenant leurs ualeurs dans H, on a, pour tout t E 1 tel que t 2 t,,

FVR IV.8

91

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES

De la relation [[u1(t)- f(t, u(t)) 1 < cl, valable dans le complémentaire d'un ensemble dénombrable, on déduit, par application du th. des accroissements finis

et de même

D'après la condition de Lipschitz (S), on a

d'où, en posant w(t) = I[u(t) - v(t) 1 ,

La proposition est alors conséquence du lemme suivant:

*

Lemme 2. - Si, dans tintervalle (t,, t,), w est unefonction numérique continue satisfaisant à l'inégalité

où

O dans 1 x H . Dans ces conditions, si u est une solution approchée de x' = f(t, x) à cl près, d$nie dans 1, à valeurs dans H , et v une solution approchée de x' = g(t, x) à E, près, déjïnie dans 1, à valeurs dans H , on a, pour tout t E 1 (17)

Ilu(t) - v ( t )1 G Iju(t,) - v ( t o )1 ekit-tOl

+ (cc iE

FVR IV. IO

$1

ÉQUATIONS DIPFÉRENTIELLES

En effet, on a, pour tout t dans le complémentaire par rapport à 1 d'une partie dénombrable de 1, llu'(t> - d t , 4 t ) ) JI G or. + EI autrement dit, u est solution approchée de x' = g(t, x) à cc l'inégalité (17) par application de la prop. 5 de IV, p. 7.

+

E,

près, d'où

5. Existence et unicité des sol~tlonsdes équations lipschitziennes et localement lipschitziennes THÉORÈME 1 (Cauchy). -Soient f une fonction l$schitzienne dans 1 x H, J un interualle compact contenu dans 1et non réduit à un point, t, un point de J, S une boule ouverte de centre x, et de rayon r, contenue dans H, M la borne supérieure de I/f(t,x) 1 dans J x S. Dans ces conditions, pour tout intervalle compact K non réduit à un point, contenu dans l'intersection de J et de )to - r/M, t, + r/MQ et contenant t,, il existe une solution et une seule de l'équation dz$érentiellex' = f (t, x), dgnie dans K, à valeurs dans S et égale à xo au point t,. En effet, pour tout s > O assez petit, l'ensemble FEdes solutions approchées de (1) à E près, définies dans K, à valeurs dans S et égales à x, au point t,, n'est pas vide (IV, p. 5, prop. 3) ; en outre, si u et v appartiennent à F,, on a, d'après (15) (IV, P. 9) eklt-tol - 1 llu(t) - v(t) 11 G 2~ k pour tout t E K, donc les ensembles F, forment une base de filtre @ qui converge uniformément dans K vers une fonction continue w, égale à xo au point t,; w prend ses valeurs dans S, parce que, dès que E est assez petit, les fonctions u E F, prennent leurs valeurs dans une boule fermée contenue dans S. Comme f(t, u(t)) tend uniformément dans K vers f(t, w(t)) suivant @, w satisfait à l'équation (6) de IV, p. 4, donc est solution de (1). L'unicité de la solution découle aussitôt de l'inégalité (15) de IV, p. 9, où on fait E, = E, = O et u(t,) = v(t,).

Nous dirons qu'une fonction f définie dans 1 x H est localement l$schitzienne dans cet ensemble si, pour tout point (t, x) de 1 x H, il existe un voisinage V de t (par rapport à 1) et un voisinage S de x tels que f soit lipschitzienne dans V x S (pour une constante k dépendant de V et de S). En vertu du th. de Borel-Lebesgue, pour tout intervalle compact J 1 et tout point xo G H, il existe une boule ouverte S de centre x,, contenue dans H, telle que f soit lipschitzienne dans J x S; f satisfait donc aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3. Lorsque f est localement lipschitzienne dans 1 x H, nous dirons que l'équation x' = f(t, x) est localement l$schitzienne dans 1 x H. Nous allons généraliser et préciser le th. 1 de IV, p. 10 pour les équations localement lipschitziennes; nous nous bornerons au cas oh to est l'origine de l'intervalle 1; on passe aisément de là au cas où to est un point quelconque de 1 (cf. IV, IV, p. 9, corollaire).

No 5

THÉORÈMES D'EXISTENCE

FVR IV. 11

THÉORÈME 2. -Soient

1 c R un intervalle (non réduit à un point) d'origine to E 1, H une partie ouverte non vide de E, f une fonction localement lipschitzienne dans I x H. 1" Pour tout x, E H, il existe un plus grand intervalle J c 1, d'origine t, E J, dans lequel il existe une intég~aleu de l'équation x' = f(t, x), prenant ses valeurs dans H et égale à x, au point to; cette intégrale est unique. 2 O Si J # 1, J est un intervalle semi-ouvert [t,, de longueurjnie; en outre, pour toute

partie compacte K c H, 2 (K) est alors une partie compacte de R. 3O Si J est borné, et si f(t, a ( t ) )est bornée dans J, u(t) a une limite à gauche c à l'extrémité de J; en outre, si J # 1, c est un pointfrontière de H dans E. 1" Soit W l'ensemble des intervalles L (non réduits à un point) d'origine t, E L, contenus dans 1 et tels que, dans L, il existe une solution de (1) (IV, p. 2) à valeurs dans H et égale à xo au point t, ; d'après le th. 1 (IV, p. IO), l'ensemble n'est pas vide. Soient L, L' deux intervalles appartenant à %,et supposons par exemple que L c L'; si u et v sont deux intégrales de ( l ) , définies respectivement dans L et L', à valeurs dans H et égales à x, au point t,, nous allons voir que v est un prolongement de u. En effet, soit t, la borne supérieure de l'ensemble des t E L tels que u(s) = v(s) pour to 6 s 6 t; nous allons prouver que t, est l'extrémité de L. Dans le cas contraire, on aurait ia(t,) = v(t,) par continuité, et x, = u(t,) appartiendrait à H ; comme f est localement lipschitzienne, le th. 1 prouve qu'il ne peut exister qu'une seule intégrale de (1) définie dans un voisinage de t,, à valeurs dans H et égale à x, au point t,; il y a donc contradiction à supposer que t, ne soit pas l'extrémité de L. Nous voyons donc que, si J est la réunion des intervalles L E %%, il existe une intégrale u et une seule de ( l ) , définie dans J, à valeurs dans H et égale à xo au point t,. 2" Supposons J # 1, et soit P l'extrémité de J; si P est l'extrémité de 1, on a p E 1 (donc p est fini) et J = (t,, p[ en vertu de l'hypothèse. Supposons donc que p ne soit pas l'extrémité de I ; si (3 E J, u(P) = c appartient à H; d'après le th. 1, il existe une intégrale de (1) à valeurs dans H, définie dans un intervalle et égale à c au point P;J ne serait donc pas le plus grand des intervalles de n, ce qui est absurde; on a donc bien J = [to, @(. Si K est une partie compacte de H,;

(K) est fermé dans J; nous allons voir

qu'il existe y E J tel que$ (K) soit contenu dans [t,, y), ce qui prouvera (K) est compact. Dans le cas contraire, il existerait un point c E K tel que ((3, c ) soit adhérent à l'ensemble des points (t, u(t)) tels que t < P et ~ ( t E) K. Comme fi E 1 et c E H, il existerait un voisinage V de p dans I et une boule ouverte S de centre c et de rayon r, contenue dans H, tels que f soit lipschitzienne et bornée dans V x S; soit M la borne supérieure de Ilf(t, x) j/ dans cet ensemble. Par hypothèse, il existe t, E J tel que p - t, < r/2M, t, E V et l/iu(t,) - cl1 6 4 2 ; le th. 1 montre qu'il existe une intégrale et une seule de ( l ) , à valeurs dans H, définie dans un

FVR IV. 12

51

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

intervalle (t,, t,) contenant p, et égale à u(t,) au point t,; comme cette intégrale coïncide avec u dans l'intervalle [t,, P(, J = (t,, P( ne serait pas le plus grand des intervalles de m, ce qui est absurde. 3 O Supposons que J soit borné et que Ilf(t, ~ ( t )I )< M dans J; on a donc Iluf(t)1 $ M dans le complémentaire d'une partie dénombrable de J; par suite Iju(s) - u(t) I $ Mls - tl quels que soient s et t dans J, en vertu du th. des accroissements finis; d'après le critère de Cauchy, u a donc une limite à gauche c à l'extrémité p de J. Si J # 1, c ne peut appartenir à H, car en prolongeant u par continuité au point p, ai serait une intégrale de (1) à valeurs dans H, définie dans l'intervalle (t,, fi) et égale à x, au point t,; on aurait donc J = (t,, P), contrairement à ce qu'on a vu au 2 O . COROLLAIRE 1. -Si H = E et J # 1, f(t, u ( t ) )n'est pas bornée dans J; si de plus E est de dimensionjnie, llu(t) / I a pour limite à gauche +CO à l'extrémité de J. La première partie est une conséquence immédiate de la troisième partie du th. 2. Si E est de dimension finie, toute boule fermée S c E est compacte, donc la seconde partie du th. 2 montre qu'il existe y EJ tel que u(t) 4 S pour t > y. Si E est de dimension infinie, il peut se faire que J f 1, mais que jlu(t) 11 reste bornée lorsque t tend vers l'extrémité de J (IV, p. 37, exerc. 5 ) .

COROLLAIRE 2. - Si, dans 1 x H, f est lipschitzienne pour une fonction réglée k(t), et si l'extrémité de J appartient à 1, u a une limite à gauche au point p; si H = E et si f est lipschitziennepour unefonction réglée k(t) dans 1 x E, on a J = 1. En effet, si p E 1, il existe un voisinage compact V de p dans 1, tel que f(t, x,) et k(t) soient bornées dans V; on a donc Ilf(t, x) I $ mllxll + h (m et h constantes) dans V x H, d'où Ilul(t) 1 < mllu(t) 1 h dans le complémentaire d'une partie llu(s)11 ds + q ( q constante) dénombrable de V n J, et par suite jlu(t) I $ m dans V n J; le lemme 2 (IV, p. 8) montre que Ilu(t) / I $ cemt + d (c et d constantes) dans V nJ, donc f(t, u(t)) reste bornée dans J, et le corollaire résulte alors du th. 2 de IV, p. I l .

+

Exemfiles. - 1) Pour une équation différentielle de la forme x' = g(t), où g. est réglée dans 1, toute intégrale u est évidemment définie dans 1tout entier. O n notera que u peut être bornée dans 1sans que g(t) le soit. 2) Pour l'équation scalaire x' = 2/ 1 - x2, on a 1 = R, N = ) - 1,1(. Si on prend to = xo = 0, l'intégrale correspondante est sin t dans le plus grand intervalle contenant O, où la dérivée de sin t soit positive, c'est-à-dire dans ) - $ 2 , x / 2 ( ; aux extrémités de cet intervalle, l'intégrale tend vers une extrémité de H. 3) Pour l'équation scalaire x' = 1 + x2, on a I = H = R ; l'intégrale nulle pour t = O est tg t, et le plus grand intervalle contenant O, où cette fonction est continue, est J = ) - x/2, + x/2(; aux extrémités de J, 1 tg tl tend vers + co (cf. IV, p. 12, cor. 1). 4) Pour l'équation scalaire x' = sin tx, on a 1 = H = R et le second membre est borné dans 1 x H, donc (IV, p. 12, cor. 1) toute intégrale est définie dans R tout entier.

+

No 6

THÉORÈMES D'EXISTENCE

FVR IV. 13

6. Continuité des intégrales en fonction d'un paramètre

La prop. 6 (IV, p. 9) montre que lorsqu'une équation différentielle

est ((voisine)> d'une équation lipschitzienne x' = g(t, x) et qu'on suppose que les deux équations admettent chacune une solution approchée dans un même intervalle, ces deux solutions approchées sont ; nous allons préciser ce résultat en montrant que l'existence de solutions de l'équation lipschitzienne x' = g(t, x) dans un intervalle entraine celle de solutions approchées de l'équation x' = f (t, x) dans le même intervalle pourvu que, dans ce dernier, les valeurs de la solution de x' = g(t, x) ne soient pas ( O dans 1 x H, et que f soit localement lipschitzienne dans 1 x H, ou que E soit de dimensionjnie. Soient (t,, x,) un point de 1 x H, p. un nombre >O, et

Soit u une intégrale de l'équation x' = g(t, x), déJinie dans un interualle K = (t,, b( contenu dans 1, égale à x, au point to et telle que, pour tout t E K, la boulefermée de centre u(t) et de rayon ~ ( tsoit ) contenue dans H. Dans ces conditions, pour tout y E H tel que Il y - x, 11 < p, il existe une intégrale v de x' = f (t, x), définiedans K, à valeurs dans H, et égale à y au point t,; en outre, on a Ilu(t) - v(t) 1 S q(t) dans K. Soit klll l'ensemble des intégrales de x' = f(t, x), dont chacune prend ses valeurs dans H, est égale à y au point t, et est définie dans un intervalle semiouvert (t,, T( contenu dans 1 (dépendant de l'intégrale que l'on considère). D'après le th. 1 de IV, p. 10 (lorsque f est localement lipschitzienne) ou IV, p. 6, corollaire (lorsque E est de dimension finie), W n'est pas vide, et le même raisonnement que dans la prop. 3 de IV, p. 5, montre que W est inductifquand on l'ordonne par la relation to) 4) = (xo, x 3 quels que soient x0 E E et xg

E E*,

ce qui montre que

H(t, to) = C(t, to) (18) (contragrédiente de C(tJ t,)). En particulier, si on connaît un système fondamental d'intégrales de l'équation adjointe (16)) la matrice H(t, to) est déterminée, donc aussi C(t, t,), et par suite toutes les intégrales de l'équation (4). Remarque. -Soient E et F deux espaces normés complets sur R (ou sur C ) , (x, y) H(x, y> une forme bilinéaire continue dans E x F, telle que la relation (x, y> = O pour tout y E F >)(resp. (x, y) = O pour tout x E E $) entraîne x = O (resp. y = 0). O un nombre arbitraire, montrer qu'il existe un ensemble connexe est équicontinu et fermé pour la topologie de la convergence uniforme dans 1). Pour tout T E 1, soit E la valeur de l'intégrale minimale (correspondant à (t,, x,)) au point 7. Montrer que l'intégrale minimale correspondant au point (T, 5) est identique à l'intégrale minimale correspondant au point (to, xo) dans un intervalle de la forme (2, -r + h( si r > to, de la forme) T - h, T) si T < to. En déduire qu'il existe un plus grand intervalle ouvert )t,, t2( contenant t, et contenu a(, tel que l'intégrale minimale u correspondant au point (t,, x,) puisse dans )t, - a, to être prolongée par continuité à )tl, ta( de sorte qu'en tout point t de )tl, t,(, u (t) appartienne à )xo - b, xo b( et que u soit identique à l'intégrale minimale correspondant au point (t, u(t)) h( si t > to, de la forme) t - h, t) si t < t,; montrer dans un intervalle de la forme (t, t en outre qu'on a, soit t1 = to - a (resp. t2 = to a) soit lim u(t) = xo $. b (resp. lim u(t) =

+

+

+

+

t-tl

t-tz

11) a) Dans le pavé P: It - toi < a, 1% - xol < b, soient g et h deux fonctions numtriques continues telles que g(t, x) < h(t, x) dans P. Soit u (resp. v) une intégrale de x' = g(t, ,Y) (resp. x' = h(t, x)) telle que u(to) = xo (resp. v(to) = xo) définie dans un intervalle (t,, to + c(; montrer que, pour to < t < to c, on a u(t) < v(t) (considérer la borne supérieure -r des t pour lesquels cette inégalité a lieu). b) Soit ul'intégrale maximale de x' = g(t, x) correspondant au point (t,, x,) (exerc. IO), définie dans un intervalle (to, t, + c(, à valeurs dans lx - xol < b. Montrer que, dans tout intervalle compact (t,, to d ) contenu dans (t,, to c(, l'intégrale minimale et l'intégrale maximale E correspondant au point (t,, x,) sont définies dès que E > O de l'équation x' = g(t, x) est assez petit, et convergent uniformément vers u lorsque E tend vers O par valeurs > 0. c) Soient g et h deux fonctions numériques définies et continues dans P et telles que g(t, x) < h(t, x) dans P. Soit (t,, t, f c( un intervalle dans lequel sont définies une intégrale u de x' = g(t, x) telle que u(to) = x,, et l'intégrale maximale v de x' = h(t, x) correspondant au point (to,x,). Montrer que, dans cet intervalle, on a u(t) < v(t) (se ramener au cas a) à l'aide de b)).

+

+

+

+

12) Soit u l'intégrale de l'équation x' = A

x2 +égale à O pour t = O, 1 + ta 3

et soit J le plus

grand intervalle d'origine O dans lequel u est continue. a) Montrer que, si h 6 on a J = (0, CO( (utiliser l'exerc. 4 de IV, p. 37).

a,

+

FVR IV.40

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

b) Montrer que, si h > $, on a J = (O, a(, avec

(poser x = y d l

+ t2, et utiliser lyexerc.Il).

7 13) a) Soit 1 = (t,, to f c), et soit w une fonction numérique continue et > O définie dans 1 x R. Soit S une boule de centre x, dans un espace normé complet E, et soit f une application continue de 1 x S dans E telle quc, quels que soient t E 1, x, E S et x2 E S, on ait . u et v deux intégrales de x' = f (t, X) définies llf(t, x,) - f (t, x,) jl < w(t, lix, - ~ ~ 1 1 )Soient dans 1, à valeurs dans S, tdles que u(to) = x,, v(to) = x2; soit w l'intégrale maximale exerc. 10) de z' = w(t, z) corrcspondant a u point (t,, jjx, - x21/),et supposée définie dans 1; montrer que, dans 1, on a jju(t) - v(t) li < ~ ( t ) (Soit . w(t, E) l'intégrale maximale de z' = w(t, z) + E correspondant au point (t,, llx, - x21/),où E > O est assez petit. Montrer que Ilu(t) - v(t) 11 < rei (t, E) pour tout E > O, en raisonnant par l'absurde.) b) Dans l'énoncé des hypothèses de a), on rcmplace 1 par l'intervalle 1' = )t, - c, t,). Montrcr que, si w est, dans cet intervalle, l'intégrale minimale de z' = w(t, z) correspondant a u point (to, Ijx, - x2jl), on a, dans 1', Ilu(t) - v(t) 1 2 w(t) (même mbthode). 7 14) a) Soit w(t, z) une fonction numérique continue et > O définie pour O < t < a et z > O. O n suppose que z = O soit la seule intégrale de z' = w(t, z) définie pour O < t < a et telle que lim z(t) = O et lim z(t)/t = O. Soient I = (t,, to + a(, S une boule de centre x, t+o

t-O

dans E, f une application continue de 1 x S dans E telle que, quels que soient t E 1, x, E S et x2 E S, on ait Ijf (t, x,) - f (t, x2) I < w(lt - toi, jlx, - x2 11). Montrer que, dans un intervalle d'origine t, contenu dans 1, l'équation x' = f (t, x) ne peut avoir qu'une seule solution u telle que u(to) = x,. (Raisonner par l'absurde: si v est une seconde intégrale de x' = f ( t , x), minorcr llu(t) - v(t) j/ dans un intervalle d'origine t,, à l'aide dc l'exerc. 13 b), et obtenir ainsi une contradiction.) Appliquer au cas où o(t, z) = k(z/t) avec O < k < 1 (cf. IV, p. 38, exerc. 8). b) Le résultat de a) s'applique pour w(t, z) = zlt; mais montrer dans ce cas par un exemple que si u, v sont deux intégrales approchées à c près de x' = f (t, x), égales à x, au point t,, il n'est pas possible de majorer Ilia(t) - v(t) /j par un nombre ne dépendant que de t (et non de la fonction f ) . (Prendre pour f une application continuc de W + x R dans R, égale à x/t pour t > cr et pour O < t < u et 1x1 < t2/(u - t), et indépendante de x pour lcs autres points (t, x).) c ) Soit 0 une fonction numérique continue et > O dans l'intervalle (O, a). Montrer que si 1 e(t) dt cst convergente, lc résultat de a) s'applique pour w(t, z) = --- z; t

+

dt est infinie, donner un exemple de fonction continucf, telle que l'on ait

/If

(4 XI) - f (t7 x2) Il

$

l

+

(It It -

-

'o') ljx, - x2/l,mais telle que l'équation r' = f(t, x)

ait une infinité d'intégrales égalcs à x, au point t, (méthode analogue à celle de b)). 15) Soit f une fonction numérique définie et continue pour lt/ < a, 1x1 < b, telle quef (t, x ) < O pour tx > O et f (t, x) > O pour tx < O; montrer que x = O est la seule intésrale de l'équation x' = f (t, x) qui prenne la valeur O a u point t = O (raisonner par l'absurde). 16) Soient E un espace vectoriel de dimcnsionjnie, f une fonction bornée dans 1 x H et satisfaisant aux conditions de IV, p. 3, lemme 1, telle que l'équation x' = f(t, x) admette une seule solution u définie dans 1, à valeurs dans H, égale à x, au point t,. O n suppose en outre que, pour tout entier n assez grand, il existe une intégrale approchée u, de x' = f (t, x) à l/n près, définie dans 1, à valeurs dans H, et égale à xo a u point t,. Montrer que la

92

FVR IV.41

EXERCICES

suite ( u n )converge uniformément vers in dans tout intervalle compact contenu dans 1 (utiliser le fait q u e la suite (un)est équicontinue dans 1). 17) Pour étudier l'équation x' = sin tx ( I V , p. 12, Exemple 4). o n pose u = xy, et o n consi-

+

dère les solutions d e l'équation correspondante u' = 2 t sin u = F(tJ u) q u i sont > O t pour t > O (pour toute solution de cette nature, o n a u(0) = O). On désigne par rkl a courbe définie par les relations (2k par D, l'ouvert défini par

+ 2t = O pour chaque entier k 1, U (2k - l ) x < u < 2kxJ t sin u + - < 0 , par E le complét

- 1) x

< u < 2kx, t sin u

mentaire dans l'ensemble des (t, u) tels q u e t > O et u > O, d e la réunion des Bk. a) Montrer q u e toute courbe intégrale qui coupe u n e droite u = 2 k x coupe aussi la droite 1)x. u = (2k b ) Si u n e courbe intégrale C coupe u n e courbe rke n un point (to, u,), la fonction u est croissante pour O < t < to, décroissante pour t > to, et lorsque t tend vers + a ,u(t) tend vers (2k - l ) x , la courbe C restant dans Dkpour t > to. c ) Montrer qu'il n ' y a aucune courbe intégrale C contenue dans E et telle q u e u ( t ) tende vers co lorsque t tend vers co. (Former l'équation différentielle dxldu = G ( u , x ) entre x et u le long d e C. Si C est tout entière dans E , o n a x2 > u pour u = (2k - + ) x ; majorer d'autre part x2(u) e n utilisant l'équation différentielle précédente, et obtenir u n e contradiction.) d ) Montrer q u e pour chaque entier k , il existe u n e courbe intégrale et une seule C contenue dans E et telle q u e u(t) tende vers 2kx lorsque t tend vers + W . ( E n posant v = 2 k x - u, o n a v - 2kx v - 2kx une équation v'= -+ t sin u ; comparer cette équation à v' = --- tu, t t t tendant vers co et v vers O.)

