Elektronische Bauelemente: Funktion, Grundschaltungen, Modellierung mit SPICE, 2.Auflage

Inhaltsu ¨bersicht 1 2 3 4 5 Grundlagen Aktive Vierpole Rauschen Schaltungssimulation Praktischer Schaltungsaufbau 1 5...

Author: Michael Reisch

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Inhaltsu ¨bersicht 1 2 3 4 5

Grundlagen Aktive Vierpole Rauschen Schaltungssimulation Praktischer Schaltungsaufbau

1 51 85 109 153

6

Operationsverst¨ arker

199

7 8 9 10 11

Widerst¨ ande Kondensatoren ¨ Spulen und Ubertrager Leitungen Resonatoren und Filter

265 315 357 409 447

12 13 14

Halbleiter Herstellung von Halbleiterbauelementen Kontakte

471 549 587

15

Halbleiterdioden

679

16 17 18 19

Bipolartransistoren Grundschaltungen mit Bipolartransistoren CAD-Modelle f¨ ur Bipolartransistoren Thyristoren

747 845 909 933

20 21 22 23 24 25

MOS-Feldeffekttransistoren Grundschaltungen der CMOS-Technik MOS-Speicherbausteine MOS-Leistungshalbleiter CAD-Modelle f¨ ur MOSFETs Sperrschichtfeldeffekttransistoren

973 1063 1115 1161 1191 1215

26 27 28 29 30 31

Grundlagen der Optoelektronik Detektoren f¨ ur optische Strahlung Solarzellen Lichtemittierende Dioden Displays Bildwandler

1241 1273 1321 1357 1403 1419

32 33

Sensorbauelemente Batterien und Akkumulatoren

1443 1469

Stichwortverzeichnis

1488

Michael Reisch Elektronische Bauelemente

Michael Reisch

Elektronische Bauelemente Funktion, Grundschaltungen, Modellierung mit SPICE 2., vollständig neu bearbeitete Auflage Mit 1125 Abbildungen und 67 Tabellen

123

Professor Dr. techn. Michael Reisch Hochschule für Technik und Wirtschaft/ Fachhochschule Kempten Bahnhofstraße 61-63 87435 Kempten/Allgäu E-mail: [email protected]

ISBN-10 3-540-34014-9 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-34014-0 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-60991-9 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York

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7/3100/YL – 5 4 3 2 1 0

Gedruckt auf säurefreiem Papier

Vorwort zur 2. Auflage Dieses Buch wurde f¨ ur Studierende geschrieben, die sich etwas intensiver mit der Elektronik auseinandersetzen wollen, und soll ein n¨ utzlicher Begleiter durch das Elektronikstudium vom dritten Fachsemester bis zur industriellen Praxis sein. Neben diesem Einsatz im eigentlichen Studienbetrieb eignet sich das Buch wegen der Breite des abgedeckten Stoffs bestens als Nachschlagewerk und zum Selbststudium. Wer die seit nahezu drei Jahren vergriffene erste Auflage neben die zweite legt wird das Buch kaum wiedererkennen. Das Buch wurde neu formatiert, komplett neu gegliedert und weist statt der urspr¨ unglichen elf Kapitel nun 33 Kapitel auf. Durch diese st¨ arkere Gliederung wird der Inhalt transparenter und schneller auffindbar, was die Verwendung als Nachschlagewerk verbessert. Alle Kapitel wurden u ¨berarbeitet und zum Teil stark erweitert, mehr als ein Viertel des Texts und der Abbildungen wurden neu aufgenommen, und das Werk so auf den neuesten Stand gebracht. Dies gilt insbesondere f¨ ur die in den letzten Jahren dramatisch weiterentwickelte CMOS-Technik und Speichertechnologie. Neu hinzugekommen sind die Kapitel Displays, Sensorbauelemente sowie Batterien und Akkumulatoren. Ich glaube es ist keine Hochstapelei, wenn ich behaupte, daß das Werk einen großen Schritt vorwärts gemacht hat. Neben der Ber¨ ucksichtigung neuer Bauelemente und Entwicklungen wurden insbesondere die halbleiterphysikalischen Grundlagen der Bauelemente vertieft: Als essentielle theoretische Grundlagen der Halbleiterbauelemente ¨ werden die Physik von pn-Ubergang, Kurzbasisdiode, Schottky-Diode und MOS-Kondensator, das Gummel-Integral als Ausgangspunkt f¨ ur aktuelle Modelle des Bipolartransistors, die Charge-sheet Näherung als Ausgangspunkt ¨ f¨ ur aktuelle MOSFET-Modelle, und das Verhalten des pn-Ubergangs bei Beleuchtung als Ausgangspunkt f¨ ur ein gr¨ undlicheres Verständnis der Wirkungsweise einer Solarzelle ausf¨ uhrlich ber¨ ucksichtigt. Kleingedruckte Abschnitte bieten weiterf¨ uhrende oder ergänzende Informationen und können beim ersten Lesen u ¨bergangen werden. Der Inhalt dieser Abschnitte erscheint mir dennoch wichtig f¨ ur ein vertieftes Verständnis der Halbleiterbauelemente. Gelegentlich sind diese Abschnitte auch etwas anspruchsvoller: Das Kleingedruckte hat es eben – wie so oft im Leben – manchmal in sich. Egal ob groß- oder kleingedruckt: Beim Lesen sollte der Bleistift und ein Schmierblatt f¨ ur Nebenrechnungen nie fehlen. Wie heißt das so schön im Vorwort der Feynman Lectures on Physics: Reading without a pencil is ” daydreaming“. Insgesamt werden in den Literaturverzeichnissen mehr als 700 nahezu ausschließlich englischsprachige Arbeiten zitiert, nicht nur mit dem Ziel der Quellenangabe, sondern auch um Hinweise auf interessante weiterf¨ uhrende Literatur zu liefern. Ich weiß zwar, daß die meisten Studenten englischsprachige Veröffentlichungen weitr¨ aumig umgehen, möchte aber dennoch empfehlen, pro Semester beispielsweise zwei Arbeiten (man muß ja nicht gleich u ¨bertreiben),

vi

die besonderes interessant erscheinen zu besorgen, und diese von vorne bis hinten durchzuarbeiten. Das ist m¨ uhsam – aber f¨ ur die spätere Berufstätigkeit außerordentlich hilfreich. Und jetzt sollten Sie sich nicht mehr lange mit dem Vorwort aufhalten. Der Inhalt ist viel interessanter: Ich w¨ unsche Ihnen viel Spaß beim Studium. Kempten im September 2006 Michael Reisch

Aus dem Vorwort zur 1. Auflage Eine zeitgemäße Einf¨ uhrung in das Gebiet der elektronischen Bauelemente, und damit in die Grundlagen der Elektronik, muß meiner Meinung nach, neben einer Darstellung der physikalischen Grundlagen und der Anwendungen, einen Bezug zu den heutzutage in der praktischen Arbeit eingesetzten CAD-Hilfsmitteln herstellen. Ein in der Elektronik tätiger Ingenieur muß die Wirkungsweise elektronischer Bauelemente verstanden und eine Vorstellung von der Größenordnung ihrer Kenngr¨ oßen haben, um sie kreativ einsetzen zu können. Er muß mit den Kenngr¨ oßen und sonstigen Datenblattangaben so weit vertraut sein, daß er aus Herstellerunterlagen die f¨ ur die jeweilige Anwendung optimalen Bauteile ausw¨ ahlen kann. Er sollte u ¨ber Kenntnisse der Modellierung der Bauelemente in SPICE verf¨ ugen, um die modernen Verfahren des CAD m¨ oglichst effizient nutzen zu können. Daneben muß er die analytische Rechnung mit vereinfachten Modellen zur Grobdimensionierung beherrschen – diese steht schließlich am Beginn einer jeden Schaltungsauslegung und ist auch f¨ ur das Verst¨ andnis der Schaltung unverzichtbar. Dieses Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die ich in den Lehrgebieten Werkstofftechnik“, Elektronische Bauelemente“ sowie Optoelektronik“ ” ” ” vor Studenten der Elektrotechnik an der FH Kempten gehalten habe, und richtet sich in erster Linie an angehende Ingenieure. Es soll einer praxisorientierten Ausbildung dienen, was nicht bedeutet, daß f¨ ur theoretische Betrachtungen hier kein Raum w¨ are. Theorie und Praxis ergänzen sich und sind keine Gegensätze – schließlich ist das Gegenteil von praktisch“ nicht theoretisch“, ” ” sondern unpraktisch“. Erst durch das theoretische Verständnis lassen sich ” Zusammenhänge erkennen, kann die ungeheure Vielfalt von Bauteilen und Effekten geordnet und der Wissensstoff zusammenfassend strukturiert werden. Ein Schwerpunkt der Ausbildung muß deshalb dem Aufbau einer breiten Grundlage dienen; Ingenieure sollten zumindest u ¨ber Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Bauelementephysik, der Halbleitertechnologie und der Schaltungstechnik verf¨ ugen – auch um mit Partnern aus benachbarten Gebieten zusammenarbeiten zu k¨ onnen.

vii

Das Buch soll eine solide Grundlage f¨ ur die Elektronikausbildung (Schaltungstechnik, Mikroelektronik, Leistungselektronik, Optoelektronik) darstellen und als begleitende Lekt¨ ure bereits im Grundstudium von Nutzen sein. Behandelt werden aber auch weiterf¨ uhrende Themen, die Studierende an aktuelle Entwicklungen der angewandten Halbleiterelektronik heranf¨ uhren. Durch das umfangreiche Stichwortverzeichnis [. . .] sollen die Studierenden beim raschen Auffinden gesuchter Informationen unterst¨ utzt werden. Die mathematischen Voraussetzungen wurden bewußt gering gehalten: F¨ ur das Verständnis der durchgef¨ uhrten Rechnungen sollten Grundkenntnisse in komplexer Rechnung, linearer Algebra, Differential- und Integralrechnung ausreichen. Zahlreiche Beispielrechnungen demonstrieren Lösungsansätze und zeigen Größenordnungen auf. H¨ aufig wird der in der Praxis gegangene Weg der Schaltungsdimensionierung durch analytische Rechnung und die Verifikation mittels Simulation durch explizites Gegen¨ uberstellen der Ergebnisse beschritten. Ein wichtiges Ziel ist dabei, Zusammenh¨ ange zu erkennen sowie Lösungsansätze und -methoden einzustudieren – fertige Kochrezepte“ werden nicht geboten. ”

viii

Schreibweise, Formelzeichen Die in diesem Buch verwendete Schreibweise versucht den u ¨blichen Bezeichnungen sowie internationalen Standards (IEEE) weitestgehend zu entsprechen. Leider werden in der deutschsprachigen Lehrbuchliteratur f¨ ur manche Größen andere Symbole verwendet als im Rest der Welt“. Dies gilt insbeson” dere f¨ ur die Bezeichnung von Spannungen – diese wurden in der deutschsprachigen Lehrb¨ uchern traditionell (DIN 1304) mit dem Symbol U bezeichnet, andernorts aber mit V . Da nach den neuen Normen ISO 31-5 und IEC 27-1 auch hierzulande das international gebr¨ auchliche Symbol V verwendet werden darf und da mittlerweile auch die im deutschsprachigen Raum ansässigen Hersteller in ihren Datenb¨ uchern elektrische Spannungen mit V bezeichnen, habe ich mich hier ebenfalls zu dieser Bezeichnung entschlossen.2 Von wenigen Ausnahmen abgesehen, besitzen die Buchstaben B, C, d, E, F , I, P , R, V , W , x die in der folgenden Tabelle aufgef¨ uhrte Bedeutung. Eine ausf¨ uhrliche Liste verwendeter Formelzeichen findet sich im Anschluß. Tabelle H¨ aufig verwendete Symbole Kurzzeichen f¨ ur Gr¨ oßen

Kurzzeichen f¨ ur Indices

C d E f I, i G L P, p R T t V ,v W x

B, b C, c D, d E, e eff F, f G, g R, r S, s th

Kapazit¨ at Abstand Elektrische Feldst¨ arke Frequenz Strom Leitwert Induktivit¨ at Leistung Widerstand Temperatur (absolut) Zeit Spannung Energie Ortskoordinate

Basis Kollektor Drain Emitter Effektivwert Vorwärtsrichtung (Diode) Gate R¨ uckwärtsrichtung (Diode) Source thermisch

Wird eine bestimmte Kenngr¨ oße, wie der in deutschsprachigen Lehrb¨ uchern häufig mit m bezeichnete Emissionskoeffizient einer Diode, in SPICE mit einem anderen Symbol bezeichnet (im Beispiel N ), so wird die SPICE2 Volumina und Geschwindigkeiten werden zwar ebenfalls mit dem Symbol v bezeichnet, Formeln, in denen Spannungen und Volumina bzw. Spannungen und Geschwindigkeiten gleichzeitig vorkommen, sind jedoch vergleichsweise selten; außerdem sollte der Leser in den F¨ allen, in denen beide Gr¨ oßen gleichzeitig vorkommen, die unterschiedliche Bedeutung leicht aus dem Zusammenhang erkennen k¨ onnen. Diesbez¨ ugliche Einschr¨ ankungen gelten ohnehin f¨ ur nahezu s¨ amtliche Symbole: Das Zeichen T kann beispielsweise die (absolute) Temperatur bezeichnen, aber auch die Periodendauer; mit W wird sowohl eine Weite als auch die Energie bezeichnet ...

ix

Notation verwendet. Der leichteren Lesbarkeit in Formeln wegen werden SPICE-Parameter, die durch mehrere aufeinanderfolgende Großbuchstaben dargestellt werden, in Formeln als ein Großbuchstabe mit entsprechendem ur den Parameter XCJC). Hinsichtlich der Index dargestellt (z.B. steht XCJC f¨ Klein- und Großschreibung von Symbolen und Indizes werden ansonsten die folgenden Regeln angewandt: 1. F¨ ur Augenblickswerte zeitlich ver¨ anderlicher Größen werden kleine Buchstaben verwendet. Die Gr¨ oßen i, v und p bezeichnen nach dieser Konvention zeitabh¨ angige Strom-, Spannungs- bzw. Leistungswerte. 2. F¨ ur zeitlich konstante Gr¨ oßen werden große Buchstaben verwendet. Die Größen I, V und P bezeichnen demnach konstante Strom-, Spannungsbzw. Leistungswerte – oder aber Effektivwerte zeitlich veränderlicher Größen. 3. Indizes f¨ ur Großsignalgr¨ oßen – das sind Größen, die vom Wert Null an“ ” gezählt werden – werden groß geschrieben (z.B. iC , IC , vBE , VBE ). 4. Indizes f¨ ur Kleinsignalgr¨ oßen – das sind Größen deren Wert vom Arbeitspunkt aus gerechnet wird – werden klein geschrieben (z.B. vbe , ic ). Diese Schreibweise wird auch auf die Knoten und Elemente von Ersatzschaltungen u ¨bertragen: Knotennamen in Großsignalersatzschaltungen werden mit großen Buchstaben gekennzeichnet (z.B. E, S), Knotennamen in Kleinsignalersatzschaltungen mit kleinen Buchstaben (z.B. e, s). Elemente einer Großsignalersatzschaltung werden mit großen Buchstaben gekennzeichnet (z.B. R), die Elemente einer Kleinsignalersatzschaltung entsprechend mit kleinen Buchstaben (z.B. r). Mit rbb wird demzufolge der zwischen den Knoten b und b einer Kleinsignalersatzschaltung liegende Widerstand bezeichnet (Kleinsignalbasisbahnwiderstand, vgl. Kap.4). Bei einigen sehr häufig vorkommenden Elementen wird zur Vereinfachung der Schreibweise von dieser Konvention abgewichen; statt gb e wird beispielsweise gπ geschrieben, statt gc e die Abk¨ urzung go . F¨ ur den zeitlichen Mittelwert einer zeitabhängigen, mit T periodischen Größe v(t) wird u urzung ¨blicherweise die Abk¨ 1 v = T

T

v(t) dt 0

verwendet. Der Effektivwert Veff = Vrms von v(t) ist definiert durch

Veff =

1 T

T

2

v (t) dt =

v2 .

0

Falls aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, daß ein Effektivwert vorliegt, wird der Index eff“ nicht angeschrieben. ”

x

v

B E

8 0 0 m V

v

6 0 0

b e

(t) V

B E

4 0 0

v T

2 0 0

B E

(t)

0

Abb. 1. Zur Erl¨ auterung der verwendeten Notation

t

Beispiel Zur Erl¨ auterung der Zusammenh¨ ange wird Abb. 1 betrachtet. Diese zeigt den zeitabh¨ angigen Verlauf der Basis-Emitter-Spannung vBE (t) eines Bipolartransistors. Der Großsignalwert vBE nimmt dabei Werte zwischen 400 mV und 700 mV an; aus dem Diagramm entnimmt man f¨ ur die Zeitabhängigkeit von vBE (t):

Zeit t

0 < t ≤ T /3

vBE /mV

400 + 900

vbe /mV

−100 + 900

t T t T

T /3 < t ≤ 2T /3

400 + 900 −100 + 900

2 t − 3 T

2T /3 < t ≤ T

2 t − 3 T

400

−100

Der zeitliche Mittelwert der Spannung ist 2T /3 T /3 T 2 vBE t 1 t = dt + 900 − dt + 900 400 dt mV T T 3 T 0 0 T/3 T 1 400 T + 300 = 500 . = T 3 Vom Gleichanteil der Basis-Emitter-Spannung VBE = vBE aus wird der Wechselanteil angige Basis-Emitter-Spannung vBE (t) setzt sich aus vbe (t) gemessen: Die zeitabh¨ dem Gleichanteil VBE und dem Wechselanteil vbe (t) zusammen: vBE (t) = VBE + vbe (t) . Der Wechselanteil variiert im Beispiel zwischen −100 mV und 200 mV, sein Mittelwert ist Null. Wegen vbe = 0 folgt 2

2 2 2 + 2V 2 2 vBE = (VBE + vbe ) = VBE BE vbe + vbe = VBE + vbe ,

d.h. der Effektivwert VBE,eff der Spannung vBE ergibt sich aus dem Gleichanteil VBE und dem Wechselanteil vbe gem¨ aß 2 + v2 = 2 +V2 , VBE,eff = VBE VBE be be

xi 2 den Effektivwert des Wechselanteils bezeichnet. Der Effektivwert wobei Vbe = vbe des Wechselanteils im Beispiel folgt aus 2 2 2 Vbe 1 T /3 1 2T /3 t t = dt + dt 900 − 100 1000 − 900 T 0 T T T/3 T mV2 1 T + (100)2 dt = 104 T 2T/3 zu Vbe = 100 mV. Der Effektivwert des Großsignalwerts der Basis-Emitter-Spannung ist demnach

2 +V2 = VBE (500 mV)2 + (100 mV)2 = 509.9 mV . VBE,eff = be Er ist gr¨ oßer als der Gleichanteil.

Sinusförmige Wechselgr¨ oßen werden in komplexer Schreibweise ausgedr¨ uckt in der Form

v(t) = Re[ v(t) ] = Re vˆ e jωt

mit der komplexen Amplitude vˆ. Der Betrag der Amplitude wird angegeben als vˆ = |ˆ v |. Diese Gr¨ oße gibt den Scheitelwert und nicht den Effektivwert der Größe an. Letzterer ergibt sich f¨ ur sinusförmige Verläufe als √ V = vˆ/ 2 . Die ebenfalls h¨ aufig anzutreffende Rechnung mit komplexen Effektivwerten √ V = vˆ/ 2 wird in diesem Buch nicht verwendet. In Ersatzschaltungen f¨ ur die Wechselstromanalyse werden zeitabh¨ angige komplexe Zeiger f¨ ur Spannung und Strom durch Unterstreichen angegeben; v bzw. i entsprechen demzufolge die Ausdr¨ ucke v = vˆ e jωt und i = î e jωt . ¨ Die Beziehungen f¨ ur Ubertragungsfaktoren, Impedanzen, Admittanzen etc. sind Verhältnisse und unabh¨ angig von der angewandten Schreibweise; beispielsweise gilt V vˆ v Z = = = . î I i Werden mehrere Impedanzen Z i parallel geschaltet, so lassen sich diese zu einer Impedanz

Z = Z1 Z2 · · · Zn =

1 1 1 + + ··· + Z1 Z2 Zn

−1

zusammenfassen. Das Zeichen “ entspricht dabei einem Rechenoperator, ” der die Addition der Kehrwerte der verkn¨ upften Ausdr¨ ucke mit anschließender Kehrwertbildung bewirkt. Die Rechenoperation “ wird vor den Strich” ” Operationen“ ( +“, −“) aber nach den Punkt-Operationen“ ( ·“, :“) aus” ” ” ” ” gef¨ uhrt.

xii

Physikalische Konstanten

Avogadro-Konstante

Nmol

6.02217 · 1023 mol−1

Bohrsches Magneton

µB = e¯h/2me

9.27408 · 10−24 J/T

Bohrscher Radius

a0

0.529166 · 10−10 m

Boltzmann-Konstante

kB

1.38062 · 10−23 J K−1

Elementarladung

e

1.602192 · 10−19 As

Faraday-Konstante

F = eNmol

9.648456 · 104 C/mol

Gaskonstante

R = kB Nmol

8.3143J K−1 mol−1

Influenzkonstante

0

8.8542 · 10−12 AsV −1 m−1

Induktionskonstante

−2 µ0 = −1 0 c

1.2566 · 10−6 V s A−1 m−1

Magnetisches Momemt ((Elektron) µe

9.2848456 · 10−24 J/T

Plancksche Konstante

h h = h/2π ¯

6.62620 · 10−34 Js 1.0546 · 10−34 Js

Ruhemasse des Elektrons

me

9.10956 · 10−31 kg

Ruhemasse des Neutrons

mn

1.67482 · 10−27 kg

Ruhemasse des Protons

mp

1.67261 · 10−27 kg

Ruheenergie des Elektrons

me c2

0.511 MeV

Rydbergenergie

WR

13.6 eV

Stefan-Boltzmann-Konstante

σS

5.67032 · 10−8 W/(m2 K4 )

Vakuumlichtgeschwindigkeit

c

2.997925 · 108 ms−1

xiii

Abgeleitete SI-Einheiten

Gr¨ oße

Name

Zeichen

MKSA

Kraft

Newton

N

kg m s−2

Energie

Joule

J

kg m2 s−2

Elektronenvolt

eV

1.6021892 · 10−19 J

Leistung

Watt

W

kg m2 s−3

Ladung

Coulomb

C

As

Spannung

Volt

V

kg m2 s−3 A−1

Kapazit¨ at

Farad

F

A2 s4 kg−1 m−2

Widerstand

Ohm

Ω

kg m2 A−2 s−3

Leitwert

Siemens

S

A2 s3 kg−1 m−2

Magnetischer Fluß

Weber

Wb

kg m2 s−2 A−1

Magnetische Induktion

Tesla

T

kg A−1 s−2

Induktivit¨ at

Henry

H

kg m2 A−2 s−2

Frequenz

Hertz

Hz

s−1

Winkel

Radiant

rad

1

Raumwinkel

Steradiant

sr

1

Lichtsrom

Lumen

Lm

cd sr

Beleuchtungsst¨ arke

Lux

lx

cd sr m−2

Energiedosis

Gray

Gy

m2 s−2

Dosis¨ aquivalent

Sievert

Sv

m2 s−2

Aktivit¨ at (radioaktive)

Becquerel

Bq

s−1

xiv

Formelzeichen Symbol

Bedeutung

Seite

ap ad agl av aα A∗ A3 AD Ai AI AI Aj Aje AGL AL AN AN Anpn Apnp AR Av bα B B BF , BF BR , BR BI BN Boff ciss cj cjc cje coss cox crss ct cµ cπ C CJ0 , CJ0 CN CJC , CJC CJE , CJE Cth

Verst¨ arkungsmaß (10 dB· log(Gp )) Differenzverst¨ arkung (Kleinsignal) Gleichtaktverst¨ arkung (Kleinsignal) Verst¨ arkungsmaß (20 dB· log(Av )) Wellengr¨ oßen (α = 1, 2) Richardson-Konstante Nichtlinearit¨ at (Widerstand) Differenzspannungsverst¨ arkung Stromverst¨ arkung Stromverst¨ arkung (Fotowiderstand) Rauschindex Sperrschichtfl¨ ache Fl¨ ache der Emittersperrschicht Gleichtaktverst¨ arkung Induktivit¨ atsfaktor (Vorw¨ arts-)Stromverst¨ arkung in Basisschaltung numerische Apertur (Glasfaser) Stromverst¨ arkung in Basischaltung (npn) Stromverst¨ arkung in Basischaltung (pnp) Widerstandsfaktor Spannungsverst¨ arkung (|H v |) Wellengr¨ oßen (α = 1, 2) B-Wert (Heißleiter) magnetische Flußdichte ideale Vorw¨ artsstromverst¨ arkung ideale R¨ uckw¨ artsstromverstärkung R¨ uckw¨ artsstromverst¨ arkung (Vorw¨ arts-)Stromverst¨ arkung (Emitterschaltung) Abschaltstromverst¨ arkung Eingangskapazit¨ at (MOSFET) Sperrschichtkapazit¨ at (Diode, Schottky-Diode) BC-Sperrschichtkapazit¨ at EB-Sperrschichtkapazit¨ at Ausgangskapazit¨ at (MOSFET) fl¨ achenspezifische Oxidkapazität R¨ uckwirkungskapazit¨ at (MOSFET) Diffusionskapazit¨ at Kleinsignalkapazit¨ at der BC-Diode Kleinsignalkapazit¨ at der EB-Diode Kapazit¨ atsbelag (Leitung) cj (V = 0) Nennkapazit¨ at (Batterie) cjc (VBC = 0) cje (VBE = 0) W¨ armekapazit¨ at

19 205 205 19 72 658 278 199 19 1277 277 595 756 201 363 751 1265 936 936 368 18 72 287 357 762 762 750 750 958 994 620 795 795 994 667 994 626 795 795 410 620 1477 913 913 170

xv Symbol

Bedeutung

CMRR dB dF dj dox D D D˙ D∗ De Dn Dp e e E E0 ED Ee EG , EG Emax ESR fG fmax fT fT fy fβ g F F (M ) FZ FF g gd gm go gµ gπ G Gn G GB Gp GT Gth GZ hαβ

Gleichtaktunterdr¨ uckung Basisweite Desakkomodationskoeffizient Sperrschichtweite Oxiddicke Detektivit¨ at Energiedosis Energiedosisleistung modifizierte Detektivit¨ at Strahlungsflußdichte Diffusionskoeffizient f¨ ur Elektronen Diffusionskoeffizient f¨ ur Löcher Elementarladung (1.602 · 10−19 cm−3 ) Euler-Zahl (2.71828...) Elastizit¨ atsmodul Standardpotential Durchschlagsfeldst¨ arke (Dielektrikum) Bestrahlungsst¨ arke Bandabstandsspannung ¨ max. Feldst¨ arke im pn-Ubergang Equivalent series resistance Grenzfrequenz (Kapazitätsdiode) maximale Schwingfrequenz Transitfrequenz (OPV) Transitfrequenz (BJT) Steilheitsgrenzfrequenz β-Grenzfrequenz Kleinsignalleitwert Rauschzahl, Rauschfaktor Rauschfaktor (Lawinenmultiplaktion) Zusatzrauschzahl F¨ ullfaktor optischer Gewinn Kleinsignalleitwert (Diode) ¨ Ubertragungsleitwert (BJT) Ausgangsleitwert (BJT) R¨ uckwirkungsleitwert Eingangsleitwert (BJT) Generationsrate aquivalenter Rauschleitwert ¨ Ableitungsbelag (Leitung) Gummel-Zahl Leistungsverst¨ arkung Betriebsleistungsverst¨ arkung W¨ armeleitwert Gesetzliche Zeit Hybridparameter

Seite 202 754 360 591 552 1275 1465 1460 1275 1249 92, 509 509 − − 1460 1472 316 1248 775 592 329 721 800 206 796 798 796 7 104 1301 105 1334 1373 633 785 785 788 785 511 102 410 765 20 68 169 1326 60

xvi Symbol

Bedeutung

H He Hv IBB IBC IBE ICE ICBO ICEO ICES IDE IDSP IDSS IDSS IDC Ie IEBO IEC IH Ihν IKF IO IP IS , IS Isc IT Iv IZ J J J0 Jdark Jn Jn Jp kB k kDA K Km KP , KP l(i) L L Le LD Ln

magnetische Feldst¨ arke Bestrahlung Spannungs¨ ubertragungsfaktor Basisstromanteil (Rekombination im Basisgebiet) Basisstromanteil (Injektion in Kollektor) Basisstromanteil (Injektion in Emitter) von VBE gesteuerter Transferstromanteil (qB = 1) Kollektorreststrom Kollektor-Emitter-Reststrom (IB = 0) Kollektor-Emitter-Reststrom (VBE = 0) Strom der idealen EB-Diode S¨ attigungstrom (JFET) Drainreststrom maximaler S¨ attigungsstrom (JFET) Strom der idealen BC-Diode Strahlst¨ arke Emitterreststrom von VBC gesteuerter Transferstromanteil (qB = 1) Haltestrom Fotostrom Kniestrom Offsetstrom (OPV) Abschn¨ urstrom (JFET) S¨ attigungsstrom (Diode,Schottky-Diode) Kurzschlußstrom (Solarzelle) Transferstrom Lichtst¨ arke Strom durch Z-Diode (Sperrpolung) Stromdichte magnetische Polarisation Austauschstromdichte Dunkelstromdichte Elektronenstromdichte Teilchenstromdichte (Elektronen) L¨ ocherstromdichte Boltzmann-Konstante k-Faktor, Gauge-Faktor Koeffizient der dielektrischen Absorption Fotometrisches Strahlungs¨ aquivalent Fotometrisches Strahlungs¨ aquivalent (Maximalwert) ¨ Ubertragungsleitwertparameter Kleinsignalinduktivit¨ at Kanall¨ ange (MOSFET) Induktivit¨ atsbelag (Leitung) Strahldichte Debye-L¨ ange √ Diffusionsl¨ ange f¨ ur Elektronen ( Dn τn )

Seite 357 1248 18 754 754 754 760 812 812 813 763 1219 1017 1219 763 1247 812 760 935 1283,1334 600 202 1217 602, 658 1328 755 1250 711 265 358 1475 1420 503,520 523 503, 520 − 1459 319 1252 1252 980 10 980 410 1248 529 595

xvii Symbol Lp Lαβ m∗n m∗p M, M M M MJC , MJC MJE , MJE Me Mn Mp Ms0 MAG MAG MTTF n n0 ni nie np np0 nn0 N NEP NA NA− NC Nd ND ND+ Nhν NV NF p p0 pn pn0 pp0 Pnv PQ Pv Pzul PSRR qB Q Q

Bedeutung

Seite

Diffusionsl¨ ange f¨ ur L¨ ocher ( Dp τp ) Induktivit¨ atskoeffizienten effektive Masse (Elektron) effektive Masse (Loch) Gradationsexponent der Diode Magnetisierung Gegeninduktivit¨ at Gradationsexponent der BC-Diode Gradationsexponent der EB-Diode spezifische Ausstrahlung Multiplikationsfaktor f¨ ur injizierte Elektronen Multiplikationsfaktor f¨ ur injizierte Löcher S¨ attigungsmagnetisierung maximal verf¨ ugbare Leistungsverstärkung maximale stabile Leistungsverstärkung mittlere Lebensdauer Elektronendichte Elektronendichte im Gleichgewicht Intrinsische Dichte effektive intrinsische Dichte Elektronendichte im p-Gebiet Elektronendichte im Gleichgewicht (p-Typ) Elektronendichte im Gleichgewicht (n-Typ) Emissionskoeffizient der Diode (SPICE) Rausch¨ aquivalenzleistung Akzeptordichte Dichte ionisierter Akzeptoren Effektive Zustandsdichte im Leitungsband Tagesnummer Donatordichte Dichte ionisierter Donatoren Photonenzahl Effektive Zustandsdichte im Valenzband Rauschmaß (Rauschzahl in dB) L¨ ocherdichte L¨ ocherdichte im Gleichgewicht L¨ ocherdichte im n-Gebiet L¨ ocherdichte im Gleichgewicht (n-Typ) L¨ ocherdichte im Gleichgewicht (p-Typ) verf¨ ugbare Rauschleistung Pyroelektrischer Ladungskoeffizient Pyroelektrischer Spannungskoeffizient zul¨ assige Verlustleistung Betriebsspannungsdurchgriff normierte Basisladung“ des BJT ” G¨ ute W¨ armestrom

596 361 482 482 620 358 361 913 913 1247 615 616 387 71 71 190 487 494 488 497 595 495 494 602 1274 494 494 487 1324 494 494 1373 487 104 487 487 494 495 494 95 1313 1313 173 203 759 38 533

xviii Symbol

Bedeutung

QC Qj QL Qn Qr , Qrr Qs QT QTB QTC QTE r r rbb r ri,i ri,v rs rth rZ rZ∗ R R RBB RCC RDSon REE RGopt RK Rn RS , RS Rth Rth,JC Rth,CA Rth,CK RL S S S Si Sp Sv S αβ t tc td tg tfr

G¨ ute (Kondensator) Sperrschichtladung G¨ ute (Spule) fl¨ achenspezifische Inversionsladung Sperrverz¨ ogerungsladung Nachlaufladung Diffusionsladung Diffusionsladung im Basisgebiet Diffusionsladung der BC-Diode Diffusionsladung der EB-Diode Kleinsignalwiderstand Reflexionskoeffizient (Optik) Kleinsignalbasisbahnwiderstand Reflexionsfaktor Strom-Reflexionskoeffizient (Eingang) Spannungs-Reflexionskoeffizient (Eingang) (Kleinsignal-)Bahnwiderstand (Diode) transienter W¨ armewiderstand Kleinsignalwiderstand der Z-Diode (T = const.) Kleinsignalwiderstand der Z-Diode (T = TA + Rth P ) Rekombinationsrate Widerstandsbelag (Leitung) Basisbahnwiderstand Kollektorbahnwiderstand Einschaltwiderstand (MOSFET) Emitterbahnwiderstand Quellwiderstand bei Rauschanpassung Kontaktwiderstand aquivalenter Rauschwiderstand ¨ (Großsignal-)Bahnwiderstand (Diode) W¨ armewiderstand W¨ armewiderstand zwischen Bauteil u. Gehäuse W¨ armewiderstand zwischen Gehäuse und Umgebung W¨ armekontaktwiderstand R¨ uckflußd¨ ampung (return loss) Gate voltage swing Empfindlichkeit (Fotodetektor) Ordnungsgrad Spektrum (Rauschstrom) Oberfl¨ achenrekombinaionsgeschwindigkeit (Löcher) Spektrum (Rauschspannung) Streuparameter Transmissionskoeffizient Schonzeit (Thyristor) Verz¨ ogerungszeit (Laufzeit) Gruppenlaufzeit Vorw¨ artserholzeit (Diode)

Seite 325 620 367 668 692,953 692 626 756 794 794 8 1254 787 417 72 71 633 175 711 713 511 410 763 763 980 763 106 578 102 603 169 177 177 179 418 1017 1274 1404 87 596 87 73 1254 951 21 18 682

xix Symbol

Bedeutung

tgd tgr tgs tgt tPDH tPDL tq tr tϕ tan δ tan δL tan δKe TC TK TS TT , T U u ¨ vg vgr vn vnsat vph vp V V0 VAF VBF0 VBR VBR VBRCBO VBRCEO VBREBO VDsat VDSP VDSS VFB Vg0 VH VH VJ , VJ VN VO VP VS VT VTH

Z¨ undverzugszeit (Thyristor) Durchschaltzeit (Thyristor) Z¨ undausbreitungszeit (Thyristor) Z¨ undzeit (Thyristor) Anstiegsverz¨ ogerungszeit Abfallverz¨ ogerungszeit Freiwerdezeit (Thyristor) Anstiegszeit Phasenlaufzeit Verlustzahl (Dielektrikum) Verlustfaktor (Spule) Verlustfaktor (Kern mit Luftspalt)) Curie-Temperatur Kl¨ artemperatur Schmelztemperatur Transitzeit (Diode) Unilaterale Leistungsverst¨ arkung ¨ Ubertrgungsverh¨ altnis Gruppengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit Driftgeschwindigkeit (Elektronen) S¨ attigungsgeschwindigkeit (Elektronen) Phasengeschwindigkeit Driftgeschwindigkeit (L¨ ocher) ¨ Spannungsabfall am pn-Ubergang Leerlaufspannung (Batterie) (Vorw¨ arts-)Early-Spannung Nullkippspannung Durchbruchspannung (Diode) R¨ uckw¨ artsdurchbruchspannung (Thyristor) Durchbruchspannung der BC-Diode Kollektor-Emitter-Grenzspannung (offene Basis) Durchbruchspannung der EB-Diode S¨ attigungsspannung (MOSFET) S¨ attigungsspannung (JFET) maximale S¨ attigungsspannung (JFET) Flachbandspannung Bandabstandsspannung (Extrapolation zu T = 0) Hall-Spannung Haltespannung Diffusionsspannung (Diode, Schottky-Diode) Nennspannung Eingangsoffsetspannung (OPV) Abschn¨ urspannung Entladeschlußspannung Temperaturspannung (kB T /e) Einsatzspannung (MOSFET, beliebiges VSB )

Seite 946 946 947 946 859 858 951 21 18 316 367 371 390 1403 1403 626 69 401 1245 413 502 502 1242 502 603 1476 761 934 613 934 813 816 813 981 1219 1219 665 489 534 935 590, 655 1476 202 1006 1476 8 987

xx Symbol

Bedeutung

Seite

VTO , VTO VTO VV VSWR WBn WC WF WFi WFn WFp Wg Whν WV Wχ WOZ xn xp XTI y αβ Y Yγ z αβ Z Z0 ZC Zi Zo ZV

Einsatzspannung (MOSFET mit VSB = 0) Abschn¨ urspannung (JFET) Varistorspannung (I = 1 mA) Stehwellenverh¨ altnis Barrierenh¨ ohe des Schottky-Kontakts (n-Typ) Leitungsbandkante Fermi-Energie Fermi-Energie im undotierten Halbleiter Fermi-Energie (n-Gebiet) Fermi-Energie (p-Gebiet) Energiel¨ ucke Energie eines Photons Valenzbandkante Elektronenaffinit¨ at Wahe Ortszeit n-seitiger Sperrschichtrand p-seitiger Sperrschichtrand Temperaturexponent des Sättigungsstroms IS Leitwertparameter Admittanz Korrelationsadmittanz Widerstandsparameter Impedanz Wellenwiderstand Zustandsdichte (Leitungsband) Eingangsimpedanz Ausgangsimpedanz Zustandsdichte (Valenzband)

669 1217 307 418 656 477 487 488 497 497 477 1242 477 477 1326 591 591 607 55 13 13 62 13 412 489 65 65 490

Griechische Buchstaben: Symbol

Bedeutung

Seite

α α α αn , αp αSn , αSp αT αV αW αX αX2 αZ β

Absorptionskoeffizient Absorptionsgrad D¨ ampfungskonstante /Leitung) Ionisationskoeffizienten Seebeck-Koeffizienten Basistransportfaktor Spannungskoeffizient Weißsche Wechselwirkungskonstante Temperaturkoeffizient der Größe X quadratischer Temperaturkoeffizient der Größe X Temperaturkoeffizient der Z-Spannung NF-Kleinsignalstromverst¨ arkung (∂IC /∂IB )VCE

1259 1272 412 516 532 757 277 389 168 168 712 790

xxi Symbol

Bedeutung

Seite

β β βn γ γ, GAMMA γ γ γth δ δ δ ∆Wgapp 0 r ηd ηe ηv ηQ ηQ ηQ ϑA ΘA κ λ λ, LAMBDA λG µ0 µe µi µ ˜i µn µr µp µ∆ µrev ν Π ρ ρC σ σ σ σ σS τB

Phasenkonstante (Leitung) Stromindex (Varistor) ¨ Ubertragungsleitwertfaktor (n-Kanal MOSFET) Zenitdistanz Substratsteuerungsfaktor Spannungsindex (Varistor) Ausbreitungskonstante (Leitung) 411 spezifischer W¨ armekontaktwiderstand Deklination Eindringtiefe, Leitschichtdicke Verlustwinkel (Dielektrikum) Scheinbares bandgap narrowing Emissionsgrad relative L¨ angen¨ anderung Influenzkonstante (= 8.859 · 10−14 F/cm) Dielektrizit¨ atszahl differentielle Quantenausbeute Strahlungsausbeute Lichtausbeute Quantenwirkungsgrad (Solarzelle) Quantenausbeute (LED) Quantenwirkungsgrad Umgebungstemperatur in ◦ C Akzeptanzwinkel (Multimodefaser) Modulationssteilheit Ausfallrate Kanall¨ angenmodulationsparameter (SPICE) Grenzwellenl¨ ange Induktionskonstante (4 π nH/cm) effektive Permeabilit¨ at chemisches Potential elektrochemisches Potential Elektronenbeweglichkeit Permeabilit¨ atszahl L¨ ocherbeweglichkeit ¨ Uberlagerungspermeabilit¨ at reversible Permeabilit¨ at Frequenz (Photonen) Peltier-Koeffizient spezifischer Widerstand spezifischer Kontaktwiderstand mechanische Spannung spezifische Leitf¨ ahigkeit spezifische Leitf¨ ahigkeit (Halbleiter) Parameter f¨ ur DIBL-Effekt Stefan-Boltzmann-Konstante Basistransitzeit

412 307 982 1325 669 306 179 1324 267 315 498 1271 1460 315 315 1375 1248 1252 1328 1358 1284 169 1265 1362 189 990 1260 357 371 1473 1473 502 357 502 359 359 1242 183 265 660 1460 265 503 1031 1271 757

xxii Symbol

Bedeutung

Seite

τf τcn τis τhν τK τn τp τr τth τ ϕ φ φn φp Φ Φe Φv ψ ψ ψs Ω

Vorw¨ artstransitzeit Streuzeit (Elektronen) Selbstentladezeitkonstante Photonenlebensdauer Transitzeit (MOSFET) Lebensdauer f¨ ur Elektronen Lebensdauer f¨ ur L¨ ocher R¨ uckw¨ artstransitzeit thermische Zeitkonstante Dielektrische Relaxationszeit Stundenwinkel Fluß (magnetischer) Quasi-Fermipotential (Elektronen) Quasi-Fermipotential (Löcher) Oberfl¨ achenpotential bei starker Inversion Strahlungsleistung Lichtstrom Elektrostatisches Potential Azimut Oberfl¨ achenpotential Raumwinkel

794 502 324 1374 980 512 512 795 170 528 1325 10 531 531 987 1247 1251 527 1325 665 1246

Inhaltsverzeichnis

1.

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Elektrische Netzwerke, CAD-Werkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ideale Netzwerkelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Widerst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Kapazit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Induktivit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Unabh¨ angige Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Lineare Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Impedanzen, Admittanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Darstellung in Frequenz- und Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.3.3 Ubertragungsfaktor ...................................... 1.3.4 Der RC-Tiefpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Der RC-Hochpaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 RC-Bandpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Der LRC-Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Nichtlineare Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Harmonische, Kompressionspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Intermodulation, Mischprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 5 6 9 10 11 11 12 12 15 18 23 30 35 38 45 45 47 50

2.

Aktive Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Transistoren als Verst¨ arker und Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kleinsignalanalyse, Vierpolkenngr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Leitwertparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Die Wahl des Bezugspunkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Hybridparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Vierpoldarstellungen und Ersatzschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kenngr¨ oßen beschalteter Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.3.1 Eingangsimpedanz, Ausgangsimpedanz, Ubertragungsfaktoren 2.3.2 Leistungsverst¨ arkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Stabili¨ at, MAG, MSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Reflexionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 S-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Verst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Gegenkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Mitkopplung, Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51 54 54 58 60 60 64 65 68 70 71 73 75 76 83 84

xxiv

Inhaltsverzeichnis

3.

Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.1 Autokorrelation, Wiener-Khintchine-Relation . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.1.2 Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.1.3 Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.2 Rauschmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.2.1 Schrotrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.2 Thermisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2.3 1/f-Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3 Analyse rauschender Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.4 Rauschende lineare Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ¨ 3.4.1 Aquivalente Rauschbandbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.4.2 Signal-Rausch-Verh¨ altnis, Rauschzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.

SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.1 Steuerdatei, Netzliste, Modellanweisungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.1.1 Die Netzliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1.2 Die .MODEL-Anweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.1.3 Die .SUBCKT-Anweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2 Ergebnisausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.1 Die .OUT-Datei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.2.2 PROBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.3 Erste Schritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.1 Kennlinien, .DC-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.2 Frequenzg¨ ange, .AC-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.3.3 Einschwingvorg¨ ange, .TRAN-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.4 Steuerbefehle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.4.1 Gleichstromanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.4.2 Transientenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.4.3 Frequenzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.4.4 Weitere Steueranweisungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.5 Unabh¨ angige Quellen V, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.5.1 Gleichquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.5.2 Wechselquellen (AC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.5.3 Zeitabh¨ angige Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.6 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.6.1 Lineare gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.6.2 Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.6.3 Nichtlineare gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.6.4 Analog Behavioral Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.7 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Inhaltsverzeichnis

xxv

5.

Praktischer Schaltungsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.1 Leiterplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1.1 Substratmaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1.2 Herstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.1.3 Bedrahtete und oberfl¨ achenmontierte Bauteile (SMD) . . . . . . . . 157 5.1.4 Einlagen- und Mehrlagenleiterplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.1.5 Layout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.1.6 Montage der Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2 Hybridschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.3 Verlustleistung und Eigenerw¨ armung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.1 Temperaturabh¨ angigkeit von Bauteilkenngrößen . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.2 W¨ armewiderstand, thermische Zeitkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.3.3 Thermische Ersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.3.4 Zul¨ assige Verlustleistung und Wärmeabfuhr . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.3.5 W¨ armeabtransport, K¨ uhlk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.3.6 Peltier-K¨ uhler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.4 Qualität und Zuverl¨ assigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.4.1 Ausfallstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.4.2 Thermischer Streß, Arrhenius-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.4.3 Elektrostatische Entladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.

Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.1 Prinzipien, Kenndaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.1.1 NF-Kenngr¨ oßen, NF-Ersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.1.2 Frequenzverhalten und Kleinsignalmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.1.3 Kenngr¨ oßen f¨ ur transienten Großsignalbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.1.4 Ausf¨ uhrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.2 Lineare Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.2.1 Der invertierende Verst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.2.2 Der nichtinvertierende Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.2.3 Der Subtrahierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.2.4 Der Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.2.5 Der Integrierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.2.6 Der Differenzierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.2.7 Der Logarithmierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.2.8 Strom-Spannungs-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 6.2.9 Negative Widerst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 6.2.10 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.2.11 Gyrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.2.12 Aktive Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.3 R¨ uckkopplung und Stabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.3.1 Gegenkopplung, Stabilit¨ atsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.3.2 Frequenzgangkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6.4 Rauschen von Operationsverst¨ arkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 6.4.1 Rauschersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 6.4.2 Rauschen des nichtinvertierenden Verstärkers . . . . . . . . . . . . . . . 253 6.5 Makromodelle f¨ ur die Schaltungssimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 6.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

xxvi

Inhaltsverzeichnis

7.

Widerst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.2 Ohmsche Widerst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.2.1 Kenngr¨ oßen und Ersatzschaltung realer Widerstände . . . . . . . . . 269 7.2.2 Drahtwiderst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 7.2.3 Massewiderst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.2.4 Schichtwiderst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.2.5 Potentiometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 7.2.6 Modellierung ohmscher Widerstände in SPICE . . . . . . . . . . . . . . 285 7.3 Heißleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.4 Keramische Kaltleiter (PTC-Widerstände) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 7.5 PPTC-Widerst¨ ande (Poly Switch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 7.6 Sicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 7.6.1 Feinsicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 ¨ 7.6.2 Uberlastschutz mit keramischen Kaltleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.7 Varistoren (VDR-Widerst¨ ande) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 ¨ 7.8 Edelgasgef¨ ullte Uberspannungsableiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 7.9 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8.

Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 8.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 8.1.1 Polarisationsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 8.1.2 Ionenleitung, Durchschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.1.3 Dielektrische Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 8.1.4 Ferroelektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 8.2 Bauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 8.3 Kenngr¨ oßen und Ersatzschaltung des realen Kondensators . . . . . . . . . . 324 8.3.1 Kenndaten, Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 8.3.2 Grenzspannungen, Pulsbelastbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 8.3.3 Parallelersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 8.3.4 Serienersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 8.3.5 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . 331 8.3.6 Modellierung von Kapazit¨ aten in SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 8.3.7 Anwendung: St¨ utz- und Abblockkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . 334 8.3.8 Zuverl¨ assigkeit von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 8.4 Ausf¨ uhrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.4.1 Metallpapierkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.4.2 Folienkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.4.3 Keramikkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 8.4.4 Glimmerkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 8.4.5 Elektrolytkondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 8.4.6 Doppelschichtkondensatoren, Ultracaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 8.5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

Inhaltsverzeichnis 9.

xxvii

¨ Spulen und Ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 9.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 9.2 Induktionskoeffizienten ausgew¨ ahlter Leiterformen . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 9.3 Definition von Induktivit¨ aten in SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 9.4 Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 9.4.1 Ersatzschaltung und elektrisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 9.4.2 Drahtwiderstand, Kupferverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 9.4.3 Kernverlustwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 9.4.4 Effektive Permeabilit¨ at, Luftspalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 9.4.5 Wicklungskapazit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 9.4.6 Spuleng¨ ute, Verlustfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 9.4.7 Temperaturkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 9.4.8 Kernformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 9.5 D¨ ampfungsperlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 9.6 Vormagnetisierung, Drosselspulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 9.7 Eigenschaften und Modellierung ferro- und ferrimagnetischer Kernmaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 9.7.1 Ferromagnetismus und Ferrimagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 9.7.2 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 9.7.3 Beschreibung von Spulen mit Kern in PSPICE . . . . . . . . . . . . . . 391 9.7.4 Kernverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 ¨ 9.8 Transformatoren und Ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 ¨ 9.8.1 Der verlustlose Ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 9.8.2 Unvollst¨ andige Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 ¨ 9.8.3 Ubertragungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 9.8.4 Leistungs¨ ubertrager, Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 9.8.5 Beschreibung gekoppelter Spulen in SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 9.9 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

10. Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 10.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 10.1.1 Leitungsgleichungen, Telegraphengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 10.1.2 Leitungswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 10.1.3 Pulse auf Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 10.1.4 Kurze Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 10.1.5 Verlustlose Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 10.1.6 Leitung mit geringen Verlusten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 10.2 Leitung mit Beschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 10.2.1 Reflexionsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 10.2.2 Schaltvorg¨ ange auf verlustlosen Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 10.2.3 Eingangsimpedanz, Widerstandstransformation . . . . . . . . . . . . . 421 10.2.4 Spannungs¨ ubertragungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 10.2.5 RC-Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 10.3 Modellierung der Leitung in SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 10.4 Leitungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

xxviii

Inhaltsverzeichnis

10.4.1 Zweidrahtleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 10.4.2 Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 10.4.3 Streifenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 10.4.4 Geschirmte Leitungen, Triaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 10.5 Verkoppelte Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 10.5.1 Ersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 10.5.2 Simulation verkoppelter Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 10.5.3 Wellen in zwei gekoppelten Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 10.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 11. Resonatoren und Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 11.1 Resonatoren und Filter mit RLC-Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 11.2 Leitungsresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 11.3 Schwingquarze und Quarzfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 11.3.1 Der piezoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 11.3.2 Schwingquarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 11.3.3 Quarzfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 11.4 Oberfl¨ achenwellenbauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 11.5 Dielektrische Resonatoren und Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 11.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 12. Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 12.1 Halbleitermaterialien, Leitungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 12.2 Grundelemente des B¨ andermodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 12.2.1 Energieb¨ ander, Bandschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 12.2.2 Zur Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 12.2.3 Bloch-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 12.3 Halbleiter im thermischen Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 12.3.1 Massenwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 12.3.2 Zustandsdichte und Besetzungswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . 489 12.3.3 Dotierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 12.3.4 Ladungstr¨ agerdichten im dotierten Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . 494 12.3.5 Lage der Fermi-Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 12.3.6 Stark dotierte Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 12.4 Halbleiter im Nichtgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 12.4.1 Driftstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 12.4.2 Diffusionsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 12.4.3 Generation und Rekombination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 12.4.4 Grundgleichungen der Drift-Diffusions-Theorie . . . . . . . . . . . . . . 520 12.4.5 Abschirmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 12.4.6 Quasi-Fermipotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 12.4.7 Thermoelektrische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 12.4.8 Galvanomagnetische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 12.4.9 Piezoresistiver Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 12.5 Eigenschaften ausgew¨ ahlter Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

Inhaltsverzeichnis

xxix

12.5.1 Germanium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 12.5.2 Silizium-Germanium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 12.5.3 Siliziumkarbid (SiC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 12.5.4 III-V-Verbindungshalbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 12.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 13. Herstellung von Halbleiterbauelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 13.1 Herstellung von Silizium-Einkristallen, Wafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 13.2 Thermische Oxidation von Silizium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 13.3 Schichtabscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 13.3.1 Abscheidung isolierender Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 13.3.2 Abscheiden von Siliziumschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 13.4 Dotierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 13.4.1 St¨ orstellendiffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 13.4.2 Ionenimplantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 13.5 Struktur¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 13.5.1 Belichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 ¨ 13.5.2 Atztechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 13.6 Metallisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 13.7 Layout, Design Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 13.8 Integration passiver Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 13.8.1 Widerst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 13.8.2 Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 13.8.3 Integrierte Induktivit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 13.9 Kontaktierung und Packaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 13.9.1 Kontaktierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 13.9.2 Geh¨ ause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 13.10Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 14. Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 ¨ 14.1 PN-Ubergang: Gleichbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 14.1.1 Thermisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 14.1.2 Flußpolung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 14.1.3 Diodenkennlinie, Parameterbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 14.1.4 Arbeitspunkt bei Spannungssteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 14.1.5 Temperaturabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 14.1.6 Sperrpolung, Durchbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 ¨ 14.1.7 Low–High Uberg¨ ange, Epitaxialdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 ¨ 14.2 PN-Uberg¨ ange: Speicherladungen, Schaltverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 14.2.1 Sperrschichtkapazit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 14.2.2 Minorit¨ atsspeicherladung, Diffusionskapazität . . . . . . . . . . . . . . . 625 14.2.3 Schaltverhalten, Ladungssteuerungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 ¨ 14.3 PN-Uberg¨ ange: Kleinsignalmodell und Rauschverhalten . . . . . . . . . . . . 632 14.3.1 Quasistatische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 14.3.2 HF-Diodenleitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

xxx

Inhaltsverzeichnis 14.3.3 Rauschen der pn-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 14.4 Großsignalmodell der pn-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 14.4.1 Ersatzschaltung und Modellanweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 14.4.2 Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 14.4.3 Modellgenauigkeit und Bauteiltoleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 14.5 Hetero¨ uberg¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 14.5.1 Thermisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 14.5.2 Flußpolung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 14.5.3 Sperrschichtkapazit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 14.6 Metall-Halbleiter-Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 14.6.1 Schottky-Kontakte im thermischen Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . 654 14.6.2 Fluß- und Sperrpolung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 14.6.3 Niederohmige Kontakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 14.6.4 Peltier-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 14.7 MOS-Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 14.7.1 Thermisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 14.7.2 Akkumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 14.7.3 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 14.7.4 Tiefe Verarmung (Deep Depletion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 14.7.5 Die Kapazit¨ at des MOS-Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674 14.7.6 Stromfluß durch das Gateoxid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 14.8 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

15. Halbleiterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 15.1 Gleichrichterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 15.1.1 Aufbau und elektrische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 15.1.2 Kenndaten, Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 15.1.3 Parallel- und Reihenschaltung von Gleichrichterdioden . . . . . . . 683 15.1.4 Einweggleichrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 15.1.5 Zweipulsige Br¨ uckenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688 15.1.6 Spannungsvervielfacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 15.1.7 Spannungsbegrenzung, Freilaufdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690 15.1.8 Schalten induktiver Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 15.2 PIN-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 15.2.1 Lange PIN-Dioden, Leistungsgleichrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 15.2.2 Kurze PIN-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 15.3 Schottky-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 15.3.1 Ersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 15.3.2 Schottky-Dioden f¨ ur kleine Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 15.3.3 Schottky-Dioden f¨ ur große Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 15.4 Z-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 15.4.1 Kenngr¨ oßen, Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 15.4.2 Spannungsstabilisierung, Spannungsreferenz . . . . . . . . . . . . . . . . 715 ¨ 15.4.3 Uberspannungsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 15.5 Varaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

Inhaltsverzeichnis

15.6

15.7

15.8 15.9

xxxi

15.5.1 Kapazit¨ atsdioden, Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 15.5.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 15.5.3 Speichervaraktoren, Step-recovery-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 Tunneldioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 15.6.1 Kennlinie der Esaki-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 15.6.2 Kleinsignalbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730 15.6.3 Oszillatoren mit Tunneldioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731 15.6.4 Resonante Tunneldioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 Laufzeitdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 15.7.1 IMPATT-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 15.7.2 BARITT-Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 Gunn-Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

16. Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 16.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 16.2 Großsignalbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 16.2.1 Transferstrom, Basistransitzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755 16.2.2 Stromverst¨ arkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758 16.2.3 Elementares Großsignalmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 16.2.4 Die Gummel’sche Transferstrom-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . 764 16.2.5 SPICE-Modellanweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 16.2.6 Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 16.2.7 Das Ebers-Moll-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774 16.2.8 Temperaturabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 16.2.9 Hochinjektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 16.3 Kleinsignalbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 16.3.1 Das elementare Kleinsignalmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 16.3.2 NF-Hybridparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 16.3.3 T-Ersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792 16.3.4 Transistorkapazit¨ aten und Grenzfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 794 16.4 Rauschverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 16.4.1 Effektive Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807 16.4.2 Rauschzahl, Rauschanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811 16.5 Sperrverhalten, Grenzdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 16.5.1 Reststr¨ ome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 16.5.2 Grenzspannungen, Durchbr¨ uche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 16.5.3 Der sichere Arbeitsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817 16.6 Heterostruktur-Bipolartransistoren (HBTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819 16.7 Einzeltransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 16.8 Integrierte Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831 16.8.1 Isolation der Kollektorbahngebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832 16.8.2 Herstellung von Emitter- und Basisbahngebiet . . . . . . . . . . . . . . 834 16.9 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842

xxxii

Inhaltsverzeichnis

17. Grundschaltungen mit Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 17.1 Emitterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 17.1.1 Arbeitspunkt, Verlustleistung, Gegenkopplung . . . . . . . . . . . . . . 845 17.1.2 Verlustleistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850 17.1.3 Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851 17.1.4 Schaltbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855 17.1.5 Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863 17.1.6 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865 17.1.7 Darlington-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868 17.2 Kollektorschaltung (Emitterfolger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870 ¨ 17.2.1 Ubertragungsfaktor, Ein- und Ausgangswiderstand . . . . . . . . . . 871 17.2.2 Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 17.2.3 Komplement¨ are Endstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876 17.3 Basisschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878 17.3.1 Kaskode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879 17.4 Diodenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880 17.5 Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882 17.5.1 Einfache Stromspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 17.5.2 Wilson-Stromspiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885 17.5.3 Aktive Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 17.6 Differenzverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888 ¨ 17.6.1 Ubertragungskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888 17.6.2 Differenz- und Gleichtaktverstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891 17.6.3 Analog-Multiplizierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893 17.6.4 Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895 17.7 Bandabstandsreferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897 17.8 Digitalschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899 17.8.1 TTL-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899 17.8.2 Emitter-Coupled Logic (ECL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 17.9 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 18. CAD-Modelle f¨ ur Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909 18.1 Gummel-Poon Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909 18.1.1 Ersatzschaltung und Modellanweisung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909 18.1.2 Transferstrom, Gummel-Poon-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914 18.1.3 Stromverst¨ arkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916 18.1.4 Temperaturabh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918 18.1.5 Bahnwiderst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919 18.1.6 Parameterbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924 18.2 Komplexere Modelle f¨ ur integrierte Bipolartransistoren . . . . . . . . . . . . . 928 18.3 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932

Inhaltsverzeichnis

xxxiii

19. Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933 19.1 R¨ uckw¨ artssperrende Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934 19.1.1 Aufbau und Wirkungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935 19.1.2 Herstellung von Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938 19.1.3 Spannungs- und Stromgrenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940 19.1.4 Sperrverm¨ ogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941 19.1.5 Z¨ unden des Thyristors, Durchlaßzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944 19.1.6 L¨ oschen des Thyristors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 950 19.1.7 Parallel- und Reihenschaltung von Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . 954 19.1.8 Phasenanschnittsteuerung mit Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955 19.2 Sonderformen des Thyristors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956 19.2.1 Asymmetrisch sperrende Thyristoren, RCTs . . . . . . . . . . . . . . . . 956 19.2.2 Gate Turn-Off Thyristoren (GTO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957 ¨ 19.2.3 Uberspannungsschutz mit Thyristoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959 19.3 Modellierung von Thyristoren in PSPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960 19.4 DIACs und TRIACs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965 19.4.1 DIACs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965 19.4.2 TRIACs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966 19.5 Unijunctiontransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969 19.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972 20. MOS-Feldeffekttransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 20.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 20.1.1 MOSFET-Typen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974 20.1.2 Gegen¨ uberstellung von Bipolartransistor und MOSFET . . . . . . 976 20.2 Der MOSFET in einfachster N¨ aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978 20.2.1 Drainstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979 20.2.2 Geschwindigkeitss¨ attigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984 20.2.3 Substratsteuereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987 20.2.4 Kennlinien im LEVEL1-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989 20.2.5 NF-Kleinsignalbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 20.2.6 Transistorkapazit¨ aten, Transitfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993 20.2.7 Der n-Kanal-MOSFET als Schalter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 20.2.8 P-Kanal-MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999 20.2.9 Temperaturverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002 20.3 Kanalimplantation, Buried-channel-MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004 20.3.1 Einstellen der Einsatzspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004 20.3.2 Buried-channel-MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005 20.4 Mehr zur Physik des MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009 20.4.1 Die Charge-sheet N¨ aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009 20.4.2 Langkanal-MOSFETs, Gradual-channel Näherung . . . . . . . . . . . 1011 20.5 Elektrisches Verhalten von Kurzkanal-MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020 20.5.1 Einsatzspannung, Kurzkanaleffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020 20.5.2 Kanall¨ angenmodulation, Ausgangsleitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022 20.5.3 Bahnwiderst¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022

xxxiv

Inhaltsverzeichnis

20.5.4 Gate Leakage, TDDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023 20.5.5 Source-Drain-Durchbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025 20.5.6 Gate-Induced Drain Leakage (GIDL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028 20.5.7 Unterschwellstr¨ ome, Drainreststrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029 20.6 Kleinsignalbeschreibung des MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032 20.6.1 Kleinsignalersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032 20.6.2 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037 20.7 MOSFETs in integrierten Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040 20.7.1 Herstellung integrierter CMOS-Bausteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040 20.7.2 Latchup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044 20.7.3 Die Idee der Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046 20.7.4 Degradation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049 20.7.5 LDD-MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051 20.7.6 Gatedielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053 20.7.7 Dotierstoffverteilung, Kurzkanaleffekte, Piezowiderstandseffekt 1054 20.7.8 SOI-MOSFETs, FinFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056 20.8 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060 21. Grundschaltungen mit MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063 21.1 Grundschaltungen mit n-Kanal MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063 21.1.1 Sourceschaltung und nMOS-Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063 21.1.2 Drainschaltung (Sourcefolger) mit n-Kanal-MOSFET . . . . . . . . 1068 21.2 Statische CMOS-Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 21.2.1 Der CMOS-Inverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 21.2.2 Logische Verkn¨ upfungen in CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080 21.2.3 Transfergate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083 21.2.4 Pseudo-nMOS-Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087 21.2.5 Tristate-Treiber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089 21.2.6 Treiben großer kapazitiver Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090 21.2.7 Flipflops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091 21.2.8 Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094 21.3 Current-Mode Logik (MCML) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096 21.4 Dynamische CMOS-Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098 21.5 Stub-Series-Terminated Logic (SSTL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100 21.6 ESD-Schutzschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 21.7 Analogschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 21.7.1 Konstantstromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 21.7.2 Stromspiegel, Konstantstromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103 21.7.3 Steuerbarer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 21.7.4 Differenzverst¨ arker mit Stromspiegellast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106 21.8 BiCMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 21.9 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113

Inhaltsverzeichnis

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22. Speicherbausteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115 22.1 SRAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118 22.1.1 Single-port-SRAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118 22.1.2 Schreib-Lese-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121 22.1.3 Dual-port-SRAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122 22.1.4 CAM, Assoziativspeicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122 22.2 DRAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124 22.2.1 Wortleitungstreiber (Boost-Schaltung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125 22.2.2 Dynamischer Leseverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128 22.2.3 Alpha-Teilchen, St¨ orsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130 22.2.4 Zur Technologie von DRAM-Bausteinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 22.2.5 Refresh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135 22.2.6 Adressierung, Zugriffszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136 22.2.7 Maßnahmen zur Verbesserung der Zugriffszeit . . . . . . . . . . . . . . . 1137 22.3 ROM, PROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138 22.4 EPROMs, EEPROMs, Flash-Memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140 22.4.1 MOSFETs mit Floating Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143 22.4.2 EPROMs, EEPROMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145 22.4.3 Flash-EPROMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147 22.4.4 Zur Schaltungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148 22.5 Alternative Speicherkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151 22.5.1 FRAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152 22.5.2 MRAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155 22.5.3 PRAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156 22.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158 23. MOS-Leistungsbauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161 23.1 Vertikale Leistungs-MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162 23.1.1 Bauformen Vertikaler Leistungs-MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162 23.1.2 Einschaltwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165 23.1.3 Kompensationsbauelemente, CoolMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167 23.1.4 Eigenschaften, Kenndaten, Anwendungshinweise . . . . . . . . . . . . . 1170 23.1.5 Schaltbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171 23.2 Laterale DMOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178 23.3 IGBTs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1180 23.4 MOS-gesteuerte Thyristoren (MCTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186 23.5 Integration, Smart-Power ICs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187 23.5.1 Hochvolt-CMOS-Prozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187 23.5.2 BCDMOS-Prozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188 23.5.3 SOI-Technologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189 23.6 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189

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Inhaltsverzeichnis

24. CAD-Modelle f¨ ur MOSFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191 24.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191 24.2 LEVEL 1 - Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193 24.3 LEVEL 3 - Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197 24.3.1 Einsatzspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198 24.3.2 Effektive Beweglichkeit, S¨ attigungsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . 1201 24.3.3 S¨ attigungsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203 24.3.4 Kanall¨ angenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203 24.3.5 Subthresholdstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204 24.3.6 Transistorkapazit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205 24.4 Weiterentwickelte MOS-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 24.4.1 Die BSIM-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209 24.4.2 Charge-sheet Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210 24.5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214 25. Sperrschichtfeldeffekttransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215 25.1 Sperrschichtfeldeffekttransistoren (JFETs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215 25.1.1 Kennlinien des JFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216 25.1.2 Großsignalmodell, Beschreibung in SPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221 25.1.3 Kleinsignalbeschreibung des JFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224 25.1.4 Verst¨ arkerstufe mit n-Kanal-JFET in Sourceschaltung . . . . . . . 1226 25.2 GaAs-MESFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229 25.2.1 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231 25.2.2 Dual-Gate-MESFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 25.2.3 SPICE-Modelle f¨ ur MESFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233 25.3 MODFETs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236 25.4 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1240 26. Grundlagen Optoelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241 26.1 Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241 26.1.1 Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242 26.1.2 Gruppengeschwindigkeit, Materialdispersion . . . . . . . . . . . . . . . . 1244 26.2 Strahlungsgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246 26.2.1 Radiometrische Strahlungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247 26.2.2 Fotometrische Strahlungsgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249 26.2.3 Das fotometrische Grundgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253 26.2.4 Brechung und Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254 26.3 Farbsehen und Farbmetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256 26.4 Absorption und D¨ ampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259 26.5 Lichtwellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261 26.5.1 D¨ ampfung in Glasfasern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262 26.5.2 Bandbreite-L¨ ange-Produkt von Lichtwellenleitern . . . . . . . . . . . . 1263 26.5.3 Multimodefaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265 26.5.4 Gradientenfaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267 26.5.5 Monomodefaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268 26.6 W¨ armestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270 26.7 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272

Inhaltsverzeichnis

xxxvii

27. Detektoren f¨ ur optische Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273 27.1 Kenngr¨ oßen f¨ ur Fotodetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273 27.2 Fotowiderst¨ ande (LDR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275 27.2.1 Mechanismen der Fotoleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275 27.2.2 Leitwert und Empfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 27.2.3 Ansprechgeschwindigkeit und Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278 27.2.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279 27.3 pin-Fotodioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283 27.3.1 Strom-Spannungs-Kennlinie und Empfindlichkeit . . . . . . . . . . . . 1283 27.3.2 Fotometrische Strahlungsmessung mit pin-Diode . . . . . . . . . . . . 1286 27.3.3 Beitr¨ age zum Fotostrom, Quantenwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . 1288 27.3.4 Ersatzschaltung der pin-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289 27.3.5 Ansprechgeschwindigkeit, Grenzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1290 27.3.6 Realisierung von pin-Fotodioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292 27.3.7 Rauschen von pin-Fotodioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293 27.3.8 Unitravelling-carrier Fotodioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298 27.4 Avalanche-Fotodioden (APDs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299 27.5 Schottky-Fotodioden, MSM-Fotodioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303 27.6 Fotodioden mit lateraler Ortsaufl¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304 27.7 Fototransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306 27.7.1 Frequenzverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308 27.7.2 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311 27.7.3 Heterostruktur-Fototransistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312 27.8 Pyroelektrische IR-Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312 27.9 Photomultiplier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318 27.10Farbsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319 27.11Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1319 28. Solarzellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1321 28.1 Sonneneinstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322 28.1.1 Direkte, Diffuse und Globale Sonneneinstrahlung . . . . . . . . . . . . 1323 28.2 Spektrale Empfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328 28.3 Kenngr¨ oßen und Ersatzschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333 28.4 Einkristalline Solarzellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337 28.5 Polykristalline Siliziumsolarzellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347 28.6 D¨ unnschichtsolarzellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347 28.6.1 Amorphe Siliziumsolarzellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348 28.6.2 Heterostruktur-D¨ unnschicht-Solarzellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1350 28.7 Solarzellenarrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353 28.8 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355

xxxviii

Inhaltsverzeichnis

29. Lichtemittierende Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357 29.1 Leuchtdioden (LEDs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357 29.1.1 Wirkungsweise und Kenndaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357 29.1.2 Modulation des ausgestrahlten Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362 29.1.3 Bauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363 29.2 Laserdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371 29.2.1 Prinzip des Lasers und Schwellenbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371 29.2.2 Abgestrahlte Leistung, Optischer Gewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374 29.2.3 Temperaturabh¨ angigkeit und Abstrahlcharakteristik . . . . . . . . . 1376 29.2.4 Alterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378 29.2.5 Bilanzgleichungen, Großsignalmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379 29.2.6 Kleinsignalbetrieb, Modulationsgrenzfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . 1384 29.2.7 Bauformen kantenemittierender Laserdioden . . . . . . . . . . . . . . . . 1387 29.2.8 VCSELs, Oberfl¨ achenemittierende Laserdioden . . . . . . . . . . . . . . 1389 29.3 Optokoppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391 29.3.1 Kenngr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391 29.3.2 Frequenzverhalten, Ansprechgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 1393 29.3.3 Galvanische Trennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396 29.3.4 Lichtschranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399 29.3.5 Modellierung in PSPICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1400 29.4 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402 30. Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403 30.1 Fl¨ ussigkristall-Anzeigen (LCDs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403 30.1.1 Fl¨ ussigkristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403 30.1.2 TN-Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405 30.1.3 STN-Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408 30.1.4 Reflektive Zellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409 30.1.5 Ansteuerung in Matrix-Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410 30.1.6 Hintergrundbeleuchtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412 30.2 Plasma-Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412 30.3 Vakuum-Fluoreszenz- und Field-Emission Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415 30.4 OLED-Displays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417 30.5 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418 31. Bildwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419 31.1 Charge Coupled Devices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419 31.1.1 Surface Channel CCDs (SCCDs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419 31.1.2 Buried-channel CCDs (BCCDs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424 31.1.3 Ladungsbewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427 31.1.4 CCD-Sensoren, Eigenschaften und Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . 1428 31.1.5 Bauformen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433 31.2 CMOS-Bildwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437 31.3 Bildwandler f¨ ur Farbbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1440 31.4 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441

Inhaltsverzeichnis

xxxix

32. Sensorbauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443 32.1 Temperatursensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443 32.1.1 Widerstands-Temperatursensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443 32.1.2 Temperaturmessung mit Heißleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448 32.1.3 Halbleiter-Temperatursensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449 32.1.4 Thermoelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1450 32.1.5 Thermopiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452 32.2 Magnetfeldsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453 32.2.1 Hall-Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453 32.2.2 Magnetowiderstandssensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455 32.3 Dehnungsmeßstreifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459 32.3.1 Metallfolien-DMS, D¨ unnschicht-DMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1460 32.3.2 Halbleiter-DMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461 32.3.3 Br¨ uckenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461 32.4 Drucksensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462 32.4.1 DMS-Drucksensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462 32.4.2 Piezoresistive Silizium-Drucksensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463 32.4.3 Kapazitive Drucksensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463 32.5 Kapazitive Feuchtesensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464 32.6 Detektoren f¨ ur Ionisierende Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465 32.6.1 Ionisationskammern, Z¨ ahlrohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466 32.6.2 Halbleiterdetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467 32.7 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468 33. Batterien und Akkumulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469 33.1 Elektrochemische Zellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469 33.1.1 Grundprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469 33.1.2 Elektrodenprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472 33.1.3 Kenngr¨ oßen, Spezifische Energie, Leistungsabgabe . . . . . . . . . . . 1476 33.1.4 Reihen- und Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1480 33.1.5 Betrieb mit Solarzellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482 33.2 Ultracaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482 33.3 Brennstoffzellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485 33.4 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487

1 Grundlagen Elektronische Bauelemente sind die Grundbausteine jeder elektronischen Schaltung. Mit einer vergleichsweise geringen Anzahl unterschiedlicher Bauelemente lassen sich vielf¨ altige Funktionen realisieren – man denke nur an HiFi-Anlagen, Computer, Heizungssteuerungen, Fernsehtechnik, Einspritzregelung im Automobil, ABS oder die telefonische Vermittlung. Alle diese Techniken sind erst durch die Entwicklung der elektronischen Bauelemente möglich geworden; ihre Weiterentwicklung profitiert wesentlich von deren Fortschritt – insbesondere in der Mikroelektronik. Der Aufbau elektronischer Schaltungen hat sich im Laufe der Zeit verändert. Wurden fr¨ uher elektronische Schaltungen aus Einzelbauelementen zusammengelötet, so gibt es heute kaum mehr elektronische Schaltungen, in denen nicht mindestens ein integrierter Schaltkreis (IC) auftritt. Ingenieure, die mit der Entwicklung elektronischer Schaltungen betraut sind, finden heute ihr Einsatzgebiet in der Chip-Entwicklung“ oder in der Board-Entwicklung“. Im ” ” ersten Fall besteht ihre Aufgabe im Entwurf von integrierten Schaltkreisen mit spezifizierten Eigenschaften, im zweiten Fall in der Entwicklung von Leiterplatten, auf denen vorgefertige Bauelemente (einschl. ICs) zusammengeschaltet sind. Beide Einsatzgebiete erfordern eine profunde Kenntnis der Wirkungsweise elektronischer Bauelemente. Mit zunehmender Komplexit¨ at der Schaltungen ist der Einsatz von Versuchsschaltungen zur Schaltungsoptimierung nicht mehr gangbar. Abgesehen von den hohen Kosten w¨ urde die zur Fertigstellung einer jeden Versuchsschaltung benötigte Zeit die Schaltungsentwicklung enorm1 verzögern. Der Ingenieur muß deshalb in der Lage sein, die Eigenschaften seiner Schaltung im voraus zu berechnen. F¨ ur diese Aufgabe benötigt er mathematische Modelle und Ersatzschaltbilder, mit denen er die Bauteileigenschaften beschreiben kann, sowie Kenntnisse in der Analyse elektrischer Netzwerke mittels analytischer Rechnung und Computersimulation. Dieses Kapitel bietet eine Zusammenfassung wichtiger Grundlagen aus der Theorie der elektrischen Netzwerke. Lesern die an einer breiteren Darstellung dieser Sachverhalte interessiert sind, kann z. B. [1–7] als empfehlenswerte Literatur genannt werden. 1

Bei der Entwicklung von integrierten Schaltungen oder von Schaltungen mit modernen Aufbautechniken gilt dies in besonderem Maße. Hier scheidet die Nachbildung der Schaltung mit diskreten Einzelbauteilen aus, da in den so realisierten Testschaltungen v¨ ollig andere parasit¨ are Kapazit¨ aten, Leitungsl¨ angen und Laufzeiten als im realen IC auftreten w¨ urden. Der Aufbau einer Testschaltung bedeutet hier also jedesmal die Herstellung einer kompletten integrierten Schaltung. Der Test ist außerdem stark erschwert, da mit konventionellen Meßverfahren nur die Knoten an der Peripherie zug¨ anglich sind.

2

1. Grundlagen

1.1 Elektrische Netzwerke, CAD-Werkzeuge Elektronische Schaltungen werden u ¨blicherweise mit einem Schaltplan beschrieben – dieser liefert eine symbolische Darstellung der Schaltung, legt die Verkn¨ upfung der elektronischen Bauelemente in der Schaltung fest und spezifiziert die eingesetzten Bauelemente. Ein Beispiel f¨ ur einen Schaltplan ist in Abb. 1.1 gezeigt. (1 ) R T

R

(7 )

2

4

T R

1

R 5

C

(3 ) T

5

(6 )

(4 ) 3

T

T R

1

R 6

4

v 2(t) 3

iE 4

iR

(2 )

v 1(t)

2

3

(5 ) iR R

7 7

(0 ) Abb. 1.1. Schaltplan eines elektronischen Verst¨ arkers

Das wichtigste Werkzeug zur Berechnung der Eigenschaften einer solchen Schaltung sind die Kirchhoffschen S¨ atze f¨ ur Schaltungen aus konzentrierten Elementen. Ihre Anwendung setzt voraus, daß die Wellenlänge λ der relevanten Signale groß ist im Vergleich zur Ausdehnung d der Schaltung λd.

(1.1)

Andernfalls ist der Wert des Potentials auf einer Leiterbahn der Länge d in nicht mehr vernachl¨ assigbarer Weise vom Ort abhängig. Aus Gl. (1.1) ergibt sich mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c des Signals eine kritische Frequenz fcrit = c/d , die stets groß sein muß im Vergleich zu den Frequenzen f , mit denen die Schaltung betrieben wird.2 Gilt die Konzentriertheitsannahme (1.1), so be2

Ist diese Bedingung nicht erf¨ ullt, so sind anstelle der Knotenpotentiale v und Klemmenstr¨ ome i ortsabh¨ angige elektromagnetische Feldgr¨ oßen zu verwenden. Das Potential auf einer Leitung beispielsweise, muß dann als Funktion des Orts angesehen werden.

1.1. Elektrische Netzwerke, CAD-Werkzeuge

3

sitzt jeder Punkt einer Verbindung zwischen zwei Bauelementen annähernd dasselbe Potential. Die Verbindungsleitung läßt sich dann als Knoten idealisieren. Jedem dieser Knoten kann ein Name α und ein Knotenpotential vα (oder v(α)) zugeordnet werden. Die Spannung vαβ (oder vα,β ) zwischen zwei Knoten α und β wird durch die Differenz der entsprechenden Knotenpotentiale bestimmt vαβ = vα − vβ . Die Spannung vαβ ist damit gr¨ oßer als null, wenn der Knoten α auf höherem Potential liegt als der Knoten β. In Schaltplänen wird die Spannung vαβ gewöhnlich als ein vom Knoten α zum Knoten β zeigender Spannungspfeil dargestellt. Meist wird einem Knoten der Schaltung das Potential null zugeordnet. Dieser wird im Schaltplan durch das Massesymbol gekennzeichnet (vgl. Abb. 1.1, Knoten 0). Der 1. Kirchhoffsche Satz ist der sog. Knotensatz: Die Summe der in einen Knoten hineinf ließenden Str¨ ome ist null. Auf den Knoten (5) der in Abb. 1.1 gezeigten Schaltung angewandt resultiert beispielsweise die Beziehung iR4 (t) + iE3 (t) = iR7 (t) . Von derselben Bedeutung wie der Knotensatz ist der 2. Kirchhoffsche Satz, auch als Maschensatz bezeichnet: Die Summe der Spannungsabf¨ alle zwischen Knotenpaaren, die einen geschlossenen Umlauf (Schleife) bilden, ist null. Auf die in Abb. 1.1 bezeichnete Masche angewandt resultiert beispielsweise v0,2 (t) + v2,3 (t) + v3,4 (t) + v4,5 (t) + v5,0 (t) = 0 . Durch konsequentes Aufstellen s¨ amtlicher Maschen- und Knotengleichungen erhält man ein System von Gleichungen, dem die Schaltung gen¨ ugen muß. F¨ ur die Berechnung der Schaltungseigenschaften ist dies jedoch noch nicht ausreichend. Zusätzlich erforderlich ist die Kenntnis der Strom-Spannungs-Beziehungen der Bauelemente. Die Gesamtheit dieser Gleichungen wird in der Folge als Netzwerkgleichungen der Schaltung bezeichnet. Die Lösung der Netzwerkgleichungen ermöglicht die Berechnung der Eigenschaften einer elektronischen Schaltung. Die Klemmenstr¨ ome realer elektronischer Bauelemente zeigen gewöhnlich komplizierte Abh¨ angigkeiten von der Temperatur sowie von der Frequenz und

4

1. Grundlagen

Amplitude der angelegten Spannung. F¨ ur die Berechnung ihres Verhaltens in elektronischen Schaltungen werden deshalb Ersatzschaltungen aus idealen Netzwerkelementen verwendet. F¨ ur jedes derartige Netzwerkelement sind Beziehungen definiert, die seine Klemmenströme zeitabhängig als Funktion der Klemmenspannungen beschreiben. Die Berechnung der Schaltungseigenschaften mit Bleistift und Papier“ er” fordert Näherungsannahmen, die zu einer oft erheblichen Ungenauigkeit 3 des Ergebnisses f¨ uhren. Wegen dieser Ungenauigkeit werden analytische Rechnungen nur f¨ ur eine Grobdimensionierung“ der Schaltung eingesetzt. F¨ ur ” genauere Berechnungen der Eigenschaften elektronischer Schaltungen stehen dem Ingenieur heute leistungsf¨ ahige CAD-Werkzeuge zur Verf¨ ugung. Diese lösen das zur Schaltung geh¨ orige System von Netzwerkgleichungen auf numerischem Weg. Das dominierende Programm f¨ ur die Analyse analoger elektronischer Schaltungen ist das an der Universit¨ at Berkeley entwickelte Programm SPICE 4 . Ausgehend von einer vom Benutzer zu erstellenden Schaltungsbeschreibung – der sog. Netzliste – und geeigneten, ebenfalls vom Benutzer vorzugebenden, Modellparametern f¨ ur die benutzten Bauelemente, stellt SPICE selbständig die Netzwerkgleichungen auf und l¨ ost diese numerisch auf der Basis des modifizierten Knotenpotentialverfahrens. Dies erlaubt es dem Ingenieur, das Verhalten von Schaltungen mit tausenden von Bauelementen am Rechner zu studieren. Vor der langwierigen und teuren Anfertigung eines Laboraufbaus wird so mit Methoden der Netzwerkanalyse und der Computersimulation eine optimale Dimensionierung der Bauelemente ermöglicht. Die Schaltungssimulation ist dabei als Erg¨ anzung der analytischen Rechnung zu verstehen. Ein guter Schaltungsentwickler muß beide Werkzeuge beherrschen, um schnell ans Ziel zu kommen. Neben SPICE stehen heute f¨ ur die Entwicklung elektronischer Bauteile und Schaltungen eine Vielzahl von Simulationsprogrammen zur Verf¨ ugung. Diese lassen sich einteilen in Prozeß- und Bauelementesimulationsprogramme, Schaltungssimulationsprogramme auf der Grundlage von Netzwerkmodellen und Logiksimulationsprogramme (Abb. 1.2). Prozeß- und Bauelementesimulationsprogramme gr¨ unden auf einer direkten physikalischen Beschreibung. Sie sind von besonderem Interesse f¨ ur die Entwicklung elektronischer Halbleiterbauelemente. F¨ ur den Entwickler elektronischer Schaltungen sind vor 3¨

Uber deren H¨ ohe ist zudem meist wenig bekannt, da die Vereinfachung vorzugsweise zu Beginn der Untersuchung vorgenommen wird, ihre Auswirkung auf das Ergebnis demzufolge also nicht bestimmt werden kann. 4 Abk¨ urzend f¨ ur simulation programme with integrated circuit emphasis. Da der Text auf dieses Programm fortlaufend Bezug nimmt, wird in Kap. 4 eine zusammenfassende Darstellung der wichtigsten Funktionen und M¨ oglichkeiten von SPICE gegeben. Diese sollte es auch dem diesbez¨ uglich nicht vorbelasteten Leser erm¨ oglichen, kurzfristig einfache Simulationen durchzuf¨ uhren.

1.2. Ideale Netzwerkelemente P ro z e ß - u n d B a u e le m e n te s im u la tio n

S c h a ltu n g s s im u la tio n

5 L o g ik s im u la tio n

h a n d h a b b a r e S c h a ltu n g s k o m p le x itä t e r fa ß te D e ta ils

Abb. 1.2. Klassifizierung der CAD-Werkzeuge hinsichtlich erfaßter Details und handhabbarer Schaltungskomplexit¨ at

allem die Schaltungs- und Logiksimulationsprogramme von Bedeutung. Bei der Schaltungssimulation wird eine, gegen¨ uber der rein physikalischen Be¨ schreibung vereinfachte, Modellierung verwendet: Der Ubergang zu einer Ersatzschaltung mit Knoten und Netzwerkelementen ersetzt die physikalische Beschreibung mittels partieller Differentialgleichungen durch eine Beschreibung mit gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen. Dies reduziert zwar die Genauigkeit 5 etwas, erlaubt aber im Gegenzug die Vorhersage des Verhaltens elektronischer Schaltkreise mit mehreren tausend Bauelementen. Eine weitere Vergröberung der Beschreibung der Bauelementeeigenschaften in Logiksimulatoren erlaubt eine weitere Steigerung der Komplexität – derartige Programme ermöglichen die Simulation h¨ ochstintegrierter digitaler Schaltungen mit mehr als 100 000 Gatterfunktion. Die gegenläufigen Tendenzen von Detailgenauigkeit und handhabbarer Komplexit¨ at sind in Abb. 1.2 illustriert.

1.2 Ideale Netzwerkelemente Reale Bauteile werden f¨ ur die Zwecke der Schaltungssimulation durch Ersatzschaltungen aus idealen Netzwerkelementen beschrieben. F¨ ur unsere Belange sind dies Zweipole mit genau definierten Strom-Spannungs-Beziehungen sowie gesteuerte Quellen. F¨ ur die Beschreibung aktiver Bauelemente werden zusätzlich gesteuerte Quellen ben¨ otigt. Ein Zweipol ist ein Schaltungselement mit zwei elektrischen Anschl¨ ussen, den Polen oder Klemmen. Der Strom, der durch die eine Klemme in den Zweipol hineinfließt, ist dabei gleich dem durch die andere Klemme aus dem Zweipol herausfließenden Strom. Ein Zweipol heißt passiv wirkend, wenn er elektrische Energie aufnimmt; gibt er elektrische Energie ab, so wird er als aktiv wirkender Zweipol bezeichnet. Abbildung 1.3 zeigt die f¨ ur die wichtigsten Zweipole verwendeten Symbole. 5

Durch Erh¨ ohen der Komplexit¨ at der verwendeten Ersatzschaltung kann die Genauigkeit (prinzipiell beliebig) erh¨ oht werden. Da dies aber den Rechenaufwand und damit die zum Durchf¨ uhren einer Simulation ben¨ otigte Zeit wieder vergr¨ oßert, wird hier ein Kompromiß eingegangen.

6

1. Grundlagen S y m b o l

B e d e u tu n g

D e fin itio n

u n a b h ä n g ig e S p a n n u n g s q u e lle

v = v (t)

u n a b h ä n g ig e S tr o m q u e lle

i = i( t)

( lin e a e r ) W id e r s ta n d

v ( t) = R i( t)

( lin e a r e ) K a p a z itä t

i( t) = C d v /d t

( lin e a r e ) In d u k tiv itä t

v ( t) = L d i/d t

a r b e its p u n k ta b h ä n g ig e r W id e r s ta n d

v ( t) = v [i( t) ]

a r b e its p u n k ta b h ä n g ig e K a p a z itä t

i( t) = d q /d t ; q ( t) = q [v ( t) ]

a r b e its p u n k ta b h ä n g ig e In d u k tiv itä t

v ( t) = d f /d t ; f ( t) = f [i( t) ]

id e a le D io d e

i( t) = IS [ e x p ( v /N V T

)-1 ]

Abb. 1.3. Symbole der wichtigsten zweipoligen Netzwerkelemente

1.2.1 Widerst¨ ande Ein Zweipol heißt Widerstand, falls die zwischen seinen Klemmen auftretende Spannung v(t) zu jedem Zeitpunkt durch den Klemmenstrom i(t) bestimmt ist v(t) = v[i(t)] .

(1.2)

Der Widerstand heißt linear oder ohmsch, falls Spannung und Strom zueinander proportional sind v(t) = R i(t) .

(1.3)

Der Proportionalit¨ atsfaktor R heißt Widerstand(swert), sein Kehrwert G = 1/R der Leitwert des Zweipols. Widerstandswerte werden in Ω (Ohm) angegeben, Leitwerte in S (Siemens) 6 ; dabei gilt 1Ω = 1 V/A

und

1 S = 1/Ω .

Wird der durch einen ohmschen Widerstand fließende Strom als Funktion der Spannung aufgetragen, so ergibt sich eine Gerade (Abb. 1.4). 6 In den USA wird statt Siemens oft die Einheit 1 mho (Lesen Sie das mal von rechts nach links!) verwendet (1 mho = 1 S).

S tro m

I

1.2. Ideale Netzwerkelemente lin e a r e r W id e r s ta n d

7

I = G

n ic h tlin e a r e r W id e r s ta n d

V d I = d V

I = f(V )

1 r

= g

lin e a r e N ä h e r u n g d e r K e n n lin ie im A r b e its p u n k t I0

E r s a tz s c h a ltu n g ( f ü r V > V r0 ) :

V V

V

r0

0

r r0

S p a n n u n g V

Abb. 1.4. Kennlinie f¨ ur einen linearen und einen nichtlinearen Widerstand

Bei einem nichtlinearen Widerstand ist das ohmsche Gesetz nicht erf¨ ullt. Die Kennlinie eines solchen Bauelements ist nichtlinear, ein Widerstandswert ist nicht definiert. Ist ein Arbeitspunkt (V0 , I0 ) auf der Kennlinie vorgegeben, so kann jedoch – f¨ ur geringe Abweichungen der anliegenden Spannung von V0 – die Kennlinie im Arbeitspunkt linearisiert werden. Dabei wird die exakte I(V )-Charakteristik des nichtlinearen Widerstands durch die TaylorEntwicklung bis zur ersten Ordnung ersetzt. Dies entspricht einer Näherung der Kennlinie durch die Tangente im Arbeitspunkt (Abb. 1.4). F¨ ur die Abweichung ∆I des Stroms von seinem Wert I0 = I(V0 ) als Folge einer Spannungs¨ anderung ∆V gilt dann ∆I = I(V0 + ∆V ) − I0 ≈ g(V0 )∆V ,

(1.4)

mit dem Kleinsignalleitwert 7

g(V0 ) =

dI 1 . = dV V0 r(V0 )

(1.5)

Hinsichtlich der durch die (kleine) Spannungsänderung ∆V hervorgerufenen Stromänderung ∆I darf der nichtlineare Widerstand demzufolge wie ein ohmscher Leitwert g = g(V0 ) behandelt werden. Die in Abb. 1.5b dargestellte Kleinsignalersatzschaltung erlaubt deshalb die Berechnung des Zusammenhangs zwischen den Kleinsignalgr¨ oßen ∆I und ∆V . Das Element g(V0 ) der Kleinsignalersatzschaltung ist abh¨ angig vom Arbeitspunkt V0 . 7

Auch: differentieller Leitwert.

8

1. Grundlagen I0+ D I

D I D V

V 0+ D V

g

(b )

(a )

Abb. 1.5. (a) Großsignal- und (b) Kleinsignalbeschreibung eines nichtlinearen Widerstands

F¨ ur manche Anwendung ist die Entwicklung der Kennlinie bis zur 1. Ordnung nicht ausreichend; insbesondere f¨ ur die Untersuchung von Intermodulationseffekten wird eine Entwicklung bis zur 3. Ordnung benötigt

dI 1 d2 I 2 1 d3 I 3 vs (t) + v (t) + i(t) ≈ I(V0 ) + v (t) s dV V0 2 dV 2 V 6 dV 3 V s 0

= I(V0 ) + g vs (t) + g2 vs2 (t) + g3 vs3 (t) .

0

(1.6)

Die zusätzlichen Summanden sind dann in einer Kleinsignalersatzschaltung u ¨ber von vs2 (t) und vs3 (t) gesteuerte Stromquellen zu beschreiben. Beispiel 1.2.1 Ein wichtiges Beispiel f¨ ur einen nichtlinearen Widerstand ist die ideale Gleichstromdiode, f¨ ur die ein eigenes Netzwerksymbol (Abb. 1.3) existiert. Die I(V )-Charakteristik dieses Zweipols ist definiert durch

V I = IS exp −1 , N VT wobei IS , N , VT von der angelegten Spannung V unabhängige Parameter 8 sind. Der Kleinsignalleitwert der idealen Gleichstromdiode im Arbeitspunkt V0 folgt durch Ableiten V0 IS I(V0 ) + IS g(V0 ) = exp . = N VT N VT N VT Bei Flußpolung der Diode mit I0 = I(V0 ) IS gilt g(V0 ) = I0 /N VT , d. h. der Kleinsignalleitwert der idealen Gleichstromdiode steigt proportional zu dem durch die Diode fließenden Strom an. Die Koeffizienten g2 und g3 folgen durch weiteres Ableiten g g and g3 = . g2 = 2N VT 6(N VT )2 Die nichtlinearen Beitr¨ age g2 vs2 (t) und g3 vs3 (t) sind deshalb nur unter der Bedingung uber gvs (t) zu vernachl¨ assigen. ∆ |vs (t)/VT | 1 gegen¨ Der Parameter IS wird als S¨ attigungsstrom bezeichnet; f¨ ur V 0 folgt I → −IS , d. h. IS ist von der Gr¨ oßenordnung des Sperrstroms der Diode und damit sehr klein. Der Parameter N heißt Emissionskoeffizient, ist dimensionslos und besitzt u ¨blicherweise Werte zwischen eins und zwei. Die Gr¨ oße VT schließlich bezeichnet die, von der absoluten Temperatur T abh¨ angige, Temperaturspannung. Bei Raumtemperatur gilt n¨ aherungsweise VT ≈ 25 mV. 8

1.2. Ideale Netzwerkelemente

9

1.2.2 Kapazit¨ aten Ein Zweipol heißt Kapazit¨ at, falls die in ihm gespeicherte Ladung q(t) zu jedem Zeitpunkt eindeutig durch die zwischen seinen Klemmen anliegende Spannung v(t) bestimmt ist q(t) = q[v(t)] .

(1.7)

¨ Der durch eine Kapazit¨ at fließende Strom i(t) ist gleich der Anderung der Ladung der Kapazit¨ at mit der Zeit dq . dt

i(t) =

(1.8)

Die Kapazität heißt linear, falls q(t) und v(t) proportional zueinander sind. q(t) = C v(t) .

(1.9)

Der Proportionalit¨ atsfaktor C wird als Kapazit¨ at(swert) bezeichnet. Kapazitätswerte werden in F (Farad) angegeben, wobei gilt 1F = 1

As C = 1 . V V

Im Fall der linearen Kapazit¨ at geht Gl. (1.8) u ¨ber in dv . (1.10) dt F¨ ur nichtlineare Kapazit¨ aten l¨ aßt sich der Kapazitätswert nur als Kleinsignal¨ kapazität definieren – diese bestimmt die Anderung dq der auf einer Kapazität ¨ gespeicherten Ladung mit der Anderung dv der anliegenden Spannung i(t) = C

c(v) =

dq . dv

(1.11)

Im Fall der linearen Kapazit¨ at ist c(v) = C, wie sich durch Einsetzen von Gl. (1.9) in Gl. (1.11) leicht zeigen l¨ aßt. Durch Umkehren von (1.11) folgt die auf der Kapazit¨ at gespeicherte Ladung q(v), falls diese auf die Spannung v aufgeladen wurde v

q(v) =

c(v ) dv .

(1.12)

0

Um die Spannung einer Kapazit¨ at von v auf v + dv zu erhöhren muß die Arbeit v · i dt = v dq = c(v)v dv verrichtet werden; die auf einer Kapazität gespeicherte Energie ergibt sich daraus durch Integration v

W =

c(v )v dv .

(1.13)

0

Im Fall einer linearen Kapzit¨ at C folgt so W = Cv 2 /2 .

(1.14)

10

1. Grundlagen

1.2.3 Induktivit¨ aten Ein Zweipol heißt Induktivit¨ at, falls sein Fluß φ(t) zur Zeit t eine Funktion des Stroms i(t) ist φ(t) = φ[i(t)] .

(1.15)

Die Induktivit¨ at heißt linear, falls φ(t) und i(t) zueinander proportional sind φ(t) = L i(t) .

(1.16)

Der Proportionalit¨ atsfaktor L heißt Induktivit¨ at(-swert). Induktivitätswerte werden in H (Henry) angegeben, wobei gilt Vs . A

1H = 1

Die an der Induktivit¨ at abfallende Spannung v(t) folgt aus dem Faradayschen Gesetz v(t) =

dφ dt

(1.17)

¨ und ist f¨ ur lineare Induktivit¨ aten proportional zur Anderung des Stroms (Spannungs- und Strompfeil gleichgerichtet) di . dt

v(t) = L

(1.18)

Ist der Zusammenhang zwischen Fluß φ und Strom i nichtlinear, so kann die Induktivität lediglich als Kleinsignalgr¨ oße definiert werden dφ . di

l(i) =

(1.19)

Aus l(i) ergibt sich der Fluß durch Integration i

φ(i) =

l(i ) di .

(1.20)

0

Die Arbeit die verrichtet werden muß um den Strom durch eine Induktivität von i auf i + di zu erh¨ ohen ergibt sich aus dem Induktionsgesetz zu v · i dt = l(i)i di; die auf einer Induktivit¨ at gespeicherte Energie ergibt sich daraus zu i

W =

l(i )i di ;

(1.21)

0

im Fall einer linearen Induktivit¨ at ergibt sich W = Li2 /2 .

(1.22)

1.2. Ideale Netzwerkelemente

11

1.2.4 Unabh¨ angige Quellen Eine (unabhängige) Spannungsquelle (Abb. 1.3) ist ein Zweipol, zwischen dessen Klemmen eine spezifizierte Spannung v(t) anliegt, deren Wert unabhängig vom Strom durch den Zweipol ist. Ist die Spannung v(t) zeitunabhängig, so spricht man von einer Gleichspannungsquelle. Neben den unabh¨ angigen Spannungsquellen werden in der Netzwerktheorie auch unabhängige Stromquellen (Abb. 1.3) verwendet. Bei diesen wird ein vorgegebener Klemmenstrom i(t) eingehalten, unabhängig von der zwischen den Klemmen anliegenden Spannung.

1.2.5 Gesteuerte Quellen Das Gegenst¨ uck zu den unabh¨ angigen Quellen sind die gesteuerten Quellen. Dabei handelt es sich um Spannungs- oder Stromquellen deren Wert durch eine bestimmte Spannung oder einen bestimmten Strom gesteuert wird.

v (a )

v (b )

i (c )

i (d )

i[v ( t) ] v (t) (e )

Abb. 1.6. Symbole f¨ ur gesteuerte Quellen: (a) Spannungsgesteuerte Spannungsquelle, (b) spannungsgesteuerte Stromquelle, (c) stromgesteuerte Spannungsquelle, (d) stromgesteuerte Stromquelle, (e) Darstellung der spannungsgesteuerten Stromquelle als Vierpol

Gesteuerte Quellen werden u ¨blicherweise als Zweipole dargestellt (Abb. 1.6 ad) mit oder ohne zus¨ atzlichem Vermerk der steuernden Größe. Eine formal korrekte Darstellung gesteuerter Quellen m¨ ußte diese – im Fall einer Steu9 ur die steuernde Größe ergröße – als Vierpol mit zwei Eingangsklemmen f¨ und zwei Ausgangsklemmen f¨ ur die gesteuerte Größe (Abb. 1.6 e) beschreiben. Die u ¨blicherweise verwendete Zweipoldarstellung ist als eine reduzierte Schreibweise f¨ ur diese Vierpoldarstellung zu verstehen. 9

Im Fall von n steuernden Gr¨ oßen allgemein als 2(n + 1)-Pol.

12

1. Grundlagen

1.3 Lineare Netzwerke Netzwerke aus linearen Elementen (kurz: lineare Netzwerke) finden breite Anwendung in der Elektronik – als Beispiel sei hier nur die große Gruppe der passiven Filter genannt. Dieser Abschnitt faßt wichtige Eigenschaften linearer Netzwerke und Verfahren zu ihrer Berechnung zusammen. Als f¨ ur die Praxis besonders relevante Anwendungsbeispiele werden der RC-Tiefpaß, der RC-Hochpaß, der RC-Bandpaß und der RLC-Reihenschwingkreis näher betrachtet. ¨ Eine der wichtigsten Eigenschaften linearer Netzwerke ist, daß sie dem Uberlagerungssatz gen¨ ugen. Treten in einem linearen Netzwerk mehrere unabh¨ angige Quellen auf, so l¨ aßt sich jede Spannung und jeder Strom als Summe der Reaktionen auf die einzelnen Quellen darstellen. ¨ Der Uberlagerungssatz ist eine direkte Folge der Kirchhoffschen Gleichungen f¨ ur Netzwerke aus linearen Elementen. Er liefert keine Informationen, die sich nicht auch durch direkte Anwendung der Kirchhoffschen Gleichungen gewinnen ließen, erm¨ oglicht aber h¨ aufig eine vereinfachte Berechnung von Schal¨ tungseigenschaften. Die wohl bedeutendste Folgerung des Uberlagerungssatzes ist, daß sich Netzwerke aus linearen Elementen vollständig durch Angabe ihres Verhaltens bei harmonischen (sinusförmigen) Anregungen unterschiedlicher Frequenz beschreiben lassen: Alle in der Praxis relevanten Signalverläufe ¨ lassen sich durch Uberlagerung harmonischer Signale unterschiedlicher Frequenz darstellen. F¨ ur die Charakterisierung linearer Systeme gen¨ ugt es deshalb zu wissen wie sich diese beim Durchgang durch das Netzwerk verhalten, um das resultierende Ausgangssignal dann aus entsprechend gewichteten harmonischen Anregungen zusammensetzen zu können. Letzteres läßt sich verhältnismäßig einfach 10 mit den komplexen Impedanzen und Admittanzen der Netzwerkelemente berechnen.

1.3.1 Impedanzen, Admittanzen In Wechselstromkreisen besitzt die an einem Netzwerkelement anliegende Spannung v(t) sinusf¨ ormigen Verlauf; mit der komplexen Amplitude vˆ und der Kreisfrequenz ω gilt v(t) = Re( vˆ e jωt ) = Re(v) . Der durch einen linearen Zweipol fließende Strom hat dann ebenfalls einen sinusförmigen Verlauf; mit der komplexen Amplitude î des Stroms gilt daher 10

Der mathematische Hintergrund der vereinfachten Berechnung in der Frequenzdarstel¨ lung ist, daß zeitabh¨ angige Differentialgleichungen beim Ubergang zur Frequenzdarstellung in algebraische Gleichungen u uhrt werden. ¨berf¨

1.3. Lineare Netzwerke

13

i(t) = Re( î e jωt ) = Re(i) . Die komplexen Zeiger v und i sind dabei zueinander proportional v = Zi

bzw.

i = Yv.

(1.23)

Der Proportionalit¨ atsfaktor Z wird als komplexer Widerstand (Impedanz) bezeichnet, sein Kehrwert Y = 1/Z als komplexer Leitwert (Admittanz). Impedanz- und Admittanzwerte f¨ ur die linearen Netzwerkelemente Widerstand, Kapazit¨ at und Induktivit¨ at sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Element Widerstand Kapazität Induktivität

Impedanz Z R 1/(jωC) jωL

Admittanz Y 1/R jωC 1/jωL

Die Impedanzen bzw. Admittanzen sind komplexwertige Größen. Dies bedeutet, daß zwischen Strom und Spannung i. allg. eine Phasenverschiebung auftritt. Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung wird durch das Argument der Admittanz angegeben Y = Y e jϕ

wobei

ϕ = arctan [ Im(Y )/Re(Y ) ] .

F¨ ur reine Kapazit¨ aten gilt i = jωC v ∼ v e jπ/2 ; auft hier dem Spannungszeiger v um 90◦ voraus. F¨ ur Inder Stromzeiger i l¨ duktivitäten gilt j v ∼ v e −jπ/2 ; ωL in diesem Fall l¨ auft der Stromzeiger i dem Spannungszeiger v um 90◦ hinterher. i = −

Bei einer Serienschaltung linearer Zweipole lassen sich die Impedanzen der Einzelemente zur Gesamtimpedanz Z addieren Z =

n

Zα .

(1.24)

α=1

Bei einer Parallelschaltung linearer Zweipole erhält man die Gesamtadmittanz Y durch Summation u ¨ber die Einzeladmittanzen Y α Y =

n

Yα .

(1.25)

α=1

Mit diesen Regeln l¨ aßt sich das elektrische Verhalten von Netzwerken aus passiven linearen Zweipolen berechnen.

14

1. Grundlagen

Beispiel 1.3.1 Als Beispiel wird die (komplexe) Spannungsteilerregel betrachtet. Liegt am Eingang eines aus zwei Impedanzen Z 1 und Z 2 aufgebauten, unbelasteten Spannungsteilers eine Wechselspannung der Kreisfrequenz ω mit dem komplexen Spannungszeiger v 1 , so fließt durch die Reihenschaltung von Z 1 und Z 2 ein Wechselstrom mit dem komplexen Zeiger i =

v1 . Z1 + Z2

Dieser ruft an Z 2 einen Spannungsabfall mit dem komplexen Zeiger v 2 = Z 2 i hervor, d. h. am Ausgang stellt sich eine Wechselspannung der Kreisfrequenz ω mit dem komplexen Zeiger Z2 v Z1 + Z2 1

v2 =

(1.26)

ein.

N 1 v

Z

∆

is c 0

N 2

o c

Y

N 2 0

N 1 (a )

(b )

Abb. 1.7. Ersetzen des Teilnetzwerks N1 durch einen Ersatzzweipol

Die Berechnung einer elektronischen Schaltung läßt sich häufig dadurch vereinfachen, daß Teilschaltungen, die u usse mit dem Rest ¨ber nur zwei Anschl¨ des Netzwerks verbunden sind, durch Ersatzzweipole ersetzt werden, die dasselbe Klemmenverhalten aufweisen. Von besonderer Bedeutung sind dabei Ersatzspannungsquellen und Ersatzstromquellen. Betrachtet wird ein aus zwei Teilen N1, N2 bestehendes Netzwerk aus linearen Elementen (einschließlich abhängiger und unabh¨ angiger Quellen) bei der Kreisfrequenz ω. Die beiden Teile sind u ¨ber zwei Klemmen 11 miteinander verbunden. Das Teilnetzwerk N1 kann durch einen Ersatzzweipol, d. h. durch eine Ersatzspannungsquelle mit der komplexen Amplitude vôc mit einer in Serie geschalteten Impedanz Z 0 (Abb. 1.7 a) oder durch eine Ersatzstromquelle mit der komplexen Amplitude îsc mit einer parallel geschalteten Admittanz Y 0 (Abb. 1.7 b) ersetzt werden, ohne daß sich das Verhalten des Gesamtnetzwerks bei der Kreisfrequenz ω ändert. 11 Die einzige Verbindung zwischen den beiden Netzwerken N1, N2 muß u ¨ber diese Klemmen erfolgen; weitere Verbindungen, z. B. u aten oder u ¨ber gekoppelte Induktivit¨ ¨ber gesteuerte Quellen, werden ausgeschlossen.


15

Die von der Ersatzspannungsquelle gelieferte Spannung ist die Leerlaufspannung: Werden die Ausgangsklemmen des Ersatzzweipols nicht belastet, so kann an Z 0 kein Spannungsabfall auftreten – die Klemmenspannung wird dann durch den Zeiger v oc beschrieben. Der von der Ersatzstromquelle gelieferte Strom ist der Kurzschlußstrom: Werden die Ausgangsklemmen von N1 kurzgeschlossen, so fließt kein Strom durch Y 0 (Spannungsabfall null) – der Klemmenstrom wird durch den Zeiger isc beschrieben. Die Werte von Z 0 bzw. Y 0 ergeben sich aus den komplexen Amplituden von Leerlaufspannung und Kurzschlußstrom gemäß 1 vˆ = oc . îsc Y0

Z0 =

(1.27)

1.3.2 Darstellung in Frequenz- und Zeitbereich Fourier-Reihen, Fourier-Transformation Ist eine Funktion u(t) periodisch mit der Periode T , d. h. gilt f¨ ur alle Werte der Zeit t die Beziehung u(t + T ) = u(t) , so läßt sich u(t) in eine Fourier-Reihe (oder harmonische Reihe) entwickeln n=∞

u(t) =

u ˆn e jn2πf t

mit

f=

n=−∞

1 T

(1.28)

mit den (komplexen) Fourier-Koeffizienten u ˆn =

1 T

T /2 −T /2

u(t) e −jn2πf t dt ,

n = . . . , −1, 0, 1, 2, . . .

(1.29)

Da u(t) nur reelle Werte besitzt, besteht zwischen den Fourier-Koeffizienten der Zusammenhang ( ∗“ kennzeichnet die komplexe Konjugation) ” ∗ u ˆn = u ˆ−n . Eine Funktion l¨ aßt sich nur dann in eine Fourier-Reihe entwickeln, wenn sie periodisch ist. Das Spektrum der Funktion ist zusammengesetzt aus diskreten Beiträgen mit den Frequenzen 2πnf t. Mit zunehmender Periodendauer T r¨ ucken benachbarte Frequenzwerte immer dichter zusammen. Aus dem Spektrum diskreter Fourier-Koeffizienten wird im Grenzfall12 T → ∞ eine kontinuierliche Spektralfunktion 12

Dieser Grenz¨ ubergang ist mathematisch nicht unproblematisch und korrekt nur mittels sog. Distributionen wie der δ-Funktion durchzuf¨ uhren; eine vergleichsweise einfache Darstellung der Thematik bietet z. B. [8].

16

1. Grundlagen

1 u(ω) = 2π

∞ ∞

u(t) e −jωt dt .

(1.30)

Notwendig (und hinreichend) hierf¨ ur ist, daß u(t) absolut integrierbar ist, d. h. das Integral ∞

−∞

|u(t)| dt

darf nicht divergieren. Mit der Spektralfunktion u(ω) läßt sich dann u(t) durch ∞

u(t) =

−∞

u(ω) e jωt dω

(1.31)

ausdr¨ ucken. Der Darstellung einer absolut integrierbaren Funktion u(t) im Zeitbereich steht mit der Fouriertransformierten u(ω) damit eine a¨quivalente Darstellung im Frequenzbereich gegen¨ uber. Zwischen der Darstellung im Zeitbereich und der Darstellung im Frequenzbereich bestehen die in Tabelle 1.1 aufgef¨ uhrten Beziehungen. Tabelle 1.1 Darstellung in Zeit- und Frequenzbereich Zeitdarstellung

Frequenzdarstellung

u(t) + v(t)

u(ω) + v(ω)

a u(t)

a u(ω)

u(a t)

|a|−1 u(ω)

u(t + t )

e jωt u(ω)

du(t)/dt

jωu(ω)

u(ω + ω )

e −jω t u(t)

∞ −∞

u(t )v(t − t ) dt u(t) v(t)

∞

−∞

∞ −∞

u(t)2 dt

u(ω) v(ω) u(ω ) v(ω − ω ) dω ∞ |u(ω)|2 dω −∞

Laplace-Transformation Schwierigkeiten bei der Spektraldarstellung von u(t) entsprechend Gl. (1.31) ergeben sich, falls u(t) nicht absolut integrierbar ist, d. h. falls das Integral ∞ −∞

|u(t)| dt

divergiert. Dies ist etwa der Fall f¨ ur die Stufenfunktion


Θ(t) =

0 1

17

f¨ ur f¨ ur

t0

.

Da der Integrand f¨ ur alle t > 0 konstant und von null verschieden ist, liegt hier keine absolute Integrierbarkeit vor. Wegen dieser Schwierigkeit wird bei der Untersuchung von Schaltvorg¨ angen h¨ aufig die sog. Laplace-Transformierte von u(t) eingesetzt. Die Laplace-Transformierte der Funktion u(t) ist definiert gemäß ∞

u(s) =

u(t) e −st dt

mit

s = σ + jω ;

(1.32)

0

sie kann als Fourier-Transformierte der Funktion Θ(t) e −σt u(t) betrachtet werden. Durch die Beschr¨ ankung auf t > 0 und den zusätzlichen, exponentiell mit der Zeit abklingenden Faktor e −σt lassen sich auch nicht absolut integrierbare Funktionen u(t) transformieren. Die Laplace-Transformierte der ersten Ableitung u(t) ˙ von u(t) ist L[ u(t)] ˙ = s u(s) − u(t = 0) ,

(1.33)

die der zweiten Ableitung u ¨(t) nach der Zeit ˙ = 0) L[ u ¨(t)] = s2 u(s) − s u(t = 0) − u(t

(1.34)

und allgemein die der n-ten Ableitung u(n) (t) nach der Zeit L[ u(n) (t)] = sn u(s) −

n

sn−k u(k−1) (t = 0) .

(1.35)

k=1

¨ Beim Ubergang zur Laplace-Transformierten wird somit – wie bei der FourierTransformation – aus einer n-ten Ableitung eine Potenzfunktion n-ter Ordnung von s. Differentialgleichungen gehen auf diesem Weg in algebraische Gleichungen u ¨ber. Die Laplace-Transformierte des Integrals t

U (t) =

u(t ) dt

0

ist gegeben durch L[ U (t)] =

u(s) . s

(1.36)

Eine Ableitung nach der Zeit bedingt demnach einen Faktor s in der LaplaceTransformierten, eine Integration bez¨ uglich der Zeit einen Faktor 1/s. Da die Laplace-Transformation einer zeitabhängigen Differentialgleichung die Anfangswerte der Differentialgleichung mit ber¨ ucksichtigt, ist diese insbesondere f¨ ur die Untersuchung von Einschwingvorg¨ angen geeignet.

18

1. Grundlagen

¨ 1.3.3 Ubertragungsfaktor Ist die Eingangsgr¨ oße x(t) eines linearen Netzwerks eine sinusförmige Wechselgröße der Kreisfrequenz ω, in komplexer Schreibweise

ˆ e jωt x(t) = Re x

= Re(x) ,

so gilt dies auch f¨ ur die Ausgangsgr¨ oße

y(t) = Re yˆ e jωt

= Re(y) .

Das Verhältnis H(jω) = y/x

(1.37)

¨ des Netzwerks der komplexen Zeiger y und x wird als Ubertragungsfaktor bezeichnet. Bezeichnet H(jω) ein Spannungsverh¨ altnis, so spricht man auch von einem Spannungs¨ ubertragungsfaktor; dieser wird durch den Index v kenntlich gemacht. Der Betrag von H v (jω) bei der Frequenz f = ω/2π Av (f ) = |H v (j2πf )|

(1.38)

wird als Spannungsverst¨ arkung bezeichnet. Ein Strom¨ ubertragungsfaktor – kenntlich gemacht durch den Index i – bezeichnet entsprechend ein Verh¨ altnis (komplexer) Stromamplituden, während ein Leistungs¨ ubertragungsfaktor (Index p) ein Verhältnis zweier (komplexer) Leistungsamplituden bestimmt. ¨ Die Phase ϕ des Ubertragungsfaktors ist frequenzabhängig und errechnet sich aus Real- und Imagin¨ arteil von H gemäß

ϕ(ω) = arctan

Im H(jω) Re H(jω)

.

(1.39)

Aus der Phasenverschiebung folgt die Phasenlaufzeit tϕ (ω) = −

ϕ(ω) ; ω

(1.40)

diese bestimmt die Verz¨ ogerung, die ein unendlich ausgedehntes sinusförmiges Signal der Kreisfrequenz ω beim Durchgang durch das lineare System erfährt. Die Einh¨ ullende eines endlichen Wellenzugs wird dagegen um die Gruppenlaufzeit tg (ω) = − verzögert [9, 10].

dϕ dω

(1.41)


19

Am Eingang eines linearen Netzwerks soll nun ein Signal x(t) anliegen, das sich als Fourier-Integral darstellen l¨ aßt ∞

x(t) =

−∞

x(ω) e jωt dω .

(1.42)

¨ Da das Ausgangssignal des linearen Systems durch Uberlagern der Komponenten des Eingangssignals zustandekommt, folgt mit dem frequenzabhängi¨ gen Ubertragungsfaktor H(jω) ∞

y(t) =

−∞

y(ω) e

jωt

∞

dω =

−∞

H(jω) x(ω) e jωt dω .

(1.43)

¨ ¨ Das Ubertragungsverhalten ist demnach vollständig durch den Ubertragungsfaktor H(jω) bestimmt. Entsprechend besteht zwischen der LaplaceTransformierten x(s) des Eingangssignals und der Laplace-Transformierten y(s) des Ausgangssignals eines linearen Systems im eingeschwungenen Zustand der Zusammenhang y(s) = H(s) x(s) .

(1.44)

¨ ¨ Der Ubertragungsfaktor H(s) kann als Verallgemeinerung des Ubertragungsfaktors H(jω) zu komplexen Frequenzwerten (ω = ω − jσ = −j s) aufgefaßt werden. Gem¨ aß dem Faltungssatz der Laplace-Transformation f¨ uhrt Gl. (1.44) auf den folgenden Zusammenhang im Zeitbereich (eingeschwungener Zustand) t

y(t) =

H(t−t ) x(t ) dt ,

(1.45)

0

d. h. das Ausgangssignal y(t) des linearen Systems ist i. allg. nicht nur durch den Wert des Eingangssignals zur Zeit t bestimmt, sondern auch durch dessen Verhalten im Zeitintervall [0, t].

Angaben in dB, Bode-Diagramm Der Wert von Spannungs-, Strom- und Leistungsverstärkungen wird häufig als sog. Verst¨ arkungsmaß a in (deziBel) dB angegeben. Bei Spannungs- und Stromverstärkungen wird hierzu der (Zehner-)Logarithmus von A(f ) mit 20 dB multipliziert. Dies f¨ uhrt im Fall der Spannungsverst¨ arkung auf av (f ) = 20 dB · log[ Av (f )]

(1.46)

bzw. im Fall der Stromverst¨ arkung Ai (f ) = |H i (j2πf )| auf ai (f ) = 20 dB · log[ Ai (f )] .

(1.47)

Da log(1) = 0 gilt, liegt allgemein f¨ ur a(f ) > 0 dB Verst¨ arkung vor, f¨ ur a(f ) < 0 dB Abschw¨ achung.

20

1. Grundlagen

Soll eine Leistungsverst¨ arkung in dB ausgedr¨ uckt werden 13 , so ist der Logarithmus der Leistungsverst¨ arkung Gp (f ) = P2 /P1 mit 10 dB zu multiplizieren. ap (f ) = 10 dB · log[ Gp (f )] .

(1.48)

Dabei bezeichnen P1 und P2 die Effektivwerte der vom System aufgenommenen bzw. abgegebenen Wirkleistung. Der Hintergrund f¨ ur den gegen¨ uber av und ai halbierten Vorfaktor“ von 10 dB ist, daß die Leistung proportional ” zum Quadrat von Spannungs- bzw. Stromamplitude ist.

v 1

R 1

v 2

R 2

Abb. 1.8. In 1.3.2 untersuchte Beispielschaltung

Beispiel 1.3.2 Es wird die in Abb. 1.8 skizzierte Schaltung mit Eingangswiderstand R1 und Lastwiderstand R2 , betrachtet. Der Effektivwert der an die Schaltung abgegebenen Leistung P1 ist P1 = V12 /R1 , wobei V1 den Effektivwert der Eingangsspannung angibt; der Effektivwert P2 der an die Last abgegebenen Leistung ergibt sich mit dem Effektivwert der Ausgangsspannung V2 entsprechend zu P2 = V22 /R2 . F¨ ur das Verst¨ arkungsmaß ap (f ) folgt damit 2 P2 V2 R1 10 dB · log = 10 dB · log P1 V 2 R2 1 V2 R1 = 20 dB · log + 10 dB · log . (1.49) V1 R2 Das Verst¨ arkungsmaß ap ist somit gleich dem Verstärkungsmaß av , falls R1 und R2 denselben Wert haben. ∆

¨ Der Ubertragungsfaktor H(jω) ist i. allg. eine komplexwertige Funktion der Frequenz. F¨ ur die grafische Darstellung der Frequenzabhängigkeit wird u ¨blicherweise das sog. Bode-Diagramm gewählt. Dieses besteht aus zwei Abbildungen: In der einen wird das Verst¨ arkungsmaß a, in der anderen die Phasenverschiebung ϕ u ¨ber dem Logarithmus der Frequenz f = ω/2π aufgetragen (vgl. z.B. Abb. 1.12) . F¨ ur A(f ) wird eine doppeltlogarithmische Auftragung gewählt, da Potenzfunktionen dabei Geraden ergeben: F¨ ur beliebige Zahlen α > 0 sowie m gilt 13

Die Einheit“ dB wird f¨ ur relative Pegelangaben verwendet, d. h. f¨ ur die Angabe von ” Verh¨ altnissen. Daneben werden aber auch absolute Pegelangaben in dB vorgenommen, wobei eine feste Bezugsgr¨ oße vorgegeben wird. Erw¨ ahnt werden soll hier die gebr¨ auchliche Einheit“ dBm, die f¨ ur Leistungsangaben verwendet wird und den Effektivwert P der Lei” stung bezogen auf 1 mW angibt P in dBm ≡ 10 dB · log ( P/1 mW ) .


21

log(αf m ) = log(α) + m log(f ) . Wird demnach y = log(a) u ¨ber x = log(f ) aufgetragen, so ergibt sich eine Gerade der Steigung m, wodurch sich diese Größe leicht bestimmen läßt: Ein Anstieg der Spannungsverst¨ arkung Av ∼ f ergibt z. B. in doppeltlogarithmischer Auftragung eine Gerade der Steigung +1 bzw. 20 dB/dec, ein Abfall Av ∼ 1/f entsprechend eine Gerade der Steigung −1 bzw. −20 dB/dec. Zeigt av einen Abfall von 40 dB/dec, so kann umgekehrt auf eine Frequenzabhängigkeit ∼ 1/f 2 geschlossen werden.

Verz¨ ogerungszeit und Anstiegszeit Bezeichnet y0 den minimalen Wert der Ausgangsgröße eines linearen Netzwerks und ys ihren Hub, so l¨ aßt sich schreiben y(t) = y0 + ys f (t) , wobei f (t) nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann. Diese normierte Ausgangsvariable enth¨ alt s¨ amtliche Informationen u ¨ber das Zeitverhalten des Systems. Ein m¨ oglicher Verlauf von f (t) als Antwort des Systems auf eine Sprungfunktion am Eingang ist in Abb. 1.9 dargestellt. Zur Charakterisierung f(t) 1

td

0

tr 0

(a ) t

f(t) 1 /tr

0

td

0

tr t

(b )

Abb. 1.9. Verlauf von f (t) und f˙(t). Definition von Verz¨ ogerungszeit und Anstiegszeit

22

1. Grundlagen

des Zeitverhaltens werden zwei Zeitkonstanten eingef¨ uhrt: 1) Die Verz¨ ogerungszeit td , h¨ aufig definiert als die Zeit, nach der die Ausgangsgröße die H¨ alfte ihres Endwerts erreicht hat: f (td ) = 1/2. Diese Definition ist f¨ ur die meßtechnische Charakterisierung (etwa beim Oszilloskopieren des Ausgangssignals zweckm¨ aßig. F¨ ur Berechnungen ist die Definition nach Elmore [11] (Abb. 1.9) ∞

td =

tf˙(t) dt

(1.50)

0

¨ zweckmäßiger, da sich diese direkt aus dem Ubertragungsfaktor berechnen läßt

1 dH d ln[H(s)] = − . td = − H(0) ds s=0 ds s=0

(1.51)

2) Die Anstiegszeit tr , oft definiert als der Kehrwert der Steigung von f (t) bei t = td . Die von Elmore vorgeschlagende Definition

tr =

∞

2π 0

t f˙(t) dt − t2d 2

(1.52)

¨ ist mit dem Ubertragungsfaktor u ¨ber tr = 2π

1 d2 H − t2d H(0) ds2 s=0

(1.53)

verkn¨ upft. ¨ Rationale Ubertragungsfaktoren. F¨ ur Netzwerke aus passiven linearen Zwei¨ polen ist der Ubertragungsfaktor rational H(s) = H(0)

1 + a1 s + a2 s2 + · · · + an sn . 1 + b1 s + b2 s2 + · · · + bm sm

In diesem Fall folgt td = b1 − a1 und

tr =

(1.54)

2π b21 − a21 + 2(a2 −b2 ) .

(1.55)

¨ Wird der Ubertragungsfaktor in eine Reihe nach s entwickelt, so lauten die ersten Glieder

1 t2 H(s) = H(0) 1 − std + s2 t2d + r 2 2π

− ...

.

(1.56)


23

1.3.4 Der RC-Tiefpaß Ein Tiefpaß u agt sinusf¨ ormige Wechselspannungen geringer Frequenz un¨bertr¨ verändert. Bei hohen Frequenzen bewirkt er eine Abschwächung und Phasenverschiebung. Abbildung 1.10 zeigt f¨ ur einen Tiefpaß schematisch den Vera

D u r c h la ß b e r e ic h v

0 d B -3 d B

S p e rrb e r e ic h

fg

d B - 4 0 d e c

T ie fp a ß 2 . O r d n u n g lo g f

Abb. 1.10. Bode-Diagramm eines Tiefpasses 2. Ordnung

lauf von av im Bode-Diagramm. In dem bei tiefen Frequenzen vorliegenden Durchlaßbereich ist av ≈ 0 dB; in dem bei hohen Frequenzen vorliegenden Sperrbereich erfolgt ein Abfall, der bei Tiefpaßnetzwerken aus konzentrierten Elementen durch eine Potenzfunktion gegeben ist. Gilt Av ∼ f −m , so spricht man von einem Tiefpaß m-ter Ordnung; im Bode-Diagramm entspricht dies ¨ einer Geraden der Steigung −m · 20 dB/dec. Der Ubergang zwischen Sperrbereich und Durchlaßbereich wird durch die Grenzfrequenz fg des Tiefpasses aherung den Wert −3 dB auf. markiert; bei dieser weist av in guter N¨ R v 1(t) C

v 2(t) Abb. 1.11. RC-Tiefpass

¨ Ubertragungsfaktor, Bode-Diagramm Abbildung 1.11 zeigt die Schaltung eines RC-Tiefpasses. Wird am Eingang eine sinusförmige Wechselspannung v1 (t) = Re vˆ1 e jωt angelegt, so tritt am Ausgang die Spannung v2 (t) = Re vˆ2 e jωt auf. Der Spannungs¨ ubertragungsfaktor des unbelasteten Tiefpasses ergibt sich aus der komplexen Spannungsteilerformel H v (jω) = zu

v2 (jωC)−1 = v1 R + (jωC)−1

24

1. Grundlagen F re q u e n z

f

fg 1 0 d B -1 2

1 0 0

1 k

1 0 k

0

1 0 0 k H z 1 M -3 d B

-2 4 a V

-3 6 -4 8 0 -2 0 j

-4 0

-4 5

-6 0 -8 0 1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

F re q u e n z f

H v (jω) =

1 1 + jωτ

mit

1 0 0 k H z

1 M

Abb. 1.12. BodePlot f¨ ur den RCTiefpaß mit R = 1 kΩ, C = 100 nF

τ = RC .

(1.57)

Mit der (3 dB-)Grenzfrequenz fg = 1/(2πRC)

(1.58)

und ω = 2πf folgt aus Gl. (1.57) f¨ ur die Spannungsverstärkung Av (f ) =

1 1 + (f/fg )2

(1.59)

und f¨ ur die Phasenverschiebung ϕ(f ) = − arctan (f/fg ) .

(1.60)

Das zugehörige Bode-Diagramm ist in Abb. 1.12 zu sehen. F¨ ur Frequenzen aherung Av ≈ 1 bzw. av = 0 dB; f¨ ur Frequenzen f fg gilt in guter N¨ f fg dagegen Av (f ) ≈ fg /f . Im Bode-Diagramm entspricht dies einem Abfall von 20 dB/dec, d. h. der betrachtete RC-Tiefpaß ist ein Tiefpaß erster Ordnung. Wird der f¨ ur große Frequenzen beobachtete Kurvenverlauf im BodeDiagramm linear zu 0 dB extrapoliert, so liefert der Schnittpunkt mit der


25

√ 0 dB-Achse die Grenzfrequenz (Abb. 1.12). Dort gilt14 gilt Av = 1/ 2, während die Phasenverschiebung den Wert −45◦ aufweist.

Impulsverhalten F¨ ur eine Untersuchung des Impulsverhaltens wird die Ausgangsspannung v2 (t) als Funktion von v1 (t) im Zeitbereich bestimmt. Im Fall des unbelasteten Tiefpasses ergibt der Knotensatz angewandt auf den Ausgangsknoten dv2 v1 (t) − v2 (t) = C R dt bzw. mit τ = RC dv2 v2 (t) v1 (t) + = . dt τ τ

(1.61)

Als allgemeine L¨ osung dieser Differentialgleichung zum Anfangswert v2 (0) resultiert 15

t v2 (t) = v2 (0) exp − τ

1 + τ

t 0

t − t v1 (t ) exp − τ

dt .

(1.62)

Einschalt- und Ausschaltvorgang. Einfache Spezialfälle sind der Einschaltvorur t > 0) mit dem Ausgangsspannungsverlauf gang (v2 (0) = 0 und v1 (t) = V+ f¨

v2 (t) = V+

t 1 − exp − τ

(1.63)

ur t > 0) mit dem und der Ausschaltvorgang (v2 (0) = V+ und v1 (t) = 0 f¨ Ausgangsspannungsverlauf

t v2 (t) = V+ exp − τ

.

(1.64)

Abbildung 1.13 zeigt f¨ ur beide Situationen den Verlauf der Spannung an Eingang und Ausgang. Als charakteristische Zeit f¨ ur das Erreichen des Endwerts dient die RC-Zeitkonstante“ τ ; diese ist nach (1.54) gleich der Verzögerungs” zeit des RC-Tiefpasses nach Elmore. Erst f¨ ur eine Zeitspanne t > 5τ nach dem Umschaltvorgang ist der Endwert in guter Näherung (Fehler ca. 0.67 %) erreicht. 14

F¨ ur das Verst¨ arkungsmaß bei f = fg gilt √ av (fg ) = 20 dB · log 1/ 2 ≈ −3.01 dB ,

ahernd 3 dB gegen¨ uber seinem Wert bei kleinen d. h. bei f = fg ist der Wert von av um ann¨ Frequenzen reduziert. 15 Als L¨ osungsmethode f¨ ur diese inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann etwa die Methode der Variation der Konstanten angewandt werden.

26

1. Grundlagen

E in s c h a ltv o r g a n g

A u s s c h a ltv o r g a n g

v 1(t) V

v 1(t) V

+

0

0 t

v 2(t) V

t

v 2(t)

+

0

t

+

0 t

V +

t t

Abb. 1.13. Sprungantwort des RC-Tiefpasses

Anstiegs- und Abfallzeit. Als Anstiegszeit tr wird oft die Zeit bezeichnet, die ¨ das Potential am Ausgang bei sprunghafter Anderung der Eingangsspannung benötigt, um von 10 % auf 90 % seines Endwerts anzusteigen. Aus Gl. (1.63) folgt die Zeit t10% , nach der die Ausgangsspannung 10% des Endwerts V+ erreicht hat t10% = −τ ln(0.9) , sowie die Zeit t90% nach der v2 (t) 90% des Endwerts erreicht hat t90% = −τ ln(0.1) . Die Anstiegszeit tr = t90% − t10% errechnet sich hieraus zu tr = τ ln(9) ≈ 2.2 · τ ≈ 0.35/fg .

(1.65)

Sie ist gleich der Abfallzeit tf = t10% −t90% , wie sich durch eine entsprechende Untersuchung des Ausschaltvorgangs leicht zeigen läßt. Wird die Anstiegszeit u ¨ber die Definition von Elmore berechnet, so folgt aus (1.55) der etwas größere Wert √ tr = 2π RC ≈ 2.506 τ . Periodische Eingangsspannung. Ist v2 (0) = 0 und die Eingangsspannung v1 (t) periodisch mit der Periode T , so folgt mit der Zerlegung von v1 (t) in einen Gleichanteil v1 und einen Wechselanteil ∆v1 (t) aus (1.62)

v2 (t) = v1

t 1 − exp − τ

+ ∆v2 (t) ,

mit dem Wechselanteil der Ausgangsspannung

(1.66)


1 ∆v2 (t) = τ

t 0

27

t − t ∆v1 (t ) exp − τ

dt .

(1.67)

F¨ ur t τ folgt damit f¨ ur die Ausgangsspannung v2 (t) = v1 + ∆v2 (t) . ur t τ periodisch mit der Frequenz f = 1/T . Der Wechselanteil ∆v2 (t) ist f¨ Ist f = 1/T groß im Vergleich zur Grenzfrequenz fg des Tiefpasses, so ist die Amplitude von ∆v2 (t) klein im Vergleich zur Amplitude von ∆v1 (t), da C nicht mehr schnell genug u ¨ber R umgeladen werden kann: Der Tiefpass arbeitet als Mittelwertbildner. 16 Der Wechselanteil der Ausgangsspannung ist f¨ ur t τ periodisch mit der Periode T ; liegt bei t0 ein Nulldurchgang von ∆v2 (t), so gilt 1 ∆v2 (t) = τ

t

t − t ∆v1 (t ) exp − τ t0

dt

Wegen der Periodizit¨ at gen¨ ugt es das Integral nur im Zeitintervall [t0 , t0 +1/f ] auszuwerten. F¨ ur f fg gilt dort aber stets t − t0 τ . Dies erlaubt es die Exponentialfunktion durch 1 anzun¨ ahern. Damit folgt 1 ∆v2 (t) ≈ τ

t

∆v1 (t ) dt ,

(1.68)

t0

d. h. der Wechselanteil der Ausgangsspannung folgt als Integral des Wechselanteils der Eingangsspannung. Bez¨ uglich des Wechselanteils ∆v1 (t) der Eingangsspannung arbeitet der Tiefpaß f¨ ur f fg als Integrierer. 16

Dieses Ergebnis l¨ aßt sich auch durch Zerlegen der mit der Frequenz f periodischen Eingangsspannung in eine Fourier-Reihe

n=∞

v1 (t) =

vˆ1,n e j2πnf t

mit

vˆ1,n = f

1/f

v1 (t) e −j2πnf t dt

0

n=−∞

¨ gewinnen. Da es sich beim Tiefpaß um einen linearen Ubertrager handelt, kann die Ausgangsspannung aus den Fourier-Komponenten der Eingangsspannung, multipliziert mit dem entsprechenden Spannungs¨ ubertragungsfaktor, zusammengesetzt werden

n=∞

v2 (t) =

n=−∞

vˆ1,n e j2πnf t . 1 + jnf/fg

Ist f fg , so wird bereits die Grundschwingung (n = 1) beim Durchgang durch den Tiefpaß stark bed¨ ampft, die Oberwellenanteile (n > 1) um so mehr. Einzig der Term zu n=0

v1 = f

1/f

v1 (t) dt = vˆ1,0 , 0

d. h. der Gleichanteil der Eingangsspannung, durchl¨ auft den Tiefpaß unged¨ ampft.

