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O et que l'on ait dirrr(M/pM) < tiiin(M) . Soit ( z i , . . . , C E , ) urie suilc s6cu.rite rnaximak pour M/pM, rlc sorte qiic (pl A , .rr,. . . , z,) est une suite sécante maxirriak poix M. Soit C urr panneau de longiiciir + m : de corps résiduel K A (IX, 5 2, ila 3, prop. 5). II existe lm honromorphisnie ' ~ 0dc (: sda.ns J,/nJ, forment ilrie base de ce ~(11)-espaccvcxtoricl. La suite x erigeridrc . T , ; d'après la. BI,)-régi~1ibi.e. Corrnl~e1c A,,,-modiile BI, est plat prop. 1 du no 1, elle est (~(111) 81~ par hypot,l-ibse,il résulte dc l'implication (iii) + (iv) de la prop. 5 que la. coridition (i") est satisfaite. -
'
Rem,nrgue 1 . Siipposons que les corrditiorls kqiiivalentes de la. prop. O: soicnt satisfaites. Coninle B / J cst plat sur A , pour toiik A-;i.lgbbre A', la suite cai~oniqucde A'-rnodulcs O > A' @* J A' @A B >A' @* (B/.J) iO -
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6. EXTENSION DES SCALAIRES DANS LES ALGÈBRES R.EGULIÈRES
1. Algèbres essentiellement de type fini
Soit k iiri anrica,ii. Soient A une k-algèbre et x = (:r,),,I irr~cfaruillc tl'4krr1c:rits de A ; notons A' la soiis-alghhre de A engeildïée pa,r les zi . Nous dirons qiir: x est, une fairiille esse~tiellerrsentgc.'n,drntricf,de la kalgèbrc A si, pour (,ou1 élérr~erii,a dc: A , il c,xiste uii dément s de A', invcrsiblc dans A ,tel que s u appu.rtierrrieà A'. P et CS Il rcvic~r~t, a.ii iri6mc (le dire que, pour tout a E A , il cxistc des polyi~ôir~cs de k:l(X,),,,iJ tels qiic Q(x) soit inversihle t1a.n~A et quc l'on nit n = P(x)Q(x)-' . Nous clirons qu'urie kalg+bre A est. essentiell~~rr~e~t de typc fini si elle a.dmct une hrnillc csscriticllrrr~cr~t gCr~Crairicctiriie. Tl revient au mCme de dire qii'il cxistc imc S de A' telle que la k-algèbre k-algèbre A' de lype h i el, iinc part;ic rni~ltiylica.tiv~ A soit isomorplic ù S-' A' .
E z e r n p l e . ~ 1. ) Dire qu'une cxtcrlsion L (l'un corps li est imc K-wlghl~reessent,iellcir~crrtde type f i i i i signifie que c'cst imc cxtcnsioi~dc typc fini au sens de A, V, p. 11, d6f. 2. La K-ii1gPl)r~1, n'est (le t,ype fini que si c'cst une cxtcrlsior~de degr6 fini de I< (V, fj 3, no 4, cor. 3 d u th. 3). 2) Pour qu'iirie k-algèbre lo(:;tle soit xiste un polyriôme R. E k[(Xj),,I] tel que H.(x) soit irivcrsihle dans A et qiiç: R(x) P et R(x) Q apparticniient à Afl(Y,),,,,] . Alors p(R.(x))Q(y) cst iriversil)lc clans B . et ]'on a
Airisi les 6lémcnts p(.xi) polir i E 1 cl ~/ipour j csscntiellcn~cntgénératrice finie de la k-algèbre B .
E
.J f(ormen1 m e famille
COROLLAIRE.Le pmduit le~rsorielde de~uzk - a ~ è b r c srsserrPie1lemr:nt d c type finvi est une k-algèbre csscritiellcnwnt d c t p c jiwi. Soient en effet A et U dciix k-alghbrcs csscnticllcnieilt, de type Gni. Alors A R k B est cssrr~ticllcrncr~t de typc fini sur A (prop. 2, d)) donc siir k: (prop. 3).
2. P r o d u i t s tensoriels d'algèbres d e M a c a i ~ l a y011 d e Gorenstein
PR.OPOSITION 4. Soient k u n corps, A .ime k-alqkb,rs c~.sscnt.iellemer~t de t y p e ,fi:ni el U un.? /c-ulgèb~c. a.) Si A et B s o n l , des anneaux de M~,CCIITLID?J; il en cst de rrtênic de A
b)
$1;
@k
l3.
A et B sont des a m e a u x de Gorenstein,, il e n est de mêrr~ede A Mk.LI.
Supposoris que A ct B soimt des anncmx de Macaulay (rcsp. de Goreristcin) ct proiivoris qu'il cri csl, de rriGirie ( i A~@A:B . L ' a i ~ n r mA @k R est noethérierl (no 1, cor. tlc la prop. 2). Le A-inodiile A @ k . R est lit~re,donc plat. D'aprPs la prop. 10 dii 5 2, 11' 7 (resp. le cor. 1 de la prop. 12 (111 $ 3, no 8 ) , il nous siiffit de proiivcr qiie ~ ( p@k) l3 est uri anlieau de l\ilo.c:;ii~lay(resp. de Gorcnstein) polir tout idCd prcniicr p de A . L'cxtensior~~ ( p dc ) k est de type fini (no 1 , prop. 2 et cxeniple 1) ; noiw soirmies dor~crarrleiiés iclémoiitrer 1'6noric:6 d m s le cas oh la. k-a.lgkbre A est une ex(,ension de t,ype Iini I< de A:.
Soit ( t l . . . . .t,r,) iiiie lwse de tra.risce~da.rlcetie K sur k , de sorte que K est une extcr~siori(le (logri. fini t3n l'cxtcnsion piire A:' k.(tl,. . . , t,,) (A, V , p. 112: prop. 17). L'arlrlcaii B' - k1@,~oeth&rien,, A et 13 des k-al,qCbres. On s u r . A:. Si A et B so31~1 .srrppo.sr: que A est plate et rsscrrt.lrllcrn,ent de type ,firl~/i des cr,.n,n,eau:r:de M(~ca~rhy ( r ~ s p de . Gormçtcin), alors A Bk B est arc. armecm de l%fucu.c~,lu,?j (resp. de Gorenstcin) . Supposoiis d'alrord que B soit iiri t,orps ; notons cp I'lionioinorphisme canonique de k tla.11~B , ct r sorl rlcyaii. L'hoinornorpliism cp iritiiiit un hoinomorphisrne di1 corps tlcs frncl,iorls ~ ( r (10 ) k / c dans B . Alors AC3k.B s'iïkmtifie (h@JkK(r))@,(,)U; comme c p '(O) = r , I'aiiiieau A '81,~ ( r )pst lin annea.u dc Macaulay (rcsp. de Clorcnsteiii) d'après la prup. 10 du fj 2, ri0 7 (resp. le cor. 1 clc la prop. 1 2 du 5 3, il0 8). L'nsscrtion r6silltc clans c.c cas clil (:or. 1. Passons ail cas g6ni.rd. Ln B-algcbre AwA:Bcst plîr.tc:, t:t rioeth6rie1inc par Ir cor. ~ ( q ,) tlc la prop. 2 du no 1. Pour. chaque itlcal preirlier q dr: I3 : l'ailrinail (A@kB) qui s'identifie à A i i ~~ (~q, )est uii ailneail de Mac.aiilay (resp. dr Goretistcin) dlapr+s ce qui préckdc. On coiiclut en appliquarlt la, prop. 10 di] 5 2, no 7 (rrsp. le cor. 1 de la prop. 12 dii tj 3, no 8). 1
%
~
3. Extension séparable du corps de base dans les algèbrcs r6gulières1 ou norrnalcs
Lerrme 1 . Soit A un, anmeau n,oeth,bien,,rkrrsion d'une f h i l l e ,filtrante croisçan,tp (A,,),,,1 de so~u,s-c~nnec~,~~,. noeth,6riens.
a.) Soit rn lin irI6n.l rria.xinial de A : pour tout cu E 1, ilotorls m, 1'idOal m n A, de A,. Piiisqiie A est nocthkrien, m est de t,ype fini et. il existe un élémcrt a de 1 tel que m Am,, dc sortc que le A-niotliile (A,,/m,,) @/\, A est isomorphe à. A/m. Cornrrie A est plat sur A,, on a dpA(A/m) dpn,(A,/m,) (A, X: p. 141, lcnimc 2). Pilisque les a,ririea.ux A, sont réguliers, il en résulte yiic A est r6gulit.r (5 4, no 2, prop. 4). h) Puisque les A, son1 rétliiik, A est rétliiit,. Soier~ta ci, b dcs i.li.rnerrts de A tels yiic O nc soit pas diviseur de zéru el que l'élénient n/h (le l'anneau total des fractions de A soit cnticr sur A . Il cxistc UII polynôrrrc unitaire P E A[X] le1 q i l e P(u/b) = O . Soit a un éléinent de 1 tel que l'aiirieaii A, conticrlirc a , h ct lcs cocfiicicrlts tlc P . Puisquc A, est normal, il existe c E A, (,el que (I, = br:. Airisi a/b = c appartient à 11 ct A est norr~lal. 1
llisrrlcdédiiit par pa.ssagc aisx quotierit,~de la. restriction de d ii. J . Notons p : ,4 + A/.T2 et IT : A/J2 i A/J les siirjections canoniques. Soit v : (AIT) @i\
Clk:(A) i J / J 2 nile application klinbairc ; on lui associe une applica,tiori k-linbaire H,, : A i A/J%ri posa.nt HH,(z)= p(a) ~ (@1d z ) . Si ,u est une r6traction dc (1, H,, s'mriule sur J , donc iudiiit par pa.ssagc au quotient m e a.pplica,tioi~k-linéaire h,, : A / J 7- A/J? D'autre part, étant d0nni.c une applicaA/J"I'applicütion tion k-1inéa.ire h : A/J i A / J 2 , notons thh : AIJ 0) J/J" (n:, y) H h ( z ) y . -
+
PKOIWSITION 2. ~l.lunissonsle k-,mod,ulcA1.T @ J / J 2 de la str..ucturc dp k-alyi.119-e ,irtduisenl, dcs d4jiraie dans l'exemple ci-dessus. Les n,pplications v ti h,,, et h H bi,j~ction.serr,tri-les mserrchles sui~ianh: (i) l'cnserr~hlcdes rél~actionsA/J-lirtiaires v de d ; (ii) l'rnsen~bled e s homomorph,isrnc.s de k-nlgRhr.es h : A/J + A/J2 tels que IT o IL = IdA/., ; (iii) l'~n.sembledes isornorph.ismes de k-algèbres $ : A/J CHJ / J 2 A/d2 tels que TT O i[i= pl et +(O, z) = z pmrr z E ,T/J2 . Appliquons la prop. 1 avec C = A/J"d, N = .T/.T2. Suit cp : A + A/J la surjection canonique ; l'liosiornorphisrr~c p est i i r i reli'verrierit dc
déf. 1).
Rappelons qu'un hornon~orphisnlede A dxis iinc k-algèbre murlie de la topologie discrètc est continu si et sculcriient, si son iioy-ir.11est ouvert. Soient X: im w.nneii.u,A iinc k-algèbre ct J un idéü,l de A . Miinissoiis A de la topologic J-a.diqiie. Soient C inie /ï-algCbrc, N in1 idéal de carré nul de C ; rnunissons C et C/N de la topologie discrbte. Soit cp : A > C/N un Iioiriorr~orphisniecoritinis d'alg8ljrcs. ïhut relkrierrient
O
lissc (polir la t,opologie prvdirit des topologies discri.ti:s sur les Sk(P)) : en effet c'est la coinplbtéc dc la k-algèhe Sk(P) pour la topologic dbfinie par la gratluat,iori.
2) Pour toiitc: faanille t,epolir la. topologi(, dfifiriic par celte filtratioii, (le sortc qiie l'ap~li O ; notons T : C -> C/C,,, la siiijrctiorr cwnoiiiqiic.