+

+

+

+

+

18) Soit E l'espace des suites x = (x,),,~ d e nombres réels telles q u e l i m x, = 0, m u n i de la norme

]/XI/

n-m

= sup lx,[, q u i e n fait u n espace normé complet. Pour tout x = (x,) E E, soit n

y = f ( x ) l'élément (y,) d e E défini par y, = Ixnj'/z

' . la fonction f est continue dans +n + 1'

E. Montrer qu'il n'existe aucune solution de l'équation différentiellex' = f ( x ) définie dans un voisinage d e O dans R, à valeurs dans E et égale à O pour t = O (cf. I V , p. 39, exerc. 11). §2 1 ) Soient E u n espace normé complet sur R, F un espace topologique, J u n intervalle de R n o n réduit à un point; soit (t, E ) ++ A(t, E ) u n e application d e J x F dans S?(E), telle q u e lorsque E tend vers Eo, A(t, 5) tende uniformément vers A(t, 4,) dans J. Si C ( t , to, E ) est la résolvante de l'équation linéaire dxldt = A ( t , 5) .x, montrer que, pour tout intervalle compact K c J , C(t, to, 5) tend uniformément vers C(t, to, Eo) dans K x K , lorsque tend vers Eo. 2 ) Soit t HA ( t ) u n e application réglée d e J dans 9 ( E ) telle que, pour deux points quelconques s, t d e J, A ( s ) et A ( t ) soient permutables. O n pose B ( t ) = jfo A ( s ) ds. Montrer q u e la résolvante C ( t , to) d e l'équation dxldt = A ( t ) . x est égale à e x p ( B ( t ) ) . Si t H Ai(t), t HA z ( t ) sont d e u x applications réglées d e J dans 2 ( E ) telles que, pour d e u x points quelconques s, t d e J , A,(s), A l ( t ) , A,(s), A z ( t ) soient deux à deux permutables, montrer q u e l'on a

FVR IV.42

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

3) Étant données les deux matrices montrer que exp(A + B) # exp(A) exp(B). 4) Si Pest un automorphisme quelconque appartenant à 9 ( E ) , montrer que exp(PAP-1) = P.exp(A) .P-l pour tout A E 9 ( E ) .

+

5) Montrer par un exemple qu'une équation linéaire dxjdt = A.x eatp(t), où A E 9 ( E ) est indépendant de t et p est un polynôme (à coefficients dans E) peut avoir une intégrale égale à un polynôme de même degré que p, même lorsque a est racine caractéristique de A.

6) Soitf (X) un polynôme de degré n à coefficients complexes, et soit

la décomposition de la fraction rationnelle I lf (X) en éléments simples (A, VII, Montrer que, pour toute fonction réglée b, la fonction

8 2, no 2).

est une intégrale de l'équation f (D) x = b(t).

-

7) a) Soit t H A(t) une application d'un intervalle J c R dans 9 ( E ) , telle que, pour tout A(t) . x de J dans E soit continue. Montrer que, dans tout intervalle x E E, l'application t compact K c J, t e l/A(t)l]est borde (utiliser TG, IX, p. 56, th. 2). Dans ces conditions, b(t) admet une montrer que, pour tout point (to, x,) E J x E, l'équation dxldt = A(t) . x solution et une seule, définie dans J, et égale à xo au point to. En outre, si on désigne par u(t, t,, x,) cette solution, l'application x, ++ u(t, to, xo) est une application linéaire bijective et bicontinue C(t, to) de E sur lui-même, qui satisfait aux relations (6) (IV, p. 18) et (7) (IV, p. 19);de plus, l'application (s, t) ++ C(s, t) de J x J dans 9 ( E ) est continue. b) On prend pour E l'espace des suites x = (x,),,~ de nombres réels, telles que lim x, = 0,

+

n-t

m

muni de la norme jlxll = snp Ixnl, pour laquelle E est complet. Pour tout t E J = (0, l), soit A(t) l'application linéaire de E dans lui-même telle que

Montrer que A(t) satisfait aux conditions de a ) , mais que l'application t~ A(t) de J dans 9 ( E ) n'est pas continue au point t = O, et que la résolvante C(t, to) de l'équation dxldt = A(t) . x est telle que l'application t HC(t, to) de J dans 9 ( E ) ne soit pas dérivable au point t = 0.

7 8) Soit G une algèbre normée complète sur le corps R, admettant un élément unité e. a) Soit t H a(t) une fonction réglée dans un intervalle J c R, à valeurs dans G. Montrer que l'intégrale u de l'équation linéaire dxldt = a(t)x qui prend la valeur e en un point to E J est inversible dans J, et que son inverse est solution de l'équation dxldt = - xa(t) (si v est l'intégrale de cette dernière équation qui prend la valeur e au point t,, considérer les équations linéaires vérifiées par UV et vu). En déduire que, pour tout x, E G, l'intégrale de dxldt = a(t)x qui prend la valeur xo au point to est égale à u(t)x,. b) Soient a(t), b(t) deux fonctions réglées dans J, u et v les intégrales des équations dxldt = a(t)x, dxjdt = xb(t), qui prennent la valeur e au point to. Montrer que l'intégrale de l'équation dxldt = a(t)x xb(t) qui prend la valeur xo au point t, est égale à u(t)x,v(t). C) Soient a(t), b(t), c(t), d(t) quatre fonctions réglées dans J, (u,v) une solution du système de deux équations linéaires

+

FVR IV.43

EXERCICES

Montrer que si, dans J, v est inversible, w = UV-lest intégrale de l'équation dzldt = b(t) a(t)z - zd(t) - ac(t)z (>).

Il ne suffira pas en général de savoir qu'une telle fonction tend vers une limite donnée suivant $ pour pouvoir traiter tous les problèmes de (<passage à la limite suivant 8 D où interviennent des expressions formées avec cette fonction. Par exemple, lorsque la variable réelle x tend vers +a, les trois fonctions x, x2

et

4;tendant toutes trois vers + co, mais, des expressions. (X

+ 1)2 - x2,

la première tend vers

(X

+ 1) - x,

d

m di

+ co, la seconde vers 1, la troisième vers O.

Il importe donc de connaître, non seulement la valeur limite d'une fonction suivant 8 (lorsque cette limite existe), mais encore la (<manière D dont la fonction tend vers sa limite; en d'autres termes, on est amené à opérer une classification dans l'ensemble des fonctions qui tendent vers une même limite.

FVR V.2

$1

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

1. Relations de comparaison: 1. Relations faibles

Nous désignerons dans ce qui suit par V un espace vectoriel normé sur un corps valué Kypar %($, V) l'ensemble des fonctions à valeurs dans V, dont chacune est définie dans une partie de E appartenant à la base de filtre 8. Les relations que nous allons définir entre de telles fonctions ont un caractère local relatif au filtre de base 8 : nous allons préciser ce qu'il faut entendre par là. Si f et g sont deux fonctions de %($, V), rappelons que la relation a il existe un ensemble Z E 5 tel que f et g soient définies et égales dans Z est une relation d'équivalence R, dans S ( $ , V) (TG, 1, p. 44). Cela étant, nous dirons qu'une relation S où figure une fonction f de V) est de caractère local (suivant 8) relativement à f, si elle est compatible (en f ) avec la relation d'équivalence R, (E, II, p. 42) ; on sait que, si f est le germe de f suivant 8, classe de f modulo R, (élément de l'ensemble quotient S m ( $ ,V) = A?($,V)/R,), on déduit de S, par passage au quotient, une relation entre f e t les autres arguments de S, et que réciproquement, toute relation de cette nature définit une relation de caractère local relativement à f. Exemple. -Si f et g sont deux fonctions de %(g, R), la relation G il existe un ensemble X E 8 tel quef et g soient définies dans X, et quef ( t ) < g(t) pour tout t E X H est de caractère local relativement à f et g. On notef < g la relation obtenue en passant au quotient (pour f et g) ; on remarquera que si f < g, il existe une fonctionf,Ef et une fonction g, E g, définies dans E tout entier, et telles que fi(t) < g, (t) pour tout t E E. Remarques. - 1) Soient VI (1 i n) n espaces vectoriels normés sur K, y, une fonction définie dans V, x V2 x .. x V,, à valeurs dans V par passage aux quo-

,

%(a,

tients suivant R,, la fonction cp définit donc une application de Ha($, VI) x ... x Yi", (8,Vn) (8, V), que l'on notera le plus souvent cp($l,. . ., Zn) (TG, 1 xh, p. 45). Par dans exemple en prenant pour y, les applications (x, y) H x y et x Hxh (A E K), on et f h définit ainsi, pour deux germes quelconques f, de H, (8, V), les éléments fF et on vérifie aussitôt que les lois de composition ($, 2) H P. g et (A, f) Hf h définissent sur Hm($, V) une structure d'espace vectoriel sur le corps K; dans cet espace, 6 est la classe formée des fonctions égales à O dans un ensemble de 8, et - â est la classe formée des fonctions égales à - f dans un ensemble de 5. De même, si V est une algèbre sur K, on définit sur Yim(9, V) une seconde loi de composition interne (g, g) & en prenant cp(x, y) = xy; avec les deux lois précédentes, elle définit sur H m ( g ,V) une structure d'algèbre sur le corps K; si V admet un élément unité e, Hm (8, V) admettra pour élément unité la classe ë, formée des fonctions égales à e dans un ensemble de $; pour que f soit inversible dans e m ( $ , V), il faut et il suffit que, pour une fonction f E i, il existe Z E $ tel que f (t) soit inversible dans V pour tout t E Z (auquel cas cette condition est vérifiée pour toute fonction de la classez).

+

+

+

-

+

n

2) Avec les mêmes notations, soit une application d'une partie de VIdans V; i=l nous désignerons par $(&, f,, . . ., fn) la fonction égale à $(f,(t),. ., f,(t)) en tout point t E E où les fl(t)sont définis et où le point (f,(t)) appartient à l'ensemble où est

.

No 1

FVRV 3

COMPARAISON DES PONCTIONS

définie $1. Par exemple, f + g est la fonction égale à f ( t ) 3. g ( t ) en tout point t E E où f et g sont toutes deux définies. O n observera que l'application (f, g ) »f g n'est pas une loi degroufie dans &'(g, V ) ,car si f n'est pas définie dans E tout entier, il n'existe g = O. pas de fonction g E %(8, V )telle que f

+

+

DÉPINITION 1. -Etant données deux fonctio~zsnumériques f, g appartenant à p ( 8 , a) et qui sont 2 O dam un ensemble de 8, on dit que f est dominée par g, ou que g domine f (suivant g ) , et on écrit f g OU g >f, s'il existe un ensemble X E 8 et un nombre k > O tels que f ( t ) < k . g ( t ) pour tout t E X (autrement dit, s'il existe k > O tel que f < k.2). Étant données deux espaces normés V,, V,, et deux fonctions f,, f, appartenant respectivement à i f ( $ , V,) et S ( 8 , V,) on dit que f, est dominée par f, (suivant 8) et on écrit fl & o u f , f, si on a llflll $ l/f211.


O, b > O tels que a < 1 f (x) 1 < b dans un ensemble de 8, ou encore que la fonction log 1f 1 est bornée dans un ensemble de 8: on dit alors quef est logarithmiquement bornée dans un ensemble de 8. 2) Soit V un espace normé sur un corps valué non discret K, et soit f ( x ) = aoxn + alxn-1 + . - . + an un polynôme par rapport à x E K, à coefficients dans V , tel que a, f O. Pour tout vecteur b f O, on a f ( x )h b x n lorsque 1x1 tend vers +m. 3) Nous avons vu qu'on a sin2 x sin x lorsque x tend vers + CO, mais on n'a pas sin2x == sin x , bien que ces deux fonctions s'annulent aux mêmes points. 4) O n a x2 xy + y2 =< x2 + y2 lorsque (x, y ) tend vers (O, O) dans W2,mais non xy k: x2 y2.


0 , 0 n a i t g ~ « - ~f «gP+E. Démontrons par exemple c). Si l'ordre de f par rapport à g est p, pour tout E > O, il existe un ensemble M E 8, tel que, pour tout x E M, on ait

ou encore (g(x)1 0 - i < 1f (x) < (g(x))~+Z;comme limg g = + m, on a donc pour tout E > O; la réciproque est immédiate. Les démonstra«f tions de a) et b) sont analogues. On notera que sif cst d'ordrejni p par rapport à g, fg-0 est d'ordre O par rappar rapport à port à g, et réciproquement; sif, (resp.f,) est d'ordre pl (resp. g, et si pl pz est défini, f,f, est d'ordre pl + p, par rapport àg.

+

Remarques. - 1) O n obscrvcra que lorsque f est d'ordre fini p par rapport à g, le rapportf/gP ne tend pas nécessairement vcrs unc limite; par exemple, toute fonction logarithmiquement bornée est d'ordrc O par rapport à g, mais n'a pas nécessairement d e limitc suivant 8. 2) Une fonction f définie dans un ensemble de 8 n'a pas nécessairement un ordre déterminé (fini ou non) par rapport à g, car les fonctions ayant un ordre déterminé par rapport à g sont comparables à toutes les puissances de g, sauf une au plus. Or, f n'a pas nécessairement cette propriété, comme on le voit sur l'exemple g(x) = x, f ( x ) = 1 f x2 sin2 x (x tendant vers +CO). Dans cct exemple, f est comparable à ga pour cc < O et cc > 2 ; si on prenait f (x) = e" sin2 x e-" cos2x, f ne serait comparable à aucune puissance (positive ou négative) de g.

+

5. Notations

Étant donnée une fonction numérique f E Z(8, Ha), il est souvent commode, dans une formule, de noter O(f ) une fonction dominée par f, et O ( f ) une fonction négligeable devant f. Lorsque, dans une démonstration, interviennent plusieurs fonctions dominées par une même fonction f (resp. négligeables devant f ) , on les notera O1(f), O2 (f), etc. (resp. 01 ( f ) , 02 (S),etc.) Beaucoup d'auteurs notent indistinctement O(f ) (resp. O ( f ) ) toutes les fonctions intervenant dans une démonstration et dominées par f (rcsp. négligeables devant f ) , par un abus de langapc qui n'est pas sans créer dcs risques de confusion.

FVR V.10

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

52

Avec ces notations, les prop. 1, 2, 3 (V, p. 3) se traduisent comme suit: si g = O, (f) et h = O(g), alors h = O, (f) ;on peut écrire n

2 A,O, (J)

i =1

=

,

On+ (f)

(A, scalaires)

De même, la prop. 4 (V, p. 5) montre que si g = O,(f) et h = o(g) (resp. g = o,(f) et h = O(g)), on a h = o,(f), et les prop. 5 et 6 (V, p. 5) s'expriment sous la forme n

2

(3)

i = l &O,(

f)

=

on + (f)

(A, scalaires)

-

o(g). La notation O(1) (resp. o(1)) La relation f g équivaut à f = g idésigne une fonction bornée dans un ensemble de 8 (resp. une fonction tendant vers O suivant 8).

3 2.

DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES

1. Échelles de comparaison

Soient E un ensemble filtré par un filtre de base 8, et K un corps valué non discret (le plus souvent K = ou K = C). Dans l'ensemble des fonctions de z ( 8 , K) non équivalentes à O modulo R, (c'est-à-dire telles que dans tout ensemble de 8, il existe un point au moins où la fonction ne s'annule pas), la relation >. En d'autres termes, sif et g sont deux fonctions de 8, on a toujours entref et g une (et une seule) des trois relationsf « g, g «f,f = g. Il s'ensuit que dans 8, la relation f h g (et a fortiori 1 f 1 a 1g1, où a est un nombre > 0) entraînef = g. Toute partie d'une échelle de comparaison est évidemment une échelle de comparaison. N

Exemples. - 1) Pour x réel tendant vers +co, l'ensemble des fonctions x" ( a nombre réel arbitraire) est une échelle de comparaison. II en est de même des fonctions (x - a)" lorsque 8 est l'ensemble des intervalles ouverts d'origine a. 2) Pour z complexe tendant vers co, l'ensemble des fonctions zn (n entier rationnel) est une échelle de comparaison; il en est de même des fonctions ( z - a)n lorsque 8 est la trace sur le complémentaire du point a E G du filtre des voisinages de ce point.

No 2

FVR V. 11

DÉVELOPPEMENTSASYMPTOTIQUES

3) Soit F un espace normé; l'ensemble des fonctions ]lx- alla (a nombre réel arbitraire) est une échelle de comparaison lorsque 8 est la trace sur le complémentaire de a du filtre des voisinages de ce point. O n notera que si p et q sont deux normes distinctes sur F, la réunion des deux échclles de comparaison formées des fonctions (P(x - as))@ et (q(x - a))" n'est plus en général une échelle de comparaison. 4) Pour x réel tendant vers +GO,l'ensemble & des fonctions de la forme exp(P(x)), où p(x) parcourt l'ensemble des polynômes sans terme constant (à coefficients réels), est une échelle de comparaison: il suffit de remarquer que le quotient de deux fonctions de & appartient encore à &, et qu'une fonction exp(p(x)) tend nécessairement vers O ou + GO si p # O; en effet, on a alors ~ ( x ) axn, où n > O et a # O; si CI > O, P(X) > axn pour x assez grand; si a < O, p(x) < 4axn pour x assez grand; dans le premier cas, exp(p(x)) tend vers +CD, et dans le second cas vers O. 5) Pour x réel tendant vers +GO,l'ensemble & des fonctions de la forme xE(logx)D (définies pour x > 1)' où a et P sont des nombres réels arbitraires, est une échelle de comparaison. En effet, ici encore le quotient de deux fonctions de & est une fonction de 8; il suffit donc de montrer que si a et (3 ne sont pas tous deux nuls, xE(logx ) tend ~ vers O ou vers +CO; c'est évident si ct = O, # O; si CI > O, on a (log x) - 0 « xu, et si a < O, (log x)O « x-" quel que soit P, d'où la proposition.

-

+

O n observa que cette dernière échelle de comparaison est un ensemble totalement ordonné (pour la relation a f g ou f = g n) dont la structure d'ordre est isomorphe à la structure d'ordre lexicographique de R2 (E, III, p. 23) ; on rappelle que dans cette structure, la relation (cc, p) < (y, 8) signifie O (cf. A, VI, $2, no 1. Exemple 2).

«

-1

Soit cp une application d'un ensemble F dans E, telle que (~(8) soit une base de filtre sur F. Si 8 est une échelle de comparaison sur E (pour la base de filtre 3)' les fonctions f 0 y, où f parcourt 8, forment une échelle de comparaison sur F (pour la base de filtre @'(s)). 2. Parties principales et développements asymptotiques

Soit 8 une échclle de comparaison formçe de fonctions à valeurs dans un corps valu6 non discret K. Soit V un espace normé sur Ky et soit f une fonction de ag, 3f(8, V) ; s'il existe une fonction g E 8, et un élément a j O de V tels que f on dit que ag est une partie principale de f relativement à l'échelle 8.D'après la déf. 1 de V, p. 10, f ne peut avoir qu'une seule partie principale relative à 8, car si gl, g, sont deux fonctions de 8, a,, as, deux éléments # O de V, la relation

-

FVR V.12

92

ÉTUDE LOCALE DES PONCTIONS

-

algl a2g2 entraîne /g, 1 Ig21, et par suite g, = g,, d'où (a, - a,)g, «g,, et comme g, n'est identiquement nulle dans aucun ensemble de 8, cela entraîne 8, =

al.

Si f admct une partie principale relativement à une échelle de comparaison 8, elle admet ln même partie principale relativement à toute Çchelle de comparaison 8' 3 B. Exemples. - 1) Pour x réel (resp. complexe) tendant vers + K I (resp. vers KI),tout polynôme aoxn a,xn-l + . + an à coefficients dans V, tels que a, f O, a pour partie principale aoxnpar rapport à l'échelle des xn (ou de toute échelle contenant les aOxm . . a, xn). O n en déduit que toute fraction rationnelle boxn . bn à coefficients réels ou

.-

+

+ + + - .+

complexes tels que aobo # O, a pour partie principale

2 xm-npar rapport à la même

bo échelle. 2) Une fonction peut être comparable à toutes les fonctions d'une échelle de comparaison sans admettre de partie principale par rapport à cette échelle. Par exemple, pour x réel tendant vers +CO, 4.: n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle des xn, où n est entier rationnel; log x n'a pas de partie principale par rapport à l'échelle des xa (cc réel quelconque) ; e x p ( d G ) et xX = e X 1 O g x n'ont pas de partie principale par rapport à l'échelle des xa(log x)D, ni par rapport à l'échelle des exp (p(x)) (p polynôme sans terme constant).