28 v

1. Grundlagen f = 1 0 0 k H z

1

1 5 0 W

5 V v 0 5

1 5

1 0

2 .5 V + D v 1(t) 1 0 0 n F 1

m s

i 2 .5 V + D v 2(t)

t

(a )

(b )

Abb. 1.14. (a) im Beispiel betrachtetes Eingangssignal und (b) Absch¨ atzung der Restwelligkeit

Beispiel 1.3.3 Betrachtet wird ein RC-Tiefpaß mit R = 150 Ω, C = 100 nF. Dieser besitzt die Grenzfrequenz fg =

1 = 10.61 kHz . 2πRC

Wird auf den Eingang eine rechteckf¨ ormige Spannung entsprechend der Abb. 1.14 gegeben 2.5 V in der 1. Halbperiode ∆v1 (t) = v1 (t) = 2.5 V + ∆v1 (t); −2.5 V in der 2. Halbperiode so stellt sich am Ausgang f¨ ur t τ = 15 µs ein periodischer Spannungsverlauf mit dem Gleichanteil 2.5 V und dem Wechselanteil ∆v2 (t) ein. Der Hub am Ausgang l¨ aßt sich f¨ ur f/fg 1 leicht abschätzen, da dieser dann klein gegen¨ uber dem Hub am Eingang ist und in einfachster Näherung vernachlässigt ¨ werden kann. Uber R fließt damit n¨ aherungsweise der Strom ∆v1 (t) ∆v1 (t) − ∆v2 (t) 16.7 mA f¨ ur ∆v1 = 2.5 V ≈ = i = −16.7 mA f¨ u r ∆v1 = −2.5 V R R Wegen des weitgehend konstanten Lade- bzw. Entladestroms a¨ndert sich v2 (t) ann¨ ahernd linear mit der Zeit – am Ausgang ist deshalb eine Dreiecksspannung mit einem u ¨berlagerten Gleichanteil von 2.5 V zu erwarten. In der zum Aufladen zur Verf¨ ugung stehenden Zeit ∆t = (2f )−1 (eine Halbperiode) steigt die Spannung am Kondensator n¨ aherungsweise um ∆v =

16.7 mA i ∆t = ≈ 835 mV , C 2 · 105 Hz · 100 nF

um in der n¨ achsten Halbperiode um denselben Wert wieder abzunehmen. Dasselbe Ergebnis folgt aus (1.68): Angenommen ∆v1 (t) springt bei t = 0 von −2.5 V auf 2.5 V, so folgt nach (1.68) f¨ ur den Hub w¨ ahrend der folgenden Halbperiode (∆v1 = const.) 1 1/2f 1 2.5 V 10−5 s 1 1 ∆v1 = · · = 835 mV . ∆v1 dt = τ 0 RC 2f 100 nF 150 Ω 2 Abbildung 1.15 zeigt das Ergebnis einer SPICE-Transientenanalyse f¨ ur v1 (t), v2 (t). aherung als symmetrische DreiecksspanDer Verlauf von v2 (t) zeigt sich in guter N¨


29

9 YW

9

YW

9

9 XV

9

XV 9

XV

XV

XV

XV

XV

7LPH

Abb. 1.15. Eingangs- und Ausgangsspannung am RC-Tiefpaß (f/fg ≈ 10) berechnet mit der SPICE Transientenanalyse

nung (Integration des Wechselanteils der Eingangsspannung), die dem Gleichanteil der Eingangsspannung v 1 = 2.5 V u ¨berlagert ist (Mittelwertbildung). Der durch Simulation ermittelte Hub von 823 mV am Ausgang stimmt gut mit der analytischen Absch¨ atzung u ∆ ¨berein.

Anwendung der Laplace-Transformation. Im Zeitbereich besteht zwischen Eingangsspannung v1 (t) und Ausgangsspannung v2 (t) der Zusammenhang v1 (t) − v2 (t) dv2 = , dt RC was nach Laplace-Transformation in s v 2 (s) − v2 (t = 0) =

v 1 (s) − v 2 (s) τ

u ur die Laplace-Transformierte der Aus¨bergeht. Durch Umstellen folgt f¨ gangsspannung v 2 (s) =

τ v2 (t = 0) v 1 (s) + . 1 + sτ 1 + sτ

(1.69)

Der erste Term beschreibt dabei das Verhalten im eingeschwungenen Zu¨ stand, der Ubertragungsfaktor H(s) = 1/(1+sτ ) folgt durch die Substitution ¨ jω → s aus dem Ubertragungsfaktor H(jω), wie er durch die komplexe Wechselstromrechnung ermittelt werden kann. Der zweite Term ber¨ ucksichtigt den

30

1. Grundlagen

Anfangswert der Ausgangsspannung; wird dieser Term in den Zeitbereich zur¨ ucktransformiert, so ergibt sich im Beispiel eine exponentiell gedämpfte Lösung, die f¨ ur große Zeiten gegen null geht, im eingeschwungenen Zustand also abgeklungen ist. Die Beziehung (1.69) erlaubt einen weiteren Nachweis der integrierenden Wirkung des RC-Tiefpasses. Hier gilt v 2 (s) =

1 v (s) . 1 + sτ 1

Bei Frequenzen die deutlich oberhalb 17 der Grenzfrequenz liegen, ist sτ 1 und damit v 2 (s) ≈

1 v (s) . sτ 1

Nach R¨ ucktransformation in den Zeitbereich ergibt sich wegen Gl. (1.36) auf der rechten Seite das Integral von v1 (t) u ¨ber der Zeit. a 0 d B -3 d B

V

S p e rrb e r e ic h

D u r c h la ß b e r e ic h

fg 2 0 d B /d e c lo g f

Abb. 1.16. Bode-Diagramm eines Hochpasses 1. Ordnung

1.3.5 Der RC-Hochpaß Ein Hochpaß u agt sinusf¨ ormige Eingangsspannungen hoher Frequenz ¨bertr¨ unverändert. Bei Eingangsspannungen tiefer Frequenz bewirkt er eine Abschwächung und eine Phasenvorauseilung. Abbildung 1.16 zeigt schematisch den Verlauf von av im Bode-Diagramm f¨ ur einen Hochpaß. In dem bei tiefen Frequenzen vorliegenden Sperrbereich erfolgt bei Hochpaßnetzwerken aus linearen Elementen ein Anstieg mit einem Vielfachen von 20 dB/dec entsprechend der Ordnung des Hochpasses: Ein Hochpaß der Ordnung k zeigt im Sperrbereich einen Anstieg mit k · 20 dB/dec. In dem bei hohen Frequenzen ¨ vorliegenden Durchlaßbereich ist av ≈ 0 dB. Der Ubergang zwischen Durchlaßbereich und Sperrbereich wird durch die Grenzfrequenz fg des Hochpasses markiert, bei der av den Wert −3 dB aufweist. 17

Dies setzt voraus, daß nur Wechselanteile auftreten, andernfalls w¨ urde die LaplaceTransformierte eine Komponente mit sτ 1 aufweisen.


31

¨ Ubertragungsfaktor, Bode-Diagramm F¨ ur den in Abb. 1.17 gezeigten RC-Hochpaß ergibt sich aus der Spannungsteilerformel H v (jω) =

v2 R 1 = = , −1 v1 R + (jωC) 1 + (jωτ )−1

(1.70)

wobei wiederum τ = RC gilt.

C

v 1(t)

R

v 2(t) Abb. 1.17. RC-Hochpaß

Mit der Grenzfrequenz fg = (2πRC)−1 resultiert hieraus f¨ ur Betrag und ¨ Phase des Ubertragungsfaktors Av (f ) =

f 1 fg 1 + (f/fg )2

(1.71)

sowie ϕ(f ) = arctan (fg /f ) .

(1.72)

F¨ ur kleine Frequenzen kann in Gl. (1.71) f¨ ur Av (f ) die Frequenzabhängigkeit des Wurzelausdrucks vernachl¨ assigt werden. Av (f ) steigt bei diesen Frequenzen in guter N¨ aherung proportional zur Frequenz an Av (f ) ≈

f fg

mit

fg =

1 . 2πRC

(1.73)

Im Bode-Diagramm (Abb. 1.18) resultiert f¨ ur f fg ein Anstieg mit 20 dB/dec, d. h. es liegt ein Hochpaß 1. Ordnung vor. F¨ ur ωτ 1 bzw. f fg n¨ ahert sich Av (f ) dem Wert 1 (bzw. av → 0 dB); die Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal, die bei kleinen Frequenzen 90◦ beträ√gt, wird nun zu 0◦ . Bei der Grenzfrequenz gilt wie beim Tiefpaß Av (fg ) = 1/ 2; die Phasenverschiebung zwischen Eingang und Ausgang ist hier jedoch 45◦ .

Impulsverhalten Die Analyse des Impulsverhaltens wird wie beim Tiefpaß im Zeitbereich durchgef¨ uhrt. Der Knotensatz liefert (im unbelasteten Fall) f¨ ur den Ausgangsknoten C

v2 d (v1 −v2 ) = dt R

32

1. Grundlagen F re q u e n z f fg d B

1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

H z

0

1 M -3 d B

-1 2

a

-2 4 v

-3 6

-4 8 9 0

j

6 0 4 5 3 0

0

1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

H z

Abb. 1.18. BodeDiagramm f¨ ur einen RC-Hochpaß mit fg = 6 kHz

1 M

F re q u e n z f

bzw. mit τ = RC dv2 v2 dv1 + = = v˙ 1 (t) . dt τ dt

(1.74)

Die Lösung zum Anfangswert v2 (0) ist in diesem Fall

v2 (t) = v2 (0+ ) exp −

t τ

t

+ 0+

v˙ 1 (t ) exp −

t − t τ

dt .

(1.75)

Einschalt- und Ausschaltvorgang. Als einfache Spezialfälle werden der Einschaltvorgang und der Ausschaltvorgang betrachtet. Beim Einschaltvorgang springt v1 bei t = 0 vom Wert 0 auf den Wert V+ . Da die Spannung u ¨ber der Kapazität dabei erhalten bleibt (vC (0+ ) = vC (0− ) = 0), folgt v2 (0+ ) = V+ . Wegen der f¨ ur t > 0 konstanten Eingangsspannung v1 (t), gilt v˙ 1 (t) = 0 f¨ ur alle Zeiten t > 0. Aus diesem Grund verschwindet das Integral in Gl. (1.75) und der Ausgangsspannungsverlauf ergibt sich zu

t v2 (t) = V+ exp − τ

.

(1.76)

Das Verhalten beim Ausschaltvorgangfolgt auf analoge Weise. Hier war die


33

E in s c h a ltv o r g a n g

A u s s c h a ltv o r g a n g

v 1(t) V

v 1(t) V +

0

+

0 t

v 2(t) V +

t

v 2(t)

t 0

t t

0 t

-V +

Abb. 1.19. Sprungantwort des RC-Hochpasses

Kapazität vor dem Sprung der Eingangsspannung auf die Spannung V+ aufgeladen, d. h. hier gilt direkt nach dem Umschalten v2 (0+ ) = −V+ . Aus Gl. (1.75) folgt so der Ausgangsspannungsverlauf

t v2 (t) = −V+ exp − τ

.

(1.77)

Abbildung 1.19 zeigt f¨ ur beide Situationen den Verlauf der Spannung an Eingang und Ausgang. Als charakteristische Zeit f¨ ur das Erreichen des jeweiligen Endwerts dient auch hier τ = RC. F¨ ur kleine Werte von τ f¨ allt der Exponentialfaktor im Integranden in Gl. (1.75) f¨ ur t < t schnell zu null hin ab. In diesem Fall ist es sinnvoll v˙ 1 (t ) um t zu entwickeln dv1 = v˙ 1 (t ) = v˙ 1 (t) + v¨1 (t) · (t − t) + ..... dt Wird diese Entwicklung in Gl. (1.75) verwendet, so folgt nach Ausf¨ uhren der ur t τ Integrale die Ausgangsspannung zum Anfangswert v2 (0) = 0 f¨ v2 (t) ≈ τ v˙ 1 (t) + τ 2 v¨1 (t) + ..... Im Grenzfall kleiner Werte von τ folgt so v2 (t) ≈ τ

dv1 , dt

d. h. der Hochpaß arbeitet als Differenzierer.

(1.78)

34

1. Grundlagen

9

P9

YW

P9

9

P9

9

!! P9 PV

YW PV 9

PV 9

PV

PV

PV

7LPH

Abb. 1.20. Eingangs- und Ausgangsspannung des RC-Hochpasses (f/fg ≈ 0.1) berechnet mit der SPICE Transientenanalyse

Anwendung der Laplace-Transformation. Die differenzierende Eigenschaft des ¨ RC-Hochpasses kann auch durch Entwickeln des Ubertragungsfaktors H(s) und Anwenden von (1.33) gezeigt werden. F¨ ur kleine Frequenzen (sτ 1) folgt H(s) =

sτ = sτ 1 − sτ + s2 τ 2 − +... . 1 + sτ

Wird nur der erste Term der Entwicklung beibehalten, so verbleibt v 2 (s) = sτ v 1 (s) . Bei R¨ ucktransformation in den Zeitbereich ergibt sich wegen Gl. (1.33) auf der rechten Seite die Ableitung von v1 (t) nach der Zeit. Beispiel 1.3.4 Wird auf den Eingang eines RC-Hochpasses mit R = 150 Ω, C = 150 nF, fg = 10.61 kHz eine Dreiecksspannung entsprechend Abb. 1.21 gegeben, so ist bei steigender Flanke 5V V dv1 = = 104 dt 0.5 ms s und bei fallender Flanke dv1 V −5 V = = −104 . dt 0.5 ms s

1.3. Lineare Netzwerke v 1

35

f= 1 k H z

5 V

0

1 m s

2 m s t

Abb. 1.21. In Beispiel 1.3.4 betrachteter Verlauf der Eingangsspannung

Da die Frequenz der Eingangsspannung klein ist gegen¨ uber der Grenzfrequenz des Hochpasses, wird am Ausgang eine symmetrische Rechteckspannung erwartet: Die Ableitung einer Geraden ergibt eine Konstante. Mit RC = 15 µs folgt f¨ ur die Ausgangsspannung dv1 150 mV bei steigender Flanke = v2 ≈ τ −150 mV bei fallender Flanke dt Abbildung 1.20 zeigt das Ergebnis einer entsprechenden SPICE-Transientenanalyse f¨ ur v1 (t) und v2 (t). F¨ ur v2 (t) ergibt sich in guter Näherung der erwartete Verlauf. ∆

1.3.6 RC-Bandpass Besitzt ein Netzwerk sowohl bei hohen als auch bei tiefen Frequenzen einen Sperrbereich und bei mittleren Frequenzen einen Durchlaßbereich, so liegt ein Bandpaß 18 vor. Der prinzipielle Verlauf von av im Bode-Diagramm ist in Abb. 1.22 skizziert.Die Grenzen des Durchlaßbereichs werden nach unten durch die a V

E in fü g u n g s d ä m p fu n g D u r c h la ß b e r e ic h

0 d B

3 d B fg u

fm

fg o

lo g f

Abb. 1.22. Bode-Diagramm eines Bandpasses

untere Grenzfrequenz fgu und nach oben durch die obere Grenzfrequenz fgo bestimmt. Die Differenz B = fgo − fgu heißt Bandbreite des Bandpasses; das geometrische Mittel

fm = 18

fgu fgo

(1.79)

Eine Bandsperre weist im Gegensatz zum Bandpass sowohl bei tiefen als auch bei hohen Frequenzen einen Durchlaßbereich auf; lediglich im Bereich zwischen der unteren Grenzfrequenz fgu und der oberen Grenzfrequenz fgo besitzt av einen Wert kleiner als −3 dB.

36

1. Grundlagen

der beiden Grenzfrequenzen wird als Bandmittenfrequenz bezeichnet. Bei logarithmisch unterteilter Frequenzskala liegt fm genau in der Mitte zwischen fgu und fgo . Ein Bandpaß heißt schmalbandig, falls B fm gilt; als Maß gilt die relative Bandbreite B/fm . Die Abschwächung des Signals bei der Bandmittenfrequenz wird als Einf¨ ugungsd¨ ampfung bezeichnet (Abb. 1.22). R v

C 1

1

R 1

2

C

v 2

2

Abb. 1.23. RC-Bandpaß

¨ Ubertragungsfaktor, Bode-Diagramm Abbildung 1.23 zeigt den Schaltplan eines RC-Bandpasses. Die Impedanz der Parallelschaltung von R2 und C2 ist

Z =

1 + jωC2 R2

−1

=

R2 . 1 + jωR2 C2

Mit Hilfe der komplexen Spannungsteilerformel folgt so f¨ ur den Spannungs¨ ubertragungsfaktor H v (jω) =

1 . R1 C2 1 1+ + + + jωR1 C2 R2 C1 jωC1 R2

F¨ ur sehr kleine Frequenzen ist im Nenner des Ausdrucks f¨ ur H v (jω) der Term 1/(jωC1 R2 ) dominierend, Av (f ) verh¨ alt sich dann wie Av (f ) = 2πC1 R2 f =

f f1

mit

f1 =

1 . 2πC1 R2

Die Impedenz von R1 ist gegen¨ uber der von C1 vernachlässigbar, die Admituber der von R2 , d.h. die Schaltung verhält sich wie ein tanz von C2 gegen¨ RC-Hochpaß mit den Elementen C1 und R2 . Das Verstärkungsmaß steigt in diesem Frequenzbereich mit 20 dB pro Dekade an. Bei hohen Frequenzen wird der Nenner im Ausdruck f¨ ur H v (jω) durch den Term jωR1 C2 dominiert. Die Spannungsverstärkung verhält sich dann wie Av (f ) ≈

f2 1 mit f2 = . f 2πR1 C2

In diesem Frequenzbereich f¨ allt das Verstärkungsmaß mit 20 dB pro Dekade ab; die Impedanz von C1 ist gegen¨ uber der von R1 vernachlässigbar, die uber der von C2 , d.h. die Schaltung verhält sich Admittanz von R2 gegen¨


37 F re q u e n z f

f1 1 0

f2

1 0 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

H z

1 M

0

d B -6 -1 2

a v(f)

-1 8 -2 4

-3 0

8 0 4 0

0

j -4 0 -8 0

1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

H z

1 M

F re q u e n z f

Abb. 1.24. BodeDiagramm f¨ ur den Bandpaß (Wienbr¨ ucke mit R1 = 100 Ω, R2 = 100 Ω, C1 = 10 µF, C2 = 100 nF)

wie ein RC-Tiefpaß mit den Elementen R1 und C2 . Die Werte von f1 und f2 lassen sich durch lineare Extrapolation des ansteigenden bzw. abfallenden Kurvenst¨ ucks im Bodeplot zu 0 dB bestimmen (Abb. 1.24). ¨ Bei korrekter Dimensionierung weist der Ubertragungsfaktor zusätzlich einen Bereich auf, in dem gilt 1+

R1 C2 f1 + R2 C1 f

und

1+

f R1 C2 + R2 C1 f2

hier zeigt der Bodeplot des Bandpasses ein deutlich ausgeprägtes Plateau ¨ (Ubertragungsband); in diesem gilt H v (f ) ≈

1 = Hv0 . 1 + R1 /R2 + C2 /C1

Die Grenzfrequenzen des Bandpasses liegen bei fgu = Hv0 f1 =

Hv0 2πR2 C1

und

fgo = f2 /Hv0 =

die Bandmittenfrequenz ist

fgu fgo =

f1 f2 =

2π

√

1 . R1 R2 C1 C2

1 ; 2πHv0 R1 C2

38

1. Grundlagen

Die Phasenverschiebung des Bandpasses nähert sich vom Wert 90◦ f¨ ur kleine Frequenzen, bei denen das Hochpaßverhalten dominiert, dem Wert 0◦ im ¨ Ubertragungsband und verl¨ auft gegen den Wert −90◦ im Bereich großer Frequenzen, in dem das Tiefpaßverhalten dominiert (Abb. 1.24). R i( t)

L d i/d t

i( t)

v 1(t)

v 2(t) C

Abb. 1.25. RLC-Reihenschwingkreis

1.3.7 Der LRC-Reihenschwingkreis ¨ Ubertragungsfaktor, Bode-Diagramm Der Spannungs¨ ubertragungsfaktor des in Abb. 1.25 skizzierten Reihenschwingkreises folgt aus der komplexen Spannungsteilerformel zu H v (jω) =

(jωC)−1 1 . = −1 R + jωL + (jωC) 1 + jωRC − ω 2 LC

(1.80)

Wird mittels ω0 = 2πf0 = √

1 , LC

δ=

R 2L

und

Q=

1 ω0 = ω0 RC 2δ

(1.81)

die Eigenkreisfrequenz ω0 des unged¨ ampften Schwingkreises (Kennkreisfrequenz), die Abklingkonstante δ und die G¨ ute Q eingef¨ uhrt, so ergibt sich f¨ ur ¨ Betrag und Phase des Ubertragungsfaktors als Funktion der Frequenz Av (f ) =

1 − sowie

ϕ(f ) = − arctan

1 1 2− 2 Q

2 f

f02

f f0 Q(f02 −f 2 )

f4 + 4 f0

(1.82)

.

aherung gleich eins, d. h. F¨ ur f f0 ist Av (f ) in sehr guter N¨ av ≈ 0 dB

f¨ ur

f →0;

die Phasenverschiebung betr¨ agt dort annähernd 0◦ . Unter der Voraussetzung √ Q > 1/ 2 steigt der Spannungs¨ ubertragungsfaktor mit der Frequenz f an bis zum Maximum bei der Resonanzfrequenz


39 F re q u e n z f fr

1 0

d B

1 0 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

H z

1 M

2 4 0

-2 4

a v

-4 8 -7 2 0

-4 0 -8 0

j

-1 2 0 -1 6 0

-2 0 0 1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

H z

F re q u e n z f

ω0 ωr = fr = 2π 2π

1−

1 1 2 = ω0 − 2δ 2 , 2Q2 2π

1 M

Abb. 1.26. BodeDiagramm f¨ ur den Reihenschwingkreis (R = 10 Ω, L = 100 mH, C = 1 µF)

(1.83)

wie sich durch Ableiten leicht feststellen läßt. Im Maximum besitzt der Spannungs¨ ubertragungsfaktor den Wert Av (fr ) =

Q . 1 − 1/(4Q2 )

(1.84)

√ Unter der Voraussetzung Q > 1/ 2 u ¨berschreitet der Wert von av in der Nähe der Resonanzfrequenz den Wert 0 dB, was als Resonanz¨ uberh¨ ohung bezeichnet wird; im Fall Q 1 gilt av (fr ) ≈ 20 dB · log(Q) . Als Resonanzbreite wird die Breite des Frequenzintervalls bezeichnet, in dem av um weniger als 3 dB unter seinem Maximalwert liegt. Aus der Forderung ur f , die av (f ) = av (fr ) − 3 dB resultiert eine biquadratische Gleichung f¨ zwei positive L¨ osungen fgu und fgo aufweist. F¨ ur Q 1 folgt daraus f¨ ur die Resonanzbreite fgo − fgu ≈ f0 /Q = δ/π .

(1.85)

40

1. Grundlagen

Die Resonanzbreite ist um so kleiner, je größer die G¨ ute Q des Reihenschwingkreises ist. F¨ ur f f0 = ω0 /2π wird die Spannungsverstärkung Gl. (1.82) durch den Term (f/f0 )4 dominiert, so daß gilt

Av ≈ 1

(f/f0 )4 ≈ f02 /f 2 .

F¨ ur av resultiert hier ein Abfall mit 40 dB/dec; die Phasenverschiebung beträgt in diesem Frequenzbereich ann¨ ahernd −180◦ . Das Bode-Diagramm f¨ ur den LRC-Reihenschwingkreis ist in Abb. 1.26 zu sehen.

Impulsverhalten Zur Untersuchung des Einschwingverhaltens der Schaltung werden die Netzwerkgleichungen der nebenstehend skizzierten Schaltung im Zeitbereich unur die Spannungsabfälle an R und L tersucht. Wegen i(t) = C dv2 /dt gilt f¨ dv2 1 dv2 = dt Qω0 dt dv22 di 1 dv22 = LC 2 = 2 2 . vL (t) = L dt dt ω0 dt

vR (t) = R i(t) = RC

Der Maschensatz lautet damit v1 (t) = v2 (t) +

1 dv 2 1 dv2 + 2 22 . Qω0 dt ω0 dt

(1.86)

Der Einfachheit halber wird nur der Einschaltvorgang untersucht, bei dem zur Zeit t = 0 die Spannung v1 (t) sprunghaft von 0 auf V+ angehoben wird. ur Zeiten t > 0 dann zu Mit δ = ω0 /2Q kann die Differentialgleichung (1.86) f¨ ω02 V+ = ω02 v2 (t) + 2δ

dv2 dv22 + 2 dt dt

(1.87)

vereinfacht werden. Direkt nach dem Einschalten befindet sich noch keine Ladung auf der Kapazit¨ at; dies f¨ uhrt auf die Anfangsbedingung v2 (0+ ) = 0 .

(1.88)

Da der Strom i(t) zuvor null war, muß auch direkt nach dem Schaltzeitpunkt i(0+ ) = 0 gelten, da der Strom wegen der Induktivität nur mit endlicher Geschwindigkeit ansteigen kann. Dies f¨ uhrt wegen i = C v˙ 2 auf die zweite Anfangsbedingung v˙ 2 (0+ ) = 0 .

(1.89)

¨ Die Lösung zu Gl. (1.87) ergibt sich durch Uberlagern einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zur allgemeinen Lösung der


41

homogenen Differentialgleichung. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist durch v2 (t) = V+ gegeben, wie durch Einsetzen leicht u uft werden kann. Die allgemeine ¨berpr¨ Lösung der homogenen Differentialgleichung folgt durch Exponentialansatz uhrt auf die charakteristische Gleichung v2 (t) ∼ e st ; dieser f¨ ω02 + 2δs + s2 = 0

(1.90)

mit den Eigenwerten s± = −δ ±

δ 2 −ω02 .

Abhängig vom Verh¨ altnis der Gr¨ oßen δ und ω0 werden drei verschiedene Fälle unterschieden, die in der Folge n¨ aher betrachtet werden.

s± = −δ ± δ 2 −ω02 s± = −δ s± = −δ ± j ω02 −δ 2

δ > ω0 δ = ω0 δ < ω0

Kriechfall Aperiodischer Grenzfall Schwingungsfall

Kriechfall. F¨ ur δ > ω0 bzw. Q > 1/2 ergeben sich zwei reelle Lösungen der charakteristischen Gleichung, d. h. die allgemeine Lösung ist von der Form v2 (t) = V+ + a+ e s+ t + a− e s− t . Werden die Konstanten a+ und a− so bestimmt,daß die Anfangsbedingungen (1.88) und (1.89) erf¨ ullt sind, so folgt mit ζ = δ 2 −ω02

v2 (t) = V+ 1 − e

−δ t

δ cosh(ζt) + sinh(ζt) ζ

.

(1.91)

Im Fall sehr starker D¨ ampfung (δ ω0 bzw. Q 1) kann entwickelt werden

ζ =

δ

2

−ω02

= δ

1 − ω02 /δ 2 ≈ δ −

ω02 = δ − Qω0 . 2δ

ultige Aus Gl. (1.91) resultiert damit die f¨ ur δ · t 1 bzw. t > 2Q/ω0 g¨ Näherung

v2 (t) ≈ V+ 1 − e −Qω0 t

.

(1.92)

d. h. das Einschwingverhalten entspricht in guter Näherung dem eines RCTiefpasses mit τ = (Qω0 )−1 .

42

1. Grundlagen

Aperiodischer Grenzfall. Im Fall δ = ω0 bzw. Q = 1/2 fallen die beiden Lösungen s+ und s− zusammen. Die zu den Anfangsbedingungen gehörende Lösung der Differentialgleichung ist dann

v2 (t) = V+ 1 − e−ω0 t (1+ω0 t) .

(1.93)

Hier wird der Endwert der Ausgangsspannung am schnellsten erreicht.

9 & Q) 4

/ X+

4

Y 4 4

9

V

XV 9

XV 9 7LPH

XV

XV

XV

Abb. 1.27. Einschwingverhalten des in Beispiel 1.3.5 untersuchten RLC-Reihenschwingkreises f¨ ur unterschiedliche Werte der G¨ ute Q

√ Schwingungsfall. F¨ ur δ < ω0 bzw. Q > 1/2 folgt s± = −δ ± j ωd mit

ωd =

ω02 −δ 2 ;

die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung (1.87) lautet in diesem Fall v2 (t) = V+ + ae −δ t sin(ωd t+ϕ) . Werden die Integrationskonstanten a und ϕ entsprechend den Anfangsbedingungen (1.88) und (1.89) bestimmt, so folgt

v2 (t) = V+ 1 − e

−δ t

sin(ωd t+ϕ) sin ϕ

(1.94)


43

mit ϕ = arctan ( ωd /δ). Die Ausgangsspannung wird auch hier gegen den ¨ Endwert V+ verlaufen. Dabei treten jedoch Uberschwinger auf: Der Wert von v2 (t) oszilliert um den Endwert V+ mit einer Abklingzeitkonstante 1/δ. Das zeitabhängige Verhalten von v2 (t) wurde durch Lösen der Differentialgleichung (1.87) im Zeitbereich gewonnen. Das Einschwingverhalten erwies sich dabei als abh¨ angig von den L¨ osungen der charakteristischen Gleichung. ¨ upft. Ersetzt Diese ist jedoch eng mit dem Ubertragungsfaktor H v (jω) verkn¨ ¨ man im Ubertragungsfaktor (1.80) die Variable jω durch s, so läßt sich die charakteristische Gleichung (1.90) auch als 1/H(s) = 0 schreiben. Die Lösungen der charakteristischen Gleichung entsprechen demnach Nullstellen von ¨ H v (s). 1/H v (s), d. h. Polen des Ubertragungsfaktors Beispiel 1.3.5 Als Beispiel wird ein RLC-Reihenschwingkreis mit der Kennkreisfrequenz ω0 = 6π · 105 Hz betrachtet. Zu C = 100 nF ist dabei L = ω0−2 · C = 2.81 µH zu w¨ ahlen. Abbildung 1.27 zeigt die Ausgangsspannung v2 (t) f¨ ur drei verschiedene Werte von R. Die Widerstandswerte wurden so gewählt, daß Q = 5 (bedämpfte Schwingung), Q = 0.5 (aperiodischer Grenzfall) und Q = 0.05 (Kriechfall) gilt. F¨ ur Q = 5 wird erwartungsgem¨ aß eine bed¨ ampfte Schwingung und f¨ ur Q = 0.5 ein sehr schneller Anstieg gegen den Endwert beobachtet. Die f¨ ur Q = 0.05 in Abb. 1.27 abzulesende Zeit, nach der die Ausgangsspannung auf 63% ihres Endwerts angestiegen ist, stimmt ebenfalls sehr gut mit der Abschätzung τ ≈ (ω0 Q)−1 ≈ 10.6 µs u ∆ ¨berein.

9 Y 9 Y 9

9

9

V

9

XV 9

XV

XV

XV

XV

XV

7LPH

Abb. 1.28. Anregung der dritten Harmonischen in einem Reihenschwingkreis (Q = 10)

44

1. Grundlagen

Beispiel 1.3.6 Das mit der Resonanz¨ uberhöhung verkn¨ upfte Bandpaßverhalten kann gezielt zur Frequenzvervielfachung eingesetzt werden, wenn die Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreises auf die gew¨ unschte Frequenz abgestimmt wird und die eingehende Spannung dort Oberwellenanteile aufweist. Abbildung 1.28 zeigt das Ergebnis einer SPICE-Transientenanalyse bei der eine rechteckf¨ ormige Eingangsspannung der Periode T = 10 µs auf den in Beispiel 1.3.5 betrachteten RLC-Reihenschwingkreis mit Q = 10 gegeben wird. Die Resonanzfrequenz des Schwingkreises betr¨ agt ann¨ ahernd das dreifache der Frequenz der Grundschwingung des Eingangssignals, d. h. fr ≈ 3/T . Da vorzugsweise die Oberwellenanteile mit f ≈ fr u ¨bertragen werden, weist das Ausgangssignal einen dominierenden Anteil mit f = 300 kHz auf, dem ein Anteil mit f = 100 kHz u ¨berlagert ist. Dies zeigt auch der folgende Ausdruck einer Fourier-Analyse des Eingangs- und Ausgangssignals. ************************************************************************ FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(1) DC COMPONENT = 2.505010E+00 HARMONIC NO

FREQUENCY (HZ)

FOURIER COMPONENT

NORMALIZED COMPONENT

PHASE (DEG)

NORMALIZED PHASE (DEG)

1 2 3 4 5

1.000E+05 2.000E+05 3.000E+05 4.000E+05 5.000E+05

3.183E+00 1.002E-02 1.061E+00 1.002E-02 6.366E-01

1.000E+00 3.148E-03 3.333E-01 3.148E-03 2.000E-01

1.804E-01 9.036E+01 5.411E-01 9.072E+01 9.018E-01

0.000E+00 9.018E+01 3.607E-01 9.054E+01 7.214E-01

FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(2) DC COMPONENT = 2.499683E+00 HARMONIC NO

FREQUENCY (HZ)

FOURIER COMPONENT


PHASE (DEG)


1 2 3 4 5

1.000E+05 2.000E+05 3.000E+05 4.000E+05 5.000E+05

3.578E+00 1.293E-03 1.062E+01 1.430E-03 3.568E-01

1.000E+00 3.614E-04 2.967E+00 3.996E-04 9.970E-02

-2.139E+00 1.368E+02 -8.925E+01 -4.507E+00 -1.747E+02

0.000E+00 1.389E+02 -8.711E+01 -2.369E+00 -1.726E+02

************************************************************************

W¨ ahrend das Verh¨ altnis der Amplituden der Grundschwingungen an Ein- und Ausgang ann¨ ahernd denselben Wert aufweist (Av (100 kHz) ≈ 1), ist die Amplitude der 3. Oberschwingung von V(2) als Folge der Resonanz¨ uberhöhung annähernd zehnmal so groß wie diejenige von V(1), was dem Faktor Q entspricht. Da die Fourierreihe der Rechteckspannung keine geradzahligen Harmonischen aufweist, können die von SPICE an diesen Stellen berechneten Werte als Anhaltspunkt f¨ ur den numerischen Fehler der Fourier-Transformation angesehen werden. Dieser läßt sich verringern, wenn das maximal zul¨ assige Zeitinkrement der Transientenanalyse geringer gewählt wird. ∆

1.4. Nichtlineare Netzwerke

45

1.4 Nichtlineare Netzwerke Linearität kann i.allg nur bei hinreichend kleiner Signalamplitude angenommen werden: Bei gr¨ oßeren Signalamplituden gen¨ ugt die Annäherung der Kennlinien u ¨ber Tangenten im Arbeitspunkt (X0 , Y0 ) nicht mehr - die Entwicklung der Kennlinie in eine Taylor-Reihe19 darf dann nicht mehr nach dem linearen Glied abgebrochen werden. Betrachtet wird ein nichtlineares Netzwerk bei dem das Eingangssignal X0 + x∼ (t) das Ausgangssignal Y0 + y∼ (t) ergibt. Die Kleinsignalausgangsgröße y∼ (t) folgt bei Entwicklung der Kennlinie y(x) bis zum N -ten Glied als Polynom N -ter Ordnung der Kleinsignaleingangsgröße x∼ (t) y(t) =

N

αk xk (t)

k=1

mit

1 dk y αk = . k! dxk X

(1.95)

0

Bei sinusförmigem Eingangssignal der Frequenz f ergibt sich das Ausgangs¨ signal als Uberlagerung von Grundschwingungung (Frequenz f ) und Oberschwingungen (sinusf¨ ormigen Signalen der Frequenz mf , 2 ≤ m ≤ N ). ¨ Ist das Kleinsignal-Eingangssignal eine Uberlagerung zweier sinusförmiger Signale unterschiedlicher Frequenz f1 und f2 so ergibt sich das Ausgangssignal ¨ als Uberlagerung verschiedener Mischprodukte“, d.h. sinusförmiger Signale ” mit Frequenzen mf1 + nf2 , wobei m und n ganze Zahlen bezeichnen, die der Bedingung 1 ≤ |m|+|n| ≤ N gen¨ ugen. Die Summe |m|+|n| wird als Ordnung des Mischprodukts bezeichnet. Wird die Kennlinie durch ein Polynom N ter Ordnung angen¨ ahert, so stellen sich im Ausgangssignal Mischprodukte maximal N -ter Ordnung ein.

1.4.1 Harmonische, Kompressionspunkt Wird das Eingangssignal x(t) = x ˆ cos(ωt) in ein nichtlineares Netzwerk gespeist, so resultiert ein Ausgangssignal der Form y(t) = y0 +

∞

yˆk cos(kωt+ϕk ) .

k=1

y1 heißt m-ter Teilklirrfaktor; die Größe Das Verhältnis HDm = yˆm /ˆ ∞ THD = HDk2

(1.96)

k=2 19

Diese Betrachtung gilt nur f¨ ur sog. Systeme ohne Ged¨ achtnis, die durch Angabe ihrer Kennlinie vollst¨ andig charakterisiert sind - sind kapazitive oder induktive Effekte von Bedeutung, so ist die Taylor-Reihe durch eine sog. Volterra-Reihe zu ersetzen [12–14].

46

1. Grundlagen

ist der Klirrfaktor. Im Folgenden wird ein System betrachtet, dessen Spannungs¨ ubertragungskennlinie durch ein Polynom 3. Ordnung beschrieben wird; die Eingangsspannung sei vi (t) = vî cos(ωt). Mit den Beziehungen 1+cos(2ωt) 2 folgt f¨ ur das Ausgangssignal cos2 (ωt) =

vo (t) =

3

cos3 (ωt) =

und

3 cos(ωt)+cos(3ωt) , 4

α2 2 vˆ + α1 (1+3κ3 ) vî cos(ωt) 2 i

αp vip (t) =

p=1

+α1 κ2 cos(2ωt) + α1 κ3 cos(3ωt) ; die Koeffizienten α2 κ2 = vî ≈ HD2 2α1

und

κ3 =

α3 2 vˆ ≈ HD3 4α1 i

(1.97)

(1.98)

entsprechend dabei ann¨ ahernd dem 2. und 3. Teilklirrfaktor. P

o u t

(d B m )

lin e a r e r B e r e ic h 1 d B

(a ) (b ) (c ) R a u s c h e n P n

P

-1 d B

IP

2 h

IP

3 h

P

in

(d B m )

Abb. 1.29. Ausgangsleistung der (a) 1. Harmonischen (Grundschwingung), (b) 2. Harmonischen (1. Oberschwingung) und der (c) 3. Harmonischen (2. Oberschwingung) f¨ ur verschiedene Werte der Eingangsleistung

Abbildung 1.29 zeigt die Ausgangsleistung 20 der ersten drei Harmonischen als Funktion der Eingangsleistung. Abbildung 1.29 und (1.97) zeigen folgende ¨ Konsequenzen des nichtlinearen Ubertragungsverhaltens: ¨ 1. Die 2. Ableitung der Ubertragungskennlinie f¨ uhrt zu einem Gleichanteil des Ausgangssignals. 20

Es ist u ur eine ohmsche Last mit 50 Ω in dBm anzugeben. Die Signalampli¨blich diese f¨ tude vî = 100 mV entspricht dann beispielsweise der Eingangsleistung Pi = vî2 /2R = 0.1mW oder −10 dBm.


47

2. Bei kleinen Werten der Eingangsleistung hebt sich nur die Grundschwingung (1. Harmonische) aus dem Rauschen heraus. Erst bei größeren Werten der Eingangsleistung tragen die 2. und 3. Harmonische zur Ausgangsleistung bei. Da κ2 ∼ vî und κ3 ∼ vî2 gilt, steigen die Ausgangsamplituden der 2. und 3. Harmonischen schneller als die der Grundschwingung. Durch lineare Extrapolation der Kennlinien f¨ ur die 1., 2. und 3. Harmonische erhält man die Intercept-Punkte21 2. und 3. Ordnung IP2h und IP3h . ¨ 3. Durch die dritte Ableitung der Ubertragungskennlinie wird die Verstärkung der 1. Harmonischen beeinflußt. Die Ausgangsamplitude der 1. Harmonischen ist α1 vî (1 + 3κ3 ), und entspricht der Kleinsignalverstärkung arkern ist κ3 in der Regel negativ, d.h. die Klein|α1 (1+3κ3 )|. In Verst¨ signalverstärkung nimmt mit zunehmender Amplitude vî des Eingangssignal ab. Dieser Effekt wird als gain compression bezeichnet; er wird in der Regel u ¨ber den (1 dB)-Kompressionspunkt, charakterisiert, das ist der Wert des Eingsignals bei dem die Verstärkung um 1 dB gegen¨ uber ihrem Kleinsignalwert |α1 | abgenommen hat. Die Amplitude vî,cp des Eingangssignals am Kompressionspunkt ergibt sich aus der Bedingung −1 dB = 20 dB log( 1+3κ3 ) = 20 dB log(e) ln( 1+3κ3 )

≈ 8.68 dB × 3κ3

zu vî,cp ≈ |α1 /6.51 α3 |. Dies entspricht der Eingangsleistung P−1 dB = 2 /R . Die durch den Kompressionspunkt maximal zul¨ vî,cp assige Eingangsi leistung wird i.allg. gemeinsam mit der durch das Rauschen bedingten minimal detektierbaren Eingangsleistung Pn zur Definition des Dynamikbereichs verwendet, der als das Verh¨ altnis P−1 dB /Pn berechnet und in dB ausgedr¨ uckt wird.

1.4.2 Intermodulation, Mischprodukte Nun wird ein Eingangssignal x(t) betrachtet, das aus zwei sinusförmigen Signalen mit Kreisfrequenzen ω und ω zusammengestezt ist x(t) = x ˆ cos(ωt) + x ˆ cos(ω t) .

(1.99)

Die Terme ∼ x2 (t) und ∼ x3 (t) bedingen Terme der Form cos(ωt) cos(ω t) und cos2 (ωt) cos(ω t). Mit den Beziehungen cos(ωt) cos(ω t) =

cos[(ω−ω )t ] + cos[(ω+ω )t ] 2

und 21

Bei diesen w¨ urde der 2. bzw. 3. Teilklirrfaktor HD2 bzw. HD3 gleich eins, falls die Ausgangsleistungen der einzelnen Harmonischen im gesamten Bereich dem bei der Extrapolation zugrundegelegten Potenzgesetz gen¨ ugen, was nicht exakt der Fall ist.

48

1. Grundlagen

1 + 3 m

y (w )

3

1 + 3 m 3

g = 1

k

m 3

k 2

m 3

2

k 3

3 w

w + w '

2 w '- w

2 w

w '

w

0

w '- w

0

2 w -w '

k

3

3

w

3 w '

m 3

2

w + 2 w '

m

m 2

2 w + w '

m

2 w '

a 1x

Abb. 1.30. Durch zwei sinusf¨ ormige Signale der Kreisfrequenzen ω, ω (identische Amplitude x ˆ) hervorgerufenes Spektrum am Ausgang (normiert)

cos[(2ω+ω )t ] + cos[(2ω−ω )t ] + 2 cos(ω t) , 4

cos2 (ωt) cos(ω t) =

resultieren im Ausgangssignal Beitr¨ age mit den Kreisfrequenzen (ω + ω ), (ω −ω ), (2ω +ω ), (2ω −ω ), (2ω +ω) und (2ω −ω). Derartige Mischprodukte werden vorzugsweise durch die Koeffizienten µ2 = α2 x ˆ/α1

und

µ3 = 3α3 x ˆ2/4α1 ,

(1.100)

bestimt, die mit den Teilklirrfaktoren u ¨ber die Beziehungen µ2 = 2κ2 und µ3 = 3κ3 zusammenh¨ angen. Bezeichnet γ = x ˆ /ˆ x das Amplitudenverhältnis der beiden Eingangssignale, so ist das Ausgangssignal in dritter Ordnung,

ˆ κ2 (1+γ 2 ) + 1 + (1+2γ 2 )µ3 cos(ωt) y(t) = α1 x

+ γ 1 + (γ 2 +2)µ3 cos(ω t) + κ2 cos(2ωt) + γ 2 κ2 cos(2ω t) + κ3 cos(3ωt) + γ 3 κ3 cos(3ω t)

+ γµ2 cos (ω+ω )t + γµ2 cos (ω−ω )t + γµ3 cos[(2ω+ω )t ] + γµ3 cos[(2ω−ω )t ] +γ 2 µ3 cos[(2ω +ω)t ] + γ 2 µ3 cos[(2ω −ω)t ]

!

.

(1.101)

Abbildung 1.30 illustriert das Ausgangsspektrum f¨ ur den Spezialfall γ = 1. Durchlaufen zwei starke Signal mit Kreisfrequenzen ω und ω ein nichtlineares Netzwerk, so entstehen Intermodulationsprodukte mit Kreisfrequenzen onnen in der Nähe der Kreisfrequenz ω eines 2ω − ω und 2ω − ω ; diese k¨


49

zu verstärkenden (schwachen) Signals liegen und dieses erheblich stören. In linearen Verst¨ arkern muß der Koeffizient µ3 deshalb möglichst klein sein. Abschw¨ achung, Blocking. Angenommen, ein Netzwerk soll das schwache Signal x ˆ cos(ωt) verst¨ arken. Wird diesem ein starkes (γ 1) Signal x ˆ cos(ω t) u arkte Signal der Kreisfrequenz ω die Amplitude ¨berlagert, so weist das verst¨

2

1 + (1+2γ )µ3 α1 x ˆ =

3α3 (ˆ x2 +2ˆ x2 ) 1+ α1 x ˆ 4α1

(1.102)

2 0 d B lo g |y ( w ) | 2 0 d B lo g | y ( 2 w + w ') |

auf. Falls wie u ¨blich α3 < 0 gilt resultiert eine mit der Amplitude des Störsignals abnehmende Verst¨ arkung des Nutzsignals, das sog. Blocking. [15, 16].

O IP 3

2 0 d B /d e c lo g ( a 1 x ) 6 0 d B /d e c lo g ( m 3 a 1 x )

IP 3

o r IIP 3

2 0 d B lo g x

Abb. 1.31. Definition des InterceptPunkts 3. Ordnung

Intermodulation, Intercept-Punkt. Zur Kennzeichung von Intermodulati¨ onsverzerrungen wird der Intercept-Punkt IP3 (Abb. 1.31) f¨ ur eine Uberlage rung von zwei dicht beeinander liegenden Signalen (|ω − ω | ω, ω ) derselben Amplitude (γ = 1) spezifiziert. Dabei Entstehen neben den verstärkten Grundschwingungen (Amplitude α1 x ˆ) Intermodulationsprodukte der Kreisfrequenz 2ω − ω sowie 2ω − ω, die sich mit einem Spektrum Analyzer ermitteln lassen. Die Amplitude dieser Mischprodukte ˆ = 3α3 x ˆ3/4 , µ3 α1 x

(1.103)

ist proportional zur dritten Potenz der Eingangsamplitude, während die Amplitude der Grundschwingung nur proportional zu xˆ ist. Bei doppeltlogarithmischer Auftragung der Ausgangsamplituden von Grundschwingung und Mischprodukt resultieren zwei Geraden unterschiedlicher Steigung, die sich im Intercept-Punkt IP3 schneiden.

50

1. Grundlagen

1.5 Literaturverzeichnis [1] C.A. Desoer, E.S. Kuh. Basic Circuit Theory. McGraw Hill, New York, 1969. [2] L.O. Chua; C.A. Desoer; E.S. Kuh. Linear and Nonlinear Circuits. McGraw Hill, New York, 1991. [3] R. Unbehauen. Grundlagen der Elektrotechnik, Band 1: Allgemeine Grundlagen, Lineare Netzwerke, Station¨ ares Verhalten. Springer, Berlin, 4. Auflage, 1994 [4] R. Unbehauen. Grundlagen der Elektrotechnik, Band 2: Einschwingvorg¨ ange, Nichtlineare Netzwerke, Theoretische Erweiterungen. Springer, Berlin, 4. Auflage, 1994 [5] A. F¨ uhrer, K. Heidemann, W. Nerreter. Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 1: Station¨ are Vorg¨ ange. Hanser, M¨ unchen, 4. Auflage, 1990 [6] A. F¨ uhrer, K. Heidemann, W. Nerreter. Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 2: Zeitabh¨ angige Vorg¨ ange. Hanser, M¨ unchen, 4. Auflage, 1991 [7] A.M. Davis. Analyse linearer Schaltungen. H¨ uthig Telekommunikation, Bonn, 2004. [8] M.J. Lighthill. Einf¨ uhrung in die Theorie der Fourier-Analysis und der Verallgemeinerten Funktionen. Bibliographisches Institut, Mannheim, 1966. [9] R. Unbehauen. Systemtheorie, Eine Darstellung f¨ ur Ingenieure. Oldenbourg, M¨ unchen, 4. Auflage, 1983. [10] H.D. L¨ uke. Signal¨ ubertragung. Springer, Berlin, 5. Auflage, 1992. [11] W.C.Elmore. The transient response of damped linear networks with particular regard to wideband amplifiers. J. Appl. Phys., 19:55–63, 1948. [12] K.A. Simons. The decibel relationships between amplifier distortion products. Proc. IEEE, 58(7):1073–1086, 1970. [13] D.D. Weiner, J.F. Spina. Sinusoidal Analysis and Modeling of Weakly Nonlinear Circuits. van Nostrand, New York, 1980. [14] P. Wambacq, W. Sansen. Distortion Analysis of Analog Integrated Circuits. Kluwer, Doordrecht, 1998. [15] R.G. Meyer, A.K. Wong. Blocking and desensitization in rf amplifiers. IEEE J. SolidState Circuits, 30(8):944–946, 1995. [16] H.H. Meinke, F.W. Gundlach. Taschenbuch der Hochfrequenztechnik. Springer, Berlin, 5. Auflage, 1992.

2 Aktive Vierpole Dem Ingenieur steht eine Vielfalt von Bipolartransistoren und Feldeffekttransistoren zur Verf¨ ugung. Bevor Aufbau, Wirkungsweise und elektrisches Verhalten der verschiedenen Transistoren besprochen werden, kommen hier die f¨ ur alle Transistoren gemeinsamen Grundlagen zur Sprache.

2.1 Transistoren als Verst¨ arker und Schalter Transistoren weisen steuerbare Ausgangskennlinien1 auf, verf¨ ugen u ¨ber mindestens drei Anschlußklemmen und lassen sich als Verstärker oder Schalter verwenden. Die prinzipielle Beschaltung ist in Abb. 2.1 skizziert.

i2 ( t) i1 ( t)

R

T r a n s is to r

v 1(t) E in g a n g s k r e is

v 2(t) A u s g a n g s k r e is V +

Abb. 2.1. Transistor mit Lastwiderstand R, Eingangskreis und Ausgangskreis

Allgemein wird zwischen Eingangskreis und Ausgangskreis unterschieden. Die Spannungsquelle v1 (t) im Eingangskreis steuert den Strom i2 (t) im Ausgangskreis. Hierdurch ¨ andert sich der Spannungsabfall am Widerstand R und damit die Ausgangsspannung v2 (t). Das Ausgangskennlinienfeld eines aktiven Bauelements gibt den (stationären) Ausgangsstrom I2 als Funktion der am Ausgang anliegenden Spannung wieder – als Parameter wird dabei entweder die am Eingang anliegende Spannung oder der in den Eingang fließende Strom verwendet. Bei NFur eine gegebene Eingangsspannung Betrieb kann die Ausgangsspannung v2 f¨ v1 graphisch als Schnittpunkt der zu dieser Eingangsspannung gehörigen Ausgangskennlinie I2 (V2 ) mit der Lastkennlinie – hier einer Widerstandsgerade – gewonnen werden (Abb. 2.2). Das Verfahren hat folgenden Hintergrund: Zum einen gilt die durch die Ausgangskennlinie gegebene Abhängigkeit des Stroms I2 von V2 . Da der Strom auch durch R fließt, gilt andererseits 1

Die im Eingangskreis umgesetzte Leistung soll dabei klein sein im Vergleich zu der im Ausgangskreis umgesetzten (Leistungsverst¨ arkung gr¨ oßer als eins). Außerdem sollte die R¨ uckwirkung der gesteuerten Gr¨ oße auf die steuernde Gr¨ oße m¨ oglichst klein sein (Entkopplung), da dies den Entwurf von elektronischen Schaltungen erleichtert.

52

2. Aktive Vierpole

V+ − V2 . R

I2 =

I

Diese Gleichung beschreibt eine Gerade, die sog. Lastgerade. Da beide Beziehungen gleichzeitig erf¨ ullt sein m¨ ussen, folgt die Lösung als Schnittpunkt der Lastgeraden mit der Ausgangskennlinie. So kann f¨ ur jede Steuerspannung V1,1 , V1,2 ,. . . die zugeh¨ orige Ausgangsspannung V2,1 , V2,2 ,. . . ermittelt werden.

2

L a s tg e ra d e

I =

V

-V +

2

R V

1 ,7

V

1 ,6

V

1 ,5

V

1 ,4

V

V

2 ,7

V

V

2 ,5

2 ,3

V

2 ,1

V +

1 ,3

V

1 ,2

V

1 ,1

V 2

Abb. 2.2. Graphische Ermittlung der Ausgangsspannung f¨ ur verschiedene Werte der Eingangsspannung

Wird die Ausgangsspannung V2 der Schaltung u ¨ber der Eingangsspannung ¨ V1 aufgetragen, so erh¨ alt man die (Spannungs-)Ubertragungskennlinie. Der ¨ typische Verlauf einer solchen Ubertragungskennlinie ist in Abb. 2.3 gezeigt. F¨ ur kleine Werte der Eingangsspannung V1 ist der Transistor hochohmig – im Ausgangskreis fließt nur ein geringer Strom. Unter diesen Umständen fällt nahezu die gesamte Versorgungsspannung V+ am Transistor ab: Der Transistor kann als ge¨ offneter Schalter angesehen werden. F¨ ur große Werte der Eingangsspannung wird der Transistor niederohmig; nun fällt der u ¨berwiegende Teil der Spannung V+ an der Last ab: Der Transistor kann als geschlossener Schalter 2 angesehen werden. Bei Verst¨ arkerbetrieb wird ein bestimmter Arbeitspunkt (V1 , V2 ) in der ¨ Ubergangszone zwischen hochohmigem und niederohmigem Gebiet gewählt. Wird nun der Eingangsspannung ein Kleinsignalanteil u ¨berlagert v1 (t) = V1 + v1∼ (t) , so folgt näherungsweise f¨ ur die Spannung am Ausgang bei NF-Betrieb

v2 (t) = V2 + 2

dV2 v1∼ (t) , dV1 V1

Zu beachten ist allerdings eine vom Transistor abh¨ angige Restspannung V2,on .

(2.1)

2.1. Transistoren als Verstärker und Schalter V

53

C 2

"A U S " V

V e r s tä r k e r b e tr ie b

"E IN "

+

v

2 ~

(t)

A r b e its p u n k t (V 1,V 2) t

H u b a m A u s g a n g

V

2 ,o n

V

H u b a m E in g a n g v

1 ~

1

(t)

¨ Abb. 2.3. Ubertragungskennlinie eines einstufigen Verst¨ arkers

¨ wobei die Ubertragungskennlinie bis zur ersten Ordnung in v1∼ (t) entwickelt ¨ wurde. Die Ableitung dV2 /dV1 beschreibt die Anderung der Ausgangsspannung mit der Eingangsspannung und wird als (Kleinsignal-)Spannungs¨ ubertragungsfaktor H v0 bezeichnet H v0 =

dV2 . dV1

(2.2)

Da der Strom im Ausgangskreis mit zunehmender Eingangsspannung gewöhnlich zunimmt, arbeiten derartige Verst¨ arker invertierend, d. h. der Spannungs¨ ubertragungsfaktor weist ein negatives Vorzeichen auf. Der Betrag des Spannungs¨ ubertragungsfaktors ist die Spannungsverst¨ arkung Av0 = |H v0 | .

(2.3)

Bei einem Transistor mit drei Anschl¨ ussen gen¨ ugt wegen des Maschenund des Knotensatzes die Angabe von zwei Spannungen und zwei Strömen zur vollständigen Charakterisierung eines Arbeitspunkts. Von diesen vier Variablen wiederum k¨ onnen zwei als abhängige (gesteuerte) und zwei als unäbhängige (steuernde) Variablen aufgefaßt werden. So kann bei Gleichstrombetrieb f¨ ur den Strom im Eingangskreis I1 und den Strom im Ausgangskreis I2 als Funktion der im Eingangs- und Ausgangskreis anliegenden Spannungen V1 , V2 geschrieben werden 3 I1 = I1 (V1 , V2 ) 3

und

I2 = I2 (V1 , V2 ) .

Dies gilt wegen der im zeitabh¨ angigen Fall zu ber¨ ucksichtigenden kapazitiven Effekte streng genommen nur im Gleichstrombetrieb.

54

2. Aktive Vierpole

Diese Gleichungen beschreiben des Großsignalverhalten des Transistors im Gebiet kleiner Frequenzen. Im Großsignalbetrieb verhalten sich Transistoren nichtlinear – als Folge treten harmonische Verzerrungen, Mischung und Kreuzmodulation auf. Die Analyse des Großsignalverhaltens erfordert i. allg. den Einsatz numerischer Methoden (z. B. SPICE). F¨ ur Kleinsignaluntersuchungen kann der Transistor, wie im folgenden Abschnitt ausgef¨ uhrt, näherungsweise als linearer Vierpol behandelt werden.

2.2 Kleinsignalanalyse, Vierpolkenngr¨ oßen ¨ Werden Transistoren in linearen elektronischen Ubertragern eingesetzt, so werden sie nur in einem kleinen Bereich um ihren Arbeitspunkt ausgesteuert. F¨ ur die Berechnung des Arbeitspunkts ist zwar nach wie vor das Großsignalmodell erforderlich, dieses muß aber lediglich f¨ ur die Untersuchung des Gleichbetriebs verwendet werden. F¨ ur die Untersuchung des Frequenzverhaltens kann dann auf eine Großsignalanalyse verzichtet werden — die gew¨ unschten Resultate folgen aus einer Analyse der im Arbeitspunkt linearisierten Kleinsignalersatzschaltung.

2.2.1 Leitwertparameter In Kleinsignaluntersuchungen interessiert der Zusammenhang zwischen den Kleinsignalspannungen v1∼ (t) und v2∼ (t) und den Kleinsginalströmen i1∼ (t) und i2∼ (t) in Eingangs- und Ausgangskreis. Bei kleiner Amplitude der v1∼ (t) und v2∼ (t) liefert eine Entwicklung der Kennlinie bis zur 1. Ordnung eine ausreichende Genauigkeit. Da die betrachteten Ströme von zwei Spannungen abhängen ist dabei das totale Differential zu verwenden, also

i1∼ (t) =

∂I1 ∂V1

v1∼ (t) + V2

∂I1 ∂V2

v2∼ (t) V1

= y11 · v1∼ (t) + y12 · v2∼ (t)

i2∼ (t) =

∂I2 ∂V1

v1∼ (t) + V2

∂I2 ∂V2

(2.4)

v2∼ (t) V1

= y21 · v1∼ (t) + y22 · v2∼ (t) .

(2.5)

Dies läßt sich auch in Matrixform schreiben

i1∼ (t) i2∼ (t)

=

y11 y12 y21 y22

v1∼ (t) v2∼ (t)

.

(2.6)

Die Größen yαβ werden als NF-Leitwertparameter des Transistors bezeichnet.

2.2. Kleinsignalanalyse, Vierpolkenngr¨ oßen

55

Das Kleinsignalverhalten eines Transistors läßt sich demnach u ¨ber das Verhalten eines linearen Vierpols charakterisieren. Ein Vierpol 4 (oder Zweitor) ist ein Netzwerk mit zwei Eingangsklemmen (dem Eingangstor) und zwei i1

(1 ) v ( 1 ')

i2 lin e a r e s N e tz w e rk

1

i'1

(2 ) v 2

i'2

( 2 ') Abb. 2.4. Vierpol

Ausgangsklemmen (dem Ausgangstor). Dabei wird angenommen, daß der an einer Klemme in den Vierpol hineinfließende Strom gleich dem Strom ist, der an der anderen Klemme des jeweiligen Tors wieder aus dem Netzwerk herausfließt. In Abb. 2.4 gilt demnach i1 = i 1

i2 = i 2 .

und

Die Leitwertparameter sind als Koeffizienten einer Taylor-Entwicklung arbeitspunktabh¨ angig, vergleichbar dem Kleinsignalleitwert g eines nichtlinearen Widerstands. Die so eingef¨ uhrten Leitwertparameter sind reelle Größen und nur f¨ ur niedrige Frequenzen, bei denen kapazitive und induktive Effekte vernachlässigbar sind, g¨ ultig. Bei hohen Frequenzen ist mit komplexen Leitwertparametern zu rechnen. Liegen am Bauelement die Spannungen

v1 (t) = V1 + Re vˆ1 e jωt

und

v2 (t) = V2 + Re vˆ2 e jωt

an, so bedingt dies – unter der Voraussetzungen kleiner Amplituden vˆ1∼ , vˆ2∼ – sinusförmige Abweichungen der Str¨ ome im Eingangs- und Ausgangskreis von ihrem Wert im Arbeitspunkt

i1 (t) = I1 + Re î1 e jωt

i2 (t) = I2 + Re î2 e jωt

und

.

Zwischen den komplexen Zeigern f¨ ur die Kleinsignalanteile von Strom und Spannung besteht ein linearer Zusammenhang. Die komplexen Stromzeiger i1 und i2 können demnach aus den komplexen Spannungszeigern v 1 und v 2 durch Multiplikation mit einer Matrix, der sog. Leitwertmatrix, bestimmt werden

i1 i2

=

y 11 y 12 y 21 y 22

v1 v2

.

(2.7)

Die Koeffizienten y αβ der Leitwertmatrix werden als Leitwertparameter oder y-Parameter bezeichnet; sie nehmen f¨ ur Frequenzen f > 0 in der Regel kom4

Der Begriff Vierpol wird hier synonym zum Begriff Zweitor verwendet, was dem allgemeinen Sprachgebrauch entspricht, aber streng genommen nicht ganz korrekt ist. Allgemein ist ein Vierpol definiert als ein Netzwerk mit vier Anschl¨ ussen.

56

2. Aktive Vierpole

plexe Werte an. F¨ ur f → 0 gehen die komplexen y-Parameter u ¨ber in die als Ableitungen der Kennliniengleichungen gemäß (2.4) und (2.5) definierten DC-Leitwertparameter. V R

+

C

I L + i l( t )

IC + ic ( t) V V

B E

+ v

C E

+ v

c e

(t) C

R L

L

b e

(t) (a )

ic v

b e

Y e

v

c e

R C

C L

R L

(b )

Abb. 2.5. Bipolarverst¨ arker in Emitterschaltung. (a) Schaltung, (b) Kleinsignalbeschreibung

Beispiel 2.2.1 Als Beispiel wird das Kleinsignalverhalten eines Verstärkers mit Bipolartransistor in Emitterschaltung mit belastetem Ausgang (Abb. 2.5 a) untersucht. Die Leitwertparameter des Transistors im Arbeitspunkt werden dabei als bekannt vorausgesetzt; ihre Arbeitspunktabh¨ angigkeit und ihr Frequenzverhalten wird in Kap. 16 untersucht. Im Arbeitspunkt (ohne Signal, vbe = 0) liegt am Eingang die Spannung VBE an; diese bedingt einen Kollektorstrom IC , der zusammen mit dem Strom IL = VCE /RL den Spannungsabfall an RC und damit die Ausgangsspannung VCE bestimmt VCE = V+ − RC (IC +IL ) . Wird der Eingangsspannung nun ein sinusf¨ ormiger Kleinsignalanteil u ¨berlagert vBE (t) = VBE + vbe (t) = VBE + Re vˆbe e jωt , so weisen die Str¨ ome iC (t) = IC + ic (t) und iL (t) = IL + il (t) die Wechselanteile ic (t) und il (t) auf. F¨ ur die Ausgangsspannung folgt so vCE (t) = V+ − RC [ iC (t)+iL (t) ] = VCE − RC [ ic (t)+il (t) ] , d. h. der Wechselanteil von vCE (t) vce (t) = −RC [ ic (t)+il (t) ]

(2.8)

ist nur durch die Wechselanteile von iC (t) und iL (t) bestimmt. Bei kleiner Amplitude der Eingangsspannung (|ˆ v be | VT ) besitzen die Wechselanteile ic (t) und il (t) in guter N¨ aherung einen sinusf¨ ormigen Verlauf

2.2. Kleinsignalanalyse, Vierpolkenngr¨ oßen ic (t) ≈ Re îc e jωt = Re(ic )

und

57 il (t) ≈ Re îl e jωt = Re(il ) ,

so daß auch vce (t) ≈ Re vˆce e jωt = Re(v ce ) sinusf¨ ormigen Verlauf aufweist. In Gl. (2.8) ergibt dies den Zusammenhang v ce = −RC ( ic +il ) . Mit den Beziehungen 1 il = + jωCL v ce RL

und

ic = y 21e v be + y 22e v ce

folgt durch Zusammenfassen f¨ ur den Spannungs¨ ubertragungsfaktor H v (jω) = mit GL = 1/RL .

RC y 21e v ce = − v be 1 + RC GL + jωCL + y 22e ∆

Die in Beispiel 2.2.1 angestellte Betrachtung ging von den Großsignal-Netzwerkgleichungen der Verst¨ arkerschaltung aus; von diesen wurde der Kleinsignalanteil nach Gl. (2.8) abgespalten, der dann, unter Annahme eines linearen Zusammenhangs (2.7), zur Berechnung von H v eingesetzt wurde. Schneller zum Ziel f¨ uhrt die Verwendung der Kleinsignalersatzschaltung des Verstärkers. In dieser treten nur Kleinsignalgrößen als Eingangs- und Ausgangsvariable auf – im betrachteten Beispiel also v be und v ce . Die Kleinsignalersatzschaltung ergibt sich direkt aus dem Schaltplan, wobei f¨ ur jedes Element die entsprechende Kleinsignalersatzschaltung eingesetzt wird. Gleichspannungsquellen sind durch einen Kurzschluß5 zu ersetzen, Gleichstromquel¨ len fallen beim Ubergang zur Kleinsignalersatzschaltung weg6 . Der Transistor wird in der Kleinsignalersatzschaltung ersetzt durch einen Vierpol, dessen Eigenschaften beispielsweise durch die Leitwertparameter y αβe des Transistors in Emitterschaltung (vgl. Beispiel 2.2.2) beschrieben werden. Beispiel 2.2.2 Abbildung 2.5 b zeigt die Kleinsignalersatzschaltung des in Beispiel 2.2.1 betrachteten Verst¨ arkers. Am Eingang des Vierpols liegt die Kleinsignalspannung mit dem komplexen Zeiger v be an. Am Ausgang des Vierpols fällt die Kleinsignalspannung mit dem komplexen Zeiger v ce ab. Der Ausgang ist mit RL , CL und dem Kollektorwiderstand RC beschaltet. Daß RC in der Kleinsignalersatzschalangt damit zusammen, daß die Versorgungsspannung tung parallel zu RL liegt, h¨ als Gleichspannung keinen Wechselanteil aufweist. In der Kleinsignalersatzschaltung 5¨

Uber der Gleichspannungsquelle f¨ allt die Kleinsignalspannung 0 V ab, was einem, Kurzschluß entspricht. 6 Der von der Quelle gelieferte Kleinsignalstrom ist 0 A was einem offenen Zweig entspricht.

58

2. Aktive Vierpole

hat der mit der Vorsorgungsspannungsquelle verbundene Knoten des Kollektorwiderstands folglich das Kleinsignalpotential 0V und muß auf Masse gelegt werden. F¨ ur den Strom im Ausgangskreis der Kleinsignalersatzschaltung folgt aus Abb. 2.5 b der Zusammenhang v ce 1 − + jωCL v ce , ic = y 21e v be + y 22e v ce = − RC RL woraus sich sofort der Spannungs¨ ubertragungsfaktor v ce /v be ergibt.

i1 v

T r a n s is to r

1

i3 v

i2 v

∆

3

2

Abb. 2.6. Zur Definition der Leitwertmatrix

2.2.2 Die Wahl des Bezugspunkts Ein Transistor besitzt drei Anschl¨ usse. Die Potentiale der Eingangsklemmen werden mit vα (t), die Klemmenstr¨ ome mit iβ (t) bezeichnet. Sind die Klemmenpotentiale von der Form

vα (t) = Vα + Re vˆα e jωt

mit

α = 1, 2, 3 ,

so resultieren – kleine Amplituden der vˆα vorausgesetzt – Klemmenströme der Form

iβ (t) = Iβ + Re îβ e jωt

mit

β = 1, 2, 3 .

Der Zusammenhang zwischen den Spannungszeigern v α und den Stromzeigern iβ wird durch die allgemeine Leitwertmatrix 7 (˜ y ij ) hergestellt. ⎛

⎞

⎛

⎞⎛

⎞

y˜ y˜12 y˜13 i1 v1 ⎜ ⎟ ⎜ 11 ⎟⎜ ˜21 y˜22 y˜23 ⎠ ⎝ v 2 ⎟ ⎝ i2 ⎠ = ⎝ y ⎠ . i3 v3 y˜31 y˜32 y˜33

(2.9)

Die allgemeine Leitwertmatrix besitzt 3 · 3 Koeffizienten, von denen allerdings – wegen der Kirchhoffschen S¨ atze – nur vier voneinander unabhängig sind: 1. Da wegen dem Knotensatz f¨ ur beliebige Stromzeiger 3

iα = 0

α=1 7

Englisch: indefinite admittance matrix.


59

gelten muß, ergibt die Summe der Koeffizienten in jeder Spalte der allgemeinen Leitwertmatrix null 3 α=1

y˜αβ = 0 .

(2.10)

2. Da es keinen absoluten Nullpunkt auf der Potentialskala gibt, darf sich der Wert der Stromamplituden nicht ¨ andern, wenn zu jedem Potentialwert ein einheitlicher Wert hinzuaddiert wird. Dies ist nur dann der Fall, wenn die Summe der Koeffizienten der allgemeinen Leitwertmatrix in jeder Zeile null wird 3 β=1

y˜αβ = 0 .

(2.11)

Diese Zusammenh¨ ange sind n¨ utzlich, wenn es darum geht, Vierpolparameter ineinander umzurechnen. Beispiel 2.2.3 F¨ ur einen Bipolartransistor ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎛ y˜11 y˜12 y˜13 ib ⎝ ic ⎠ = ⎝ y˜ y˜22 y˜23 ⎠ ⎝ 21 −ie y˜31 y˜32 y˜33

lautet die allgemeine Leitwertmatrix ⎞ vb vc ⎠ . ve

Wird wie im Fall der Emitterschaltung der Emitterknoten als Bezugspunkt gewählt (v e = 0), so ist v b = v be und v c = v ce sowie y 11e y 12e y˜11 y˜12 ib v be vb = = . ic y 21e y 22e v ce y˜21 y˜22 vc Die Parameter y αβe heißen dabei y-Parameter in Emitterschaltung. Im Fall der Basisschaltung wird der Basisknoten als Bezugspunkt gewählt (v b = 0), so ist mit v c = v cb und v e = v eb sowie y 11b y 12b y˜33 y˜32 −ie v eb ve = · = · ic y 21b y 22b v cb y˜23 y˜22 vc Die Koefizienten y αβb heißen dabei Leitwertparameter in Basisschaltung. Wegen der Identit¨ aten (2.10) und (2.11) lassen sich die y αβe in die y αβb umrechnen und umgekehrt. F¨ ur die y-Parameter in Basisschaltung folgt so y 11b y 12b y 21b

= y 11e + y 12e + y 21e + y 22e = −(y 12e +y 22e ) = −(y 21e +y 22e )

y 22b

= y 22e ;

¨ Der Fall der Kollektorschaltung (v c = 0) wird dem Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen. ∆

60

2. Aktive Vierpole

2.2.3 Hybridparameter Neben der Leitwertdarstellung ist die sogenannte Hybriddarstellung in der Praxis weit verbreitet. Dabei werden die Kennlinien durch Strom-SpannungsBeziehungen der Form V1 = V1 (I1 , V2 )

und

I2 = I2 (I1 , V2 )

beschrieben. Die entsprechenden Kleinsignalbeziehungen lauten

v1∼ (t) =

∂V1 ∂I1

i1∼ (t) + V2

∂V1 ∂V2

v2∼ (t) I1

= h11 · i1∼ (t) + h12 · v2∼ (t)

i2∼ (t) =

∂I2 ∂I1

i1∼ (t) + V2

∂I2 ∂V2

v2∼ (t) I1

= h21 · i1∼ (t) + h22 · v2∼ (t) . Die in diesen Beziehungen auftretenden Paramter hαβ werden u ¨blicherweise als DC-Hybridparameter bezeichnet. Sie sind u ¨ber die entsprechenden partiellen Ableitungen definiert und lassen sich als Steigungen verschiedener Gleichstromkennlinien illustrieren. F¨ ur höherfrequente Signale sind komplexwertige, frequenzabhängige Hybridparameter hαβ zu verwenden. Der Zusammenhang zwischen den Zeigern v 1 und i2 sowie i1 und v 2 lautet dann in Matrixform

v1 i2

=

h11 h12 h21 h22

i1 v2

.

(2.12)

Die Koeffizienten der Hybridmatrix werden gewöhnlich als Hybridparameter oder h-Parameter bezeichnet. y-Parameter und h-Parameter bieten denselben Informationsgehalt. Sie lassen sich mit den in Tabelle 2.1 angegebenen Beziehungen leicht ineinander umrechnen.

2.2.4 Vierpoldarstellungen und Ersatzschaltungen Das elektrische Verhalten des Vierpols bei der Kreisfrequenz ω wird charakterisiert durch Angabe des Zusammenhangs zwischen den komplexen Zeigern v 1 , i1 , v 2 und i2 . Von diesen k¨ onnen zwei als abhängige (gesteuerte Größen) und zwei als unabh¨ angige Variable (steuernde Größen) aufgefaßt werden. In linearen Vierpolen besteht zwischen den steuernden und den gesteuerten Größen ein linearer Zusammenhang. Dieser wird in der u ¨blichen Matrixschreibweise durch eine 2·2-Koeffizientenmatrix hergestellt. Je nachdem, welche zwei Variablen als abhängig und welche als unabhängig angenommen werden, ergeben sich unterschiedliche, mathematisch äquiva-


61

lente Darstellungen. Von besonderer Bedeutung ist die Leitwertdarstellung (2.7), bei der die Str¨ ome an Eingang und Ausgang des Vierpols als Funktion der Spannungen angegeben werden. Die Leitwertparameter y αβ beschreiben Admittanzen bzw. gesteuerte Quellen in einer Ersatzschaltung. i1 v

i2 y

1

y

1 1

y

v

1 2

y 2

2 1

v

v

2 2

2

1

(a )

i1 v

y 1

1 1

-y

1 2

+ y

1 2

i2

y

2 2

+ y

v

1 2

(y

2 1

-y

1 2

)v

2

1

(b )

Abb. 2.7. Ersatzschaltungen f¨ ur den linearen Vierpol in der Leitwertdarstellung

Die beiden in Abb. 2.7 gezeigten Ersatzschaltungen liefern dasselbe Klemmenverhalten und sind folglich a ¨quivalent.8 Die Schaltung Abb. 2.7b wird als π-Ersatzschaltung bezeichnet. Gilt y 12 = y 21 , so verschwindet die spannungsgesteuerte Stromquelle. Der Vierpol heißt in diesem Fall reziprok. Vierpole aus passiven linearen Zweipolen sind stets reziprok. i1 v 1

C

R

R

1

1

v '

i2 2

C

v 2

2

Abb. 2.8. In Beispiel 2.2.4 untersuchter Bandpaß

Beispiel 2.2.4 Als Beispiel werden die Leitwertparameter des in Abb. 2.8 gezeigten Bandpasses berechnet. Aus i1 = jωC1 (v 1 −v ) ,

i1 =

v v −v 2 + R1 R2

und i2 = jωC2 v 2 +

v 2 −v R2

folgt durch Zusammenfassen der ersten beiden Gleichungen und Auflösen nach v 8 Die Ersatzschaltung nach Abb. 2.7 a ist allerdings insofern allgemeiner, als hier nicht notwendig wie in Abb. 2.7 b die Knoten (1’) und (2’) auf demselben Potential liegen.

62

2. Aktive Vierpole jωR2 C1 1 v + v . 1 + R2 /R1 + jωR2 C1 1 1 + R2 /R1 + jωR2 C1 2

v =

Einsetzen liefert dann jωC1 (1 + R2 /R1 ) jωC1 v1 − v 1 + R2 /R1 + jωR2 C1 1 + R2 /R1 + jωR2 C1 2 jωC1 1/R1 + jωC1 = − v 1 + jωC2 + v2 1 + R2 /R1 + jωR2 C1 1 + R2 /R1 + jωR2 C1

i1

=

i2

Offensichtlich gilt y 21 = y 12 , d. h. das Netzwerk ist reziprok.

∆

Durch Vertauschen der Rolle von abh¨ angigen und unabhängigen Variablen gelangt man zur Widerstandsform:

v1 v2

=

z 11 z 12 z 21 z 22

i1 i2

.

(2.13)

Die Widerstandsparameter z αβ beschreiben Impedanzen bzw. gesteuerte Quellen in der zugeh¨ origen Ersatzschaltung. i1 v

z z

1

z

1 1

1 2

i2 z

i2

2 2

2 1

i1

v 2

(a )

i1 v 1

z

1 1

-z

z

1 2

z

1 2

2 2

-z

i2

1 2

(z

2 1

-z

1 2

) i1 v

2

(b )

Abb. 2.9. Ersatzschaltungen f¨ ur den linearen Vierpol in der Widerstandsform

Die beiden in Abb. 2.9 gezeigten Ersatzschaltungen liefern dasselbe Klemmenverhalten und sind deshalb ¨ aquivalent. Die in Abb. 2.9 b gezeigte Schaltung wird als T-Ersatzschaltung bezeichnet. Gilt z 12 = z 21 so verschwindet die stromgesteuerte Spannungsquelle, der Vierpol ist dann reziprok. Von besonderer Bedeutung neben der Leitwertform ist die Hybridform (2.12) mit der in Abb. 2.10 gezeigten Ersatzschaltung. Bei dieser werden v 1 und i2 als unabh¨ angige Variable aufgefaßt.


v

i1 h

h

1

i2

1 1

1 2

v

63

h 2

h

v

2 2

2

i

2 1 1

Abb. 2.10. Ersatzschaltung f¨ ur den linearen Vierpol in der Hybridform

Die Koeffizienten hαβ der Hybridmatrix, die Hybrid- oder h-Parameter, sind insbesondere f¨ ur die Charakterisierung von Bipolartransistoren gebräuchlich. Tabelle 2.1 Umrechnung von Vierpolkoeffizienten

Y

H

Z

A

A

y 11 y 12

1 h11

−h12 h11

z22 ∆z

−z12 ∆z

a22 a12

−∆a a12

y 21 y 22

h21 h11

∆h h11

−z21 ∆z

z11 ∆z

−1 a12

a11 a12

Y

H

Z

1 y 11

−y 12 y 11

h11 h12

∆z z22

z12 z22

a12 a22

∆a a22

y 21 y 11

∆y y 11

h21 h22

−z21 z22

1 z22

−1 a22

a21 a22

y 22 ∆y

−y 12 ∆y

∆h h22

h12 h22

z11 z12

a11 a21

∆a a21

−y 21 ∆y

y 11 ∆y

−h21 h22

1 h22

z21 z22

1 a21

a22 a21

−y 22 y 21

−1 y 21

−∆h h21

−h11 h21

z11 z21

∆z z21

a11 a12

−∆y y 21

−y 11 y 21

−h22 h21

−1 h21

1 z21

z22 z21

a21 a22

Vertauscht man in der Hybridform die Rolle von abhängigen und unabhängigen Variablen, so gelangt man zur inversen Hybridform (Parallel-ReihenForm)

64

2. Aktive Vierpole

i1 v2

=

k 11 k 12 k 21 k 22

v1 i2

.

(2.14)

¨ F¨ ur die Berechnung des Ubertragungsverhaltens in Reihe geschalteter Vierpole ist gelegentlich die Kettenform hilfreich

v1 i1

=

a11 a12 a21 a22

v2 −i2

(2.15)

bzw. ihre Umkehrung

v2 −i2

=

b11 b12 b21 b22

v1 i1

.

(2.16)

Jede der betrachteten Schreibweisen liefert eine vollständige Beschreibung des Vierpols. Die entsprechenden Vierpolmatrizen lassen sich deshalb ineinander umrechnen. Tabelle 2.1 zeigt die entsprechenden Verkn¨ upfungen f¨ ur 9 urzungen ∆y , ∆z , ∆h und ∆a bedie wichtigsten Darstellungen; die Abk¨ zeichnen dabei die Determinante der jeweiligen Koeffizientenmatrix, also z. B. ∆y = y 11 y 22 − y 12 y 21 .

2.3 Kenngr¨ oßen beschalteter Vierpole Bei der Berechnung von Netzwerken aus beschalteten Vierpolen macht man h¨ aufig von der M¨ oglichkeit Gebrauch, diese durch Ersatzzweipole zu ersetzen. Eingangsseitig wird der Vierpol dabei durch die Eingangsimpedanz Z i in Serie zur Leerlaufspannung v oc1 ersetzt, ausgangsseitig durch die Ausgangsimpedanz Z o in Serie zur Leerlaufspannung v oc2 . Der Wert der Eingangsimpedanz hängt dabei von der Beschaltung des Ausgangs ab, der Wert der Ausgangsimpedanz von der Beschaltung des Eingangs. Oft darf v oc1 gleich null angenommen werden, dann gen¨ ugt die Angabe der Eingangsimpedanz zur Charakterisierung der Eingangsseite.

Z v

i1

0

G

v 1

i2 V ie r p o l

v 2

Z L

Abb. 2.11. Beschalteter Vierpol

9 Insbesondere zur Charakterisierung des Hochfrequenzverhaltens sind neben den hier betrachteten Vierpolgr¨ oßen die u oßen definierten S-Parameter gebr¨ auchlich; ¨ber Wellengr¨ diese werden in Kap. 2.4 definiert.

2.3. Kenngr¨ oßen beschalteter Vierpole

65

2.3.1 Eingangsimpedanz, Ausgangsimpedanz, ¨ Ubertragungsfaktoren Wird ein linearer Vierpol eingangsseitig mit einer Spannungsquelle der Ausgangsimpedanz Z G betrieben und liegt am Ausgang die Last Z L an (Abb. 2.11), so m¨ ussen zus¨ atzlich zu den Vierpolgleichungen (2.7) bzw. (2.12) die Beziehungen v 1 = v 0 − Z G i1

und

v 2 = −Z L i2

(2.17)

erf¨ ullt sein. Durch Zusammenfassen von (2.17) mit (2.7) bzw. (2.12) folgt die Eingangsimpedanz 1 + y 22 Z L v1 h + ∆h Z L = = 11 , i1 y 11 + ∆y Z L 1 + h22 Z L

Zi =

(2.18)

die Ausgangsimpedanz (v 0 = 0 ) 1 + y 11 Z G v2 h11 + Z G = = , i2 y 22 + ∆y Z G ∆h + h22 Z G

Zo =

(2.19)

der Strom¨ ubertragungsfaktor y 21 i2 h21 = = i1 y 11 + ∆y Z L 1 + h22 Z L

Hi =

(2.20)

und der Spannungs¨ ubertragungsfaktor Hv =

R

i1

v

G

0

v

−y 21 Z L v2 −h21 Z L = = . v1 1 + y 22 Z L h11 + ∆h Z L V ie r p o l

i2

R 1

(2.21)

C

v 2

R L

Abb. 2.12. In Beispiel 2.3.1 untersuchter RC-Tiefpaß

Beispiel 2.3.1 Als Beispiel wird der in Abb. 2.12 skizzierte RC-Tiefpaß betrachtet. Aus i1 =

v 1 −v 2 R

und

i2 = jωCv 2 +

v 2 −v 1 R

kann man sofort die Leitwertparameter ablesen mit dem Ergebnis y 11 =

1 , R

y 12 = −

1 , R

y 21 = −

1 R

und

y 22 =

Die Determinante der Leitwertmatrix resultiert hieraus zu

1 + jωC . R

66

2. Aktive Vierpole ∆y

1 = R

1 + jωC R

−

1 jωC . = R2 R

F¨ ur die Eingangsimpedanz folgt nun aus Gl. (2.18) Zi =

1 + y 22 RL

R + RL (1 + jωRC) . 1 + jωRL C

=

y 11 + ∆y RL

F¨ ur kleine Frequenzen (ω → 0) gilt Z i → R+RL , f¨ ur große Frequenzen (ω → ∞) folgt Z i → R. Dieses Verhalten kann leicht anhand des Schaltbilds verstanden werden: Bei kleinen Frequenzen kann der u ¨ber C fließende Strom vernachlässigt werden, vom Eingang aus sieht“ man dann nur die Reihenschaltung von R und RL ; bei hohen ” uckt und kann durch einen Kurzschluß ersetzt Frequenzen wird RL kapazitiv u ¨berbr¨ werden, weswegen die Eingangsimpedanz auf R abnimmt. Die Ausgangsimpedanz des beschalteten RC-Tiefpasses ist nach Gl. (2.19) Zo =

1 + y 11 RG y 22 + ∆y RG

=

R + RG . 1 + jω(R+RG )C

Im Fall kleiner Frequenzen (ω → 0) gilt Z o → R+RG , f¨ ur große Frequenzen (ω → ∞) folgt Z o → 0. Bei kleinen Frequenzen kann der u ¨ber C fließende Strom vernachlässigt werden, vom Ausgang aus sieht“ man nur die Reihenschaltung von R und RG ; bei ” hohen Frequenzen wird der Ausgang kapazitiv kurzgeschlossen“ , so daß Z o → 0. ” F¨ ur den Strom¨ ubertragungsfaktor folgt Hi =

y 21 y 11 + ∆y RL

= −

1 , 1 + jωRL C

w¨ ahrend sich der Spannungs¨ ubertragungsfaktor zu Hv =

−y 21 RL 1 + y 22 RL

=

RL R + RL (1+jωRC)

ergibt.

∆

Beispiel 2.3.2 Als Beispiel wird der Spannungs¨ ubertragungsfaktor des unbelasteten Bandpasses aus Beispiel 2.2.4 ermittelt. F¨ ur |Z L | → ∞ gilt Hv =

−y 21 Z L 1 + y 22 Z L

→

−y 21 y 22

.

Mit den in Beispiel 2.2.4 bestimmten Leitwertparametern folgt so Hv =

jωC1 . 1/R1 + jω [ C1 + C2 (1+R2 /R1 )] − ω 2 R2 C1 C2

Im Fall sehr kleiner Frequenzen k¨ onnen die frequenzabhängigen Terme im Nenner vernachl¨ assigt werden H v ≈ jωR1 C1 = j f/fgu , der Bandpaß zeigt hier Hochpaßverhalten mit der Grenzfrequenz fgu = (2πR1 C1 )−1 . F¨ ur sehr hohe Frequenzen dominiert der in ω quadratische Term im Nenner; wird nur dieser ber¨ ucksichtigt, so resultiert die N¨ aherung


G

G

67

IJX

9HUVWDHUNXQJVPDVV

IJR G%

JUG G%GH

G%GHF 3KDVH

G G

G

JUG

'XUFKODVVEHUHLFK

!! +]

39

+]

.+] '%9 )UHTXHQF\

0+]

0+]

¨ Abb. 2.13. Ubertragungsfaktor (Skala 1: Phase, Skala 2: Verst¨ arkungsmaß av in dB) des in Beispiel 2.3.2 Bandpasses

H v ≈ 1/(jωR2 C2 ) = −j fgo /f ; der Bandpaß zeigt hier Tiefpaßverhalten mit der Grenzfrequenz fgo = (2πR2 C2 )−1 . ¨ im Frequenzbereich fgu < f < fgo Gilt fgu fgo , so ist der Ubertragungsfaktor ann¨ ahernd konstant. Dort gilt dann −1 C2 R2 Hv ≈ 1 + . 1+ C1 R1 Abbildung 2.13 zeigt das Ergebnis einer SPICE-Frequenzanalyse f¨ ur einen Bandpaß ur kleine Frequenzen mit R1 = 1 kΩ, C1 = 1 µF, R2 = 100 Ω und C2 = 1 nF. F¨ (f fgu ) wird das erwartete Hochpaßverhalten beobachtet – der Wert von av steigt hier mit 20 dB/dec an, die Phasenverschiebung zeigt einen Wert von annähernd ur große Frequenzen (f fgo ) resultiert das erwartete Tiefpaßverhalten mit 90◦ . F¨ einem Abfall von 20 dB/dec f¨ ur av und einer Phasenverschiebung von annähernd ◦ −90 . Dazwischen liegt ein Band von vernachlässigbarer Dämpfung (av ≈ 0 dB), in dem Eingangssignal und Ausgangssignal annähernd miteinander in Phase sind. F¨ ur die beiden Grenzfrequenzen fgu und fgo folgt fgu = 1/(2πR1 C1 ) = 159 Hz ¨ mit den Resultaten der und fgo = 1/(2πR2 C2 ) = 1.59 MHz in Ubereinstimmung Simulation. ∆

68

2. Aktive Vierpole Z

v

i1 G

0

v 1

i2

V ie r p o l y

y

1 1

y

1 2

v

y 2

2 1

v

2 2

v

Z 2

1

L

Abb. 2.14. Beschalteter Vierpol. Zur Definition der Leistungsverst¨ arkung

2.3.2 Leistungsverst¨ arkung F¨ ur die Leistungsverst¨ arkung werden unterschiedliche Definitionen verwendet [1], zur Erl¨ auterung wird Abb. 2.14 betrachtet. Die Leistungsverst¨ arkung altnis des Effektivwerts der an die Last abgegebenen Gp bezeichnet das Verh¨ Wirkleistung P2 = −Re (V 2 I ∗2 ) zum Effektivwert der an das Eingangstor des Vierpols abgegebenen Wirkleistung P1 = Re (V 1 I ∗1 ). Unter Verwendung von V 1 = Z i I 1 = I 1 /Y i

und

V 2 = −Z L I 2 = −I 2 /Y L

folgt Gp = Ai (f )2

Re(Z L ) Re(Y L ) = Av (f )2 . Re(Z i ) Re(Y i )

(2.22)

Die Leistungsverst¨ arkung Gp h¨ angt von der Lastimpedanz Z L = 1/Y L ab und ist unabhängig von der Impedanz Z G = 1/Y G der Quelle. Unter Verwendung von Leitwertparametern l¨ aßt sich die Leistungsverstärkung durch

|y |2 Re(Y L ) Gp = 21 Re |y 22 + Y L |2

y y y 11 − 12 21 y 22 +Y L

−1

(2.23)

ausdr¨ ucken. Betriebsleistungsverst¨ arkung. Der Effektivwert P1 der von der Signalquelle an den Vierpol abgegebenen Leistung wird bei Leistungsanpassung, d.h. unter ∗ maximal [1]. An den Eingang des Vierpols wird dann der Bedingung Z i = ZG die Leistung P1 =

Re(Z i ) V02 2 = P1+ V = |Z i +Z G |2 0 4 Re(Z i )

abgegeben. Das ist genau die H¨ alfte der von der Signalquelle abgegebenen Leistung P0 (die andere H¨ alfte wird in der Quellimpedanz Z G umgesetzt). Die Betriebsleistungsverst¨ arkung (engl. transducer power gain) GT = P2 /P1+

(2.24)

ist definiert als das Verh¨ altnis der abgegebenen Leistung P2 zur aufgenommenen Leistung P1+ . Bei Leistungsanpassung am Eingang ist die Betriebsleistungsverstärkung GT gleich der Leistungsverstärkung Gp .


69

Verf¨ ugbare Leistungsverst¨ arkung. Die Leistungsverstärkung die sich bei An∗ des Vierpols (Abb. passung am Eingang Z i = ZL∗ und Ausgang Z o = ZG 2.14) einstellt wird als verf¨ ugbare Leistungsverst¨ arkung bezeichnet. Mit der bei Leistungsanpassung am Ausgang abgegebenen Leistung | y 21 |2 V 2 = P2− 4 Re(y 22 ) 1

P2 =

resultiert die verf¨ ugbare Leistungsverst¨ arkung GA = P2− /P1+ . Bei Leistungsanpassung an Ein- und Ausgang gilt GA = GT = Gp . y *

v 0

i1

1 1

v 1

i2 y

y

1 1

y

2 1

v

2 2

v

y * 2

1

2 2

Abb. 2.15. Zur Berechnung der unilateralen Leistungsverst¨ arkung

Unilaterale Leistungsverst¨ arkung. Ein Zweitor ist r¨ uckwirkungsfrei (unilateral) falls y 12 = 0 gilt; diese Situation ist in Abb. 2.15 dargestellt, wobei Leistungsanpassung am Ein- und Ausgang angenommen wurde. Mit I 2 = y 21 V 1 + y 22 V 2 = −y ∗22 V 2 , resultiert f¨ ur den komplexen Effektivwert der Ausgangsspannung y 21 V2 = − V , 2 Re(y 22 ) 1 und damit f¨ ur die an die Last abgegebene Leistung P2− = −

| y 21 |2 1 ( I 2 V ∗2 + I ∗2 V 2 ) = V2 . 2 4 Re(y 22 ) 1

Mit der (bei Leistungsanpassung) an den Eingang abgegebenen Leistung P1+ = Re(y 11 )V12 , ergibt sich die unilaterale Leistungsverstärkung U zu | y 21 |2 P2− . U = + = 4 Re(y 11 )Re(y 22 ) P1

(2.25)

Da y 12 in der Regel nur klein ist, sind Transistor-Vierpole nicht streng unilateral. Durch Unilateralisation, d.h. durch Hinzuf¨ ugen eines verlustlosen R¨ uckkopplungsnetzwerks l¨ aßt sich jedoch R¨ uckwirkungsfreiheit herstellen (Abb. 2.16). Die Leitwertmatrix Y αβ dieses Vierpols mit R¨ uckkopplung ist YA Y = Y A +y 22

y 11 +∆y /Y A y 12 y 21 y 22

+

Y F −Y F −Y F Y F

.

(2.26)

70

2. Aktive Vierpole

Y F

-y v

y 1

1 1

(y

+ y

1 2

-y

1 2

2 1

Y

1 2

y )v

2 2

+ y

A

v

1 2

2

Abb. 2.16. Unilateralisation durch Addition von Y F und Y A 1

Die hinzugef¨ ugten verlustlosen Admittanzen sind rein imaginär; R¨ uckwirkungsfreiheit liegt unter den Bedingungen

YF

Re(y 12 ) Im(y 22 ) = j Im(y 12 ) − Re(y 22 )

und Y A =

Re(y 22 ) Y Re(y 12 ) F

vor. Unter diesen Bedingungen stellt sich die unilaterale Leistungsverst¨ arkung | y 21 − y 12 |2 | Y 21 |2 = U = 4 Re(Y 11 ) Re(Y 22 ) 4 [ Re(y 11 )Re(y 22 ) − Re(y 12 )Re(y 21 )] ein. Die unilaterale Leistungsverst¨ arkung ist f¨ ur einen Transistor mit drei Anschl¨ ussen f¨ ur alle Grundschaltungen10 identisch [2]; die unilaterale Leistungsverstärkung eignet sich deswegen besonders um Verstärkungseigenschaften eines Transistors zu charakterisieren. Eine r¨ uckgekoppelte Schaltung kann selbsterregte Schwingungen ausf¨ uhren, falls U ≥ 1 gilt. Der Transistor kann bis zur maximalen Schwingfrequenz fmax , definiert u ¨ber die Bedingung U (fmax ) = 1, als Leistungsverst¨ arker dienen.

2.3.3 Stabili¨ at, MAG, MSG Ein linearer Schaltkreis ist instabil, falls seine Ausgangsamplitude unkontrolliert ansteigen kann. Die Stabilit¨ at eines Vierpols hängt von seiner Beschaltung ab. Gibt es eine Beschaltung mit passiven Zweipolen, bei der ein Vierpol selbsterregte Schwingungen der Kreisfrequenz ω durchf¨ uhrt, so heißt der Vierpol potentiell instabil bei der Kreisfrequenz ω. Ist keine solche Beschaltung möglich, so heißt der Vierpol absolut stabil. F¨ ur absolute Stabilität muß der Realteil der Eingangsadmittanz Yi = 10

y 11 Y L + ∆y y 22 + Y L

In integrierten Transistoren, muß zus¨ atzlich der Substrat- oder Bulkanschluß beachtet werden; dann resultieren i.allg. verschiedene Werte der unilateralen Leistungsverst¨ arkung f¨ ur Emitter-, Basis- oder Kollektorschaltung, bzw. Source-, Gate- oder Drainschaltung.


71

f¨ ur alle Werte der Lastadmittanz Y L positiv sein. Diese Bedingung ist äquivalent zu der Forderung, daß der sog. Stabilit¨ atsfaktor [1] k =

2 Re(y 11 )Re(y 22 ) − Re(y 12 y 21 ) , | y 12 y 21 |

(2.27)

größer ist als eins. Der Wert des Stabilit¨ atsfaktors liegt zwischen −1 und ∞; liegt k zwischen −1 und +1, so ist der Vierpol potentiell instabil. Der Stabilitätsfaktor wird nur aus den Vierpolparametern berechnet und ist deshalb von der Beschaltung unabh¨ angig. Ist k > 1 und liegt Leistungsanpassung an Ein- und Ausgang vor, so stellt sich die maximal verf¨ ugbare Leistungsverst¨ arkung (engl. maximum available gain) (MAG) MAG =

|y 21 | k − k2 − 1 |y 12 |

(2.28)

ein. F¨ ur k < 1 kann die maximal verf¨ ugbare Leistungsverstärkung nicht berechnet werden, dann wird die maximale stabile Leistungsverstärkung (engl. maximum stable gain) (MSG) als der Wert der maximal verf¨ ugbaren Leistungsverstärkung, der sich f¨ ur den kleinsten Serienwiderstand der Stabilität ergibt, einstellt. Der Wert der maximalen stabilen Leistungsverstärkung ist MSG = |y 21 |/|y 12 | ;

(2.29)

im Fall k = 1 gilt offensichtlich MSG = MAG.

2.3.4 Reflexionskoeffizienten Bei Anpassung werden Eingangsstrom und Eingangsspannung durch die komplexen Effektivwerte I 1 = V 0 /2RG = I + 1

und

V 1 = Z ∗G V 0 /2RG = V + 1

mit Re(Z G ) = RG beschrieben. Das Produkt dieser Größen liefert die vom +∗ Generator verf¨ ugbare Leistung P1+ = Re(V + 1 I 1 ). Bei Fehlanpassung kann die Eingangsspannung V 1 als Summe der einlaufenden Spannung V + 1 und der reflektierten Spannung V − 1 V1 =

Zi − + V = V+ 1 + V 1 = (1 + r iv ) V 1 ZG + Zi 0

dargestellt werden [3]. Der Spannungs-Reflexionskoeffizient riv =

V1 Zi Z − Z ∗G Z G Z G + Z ∗G −1 = i ∗ + −1 = ∗ Zi + ZG ZG Z i + Z G ZG V1

(2.30)

verschwindet bei Anpassung am Eingang (Z i = Z ∗G ). Auf dieselbe Weise läßt sich der Eingangsstrom aus einem einlaufenden Teil I + 1 und einem reflektierten Anteil I − 1

72

2. Aktive Vierpole

1 − + V = I+ 1 − I 1 = (1 − r ii ) I 1 ZG + Zi 0

I1 =

zusammensetzen, wobei rii den Strom-Reflexionskoeffient bezeichnet. rii = 1 −

I1 Z G + Z ∗G Z i − Z ∗G = 1 − = . Zi + ZG Zi + ZG I+ 1

Die beiden Reflexionskoeffizienten sind u ¨ber riv Z ∗G = rii Z G miteinander verkn¨ upft, d.h. bei reeller Quellimpedanz sind Spannungs- und Strom-Reflexionskoeffizient identisch. Z v

G

P

+ 1

v 0

i1

V ie r p o l 1

P 1

P

-

v

+ 2

i2

Z 2

P 2

-

L

Abb. 2.17. Beschalteter Vierpol

Die an den Vierpol abgegebene Leistung ist P1 =

1 Ri V02 ( V 1 I ∗1 + V ∗1 I 1 ) = , 2 | Z G + Z i |2

ugbaren (einlaufenden) wobei Ri = Re(Z i ). Sie kann als Differenz der verf¨ Leistung P1+ =

V02 RG 2 2 = Re (V + I +∗ ) = |V + 1 | = |a1 | 4 RG | Z G |2

und der am Eingang reflektierten Leistung P1− = =

V02 Ri V02 1 | Z G − Z ∗i |2 2 − = V 4 RG | Z G + Z i |2 4 RG | Z G + Z i |2 0 RG 2 2 |V − 1 | = |b1 | | Z G |2

dargestellt werden. Die Leistungs- oder Wellengr¨ oßen a1 und b1 sind durch √ √ RG + RG − und b1 = V1 (2.31) a1 = ∗ V1 ZG ZG definiert, mit diesen lautet die Eingangsspannung ∗ ZG Z − √ + V = a1 + √ G b1 V1 = V+ 1 1 RG RG

(2.32)

2.4. S-Parameter

73

V 1 und der Eingangsstrom − I1 = I+ 1 − I1 = √

1 1 a −√ b RG 1 RG 1

(2.33)

bzw. a1 =

V 1 + ZG I1 √ 2 RG

und

b1 =

∗ I V 1 − ZG 1 √ 2 RG

(2.34)

Zusammen mit den auf analoge Weise definierten Parametern a2 und b2 f¨ ur ur die das Ausgangstor wird so ein neuer Variablensatz (a1 , b1 , a2 und b2 ) f¨ Beschreibung des Vierpolverhaltens eingef¨ uhrt. Diese Variablen sind durch Streuparameter oder S-Parameter miteinander verkn¨ upft. a

a 1

2

V ie r p o l b

b 1

Abb. 2.18. Vierpol mit einlaufenden und auslaufenden Wellen 2

2.4 S-Parameter Das Verhalten linearer Vierpole bei hohen Frequenzen bis weit in den Gigahertzbereich wird in der Regel durch S-Parameter beschrieben [4], da sich Messungen unter Leerlauf- und Kurzschlußbedingungen, wie sie zur Bestimmung der y- und h-Parameter benötigt werden, bei hohen Frequenzen aufgrund von Zuleitungsinduktivit¨ aten und Streukapazitäten nur schwer durchf¨ uhren lassen. Diese Probleme treten bei S-Parameter Messungen nicht auf: S-Parameter sind direkt mit der einlaufenden und reflektierten Leistung verkn¨ upft und ¨ andern sich nicht entlang einer verlustlosen Leitung (vgl. Kap. 10). Das zu charakterisierende Netzwerk kann deshalb ohne nennenswerte Verf¨ alschungen durch die Zuleitung charakterisiert werden. In linearen Vierpolen besteht eine lineare Beziehung zwischen den Leistungsgrößen am Eingangs- und Ausgangstor

b1 b2

=

S 11 S 12 S 21 S 22

a1 a2

.

(2.35)

Die von der Frequenz abh¨ angigen Parameter S αβ werden als S-Parameter oder Streuparameter, die aus diesen Parametern aufgebaute Matrix als Streumatrix bezeichnet. Die S-Parameter sind als Verhältnisse von Leistungsgrößen definiert und deshalb dimensionlos. Die Messbedingen a1 = 0 bzw. a2 = 0 lassen sich durch Abschluß mit dem Wellenwiderstand erf¨ ullen.

74

2. Aktive Vierpole

Der Eingangs-Reflexionskoeffizient (bei ausgangsseitigem Abschluß mit dem Wellenwiderstand) ist

S 11

b = 1 a1 a

(Eingangs-Reflexionskoeffizient)

(2.36)

2 =0

sein Betragsquadrat | S 11 |2 bestimmt das Verhältnis der am Eingang reflektierten Leistung zur verf¨ ugbaren Leistung. Das Betragsquadrat | S 21 |2 des Vorw¨ arts-Transmissionskoeffizienten (bei ausgangsseitigem Abschluß mit dem Wellenwiderstand)

S 21

b = 2 a1 a

(Vorw¨ arts-Transmissionskoeffizient)

(2.37)

2 =0

bestimmt das Verh¨ altnis der an den Ausgang abgegebenen Leistung zu der am Eingang verf¨ ugbaren Leistung. Entsprechend beschreibt der R¨ uckw¨ artsTransmissionskoeffizient (bei eingangsseitigem Abschluß mit dem Wellenwiderstand)

S 12

b = 1 a2 a

(R¨ uckw¨ arts-Transmissionskoeffizient)

(2.38)

1 =0

die R¨ uckwirkung des Ausgangs auf den Eingang. Der Ausgangs-Reflexionskoeffizient (bei eingangsseitigem Abschluß mit dem Wellenwiderstand)

S 22 =

b2 a2 a

(Ausgangs-Reflexionskoeffizient)

(2.39)

1 =0

ist der Reflexionskoeffizient am Ausgangstor. Das Betragsquadrat | S 22 |2 bestimmt das Verh¨ altnis der am Ausgangstor reflektierten Leistung zu der am Ausgang verf¨ ugbaren Leistung. Ein vollständiger Satz S-Parameter liefert eine vollständige Beschreibung des Vierpolverhaltens und enth¨ alt deshalb dieselbe Information wie z.B. die Leitwert- und Hybridparameter. Die Leitwertmatrix beispielsweise läßt sich u ¨ber ⎛

y =

1 Z0

⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 − S 11 + S 22 − ∆s 1 + S 11 + S 22 + ∆s −2 S 21 1 + S 11 + S 22 + ∆s

−2 S 12 1 + S 11 + S 22 + ∆s 1 + S 11 − S 22 − ∆s 1 + S 11 + S 22 + ∆s

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

=Z y durch S-Parametern ausdr¨ ucken; umgekehrt gilt mit yαβ 0 αβ

⎛

+ y − ∆ 1 − y11 y 22 ⎜ + y + ∆ ⎜ 1 + y11 y 22

s = ⎜ ⎜ ⎝

−2 y21 + y + ∆ 1 + y11 y 22

−2 y12 + y + ∆ 1 + y11 y 22 − y − ∆ 1 + y11 y 22 + y + ∆ 1 + y11 y 22

⎞

⎟ ⎟ ⎟ . ⎟ ⎠

2.5. Verstärker

75

2.5 Verst¨ arker Ein Verstärker ist im Idealfall eine gesteuerte Quelle – in der Praxis ergeben sich (beispielsweise durch endliche Ein- und Ausgangswiderstände) allerdings Abweichungen vom idealen Verhalten. Dennoch hat es sich als zweckmäßig erwiesen, Verstärker nach der gesteuerten Quelle, der sie entsprechen sollen, in unterschiedliche Typen einzuteilen. Abbildung 2.19 erläutert die unterschiedlichen Verstärkertypen anhand einfacher Ersatzschaltungen, die so ausgewählt werden, daß sie das Verhalten m¨ oglichst anschaulich beschreiben. S p a n n u n g s v e rs tä rk e r

T r a n s a d m itta n z v e r s tä r k e r

id e a l: s p a n n u n g s g e s te u e r te S p a n n u n g s q u e lle R

R G

v

v G

R

< < R G

R i

R G

A

H I

id e a l: s p a n n u n g s g e s te u e r te S tr o m q u e lle

R I

R

v v

< < R A

v

v L

i

G

R L

G

R i

< < R

I

Y

R

ii R G

R G

> > R

Z I

R

(c )

> > R A

R L

L

id e a l: s tr o m g e s te u e r te S tr o m q u e lle R

A

ii m

R I

L

S tro m v e rs tä rk e r

id e a l: s tr o m g e s te u e r te S p a n n u n g s q u e lle

v

R A

(b )

T r a n s im p e d a n z v e r s tä r k e r

G

R i

I

(a )

R

v m

A

R

< < R L

L

ii

v

G

R G

R G

> > R

I

H i

R

ii

R I

A

A

> > R L

(d )

Abb. 2.19. Verst¨ arkertypen. (a) Spannungsverst¨ arker, (b) Transadmittanzverst¨ arker, (c) Transimpedanzverst¨ arker und (d) Stromverst¨ arker

Der Spannungsverst¨ arker entspricht im Idealfall der spannungsgesteuerten Spannungsquelle mit dem Spannungs¨ ubertragungsfaktor H v . In der Praxis liegt ein endlicher Eingangswiderstand RI vor, der jedoch groß im Vergleich zum Generatorwiderstand RG ist, sowie ein endlicher Ausgangswiderstand RA , der jedoch klein im Vergleich zum Lastwiderstand RL ist. Der Transadmittanzverst¨ arker entspricht im Idealfall der spannungsgesteu¨ erten Stromquelle mit der Ubertragungsadmittanz Y m . Der in der Praxis vorliegende endliche Eingangswiderstand RI muß auch hier groß im Vergleich

76

2. Aktive Vierpole

zum Generatorwiderstand RG , der Ausgangswiderstand RA der gesteuerten Stromquelle hingegen groß im Vergleich zum Lastwiderstand RL sein. Der Transimpedanzverst¨ arker entspricht im Idealfall der stromgesteuerten ¨ Spannungsquelle mit der Ubertragungsimpedanz Z m . Hier muß der Eingangswiderstand RI klein im Vergleich zum Generatorwiderstand RG sein, damit eine Stromsteuerung vorliegt. Ferner muß der Ausgangswiderstand RA der gesteuerten Spannungsquelle klein im Vergleich zum Lastwiderstand RL sein. Der Stromverst¨ arker entspricht im Idealfall der stromgesteuerten Stromquelle mit dem Strom¨ ubertragungsfaktor H i . Der in der Praxis vorliegende endliche Eingangswiderstand RI muß hier ebenfalls klein im Vergleich zum Generatorwiderstand RG , der Ausgangswiderstand RA groß im Vergleich zu RL sein. v

v S

1

+

k v

f(v ) v

2

2

k

Abb. 2.20. R¨ uckkopplung

Verstärker arbeiten in der Regel mit R¨ uckkopplung: Der Ausgang des Verstärkers wird dabei u uckkopplungsnetzwerk auf den Eingang zur¨ uck¨ber ein R¨ gef¨ uhrt, wie dies in der Prinzipschaltung Abb. 2.20 dargestellt ist. Die Ausgangsspannung v2 = f (v) des dort dargestellten Verstärkers ist durch die Spannung v am Eingang gegeben. Der Wert von v setzt sich zusammen aus der von außen angelegten Spannung v1 und dem Anteil kv2 , der vom Ausgang zur¨ uckgekoppelt wird. Wirkt die r¨ uckgekoppelte Spannung der Eingangsspannung entgegen (v = v1 −kv2 ), so spricht man von Gegenkopplung; wird die Eingangsspannung v1 durch das r¨ uckgekoppelte Signal verstärkt (v = v1 + kv2 ), so spricht man von Mitkopplung – in diesem Fall kann es zu selbsterregten Schwingungen kommen.

2.5.1 Gegenkopplung Im Fall eines linearen Verst¨ arkers gilt f (v) = a1 v, wobei a1 die Spannungsverstärkung des nicht r¨ uckgekoppelten Verstärkers bezeichnet. Bei Gegenkopplung gilt dann v2 = a1 (v1 −kv2 )

bzw.

v2 =

a1 v1 = Av v1 . 1+ka1

(2.40)

arkung des r¨ uckgekoppelten VerstärHierbei bezeichnet ka1 die Schleifenverst¨ kers. F¨ ur k > 0 gilt offensichtlich Av < a1 , d. h. die Gegenkopplung verringert die Verstärkung.

2.5. Verstärker

77

Transistoren in Verst¨ arkern werden meist gegengekoppelt; dies wirkt sich g¨ unstig auf die Verst¨ arkereigenschaften aus: • Der Arbeitspunkt wird gegen¨ uber Temperaturschwankungen und Exemplarstreuungen stabilisiert. • Durch Gegenkopplung lassen sich Eingangs- und Ausgangsimpedanz einer Verstärkerschaltung in weiten Grenzen variieren. • Der Frequenzgang der Verst¨ arkerstufe wird verändert: Durch Gegenkopplung mit ohmschen Widerst¨ anden wird die Bandbreite erhöht und die Verstärkung vermindert, wobei das Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt konstant bleibt. Der Entwickler hat dar¨ uber hinaus die Möglichkeit, mit kapazitiven oder induktiven R¨ uckkopplungsimpedanzen einen frequenzabhängigen Gegenkopplungsgrad zu realisieren. Dies bietet weitreichende Möglichkeiten, den Frequenzgang einer Verst¨ arkerschaltung zu beeinflussen. • Die Nichtlinearit¨ at des Verst¨ arkers, bedingt durch nichtlineare Kennlinien der Transistoren, wird reduziert. Das verstärkte Ausgangssignal weist eine gegen¨ uber der nicht gegengekoppelten Verstärkerstufe verminderte Verzerrung auf. V R

v

R G

(t)

+

R C

F

v 2(t) G

R E

Abb. 2.21. Gegenkopplung beim Transistor

Abbildung 2.21 zeigt zwei M¨ oglichkeiten der Gegenkopplung innerhalb einer 11 ¨ Transistorverst¨ arkerstufe. Uber den Widerstand RF wirkt die Ausgangsspannung v2 (t) auf v1 (t) zur¨ uck – man spricht hier auch von einer Spannungsgegenkopplung. Die Wirksamkeit dieses Ansatzes wird durch das Verhältnis RG /RF bestimmt. Die Spannung u ¨ber dem Widerstand RE ist vom Strom im Ausgangskreis abh¨ angig. Da dieser Spannungsabfall in Serie zur Eingangsspannung des Transistors liegt, wirkt der Strom im Ausgangskreis auf diese zur¨ uck – man spricht hier auch von einer Stromgegenkopplung. 11

Bei aufeinanderfolgenden Verst¨ arkerstufen kann auch von einer der nachfolgenden auf die erste zur¨ uckgekoppelt werden.

78

2. Aktive Vierpole

Eingangs- und Ausgangsimpedanz Durch die Gegenkopplung wird die Eingangsimpedanz der Verstärkerschaltung verändert und kann so auf einen Sollwert abgeglichen werden. Bei Spannungsgegenkopplung (R¨ uckkopplungsnetzwerk liegt am Eingang in Serie zum Verstärker) vergr¨ oßert sich die Eingangsimpedanz des Verstärkers um den Faktor (1 + kA), bei Stromgegenkopplung (R¨ uckkopplungsnetzwerk liegt am Eingang parallel zum Verst¨ arker) wird sie um den Faktor (1 + kA)−1 kleiner. Die Ausgangsimpedanz wird bei Spannungsgegenkopplung (die r¨ uckgef¨ uhrte −1 Größe wird parallel zum Ausgang abgegriffen) um den Faktor (1+kA) kleiner, während sie bei Stromgegenkopplung um den Faktor (1 + kA) ansteigt. Je nachdem ob die Schaltung einen niederohmigen oder einen hochohmigen Ausgang aufweisen soll, muß also Spannungs- bzw. Stromgegenkopplung verwendet werden. Beispiel 2.4.1 Abbildung 2.22 zeigt eine Ersatzschaltung f¨ ur einen Verstärker mit Serien-Parallel-Gegenkopplung (Spannungsr¨ uckkopplung in Reihenschaltung). Ein praktisches Beispiel hierf¨ ur ist der nichtinvertierende Verstärker (vgl. Kap. 6): Wird der Operationsverst¨ arker durch die einfache Ersatzschaltung des Spannungsi1 v v

R i

A v I

R A

i

v

v

1

R

R 1

2

v

i

R

R I

A

v

1

k A v

A v i

2

i

2

(a )

(b )

Abb. 2.22. Serien-Parallel-Gegenkopplung. (a) Ersatzschaltung und (b) vereinfachte Ersatzschaltung

verst¨ arkers beschrieben, so resultiert Abbildung 2.22 a. Der Spannungsabfall an R1 ¨ ergibt sich leicht durch Uberlagerung vR1 =

R1 R2 R1 i1 + v2 . R1 +R2 R1 +R2

Ist der Eingangswiderstand RI des nicht r¨ uckgekoppelten Verstärkers so groß, daß assigbar kleinen Spannungsabfall an R1 hervorruft, der Strom i1 nur einen vernachl¨ uckso kann der erste Term in der Beziehung f¨ ur vR1 vernachlässigt und die R¨ ¨ kopplung durch eine spannungsgesteuerte Spannungsquelle mit Ubertragungsfaktor k = R1 /(R1 + R2 ) nachgebildet werden. Gilt ferner RA (R1 + R2 ), so kann die Belastung des Ausgangs durch das R¨ uckkopplungsnetzwerk vernachlässigt werden

2.5. Verstärker

79

und es resultiert die in Abb. 2.22 b dargestellte vereinfachte Ersatzschaltung. Aus der vereinfachten Ersatzschaltung folgt sofort f¨ ur die Spannungsverstärkung Av , den uckgekoppelten SchalEingangswiderstand ri und den Ausgangswiderstand ro der r¨ tung Av =

A , 1+kA

ri = RI (1+kA)

und

ro =

RA . 1+kA

Durch die betrachtete Gegenkopplung vergr¨ oßert sich demzufolge der Eingangswiderstand des Verst¨ arkers um den Faktor (1 + kA), während der Ausgangswiderstand um den Faktor (1 + kA)−1 kleiner wird. ∆

Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt Weist der nicht r¨ uckgekoppelte Verst¨ arker das Verhalten eines Tiefpasses erster Ordnung auf H v (f ) =

Av0 , 1 + j f /fg

so folgt bei Gegenkopplung der Frequenzgang Av0 Av0 H v (f ) = = 1 + kH v (f ) 1 + kAv0 + j f /fg 1 + kAv0

1 1+j

f fg (1+kAv0 )

,

d. h. der gegengekoppelte Verst¨ arker weist ein Tiefpaßverhalten mit der Grenzfrequenz fg = fg (1 + kAv0 ) auf. Durch Umformen folgt sofort fg

Av0 = fg Av0 , 1 + kAv0

(2.41)

d. h. das Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt des Verstärkers wird durch die Gegenkopplung nicht beeinflußt. Durch Verringerung der Verstärkung kann somit die Bandbreite vergr¨ oßert werden. Letztere wird meist definiert als der Frequenzbereich, in dem das Verst¨ arkungsmaß bis auf 3 dB konstant ist.

Verzerrungen ¨ Nichtlinearitäten in der Ubertragungskennlinie v2 = f (v1 ) des nicht gegengekoppelten Verst¨ arkers verursachen bei sinusförmiger Ansteuerung Oberwellen und damit eine Verzerrung des Ausgangssignals. Durch Entwickeln bis zur dritten Ordnung folgt f¨ ur den Wechselanteil der Ausgangsspannung als Funktion der Eingangsspannung 2 3 (t) + α3 v1∼ (t) + . . . , v2∼ (t) = α1 v1∼ (t) + α2 v1∼

¨ im Arwobei αm durch die die m-te Ableitung der Ubertragungskennlinie beitspunkt V definiert ist

80

2. Aktive Vierpole

αm

1 dm f = . m! dv m V

Wie in Kap. 1.4 gezeigt f¨ uhrt das Eingangssignal v1∼ (t) = vˆ1 cos(ωt) zu Harmonischen der Frequenz 2ω und 3ω im Ausgangssignal. Maßgeblich f¨ ur das Verhältnis der Amplituden der 2. und 3. Harmonischen zur Amplitude der Grundschwingung sind die Koeffizienten α2 α3 2 vˆ1 und κ3 = vˆ . κ2 = 2α1 4α1 1 Bei Gegenkopplung u uckkopplungsnetzwerk mit dem R¨ uck¨ber ein lineares R¨ kopplungsfaktor k gilt v2 = f (v1 −kv2 ) = f (v) .

(2.42)

Bei sinusförmiger Ansteuerung lautet die Taylorreihe

dv2 1 d2 v2 2 1 d3 v2 3 v (t) + v (t) + v2∼ (t) ≈ v (t) + . . . , 1∼ 1∼ dv1 V 2 dv12 V 6 dv13 V 1∼ wobei die Ableitungen von v2 bez¨ uglich v1 im Arbeitspunkt V = V1 − kV2 zu ermitteln sind. Das Verh¨ altnis der Amplituden der 2. und 3. Harmonischen des Ausgangssignals zur Amplitude der Grundschwingung wird nun n¨ aherungsweise durch die Koeffizienten K2 =

vˆ1 d2 v2 /dv12 |V 4 dv2 /dv1 |V

und

K3 =

vˆ12 d3 v2 /dv13 |V 24 dv2 /dv1 |V

bestimmt. Durch Ableiten von v2 = f (v1 −kv2 ) folgt dv2 df dv df = = dv1 dv dv1 dv

dv2 1−k dv1

(2.43)

bzw. mit α1 = df /dv

α1 dv2 = , dv1 V 1 + kα1 was bereits bekannt ist: Die Kleinsignalverstärkung dv2 /dv1 des gegengekoppelten Verstärkers h¨ angt u ¨ber Gl. (2.40) mit der Kleinsignalverstärkung α1 des nicht gegengekoppelten Verst¨ arkers zusammen. Durch Ableiten von Gl. (2.43) nach v1 folgt weiter d2 f d2 v2 = dv 2 dv12

dv2 1−k dv1

2

bzw. mit 2α2 = d2f /dv 2

2α2 d2 v2 . = (1 + kα1 )3 dv12 V

−k

df d2 v2 dv dv12

(2.44)

2.5. Verstärker

81

Damit folgt f¨ ur das Verh¨ altnis der Amplituden der ersten beiden Harmonischen die Näherung K2 ≈

1 α2 vˆ1 . 2 (1 + kα1 ) α1 2

(2.45)

Es wird im Vergleich zum nicht gegengekoppelten Verstärker um den Faktor (1 + kα1 )−2 verringert. Bei konstant gehaltener Ausgangsamplitude muß beim gegengekoppelten Verst¨ arker wegen der Reduktion der Verstärkung die Eingangsamplitude vˆ1 um den Faktor (1 + kα1 ) angehoben werden, daher resultiert als Folge der Gegenkopplung lediglich eine Verbesserung um den altnis der Amplituden der ersten beiden HarmoFaktor (1 + kα1 )−1 im Verh¨ nischen. Durch Ableiten von (2.44) folgt weiter

3

d3f dv2 d3 v2 = 1−k 3 3 dv dv1 dv1

− 3k

d2f dv2 1−k 2 dv dv1

2 d v2

dv12

−k

df d3 v2 dv dv13

bzw. mit 6α3 = d3f /dv 3 α3 2kα22 1 d3 v2 = − . 6 dv13 (1 + kα1 )4 (1 + kα1 )5 F¨ ur das Verhältnis der Amplituden der ersten und dritten Harmonischen folgt damit näherungsweise 1 1 K3 ≈ (1 + kα1 )3 α1

a 1v

(1 ) v 1

v

d

+ a 2v

d

2kα22 α3 − 1 + kα1

+ a 3v 2

d

vˆ12 . 4

(2.46)

3

(2 ) d

v R

2

2

(0 ) R

(3 ) 1

Abb. 2.23. Nichtlinearer Spannungsverst¨ arker mit R¨ uckkopplung

Beispiel 2.4.2 Als Beispiel wird die in Abb. 2.23 dargestellte Ersatzschaltung eines nichtlinearen Spannungsverst¨ arkers mit und ohne R¨ uckkopplung betrachtet. Die Ausgangsspannung wird als ein Polynom dritter Ordnung der Eingangsspannung vd = V (1, 3) beschrieben, die Koeffizienten wurden mit α1 = 100, α2 = 10/V und α3 = 1/V2 gewählt.

82

2. Aktive Vierpole

Ohne R¨ uckkopplung gilt bei sinusf¨ ormigem Eingangssignal vd = vˆ1 cos(ωt); wird vˆ1 = 1 V gew¨ ahlt, so folgt α2 α3 2 vˆ1 = 5 · 10−2 und κ3 = vˆ = 2.5 · 10−3 κ2 = 2α1 4α1 1 F¨ ur das Ausgangssignal folgt so (vgl. Kap. 1.4) v2 (t)

=

α2 2 vˆ + α1 (1+3κ3 ) vî cos(ωt) + α1 κ2 cos(2ωt) + α1 κ3 cos(3ωt) 2 i

= 5 V + 100.75 V · cos(ωt) + 5 V · cos(2ωt) + 0.25 V · cos(3ωt) Dieses Ergebnis wird durch eine SPICE-Analyse bestätigt: eine .FOUR-Analyse liefert in der .OUT-Datei das folgende Ergebnis f¨ ur die ersten vier Harmonischen. FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(2) DC COMPONENT = 5.000000E+00 HARMONIC NO 1 2 3 4

FREQUENCY (HZ) 1.000E+03 2.000E+03 3.000E+03 4.000E+03

FOURIER COMPONENT 1.008E+02 5.000E+00 2.500E-01 1.075E-06

NORMALIZED COMPONENT 1.000E+00 4.963E-02 2.481E-03 1.067E-08

PHASE (DEG) 9.000E+01 9.000E+01 9.000E+01 -1.329E+02

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 4.968979E+00 PERCENT Die Ergebnisse f¨ ur die ersten drei Harmonischen stimmen mit den Resultaten der analytischen Rechnung u ur die vierte Harmonische ist ohne ¨berein, das Ergebnis f¨ Bedeutung, da maximal die dritte Harmonische erzeugt werden kann, das numerische Ergebnis liefert jedoch Anhaltspunkte f¨ ur die Genauigkeit der numerischen Rechung. Wird die R¨ uckkopplung ber¨ ucksichtigt, so wird die Verstärkung verringert. Mit R2 = aherungsweise die neue Verstärkung 10 kΩ, R1 = 1 kΩ folgt k = 1/11 und damit n¨ α1 = 9.91 . 1 + kα1 Da dies um den Faktor 10.091 unter dem Wert α1 = 100 liegt wurde die Amplitude der Eingangsspannung auf den Wert 10 V angehoben um wieder annähernd dieselbe Ausgangsamplitude zu erhalten. Mit der Steuerdatei Nichtlinearer Verstaerker mit Rueckkopplung V1 1 0 SIN 0 10 1k 0 0 90 RI 1 3 10MEG E1 2 0 POLY(1) 1 3 0 100 10 1 R2 2 3 10k R1 3 0 1k .TRAN 1n 2m 0 1n .FOUR 1k V(2) .PROBE .END

2.5. Verstärker

83

wurde erneut eine .FOUR-Analyse durchgef¨ uhrt. Dabei wurde in der .OUT-Datei f¨ ur die ersten f¨ unf Harmonischen das Ergebnis FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(2) DC COMPONENT = 4.846844E-01 HARMONIC NO 1 2 3 4 5

FREQUENCY (HZ) 1.000E+03 2.000E+03 3.000E+03 4.000E+03 5.000E+03

FOURIER COMPONENT 9.904E+01 4.840E-01 1.807E-02 7.280E-04 2.598E-04

NORMALIZED COMPONENT 1.000E+00 4.887E-03 1.824E-04 7.350E-06 2.623E-06

PHASE (DEG) 9.000E+01 9.000E+01 -9.000E+01 -9.005E+01 8.992E+01

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 4.890039E-01 PERCENT erzeugt. Das Ergebnis 99.04 V f¨ ur die Amplitude der ersten Harmonischen entspricht ann¨ ahernd dem Wert α1 · 10 V = 99.1 V . 1 + kα1 F¨ ur die Amplitude der zweiten Harmonischen liefert die Entwicklung bis zur dritten Ordnung die Näherung vˆ12 α2 = 0.4866 V (1 + kα1 )3 2 ¨ in guter Ubereinstimmung mit dem Ergebnis der Simulation. F¨ ur die Amplitude der dritten Harmonischen folgt schließlich

3 α3 vˆ1 2kα22 = −19.33 mV − (1 + kα1 )4 (1 + kα1 )5 4 was um ca. 7 % vom Simulationswert abweicht. Das negative Vorzeichen beschreibt eine Phasenverschiebung von - 180◦ , die auch durch die Simulation bestätigt wird. Daß die Amplitude der 3. Harmonischen bei R¨ uckkopplung nicht nur von α3 sonangt damit zusammen, daß das r¨ uckgekoppelte dern auch von α2 bestimmt wird, h¨ Signal bereits Oberwellen enth¨ alt, die am Eingang mit dem Ausgangssignal gemischt werden. Abweichung von analytischer N¨ aherung und Simulation erklären sich aus dem Abbruch der Taylor-Entwicklung nach dem dritten Glied. Weitere Terme der Entwicklung f¨ uhren ebenfalls zu, wenn auch betragsmäßig geringen, Beiträgen proportional zu cos(2ωt) und cos(3ωt). ∆

2.5.2 Mitkopplung, Oszillatoren R¨ uckgekoppelte Verst¨ arker zeigen u.U. selbsterregte Schwingungen – sie arbeiten dann als Oszillatoren. Die Anschwingbedingung läßt sich bei Serien¨ Parallel-R¨ uckkopplung aus den Ubertragungsfaktoren des Verstärker- und des R¨ uckkopplungsvierpols bestimmen. Zu diesem Zweck wird der in Abb. 2.24

84

2. Aktive Vierpole

dargestellte r¨ uckgekoppelte Verst¨ arkervierpol betrachtet. Die R¨ uckkopplungsschleife wird aufgetrennt (gestrichelte Linie); die komplexe Amplitude des Spannungsabfalls zwischen den Trennpunkten wird mit vˆ1 bezeichnet.

H

v '1 v

v

v 1

k v 2

k

2

Abb. 2.24. Verst¨ arkervierpol Serien-Parallel-R¨ uckkopplung

mit

Zunächst wird der Spannungs¨ ubertragungsfaktor v 2 /v 1 des r¨ uckgekoppelten ¨ des nicht r¨ uckVerstärkers bestimmt. Bezeichnet H v den Ubertragungsfaktor ¨ gekoppelten Verst¨ arkers und k den Ubertragungsfaktor des R¨ uckkopplungsnetzwerks, so ist v 2 = H v (v 1 −kv 2 ) bzw. (1+kH v ) v 2 = H v v 1 .

(2.47)

Werden die Eingangsklemmen kurzgeschlossen (v 1 = 0), so kann v 2 nur unter der Bedingung kH v = −1

(2.48)

von null verschieden sein. Ist diese Anschwingbedingung erf¨ ullt, so wird der Verstärker instabil und beginnt zu schwingen – er arbeitet dann als Oszillator.

2.6 Literaturverzeichnis [1] R.S. Carson. High-Frequency Amplifiers. Wiley, New York, 1982. [2] J. Choma. General Circuit Theory, in Circuits and Filters Handbook, W.-K. Chen Ed. CRC Press, Boca Raton, 1995. [3] G.D. Vendelin, U.L Rohde, A.M. Pavio. Microwave Circuit Design Using Linear and Nonlinear Techniques. Wiley, New York, 1990. [4] Hewlett Packard. S-parameter design. Application Note 154, 1972.

3 Rauschen Der Begriff Rauschen, wie er hier verwendet wird, beschreibt statistische Schwankungen von Spannung und Strom. Die primären Ursachen des Rauschens 1 sind die thermische Bewegung und die diskrete Natur der beim Stromfluß transportierten Ladung – diese fließt ja nicht kontinuierlich, sondern quantisiert in Einheiten der Elementarladung. Die Möglichkeit elektronische Signale geringer Amplitude zu verstärken, ist durch das Rauschen der ersten Verstärkerstufen beschr¨ ankt. Aus diesem Grund bestimmt das Rauschen letztlich in allen Messungen die Empfindlichkeitsgrenze.

3.1 Grundlagen Abbildung 3.1 zeigt schematisch den Verlauf eines verrauschten Stromsignals – einem mittleren Strom I ist hier ein Rauschstrom in (t) u ¨berlagert. i( t) I+ in ( t) I

t

Abb. 3.1. Verrauschtes Stromsignal

Der Rauschstrom in (t) besitzt definitionsgem¨ aß den Mittelwert null 1 in = lim T →∞ 2T

T

−T

in (t ) dt = 0 .

(3.1)

Als Maß f¨ ur die Intensit¨ at des Rauschens wird deshalb das mittlere Schwankungsquadrat des Rauschstroms i2n

1 = lim T →∞ 2T

T

−T

i2n (t ) dt

(3.2)

verwendet. F¨ ur praktische Berechnungen ist das Spektrum Si (f ) des Rausch2 stroms von besonderer Bedeutung. Si (f ) gibt das mittlere Rauschstromquadrat je Hz Bandbreite an; die Einheit von Si (f ) ist demnach A2 /Hz. Auf 1

Leser, die sich u ¨ber diese knappe Zusammenfassung hinausgehend mit dem Rauschen besch¨ aftigen wollen, k¨ onnen mittels [1–4] tiefer in das Gebiet eindringen. 2 Auch als Spektralfunktion, spektrale Dichtefunktion, spektrale Leistungsdichte oder Leistungsspektrum bezeichnet.

86

3. Rauschen

diesem Weg läßt sich die Zusammensetzung des Rauschstroms aus Anteilen unterschiedlicher Frequenz beschreiben3 . Ist nur das Rauschen in einem Frequenzintervall [f, f +∆f ] von Interesse, so errechnet sich das entsprechende Rauschstromquadrat mit Hilfe von Si (f ) gemäß i2n =

f+∆f

Si (f ) df .

f

(3.3)

Der zugehörige Effektivwert In des Rauschstroms ergibt sich hieraus durch Wurzelbildung

i2n

In =

f+∆f

=

Si (f ) df .

f

(3.4)

Rauschspannungen lassen sich entsprechend durch ihr Spektrum Sv (f ) (Einheit V2 /Hz) charakterisieren. Mit diesem folgt der Effektivwert

Vn =

vn2 =

f+∆f

Sv (f ) df .

f

(3.5)

der Rauschspannung mit Frequenzanteilen im Intervall [f, f +∆f ].

3.1.1 Autokorrelation, Wiener-Khintchine-Relation Das Spektrum eines Rauschstroms l¨ aßt sich nicht einfach durch FourierTransformation ermitteln: Der zeitliche Verlauf des Rauschstroms kann wegen dessen statistischer Natur nicht angegeben werden. Stattdessen kann die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur angegeben werden, daß eine Schwankung innerhalb eines Zeitintervalls der L¨ ange τ wieder abklingt. Diese wird bestimmt u ¨ber die Korrelationsfunktion Ri (τ ) des Rauschstroms in (t) zur Zeit t mit seinem Wert in (t+τ ) zur Zeit t + τ Ri (τ ) = lim

T →∞

1 2T

T −T

in (t) in (t+τ ) dt .

(3.6)

Ri (τ ) heißt Autokorrelationsfunktion 4 des Rauschstroms. Sie hat stets ein Maximum bei τ = 0 mit dem Wert Ri (0) = lim

T →∞

3

1 2T

T −T

i2n (t) dt = i2n ,

(3.7)

Die mathematische Definition der Spektralfunktion mit Hilfe der Wiener-KhintchineRelation wird im folgenden Abschnitt erl¨ autert. 4 Ri (τ ) kann meßtechnisch bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird einem Mischer (Multiplizierer) das Rauschsignal einmal direkt und einmal um τ verz¨ ogert zugef¨ uhrt, was den Integranden im Ausdruck f¨ ur die Autokorrelationsfunktion ergibt. Die zeitliche Mittelung wird durch analoge Integration ausgef¨ uhrt, wobei aus technischen Gr¨ unden nur u ¨ber ein beschr¨ anktes Zeitintervall integriert werden kann.