P ~ o r o s r r r o5.~- Soit A ~rrrrk-n&hr~ lin,6aiaiwrrrcict topologis6~jorrnellerrrent lisse. 7i1rrl h,ornom,orpl~isrnecorrkinu de k-nlgi.11w.s cp : A + C/C,,, a d m e t U I L rali.vcv~crrt cOrl,iirl/l~h Cj . I'oiir tout cwticr 71 > ri>,iioto~isT ~ :, C/C,r,+ C/C,,-, la siirjcction carronicpi:. Piiisipc C s'iderit:ifie R la limitc projectivtl iles C/C,. il rcvienl, au rriême de se doiiricr iiir ~&wrrieritcontinii di. cp C oir iine famille (cp,,),,.,,, tl'lrorrloriiorplrisrr~es coiltimis dc k-dg+l)rcs cp,, : A + C/C,,, satisfaisant à T,, o y,, = cp,,-, . Ccla noiis C,, est raaikric, par récilrrcnce sur m , à prouver l'bnori& lorsque Cr,,+I = O . L1im
'
l'hhissiic dédiiit dc 8 . Le cornpos6 (le O,,, avec la siirjection caiio~iiqiie A / J est la projection caiioi~iyuede C,,, siir S" = A/.J ; par suitc Ic 4/.Ji"+ l iioya,ii tlc O,,, cst lin itléd r~ilpotcnt.D'aprk l'cxerrlplc di1 no 4, il cxistc un rclhvcrncnl, ib, : A + Zn,de la surjection cnnor~iqireA i A/.T""+l . Comnie le composé de +,, avec la. pr»jectiou canonique de X,, sur A/.T est la surjection ca.imnique, iJr,,,,,(.T) est foriné d'élérrients de dcgri. > O . Pur passa.gc: ailx gradués associks, on dCtliiit (le $ , iiric applicat.ion koliil6aire grntluér gr($,,,) : gr,,(A) + Z,, telle que = Id,,,, 1.1 . 11 en rCsull,eque gr ,,,(8) , donc a.iissi Pm, ; est injectif, gr, (8)ogr,,,,(~Jr,,) ce qui a(:l.i&vetle prouver jii). les conditions (ii) et (iv) sont kqiiiv-iilerit,cs(3 5, Eriiiri, lorsque A est rioet,I&rier~, no 2, th. 1). /J7y~
Les coriditions (ii) et (iii) sont 6quivalerites tl'a.pri.s l'cxcmple 3 (hi 6, II" 4, et revicnncnt à dire qite l'idéal m~ est cornplhtcrncni, ,-. skcant (VIS], 5 5, ri0 2, th. 1). Pa,r aill~iirs,t,oilt isomorphisrrie d'a.i~ricaiixde A sur K A [ [ S.~. ., , T T r ]est ] bicontiriu, puisqiir cc sont des a,nrremx loca,ilx. Comme la k-dgkbrc A/mA est, kmrielleirrent lissc (no 3, th. 1 ) ; le corolla.irr r(:siilte du th. 2 appliqué avec J = mA .
COROLLAIRE 2 . Soient k un corps, A ,crne k-alqèbrc riocfhe'r.ien,n,r:et J un idéal ~s A for7n,ellement lisse dr: A con,ten,n. dans le rndiçul dc A . S ~ ~ p p o s ola~ X--algi:im pour Io topolo,qLe ,J-ad?y,ue. Elle esl, alors absol.u,,rn,mt riguli?re. Soient eu effet k1 ilne extensiorl firiic dc k et A' la A-algèhrc ; il s'agit de prouver q i ~ cpour , toiit idéal rrmxirnal m' (le A' , 1'annca.u local iioctli6ricn A',,, est rkgiilicr. Or on a .TA1 c ml : cri e k l , l'image réciproyuc de m' dans A est un i d h l niaxiinal de A (V, (i 2, il0 1, prop. 1 ) ) donc contient J . La kl-algèbre A' est forinellerneiit lisse pour la. topologie JA1-a,diyuc (ri" 2, prop. 4, h)), ct la kl-algi.l>rc Ak, est forrncllcrnerit lisse poix la topologie JA:,,-adiquc (no 2, prop. 4, a)), donc aiissi polir la topologie m'A',,,-atlique. Soit ko lc sous-corps prcniier de kl. Alors A',,, est forrnellerncnt lisse siIr ko pour la topologie m'Ai,,,-adique (cor. dii th. 1 du 11" 3) ; cornmc ~ ( m ' )esi, séparable sur krl,l'anneau Am, cst r6giilicr. (cor. 1). COROLLAIRE 3 . S o i c ~ kt u n anneau et A u n e A:-dgèbre forrr~ellerrcwrrtlisse. a) Le A-rriodule bZk(A) es/, projccttf. h) S,r~,;uoçorrs que l'u7mcnu A ~%5(i1; A soit roct thé rien,. Notons p. : A A +A 17h,om,om,or-hzsrrie tel yue p.(:x: 00 y) = zy ; a1or.s l'idéal Ker(p,) est compli:tem,mt s6cant. Les kdgèhres A et A @ k A sont forrr~ellernerillisses (ri0 2, $ o p . 4, c)), ct A est isorriorphc ail quotient de A 1@k 4 par le noyau T dc p,. On a par définition fLk(A) = I/S? Ainsi a) et 11) résiilient, di1 th. 2. 6. Extcnsion du corps de base dans les algèbres régiili8res (caractéristique non nulle)
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Soient k iin ariileuii et p : A R u r i honiornorphisrne de kalgbbrcs. 011déduil, (R) , et p x siiit;e ilne application dc p une application A-linéaire O(p) : f l k(A) + .ILk(R) ( A , III, p. 135). Soient T = (T,)7,,I U-linéaire &(p) : B @ A fLk(A) imc famille d'indétermiri6cs, ct t = (t,,),,rlin A est un hosrminorpl-kmc d'anncnux, on a iinc suite exacte cailoniquc de A-modulcs (A, 111, p. 136. prop. 21) A @I; Il(k) i R(A) - - 1 flk(A) -1 O . Supposons que A contienne im son-corps, et soit P Ic soiw-corps premier de A ; alors O(P) est nul et l'liornoniorpliisrnc canonique de A-nlodules O(A) i O p (A) est bijectif. Si en outre A est de ca.ractéristique p # O (ce yiii signifie par définition cluc p est un nombre premier, que p l A = O et lAf O ) , alors P s'idcntific A F, . De plus, toute dérivation (le A s'anniilc sur lc soiis-ameau A" ; pour tout sons-mirieau k de 4 coritenii dans A" (et, cn particulier, pour tout sous-corps pa.rfa.it k (le A ) , l'application canonique O(A) + flk(A) est bijective. iirie siiite finir d'blbSoient A un a.nneau de ca.ract4ristique p f O et (f+)lGiGn, ments de A. Notons A,,, 1'aririea.u qimticnt de l'anncwi dc polynômes A I T I , . . . ,T,] pa.r I'iclPa.1 engeritlri? par les polynômes T: - ,f, , poiir 1 i ,rL.
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1 . L'anneau A l est, local et noct.116ricn d'aprt.~le cas déjà. traité. Lw. Al-algbbrc A,, s'i d,\ (Ail ,) sont linéaircinrnt iildt5pcntlarlts dans A/m M,\ Ok,,(A). D'apri:s II, $ 3, ri0 2, cor. 1 et 2 de la. prop. 5, les I @ d A ( h i l A )forrricrit u r ~ cbase d'uii Sact,eur direct clil A/mr-~r~od~ile A/mr XI,\ fLk,,(A). Il existc donc uiic applicatior~ A/mT-liiibaire u,. : A/mr @ A CLko(A) A/n17' O)X.ClLo(k)
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telle qiie uT(l dA(XilA))= 1Cg cih-(&)pour t,out 'i, doric W, O w,. = Td. Vkrifions inüintcnant qirc A est, Sorrnell~:rr~er~t lisse siir. k pour la topologie 111-adiqi~e.Soirrit C iiilc k-algCbre, N uri itibal tir carri: niil tlc C , et 7~ : C! I C/N la surjcction carioniqiic ; miiriissoirs C et C/N his~r~c cor~tiriude k-algkl)i.es. Piiisquc A cst forrnellrrneilt lisse sur ko pour la lopologie m-atliqiic: il cxistr uri I.iornomorphisrrie : A + C tel qilc 7~ O K~ ~(@k ~' C~L )( est A, V, p. 97, a.ppliqu6 à l'cxtcnsi«n k tlc kp , le k-espace vectoriel R(li), qui coïncide avec Rkl,( k ), est rCimion filtrante croissante des sous-espaces k @k:fp Clkp(k'") ail kt tlCcrit l'ciwcmblc dcs extensions finies rxlicielles de k de Iiniiteilr 1 contcriues tlaris une clôturc alg6briqiic fixCc dc k . L'assertion (ii) en résultc.
2. Structure des modules injectifs indécomposables
Lemme 1 . Soient A ,un aarceuu, a ,un i d k d de A , et I 'urL A-rriodule. Po*ur to,ut enLr, le sous-rr~odulede 1 forrr~r:(les &hr~rc.tsur~nnl&par a'', . tier n O , ,r~oto,r~s a) Supposo.n,s le A-rr~oduleI %.r@:tif. A l o w le A/an -,rr~oduleT, est Iriectif pow tor1t TL O . b) LS'upposon,s que 17ann,eau A soit m e t h é r i e et que powr to,ut ,ri O le %S~j~ct'if. A/an-mod~uleI,,, sost injectif. A1or.s la ~(kmio'rides I,, est 1 ~ 7 1A-rr~od,l~Ic a) Le A/an-module I,,, est isorriorplic à HorriA(A/an,1) , qui est irijcclif (A. X, p. 18, prop. 11). II) Soient .J la réunion des 1,. b uri idCa1 dc A ct f : 6 + J lin A-liornorriorplliuine. Il sla.git (A, X, p. 16, prop. 10) de prouver qu'il exisk un 616incnl; z dc J tel qu'on ait f(h) lm pour t,oiit b E 6. Piiisqiie b est de type fini, il existe lin entier n tel qii'oii ait f (b) c I,,, , c'est-Mire f (anb) = O . D'aprks Ic cor. 2 de la. prol). 1 de TTT, 5 3, no 1, il cxistc lin criticr rn 3 n,tel qiic a"' n b c a n b , doric f (an2n 6) = O. Alors f induit une application A/aw"-linéa,irede b/(a7" n 6) dans 1, ; comme le A/anL-module T,, est iiijectif, il existe un kl6irierit z d~ T,, tel qu'on ait f ( b ) = bz pour tout b E b, d'oii II).
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NO
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DU~LITÉ DES MODIILES D E 1.ONGIJEUR FI'JIE
AC X.107
Soit a lin idéal de A ; nous convicndroris dails cc qui suit de poser an = A poiir tout entier n, O . Soit E in1 A-module. Pour toiit n E Z , r~otoiisE,, le soiwirlotliile de E formé des déments ariiiulés par an ; soit grn(E) le A-modiilr gratliié de type Z tel qiie gra ( E ) , = E-,, 1/E_,, poiir tont criticr m . Le module gra (E),,,, est niil poi~r,rr~ 1 , et gra(E)o s'identifie à E l . Notoris gr(A) l'arirlcau gradué associé A A pour la filtra,ti»ri a-adique : on L: gr(A),, = a"/an+' pour Loiit TL t Z . Soi(:rit n et m. des cntirrs. On déduit par passage aux qiioticnk (le l'application bilirikaire (a, z) H n:r de an x EPrn+i dans L,,-, + i une application A/a-l)iliriéaire
, 0: désignons par 1, le sous-module de 1 formé des élkmrnts annul6s par p" .
NO 2
DIJALITÉ DES IVIOI>IJT,ES1113 LONGIJEIJR FINIE
AC
x ion
a) Le A-module 1 est r6wrion des I n . L'injcckion A/p i Il se prolonge en un (16: ~ ( p sur ) II ; identz:fioirs ~ ( p Ù ) Il (i l'aide de cet isorr~orphisrn.e. ison~or.pltis7r~f;. P o w ch,uque eirlier 71. 2 O , la struckuic de Alp-module de In+]/I,, provient par ,resIriclion, des scalaiics d'me u~~vique structure de ~(p)-espacc,ucctoriel ; I'homornm) un i,som,orphisme phisrne çano,rLIy.ue PI,-,, : ITL+I/In+Hom.4/y(p7L/pnI l , ~ ( p ) est de ~(p)-espuces,ueïlorieb de dirneresion ,finie. A
b) il eriste une wrL%y.uestr~uct.ur'cde A,,-rr~odulesur 1 induisant su .str.ucture de A-,m.odwlr. Tl'hosr~omo~rphz.srn,e cci,n,on,ique Ap + EndA(1) est bzjectif. D'aprAs A, X; p. 20, exemple 1, le A/p-rnotliile ~ ( p est ) une enveloppe ir~jective dc A/p. 11 résulte donc de la prop. 2 qiic Il s'identifie à ~ ( p, )que 1 est réunion des 1, , et que pour chaque entier n 3 0 , PI,-, est un isoniorphisaie de Alp-modules. Pour toiit élkrnent non ni11 n de A/p , I'horriothét,ie de ra.pport a est inversihle dans llornA/,(pn/p"+ ', ~ ( p ) ,) donc aussi daris I,r,,+l/IT,, cc qui achève de prouver a). Soit s E A p. Comme l'homoth6tie SA,,, est inject,ive, la. t r x e de Ker 71 sur A/p est nulle, ce qiii entraîne quc I'homotliétie SI est irijective. Alors SI est iin sous-rnodi~lrfactciir dircct de 1 (A, X, p. 19, cor. 4), donc égal i 1 puisque T est indécomposable (il0 1, prop. l ) ,de sorte qilc l'honlothétie si est bijective. Tl existe donc une unique strixtiire de AD-modulcsur 1 induisant sa st,riictiire (le A-modillc ; cllc .;'étend de manière unique en une striictiirc dc A,-module (lemme 2) on déduit dc l'hoinomoiplnsrne tl'anrieaiix canoniqiic Pour cl-iaquc criticr A, i EndA(I) iinc application A linéaire a,, Ap/pn A, +Hoin* (In, 1) Conbi (1Crons lc clingrainme commutatif à ligriei exactes A
-
A
ail ai,+, cst l'liorriornorphismc induit par a n + l . Considérons l'application ~(p)-l~ilinCairc cnnoniquc an,-,
. p'LAp/pn+lApx L+l/lrL
+
11
(forrriule (1)). L'application lini-aire In+, / I , -i~orn,(,)(pnA,,/pn+] A,. I I ) qui lui est associ6c à gauche s'identifie à. PT,-,,, , et celle qiii lui est associk à droite est a;+, . Corrirrie PI,-, est bijective d'a.priis a), il en est; de même de ai+l ; on dCduit alors t h diagramme ci-dessus, pa,r r4currerice siir n., qiie an est lin isomorphisme pour tout n,. Comme T est réunion des T,, , l1rt.pplica.tior~anoniqie EndA(1) @ Horni\ (LrL,1) est hiject,ive ; I'liornomorphisnic d'anneaiix Ap i EndA(1) , qui s'identifie à la limite projective des applications a , , est donc bijectif. R e r ~ a r q u r Il. résiilte de la,c@ioristratiorr pr6cEderitc quc l'wnriulateiir de I,, dans ). Par suite l'annillateur du A-iriodule ,4p (resp. d m s A,) est pnAp (resp. pTLAy TV, est llirria.gerkciproqiie dans A de l'idéal p7'Ap, que l'on note parfois p(,) et yuc l'on appdlc la puissance symboliq~~e n-i6nr.e de l'idéal premier p . A
C O K O T , T , A ISoit I ~ E.J. W I A-,rr1,od11lei>%jectijP tel que AssA(J) = {p) . a) L'applicutio,ri, cari.oaipe J i A,, @A J cst bi;jecl/~i,.~e. 1)) Notons l? le Alp-modr~lcH o i l ~ ~ ( A /.T)p ,. Il existe sur i2 unc urriquc sPructcl.re de ~ ( p ) - e s p c rvectoriel prolor~gcunts u structure de Alp-module ; le A-rrsodule .T cst ,isornorph,c ir, I [ [ ~ ' ~ ( P . )]) En effet, .J est isorriorphr à. lin A-module I(') , où c est 1111 ca.rdine.1coiivenablc (ri0 1, th. 1). Lc corollairc: r6siilte de la propositioii lorsquc J = 1 et le cas général slcn déduit aiwsitôl. 3. Dualité de Matlis Dans ce n?em,éro, on suppose quc l'annea~iA est local northérien. D É F I N I T I O N .On dit c / T ~ , ' T ~ A-m,odule 1 est un A-rr~odulede Montliss'il est ,injectif, quc nni~ cst sort. u n i g ~ ~idéal e premier associé et que le ~ ~ - p s p a cvectoriel e HomA( K A , 1) es1 de dime~siorr1. Soit r : K A + 1 une crivcloppc ir~jectivede K A (A, X , p. 20, th. 2). Le A-module 1 est i i r ~rilodiilc,,.deMatlis, et tout A-ir~oduletic Ma.tlis est isomorphe à 1 (no 2, cor. de la prop. 3). Si A est ini nriilcm de valiiation discrPte, de corps des frnctims K . le A-rnodirle K/A est un iriodulc de Matlis (ri0 1, exernplc). Si A est iiii amieair local artirlien, In A-module A est lin inodulc dc Ma.t,lissi ct seulement si A est 1111 ar1iica.u de Gorenstcin (3 3, no 7, lcmine 1). Soit 1 i l i l A-modiilc de Matlis. Pour t,oi*t entier n 2 0 , iio1,ons I,, le soiisA-iriodille de 1 fornié dcs klémer~tsarnliil6s pa.r m';. D'après ln. prop. 2 dii ri0 2, 1osonsalors d - dirri(4) = ht(mA4).On a dirn(Ap) = ht(p) = cl 1 piiisque A rst 1111 anneau de Wlô.c:ir.iil;i,y(s 2, no 2, cor. de la. prop. 2). Polir tout entier i , le Ap-modiile ExtAV( ~ ( p )fip) , est isornorphe h Ext,î(A/p, (5 9; II" 2: prop. 2) ; il suffit donc de il6irioiltrcr q i ~ cle A/p-imtliilc Extk(A/p, il) est 11111pour i, # cE 1 et de rang lin pour i, = d - 1 . -
-
Soieiit L un 616riic:ul, (le r n ~ p , et .r: sa classe c l m s A/p . Corisiil4rons la. siiitc exacte dc A~riotli~les
Le A-niotiiile A/(p+:rA) est. de longueur finir puisque soli siipport est réduit r n ~; cornirie le A-irioiliili: f 2 est diiadis;tiit, ori a E x t i ( h / ( p + zA), R) = O poiir 1 # d (Ej 8, i l 0 5, cxcrnplc 3 ) . On tlPduit alors de la silitc exacte des rriotliiles d'cxtciisions la siiite ci-tlessiis ct B R qiie l'lioniotl-16tiedc rapport z dans le A-moiliile a.ssocii.c i. Extk(A/p, O) est siirjcctive poiir i j f d - 1 . ce qui irnpliqiic qiie ce module est mil (lerrirrle de Na.kia~mna).En pa.rt,iculicr ~ i : ~ t , A ( b2j ~ / pest , nul, et I'ori ohticnt ime siiitt: i:xa.ct~e
-
+
( h i a iongA(~xt,(h/(p + T A ) , O)) 10ngA(A/(p zA)) ( h c . cit.) ; la proposition ri.siilt,e alors du lerrimc siiivant, a,ppliqué à l'anneau U - A/p el au U-nlodirle M ~ s t $ - '(hlp,R) :
-
Soit, en effet, r le r m g ile M ; il existe un soiis-rnodulc L clc 1\11 libre de ra.iig r i,cl qiir M / T , soit, iiii modiilc de torsioii (VII, 5 4, ri0 1: cor. de la prop. l ) ,donc de lorigiieiir firiic (VII, fj 2. no 5,I~rrirrie1). L'annula,t,ciu de NI/L n'est pas rkdilit, :r. O , et conticnt donc i i r i i.l&nent non nul rr dc mn . Consid6rons le diagramme
D'nprCs le lcrniric du serpent (A, X, p. 4, prop. 2), on cri déduit urie siiite exacte
d'où long(M/zM) = long(L/zL) . Corrime long(M/zM) = long(B/zB) pa.r hypothèse et loiig(L/xL) = r long(B/zB) , on en déduit 1. = 1. COROLLAIRE 1. cst d,uulisa11t.
Pawr twutc par.tie m.ultipliatiue S de A , le S-'A-module
S-'Cl
COROLLAIRE 2 . Lr support de R rsf c'qal ri Spw(A) En effct un module diialisant sur un anneau local cst non nul par d6finition COROLLAIRE 3. Soit Ni un A-module de @jye,firai,et .s«,it ,i un entier.. Le A-modale Extk(M, f 2 ) est de t?l;oc,fini, et son suppor.1 esb de codirnercsion 3 i darcs Spec(A) . La premihrn assertion résulte de A , X , p. 108, cor. Soit p uii idéal premier support de Ext~L(M,0 ) . On a. R X ~ ~ ~Cl)p (M# , 0 , donc ExtAp(Ni,, 0 , ) # O (5 3, ri0 2, prop. 2), ce qui impliqiic dihp(Op) 3 i . Conirne Clp est lin Ap-moihile tlualisurit (prop. 2), on a diAp(O,) = dim(Ap) (prop. 1), d'où le corollaire. t h
I'ROPOSITION S . Soient A rm cr,aneu,~~ local noethérien, Cl un A-m,odulc rlualisant et M un. A-module de type ,fini. a.)
011a
ExtA (M, .Il)= O p o , i~< tlirn(A)
dini* (M) .
h) Poson,~c = diin(A) - dirri,, (WI) . Si M est nmn nml, le A-rn,odulc E x t i ( t l , R ) ,n'est pus W L ~ . c) On a ~xt;(Ibf, R )
=
O pour. i > dirn(A) - prof.4 ((M.
Siipposons M non nul et désignons pas F son support. D'après la prop. 9 (lu profv(R) = c . Or puisque Cl cst macaiilaycii et que son support est égal A Spec(A) (prop. 1 et coi.. 2 de la prop. 2): ou a profF(fl) = codim(F, Spcc(A)) = c
5 1; no 5, la conjonction des assertions a) et b) est 6qilivalrrite A
(5 2, 11" 1, cor. de la prop.
1 et no 2, cor. dc la prop. 2).
Prouvons c) par r6ciirrerice sur la profondeur de M . Si prof,, (M) = O , on a bien Exta(M, R ) = O pour i > dim(A) , piiiscjue diA(Cl) = dini(A) (prop. 1). Siipposons profA(M) > O ; il existe alors un élément x de i i i ~tel que I'liornothétic dc rapport x soit iujcctivc dans M . On a. prof,(M/zM) = profA(Wl) 1 (5 1, no 4, prop. 7). -
Considkrons la. siiite exa.ct,edes niodules d'extensions EX~;(M,R ) 5 E X ~ ~ (62) M,
-
+
~ x t ? l ( ~ / : c61) ~,
associée à la suitc exacte O+~/I=M+M/TM+O. (M/XM, l 61) est iiul p x l'hypoPour i > dim(A) profA(M) , le A-rnodillc ~ : ~ t A de rapport :r: est sur;jective dans E&(M, CL), thèse tlc r6currcnce, clone l'l~orr~utliétie ce qui impliquc que ce A-modulc cst iiul (lemme de N;rliaya.rria). Ccla proiive c). -
i, .M P S ~rr~,ucazilayer~, on, a Exti(M,CL) = 0 poo~r,i # c ; le C O R . O I , L A T RSF A-module ExtL(h4; 0 ) est r~aca,«.layen,et son support est égal ci celui dc M . La premibrc asscrtioi~rCsulte de la prop. 3, a) et c ) . Soit p r Supp(M) ; d'aprk la prop. 1 du 5 2, no 1, appliqu6c a M et L A , or1 a
puisquc lc Ap-inodule CLp cst dilalisant (prop. 2), il rbsi~ltede la prop. 3, b) que le Ap-rriodiile ExtLp(MIp,f i p ) n'est pas r1111. l'ar suitc le support de Exl,A(M.61) cst kgal A celiii de M . l'rouvons crifin, par récurrence siir dirn(I\iI) , que le A-rnodule ExtA (Ni: 62) est macaulayen. L'assertion cst satishik lorsque diiri(M) = O pi~isqiiet,oiit rnodiilc dc longueur finie est macaillaycii. Supposons tlirii(M) > O el; choisissoris uri 416ment z de in* t,cl que l'homothktic z~ soit, ir?jectivc. lie A-rnodiilc M/xM est ir~a,c:dayyen (5 2, il0 3, prop. 4), de dirrlcrision diin(A4) 1 . Chripte tenii (le ce qui précède, la suitc exacte dcs modules tl'cxtcmsioris associ6c à. l a suite exacte 1 0 +M > M/zM + O se rCduit A -
la prop. 4 du 5 2, no 3 et l'hypothèse dc r6currcricc cntraînen(,alors quc EstA(M, CL) est rnacaiilayen, d'où le corollnirc. 2. Quotient par une suite régulière
PROPOSITION 4. Soient A un arrri,mu ,noethérien, J un, idéal de A engendré pur srt2te A-r.f:,qigvliri.re x , cf 0 71n A-rn,orhile de type ,fini. a) Si Ir: A-nrodule a1 est dualisnnt, ln suite x est 61-r.&~ulièl-eel, le A1.T-rr~,oclvrle Cl/JCl est duo,lisan,t ; b) Si lr A/J-niodulc CL/J!2 est &ualisurrt, que .J est contenu dans le radarnl de A et que la swile x est fl-,r&,~'(~l~;kre, le A-rn.o$nle fl est d u d i s n ~ t . R~isonnaiitpar récurrence sur la loiigueur de la suitc x , on se ramène an ca.s où celle-ci est rCdnit,e à iin élément z . Siipposons qnc le A-rnodulc (2 soit, diialisant. Polir tout idéal maximal m de A contcriant z . on a. diin(A,/~;A,) = diin(A,,) - 1
(VITI, ji 3, no 1, cor. 2), et par suitc Hoinkm(A,/zA,,, 0,) = O (no 1, prop. 3, a)). Cclô eritra,îrie Homn (AlzA, R ) = O , de sortc qiir l'honiothétie ici1 est ir1,jective. On pcilt donc slipposer. pour prouver la. proposition qiic l'horriothét,ie :>:il est injective. Notons A l'anneau A/:r:A ; soit m un idCa1 rriaxirnal de A cortcnarit z , et soit m son image dans A. Lc A-rriodule A/m est annulé par z , et s'idcntifie à x / i n ; on dispose donc poiir tout entier i 2 1 d ' u r ~isomorphisme ~xt:' ( A / E O/zCl) (3 3, no 4, prop. 7). On a ~ x t i ( ~ / Cl) m,
-
(VIII, 3 3, no 1 , cor. 2, a)). Or les itléaiix rnaxiinaux tic A sont les id6aiix in, oii m est un idCa1 1na.xirria.lde A contenant :r: ; si de plus :x: appartient au radical de A , tout idéal maximal de A contient z . La proposition en résiilte.
C ~ R O L L I Z1. I~IE Soit A
IL^
anneau n,octh.k.ien intègre. 7but A-rr~,od~~le dualisa,rrt
est sans tomion, et de ro,n,g 1. Soit R iiri A-rrroclulc diialisant il est saris torsion dlaprPs la. prop. 4. Soit K le corps des fractioris de A ; lc K-cspace vectoriel K R est dualisarit (no 1, prop. 2). tlonc: de rlimcrisiori 1 .
C O R O L L , ~2I .~ USoient ~ A un, a.n,n,emde Mw:m~la?jlocal, f1 un, A-rr1,oduls de type d 'dldm,cn,t.s de mn , engendrant 7rn, idbal J . fir~ri,et x une s~rilesCcur~temua.irr~,(~,le Les con&itions s.uZmn,tes sont dqui~uulentes: (i) Ir A-rr~odr~le Cl est dvnlisarrt ; (ii) Zr A-m,odde R est rnarnul(r,yrn dr. dirrrerlsion égale à dim(A) , et !2/.lCl est l'anneau local artlnieri A / J ;
V L ~ L,rr/dule injectij" in,d6colri,~)osc1.hlr sur
(iii) In suite x est R - r k g ~ l i & et r ~ R/JCl est un, rridulc injectif i~zddr~ni~posnble sur l'c~,n,n,e~u local mtinien A/J ; (iv) la suite x e s f R-régulière, on a 1origA(R/.1!2) = longA(A/J) et lc KA-espace r~ecto~ici Floin A (K*,f l / J R ) est de dimension 1. (i) + (ii) : si Cl est diialisant, il est macaulaycn ct de diincnsiori dim(A) (no 1, prop. 1). La suite x est A-rCgiilibrc piiisqiie A est un anneau dc h1a.caul.y ; d'après la prop. ,l,le A/J-niodule R/.TR est dilalisar~t,d011c est un A/J-modulc dc Matlis (no 1, exeriiple 1 ) . (ii) =+(iii) : sous 1'hypotlii.se (ii), ou a d i ~ n ( R )= tlinl(A) et dirri(i2/J62) dirn(A1.J) - O , de sorte que la suite x est séca.nte poiir 0 , donc 0-rkgulière (5 2; no 3, th. 1 ) . (iii) + (i) : sous les hypothèses de (iii), lc A/J-rilotlule 11/.JfL est MI A-rr~odule de Matlis, cloiic est dualisaiit (ri0 1, cxcmple 1) ; d'après la prop. 4 le A-rnotlulr f1 est dualisant . (iii) ++(iv) : cela résulte de la rernarqw du
3 8, no 3.
3. Changement d'anneaux
PROPOSITION 5 . Soit p : A 4 U .un homomorphisn~ed'anneaux noethkriens, faismt de B wr~ A-rnodule plat. On, suppose que pour tout idéal; ma~:irrral 11 dc B , Z'ar~neau ~ ( p - '(n)) @A B est u n ann,ea?~de Gowrlsteir~.Soit Cl u n A-morlule duulisant ; le B-rn,odule fZp) est dualisant. Soient n lin idéal rnaxinial de B , et p son image réciproque dans A . Le Ap-rriodule R, est plat, le Ap-module Clp est dualisant, O p ) @B B,, s'identifie à. CLp @A, B, et KA, @,\, B, . qui s'identifie à uri anneau de fractions de ~ ( p@ ) AB, est un anneau de Gorenstein. Il suffit donc de démontrer la proposition lorsque p est un homomorphisme local d'anneaux locaux, ce que nous supposerons désormais. Traitons d'ahortl Ie cas où les anneaux A et B sont artiniens. Posons est isoC = R/mnB. Puisqiir B est plat sur A , 1c B-niodule HornE(C, 0 ) gKA C. niorphe à. Horn,\ (K*? (2) @ A B(1, 2, no 10, prop. I l ) , donc à HOIIIA(K~, On en d6tliiit iirie suit,e d'isomorphimes
s
Le ~ ~ - e s p a ,vectoriel cc Horriu(~,,,0 ) est dc diriierision 1 puisque f l cst disalismt, et il en est, de rriêrrie du K,--espacevectoriel H O ~ ~C)( pi~isfpe K ~ , C est un arinem de Gorrnstein ; par suile le KB-espacevc-ctoricl H o m R ( ~ Bf i. p l ) est de tiirricnsion 1. Soit M un B-module de longueur finie ; prouvons par réciirreilcc sur 1ongU(M) qu'on a longR(Horrls(M, O(r3))) longR(M).L'assertiori est claire si M = O , ct cllc rksulte de ce qui précCtle si M = K R .Supposons longR(l\/I)3 2 . Il existe iine suite cxactc de B-rnodiiles O+M/+M+K~ >O
0 ; d'a.iitrc part on a. prof(A) = dim(A) > O (il0 1, prop. l ) , et par siiitc pïofA(A @ R) > 0 . Tl existe donc uri élbrnent r de r n ~tel que- Irs hornotl.i&ies r~ et zn soierit irijectives.
CoiisidCroiis la suite exact;^ des inodulcs d'extensions associée à la. suite exacte O + B -JI3 + B/:x.P> + O et an .A-module (2. Le A-ino(li& B/zB est rna,caulayen (5 2, ri" 1 , cxemple 3), de tlirrieiision tlirli(l3) 1 (VIII, 3 3, no 2, prop. 3) ; on a donc ~ x t , ;(B/2B: 0 ) = O polir .i # c + 1 (II" 1, cor. de la prop. 3). Cornrrie on a. ExtA(B, 62) = O pour i # c , on oht,ient uiic suit d . THÉo~kniiI?1.
r~~hisnlr OIN esl 6galeinenl bi,jectif, donc Ho(vl)est iqjeclifel l'on obtient HI(D(D(M))) = O , d'où ( A l ) . Si (Apl)
est satisfaile, H-I(D(D(N))) esl, nul, doiic. H(j(d) est surjectif, ce qiii implique que est siiIjectif. Cela élant vrai pour. tout A-niutliilc tlc type fini M , oc^ cst aussi ~ bijectil, de sortc que (Ao) siirject,iî ; d'aprhs 1, 5 1, no 4, cor.. 2 tle la prop. 2, o l est est satisîaittx. Ainsi (A,,) est vraic pour tout ,ri, cc qiii dérriontrc lc thhorème. un?
Soit M lin A-module de type fini ; posons c D1(AII) le sous-c:ornplexe de D(M) kgal à
@
=
dirn(A)
-
dirna(M). Notons
@ ZC(D(M)), et
z D(M) est un Irurrlologisme ; par suit,c Ic morpliisriie de complexes D(,j) : D(D(M)) >- D ( D f(M)) cst, iin liorriologisrnc (A, X, p. 86, prop. 4). Ainsi Ho(D(;j)) csI bijectif ; d'aiitrc part un/r est bi,jcctif ynr Ic tli. 1, d'où Ic corollaire. Lorsquc le A-niodule M cst de longueur finie, Ic A-module l<xtL(M,bZ) s'ideiitifie au tlual de h1atlis dc M (cf. 5 8, no 5, exemple 3 et th. 3), cl l'on retrouve la prop. 4 du 5 8>rl" 4. 6. Exemple : le cas de la dimension 1
Dans ce riiinibro, on considère uri anncaii A intègre, nocthbrien, de dirrirrisiori 1, admettant un rnodiile dualisarit O On note, K le corps des fractions dc A , r t V le K-espace vectoriel K @ A O
V est iiiject,if, ct lc I O et injectif pour i = O (5 8, no 2, lerr~rric1, c)). 2) Si H i ( M ) = hf (par exemple si M est artinien), q ( M ) est mil pour i > O . Soit en cffet (1, e ) uric eriveloppe ii!jcctive de M . Le sous-rnodiilc Hi(1) de 1 est injectif (exerriplc 1) el, contient e(M) , donc est dgal à 1. Posons N = Coker r et. considCrons la. siiitn exacte O + M 5 1 -'> N + O . Comme 1 = 11i(I), on a
N = H i ( N ) et 1'Eiornorr~orphisrneHi(?>)est surjectif. Puisque Hi, (1) est nid polir i > O (exerripie 1), H; (M) est iml et (M) est isomorphe à (N) pour i > 1 ; on conclut en raisonnant par réciirreiicc sur l'entier i . 3) Soit R lin A-modnln diialisarit. Pour i # dirn(A) ; on a ~ x t h ( A / aa, ) = O pour toul idéal dc définition n de A (S 8; no 5, excniple 3), d'ail HA(R) = O ; pour ,i = dirii(A) , lc A-module Hi(bL) , qui est isomorphe à 9 ~ x t (A/mz, : , est uri A-snodulc de Matlis (loc. cit., exemple 6). 4) Soit A lin anneau local noethérien inthgre ; riotoris K son corps des fractions, et supposoris A # K . C'est lin A-rnodiile injectif (A, X, p. 18, cxcinple l), de sorte que le module HA(K) est nul (excrnple 1). Dc la suite cxacte O i A + K i K/A + O , on tire polir tout L un isornorpliisrnc (A). IIA(K/A) + Pliis géiiéralernent, pour tout A-module saris torsiori M et tout enticr 2 , on d6diiit de la suite exacte
HA
HA '
a)
HA'
un isornorpliisnic H:\ ((K/A) 8.4 M) i HAI (M) . 5) Conservons les hypothèses dc l'exemple prdcbdcnt et supposons de plus dirn(A) = 1 . Soit N lin A-module de torsion ; coinrnc tout idéal non niil de A distinct de A est lin idéal de définition (VIII, $ 1, no 3, prop. 6, e)), on a H;(N) = N , et par suite H A (N) = 0 pour i > O (exemple 2). Soit M un A-rriodule ; notons T(M) son sow-rnodiile de torsion. ConsidGrons la. suitje exacte loiigue (le cohoniologie localc associhc à la suite cxacte
compte tenu dc ce qui précCdc, on en déduit des isoniorphismes carioniqiies i. H i ( M ) et H i ( M ) + H~(M/'I'(M)).Co~nrne1'2iomomorpEiisnic canonique (K/A) @.A M > (KlA) @A (IVI/T(M)) est bijectif, on obtient finalement des isorrcorphisnres ca~aor~iques
T(M)
-
PROPOSITION 1. Soien,l, A u n anneau local noethérien et M un A-rriodulc de t y p finjli. a) Le A-nrodole HA(M) est artinierr, et nul en degré > dirii(lL1) . b) Posons p = proîA(M) . On a HL(M) - O potrr i < p , et H i ( M ) # 0 .si M est non nul. Prouvons a) cil raisonriarit par récurrence sur dim(M) . TP cas dirn(M) O résulte de l'exernplc 2 ci-dessus. Supposons dirri(l\/l) > O ct prenons d'abord M de la forme A/p, oii p est un idCa1 premier de A distinct de r n ~ Soit . :r; un ~ p ; on a unc suite exacte O + M %M -iM/zM i O , mec élbrnent de r n -
dim(M) , on a 1-i:~'(MlzM) = O par l'liypotlièse de rbcurrence, de sorte (pie l'homotl.16tir de rapport 2 est injective dails HI\ (M) ; comrric tout élément de Hh(M) est a.nriiilb par unc puissance dc 2: , on eri dCduit H .i.(M) = O , d'où a ) dans le ca.s considérd. Pa.ssons ail cas génCral. Le A-module M adrriet urie suite de cornposition (WIi)oGisG.rL telle que chaqilc quotient Alli/Mj+l soit isornorplic A A/p,) oii pj est un idka1 premier de A (IV, 5 1, no 4, th. 1). Proinwris par récurrerice sur n, qiic M sa.tisfait a). Le cas n = O est trivial. La suite e x x k O + Mi 4 M + A/po 4 O fournit unc suite exacte (te cohon~ologiclocale
Ir A-rriodule H;(M~) est artiriien par l'hypothèse dc rbcurrcnce, el il cri est de memc de HA(A/po) pa.r les cas déjà trait& ; par suite Hh(M) est artiriicr~.Si i > disn(M) , les tnodiiles WI1 et A/po sont de dimension < i ; les rriodules HI\ (MI ) et HA (A/po) sont donc riiils d'après l'liypothèse dc rCcurrcnce el, les cas dé,jà traités: cc qui entraânc HA(M) = O . Supposons M non nul, et prouvons h) par récurrcilcc sur l'entier p = prof (M) . Le cas p O résiilte de la définition de la profondeur. Siipposons p > O et choisis~ qiic l'hornothétic XM soit injective. On obtierit, cornirie sons un 614rrient :7: de r n tel ci-dessiis iinr suite exacte de cohomologie locale
-
HA '
On a prof (MlzM) = prof(k1) - 1 (5 1, no 4, prop. 7), d'où (M/xM) = O potsr 1; < p par l'liypothèsc de rhcurrerice, cc qui irnpliqilc corrirne ci-dcssiis Hi\(M) = O . En particulier H ~ ' ( M ) est nul, tlc sorte que l'honiorriorphisine H;-~(M/ZM) I I i ( M ) est injectif ; ainsi HA(M) es1 riori riul par l'hypothèse de réciirrence.
-
NO
2
COlIOMOLOGlE LOCALE,
111~~1,116 DE
GROTHENDIECK
AC X.145
0x1peut rriorilrer yuc lc rrioddc H?"'(")(R/I) cst noii iiul lorsqiic M est nori rit11 (exerc:. 4 ; cf. no 3, cor. du t h . 2).
COROLLAIRE.Soi/, hi1 a n A-rnmhle rnucmc~layyen,n o n r ~ el~ de l type ,fini. Le A-motMe H i (M) est r~cdpour i # dirrl(M) et rron nul pcmv i = dir~i(M).
-
Remal-que 2 . - Pour tout id6al de dbfinition a de A , le A-modiile F,xt4(A/a,M) est aririiilk par a , et A/a s'identifie 2.A/aA : pa.r c.or~si:qiient,le A-rrio(11ile - - gradue Exta(A/a, M) s'idc~t~ilie ii ~ B EAx t ~ ( 4 / aM) , : donc aussi à. ExtÂ(A/aA,A @ A M) (A, X, p. 111, prop. 10). L'eiiscnible des idéaux aA, pour a E 9. coiiticr~tlcs puissances dc mx, donc cst cofinal dails l'cnscmble des itl6aiur de définitiori dc A ; on déduit donc tlc ce qui prbcCde un isoinorpliisnie canoiiiqiic de A-rnodidcs gradués A
-
Si le A-motliilr M est de typc fini, le A-niodiile  @A 1\/1s'identifie a: complbtb M de M (III, 5 3. no 4, th. 3), et on a lin isomorphisme HA(M) i Hx(M). gratlui. de degri. 0 .
2. Cohomologie localc sur un anneau de Macaulay Dans ce nurnéro, on, suppose que A est rm anmeau de n/Ia,caulay local ; o n pose diin(A) = d . Les idbaiix cngcndrés par ilne suite d'él6riients de m,\ cornplèterneiit sécante polir A et de longueur d = dirn(A) forment uric partie cofinale .R,,, dans l'ensemble -9 des idéaux de définitio~ide A. El1 effet, soit (xi,. . . , z,!) une siiitc d'kl6irierits de ml\ ~omplèt~einent sécante pour A (fj 2, no 3, prop. 3) ; pour tout enticr n,,la. suite (21,.. . , .$) cst çoinpli'tcmeiit sécante pour A (A, X, p. 158, prop. 6 , c ) ) , et engendre im idéal de dbfinitioii (V111, fj 3, no 2, cor. de la. prop. 3 et th. 1) corit,eriii dans rn; . Soit a E -%,,?, et soit. T : L + A/a iirie rbsoliition librn de type firii, niillc cn degr6 > d (par exemple le complexe tic Kosxiil a.ssoci6 à ilne suite complttemerit, sécante pour A engendrant a ) . Corisidhns le diial L* Homgr,\(L, A) de J, ; piiisqiie la. proforitleiir de A rst 6ga.l~R d , ori a. ExtX(A/a, A ) = 0 pour i < d (fj 1, no 1, cor. 2 de la pïop. 2). Comme J,* est, de longiieiir d , on en dbdiiit qiie Hi(J,*) ? ( A , X, p. 100, th. 1). est nul polir i f d et qiic Hd(L*) s'identifie à E x t , i ( ~ / aA) Ori a par siiitc uri Iioniologisrne
-
H(HomgrA(R ,M))
Tl en résultc d'abord, en prenant a = 6 , que l'isonmrphisrne Ï(L, WI) ne dépend pas du choix de la résoliition L de A/a ; notoris-le ~,(n!i).Il en résislt,eensuite que pour a E gCs forment un système indiictif d'isomorphissnes. Passarit à lcs T~(]\/I) la limite indisctive, on obtient pour chaque entier i . compte tenu de A, X, p. 70, prop. 8, un isornorph,i,sme de A-modules ? ( M I : Tor$_, (M, ~
d(A)) ,
-
H 4 (M)
Pour NI = A , 4 ( ~ cst ) llisoruorpliisn~~ canoniquc dc A
H ~ ( A sur ) I-T$(A).
associe à 1111 klérnent u de ~ x t i ( ~ /A) a ,l'application z H J, o YL (A, X, p. 114). Il suffît donc (le prouver que chacune des applications w, rxt bijective. Soit a un idCa1 de C3,,5,engendré par une siiit,c x = (xl,. . . , xd) ~onlplètemcnt , fourtiit une r6solutiori pmjectivc sécante pour A . Lc complexe de Koszul K W ( xA) de A/a ; pour tout A-mod~& M , le A-niodiile H" (HomgrA(K' (x: A), M)) s'idem tifie canoniquement à M/aM (A, X, p. 155). Ori en dkiiiit un isornorphismc (A, X, p. 100) < P ~ / I: M/aM E x t d ( ~ / aM) , .
-
Soit r
E
O . Compte tenu de loc. czt., p. 103, prop. 2. on a 1111 diagramme corrimutatif
où f , est l'homoniorphisrnc déduit de f,, par passa.ge aiix quotients. Il eri résulte que si pour toiit A-rnodule M on identifie Exti(A/a, M) à M/aM à l'aide de cpbf , l'homoniorphisme o, s'identifie à l'npplicalion A-linéaire de A/a dans HomA(a,IL/aIl) qui envoie 1 sur la siirjection canonique, c'est-à-dire encore à l'application canonique A/a + E n d A / , ( a / a n ) . hfais puisque le A/a-rnodiilc n / a O est dualisant (3 9, no 2, prop. 4), celle-ci est bi.jcctive (5 9, no 4, prop. A), ce qui proiivc la proposition. Identifions le bidiial de Matlis D(D(fl)) à O par l'isorriorphisme CYih th. 2, b)).
(5 8, no 3,
A
COROLLAIRE.L 'h,omorr~orph~;sme D(w) : Cl i D(H: (A)) es/, u.rr isorrt,orph,isnre. Soient M un A-module, et 7 iin entier. Considérons lm Iroiriomorphismes canoniques (\ 8, no 7)
D(EX~F'(M, O))
pd-%(l\il,R) : TO~;-%(M,D(R)) -i
O"I(M, II: (A)) : ~ x t r(M, ' D ( H ~ ( A ) )-)7. ~ ( ~ o r d(M, -,
-
HA (A)))
À l'aide des isoniorpliisrnes o : H i ( A ) i D(R), D(o) : 6 i D(Hi(A)) (coi.. 1 de la. prop. 2) ct ?(M) : or;^,, (M, H ~ ( A ) ) IIA(M) (no 2), on cn déduit des homomorphiçnres çur~onl;quc.sde A-m.odules y'(M) : HI;,(M)
+
D(Ex~A~(R O)) ~I,
NO
3
COHOMOLOGIE LOCALE, DI'ALITÉ DE GROTHENI)IF:
O
imc suite exacte de A-modules. D'après la remaryuc 2 du no 2 ct ccllc du les diagra.irirries siiivmts sont commi~tatifs:
HA^ (nv)
y '
' (M")
3 8, no 7,
D(EX~; '+' (MI'. 0))
Exwr~ylc. Soit h un a.rmcau local rloelhérien intègre de dirriension 1 ; notorls K son corps des îraciions. Soit fl im A-ruodule dualisai~t,ct soit M un Arl-rilotliilrde type fini. Les A-irlotlules 1 - I ~ ( M ct ) H;(IVI) s7itlt:r~tifierii, ca~ior~iqiiernenl à T(M) et (K/A) 63,\ M ( i l 0 1, cxc:rrrplc 5). Avec ces icle~~lifiratiorrs, les isomor-phisnics de dualitC
(th. 1) ilc sont siitrcs quc lcs isorriorphismcs dkfinis au
5 9, no G .
Exercices
1 ) Soient A un anneaii, J un i d h l d r A ; M un A-module. Proiivcr que pour qu'on ait profzl(J ; 1\11) 3 2 . il faiit et il suffit qiir 1'a.pplication M 4 Hoiri,\(J, LI) tlé(lui1e de I'injcct,ion canonique de J dans A soit iiii isoniorphisnic.
2) Soieiit A un anneau de valnation de haut,eur 1 non i~octhiiricri,m soli idéal maximal, n un idéal principal dc A . distinct clc (O) ct de A. D61nontrer qu'on a profA(n;A) = 1 et profA(ni; A) 3 2 , bicn qu'on a,it V(m) = V(n) . (Observer qne ~:xtA(A/m,A/n) est isoi~iorphci I - I o ~ A (A/m, A) .) 3 ) Soieril A l';ulrieau local k[[X,Y]] et M la somme directe des A-iiiotl~~lcs -&/a, vil n parcourt l'cnscnible des id6mx priricipaux rion 11111s de A . Montrer qu'oii a profA(M) = 1, mais qu'il n'existe pas d'Sléiiient M-rCgulicr dans m~ .
4) Soient A nri anrinm, J i i r i idÉal d r I.vpc h i dc A , M un A-rnodiile, P nn A-inodiile profA(J ; 1\/1), r t qu'il y a bgalit,é si P est plat. JXrnontrer qu'«ri a proîb1(.J ; P @ A M) fidi~lesrier~t plut.
>
5) Soie111 A 1111 i~nr~eitu noetliéricri, M un i l - m o d i h de type fiiii rion riul. J un itl6al tlc A , x = ( n : ~.,. . , s,,) un système g6116ra.triir de J . Prouver cp'ori a H1(x, M) # O ponr profA(.J ; M) < i < rr (se ramener au cas local, et utiliser .4, X, p. 157. cor. 2). 6) Soient A lin arincaii local iioetli6riei1, P iin cornplcxt: de A-rriodules plats, dc Ionl giieur finir Y , tcl cpc Supp(H(P)) = { m ~. )D h o n t r e r que tout A-modiile LI1 t ~ qiic K A NA M # O est de profondeur & (appliqiicr la prop. 3 au complcxc P MA M , en obsrrvant qne ce coriiplexe n'est 1j;i.s rxact et en utilisant l'excrc. 4).
prof (M) dim(F) .
8) Soient A un anneau n«rthi.rien, ÏVI lin A&-~ilodirle dc typc fiiii. 011dit que 1\11 satisfait A la. propribti. ( S I ; ) si l'on a profAp(Mp) 2 inf(k, dima, (Mo)) pour tout idha1 prcniier p dc A . a) Tout module satisfait & (Sk) polir k. < O ; dire qu'un niodule sa,t,isfait,R (Si) sigiiifie qu'il n'a pas d'idéaux prclmiers associk imrriergi.~. h) Soient O > M t > M Ml1 + O une suite exacte de A-riiodiiles de typr fini, et k. un 2 qu'on entier. On suppose que hl sa.tisSait R (Sk:), que hl" satisfail à (Sk-l), et si k a. A s s ( M 1 ' ) c Ass(M). Pruiivcr qirc M t satisfait R (SA) (utiliser le cor. 2 du 11' 7).
-
c) Soit, (L, p) une ri:solirlion de M par dcs il-modirlcs librcs tlc 1,ypc h i . Si A satisfa.it à la propriété (Sk), le A-niodiile B,(L) poiir 7 2 O satisfait à (Sh) avcc IL = inf(k, i 1 ) .
+
d ) Si A salislail (Sz), 1c dual dc 1.0~1il-rr~odirlcde Oypc h i salislail i. (SZ) (appliquer c ) . e) Soit J un idéal (le A , nngentlré par une suite M-régulière ( s i , . . . , A , ) . Si M satisfait . à (Sk) , le A-modiilc M / J M satisfait à (Sk f ) Soient B turie A-algkbre noethérierine, K un B-rnodule de type fini qui soit un A-rriodule fidi.lcrncnt plat,, ct k un cnticr. Si lc R-modiilc h'iR A 'J satisfait à la propriété ( S k ) , il eri est de mi.nie du il-modiilc M . Si M sa.t,isfa.itB (Sk) et si ln ( ~ ( p@A ) R)-rr~odi~le ~ ( p@) A N satisfait h (Sk) po11r tout p E Siipp(M), lc B-rnodiilc M @ A N satisfait à (Sk,).
9) Donner lin exeniplc d'un anrieaii local A et d'un An-modiile de type fini h/I tel que mAM # M et prof, (YI) = +cc (prendre poiir A le localisé d'iin anneau de polynôsncs en iinc famillc infinie d'ind6l,crmii16cs). 10) Soient A un anneau noethérien, M lin A-module de type fini, J lin ideal de A , (XI,. . . , x,.) uile siiitc hl-régiilibrc d1616incnts dc $7, avec < profA(J ; hl). Soient q l ... des idéaux de A ne corrtermit pas J , toiw premiers sauf ail plus deux, et Jo ilne partie de .J , stable par addition et rmlltipli(:atiori et erigeri(1rarit l'idéal .J . Prouver qu'il existe uii Plérrient :7: de J O ri'a.ppa.rtena.rit à. aucuri des qi t,el que la suit,e ( a i , .. . ,z,.,r) soit M-r6gulibrc (utiliscr le cor. 2 de la. prop. 2 de II, 5 1, r i 0 1).
.
11) Soicrit A ilri ariricau, M un A-~nuduk,x i , . . . , :c, tlcs 6li:nicnts dc A .
~) est croissarite ; ori riotc prof, ( J ; M) str liiriite (dans N ) DCinontrcr qu'on a prof, (.J ; hl)
< profh ( J ; M)
b) Lorsqiic I'idkal J est de type fini, tli.srrontrer I'EgalitC prof,(.l ; M) = profA(,J; M) (r;~isonner comme clans la. dérrioristration di1 th. 2 dii no 4, en utilisant l'cxcrc. 12). c) Uans le cas g6rléra1, rrioritrer que pvof',(.I ;NI) est 1;a hornc siipéricurc des riornbres prof,, (.JI ; M), oii J ' parcoiirt I'erise-rrit~ledcs idéaux de typc fini coriteniis dans .I . 14 Soit J' un idéal dc A tel que V ( J 1 ) = V(.J) . Prouvcr qir'osi a prof,(.J1 ; VI) -profm (.J ; hl) . e) Soient A un anneaii de valiiation tic hauteur 1 , rion rioethbrierr, m son idka1 rrialtirtial. Dérriorit,rer qii'on a prof, (ni ; A ) = 1 et profA(m ; A) 3 2 ( c f . exerc. 2).
14) Soit A uri anneau local noetliérien complct
D611101itrcr ~ U ' I S idéal II dc A qui est. coriteiiu (laris la réiiriiori d'une sisite d'idbaux premiers de A est, r o f@~A (N) ~= ~ 0). 17) Soinrit A iin mncau ~ioetl-réricri,îvl un A-inodiile de t,ypr fini. Moritrer yiir. h/I est rdHexif si et sciilr.nicnt,si les deux conditioris siiiva.rites sorit satisfai1,es : (i) pour tout p t Spcc(A) tel qiie prof ( A p ) (ii) polir tout p
E
< 1 , le
Ap-rnodulc Mp csl réflexif ;
>
Spec(A) tel que ~ r o (AP) f 2 2,on a profAp('"ilp) 2.
(Sous les 11ypothCscs(i) et (ii), prouver que le noyau, puis IR conoyau de I'liorrlorr~orphisme cariuriiyric. M + hI** ii'os~tpas iI1idCaiixpremiers associCs.) 18) Soient A uii ariiieau riocthéricri, J uri ideal de 4 , M et N des A-modules (le typt. fini, avec prof,, (.J ; N) 2 2 . a) Protivcr I'inCgalité prof.&((.; Hon1.&(1\/1N)) dans J ).
3 2 (considkrcr une suite N-régulière
(z,y)
b) On suppose profA(J; IIom*(M, N)) 3 3 . Prouver qu'on a profh (.J ; ~ x t(M, i N)) 3 1 (considérer urlc suilc exadje de modules d'extensions associéc à un élément N-régulier de J ) .
-
1) Soit A un anneau local noetliérier~,ct soi1 O M' + M - - + M" + O une suitc exacte de A-modiilcs macaiilayeris. Montrer qu'on a dim(I\/It) = dim(M) et que dim(M1') est égal à di111(h1)ou k dim(M) - 1. A
2) Soient A uri anneau locd de Macaulay, et p 6 Spec(A) . Montrcr qu'on a dim(A/q) = dim(A/p) poiir tout q E A ~ ~ ( A / ~En  )particulier, . l'ar~ncniiA/pA n'a pas d'idéal premier immergé.
3) a) Soient R une Q-algèhrc nocthérienrie, int,ègre et irit6gralernent close, A un anricau et p : R + A un honiomorphisrrie injectif, fa.is;ml de A iinc R,-algèbre fiiiic. Prouvcr qiic le sous-Il-niodiile p(K) est facteur direct de A (sc ramener au cor. 3 de la prop. 8). b) Soit A une Q-algèbre locale noethérieririe. Dérriorltrcr que A satisfait à la propriCtC sitivantc (« conditaon. ,m,»nom.iale ») : (Ch4) pour tonte siiitc sécante inaximale (xi; . . . , 5.d) d'éléments de m.4 ci; tout entier p , l'élément (xi . . . : r d ) P n'appartieiit pas à l'idéal (xlf' ; . . . , :rd+') . (Se ramener au cas où A est cornplct, donr atirriet un corps de représentants K , et appliquer a.) à un hornorriorpl~isrncp : I X.155
EXERCICES
FPK. (x, M)/F"+~K.(x, M) soit tl'liorriologie riullc pour p x(~xr'"'([, g ( h i ) ) ) = h(K.(x, M)/PPK. (x. M))
=
3 po
; eri dédiiire les kga1it.i-s
(:)
c(-1)'
Ig(M/r'jp'M)
pour p 2 P O . c) Proiiver qiic l'cxprcssion ci-dessus est nulle si n > dirri(M), et égale ii. cr(M) si n = dini(M) . d) Soicnl, 11, 3 0 , et p 3 pi, ; pro~ivcrque l'i~ijccti~ii cari~iiiqurde FPK.(x, M ) tlaiis F"+~K.(x,M) est nu hoinologismc. Eri (ICdiiirc qiic E-Ii(FPK.(x, M)) est discret pour la topologie x-adiquc. Proiivcr d'autre part qiic la. Iilt,rat,ioride ce rriodulc diifir~icpar les iriiages dcs applications Hz(F"+"K. ( x , M ) ) 7 lI;(FPK.(x, M)) es1 x-bonne, et cn déduire que FDK. (x, M) est d'homologie niillc. C»nclurc que x(K. (x. M)) cst niil si n > tliiil(M) , et kgal 2 r x (M) si I B = disii(M) . 6) On coiisr:rvc lcs hypothèses tic l'exercice prkckderrt ; pour tout A-sriodule de type fini N trl que N/xN soit de longlieur finir, or1 not,e ~ ( xN), l'eritier x(K. (x, N ) ) . o.) Pour tout soiis-motliile Mt (le M , on a h(x, IVI) = X(X, Mt) X ( ~ I\il/M'). , h) Si x~1\11 = 0 . dkmontrer qnc. ~ ( xM) , est nul. c) On note x' la siiitc ( ~ 2 . ,. . ,:c,) : prouver l'égalitb
+
(utiliser l'exerc. 8 de A, X,p. 207). d) Pour 1 ,< i < n , on notc K, le noyau tlc l'horr~olhétie de rapport n:i cims M/(z 1 M . . . :x:,.+i hl) . Prouvcr I'égditb
+ +
c ) Soient p l , . . . ,p,, des ent,iers > 1, x P la suite (zyl,.. . , xE81). t'roi~vcr l'égalitk x(xP:hl) = pi . . . p , ~ ( xM) , (LraiOcr d'abord le cas 'rc = 1 , puis s'y ranicner ii. l'aide rlii cor. 2 de A, X, p. 157).
-
7 7) Soicrrt A un anneau local rioethérien; M un A-rnodiile de type fini. On dit qii'iine pour M si pour i 1 , . . . , n ; lc noyau dc suite (21, . . . , :c,,) est foihlensent r&gu1%è7~ l'lioniot;h&ic de rapporl :c,+i tlaris M/(xi M . . . z,M)est annulé par mA . a) Si n tlinl(M) , prouver qu'uiic siiitr (xi , . . . , x,) faiblcirierit régulière pour h4 est, s 0 ) .
d ) Dérrioritrer l'irnplicatiun (ii) + (i) (se rameiier au cas oii A est local, et raisonner par récilrrencc sur dim(A) ) . r,) On suppose qiic le complexe L est acyclique eri degrés > O . Soit p un idéal prc,nlicr associé à A . Montrcr que pour tout i 2 1 (Coker d i ) , est. lin A,-module libre, de rarig (-1)" rg, (L,) ; de plus on a rg((d,),) = C ( - I ) " - ~ rg,(L,) et CL,,)^) = A, (PXWC.
C
p2î-l
p>7
3 1 , et p un idGa1 prerriier dc A . Montrer que la condition $pA, (Ho(L)D)3 i 6cpivaut à D(d,)A, # A,, c'est-Mire à(&) c p (utiliser l'cxerc. 8, u)). , A l'aide dc la prop. 8 du !j 1, ri" 5 et du th. 1, en déduire qu'on a prof,(a(d,) ; A) 3 % ce qui proiive l'implicat,ion (i) J (ii). g ) Soierit i un cnt,ier
10) On conserve les Iiypoth?scs de l'exerc. 9 ; on siippose que Ic cornplcxc L est exact eri degr6 # O . u) Déiiioritrcr I'inclusiori V(D(d,+i)) c V(o(d,)) poilr t.oiit, % 2 1 (obscrvcr que d'après l'exerc. 8, un idéal preniier p ne coritierit pas D(d7) si cl seulement si le A,-iriotlule (Coker (1, ) p est, libre).
h ) On suppose dksormais que l'a.ririiilat,cirrde Hu(L) n'est pas rédilit à zéro. Proiiver (p'ori a rg(d1) = rgA(Lo) (si f est 1111 hlCrncnt siiriplifiable d~ a(&), Ir Ar-rnodiilc IIO(L),~ est. projectif dc ra.ng cor~stantd'aprbs l'exerc. 8, donc n6ccssairerrierit nul) ; cri tl6dnire que le support de Ho(L) cst V(D(d1)) .
<
ArL J , avec prof,z(a(rr) ; A ) 2 2 , puis appliquer a) et l'cxerc. 1 du un 61Cinent sirriplifiable dc A ).
8 J,
cri observant que D(u) contient
b
AC X.161
EXERCICES
.Î
12) Soient A 1111 anneau local noetl-iérieil, M cl, N dcs A-rrrocliil proî(A) p r o f (M) p r o f (N) , et riori nul lorsqii'il y a égalité. On a en particillier prof (M) prof (N) prof (A) .
+
1/ 13) Soit A
ilri
E uri l~oir~orr~o~pliisrnc, '" : Spcc(B) i Spec(A) I'ayplicatiori associCc, L/I un A-niodulc de type fini. Dénionlxcr qiic la co-
~(JVI) (appliqiicr n) au wmplexe tlirrierrsion dc " p p l ( S u p p ( ~ ) )daris Spcc(I3) est (Sirpp(M)) et L urie L @ AH, , on q est 1'idi.a.l prrinirr minimal d'iinc coinposnntc cl O , puis, par récurrence décroissante siir n , ~ o r f (M) ~ , O pour tout A-module de type fini N et tout entier ,rl, > O). Exemple : nn rri«dule sans torsion siir un anneaii de Dedekind est plat (cf VII, 3 2, exerc. 14).
-
1) Soit A iiii aiineau local iioetli6rieri. Pour yue A soit régulier. il fair1 rl, il siifil, qu'on ait &*(KA)< + W . 2) Soient A un anneau régulier et p un idéal premier de A . Démontrer que 1c coniplCtC de A polir la topologie p-a.diqiie est iiri a.iiriea.u intègre. 3) Soient A lin annea.ii, T = (T,),,[ urin fwriille finie d'indéterminées. Proiivcr que les conditions sirivantcs sorit rcK cst forrriellerrient Ctde ; (iii) K est iine extension finic séparable tlc k . 4) Soierit k i l r i aiiricau rioctliérien, A inie k-algkhrc tie type fini. On dit qilc h cst une k-algkbre étale (resp. nette) si elle est forniellemeiit étale (resp. forrnellement nette) lorsqu'on la rriiinit iir la topologie cliscrète. cc) Prouver que les conditions snivant,cs sont 6qiiivaleiites :
(i)la. kl-algkhre A est nclt,c ;
(ii) Rk(A) = O : A-module A est projectif. (iii) le A cttrior~iqueA 63k A + A ; montrer que (ii) et (iii) (Soit I Ic noyai1 de l'hornor~~or~>liisrnc équivalent ioritcs deux k (iv) 1, = 0 pour tout idéal prerriicr q de A 'Rk A cont,cna.rrt 1 . )
$ 7
EXERCICES
AC X.171
b) Soit / E k[T] uri polyriôirie tel que f et f' engendrent l'idéal unité de k [ T ] . Proiiver que la. k-algèbre k[T]/(f) est étale (cf. no 3, exemple 3). c) Si k est nn corps, les k-algèlres nettes sont les k-algèbres étales, et cette notion coïncide avec celle introdiiite en A, V, p. 28 (le cas des algèbres de degré fini sur k résulte de Ioc. c i t . , p. 32, th. 3 ; si A est iinc k-algkhre net,te, considérer. un idéal maximal m de A pt appliquer le cas préc6derit à A/mTL).Les k-algèbres riettes sont donc les produits finis d'extensioris séparables de degré fini dc k (A, V, p. 34, th. 4). 4 Pour que la kalgtbre A soit nette, il faut et il suffit qiie poiir toiit idéal premier p de k la. ~(p)-algèbre~ ( p @) k A soit étaie.
5) Soient A un anneau local noethéricri coinplet et B une A-algèbre essentielleinerit de type fini. a) Montrer que l'enseiriblc des idéaux prcrnicrs p tlc A Ocls cltic l'ai~ncauAp soit régulier est ouvert dans Spec(A) (on utilisera l'exercice 16 de VIII, ji 5 poiir se ramener au cas où A est intkgre, piiis TX, 5 2, ri0 5, th. 3 et l'exercice 17 de VIII, 5 5). b) On sirppose que A çoni,ienl un corps1. I\/lorit,r~rque l'eriserrible des idéaux premiers q de B tels qiie l'anneau Bq soit régulier est ouvert d a m Spec(B) (on utilisera Ji 7, no 9, cor. 2 du th. 3 et IX, 5 3, no 3, th. 2). 6) Soient k un aiillenu, A une k-algèbre liiiéairement topologisCe foriiicllei~iciillisse. Proiiver qiie poiir tout idéal ouvert J de A , le A/J-module (A/.J)@ACL~(A) est projectif (proiiver en utilisant l'exemple du no 1 que pour tout homoinorphisine surjectif de A/J-rnodiiles M M", toute k-dbrivation de A dans M" se relève h M ) .
-
7) Soierit, k un a.riiiea.u, p : A 4B uu lio~noniorpliisiiiede k-algkbrcs, J un idéal de B . On dit que B , rriunie de la topologie J-adique, est fwrmellem,ent lisse sur A relntzvemen,t à k si poiir tolite A-algèhre C (que l'or1 munit de la topologie discrtte) et tout ideal de carrC niil N de C , tout l~onioriiorphisniecontiiiu de A-algèbres B 4 C / N , qui sc relCvc cri iui homomorphismc continu de k-algèbres de B dans C ; se relève aussi eri lin homornorphismc continu dc A-a,lghhrcs(le R da.ns C . a) Montrer qiic les coiidit,ions siiiva~itrssont éqiiivalerites : (i) B est forrr~ellementlisse siir A rclat,ivcmcnt à k pour la topologie J-a.diqiie ; (ii) poiir toiitc k-dériva1,ion D dc A dans un R-rnodule E aunulé par une puissance de J , il existe une k-dérivation D : E -t E telle que D o p = D ; (iii) pour tout entier n 3 0 , l'application canonique u.,: Ilk(A) @A (B/Jn) + &(B) QOB (B1.J"') est injective et son irnage est facteiir direct. h ) On siipposc E formellcmcnt lisse siir. k pour la topologie J-adique. Prouver que pour que B soit formcllcnlent lissc sur A , il faut et il suffit que l'hoinornorpliisrrie cailoiiique 11.1 : flk(A) @A (B/J) 4 CLk(B) @n (E/J) soit injectif ct que son image soit facteur direct (iitiliser a) et I'exerc. A pour proiivcr qii'iinc rMra.ction de ?LI se relkve en ime rétra.ctiori de u,, pour tout n ) . $ 8) Soicrit k uri corps ct T une farnille finie d'indéteririinées. 0x1 rniinil la k-algèlxe Ic[[T]] de la topologie discrhtc. a) Prouver que k[[T]] est forincllement lisse siir k[T] relativement à k (exerc. 7).
'
Cette h,ypotlièse est en fait siiperfliie, cf. M. Nagata, On the Closrdness o,f Singular Loci, Puhli. Mat. I.H.E.S. 2 (1959).
h ) Si k[[T]]est formellement lisse snr k , proiiver qiie la caractérisliyiie p de k est stricterricnt positive et que k est urie extension h i c tlt. kp (déduire de l'excrc. 2 qiie &,, (k[[T]]) ) ) nid ; proriver ensuite l'aide dc la prop. 6 de .k, est inil, cl par suite que { l k ( , ) ( k : ( ( T )est V, p. O!), qne la sous-extension de k((T)) formêe des séries dont les cocficienls erigendrerit une extension de type fini de k:" est (:gale à k:((T))). 9) Soit k i i r i corps de caractéristique p > 0 , contermit iine famille filtrante décroissant,c ( k ~\ )(IC~SOUS-CCIS~S ~ vbrifiarit kh = kp .
nhth
o.) k'rouvrr que l'iiitersectioli cles iioymx des Iiorriomorphismes ca.iioniqiies (le R(k) da.iis flk,(k), pour h parcourant A , est réduite à (O) (consid6rcr iinc phase de k ) .
h ) Soit A iirie X-nlgPbre localc rCgiiliPre, munie de la topologie ma-adiqiie. Dkmoritrer que pour que A soit formellement lisse siir k , il fant et il s u f i t qiic h soi0 ~oririellenientlisse sur k relativemeiit A. k i . pour tout A E A (utiliser a), la prop. 8 et l'cxerc. 7, a)).
7
10) Soient A iin anneau local rioetliérieii c«inplcl,, K soi1 corps des fractions. Soit p lin it1Ca.l prcmicr de A ; on note B l'ariricair local A,,et B son cornplCté. A
A
u) 011suppose A rkgi~lieret K de ca.ract6ristiqiie nulle. Moiitrcr quc la K-algthre K ¢OB B est ahsoliiment rbgulikre.
b ) On siippose A rCgiilier et K de carxtéristiquc p > O , dc sorlc y u A s'ideirtifie B lin annean de séries fornielles k:[[Ti.. . . T,]] (IX, 5 3 , rio 3 , th. 2). On note (k:x)x,n la famille des sous-corps kx dc k corrtcnant kp et tels que k: soit iine cxtensioii de degré fini de kh. Soit A t h ; on note Ah I'anncaii kh[[Ty,. . . , T:]], Bk l'annci~nlocal de Ah en l'idbal premier p n A h : et Kh le corps (les hctioris de ilxet B i . Prouwr qne la A-algtbre L3 (miinie dc la l o-i ~ o l-o ~ discrèlc) ie est formellement lisse relativerrieiit à Bi (on Dourra, d'abord montrer que U est isomorphe W 13 C - ' B ~Bk)
.
,-.
c) Sous Ics liypot1ii.s~de b), pronver qiie tout a.nnca.ii local dc K NB B est de la îorrric (H), , avec r t Spec(B) et r n U = {O), et - qu'il est formellclnent lisse sur K relaliverocnl à Kh . F h dCduirc qiie la. K-algèhrc K R est al>soliirnc:r~t rêgirlière (prouver q i la~ famille {Kh}x,n de sons-corps de K est liltrniite dkroissante ct qiie Ki = kz'(('l'i,. . . , T,,)) ; appliquer t:risiiilc l'exercice 9). d) (ln revient au cas g(:116ridl.Prouver que h est un anncaii de (:rotiieudieck ( # 6, exerc. 5) : si q E Spcc(B), il s'agit de montrer qne la ~(q)-algkhrc~ ( y ) &13 est absolumerit rCgiilii.re ; remplaçarit A par A/(A n q) , o n peiit supposer il inI,&greet q = (0) ; on utilisera IX, 5 2, ri" 3. th. 3 et 5 3 , no 3 , th. 2 pour. se rarncilcr an cas où A est un annca.ii local r6giilier corriplet. A
A
O,,
11) Soit A uri xnicau rioetliérien ; on siippose qne pour 1,ont idCa1 maximal ni tlc A . lc cornplété de l'anneau local A,, est iine A,n-algi.bre ahsoliimcnt r6gulikr.e. Morrt,rcr que A est nn ariiiea.~~ de Grothendicck (5 6. cxcrc. 5). (011 uliliscrx loç. cit. et l'exercice pr6c6dcnt pour montrcr que ponr Lout idéal rriaxirnal m de A . l'anneau A, est un a.nncan de Grotlierrdieck.) 12) Soit A un anneau local noetlibrien. Four cpe A soit iiii nrincaii de Grothendieck, il laut et il sutiit que, pour toiitc il-algCkx-e finie irittgrc R , tout idCa1 rnaxirrial m de R et toiit idéal premier q de l'aiiiieau corriplêté B, vbrifiarit B,,,nq = ( O ) , 1'annea.iilocal (B,), soit rêgnlier (pour rriontrer que c:et,l,ccondit.ion est nbcessaire, il srifil grâce à l'exercice précédent de niontrer_clue, pour tout idêal premier p tics A , ct toute extension finie K de ~ ( p :)l'annca~iK@,tA est regulier ; on poiirra introduire unc A-algkbre finie iritiigre B de A
6
8
AC X 173
EXERCICES
corps des frxtions K , noter m i , . . . ,ni, ses itl6aiix rriaxirriaux, et inlcrpr O.
O . Définir pour tout entier ,rr un isoniorpliisnie cünoiiiquc
(appliquer la dualité (le Matlis). c) Prouver que s'il existe un A-nlodiil~ M dont la clirneiisiori iiljcctive et la dinicnsion plate sont finies, A cst uri anneau de Gorensteiri (prendre N = A dans a)).
3) Soit A un arineaii adrriettarit u i ~rriodiile tiiialisanl, Cl. a) Poiir qiic Cl soit isoniorphe à uri idéal 1 de A , il Faut et il suffit que Al, soit uri anneau dc Gorcnstcin pour tout idéal preinier niiriirnal p de A (ohscrvcr que Cl est isorrrorplie à un sous-module de @ R, ). P
h ) Lorcpe ces couditious sont satisfaites, prouver q ~ l c1 est égal à A ou de liaiiteiir 1 , et que A/I est uri amieau de Goreustcin (calciiler la profondeur de A/1, puis le A/I-niodule EX~;(A/T, T) ). c) Démontrer qu'un ar~rieaufactoricl ;~drricttaril1111 module diialisaiit est uri anneau de Gorcnstcin. 4) Soit A lin anneau de Macaulay local de dimension d ; soit f l un A-module de type fini, de dimcnsioii injective finie, de profondeur (-1, t,el que l'homorriory~hisrr~e ca.noniqiie A + E n d A ( a ) soit bijectif. Prouvcr qirc le A-rnodulc 0 est dualisant (raisonner par réciirrence sur d , en déduisant dc l'cxcrc. 7 di1 5 3 qiie pour tout élément Sl-régulier n: de m ~ l'homomorpliisnie , carionique A / : d + k d A l T A ( t L / d L )est bijectif).
5) Soit A un a.nneau local noethérieri, admettant un moclule duô.lisa.rrt (2. Soit T iin A-module de type firii, de dirrierisiori injective finir. (1,) Prouver qiie Exl,A(O,T ) est niil pour i > O (utiliser l'cxcrc. 7 du 5 3). b) Prouvcr que l'hornoinorphisinc canonique 6263~ Hoin\ (61, T ) -t T est bijectif (appliquer a) ct I'cxcrc. 10 du 5 8). c) Dérnontrer à l'aide de l'exerc. 8, h) d u 5 8 les i.galit,ks dpA(Horri~ (CL, T)) = dirri(A) prof (T) ci, proî(Hoini\ ( 0 , l')) = ~ r o (T) f . En clkdiiire que si prof (7') = dirn(A) , le A-niodiile T est somme directe de modules isomorphes 0 . cl) On pose c = dim(A) p r o f ('l') . Prouver qu'il exista(?dcs cnt,icrs n.0;. . . , l a c et une suite exacte O + on.,+ . . . + s r 0 + T + O (raisoririer par réciirrcr~ccsur c , en coiis0rnisant à l'aide de h)
nno+ T I .
iiii
liornonmrpliisme surjectif
i/ 6) Soit A urr aniicaii local noethérien, adrriettant un rr~odulcdualisant 0 ; soit M uu A-inodiile de type firii, dc dimension projective finie. cc) Prouvcr qu'on a ~ o r f ( f 1M) , = O pour i > O . (Rü.isoiirier par r6ciirrcncc sur dini(A) , en considérant une siiitc cxacte O 4 N + L -t M + O où L est libre de type firii. Si z est un blérnent simplifiahlc dc m,\, déduire de I1hypot,hBsede réciirrence que '~'or:'(n, N) est, niil pour > O , ce qui entraîne Torf(d2, M) = O pour i > 1 ; cl, qiie l%oniotliétie de rapport z est injective dans bZ @AN , ce qui eirtraîne que tout idCa1 premier p associé A Torf(61, M) est uri ideal minimal dc Spec(A) ; observrr qu'en iin t,cl p le AD-module MP est libre). b) Proiiver que le A-niodule f Z @A NI est de dimension injcctivc finie. c) Prouver que l'application 0 : M + Hoinn(b2, 61 @,$ M) définie par B(m,)(iii) = w @ m pour m t M , lu t 0 est un isornorpliisrne (se rairierier i. l'aide d'uiie rbsolui.ion projective au cas où M est libre). d) Les applicatioris [SIH [ I ~ o I I ~ T)] A ( ~et, [Ml t-,[ f i @ A Ml défiiiisscnt des hijcctions réciproques l'me (le I'a,iit,re entrc l'cnscmble des classes d'isomorphisnie de A-modules de type fini et de dirricrision injcctivc finie et l'erisernble des classes d'isomorphisme de A-module de type fini ct de diniension projective fiiiic, * cl des éqiiivaleiices de catégories quasi-inverses l'iine de l'autre entre Les catégories correspondantes. .
b) Si A admet nn module dualisailt 12, toute résolution injective de longiieiii finie de dbfiiiit un complexe dualisant (loc. czt.).
a
(1,s)
c) Soient B une A-algèbre yiii est iin A-module de type firii, T un complexe diialisa.nt, de A-rr~odules; prouver yne le complexe de B-modules HomgrA(R,1) est dualisaiit. Airisi tout anneau quotient, d'iin anneaii de Gorensteiri de dimension finie adniet un complcxc dualisaiit .
d) Soit 1 un A-complexe borné injectif. Poiir que 1 soit dualisant, il faut et il suffit que le coniplexe de A,-modules T,, soit diialismt poiir tout idbal maximal m de A .
e) Soient 1 lin A-complexe dualisarit, P un A-rnodulc projcc0iî <Scrang 1, Le complexe 1@A P(n) est dualisant.
ri
un criticr.
f ) Soiclil 1, J dcs A-complcxcs bornés, injectifs, dont l'homologie est de type fini, et 7~ : 1 -i J un homologisme ; pour que J soit dualisant il faut et il suffit que 1 le soit.
7 1 1 ) Soit
A lin anneaii noethbrirn
a) On suppose A local. Soicnl P , Q tlcs A-complcxcs horilés et plats. On suppose que H(P @ A Q) est riul en dcgri. # O , et libre de rang 1 en degré O . Dénioiitrer qu'il existe un entier p E Z et des homologisrncs A P(p) et A -t Q(-p) .
-
(À l'aide du lcrrirric 1 ct dc la prop. 1 de A, X, p. 66 et 62, se ramener au cas où P et Q sont riuls à droite ; à l'aide de la prop. 1 de Ioc. clt. et du th. 3 de Il, 3 5, no 4, construire alors des complcxes P' et Q' tels que P = A @ P' et (2 = A CF> Q ' , et proiivcr qii'ori a H(P') = II(Q') = O .) b) Soient, 1, .T des A-complexes diialisants (exerc. 10). Si A est local, prouver qu'il cxiste un crilicr n CL un hoinologisme de .J sur l(n) (soient P = Hoingr,(I, J ) , Q = Horngr,(J, 1) ; en utilisant le morphisme v du ri" 7 et l'hornologisme a,,: J + Homgr* (Q, 1) relatif au cornplcxc diialisant 1, construire un Iiornologisrne P @A Q -t A , et appliquer a ) ) . c ) Daris lc ca.s gbnéral, prunver qir'il existe iiii entier n , un A-iiiodulc 1, projectif de rang 1, et un hornologisme de J snr 1 @ A L(n,) (poser L = H(Homgr,(I, J)) , et appliquer b)).
-
12) Soient k iin corps, It. une kalgèbre graduée de type N , tcllc que Ri1 k et quc R. soit un anneau de Macaulay, de diriierision d . Poiir tout R-modiilc gradué de type fini M , on note PM('J') la soric de Poinca.ré C(dimk M L )T' , et l'on pose
-
~ ~ ( ';1 c'est ) un élément de Z['r,T '1 (VIII, 8 ü, no 3, prop. 5). QM(T) (1 T ) u) Soit (2 uri R-rriodulc diinlisant ; prouver que 0 admet une structure de R-niodiile gradui. poiir laquelle Qn(T) = (-l)"Qn(TPi) (écrire Il. cornnic quotient d'une algCbre de polynômes ,4 - /;:[Xi,.. . , X.,,] , avec deg(&) = il, ; si L est une résolution gradiii.~ lilm n pour tout idéal premier p distinct de rn*
. . . (loc. cit.). En particulier, si M est nori nul, on a # O pour p = prof (M) et p = diin(M) (exerc. 4).
11) Soierit A un a.nnea.iilocal rioethbrien, M un A-module de typc fini, de clirnciisioii d ; ori suppose que M cst un riiodule de BiichsI>airrri(5 2, exerc. 7). a) Prouver que Ha (M) est anniilé pax mA pour i raisonner par récurrence sur d).
#d
(traitcr d'abord le cas d
h) Soit x un élérnent shcant pour m ; définir pour O O 4 HA(M) + Hl(M/.>:M)--i II::'(M) t O.
< i < d-2
=
1 , puis
des suites exactes
ri-1
c) Déinonlrcr la forrriule i(M) =
C (" , ')
i=»
d 3 1 , en utilisant b) et I'exerc. 8, d)
'
.)II
lg(Hi(M)) (raisonner par récurrence sur l'entier
3 2)
On ignore si tout anneau local nocthmricn
sa.t.isfait
(CM)
Index des notations prof, (J ; M) , prof (J ; M) , prof, (M), prof (M) : p. 2. K'(x, M) : p. 5. H*(x;M) p. 5. piof,(M) : p. 10. grntlc (N) : p. 11. dllA(M), diA(M) : p. 37. &(A) : p. 38. S(A) : p. 60. Pa : p. 63. Ok(A), dAIk : p. 78. O(A) : p. 93. 9 ( A ) : p. 105. T(p); ep : p. 105. IXJ,
DA(i\/l), D A ( f ) , CLM : p. 112. O(h4,P). p(h'I,P) : p. 121.
D(C), p. 131. D,(f), D(M) : p. 135. a n , : p. 136. HA(M), Hn(f) : p. 142. :
p. 142.
gCs : p. 145.
+(M)
: p. 146. yz(M), S"(h4) : p. 148.
Sk : p. 151, cxcrc. 8. tA(M), t(M) : p. 153, exerc. 16. X ( X , N) : p. 1.55, cxcrc. 6. x(A4) : p. 157, cxerc. 2. rg('u), t J ( 1 6 ) : p. 159, cxerc. 8. h,(A) : p. 166. cxcrc. 4. pt(p,M) : p. 174, cxcrc. 4. H,,(M) : P. 179, exerc. 1. K'(xm, XI), H'(xm, M) : p. 180, exerc. 7.
Index terminologique Ahsolrirr~critrégulière, normale (algèbre) : p. 75. Algèbre absolument régulière, absolurnent normale : p. 75. AlgChre essentiellement de t,ype fini : p. 71. AlgCbrc forniellemerit étale, îorrr~ellerrieritnette : p. 170, exerc. 1 Algèbre forrnelleirient lisse : p. 85. Algèbre lisse : p. 104. Anncaii d'intcrsection complè1.e : p. 65. Aririeaii de Goreustein : p. 48. Anrieaii de Grot,heridieck : p. 169, rxerc. 5. Anneau localemelit iritègrc : p. 16. Ariiieau rnacaiilaycn (ou de Macaulay) : p. 30. Anneau riormal : p. 16. Arir1ea.u prkseutablc : p. 58. hrir~caurégulier : p. 55. Aiislander-Buchsbaiim (théorème ci') : p. 45. Bass (thCori:mc de) : p. 49. Biichshaiim (rnodiile de) : p. 155; exerc. 7 Cohen (théorème de) : p. 88. (hhomologie localc (module de) : p. 132. Complkteiiieiit sécant, (idéal) : p. 62. Complcsc dualisarit : p. 177, exerc. 10 Cornposarits carioriirliies d'lin a.nr1ea.u : p. 15 Différente (idéal) : p. 167, exrrc. 7. Dinierision homologique d'un anilcati : p. 38. Dinier~sioriprojcd,ivc ou injective d'un module : p. 37. Dualisant (complexe) : p. 177, exerc. 10. Dualisarit (rnodiile) : p. 125. Diialité de Grotlieridicck : p. 149. Essentiellcrnent de type fini (algkbre),: p. 71 EsseiiticllcrncriL ghérütrice (famille) : p. 71. Famille essenticllc~nentgénératricc : p. 71. Forrricllerrierit étale, formellerrient nette (algèln-e) : p. 170, cxerc. 1 Formellemer~tlisse (algkhre) : p. 85. Fort;nmerit sécante (partie) : p. 28. Goreiist,cin (mrieau de) : p. 48. Grade d'un module : p. 11. Crotheridieck (anneau de) : p. 169, exerc. 5. Grothendieck (diialité de) : p. 149.
AC X.184
PROFONDEUR, RI~GULARITO,DUALI'~'~?
Hartshorric (théorbine de) : p. 17. Hilbert-Burch (thi.orCmc de) : p. 160, cxcrc. 11 IIoniologiqiis (dimension) : p. 38. Idéal complètement sécant : p. 62. Injective (dimcnsion) : p. 37. Iiitcrscclion conq>lCic(anncair cl') : p. f 5. Lisse (algèbre forrriellerrient) : p. 85 Lisse (algèbre) : p. 104. Macaulay (a.nnra.ii de) : p. 30. Macaulay-Colici~( c r i t h de) : p. 31. Macaulay-Cohcn (théorème de) : p. 30. Ma.ca,iiIayeri (rnotliiln) : p. 30. Mallis (niotliil], exerc. 8. Puissance symbolique wième d'un idéal premier : p 100 Pur (iriodule) : p. 27. Ri.gi~li(:r(arincnir) : p. 55. Relèvement d'un homomorphisme d'algèbres : p. 83. Si.cnnt (idéal compl~tcriicilt): p. 62. Serre (t,héorimes de) : p. 20 ct p. 54. Socle d'lin iliodiile : p. 111. Suite M-r6giiliCrc : p. 8. 'I'hC.orBrrie les ............... . ........................ 2. Structure des modi~lesinjectifs indécomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . Dualité de Matlis ........................................................... 4 . Dualite dcs rrrodules de longueur finie .....................................
6 . Forictturs dualisants ........................................................
X .115
6 . C1.ra.rrgerrient d'anrieaiix ; dualité dc Macaulay ........................... X.119
7 . Diia.lit6 des modules d'extcsisioris et des prodiiits dc torsioii ............ X.120
3 9.
Modules dualisants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .................... 1. Modules t1iia.lisn.rit.s .......................................................... 2 . Qiwt.ient par unc silitc régulière ........................................... 3 . Changcnicr~tdla.nneaux..................................................... 4 . Structure des rriodi~lcsdiia1isa.rit.s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. r)ualitb des modiiles de type fini ........................................... 6 . Exemple le cas de la tlirricr~siori1..........................................
X.130
5 10. Golro7noloyie locale. (kualitt! d p yothendieck ..............................
X.142
X.125 X.125 X.128 X . 133
X.134 X.137
1. Cohornologie locale ......................................................... X.142
2 . Cohomologic localc sur un ailneau dc 1\lIacaul;.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.145 3. Dualité dc Grotller~diccksur iin a.nnraii (le Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.147
Excrcices Exercices Exercices Exercires Exercices Exercices
du 5 1 .................................................................. X.151 (lu $ 2 .................................................................. X . L M di] 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t h 4 ................................................................. di1 5 5 ................................................................. du 4 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices Excrcices Exercices Exercices
ilii du du
(III
5 7 ................................................................. 5 8 .................................................................
5 9 ................................................................. 5 10 ................................................................
Index des notatioiis ............................................................. Index terrriirlologique ............................................................
583253 - (1) - (0,8) - OSB-A 80'
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Masson fiditeur 120, boulevard Saint-Germain 75280 Paris Cedex 06 Dépôt légal : mai 1998
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