La notion de partie principale est susceptible d'une généralisation étendue. Supposons en effet qu'une fonction f E X ( 3 , V) ait une partie principale a,g, par rapport à une échelle 8 ; la relation f a,g, équivaut à f - a,g, «g, (V, p. 6, déf. 4) ; pour étudier de façon plus précise la fonction f, on est donc amené à considérer la fonction f - a,gl. Si cette fonction a une partie principale a2g2par rapport à 8, on aura nécessairement g, «g, et f - a,gl - a2g2« g2. D'une façon générale, supposons que l'échelle 8 soit écrite paramétriquement sous la forme (g,), où a parcourt un ensemble d'indices A muni d'une structure d'ensemble totalement ordonné isomorphe à l'opposée de la structure d'ordre de 8: la relation K < P est donc équivalente à gD«g,. Dans ces conditions : DEFINITION 2. - On dit qu'une fonction f E Yi($,V) admet un développement asymptotique à la précision g, (relativement à l'echelle 8) s'il existe une famille (a,),,, d'éléments de V, nuls sa$ un nombrejni d'entre eux, tels que f -

-2

2

1 a,g,

,401

«L.On dit

a,g, est an développement asymptotique de f à la précision &, que les a,g, ( h 6 a) que, O ne soient pas tous nuls), c, est un développement asymptotique de h of à la précisiong;.

Dans le reste de ce no,nous nous bornerons au cas où les fonctions de d o n t des valeurs réelles et strictementpositives dans un ensemble de 8, et nous ne considérerons que les développements asymptotiques de fonctions de %(a, R). Supposons d'abord que pour toute fonction g E 8 et tout nombre réel v, gVappartienne encore à &: cette condition est par exemple remplie par l'échelle des x", ou celle des xa \log XI* ( a et P réels quelconques) au voisinage de +CO ou au voisinage de O dans R. Cette propriété entraîne que le quotient de deux fonctions de d appartient encore à 8. Cela étant, d'un développement asymptotique relatif à & d'une fonction f E %(B, R), à la précision g,, on peut déduire un développement de ] f lv pour tout nombre réel v. Bornons-nous en effet au cas où les coefficients du développement de f ne sont pas tous nuls, et soit a,g, la partie principale de f ; on peut écrire 1f IV = [aylvg,Y(l$ h)V,avec

En vertu des hypothèses faites

whaa

5 est un développement asymptotique aygy

de h, à la précision g,/g,; comme h tend vers O suivant 8, la méthode décrite cidessus donne un développement asymptotique de (1 + h)V,puis un développement de 1 f IV en multipliant par laylvgy.

FVR V.16

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

Sous les mêmes hypothèses surf, on peut écrire 1% I f l = log la,g,l + log(l + h) et log (1 + h) se développe comme il a été dit plus haut, la fonction log (1 t ) étant indéfiniment dérivable au voisinage de O; si en outre log g, admet un développement asymptotique par rapport à &, ou par rapport à une échelle &, 2 &, on obtient un développement asymptotique de log 1f 1 en faisant la somme de deux développements asymptotiques.

+

Exemple. O on a log (1

1

- log (1 X

n a (1

+ x)

+ x)lIx

= logx

+ log

= erp

:(

log (1

+ ,Y)); lorsque

x tend vers + m ,

(1 + -il, d'où le développement asymptotique de

+ x) par rapport à l'échelle des xa (log x)B: 1 -log (1

x

+ x)

=

log x -

1

1

De ce développement, et du développement de Taylor u2 u3 eu = 1 u - o(u3) 6 2 au voisinage de u = O, on tire par les méthodes exposées ci-dessus, le développement asymptotique 1 log x 1 (log x)2 1 1 (log 4 3 + -log - -x (1 + x)llX = 1 - -+x 2 x2 x2 6 x3 zX3 + Op($) par rapport à l'échelle des xa(log x)o.

+ + + +

+

+

Les hypothèses et les notations restant les mêmes, le développement asymptotique de ef ne pose de nouveaux problèmes que lorsque f » 1; il faut alors distinguer deux cas, suivant que g, » 1 ou g, 1. Dans le premier cas, la donnée du développement de f ne permet pas d'obtenir une partie principale de ef relative à &, car on ignore en général si le reste r, tend vers 0, c'est-à-dire si ere tend


O tel que donc, pour tout x > b,

I /:

d'où la proposition. COROLLAIRE 1. -Si f et g sont des fonctions réglées 2 O dans l'intervalle (a, +a(, telles quef g, et si f, " g(t) dt = m, on a "f (t) dt = + co.

>

+

No 2

DÉVELOPPEMENTSAU VOISINAGE DE

+ CO

FVR V. 19

COROLLAIRE 2. -Sif et g sont 2 O et non identiquement nulles dans (a, +a(et telles quef =:g, on a f (t) dt =: g(t) dt.

a!

Sa

2. Application: critères logarithmiques de convergence des intégrales

Par un choix convenable de la fonction g, on peut déduire de la prop. 1 deV, p. 18, et de son cor. 1 des critères permettant d'affirmer que l'intégrale Jaf "f (t) dt d'une fonction f 2 O est convergente ou infinie: il suffit de choisir pour g une fonction dont on connaît une primitive. En particulier, comme xN a pour primitive %lL+l

~

+

lorsque p # - 1, et log x lorsque p = - 1, on a le critère suivant: l

PROPOSITION 2 (a critère logarithmique d'ordre O D).-Soitf unefonction réglée 2 O dans l'intervalle (a, + CO(;si f (x) , ixv pour un p < - 1, l'intégrale " f (t) dt est convergente; sif (x) xUpour un p 2 - 1, l'intégrale "f (t) dt est infinie.

>

1;

Ce critère ne permet pas de conclure lorsque l/xl «f (x) « l/x pour tout exposant a > 0, par exemple pour f (x) = 1/x(log x)lL(p > O). Mais dans ce 1 si p # 1 et log log x si = 1. dernier cas, f a pour primitive -(log x)lmW 1-P Par suite: +"

3 ((( critère logarithmique d'ordre 1 ))). -Soitf unefonction réglée 2 O PROPOSITION dans l'intervalle (a, +col;sif (x) l/x(log x)U pour un p > 1, l'intégrale "f (t) dt ~ un p < 1, l'intégrale "f (t) dt est infinie. est convergente; si f (x) I/x(log x ) pour

>


1; on dit que ln(x) est le n-ème logarithme itéré de x (cf. 1 Appendice). On vérifie aussitôt que -(1,(x)) l-" est une primitive de 1-P

,

pour p # 1, et ln+ (x) une primitive de

1 Par suite : x.ll(x). 12(x).. .ln-&) .ln(%)

4 (((critère logarithmique d'ordre n )>).-Soitf unefonction réglée 2 O PROPOSITION 1 dans l'intervalle (a, CO(;sif (x) pour un p > 1, x - ~ I ( x* )l 2 ( ~-)-ln-l(x) (1n(x))lL

+


- 1 et q > - 1. Lorsqu'il en est ainsi, cette intégrale est dite intégrale eulérienne de première espèce et notée B(p 1, q i- 1) (cf. VII, p. 8). 2) Considérons l'intégrale t x - l e ë t dt. Comme e-t 1 au voisinage de O, pour que cette intégrale converge, il faut que x > O; cette condition est aussi sufisante car on a e-' « t-O quel que soit p > O. Lorsque x > 0, l'intégrale a u voisinage de +a, est dite intégrale eulérienne de seconde espèce et notCe î ( x ) (cf. VII, p. 7).

+

-

3. Intégration des relations de comparaison: II. Relations fortes

PROPOSITION 6. -Soient f une fonction vectorielle réglée, g une fonction numérique réglée et 2 O dans (a, +cm(. 1" Si l'intégrale g(t)dt est convergente, la relation f «g (resp. f cg, od c est

-

Sa"

constant) entraîne

5; " f ( t ) dt « J-l" g(t) di (resp. 1; " f (t) dt

2 O Si l'intégrale

c

1; * g(t) dt).

fa+ " g(t) dt est inJinie, la relation f «g (resp. f - cg) entraine

quels que soient cr. et p dans (a, +a(.

N

No 3

DÉVELOPPEMENTSAU VOISINAGE DE

+ CO

FVR V.21

Il suffit de démontrer la proposition concernant la relation f «g, puisque, si c # O, la relation f cg est équivalente à f - cg «g. La première partie est une conséquence immédiate du théorème de la moyenne, car si on a Jlf(x)I < cg(%)pour x > xo, on en tire

-

:1

11:

* ~lf(t) 11 dt < c * g(t) dt pour x à xO. f(t) dtll c En second lieu, supposons que g(t) dt = +CO. Si I]f(x)II < cg(%)pour x 3 xo à max (cr, p), on a

\If@) /I dt

=

/af

jxO I l f (t)11 dt + 1% [If (t) I dl G 1%' /If (t) 1 dt +

dt

xo

a

Or, il existe x, à xo tel que pour tout x à x,

d'où, pour x 2 x1

ce qui achève la démonstration, E > O étant arbitraire. En d'autres termes, on peut intégrer les deux membres d'une relation forte f «g, f ag, lorsque g est positive dans un intervalle (a, +CO(,sans que la relation cesse d'avoir lieu entre les primitives des deux membres, pourvu qu'on ait soin d'intégrer de x à oo si " g(t) dt est convergente et de cc à x (cr quelconque dans (a, co() dans le cas contraire. N

+

+

/af

On notera que les prop. 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) sont encore valables lorsque 8 est la base de filtre formée de la trace des intervalles (t, f i a ( (où t > a ) sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable (cf. 1, p. 23, th. 2). Exemjles. - 1 ) En appliquant la prop. 6 de V, p. 20, à la relation l/x « xa-l où cc > O, on retrouve la relation log x < xa pour tout cr > O, équivalente à la relation ylla « eY démontrée dans III, p. 16.

2) On a

(5)'

=

f(1 - 4)

w

déduit de la prop. 6 de V, p. 20, que

e X / x ; comme eX/x tend vers JIX

;

- dt

N

+ia

avec x, on

eX/x.

Remarque. - Lorsque g n'est pas supposée rester > O dans un intervalle (a, +-co( g(t) dt n'est pas convergente, la (ou rester < O dans un tel intervalle), et que g(t) dt, comme le montre f (t) dt relation f g n'entrahe pas nécessairement N

(

l'exemple où g(x) = sin x et f (x) = 1 f

Sz

Sa

N

- sin x; on a en effet

FVR V.22

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

d'où

ln

nn

et l'intégrale 49, exerc. 4).

sin2 t Idt

ST dtjt est infinie, alors que jz- g ( t ) dt = - cos x reste bornée (cf. V, p. 2

4. Dérivation des relations de comparaison

-

Les propositions 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) n'admettentpas de réciproque: l'existence d'une relation de comparaison f g, f « g, f cg entre deux fonctions dérivables au voisinage de + co n'entraîne pas nécessairement la même relation de comparaison entre leurs dérivées, même lorsqu'il s'agit de relations de comparaison entre fonctions numériques et monotonesf et g.


1) ;on a vu que dtllog t xllog x, et la dt - - -?est une primitive de l/(log x ) ~ ;on peut de nouveau différence a log t log x appliquer à cette fonction la prop. 8, qui donne dt/(log t)2 x/(log x ) ~ .Par récurrence, on obtient ainsi le développement

Sz

N

N

O n notera que, quel que soit n, tous les termes de ce développement tendent vers avec x. ex ex ex 2) Soit f ( x ) = -; on peut écrire f ( x ) = - x2 1 xZ donne les développements +a,

+

d'où par addition

No 1

FVR V.27

APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS

5 4.

APPLICATION AUX SÉRIES A TERMES POSITIFS

1. Critères de convergence des séries à termes positifs

Dans tout ce paragraphe, nous entendons (par abus de langage) par série à termes positifs une série (un) à termes réels tels que un 2 O à partir d'une certaine valeur de n. Tout ce qui sera dit sur ces séries s'étend aussitôt par changement de signe aux séries dont tous les termes sont < O à partir d'une certaine valeur de n. O n a vu (II, p. 14, Exemple 3) qu'à toute suite (un),, de points d'un espace normé E, on associe une fonction en escalier u définie dans (1, +m( par les conditions 1: alors, pour que la série (un) soit convergente, il u(x) = un pour n < x < n faut et il suffit que l'intégrale J": " u(t) dt soit convergente.

,

+

Soient (un) et (v,) deux séries à termes positifs, u et v les fonctions en escalier associées: la relation un < vn pour n 2 no équivaut à u(x) < v(x) pour x 2 no. Par suite, chacune des relations un un, un «un, un vn est respectivement équivalente à u(x) v(x), u(x) « v(x), u(x) u(x); cette remarque permet de traduire comme suit les propositions 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) :


i) =

+ m. Si u est la fonction en escalier associée à la série (g(n)) (V, p. 27)'

on a u(x) 6 g(x) à partir d'une certaine valeur de x, donc u

< g et par suite

-

comme sn = sn-, + g(n), on a bien sn g(n). Démonstration analogue lorsque g est d'ordre - m par rapport à ex; on a alors la formule (2). 2" Si g est d'ordre p par rapport à ex, on peut écrire g(x) = eVxh(x),où h est px pour y # O d'ordre O par rapport à ex; en outre, par hypothèse, log g

-

(log g « x pour p

=

O) entraîne h' 4: h. Supposons d'abord que

03

2 g(n) = + m

n =1

(ce qui implique p O, et est réciproquement toujours vérifié si p > 0, puisg(t) dt. qu'alors g(x) tend vers + co avec x) ;évaluons une partie principale de J": On peut écrire

-,

Or, la relation h' « h signifie que, pour tout z > O, il existe no tel que la relation x > no entraîne Ihf(x)/h(x)l 6 E ; on en déduit, pour n - 1 6 t 6 n,

No 2

APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS

que - E d'où

< log Ih(t)/h(n)1 < E d'après le th. Ih(t) - h(n)l


O, on démontre que

~+S ( a + 1 ) ( a + 2 ) . . .(a $ 12) N ~ ( c z ) n ~ + e-n. (6) Nous déterminerons également la fonction K(a) ( V I I , p. 18). Des formules (5) et ( 6 ) on tire en particulier

pour tout nombre réel a distinct d'un entier > O, y(a) étant une fonction de a qui sera précisée dans V I I , p. 18.

4. Application: critères de convergence de seconde espèce pour les séries à termes positifs

On rencontre assez souvent des séries (un), pour lesquelles un > O à partir d'un certain rang, et un+&, a un développement asymptotique facile à déterminer. Il est commode, pour de telles séries, d'avoir des critères (dits critères de seconde espèce) permettant de déterminer si la série est convergente d'après le seul aspect de un+Jun. U n tel critère est le suivant: PROPOSITION 7 (a critère de Raabe O ) . - Soit (un) une série à termes > O à partir d'un certain rang. Si, à partir d'un certain rang, un + ,/un Q 1 -

a

-n pour

la série (un) est convergente; si à partir d'un certain rang, un+,/un 2 1 -

un a > 1, 1

-, la série n

(un)a une somme infinie. En effet, si un+,/u,

fJ

i).or, on


1, pour tout n B no, on a un

(2

O, le critère de seconde espèce suivant:

(1 -

+

>

( :)-

N

No 4

FVR V.35

APPLICATION AUX SÉRIES À TERMES POSITIFS

PROPOSITION 8. - Soit (un) une série à termes > O à partir d'un certain rang. Si, à partir d'un certain rang, on a

pour un C( > 1, la série (un) est convergente; si, àpartir d'un certain rang, on a

la sérÊe (un)a une somme inJinie. Exemnfile. - Considérons la sér-iehypergéonzétrique, de terme général

où or, fi, y sont des nombres réels quelconques, différents des entiers < O; il est clair que un est > O à partir d'un certain rang, ou < O à partir d'un certain rang. O n a

+

P < y, Le critère de Raabe montre donc que la série est convergente pour cc et a une somme infinie pour or p > y ; lorsque cc P = y, la série a encore une somme infinie, comme le montre la prop. 8.

+

+

Remarques. - 1) Comme cas particulier d u critère de Raabe, on voit que si lim-sup u,, + ,/un < 1, la série (un)est convergente; si au contraire lirneinf un+,/un > 1, n- m

n- m

la série a une somme infinie (critére dc d'Alembert).

2) Les critères de seconde espèce ne peuvent s'appliqucr qu'à des séries dont le terme général se comporte de façon très régulière lorsque n tend vers +oz ; autrement dit, leur champ d'application est bien plus restreint que celui des critères logarithmiques, et ce serait une rnaladrcsse que de vouloir les utiliser en dehors dcs cas spéciaux auxquels ils sont particulièrement adaptés. Par exemple, pour la série (un) définie par u,, = 2-"', u2,+, = 3-m, on a 2 1 2 m + l / ~ 2 m = ($)m, = 1,(z) 3 m ; le premicr de ces rapports tcnd vers O ct lc second vers co lorsque m croît indéfiniment, donc aucun critère de seconde espèce n'est applicable; cependant, comme u,." . 2 -"12. il est immédiat aue la série est convereente. " Même lorsque U , + ~ / U , a une exprcssion simple, une évaluation directe d'une partie principale de un conduit souvcnt au résultat aussi vite que lcs critères de seconde espèce. Par exemple, pour la série hypergéométriquc, la formule de Stirling ana+B-y-,, où a est une constante #O, et le critère logamontre aussitôt que un rithmique d'ordre O est par suite applicable.

+


> (V, p. 2)) et que l'ensemble quotient S(8, R)/R, est muni d'une structure d'anneau ayant un élément unité.

IR), on dit que a/R, DÉFINITION1. -Étant donné un sous-ensemble BY de Z($, (image canonique de % dans A?(& R)/R,) est un corps de Hardy, si BY satisfait aux conditions suivantes: R)IR,. l0 @IR, est un sous-corps de l'anneau Z($, Z0 Toute fonction de 9 est continue et dérivable dans un intervalle (a, +CO((dépendant de la fonction), et la classe suivant R, de sa dérivée appartient à %/Ra. L'hypothèse que BY/R, est un corps équivaut aux conditions suivantes: si f E 9 et g E 9,f + g etfg sont égales à des fonctions de 9 dans un ensemble de $; en outre, si f n'est pas identiquement nulle dans un ensemble de 8, il existe un ensemble M de 8 dans lequel f ne s'annule pas, 11f étant égale à une fonction de BY dans M; d'après la condition 2") on peut toujours supposer M pris tel quef soit continue dans Myet par suite garde un signe constant dans cet intervalle. Par abus de langage, si BY est tel que @IRmsoit un corps de Hardy, nous dirons dans ce qui suit que R lui-même est un corps de Hardy. Exemples. - 1) Tout corps de Hardy contient le corps des constantes rationnelles

No 2

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)

FVR V.37

(plus petit corps de caractéristique 0, cf. A, V, $ l), qu'on peut identifier au corps Q ; d'ailleurs, comme deux constantes ne sont congrues modulo R, que si elles sont égales, Q/R, est identique à Q. Les constantes réelles forment aussi un corps de Hardy, qu'on peut identifier à R. 2) Un exemple plus important de corps de Hardy est l'ensemble des fonctions rationnelles à coe$îcients réels, que nous noterons R(x) par abus de langage; si f (x) = p(x)/q(x) est une fonction rationnelle à coefficients réels, non identiquement nulle, elle est continue, dérivable et # O dans l'intervalle (a, + a(,où a est strictement supérieur à la plus grande des racines réelles des polynômes p(x) et q(x) ; donc tout élément de R(x)/R, autre que O est inversible. On notera encore que deux fonctions rationnelles ne peuvent être congrues modulo R, que si elles sont égales, donc R(x)/R, peut encore être identifié à R(x). 2. Extension d'un corps de Hardy

Étant donné un corps de Hardy @, nous allons voir comment on peut former de nouveaux corps de Hardy 9' 2 9 tels que @'/R, s'obtienne par adjonction à @/Ra (au sens algébrique du terme, cf. A, V, $ 2) de nouveaux éléments, d'une forme que nous allons préciser. Lemme 1. -Soient a(x), b (x) des fonctions numériques continues et ne changeant pas de signe dans un intervalle (x,, +a[.Si, dans cet intervalle, la fonction y(x) est continue et dérivable et vérijie l'identité il existe un intervalle (x,, + CO(dans lequel y ne change pas de signe. a(t) dt) (cf. IV, p. 22); on a, d'après En effet, posons z(x) = y(x) exp (1), Z' (x) = b(x) exp ( - JXo a(t) dt). Si b(x) 3 O pour x 3 x,, z est croissante dans cet intervalle, donc, ou bien est < O dans tout l'intervalle, ou bien est nulle dans un intervalle (x,, +CO(,ou bien est > O dans un intervalle (x,, +GO(;comme y a le même signe que z, la proposition est démontrée dans ce cas. Raisonnement analogue si b(x) < O pour x 3 x,.

(-!XI,

Remarque. - Cette propriété si élémentaire ne s'étend pas aux équations différeny = 0, tielles linéaires d'ordre > 1 ; par exemple, la fonction y = sin x satisfait à y" mais change de signe dans tout voisinage de m.