3.1. Grundlagen

87

und fällt mit zunehmenden Werten von τ gegen null ab. Dies ist gleichbedeutend damit, daß f¨ ur zwei sehr weit auseinanderliegende Zeiten kein Zusammenhang mehr zwischen den Stromamplituden des Rauschstroms besteht. Das Spektrum Si (f ) des Rauschstroms ist mit dessen Autokorrelationsfunktion u upft ¨ber die Wiener-Khintchine-Relation verkn¨ ∞

Si (f ) = 4

0

Ri (τ ) cos(2πf τ ) dτ ,

(3.8)

und umgekehrt ∞

Ri (τ ) =

0

Si (f ) cos(2πf τ ) df .

(3.9)

Insbesondere gilt ∞

Ri (0) =

0

Si (f ) df = i2n .

(3.10)

In völliger Analogie zu Gl. (3.6) ist die Autokorrelationsfunktion Rv (τ ) der Rauschspannung vn (t) sowie das Spektrum Sv (f ) definiert.

3.1.2 Rauschquellen Rauschbehaftete Netzwerkelemente werden in Ersatzschaltungen meist durch Schraffur gekennzeichnet. F¨ ur die Berechnung des Rauschverhaltens elektronischer Bauelemente werden diese durch ein Netzwerk von Rauschquellen und idealen rauschfreien Netzwerkelementen beschrieben. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer Rauschersatzschaltung des Elements. Die f¨ ur Rauschspannungs- und Rauschstromquellen verwendeten Symbole sind in Abb. 3.2 dargestellt; ihr Rauschverhalten wird durch das jeweilige Spektrum Sv (f ) bzw. Si (f ) angegeben.

S i( f ) R a u s c h S tr o m q u e lle

S v(f) R a u s c h S p a n n u n g s q u e lle

Abb. 3.2. Rauschquellen

Werden zwei voneinander unabh¨ angige (unkorrelierte) Rauschspannungsquellen (charakterisiert durch die Spektren Sv1 (f ) bzw. Sv2 (f )) in Reihe geschaltet, so können diese zu einer einzelnen Rauschspannungsquelle mit dem Spektrum Sv (f ) = Sv1 (f ) + Sv2 (f )

88

3. Rauschen

zusammengefaßt werden. Entsprechend lassen sich zwei voneinander unabhängige, parallelgeschaltete Rauschstromquellen (mit den Spektren Si1 (f ) bzw. Si2 (f )) zu einer durch Si (f ) = Si1 (f ) + Si2 (f ) beschriebenen Rauschstromquelle zusammenfassen. Besteht eine Korrelation zwischen den Rauschquellen, so d¨ urfen diese Beziehungen nicht angewandt werden.

3.1.3 Korrelation Werden zwei Rauschstr¨ ome in1 (t) und in2 (t) u ¨berlagert, so ist das gesamte mittlere Schwankungsquadrat (in1 +in2 )2 = i2n1 + i2n2 + 2 in1 in2 . F¨ ur unkorrelierte Rauschsignale in1 und in2 verschwindet der Mittelwert in1 in2 . Das Schwankungsquadrat des Gesamtstroms ergibt sich dann durch einfache Addition der Schwankungsquadrate der einzelnen Rauschströme. Dies ändert sich sobald die beiden Rauschbeiträge nicht mehr statistisch unabhängig sind; diese Situation ist i. allg. gegeben, falls die beiden Rauschströme teilweise auf dieselben Quellen zur¨ uckzuf¨ uhren sind 5 . Die Korrelation der beiden Str¨ ome l¨ aßt sich ausdr¨ ucken durch den Korrelationskoeffzienten (

c1,2 = in1 in2

i2n1 i2n2 ,

(3.11)

dessen Betrag Werte zwischen null und eins annehmen kann. Unkorrelierte Rauschströme in1 und in2 haben einen Korrelationskoeffizienten vom Wert null, vollständig korrelierte Rauschstr¨ ome in1 und in2 haben einen Korrelationskoeffizienten vom Betrag eins.

3.2 Rauschmechanismen Zur Untersuchung des Rauschens beim Stromtransport wird die in Abb. 3.3 skizzierte Anordnung betrachtet. Bewegt sich ein Elektron zwischen den Elektroden E1 und E2 und betr¨ agt die x-Komponente seiner Geschwindigkeit vxk (t), so trägt es den Strom ik (t) = − 5

e vxk (t) . L

(3.12)

Ein Beipiel f¨ ur eine solche Situation ist ein r¨ uckgekoppelter Verst¨ arker, bei dem der Ausgang auf den Eingang r¨ uckgekoppelt wird. Das Rauschsignal am Eingang wird dann uckzusammengesetzt aus einem Anteil in1 des Eingangssignals und einem Anteil in2 des r¨ gekoppelten Signals.

3.2. Rauschmechanismen

E 1

89

E 2

i( t) V A 0

L

x

Abb. 3.3. Zur Beschreibung des Rauschens beim Stromtransport

Der zur Zeit t zwischen den Elektroden transportierte Strom beträgt demnach N (t) e vxk (t) , i(t) = − L k=1

(3.13)

wobei N (t) die Anzahl der zur Zeit t zwischen den Elektroden befindlichen Elektronen angibt. Der zeitliche Mittelwert des Stroms ist e I = − N vx , L

(3.14)

falls keine Korrelation zwischen den Fluktuationen der Teilchenzahl und den Fluktuationen der Teilchengeschwindigkeit besteht. Schwankungen im Strom sind durch Fluktuationen der Teilchenzahl N (t) und der x-Komponente der Teilchengeschwindigkeiten bestimmt. Ist ∆N (t) die Abweichung der Teilchenzahl N (t) vom Mittelwert N , und ∆vxk (t) die Abweichung der xKomponente der Geschwindigkeit des Teilchens k vom Mittelwert vx zur Zeit t, so ist die Stromfluktuation n¨ aherungsweise N

e e ∆vxk (t) . ∆i(t) ≈ − vx ∆N (t) − L L k=1

(3.15)

ur k = l Da zwischen den Geschwindigkeitsfluktuationen ∆vxk (t) und ∆vxl (t) f¨ keine Korrelation besteht, ist die Autokorrelationsfunktion des Rauschstroms R∆i (τ ) =

e2 2 v

R (τ ) + N

R (τ ) . x ∆N ∆v ( x L2

(3.16)

Abhängig davon, ob in diesem Ausdruck der durch die Autokorrelationsfunktion der Geschwindigkeitsfluktuationen R∆vx (τ ) bestimmte Term oder der durch die Autokorrelationsfunktion der Teilchenzahlfluktuationen R∆N (τ ) bestimmte Term dominieren, wird vorzugsweise thermisches Rauschen oder vorzugsweise Schrotrauschen beobachtet. Dies wird im Folgenden am Beispiel der Röhrendiode und des Ohmschen Widerstands erläutert.6 6

F¨ ur eine weiterf¨ uhrende Darstellung sei auf [2, 4] verwiesen.

90

3. Rauschen

3.2.1 Schrotrauschen Abbildung 3.4 zeigt schematisch die Strom-Spannungs-Kennlinie einer Röhrendiode f¨ ur verschiedene Werte der Kathodentemperatur TC . Da bei hinreichend großer Anodenspannung nahezu alle aus der Kathode austretenden Elektronen zur Anode abtransportiert werden, wirkt die Röhrendiode im sog. Sättigungsbereich wie eine Stromquelle, deren Strom durch die Rate festgelegt ist, mit der Elektronen aus der Kathode austreten. lo g IA

S ä ttig u n g s b e r e ic h

K a th o d e V

T

C 2

> T

C 1

T

C 1

A n o d e

IA H

V A

V A

Abb. 3.4. Strom-Spannungskennlinie (schematisch) einer R¨ ohrendiode f¨ ur verschiedene Werte der Kathodentemperatur TC

Die Anzahl N (t) der Elektronen im Driftraum zwischen Kathode und Anode wird durch den zuf¨ alligen Emissionsvorgang bestimmt. Da die Energieverteilungsfunktion der Elektronen im Metall zu großen Energiewerten exponentiell abnimmt, ist die kinetische Energie der austretenden Elektronen klein: Die meisten Elektronen haben eine kinetische Energie kleiner als 3kB TC . Da die Anodenspannung im S¨ attigungsbereich typischerweise einige Volt beträgt, ist die von den Elektronen im elektrischen Feld aufgenommene Energie (gerichtete Bewegung) deutlich gr¨ oßer als ihre thermische Energie (ungeordnete Bewegung). Bei Betrieb der R¨ ohrendiode im S¨ attigungsbereich können wir deshalb 2 2 ∆vx vx annehmen. In diesem Fall ist die Autokorrelationsfunktion des Rauschstroms Ri (τ ) im wesentlichen durch die Autokorrelationsfunktion R∆N (τ ) der Teilchenzahl im Driftvolumen bestimmt: Ri (τ ) ≈

e2 vx 2 R∆N (τ ) . L2

(3.17)

Da die Anwesenheit eines Elektrons im Driftraum nur vom Emissionsvorgang bestimmt wird, und somit unabh¨ angig von der Anwesenheit weiterer Elektro-


91

nen im Driftraum ist, ist die Autokorrelationsfunktion der Teilchenzahl N mal die Autokorrelationsfunktion der Funktion7

1 0

f1 (t) =

Elektron zwischen E1 und E2 unterwegs andernfalls

die die Anwesenheit eines Elektrons im Driftraum beschreibt. Benötigt das Elektron die Zeit tf um die Driftzone zu duchlaufen, so ist f1 (t) rechteckförmig (vgl. Abb. 3.5 a) und f¨ uhrt auf eine dreieckförmige Autokorrelationsfunktion R1 (τ ) wie in Abb. 3.5 b gezeigt. f1(t) 1

tf

R

tf

0 (a )

(t )

0

tf t

1

tf t

(b )

Abb. 3.5. (a) Verlauf der Funktion f1 (t) die den Aufenthalt eines Elektrons im Driftbereich beschreibt, und (b) zugeh¨ orige Autokorrelationsfunktion

Das Spektrum S1 (ω) zu R1 (τ ) kann mit der Wiener–Khintchine Beziehung ermittelt werden S1 (ω) = 4

tf tf −τ 0

tf

cos(ωτ ) dτ = 4tf

1−cos(ωtf ) . (ωtf )2

(3.18)

Gilt ωtf 1, so kann S1 (ω) durch S1 (ω → 0) = 2tf ersetzt werden, so daß S∆N (ω) = N S1 (ω) ≈ 2 N tf .

(3.19)

ur das Spektrum des Rauchstroms Mit tf = L/ vx folgt f¨ Si (ω) =

e2 e tf vx = 2eIA . vx 2 S∆N (ω) = 2e N vx 2 L L L

(3.20)

Dieses Ergebnis wurde erstmals von Schottky [5] gefunden. Liegt der relevante Frequenzbereich deutlich unter 1/tf , so kann das Spektrum des Schrotrauschens als frequenzunabh¨ angig angenommen werden. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von weißem Rauschen, da alle Spektralanteile im selben Maß beitragen. F¨ ur den Effektivwert des Rauschstroms in einem Frequenzintervall der Breite ∆f gilt dann

In = 7

i2n =

2eI∆f .

(3.21)

Diese Betrachtung l¨ aßt die Beschleunigung der Elektronen im elektrischen Feld unber¨ ucksichtigt. Diese f¨ uhrt zu dreieckf¨ ormigen Strompulsen (im Unterschied zu den hier unterstellten rechteckf¨ ormigen). Das Spektrum des Rauschstroms ist jedoch f¨ ur ωtf 1 unabh¨ angig von der Pulsform und f¨ uhrt in diesem Grenzfall ebenfalls auf Si = 2eIA .

92

3. Rauschen

3.2.2 Thermisches Rauschen In einem Widerstand aus einer Metallschicht ist die Fluktuation der Elektronenzahl vernachl¨ assigbar: Abweichungen von der Neutralität klingen innerhalb der dielektrischen Relaxationszeit τ (vgl. Kap. 12) ab, deren Wert wegen der hohen Elektronendichte extrem klein ist. Die Anzahl der Elektronen zwischen den Elektroden wird hier nicht durch einen Emissionsvorgang bestimmt und u ussige oder fehlende Elektronen können leicht u ¨bersch¨ ¨ber die Kontaktelektroden ausgeglichen werden. Ein weiterer Unterschied zur Röhrendiode ist L

E 1

E 2 lx

Abb. 3.6. Schematische Darstellung des Wegs eines Elektrons zwischen den Kontaktelektroden E1 und E2 eines metallischen Leiters

durch die Streuung der Elektronen an Störstellen bedingt: Im Festkörper ist die mittere freie Wegl¨ ange wesentlich kleiner als der Abstand der Kontaktelektroden, so daß jedes Elektron auf seinem Weg von E1 nach E2 sehr oft gestreut wird (Abb. 3.6). Die mittlere Driftgeschwindigkeit ist deshalb wesentlich kleiner als die mit der ungeordneten Bewegung verbundene Geschwindigkeit, d.h. ∆vx2 N vx 2 ∆N 2 . In diesem Fall ist die Autokorrelationsfunktion des Rauschstroms vor allem durch die Autokorrelationsfunktion der Geschwindigkeitsfluktuationen R∆vx (τ ) bestimmt Ri (τ ) ≈

e2 N R∆vx (τ ) . L2

(3.22)

Die Autokorrelationsfunktion der Geschwindigkeitsfluktuationen ist nur f¨ ur Zeiten, in der Gr¨ oßenordnung der mittleren Streuzeit τc eines Teilchens von null verschieden. F¨ ur Frequenzen bei denen ωτc 1 erf¨ ullt ist, gilt deshalb S∆vx (ω) ≈ S∆vx (ω = 0) = 4

∞ 0

R∆vx (τ ) dτ .

Das Integral auf der rechten Seite ist mit dem Diffusionskoeffizient f¨ ur Elektronen u ¨ber die Beziehung (vgl. Kap. 12) ∞

Dn = 0

R∆vx (τ ) dτ

(3.23)

verkn¨ upft. Der Diffusionskoeffizient ist weiter u ¨ber die Einstein-Beziehung (vgl. Kap. 12) Dn = µn VT mit der Beweglichkeit der Elektronen verbunden, so daß


93 ∞

S∆vx (ω = 0) = 4

0

R∆vx (τ ) dτ = 4Dn = 4µn VT ,

wobei VT = kB T /e die Temperaturspannung bezeichnet. Wird nun noch die mittlere Zahl N = nAL der Elektronen im Leiter durch das Produkt aus Elektronendichte n und dem Volumen, d.h. dem Produkt aus Querschnitt A und Länge L des Leiters, ausgedr¨ uckt, so folgt f¨ ur das Spektrum des Rauschstroms Si (ω) =

e2 eµn nA = 4kB T G . N S∆vx (ω) = 4eVT 2 L L

(3.24)

Dieser Rauschstrom fließt, falls an den Widerstand eine rauschfreie Spannung (Kurzschluß bez¨ uglich des Kleinsignalverhaltens) angelegt wird, sein Wert steigt proportional zum Leitwert und zur absoluten Temperatur an. Ursache dieses als Nyquist- oder Johnson-Rauschen bekannten Phänomens ist die statistische W¨ armebewegung der Ladungsträger im Leiter. Bei konstantem Strom durch den Leiter (I=const., Leerlauf bez¨ uglich des Kleinsignalverhaltens) l¨ aßt sich eine thermische Rauschspannung zwischen den Kontaktelektroden messen. Das Spektrum der thermischen Rauschspannung ist Sv (f ) = 4kB T R ,

(3.25)

wobei kB = 1.38066 · 10−23 J/K die Boltzmann-Konstante und T den Wert der absoluten Temperatur bezeichnet. Das Rauschverhalten ohmscher Widerstände wird demnach beschrieben durch Reihenschaltung einer durch das Spektrum Sv (f ) charakterisierten Rauschspannungsquelle zu einem rauschfreien Widerstand R, entsprechend Abb. 3.7.

S v(f) R

=

S i( f )

=

R

R

Abb. 3.7. Modellierung des Rauschverhaltens ohmscher Widerst¨ ande

Alternativ dazu kann das Rauschverhalten auch durch Parallelschalten einer Rauschstromquelle mit dem Spektrum Si (f ) = 4kB T /R

(3.26)

zu einem rauschfreien Widerstand R erfaßt werden. Nach (3.25) bzw. (3.26) handelt es sich beim thermischen Rauschen um weißes Rauschen – der Effektivwert der Rauschspannung h¨ angt ab von der Bandbreite B der Schaltung.

94

3. Rauschen

Beispiel 3.2.1 F¨ ur einen 10 kΩ-Widerstand in einem Stereoverstärker mit der Bandbreite B = 30 kHz folgt bei Raumtemperatur

vn2 = Sv (f )B ≈ 2.2 µV . Vn = F¨ ur denselben Widerstand in einem Videoverstärker mit der Bandbreite B = 10 MHz gilt dagegen

vn2 = Sv (f )B ≈ 41 µV . Vn = Das Eingangssignal eines Videoverst¨ arkers muß deshalb eine größere Amplitude aufweisen als das Eingangssignal eines Stereoverstärkers. ∆

S

S

v 1

R

P

v 2

1 2

P

2 1

1

R

Abb. 3.8. Rauschersatzschaltung von zwei parallel geschalteten rauschbehafteten ohmschen Widerst¨ anden 2

Abgegebene Rauschleistung Abbildung 3.8 zeigt die Rauschersatzschaltung zweier parallel geschalteter Widerstände R1 (mit der Temperatur T1 ) und R2 (mit der Temperatur T2 ). Der Widerstand R1 verursacht im Frequenzintervall ∆f eine thermische Rauschspannung mit dem Effektivwert Vn1 =

Sv1 ∆f =

4kB T1 R1 ∆f ,

die sich entsprechend dem Spannungsteilerverhältnis auf die beiden Widerstände aufteilt. Die von R1 an R2 abgegebene Rauschleistung besitzt demnach den Wert8

P12 = =

1 R2 Vn1 R2 R1 +R2

2

R2 4kB T1 R1 R2 Sv1 (f ) ∆f = ∆f ; 2 (R1 +R2 ) (R1 +R2 )2

Die im Frequenzbereich 0 < f < ∞ an R2 abgegebene Leistung folgt durch Integration u ¨ber das gesamte Spektrum. Da der Integrand aber konstant und von Null verschieden ist, ergibt sich das physikalisch nicht sinnvolle Ergebnis einer unendlich großen Rauschleistung. Ursache dieses Widerspruchs ist der eingeschr¨ ankte G¨ ultigkeitsbereich der Beziehung (3.25). Diese wurde auf der Grundlage der klassischen Thermodynamik gewonnen. Die Quantentheorie zeigt jedoch, daß (3.25) und (3.26) nur f¨ ur Frequenzen f kB T /h gelten, wobei h die Plancksche Konstante bezeichnet. Da in elektronischen Schaltungen aber die Bandbreite nach oben auf Frequenzwerte begrenzt ist, die dieser Ungleichung gen¨ ugen, kann f¨ ur alle unsere Zwecke das thermische Rauschen als weißes Rauschen behandelt werden. 8


95

sie ist maximal f¨ ur R1 = R2 und betr¨ agt dann9 Pnv = kB T1 ∆f = 4.14 · 10−21

T1 300 K

∆f . Hz

(3.27)

F¨ ur T1 = 300 K, ∆f = 1 MHz ergibt sich damit beispielsweise Pnv = 4.14 fW, was einem Rauschpegel von −114 dBm entspricht. Dies ist der minimale Rauschpegel eines bei Raumtemperatur betriebenen Systems der Bandbreite 1 MHz. Ein geringerer Rauschpegel l¨ aßt sich bei gegebener Bandbreite nur durch Vermindern der Temperatur erzielen. F¨ ur die von R2 an R1 abgegebene Leistung folgt entsprechend P21 = =

2 1 R1

4kB T2 R2 ∆f R1 R1 +R2

R1 4kB T2 R1 R2 Sv2 (f ) ∆f = ∆f = P21 . (R1 +R2 )2 (R1 +R2 )2

Besitzen beide Widerst¨ ande dieselbe Temperatur (T1 = T2 ), so gilt P12 = P21 , d. h. es besteht ein Gleichgewicht in der Bilanz von abgegebener und aufgenommener Rauschleistung (thermisches Gleichgewicht). Bei ungleicher Temperatur u armeren Widerstand abgegebene Rauschleistung ¨berwiegt die vom w¨ die vom kälteren Widerstand abgegebene.

Rauschen komplexer Leitwerte Wird R2 durch eine Impedanz Z ersetzt, und bezeichnet Sv1 (f ) das Spektrum der von R1 verursachten Rauschspannung, so ist die im Frequenzintervall df an Z abgegebene Rauschleistung dP12 =

Re(Z) Re(Z) Sv1 (f ) df = 4kB T R1 df . 2 |R1 +Z| |R1 +Z|2

Die von Z an R1 abgegebene Rauschleistung ist auf der anderen Seite dP21 =

R1 Svz (f ) df , |R1 +Z|2

wobei Svz (f ) das Spektrum der von Z erzeugten Rauschspannung angibt. Im thermodynamischen Gleichgewicht m¨ ussen die beiden Leistungen denselben Wert aufweisen. Aus der Forderung dP12 = dP21 ergibt sich dann Svz (f ) = 4kB T Re(Z) .

(3.28)

ur die RauschOffensichtlich ist nur der Realteil der Impedanz Z maßgeblich f¨ spannung: Blindwiderst¨ ande k¨ onnen keine Rauschleistung abgeben. Soll das 9

Pnv wird auch als verf¨ ugbare Rauschleistung bezeichnet.

96

3. Rauschen

Rauschverhalten durch eine parallel zur Impedanz geschaltete Rauschstromquelle beschrieben werden, so hat diese das Spektrum Siy = 4kB T Re(Y ) = 4kB T Re(Z)/|Z|2 .

S v(f) R

S i( f )

R C

V 1 0 V C

(a )

1 k W

(1 )

(b )

(2 )

1 n F (c )

Abb. 3.9. Rauschersatzschaltung einer Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator. (a) Mit Rauschstromquelle, (b) mit Rauschspannungsquelle, (c) in der Simulation untersuchte Beispielschaltung

Beispiel 3.2.2 Als Beispiel wird eine Parallelschaltung aus Widerstand und Kondensator betrachtet. In Abb. 3.9 a wird das Rauschen beschrieben durch eine Rauschstromquelle mit dem Spektrum Si = 4kB T /R; in Abb. 3.9 b ist eine äquivalente Rauschersatzschaltung mit Rauschspannungsquelle angegeben. Deren Spektrum errechnet sich mit der Impedanz Z = (jωC + 1/R)−1 der Parallelschaltung von R und C zu Sv (f ) = |Z|2 Si (f ) =

4kB T R . 1 + (2πf RC)2

F¨ ur das mittlere Rauschspannungsquadrat folgt nun durch Integration ∞ ∞ df kB T 2 . vn = Sv (f ) df = 4kB T R = 2 1 + (2πf RC) C 0 0 Der Wert von vn2 wird demnach nur durch C und die absolute Temperatur T beangig von R. Der Wert von R bestimmt aber die Bandbreite stimmt 10 und ist unabh¨ und den Wert von Sv (f ). Als Beispiel wird die Rauschspannung am Knoten (2) der in Abb. 3.9 c skizzierten Schaltung mit SPICE berechnet. Die Steueranweisungen .AC DEC 100 10MEG .NOISE V(2) V1 .TEMP 0 50 100

21

10

Die mittlere im Kondensator gespeicherte Energie ist proportional zur absoluten Temperatur T w = Cvn2 /2 = kB T /2 . Dieses Ergebnis ließe sich auch direkt aus dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik gewinnen. Nach diesem ist die mittlere thermische Energie eines Systems mit N Freiheitsgraden gleich N kB T /2. Da beim Kondensator nur ein Freiheitsgrad vorliegt (Spannung), muß die mittlere thermische Energie des Kondensators gleich kB T /2 sein.


97

Q9 & & Q9

&

Q9

9 +]

.+] 9212,6(

.+]

.+]

0+]

0+]

)UHTXHQF\

Abb. 3.10. Ergebnis der.NOISE Analyse

sorgen daf¨ ur, daß im Anschluß an die .AC-Analyse der Effektivwert der auf eine Bandbreite von 1 Hz bezogenen Rauschspannung am Knoten (2) f¨ ur drei verschiedene Temperaturen (0◦ C, 50◦ C und 100◦ C) berechnet wird. Das Ergebnis wird von SPICE als V(ONOISE) bereitgestellt. Der Effektivwert der Rauschspannung nimmt mit zunehmender Temperatur zu. Der auf eine Bandbreite von 1 Hz bezogene Effektivwert ist bei geringen Frequenzen

4kB T R · 1 Hz = 2.349 · 10−10 V T /K . F¨ ur ϑ = 0◦ C bzw. T = 273 K f¨ uhrt dies auf 3.88 nV, f¨ ur ϑ = 100◦ C bzw. T = 373 K ¨ auf 4.54 nV in guter Ubereinstimmung mit dem Ergebnis der SPICE-Simulation (Abb. 3.10). Bei h¨ oheren Frequenzen f > 1/(2πRC) ≈ 160 kHz wird die Rauschspannung kapazitiv kurzgeschlossen, was sich in einer Abnahme des Effektivwerts der Rauschspannung auswirkt. ∆

Rauschtemperatur Ist Si (f ) die Spektralfunktion des von einem linearen Zweipol erzeugten Rauschstroms, Y seine Admittanz, so l¨ aßt sich seine Rauschtemperatur Tn durch Tn =

Sv (f ) Si (f ) = 4kB Re(Y ) 4kB Re(Z)

(3.29)

98

3. Rauschen

definieren. Die im Frequenzintervall der Bandbreite ∆f verf¨ ugbare Rauschleistung, d.h. die bei Anpassung (Y L = Y ∗ ) an die Admittanz Y L abgegebene Rauschleistung, ist Pnv =

Si (f ) ∆f = kB Tn ∆f , 4 Re(Y )

(3.30)

so daß die Rauschtemperatur auch durch die verf¨ ugbare Rauschleistung ausgedr¨ uckt werden kann. Da das Rauschen i.allg. nicht nur auf die thermische Bewegung der Ladungstr¨ ager zur¨ uckzuf¨ uhren ist, hat die Rauschtemperatur oft wenig mit der tats¨ achlichen Bauteiltemperatur zu tun.

3.2.3 1/f-Rauschen Thermisches Rauschen und Schrotrauschen dominieren das Rauschverhalten elektronischer Bauteile bei h¨ oheren Frequenzen. Nahezu alle Bauelemente zeigen aber zusätzlich zu diesem weißen Rauschen ein zu niedrigeren Frequenzen hin ansteigendes Rauschen, das sog. 1/f-Rauschen (auch rosa Rauschen). 1/f -Rauschen kann durch unterschiedliche Mechanismen bedingt sein, wie Fluktuationen der Beweglichkeit, Generation und Rekombination von Ladungsträgern in bipolaren Bauelementen, die Schwankung der Oxidladung in MOSFETs, etc. [6, 7]. Die spektrale Leistungsdichte des 1/f -Rauschens läßt sich meist gut durch einen Ansatz der Form

Si (f ) =

I A

AF

KF f

(3.31)

beschreiben, wobei KF und AF experimentell zu bestimmende Parameter sind. Der Effektivwert des Rauschstroms im Frequenzintervall [f1 , f2 ] ist demnach

In =

I A

AF /2

KF ln

f2 f1

;

er weist f¨ ur jede Dekade denselben Wert auf, d.h. im Frequenzbereich zwischen 1 Hz und 10 Hz ergibt sich derselbe Effektivwert wie im Frequenzbereich zwischen 10 Hz und 100 Hz. 1/f -Rauschen bestimmt maßgeblich das Phasenrauschen von Oszillatoren. Es besteht ein Zusammenhang zwischen Defekten in Kristallen und an Halbleitergrenzflächen; 1/f -Rauschen kann deshalb auch f¨ ur Zuverlässigkeitsuntersuchungen (z.B. an elektrischen Kontakten oder der durch Elektromigration bedingten Veränderungen) eingesetzt werden [8].

3.3. Analyse rauschender Netzwerke

99

3.3 Analyse rauschender Netzwerke Das Rauschverhalten elektronischer Netzwerke11 wird in der Regel im Rahmen einer Kleinsignalanalyse durchgef¨ uhrt: Die Kleinsignalersatzschaltung wird um Rauschquellen erweitert und mit den Methoden der Wechselstromrechung analysiert. Rauschspannungen und Rauschströme werden dabei i.allg. durch komplexe Effektivwerte charakterisiert. Die Verwendung komplexer Effektivwerte f¨ ur Rauschstrom bzw. Rauschspannung ist sinnvoll bei der Beschränkung auf ein schmales Frequenzband der Breite ∆f um f . In diesem Fall läßt sich schreiben √ in (t) = 2 I n e jωt mit I n = Si (f )∆f · e jϕn , wobei die Phase ϕn des komplexen Effektivwerts I n unbekannten statistischen Schwankungen mit Werten zwischen 0 und 2π unterworfen ist. Statt u ¨ber die Zeit ist dann u ¨ber die Phase ϕn zu mitteln [1], was durch das Zeichen · · · angezeigt wird. Aus dem komplexen Effektivwert einer Rauschgröße resultiert das zugehörige Spektrum gem¨ aß Si (f )∆f =

I n I ∗n

=

2

Si (f )∆f

e jϕn e−jϕn ,

da ex e−x = 1 gilt. Bei unkorrelierten Größen besteht keine Beziehung zwischen den einzelnen Phasen ϕn1 und ϕn2 und der komplexe Korrelationskoeffizient12 γ1,2 = e jϕn1 e−jϕn2 verschwindet. Die an einem Knoten auftretende Rauschspannung, bzw. der durch einen ¨ Zweig fließende Rauschstrom wird durch die Uberlagerung sämtlicher Rauschquellen der Schaltung bestimmt. Werden die einzelnen Rauschquellen durch ur jede Quelle komplexe Effektivwerte V n,α bzw. I n,β beschrieben, so kann f¨ die Wirkung auf den komplexen Effektivwert der Rauschspannung V n am betrachteten Knoten bestimmt werden ∆V n,α = Hv,α V n,α

bzw.

∆V n,β = Hi,β I n,β .

¨ Durch Uberlagerung ergibt sich so der komplexe Effektivwert V n der gesuchten Rauschspannung 11

Eine ausf¨ uhrliche Darstellung der Vorgehensweise mit zahlreichen Beispielen ist in [3] zu finden. 12 Diesr ist mit dem in (3.11) definierten Korrelationskoeffizient c1,2 u ¨ber c1,2 = Re(γ1,2 ) verkn¨ upft.

100

3. Rauschen

Vn =

H v,α V n,α +

α

H i,β I n,β .

(3.32)

β

Aus diesem kann die Rauschspannung im betrachteten Frequenzintervall gemäß

Vn =

V n V ∗n

berechnet werden. Im Fall nichtkorrelierter Rauschquellen ergibt sich so

Vn2 = Sv (f )∆f =

|H v,α |2 |V n,α |2 +

α

S tr o m q u e lle R

|H i,β |2 |I n,β |2 .

β

V 1

R S

R X

I G

G 2

In

R S

V

n X

2

In

G S

(a )

n R 1

1

R 2

(b )

Abb. 3.11. Stromf¨ uhrender Spannungsteiler. (a) Schaltplan, (b) Rauschersatzschaltung

Beispiel 3.3.1 Ein einfaches Beispiel f¨ ur die Rauschanalyse eines linearen Netzwerks bietet die in Abb.3.11 a skizzierte Schaltung: Dort prägt eine Stromquelle mit Ausgangsleitwert GS einen Strom I in den aus den Widerständen R1 und R2 aufgebauten Spannungsteiler ein. Um den Effektivwert der Rauschspannung am Knoten X zu ermitteln wird die Rauschersatzschaltung 3.11 b verwendet. Da es sich dabei um eine Kleinsignalersatzschaltung handelt, braucht die Stromquelle I nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Insgesamt sind drei Rauschquellen mit komplexen Effektivwerten I nGS , ugt. Die V nR1 und I nR2 zur Beschreibung des Rauschens von GS , R1 und R2 eingef¨ Wirkung der einzelnen Rauschquellen auf den Ausgangsknoten wird mit Hilfe des ¨ Uberlagerungssatzes ermittelt: Ist nur I nGS wirksam, so resultiert mit RS = 1/GS V nX =

R2 RS I = H 1 I nGS ; RS +R1 +R2 nGS

ist nur V nR1 wirksam, so folgt V nX =

R2 V = H 2 V nR1 ; R1 +R2 +RS nR1

ist nur I nR2 wirksam, so resultiert V nX =

R2 (R1 +RS ) I = H 3 I nR2 . R1 +R2 +RS nR2

¨ Durch Uberlagerung folgt

3.4. Rauschende lineare Vierpole

101

V nX = H 1 I nGS + H 2 V nR1 + H 3 I nR2 . Da die Rauschquellen zu unterschiedlichen Widerständen gehören besteht zwischen diesen keine Korrelation. Das Spektrum der Rauschspannung am Ausgangsknoten ist damit SvX ∆f = |H 1 |2 I nGS I ∗nGS + |H 2 |2 V nR1 V ∗nR1 + |H 3 |2 I nR2 I ∗nR2 . Mit den Beziehungen I nG I ∗nG 4kB T = , ∆f RS

4kB T V nR1 V ∗nR1 I nR2 I ∗nR2 = 4kB T R1 und = ∆f ∆f R2

folgt f¨ ur das Spektrum der Rauschspannung am Knoten X SvX = 4kB T

R22 RS + R22 R1 + R2 (R1 +RS )2 . (R1 +R2 +RS )2 ∆

3.4 Rauschende lineare Vierpole Rauschfreie lineare Vierpole lassen sich beispielsweise durch Angabe ihrer Leitwertmatrix vollst¨ andig charakterisieren. Im rauschenden linearen Vierpol sind den Klemmenstr¨ omen des Ein- und Ausgangskreises Rauschströme u berlagert. Diese m¨ u ssen durch zus¨ atzliche Rauschstromquellen mit den Spek¨ tralfunktionen Si,1 und Si,2 beschrieben werden. Abbildung 3.12 a zeigt eine entsprechende Rauschersatzschaltung des linearen Vierpols. i2

i1 in v 1

S

1

Y

in

i,1

S

2

v 2

i,2

(a ) i1 v

S

1

v n

i2 v

in S i

Y v

2

(b )

Abb. 3.12. Rauschender Vierpol dargestellt durch rauschfreien Vierpol mit (a) Rauschstromquellen am Eingangs- und Ausgangstor, und (b) vorgeschaltetem Rauschvierpol

Sind die Rauschquellen zum Teil auf denselben physikalischen Mechanismus zur¨ uckzuf¨ uhren, so sind sie in der Regel korreliert. Wird das Rauschen dieser

102

3. Rauschen

Quellen durch die komplexen Effektivwerte I n1 und I n2 beschrieben, so folgt f¨ ur die komplexen Effektivwerte der Str¨ ome am Eingangs- und Ausgangstor

I1 I2

=

y 11 y 12 y 21 y 22

V1 V2

I n1 I n2

+

.

(3.33)

Häufig ist es zweckm¨ aßig beide Rauschquellen am Eingang des Vierpols zu kombinieren, wie dies in Abb. 3.12 b dargestellt ist. Der rauschende Vierpol wird in diesem Fall beschrieben als Kettenschaltung des entsprechenden nichtrauschenden Vierpols mit einem nur die Rauschquellen enthaltenden Vierpol. Bezeichnen I n und V n die komplexen Effektivwerte der vorgeschalteten Rauschquellen, so folgt mit den Kettenparametern f¨ ur die komplexen Effektivwerte der Str¨ ome am Eingangs- und Ausgangstor

V1 I1

a11 a12 a21 a22

=

V2 −I 2

+

Vn In

.

(3.34)

Falls die Rauschquellen von denselben physikalischen Mechanismen bestimmt sind, werden diese nicht v¨ ollig unkorreliert sein. Dann läßt sich der Rausch(2) strom in in einen Anteil in der vollst¨ andig mit vn korreliert, sowie einen An(1) (2) teil in der nicht mit vn korreliert, aufspalten; in kann durch den komplexen (2) Effektivwert I n = Y γ V n beschrieben werden. Die Korrelationsadmittanz Y γ kann durch den komplexen Korrelationskoeffizienten γ i,v = I n V ∗n /(In Vn ) von in und vn ausgedr¨ uckt werden

Y γ = γ i,v R Y g

v

Si /Sv .

(3.35)

n

in n

G

(1 )

-Y n

g

Abb. 3.13. Eingangsbezogener Rauschvierpol mit unkorrelierten Rauschquellen

Der dem Eingangstor vorgeschaltete Rauschvierpol läßt sich dann durch die (1) Rauschersatzschaltung 3.13 mit nichtkorrelierten Rauschquellen vn und in darstellen [9]. Die Rauschquellen werden gelegentlich auch durch ihren äquivalenten Rauschleitwert (1)

Gn = Si /4kB T

(3.36)

bzw. ihren a¨quivalenten Rauschwiderstand Rn = Sv /4kB T .

(3.37)

charakterisiert. In diesem Fall wird das Rauschen durch die vier Parameter arteil von Y γ beschrieben. Rn , Gn sowie Real- und Imagin¨


103

¨ 3.4.1 Aquivalente Rauschbandbreite Wird am Eingang eines rauschfreien Vierpols der Spannungsverstärkung Av (f ) eine Rauschspannungsquelle mit der Spektralfunktion Sv,1 (f ) angeschlossen, so ist die Spektralfunktion Sv,2 (f ) der Rauschspannung am Ausgang des Vierpols Sv,2 (f ) = Av (f )2 Sv,1 (f ) .

(3.38)

Das mittlere Schwankungsquadrat der Rauschspannung am Ausgang des Vierpols ist demzufolge vn2

∞

= 0

Av (f )2 Sv,1 (f ) df .

F¨ ur einen Verst¨ arker mit dem Spannungs¨ ubertragungsfaktor H v (f ) =

Av0 1 + jf/fg

und einer weißen Rauschquelle am Eingang (Sv1 (f ) = Sv1 = const.) folgt vn2

=

A2v0 Sv1

∞ 0

df = A2v0 Sv1 ∆feq 1 + f 2/fg2

mit der ¨ aquivalenten Rauschbandbreite ∆feq = πfg /2 . Die äquivalente Rauschbandbreite bestimmt die f¨ ur die Rausch¨ ubertragung wirksame Bandbreite. F¨ ur einen Verst¨ arker mit Tiefpaßcharakteristik ist sie ur die Verstärkung des Nutzsignals. um ca. 57 % größer als die Bandbreite fg f¨ angt von der Frequenzabhängigkeit der SpannungsDas Verhältnis ∆feq /fg h¨ ¨ verstärkung ab. Es l¨ aßt sich verbessern durch Verstärker mit Ubertragungsfaktoren, die zu hohen Frequenzen hin schneller als 1/f abfallen.

3.4.2 Signal-Rausch-Verh¨ altnis, Rauschzahl Abbildung 3.14 zeigt einen rauschenden linearen Vierpol im Verstärkerbetrieb. Ein Signalgenerator gibt dabei an den Eingang des Vierpols im Frequenzbereich zwischen f und f +∆f die Signalleistung ∆Ps1 (f ) ab. Diesem Signal ist ein von der Signalquelle produziertes Rauschen u ¨berlagert, dessen Leistung im betrachteten Frequenzintervall durch die Rauschleistung ∆Pn1 (f ) gegeben sei. Am Eingang liegt f¨ ur den betrachteten Frequenzbereich somit ein Signal-Rausch-Verh¨ altnis von ∆Ps1 (f )/∆Pn1 (f ) vor. Die von dem untersuchten Vierpol im Frequenzintervall [ f, f+∆f ] an die Lastimpedanz abgegebene Leistung läßt sich ebenfalls in einen Signalanteil ∆Ps2 (f ) und einen Rauschanteil ∆Pn2 (f ) zerlegen. Das Signal-Rausch-Verhältnis am Ausgang des Vierpols ist damit ∆Ps2 (f )/∆Pn2 (f ).

104

3. Rauschen G e n e ra to r

R a u s c h v ie r p o l

D P R G

S

i,R G

D P

S

s 1

n 1

S

r a u s c h fr e ie r V ie r p o l

v ,e ff

R I

i,e ff

L a s t

D P

s 2

D P

n 2

R L

Abb. 3.14. Rauschender linearer Vierpol im Verst¨ arkerbetrieb

Die Rauschzahl F eines linearen Vierpols ist nun definiert als Quotient des Signal-Rausch-Verh¨ altnisses an Eingang und Ausgang 13 F =

∆Ps1 /∆Pn1 . ∆Ps2 /∆Pn2

(3.39)

Statt der Rauschzahl F wird h¨ aufig die in dB ausgedr¨ uckte Rauschzahl (besser: Rauschmaß)14 NF = 10 dB · log(F )

(3.40)

angegeben. Beim Durchgang durch einen rauschfreien Vierpol ändert sich das Signal-Rausch-Verh¨ altnis nicht, einem derartigen Vierpol wäre somit die Rauschzahl F = 1 bzw. das Rauschmaß NF = 0 dB zuzuordnen. Bezeichnet RI den Eingangswiderstand der in Abb. 3.14 gezeigten Schaltung, so ist die im Frequenzintervall ∆f vom Generator an den Verstärker abgegebene Leistung ∆Pn1 =

2 RI RG 4kB T RG RI Si,RG ∆f = ∆f . 2 (RI +RG ) (RI +RG )2

(3.41)

Diese wird zusammen mit der von dem vorgeschalteten Rauschvierpol erzeugten Rauschleistung verst¨ arkt. Die vom Rauschvierpol an den Verstärker abgegebene Rauschleistung betr¨ agt im Fall unkorrelierter Rauschquellen Si,eff und Sv,eff ∆Pn1 =

2 RI RG RI Si,eff ∆f + Sv,eff ∆f . 2 (RI +RG ) (RI +RG )2

(3.42)

Mit der Leistungsverst¨ arkung Gp = ∆Ps2 /∆Ps1 tritt am Verstärkerausgang demnach die Rauschleistung 13

Die Rauschzahl ist eine frequenzabh¨ angige Gr¨ oße – die Abh¨ angigkeit von der Frequenz wird aber zur Vereinfachung der Schreibweise nicht mehr explizit angeschrieben. F¨ ur die Charakterisierung des Rauschverhaltens von Breitbandverst¨ arkern wird gelegentlich die u ¨ber das relevante Frequenzband gemittelte Breitbandrauschzahl Fav verwendet. 14 Die Bezeichnung NF kommt von englisch: noise figure. Der Sprachgebrauch ist hier nicht einheitlich: Die hier definierte Rauschzahl wird oft auch als Rauschfaktor, das hier definierte Rauschmaß als Rauschzahl bezeichnet.


105

∆Pn2 = Gp (∆Pn1 +∆Pn1 )

auf. F¨ ur die Rauschzahl folgt auf diesem Weg F =

) 1 Gp (∆Pn1 +∆Pn1 ∆Pn1 ∆Ps1 ∆Pn2 = = 1+ ∆Ps2 ∆Pn1 Gp ∆Pn1 ∆Pn1

bzw. mit den Gln. (3.41) und (3.42) F = 1+

Sv,eff RG Si,eff + = 1 + FZ . 4kB T 4kB T RG

(3.43)

Die hierdurch definierte Gr¨ oße FZ wird als Zusatzrauschzahl bezeichnet. Im rauschfreien Verst¨ arker ist FZ = 0. Sind die dem Vierpol vorgeschalteten Rauschquellen korreliert, so wirkt sich dies auf die an den Verst¨ arker abgegebene Rauschleistung aus. Der Rauschstrom in (t) und die Rauschspannung vn (t) erzeugen am Eingang des Verstärkers im Frequenzintervall [ f, f +∆f ] den Rauschstrom mit dem komplexen Effektivwert I ni =

RG I n + V n . RG +RI

F¨ ur den Effektivwert P = RI I ni I ∗ni der an den Verstärker abgegebenen Rauschleistung folgt damit P

=

RI 2 ∗ ∗ ∗ ∗ R I I

+ V V

+ R I V + V I

G n n n n n n G n n (RG +RI )2

=

RI 2 2 2 R I + V + 2R c I V , i,v n n G G n n (RG +RI )2

da I n V ∗n + V n I ∗n = 2Re I n V ∗n und ci,v In Vn = Re I n V ∗n . In einem Frequenzintervall der Breite ∆f ist

In =

Si,eff ∆f

und

Vn =

Sv,eff ∆f ,

in womit der Ausdruck (3.42) f¨ ur ∆Pn1 = ∆Pn1

RI 2 R S + S + 2c R S S ∆f i,v G i,eff v,eff i,eff v,eff G (RI +RG )2

u assigbarer Korrelation ist die Rauschzahl demzu¨bergeht. Bei nicht vernachl¨ folge

R2 Si,eff + Sv,eff + 2ci,v RG Si,eff Sv,eff F = 1+ G . 4kB T RG

(3.44)

Die Rauschzahl ist eine temperaturabh¨ angige Größe und wird f¨ ur die Standardtemperatur 290 K spezifiziert. Rauschzahl F und Leistungsverstärkung

106

3. Rauschen

Gp sind außerdem abh¨ angig von der Beschaltung des Vierpols, d. h. vom Quellwiderstand RG und dem Lastwiderstand RL . Rauschanpassung liegt vor, wenn RG so gew¨ ahlt wird, daß die Rauschzahl minimal wird. Aus der Bedingung dF/dRG = 0 folgt f¨ ur den Quellwiderstand bei Rauschanpassung

RGopt =

Sv,eff /Si,eff

(3.45)

und f¨ ur die minimale Rauschzahl 1+

1 + ci,v Si,eff Sv,eff . 2kB T

(3.46)

In zahlreichen Anwendungen ist ein Rauschmaß von 2 . . . 3 dB ausreichend: Wird das rauschbehaftete Ausgangssignal eines Sensors von einem Verstärker mit NF = 3 dB verst¨ arkt, so tragen Verst¨ arker und Sensor im selben Maß zum Rauschen des Ausgangssignals bei. Die Rauschspannung am Ausgang liegt √ dann um den Faktor 2 u ber dem mit einem idealen rauschfreien Verstärker ¨ erzielbaren Wert. F Z(1 ) G p

(1 )

G

F Z(2 ) p

(2 )

G

F Z(n ) p

(n )

Abb. 3.15. Reihenschaltung rauschender linearer Vierpole

In der Praxis tritt h¨ aufig der Fall auf, daß mehrere Vierpole in Reihe geschaltet sind. In diesem Fall ist die Rauschzahl der gesamten Anordnung von Interesse. In der Folge wird die in Abb. 3.15 dargestellte Reihenschaltung rauschender Vierpole betrachtet; FZ (k) bezeichnet die Zusatzrauschzahl des k-ten Vierpols, und Gp (k) dessen Leistungsverstärkung .15 F¨ ur die Zusatzrauschzahl der Vierpolkette gilt dann FZ = FZ (1) +

FZ (3) FZ (2) + + .... Gp (1) Gp (1)Gp (2)

(3.47)

Offensichtlich tr¨ agt jede Verst¨ arkerstufe mit ihrer Zusatzrauschzahl FZ (k) bei, allerdings verringert um die Leistungsverstärkung der vorhergehenden Verstärkerstufen. Weist die erste Verst¨ arkerstufe eine hohe Leistungsverstärkung auf, so wird die Zusatzrauschzahl der Kette weitgehend durch die erste Verstärkerstufe bestimmt – andernfalls liefern auch die folgenden Stufen nennenswerte Beitr¨ age. Neben den Zusatzrauschzahlen FZ (k) m¨ ussen bei der Optimierung der Rauscheigenschaften deshalb stets auch die zugehörigen Leistungsverstärkungen betrachtet werden [1]. 15

Beide Gr¨ oßen beziehen sich auf die Verschaltung in der Kette und sind nicht unabh¨ angig von der Beschaltung der Kette an Eingang und Ausgang sowie der Anpassung der Vierpole aneinander.


V V

Z

n

107

R I

V

In

n Z G

V I

G

V

R

n R L

I

Abb. 3.16. Rauschersatzschaltung zur Untersuchung der Auswirkung einer R¨ uckkopplung auf die Rauschzahl

G

Z In

L

Z

Beispiel 3.4.1 Mit der in Abb. 3.16 dargestellten Rauschersatzschaltung kann die Auswirkung einer R¨ uckkopplung auf die Rauschzahl eines Verstärkers anhand eines einfachen Beispiels betrachtet werden. Die in Serie zu Z G liegende Signalspannungsquelle mit dem komplexen Effektivwert V 1 wurde in der Rauschersatzschaltung durch einen Kurzschluß ersetzt. Der Spannungs¨ ubertragungsfaktor V nRL /V nZG der eingangsseitigen Rauschspannungen auf den Lastwiderstand ist Hv = −

GRL ; 1 + GZ + (Z + Z G )/RI

d.h. die Beitr¨ age von V nZS und V n zum komplexen Effektivwert der am Ausgang auftretenden Rauschspannung V nRL sind durch H v V nZG und −H v V n gegeben. Die Rauschstromquellen der Serienimpedanz Z und des Vierpols liefern die Beiträge H z I nZ H iI n

GRL ZI nZ 1 + GZ + (Z + Z G )/RI GRL (Z + Z G )I n 1 + GZ + (Z + Z G )/RI

= −

(3.48)

=

(3.49)

zu V nRL . Im Fall des rauschbehafteten Vierpols ergibt sich damit f¨ ur das Rauschspannungsquadrat am Ausgang (im Fall nichtkorrelierter Vierpolrauschquellen) 2 2 2 VnRL = |H v |2 (VnZG + Vn2 ) + |H z |2 InZ + |H i |2 In2 ,

w¨ ahrend f¨ ur den rauschfreien Vierpol 2 2 2 VnRL = |H v |2 VnZG + |H z |2 InZ

resultiert. Das Verh¨ altnis der Rauschspannungsquadrate16 liefert die Rauschzahl F = 1+

|H v |2 Vn2 + |H i |2 In2 2 2 . |H v |2 VnZG + |H z |2 InZ

Mit Vn2 = Sv,eff ∆f ,

2 VnZG = 4kB T Re(Z G ) ∆f ,

In2 = Si,eff ∆f

und 16

Die Leistung ist proportional zum Quadrat der Spannung.

108

3. Rauschen 2 InZ = 4kB T Re(Y ) ∆f =

4kB T Re(Z) ∆f |Z|2

l¨ aßt sich dieser Ausdruck in F = 1+

1 Sv,eff + |Z + Z G |2 Si,eff 4kB T Re(Z + ZG )

u uhren. Ohne Gegenkopplung (|Z| → 0) reduziert sich dieses Ergebnis auf ¨berf¨ F = 1+

1 Sv,eff + |Z G |2 Si,eff . 4kB T Re(ZG )

Vergleicht man die beiden F¨ alle, so stellt man fest, daß der Beitrag des Spannungsrauschens zur Rauschzahl durch die Gegenkopplung um den Faktor Re(Z G )/Re(Z +Z G ) vermindert wird, w¨ ahrend sich der Beitrag des Stromrauschens um den Faktor Re(Z G ) |Z + Z G |2 Re(Z + Z G ) |Z G |2 ver¨ andert. Dieser Faktor wird minimal f¨ ur Im(Z) = −Im(Z G ) und f¨ uhrt im Fall einer reellen Quellimpedanz Im(Z G ) = 0 auf einen Anstieg des Stromrauschens um den Faktor Re(Z + Z G )/Re(Z G ). Die betrachtete Gegenkopplung wird also nur bei u ¨berwiegendem Spannungsrauschen des Verstärkers oder in Verbindung mit einem großen Imagin¨ aranteil der Quellimpedanz zu einer Verbesserung des Rauschfaktors f¨ uhren. ∆

3.5 Literaturverzeichnis [1] R. M¨ uller. Rauschen. Springer, Berlin, zweite Auflage, 1990. [2] M.J. Buckingham. Noise in Electronic Devices and Systems. J.Wiley, 1983. [3] C.D. Motchenbacher, J.A. Connelly. Low-Noise Electronic System Design. Wiley, New York, 1993. [4] A. Blum. Elektronisches Rauschen. Teubner, Stuttgart, 1996. ¨ [5] W. Schottky. Uber spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizit¨ atsleitern. Annalen der Physik, 57:541–567, 1918. [6] P. Dutta, P.M. Horn. Low-frequency fluctuations in solids: 1/f noise. Rev. mod. phys., 53(3):497–516, 1981. [7] A. van der Ziel. Unified presentation of 1/f noise in electronic devices: Fundamental 1/f noise sources. Proc. IEEE, 76(3):233–258, 1988. [8] L.K.J. Vandamme. Noise as a diagnostic tool for quality and reliability of electronic devices. IEEE Trans. Electron Devices, 41(11):2176–2187, 1994. [9] J. Engberg, T. Larsen. Noise Theory of Linear and Nonlinear Circuits. Wiley, Cichester, 1995.

4 SPICE SPICE 1 ist ein an der Universit¨ at Berkeley entwickeltes Programm zur Schaltungssimulation [1, 2]; es wird insbesondere bei der Entwicklung integrierter Schaltungen, aber auch bei der Entwicklung von Schaltungen aus diskreten Bauelementen eingesetzt und erfreut sich eines breiten Anwenderkreises auf der ganzen Welt. Das Programm eignet sich zur Simulation sehr umfangreicher Schaltungen; diesbez¨ ugliche Einschränkungen sind lediglich durch den zur Verf¨ ugung stehenden Arbeitsspeicher des Rechners, die Rechenzeit, gelegentlich auch durch Konvergenzprobleme bei der numerischen Lösung der Netzwerkgleichungen bedingt. PSPICE [3,4] ist eine SPICE-Version f¨ ur den PC, die dieselben Algorithmen wie SPICE ben¨ utzt und dieselben Ein- und Ausgabeformate aufweist. Neben PSPICE sind zahlreiche andere SPICE-Derivate (z.B. Electronics Workbench) im Handel. Diese unterscheiden sich i. allg. primär durch die Benutzeroberfläche und durch die bei Ein- und Ausgabe gebotene Unterst¨ utzung. Die implementierten Modelle f¨ ur die Beschreibung insbesondere der Halbleiterbauelemente sind jedoch weitgehend einheitlich. PSPICE bietet gegen¨ uber SPICE zusätzliche M¨ oglichkeiten und ist deshalb nicht notwendig mit anderen SPICE-Derivaten kompatibel, die ihrerseits wieder spezifische Ergänzungen aufweisen. Ziel dieses Kapitels ist es, dem Leser eine knappe Darstellung der wichtigsten von SPICE bzw. PSPICE gebotenen Möglichkeiten zu liefern. Die gebo¨ tene Ubersicht stellt keine vollst¨ andige Beschreibung des Funktionsumfangs dar – dies ist Aufgabe des Handbuchs. Da die Modelle f¨ ur die Halbleiterbauelemente gemeinsam mit den physikalischen Grundlagen ausf¨ uhrlich in den entsprechenden Kapiteln betrachtet werden, wird hier auf eine detaillierte Erläuterung verzichtet.

4.1 Steuerdatei, Netzliste, Modellanweisungen Damit SPICE ein Ergebnis liefern kann, muß definiert werden, aus welchen Bauelementen die Schaltung aufgebaut ist und wie diese verschaltet sind. Dies wird dem Programm durch die sog. Netzliste bekannt gemacht. Ferner muß SPICE die Abh¨ angigkeit der Klemmenströme eines Bauelements von den Klemmenspannungen kennen. Die Bauelemente m¨ ussen hierzu durch entsprechende Modelle beschrieben werden. Zusätzlich muß SPICE wissen, welche Ergebnisse auszugeben sind (z. B. Ausgangsspannung eines Verstärkers) und welche Spannungen an der Schaltung anliegen (Stimulus und Versorgungs1

SPICE steht abk¨ urzend f¨ ur simulation program with integrated circuit emphasis.

110

4. SPICE

spannungen). Diese Punkte sind vor dem SPICE-Lauf in einer Steuerdatei, dem sog. Circuit File (Endung .CIR), festzulegen. Diese kann als ASCIIDatei mit einem beliebigen Texteditor erstellt werden. Ist die Steuerdatei erstellt, so kann PSPICE aufgerufen und der Name der Steuerdatei (Men¨ upunkt File/open) eingegeben werden, wonach die Simulation beginnt. Die Steuerdatei besteht aus einer Folge von Anweisungen. Dabei beginnt mit jeder Zeile eine neue Eingabe. Die erste Zeile ist reserviert f¨ ur den Titel (dessen Länge darf eine Zeile nicht u ¨berschreiten). In der letzten Zeile steht die .END-Anweisung – diese darf in keiner Steuerdatei fehlen und markiert das Ende der Anweisungen. Dazwischen sind die Netzliste, die Modellanweisungen2 und die Steuerbefehle aufgef¨ uhrt. Paßt eine Eingabe nicht in eine Zeile, so kann sie in der n¨ achsten Zeile fortgesetzt werden; die Folgezeile muß dann mit einem Pluszeichen beginnen. Anweisungen, die sich u ¨ber mehrere Zeilen erstrecken, m¨ ussen demnach dem Schema Anweisung + Fortsetzung der Anweisung gen¨ ugen. Kommentare lassen sich in der Steuerdatei durch zusätzliche Kommentarzeilen (gekennzeichnet durch ∗ als erstes Zeichen) oder nach Anweisungen, getrennt durch ein Semikolon (;), einf¨ ugen.

4.1.1 Die Netzliste Durch die Netzliste wird die zu untersuchende Schaltung – einschließlich der Versorgungsspannungsquellen sowie evtl. benötigter Quellen f¨ ur Eingangssignale – festgelegt. Beim Erstellen der Netzliste ist zunächst eine Benennung der Knoten der Schaltung durchzuf¨ uhren. Jedem Knoten der Schaltung wird dabei ein Name (bzw. eine Nummer zugeordnet), wobei folgende Regeln zu beachten sind: 1. Die Zuordnung muß umkehrbar eindeutig sein, d. h. unterschiedliche Knoten sind mit unterschiedlichen Namen3 zu versehen. 2. An jedem Knoten m¨ ussen mindestens zwei Elemente angeschlossen sein.4 3. Ein Knoten muß die Nummer 0 erhalten, dieser Knoten dient als Bezugsknoten, sein Potential ist null. 4. Von sämtlichen Knoten der Schaltung muß ein Gleichstromweg mit einem endlichen Widerstand zum Bezugsknoten 0 f¨ uhren. Falls kein solcher Weg vorhanden ist, kann eine Verbindung zwischen dem betreffenden Knoten 2

Bzw. die Angabe der Bibliotheksdatei, in der diese abgelegt sind. Als Knotennummern sind in der urspr¨ unglichen Version von SPICE nur nat¨ urliche Zahlen zugelassen. In PSPICE k¨ onnen Knoten durch beliebige alphanumerische Strings von bis zu 131 Zeichen gekennzeichnet werden. 4 Ausnahmen von dieser Regel sind die Leitung und der Substratknoten von MOSFETs. 3

4.1. Steuerdatei, Netzliste, Modellanweisungen

111

und dem Bezugsknoten eingebaut werden, die so hochohmig ist, daß sie die Eigenschaften der Schaltung nicht beeinflußt. 5. Maschen m¨ ussen einen von null verschiedenen Gleichstromwiderstand haben. Falls Maschen mit verschwindendem Gleichstromwiderstand in einer Schaltung auftreten, kann als Abhilfe ein niederohmiger Hilfswiderstand in die Masche geschaltet werden.

1 k W

(1 )

1 m F

(2 )

C 2

R 1 V 1

(0 )

1 m F

(3 )

1 m F

C 1

(0 )

(4 )

1 0 0 n H

C 4 1 m F C 3 (0 )

(5 )

L 2 L 1 1 0 0 n H

L 3 1 0 0 n H

R 2 1 k W

(0 )

(0 )

(0 )

Abb. 4.1. Beispielschaltung zum Aufstellen einer Netzliste

Beispiel 4.1.1 Als Beispiel wird die in Abb. 4.1 dargestellte Filterschaltung betrachtet. Die Knoten wurden durch einfache Zahlen benannt; der mit dem Massesymbol gekennzeichnete Knoten erh¨ alt die Nummer 0. Problematisch ist Knoten 3, f¨ ur den kein Gleichstrompfad zu Masse existiert. Um eine diesbez¨ ugliche Fehlermeldung zu vermeiden, sollte parallel zu C3 ein hochohmiger Hilfswiderstand (z. B. 1012 Ω) geschaltet werden. Ebenfalls problematisch ist die Masche mit den Knoten 4, 5 und 0. Diese besitzt den Gleichstromwiderstand null – um eine diesbez¨ ugliche Fehlermeldung zu vermeiden, k¨ onnte z. B. in Serie zu L2 ein niederohmiger Hilfswiderstand ugt werden. Eine um diese Elemente erweiterte Netzliste wird in (z. B. 10−3 Ω) eingef¨ Beispiel 4.1.2 angegeben. ∆

Sind sämtliche Knoten der Schaltung benannt, so kann die Schaltung durch Elementanweisungen f¨ ur die einzelnen Netzwerkelemente in eindeutiger Weise beschrieben werden. Jedes Element einer Schaltung ist durch eine separate Elementanweisung (eigene Zeile) aufzuf¨ uhren. An erster Stelle einer solchen Anweisung steht der Name des Elements, der f¨ ur alle aufgef¨ uhrten Elemente unterschiedlich sein muß. Der Elementname besteht aus maximal acht alphaur das Element charakteristinumerischen Zeichen5 und beginnt mit dem f¨ schen Kennbuchstaben (vgl. Tabelle 4.1). Durch den Elementnamen ist damit festgelegt, von welcher Art das verschaltete Element (z. B. Widerstand, Transistor) ist. Die Elementanweisung gibt weiter an, zwischen welchen Knoten das Element eingebunden ist und welche elektrischen Eigenschaften (z. B. Kapazitätswert) es aufweist. Der Aufbau einer Elementanweisung gen¨ ugt dabei stets dem Schema Elementname 5

Knotennamen

Spezifikation

Er darf also keine Trenn- oder Leerzeichen enthalten (SPICE 2G6).

112

4. SPICE

Tabelle 4.1 Kennbuchstaben f¨ ur Schaltungselemente (PSPICE) Kennbuchstabe

Schaltungselement

B C D E F G H I J K L M N O Q R S T V W X

GaAs-FET Kapazität Diode spannungsgesteuerte Spannungsquelle stromgesteuerte Stromquelle spannungsgesteuerte Stromquelle stromgesteuerte Spannungsquelle unabhängige Stromquelle Sperrschicht-FET gekoppelte Induktivitäten Induktivität MOSFET Digital Input (*) Digital Output (*) Bipolartransistor Widerstand spannungsgesteuerter Schalter (*) verlustlose Leitung unabhängige Spannungsquelle stromgesteuerter Schalter (*) Teilschaltung

(*) nicht enthalten in SPICE 2G6

Elementanweisungen f¨ ur Halbleiterbauelemente erfordern i. allg. die Angabe einer größeren Zahl elektrischer Kenngrößen. Da in einer Schaltung häufig identische Halbleiterbauelemente mehrfach vorkommen, beschränkt man sich bei den Elementanweisungen f¨ ur Halbleiterbauelemente deshalb auf die Angabe der Knotennamen der Anschl¨ usse und faßt die elektrischen Kenngrößen in einer gesonderten .MODEL-Anweisung zusammen. Numerische Werte lassen sich auf drei verschiedene Arten darstellen: 1. Darstellung als ganze Zahl (z. B. 2700), 2. Darstellung als Gleitkommazahl (z. B. 2.7E3), 3. Darstellung mit Hilfe von Maßstabsfaktoren (z. B. 2.7K). Die zur Verf¨ ugung stehenden Maßstabsfaktoren sind in Tabelle 4.2 zusammengestellt. Tabelle 4.2 Maßstabsfaktoren und ihre Bedeutung Faktor

T

aquivalent E12 ¨ Bedeutung Tera

G

MEG

K

M

U

N

P

F

E9 Giga

E6 Mega

E3 kilo

E-3 milli

E-6 mikro

E-9 nano

E-12 pico

E-15 femto


113

Bei Wertangaben kann prinzipiell auf Einheiten verzichtet 6 werden, beispielsweise gen¨ ugt f¨ ur die Angabe eines Widerstandswerts von 100 Ω die Angabe der Zahl 100. Beispiel 4.1.2 Die Netzliste der in Abb. 4.1 dargestellten Schaltung lautet unter Ber¨ ucksichtigung der in Beispiel 4.1.1 erl¨ auterten Hilfswiderstände: V1 R1 C1 C2 C3 RH1 C4 L1 RH2 L2 L3 R2

1 1 2 2 3 3 3 4 4 4A 5 5

0 2 0 3 0

AC 1k 1u 1u 1u 0 1E12 ; Gleichstrompfad von Knoten 3 zu Masse 4 1u 0 100n 4A 1m ; Hilfswiderstand 5 100n 0 100n 0 1k

Die Quelle V1 wurde dabei als Wechselspannungsquelle (Typ AC, vgl. Kap. 4.5.2) definiert, wie sie f¨ ur eine Frequenzanalyse benötigt wird. ∆

4.1.2 Die .MODEL-Anweisung Der zur Beschreibung des elektrischen Verhaltens eines Bauteils erforderliche Parametersatz wird in der sog. .MODEL-Anweisung zusammengefaßt. Dies hat den Vorzug, daß die Bauteilkenngr¨ oßen bei mehrfacher Verwendung eines Bauteiltyps nur einmal in der Steuerdatei aufgef¨ uhrt werden m¨ ussen, und ermöglicht es, die Bauteilkenngr¨ oßen in separaten Modellbibliotheken abzuspeichern, die f¨ ur die Simulation u ¨ber die .INC-Anweisung in die Steuerdatei eingebunden werden. Die .INC-Anweisung bewirkt das Einf¨ ugen der angegebenen Datei in die Steuerdatei. Die Anweisung .INC

’’C:/MODEL.LIB’’

beispielsweise f¨ ugt die in der Datei MODEL.LIB aufgef¨ uhrten Modellanweisungen in die Steuerdatei ein. Die .INC-Anweisung wirkt sich genauso aus, als wäre die entsprechende Datei mit dem Texteditor in die Steuerdatei (Eindung .CIR) eingef¨ ugt worden. Modellanweisungen sind von der allgemeinen Form .MODEL 6

Modellname

Typ

(Parametersatz)

Dies ist sogar empfehlenswert, da im Zusammenhang mit Maßstabsfaktoren eine Fehlinterpretation der Eingabe durch SPICE auftreten kann. So bedeutet die Wertangabe 1 F f¨ ur eine Kapazit¨ at nicht etwa 1 Farad“ sondern 1 f F = 10−15 F. ”

114

4. SPICE

Das Beispiel .MODEL

DIOD

D

(IS=1E-10

N=1.3

RS=0.5)

beschreibt somit eine Diode (Modelltyp D) mit dem Modellnamen DIOD und den Kenngrößen IS = 10−10 A, N = 1.3 sowie RS = 0.5 Ω. In der .MODELAnweisung nicht beschriebene Kenndaten werden durch die jeweiligen Ersatzwerte beschrieben. Unterscheiden sich zwei .MODEL-Anweisungen nur in wenigen Kenngrößen, so ist das AKO-Statement n¨ utzlich, das auf eine bestehende .MODEL-Anweisung Bezug nimmt und lediglich die zu ver¨ andernden Kenngrößen definiert. Als Beispiel wird die .MODEL-Anweisung .MODEL

DIODX

AKO:DIOD

D

(RS=1)

betrachtet. Diese beschreibt eine Diode mit Modellnamen DIODX, die denselben Sättigungsstrom IS und Emissionskoeffizienten N wie die Diode mit dem Modellnamen DIOD aufweist, aber durch den Bahnwiderstand RS = 1 Ω beschrieben wird.

Bezugstemperatur Werden keine diesbez¨ uglichen Annahmen gemacht, so nimmt SPICE an, daß die in der .MODEL-Anweisung aufgef¨ uhrten Daten bei der Nominaltemperatur TNOM bestimmt wurden. Deren Wert kann mittels der .OPTIONS-Anweisung verändert werden, der Ersatzwert betr¨ agt 27 ◦ C ≡ 300.15 K. Die Simulation wird dann ebenfalls f¨ ur die Nominaltemperatur durchgef¨ uhrt. Wird eine andere Simulationstemperatur vorgegeben (beispielsweise mit der .TEMPAnweisung, vgl. Kap. 4.4.4), so werden die Kenngrößen auf die Simulationstemperatur umgerechnet. Wurden die Kenngr¨ oßen der einzelnen Bauteile bei verschiedenen Temperaturen bestimmt, so mußten diese urspr¨ unglich auf eine gemeinsame Nominaltemperatur TNOM umgerechnet werden. Neuere Versionen von PSPICE bieten die Möglichkeit, eine f¨ ur die jeweilige .MODEL-Anweisung spezifische Bezugstemperatur zu definieren. Diese wird als T MEASURED in die .MODELAnweisung eingef¨ ugt. PSPICE bezieht sich dann bei der Umrechnung der Bauteilkenngr¨ oßen auf die aktuelle Simulationstemperatur auf den Wert von T MEASURED. Die Modellanweisung f¨ ur eine Diode .MODEL

DIOD

D

(IS=1E-10

N=1.2

T MEASURED=50)

bezieht sich demnach auf die Temperatur ϑ = 50 ◦ C. Wird bei einer anderen Temperatur simuliert, so wird der S¨ attigungsstrom IS mit dem in Kap. 14 beschriebenen Temperaturmodell umgerechnet.


115

Daneben bietet PSPICE die M¨ oglichkeit mittels T ABS die Temperatur eines Bauteils unabh¨ angig von der Simulationstemperatur der restlichen Schaltung festzulegen. Alternativ kann durch Angabe von T REL GLOBAL eine Temperaturdifferenz eines Bauteils zur Simulationstemperatur definiert werden.

4.1.3 Die .SUBCKT-Anweisung Treten in einer Schaltung bestimmte Module mehrfach auf, so empfiehlt sich die Definition von Teilschaltungen mit der .SUBCKT-Anweisung. Eine Teilschaltung läßt sich dann mehrfach innerhalb einer Netzliste aufrufen. Der Aufruf einer Teilschaltung erfolgt mit einer Elementanweisung der Form X(name)

Knotennummern C 2

1 0 0 N R 6

IN

X 3

2 0 0 K +

0

0

C 1 R 2

1 0 0 K

1 0 K

+

1 0 0 N

R 1

(4 ) R 5 -

(5 )

1 0 K

(1 )

Subname

(2 )

R 4 R 3

X 1

1 0 K

(3 )

1 0 K +

-

0

O U T X 2

Abb. 4.2. Aktiver RC-Bandpaß

Beispiel 4.1.3 Als Beispiel wird der in Abb. 4.2 dargestellte aktive RC-Bandpaß betrachtet. Die Netzliste dieser Schaltung unter Verwendung von Teilschaltkreisen zur Beschreibung der Operationsverst¨ arker lautet R1 R2 R3 R4 R5 R6 C1 C2 X1 X2 X3

IN 1 2 3 4 5 1 4 0 0 0

1 2 3 OUT OUT 1 2 5 1 3 4

100K 200K 10K 10K 10K 10K 100N 100N 2 OPAMP OUT OPAMP 5 OPAMP

∆

116

4. SPICE

Die Beschreibung der Teilschaltung – im vorgehenden Beispiel mit dem Namen OPAMP versehen – erfolgt mittels der .SUBCKT-Anweisung. Diese besitzt im Beispiel den folgenden Aufbau .SUBCKT OPAMP INP INN OUT Netzliste der Teilschaltung (Ersatzschaltung des OP) .ENDS In der ersten Zeile sind neben der Anweisung .SUBCKT, die SPICE den Beginn einer Teilschaltungsdefinition anzeigt, der Name der Teilschaltung (muß mit Buchstaben beginnen) und diejenigen Knotennamen angegeben, u ¨ber die die Teilschaltung mit der a ußeren Schaltung verbunden ist. Die Benennung der ¨ Knoten der Teilschaltung kann unabh¨ angig von der äußeren Schaltung erfolgen. Wird der Knoten Null im Inneren der Teilschaltung definiert, so wird er automatisch mit dem obligaten Knoten Null der äußeren Teilschaltung verbunden; er muß nicht in der ersten Zeile als Randknoten definiert werden. Das Ende der Teilschaltungsdefinition wird mit der Anweisung .ENDS markiert. Das klassische Verfahren eine Netzliste zu erstellen, ist die Eingabe als ASCII-Datei. Alternativ hierzu kann die Steuerdatei mit einem Hilfsprogramm zur grafischen Schaltplaneingabe erstellt werden. Dieser Weg ist insbesondere bei der Untersuchung komplexer Schaltungen vorzuziehen, da die grafische Darstellung wesentlich leichter zu kontrollieren ist. Wegen des geringen Umfangs der hier betrachteten Grundschaltungen können wir uns hier mit der klassischen Netzliste begn¨ ugen.7

4.2 Ergebnisausgabe 4.2.1 Die .OUT-Datei Während einer SPICE-Simulation wird eine Datei mit der Endung .OUT erzeugt. Diese enth¨ alt die verwendete Steuerdatei, listet zugrundegelegte Bauteilkenngrößen sowie berechnete Arbeitspunkte und Kleinsignalkenngrößen auf, etc. Konnte die Simulation nicht ordnungsgemäß durchgef¨ uhrt werden, so sind in der .OUT-Datei Fehlermeldungen zu finden. Urspr¨ unglich erfolgte die Ergebnisausgabe u ¨ber die .OUT-Datei in Textform (falls die .PRINT-Anweisung gew¨ ahlt wurde, vgl. Kap. 4.4.4) oder in grafischer“ Form mittels Druckzeichen (falls die .PLOT-Anweisung gewählt ” wurde). Die .PLOT-Anwiesung hat nur noch historische Bedeutung, da alle verf¨ ugbaren SPICE-Derivate mittlerweile u ¨ber leistungsfähige Programme zur grafischen Darstellung der Ergebnisse verf¨ ugen. 7

Diese sollte jeder Anwender lesen k¨ onnen, allein schon um u ¨ber Teilschaltungen definierte Modelle interpretieren zu k¨ onnen. Außerdem hat diese Beschr¨ ankung den Vorzug, daß das hier pr¨ asentierte Material unabh¨ angig von der aktuellen Version des Programms gilt.

4.2. Ergebnisausgabe

117

4.2.2 PROBE PROBE ist ein Hilfsprogramm im PSPICE-Programmpaket zur grafischen Darstellung und Auswertung der Ergebnisse einer PSPICE-Simulation. Die Steueranweisung .PROBE in einem .CIR-File veranlaßt PSPICE zur Erzeugung einer Datei mit der Endung .DAT, in der die errechneten Daten in einer f¨ ur PROBE geeigneten Weise abgespeichert werden. Wird PROBE nach Ablauf der Simulation aufgerufen, so erscheint auf dem Bildschirm ein Koordinatensystem, dessen Abszisse durch die unabhängige Variable (z. B. die angelegte Spannung oder der eingeprägte Strom bei einer Kennlinie) gegeben ist. Die darzustellende Größe kann vom Benutzer im Men¨ upunkt Trace Add definiert werden. Nach Auswahl dieses Men¨ upunkts erscheint am Bildschirm eine Liste von Größen, die durch Anklicken auf ¨ dem Bildschirm dargestellt werden. Uber den Men¨ upunkt File/Print ist eine Ausgabe auf dem Drucker m¨ oglich. Der dargestellte Ausschnitt läßt sich im Men¨ upunkt Plot durch Vorgabe entsprechender Werte unter X Axis Settings bzw. Y Axis Settings einstellen. Dort kann auch zwischen linearer und logarithmischer Skaleneinteilung gewählt werden. Um mehrere Kurven mit unterschiedlichen Skalen aufzutragen, kann mittels Add Y Axis eine neue Ordinate eingef¨ uhrt werden. Soll die auf der Abszisse aufgetragene Variable ver¨ andert werden, so kann durch Auswahl von Axis Variable.... in dem durch Plot/X Axis Settings aktivierten Fenster eine Umstellung vorgenommen werden. In diesem Men¨ u kann auch unter Processing Options mit Fourier eine Spektralanalyse des gezeigten Kurvenverlaufs u ¨ber eine schnelle Fourier-Transformation (FFT) durchgef¨ uhrt werden. Der Aufruf dieser Option ist jedoch nur sinnvoll, wenn zuvor eine .TRAN-Analyse durchgef¨ uhrt wurde. Zur Analyse der Kurvenverläufe steht eine Cursor-Funktion zur Verf¨ ugung. Mit dieser u upunkt ¨ber den Men¨ onnen Abszissen- und OrdinatenwerTools/Cursor aktivierbaren Funktion k¨ te abgelesen, Minima und Maxima eines Kurvenverlaufs aufgesp¨ urt werden, etc. Bei der Darstellung in PROBE lassen sich auch mehrere Größen u ¨ber Rechenoperationen verkn¨ upfen; beispielsweise kann so aus einem Strom und einer Spannung durch Multiplikation (Operator: *) eine Leistung errechnet werden. Daneben bietet PROBE die M¨ oglichkeit, mathematische Funktionen eines errechneten Ergebnisses X(t) darzustellen, wobei X die dargestellte Größe und t die auf der Abszisse aufgetragene Variable bezeichnet. Die wichtigsten verf¨ ugbaren Funktionen sind in Tabelle 4.3 aufgef¨ uhrt.

118

4. SPICE

Tabelle 4.3 Mathematische Funktionen in PROBE Aufruf

Bedeutung

ABS(X) SGN(X) SQRT(X) EXP(X) LOG(X) LOG10(X) M(X) P(X) R(X) IMG(X) G(X) PWR(x,k) SIN(X) COS(X) TAN(X) ARCTAN(X) d(X) s(X) AVG(X) AVGX(X,d) RMS(X) DB(X) MIN(X) MAX(X)

Betrag, ABS(X) = |x| Vorzeichen, SGN(X>0) √ = 1, SGN(X 1 gilt, ist der Betrag des Spannungs¨ ubertragungsfaktors stets kleiner als eins. In einem aktiven Bandpaß kann zus¨ atzlich eine Verstärkung erreicht werden. Abbildung 6.37 zeigt einen aktiven Bandpaß mit Zweifachgegenkopplung. ¨ ¨ Zur Bestimmung des Ubertragungsfaktors wird der Uberlagerungssatz angewandt. Unter Vernachl¨ assigung des in den invertierenden Eingang fließenden Stroms kann v n f¨ ur v 2 = 0 aus der in Abb. 6.37 b skizzierten Schaltung bestimmt werden. Durch zweimaliges Anwenden der Spannungsteilerregel v R2 =

1 ·v 1 + R1 /Z 1

mit

1 1 jωC1 = + jωC2 + Z R2 1 + jωR3 C1

und vn =

R3 ·v R3 + 1/(jωC1 ) R2

folgt 15 Eine detaillierte Darstellung des Entwurfes aktiver Filter entspricht nicht der Intention dieses Buchs – Leser mit weitergehendem Interesse seien z. B. auf [3, 4] verwiesen.

238

6. Operationsverstärker C 2

R R

v

C 1

3

1

+ R

1

v

2

2

(a )

v

R

R 1

C

1

v C

R

C 2

2

R

C 2

1

1

3

v v

R n

(b )

vn =

3

2

1

R

n

2

Abb. 6.37. Aktiver Bandpaß mit Zweifachgegenkopplung

(c )

jωR3 C1 ·v . (1 + jωR3 C1 ) (1 + R1 /R2 + jωR1 C2 ) + jωR1 C1 1

F¨ ur v 1 = 0 folgt entsprechend aus Abb. 6.37 c vn =

1 + R1 /R2 + jωR1 (C1 + C2 ) − ω 2 R1 C2 R3 C1 ·v . (1 + jωR3 C1 ) (1 + R1 /R2 + jωR1 C2 ) + jωR1 C1 2

¨ Uberlagerung liefert den allgemeinen Zusammenhang zwischen v n und v 1 , v 2 . uberMit der Näherungsannahme v n = 0 folgt hieraus sofort der Spannungs¨ tragungsfaktor R2 R3 C1 R1 + R2 . Hv = − R1 R2 (C1 + C2 ) 2 R1 R2 R3 C1 C2 1 + jω −ω R1 + R2 R1 + R2 jω

Mit den Abk¨ urzungen fgu =

R1 + R2 , 2πR2 R3 C1

fgo =

1 2πR1 C2

und

Ξ =

R1 C2 1+ R3 C1

geht dieser Ausdruck u fm nimmt |H v | seinen maxi¨ber in Gl. (6.52). Bei f = √ malen Wert 1/Ξ an. Die Gleichung H v (f ) = 1/( 2 Ξ) hat zwei reelle Lösungen, deren Differenz die Bandbreite B des Filters bestimmt. F¨ ur schmalbandige Filter mit B fm gilt n¨ aherungsweise

B = Ξ fgo

2 2 1 + Ξ2 fgo /4fm .

(6.53)

6.2. Lineare Grundschaltungen

G

239

3KDVH

G

G G%GHF

G

G%GHF

G

G

!! +]

9HUVWDHUNXQJVPDVV

39RXW

+]

+] '%9RXW )UHTXHQF\

.+]

.+]

Abb. 6.38. Spannungs¨ ubertragungsfaktor (SPICE-AC-Analyse) des aktiven Bandpasses nach Beispiel 6.2.7 (Skala 1: Phase, Skala 2: Verst¨ arkungsmaß)

Beispiel 6.2.7 Als Dimensionierungsbeispiel wird ein Bandpass mit der Mittenfrequenz 100 Hz und der Bandbreite 10 Hz betrachtet, der bei der Mittenfrequenz die Spannungsverst¨ arkung zehn aufweist. Zun¨ achst wird aus Gl. (6.53) der Wert von fgo bestimmt. Wegen der geforderten Spannungsverst¨ arkung von zehn bei f = fm ist Ξ2 1 – die Wurzel in Gl. (6.53) kann deshalb durch eins angen¨ ahert werden,16 so daß fgo =

1 B = 100 Hz . ≈ 2πR1 C2 Ξ

Die Wahl R1 = 10 kΩ f¨ uhrt so auf C2 = 159 nF. Wird C1 = C2 = C gewählt, so folgt aus R1 C2 1 Ξ = 1+ = R3 C1 10 der Widerstandswert R3 = 200 kΩ. Die Forderung R1 + R2 R1 + R2 1 = 22.4 Hz · = 100 Hz fm = 2π R1 R2 R3 C1 C2 R2 f¨ uhrt dann auf R2 = 527 Ω. Abbildung 6.38 zeigt die Ergebnisse einer SPICE-ACAnalyse f¨ ur den Spannungs¨ ubertragungsfaktor eines entsprechend ausgelegten Bandpasses. Der OP wurde dabei durch das Makromodell des LM 324 beschrieben. Die vorgegebenen Werte stimmen mit den Resultaten der Simulation u ∆ ¨berein. 16 Ohne diese N¨ aherungsannahme f¨ uhrt Gl. (6.53) auf eine ebenfalls analytisch l¨ osbare biquadratische Gleichung f¨ ur fgo .

240

6. Operationsverstärker

Bandsperre Abbildung 6.39 zeigt eine Bandsperre realisiert als aktives Filter. Die Eingangsspannung gelangt u ¨ber ein RC-Netzwerk auf den Eingang eines nichtin-

2 C R

R

(1 ) v '

v

(3 )

v '' 1

C

v

+

(2 )

P

-

C

v R

2

2

R /2 R 1

Abb. 6.39. Bandsperre mit Doppel-T-Glied

vertierenden Verst¨ arkers, dessen Ausgang kapazitiv in das RC-Netzwerk r¨ uckgekoppelt wird. Mit der Spannungsverstärkung Av des nichtinvertierenden Verstärkers ist v 2 = Av v p . Unter Vernachlässigung des Stroms in den nichtinvertierenden Eingang lauten die Knotengleichungen f¨ ur die Knoten (1), (2) und (3) 0 =

vp − v v 1 −v + 2jωC(v 2 −v ) + R R

0 = jωC(v 1 −v ) − 0 =

2v + jωC(v p −v ) R

vp − v + jωC (v p − v ) R

¨ Zusammenfassen f¨ uhrt auf den Ubertragungsfaktor Hv =

v2 1 − ω2 τ 2 = Av v1 1 + 2j(2−Av )ωτ − ω 2 τ 2

mit

τ = RC .

Dieser weist eine Nullstelle auf f¨ ur ωτ = 1 bzw. fr = 1/(2πRC) . Als Unterdr¨ uckungsg¨ ute Q des Filters wird das Verhältnis Q = fr /∆f

(6.54)

6.2. Lineare Grundschaltungen

241

bezeichnet, wobei ∆f die Breite des Frequenzintervalls angibt, in dem der ¨ Betrag des Ubertragungsfaktors um mehr als 3 dB gegen¨ uber seinem Wert bei 0 Hz abgesunken ist. Die Gleichung √ |H v | = Av / 2 besitzt zwei L¨ osungen f1 und f2 , deren Differenz die Größe ∆f bestimmt. Auf diesem Weg folgt Q = 1/2(2−Av )) . Beispiel 6.2.8 Als Beispiel wird eine Bandsperre mit R = 20 kΩ, C = 80 nF betrachtet, wobei gilt fr = 1/(2πRC) = 99.5 Hz . ur R2 beschaltet. Der OP wurde mit R1 = 10 kΩ und verschiedenen Werten f¨ R2 = 8 kΩ

=⇒

Av = 1.8

=⇒

Q = 2.5

=⇒

∆f = 39.8 Hz

R2 = 9.5 kΩ

=⇒

Av = 1.95

=⇒

Q = 10

=⇒

∆f = 9.9 Hz

R2 = 9.9 kΩ

=⇒

Av = 1.99

=⇒

Q = 50

=⇒

∆f = 1.99 Hz

Abbildung 6.40 zeigt die Ergebnisse einer SPICE-AC-Analyse f¨ ur den Betrag des ¨ Ubertragungsfaktors entsprechend beschalteter OPs vom Typ LM 324. Die Simula¨ tionsergebnisse sind in guter Ubereinstimmung mit den Resultaten der analytischen Rechnung. ∆

N2KP

N2KP N2KP

+]

+] 9RXW 99

+]

+]

+]

+]

)UHTXHQF\

Abb. 6.40. Spannungs¨ ubertragungsfaktor unterschiedlicher Bandsperrfilter nach Abb. 6.39

242


6.3 R¨ uckkopplung und Stabilit¨ at Schaltungen mit Operationsverst¨ arkern arbeiten meist mit Gegenkopplung, d. h. der Ausgang des OP wirkt u uckkopplungsnetzwerk auf den ¨ber ein R¨ invertierenden Eingang zur¨ uck. Gegengekoppelte OP-Schaltungen weisen gewöhnlich Eigenschaften auf, die weitgehend unabhängig von der Verstärkung des OP, Versorgungsspannungsschwankungen etc. sind. Bei Verstärkerschaltungen kann durch Gegenkopplung ferner die Eingangsimpedanz, Ausgangsimpedanz und Bandbreite in weiten Grenzen beeinflußt werden, wie die in Kap. 6.2.1 und 6.2.2 untersuchten Verst¨ arkerschaltungen zeigen. Weitere positive Auswirkungen der Gegenkopplung sind eine Reduktion nichtlinearer Verzerrungen sowie eine Verbesserung der Rauscheigenschaften (vgl. Kap. 6.4) und der Störungsempfindlichkeit (vgl. Kap. 2). Problematisch bei der Gegenkopplung jedoch ist, daß aufgrund der Phasenverschiebung in OP und R¨ uckkopplungsnetzwerk das r¨ uckgekoppelte Si◦ gnal um weniger als 180 gegen¨ uber dem externen Signal phasenverschoben ist. Da die Phasenverschiebung des Verstärkers mit der Frequenz zunimmt, gibt es eine Frequenz f180 bei der das r¨ uckgekoppelte Signal in Phase mit dem Eingangssignal ist: Der Verst¨ arker weist bei dieser Frequenz keine Gegenkopplung, sondern eine Mitkopplung auf. In Schaltungen, bei denen die Verstärkung des r¨ uckgekoppelten Netzwerks bei f180 größer gleich eins ist, treten selbsterregte Schwingungen auf. Die Schaltung arbeitet dann als Oszillator, was nicht immer erw¨ unscht ist. + v

1

Z

Z 2

v 2

1

Abb. 6.41. Nichtinvertierender Verst¨ arker

6.3.1 Gegenkopplung, Stabilit¨ atsanalyse Als Beispiel f¨ ur eine gegengekoppelte OP-Schaltung wird der in Abb. 6.41 skizzierte nichtinvertierende Verst¨ arker mit komplexem R¨ uckkopplungsnetzwerk betrachtet. Der OP wird als spannungsgesteuerte Spannungsquelle mit der frequenzabh¨ angigen Spannungsverst¨ arkung ad angenommen (v 2 = ad v d ). Mit dem R¨ uckkopplungsfaktor k =

Z1 Z 1 +Z 2

folgt aus der komplexen Spannungsteilerregel v d = v 1 − k v 2 , so daß

6.3. R¨ uckkopplung und Stabilität

243

ad v . 1 + k ad 1

v2 =

(6.55)

Solange die Schleifenverst¨ arkung T (ω) = k ad = −1 ist, hat v 2 f¨ ur v 1 = 0 den Wert null; f¨ ur T (ω) = −1 ist dies nicht notwendig der Fall: Die r¨ uckgekoppelte Schaltung kann dann schwingen. Z Z

v

1

2

+

1

v 2

0

Abb. 6.42. Invertierender Verst¨ arker

F¨ ur den mit Z 1 und Z 2 beschalteten, invertierenden Verstärker (vgl. Abb. 6.42) ¨ lautet der Uberlagerungssatz f¨ ur den Spannungszeiger am invertierenden Eingang v n = k v 2 + (1 − k) v 1 = −

v2 ad

und

k =

Z1 . Z1 + Z2

Damit folgt f¨ ur den Spannungs¨ ubertragungsfaktor ad v2 = −(1 − k) . v1 1 + k ad Vom Faktor −(1 − k) abgesehen, resultiert also dasselbe Ergebnis wie in ur das Gl. (6.55), d. h. auch hier muß die Bedingung T (ω) = k ad = −1 f¨ Auftreten unged¨ ampfter Schwingungen erf¨ ullt sein.

Pole, Phasenreserve Zur Klärung der Frage, ob eine Schaltung ungedämpfte Schwingungen aus¨ f¨ uhren kann, können die Pole des Ubertragungsfaktors, d. h. die Nullstellen von 1 + T (ω), untersucht werden. Bevor die Gleichung 1 + T (ω) = 0

(6.56)

gelöst werden kann, muß eine Beziehung f¨ ur 1 + T (ω) aufgestellt werden – die Nullstellen k¨ onnen dann analytisch oder mit Hilfe eines Mathematikprogramms bestimmt werden. Die L¨ osungen f¨ ur die Kreisfrequenz ω sind dabei i. allg. komplex. Der Imagin¨ arteil Im(ω) beschreibt dann mit der Zeit anwachsende oder abfallende L¨ osungen e jωt = e j[ Re(ω)+j Im(ω)] t = e j Re(ω)t · e −Im(ω)t .

244


F¨ ur Im(ω) ≤ 0 resultieren demnach ungedämpfte oder exponentiell mit der Zeit anwachsende Schwingungen. Nur falls sämtliche Lösungen der Gleichung (6.56) positive Imagin¨ arteile aufweisen – d. h. falls nur exponentiell mit der Zeit gedämpfte Schwingungen als L¨ osung auftreten – ist die Schaltung stabil und kann keine selbsterregten Schwingungen ausf¨ uhren. Ist fK die Frequenz, bei der der Betrag der Schleifenverstärkung den Wert eins aufweist und ϕK die Phase der Schleifenverstärkung f¨ ur f = fK , so heißt α = 180◦ − |ϕK |

(6.57)

die Phasenreserve der Schaltung. F¨ ur stabile Schaltungen ist die Phasenreserve α positiv; ihr Wert bestimmt das Einschwingverhalten der Schaltung. ¨ Um Uberschwinger gering zu halten, sollte die Phasenreserve den Wert von ca. 45◦ nicht unterschreiten.

9 9RXW 9 9LQ 9

9

9

V

9LQ

XV 9RXW

XV

XV

XV

XV

XV

7LPH

Abb. 6.43. Antwort der untersuchten Differenziererschaltung mit Phasenreserve α = 5.7◦ auf eine rechteckf¨ ormige Eingangsspannung der Amplitude 1 V

Beispiel 6.3.1 F¨ ur den in Kap. 3.2.6 betrachteten Differenzierer ist Z 1 = 1/(jωC) und Z 2 = R, so daß k =

1 Z1 1 = = Z1 + Z2 1 + jωRC 1 + j f/fg

mit

fg =

1 . 2πRC

Zeigt die Differenzverst¨ arkung des verwendeten OP ein Tiefpaßverhalten erster Ordnung mit der Grenzfrequenz fco , so ist die Schleifenverstärkung T (f ) =

AD (1 + jf/fco ) (1 + jf/fg )


245

und die Phase von T (f ) f f ϕ(T ) = −arctan − arctan . fg fco uhren, da |ϕ| = 180◦ Die Schaltung kann17 keine selbsterregten Schwingungen ausf¨ nur f¨ ur f → ∞ und damit |T | → 0 erreicht werden kann. Die Phasenreserve der Schaltung kann jedoch sehr geringe Werte annehmen. Aus |T | = 1 resultiert die folgende biquadratische Gleichung f¨ ur fK 4 2 2 2 2 fK + fK (fco + fg2 ) − (A2D −1)fco fg = 0

mit der f¨ ur AD 1 und fg fT = AD fco g¨ ultigen Näherungslösung

fK ≈ fT fg . F¨ ur einen Operationsverst¨ arker mit fT = 1 MHz, AD = 105 und einer Beschaltung mit fg = 10 kHz – entsprechend der Wahl R = 10 kΩ und C = 1.59 nF – resultiert die L¨ osung fK ≈ 100 kHz, was in guter Näherung dem exakten Wert 99.75 kHz entspricht. Die Phasenreserve der Schaltung ist 105 105 ◦ α = 180 − arctan = 5.7◦ , − arctan 104 10 also wesentlich geringer als der f¨ ur ein gutes Einschwingverhalten geforderte Wert ur den Fall der Ansteuerung von 45◦ . Das Ergebnis der SPICE-Transientenanalyse f¨ mit einer rechteckf¨ ormigen Eingangsspannung zeigt deshalb sehr ausgeprägte Oszillationen der Ausgangsspannung (Abb. 6.43). ∆

Bode-Diagramm Betrachtungen zur Stabilit¨ at r¨ uckgekoppelter Schaltungen werden häufig anhand des zugeh¨ origen Bode-Diagramms der Schleifenverstärkung T (f ) (vgl. Abb. 6.44) durchgef¨ uhrt. Graphisch läßt sich aus der Auftragung von |T (f )| sofort die Frequenz fK bestimmen, bei der |T (f )| = 1 gilt. Zu dieser Frequenz wird dann in der Auftragung ϕ(T ) der Phasenwinkel ϕK der Schleifenverstärkung abgelesen, aus dem die Phasenreserve α = 180◦ − |ϕK | folgt. Ist wie in Abb. 6.44 |ϕK | > 180◦ , so ist die Phasenreserve negativ: Eine Schaltung mit diesen Eigenschaften ist instabil und beginnt selbsterregt zu schwingen. Analyse mit PSPICE. Der Frequenzgang der Schleifenverstärkung einer r¨ uckgekoppelten Schaltung kann mittels SPICE-AC-Analyse bestimmt werden. Der Eingang der Schaltung wird dabei auf Masse gelegt, die R¨ uckkopplungsschleife wird aufgetrennt und eine AC-Quelle der komplexen Spannung 17

Unter der Voraussetzung, daß keine zus¨ atzlichen zu einer Phasenverschiebung f¨ uhrenden Effekte wirksam sind. In der Praxis k¨ onnten solche etwa durch Streukapazit¨ aten oder die Eingangskapazit¨ at des OP hervorgerufen werden.

246

6. Operationsverstärker f1

1 2 0 d B 1 0 0

f2

8 0

f1

6 0

|T (f )|

8 0

f3

4 0

fK

2 0 0 -2 0

g rd -4 5

1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

f

1 M

0

-9 0 j [ T (f )] -1 3 5 -1 8 0 a

-2 2 5 -2 7 0

j 1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

P h a s e n R e s e rv e

K

1 0 0 k

1 M f

Abb. 6.44. Verwendung des Bode-Diagramms zur Stabilit¨ atsanalyse

v t eingef¨ ugt, wie dies in Abb. 6.45 am Beispiel des invertierenden Verstärkers illustriert ist. Wegen v a = −ad v n und v n = k v t folgt die Schleifenverstärkung zu T (ω) = k ad = − v a /v t . Die SPICE-AC-Analyse liefert die Amplituden vâ und vˆ2 als Funktion der Frequenz in der Form vâ = V(3) · e j VP(3)

und

vˆt = V(2) · e j VP(2) ,

so daß k ad = −

V(3) j [VP(3)−VP(2)] V(3) j [VP(3)−VP(2)−180◦ ] ·e ·e = . V(2) V(2)

6.3. R¨ uckkopplung und Stabilität R

R

(1 ) 1

+

2

247

(2 )

v t

(3 )

v a

Abb. 6.45. Bestimmung der Schleifenverst¨ arkung

(0 )

Verstärkungsmaß und Phase der Schleifenverstärkung lassen sich mittels PROBE demnach als DB(V(3)/V(2)) bzw. VP(3) - VP(2) - 180 ausgeben.

G

9HUVWDHUNXQJVPDVV G

5 N2KP 3KDVH G

G 5 2KP

!! G +]

5 2KP +] +] '%9RXW 9W

.+] .+] 39RXW 9W )UHTXHQF\

.+]

0+]

Abb. 6.46. Bode-Diagramm der Schleifenverst¨ arkung T des mit R beschalteten Differenuckkopplungsfaktors zierers f¨ ur verschiedene Werte von R und Phasengang des R¨

Beispiel 6.3.2 Die in Kap. 6.2.6 und Beispiel 6.3.1 untersuchte Schaltung eines Differenzierers weist f¨ ur fT RC 1 eine unbefriedigende Phasenreserve auf. Zur Verbesserung kann ein Widerstand R R in Serie zu C geschaltet werden. Der R¨ uckkopplungsfaktor k =

R + (jωC)−1 1 + jωR C = R + R + (jωC)−1 1 + jω(R + R )C

weist dann f¨ ur sehr kleine und f¨ ur sehr große Frequenzen einen verschwindend kleinen Imagin¨ arteil auf – der durch k bedingte Anteil der Phase der Schleifenverstärkung ωRC ϕ(k) = −arctan 1 + ω 2 R (R + R )C 2

248


9 5 2KP

9

5 2KP 5 N2KP

9

9

9

V

XV 9RXW

XV

XV

XV

XV

XV

XV

XV

XV

7LPH

Abb. 6.47. Einschwingverhalten des Differenzierers f¨ ur verschiedene Werte von R

ist dann vernachl¨ assigbar. Die maximale durch k bedingte Phasendrehung resultiert f¨ ur *

f = 1 (2π R (R +R)C) und besitzt den Wert ϕmax (k) = −arctan

R 2R

R R + R

.

Um eine bestimmte Phasenreserve α sicherzustellen, sollte ϕmax (k) > α−90◦ gewählt werden, falls ad ein Tiefpaßverhalten erster Ordnung zeigt. Die Forderung α = 45◦ f¨ uhrt so auf √ 2−1 2 2 R ≈ 2.1 kΩ . R + RR − R /4 > 0 bzw. R > 2 Dies wird durch Abb. 6.46 best¨ atigt. In Abb. 6.47 ist das zugehörige Einschwingverhalten gezeigt, wobei am Eingang eine Dreiecksspannung mit 2 Vss und der Frequenz 10 kHz angelegt wurde. Dies sollte am Ausgang eine rechteckförmige Spannung liefern, die zwischen den Werten dv2 = ±1.59 nF · 10 kΩ · 2 V ≈ ±624 mV ±RC dt 50 µs hin und her springt. F¨ ur die Werte R = 10 Ω und R = 500 Ω ist die Phasenreserve offensichtlich zu gering – es treten deutliche Oszillationen um den Sollwert auf; bei ¨ wegen der erhöhten Phasenreserve unterdr¨ uckt, R = 2 kΩ sind diese Uberschwinger die Ausgangsspannung zeigt ann¨ ahernd den erwarteten rechteckförmigen Verlauf. ∆


249

6.3.2 Frequenzgangkorrektur Besitzt eine Schaltung keine ausreichende Phasenreserve, so muß eine Frequenzgangkorrektur vorgenommen werden. Dabei wird entweder der Frequenzgang der Leerlaufdifferenzverst¨ arkung – durch eine Beschaltung des Operationsverstärkers – oder der Frequenzgang des R¨ uckkopplungsfaktors verändert.

Dominant-Pol-Kompensation (Lag-Kompensation) F¨ ur ohmsche R¨ uckkopplungsnetzwerke ist der R¨ uckkopplungsfaktor k reell, die Phase von T (ω) ist demnach gleich der Phase der Differenzverstärkung ad des OP. Da k nur Werte zwischen null und eins annehmen kann, gilt |T (ω)| < |ad (ω)|, d. h. besitzt die Leerlaufdifferenzverstärkung des OP eine ur alle ohmschen R¨ uckPhasenreserve α ≥ 45◦ , so wird dieser Wert auch f¨ kopplungsnetzwerke nicht unterschritten. f1

1 2 0 d B 1 0 0

f2

o h n e K o m p e n s a tio n

|a d( f )|

8 0

f3

6 0

m it D o m in a n t- P o lK o m p e n s a tio n

4 0

fK fT

2 0 d B lo g ( 1 /k )

2 0

f1 0

-2 0

g rd -4 5

1 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

1 M

1 0 M

H z

f

o h n e K o m p e n s a tio n 0

m it D o m in a n t- P o l- K o m p e n s a tio n

-9 0 j [ a d( f )]

1 0 0

8 0

-1 3 5

a (k = 1 )

a (k < 1 )

-1 8 0 -2 2 5 -2 7 0

1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

Abb. 6.48. Dominant-Pol-Kompensation des Frequenzgangs

1 M

1 0 M

H z

f

250


Ohne besondere Maßnahmen zeigt die Differenzverstärkung das Verhalten eines Tiefpasses h¨ oherer Ordnung mit vergleichsweise dicht liegenden Grenzfrequenzen f1 , f2 , f3 , was in der Regel zu einer Phasenreserve α < 0 f¨ uhrt (vgl. Abb. 6.48). Um die Leerlaufdifferenzverstärkung ad mit einer ausreichenden Phasenreserve auszustatten werden OPs häufig mit einer internen Frequenzkompensation versehen. Durch diese nimmt die 3 dB-Grenzfrequenz f1 des zuerst wirksamen Tiefpasses so geringe Werte an, daß |ad | bei der 3 dBGrenzfrequenz des als n¨ achstes wirksam werdenden Tiefpasses bereits auf Werte ≤ 0 dB ged¨ ampft wurde.18 Dies ist in Abb. 6.48 illustriert. Offensichtlich gilt |ad (f180 )| < 0 dB, d. h. jede ohmsche Gegenkopplung f¨ uhrt bei einem derart kompensierten Verst¨ arker zu einer stabilen Schaltung. Die Phasenreserve zum R¨ uckkopplungsfaktor 1 l¨ aßt sich leicht bei f = fT aus dem Diagramm ablesen. Die Phasenreserve zu einem R¨ uckkopplungsfaktor k < 1 läßt sich ebenfalls aus Abb. 6.48 ablesen: Bei f = fK ist |kad | = 1, d.h. das Verstärkungsmaß der Differenzverst¨ arkung beträgt dort 20 dB · log(1/k). Die Phasenreserve ergibt sich dann aus der Phasenverschiebung bei dieser Frequenz (vgl. Abb. 6.48). Als Nachteil der beschriebenen internen Dominant-Pol-Kompensation ist die starke Einschr¨ ankung der Bandbreite und damit des Verstärkungs-Bandbreite-Produkts des OP anzusehen. Bei Verstärkern mit Spannungsverstärkungen Av 1 gilt k 1, d. h. hier verursacht die interne Dominant-PolKompensation eine unn¨ otig starke Einschränkung von fT . F¨ ur die Realisierung von Breitbandverst¨ arkern werden deshalb auch OPs hergestellt, die u ugen. Diese wird ¨ber keine interne Kompensation des Frequenzgangs verf¨ vom Anwender durch extern zugeschaltete Kapazitätswerte vorgenommen. Die zur Kompensation des Frequenzgangs verwendete Kapazität kann dabei so gewählt werden, daß die Bandbreite bei der geforderten Phasenreserve maximal wird.

Lead-Kompensation Ursache einer Instabilit¨ at bzw. einer zu geringen Phasenreserve ist die durch das Zusammenwirken mehrerer Tiefp¨ asse bedingte Phase der Schleifenverstärkung. Durch ein R¨ uckkopplungsnetzwerk mit Hochpaßcharakteristik kann dies kompensiert werden. Beispiel 6.3.3 Als Beispiel wird der Operationsverstärker mit interner DominantPol-Kompensation und kapazitiver Last am Ausgang betrachtet . Hier ist wegen des endlichen Ausgangswiderstands RA des OP am Ausgang ein zweiter Tiefpaß wirksam, der die Phasenreserve vermindert. Zur Verbesserung der Phasenreserve wird 18

Durch die interne Kompensation wird in der Regel f1 zu kleineren Werten und f2 zu gr¨ oßeren Werten hin verschoben (pole splitting) [1, 5]. Die Schaltung wird dabei meist so uckkopplungsfaktor ausgelegt, daß f2 = fT gilt - in diesem Fall ist die Phasenreserve beim R¨ k = 1 gleich 45◦ .

6.3. R¨ uckkopplung und Stabilität R

R

v

2

C 1

251

C

R -

C

+ C

1

v L

2

Abb. 6.49. Invertierender Verst¨ arker mit verbessertem Einschwingverhalten

u angiger R¨ uckkopplungsweg hinzugeschaltet ¨ber CC parallel zu R2 ein frequenzabh¨ (Abb. 6.49). Wird die Belastung des durch RA , RC und CL gebildeten Spannungsteilers durch das R¨ uckkopplungsnetzwerk vernachlässigt, so folgt v n durch Anwenden ¨ des Uberlagerungssatzes zu (Abb. 6.50) vn =

k0 jωk0 R2 CC v + v , 1 + jωk0 R2 CC 2 1 + jωk0 R2 CC a

wobei k0 = R1 /(R1 + R2 ) den R¨ uckkopplungsfaktor des nicht kompensierten Verst¨ arkers bezeichnet. R

R

2

C 1

C

O P o h n e R -

+ v

R A

a 0

R A

v v

C

a

t

C

v 2

L

(a ) v t

R

R v

A

C

C

R

C

2

a

C

v 2

R

v 1

n

L

(b )

Abb. 6.50. Invertierender Verst¨ arker mit kapazitiver Last. (a) Auftrennen der Schleife zur Berechnung der Schleifenverst¨ arkung, (b) Teilschaltung zur Berechnung des R¨ uckkopplungsfaktors

Aus der Spannungsteilerregel folgt ferner v2 =

1 v 1 + jω(RA +RC )CL t

und

va =

1 + jωRC CL v . 1 + jω(RA +RC )CL t

252


Durch Zusammenfassen ergibt sich daraus der R¨ uckkopplungsfaktor k = v n /v t k =

1 + jωR2 CC (1 + jωRC CL ) k0 . 1 + jω(RA +RC )CL 1 + jωk0 R2 CC

Zur Kompensation 19 des Terms 1 + jω(RA + RC )CL im Nenner ist CC ≈

RA +RC CL R2

zu w¨ ahlen – ein gr¨ oßerer Wert w¨ urde zu einer unnötigen Verzögerung der Anstiegsflanke am Ausgang f¨ uhren. F¨ ur CL = 2 µF, RA = 35 Ω, RC = 20 Ω und uhrt dies auf die Forderung CC ≈ 10 nF. Abbildung 6.51 zeigt das R2 = 10 kΩ f¨ Einschwingverhalten eines entsprechenden Umkehrverstärkers – simuliert mit dem ur CC = 1 Makromodell des OP LM324 – f¨ ur verschiedene Werte von CC . Während f¨ ¨ bei rechteckförmiger EingangsnF und CC = 5 nF noch deutliche Uberschwinger uckt. ∆ spannung auftreten, sind diese f¨ ur CC = 10 nF vollständig unterdr¨

9

9LQ 9

&& Q)

9

&& Q) && Q)

9 9RXW &/ X) 9

V

PV 9LQ

PV

PV 9RXW

PV

PV

PV

PV

PV

PV

7LPH

Abb. 6.51. Einschwingverhalten eines invertierenden Verst¨ arkers bei kapazitiver Last am Ausgang und Lead-Kompensation f¨ ur unterschiedliche Werte von CC

19 Der Term proportional zu ω 2 RC CL im Nenner kann bei h¨ oheren Frequenzen den Frequenzgang der sich dann nicht mehr wie ein ohmscher Widerstand verhaltenden Ausgangsimpedanz des OP kompensieren, bzw. bei niedriger Verst¨ arkung (k0 groß) die Auswirkung des Faktors 1 + jωk0 R2 CC im Nenner von k mildern.

6.4. Rauschen von Operationsverstärkern

253

6.4 Rauschen von Operationsverst¨ arkern 6.4.1 Rauschersatzschaltung Das Rauschen eines OPs wird durch eine Erweiterung der in Kap. 6.1 betrachteten Ersatzschaltung um Rauschquellen erfaßt. Diese werden u ¨blicherweise auf den Eingang des OP bezogen, wie dies in Abb. 6.52 dargestellt ist.

S

i,N

( f ) +

S

i,P

( f )

S v

( f )

Abb. 6.52. Operationsverst¨ arker mit Rauschquellen

Die Spektren Si,P (f ), Si,N (f ) und Sv (f ) der Rauschquellen werden durch das thermische Widerstandsrauschen und das Schrotrauschen der Halbleiterbauelemente bestimmt. Bei niedrigen Frequenzen ist dar¨ uber hinaus ein Anteil des 1/f -Rauschens zu beobachten. Die Korrelation der Rauschquellen ist in der Regel gering und wird in den Datenbl¨ attern i.allg. nicht spezifiziert. Abbildung 6.53 zeigt die mittlere Rauschspannung und den mittleren Rauschstrom f¨ ur ein Frequenzintervall von 1 Hz f¨ ur den OP 101: F¨ ur f < f0v wird Sv√durch √ das 1/f -Rauschen bestimmt, d. h. Sv nimmt hier proportional zu 1/ f ab. Das Rauschen einer Schaltung mit OP wird neben den Rauschquellen des OP durch die Rauschquellen der Beschaltung bestimmt. Als Beispiel wird der nichtinvertierende Verst¨ arker betrachtet.

6.4.2 Rauschen des nichtinvertierenden Verst¨ arkers Das Rauschverhalten des von einer Quelle der Impedanz RS angesteuerten nichtinvertierenden Verst¨ arkers wird anhand der in Abb. 6.54 a dargestellten Ersatzschaltung untersucht. Diese kann durch Umzeichnen in die in Abb. 6.54 b gezeigte Form u uhrt werden. Die einzelnen Rauschquellen ¨berf¨ werden als nicht korreliert angenommen. Das Zusammenwirken der einzel¨ nen Quellen läßt sich dann nach dem Uberlagerungssatz berechnen, wobei die Auswirkung jeder Quelle auf die Ausgangsspannung separat untersucht wird. ¨ Zu diesem Zweck muß der jeweilige Ubertragungsfaktor bestimmt werden. ¨ Zunächst wird der Ubertragungsfaktor V a /I 1 mit V a = ad V d ermittelt. Hierzu wird die Teilschaltung 6.55 a betrachtet. Aus dem Knotensatz f¨ ur (2) jωcd V d =

V nR1 V nR1 −V a + R1 R2

254

6. Operationsverstärker 1 0 0 0

n V /H z

1 /2

1 0 0

S v

1 0

1 /2

f0 1

1

1 0

v

1 0 0

1 k

1 0 k

H z

1 M (a )

F re q u e n z 1 0 0

fA /H z

1 /2

1 0

S i

1

1 /2

0 .1

1

1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

H z

1 M (b )

F re q u e n z

Abb. 6.53. Typischer Frequenzgang (a) der Rauschspannung und (b) des Rauschstroms eines Operationsverst¨ arkers mit JFET-Eingangstransistoren

¨ folgt mit Av0 = 1/k = (R1 +R2 )/R1 durch Uberlagerung V nR1 =

1 ( V a +jωcd R2 V d ) . Av0

ur (1) Mit diesem Ergebnis und V d = V nRS−V nR1 folgt aus dem Knotensatz f¨ I1 =

V RS + jωcd V d RS

die Beziehung

I1 =

R2 1 + jωcd 1+ RS Av0 RS

Vd+

1 V Av0 RS a

bzw. mit V a = ad V d Va = Av0 RS I1

1 1+

1 [ Av0 + jωcd (R2 +Av0 RS ) ] ad

= Av0 RS Ξ(f ) . (6.58)

Dieses Ergebnis erm¨ oglicht die Berechnung der Beiträge des Rauschens des Generatorinnenwiderstands und des Stromrauschens des nichtinvertierenden Eingangs. Die Antwort der Ausgangsspannung auf das Spannungsrauschen des OP läßt sich ebenfalls mit dieser Beziehung ermitteln, falls die Rauschspannungsquelle


S

R S

S

i,R S

v

S

( f )

( f )

i,P

a dv

( f )

v S

i,N

S 1

S

R S

S

i,R S

( f )

S

i,P

v

i,R 1

d

d

( f )

R

R

255

2

S

( f )

( f )

( f )

v ,R 2

( f )

v

(a )

d

R

S

R i,N

( f )

1

S

i,R 1

2

( f )

S

v ,R 2

( f )

a dv d

(b )

Abb. 6.54. Rauschersatzschaltung des invertierenden Verst¨ arkers

durch eine a¨quivalente Rauschstromquelle ersetzt wird (Abb. 6.55 b). F¨ ur den ¨ Ubertragungsfaktor der Eingangsrauschspannung ergibt sich damit V a /V 1 = Av0 Ξ(f ) . Um die Auswirkung des Rauschens von R1 sowie des Stromrauschens des invertierenden Eingangs auf die Ausgangsspannung zu bestimmen, ist der ¨ Ubertragungsfaktor V a /I 2 f¨ ur die in Abb. 6.55 c angegebene Teilschaltung zu ermitteln. Diese ergibt sich nach dem demselben Schema wie Gl. (6.58) zu V a /I 2 = −R2 Ξ(f ) . Der Einfluß des Rauschens des Widerstands R2 auf die Ausgangsspannung ¨ ur die in Abb. 6.55 d anläßt sich mit Hilfe des Ubertragungsfaktors V a /V 2 f¨ gegebene Teilschaltung bestimmen. Diese ergibt sich nach kurzer Rechnung zu V a /V 2 = −Ξ(f ) .

256

6. Operationsverstärker V d

(1 )

R

(2 )

(3 ) 2

I1 R

R S

a dV 1

R d

V 1/R V 1

S

R S

(b )

(a )

V

S

V d

R

V d

2

R

2

2

I2 R S

R

a dV 1

R d

S

R

a dV 1

(c )

d

(d )

Abb. 6.55. Teilschaltungen zur Berechnung des Rauschens der Ausgangsspannung

¨ Durch Uberlagerung folgt f¨ ur die spektrale Leistungsdichte des Spannungsrauschens am Ausgang Sv,a (f ) = |Ξ(f )|2 {A2v0 RS2 [ Si,RS (f )+Si,P (f ) ] + A2v0 Sv (f ) + +R22 [ Si,N (f ) +Si,R1 (f ) ] + Sv,R2 (f )} . Falls die Widerst¨ ande nur thermisches Rauschen aufweisen, ist Si,RS (f ) =

4kB T , RS

Si,R1 (f ) =

4kB T , R1

Sv,R2 (f ) = 4kB T R2 ,

so daß mit Si,P (f ) = Si,N (f ) = Si (f ) folgt Sv,a (f ) = |Ξ(f )|2 [ 4kB T (A2v0 RS +Av0 R2 ) +(A2v0 RS2 +R22 )Si (f ) + A2v0 Sv (f ) ] . F¨ ur Av0 AD und f AD /[2π(R2 +Av0 RS )cd ] gilt die Näherung Ξ(f ) ≈

1 , 1 + jf /fg

wobei fg = fT /Av0 die Bandbreite des Verstärkers bezeichnet, und damit Sv,a

A2v0 ≈ 1+f 2/fg2

R2 4kB T RS + Av0

+

RS2 +

R2 Av0

2

+

Si + Sv (6.59)


257

Aus diesem Ergebnis lassen sich folgende Schlußfolgerungen f¨ ur den Aufbau rauscharmer Verst¨ arkerschaltungen ziehen: 1. Das Widerstandsniveau sollte gering gehalten werden. Kleine Werte f¨ ur R2 halten den Einfluß des Stromrauschens des invertierenden Eingangs gering. 2. Bei hochohmigen Quellen (RS groß) ist das Stromrauschen des nichtinvertierenden Eingangs besonders bedeutsam. In diesem Fall sollte demnach ein Operationsverst¨ arker mit möglichst geringem Stromrauschen gewählt werden. Als geeignet erweisen sich hier Operationsverstärker mit FET-Eingang, bei denen der Eingangs-Rauschstrom i. allg. besonders niedrige Werte aufweist. Um das Rauschen minimal zu halten, ist bei der Verst¨ arkung von Wechselspannungssignalen geringer Amplitude eine Rauschanpassung bez¨ uglich des Generatorinnenwiderstands vorzunehmen. 3. Bei niederohmigen Quellen ist besonders auf das Spannungsrauschen zu achten. 4. Da sich die effektive Rauschspannung am Ausgang durch Integration von Sv,a (f ) u ¨ber die Bandbreite ergibt

Vn = f

f +∆f

Sv,a (f ) df ,

sollte die Bandbreite der Verst¨ arkerschaltung nicht unnötig groß gewählt werden. Beispiel 6.4.1 Mit einen OP (fT = 1 MHz, AD = 105 ) soll ein nichtinvertierender Verst¨ arker der Spannungsverst¨ arkung Av0 = 20 aufgebaut werden. Zu bestimmen ist der Effektivwert der Rauschspannung im Frequenzbereich 1 kHz < f < 10 kHz, falls dort

*√ *√ Sv = 10 nV Hz sowie Si = 1 fA Hz gilt. Der Quellwiderstand betrage RS = 1 kΩ, ferner gelte R2 = 50 kΩ; die Eingangskapazit¨ at des OP wird als vernachl¨ assigbar klein angenommen. Die Bandbreite ist fg = 1 MHz/20 = 50 kHz, so daß im betrachteten Frequenzbereich |Ξ(f )|2 ≈ 1 gilt. Die Spektralfunktion Sv,a (f ) wird damit unabhängig von der Frequenz; mit den Zahlenwerten RS = 1 kΩ, R2 = 50 kΩ f¨ uhrt dies bei T = 300 K auf V2 V2 = 6.3 · 10−14 . Sv,a ≈ 400 · 1.66 · 10−17 · 3.5 + 7.25 · 10−24 + 10−16 Hz Hz Der Effektivwert der Rauschspannung im betrachteten Frequenzintervall ∆f folgt daraus zu

V2 · 9 · 103 Hz ≈ 24 µV . Sv,a ∆f = 6.3 · 10−14 Vn = Hz

258


6.5 Makromodelle f¨ ur die Schaltungssimulation F¨ ur die Zwecke der Schaltungssimulation werden die elektrischen Eigenschaften von Operationsverstärkern durch Makromodelle nachgebildet. Diese weisen eine deutlich geringere Komplexit¨ at auf als die tats¨ achliche Schaltung des Operationsverstärkers, was zu einer wesentlichen Verringerung der Rechenzeit und zu einer Verbesserung des Konvergenzverhaltens f¨ uhrt. Die meisten Modelle sind aus dem in [6] vorgestellten ur einen OP mit bipolarer Ansatz entstanden.20 Abbildung 6.56 zeigt ein Beispiel f¨ Eingangsstufe.21 V + v

R C 1 D 1 IN

C D IF

IN N

R Q

D P

F Q 1

V C

C 1

R 1 IN

IN P

R C 2

C 1

D 2 IN

R 2 IN

R 0 2 Q 1

R 0 1 F B

C 2 C M

C 1 C M

R E 1

R E 2

C 2

E G N D C E E F Q 2

IE E

v A D E

R 2

(a )

D C

V L IM

R E E

Q 2

G C M

G A

V B

V E V -

V L N

D L N

D Q 2

V Q 2

F Q 3 H L IM D L P

V L P (b )

D Q 1

V Q 1

(c )

Abb. 6.56. Makromodell f¨ ur einen OP mit bipolarer Eingangsstufe (nach [8])

Der Eingang ist mit einer Schutzbeschaltung (R1IN, R2IN, D1IN und D2IN) versehen; Gegentakt- und Gleichtakteingangskapazitäten werden durch die Elemente CDIF, C1CM und C2CM erfaßt. Die Dioden D1IN und D2IN werden wie alle u ¨brigen Dioden des Modells als ideale Dioden beschrieben; in der Modellanweisung gen¨ ugt die Angabe des S¨ attigungsstroms (z. B. IS = 1E-16). Die Eingangswiderstände R1IN und R2IN begrenzen zum einen den Strom der durch die Schutzdioden fließen kann; zum anderen bilden sie zusammen mit den Eingangskapazitäten einen Tiefpaß, dessen Grenzfrequenz auf die Grenzfrequenz der Eingangsdifferenzstufe abzustimmen ist. Die Eingangsstufe ist als Differenzverst¨ arker (vgl. Kap. 17) mit Bipolartransistoren ausgef¨ uhrt. Durch geeignete Wahl der Elemente können Gleichtaktunterdr¨ uckung, Offseteigenschaften und Rauschen erfaßt werden. Unter Vernachlässigung evtl. vorhandener Offsetspannungen und Offsetstr¨ ome wird die Differenzstufe vollständig symmetrisch ausgelegt, d. h. 20

Vgl. auch [7] und dort zitierte Arbeiten. Dieser Abschnitt setzt Kenntnisse u ¨ber Bipolartransistoren voraus, wie sie in Kap. 16 vermittelt werden. 21

6.5. Makromodelle f¨ ur die Schaltungssimulation Q1 = Q2,

und

259

RC1 = RC2 = RC

RE1 = RE2 = RE .

Die beiden Transistoren werden als identische ideale Transistoren angesetzt, f¨ ur die lediglich S¨ attigungsstrom IS und Vorw¨ artsstromverstärkung BF spezifiziert werden. Die Stufe wird der Einfachheit halber so dimensioniert, daß sie die NFDifferenzverst¨ arkung eins aufweist, d. h. bei AC-Betrieb ist der Zeiger der Spannung u ¨ber C1 durch v C1 = v p − v n gegeben. C 2 iG

iG A

iF

C M

R 2 G A

R 0 1

v

R 2

F B

v B

R 0 2

v

a

R 0 2

G C M

Abb. 6.57. schaltung Nachbildung Frequenzgangs

Teilzur des

Die Nachbildung der Differenz- und Gleichtaktverstärkung erfolgt dann durch die von der Differenzeingangsspannung vC1 gesteuerte Stromquelle GA und die von der Gleichtakteingangsspannung gesteuerte Quelle GCM in Verbindung mit der stromgesteuerten Stromquelle FB. Letztere ist mehrdimensional und wird von insgesamt f¨ unf Str¨ omen gesteuert. Solange der OP jedoch im linearen Bereich arbeitet,22 wird FB nur durch den durch VB fließenden Strom kontrolliert. Bei AC-Betrieb besteht dann der folgende Zusammenhang iFB = AI

v R2 = GB v R2 , R2

arkung der gesteuerten Quelle FB bezeichnet. Die Ausgangswobei AI die Stromverst¨ stufe l¨ aßt sich f¨ ur linearen Betrieb entsprechend Abb. 6.57 vereinfachen. Die Elemente sind so festzulegen, daß die korrekte Leerlaufdifferenzverstärkung aufgritt. Im Leerlauf ist v a = v R02 , da durch R01 kein Strom fließt. Der Strom durch GA wird ¨ mit 1/RC festgelegt ist. Aus durch v C1 gesteuert, wobei der Ubertragungsleitwert den Kirchhoffschen Gleichungen folgt damit unter Vernachlässigung der Gleichtaktverst¨ arkung (iGCM = 0) 0 =

v C1 v + R2 + jωC2 (v R2 − v 2 ) RC R2

(6.60)

0 =

v va + AI R2 − jωC2 (v R2 − v 2 ) R02 R2

(6.61)

¨ Durch Eliminieren von v R2 resultiert der Ubertragungsfaktor R02 1 − jωC2 R2 /AI va . = AI v C1 RC 1 + jωC2 [ R2 + (AI +1)R02 ] Dies f¨ uhrt auf die Forderung AI 22

R02 = AD . RC

Weder S¨ attigung noch Strombegrenzung sind wirksam.

260


.SUBCKT OPAMP INP INN 3 4 5 **************************** C1 11 12 8.660E-12 C2 6 7 30.00E-12 DC 5 53 DX DE 54 5 DX DLP 90 91 DX DLN 92 90 DX DP 4 3 DX EGND 99 0 POLY(2) (3,0) (4,0) 0 .5 .5 FB 7 99 POLY(5) VB VC VE VLP VLN + 0 70.20E6 -70E6 70E6 70E6 -70E6 GA 6 0 11 12 320.4E-6 GCM 0 6 10 99 2.022E-9 IEE 10 4 DC 30.05E-6 HLIM 90 0 VLIM 1K Q1 11 2 13 QX Q2 12 1 14 QX R2 6 9 100.0E3 RC1 3 11 3.121E3 RC2 3 12 3.121E3 RE1 13 10 1.394E3 RE2 14 10 1.394E3 REE 10 99 6.656E6 RO1 8 5 25 RO2 7 99 25

VB 9 0 DC 0 VC 3 53 DC 2.500 VE 54 4 DC 2.500 VLIM 7 8 DC 0 VLP 91 0 DC 10 VLN 0 92 DC 10 FQ3 0 20 POLY(1) VLIM 0 1 DQ1 20 21 DX DQ2 22 20 DX VQ1 21 0 0 VQ2 22 0 0 FQ1 3 0 POLY(1) VQ1 2.136E-3 1 FQ2 0 4 POLY(1) VQ2 2.136E-3 -1 RQ 3 4 4.5E4 CDIF 1 2 3.0E-12 C1CM 1 99 1.5E-12 C2CM 2 99 1.5E-12 R1IN INP 1 1000 D1IN 1 2 DX R2IN INN 2 1000 D2IN 2 1 DX ***************************** .MODEL DX D(IS=800.0E-18) .MODEL QX NPN(IS=800.0E-18 BF=600) ***************************** .ENDS

Teilschaltungsdefinition zur Beschreibung eines Operationsverst¨ arkers in SPICE

¨ Der komplexe Ausdruck im Nenner des Ubertragungsfaktors läßt sich damit umformen zu R02 R2 1 + 1 + jωC2 [ R2 + (AI +1)R02 ] = 1 + jωC2 AD RC 1 + AD RC RC ≈ 1 + jωC2 AD RC , d. h. unter der Voraussetzung fco = 1/(2πAD RC C2 ) resultiert f¨ ur die Verstärkung va AD = . v C1 1 + jf/fco Der Wert C2 von C2 wird gew¨ ohnlich mit 30 pF vorgegeben, RC folgt dann aus dem Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt, d. h. der Transitfrequenz fT RC =

1 . 2πC2 fT

Die spannungsgesteuerte Stromquelle GCM dient zur Beschreibung der Gleichtaktverst¨ arkung des OP. Sie wird durch die Gleichtakteingangsspannung gesteuert ¨ und besitzt einen Ubertragungsleitwert, der um den Faktor 1/CMRR gegen¨ uber demjenigen von GA reduziert ist

6.5. Makromodelle f¨ ur die Schaltungssimulation GCM =

261

GA . CMRR

Im urspr¨ unglichen Ansatz wurde GCM durch den Spannungsabfall an REE gesteuert. Dies ergibt jedoch bei unsymmetrischer Versorgungsspannung einen unerw¨ unschten Offset (vgl. [9]), der sich durch eine von vP und vN gesteuerte Stromquelle vermeiden l¨ aßt. Der Ausgangswiderstand des OP wird durch die Widerstände R01 und R02 simuliert. Bei h¨ oheren Frequenzen (f [2πR02 C2 (1 + R2 GB )]−1 ) wird R02 durch den von C2 verursachten AC-Kurzschluß abgekoppelt, so daß der Ausgangswiderstand gegen den Wert von R01 strebt. Der Wert der Stromquelle IEE errechnet sich aus dem Eingangsruhestrom23 IB des OP dann zu IEE = 2 (BF +1) IB , solange der Strom durch REE vernachl¨ assigbar klein ist. Die Stromverstärkung BF ist so zu w¨ ahlen, daß der richtige Maximalwert f¨ ur die Anstiegsgeschwindigkeit S + resultiert [6] C2 S + . 2IB

BF =

Durch CEE kann die maximale Abfallgeschwindigkeit der Ausgangsspannung S − niedriger als S + modelliert werden [6] CEE =

2BF IB − C2 . S−

Gilt S − = S + so ist CEE = 0; CEE muß dann in der Netzliste nicht aufgef¨ uhrt zu werden. Die Emitterserienwiderst¨ ande RE werden so dimensioniert, daß die NFVerst¨ arkung der Eingangsstufe eins ist. F¨ ur eine symmetrisch ausgelegte Stufe mit idealen Transistoren Q1 und Q2 ergibt sich diese aus einer Kleinsignalanalyse zu 1 αRC v C1 = α . v p − vˆn + RE 1 + j 2ωRC C1 gm Hierbei bezeichnet α = BF /(BF + 1) die Kleinsignalstromverstärkung in Basisschaltung und gm =

IC αIE BF IEE = = VT VT BF + 1 2VT

die Steilheit der Transistoren. Dies f¨ uhrt auf die Bestimmungsgleichung RE =

BF 2 VT RC − . BF + 1 IEE

¨ Der Kondensator C1 erlaubt es, im Ubertragungsfaktor eine zusätzliche Phasenverschiebung zu ber¨ ucksichtigen. Er wird so gew¨ ahlt, daß die Phasendrehung des OP bei 23 Durch unterschiedliche Werte von IS und BF f¨ ur die beiden Transistoren lassen sich Eingangs-Offsetstr¨ ome und -Offsetspannung erfassen.

262


der Transitfrequenz korrekt wiedergegeben wird. Wird die gegen¨ uber dem einfachen Tiefpaßverhalten zus¨ atzlich auftretende Phasenverschiebung mit ∆φ(f ) bezeichnet, so ist 2πfT 2C1 = arctan ∆φ(fT ) = arctan 2RC C1 C2 bzw. C1 =

C2 tan [∆φ(fT )] . 2

Mit IEE ist eine ideale Stromquelle gegeben; der damit verbundene unendlich hohe Ausgangswiderstand ist in der Praxis nicht realisierbar. Im Makromodell wird der endliche Ausgangswiderstand der Stromquelle durch REE nachgebildet. Der Wert von REE folgt aus dem Gleichtakteingangswiderstand 24 rgl gemäß REE =

rgl 1 − . BF 2gm

Die spannungsgesteuerte Spannungsquelle EGND besitzt den Wert (V+ +V− )/2 und erlaubt die korrekte Simulation des Verhaltens des OP auch bei unsymmetrischer Versorgungsspannung. Bei symmetrischer Versorgung V− = −V+ bildet sie einen Kurzschluß zu Masse. Die S¨ attigung der Ausgangsspannung wird durch die Dioden DE und DC in Verbindung mit den Spannungsquellen VC und VE nachgebildet. DC wird leitend, sobald vA um weniger als VVC − VF0 unterhalb von V+ liegt; entsprechend wird DE leitend, sobald vA um weniger als VVE − VF0 oberhalb von V− liegt. In beiden Fällen wird hierdurch die Ausgangsspannung begrenzt. Die Werte der Spannungsquellen sind zu w¨ ahlen als VVC

= V+ − VAmax + VT ln (Isc /IS )

VVE

= V− + VAmax + VT ln (Isc /IS ) ,

wobei Isc den Kurzschlußausgangsstrom des OP bezeichnet. Die Hilfsschaltung nach Abb. 6.56 b dient zur Simulation der Strombegrenzung des OP. Die stromgesteuerte Spannungsquelle HLIM liefert eine Spannung, die proportional zu dem die DC-Spannungsquelle (0V) VLIM durchfließenden Strom ist. Wird die von HLIM abgegebene Spannung so groß, daß eine der beiden Dioden leitend wird, so fließt durch VLP bzw. VLN ein Strom. Dieser Strom wird in der mehrdimensionalen gesteuerten Quelle FB zur Kompensation eingesetzt. Der in die Versorgungsklemmen des OP fließende Strom wird durch RQ und die gesteuerten Quellen FQ1 und FQ2 beschrieben. Die Steuerströme f¨ ur FQ1 und FQ2 24 Im urspr¨ unglichen Ansatz [6] wurde als Ausgangspunkt zur Festlegung von REE eine Stromquelle mit npn-BJT angenommen; diese weist einen Ausgangswiderstand von n¨ ahearts-Early-Spannung bezeichnet. Mit Earlyrungsweise VAF /IEE auf, wobei VAF die Vorw¨ Spannungen von typischerweise 200 V folgt so die in [6] angegebene Gleichung

REE = 200 V/IEE .

6.6. Literaturverzeichnis

263

werden in der Hilfsschaltung nach Abb. 6.56 c generiert. Dort wird durch die stromgesteuerte Stromquelle FQ3 der durch VLIM fließende Strom eingeprägt (i(FQ3) = i(VLIM)). Je nach Polarit¨ at fließt dieser durch DQ1 oder DQ2 und wird mit den DCQuellen (0V) VQ1 bzw. VQ2 gemessen. Die durch diese fließenden Ströme steuern FQ1 und FQ2 u ¨ber i(FQ1) = Istat + i(VQ1)

und

i(FQ2) = Istat + i(VQ2) ,

wobei Istat den Versorgungsstrom des OP bei Leerlauf angibt. Das beschriebene Makromodell weist im Frequenzgang annähernd das Verhalten eines Tiefpasses 1. Ordnung auf. Sollen Tiefpässe höherer Ordnung beschrieben wer¨ den, so ist dies m¨ oglich durch Einbau von Netzwerken geeigneter Ubertragungscharakteristik. Auf diesem Weg sind beliebige Pol-Nullstellen-Kombinationen f¨ ur den ¨ Ubertragungsfaktor realisierbar. Operationsverst¨ arker, bei denen die Eingangsstufe mit Feldeffekttransistoren realisiert wurde, werden auf ¨ ahnliche Weise durch ein Makromodell beschrieben. Die Eingangsstufe wird dabei mit Feldeffekttransistoren nachgebildet (Abb. 6.58). V + R C 1

D P

R Q

F Q 1

V C

C 1

IN + IN -

R C 2

C D IF

R 0 2

E N

R 0 1 F B

C 2 C M

C 1 C M

E G N D

C 2

G 2 1

H L IM

G A

V E

F Q 2

IS S

D L N

V 0 D E

G C M

C E E G 1 1

D C

V L IM

R E E

V V L N

D Q 2

V Q 2

F Q 3

D L P

V L P

D Q 1

V Q 1

Abb. 6.58. Makromodell f¨ ur einen Operationsverst¨ arker mit FET-Eingangsstufe

6.6 Literaturverzeichnis [1] U. Tietze, Ch. Schenk. Halbleiter-Schaltungstechnik. Springer, Berlin, 12. A., 2002 [2] S. Soclof. Design and Applications of Analog Integrated Circuits. Prentice Hall, London, 1991. [3] A.B. Williams. Electronic Filter Design Handbook. McGraw Hill, New York, 1981. [4] D.F. Stout, M. Kaufman. Handbook of Operational Amplifier Circuit Design. McGraw Hill, New York, 1976.