+

+

Lemme 2. -Soient a(x) et b(x) deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy 9, y(x) une fonction satisfaisant à l'identité (1) dans un intervalle (x,, + a( où a et b sont d$nies et continues. Si p(u) est un polynôme par rapfort à u, dont les coeficients sont des fonctions de x appartenant à @, d$nies et dérivables dans (xo, +cm(, il existe un intervalle (xi, + GO(,dans lequel lafonction p(y) ne change pas de signe.

FVR V.38

APP-

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

La proposition est triviale si p(u) a ses coefficients identiquement nuls dans (x,, +CO(, ou si p(u) est de degré O par rapport à u, puisqu'une fonction de 9 garde un signe constant dans un intervalle (x,, + coq. Supposons que p(u) soit de degré n > O ; le coefficient dominant c de P(u) est alors f. O dans un intervalle (a, + C O [ ; on peut donc écrirep(u) = c(un + clun-l + . . + 6,) où C, cl, c2, . . .,C, sont des fonctions appartenant à 9 et dérivables dans (a, +CO(;il suffit donc de démontrer le lemme pour c = 1. Raisonnons alors par récurrence sur n; on a

+ ciyn-l +

. . . + 6;

=

na.P(y)

+ q(y)

où q(u) est un polynôme de degré < n - 1, à coefficients dans 9. Par hypothèse, les fonctions na(x) et q ( y ( x ) )ne changent pas de signe dans un intervalle (p, +CO(; le lemme est donc une conséquence du lemme 1. THÉORÈME 1. -Soient a(x) et b ( x ) deux fonctions appartenant à un même corps de Hardy P, y(x) une fonction satisfaisant à (1) dans un intervalle (x,, +CO[. Lorsque r(u) = p(u)/q(u) parcourt l'ensemble des fractions rationnelles en u à coejicients dans 6 telles que q ( y ) ne soit pas identiquement nulle dans un voisinage de +CO,l'ensemble S ( y ) des fonctions r ( y )forme un corps de Hardy. En effet, d'après le lemme 2, il existe un intervalle (x,, + a ( dans lequel r ( y ) est définie, continue et ne change pas de signe, d'où résulte aussitôt que S ( y ) / R , est bien un corps; d'autre part, comme

(où r'(y) = ( p l ( y ) q ( y )- p ( y ) q ' ( y ) ) / ( q ( y ) ) 2est définie par hypothèse dans un voisinage de + a )la , dérivée de toute fonction de @(y) appartient à @(y), ce qui prouve que @ ( y )satisfait aux conditions de la déf. 1 de V, p. 36. Il est clair que 9(y)/R, s'obtient par adjonction algébrique à @/Rade la classe de y modulo R,. On dit encore que @( y) s'obtient par adjonction de y à 9.

COROLLAIRE 1. - Si y est une fonction de 9 non identiquement nulle dans un voisinage de + a,@(log1 y ] )est un corps de Hardy. En effet, (log 1 y])' = y'/y est égale à une fonction de 9 dans un intervalle ( ~ 0+ , 4. COROLLAIRE 2. - Si y est unefonction quelconque de 9, P(eY) est un corps de Hardy. En effet, (eV)' = eyy', et y' est égale à une fonction de 9 dans un intervalle (xo, +al. COROLLAIRE 3. - Si 9 contient les constantes réelles, et si y est une fonction de 6 non

No 3

F'VR V. 39

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)

identiquement nulle dans un voisinage de +co, 9(ly/") est un corps de Hardy pour tout nombre réel a. d En effet, - (/y]") = ]y)"( q f / y ) , et ixy'ly est égale à une fonction de 9 dans dx un intervalle (x,, + GO(. Notons enfin que si y est une primitive d'une fonction quelconque de 9, S(y) est encore un corps de Hardy.

3. Comparaison des fonctions d'un corps de Hardy

PROPOSITION 1. - Deuxfonctions appartenant à un même corps de Hardy sont comparables d'ordre quelconque (V, p. 22). En effet, si f appartient à un corps de Hardy 9, pour tout entier n > O, il existc un intervalle (x,, + GO( dans lequel f est n fois dérivable, sa dérivée n-ème étant égale à une fonction de 9 dans cet intervalle. 11 suffit donc de montrer que deux fonctions quelconquesf, g de 9 sont comparables. C'est évident si l'une d'elles est identiquernent nulle dans un voisinage de + co ;on peut donc se borner au cas où elles sont toutes deux strictement positives dans un voisinage de + m . Mais alors, pour tout nombre réel t, f - tg est égale à unc fonction de 9 dans un voisinage de +GO,donc garde un signe constant dans un voisinage de +GO,ce qui démontre la proposition (V, p. 8, prop. 9). O n déduit d'abord de cette proposition que, si un corps de Hardy 9 contient lcs constantes réelles (ce que nous supposerons toujours par la suite), et si f et g sont deux fonctions quelconques de 9, deux quelconques des fonctions ef, eg, log 1 f 1, log Igl, 1 f I", /gl" (ix réel quelconque), JaS) g (a réel quelconque dans un intervalle (x,, +a$ où f et g sont réglées) sont comparables (lorsqu'ellcs sont définies); en effet, deux quelconques de ces fonctions apparticnnent à un même corps de Hardy obtenu en les adjoignant successivement à @. De même, toute fonctionf (x) d'un corps de Hardy 9 est comparable à x, car x et f (x) appartiennent au corps de Hardy %(x)obtenu en adjoignant x à 9. O n en conclut donc (en particulier) que f est comparable d'ordre quelconque à toutc puissance xC",ainsi qu'à log x et à ex. O n voit aussi que, si f et g appartiennent à un même corps de Hardy 9, si et si g(x) tend vers O ou vers + co lorsque x g(x) > O dans un intervalle Qx,, +a[, tend vers +a,l'ordre def par rapport à g (V, p. 9) est toujours défini. La prop. 8 de V, p. 23, est donc applicable à toute îonction f d'un corps de Hardy, et prouve que :

Sa

1" sif'est d'ordre -i-c o par rapport à x,

J'a f (t) dt - (f (x))'/ f

'(x).

FVR V.40

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

1 Saf (t) dt xf (x). ~ + 1 1 3" si f est d'ordre p < - 1 par rapport à x, Sxf "f ( t ) dt - --, 1 .f(x). 2O si f est d'ordre p > - 1 par rapport à x,

N

+

4-O

sif est d'ordre - co par rapport à x

JX " f (t) dt - - (f ( x ) ) ~f/'(x).

O n a en outre la proposition suivante : PROPOSITION 2. -Soitf unefonction appartenant à un corps de Hardy R. 1 Sifest d'ord~ezninipar rapport à x, on a, pour tout entier n > 0,

2O Sif est d'ordrejini ppar rapport à x, on a, pour tout n > 0,

sauf si p est entier > O et n > p. l0 Sif est d'ordre infini par rapport à x, on a log 1 f 1 » log x, donc, puisque log]f J et log x sont comparables d'ordre q~~elcunquc, f '/f » llx. Posons g = f '1f ; comme g est égale à une fonction de 9 dans un voisinage dc +a,on déduit de l/g « x, que g'/g2 « 1, et par suite gl/g « g = f 'If, ou cncore fg' «gf'.De la relationf ' = fg, on déduit cn dérivant

-

f" = f g l + g f ' gf' ou encore f "/f ' f'lf. Le même raisonnement, appliqué à f (") au lieu de f , montre, par récurrence sur n, que f ( " ) / J ( "l)- f '/ f ; d'où la relation (2).

-

-

-

2" Si f est d'ordre fini p par rapport à x et si p + O, on a log 1 f 1 p log x, ~f l-; .( 4 on en déduit que fr est d'ordre p - 1 par rapd'où, en dérivant, f'(x) x port à x, ce qui permet d'appliquer le même raisonnement par récurrence sur n tant que p, # n, d'où la formule (3) lorsque p n'est pas un entier 3 O ct < n.

-

Lorsque f est d'ordre entier j~ > O par rapport à x, on peut écrire f (x) = x~'(x), où f,est d'ordre O par rapport à x. D'après la prop. 2, on a

f'"'"fi! fi. Pour évaluer les dérivées d'ordre n > fi, on peut donc se borner au cas où fi = 0. Alors, on a log 1 f 1 d log x, d'où fr(x)/f (x) « Ilx, autrement dit xf '(x) «f (x); si f n'est pas équivalente à une constante k # O, on a, en dérivant cette relation (V, p. 22, prop. 7), xf "(x) f '(x) O

O n peut montrer que si f est une fonction ( H ) quelconque telle que f deux entiers m et n tels que

).-

1, il existe

lm(x) «f(4 « e n b ) (V, p. 51, exerc. 1 et 52, exerc. 5). Par contre, on peut definir des fonctions croissantes g(x) (qui ne sont plus des fonctions ( H ) ) telles que g ( x ) » e,,(x) pour tout n > O, ou 1 « g ( x ) « lm(%)pour tout m > O (V, p. 53, exerc. 8,9 et 10).

A l'aide des logarithmes itérés, nous allons montrer qu'on peut définir une échelle de comparaison (pour x tendant vers + co) & formée de fonctions (H), qui sont > O dans un voisinage de + m et satisfont aux conditions suivantes: a) le produit de deux fonctions quelconques de 8 appartient à 8 ; b) pour toute fonctionf G & et tout nombre réel p, fi" E G; c) pour toute fonction f E 8 , log f est combinaison linéaire d'un nombre fini de fonctions de 8; d ) pour toute fonction f E & autre que la constante 1, ef est équivalente à une fonction de 8. m --

Considérons d'abord l'ensemble Go des fonctions de la forme

m =O

(lm(x))um,

No 5

FVR V.43

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)

où les cr, sont des nombres réels, nuls sauf pour un nombrc fini d'indices m; il est immédiat, d'après (5) (V, p. 42), que ccs fonctions forment une échelle de comparaison quisatisfait aux conditions a), b) et c). Définissons ensuite par récurrence sur n l'ensemble 8, (pour n 2 1) comme formé de la constante 1 et des fonctions de la forme exp

(SI

a, fk), où p est un entier > O arbitraire, fk (1 4 k 4 p) des fonc-

f,

tions de &,_, telles que »f2 )*. . . . »f, » 1, et les a, des nombres réels # 0; montrons par récurrence que 8,est une échelle de comparaison satisfaisant aux conditions a), b) et c) et contenant 6, - En premicr lieu, la relation 8, c gn est vraie pour n = 1, car le logarithme d'une fonction non constante de 8, est de

-,

,.

la [orme

5

k=l

akfk, où les f,sont des logarithmes itérés, donc > 1; d'autre part,

-,

,,

8,; cette définition si 8,-, c 6,- on déduit de la définition de 6, que 8, montre en outrc que bnsatisfait à a), 6) et c). Reste à voir que 8, est une Cchelle de comparaison: comme le quotient dc deux fonctions de 8,appartient encore à Q,, il sufit de prouver qu'une fonction f de 8, autre que la constante 1, ne peut P

être équivalente à une constante # O. O r on a log f

=

2 akfk

1, = 1

- a1f1 par

construction, et comme f, » 1, log f tend vers 2 a , donc f tcnd vers O ou vers + co lorsque x tend vers +CO. Cela étant, si 6 est la réunion des 8, pour n 2 0, Q est une Echelle de comparaison, car dcux fonctions de 8 apparticnncnt à une mênic échelle 8,; pour la même raison, Q satisfait à a ) , et il est clair qu'elle satisfait aussi à 6) et c). Enfin, sif E 8, il existe n tel que f E 8,; si f n'est pas la constante 1,f (x) tend vers O ou vers + GO lorsque x tend vers + co ; dans le premier cas, ef 1, et dans le second, ef appartient à 8,+,par définition, donc à 8.

-

Remarque. - Malgré l'utilité pratique de l'échelle & que nous venons de définir, il cst facile de donner des exemples de fonctions (H) qui n'ontpas departieprincipale par rapport à 8. En effet, si f est une fonction (H) telle que f ag, où a est une constante > O et g E 8, log f - log g - log a tend vers O avec l/x, donc log f admet, relativement à &, un développement asymptotique dont le reste tend uers O, en vertu de la propriété c). Or, si on considère par exemple la fonction (H)

, on

a log f (x)

=

exp

, donc

les développements

asymptotiques de logf par rapport à & sont de la forme

1

ex

II est clair que le reste de ce développement est équivalent à -(n + 1) ! xnfl' donc ne tend pas vers O. Par suite, f n'a pas de partie principale par rapport à 8.

FVR V.44

*PP-

ÉTUDE LOCALE DES FONCTlONS

6 . Fonction réciproque d'une fonction ( H )

Sif est une fonction (H),f est monotone et continue dans un intervalle [xo, + a ( , donc la fonction réciproque cp de la restriction de f à cet intervalle est monotone et continue au voisinage du point a = lim f (x) ; mais, si a est égal à +CD X+

(resp.

-CO,

+m

fini), on peut montrer que rp(y) (resp. rp(-y), cp

Toute( t) fois, nous allons voir que, dans certains cas importants, on peut obtenir une foncy a - - n'est pas en général égale à une fonction (H) au voisinage de

tion (II) équivalente à rp(y) (resp. Y( -y), rp

+CO.

et même parfois

un développement asymptotique de cette fonction par rapport à l'échelle 8 définie dans V, p. 43. Nous utiliserons la proposition suivante :

PROPOSITION 4. - Soient p et q deuxfonctions (H) strictement positives dans un intervalle (xo, +a[. l0 Sig «p/p1,onap(x q(x)) p(x). 2" Si on a à lafois q «plpr et q(x) « X, on ap(x - q(x)) p(x). Les deux parties dc la proposition sont évidentes si p k (constante # O) ; on peut donc supposer p(x) « 1 (sinon on raisonnerait sur llp). O n en déduit pf(x) « 1. q(x)pl(x 8q(x)) avec O 6 8 6 1 lo O n peut écrire p(x + q(x)) = p(x) (1, p. 22, corollaire). Comme Ipf(x)1 tend vers O lorsque x tend vers +a,et est égale à une fonction (H) dans un voisinage de +a,elle est décroissante dans un intervalle [xl, + a ( , donc, pour x 3 x,, on a If(x + 6q(x))( 6 (pl(x)1 ; comme q(x)) p(x). qp' «p, on a bienp(x 2" La condition q(x) « x assure que x - q(x) tend vers +COavec x. On a encore p(x - q(x)) = p(x) - q(x)pl(x - 6p(x)) avec O 6 O < 1. Le même raisonnement que dans la première partie de la démonstration montre que, pour x assez grand, on a Ipl(x - Oq(x))1 6 ]pt(x - q(x))1. Tout revient à montrer que

+

-

--

+

+

+

q(x)

'30)tend vcrs O lorsque x tend vers

P(x - q ( 4 ) si pl/p > 1, car alors

+m. La proposition est vraie

Ipr/$l est une Fonction (M) croissante pour x assez grand, donc q(x) k t ( x - d x ) ) l 6 q(x) IP'(x)l et on a qp' < p par hypothèse. Elle est IP(x)l' I P ( ~- q(x))I k (k constante # O), car alors vraie aussi si p'lp

-

No 6

FVR V.45

CORPS DE HARDY. FONCTIONS (H)

puisque x - q(x) tend vers +m. Reste uniquement à examiner le cas oùpf/p « 1. Supposons d'abord que p(x) soit d'ordre fini par rapport à x, donc (V, p. 22, 1 - 4b)) 0,(1), donc prop. 7) que p' (x)/p(x) « llx. O n a alors P(x-q(x)) x-dx) P ' b - 4(4) - d x ) 4(4 q(x)p(x-q(x)) -'0,(1) = 0,(1) et on voit que dans ce cas la proposition est vraie sous la seule hypothèse q(x) « x. Considérons enfin le cas où l/x «pf(x)/p(x) « 1; la fonction r = pf/p est alors d'ordre fini par rapport à x; comme d'après la remarque précédente, la prop. 4 de V, p. 44, est applicable à une telle fonction, on a Pr(x - q(x))/p(x - q(x)) pf(x)/p(x),et l'hypothèse qp' «p permet alors d'achever la démonstration.

-

Remarque. - Les conditions imposées à q ( x ) n e peuvent êtrc amkliorées, c o m m e le montrent les exemples suivants: q(x) = 1 =

p(x) = ex,

a)

P(x) -, fi'(%)

p(x

+ q(x)) = e . p b )

q ( x ) = x - l o g x < - = Px (l xo) g x , P'@) p ( x - q ( x ) ) = log log x «fi@).

fi(x)=logx,

b)

Nous allons d'abord étudier les fonctions réciproques d'un type particulier de fonctions (13) :

PROPOSITION 5. - Soit g une fonction (13) non équivalente à une constante # O et telle que g(x) « x, et soit u(x) la fonction réc$roque de x - g(x), déJinie dans un voisinage de +m. Soit (un) la suite de fonctions dgnie, par récurrence sur n, par les conditions u,(x) = x, g(un-,(x))pourn 2 l;onau,» l'et un(x) = x i-

u(x), yn = uTL(x);on a donc x = y - g(y), y, = x et y, = x + g(yn+,). O n en tire d'abord x/y = 1 - g(y) --; comme y tend vers + co Posons y

=

avec x, l'hypothèse g(x) « x montre que y

Y

=

u(x)

x

= y,;

en outre,

où z appartient à l'intervalle d'extrémités x, y; quand x tend vers + K I ,il en est donc de même de z, et comme g(x) « x, gr 4: 1, donc gr(z) tend vers O, et on a par suite y - x = g(x) o(y - x) d'où

+

FVR V.46

*PP

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

.

Montrons en second lieu, par récurrence sur n, que lorsque x tend vers +m,onau, » l , e t

En effet,y - y, = g(y) - g(y,-,) = (y - y,-,)gf(z,- ,), où 2,-,appartient à l'intervalle d'extrémités y et y,-, ; d'après l'hypothèse de récurrence, 2 , - , tend vers + m avec x, donc gf(z,- ,) tend vers O, ce qui démontre (13). O n déduit de cette relation et de (12) que u(x) - u,(x) « u(x) - x g(x) « x u(x), d'où u(x) et par suite un » 1. Enfin, la relation u(x) - u,(x) « u(x) - x u,(x) s'écrit aussi (u(x) - x) - (u,(x) - x ) « u(x) - x, d'où

-

-

-

-

-

Pour démontrer (1 1)' remarquons d'abord que, si t(x) est une fonction telle que t(x) - x g(x), on a g'(t(x)) gf(x). En effet, quel que soit E > O, pour x assez grand, g' est monotone, donc gl(t(x)) est comprise entre gf(x + (1 + ~ ) g ( x ) ) et (gf(x + (1 - E ) ~ ( x ) ) La . prop. 4 de V, p. 44, montre donc que gf(t(x)) g'(x), pourvu qu'on établisse la relation g «gf/g''. Or, si g est d'ordre infini par rapport à x, on a (V, p. 40, prop. 2) g"/gf gf/g, et comme gf « 1, g «g/gf gf/g"; si g est d'ordre fini p par rapport à x, on a nécessairement p < 1; si p < 1, comme g n'est pas équivalente à une constante # O, les formules (3) et (4) (V, p. 40) montrent que g"/gl k/.x (k constante # O), d'où encore g « gf/g"; enfin si p = 1, gf est d'ordre O par rapport à x, donc gU/g'« l/x, et par suite on a encore g « g'lg". Cela étant, comme 2,-, est compris entre y et y,-,, il résulte de (14) que g' (x) d'après ce qui précède; on a donc Z, - - x g(x), d'où g'(zn - ,)

-

-

-

-

-

Y - Yn d'où (11) par récurrence sur n.

(Y

-

- yn-i)gr(x)J

Remarques. - 1) Sig est d'ordre < 1 par rapport à x, la fonction u(x) - un(x) tend vers O avec l/x dès que n est assez grand. En effet, dans le cas contraire, on aurait ggfn» 1 pour tout n, donc g serait d'ordre infini par rapport à I/g'; autrement dit, on aurait log Igl »log Ig'l, d'où en derivant g'/g »g"/g'. Mais, si g est d'ordre < 1 par rapport

-

'"

g"/gf lorsque p = - m, EL - lorsque y f O et enfin s EL-lg' lorsque p = O (V, p. 40, no 3). Par contre, si g est d'ordre 1 par rapport à x, on pcut avoir ggrn» 1 pour tout entier n > O, comme le montre l'exemple g(x) = xllog x. 2) Lorsque g(x) est une fonction (H) équivalente à une constante k # O, on a g,(x), avec g, « 1; la fonction ul(x) = u(x) - k est fonction réciproque g(x) = k k), et on est ramené au cas traité dans la prop. 5 de V, p. 45. de x - g,(x à x, on a gT/g

g'/g

«gr'/g'

+

N

+

Pour avoir un développement asymptotique de la fonction u, il suffit donc d'avoir un tel développement pour la fonction un: si g admet un développement asymptotique par rapport à l'échelle considérée, on est ainsi ramené (en vertu de la définition des fonctions (PI)) aux problèmes examinés dans V, p. 14 à 17.

No 6

FVR V.47

CORPS DE HARDY. FONCTIONS ( H )

Au cas traité dans la prop. 5 de V ,p. 45, se ramène le cas plus général suivant: la fonction y = u ( x ) est supposée satisfaire à la relation

+

+

où cp est une fonction ( H ) , une fonction ( H ) telle que » 1 et que la fonction réciproque 0 de soit aussi une fonction (H), et g une fonction (H) telle que g « Soit alors v ( x ) la fonction réciproque de x - g(O(x));on a u = 0 v o cp, et g ( O ( x ) ) « x ; si on connaît un développement asymptotique de u grâce à la prop. 5 de V , p. 45, on en déduira un développement asymptotique de u par deV, p. 14 à 17.

+

+.

0

Exembles. - 1 ) Cherchons u n développement asymptotique de la fonction réciproque v(x) de x5 + x (pour x tendant vers +a) ;e n posant x5 = t, on est ramené à chercher u n développement de la fonction réciproque u(t) de t f t% (pour t tendant vers + co),c'est-à-dire à appliquer la prop. 5 de V , p. 45, au cas o ù g(t) = - t%. Calculons par exemple u2(t); on a 1 2 t-% + Ol(t-%). u2(t) = t - ( t - t%)% = t - t 1/ s + t-?4 + 5 25 D'autre part, d'après ( 1 1 ) (V,p. 45) 1 ~ ( t-) u2(t) --t-% 25 d'où 1 t-% + 02(t-%) U(t) = t - t% + -1 t-% + 5 25 N

et on e n déduit le développement cherché

2 ) Cherchons u n développement asymptotique de la fonction réciproque v(x) de la fonction xllog x; de l'identité x = yllogy, o ù y = u(x), on tire l o g x = log y log log y; posant z = log y, t = log x, on a t = z - log z, et on est donc ramené à développer la fonction réciproque u ( t ) de t - log t ; on a par exemple u2(t) = t

log t (log t)2 + log ( t + log t ) = t + log t + -7 + t 2t

O,

et d'autre part, d'après ( 1 1 ) (V, p. 45) ~ ( t -) u2(t)

N

log t t2

d'où u(t) = t

+ logt + -t

et en revenant au problème initial, on obtient le développement asymptotique v(x) = x log x

log log x + x log log x + x --+ log x

(

O X-

3

Remarque. - O n notera que deux fonctions ( H ) équivalentes peuvent avoir des fonctions réciproques non équivalentes, comme le montre l'exemple des deux fonctions log x et 1 log x.

+

Exercices

81

+ CO, la fonction f (x) = (Xcos2x + sin2x)e

1) Montrer que pour x réel tendant vers

est monotone, mais n'est pas comparable à ex', ni faiblement comparable à xx exa. 2) Soit cp une fonction strictement positive, définie et croissante pour x > O et telle que cp %- 1. a) Montrer que si la fonction log cp(x)/log x est croissante, la relation f 4 g entre fonctions > O entraîne cp 0f « cp 0 g si g % 1. b) Donner u n exemple où log p(x)/log x est décroissante, f et g sont deux fonctions >O g, mais cp of n'est pas équivalente à cp o g. telles que g % 1 etf N

8 3)

a) Soient (a,, pi) n couples distincts de nombres réels inf a, = inf pi = O. O n considère l'équation i

O, distincts de (O, O) et tels que

i

où les a, sont des nombres réels # O, les cpl des fonctions continues dans un carré O < x < a, O < y < a, et tendant vers O lorsque (x, y) tend vers (O, O). O n suppose qu'il existe une fonction g positive et continue dans un intervalle (O, b), tendant vers O avec x et telle que f (x, g(x)) = O pour tout x E (O, b). Pour tout nombre réel p > O, montrer queg(x)/x" tend vers une limite finie ou infinie lorsque x tend vers O (utiliser V, p. 8, prop. 9, en considérant, pour tout nombre t 2 0, l'équation f (x, txu) = 0). O, il est nécessaire que p soit tel qu'il b) Pour que g(x)/xU tende vers une limite finie et pPk et existe a u moins deux couples distincts (cch7 ph) et (ak, PL) tels que ah pPh = uk & 2 ah + pPh. O n obtient ainsi un nombre que, pour tout autre couple (cc1, pl), on ait cc, fini de valeurs possibles pi (1 < j ,ir); les nombres - l / p j sont les pentes des droites affines d u plan R2 contenant au moins deux points de l'ensemble des points (a,, Pi) et telles que tous les autres points de cet ensemble soient au-dessus de la droite considérée ({(polygonede Newton N). c ) Soit pl le plus petit des nombres yj. Montrer que g(x)/x"i tend une limitejnie (pouvant être nulle). (Montrer d'abord qu'on peut toujours supposer que si i et j sont deux indices < P,; en déduire qu'on peut supposer al = 0, distincts, on n'a pas à la fois ai < a, et ai > O et pi < Pl pour i # 1; en posant alors g(x) = t(x)xul, montrer que t(x) ne peut pas tendre vers + CO lorsque x tend vers O.) d) Déduire de c), par récurrence sur r, qu'il existe un indice j tel que g(x)lx% tende vers une limite finie et # O lorsque x tend vers O.

+

+

+

§3 1) Définir une fonction croissante g, admettant une dérivée continue dans un voisinage de +CD, telle que g et l/x soient comparables d'ordre 1, mais que x et I/g ne soient pas comparables d'ordre 1 (prendre g'(x) = 1 sauf dans des intervalles suffisamment petits ayant pour milieux les points x = n (b entier > O) dans lesquels g' prend des valeurs très grandes).

2) Soient f et g deux fonctions > O tendant vers +COavec x et comparables d'ordre 1; si h est une fonction dérivable, 2 O et croissante pour x tendant vers co, montrer que hf et hg sont comparables d'ordre 1.

+

83

FVR V.49

EXERCICES

3) Donner u n exemple de deux fonctions f, g positives, décroissantes et tendant vers O lorsque x tend vers +CO,comparables d'ordre 1 et telles que xf (x) et xg(x) ne soient pas comparables d'ordre 1 (prendre f et g équivalentes et telles que

ne soient pas comparables). sin x

4) a) Montrer que l'on a -

ix

convergente et l'intégrale

Sa

+

N

%), + %)

sin x (1

sin t

4;

(1

+

dt infinie.

+

b) Montrer que les intégrales que

lx+y

mais que l'intégrale

" sin2t

sont toutes deux convergentes, mais dt, bien que l'on ait sinaf/t2< sin f/i.

dt n'est pas

c) O n considère les deux fonctions continues à valeurs dans R2, définies dans (1, sin x

+CO(:

1 sin x

Montrer qu'elles ne s'annulent pour aucune valeur de x, qu'on a f g pour x tendant " f (t)dt et " g(t)dt sont convergentes, mais que " f (t)dt vers m, que les intégrales n'est pas équivalente à " g(t)dt lorsque x tend vers + CQ.

+

Sa

S:

S:

Soitf une fonction numérique convexe définie dans un voisinage de + CQ, telle quef x) > x. O n dit quef est régulièrement convexe au voisinage de + cc si, pour toute fonction convexe g définie gd. dans un voisinage de + CQ et telle quef w g, on a aussif,' Pour tout nombre a > O et tout x assez grand, soit k(a, x) la borne inférieure des nombres (f (y) - ( y - x) f,' ( y))/f (x) lorsque y parcourt l'ensemble des nombres 2 x tels que fi ( y) < (1 cc)f,' (x). Soit de même h(a, x) la borne inférieure des nombres

7 5)

N

+

( f ( 4 + (x - z ) f d ( z ) ) l f ( 4 lorsque z parcourt l'ensemble des nombres < x tels que fi (z) > (1 -O) fd(x). Soient +(a) = lim sup k(a, x), cp(cc) = limesup h(m, x). Montrer:que, pour que f soit régulièrement convexe x++m

x++m

a u voisinage de +a,il faut et il suffit que, pour tout a > O assez petit, on ait +(cc) < 1 et d g ) < 1. 7 6) Soient f une fonction vectorielle continue dans un intervalle (x,, cc[ de R et telle que, pour tout A > O, 12 fonction f (x + A) - f (x) tende vers O lorsque x tend vers +a. a) Montrer que f (x + A) - f (x) tend uniformémentvers O avec lix lorsque A appartient à un intervalle compact quelconque K = (a, b ) de (O, +cc[. (Raisonner par l'absurde: s'il existe une suite (x,) tendant vers + C Oet une suite (A,) de points de K telles que

+

Il f (xn + An) - f (xn) jl > cc > 0 pour tout n, il existe un voisinage J, de A, dans K tel que I(f(x, A) - f (x,) /j > a pour tout A E J,. Construire par récurrence une suite décroissante d'intervalles fermés II, c K, et une suite (x,,) extraite de (x,), telles que jlf (x,, + A) - f (x,,) 11 > 4 3 pour tout A E Ik; on remarquera pour cela que si Sk est la longueur de 1, et q un entier tel que q8, > b - a, SI,) - f (x) I < 4 3 q dès que x est assez grand). on a Ijf (x b) Déduire de a) que f (t) rlt - f (x) tend vers O lorsque x tend vers CQ, et en conclure quel'on a f ( x ) = O@).

+

+

S:+

+

7) Soit g une fonction numérique strictement positive, continue dans un intervalle [x,, + CO(, et telle que, pour tout p > O, on ait g ( ~ x ) g(x). Déduire de 19exerc.6 que g est d'ordre O N

par rapport à x.

FVR V.50 §4

1) Si la série de terme général un & O est convergente, il en est de même de la série de terme La réciproque est inexacte en général; montrer qu'elle est vraie si la général .\/U,U,+~. suite (un) est décroissante.

+

2) Soit (fi,) une suite croissante de nombres > O, tendant vers CO. a) Si le rapport ~ , / p , - ~ tend vers 1 lorsque n croît indéfiniment, montrer que l'on a

&Jk k=l

(bk

1

- bk-1)

-pE+l

pour p > - 1

+

(appliquer la prop. 2 de V, p. 27). b) Sans hypothèse sur le rapportpn/fn- ,, montrer que la série de terme général (fi, - pn- ,)Ibn a toujours une somme infinie (distinguer deux cas suivant que pn/pn-, tend ou non vers 1). c) Montrer que, pour p > O, la série de terme général (fi, - f n - l ) / p n f i ~ - lest convergente 1 1 (comparer à la série de terme général - - -, 1 pn 3) Montrer que, pour toute série convergente (un) à termes > O, il existe une série (un) de somme infinie, à termes > O, telle que lim. inf vn/un = O. n+

m

4) Soit (u,,) une suite décroissante de nombres >O; s'il existe un entier k tel que kukn > un quel que soit n à partir d'un certain rang, la série de terme général un a une somme infinie. 5) Soit (un)une série à termes > O à partir d'un certain rang. Montrer que si

lima sup n- m

r ~ ) ~
O, la série de terme général zQ est convergente, mais que le produit de facteur général 1 + r, n'cst pas convergent.

9) a) Démontrer, à l'aide de la formule de Stirling, que le maximum de la fonction

1

&(x) = e-

" - c-x

3

1c = O

( - 1)

axk / dans l'intervalle (O, + a(,tend vers O avec Ijn.

b) En déduire, par récurrencc sur' l'entier p, que pour tout E > O, il existe un polynôme g(x) tel que leëPx - e-.g(x)l < E pour tout x > O (remplacer x par px/2 dans a), et utiliser l'hypothèse de récurrence appliquée à eë(p).

10) Pour tout nombre a > 0, démontrer la formule

lorsque n tend vers +a.

7 11)

Pour tout nombre a > 0, démontrer la formule

lorsque n tend vers

+CO

(comparer chaque terme (fi!)-"in à n-=pln).

Appendice

1) Soit L un corps de Hardy tel quc, pour toutc foriction f E S? non identiquement nulle au il existe A > O tel que voisinage de +a, l e

x

9f (x) 3 e,,

(2)

(m entier indépendant de f ) . a) Soint u,, u,, . ., up p fonctions de la forme uk=loglzkl, où z, E S n'est pas nulle dans un voisinage de m . Montrer que pour toute fonction g (non nulle dans un voisinage de CO) . des fonctions uk (1 < k O tel que l « g(x) < e,,, ( x 3

+

.

+

m

(se ramener a u cas où p. est un polynôme par rapport aux u,, à coeficients dans $2,et raisonner par récurrence sur p, puis, pour p = 1, raisonner par récurrence sur le degré du polynôme g en procédant comme dans le lemme 2 de V, p. 37). 6) Soient uk (1 ,( k < p) p fonctions de la forme u, = exp (2,) où zk E S. Montrer que pour

FVR V.52

*PP.

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

toute fonction g du corps de Hardy !@(ul,. . ., u,), non identiquement nulle a u voisinage de + co,il existe un nombre p > O tel que

(méthode analogue). c ) En déduire que si Jest une fonction (H) admettant une suite de définition de n ternies, et

il existe un nombre A > O tel que non identiquement nulle dans un voisinage dc +CO, 1 «f (x) «e,(x". e,o

2) a) Montrer que toute fonction (H) possédant une suitc de définition d'un seul terme est équivalente à une fonction de l'une des formes xP(1og x)q, ou ~peg'~), où p et q sont des entiers rationnels, et g un polynôme en x (méthode de l'exerc. 1). b) Déduire de a) que toute fonction du corps de Hardy W(x, u,, . . . , u,), où ul, . . ., u, sont des fonctions (K) ayant une suite de définition d'un seul terme, est équivalente à une fonction de la forme xP (log ~ ) q e g (où$ ~ ) et q sont des entiers rationnels, et g un polynôme en x. 3) Soient f et g deux fonctions (H) telles que f /g soit d'ordre O par rapport à lm(x); montrer que si g n'est pas d'ordre O par rapport à l,(x), on a f '/g' f /g (comparer log 1 f 1 et log Igl). N

4) Soit 9 un corps de Hardy tel que, pour toute fonction f E SY non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à 1,-,(x), il existe une constantc k et un cntier rationnel r tels quef (x) k(l,(x))'. a) Soit z une fonction quelconque de B, non identiquement nulle dans un voisinage de $ m. Montrer que toute fonction g du corps dc Hardy @(loglzl)non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à lm(x),est équivalente à une fonction de la formc k(l,,+l(x))r (k constante, r entirr rationnel). (Considérer d'abord le cas où g est un polynôme de degré p en loçlzl, à coefficients dans 9, et raisonner par recurrence sur 4, en utilisant l'exerc. 3; si g est une fonction rationnelle de log1zl, à coefficients dans 9, raisonner par récurrence sur le degré du numérateur, en utilisant l'exerc. 3.) b) Montrer que toute fonction de @(l,+,(x)) est équivalente à une fonction de la forme f (x)(lm+ ,(x))I, oùf E !@ et r est un entier rationnel. c ) Soit z une fonction quelconque de 9.Montrer que toute fonction g du corps de Hardy P(eZ),d'ordre O par rapport à l,(x), est équivalente à une constante. (Considérer d'abord le cas où g = uqP(u), où u = e", q est un cntier rationnel, et P(u) un polynôme en u, de degré p, à coefficients dans 9; raisonner alors par récurrence sur p, en utilisant a ) et l'exerc. 3. Passer de là au cas général en utilisant l'exerc. 3.) d) Etendre le résultat de a) a u corps P(u,, u,, . . ., us), où les u, sont de la forme e"k ou log lz,l, les z, étant des fonctions de !@ non identiquement nulles dans un voisinage de +or, (raisonner par récurrence surs).

-

5) a) Déduire de l'exerc. 4 que si f est une fonction (H) ayant une suite de définition de n termes, non équivalente à une constante, et d'ordre O par rapport à 1,-,(x), il existe une k(l,(~))~. constante k et un entier rationnel r tels quef (x) b) Déduire de l'exerc. 4 que si f est une fonction (R) quelconque, il existe un entier n tel que le critère logarithmique d'ordre n soit applicable pour déterminer si l'intégrale J: " f ( t ) d t est convergente ou infinie. N

6) Comparer entre elles les fonctions e,((l,(x))P) suivant les valeurs des entiers p et q et d u nombre réel p, supposé > O, et # 1.

7 7) Soit f une fonction (H) ayant une suite de définition de n termes. Montrer que si on a «f (x) « e,((&) lu) (resp. e,((l,(x)) 9 9f (x) 9 e, + 1((&))OL) quel que soit ep((4 + l(.)) p > O et quel que soit a tel que O < a < 1, on a nécessairement p + q 1 < n (raisonner par récurrence sur n, en utilisant des mEthodes analogues à celles des exerc. 1 ( V p. 51) et 4 (V, p. 67)).

+

A

~

~

.

F'VR V.53

EXERCICES

8) a) Soit (f,) une suite de fonctions continues croissantes appartenant à #(a, R) et telles que f, 4 f n + l pour tout n. Montrer qu'il existe une fonctionf, continue, croissante, appartenant à &(s, R) et telle quef »f, pour tout n (se ramener au cas où f n < f,+ et dtfinir f desortequef,(x) 4 f (x) d fn+l(x) pourn d x 4 n 1). b) Soit (f,) une suite de fonctions continues croissantes appartenant à X ( s , R), et telles que 1 «fn+ «f, pour tout n. Montrer qu'il existe une fonctionf continue, croissante et appartenant à %(a, R), telle que 1 «f 4f, pour tout n (en se ramenant au cas où f n + l < f,, montrer qu'on peut définir une suite croissante (x,) de nombres réels et une fonction continue et croissantef telle quefn+ l(x) < f (x) < fn(x) pour x, 4 x < x,+ 1). c ) Soient (f,), (g,) deux suites de fonctions continues croissantes appartenant à %(a, R), telles que fn 4fn+l, g, » gm+,et f, -4 g, quels que soient m et n; montrer qu'il existe une fonction h continue, croissante, appartenant à Y($,R), telle que f, « h « g , quels que soient m et n (méthode analogue). En particulier, montrer qu'il existe une fonction continue et décroissantef, appartenant à .@(a, R ) et telle qu'aucun critère logarithmique ne permette de déterminer si l'intégrale f (t)dt est convergente ou infinie (s théorthes de Du Bois-Reymond ,>).

+

,

Sa+

9) Montrer que la série

3 en(n)converge uniformément dans toute partie compacte de R,

n=l

et que sa sommef (x) est telle quef (x) b en@)pour tout entier n. 10) Montrer qu'il existe une fonction croissante f, définie, continue et > O pour x b O, telle quef (2x) = 2f(X) pour tout x 5 0; en déduire que, pour tout entier n, on a f (x) » en(x). 11) Soit f une fonction croissante, continue et > 0, définie pour x 2 O, et telle que ~ ' ( x» ) e,(x) pour tout entier n; montrer que, si g est la fonction réciproque de f, on a 1 « g(x) « Ln(x) pour tout entier n.

3

7 12) Pour tout entier n > O, soit n = k = O ik2&le développement dyadique de n (rk entier nul sauf pour un nombre fini d'indices, O < ik< 1). On pose

kzo + a

a) Démontrer la formule Al(n) =

(k

Al(n) =

2)ik2*-1. En déduire la formule

n log n - o(n log log n) 2 log 2

+

lorsque n croit indéfiniment (décomposer la somme qui exprime Al(n) en deux parties, l'indice k variant de O à y(n) dans la première somme, de y(n) à nl dans la seconde, où nl est le plus grand des nombres k tels que ck # O, et y(n) un nombre convenablement choisi; on majorera la première somme en utilisant la prop. 6 de V, p. 29, et on majorera ensuite la différence entre la deuxième somme et nln/2). b ) Démontrer la relation

f étant une fonction quelconque définie dans N (considérer pour un k donné le nombre des j < 2, tels que a ( j ) = k). c) Pour m = Zr - 1, démontrer la relation a(m - j ) + a ( j ) = r. Déduire de cette relation

et de b) qu'on a A&,)

= r2*-l

N

2"' log log 2"' 2 log 2

FVR V.54

ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS

d) Pour nz = Zr, montrer qu'on a

+ 1) - a(n) = 1 - A(n + 1) pour

où on a posé a(n

tout n (utiliser 6 ) et la relation

m-1

+ r) = a(r) + 1 pour r < 2k). Montrer que i2= O (" l) A ( j + 1) a r2m-2 (remarquer que A(j + 1) = O sij est pair, et A ( j + 1) < logjllog 2 pour toutj). En déduire à a(Zk

\

O

,

l'aide de c), qu'on a log zm -.zmlog 2log2

3 3 A2(2m)2 - rZm-l > 2 '2

Conclure de c) et de cette relation que Az(n) n'est dquivalente à aucune fonction (H) lorsque n tend vers co

+ .

13) Soit f une fonction (H) telle que 1 «f (x) « x. Montrer que, dans la formule de Taylor

avec O < 0 < 1 (1, p. 47, exerc. 9), chaque terme est négligeable devant le précédent. Sif est d'ordre < 1 par rapport à x, le dernier terme de cette somme tend vers O avec llx dès que n est assez grand. 14) Déduire de l'exerc. 13 que sif est une fonction (H), telle que log f (ex) soit d'ordre < 1 par rapport à x, la fonction f (xf (x)) est équivalente à une fonction de la forme eqcX), où g est une fonction rationnelle par rapport à x, log f (x) et un certain nombre de dérivées de cette dernière fonction.

7 15)

Soit f une fonction (H) convexe au voisinage de +a,telle que f (x) )5 x. Pour tout a > O, soit x, le point tel quef ' ( x , ) = (1 a)f'(x). a) Sif est d'ordre $ co par rapport à x, montrer que l'on a

+

(utiliser les prop. 2 (V, p. 40) et 4 (V, p. 44), en appliquant la formule de Taylor à log ff(x)). Montrer que (f ( x ) , - (x, - x)f'(x,))/ f (x) tend vers (1 a ) ( l - log(1 a)) lorsque x tend vers m. b) Sif est d'ordre r > 1 par rapport à x, montrer que

+

+

+

-

(remarquer que sifl est d'ordre O par rapport à x, on a fl(kx) fl(x) pour toute constantek, en vertu de la prop. 4 de V, p. 40). En déduire que (f (x,) - (x, - x)f'(x,))/ f (x) tend vers r(1

+ a) - (r - 1)(1 + a)T/'T-l)

+

lorsque x tend vers m. c) On suppose enfin que f soit d'ordre 1 par rapport à x. En posant f (x) = xfl(x), montrer que

+

(considérer la fonction réciproque defl, qui est d'ordre co par rapport à x). En déduire que (f (x,) - (x, - x)f'(x,))/ f (x) tend vers - co lorsque x tend vers + m . Soit de même xk le point tel que f ' ( x a ) = (1 - a)f'(x) (pour O < a < 1). Donner les

*PP*

EXERCICES

formules analogues aux précédentes exprimant la partie principale de x

+

(f(4)+

(x -

FVR V.55 - x& et la limite de

w ) l f <x>

lorsque x tend vers W . Conclure de ces résultats que f est une fonction régulièrement convexe au voisinage de (V, p. 49, exerc. 5 ) .