264


[5] P.R. Gray, R.G. Meyer. Analysis and Design of Analog Integrated Circuits. Wiley, New York, 3rd edition, 1993. [6] G.R. Boyle, B.M. Cohn, D.O. Pederson, J.E. Solomon. Macromodeling of integrated circuit operational amplifiers. IEEE J. Solid-State Circ., 9(6):353–364, 1974. [7] R.V. Peic. Simple and accurate nonlinear macromodel for operational amplifiers. IEEE J. Solid-State Circ., 26(6):896–899, 1991. [8] Burr Brown Application Bulletin Number 20. Spice Based Macromodels. 1993. [9] H. Nielinger. Op-Makromodell f¨ ur korrekte Simulation des Gleichtaktverhaltens. Elektronik, (11):88–92, 1989.

7 Widerst¨ ande Widerstände sind in nahezu jeder elektronischen Schaltung vorhanden und stellen die wohl am weitesten verbreiteten elektronischen Bauelemente dar. Je nach Bauform und Betriebsfrequenz weisen sie mehr oder weniger deutliche Abweichungen vom idealen ohmschen Verhalten auf. Ziel dieses Abschnitts ist es, die verschiedenen Bauformen ohmscher Widerstände und ihr Verhalten kennenzulernen. Zus¨ atzlich werden nichtlineare Widerstände (Va¨ ristoren) und andere Uberspannungsableiter (Funkenstrecken), Sicherungen sowie Thermistoren behandelt. Letztere sind Widerstände mit starker Temperaturabhängigkeit; je nach Vorzeichen des Temperaturkoeffizienten unterschiedet man Heißleiter (NTC) und Kaltleiter (PTC).

7.1 Physikalische Grundlagen Stromtransport in Festk¨ orpern erfordert frei im Festkörper bewegliche Ladungsträger. Bei Anwesenheit eines elektrischen Feldes E wirkt auf diese eine Kraft, was zu einer gerichteten Bewegung (Drift) der Ladungsträger f¨ uhrt: Im Leiter stellt sich die Stromdichte J = σE = ρ−1 E

(7.1)

ein. Die materialspezifischen Kenngr¨ oßen σ und ρ werden als Leitf¨ ahigkeit (Einheit S/cm) bzw. spezifischer Widerstand (Einheit Ω cm) bezeichnet.

Zum spezifischen Widerstand Elektronen, die sich in einem idealen Kristallgitter bewegen und nicht miteinander wechselwirken, w¨ urden ungehindert durch den Festkörper laufen – der spezifische Widerstand ρ w¨ are in diesem Fall null. Bedingt durch Gitterschwingungen (W¨ armebewegung der Gitteratome) und Störungen der Gittersymmetrie (Defekte, d. h. Versetzungen, Korngrenzen, Fremdatome etc.) sowie durch gegenseitige Streuung der Elektronen wird in der Praxis jedoch ein von null verschiedener Wert f¨ ur ρ beobachtet. In Metallen wächst ρ normalerweise mit ansteigender Temperatur, da die zunehmende Wärmebewegung der Gitteratome die Elektronen auf ihrem Weg durch den Festkörper zusätz¨ lich behindert. F¨ ur reine Metalle wird eine relative Anderung von ρ mit der Temperatur in der Gr¨ oßenordnung 0.5 %/K beobachtet. In Legierungen, bei denen der spezifische Widerstand weniger durch die Gitterschwingungen als durch die Störung der Gittersymmetrie aufgrund von Fremdatomen bestimmt wird, ist die Temperaturabh¨ angigkeit des spezifischen Widerstands wesentlich

266

7. Widerstände

kleiner; f¨ ur ausgew¨ ahlte Materialzusammensetzungen1 kann sie sogar nahezu zum Verschwinden gebracht werden.

Widerstandswert Wird eine Probe mit konstanter Leitf¨ ahigkeit σ mit zwei Kontakten versehen und zwischen diesen eine Spannung V angelegt, so fließt ein Strom I entsprechend dem ohmschen Gesetz, d. h. es gilt I = V /R. Der Widerstandswert R läßt sich dabei nur f¨ ur einfache Geometrien leicht berechnen;2 im Fall des homogen von einem Strom durchflossenen Körpers der Länge L mit gleichförmigem Querschnitt A folgt das Resultat R = ρL/A

bzw.

G = 1/R = σA/L .

(7.2)

Gleichung (7.2) ist nur g¨ ultig, falls die Streuung der Elektronen an der Oberfläche der Widerstandsschicht vernachlässigt werden darf. Bei Schichtdicken im Bereich weniger Nanometer, wie sie z. B. in hochohmigen Widerstandsschichten Verwendung finden, ist dies jedoch i. allg. nicht erf¨ ullt. Die zusätzlich zu ber¨ ucksichtigende Oberf l¨ achenstreuung f¨ uhrt dann zu einem höheren Widerstandswert als nach Gl. (7.2) zu erwarten wäre [1, 2].

Ausbreitungswiderstand F¨ ur sehr kleine Kontaktfl¨ achen wird der Widerstandswert weitgehend unabhängig von der Probengeometrie nur durch die Kontaktfläche und den spezifischen Widerstand bestimmt. Als Beispiel wird eine Scheibe der Dicke D betrachtet, deren R¨ uckseite auf Massepotential liegt. Auf der Oberseite befinde sich eine kreisf¨ ormige Elektrode vom Durchmesser 2a (vgl. Abb. 7.1). Der Wert von a sei so klein gegen¨ uber dem Radius der Scheibe, daß dieser als unendlich angenommen werden kann. Selbst f¨ ur dieses vermeintlich einfache Problem läßt sich der Widerstandswert zwischen der Deckelektrode und der R¨ uckseite nicht durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck angeben. F¨ ur D a läßt sich jedoch die N¨ aherung R ≈

1 ρ 4a 1 + ξ + ξ 2

mit

ξ =

2 ln(2) a π D

(7.3)

1 Insbesondere Legierungen von Kupfer (Cu), Nickel (Ni) und Mangan (Mn) haben diesbez¨ uglich gr¨ oßere technische Bedeutung erlangt. Beispiele sind die Materialien CuNi45Mn1 (Konstantan), CuMn12Ni2 (Manganin) und CuMn12AlFe (Novokonstant). 2 Im allgemeinen Fall muß von den Gleichungen J = σE und ∇ · J = 0 (g¨ ultig im station¨ aren Fall) ausgegangen werden. Mit E = −∇ψ f¨ uhren diese auf die Laplace-Gleichung ur das elektrostatische Potential ψ. Diese ist f¨ ur das Widerstandsvolumen als ∇2 ψ = 0 f¨ gemischtes Randwertproblem“ zu l¨ osen: An den Kontakten ist als Randwert das Potential ” vorgegeben, ansonsten muß die Forderung J · n = 0 erf¨ ullt sein, d. h. die Stromdichte darf abseits der Kontakte nur eine Komponente parallel zur Oberfl¨ ache besitzen.

7.1. Physikalische Grundlagen V

267

+

a

D

Abb. 7.1. Zur Berechnung des Ausbreitungswiderstands

finden [3, 4]. F¨ ur D → ∞ bzw. a/D → 0 folgt R ≈ ρ/(4a), d. h. der Widerstand wird hier nur noch durch den sog. Ausbreitungswiderstand ρ/(4a) bestimmt. Dessen Wert h¨ angt einzig vom Radius des Kontakts und dem spezifischen Widerstand der Scheibe ab.3

Skineffekt Bei einem Gleichstrom f¨ uhrenden Leiter wird der gesamte Querschnitt von Strom durchsetzt. Bei Wechselstrom f¨ uhrenden Leitern fließt der Strom im wesentlichen in einer d¨ unnen Schicht der Dicke

δ=

2ρ/(ωµ)

(7.4)

an der Oberfl¨ ache des Leiters. Ursache dieses als Skineffekt bezeichneten Ph¨ anomens ist das mit dem Wechselstrom verbundene magnetische Wechselfeld [5, 6]. Dieses induziert Str¨ ome im Leiterinneren, die nach der Lenzschen ¨ Regel entgegengesetzt zum induzierenden Stromfluß orientiert sind. Die Uberlagerung von induzierender und induzierter Stromdichte erkl¨ art die Abnahme der Stromdichte zum Leiterinneren. Die Gr¨ oße δ wird als Eindringtiefe, Leitschichtdicke oder Skintiefe (englisch: skin depth), bezeichnet – sie bestimmt den Abfall des Betrags der Stromdichte mit dem Abstand x von der Leiteroberfl¨ ache: F¨ ur ebene Leiter gilt [7] J(x) = J(0)e −x/δ . Bandleiter. Der Widerstand einer ebenen Leiterbahn der Dicke D, L¨ ange L und Breite W l¨ aßt sich mit dem Fl¨ achenwiderstand RF = ρ/D berechnen als ugt die Dicke D des Leiters der Beziehung D < 2δ, so R = RF L/W . Gen¨ kann f¨ ur RF der Wert ρ/D verwendet werden (Fehler kleiner als 10 %, [8]). Aus D = 2δ folgt eine Grenzfrequenz fgs , unterhalb der der Skineffekt im Bandleiter vernachl¨ assigbar ist fgs = 3

RF (0) µm 4ρ 4RF (0) ≈ 1.01 GHz · · . = 2 πµD πµD mΩ D

(7.5)

Dies wird beispielsweise bei der sog. Spreading-resistance-Methode ausgen¨ utzt, mit der in der Halbleitertechnologie der spezifische Widerstand von Halbleiterproben nahezu beliebiger Geometrie gemessen werden kann.

268

7. Widerstände

Mit zunehmender Frequenz wird δ immer kleiner. Gilt D > 5δ, so ergibt sich n¨ aherungsweise RF = ρ/2δ, d. h. der Fl¨ achenwiderstand reduziert sich unter diesen Umständen auf den einer Schicht der Dicke 2δ (entsprechend einer leitenden Schicht der Dicke δ an Ober- und Unterseite der Leiterbahn). Bei hohen Frequenzen achenwiderstand bandförmiger Leiter demnach √ steigt der Fl¨ proportional zu f an. Mit RF (0) = ρ/D gilt f¨ ur Frequenzen f fgs RF (f ) ≈

1

πµρf = RF (0) f/fgs . 2

(7.6)

In doppeltlogarithmischer Auftragung resultiert die in Abb. 7.2 skizzierte Abhängigkeit des Fl¨ achenwiderstands von der Frequenz. lo g R F

(f) fg

R F

s

~ f

1 /2

(0 )

lo g f

Abb. 7.2. Zum Skineffekt

Beispiel 7.1.1 F¨ ur eine Kupferleiterbahn der Dicke D = 35 µm ergibt sich aus dem Fl¨ achenwiderstand RF (0) = 0.486 mΩ der Wert fgs ≈ 14 MHz. Bei einem spezifischen Widerstand von 1 mΩcm und einer Schichtdicke von D = 0.5 µm folgt andererseits RF = 20 Ω; der zugehörige Wert von fgs resultiert hieraus zu annähernd 40 THz. In d¨ unnen und hochohmigen Widerstandsschichten kann der Skineffekt demnach vernachl¨ assigt werden. Dies wird bei der Herstellung von Schichtwiderständen f¨ ur die Hochfrequenztechnik ausgenutzt. ∆

Zylindrische Dr¨ ahte. F¨ ur zylindrische Drähte (Durchmesser D) wird der Einfluß des Skineffekts ebenfalls durch das Verhältnis D/δ und damit durch ur Kupferdraht folgt mit µ ≈ µ0 und ρCu ≈ die Grenzfrequenz fgs bestimmt. F¨ 1.7 µΩcm fgs =

4ρ = 17.2 kHz · πµD2

1mm D

2

.

(7.7)

Bezeichnet R0 = 4ρ/(πD2 ) den Widerstandsbelag (Widerstand je Längeneinheit) bei Gleichbetrieb, so gelten die in Tabelle 7.1 aufgef¨ uhrten Näherungen [8] f¨ ur den Widerstandsbelag bei Wechselbetrieb mit der Frequenz f . Bei hohen Frequenzen ist der Widerstandsbelag durch eine oberflächennahe Schicht √ der Dicke δ bestimmt; wie beim Bandleiter resultiert ein Anstieg R (f ) ∼ f .

7.2. Ohmsche Widerstände

269

Tabelle 7.1 Skineffekt zylindrischer Dr¨ ahte Frequenz R (f ) R0

f 100 kHz dennoch i. allg. nicht zu verwenden. Pr¨ azisionsdrahtwiderst¨ ande. Pr¨ azisionsdrahtwiderstände sind insbesondere f¨ ur die Meßtechnik von Interesse, da sich mit ihnen sehr kleine Toleranzen (bis zu 5 · 10−6 ), eine hohe Langzeitstabilität und niedrige Temperaturkoeffizienten (±1 ppm/K) erreichen lassen. Bei niederohmigen Widerständen können thermoelektrische Effekte, bedingt durch Temperaturdifferenzen zwischen den unterschiedlichen Kontakten (zwischen Widerstandswicklung und Anschlußdraht bzw. zwischen Anschlußdraht und Kupferbahn auf der Leiterplatte) auftreten. Die u ¨ber dem Widerstand auftretende Thermospannung hängt von der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Kontaktstellen ab und liegt bei Kontakten zu Kupfer (Leiterbahnen) in der Größenordnung 1 µV je Grad Temperaturdifferenz. Hochwertige Drahtwiderstände verwenden deshalb häufig Kupferanschlußdr¨ ahte und sorgen f¨ ur eine gute thermische Kopplung der beiden Kontaktpunkte im Widerstand. Auf diesem Weg kann nur eine geringe Temperaturdifferenz zwischen den beiden Kontaktstellen und damit nur eine geringe Thermospannung auftreten.


281

7.2.3 Massewiderst¨ ande Massewiderstände (carbon composition resistors) werden durch Mischung von Kohle (Ruß) und Harzen hergestellt, wobei sich der Wert des spezifischen Widerstands durch die Harzbeimengung einstellen läßt. Die Masse wird in die gew¨ unschte Form gepreßt, mit Anschlußstiften versehen und ausgehärtet; zum Schutz der Konstruktion wird eine Umh¨ ullung aus Bakelit oder Keramik eingesetzt (vgl. Abb. 7.4 b). Derartige Widerstände weisen eine vergleichsweise große Temperaturabh¨ angigkeit und Alterung des Widerstandswerts auf. Sie werden deshalb nicht in Schaltungen, in denen es auf die Einhaltung eines genau definierten Widerstandswerts ankommt, eingesetzt. Wegen ihrer hohen Pulsbelastbarkeit sind sie jedoch optimal als Schutz- und Ableitwiderstände geeignet.

7.2.4 Schichtwiderst¨ ande Schichtwiderstände, insbesondere Kohle- und Metallschichtwiderstände, sind ¨ die am weitesten verbreiteten Widerst¨ ande. Tabelle 7.6 gibt einen Uberblick u ur die gebräuchlichen Typen von Schicht¨ber typische Kenndaten f¨ widerständen. Tabelle 7.6 Schichtwiderst¨ ande im Vergleich (nach [12]) Kohleschichtwiderst¨ ande Wertbereich/ Ω 1 − 107 Toleranzen/% 2; 5 Stabilit¨ at/ % 1−3 TK/(ppm/K) -200 − -1200 Ausfallrate/FIT 0.3 − 30 Nennbelastbarkeit, W 0.1 − 2 Pulsbelastbarkeit + Stromrauschen ++ Grenztemperatur/◦ C 125 − 155 Schichtdicke/µm 0.01 − 1.5

Metallschichtwiderstände

Metallglasurwiderstände

Metalloxidwiderstände

1 − 107 0.005 − 1 0.1 − 0.3 2 − 100 1 − 10 0.1 − 2 -/+ +++ 125 − 155 0.01 − 0.1

30 − 108 0.5 − 5 0.2 − 1 25 − 200 0.1 − 1 0.1 − 3 ++ + 155 − 175 15 − 30

1 − 5 · 106 2; 5 1−4 200 − 400 1 − 10 0.25 − 6 + + 155 − 250 0.5 − 1.5

Je höherohmig der Widerstand sein soll, desto d¨ unner wird die Widerstandsschicht ausgef¨ uhrt. Da die Schicht nicht beliebig d¨ unn gemacht werden kann (Toleranzen), wird der Widerstandsbelag f¨ ur die Realisierung großer Widerstandswerte gewendelt (Abb. 7.9). Mit der Schleifscheibe oder dem Laserstrahl 15 wird hierzu in den fertig beschichteten Rohling eine schraubenförmi15 Bei Wendelung mit Hilfe eines Laserstrahls kann der Widerstandswert auf diesem Weg oht werden. Lasertrimmen f¨ uhrt im Vergleich zur Wendelung um einen Faktor bis zu 104 erh¨

282

7. Widerstände

Abb. 7.9. Wendelung

ge Trennut eingeschliffen. Dabei wird gleichzeitig der Widerstand gemessen: Sobald der Sollwert erreicht ist, wird die Trennut nicht mehr weiter gef¨ uhrt. Auf diesem Weg lassen sich enge Toleranzgrenzen realisieren.

Kohleschichtwiderst¨ ande Kohleschichtwiderst¨ ande werden als d¨ unne Kohleschicht auf einem Keramikträger realisiert; sie sind preiswert, besitzen eine hohe Betriebszuverlässigkeit und werden insbesondere bei kleinen Belastungen (≤ 0.5 W) eingesetzt. Nachteil der gewendelten Kohleschichtwiderstände sind die vergleichsweise ung¨ unstigen HF-Eigenschaften. Neben den reinen Kohleschichtwiderständen kommen deshalb auch Kohlegemischschichtwiderst¨ ande zum Einsatz. Bei diesen werden unterschiedliche Widerstandswerte durch Variation der Schichtzusammensetzung und die damit verbundene Leitfähigkeitsreduktion realisiert. Derartige Widerst¨ ande sind induktionsarm und besitzen g¨ unstige HFEigenschaften. Wegen der meist unbefriedigenden Langzeitstabilität dieser Widerstände werden sie dennoch selten eingesetzt. Herstellung von Kohleschichtwiderst¨ anden. Die Keramikstäbchen, auf denen die Widerstandsschicht abgeschieden wird (Substrat), werden auf ca. 1000◦ C erhitzt. Wird nun eine kohlenstoffhaltige organische Verbindung (Cx Hy ) u ¨ber das erhitzte Substrat geleitet, so zersetzt sich diese: Der Wasserstoff wird abgegeben, und auf dem Keramikk¨ orper bildet sich eine polykristalline Kohleschicht (spez. Widerstand ≈ 3 mΩ cm). Letztere ist sehr hart und haftet außerordentlich fest auf keramischen Oberfl¨ achen. Dicken der Kohleschicht liegen i. allg. zwischen 10 nm und 40 µm. Kleinere Schichtdicken f¨ uhren zu Toleranzproblemen. Der Flächenwiderstand ist deshalb auf ca. 5 kΩ begrenzt; h¨ ohere Widerstandswerte erfordern eine Wendelung der Widerstandsschicht. Die Enden der Widerstandsschicht werden mit den Anschlußdrähten verbunden. Dies erfolgt entweder u ¨ber Metallkappen die auf die Widerstandsschicht gepresst werden und an die die Anschlußdr¨ ahte angeschweißt sind oder durch direkte Kontaktierung, was zu geringeren Schwankungen des Kontaktwiderstands und geringerem Stromrauschen am Kontakt f¨ uhrt. Zum Schutz gegen Umwelteinfl¨ usse wird der Widerstand dann mit mehreren verschiedenen Lackschichten u ¨berzogen. mit Schleifscheibe zu sch¨ arferen R¨ andern der Widerstandswendel und liefert in der Regel Widerst¨ ande mit geringerem Stromrauschen; dieses Verfahren wird deshalb vorzugsweise verwandt [13].


283

R 0

1 0

1 0 0

1 k

1 0 k

1 0 0 k

1 M

W

-2

a

-4 R

1 0

-4

-6 /K -8

Abb. 7.10. Temperaturkoeffizient von Kohleschichtwiderst¨ anden als Funktion des Widerstandswerts

Der Temperaturkoeffizient (TK) von Kohleschichtwiderständen ist negativ und liegt im Bereich von −10−4 K−1 bis −10−3 K−1 . Der genaue Wert ist eine Funktion der Schichtdicke. Dies ist bedingt durch den Einfluß der Korngröße und der Oberfl¨ achenstreuung – letztere stellt einen Streumechanismus f¨ ur die stromf¨ uhrenden Ladungstr¨ ager dar und erhöht deshalb den Widerstand. Die Bedeutung der Oberfl¨ achenstreuung nimmt mit abnehmender Schichtdicke zu. Da hochohmige Kohleschichtwiderst¨ ande meist mit sehr d¨ unnen Schichten realisiert werden, weisen diese andere TKs als niederohmige Kohleschichtwiderstände auf (Abb. 7.10).

Metallschichtwiderst¨ ande Metallschichtwiderst¨ ande werden verwendet, wenn kleine Anliefertoleranzen und eine geringe Widerstandsdrift (Alterung) gefordert sind. Sie besitzen eine h¨ ohere zeitliche Stabilit¨ at, einen geringeren Temperaturkoeffizient und einen geringeren Rauschindex als Kohleschichtwiderstände. Als Widerstandsschicht kommt i. allg. eine Nickel-Chrom-Legierung zum Einsatz, die im Vakuum auf einen Keramiktr¨ ager aufgedampft oder aufgesputtert wird. Die Schichtdicken liegen dabei im Bereich von 10 − 100 nm, so daß die erreichbaren Flächenwiderstände auf RF < 3 kΩ begrenzt sind. Der TK des Widerstands wird durch das Verhältnis Ni zu Cr bestimmt. Metallschichtwiderstände weisen eine hohe Langzeitstabilit¨ at auf und sind mit kleinen Toleranzen (±0.005%) und Temperaturkoeffizienten (±2 ppm/K) verf¨ ugbar. Sie werden deshalb immer dann eingesetzt, wenn erh¨ ohte Anforderungen an die Genauigkeit gestellt werden.

Metalloxidschichtwiderst¨ ande Ein höherer Wert des Fl¨ achenwiderstands als bei Metallschichtwiderständen läßt sich durch eine Widerstandsschicht aus Metalloxid (i. allg. SnO2 ) erzielen. Die spezifischen Widerstandswerte dieser Widerstandsschichten liegen bei 1 mΩcm und sind damit ann¨ ahernd eine Größenordnung höher als bei Me-

284

7. Widerstände

tallschichtwiderst¨ anden. Die Schichtdicken liegen typischerweise bei 1 µm; die Widerstandsschicht ist auch bei erh¨ ohten Temperaturen bis zu 300◦ C stabil. Metalloxidwiderst¨ ande verf¨ ugen bei kleiner Bauform deshalb u ¨ber große Werte der Nennbelastbarkeit und bieten eine hohe Pulsfestigkeit. Andererseits sind sie, wegen der Langzeitdrift des Widerstandswerts im Prozentbereich und dem TK von 200 − 400 ppm/K, nicht f¨ ur Präzisionsanwendungen geeignet.

Metallglasurschichtwiderst¨ ande Bei Metallglasurschichtwiderst¨ anden16 besteht die Widerstandsschicht aus einer Glasur mit Metall und Metallverbindungen. Diese wird bei hoher Temperatur (ca. 1300 K) in den Keramikk¨ orper eingebrannt, mit dem sie sich untrennbar verbindet. Die Keramikst¨ abe werden nach dem Einbrennen in Einzelelemente zers¨ agt, deren Stirnfl¨ achen kontaktiert werden. Der Widerstandswert wird dann durch Wendelung der Schicht auf den geforderten Wert getrimmt. Die Dicke der stromf¨ uhrenden Schicht ist hier mit 20−30 µm vergleichsweise hoch, weswegen Metallglasurschichtwiderstände eine hohe Zuverlässigkeit auch bei Pulsbetrieb aufweisen. Wegen ihrer mäßigen Langzeitstabilität sind Metallglasurschichtwiderst¨ ande nicht f¨ ur Präzisionsanwendungen geeignet.

7.2.5 Potentiometer Mit dem Potentiometer lassen sich Spannungsteiler mit variablem Teilerverhältnis und regelbare Vorwiderst¨ ande realisieren. Zu unterscheiden ist zwischen drahtgewickelten Potentiometern und Schichtpotentiometern (Flachbahnpotentiometer). Drahtgewickelte Potentiometer weisen eine Widerstandswicklung auf einem isolierenden K¨ orper (meist Keramik) auf. Ein Schleifer ermöglicht einen Abgriff an unterschiedlichen Stellen der Wicklung und ändert dadurch den Widerstandswert zwischen Endkontakt und Schleifer. Bei Schichtpotentiometern wird eine Widerstandsschicht – z. B. Lack-Rußmischung oder Metallglasur (CERMET) – auf einem isolierenden Tr¨ ager aufgebracht und ggf. eingebrannt. Schichtpotentiometer sind mit linearer und logarithmischer Abhängigkeit des Widerstandswerts von der Schleiferstellung verf¨ ugbar. Potentiometer und Trimmwiderst¨ ande sind wegen des nur angepreßten Abgreifkontakts nicht so zuverlässig wie Festwiderst¨ ande. Der Grad der Kurventreue – ausgedr¨ uckt in Prozent – ist nach DIN 45922 die maximale Abweichung zwischen dem wirklichen und dem theoretischen Widerstandsverlauf, wenn diese in % des wirksamen Widerstandswerts angegeben werden (Abb. 7.11). F¨ ur sehr genau einzustellende Widerstandswerte 16

Wegen der (MET)all-(CER)amischen Widerstandsschicht gelegentlich auch als CERMET-Widerst¨ ande bezeichnet.


285

ta ts ä c h lic h e r V e r la u f R

th e o r e tis c h ( S o ll)

A b w e ic h u n g E in s te llu n g x

Abb. 7.11. Kurventreue eines Potentiometers

sind Wendeldrehpotentiometer erh¨ altlich, bei denen mehrere Umdrehungen zum Durchlaufen des Widerstandsbereichs erforderlich sind. Bei höheren Frequenzen sind von der Schleiferstellung abhängige Koppelkapazitäten bedeutsam. Der Schleifer unterteilt den Nennwiderstand RN des Potentiometers in zwei Teilwiderst¨ ande. Bei der Anwendung des Potentiometers ist zu beachten, daß der aus der Nennbelastbarkeit PN bestimmte maximale Strom

Imax =

PN /RN

in keinem der beiden Teilwiderst¨ ande u ¨berschritten wird.

7.2.6 Modellierung ohmscher Widerst¨ ande in SPICE Ohmsche Widerst¨ ande werden beschrieben durch Elementanweisungen der Form Rname

K1

K2

Wert

TC = αR , βR

Der Name des Widerstands (dieser muß mit R beginnen: z. B. R17 oder Rbasis), die Namen K 1, K 2 der Knoten zwischen denen sich der Widerstand befindet, sowie der Widerstandswert (in Ω) sind dabei stets anzugeben. Die in Klammern stehenden Angaben zum Temperaturkoeffizienten sind optional; werden hier keine Angaben gemacht, so nimmt SPICE an, daß der Widerstandswert temperaturunabh¨ angig ist. Beispiel 7.2.2 Als Beispiel werden die folgenden Elementanweisungen betrachtet: (1) (2)

R17 RLX

2 3

3 0

120 15 OHM

TC = 1M, -25U

Im ersten Beispiel wird ein temperaturunabhängiger Widerstand R17 mit Wert 120 Ω zwischen den Knoten 2 und 3 definiert. Im zweiten Beispiel wird ein temperaturabh¨ angiger Widerstand RLX mit Wert 15 Ω zwischen den Knoten 3 und 0 definiert. Der lineare TK betr¨ agt 10−3 /K, der quadratische TK beträgt −2.5 · 10−5 /K2 . ∆

286

7. Widerstände

Frequenzabhängige Abweichungen vom ohmschen Verhalten lassen sich durch eine Ersatzschaltung mit kapazitiven und induktiven Elementen – bzw. (in PSPICE) mit einer spannungsgesteuerten Stromquelle mit definiertem Frequenzgang (vgl. Kap. 4) – beschreiben. Da die Datenblätter diesbez¨ uglich meist wenig Informationen enthalten, sind f¨ ur eine korrekte Modellierung entweder entsprechende Daten vom Hersteller zu erfragen, oder eigene Messungen durchzuf¨ uhren. Das thermische Widerstandsrauschen wird automatisch im Rahmen einer .NOISE-Analyse ber¨ ucksichtigt. Sollen rauschfreie Widerstände simuliert wer¨ den, so können diese als lineare spannungsgesteuerte Stromquellen mit Ubertragungsleitwert G = 1/R verwirklicht werden. Um das Stromrauschen zu erfassen, ist parallel zum Widerstand eine Rauschstromquelle mit entsprechender Spektralfunktion zu schalten. In PSPICE können Widerst¨ ande durch eine separate Modellanweisung charakterisiert werden. Zu diesem Zweck wird die Elementanweisung R(name)

K1

K2

RMOD

Wert

in Verbindung mit einer separaten Modellanweisung .MODEL

RMOD

RES(Modellparameter)

eingesetzt. Die f¨ ur das Widerstandsmodell verf¨ ugbaren Modellparameter sind in der folgenden Tabelle 7.7 aufgef¨ uhrt. Tabelle 7.7 Modellparameter des PSPICE-Widerstandsmodells Parameter

Bedeutung

R TC1 TC2 TCE T MEASURED T ABS T REL GLOBAL T REL LOCAL

Multiplikator f¨ ur Widerstandswert linearer Temperaturkoeffizient quadratischer Temperaturkoeffizient exponentieller Temperaturkoeffizient Bezugstemperatur Simulationstemperatur des Widerstands Simulationstemperatur relativ zu TNOM Simulationstemperatur relativ zu AKO

Einheit

Ersatzwert

− 1/K 1/K2 %/K ◦ C ◦ C ◦ C ◦ C

1 0 0 0

Neben linearem und quadratischem TK steht hier der Parameter TCE zur Verf¨ ugung; wird dieser angegeben, so wird der Widerstandswert bei der Temperatur ϑ gem¨ aß R(ϑ) = R(ϑ0 ) · 1.01 TCE (ϑ−ϑ0 ) berechnet. Dabei stellt ϑ0 die mittels TNOM in der .OPTIONS-Anweisung bzw. T MEASURED in der .MODEL-Anweisung spezifizierte Bezugstemperatur dar.

7.3. Heißleiter

287

7.3 Heißleiter Heißleiter zeigen eine deutliche Abnahme des Widerstandswerts mit der Temperatur: Der TK eines Heißleiters betr¨ agt bei Raumtemperatur größenordnungsmäßig −5%/K. Derartige Bauteile besitzen zahlreiche Anwendungen: Kompensationsheißleiter werden etwa zur Temperaturstabilisierung von Transistorschaltungen sowie zur Kompensation der Temperaturabhängigkeit von Widerständen eingesetzt, Anlaßheißleiter werden zur Einschaltstrombegrenzung und zur Relaisverz¨ ogerung eingesetzt, Meßheißleiter dienen zur Temperaturmessung.

- J

N T C

Abb. 7.12. Heißleiter: Schaltsymbole

Die Temperaturabh¨ angigkeit des Widerstandswerts von Heißleitern ist in guter Näherung exponentiell R(T ) = R∞ e B/T ,

(7.17)

und wird u ¨blicherweise durch den Kaltwiderstand R25 = R(ϑ = 25◦ C) und den Parameter B (B-Wert) spezifiziert. Dieser besitzt die Einheit K und weist gewöhnlich Werte im Bereich 1500 K < B < 6000 K auf. Zwischen dem Proportionalit¨ atsfaktor R∞ , gegen den der Heißleiterwiderstand im (praktisch nicht erreichbaren) Grenzfall unendlich großer Temperatur streben w¨ urde, und R25 besteht die Beziehung

R∞ = R25

B exp − 298.15 K

.

(7.18)

Der Kaltwiderstand R25 nimmt im Laufe der Zeit langsam ab; f¨ ur die Widerstandsabnahme gilt dabei n¨ aherungsweise ein logarithmisches Zeitgesetz. Sie ist in den ersten Betriebsstunden besonders ausgeprägt. Bei PräzisionsNTC-Widerständen f¨ ur Meßzwecke wird deshalb eine Voralterung (burn-in) vorgenommen. Durch Ableiten von Gl. (7.17) ergibt sich der Temperaturkoeffizient αR des Heißleiters αR =

B 1 dR =− 2 . R dT T

(7.19)

288

7. Widerstände

Das Vorzeichen von αR ist negativ,17 der Betrag des TK nimmt mit zunehmender Temperatur ab. Mit einem typischen B-Wert von 3600 K resultiert bei Raumtemperatur (300 K) αR = −(3600 K/(300 K)2 = −4 %/K. Abweichungen der R(T )-Kennlinie von Gl. (7.17) werden gelegentlich durch einen temperaturabh¨ angigen B-Wert erfaßt. Alternativ hierzu wird – insbesondere bei Heißleiter-Temperatursensoren – die Steinhart-Hart-Gleichung 1 = a + b ln(R) + c ln3 (R) T

(7.20)

zur verbesserten Beschreibung des Temperaturverhaltens eingesetzt. Dabei ahrend c einen zusätzlichen Parameter gilt a = − ln(R∞ )/B und b = 1/B, w¨ bezeichnet, der an gemessene R(T )-Kennlinien angepaßt wird. Auf diesem Weg lassen sich Heißleiter f¨ ur Temperaturmessungen mit Unsicherheiten von unter 10 mK einsetzen.

Herstellung und Leitungsmechanismus Ausgangsmaterial f¨ ur die Herstellung von Heißleitern sind Metalloxide (wie Fe2 O3 , Zn2 TiO4 , MgCr2 O4 ); diese werden in Pulverform mit einem Bindemittel vermischt, in die gew¨ unschte Form gepreßt und gesintert. Derartige Materialien zeigen halbleitende Eigenschaften, da durch die Ionisation eingebauter Fremdatome im Festk¨ orper bewegliche Elektronen auftreten. Im relevanten Temperaturbereich sind die meisten Fremdatome ionisiert (Störstellenerschöpfung), d. h. die Temperaturabh¨ angigkeit des Leitwerts ist nicht auf ei¨ ¨ ne Anderung der Ladungstr¨ agerkonzentration, sondern auf eine Anderung der Ladungstr¨ agerbeweglichkeit zur¨ uckzuf¨ uhren. Die Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit ist in den f¨ ur Heißleiter verwendeten Materialien besonders stark ausgepr¨ agt, da sich die Elektronen nur durch h¨ upfen“ zwischen ” 18 lokalisierten Zust¨ anden fortbewegen k¨ onnen , wobei ∆W ≈ kB B die beim ¨ Ubergang von einem lokalisierten Zustand zum anderen aufzubringende Aktivierungsenergie bezeichnet.

Die V(I)-Kennlinie F¨ ur kleine Werte der Verlustleistung braucht die Eigenerwärmung des Heißleiters nicht ber¨ ucksichtigt zu werden. Dieser verhält sich dann in sehr guter Näherung ohmsch: Der Spannungsabfall V am Heißleiter nimmt proportional 17

Aus diesem Grunde werden Heißleiter auch als NTC-Widerst¨ ande (von negative temperature coefficient) bezeichnet. 18 Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Hopping-Leitf¨ ahigkeit. Die Ursache der Lokalisierung“ ist eine Polarisation des Gitters aufgrund der elektrostatischen ” Wechselwirkung mit den Gitterionen. Die f¨ ur ein H¨ upfen“ von einem lokalisierten Zu” stand zum n¨ achsten erforderliche (Aktivierungs-)Energie wird durch die W¨ armebewegung zugef¨ uhrt. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen solchen Vorgang ist damit proportional zu exp[−∆W/(kB T )].

7.3. Heißleiter

289

zum Stromfluß zu. Dieser Arbeitsbereich vernachlässigbarer Eigenerwärmung des Heißleiters wird f¨ ur Temperatursensoren verwendet.

1

10

10 0

M 1

1 0

kW

W

kW

kW

Nimmt die umgesetzte Leistung zu, so nimmt der Widerstand des Heißleiters aufgrund der Eigenerw¨ armung ab: Die V (I)-Kennlinie flacht f¨ ur größere Ströme ab und erreicht beim Strom IM das Spannungsmaximum VM . Dort ist die relative Widerstandsabnahme ∆R/R aufgrund der Erwärmung gleich der relativen Stromzunahme ∆I/I. F¨ ur Str¨ ome I > IM nimmt V wieder ab – in diesem Bereich ist die relative Abnahme des Heißleiterwiderstands größer als die relative Stromzunahme.

2

V

10 0

W

W a s s e r V

1 0 1

1

R

P

W

V

L u ft

0

1 0

-1

0 10

1 0

10

W

I

m W

10

1

0 10

10

m

m

1 0

-1

W

1 0

0

W

-2

m W

m W

1 0

1 0 1

A

1 0 2

I Abb. 7.13. Statische V (I)-Kennlinie eines Heißleiters (nach [14])

Abbildung 7.13 zeigt die statische V (I)-Kennlinie (thermisch eingeschwungener Zustand) eines Heißleiters mit einem Kaltwiderstand von 10 kΩ – die Auftragung ist wie allgemein u ¨blich doppeltlogarithmisch. Die Kurven konstanten Widerstands ergeben sich in dieser Darstellung als Geraden der Steigung +1, die Kurven konstanter Leistung als Geraden der Steigung −1. Durch Drehen der Abbildung um 45◦ ergibt sich aus der Kennlinie so eine R(P )-Darstellung, die zeigt, wie der Widerstand des Heißleiters aufgrund der zunehmenden Bauteiltemperatur (Eigenerw¨ armung) abnimmt. Der Verlauf der Kurve hängt in diesem Bereich vom thermischen Widerstand zur Umgebung ab. Dies zeigt auch Abb. 7.13: Durch die bessere W¨ armeabfuhr in Wasser tritt das Maximum der V (I)-Kurve in dieser Umgebung erst bei größeren Stromwerten auf.

290

7. Widerstände

Die Temperatur im Spannungsmaximum TM ist (s.u.)

TM

B = 1 − 1 − 4TA /B 2

≈ TA + TA2 /B .

(7.21)

ur Werte der Umgebungstemperatur TA < B/4 Der Ausdruck f¨ ur TM ist nur f¨ reell, d. h. nur unter dieser Bedingung weist die V (I)-Kennlinie des Heißleiters ein Spannungsmaximum auf. Die in Gl. (7.21) angegebene Näherung resultiert durch Entwickeln des Wurzelausdrucks im Fall TA B/4. In der Praxis liegt angig von B-Wert und Umgebungstemperatur, um die Temperatur TM , abh¨ ca. (20 - 50) K u ¨ber der Umgebungstemperatur TA . Zum Spannungsmaximum. Die Steigung der I(V )-Kennlinie ist d dI = dV dV

V R

=

1 R

1−

V dR R dV

.

(7.22)

Die Spannungsabh¨ angigkeit dR/dV ist bedingt durch die arbeitspunktabhängige Temperatur des Heißleiters; es gilt 1 dR dT dT 1 dR = = αR . R dV R dT dV dV

(7.23)

Mit T = TA + Rth P und P = V 2 /R folgt weiter 2V dT dT dP V 2 dR V V dR = = Rth − 2 = Rth 2− dV dP dV R R dV R R dV In Gl. (7.23) kann nunmehr R−1 dR/dV bestimmt werden; wird das Ergebnis in Gl. (7.22) eingesetzt, so folgt 1 dI 2 αR Rth P = 1− . dV R 1 + αR Rth P Dieser Ausdruck divergiert f¨ ur αR Rth P = −BT −2 Rth P → −1. Mit P = Gth (T −TA ) ur die Temperatur TM und Rth Gth = 1 folgt hieraus eine quadratische Gleichung f¨ im Spannungsmaximum 2 TM − BTM + BTA = 0 ,

mit der L¨ osung (7.21).

Parallelschaltung. NTC-Widerst¨ ande sollen nicht parallel geschaltet werden, falls Eigenerw¨ armung nicht ausgeschlossen werden kann. Andernfalls kann das Problem entstehen, daß sich der Heißleiter mit dem geringsten Widerstandswert am schnellsten erw¨ armt (da er ja vom größten Strom durchflossen wird), sich dadurch st¨ arker erw¨ armt als die u ¨brigen und noch niederohmiger wird, bis er schließlich nahezu den gesamten Strom u ¨bernimmt und dadurch u ¨berlastet wird.

7.3. Heißleiter

291

Ansprechverz¨ ogerung, Einschaltstrombegrenzung. Die mit der Eigenerwärmung stromdurchflossener Heißleiter verbundene Widerstandabnahme wird eingesetzt zur Ansprechverz¨ ogerung von Relais und zur Begrenzung des Einschaltstroms von Verbrauchern (z. B. Elektromotoren oder Transformatoren), die im Einschaltmoment u ohte Str¨ ome aufweisen. Alle diese Anwendun¨berh¨ gen n¨ utzen die Tatsache, daß im Einschaltmoment zunächst der relativ hohe Kaltwiderstand wirksam ist, der den Strom durch Verbraucher oder Relais begrenzt. Bedingt durch die Eigenerw¨ armung nimmt der Widerstand dann ab (um den Faktor 10 bis 50), der Spannungsabfall am Verbraucher nimmt zu. F¨ ur den Zweck der Einschaltstrombegrenzung geeignete Anlaßheißleiter weisen einen Kaltwiderstand R25 im Bereich weniger Ω auf, um im Betrieb einen möglichst geringen Serienwiderstand zum Verbraucher darzustellen. Sie m¨ ussen f¨ ur den im Betrieb fließenden Dauerstrom ausgelegt sein. Dieser wird in den Datenbl¨ attern i.allg. als Nennstrom IN spezifiziert. N T C 1

R T H T

R S

T A C T H

X G _ N T C N T C 2

G _ P O W E R

E _ T E M P

R S R P G _ N + G _ P + E _ T R _ T C _ T T

V O

V E

H H

N T X C A L W E A L M P

C 1

X 5 N T C 2 1 X N T C 2 U E = { 1 0 0 0 R 0 T U E = { V ( N T T A 0 T T A 1 T T A 0

0 m T * V ( X , N T C 2 ) * e x p ( - 3 6 0 0 / V ( T ) ) } C 1 , N T C 2 ) * V ( N T C 1 , X ) * 2 0 } V A L U E = { T E M P + 2 7 3 . 1 5 } 0 0 . 1 5

Abb. 7.14. Ersatzschaltung zur Simulation eines NTC-Widerstands mit Eigenerw¨ armung

Simulation von NTC-Widerst¨ anden mit SPICE. Das Verhalten eines NTCWiderstands kann in PSPICE z.B. durch die in Abb. 7.14 gezeigte Ersatzschaltung nachgebildet werden; diese erfaßt neben dem exponentiell von der Temperatur abhängigen NTC-Widerstand einen kleinen ohmschen Serienwiderstand RS . Wird der B-Wert u ¨ber VB = B·V/K in eine Spannung umgerechnet und ist V (T) = T · V/K, so kann der Strom durch den NTC-Widerstand −1 exp [VB /V (T)] VX,NTC2 iNTC = R∞

u ¨ber eine spannungsgesteuerte Stromquelle G NTC beschrieben werden. Die Spannung V (T) wird u ¨ber eine thermische Ersatzschaltung berechnet; E TEMP liefert dabei eine Spannung die der absoluten Umgebungstemperatur TA entspricht. Zu dieser ist die durch die Stromquelle G POWER verursachte Span¨ nung am thermischen Widerstand RTH zu addieren, die der Ubertemperatur des Bauelements entspricht. Die im Bauteil umgesetzte Leistung ist P = VNTC1,NTC2 ·VNTC1,X /RS ; die die umgesetzte Leistung abbildende Stromquelle G POWER kann deshalb durch die Spannungen VNTC1,NTC2 und VNTC1,X gesteuert werden.

292

7. Widerstände

9

9

9

9,. 9

9

9,.

9

P9

7$ .

97

9 57+ .:

P9 9

56 P2KP

7$ .

9

% . 5,1) P2KP

!! P9 X$

P$

97

917&

P$

P$

$

,

$ (LQVFKDOW]HLWSXQNW

7$ .

$ 7$ . $

$ 7$ .

7$ .

57+ .: &7+ -. 56 P2KP

$

% . 5,1) P2KP $

V

V ,5/

V

V

V

V

V

V

V

V

V

7LPH

Abb. 7.15. Simulierte Spannungs-Strom-Kennlinien sowie Bauteiltemperaturen (ausgedr¨ uckt als Spannung V (T)) f¨ ur einen NTC-Widerstand (RS = 50, mΩ, Rth = 100 K/W) und simulierte Verl¨ aufe des Stroms (Einschaltvorgang, ohmsche Last RL = 10 Ω, RS = 100 mΩ, ur unterschiedliche Umgebungstemperaturen Rth = 100 K/W, Cth = 0.15 J/K) f¨

7.4. Keramische Kaltleiter (PTC-Widerstände)

293

Beispiel 7.3.1 In diesem Beispiel wird das soeben entwickelte Modell f¨ ur den NTCWiderstand zur Simulation der V (I)-Kennlinie im thermisch eingeschwungenen Zustand sowie zur Simulation des Einschwingvorgangs nach Einschaltvorgängen eingesetzt. Die zugrundegelgten Parameter sind in beiden Beispielen R∞ = 1 mΩ, B = 3600 K, RS = 50 mΩ, Rth = 100 K/W sowie Cth = 0.15 J/K. Abbildung 7.15 zeigt im oberen Teil die V (I)-Kennlinie f¨ ur zwei verschiedene Werte der Umgebungstemperatur; zus¨ atzlich gezeigt ist die zur absoluten Bauteiltemperatur proportionale Spannung V (T). Im unteren Teil ist der zeitliche Verlauf des Stroms durch einen in Serie zum NTC-Widerstand geschalteten Lastwiderstand RL = 10 Ω nach Anlegen einer Spannung von 10 V gezeigt. Das Simulationsbeispiel zeigt, daß die Verzögerung durch den NTC-Widerstand vor allem bei tiefen Temperaturen stark ausgeprägt ist. Dies wird durch die bei tiefen Temperaturen geringe Verlustleistung V 2 /RNTC und demzufolge geringe Eigenerw¨ armung erkl¨ art. ∆

7.4 Keramische Kaltleiter (PTC-Widerst¨ ande) Der Widerstand eines Kaltleiters steigt mit zunehmender Temperatur. In diesem Sinne sind die meisten Metalle Kaltleiter – mit ihnen lassen sich positive TKs bis zu 0.5%/K verwirklichen. Der Widerstand einer Metallfadengl¨ uhlampe etwa liegt im Nennbetrieb um den Faktor 5 – 10 u ¨ber dem Kaltwiderstand. Die in diesem Abschnitt behandelten keramischen Kaltleiter besitzen im Gegensatz nur u ¨ber einen kleinen – aber technisch wichtigen – Temperaturbereich einen positiven Temperaturkoeffizienten. Dieser weist jedoch sehr große Werte von der Gr¨ oßenordnung 5%/K bis zu 70%/K auf. Der Widerstandswert nimmt dabei innerhalb weniger Kelvin um mehrere Größenordnungen zu. Widerstands-Temperatur-Charakteristik. Abbildung 7.16 zeigt den Verlauf der R(ϑ)-Kennlinie eines keramischen Kaltleiters. Der Nennwiderstand RN des Kaltleiters wird u ur 25◦ C angegeben. F¨ ur Temperaturen ¨blicherweise f¨ ϑ kleiner als ϑRmin weist der Kaltleiter einen negativen TK auf. Bei ϑRmin besitzt der Kaltleiterwiderstand seinen kleinsten Wert Rmin (Minimalwideroht sich der Widerstandswert mit zunehmendem ϑ. stand). F¨ ur ϑ > ϑRmin erh¨ Der Beginn des steilen Widerstandsanstiegs wird durch die Bezugstemperatur 19 ϑ markiert, die uber R = R(ϑ ) = 2R ¨ min definiert ist. Derzeit steb b b hen Kaltleitertypen mit Bezugstemperaturen zwischen −30◦ C und 340◦ C zur Verf¨ ugung. Das Ende des steilen Widerstandsanstiegs wird durch die Tempeorige Widerstand als Re (Endwiderstand). Der ratur ϑe angegeben, der zugeh¨ Temperaturkoeffizient des Kaltleiters αR = 19

1 dR R dϑ

=

d d ln(R) ≈ 2.303 log(R) dϑ dϑ

Die Bezugstemperatur ϑb des Kaltleiters entspricht etwa der ferroelektrischen CurieTemperatur.

294

7. Widerstände

lo g R R e

P T C

R

R b

R N

+ J

m in

2 5 C J

R m in

J b

J e

J

Abb. 7.16. Schaltzeichen und R(ϑ)-Kennlinie eines Kaltleiters (schematisch)

kann im Bereich des steilen Widerstandsanstiegs als näherungsweise konstant angenommen werden; αR kann aus der semilogarithmischen R(ϑ)-Kennlinie leicht bestimmt werden αR ≈ 2.303 ·

log(R2 ) − log(R1 ) ϑ2 (R2 ) − ϑ1 (R1 )

= 2.303 ·

log (R2 /R1 ) . ϑ2 − ϑ1

Werden die Temperaturen ϑ2 und ϑ1 zu Widerstandswerten R2 und R1 abgelesen, die sich gerade um den Faktor 10 unterscheiden, so wird die Berechnung von αR besonders einfach, da dann log(R2 /R1 ) = 1 gilt.

Herstellung und Leitungsmechanismus Keramische Kaltleiter bestehen aus polykristallinen ferroelektrischen Substanzen wie Bariumtitanat (BaTiO3 ) oder Strontiumtitanat (SrTiO3 ). Diese Stoffe werden mit Metallsalzen dotiert und bei Temperaturen zwischen 1000◦ C und 1400◦ C gesintert. Die Bezugstemperatur von dotiertem Barium¨ titanat liegt bei ca. 120◦ C. Sie kann durch eine Anderung der chemischen Zusammensetzung gezielt ver¨ andert werden: Werden Bariumatome durch Strontium ersetzt, so l¨ aßt sich die Bezugstemperatur erniedrigen (bis −40◦ C), Ersetzen von Bariumatomen durch Bleiatome bewirkt eine Anhebung der Bezugstemperatur (bis 360◦ C). Der Kaltleitereffekt beruht auf dem polykristallinen Aufbau der keramischen PTC-Widerst¨ ande. An den Korngrenzen befinden sich Akzeptoren, die Leitungselektronen einfangen k¨ onnen und dort eine negative Flächenladung erzeugen (Abb. 7.17). Elektronen, die von einem Korn in das andere gelangen wollen, werden von einer solchen negativen Ladungsschicht abgestoßen. Bewegt sich ein Elektron auf eine Korngrenze zu, so muß es Arbeit gegen


295

K o r n g r e n z e m it e in g e fa n g e n e n E le k tr o n e n B a T iO 3

-K o rn

B a T iO

K ra ft a u f E le k tr o n e n

3

-K o rn

K ra ft a u f E le k tr o n e n

W

D W 2

D W 1

e r k le in e r g ro ß x

Abb. 7.17. Zur Kl¨ arung des Kaltleitereffekts

diese abstoßende Kraft verichten, d.h. seine potentielle Energie nimmt zu. Im Energie-Orts-Diagramm muß es die Potentialbarriere an der Korngrenze u ¨berwinden, um von einem Korn ins andere zu gelangen. Nur Elektronen, die gen¨ ugend Energie haben, um u ¨ber derartige Potentialbarrieren der Höhe ∆W gelangen zu k¨ onnen, tragen zum Stromfluß bei. Wird diese Energie auf thermischem Weg zugef¨ uhrt, so folgt f¨ ur die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit einer solchen Substanz

σ ∼ exp −

∆W kB T

.

Die Barrierenh¨ ohe ∆W ist aber – wie eine Lösung der Poisson-Gleichung zeigt [15] – von der Dielektrizit¨ atszahl abhängig. In ferroelektrischen Materialen weist diese eine ausgepr¨ agte Temperaturabhängigkeit auf. Mit der ur Temperaturen Curie-Temperatur TC des ferroelektrischen Materials gilt f¨ T > TC die Proportionalit¨ at ∆W ∼ 1/r ∼ T − TC , da r dem Curie-Weiss-Gesetz [16] gen¨ ugt. Die Zunahme der Barrierenhöhe ∆W mit der Temperatur erkl¨ art die Abnahme der Leitfähigkeit (Kaltleitereffekt). Der Wert von ∆W nimmt aber nicht beliebig zu, da mit zunehmender Barrierenhöhe die Oberfl¨ achenladungsdichte abnimmt – deshalb ist das Kaltleiterverhalten auf einen vergleichsweise schmalen Temperaturbereich oberhalb der Curie-Temperatur beschr¨ ankt.

296

7. Widerstände

I IK P a n n ä h e rn d k o n s ta n t

IR V K

6

1 0 5

1 0 4

1 0 3

1 0 2

1 0 1

1 0 0

D C

1 k H z

R

V

1 0 W

m a x

(a )

V

1 0 k H z 1 0 0 k H z

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

J / C (b )

Abb. 7.18. (a) I(V )-Kennlinie eines Kaltleiters unter Ber¨ ucksichtigung der Eigenerw¨ armung und (b) R(ϑ)-Kennlinie f¨ ur verschiedene Werte der Frequenz (nach [17])

Die I(V)-Kennlinie eines Kaltleiters Abbildung 7.18a zeigt die I(V )-Kennlinie eines Kaltleiters unter Ber¨ ucksichtigung der Eigenerw¨ armung. Zun¨ achst steigt der Strom mit der angelegten Spannung. In diesem Bereich ist die Eigenerwärmung noch vernachlässigbar – der Kaltleiter verh¨ alt sich n¨ aherungsweise wie ein ohmscher Widerstand. Mit zunehmender Spannung V wird die Eigenerwärmung bedeutend – der Widerstandswert nimmt zu und damit die Steigung der I(V )-Kennlinie ab, bis bei der Kippspannung VK der Kippstrom IK erreicht ist. Bei weiterer Erhöhung der angelegten Spannung nimmt der Widerstandswert schneller zu als die angelegte Spannung – der durch das Element fließende Strom nimmt aus diesem Grund ab. Die Temperatur ϑK des Kaltleiters im Kippunkt ist näherungsweise [9] ϑK ≈ 0.8 · ϑb + 0.2 · ϑRmin ,

(7.24)

und liegt damit etwas unterhalb der Bezugstemperatur. Bezeichnet RK = VK /IK den Widerstand des Kaltleiters im Kippunkt, so gilt 2 = ϑK −ϑA . Rth VK IK = Rth RK IK

(7.25) √

ahernd proportional zu ϑK −ϑA mit Der Wert von IK wird sich demnach ann¨ der Umgebungstemperatur ver¨ andern. Sein Wert ist um so größer, je geringer ϑA ist. Als Folge des sehr starken Widerstandsanstiegs f¨ ur ϑ > ϑb , nimmt die Temperatur des Kaltleiters in der Folge nur noch wenig zu, d. h. im Kaltleiter umgesetzte Verlustleistung steigt nur noch wenig an. Der weitere Verlauf der I(V )-Kennlinie entspricht deshalb n¨ aherungsweise dem einer Hyperbel.


297

I

R (J )

S tro m d u rc h d e n K a ltle ite r V e r lu s tle is tu n g

P J = J b

I =

P = c o n s t.

R

V b

P = P

J = J R

A

+ P R

I =

th

P = b

J

J A

(a )

b

J V

V

P

b

b

V

R

2 b

V K

(b )

Abb. 7.19. Verhalten eines idealisierten Kaltleiters. (a) R(ϑ)-Kennlinie und (b) Verlauf (schematisch) von I und P als Funktion der angelegten Spannung V

Vereinfachte Betrachtung. Zur Erläuterung der Zusammenhänge kann ein idealisierter Kaltleiter betrachtet werden; dieser soll bis zur Bezugstemperatur ϑb ohmsches Verhalten mit dem Bezugswiderstand Rb aufweisen und anschließend einen unendlich starken Temperaturanstieg zeigen (Abb. 7.19 a). Der Kaltleiter verhält sich so lange wie ein ohmscher Widerstand (Abb. 7.19 b) bis aufgrund der Eigenerwärmung ¨ die Ubertemperatur ϑb − ϑA erreicht ist. Die hierzu erforderliche Verlustleistung ist Pb = Gth (ϑb −ϑA ) , wobei Gth den W¨ armeleitwert des Kaltleiters zur Umgebung bezeichnet. F¨ ur die Kippspannung und den Kippstrom des idealisierten Kalteiters folgt damit

VK = Rb Pb und IK = Pb /Rb . F¨ ur V > VK wird der senkrechte Ast der R(ϑ)-Kennlinie durchlaufen. Da die Temperatur nicht mehr zunehmen kann, muß die Verlustleistung im Kaltleiter konstant sein, wegen I = P/V f¨ allt der Strom hyperbolisch mit V ab.

Der Strom nimmt ab bis auf den Reststrom IR bei der maximal zulässigen Spannung Vmax (Abb. 7.18 a); IR zeigt eine zum Kippstrom √vergleichbare Abhängigkeit von der Umgebungstemperatur proportional zu ϑK − ϑA . Bei höheren Spannungen tritt der Durchbruch des Kaltleiters auf. Der Widerstandswert von Kaltleitern ist nicht nur von der Temperatur abhängig. Zum einen zeigt sich eine Abhängigkeit des Widerstandswerts von der angelegten Spannung (Varistoreffekt), zum anderen erweist er sich wegen der kapazitiven Kopplung u angig. Abbil¨ber die Korngrenzen als frequenzabh¨ dung 7.18 b zeigt die R(ϑ)-Kennlinie eines Kaltleiters f¨ ur verschiedene Werte der Meßfrequenz. Wegen dieser Frequenzabhängigkeit des Widerstandswerts werden Kaltleiter gew¨ ohnlich nicht im AC-Betrieb eingesetzt.

298

7. Widerstände

Anwendung: Entmagnetisierung Zur Entmagnetisierung der Ablenkspulen in Bildröhren wird ein abklingender Wechselstrom durch die Spulen geschickt. Dies kann durch einen in Reihe zur Ablenkspule geschalteten Kaltleiter erreicht werden: Direkt nach dem Einschalten ist der Kaltleiter niederohmig – eine angelegte Wechselspannung f¨ uhrt zu einem Wechselstrom durch die Ablenkspulen. Die als Folge davon im PTC-Widerstand umgesetzte Leistung f¨ uhrt zu dessen Erwärmung und damit zur Zunahme des in Reihe wirkenden Widerstandswerts: Der Wechselstrom klingt ab bis auf einen kleinen Restwert.

Anwendung: Temperaturf¨ uhler, Niveauf¨ uhler Aufgrund ihres extremen TK in der N¨ ahe der Bezugstemperatur eignen sich Kaltleiter hervorragend als Sensoren zur Temperatur¨ uberwachung. Zu diesem Zweck werden Kaltleiter mit geringem Volumen – f¨ ur eine geringe thermische Zeitkonstante und damit hohe Ansprechgeschwindigkeit – und Bezugstemperaturen entsprechend der zu u ¨berwachenden Temperatur eingesetzt. Die Ausgangsspannung eines Spannungsteilers aus Kaltleiter und Widerstand ¨ (Abb. 7.20) zeigt dann in der N¨ ahe der Bezugstemperatur eine starke Anderung, die zum Ausl¨ osen eines Schaltvorgangs verwendet werden kann. Die Widerstandswerte werden hier so gew¨ ahlt, daß Eigenerwärmung vernachlässigbar ist. Mit RV ≈ 10Rb l¨ aßt sich eine Spannungsänderung von V < 0.1 V0 auf V2 ≈ V0 erreichen.

R V

V

0

P T C

V Abb. 7.20. Spannungsteiler mit Kaltleiter

¨ Der Einsatz von Kaltleitern als Niveauf¨ uhler nutzt die Anderung des thermischen Leitwerts zur Umgebung aus, die auftritt, wenn der Kaltleiter in eine Fl¨ ussigkeit eingetaucht wird. Der durch den Kaltleiter und RV fließende Strom muß so groß sein, daß der Kaltleiter in Luft hochohmig, nach Eintauchen in die Fl¨ ussigkeit niederohmig ist. Die hieraus resultierenden Einschränkungen f¨ ur RV sind in Abb. 7.21 dargestellt. Die vier I(V )Charakteristiken entsprechen dem Betrieb in Luft bei der minimal bzw. der (min) (max) maximal zulässigen Lufttemperatur (ϑA,L bzw. ϑA,L ) und in der Fl¨ ussigkeit bei der minimal bzw. der maximal zulässigen Fl¨ ussigkeitstemperatur (min) (max) (ϑA,F bzw. ϑA,F ).


299

Der Wert von RV ist so zu w¨ ahlen, daß auch im ung¨ unstigsten Fall zuverlässig ein niederohmiger Zustand bei Betrieb in der Fl¨ ussigkeit und ein hochohmiger Zustand bei Betrieb in Luft resultiert, d. h. es muß gelten RVmin < RV < RVmax ; die Kennlinie von RV muß in dem markierten Bereich verlaufen. Die in Abb. 7.21 eingef¨ ugte Schaltung verwendet eine Br¨ ucke I V

/R +

V m in

V R

IK

V

V

/R

+

+

/R

+

V

V +

R V

1

R +

1

V o p t

P T C

( m in )

J

A ,F

J

A ,F

R

+

F

2

V m a x

IK 2

J V

K 2

V

K 1

I( V ) - K e n n lin ie in F lü s s ig k e it

(m a x )

( m in )

J

A ,L

V +

(m a x )

A ,L

I( V ) - K e n n lin ie in L u ft V

Abb. 7.21. Zur Auswahl des Vorwiderstands in PTC-Niveauf¨ uhlern

in Verbindung mit einem Spannungskomparator. F¨ ur manche Anwendungen gen¨ ugt es den Kaltleiter direkt in Serie zu einem Relais zu schalten, dessen Ansprechstrom bei niederohmigem Kaltleiter u ¨ber- und bei hochohmigem Kaltleiter unterschritten wird.

Anwendung: PTC-Heizelemente Kaltleiter erm¨ oglichen dank ihres großen positiven TK die Realisierung von ¨ Wärmequellen mit Uberlastungsschutz [18]. PTC-Heizelemente werden ohne Vorwiderstand direkt an die Versorgungsspannung angeschlossen. Abhängig 20 ¨ von der angelegten Spannung und vom thermischen Ubergangswiderstand zwischen Heizelement und zu heizendem Medium stellt sich ein stabiler Temperaturwert ein, bei dem die im Kaltleiter umgesetzte Leistung und die an das 20

Das PTC-Heizelement muß vom zu erw¨ armenden Medium elektrisch isoliert werden, was beispielsweise durch Polyimidfolien bewerkstelligt werden kann. Diese bedingen einen endlichen thermischen Leitwert zwischen Heizelement und W¨ armesenke.

300

7. Widerstände

zu beheizende Medium abgegebenen W¨ armeleistung im Gleichgewicht sind. Somit gilt V2 = Gth (ϑ − ϑA ) R(ϑ) bzw. G(ϑ) =

Gth 1 = (ϑ − ϑA ) . R(ϑ) V2

Ist der Leitwert des Kaltleiters als Funktion der Temperatur bekannt, so kann die Arbeitstemperatur f¨ ur eine gegebene Betriebsspannung V und Umgebungstemperatur ϑA graphisch bestimmt werden. Hierzu wird der Schnittpunkt der G(ϑ)-Kennlinie des Heißleiters mit einer Geraden der Steigung Gth /V 2 bestimmt, welche durch den Punkt (ϑA , 0) verläuft. G (J ) (a )

(b )

1 /R (J )

V

P T C

(c )

J A

J J 'A J

(a )

J

(b )

J

(c )

Abb. 7.22. Bestimmung der Arbeitstemperatur eines PTC-Heizelements

Abbildung 7.4 zeigt dies f¨ ur die drei Geraden (a)-(c). Aus ϑA , V und Gth folgt eindeutig die Gerade (a) und als Schnittpunkt mit der G(ϑ)-Kurve die Temoht sich ϑA bei ansonsten gleichbleibenden Bedingungen auf peratur ϑ(a) . Erh¨ den Wert ϑA , so ist die Gerade parallel zu verschieben (b) . Die Temperatur des Kaltleiters nimmt dabei wegen der, in der Nähe der Bezugstemperatur sehr ausgeprägten, Temperaturabh¨ angigkeit von G(ϑ) nur wenig zu bis auf den Wert ϑ(b) . Dasselbe gilt f¨ ur eine Abnahme der Wärmeleitfähigkeit zur Umgebung.21 Bei gleicher Umgebungstemperatur ϑA resultiert nun eine sehr viel flachere Gerade (c), deren Schnittpunkt mit der G(ϑ)-Kennlinie wiederum nur eine geringf¨ ugig erh¨ ohte Temperatur ϑ(c) ergibt. 21 Ein praktischer Anwendungsfall hierf¨ ur ist der Expreßkocher“ , in dem der gesamte ” Wasserinhalt verdunstet ist.

7.5. PPTC-Widerstände (Poly Switch)

301

PTC-Heizelemente besitzen demnach thermostatische Eigenschaften: Wird aufgrund einer abnehmenden Temperaturdifferenz zum zu beheizenden Medium weniger W¨ arme abgef¨ uhrt, so erh¨ oht sich die Temperatur und damit der Widerstandswert des Kaltleiters. Dies f¨ uhrt automatisch zu einer Verringerung der umgesetzten Leistung V 2 /R und damit der Wärmezufuhr. Wird dem PTC-Heizelement auf der anderen Seite viel Wärme entzogen, so nimmt ϑ und damit R(ϑ) ab, mit der Folge einer Zunahme der vom Heizelement abgegebenen Wärmeleistung. Dies erkl¨ art die hohe Betriebssicherheit von PTCHeizelementen, die ihre Anwendungen beispielsweise in explosions- und feuergefährderter Umgebung, in Kraftfahrzeugen in unmittelbarem Kontakt zu Kraftstoffzuf¨ uhrungen etc. finden.

7.5 PPTC-Widerst¨ ande (Poly Switch) Polymer-PTCs bestehen aus einem teilkristallinen mit leitenden Kohlenstoffteilchen angereicherten Kunststoff (¨ ublicherweise vernetztes Polyethylen). Der Widerstand solcher rußgef¨ ullter Polymere hängt sehr stark von der Konzentration der Rußteilchen ab und f¨ allt bei einer typischen Konzentration um viele Größenordnungen [19]. Wird diese Konzentration erreicht, so bilden die zwischen den teilkristallinen Bereichen des Kunststoffs eingelagerten Kohlenstoffteilchen ein leitendes Netzwerk [20] (Perkolationsnetzwerk). Bei ca. 120◦ wandelt sich das kristalline Gef¨ uge in eine amorphe Struktur, was mit einer deutlichen Volumenzunahme verbunden ist. Da sich die leitenden Teilchen nicht im selben Maß ausdehnen, wird das Perkolationsnetzwerk aufgetrennt und das Material hochohmig. PPTCs verhalten sich demnach wie keramische Kaltleiter wobei die Bezugstemperatur durch die Temperatur bestimmt wird, ¨ bei der der Ubergang vom kristallinen zum amorphen Zustand erfolgt. le ite n d e R u ß te ilc h e n

P o ly m e r

Abb. 7.23. Perkolationsnetzwerk aus leitenden Rußteilchen in einem teilkristallinen Polymer

Polymer-PTCs weisen im jungfr¨ aulichen Zustand sehr geringe Serienwiderstände auf, kehren nach Abk¨ uhlen aus dem hochohmigen Zustand aber nicht

302

7. Widerstände

mehr ganz auf den urspr¨ unglichen Wert zur¨ uck. Aus diesem Grund wird vom Hersteller häufig vor Auslieferung ein Widerstandssprung durch elektrische Belastung erzwungen. Sp¨ atere Schaltvorgänge wirken sich dann in der Regel nur noch vergleichsweise gering auf den Kaltwiderstand des PPTCs aus. Vergleicht man PPTCs mit keramischen Kaltleitern, so zeichnen sich PPTCWiderstände durch schnelle Schaltzeiten und geringes Bauteilvolumen aus; keramische Kaltleiter bieten im Gegensatz vergleichsweise genau spezifizierte Widerstandswerte mit geringer Drift und Reversibilität bei Schaltvorgängen.

7.6 Sicherungen ¨ Aufgabe einer Sicherung ist den Strompfad zu einem Verbraucher im Uber¨ lastfall zu unterbrechen. Generell kann jedes Bauteil, das im Uberlastfall von einem niederohmigen in einen hochohmigen Zustand u ¨bergeht als Sicherung dienen. Wo immer m¨ oglich werden die weit verbreiteten Schmelzsicherungen (die nach Ansprechen ersetzt werden m¨ ussen) durch Widerstände mit PTC¨ Charakteristik ersetzt, da diese nach Beseitigen der Uberlastsituation wieder in einen niederohmigen Zustand zur¨ uckkehren.

7.6.1 Feinsicherungen Feinsicherungen (Schmelzsicherungen f¨ ur Elektronikanwendungen) werden eingeteilt bez¨ uglich ihrer Ansprechgeschwindigkeit in flinke (Kennbuchstaben F, schaltet bei f¨ unffachem Nennstrom nach 100 ms ab), mittelträge (Kennbuchstaben M) und tr¨ age (Kennbuchstaben T, schaltet bei f¨ unffachem Nennstrom nach 1 s ab). Neben dem abgesicherten Strom wird die Spannung spezifiziert die von einer durchgebrannten Sicherung gesperrt wird. Die Angabe T ¨ 1.25/250V bezeichnet demzufolge eine träge Schmelzsicherung, die bei Uberschreiten eines Stromes von 1.25 A anspricht und dann 250 V sperren kann. Wegen des Einschaltstromstoßes ist es in der Regel zweckmäßig träge Sicherungen zur prim¨ arseitigen Absicherung von Netzteilen zu verwenden. Der erforderliche Stromwert ist als Effektivwert des fließenden Stroms zu ermitteln; der Nennstrom der Sicherung sollte um ca. 50 % u ¨ber dem Effektivwert des eingangsseitig fließenden Stroms liegen. Sicherungen sollten so in die Schaltung eingebaut werden, daß Personen, die die Sicherung ber¨ uhren (Einbau/Ausbau) keinen elektrischen Schlag bekommen können. Abbildung 7.24 zeigt den Zusammenhang zwischen Ansprechzeit tA und Laststrom f¨ ur Schmelzsicherungen mit unterschiedlichen Nennstromwerten. Kurze Ansprechzeiten ergeben sich nur f¨ ur Lastströme die deutlich oberhalb des Nennstromwerts liegen. Im Bereich sehr kurzer Ansprechzeiten wird annähernd ein Zusammenhang tA ∼ 1/I 2 beobachtet (vgl. die gestrichelte Gerade in Abb. 7.24). Unter diesen Umständen kann der Wärmeabtransport

7.6. Sicherungen

303

1 0 0

1 .2 5 A

s 1 0 2 A tA

1 A n s p r e c h z e it

t A ~ I -2 0 .1

0 .0 1 0 .5 A

0 .0 0 1 0 .1

1

1 0 S tro m

I

1 0 0

A

1 0 0 0

Abb. 7.24. Laststromabh¨ angigkeit der Ansprechzeit mitteltr¨ ager Feinsicherungen (nach Daten der Firma Raychem)

bis zum Ansprechen der Sicherung n¨ aherungsweise vernachlässigt werden. Zwischen dem mittleren Widerstand des Sicherungsdrahts R und der zum Aufschmelzen des Drahts aufzubringenden Energie ∆W besteht dann der Zusammenhang ∆W = RI 2 tA , so daß tA ∼ 1/I 2 . Sicherungen begrenzen also nur bei langsamem Lastwechsel den Strom durch einen Verbraucher, im Fall kurzer Strompulse kann der Strom deutlich22 oberhalb des Nennwerts liegen, ohne daß die Sicherung anspricht. Im Fall kurzer Strompulse begrenzt die Sicherung damit die im Verbraucher umgesetzte Energie. Eine Feinsicherung spricht um so schneller an, je geringer Wärmekapazität, Schmelzwärme und Schmelztemperatur des Sicherungsdrahts sind.

¨ 7.6.2 Uberlastschutz mit keramischen Kaltleitern ¨ Keramische Kaltleiter k¨ onnen als Uberstromsicherungen f¨ ur elektronische ¨ Schaltungen sowie als thermischer Uberlastschutz verwendet werden [21]. Gegen¨ uber Schmelzsicherungen sprechen sie nicht nur auf u ¨berhöhte Ströme, ¨ sondern auch beim Uberschreiten einer – u ¨ber die Bezugstemperatur vorgegebenen – Temperaturgrenze an. Das Ansprechen der Kaltleitersicherung ist ¨ zudem reversibel – sie braucht nach Beseitigen des Uberlastfalls nicht ausgewechselt zu werden, sondern u uhlzeit wieder ihre ¨bernimmt nach kurzer Abk¨ 22

Durch eine 10-A-Sicherung kann beispielsweise kurzfristig ein Strom im Kiloamperebereich fließen, ohne daß diese schmilzt.

304

7. Widerstände

¨ Schutzfunktion. Zum Uberlastschutz wird der Kaltleiter in Serie zum Verbraucher geschaltet; seine Bezugstemperatur ϑb wird so ausgewählt, daß sie unter normalen Bedingungen u ¨ber der Betriebstemperatur liegt. ¨ Wird der Kaltleiter als thermischer Uberlastschutz eingesetzt, so ist dieser so am Verbraucher anzubringen, daß eine gute thermische Kopplung besteht. Sobald die Temperatur des Verbrauchers die Bezugstemperatur u ¨berschreitet, wird der Kaltleiter hochohmig und verringert so die im Verbraucher umgesetzte Leistung. ¨ Bei der Anwendung als Uberstromsicherung wird die Eigenerwärmung des Kaltleiters ausgenutzt. Abbildung 7.25 erläutert die Verhältnisse f¨ ur unterschiedliche Lastwiderst¨ ande. Der durch die Reihenschaltung von Kaltleiter und Lastwiderstand fließende Strom ergibt sich durch Schnitt23 der I(V )Kennlinie des Kaltleiters mit der Lastgeraden. Unter normalen BetriebsbeV I V

/R +

R L

V

K ip p u n k t

'A U S ' +

b is ta b il

'E I N '

+

IK

A

V +

(4 )

(3 ) B

R

/R

(2 )

+

/R

-

R L

Ü b e r la s tfa ll P T C

-

'A U S '

(5 ) V

R +

V

'E I N '

R +

L

L

(1 ) V K

C V +

V

¨ Abb. 7.25. Uberstromsicherung mit Kaltleiter; Arbeitspunkte

dingungen (1) ist RL so groß, daß die beiden Kennlinien nur einen gemeinsamen Punkt haben, wobei am Kaltleiter nur ein geringer Spannungsabfall auftritt. Dies entspricht dem EIN-Zustand“ . Nimmt RL ab, so nimmt der ” 23 Dies entspricht einer graphischen Auswertung der Netzwerkgleichungen: Durch beide Elemente muß derselbe Strom fließen; die angelegte Spannung V+ teilt sich auf in eine Spannung am Kaltleiter und einen Spannungsabfall am Lastwiderstand. Wird die Kennlinie des Kaltleiters beginnend von V = 0 von links nach rechts aufgetragen, diejenige des Lastwiderstands, beginnend von V = V+ von rechts nach links, so sind im Schnittpunkt der beiden Kennlinien Maschensatz und Knotensatz erf¨ ullt.

7.6. Sicherungen

305

Strom zu; der Schnittpunkt der Kennlinien wandert auf der Kaltleiterkennlinie nach oben (Punkt A in 2) bis zum Erreichen des Kippstroms (3). F¨ ur kleinere Werte (4) von RL existiert dann nur noch ein Schnittpunkt der beiden Kennlinien, bei dem nahezu der gesamte Spannungsabfall am Kaltleiter auftritt ( AUS-Zustand“ ). Der Lastwiderstand RL , bei dem die Kaltleiter” sicherung anspricht, ist damit R+ ≈ (V+ − VK )/IK . Wird nun RL wieder oht, so nimmt der Spannungsabfall am Kaltauf Werte größer als R+ erh¨ leiter zunächst nur wenig ab (Punkt C in (2)); f¨ ur R+ < RL < R− zeigt die Reihenschaltung von Kaltleiter und ohmschem Widerstand ein bistabiles Verhalten: Die Heißleiter- und die Lastkennlinie weisen hier drei Schnittpunkte auf, von denen zwei (A und C) stabilen Arbeitspunkten entsprechen. Ob der Kaltleiter hoch- oder niederohmig ist, hängt hier von der Geschichte ab. ¨ Erst nach Uberschreiten des durch die Lastgerade (5) definierten Widerstands R− existiert wieder nur noch ein Schnittpunkt zwischen den Kennlinien von Kaltleiter und Last. Dies erkl¨ art die im Zusammenhang mit der Kaltleitersicherung beobachtete Schalthysterese: Wird die Spannung an der Last u ¨ber dem veränderlichen Lastwiderstand aufgetragen, so resultiert die Abb. 7.25 dargestellte Hysteresekurve. F¨ ur die Ansprechzeit des Kaltleiters – vom Anlegen der Spannung bis zum Erreichen der Bezugstemperatur – gilt die Abschätzung [22] tA ≈

Cth (ϑb − ϑA )(RL + Rb )2 Cth (ϑb − ϑA ) ≈ , P V+2 Rb

(7.26)

wobei Cth die W¨ armekapazit¨ at des Kaltleiters und P die im Kaltleiter umgesetzte Verlustleistung angibt. Gleichung (7.26) ist nur anwendbar, falls der Wärmeabtransport vom Kaltleiter w¨ ahrend der Aufheizphase vernachlässigbar ist (s.u.). Ansprechzeit bei Ber¨ ucksichtigung des W¨ armeabtransports. Unter der Annahme, daß der Kaltleiterwiderstand bis zum Erreichen der Bezugstemperatur gleich Rb ¨ ist, wird im Kaltleiter eine konstante Leistung umgesetzt. Die Ubertemperatur ∆ϑ(t) steigt damit exponentiell an (vgl. Kap.5.3) t Rb V2 . mit P = ∆ϑ(t) = P Rth 1 − exp − τth (RL + Rb )2 + armesenke und P Rth > ϑb −ϑA so erreicht der Kaltleiter Ist ϑA die Temperatur der W¨ die Bezugstemperatur nach der Zeit tA = −τth ln[ 1 − (ϑb −ϑA ))/P Rth ] .

(7.27)

Diese Gleichung besitzt nur unter der Voraussetzung ϑb − ϑA < P Rth eine Lösung. Andernfalls liegt die im Grenzwert t → ∞ erreichte Grenztemperatur ϑ∞ unterhalb armeabtransport ist so groß, daß die Eigenerwärmung des Kaltleivon ϑb , d.h. der W¨ ters nicht gen¨ ugt, um die Bezugstemperatur zu erreichen. Das Ergebnis (7.26) folgt unter der Voraussetzung ϑb − ϑA P Rth durch Entwickeln des Logarithmus bis zur 1. Ordnung (ln(1 + x) ≈ x).

306

7. Widerstände

7.7 Varistoren (VDR-Widerst¨ ande) Varistoren sind nichtlineare Widerst¨ ande mit symmetrischer I(V )-Kennlinie.24 Die Hauptanwendung dieser Bauteile, die einen mit zunehmender ¨ Spannung stark abnehmenden Widerstandswert aufweisen, liegt im Uberspannungsschutz. Als besonders vorteilhaft erweist sich hier die hohe Energieaufnahme von Varistoren, die bis zu 2000 J betragen kann.

V

V Abb. 7.26. Varistor: Schaltsymbol

Abbildung 7.27 zeigt schematisch den Verlauf der I(V )-Kennlinie eines ZnOVaristors in linearer (a) und doppeltlogarithmischer (b) Auftragung. Die lineare Auftragung illustriert die Symmetrie der Kennlinie – im Gegensatz zur Diodenkennlinie liegt kein Gleichrichtereffekt vor. Die doppeltlogarithmische Auftragung zeigt, daß die Kennlinie des Varistors in drei Bereiche unterteilt werden kann: den Leckstrombereich mit annähernd ohmschem Verhalten, den Durchbruchbereich und den Hochstrombereich, in dem das Verhalten ebenfalls wieder annähernd ohmsch ist. V I A r b e its p u n k t

L e c k s tro m b e r e ic h

D u r c h b r u c h b e r e ic h

H o c h s tro m b e r e ic h

1 0 0 V

I0 3 0 V V 0

V

1 0 V T e m p e ra tu rz u n a h m e

1 n A

1 m A

(a )

1 m A

1 A

1 0 A

1 0 0 A

I

(b )

Abb. 7.27. I(V )-Kennlinie eines Varistors (schematisch)

Im Durchbruchbereich wird die I(V )-Kennlinie des Varistors näherungsweise durch eine Potenzfunktion I ∼ V γ beschrieben. Der Exponent γ heißt Spannungsindex des Varistors. F¨ ur die weitverbreiteten ZnO-Varistoren liegt γ im 24

Der Name Varistor wurde aus den englischen Begriffen variable resistor gebildet. Gelegentlich werden Varistoren auch als VDR-Widerst¨ ande bezeichnet (von voltage dependent resistor).

7.7. Varistoren (VDR-Widerstände)

307

Bereich von 30 − 70. Als Ansprechspannung (oder Varistorspannung) eines Varistors wird in Datenbl¨ attern zumeist der am Varistor bei einem eingeprägten Strom von 1 mA auftretende Spannungsabfall VV angegeben. Es sind Varistoren mit unterschiedlichen Ansprechspannungen (typischerweise (5 – 600) V) lieferbar. Die in Abb. 7.27 b skizzierte Kennlinie w¨ urde demnach einer Varistorspannung von 30 V entsprechen. Mit der Varistorspannung VV läßt sich die I(V )-Charakteristik im Durchbruchbereich mittels

I = 1 mA ·

V VV

γ

(7.28)

beschreiben. Nach V aufgel¨ ost resultiert die Beziehung

V = VV ·

I 1 mA

β

mit

β =

1 . γ

(7.29)

Der in dieser Beziehung auftretende Exponent β heißt Stromindex 25 . Der Großsignalwiderstand im Arbeitspunkt (V0 , I0 ) ist VV V0 = R = I0 1 mA

I0 1 mA

β−1

VV = 1 mA

V0 VV

1−γ

,

(7.30)

der zugehörige Kleinsignalwiderstand ist

dV = βR . r = dI V0 Beispiel 7.7.1 Ein Varistor habe den Spannungsindex γ = 40 und die Ansprechspannung VV = 20 V. Die Spannung V , die an den Varistor angelegt werden muß, damit der Strom 100 mA fließt, ist V = 20 V ·

100 mA 1 mA

1/40 = 22.44 V .

Der bei der Betriebsspannung 25 V fließende Strom ist γ 25 V = 7.52 A . I = 1 mA · 20 V Bei V = 20 V ist voraussetzungsgem¨ aß I = 1 mA, was einem Großsignalwiderstand von 20 kΩ entspricht. Bei V = 25 V fließt nach (b) der Strom I = 7.52 A, entsprechend einem Großsignalwiderstand von 3.32 Ω, was annähernd vier Größenordnungen unter dem Wert bei V = 20 V liegt. ∆ 25

Aus zwei Arbeitspunkten (V1 , I1 ), (V2 , I2 ) l¨ aßt sich der Stromindex bestimmen gem¨ aß β =

log(V1 /V2 ) . log(I1 /I2 )

308

7. Widerstände

A n s c h lu ß d r a h t E le k tr o d e

E p o x id h a r z

g e s in te r te Z n O - K ö r n e r

Abb. 7.28. Querschnitt (schematisch) durch einen ZnO-Varistor

Aufbau und Leitungsmechanismus Abbildung 7.28 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Varistors. Varistoren werden gewöhnlich aus pulverisiertem Metalloxid (insbesondere Zinkoxid (ZnO)) hergestellt. Das Pulver, dem weitere Metalloxide als Dotierelemente beigemengt sind, wird mit Bindemittel versetzt, gepresst und gesintert, wodurch die Pulverkörner (typischer Durchmesser 20 µm) zusammenbacken und untereinander elektrisch verbunden sind. An den Korngrenzen entstehen dabei Potentialbarrieren, die die Ursache des nichtlinearen Leitwerts darstellen.26 Diese Grenzschichten zwischen benachbarten Körnern wirken als Mikrovari” storen“ : Der Stromfluß u ¨ber die Korngrenze ist gering, solange die materialspezifische Ansprechspannung (ca. 3.6 V f¨ ur ZnO-Varistoren) nicht u ¨berschritten ist. Die I(V )-Charakteristik des Varistors ergibt sich aus der Reihen- und ¨ Parallelschaltung dieser Mikrovaristoren. Uber die Anzahl der zu durchlaufenden Grenzschichten und somit (bei gleichbleibender Korngröße) u ¨ber die Dicke des Varistors kann demnach die Ansprechspannung eingestellt werden. Die im Varistor umgesetzte Leistung verteilt sich auf die einzelnen Mikrovaristoren und damit nahezu homogen auf das Volumen des Varistors. Varistoren weisen deshalb ein wesentlich h¨ oheres Energieaufnahmeverm¨ ogen als Z-Dioden auf (vgl. Kap. 15), bei denen die gesamte Verlustleistung in der r¨ aumlich begrenzten Sperrschicht anf¨ allt.

Ersatzschaltung Der scheibenförmige Aufbau der Varistoren verursacht Eigenkapazit¨ aten, die typisch im Bereich zwischen 100 pF und 100 nF liegen. Bei Schaltvorgängen kann ebenfalls die unvermeidliche, durch die Zuleitungen bestimmte Serieninduktivität bedeutsam werden. Eine diese Elemente ber¨ ucksichtigendes Ersatzschaltung ist in Abb. 7.29 dargestellt. Der nichtlineare Widerstand Rvar gibt das Durchbruchverhalten wieder; der dazu parallele Widerstand Rp beschreibt 26

Die physikalischen Details des Stromtransports u ¨ber diese Barrieren, an dem auch die Stoßionisation im Feld beteiligt ist, werden z. B. in [23] dargestellt.


309

C

R R

v a r

R

L s

p

Abb. 7.29. Varistor: Ersatzschaltung

das Leckstromverhalten. Der Wert von Rp ist stark temperaturabhängig und zeigt das Verhalten eines Heißleiters. Der in Serie geschaltete Widerstand Rs beschreibt das Hochstromverhalten. Typische Werte f¨ ur die parasitären Ele” ur mente“ sind Rp ≈ 10 MΩ, Rs = 0.1 Ω, C = 10 nF und L = 10 − 20 nH (f¨ bedrahtete Bauteile). Die Zeitkonstante, mit der sich die f¨ ur den Varistoreffekt maßgeblichen Potentialbarrieren auf den ver¨ anderten Zustand einstellen, beträgt einige Nanosekunden. Bei Stoßstrombelastung kann dies zu einer Spannungsspitze f¨ uhren. Diese ist jedoch deutlich kleiner als die, durch die Eigeninduktivitäten der Zuleitungen bedingten Spannungsspitzen [24].

Modellierung von Varistoren in SPICE Nichtlineare Widerst¨ ande stehen als gesonderte Netzwerkelemente in SPICE nicht zur Verf¨ ugung. Sie lassen sich aber mit nichtlinearen gesteuerten Quellen leicht nachbilden, solange die Strom-Spannungs-Charakteristik des nichtlinearen Widerstands durch eine Polynomfunktion darstellbar ist In diesem Fall kann eine polynomiale spannungsgesteuerte Stromquelle (Abb. 7.30) zur Simulation des Varistors herangezogen werden: Als steuernde Variable wird dabei die Spannung im Ausgangskreis benutzt. In PSPICE besteht zusätzlich die Möglichkeit den funktionalen Zusammenhang zwischen Eingangsspannung und Ausgangsstrom der gesteuerten Quelle u ¨ber eine mathematische Funktion zu definieren. Die Hersteller von Varistoren bieten häufig fertige Modelle f¨ ur SPICE-Simulationen.

v (t) i( t) Abb. 7.30. Spannungsgesteuerte Stromquelle zur Simulation eines Varistors

310

7. Widerstände

Beispiel 7.7.2 Eine Teilschaltungsdefinition f¨ ur die Varistor-Ersatzschaltung (Abb. 7.29) lautet .SUBCKT VARISTOR K1 K2 Gvar K1 K3 VALUE = {1E-3*PWR(V(K1,K3)/20, 40)} Rp K1 K3 10MEG Cp K1 K3 10n Rs K3 K4 0.1 Ls K4 K2 15n .ENDS wobei der Spannungsindex im Durchbruchbereich mit 40, VV = 20 V, Rp = 10 MΩ, ∆ C = 10 nF, Rs = 100 mΩ und L = 15 nH angenommen wurde.

¨ Anwendung: Uberspannungsschutz Varistoren werden haupts¨ achlich f¨ ur Schutzschaltungen verwendet. Um die Spannung an einem Verbraucher zu begrenzen, wird parallel zu diesem (Abb. 7.31 a) ein Varistor geschaltet, dessen Widerstand mit zunehmendem Wert der anliegenden Spannung stark abnimmt. Tritt nun eine Spannungsspitze auf, so wird der Varistor kurzfristig 27 niederohmig: Der u ¨ber den Varistor abfließende Strom erh¨ oht den Spannungsabfall an der vorgeschalteten Impedanz (Widerstand oder Induktivit¨ at) wodurch die Spannung am Verbraucher begrenzt und dieser gesch¨ utzt wird.

V

L A S T L (a )

V (b )

Abb. 7.31. Schutzbeschaltung mit Varistoren

¨ Abbildung 7.31 b zeigt einen Varistor, eingesetzt als Uberspannungsschutz beim Schalten induktiver Lasten. Bei geschlossenem Schalter wird die Spule von einem Strom IL durchflossen; im magnetischen Feld der Spule ist Ener¨ gie gespeichert. Beim Offnen des Schalters“ (z. B. Transistor) treten hohe ” Induktionsspannungen auf, die zu einer Zerstörung des Schalters“ f¨ uhren ” können. Wird ein Varistor parallel zur Spule geschaltet, so wird dieser bei hohen Induktionsspannungen leitend und setzt die in der Spule gespeicherte Energie in Wärme um. Bei L = 0.3 H und IL = 1 A wäre diese beispielsweise W = LIL2 /2 = 0.5 · 0.3 H · 1 A2 = 0.15 J . Der Varistor muß diese Energie aufnehmen können. Treten solche Schaltvorgänge periodisch mit der Frequenz f auf, so ist daf¨ ur Sorge zu tragen, daß 27

Die Ansprechzeit eines Varistors liegt meistens im Bereich weniger ns.


311

die mittlere Verlustleistung P = W f die Nennbelastbarkeit nicht u ¨berschreitet. Ferner ist sicherzustellen, daß der maximale Pulsstrom unterhalb des vom Hersteller vorgegebenen Werts bleibt. ¨ F¨ ur die Anwendung als Uberspannungsschutz ist ein möglichst abrupter ¨ Ubergang vom hochohmigen in den niederohmigen Zustand gefragt. Hier zeichnen sich ZnO-Varistoren gegen¨ uber SiC-Varistoren aus, bei denen der ¨ Ubergang vom hoch- zum niederohmigen Zustand wesentlich weicher erfolgt. Aus diesem Grund werden SiC-Varistoren nur noch f¨ ur wenige Spezial28 zwecke verwendet, etwa zur Ableitung sehr großer Leistungen unter hohen Umgebungstemperaturen. v 1 0 W

5 0 n H

v

1 k V

5 0 W V

(a )

9

0

t 0

2

4

6

8

1 0 m s

(b )

$

$

6SDQQXQJVDEIDOODQGHU/DVW

9

$ 9 $

6WURPIOXVVGXUFK GHQ9DULVWRU

9 $

9

!! $

V

9YDU

XV ,9

XV

XV

7LPH

Abb. 7.32. In Beispiel 7.7.3 untersuchte Schaltung (a) und angelegter St¨ orspannungspuls (b) so Simulationsergebnis f¨ ur Spannungsabfall am Varistor und den Stromfluß durch den betrachteten Varistor 28

Wegen der f¨ ur zahlreiche Anwendungen zu hohen Leckstr¨ ome der SiC-Varistoren unterhalb der Ansprechspannung werden diese dann h¨ aufig in Serie zu einer Funkenstrecke betrieben.

312

7. Widerstände

¨ Beispiel 7.7.3 Als Beispiel wird ein einfacher Uberspannungsschutz nach Abb. 7.32 a betrachtet. Abbildung 7.32 zeigt das Ergebnis einer SPICE-Transientenanalyse f¨ ur ¨ die Uberspannung am Verbraucher (Lastwiderstand 50 Ω). Die Spannungsspitze von 1 kV am Eingang wurde auf Werte kleiner als 40 V reduziert. Im Varistor tritt dabei kurzfristig ein Stoßstrom von ann¨ ahernd 100 A auf; wegen der kurzen Dauer des Pulses ist die umgesetzte Pulsenergie dennoch wesentlich kleiner als 1 J. F¨ ur die Simulation wurde die in Beispiel 7.7.2 angegebene Ersatzschaltung verwendet. Sind ¨ große Uberspannungen zu bef¨ urchten, so werden mehrere derartige Schutzschaltungen hintereinander geschaltet (Staffelschutz). Eingangsseitig kann ergänzend ein edel¨ gasgef¨ ullter Uberspannungsableiter [25] eingesetzt werden. Dabei kann in zahlreichen Anwendungsf¨ allen auf komplett montierte Schutzmodule zur¨ uckgegriffen werden. ∆ B e s c h ic h tu n g

E le k tr o d e n

A n s c h lu ß

A n s c h lu ß G a s

Is o la to r ( K e r a m ik , G la s )

Abb. 7.33. Prinzipieller Aufbau eines Edelgas¨ gef¨ ullten Uberspannungsableiters

¨ 7.8 Edelgasgef¨ ullte Uberspannungsableiter ¨ Abbildung 7.33 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines edelgasgef¨ ullten Uberspannungsableiters. Diese Schutzelemente nutzen den Durchschlag zwischen zwei Elektroden zur Spannungsbegrenzung (Funkenstrecke). Wird die Z¨ undspannung (je nach Typ weniger als 100 V bis zu mehreren Kilovolt) u ¨berschritten, so bildet sich innerhalb von Nanosekunden ein Lichtbogen aus, der annähernd wie ein Kurzschluß wirkt und einen starken Anstieg des Stroms bedingt. Die Spannung u ¨ber dem Ableiter bricht dabei nach Durchlaufen der kurzen Glimmphase auf die vom Strom weitgehend unabhängige Bogenbrenn¨ spannung (typ. 10 bis 25 V) zusammen. Edelgasgef¨ ullte Uberspannungsableiter zeichnen sich durch hohe Stromtragf¨ ahigkeit, sehr gutes Isolationsverhalten (Isolationswiderstand gr¨ oßer als 10 GΩ) und eine geringe Eigenkapazität (ca. 0.5 bis 3 pF) aus (Daten nach [26]). Reproduzierbare Z¨ undspannungen lassen sich durch F¨ ullen des Entladevolumens mit einem Edelgas erreichen.29 Die Elektroden weisen einen Abstand 29

Durch Beimengen geringer Mengen einer radioaktiven Substanz wird dabei eine Vorionisation eingestellt, was statistische Schwankungen der Z¨ undspannung vermindert. Es


313

von weniger als 1 mm auf und sind mit einer Schicht u ¨berzogen, die eine sehr geringe Austrittsarbeit aufweist. 1 2 0 0 V 1 k V /m s

8 0 0 Z ü n d s p a n n u n g V

S

1 0 0 V /m s

4 0 0

m a x m in

0

1 0 2

1 0 4

1 0 6

1 0 8

V /s

1 0

1 0

S p a n n u n g s a n s tie g s g e s c h w in d ig k e it d v /d t

¨ Abb. 7.34. Z¨ undspannung eines edelgasgef¨ ullten Uberspannungsableiters der Nennansprechgleichspannung 230 V als Funktion der Anstiegsgeschwindigkeit der Spannung (nach [26])

Die Z¨ undspannung VS nimmt mit der Anstiegsgeschwindigkeit des Störspan¨ nungspulses zu; Abb. 7.34 zeigt typische Verläufe f¨ ur einen Uberspannungsableiter der Nennz¨ undspannung 230 V. Neben der Z¨ undspannung ist der maximal zulässige Strom bei pulsf¨ ormiger Belastung zu beachten. Dieser liegt f¨ ur Pulse der Dauer 20 µs u ¨blicherweise im Kiloamperebereich.

7.9 Literaturverzeichnis [1] K. Fuchs. The conductivity of thin metallic films according to the electron theory of metals. Proc. Cambridge Phil. Soc., 34(3):100–108, 1938. [2] F.S. Ham, D.C. Mattis. Electrical properties of thin-film semiconductors. IBM Journal, 53:143–151, 1960. [3] G.F. Foxhall, J.A. Lewis. The resistance of an infinite slab with a disk electrode. Bell Syst. Tech. J., 44:1609–1617, 1964. [4] M.S. Leong, S.C. Choo, K.H. Tay. The resistance of an infinite slab with a disc electrode as a mixed boundary value problem. Solid-State Electronics, 19(3):397–401, 1976. [5] H.A. Wheeler. Formulas for the skin effect. Proc. I.R.E., pp.412–424, September 1942. [6] O. Zinke, H. Brunswig. Lehrbuch der Hochfrequenztechnik, Band 1: Hochfrequenzfilter, Leitungen, Antennen. Springer, Berlin, f¨ unfte Auflage, 1995. sind aber auch Typen verf¨ ugbar, die keine radioaktiven Elemente enthalten; bei diesen ist allerdings eine erh¨ ohte Z¨ undspannung nach l¨ angerer Dunkellagerung zu beachten.

314

7. Widerstände

[7] H.H. Meinke. Einf¨ uhrung in die Elektrotechnik h¨ oherer Frequenzen - Band 1: Bauelemente und Stromkreise. Springer, Berlin, zweite Auflage, 1965. [8] H.H. Meinke, F.W. Gundlach. Taschenbuch der Hochfrequenztechnik. Springer, Berlin, f¨ unfte Auflage, 1992. [9] O.Zinke, H. Seither. Widerst¨ ande, Kondensatoren, Spulen und ihre Werkstoffe. Springer, Berlin, zweite Auflage, 1982. [10] F.N. Hooge. 1/f noise sources. IEEE Trans. Electron Devices, 41(11):1926–1935, 1994. [11] A. van der Ziel. Unified presentation of 1/f noise in electronic devices: Fundamental 1/f noise sources. Proc. IEEE, 76(3):233–258, 1988. [12] VITROHM. Hauptkatalog. Deutsche Vitrohm GmbH, Pinneberg, 1995. [13] P. Deluca. A review of thirty-five years of laser trimming with a look to the future. Proc. IEEE, 90(10):1614–1619, 2002. [14] SIEMENS. Datenbuch Heißleiter. Siemens AG, M¨ unchen, 1986. [15] W. Heywang. Amorphe und Polykristalline Halbleiter. Springer, Berlin, 1984. [16] K.H. Hellwege. Einf¨ uhrung in die Festk¨ orperphysik. Springer, Berlin, 1976. [17] SIEMENS. Kaltleiter Datenbuch. Siemens AG, M¨ unchen, 1987. [18] G. Ott. Der Kaltleiter als Heizelement. Siemens Components, 19(2):56–59, 1981. [19] H. Schaumburg (Hrsg.). Werkstoffe und Bauelemente der Elektrotechnik 6 – Polymere. Teubner, Stuttgart, 1997. [20] R.D. Sherman, L.M. Middleman, S.M. Jacobs. Electron transport processes in conductor-filled polymers. Polymer Engineering and Science, 23(1):36–46, 1983. [21] G. Kainz. Keramische Kaltleiter sch¨ utzen Elektronische Schaltungen. Siemens Components, (1):13–16, 1990. [22] W. Kahr. Der Kaltleiter – ein Leitfaden f¨ ur den Anwender. Siemens Components, 23(4):152–157, 1985. [23] M. Rosinelli, F. Greuter. Zinkoxid-Varistoren: Herstellung und elektrische Eigenschaften. In Magnetische Werkstoffe, Varistoren und Supraleiter, ETG-Fachbericht Nr.29, pp. 89–102, Berlin, 1989. VDE-Verlag. [24] K.Feser, L.Kehl, D.Qui, B.Richter. Steilstoßverhalten von Metalloxid-Ableitern. In Magnetische Werkstoffe, Varistoren und Supraleiter, ETG-Fachbericht Nr.29, pp. 125– 129, Berlin, 1989. VDE-Verlag. ¨ [25] T.Kuther. Metalloxid-Varistoren sch¨ utzen zuverl¨ assig vor Uberspannungen. Siemens Components, (4):115–118, 1994. ¨ [26] EPCOS. Uberspannungsableiter und Schaltfunkenstrecken. EPCOS Firmenschrift, www.epcos.com, 2000.

8 Kondensatoren Kondensatoren dienen zur Speicherung von elektrischer Ladung und sollten sich im Idealfall wie eine Kapazit¨ at C verhalten, was in der Praxis jedoch nur näherungsweise der Fall ist. Verschiedene Bauformen wurden entwickelt, um unter unterschiedlichen Betriebsbedingungen und f¨ ur einen weiten Bereich von Kapazitätswerten das kapazitive Verhalten möglichst genau zu realisieren. In elektronischen Schaltungen werden heute vorzugsweise drei Ausf¨ uhrungen eingesetzt: Kunststoffolienkondensatoren, Keramikkondensatoren und Elektrolytkondensatoren.

8.1 Physikalische Grundlagen Die Kapazität eines idealen (Parallel-)Plattenkondensators zwischen dessen Platten sich Vakuum befindet ist C0 = 0

A A/cm2 ≈ 886 pF · , d d/µm

(8.1)

wobei 0 = 8.859 · 10−12 F/m die sog. Inf luenzkonstante, A die Fläche der Kondensatorplatten und d den Plattenabstand angibt. Wird der Raum zwischen den Kondensatorplatten mit einem Isolator – einem sog. Dielektrikum – ausgef¨ ullt, so vergrößert sich die Kapazität des Kondensators wie bereits von Faraday festgestellt wurde. Als Dielektrizit¨ atszahl oder (relative) Dielektrizit¨ atskonstante r des Isolators wird das Verhältnis der Kapazität C des Kondensators mit Dielektrikum zur Kapazität C0 mit Vakuum im Plattenzwischenraum bezeichnet r = C/C0 .

(8.2)

Die Dielektrizit¨ atszahl r ist im Gegensatz zu 0 dimensionslos; im Vakuum ist definitionsgem¨ aß r = 1. Ursache der Kapazitätszunahme bei Einf¨ uhren eines Dielektrikums ist dessen Polarisation, d. h. eine gegenseitige Verschiebung der positiven und negativen Ladungsschwerpunkte im Dielektrikum. Dies geschieht nicht v¨ ollig tr¨ agheitslos – f¨ ur ω = 0 folgt die Polarisation deshalb der Feldstärke mit einer gewissen Phasenverschiebung, die durch eine komplexe Dielektrizitätszahl r erfaßt wird r = r (ω) − jr (ω) = r (ω) (1 − j tan δ ) .

(8.3)

Der Verlustwinkel δ = arctan[r (ω)/r (ω)] des Dielektrikums beschreibt die Phasenverschiebung zwischen der dielektrischen Verschiebung und der elektrischen Feldstärke und damit, in einem ansonsten idealen Kondensator, die Ab-

316

8. Kondensatoren

weichung der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung vom idealen Wert 90◦ . Das frequenzabh¨ angige Verh¨ altnis tan δ = r (ω)/r (ω)

(8.4)

wird Verlustzahl des Dielektrikums genannt; die Verlustzahl bestimmt maßgeblich die im Kondensator bei Wechselbetrieb anfallende Verlustleistung. Die auf dem Plattenkondensator gespeicherte Ladung Q ist mit der Potentialdifferenz V zwischen den beiden Platten verkn¨ upft u ¨ber Q = CV = 0 r A

V = 0 r AE < 0 r AED , d

(8.5)

wobei E die elektrische Feldst¨ arke zwischen den Kondensatorplatten bezeichnet. Die im Kondensator gespeicherte Ladung Q nimmt demnach sowohl mit der Fläche A der Kondensatorplatten als auch mit der Dielektrizitätszahl r und der Feldst¨ arke E zu. W¨ ahrend der Wert von A durch die Größe und die Bauform des Kondensators festgelegt ist, ergeben sich r und die maximal zulässige Feldst¨ arke ED (Durchschlagsfeldst¨ arke) aus den Materialeigenschaften des Kondensatordielektrikums. F¨ ur Vergleiche wird häufig die sog. spezifische Kapazit¨ at eines Kondensators – das ist die auf das Volumen des Kondensators bezogene Kapazit¨ at – verwendet.

8.1.1 Polarisationsmechanismen Der Wert des Verlustwinkels und damit die Verlustzahl eines Kondensatordielektrikums h¨ angt vom wirksamen Polarisationsmechanismus ab. Hier ist zwischen elektronischer Polarisation, ionischer Polarisation und Orientierungspolarisation zu unterscheiden. E = 0

A to m k e rn

E le k tr o n e n h ü lle

d

E

Abb. 8.1. Elektronische Polarisation (nach [1])

8.1. Physikalische Grundlagen

317

Elektronische Polarisation. Ursache der elektronischen Polarisation ist die Deformation (Abb. 8.1) der Elektronenh¨ ulle der Atome des Dielektrikums im elektrischen Feld. Dies bedingt eine gegenseitige Verschiebung der Ladungsschwerpunkte von positiver und negativer Ladung und damit ein induziertes Dipolmoment. Da bei diesem Polarisationsmechanismus die Masse der verschobenen Teilchen (Elektronenmasse) sehr klein ist, folgt das induzierte Dipolmoment nahezu trägheits¨ los einer Anderung des elektrischen Feldes. Die elektronische Polarisation des Dielektrikums darf deshalb in den meisten F¨ allen als in Phase zum elektrischen Feld befindlich angenommen werden. Dielektrika, deren Eigenschaften primär durch die elektronische Polarisation bestimmt sind, sind z. B. Polyethylen, Polystyrol, Teflon. E

E = 0

d

Abb. 8.2. Ionische Polarisation (nach [1])

Ionische Polarisation. Die ionische Polarisation wird durch die gegenseitige Verschiebung (Abb. 8.2) positiver und negativer Ionen in Ionenkristallen verursacht. Die ionische Polarisation ist wesentlich st¨ arker als die elektronische und bedingt beispielsatszahl von ca. 100. weise im fall des TiO2 eine Dielektrizit¨ Im Vergleich zur elektronischen Polarisation sind hier Ionen im elektrischen Feld zu verschieben. Deren Masse ist jedoch um einen Faktor der Größenordnung 104 höher als die Masse der Elektronen. Dies bedingt eine höhere Trägheit im Vergleich zur elektronischen Polarisation: F¨ ur Dielektrika mit ionischer Polarisation treten im GHzBereich als Folge einer Phasenverschiebung zwischen Polarisation und elektrischem Wechselfeld dielektrische Verluste auf.

Orientierungspolarisation. Ursache der Orientierungspolarisation ist das Ausrichten von Molek¨ ulen mit permanentem Dipolmoment im elektrischen Feld (Abb. 8.3). Im Vergleich zu den anderen, auf der Coulomb-Wechselwirkung beruhenden Polarisationsmechanismen wird die Orientierungspolarisation von vergleichsweise schwachen Dipolkr¨ aften verursacht. Die auszurichtenden Molek¨ ule besitzen dar¨ uber hinaus eine relativ hohe Masse und damit eine hohe Trägheit. Die Polarisation ist bei diesem

318

8. Kondensatoren E

E = 0

Abb. 8.3. Orientierungspolarisation (nach [1])

Mechanismus deshalb i. allg. bereits bei Frequenzen im MHz-Bereich so weit außer Phase zum elektrischen Feld, daß beachtliche dielektrische Verluste auftreten.

8.1.2 Ionenleitung, Durchschlag Im Dielektrikum bewegliche Ionen verschieben sich bei Anlegen einer Spannung zwischen den Kondensatorplatten und bewirken so einen kleinen Leckstrom, der gewöhnlich eine exponentielle Temperaturabh¨ angigkeit zeigt. D ie le k tr ik u m

W

n e u tra l

p o s itiv e R a u m la d u n g d u rc h A n h ä u fu n g v o n Io n e n F -

e V

W C

W

F +

Abb. 8.4. Auswirkung von Ionen auf die Feldverteilung im Isolator

Der Durchbruch eines Dielektrikums erfolgt in der Regel lokal an Schwachstellen mit erh¨ ohter Feldstärke durch Stoßionisation. Derartige Schwachstellen sind etwa durch inhomogene Dicke oder durch eine lokale H¨ aufung von Ladungen im Oxid bedingt. Als Beispiel wird die in Abb. 8.4 skizzierte Situation einer Anhäufung positiver Ionen in der N¨ ahe der negativen Elektrode betrachtet. Durch die Ladungshäufung kommt es zu einer Erh¨ ohung der elektrischen Feldstärke - im Bänderschema (vgl. Kap. 12) nimmt das Gef¨ alle der Leitungsbandkante zu.


319

8.1.3 Dielektrische Absorption Wird ein Kondensator, der l¨ angere Zeit auf eine bestimmte Spannung aufgeladen war, durch einen f¨ ur kurze Zeit wirkenden Kurzschluß vollständig entladen, so stellt sich nach einiger Zeit wieder eine Spannung u ¨ber dem Kondensator ein. Dieser Effekt wird als dielektrische Absorption bezeichnet. Dielektrische Absorption kann beispielsweise zu Fehlern in A/D-Wandlern (sample and hold) f¨ uhren [2]. Zur Kennzeichnung wird der Koeffizient der dielektrischen Absorption kDA verwendet. Dieser gibt das Verh¨ altnis der Spannung VC1 die sich nach dem Entladen wieder aufbaut, zur urspr¨ unglichen Ladespannung VC0 in % an kDA = (VC1 /VC0 ) · 100 % . Dabei wird der Kondensator zun¨ achst f¨ ur eine Stunde auf VC0 (i.allg. die Nennspannung) gehalten, dann durch einen 5 Ω-Widerstand f¨ ur 10 s entladen; VC1 wird 15 min nach dem Entladen ermittelt. Typische Werte liegen im Bereich zwischen 0.01 % und 10 %. Besonders geringe dielektrische Absorption zeigen PS- und PP- Kunststoffolienkondensatoren, Polyesterkondensatoren weisen DA-Werte von typ. 0.25 % auf, bei Keramikkondensatoren sind DA-Werte im Prozentbereich typisch.

v C

V

C 0

(1 -k

R

D A

D A

)C N

k

D A

C N

V

C 1

Z e it t

Abb. 8.5. Verhalten eines Kondensators nach Entladen und einfache Ersatzschaltung

Die dielektrische Absorption kann durch parallel zur Kapazität C∞ = (1 − kDA )CN geschaltete RC-Glieder erfaßt werden. Allerdings kann das Verhalten nicht durch eine einzelne Zeitkonstante beschrieben werden. So kann ein Kondensator bereits 1 bis 10 Sekunden nach dem Entladen 50 % von VC1 aufweisen und die Spannung nach 10 min immer noch ansteigen. F¨ ur eine genaue Beschreibung des Relaxationsverhaltens m¨ ussen demnach mehrere RC-Glieder parallel geschaltet werden. Als Beispiel kann die in [3] angegebene Ersatzschaltung mit f¨ unf parallel geschalteteten RC-Gliedern (numeriert mit 1 ≤ k ≤ 5) f¨ ur einen 1 µF Kondensator mit Polyesterdielektrikum betrachtet werden (Tabelle 8.1). Die gr¨ oßte Zeitkonstante in diesem Beispiel ist 500 s, die kleinste 40 ms.

320

8. Kondensatoren

Tabelle 8.1 Ersatzschaltung zur Beschreibung der dielektrischen Absorption (Beispiel) k Rk , Ω Ck /C∞ τk = Rk Ck , s

1

2

3

4

5

3.6 · 1012 1.4 · 10−4 500

2.5 · 1011 2.0 · 10−4 50

2 · 1010 2.7 · 10−4 5.4

3 · 109 1.9 · 10−4 0.58

3.3 · 108 1.2 · 10−4 0.04

Alternative Beschreibungen der dielektrischen Absorption gr¨ unden auf einer bereits von Curie gefundenen und seither vielfach bestätigten empirischen Beziehung [4]. Danach ist der Strom i(t) durch einen Kondensator, der an einer konstanten Spannung liegt, u ¨ber einen sehr großen Zeitraum proportional zu t−n , wobei n in der Nähe von 1.0 liegt. Dies f¨ uhrt auf eine Admittanz der Form sn C∞ . Der in [3] beschriebene Ansatz gr¨ undet auf eine empirische Beziehung f¨ ur die Frequenzabhängigkeit der Dielektrizit¨ atszahl, die die klassische Debye-Theorie f¨ ur die Frequenzabhängigkeit der Orientierungspolarisation [1] r (ω) = r∞ +

∆r 1 + jωτ

durch einen Parameter α erweitert. Dies f¨ uhrt auf folgenden Ansatz f¨ ur die Admittanz eines Kondensators [3] ∆C Y (s) = s C∞ + , (8.6) 1 + (sτ )1−α und damit ebenfalls auf eine Laplace-Transformierte mit nichtganzzahligem Exponenten. Dies kann durch gesteuerte Quellen (analog behavioral modeling) nachgebildet werden; wegen m¨ oglicher Konvergenzprobleme erscheint mir jedoch die Beschreibung u ¨ber parallel geschaltete RC-Glieder robuster.

8.1.4 Ferroelektrika Ferroelektrische Materialien (Ferroelektrika) weisen unterhalb der CurieTemperatur eine spontane Polarisation auf, d.h. positiver und negativer Ladungsschwerpunkt einer Elementarzelle fallen nicht zusammen, so daß die Zelle ein Dipolmoment aufweist. Oberhalb der Curie-Temperatur ändert sich die Kristallstruktur, die Zelle geht in den paraelektrischen Zustand u ¨ber. Abbildung 8.6 zeigt dies f¨ ur den Fall des Bariumtitanats (BaTiO3 ), ein in der Elektrotechnik h¨ aufig verwendetes Material mit ferroelektrischen Eigenschaften. Oberhalb der Curie-Temperatur weist Bariumtitanat eine kubische Elemantarzelle auf, bei der die Bariumatome an den Ecken der w¨ urfelförmigen Elementarzelle, die Sauerstoffionen in den Zentren der Seitenflächen und das Titanion im Zentrum des W¨ urfels liegen. Diese Kristallstruktur wird als Perowskitstruktur bezeichnet; bei dieser Kristallstruktur fallen positiver und negativer Ladungsschwerpunkt der Elementarzelle zusammen, so daß kein Dipolmoment resultiert. Unterhalb von 110◦ C ist das Gitter tetragonal mit einer quaderförmigen Elementarzelle. Das Titanion ist gegen¨ uber dem Zen-

8.1. Physikalische Grundlagen B a

321 O

2 +

T i4

2 -

+

a c

T < T

a a

a '

a '

T > T

C , f e r r o e le k t r is c h ( te tr a g o n a l)

C

, p a r a e le k tr is c h ( k u b is c h )

Abb. 8.6. Ferroelektrischer und paraelektrischer Zustand von BaTiO3 (nach [1])

trum leicht nach oben verschoben, die Sauerstoffionen nach unten. Positiver und negativer Ladungsschwerpunkt fallen nun nicht mehr zusammen: Die Zelle weist ein Dipolmoment und damit eine spontane Polarisation auf. Bereiche im Festk¨ orper, in denen die Dipolmomente der Elementarzellen parallel ausgerichtet sind, werden – in Analogie zu den Ferromagnetika (vgl. Kap. 9) – als Weißsche Bezirke oder Dom¨ anen bezeichnet. In einem unpolarisierten ferroelektrischen Material sind die Polarisationsrichtungen der Weißschen Bezirke unterschiedlich ausgerichtet, so daß sich nach außen hin keine Polarisation bemerkbar macht. Wird ein solches Material in ein äußeres elektrisches Feld gebracht, so ¨ andern ung¨ unstig ausgerichtete Weißsche Bezirke ihre Polarisationsrichtung. Nun u ¨berwiegt eine Polarisationsrichtung und die Polarisation des Festk¨ orpers P steigt stark mit dem äußeren elektrischen Feld E an (Neukurve), was einer großen Dielektrizitätszahl entspricht (Abb. 8.7). Sind die Dipolmomente s¨ amtlicher Dom¨ anen zum Feld ausgerichtet, so steigt P P P

s r

N e u k u rv e

-E

E c

-P r

-P s

c

E

Abb. 8.7. Polarisation eines ferroelektrischen Materials im ¨ außeren Feld E

322

8. Kondensatoren

die Polarisation nur noch vergleichsweise schwach mit dem äußeren Feld an (ionische Polarisation). Durch Extrapolation des P (E)-Verlaufs in diesem Bereich zu E = 0 hin, ergibt sich die durch die spontane Polarisation bedingte S¨ attigungspolarisation. Wird das elektrische Feld nach Erreichen der Sättigung wieder verringert, so bleibt die Polarisation großenteils erhalten: der bei E = 0 beobachtete Wert wird als remanente Polarisation bezeichnet. Die Polarisation verschwindet erst f¨ ur E = −Ec , wobei Ec als Koerzitivfeldst¨ arke bezeichnet wird. Durchl¨ auft E periodisch Werte von E < −Ec bis E > Ec , so durchläuft P eine Hysteresekurve wie in Abb. 8.7 gezeigt. Da – abhängig von der Geschichte – f¨ ur E = 0 zwei Polarisationszustände vorliegen können, kann die ferroelektrische Hysterese zur Herstellung nichtfl¨ uchtiger Speicherbausteine ausgenutzt werden (vgl. Kap. 22).

8.2 Bauformen F¨ ur Kondensatoren sind unterschiedliche Bauformen gebräuchlich. Den einfachsten Aufbau weisen die sog. Scheibenkondensatoren auf, die meist als Parallelplattenkondensator mit Keramikdielektrikum ausgef¨ uhrt sind. Zwar lassen sich mit diesem Aufbau keine großen Kapazitätswerte erzielen, wegen der kleinen Induktivit¨ atswerte k¨ onnen derartige Kondensatoren daf¨ ur aber auch bei hohen Frequenzen eingesetzt werden. Die Kapazitätswerte lassen sich steigern durch sog. Schichtkondensatoren (Abb. 8.8a), die als parallelgeschaltete Plattenkondensatoren aufgefaßt werden können. Hierbei werden zwei Elektrodensysteme ineinander verschachtelt. Ist n die Gesamtzahl der Metallbel¨ age, so sind insgesamt n − 1 parallel geschaltete Plattenkondensatoren der Fl¨ ache A und Dicke d vorhanden. Die Kapazität ist damit C ≈ 0 r (n−1)A/d .

(8.7)

Läßt sich das Kondensatordielektrikum leicht verformen, so bieten Wickelkondensatoren die M¨ oglichkeit hoher spezifischer Kapazitätswerte. Abbildung 8.8 b zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Wickelkondensators aus zwei Metallfolien und zwei isolierenden Folien. Wegen der doppelten Ausnutzung der Fläche A des Metallbelags ist die Kapazität eines solchen Kondensators C ≈ 2 0 r A/d ,

(8.8)

wobei A die Elektrodenfl¨ ache und d die Foliendicke angibt. Um geringe Serieninduktivitäten und Verlustzahlen zu erzielen, werden die Metallfolien an der Seite kontaktiert.1 1

Dies geschieht nach dem Metallspritzverfahren (Schoop-Verfahren). Die zur Kontaktierung verwendeten Metalle werden dabei geschmolzen, zerst¨ aubt und auf die Seitenfl¨ achen des Wickels gespr¨ uht. Da jede Windung f¨ ur sich kontaktiert wird, stellt dieses Verfahren geringe Serienwiderst¨ ande und -induktivit¨ aten sicher.

8.2. Bauformen

323

M e ta ll M e ta ll D ie le k tr ik u m ( K u n s ts to ffo lie ) E le k tr o d e n

K o n ta k t (b )

(a )

Abb. 8.8. Aufbau (Prinzip) von Kondensatoren. (a) Schichtkondensator und (b) Wickelkondensator

Zylinderkondensatoren (R¨ ohrchenkondensatoren) sind Kondensatoren, deren Beläge auf der Innen- und Außenseite eines rohrförmigen keramischen Dielektrikums aufgebracht sind. Die Kapazit¨ at ist hier durch C = 0 r

2πΛ ln (1 + d/r)

(8.9)

gegeben, wobei Λ die L¨ ange, r den Innenradius und d die Wandstärke des Röhrchens angibt. Solange d/r 1 gilt, kann ln(1 + d/r) ≈ d/r angenommen werden, was zur N¨ aherung C ≈ 0 r 2πΛr/d ≈ 0 r A/d

(8.10)

f¨ uhrt, wobei A die Oberfl¨ ache des Zylinders angibt. Die Kapazität des Zylinderkondensators entspricht dann der eines Plattenkondensators, der zum Zylinder aufgerollt“ wurde. ” R v 1

v 2

Abb. 8.9. Durchf¨ uhrungskondensator

Zylinderkondensatoren kommen beispielsweise in der Störschutztechnik als zylindrische Durchf¨ uhrungskondensatoren zum Einsatz (Abb. 8.9). Der Außenbelag des Kondensators wird dabei u ¨ber einen Schraubanschluß mit dem Chassis, d. h. mit Masse verbunden. In Verbindung mit dem Innenwiderstand R der Signalquelle bildet sich so ein RC-Tiefpaß, der höherfrequente Anteile kapazitiv kurzschließt.

324

8. Kondensatoren

Trimmkondensatoren sind ver¨ anderbare Kapazitäten; sie dienen zum (einmaligen) Abgleich von Schwingkreisen, Filtern etc. und werden nach dem Einstellen gegen ungewollte Ver¨ anderung gesichert. Trimmkondensatoren werden meistens mit Keramik-Dielektrikum2 als Scheiben- oder Rohrtrimmer realisiert. Drehkondensatoren bieten ebenfalls veränderbare Kapazitätswerte, die jedoch im Gegensatz zu Trimmkondensatoren jederzeit während des Betriebs eines Ger¨ ats ver¨ andert werden können. Diese Kondensatoren spielten fr¨ uher beim Abgleich des Eingangskreises eines Rundfunkempfängers eine große Rolle. Durch besondere Formgebung der Plattenpakete sind unterschiedliche Abh¨ angigkeiten des Kapazit¨ atswerts vom Drehwinkel erzielbar.

8.3 Kenngr¨ oßen und Ersatzschaltung des realen Kondensators 8.3.1 Kenndaten, Grenzwerte F¨ ur jeden Kondensator wird vom Hersteller die Nennspannung VN sowie die at CN mit der zulässigen Toleranz, spei. allg. auf 20◦ C bezogene Nennkapazit¨ zifiziert. Letztere gibt die maximal zul¨ assige3 relative Abweichung des Kapazitätswerts vom Nennwert an (in Prozent). Die Nennspannung VN des Kondensators bestimmt die Spannung f¨ ur die der Kondensator ausgelegt ist, sie bezieht sich auf den Betrieb des Kondensators bei Temperaturen unterhalb der Nenntemperatur ϑN . ¨ Die relative Anderung des Kapazit¨ atswerts mit der Temperatur wird durch den Temperaturkoeffizienten αC spezifiziert. Bezieht sich die angegebene Nennkapazität CN auf die Temperatur 20◦ C, so ist C(ϑ) = CN [ 1 + αC (ϑ−20◦ C)] . Das Isolationsverm¨ ogen des Dielektrikums wird durch Angabe des Isolationswiderstands Ris spezifiziert. Dieser bestimmt die ebenfalls häufig angegebene Selbstentladezeitkonstante τis = Ris C ,

(8.11)

nach der die Spannung eines, zuvor auf die Nennspannung VN aufgeladenen, Kondensators auf 37 % ihres urspr¨ unglichen Werts abgesunken ist. Da C proportional und Ris umkehrt proportional zur Elektrodenfläche ist, liefert τis eine von der Elektrodenfl¨ ache (und damit vom Kapazitätswert) unabhängige Kenngröße zur Charakterisierung einer Kondensatortechnologie. Die Verlustleistung bei Gleichbetrieb ergibt sich damit zu 2

F¨ ur Scheibentrimmer werden gelegentlich auch Kunststoffdielektrika verwendet. Die Angabe bezieht sich dabei auf den Zeitpunkt der Auslieferung und kann nach l¨ angerer Lagerung oder l¨ angerem Gebrauch nach oben u ¨berschritten werden. 3

8.3. Kenngr¨ oßen und Ersatzschaltung des realen Kondensators

P = V 2 /Ris = 2 W/τis .

325

(8.12)

Sie ist proportional zur im Kondensator gespeicherten Energie W und umgekehrt proportional zur Selbstentladezeitkonstante τis . Wird der Spannung V eine Wechselspannung vˆ sin(ωt) u ¨berlagert, so ist zusätzlich zu (8.12) der frequenzabhängige Verlustleistungsanteil (Effektivwert) v 2 /2 P = Re(Y )ˆ

(8.13)

zu ber¨ ucksichtigen. Die Verlustzahl tan δC des Kondensators ist definiert als Quotient des Realteils und des Betrags des Imaginärteils der Impedanz tan δC =

1 Re Z = . |Im Z| QC

(8.14)

Ihr Kehrwert QC = 1/tan δC wird als G¨ ute des Kondensators bezeichnet. Solange die Bedingung tan δC 1 erf¨ ullt ist, gilt näherungsweise P ≈

1 2 vˆ ωC tan δC . 2

(8.15)

Die Verluste entstehen haupts¨ achlich im Dielektrikum. Weitere Verluste sind bedingt durch den Isolationswiderstand, die endliche Leitfähigkeit der Kon¨ densatorbeläge sowie den Ubergangswiderstand zwischen den Belägen und den Anschlußdr¨ ahten. Sie lassen sich (zumindest näherungsweise) mit der in Abschnitt 8.3.3 bzw. 8.3.4 besprochenen Ersatzschaltung erfassen.

8.3.2 Grenzspannungen, Pulsbelastbarkeit Die Dauergrenzspannung Vg bestimmt die höchste Spannung, mit der der Kondensator betrieben werden darf. Vg ist f¨ ur ϑ < 40◦ C in der Regel gleich der Nennspannung; bei h¨ oheren Werten der Umgebungstemperatur ϑA ist jedoch meist eine vom Hersteller spezifizierte Spannungsminderung zu beachten: Der Wert von Vg ist dann kleiner als VN . Wird an den Kondensator eine Gleichspannung V+ angelegt, der eine Wechselspannung u ¨berlagert ist, so darf die Summe aus Scheitelwert der u ¨berlagerten Wechselspannung und Gleichspannung die Dauergrenzspannung nicht u ¨berschreiten: Bei niedrigen Frequenzen ist der Effektivwert V∼ der u ¨berlagerten Wechselspannung durch die Dauergrenzspannung beschr¨ ankt und muß der Ungleichung √ V∼ < (Vg −V+ ) 2 = V∼,max (8.16) gen¨ ugen. Mit zunehmender Frequenz nimmt bei gleichbleibender Wechselspannungsamplitude der Effektivwert des durch den Kondensator fließenden Stroms zu. Der maximal zul¨ assige Effektivwert des durch den Kondensator ur Frefließenden Stroms wird durch den Dauergrenzstrom Ig vorgegeben. F¨ quenzen f > Ig /(2πCV∼,max ) wird der maximal zulässige Effektivwert V∼ der u ¨berlagerten Wechselspannung deshalb durch die Forderung

326

8. Kondensatoren

V∼ < Ig /(2πCf )

(8.17)

bestimmt. Werden die spezifizierten Grenzwerte u ¨berschritten, so kann es zum Durchschlag kommen. W¨ armedurchschlag tritt auf, falls im Dielektrikum mehr Wärme entsteht, als abgef¨ uhrt wird; dadurch erwärmt sich das Dielektrikum in zunehmendem Maß bis zum Auftreten des Durchschlags. Felddurchschlag ¨ [5] ist dagegen bedingt durch Uberspannungen. Der Durchschlag erfolgt durch Stoßionisation, dabei bilden sich Entladungskanäle im Dielektrikum. S c h o o p - M e ta ll

M e ta llb e la g

F o lie

K o n ta k ts te lle n

S tr o m a u fw e itu n g Abb. 8.10. Zur Problematik der Kontaktierung von Kuststoffolienkondensatoren [6]

An Kondensatoren d¨ urfen keine Spannungspulse mit beliebig hoher Flankensteilheit dv/dt angelegt werden, da diese zu hohen Strömen i(t) = C dv/dt ¨ im Kondensator f¨ uhren und damit zu einer möglichen thermischen Uberlastung der Kontakte – insbesondere bei Kunststoffolienkondensatoren mit d¨ unnen aufgedampften Metallelektroden. Die Metallelektroden werden durch ein Flammspritzverfahren (Schoop-Verfahren) kontaktiert, bei dem feine Metalltröpfchen mit hoher Geschwindigkeit auf die zu kontaktierende Stirnfläche des Kondensatorwickels geschleudert werden. Die elektrische Kontaktierung ist dabei nicht durchg¨ angig - abh¨ angig von der Qualität der Kontaktierung entsteht eine mehr oder weniger dichte Folge von Kontaktstellen (Abb. 8.10). Die Dichte der Kontaktstellen bestimmt die Pulsbelastbarkeit der Kondensatoren. v d v d t =

V tr

s s

V

tr

tf

s s

t

Abb. 8.11. Zur Pulsbelastbarkeit von Kondensatoren


327

Die Pulsbelastbarkeit wird meist durch Angabe einer maximalen Flankensteilheit4 F = |dv/dt| bei Umladevorg¨ angen mit einem Hub entsprechend der Nennspannung spezifiziert. Bezeichnet Vss den Hub der am Kondensator anliegenden Spannung, tr die Anstiegszeit und tf die Abfallzeit (vgl. Abb. 8.11), so m¨ ussen Vss /tr und Vss /tf kleiner als F sein.

c ls

r

p

s

r p

Abb. 8.12. Parallelersatzschaltung f¨ ur Kondensatoren

8.3.3 Parallelersatzschaltung Abbildung 8.12 zeigt eine Ersatzschaltung f¨ ur einen Kondensator. Die Induktivität ls beschreibt dabei induktive Beiträge der Zuleitungen und der Wicklung des Kondensators; rs ist ein durch die Zuleitungen und Beläge bedingter Serienwiderstand. Der Wert von rs steigt als Folge des Skineffekts bei hohen Frequenzen an. Der parallel zur Kapazität cp liegende Parallelwiderstand rp wird bei niederen Frequenzen i. allg. durch den Isolationswiderstand bestimmt; bei h¨ oheren Frequenzen werden dielektrische Verluste maßgebend. Mit der Verlustzahl des Dielektrikums l¨ aßt sich schreiben 1/rp = ωcp tan δ + 1/Ris .

(8.18)

Die Impedanz Z des Kondensators ergibt sich aus der Ersatzschaltung zu Z = rs + jωls +

rp 1 + jωrp cp

(8.19)

4 F¨ ur die w¨ ahrend eines Aufladevorgangs in den Zuleitungswiderst¨ anden umgesetzte Energie gilt

W

tr

i2 (t) dt ∼

∼ 0

0

tr

dv dt

2

dt ≈

Vss2 . tr

W soll einen bestimmten Grenzwert nicht u ¨berschreiten. Aus diesem Grund kann die Pulsbelastbarkeit eines Kondensators durch den Pulskennwert k0 (in V2 /µs ) spezifiziert werden [7]. F¨ ur die Anstiegs- bzw. Abfallzeit eines trapezf¨ ormigen Pulses (Abb. 8.11) muß gelten tf , tr ≥ 2Vss2 /k0 . Typische Werte f¨ ur k0 liegen im Bereich von 50 000 V2 /µs. Die maximale Flankensteilheit F errechnet sich aus Pulskennwert und Hub zu F < k0 /(2Vss ). Bei abnehmendem Hub aren somit rein rechnerisch beliebige Flankensteilheiten und damit Str¨ ome zugelasVss w¨ sen. Dies ist in der Praxis jedoch zumeist ohne Bedeutung, da durch die unvermeidliche Serieninduktivit¨ at die Anstiegsgeschwindigkeit ohnehin begrenzt ist.

328

8. Kondensatoren

und läßt sich aufspalten in Realteil und Imaginärteil Re(Z) = rs +

rp 1 + ω 2 rp2 c2p

(8.20)

1 1 − ω 2 l s cp Im(Z) = − ωcp 1 + (ωrp cp )−2

.

(8.21)

Wird der Isolationswiderstand Ris vernachlässigt, so ist rp = (ωcp tan δ )−1 und Re(Z) = rs +

1 tan δ tan δ ≈ rs + 2 ωcp 1+tan δ ωcp

1 1 − ω 2 l s cp Im(Z) = − ωcp 1+tan2 δ

≈ −

(8.22) 1 − ω 2 l s cp . ωcp

(8.23)

Im(Z) weist f¨ ur rp , ls = 0 eine Nullstelle auf bei der Resonanzfrequenz

1 1 1 − 2 2 ≈ l s cp r p cp 2π

1 . l s cp

(8.24)

Im ( Z )

lo g ( Z )

1 fr = 2π

1 /(2 p fc s)

in d u k tiv e s V e r h a lte n 2 p fls fr

Z (f) r

rs+ r f= 0

s

p

R e ( Z ) f

E S R fr (a )

lo g ( f )

k a p a z itiv e s V e r h a lte n (b )

Abb. 8.13. (a) Scheinwiderstand als Funktion der Frequenz und (b) Impedanzortskurve eines Kondensators (schematisch)

F¨ ur Frequenzen f < fr verh¨ alt sich der Kondensator kapazitiv, f¨ ur f > fr induktiv (Abb. 8.13). Bei kleinen Frequenzen weist Z einen Abfall proportional zu 1/f auf. In der N¨ ahe der Resonanzfrequenz fällt Z zunächst stärker ab; f¨ ur f > fr beginnt dann der induktive Anteil zu u ¨berwiegen und Z steigt wieder an. Bei der Resonanzfrequenz ist Im(Z) = 0.


329

Die Verlustzahl tan δC des Kondensators ergibt sich aus den Gln. (8.22) und (8.23) durch Quotientenbildung. F¨ ur tan δ 1 und f < fr f¨ uhrt dies auf tan δ + ωrs cp Re Z ≈ . |Im Z| 1 − (f /fr )2

tan δC =

(8.25)

8.3.4 Serienersatzschaltung Bei hohen Frequenzen ist die Anwendung der Serienersatzschaltung sinnvoll. ¨ Der Ubergang von der Parallelersatzschaltung zur Serienersatzschaltung ist in Abb. 8.14 dargestellt. c ls r

p

ls s

r

E S R

p

(a )

(b )

c s

Abb. 8.14. Parallelund Serienersatzschaltung eines Kondensators

Damit beide Ersatzschaltungen dasselbe Frequenzverhalten beschreiben, m¨ ussen die Impedanzen der gestrichelt eingefaßten Teilschaltungen identisch sein rs +

rp 1 = ESR + . 1 + jωrp cp jωcs

(8.26)

Durch Vergleich der Real- und Imagin¨ arteile resultieren die Forderungen 0 = 1 − ω 2 rp cp (ESR − rs )cs 0 = (ESR − rs )cs − rp (cs −cp ) . Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert den gesuchten Zusammenhang zwischen den Gr¨ oßen der Parallel- und der Serienersatzschaltung cs = cp +

1 ω 2 rp2 cp

und

ESR = rs +

rp . 1 + ω 2 rp2 c2p

(8.27)

Mit der Näherung cp ≈ CN folgt f¨ ur unendlich hohen Isolationswiderstand (Ris → ∞) und kleine Verlustzahlen (1 + tan2 δ ≈ 1) f¨ ur ESR 5 ESR ≈ rs + 5

tan δ 1 1 1 tan δ ≈ rs + . 2πcp 1+tan2 δ f 2πCN f

Die Bezeichnung ESR kommt von englisch: equivalent series resistance

330

8. Kondensatoren

Der Wert von ESR steigt in der Regel mit der Betriebstemperatur und der Betriebsfrequenz des Kondensators. F¨ ur hohe Frequenzen gilt jedoch häufig in guter Näherung rs ≈ ESR. Die Kenngrößen cs , ls und ESR lassen sich aus einer doppeltlogarithmischen Auftragung des Kondensatorscheinwiderstands Zu ¨ber der Frequenz ablesen. Abbildung 8.13 a erläutert die Zusammenhänge. Beispiel 8.3.1 Als Beispiel wird der in Abb. 8.15a dargestellte Verlauf des Scheinwiderstands Z von metallisierten Polyesterkondensatoren unterschiedlicher Kapazitätswerte betrachtet. 1

1 0 0

W

0 .1

2 2 n F 4 7 n F 1 0 0 n F

4 .7 m F

Z 0 .0 1

0 .0 0 1

M H z

1 0 n F

1 m F 2 .2 m F

0 .1

1

2 2 0 n F 4 7 0 n F

1 0 f

M H z

~ C

1 0

-1 /2

fr 1

1 0 0

0 .1

0 .0 1

0 .1

1

m F

1 0

C (a )

(b )

Abb. 8.15. (a) Scheinwiderstand metallisierter Polyesterkondensatoren als Funktion der atswerts C (nach [8]) Frequenz, (b) Resonanzfrequenz fr als Funktion des Kapazit¨

Die Resonanzfrequenz der Reihe nimmt mit zunehmendem Kapazitätswert der Kondensatoren ab; in Abb. 8.15 b ist die Resonanzfrequenz fr u ¨ber dem Kapazitätswert C aufgetragen. Dieses Verhalten ist unter der Annahme einer f¨ ur sämtliche Kapazitätswerte einheitlichen√Zuleitungsinduktivit¨ at leicht verständlich, da f¨ ur ls = const. nach urde Gl. (8.24) fr ∼ 1/ C gilt. Ein entsprechender Abfall der Resonanzfrequenz w¨ in der gew¨ ahlten doppeltlogarithmischen Darstellung durch eine Gerade der Steigung −1/2 wiedergegeben. Eine solche ist in Abb. 8.15 b gestrichelt eingetragen; sie gibt den tats¨ achlichen Verlauf weitgehend wieder und bestätigt damit die getroffene Annahme. Der Wert der Serieninduktivit¨ at läßt sich aus der Resonanzfrequenz zu atzen. Dies ist ein typischer Wert f¨ ur bedrahtete Bauteile6 – er wird ls ≈ 6 nH absch¨ bei SMT-Bauteilen unterschritten. Der Wert des Scheinwiderstands bei der Resonanzfrequenz folgt aus Gl. (8.22) zu 6

Der genaue Wert ist immer abh¨ angig von den jeweiligen Einbauverh¨ altnissen – bei hohen Betriebsfrequenzen ist deshalb stets auf k¨ urzeste Drahtl¨ ange (oder SMT-Bauform) zu achten.

8.3. Kenngr¨ oßen und Ersatzschaltung des realen Kondensators tan δ = rs + tan δ Z(fr ) = Re[Z(fr )] ≈ rs + 2πfr CN

331

ls = ESR(fr ) . CN

Er steigt mit abnehmenden Werten von cp ≈ CN an, was mehrere Ursachen haben kann: In Wickel- und Vielschichtkondensatoren ist jede Schicht kontaktiert, mit der Folge, daß die durch die Anschl¨ usse bedingten Serienwiderstände parallel liegen, was sich in einer Reduktion von rs bemerkbar macht. Der erste Beitrag zu Z(fr ) skaliert deshalb bei identisch ausgef¨ uhrten Kontakten annähernd proportional zu 1/CN . Der zweite Beitrag zu Z(fr ) skaliert auf der anderen Seite bei konstant bleibender √ Serieninduktivit¨ at wie 1/ CN . Da die Resonanzfrequenz mit abnehmendem CN zunimmt, kann dar¨ uber hinaus der Skineffekt eine Steigerung des Serienwiderstands √ bei Resonanz verursachen – der entsprechende Anstieg wäre proportional zu fr √ bzw. proportional zu 1/ CN . Abh¨ angig von Bauform und Dielektrikum ist der eine oder andere Beitrag dominierend. Der Wert von Z(fr ) liegt jedoch typischerweise im Intervall 10 mΩ bis 1 Ω. ∆

8.3.5 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren Werden mehrere Kondensatoren mit Kapazitätswerten C1 , . . . , Cm und Verlustzahlen tan δC1 , . . . , tan δCm parallel geschaltet, so addieren sich die jeweiligen Admittanzwerte Y k = jωCk (1 − j tan δCk ). Die Admittanz der Parallelschaltung ist demnach jω

m

Ck (1 − j tan δCk ) = jωC(1 − j tan δC )

k=1

mit dem Kapazit¨ atswert C und Verlustzahl tan δC der Parallelschaltung C =

n

Ck und tan δC

k=1

m 1 = Ck tan δCk . C k=1

Beschreibt αCk den Temperaturkoeffizient des Kondensators mit der Nennkapazität Ck , so folgt f¨ ur den Kapazit¨ atswert bei ϑ = ϑN C(ϑ) =

m

Ck (1 + αCk ∆ϑ) = C(ϑN ) (1 + αC ∆ϑ)

k=1

mit dem Temperaturkoeffizienten der Parallelschaltung αC =

m 1 Ck αCk . C k=1

Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren sind die Impedanzwerte Z k zu addieren. F¨ ur Verlustzahlen tan δCk 1 gilt die Näherung Zk =

1 1 1 + jω tan δCk 1 = ≈ ; Y jωCk 1 − jω tan δCk jωCk

332

8. Kondensatoren

damit folgt f¨ ur die Impedanz der Reihenschaltung m 1 + jω tan δCk

Z =

jωCk

k=1

=

1 + jω tan δC jωC

mit der Kapazit¨ at C und der Verlustzahl tan δC der Reihenschaltung m 1 1 = C C k=1 k

und

tan δC = C

m tan δCk k=1

Ck

.

Weicht die Temperatur der Kondensatoren von der Nenntemperatur um ∆ϑ ab, so verändert sich der Kapazit¨ atswert in erster Ordnung von ∆ϑ zu 1 C(ϑ)

= =

m

m 1 1 − αCk ∆ϑ ≈ C (1 + α ∆ϑ) Ck Ck k=1 k k=1

(8.28)

1 1 − αC ∆ϑ ≈ , C (1 + αC ∆ϑ) C

(8.29)

d.h. der Temperaturkoeffizient der Reihenschaltung errechnet sich aus den Temperaturkoeffizienten der einzelnen Kondensatoren gemäß αC = C

m αCk k=1

K _ 1

i

Ck

.

K _ 2 Abb. 8.16. Zur Elementanweisung von Kapazit¨ aten in SPICE

v

8.3.6 Modellierung von Kapazit¨ aten in SPICE Die Elementanweisung f¨ ur die (lineare) Kapazit¨ at ist von der Form C(name)

K1

K2

Wert (in Farad)

(IC = V (0))

F¨ ur die Analyse zeitabh¨ angiger Vorg¨ ange ist gelegentlich die Spannung u ¨ber C zur Zeit t = 0 zu definieren (Anfangsbedingung). Dies kann durch die optionale Angabe IC = V (0) erfolgen. Nichlineare Kapazit¨ aten lassen sich mit der Elementanweisung C(name)

K1

K2

POLY

C0

(C1, C2, ...)

(IC = V (0))

definieren. Die Gr¨ oßen C0, C1, .... sind dabei die Koeffizienten des Polynoms, das die (Kleinsignal-)Kapazit¨ at c (in F) als Funktion der Spannung angibt V V2 c = C0 + C1 · + C2 · 2 + ·· F V V


333

Beispiel 8.3.2 Die als Beispiel betrachtete Anweisung CVAR

3

2

POLY

1N

100P

-50P

80P

IC=2

definiert eine (Kleinsignal-)Kapazit¨ at CVAR zwischen Knoten 3 und 2 mit der Spannungsabh¨ angigkeit V2 V V3 cVAR = 1 + 0.1 − 0.05 2 + 0.08 3 nF, V V V u ¨ber der zur Zeit t = 0 die Spannung 2 V abfällt.

∆

C A P S E R K _ L

K _ 1 R E S R

K _ C L S

K _ 2

Abb. 8.17. Teilschaltungsdefinition f¨ ur Kondensatoren

C S

Um die elektrischen Eigenschaften von Kondensatoren mit tan δC = 0 zu erfassen, muß der Kondensator u ¨ber eine Ersatzschaltung beschrieben werden; in SPICE wird dieses zweckm¨ aßigerweise in einer Teilschaltung (vgl. Kap. 4) definiert.7 Die Elemente der Reihenersatzschaltung lassen sich aus der in Datenblättern gebr¨ auchlichen Auftragung von Z(f ) entsprechend Abb. 8.13 a ermitteln. Beispiel 8.3.3 Die Teilschaltungsdefinition .SUBCKT CAPSER K1 KL 0.02 RESR K 1 6N LS KL KC K 2 1U CS KC .ENDS

K2

beschreibt eine Reihenersatzschaltung f¨ ur einen 1 µF-Polyesterkondensator nach Beispiel 8.3.1. In der Netzliste wird die Teilschaltung mit der Anweisung X(name)

K1

K2

CAPSER

aufgerufen. Abbildung 8.18 zeigt die Ergebnisse einer SPICE-AC-Analyse f¨ ur die Scheinwiderst¨ ande unterschiedlicher Kunststoffolienkondensatoren mit Polyesterdielektrikum (Kapazit¨ atswerte 4.7 µF, 1 µF, 100 nF und 10 nF). Dabei wurde jeweils RESR = Z[f (r)] gesetzt. Zus¨ atzlich wurde die bei gleichbleibender Spannungsamplitude (1 V) im 10 nF-Kondensator umgesetzte Verlustleistung eingetragen, die ein ausgepr¨ agtes Maximum bei der Resonanzfrequenz aufweist. ∆ 7

Alternativ kann in PSPICE mit einer frequenzabh¨ angigen gesteuerten Quelle gearbeitet werden.

334

8. Kondensatoren

: Q) Q)

:

X) :

P

: X) :

P

9HUOXVWOHLVWXQJ

: P

!! : .+] .+] 9& ,5 9& ,5

0+] 9& ,5

0+] 9& ,5 )UHTXHQF\

Q)

0+] 0+] 0+] 59& ,5

Abb. 8.18. Mit PSPICE simulierte Scheinwiderst¨ ande als Funktion der Frequenz

8.3.7 Anwendung: St¨ utz- und Abblockkondensatoren Schnelle Strom¨ anderungen (etwa beim Treiben großer kapazitiver Lasten) f¨ uhren in Verbindung mit der Serienimpedanz der Versorgungsleitung zu Störungen der Versorgungsspannung. Diese lassen sich durch Pufferung mit St¨ utzkondensatoren am Verbraucher deutlich vermindern. Der St¨ utzkondensator sollte dabei m¨ oglichst induktivit¨ atsarm sein, einen geringen ESR-Wert aufweisen und m¨ oglichst nahe an den Bausteinen plaziert werden, bei denen große Stromänderungen auftreten. Wirkt der Kondensator rein kapazitiv und fließt während der Zeit ∆t zus¨ atzlich der Strom ∆I in den Verbraucher, so entspricht dies der Ladungs¨ anderung ∆Q = ∆I∆t. Diese bewirkt am Kondensator die Spannungs¨ anderung ∆V = ∆Q/C, falls die im Zeitintervall ∆t auf den Kondensator fließende Ladung vernachlässigt wird. Bezeichnet ∆Vmax ¨ die maximal zul¨ assige Anderung der Versorgungsspannung am Verbraucher, so sollte die Kapazit¨ at des St¨ utzkondensators zunächst die Bedingung C ≥ ∆Q/∆Vmax

(8.30)

erf¨ ullen. Da reale Kondensatoren nicht rein kapazitiv sind, stellt sich die Frage nach dem Frequenzbereich, in dem das Bauteil Wechselströme niederohmig u ucken muß. Dieser l¨ aßt sich aus der Unschärferelation annähernd be¨berbr¨ stimmen. Tritt am Ausgang eines Treibers ein kurzer Strompuls i(t) der Breite ∆t auf, so läßt sich dieser als Fouriertransformierte darstellen

8.3. Kenngr¨ oßen und Ersatzschaltung des realen Kondensators ∞

i(t) =

−∞

335

i(ω)e jωt dω .

Die Breite ∆ω der Fouriertransformierten gen¨ ugt dabei der Unschärferelation ∆ω∆t ≥ 1/2 . Wird ∆t ≈ tr /2π angesetzt, so folgt, daß der St¨ utzkondensator bis zur Frequenz8 ∆f ≈ 1/(2tr ) niederohmig (|Z| < ∆Vmax /∆I) sein muß, d.h. die Resonanzfrequenz des St¨ utzkondensators sollte nicht nennenswert kleiner sein als dieser Wert. Weisen Kondensatoren mit Kapazitätswerten nach (8.30) kleinere Werte der Resonanzfrequenz auf, so sollten mehrere unterschiedliche Kapazitätswerte parallel geschaltet werden. Auf diesem Weg läßt sich u ¨ber einen großen Frequenzbereich eine niedriger Scheinwiderstand realisieren.

Q)

Q) __Q) 2KP

Q)

2KP

P Q) __Q) __Q) __Q) __Q)

P 0+] 0+] 0+] 0+] 9& ,5 9& ,5 9& ,5 ,5 )UHTXHQF\

0+] 0+] 9& ,9

*+]

Abb. 8.19. Scheinwiderstandsverl¨ aufe f¨ ur parallelgeschaltete St¨ utzkondensatoren (Beispiel 8.3.4)

Beispiel 8.3.4 Damit eine Batterie parallelgeschalteter St¨ utzkondensatoren u ¨ber einen großen Frequenzbereich wirksam ist, sind die Kapazitätswerte der parallel geschalteten Kondensatoren sorgf¨ altig aufeinander abzustimmen. Liegen die Kapazit¨ atswerte weit auseinander, so kann es zu Resonanzeffekten mit einem starken Anstieg des Scheinwiderstands kommen. Zur Erläuterung wird Abb. 8.20 betrachtet. Gilt c1 c2 so ist (bei vergleichbarem ls der Kondensatoren) die Resonanzfrequenz 8

Eine untere Grenze f¨ ur den Frequenzbereich in dem die St¨ utzkapazit¨ at niederohmig sein muß ergibt sich aus der Zeitkonstanten mit der der St¨ utzkondensator u ¨ber die Versorgungsspannung nachgeladen wird.

336

r

8. Kondensatoren

r

s 1

ls 1 c

s 2

f r1 < f < f r2

ls 2

s 1

ls 1 c

1

r

r

s 2

c

2

(a )

(b )

2

Abb. 8.20. Zur Erl¨ auterung der Resonanzeffekte in parallel geschalteten St¨ utzkondensatoren

fr1 des großen Kondensators wesentlich kleiner als die Resonanzfrequenz fr2 des kleinen Kondensators. Im Frequenzbereich zwischen fr1 und fr2 dominiert deshalb beim großen Kondensator der induktive Anteil, beim kleinen Kondensator der kapazitive Anteil, so daß ein Parallelschwingkreis entsteht, der die Impedanz der Parallelschaltung ansteigen l¨ aßt. Dies zeigt das in Abb. 8.19 gezeigte Simulationsergebnis f¨ ur den Scheinwiderstand von zwei parallel geschalteten Transistoren der Kapazität 1 nF und 100 nF: Durch den beschriebenen Resonanzeffekt steigt der Scheinwiderstand auf 20.8 Ω an, was oberhalb des zum Vergleich dargestellten Scheinwiderstands des 100 nF-Kondensators allein liegt. Durch eine enger gestufte Parallelschaltung von f¨ unf Kondensatoren (1 nF, 3.3 nF, 10 nF, 33 nF und 100 nF) kann der Scheinwiderstand u ∆ ¨ber einen großen Frequenzbereich unter 1 Ω gehalten werden (Abb. 8.19).

8.3.8 Zuverl¨ assigkeit von Kondensatoren Die Ausfallrate von Kondensatoren ist stark temperaturabhängig. Dies wird erklärt durch chemische Reaktionen im Kondensatordielektrikum, die mit zunehmender Temperatur beschleunigt ablaufen (Arrhenius-Gesetz). Auch die Betriebsspannung ist von bedeutendem Einfluß: Mit zunehmender Spannung erhöht sich die elektrische Feldst¨ arke und damit die Wahrscheinlichkeit, daß an einer Schwachstelle des Kondensatordielektrikums ein Durchschlag auftritt. Durch eine Reduktion der Betriebsspannung und der Bauteiltemperatur l¨ aßt sich in allen F¨ allen eine deutliche Steigerung der Lebensdauer erreichen. G e h ä u s e C y

L

C x

C y

N

R V

R

R K

E

F u ß b o d e n

Abb. 8.21. St¨ orschutzkondensator

8.4. Ausf¨ uhrungen

337

St¨ orschutzkondensatoren, die st¨ andig mit dem Netz verbunden sind, m¨ ussen besonders zuverl¨ assig sein. Kondensatoren der Klasse X ( X-Kondensatoren“ ) ” d¨ urfen zwischen Phase und Nulleiter oder zwischen den Phasen angeschlossen werden – Situationen, in denen ein Ausfall des Kondensators nicht zu einer Gefährdung von Personen durch Stromschlag f¨ uhren kann. Kondensatoren der Klasse Y ( Y-Kondensatoren“ ) sind dann einzusetzen, wenn ein Ausfall ” des Kondensators einen ernsten Stromschlag bedingen könnte (Anschluß zwischen Phase und ber¨ uhrbarem, schutzgeerdetem Gehäuse). Y-Kondensatoren m¨ ussen deshalb Spannungspulse von 5 kV u ¨berstehen. Der Kapazitätswert von Y-Kondensatoren ist auf 10 nF (ortsveränderliche Geräte) bzw. 50 nF (ortsfeste Geräte) begrenzt, um den als Blindstrom u ¨ber die Y-Kondensatoren fließenden Strom zu begrenzen.9

8.4 Ausf¨ uhrungen 8.4.1 Metallpapierkondensatoren In Metallpapierkondensatoren (MP) wird ein imprägniertes Papier als Dielektrikum verwendet. Die dielektrischen Eigenschaften werden dabei durch das verwendete Impr¨ agniermittel beeinflußt. Metallpapierkondensatoren werden wegen ihres sehr guten Ausheilverhaltens hauptsächlich zur Funkentstörung und f¨ ur Netzparallelkondensatoren eingesetzt.10 Diese liegen teilweise viele Jahre ununterbrochen direkt am Netz und sind besonders gefährdet, z. B. durch energiereiche St¨ orpulse. Neben einem guten Ausheilverhalten wird hier zur Vermeidung von Brandgefahr gefordert, daß der Kondensator nicht entflammbar ist. In elektronischen Schaltungen sind MP-Kondensatoren ansonsten nicht weit verbreitet, da sie vergleichsweise schlechte elektrische Eigenschaften aufweisen: Der Temperaturkoeffizient αC liegt bei ca. 0.15 %/K, oßenordnungsmäßig 10−2 bei f = 1 kHz, die die Verlustzahl tan δC ist gr¨ Selbstentladezeitkonstate ist gr¨ oßenordnungsmäßig 1 h.

8.4.2 Folienkondensatoren Hochwertige Kunststoffolien mit geringen Dicken und g¨ unstigen elektrischen Eigenschaften lassen sich kosteng¨ unstig erzeugen und ermöglichen die Herstellung von Folienkondensatoren. Kunststoffolien besitzen gegen¨ uber Papierdielektrika eine Reihe von Vorz¨ ugen wie: weitgehende Freiheit von Fehlstellen Im Fall einer Unterbrechung des Schutzleiters (RE → ∞) fließt dieser bei Ber¨ uhrung u ahrdung der Person f¨ uhren w¨ urde. ¨ber RK ab, was – ohne Begrenzung – zur Gef¨ 10 ¨ An Netzparallelkondensatoren k¨ onnen, bedingt durch Blitzeinschl¨ age oder Uberschl¨ age ins Versorgungsnetz, Transienten mit Spitzenspannungen im Bereich mehrerer Kilovolt auf¨ treten. Mittlerweile sind auch Folienkondensatoren verf¨ ugbar, die bzgl. Uberspannungsfestigkeit vergleichbare Sicherheitsreserven aufweisen wie MP-Kondensatoren. Diese zeichnen sich i.allg. durch einen g¨ unstigen Preis und einen besseren Schutz gegen Feuchte aus. 9

338

8. Kondensatoren

bei geringer Folienst¨ arke, hohe Isolationswiderstände und Durchschlagsfestigkeit, sowie eine geringe Feuchtigkeitsaufnahme. Da sich Kunststoffolien leicht dehnen lassen, werden Folienkondensatoren meistens als Wickelkondensator ausgef¨ uhrt.11 Abh¨ angig davon wie die Kondensatorelektroden erzeugt werden, unterscheidet man KF- und MKF- (oder MK)-Kondensatoren: • Bei KF-Kondensatoren dienen Metallfolien, die zusammen mit dem Foliendielektrikum aufgerollt werden, als Kondensatorelektroden. Die zuvor gereckten Kunststoffolien werden nach dem Wickeln erhitzt und dadurch geschrumpft. Dies erm¨ oglicht Feuchteschutz und mechanische Stabilisierung des Wickels. • Bei MKF-Kondensatoren wird die Kondensatorelektrode durch Bedampfen der Kunststoffolie mit einer d¨ unnen Metallschicht realisiert. Die Dicke der aufgedampften Metallbel¨ age liegt dabei typischerweise im Bereich zwischen 20 nm und 50 nm. Folienkondensatoren sind sowohl bedrahtet als auch unbedrahtet (Chipkondensatoren) lieferbar, wobei sich letztere durch eine besonders geringe Serieninduktivität auszeichnen. Fortgeschrittene Wickel- und Kontaktierungsverfahren sowie die Verf¨ ugbarkeit isolierender Folien mit einer Stärke von der Größenordnung 1 µm erm¨ oglichten eine beachtliche Reduktion der Abmessungen bei gleichbleibenden Kapazitätswerten. Dies ging einher mit einer Verringerung des Rastermaßes f¨ ur die Anschl¨ usse bedrahteter Kondensatoren. Tabelle 8.2 zeigt dies anhand der Entwicklung von 1 µF-PolyesterKondensatoren. Tabelle 8.2 Entwicklung von MKT-Kondensatoren (1 µF, nach [9]) Rastermaß Abmessungen mm W × L × H mm3 15 6 × 12.5 × 18 10 5 × 11 × 13 7.5 4.5 × 9.5 × 10.3 5 5 × 10 × 7.2 2.5 5.5 × 10 × 4.6

Grundfl¨ ache mm2 108 65 46 36 25

Volumen mm3 1350 715 440 360 253

spez. Kapazität pF/mm3 740 1400 2270 2780 3950

Organische Dielektrika f¨ ur Folienkondensatoren Die Eigenschaften von Folienkondensatoren wie Verlustwinkel, Temperaturabhängigkeit etc. werden wesentlich durch das verwendete Dielektrikum be¨ stimmt. Die folgende Tabelle 8.3 gibt einen Uberblick u ¨ber die gebräuchlichsten Materialien. 11

Daneben sind Vielschichtkondensatoren im Handel.


339

Tabelle 8.3 Organische Dielektrika f¨ ur Folienkondensatoren (typische Daten) Kenngr¨ oße Einheit

PETP

PC

PP

PS

PPS

r – ◦ C ϑmin /ϑmax TK ppm/K V/µm ED µm dmin tan δ (1 kHz) % s τis (23◦ C)

3.3 −55/100 400 ±200 500 0.9 0.5 25000

2.8 −55/125 0 ±100 350 1.5 0.15 25000

2.2 −55/85 −200 ± 50 600 4 0.03 100000

2.5 −40/70 −150 ± 50 150 4 0.02 100000

3.0 −55/125 0 ±50 400 2 0.08 10000

¨ Eine Gegen¨ uberstellung der relativen Anderung des Kapazitätswerts unterschiedlicher Folienkondensatoren mit der Temperatur ist in Abb. 8.22 zu sehen. 6

P E T P P P P S P C P P S

% 4 2

P P S

D C C 0

P C P S

-2

-6

P P

P E T P

-4

-5 5

-4 0

-2 0

0 J

2 0

4 0

6 0

8 0

C

Abb. 8.22. Relative ¨ Anderung der Kapazit¨ at mit der Temperatur (Richtwerte) f¨ ur verschiedene Foliendielektrika

Polyester (PETP). Polyester (Polyethylenterephthalat, PETP) zeichnet sich als Kondensatordielektrikum durch gute Beständigkeit bei höheren Temperaturen und Unempfindlichkeit gegen¨ uber Feuchtigkeit aus. PETP ist ein polares Dielektrikum: r verringert sich von Werten zwischen 3.2 und 3.3 bei f = 50 Hz auf r = 2.9 bei f = 10 GHz. Die Verlustzahl steigt zunächst stark mit der Frequenz an und liegt bei f = 1 MHz deutlich oberhalb ein Prozent, mit weiter zunehmender Frequenz f¨ allt tan δ jedoch wieder ab (tan δ ≈ 0.6% bei f = 10 GHz, [10]). Der Wert von r nimmt mit zunehmender Temperatur mit einem Temperaturkoeffizienten von ca. 500 ppm/K zu. Typische Anwendungen liegen in kapazitiver Kopplung und Siebung.

340

8. Kondensatoren

Polycarbonat (PC). Polycarbonat ist ein polarer Kunststoff mit Dielektrizitätszahlen im Bereich von 3.0 bis 3.2; diese Werte nehmen mit steigender Frequenz leicht ab. Die Verlustzahl beträgt tan δ ≈ 10−3 bei 1 kHz und tan δ ≈ 10−2 bei 1 MHz. PC weist eine sehr geringe Temperaturabhängigkeit, einen großen zul¨ assigen Temperaturbereich, geringe Alterung und geringe Verluste auf. Kondensatoren mit PC-Dielektrikum werden f¨ ur Zeitglieder und Filter sowie Schaltungen, die bei erhöhten Umgebungstemperaturen (ϑmax ≈ 130◦ C) betrieben werden, eingesetzt. Polystyrol (PS). Polystrol zeichnet sich durch sehr geringe dielektrische Verluste, hohen Isolationswiderstand, eine geringe Alterung und einen kleinen negativen TK ≈ −150 ppm/K aus. Der Wert von r beträgt 2.5 und ist weitgehend frequenzunabh¨ angig; die Verlustzahl beträgt tan δ ≈ 5 · 10−5 bei 50 Hz und nimmt auf tan δ ≈ 5 · 10−4 bei 100 GHz zu. Polystyrol kann Wasser aufnehmen; der Feuchtekoeffizient von r ist ca. 130 ppm/% relative Feuchte. Von besonderem Interesse ist die nahezu lineare Abhängigkeit des Kapazitätswerts von der Temperatur, was eine Kompensation des Temperaturgangs z. B. in Resonanzkreisen erm¨ oglicht. Typische Anwendungen f¨ ur Kondensatoren mit Polystyroldielektrikum sind Zeitglieder und Filter. Trotz ihrer sehr guten elektrischen Eigenschaften haben Polystyrol-Kondensatoren wegen des vergleichsweise hohen Preises in den letzten Jahren zunehmend an Marktanteil verloren. Polypropylen (PP). Polypropylen ist ein feuchtigkeitsabweisendes, unpolares Dielektrikum mit r ≈ 2.3. Es weist sehr geringe Verluste, einen hohen Isolationswiderstand und einen ann¨ ahernd konstanten, negativen Temperaturkoeffizient von ca. −200 ppm/K auf. Typische Anwendungen f¨ ur MKPKondensatoren sind Oszillatoren und Filter. Daneben werden Kondensatoren mit PP-Dielektrikum als Leistungskondensatoren (insbesondere im Spannungsbereich von 250 V bis 600 V) eingesetzt. Polyphenylensulfid (PPS). Polyphenylensulfid weist geringe Verluste, einen geringen Temperaturkoeffizienten, geringe Alterung und einen großen zulässigen Temperaturbereich auf. Kondensatoren mit PPS-Dielektrikum werden in Zeitgliedern, Filtern sowie in Schaltungen, die bei hohen Umgebungstemperaturen betrieben werden (z. B. Automobiltechnik), eingesetzt.

Selbstheilf¨ ahigkeit, Zuverl¨ assigkeit MK-Kondensatoren zeichnen sich durch engtolerierte Kapazitätswerte und Selbstheilf¨ ahigkeit nach lokalen Felddurchschlägen aus, d. h. Durchschläge f¨ uhren i. allg. nicht zu einem bleibenden Kurzschluß zwischen den Kondensatorelektroden. Dem Selbstheilungsvorgang liegt folgender Mechanismus zu-


341

grunde: Durchschl¨ age erfolgen meist lokal an Schwachstellen, Poren oder Verunreinigungen im Dielektrikum. Im Durchschlagskanal wird eine sehr hohe Leistung pro Volumeneinheit umgesetzt. Als Folge davon bildet sich ein Plas¨ ma und damit ein starker lokaler Uberdruck, der die Dielektrikumsschichten, wie in Abb. 8.23 gezeigt, linsenf¨ ormig auseinanderdr¨ uckt. Die Metallbeläge K u n s ts to ff- F o lie

M e ta ll- B e la g

Is o lie r h o f

D u r c h s c h la g s k a n a l

Abb. 8.23. Bildung eines Isolierhofs

der Kondensatorelektroden werden an den Rändern des Durchschlagskanals durch Verdampfen abgetragen – um den Kanal bilden sich damit nahezu kreisförmige Isolierh¨ ofe, die einen Kurzschluß zwischen den Metallbelägen ausschließen. Die Entladung erlischt als Folge dieses Vorgangs i. allg. nach wenigen Mikrosekunden. Die Selbstheilf¨ ahigkeit ist um so größer, je größer das Verhältnis entstandener gasf¨ ormiger Stoffe zu festem Kohlenstoff ist. Letzterer bildet leitf¨ ahige Br¨ ucken und erh¨ oht damit die Bereitschaft f¨ ur neue Durchschläge. Aus diesem Grund darf der Wickeldruck bei der Herstellung nicht zu groß sein. Die Ausfallrate λ f¨ ur Folienkondensatoren hängt von der Spannung und der Temperatur ab, bei der der Kondensator betrieben wird. Sie wird z. B. in der Form λ = λ0 πV πT spezifiziert; λ0 bezeichnet dabei die zu erwartende Ausfallrate bei einer bestimmten Temperatur und Betriebsspannung,12 πV und πT bezeichnen Korrekturfaktoren f¨ ur davon abweichende Betriebsspannungen und -temperaturen, die den Datenbl¨ attern der Hersteller entnommen werden können. ¨ Speziell gestaltete Folienkondensatoren weisen hinsichtlichlich ihrer Uberspannungsfestigkeit vergleichbare Sicherheitsreserven auf wie MP-Kondensatoren. Durch geeignet strukturierte Elektrodenfolien, bei denen Teilkapazitäten u unne Strombr¨ ucken (Abb. 8.24) angeschlossen werden, kann die ¨ber d¨ Selbstheilfähigkeit erh¨ oht werden. Tritt im Dielektrikum einer solchen Teil12 F¨ ur MKT- oder MKC-Kondensatoren liegt der Wert f¨ ur λ0 bei typischerweise 2 FIT (V = VN /2, ϑ = 40◦ C)

342

8. Kondensatoren

T e ilk a p a z itä t S tro m b rü c k e K o n ta k tie r u n g

Abb. 8.24. Strukturierte Elektrodenfolie

elektrode ein Durchschlag auf, so verdampft die Strombr¨ ucke; dadurch wird die defekte Teilkapazit¨ at abgekoppelt und der Kondensator ist ausgeheilt. Wegen ihres g¨ unstigen Preises und des besseren Schutzes gegen Feuchteausfälle stellen derartige St¨ orschutzkondensatoren eine interessante Alternative zu den herkömmlich verwendeten MP-Kondensatoren dar.

8.4.3 Keramikkondensatoren In Keramikkondensatoren wird als Dielektrikum eine Oxidkeramik verwendet. Das ist ein anorganischer, polykristalliner Festkörper, der durch einen Brennprozeß bei hohen Temperaturen erzeugt wird. Keramikkondensatoren sind als Scheiben-, Röhrchen- und Vielschichtkondensatoren erhältlich. F¨ ur die Miniaturisierung sind dabei insbesondere keramische Vielschichtkondensatoren von Bedeutung. Diese bestehen aus einem monolithischen Keramikblock mit kammartig eingesinterten Elektroden (Abb. 8.8 a). Herstellung. Bei der Herstellung keramischer Vielschichtkondensatoren wird in einem ersten Schritt das pulverisierte keramische Ausgangsmaterial 13 mit einem organischen Bindemittel zu einer breiigen Substanz vermengt. Diese wird auf einem Band mit der Ziehklinge zu einer d¨ unnen Schicht 14 ausgezogen. Durch Verdunsten des L¨ osungsmittels bildet sich eine Keramikfolie, die in Blätter geschnitten und im Siebdruckverfahren mit Elektroden15 bedruckt werden kann. Nach Bedrucken der Bl¨ atter werden diese zu Stapeln von 30 bis 60 Blättern geschichtet, wobei zwei aufeinanderfolgende Bl¨ atter leicht gegeneinander verschoben sind. Die Stapel werden dann in kleine W¨ urfel geschnitten, die bei Temperaturen zwischen 1000◦ C und 1400◦ C gebrannt werden. Die Kontakte werden durch Eintauchen in ein Silber-PalladiumBad und anschließendes Einbrennen hergestellt. Nach Anbringen der Lötfahnen und ¨ Uberzug mit einer sch¨ utzenden Kunststoffschicht ist der Keramikkondensator fertig hergestellt.

Keramikvielschichtkondensatoren sind in Chipform mit sehr geringen Abmessungen verf¨ ugbar. Tabelle 8.4 zeigt eine Auswahl verf¨ ugbarer Bauformen. 13

Korngr¨ oßen liegen typischweise im Bereich von Mikrometern. Typische. St¨ arken liegen im Bereich zwischen 10 und 100 µm. 15 Als Elektrodenmaterial wird dabei entweder eine Silber-Palladium-Paste oder eine BleiZinn-Paste verwendet. 14


343

Tabelle 8.4 Bauformen f¨ ur Keramikvielschichtkondensatoren (Chip, nach [11]) Bauform 0603 0805 1206 1210 1812 2220

L¨ ange/mm 1.6 2.0 3.2 3.2 4.5 5.7

Breite/mm 0.8 1.25 2.5 2.5 3.2 5.1

Höhe/mm 0.9 0.6 − 1.3 0.6 − 1.3 0.6 − 1.3 1.3 1.3

Kapazitätsbereich 1 pF − 10 nF 1 pF − 47 nF 1 pF − 100 nF 0.82 nF − 330 nF 1.2 nF − 470 nF 3.3 nF − 1.5 µF

Abhängig von der chemischen Zusammensetzung der Dielektrika unterscheidet man keramische Kondensatoren der Klassen 1, 2 und 3. Keramikkondensatoren der Klasse 1 (NDK). Bei diesen wird als Dielektrikum gewöhnlich eine Mischung von Metalloxiden verwendet (z. B. Oxide der Lanthanide und Titanoxid); die Dielektrizitätszahl r solcher Dielektrika ist i. allg. kleiner als 100. Klasse 1-Kondensatoren zeichnen sich durch eine vernachlässigbare Spannungsabh¨ angigkeit des Kapazitätswerts, kleine Verluste bis in den UHF-Bereich, eine hohe Langzeitkonstanz, einen hohen Isolationswiderstand sowie eine reversible und annähernd lineare Abhängigkeit des Kapazitätswerts von der Temperatur aus. Sie eignen sich deshalb f¨ ur Anwendungen, in denen zeitkritische Gr¨ oßen mittels Kapazitäten definiert werden wie: Zeitglieder, Schwingkreise, Filter. Kennzeichnung. Die Temperaturabhängigkeit der Kapazitätswerte von NDK-Kondensatoren wird entweder entsprechend dem EIA-Standard RS198B oder nach der IEC-Norm 384-8 (CECC 32100) bezeichnet. Nach EIA-Standard werden Keramikkondensatoren der Klasse 1 mit einer dreistelligen Bezeichnung spezifiziert. Der erste Kennbuchstabe und der als zweites angegebene Multiplikator bestimmen den Temperaturkoeffizienten des Kapazit¨ atswerts, die dritte Stelle gibt die Toleranz an. Die Bedeutung der verwendeten Zeichen ergibt sich aus Abb. 8.25. X n Y

1 . S te lle S ig n ifik a n te S te lle C = 0 M = 1 P = 1 R = 2

.0 .0 .5 .2

S = 3 .3 T = 4 .7 U = 7 .5

2 . S te lle

3 . S te lle

M u ltip lik a to r 0 = 1 = 2 = 3 =

- 1 - 1 0 - 1 0 0 - 1 0 0 0

5 = 6 = 7 = 8 =

T o le r a n z in p p m /K + 1 + 1 0 + 1 0 0 + 1 0 0 0

G

= + /H = + /J = + /K = + /-

3 0 6 0 1 2 0 2 5 0

L = + /- 5 0 0 M = + /- 1 0 0 0 N = + /- 2 5 0 0

Abb. 8.25. Kennzeichnung von Keramikkondensatoren der Klasse 1

Die Kennbuchstaben C0G bezeichnen demzufolge einen Kondensator dessen Temperaturkoeffizient um maximal ±30 · 10−6 /K vom Wert Null abweicht.

344

8. Kondensatoren

Als typische Beispiele werden Klasse 1-Keramikvielschichtkondensatoren mit Temperaturcharakteristiken (CECC) gem¨ aß CG, bzw. SL betrachtet. Diese sind mit Kapazit¨ atswerten im Bereich von 1 pF bis 100 nF lieferbar. F¨ ur CG-Typen sind Kapazit¨ atstoleranzen von ±1 % und einem Temperaturkoeffizienten von (0 ± 30) ppm/K lieferbar, die Verlustzahl ist kleiner als 1 · 10−3 , die Selbstentladezeitkonstante ist bei Raumtemperatur gr¨ oßer als 1000 s. F¨ ur Kondensatoren mit der Temperaturcharakteristik SL ist der Temperaturkoeffizient mit −1000 ppm/K < αC < +140 ppm/K weniger genau spezifiziert. 1 0 % 0

2 C 1

X 7 R , 2 R 1

-1 0 D C C N

-2 0 -3 0

Z 5 U

-4 0 -5 0

-5 5

-4 0

-2 0

0

2 0

T e m p e ra tu r

4 0

6 0

8 0

C

Abb. 8.26. Temperaturcharakteristiken f¨ ur Klasse 2-Keramikkondensatoren

Keramikkondensatoren der Klasse 2 (HDK). Bei diesen besteht das Dielektrikum vorwiegend aus ferroelektrischen Materialien (i. allg. Titanate oder Zirkonate mit Perowskitstruktur). Die Dielektrizitätszahl solcher Dielektrika liegt typisch im Bereich 1000 < r < 10000. Klasse 2 Kondensatoren zeigen eine nichtlineare Abh¨ angigkeit der Kapazität von Temperatur und Spannung, altern nach einem logarithmischen Zeitgesetz (Abnahme der Kapazität) und sind auch hinsichtlich ihrer Verlustzahlen und Isolationswiderstände weniger g¨ unstig als Klasse 1-Kondensatoren. Wegen der hohen Dielektrizitätszahlen in Klasse 2-Kondensatoren bieten diese aber im Gegenzug hohe spezifische Kapazitätswerte – sie kommen dann zum Einsatz, wenn große Kapazitätswerte bei kleinen Abmessungen gefragt sind, geringe Verluste und große Konstanz der Kapazitätswerte jedoch von untergeordneter Bedeutung sind. Es gibt eine Vielzahl von Klasse 2-Kondensatorkeramiken mit deutlich unterschiedlichen Eigenschaften. Abbildung 8.26 zeigt exemplarisch die Kapazitätsänderung mit der Temperatur f¨ ur Keramikkondensatoren mit Temperaturcharakteristiken 2C1, 2R1 (X7R), Z5U. Neben dieser zum Teil bedeutenden Temperaturabh¨ angigkeit ist eine Abhängigkeit des Kapazitätswerts von einer u berlagerten Gleichspannung zu beachten. Bei X7R reduziert sich ¨ uber dem Nennwert, bei Z5U sodie Kapazität bei V = VN um 60 % gegen¨


345

gar um 75 %. Die Verlustzahl nimmt mit zunehmender Temperatur ab; bei Raumtemperatur gilt i. allg. tan δC > 1%. Kennzeichnung. Keramikkondensatoren der Klasse 2 werden nach EIA-Standard RS198B mit einer dreistelligen Bezeichnung spezifiziert. Die Bedeutung der Zeichen kann aus Abb. 8.27 entnommen werden. X n Y

1 . S te lle

2 . S te lle

u n te re G re n z te m p e ra tu r

o b e re G re n z te m p e ra tu r

Z = + 1 0 C Y = - 3 0 C X = - 5 5 C

4 = 5 = 6 = 7 =

+ 6 + 8 + 1 + 1

5 5

C

3 . S te lle

0 5 2 5

C C

C

m a x im a le A b w e ic h u n g d e s K a p a z itä ts w e r ts in % A = B = C = D =

+ /+ /+ /+ /-

1 .0 1 .5 2 .2 3 .3

E = F = P = R =

+ /- 4 .7 + /- 7 .5 + /-1 0 + /- 1 5

S = T = U = V =

Abb. 8.27. Kennzeichnung von Keramikkondensatoren der Klasse 2

+ /- 2 2 + 2 2 /-3 3 + 2 2 /-5 6 + 2 2 /-8 2

Die Kennbuchstaben X7R bezeichnen demzufolge einen f¨ ur den Temperaturbereich −55◦ C < ϑ < 125◦ C spezifizierten Kondensator, der in diesem Temperaturintervall aufgrund seiner Temperaturabh¨ angigkeit um höchstens ±15% von seinem Nennwert abweicht. E le k tr o d e C

K G

R

K o rn

K

C

K o rn g re n z e ( is o lie r e n d ) d

R L

d

K G

R K

C d K

E le k tr o d e

R

K G

C

K K G

Abb. 8.28. Zur Wirkungsweise von Keramikkondensatoren der Klasse 3

Keramikkondensatoren der Klasse 3. Hier besteht das Dielektrikum aus einer polykristallinen Titanatkeramik (BaTiO3 , SrTiO3 ) mit halbleitenden Eigenschaften (n-Leitung). In diesen Stoffen bilden sich an den Korngrenzen d¨ unne und dennoch sehr hochohmige Raumladungszonen – sog. Sperrschichten mit Dicken ur die isolierenden Eigenschaften dRL = (0.2−2) µm – aus. Diese sind verantwortlich f¨ des Materials. Wird zwischen den Elektroden eine Spannung angelegt, so verschieben sich die Ladungstr¨ ager im elektrischen Feld nur innerhalb der Körner, da sie

346

8. Kondensatoren

die Sperrschichten am Rand nicht u ¨berwinden können – es tritt eine sog. Raumladungspolarisation auf. Das Kondensatordielektrikum entspricht dabei näherungsweise einer Reihenschaltung von Sperrschichtkapazitäten (Kapazität je Flächeneinheit C ≈ 0 r /dRL ), wie dies schematisch in Abb. 8.28 dargestellt ist. Sind im Dielektriorner in Reihe geschaltet“ , so entspricht dies k + 1 in kum im Mittel k = d/dK K¨ ” Reihe geschalteten Sperrschichtkapazit¨ aten, d. h. es gilt C ≈

A d/dRL A 1 0 r . = 0 r k+1 dRL 1 + d/dK d

Im Grenzfall d dK geht dies u ¨ber in C ≈ 0 r,eff A/d

mit

r,eff = r dK /dRL .

Bei typischen Korndurchmessern dK in der Größenordnung einiger 10 µm lassen sich so effektive Dielektrizit¨ atszahlen r,eff von u ¨ber 50000 erreichen. In Wechselfeldern hoher Frequenz wird der Widerstand des Korns bedeutsam. ur Umladevorgänge auf den SperrschichtkaDurch RK CKG ≈ ρ0 r dK /dRL wird die f¨ pazit¨ aten maßgebliche Zeitkonstante bestimmt. Die zugehörige Relaxationsfrequenz ist deshalb vom spezifischen Widerstand im Korn abhängig. Mit SrTiO3 lassen sich Relaxationsfrequenzen von bis zu 1 GHz erreichen. Die Verlustzahl von Dielektrika der Klasse 3 ist hoch: Bei niederen Frequenzen wird er bestimmt durch Leckströme die u ¨ber die Korngrenzen fließ, bei hohen Frequenzen durch den Serienwiderstand der K¨ orner (also durch die aus dem RC-Verhalten resultierende Phasenverschiebung).

8.4.4 Glimmerkondensatoren Glimmer ist ein nat¨ urlich vorkommendes Mineral, das sich zu sehr d¨ unnen Plättchen spalten l¨ aßt - es sind Schichtdicken von nur wenigen Mikrometern herstellbar. Diese Pl¨ attchen werden beispielsweise im Siebdruckverfahren mit Silberelektroden beschichtet und als Scheiben- oder Vielschichtkondensatoren verwendet. Glimmerkondensatoren sind in bedrahteter und SMD-Bauform erhältlich und weisen Kapazit¨ atswerte von wenigen Pikofarad bis zu einigen Nanofarad auf. Sie zeichnen sich durch eine hohe Spannungsfestigkeit, einen kleinen Temperaturkoeffizienten des Kapazitätswerts, eine hohe Langzeitkonstanz und Impulsfestigkeit, geringe dielektrische Verluste sowie vergleichsweise große zul¨ assige Betriebstemperaturen aus. Wegen ihres hohen Preises kommen diese Kondensatoren dennoch nur vergleichsweise selten zum Einsatz.

8.4.5 Elektrolytkondensatoren In Elektrolytkondensatoren (Elkos) wird das Dielektrikum durch einen elektrochemischen Vorgang auf einer zuvor präparierten Aluminium-, Tantaloder Niobelektrode hergestellt. Da die dielektrische Schicht sehr homogen ist und – im Gegensatz zu den bisher besprochenen Kondensatorbaufor-


347

men – nach ihrer Herstellung nicht mehr mechanisch bearbeitet werden muß (Wickeln oder Schichten), gen¨ ugen sehr geringe Schichtdicken, was zu sehr hohen spezifischen Kapazit¨ atswerten f¨ uhrt. Elkos sind meist gepolt, d. h. sie d¨ urfen nur mit einer Spannung von bestimmter Polarität und nicht mit Wechselspannung betrieben werden. Der positiv gepolte Anschluß wird als Anode, der negativ gepolte als Kathode bezeichnet. Daneben existieren aber auch bipolare (oder ungepolte) Elkos. Abbildung 8.29 zeigt die entsprechenden Schaltsymbole. + g e p o lt

u n g e p o lt

Abb. 8.29. Elkos: Schaltsymbole

Typische Anwendungen f¨ ur Elkos sind Glättung und Siebung in Netzgeräten, Frequenzweichen f¨ ur Lautsprecher, Zeitverzögerung f¨ ur Motorschaltungen, Energiespeicher in Blitzger¨ aten oder Digitalschaltungen. B e r e ic h s ig n ifik a n te r W e ite r fo r m ie r u n g I

i

A

iR ( t) +

iR ( t)

E n d re s ts tro m V N

V S

V F

V

F o r m ie r s p a n n u n g N e n n s p a n n u n g S p itz e n s p a n n u n g (a )

t (b )

Abb. 8.30. Strom durch den Elektrolytkondensator. (a) als Funktion der angelegten Spannung, (b) als Funktion der Zeit nach Lagerung (schematisch)

Formierung, Reststrom. Bei der Herstellung eines Elkos wird das Anodenmaterial (z.B. Aluminium) mit dem Betriebselektrolyten in Kontakt gebracht. Durch Anlegen einer Formierspannung VF kommt es zu einer elektrochemischen Reaktion des Betriebselektrolyten mit dem Anodenmaterial, wobei dieses mit einer isolierenden Oxidschicht u ¨berzogen wird (anodische Oxidation). Die so erzeugten Dielektrika zeichnen sich durch eine hohe Dickenhomogenität, eine im Vergleich zu Kunststoffolien hohe Dielektrizitätszahl (Al2 O3 : 7−8 und Ta2 O5 : 25−27) und eine sehr hohe Durchschlagsfeldstärke (Größenordnung 10 MV/cm) aus. Die erforderlichen Oxidschichtdicken sind deshalb

348

8. Kondensatoren

mit 1.35 nm/V zul¨ assiger Betriebsspannung f¨ ur Al-Elkos und 1.7 nm/V f¨ ur Ta-Elkos sehr gering. Da sich die Oberfläche des Elektrolyten an Unebenheiten der Anode anpaßt, kann die effektive Fläche des Kondensators durch Aufrauhen der Anode vervielfacht werden. In Verbindung mit den geringen Schichtdicken lassen sich so sehr große Kapazitätswerte erreichen. Der Strom durch einen Elektrolytkondensator hängt nichtlinear von der Spannung ab, wie in Abb. 8.30 dargestellt. F¨ ur Spannungen unterhalb der Spitzenspannung VS ist der Strom sehr klein und kann annähernd durch einen zu einem idealen Kondensator parallel geschalteten hochohmigen Widerstand beschrieben werden. Erh¨ oht man die Spannung u ¨ber VS hinaus, so wächst der Strom stark an; mit Erreichen der Formierspannung VF setzt dann eine ausgeprägte Weiterformierung ein, verbunden mit einer starken Gas- und Wärmeentwicklung. Zwar tritt eine solche Weiterformierung bereits bei kleineren Spannungen auf, sie ist jedoch vernachl¨ assigbar klein, solange die Betriebsspannung die Nennspannung VN nicht u ¨berschreitet.16 Der Reststrom ist definiert als der Strom, der bei angelegter Gleichspannung durch den Kondensator fließt. Er ist bedingt durch Ionen, die u ¨ber Fehlstellen in der Oxidschicht fließen. Der Wert des Reststroms hängt stark von der Vorgeschichte“ ab. Bei spannungsloser Lagerung wird die Oxidschicht ” langsam abgebaut; sie regeneriert sich wieder nach Anlegen der Spannung. Der Reststrom kann aus diesem Grund nach längerer Lagerzeit um mehrere Größenordnungen ansteigen, f¨ allt dann aber nach einigen Stunden Dauerbetrieb wieder gegen den Endreststrom ab. Dieser ist gewöhnlich in guter Näherung proportional zu der auf dem jeweiligen Kondensator gespeicherten Ladung (C V ). Zur Reduktion des Reststroms eines Elektrolytkondensators nach längerer Lagerung kann dieser bei Nennspannung nachformiert werden. Damit aufgrund des zun¨ achst hohen Reststroms keine unzulässige Erwärmung im Kondensator entsteht, wird hierzu gew¨ ohnlich ein den Strom begrenzender Vorwiderstand (z. B. 1 kΩ) verwendet. Der Nachformiervorgang verbraucht wesentlich mehr Elektrolyt als Regenerierprozesse während des normalen Betriebs. Wird die Oxidschicht zu stark abgebaut – etwa durch Lagern des Kondensators oberhalb der Grenztemperatur – so kann der Fall eintreten, daß der Elektrolytvorrat des Kondensators nicht mehr zur Nachformierung ausreicht. ur die der KondensaGrenzdaten. Die Nennspannung VN ist die Spannung, f¨ tor ausgelegt wurde – sie darf als Gleichspannung dauernd am Kondensator anliegen, ohne daß dieser Schaden nimmt. Ist der Gleichspannung eine periodische Wechselspannung u ¨berlagert, so darf der Scheitelwert die Nennspannung nicht u ¨berschreiten. Die Spitzenspannung VS bestimmt den Scheitelwert der Spannung die kurzfristig (h¨ ochstens f¨ unfmal pro Stunde mit einer Dauer ¨ Je h¨ oher also die als Uberformierung bezeichnete Differenz VF − VN zwischen Formierspannung und Nennspannung ist, desto gr¨ oßer die Betriebssicherheit des Kondensators. 16


349

von weniger als 1 min) am Kondensator anliegen und keinesfalls u ¨berschritten werden darf. F¨ ur viele Elkos wird eine Spannungsminderung, d. h. eine Reduktion der Nennspannung bei h¨ oherer Umgebungstemperatur, vorgeschrieben. An Elkos, die f¨ ur Gl¨ attungsaufgaben eingesetzt werden, liegt eine Gleichspannung an, der ein Wechselspannungsanteil u ¨berlagert ist. Wegen ESR f¨ uhrt dieser zu einer Erw¨ armung des Kondensators; dabei darf auch im Inneren des Kondensators, wo die h¨ ochste Temperatur auftritt, eine maximale Temperatur nicht u ¨berschritten werden, um die Lebensdauer nicht herabzusetzen. Ein u ¨berlagerter Wechselstrom der Kreisfrequenz ω vom Effektivwert I(ω) f¨ uhrt zur Verlustleistung (Effektivwert) P (ω) = ESR(ω) I 2 (ω) .

(8.31)

Da die Anode w¨ ahrend schneller Entladevorgänge reduziert und die Kathode oxidiert wird (was sich in einer Abnahme des Kapazitätswerts bemerkbar macht), sind Elektrolytkondensatoren beschränkt schaltfest. A n o d e

K a th o d e

+

V e r s c h lu ß s to p fe n

A lu m in iu m

P a p ie r

Abb. 8.31. Zum Aufbau eines Elkos

Aluminium-Elektrolytkondensatoren Aufbau. Aluminium-Elkos mit (halb-)fl¨ ussigem Elektrolyten (nasse Aluminium-Elkos) werden u ¨blicherweise als Wickelkondensatoren (Abb. 8.31) realisiert. Der Wickel enth¨ alt zwei Aluminiumfolien (Anode und Kathode) die durch je eine, vom Elektrolyten durchtr¨ ankte, Papierschicht (Separatorfolie) voneinander getrennt werden. Die Anordnung wird mit Elektrolyt getränkt, in einem Becher untergebracht und dicht verschlossen. Der Kathodenanschluß

350

8. Kondensatoren

(Minuspol) wird gew¨ ohnlich mit dem Becher kurzgeschlossen, der Anodenanschluß wird isoliert herausgef¨ uhrt.17 Zur Vergrößerung der Kondensatoroberfläche werden heute nahezu ausschließlich Al-Elkos mit aufgerauhten Oberflächen erzeugt. Durch diese Maßnahme verschlechtern sich zwar die elektrischen Werte etwas18 , daf¨ ur lassen sich aber um ein mehrfaches h¨ ohere spezifische Kapazitäten erzielen. Der in Abb. 8.32 a dargestellte Aufbau, bei dem nur auf der Anode eine Oxidschicht erzeugt wurde, darf nur mit einer Polarität betrieben werden und funktioniert nur ordnungsgem¨ aß, wenn an der Anode (das ist die bei der Formierung oxidierte Al-Folie) der Pluspol, an der anderen Folie der Minuspol angeschlossen wird. Wird die Polarität vertauscht, so setzt eine mit starker innerer Erw¨ armung und Gasbildung verbundene Formierung der kathodenseitigen Al-Folie ein, die unter Umständen zur Zerstörung des Kondensators f¨ uhrt.19 Bei den f¨ ur Wechselbetrieb geeigneten bipolaren Elkos ist

K a th o d e n fo lie ( A l) e le k tr o ly tg e tr ä n k te P a p ie r s c h ic h t D ie le k tr ik u m ( O x id d e r A n o d e n fo lie ) A n o d e n fo lie ( A l) (a )

K a th o d e n fo lie ( A l) D ie le k tr ik u m 2 e le k tr o ly tg e tr ä n k te P a p ie r s c h ic h t D ie le k tr ik u m 1 A n o d e n fo lie ( A l) (b )

Abb. 8.32. Aufbau (schemematisch) eines (a) gepolten und eines (b) bipolaren Elkos

der Formierprozeß der Kathode bereits in der Fertigung durchgef¨ uhrt worden, d. h. hier sind Anoden- und Kathodenfolie mit einer Oxidschicht u ¨berzogen (Abb. 8.32 b). Da die zwischen Anodenfolie und Kathodenfolie realisierte Kapazität nun als Serienschaltung zweier Kapazitäten aufzufassen ist, reduziert sich die spezifische Kapazit¨ at im Vergleich zum ungepolten Elko auf die Hälfte. Aus diesem Grund werden, soweit m¨ oglich, gepolte Elkos verwendet. 17

Durch Elementbildung zwischen Anode und Kathode k¨ onnen bei Al-Elkos Eigenspannungen von bis zu 0.5 V zwischen Anode und Kathode auftreten. Wegen des hohen Innenwiderstands der Zelle“ kann diese aber f¨ ur die meisten Anwendungen vernachl¨ assigt ” werden. 18 Z. B. Erh¨ ohung des Serienwiderstands. 19 Kurzzeitige Falschpolungen bis zu 2 V sind i. allg. zul¨ assig, da die Formierung der Kathode erst f¨ ur h¨ ohere Werte der angelegten Spannung einsetzt. Der maximal zul¨ assige Wert wird vom Hersteller als Umpolspannung spezifiziert.


351

Trockene Aluminium-Elkos nutzen einen Festkörperelektrolyten (i.allg. organisches Material oder MnO2 ) und haben den Vorteil, daß kein Elektrolyt verdunsten kann. Sie weisen deswegen eine vergleichsweise lange Lebensdauer auf. 1 0 W

1

-2 5 C -4 0

1 0

1 0 0

-4 0 C

Z

1 0

1

2

1 0 1 0

1 0

0

C

ta n d

1 0

3

-2 5 C 0

-1

+ 8 5

-2

1 0 1

1 0 2

1 0 3

f

1 0

0

+ 2 5 1 0 5

C

1 0 1 0 6

1 0 7

H z

C

-1

C

C 4

1 0

+ 2 5 C

+ 8 5

-2

1 0 1

1 0 2

1 0 3

C

H z 1 0 4

F re q u e n z , f

Abb. 8.33. Scheinwiderstand Z und Verlustzahl tan δC eines Elkos (100 µF, 63 V)

Temperaturabh¨ angigkeit. Die Nennkapazit¨ at eines Al-Elkos wird bei Nennspannung mit einer u berlagerten Wechselspannung der Frequenz 100 Hz be¨ stimmt. Abbildung 8.4.5 zeigt den Verlauf des Scheinwiderstands und der Verlustzahl als Funktion der Frequenz f¨ ur verschiedene Werte der Umgebungstemperatur. Der Serienwiderstand ESR wird v.a. durch den Zuleitungswiderstand des Elektrolyten bestimmt und ist groß im Vergleich zu anderen Kondensatortypen. Mit abnehmender Temperatur nimmt der durch den Elektrolyt bedingte Serienwiderstand aufgrund der dann schlechteren Ionenbeweglichkeit stark zu. Dies f¨ uhrt zu einer großen Verlustzahl tan δC ≈ 2πf CN ·ESR und bereits bei kleinen Frequenzen zu deutlichen Abweichungen vom rein kapazitiven Verhalten. Zuverl¨ assigkeit, Lebensdauer. Al-Elkos sind in begrenztem Maße selbstheilend, da der an Schwachstellen auftretende erhöhte Stromfluß zur Oxidation der Anodenfolie f¨ uhrt. Fehlstellen k¨ onnen ausheilen, sofern der Innenwiderstand Ri der umgebenden Schaltung nicht zu klein ist. In diesem Fall begrenzt dieser den bei Kurzschluß fließenden Strom und ermöglicht so ein Ausheilen. F¨ ur kleine Innenwiderst¨ ande liefert die Umgebung einen hohen Strom – der Kondensator wird zerst¨ ort bevor die Fehlstelle ausheilen kann. Die Lebensdauer von Al-Elkos h¨ angt stark vom verwendeten Elektrolyten ab und verringert sich, wenn dieser – bedingt durch Undichtigkeiten, Korro-

352

8. Kondensatoren

sion, Reststrom oder Nachformierung – abnimmt. Da die Elektrolyt verbrauchenden elektrochemischen Prozesse bei höheren Temperaturen schneller ablaufen20 , verringert sich die Lebensdauer mit steigender Temperatur stark 21 . Durch ein großes Speichervolumen f¨ ur Elektrolyt kann die Lebensdauer von Al-Elkos erhöht werden. Als Brauchbarkeitsdauer wird die Zeit bis zum Erreichen eines vorgegebenen Ausfallsatzes, d. h. eines bestimmten Prozentsatzes ausgefallener Bauteile, bezeichnet. Die Brauchbarkeitsdauer ist i. allg. um so größer, je niedriger die Umgebungstemperatur, je geringer die u ¨berlagerte Wechselspannung, je kleiner die Betriebsspannung und je gr¨ oßer der Innenwiderstand der umgebenden Schaltung ist. In den Datenbl¨ attern der Hersteller werden hierzu Diagramme und Korrekturfaktoren angegeben, die es erlauben, f¨ ur bestimmte Betriebsbedingungen die Brauchbarkeitsdauer zu ermitteln. Al-Elkos sind genormt und sowohl in Ausf¨ uhrungen f¨ ur erh¨ ohte Anforderungen als auch f¨ ur allgemeine Anforderungen erh¨ altlich. R

R

s y m

+ +

+

+

R

+

L

R

(a )

s y m

R

is

is

(b )

Abb. 8.34. (a) Parallelschaltung und (b) Reihenschaltung von Elkos

Kondensatorbatterien. Werden mehrere Elkos zur Erhöhung des Kapazitätswerts parallel geschaltet, so f¨ uhrt ein Kurzschluß in einem Kondensator meist zu einem sehr großen Entladestrom, da sich die u ¨brigen Kondensatoren dann u ¨ber den defekten Kondensator entladen. F¨ ur derartige Anwendungen ist es deshalb sinnvoll, den Strom, der durch einen Kondensator fließen kann, durch Serienwiderstände zu begrenzen. In Anwendungen, in denen diese die Entladezeit der Kondensatorbatterie in unzul¨ assiger Weise erh¨ ohen (Stoßentladung), können die Widerstände im Zeitpunkt der Entladung u uckt werden (Abb. 8.34 a). ¨berbr¨ Werden Elkos in Serie geschaltet, um mit Spannungen höher als die Dauergrenzspannung der Einzelkondensatoren betrieben zu werden, so muß sichergestellt werden, daß die anliegende Spannung sich so verteilt, daß keiner der Kondensatoren 20

Erw¨ armung f¨ uhrt zu verst¨ arkter Gasbildung, was den Druck im Kondensator und damit die Diffusion des Elektrolyten aus dem Kondensator beschleunigt. 21 Als Anhaltspunkt kann das Sieben-Grad-Gesetz“ genannt werden. Nach diesem wird ” ohung halbiert. die Lebensdauer f¨ ur ϑ > 50◦ C mit je 7◦ C Temperaturerh¨


353

u ¨berlastet wird. Da die Spannungsaufteilung durch die Isolationswiderstände Ris bestimmt wird, diese aber starken Schwankungen unterworfen sind, wird zumeist parallel zu jeder Kapazit¨ at ein Symmetrierwiderstand“ Rsym geschaltet (Abb. 8.34 b); ” dessen Wert wird i. allg. so gew¨ ahlt, daß der Strom durch Rsym ca. zehnmal größer ist als der Reststrom des Al-Elkos. Die parallelgeschalteten Widerstände bestimmen dann die Spannungsaufteilung weitgehend unabhängig von Schwankungen des Isolationswiderstands.

Tantal- und Niob-Elektrolytkondensatoren Tantal-Elkos lassen sich mit nassem Elektrolyt herstellen, werden meist aber als trockene gepolte Kondensatoren ausgef¨ uhrt. Das als Dielektrikum dienende Tantalpentoxid (Ta2 O5 ) weist mit r = 27 eine im Vergleich zu Al2 O3 große Dielektrizit¨ atszahl auf; das in den neu entwickelten Niob-Elkos eingesetzte Niobpentoxid (Nb2 O5 ) ist mit r = 41 noch vorteilhafter. T a 2O 5

, D ie le k tr ik u m

+ -

A n o d e

K a th o d e

T a

M n O 2

M e ta ll G r a p h it

Abb. 8.35. Aufbau eines trockenen Tantal-Elkos

Trockene Tantal- oder Niob-Kondensatoren werden durch Sintern hergestellt; die vorgehensweise ist weitgehend identisch und wird im Folgenden f¨ ur Tantal-Kondensatoren dargestellt. Tantal-Pulver wird mit Bindemittel vermischt, mit einem Ta-Draht kontaktiert, gepresst und bei ca. 1500◦ C bis 2000◦ C gesintert. Auf diesem Weg entsteht eine hochporöse Ta-Perle, die eine sehr große Oberfläche22 besitzt. Diese Perle dient als Anode des Kondensators. Das Kondensatordielektrikum Ta2 O5 wird in einem anschließenden Formierprozeß in einem phosphors¨ aurehaltigen Elektrolyten erzeugt. Als Gegenelektrode wird MnO2 (Braunstein) oder ein Polymerelektrolyt verwendet. Polymere (z.B. Polypyrrol) zeichnen sich gegen¨ uber Braunstein durch die annähernd hundertfach höhere Leitf¨ ahigkeit aus, was zu sehr g¨ unstigen ESR-Werten f¨ uhrt [12]. Die spröde Braunsteinschicht bzw. Polymerschicht wird mit einer sch¨ utzenden Die Tantalk¨ orner haben Durchmesser von der Gr¨ oßenordnung 1 µm und darunter. Ziel der Entwicklung ist eine Verringerung des Korndurchmessers, da sich das Verh¨ altnis von Oberfl¨ ache (maßgeblich f¨ ur die Kapazit¨ at) zu Volumen (maßgeblich f¨ ur die Masse) umgekehrt proportional zum Korndurchmesser verh¨ alt: Je geringer der Korndurchmesser, desto gr¨ oßer ist der erreichbare Wert f¨ ur die spezifische Kapazit¨ at. 22

354

8. Kondensatoren

Graphitschicht eingeh¨ ullt, die dann von einem Metall kontaktiert wird. Auf diesem Weg ergibt sich der in der Abb. 8.35 schematisch dargestellte Aufbau des Ta-Elkos. Wegen der im Vergleich zu Aluminium höheren Korrosionsbeständigkeit des Tantals besitzen Ta-Elkos eine gr¨ oßere Lebensdauer als Al-Elkos. Ta-Elkos mit ihrem im Vergleich zu Al-Elkos h¨ oheren Preis finden deshalb insbesondere in Schaltungen Verwendung, bei denen hohe spezifische Kapazitätswerte sowie eine hohe Zuverl¨ assigkeit auch bei erhöhten Temperaturen gefordert sind. Ta-Elkos besitzen eine hohe spezifische Kapazität und werden vorzugsweise als Koppel- oder Abblockkondensatoren (zur Siebung) sowie als Energiespeicher eingesetzt – typische Anwendungen sind Puffer- und St¨ utzkondensatoren f¨ ur die Stromversorgung von PCs und Notebooks. Sie werden in der Regel gegen¨ uber MKF- oder keramischen Vielschichtkondensatoren vorgezogen, falls höhere Kapazit¨ atswerte gebraucht werden oder die Abmessungen des Kondensators kritisch sind. F¨ ur die Beschreibung des elektrischen Verhaltens ist die Serienersatzschaltung gut geeignet, wobei f¨ ur den praktisch interessanten Frequenzbereich deutlich unterhalb der Resonanzfrequenz der Einfluß der Serieninduktivit¨ at vernachl¨ assigt werden kann: In der Regel gen¨ ugt eine Reihenersatzschaltung aus C und ESR. Bei Anwendung im Entladebetrieb (Zeitglieder) ist die begrenzte Stoßstromfestigkeit zu beachten: In der Regel sollten die Ladestr¨ ome einige 100 mA nicht u ¨berschreiten. Die Kapazität von Ta-Elkos zeigt einen positiven Temperaturkoeffizienten in der Größenordnung 0.1 − 0.2 %/K. Wegen der hohen elektrischen Leitfähigkeit des MnO2 besitzen Ta-Elkos wesentlich geringere Serienwiderstände – und damit Verlustzahlen – als Al-Elkos. Ein weiterer Vorzug ist die geringe Temperaturabh¨ angigkeit der Leitf¨ ahigkeit dieser Elektrolyten: Der Scheinwiderstand Z von Ta-Elkos h¨ angt nur wenig von der Temperatur ab. Bei Verwendung von Polymerelektrolyten und Mehrfach-Anodenanschl¨ ussen lassen sich ESR-Werte im Bereich von 20 mΩ erzielen (Kapazitätswert 470 µF, [13]). Tantal-Kondensatoren weisen typischerweise dielektrische Absorptionskoeffizienten kDA in der Gr¨ oßenordnung einiger Prozent auf. +

+

Abb. 8.36. Gegenpolige Serienschaltung f¨ ur Wechselspannungsbetrieb

Ta-Elkos sind gepolte Kondensatoren – in den Datenblättern wird gewöhnlich eine bei Falschpolung maximal zul¨ assige Umpolspannung angegeben. Diese ist von der Gr¨ oßenordnung 1 V. Bei Wechselbetrieb kann eine gegenpolige Serienschaltung (z. B. Kathode an Kathode, Abb. 8.36) zweier Ta-Elkos verwendet werden. Diese Konfiguration sperrt den Strom unabhängig von der Polung und kann mit Wechselspannungen der Amplitude VN (Nennspannung der Einzelkondensatoren) betrieben werden.


355

Ta2 O5 wird bei Raumtemperatur praktisch nicht abgebaut. Aus diesem Grund ist eine spannungslose Lagerung von Ta-Elkos unproblematisch: Der Reststrom vergr¨ oßert sich bei Lagerung unter Raumtemperatur praktisch nicht und bei Lagerung unter h¨ oheren Temperaturen nur wenig. Ta-Elkos weisen zudem eine vergleichsweise hohe Schaltfestigkeit auf. Bei Anwendung im Entladebetrieb (Zeitglieder) ist jedoch die begrenzte Stoßstromfestigkeit zu beachten. F¨ ur Ta-Elkos nach DIN 44350 und DIN 44555 sollten die Ladestr¨ ome nicht gr¨ oßer als 300 mA sein. Tantal-Elkos sind mit hoher Zuverlässigkeit erh¨ altlich. F¨ ur Standard-Chipkondensatoren wird bei ϑA = 40◦ C, V = VN und einem Vorschaltwiderstand RV = 3 Ω · V /V eine ur solche mit erhöhter Zuverlässigkeit Ausfallrate λ0 < 5 FIT angegeben [14], f¨ λ0 < 1 FIT. Die Werte der Ausfallrate sind abhängig von der Betriebsspannung V und der Umgebungstemperatur.

8.4.6 Doppelschichtkondensatoren, Ultracaps Doppelschichtkondensatoren23 sind zwar nur f¨ ur Nennspannungen bis ca. 2.7 V verf¨ ugbar, weisen daf¨ ur aber Kapazitätswerte von vielen Farad auf. Als Beispiele seien ein Kondensator der Kapazität 120 F mit Nennspannung 2.3 V, Masse 22.5 g und zylinderf¨ ormigen Abmessungen (45 mm lang, 22 mm Durchmesser) der Firma Nesscap sowie ein Kondensator der Kapazität 200 F mit Nennspannung 2.5 V, Masse 65 g und zylinderförmigen Abmessungen (76 mm lang, 30 mm Durchmesser) der Firma EPCOS genannt. Doppelschichtkondensatoren werden als Energiespeicher eingesetzt, sie zeichnen sich gegen¨ uber anderen Energiespeichern dadurch aus, daß sie Energie schnell speichern und wieder abgeben k¨ onnen: Doppelschichtkondensatoren weisen einen im Vergleich zu Akkumulatoren (vgl. Kap. 33) geringen Innenwiderstand auf und erm¨ oglichen damit sehr große Entladeströme. Ihr An¨ wendungsgebiet liegt beispielsweise im kurzfristigen Uberbr¨ ucken von Netzausfällen oder im Abdecken von Lastspitzen. In der Automobiltechnik zeichnet sich ein umfangreiches Anwendungsgebiet als Energiespeicher zur Abdeckung von Spitzenleistungen und bei der Energier¨ uckgewinnung bei Bremsvorgängen in Hybridantrieben ab. Sie werden in Kap. 33 im Zusammenhang mit den elektrochemischen Energiespeichern näher erläutert.

23 Auch Elektrochemische Kondensatoren, Superkondensatoren, Supercaps, Ultracaps, Goldcaps,...

356

8. Kondensatoren

8.5 Literaturverzeichnis [1] W. von M¨ unch. Elektrische und magnetische Eigenschaften der Materie. Teubner, Stuttgart, 1987. [2] J.W. Fattaruso, M. de Wit, G. Warwar, K.-S. Tan, R.K. Hester. The effect of dielectric relaxation on charge-redistribution A/D converters. IEEE J. Solid-State Circuits, 25(6):1550–1561, 1990. [3] K. Kundert. Modeling dielectric absorption in capacitors. Version 2c, www.designersguide.org, pages 1–18, 2004. [4] S. Westerlund, L. Ekstam. Capacitor theory. IEEE Trans. Dielectrics and Electrical Insulation, 1(5):826–839, 1994. [5] W. Franz. Dielektrischer Durchschlag, in Handbuch der Physik, S. Fl¨ ugge Hrsg. Springer, Berlin, 1957. [6] K.-H. Schindhelm. Impulsfeste Kondensatoren - Impulskennwert als aussagekr¨ aftiges Kriterium. Elektronik, (8):94–98, 1997. [7] SIEMENS. Bauelemente - Technische Erl¨ auterungen und Kenndaten f¨ ur Studierende. Siemens - Bereich Bauelemente, M¨ unchen, vierte Auflage, 1984. [8] Wima. Kondensatoren f¨ ur die Elektronik (Datenbuch). Wima, Mannheim, 1992. [9] R.Hecker, K.-H. Schnurer. Miniaturized plastic film capacitors. Vortrag der Fa. Westermann, CARTS ’91, 1991. [10] O.Zinke, H. Seither. Widerst¨ ande, Kondensatoren, Spulen und ihre Werkstoffe. Springer, Berlin, zweite Auflage, 1982. [11] EPCOS. Keramikkondensatoren - general technical information, www.epcos.com. [12] W. Lohwasser. CV-Werte im H¨ ohenflug und ESR auf Talfahrt. EPCOS Components, www.epcos.com, (4):18–23, 2001. [13] EPCOS. Tantalkondensatoren - general technical information, www.epcos.com. [14] W.Kefer, C. Lappeßen. Tantal-Chipkondensatoren - die Zuverl¨ assigen. Siemens Components, PHP-7(3):85 – 87, 1994.

¨ 9 Spulen und Ubertrager ¨ Spulen dienen der Verwirklichung von Induktivitäten. Ubertrager und Transformatoren nutzen die induktive Kopplung von i. allg. galvanisch getrennten ¨ Spulen zur Spannungstransformation und zum Ubertragen von elektrischer ¨ Leistung. Spulen und Ubertrager werden in der Elektronik hauptsächlich zum Aufbau von Stromversorgungen, galvanischen Trennungen (z. B. Trenn¨ verstärker) und bei der Verwirklichung von Ubertragern (z. B. Filter) mit definiertem Frequenzgang verwendet. Im Gegensatz zu Kondensatoren und Widerständen stehen Spulen häufig nicht als fertige Bauelemente zur Verf¨ ugung. Der Anwender hat die Auswahl unter einer großen F¨ ulle magnetischer Werkstoffe, Kernformen und Spulen¨ aufbauten. Der Entwurf von Spulen und Ubertragern – insbesondere f¨ ur den Bereich hoher Frequenzen – erfordert deshalb eine Vielzahl von material- und damit herstellerspezifischen Angaben, deren Wiedergabe den Rahmen dieses Buchs sprengen w¨ urde. Die Darstellung beschränkt sich aus diesem Grund auf die physikalischen Grundlagen, Ersatzschaltungen und exemplarische Dimensionierungsrechnungen.

9.1 Physikalische Grundlagen Jeder von einem Strom durchflossene Leiter erzeugt ein magnetisches Feld der Feldstärke H. Die Einheit der magnetischen Feldstärke im SI-System ist A/m. Im Vakuum ist H mit der magnetischen Flußdichte B verkn¨ upft u ¨ber B = µ0 H ,

(9.1)

µ0 = 4π · 10−7 Vs/Am = 4π nH/cm

(9.2)

wobei

die magnetische Feldkonstante (Induktionskonstante) bezeichnet. Die Einheit der magnetischen Flußdichte ist Tesla (1 T = 1 Vs/m2 ).1 Durch Kernmaterialien mit ferromagnetischen oder ferrimagnetischen Eigenschaften wird in ¨ technischen Spulen und Ubertragern h¨ aufig die magnetischen Flußdichte B erhöht. Durch die magnetische Polarisation dieser Materialien im Feld H ist die magnetische Flußdichte im Kern um die Permeabilit¨ atszahl µr erhöht B = µ0 µr H = µH . 1

(9.3)

F¨ ur die magnetische Flußdichte wird auch die Einheit Gauss verwendet. Diese ist defiur die magnetische Feldst¨ arke wurde fr¨ uher niert als 1 Gauss = 10−4 Tesla = 10−4 Vs/m2 . F¨ die auch heute noch gelegentlich anzutreffende Einheit Oersted verwendet. Diese ist definiert als 1 Oe = 4π · 10−3 A/m.

¨ 9. Spulen und Ubertrager

358

Der Wert von µr ist aussteuerungsabh¨ angig; bei geringer Aussteuerung liegt µr f¨ ur typische Spulenkerne im Bereich 102 − 104 . B J B

s

D H r

D B

m D

N e u k u rv e

-H c

m

H i

B a rk h a u s e n S p rü n g e

c

H B B

B +

(H )

-H H -B -J

B -( H ) r

s

H

-B R a y le ig h - S c h le ife

Abb. 9.1. B(H)-Hysteresekurve, Rayleigh-Schleife

Magnetisierung. Wird ein Stoff in ein Magnetfeld gebracht, so erfolgt eine Magnetisierung (magnetische Polarisation); diese kann durch die Bildung bzw. Ausrichtung magnetischer Dipole im atomaren Bereich erklärt werden und bewirkt eine Erh¨ ohung der magnetischen Flußdichte B = µ0 (H +M ) = µ0 H + J .

(9.4)

Die Größe M wird dabei als Magnetisierung und die Größe J als magnetische Polarisation des Stoffs bezeichnet. In ferro- und ferrimagnetischen Materialien (vgl. Kap. 9.7.1) hängt die Magnetisierung und damit die magnetische Flußdichte B in nichtlinearer Weise von der magnetischen Feldst¨ arke H ab und zeigt zusätzlich eine Hysterese, wie


359

in Abb. 9.1 dargestellt. Ausgehend vom unmagnetisierten Zustand (Ursprung des Koordinatensystems) steigt B mit zunehmender Feldstärke H entlang der Neukurve zun¨ achst stark an. Bei hohen Feldstärken tritt dann Sättigung auf ¨ – eine weitere Steigerung von H f¨ uhrt zu keiner nennenswerten Anderung von B. Mit der S¨ attigungsmagnetisierung Ms bzw. der Sättigungspolarisation Js läßt sich schreiben B = µ0 (H +Ms ) = µ0 H + Js .

(9.5)

Wird nun die Feldst¨ arke H wieder reduziert, so liegt B(H) stets oberhalb der Neukurve; der sich f¨ ur H = 0 einstellende Wert wird als remanente Induktion Br bezeichnet. Erst bei H = −Hc ist die magnetische Flußdichte wieder auf null zur¨ uckgegangen; die zur Entmagnetisierung erforderliche Feldstärke Hc heißt Koerzitivfeldst¨ arke. F¨ ur H < −Hc strebt die magnetische Flußdichte B mit negativen Werten bis zur S¨ attigung B ≈ −Js . Wird nun die Feldstärke H wieder erhöht, so wird der bez¨ uglich des Ursprungs punktsymmetrische Ast der Hystereseschleife durchlaufen. Materialien mit geringer Koerzitivfeldstärke heißen weichmagnetisch; solche Werkstoffe zeichnen sich durch geringe Hystereseverluste (vgl. Kap. 9.7.1) aus. Der Verlauf der Hysteresekurve und insbesondere die zum Erreichen der Sättigungsmagnetisierung notwendige Mindestfeldstärke ist bei einkristallinen Materialien abh¨ angig von der Orientierung des Kristalls bez¨ uglich des magnetischen Felds. Es gibt dann eine Richtung leichter Magnetisierbarkeit. Die f¨ ur Spulenkerne besonders wichtigen Ferritmaterialien sind polykristallin, d. h. sie bestehen aus zahlreichen kleinen Einkristallen unterschiedlicher Orientierung – die Magnetisierbarkeit ist hier unabhängig von der Ausrichtung zum Feld. Permeabilit¨ at. Die durch (9.3) definierte relative Permeabilität µr = B/µ0 H ferro- oder ferrimagnetischer Materialien ist nichtlinear von der magnetischen Feldstärke abh¨ angig. Bei kleinen Aussteuerungen um den Arbeitspunkt durchläuft B als Funktion von H eine kleine linsenförmige Hystereseschleife. ¨ Der Zusammenhang zwischen der Anderung ∆B der magnetischen Induktion ¨ ¨ und der Anderung ∆H der magnetischen Feldstärke wird durch die Uberlagerungspermeabilit¨ at µ∆ beschrieben. Diese ist definiert als (Abb. 9.1) µ∆ =

1 ∆B µ0 ∆H

(9.6)

und vom Hub ∆H abh¨ angig. H¨ aufig gen¨ ugt es, den Grenzfall sehr kleiner H¨ ube ∆H zu betrachten. In diesem Fall geht µ∆ u ¨ber in die reversible Permeabilit¨ at µrev =

1 ∆B . lim µ0 ∆H→0 ∆H

(9.7)


360

Ohne Vormagnetisierung ist µrev identisch mit der Anfangspermeabilit¨ at µi . Die Permeabilit¨ at ist temperaturabh¨ angig; bei den u ¨blicherweise verwendeten Werkstoffen steigt sie mit zunehmender Temperatur an, erreicht kurz vor der Curie-Temperatur ein Maximum und fällt dann stark ab. Der Tempe¨ raturkoeffizient αµ der Permeabilit¨ at ist definiert als relative Anderung der Anfangspermeabilit¨ at mit der Temperatur bei der Bezugstemperatur ϑ0

1 dµi . µi dϑ ϑ0

αµ =

(9.8)

In Datenblättern wird zumeist der bezogene Temperaturkoeffizient αµ /µi angegeben. Diese Gr¨ oße erm¨ oglicht die Berechung der Temperaturabhängigkeit der effektiven Permeabilit¨ at eines Spulenkerns mit Luftspalt (vgl. Kap. 9.4). ur typische Spulenkerne in der Größenordnung Der bezogene TK αµ /µi liegt f¨ 10−6 /K, kann aber je nach Werkstoff auch wesentlich größer sein (> 10−4 /K). Aufgrund von Nachwirkungseffekten (vgl. Kap. 9.7.1) ändert sich die Permeabilität eines Materials auch unter konstanten Betriebsbedingungen (Feldstärke, Temperatur) langsam mit der Zeit. Dieser als Desakkomodation bezeichnete Effekt ist z. B. bei Kernmaterialien f¨ ur Filterspulen (Schwingkreis¨ spulen) von Bedeutung. Die Desakkomodation D bestimmt die relative Anderung der Permeabilit¨ at im Zeitintervall [t1 , t2 ]; sie läßt sich mit dem Desakkomodationskoeffizienten dF berechnen gemäß D = [ µ(t1 )−µ(t2 )]/µ(t1 ) = dF log(t2 /t1 ) .

(9.9)

Der Wert von dF ist material- und temperaturabhängig. Bei Kernen f¨ ur Schwingkreisspulen liegt dF typischerweise im Bereich (10−5 − 10−6 ). Durchflutungs- und Induktionsgesetz. Durch Integration der magnetischen Flußdichte u ache A folgt der diese Fläche durchsetzende magneti¨ber eine Fl¨ sche Fluß

φ = A

B · dA .

(9.10)

Der Zusammenhang zwischen Stromfluß und magnetischer Feldstärke wird durch das Durchflutungsgesetz (1. Maxwellsche Gleichung) beschrieben. Dieses besagt, daß das Linienintegral u ¨ber der magnetischen Feldstärke längs einer beliebigen geschlossenen Kurve Γ gleich dem diese Schleife durchsetzenden Strom i ist ,

Γ

H · ds = i .

(9.11)

¨ Andert sich der eine geschlossene Schleife Γ durchsetzende magnetische Fluß φ, so wird in der Schleife eine Spannung v induziert; induzierte Spannung und Flußänderung sind durch das Induktionsgesetz (2. Maxwellsche Gleichung)

9.1. Physikalische Grundlagen ,

v = Γ

E · ds = −

361

dφ dt

(9.12)

verkn¨ upft. Der durch die induzierte Spannung hervorgerufene Strom ist nach der Lenzschen Regel so gerichtet, daß er seiner Ursache – der Flußänderung – entgegenwirkt. Gleichung (9.12) gilt auch f¨ ur nichtlineare Induktivitäten, wie Spulen mit Eisenkern, die bis in den S¨ attigungsbereich hinein ausgesteuert werden. Bei schwacher Aussteuerung kann häufig ein linearer Zusammenhang zwischen Fluß und Strom angenommen werden. Sofern nur eine Leiterschleife vorliegt gilt dann v = L di/dt, wobei L den Induktivit¨ atswert – genauer den Selbstinduktionskoeffizienten – des Leiters bezeichnet. Sind N stromdurchflossene Leiter vorhanden und bezeichnet iα den Stromfluß durch Leiter ¨ α, so ist die im Leiter α durch Anderungen der Ströme im Leitersystem induzierte Spannung vα (t) =

N β=1

Lαβ

diβ . dt

(9.13)

Lαα heißt Selbstinduktionskoeffizient von α und Lαβ mit α = β Gegeninduktionskoeffizient von α und β. Gegeninduktionskoeffizienten können sowohl positives als auch negatives Vorzeichen besitzen; dabei gilt stets Lαβ = Lβα .

(9.14)

Liegen lediglich zwei Leiter vor, so wird in der Regel die Schreibweise L1 = L11 ,

L2 = L22

sowie

M = L12 = L21

(9.15)

verwendet. L1 und L2 bezeichnen dann die Selbstinduktionskoeffizienten der beiden Leiter, M die Gegeninduktivit¨ at. Werden zwei Spulen mit den Selbstinduktivitätskoeffizienten L1 und L2 sowie dem Gegeninduktionskoeffizient M in Serie geschaltet, so wirken sie wie eine Induktivität mit dem Wert L = L1 + L2 + 2M ;

(9.16)

bei Parallelschaltung der Spulen resultiert die wirksame Induktivität L =

L1 L2 − M 2 L1 + L2 − 2M

.

(9.17)

Gleichung (9.16) kann zur Bestimmung des Gegeninduktionskoeffizienten zweier verkoppelter Induktivit¨ aten ausgenutzt werden. Zu diesem Zweck werden die Spulen in Reihe geschaltet und die in der Folge mit Ls1 bezeichnete Gesamtinduktivit¨ at bestimmt. Anschließend werden die Anschl¨ usse einer der beiden Spulen vertauscht – wobei diese aber ihre Lage beibehält – und die Induktivität der Reihenschaltung erneut gemessen, was den Wert Ls2 ergibt. F¨ ur den Gegeninduktionskoeffizienten folgt dann aus (9.16) M = (Ls1−Ls2 )/4.


362

i2

i1

L

L 1

2

M

Abb. 9.2. Gleichsinnige Kopplung

Das Vorzeichen von M h¨ angt von der Verschaltung der beiden Induktivitäten ab. Zur eindeutigen Kennzeichnung wird im Schaltplan in verkoppelten Spulen je eine Seite mit einem Punkt markiert. Der Gegeninduktionskoeffizient der beiden Spulen ist positiv, falls die Richtung der Strompfeile bez¨ uglich der Wicklungspunkte in beiden Spulen identisch ist (gleichsinnige Kopplung). Gegensinnige Kopplung (M < 0) liegt vor, falls die Strompfeile entgegengesetzt orientiert sind. Im Schaltplan kann auf die magnetische Kopplung zweier Spulen durch einen Doppelpfeil hingewiesen werden (vgl. Abb. 9.2).

9.2 Induktionskoeffizienten ausgew¨ ahlter Leiterformen Die Induktionskoeffizienten2 lassen sich aus der Energie des magnetischen Feldes W =

1 2

H · B d3 x =

1 L i2 2

berechnen. Mit B = µH folgt L =

µ i2

|H|2 d3 x .

(9.18)

außere Der Wert von L spaltet auf in eine innere Induktivität Li und eine ¨ Induktivität La , wenn das Volumenintegral (9.18) als Summe eines Integrals u ¨ber das Leiterinnere und eines Integrals u ¨ber den den Leiter umgebenden Raum zerlegt wird. Dabei gilt i. allg. Li La . Bei der Berechnung des äußeren Selbstinduktionskoeffizienten f¨ ur Leiteranordnungen ergeben sich jedoch nur sinnvolle Werte, wenn Angaben u uckleiter gemacht werden. ¨ber den R¨ Die Berechnung der Induktionskoeffizienten stellt ein i. allg. m¨ uhsames und häufig mit analytischer Rechnung nur n¨ aherungsweise zu bewältigendes Unterfangen dar. Aus diesem Grund werden hier nur Näherungsbeziehungen f¨ ur einige in der Praxis besonders bedeutsame Leiterkonfigurationen angegeben. 2 Der Einfachheit halber wird hier nur ein Leiter betrachtet. Der Fall mehrerer Leiter und Beziehungen zur Berechnung der Gegeninduktionskoeffizienten sind z. B. in [1] zu finden.

9.2. Induktionskoeffizienten ausgewählter Leiterformen

2 r D

D d

363

D

L (b )

(a )

(c )

Abb. 9.3. Zur Induktivit¨ at ausgew¨ ahlter Leiterformen. (a) Zylinderspule, (b) Ringkernspule und (c) Drahtring

Zylinderspule. F¨ ur die ¨ außere Induktivität einer eng gewickelten, flachen Zylinderspule (Abb. 9.3 a) mit L¨ ange Λ und Durchmesser D kann nach [2] die Näherungsbeziehung L ≈ La = µ

A 1 n2 Λ 1 + 0.45 D/Λ

(9.19)

hergeleitet werden, wobei n die Windungszahl und A = πD2 /4 den Querschnitt des Wickelk¨ orpers bezeichnet.3 Diese Beziehung wird mit dem Induktivit¨ atsfaktor AL gew¨ ohnlich in der Form L = AL n2

(9.20)

geschrieben. AL ist die auf die Windungszahl 1 bezogene Induktivität der Spule. Der AL -Wert eines Kerns wird vom Hersteller im Datenblatt spezifiziert. Er ber¨ ucksichtigt die Permeabilit¨ at des Kernmaterials und Geometrieeffekte. Beispiel: F¨ ur eine Zylinderspule (L¨ ange Λ = 3 cm, Durchmesser D = 1 cm) ohne Kern (µr = 1) folgt aus (9.19) AL = 2.86 nH.

Ringkernspule. Bei Ringkernspulen (Abb. 9.3 b) mit hochpermeablem Kern verläuft das magnetische Feld nahezu ausschließlich im Spuleninneren – das Außenfeld einer solchen Spule ist sehr gering. F¨ ur den AL -Wert der Ringkernspule mit kreisf¨ ormigem Querschnitt (Torus) gilt nach [2] die Näherung AL = µDx2 (1 + x2 )

mit

x = r/D .

(9.21)

¨ Ringkerne werden wegen ihres geringen Streufelds vorzugsweise f¨ ur Ubertrager verwendet, sie eignen sich aufgrund ihrer einfachen Form ferner besonders gut zur Bestimmung der Materialkenngrößen (z. B. Permeabilität) eines Kernmaterials. Als Nachteil ist die bei ungeteilten Kernen aufwendige Wicklung zu nennen. 3 Korrekturfaktoren zu Gl. (9.19) f¨ ur kurze Spulen (kleines Λ) und dicke Dr¨ ahte werden in [3] angegeben.


364

Drahtring. Die Induktivit¨ at eines Drahts vom Durchmesser d, der zu einem Kreisring mit Durchmesser D gebogen wurde, läßt sich analytisch berechnen und mittels elliptischer Integrale erster und zweiter Ordnung ausdr¨ ucken [2]. Das allgemeine Ergebnis kann f¨ ur d D angenähert werden durch ⎡

⎛

L D − d/2 ⎣ ⎝ D = 2π · · ln nH cm d

⎞

⎤

d 1 − ⎠ + 0.047 ⎦ . D

(9.22)

L e ite r p la tte

d

a

Abb. 9.4. Gedruckte Spule

Gedruckte Spulen. Auf Leiterplatten und in Hybridschaltungen lassen sich Induktivitäten durch geeignet geformte Leiterbahnen realisieren. Dabei sind quadratische und runde Formen gebr¨ auchlich (Abb. 9.4, der Anschluß des inneren Punktes erfolgt u ucke oder eine Leiterbahn in einer an¨ber eine Drahtbr¨ deren Ebene). Die quadratische Form l¨ aßt sich leichter zeichnen und besitzt etwas höhere Induktivit¨ atswerte bei gegebenen Außenabmessungen. Die runde Form zeichnet sich demgegen¨ uber durch eine etwas höhere G¨ ute aus. F¨ ur die Induktivität der Spule mit quadratischem Grundriß gilt die Abschätzung4 [5] a L ≈ 0.85 · n5/3 . nH mm

(9.23)

Dabei bezeichnet A die Fl¨ ache und n die Anzahl der Windungen. Da die auf der Leiterplatte zur Verf¨ ugung stehende Fläche und damit die Zahl der Windungen begrenzt ist, lassen sich mit dieser Technik Induktivitäten bis ca. 1 µH realisieren. Wegen der mit zunehmender Windungszahl abnehmenden G¨ ute wird die Windungszahl meist nicht gr¨ oßer als zehn gewählt. Die Resonanzfrequenz (vgl. Kap. 9.4.1) gedruckter Spulen liegt, abhängig von Substratmaterial, Windungszahl und den Abmessungen, typischerweise im Bereich von 150 MHz bis 1.5 GHz. 4

Detailliertere Berechnungsgrundlagen sind in [4] angegeben.

9.3. Definition von Induktivitäten in SPICE

365

9.3 Definition von Induktivit¨ aten in SPICE In der SPICE-Netzliste k¨ onnen lineare und nichtlineare Induktivitäten definiert werden. Mit diesen lassen sich Ersatzschaltungen f¨ ur die Spule (vgl. Kap. 9.4.1) nachbilden. F¨ ur Spulen mit Kern besteht in PSPICE dar¨ uber hinaus die Möglichkeit, Hysterese- und S¨ attigungsverhalten mit einem speziellen Kernmodell (vgl. Kap. 9.7.3) zu beschreiben. i

K _ 1

K _ 2 v

Abb. 9.5. Lineare Induktivit¨ at

Lineare und nichtlineare Induktivit¨ aten Die Elementanweisung f¨ ur eine (lineare) Induktivität ist von der Form K1

L(Name)

K2

Wert (in Henry)

(IC = i(0))

Die Angabe einer Anfangsbedingung f¨ ur den Spulenstrom u ¨ber IC = i(0) ist dabei nicht zwingend. Die Elementanweisung L5

13

15

10U

bezeichnet demnach eine Induktivit¨ at L5 vom Wert 10 µH zwischen den Knoten 13 und 15. Nichtlineare Induktivit¨ aten lassen sich mit der Elementanweisung L(name)

K1

K2

POLY

C0 (C1, C2,. . .)

(IC = i(0))

definieren. Die C0, C1 ... sind, wie im Fall der nichtlinearen Kapazität, Polynomkoeffizienten, die die Stromabh¨ angigkeit der (Kleinsignal-)Induktivität l in Henry beschreiben i i2 l = C0 + C1 + C2 2 + . . . H A A Beispiel 9.3.1 Als Beispiel wird die Anweisung LVAR

OUT

0

POLY

1U

2U

-100N

IC=1M

betrachtet. Diese beschreibt eine nichtlineare Induktivität zwischen den Knoten OUT und 0, die zur Zeit t = 0 von einem Strom i(0) = 1 mA durchflossen wird und die stromabh¨ angige Kleinsignalinduktivit¨ at 2 i i lVAR = 1 + 2 − 0.1 2 µH A A aufweist.

∆


366

9.4 Spulen Spulen werden gew¨ ohnlich als Drahtwicklung auf einem Spulenkörper aus Isoliermaterial ausgef¨ uhrt. H¨ aufig dient ein Kern aus einem hochpermeablen Material (Eisen, Ferrit) der Erh¨ ohung des Induktivitätswerts – Spulen ohne derartigen Kern werden als Luftspulen bezeichnet. lo g |Z |

r

ls s

c r

r p

C u

+ r k s ( f r) + w rls t a n d e

p

~ (w c p)

~ w ls r

-1

C u

fr

lo g ( f)

Abb. 9.6. Spule. Ersatzschaltung und Scheinwiderstand als Funktion der Frequenz

9.4.1 Ersatzschaltung und elektrisches Verhalten Abbildung 9.6 zeigt eine Ersatzschaltung f¨ ur eine Spule, die bei Kleinsignalaussteuerung verwendet werden kann. Da die Netzwerkelemente arbeitspunktabhängig sind, wurden kleine Buchstaben verwendet. Wie in Gl. (9.33) gezeigt wird, lassen sich Ummagnetisierungsverluste einer Spule mit Kern durch den Kernverlustwiderstand rks in Serie zu einer reinen Induktivität ls erfassen. ucksichtigen, so daß Zusätzlich zu rks ist der Drahtwiderstand rCu zu ber¨ rs = rCu + rks .

(9.24)

Parallel hierzu liegt die Wicklungskapazität cp ; dielektrische Verluste in der Isolation werden durch den zus¨ atzlich parallel geschalteten Widerstand rp beschrieben. Mit dem Verlustfaktor tan δ der Isolierschichten gilt demnach 1/rp ≈ ωcp tan δ . Impedanz, Eigenresonanz. Die Impedanz Z der Spule errechnet sich aus der Ersatzschaltung (Abb. 9.6) zu 1 Z

=

1 1 + jωcp + = rp jωls +rs

=

−jωls (1−cp rs2 /ls −ω 2 ls cp ) + rs + (rs2 +ω 2 ls2 )ωcp tan δ . rs2 + ω 2 ls2

(9.25)

9.4. Spulen

367

Der prinzipielle Verlauf des Scheinwiderstands Z als Funktion der Frequenz ist in Abb. 9.6 in doppeltlogarithmischer Auftragung dargestellt. Bei sehr kleinen Frequenzen ist Z durch den ohmschen Widerstand der Wicklung bestimmt. Mit zunehmender Frequenz dominiert dann der induktive Anteil: Z steigt proportional zu f an. F¨ ur Frequenzen f > fr dominiert der kapazitive Parallelleitwert: Hier f¨ allt Z proportional zu 1/f ab. Der Verlustfaktor tan δL der Spule ist defniert als das Verhältnis von Real- zu Imaginärteil der Impedanz tan δL =

Re(Z) 1 ; = Im(Z) QL

(9.26)

ute bezeichnet. Mit Luftspulen lassen sich sein Kehrwert QL wird als Spuleng¨ G¨ uten größer als 1000 verwirklichen [3]; bei Spulen mit Kern liegen die Werte niedriger – bei sorgf¨ altiger Dimensionierung sind jedoch G¨ uten von mehr als 500 erreichbar (vgl. Beispiel 9.4.1). Trennung von Gl. (9.25) in Realteil und Imaginärteil liefert f¨ ur den Verlustfaktor tan δL ≈

1 rs (f/fr )2 + tan δ , 2πf ls 1 − (f/fr )2 1 − (f/fr )2

(9.27)

wobei fr ≈ 1/2π ls cp die (Eigen-)Resonanzfrequenz der Spule bezeichnet und ωrs cp tan δ 1 sowie cp rs2 /ls 1 angenommen wurde. Im Handel sind fertig gewickelte Spulen mit unterschiedlichen Induktivitätswerten verf¨ ugbar: Spulen f¨ ur Anwendungen im NF-Bereich sind u ¨blicherweise auf einem Ferritspulenk¨ orper gewickelt und von einer Kunststoffh¨ ulle umgeben. Derartige Spulen weisen typisch Induktivitätswerte im Bereich von 1 µH bis 1 mH, ann¨ ahernd proportional zum Induktivitätswert ansteigende Drahtwiderstände (Anstieg um typischerweise 30 bis 40 mΩ je µH) sowie G¨ utewerte im Bereich zwischen 50 und 100, auf. Die Resonanzfrequenz liegt f¨ ur L = 10 µH in der Gr¨ oßenordnung von 50 MHz, sie fällt mit zunehmender Induktivität etwas st¨ arker als L−1/2 ab. In konisch gewickelten Spulen kann die Spulenkapazit¨ at sehr klein gehalten werden; auf diesem Weg lassen sich Luftspulen im Mikrohenrybereich herstellen, die resonanzfrei bis in Gigahertzbereich arbeiten [6]. Wo verf¨ ugbare Festinduktivit¨ aten den Anforderungen nicht gen¨ ugen, werden Spulen – unter Verwendung vorgefertigter Schalenkernsätze – vom Anwender selbst aufgebaut. Dabei ist zun¨ achst ein, f¨ ur die Betriebsfrequenz geeignetes Kernmaterial auszuw¨ ahlen. Abhängig vom geforderten Temperaturkoeffizienten bzw. dem maximalen Spulenstrom ist ein Wert f¨ ur den Luftspalt auszuwählen. Mit dem im Datenblatt spezifizierten AL -Wert kann dann leicht die geforderte Windungszahl berechnet werden. Die die Spulenverluste bestimmenden Gr¨ oßen werden in der Folge näher betrachtet.


368

9.4.2 Drahtwiderstand, Kupferverluste Besteht die Wicklung einer Spule aus einem Kupferdraht vom Querschnitt ange ΛD = n ΛW , so ist der ohmsche Widerstand der Wicklung AD und der L¨ (Drahtwiderstand) RCu = ρCu ΛD /AD = nρCu ΛW /AD .

(9.28)

Dabei bezeichnet ΛW die mittlere Windungslänge, n die Windungszahl und ρCu den spezifischen Widerstand von Kupfer. Wegen des Skineffekts ist der Drahtwiderstand bei hohen Frequenzen frequenzabhängig – der Wert rCu bei der Frequenz f ist dann abh¨ angig vom Frequenzbereich aus RCu durch Multiplikation mit einem Korrekturfaktor nach Tabelle 7.1 zu ermitteln. Bedingt durch die Isolation und zwangsläufig auftretende Zwischenräume ist der Querschnitt nAD des stromf¨ uhrenden Teils der Wicklung kleiner als die Wicklungsfl¨ ache AW = bd (Abb. 9.10). Das Verhältnis der beiden Größen ist der sog. Kupferf¨ ullfaktor FCu = nAD /AW . Einsetzen in (9.28) f¨ uhrt auf RCu = AR n2

(9.29)

mit dem Widerstandsfaktor AR = ρCu ΛW /AW FCu

(9.30)

des Spulenkörpers. F¨ ur einen als konstant angenommenen Kupferf¨ ullfaktor – also bei vollst¨ andiger Bewicklung des Spulenkörpers – wachsen die Kupferverluste proportional zu RCu , nach Gl. (9.29) also proportional zum Quadrat der Windungszahl an. Hintergrund ist, daß die Länge des Drahts proportional zu n zunimmt, sein Querschnitt wegen der vollständigen Ausnutzung des Wicklungsraums aber proportional zu n abnimmt, was bei der Berechnung uhrt. des Widerstands zu einer Abh¨ angigkeit RCu ∼ n2 f¨

9.4.3 Kernverlustwiderstand Die Magnetisierung eines Spulenkerns folgt einem externen Wechselfeld nicht trägheitsfrei: Zwischen dem externen Wechselfeld und der Magnetisierung tritt eine Phasenverschiebung auf. Dies f¨ uhrt zu Ummagnetisierungsverlusten, den sog. Kernverlusten. Bei Kleinsignalaussteuerung können diese näherungsweise durch eine komplexe Permeabilit¨ atszahl µr = µs − jµs = µs (1 − j tan δK )

(9.31)

erfaßt werden; tan δK bezeichnet dabei den Verlustfaktor des Kernmaterials. Der Wert von µs wird durch das Material und die Vormagnetisierung bestimmt. Liegt keine Vormagnetisierung vor, so ist µs – zumindest solange tan δK 1 gilt – n¨ aherungsweise gleich der Anfangspermeabilität µi . Die

9.4. Spulen

369

Impedanz einer ansonsten idealen Induktivität L0 mit einem Kern der komplexen Permeabilit¨ at µr ist Z = jωµs L0 (1 − j tan δK ) = jωµs L0 + ωµs L0 tan δK .

(9.32)

Mit ls = µs L0 und rks = ωls tan δK geht dies u ¨ber in Z = jωls + rks ,

(9.33)

d. h. die ideale Spule mit verlustbehaftetem Kern läßt sich darstellen als Reihenschaltung einer Spule der Induktivit¨ at ls und eines Kernverlustwiderstands ucksichtigt s¨ amtliche Kernverluste. Der Wert von rks ist sorks . Letzterer ber¨ wohl frequenz- als auch aussteuerungsabhängig. 1 0

-1

1 0

-2

1 0

-3

1 0

-4

U 6 0

U 1 7

K 1

m

i

-1

ta n d

K

K 1 2

1 0

M 3 3

-5

N 2 2 1 0

-6

1 0

-7

N 4 8

1 0 0

1 0 1

1 0 2

1 0 3

1 0 4

1 0

f

5

k H z 1 0 6

Abb. 9.7. Bezogener Verlustfaktor verschiedener Ferritˆ ≤ 0.1 werkstoffe (B mT, nach [7])

Zur Charakterisierung der Kernverluste wird in Datenblättern meist der auf die Anfangspermeabilit¨ at µi bezogene Verlustfaktor tan δK /µi angegeben. Abbildung 9.8 zeigt als Beispiel die an Ringkernen gemessenen Werte des bezogenen Verlustfaktors als Funktion der Frequenz f¨ ur verschiedene Werkstoffe.

9.4.4 Effektive Permeabilit¨ at, Luftspalte In der Praxis werden Kerne in der Regel mit einem Luftspalt ausgef¨ uhrt. Dies reduziert die Permeabilit¨ at auf die sog. effektive Permeabilit¨ at µe und verringert Verluste, nichtlineare Verzerrungen, Temperaturabhängigkeit etc.


370

2 r G D s

L G

= p D

Abb. 9.8. Ringkern mit Luftspalt

Zur Erläuterung der Zusammenh¨ ange wird der in Abb. 9.8 dargestellte Ringkern betrachtet. Dieser sei gleichm¨ aßig mit n Windungen umwickelt, durch die der Strom I fließt. Ohne Luftspalt (s = 0) gilt entlang des eingezeichneten Wegs Γ der L¨ ange ΛΓ nach dem Durchflutungsgesetz Hi (0) ΛΓ = n I. Wird der Ring nun durch einen d¨ unnen Luftspalt der Länge s unterbrochen, so tritt im Kern die Feldst¨ arke Hi (s) und im Luftspalt die Feldstärke Ha auf. Das Durchflutungsgesetz lautet nun Hi (s)(ΛΓ −s) + Ha s = n I . F¨ ur die Feldst¨ arke Hi (s) im Material folgt mit Ha = B/µ0 unter der Annahme aherung ΛΓ s die N¨ Hi (s) =

s B nI s B − ≈ Hi (0) − , ΛΓ −s ΛΓ −s µ0 ΛΓ µ0

(9.34)

d. h. bei einem gegebenen Strom I durch die Wicklung ist die Feldstärke im Kernmaterial bei Anwesenheit eines Luftspalts um den Wert sB/(µ0 ΛΓ ) geringer als ohne Luftspalt. Der Faktor s/ΛΓ wird aus diesem Grund meist als Entmagnetisierungsfaktor bezeichnet. Gleichung (9.34) beschreibt eine Sche” rung“ der B(H)-Kennlinie wie in Abb. 9.9 a dargestellt. Bei Anwesenheit eines Luftspalts tritt die S¨ attigung demnach erst bei sehr viel höherem Strom ein als bei Abwesenheit eines Luftspalts. Verbunden mit der höheren Aussteuerbarkeit ist eine Linearisierung des Zusammenhangs zwischen B und I, was zu einer Reduktion nichtlinearer Verzerrungen f¨ uhrt. F¨ ur die magnetische Flußdichte gilt bei linearer Aussteuerung näherungsweise B = µ0 µe nI/ΛΓ , wobei µe die von der Luftspaltl¨ ange abh¨ angige effektive Permeabilität µe beur die zeichnet. Diese Gr¨ oße ist maßgeblich f¨ ur den AL -Wert und damit f¨ Induktivität einer Spule mit Kern. Mit Hi (s) =

B µ0 µr

und

Hi (0) =

nI B = ΛΓ µ0 µe

9.4. Spulen

371 1 0

B S c h e r u n g s lin ie s B m 0L G

4

W e rk s to ff N 4 8

o h n e L u fts p a lt s m 0L G

B

1 5 0 0 1 0 0 0

1 0 3

5 0 0

m

m it L u fts p a lt

n I/L 0

(a )

1 0

0

1 0 0

1 0

G

~ 1 /H

2 0 0 e 2

m e

= 5 0

1

1 0

1 0 1

1 0 2

G le ic h fe ld s tä r k e H

3

A /m

1 0 4

(b ) 0

Abb. 9.9. (a) Hystereseschleife eines Kerns mit und ohne Luftspalt, (b) effektive Permeaur den Werkstoff N 48 (nach [7]) bilit¨ at als Funktion des Gleichfeldst¨ arke H0 f¨

folgt aus Gl. (9.34) f¨ ur die sog. effektive (oder gescherte) Permeabilität µe =

µr = Sµr . 1 + sµr /ΛΓ

(9.35)

Die Größe S heißt Scherfaktor. Um diesen Faktor veringert sich der AL -Wert bei Einf¨ uhren eines Luftspalts. Gilt sµr ΛΓ , so ist µe ≈ ΛΓ /s weitgehend unabhängig von µr , d. h. µe ist in diesem Fall primär durch die Abmessungen des Eisenkerns und des Luftspalts bestimmt. Durch den Luftspalt wird der Verlustfaktor des Kerns verringert. Wird in Gl. (9.35) die komplexe Permeabilit¨ at µr = µi (1−j tan δK ) eingesetzt µi (1−j tan δK ) ≈ µe (1−j tan δKe ) , 1 + (s/ΛΓ )µi (1−j tan δK ) so folgt f¨ ur den Verlustfaktor tan δKe der effektiven Permeabilität die Näherung tan δKe ≈ µe

tan δK µi

(9.36)

d. h. der Verlustfaktor verringert sich bei Einf¨ ugen eines Luftspalts um den 5 Scherfaktor S. Andere um den Scherfaktor reduzierte Größen sind Nichtlinearität, Temperaturabh¨ angigkeit und Desakkomodation des Kernmaterials. Durch Wahl des Luftspalts kann demnach insbesondere der Temperaturkoeffizient einer Spule eingestellt werden. 5 Bei vorgegebenem Spulenstrom nehmen die in tan δK ber¨ ucksichtigten Hystereseverluste (proportional zu Hi ) wegen der Reduktion des inneren Felds sogar proportional zu S 2 ab.


372

9.4.5 Wicklungskapazit¨ at Die Wicklungskapazit¨ at mehrlagiger Spulen wird durch die Abmessungen des Wicklungsraums, die mittlere Windungslänge ΛW , die genaue Lage der Drähte zueinander und die effektive Dielektrizitätszahl der Isolation bestimmt. F¨ ur eine n¨ aherungsweise Berechnung der Wicklungskapazität mehrlagiger Spulen kann nach [8] die Absch¨ atzung b ΛW cp ≈ 0.2 · · pF d mm

(9.37)

verwendet werden, wobei b die Breite und d die Dicke des Wickelraums angeben. Diese Absch¨ atzung beruht auf Meßdaten f¨ ur lackisolierte Drähte bei maschinell hergestellter Vollwicklung. Das Ergebnis dieser Abschätzung kann mit einem relativen Fehler von ±50% behaftet sein kann. Diese Ungenauigkeit ist aber meist f¨ ur eine u aßige Bestimmung der Spuleng¨ ute ausrei¨berschlagsm¨ chend, da die Spule in der Regel so dimensioniert wird, daß im relevanten Frequenzbereich ω 2 ls cp 1 gilt. F¨ ur die Abschätzung der dielektrischen Verluste in der Isolationsschicht kann aus demselben Grund tan δ ≈ 10−2 angesetzt werden [9]; dieser Wert liegt u ur Kupferlackdrähte (tan δ ≈ 4·10−3 ) ¨ber dem f¨ −3 bzw. HF-Litze (tan δ ≈ 3 · 10 ) typischen Wert 6 und sollte deshalb die Abschätzung einer unteren Grenze f¨ ur die Spuleng¨ ute ermöglichen (vgl. Beispiel 9.4.1).

b d S p u le n k ö r p e r

Abb. 9.10. Wicklungsraum

Aus Gl. (9.37) folgt, daß sog. Scheibenspulen mit geringer Breite und großer Dicke besonders niedrige Wicklungskapazitäten aufweisen. Durch spezielle Wickeltechniken (z. B. Kreuzwicklung), sowie das Einf¨ ugen dielektrischer Schichten (z. B. Polycarbonatfolie) zwischen den einzelnen Lagen der Wicklung kann die Eigenkapazit¨ at der Wicklung zusätzlich verringert werden. Bei größeren Windungszahlen kommt ferner die Verwendung von Mehrkammerspulenk¨ orpern in Frage; der Wickelraum wird dabei in k Schichten unterteilt, deren Breite gegen¨ uber der nicht unterteilten Wicklung auf b/k verringert 6

Daten nach [2].

9.4. Spulen

373

ist. Diese werden der Reihe nach vollgewickelt, so daß insgesamt k Teilwicklungen in Reihe liegen. Die Wicklungskapazität einer solchen Teilwicklung ist gegen¨ uber der nicht unterteilten Wicklung auf cp /k verringert. Da die Wicklungskapazit¨ aten der Teilwicklungen in Reihe liegen, verringert sich die gesamte Wicklungskapazit¨ at somit auf das 1/k 2 -fache der Einkammerwicklung. Dies wird in der Praxis wegen unvermeidlicher Streukapazitäten nicht ganz erreicht: Die Wicklungskapazit¨ at nimmt in der Regel um einen Faktor zwischen den Werten 1/k und 1/k 2 ab [9].

9.4.6 Spuleng¨ ute, Verlustfaktor Mit rs = rCu + ωls tan δKe folgt aus Gl. (9.27) tan δL

1 ≈ 1 − (f/fr )2

f2 rCu + tan δKe + 2 tan δ 2πf ls fr

.

(9.38)

F¨ ur f fr wird das Minimum im wesentlichen durch die Kern- und Kupferverluste bestimmt. Da tan δKe f¨ ur kleine Frequenzen annähernd konstant ist (Abb. 9.7), dominiert zun¨ achst der Kupferverlustfaktor tan δCu =

rCu 2πf ls

lo g ( ta n d )

auf der rechten Seite von Gl. (9.38). Der Wert von tan δL nimmt deshalb in diesem Bereich mit zunehmender Frequenz zunächst ab, um dann nach Durchlaufen eines Minimums als Folge des Anstiegs von tan δKe wieder anzusteigen.

ta n d

C u

(m e= 1 )

lo g ( m e ) ta n d ta n d

L

K e

lo g ( m e )

ta n d m i

ta n d K

fB

C u

lo g ( f)

Abb. 9.11. Zur Optimierung der Spuleng¨ ute


374

Optimierung der Spuleng¨ ute. Für optimale Spulengüte (d. h. minimalen Verlustfaktor tan δL ) ist das Kernmaterial so auszuw¨ ahlen, daß bei der Betriebsfrequenz fB der stark ansteigende Ast von tan δ/µi noch nicht erreicht ist. Der bezogene Verur einen Kern lustfaktor tan δK /µi entspricht einer effektiven Permeabilität µe = 1; f¨ mit Luftspalt der effektiven Permeabilit¨ at µe ist die entsprechende Kurve in der doppeltlogarithmischen Auftragung von tan δK /µi u ¨ber f um log(µe ) nach oben zu schieben, da der effektive Kernverlustfaktor nach Gl. (9.36) bei gegebener Frequenz andiger Ausnutzung des Wicklungsraums folgt proportional zu µe ansteigt. Bei vollst¨ aus rCu ≈ AR n2

ls ≈ µe AL0 n2

und

f¨ ur den Kupferverlustfaktor tan δCu =

rCu AR 1 ≈ ∼ , 2πf ls 2πf µe AL0 µe

wobei AL0 = AL /µe den AL -Wert f¨ ur µe = 1 bezeichnet. Die effektive Permeabilität urde bei gegebener Induktivit¨ at eine große Windungszahl und damit sehr µe = 1 w¨ große Kupferverluste bedingen: Der entsprechende Verlustfaktor tan δCu (µe = 1) ist in Abb. 9.11 als Hilfslinie eingezeichnet. Bei Erhöhung der effektiven Permeabilität verschiebt sich diese Linie um log(µe ) nach unten. Der optimale Wert der effektiven Permeabilit¨ at ist erreicht, wenn Kernverluste und Kupferverluste bei der Betriebsfrequenz fB denselben Wert aufweisen. Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung rks = rCu bzw. AR µi 1 µe = AL0 tan δK 2πfB was sich rechnerisch auch durch Nullsetzen der Ableitung (Extremwert) von tan δCu + tan δKe =

tan δK AR + µe 2πfB µe AL0 µi

ermitteln l¨ aßt. Damit der Verlustfaktor der Spule tan δL bei fB minimal wird, muß das Material verwendet werden, das bei der Betriebsfrequenz fB den geringsten Wert von tan δK /µi aufweist.

9.4.7 Temperaturkoeffizient Technische Spulen weisen einen temperaturabhängigen Induktivitätswert auf. Der Temperaturkoeffizient (TK) αL = L−1 (dL/dT ) wird bei Spulen mit Kern vor allem durch die temperaturabh¨ angige Permeabilitätszahl bestimmt. F¨ ur eine effektive Permeabilit¨ at µe errechnet sich der TK αµe aus dem u ¨blicherweise angegebenen sog. bezogenen TK αµ /µi gemäß αµe = αµ µe /µi .

(9.39)

Weitere Einfl¨ usse sind bedingt durch die temperaturabhängigen Abmessungen der Spule und die Wicklung; f¨ ur µe < 80 wirken sich diese nach [10] in

9.4. Spulen

375

einem zusätzlichen Beitrag von 10 − 30 ppm/K zum TK des Induktivitätswerts aus. Wegen Gl. (9.39) kann durch Wahl des Luftspalts und damit des Werts der effektiven Permeabilit¨ at der TK der Spuleninduktivität in einem weiten Bereich eingestellt werden. Beispiel 9.4.1 Als Beispiel wird in Anlehnung an [10] die Auslegung einer Schwingkreissspule f¨ ur die Betriebsfrequenz fB = 500 kHz betrachtet. Diese soll eine Induktivit¨ at von 640 µH mit einem Temperaturkoeffizient von annähernd 100 ppm/K aufweisen. Als geeignetes Material wird anhand von Abb.9.7 der Werkstoff M33 mit dem bezogenen TK von αµ /µi ≈ 1.6 ppm/K ausgewählt. Um den geforderten TK zu erhalten, w¨ are demnach die effektive Permeabilität µe =

αL ≈ 62.5 αµ /µi

erforderlich. Dieser Wert kann wegen des Wicklungseinflusses etwas kleiner sein; ur ausgew¨ ahlt wird ein Schalenkern mit einem Luftspalt s = 0.6 mm und µe = 47.9, f¨ den ein AL -Wert von 100 nH spezifiziert ist. Die erforderliche Windungszahl errechnet sich mit Hilfe des AL -Werts zu

n = L/AL = 80 . Als f¨ ur diese Betriebsfrequenz geeigneten Draht wird HF-Litze 20 × 0.05 mit einem Außendurchmesser von 0.367 mm und einem Widerstandsbelag von 0.44 Ω/m gew¨ ahlt. Mit der dem Datenblatt entnommenen, mittleren Windungslänge von 35.6 mm folgt so ein Kupferwiderstand von RCu = 0.444

Ω · 35.6 mm · 80 ≈ 1.27 Ω . m

Der bezogene Verlustfaktor tan δK /µi bei f = 500 kHz kann aus dem Datenblatt mit 1.4 · 10−5 abgelesen werden, was mit µe = 47.9 auf einen Kernverlustfaktor uhrt. Bei fB = 500 kHz ergibt dies den Kernverlustwiderstand tan δKe ≈ 6.7 · 10−4 f¨ rks = 2 · π · 5 · 105 s−1 · 640 · 10−6 Ωs · 6.7 · 10−4 ≈ 1.348 Ω . Ber¨ ucksichtigt man noch Zuleitungswiderst¨ ande, so gelangt man zur Abschätzung rs = RCu + rks ≈ 2.7 Ω. Bei einem Einkammerspulenkörper der Breite b ≈ 7 mm sind insgesamt 4 Lagen erforderlich, was beim gegebenen Drahtdurchmesser auf eine Dicke der Wicklung von d ≈ 1.5 mm f¨ uhrt. Nach Gl. (9.37) gibt dies eine Spulenkapazität cp ≈ 0.2 pF ·

7 mm · 35.6 ≈ 32 pF . 1.5 mm

Wird eine Zweikammerwicklung gew¨ ahlt, so ist die Wicklungskapazität deutlich kleiner: Wegen der halbierten Breite b ist die Wicklungskapazität einer Kammer halbiert; da die beiden Kapazit¨ aten an¨ ahernd in Reihe geschaltet werden, ergibt sich im Idealfall eine weitere Halbierung der Gesamtkapazität, die sich in der Praxis jedoch nicht ganz erreichen l¨ aßt. Als Absch¨ atzung wird cp ≈ 10 pF angenommen. Die Resonanzfrequenz ergibt sich hieraus zu fr =

1

≈ 2 MHz , 2π ls cp


376

was deutlich oberhalb der Betriebsfrequenz liegt. Bei fB = 500 kHz folgt mit tan δ ≈ 10−2 aus Gl. (9.27) die Absch¨ atzung tan δL ≈ 2 · 10−3 , was auf eine G¨ ute QL ≈ 500 f¨ uhrt – etwas weniger als der im Datenblatt angegebene Wert 550. Diese Abweichung ist vor allem durch die sehr vorsichtige“ Annahme ” f¨ ur den Verlustfaktor tan δ bedingt. Das Beispiel zeigt, daß die Berechnung der Spuleng¨ ute zwar ann¨ ahernd m¨ oglich, aber doch mit einigen Unsicherheiten behaftet ist. Zur Spulenoptimierung sind aus diesem Grund ergänzende praktische Versuche angeraten. ∆

9.4.8 Kernformen Kerne werden in der Regel als weitgehend geschlossene magnetische Kreise ausgef¨ uhrt, d. h. der Fluß verl¨ auft in der Hauptsache im hochpermeablen ¨ Kernmaterial. F¨ ur den Aufbau von Spulen und Ubertragern stehen unterschiedliche Kernformen zur Verf¨ ugung. Das einfachste Beispiel hierf¨ ur ist der in Kap. 9.2 betrachtete Ringkern, bei dem der magnetische Kreis einen einheitlichen Querschnitt aufweist. In vielen Anwendungen werden allerdings magnetische Kreise mit Luftspalt verwendet, die zusätzlich aus mehreren Abschnitten mit unterschiedlichem Querschnitt und/oder unterschiedlicher Permeabilität bestehen.

Zusammengesetzte magnetische Kreise Besteht der magnetische Kreis aus m Abschnitten mit den magnetischen Querschnitten7 A1 , . . . , Am und den magnetischen Weglängen Λ1 , . . . , Λm , so lautet das Durchflutungsgesetz ,

H · ds =

m

Hk Λk ,

(9.40)

k=1

arke im k-ten Teilst¨ uck bezeichnet. Der die wobei Hk die magnetische Feldst¨ unterschiedlichen Abschnitte durchsetzende magnetische Fluß errechnet sich mit den jeweiligen Permeabilit¨ aten µk gemäß φ = Ak Bk = µ0 µk Ak Hk . Da der Fluß ann¨ ahernd konstant ist lautet das Durchflutungsgesetz ,

H · ds = φ

m k=1

7

Rmk = nI

mit

Rmk =

1 Λk . µ0 µk Ak

(9.41)

Die magnetischen Querschnitte und Wegl¨ angen entsprechen nur ann¨ ahernd den jeweiligen geometrischen Abmessungen, da die Feldlinien in den Teilst¨ ucken nicht exakt parallel verlaufen.

9.4. Spulen

377

Die Größen Rmk werden dabei als magnetische Widerst¨ ande der Teilst¨ ucke bezeichnet. Durch Einf¨ uhren der sog. magnetischen Spannungen Vmk = Λk Hk = φ Rmk u ucken l¨ aßt sich so aus dem Durchflutungsgesetz das dem ohm¨ber den Teilst¨ schen Gesetz entsprechende Hopkinsonsche Gesetz gewinnen φ

Rmk =

Vmk = nI.

F¨ ur die Induktivit¨ at einer Spule mit n Windungen folgt daraus m m I 1 1 1 Λk 1 = = 2 Rmk = 2 L nφ n k=1 n k=1 µ0 µk Ak

(9.42)

Der magnetische Kreis eines Spulenk¨ orpers besteht in der Regel aus einheitlichem Material. Unter diesen Umst¨ anden kann die effektive magnetische Wegl¨ ange Λe und der effektive magnetische Querschnitt Ae gemäß Λe =

m m Λk 2( Λk k=1

Ak

k=1

A2k

und

Ae =

( m m Λk Λk k=1

Ak

k=1

A2k

definiert werden [9]. Diese Gr¨ oßen werden meist in Datenblättern spezifiziert; die Induktivit¨ at einer Spule mit n Windungen errechnet sich damit wie folgt L = µ0 µe Ae n2 /Λe = AL n2 ,

(9.43)

d. h. es gilt AL = µ0 µe Ae /Λe .

(9.44)

Das Verhältnis von effektivem magnetischen Kernquerschnitt Ae zum geometrischen Kernquerschnitt A heißt F¨ ullfaktor oder Stapelfaktor. Das Produkt Λe Ae aus effektiver magnetischer Weglänge und effektivem magnetischem Querschnitt wird als effektives magnetisches Volumen bezeichnet. Blechkerne. F¨ ur den NF-Bereich (≤ 20 kHz) werden Pakete (Abb. 9.12 a) aus genormtem (DIN 41302) Silizium- bzw. Nickel-Eisenblech verwendet. Diese lassen sich kosteng¨ unstig durch Stanzen herstellen, sind gegeneinander durch die nat¨ urliche Oxidschicht isoliert und häufig auf einer Seite zusätzlich mit einer Lackschicht u ur Einsatz bei der Netzfrequenz ¨berzogen; Blechdicken f¨ f = 50 Hz liegen typisch bei 0.3 mm. Eisen-Silizium-Legierungen weisen im Vergleich zu reinem Eisen einen h¨ oheren spezifischen Widerstand – und damit geringere Wirbelstromverluste – sowie eine geringere Koerzitivfeldstärke – und damit geringere Hystereseverluste – auf. Der Si-Anteil im Eisen ist wegen der damit verbundenen Verspr¨ odung des Materials auf wenige Prozent begrenzt. Nickelhaltige Eisenbleche lassen sich sehr gut zu d¨ unnen Folien walzen, wobei Schichtdicken im Bereich weniger Mikrometer realisierbar sind.


378

B in d e m itte l

L u fts p a lt

fe r r o m a g n e tis c h e K ö r n e r

E K (a )

(b )

(c )

Abb. 9.12. Kernformen. (a) EK-Kernblechpaket, (b) Schnittbandkern und (c) Struktur eines Pulverkerns

Bandkerne. Bandkerne werden durch Aufwickeln langer Bänder aus hochpermeablem Material hergestellt (Abb. 9.12 b). Dies ist vor allem dann von Vorzug, wenn die Walzrichtung mit der magnetischen Vorzugsrichtung u ¨bereinstimmt, da der vom Kern gef¨ uhrte Fluß dann in der Richtung leichter Magnetisierbarkeit erfolgt. Neben weichmagnetischen Legierungen mit zumeist hohem Nickelanteil werden auch B¨ ander aus amorphem Metall eingesetzt. Bei letzteren sind die Atome nicht in Form eines Kristallgitters, sondern regellos im Festk¨ orper angeordnet, was einen hohen spezifischen Widerstand und damit eine hohe Wirbelstromgrenzfrequenz (vgl. Kap. 9.7.4) bedingt. Zur Reduktion von Wirbelstromverlusten werden Banddicken im Bereich einiger 10 µm eingesetzt. Die gewickelten Bandkerne werden zur Erhöhung der mechanischen Festigkeit verklebt und zur Aufnahme von Spulenkörpern meist aufgeschnitten (Schnittbandkern). Die Hälften werden nach Einf¨ ugen des Spulenkörpers durch Spannb¨ ander zusammengehalten. Durch Schleifen der Schnittfläche k¨ onnen die an den Schnittstellen wirksamen Luftspalte klein gehalten werden. Abh¨ angig von der Schliffqualität sind Luftspalte kleiner als 5 µm realisierbar. Schnittbandkerne erlauben die Herstellung sehr hochwertiger Transformatoren. Pulverkerne (Massekerne). Pulverkerne werden aus einem feinkörnigen Pulver aus ferromagnetischem Material mit Kunstharz als Bindemittel hergestellt (Abb. 9.12 c). Die Korngr¨ oße liegt dabei im Mikrometerbereich, was höhere Wirbelstromgrenzfrequenzen erm¨ oglicht als bei Blechkernen. Ein Vorzug der Pulverkerne ist die vergleichsweise hohe Linearit¨ at der Magnetisierungskennlinie, d. h. die reversible Permeabilit¨ at µrev ist hier weitgehend unabhängig von einer Vormagnetisierung. Dies ist z. B. bei der Realisierung von Speicherdrosseln von Interesse. Die Permeabilit¨ at von Pulverkernen liegt trotz der hohen Permeabilit¨ at der K¨ orner (typischerweise mehrere 100) in der Größenordnung von lediglich 10. Die Ursache liegt im Isolierstoff, der sich wie ein Luftspalt auswirkt. Durch Pressen mit hohem Druck bei der Herstellung kann

9.4. Spulen

379

der Isolierstoffanteil im Pulverkern vermindert werden, was eine Steigerung der Permeabilit¨ at bewirkt. Ferritkerne. Ferrite sind magnetische Oxide mit sehr geringer elektrischer Leitfähigkeit: Gegen¨ uber Eisen kann die Leitfähigkeit um mehr als zehn Größenordnungen reduziert werden. Die Sättigungspolarisation von Ferriten liegt typischerweise im Bereich von (0.3 − 0.5) T, sie ist wegen der Teilkompensation der magnetischen Momente (ferrimagnetische Ordnung, vgl. Kap. 9.7.1) geringer als in Eisenblechen. Ferrite zeichnen sich durch eine vergleichsweise geringe Dichte ((3 − 5) g/cm3 ) und hohe Korrosionsbeständigkeit aus; nachteilig ist die f¨ ur keramische Werkstoffe typische schlechte Wärmeleitfähigkeit. Die Curie-Temperatur liegt typischerweise im Bereich von 200◦ C − 450◦ C. S c h a le n k e r n ( o b e r e H ä lfte ) W ic k lu n g S p u le n k ö r p e r

L u fts p a lt

G e w in d e s tü c k S c h a le n k e r n ( u n te r e H ä lfte )

Abb. 9.13. Schalenkern (Schnitt, nach [10])

F¨ ur unterschiedliche Anforderungen hinsichtlich Anfangspermeabilität, Betriebsfrequenz, etc. wurde eine Vielzahl ferritischer Werkstoffe entwickelt. Die größte Verbreitung haben Ni-Zn-Ferrite gefunden, die zwar nur u ¨ber eine verur gleichsweise geringe Anfangspermeabilti¨ at verf¨ ugen (µi ≈ 100 − 1000), daf¨ jedoch einen hohen spezifischen Widerstand (ρ ≈ 107 Ωcm) haben und bis zu Frequenzen im Bereich von 100 MHz eingesetzt werden können. Um Streuungen der Werkstoffpermeabilität und der Abmessungen kompensieren zu k¨ onnen, werden meist Schalenkerne mit Abgleichkern eingesetzt. Abbildung 9.13 zeigt den Querschnitt durch einen RM-Schalenkern mit Luftspalt. Mit derartigen Schalenkernen lassen sich sehr gut abgeschirmte und kompakte Spulen aufbauen. Neben diesen sind eine F¨ ulle anderer Kernformen verf¨ ugbar [11]; an dieser Stelle seien lediglich die f¨ ur gedruckte Schaltungen geeigneten EFD-Kerne (economic flat design) genannt, die bei geringer Einbauhöhe eine hohe Leistungs¨ ubertragung ermöglichen sowie die ETD-Kerne ur kosteng¨ unstige Leistungs¨ uber(economic transformer design), die speziell f¨ trager [10] entwickelt wurden.


380

9.5 D¨ ampfungsperlen Dämpfungsperlen sind kleine zylindrische Ferritkörper mit einer Bohrung, durch die ein Draht gef¨ uhrt werden kann. Sie weisen einen Durchmesser von wenigen Millimetern auf und werden gewöhnlich u ¨ber einen Anschlußdraht eines bedrahteten Bauteils – z. B. Basisanschluß eines Transistors – gesteckt.

A n s c h lu ß d r a h t

D ä m p fu n g s p e r le

Abb. 9.14. D¨ ampfungsperle

Durch die Dämpfungsperle wird die Impedanz des Anschlußdrahts erhöht. Ist diese ohne D¨ ampfungsperle durch R0 + jωL0 gegeben, so folgt mit der ur komplexen Permeabilit¨ at µr = µs − jµs des Materials u ¨berschlagsmäßig f¨ die Impedanz Z des Anschlußdrahts bei der Kreisfrequenz ω Z ≈ R0 + jωL0 (µs − jµs ) = R0 + ωµs L0 + jωµs L0 . Dämpfungsperlen verringern auf kosteng¨ unstige Weise hochfrequente Stromanteile ohne st¨ orende Serienwiderst¨ ande im NF-Bereich zu verursachen. Sie ¨ werden zur Unterdr¨ uckung von Uberschwingern bei Schaltvorgängen, zur Dämpfung selbsterregter Schwingungen aufgrund parasitärer R¨ uckkopplungen in Verstärkerschaltungen sowie zur Unterdr¨ uckung hochfrequenter Rauschanteile eingesetzt. Ihre Wirksamkeit beruht darauf, daß sie im relevanten Frequenzbereich eine nennenswerten Serienimpedanz hervorrufen. Eine gute Dämpfung bei einer bestimmten Frequenz wird nur erreicht, wenn die durch die Dämpfungsperle bewirkte Serienimpdedanz groß ist im Vergleich zur Eingangsimpedanz der folgenden Schaltung. Da die durch Dämpfungsperlen bei Frequenzen im MHz-Bereich bedingten Impedanzwerte betragsmäßig in der Größenordnung8 von 100 Ω liegen, sind Dämpfungsperlen am wirkungsvollsten in Schaltungen mit geringer Eingangsimpedanz. In diesem Zusammenhang kann auch die Kombination einer Dämpfungsperle mit Abblockkondensatoren geringer Serieninduktivit¨ at sinnvoll sein. Bei der Anwendung ist darauf zu achten, daß die Ferritperlen keinen Kontakt zu anderen Anschl¨ ussen bekommen, da sonst Leckstr¨ ome fließen können. Zu beachten ist auch, daß Dämpfungsperlen durch ihre induktive Wirkung bei falscher Anwendung Resonanzfrequenzen in unerw¨ unschte Frequenzbereiche verschieben und somit ihrerseits Ursache f¨ ur selbsterregte Schwingungen sein können. 8 Wird der Draht mit mehreren Windungen um die D¨ ampfungsperle gewickelt, so kann die Serienimpedanz erh¨ oht werden.

9.5. Dämpfungsperlen 1 0

381 1 0 0 0

4

W R e ( Z )

1 0 3

m 's , m "

s

m " 1 0

s

2

1 0 Im ( Z ) 1

1 0 0

m 's

1 0

1 0 5

1 0

1 0 6

7

R e ( Z ), Im ( Z )

1 0 0

1

H z

1 0

0 .1 8

f

Abb. 9.15. Komplexe Permeabilit¨ at f¨ ur das Material N22 (nach [10]) und Impedanz eines Anschlußdrahts mit einer D¨ ampfungsperle der L¨ ange 5mm

Beispiel 9.5.1 Als Beispiel wird eine D¨ ampfungsperle der Länge 5 mm aus dem Material N22 betrachtet, die u ¨ber einen Anschlußdraht der Länge 12 mm gesteckt wird. Abbildung 9.15 zeigt f¨ ur dieses Material µs und µs als Funktion der Frequenz. Der Serienwiderstand R0 liegt im Bereich einiger Milliohm und wird im Folgenden vernachl¨ assigt; die Induktivit¨ at L0 des reinen Anschlußdrahts wurde mit 1 nH/mm zu 12 nH angenommen.9 Wird eine Ferritperle der Länge 5 mm u ¨ber den Anschlußdraht gestreift, so errechnet sich die Impedanz als Reihenschaltung einer Induktivität von 7 nH und einer mit der komplexen Permeabilität zu multiplizierenden Induktivität von 5 nH Z/mΩ = [ 31.4 µs (f ) + j (44 + 31.4 µs (f ))] (f /MHz) . Die hieraus resultierenden Werte Re(Z) und Im(Z) sind in Abb. 9.15 aufgetragen. Die ¨ durchgef¨ uhrte Rechnung darf nur als Uberschlagsrechnung zur Erläuterung der Zusammenh¨ ange angesehen werden: Genaue Werte der Impedanz sind durch Messung zu bestimmen, liegen jedoch in der berechneten Größenordnung. ∆

Modellierung komplexer, frequenzabh¨ angiger Induktivit¨ aten. Zur Beschreibung induktiver Elemente, die eine komplizierte Abhängigkeit von der Frequenz aufweisen, eignet sich die von PSPICE erm¨ oglichte Darstellung als frequenzabhängige, spannungsgesteuerte Stromquelle. Der zwischen den Klemmen 1 und 2 fließende Strom wird dabei durch die Spannung V (1, 2) gesteuert; der Zusammenhang zwischen beiden Gr¨ oßen wird durch die Admittanz des Elements bestimmt. Diese kann mit Betrag (in dB) und Phase (in Grad) als Tabelle f¨ ur verschiedene Werte der Frequenz definiert werden; zwischen diesen St¨ utzpunkten liegende Werte folgen durch Interpolation. 9 Dies kann nur als gr¨ oßenordnungsm¨ aßig richtiger Anhaltspunkt dienen, ein genauerer Wert erfordert konkrete Angaben u uckleiter. ¨ber die Leitungsform und den R¨


382

9.6 Vormagnetisierung, Drosselspulen Drosselspulen sollen den Gleichanteil IL des sie durchfließenden Stroms möglichst wenig, den Wechselanteil m¨ oglichst stark dämpfen (drosseln). Der Kern einer Drosselspule ist deshalb in der Regel mit einem starken Gleichfeld belastet, dem ein schwaches Wechselfeld u ¨berlagert ist. Die Verluste in der Drosselspule sind somit vorwiegend Kupferverluste, da der dominierende Gleichanteil keine Kernverluste verursacht.

lo g ( L IL 2 )

Der Gleichanteil des Stroms bestimmt eine Vormagnetisierung, die die f¨ ur das Wechselfeldverhalten maßgebliche Permeabilität µrev beeinflußt. Der Wert von µrev wird mit zunehmender Vormagnetisierung – wegen der Sättigung – immer geringer (Abbn. 9.1 und 9.9). Zur Reduktion der Vormagnetisierung bei einer gegebenen Gleichstromstärke werden deshalb meist Spulen mit Luftspalt eingesetzt. Dies erh¨ oht die reversible Permeabilität, da die Vormagnetisierung reduziert wird, vermindert sie aber andererseits aufgrund der Scherung. Der Luftspalt ist so zu w¨ ahlen, daß beim mittleren Spulenstrom der Gewinn durch die Abnahme der Vormagnetisierung bedeutender ist, als der durch die Scherung bedingte Verlust.

(L IL ) 2

5 0 A 2 m H 3 0

m a x

2 0

E in h ü lle n d e

E C 7 0

1 0 m a x

E C 5 2

(L IL2)

e n g L ä e n d ts mh e p a l fts n e Z u s L u ed

lo g ( R

4

E C 4 1

3

E C 3 5

2

2 5

5 0 K

3 0 K

3 0 4 0

5 0

m e

= 6 0

1 C u

IL2) (a )

2

5

0 .5

1

R

2 C u

IL

3 2

4

5

W

1 0 (b )

2

Abb. 9.16. (a) LI u ur identische Kerne mit unterschied¨ber RCu I (prinzipieller Verlauf) f¨ licher Luftspaltl¨ ange und Definition der Vormagnetisierbarkeit; (b) Vormagnetisierbarkeit als Funktion der Kupferverlustleistung f¨ ur EC-Kerne aus SIFERRIT N27 (nach [10])

Zur Bestimmung der optimalen Luftspaltlänge s kann f¨ ur jeden Wert von s die Größe LIL2 , die ein Maß f¨ ur die in der Spule gespeicherte Energie darstellt, u ¨ber der Verlustleistung RCu IL2 aufgetragen werden (Abb. 9.16 a). Im Idealfall w¨ urde sich hier eine Gerade der Steigung AL /AR ergeben, da sowohl

9.6. Vormagnetisierung, Drosselspulen

383

L = AL n2 als auch RCu = AR n2 proportional zum Quadrat der Windungszahl ansteigt. Da die effektive Permeabilit¨ at jedoch bei hohen Strömen abnimmt, kommt es zu Abweichungen von dieser Abhängigkeit. Abbildung 9.16 a zeigt den prinzipiellen Verlauf derartiger Kurven; die zu den Kurven gehörenden Kerne unterscheiden sich nur in der L¨ ange des Luftspalts, Material und Kernform sind identisch. Die Einh¨ ullende dieser Kurvenschar markiert den bei gegebener Kupferverlustleistung maximal erreichbaren Wert (L IL2 )max , der auch als Vormagnetisierbarkeit bezeichnet wird. Ausgangspunkt f¨ ur die Dimensionierung einer Drosselspule mit vorgegebener Induktivit¨ at L ist die zul¨ assige Eigenerw¨ armung ∆ϑ = ϑ − ϑA der Spule beim mittleren Spulenstrom IL . Diese bestimmt – u ¨ber den von der Kernform abhängigen thermischen Widerstand – eine Obergrenze f¨ ur die zulässige Kupferverlustleistung RCu IL2 ; Kernverluste aufgrund des Wechselanteils des Spulenstroms werden bei der Dimensionierung gewöhnlich vernachlässigt. In Abb. 9.16 b ist die Vormagnetisierbarkeit f¨ ur EC-Kerne unterschiedlicher Abmessungen u ¨ber der Kupferverlustleistung aufgetragen. Die dick markierten Segmente kennzeichnen den Arbeitsbereich mit einer Eigenerwärmung zwischen 30 K und 50 K. Aus diesem Kennlinienfeld wird der kleinste Kern ¨ ausgewählt, dessen Ubertemperatur beim vorgegebenen Wert der Vorma2 gnetisierbarkeit (LIL )max unterhalb des zugelassenen Werts liegt. Aus dem Schnittpunkt mit dem Kennlinienfeld kann der erforderliche Wert der effektiven Permeabilit¨ at abgelesen werden, der u ¨ber das Datenblatt auf den AL -Wert und damit auf die erforderliche Windungszahl f¨ uhrt. Der Drahtquerschnitt wird dann so festgelegt, daß der vorgegebene Wickelraum mit der ermittelten Windungszahl vollst¨ andig ausgef¨ ullt wird. Beispiel 9.6.1 Als Beispiel wird die Dimensionierung einer Drosselspule f¨ ur ein einfaches Schaltnetzteil (Drossel-Abw¨ artswandler) betrachtet. Abbildung 9.17 erläutert den prinzipiellen Aufbau einer solchen Schaltung. Der gesteuerte Schalter S wird periodisch ge¨ offnet und geschlossen; das Tastverh¨ altnis, d. h. das Verhältnis t1 /T = ν von Einschaltdauer t1 zur Periodendauer T sei im Bereich νmin ≤ ν ≤ νmax variabel. Läßt ¨ ucksichtigt (v1 ≈ V1 , man die Anderung von v1 und v2 im Lauf einer Periode unber¨ v2 ≈ V2 ), so folgt bei geschlossenem Schalter vL ≈ const. bzw. diL /dt ≈ const., falls der Spannungsabfall am Schalter vernachl¨ assigt werden kann. Unter Ber¨ ucksichtigung des Gleichstromwiderstands RCu der Drossel gilt bei geschlossenem Schalter diL vL = v1 − v2 − RCu iL ≈ V1 − V2 − RCu IL = L . dt 1 Wird nun der Schalter ge¨ offnet, so wird die in L gespeicherte magnetische Energie frei. Die dabei auftretende Induktionsspannung bringt die Diode D in Flußrichtung, d. h. das Potential des Knotens 3 liegt n¨ aherungsweise auf −VF0 , wobei VF0 die Schleusenspannung der Diode bezeichnet. An der Spule fällt nun die Spannung diL vL = −VF0 − RCu iL − v2 ≈ −(VF0 + V2 + RCu IL ) = L dt 2


384 g e s te u e rte r S c h a lte r

v

(3 )

L

R

C u

v

L C 1

v D

1

2

C 2

(a ) v V

V

L L 1

t L 2

iL

I L + i l( t )

IL (1 -n )T

n T T

t

(b )

Abb. 9.17. Schaltnetzteil mit Drossel-Abw¨ artswandler. (a) Schaltprinzip und (b) Verlauf (schematisch) von Spannungsabfall vL und Spulenstrom iL

¨ ab. Im zeitlichen Mittel ist die Anderung des Spulenstroms null, d. h. es muß gelten diL diL + (1−ν) = 0. ν dt 1 dt 2 Der maximal zul¨ assige Hub ∆IL,max folgt aus dem minimalen Laststrom IL,min ; stets muß gelten ∆IL < IL,min /2, da andernfalls die Spannung u ¨ber der Drossel während der Austastphase zusammenbricht. Zusammenfassen der Gleichungen f¨ uhrt auf ν (V1 −V2 −RCu IL ) = (1−ν) (VF0 +V2 +RCu IL ) bzw. V2 = νV1 − RCu IL − (1−ν)VF0 . Durch Variation des Tastverh¨ altnisses ν kann demnach die Ausgangsspannung V2 ver¨ andert werden. Das f¨ ur eine bestimmte Ausgangsspannung V2 erforderliche Tastverh¨ altnis ist ν =

VF0 + V2 + RCu IL . V1 + VF0

(9.45)

Die Induktivit¨ at der Spule ist so zu w¨ ahlen, daß die von der Spule während der Austastphase (1 − ν)T maximal abgebbare Energie ∆W ≈ LIL ∆IL,max mindestens gleich der w¨ ahrend dieser Zeit in der Last verbrauchten Energie W ≈ (1 − ν)T V2 IL ist. Dies f¨ uhrt mit f = 1/T auf die Forderung

9.6. Vormagnetisierung, Drosselspulen L >

385

(1−ν)V2 (V1 −V2 −RCu IL )V2 ≈ . f ∆IL,max (V1 +VF0 )f ∆IL,max

Der Wert von L sollte nicht wesentlich gr¨ oßer gewählt werden, da andernfalls die Einschwingzeit der Schaltung bei Last¨ anderungen unnötig groß wird. Als Dimensionierungsbeispiel wird ein Abw¨ artswandler betrachtet, der bei der Eingangsspannung V1 = 12 V und der Taktfrequenz f = 30 kHz die Ausgangsspannung ¨ der Spule aufgrund der Eigenerwärmung soll V2 = 6 V liefert. Die Ubertemperatur den Wert 35 K nicht u ¨berschreiten. Der Wert des mittleren Spulenstroms IL soll im Bereich von 0.25 A bis 5 A ver¨ anderlich sein; als Obergrenze f¨ ur den Hub ∆IL folgt ur die Induktivität folgt nun hieraus ∆IL,max = 0.5 A. Als Mindestwert f¨ L ≥

(12 V − 6 V) · 6 V = 189 µH , (12 V + 0.7 V) · 3 · 104 Hz · 0.5 A

wobei die Schleusenspannung der Diode mit 0.7 V angenommen wird. Als Sollwert wird L = 0.2 mH gew¨ ahlt. Beim Maximalwert des mittleren Spulenstroms beträgt die Vormagnetisierung mithin L IL2 ≈ 5 A2 mH. Die Drossel soll mit einem ECSchalenkern ausgef¨ uhrt werden. Aus Abb. 9.16 b entnimmt man die Bauform EC41 ¨ als geeignet – bei der Bauform EC35 w¨ are die Ubertemperatur (mit annähernd 50 K) zu hoch, gr¨ oßere Bauformen w¨ urden unn¨ otiges Gewicht und Kosten verursachen. Aus Abb. 9.16 b wird nun der Optimalwert der effektiven Permeabilität zu µe ≈ 51 abgelesen. Dieser Wert l¨ aßt sich ann¨ ahernd durch Kombination von zwei Schalenkernh¨ alften realisieren, bei denen der Mittelsteg um je 1 mm reduziert wurde, was sich zu einem Gesamtluftspalt von 2 mm addiert. Der zugehörige AL -Wert kann aus dem Datenblatt zu 100 nH entnommen werden. Die erforderliche Windungszahl folgt hieraus zu

n = L/AL ≈ 45 . Der passende Spulenk¨ orper besitzt gem¨ aß dem Datenblatt einen nutzbaren Wickelquerschnitt von AW = 134 mm2 , eine mittlere Windungslänge ΛW = 62 mm und uhrt dies auf einen AR -Wert von 15.9 µΩ. Bei einer Windungszahl10 von n = 45 f¨ ur die beim Maximalwert des mittleren Spulenstroms RCu = AR n2 = 31.8 mΩ. F¨ IL = 5 A umgesetzte Leistung folgt somit P ≈ 0.8 W. Nach Abb. 9.16 b weist der ¨ gew¨ ahlte Kern bei einer Verlustleistung von 2 W eine Ubertemperatur von 30 K auf, der thermische Widerstand zur Umgebung ist mithin 15 K/W. Dies f¨ uhrt mit der ¨ errechneten Verlustleistung auf eine Ubertemperatur von 12 K, d. h. die projektierte Drossel ist großz¨ ugig“ dimensioniert. ” Der Wechselanteil des Spulenstroms soll bei ohmscher Last u ¨ber den Kondensator C2 abfließen, da er andernfalls einen Wechselanteil der Ausgangsspannung hervorruft. Zur Festlegung von C2 kann der Wechselanteil il (t) des Spulenstroms als sinusf¨ ormig mit der Taktfrequenz f angenommen werden. Zwischen der Restwelligkeit ∆V2 (Spitze-Spitze) der Ausgangsspannung v2 und dem Hub ∆IL,max des Spulenstroms existiert damit n¨ aherungsweise der Zusammenhang 10

W¨ urde die Drossel als einfache Spule ausgef¨ uhrt, so w¨ are ein Drahtdurchmesser gr¨ oßer als 1 mm zu verwenden, um den zur Verf¨ ugung stehenden Wickelquerschnitt auszuf¨ ullen. Da dies wegen der Steifigkeit der Dr¨ ahte und wegen der Widerstandserh¨ ohung aufgrund des Skineffekts unzweckm¨ aßig ist, werden in solchen F¨ allen meist mehrere Wicklungen (z. B. drei Kupferlackdr¨ ahte mit Außendurchmesser 0.8 mm) parallel geschaltet.


386

9

P$

$XVJDQJVVSDQQXQJ

6SXOHQVWURP P9 P$

P$

9

!! $ PV

PV 9RXW

PV PV ,/ 7LPH

PV

Abb. 9.18. Ergebnis einer Transientenanalyse mit PSPICE f¨ ur den Verlauf der Ausgangsspannung (Skala 1) und den Spulenstrom (Skala 2) im untersuchten Drossel-Abw¨ artswandler

∆IL,max = 2πf C2 ∆V2 , d. h. ist ∆V2,max der maximal zul¨ assige Wert f¨ ur die Restwelligkeit, so ist C2 ≥

∆IL,max 2πf ∆V2,max

zu w¨ ahlen. Im betrachteten Fall etwa w¨ urde aus ∆V2,max = 10 mV die Forderung C2 ≥

0.5 A ≈ 265 µF 10 mV · 2π · 30 · 103 Hz

folgen. F¨ ur eine Simulation11 des zeitabh¨ angigen Verlaufs der Ausgangsspannung wurde eine Kapazit¨ at von 300 µF zugrundegelegt12 . Das Ergebnis der Simulation ist in Abb. 9.18 zu sehen, das Resultat f¨ ur die Restwelligkeit stimmt gut mit der Absch¨ atzung u ∆ ¨berein.

11 Der Schalter wurde dabei u ¨ber einen von einer Pulsquelle mit der Taktfrequenz 30 kHz kontrollierten, spannungsgesteuerten Schalter simuliert. Das erforderliche Tastverh¨ altnis wurde mit Hilfe von Gl. (9.45) berechnet. 12 Diese w¨ urde in der Praxis vorzugsweise durch Parallelschalten mehrerer Kondensatoren, z. B. mit je 100 µF realisiert, da dies geringere Verluste erm¨ oglicht und da die Abmessungen der Kondensatoren geringer sind, was die Unterbringung auf einer Platine erleichtert.

9.7. Eigenschaften und Modellierung ferro- und ferrimagnetischer Kernmaterialien 387

9.7 Eigenschaften und Modellierung ferro- und ferrimagnetischer Kernmaterialien ¨ In Spulen, Ubertragern und Transformatoren eingesetzte magnetische Werkstoffe dienen vor allem der F¨ uhrung und Verstärkung des magnetischen Flusses bei Wechselbetrieb. Deshalb sind hier weichmagnetische Materialen mit geringen Ummagnetisierungsverlusten gefragt. Insbesondere bei höherer Frequenz ist dar¨ uberhinaus eine geringe elektrische Leitfähigkeit des Kernmaterials erforderlich um Wirbelstromverluste gering zu halten. Abhängig von der Anwendung k¨ onnen zus¨ atzliche Anforderungen – wie z. B. nach einer von Frequenz, Temperatur, Gleichstromvormagnetisierung etc. unabhängigen Permeabilität – hinzukommen. In der Praxis verwendete Kernmaterialien weisen entweder ferro- oder ferrimagnetisches Verhalten auf.

9.7.1 Ferromagnetismus und Ferrimagnetismus In ferromagnetischen Stoffen weisen die Atome ein permanentes magnetisches Dipolmoment auf, d. h. jedes Atom verhält sich wie ein kleiner Magnet vom magnetischen Moment m. Ursache des magnetischen Dipolmoments sind ungef¨ ullte d- oder f -Schalen, in denen sich das Spinmoment der Elektronen zu einem nicht verschwindenden Gesamtmoment addiert. Bedingt durch die sog. Austauschwechselwirkung richten sich die Dipolmomente bei tiefen Temperaturen in einzelnen Kristallbereichen, den sog. Weisschen Bezirken, parallel aus – diese sind dann bis zur S¨ attigung magnetisiert. F¨ ur den Betrag Ms0 der S¨ attigungsmagnetisierung des Materials bei T = 0 K folgt mit der Dichte N/V der Atome Ms0 = |m| N/V .

(9.46)

Beispiel 9.7.1 Als Beispiel wird die Magnetisierung von Eisen (Fe) betrachtet. Eisen besitzt die Dichte ρm = 7.9 g/cm3 ; das Atomgewicht beträgt 55.8 g/mol. Mit der Avogadro-Konstanten Nmol = 6.022 · 1023 mol−1 errechnet sich die Dichte der Atome zu 3

N 7.9 g/cm 1 = · 6.022 · 1023 ≈ 8.526 · 1022 cm−3 . V 55.8 g/mol mol Der Betrag |m| des magnetischen Moments eines Eisenatoms ist annähernd 2.2 µB , ur die wobei µB = 9.273 · 10−24 Am2 das sog. Bohrsche Magneton bezeichnet. F¨ S¨ attigungsmagnetisierung von Eisen folgt daraus Ms0

=

8.526 · 1022 cm−3 · 2.2 · 9.273 · 10−24 Am2 ≈ 1.74 · 106 A/m .

Verwandt zum Ferromagnetismus ist der Antiferromagnetismus. Während die Austauschwechselwirkung im Ferromagneten eine parallele Ausrichtung der magnetischen Momente innerhalb eines Weisschen Bezirks bewirkt, f¨ uhrt sie


388

im Antiferromagneten zu einer antiparallelen Ausrichtung, d. h. die resultierende magnetische Polarisation ist hier null. Antiferromagnetische Werkstoffe weisen ein µr ≈ 1 auf und sind deshalb als Kernmaterialien uninteressant.

fe r r o m a g n e tis c h

a n tife r r o m a g n e tis c h

fe r r im a g n e tis c h

Abb. 9.19. Magnetische Ordnung

In ferrimagnetischen Substanzen sind Atome mit unterschiedlichen magnetischen Momenten vorhanden. Bei ferrimagnetischer Ordnung bilden diese Untergitter mit gegens¨ atzlich orientierten magnetischen Momenten, die sich im Gegensatz zum Antiferromagneten aber nur teilweise kompensieren. Somit stellt sich eine resultierende Magnetisierung ein, die um so größer ist, je unterschiedlicher die magnetischen Momente der Ionen auf den Untergittern sind. Ferrimagnetismus tritt in den als Spulenkörper weitverbreiteten Ferriten auf.

9.7.2 Magnetisierung Die beschriebenen ferro- oder ferrimagnetischen Ordnungszustände bilden sich innerhalb r¨ aumlich begrenzter Bereiche, den Weisschen Bezirken oder Dom¨ anen aus. Im unmagnetisierten Zustand sind die magnetischen Momente in benachbarten Weisschen Bezirken unterschiedlich ausgerichtet und kompensieren sich gegenseitig. Die Weisschen Bezirke bilden sich dabei so aus, daß die Gesamtenergie (Magnetisierungsenergie und Energie des Aussenfelds) minimal wird. In einkristallinen Materialien erfolgt die spontane Magnetisierung vorzugsweise in der Richtung leichter Magnetisierbarkeit – die magnetische Polarisation in benachbarten Weisschen Bezirken ist deshalb häufig um 180◦ gegeneinander verdreht. Die Weisschen Bezirke werden durch die sog. Bloch-W¨ ande getrennt. In¨ nerhalb einer Bloch-Wand der Dicke δ erfolgt ein allmählicher Ubergang der Ausrichtung der magnetischen Momente (Abb. 9.20 b). Durch Anlegen eines magnetischen Felds kommt es zu einer zunehmenden Ausrichtung der magnetischen Momente in Feldrichtung. In fehlerfreien Einkristallen vergrößern sich dabei Weissche Bezirke, deren magnetische Momente (weitgehend) par-

9.7. Eigenschaften und Modellierung ferro- und ferrimagnetischer Kernmaterialien 389 W e iß s c h e r B e z ir k A

H = 0

H

B lo c h w a n d (1 8 0 ) d

[0 1 0 ] W e iß s c h e r B e z ir k B

[1 0 0 ] u n m a g n e tis ie r t

M a g n e tis ie r u n g (a )

(b )

Abb. 9.20. Weissche Bezirke (a) und Bloch-W¨ ande (b) in Ferromagnetika (nach [12])

allel zur Feldrichtung liegen durch Verschieben der Bloch-Wand auf Kosten der anderen Bereiche (Abb. 9.20 a). Dieser Vorgang ist reversibel und erfolgt bereits bei sehr kleinen Feldern. Materialien, in denen sich die Bloch-Wände leicht verschieben lassen, zeichnen sich durch eine sehr hohe Anfangspermeabilit¨ at µi und eine geringe Hysterese aus. Im Bereich hoher Feldstärken erfolgt dann eine Drehung der magnetischen Momente aus der kristallographischen Vorzugsrichtung heraus parallel zum Feldstärkevektor. Die zum Erreichen der S¨ attigungsmagnetisierung Ms erforderliche Feldstärke ist bei einkristallinem Material abhängig von der Orientierung des Kristalls zum Feld. Der Wert von uber hinaus mit zunehmender Temperatur ab, da die WärmeMs nimmt dar¨ bewegung der Austauschwechselwirkung entgegenwirkt; Ms verschwindet bei der Curie-Temperatur. Spontane Magnetisierung, Curie-Temperatur. Aufgrund der Wärmebewegung sind die magnetischen Momente der Atome in einem Weisschen Bezirk f¨ ur T > 0 K nicht exakt parallel ausgerichtet. Die Magnetisierung M in einem Feld HW ist deshalb eine temperaturabh¨ angige Gr¨ oße. Sie kann mit den Methoden der statistischen Thermodynamik berechnet werden und wird durch eine Langevin-Funktion [13] beschrieben M = Ms0 [ coth(ζ) − 1/ζ ]

mit

ζ = µ0 |m|HW /kB T ,

(9.47)

wobei Ms0 wiederum die S¨ attigungsmagnetisierung bei T = 0 K bezeichnet. F¨ ur die Feldst¨ arke HW ist dabei nach Weiss das lokal wirksame Magnetfeld anzusetzen, das sowohl durch das externe magnetische Feld H als auch durch die Magnetisierung M der umliegenden Gebiete bestimmt wird (sog. Weissches Molekularfeld). Mit der aßt sich so schreiben Weisschen Wechselwirkungskonstante αW l¨ HW = H + αW M .

(9.48)


390

In (9.47) eingesetzt f¨ uhrt dies auf eine nichtlineare, implizite Gleichung f¨ ur M . F¨ ur H = 0 resultiert insbesondere die folgende Gleichung f¨ ur die spontane Magnetisierung innerhalb eines Weisschen Bezirks kB T 1 M = ζ0 = coth(ζ0 ) − , Ms0 µ0 |m|αW Ms0 ζ0

(9.49)

wobei ζ0 = µ0 |m|αW M/kB T . Die L¨ osung von Gl.(9.49) kann graphisch ermittelt werden [12, 13], der prinzipielle Verlauf ist in der Abb. 9.21 dargestellt.

M

M

S ä ttig u n g s m a g n e tis ie r u n g s 0

M (T )

C u r ie T e m p e ra tu r T

0 K

C

T

Abb. 9.21. Spontane Magnetisierung

Eine L¨ osung M = 0 ergibt sich danach nur, falls T kleiner ist als die CurieTemperatur TC =

Ms0 µ0 |m|αW . 3kB

(9.50)

¨ Ferromagnetische Ordnungszust¨ ande werden bei Uberschreiten der materialspezifischen Curie-Temperatur zerst¨ ort, d. h. nur f¨ ur T < TC liegen Weissche Bezirke mit spontaner Magnetisierung vor. Durch Erhitzen auf Temperaturen T > TC wird eine Magnetisierung des Materials aufgehoben (Entmagnetisierung).

Hysterese. Die Hysterese in ferromagnetischen Materialien ist auf Störstellen im Gitter zur¨ uckzuf¨ uhren. Diese behindern die Verschiebung der BlochWände im magnetischen Feld. Ohne diesen Mechanismus w¨ urde eine Probe nach Abschalten des externen Felds wieder in den energetisch besonders g¨ unstigen13 unmagnetisierten Zustand zur¨ uckgehen. Durch die Haftwirkung der Bloch-Wände an den St¨ orstellen muß aber erst eine kritische Feldstärke u ¨berschritten werden, bis sich eine Bloch-Wand bewegt. Die Ausdehnung der durch die Wand begrenzten Dom¨ ane erfolgt dann sprunghaft (BarkhausenSprung). Derartige Spr¨ unge f¨ uhren zu kleinen Stufen in der Hysteresekurve (Abb. 9.1), die in der Kennlinie (wegen der endlichen Genauigkeit) zwar meist nicht sichtbar sind, mit einer ¨ außeren Meßspule aber nachgewiesen werden k¨ onnen (Barkhausen-Rauschen). Eine detaillierte Betrachtung der Zusammenhänge ist z. B. in [14, 15] zu finden; an dieser Stelle wird nur der ver13

ist.

Da im unmagnetisierten Zustand keine Energie im Feld außerhalb der Probe gespeichert

9.7. Eigenschaften und Modellierung ferro- und ferrimagnetischer Kernmaterialien 391

gleichsweise einfache Ansatz von Jiles und Atherton betrachtet, der auch die Grundlage der Modellierung in PSPICE darstellt. Das Modell von Jiles und Atherton. Jiles und Atherton [16] betrachten zunächst den hysteresefreien“ Anteil Man der Magnetisierung (anhysteretic magnetization), ” den sie entsprechend der Weisschen Molekularfeldtheorie (9.47), (9.48) ansetzen

HW A (9.51) mit HW = H + αW M . Man = Ms0 coth − A HW attigungsmagnetisierung, A = kB T /(µ0 |m|) einen (temDabei bezeichnet Ms0 die S¨ peraturabh¨ angigen) Parameter von der Dimension A/m und αW die Weissche Wechselwirkungskonstante. Wird in Gl. (9.51) M = Man gesetzt, so ergibt sich eine nichtlineare, implizite Gleichung f¨ ur Man , die sich numerisch lösen läßt. Bedingt durch die Hysterese weicht die tatsächliche Magnetisierung M vom hysteresefreien Anteil Man ab. Zur Modellierung der Hysterese wird der Ansatz Man −M dM = dHW ±K gemacht. Die Gr¨ oße K (Einheit A/m) stellt dabei ein Maß f¨ ur die Energie dar, die pro Volumeneinheit aufgebracht werden muß, um die an Störstellen haftenden Blochw¨ ande zu l¨ osen; das positive Vorzeichen ist f¨ ur dH/dt > 0 und das negative Vorzeichen f¨ ur dH/dt < 0 zu w¨ ahlen. In Verbindung mit HW = H + αW M kann dies umgeformt werden in µ0 (Man −M ) dM = . dH ±K − αW µ0 (Man −M )

(9.52)

Jiles und Atherton ber¨ ucksichtigen zus¨ atzlich zu diesem, irreversible Wandverschiebungen beschreibenden Ausdruck, die reversible Deformation von Blochwänden, die an St¨ orstellen haften. Diese f¨ uhren zu einem zusätzlichen Term C d(Man−M )/dH auf der rechten Seite von (9.52). Der Parameter C charakterisiert die Deformierbarkeit der an einer St¨ orstelle haftenden Bloch-W¨ ande. Nach dM/dH aufgelöst resultiert 1 µ0 (Man −M ) C dMan dM = + . dH 1+C ±K − αW µ0 (Man −M ) 1+C dH

(9.53)

Das Gleichungssystem aus (9.51) und (9.53) ergibt den gesuchten Zusammenhang M (H), woraus sofort B(H) folgt.

9.7.3 Beschreibung von Spulen mit Kern in PSPICE Zur Beschreibung ferromagnetischer Kernmaterialien steht in PSPICE ein spezielles CORE-Modell zur Verf¨ ugung. Spulen werden hier nicht durch Induktivitätswerte, sondern durch Windungszahlen definiert. Die Eigenschaften des Kernmaterials werden in einer gesonderten Modellanweisung vom Typ CORE spezifiziert. Die Elementanweisung f¨ ur eine Spule mit Kern ist von der Form Lx Kx

Ka Lx

Kb Windungszahl Kopplungsfaktor Modellname


392

.

.

$5($ 3$7+ 06 . $/3+$ $ & .

. .& /(9(/ .

%.

+.

Abb. 9.22. B(H)-Hysteresekurve eines Ferroxcube-Kerns (simuliert mit PSPICE, Angaben in Gauss bzw. Oersted)

Die erste Zeile definiert dabei die Knotennamen K a und K b der Anschl¨ usse und die Windungszahl. Die zweite Zeile bestimmt den Kopplungsfaktor, der bei der Modellierung von Spulen zweckm¨ aßigerweise auf den Wert 1 gesetzt wird und das f¨ ur die Simulation zu verwendende Kernmodell. Die zugehörige Modellanweisung enthält die nach der Theorie von Jiles und Atherton zur Beschreibung der B(H)-Abhängigkeit des Kernmaterials erforderlichen Parameter. Der Aufbau einer solchen Anweisung ist von der Form .MODEL

Modellname

CORE (AREA =

PATH = ...)

Die wichtigsten Parameter des Modells sind in Tabelle 9.1 aufgef¨ uhrt. Tabelle 9.1 Parameter des PSPICE-Kernmodells Parameter

Bedeutung

Einheit

Ersatzwert

AREA PATH GAP MS A C K ALPHA GAMMA

effektiver magnetischer Querschnitt effektive magnetische Wegl¨ ange effektive L¨ ange des Luftspalts S¨ attigungsmagnetisierung thermal energy parameter“ ” domain flexing parameter“ ” domain anisotropy parameter“ ” Weissche Wechselwirkungskonstante domain damping parameter“ ”

cm2 cm cm Gauss A/m

0.1 1 0 106 103 0.2 500 10−3 ∞

A/m Hz

9.7. Eigenschaften und Modellierung ferro- und ferrimagnetischer Kernmaterialien 393 Die Parameter AREA, PATH und GAP charakterisieren die Abmessungen des Kerns und sind dem Datenblatt zu entnehmen. F¨ ur eine Windungszahl n und einen gegebenen Spulenstrom i berechnet PSPICE die effektive Feldstärke im Kern nach Gl. (9.34). Die Gr¨ oßen MS, A, C, K, ALPHA beschreiben das Kernmaterial entsprechend dem Ansatz von Jiles und Atherton. Dabei sind zwei Ans¨ atze zur Beschreibung des hysteresefreien Anteils der Magnetisierung verf¨ ugbar. Diese können in der Modellanweisung durch zus¨ atzliche Angabe von LEVEL = 1, 2 ausgewählt14 werden. LEVEL=1 benutzt den Ansatz (9.51), w¨ ahrend LEVEL=2 den Ansatz Man = MS ·

HW /A 1 + |HW /A|

f¨ ur den hysteresefreien Anteil der Magnetisierung verwendet. Um die endliche Geschwindigkeit der Ummagnetisierungsprozesse zu erfassen, wurde zus¨ atzlich der Parameter GAMMA eingef¨ uhrt, der mittels dM/dt = GAMMA · [M (H)−M (t)] eine Verz¨ ogerung zwischen der tats¨ achlichen Magnetisierung M (t) und der zu der aktuellen Feldst¨ arke H(t) geh¨ orenden Gleichgewichtsmagnetisierung M (H) erfaßt. Der Kehrwert von GAMMA kann als charakteristische Zeitkonstante f¨ ur das Einstellen der Magnetisierung aufgefaßt werden. Der Wert von GAMMA beeinflußt die Kernverluste – diese nehmen mit zunehmendem GAMMA ab.

9

P$ 6SDQQXQJ P$

9

9

6WURP

$

9 P$ 9

!! P$ PV

PV 9

PV PV ,5 7LPH

PV

Abb. 9.23. Stromverlauf in einer Spule mit hysteresebehaftetem Kern 14

Erfolgt keine Angabe, so gilt der Ersatzwert LEVEL=1.

PV


394

Beispiel 9.7.2 Abbildung 9.23 zeigt die Ergebnisse einer Transientenanalyse f¨ ur den Stromfluß durch eine Spule (Modellparameter entsprechend Abb. 9.22) mit Kern bei harmonischer Erregung (ˆ v = 2 V, f = 1 kHz). Die Windungszahl wurde mit n = 100 und der Kupferwiderstand mit R0 = RCu = 2 Ω angenommen. Wegen der nichtlinearen Eigenschaften des Kerns (die durchlaufene Hystereseschleife ist in Abb. 9.22 dargestellt) weicht der Stromverlauf stark vom sinusförmigen Verhalten ab. Dies zeigt auch das Ergebnis einer Fourier-Analyse, nach der vor allem die dritte Harmonische eine besonders ausgepr¨ agte Amplitude aufweist. FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE I(R0) DC COMPONENT = -4.225784E-04 HARMONIC FREQUENCY NO (HZ) 1 2 3 4 5

1.000E+03 2.000E+03 3.000E+03 4.000E+03 5.000E+03

FOURIER COMPONENT


PHASE (DEG)


7.648E-03 2.733E-04 1.565E-03 5.277E-05 4.627E-04

1.000E+00 3.574E-02 2.046E-01 6.900E-03 6.050E-02

1.061E+02 -7.657E+01 1.161E+02 -7.081E+01 1.003E+02

0.000E+00 -1.827E+02 9.943E+00 -1.769E+02 -5.832E+00

9.7.4 Kernverluste Aufgrund von Tr¨ agheits- und Resonanzeffekten bei der Magnetisierung sowie bedingt durch die Hysterese und Wirbelstromverluste, ist die wirksame Permeabilität magnetischer Stoffe frequenzabhängig. Bei Annahme eines linearen Zusammenhangs zwischen B und H lassen sich diese Effekte durch den in (9.31) definierten Kernverlustfaktor tan δK erfassen. Dieser setzt sich im wesentlichen aus dem Wirbelstromverlustfaktor tan δw , dem Hystereseverucksichtigenden Verlustlustfaktor tan δh und dem Nachwirkungsverluste ber¨ faktor tan δn zusammen tan δK = tan δh + tan δw + tan δn .

(9.54)

Bei niederen Frequenzen l¨ aßt sich tan δK in einen konstanten Anteil, einen Anteil proportional zur Feldst¨ arke H sowie einen zur Frequenz proportionalen Anteil aufspalten [9] 2π tan δK = hH + wf + n .

(9.55)

Die Koeffizienten h, w und n werden als Hysterese-, Wirbelstrom- bzw. Nachwirkungsbeiwert bezeichnet und in der Folge näher erläutert. Neben den weiter unten n¨ aher betrachteten Hysterese- und Wirbelstromverlusten k¨ onnen zus¨ atzliche Mechanismen die Frequenzabhängigkeit der Permeabilität beeinflussen: Zum einen k¨ onnen die Spins der Elektronen einer Feldänderung nicht beliebig schnell folgen, was sich bei hohen Frequenzen in einem Abfall der Permea-

9.7. Eigenschaften und Modellierung ferro- und ferrimagnetischer Kernmaterialien 395 bilit¨ at und einer Zunahme der Verluste bemerkbar macht. 15 Zum anderen kommt es zu Resonanzeffekten, wenn die Frequenz der Feldänderung mit der Präzessionsfrequenz der Spins im magnetischen Feld u ¨bereinstimmt (Spinresonanz, ferromagnetische Resonanz). In polykristallinen Werkstoffen kann es dar¨ uber hinaus aufgrund einer kapazitiven Kopplung u ¨ber die Korngrenzen hinweg, zu u ¨berproportional mit der Frequenz zunehmenden Wirbelstromverlusten und dielektrischen Verlusten kommen (Dimensionsresonanz). Ein weiterer Mechanismus, der die Verluste eines Kerns beeinflussen kann, ist die magnetostriktive Resonanz: Da sich die Ausdehnung des Kerns mit der Magnetisierung ver¨ andert, regt ein Wechselfeld diesen zu mechanischen Schwingungen ( Trafobrummen“ ) an. Wird die Spule von einem Wechselstrom mit ” einer Frequenz im Bereich der Eigenfrequenz dieser Schwingungen durchflossen, so kommt es zur magnetostriktiven Resonanz und erhöhten Ummagnetisierungsverlusten, da die zur Anregung der Schwingungen erforderliche Leistung dem magnetischen Feld entzogen wird.

Wirbelstromverluste, gyromagnetische Grenzfrequenz Das sich a ome. Nach der Lenz¨ndernde magnetische Feld induziert im Kern Wirbelstr¨ schen Regel sind diese so gerichtet, daß sie das induzierende Feld schwächen. Die bei h¨ oheren Frequenzen in den a üßeren Schichten eines Kerns induzierten Wirbelströme schirmen deshalb das Kerninnere zumindest teilweise ab. Auf diesem Weg kommt es zu einer Phasenverschiebung zwischen i und B sowie zu einer Verringerung des wirksamen Kernquerschnitts, was zu einer Abnahme der effektiven Permeabilität f¨ uhrt. Der Mechanismus entspricht der Stromverdr¨ angung in Leitern bei höheren Frequenzen (Skineffekt, vgl. Kap. 7.1) und wird ebenfalls oberhalb einer von der Permeabilit¨ at, der Leitf¨ ahigkeit und den Abmessungen abhängigen Grenzfrequenz maßgeblich. ur d¨ unne Bleche gilt Diese wird hier als Wirbelstromgrenzfrequenz fw bezeichnet. F¨ fw =

4ρ 1 , πµ0 µi d 2

(9.56)

d. h. die Wirbelstromgrenzfrequenz entspricht der Grenzfrequenz f¨ ur den Skineffekt. Die Wirbelstromverluste werden durch den Wirbelstromverlustfaktor tan δw ≈

2 f w f = 3 fw 2π

(9.57)

beschrieben. Dieser steigt proportional zur Frequenz an; der Faktor w wird als Wirbelstrombeiwert bezeichnet. Wirbelstromverluste k¨ onnen durch eine Anhebung des spezifischen Widerstands des Kernmaterials verringert werden. Dies ist möglich durch Einsatz ferritischer 15

Zus¨ atzlich zu diesem als Spinrelaxation bezeichneten Effekt spielen im Wechselfeld die mit endlicher Geschwindigkeit ablaufenden Verschiebungen der Bloch-W¨ ande und andere meist thermisch bedingte Prozesse eine Rolle. Genannt seien hier insbesondere die thermische Nachwirkung (Jordan-Nachwirkung) oder die Diffusionsnachwirkung (RichterNachwirkung). Der Frequenzgang dieser Nachwirkungsverluste wird deshalb meist durch mehrere Zeitkonstanten bestimmt (vgl. [9]) – f¨ ur Absch¨ atzungen gen¨ ugt jedoch meist der Nachwirkungsverlustfaktor tan δn bzw. der Nachwirkungsbeiwert n = 2π tan δn .


396

Werkstoffe oder amorpher Metallegierungen. Durch eine räumliche Begrenzung der Wirbelstrombahnen lassen sich Wirbelstromverluste ebenfalls reduzieren. Dies geschieht entweder durch Einteilung des Kerns in d¨ unne voneinander isolierte Bleche oder aber durch Zerkleinern des Kernmaterials in Pulverform und anschließende Verbindung mit einem isolierenden Stoff. Die Dicke der Bleche bzw. die Größe der Pulverpartikel ist dabei um so geringer zu wählen, je höher die Frequenz ist. In der Praxis ergeben sich – insbesondere f¨ ur Werte von d im Bereich weniger µm – als Wirbelstromanomalien bezeichnete Abweichungen von Gl. (9.56). Dies ist zum einen durch die in der klassischen Wirbelstromtheorie außer acht gelassene Unterteilung in Weissche Bezirke und zum anderen auf die, bei hohen Wirbelstromgrenzfrequenzen bemerkbare, endliche Einstellgeschwindigkeit der Spinmomente im magnetischen Wechselfeld zur¨ uckzuf¨ uhren. Dieser als Spinrelaxation bezeichnete Mechanismus f¨ uhrt zu der von der Blechdicke unabhängigen sog. gyromagnetischen Grenzangig vom Verh¨ altnis der Sättigungspolarisation Js zur frequenz fg . Diese ist abh¨ aherungsweise gilt Anfangspermeabilit¨ at µi , wobei nach [11] n¨ fg ≈ (0.8−1.9) MHz · 104 · (Js /T)/µi .

(9.58)

Bei einer Anfangspermeabilit¨ at von µi ≈ 1000 beträgt sie größenordnungsmäßig 10 MHz. In ferromagnetischen Blechen macht sich die Spinrelaxation, wegen der dort vorliegenden hohen Leitf¨ ahigkeit, erst bei Blechstärken unter 20 µm bemerkbar; in Ferritkernen gilt wegen des hohen spezifischen Widerstands jedoch häufig fg < fw .

Hystereseverluste Beim Ummagnetisieren eines Kerns wird aufgrund der Hysterese Arbeit verrichtet. Die bei einem vollst¨ andigen Zyklus (zweimaliges Ummagnetisieren) pro Volumeneinheit verrichtete Arbeit wird durch die von der Hysteresekurve eingeschlossene Fläche bestimmt , WH = H dB . (9.59) V Um die Hystereseverluste klein zu halten werden f¨ ur die meisten Anwendungen magnetisch weiche Materialien (kleine Koerzitivfeldstärke) bevorzugt. Bei kleinen Feldst¨ arken l¨ aßt sich die Hysteresekurve durch die in Abb. 9.1 darge¨ stellte Rayleigh-Schleife approximieren. Diese wird beschrieben durch zwei Aste ˆ ˆ 2 −H 2 , (9.60) B± (H) = µ0 (µi +2ν H)H ±ν H ˆ den Scheitelwert der magnetischen Feldstärke und ν die sog. Rayleighwobei H Konstante bezeichnet. Der Wert von ν bestimmt den Betrag der remanenten Induktion; aus H = 0 folgt ˆ 2 = ±Br . B = ±µ0 ν H Das Integral (9.59) l¨ aßt sich f¨ ur Hysteresekurven entsprechend einer Rayleighschleife (9.60) berechnen [9]. Alternativ kann der Hystereseverlustfaktor tan δh durch direktes Berechnen der Induktion bei harmonischer Erregung gewonnen werden. Besitzt H(t) einen harmonischen Verlauf

9.7. Eigenschaften und Modellierung ferro- und ferrimagnetischer Kernmaterialien 397 ˆ cos(ωt) , H(t) = H ¨ so werden abwechselnd beide Aste der Rayleigh-Schleife durchlaufen. Entwickeln von B(t) in eine Fourier-Reihe ergibt nach [9] ˆ1 cos(ωt − δh ) − B(t) = B

∞

ˆ2k+1 sin[(2k + 1)ωt] . B

(9.61)

k=1

Die Amplituden der Grundschwingung und der höheren Harmonischen sind dabei ˆ i +2ν H), ˆ ˆ1 ≈ µ0 H(µ B

ˆ2k+1 = B

ˆ2 8µ0 ν H , π(2k−1)(2k+1)(2k+3)

(9.62)

wobei tan δh 1 angenommen wurde. Bemerkenswert ist, daß – wegen der Symmetrie der Hysteresekurve – nur ungeradzahlige Harmonische auftreten; von diesen ist die dritte Harmonische (k = 1) die Bedeutendste. ur den daraus Die Gr¨ oße δh in Gl. (9.61) bezeichnet den Hystereseverlustwinkel; f¨ resultierenden Hystereseverlustfaktor ergibt sich nach [9] tan δh =

ˆ νH 8 8 ν ˆ H. ≈ ˆ 3π µi + 2ν H 3π µi

(9.63)

Der√Hystereseverlustfaktor steigt ann¨ ahernd proportional zum Effektivwert H = ˆ 2 der Feldst¨ H/ arke an; unter Verwendung des Jordanschen Hysteresebeiwerts h läßt sich demnach schreiben √ 16 2 ν hH mit h = tan δh = . (9.64) 2π 3µi Eng verwandt mit dem Hystereseverlustfaktor ist die u ¨ber ηB =

tan δh ˆ µe B

(9.65)

definierte Hysteresematerialkonstante (Einheit 1/T). Der Wert von ηB ist im Gegensatz zum Hysteresebeiwert h unabh¨ angig vom Luftspalt und charakterisiert somit die Materialeigenschaften. Der Hysteresebeiwert h folgt aus ηB gemäß [10] √ nH 2 · µ · ηB . h = 2π 2 · µ0 µ2i · ηB ≈ 111.66 cm i

(9.66)

Verzerrungen, Klirrfaktor. Die magnetische Induktion hängt in nichtlinearer Weise vom magnetischen Feld und damit vom Spulenstrom ab. Ein sinusförmiger Strom f¨ uhrt deshalb zu Oberwellen im Spannungsabfall, die als Verzerrungen wirken. Zur Charakterisierung kann der Klirrfaktor verwendet werden. Dieser setzt den Effektivwert der Oberwellenanteile der magnetischen Induktion ins Verhältnis zum Effektivwert B. Da die Oberwellenanteile von der dritten Harmonischen dominiert werden, ˆ3 /B ˆ1 . Die von den Oberwellen induzierte Spangilt meist in guter N¨ aherung kB ≈ B nung ist proportional zur Frequenz. F¨ ur den Klirrfaktor des an der Spule auftretenden Spannungsabfalls folgt unter Verwendung von Gl. (9.62) ˆ3 /B ˆ1 ≈ 3 tan δh /5 , kV ≈ 3kB = 3B d. h. dieser ist ann¨ ahernd proportional zum Hystereseverlustfaktor.

(9.67)


398

¨ 9.8 Transformatoren und Ubertrager Durch magnetische Verkopplung zweier galvanisch getrennter Stromkreise kann zwischen diesen Leistung u ¨bertragen werden. Dies wird angewendet in Transformatoren (Trafos), die der Umsetzung von Spannungs- bzw. ¨ Stromwerten dienen sowie in Ubertragern und Trenntrafos zur galvanischen Trennung von Wechselstromkreisen, Impedanzanpassung, Unterdr¨ uckung von Gleichanteilen und zum Unterbrechen von Erdschleifen. Die Verkopplung der Induktivitäten wird gew¨ ohnlich durch einen gemeinsamen Kern erhöht, der – zur Verbesserung der Linearit¨ at – meist einen Luftspalt enthält. F i1

v

1 2

F

1

F

1 s

n

2 1

i2

n 1

F F

2

F

2 s

v 2

Abb. 9.24. Hauptund Streufl¨ usse im Transformator (nach [2])

2 1 1 2

Abbildung 9.24 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Transformators bzw. ¨ Ubertragers mit einer prim¨ arseitigen Wicklung der Windungszahl n1 und einer sekundärseitigen Wicklung der Windungszahl n2 . Wird die primärseitige Spule von einem Strom i1 durchflossen, so setzt sich der erzeugte Fluß φ11 = φ1σ + φ12 aus dem prim¨ aren Streuf luß φ1σ und dem die Sekundärwicklung durchsetzenden Fluß φ12 zusammen. Entsprechend läßt sich der von der Searen Streuf luß φ2σ und den kundärwicklung erzeugte Fluß φ22 in den sekund¨ die Primärwicklung durchsetzenden Fluß φ21 zerlegen φ22 = φ2σ + φ21 . Der die Primärwicklung durchsetzende Fluß φ1 und der die Sekundärwicklung durchsetzende Fluß φ2 sind damit φ1 = φ11 + φ21

und

φ2 = φ22 + φ12 .

¨ 9.8. Transformatoren und Ubertrager

399

Unter Ber¨ ucksichtigung der Spannungsabfälle an den Wicklungen folgt aus dem Induktionsgesetz f¨ ur die Spannungsabfälle in Primär- und Sekundärkreis v1 = RCu1 i1 + n1 dφ1 /dt

(9.68)

v2 = RCu2 i2 + n2 dφ2 /dt .

(9.69)

Die Beziehungen (9.68) und (9.69) gelten allgemein und sind auch bei Aussteuerung des Kernmaterials in den S¨ attigungsbereich anwendbar. Bei Aussteuerung mit geringer Amplitude besteht annähernd ein linearer Zusammenhang zwischen den Fl¨ ussen und den Spulenströmen φ11 =

L1 i1 , n1

φ12 =

M i1 , n2

φ21 =

M i2 n1

und

φ22 =

L2 i2 . n2

Dabei bezeichnet L1 = L11 den (Selbst-)Induktionskoeffizienten der Primärwicklung, M = L12 den Gegeninduktionskoeffizienten von Primär- und Sekundärwicklung und L2 = L22 den (Selbst-)Induktionskoeffizienten der Sekundärwicklung. Durch Einsetzen in die Gln. (9.68) und (9.69) ergeben sich die sog. Transformatorgleichungen v1 = RCu1 i1 + L1

di2 di1 +M dt dt

(9.70)

di1 di2 +M (9.71) dt dt Diese Beziehungen gelten nur bei Kleinsignalaussteuerung ohne Vormagnetisierung im Bereich niederer Frequenzen. Bei höheren Frequenzen tritt eine Phasenverschiebung zwischen magnetischem Feld (bzw. Spulenstrom) und magnetischer Polarisation auf. v2 = RCu2 i2 + L2

i1 v 1

i2 v 2

Abb. 9.25. Schaltsymbol zweier gekoppelter Induktivit¨ aten

¨ 9.8.1 Der verlustlose Ubertrager Bei sinusförmiger Erregung folgt unter Vernachlässigung der Drahtwiderstände (RCu1 = RCu2 = 0) aus (9.70) und (9.71) f¨ ur die komplexen Zeiger der Wechselspannungsanteile an Prim¨ ar- und Sekundärwicklung (Abb. 9.25) v 1 = jωL1 i1 + jωM i2

(9.72)

v 2 = jωM i1 + jωL2 i2

(9.73)


400

√ Mit dem Kopplungsfaktor k = M/ L1 L2 läßt sich dies umformen zu

1 − k2

L1 · v 2 − jω L1 L2 · i2 L2 k

v1 =

1 k

i1 =

1 1 √ · v2 − k jωk L1 L2

(9.74)

L2 ·i . L1 2

(9.75)

ur den Spannungs¨ ubertragungsBei belastetem Ausgang gilt i2 = −v 2 /Z L ; f¨ faktor folgt damit aus Gl. (9.74) 1 v1 = v2 k

1 − k2

L1 1 + jω L1 L2 . L2 k ZL

(9.76)

Vollst¨ andige Kopplung. Im Fall idealer Kopplung (|k| = 1) verschwindet der zweite Term auf der rechten Seite von Gl. (9.76); das Spannungsverhältnis ist dann

v 1 /v 2 =

L1 /L2 = u ¨ .

(9.77)

¨ Die Größe u altnis bezeichnet. Zwischen den ¨ wird dabei als Ubertragungsverh¨ Zeigern der Str¨ ome besteht nach Gl. (9.75) der Zusammenhang

i1 = −

1 L2 √ · i2 + ·v . L1 jω L1 L2 2

¨ uhrt dies auf Im Grenzfall des idealen Ubertragers mit L1 = u ¨ 2 L2 → ∞ f¨ u. i1 /i2 = −1/¨ ü

i1 v

(9.78)

i2 v

i1

1

v 2

(a )

ü Z

1

L

ü 2 Z L

(b )

¨ Abb. 9.26. Idealer Ubertrager. (a) Schaltsymbol und (b) Impedanztransformation mit ¨ idealem Ubertrager

¨ Abbildung 9.26 a zeigt des Netzwerksymbol eines idealen Ubertragers. F¨ ur diesen gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Zeigern von Strom und Spannung an Ein- und Ausgang

v1 i1

=

u 0 ¨ 0 −1/¨ u

v2 i2

.

(9.79)


401

¨ Besitzen die beiden Wicklungen des Ubertragers denselben AL -Wert, so ist 2 2 L1 = AL n1 und L2 = AL n2 , wobei n1 und n2 die Windungszahlen der jeweiligen Wicklung bezeichnen. In Gl. (9.76) eingesetzt folgt u ¨ = n1 /n2 ,

(9.80)

¨ ¨ d. h. im idealen Ubertrager ist das Ubertragungsverh¨ altnis u ¨ gleich dem Verhältnis der jeweiligen Windungszahlen. ¨ Impedanztransformation. Wird der Ausgang eines idealen Ubertragers mit ur die Einder Impedanz Z L beschaltet (Abb. 9.26 b), so gilt v 2 /i2 = −Z L . F¨ ¨ gangsimpedanz Z i des Ubertragers folgt damit Zi =

v1 v v i = 1· 2· 2 = u ¨ 2 ZL , i1 v 2 i2 i1

(9.81)

¨ d. h. der ideale Ubertrager mit vollst¨ andiger Kopplung transformiert“ Im” pedanzen im Verh¨ altnis u ¨ 2 von der Sekundärseite auf die Primärseite.

9.8.2 Unvollst¨ andige Kopplung ¨ In realen Ubertragern ist der Kopplungsfaktor von eins verschieden, da aufgrund von Streufeldern der die eine Spule durchsetzende Fluß die andere nicht vollständig durchsetzt. i1 v 1

L 2- M

L 1- M

M

i2 v 2

Abb. 9.27. T-Ersatzschaltung

Die Transformatorgleichungen (9.72) und (9.73) lassen sich in die in Abb. 9.27 dargestellte T-Ersatzschaltung u uhren. Durch Anwenden des Maschensat¨berf¨ zes folgt sofort v 1 = jω(L1 −M ) i1 + jωM (i1 +i2 ) = jωL1 i1 + jωM i2 v 2 = jω(L2 −M ) i2 + jωM (i1 +i2 ) = jωL2 i2 + jωM i1 ¨ Das Verhalten des Ubertragers kann demnach durch drei verschaltete Induktivitäten, die beiden L¨ angsinduktivit¨ aten L1 −M und L2 −M sowie die Gegeninduktivit¨ at M√beschrieben werden. F¨ ur Kopplungsfaktoren von annähernd eins gilt M ≈ L1 L2 ; d.h. zumindest eine der Längsinduktivitäten ist negativ. Die T-Ersatzschaltung ist aus diesem Grund als rein formales Netzwerk


402

anzusehen, das die Transformatorgleichungen korrekt erfaßt – eine physikalisch anschauliche Interpretation der Netzwerkelemente besteht jedoch nicht. i1

i'1 s L

v 1

k 2L

i2

k ü 1

1

v

v '1

2

Abb. 9.28. Ersatzschaltung eines unvoll¨ st¨ andig gekoppelten Ubertragers

Abbildung 9.28 zeigt die Ersatzschaltung eines unvollständig gekoppelten ¨ (k < 1), ansonsten verlustfreien Ubertragers. Dabei wird von der Indukti¨ vität L1 ein Streuanteil σL1 abgespalten; der Streugrad σ des Ubertragers ist definiert als σ = 1 − k2 .

(9.82)

Lediglich der an k 2 L1 auftretende Spannungsabfall wirkt als Eingangsspan¨ ¨ nung des idealen Ubertragers mit Ubertragungsver¨ altnis k¨ u. Die Netzwerkgleichungen f¨ ur diese Ersatzschaltung lauten u v2, v 1 = v 1 − jωσL1 i1 = k¨

i1 =

v 1 + i1 jωk 2 L1

und i1 = −i2 /k¨ u. Durch Eliminieren von v 1 und i1 lassen sich diese in die Gln. (9.74) und (9.75) u uhren, wobei die Details der Rechnung dem Leser ¨berf¨ ¨ als Ubungsaufgabe u ¨berlassen werden. ¨ Kern- und Kupferverluste, Streukapazit¨ aten. Die in realen Ubertragern stets vorhandenen Kupferverluste k¨ onnen in der Ersatzschaltung durch zusätzliche Serienwiderst¨ ande rCu1 und rCu2 in Primär- und Sekundärkreis ber¨ ucksichtigt werden. Kann der Skineffekt vernachlässigt werden, so ist rCu1 = RCu1 und rCu2 = RCu2 . Wie bei der Spule lassen sich Kernverluste durch Paralleloder Reihenschaltung eines Kernverlustwiderstands erfassen.16 Werden dann noch die zwischen den Anschl¨ ussen auftretenden Koppelkapazitäten ber¨ ucksichtigt, so gelangt man zu den in Abb. 9.29 gezeigten Ersatzschaltungen f¨ ur ¨ den Ubertrager. 16

Da die Impedanzen beider Ersatzschaltungen sowohl in Real- als auch in Imagin¨ arteil u ussen, folgen die Zuordnungen ¨bereinstimmen m¨ lp = ls (1 + tan2 δK )

und

rkp = ωlp / tan δK .

zwischen den Elementen ls und rks = ωls tan δK der Serienersatzschaltung und den Elementen lp und rkp der Parallelersatzschaltung.

¨ 9.8. Transformatoren und Ubertrager C r

C

s L

C u 1

3

r

k ü 1

k 2L

403

r 1

C u 2

k p

C

1

C C r

C u 1

s L

r C 1

(a ) 4

3

k ü 1

2

r

C u 2

L

k s

C s

C 4

2

(b )

Abb. 9.29. Ersatzschaltungen f¨ ur einen verlustbehafteten ¨ Ubertrager: (a) Parallelersatzschaltung, (b) Serienersatzschaltung

Die kapazitive Kopplung zwischen Primär- und Sekundärkreis kann weitgehend durch eine elektrostatische Abschirmung zwischen den beiden Wicklungen unterdr¨ uckt werden. Dazu wird zwischen Primär- und Sekundärwicklung eine geerdete Fl¨ achenelektrode angebracht; die Koppelkapazität zwischen Primär- und Sekund¨ arwicklung spaltet sich dabei auf in die Reihenschaltung einer Koppelkapazit¨ at zwischen Primärwicklung und Abschirmung und einer Koppelkapazit¨ at zwischen Sekundärwicklung und Abschirmung. Bei niederohmigem Anschluß der Abschirmung bewirkt ein Strom u ¨ber eine dieser Teilkapazit¨ aten nur geringe Potentialveränderungen auf der Abschirmung, d.h. die kapazitive Kopplung ist weitgehend unterdr¨ uckt.

¨ 9.8.3 Ubertragungsfaktor ¨ Ubertrager sollen eine formtreue Signal¨ ubertragung aufweisen, was erhöhte Anforderungen an die Linearit¨ at bedingt und eine hohe Bandbreite voraussetzt. F¨ ur eine ¨ Untersuchung des Frequenzgangs von Ubertragern wird die in Abb. 9.30 gezeigte Ersatzschaltung herangezogen, wobei die durch C3 und C4 beschriebene kapazitive Kopplung zwischen Prim¨ ar- und Sekund¨ arwicklung vernachlässigt wird. ¨ Der Ausgang des idealen Ubertragers in der Ersatzschaltung Abb. 9.30 ist mit der Impedanz Z x = rCu2 +

ZL 1 + jωC2 Z L


404 i1

i'1 r

v 1

C

s L

C u 1

i'2

r

k ü 1

k 2L

r 1

C u 2

v '2

v '1

k p

i2

1

C

v 2

Z L

2

¨ Abb. 9.30. Ersatzschaltung des verlustbehafteten Ubertragers mit beschaltetem Ausgang

beschaltet, die eingangseitig wie eine Impedanz k 2 u ¨2 Z x wirkt. Zur Berechnung der Amplitude von v 1 kann demnach die in Abb.9.31 dargestellte Ersatzschaltung herangezogen werden. i1 r v 1

C

C u 1

s L 1

k 2L 1

r

k 2ü 2Z

k p

X

v '1

1

Abb. 9.31. Zur Berechnung ¨ des Ubertragungsfaktors des ¨ verlustbehafteten Ubertragers

Nach der Spannungsteilerregel folgt sofort v 1 v1

=

jωk 2 L1 rkp k 2 u ¨2 Z x rCu1 + jωσL1 + jωk 2 L1 rkp k 2 u ¨2 Z x

= 1 + (rCu1 + jωσL1 )

1 . 1 1 1 + + jωk 2 L1 rkp k2 u ¨2 Z x

(9.83)

Ebenfalls durch Anwenden der Spannungsteilerregel erhält man Z (jωC2 )−1 ZL v2 . = L = v2 Zx Z L + rCu2 (1 + jωC2 Z L )

(9.84)

¨ ¨ Mit dem Ubertragungsverh¨ altnis k¨ u des idealen Ubertragers folgt f¨ ur den Spannungs¨ ubertragungsfaktor Hv =

v2 1 v 2 v 1 · = · . v1 k¨ u v 2 v 1

(9.85)

Im Folgenden wird der Fall einer rein ohmschen Last Z L = RL betrachtet; unter diesen Umst¨ anden gilt Z x = rCu2 +

RL 1 + jωC2 RL

und

v2 RL . = v2 RL + rCu2 (1 + jωC2 RL )


405

Der Spannungs¨ ubertragungsfaktor (9.85) ergibt sich hiermit und aus Gl. (9.83) durch Ausmultiplizieren in der Form Hv =

Av0 . 1 − jfu /f + jf/fo − f 2 /fr2

(9.86)

Gleichung (9.86) beschreibt ein Bandpaßverhalten. F¨ ur Frequenzen fu f fo ist der Spannungs¨ ubertragungsfaktor reell H v = Av0 = wobei

δ =

1 1 , k¨ u 1+δ

σ rCu1 + 2 k rkp

rCu2 1+ RL

+

rCu1 rCu1 rCu2 C2 rCu2 + 2 2 + RL k 2 L1 k u ¨ RL

in der Regel klein gegen¨ uber eins ist. Bei sehr kleinen Frequenzen (f fu ) dominiert ¨ in Gl. (9.86) der Term proportional zu 1/f im Nenner: Der Ubertrager zeigt hier ein Hochpaßverhalten mit der Grenzfrequenz 1 1 rCu1 rCu2 rCu1 fu = ≈ . (9.87) 1+ 2 2π (1 + δ) RL k L1 2π k 2 L1

lo g ( A v )

¨ Der Betrag des Ubertragungsfaktors steigt f¨ ur f fu proportional zu f an. Ursache dieses Verhaltens ist, daß der von rCu1 und k 2 L1 gebildete komplexe Spannungsteiler ¨ ur die Ubertragung bei diesen niederen Frequenzen von rCu1 dominiert wird; der f¨ 2 maßgebliche Spannungsabfall an k L1 steigt deshalb proportional zur Frequenz an. (k ü )

-1

~ f

~ 1 /f fu

fo ~ 1 /f 2

fr lo g ( f)

Abb. 9.32. Frequenzgang (N¨ ahe¨ rung) des Ubertragungsfaktors

Bei sehr großen Frequenzen dominieren die proportional zu f bzw. f 2 ansteigenden Terme im Nenner von Gl. (9.86). Die zugehörigen Grenzfrequenzen fo und fr sind n¨ aherungsweise 1 1 rCu1 1 ≈ σL1 + 2 2 + C2 rCu2 + 2 2 (9.88) 2πfo rkp k u k u ¨ ZL ¨ 1 1 rCu2 ≈ σL1 C2 + (9.89) 2πfr rkp k2 u ¨2 ¨ Die Bandbreite des Ubertragers fo − fu ist nach oben durch fo begrenzt (Abb. 9.32). ¨ F¨ ur eine hohe Bandbreite des Ubertragers muß deshalb auf geringe Streufl¨ usse (klei-


406

at der Sekundärwicklung (kleines C2 ) und nes σL1 ), eine geringe Wicklungskapazit¨ niedrige Drahtwiderst¨ ande geachtet werden.

9.8.4 Leistungs¨ ubertrager, Transformatoren Beim Tansformator steht die maximal u ¨bertragbare Leistung im Vordergrund – Signalverformungen sind zul¨ assig. Aufgrund der Proportionalität der in die Sekundärwicklung induzierten Spannung zur Frequenz f (bei konstantem Induktionshub ∆B) steigt die in einem Transformator von der Primärseite auf die Sekundärseite u ¨bertragbare Leistung annähernd proportional zu f an. Unter Vernachlässigung der Spannungsabf¨ alle an den Wicklungswiderständen, Streuinduktivit¨ aten und der Vormagnetisierung gilt die folgende Näherung f¨ ur die u ¨bertragene Leistung [17] P = C · ∆B · J · AW · Ae · FCu · f ∼ f .

(9.90)

Dabei bezeichnet C einen von der Betriebsart abhängigen Faktor, der typischerweise im Bereich 0.6 < C < 1 liegt und J die Stromdichte in der Wicklung. Der Induktionshub ∆B ist bei niedrigen Frequenzen durch Sättigungseffekte17 und bei hohen Frequenzen durch die Erwärmung des Kerns aufgrund von Kernverlusten beschr¨ ankt. Die Stromdichte J wird durch die Erwärmung der Wicklung aufgrund von Kupferverlusten begrenzt. Der wirksame Kernquerschnitt sollte im Sinne geringer Kosten und geringen Gewichts möglichst klein sein. Ein Steigerung der u ¨bertragbaren Leistung ist demnach nur durch eine Anhebung der Frequenz möglich. Tabelle 9.2 Ferritmaterialien f¨ ur Leistungs¨ ubertrager in Schaltnetzteilen (nach [18]) Kenngr¨ oße µi Js (25◦ C) Js (100◦ C) TC ρ ρm ∆P/∆V bei 25 kHz ∆P/∆V bei 100 kHz

Einheit − mT mT ◦ C Ωcm g/cm3 mW/cm3 mW/cm3

N27 2000 480 400 > 220 300 4.75 155 920

N41 2800 470 380 > 220 200 4.8 180 1400

N62 1900 510 400 > 220 400 4.8 80 500

N63 1800 485 405 > 220 800 4.8 75 480

ˆ = 200 mT) (Verlustleistungsdichten bei ϑ = 100◦ C und B

Mit zunehmender Schaltfrequenz kann das Gewicht – und damit auch der Preis – von Stromversorgungen und DC-DC-Wandlern gesenkt werden. Ein 100 W-Netzteil, realisiert mit einem bei Netzfrequenz (50 Hz) arbeitenden Transformator, hat eine Masse in der Größenordnung von 10 kg; durch 17

Maßgeblich ist hier der kleinste Querschnitt, da der im Kern gef¨ uhrte Fluß dort die maximale Flußdichte aufweist.


407

Erhöhen der Schaltfrequenz auf 50 kHz kann diese auf unter 1 kg gesenkt werden, bei 500 kHz sind weniger als 400 g erreichbar. Wesentlich f¨ ur diese Anhebung der Schaltfrequenz war die Entwicklung spezieller, verlustarmer ¨ Ferritwerkstoffe. Tabelle 9.2 gibt einen Uberblick u ¨ber typische Daten unter¨ schiedlicher, f¨ ur Ubertrager gebr¨ auchlicher Kernmaterialien.

9.8.5 Beschreibung gekoppelter Spulen in SPICE ¨ Induktivitäten lassen sich in SPICE verkoppeln zur Simulation von Ubertragern und Transformatoren. Hierzu wird zusätzlich zu den Elementanweisungen f¨ ur die Einzelinduktivit¨ aten eine mit dem Kennbuchstaben K beginnende Anweisung K(name)

Lname1

Lname2

Kopplungsfakator

benötigt, die den Kopplungsfaktor der beiden Induktivitäten spezifiziert. In dieser werden die miteinander verkoppelten Induktivitäten benannt und der Kopplungsfaktor zwischen diesen Induktivitäten angegeben. IN 1

O U T 1 L 2 L 1

O U T 2 L 3

IN 2

O U T 3

Abb. 9.33. Gekoppelte Induktivit¨ aten

Beispiel 9.8.1 Als Beispiel wird ein Transformator mit zwei Ausgangsspannungen entsprechend der nebenstehenden Abbildung betrachtet. F¨ ur diesen sind drei Induktivit¨ aten anzugeben (f¨ ur die Prim¨ arwicklung und die in zwei Teilinduktivitäten separierte Sekund¨ arwicklung) sowie drei Kopplungsfaktoren zwischen diesen Induktivit¨ aten. Die Beschreibung des in der nebenstehenden Abbildung dargestellten Transformators in einer SPICE-Netzliste hat damit das Aussehen L1 IN1 L2 OUT1 L3 OUT2 K12 L1 K13 L1 K23 L2

IN2 100M OUT2 20M OUT3 20M L2 0.95 L3 0.95 L3 0.8

falls L1 = 200 mH, L2 = L3 = 20 mH, der Koppelfaktor zwischen L1 und L2 gleich dem Koppelfaktor zwischen L1 und L3 gleich 0.95 und der Koppelfaktor zwischen ∆ L2 und L3 gleich 0.8 ist.


408

Transformatoren mit ferro- oder ferrimagnetischen Kernen lassen sich mit dem in PSPICE verf¨ ugbaren CORE-Modell beschreiben. Die einzelnen Wicklungen sind dabei ebenfalls als Einzelinduktivitäten zu beschreiben, allerdings unter Angabe der Windungszahl wie bei der Spule mit Kern. Die Kopplung der Spulen wird durch eine K-Anweisung der Form Kx

L1

L2

... LN

Kopplungsfaktor

Modellname

bewirkt. PSPICE berechnet dann den im Kern auftretenden Fluß zu den Strömen durch die Spulen L1, L2 . . . LN und daraus (¨ uber das Induktionsgesetz) die an den Spulen auftretenden Spannungsabfälle.

9.9 Literaturverzeichnis [1] K. Simonyi. Theoretische Elektrotechnik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, achte Auflage, 1980. [2] O.Zinke, H. Seither. Widerst¨ ande, Kondensatoren, Spulen und ihre Werkstoffe. Springer, Berlin, zweite Auflage, 1982. [3] G. Janzen. Kurze Antennen. Franckh, Stuttgart, 1986. [4] H.M. Greenhouse. Design of planar rectangular microelectronic inductors. IEEE Trans. on Parts, Hybrids and Packaging, 10(2):101–109, 1974. [5] C.A.Harper. Handbook of Thick Film Hybrid Microelectronics. McGraw Hill, New York, 1974. [6] T.A. Winslow. Conical inductors for broadband applications. IEEE Microwave Mag., pages 68–72. [7] SIEMENS. Bauelemente - Technische Erl¨ auterungen und Kenndaten f¨ ur Studierende. Siemens - Bereich Bauelemente, M¨ unchen, vierte Auflage, 1984. [8] R. Feldtkeller. Theorie der Spulen und bertrager. Hirzel, Stuttgart, f¨ unfte Auflage, 1971. [9] W. Kampczyk, E. R¨ oß. Ferritkerne - Grundlagen, Dimensionierung, Anwendungen in der Nachrichtentechnik. Siemens, Berlin, 1978. [10] Siemens. Datenbuch Ferrite. Siemens, M¨ unchen, 1987. [11] R. Boll. Weichmagnetische Werkstoffe. Vacuumschmelze, Hanau, vierte Auflage, 1990. [12] K.H. Hellwege. Einf¨ uhrung in die Festk¨ orperphysik. Springer, Berlin, 1976. [13] W. von M¨ unch. Elektrische und magnetische Eigenschaften der Materie. Teubner, Stuttgart, 1987. [14] Hrsg. W. Seeger. Moderne Probleme der Metallphysik, Bd. 2 Chemische Bindung in Kristallen und Ferromagnetismus. Springer, Berlin, 1966. [15] L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Lehrbuch der Theoretischen Physik, Bd.8: Elektrodynamik der Kontinua. Akademie-Verlag, Berlin, 1985. [16] D.C. Jiles, D.L. Atherton. Theory of ferromagnetic hysteresis. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 61:48–60, 1986. ¨ [17] J. Hess. Ubertragbare Leistung von Ferritkernen. elektronik, 1998(2), pp. 52–58, 1998. [18] J. Hess. Ferrit-Induktivit¨ aten in getakteten Stromversorgungen: I.2 Der Sperrwandler – Dimensionierungshinweise. ELEKTRONIK, 1994(17), pp. 68 – 70, 1994.

10 Leitungen Eine Leitung – z. B. ein Koaxialkabel – ist ein Beispiel f¨ ur ein Bauelement“ , ” das nicht der Konzentriertheitsannahme gen¨ ugt. Ein detailliertes Verständnis des Verhaltens von Leitungen war seit jeher von großer Bedeutung f¨ ur die Nachrichtentechnik – mit zunehmender Schaltfrequenz wurde dieses Gebiet aber auch f¨ ur die Entwickler von Leiterplatten oder integrierten Schaltkreisen bedeutsam. Laufzeiteffekte als Folge von Verbindungsleitungen endlicher ¨ Länge und Ubersprechen aufgrund von Kopplungen zwischen den Leitungen können die einwandfreie Funktion solcher Schaltungen in Frage stellen und sind bereits beim Entwurf zu ber¨ ucksichtigen. Gegenstand dieses Abschnitts ist eine Zusammenstellung der wichtigsten Grundlagen der Leitungstheorie, eine Betrachtung der wichtigsten Leitungstypen sowie die Modellierung einfacher und verkoppelter Leitungen in PSPICE.

10.1 Grundlagen Eine Leitung besteht aus einem Leiter und einem R¨ uckleiter. Werden die beiden Leiter von einem Wechselstrom durchflossen, so bildet sich im Umfeld ein elektromagnetisches Wechselfeld aus. Durch Lösen der Maxwellgleichungen zu dem durch die Leiteranordnung bestimmten Randwertproblem läßt sich die Ausbreitung von Wellen l¨ angs der Leitungen allgemein berechnen, hierzu sind aber gewöhnlich numerische Hilfsmittel erforderlich. Im Fall der verlustfreien Leitung (Leitf¨ ahigkeit σ → ∞) l¨ aßt sich das Problem vereinfachen: Als Lösung erhält man transversal-elektromagnetische Wellen 1 (TEM-Wellen), die sich mit der Phasengeschwindigkeit √ √ vph = c/ µr r ≈ c/ r (10.1) entlang der Leitung ausbreiten (c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum), falls der Abstand von Leiter und R¨ uckleiter klein ist gegen¨ uber einem Viertel der Wellenlänge λ auf der Leitung; λ ist mit der Frequenz f u ¨ber die Phasengeschwindigkeit vph = f · λ verkn¨ upft. Bei gegebener Frequenz folgt damit f¨ ur die Wellenlänge λ =

vph c 30 cm 1 ≈ √ ≈ √ . f r · f f /GHz r

F¨ ur ein Koaxialkabel mit PE-Isolation (r ≈ 2.28) ergibt diese Beziehung beispielsweise die Wellenl¨ ange λ ≈ 20 cm bei f = 1 GHz. 1

Das sind elektromagnetische Wellen, bei denen der elektrische und der magnetische Feldst¨ arkevektor nur Komponenten senkrecht zur Ausbreitungsrichtung aufweist.

410

10. Leitungen

Die Theorie der Ausbreitung von TEM-Wellen längs Leitungen ist eng verwandt mit der in der Folge betrachteten Theorie der Leitungswellen. Die Theorie der Leitungswellen l¨ aßt sich auch f¨ ur die verlustbehaftete Leitung 2 formulieren.

10.1.1 Leitungsgleichungen, Telegraphengleichung Die folgende Betrachtung beschr¨ ankt sich auf die homogene (gleichförmige) Leitung mit einheitlichen Querschnittsabmessungen und elektrischen Eigenschaften. Abbildung 10.1 zeigt eine Ersatzschaltung f¨ ur ein Teilst¨ uck der Länge ∆x einer homogenen Leitung. Es wird beschrieben durch einen Seuckt u rienwiderstand R ∆x – ausgedr¨ ¨ber den Widerstandsbelag R (Widerstand/Längeneinheit) – eine Serieninduktivität L ∆x – ausgedr¨ uckt u ¨ber at/Längeneinheit) – einen Parallelleitden Induktivit¨ atsbelag L (Induktivit¨ wert G ∆x – ausgedr¨ uckt u ¨ber den Ableitungsbelag G (Leitwert/Längeneinuckt 3 u atsheit) – und eine Parallelkapazit¨ at C ∆x – ausgedr¨ ¨ber den Kapazit¨ belag C (Kapazit¨ at/L¨ angeneinheit). R 'D x

i( x ,t)

v (x ,t)

L 'D x

G 'D x

x

C 'D x

x + D x

Abb. 10.1. Ersatzschaltung f¨ ur einen Leitungsabschnitt der L¨ ange ∆x

Im allgemeinen sind sowohl die Spannung v(x, t) als auch der Strom i(x, t) Funktionen von Ort und Zeit. F¨ ur v(x, t) und i(x, t) folgt in erster Ordnung 4 von ∆x aus den Kirchhoffschen Gleichungen i(x+∆x, t) ≈ i(x, t) − G ∆x · v(x, t) − C ∆x ·

∂v(x, t) ∂t

v(x+∆x, t) ≈ v(x, t) − R ∆x · i(x, t) − L ∆x ·

∂i(x, t) ∂t

Im Grenzfall ∆x → 0 f¨ uhrt dies auf die sog. Leitungsgleichungen 2

Vgl. [1] und [2] f¨ ur eine weiterf¨ uhrende Diskussion der Zusammenh¨ ange. Eine Frequenzabh¨ angigkeit der Bel¨ age – etwa bedingt durch den Skineffekt oder durch dielektrische Verluste – bleibt zun¨ achst unber¨ ucksichtigt. Zur Berechnung von Kapazit¨ atsund Induktivit¨ atsbel¨ agen vgl. z. B. [3]; Kapazit¨ atsbel¨ age werden in tabellierter Form in [2] angegeben. 4 Dies bedeutet insbesondere v(x + ∆x, t) ∆x ≈ v(x, t) ∆x sowie i(x + ∆x, t) ∆x ≈ i(x, t) ∆x. 3

10.1. Grundlagen

−

411

∂v(x, t) ∂x

= R i(x, t) + L

∂i(x, t) ∂x

= G v(x, t) + C

−

∂i(x, t) ∂t ∂v(x, t) , ∂t

(10.2) (10.3)

die sich zur sog. Telegraphengleichung 2 ∂v ∂2v ∂ v + R G v(x, t) = L C + (R C +L G ) 2 2 ∂x ∂t ∂t

(10.4)

zusammenfassen lassen. Die Telegraphengleichung beschreibt die Ausbreitung von Signalen auf verlustbehafteten Leitungen im Zeitbereich. Der zugehörige Strom ergibt sich aus v(x, t) dann mittels Gl. (10.3). Im Fall der verlustlosen Leitung (R = G = 0) vereinfacht sich die Telegraphengleichung zu 2 ∂2v ∂ v = L C . ∂x2 ∂t2

(10.5)

Die allgemeine L¨ osung dieser Gleichung läßt sich mit dem Ansatz von d’Alembert in der Form v(x, t) = V0 + v− (x−vph t) + v+ (x+vph t) (10.6) √ angeben, wobei vph = 1/ L C die Phasengeschwindigkeit des Signals dar¨ stellt. Gleichung (10.6) kann als Uberlagerung zweier Signale interpretiert werden, die sich in entgegengesetzter Richtung auf der Leitung ausbreiten: v− (x−vph t) beschreibt den Spannungsverlauf eines sich mit der Geschwindigkeit vph in positiver x-Richtung bewegenden Pulses, v+ (x+vph t) entsprechend einen in negativer x-Richtung laufenden Puls. Die Pulsform ändert sich dabei nicht im Lauf der Zeit – wegen der stets vorhandenen Verluste ist dies bei realen Leitungen jedoch nur ann¨ ahernd erf¨ ullt.

10.1.2 Leitungswellen F¨ ur eine sich mit der Kreisfrequenz ω ausbreitende Welle gilt i(x, t) = Re[ î(x) e jωt ]

und

v(x, t) = Re[ vˆ(x) e jωt ] .

(10.7)

Einsetzen liefert f¨ ur î(x) und vˆ(x) das folgende System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung d2 î(x) = γ 2 î(x) dx2

und

d2 vˆ(x) = γ 2 vˆ(x) , dx2

(10.8)

wobei γ die (frequenzabh¨ angige) komplexe Ausbreitungskonstante bezeichnet

γ =

(R + jωL )(G + jωC ) .

(10.9)

412

10. Leitungen

Die allgemeine L¨ osung des Systems (10.8) ist von der Form vˆ(x) = vˆ− e −γx + vˆ+ e γx

und

−γx − v ˆ+ e γx î(x) = vˆ− e . Z0

(10.10)

Die Größen vˆ− und vˆ+ bezeichnen dabei (durch Randbedingungen zu bestimmende) Integrationskonstanten; die Gr¨ oße Z 0 heißt Wellenwiderstand oder charakteristische Impedanz der Leitung

Z0 =

R + jωL . G + jωC

(10.11)

Realteil α = Re(γ) und Imagin¨ arteil β = Im(γ) der Ausbreitungskonstante werden als D¨ ampfungskonstante (D¨ ampfungskoeffizient) bzw. Phasenkonstante (Phasenkoeffizient) bezeichnet. Zur Erläuterung wird die Teilwelle mit der reellen Amplitude vˆ− = vˆ− betrachtet

Re vˆ− e −γx ejωt

= vˆ− e −αx Re e−jβx+jωt = vˆ− e −αx cos(βx−ωt) = vˆ− e−αx cos[ β(x−vph t)] .

(10.12)

Wie die Zerlegung zeigt, beschreibt dies eine mit e −αx abklingende Welle, die sich mit der Phasengeschwindigkeit vph = ω/β

(10.13)

entlang der Leitung ausbreitet. F¨ ur α = 0 (keine Dämpfung) beschreibt (10.12) eine cosinusf¨ ormige Welle der Kreisfrequenz ω bzw. der Periode T = 1/f = 2π/ω

(10.14)

und der Wellenl¨ ange λ = 2π/β = vph T = vph /f .

(10.15)

Die Amplituden vˆ− und vˆ+ lassen sich wegen v+ vˆ(0) = vˆ− +ˆ

und

î(0) = (ˆ v − −ˆ v + )/Z 0

durch vˆ(0) und î(0) ersetzen. Auf diesem Weg erhält man f¨ ur eine Leitung der Länge Λ aus Gl. (10.10) den folgenden linearen Zusammenhang zwischen den Amplituden vˆ(0) bzw. î(0) von Spannung bzw. Strom am Leitungsanfang und den entsprechenden Amplituden vˆ(Λ) bzw. î(Λ) am Leitungsende (vgl. Abb. 10.2) ⎛ ⎜ ⎝

vˆ(Λ) î(Λ)

⎞

⎛

⎟ ⎜ ⎠ = ⎝

cosh(γΛ)

−Z 0 sinh(γΛ)

−Z −1 0 sinh(γΛ)

cosh(γΛ)

⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝

vˆ(0) î(0)

⎞ ⎟ ⎠ . (10.16)

10.1. Grundlagen

413

0

L x i2 ( L )

i1 ( 0 )

v 2(L )

v 1(0 )

Abb. 10.2. Leitung der L¨ ange Λ

Dies entspricht einer Beschreibung der Leitung als passiver Vierpol in Kettenform mittels der b-Parameter. Die dabei auftretenden Vierpolparameter sind transzendente Funktionen von ω – das ist typisch f¨ ur Bauelemente, die nicht der Konzentriertheitsannahme gen¨ ugen. Vierpole, die aus konzentrierten Bauelementen aufgebaut sind, weisen dagegen Vierpolkenngrößen auf, die sich als rationale Funktionen von ω ausdr¨ ucken lassen. Wird Gl. (10.16) nach den Größen am Leitungsanfang aufgel¨ ost, so folgt ⎛ ⎜ ⎝

vˆ(0) î(0)

⎞

⎛

⎟ ⎜ ⎠ = ⎝

cosh(γΛ)

Z 0 sinh(γΛ)

Z −1 0 sinh(γΛ)

⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝

cosh(γΛ)

vˆ(Λ) î(Λ)

⎞ ⎟ ⎠ .

(10.17)

Wellengr¨ oßen. Wellen auf Leitungen werden häufig durch die normierten Größen

a(x) = vˆ− e −γx / Z 0

und

b(x) = vˆ+ e γx / Z 0

(10.18)

beschrieben. Mit diesen Gr¨ oßen gilt vˆ(x) =

Z 0 [ a(x)+b(x)]

und

î(x) = a(x)−b(x) √ . Z0

(10.19)

Die angegebenen Wellengr¨ oßen sind insbesondere in Verbindung mit SParametern gebr¨ auchlich.

10.1.3 Pulse auf Leitungen Soll ein Puls u ¨ber eine Leitung u ¨bertragen werden, so ist dieser aus sinusförmigen Wellen unterschiedlicher Frequenz zusammengesetzt. Jede dieser Komponenten breitet sich mit der entsprechenden Phasengeschwindigkeit aus, was i. allg. zur Dispersion, d. h. zu einer Verbreiterung des Pulses mit der Zeit, f¨ uhrt. F¨ ur die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Maximums der H¨ ullkurve des Pulses ist die Gruppengeschwindigkeit maßgeblich vgr =

1 . dβ/dω

(10.20)

¨ Zur verzerrungsfreien Ubertragung pulsf¨ ormiger Signale muß die Phasengeschwindigkeit frequenzunabh¨ angig sein, d. h. β muß linear von ω abhängen

414

10. Leitungen

und f¨ ur ω = 0 verschwinden. Wird nur ein eingeschränkter Frequenzbereich ¨ f¨ ur die Ubertragung verwendet, so gen¨ ugt es, daß die Phasengeschwindigkeit im ausgen¨ utzten Frequenzintervall konstant ist.

10.1.4 Kurze Leitungen Das Verhalten einer Leitung kann sowohl durch eine π-Ersatzschaltung als auch durch eine T-Ersatzschaltung beschrieben werden (Abb. 10.3). Z

i( 0 ) v (0 ) Y p

i( L ) p

Y

i( 0 )

v (L ) p

Z

Z T

v (0 ) Y

i( L ) T

v (L ) T

T - E r s a tz s c h a ltu n g

p - E r s a tz s c h a ltu n g Abb. 10.3. π- und T-Ersatzschaltung einer Leitung

Die Elemente Z π , Y π , Z T , Y T sind so zu wählen, daß die jeweilige Ersatzschaltung das durch (10.16) beschriebene Verhalten zeigt. Diese Forderung f¨ uhrt auf Z π = Z 0 sinh(γΛ)

und

Y π = Z −1 0 tanh(γΛ/2)

(10.21)

sowie Z T = Z 0 tanh(γΛ/2)

Y T = Z −1 0 sinh(γΛ) .

und

(10.22)

Im Fall kurzer Leitungen ist |γΛ| 1; durch Entwickeln ergeben sich in diesem Fall die N¨ aherungen

γ 2 Λ2 sinh(γΛ) ≈ γΛ 1 + 6

,

γΛ γ 2 Λ2 tanh(γΛ/2) ≈ 1− 2 12

.

Werden lediglich Terme erster Ordnung in γΛ ber¨ ucksichtigt, so folgt aus Gl. (10.21) bzw. (10.22) Z π ≈ Z 0 γΛ = (R + jωL )Λ

(10.23)

Y π = Z −1 0 γΛ/2 = (G + jωC )Λ/2

(10.24)

ZT

= Z 0 γΛ/2 = (R + jωL )Λ/2

(10.25)

YT

= Z −1 0 γΛ = (G + jωC )Λ .

(10.26)

Entsprechende Ersatzschaltungen sind in Abb. 10.4 dargestellt.

10.1. Grundlagen

415 R 'L

C 'L 2

L 'L

G 'L 2

G 'L 2

C 'L 2 (a )

R 'L 2

R 'L 2

L 'L 2 G 'L

L 'L 2

C 'L (b )

Abb. 10.4. Ersatzschaltungen f¨ ur kurze Leitungen. (a) Π-Ersatzschaltung und (b) T-Ersatzschaltung

10.1.5 Verlustlose Leitung F¨ ur verlustlose Leitungen gilt R = G = 0; der Wellenwiderstand

Z0 =

L /C

(10.27)

ist in diesem Fall reell, w¨ ahrend die Ausbreitungskonstante rein imaginär ist √ γ = jω L C = jβ = jω/vph . Mit Gl. (10.1) ergibt sich so der Zusammenhang √ √ vph = 1/ L C = c/ r .

(10.28)

In (10.27) eingesetzt folgt der Wellenwiderstand der verlustlosen Leitung √ r √ pF/cm = 33.3 Ω · r · , (10.29) Z0 = c · C C d. h. Z0 wird durch den Kapazit¨ atsbelag eindeutig festgelegt.

10.1.6 Leitung mit geringen Verlusten Aufspalten von Gl. (10.9) in Real- und Imaginärteil ergibt allgemeine Ausdr¨ ucke f¨ ur die Phasen- und D¨ ampfungskonstante einer Leitung [4, 5]. Im Fall geringer Verluste (R ωL und G ωC ) folgt durch Entwickeln [6] α ≈

R 2

√

C G + L 2

L C

R R G β ≈ ω L C + + 2 2 L /C 4ωL

L G R G √ − . C 4ωC 4ω L C

416

10. Leitungen

Da G ≈ ωC tan δ prim¨ ar durch dielektrische Verluste in der Isolation zwischen Leiter und R¨ uckleiter bestimmt wird, kann f¨ ur die Phasenkonstante β auch geschrieben werden β = ω

√

L C

1 R 1 + tan2 δ − 8 4

1 C tan δ + L 8

C R2 1 . L L ω

Der Wert von β ist nun nicht mehr exakt proportional zur Kreisfrequenz ω, so daß die Phasengeschwindigkeit vph = ω/β eine Funktion von ω wird. Als Folge des Skineffekts sind R und L frequenzabhängige Größen [7]. Diese Abhängigkeit kann durch Erweitern der Ersatzschaltung f¨ ur ein Leitungssegment mittels zus¨ atzlicher konzentrierter Elemente erfaßt werden [8]. Alternativ hierzu kann die Frequenzabh¨ angigkeit der Beläge als Funktion vorgegeben und die zeitabh¨ angige Ausbreitung von Pulsen durch Transformation (Faltungssatz) [9] berechnet werden. Der Skineffekt bedingt bei großen Leitungslängen eine erh¨ ohte Dispersion, d. h. eine Verformung von Pulsen. Widerstandsbel¨ age d¨ urfen in der Regel vernachlässigt werden, wenn R Λ Z0 gilt, wobei Λ die Leitungsl¨ ange bezeichnet. Dies ist bei Verbindungen auf Leiterplatten und Dickschicht-Hybridschaltungen gewöhnlich der Fall. Der Einfluß des Skineffekts auf den Widerstandsbelag ist zwar schon bei Anstiegszeiten von ca. 7 ns (Leiterplatten) bzw. 1 ns (Dickschicht) zu beachten, wegen des geringen Fl¨ achenwiderstands bei Gleichbetrieb f¨ uhrt dies aber zu keinem nennenswerten Einfluß auf die Pulsausbreitung [10]. Abgesehen von dielektrischen Verlusten d¨ urfen derartige Leitungen als verlustfrei angenommen werden. Bei D¨ unnschichtschaltungen und stärker ausgeprägt bei integrierten Schaltungen hingegen sind die Widerstandsbeläge meist nicht zu vernachlässigen und f¨ uhren zu einer deutlichen Verz¨ ogerung der Pulsausbreitung sowie zu einer Verformung der Pulse. Wegen der geringen Schichtdicken derartiger Leiterbahnen kann der Skineffekt in der Regel vernachlässigt werden, da er erst bei extrem kurzen Anstiegs- bzw. Abfallzeiten (von der Größenordnung 200 ps (D¨ unnschicht) bzw. 10 ps (IC), [10]) zu nennenswerten Veränderungen des Widerstandsbelags f¨ uhrt. F¨ ur Verbindungsleitungen in elektronischen Schaltungen mit Daten entsprechend der Tabelle 10.1 kann der Skineffekt demzufolge f¨ ur praktisch auftretende Anstiegs- und Abfallzeiten vernachlässigt werden [10]. Tabelle 10.1 Typische Daten f¨ ur Leitungen in elektronischen Schaltungen [10] Aufbautechnik

Bahnbreite µm Integrierte Schaltung 1−2 D¨ unnschicht 10 − 25 Dickschicht 75 − 100 Leiterplatte 60 − 100

Widerstandsbelag Ω/cm 130 − 260 1.25 − 4 0.4 − 0.7 0.06 − 0.08

max. Leitungslänge cm 0.7 − 1.4 20 − 45 20 − 50 40 − 70

10.2. Leitung mit Beschaltung

417

10.2 Leitung mit Beschaltung Abbildung 10.5 zeigt eine von einer Spannungsquelle mit Innenwiderstand RG getriebene Leitung der L¨ ange Λ, an deren Ende eine Last angeschlossen ist. Eine entsprechende Situation liegt beispielsweise vor, wenn der Ausgang eines digitalen Schaltkreises u ¨ber eine Leitung mit dem Eingang eines anderen digitalen Schaltkreises verbunden ist. L 0 R

i( 0 ,t) G

v G (t)

i( L ,t) v (0 ,t)

v (L ,t)

Z L

Abb. 10.5. Beschaltete Leitung der L¨ ange Λ

10.2.1 Reflexionsfaktor Der Verlauf von vG (t) wird zun¨ achst als sinusförmig angenommen

vG (t) = Re vˆg e jωt

.

Die Impedanz der Last bei der Kreisfrequenz ω sei durch Z L gegeben. F¨ ur die Amplitude vˆ(Λ) der Spannung am Leitungsausgang gilt dann vˆ(Λ) = Z L î(Λ) . F¨ ur das Verhältnis von vˆ− und vˆ+ folgt nun aus den Gln. (10.10) vˆ+ /ˆ v − = r e −2γΛ mit dem (Spannungs-)Reflexionsfaktor r =

ZL − Z0 ZL + Z0

(10.30)

F¨ ur eine korrekt abgeschlossene Leitung (Z L = Z 0 ) ist r = 0 und damit vˆ+ = 0: in diesem Fall tritt keine Reflexion am Ende auf. Die Amplitude der reflektierten Welle u ¨berlagert sich mit der Amplitude der einlaufenden Welle – die Amplitude der Spannung an der Last ist demnach vˆ+ e γΛ + vˆ− e −γΛ = (1 + r)ˆ v − e −γΛ = b vˆ− e −γΛ . In verlustlosen Leitungen besitzt e −γΛ den Betrag eins, d. h. der Betrag der Amplitude am Ausgang betr¨ agt das |1 + r|-fache des Betrags der Amplitude

418

10. Leitungen

am Eingang. Der Faktor b = 1 + r wird gewöhnlich – in Analogie zur Optik – als Brechungskoeffizient bezeichnet. Reflexionsfaktor und Brechungskoeffizient bestimmen die Spannungsspr¨ unge auf Leitungen bei Fehlanpassung. Eng verwandt mit dem Reflexionsfaktor ist die Welligkeit (Stehwellenverhältnis, englisch: voltage standing wave ratio, VSWR) VSWR =

1 + |r| 1 − |r|

(10.31)

und die R¨ uckflußd¨ ampfung (englisch: return loss, RL) RL = −20 dB · log |r| .

(10.32)

10.2.2 Schaltvorg¨ ange auf verlustlosen Leitungen Betrachtet wird der Einschaltvorgang bei einer als verlustlos angenommenen Leitung (R = G = 0) der L¨ ange Λ mit ohmscher Last Z L = RL (Abb. 10.5). vG (t) soll zur Zeit t = 0 sprunghaft vom Wert 0 auf VG erhöht werden. Am Eingang der Leitung stellt sich zur Zeit t = 0 damit die Spannung v1 (0+ ) =

Z0 VG Z0 + RG

ein, da der Eingangswiderstand der Leitung im Moment des Einschaltens gleich dem Wellenwiderstand ist. Der Spannungssprung bewegt sich nun entlang der Leitung fort und erreicht deren Ende nach der Laufzeit √ td = Λ/vgr = Λ L C . Ist die Leitung korrekt abgeschlossen (RL = Z0 ), so nimmt v2 den Wert v2 =

RL VG RL + RG

an. Ist hingegen RL = Z0 , so tritt am Leitungsende eine Reflexion auf. Der zur¨ ucklaufende Spannungssprung besitzt die Amplitude v2,r = r v1 (0+ ) =

RL − Z0 Z0 VG . RL + Z0 Z0 + RG

Er erreicht den Eingang nach der Zeit 2 td . Liegt Anpassung am Eingang vor (RG = Z0 ), so tritt keine weitere Reflexion mehr auf; es gilt v1 = v2 =

RL VG . RL + RG

Im Fall RG = Z0 tritt auch am Eingang eine Reflexion auf, bei Fehlanpassung an Ein- und Ausgang kommt es somit zu Mehrfachreflexionen, die um so langsamer abklingen, je gr¨ oßer die Fehlanpassung ist.


419

Mehrfachreflexionen, Lattice-Diagramm F¨ ur eine Untersuchung von Mehrfachreflexionen an den Leitungsenden hat sich das sog. Lattice-Diagramm als n¨ utzlich erwiesen. Dieses illustriert die zwischen den Leitungsenden hin und her laufenden Signale. R v

G

L 0

G

1 1 + b 1r 1 + b 1r2+ b 1r1r

R L

0 td

b

3 td

b 2(1 + r1r2)

5 td

b 2(1 + r1r2+ r

2

2 td 2

2

x

2

4 td 1

2

r 2

2

)

6 td t t

Abb. 10.6. Lattice-Diagramm f¨ ur eine Leitung bei Fehlanpassung

Direkt nach dem Einschalten und bis zur Ankunft (bei t = 2 td ) evtl. reflektierter Wellen besitzt die Spannung am Leitungsanfang den Wert v1 (0+ ); bei t = 2td wird diesem Wert der gebrochene Anteil des reflektierten Signals + u ¨berlagert, so daß v1 (2t+ d ) = (1 + b1 r 2 )v1 (0 ) – ein Wert, der bis zu t = 4td erhalten bleibt. Allgemein (n ≥ 1) liegt im Zeitintervall 2ntd < t < 2(n + 1)td am Leitungsanfang die Spannung +

v1 (t) = v1 (0 ) 1 + b1 r2

n−1

k

(r1 r2 )

= v1 (0+ ) 1 + b1 r2

k=0

1−(r1 r2 )n 1−r1 r2

an; am Leitungsende f¨ allt im Zeitintervall (2n − 1)td < t < (2n + 1)td v2 (t) = b2 v1 (0+ )

n−1

(r1 r2 )k = b2 v1 (0+ )

k=0

1−(r1 r2 )n 1−r1 r2

ab. Da |r1 r2 | < 1 ist, gilt f¨ ur große Zeiten (n → ∞, (r1 r2 )n → 0)

v1 (t) →

b r 1+ 1 2 1−r1 r2

v1 (0+ ) =

RL VG RL + RG

und v2 (t) →

b2 RL v1 (0+ ) = VG . 1 − r1 r2 RL + RG

420

10. Leitungen

9 6SDQQXQJDP$XVJDQJ (LQVFKDOW ]HLWSXQNW

9

9

6SDQQXQJDP(LQJDQJ 9

9

V

95

QV 95

QV 99 7LPH

QV

QV

Abb. 10.7. Simulierter Spannungsverlauf an den Leitungsenden der verlustlosen Leitung bei beidseitiger Fehlanpassung (Beispiel 10.2.1)

Beispiel 10.2.1 Als Beispiel wird eine verlustlose Leitung mit der Laufzeit 2 ns und dem Wellenwiderstand Z0 = 50 Ω betrachtet. Als Last wird ein Widerstand RL = 500 Ω, als Quellwiderstand ein Wert RG = 10 Ω angenommen. An den Enden treten damit die Reflexionsfaktoren r1 =

RG − Z0 = −0.667 RG + Z0

und

r2 =

R L − Z0 = 0.818 R L + Z0

auf; die Brechungskoeffizienten sind b1 =

2RG = 0.333 RG + Z0

und

b2 =

2RL = 1.818 . RL + Z0

Zur Zeit t = 0 springt die Spannung am Eingang auf den Wert v1 (0+ ) =

Z0 · 5 V = 4.167 V . RG + Z0

ur die Spannungen an Eingang und AusBezeichnet td die Laufzeit, so ergibt sich f¨ gang der Leitung anhand von Abb. 10.6 die folgende Abhängigkeit Zeitintervall

[ 0, td ]

[ td , 2td ]

[ 2td , 3td ]

[ 3td , 4td ]

[ 4td , 5td ]

[ 5td , 6td ]

v(0, t)/V v(Λ, t)/V

4.167 0

4.167 7.576

5.292 7.576

5.292 3.442

4.683 3.442

4.683 5.697

Abbildung 10.7 zeigt das Ergebnis einer SPICE-Transientenanalyse f¨ ur die Eingangsspannung v(0, t) und die Ausgangspannung v(Λ, t) einer entsprechend beschalteten, verlustlosen Leitung mit der Laufzeit td = 2 ns (vgl. Kap. 10.3). Die Ergebnisse der Simulation stimmen mit dem Ergebnis des Lattice-Diagramms u ∆ ¨berein.


421

10.2.3 Eingangsimpedanz, Widerstandstransformation F¨ ur die Eingangsimpedanz der mit Z L belasteten Leitung folgt vˆ(0) 1 + r e −2γΛ = Z0 = Zi . î(0) 1 − r e −2γΛ

(10.33)

Als Kurzschlußeingangsimpedanz Z iK der Leitung wird die Eingangsimpedanz bei kurzgeschlossenem Ende bezeichnet. Mit Z L = 0 bzw. r = −1 folgt Z iK = Z 0 tanh(γΛ) .

(10.34)

Die Leerlaufeingangsimpedanz Z iL bezeichnet entsprechend die Eingangsimpedanz der Leitung bei offenem Ende. Mit Z L → ∞ bzw. r = 1 folgt Z iL = Z 0 coth(γΛ) .

(10.35)

Aus den leicht zu messenden Eingangsimpedanzen Z iK und Z iL folgen Wellenwiderstand und Ausbreitungskonstante gemäß Z0 =

Z iK Z iL

und

γ =

1 arctanh Z iK /Z iL . Λ

(10.36)

Widerstandstransformation. F¨ ur verlustfreie Leitungen ist Z0 = L /C reell, d. h. ein korrekter Abschluß der Leitung erfordert einen ohmschen Widerstand, der gleich dem Wellenwiderstand der Leitung ist. Reflexionen, die bei ohmscher Last mit RL = Z0 auftreten, lassen sich durch Zwischenschalten eines Leitungsst¨ ucks der L¨ ange λ/4 und des Wellenwiderstands Z0 =

Z0 RL

(10.37)

unterdr¨ ucken (λ/4-Transformator). In diesem Fall besitzt die dazwischen geschaltete Leitung die Eingangsimpedanz Z0 und die Ausgangsimpedanz RL . Die Anpassung mittels eines λ/4-Transformators ist nur bei ohmscher Last möglich. Bei kapazitiver Last kann durch Verwenden einer Stichleitung [1] eine Anpassung bei einer Frequenz vorgenommen werden. Da bei Schaltvorgängen Anteile unterschiedlicher Frequenz u ¨berlagert sind, wird an kapazitiven Lasten stets ein Teil der einlaufenden Leistung reflektiert (vgl. Beispiel 10.3.2).

10.2.4 Spannungs¨ ubertragungsfaktor Mit der Eingangsimpedanz Z i der beschalteten Leitung berechnet sich der Wert von vˆ(0) mit der Spannungsteilerformel vˆ(0) =

Zi vˆ ; Z i + RG g

wobei vˆg die komplexe Amplitude der Quellspannung bezeichnet.

422

10. Leitungen

Mit

vˆ(0) = 1 + re −2γΛ vˆ−

und

vˆ(Λ) = (1 + r) e −γΛ vˆ−

läßt sich nun der Spannungs¨ ubertragungsfaktor H v (jω) = vˆ(Λ)/ˆ v g bestimmen vˆ(Λ) vˆ(0) vˆ− vˆ(Λ) = vˆg vˆg vˆ(0) vˆ−

H v (jω) = =

Zi 1 (1 + r)e −γΛ Z i +RG 1 + re −2γΛ

=

Z 0Z L . (10.38) Z 0 (Z L +RG ) cosh(γΛ) + (Z 20 +RG Z L ) sinh(γΛ)

Mit der Substitution jω → s folgt im Fall einer kapazitiven Last (Z L = 1/sCL ) H v (s) =

1 (1+sRG CL ) cosh(γΛ) + (sCL Z 0 +RG /Z 0 ) sinh(γΛ)

und daraus die Verz¨ ogerungszeit nach Elmore (1.50) bei kapazitiver Last. Diese wird im folgenden Abschnitt f¨ ur die RC-Leitung näher betrachtet.

10.2.5 RC-Leitung Der u ¨ber eine Leitung zu u ¨bertragende Frequenzbereich ist nach oben begrenzt. Eine solche Frequenzgrenze l¨ aßt sich aus der Transitfrequenz fT der eingesetzten Transistoren absch¨ atzen, eine andere folgt aus den Anstiegs- und urzeste Anstiegszeit Abfallzeiten der zu u ¨bertragenden Pulse: Ist tr,min die k¨ eines Pulses, der u auft, so folgt eine obere Frequenzgrenze ¨ber die Leitung l¨ ugen die Bel¨ age der Bedingung 2πfT LS R bzw. aus fo ≈ 1/(2 tr ). Gen¨ atsbelag vernachlässigt werden. Die2πfo LS R , so kann der Induktivit¨ se Situation wird in integrierten Schaltungen häufig angetroffen, wobei in Digitalschaltungen u ¨blicherweise eine kapazitive Last umzuladen ist. Diese Situation wird im Folgenden untersucht. Q u e lle R

R C - L e it u n g , L ä n g e L , W id e r s t a n d R = R 'L , K a p a z it ä t C = C 'L G

v G (t)

R 'D x

C 'D x

R 'D x

R 'D x

C 'D x

Abb. 10.8. RC-Leitung mit kapazitiver Last

C 'D x

R 'D x

C 'D x

L a s t

R 'D x

C 'D x

C L

v 2


423

Laufzeit nach Elmore. F¨ ur Ausbreitungskonstante und Wellenwiderstand ergibt sich in diesem Fall n¨ aherungsweise (jω → s) √ γ ≈ sR C und Z 0 ≈ R /γ . Bei kapazitiver Last resultiert die Verz¨ ogerungszeit nach Elmore dann zu

τd = (RG + R Λ)CL + RG + R Λ/2 C Λ . Der Ausdruck setzt sich aus zwei RC-Zeitkonstanten“ zusammen: Der erste ” Term ber¨ ucksichtigt das Umladen von CL u ¨ber den Quellwiderstand RG und den Leitungswiderstand R Λ; der zweite Term beschreibt das Umladen der ur Leitungskapazit¨ at C Λ u ¨ber RG und den verteilten Leitungswiderstand. F¨ große Leitungsl¨ angen ist der letzte Beitrag dominierend – die Verzögerungszeit wird dann proportional zu Λ2 ansteigen. Abhilfe können hier Zwischenverstärker (Repeater) [11–13] bieten, die so dicht plaziert sind, daß auf den Teilleitungsst¨ ucken der Term proportional zu Λ2 unbedeutend ist, sich die Verzögerungen auf den Teilstrecken demnach zu einem lediglich proportional zu Λ anwachsenden Wert addieren. Ausgangsspannung im Zeitbereich. Werden nur Widerstands- und Kapazitätsbelag ber¨ ucksichtigt, so lautet die Telegraphengleichung ∂v(x, t) ∂ 2 v(x, t) . = R C 2 ∂x ∂t Im Fall einer RC-Leitung der L¨ ange Λ mit kapazitiver last CL (Abb. 10.8) kann die Ausgangsspannung v2 (t) als Reihe [14, 15]

v2 (t) = V+

∞

σk t 1+ Kk exp − RC k=1

ausgedr¨ uckt werden, falls vG zur Zeit t = 0 vom Wert 0 auf V+ springt. Die Größen R = R Λ und C = C Λ bezeichnen dabei Widerstand und Kapazität der Leitung. Die σk sind aus der Gleichung (RT = RG /R, CT = CL /C) √ tan σk =

1−σk RT CT √ (RT +CT ) σk

zu bestimmen, was i. allg. numerisch geschehen muß. Die Konstanten

Kk = (−1)k √

2 2 (1+σk2 RT )(1+σk2 CT2 )

2 )(1+σ 2 C 2 ) + (R +C )(1+σ R C ) σk (1+σk2 RT T T k T T k T

lassen sich mit den σk berechnen. F¨ ur Zeiten t > 0.1RC gen¨ ugt nach [14] bereits der erste Term in der Reihendarstellung, um eine f¨ ur den Schaltungsentwurf hinreichende Genauigkeit zu erzielen (Abb. 10.9)

424

10. Leitungen 1 .0 0 .8

e x a k te r V e r la u f

+

0 .4

v 2(t)/V

0 .6

0 .2

R T

= C T

= 0

0

Abb. 10.9. Verlauf der Ausgangsspannung einer RCLeitung bei einem Spannungssprung am Eingang (nach [14])

N ä h e r u n g d u r c h e in fa c h e E x p o n e n tia lfu n k tio n

-0 .2 0

1

0 .5

1 .5 2

t / R C

v2 (t) ≈ V+

σ1 t 1 + K1 exp − RC

.

(10.39)

F¨ ur die Größen σ1 und K1 gilt nach [15] näherungsweise σ1 RC

=

1.04 RG CL +RG C + RCL + (2/π)2 RC

K1 = −1.01

RG C +RCL +RC . RG C +RCL + (π/4)RC

Die relative Abweichung dieser N¨ aherungen vom exakten Wert beträgt dabei ur σ1 . Die Ausgangsspannung v2 (t) folgt die maximal 3 % f¨ ur K1 und 4 % f¨ Näherung

t − 0.1 RC v2 (t) ≈ 1 − exp − V+ RG CL +RG C +CL R+0.4RC

(10.40)

Die Zeit t(v2 ) nach der am Ausgang die Spannung v2 erreicht ist, folgt in dieser Näherung durch Umstellen

v2 t(v2 ) ≈ 0.1 RC − (RG CL +RG C +CL R+0.4RC) ln 1 − v+

. (10.41)

Aus (10.41) folgen insbesondere die Zeiten t50 % und t90 % nach denen die Ausgangsspannung noch 50 % bzw. 10 % vom Endwert abweicht [14] t50 % = 0.377 RC + 0.693(RG CL +RCL +RG C) t90 % = 1.02 RC + 2.3 (RG CL +RCL +RG C) Beispiel 10.2.2 Als Beispiel wird eine Al-Leiterbahn der Dicke 1 µm und der Breite 4 µm, die durch ein Dielektrikum (r = 4) der Dicke 1 µm von planaren, auf Massepotential liegenden Elektroden (ground planes) isoliert wird, mit den in Abb. 10.10 angegebenen Bel¨ agen [11] betrachtet.


425

g r o u n d p la n e 1 m m

e r = 4

1 m m

L e ite r

1 m m

4 m m

R ' » 1 0 W /m m C ' » 0 .2 p F /m m L ' » 0 .2 n H /m m

g r o u n d p la n e

Abb. 10.10. Zu Beispiel 10.2.2

Die Bedingung 2πf L R ist erf¨ ullt f¨ ur f R /2πL ≈ 8 GHz. Mit den angegebeur nen Bel¨ agen folgt unter der Annahme Λ = 10 mm, RG = 200 Ω sowie CL = 1 pF f¨ die Verz¨ ogerungszeit nach Elmore td = (200 Ω + 100 Ω) · 10 pF + (200 Ω + 50 Ω) · 2 pF = 0.8 ns . W¨ urde die Last ohne Verz¨ ogerung durch die Leitung nur u ¨ber RG aufgeladen werden, so w¨ are die Verz¨ ogerungszeit RG CL = 0.2 ns, d.h. durch die Leitung kommt eine zus¨ atzliche Verz¨ ogerung von 0.6 ns hinzu. Mit RC = 100 Ω · 2 pF = 0.2 ns und RG CL +RG C +CL R+0.4RC = 0.2 ns + 0.4 ns + 0.1 ns + 0.08 ns = 0.78 ns folgt f¨ ur die Ausgangsspannung v2 (t) t/ns − 0.02 ≈ 1 − exp − V+ 0.78 ns Wird auf der rechten Seite f¨ ur t die Verz¨ ogerungszeit nach Elmore eingesetzt, so folgt v2 (td )/V+ = 1 − exp(−1) = 63.2 % , die Elmore-Verzögerungszeit ist deshalb gr¨ oßer als t50 % und kleiner als t90 % .

∆

RLC-Leitung. In sehr schnellen Digitalschaltungen liegen die Anstiegs- und Abfallzeiten unter 0.1 ns. In solchen Schaltungen ist der induktive Leitungsbelag meist nicht mehr vernachl¨ assigbar. Eine Erweiterung der Arbeit von Sakurai auf den Fall von RLC-Leitungen ist in [16, 17] zu finden. Der induk¨ tive Leitungsbelag kann zu Uberschwingern f¨ uhren. Aus der Forderung, daß ¨ der Betrag des Ubertragungsfaktors der Leitung keinen Peak aufweist, kann ¨ auch eine Bedingung abgeleitet werden, unter der Uberschwinger aufgrund induktiver Leitungsbel¨ age vermieden werden können [18].

426

10. Leitungen i1

A 1 v 1

i2 Z 0 ,

T D

B 1 v 2

A 2

B 2

Abb. 10.11. Verlustlose Leitung

10.3 Modellierung der Leitung in SPICE Die ideale Leitung ist als passives Netzwerkelement in SPICE verf¨ ugbar. Entsprechende Elementanweisungen beginnen mit einem T und sind von der Form T(name) A1 A2 B1 B2 Z0 = Wellenwiderstand + (TD = Laufzeit) (IC = .....) A1 und A2 bezeichnen dabei die Knotennamen am Leitungsanfang, B1 und B2 die Knotennamen am Leitungsende (Abb. 10.11). Der Wellenwiderstand Z0 ist in Ω anzugeben; statt der Laufzeit TD kann auch die auf die Wellenlänge λ bezogene Leitungsl¨ ange5 NL = L¨ ange/λ angegeben werden. F¨ ur Ströme und Spannungen an Ein- und Ausgang lassen sich (optional) Anfangsbedingungen vorgeben. Abbildung 10.12 zeigt die Ersatzschaltung der verlustfreien Leitung mit Wellenwiderstand Z0 . i2

i1 i2 ( t- T v

Z 1

D

)

i1 ( t- T Z

0

v 2(t-T D

)

) D

0

v 1(t-T D

v 2

)

Abb. 10.12. Ersatzschaltung der verlustfreien Leitung

Die folgende Betrachtung zeigt, daß diese Ersatzschaltung dieselben Ergebnisse liefert wie die Analyse mit dem Lattice-Diagramm. Die Beschaltung der Leitung wird entsprechend Abb. 10.5 angenommen; der Einfachheit halber wird nur das Zeitintervall 0 < t < 2 TD betrachtet. F¨ ur t < TD ist v2 = 0 und i2 = 0; im Zeitintervall 0 < t < TD ist am Eingang daher die in Abb. 10.13 a dargestellte vereinfachte Ersatzschaltung g¨ ultig. Dies f¨ uhrt sofort auf v1 = Z0 VG /(Z0 + RG )

und

i1 = v1 /Z0 .

Zwischen TD und NL besteht der Zusammenhang TD = NL/f , wobei f den Wert der Frequenz (in Hz) bezeichnet. Da der Zeitschritt bei der Transientenanalyse nicht gr¨ oßer sein kann als die H¨ alfte der kleinsten Laufzeit TD, k¨ onnen sehr kurze Leitungen unbeabsichtigt lange Programmlaufzeiten verursachen. 5

10.3. Modellierung der Leitung in SPICE

427

i1 R v

G

Z Z

G

v 0

v ' 0

R 1

v

v L

2

1

(a )

(b )

Abb. 10.13. Zum Verhalten des Modells der verlustlosen Leitung. (a) Eingang, (b) Ausgang

Die vereinfachte Schaltung (a) ist auch im Zeitintervall TD < t < 2 TD auf der Eingangsseite maßgeblich, da noch kein reflektiertes Signal eingetroffen sein kann (v2 (t − TD) = 0 und i2 (t − TD) = 0). Auf der Ausgangsseite sind im Zeitintervall TD < t < 2 TD die Stromquelle und die Spannungsquelle zu ber¨ ucksichtigen: Aus der in Abb. 10.13 b dargestellten Teilschaltung folgt durch Anwenden von Maschen- und Knotensatz 2v1 = v2 (1 + Z0 /RL )

bzw.

v 2 = b2 v 1 ,

was f¨ ur Z0 = RL (korrekter Abschluß der Leitung) offensichtlich zu v1 = v2 , andernfalls zu Reflexionen f¨ uhrt. 1 0 W v

1

2 5 0 0 W

G

0


Beispiel 10.3.1 Als Beispiel wird eine Koaxialleitung mit geerdetem Außenleiter, 50 Ω Wellenwiderstand, einer Laufzeit von 2 ns und einer Beschaltung entsprechend Abb. 10.14 betrachtet. Diese besitzt die Elementanweisung TKOAX

1

0

2

0

Z0 = 50

TD = 2N

Ein Simulationsergebnis, das mit diesem Leitungsmodell gewonnen wurde, ist in Abb. 10.7 zu sehen. ∆

Verlustbehaftete Leitungen lassen sich grundsätzlich mit aneinandergereihten Teilschaltungen entsprechend Abb. 10.1 simulieren. Bei der Simulation langer Leitungen ist allerdings eine Unterteilung in sehr viele Segmente erforderlich.6 Dies f¨ uhrt zu beachtlichen Rechenzeiten und kann auch numerische Probleme verursachen. Der in PSPICE implementierte Ansatz zur Simulation verlustbehafteter Leitungen geht von der Darstellung im Frequenzbereich aus und berechnet die Abh¨ angigkeit im Zeitbereich unter Verwendung des Faltungssatzes [9, 19]. 6

Als Faustregel gilt, daß die Laufzeit durch ein Segment nicht gr¨ oßer sein sollte als ein F¨ unftel der k¨ urzesten Anstiegs- bzw. Abfallzeit [9].

428

10. Leitungen

9

YW UHLQ NDSD]LWLYH/DVW

9

YW $EVFKOXVV ZLGHUVWDQG2KP

9

9

YJW

YJW

V

9Y

XV 9YHLQ

XV

XV

XV

XV

7LPH

Abb. 10.15. Spannungsverl¨ aufe am Ausgang eines Koaxialkabels bei kapazitiver Last (Beispiel 10.3.2)

Verlustbehaftete Leitungen werden in PSPICE durch Angabe der Länge sowie durch Widerstands-, Ableitungs-, Induktivitäts- und Kapazitätsbelag beschrieben. Entsprechende Elementanweisungen beginnen ebenfalls mit einem T und sind von der Form T(name) A1 A2 B1 B2 LEN = L¨ ange + R = Widerstandsbelag L = Induktivit¨ atsbelag + G = Ableitungsbelag C = Kapazit¨ atsbelag Alternativ lassen sich die Parameter u ¨ber eine Modellanweisung spezifizieren. Beispiel 10.3.2 Als Beispiel wird die Ausbreitung eines Pulses auf einem Koaxialkabel mit den Bel¨ agen L = 238 nH/m, C = 95.3 pF/m, R = 0.01 Ω/m, G = 0, der L¨ ange 20 m und einer kapazitiven Last von 100 pF betrachtet. Am Eingang wird von einer PULSE-Quelle eine rechteckf¨ ormige Spannung mit einem Hub von 5V geliefert, die u ¨ber einen Quellwiderstand von 10 Ω auf den Eingang der Leitung wirkt. Bei rein kapazitiver Last ergeben sich starke Reflexionen an den Enden, die sich in ¨ ausgepr¨ agten Uberschwingern“ bemerkbar machen. Diese werden weitgehend unter” dr¨ uckt, wenn parallel zur Kapazit¨ at ein Abschlußwiderstand von 50 Ω – entsprechend dem Wellenwiderstand – geschaltet wird. Da der Abschlußwiderstand mit dem Quellwiderstand einen Spannungsteiler bildet, kann nun am Ausgang nicht mehr der volle Hub erreicht werden Abb. 10.15). ∆

10.4. Leitungsformen

429

10.4 Leitungsformen Der Entwickler elektronischer Schaltungen sollte zumindest Grundkenntnisse u ¨ber Zweidrahtleitungen, Koaxialleitungen und Streifenleiter (insbesondere Microstreifenleitungen) besitzen. Dieser Abschnitt stellt die wichtigsten Eigenschaften zusammen.

d s

Abb. 10.16. Zweidrahtleitung

10.4.1 Zweidrahtleitung Der Wellenwiderstand der symmetrischen Zweidrahtleitung ist ⎡

120 Ω ⎣ s + Z0 = √ ln r d

⎤

2

s d

−1⎦ ,

(10.42)

falls der gesamte die Dr¨ ahte umgebende Raum von einem Dielektrikum der ullt wird. Ist dies nicht der Fall, so ist r durch Dielektrizitätszahl r ausgef¨ eine effektive Dielektrizit¨ atszahl r,eff zu ersetzen. v i/2

v i/2

v

v i

v i/2

i

v i

Abb. 10.17. Verringerung induzierter St¨ orspannungen durch Verdrillen

Die symmetrische Zweidrahtleitung hat den Nachteil, daß sie – zusammen mit Quelle und Verbraucher – eine Leiterschleife bildet, in der Störspannungen induziert werden k¨ onnen. Dies kann durch Verdrillen von Leiter und R¨ uckleiter deutlich reduziert werden, da die in aufeinanderfolgenden Schleifen induzierten Spannungen gegenl¨ aufig sind und sich deshalb kompensieren (Abb. 10.17). Der Wellenwiderstand einer solchen verdrillten Zweidrahtleitung (twisted pair) ist durch den Grad der Verdrillung, den Drahtdurchmesser und die Stärke der Isolation sowie deren Dielektrizitätszahl bestimmt. Verdrillte Zweidrahtleitungen erm¨ oglichen einfach zu realisierende Verbindungen f¨ ur Signale im Megahertzbereich – sie lassen sich insbesondere leicht an die in

430

10. Leitungen

der Computertechnik gebr¨ auchlichen Steckerleisten anschließen. Der Wellenwiderstand hängt vom Verdrillwinkel, d. h. vom Drahtdurchmesser und der Anzahl der Umdrehungen je L¨ angeneinheit, ab. Nach [20] gilt ⎡

120 Ω D + Z0 = √ ln ⎣ r,eff d

D d

2

⎤

−1⎦ ,

(10.43)

wobei D den Drahtdurchmesser mit und d den Drahtdurchmesser ohne Isolaatszahl r2 der Isolation, der Dielektion sowie r,eff eine von der Dielektrizit¨ trizitäszahl r1 des umgebenden Mediums und dem Verdrillwinkel θ (in Grad) abhängige effektive Dielektrizit¨ atszahl bezeichnet 7

r,eff ≈ r1 + 0.25 + 4 · 10−4 (θ/grad)2 (r2 −r1 )

(10.44)

1 /N ' D

q

Abb. 10.18. Verdrillte Zweidrahtleitung

Der Verdrillwinkel θ kann anhand des Drahtdurchmessers aus der Anzahl der Umdrehungen je L¨ angeneinheit N bestimmt werden (Abb. 10.18) θ = arctan(πN D) . Er wird u ¨blicherweise zwischen 20◦ und 45◦ gewählt – kleinere Verdrillwinkel schränken die mechanische Stabilit¨ at ein (die Drähte können sich dann leicht gegeneinander verschieben), gr¨ oßere Verdrillwinkel f¨ uhren zu großen mechanischen Spannungen in den Dr¨ ahten. Beispiel 10.4.1 Als Beispiel wird eine verdrillte Zweidrahtleitung betrachtet, die aus Dr¨ ahten mit PVC-Isolierung der Dicke 0.3 mm vom Außendurchmesser 1.2 mm hergestellt wird; f¨ ur diese Dr¨ ahte gilt D/d ≈ 2. F¨ ur PVC gilt r2 ≈ 3 bei f = 1 MHz, bei einer Verdrillung von einer Umdrehung pro Zentimeter resultiert der Verdrillwinkel θ = arctan(πN D) = 20.65 grad und damit in Luft (r1 = 1) die effektive Dielektrizitätszahl r,eff = 1 + 2 0.25 + 4 · 10−4 · (20.65)2 = 1.84 , so daß √ 120 Ω ln 2+ 3 ≈ 116.5 Ω . Z0 ≈ √ 1.84 7

Bei sehr weicher Isolation kann die Abh¨ angigkeit vom Verdrillwinkel zunehmen [20].


431

Wegen der schlechten dielektrischen Eigenschaften von PVC bei Frequenzen im Megahertzbereich, die sich in einer dielektrischen Verlustzahl im Prozentbereich und einer frequenzabh¨ angigen Dielektrizit¨ atszahl bemerkbar machen, sind derartige Leitungen verlustbehaftet. F¨ ur Leitungsl¨ angen im Bereich weniger Meter ist dies jedoch i. allg. unproblematisch. ∆

D

D ie le k tr ik u m e r

d

D

Abb. 10.19. Querschnitt durch eine Koaxialleitung

10.4.2 Koaxialkabel Im Fall des Koaxialkabels ist der Kapazitätsbelag der eines Zylinderkondensators, d. h. mit den in Abb. 10.19 erl¨ auterten Abmessungen gilt C =

2π0 r . ln(D/d)

Mit (10.29) folgt der Wellenwiderstand des verlustlosen Koaxialkabels

60 Ω D Z0 = √ ln r d

.

(10.45)

Die in der Praxis u ¨blichen Koaxialkabel haben Wellenwiderstände von 50 Ω oder von 75 Ω. Die Durchmesser D variieren – abhängig von der maximalen Betriebsspannung – im Bereich von ca. 1 mm bis ca. 20 mm. Als Isolatormaterial wird vorzugsweise Polyethylen (PE) oder Teflon (PTFE) verwendet. D¨ ampfung. Der Widerstandsbelag des Koaxialkabels setzt sich aus dem Widerstandsbelag Ri des Innenleiters und dem Widerstandsbelag Ra des Außenleiters zusammen. Wird der spezifische Widerstand ρ des Innenleiters und des Außenleiters als identisch angenommen, so folgt f¨ ur Außenleiter der Dicke ∆ D unter Vernachl¨ assigung des Skineffekts R =

4ρ ρ . + πd2 πD∆

Bei Leiterquerschnitten der Gr¨ oßenordnung 1 mm liegt die Grenzfrequenz f¨ ur den Skineffekt (vgl. Kap. 7.1) in der Gr¨ oßenordnung 10 kHz. Bei wesentlich höheren Frequenzen fließt der Strom im Innen- und Außenleiter nur noch in

432

10. Leitungen

Tabelle 10.2 Eigenschaften einiger Koaxialkabeltypen (Daten nach [21])

Gr¨ oße Einheit Wellenwiderstand, Z0 Ω Innenleiter, d mm Dielektrikum Außendurchmesser, D Dielektrizit¨ atszahl, r Kapazit¨ atsbelag, C Induktivit¨ atsbelag, L D¨ ampfungsfaktor, kD Widerstandsfaktor, kr bei 30 MHz: D¨ ampfung Widerstandsbelag Spannungsfestigkeit

Ω/m

RG58 50 ± 2 0.90 Litze PE 2.95 2.28 ca. 101 ca. 0.25 0.016 0.184

RG213 50 ± 2 2.25 Litze PE 7.25 2.28 ca. 101 ca. 0.25 0.0065 0.075

RG141 50 ± 2 0.95 Draht Teflon 2.95 2.1 ca. 95 ca. 0.24 0.012 0.138

RG59 75 ± 3 0.60 Draht PE 3.7 2.28 ca. 67 ca. 0.38 0.011 0.127

dB/m Ω/m kVeff

0.088 1.0 1.9 − 2.5

0.036 0.41 5

0.066 0.76 2.5

0.06 0.7 2.3 − 3.5

mm pF/m µH/m

einer Randzone der effektiven √ Dicke δ = ρ/(πµf ). Der Widerstandsbelag aßt sich mit dem Widerstandsfaktor steigt dann proportional zu f an und l¨ kr in der Form

R = kr

f MHz

mit

kr =

1 1 + d D

ρµ · 1 MHz π

angeben. Die D¨ ampfungskonstante α wird f¨ ur Frequenzen im Megahertzbereich hauptsächlich durch die Widerstandsverluste bestimmt, d. h. es gilt α ≈ R /2Z0 . Das D¨ ampfungsmaß einer Leitung bei der Frequenz f ist definiert als a = 20 dB · log [ V (0)/V (Λ)] , wobei V (0) und V (Λ) die Effektivwerte der Spannungen am Anfang und Ende der Leitung bezeichnen. Die D¨ ampfung einer Leitung wird u ¨blicherweise durch ampfungsmaß pro Meter Leitungslänge) den D¨ ampfungsbelag a (das ist das D¨ angegeben a = 20 log [ exp(α · 1 m)) = 20 α log(e) · 1 m . dB/m Werden nur Widerstandsverluste (Skinverluste) ber¨ ucksichtigt, so gilt R · 1 m a = 8.686 · = kD dB/m 2Z0

f , MHz

d. h. die Dämpfung steigt proportional zur Wurzel der Frequenz an. Der D¨ ampfungsfaktor kD ist dabei vom Wellenwiderstand Z0 und dem Wider-


433

standsfaktor kr abh¨ angig. Typische Werte f¨ ur kD liegen bei Koaxialkabeln in der Größenordnung 10−2 . Die Typbezeichnung f¨ ur Koaxialkabel wird u ¨berwiegend nach der US-Norm MIL-C-17 vorgenommen (RG-Typen); den unterschiedlichen Anforderungen entsprechend ist eine breite Palette verschiedener Koaxialkabel verf¨ ugbar, von denen einige in Tabelle 10.2 vorgestellt werden.8 S tr e ife n le ite r

e d

b

r

R ü c k s e ite n m e ta llis ie r u n g

Abb. 10.20. Streifenleiter

10.4.3 Streifenleiter Streifenleiter werden als flache, leitende Streifen auf einem dielektrischen Substrat u ¨ber einer leitenden Grundplatte hergestellt. In Abb. 10.20 ist die Mikrostreifenleitung (microstrip line) dargestellt, die vor allem in integrierten Mikrowellenschaltungen vielfach verwendet wird. Wegen der hohen Dielektrizitätszahlen der verwendeten Substratmaterialien (z. B. Al2 O3 mit r = 9.8) verlaufen die Feldlinien vorwiegend im Substrat zwischen dem Streifenleiter und der auf Massepotential liegenden R¨ uckseite ( ground plane“ ). ” Der Wellenwiderstand der Streifenleitung kann f¨ ur d¨ unne Leiterbahnen, bei denen die Schichtdicke weniger als ein Zehntel der Bahnbreite beträgt, näherungsweise bestimmt werden [23]. Danach gilt f¨ ur breite Leitungen (b/d > 1) 120π Z0 1 ≈ √ Ω r,eff 1.393 + b/d + 0.667 ln (1.444 + b/d) .

(10.46)

mit der effektiven Dielektrizit¨ atszahl r +1 r −1 + r,eff ≈ 2 2

d 1 + 12 b

−1/2

(10.47)

und entsprechend f¨ ur schmale Leitungen (b/d < 1)

60 b Z0 8d ≈ √ + ln Ω b 4d r,eff 8

(10.48)

Eine praxisorientierte Einfhrung in die Kabeltypen fr nachrichtentechnische Anwendungen bietet [22].

434

10. Leitungen

mit der effektiven Dielektrizit¨ atszahl r +1 r −1 + r,eff ≈ 2 2

d 1 + 12 b

−1/2

+ 0.04

b 1− d

2

.

(10.49)

Der Kapazit¨ atsbelag C der Mikrostreifenleitung folgt aus Gl. (10.29). F¨ ur b/d < 1 f¨ uhrt dies auf die N¨ aherungsformel C = 0.556

r,eff pF · cm ln[ 8d/b + b/(4d) ]

(10.50)

f¨ ur b/d > 1 folgt entsprechend

fF b b · ln 1.444 + C = 88.3 r,eff 1.393 + + 0.667 d cm d

.

(10.51)

aßt sich unter Verwendung von (10.27) aus C und Der Induktivit¨ atsbelag L l¨ Z0 berechnen. Dies ergibt im Fall b/d < 1

b nH 8d · ln + L = 2 cm b 4d

(10.52)

und im Fall b/d > 1 L = 12.5

1 nH · . cm 1.393 + b/d + 0.667 ln(1.444 + b/d)

(10.53)

Sind die Dicke d sowie die Dielektrizit¨ atszahl r des Substratmaterials vorgegeben, so folgt aus dem geforderten Wellenwiderstand Z0 f¨ ur die Breite der Leiterbahn b = d

8e A , e 2A −2

(10.54)

falls b/d < 2 und r < 16, sowie

r −1 0.61 2d [ B −1−ln(2B −1) ] + ln(B −1) + 0.39 − b = π 2r r

, (10.55)

falls 2 < b/d < 20 und r < 16. Die Gr¨ oßen A und B stehen dabei f¨ ur Z0 /Ω A = 60

r + 1 r − 1 + 2 r + 1

0.11 0.23 + r

(10.56)

und B = √

60π 2 . r Z0 /Ω

(10.57)

Beispiel 10.4.2 Auf einem Al2 O3 -Keramiksubstrat (r = 9.8) der Dicke d = 0.63 mm soll eine Leitung mit Wellenwiderstand Z0 = 50 Ω realisiert werden. Mit

10.4. Leitungsformen Z0 /Ω A = 60

435 r + 1 r − 1 + 2 r + 1

0.23 +

0.11 r

= 2.133

folgt 8e A b = 2A = 0.975 , d e −2 was nach Multiplikation mit der Substratdicke auf die erforderliche Breite der Leiterbahn von 0.61 mm f¨ uhrt. ∆

10.4.4 Geschirmte Leitungen, Triaxialkabel Werden hochohmige OP-Eing¨ ange von OPs mit Feldeffekttransistoren genutzt, so kann es zu Verf¨ alschungen aufgrund von Leckströmen u ¨ber die Leiterplatte kommen. Zur Abhilfe wird der hochohmige Eingang ringförmig mit einem Leiter ( guard ring“) umschlossen, der niederohmig auf dem Poten” tial des Eingangs gehalten wird. Liegt der hochohmige Eingang annähernd auf Massepotential, so k¨ onnen Leckstr¨ ome vom hochohmigen Eingang klein gehalten werden, wenn der Eingangsknoten durch einen auf Massepotential gelegten Ring umgeben wird. Liegt der hochohmige Eingang nicht auf Massepotential, so kann der guard ring mit dem Ausgang eines Spannungsfolgers verbunden werden, dessen (sehr hochohmiger) Eingang ebenfalls mit dem hochohmigen Eingang verbunden ist (vgl. Abb. 10.21).

g u a rd r in g

+ h o c h o h m ig e r E in g a n g

+ -

In n e n le ite r g u a rd A u s s e n le ite r T r ia x ia l- K a b e l

Abb. 10.21. Vermeidung von Leckstr¨ omen bei hochohmigen Eing¨ angen durch Guarding und Traixialkabel

Um Leckströme zwischen Leiter und Masse im geschirmten Kabel zu reduzieren, werden in der Meßtechnik sog. Triaxialkabel eingesetzt, bei denen der innere Leiter von einem zweiten Innenleiter ( guard“) umgeben ist, dessen Po” tential u ¨ber einen Spannungsfolger auf das Potential des Innenleiters gelegt wird. Um diesen befindet sich ein zweiter mit Masse verbundener Außenleiter. Leckströme zu Masse fließen demnach zwischen guard und Außenleiter, werden vom Spannungsfolger geliefert und machen sich nicht als Leckstrom auf dem Innenleiter bemerkbar.

436

10. Leitungen

10.5 Verkoppelte Leitungen In elektronischen Schaltungen und in der Nachrichtentechnik sind häufig nicht abgeschirmte Leitungen nebeneinander angeordnet. Durch induktive und ka¨ pazitive Kopplung resultiert dann eine als Ubersprechen bezeichnete gegenseitige Beeinflussung der Leitungsvorg¨ ange.

10.5.1 Ersatzschaltung ¨ Zur Untersuchung des Ubersprechens zwischen miteinander verkoppelten Leitungen wird die in Abb. 10.22 dargestellte Ersatzschaltung f¨ ur einen Ausschnitt der Länge ∆x der beiden verkoppelten Leitungen herangezogen.

v 1(x ,t) R 1

'D x

i1 ( x ,t)

L 1 'D x

L m

'D x

i2 ( x ,t) R 2

'D x

C 1

'D x

C m

'D x

2

'D x

L 2 'D x

v 2(x ,t) C

G 1

'D x

G m

'D x

2

'D x

G

x + D x x

Abb. 10.22. Ersatzschaltung von Leitungsst¨ ucken der L¨ ange ∆x mit induktiver und kapazitiver Kopplung

Diese Ersatzschaltung beschreibt den Fall zweier gekoppelter Leitungen, die in einem – gemessen an der Wellenl¨ ange – geringen Abstand parallel verlaufen. Im Grenzfall ∆x → 0 resultiert das folgende System von Differentialgleichungen f¨ ur die Potentiale auf den Leitungen −

∂v1 ∂x

= R1 i1 + L1

∂i1 ∂i2 + Lm ∂t ∂t

(10.58)

−

∂v2 ∂x

= R2 i2 + L2

∂i2 ∂i1 + Lm ∂t ∂t

(10.59)

und f¨ ur die Str¨ ome

10.5. Verkoppelte Leitungen

437

−

∂i1 ∂x

= G1 v1 + C1

∂v1 ∂v12 + Cm + Gm v12 ∂t ∂t

(10.60)

−

∂i2 ∂x

= G2 v2 + C2

∂v2 ∂v12 − Cm − Gm v12 ∂t ∂t

(10.61)

wobei v12 (x, t) = v1 (x, t) − v2 (x, t). Dieses System von vier partiellen Differentialgleichungen ist bei der Berechnung des Verhaltens zweier gekoppelter Leitungen zu lösen.

10.5.2 Simulation verkoppelter Leitungen Die Simulation verkoppelter Leitungen mit PSPICE ist möglich durch Definition eines Kopplungsfaktors. Die entsprechende Elementanweisung ist von der Form K(name)

T(name1)

T(name2)

Lm = Lm

Cm = Cm

der wobei f¨ ur Lm der Belag Lm der Koppelinduktivität, f¨ ur Cm der Belag Cm Koppelkapazit¨ at anzugeben ist. Diese Anweisung muß zusätzlich zu den Anweisungen T(name1) und T(name2) in die Netzliste aufgenommen werden.

Beispiel 10.5.1 Die Anweisungen T1 1 0 2 T2 3 0 4 K12 T1 T2

0 R=0.1 L=250n 0 R=0.1 L=250n Lm=25n Cm=10p

G=0.1n G=0.1n

C=100p C=100p

LEN=1 LEN=1

definieren beispielsweise verlustbehaftete Leitungen T1 und T2 der Länge 1 m, die u at mit dem Belag Lm = 25 nH/m und die Koppelkapazität ¨ber die Koppelinduktivit¨ upft sind. ∆ mit dem Belag Cm = 10 pF/m miteinander verkn¨

S tr e ife n le ite r

d

e

b

s

b

r

R ü c k s e ite n m e ta llis ie r u n g

Abb. 10.23. Verkoppelte Streifenleitungen zu Beispiel 10.5.2

Beipiel 10.5.2 Als Beispiel werden zwei parallel verlaufende Leiterbahnen der Länge 10 cm und der Dicke 35,µm auf einer Epoxidharzplatte (r = 4.5, Dicke d = 1.6 mm) betrachtet (Abb. 10.23); die Breite b der Leiterbahnen betrage 0.5 mm, zwischen ihnen befinde sich eine L¨ ucke von s = 2.5 mm. F¨ ur die Simulation werden die Leitungs-

438

10. Leitungen

bel¨ age ben¨ otigt. Der Widerstandsbelag liegt dabei in der Größenordnung 10 mΩ/cm und wird in der Folge vernachl¨ assigt. Mit der effektiven Dielektrizitätszahl −1/2 2 r +1 r −1 b d + ≈ 3.06 + 0.04 1 − r,eff ≈ 1 + 12 2 2 b d folgen Kapazit¨ atsund Induktivit¨ atsbel¨ age einer einzelnen Streifenleitung aus Gl. (10.50) und (10.52) zu 8d b nH nH · ln + L ≈ 2 ≈ 6.5 cm b 4d cm C

≈ 0.556

r,eff pF pF · ≈ 0.52 . cm ln [8d/b + b/(4d)] cm

Die Bel¨ age f¨ ur die Koppelinduktivit¨ at und Koppelkapazität lassen sich nach [24] absch¨ atzen durch 2 2d nH nH Lm ≈ 1 · ln 1 + ≈ 0.76 cm s+b cm Cm

≈

Lm C fF . ≈ 61 L cm

F¨ ur den Wellenwiderstand und die Phasengeschwindigkeit einer Leitung folgt L cm 1 , ≈ 16.2 Z0 ≈ ≈ 105.8 Ω und vph ≈

C +Cm ns L (C +Cm ) falls Anfang und Ende der anderen Leitung auf Masse gelegt wird. Bei einer Leitungsl¨ ange von 10 cm ergibt dies eine Laufzeit td = 0.615 ns. Im Folgenden wird angenommen, daß die beiden Leitungen an Anfang und Ende korrekt mit diesem Wellenwiderstand abgeschlossen sind. Abbildung 10.25 zeigt das Ergebnis einer Transientenanalyse f¨ ur die Spannung am Leitungsanfang der gestörten Leitung 2, wenn die Spannungsquelle am Eingang der st¨ orenden Leitung 1 einen Spannungssprung von uhrt 0 auf 5 V (Beginn des Anstiegs bei t = 0.4 ns, Anstiegszeit tr = 0.2 ns) durchf¨ (Abb. 10.24). Am Anfang der Leitung 2 tritt während der doppelten Laufzeit des Pulses eine konstante Spannung von ca. 139 mV auf.

Z

L e itu n g 1

v

0

Z G

Z 0

iL

L e itu n g 2

iC

iC Z

0

0

Abb. 10.24. Induzierte Str¨ ome in verkoppelten Leitungen (nach [25])


P9

439

7(UVDW]VFKDOWXQJ /HLWXQJVPRGHOO /HLWXQJVDQIDQJ

P9

9 /HLWXQJVHQGH 7(UVDW]VFKDOWXQJ /HLWXQJVPRGHOO P9

V

QV QV QV QV 9RXWD 9LQD 9LQE 9RXWE 7LPH

QV

QV

Abb. 10.25. Zeitabh¨ angiger Verlauf der St¨ orspannung am Leitungseingang berechnet mit dem Leitungsmodell und mit der verkoppelten T-Ersatzschaltung der Leitung

Das Zustandekommen dieses Kurvenverlaufs läßt sich unter Vernachlässigung der Verluste qualitativ verstehen [25]. Bei der gegebenen Beschaltung springt die Spannung am Eingang von Leitung 1 bei t = 0.4 ns auf den Wert v1 = 2.5 V. Der Spannungssprung am Eingang der Leitung breitet sich auf dieser mit der Geschwindigkeit √ v = 1/ L C aus. Durch die kapazitive und induktive Kopplung wird in dem dem Spannungssprung gegen¨ uberliegenden Segment der Leitung 2 ein Strom iC bzw. iL hervorgerufen (Abb. 10.24). Dieser fließt wegen der Laufzeit auf Leitung 2 während der doppelten Laufzeit 2td durch den Widerstand Z0 am Beginn der Leitung 2 und ruft in dieser Zeit am Abschlußwiderstand Z0 des Eingangs von Leitung 2 einen Spannungsabfall Z0 · (iL + iC ) hervor. Nach [25] gilt bei schwacher Kopplung, d. h. unter der Annahme, daß die Ausbreitung des Pulses auf Leitung 1 durch Leitung 2 nicht nennenswert beeinflußt wird, f¨ ur die auf Leitung 2 bei x induzierte St¨ orspannung 1 Lm d td (10.62) v2 (x, t) = − − Cm Z0 x v1 0, t − x 2 Z0 dt Λ Λ Lm td td . + + Cm Z0 v1 0, t − x − v1 0, t − 2td + x 4td Z0 Λ Λ F¨ ur t > 0.6 ns ist v1 (0, t) konstant, v2 wird bei x = 0, d. h. am Anfang von Leitung 2 bis zu t = 2td + 0.6 ns = 1.83 ns durch den Ausdruck in der eckigen Klammer bestimmt. Dieser ist bis auf die abschließende Flanke (tf = 0.2 ns) konstant und f¨ uhrt auf 0.76 nH/cm fF 10 cm + 61 · 105.8 Ω · 2.5 V ≈ 139 mV , v2 (0, t) = 4 · 0.615 ns 105.8 Ω cm

440

10. Leitungen

¨ in guter Ubereinstimmung mit den Ergebnissen der Simulation. F¨ ur die am Leitungsende (x = Λ) induzierte St¨ orspannung ist nur der erste Term auf der rechten Seite von Gl. (10.62) von Bedeutung, da der Ausdruck in der eckigen Klammer f¨ ur x = Λ verschwindet. Die in diesem Term auftretende Ableitung ist f¨ ur die gegebene Eingangsspannung nur w¨ ahrend der ansteigenden Flanke von v1 (Λ, t) = v1 (0, t − td ) verschieden. Mit d d 12.5 V/ns f¨ ur 0.4 ns+td < t < 0.6 ns+td v1 (0, t−td ) = v1 (Λ, t) = 0 sonst dt dt f¨ uhrt Einsetzen der gegebenen Werte im Zeitintervall 1.015 ns < t < 1.215 ns auf Λ Lm d − Cm Z0 · v1 (Λ, t) = −45 mV , v1 (Λ, t) = − 2 Z0 dt was durch die Simulation (Abb. 10.25) best¨ atigt wird.

v 1(0 ,t)

R '1 L / 2

i1 ( 0 ,t)

1

'L

G 1

'L

C m

'L

G m

'L

C 2

'L

G 2

'L

L 'm L / 2

i2 ( 0 ,t) R '2 L / 2

v 2(0 ,t)

C

L '1 L / 2

L '2 L / 2

v 1(L ,t) L '1 L / 2

R '1 L / 2 L 'm L / 2

L '2 L / 2

R '2 L / 2

v 2(L ,t)

Abb. 10.26. Ersatzschaltung f¨ ur zwei kurze verkoppelte Leitungsst¨ ucke der L¨ ange Λ

Zum Vergleich sind in Abb. 10.25 die Ergebnisse f¨ ur eine verkoppelte T-Ersatzschaltung entsprechend Abb. 10.26 dargestellt. Der Verlauf des damit berechneten Störspannungspulses zeigt deutliche Abweichungen vom exakten Ergebnis (TLM). Die TErsatzschaltung liefert dennoch ein gr¨ oßenordnungsmäßig richtiges Ergebnis f¨ ur die Amplitude der induzierten St¨ orspannung und ist deshalb f¨ ur die Abschätzung des ¨ Ubersprechens zwischen kurzen verkoppelten Leitungsst¨ ucken geeignet. ∆

10.5.3 Wellen in zwei gekoppelten Leitungen Allgemeine L¨ osung. Wird nur kapazitive und induktive Kopplung berücksichtigt

(Gm = 0) und angenommen, daß sich auf beiden Leitungen Wellen der Kreisfrequenz ω ausbreiten, d. h. v1 (x, t) = Re vˆ1 (x) e jωt = Re(v 1 )


441

und entsprechend f¨ ur i1 (x, t), v2 (x, t) und i2 (x, t), so resultiert das folgende Gleichungssystem f¨ ur die komplexen Spannungszeiger i1 (x) jωLm v 1 (x) R1 +jωL1 d = − (10.63) dx v 2 (x) i2 (x) jωLm R2 +jωL2 , C˜2 = C2 + Cm f¨ ur die komplexen Stromund mit den Abk¨ urzungen C˜1 = C1 + Cm zeiger −jωCm i1 (x) G1 +jω C˜1 v 1 (x) d = − (10.64) dx i2 (x) v 2 (x) −jωC G +jω C˜ m

Durch Zusammenfassen folgt A11 v 1 (x) d2 = 2 dx v 2 (x) A21

A12 A22

2

2

v 1 (x)

v 2 (x)

(10.65)

mit den Koeffizienten A11

=

(R1 +jωL1 )(G1 +jω C˜1 ) + ω 2 Lm Cm

A22

=

(R2 +jωL2 )(G2 +jω C˜2 ) + ω 2 Lm Cm

A12

=

jωLm (G2 +jω C˜2 ) − jωCm (R1 +jωL1 )

A21

=

jωLm (G1 +jω C˜1 ) − jωCm (R2 +jωL2 )

Zur L¨ osung des Differentialgleichungssystems werden zunächst die Eigenwerte γ12 und γ22 der Koeffizientenmatrix [A] bestimmt. Diese folgen aus der Gleichung A11 −γ 2 A12 = 0 A21 A22 −γ 2 zu 2 γ1,2 =

1

A11 +A22 ± (A11 −A22 )2 + 4A12 A21 . 2 2

Mit Hilfe der zugeh¨ origen Eigenvektoren 2 √ γ1 −A22 B11 2 =

(A22 −γ12 )2 + A221 B21 A21 √ B12 γ22 −A22 − 2 =

(A22− γ22 )2 + A221 B22 A21 lassen sich u ¨ber die Transformation B11 B12 v 1 (x) w1 (x) = v 2 (x) w2 (x) B21 B22

(10.66)

(10.67)

(10.68)

neue Zeiger w1 (x) und w2 (x) einf¨ uhren, die dem Differentialgleichungssystem

442

10. Leitungen d2 dx2

w1 (x)

=

w2 (x)

γ12

0

0

γ22

w1 (x)

(10.69)

w2 (x)

gen¨ ugen. Die w1 (x) und w2 (x) beschreiben die Eigenwellen des verkoppelten Leitungssystems; ihre allgemeine Form lautet (+)

w1 (x) = w1

(+) w2

w2 (x) = (+)

(−)

e −γ1 x

(10.70)

(−) w2

−γ2 x

(10.71)

e +γ1 x + w1 e

(−)

+γ2 x

+

(+)

e

(−)

Die Zeiger w1 , w1 , w2 und w2 sind durch Randwerte festzulegen; die komplexen Zeiger v 1 (x) und v 2 (x) folgen dann mit Hilfe von Gl. (10.68).

Symmetrische Leitungen. Im Folgenden beschränken wir uns auf den Fall symmetrischer Leitungen und schreiben L1 = L2 = L , C1 = C2 = C , Widerstands- und Ableitungsbel¨ age werden als vernachl¨ assigbar angenommen. Unter diesen Bedingungen ist A11 = A22 und A12 = A21 ; die Eigenwerte und Eigenvektoren vereinfachen sich in diesem Fall zu

A11 ± A12 (10.72) γ1,2 = bzw.

B11

=

B21

1

und

1

B12

B22

=

1 −1

,

d. h. die allgemeine L¨ osung ist von der Form v 1 (x) 1 1 + w2 (x) . = w1 (x) 1 −1 v 2 (x) F¨ ur w2 = 0 sind die beiden Leitungswellen v 1 (x) demnach gleichphasig und f¨ ur w1 = 0 entsprechend gegenphasig. Die Eigenwelle w1 (x) wird deshalb auch als uckGleichtaktwelle, die Eigenwelle w2 (x) als Gegentaktwelle bezeichnet. Unter Ber¨ sichtigung der Gln. (10.70) und (10.71) folgt v 1 (x) = w1 e γ1 x + w1 e −γ1 x + w2 e γ2 x + w2 e −γ2 x (+)

(−)

(+)

(−)

v 2 (x) = w1 e γ1 x + w1 e −γ1 x − w2 e γ2 x − w2 e −γ2 x (+)

(−)

(+)

(−)

(10.73) ur die Stromzeiger [26] und daraus f¨ (+)

i1 (x)

= −

w1

i2 (x)

= −

w1

Z 01 (+)

wobei

Z 01 =

e γ1 x

e γ1 x

Z 01

L + Lm C˜ − Cm

e −γ1 x w e γ2 x w e −γ2 x − 2 + 2 Z 01 Z 02 Z 02

(−)

+

w1

+

w1

(+)

e −γ1 x w e γ2 x w e −γ2 x + 2 − 2 Z 01 Z 02 Z 02

(−)

(+)

bzw.

(−)

Z 02 =

L − Lm C˜ + Cm

(−)


443

den Gleichtakt- bzw. Gegentaktwellenwiderstand der verkoppelten Leitungen bezeichnen. Z

0

v

1

L v 1(0 )

0 1

Z v

3

0

0 2

Z

v 1(L )

2

L v 2(0 )

v 2(L ) Z

4

Abb. 10.27. Beschaltung der verkoppelten Leitungen

¨ ¨ Ubersprechen. F¨ ur eine Untersuchung des Ubersprechens zwischen benachbarten Leitungen wird zwei entsprechend Abb. 10.27 beschaltete Leitungen betrachtet. Die (+) (−) (+) (−) Zeiger w1 , w1 und w2 , w2 , sind nun so zu bestimmen, daß die Randbedingungen v 1 (0) = v 01 − Z i i1 (0)

und

v 1 (Λ) = Z 2 i1 (Λ)

v 2 (0) = v 02 − Z 3 i2 (0)

und

v 2 (Λ) = Z 4 i2 (Λ)

bzw.

erf¨ ullt sind. Einsetzen der allgemeinen L¨ osung f¨ uhrt auf ein System von vier Gleichungen f¨ ur die vier unbekannten komplexen Zeiger. Die im Fall beliebiger Impedanzen osung ist recht un¨ ubersichtlich. Wir folgen desZ 1 , Z 2 , Z 3 und Z 4 resultierende L¨ halb [26] und beschr¨ anken uns auf den Sonderfall Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z 4 . Dies schließt insbesondere den Fall ein, daß beide Leitungen am Anfang und Ende korrekt abgeschlossen sind. Mit den Abk¨ urzungen P00 = 1 +

Z1 , Z 01

P10 = 1 −

Z1 , Z 01

P01 = 1 +

Z1 Z und P11 = 1 − 1 Z 02 Z 02

folgt dann [26] v 1 (x) =

R01 (x)+R02 (x) v0 2

und

v 2 (x) =

mit R01 (x) =

P00 e γ1 (Λ−x) − P10 e −γ1 (Λ−x) 2 e γ1 Λ − P 2 e −γ1 Λ P00 10

R02 (x) =

P01 e γ2 (Λ−x) − P11 e −γ2 (Λ−x) . 2 e γ2 Λ − P 2 e −γ2 Λ P01 11

und

R01 (x)−R02 (x) v0 2

444

10. Leitungen

Die Spannungs¨ ubertragungsfaktoren H v (0) = v 2 (0)/v 0 und H v (Λ) = v 2 (Λ)/v 0 werden im Folgenden f¨ ur den Fall schwacher Kopplung untersucht. Dabei werden nur Terme erster Ordnung in den Kopplungsbel¨ agen ber¨ ucksichtigt. Gleichtakt- und Gegentaktwellenwiderstand lassen sich in dieser Näherung durch Z01 =

Z0 1−δ

und

Z02 =

Z0 1+δ

ausdr¨ ucken, wobei 1 δ = 2

Cm L + m L C˜

und

Z0 =

L . C˜

Sind beide Leitungen an Anfang und Ende mit Z0 abgeschlossen, so folgt P00 ≈ 2−δ, P10 ≈ δ, P01 ≈ 2 + δ und P11 ≈ −δ. Als weitere Näherung wird

γ1 ≈ γ2 ≈ γ0 = jω L C˜ angenommen. Mit diesen Ausdr¨ ucken folgt f¨ ur den Spannungs¨ ubertragungsfaktor am Leitungsanfang H v (0) =

1 δ [ R01 (0)−R02 (0) ] ≈ 1 − e −2γ0 Λ , 2 4

wobei wiederum nur Terme erster Ordnung in δ ber¨ ucksichtigt wurden. Im Bereich niedriger Frequenzen gilt in guter N¨ aherung e −2γ0 Λ ≈ 1 − 2γ0 Λ , so daß 1 δγ0 Λ = H v (0) ≈ 2 4

Cm L + m L C˜

· jω

L C˜ · Λ .

proportional zur Frequenz ansteigt. Beispiel 12.5.3 Auf den in Beispiel 12.5.2 untersuchten Fall angewandt resultiert |H v (0)| ≈ 0.214 ·

f . GHz

Dies wird sehr gut durch eine AC-Analyse mittels SPICE bestätigt (Abb. 10.28). Mit zunehmender Frequenz ergeben sich Abweichungen vom Anstieg proportional zu f ; ¨ der Spannungs¨ ubertragungsfaktor nimmt nach Uberschreiten eines maximalen Werts wieder ab und erreicht ein Minimum f¨ ur 2 Imγ0 Λ = 2π

bzw.

1 . f=

2 L C˜ Λ

Im konkreten Beispiel resultiert f¨ ur f hieraus der Wert 814 kHz, was durch die Simulation best¨ atigt wird (vgl. Abb. 2.4.13). Die verkoppelte T-Ersatzschaltung liefert bis zu Frequenzen von mehr als 100 MHz praktisch dasselbe Ergebnis wie das Modell verkoppelter Leitungen. Mit Ann¨ aherung an die Resonanzfrequenz 816 kHz treten dann allerdings deutliche Abweichungen auf. F¨ ur den Spannungs¨ ubertragungsfaktor am Leitungsende


445

P 6SDQQXQJVXHEHUWUDJXQJVIDNWRU /HLWXQJVDQIDQJ

P 7(UVDW]VFKDOWXQJ I*+] /HLWXQJVPRGHOO

P

0+] X 0+] 0+] 9LQD 9VUF

0+] 0+] 9LQE 9VUF )UHTXHQF\

0+]

0+]

*+]

Abb. 10.28. Frequenzgang des Spannungs¨ ubertragungsfaktors zweier kurzer verkoppelter Leitungsst¨ ucke der L¨ ange Λ

H v (Λ) =

1 [ R01 (Λ) − R02 (Λ) ] 2

folgt in der betrachteten N¨ aherung der Wert null – die dort auftretende Störspannung ist in erster Ordnung vernachl¨ assigbar. Daß H v (Λ) annähernd null ist, folgt aus der Tatsache, daß die durch induktive bzw. kapazitive Kopplung bewirkten Ströme am Leitungsende entgegengesetzt gleich groß sind (vgl. Beispiel 2.4.5.2), weswegen am Abschlußwiderstand kein Spannungsabfall auftritt. Dieser Effekt wird in der HFTechnik f¨ ur die Realisierung sog. Richtkoppler verwendet. ∆

10.6 Literaturverzeichnis [1] O. Zinke, H. Brunswig. Lehrbuch der Hochfrequenztechnik, Band 1: Hochfrequenzfilter, Leitungen, Antennen. Springer, Berlin, f¨ unfte Auflage, 1995. [2] H.Grabinski. Theorie und Simulation von Leitbahnen. Springer, Berlin, 1991. [3] G.L. Matthaei, G.C. Chinn, C.H. Plott, N. Dagli. A simplified means for computation of interconnect distributed capacitances and inductances. IEEE Trans. CAD, 11(4):513– 524, 1992. [4] K. K¨ upfm¨ uller. Einf¨ uhrung in die theoretische Elektrotechnik. Springer, Berlin, dritte Auflage, 1973. [5] H.-G. Unger. Elektromagnetische Wellen auf Leitungen. H¨ uthig, Heidelberg, dritte Auflage, 1991. [6] R.E. Matick. Transmission Lines for Digital and Communication Networks. IEEE Press, New York, 1995.

446

10. Leitungen

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11 Resonatoren und Filter Resonatoren spielen eine bedeutende Rolle als frequenzbestimmende Elemente in Oszillatoren – mit Resonatoren hoher G¨ ute können außerdem sehr schmalbandige Filter verwirklicht werden. Gegenstand dieses Abschnitts sind Schwingquarze und Quarzfilter, Oberfl¨ achenwellenbauelemente sowie dielektrische Resonatoren und Filter.

11.1 Resonatoren und Filter mit RLC-Kombinationen Die G¨ ute eines aus Spulen und Kondensatoren aufgebauten Resonanzkreises (Schwingkreis) ist durch die G¨ ute der Einzelbauteile bestimmt. Als Beispiel wird der in Abb. 11.1 dargestellte Parallelschwingkreis betrachtet.

L C

Abb. 11.1. Parallelschwingkreis

Wäre dieser mit einer idealen Induktivität und einer idealen Kapazität aufgebaut, so wäre seine Admittanz bei der Resonanzfrequenz √ (11.1) fr = 1/2π LC atte an dieser Stelle einen Pol. Bei Verwendung null, d. h. die Impedanz Z h¨ realer Bauteile mit den Verlustfaktoren tan δC bzw. tan δL weist die Admittanz bei der Resonanzfrequenz – definiert als Nullstelle des Imaginärteils – einen nicht verschwindenden Realteil Y (fr ) ≈ 2πfr C tan δC +

tan δL 2πfr L

(11.2)

auf; der Wert der Resonanzfrequenz bleibt weitgehend unverändert, solange tan uber eins sind. Aus der Gleichung |Y (f )| = √ δC und tan δL klein gegen¨ 2 · Y (fr ) folgen zwei Frequenzen f1 und f2 , deren Differenz f2 − f1 = ∆f die Resonanzbreite und damit die Bandbreite B = ∆f eines entsprechenden Filters angibt. Solange ∆f fr erf¨ ullt ist, gilt f¨ ur die relative Bandbreite B/fr ≈ tan δC + tan δL ≈ 1/Q = 1/QC + 1/QL ,

(11.3)

ute des Kondenwobei Q die G¨ ute des Resonanzkreises, QC = 1/ tan δC die G¨ sators und QL = 1/ tan δL die G¨ ute der Kapazität bezeichnet.

448

11. Resonatoren und Filter

Schmalbandige Filter erfordern Resonatoren mit sehr hoher G¨ ute. Wie in Kap. 8 und Kap. 9 ausgef¨ uhrt, liegt die G¨ ute QC von Kondensatoren wie sie f¨ ur Schwingkreise Verwendung finden im Bereich von 10−3 −10−4 , die G¨ ute QL von Schwingkreisspulen mit Ferritkern im Bereich von 100−700. In der Praxis erzielte Schwingkreisg¨ uten Q liegen typischerweise im Bereich zwischen 100 und 500, d. h. mit Schwingkreisen lassen sich Bandfilter mit relativen Bandbreiten im Bereich weniger Promille erzielen. Bei Q = 200 und fr = 10 MHz bedeutet dies immerhin eine Bandbreite B = 10 MHz/200 = 50 kHz. Da die erreichbare Schwingkreisg¨ ute bei hohen Frequenzen abnimmt, eignen sich Resonatoren aus diskreten Elementen nicht f¨ ur die Realisierung schmalbandiger Filter im Frequenzbereich oberhalb ca. 200 MHz.

11.2 Leitungsresonatoren In Leitungen, die nicht mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen werden – in der Praxis verwendet man meist am Ende offene oder kurzgeschlossene Leitungen – können sich stehende Wellen ausbilden. Die Leitung zeigt bei den jeweiligen Frequenzen das Verhalten eines Resonanzkreises: Der Imaginärteil der Impedanz verschwindet, w¨ ahrend der Realteil einen Extremwert aufweist. Leitungsresonatoren k¨ onnen in Frequenzbereichen, in denen Schwingkreise nicht mehr diskret aufzubauen sind, deren Rolle u ¨bernehmen. Kurzschluß am Ende. Die Eingangsimpedanz einer am Ende kurzgeschlosseange Λ ist nen Leitung (ZL = 0, r = −1) der L¨ Zi = Z0

1 − e −2γΛ 1 − e −2αΛ e −j2βΛ = Z . 0 1 + e −2γΛ 1 + e −2αΛ e −j2βΛ

F¨ ur einen reellen Wellenwiderstand Z0 verschwindet der Imaginärteil von Z i nur unter der Bedingung e −j2βΛ = ±1

bzw.

2βΛ = mπ ,

wobei m eine ganze Zahl bezeichnet. Diese Bedingung ist wegen β = 2π/λ gleichbedeutend mit der Forderung Λ = m λ/4

mit

λ = vph /f .

Resonanz tritt demnach auf, falls die L¨ ange Λ der Leitung ein ganzzahliges Vielfaches von λ/4 betr¨ agt. Ist Λ ein ungeradzahliges Vielfaches von λ/4, so weist Zi ein Maximum auf (Parallelresonanz), während Zi minimal wird, falls Λ ein geradzahliges Vielfaches von λ/4 beträgt (Serienresonanz). Offenes Ende. Bei offenem Ende (ZL → ∞, r = +1) wird die Eingangsimpedanz Zi = Z0

1 + e −2γΛ 1 + e −2αΛ e −j2βΛ = Z 0 1 − e −2γΛ 1 − e −2αΛ e −j2βΛ

11.2. Leitungsresonatoren

449

ebenfalls nur unter der Bedingung Λ = m λ/4 reell. Allerdings tritt hier Serienresonanz (Zi minimal) bei ungeradzahligen Vielfachen und Parallelresonanz (Zi maximal) bei geradzahligen Vielfachen von λ/4 auf. G¨ ute. Die G¨ ute eines Leitungsresonators ist durch die Dämpfungs- und Phasenkonstante der Leitung festgelegt [1] Q = β/2α .

(11.4)

Mit den f¨ ur schwach ged¨ ampfte Leitungen g¨ ultigen Näherungen f¨ ur α und β ullt ist folgt f¨ ur Resonanzfrequenzen fr , bei denen 2πfr L R erf¨ Q ≈

1 , tan δ (fr ) + R /(2πfr L )

(11.5)

ur die Resonanzfrequenz eines λ/4wobei tan δ 1 angenommen wurde. F¨ Resonators gilt fr =

vph vph 1 √ , = ≈ λ 4Λ 4Λ L C

so daß Q(fr ) ≈

1 . tan δ (fr ) + 2R Λ/(πZ0 )

(11.6)

Beispiel 11.2.1 Als Beispiel werden Real- und Imaginärteil der Eingangsadmittanz eines Streifenleiters mit offenem1 Ende durch Simulation mittels PSPICE berechnet. Die Leitung wurde f¨ ur die Resonanzfrequenz 2 GHz ausgelegt. Vorgegeben war die Breite b = 1 mm, die Substratdicke d = 0.63 mm, die Dielektrizitätszahl des Substrats r = 9.8, die dielektrische Verlustzahl des Substrats bei der Resonanzfrequenz achenwiderstand der Leiterbahn bei der Resonanzfrequenz tan δ = 0.001 und der Fl¨ 1.5 mΩ. Zur Bestimmung der Bel¨ age wurde zun¨ achst nach Gl. (10.47) die effektive Dielek√ trizit¨ atszahl ermittelt, mit dem Ergebnis reff = 6.90. Mit vph = c/ reff = 1.14·1010 cm/s folgt die Wellenl¨ ange bei f = 2 GHz zu λ = 5.71 cm, d. h. der λ/4-Resonator muß eine L¨ ange von Λ = 1.43 cm aufweisen. Mit der effektiven Dielektrizitätszahl f¨ uhrt Gl. (10.46) auf den Wellenwiderstand Z0 = 41.4 Ω. Zur Bestimmung der Leitungsbel¨ age wird die Leitung zun¨ achst als verlustfrei angenommen, dies f¨ uhrt auf √ 33.3 reff L Z2 C C ≈ = 2.11 und ≈ 02 = 3.61 . pF/cm Z0 /Ω nH/cm Ω nF/cm Widerstands- und Ableitungsbelag folgen dann zu R = 15 mΩ/cm

und

G = ωC tan δ = 2.65 · 10−5 S/cm .

Mit den gegebenen Werten folgt mit (11.6) die G¨ ute des Leitungsresonators 1

In der Simulation wurde ein Abschlußwiderstand von 1 MΩ verwendet.

450

11. Resonatoren und Filter Q ≈

1 1 = ≈ 752 , tan δ + 2R Λ/(πZ0 ) 10−3 + 3.3 · 10−4

¨ in guter Ubereinstimmung mit der aus Abb. 11.2 ablesbaren Resonanzbreite.

∆

= 2KP /DHQJH FP

& S)FP

5H<

/ Q+FP 5 2KPFP * X6FP

,P< *+] 5,9 9

,0*,9 9

*+]

*+]

)UHTXHQF\

Abb. 11.2. Real- und Imagin¨ arteil der Eingangsadmittanz eines Streifenleiters (ZL → ∞)

Kapazitive Beschaltung. Wird das Ende des Leitungsresonators mit einer Kapazität C beschaltet, so lautet der Reflexionsfaktor r =

1 − jωCZ0 . 1 + jωCZ0

F¨ ur die Eingangsimpedanz der als verlustfrei angenommenen Leitung folgt damit Z i = Z0

1 + jωCZ0 + (1−jωCZ0 ) e −j2βΛ . 1 + jωCZ0 − (1−jωCZ0 ) e −j2βΛ

Der Imaginärteil von Z i verschwindet bei den Resonanzfrequenzen der Anordnung; diese folgen als L¨ osungen der impliziten Gleichung Z0 tan (βΛ) = 1/ωr C

mit

β = ωr /vph .

(11.7)

Die niedrigste Resonanzfrequenz liegt dabei niedriger als bei offenem Leitungsende. Im Gegensatz zu Leitungsresonatoren mit offenem oder kurzgeschlossenen Ende sind die h¨ oheren Resonanzfrequenzen hier keine ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz.

11.3. Schwingquarze und Quarzfilter

451

11.3 Schwingquarze und Quarzfilter Mit Schwingquarzen lassen sich Resonatoren und Filter aufbauen, die sich gegen¨ uber RLC-Kombinationen durch eine wesentlich verbesserte G¨ ute bei gleichzeitiger Temperaturkonstanz auszeichnen. Das Resonanzverhalten ist auf eine Kopplung mechanischer Schwingungen mit dem elektrischen Feld aufgrund des piezoelektrischen Effekts zur¨ uckzuf¨ uhren. K ra ft + + + + + + + + +

- - - - - - - - (a )

K ra ft

(b )

Abb. 11.3. Auftreten einer Polarisationsladung in piezoelektrischen Kristallen bei Deformation

11.3.1 Der piezoelektrische Effekt Unter dem direkten piezoelektrischen Effekt versteht man die elektrische Polarisation eines Kristalls aufgrund einer mechanischen Deformation. Polarisation P und Druck σ sind miteinander u ¨ber den piezoelektrischen Koeffizienten 2 dπ verkn¨ upft P = dπ σ . Durch Anlegen eines elektrischen Felds kann umgekehrt eine mechanische Deformation eines Piezokristalls hervorgerufen werden; dies wird als inverser piezoelektrischer Effekt oder als Elektrostriktion bezeichnet. Der Wert des piezoelektrischen Koeffizienten dπ liegt – abhängig vom Material – in der Größenordnung (10−12 − 10−10 ) C/N. Der piezoelektrische Effekt tritt in polaren Kristallen oder Ionenkristallen auf, falls diese kein Inversionszentrum [2] aufweisen. Unter dieser Bedingung verschieben sich bei Deformation der positive und der negative Ladungsschwerpunkt der Zelle gegeneinander. Als Beispiel wird Quarz (kristallines SiO2 ) betrachtet (Abb. 11.3). Wegen der hohen Elektronegativit¨ at des Sauerstoffs ist die Si-O-Bindung polar: Bei den 2

Dies ist eine vereinfachte Darstellung. In der Regel sind Druck und Polarisation nicht parallel; außerdem bedingt nicht nur Druck sondern auch Scherung eine elektrische Polarisation.Um dies zu erfassen ist anstatt eines einzelnen piezeoelektrischen Koeffizienten eine Matrix aus 3 × 6 - Koeffizienten zu verwenden.

452


Sauerstoffatomen u ¨berwiegt die negative Ladung, bei den Siliziumatomen die positive Ladung. Solange der Kristall nicht deformiert wird, fallen positiver und negativer Ladungsschwerpunkt zusammen: Zwischen den Oberflächen des Kristalls tritt keine Potentialdifferenz auf. Bei Verformung werden positiver und negativer Ladungsschwerpunkt gegeneinander verschoben: An den Oberflächen entsteht eine Polarisationsladung. In Kristallen mit Inversionszentrum tritt kein piezoelektrischer Effekt auf: In diesem Fall werden der positive und der negative Ladungsschwerpunkt bei Deformation im selben Maß verschoben, so daß keine Polarisationsladung entsteht.

11.3.2 Schwingquarze Schwingquarze sind SiO2 -Quarzplatten, auf die zwei d¨ unne Metallschichten als Elektroden aufgedampft wurden. Sie sind so in einem Gehäuse montiert, daß sie in der gew¨ unschten Richtung frei schwingen können. Wird zwischen den Elektroden ein Wechselfeld angelegt, so regt dieses – wegen des inversen piezoelektrischen Effekts – den Kristall zu mechanischen Schwingungen an. Dies geschieht besonders wirkungsvoll bei der Eigenfrequenz der mechanischen Schwingungen des Kristalls (elektromechanische Resonanz). Dann liegen das durch die Deformation aufgrund des piezoelektrischen Effekts bedingte elektrische Feld und das von außen angelegte Feld in Phase. F¨ ur Schwingquarze u unne Quarz¨blich ist der sog. AT-Schnitt, bei dem d¨ scheiben mit einer bestimmten Kristallorientierung aus dem SiO2 -Kristall gesägt werden. Schwingquarze im AT-Schnitt werden meist als runde Scheiben ausgef¨ uhrt, in denen Scherschwingungen 3 (Abb. 11.4 b) durch ein elektrisches Wechselfeld an den Elektroden angeregt werden. Dabei sind sowohl Grundschwingungen als auch Oberschwingungen möglich. Zu beachten ist jedoch, daß nur ungeradzahlige Harmonische erregt werden können. Bei geradzahligen Harmonischen tritt zwischen den Oberflächen kein elektrisches Feld auf; mechanische Schwingungen dieser Frequenz lassen sich nicht durch ein elektrisches Wechselfeld erregen. Quarze im AT-Schnitt werden f¨ ur Grundschwingungen im Bereich von 800 kHz bis 35 MHz und f¨ ur Obertonschwingungen im Bereich von 16 MHz bis 270 MHz hergestellt. Die Frequenz der Grundtonschwingung eines AT-Quarzes ist durch die Dicke d der Scheibe bestimmt; näherungsweise gilt f · d ≈ 1.66 MHz mm . 3

(11.8)

F¨ ur niederfrequente Schwinger kommen auch andere Schwingungsmoden wie Biegeschwingung, Dehnungsschwingung oder Fl¨ achenscherungsschwingung in Betracht. Diese sind jedoch auf Sonderf¨ alle beschr¨ ankt, da es meist vorteilhaft ist, niedrige Frequenzen durch Frequenzteilung aus Dickenscherungsschwingern im AT-Schnitt zu gewinnen. Das gr¨ oßte Einsatzgebiet finden Biegungsschwinger als Quarz-Stimmgabelresonatoren mit einer Eigenfrequenz von 32,768 kHz, aus denen durch die Frequenzteilung (215 : 1) die Frequenz 1 Hz abgeleitet wird (Zeitnormal f¨ ur Quarzuhren“ ). ”


453

Da sich d nicht nennenswert unter eine Dicke von 0.1 mm verringern läßt, k¨ onnen Grundton-Schwingquarze nur bis zu Frequenzen von einigen 10 MHz hergestellt werden.4 G r u n d s c h w in g u n g - - - - -

Q u a r z p la tte E le k tr o d e E le k tr o d e d

+

+

+

+

+

+

+

-

-

+

-

+

-

+

3 . O b e r to n s c h w in g u n g - - - - - - -

+

-

-

-

+ K n o te n lin ie n

-

-

-

-

D +

+

+

+

+

+

+

+

+ C

A n s c h lu ß s tifte

(a ) R

1

L 1

+

+

+

(b )

0

C 1

(c )

Abb. 11.4. Schwingquarz. (a) Aufbau, (b) Scherschwingungen und (c) Ersatzschaltung

Herstellung. Die zur Herstellung von Schwingquarzen benötigten Kristalle hoher Reinheit m¨ ussen gez¨ uchtet werden. Zu diesem Zweck läßt man bei erhöhter Temperatur und unter erh¨ ohtem Druck gelösten Quarz auf einkristallinen Quarzkeimen mit definierter Kristallorientierung aufwachsen. Die Geschwindigkeit des Kristallwachstums ist gering (ca. 1mm/Tag), wobei langsameres Kristallwachstum i. allg. zu besserer Kristallqualität f¨ uhrt. Nach dem Kristallschnitt und dem Aufdampfen der Elektroden wird der Schwingquarz so montiert, daß die mechanischen Eigenschwingungen möglichst wenig ¨ gedämpft werden. Uber die Halterung wird auch die elektrische Energie zugef¨ uhrt (Abb. 11.4 a). Da sich in ungesch¨ utzten Schwingquarzen durch Wasserdampfdiffusion im Kristallgitter eine Verschiebung der Resonanzfrequenz in der Größenordnung ∆f /fr ≈ (10−8 − 10−9 )/ h einstellt, werden Schwingquarze in einem mit Schutzgas gef¨ ullten, hermetisch dichten Gehäuse (Metall oder Glas) vor äußeren Einfl¨ ussen gesch¨ utzt. Die Zuverl¨ assigkeit des Verschlusses bestimmt wesentlich das Alterungsverhalten des Schwingquarzes. Um Flußmitteldämpfe, die sich mit dem Schutzgas vermischen k¨ onnen, zu vermeiden, wird meist eine Stromverschweißung der Geh¨ auseteile eingesetzt. 4 ¨ Neue Herstellverfahren, die durch Atzen Schichtdicken von annhernd 10 µm erreichen, erm¨ oglichen Grundschwingungen bis zu 200 Mhz und Oberschwingungen bis zu 600 MHz [3].

454


Ersatzschaltung. F¨ ur Frequenzen in der Nähe der Resonanzfrequenz läßt sich das elektrische Verhalten eines Schwingquarzes näherungsweise durch die in Abb. 11.4 c gezeigte Ersatzschaltung beschreiben. Das elektromechanische Resonanzverhalten wird durch den Reihenschwingkreis C1 , L1 und R1 beschrieben. Die dynamische Induktivit¨ at L1 erfaßt dabei die schwingende Masse des Quarzresonators, die dynamische Kapazit¨ at C1 die Elastizität und den piezoelektrischen Effekt; R1 erfaßt die Dämpfung der mechanischen Schwingung aufgrund der viskosen Eigenschaften des Materials, der endlichen Abmessungen und der Leistungsabgabe an des umgebende Gas. ucksichtigt die durch die Elektroden und das Die statische Kapazit¨ at C0 ber¨ Gehäuse bedingte Koppelkapazit¨ at zwischen den Anschlußsiften. Der Wert von C0 wird maßgeblich durch die Elektrodenfläche πD2 /4 und die Plattendicke d bestimmt, deren Wert durch die Resonanzfrequenz vorgegeben ist. Mit Gl. (11.8) und r = 3.9 folgt so f πD2 C0 ≈ 0 r + CH ≈ 16 fF · 4d MHz

D mm

2

+ CH

wobei CH die Kapazit¨ at von Geh¨ ause und Halterung (< 1 pF) bezeichnet. Die Werte von C0 liegen typischerweise [4] im Bereich (1−10) pF; C1 weist Werte im Bereich von (0.1−100) fF, L1 Werte im Bereich von (10−3 −106 ) H auf. Die Admittanz der Ersatzschaltung ist Y

= jωC0 +

1 R1 + j (ωL1 −1/ωC1 )

(11.9)

=

R1 ωL1 −1/ωC1 + j ωC − 0 2 R12 + (ωL1 −1/ωC1 ) R12 + (ωL1 −1/ωC1 )2

.

Bei der Resonanzfrequenz fr verschwindet der Imaginärteil Im(Y ) des Leitwerts. Die Forderung Im(Y (fr )) = 0 f¨ uhrt auf eine biquadratische Gleichung osungen aufweist: Die Serienresonanzf¨ ur die Resonanzfrequenz fr , die zwei L¨ frequenz fs und die Parallelresonanzfrequenz fp . Im Fall vernachlässigbarer Verluste (R1 = 0) lauten diese fs0

1 √ = 2π L1 C1

und

fp0 = fs0

1+

C1 . C0

Unter Ber¨ ucksichtigung von R1 gilt n¨ aherungsweise

fs = fs0

R2 C0 1+ 1 2L1

und

fp = fp0

R2 C0 1− 1 2L1

(11.10)

.

(11.11)

ur die Verlustfaktoren bei SerienIm Intervall fs < f < fp ist Im(Y ) < 0. F¨ bzw. Parallelresonanz gilt tan δs =

1 1 R1 1 ≈ Qs 2π L1 fs

und

tan δp =

1 1 R1 1 ≈ . Qp 2π L1 fp

(11.12)


455

Die Verlustfaktoren weisen vergleichbare Werte auf, da Serien- und Parallelresonanzfrequenz dicht beieinander liegen. Die Kehrwerte der Verlustfaktoren werden als Schwingungsg¨ uten (kurz: G¨ uten) bezeichnet. Ihr Wert liegt beim AT-Schnitt typischerweise zwischen 25000 und 150000. Die maximal erreichbare G¨ ute ist durch die D¨ ampfung des Materials bestimmt und frequenzabhängig, sie nimmt mit zunehmender Frequenz ab.5 Besonders hohe Schwingungsg¨ uten lassen sich mit Schwingquarzen im Frequenzbereich von (2 − 5) MHz erzielen [5]. P & S) P

/ + 5H<

& I) 5 2KP

P 6HULHQUHVRQDQ]IUHTXHQ] P

P

P 0+] ,0*,9 9LQ

,P<

0+] 5,9 9LQ )UHTXHQF\

3DUDOOHOUHVRQDQ]IUHTXHQ]

0+]

Abb. 11.5. Realteil und Imagin¨ arteil des Leitwerts der Ersatzschaltung f¨ ur einen 1 MHzSchwingquarz als Funktion der Frequenz

Beispiel 11.3.1 Mit den Werten C0 = 2.488 pF, L1 = 2.546 H, C1 = 9.954 f F und R1 = 640 Ω folgt *

fs0 = 1 2π L1 C1 ≈ 0.999752 MHz und

fp0 = fs0 1 + C1 /C0 ≈ 1.001750 MHz . Eine Ber¨ ucksichtigung von R1 bei der Berechnung der Resonanzfrequenzen läßt die ersten sechs Stellen unver¨ andert und kann deshalb unterbleiben. Die beiden Resonanzfrequenzen liegen um 1998 Hz auseinander. Die Schwingungsg¨ uten bei Serienbzw. Parallelresonanz sind L1 1 C1 = 24703 und Qp ≈ Qs 1 + = 24752 . Qs ≈ R1 C1 C0 5

Nach [5] gilt Q · f < 16 · 1012 Hz .

456


Abbildung 11.5 zeigt den Verlauf von Real- und Imaginärteil der Admittanz in der N¨ ahe der Resonanzfrequenz, berechnet mittels der SPICE-AC-Analyse unter Verwendung der Quarzersatzschaltung. Die dicht beieinander liegenden Nulldurchgänge des Imagin¨ arteils der Admittanz (bei den Resonanzfrequenzen) sind eingezeichnet; ihr Wert stimmt mit den Ergebnissen der Beispielrechnung u ∆ ¨berein.

Die Impedanz des Quarzes ist definitionsgemäß reell; bei Serienresonanz folgt aus (11.9) und den N¨ aherungen (11.10) f¨ ur die Resonanzfrequenz sofort Rs ≈ R1 ;

(11.13)

im Fall der Parallelresonanz gilt entsprechend 1 Rp = R1 + R1

1 ωp L1 − ωp C1

2

≈ R1 +

C1 L1 . R1 C0 (C1 +C0 )

(11.14)

Die in Abb. 11.4 c angegebene Ersatzschaltung ist g¨ ultig in der Umgebung der Resonanzfrequenz der Grundschwingung. Um das Verhalten des Schwingquarzes in der N¨ ahe der Obert¨ one zu beschreiben, sind in der Ersatzschaltung zusätzliche RLC-Reihenschwingkreise parallel zu schalten (Abb. 11.6). C

R 1

L 1

R 2

L 2

R n

L n

0

C 1

C 2

C n

Abb. 11.6. Erweiterte Ersatzschaltung zur Beschreibung von Obertonschwingungen

Die Werte f¨ ur Ln , Cn und Rn sind dabei auf die n-te Obertonfrequenz abzustimmen. Da die schwingende Masse im Obertonbetrieb annähernd dieselbe ist wie im Grundtonbetrieb, bleibt die dynamische Induktivität nahezu unverändert. Die dynamische Kapazit¨ at C1 ist im n-ten Oberton jedoch deutlich reduziert; näherungsweise gilt Cn /C1 = 1/n2 . Die kleine dynamische Kapazit¨ at von Obertonquarzen eignet sich zur Konstruktion besonders frequenzstabiler Quarzoszillatoren. In Normalfrequenzquarzen wird meist die Schwingung im dritten Oberton ausgenutzt. Der Resonanzwiderstand Rn im n-ten Oberton beträgt annähernd das n-fache des Resonanzwiderstands der Grundschwingung [5]: Rn ≈ nR1 .


457

Schwingquarz mit kapazitiver Beschaltung. Zum Abgleich der Resonanzfrequenz wird gew¨ ohnlich parallel oder in Serie zum Schwingquarz eine Kapazität geschaltet. Dabei ist jedoch zu beachten, daß die G¨ ute des Resonanzkreises wegen der Verlustfaktoren der f¨ ur die Beschaltung verwendeten Kondensatoren abnimmt.

C C p

s

(a )

(b )

Abb. 11.7. Abgleich der Resonanzfrequenz durch (a) parallel geschalteten und (b) in Reihe geschalteten Trimmkondensator

Die Kapazität Cp liegt parallel zur Kapazität C0 der Quarzersatzschaltung (Abb. 11.7 a). Die Parallelresonanzfrequenz nimmt dadurch ab, während die Serienresonanzfrequenz in erster N¨ aherung unverändert bleibt; näherungsweise gilt

fp (Cp ) = fs0

C1 C1 1+ ≈ fs0 1 + C0 +Cp 2(C0 +Cp )

,

(11.15)

es tritt eine relative Frequenz¨ anderung C1 Cp fp (Cp )−fp (0) ≈ − fs0 2C0 (C0 +Cp ) auf. Bei Serienschaltung (Abb. 11.7 b) einer Kapazität Cs zum Schwingquarz gilt näherungsweise

fs (Cs ) ≈ fs0

C1 C1 1+ ≈ fs0 1 + C0 +Cs 2(C0 +Cs )

,

(11.16)

hier nimmt die Serienresonanzfrequenz ab. Die durch kapazitive Beschaltung erreichbare Frequenz¨ anderung ist zwar gering, ermöglicht aber dennoch den Ausgleich fertigungsbedingter Toleranzen. Als Ziehbetrag (englisch pulling range) PR wird die erreichbare (relative) Frequenzänderung bezeichnet; dabei gilt stets PR < C1 /(2C0 ). Verlustleistung. Bei erh¨ ohten Anforderungen an die Frequenzstabilität ist die Verlustleistung wesentlich, da die damit verbundene Erwärmung zu einer uhren kann. Die Verlustleistung ist gegeben durch Frequenzverschiebung 6 f¨

P = I 2 R1 1 + 6

C0 CL

2

,

Meistens wird eine Zunahme der Resonanzfrequenz mit der Verlustleistung beobachtet.

458


wobei CL die Lastkapazit¨ at und I den Effektivwert des u ¨ber den Quarz fließenden Stroms bezeichnet. Die Lastkapazität CL in der Schaltung wird dabei durch den parallel oder in Serie zum Quarz geschalteten Kondensator und parasitäre Kapazit¨ aten, wie Koppelkapazitäten zwischen Leiterbahnen und Bauteilen, sowie die internen Kapazit¨ aten von Halbleiterbauteilen bestimmt. Typische Werte der Verlustleistung liegen im Bereich von (0.1 − 1) mW. ¨ Temperaturabh¨ angigkeit. Die relative Anderungs ∆f /f der Resonanzfrequenz eines Schwingquarzes mit der Temperatur ist näherungsweise [6] ∆f ϑ−ϑinv (ϑ−ϑinv )3 = −5 · 10−6 ∆θ ◦ + 10−10 . f C (◦ C)3

(11.17)

Dabei bezeichnet ∆θ die Abweichung des Schnittwinkels vom Nullwinkel 7 in Grad und ϑinv die sog. Inversionstemperatur, das ist die Temperatur am Wendepunkt der durch Gl. (11.17) definierten Parabel. Um gew¨ unschte Abhängig2 0 p p m

U m k e h rp u n k t

1 0

D q = 0 .1

0

D f f

U m k e h rp u n k t

-1 0 -2 0

D q = 0

-6 0

-4 0

-2 0

J

0

2 0 J / C

in v

4 0

6 0

8 0

1 0 0

Abb. 11.8. Rela¨ tive Anderung der Resonanzfrequenz mit der Temperatur f¨ ur Schwingquarze im AT-Schnitt mit unterschiedlichem Schnittwinkel bez¨ uglich des Nullwinkels (nach [6])

keiten der Frequenz von der Temperatur zu realisieren, wird der Schnittwinkel bis auf wenige Winkelsekunden genau eingehalten. Die Inversionstemperatur wird f¨ ur Frequenznormale so gew¨ ahlt, daß sie in der Mitte des zulässigen Temperaturbereichs der Schaltung zu liegen kommt; dies f¨ uhrt zu symmetrischen Abweichungen und zu einem minimalen Fehler |∆f /f |. F¨ ur erhöhte Anforderungen bez¨ uglich der Frequenzstabilität werden auch temperaturgeregelte Schwingquarze eingesetzt. Die Temperatur des Schwingquarzes wird dabei auf der Temperatur eines Umkehrpunkts gehalten, da in diesem näherungsweise df /dT = 0 gilt. Alterung. Die Resonanzfrequenz von Schwingquarzen weist eine langfristige Drift (Alterung) auf; f¨ ur die relative Frequenzabweichung aufgrund der Alterung gilt dabei ann¨ ahernd ein logarithmisches Zeitgesetz [5] 7

Das ist der Winkel bei dem die Wendetangente waagrecht verl¨ auft (vgl. Abb. 11.8).


459

∆f /f ≈ κ(T ) ln(t/h) . Der Faktor κ(T ) gen¨ ugt n¨ aherungsweise dem Arrhenius-Gesetz, d. h. die Al¨ terung wird mit zunehmender Temperatur beschleunigt; bei Uberlastung des Schwingquarzes kann es dar¨ uber hinaus zu einer bleibenden Veränderung der Resonanzfrequenz durch Versetzungen im Kristallgitter kommen. Quarzoszillatoren. Mit Schwingquarzen lassen sich relativ einfach Oszillatoren mit Frequenzstabilit¨ aten im ppm-Bereich realisieren. Abbildung 11.9 a zeigt einen Pierce-Oszillator aufgebaut mit einem CMOS-Inverter als Verstärker. Der Schwingquarz mit der Frequenz 32768 Hz könnte z. B. als Zeitnormal in einer Quarzuhr“ dienen – durch Frequenzteilung im Verhältnis 1 : 215 ” ergibt sich die Frequenz 1 Hz. Abbildung 11.9 b zeigt eine weitere Grundschaltung: Den emittergekoppelten Quarzoszillator. Der Wert von RE ist so zu wählen, daß die Schaltung einerseits sicher anschwingt, andererseits aber auch nicht zu sehr u ¨bersteuert. Diese Schaltung ist Bestandteil von integrierten Oszillatorschaltungen. V

1 0 0 k

1 0 M

V

R +

v

3 2 7 6 8 H z

v 2 0 p

2 0 p

(a )

V +

+

R C

C

v

A 1

A 2

A

R

R E

E

(b )

Abb. 11.9. Schaltbeispiele f¨ ur Quarzoszillatoren. (a) Pierce-Oszillator f¨ ur Quarzuhren und (b) emittergekoppelter Quarzoszillator

In der Praxis werden Quarzoszillatoren meist nicht mit diskreten Bauteilen aufgebaut, sondern verwenden monolithisch integrierte Ansteuerschaltungen. Diese haben zum einen einen geringeren Platzbedarf, bieten zum anderen aber auch eine optimierte Ansteuerung, indem sie die Amplitude und damit die im Quarz umgesetzte Verlustleistung begrenzen, was sich positiv auf die Frequenzstabilit¨ at auswirkt. Nach DIN45175-1 werden Quarzoszillatoren in einfache Quarzoszillatoren (PXO), spannungsgesteuerte Quarzoszillatoren (VCXO), temperaturkompensierte Quarzoszillatoren (TCXO) und temperaturstabilisierte Quarzoszillato-

460


ren (OCXO) eingeteilt. Mit einfachen Quarzoszillatoren lassen sich bei niederfrequenten Schwingquarzen relative Frequenzabweichungen von ±2 · 10−4 im Temperaturbereich von −40◦ C bis +90◦ C realisieren; mit Dickenscherschwingern im AT-Schnitt sind f¨ ur Frequenzen größer 1 MHz Genauigkeiten in der Größenordnung von ±2 · 10−5 zu erreichen. V

V +

R

V +

+

V

V +

R V

V +

R

B 1

+

T re n n v e rs tä rk e r C

T h e r m is to r A u s g a n g

V Z

V T h e r m is to r

R 0

R

R

B 2

R E

C E

Abb. 11.10. Temperaturkompensierter Quarzoszillator (nach DIN 45175-1)

F¨ ur erhöhte Anforderungen an die Temperaturkonstanz besteht die Möglichkeit der Temperaturkompensation mit Hilfe eines zusätzlichen Netzwerks. Bei analoger Temperaturkompensation wird in Serie zum Schwingquarz eine Kapazitätsdiode geschaltet, die u ¨ber ein Netzwerk temperaturabhängiger Widerstände mit einer temperaturabh¨ angigen Sperrspannung betrieben wird (Abb. 11.10). Die in Serie zum Schwingquarz wirkende Lastkapazität weist damit einen Temperaturgang auf, der zur Kompensation des Temperaturgangs der Resonanzfrequenz verwendet werden kann. Temperaturkompensierte Quarzoszillatoren sind als fertig verschaltete Module von zahlreichen Herstellern verf¨ ugbar, sie weisen typischerweise eine relative Frequenzkonstanz von 1 ppm (Pr¨ azisionstypen unter 0.1 ppm) u ¨ber einen Temperaturbereich von 0 bis 50◦ C auf. Mit temperaturstabilisierten Quarzoszillatoren lassen sich sehr präzise Oszillatoren aufbauen (relative Frequenz¨ anderung nach Betrieb u ¨ber mehrere Monate kleiner als 10−11 pro Tag, im wesentlichen bedingt durch die Alterung des Quarzes). Eine Diskussion der prinzipiellen Grenzen der erreichbaren Frequenzstabilit¨ at ist in [7] zu finden.


461

11.3.3 Quarzfilter Die hohe G¨ ute des Quarzresonators erlaubt die Realisierung von Filtern mit steilen Flanken, die elektrischen LC-Kreisen weit u ¨berlegen sind. Die einfachsten Quarzfilter verwenden einen Schwingquarz in Serie oder parallel zum Verbraucher (Abb. 11.11 a und 11.11 b). R S

C v

R S

R L

0

S

(a ) R v

v S

R S

S

R

L 1

1

C 1

R L

L

(c )

(b ) Abb. 11.11. Einfache Quarzfilter

Abbildung 11.11 c zeigt die Ersatzschaltung der Schaltung 11.11 b. Solange die statische Kapazit¨ at vernachl¨ assigt werden kann, entspricht die Anordnung einem LRC-Reihenschwingkreis. Mit den Ergebnissen von Kap. 1 folgt dann Hv ≈

jωC1 RL R 1 + jωRC − ω 2 L1 C1

mit

R = RL +RG +R1 .

Der Spannungs¨ ubertragungsfaktor der Anordnung zeigt ein lokales Maximum bei der Serienresonanzfrequenz. Dort ist Hv =

RL . RG +RL +R1

F¨ ur die 3 dB-Bandbreite des Durchlaßbereichs“ bei der Serienresonanzfre” quenz folgt mit der G¨ ute Q = 2πfs L1 /R

fs RL RG fs = 1+ + B = Q Qs R1 R1

,

ute des Quarzes bezeichnet. Bei wobei Qs = 2πfs L1 /R1 die Schwingungsg¨ geringen Werten f¨ ur RG und RL ergibt sich demnach ein Bandfilter hoher G¨ ute. Nachteilig an der in Abb. 11.11 c gezeigten Anordnungen ist die parallel wirkende statische Kapazit¨ at. Diese f¨ uhrt in Verbindung mit RL zu einem Hochpaßverhalten, das den Wert des Spannungs¨ ubertragungsfaktors bei großen Frequenzen gegen den Wert H v → RL /(RG +RL ) laufen läßt.

462


G%%DQGEUHLWH+]

& S)

&

3DUDOOHOUHVRQDQ] 0+] '%9RXW

0+] '%9RXW

0+]

0+]

0+]

)UHTXHQF\

¨ Abb. 11.12. Ergebnisse der SPICE-AC-Analyse f¨ ur das Maß des Ubertragungsfaktors des in Abb. 11.11 b gezeigten Quarzfilters

Beispiel 11.3.2 Abbildung 11.12 zeigt die Ergebnisse einer SPICE-AC-Analyse f¨ ur das Maß des Spannungs¨ ubertragungsfaktors der in Abb. 11.11 c gezeigten Ersatzschaltung. Die Elemente der Quarzersatzschaltung wurden wie in Beispiel 11.3.1 gew¨ ahlt (C0 = 2.488 pF, L1 = 2.546 H, C1 = 9.954 f F und R1 = 640 Ω); zum Veruhrten Simulation gleich wurde die statische Kapazit¨ at C0 in einer zusätzlich durchgef¨ gleich null gesetzt. F¨ ur RG und RL wurden die Werte 50 Ω bzw. 1 kΩ angenommen. ¨ Die Simulation zeigt: Das Ubertragungsverhalten in unmittelbarer Umgebung der Serienresonanzfrequenz darf unter Vernachl¨ assigung der statischen Kapazität berechnet werden. Die Absch¨ atzung f¨ ur die Bandbreite 50 RG RL 1 MHz fs 1000 + + 1+ = B = 1+ = 106.9 Hz Qs R1 R1 24703 640 640 und das Verst¨ arkungsmaß bei der Resonanzfrequenz RL = −4.557 dB av = 20 dB · log RG + R1 + RL stimmt mit den Resultaten der Simulation u ¨berein. Wird die statische Kapazität ucksichtigt, so kommt bei der Parallelresonanzfrequenz fp ein Minimum des C0 ber¨ Spannungs¨ ubertragungsfaktors hinzu. F¨ ur Frequenzen fernab der Resonanzfrequenz ubertragungscharakteristik mit der Grenzfrequenz fg = bedingt C0 eine Hochpaß¨ uhrt dies auf das Verstärkungsmaß (2πRL C0 )−1 ≈ 64 MHz. Bei fs ≈ 1 MHz f¨ av ≈ 20 dB · log (1/64) ≈ −36.1 dB ¨ in Ubereinstimung mit der Simulation (Abb. 11.12).

∆


463

¨ Da die durch C0 bedingten Hoch- bzw. Tiefpaßanteile der Ubertragungsfaktoren der in den Abbn. 11.11a und 11.11b gezeigten Quarzfilter gewöhnlich stören, werden diese meist durch zusätzliche Quarze und/oder LCKombinationen erg¨ anzt. Abbildung 11.13 a zeigt ein mit Schwingquarzen aufgebautes Abzweigfilter. Quarzfilter in Abzweigschaltung sind einfach im Aufbau und vergleichsweise unempfindlich gegen¨ uber Streuungen der Bauteilparameter. Durch Reihen- oder Parallelschaltung von Kondensatoren können die Resonanzfrequenzen der Quarze und damit die Bandbreite verändert werden; durch Einsatz von Kapazit¨ atsdioden lassen sich sogar Bandfilter mit stufenlos veränderlicher Bandbreite verwirklichen [8].

C

(a )

(b )

Abb. 11.13. Quarzfilter. (a) Abzweigfilter und (b) Br¨ uckenschaltung

Quarzfilter in Abzweigschaltung weisen unterschiedlich steile untere und obere Flanken auf und kommen deswegen meist als Einseitenbandfilter zum Einsatz. Alternativ zur Abzweigschaltung wird die Br¨ uckenschaltung verwendet, mit der symmetrische Filterflanken auch bei höherer Bandbreite realisiert werden können. Quarzfilter in Br¨ uckenschaltung werden in der Praxis meist unter Verwendung eines Differential¨ ubertragers aufgebaut (Abb. 11.13 b) [8]. Werden die Serienresonanzfrequenzen der Quarze etwas unterschiedlich gewählt, so kann die Durchlaßcharakteristik verändert werden. Durch die Kapazität C lassen sich die Serienresonanzfrequenzen der Quarze zusätzlich auseinander schieben, wodurch die Durchlaßcharakteristik geglättet wird. Monolithische Quarzfilter. Monolithische Quarzfilter vereinen mehrere mechanisch nur schwach verkoppelte elektromechanische Resonatoren auf einer Quarzplatte. Diese wird so d¨ unn gew¨ ahlt, daß sich in ihr keine Wellen im relevanten Frequenzbereich ausbreiten können. Die von den aufgebrachten Elektroden erregten Schwingungen sind lokal – ihre Amplitude fällt exponentiell mit dem Abstand von den Elektroden ab. Dieser Effekt wird als energy trapping bezeichnet. Zwischen den einzelnen Resonatoren stellt sich dann eine – durch den Abstand der Elektroden einstellbare – mechanische Kopplung ein. Durch diese mechanische und elektrische Kopplung lassen sich so Kettenschaltungen mehrerer Resonatoren auf einem einzigen Quarzträger aufbauen. Auf diesem Weg k¨ onnen Bandfilter realisiert werden, die ohne äußere Indukti¨ vitäten auskommen; die Ubertragungsfaktoren können dabei in einem weiten Bereich bei der Herstellung eingestellt werden.

464


11.4 Oberfl¨ achenwellenbauelemente Akustische Oberfl¨ achenwellenbauelemente (OFW-Bauelemente 8 ) nutzen den piezoelektrischen Effekt in Verbindung mit speziellen oberflächengebundenen elastischen Wellen, den sog. Rayleigh-Wellen, zur Realisierung von Resonatoren, Kopplern, Verz¨ ogerungsleitungen und Filtern [9, 10].

R a y le ig h - W e lle

Abb. 11.14. Elastische Oberfl¨ achenwelle

Elastische Oberfl¨ achenwellen. Die als Rayleigh-Wellen bezeichneten Oberflächenwellen [11] sind elastische Schwingungen eines Festkörpers, bei denen nur eine Deformation der Oberfl¨ ache auftritt; die Eindringtiefe der Welle in den Festk¨ orper ist dabei von der Größenordnung der Wellenlänge. Die Phasengeschwindigkeit der Rayleigh-Wellen beträgt ca. das 10−4 -fache der Lichtgeschwindigkeit und ist weitgehend frequenzunabhängig. Sie ist geringer als die Phasengeschwindigkeit von Volumenwellen, bei denen das gesamte Festk¨ orpervolumen beteiligt ist. Bei Phasengeschwindigkeiten von ange von ca. 3 µm bei der Frequenz (3 − 4) · 109 µm/s resultiert eine Wellenl¨ 1 GHz. In piezoelektrischen Materialien besteht eine Kopplung zwischen der mechanischen Rayleigh-Welle und dem elektrischen Feld an der Oberfläche des Festkörpers. Dies erm¨ oglicht die Anregung von Oberflächenwellen bzw. deren Umsetzung in ein elektrisches Signal mittels geeignet geformter Elektroden. Interdigitalwandler. Die Anregung von Oberflächenwellen durch elektrische Signale und die Umsetzung von Oberfl¨ achenwellen in elektrische Signale wird mittels sog. Interdigitalwandler bewerkstelligt. Dies sind fingerförmig ineinandergreifende Elektrodenpaare, die durch Fotoätztechnik aus einer auf dem piezoelektrischen Substrat abgeschiedenen Metallschicht hergestellt werden. 8

Aus dem Amerikanischen stammt die Abk¨ urzung SAW (von surface acoustic wave.)

11.4. Oberflächenwellenbauelemente E in g a n g

465 A u s g a n g

P ie z o e le k tr is c h e s M a te r ia l

Abb. 11.15. Interdigitalwandler zum Ein- und Auskoppeln elektrischer Signale in OFW-Bauteilen

Abbildung 11.15 zeigt in Draufsicht zwei Interdigitalwandler 9 zum Einund Auskoppeln von Oberfl¨ achenwellen. Wird zwischen den beiden Anschl¨ ussen eines Interdigitalwandlers eine Wechselspannung angelegt, so baut sich zwischen den Fingern ein elektrisches Wechselfeld auf (Abb. 11.16). Wegen des piezoelektrischen Effekts f¨ uhrt dies zu mechanischen Deformationen der Oberfläche, die sich als Rayleigh-Wellen entlang der Oberfläche ausbreiten. a k u s tis c h e O b e r flä c h e n w e lle

F in g e r d e s In te r d ig ita lw a n d le r s p

e le k tr is c h e s F e ld

Abb. 11.16. Anregung von Oberfl¨ achenwellen mit Hilfe eines Interdigitalwandlers

Die Anregung der Rayleigh-Wellen erfolgt besonders wirksam, wenn die Wellenlänge der erzeugten Oberfl¨ achenwelle gleich 2p ist. Dies definiert die sog. Mittenfrequenz f0 des Interdigitalwandlers f0 = vph /2p ,

(11.18)

wobei vph die Phasengeschwindigkeit der Rayleigh-Welle angibt. Daß Anregungen mit dieser Frequenz besonders wirksam sind, wird deutlich, wenn man sich eine Anregung vorstellt, die sich von einem Rand des Wandlers zum anderen ausbreitet. Liegt f bei der Mittenfrequenz, so erfolgt die Anregung bei jedem Fingerpaar in Phase mit der einlaufenden Welle, was sich in einer optimalen Verstärkung auswirkt. Bei Anregungen mit anderer Frequenz sind die Auslenkung bei den benachbarten Fingerpaaren nicht in Phase mit der einlaufenden Welle, wodurch es zu einer Abschwächung bzw. verminderten Verstärkung kommt. Umgekehrt bewirkt eine einen Interdigitalwandler pas9

Hierbei handelt es sich um ungewichtete“ Wandler. Durch alternative Formgebung f¨ ur ¨ ” die Elektroden kann auf die Ubertragungscharakteristik Einfluß genommen werden.

466


sierende Rayleigh-Welle eine Spannung zwischen dessen Fingern – auf diesem Weg werden Signale ausgekoppelt. OFW-Filter. Oberfl¨ achenwellenfilter (OFW-Filter) sind Bandpaßfilter aus zwei miteinander verkoppelten Interdigitalwandlern, die f¨ ur Bandmittenfrequenzen von ca. 10 MHz bis zu mehr als 2 GHz hergestellt werden; sie werden als Bandfilter vorzugsweise in der Fernsehtechnik eingesetzt, finden aber auch bei Frequenzen im GHz-Bereich (Mobilfunktechnik) ihre Anwendung. Gegen¨ uber LC-Bandfiltern zeichnen sie sich durch geringen Platzbedarf, eng tolerierte Daten und eine g¨ unstige Filtercharakteristik aus, die bei der Herstellung nicht durch einen nachtr¨ aglichen Abgleich eingestellt werden muß. Bei der Herstellung wird durch mechanische Dämpfung der Oberflächenwellen an den Kanten daf¨ ur Sorge getragen, daß reflektierte Oberflächenwellenanteile nicht zu Störsignalen f¨ uhren. OFW-Filter weisen einen von Substratmaterial und Kristallschnitt abhängigen negativen TK auf, d. h. die Bandmittenfrequenz verschiebt sich bei Temperaturerhöhung zu niedrigeren Frequenzen. Bei OFW-Filtern auf Lithiumniobat-Basis ist der Betrag des Temperaturkoeffizienten kleiner als 10−4 K−1 . Die Ein- bzw. Ausgangsimpedanz eines OFW-Filters ist, insbesondere wegen der frequenzabh¨ angigen Abstrahlung“ des Wandlers, frequenzabhängig, ” wobei vor allem der Realteil der Eingangsadmittanz bei der Mittenfrequenz ein ausgeprägtes Maximum aufweist. Wegen der R¨ uckstrahlung“ des jeweils ” anderen Wandlers hat dessen Beschaltung Einfluß auf den Frequenzgang der Admittanz. Zur Unterdr¨ uckung von St¨ orsignalen durch Mehrfachreflexion“ ” (Triple-Transit-Echo) sollte die Ansteuerung eines OFW-Filters sehr niederohmig erfolgen. Elektromechanische Verz¨ ogerungsleitungen. Jede Leitung der Länge Λ √ f¨ uhrt zu einer Verz¨ ogerung eines Signals um Λ/vgr ≈ r Λ/c. Wegen der hohen Ausbreitungsgeschwindigkeit der Leitungswellen sind f¨ ur größere Verzögerungszeiten unzweckm¨ aßig große Leitungslängen erforderlich. Als Folge der wesentlich kleineren Schallgeschwindigkeit in Festkörpern ermöglichen elektromechanische Bauteile den Aufbau von sehr viel kompakteren Verzögerungsgliedern. Dabei regt ein piezoelektrischer Wandler Wellen im Festkörper an, diese breiten sich mit der Schallgeschwindigkeit durch den Festkörper fort, wobei sie f¨ ur eine Strecke von 1 cm ungef¨ ahr 3 µs benötigen. In einem zweiten Wandler erfolgt dann die R¨ uckwandlung in das elektrische Signal.

11.5. Dielektrische Resonatoren und Filter

467

11.5 Dielektrische Resonatoren und Filter Die in Kap. 10 betrachteten Leitungswellen stellen einen Sonderfall der allge¨ meinen Ausbreitungsmoden in einem Wellenleiter dar. F¨ ur die Ubertragung hochfrequenter Signale mit Wellenl¨ angen im Zentimeter- und Millimeterbereich weisen Leitungen aber – z. B. wegen des bei diesen Frequenzen deutlich erhöhten Widerstands (Skineffekt) – eine hohe Dämpfung auf. Als Alternative k¨ onnen hier Hohlleiter eingesetzt werden, in denen die Leistung in Form elektromagnetischer Wellen u ¨bertragen wird. Diese weisen eine geringere Dämpfung auf als Koaxialkabel und erlauben es, höhere Leistungen zu transportieren. Die W¨ ande eines Hohlleiters sind leitend, was die Möglichkeit der ausbreitungsf¨ ahigen Moden einschränkt. Als Nachteil der Hohlleiter sind ihre hohen Kosten, die mechanische Starrheit und die – insbesondere bei größeren Wellenl¨ angen – beachtlichen Abmessungen und das damit verbundene Gewicht zu nennen. Durch Fortschritte auf dem Gebiet der Mikrowellenkeramik [12] sind heute Materialien mit hoher Dielektrizit¨ atszahl r , geringem Verlustwinkel und geringer Temperaturabh¨ angigkeit verf¨ ugbar. Dies ist von praktischer Bedeutung, da sich die Abmessungen von mit dielektrischem Material gef¨ ullten √ Hohlleitern und Hohlraumresonatoren mit 1/ r verringern lassen. Die hohen Werte der Dielektrizit¨ atszahlen erm¨ oglichen so eine Volumenreduktion (Fak−3/2 ) gegen¨ uber Hohlleiterbauelementen von der Größenordnung 1000; tor r die Abmessungen von Hohlleiterbauelementen, die häufig im Dezimeterbereich liegen, konnten auf diesem Weg so stark reduziert werden, daß sie sich in Verbindung mit Streifenleitern auf Substraten aufbauen lassen. Sie sind h¨ aufig in SMT-Bauform verf¨ ugbar.

Dielektrische Resonatoren Dielektrische Resonatoren [13] werden z. B. zur Frequenzstabilisierung in Oszillatoren f¨ ur Mobilfunk oder in Heimempfangsanlagen f¨ ur das Satellitenfernsehen verwendet. Sie zeichnen sich durch g¨ unstigen Preis und mechanische Robustheit aus. Zylinderresonatoren. Zylinderresonatoren sind zylinderförmige Vollst¨ ucke aus verlustarmer Mikrowellenkeramik. Sie werden eingesetzt zur Frequenzstabilisierung von Mikrowellenoszillatoren (z. B. in TV-Satellitenempfängern). F¨ ur die Resonanzfrequenz gilt n¨ aherungsweise c 1 , fr ≈ √ r D

468


wobei c die Vakuumlichtgeschwindigkeit, r die Dielektrizitätszahl des Resonators und D den Durchmesser 10 des Zylinders bezeichnet. Die Durchmesser liegen im Bereich weniger mm, die Eigenfrequenzen der Resonatoren liegen im Frequenzbereich von 1 GHz bis 30 GHz. D ie le k tr is c h e r R e s o n a to r H

l /4

M ic r o s tr e ife n le itu n g

S u b s tra t

Abb. 11.17. Dielektrischer Resonator zur schmalbandigen Kopplung zweier Streifenleitungen

Dielektrische Zylinderresonatoren werden gewöhnlich an Streifenleitungen angekoppelt (Abb. 11.17). F¨ ur maximale Kopplung des Resonators an das magnetische Feld ist dieser an Strommaxima auf den Streifenleitern zu plazieren – d. h. um λ/4 gegen¨ uber den Enden der im Leerlauf betriebenen Streifenleitung verschoben. Der Resonator bewirkt dann eine schmalbandige Kopplung zwischen den beiden Streifenleitungen. Eine Temperaturabh¨ angigkeit der Resonanzfrequenz resultiert aus der Temperaturvariation der Dielektrizit¨ atszahl r des Resonators sowie seiner Wärmeur den Temausdehnung. Mit dem W¨ armeausdehnungskoeffizienten αl folgt f¨ peraturkoeffizient der Resonanzfrequenz 1 dfr 1 dr = − − αl . fr dT 2r dT Dieser läßt sich durch die Zusammensetzung des Keramikmaterials variieren, so daß dielektrische Zylinderresonatoren nach Kundenwunsch (vorgegebene Werte von r , TK und fr ) hergestellt werden können. Der Temperaturkoeffizient wird bei Pr¨ azisionsresonatoren auf ca. ±0.5 ppm/K spezifiziert, während die Fertigungstoleranzen bei Standardprodukten im Bereich von ±1.5 ppm/K liegen [14]. Die G¨ ute Q eines dielektrischen Zylinderresonators ist stark von der Resonanzfrequenz abh¨ angig und nimmt mit zunehmendem fr ab. Als grobe Abschätzung gilt dabei [14] Q fr ≈ const. Bei f = 10 GHz sind G¨ utewerte bis ca. 10000 verf¨ ugbar. Zur Vermeidung von Abstrahlverlusten m¨ ussen die Resonatoren in ein Metallgehäuse eingebaut werden; wegen der in der Geh¨ ausewand induzierten Ströme f¨ uhrt dies zu einer Verringerung der G¨ ute. 10

Die H¨ ohe des Zylinders betr¨ agt typ. L ≈ 0.4D.

11.5. Dielektrische Resonatoren und Filter

469

k e r a m is c h e r K o a x ia lr e s o n a to r

V R

Abb. 11.18. Spannungsgesteuerter Oszillator mit Koaxialresonator (nach [14])

Koaxialresonatoren. Keramische Koaxialresonatoren eignen sich zur Frequenzstabilisierung im Frequenzbereich 300 MHz bis 6 GHz; die Resonanzfrequenz läßt sich dabei elektronisch abstimmen. Anwendungsbeispiele liegen etwa in der Mobilfunktechnik; Abb. 11.18 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines spannungsgesteuerten Oszillators mit einem keramischen Koaxialresonator. Keramische Koaxialresonatoren sind λ/4-Resonatoren, aufgebaut als Quader aus keramischem Material mit koaxialer Bohrung, die auf der Innen- und Außenseite von einer leitenden Schicht (gewöhnlich Silber oder Kupfer) u ¨berzogen sind. Die Resonanzfrequenz fr wird durch die Dielektrizitätszahl und die Länge Λ des Resonators bestimmt fr ≈

c 1 mm . √ ≈ 75 GHz · √ 4Λ r r Λ

Da sich beim Einbau des Resonators in die Schaltung aufgrund parasitärer Parallelkapazit¨ aten die Resonanzfrequenz i. allg. nach unten verschiebt, ist ein Abgleich erforderlich. Die G¨ ute Q der Koaxialresonatoren wird in erster Linie durch die Metallisierung bestimmt; diese bedingt eine Begrenzung bei f = 1 GHz auf Werte in der Größenordnung 1000 weitgehend unabhängig vom Keramikmaterial. Bei niedrigeren Frequenzen f nimmt die G¨ ute ab, wobei in grober Abschätzung √ Q ∼ fr gilt.

Dielektrische Filter Durch Verkopplung mehrerer dielektrischer Resonatoren lassen sich keramische Bandfilter realisieren [15]. Dies kann durch Verschalten separater Resonatoren oder durch monolithischen Aufbau, bei dem koaxiale Resonatoren z. B. u ¨ber Koppelschlitze [12] zusammenwirken, erfolgen. Dielektrische Bandfilter sind in SMD-Bauform verf¨ ugbar, sie sind wegen der großen Dielektrizitätszahlen (in der Gr¨ oßenordnung von 100) sehr kompakt und besitzen eine geringe Einf¨ ugedämpfung. Anwendungen f¨ ur derartige Filter liegen beispielsweise in der Mobilfunktechnik bzw. in schnurlosen Telefonen [14]. Wegen ihrer geringen dielektrischen Verluste k¨ onnen mit dielektrische Resonatoren f¨ ur spezielle Anwendungen auch Bandpaßfilter mit G¨ uten Q > 1000 bei Frequenzen von

470


100 GHz sowie Filter f¨ ur u ¨bertragene Leistungen im Kilowattbereich aufgebaut werden.

11.6 Literaturverzeichnis [1] H.-G. Unger. Elektromagnetische Wellen auf Leitungen. H¨ uthig, Heidelberg, dritte Auflage, 1991. [2] K.H. Hellwege. Einf¨ uhrung in die Festk¨ orperphysik. Springer, Berlin, 1976. [3] K. Wessendorf, T. Payne. Quarzoszillatoren f¨ ur h¨ ochste Frequenzen. Elektronik, (3):68– 73, 1999. [4] B. Neubig. Schwingquarze in der Oszillatorschaltung. in ’Schwingquarze’, ZVEISymposium 1985, Vistas, Berlin, pp. 51–108, 1985. [5] W. Briese. Aufbau, Eigenschaften und Anwendungen von Schwingquarzen. ’Schwingquarze’, ZVEI-Symposium 1985, Vistas, Berlin, pp. 7–50, 1985.

in

[6] O. Zinke, H. Brunswig. Lehrbuch der Hochfrequenztechnik, Band 1: Hochfrequenzfilter, Leitungen, Antennen. Springer, Berlin, dritte Auflage, 1986. [7] F.L. Walls, J.R. Vig. Fundamental limits on the frequency stabilities of crystal oscillators. IEEE Trans. Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequence Control, 42(4):576–589, 1995. [8] O. Zinke, H. Brunswig. Lehrbuch der Hochfrequenztechnik, Band 1: Hochfrequenzfilter, Leitungen, Antennen. Springer, Berlin, f¨ unfte Auflage, 1995. [9] C.K. Campbell. Applications of surface acoustic and shallow bulk acoustic wave devices. Proc. IEEE, 77(10):1453–1484, 1989. [10] C.W. Ruppel, L. Reindl, R. Weigel. SAW devices and their wireless communications applications. IEEE Microwave Mag., pages 65–71, June 2002. [11] R. Helbig. Elastische Oberfl¨ achenwellen. Physik in unserer Zeit, 9(5):148–153, 1978. [12] Y. Konishi. Novel dielectric waveguide components - microwave applications of new ceramic materials. Proc. IEEE, 79(6):726–740, 1991. [13] S.J. Fiedziusko, S. Holme. Dielectric resonators. IEEE Microwave Mag., pp. 51– 60, September 2001. [14] Siemens Matsushita Components. Mikrowellenkeramik (Brosch¨ ure mit Anwendungshinweisen). Siemens Matsushita, M¨ unchen, 1994. [15] J.K. Plourde, C.-L. Ren. Application of dielectric resonators in microwave components. IEEE Trans. MTT, 29(8):754–770, 1981.

12 Halbleiter F¨ ur das Verständnis der elektronischen Halbleiterbauelemente sind Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Halbleiterphysik unerläßlich. Dieses Kapitel faßt die wichtigsten Grundlagen zusammen.

12.1 Halbleitermaterialien, Leitungsmechanismen Abbildung 12.1 zeigt typische Werte f¨ ur den spezifischen Widerstand unterschiedlicher Materialien bei Raumtemperatur (T = 300 K). Halbleiter sind Materialien, deren elektrische Leitf¨ ahigkeit bei Raumtemperatur zwischen der der Metalle (Leiter) und der der Isolatoren (Nichtleiter) liegt, d. h. Materialien mit 10−4 Ω cm < ρ < 109 Ω cm. M e ta lle

H a lb le ite r

Is o la to r e n

G a A s

P V C

S i C u

1 0

-8

E p o x id h a r z

G e

1 0

-4

N y lo n

1 0 0

1 0 4

1 0 8

1 0

1 2

S iO

1 0

1 6

W c m

2

1 0

2 0

s p e z ifis c h e r W id e r s ta n d Abb. 12.1. Spezifischer Widerstand verschiedener Materialien

Im Unterschied zu metallischen Leitern, deren spezifischer Widerstand mit abnehmender Temperatur sinkt, weisen reine Halbleiter eine Zunahme des spezifischen Widerstands beim Abk¨ uhlen auf. Bei T = 0 K verhalten sich reine Halbleiter wie Isolatoren. Eine weitere Besonderheit der Halbleiter ist, daß ihre elektrische Leitf¨ ahigkeit durch Einbau bestimmter Fremdatome (Dotierung) in einem weiten Bereich eingestellt werden kann. Dies erklärt die breiten Intervalle f¨ ur den spezifischen Widerstand der in Abb. 12.1 angef¨ uhrten Beispiele Germanium (Ge), Silizium (Si) und Galliumarsenid (GaAs). Typisch ist auch, daß die Absorption optischer Strahlung eine f¨ ur das Halbleitermaterial charakteristische Grenzwellenl¨ ange λG aufweist – optische Strahlung mit einer Wellenlänge λ > λG wird praktisch ungehindert durchgelassen, im Fall λ < λG aber stark absorbiert. Weitere bereits im 19. Jhdt. gefundene Phänomene wie der Fotovoltaische Effekt an einer Halbleiter-Elektrolyt Grenzfläche (Becquerel, 1839), die Foto-

472

12. Halbleiter

leitfähigkeit, d.h. die Zunahme der Leitf¨ ahigkeit eines Materials bei Beleuchtung (Smith, 1873), die gleichrichtende Wirkung von Metallkontakten auf einem Bleiglanzkristall (Braun, 1874) sowie die Beobachtung von Hall (1879), daß in einigen Materialien positive Ladungsträger, in anderen negative Ladungsträger den Strom transportieren, blieben ebenfalls lange unverstanden. Das Verständnis dieser Eigenschaften kam erst nachdem 1926 die SchrödingerGleichung gefunden und diese auf Elektronen im Festkörper angewandt wurde. Dies f¨ uhrte zur Entdeckung der Bandstruktur der Festkörper, brachte die Erkenntnis, daß Halbleiter eine Energiel¨ ucke aufweisen und förderte das Verständnis f¨ ur die Wirkungsweise der Dotierung. H

H e L i

B e

B

C

N

N a

M g

A l

S i

P

K

C a

G a

G e

R b

S r

In

1 .

2 .

3 .

O

F

N e

S

C l

A r

A s

S e

B r

K r

S n

S b

T e

J

X e

4 .

5 .

6 .

7 .

H a u p tg ru p p e

8 .

Abb. 12.2. Ausschnitt aus dem Periodensystem der Elemente

Abbildung 12.2 zeigt einen Ausschnitt aus dem Periodensystem der Elemente. Silizium und Germanium sind sog. Elementhalbleiter, das sind Festkörper, die aus lauter identischen Atomen aufgebaut sind. Die Elementhalbleiter kommen aus der IV. Hauptgruppe des Periodensystems (Abb. 12.2); weitere Elementhalbleiter sind Selen und Tellur aus der VI. Hauptgruppe. Selen wurde fr¨ uher in Gleichrichtern und als lichtempfindliche Schicht in der Walze von Kopiergeräten eingesetzt, ist heute aber f¨ ur die Herstellung elektronischer Bauelemente von geringer Bedeutung. Neben den Elementhalbleitern sind zahlreiche Verbindungshalbleiter von technischer Bedeutung. Verbindungshalbleiter sind kovalent gebundene Festk¨ orper aus zwei oder mehr verschiedenen Elementen. Bei den bin¨ aren Halbleitern, die aus zwei verschiedenen Elementen aufgebaut sind, wird unterschieden zwischen den sog. IV-IV-Halbleitern, die aus unterschiedlichen Elementen der IV. Hauptgruppe zusammengesetzt sind (z.B. SiC), III-V-Halbleitern, die aus Elementen der III. und V. Hauptgruppe des Periodensystems bestehen (z.B. GaAs, InP, GaP) und den sog. II-VI-Halbleitern (z.B. ZnS, CdS) aus Elementen der II. und VI. Gruppe des Periodensystems. Tern¨ are Halbleiter (z.B. AlGaAs) sind aus drei verschiedenen Elementen aufgebaut, quatern¨ are Halbleiter (z.B. Gax In1−x Asy P1−y ) aus vier verschiedenen Elementen.

12.1. Halbleitermaterialien, Leitungsmechanismen

473

In Halbleitermaterialien sind benachbarte Atome u ¨ber die kovalente Bindung (Elektronenpaarbindung) miteinander verbunden. Als Beispiel wird Silizium betrachtet – das Halbleitermaterial, das in der Elektronik die breiteste Anwendung gefunden hat. Siliziumatome haben vier Valenzelektronen; im Siliziumkristall gehen diese vier kovalente Bindungen mit den vier nächsten Nachbarn im Kristall ein. Zwischen je zwei benachbarten Siliziumatomen bildet sich dabei ein Bindungsorbital aus, das von maximal zwei Elektronen (unterschiedlichen Spins) besetzt werden kann.

Abb. 12.3. Anordnung der Atome im Siliziumkristall

a

3

Beispiel 12.1.1 Silizium weist die Dichte ρm = 2.329 g/cm und die Molmasse ur die 28.0855 g/mol auf. Mit der Avogadrozahl Nmol = 6.022 · 1023 mol−1 folgt f¨ Dichte der Siliziumatome im Kristallgitter 2.329 NSi =

1 g · 6.022 · 1023 cm3 mol = 4.994 · 1022 1 . g cm3 28.0855 mol

Abbildung 12.3 zeigt die Anordnung der Siliziumatome im Kristall. Die w¨ urfelförmige Elementarzelle ist mit acht Atomen besetzt; in einem Kubikzentimeter befinden sich demnach 0.125 · 4.994 · 1022 Zellen, was auf das Zellvolumen a3 = 1.602 · 10−22 cm3 f¨ uhrt. Die Gitterkonstante a erechnet sich damit zu 5.431 ˚ A. Die nächsten Nachbarn eines Siliziumatoms im Gitter liegen auf den Ecken eines Tetraeders der Seitenlänge √ achster Nachbarn im Siliziumgitter ist gleich dem Radius a/ 2. Der Abstand zweier n¨ der das Tetraeder umschreibenden Kugel √ √ 3a 6 a ˚. = = 2.35 A d = √ 4 2 4

474

12. Halbleiter

Im Grundzustand ist jedes Bindungsorbital im Siliziumgitter mit zwei Elektronen gef¨ ullt und damit vollst¨ andig besetzt (Abb. 12.4). Wegen des PauliVerbots 1 können diese Elektronen nicht von einem Gitterplatz zum nächsten wandern – sämtliche erlaubten Zust¨ ande dort sind ja bereits besetzt. Deshalb

4 +

4 +

4 +

4 +

4 +

4 +

4 G itte r io n

+

4 +

4 +

B in d u n g s o r b ita l

Abb. 12.4. Silizium im Grundzustand (schematische Darstellung)

ist im Grundzustand kein Stromfluß m¨ oglich. Strom kann erst dann fließen, wenn einzelne Elektronen aus ihrem Bindungsorbital in energetisch höher liegende Zustände angeregt werden. Diese angeregten Zustände werden als Leitungsbandzust¨ ande bezeichnet, im Gegensatz zu den Valenzbandzust¨ anden, die durch die Elektronenzust¨ ande in den Bindungsorbitalen gegeben sind. Mit zunehmender Temperatur werden immer mehr Elektronen aus den Bindungsorbitalen – also aus Valenzbandzuständen – in höher liegende Leitungsbandzustände angeregt. Dies verbessert die Leitfähigkeit in zweifacher Hinsicht: Zum einen sind die in Leitungsbandzustände angeregten Elektronen frei im Festkörper beweglich und k¨ onnen somit einen Strom transportieren, zum anderen lassen sie unbesetzte Valenzbandzustände zur¨ uck, die von Elektronen aus benachbarten Orbitalen besetzt werden können. Zum Stromtransport im Halbleiter tragen demnach sowohl Elektronen im teilweise besetzten Leitungsband als auch unbesetzte Zust¨ ande im Valenzband bei. Da die Anzahl beider Spezies mit der Temperatur stark zunimmt, steigt auch die Leitfähigkeit mit der Temperatur. Abbildung 12.5 erl¨ autert den Stromtransport im Valenzband eines Siliziumkristalls: Liegt im Valenzband ein unbesetzter Zustand vor, so kann dieser von einem Elektron aus einem benachbarten Bindungsorbital besetzt werden (1). Dadurch entsteht ein neuer unbesetzter Zustand, der wiederum aus einem benachbarten Bindungsorbital besetzt werden kann (2). Die Elektro1

Nach dem Pauli-Verbot darf ein Elektronenzustand nicht mit mehreren Elektronen besetzt werden.

12.2. Grundelemente des Bändermodells

4

4 +

4 +

(2 )

475

+

(2 )

(1 )

4 +

4 +

4 +

4 +

4 +

4 +

E le k tr o n e n b ild

(1 )

L ö c h e r b ild

Abb. 12.5. Ladungstr¨ agertransport im Valenzband, dargestellt im Bindungsladungsmodell

nenzustände im Valenzband eines Halbleiters sind normalerweise zum größten Teil besetzt. F¨ ur die Beschreibung des Stromtransports im Valenzband ist es deswegen zweckm¨ aßiger, die unbesetzten Zustände zu betrachten – auf diesem Weg gelangt man zum L¨ ocherbild des Stromtransports im Valenzband (Abb. 12.5): Im L¨ ocherbild werden die unbesetzten Bindungsorbitale wie po¨ sitive Teilchen behandelt. Statt des Ubergangs eines Elektrons in einen unbesetzten Zustand unter Hinterlassung eines Lochs wird vom Transport eines Lochs in entgegengesetzter Richtung gesprochen. Die Beschreibung elektrischer Vorg¨ ange im Halbleiter beschränkt sich gewöhnlich auf die Betrachtung der besetzten Leitungsbandzustände – in der Folge als Elektronen bezeichnet – und der unbesetzten Valenzbandzustände – in der Folge als L¨ ocher bezeichnet.

12.2 Grundelemente des B¨ andermodells 12.2.1 Energieb¨ ander, Bandschema Elektronen können in Atomen nur bestimmte Energieniveaus besetzen. Im Orbitalmodell lassen sich diese einzelnen (Elektronen-)Schalen zuordnen, wobei die elektrischen und chemischen Eigenschaften nahezu ausschließlich durch die sog. Valenzelektronen, das sind die Elektronen in der aüßersten besetzten Schale, der sog. Valenzschale, bestimmt sind. Atome mit vollständig abgeschlossener Valenzschale weisen eine sehr große Ionisierungsenergie auf (Edelgaskonfiguration). Die Rumpfelektronen – also die Elektronen in den abgeschlossenen inneren Schalen – sind fest an den Kern gebunden. Um derartige Elektronen aus

476

12. Halbleiter

ihren Schalen anzuregen, werden Anregungsenergien von typischerweise mehr als 100 eV ben¨ otigt. Das ist wesentlich mehr, als bei den chemischen und elektrischen Vorg¨ angen in der Elektronenh¨ ulle u ugung ¨blicherweise zur Verf¨ steht: Die Rumpfelektronen bleiben auch nach Bildung des Festkörpers in der Nähe ihres“ Kerns und k¨ onnen mit diesem zu einem (positiv geladenen) ” Gitterion zusammengefaßt werden. Dieses ist f¨ ur unsere Zwecke durch seine Masse und Ladung vollst¨ andig beschrieben. W

fr e ie E le k tr o n e n z u s tä n d e ( n ic h t q u a n tis ie r t) 0 W

W W

g e b u n d e n e E le k tr o n e n z u s tä n d e ( q u a n tis ie r t) c

C V

W

O rt L e itu n g s b a n d E n e r g ie lü c k e

g

p o te n tie lle E n e r g ie

V a le n z b a n d R u m p fe le k tr o n e n ( lo k a lis ie r t)

Abb. 12.6. Zur Entstehung der Energieb¨ ander im Festk¨ orper

Nähern sich einzelne Atome so weit, wie dies in einem Kristallgitter der Fall ist, so u ¨berlappen sich die Atomorbitale der Valenzschale. Die anziehende Wirkung eines postiven Gitterions auf ein Elektron seiner“ Valenzschale ” wird im Innern des Festk¨ orpers durch die konkurrierende Wirkung benachbarter ebenfalls postiv geladener Gitterionen teilweise aufgehoben. Die Po” tentialberge“ zwischen benachbarten Atomen (Abb. 12.6) werden dadurch so niedrig, daß die Valenzelektronen leicht von einem Gitterplatz zum nächsten gelangen können. Die Elektronen der Valenzschale sind damit nicht mehr an ein Gitterion gebunden und m¨ ussen durch Wellenfunktionen beschrieben werden, die sich u ¨ber den gesamten Festkörper erstrecken. Diese nicht lokalisierten Zustände sind wie die Elektronenzustände in einem Atom quantisiert, liegen jedoch so dicht beeinander, daß eine Unterscheidung einzelner Energieniveaus hier nicht mehr sinnvoll ist. Man faßt die Zustände deshalb zu sog. Energieb¨ andern zusammen (Abb. 12.6). Die elektrischen Eigenschaften des Festkörpers werden durch Valenz- und Leitungsband bestimmt. Elektronen in diesen B¨ andern k¨ onnen sich im Festkörper bewegen – wobei das Pauli-Verbot beachtet werden muß; zur Emission aus dem Festkörper muß jedoch zusätzlich Energie aufgebracht werden. Valenz- und Leitungsband k¨ onnen sich u ¨berlappen oder energetisch durch eine Energiel¨ ucke getrennt sein. Bezeichnet WC die Energie des Leitungsband-


477

zustands mit der geringsten Energie und WV die Energie des Valenzbandzustands mit der h¨ ochsten Energie, und gilt WC > WV , so wird Wg = WC − WV

(12.1)

als Energiel¨ ucke oder Bandabstand bezeichnet. Die Valenzbandzustände beschreiben die Elektronen in den Bindungsorbitalen. Die Energie Wg ist deshalb die Energie, die mindestens aufgebracht werden muß, um ein Elektron aus dem Bindungsorbital zu l¨ osen. Die Energie die aufgebracht werden muß, um ein Elektron von der Leitungsbandkante WC aus so weit anzuregen, daß es den Festkörper verlassen kann wird als Elektronenaffinit¨ at Wχ bezeichnet (Abb. 12.6). Bei der in Abb. 12.6 verwendeten Energieskala wurde der Nullpunkt so gew¨ ahlt, daß im Festk¨ orper gebundene Elektronenzustände eine negative Gesamtenergie, ungebundene (freie) Elektronen eine positive Gesamtenergie aufweisen. W 0

fr e ie E le k tr o n e n L e itu n g s b a n d

E le k tr o n e n im F e s tk ö r p e r W

g

< 3 e V W g

> 3 e V

V a le n z b a n d R u m p fz u s tä n d e M e ta ll

H a lb le ite r

Is o la to r

b e i T = 0 K

u n b e s e tz te E n e r g ie n iv e a u s

b e i T = 0 K

v o lls tä n d ig b e s e tz te E n e r g ie n iv e a u s

Abb. 12.7. Energieb¨ ander (schematisch) im Metall, Halbleiter und Isolator

Halbleiter und Isolatoren weisen eine Energiel¨ ucke Wg > 0 zwischen Valenzund Leitungsband auf. Bei T = 0 K befindet sich der Halbleiter im Grundzustand, in dem nur die tiefsten Elektronenzustände besetzt sind. Unter diesen Bedingungen ist das Valenzband vollständig gef¨ ullt, das Leitungsband vollständig geleert; wegen des Pauli-Prinzips kann der Halbleiter keinen Strom f¨ uhren: Bei T = 0 K verhalten sich Halbleiter wie Isolatoren. Die Energiel¨ ucke Wg eines Halbleiters ist jedoch so klein, daß bei Raumtemperatur eine nennenswerte Zahl von Elektronen vom Valenz- ins Leitungsband angeregt sind. Dies erklärt eine nicht verschwindende Leitfähigkeit, deren Wert zwischen der

478

12. Halbleiter

der Metalle und der der Isolatoren liegt. Isolatoreigenschaften (ρ > 109 Ωcm) werden bei reinen Kristallen f¨ ur Wg > 3 eV beobachtet (Abb. 12.7). Als Beispiel seien hier die drei Halbleitermaterialien Germanium (Ge), Silizium (Si) und Galliumarsenid (GaAs) genannt. Die Energiel¨ ucken dieser Materialen besitzen bei T = 300 K die Werte 0.66 eV (Ge), 1.12 eV (Si) und 1.42 eV (GaAs). Der Wert der Energiel¨ ucke f¨ ur die Kristalle aus Elementen der IV. Hauptgruppe nimmt mit zunehmender Ordnungszahl ab: Si und Ge besitzen eindeutig Halbleitereigenschaften. Reiner Diamant (C , Wg = 5.5 eV) ist ein Isolator, Sn ist f¨ ur Temperaturen gr¨ oßer als 18◦ C metallisch, wandelt sich f¨ ur kleinere Temperaturen jedoch in eine allotrope Modifikation mit Diamantstruktur um (graues Zinn), die sich wie ein Halbleiter mit sehr kleiner Energiel¨ ucke verhält. W E le k tr o n m it h o h e r k in e tis c h e r E n e r g ie

L e itu n g s b a n d

k in e tis c h e E n e r g ie ( E le k tr o n e n )

E le k tr o n m it g e r in g e r k in e tis c h e r E n e r g ie W

0

C

W

W V

g

E n e r g ie lü c k e L o c h m it g e r in g e r k in e tis c h e r E n e r g ie

V a le n z b a n d L o c h m it h o h e r k in e tis c h e r E n e r g ie

0 k in e tis c h e E n e r g ie (L ö c h e r)

Abb. 12.8. Eindimensionales Bandschema eines Halbleiters im feldfreien Fall

Die Vorgänge in Halbleiterbauelementen werden u ¨blicherweise anhand des sog. Bandschemas veranschaulicht (Abb. 12.8). Das Bandschema zeigt die Lage des Leitungsbandminimums WC und des Valenzbandmaximums WV auf der Energieskala als Funktion des Orts (entlang einer Ortsachse). Die kinetische Energie der Elektronen und L¨ ocher wird von den Bandkanten aus gemessen (Abb. 12.8). Dabei ist zu beachten, daß die Energie der Elektronen nach oben, die der L¨ ocher nach unten aufgetragen wird. Die Lage der Bandkanten im B¨ anderschema definiert die potentielle Energie der Elektronen und L¨ ocher. Die potentielle Energie wird ortsabhängig sobald im Halbleiter ein elektrisches Feld auftritt – im Bänderschema tritt deshalb eine Bandverbiegung“ auf, d. h. die Bandkanten verlaufen nicht mehr hori” zontal sondern ¨ andern ihre Lage mit dem Ort (vgl. Kap. 12.4.1).


479

12.2.2 Zur Bandstruktur Eine korrekte Beschreibung der Elektronen im Festkörper ist nur mit den Mitteln der Quantenmechanik m¨ oglich. Elektronen werden dabei durch sog. Bloch-Wellen beschrieben. Dieser Abschnitt skizziert das Prinzip und erläutert die sich aus der Bandstruktur ergebende quasiklassische Beschreibung von Elektronen und L¨ ochern durch das sog. Effektivmassenmodell.

De Broglie-Wellen, Quantisierung Ein freies Elektron wird in der Quantentheorie durch sog. de Broglie-Wellen beschrieben. Einem Elektron mit dem Impuls p entspricht demnach eine Elektronenwelle mit der Wellenl¨ ange λ = h/p

(de Broglie-Wellenl¨ ange) ,

(12.2)

bzw. der Wellenzahl k = p/¯h

(12.3)

wobei ¯h = h/2π = 1.054589 · 10−34 Js = 0.6582 · 10−15 eVs bis auf den Faktor (2π)−1 der Planckschen Konstante entspricht. Eine solche Welle mit genau definierter Wellenl¨ ange ist unendlich ausgedehnt, was gleichbedeutend damit ist, daß u ¨ber den Ort an dem sich das Elektron aufhält keine Aussage getroffen werden kann. Um ein Elektron zu beschreiben, dessen Ort bis auf die Ortsunsch¨ arfe ∆x bekannt ist, m¨ ussen mehrere de Broglie-Wellen mit unterschiedlicher Wellenzahl u ¨berlagert werden, genau so wie ein elektromagneti¨ scher Strahlungspuls als Fourier-Integral, d. h. durch Uberlagerung von Wellen unterschiedlicher Wellenzahl beschrieben wird. Je kleiner nun ∆x wird, desto unterschiedlicher sind die Wellenzahlen der Wellen die u ¨berlagert werden m¨ ussen, um das lokalisierte Wellenpaket zu beschreiben. Da der Impuls des Elektrons jedoch proportional zur Wellenzahl k ist ergibt sich daraus eine Unsicherheit im Impuls des Elektrons, die sog. Impulsunsch¨ arfe ∆p. Je kleiner also ∆x wird, desto gr¨ oßer wird ∆p, wobei das Produkt aus beiden Größen der Heisenbergschen Unsch¨ arferelation ∆x · ∆p ≥ ¯ h/2

(12.4)

gen¨ ugen muß. Das Wellenbild des Elektrons erklärt auch warum gebundene Elektronen nur bestimmte Energieniveaus besetzen können. Zur Veranschaulichung kann ein Elektron betrachtet werden, das in einem (eindimensionalen) Kasten der Länge L eingesperrt“ ist und zwischen den Wänden des Kastens ” hin und her reflektiert wird. Ein solches gebundenes Elektron muß durch eine stehende de Broglie-Welle beschrieben werden: Nur de Broglie-Wellen, die sich nicht durch Interferenz mit sich selbst auslöschen bleiben erhalten, d. h. die de Broglie-Wellenl¨ ange muß der Bedingung λ = 2L/m gen¨ ugen, wobei

480

12. Halbleiter

m eine ganze Zahl bezeichnet (Abb. 12.9). Die Wellenzahl k = 2π/λ eines U m k e h rp u n k te m = 1 m = 2 m = 3 Abb. 12.9. Stehende Wellen in einem Potentialtopf der L¨ ange L

L

gebundenen Elektrons und damit seine kinetische Energie (∼ p2 = h ¯ 2 k2 ) kann demzufolge nur bestimmte Werte aufweisen – die Energieniveaus sind quantisiert. Die Wellenzahl zweier benachbarter Zustände (m und m + 1) unterscheidet sich um ∆k = π/L, d. h. die Differenz ist um so kleiner, je größer die Abmessung L des Kastens ist, in den das Elektron eingesperrt ist. Ist L = 0.1 nm (Gr¨ oßenordnung des Atomdurchmessers), so liegt der Energieunterschied benachbarter Zust¨ ande in der Größenordnung einiger Elektronenvolt; bei L = 10 cm resultiert dagegen ein Wert kleiner als 10−16 eV, d. h. ein meßtechnisch nicht mehr aufl¨ osbar kleiner Energieunterschied.

Energie-Impuls-Diagramm f¨ ur Elektronen im Vakuum Die Gesamtenergie W (p) eines Elektrons im externen Feld ist die Summe aus kinetischer Energie p2 /2me und potentieller Energie Wpot am Ort. Wird W (p) u ¨ber dem Impuls p aufgetragen, so resultiert ein parabelförmiger Verlauf mit einem Minimum bei p = 0 (Abb. 12.10). W

W

p o t

+

p 2 m

(p )

k in e tis c h e E n e r g ie 2

p o te n tie lle E n e r g ie e

0

p

Abb. 12.10. Energie-Impuls-Diagramm f¨ ur Elektronen im Vakuum

Aus W (p) folgt der Impuls des Elektrons durch einfaches Differenzieren p = me dW/dp .


481

Durch zweimaliges Differenzieren von W (p) erhält man den Kehrwert der Masse des Elektrons 1/me = d2 W/dp2 . Diese Beziehungen sind f¨ ur die Beschreibung der Festkörperelektronen zu verallgemeinern.

Energie-Wellenzahl-Diagramm f¨ ur Elektronen im Festk¨ orper Elektronenzust¨ ande in einem Band werden nicht durch einen Impuls p, sondern durch eine Wellenzahl k (Kristallimpuls) gekennzeichnet. Die Energie der Zustände im Leitungsband wird durch die Funktion WC (k) angegeben, die der Zustände im Valenzband durch die Funktion WV (k).2 Das Minimum der Funktion WC (k) der Leitungsbandelektronen liegt nicht notwendigerweise bei k = 0. Liegen Valenzbandmaximum und Leitungsbandminimum beim selben k-Wert, so spricht man von einem direkten Halbleiter, andernfalls von einem indirekten Halbleiter. Direkte und indirekte Halbleiter unterscheiden sich insbesondere bei der Wechselwirkung mit optischer Strahlung. W W L e itu n g s b a n d m in im u m W

V a le n z b a n d m a x im u m

W

L e itu n g s b a n d m in im u m C

L e itu n g s b a n d m in im u m

(k ) W q

g

W

k V

W

(a )

(k )

g

V a le n z b a n d m a x im u m

(k )

C

W

k V

(k )

(b )

Abb. 12.11. Bandstruktur. (a) direkter Halbleiters und (b) indirekter Halbleiter; q bezeichnet die Wellenzahldifferenz zwischen Valenzbandmaximum und Leitungsbandminimum

Tritt bei k = k0 ein Minimum von WC (k) auf ( Leitungsbandminimum“), so ” läßt sich WC (k) um k = k0 bis zur zweiten Ordnung entwickeln

1 d2 WC WC (k) ≈ WC (k0 ) + (k − k0 )2 . 2 dk 2 k 0

2

Der Einfachheit halber wird zun¨ achst nur eine Impulskomponente (ein Freiheitsgrad) betrachtet.

482

12. Halbleiter

Definiert man Impuls p und effektive Masse der Elektronen im Leitungsband m∗n durch

p = h ¯ (k−k0 )

und

1 1 d2 WC = m∗n ¯ 2 dk 2 k h

0

so geht diese Beziehung in die f¨ ur freie Elektronen bekannte Form W = WC + p2 /2m∗n

(12.5)

an, wobei die Bandkante WC der potentiellen Energie und p2 /2m∗n der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse m∗n entspricht. Auf dieselbe Weise folgt mit p = h ¯ k f¨ ur die Energie eines Lochs W = WV − p2 /2m∗p , wobei

(12.6)

1 1 d2 WV = − m∗p ¯ 2 dk 2 k=0 h die effektive Masse f¨ ur L¨ ocher bezeichnet. Im sog. Effektivmassenmodell werden Elektronen als negative Ladungsträger ocher als positiv geladene Ladungsträger der der effektiven Masse m∗n und L¨ effektiven Masse m∗p beschrieben. Maßgeblich f¨ ur die effektiven Massen ist die Kr¨ ummung der WC (k)- bzw. der WV (k)-Kurve. Die Werte der effektiven Massen sind f¨ ur die meisten Halbleitermaterialien kleiner als die Masse eines freien Elektrons, jedoch von derselben Größenordnung. Die effektive Masse m∗p der Löcher ist dabei gew¨ ohnlich gr¨ oßer als die effektive Masse der Elektronen; entsprechend ist die Beweglichkeit der Löcher meist geringer als die der Elektronen.

12.2.3 Bloch-Wellen Im Rahmen der Quantentheorie werden Elektronen durch komplexe Wellenfunktionen ψ(x, t), beschrieben, die der Schr¨ odinger-Gleichung gen¨ ugen. Die Wellenfunktionen f¨ ur Elektronen die sich im periodischen Potential der Gitterionen bewegen, sind sog. 3 Bloch-Funktionen der Form ψα,k (x) = uα,k (x) e jk·x .

(12.7)

Die Funktion uα,k (x) besitzt dabei die Periodizität des Gitters, α wird als Bandindex bezeichnet. Da das Elektron u ugt besitzt der Wellenzahl¨ber drei Freiheitsgrade verf¨ vektor k drei Komponenten. Die Energie eines Zustands in einem bestimmten Band wird durch k bestimmt. Als Bandstruktur des Festkörpers wird die Abhängigkeit der Energie W vom Wert von k f¨ ur die verschiedenen Bänder des Festkörpers bezeichnet. Dabei gen¨ ugt die Kenntnis f¨ ur Wellenzahlvektoren die innerhalb der ersten 3

Eine gr¨ undlichere Darstellung der physikalischen Grundlagen ist z.B. in [1–4] zu finden.

12.2. Grundelemente des Bändermodells k

483

1 1 1 z

0 0 1 X

L X G

k

k y

K X

1 0 0

0 1 0

x

2 p /a

Abb. 12.12. Brillouin-Zone f¨ ur kubische Kristalle. Das Zentrum der Brillouinzone wird mit Γ bezeichnet, Grenze auf der kx -Achse ( 100 Richtung) mit X (Koordinaten (π/a, 0, 0)) die Grenze in 111 richtung mit L (Koordinaten (π/2a, π/2a, π/2a))

Brillouinzone liegen; diese ist in Abb. 12.12 f¨ ur ein kubisches Kristallgitter dargestellt. Graphische Darstellungen der Bandstruktur geben in der Regel Wα (k) zwischen Γ und X bzw. L wieder, also f¨ ur Wellenzahlvektoren, die in 100 bzw. 111 Richtung zeigen. Die elektronischen Eigenschaften eines Halbleiters werden vor allem durch das Valenzband (Bandindex V) und das Leitungsband (Bandindex C) bestimmt. Das Maximum von WV (k) liegt dabei im allgemeinen bei Γ; das Leitungsband hingegen weist mehrere Minima auf (bei X in Si und bei L in Ge and GaAs und zusätzlich bei Γ in Ge und GaAs). In der Umgebung dieser Punkte kann WC (k) durch Parabeln angen¨ ahert werden (Abb. 12.13). W

[1 1 1 ]

G

[1 0 0 ]

X

W G

W L

W

X

E n e r g ie lü c k e

W e lle n z a h lv e k to r S 0

V a le n z b a n d

W

L e itu n g s b a n d

L

Abb. 12.13. Prinzipieller Verlauf der Bandstruktur eines kubischen Modellhalbleiters [5]

484

12. Halbleiter

Tabelle 12.1 Bandstrukturparameter f¨ ur Halbleiter mit kubischem Gitter (nach [6]) WΓ eV

WL eV

WX eV

Ws0 meV

m∗l me

m∗ me

m∗t me

α 1/eV

|A|

|B|

|C|

C

11.67 12.67

5.45

6

1.4

-

0.36

-

3.61

0.18

3.76

Si

4.08

1.87

1.13

44

0.98

-

0.19

0.5

4.22

0.78

4.80

Ge

0.89

0.76

0.96

290

1.64

-

0.082

0.65

13.35

8.50

13.11

AlP

3.3

3.0

2.1

50

-

-

-

-

3.47

0.12

3.98

AlAs 2.95

2.67

2.16

280

2.0

-

-

-

4.04

1.56

4.71

AlSb

2.5

2.39

1.6

750

1.64

-

0.23

-

4.15

2.02

4.95

GaP

2.7

2.7

2.2

80

1.12

-

0.22

-

4.20

1.96

4.65

GaAs 1.42

1.71

1.90

340

-

0.067

-

0.64

7.65

4.82

7.71

GaSb 0.67

1.07

1.30

770

-

0.045

-

1.36

11.80

8.06

11.71

InP

1.26

2.0

2.3

130

-

0.080

-

0.67

6.28

4.16

6.35

InAs 0.35

1.45

2.14

380

-

0.023

-

2.73

19.67

16.74

13.96

InSb

0.23

0.98

0.73

810

-

0.014

-

5.72

35.08

31.28

22.27

ZnS

3.8

5.3

5.2

70

-

0.28

-

0.14

2.54

1.50

2.75

ZnSe

2.9

4.5

4.5

430

-

0.14

-

0.26

3.77

2.48

3.87

ZnTe 2.56

3.64

4.26

920

-

0.18

-

0.26

3.74

2.14

4.30

CdTe 1.80

3.40

4.32

910

-

0.096

-

0.45

5.29

3.78

5.46

Die Energiel¨ ucke Wg wird durch den Kleinsten der Werte von WX , WL und WΓ bestimmt. Gilt Wg = WΓ , wie dies in GaAs der Fall ist, so weist der Halbleiter eine direkte Energiel¨ ucke auf, im Fall des Si, mit Leitungsbandminima bei den (sechs) X-Punkten (Wg = WX ) und Ge mit Leitungsbandminima bei den (acht) L-Punkten ucke vor. (Wg = WL ) liegt eine indirekte Energiel¨

Quasiklassische Beschreibung Bloch-Wellen charakterisieren nichtlokalisierte Zustände, d.h. ein Elektron das durch die Wellenfunktion ψα,k (x) beschrieben wird, kann sich u ¨berall im Festkörper aufhalten. Um die Lage eines Elektrons n¨ aher einzugrenzen m¨ ussen mehrere Blochwellen mit unterschiedlichem Wellenzahlvektor k u ¨berlagert werden. Befindet sich das Zentrum eines solchen Wellenpakets bei x, mit einer Ortsunschärfe ∆x, so m¨ ussen Wellen mit Wellenzahlvektoren im Bereich ∆k bei k u ¨berlagert werden. x und k k¨ onnen als (unscharfe) Werte f¨ ur Ort und (Kristall-)Impuls des Elektrons aufgefaßt werden. Beschreibt das Wellenpaket ein Elektron das sich in einem elektrischen Feld E bewegt, so gen¨ ugen x und k den quasiklassischen Beziehungen [2] dk/dt

= −eE/¯ h,

(12.8)

dx/dt

= un (k) = h ¯ −1 ∇k WC (k) .

(12.9)


485

Diese Beziehungen stellen die Grundlage der quasiklassischen Beschreibung des Stromtransports in Halbleitern dar. Weist WC (k) ein Minimum bei k = 0 auf, so l¨ aßt sich WC (k) um dieses Minimum entwickeln WC (k) ≈ WC (0) +

¯2 h |k|2 = WC + wc (k) , 2m∗n

(12.10)

mit der effektiven Masse m∗n ; die Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpakets mit Schwerpunkt bei k ist dann un (k) = h ¯ k/m∗n .

(12.11)

Liegt allgemein ein Leitungsbandminima bei k0 vor, so lautet die Entwicklung f¨ ur WC (k) in einem geeigneten Koordinatensystem WC (k) = WC +

3 ¯ 2 (kα −kα0 )2 h ; 2 α=1 m∗α

statt einer effektiven Masse ist nun ein Effektivmassentensor diag(m∗1 , m∗2 , m∗3 ) maßgeblich, die Bandstruktur ist anisotrop (richtungsabhängig). 0 0 1

k z

1 0 0 2 p 0 .8 5 a

0 1 0 k

k x

y

Abb. 12.14. Fl¨ achen konstanter Energie im Leitungsband von Silizium

Silizium ist ein indirekter Halbleiter mit sechs äquivalenten Leitungsbandminima im k-Raum die im Abstand von ca. 0.85 (2π/a) vom Γ Punkt in X-Richtung liegen [7]. Abbildung 12.14 a illustriert die Fl¨ achen konstanter Energie f¨ ur das Leitungsband des Siliziums (im k-Raum) f¨ ur eine Energie die etwas oberhalb des Leitungsbandminimums liegt. Die ellipsoidische Form folgt aus der Anisotropie der effektiven Masse, die den Wert m∗l in Richtung der Symmetrieachse und den Wert m∗t senkrecht dazu aufweist. Die kinetische Energie wc (k) = WC (k) − WC eines Elektrons, mit einer Gesamtenergie etwas oberhalb des Leitungsbandminimums WC bei kx0 = 0.85 (2π/a) ist wc (k) =

h2 ky2 ¯ ¯ 2 (kx −kx0 )2 h h2 kz2 ¯ + + . 2m∗l 2m∗t 2m∗t

(12.12)

Die Fl¨ achen konstanter Energie wc (k) = const. sind deshalb Rotationsellipsoide im k-Raum. Die Werte m∗l ≈ 0.98 me und m∗t ≈ 0.19 me unterscheiden sich um mehr als

486

12. Halbleiter

den Faktor f¨ unf. Neben dem Betrachteten sind noch f¨ unf weitere (gleichberechtigte) Leitungsbandminima vorhanden; die Umgebungen dieser Minima werden als T¨ aler bezeichnet. Die Elektronen im Leitungsband verteilen sich gleichförmig auf die sechs ur die in T¨ aler. Werden Elektronen nun in Richtung von kx beschleunigt, so ist f¨ ur die 100 -Richtung orientierten T¨ aler die effektive Masse m∗l wirksam, während f¨ in 010 -Richtung oder 001 -Richtung orientierten Täler die effektive Masse m∗t wirksam ist. Mittelt man u aler, so ergibt sich ¨ber die sechs T¨ −1 1 2 m∗n = 3 + ∗ . m∗l mt Die so gemittelte effektive Masse m∗n bestimmt die Beschleunigung der Elektronen im elektrischen Feld und damit die Beweglichkeit der Leitungsbandelektronen; sie heißt ur Silizium folgt daher auch Leitf¨ ahigkeitsmasse4 (engl. conductivity effective mass). F¨ ∗ mn ≈ 0.26 me . Das Valenzbandmaximum der Halbleiter mit kubischer Elementarzelle liegt stets bei k = 0. Insgesamt werden drei Subb¨ ander unterschieden, von denen eines ein um Ws0 (vgl. Tabelle 12.1) tiefer liegendes Maximum aufweist (split-off band). Die meisten L¨ ocher finden sich deshalb in den beiden anderen Teilbändern mit Maximum ander durch unterschiedliche effektive Massen gekennbei WV . Da die beiden Teilb¨ zeichnet sind, unterscheidet man schwere und leichte Löcher. F¨ ur die Energie der schweren und leichten L¨ ocher gilt WV (k) = WV + wv (k) wobei die kinetische Energie anderschema nach unten aufzutragen ist und näherungsweise der L¨ ocher wv (k) im B¨ durch (k = |k|) wv (k) =

¯2 h |A|k 2 ∓ B 2 k 4 + C 2 (kx2 ky2 + ky2 kz2 + kz2 kx2 ) 2me

gegeben ist (vgl. Tabelle 12.x). Die beiden Vorzeichen entsprechen den beiden Teilb¨ andern mit großer und kleiner effektiver Masse. Die Flächen konstanter Energie weisen eine vergleichsweise komplizierte Form auf (warped spheres, vgl. [8]). Erfreulicherweise sind diese Details der Valenzbandstruktur aber nicht so bedeutend f¨ ur das Verst¨ andnis der Wirkungsweise elektronische Halbleiterbauelemente, wir verwenden deshalb den einfachen N¨ aherungsansatz ¯ 2 |k|2 /2m∗p wv (k) = h f¨ ur die kinetische Energie der L¨ ocher im Valenzband.

4

Daneben gibt es noch die f¨ ur die Berechnung der Zustandsdichte maßgebliche effektive Masse (m∗l )1/3 (m∗t )2/3 (engl. density-of-state effective mass). Sofern nicht explizit anderahigkeitsmasse weitig vermerkt wird unter der effektiven Masse m∗n hier aber stets die Leitf¨ verstanden.

12.3. Halbleiter im thermischen Gleichgewicht

487

12.3 Halbleiter im thermischen Gleichgewicht Im thermischen Gleichgewicht wird die Dichte der Elektronen und Löcher im Halbleiter einzig durch die Dotierung und die Temperatur bestimmt. Unter diesen Bedingungen fließen im Halbleiter keine Ströme. Diese treten nur bei Abweichungen vom thermischen Gleichgewicht auf – wie sie beispielsweise durch Anlegen einer Spannung oder Bestrahlen mit Licht hervorgerufen werden. Beim praktischen Betrieb elektronischer Halbleiterbauelemente interessiert zwar vor allem der Nichtgleichgewichtsfall, dennoch ist eine vorhergehende Untersuchung des Gleichgewichtsfalls unverzichtbar, da bei der Beschreibung von Halbleitern im Nichtgleichgewicht stets Abweichungen vom Gleichgewicht betrachtet werden.

12.3.1 Massenwirkungsgesetz Ist die absolute Temperatur T gr¨ oßer als 0 K, so werden immer wieder Elektronen durch die W¨ armebewegung aus dem Valenzband ins Leitungsband angeregt. Im thermischen Gleichgewicht ist die Rate, mit der Elektronen ins Leitungsband angeregt werden, und dabei ein Loch zur¨ ucklassen (Generation eines Elektron-Loch-Paars), und die Rate mit der Elektronen in einen freien Zustand im Valenzband zur¨ uckfallen k¨ onnen (Rekombination eines ElektronLoch-Paars) gleich groß. Die Elektronendichte n – das ist die Zahl der besetzten Zustände im Leitungsband je Volumeneinheit – ergibt sich aus der Dichte der Elektronenzustände im Leitungsband multipliziert mit der jeweiligen Besetzungswahrscheinlichkeit. Letztere ist durch die in Kap. 12.3.2 erläuterte FermiVerteilung gegeben, die außer von der Temperatur noch von dem Parameter angt: Die Elektronendichte wird bestimmt WF , der sog. Fermi-Energie, abh¨ durch den energetischen Abstand der Fermi-Energie WF von der Leitungsbandkante. Solange WF um mindestens 3 kB T unter der Leitungsbandkante liegt, läßt sich die Elektronendichte im thermischen Gleichgewicht 5 n0 näherungsweise beschreiben durch

n0 ≈ NC exp

WF −WC kB T

.

(12.13)

Dabei bezeichnet kB ≈ 1.38·10−23 J/K die Boltzmann-Konstante, T die absolute Temperatur und NC die sog. effektive Zustandsdichte des Leitungsbands. Eine entsprechende Beziehung gilt f¨ ur die Löcherdichte p0 im Gleichgewicht

p0 ≈ NV exp

WV −WF kB T

,

(12.14)

5 Zur Kennzeichnung des Zustands des thermischen Gleichgewichts wird der Index 0 angeh¨ angt.

488

12. Halbleiter

mit der effektiven Zustandsdichte NV des Valenzbands. Im reinen (intrinsischen) Halbleiter k¨ onnen Elektronen nur aus dem Valenz- ins Leitungsband gelangen, d.h. jedes Elektron im Leitungsband hat ein Loch im Valenzband zur¨ uckgelassen: Es gilt n0 = p0 bzw. unter Verwendung der Gln. (12.13) und (12.14)

NC exp

WF −WC kB T

= NV exp

WV −WF kB T

.

Dies f¨ uhrt sofort auf den Wert der Fermi-Enerige WF des intrinsischen Halbleiters

WF =

WV +WC kB T NV + ln 2 2 NC

= WFi .

(12.15)

Der zweite Term auf der rechten Seite ist dabei vergleichsweise unbedeutend (Größenordnung wenige meV), d. h. die Fermi-Energie WFi im undotierten Halbleiter liegt in guter N¨ aherung in der Mitte der Energiel¨ ucke. Durch Dotieren des Halbleiters ver¨ andert sich die Lage der Fermi-Energie relativ zu den Bandkanten (vgl. Kap. 12.3.5). Multipliziert man n0 und p0 , so folgt das sog. Massenwirkungsgesetz6 n0 p0 = NC NV e −Wg /kB T = n2i (T )

(12.16)

Das Produkt der Elektronen- und L¨ ocherdichte im thermischen Gleichgewicht ist demnach unabh¨ angig vom Wert der Fermi-Energie7 nur durch die Temperatur bestimmt. Die Gr¨ oße ni heißt intrinsische Dichte und ist gleich der Dichte der Elektronen bzw. L¨ ocher im undotierten (intrinsischen) Halbleiter, in dem n0 = p0 gilt. Insbesondere wegen des, die absolute Temperatur T enthaltenden Exponentialfaktors ist ni stark von der Temperatur abhängig. Die Werte f¨ ur T = 300 K k¨ onnen Tabelle 12.2 entnommen werden. Tabelle 12.2 Kenngr¨ oßen wichtiger Halbleiter bei T = 300 K (aus [9–11]) Halb- r leiter

NC cm−3

NV cm−3

Wg eV

ni cm−3

Wg (0) eV

α meV/K

β K

Ge 16.3 Si 11.8 GaAs 10.9

1.04 · 1019 2.86 · 1019 4.7 · 1017

6.1 · 1018 3.1 · 1019 7 · 1018

0.66 1.12 1.42

2.4 · 1013 1.08 · 1010 1.79 · 106

0.7437 1.170 1.519

0.4774 0.473 0.5405

235 636 204

6

Die Bezeichnung Massenwirkungsgesetz stammt von der entsprechenden Beziehung f¨ ur chemische Reaktionen im thermischen Gleichgewicht. Zum Vergleich: Wassermolek¨ ule disulen soziieren gelegentlich in H+ -Ionen und OH− -Ionen, die jedoch wieder zu Wassermolek¨ rekombinieren k¨ onnen (H+ + OH− H2 O). Im Gleichgewicht ist das Produkt der Ionenkonzentrationen [H+ ] und [OH− ] eine Funktion der Temperatur: [H+ ] · [OH− ] = f (T ). 7 Und damit von der Dotierung: Das Massenwirkungsgesetz beh¨ alt seine G¨ ultigkeit, wenn die Elektronen- und L¨ ocherdichten durch Dotieren ver¨ andert werden.


489

Der Wert der Energiel¨ ucke Wg ist eine temperaturabhängige Größe (Abb. 12.15); die Temperaturabh¨ angigkeit wird näherungsweise durch die Funktion Wg (T ) = Wg (0) −

αT 2 T +β

(12.17)

beschrieben (Tabelle 12.2). F¨ ur die Modellierung elektronischer Bauteile wird diese nichtlineare Beziehung h¨ aufig bei der Betriebstemperatur T = 300 K durch eine Tangente angen¨ ahert; dann gilt

dWg Wg (T ) ≈ eVg0 + T dT 300 K

(12.18)

mit der zu T = 0 K extrapolierten Bandabstandsspannung

Vg0

1 dWg = Wg (300 K) − 300 K e dT 300 K

.

(12.19)

1 .6 e V

G a A s

1 .4 e V

g 0

S i

1 .0

W

g

(T )

1 .2

0 .8 G e 0 .6 0

4 0 0

2 0 0

6 0 0

T

K

8 0 0

Abb. 12.15. Energiel¨ ucke Wg als Funktion der Temperatur und zu T = 0 K extrapolierte ur Bandabstandsspannung Vg0 f¨ die Halbleiter Ge, Si und GaAs

12.3.2 Zustandsdichte und Besetzungswahrscheinlichkeit Die Elektronendichte n erfaßt alle Elektronen des Leitungsbands unabhängig von ihrer Energie. Die Dichte n (W ) dW der Elektronen mit Energien im Intervall zwischen W und W +dW ist durch die Dichte ZC (W ) dW der in diesem Energieintervall vorhandenen Zust¨ ande und deren Besetzungswahrscheinlichkeit f (W ) bestimmt n (W )dW = ZC (W )f (W )dW . F¨ ur die Zustandsdichte ZC (W ) im Leitungsband gilt nahe der Bandkante 2NC W −WC ZC (W ) ≈ , kB T πkB T

(12.20)

(12.21)

490

12. Halbleiter

uhrte effektive Zustandsdichte im Leitungsband wobei NC die in Kap. 12.3.1 eingef¨ bezeichnet. Die Besetzungswahrscheinlichkeit der Zustände in Valenz- und Leitungsband ist durch die Fermi-Verteilung −1 W −WF (12.22) f (W ) = 1 + exp kB T gegeben; WF bezeichnet dabei die Fermi-Energie. F¨ ur T → 0 K geht die FermiVerteilung in eine Stufenfunktion u ¨ber 1 f¨ ur W < W F f (W ) = . 0 f¨ ur W > W F Diese Besetzung entspricht dem Grundzustand des Festkörpers, in dem alle Zustände mit Energien unterhalb der Fermi-Energie WF besetzt, alle Zustände mit größeren Energiewerten unbesetzt sind. F¨ ur T > 0 K sind Elektronen aufgrund der Wärmebewegung aus Zuständen ande mit W > WF angeregt. Unterhalb der Fermi-Energie mit W < WF auf Zust¨ (W < WF ) gibt es jetzt auch unbesetzte Zustände (f (W ) < 1), während oberhalb ande auftreten (f (W ) > 0). F¨ ur W = WF besitzt die (W > WF ) besetzte Zust¨ ¨ Fermi-Verteilung den Wert 1/2 und die Steigung −1/(4 kB T ). Der Ubergang von f (W ) ≈ 1 auf f (W ) ≈ 0 erfolgt demnach innerhalb eines Energieintervalls von der Gr¨ oßenordnung 4kB T (Abb. 12.16).

f(W ) 4 k BT 1

0 .5 T = 0 K T > 0 K 0 W F

W

Abb. 12.16. Verlauf der Fermi-Verteilung f (W )

F¨ ur dotierte Halbleiter, bei denen die Dotierstoffkonzentration klein ist im Vergleich zu den effektiven Zustandsdichten, liegt die Fermi-Energie WF zwischen den Bandkanten WV und WC . Die Elektronendichte n0 im thermischen Gleichgewicht errechnet sich aus n (W ) durch Integration u amtliche erlaubten Zustände ¨ber s¨ ∞ ZC (W )f (W ) dW . (12.23) n0 = WC

Wegen des exponentiellen Abfalls der Fermi-Verteilung f¨ ur W WF wurde hier die obere Integrationsgrenze nach ∞ verschoben. In völliger Analogie gibt p (W ) dW = ZV (W )[ 1−f (W )] dW

(12.24)


491

die Dichte der unbesetzten Zust¨ ande im Valenzband mit Energien zwischen W und W +dW , d. h. die Dichte der L¨ ocher mit entsprechenden Energien an. Dabei bezeichnet ZV (W ) die Zustandsdichte im Valenzband; mit der effektiven Zustandsdichte NV im Valenzband gilt nahe der Valenzbandkante die Näherung WV −W 2NV ZV (W ) ≈ . (12.25) kB T πkB T Die L¨ ocherdichte errechnet sich aus Gl. (12.24) zu WV p0 = ZV (W )[ 1−f (W )] dW .

(12.26)

−∞

F¨ ur nichtentartete Halbleiter (keine extrem hohen Dotierungen) liegt die FermiEnergie hinreichend weit von den Bandkanten entfernt in der verbotenen Zone, um eine Entwicklung f¨ ur f (W ) in den B¨ andern zu rechtfertigen: Im Leitungsband gilt f¨ ur WC − WF kB T WF −W f (W ) ≈ exp , kB T und im Valenzband f¨ ur WF − WV kB T WF −W 1 − f (W ) ≈ exp − . kB T Werden Elektronen- und L¨ ocherdichte mit diesen Näherungen berechnet, so ergeben sich die Gln. (12.13) und(12.14). Beispiel 12.3.1 Betrachtet wird ein Siliziumkristall, bei dem die Fermi-Energie um 150 meV unter der Leitungsbandkante liegt. Bei T = 300 K gilt dann WC −WF ≈ 331 1 . exp kB T F¨ ur die Fermi-Verteilung l¨ aßt sich bei W = WC deshalb die Boltzmann-Näherung WC −WF f (WC ) ≈ exp − ≈ 3.02 · 10−3 kB T verwenden, d.h. nur 0.3 % aller Zust¨ ande an der Leitungsbandkante sind unter diesen Umst¨ anden besetzt. F¨ ur Zust¨ ande oberhalb der Leitungsbandkante ist die Boltzmann-N¨ aherung erst recht gerechtfertigt. Zustände, die um 2kB T (bei Raumtemperatur ca. 50 meV) u ¨ber der Leitungsbandkante liegen sind nur noch mit der Wahrscheinlichkeit f (WC +2kB T ) ≈

1 f (WC ) ≈ 4.09 · 10−4 e2

besetzt. Dies illustriert den steilen Abfall der Besetzungswahrscheinlichkeit f¨ ur Zust¨ ande oberhalb der Fermi-Energie: Im Leitungsband sind deswegen vorzugsweise Zust¨ ande in der N¨ ahe der Leitungsbandkante besetzt. ∆

492

12. Halbleiter

12.3.3 Dotierung Im reinen Halbleiter k¨ onnen Elektronen nur durch Anregung aus dem Valenzband in das Leitungsband gelangen. Elektronen und Löcher werden dabei paarweise erzeugt, so daß n0 = p0 = ni . Durch Dotieren, d. h. durch den gezielten Einbau chemischer Verunreinigungen in das Kristallgitter des Halbleiters kann das Verh¨ altnis von Elektronen- zu Löcherdichte verändert werden. Bei den eingebauten Dotierstoffatomen wird zwischen Donatoren und Akzeptoren unterschieden. Donatoren sind Elemente, die bei Einbau in das Kristallgitter sehr leicht ein Elektron an das Leitungsband abgeben können. Akzeptoren sind dagegen Elemente, die bei Einbau in das Kristallgitter sehr leicht ein Elektron aus dem Valenzband aufnehmen können, und damit ein Loch im Valenzband zur¨ ucklassen. Als Beispiel wird die Dotierung von Silizium mit den Dotierstoffen Arsen (As) und Bor (B) betrachtet. S i

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A s

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+

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(a )

W L e itu n g s b a n d k a n te W C

W D

lo k a lis ie r te D o n a to rz u s tä n d e W

V a le n z b a n d k a n te

V

(b )

Abb. 12.17. Donatoren. (a) Einbau eines As-Atoms in das Si-Gitter als As+ -Ion mit schwach gebundenem Elektron, (b) Bandschema mit lokalisierten Donatorzust¨ anden

Donatoren. Arsen (As) ist ein f¨ unfwertiges Element. Es besitzt f¨ unf Elektronen in der Valenzschale. Beim Einbau eines As-Atoms in das Si-Gitter werden vier der f¨ unf Valenzelektronen f¨ ur die Absättigung der Bindungen mit den vier n¨ achsten Nachbaratomen im Si-Gitter benötigt. Diese vier Valenzelektronen kompensieren die Ladung des As-Atomkerns bis auf eine Elementarladung – das As-Atom wird demzufolge als As+ -Ion in das Gitter eingebaut. Das verbleibende f¨ unfte Elektron ist nur schwach an dieses einfach positiv geladene Ion gebunden: Die Bindungsenergie WC − WD dieses Elektrons liegt f¨ ur typische Donatoren im Bereich von (10 − 50) meV. Im Bandschema sind nun zusätzlich lokalisierte Donatorzust¨ ande (Abb. 12.17 b) unterhalb der Leitungsbandkante zu ber¨ ucksichtigen.


493

Bei T = 0 K sind alle f¨ unf Valenzelektronen an das As-Ion gebunden: Sämtliche Donatorzust¨ ande sind mit Elektronen besetzt – die Störstellen haben in diesem Fall keinen Einfluß auf die Leitfähigkeit. Bei Raumtemperatur sind die Donatoratome weitgehend ionisiert, d.h. die Elektronen wurden durch die Wärmebewegung aus den Donatorniveaus in Leitungsbandzustände angeregt. Es entstehen zus¨ atzliche frei im Festk¨ orper bewegliche Elektronen und fest im Gitter gebundene Donatorionen. Mit der Dichte der eingebauten Donatoratome steigt dabei die Dichte der Elektronen im Leitungsband und damit die Leitfähigkeit. u n v o lls tä n d ig a b g e s ä ttig te s B in d u n g s o r b ita l S i

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S i (a )

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W L e itu n g s b a n d k a n te W C

lo k a lis ie r te A k z e p to rz u s tä n d e W V a le n z b a n d k a n te

W

A V

(b )

Abb. 12.18. Akzeptoren. (a) Einbau eines B-Atoms in das Si-Gitter, (b) Bandschema mit lokalisierten Akzeptorzust¨ anden oberhalb der Valenzbandkante

Akzeptoren. Das Bor-Atom (B) hat nur drei Valenzelektronen. Wird Bor in das Si-Gitter eingebaut, so bleibt eine der vier kovalenten Bindungen zu den n¨ achsten Nachbarn unges¨ attigt (Abb. 12.18 a): Es entsteht ein unbesetzter (lokalisierter) Elektronenzustand, der energetisch nur wenig u ¨ber dem nahezu vollständig besetzten Valenzband liegt (Abb. 12.18 b). Elektronen aus dem Valenzband sind leicht thermisch so weit anzuregen, daß sie diesen Akzeptorzustand besetzen k¨ onnen. Auf diesem Weg entsteht im Leitungsband ein unbesetzter Zustand (Loch), der f¨ ur den Stromtransport zur Verf¨ ugung steht. Liegt die Fermi-Energie deutlich oberhalb der Störstellenniveaus, so sind bei Raumtemperatur nahezu s¨ amtliche Akzeptorzustände besetzt: Die Dichte der Löcher im Valenzband ist dann ann¨ ahernd gleich der Dichte der eingebauten Akzeptoratome. In Verbindungshalbleitern sind Atome mit unterschiedlicher Anzahl der Valenzelektronen zum Gitter zusammengef¨ ugt: Im Beispiel GaAs etwa Galli-

494

12. Halbleiter

um mit drei Valenzelektronen und Arsen mit f¨ unf Valenzelektronen. Zinkatome (zweiwertig) werden im Gitter bevorzugt auf Ga-Plätzen eingebaut: Zink wirkt als Akzeptor; Selen-Atome (sechswertig) werden im Gitter bevorzugt auf As-Pl¨ atzen eingebaut und wirken damit als Donator. Vierwertige Elemente (z.B. Si) k¨ onnen sowohl auf Ga-Plätzen als auch auf As-Plätzen eingebaut werden, sie wirken im ersten Fall als Donator und im zweiten Fall als Akzeptor. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von amphoteren Dotierstoffen.

12.3.4 Ladungstr¨ agerdichten im dotierten Halbleiter Im homogen dotierten Halbleiter gilt im thermischen Gleichgewicht stets die Neutralit¨ atsbedingung p0 − n0 + ND+ − NA− = 0 ,

(12.27)

wobei ND+ die Dichte der ionisierten Donatoren und NA− die Dichte der ionisierten Akzeptoren bezeichnet. Die Neutralitätsbedingung besagt, daß sich positive und negative Ladungen im Halbleiter kompensieren – der Halbleiter ist elektrisch neutral. Zusammen mit dem Massenwirkungsgesetz n0 p0 = n2i folgt im thermischen Gleichgewicht f¨ ur die Trägerkonzentrationen in einem − 8 n-Typ Halbleiter (NA = 0) nn0

1 + 2 + 2 = (ND ) + 4ni + ND ; 2

pn0 =

n2i nn0

(12.28)

np0 =

n2i pp0

(12.29)

und f¨ ur einen p-Typ Halbleiter (ND+ = 0) pp0 =

1 − 2 (NA ) + 4n2i + NA− ; 2

Liegen sowohl Donatoren als auch Akzeptoren vor, so verhält sich der Halbleiter wie ein n-Typ Halbleiter, falls die Donatorkonzentration u ¨berwiegt oder wie wie ein p-Typ Halbleiter, falls die Akzeptorkonzentration u berwiegt. Maß¨ geblich f¨ ur die Berechnung der Ladungsträgerdichten ist jeweils die NettoDotierstoffkonzentration ND+ − NA− bzw. NA− − ND+ . F¨ ur Halbleiterbauelemente werden die Dotierstoffkonzentrationen so gewählt, daß sie im zugelassenen Betriebstemperaturbereich wesentlich größer sind als die intrinsische Dichte ni . Im n-Typ Halbleiter (NA− = 0) gilt nn0 ≈ ND+

bzw.

pn0 ≈ n2i /ND+ .

(12.30)

Unter der Voraussetzung ND+ ni gilt nn0 pn0 , d.h. im n-Typ Halbleiter ist die Dichte der Elektronen groß im Vergleich zur Dichte der Löcher. Elektronen 8 Bei dieser Schreibweise sagt der erste Index ob es sich um einen n-Typ oder p-Typ Halbleiter handelt; der zweite Index 0 bezeichnet den Fall des thermischen Gleichgewichts.


495

werden deshalb auch als Minorit¨ aten, die Löcher als Majorit¨ aten bezichnet. Im p-Typ Halbleiter (ND+ ≈ 0) gilt entsprechend pp0 ≈ NA−

bzw.

np0 ≈ n2i /NA− ,

(12.31)

Hier ist pp0 np0 , d. h. im p-Typ Halbleiter u ¨berwiegt die Dichte der Löcher die der Elektronen: Im p-Typ Halbleiter sind die Löcher die Majoritäten und die Elektronen die Minorit¨ aten. Die Majoritätsdichten nn0 und pp0 sind durch die Dotierstoffkonzentration bestimmt und annähernd konstant, während die Minoritätsdichten np0 und pn0 stark von der Temperatur abhängig sind. 3

in tr in s is c h e r F a ll 2 S tö r s te lle n e rs c h ö p fu n g

c m

-3

S tö r s te lle n re s e rv e

n (T )

n /1 0

1 5

1

n i( T ) 0 0

1 0 0

2 0 0 T

3 0 0

4 0 0

5 0 0

K

6 0 0

Abb. 12.19. Elektronendichte in n-Typ-Silizium (Dotierung ND = 1015 cm−3 ) als Funktion der Temperatur (schematisch)

Da die intrinsische Dichte eines Halbleiters stark mit der Temperatur ansteigt, gelten die Beziehungen (12.30) und (12.31) nur f¨ ur einen begrenzten Temperaturbereich. Abbildung 12.19 zeigt die Abhängigkeit der Elektronendichte von der Temperatur f¨ ur einen mit 1015 Donatoratomen pro cm3 dotierten Siliziumkristall. Dort werden drei Bereiche auf der Temperaturskala unterschieden. F¨ ur technische Anwendungen ist dabei vor allem der Bereich der St¨ orstellenersch¨ opfung, in dem praktisch alle Störstellenatome ionisiert sind von Bedeutung. Hier ist die Dichte der Majoritäten in guter Näherung gleich der Dotierstoffkonzentration (ND ≈ ND+ , bzw. NA ≈ NA− ). Bei sehr tiefen Temperaturen treten, bedingt durch den Einfang von Ladungsträgern in die St¨ orstellenniveaus, Abweichungen auf. Die unvollständige Ionisation der St¨ orstellenatome bedingt eine im Vergleich zur Dotierstoffkonzentration verringerte Dichte der Majoritätsladungsträger. Dieser Bereich wird als St¨ orstellenreserve bezeichnet. Mit zunehmender Temperatur wird ni nach Gl. (12.16) immer größer und kann nicht mehr gegen die St¨ orstellenkonzentration vernachlässigt werden.

496

12. Halbleiter

Bei sehr hohen Temperaturen ist ni groß im Vergleich zur Störstellenkonzentration. Dann gilt nn0 ≈ pn0 ≈ ni . Der Halbleiter verliert unter diesen Umständen seine spezifischen n-Typ oder p-Typ-Eigenschaften – in diesem Bereich liegen ann¨ ahernd intrinsische Verhältnisse vor. St¨ orstellenreserve. Im Fall der Störstellenreserve sind die eingebauten Donatorbzw. Akzeptoratome nur zum Teil ionisiert. Bezeichnet ND die Dichte der in das Gitter eingebauten Donatorst¨ orstellen, so ist die Dichte ND+ der ionisierten Donatoren, d. h. der Donatoren, die ein Elektron an das Leitungsband abgegeben haben, durch die Energie WD der Donator-Energieniveaus bestimmt [11] ND+ =

N D . WF − WD 1 + exp kB T

(12.32)

ucksichtigt, daß an das Donatoratom gebundene ElekDie effektive Energie WD ber¨ tronen zwei verschiedene Spinrichtungen aufweisen können (Spin-Entartung) und ur m¨ aßig dotierte Halbleiter, in denen die Fermiweicht deshalb etwas von WD ab. F¨ Energie deutlich unterhalb der St¨ orstellenniveaus liegt (WD > WF ), gilt in guter ur die Elektronendichte im n-dotierten Halbleiter folgt aus N¨ aherung ND ≈ ND+ . F¨ WF − WC nn0 = NC exp ≈ ND+ kB T und ND+ =

N ND D = WF − WD WC − WD nn0 1 + exp 1+ exp kB T NC kB T

eine quadratische Gleichung f¨ ur nn0 mit der Lösung WD −WC WC −WD NC 4ND exp nn0 = 1+ exp · −1 . 2 kB T NC kB T Bei niedrigen Temperaturen ist der 2. Term unter der Wurzel dominant. Dann gilt

WD −WC ND NC exp nn0 ≈ , 2kB T d. h. die Elektronendichte h¨ angt hier exponentiell von der Temperatur ab.

12.3.5 Lage der Fermi-Energie Im Fall dotierter Halbleiter ergibt sich die Lage der Fermi-Energie aus

n0 = NC exp

WF −WC kB T

sowie der Neutralit¨ atsbedingung p0 − n0 + ND+ − NA− = 0 ,

und

p0 = NV exp

WV −WF kB T


497

wobei ND+ die Dichte der ionisierten Donatoren und NA− die Dichte der ionisierten Akzeptoren bezeichnet. F¨ ur p-dotierte Halbleiter gilt ND+ ≈ 0 und np0 ≈ 0, so daß

WF ≈ WV + kB T ln NV /NA−

= WFp .

(12.33)

Mit zunehmender Dotierung NA− verschiebt sich die Fermi-Energie demnach immer mehr zur Valenzbandkante hin. F¨ ur n-dotierte Halbleiter gilt NA− ≈ 0 und pn0 ≈ 0, so daß

WF ≈ WC − kB T ln NC /ND+

= WFn .

(12.34)

Mit zunehmender Dotierung ND− verschiebt sich die Fermi-Energie demnach immer mehr zur Leitungsbandkante hin.

12.3.6 Stark dotierte Halbleiter Bei starker Dotierung ist die Dichte der Majoritäten groß und es kommt zu Abweichungen von (12.13) bzw. (12.14), da die Fermi-Verteilung nicht mehr durch einen einfachen Boltzmannfaktor angenähert werden kann. Dar¨ uber hinaus kommt es zu Abweichungen durch den Einfluß der Dotierstoffatome und der zusätzlich vorhandenen Ladungsträger auf die Zustandsdichte [12,13]. Die genannten Einfl¨ usse bewirken einen Anstieg der intrinsischen Dichte und zeigen demnach dieselbe Wirkung wie eine Verringerung der Energiel¨ ucke (bandgap narrowing); dies hat u.a. erhebliche Auswirkungen auf die Stromverstärkung von Bipolartransistoren. Die Hochdotierungseffekte lassen sich durch eine von der Dotierstoffkonzentration abhängige effektive intrinsische Dichte nie beschreiben

nie

∆Wgapp (N ) = ni exp 2kB T

.

(12.35)

Dabei bezeichnet ∆Wgapp (N ) das sog. scheinbare bandgap narrowing; diese Größe ber¨ ucksichtigt sowohl die Auswirkungen der tatsächlichen Abnahme der Energiel¨ ucke als auch der Abweichungen von der Boltzmann-Statistik. F¨ ur das scheinbare bandgap narrowing als Funktion der Dotierstoffkonzentration wird u ¨blicherweise die empirische Beziehung [14]

∆Wgapp (N ) = W1 ln(N/N0 ) +

ln2 (N/N0 ) + 0.5

(12.36)

verwendet. Das scheinbare bandgap narrowing wird durch elektrische Messungen ermittelt; da diese allerdings stets das Produkt aus der Beweglichkeit der Minoritäten und dem Quadrat der effektiven intrinsischen Dichte ergeben,

498

12. Halbleiter

kann nie und damit ∆Wgapp (N ) nur bei bekannter Minoritätsladungsträgerbeweglichkeit extrahiert werden. Silizium. Daten für das scheinbare bandgap narrowing in Silizium die mit dem Beweglichkeitsmodell von Klaassen [15, 16] zusammenpassen sind W1 = 6.92 meV und N0 = 1.3 · 1017 cm−3 . Gilt N N0 , so steigt das scheinbare bandgap narrowing ann¨ ahernd logarithmisch mit der Dotierstoffkonzentration N an N . (12.37) ∆Wgapp ≈ 13.84 meV · ln 1.3 · 1017 cm−3 F¨ ur den Anstieg der effektiven intrinsischen Dichte ergibt sich daraus ein Potenzgesetz T0 /T N , (12.38) nie (T ) ≈ ni (T ) 1.3 × 1017 cm−3 wobei T0 ≈ 13.84 meV/2kB ≈ 80 K. W

W

Z C

W

(W )

C

W

Z C

W

(W )

Z

g

h ö h e r e D o tie r u n g

(W )

Ü b e r la p p u n g v o n L e itu n g s b a n d u n d S tö rb a n d

D

g e r in g e D o tie r u n g W

C

W g

-D W g

B a n d a u s lä u fe r W V

Z V(W ) (a )

Z V(W )

Z u s ta n d s d ic h te

Z V(W ) Z u s ta n d s d ic h te

Z u s ta n d s d ic h te (b )

(c )

Abb. 12.20. Zustandsdichte im (a) reinen, (b) gering bis m¨ aßig dotierten und (c) sehr stark n-dotierten Halbleiter mit Veringerung der Energiel¨ ucke

Einfluß auf die Zustandsdichte. In reinen Halbleitern ist die Zustandsdichte in der Energiel¨ ucke null (Abb. 12.20 a). Ein substitutionell eingebautes Donatoratom f¨ uhrt zu einem lokalisierten Zustand in der Energiel¨ ucke, der von einem Elektron besetzt werden kann. Werden mehrere solcher Donatoren in das Gitter eingebaut und ist ihre mittlere Entfernung so groß, daß sich die Wellenfunktionen der Donatorzust¨ ande nicht gegenseitig beeinflussen, so weist die Zustandsdichte eine zus¨ atzliche Spitze in der Nähe der Leitungsbandkante auf (Abb. 12.20 b). Die Ausdehnung der Wellenfunktion eines Donatorzustands läßt sich aus dem Bohrschen Radius a0 = 4π¯ h2/m∗n e2 abschätzen, und liegt bei größenordnungsmäßig 10 nm. Nur wenn der Abstand zwischen benachbarten Störstellen


499

groß ist gegen¨ uber a0 , d.h. f¨ ur Donatorkonzentrationen ND die der Beziehung ND 1/a30 gen¨ ugen kann die Wechselwirkung zwischen den Donatorzuständen vernachl¨ assigt werden. Mit a0 ≈ 10 nm f¨ uhrt dies auf die Forderung 18 −3 ND 10 cm . Bei h¨ oherer Dotierung können sich die Wellenfunktionen benachbarter Donatorzust¨ ande u ¨berlappen – es kommt zur Ausbildung eines St¨ orbands. Das Enerigeniveau der St¨ orstellenzustände verschiebt sich dabei etwas, da benachbarte St¨ orstellen ebenfalls eine Kraft auf ein an einem Donatorion gebundenes Elektron aus¨ uben. Das Ausmaß dieser Verschiebung hängt vom Abstand zum Nachbarn und damit von der Dotierstoffkonzentration N ab [12]. Da die Verteilung der Dotierstoffatome statistischen Schwankungen unterworfen ist, werden einzelne St¨ orstellenzustände stärker, andere weniger stark verschoben: Die Zustandsdichte verbreitert sich (Abb. 12.20 b) und weist im Bereich des St¨ orbands ann¨ ahernd die Form einer Gauß-Verteilung auf [17]. W W

W g

W g

(x ) = W

x

W

C

(x )

L e itu n g s b a n d Z C

(W )

V

g

(x )

V a le n z b a n d

Z V

(W )

Z (W )

Abb. 12.21. Zur Bildung von Bandausl¨ aufern durch r¨ aumliche Schwankungen des elektrostatischen Potentials (nach [18])

Die Störstellen sind nicht v¨ ollig gleichf¨ ormig u ¨ber das Kristallgitter verteilt. Dies f¨ uhrt zu r¨ aumlichen Fluktuationen des auf die Ladungsträger wirkenden elektrostatischen Potentials und zur Bildung von Potentialmulden in den Bändern (Abb. 12.21). Die Zustandsdichtefunktion weist unter diesen Umständen sog. Bandausl¨ aufer auf Abb. 12.20 c). Solche Bandausläufer treten sowohl in Valenz- als auch im Leitungsband auf und sind weitgehend identisch [19]. Mit weiter zunehmender Donatorkonzentration verschmilzt das Störband mit dem Leitungsband (Abb. 12.20 c); eine Unterscheidung zwischen Störstellenzust¨ anden und Leitungsbandzuständen ist nicht mehr möglich. Da die Fermi-Energie in so stark n-dotierten Halbleitern oberhalb der Lei” tungsbandkante“ zu liegen kommt, bleiben auch bei sehr tiefen Temperaturen zahlreiche Leitungsbandzust¨ ande besetzt. Die Ladungsträger frieren nicht wie im Bereich der St¨ orstellenreserve des moderat dotierten Halbleiters aus – sehr stark dotierte Halbleiter gehen auch bei tiefen Temperaturen nicht in den Isolatorzustand u ¨ber.

500

12. Halbleiter

12.4 Halbleiter im Nichtgleichgewicht Ohne äußere Anregung verbleiben Halbleiter im Zustand des thermischen Gleichgewichts. Anlegen einer Spannung, Bestrahlen mit Licht o.ä. f¨ uhrt jedoch zu Abweichungen von diesem Zustand mit der Folge, daß ein Strom fließt, zusätzliche Elektron-Loch-Paare erzeugt werden, usw. Ströme in Halbleitern haben ihre Ursachen in einem elektrischen Feld (Driftstrom), einer ortsabhängigen Konzentration der Ladungsträger (Diffusionsstrom) oder in einer vom Ort abh¨ angigen Temperatur (Thermostrom). Das Verhalten der u ¨blicherweise in der Elektronik verwendeten Halbeiterbauelemente wird nahezu ausschließlich durch Drift- und Diffusionsströme bestimmt. Dieser Abschnitt erläutert die grundlegenden Gleichungen der Drift-Diffusions-Näherung, sowie die f¨ ur Sensorbauelemente bedeutsamen galvanomagnetischen, thermoelektrischen und piezoresistiven Effekte.

12.4.1 Driftstrom Ein elektrisches Feld E(x) u ¨bt die Kraft −eE(x) auf Elektronen aus. Wird ein Elektron um dx im elektrischen Feld verschoben, so muß die Arbeit dW = −eE(x)dx verrichtet werden. Dabei ¨ andert sich seine potentielle Energie: Im Bandschema wird die Lage der Bandkanten ortsabhängig. Bezeichnet dWC = ¨ −dW = eE(x)dx die Anderung der potentiellen Energie, so folgt E(x) =

1 dWC , e dx

d.h. die Steigung der Leitungsbandkante im Bandschema ist durch die elektrische Feldstärke bestimmt (Abb. 12.22). Elektronen und L¨ ocher werden durch die Kraftwirkung des elektrischen Feldes beschleunigt: L¨ ocher in und Elektronen entgegengesetzt zur Richtung des Feldstärkevektors. Der Weg eines Elektrons bzw. Lochs ist im Bandschema als horizontale Linie (W = const.) einzuzeichnen, solange das betreffende Teilchen keine Energie an das Gitter abgibt bzw. von dort aufnimmt. Durch die Beschleunigung des Elektrons im elektrischen Feld wird zwar potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, die Gesamtenergie bleibt dabei jedoch erhalten: Mit zunehmendem Weg erhöht sich der Abstand von den Bandkanten, was als Zunahme der kinetischen Energie (Bewegungsenergie) interpretiert wird. Reale Kristalle weisen keine exakt periodische Gitterstruktur auf: Defekte (insbesondere in das Kristallgitter eingebaute Fremdatome) sowie Gitterschwingungen aufgrund der W¨ armebewegung bewirken eine Streuung der Elektronen. Durch derartige St¨ oße mit dem Gitter verlieren die Teilchen i. allg. Energie, können von dort aber auch welche aufnehmen. Im Bandschema wer¨ den diese Anderungen der aus kinetischer und potentieller Energie des Elek-

12.4. Halbleiter im Nichtgleichgewicht W

501

U m w a n d lu n g v o n p o te n tie lle r in k in e tis c h e E n e r g ie ( E le k tr o n e n )

D r iftb e w e g u n g e in e s E le k tr o n s

k in e tis c h e E n e r g ie

W

W e le k tr is c h e s F e ld

o h n e E n e r g ie a b g a b e a n d a s G itte r

(x ) C

D r iftb e w e g u n g e in e s L o c h s

V

(x )

E n e r g ie d e r L ö c h e r

E n e r g ie d e r E le k tr o n e n

x

U m w a n d lu n g v o n p o te n tie lle r in k in e tis c h e E n e r g ie ( L ö c h e r )

Abb. 12.22. Eindimensionales Bandschema eines Halbleiters bei Anwesenheit eines elektrischen Feldes

trons zusammengesetzten Energie durch Abweichungen der W (x)-Kurve von der horizontalen Linie dargestellt (Abb. 12.22). Die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß ein Elektron Energie u ¨ber einen Stoß mit dem Gitter verliert, wächst mit zunehmender Bewegungsenergie des Elektrons stark an. Aus diesem Grund gelingt es nur sehr wenigen Elektronen, eine hohe kinetische Energie aus dem Feld aufzunehmen: Die meisten W (x)-Kurven verlaufen innerhalb eines schmalen Bereichs der Breite 100 mV bei der Bandkante WC (x). Ein einfaches Modell f¨ ur den Stromtransport aufgrund der Bewegung der Ladungsträger im elektrischen Feld ist das Drude-Lorentz-Modell. Dabei wird angenommen, daß die Ladungstr¨ ager bei Streuvorgängen an Gitterstörungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede Richtung gestreut werden. Der Mittelwert der Geschwindigkeitsvektoren direkt nach einem Streuvorgang ist deshalb null. F¨ ur die gerichtete Bewegung des Ladungsträgers im elektrischen Feld verbleibt damit nur die Zeit zwischen jeweils zwei Streuvorgängen. Diese erfolgen statistisch: Als Maß f¨ ur die H¨ aufigkeit der Streuvorgänge dient die Streuzeit – das ist die Zeit, die im Mittel zwischen zwei Stößen verstreicht – bzw. die freie Wegl¨ ange – das ist die im Mittel zwischen zwei Streuvorgängen zur¨ uckgelegte Wegstrecke. Je gr¨ oßer die Streuzeit bzw. die freie Weglänge, desto länger werden die Ladungstr¨ ager ungehindert in Feldrichtung beschleunigt, desto größer wird die Driftgeschwindigkeit mit der sich die Ladungsträger im Mittel in bzw. entgegengesetzt der Feldrichtung fortbewegen. Da die La-

502

12. Halbleiter

dungsträger bei gr¨ oßerer Feldst¨ arke st¨ arker beschleunigt werden, wächst ihre Driftgeschwindigkeit mit der Feldst¨ arke an: Die Driftgeschwindigkeiten vn und vp f¨ ur Elektronen und L¨ ocher sind mit der elektrischen Feldstärke verkn¨ upft u ¨ber die Beziehungen vn = −µn E

und

vp = µp E .

(12.39)

Die Größen µn und µp heißen Beweglichkeiten f¨ ur Elektronen bzw. Löcher. Ihr Wert wächst n¨ aherungsweise proportional zu den Streuzeiten τcn bzw. τcp f¨ ur Elektronen bzw. L¨ ocher an, wobei gilt µn = eτcn /m∗n

und

µp = eτcp /m∗p .

(12.40)

Beispiel 12.4.1 In schwach dotiertem Silizium liegt die Elektronenbeweglichkeit ur die Streuzeit folgt bei Raumtemperatur bei ca. 1400 cm2 /Vs bzw. 0.14 m2 /Vs. F¨ daraus mit m∗n = 0.26 me und der Umrechung kg m2 /s2 = VAs τcn =

0.14 m2 /Vs · 0.26 · 9.11 · 10−31 kg µn m∗n = ≈ 0.2 ps . e 1.602 · 10−19 As

Die zwischen zwei Streuvorg¨ angen im Mittel verstreichende Zeit ist demnach sehr gering. Dieser Tatbestand ist f¨ ur die Elektronik interessant, da die Beweglichkeit bei Wechselstrom der Kreisfrequenz ω als frequenzunabhängig angenommen werden ullt ist [2]: Wegen der sehr kleinen Streuzeiten ist die kann, solange ωτcn 1 erf¨ Beweglichkeit frequenzunabh¨ angig bis weit in den Gigahertzbereich. ∆

Die Beweglichkeit eines Ladungstr¨ agers bzw. seine Driftgeschwindigkeit in einem gegebenen elektrischen Feld E ist nach (12.40) umso größer, je kleiner seine effektive Masse ist. Ein Halbleitermaterial mit besonders kleiner effektiver Elektronenmasse und besonders großer Elektronenbeweglichkeit ist InSb mit m∗n ≈ 0.0145 me und µn = 80000 cm2 /(Vs); aber auch Galliumarsenid mit m∗n ≈ 0.067 me und µn = 8500 cm2 /(Vs) weist eine deutlich geringere effektive Masse f¨ ur Elektronen und damit eine höhere Elektronenbeweglichkeit auf als beispielsweise Silizium. Dies wird insbesondere in Heterostrukturbipolartransistoren und MODFETs ausgenutzt, um extrem schnelle“ Transistoren ” herzustellen. Zum Drude-Lorentz-Modell. Ist 1/τcn die Rate mit der Elektronen gestreut werden ur, daß ein Elektron zur Zeit (Streurate), so ist exp(−t/τcn ) die Wahrscheinlichkeit daf¨ t nach dem letzten Stoß noch nicht gestreut wurde. Die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß ein Elektron im Zeitintervall [t, t+dt] nach dem letzten Stoß gestreut wird ist deshalb durch p(t) dt mit 1 t p(t) = exp − τcn τcn gegeben. Die mittlere Streuzeit f¨ ur Elektronen ∞ t p(t) dt = τcn 0

12.4. Halbleiter im Nichtgleichgewicht

503

ergibt sich als Kehrwert der Streurate. Da sich die Elektronen zwischen Streuvorg¨ angen mit der Beschleunigung ax = −eE/m∗n im elektrischen Feld bewegen, legen Elektronen die zur Zeit t nach dem letzten Stoß gestreut werden im Mittel den uck. Die mittlere Verschiebung ∆xn eines Elektrons zwischen zwei Weg ax t2/2 zur¨ St¨ oßen ist demnach 1 ∞ 2 ax t2 p(t) dt = ax τcn . ∆xn = 2 0 Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen ergibt sich nun durch Quotientenbildung vn = −µn E =

∆xn = ax τcn τcn

was auf (12.40) f¨ uhrt.9 Bei konstanter Streuzeit steigt die Driftgeschwindigkeit demnach proportional zur Feldst¨ arke an. Dies ist jedoch nur bei moderaten Feldstärken bis zu ca. 1 kV/cm in guter N¨ aherung erf¨ ullt. F¨ ur größere Feldstärken kommt es zu Abweichungen von der Proportionalit¨ at und damit von Ohmschen Gesetz (vgl. Beispiel 12.4.2).

Spezifischer Widerstand Die Driftstromdichten Jn und Jp f¨ ur Elektronen und Löcher sind f¨ ur eine gegebene Feldstärke E proportional zur jeweiligen Ladungsträgerkonzentration und zur Driftgeschwindigkeit Jn = −envn = eµn nE Jp =

epvp

= eµp pE

(12.41)

Tragen Elektronen und L¨ ocher zum Stromtransport bei, so ist die Gesamtstromdichte J = Jn + Jp = e(µn n + µp p)E = σE = E/ρ .

(12.42)

Spezifische Leitf¨ ahigkeit σ und spezifischer Widerstand ρ sind also durch die allgemeine Beziehung σ = e(µn n + µp p) = 1/ρ

(12.43)

gegeben. Da im Bereich der St¨ orstellenerschöpfung die Dichte der Majoritäten durch die Dotierstoffkonzentration bestimmt und groß im Vergleich zur Dichte 9 In der 1. Auflage wurde die mittlere Driftgeschwindigkeit wie in [20] als ax τcn /2 ermittelt. Da Elektronen nach dem Streuvorgang die mittlere Geschwindigkeit null haben und oht, ist es naheliegend, die mittsich diese innerhalb der mittleren Streuzeit bis auf ax τcn erh¨ lere Geschwindigkeit als arithmetisches Mittel aus Anfangswert“ 0 und Endwert“ ax τcn ” ” zu ermitteln. Dies ist jedoch nicht korrekt, da die Verschiebung der Teilchen proportional zum Quadrat der verstrichenen Zeit ist – Elektronen die f¨ ur Zeiten t τcn gestreut werden tragen deshalb wesentlich st¨ arker zum Strom bei als Elektronen die nach sehr kurzer Zeit erneut gestreut werden.

504

12. Halbleiter 1 0 2

W c m

r

1 0 1

1 0 0

1 0

-1

1 0

-2

1 0

-3

S iliz iu m T = 3 0 0 K

p -T y p

n -T y p

~ N

-1

~ N 1 0

-1

-4

1 0

1 4

1 0

1 5

1 0

1 6

1 0

1 7

1 0

1 8

1 0

1 9

1 0

2 0

c m

-3

D o tie r s to ffk o n z e n tr a tio n N

Abb. 12.23. Spezifischer Widerstand ρ von dotiertem Silizium bei T = 300 K (nach [9])

der Minoritäten ist, errechnet sich der spezifische Widerstand von n- bzw. pdotierten Halbleitern in guter N¨ aherung aus ρn =

1 eµn ND

bzw.

ρp =

1 . eµp NA

(12.44)

Abbildung 12.23 zeigt die Abh¨ angigkeit des spezifischen Widerstands ρ f¨ ur n-dotiertes und p-dotiertes Silizium von der Dotierstoffkonzentration. Wegen der durch die Dotierstoffkonzentration N bestimmten Majoritätsdichten nimmt der spezifische Widerstand ρ bei geringer Dotierung ab wie 1/N . F¨ ur Dotierstoffkonzentrationen N ≥ 1016 cm−3 ergeben sich Abweichungen von der umgekehrten Proportionalit¨ at, da die Beweglichkeiten mit der Dotierstoffkonzentration abnehmen. Die Beweglichkeiten h¨ angen sowohl von der Temperatur als auch von Dotierstoffkonzentration und Feldst¨ arke ab. Die Abhängigkeit von Temperatur und Dotierstoffkonzentration ist leicht einzusehen. Mit erhöhter Temperatur weisen die Gitteratome eine verst¨ arkte thermische Bewegung auf, was die Elektronen zu vermehrter Streuung veranlaßt und eine Abnahme der Streuzeit verursacht. In derselben Weise wirkt eine Erhöhung der Dotierstoffkonzentration: Durch den Einbau der Dotierstoffatome in das Gitter werden zusätzliche Streuzentren geschaffen, die ebenfalls zu einer Reduktion der Streuzeit und damit der Beweglichkeit f¨ uhren. Die Abhängigkeit der Beweglichkeiten f¨ ur Elektronen und L¨ ocher von der Dotierstoffkonzentration ist in Abb. 12.24

12.4. Halbleiter im Nichtgleichgewicht 1 0

1 4

1 0

1 5

1 0

1 6

1 0

505 1 7

1 0

1 8

1 0

1 9

1 0

2 0

1 0

2 1

1 5 0 0 c m V s

3 5 c m 2/s 3 0

2

1 0 0 0 m n, m

2 5

E le k tr o n e n

2 0 p

D n

, D p

1 5

5 0 0

1 0

L ö c h e r

5 0

1 0

1 4

1 0

1 5

1 0

1 6

1 0

1 7

1 0

1 8

1 0

1 9

c m

0 -3

1 0

2 1

D o tie r s to ffk o n z e n tr a tio n Abb. 12.24. Beweglichkeiten µn und µp sowie Diffusionskoeffizienten Dn und Dp bei T = 300 K in Silizium als Funktion der Dotierstoffkonzentration

dargestellt.10 Die Abbildung zeigt, daß die Löcherbeweglichkeit nur gut ein Drittel der Elektronenbeweglichkeit beträgt. Dies hat beispielsweise zur Folge, daß Transistoren die einen L¨ ocherstrom steuern bei gleichen Abmessungen langsamer arbeiten und geringere Str¨ ome f¨ uhren als Transistoren, die einen Elektronenstrom steuern.

Feldst¨ arkeabh¨ angigkeit der Beweglichkeit Die Feldst¨ arkeabh¨ angigkeit der Beweglichkeit hängt damit zusammen, daß die Streumechanismen im Halbleiter energieabhängig sind. Den Hintergrund hierf¨ ur liefert die Quantentheorie, nach der bestimmte Gitterschwingungen (sog. optische Phononen) eine bestimmte Energie aufweisen (quantisiert sind). Ist die kinetische Energie eines Ladungsträgers geringer als die Energie einer solchen Schwingung, so kann dieser seine Energie nicht unter Erzeugung eines optischen Phonons abgeben. Dies ¨ andert sich, sobald die zur Erzeugung eines optischen Phonons erforderliche Energie Wop erreicht ist – die Streuzeit f¨ ur Ladungsträger mit Energien gr¨ oßer als Wop ist deshalb wesentlich geringer als die Streuzeit f¨ ur Ladungstr¨ ager mit Energien unterhalb der Schwelle. Nur sehr wenige Elektronen – sog. heiße Elektronen – werden deshalb so stark beschleunigt, daß ihre kinetische Energie deutlich oberhalb der Schwellenergie f¨ ur die Erzeugung optischer Phononen liegt. Dies f¨ uhrt zu einer S¨ attigung 10 Modellgleichungen f¨ ur die Beweglichkeiten in Silizium sind am Ende dieses Abschnitts zusammengestellt.

506

12. Halbleiter 1 0 8

c m /s

D r iftg e s c h w in d ig k e it

1 0

S i

G a A s E le k tr o n e n 7

1 0 6

1 0 5

E le k tr o n e n

S i L ö c h e r

1 0

1 0 2

3

1 0 4

1 0 5

e le k tr is c h e F e ld s tä r k e

V /c m

1 0 6

Abb. 12.25. Driftgeschwindigkeit f¨ ur Elektronen und L¨ ocher in Si und GaAs

der Driftgeschwindigkeit [21]. Die S¨ attigungsgeschwindigkeit läßt sich aus der Energie zur Erzeugung eines optisches Phonons abschätzen. Abschätzung der S¨ attigungsgeschwindigkeit. Für die Driftgeschwindigkeit der Elektronen gilt vn = −

eτcn E m∗n

bzw.

eE = −

vn m∗n . τcn

Ist Wop die Energie eines optischen Phonons und τop die Zeit die im Mittel zwischen zwei St¨ oßen mit Anregung eines optischen Phonons verstreicht, so verliert ein Elektron im Mittel pro Zeiteinheit die Energie Wop /τop ; diese Verlustleistung muß bei Geschwindigkeitss¨ attigung im Gleichgewicht mit der im Mittel vom elektrischen Feld verrichteten Leistung −eEvnsat stehen, was auf die Leistungsbilanz Wop m∗ 2 = −eEvnsat = n vnsat τop τcn f¨ uhrt. Mit Wop = 63 meV und m∗n ≈ 0.26 me folgt so f¨ ur die Sättigungsgeschwindigkeit vnsat der Elektronen in Silizium Wop τcn τcn 7 cm = 1.63 · 10 vnsat = ∗ mn τop s τop Da τcn alle Streuprozesse erfaßt, ist11 τcn /τop < 1; da die Erzeugung optischer Phononen bei hohen Feldst¨ arken aber einen hohen Anteil der Streuprozesse ausmacht [23], ist das Verh¨ altnis in der Gr¨ oßenordnung von eins und die Sättigungsgeschwindigkeit in der Gr¨ oßenordnung von 107 cm/s. 11

Der Zusammenhang zwischen τcn und τop ist durch die Matthiesensche Regel [22] gegeben wonach, mit der Streurate 1/τnop der Streuprozesse bei denen keine optischen Phononen erzeugt werden, gilt: 1/τcn = 1/τnop + 1/τop .


507

g r o ß e e ffe k tiv e M a s s e B e w e g lic h k e it m nL < < m nG

3 e V

W C

2 D W 1

= W L - W = 0 .3 1 e V

k le in e e ffe k tiv e M a s s e , B e w e g lic h k e it m n G G

W g

= 1 .4 2 4 e V

0 W V

-1 1 1 1 L

G

1 0 0 X

Abb. 12.26. Bandstruktur von GaAs (vereinfacht)

Abbildung 12.25 zeigt die Driftgeschwindigkeit von Elektronen und Löchern f¨ ur Si und f¨ ur GaAs. W¨ ahrend bei Si die Driftgeschwindigkeit monoton mit der Feldstärke zunimmt und gegen den Wert der Sättigungsgeschwindigkeit verläuft, steigt in GaAs die Driftgeschwindigkeit nur bis zu einem Maximalwert an, um dann mit zunehmender Feldstärke wieder abzunehmen. Dies ist die Ursache des sog. Gunn-Effekts, der anhand von Abb. 12.26 erklärt werden kann. Dort ist eine vereinfachte Darstellung der Bandstruktur von GaAs zu sehen. Das Leitungsband weist zwei T¨ aler bei Γ und bei L auf, wobei das L-Tal nur um 0.31 eV oberhalb des Γ-Tals liegt. Die Kr¨ ummung der WC (k)-Kurve ist im L-Tal jedoch deutlich geringer als im Γ-Tal, d.h. die Beweglichkeit µnL der Elektronen im L-Tal ist wesentlich kleiner als die Beweglichkeit µnΓ der Elektronen im Γ-Tal. Die Elektronenbeweglichkeit µn hängt nun davon ab, wie sich die Elektronen auf die beiden Täler verteilen. Ist nΓ die Dichte der Elektronen im Γ-Tal und nL die Dichte der Elektronen im L-Tal, so ist µn =

µnΓ nΓ + µnL nL . nΓ + nL

Bei Raumtemperatur und geringen Feldstärken ist die mittlere Energie der Elektronen gering: Die Elektronen bev¨ olkern nahezu ausschließlich Zustände oßerer Feldstärke gibt es jedoch viele im Γ-Tal und es gilt µn ≈ µnΓ . Mit gr¨ Elektronen, die so viel Energie aus dem Feld aufgenommen haben, daß sie in das L-Tal gestreut werden k¨ onnen, wodurch die Population dieses Tals ansteigt und die Beweglichkeit sinkt. Beispiel 12.4.2 Die Geschwindigkeitss¨ attigung f¨ uhrt zu Abweichungen vom Ohmschen Gesetz, wie dieses Beispiel zeigt: Betrachtet wird ein Si-Halbleiterwiderstand der L¨ ange 10 µm, Breite 2 µm und Dicke 200 nm, der mit Donatoren der Konzen-

508

12. Halbleiter

X RKPVFKHU:LGHUVWDQGN2KP

PLW%HUXHFNVLFKWLJXQJGHU *HVFKZLQGLJNHLWVVDHWWLJXQJ

9

,*

9

9 ( 9

9

9

9

9

9

9

9

Abb. 12.27. Abweichungen vom Ohmschen Gesetz (Beispiel 12.4.2)

tration ND = 1016 cm−3 dotiert ist. Wird an den Widerstand die Spannung V angelegt, so tritt im Halbleiter ein elektrisches Feld vom Betrag V /L auf und es fließt ein Driftstrom. Bei kleiner Feldst¨ arke ist die Beweglichkeit der Elektronen µn (0) ≈ 1200 cm2 /Vs und der Widerstand R(0) =

L 1 = 130 kΩ . eµn (0)ND D W

Wird die Feldst¨ arkeabh¨ angigkeit der Beweglichkeit (12.70) ber¨ ucksichtigt, so ist 1/µn (0) durch 1 1 1 2 2 = 1 + (µn (0)E/vnsat ) = 1 + (V /V ∗ ) µn (E) µn (0) µn (0) zu ersetzen. Der Widerstandswert wird spannungsabhängig und f¨ ur den Strom durch den Widerstand folgt µA V 2 = 7.7 V I = 1 + (V /V ∗ ) . R(V ) V Die Spannung V ∗ = vnsat L/µn (0) ≈ 8.33 V kann als charakteristische Spannung f¨ ur √ Hochfeldeffekte dienen: Bei V = V ∗ ist der Widerstandswert auf das 2-fache von R(0) angestiegen. Abbildung 12.27 zeigt das nichtohmsche Verhalten anhand einer SPICE-Simulation. Der Widerstand wurde dabei durch eine spannungsgesteuerte Stromquelle u ¨ber die Anweisung G1 1 0 VALUE = {7.7E-6*V(1,0)*SQRT(1+0.01441*V(1,2)*V(1,2))} modelliert; der Vergleich mit der Kennlinie des ohmschen Widerstands 130 kΩ zeigt die Auswirkung der Geschwindigkeitss¨ attigung. ∆


509

12.4.2 Diffusionsstrom Ursache des Diffusionsstroms ist die Wärmebewegung der Ladungsträger. Diese ist ihrer Natur nach ungerichtet. Solange die Dichte der Ladungsträger nicht vom Ort abh¨ angt, tritt deshalb kein Strom auf: Die aufgrund der thermischen Bewegung aus einem Teilvolumen austretenden Teilchen werden im statistischen Mittel durch eine gleichgroße Zahl von Teilchen ersetzt, die aus den angrenzenden Gebieten hereinstr¨ omen. Dies ist nicht mehr der Fall, wenn die Trägerdichte vom Ort abh¨ angt: Aus den Gebieten hoher Teilchendichte bewegen sich dann mehr Teilchen fort, als von den umliegenden – schwächer besetzten – Gebieten nachgeliefert werden. Bei inhomogener Verteilung der beweglichen Ladungstr¨ ager fließt deshalb ein Teilchenstrom vom Gebiet hoher Konzentration in Zonen niederer Konzentration (Abb. 12.28). n (x )

n (x )

K o n z e n tr a tio n s g e fä lle d e r E le k tr o n e n J nT

h o m o g e n e E le k tr o n e n d ic h te n

J n

n

x

x

Abb. 12.28. Zur Entstehungen des Diffusionsstroms

Die durch Diffusion bedingte Stromdichte ist proportional zum Gradienten der entsprechenden Tr¨ agerkonzentration (1. Ficksches Gesetz ) Jn = eDn

∂n ∂x

und

Jp = −eDp

∂p . ∂x

(12.45)

Die dabei auftretenden Proportionalit¨ atsfaktoren Dn und Dp werden als Diffusionskoeffizienten f¨ ur Elektronen bzw. Löcher bezeichnet. Sie sind mit den entsprechenden Beweglichkeiten u upft ¨ber die Einstein-Relationen verkn¨ Dn = µn VT

und

Dp = µp VT .

(12.46)

Zur Einstein-Relation. Ursache der Diffusion ist die statistisch ungeordnete Wärmebewegung. Der Einfachheit halber beschr¨ anken wir uns auf die Bewegung in xRichtung; die Wahrscheinlichkeit ein Elektron zur Zeit t im Intervall zwischen x und x + ∆x anzutreffen sei f (x, t)∆x; die Wahrscheinlichkeitsdichte f (x, t) f¨ ur ein Elektron das urspr¨ unglich bei x = 0 war ist dabei12 durch eine zeitabhängige GaußVerteilung [24] gegeben 12 Hier ist angenommen, daß keine zus¨ atzliche Kraftwirkung durch ein ¨ außeres Feld vorliegt; wird die Bewegung des Elektrons zus¨ atzlich durch die Wirkung eines elektrischen

510

12. Halbleiter f(x ,t) t1

t2> t1

t3> t2 x

Abb. 12.29. Zeitliche Entwicklung der Dichtefunktion f (x, t) aufgrund der Diffusion f¨ ur ein urspr¨ unglich bei x = 0 befindliches Teilchen

x2 1 exp − f (x, t) = √ , 4Dn t 4πDn t

(12.47)

wie sie in Abb. 12.29 skizziert ist. Je gr¨ oßer der Diffusionskoeffizient Dn , desto schneller verbreitert sich die Dichtefunktion f (x, t). Da die Diffusion keine Richtung bevorzugt verschwindet die mittlere Verschiebung des Elektrons ∞ x(t) = xf (x, t) dx = 0 , −∞

nicht jedoch das Schwankungsquadrat ∞ x2 (t) = x2 f (x, t) dx = 2Dn t .

(12.48)

−∞

Die aufgrund der W¨ armebewegung von einem Elektron im Zeitintervall [ 0, t ] zur¨ uckgelegte Weg ergibt sich aus der Geschwindigkeit ∆vx (t) der Wärmebewegung t x(t) = ∆vx (t ) dt , (12.49) 0

wobei x(t) = 0. F¨ ur die Varianz der Verschiebung folgt so t t x(t)2 = ∆vx (t )∆vx (t ) dt dt . 0

(12.50)

0

Die Autokorrelationsfunktion (vgl. Kap. 3) ∆vx (t )∆vx (t ) = ∆vx (0)∆vx (τ ) = R∆vx (τ ) h¨ angt bei station¨ aren Prozessen nur von der Differenz t − t = τ ab; eine entsprechende Substitution u uhrt (12.50) in ¨berf¨ t ∞ ∞ x(t)2 = R∆v (τ ) dτ dt = 2t R∆v (τ ) dτ . (12.51) 0

−∞

0

Feldes Ex beeinflußt, so verschiebt sich das Maximum der Gauß-Verteilung mit der Driftgeschwindigkeit −µn Ex , d.h. im Argument der Exponentialfunktion ist x2 durch (x + µn Et)2 zu ersetzen.


511

Die Integrationsgrenzen f¨ ur τ wurden dabei ins Unendliche verlegt, was f¨ ur Zeiten groß gegen¨ uber der mittleren Streuzeit τcn gerechtfertigt ist, da die Autokorrelationsur τ τcn schnell gegen null abfällt. Durch Vergleich von (12.48) funktion R∆vx (τ ) f¨ mit (12.51) ergibt sich die folgende Beziehung zwischen dem Diffusionskoeffizienten und der Autokorrelationsfunktion der Geschwindigkeitsfluktuationen ∞ Dn = R∆v (τ ) dτ . (12.52) 0

Unter der Annahme isotroper Streuung besteht keine Korrelation zwischen den Teilchengeschwindigkeiten vor und nach einem Streuvorgang, d.h. ∆vx (0)∆vx (τ ) = ∆vx2 (0) e−τ /τcn . Nach dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik ist die mittlere Energie der W¨ armebewegung in einem Freiheitsgrad kB T /2 = m∗n ∆vx2 /2, so daß ∆vx2 (0) = kB T /m∗n . Zusammenfassen und einsetzen in (12.52) liefert dann ∞ kB T −τ /τcn kB T Dn = e dτ = τcn ∗ mn m∗n 0 Mit der Elektronenbeweglichkeit µn = eτcn /m∗n folgt so Dn =

kB T kB T eτcn τcn = = µn VT . m∗n e m∗n

(12.53)

Das ist die Einstein-Relation.

12.4.3 Generation und Rekombination Im thermischen Gleichgewicht werden durch thermische Anregung gleich viel Elektronen vom Valenz- ins Leitungsband angeregt wie Elektronen mit Löchern im Valenzband rekombinieren. Auf diesem Weg bleibt die Dichte der Elektronen und L¨ ocher konstant. Abweichungen der Ladungsträgerdichte von ¨ ihrem Wert im thermischen Gleichgewicht f¨ uhren zu einem Uberwiegen der Generation oder der Rekombination – der Halbleiter ist bestrebt, wieder in den Zustand des thermischen Gleichgewichts zu gelangen. Die Rekombinationsrate R gibt die Abnahme der Elektronen- bzw. Löcherdichte durch Rekombination an

∂n ∂p = = −R , ∂t Rekombination ∂t Rekombination die Generationsrate G entsprechend die Zunahme der Elektronen- bzw. Löcherdichte durch Generation

∂p ∂n = = G. ∂t Generation ∂t Generation

512

12. Halbleiter

Als Nettorekombinationsrate wird die Differenz R−G bezeichnet. Werden nur die im thermischen Gleichgewicht wirksamen Generations- und Rekombinationsmechanismen betrachtet, so ist die Nettorekombinationsrate in dotierten Bahngebieten in erster N¨ aherung 13 proportional zu den Abweichungen der Minoritätsdichten vom Gleichgewichtswert R−G =

pn − pn0 τp

(im n-Gebiet)

R−G =

np − np0 τn

(im p-Gebiet) .

und

(12.54) (12.55)

Diese Beziehungen beschreiben Generations-Rekombinations-Vorgänge (kurz G-R-Vorgänge) bei kleinen elektrischen Feldstärken und ohne Lichteinfluß. Die Lebensdauern τn und τp f¨ ur Elektronen und Löcher sind dabei vor allem von der Dotierstoffkonzentration abh¨ angig. Sowohl bei der Generation als auch bei der Rekombination von ElektronLoch-Paaren muß die Energie- und Impulserhaltung (genauer: Die Erhaltung des Kristallimpulses k) gew¨ ahrleistet sein. Dies kann u ¨ber verschiedene Mechanismen sichergestellt werden, erfordert aber stets die Wechselwirkung mit einem dritten Teilchen“ (Photon, St¨ orstelle oder Ladungsträger), das die ” frei werdende Energie aufnimmt. W C

W V

h n h n G e n e r a tio n

R e k o m b in a tio n

Abb. 12.30. Generation und Rekombinationsvorg¨ ange unter Beteiligung eines Photons

G-R-Vorg¨ ange unter Beteiligung eines Photons Bei der Generation eines Elektron-Loch-Paars durch Licht wird ein Photon der Energie hν > Wg im Halbleiter absorbiert. Seine Energie wird dazu verwendet, ein Elektron aus dem Valenzband in das Leitungsband anzuheben. Dieser Effekt wird z.B. in Fotodetektoren und Solarzellen ausgenutzt. Bei der Rekombination eines Elektron-Loch-Paars fällt ein Elektron aus dem Leitungsband in einen unbesetzten Zustand im Valenzband zur¨ uck. Die dabei freiwerdende Energie wird in Form eines Photons abgestrahlt. Da sich 13

Diese Beziehungen verlieren bei großen Abweichungen vom Gleichgewicht (Hochinjektion) ihre G¨ ultigkeit.


513

Elektronen und L¨ ocher auf der Energieskala vorzugsweise in der Nähe der Bandkanten aufhalten, gilt f¨ ur die Energie der emittierten Photonen hν ≈ Wg , d. h. das emittierte Licht ist weitgehend monochromatisch (vgl. Kap. 29). Die beschriebene strahlende Rekombination ermöglicht die Herstellung lichtemittierender Halbleiterbauelemente, wie z.B. Leuchtdioden. Die Wahrscheinlichkeit mit der G-R-Vorgänge unter Photonenbeteiligung auftreten, hängt vom Halbleitermaterial ab. In indirekten Halbleitern besitzen die meisten Elektronen eine Energie in der Nähe des Leitungsbandminimums und damit einen betragsm¨ aßig großen Kristallimpuls, während die meisten Löcher eine Energie in der N¨ ahe des Valenzbandmaximums und damit einen betragsmäßig kleinen Kristallimpuls aufweisen. Ein Elektron-Loch-Paar besitzt deshalb in der Regel einen großen Kristallimpuls. Bei der Rekombination w¨ urde ein Photon der Energie hν ≈ Wg entstehen, das jedoch nur einen sehr geringen Impuls aufweist. Strahlende Rekombinationsvorgänge in indirekten Halbleitern w¨ urden den Impulssatz verletzen und treten deshalb nicht auf.14 In direkten Halbleitern besitzen Elektronen und Löcher betragsmäßig kleine Werte des Kristallimpulses; hier ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur strahlende ” ¨ Ubergänge“ wesentlich gr¨ oßer als in indirekten Halbleitern.

G-R-Vorg¨ ange unter Beteiligung einer St¨ orstelle Störstellen im Halbleiter f¨ uhren in der Regel zu lokalisierten Energieniveaus in der Energiel¨ ucke. In diese k¨ onnen Elektronen und/oder Löcher eingefangen werden, was in einem zweistufigen Vorgang zur Generation bzw. Rekombination eines Elektron-Loch-Paars f¨ uhrt (Abb. 12.31). Dieser Mechanismus wird nach seinen Entdeckern [25–27] meist als Shockley-Read-Hall-Mechanismus (SRH) bezeichnet. Eine St¨ orstelle wirkt um so effizienter als Rekombinationszentrum, je n¨ aher das zugeh¨ orige Energieniveau bei der Mitte der Energiel¨ ucke liegt. Dotierstoffe mit ihren in der Nähe der Bandkanten liegenden Energieniveaus sind hier nicht problematisch – Schwierigkeiten können jedoch von metallischen St¨ orstellen (wie Kupfer oder Gold) herr¨ uhren. Die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß ein Minorit¨ ats- mit einem Majoritätsträger an einer Störstelle rekombiniert, ist proportional zur Dichte der Störstellen und zur Dichte der Majorit¨ aten, d. h. die Lebensdauer f¨ ur Minoritäten aufgrund der SRH-Rekombination ist ann¨ ahernd umgekehrt proportional zur Dotierstoffkonzentration. G-R-Vorgänge unter Beteiligung einer Störstelle beeinflussen die Eigenschaften von Halbleiterbauelementen meist in unerw¨ unschter Weise; beispiels14

Durch St¨ orungen des perfekten Kristallgitters (z.B. durch Einbau sog. isoelektronischer St¨ orstellen) kommt es auch in indirekten Halbleitern zu strahlenden Rekombinationsvorg¨ angen.

514

12. Halbleiter

v o rh e r:

W c

e n

(a )

n

(c )

C

(d )

S tö r s te lle (b )

c

e p

p

W V

n a c h h e r:

W (c )

C

(d )

S tö r s te lle (a )

(b )

W V

¨ Abb. 12.31. Uberg¨ ange an einer tiefen St¨ orstelle vom Akzeptortyp [27]

weise bestimmt die Generation von Elektron-Loch-Paaren an Störstellen maßgeblich die Dunkelstr¨ ome in Fotodetektoren und die Sperrströme in Dioden. Rekombination an St¨ orstellen beeinflußt auch den Wirkungsgrad von Solarzellen. Die Zunahme der St¨ orstellen im Kristall im Laufe der Lebensdauer eines Bauelements f¨ uhrt zu Alterungseffekten (Degradation), die sich beispielsweise in einer Abnahme der Stromverstärkung von Bipolartransistoren mit der Zeit oder der Abnahme des Wirkungsgrads von Leuchtdioden bemerkbar machen. Der gezielte Einbau von St¨ orstellen zur Reduktion der Minoritätslebensdauer wird zur Verringerung der Schaltzeiten in Leistungsbauelementen eingesetzt. F¨ ur diesen Zweck ist insbesondere Gold gebräuchlich, das ein beinahe in der Mitte der Energiel¨ ucke liegendes Energieniveau aufweist. Durch den Einbau von Goldatomen in n-dotiertes Silizium kann beispielsweise die Lebensdauer f¨ ur L¨ ocher im Bereich von 1 µs (Goldkonzentration 1014 cm−3 ) bis 0.1 ns (Goldkonzentration 1018 cm−3 ) eingestellt werden. Eine andere Methode ist, durch Beschuß mit energiereichen Strahlen Kristallschäden zu erzeugen. Energiereiche Elektronen erzeugen in Silizium beispielsweise Defekte die zu lokalen Akzeptorzust¨ anden 400 meV oberhalb der Valenzbandkante und Donatorzust¨ anden 360 meV unterhalb der Leitungsbandkante f¨ uhren. Die Störstellen sind dabei, abh¨ angig von der Eindringtiefe der die Schäden verursachenden Strahlung, ungleichf¨ ormig verteilt – im Gegensatz zum Einbau von Goldatomen, die durch Diffusion bei ca. 1000◦ C gleichförmig im Kristall verteilt werden k¨ onnen.


515

Netto-Rekombinationsrate f¨ ur SRH-Prozesse. Zur Erläuterung werden die in ¨ Abb. 12.31 dargestellten Uberg¨ ange an einer tiefen Störstelle betrachtet. F¨ ur diese St¨ orstelle vom Akzeptortyp gibt es nur zwei mögliche Zustände: entweder sie ist ¨ mit einem Elektron besetzt oder unbesetzt. Insgesamt lassen sich vier Uberg¨ ange unterscheiden: (a) Einfang eines Elektrons aus dem Leitungsband, (b) Emission eines Elektrons aus dem besetzten Akzeptorzustand in das Leitungsband, (c) Rekombination eines im Akzeptorzustand eingefangenen Elektrons mit einem Loch im valenzband (dieser Vorgang entspricht dem Einfang eines Lochs vom Valenzband durch die mit einem Elektron besetzte St¨ orstelle)) und (d) Einfang eines Elektrons aus dem Valenzband (dies kann auch als Emission eines Lochs von der Störstelle in das Valenzband ¨ beschrieben werden). Wie in [27,28], werden die Ubergangsraten dieser vier Prozesse mit cn n, en , cp p und ep bezeichnet; die Dichte der tiefen Störstellen wird mit NT bezeichnet. Unter der Annahme einer stationären Besetzungswahrscheinlichkeit folgt f¨ ur die Netto-Rekombinationsrate R − G = NT

pn − n2i τp0 (n+n1 ) + τn0 (p+p1 )

(12.56)

mit τn0 = 1/cn und τp0 = 1/cp . F¨ ur die n1 und p1 gilt im thermischen Gleichgewicht WT −WC WT −WFi en n1 = = NC exp = ni exp cn kB T kB T WV −WT WFi −WT ep = NV exp p1 = = ni exp cp kB T kB T wobei WT die Energie des St¨ orstellenzustands und WFi die Lage der Fermi-Energie im undotierten Halbleiter bezeichnet. Unter dieser Bedingung ergibt sich Gilt τp0 = τn0 = τ NT so vereinfacht sich (12.56) zu R−G =

1 pn − n2i ; τ n + p + 2ni cosh [ (WT −WFi )/kB T ]

(12.57)

die Netto-Rekombinationsrate h¨ angt demzufolge stark von der Energie des Störstellenniveaus WT ab und errecht ihren maximalen Wert f¨ ur WT → WFi . In einem n-Typ Halbleiter wird der Nenner von (12.56) durch den Term τp0 n ≈ ur die Netto-Rekombinationsrate τp0 ND+ dominiert. Mit pn0 ≈ n2i /ND+ , folgt dann f¨ R−G ≈

pn nn −n2i pn −pn0 = , τpSRH τpSRH ND+

(12.58)

wobei τpSRH = τp0 /NT die Lebensdauer f¨ ur Löcher aufgrund des SRH-Mechanismus bezeichnet. Analog dominiert τn0 p ≈ τn0 NA− im Nenner (12.56) im Fall eines p-Typ Halbleiters bei Niederinjektion, so daß R−G ≈

pp np −n2i np −np0 , − = τnSRH τnSRH NA

(12.59)

wobei τnSRH = τn0 /NT die Lebensdauer f¨ ur L¨ ocher aufgrund des SRH-Mechanismus bezeichnet.

516

12. Halbleiter

Generation und Rekombination an Oberfl¨ achen. Die Grenzfläche zwischen einem Halbleiter und einem Isolator kann die Generation und Rekombination auf zweifache Weise beeinflussen: Zum einen sind an der Grenzfläche Störstellenzustände – vor allem durch nicht abges¨ attigte Bindungsorbitale bedingt – an denen Generation und Rekombination stattfinden kann, zum anderen können Ladungen im Isolator eingefangen werden und durch ihr elektrisches Feld die Rekombinationsvorgänge im Halbleiter in der N¨ ahe der Grenzfl¨ ache beeinflussen. F¨ ur die Stromdichte der Elektronen und L¨ ocher an einer solchen Oberfl¨ ache gilt Jp = −Jn = e(R−G) ; die Netto-Rekombinationsrate (pro Fl¨ acheneinheit) (R − G) läßt sich bei Niederin15 jektion in einem n-Typ Gebiet mit Hilfe der Oberflächenrekombinationsgeschwinucken [29] digkeit Sp ausdr¨ e(R−G) = Sp (pn −pn0 ) ;

(12.60)

bei Niederinjektion ist Sp unabh¨ angig von der Dichte der Löcher an der Grenzfläche.

G-R-Vorg¨ ange unter Beteiligung dreier Ladungstr¨ ager Stoßionisation. Elektronen oder L¨ ocher, die eine kinetische Energie größer als die Energiel¨ ucke Wg aufweisen, sind in der Lage, weitere Elektron-LochPaare zu erzeugen. Dieser als Stoßionisation bezeichnete Vorgang tritt vorzugsweise in elektrischen Feldern oberhalb von 105 V/cm auf. Bei kleineren Feldstärken ist der Weg, den die Ladungsträger zur¨ ucklegen m¨ ußten, um eine hinreichend große kinetische Energie zu erlangen, zu groß: Bevor der erforderliche Wert erreicht ist, wird die Energie u ¨ber Stöße an das Gitter abgegeben. Die mit der Stoßionisation verbundene Generationsrate ist proportional zur jeweiligen Stromdichte G = αn |Jn | + αp |Jp | .

(12.61)

Die Größen αn und αp werden als Ionisationskoeffizienten bezeichnet.Ihr Wert hängt vom Verlauf der elektrischen Feldstärke im Halbleitermaterial ab. Sie können als Funktion der lokalen elektrischen Feldstärke angesehen werden, falls diese nur geringf¨ ugig mit dem Ort variiert. F¨ ur diesen Fall wird f¨ ur die beiden Ionisationskoeffizienten meist der Ansatz von Chynoweth [30]

αn ≈ an exp −

bn |E(x)|

und

αp ≈ ap exp −

bp |E(x)|

(12.62)

ur Elektronen sowie ap und verwendet, wobei die Konstanten an und bn f¨ bp f¨ ur Löcher stark unterschiedliche Werte aufweisen. Die in der Literatur veröffentlichten Zahlenwerte f¨ ur diese Parameter sind sehr unterschiedlich, ¨ ein Uberblick ist z.B. in [31] zu finden. Der Ansatz (12.62) ist nur anwend¨ bar, solange die Anderung der elektrischen Feldstärke auf einer Strecke, die 15

Die Betrachtung f¨ ur ein p-Typ Gebiet verl¨ auft analog.

12.4. Halbleiter im Nichtgleichgewicht W

( 2 ') (1 )

517

W

C

V

(2 )

( 1 ')

E Abb. 12.32. Stoßionisation

im Mittel benötigt wird um die zur Stoßionisation erforderliche Energie zu gewinnen, vernachl¨ assigbar klein ist. Diese Forderung ist in Bauelementen der Mikroelektronik mit ihren sehr d¨ unnen Raumladungszonen jedoch häufig nicht erf¨ ullt. Shockley-Modell. Die exponentielle Abhängigkeit der Ionisationskoeffizienten von der Feldst¨ arke läßt sich anhand des – stark vereinfachenden – Shockleyschen Modells [32], [33] der Stoßionisation verstehen. Dieses ber¨ ucksichtigt zwei Energieverlustmechansimen f¨ ur ein Elektron, das im Feld der Raumladungszone beschleunigt wird: • Anregung von Gitterschwingungen (optischen Phononen), beschrieben durch die ur, daß ein Elektron die mittlere freie Wegl¨ ange λop : Die Wahrscheinlichkeit daf¨ Strecke d zur¨ ucklegt, ohne ein optisches Phonon anzuregen, ist P = exp (−d/λop ). • Erzeugung von Elektron-Loch-Paaren: Sobald die kinetische Energie des Elektrons gr¨ oßer als die Ionisationsenergie“ 16 Wi ist, kann ein Elektron ein Elektron-Loch” Paar erzeugen. Die freie Wegl¨ ange f¨ ur Stoßionisation f¨ ur Elektronen mit W > Wi wird mit λi bezeichnet. Um in einem elektrischen Feld E die Energie Wi aufzunehmen, muß das Elektron die ur, daß ein Elektron diese Strecke Wi /(eE) durchlaufen. Die Wahrscheinlichkeit daf¨ Strecke durchl¨ auft, ohne ein optisches Phonon zu erzeugen, ist P (Wi ) = exp (−Wi /eλr E) . Sobald ein Elektron die Energie Wi u ¨berschreitet, besitzt es die Fähigkeit zur Stoßionisation. Der Anteil der Elektronen der beim nächsten Streuvorgang kein optisches Phonon sondern ein Elektron-Loch-Paar erzeugt ist λr /λi . Durch (λr /λi )P (Wi ) 16

Wi ist dabei in indirekten Halbleitern gr¨ oßer als die Energiel¨ ucke Wg anzusetzen, da unden der die Stoßionisation von Elektronen mit kinetischen Energien Wkin ≈ Wg aus Gr¨ Impulserhaltung vernachl¨ assigbar klein ist.

518

12. Halbleiter

ist damit die Wahrscheinlichkeit gegeben, daß ein Elektron ein Elektron-Loch-Paar durch Stoßionisation erzeugt. Der Ionisationskoeffizient ist proportional zu dieser Gr¨ oße. Dies erkl¨ art die exponentielle Abh¨ angigkeit der Ionisationskoeffizienten von der Feldst¨ arke in der Chynoweth-Beziehung.

Nichtlokale Effekte. Wie bereits erwähnt lassen sich Ionisationskoeffizienten nur bei schwacher Ortsabh¨ angigkeit der elektrischen Feldstärke als eine Funktion der lokalen elektrischen Feldst¨ arke ausdr¨ ucken. Ein vergleichsweise einfacher Ansatz zur Ber¨ ucksichtigung einer vom Ort abh¨ angigen elektrischen Feldstärke [34–36] f¨ uhrt auf Ionisationskoeffizienten in Chynoweth-Form αn = an exp (−bn /|Eeff (x)|) , in denen statt der lokalen elektrischen Feldst¨ arke eine effektive Feldstärke x x−x 1 E(x ) exp Eeff (x) = dx . λwn xp λwn

(12.63)

(12.64)

verwendet wird. Die Streul¨ ange λwn wird in [35, 37] mit 65 nm angegeben, in [36] ur Löcher wurde in [37] der Wert λwn = wurde λwn = 80 nm als passend gefunden. F¨ 50 nm angegeben.

Auger-Rekombination. Die Umkehrung der Stoßionisation ist die AugerRekombination. Diese stellt den dominierenden Rekombinationsmechanismus in stark dotierten indirekten Halbleitern dar. Der bei der Rekombination eines Elektron-Loch-Paars auftretende Impuls¨ uberschuß und die freiwerden17 wird an ein Elektron (eeh-Prozeß) oder an ein Loch (ehhde Energie Prozeß) abgegeben. Da die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß ein Minoritätsträger gleichzeitig mit zwei Majorit¨ atstr¨ agern zusammenstößt, proportional zum Quadrat der Majorit¨ atstr¨ agerkonzentration ist, nimmt die durch die AugerRekombination bestimmte Lebensdauer umgekehrt proportional zum Quadrat der Dichte der Majorit¨ aten und damit zum Quadrat der Dotierstoffkonzentration ab. Der u ¨bliche Ansatz zur Beschreibung der Auger-Rekombination verwendet die Nettorekombinationsrate R−G = (np−n2i )(Cn n+Cp p) ,

(12.65)

mit Koeffizienten Cn und Cp die durch Messung bestimmt werden. Parameter f¨ ur Silizium werden im Folgenden angegeben. Lebensdauern in Silizium. In schwach dotiertem Silizium dominiert die ShockleyRead-Hall Rekombination mit Lebensdauern in der Größenordnung einiger Mikrosekunden, bei hohen Dotierstoffkonzentrationen wird die Auger-Rekombination maßgeblich mit der Netto-Rekombinationsrate (12.65). Tabelle 12.3 zeigt Werte f¨ ur die 17

Zumindest zum großen Teil: eine genauere Analyse der Auger-Rekombinationsvorg¨ ange zeigt, daß zus¨ atzliche Wechselwirkungen mit Gitterschwingungen und St¨ orstellen eine wichtige Rolle spielen.

12.4. Halbleiter im Nichtgleichgewicht 1 0

-4

S R H - R e k o m b in a tio n

s

t

1 0

-5

1 0

-6

1 0

-7

~ 1 /N

p

519

A u g e r - R e k o m b in a tio n

D

T H A a c h e n

1 0

B e c k /C o n ra d t

-8

K e n d a ll D z ie w io r /S c h m id

1 0

W ie d e r -9

~ 1 /N

1 0

1 0

1 5

1 6

1 0

1 0

1 7

1 8

D o n a to r k o n z e n tr a tio n

1 0

1 9

c m

D

-3

2

1 0

2 0

Abb. 12.33. L¨ ocherlebensdauer in n-Typ Silizium (nach [39])

Parameter Cn und Cp , die aus dem Abfall des bei der Rekombination von ElektronLoch-Paaren ausgesendeten Lichts nach Anregung mit einem kurzen Laserpuls bestimmt wurden [38]. Tabelle 12.3. Parameter Cn und Cp f¨ ur Auger Rekombination in Silizium [38] Temperatur Cn /(cm6 s−1 ) Cp /(cm6 s−1 )

77 K

300 K

400 K

2.3 × 10−31 7.8 × 10−32

2.8 × 10−31 9.9 × 10−32

2.8 × 10−31 1.2 × 10−31

In stark dotiertem n-Typ Silizium resultiert die Nettorekombinationsrate 1 R−G ≈ Cn n + (pn−n2ie ) , τpSRH n da n p. Wird wie in [40] durch Lebensdauer f¨ ur Löcher τp ≈

τpSRH , 1 + Cn τpSRH n2

(12.66)

die effektive Lebensdauer f¨ ur L¨ ocher eingef¨ uhrt, und beachtet, daß bei Niederinjektion pn0 = n2ie /n gilt, so ergibt sich die Netto-Rekombinationsrate R−G =

pn −pn0 . τp

Das ist der u ur die Beschreibung der Minoritäten verwendete Ansatz. ¨blicherweise f¨ Eine grafische darstellung der L¨ ocherlebensdauer in n-Typ-Silizium ist in Abb. 12.33 zu sehen.

520

12. Halbleiter

12.4.4 Grundgleichungen der Drift-Diffusions-Theorie Die Drift-Diffusions-Theorie verwendet f¨ unf Gleichungen – die Stromgleichungen, die Kontinuit¨ atsgleichungen und die Poisson-Gleichung – um die Ladungsträger- und Stromdichten f¨ ur Elektronen und Löcher sowie das elektrische Feld zu ermitteln. Dieses System von f¨ unf partiellen Differentialgleichungen wird in Simulationsprogrammen [31,36,41] numerisch gelöst – analytische Lösungen lassen sich nur f¨ ur vereinfachende Sonderfälle angeben. Wegen der N¨ aherungsannahmen, die den Stromgleichungen zugrunde liegen, liefert dieser Ansatz gew¨ ohnlich nur dann sinnvolle Werte, wenn sich die elektrische Feldst¨ arke nur geringf¨ ugig u ¨ber einer freien Weglänge verändert – andernfalls ist auch eine Vorhersage der Stoßionisation problematisch. Zwar besteht prinzipiell die M¨ oglichkeit, durch aufwendigere Verfahren wie die Lösung der Boltzmann-Gleichung bzw. die dazu gleichwertige Monte-CarloSimulation [42, 43] korrekte Simulationsergebnisse zu erzielen. Wegen des beachtlichen Aufwands werden diese Techniken aber nahezu ausschließlich f¨ ur Studien eingesetzt.

Stromgleichungen Durch Zusammenfassen der Ausdr¨ ucke f¨ ur die Driftstromdichte und die Diffusionsstromdichte folgen die Stromgleichungen f¨ ur Elektronen bzw. Löcher. Der allgemeine Ansatz J n = eµn nE + eDn ∇n

und

J p = eµp pE − eDp ∇p

vereinfacht sich im eindimensionalen Fall zu Jn = eµn nE + eDn

∂n ∂x

und

Jp = eµp pE − eDp

∂p . ∂x

(12.67)

Beispiel 12.4.3 In einem ungleichf¨ ormig dotierten n-Typ Halbleiter ist die Dichte der Elektronen ortsabh¨ angig. Deshalb diffundieren Elektronen vom stärker dotierten zum schw¨ acher dotierten Ende. Die fest im Gitter gebundenen Donatorionen können diese Bewegung nicht mitmachen: Das st¨ arker dotierte Ende lädt sich deshalb positiv auf, das schw¨ acher dotierte negativ. Auf diesem Weg entsteht ein elektrisches Feld; der mit diesem Feld verbundene Driftstrom ist dem Diffusionsstrom entgegengesetzt. Da im thermischen Gleichgewicht kein Strom fließt, m¨ ussen sich Drift- und Diffusionsstromdichte kompensieren. Aus der Forderung Jn = 0 und der Einstein-Beziehung ur die elektrische Feldstärke im Halbleiter und damit Dn = µn VT folgt mit (12.67) f¨ f¨ ur die Steigung der Bandkanten im Bandschema E(x) = −

1 dWC VT dn = . n dx e dx

Mit den Elektronendichten bei x = 0 und x = d folgt f¨ ur die Potentialdifferenz u ¨ber dem Halbleiterst¨ uck


521

ψ(0) − ψ(d) = VT ln [n(0)/n(d)] . Wird die Elektronendichte n(x) u ¨ber den Ansatz (12.13) mit ortsabhängigen Werten f¨ ur WC und WF beschrieben, so folgt dn WC −WF dWF d n dWC = NC exp − − = − . dx dx kB T kB T dx dx Aus der Bedingung Jn = 0 folgt aber dn nE n dWC enE = − = − , = − dx VT kB T kB T dx d.h. Jn = 0 kann nur gelten, wenn dWF /dx = 0 gilt. Im thermischen Gleichgewicht muß die Fermi-Energie also u ∆ ¨berall denselben Wert aufweisen (Abb. 12.34). z u n e h m e n d e D o tie r u n g W C

W F

E

W

W

C

(x )-W F

= k B T ln [N C

/n (x )]

V

0 d

x

Abb. 12.34. B¨ anderschema eines ungleichf¨ ormig dotierten nTyp Halbleiters

Beweglichkeit in Silizium. Wegen der Streuung an Gitterschwingungen ist die Beweglichkeit temperaturabh¨ angig; in reinem Silizium wird die Temperaturabhängigkeit durch ein Potenzgesetz beschrieben µ(T ) = µ300 K (300 K/T )

α

,

(12.68)

wobei α ≈ 2.2 in Silizium18 . Bei dotiertem Silizium hängt die Ladungsträgerbeweglichkeit wegen der Streuung an ionisierten Donatoren und Akzeptoren zusätzlich von der Dotierstoffkonzentration ab. Nach [44] lassen sich bei T = 300K gemessene Daten f¨ ur die Beweglichkeit der Majorit¨ aten19 durch µL0 = µmin + 18

µmax −µmin µ1 − , 1 + (N/Nr1 )α1 1 + (Nr2 /N )α2

(12.69)

In der Literatur werden Werte zwischen 2.2 und 2.6 angegeben (vgl. [6, 31]). Die Beweglichkeiten f¨ ur Minorit¨ aten k¨ onnen in stark dotierten Halbleitern von den Beweglichkeiten der Majorit¨ aten abweichen, da die ionisierten St¨ orstellen auf die Majorit¨ aten anziehend, auf die Minorit¨ aten abstoßend wirken, was sich in unterschiedlichen Streuraten auswirkt. Die Beweglichkeit der Minorit¨ aten ist dabei in stark dotierten Halbleitern gr¨ oßer als als die der Majorit¨ aten. 19

522

12. Halbleiter

beschreiben; N bezeichnet die Dichte der ionisierten Störstellen, die Parameter µmin , µmax , µ1 , Nr1 , α1 , Nr2 and α2 sind in Tabelle 12.4 aufgef¨ uhrt. Tabelle 12.4. Parameter f¨ ur die Beweglichkeiten der Majoritäten a ) [44]

As P B a

µmin

µmax

µ1

Nr1

α1

Nr2

α2

52.2 68.5 44.9

1417 1414 470.5

43.4 56.1 29.0

9.68 × 1016 9.2 × 1016 2.23 × 1017

0.68 0.711 0.719

3.43 × 1020 3.41 × 1020 6.1 × 1020

2 1.98 2

) Beweglichkeiten in cm2 /(Vs), Dotierstoffkonzentrationen in cm−3 .

Da die Streuung an St¨ orstellen eine andere Temperaturabhängigkeit aufweist als die Streuung an Gitterschwingungen, kann die Beweglichkeit in stärker dotierten Halb¨ leitern durch eine Uberlagerung entsprechend der Matthiesenschen Regel ermittelt werden; eine entsprechendes Beweglichkeitsmodell wird in [15, 45] vorgestellt. Die zunehmende Erzeugung optischer Phononen bedingt eine Abnahme der Beweglichkeit bei großer Feldst¨ arke; dabei wird u ¨blicherweise die empirische Beziehung von Caughey uand Thomas [46] µ(E) =

µ(0) 1 + (µ(0)E/vnsat )

β

1/β

(12.70)

mit β ≈ 2 zugrundegelegt.

Stromtransport in Materialien mit ortsabh¨ angiger Energiel¨ ucke. Durch eine ¨ Anderung in der Zusammensetzung eines Verbindungshalbleiters kann eine allmähli¨ che Anderung der Energiel¨ ucke (z.B. u ¨ber der Basis eines Bipolartransistors) erreicht werden (graded base). Ein weiterer Effekt der zu einer ortsabhängigen Energiel¨ ucke f¨ uhrt ist das bandgap narrowing. Eine in Flußrichtung der Elektronen abnehmende Energiel¨ ucke wirkt sich auf den Transferstrom wie ein zusätzliches Driftfeld aus: In Halbleitern mit ortsabh¨ angiger Zusammensetzung sind die Stromgleichungen f¨ ur Elektronen und L¨ ocher wie folgt zu verallgemeinern [47] ∂n n dNC dWC + µn n − eDn ∂x dx NC dx

Jn

= enµn E + eDn

Jp

= −epµp E + eDp

∂p p dNV dWV + µp p − eDp ∂x dx NV dx

(12.71) (12.72)

¨ Dabei bezeichnet dWC /dx die Anderung der Energie der Leitungsbandkante im feld¨ freien Fall und dWV /dx die Anderung der Energie der Valenzbandkante. Entspre¨ der effektiven Zustandsdichte im Leitungschend bezeichnet dNC /dx die Anderung band mit dem Ort und dNV /dx diejenige des Valenzbands.


523

Kontinuit¨ atsgleichungen Die Kontinuit¨ atsgleichungen f¨ ur Elektronen und Löcher stellen die Bilanz“ ” ¨ f¨ ur diese Ladungstr¨ ager auf, d. h. sie verkn¨ upfen die Anderung der Ladungsträgerdichte mit der Stromdichte und der Nettorekombinationsrate. Die eindimensionale Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur Elektronen lautet 1 ∂Jn ∂n = − (R−G) . ∂t e ∂x

(12.73)

F¨ ur Löcher gilt entsprechend 1 ∂Jp ∂p = − − (R−G) ∂t e ∂x

(12.74)

mit der Löcherstromdichte Jp . Die Verallgemeinerung dieser Beziehungen auf den dreidimensionalen Fall ergibt 1 ∂n = ∇·J n − (R−G) ∂t e F lu ß r ic h tu n g

bzw.

1 ∂p = − ∇·J p − (R−G) . ∂t e

d e r E le k tr o n e n

J

D x

n T

(x -D x /2 ) J

n T

(x + D x /2 )

Q u e r s c h n itts flä c h e A x -D x /2 x

x + D x /2

x

Abb. 12.35. Teilchenfluß (eindimensional) durch ein quaderf¨ ormiges Volumen

Herleitung der Kontinuit¨ atsgleichung. Zur Herleitung der eindimensionalen Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur Elektronen wird ein eindimensionaler Elektronenfluß in xRichtung, beschrieben durch die Teilchenstromdichte JnT (x), betrachtet (Abb. 12.35). Die Rate, mit der Elektronen in den skizzierten Quader mit Querschnittsfläche A str¨ omen, ist EIN = AJnT (x−∆x/2) . Die Rate, mit der Elektronen aus dem Quader herausfließen, ist AUS = AJnT (x+∆x/2) . Ferner ist ein Schwund durch Rekombination zu ber¨ ucksichtigen

524

12. Halbleiter SCHWUND = (R−G)A∆x .

Die Bilanz f¨ ur Elektronen im Volumen V lautet damit ¨ ANDERUNG = EIN − AUS − SCHWUND . ¨ Die ANDERUNG der Anzahl der Elektronen im Volumen V = A ∆x hängt mit der ¨ Anderung der Elektronendichte im Volumen u ¨ber die Beziehung ∂n ¨ A∆x ANDERUNG = ∂t zusammen. Setzt man diese Zusammenh¨ ange in die Bilanzgleichung ein, so folgt ∂n A∆x = AJnT (x−∆x/2) − AJnT (x+∆x/2) − (R−G)A∆x ∂t bzw. nach Division durch A und ∆x ∂n JnT (x+∆x/2) − JnT (x−∆x/2) = − − (R−G) . ∂t ∆x Im Grenzfall ∆x → 0 geht der erste Term auf der rechten Seite in die Ableitung der Teilchenstromdichte u uhrt dies auf Gl. (12.73). ¨ber. Mit Jn = −eJnT f¨

L ic h t

W D L


Beispiel 12.4.4 Als einfaches Anwendungsbeispiel der Kontinuitätsgleichung wird das in Abb. 12.36 skizzierte Halbleiterpl¨ attchen (Silizium) mit der Akzeptorkonzentration NA ni betrachtet. Im unbeleuchteten Fall ist der Leitwert des Plättchens G = e(µn np0 + µp pp0 )W D/L ≈ eµp NA W D/L vor allem durch die Dotierung bestimmt. Trifft Licht auf das Plättchen, so werden zus¨ atzliche Elektron-Loch-Paare erzeugt; da Elektronen und Löcher paarweise erzeugt werden, steigt die Elektronen- und L¨ ocherdichte im selben Maß an (∆n = ∆p). Da die Stromdichte im betrachteten Beispiel nicht vom Ort abhängt lautet die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Elektronen np −np0 dnp = − + Ghν (t) dt τn wobei Ghν (t) die zus¨ atzliche Generationsrate durch die absorbierte Strahlung angibt. Ist die auftreffende Strahlung monochromatisch mit der Wellenlänge λ, so ist die


525

Energie eines Photons Whν = hc/λ (vgl. Kap. 26). Die Anzahl der pro Zeiteinheit auftreffenden Photonen ist dann φe (t)/Whν wobei φe (t) die auftreffende Strahlungsleistung ist. Bezeichnet η den Anteil der auftreffenden Photonen, die ein ElektronLoch-Paar erzeugen, so ist die durch die optische Strahlung bedingte Generationsrate Ghν (t) =

φe (t) 1 η . W LD hc/λ

Bei dieser Betrachtung wurde der Einfachheit halber angenommen, daß die Strahlungsleistung gleichf¨ ormig im Volumen absorbiert wird, d.h. Ghν (t) ist die u ¨ber das Volumen gemittelte Generationsrate.20 (a) Wird zur Zeit t = 0 eine konstante Beleuchtung eingeschaltet, so gilt f¨ ur t < 0: ur t > 0 gen¨ ugt Ghν = 0 und np = np0 (thermisches Gleichgewicht, Abb. 12.37, (1)); f¨ atsgleichung np (t) der Kontinuit¨ dnp np −np0 = − + Ghν dt τn mit Ghν > 0; diese Differentialgleichung ist zum Anfangswert np (0) = np0 zu lösen. Bei t = 0+ gilt dnp /dt = Ghν > 0, d.h. die Kontinuitätsgleichung liefert erwartungsgem¨ aß eine mit der Zeit ansteigende Elektronendichte. Die Elektronendichte steigt an, bis dnp /dt = 0 gilt, bzw. bis beim Wert np = np0 +Ghν τn ein stationärer Zustand erreicht wird (Abb. 12.37, (2)). Elektronen- und Löcherdichte gen¨ ugen f¨ ur t > 0 der Beziehung np (t) = np0 + Ghν τn [1 − exp(−t/τn )] . Mit np0 pp0 ≈ NA folgt f¨ ur den Leitwert des beleuchteten Halbleiterplättchens G = eµp NA

WD WD + e(µn +µp )Ghν τn = Gdark + ∆G L L

wobei Gdark den Leitwert des unbeleuchteten Halbleiterplättchens und ∆G die Zunahme des Leitwerts bei Beleuchtung bezeichnet. n

b e le u c h te t p

G

(2 )

(1 ) n

h n

t

u n b e le u c h te t

n

(3 )

0

p 0

t n

t n

t

¨ Abb. 12.37. Anderung der Elektronendichte im p-Typ Halbleiter nach Ein- und Ausschalten der Beleuchtung 20

Eine aufwendigere Rechnung mit einer von der Eindringtiefe abh¨ angigen Generations¨ rate liefert dasselbe Ergebnis f¨ ur die Anderung des Leitwerts bei Beleuchtung.

526

12. Halbleiter

ur t < 0 und Ghν = 0 (b) Wird das Licht bei t = 0 ausgeschaltet, d.h. gilt Ghν > 0 f¨ f¨ ur t > 0, so lautet die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur t > 0 dnp np −np0 = − dt τn mit der Anfangsbedingung np (0) = np0 + Ghν τn > np0 . Bei t = 0+ gilt dnp /dt = −Ghν < 0, d.h. die Elektronendichte nimmt erwartungsgemäß ab. Die Elektronendichte f¨ allt ab bis dnp /dt = 0 bzw. np = np0 erreicht ist: Sich selbst u ¨berlassen strebt der Halbleiter also wieder den Zustand des thermischen Gleichgewichts an (Abb. 12.37, (3)). (c) F¨ allt f¨ ur t > 0 Licht mit sinusf¨ ormig modulierter Leistung auf das Halbleiterpl¨ attchen, so lautet die Kontinuit¨ atsgleichung np −np0 dnp = − + Ghν0 + Gˆhν∼ cos(ωt) . dt τn Der Gleichanteil der Generationsrate Ghν0 verursacht einen Anstieg der Elektronendichte auf den Wert np = np0 + Ghν0 τn ; diesem Gleichanteil der Elektronendichte wird ein Wechselanteil np∼ (t) u ¨berlagert, der durch np∼ dnp∼ = − + Gˆhν∼ cos(ωt) dt τn bestimmt ist. Die L¨ osung dieser DGL ergibt τn Gˆhν∼ np∼ (t) =

cos(ωt + ϕ) = n ˆ p∼ cos(ωt + ϕ) 1 + ω 2 τn2 mit ϕ = − arctan(ωτn ). Es lassen sich zwei Grenzfälle betrachten • F¨ ur niedere Frequenzen mit ωτn 1 ist n ˆ p∼ ≈ τn Gˆhν∼ ; unter diesen Bedingungen stellen sich Leitwerts¨ anderungen mit einer von der Frequenz unabhängigen Amplitude ein. ˆ p∼ ≈ Gˆhν∼ /ω; unter diesen Bedingungen • F¨ ur hohe Frequenzen mit ωτn 1 ist n f¨ allt die Amplitude der durch den Wechselanteil der Strahlung bedingten Leitwerts¨ anderungen umgekehrt proportional zur Frequenz ab. Der in diesem Beispiel untersuchte Fotowiderstand zeigt somit bei Wechselbetrieb ∆ ein Tiefpaßverhalten mit der Grenzfrequenz 1/(2πτn ). Beispiel 12.4.5 Ein sch¨ one Illustration des Zusammenwirkens von Drift, Diffusion und Rekombination bietet das Haynes-Shockley-Experiment [48] mit der in Abb. 12.38 skizzierten Anordnung. In einem n-Typ Halbleiter werden dabei bei x = 0 durch einen kurzen Lichtblitz zur Zeit t = 0 Elektron-Loch-Paare erzeugt. Durch ein angelegtes elektrisches Feld driften die erzeugten Löcher nach rechts. Wird das elektrische Feld im Halbleiter als konstant angenommen (dE/dx = 0), so lassen sich die Strom- und die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Löcher im n-Gebiet Jp = eµp pn E − eDp zusammenfassen zu

∂pn ∂x

und

∂pn 1 ∂Jp pn − pn0 = − ∂t e ∂x τn


527

L ic h tb litz z u r Z e it t= 0 n - T y p H a lb le ite r V +

p n(x ,t) t1

E = 0

t2> t1 p

t3> t2

n 0

0 x

p n(x ,t) E > 0

t1 t2> t1

t3> t2 p

n 0

0

v pt1

v pt2

v pt3

x

Abb. 12.38. Haynes-Shockley Experiment. Versuchsanordnung und Verteilung der Minorit¨ atsladungstr¨ ager f¨ ur verschiedene Zeiten

pn −pn0 ∂pn ∂ 2 pn ∂pn = − + Dp − µp E . ∂t τp ∂x ∂x2 Werden durch den Lichtblitz N L¨ ocher zur Zeit t = 0 bei x = 0 erzeugt, so ist die L¨ osung dieser partiellen Differentialgleichung t N (x−vp t)2 exp − pn (x, t) =

exp − + pn0 . τp 4Dp t 4πDp t Dabei bezeichnet vp = µp E die Driftgeschwindigkeit der Löcher im elektrischen Feld E. Liegt keine Spannung an, so ist E = 0; das Maximum der Löcherdichte bleibt dann bei x = 0, aufgrund der Diffusion verteilen sich die Löcher aber u ¨ber einen zunehmend gr¨ oßeren Bereich und nehmen aufgrund der Rekombination (Faktor exp(−t/τp )) insgesamt ab. Wird ein elektrisches Feld u ¨berlagert, so verschiebt sich das Maximum der L¨ ocherdichte mit der Driftgeschwindigkeit in Feldrichtung. ∆

Poisson-Gleichung F¨ ur eine vollständige Beschreibung der Vorgänge im Halbleiter unter Nichtgleichgewichtsbedingungen sind die Strom- und Kontinuitätsgleichungen durch eine Beziehung zu erg¨ anzen, die es erlaubt, die elektrische Feldstärke E = −∂ψ/∂x

(12.75)

528

12. Halbleiter

bzw. das elektrostatische Potential ψ aus der Verteilung der Ladungen zu berechnen. Der gesuchte Zusammenhang wird durch die Poisson-Gleichung [49] geliefert, die in ihrer eindimensionalen Form durch ρ ∂2ψ = − ∂x2 0 r

(12.76)

gegeben ist. Hierbei bezeichnet

ρ = e p−n+ND+ −NA−

(12.77)

die Ladungsdichte. Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen lautet ∇·E = −∇2 ψ = ρ/0 r .

12.4.5 Abschirmung Werden Minorit¨ aten in ein zuvor neutrales Bahngebiet injiziert, so ziehen diese aufgrund ihrer Ladung dort Majorit¨ atsträger an, die sich so verschieben, daß die injizierte Minorit¨ atsladung weitgehend neutralisiert wird. Dieser Vorgang erfolgt in Materialien mit großem spezifischem Leitwert σ sehr schnell. Die charakteristische Zeitkonstante f¨ ur diesen Ausgleichsvorgang ist die dielektrische Relaxationszeit τ = 0 r /σ .

(12.78)

F¨ ur Dotierstoffkonzentrationen gr¨ oßer als 1017 cm−3 , wie sie in den Bahngebieten von Halbleiterbauelementen h¨ aufig anzutreffen sind, ist τ deutlich kleiner als 1 ps, die neutralisierenden Majoritäten folgen den injizierten Minoritäten unter diesen Umst¨ anden nahezu tr¨ agheitsfrei. Im Fall eines n-Typ Halbleiters der Dotierstoffkonzentration ND+ folgt aus (12.78) f¨ ur die dielektrische Relaxationszeit21 τ = 0 r /eµn ND+ .

(12.80)

21

Die Beziehung (12.80) darf nur verwendet werden, falls die Feldst¨ arkeabh¨ angigkeit der Elektronenbeweglichkeit vernachl¨ assigbar ist. Ist dies nicht der Fall, so ist statt µn die Kleinsignalbeweglichkeit µn (E0 ) = µn (E0 ) + E0

dµn dE E0

(12.79)

arke im Arbeitspunkt bezeichnet. Diese kann in bestimmzu verwenden, wobei E0 die Feldst¨ ten Halbleitern negative Werte annehmen, was zu exponentiell mit der Zeit anwachsenden St¨ orungen und damit zu einer Instabilit¨ at der Ladungsverteilung (Gunn-Effekt) f¨ uhren kann.


529

Mit dieser Zeitkonstante wird sich eine zufällige Anhäufung von Elektronen, wie sie z.B. durch die W¨ armebewegung zustandekommen kann, wieder auflösen. Die charakteristische L¨ ange f¨ ur die Abschirmung der injizierten Minoritäten durch Majoritäten ist die Debye-L¨ ange 22

LD =

0 r VT . eN

(12.81)

F¨ ur N ist dabei die Dichte der Majoritäten einzusetzen, also nn im nur n-Typ Silizium mit ND+ = 1017 cm−3 Halbleiter und pp im p-Halbleiter. F¨ ergibt sich beispielsweise eine Debye-L¨ ange von LD = 13 nm: Die injizierten Minoritätsträger k¨ onnen hier f¨ ur die meisten Zwecke als perfekt neutralisiert angenommen werden. Physikalischer Hintergrund. Als Beispiel wird eine Störung ∆n(x, t) der Elektronendichte n(x, t) = ND+ + ∆n(x, t) in einem gleichförmig dotierten n-Typ Halbleiter betrachtet. Durch Ableiten der Stromgleichung Jn = −eµn n

∂n ∂ψ + eDn ∂x ∂x

folgt mit der Poisson-Gleichung ∂2ψ ρ e∆n = − = ∂x2 0 r 0 r f¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung ∂n ∂2 ∂ 1 ∂Jn eµn n = ∆n = = − ∆n + Dn 2 ∆n . ∂t ∂t e ∂x 0 r ∂x Wird im Produkt n ∆n = (ND+ + ∆n)∆n ≈ ND+ ∆n der Term ∆n2 vernachlässigt, was f¨ ur kleine Abweichungen ∆n vom Gleichgewichtswert zulässig ist, so folgt mit Dn = VT µn ∂2 ∆n 1 ∂ ∆n ∆n − 2 = ∂x2 LD Dn ∂t wobei

LD =

(12.82)

0 r VT /eND+

die Debye-L¨ ange bezeichnet. Diese partielle Differentialgleichung beschreibt allgemein das Verhalten einer St¨ orung ∆n(x, t) der Majoritätsdichte. An dieser Stelle sollen nur zwei Sonderf¨ alle betrachtet werden: 22

Zur Veranschaulichung der Debye-L¨ ange LD kann man sich eine Punktladung – etwa ein Elektron – in einem p-Typ-Halbleiter vorstellen. Das Elektron zieht L¨ ocher an, die sich in einer Wolke“ mit Abmessungen von der Gr¨ oßenordnung der Debye-L¨ ange um die negative ” Ladung h¨ aufen und diese abschirmen (neutralisieren).

530

12. Halbleiter

• H¨ angt die St¨ orung nur vom Ort ab, so vereinfacht sich (12.82) zu d2 ∆n ∆n − 2 = 0 dx2 LD mit der L¨ osung ∆n(x) = ∆n(0) e−x/LD , d.h. die Debye-L¨ ange beschreibt wie schnell eine Störung auf der Längenskala abklingt. • H¨ angt die St¨ orung nur von der Zeit ab, so vereinfacht sich (12.82) zu Dn ∆n d ∆n ∆n = = 2 LD τ dt mit der dielektrischen Relaxationszeit τ = L2D /Dn = 0 r /eµn ND+ = 0 r /σ; die L¨ osung dieser Differentialgleichung ist von der Form ∆n(t) = ∆n(0) e−t/τ , d.h. die dielektrische Relaxationszeit bestimmt wie schnell eine Störung auf der Zeitskala abklingt.

12.4.6 Quasi-Fermipotentiale Die Fermi-Energie WF bestimmt die Besetzungswahrscheinlichkeit der Elektronenzustände in Leitungs- und Valenzband unter den Bedingungen des thermischen Gleichgewichts. Elektronen- und Löcherdichte sind in diesem Fall durch das Massenwirkungsgesetz miteinander verkn¨ upft. Im Nichtgleichgewichtsfall treten Abweichungen der Elektronendichten und Löcherdichten von ihren jeweiligen Gleichgewichtswerten auf. Die f¨ ur die Wiederherstellung des Gleichgewichtszustands maßgeblichen Zeitkonstanten sind die Lebensdauern ur die Thermalisierung“ τn und τp . Diese sind groß im Vergleich zu den f¨ ” von Elektronen und L¨ ochern ben¨ otigten Zeiten: Durch Stöße der Elektronen bzw. Löcher untereinander und mit dem Gitter haben diese bereits nach einer Zeit von der Gr¨ oßenordung 1 ps eine dem Gleichgewichtsfall entsprechende Energieverteilung. Aus diesem Grund ist es naheliegend das Konzept der Fermi-Energie zu verallgemeinern. Im thermischen Gleichgewicht gilt f¨ ur die Elektronendichte

WFn −WC n = NC exp kB T

.

Bei Anwesenheit eines elektrischen Feldes mit dem elektrostatischen Potential ψ(x) wird die Leitungsbandkante ortsabhängig: Es gilt dWC /dx = −edψ/dx. Da der Nullpunkt f¨ ur die Skala des elektrostatischen Potentials frei gewählt werden kann, ist der Ansatz


ψ−φn n = nie exp VT

531

,

ur naheliegend; dabei bezeichnet φn = −WFn /e das Quasi-Fermi-Potential f¨ Elektronen. Das Quasi-Fermi-Potential f¨ ur Elektronen folgt aus dem elektrostatischen Potential und der Elektronendichte nach der Beziehung23 φn = ψ − VT ln (n/nie ) ;

(12.83)

entsprechend folgt das Quasi-Fermi-Potential f¨ ur Löcher aus dem elektrostatischen Potential und der L¨ ocherdichte gemäß φp = ψ + VT ln (p/nie ) ;

(12.84)

es weist nur im Fall des thermischen Gleichgewichts denselben Wert auf wie ur das np-Produkt“ gilt die folgende Verallgemeinerung des Massenφn . F¨ ” wirkungsgesetzes f¨ ur das Nichtgleichgewicht

np =

n2ie exp

φp −φn VT

(12.85)

und f¨ ur die Stromdichten Jn = −eµn n

∂φn ∂x

sowie

Jp = −eµp p

∂φp . ∂x

(12.86)

Diese Beziehungen erfassen sowohl den Drift- als auch den Diffusionsstromanteil von Elektronen bzw. L¨ ochern. Fließt kein Strom so ist nach (12.86) ∂φn /∂x = ∂φp /∂x = 0, d.h. im stromlosen Fall ist das Quasi-Fermipotential ortsunabhängig. In Beispiel 12.4.3 wurde gezeigt, daß sich in einem ungleichf¨ ormig dotierten Halbleiter ein elektrisches Feld ausbildet, das den Diffusionsstrom aufgrund der ortsabhängigen Ladungsträgerdichte kompensiert. Zwischen den unterschiedlich stark dotierten Enden des Halbleiters besteht deshalb eine Potentialdifferenz. W¨ urden wir mit einem Voltmeter versuchen diese Potentialdifferenz zu messen, so w¨ urde dieses nichts anzeigen: Die nach außen sichtbare Spannung ist gleich der Differenz der Quasi-Fermipotentiale an den Kontakten – sofern die Ladungsträgerdichten am Kontakt dem thermischen Gleichgewicht entsprechen24 . 23

Mathematisch gesehen handelt es sich bei den Gln. (12.83) und (12.84) um eine Variablentransformation. Die Vorg¨ ange im Halbleiter lassen sich sowohl durch Verwenden der Gr¨ oßen n, p, und ψ als auch durch Verwenden der Gr¨ oßen φn , φp , ψ beschreiben. Da die Schreibweisen ¨ aquivalent sind, kann die f¨ ur den jeweiligen Fall g¨ unstigste (bequemste) herangezogen werden. 24 Dies ist an Metallkontakten in sehr guter N¨ aherung erf¨ ullt; bei anderen Kontaktmaterialien (z.B. poly-Silizium) zumeist nicht.

532

12. Halbleiter

12.4.7 Thermoelektrische Effekte Der Thermostrom hat seine Ursache in einer vom Ort abhängigen Temperatur der Ladungstr¨ ager. Die Temperatur charakterisiert die mittlere kinetische Energie der statistisch ungeordneten Wärmebewegung der Ladungsträger. Da diese mit zunehmender Temperatur ansteigt, bewegen sich (bei ortsunabhängiger Ladungstr¨ agerdichte) aufgrund der thermischen Bewegung mehr Ladungstr¨ ager aus den w¨ armeren Zonen fort, als aus den kälteren nachgeliefert werden. Der durch das Temperaturgefälle hervorgerufene Teilchenstrom verläuft somit vom w¨ armeren zum kälteren Ende. Der Thermostrom wird durch den Temperaturgradienten ∇T bestimmt, mit dem (absoluten) ur die Elektronenstromdichte Seebeck-Koeffizienten αSn und αSp folgt f¨ J n = −eµn n (∇φn − αSn ∇T )

(12.87)

und f¨ ur die Löcherstromdichte J p = −eµp p (∇φp + αSp ∇T ) .

(12.88)

Werden die Enden des Leiters nicht angeschlossen, so kann kein Strom fließen; als Folge des Thermostroms baut sich dann eine Thermospannung u ¨ber dem Leiter auf. Beispiel 12.4.6 Es wird ein n-Typ Halbleiters der Länge L betrachtet, zwischen dessen Enden die Temperaturdifferenz T (L)−T (0) = ∆T auftritt. Bei offenen Enden (Jn = 0) folgt aus (12.87) bei Annahme eindimensionaler Verhältnisse dT dφn = αSn . dx dx Wird diese Beziehung von 0 bis L integriert so folgt unter der Annahme, daß αSn u ur die Spannung die sich zwischen ¨berall im Halbleiter denselben Wert aufweist f¨ den Enden einstellt φn (L) − φn (0) = αSn ∆T , wobei αSn der Einfachheit halber als temperaturunabhängig angenommen wurde. Zwischen den Enden des Leiters tritt demzufolge eine zur Temperaturdifferenz proportionale Thermospannung auf. Der Spannungspfeil zeigt dabei vom wärmeren Ende (das sich positiv aufl¨ adt) zum k¨ alteren Ende (negative Aufladung). ∆

Thomson-Effekt, W¨ armestrom. Ein weiterer thermoelektrischer Effekt neben dem oben beschriebenen Seebeck-Effekt ist der Thomson-Effekt. Dieser beschreibt den mit einem elektrischen Stromfluß verbundenen Wärmetransport. Besteht in dem Leiter ein Temperaturgefälle, so kann die Stromflußrichtung so liegen, daß die Elektronen vom w¨ armeren zum kälteren Ende transportiert werden. Durch den elektrischen Stromfluß gelangen dann Elektronen mit vergleichsweise hoher Temperatur in ein Gebiet mit niederer Gittertemperatur


533

und wärmen dieses auf: Es kommt zu einer zusätzlichen Leistungsabgabe an das Gitter. Fließen die Elektronen dagegen vom kälteren zum wärmeren Ende, so gelangen aufgrund des Stromflusses kalte Elektronen in eine Zone mit höherer Gittertemperatur, erw¨ armen sich auf die Gittertemperatur und entziehen dem Gitter dadurch W¨ arme: Die an das Gitter abgegebene Leistung ist negativ. Der W¨ armestrom Q ist neben der Wärmeleitung aufgrund eines Temperaturgradienten durch die vom elektrischen Strom transportierte Wärme bestimmt. Mit den Peltier-Koeffizienten πn und πp f¨ ur Elektronen und Löcher läßt sich schreiben [50] Q = −λ∇T + eπn J n + eπp J p .

(12.89)

Die Peltier-Koeffizienten sind dabei mit den Seebeck-Koeffizienten u ¨ber die Beziehungen πn = αSn T

und

πp = αSp T

(12.90)

verkn¨ upft. Um die pro Volumeneinheit umgesetzte Leistung H zu berechnen ist neben der Jouleschen und der Thomsonschen Wärmeleistung die durch die bei der Rekombination von Elektron-Loch-Paaren freiwerdende Leistung, die absorbierte elektromagnetische Strahlungsleistung Hhν und die aufgrund der Wärmeleitung erfolgende Aufheizung zu beachten [50, 51]; H = |J n |2 /(eµn n) + |J p |2 /(eµp p) + αSn J n ·∇T + αSp J p ·∇T −J n ·∇πn − J p ·∇πp + e(φp −φn −πn +πp ) (R−G) +Hhν − ∇·(λ∇T ) .

12.4.8 Galvanomagnetische Effekte Galvanomagnetische Effekte treten in stromdurchflossenen Leitern unter dem Einfluß eines Magnetfelds auf. Sie sind in Halbleitern wegen der im Vergleich zu Metallen geringen Dichte beweglicher Ladungsträger besonders ausgeprägt. Auf Ladungstr¨ ager der Ladung q, die sich mit der Geschwindigkeit v in einem magnetischen Feld der magnetischen Induktion B bewegen, wirkt die Lorentz-Kraft F = q(v × B) .

(12.91)

Diese f¨ uhrt zu einer Ablenkung der Ladungsträger senkrecht zur Stromflußrichtung. Die folgende vereinfachte Betrachtung25 (in Anlehung an [52]) nimmt an, daß es sich bei den beweglichen Ladungsträgern um Elektronen 25

Diese Betrachtung l¨ aßt außer acht, daß das Magnetfeld die Bewegung der Ladungstr¨ ager zwischen Streuvorg¨ angen und damit die Beweglichkeit beeinflußt. Vgl. [8] f¨ ur eine genauere Betrachtung.

534

12. Halbleiter

handelt, die sich einheitlich mit der Driftgeschwindigkeit v n bewegen. Ohne Magnetfeld (B = 0) folgt die Driftgeschwindigkeit aus der Stromgleichung v n (0) = −

µn J n (0) Dn Dn = −µn E − ∇n = Fe − ∇n en n e n

(12.92)

wobei F e die Kraft auf ein Elektron bezeichnet. Wird dem elektrischen Feld ein Magnetfeld B u ¨berlagert, so ist die Kraft auf ein Elektron gleich der Lorentz-Kraft F e = −e(E + v n ×B) . In (12.92) folgt damit v n (B) = v n (0) − µn v n (B)×B bzw. J n (B) = J n (0) − µn J n (B)×B . Um diese Gleichung nach J n (B) aufzul¨ osen wird zunächst das Vektorprodukt B × J n (B) gebildet. Mit den Identit¨ aten B × [ J n (B) × B ] = J n (B) |B|2 − [J n (B) · B ] B und J n (B) · B = J n (0) · B folgt so bei vernachlässigbarem Diffusionsstrom mit J n = eµn nE J n (B) = eµn n

E + µn B × E + µ2n (B ·E) B . 1 + µ2n |B|2

(12.93)

Hall-Effekt, Gauß-Effekt. Die folgende Betrachtung bezieht sich auf die in Abb. 12.39 a dargestellte Geometrie mit einem in z-Richtung orientierten Magnetfeld und einem Stromfluß parallel zur x|y-Ebene mit der Stromdichte J n (B) = eµn n

Ex − µn Bz Ey Ey + µn Bz Ex ey . 2 ex + eµn n 2 1 + µn |B| 1 + µ2n |B|2

(12.94)

Im Fall B = 0 besitzt das elektrische Feld nur eine x-Komponente, die von der extern angelegten Spannung V0 herr¨ uhrt, und einen Stromfluß Ix bedingt. Die Lorentz-Kraft verursacht f¨ ur B = 0 eine Ablenkung der Teilchen senkrecht zur x-Richtung. Fließt in y-Richtung kein Strom, so f¨ uhrt dies zum Aufbau eines elektrischen Feldes Ey : Zwischen den Elektroden in y-Richtung tritt die Hall-Spannung VH = −Ey W = µn Bz Ex W =

Ix Bz . enW D

auf. Da µn Ex = Ix /(enW D) gilt, ist VH proportional zum Strom Ix . Wird der Strom durch L¨ ocher transportiert, so stellt sich eine Hall-Spannung mit ¨ umgekehrtem Vorzeichen ein (Ubungsaufgabe!). Legt man an ein vom Strom attchen ein Voltmeter mit unendlich hohem InnenwiIx durchflossenes Hallpl¨ derstand senkrecht zur Flußrichtung an, so läßt sich die Hall-Spannung


W

B F

v D

F

535

h

e

F e

v e

v

F e

F e

v L

v h

e

v

h

e

e

I V

V H

z

(a ) y

x

B v h

F

v

F

h

h

v

F

h

F h

v

h

h

h

I V H

V (b )

VH = −

Abb. 12.39. Hall-Effekt. (a) Mit Elektronen und (b) mit L¨ ochern

1 Ix Bz Ix Bz = −RH qn D D

messen, wobei q die Ladung der Ladungsträger bezeichnet. Die Größe RH = 1/(qn) heißt Hall-Koeffizient. Sind Ix , By , und die Dicke des Plättchens d bekannt, so läßt sich aus der Hallspannung VH der Hallkoeffizient berechnen. Aus diesem folgen Dichte und Vorzeichen der Ladungsträger. Der Hall-Koeffizient ist umgekehrt proportional zur Ladungsträgerdichte - und der Hall-Effekt aus diesem Grund in Materialien mit einer geringen Ladungsträgerdichte besonders ausgeprägt. In Metallen ist der Hall-Effekt sehr klein - trotzdem wurde er zuerst an d¨ unnen Gold-Pl¨ attchen nachgewiesen26 . (12.94) zeigt noch eine weiteren Einfluß des Magnetfelds auf den Stromfluß in x-Richtung: Bei konstanter Spannung wird die Stromkomponente in x-Richtung durch das magnetische Feld verringert: Der Widerstand in xRichtung ist magnetfeldabh¨ angig. Dieser Effekt heißt Magnetowiderstandseffekt oder Gauß-Effekt. 26

Vom amerikanischen Physiker Edwin Hall im Jahre 1879.

536

12. Halbleiter

Thermomagnetische Effekte. Thermomagnetische Effekte treten auf, wenn gleichzeitig magnetische Felder und Temperaturunterschiede vorliegen. Liegt das Magnetfeld in z-Richtung B = Bz ez , und fließt der Strom in x-Richtung J = Jx ex so treten folgende Effekte auf: • Nernst-Ettinghausen-Effekt: Liegt ein Temperaturgradient in x-Richtung vor und gilt Jx = 0, so tritt in y-Richtung ein elektrisches Fels Ey ∼ Bz ∂T /∂x auf. Fließt hingegen ein Strom in x-Richtung so stellt sich im magnetischen Feld ein Temperaturgradient ∂T /∂y ∼ Jx Bz in y-Richtung ein. • Magneto-Seebeck-Effekt: Der Seebeck-Koeffizient αS zeigt eine leichte Abhängigkeit von der magnetischen Induktion senkrecht zur Stromflußrichtung. • Righi-Leduc Effekt: Im stromlosen Fall f¨ uhrt ein Temperaturgradient in x-Richtung in Verbindung mit einem Magnetfeld in z-Richtung zu einem Temperaturgradienten in y-Richtung. Thermomagnetische Effekte wurden schon vereinzelt in der Sensorik (z.B. NernstEttinghausen-Detektoren [53]) eingesetzt, sind i.allg. jedoch von untergeordneter Bedeutung.

12.4.9 Piezoresistiver Effekt ¨ Der piezoresistive Effekt bezeichnet eine Anderung des spezifischen Widerstands eines Festk¨ orpers aufgrund einer mechanischen Verformung. Durch die Deformation a¨ndert sich der Abstand der nächsten Nachbaratome im Gitter und damit die Bandstruktur des Festk¨ orpers, was sich wiederum auf die effektiven Massen und so auf den spezifischen Widerstand auswirkt. Der Piezowiderstandseffekt wird am Beispiel des n-Typ Silizium erläutert. Liegt keine mechanische Deformation vor, so weist das Leitungsband im k-Raum sechs äquivalente Minima auf (Abb. 12.40 a). 0 0 1

k

0 0 1 z

k z

1 0 0 0 .8 5

0 1 0 k

2 p a

k

1 0 0 k x

0 1 0 k

y

(a )

x

y

(b )

Abb. 12.40. Fl¨ achen konstanter Energie (f¨ ur einen Energiewert der etwas oberhalb der Leitungsbandkante liegt) f¨ ur (a) nicht deformiertes und (b) deformiertes Silizium


537

Da sich die Elektronen im Leitungsband zu gleichen Teilen auf die sechs gleichberechtigten Zonen um die Leitungsbandminima verteilen, ist die Beweglichkeit des Siliziums in 100 -Richtung als gewichtetes Mittel µSi n = (µn + 2µn⊥ )/3 aus den Beweglichkeiten µn und µn⊥ zu ermitteln. Dabei bezeichnet µn die Beweglichkeit der Elektronen in T¨ alern die in 100 Richtung, µn⊥ die Beweglichkeit der Elektronen in den senkrecht dazu orientierten Tälern. Mit der Abk¨ urzung µn⊥ /µn = m∗l /m∗t = B = 5.15, lassen sich die Beweglichkeiten µn und µn⊥ durch µn ausdr¨ ucken µn =

3µn 2B + 1

and

µn⊥ =

3Bµn . 2B + 1

Durch eine Zugspannung in 100 -Richtung vergrößert sich der Atomabstand in dieser Richtung - in der Richtung senkrecht dazu verkleinert er sich als Folge der Querkontraktion. Dies f¨ uhrt zu einer Anhebung der Leitungsbandminima in 100 Richtung und zu einer Absenkung der anderen Minima. Die Flächen konstanter Energie schließen deshalb in den senkrecht zur 100 Richtung orientierten T¨ alern ein deutlich größeres Volumen und damit wesentlich mehr Elektronenzust¨ ande ein: Die Elektronen verteilen sich nun nicht mehr gleichförmig auf die T¨ aler und halten sich bevorzugt in den senkrecht zu 100 -Richtung orientierten T¨ alern auf. Bezeichnet ∆Wx die Veschiebung der Leitungsbandminima der in 100 -Richtung orientierten Täler und ∆Wz die Veschiebung der Leitungsbandminima der in 010 - bzw. 001 Richtung orientierten Täler, so folgt f¨ ur das Verh¨ altnis der Elektronendichte n eines Tals in 100 -Richtung zur Dichte n⊥ in einem senkrecht dazu orientierten Tal

n ∆Wz −∆Wx = exp n⊥ kB T

= Θ.

Die Werte von ∆Wx und ∆Wz sind proportionel zur relativen Längenänderung T = ∆L/L: Mit der Deformationspotentialkonstante von Silizium Ξu ≈ 9.2 eV gilt ∆Wx = −Ξu T /3 und ∆Wz = 2Ξu T /3, so daß ∆Wz − ∆Wx = ur −Ξu T gilt. Da 2n + 4n⊥ gleich der Elektronendichte n sein muß folgt f¨ den Anteil der Elektronen in den unterschiedlich orientierten Tälern 2n Θ = n 2+Θ

und

4n⊥ 2 = . n 2+Θ

F¨ ur die Beweglichkeit in 100 -Richtung folgt auf diesem Weg 3Θ + 6B 0.265 Θ + 2.735 µn (T ) = = . µn (0) (2B + 1)(2 + Θ) 2+Θ

(12.95)

538

12. Halbleiter

12.5 Eigenschaften ausgew¨ ahlter Halbleiter Dieser Abschnitt fasst Eigenschaften technisch bedeutsamer Halbleiter zusammen. Da auf Silizium im Text bereits ausf¨ uhrlich eingegangen wurde, werden aus der vierten Hauptgruppe Germanium, Silizium-Germanium-Mischkristalle und der IV-IV-Verbindungshalbleiter Siliziumkarbid betrachtet. Ein weiterer Absatz geht kurz auf die Besonderheiten der III-V-Verbindungshalbleiter ein.

12.5.1 Germanium Germanium steht im Periodensystem unter dem Silizium und verf¨ ugt wie dieses u ucke. Im Unter¨ber vier Valenzelektronen und eine indirekte Energiel¨ schied zu Silizium weist das Leitungsband acht Täler bei den L-Punkten auf – mit effektiven Massen die deutlich unter denen der Leitungsbandelektronen des Siliziums liegen: Die Beweglichkeit der Elektronen in reinem Germanium ist deshalb ann¨ ahernd dreimal so groß wie in reinem Silizium. Die ersten Halbleiterbauelemente wurden mit Germanium-Kristallen realisiert, da Germanium wegen der im Vergleich zu Silizium (1415◦ C) geringen Schmelztemperatur bei 937◦ C sehr viel leichter eingeschmolzen und in einkristalliner Form gez¨ uchtet werden konnte. Die vergleichsweise kleine Energiel¨ ucke von ca. 0.66 eV bei Raumtemperatur bedingt jedoch einen großen Wert der intrinsischen Dichte. Dies wirkt sich in großen Sperrströmen ¨ gleichrichtender pn-Uberg¨ ange aus; wegen des starken Anstiegs der intrinsischen Dichte mit der Temperatur kommt diese bereits bei Temperaturen ur Divon ca. 100◦ C in den Bereich der Dotierstoffkonzentration wie sie f¨ oden mit Sperrspannungen im Bereich von 100 V benötigt werden. Dies f¨ uhrt zum Verlust der Sperrf¨ ahigkeit und schr¨ ankt den Temperaturbereich in dem Germanium-Bauelemente eingesetzt werden können deutlich ein. Germanium wurde deshalb mit der Entwicklung der Silizium-Technologie weitgehend verdrängt und wird heute nur noch in speziellen Anwendungen der Optoelektronik und der Sensortechnik eingesetzt.

12.5.2 Silizium-Germanium D¨ unne Schichten aus Silizium-Germanium-Mischkristallen die aus der Gasphase auf Silizium abgeschieden werden, haben in den letzten Jahren erhebliche Bedeutung erlangt, da sie die Herstellung von Heterostrukturbauelementen im Rahmen der etablierten Siliziumprozeßtechnik ermöglichen. Silizium und Germanium bilden Kristalle mit Diamantgitter und können als Mischkristalle in beliebiger Konzentration hergestellt werden. Die Gitterkonstante von Germanium ist jedoch 4.17% gr¨ oßer als die von Silizium; ein Si1−x Gex -

12.5. Eigenschaften ausgewählter Halbleiter

539 m it V e r s e tz u n g

e p ita k tis c h e S c h ic h t

o d e r

e in k r is ta llin e s S u b s tr a t p s e u d o m o r p h e S c h ic h t

Abb. 12.41. Illustration der M¨ oglichkeiten eine Halbleiterschicht auf ein Substrat mit abweichender Gitterkonstante aufzuwachsen (nach [54])

Mischkristall mit dem Germanium-Anteil x weist nach der Vegardschen Regel die Gitterkonstante aSi(1−x) Gex = aSi + (aGe −aSi )x

(12.96)

auf [55], wobei aSi die Gitterkonstante von Silizium, aGe die von Germanium bezeichnet. Heterostrukturen aus Si-Si1−x Gex -Mischkristallen mit unterschiedlichem Germaniumanteil sind nur mit Einschränkungen möglich, da die voneinander abweichenden Gitterkonstanten zu Versetzungen f¨ uhren (Abb. 12.41). Diese Versetzungen verringern die mechanische Spannung in der aufgebrachten Schicht und damit die in der Verspannung gespeicherte Energie. Die Deformationsenergie sehr d¨ unner Schichten ist gering – kleiner als die zur Bildung von Versetzungen ben¨ otigte Energie. In diesem Fall wächst eine auf dem Si-Einkristall abgeschiedene Si1−x Gex -Schicht mit der Gitterkonstante des Substrats auf. Dabei tritt eine Kompression parallel zur Oberfläche und ein Zug senkrecht zur Oberfl¨ ache auf (Abb. 12.41). In solchen pseudomorphen oder or strained-layer Heterostrukturen m¨ ussen die Gitterkonstanten aufeinanderfolgender Schichten nicht u ¨bereinstimmen – solange eine kritische Dicke der aufgewachsenen Schicht nicht u ¨berschritten wird. Abbildung 12.42 zeigt die kritische Dicke von Si1−x Gex -Schichten als Funktion der relativen Abweichung ∆a/a der Gitterkonstante f¨ ur zwei verschiedene Abscheidetemperaturen. Die Abbildung zeigt, daß bei höherer Temperatur aufgewachsene SiGe-Schichten eine geringere kritische Dicken aufweisen als bei niederer Temperatur aufgewachsene.

540

12. Halbleiter

K r itis c h e D ic k e ( i.E in h . v o n b )

1 0 4

5 5 0 C 1 0 3

1 0 2

7 5 0 C

1 0

th e r m is c h e s G le ic h g e w ic h t 1

0

1 % 2 % r e l. A b w e ic h u n g d e r G itte r k o n s ta n te n

3 %

Abb. 12.42. Kritische Dicke von SiGe-Schichten auf Si-Substrat f¨ ur unterschiedliche Abscheidetemperaturen (Einheit: Betrag des Burger-Vektors b ≈ 0.4 nm, nach [56, 57])

Einfluß auf die Bandstruktur. In Silizium-Germanium-Legierungen ist die Energiel¨ ucke im Vergleich zum reinen Silizium verringert. Die Abnahme der Energiel¨ ucke ist dabei in pseudomorphen Schichten wesentlich ausgeprägter [56, 58] als in nicht verspannten SiGe-Mischkristallen (Abb. 12.43). Die Energiel¨ ucke einer Gex Si1−x -Schicht auf Silizium ist eine Funktion des Germanium-Anteils x, wobei n¨ aherungsweise gilt [54] Wg (x, T )/eV = Wg (0, T )/eV − 0.96 x + 0.43 x2 − 0.17 x3 . In Gex Si1−x /Si-Hetero¨ uberg¨ angen bedingt ein Germanium-Anteil von 20% demzufolge eine Verringerung der Energiel¨ ucke um 176 meV bzw. 7kB T bei Raumtemperatur. Der Valenzbandsoffset (Kap. 14.5) an einem Gex Si1−x /SiHetero¨ ubergang ist vom Germaniumanteil abhängig und nimmt um annähernd 7 meV je Prozent Germanium zu [59,60], d.h. ∆WV (x, T ) ≈ x · 700 meV. Das Leitungsband weist nur einen geringen Offset auf; dieser wurde in [56, 58] mit ca. 20 meV berechnet. Beweglichkeiten. In Si1−x Gex -Mischkristallen ist die Bandstruktur bis zum Germanium-Anteil x = 0.85 ¨ ahnlich der des Siliziums mit sechs äquivalenten Leitungsbandminima; f¨ ur gr¨ oßere Werte von x ist die Leitungsbandstruktur aquivalenten Leitungsbandminima in ähnlich der des Germanium mit acht ¨ 111 -Richtung. In Si1−x Gex -Mischkristallen nimmt die Beweglichkeit wegen der zunehmenden Streuung an Germaniumatomen mit zunehmendem Germaniumanteil x ab bis zu x = 0.85; f¨ ur gr¨ oßere Werte von x, ergibt sich wieder ein Anstieg von µn bis zum Wert von reinem Germanium bei x = 1. Pseudomorphe Si1−x Gex -Schichten auf Si-Substrat zeigen wegen des Piezowiderstandseffekts eine deutlich gr¨ oßere Elektronenbeweglichkeit senkrecht zur aufgewachsenen Schicht als parallel zur Schicht.27 Bei geringer Dotier27

Die mechanische Spannung parallel zur Schicht ist

12.5. Eigenschaften ausgewählter Halbleiter

541

1 .2

E n e r g ie lü c k e W

g

e V o h n e D e fo r m a tio n

1 .0

o b e re s B a n d

0 .8

u n te re s B a n d

0 .6 0

2 0 %

4 0 %

6 0 %

G e r m a n iu m - A n te il

8 0 %

1 0 0 %

Abb. 12.43. Energiel¨ ucke von Si1−x Gex Mischkristallen und pseudomorphen Si1−x Gex Schichten auf Si-Substrat (nach [56, 57])

stoffkonzentration nimmt die Elektronenbeweglichkeit mit x ab, nur bei hoher Dotierstoffkonzentration ist eine leichte Zunahme der Elektronenbeweglichkeit senkrecht zur Schicht zu beobachten. Dies ist vorteilhaft f¨ ur Heterostrukturbipolartransistoren, da die Elektronenbeweglichkeit zusammen mit der Basisweite die Transitzeit beeinflußt. F¨ ur die Löcherbeweglichkeit in pseu15 −3 domorphen p-Typ (NA = 10 cm ) Si1−x Gex -Schichten auf 100 -Silizium wurde parallel zur aufgewachsenen Schicht ein Anstieg um 50% bei x = 0.1, um 80% bei x = 0.2 und um 140% bei x = 0.3 gefunden [61]; diese Zunahme wird auf eine Abnahme der effektiven Masse der Löcher zur¨ uckgef¨ uhrt. Bei größeren Werten der Dotierstoffkonzentration sinkt die Beweglichkeit wegen zunehmender Streuung an ionisierten St¨ orstellen.

12.5.3 Siliziumkarbid (SiC) Siliziumkarbid zeichnet sich durch eine große Energiel¨ ucke, gute Elektronenbeweglichkeit, hohe mechanische Festigkeit und Strahlenbelastbarkeit aus. Es wurde in den letzten Jahren zunehmend als Material f¨ ur die Herstellung von Bauelementen f¨ ur hohe Durchbruchspannungen und hohe Betriebstemperaturen herangezogen. Da Siliziumkarbid-Einkristalle wegen der sehr hohen Schmelztemperatur von ca 2830 ◦ C bei 35 bar derzeit nicht u ¨ber das Czochralski-Verfahren produziert werden können, werden SiC-Kristalle durch Abscheiden aus der Gasphase hergestellt, wobei die geringen Aufwachsraten problematisch sind. Siliziumkarbid kann in zahlreichen (mehr als 200) unterschiedlichen Polytypen auftreten, das sind Kristalle mit identischer stöchiometrischer ZusammenT =

1+ν aSiGe (x) − aSi , 1−ν aSiGe (x)

mit der Poisson-Zahl ν = 0.280 − 0.007x von Si1−x Gex . Mit diesen Beziehungen kann die Elektronenbeweglichkeit entsprechend Kap. 12.4.9 berechnet werden [61].

542

12. Halbleiter

S i C

C A

A

0 .1 8 9 n m

B

C A

0 .0 6 3 n m

C B

A

C B

B

C A

B

C A

A B

C A

B

C A

B

C A

B

C A

B

C A

B

C A

A

A B

C B

A

(b )

(a )

Abb. 12.44. Siliziumkarbid (a) Anordnung der Silizium- und Kohlenstoffatome im SiCGitter und (b) zur Kennzeichnung m¨ oglicher Stapelfolgen (nach [62])

setzung aber unterschiedlicher Anordnung der Atome in der Elementarzelle. Der Aufbau eines SiC-Kristalls ist in Abb. 12.44 a dargestellt; der Kristall ist aus aufeinanderfolgenden Silizium-Kohlenstoff-Doppelschichten vorzustellen. Wird die Lage der Kohlenstoffatome einer Schicht wie in Abb. 12.44 b mit A bzeichnet, so k¨ onnen die Kohlenstoffatome der dar¨ uber liegenden Schicht entweder auf den mit B oder auf den mit C bezeichneten Plätzen liegen. Die Schichtfolge bestimmt dabei den vorliegenden Polytyp. Die als Substratmeterialien erhältlichen Polytypen28 4H und 6H haben die Schichtfolge ABCB bzw. ABCACB. Alle Polytypen des Siliziumkarbid sind indirekte Halbleiter mit Energiel¨ ucken bei Raumtemperatur zwischen ca. 2.2 eV (3C) und 3.3 eV (2H). Tabelle 12.5 stellt die wichtigsten Materialkenngrößen der drei bedeutendsten Polytypen 4H, 6H und 3C zusammen. Tabelle 12.5. Materialparameter einiger SiC-Polytypen im Vergleich zu Si Parameter

3C

4H

6H

Si

Wg /(eV Ecrit /(MV/cm) λ, W/cmK ni (300 K), cm−3 vnsat , cm/s µn , cm2 /Vs µp , cm2 /Vs r