+

CO

CHAPITRE VI

Développements tayloriens généralisés Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin

tj 1. DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS 1. Opérateurs de composition dans une algèbre de polynômes

Soient K un corps commutatif de caractéristique 0, K[X] l'algèbre des polynômes à une indéterminée sur K (A, IV, 5 1, no 1); dans tout ce paragraphe, nous désignerons sous le nom d'opérateur dans K[X] toute application linéaire U de l'espace vectoriel K[X] (par rapport à K) dans lui-même; comme les monômes Xn (n 2 O) forment une base de cet espace, U est déterminé par la donnée des m

polynômes U(Xn); de fason précise, si f (X)

=

2 hkXk avec hk

k=O

E K,

on a

a)

2

u ( f ) = k = O hku(xk). Si G est une algèbre commutative sur K y ayant un élément unité, le Gmodule G[X] s'obtient par extension à G du corps des scalaires K de l'espace vectoriel K[X]; tout opérateur U dans K[X] se prolonge donc d'une seule manière en une application linéaire du G-module G[X] dans lui-même, que nous m

noterons encore U (A, II, p. 82); pour tout élément g(X) m

fi E Gyon a U(g) =

=

k=O

ykXk, avec

2 ykU(Xk).

k=O

Considérons en particulier le cas où G = K[Y]; GEX] est donc l'anneau K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées sur K; pour éviter toute confusion, on notera Ux le prolongement de U à G[X]. Pour tout polynôme g(X, Y) = m

00

2 yk(Y)Xk,où yk(Y)

k=O

E K[Y]

on a donc U,(g)

=

U, est lindaire, on voit que si on &rit g(X, Y) =

2

W g ) = h = o u(ah)yh.

yk(Y)U(Xk). Comme

k=O m

2 ph(X)Yh,on a aussi

h-0

FVR VI.2

$1

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

Par l'isomorphisme canonique de K[X] sur K[Y] qui à X fait correspondre Y, l'opérateur U se transforme en un opérateur dans K[Y] que nous noterons Uy pour éviter toute confusion, Uy(f (Y)) étant donc le polynôme obtenu en remplaçant X par Y dans le polynôme U(f (X)) = Ux(f (X)). Cet opérateur Uy peut à son tour être prolongé en un opérateur (noté encore Uy) dans K[X, Y] : m

si g(X, Y)

=

m

2 Ph(X)Yh,on a donc ici Uy(g(X, Y)) =

h=O

h=O

Ph(X) Uy(Yh).

Comme exemple de ces prolongements, citons l'opérateur de dérivation D dans K[X] (A, IV, 3 4)' qui donne dans K[X, Y ] les opérateurs de dérivation partielle Dx

Dy. Pour tout polynôme f E K[X], nous désignerons par T, (f) le polynôme f (X + Y) de K[X, Y]; l'application Ty est une application K-linéaire de K[X] dans K[X, Y], dite opérateur de translation. et

DÉFINITION 1. - On dit qu'un opérateur U dans K[X] est un opérateur de composition s'il est permutable avec l'opérateur de translation, c'est-à-dire si U, Ty = TyU. En d'autres termes, sif est un polynôme quelconque de K[X], et si g = U (f), on doit avoirg(X Y) = Vx(f (X Y)). Il résulte aussitôt de cette définition que, pour tout polynôme f (X) E K[X], on a, avec les notations introduites ci-dessus,

+

(1)

+

UX(f (X

+ Y))

=

UY(f ( X

+ Y)).

Exemples. - 1) Pour tout A E K, l'opérateur qui, à tout polynôme f (X), fait correspondre le polynôme f ( X + A ) , est un opérateur de composition. 2 ) La dérivation D dans K [ X ] est un opérateur de composition (cf. prop. 1). Remarque. - Comme K est un corps infini, pour que l'opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition, il faut et il suffit que pour tout polynôme f e K[X] a) = U ( f (X a)). et tout élément a E K, on ait, en posant g = U (f ) , g(X (A, IV, $2, no 4).

+

+

Il est clair que toute combinaison linéaire d'opérateurs de composition, à coefficients dans K, est un opérateur de composition; il en est de même du composé de deux opérateurs de composition. En d'autres termes, les opérateurs de composition forment une sous-algèbre 'I de l'algèbre des endomorphismes de l'espace vectoriel K[X] .

PROPOSITION 1. - Pour qu'un opérateur U dans K[X] soit un opérateur de composition ilfaut et il sujjît qu'il soit permutable avec la dérivation D dans K[X]. En effet, la formule de Taylor montre que, pour tout polynômef E K[X], on a 1

udf (x + y)) = Ux (k=ok! 2- YkDkf (X)) O0

sionposeg = U ( f ) , o n a

51

= k = o k! YkU(Dkf (X));

No 1

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

FVR VI.3

pour que U soit un opérateur de composition, on doit donc avoir UDk = DkU pour tout entier k 3 1, et en particulier UD = DU. Inversement, si cette relation est vérifiée, elle entraîne UDk = DkUpour tout entier k 2 1, par récurrence sur k ; la formule de Taylor montre alors que g(X + Y) = U.(f(X + Y)). Pour tout polynôme f E K[X, Y], nous désignerons par Uo(f) le terme indépendant de X dans le polynôme Ux(f); en particulier, sif E K[X], Uo(f ) est le terme constant de U(f),et Uo est une forme linéaire sur K[X]. Pour tout polynôme f E K[X], soit g = U(f ) ;on a, en vertu de la déf. 1 de VI, p. 2,

et si, dans cette formule, on remplace X par 0, on obtient

On voit donc qu'on a

où pk est le terme constant du polynôme U (Xk). Cette formule montre que la donnée des pk détermine complètement l'opérateur de composition U; inversement, si (pn) est une suite arbitraire d'éléments de K yla formule (2) définit un opérateur U qui est évidemment permutable avec D, et par suite (VI, p. 2, prop. 1) un opérateur de composition. Nous écrirons désormais la formule (2) sous la forme

Cette formule peut s'interpréter en langage topologique de la façon suivante: si on considère sur K[X] la topologie discrète, et sur l'algèbre End (K[X]) des endomorphismes de K[X], la topologie de la convergence simple dans K[X] (TG, X, 1 p. 4), la série de terme général - p,Dk est commutativement convergente dans

k!

End(K[X]) et a pour somme U (TG, III, p. 44). m

2

La formule (3) montre qu'à toute série f m e l l e u(S) = ir,Sk à une ink=O déterminée sur K (A, IV, 5 5), on peut faire correspondre l'opérateur de composition U =

2 akDk,que nous noterons désormais u(D). Cette remarque peut ttre

k=O

précisée de la façon suivante :

FVR VI.4

$1

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS al

THÉORÈME

1. -L'application

gui, d toute série formelle u(S)

=

indéterminée sur K, fait correspondre l'opérateur de composition u(D)

2 akSk à une

k=O m

=

k=O

akDk dans

K[X], est un isomorphisme de l'algèbre K[[S]] des séliesformelles sur l'algèbre 'I des opérateurs de composition. On vérifie aussitôt que cette application est un homomorphisme. Tout m

revient donc à voir qu'elle est injective, autrement dit, que la relation

O entraîne a,

=

2 akDk

k=O

=

O pour tout k; or, h!a, est le terme constant du polynôme obtenu

m

en appliquant

ZakDkà Xh,d'où le théorème.

k=0

COROLLAIRE. -L'algèbre l? des opérateurs de composition dans K[X] est commutative. Exemple. - Si U est l'opérateur qui, à tout polynôme f (X), fait correspondre 1 Par k=ok! analogie avec le développement en série de ex (III, p. 15), nous désignerons par 1 es ou exp(S) le série formelle - Sndans l'anneau K[[S]] ; on peut donc écrire k=on! U = ehD.En remplaçant dans ce raisonnement le corps K par le corps de fractions rationnelles K(Y), on voit de même que l'opérateur de translation Typeut s'écrire eYD. On notera d'ailleurs que, dans l'anneau K[[S, Tl] des séries formelles sur K à deux indéterminées, on a

f (X

+ h)

(où h s K), on a Uo(Xk) = hk, et par suite

U

=

2

2

1

et en particulier

(5)

(exp S)(exp ( - S)) = 1

ce qui justifie la notation introduite. Scholie. - L'isomorphie de l'algèbre K[[S]] des séries formelles et de l'algèbre l? des opérateurs de composition dans K[X], permet parfois de démontrer plus simplement des propositions relatives à des séries formelles, en les démontrant pour les opérateurs de composition qui leur correspondent (cf. VI, p. 6, prop. 6).

No 2

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

FVR VI.5

2. Polynômes d'Appel1 attachés à un opérateur de composition m

Étant donne un opérateur de composition U =

2 rrkDk # O, soit p

k=O

le plus

petit des entiers k tels que a, # O; nous dirons que p est l'ordre de l'opérateur U. PROPOSITION 2. - Tout opérateur de composition d'ordre O est inversible dans l'algèbre l? des opérateurs de composition dans K[X] . m

2

En effet, une série formelle ukSk telle que u, # 0 est inversible dans k=O l'anneau K[[S]] (A, IV, kj 5 ) ; la proposition résulte donc du th. 1 de VI, p. 4. PROPOSITION 3. -Soit U un opérateur de composition d'ordre p; pour tout polynôme f de est un polynôme degré < p, U (f)= O ;pour tout polynôme f # O de degré n p, U (f) # O de degré n - p. C'est une conséquence immédiate de la formule ( 2 ) de VI, p. 2 et de la définition de l'ordre de U.

U

Il est clair que tout opérateur U d'ordre p peut s'écrire d'une seule manière V = VDP, où V est un opérateur d'ordre O (donc inversible).

=D

DÉFINITION2. -Soit U = DPV un opérateur de composition d'ordre p dans K [ X ] . On appelle polyndme d'Appel1 d'indice n attaché à l'opérateur U le polynôme un@) =

v- yxn). Si V-'

=

1 - pkDk(avec Po # O) on a donc k=ok!

2

O n vérifie ainsi que un est un polynôme de degré n (prop. 3) ; on a en outre

Les polynômes d'Appel1 attachés à U satisfont aux relations

FVR VI. 6

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

$1

Ces formules sont en effet respectivement équivalentes aux relations suivantes (compte tenu de la déf. 2) : (Io)

D y - 1 = V-ID (exp (YDx)) V ;

(11) (12)

UV-'

PROPOSITION 5. -Pour d'ordre fi, on a

l

=

Vg l exp (YDx)

=

DP.

tout polynôme f E K[X] et tout opérateur de composition U

(développementtaylorien généralisé). En effet, si on pose U = DpV = PDP,on a (VI, p. 2, formule (1))

en raison de la formule de Taylor et de la déf. 2 de VI, p. 5; il suffit d'appliquer l'opérateur Ux aux deux membres extrêmes de la formule (14) pour obtenir (13). 3. Série génératrice des polynômes d'Appel1

Soit E l'anneau des sériesformelles à une indéterminée S, à coefficients dans l'anneau de polynômes K[X] (A, IV, $ 5 ) autrement dit, l'anneau des séries formelles m

g(X, S)

=

2 an(X)Sn,où les an appartiennent à K[X]. Pour tout opérateur U

n=o

dans K[X], on définit une application Ux de E dans lui-même en posant U,(g(X, S))

=

2- U(a,)Sn.

n .. = O

Il est clair que E est un module sur l'anneau

K[[S]] des séries formelles en S à coefficients dans K ; en raison de la linéarité de U dans K[X], on vérifie aussitôt que pour tout élément 8 E K[[S]] et tout g E E, on a Ux(Og) = OUx(g); autrement dit, Ux est une application linéaire du module E dans lui-même.

6. -Soit U = DPV = u(D) un ofiérateur de composition d'ordre fi dans PROPOSITION K[X], u(S) étant une série d'ordre formellep dans K[[S]]. On a alors lesformules (15)

U,(exp (XS)) = u(S) .exp (XS)

un étant le polynôme d'Appel1 d'indice n attachéà U.

No 4

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

FVR VI.7

D'après le scholie du th. 1 (VI, p. 4), pour établir la formule (15), il suffit de démontrer que, pour tout polynômef (Y) E K[Y], on a Or, le premier membre de (17) est Ux(f (X + Y)), et comme U = u(D), le second membre de (17) est Uy(f (X Y)), si bien que l'identité (17) se réduit à (1) (VI, P. 2) 11suffit ensuite d'appliquer (15) à l'opérateur de composition V-l = Dn/u(D) pour obtenir (16), puisque, par définition, on a

+

O n notera que la formule (16) s'obtient aussi en multipliant les séries formelles SP/u(S)et e x p ( X S ) , compte tenu de (6).

On dit que la série formelle (16) est la série générutrice des polynômes d'Appel1 attachés à U. 4. Polynômes de Bernoulli

Considérons l'opérateur de composition U défini par U(f(X)) = f ( X

+ 1) - * f ( X ) ;

1 (VI, p. 2, Exemple 1) ; c'est un opérateur d'ordre 1, et D si on pose U = DV, on a V-1 = ----Le polynôme d'Appcll de degré n eD - 1 correspondant à l'opérateur U s'appelle polynôme de Bernoulli de deçri. n et se note Bn(X);si on pose h, = B,(O), on a les formules on peut l'écrire U

=

eD

-

et en particulier

Les formules (7) et (9) de VI p. 5, donnent, pour les polynômes de Bernoulli, les relations

FVR VI.8

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

81

En particulier, on a Bn(l) - Bn(0) = O pour n > 1, ce qui, compte tenu de (18))donne la relation de récurrence m = ~m

6,

=

(pourn > 1)

O

qui permet de calculer de proche en proche les b,. Ces nombres sont évidemment rationnels; comme on peut écrire

et que l'on a (VI, p. 4, formule (5))

'Y

es tous les termes de degré imjair ont un on voit que, dans la sCrie formelle - 2eS-1 coefficient nul; on a donc +

(24)

bo=l,

bl=

-3,

bZnwl = O pourn > 1.

Les nombres rationnels 62, (n 2 1) sont appelés nombres de Bernoulli; nous verrons (VI, p. 19) que b,, a le signe de ( - l),-l. La formule (23) donne, pour les premières valeurs de n,

On notera que les numérateurs 691, 3617, 43867 sont premiers; les autres ont pour factorisations

tous les facteurs des seconds membres étant premiers.

No 5

FVR VI.9

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

O n en déduit pour expression des premiers polynômes de Bernoulli

5. Opérateurs de composition sur les fonctions d'une variable réelle

Soit 1 un intervalle de R contenant l'intervalle R, = (O, + co(; soit E un espace vectoriel sur le corps C, formé de fonctions d'une variable réelle à valeurs complexes, définies dans 1. Nous qpposerons que, pour-tout a 2-0 et toute fmction f~EJ lafonction x H ~ ( X + a) appartient à E; en outre, nous supposerons que E contient les restrictions à 1 des polyndmes à coejicients complexes et des exponentielles ehx, où A est un nombre complexe quelconque. Nous appellerons opérateur dans E toute application linéaire U de E dans l'espace de toutes les applications de 1 dans le corps C des nombres complexes; sif E E et g = U(f ) , il sera commode d'utiliser la notation

-

-

-

-

-

-

dx)

=

UXf(S))

< étant donc une variable muette dans le symbole fonctionnel du second membre (cf. II, p. 9). Pour tout a 2 0, l'opérateur qui, à toute fonction f E E, associe la restriction à 1de la fonction x »f (x + a), est appelé l'opérateur de traîzslationpar a. DÉFINITION 3. - On dit qu'un opérateur U dans E est un opérateur de composition si, pour tout a à O, il estpermutable avec l'opérateur de translation par a. Avee la-notatbnintroduitë ci-dessus, cette définition se traduit p a r l'rdentité en x et a (x E 1,a 2 0) -

Dans cette identité, on peut échanger les rôles de x et a si x à O, puis faire a = 0; on obtient ainsi, pour tout x 2 0. (26)

Wf (9) = UCxf (F + 4)

U, étant la forme linéaire sur E qui, à toute fonction f E E, fait correspondre la valeur g(0) de g = U (f ).

Si f est un polynôme, on a f ([

+ x) = ~2c =-o1kf(X)( O

+ 1)-ème continue dans 1, < n. Si U est un opérateur

(développement taylorien généralisé).

- un(.

Considérons l'intégrale

+ r)f(n*l) (F - ?)dï,

définie pour

tout E E 1, et appliquons-lui Ia formule d'intégration par parties d'ordre n (II, p. 10, formule (1 1));en tenant compte des relations

déduites de (7) (VI, p. 5) par récurrence, il vient

Appliquons l'opérateur U aux deux membres de la formule (29), considérés comme fonctions de 5, puis prenons la valeur de la fonction obtenue pour la valeur h de la variable 5; en remarquant que, d'après les formules (26) (VI, p. 9) et (9) (VI, p. 5), on a uh(~,(E - h))

=

U,S(u,(F))

=

O

pour m # p Our m = p

on obtient finalement la formule (27). 6. Indicatrice d'un opérateur de coanipositioaa

Les hypothèses étant les mêmes que dans le no 5, la formule (26) de VI, p. 9, appliquée à la fonction ehx, donne

(30)

Uz(ehS)= U$(e"ehS)

=

ehxU$(ehS)= u(A)ehx

No 6

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

FVR VI.11

en posant u(A) = U,S(ehS).On dit que la fonction u(A), définie dans C et à valeurs complexes, est l'indicatrice de l'opérateur de composition U. On notera que, si la restriction de U à l'anneau C[X] des polynômes est égale à la série

-

-

(VI, p. 4, th. 1) (que nous avons notée u(D) dans VI, p. 4), la série à termes complexes dont le terme général est n'est pas nécessairement convergente pour A # O, et que, même si elle converge pour certaines valeurs de A, sa somme n'est pas nécessairement égale à l'indicatrice u(h) de U (VI, p. 22, exerc. 2). Nous dirons que l'opérateur de composition U est régulier s'il existe un vaisinage de O dans C-tel que la série de terme général çcnAn+" soit absolument convergente et ait une somme égale à l'indicatrice u(h) dans ce voisinage1. Appliquons la formule (27) de VI, p. 10, à la fonction eh", en faisant h = O; comme Dm(ehx)= Amehx,on a U$(Dm(eh") = Amu(A);il vient donc, pour tout h complexe tel que u(A) # O

-

et en particulier, pour x = O

avec p, = u,(O). Si U est un opérateur régulier, pour tout A

EC

tel que les séries entières u(A)

=

m

2 g,hntp et

n=O

n=o

ln soient absolument conriergenies2,i l dssultede-la formule p4 3

(16) et de la formule donnant le produit de deux séries absolument convergentes

(TG, VIII, p. 16, prop. 1) que l'on a

De même, puisque le développement en série de Taylor de ehx est absolument convergent pour tout A E C et tout x E C (III, p. 15) on a aussi (formules (6) (VI, p. 5) et (16) (VI, p. 6), pour toutes les valeurs considérées et pour tout x E 6;

1 Nous ferons plus tard l'étude des séries dont le terme général est de la forme cnzn (en E C , z E C ) , qu'on appelle séries entières; on verra en particulier que lorsqu'une telle série est absolument convergente pour z = zo, elle est normalement convergente pour 1 zl < ] z , ] . a Il résulte de la théorie des séries entières que lorsque l'une de ces séries est absolument convergente dansunvoisinage vdel), l'autrexst absalumentronvergente daas un voisinage-W Vde4

FVR VI. 12

51

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

Remarque. - O n peut utiliser l a formule ( 3 3 ) (resp. (34)) pour le calcul des (resp. des un(x)) e n utilisant le lemme suivant d e la théorie des séries entières: Lemme.

-S i

deux s&es entiires

2

cnhn

Pn

JO dnAn sont absolument convergentes pour tout h

f

&

dans un uoisinage de O, et si on a cnAn = dnAn gour ces valeurs de A, alors cn = d, n=O n=O gour tout entier n 2 O1. Si, p a r u n procédé quelconque, o n peut obtenir une série entière convergente égale à hP/u(A) dans u n voisinage de O, les coefficients d e cette série sont nécessairement égaux aux pn. C'est ce procédé que nous allons appliquer dans les exemples qui suivent.

Exemples. - 1) Si U est l'application identique, on a u(h) = 1, et l'opérateur U est évidemment régulier; comme un(x) = xn, la formule (27) de VI, p. 10, s'écrit, en posant t = 6 - 7

c'est-à-dire se réduit à la formule de Taylor (II, p. 12). 2) Prenons pour U l'opérateur de composition qui, à toute fonction f définie dans R,, fait correspondre la fonction x t+ f (x + 1) - f (x) ; on a donc nous avons vu (VI, p. 7) que la restriction de U à C[X] est égale à eD - 1. Comme d'autre part u(h) = eh - 1, l'opérateur U est régulier; nous verrons (VI, p. 19) comment on peut déterminer les nombres de Bernoulli b, en calculant un développement en série entière convergente de

-eh -h 1

En appliquant la

formule (27) de VI, p. 10, à uneprimitive de la fonctionf, il vient

avec

1

Ce lemme est un cas particulier d'un résultat général que nous démontrerons plus tard; en m

voici la démonstration. Si une série entière m

tout entier k

> O la série n2 c,, =o

2 c,An

n=O

est absolument convergente pour A = Ao, pour

,An est normalement convergente pour 111

dans ce disque (TG, X, p. IO); on en conclut que


x,. Nous verrons (VI, p. 20) comment on peut majorer le reste T,(x, n) de cette formule.

tj 2. DI~VELOPPEMENTSEULERIENS DES FONCTIONS

TRIGONOMÉTRIQUES

ET NOMBRES DE BERNOULLI

1. Développement eulérien de cotg z

D'après la formule (20) de VI, p. 7, les nombres bn/n! sont les coefficients du développement en série formelle de S/(eS - 1); nous allons démontrer dans ce paragraphe que la fonction z/(eZ- 1) est égale à la somme d'une série entière absolument convergente dans un voisinage de O dans C; il résultera du lemme de VI, p. 12, que les coefficients de cette série seront les nombres b,/n!, d'où nous déduirons des majorations pour les nombres de Bernoulli b,. Notons en premier lieu qu'on a

Nous allons obtenir dans ce qui suit un développement en série de cotg z, valable pour tout z distinct d'un multiple entier de n. PROPOSITION 1. -Pour tout nombre complexe z et tout entier n, on a

En effet, on peut écrire eniz - e - n i ~ sin nz = 2i

=

- niz 2niz

(e

-

2i

1)

A sin r sin ( z

+ ): . . . sin (z + (n -n 1)x

1. -Pour tout entier n, on a COROLLAIRE x . 2x (n - 1)x = sin - sin - . . . sin n n n

--.n

p-1

FVR VI. 16

§2

DÉVELOPPEMENTSTAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

Il suffit en effet de diviser les deux membres de (2) par sin z et de faire tendre z vers O. COROLLAIRE 2. -Pour tout entier impair n que nz ne soitpas multiple entier de x, on a cotg nz = ( - 1)" cotg z cotg (z

(4)

2m

=

+ ):

(5)

. . .cotg (2 x

En effet, on a sin n en remplaçant z par z

+ 1, et tout nombre complexe z tel

1.

+ (n - 1)n =

( - l)mcosnz, d'où,

+ 7-2'c dans (2)

(n - 1)x c o s n z = ( - l ) ~ ~ ~ ~ ~ c o s ~ c. .o. cs o(sz( z++ ~ ) n

et les formules (2) et (5) donnent (4) par division membre à membre lorsque sin nz # 0. Dans tout ce qui suit, nous supposerons toujours que n = 2m + 1 est un entier impair; la formule (4) peut aussi s'écrire

1

+ t g z t g -knn kn n

pour tg z fini; par rapport à u = tg z, cotg nz est donc une fraction rationnelle dont le numérateur est de degré n - 1 et dont le dénominateur, de degré n, a les n racines simples tg kxln; en décomposant cette fraction en éléments simples, il vient cotg nz

=

3

k = -m

Ak

kn u - tgn

avec

A,

=

lim cotgnz.

kn n

a-rknln

-.

COS Z COS -

cos nh

sin h

1

d'où, en mettant à part dans (6) le terme correspondant à k = O, en réunissant les termes correspondant à des valeurs opposées de k, et en remplaçant z par zln,

No 2

FVR VI. 17

DÉVELOPPEMENTS EULÉRIENS

cotg z

(7)

=

2n tgn

l 2 + k2 =l n tg cos2- n tg n knx (

- (nsin?)' valable pour tout nombre complexe z non multiple entier de x/2. On peut a, 1 écrire cette formule sous la forme cotg z = 7 + vk(n, z) avec vk(&?, z) = ntgk=l n

1

O pour k > m et

)

vk(n, z) =

n

( )

kx( . pOurl""m. cos2- n tgn sin n Nous allons voir que pour tout z contenu dans une partie compacte K de C ne contenant aucun multiple entier de x, et pour tout n impair assez grand, la sdrie de terme général vk(n, z) est normalement convergente. En effet, lorsque n tend Z

vers +a, nt g z tend vers - uniformément dans K, donc il existe un nombre n

I :l
m, et wk(n, z)

=

Z

L.

pour 1 < k < m. Nous allons voir que pour klr

sin2n tout z contenu dans une partie compacte K de C et pour tout n impair, la série de terme général wk(n, z) est normalement convergente. En effet, lorsque n tend vers +CO,n

1 $1 < n sin

Z

sin - tend uniformément vers z dans Ky donc il existe M > O tcl que n M pour tout entier m et tout r E K. Nous avons vu d'ailicurs dans la

I

démonstration du th. 1 de VI p. 17, que pour 1

. kïc kn < k ,< m on a n sin - 2 -; n 2 Iwk(n, z ) 1 a 4M2/k2n2,CC qui

donc, pour tout entier k tel que kn/2 3 M, on a démontre notre assertion. Comme pour tout k fixe, wk(n, z) tend (uniformément dans K) vers z2/k2n2lorsque n tend vers + CO, on voit que : THÉORÈME 2. -Pour tout nombre complexe z, on a m

sin z = z

rI - -)

n=l

(1

z2 n2n2

le produit injni du second membre étant absolument et uniformément convergent dans toute partie compacte de C (développement eulérien de sin z) . 3. Application aux n~rnbresde Bernoulli

Le th. 1 de VI, p. 17, montre que, pour O < x < TC,la série de terme général 2x 2 O est convergente. On peut d'autre part écrire, pour tout nombre n2x2 - x2 complexe z tel que 1 zl < n,

No 3

FVR VI.19

DÉVELOPPEMENTS EULÉRIENS

la série du second membre étant absolument convergente. Nous allons en déduire que la série G double O

est absolument convergente dans le disque ouvert 1 zl < z, normalement conuergente dans tout 1 ensemble compact contenu dans ce disque, et a pour somme cotg z - -. En effet, pour Z

IzI

6 a < n, la valeur absolue du terme général dc (11) est au plus égale à 2a2k-1/n2k~2k, et la somme d'une nombre fini quelconque de termes 2a2" 1 / n 2 k ~ z k

2

2a -en sommant d'abord par rapport est inférieure au nombre fini n = l n2n2 - aZy à k, puis par rapport à TL, on voit que la somme de la série (11) est égale à 22 ,, ce qui démontre notre assertion. z2 - n x Si maintenant on somme la série (1 l), d'abord par rapport à n, puis par rapport à k, on a l'identité (pour Izl < n)

n=ï

,

où on a posé Sk =

2* -nk1 D'après (1) (VI, p. 15), on a donc, pour jrl

n=l

< 2~

d'où la formule b2n =

(14)

( - 1)n-1(2n!)2S2n pour n 3 1, (2n)

formule qui montre en particulier que les nombres S2,/nZnsont rationnels. On a évidemment Sk+, 6 S,, donc, pour tout k entier 3 2, on a Sk 6 S2 = n2/6 6 2; on tire donc de (14) les inégalités suivantes pour les nombres de Bernoulli

z0(3

De ces inégalités on peut tirer une majoration du polynôme de Bernoulli Ba(%)=

bkxn-k;en particulier, pour O

<x

6 1, on a

FVR VI.20

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

$3. MAJORATION DU RESTE DE LA FORMULE D'EULER-MACLAURIN 1. Majoration du reste de la formule d'Euler-Maclaurin

La majoration obtenue dans (16) pour les polynômes de Bernoulli dans l'intervalle (0, 1) permet de majorer aisément le reste Tp(x, n) de la formule d'Euler-Maclaurin (IV, p. 14, formule (39))

On a en effet (VI, p. 14, formule (41))

,

où B,, + (t) est la fonction périodique de période 1 égale à B,, valle (0, l(. La formule (16) de VI, p. 19, montre que

+

,(t) dans l'inter-

pour tout t E R, et l'application de la formule de la moyenne donne pour T,(x, n) la majoration

1 f (2p+1)(t)1 dt. 2. Application aux développements asymptotiques

La formule d'Euler-Maclaurin permet de donner une solution plus complète (dans les cas les plus importants) au problème traité dans V, p. 28 à 32, consistant à obtenir un d6veloppement asymptotique de la somme partielle sn =

(resp. du reste rn =

m=n+l

2 g(m)

m=O

g(m)), où g est une fonction numérique > O et mono-

tone définie dans un intervalle (xo, +CO(. Nous allons nous borner au cas où g est une fonction (H) (V, p. 41), d'ordre 0 par rapport à ex; autrement dit, on a la relation g' « g; de cette relation, on déduit g(k+l)«g(-) pour tout entier k > O tel qu'aucune des dérivées gCh)d'ordre h 6 k ne soit équivalente à une constante

No 2

RESTE DE LA FORMULE D'EULER-MACLAURIN

FVR VI.21

d'ordre h 6 2p (V, p. 22, prop. 7). Soit@un entier tel qu'aucune des dérivées ne soit équivalente à une constante. Supposons d'abord que la série de terme général g(n) ait une somme infinie, et distinguons plusieurs cas : 1" Ig(2p-i)(n)1 tend vers +co avec n; il en est de même, en vertu de l'hypothèse, de Ig(2k-i)(n)1 pour 1 < k 6 @; en outre comme g(2pii) est monotone au voisinage de + co, la formule (4) de VI, p. 20, donne Tp(O, n) = 0(g(2P)(n 1)) = ~(g(~P-l)(n + 1)); la formule d'Euler-Maclaurin, appliquée pour x = O, montre que

+

chacun des termes de cette somme étant négligeable devant le précédent; en développant chacun d'eux par rapport à une échelle de comparaison 8, on aura donc un développement asymptotique de sn. 2O Supposons maintenant que pour un indice q tel que 1 < q < p, lg@q-l)(n)1 tend vers + co avec n, mais que g(2k-1)(n)tende vers O pour k > q. Comme est g@@+l) est monotone au voisinage de +CO,l'intégrale J," Ig(2p+1)(~)ld~ convergente, et on peut alors écrire

où C est une constante: on a en effet

La même formule est valable lorsque g(n) elle-même tend vers O. Enfin, lorsque la série de terme général g(n) est convergente, on a, pour le reste Co

rn =

m=n+l

g(m), le développement

Exercices

1) Soient K un corps de caractéristique 0, U et V deux opérateurs de composition dans K[X], et W = VU = UV; soient (un), v,), (w,) les suites de polynômes d'Appel1 correspondant respectivement à U, V, W. Démontrer que, sip est l'ordre de U, on a

2) Soit E l'espace vectoriel sur C engendré par les fonctions xn (n E N), eh* ( 1 E C, A # O) et

IX + 4 (P E R). a) Montrer que les fonctions précédentes forment une base de E., b) Soit U l'opérateur de composition défini dans E par les conditions: U$(tn) = (n!)2, pl) = lx pl pour p E R. L'indicatrice u(h) est la U(ehx) = ehxpour h # O, U(lx constante 1, mais la série de terme général n!hn n'est convergente pour aucune valeur h # O. c) Soit V l'opérateur de composition défini dans E par les conditions V(xn) = xn, V(lx pl) =I X pl, V(ehx) = O pour 1 0; l'indicatrice v(h) est égale à 1 pour h = 0, à O pour

+

+

+

+

+

mi

2

A # O, et est donc distincte de la somme de la série n = O cr,hn, où CL, = d ) Soit W l'opérateur de composition défini dans E par W(xn)=xn,W(ehx)=ehX,

Vg(p).

W((x+pI)=ex+";

montrer que l'on a VW # WV.

3) Soit K un corps de caractéristique 0. On dit qu'un endomorphisme U de l'algèbre K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées X, Y sur K est un opérateur de composition si, pour tout polynôme f E K[X, Y], on a, en posant g = U(f), g(X + S, Y + T ) = Ux, f ( X + S, Y f T)), S et T étant deux autres indéterminées. a) Généraliser à ces opérateurs la prop. 1 et le th. 1. En déduire une nouvelle démonstration = eSeT. de la formule es b) Pour les opérateurs de composition de la forme DED@(Dx, Dy), où le terme constant de la série formelle u n'est pas nul, définir les polynômes d'Appel1 un,, et généraliser les prop. 4 , 5 e t 6 deV1,p. 5 e t 6 . c) On considère en particulier l'opérateur de composition U défini par U(f (X, Y)) = f (X 1, Y 1) - f ( X ,Y 1) - f ( X 1, Y) f (X, Y); on appelle polynômes de Bernoulli et on note B,, , les polynômes d'Appel1 correspondant à cet opérateur. Montrer que l'on a B,, .(X, Y) = B, (X)Bn(Y). +

+

+

+

+

§2

1) Démontrer les formules

+

92

FVR VI.23

EXERCICES

X

où les séries du second membre sont absolument convergentes, la première pour lzl < 2 et la seconde pour 1 zl < (exprimer tg z et Ilsin 22 comme combinaisons linéaires de cotg z 22n(22n- 1) bznsont entiers. (On utilisera le lemme et cotg 22). En déduire que les nombres 2n suivant: si, dans deux séries absolument convergentes mn et pn sont entiers, dans leur produit écrit sous la forme

5 5 4

zo n=o

-3

n!

=,

Pn

.

les coefficients

zn y, n. les y, sont entiers.) i $

2) Démontrer la formule

(dériver la série Sesx/(es - 1) par rapport à S). En déduire la formule

pour les nombres de Bernoulli. 3) Démontrer, pour tout entier4 > 1, la formule

4) a) Démontrer la relation Bn(l

- X)

= (- l)nB,(X)

-,= O pour n > 1, et la relation

(utiliser le fait que bzn

B,(1 - X)

- B,(-X)

= ( - l)%Xn-l.)

b) Montrer qu'on a

(utiliser l'exerc. 3). Montrer que, pour n pair, Bn(X) a deux racines dans l'intervalle (O, 1) de R, et que, pour n impair > 1, B,(X) a une racine simple aux points O, -$ et 1, et ne s'annule en aucun autre point de (O, 1) (utiliser b) et la relation BL = nBn- ,). d) Déduire de c) que, pour n pair, le maximum de IBn(x)1 dans l'intervalle (0, 1) est égal à Ibn[, et que pour n impair, si an est le maximum de IB,(x) 1 dans (O, l), on a

c)

(utiliser le th. des accroissements finis). 1

5 ) Si l'on pose Sn(x) = -(B, + ,(x) n f 1

- B,

+

1(0)), on a, pour tout entier a > O

a ) Montrer que pour tout entier n 2 O et tout entier a > O, on a 2Szn+,(a) = O (mod. a) (considérer la somme kZn l -t (a - k)2n l) b) Si Y et s sont deux entiers O quelconques, montrer que +

+

.

FVR VI.24

§2

DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS

c) Soit p un nombre premier. Montrer que si n est divisible par fi - 1, on a Sn(p) I - 1 (rnod. fi), et si n n'est pas divisible parp - 1, Sn($) = O (rnod. p) (si@ne divise pas l'entierg, remarquer que Sn(@)= gnSn(p)(rnod. fi)). 6) a) Les nombres rationnels bn étant définis par la formule (20) de VI, p. 7, on note d, le dénominateur >O de bn écrit sous forme de fraction irréductible. Montrer qu'aucun 1 (utiliserla formule de récurrence (23) de VI, p. 8). facteur premier de dnne peut être > n b) Montrer que l'on a, pour tout entier6 > O et tout entier n > O

+

c) Déduire de b) par récurrence sur n que, pour tout nombre premier fi le dénominateur de Sn@) - bnp écrit SOUS forme de fraction irréductible, n'est pas divisible par fi (observer quep'+I ne peut diviser r + 1). d) Déduire de c) que le nombre

oùp parcourt l'ensemble des nombres premiers p Conclure que

O, il existe une infinité de nombres premiers dans l'ensemble des entiers 1 ma (m parcourant l'ensemble des entiers > 1; cas particulier du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet). a) Soit n un entier >, 1, et soit s > 1 un entier tel que q = 1 (Zn l ) ! s soit premier; montrer que si p est un nombre premier tel que p - 1 divise Znq, alors fi - 1 divise nécessairement Zn (dans le cas contraire, on aurait p - 1 = qd avec d entier, et fi serait divisible 1). pard b) Déduire de a) que pour tout entier n > O, il existe une infinité d'entiers m > n tels que barn - bzn soit un entier.,

+

+

+

+

8) Montrer que, pour tout nombre premier fi > 3, S2,(pk) - pkb2n,mis sous forme de fraction irréductible, a un numérateur divisible par pZk(raisonner comme dans I'exerc. 6).

9) Dire qu'un nombre rationnel r est un entier p-adique (TG, III, p. 84, exerc. 23) pour un nombre premier p signifie que, lorsque r est mis sous forme de fraction irréductible, son dénominateur n'est pas divisible par p; on écrit r = O (rnod. fi) pour exprimer que r/p est un entier p-adique, et r = r' (rnod. p) est équivalent par définition à r' - r 2 O (rnod. fi). m 1 a) Soit m un entier rationnel; la fonction Fm(z)= -- -est analytique pour 1 zl emz- 1 ea - 1 assez petit et s'écrit donc sous forme de série entière convergente au voisinage de O F ~ ( Z= )

nz,

(mn - 1)

Zn-1

n ( n - l)!

Montrer qu'on a aussi au voisinage de O

où les cn sont entiers p-adiques; en dkduire que les nombres an = (mn - 1)

, ,= a, (rnod.fi).

p-adiques; en outre on a an+ -

%

sont entiers

32

FVR VI.25

EXERCICES

b) Déduire de a) que si p - 1 ne divise pas n, b,/n est entier p-adique et que l'on a bn+p-l

bn (mod. p) n

E

n+p-1

(congruences de Kummer). (Prendre pour m un entier dont la classe mod. p est un générateur du groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z/@Z(A, VII, 5 2, no 4) .) 10) Avec les notations de l'exerc. 9, montrer que les nombres mnan = mn(mn- 1) b,/n sont entiers (écrire Fm(z)comme quotien de deux polynômes en ez). En déduire que (pour n pair k 2) le dénominateur 6, de bn/n écrit sous forme de fraction irréductible est tel que, pour tout entier m premier à n, on a mn = 1 (mod. 8,). En outre, si un entier d est tel que mn = 1 (mod. d) pour tout entier m premier à n, d divise 6, (utiliser le th. de Clausen-von Staudt et la structure du groupe multiplicatif de Z/dZ (A, VII, 9 2, no 4)).

11) a ) Soit p un n ~ m h r e p r ~ m i efr 2. Alors les propriétés süivaritesso& équivalentes: a) bn/n

+

+ O (mod. p) pour tout n pair tel que$

-

-

1 ne divise pas n.

O(m0d.p) pourn = 2,4,6,. . .,p - 3. (Utiliser l'exerc. 96) .) b) O n dit q u e p est un nombre premier régulier s'il est égal à 2 ou vérifie les conditions équivalentes de a); sinon p est dit irrégulier. Les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 sont réguliérs; 69 1 est irrégulier. - Soit 1un ensemble fini de nombres premiers irréguliers. Soit n un entier 3 2 multiple de 1 1 (q - 1) et tel que 1bn/nl > 1, (cf. VI, p. 19, formule (15)). Soit p un facteur premier du

P) bn

nc = - -T

numérateur de Ib,/nl mis sous forme irréductible. Montrer que p - 1 ne divise pas n et par suite que p est irrégulier. En déduire que l'ensemble des nombres premiers irréguliers est inzni. 12) Pour tout polynôme Q à coefficients réels, tel que Q(0) = Q(1), on note &la fonction 1) = &(x) pour tout continue dans R telle que Q(x) = Q(x) pour O < x < 1 et &(x ER. a) Pour tout entier m 3 2, le polynôme de Bernoulli Bmest l'unique polynôme à coefficients réels, Q de degré m, unitaire et tel que l'on ait Q(x) dx = 0, Q ( l ) = Q(0) et que la fonction soit m - 2 fois dérivable dans R et ait une dérivée (m - 2)-ème continue. (Raisonnerparrécwrznw sur m.) b ) Montrer que l'on a, pour m 3 1

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Ji Bm(x)e-2ntnx dx = " c)

Déduire de b) que, pour O

<x
0, définie et continue dans le produit 1 x J de deux intervalles ouverts dans R et telle que, pour tout t E J, lafonction x ttf (x, t) soit logarithmiquement convexe et deux fois dérivable dans 1. Dans ces conditions, si pour tout x E 1, l'intégrale g(x) = JJ f (x, t) dt est convergente, g est logarithmiquement convexe dans 1. Montrons d'abord que, pour tout intervalle compact I< c J, la fonction f (x, t)dt est logarithmiquement convexe. En effet, si K = (a, b), la gK(x) = jK suite des fonctions n-1

gn(x) =

on" 2 f (x, a + ,tnh) k=o

converge simplement vers gK(x)dans 1 (II, p. 7, prop. 5), donc log gn converge simplement vers logg,; d'après le lemme 1 de VII, p. 6, logg, est convexe dans 1, donc (1, p. 35, prop. 4) il en est de même de log gK. D'autre part, g est limite simple des g, suivant l'ordonné filtrant des intervalles compacts contenus dans 1 (II, p. 15), donc logg est limite simple des log g,; ces dernières fonctions étant convexes dans 1, il en est de même de log g (1, p. 35, prop. 4). On montre facilement que les lemmes 1 et 2 sont encore valables lorsque l'on n'y suppose plus les fonctions deux fois dérivables (VII, p. 20, exerc. 5).

Lemme 3. -Soit

O dans un intervalle ouvert J contenu dans (0, + CO(.Si 1 est un intervalle ouvert tel que l'intégrale g(x) = jJtx-l O, donc le lemme 2 est applicable. 3. - Pour tout x > O, on a PROPOSITION

(seconde intégrale eulérienne).

FVR VII.8

LA FONCTION GAMMA

$1

En effet, la fonction g(x) = J," e-t t x - l dt est définie pour tout x > O (V, p. 19) ;le lemme 3 de VII, p. 7, montre donc qu'elle est logarithmiquement convexe dans )O, +CO(.D'autre part, en intégrant par parties, on a

Autrement dit, g est une solution de l'équation (1) de VII, p. 1; enfin,

la proposition résulte donc de la prop. 1 de VII, p. 2. Par le changement de variable e ë t = u, on déduit de (14) (VII, p. 7) la formule

De même, par le changement de variable u = t x , il vient

ou encore, en tenant compte de (7) (VII, p. 1)

et en particulier, pour x = 2

PROPOSITION 4. -Pour x > O et y > O, l'intégrale

(première intégrale eulérienne) a pour ualeur

En effet, l'intégrale est convergente pour x > O et y > O (V, p. 19). D'après le lemme 3 de VII, p. 7, la fonction x H B(x, y ) est logarithmiquement convexe pour x > O. D'autre part, on a

d'où, en intégrant par parties

No 3

LA FONCTION

r DANS LE DOMAINE RÉEL

FVR VII.9

Il en résulte que f (x) = B(x, y)r(x + y) satisfait à l'identité (1) de VII, p. 1. D'autre part cette fonction est logarithmiquement convexe, comme produit de deux fonctions logarithmiquement convexes. Enfin, on af (1) = B(l, y)r(y + 1), 1 et B(1, y) = (1 - t)Y-l dt = lly, d'où f(1) = - l'(y + 1) = I'(y). La Y fonction f (x)/F(y) est donc égale à r(x) d'après la prop. 1 de VII, p. 2, ce qui démontre (18).

1:

Par le changement de variable t = -5 la formule ' (18) devient u f 1

et par le changement de variable t

=

sin2 9,

Si, dans cette dernière formule, on fait x = y = (21) d'où, en vertu de (17)

r(+)=

+, il vient

ix

D'après la relation (7) de VII, p. 3, on a pour I'(x), au voisinage de O, le développement asymptotique

De même, pour tout y fixe et >O, on peut écrire

et la formule (18) donne donc, pour y fixe, le développement asymptotique au voisinage de x = O

FVR VII.10

LA FONCTION GAMMA

D'autre part, pour x > O et y > O, on a

=;

La fonction cp (t )

=

1

+

Io l

tx

(1 - t)Y-l - 1 dt. t

(1 - t)Y-1 - 1 est coritinue dans l'intervalle compact (O, 1); t

comme t x = e X l o g t= 1

avec 1 rn(x, t ) 1

x2 xn + x log t + (log t)' + . . . + a (log t)" + rn(x, t) 2!

Xn + 1

llog t ln l (puisque log t < O et x > O), la formule (n il)! (25) donne pour B(x, y) le développement asymptotique au voisinage de x = O B(x,y)

=


0) : III, p. 2 n: III, p. 4 cos x, sin x (x réel) : III, p. 5 tg x, cotg x, sec x, cosec x: III, p. 5 Arc sin .x, Arc cos x, Arc tg x: III, p. 5 e', exp (z) (z complexe) : III, p. 7 log z (z complexe non situé sur le demi-axe réel négatif) : III, p. 10 cos z, sin z, tg Z, cotg z ( Z complexe) : III, p. 12 ch x, sh x, th x: III, p. 12 Arg sh x, Arg ch x, Arg tli x : III, p. 13

):(

( m réel, n entier

> 0) : III, p.

18

eA, cxp A (-4 endomorphisme continu d'un espace norme) : IV, p. 27 = p ( 6V), , R,, yfm(a, V) : V, p. 2 f +- g, fh, J/f11, fg (f, g fonctions dc X (5, V)) : V, p. 3 f g, g f (,f et g fonctions nurnériquîs 2 0) : V, pl 3 fi fi,f, 2 fl (fl fonction dc X ( 5 , V,), f, fonction de T ( 5 , V,)): V, p. 3

< >


INDEX TERMINOLOGIQUE

FVR VII. 29

Eulérien (développement -) de sin z: VI, p. 17 Eulériennes (intégrales -) : VII, p. 6 Exponentielle complexe: III, p. 7 Exponentielles itérées: V, p. 41 Extension élémentaire d'un corps différentiel: III, p. 29, exerc. 28 Extension (H) d'un corps de Hardy: V, p. 41 Faiblement comparables (fonctions - ) : V, p. 4 Fonction à variation bornée: II, p. 29, exerc. 5 Fonction concave, fonction convexe: 1, p. 34 Fonction croissante à droite: 1, p. 43, exerc. 1 Fonction dérivable: 1, p. 12 Fonction dérivable à droite, dérivable à gauche: 1, p. 12 Fonction dérivée: 1, p. 13 Fonction dominée par une autre: V, p. 3 Fonction élémentaire: III, p. 29, exerc. 28 Fonction en escalier: II, p. 4 Fonction (H): V, p. 41 Fonction indéfiniment dérivable: 1, p. 28 Fonction lipschitzienne: IV, p. 7 Fonction localement lipschitzienne: IV, p. 10 Fonction logarithmiquement bornée: V, p. 4 Fonction logarithmiquement convexe: VII, p. 6 Fonction négligeable devant une autre: V, p. 5 Fonction n fois dérivable: 1, p. 28 Fonction prépondérante sur une autre: V, p. 5 Fonction réglée: II, p. 4 Fonction réglée par morceaux: II, p. 13 Fonction régulièrement convexe: V, p. 49, exerc. 5 Fonction strictement concave, strictement convexe : 1, p. 34 Fonction suradditive: 1, p. 54, exerc. 25 Fonctions comparables : V, p. 7 Fonctions comparables d'ordre k: V, p. 22 Fonctions équivalentes: V, p. 16 Fonctions faiblement comparables: V, p. 4 Fonctions fortement comparables : V, p. 7 Fonctions semblables: V, p. 4 Fondamental (système -) d'intégrales d'un système d'équations différentielles linéaires: IV, p. 2 1 Formule de Gauss: VII, p. 3 Formule de Leibniz: 1, p. 28 Formule de multiplication de Legendre-Gauss: VII, p. 12 Formule de Stirling: V, p. 33 Formule de Taylor: 1, p. 29 Formule de Wallis: III, p. 31, exerc. 32 Formule de Weierstrass: VII, p. 3 Formule d'intégration par parties: II, p. 10 Formule d'intégration par parties d'ordre n: II, p. 10 Formule du changement de variables: II, p. 11 Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin: VI, p. 14 Formules d'Euler: III, p. 9 Fortement comparables (fonctions -) : V, p. 7 Gauss (formule de -) : VII, p. 3 Gauss (intégrale de -) : VII, p. 10

FVR VII. 30

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

(H) (extension -) : V, p. 41 (H) (fonction -) : V, p. 41 Hardy (corps de -) : V, p. 36 Hermite (polynômes d' -) : VI, p. 13 Homogène (équation différentielle linéaire -) Hyperboliques (fonctions -) : III, p. 12

: IV, p. 17

Identité de Redheffer: II, p. 37, exerc. 10 Indéfiniment dérivable (fonction -) : 1, p. 28 Indicatrice d'un opérateur de composition: VI, p. 10 Inégalité de Carleman: III, p. 25, exerc. 9 Inégalité de Carlson: III, p. 24, exerc. 4 Inégalité de Cauchy-Buniakowsky-Schwarz: III, p. 24, exerc. Y Inégalité de Hadamard: III, p. 26, exerc. 12 Inégalité de Hardy: III, p. 26, exerc. 10 Inégalité de Hardy-Littlewood: II, p. 38, exerc. 10 Inégalité de Hlawka: II, p. 38, exerc. 10 Inégalité de Holder: III, p. 23, exerc. 3 Inégalité d'Opial: II, p. 38, exerc. 10 Inégalité de H. Weyl: II, p. 38, exerc. 10 Intégrale absolument convergente: II, p. 18 Intégrale convergente: II, p. 18 Intégrale de Gauss: VII, p. 10 Intégrale de Raabe: VII, p. 14 Intégrale d'une équation différentielle: IV, p. 2 Intégrale d'une fonction réglée dans un intervalle compact: II, p. 13 Intégrale d'une fonction réglée par morceaux: II, p. 14 Intégrale normalement convergente: II, p. 23 Intégrale uniformément convergente: II, p. 21 Intégrales eulériennes : VII, p. 6 Intégration par parties (formule d' -) : II, p. 10 Intégration par parties d'ordre n (formule d' -) : I I p. 10 Itérées (exponentielles -) : V, p. 41 Itérés (logarithmes -) : V, p. 19 Legendre-Gauss (formule de multiplication de -) : VII, p. 12 Leibniz (formule de -) : 1, p. 28 Linéaire (équation différentielle -) : IV, p. 16 Linéaire homogène (équation différentielle -) : IV, p. 16 Linéaire d'ordre n (équation différentielle -) : IV, p. 30 Lipschitz (condition de - ) : IV, p. 7 Lipschitzienne (équation différentielle -) : IV, p. 10 Lipschitzienne (fonction -) : IV, p. 7 Localement au-dessous, localement au-dessus d'un graphe (droite -) : 1, p. 39 Localement lipschitzienne (équation différentielle -) : IV, p. 10 Localement lipschitzienne (fonction - ) : IV, p. 10 Localement sur un graphe (droite -) : 1, p. 39 Logarithme d'un nombre complexe (détermination principale du - ) : III, p. 10 Logarithme naturel: III, p. 2 Logarithme népérien: III, p. 2 Logarithmes itérés: V, p. 19 Logarithmique (dérivée -) : III, p. 4 Logarithmiques (critères de convergence -) : V, p. 19 Logarithmiquement bornée (fonction -) : V, p. 4 Logarithmiquement convexe (fonction -) : VII, p. 6

INDEX TERMINOLOGICUE

FVR VII. 31

Maximum relatif, maximum relatif strict: 1, p. 19 Méthode de variation des constantes: IV, p. 20 Minimum relatif, minimum relatif strict: 1, p. 19 Moyenne arithmétique ordinaire, moyenne arithmétique pondérée: III, p. 3 Moyenne géométrique ordinaire, moyenne géométrique pondérée: III, p. 3 Moyenne (théorème de la -) : II, p. 11 Moyenne (valeur -) d'une fonction: II, p. 8 Naturel (logarithme -) : III, p. 2 Négligeable (fonction -) devant une autre: V, p. 5 Népérien (logarithme -): III, p. 2 Nombre premier régulier, nombre premier irrégulier: VI, p. 25, exerc. II Nombres de Bernoulli: VI, p. 7 Normalement convergente (intégrale -): II, p. 23 Opérateur de composition: VI, p. 1, et p. 9 Opérateur de composition régulier: VI, p. 11 Opérateur de translation: VI, p. 2 et p. 9 Ordre d'un opérateur de composition: VI, p. 5 Ordre d'une fonction par rapport à une autre: V, p. 8 Partie principale d'une fonction relative à une échelle de comparaison: V, p. I l Partie principale d'une fonction relative à une échelle de comparaison et à un domaine de coefficients: V, p. 17 Peano (théorème de -) : IV, p. 6 Plus précis (développement asymptotique -) qu'un autre : V, p. 13 Polygone de Newton: V, p. 48, exerc. 3 Polynômes d'Appel1: VI, p. 5 Polynômes de Bernoulli: VI, p. 7 Polynômes d'Hermite: VI, p. 13 Précision d'un développement asymptotique: V, p. 12 Prépondérante (fonction -) sur une autre: V, p. 5 Primitive d'une fonction dans un intervalle de R : II, p. 1 Primitive d'ordre n : II, p. 13 Primitive seconde : II, p. 12 Primitive stricte: II, p. 2 Principe de comparaison des intégrales: II, p. 17 Raabe (critère de -) : V, p. 34 Raabe (intégrale de -) : VII, p. 14 Racines caractéristiques d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants: IV, p. 30 Réduit à la précision go (développement asymptotique -) : V, p. 13 Réglée (fonction -) : II, p. 4 Réglée par morceaux (fonction -) : II, p. 13 Régulier (opérateur de composition -) : VI, p. I l Relation de caractère local: V, p. 2 Relation des compléments: VII, p. 12 Résolvante d'une équation différentielle linéaire: IV, p. 19 Reste de la formule de Taylor: 1, p. 30 et II, p. 12 Reste de la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin: VI, p. 14 et p. 19 Reste d'un développement asymptotique: V, p. 12 Rolle (théorème de -) : 1, p. 20

FVR VII. 32

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

Scalaire (équation différenticlle -) : IV, p. 1 Sécante: III, p. 5 Second théorème de la moyenne: II, p. 31, exerc. 16 Semblables (fonctions -) : V, p. 4 Série génératrice des polynômes d'Appel1 attaches à un opératrur de composition: VI, p. 6 Signe constant (fonction de -) : V, p. 7 Sinus d'un nombre complexe: I I I , p. 12 Sinus hyperbolique: III, p. 12 Solution d'une équation différentielle: IV, p. 2 Solution approchée à E près d'une équation différentielle: IV, p. 3 Solution strictc d'une équation différentielle: IV, p. 2 Stirling (développcrnent de -) : VII, p. 15 Stirling (formule de -) : V, p. 33 Stricte (prirnitivr -) : II, p. 2 Stricte (solution - ) d'unr équation différentielle: IV, p. 2 Strictement au-dcssous, strictement au-dessus d'un graphe (point -) : 1, p. 32 Strictement concave, strictement convexe (fonction -) : 1, p. 34 Suite de définition d'une fonction (H) : V, p. 4 1 Système d'équations différentielles: IV, p. 2 Système d'équations diff6rcntielles linéaires: IV, p. 16 Système fondamental d'intçgralcs d'un système d'équations différentielles lintaires: IV, p. 21 Tangente à un graphe: 1, p. 19 Tangent? hyperboliquc: III, p. 12 Taylor (développement de - ) : 1, p. 30 'Taylor (formule de -) : 1, p. 29 'Termes d'un développement asymptotique: V, p. 12 TliCorèmc dc Cauchy: IV, p. 10 Théorème de Clauscn-von Staudt: VI, p. 24, exerc. 6 Théorème de la moyenne: II, p. 11 Théorème de Liouville: III, p. 30, exerc. 29 Théorème de Peano: IV, p. 6 Théorème de Rolle: 1, p. 20 Théorème dcs accroisscmcnts finis: 1, p. 23 'Théorèmes de Du Bois-Reymond: V, p. 53, exerc. 8 Théorèmc taubérien de Hardy-Littlewood: 1, p. 50, exerc. 18 Uniformément convergente (intégrale -)

: II, p. 21

Valeur moyenne d'une fonction: II, p. 8 Variation des constantes (méthode de -) : IV, p. 20 Weierstrass (formule de -) : VII, p. 3 Wronskicn de n intégrales d'une équation différcnticllc linéaire d'ordre n: IV, p. 32

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION

............................................

.................................... ...................................... § 1. Dérivée première 1. Dérivée d'une fonction vectorielle ................ 2. Linéarité de la dérivation ........................ 3 . Dérivée d'un produit ........................... 4. Dérivée de l'inverse d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 5. Dérivée d'une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Dérivée d'une fonction réciproque ................ 7 . Dérivées des fonctions numériques ................

..

CHAPITRE I

DÉRIVÉES

§ 2. Le théorème des accroissementsjnis ........................ 1 Le théorème de Rolle ........................... 2 . Le théorème des accroissements finis pour les fonctions numériques .................................. 3 . Le théorème des accroissements finis pour les fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Continuité des dérivées ..........................

.

3 3. Dérivées d'ordre supérieur ............................... 1. Dérivées d'ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4. Fonctions convexes d'une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Définition des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Familles de fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

3 Continuité et dérivabilité des fonctions convexes . . . . . . 4. Critères de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du § 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du fj 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. PRIMITIVES ET INTÉGRALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE II

FVR VI1. 34

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

1. Définition des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Existence des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Propriétés des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Forme intégrale du reste de la formule de Taylor; primitives d'ordre supérieur ....................

$ 2 . Intégrales dans les intervalles non compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Définition d'une intégrale dans un intervalle non compact

....................................

2 . Intégrales de fonctions positives dans un intervalle non

compact .................................... 3. Intégrales absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . .

$ 3. Dérivées et intégrales de fonctions dépendant d'un paramèt~e. . . .

1 . Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle compact .................................... 2 . Intégrale d'une limite de fonctions dans un intervalle non compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Intégrales normalement convergentes . . . . . . . . . . . . . . 4. Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale dans un intervalle compact .................... 5. Dérivée par rapport à un paramètre d'une intégrale dans un intervalle non compact . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Interversion des intégrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du $ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

..................... 5 1. Dérivées des fonctions exponentielles et circulaires . . . . . . . . . . . . . 1. Dérivées des fonctions exponentielles; nombre e . . . . . 2. Dérivée de log, x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Dérivées des fonctions circulaires; nombre 7~ . . . . . . . . 4. Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. L'exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Propriétés de la fonction e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Le logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE III - FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES

8. Primitives des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 9. Fonctions circulaires complexes; fonctions hyperboliques .....................................

I I I .1 I I I .1 I I I .1 111.3 111.4 111.5 111.7 111.8 111.10 I I I .11 I I I .12

TABLE DES MATIÈRES

§ 2. Dévelop~ementsdesfonctions exponentielles et circulaires. et desfonctions qui s'y rattachent ............................... 1. Développement de l'exponentielle réelle ........... 2. Développements de l'exponentielle complexe. de cos x et sin x ...................................... 3. Le développement du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Développements de log (1 + x). de Arc tg x et de Arcsinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du fj 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note historique (chapitres 1-11-111) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CHAPITRE IV

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FVR VI1 35

ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Théorèmes d'existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. La notion d'équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Équations différentielles admettant pour solutions des primitives de fonctions réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Existence de solutions approchées . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Comparaison des solutions approchées ............. 5. Existence et unicité de solutions des équations lipschitziennes et localement lipschitziennes ............ 6. Continuité des intégrales en fonction d'un paramètre . 7. Dépendance des conditions initiales ............... § 2 . Équations d$érentielles linéaires .......................... 1. Existence des intégrales d'une équation différentielle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Linéarité des intégrales d'une équation différentielle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Intégration de l'équation linéaire non homogène . . . . 4. Systèmes fondamentaux d'intégrales d'un système linéaire d'équations différentielles scalaires . . . . . . . 5. Equation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Équations différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Équations linéaires d'ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Équations linéaires d'ordre n à coefficients constants . 9. Systèmes d'équations linéaires à coefficients constants . Exercices du 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du fj 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111.15 I I I.15

FVR VI1. 36

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

Note historique ......................................... Bibliographie ..........................................

v.. ÉTUDE LOCALE DES FONCTIONS .................. $ 1. Comparaison des fonctions dans un ensemblejltré . . . . . . . . . . . . . 1 . Relations de comparaison: 1. Relations faibles . . . . . . 2 . Relations de comparaison: II. Relations fortes ...... 3. Changement de variables ........................

CHAPITRE

4. Relations de comparaison entre fonctions strictement positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$ 2 . Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Echelles de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 . Parties principales et développements asymptotiques . 3. Sommes et produits de développements asymptotiques

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4 Composition des développements asymptotiques ..... 5. Développements asymptotiques à coefficients variables

$ 3 . Développements asymptotiques des fonctions d'une variable réelle . . . 1. Intégration des relations de comparaison: I . Relations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Application: critères logarithmiques de convergence des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Intégration des relations de comparaison: II . Relations fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Dérivation des relations de comparaison . . . . . . . . . . . 5. Partie principale d'une primitive ................. 6. Développement asymptotique d'une primitive . . . . . .

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§ 4 Application aux séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Critères de convergence des séries à termes positifs . . 2 . Développement asymptotique des sommes partielles d'une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Développements asymptotiques des produits partiels d'un produit infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Application : critères de convergence de seconde espèce pour les séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Appendice . Corps de Hardy . Fonctions ( H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . Corps de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Extension d'un corps de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FVR VIL 37

TABLE DES MATIÈRES

. . . .

3 Comparaison des fonctions d'un corps de Hardy .... 4 Fonctions (H) ................................. 5 Exponentielles et logarithmes itérés ............... 6 Fonction réciproque d'une fonction (H) ........... Exercices du 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du $ 3 ........................................ Exercices du 5 4 ........................................ Exercices de l'Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CHAPITRE VI . DÉVELOPPEMENTS TAYLORIENS GÉNÉRALISÉS FOR-

.................... 5 1. Développements tayloriens généralisés ......................

MULE SOMMATOIRE D'EULER-MACLAURIN

1. Opérateurs de composition dans une algèbre de polynômes ...................................... 2. Polynômes d'Appell attachés à un opérateur de composition ..................................... 3. Série génératrice des polynômes d'Appel1 .......... 4. Polynômes de Bernoulli ......................... 5. Opérateurs de composition sur les fonctions d'une variable réelle ............................... 6. Indicatrice d'un opérateur de composition ......... 7. La formule sommatoire d'Euler-Maclaurin .........

$ 2 . Développements eulériens des fonctions trigonométriques et nombres

de Bernoulli ...................................... 1. Développement eulérien de cotg z . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Développement eulérien de sin z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Application aux nombres de Bernoulli .............

.

$ 3. Majoration du reste de la formule d'Euler-Maclaurin . . . . . . . . . 1. Majoration du reste de la formule d'Euler-Maclaurin

2 . Application aux développements asymptotiques . . . . .

Exercices du 9 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 5 3 ........................................ Note historique (chapitres V et VI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

........................ dans le domaine réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE VIL . LA FONCTION GAMMA

5 1. La fonction

gamma 1. Définition de la fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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FVR VI1 38

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

2. Propriétés de la fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Les intégrales eulériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$ 2 . La fonction gamma dans le domaine complexe . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Prolongement à C de la fonction gamma .......... 2. La relation des compléments et la formule de multiplication de Legcndre-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Le développement de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du $ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices du 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Note historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index des notations ..................................... Index terminologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .