Einfuhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik: Das praxisnahe Lehrbuch - bewahrt durch seine brillante Darstellung, 15. Auflage

Jürgen Tietze Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

Jü rgen Tietze

Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik Das praxisnahe Lehrbu ch - bewährt durch seine bril lante Darste llung 15., überarbeit ete und erweiterte Aufl age Mit 500 Abbildungen und 1300 Übungsaufgaben STUDIUM

11 VIEWEG + TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deut sche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograf ie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Dr. Jürgen Tietze Fachbereich Wirtschaft swissenschaften Fachhochschule Aachen Eupener Straße 70 52066 Aachen E-Mail: [email protected]

1. Auflage 1988 2., verbesserte Auflage 1990 3., verbesserte Auflage 199\ 4., verbesserteAuflage 1992 5., neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1995 6., verbesserte Auflage 1996 7., durchgesehene Auflage 1998 8., durchgesehene Auflage 1999 9., durchgesehene Auflage 2000 10.,verbesserte und aktualisierte Auflage 2002 11., verbesserte Auflage 2003 12., vollständig überarbeitete Auflage 2005 13., verbesserte Auflage 2006 14., aktualisierte Auflage 2008 15., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag I GVN Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 l ektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch I Nastassja Vanselow Der Vieweg+Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Seience-Business Media. www.viewegteubner.oe Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrecht sgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen, Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handetsnarnen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der w areozetcnen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermannbenutzt werden dürften . Umschlaggestaltung: Künkell opka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbindensehe Verarbeitung: Ten Bnnk., Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in t he Netherlands ISBN 978-3-8348-0976-6

v " Mathematik = Höhere FaulMit: ständig hone Arbeit auf der Suche nach dem lrichteren Weg "

(Graffito auf einer H örsaalbank )

Vorwort zur 15. Auflage Ein wirtschaftswissens chaftliches Studium ist heu tzutage ohne Mathematik (als Hüf~issenschaft) un denkbar, mathematische Beschreibungs-,Erklärungs- und Optimierungs-Modelle beherrschen großeTeile der ökonomischen Theorie und in zunehmendem Maße auch der ökonomischen Praxis. Mathematik in diesem Zusanunenhang bed eut et einersei ts das Problem, mathematische Ideen zu ver-

stehen, um die dazugehörigen Techniken zu beherrschen und andererseits, diese zunächst abstrakten Techniken zielgericbt et und sinnvoll für ökonomisc he Anwendungen n utzbar zu machen .

Das nun in 15. Auflagevorliegende Buch - als Lehr-, Arbeits- und Übungsbuch vorrangig zumSelbsrstudium konzipiert - versuc ht , beid e Aspekt e zu berü cks ich tigen durch ausführliche Darstellung, plausible BegrOndung und EinObung mathematischer Grundelemente und öko nomisc h relevan ter mathematischer Techni ken a us der Analysis (d.h. der Diff erential· und Int egralrechnung) , der linearen Algebra undder linearen Optimierung sowie ausführliche Demonstration der Anwendbarkeit ma thematisch er Instrumente auf Beschreibung, Erk1ärung, Analyse und Optimierung öko nomisc her Vorgan ge. Situationen und Probleme. Dieses Buch wendet sich daher sowohl an Studi erende der ersten Semester, die das notwendige mat hemat ische E lementarrüstzeug von Grund eutversreten, wieder holen, einüben und öko nomisc h anwende n möchten als auch an fortges chri tten e Studierende oder quan titativ orientiert e Wirtschaftspraktiker, die sich über die Füll e der Anwendungsm öglichkelten mathematischen Instrumen tariums auf ökonomische Sachverhalte informi eren möcht en . J ahr eJange Erfahrungen mit T eilnehmer(inne)n meiner Vorlesungen in Finanz- und Wirtschaftsmathemat ik bzw . Operations Research haben mich darin bestärkt, ein Buch fürden (zunächst) nicht so bewan derten Les er zu schreiben (und niduf ur den ma thematischen Experten) . Wenn daher auch in man chen P.i.llen die mathematischen Beweise nicht streng sind oder fehlen, so habe ich mich doch bemüht, jeden mathematischen Sachverhalt in einer das Verstehen erleichternden Weise zu begründen und plausibel herz uleit en . Die daraus resultierende relativ breite (weil auf Verstandnis abzielende) Darstellung dürfte allen den Leserinnen und Lesern entgegenkonunen, die sich im Selbstst udium die E lemente der Wirtschaftsma thema tik anei gnen wollen. Weiterhin habe ich bewus st auf das eine oder andere Detail tradi tion eller Mathematikdarstellungen verzichtet, so auf die Theori e der Folgen und Reihen, auf die sog. Epsil ont ik oder auf die Theorie der De terminanten, auf Stoffinhalte also, die zwar von prinzipiellem mathematischen Interes se sind, nicht aber im Vordergrund ökonomisc her Anwendungen stehen und daher dem Studienanfänger (und erstrecht d em Praktiker) als unnöt iger t heoretischer Ballast erscheinen können. Die vorliege nde 15. Auflage wurde sorgfältig d urchgesehen, in vielen Details verbessert und mit einem wnfangreichen Lösungsanhang für ausgewählte A ufgaben versehen. Das bis zur 4 . Auflage noc h enthaltene Kapitel überFinanzmathematik ist in wesentli ch erweitert er Fonn als eigenständiges Lehrbuch, Ei nführung in die Fmanzmathematik" im gleichen Verlag erschienen , siehe [66 ] im L iteraturverzeichnis. Der Text en thäl t eine Vielzahl ergänzender Beispiele und Übungsaufgabe n, die das Gefühlfürdießeherrschung und die Anwendbarkeit des mathematischen Kemstoffes stärken sollen. Für den wnfangreichen

Vorwort

VI

Aufgabenteil (mit mehrau lJOOAufgabrn inilbc 300 ObungsrriJm) ist im gieichen Vc:rIagein separates Übungsbuch erschienen. das neben säm tlichen A ufgaben dieses Lehrbuchs auch deren L6sunp - mit z.T. ausflihrli chen LosUJ1&5WCgcn - sowie zehn Original-Klausuren mit Losungen enthalt: Tietze.L:

Übungsbuch zur anp'3Ddten Wutsehaftsmathematik - Aufgaben. TestIdausuren und Losungen - 7. A uflage

VleWeg+Teubner.Wiesbaden2009.ISBN

978 -3 -83 48~5 12-6

Z um Gebrauch des Boches : Um die Lesbar keit des Textes zu verbessern, wurde die äußere Fonn strukturiert: Defi nition en, mathcmatischeSätze und

I

wicht ige E rgebnisse

I sind jewcils ei ngerahm t.

Bemerkungen sind in kursiver Schrifttype gehauen.

Belspid e sind mit einem senkrechten Strichbal ken am linken Rand gekennzeichne t. Definitionen (Ikf. ) • Sätze, Bemerkungen (Bem.), Formel n, Beispiele (Bsp.), Aufgaben (Aufg.) undAbbildungen (Abh.) sind in jedon ersts telligen Unterkapitel ohne Rocksicht a uf den T yp fortlaufend durchnummeriert. So folgen etwa in Kap. 6.2nacbeinander Bsp.6.2.1S. Abb. 6.2.16, Ben, 6.2.17. Dcf. 6.2.18 usw. Ein • an einet Aufgabe weist a uf einen erwas erböbten Schwierigkeitsgrad hin. Zahlen in eckigen KIamman. LB. (66 ). beziehen sichauf das Literaturverzeichnisam Schluss des Buches. Die reproduktionsfähige Rohvorlage für den Druck ha t in monatelanger unermüdlicher und sachkundiger Weise H err cand. rer. pol. Norbert Breker gestaltet. H ilfreiche Unterstümmg erhielt ich von H cnn cand. rer. pol. Manfred Havenith (digilak Ikarlxitung du Graphikm) sowie von Harn cand. rer. pol. Roland H ansen (Komktur). Ihnen allen danke ich herzlieb.

Die 3· D-Darstdlungen in Kapitel 3 wurden mit der Grnphiksoftware GRAPH DAT. einer Entwic klung des Institu ts für Geometrie und Prak tisa}

]- oo, a[ ,= {xelR jx2 (f) .

Bemerkung 1.1.15: Der Wahrheitsgehalt der Aussage "Jede gerade Zahl, die gräßer als 2 ist, lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben" ist (noch) unbekannt ("Goldba ch'sche Vemrutung "). Wir zweifelll jedoch nicht daran, d ass sie entweder wahr oderfalsch sein muss. Daherwerden auch deranige Sätze als Aussagen betrachtet.

Keine Aussagen dagegen sind: "Gu ten Abend!"; "Nacht s ist es kälter als draußen."j " Wie spät ist es? ";

54321 +165615.

1.1

5

Mengen und Aussagen

Der Salz ~ Die Zahl x ist großer als die Za hl y ~ ist zunächst keine A ussage, weil übe r den Zahlenwert de r beide n vorkommenden Varia blen x und y nichts bek annt ist. Setzen wir z.B. d ie Zahl 4 für x und die Zahl 7 für y. so geh t de r Satz in die (falsche) A ussage ~ 4 ist größer als 7" übe r, be i den Einsetzu ngen 9 und 5 für x und y ergibt sich diewahre Aussage ~ 9 ist größe r als 5" :

Def, 1.1.16: Sätze mit einer oder mehr eren Var iablen heiße n AIL'i..o;ageformen, we nn sie be i spezieller Wahl der Va riablen in eine A ussage übergehen. Beispiel 1.1.17: Folgend e Sätze sind Aussageformen.

G(x):

x+4 = 7

mi t x e IN

ii)

U(a, b, c): A(x, y):

a +b +e 2: 3 x ist ein Teiler von y

m it a,b,ee IR;

iii)

i)

mit x, ye IN 3 .

Folgende Ausd rück e sind kein e A ussageform en. da sie be im E inset ze n der Variab len nicht in A ussagcn überge hen: Beispiell.I.18:

i) x2 + y2 =

A usdrücke wie x , x2 + y2 ,

Del.1.1.19:

VX ,

ii ) x ist größe r 25

iii)

VX '*'

iv)

xZ - 9

ist kleiner

(siehe Bei'·piel l .J. 18) nen nt man Terme:

x2- 9

Als Tenn T bez eichnet ma n jeden mathemati sch en Ausdruck, der

VT· 4 + 7 - 0,3

-

eine def iniert e Zahl da rstellt , z.B.

-

nach E rsetzen der vorkommenden Variablen d urc h Zahlen in eine definie rte Zahl ühergeht, 22 Ir 25 z.B. x +y oder rx oder xL 9 '

oder

D ie Menge D-r der in ein en Tenn sinnvoll einsetzbaren Zahlen nennt man . Defimuonsmenge" des Tenns (so giI1l'fl O z2+5

iv) 2 x > 0 ;

l') e -Y> O.

1.1

,

Mengen und Aussagen

Ist - wie im vorstehenden Beispiel - eine Gleichung T l'" T 2 allgemeingültig, so muss für jed e Einset zung der links vo m Gleichheitszeichen ste hende Term T I denselben Zahlenwert annehme n wic dcr rechts stehende Te rm T 2 (denn T I '" T z ist f ür jede Einsetzung wahrl] : Man nennt dahe r T I und T z äqui\~ent (gkkh wenig) .

Der. 1.1.27:

(Äq uival enz von Tennen)

Zwei Tenn e T I u nd Tz heißen äqutvetent (gleichwertig - geschrieben T t = T 2)' wenn bei jede r Einsetzung von Variab len die beiden T enne T I und T 2 dieselben Zahlenwerte liefern.

Beispiel 1.1,28:

Folgende T enne T I' T z sindjeweils äquivalent. d.h. T I = T z ist wahr: T ,(x) = (x+ 7Xx-2)

I)

T z(x) = x2 + 5x- 14 T I(x. y) = x4 _y"

ii}

= T z(x, y) =

(X2 +y2X XL

y2)

, -b

-, · '

T I(a, b. x) = -b-

iii)

T 2(a, b, x) = - x U.X -

iv)

(a e b) . \·x

T I(u. v, x) = - ,- , x + x

Beispiel 1.1.29:

Die Lösungsmenge L der Gleichung 2x +4 = 2x-6,

x eIR

lau tet:

L = { } .

den n für jede Ei nsetzung geht die Gleichung in eine falsche A ussage über . Derartige Aussagefermen (Gleichungen, Ungleichungen) hei ßen unerfüllbar.

Der. 1.1.30: (unerfüllbare All';~geronn) Einc Au ssageform A (2. B. Gleichung, Ungleichung) heißt unerfünhar (oder: widersprüchlich) , wen n keine Zahl (aus derDef initionsmenge} Lösung von A ist. Die I-ösung.smenge unerfüllbarer Aussageformen ist leer. Beispiel 1.1.31: Fo lgende Gle ichungen bzw. Ung leichungen sind unerfüllbar in IR: i)

2009+ x = x+2

32 = 2 1

il)

x4 < 0

iii) h')

x2

+ 25 = 0

I n Kap. 1.2.4 folgen a usfüh rliche Erläuterungen zur Tec hnik von Gtcichungstösungcn. A us dem Vorangegangenen bleibt zusammenfasse nd festzuh alte n-

8

Grundlagen und H ilfsmittel

Satz 1.1.32: (Lösungen von AU'i.'Wlgefonnen (Gleichungen, Ungleichungen)) Es gibt Aussageformen (Gleichungen, Ungleichungen) , die in IR. i)

lösbar sind, und zwa r

(Beispiel: x - I = 0;

a) mit genau einer Lösung; b) mit mehre ren Lösungen;

L = (l}) L = (- 2; 2}) L = (xe IR 1-7 <x< 7})

c) mit unendl ich vtelen Lö sungen;

(Beispiel: x 2 = 4: (Beispiel: x 2 < 49:

ii )

allgemeingültig sind ;

(Beispiel: x 2 _

iii)

unerftil lbar sind

(Beispiele: r+l=O,. 2 x 4 i) a 2 + b 2 . ii) Ma n gebe d ie Uisungsmengen fo lgend er Aussagcformen an . Welche A ussagefo rmen sind allgemeingültig, welche unerfüllbar? (Gnmdmenge: IR) a)x 2:: 49 b)p2 2: 0 e) Ox :: 5x d) (y+ l )(y + 2) :: O

e) 0 + h)

x2

X ::

t) 2z + 1 :: 1 + 2z i) u2 < 8 1 .

5 +x

> 36

g) P ist eine gerade Primzahl;

pE

N

Ver kn üpfungen von Aussage n und Aussagefonnen

1.1.4

Verkn üptt man zwei Aussagen (A ussagefonnen) durch UND bzw . OD ER miteinander, so entsteht eine

neue A ussage (Aussagefonn). Ebenso ent steht durch die VER l'\EI NUNG einer Aussage eine neue Aussage. A ls Beispiel betrachten wir die folgenden beidenAussagcn: A: B:

1.1.4.1

Konjunktion

Die konjunktive Aussage

Tanja geht heute mit Andreas ins Th eater. Tanja geht heute mit Benjamin ins Th eater.

EI

(gelesen A und B) bedeutet :

T anja geht heute mit Andrcas ins Th eater und sie gehl heule mit Benjamin ins Th eater.

Der Wahrheitsgehalt dieser zusammengesetzten Aussage A A B hangt von den Wahrhcitswcrten der beteiligten Aussagen A, B ab und ist nach unserem logi schen A lltagsverständnis definiert: A A B ist nur dann wahr, wenn Tanja tatsächlich mit beiden Herren ins Theater geht (d.h. wenn sowohl A , als auch B wahr sind), dagegen ist A A B fa lsch, wenn sie auch nur einen von beiden zu Hause lässt. Wir erhalten somit für die" Ul'\Og-Vcrk nupfung (" Konj unkJion") die wahrheltstatel (1.1.34 )

A

B

w w

w

w

f

f f f

f f

w

f

A AB ("UND"-Verknüpfung)

(Bei zwei [bzw. n 1 Teilaussagen hat die Wahrheitstafel 22 :: 4 [bzw. 2"] Zeilen, um sam/liehe Wahrheuswenk ombinationen zu emhalten (n ::2: ww, wf,fw,ff; '1::3: www,wwf, wf w, wff, fww, fwf, ffw, fffl .

1.1

9

Mengen und Au ssagen 3+7= 1O A8 -4= 4

Beispiel 1.1.35:

V4

I

= 2

A

V4 =-2

(w) (f),

V4 = - 2 falsch ist .

da

ßeispiell.1.36: A(x); x > 3 A X < 7 (xe IR) ist eine konjunktive A ussageform. von der zunächst nicht entschiede n werden kann , ob sie wahr oder falsch ist. Wir nehmen einige Einsetzu ngen vor:

.

,

i)

0 für x: Es entsteht die Au ssage

A(O): 0 > 3 A 0 < 7

(f)

ü)

5 für x: Es entsteht die Aussage

A(5); 5 > 3 A 5 < 7

(w)

iii)

9 für x: Es entste ht die Au ssage

A(9); 9 > 3 A 9 < 7

(f)

Daher ist die Lösungsmenge L von A(x); L = { x e IR

1.1.4.2

B

•

•

•

t

3

13< x < 7} = 13; 7 [ .

7

-lf-----1[l

lxi

-

Di sj u nkti o n

(gelesen A oder B) bede utet: Tanja geht heute mit And reas ins Theater oder sie geht heute

mit Benjamin ins Th eater. Nach unserem logischen Allt agsverstän dni s ist diese A ussage sicher richti g, wenn sie sich für einen von beiden entscheidet und falsch, wenn sie alleine ins Theater geht. Für den Fall, dass sie mit beiden ins Th eater geht, bedarf es einer Vereinbarung, da in unserem Sprachgebrauch das Wort "oder" in zweierlei Bedeutung gebraucht wird: i) ii)

als ausscb hcßeedes "oder" ("rnl weder - oder") als einschließendes "oder" ("und/odrr").

Beispiel zu i):

5 ist eine Primzahl oder 5 ist keine Primzahl. (DerFall, dass 5 sowohl Primzahl als auch keine Primzahl ist, irr ausgeschlossen.}

Beispiel zu ii ] :

(aus einerStellet/a nzeige) . Der s rencntewerber muss Diplom- Kaufma nnoder DiplomVolkswirt sein." (Ein Bewerber besitzt sicherdie geforderten Voraussetzungen, wenn er beide Qualifikationen besim.]

In der Au ssagcnlogik wird das "ode r" ( v) im emschtlcßenden Sinne (siehe ii» definiert, d.h. A v B ist auch dann wahr, wenn belde Teilaussagen wahr sind. Wir erhalten somit für die " ODER «, Verknüpfung (..Dtqunktlon") die Wahrh eilstafel

A (1.1.37)

Beispiel 1.1.38:

w w f f

B w f w f

A vB w w w f

(.,ODER"· Verkn üpfung)

i) A: 3 = 3 v 3 = - 3 ist wahr, da die Teila ussage (3 = 3) wahr ist.

ii) A(x): x = R v x = - R ist eine disjunktive Aussagefonn. von der zunächst nicht entschieden werden kann , ob sie wahr oder falsch ist. Daher wollen wir für x verschiedene Einsetzunge n vornehmen:

a ) 8 für x: Es entsteht die Aussage A(8) : 8 = 8 v 8 = -8 w

t

[w]

Grundlagen und Hilfsmittel

10

,

,

b) 0 für x: Es entsteht die Aussage: A(O) : 0 '" 8 v 0 :0 -8

(t)

c) -8 für x: Es entsteht die A ussage : A(- 8): -8 = 8 v -8 ,,-8

(w)

,

w

Daher ist die Lösungsmenge L der Aussageform A(x) gegeben durch : L = {Bi -8} . Fo lgend e Merkregcln sind zweckm ä ßig:

I) A 1\ B ist genau dann riehlig. wenn beide Teilaussagen richtig sind. ii) A v B ist gcnau dmm falsch, wenn betde Teilaussagen falsch sind. ili) A " B bede utet logisch dasselbe wie B A A. ebenso bede uten A v Bund B v A dasselbe [Kommuta uvgeserz de r Aussageel ogik). (Umgangssp rachlich n icht immer! Beispiel: DieAussage: »Hubers Krankheit wurde im mer sentimm er und er ging zum Ant. " bedeU/elumgangssprachlich etwas anderes als " Huber ging zum Ant und seine Krank heit wurde immer schlimmer. " (Gebrauch 1'011 " und " im Sinne von " und d aher"!)

1.1.4.3 Negation Unter der Negation w ahrheltstafel

B

(gelesen: mehr A) der Aussage A versteht man eine Aussage mit der

(Negauon)

(1.1.39)

D.h. wenn A wahr ist, da nn ist ..... A falsch und umgekehrt (stimmt mit der " nonn alen" Logik liberein). (Stall .....A schreibt man gelegentlich auch A-.) Beispiel 1.1.40 : Das Auto ist weiß. ..... A: Das Au to ist nicht weiß. (Vorsicht! Die Aussage: "Das A u/O ist schwarz. " ist keineswegs die Negation von A, denn ein nicht-weißesA w o k ann ebensogut rot oäer grun sein.);

i)

A;

ii )

A;

92 "" 82 A(x): x < 10 (XEIR)

iii)

~ ~

*'

..... A: 92 82 (nicht c1\\ 10 v x = 10 d.h . x ~ 10 .

1.1.4,4 Zusammengesetzte Aussagen Mit H ilfe von Konjunktion, Disjunktion und Negation lassen sieh alle Ergehnisse der lJa~sischen Aussagenlogik darstellen. Insbesondere lassen sieh die Wahrheitswerte beliebiger All~sage\'erknü pfungen mit H ilfe von Wa hrhdtstafeln ermitteln. Bei.~pi eI I,1.4 1 :

Es sollen die Wahrheitswerte der Au ssagcnverknüpfungen i)

..... (A v 8)

und

ii)

..... A 1\ -, 8

für alle w ahrhcitswcrtckombinanoncn der Teilaussagen A , B erstellt werden: f)

A

B

Av B

-, (A v 8)

w w f f

w f w f

w w w f

rn

J.l

Mengen und Aussagen

ii)

11

A

B

w w

f

f f

f

~A

w w

..... A A ..., 8

~B

f f

w

w w

w

D

f f

Beispiel 1.1.41 zeigt, dass für jede w abrbeüswcrtkombmanon der bcide n Teilaussagen A , B die Au ssagen , (A v B) und ..... A A ...., B dieselben Wahrheitswerte besitzen (erkennbar aus der identischen

w ahrhehswertspelte). DerartigeAussagen nennt man äqu lvalent. Symbolische Schreibweise: -. (A v B) "" ...,A (zum "i"quiva/enzpfeil" ~ " sieh e auch Absdmiu 1.1.5.2). A uch umgangssprachlich ist die Äquivalenz von , (A v B) und ...,A

A

...,8

1\ ..... 8

zu erkennen (siehe das

Theat er-Ein gangsbeispiel): Wenn es nicht so ist, dass Tanja mit Andreas oder Benjamin (oder heide n) ins Theater geht l-' (A v Bj ], so bedeutet dies dasselbe, als wenn sie weder mit Andrcas (, A ) noc h mit Benjamin (...., B) ins Theater geht [.., A 1\ ..., B].

Es können auc h mehr als zwei Au ssagen durch 11 , V, ..., miteinander verbunden werden. Durch geeignete Klammerbildung ist die Reihenfolge der Verknüpfungen zu verdeutlichen. Beispiel 1.1.42:

Wahrheitstafel von A v (B

A

C)

Um alle Kombinatiommöglichkcilen zu erfassen, sind 2 3 :: 8 Zei len e rforderlich:

A

B

C

B ~ C

W

W

W

W

A v (B 1\ C)

-W

W

w

f

w w

f f

w

f

f f f

f f f f

w w

w

w

w w w w

f

f f f

f f f

f f

Klammert man anders: (A v B)

Daher gilt:

A v (B I\ C)

w

f 1\

-

C, so lautet d ie w ahrhctn tabcüc:

A

B

C

A v B

W

W

W

W

W

w

f

w w

f f

w

f f f f

w w

w

w w w w w

f f

w

*

f f

f f

f (A v B)

1\

C,

(A v B) I\ C

-

W

f w

f w

-

f f f

d.h. es kommt auf die Klammerung an.

Grundlagen und H ilfsmittel

12 Aufgab e 1.1.-13:

Man überprüfe d urch A ufstellen vo n Wahrheits tabelle n die fo lgenden Gesetze der (zweiwert igen)

AU'i..agenlogik (" Aussa~,'cnalgebra·1 . Dabei behauptet der Äquivalenzpfeil w.cass die Wahrhcitstabellen übereinstimmen: 10)

Ib)

(Av B)vC

A v (B v C) A ssoziativgesetze fü r v,

(A A B) AC B(x)

bedeutet:

Man sagt - Wenn A(x) gilt. so auch B(x) - Au s A(x) folgt B(x) - A(x) impliziert B(x)

Immer, wenn A(x) vwahr ist, ist aueh B(x) wahr . 5 - A(x) i~t hinreichend für B(x) - B(x) ist notwendig für A(x)

Beispiel 1.1.46: Vorgegeben sind die beiden G leichungen

A(x): x - 3 '" 0 und

B(x): x 2 - 3x = 0 .

A(x) ist nur wah r, wenn man 3 für x setzt A(3): 3 - 3 '" 0 (w). B(x) ist ebe nfalls wahr, wenn A(x) wahr ist, d.h. wenn man 3 für x setzt B(3): 32 - 3· 3 '" 0 (w). Also gilt: x - 3 = 0 => x2 - 3x = O. Man beach te, dass bei Vorliegen der FolgcrungA(x) => B(x) die zweite Aussageform B(x) durcha us wahr sein kann, ohne das s A(x) wahr ist: Setzt man im letzten Beispiel 0 für x, so gilt A(O): 0 - 3 '" 0 falsch, aber B(O): 0 2 - 3 ' 0 = 0 wahr. Man hüte sich also, aus der Folgerung A(x) => B(x) den Umkehrschluss B(x) => A(x) zu ziehen, wie es umgangssprach lich nicht selten zu hören ist nach dem Motto: Tünnes: Alle jutcn Kölner trinken Kölsch. Scheel: Dann ist mein Schwager aus M ünchen auch 'ne jute Kölner, der trinkt auc h inune r Kölsch. Beispiel 1.1.47: Der Fußballstar Franz H uberbauer wird vom Schiedsrichter verwarnt: ~ Wenn Sie noclunal den Ball (erkennbar u. absichtlich ) mit der Ha nd spielen (Aus sage A), so fliegen Sie vom Platz " (~ rote Karte" - A ussage B) . Der Schiedsrichter stellt also die Implikation: A => 8 auf. Folgende Fälle stehen nun im Einklangmit dieser Folgerung: a) H . spielt (erkennbar und absichtlich) erneut Hand (A ist wahr) . Dann erhält er die rote Karte (B ist wahr). Dies ist der HauptfaIl de r Folgerung.

b) H . spiel! nicht erneut Hand (A ist falsch). Dann ist mit de r Implikation A => B verträglic h: bl) E r erhält nicht die rote Karte (B istfalsch) . b2) E r erhält trotzdem die rote Karte (8 ist wahr), etwa deshalb, weil er ein böses Foul begeht. Nicht eintreten darf lediglich de r Fall, dass er im Spiel bleibt (8 ist falsch), obwohl er (erkennbar und absichtlich) den Ball mit der Hand spielt (A wahr). Denn A => 8 fordert ja gerade, dass aus A wahr (- ~ Hand ") zwingend folgt: B wah r "rote Karte").

e-

Au s A(x) => B(x) lässt sich - wie die voranstehenden Beispiele belegen - durch Kentrapositlon der Schlus s ziehen: Immer, wenn B(x) falsch ist, dann ist auch A(x) falsch (denn andernfalls - d.h . wenn A(x) wahrwäre -r müsste wegen A(x) =:>B(x) aueh B(x) wahr seinj. Symbolisch. A(x)

Beispiel 1.1.48:

~

B(x)

bedeutet dasselbe wie ...., B(x) => ...., A(x)

A: Es regnet jetz t. ...., A : Es regnet jetzt nicht.

8; Dic Straße wird nass. ...., 8; Die Straße ......-ird nicht nass .

Es gilt: A => 8 (Wenn es wahr ist, dass es jetzt regnet, so ist es auch wahr, dass die Straße nass wirdvorausgesetzt, die Straße ist nicht überdacht.) und gleichbedeutend: ...., B => ...., A (Wenn es wahr ist, dass die Straße nicht nass wird, ist es auch wahr, dass es (gerade) jetzt nicht regnet.) . Man beac hte: B => A gilt nicht , da die Straße a uch nass werden kann, ohne dass es regnet, z.B. wenn H uber die Straße mit dem Wasserschlauch abspritzt. S Wenn A(x) dagegenfalsch ist. so kann B(x) wahr oder falsc h sein. Bei ~=>~ handeltes sich hierum einenmetasprachlichen Hinweis, der eine Aussage über den Wahrheitsgehalt der verknüpften Aussagen liefert.

1

14

Nach dem ebe n Gesagten wird die Folgerung A(x)

~

Grundlagen und Hilfsmittel

B(x) zwischen zwei Aussagefonncn (z.B. Glei-

chungen, Ungleichungen) stets dann angewendet. wenn diejenigen x, die A(x) zu einer wahrenAussage machen( '" Lösungsmenge LA von A(x» , auch B(x)zu einerwahren Aussagemachen, d.h.: Salz 1.1.49: Es gilt die Folgerung A(x)

~

B(x), wennalle Lösungenvon A(x) auch Lösungen von

B(x) sind .

Wir untersuchen, ob in den folgenden Fallen der Folgerungspfeil x2 = 9

Bebp iel 1.1.50:

I

richtigverwendet wurde:

x = 3 v x = -3

Ri chtige V erwendung. denn x2 = 9 wird wahr für xe {3 ;- 3} . Für diese Elementewird auch die A us-

sageforrn x = 3 v x :: -3 wahr(siehedie Wahrheitstafel der"ODER"-Vcrknüpfung).

Beispiel 1.1.51:

I

=>

~ ~u

(x - 1Xx- 2) = O

=>

x - I =0

Falsche Verwendung. denn (x-l XX-2) = 0 wird u.a. wahr für x = 2 , nieht dagegen die rechte Aussage, denn 2- 1 = 0 ist falsch. Alsowürde aus Wahrem etwas Falsches folgen - Widerspruch!

Aurgabe 1.1.52: Man untersuche, ob der Folgcrungspfcil korrekt verwendet wurde: l) x = 3 ~ x2 = 9

iv) x(x + 1) =0 \ i)

1. P

~

ii) x 2 - 1 6 = O ~ x = 4

x+ 1=0

= 0 => p = 1

h ) k 2 > 4 ~ k> 2

v] (z-4Xz+ S) =O

~

iii) z = V4~ z2 = 4

z = 4 v z= - S

,i i) x2 < 16 => x -c 4

x) k2 > 4 ~ k > 2 v k < -2

, i U) x2 < 16

~ x < 4 A X > -4

xi) x < 3 ~ x2 < 9 .

1.1.5,2 Äq u ivalenz ( ~ )

ver, 1.1.52: Man sagt:

A(x) ~ B(x) bedeutet: Immer, .....c nn A(x) wahrist, ist auch B(x) wahr. und immer, wenn B(x) wahr ist, dann ist auch A(x) wahr. - Gcn au dann, wenn A(x) gilt, gill auch B(x). - Wenn A(x), so B(x) und umgekehrt. - A(x) ist notwend ig und hinreichend für B(x) - B(x) ist notwendig und hinreichend für A(x). - A(x) ist äq uivalent zu B(x).

Aus Def. 1,1.52 folgt: Ist eine der äquivalenten Aussageforme n A(x) , B(x) falsch, so auch die andere. Da A(x) ,B(x) genau da nn wahr werden, wenn x aus der Lösungsmenge von A(x) bzw. B(x) stammt (siehe Def. 1.1.1 1: Lösungsmenge einer Aussageform). folgt aus der Äquivalenz in Def. 1.1.52 unmittelbar: Salz 1.1.53: Die A ussageformen A(x) und B(x) sind äqulvalent. A(x) ~ B(x), gcnau dann, wenn die L ösungsmengen beider Aussageformen übereinslimmen. Bei der Umformung von Gleichungen zur Lö sungsfindu ng darf man daher nur Äquivaienzumrormungen vornehmen, d.h. Gleiehungsumformungcn, die die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung nicht verändern, siehe auch Kap. 1.1.4 .1.

1.1

15

Mengen und Aussage n A(x):x 2 - 25=O

Beispiel 1.1.54:

B(x); x = 5 v x = -5

D ie Lö sungsmengen sind; (-5)2 _ 25 = 0 (w)

LA = {5;-5}, denn 52-25 = 0 (w) L(I = {5; -5 }, den n 5 = 5 v 5 = -5 (w)

und

-5 = 5 v -5 = -5 (w)

(siehe Wa hrheitstafel der ~ O D ER"-Ver knOpfung) Also ist LA = Ln und somit gilt: x2 = 25 ~ x = 5 v x =- 5 Aufgabe 1.1.55: Man untersuche du rch Vergleich der Lösungsmengen. ob die folgenden A ussageformen äquivalent sind [d.h . ob der Äq uivalenzpfeil zut reffend angewendet wurde]. i)

X=7 ~ X2 =4 9 ;

ü)

x = I vx = 4 2

= 0 A X =1= 2 1,... ,4)

j

{i » 1,2,....n).

1.2

A rithmet ik im Bereich der reellen Za hlen 1R

21

Anal og zu Def. 1.1.83 setzt man fest:

D~f. 1.1.87:

A x Bx C

Der So nderfall A

= B = C = IR

IR x IR x IR

= 1R3

I

((x ; y; z) x eA

11

yeB

11

ae C } .

liefert:

(~IR drei").

Gra phisch stellt 1R3 sämtliche Punkte des dreidimcnsionalen Koordi natenraums dar (Abb. 1.1.88). Abb. 1.1.88

Allgemein definiert man:

ner, I. 1.89: Der Sonde rfall A I = ... = A n = IR. füh rt zu IR xlR x ... xlR =, IRn

IRn liefert sämt liche .. Punkte" (XI; ... ; xn) des ~n-dimensionalen Raumes". (graphisch nicht m ehr zu veranschouiichen]

(geb-en: ~ IR-n N).

n-mal

Aufgabe 1.1.90 : Man bestimme für die Mengen A, Bmit d ie Prod uktmengen:

A = {ae. f}

i)

AxB ;

ii ) B x A j

iii) A 2 ;

v)

B x A xB ;

\i) Ax B x A :

\ii ) Ax Bx Bx A

B = { nm} h ') B2;

Aufgabe I. 1.91: i) Man zeige (etwa an einem Beispiel), dass für zwei Mengen A, B La. gilt:

*

A xB B xA , 11) Mit H ilfe von Def. 1.1.83 zeige man die Gültigkeit folgender ..Distrib utivgeset ze ": Es seien A, B, C drei Men gen. Dann gilt: a)

A X(B nC)

(Ax B)n(Axe)

b)

Ax (B U C)

(A

e)

A X(B \ C)

x B)

U (AX C)

= (AX B) \(AXe).

1.2 Arit h metik im Bereich der reellen Zahlen (R) De r fo lgende Abschnitt stellt die Grun dregeln und Rechengesetze für reelle Za hlen zusammen, o hne deren Kenntni s keine mathematische A nwendung möglich ist. Es handelt sich dabei um element ares math ematisches G rundwissen. das in der Mittelstufe einer jeden allgemeinbildende n Schulterm behan delt wird. E rfahrungen aus den wirtschaftsmat hematischen Einführungsvorles ungen zeigen jedoch, dass nicht selten große Teile dieser mathematischen Grundken ntn isse nicht ode r nicht mehr in ausreichender Weise beherrscht werden. Dieser A bschnitt über eleme ntare Rec hengesetze dient daher in erster Linie zur A uffrischu ng dieser möglicherweise versch üttete n G rundkenntnisse.

22

Gru ndlagen und H ilfsmittel

1.2.1 1.2.1.1

Grundregeln (Axiome) und elementare Rechenregeln in R Axiome

Das Rechnen im Bereich der reellen Zahlen IR st ützt sieh auf ein vollständ iges und in sich widerspruchsfreies System elemen tars ter Gru ndregeln (Axiome genannt), deren G Ül tigkeit nicht bewiesen wird, so ndern als u nmntelbar einleuchtend unterstellt wird. Bemerkung 1.2./: Um Axiom e " beweisen" zu können, m usste ma n noch einfachere Grundgesetze kenn en, deren " B eweis " noch einf achere Grundregeln erfordert UM. Die im[olgenden vorgesteliten A siom egeh ören bereits d er elementarsten Kategorie an.

Satz 1.2.2:

I n der Menge IR der ree llen Zahlen sind N d Operationen (nä mlich ..+ und ". (Multiplikatioo» erklärt, die den folgen den Axiomen genügen :

(Addition)

M

M

Axiome der Mult iplikation

Ax iome der Addition A l (Existenz der Summe)

:\11 (Existenz des Produktes)

Zu je zwei Zahlen a.be IR gibt es gm au eine Zahl s e lR mit der E igenschaft: s :: a + b.

Z u je N d Zahlen a, be IR gibt es genau eine Zahl p E IR mit de r Eigenschaft: p :: a -b = ' ab

(s heißt Summ e).

(r heißt Produk t) .

Al {Assosiauvgesaz bzgi. +)

:\12 (Assozianvgesetz bzgi. . )

Für alle a.b.c e R gilt:

Für alle a, b, c E IR gilt:

(a + b) +c

=

a+ (b+ c) _ .

I(a ' b) ' c =

a- b-c

a ·(b · c) =, a b c

I

AJ (neutrales E lem ent bzgl. + ; Nullelement]

M J (neutrales Element bzgl. • ,. Einselrment]

E s gibt genau ein E lement aus IR (näm lich die Za hl De R j. so das s f ür aüe a e R gilt:

E s gib t grn a u ein Ele ment aus IR (nämlich die Zahl I e IR). so dass für allc a E IR gilt:

a +O = O+a = a

a ' 1= ] ' a=a

A4 {inverses Elem ent bzgl. +)

1\14 (inverses Element bzgl. • )

Z ujedcr Z ah l a e lR gibt csgena u eine Gegen zahl (inverses E lement bzgl.+ ) nämlich -aE IR. so dass gilt:

Z u jeder Zahl a EIR\ {O} gibt es genuu eine reziproke Z ahl (in verses E lement bzgl.• ) nämlich E IR, so dass gilt:

i

a· ~ = ~ · a = 1

a + (- a) = (-a) +a = 0

AS tKommuunivgesen bzgl. +) Für alte a .b e R gilt:

(a *O)

1\15 (Kom m ututivgesetz bzgi. .)

a-e b :: b +a

Für alle a . b e lR gilt:

D (Distributivgesetz)

Für alle a, b, c E IR gilt:

Ia -fb e c)

= a·b

+ a -c

I

ab

e

b -a

1.2

23

Arithmetik im Bereich der reellen Zah len IR

Bemerkung I .2.3: Eine Menge, die den Axiomen Al -A5, M I -M5 und D genagt, heißt Körper. Sowoh l die reellen Zahlen (IR) als auch die rationalen Zahlen (Q) bilden bzgl. ,, + « und " . « einen Körp er.

Subtraktion und Di\is ion werden wie folgt erklärt: 1) Die Subtra ktion ist d ie Ad dition der Gcgenzahl :

I,- b '~

(1.2.4 )

a+ (-b)

I

li) Die Division ist die Multiplikation mit der reziproken Zahl:

(b.O)

(1.25 ) Im Bruch ~ heißen a der Zähle r und b der Nenner.

A us (1.2.4), (1.2.5) erkennt man, dass für die Subtraktion (u- ") und für die Division (,,: ") die Kommutativgesetze A5 bzw. M5 nicht gelten: Subtraktion: Division:

a b e b al r

Richtig ist vielmehr : a - b

r

a: b e b . a r

Richtig ist vielmehr:

a :b

= a + (-b) = (- b) + a : - b + a ;

( 1.2.4)

A5

I

=a ' -

( 1.2.5)

b

=

M'i

1

-r- va . b

Bemerkung I.2.6: Es sei noch einma l aus drücklich dara uf hingewiesen, dass zur Z ahl Null kein inverses Element bzgl. der Multiplika tion existien (siehe M4), anders gesprochen, dass eine Division dur ch NuU nk ht defin iert (und daher " verboten ") ist. Jeder Versuch, die Division durch NuU zu erklären, fühn zu einem Widerspruch innerhalb des Axiomensystems! Beispiel: G äbe es in JR ein bzgl. der Multiplik ation inverses Elem ent zu 0, etwa O· genannt, so musste nach (1.2.5) und Mom M4 gelten:

o

0,=0'0· =1 . NWl ist aber (siehe die nachfolgende, aus den Axiomen beweisbare Rechen-Regell3a) jedes Produk t Null, in dem ein Faktor Null ist. Somit müsste O' 0" einerseitsgleich Eins, andererseits gleich Null sein: Widerspruch!Also m uss die Annahm e -n ömticn die Existenz von O· E JR «[alsch sein. Bemerkung 1.2.7: BeiAnf ängem werden nicht selten die Gesetze M2 bzw. D (in Satz 1.2.2 durch Rahmung hervorgehohen) falsch angewendet: Auf ein mehrfaches Prod ukt, etwa 2 . (a .b), wirdfälschlicherweisedas . Dism butivgeseu" angewendet, und d as " Ergebnis " tautet:

, , (, ' b)

t

"" " b = 4,b

W

Daher unterscheide man genou: 2 ' (a 'b) und

2 -(a +b)

= (2 -a) -b = 2 ·a ·b = 2ab

M2

= (2 ·a) + (2 ·b) = 2a+2b .

D

24

1

Grundlagen und H ilfsmittel

Um eine übe rsichtliche Sch reibweise ohne allzu viele Klamm em cnnöglich en zu könne n, verwendet man einige Konventionen hinsich tlich de r Reihenfo lge der Rechenoperationen (und spart auf diese Weiseprä-

zisierende Klamm em ein) : Vereinbaru ng 1.2.8: [Konventionen überdie Reihenfolge der Rechenoperationen in IR) I)

Klammem haben absoluten Vorrang (werden also stets zuerst berechnet) ;

ü)

Danach werden alle Potenzen be rechnet, und zwar - be i feh lenden Klamm em -von " oben nach unten " ;

ili)

Danach werden alle Punktoperationen (Multiplikalion " . ~ ; Division " füh rt , und zwar von links nochrechts, fa lls keine Klamm ern stehen ;

: ~)

Iv)

Dana ch werden alle St richopemtionen (A ddition » +« ; Subtraktion (bei fehlend en Klamm em ebenfalls von links nach rechls ) .

durc hgeführt

,, -~)

d urchge-

Merkregel: Klam m em vor Potenz vor Punkt vor Strich

Beispiel 1.2.9:

;)

5 +3 -«9 -6) -4)' -7

=

ii)

i)

5 + 3 '1 44-7

= 5 + 432 -7 = 430 . iii) Iv)

ii )

-2 4

iii )

4

32

,=

-(2 4) (nPOIenz vorStrich"!) = - 16 2

,= 4(3

)

aber: (4 3)2= 64 2

aber:

(-2 )4 = (- 2) ' (- 2) ' (- 2) '(-2) = +16 .

(nvon oben nach unten "! ) = 4 9 = 262 .144 (nKlammer zuerst " !) = 4.096 .

lv]

48 : 3: 4 ·2 = 16 : 4 ' 2 ,= 4 ' 2 = 8 (n \.-·on linkr nach red lls."!) ober:48 : 3 : (4 ' 2) = 48 :3:8 (nKlamm er zuerst") = 16 : 8 = 2

v)

X - y - Z l= (X- y) - z ober:x - (y - z) = x - y + z

(nvon links nach rechts"!) ("Klammer zuerst" 1)

Bemerkung 1.2.10: Werden geklammene Terme dividien, z.B, (0 + b) : (c + d), so k ann ma n bei Verwendung eines Bruchstriches diese Klamm em weglassen:

.!!....i....!!. c +d

(a + b) (c+ d)

= (0 + h) : (e + d)

Beispiel:

i)

~ :~ = (7 +8):(2 +3)=15 :5=3

ü)

1O~ - 8

1.2.1.2

=

r

nicht etwa:

~:~ = 7 +8 : 2 +3 (= 147)

(lOx - 8) (d ie Klamm er I1IUSS wiedergeschrieben werden, wenn der Bruchstrich emfällI!)

Elementare Rec henregeln f'in- reelle Zahlen

Aus den Körperaxio men A I-AS, M 1-M5, D sowie den defmitonschen Formeln ( 1.2.4). (1.2.5) folgen sämtliche bekannten Rcchenregc1n. Diese Rechenregeln sind ihrer Natur nach allgemeingiiltige Aussagercrm en (z.B. Gleichungen, siehe Der 1.1.25), die für jede beliebige Einsetz ung wahr sind (wobei - siehe Bem erkung 1.2.6 -sämtliche vorko mmenden Nenneroder Divisoren als von Null verschieden vorausgesetzt werden müssen) .

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Za hlen IR

25

ELEMENTARE RECHEl'\REGELN in R - (- a)

RI.

az.

-t

=

(zum Beweis siehe etwa [70a). Band 1, 6f)

a

a = (- l ) 'a

R3a.

- ab = - tab) = (-a)'b = a-f-b)

R3b.

(- , ) -f- b) = ab

Bemerkung 1.2.11: A u.\' R3a folgt: Ein Minusz.eichen vor einemProdukt ändertbei genau einem derFak lorendas Vorzeichen (vgJ. dagegen Bemerkung 1.2.15 weiter unlen). Beispiel: - obc ä = - (abcd) = (- a) ' b . C ' d = a . (-b) . C' d = a . b . (-c) .d = a .b · c · (-d) Ein Plus reichen vor einem Produkt kann weggelassen werden: + (0 .b · c) = +abc = abc .

R4a.

~ = - fa : b)

-

-,

a

-b

b

= -: =

_~

-=-

R04b. a '-(bc)

- abc

abc

- ubc

abc

(- d)' c

- dc

de

dc

- dc

Beispiel: - - - - = - - - = - - = - - = -

R5.

Anwendung der Regeln 3a/3 b auf das Distributivgesetz:

a (b + c) = ab + ac, (-a)( b + c) = -ab - ac, a (b - c) = ab - ac, (- a)(b - c) = -ab + ac,

a (-b + c) =- ab + ac,

(- a) (- b + c) = ab - ac, a (- b - c) = -ab - ac, (- a)(-b - c) = ab + ac .

Durch mehrfache schrittweise Anwendu ng des Distributivgesetzes lassen sich auch umfangreiche Summen untereinander multiplizieren:

R6a.

Bemerkung 1.2.12: Liest man die Regel 60 von rechts nach links, so erkennt man, dass die Summe ax j +ux2+ +UX" durch Ausklommern des in ullen Summ anden enthaltenen Faktors 0 in ein Produkt a(x / +x 2+ +x,J verwandelt wird (Faktarisieren). Beispiel: R6h.

my+2ux-x

= x(6y+2a-1)

(a,+ az+···+am) ·(b, +bz+···+ bn) = a lb, +a\ b z + ...+a 1b, + aZb\+azbz+ ···+a 2bn

(insgesamt m' n Summanden)

(Zwei Summen werdenmiteinander multipliziert, indem man jeden Summanden desersten Faktors mit jedem Summanden des zweiten Faktors mulnplizienund schließlich alleentstehendenProdukte addiert.)

26

1

Grundlagen und Hilfsmittel

Bei'ipiel 1.2.13: i) (x+a)(y- b+ c) = xy- bx- cx--ey-abe ac ii ) Die folgenden, allgemeingültigen G leic hungen werden als Binomische Formeln bezeichnet:

(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a- bf = aL2a b+b 2 al - bz = (a+bXa- b)

R6c.

Hi) Werden mehr als 2 Summen miteinander multipliziert, so gehl man schrittweise vor: (a - W

R7.

'" (a - W (a < b) '" (al -2ab + b2)(a < b)

= al - 2a 2b + b2a- a2b + 2ab 2- b3 = a J - 3a 2h + 3ab z - b J (siehe auch Satz 1.2.42: . Binomischer Satz ")

- ta-b) = - a-b

- (-a+b) = a-b

- (a-b)

- (- a- b) = a+b

- a+b

Bemerkung 1.2.14: Die Vorzeichenregeln R7 ergeben sichfonn al durchdieA nwendung von R2 und R5. Beispiel: u - (v- (w+(x -y))) = u - (v -(w+x - y)) = u-(v-w-x +y) = u -v +w+x- y (Klammem von innen nach außen auflösen I) Bemerkung J.2.15: Aus R7 folgt : Ein Minusi eichen vor einer {geklammerten} Summe ändert bei jedem Summa nden das Vorzeichen bzw. das Rechenzeichen: Beispiel:

(vgl. dagegen Bem. 1.2.11 fü r ein Produk t!).

-(a-b+c +d) = - a+b-c-d

Ein I'lusu ichen vor einer (gek fammenen ) Summe kann einschließlich der Klammem fo rtgelassen werBeispiel: +(a - b+c+d) = a - b+c+d . den. Bemerkung 1.2.16: Beisp iel:

u +b

Ein Bruchstrich wirkt auf Zähler und Nenner wie eine Klamm er: (u+b )

c + d = (c + d)

(die Klammem sind entbehrlich, siehe auch Bem. 1.2.10)

Beispiel: Die Klamm er muss geschrieben werden, wenn der Bruchstrich ersetzl wird: i) ,.,.)

RB.

(Falsch: ~ = a + b : c + d

a +db = (a + b) : (c + d)

c+

c+d

6) =-ze + 3y - 4x -,-- 6y = - "]1 (4x -!y

1" );

.

(Multiplikation vün Brüchen)

R8a. R8b.

a

b 'c

a- C C = - b- = a b

( folgt aus R8a mit d = 1 und c =

f)

1.2

27

Arith metik im Bereich der reellen Zah len IR

R9.

(Division \'00 Brüchen. Doppelbriiche)

R9a.

a b

aca

[Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch di j'jdiert, indem man den Zahlerbruchmildem Kehrwert des Nennerbruchsmuuipliiiert.]

d ad

c=b" :d"""b" 'c="bC d

a b

a

=

R9b.

c"" b":c""b;;'"

(folgt aus R9a mit c

R9c.

--;-= a : ~ = ~

(folgt aus R9a mit a =

f) -t )

c

RIO. (Kürz ungsregel, Erwene rung sregel)

,

.>..:..GJ = b

'l:J

.kü rzcn'' durch c"* 0

(Vors icht:

Bemerkung:

ili tJ

a

Zwei Brüche J.E. und ~ sind genau den n gleich, wenn sie dur Erweitern oder Kurzen (z.B. mit ).,*0) auseinanderhervorgegangen sind, m.a,TY.

b :

~erweilem"

A us

mit x,*,O

%"" %

folgt:

c=la

A

d=).b (,#G)

,' + + ,JX, ist nicht durch x " kürzbar" ! )

R Il. (Addition gleichnamiger Bruche) (Brüche mit gleichemNenner td.h, " gleichnamige" Brüche) werden addiert, indem man dieZähter addiertund den Nennerunverändert lässt.) Bemerkung 1.2.17: Liest man R11 von rechts nach links, so erkennt man, dass eine Summe durch eine Zahl c dividiertwird, indem jeder Summand durch c dividiert wird:

asb

- ,-

=

Beispiel:

I

7' (a

± b) ""

b

7' ± 7' Q

( fil Distributivgesetz t] ,

6x2 - 2& _ 6x 2 _ 2!!:=..._ 3 _

2X2

- "'27

2x2 -

!.i x

R12. (Addition beliebiger Brüche)

(Ungleichnamige Brüche werden zunacnn durch geeignete Erweiterung gleichnamig gemacht und dann nach RegelRI 1 addiert.) Beispiel: Beispiel:

3

I

7

9

27 7 34 + -= 63 63 63 '

- +-: ,!",,_I -y

x

y

=..1..._ .ry

y-x (1- y ) y-x + xy (l-y )x = = .ry -'Y -'Y

28

1 Grundtagen und Hilfsmittel

R H a.

a "O=ü ' a=O

Rl3b.

..Q. = 0

(R13c besagt: Das Produkt zweierreeller Zahlen (oder Tenn e) ist W' IWU dann Null, wenn einer derbeiden Faktoren (uderbeide) Null sind.)

b

R l3 c. Regel 13c liefert de n Schlüssel fü r d ie Beispiel 1.2.19:

xZ :

i)

4

(Lösungsmengequadratischer Gleichungen) ~

x2 - 4 = 0

~

x =2 vx = -2

ii) X2 + 4x - 5 = 0



(x+2)2-9 = 0



x- I =Ov x+S ",O

IU k

~

Me

(x - Z)(x +2) = 0

C=}

R6c

(

»

" quadratische Ergiin zwrg ")

(x +2 - 3)(x+2 +3)=0



x -2 = O vx+ l=O

~

RB
x- 2* 0

~

X2 =O AX * O

"

L = {I }

~

X=l A X * 2

"

L = { } (unerfüllbare Aussage) .

Man vereinfache so weit wie möglich (Brüche so weit wie möglich k urz en I ) :

I)

2ab- I flab -abx -3abx =

ii)

ab" (bc) =

iii)

(-3x)" (ay)-(-2xy) =

iv)

(x + 2Yl -(2x- Yl =

\")

(ax+ bx-cx): x =

\ 1)

(axbxcxji x

\'ii) (4a + 3b- 5c) "7x- (5a - 4b + 6c) Jx ix)

,-,

(- b) " c

a

2x+ 1 1 x+5 ,) - +--= x zx x2

a

n)

X\'i) 4a - c = c

am + all ax + av --_ .---- = m X

,

x 1- _ ,_ x -I

~ + E.

b

...) 5a - b b - 5a

")

xiii) - - . =

xii)

X\'I JI - - - -

\iii) - (a- xXb - yXc-z)"

e

,

>

y

X\'ii)

4 X2 _

16x 2 +

9).2

81 ~.2 =

1.2

29

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

Im folgende n werden einige häufi g be nutzte mathematisch e Begriffe und Symbole autgcfüh rt:

1.2.1..3

Betrag einer Zahl

U nter d em (ab solut en ) Betrag

l a l einer Zahl a (E IR) versteht man : awenna > O

+.1.2.2\,

lal

Beispiel 1.2.22:

,=

1- a

Owenn a =O wenn a < 0 fiirx ~ 3

1-21= 2 ; 101 = 0 ; IX-3 1=

117 1= 17 ;

fUr x < 3 .

E s gilt also stcls :

~IZ 1.2.23:

i)l a l ~ O

ii)

l a]> I- al.

Unt er dem (absolut en ) Abstan d zwcier Zah len a , b versteht man den Betrag ihrer Differenz [ a -r b ] bzw. j b a] . r

Beispiel 1.2.24: Der Abstand zwisch en 4 und 7 beträgt DerAb.'i landzwi.'iehen -2und 5 ~l rägt

I 4 -7 [ =

17 - 4 1= 3.

Analog:

1-2-51 = 15 -(-2)1'" 7 ;

Der Ab stan d zwisch en - 10 und - 2 be trägt 1-10 - (-2) I = 1-2 - (-10) 1= 8 ; De r Abstand zwischen a und 0 be trägt l a - 0 I = [a l ~ a ] ist also der Abstand von a bzw. -a zum Nullpunkt.)

(Oeomeut sch: I a - b I ist die positiv gerech nete länge L der Verbindung zwischen a und b auf dem Z ahJenstrahl (od er die absolu te Abweichung voneinander).

o

0

b

--!f -- - +----1!1 - - -I I 1=lo-bl= lb -o l

E s gilt d ie berühmte Drci ecksun gleichun g für alle a, b E IR:

~IZ 1.2.25:

[a ± b l s l a l + [b]

1.2.1.4 Das S u m men z eic hen Eine Summ e mit mehreren Summanden lässt sich mit H ilfe des Summation soperators ~ :E " häufig kurz und übe rsichtlich schreiben:

L" a ,-.

Def. 1.2.26:

j

,= am+am+ 1+a.n +z+ ... +an '

n z m,

n.me Z

(gelesen: Summe aller a i von i '" m bis i = n)

Der la ufende Summation sindex ~ i" erhöht sich je wcils um 1 beim Iolgcndcn Surnmanden , beginnend bei der Summation sunt ergrenz e m (steht unter dem Summationsbefehl :E ) und ende nd mit der obcre n Summatio nsgrenze n (steht über :E); :E (griech.): Sigma.

e

ßetspiel es

I

;_4

aj = a4 + a5 + a6

2c9 + 3clO + 4c 11 + ... + (k - l ) · c~ + 6 .

30

Grundlagen und H ilfsmitt el

usw.

Der Summationsindcx kann beliebig be nann t werden :

(Er sollte aber von den Summationsgrenzen unterscheidbar sein.') H äufig ist die untere Summationsgrenze die Zahl 0 oder 1:

,

I

, aj

,_0

,

Beispiel: L

""

30

I

+ 3 1 + 3 2 + ... + an

j."

a;= aj+ a2 + ... + an

(i+ l ) j = 2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 3 = 20 .

i· I

Beispiel:

, ,

..

L (kL

1) = - 1 + 0+ 3 + 8 + 15 + ... +( pLl) .

Beispiel: Das arithmetische Mittel

,

I

einfach beschr eibe n: -X = - I

n

x der

n Zah len xl' X2' ..., Kn lässt sich mit dem Summenzeichen

x·

; .. 1

'

Salz 1.2.27: Es gelten folgende Rechenregeln: I)

,

,,"

I(,'b,) I , 'I b, i- I

i_ I

,

2)

( f?, Assoziolivgew z , siehe Kap. 1.2.1.1)

=

L C' i_I

3)

i -I

,

aj

= C'

L a,

(~ Ausklammern")

( ;;;;;' Distributivgesetz. siehe Kap. J.2.1.1)

i_I

c+ c+ ... + c

n' C

•

n Summanden

,

Bemerkung J .2.28: Es gill i.a.:

L Ui b; ; -/

Beispiel: (/1 = 2):

"

,

(siehe RegelR 6b in Kap. J .2.1.2)

1.2

A rithmeti k im Bereich der reellen Zahlen IR

31

Unter einer Doppelsumme versteh t man;

Def. 1.2.29:

I

m

il;k ,,=

k- I

I

"

(a il + a i2 + ... + a im) =

i- I

üb e r

~

su mmiert

en + a l 2 + ... + a lm +321 + 322+ ···+ a2m

+ ...

Es wird zu näc hst übe r k summiert und die entstandene Summe dann übe r i summiert (od er um gekehrt ). Die Summatlo nsrelhcnfolge (ent über i , dan n über k ode r umgekeh rt) ist belanglo s: "

m

m

"

Aufgahe 1.2.30: Man schreibe mit H ilfe des Summe nzeichens.

. I ) 'X1Y l . ,XzY2 +

,

...

+ 2X20Y20 ;

ii )

1 + ..!..+ ..!.. 2 3 + ... + _1_ WO .'

Aufgahe 1.2.31: Man ermi ttle den Wert der folgen den Summe n.

HL: i=1

,

_ i_ . i +2 '

I

ii )

0)

("Sind zwei Potenzen mit gleichen Basen gleich, so auch ihre Exponenten, oder die Basis ist Eins - und umgekeh rt"};

I

P7:

~

a" = b"

(a = b v x = 0)

I

(a,b>O)

(" Sind zwei Potenzen m it gleicheil Exponenten gleich, oder der Exponent ist Null - lind umgekeh n. d) Außerdem :

.1'0

auch ihre Basen,

6

E ine Po ten z mit positiver Basis ist stets posi tiv;

(aE IR +) .

Aufgabe 1.2.64: Man forme mit H ilfe der Po tenzgesetze so weit wie möglich um:

ij

, Ve- ·Vc=3 ~l

iv)

., 3

v;r.~

Jq

a _ . ~ ii ) VX2. VX ;

'j

iii)

(

.

a2

,

·Vb V'

,

)a

('v (,vJJ V')V'

Aufgahe 1.2.65: Man ermittle die Lös ungen folgender Gleichungen (Nä her ungswerte: ele ktronis cher

Taschenrechner): i) XS = 1.0 24 ;

ii) x4

iv) 243 xs = 1.02 4

v) 4x 20 - 10.000 = 0

= 11 ;

iii ) 16x4 = -I ; vi]

4.300 = 85001.1 17 - 10.000 (q17 - 1)

42

Gr undlagen und Hilfsmittel

1.2.3 Logarithmen 1.2.3.1 Begriff des Logarithmus E s kommt häufig vor. dass in einer Gleich ung a'' = x der Exponen t u zu bestimmen ist. (De rartige G leichungen nennt man " Exponentialgleichun gen" - sorgfältig zu unterscheiden von den " Potenzgleichu ngen" \\i e z.B. x4 = 17, bei dene n die Basis d ie Lösungsvariable enthäl t.) Beispiel 1.2 .66:

ii)

2u = 32 ; u = '!

Da 2 5

1011 = 0,00 1

u = -3, de nn 10 , 3 = - I 3 = - I- = 0.00 1 10 1000

~

u =

iii) iv)

2009 11 = J

~

= 32

gilt.folgt u

=5

;

1.) ' denn

u = 0, denn 2009 ° = 1

Jede Expo nentialgleichu ng der Form aU = x (m it ae IR+\{ 1}. Xe IR +) hat eine eindeutig bestimmte Lösung u (u e IR). Dieser einde utig best immte Exponent u heißt Logantbmus von x zur Basis a . symbo lisch: u = IOlkx . Es gilt a lso die definitorisch begrü ndete Aquivalenzbez iehung: aelR+\{l}

Der. 1.2.67:

x E IR+

uelR .

Beispiel 1.2.66 lässt sich mit Dcf. 1.2.67 formal wie folgt lösen:

i)

2u = 32

Co}

u = log232 :: 5, denn 25 = 32

ii)

lOu = 0,00 1

Co}

u = k% o 0.00 1 = -3, de nn 10- 3 = 0,001

iii)

125 11 = 5

Co}

u = log125 5 =

+,

1 denn 125 3 = 5 .

Bem erkung 1.2.68: i)

Das Wort LogoriJIlITlIls bedeutet dasselbe wie Exponent (oder Hochza hl).

ii) Der Potenz wert x in a U = x bzw.

U

= (og"x heiß t auch Numerus.

iii) Der Numerus x mUH stets positiv sein, denn zu einer positiven Basis a giht es keinen Exponenten, so dass die entstehende Potenz x (der Numerus] Nu ll oder Ilega/iv wird. M Statt der Def. 1.2.67 definiert ma n häufig:

Def. 1.2.69: Der Logarfthmus von x zur Basis a ist derjen ige (eindeutig bestim m te) Exponent u , mit de m man a potenzieren muss, um x zu erhalten. (0, x > 0, U *-1) v) Die Bildung des Logarithmus logaX zu einem gegebenen Numerus x heiß/ logarithm iere" .

1.2

43

Arithmetik im Bereich der reellen Z ah len IR

Bei Expo nentialgleichungen wie z.B. 3 u = 25 nü tzt dic fo rmalc c l.ösung" nach Dcf . 1.2.67 allerdings zunächst wenig:

E s fehlt offenba r eine Method e. mit der solch e Logarithmen (= Expon enten) bestimmt werden kön nen, der en Wert sieh nicht d ureh escharfes Hinsehen" offen bart (wie etwa die Logarithmen in Bcispicl1.2.66). G rundbau steine dieser im fo lgenden da rgest ellten Bereehn ungsmeth ode bilden - die Loga rithmen zu den Basen a 1= 10 bzw. a "" e (da nur diese tabelliert od er au f ele ktronischen Taschenrec hnern programmiert sind). - die Rechenregeln L1- L3 für Logar ithmen (siehe Kap. 1.2.3.3).

1.2.3.2

Logari th menbasen

Lo garithmen (dA Expon ent en) zu r Ba~is 10 heißen dekadisch e Logarithmen (Zehnerlogari thmen od er Brigg'sch e 7 I.ogarit hm en). Ma n kürz t ab:

I.

- -- -

(1.2.70) Beispiel:

lag lO x ==lg x Ig1O.000 '" lag lo 10.000 = 4

(denn 104 = 10.000).

Lo garithmen zu r Basls e heiße n natürliche l -Ogarithm en (e = Eut erseh e Zahl s ). Man kürzt ab:

log, x = , In x _ _ I

(1.2 .71)

u = log, 3 = In 3

Belspiel.

0)

("Der L ogarithmus einesProduktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. ") Beweis: Setze n wir loib. x = u und log. y = v, so folgt nach Dei. 1.2.67: a'' = x und aV Also gilt: x-y = aU ' av = av 'v Nach Def. 1.2.67 folgt darau s:

Beispiel 1.2.75:

y.

log" (x -y) = u-ev = [og,.X + !O&'y .

Es ist: 10&2 8 = 3 und IOg24 = 2.

1 10&; (8 , 4) = 10&28 + log2 4 = 3+ 2 '" 5

Satz 1.2.76:

'"

Also muss nach LogarithmcngcsctzLl gelten:

(Probe: 25 = 32 = 8 ' 4) .

(1.2)

(x, y> O)

(" Der Logarirhmus eines QUOlienten ist gleich der Diff erenz aus dem Logoruhmus des Zahlers und des Logarithmus des Nenners. ")

.. ..

Beweis: (Analog zum Be....eis von L1); Seien

ner. \.2 .67

log. x "" u

log. y "" v vorgegeben.

und

x a'' a'' "" x und a" "" y ::) - "" - = aU - v y

a"

x

Dd . 1.2.67

loga( y) = u-t v = log,x - Iog. y

Beispiel 1.2.77: (siehe auch Beispiel 1.2.75): Es gilt; logz 8 "" 3 und logz 4 "" 2.

I::)

logz( :)

Satz 1.2.78:

= logz8 -logz 4 "" 3-2 ""

(U )

1

(Probe: 2 1 = :

I log. (x' ) = r -log. x

= 2)

(rE IR).

(r > 0)

(,.Der L ogarithmus einer Potenz ist gleich Exponent mal Logarithmus der Basis. ")

('* (JogqtJ'! )

Vereinbarung: log"r' .= loga(x' )

Beweis: Sei log. x = u

~ Def.I.2.67

aU

~ DeI. 1.2.67

Jog. (xf) = r -u =r log. x .

""

x

::)

1.2

Es gilt log28 = 3 => log28 5 I~ 5 log28 = 5 . 3 = 15

ßei~pi el 1.2.79: (siehe auch Beisp iel 1.2.75):

I

45

Arithmet ik im Bereich der reellen Zahlen IR

(Probe: 2 15

= 32.7 68 = 8 5)

•

Au s de m Logarithmengesetz 1..3 ergeben sich zwei Sonde rfalle:

I,

(1.2.80)

(1.2.8 1)

log.,

,

de nn lo&.+ = log., x - !

,

I

VX = n log" x

,

Aus der Dcfinitionsg1cichung 1.2.67: ergeben sich zwei wicht ige Schlussfolgerungen:

denn log.,

aU = x

~

I

VX = log., xii

=

I.]

..!. log., x n

u = log., x

a) Setzt man die linke Gleichung in die rech te Gleich ung ein. so folgt:

I log., aU = u I .

(1.2.82)

b) Setzt man d ie rechte Gleichung in die linke G leich ung ein, so fo lgt: (1.2.83) Daraus wird d eutlic h, dass POlenzieren und Logarnhmteren Umkehroperanonen sind. Für die Basen und e folgt speziell aus (1.2.8 2) und (l.2.il3):

bzw,

Ig lOu =u

(l .2 . 8~)

110

1P

( 1.2.85)

Bei~piell.2.86:

= X

I 1n c =1

bzw.

I ln c't

e

u

10

I

I d"= , I

; l lg lO = l l

l log., a = l l

Inel~ = lne-y= -y ; l ln l=o l; l lg l=o l ; I IOg., I= o l

IgJ OOO =l gI03 : 3

(den nao = l)

47 13 = eln4713 oder x2+ 1 = e1n(x.l" I): Jede positive Zahl ist als Potenz zur Basis c darstellbar! Sowohl die de kadischen a ls auch d ie natu rliehen Loganthmcn gesta tten unter Verwendung der Rechenregeln LI ~ L3 für Lo garithmen die E nn iUlung de r Lös ungen von Exponcmial- und Logarithmusglcichungcn (siehe die folgenden Kap itel I. 2A.I:J, I.2A.!)) . E benso ist es jetzt möglich, die Logarithmen zu jede r beliebigen (positiven) Ba sis zu ennitteln:

46

Gru ndlagen und Hilfsmittel

1.2.3."

Logarit hmen zu beliebiger Basis

Gesucht sei der Zahlenwert von [og.,x für eine beliebige positive Basis a (mit a * 1), z.B. l0Rs 14. Setze n wir: 10&,x = y, so fo lgt nach Def. 1.2.67: a~' = x. Wenn man jetzt auf beiden Seite n den Logarithmus zu einer a nderen pos itiven Basis b (mit b * 1) bildet, so folgt 10b"!> aY = lob"!> x , d.h. wegen L3: Y' I0b"ba = [°b"bX

•

Daraus ergibt sich d er gesuch te Wert y zu: [OgbX/ l0b"ba, ....' ir haben als allgemeine Umrec hnungsregel : [Ogb x log. x = - logb a

(1.2 .87)

(a.b > 0

a ,b * I

x > 0)

E in Logarithmus lässt sich also ste ts durch den Quo tien ten zweier Logarithmen zu einer anderen Basis a usdrücken. Wählt man für d ie neue Basis b insbesondere d ie Werte e bzw. 10, so ergeben sich aus (1.2.87) d ie nützliche n E rgeb nisse

In x log , . - a In a

( 1.2.88 )

log x

a

10, Ig a

= ..:2....:.:.

Beispiel 1.2.89: logs 14 = ii )

I

~ = .!L!.±. == In S

Ig S

(Probe: 51. 6397

1 6397 '

(Probe: 2- 0.5146 == 0,7 )

0 7=~= ln o,7 == _05 1 46

og2 '

Ig 2

In2

== 14 )

'

Beispiel 1.2.90: Mit H ilfe vo n (1.2.88 ) lassen sich einfache Exponcntialgleichungen lösen: 1,07x =3

0 11 X4= 5} = (IR+\ (5}) X IR , --l.!!...!..- (w) ]L 25

G(e, - 1): (- I)z = ~ (1) eL25

usw.

48

Grund lagen und H ilfsmittel

Def. 1.2.98: Unt er de r Lös ungsme nge I, G der Gleichung G versteh t man die Menge aller Elem ente des Definitionsbereic hes DG• die <ein gese tzt in die Variablen von G - die G leichung zu einer wah ren Aussage machen [siehe Dd . 1.1.2 1) .

Beispiel 1.2.99: (siehe auch Satz 1.1.32) G(x):

x2 = 4 ;

denn

2 2 = 4 (w)

(G ii)

hei ßllö~ba r

G(x):

DG

G(x):

IR

(-2? '" 4 (w)

und

LG

~

'"

{2, -2 }

und sonst (f).

und besitzt endlich viele Lösungen.)

x- 5 "'O ;

de nn 5-5 = 0 (w) iii)

'"

DG = IR

~

und sonst (f).

x + 4 '" x-ö :

DG

'"

(G heißt

Ln = {5}

ei nde utig lö~har. )

IR

denn für jede Einsetz ung gehl G in eineja Ische Aussage über. (G heißt unlösba r, unerrunbar.) i\')

G(x):

(X+I )2 =x 2+2 x+l ;

DG -=IR

~

LG = IR.

de nn jede Ei nsetzung XE D G liefert eine wahre Aussage. (G heißt a1lgemcingiiltig.) G(x.y): y '" 2x-l ;

DG

",

IR x IR

~

Ln = {{"yj ly = 2, -I } .

G besitzt unendlich viele Za~I~aare (die Elemente von D G sind Zah lenpaa re !) als Lösungen.z.B, (0 ; - 1), (0.5 ;0), (V2 ; 2V"2-I ). (2356 ; 471l) usw. Es ist das Ziel der folgenden Ausführungen . auf mögli chst sy stem ansehe Weise die Lösungen (bzw. die Lösungsmcngcn) von G leichungen zu ermitteln. Die Lösunge n einer G leichun g (bzw. einer A ussageform. die aus meh reren durch 1\ bzw. v verknüpften Gleich ungen besteht) lassen sich unmitt elbar ablesen, wenn die auftretende n Gleichungen von der Fonn sind:

B .

a e lR.

Beispiel 1.2.10 0 : i)

G(x):

x '" 3

~

Ln = {3} ;

ii)

A(x):

x ", 3 v x = -3

~

LA '" {3, -3 )

denn eine d urch v (~ oder") verknüpfte Auss age ist bereits dann wahr, wenn nur eine der Teilaussagen (hier: Gleichun gen) wahr ist (siehe (1.1.37» und / alseh , wenn k eine Tellaussage wahr ist. iii)

A(x):

x = 5

1\ X

= 7

~

LA '" { } ,

denn eine d urch 1\ (,.undj verknüpf te A ussage ist fa lsch, wenn auch nur eine der T eilaussagen (hier: G leic hungen] falsch ist. siehe (1.1.34).

1.2

49

Arithmetik im Bereich der reellen Zah len IR

Der. 1.2.101: Folgende Aussagcfonnen (Gleich ungen) mit einer Variablen heißen unmittelbar euü ösber- (a, xi E IR) i)

G(x): x : a

ii)

A(x):

Xl V X = X2 v

iii)

A(x): x: Xl A X = X2 A

x

e

~

La : {a] ;

V X = Xn

~

LA : {xi' x2' .... xn}

A X = Xn

~

LA : { l , sofern nicht alle Xi identisc h.

Man kann die Lösungsmengen von disjunktiven bzw. konjunktiven A ussageformen aus den Lösungsmengen der Teilaus sagdonn en kombinieren: Seien A l(x), A 2(x) zwei (Tcil·)Aussagefonnen (z.B. Gleichungen) und LAI' L A2 ihrcLösu ngsmengen; Da die di.sjunkt i\"e (. ode r") Au ssageform A ](x) v Alx) bereits wah r .....'ird, wenn nur eine Teilaussage (Gleichung) wahr ist, ist die Lösungsmenge LA von A I v A 2 gleich der v erelnlgungsmeuge der T eil-Lös ungsmengen.

i)

(1.2.102)

Bcispiel l.2.103:

I A(x) :

AI (x): x > 4 ; Alx); x '" -2 ~ LAI = {4}; LA2 = {-2} A )(x) v A 2(x): x: 4 v x = - 2 ~ LA: LAIVA2 : LAI U L A2 = {4} u {-2} = (-2, 4 ) .

ii) Da die konjunktiw ("und") Auss ageform A 1(x) A A l x) nur wahr wt rd, wenn berde Teilaussagen {Gleich unge n) zugleich wahr werden, ist die Lösungsmenge LA von Al 1\ A 2 gleich der Scbnfumenge der T eil- Lösu ngsmcngcn:

(1.2.104)

Beispiel 1.2.105: AI(x): x = 3 ; A 2(x); X = 5

I

A (x) = A l(x)

1\

A 2(x): x = 3

1\

X= 5

~

:::)

LAI: (3) ; L A2 : {5}

LA = L Al f\A2 = LAI n LA2 = {3} n {5} = { }

Bei.spiel 1.2,10 6: Vorgegeben sind die beiden Aussagcfo nnen: A l(x, y): x = 3 ;

Alx . y): y =

5

Daraus kombinieren wir die ko njunktive A ussageform. A(x; y); x = 3 deren Elemente reelle Zahlenpaare «x , y)E IRXIR) sind.

1\

Y = 5,

A l wird wahr für; x = 3, y beliebig; also L Al = {(3;y)}. LAI besitzt also unendlich viele Elemente! l

A 2 .....i rd wah r für: x bclicbig y. e S; also L A2 = {(x;5)} . LA2 besitzt also eberfalls unendlich viele Elemente! Also:

LA = LAI A A2 = {(3;y)} n {(x;5)} = {(3;5)}:

Das Z ahlenpaa r (3;5) ist somit die einzige Lösung von A(x, y): x = 3 A Y = 5.

50

Grundlagen und Hilfsmittel

1.2.4.2

Äqulvalenzumtormungen

Das Problem der Gleichungslösung bes teht darin, eine vorgelegte Gleichung G mit H ilfe geeigneter Umformungen, die die t ösu ngsmenge La nicht veränd ern 0quiva[enzum! onnungen), in eine unmittelba r auflösbare Gkichungbzw. Aussageform (siehe Der 1.2./01) zu überführen. Deren Lösungen sind dann identisch mit den gesuchten Lö sungen von G (zur Lösungvon Glcichungs.\)'.I"lemm siehe Kapitel 1.2.4.4 sowieinsbesondere Kap. 9.2). Der. 1.2.107: Zwei Gleichungen G \ . O 2 (bzw. Aussageformen A I' A zI heißen äljui\'aJent, G \ Co) 0 2 (bzw. A l (=) A zJ, wenn sie diese lbe L ösungsmen ge besitzen. Jede Umformung, d ie eine

Gleichung in eine zu ihr äquiva1cnte Gleichung überführt, heißt Äquh'alenzumronn ullg. Bemerk/mg J.2.108: Man vergleiche hierzu die analogen Formulierungen im Zusammenhang mit der Defi nition VOll ~ ~ "in Kapitel l .l .5.2, insbesondereSatz 1.1.53 sowie Bei fp iell .I.S4.

BdsllicJ 1.2. 109:

G I: 2x z -32=0 ; G 2: x2 -1 6 = 0 ; G 3: (x- 4Xx + 4)=0 A 4 : x - 4 = 0 v x + 4 = 0 ; A s: x = 4 v x = - 4 .

Man überprüft leicht, dass gilt:

Lo l

=

Lo2 =

LG3 = LA.( = LAS = {4; -4 }

Daher sind alle o bigen Aussageformen/Gleichungen äquivalent: G I ~ G 2 ~ G 3 ~ A 4~ A s, sämtliche soe ben d urchgeführten Umformungen sind A quiv alcnzumtorrnunge n. Nicht in allen Fällen lässt sich eine Gleichu ng so problemlos wie in Beispiel 1.2.] 09 äquivalent umformen. Es stellt sich daher die Frage. welche Umformungen überhaupt Äquh'alenzumfomlUngen sind. Die folgende Übers icht gibt die für die meisten Fä lle ausreichenden Aquivalenzu mformungen an. Bezeichn en wir d ie vorkommenden Ter me wieder mit T i' T 2, T 3, ... und unterstellen wir, dass bei allen vorkommende n O perati onen die Definitionsmenge Da der A usgangsgleichung G: T l = T 2 unvcrändert bleibt, so sind die folgenden Gleichungsumformungen '\quivalenz umfomlUngen. 1assen also die Lösung der Gleichung unverändert : In der Gleichung Tl = T 2 darf jeder der Terme T l und/oder Tz dureh cinenihm äq uivalcn ten Term T; , T; erse tzt werden (T ennerselzung ist eine Äqu ivalenzumformung). Wenn Ti und Ti· äquivalent sind. d.h. wenn die Gleichung Ti = Ti· allgemeingültig ist, so gilt: (1.2. 110)

Beispiel 1.2.11 1: Die Axiome A I-A5, M 1-M5, D (siehe Satz 1.2.2), die elementaren Rechenregeln R 1 bis R 13b (s. Kapitel 1.2.1.2), die Potcnzgeseue P I-P5 (s. Satz 1.2.63), d ie Logant nmengesetze U L3 (s. Sätze 1.2.74-78) liefern wichtige Beispiele für äquivalente Terme . Daher sind etwa die folgenden Gleichungen (p er Termerretzung) äqu ivalent : i)

x2 - 1 = 0

~

(x- lX x+l )=O

(wegen R6 b)

ii )

I n ~ =1 0

~

~ l n(x2+ 1)= 10

(wegen L3)

iii)

2" 3' =17 +4

~

6' = 21

(wegen P4 undAl )

h')

Ei n Tenn T darf - wegen A3 - äq uivalent erset z! werden d urch den T enn T ±O. Beispiel: x2+ IOx = 11 ~ x2+ IOx+0 = 11 (wcgc n Aä) ~ x 2+lOx+25 -25 = 11 (wegcn A4) ~

(x- 5)2-25 = I I

(~ qua dra /ücllf! Ergänzung ") (wegen R6b bzw. Bsp. 1.2.13).

1.2

"

A rithmetik im Bereich de r reene n Zahlen IR

v) E in T erm T darf äquiva lent erse tz t werd en durch den mit e ( ", 0) erweiterten (bzw. gek ürzten} Term T ~ C [bzw.

T , 1)'

i : ~), d.h. T darf -

a) ....!.+..!.. :1O ~ .i!.+ 1..!. :10 3

..

1212

wegen M3 - äquivalent erset zt werden dur ch T · 1 (bzw, 0) liefert: x - 5

=0

.

Bemerkung / .2.1/ 5: Keine Aquivalenzumf ormu ng dagegen tst die Division der letzten Gleichung ii) durch x - 5, denn der Term x - 5 wird Nu ll für .r ,= 5, daher h ärtedie so umgef orm te Gleichung . -5 - 'e" '" eX '" 0 . - 5 einen anderen Definitionsbereich. n äm lich IR\ { 5 j , als die A llsgangsgleichung G (Da = IR). D ass die Division du rch x - 5 k eine A quivatenzumfo rmu ng ist, läss t sich im übrigen leichI daran erkenn en, dass (x - 5) . t:' = 0 die L ösung ~ 5« besitzt, während t>'" '" 0 keine Losung besitzt. (Die Division nichtkonstanter Tenne ist m eist entbehrlich und so llte - wenn überhaup t - nu r mit größ trr Vorsicht erfolgen.' )

52

G rundlagen und H ilfsmittel

=

(1,2.116)

(E in Prod ukt zwcic r Te nne wlrd gcnau dann N ull, ....e nn einer der Tenne N ull 'Wi rd (oder beide), siehe Kap. 1.2.1 .2, R13c.) Beispi el:

i)

(x - 2 Xx+ J!3l=0 ~ x-2=Ovx +vJ=O

ii )

(1.2.116) kan n auch auf beliebig vide Fak toren ange wendet werden:

I

(1.2.117)

~

T \ · TZ· ..· ·Tn=O

(d.h. L = {2 , - V'3 } )

T 1 = O v T z = O v ... v T n= O

(.

2x (x + 2Xx -4)(2x-1O) = 0 ~ 2x = 0 V I + 2 = (l v x a = 0 v zx tü = 0 , d.h. L = {O,-2, 4,5 }

z.G.:

e

e

(1.2.11 8) (Bcidc Seiten eine r Gleic hung dürfe n zur gleichen po sitiven Ba.o;is a (a e 1) poten ziert werdenoder: Sind zwei Pot enzterme mit gleiche r Basis a gleich, so auch ihre Exponcntcn.) Beispiel : Ig x = 2,5

i)

~

IOIIP =

d.h.

102.5,

x = 10 2,5 ~ 3 16,23

(siehe auch diespiueren Kapitrl1.2.4.8 und J .2.4.9.)

1. = x2 + x

ii)

I T l '" T z

( 1.2. 119)

~

1

logdT 1 =loga Tz

(T" Tz > Oi ae tR+\{ l} ) .

(Bcidc Seiten einer Gleichung d ürfen logarithmiert werden zu jeder pos üivc n Basis a el. oder: Sind zwei Logarithmen zur gleichen Basis gleich, so auch ihre Nu meri.)

BeisJliel: (sieheauch äasspstcreKap. 1.2.4.8) ;)

3eX = 69

ii )

LOS" = 4

=

eX = 23

=

""1,

IgI,OS" = Ig4

"

In eX = In 23

= L1

d.h . x = In 23

n'lg 1,08 '" 194

,

~

3,1355 ;

d.h . n -- ~1g J,Ol~ - 18,01.

Beim Potenzieren und Radi aleren von G leich ungen müssen wir eine Fallunterscheldung mac hen : Fall i) D er Ex po nent bzw. WUlZclexponent sei ungemcle:

( 1.2, 120)

=

(1.2.121)

=

T ," - TJ"

ne IN und n ungerade

(Bcide Seiten einer G leichung dürfen potenziert bzw. radiziert werden , wenn der angewend ete EXI)()llent n (bzw. Wurzelexpon ent n) ungerad e ist.)

,

1.2

53

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

Beispiel 1.2.122:

1

(X- 1)3 =2

i)

x - l = 23 = 8

C=>

d.h.

x=9

2X+ l=V 16.807= 7

d.h.

(Beide Seiten mit 3 potenzieren.)

s

(2x+ l)s =16 .807

ii)

0) t» « (x + 1)2 [ T* '" 5x [ P = - ln x 2

19x

f

l

-

In~

Bei der äquimlellten Umf ormung einer Gleichung können sich die beteiligten Terme i.a. beliebig ändern, wenn nur die Lön lllgsmerlge unverändert bleibt. Beispiel:

2x '" 6 ~ x '" 3. Die beteiligten Terme sind nicht äquivalent umgeformt, wohl aber die beiden Gleichungen.

1.2.4.3 Lineare Gleichungen

I

ax + b = cx + d

I

A lk Tenn e, die die Lö sungsvariable enthalten, werden isolie rt (d.h. mit H ilfe von (1.2. 112) auf eine Seite der Gleichung gebracht). Dann fasst man d ie Tenne zusamme n (gegebe nenfalls dur ch Aus klammern der Variablen) und löst mit (1.2.1 13) bzw. (1 .2.114 ) nac h x auf. BcislJieJ 1.2,129: i)

G(x) : 3x + 7 = 12x-29

~ 3x - 12x = - 29 - 7

1-1 2x-7 (1.2.1 12) (isolieren)

I(1.2.1 10) (zusammenfassen)

~ - 9x = -36 1:-9 (1.2.114) ii ) G(x): ax + b = ex + d

~ ax- cx = d b e

~

x = 4 , d.h.

La = {4 } .

I- cx - b (1.2 .112) (isolieren) I (1.2 .110) (aus klammern)

~ x(a -e)=d - b l:a-c *O (1.2.114) ~ x= ~ =~,

d.h. '

""G

d--' } und ={ a -c

ae c.

9 Gleic hungen, die sieb nicht exp lizit au flösen lassen (wie 1..6. e" + x = 0) oder dere n explizite Auflösung sclzwierig ist (wie I, B. x4 - 3x J + x 2 - X + 1 =() lassen sich i.a. mit Hilfe VO ll gceignetcllNil1u?rungxverjuhren lösen, siehe etwa Kapitclz. a ode r Kap. 5.4.

1.2

55

A rithmetik im Bereich der reellen Zahlcn IR

Aufgabe 1.2.130: Man löse d ie Gleichu ngen bzgl. der angegebenen Variable n: q- ,

,

I)

O= Kq- R· - . ; q=?; R=? ; K=? ;i=?

ii)

O(q): 0 = 1Q.000q - 12.500 (q -1 )

iii)

O(x): 0 = 200.000 - 40.000 ' - ,

x- I

O(b):

1.2.4.4

0, 6

-,+b ,- 'Y= F

Iv) G(r): 2.000 = UOO (1 + \'i) G(y): ky - Y = by

Iii ' 0.5 )

+a

Lin eare Olelchungsssysteme (LGS)

Bereits in den Beisp ielen 1.2.99 v) und 1.2.106 ha tten wir es mit einer oJer mehreren (linearen) G leich ung(cn ) zu t un, de ren Lösungen aus Za hlenpaaren [x; y) bestanden. Systeme solcher Gleic hungen mit mehrere n Variab len werden Linea re Gleich ung.ssystem (abgek ürzt." L GS) genannt . Sie treten invicJen, selbst einfach gearteten Fragestellungen auf: Der Einkauf vo n 17t Benzin und 9t Dieselkraftstoff kostet zusammen 3 1.90U € , während die Beschaffung von tOt Benzin und 12t Dieselkraftstoff 24.800 € (bei un veränderten Einzelpreisen) kostet. Die Frage nach den Preisen x (in € /t für Benzin] und y (in €It für Diesel) führt unmittelbar auf die beid en linearen Gleichungen, das LOS:

Bei~pieI1.2 .131:

17x + 9y =3 1.900 10x + 12y = 24.800 Die gesuchten Preise x und y müssen z ugleich beide n G leichungen gen ügen. Wie ma n durch Ein set ze n bestätigt , erf üllen die Preise x = 1400 € / t (Benzin) und y = 900 € /I (Diesel) zugleich beide Gleichungcnvon (.). Die Frage nac h der Exist enz von Lö sungen und ihrer Gewinnung wird ausfüh rlich in Ka p. 9.2 e rörtert. Da wir aber auch vorher schon gelegentlich lineare Gleichungssysteme ( LGS) zu lösen habe n, sollen - im Vorgriff auf Kap. 9.2 - schon jetzt die Standardfälle einfacher LOS (mit zwei und drei Variablen) behandelt werdcn.

Def 1.2.132: Unter einem Linea ren GI('ichung.~sy.~tt'm (LGS) versteht man zwei ode r mehr lineare G leichungen (in mehreren Variablen), die durch" und" ( !\) miteinander verknüpft sind lO.) I)

Li neares G leichungssystem von zwei Gleichu ngen in zwei Variablen x und y: a1x + b .y = Cl !\

ii)

a2x +

bvr

= C2 '

(ai.b;,c; e IR)

Lineares G leichungssystem VOll drei G leichungen in d rei Variab len x, y. z: !\ !\

a .x + b.y + c.z = a 2x + b 2y + c-zz = ay: + b 3y ... c 3z =

dl d2 d3

(ai,bj,cA e JR) .

Bemerk/mg: Auf das logische,, !\ " (und) wird meist stillschweigend verzidua.

10 Die Zahl der Variablen einesLGS musskeineswegs immer mit der Anzahl der Gleichungen übereinsti mmen, sondern kann sowohl nach obenals euchnoch unten davon abweic hen, sieheetwa Satz 9.2.62.

56

G rundla gen und Hilfs mittel

Bei~'Piel

1.2. 133:

3x+ 2y - z=13 ü) 2x - y + 3z = -1 5x - 4y + 4z = 3

2x+ 3y = 29 i) - x + 2y = -4

Unter der LosungeinesLGSversteht man im FallI)ein Zahlenpaar (Xi}') bzw. imFall ii) ein Zahlentripel (X; y; Z), dasjede Glcichungzu einerwah renAussage macht, sieheetwadie Lösungin Beispiel 1.2.1 31. Bem erkung 1.2.134: Wie erst in Kap. 9.2 ausführlich er önen wird, k önnen LGS genau eine, ke ine oder unendticn viele Lösungen besitzen. Beispiele: x + y = 10) besitzt k eine Lösung

x +y = Q' x+O ' y =

x+ y = ll

121tesuu beliebig viele L ösu ngen 0

Wir betrachten hier nur den Standard/all von LGS mit genau einerLösung (x; y) bzw. (x; y; z), siehe Beispiel1.2.131. D ie Lö_~ulIg~ve rfahren für I.GS be ruhen im wesentlichen auf der Tat sache (vgl. Kap. 9.2.2, Salz 9.2.17) , dass ein gegebe nes LOS in ein dazu äq u lca lentes LOS (mil derselben L ösungsm enge I) durch d ie beiden folgenden Äq ui\'alenzumfonn ungen übe rführt werden kann : Satz 1.2. 135: (Äquivalr nzumfonn ungen für I.GS)

i)

E ine Gleichu ng darf mit einer (von Null verschiedenen) Z ah l k mu ltipliziert werden, die üb rigen G leichungen bleiben unverä nde rt.

ii)

E ine G leichung darf verä ndert werden dadurch, dass man ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleich ung zu ihr addiert. d ie üb rigen Gleich ungen blei ben unverändert.

Bemerkung 1.2./36: Diese beiden gefasst werden:

~ erla uhten"

Umfo nnungen kön nen in einer einzigen Regel zusammen-

Ma n darf eine G leichung erselten durch das k-fache (k * 0) dieser Gleichung plus dem r-fachen einer anderen Gleichung. A lle anderen Gleichungen taußer derersetztcni bleiben un verändert.

Beispiel 1.2. 137: Das LOS

J 2x + 3y = 29 l - x +2y=- 4

geht bei MUltiplikat ion der 2. Gleichung mit 2 über in das äquivn-

!ente LOS:

{_;~ : ~~ : :~

. A ddiert man jetzt zur zweiten Z eile d ie erste Ze ile, so ergibt sich

das äquiva lent e LOS:

f

1

2x + 3y = 29 (" ) 7y = 21

.

Dass elbe häUe ma n in einem Schrill (nach Bem . /. 2.136) erreichen können, indem ma n im ersten LG S die z weite Z eile ersetu ha ue durch d as 2-f ache dieser Zeile plus der ersten Z eile.

D ie zweite Zeile von (0) en thält nur noc h eine Variable. so da ss unmittelbar fo lgt: y = 3. Dies eingesetzt in die 1. Gleichun g liefert x = 10. Damit lau tet die Lös ung (x;y) des LOS: (x;y) = (10 ;3) .

57

A rithm eti k im Bereich der reelle n Zahlen IR

1.2

Das im letz ten Beispiel vorgestellte Lösungsverfahren nennt man Ehmlna nc nsverrahre n oder Addi tionsverfahren (bzw. Subtrcktionsverfuhren}. M it H ilfe der (bciden) Äq uivalenz u mform ungen Satz 1.2.135 bzw. 1.2.136 kann man in einem LGS nach und nach in einer Glei chung alle Variahlen bis auf eine eliminieren und da nn deren Lösungswert ermittel n. Du rch E insetzen dieses Wertes in die anderen G leichungen kann so schrittweise rekursiv die vollstä ndige Lösun g gewonnen werden. Am Beispiel eines LGS aus d rei G leichungen mit 3 Variablen soll die Additions met hod e verde utlicht werden . Dazu ist es zweckm äßig, die Gleich unge n mit (1), (2), (3) z u nummerieren und die umgeformt en bzw. ersetzte n Gl eichun ge n entsprec hend mit (1'), (2 '], ..., ( I "], (2" ), ... usw. zu bezeichne n.

Beispiel 1.2. 138: Gege ben sei das LGS von Bsp. 1.2. 133 ii]:

(I )

3x+2y-

z .e 13

y + 3z '" - 1

(2)

2x -

(3)

5x - 4y + 4z = 3

Idee für de n ers ten Eliminationsschritt. Man kann in der ersten (und dritt en) G leichung y eliminieren, indem man -

die e rste G leichu ng (1) ersetzt d urch die Summe a us d iese r Gleic hung (1) und de m z-tachende r 2. Glei chun g (2) (~)'mholüch : (I') = (1) + 2· (2) )

-

die dritt e Glei chu ng (3) ersetzt d urch die Summe aus dieser G leichun g (3) und dem (- 4)~fae hen der 2. G leichun g (2) (.I}'m ho!isch: (3 ') = (3) - 4 · (2) )

Die zweite G leichu ng bleibt unverändert: (2)' = (2).

(I ') = (1) + 2 · (2)

7x

(2 ') "'(2 )

2x-y +3z"'- 1

(3') = (3) - 4 ' (2)

-3,

Dam it lautet das neue. äq uivalente LGS:

+ 5z = 11 -Hp 7 .

Idee für den zweite n Elim inat ion sschr itt. Ma n kann z in der letzten Z eile (3 ') eliminieren. indem man diese Zeile (3 ') ersetz t du rch das 5fache d ieser Zeile plus dem S-fac hcn der erste n Zeile (1'). d.h . (3 " ) = 5 . (3 ') + 8 . (I '). D ie beide n a nderen Zei len b leiben unverän de rt: (1" ) = (1') ; (2") = (2 ')

(1") =(1 ') (2") = (2') (3") = 5 '(3J H ' (I ')

7x

+ 5z =

11

2x-y + 3z = -1

41x

= 123

A us der letzten Gleic hung folgt sofor t: x = 3. Dies eingesetzt in d ie erste Zeile ergibt z = - 2. Beides eingesetzt in die 2. G leichu ng ergibt y = 1, d .h. die I.ö sung des LGS laut et:

(x ;)' ;z) = (3; 1 ; - 2).

Bemerkung 1.2.139: Gelegenrlich benutzt man - bei einfach gebumen LGS - das sog, "Einsetzllllgn erjallren ": Man last eine Gleichung nach einer Variablen auf und ersetzt diese Variable in den übrigen Gleichungen durch den erhaltenen Tenn. Damit ist in diesen Gleichungen eine Variable eliminiert. /n diesem" reduzierten" LGS wiederholt man das Verfahren solange, bis schließliCh eineunmittelbar auj1ösbareGleichung eil /Hehl. Zur Veranschaulichung lösen wir das LGS des teuten Beispiels mit dieserEinsetzungsmethode:

G rundlagen und Hilfsmittel

58

(I)

3x+2y- z = 13

(2)

2x - y +3z= -1

(3)

5x- 4y+ 4z = 3

(l ')

3x+2y - z= 13

(2')

2x -

(2')

(I) wird (z,B.) nach z aufgelöst; z = 3x + 2y- 13 und in (2) sowie (3) eingesetzt:

y +3(3x +2y- 13) = - 1,

Ilx+5y

= 38

5x - 4y+4 (3x+2y-13) = 3,

(3') (3 ')

17x +4y

(I ")

d.h. (2 ') wird nach y aufgelöst: y = - 1115x + 3815 und in (3') eingesetzt

d.h.

=55

3x+2y- z= 13

(2")

Ilx +5y

(3")

17x + 4 (- 1115x +3815) = 55,

=38

8,2x

(3 ")

=

d.h.

24,6

x =3

Daraus fo lgt (Einsetzen in (2"»: y = 1 und weiter (aus (l ")): z = -2, d.h. die schon bek annte Losung: (x;y ;z) =(3 ;1 ;- 2) . Das Einsetzungsverjahren k ann zu unübersichtlichen tBruch-] Tennen bzw. Tennumformungen [uhren und ist n ur im Fall kleiner und einfac h gebauter L GS sinnvoll einsenher.

Aufgabe 1.2, 140: Man löse d ie folgende n Linearen Gleic bungssysteme: i)

7x- l1y=-7

ii) 13,9m - 2,6n = - 5,2

- 3x + 5y= 5

- W A m + 6,5n = 13,U

iii)

2x - 3y+ z = 8 x+ 2y -3z= 11

5x - 4y + 3z = 15 h'l 2u - 8v + 3w= 23 u + 7v- 2w =

-2

3u- 5v - 6w = - 32

3a

- 4c = - 29

-7a + 3b + 2c = 6a +5 b

7 12

Aufgahe 1.2,141 : Ocr Brauchwasserspeicher einer chemischen Fabrik ist um 9 00 Uhr nur noch zu 50 % gefüllt. Daher schaltet man um g OO Uhr eine Fördcrpumpe an, die neues Wasser zuführt . Der (stets kontinuierliche) Verbrauch d es Wasse rs im Produkt io nsprozess der Fabrik ist allerdings so hoc h, dass trotz des Wassernachschubs der Speiehe rinhalt um 10 00 Uhr auf 40 % des Fassungsvermögens abgesunkcn ist. Daher schalt et man nun eine weitere, gleich starke Förderpumpe ein. Daraufbin füll t sich der Speicher bis 12°0 U hr auf 80 % seines Fassungsverm ögens (be i stets gleichem Wasserverbrauch) . I) Nach welcher Zei t würde nun de r Behälte r leer sein, wennman heide Pumpen abschaltete? ii) Wie lange h raucht eine Pumpe, um den leeren Speicherbebälte r vo llstä ndig zu füllen, wenn kein Wasser entno mmen wird?

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR.

1.2.4.5

Quadratisch eGleichungen

59

I a x2 + bx + e = 0 I

(a*O)

Dividiert man die Gleichung durch a (*,0). so erhält man die sog. Normalterm der quadratischen Glcichung(in der der Koeffizient des quadratischen Gliedes gleich 1 ist), es folgt:

X2+!.. X+ ~:0 . a

Setzt man zur Ab kürzung

~a =' P

a

und ~ =, q , so lautet die NormalCorm der quadratischen Gleichung:

Ix2 + px + q :

(1.2. 142)

o l

Beispiel 1.2.14 3:

G(x):

2xL 16x - l s = 0 1 :2 ~

Nonna lfonn:

x2 - Sx - 9 = 0

mit p = - S und q = - 9

ZurLösung isolicrcn wir al1c Tcrme mit x:

x2 - ax = 9 .

~

Dann addieren wir - .....ie schon einmal in Bsp. 1.2.19 ü) demonstriert - auf beiden Seiten den Term 42 ( = 16), um die linke Seite zu einem Binomzu machen (siehe Bsp. 1.2.13) (quadratische Ergänzung): ~

x2-Sx+ 16=9 + 16

(x-4)2=25

~ R~

Zur weiteren äquivalenten Umformung benutzen wir (1.2.126):

~

x - 4 = V2'5 v x -4 = - V"25

~

x

e

yv x

e

r-I , d.h. La = {9, - l) .

Wenden wir dasselbe Lösungsverfahren auf die in Nonnal fonn vorliegende allgemeine quadratische Gleichung an. so folgt:

I X2 + px + Q :

I+(

o l l -q

~

x2 + px = -q

~

x2 + px + ( .E..)2 =(.E.. l - q ~ (X+.E.. )2 = (.E..l- q 2 2 2 2

~

(1.2.144)

~ )2 ("quadratische Ergänzung")

(1.2.126)

Lo = l- l'.+V( l'.)L V( l'.)' -q } q .' _l'.2 2 2 2 (Lösungen der quadratischen Gleichung x2+ px+q = 0 .)

Bezeichnet man die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung mit Xl' x2• so schreibt man häufig abkürzend anstcne vonü .z.t aa) die LösungsConnei für die quadratische Gleichung xl + px + q = 0:

(1.2. 145)

I

60

Grundlagen und Hilfsmlrtel

( ~ )2 -q =' D in (1.2.145) heißl auch Diskrim inante der quadratisehen Gleichung, weildurch ihn entschieden wird, ob die quadratische Gleichung zwei, eine oder keine Lösung besitzt.

Bemerkung 1.2.146: Der Radika nd

Beispiel 1.2.147: i)

)[2-

~ (1.2.145)

x- 6 : 0

X 1,2 = ~ ±V ~+ 6

as (d.h. D = "4 > 0)

L '" {3; - 2} ; also zwei Lösu ngen, wenn D > 0 .

~

x 2 - 2x + 1 "" 0

ii )



x1,2 '" 1 ± ~

(1.2.145)

(d.h. D . 0)

L '" {t} ; also eine Lösung, wenn D '" 0 .

~

XL 4x + 20 = 0

iii )

~

L = { } , da

(1.2.145)

V4 -

X\,2 = 2 ±

20

(d.h. 0 = - 16 < 0)

v:t'6 nich t definiert ist, also kein e Lös ung, wen n

D < 0 .

Bemerkung 1.2.148: Wend et m an auf an aloge Weise das eben dem onstrierte L ösungsverfahren auf die allgem eine qua dratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, (a "*' 0), an , so erhält man nacheinander:

axa +bx + c = O

~

(/. 2.126)

~x

,"

, + -" x + - = o aa

Vb2 - 4ac

x +.J!.... = _'_ Zu

2u

Daraus folgt - wieder mit

Xl

~

X, + -x+ " ( -), - (- '" ) +a 2a 2 a

a

=0

v x + ...E.... = - - '-V bL 4ac Zu

2a

und x2 als Namen [ur die beiden L ösungen « d ie allgemeine Lö sungs-

formel fürdiequadratischeGleichung a.r2 + bx + C= 0 : -h :l: Vb2 - 4ac

(/.2.149)

2,

mit der Diskr iminante D

.= b2 - 4ac . Falls gill:

D > 0 , existieren 2 Lösungen, siehe (1.2. 149) D = 0 , gibt es 1 L ösung, namttcn x '"

D < 0 , gibt es keine Länmg

l1

~~

;

•

Folgende Sondemille quadratischer Gleichungen lassen sichauchohne Lösungsformel bzw.ohnequadratische Ergänzung lösen:

I

x2 + px '" 0

i)

I

(Es fehlt das konstante Glied.)

~

(x ausklammern) x(x+p) = 0

~

L = {O; -e p} .

~

(1.2.116)

x=0 vx=-p

1I Im Körper 0: der komplexen Zahlen z (mit z ,= a + ib ; a,b E R ; j2 ~ - I) hat ( 1.2. 149) auch im Fall D < 0 zwei Lösungen, nämlich zl,2 =

- b:t iVbL ,Jac; _ 2a ' siebe etwa [21], Bd.l, 206 11

A rithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

1.2

Ih= OI

ii)

~

X2

: q

61

(Es fehlt das linea re Glied.)

~ (1.2.116)

x : yq v x: - yq ,

d.h. L = {vq ; -vq },sofcrn q>O;

L = {O). sofem q=O ;

L = { }. sofern q

x\x2+4x - S) = 0

~

x = 0 v x ", I v x '" -5 , d.h . La = {O, 1, - 5 }

Bci.~pi cll .2 . 16 1 :

I

~

x 20 + 27x l 7 =

x 17(x 3

0

+ 27) = 0

11.1n klammert xJ aus; ~ (1. 2 .1 1 6)

X3

= O v x2 + 4x - 5 = O

; x l 7 ausk lammern: (=> (1.2.1 16) X 17 = O v x3 + 27 = O . d.h . L '= {O,-3 }.

Grundlage n und H ilf smitt el

64

Bemerkung 1.2.162: Wie schon in Bemerkung 1.2.115 gaeigl, vermeide man möglichst, bei Gleichungen der eben behandelten Art durch einen Term T(x) zu dividieren! In aller Regel gehen dabei ein oder mehrereLösungswerte veriorent (Ausnahme: T(x) ist stets ungleich Null.} Eine Division im letzten Beispiel von x20 + 27x 17 = 0 etwa durch den Tenn x 17 liefen x3 + 27 = 0 und damit nur eine LÖ,\'Wlg der A usgangsgleichung. nämlich x = -3 ! Die Lösung x = 0 ist durch die

Tenndivision verloren gegangen. Bemerkung J.2.163:

Kennt man eineLösung(wirnennensie x/) einer (gamranonalen]Gleichung höheren Grades G (x): T(x) = 0.1" + a ".~ · l . . . = 0, so lässt sich T(x) in zweiFaktorenzerlegen: G (x) ; T(x) = (x-x /) ' R(x) = 0

wohei der .Rest" R(x) um einen Grad niedrigerist als T(x) (siehe dazu Kapitel 2.3.1.4). G{x): xL 8x 2+1 9x-1 2 = 0

Beispiel 1.2.164:

Durch . Prohlcren- erhält man eine Lösung: XI = 1. Also lässt sich G{x) schreiben: ( 1.2. 165) x3-8x 2+19x - 12 = (x -l) -R(x) = 0 mit quadrati schem Rest R(x). R(x) erhalt man aus (1.2.165). indem man durch (x - 1) dividiert: R(x) = (xL 8x2 + I9x -1 2) : (x-I) = xL 7x +1 2 .

-lx3 -

X2

- 7x2 + 19x - 1- 7x2 + 7x 12x - 12

- 112>: == x = 10 2.4178 "", 261.70 .

Bei.~pi el1.2 .I 74 :

I '"

Beispiel 1.2.175: Man löse die Gleichung In x + I = 2 In (x - 1). Da alle N umer i positiv sein müsse n, muss gcnco: x > I. Man potenziert bcidcScitc nzur Basis c:

I Anwendung der Potenzgesetze (P l),(P3)

~

ein x + 1 = e 2In{X- I)

~

Cln " C I

~

x 2 - ~ - o +1 = 0

"... _

= [C1n{. - I)f



(1.2.85)

~

x2 - (2+ e) x+ l = 0

~ 2 ± V(2 2+ ')' -1

~

x' e = (x- I) 2

XI "" 4,4959 ; (x 2 "" 0 ,2224)

Dic ..Lösung" x 2 muss verworfen werden, da sie nicht de r Bedingung x > 1 genügt. D ie einz ige Lösungla utet 4,4 959 .

Aufgabe 1.2.1 76: Man löse folgende G leic hungen unter Beac htu ng de r je......ciligen Definit ionsme ngen: 7c' = 63 ;

ii)

2c" - c- 2x=O ;

iv) 200 = 50 · CO. In

\.)

1::c 2 · c

i)

\ ii ) 0 = 200 ' 1 In- 30 . ,

.1.L..:J. . n,t '

x) In (y + l )2- 0, 1=0 ;

1,2.4.1 0

100

- 2 Ig x = 0

I n~-l::c O;

Bru chgleichungen

Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner auf tritt . wie z.B. I)

heißen Bruchg letchu ngen.

ii)

0 ,5' ]' - 1,3 ' 4 - x +7=0

\t)

10.000 == 5.000 ' 1,09'

h:)

log2 P+ 0 .l = 0;

xii)

y'g Y' 4 Ig y =

_..t.. 12

\"m) Ig v;r+T xi)

iii)

G : _1_ + ...!.. = _ ' _ ; 2 x -I x x+3

0,25 '': y

68

1

Grundlagen und Hilfsmittel

Das Lösungsschema für Bruchgleichungen lässt sich wiefolgt zusammenfassen: 1) Erm ittlung der Definitionsmenge Do • um Einsetzungen auszuschließen, für die ein Nenner Null werden ka nn .

2) Um die Nenner zu ~bcsei t igen ", multipliziert man die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner und künl die Bruchterme (ist erlaubt, da die gekiirllrn Tenne nicht Null werden können: Da beachten!) 3) Die nun entstandene Gleichung (ohne Bruchtenne) wird gelöst. 4) Die erhaltenen Lö swlgen werden daraufhin überprüft, ob sie in Da liegen . Wir wollen die E inga ngsbeispiele nach diesem Schema lösen:

Beispiel 1.2.177:

G ,(x):

i)

4.: ~ 12

~

= 6

Da] = IR\{l}

MUltiplikation mi t dem Hauptnenner x -I (*0):

I

~

~

4x - 2 -(x - t l = 6 (x-l ) kürzen x -I x = 2

0 0 , ,d.h.

Lo l

1 x- I

, x+3

E

1 x

= {2}

-- + - = -

ii )

4x - 2 = 6x - 6

Dcq = IR \ {l, O, - 3} .

Multiplizieren mit dem Hauptnenner (x - I) ' X' [x + 3) (=*, 0) und anschließendes Kurzen liefen:

~

x(x+ 3) + (x -1Xx+ 3) = 5 (x -l )x

, x = 3 v x = 3" '

L G!

d.h.

2

G2 .

-2 = -,, -' -2 ~ G3(x}: x x+x 2- 4

iii)

xL lQx +l = O 3

~

, = (3; 3" }c D

DG 3 = IR\ {2, - 2) .

Multiplikation mit dem Hauptnenner x2 - 4 = (x- 2Xx + 2) und anschließendes Kürzen liefert:

x2 + x - 2 = x + 2

~

~

,,2 = 4

Heide . Lösuogse-Bremenrc liegen nicht in DG3 , 0

3

xe zvx

~

hat keine Lösung.

e

lu3 =

r-z . { } .

Bemerkung 1.2.1 78: Bruchgleichungen im weiteren Sinne können in den Bruchtermen Wurzeln, Exponential- oder Logarithmenterme enthalten. Das genannte Losungsschema bleibt prinzipiell erhalten, lediglich die Besonderheiten der noch zu lösenden Wun el-, Exponenttal- bzw. Logarithmengleichungen sind zu beachten. (Bei. zu komplizierten Bruchgleichungen mJpfiehlt sich von vom eherein die Anwendung eines Nöherungsverjohrens, sieheKnpitel 2.4 oder Kapitel 5.4.) Aufga be 1.2.1 79:

')

_ 1 x+1

'_ = 0 x +3

~ + _2_ _ 1 3 + x2tv) 3:.:2 +7

iii)

..l.!... + _

ri)

_ 1_ + 2 = 0

° -tx- 7 ' i l) y = - - ;x = ? 5x - 2

viü) 100 = 2x + 40 + 250 ; Ix)

xl j.= - ' _ o i= ?

xi)

1 - in •

x

ay + b x=- ; y= ? cy+ d

x- 4

' _ = ....fu.... ° xe I x- I '

e-1 km

sp

----;2+ 200

= 0; x =?

1.2

69

A rithmet ik im Bereich der reellen Zahlen IR

1.2.5

U ngleich u nge n

Der. 1.2.180: Seien T I und T z zwei Tenn e . Dan n nennt mandie A ussageform U mit U: T l T z) eine Vngleich ung. Bemerkung 1.2.181: T/ ~

T 2 bedeutet: T / T J

T /= T 2 ;

•

Di e Begriffe Deünluo ns- und t ö sulIg; melige von llngl eichu ngen sind ana log w'ic für Glc ichungen definie rt (siehe ocr. 1.2.95, Der. 1.2.98). Beispiel 1.2. 182 :

,.

UI:

>< 5

U2:

x2

U):

2x - 2 -->0 x -2

D u t = lR .

,. ,.

< 9 (oder auch: x2 > 16)

.

d.h . - '- > 1 , -2

D u z = IR. D l,;) = 1R\ {2) .

An alog zur Ve rgehensweise bei Gleichungslösungen versucht man auch Ungle ichu ngen derart äq uivalen t umzutormen, dass eine unmittelbar auflösba re Ungleich ung (x -c I' j x > 1' ) (bzw. eine aus unmittelbar auflösbaren Un gleichungen bestehende A ussagcfonn ) entsteht. So Ist z.B. U 1 aus Beispiel 1.2.182 unmittelbar a uflösbar:

Lu} =

{XE IR

I x -c 5} .

E s stellt sich dahe r die Frage, welche Umformungen einer Ungleichung Äquh'alenzu mfoITIm ngen sind (also die Lös ungsmenge der Ung leichung nicht verändern). Dazu benö tigen .....tr die elem entaren Rechen regeln bzw. Axiome der Anordn ung ftir Ungleic hungen zwischen reellen Zahlen (l\fonolon iegesetz e):

Satz 1.2.183: l\folloloniegesetze

Beispicle

Seien a.b .c e R , dann gilt:

(I)

E s gilt genau eine der d rei Beziehungen: a < b ode r a=b ode r a > b.

(2)

I a< b Ab< c

(3)

l a < b

~

~

a< c

a ± c< b ± c

(Auf beiden Seiten einer Ungleichung d arjen beliebige reelle Z ahlen addien/sutnrahiert werden]

(4a)

I

(4b)

Ia < b A C < 0 ~ ac > bc

a < b AC> 0

~

2 < 3 A 3 < 1O also 2< 3 also d .h.7 0)

0< 23-2 d.h.+>+

( 0) 0)

.,.,) 2- ' > , -. d h I

d.h. O < a < b ~ n > n

H)

~

In OS

(7a)

[c"

~

~> C2

(x> VC !\ X> - VC) v (x < VC !\ x< -Vc )

I

U

I"

~

L

{XE IR

I X 81

Beispiei: x2 S 16

, ii)

x> c6= 403,43.

(x - VC< O !\ x + VC< O)

(x- VCS O !\ x+ VC ~O) V (x- ve ~ O !\

= {XE IR I x S VC!\

-< - In OS

x2 - c > O ~ (Binom) (x - ~)(x + ~»()

PI ~

V

~

3

(x - ~> O !\ x+ VC> O)

{XE IR x > VC }

.

,1

(4b)

10

3

1'1 ~

L =

- I

x- 2

(3)

.,

x +1>U x- 2

~

(erweitern)

x x- 2

x -2 >0 x -2

-'-+ -

72

Grundlagen und H ilfsmitt el

~

(') ~



(')

2x - 2

-- > 0 ,-2

~

(2x - 2 > 0 A x-2>0) v (2x - 2 1 I\ x > 2) v(x < l AX < 2) (x > 2) v (x < 1) .

o

1\

x -2

==

In6

eu:

I

x = "31 n 6 ::::: 0,5973;

~

Probe?

~

x2 : .! in 6 2 VO,5 · ln6 ::::: 0,9465;

x 2 = -VO,5 ' ln6 ::::: - 0,9465 ;

11) I) 5ex == 26 I,

ii) 5ex = 26

'".,

iii) 5c": 26

~

X =

In 5'x: In 26

, · -

~ "

5 In 26:::::0,6516 In 26

(In5) ' x = In26

2x - (-2x): 0

- :::::2 0244 . In 5 ' ,

In 26 In 5

26 5

~

, . - - = ln(-)::::: 16487

~

4x = 0

(zwei Fehler, aber riduiges Endergebnis!)

12) 2c"- e- h = 0

I

5x: In 26

L : {O}

•

(3Fehler !) ;

13) Gegeben ist die Gleichung ( ~ )x = ( ; / l . L ösungsweg:

~

3X ' 3 2: 42.4 x 1 (PI )

(P5) ~

2. L ösungsweg:

Wegen

(; )2 :

~

x -In

(~r

2

gilt:

3 = 4 (f), d.h. L ={)

{ ~r : (~ r2 1In; t,

~ : -2In~ I; ln ~ (*0)

~

x = -2

d.h.

L = {- 2) .

Welche(r) Lösung(sweg) Ist richtig ? 14) Behauptung: Alle Zahlen sind gleich.

Beweis: Es ist stets 36 - 66 = 25 - 55 (= - 30) 3 x ...!.. 2

4)

- ' - f von x "') ; Der (Zah len-[wert. der der Varia blen x zug..co rdnot ist ; abhängige Variable ; Funktion swert ; Funktionsterm ; (so bezeichnet etwa f(3) de njenigen Za hlenwert aus W f , der dem Wert 3 aus Df zugeo rdnet ist, in Beispiel 2.1.3 : f(3) =: 14 ) ;

x 1--+ fex): Z uo tdnu ngsvorschnft, Abbildungsvorschrift der Fu nktion f ;

Y =: fex): Zu ordnungsvorsch rift oder Funktionsgleichung, die definiert, auf welche Weise dem Wert x ein Funk tionswert y (=: fex »~ zugeordnet wird.

Bemerkung 2.1.5a: Wir werden aus Vereinf ochungsgrunden (und wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind) haufig schon dann von einer" Funktion "sprechen, wenn nur ihreFunktionsgleichung y = fex) oderihr Funktionstenn fex) vorliegt, auch wenn dies nuch dem Vorhergehenden mathematischnicht korrekt isl. Beispiel einer funktio nalen Zuordnungsvorschrift (alle Aussage" bedeuten dasselbe !) : Jeder reellen Zahl wird ihr um 2 vermindertes Quadra t z ugeordnet x 2- 2

mit

x e lR.

p l--+ p2 - 2

mit

p e IR

x

1--+

y =: {(x) = -2 + x 2

mit

x e lR

A =h(B) =: B2 - 2

mit

Be IR .

Man erkennt , dass es für die fo rmale Z uordnung unerheblich ist, welche Bezeichnun gen den Variablen gegeben werden: Die Z uord nung C = y2- 1 bedeutet dasselbe wie y = C2 - 1 oder K =: x 2 - 1 . Vorsicht bei der Wah l der Variablenbezeichnung ist led iglich dann geboten, wenn eine Variable eine bestimmte (ökonomische) Größe symbolis iert: Beispiel 2.1.6: Es ist üblich (abe r nicht zwingend vorgeschrieben), die folgend en Variablennamen zur Bezeichnung ö konomische r G rö ßen zu verwenden:

C: Kons um

Y: Ei nkommen

K Kosten/Kapital

p: Preis, Zinsfuß

G: Ge winn

k: Stückkosten

U: Nut zen

t: Ze it

i:

I: Investitionsausgaben

S: Sparquote

r: Input

Zin ssatz

E, U: E rlös, Umsatz (wertmä ßig)

x: O utput, A bsatz (mcngcnmäßig)

L : Liquiditätsna chfrage u.v.a.m.

(siehe auch das Verzeichnis " Häufig verwendete Var iablennumen " in der Einleitung dieses Buches). Versteht man etwa unter C die . Konsumausgaben- und unter Y tes, so unte rsch eiden sich die ebe n genann ten Z uordnungen

(i)

C = yL

l ; Y elR +

u"d

(ii)

d..1S " Einkommen"

eines Haushal-

Y = CL } ; Ce R '" .

80

2

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Zwar sind die bei beiden Zuordnungen auftretenden Wertepaare identisch (z.8. (1 ;0), (2 ;3), (3 ;8), usw.), nur be deute n im Fall (i) die links ste hend en Zahlen Ein kommen swerte, d ie recht s stehenden Z ahle n Konsumwerte (so geh ört zum Einkomm en 2 der Konsum 3), während es im Fall (ii) umgekehr t ist (z um Kon sum 3 gehö rt nu n das Ei nkomm en 8, also nicht - wie zuvor - da s E inkommen 2 !) (5) Um zum A usdruck zu bringen, dass die Größe y durch eine funktionale Zuordnung f von dem je.....cihge n Wert x ( E Df ) ~ abhängt ". schreibt man statt "y = f(xt häufig (nicht ganzkorreta, aberbequem ) auch:

y = y(x) U,'c ksen: "y gleich y von x") y(x) =x2-2 , xelR

Beispiel (siehe (4» :

; A( B) = B2 - Z , SelR .

(6) D ie in y = fex) verwendete n Namen "unabhä ngige Variable" fü r x und " abha ngige Variable " für y dürfen nicht dazu verleit en, zwisch en x und y eine Abhängigkeit im ka usalen Sinne zu kon strui eren (wenn au ch gelegentli ch eine derartige Abhängigkeit bei ökonormsehen Variab len vorkommt).

So han gen beispielsweise die Umsatzza h1cn der H uber Gm bH (siehe Beispiel 2.1.3) nicht not wendig kausal vo n den Zeiträumen ihre r Erzielung ab , sie sind vielmehr verschiedenen Zeiträum en (im mathematisch funkti onalen Sinne) zugeordnet Der Begriff ~ abhängigc Variab le " (hier für den Umsatz) soll lcdiglich zum Ausdruck bringen, dass die Umsatzzahlen den Z eiträumen (u nd nicht umgekehrt ) zugeordnet sind . (7) Schreibt man die Funktions gleichung y = f(x) in der Gestalt

y - f(x) = 0

bzw,

g(x,y) = 0

so wird auc h dadur ch eine Zuordnung definiert. J etzt ist allerdings nicht von vome herein erkennba r, welch e Variable ~ ahhängi g" und welche Va riab le ~ unabhängig" sein soll. Dies muss vorhe r vereinbart werden (stcbc . Jmphette Fun ktion en ", Kap. 2.1.5). (8) Ein e Funktion f ist erst dann eindeutig defi niert, wcnn außer der Zuordnungsvorschrif t y = f(x) auch d ic zugehörige Definitionsmenge D f angegebe n wird. Nach Bcm. 2.1 .5 untcrstcllcn wi r, dass D, - sofern kein e a ndere Vere inbarung vorliegt - aus allen reellen Zahlen x bes teht, für die der Funk tionstenn f(x) einen definiert en Z ahlenwert annimm t (Dj ='D"'tA = m axim aler Definuionsöereich},

Bei ökonomischen Funktion en allerdings wird man häuf ig nicht diesen (mathematisch) umfassenden Definitionsbereich Dmax , sond ern den ökonomisch slnnvoüen Definitionsbereich DÖ1 (d.h. eine Teilmenge von Dm B~) zugrunde legen: Beispiel:

(I: IR. Da aber La. nur nichtnegative Outputwerte vorkommen könne n, legt man als öko nomisch sinnvollen Dcfin ition sbereich D ök zugrunde:

Dök =lR ~

(= {x ElR l x ~ o }) .

E s ist also durchaus sinnvoll, zu einer vorgelegte n Zuordnungsvorschrift f.x Ho fex) erst im Nachhinein einen Definitionsbereich zu ermitteln, z .B. D f = D max od er D f = D ö1 ! Bei der E rmittlung des Definitionsbereiches D f einer Funktion f kommt es häuf ig darauf a n, diejen igen Wert e für die unabhä ngige Variable zu ermitteln, für die keine Zuordnung möglich ist, weil ein nich t definierter Au sdruck entsteht:

'- . Y " f(, ) " l -x~

D, - '),

Da der Nenn er nicht Null werde n da rf, m üssen die Lös ungen der Glei ch ung 1- x~ = O , d.h. l u nd - La usgcschlosscn wcrde n: D r = IR\{- l j 1} .

2.1 Begriff und Darstellung von Funktionen Beispiel:

y = fex) = ~

81 Df = ?

Da der Radikand größer oder gleich Null sein muss, d.h. x - I Dr = {x e IR x 2: I }.

2: 0,

I

folgt:

Wir wollen (wie schon in Bem. 2.1.5 erwähnt) im Folgenden -wenn nicht ausdrücklich anders vereinbart- slets den ma\.imalen (ökonomischen) Definitionsbereich Dr (c IR) zugrunde legen. (9) Liegt eine Funktion f in Form ihrer Funktionsgleichung y = fex) vor, so erhält man zu jedem Xo ~ durch Einsetzen anstelle von x im Tenn f'(x) den zugeh örigen Funktion...wert f(Xo).

= 2+ I , D = IR . f mit der Gleichung ··: Beispiel: Gegeben sei die Funktion 2 Dann gilt: f(2) = 2 1 = 5; f(- lO) = (-to)2 1 = JO l; f(p) = p2+1 ·· 2+ f(x+Öx) " (x+.6xl+ 1 x 2x ' Öx+(6.x)2+1 ·· = usw, ·~ Wie die Beispiele zeigen, können in f(xo) fürxoZahlen, Variable oder sogar Terme werden. f(x)

+

x

f

+

=

f(6p2_9 p+ 4)

(6p2_9 p+ 4)2+ 1

gewä hlt

( 10) Wie schon erwähnt, ist nicht durchjetle Zuordnungsvorschrift eine Funktion definiert:

Beispiel:

f: fex) = Vi'" ; xe IR: f ist keine Funktion, weil für negative Werte von x der Tenn (Für Df = IR. ~ ist f allerdingseine Funktion!)

Vi'" nicht definiert ist.

Beispiel:

f: y =~ ; xeIR : f ist keine Funktion, weil y für kein x e IR(außer für x = 0) definiert ist.

Beispiel:

f: xl--loy mit y2= x ; Df = lIP: f ist keine Funktion, weil die Zuordnung xl--lo Y nicht elndeuug tst, z.B. ist demArgument x ,= 9 sowohlder Wert y = 3 als auch der Wert y = - 3 zugeordnet.

Beispiel:

1

f: fex) = -,- - ; x - 16

D f = IR. :

f ist keine Funktion, weil den Zahlen 4, - 4 E Df kein Funktionswert zugeordnet ist fj tstoöertur Dj = IR\ {- 4;4 } eine Funktianl) . (11) Kanndie Funktion f nicht durch eine Zuordnungsvorschrift in Glciehungsform beschrieben werden (so etwa bei empirischen Funktionen, deren Werte z.B. aus Mcssdaten bestehen), so stellt man die einander zugeordneten Wertepaare häufig in einer w ertetabeile zusammen: Beispiel: f: T = f(t): Lufttemperatur T als Funktion der Uhrzeit t , siehe Tabelle:

t: Uhrzeit (h)

9.00 11.00 12.00 14.00 16.00 18.00

I

T, Lufttemperat ur (OCl 12 °C 17 -c 20°C 22 °C 22 °C 21 -c

Umgekehrt lässt sich La. zu jeder in Gleichungsform vorliegenden Zuordnung eine Wertetabelle aufstellen.

Beispiel: f: y = fex) = x2 - 1

j

Df = IN :

x

5

f(, )

24

2

82

Funktio nen einer unabhängigen Variablen

2.1.2 Graphische Darstellu ng von Funktionen Nach Dcf. 2.1.2 versteht man unter einer Funkt ion f einerseits eine Zu ordnu ng, andere rseits die Menge aller Paare (x ; y), die bei der Z uordnung f einander zugeordnet sind: f '" {(x, Y) x ~ y '" f(x) A XE D, }.

I

Daher ist es möglich - wie bei jeder Paarmenge . siehe Kapitel 1.1.7 - dtc zu einer Funktion f gehörenden Wertepaare (x ; y) in einem rechtwinkligen Koordinate nsystem darzustellen, siehe Abb. 2.1.7. -

Punkt P imx.y-Koordinatensystcmveranschaulichen. -

-

IM

Je des Paar (x;y)einer Funktion lässt sich durch einen x und y heißen Koordinaten des Punktes p(x;y). Die erste Koordinate (hie r: x) heißt Abszis,~e, die 2. Koordinat e (hier: y) heißt Ordinate. Die Menge aller dieser Punkte liefert den Gm phen vo n f (od er das Scha uhild von 1).

-

ffxi

._f p( \ i : X.Y

Wr

f

I

o

(xl

-,

x

o,

Abb. 2. 1.7

Beispiel 2. 1.8 (siehe Beispiel 2. 1.3): Der Zdt-/ Umsatz-Funktio n U '" U(1) von Beispiel 2.1.3 liegt fo lgende Wcrtctabd 1ezugrunde:

,

I (UI

15

U

Dargestellt im (I. Uj- Koordinatcnsysrcm erhalten wir den folgenden Funktionsgr aphen (Abb. 2.1.9):

Der G raph von U(I) besteht aus sechs isolierten Punkten.

10

.--

1

0

.

0

0 0

0

01

2

(li

.

3 ,

5 6

Abb. 2. 1.9

Bemerku ng 2.1.10: i) Die waagerechten Koord inatenachse bezeichnet ma n auch als Abszisse/lachse, die senkrechte Koordinatena chse als Ordinatena chs e. Die durch d ie Koordinatenachsen abgeteilten Viet1el der Ebene werden als Quadranten bezeichnet, sieheAbb. 2.].1] . ii) Die in da funk tionalen Zu ordnung y = f(x) vorko mmende Imab1langige Var iable (hier x) Iragl

m an vereinbarungsgemäß grundsaulieh auf der Abszissenoch se ab (und somit stets die abhä ngige Variabte y, d.h. die Funk tionsw ene f(x), aufder Ordinatenochsei. Der an den Koordinat enachsen stehende Var iablenna me wird zweckmäßigerweise in Klam m erngesetzt, der Graph der Funktion trägt den Funk tionsnamen. z.B, f , siehe A bb. 2.]. ] 2:

I

11. Qua drant

•

I.

"S

g

"~

Quadrant

Quadrant

I (fl

oder

(yl

f

(funktrons~

wertl

0

11I.

(obhängige Varioblel

0

f

2

Abszissenachse

Iv.

1

oo

Quadrant 0

Abb. 2. 1. 11

Abb. 2. 1. 12

r » f{xl

2

3

(unabhanw,e Von' e)

ijj) Die Abszissenwerte werden nach rechts hin größer, die Funk tionswerte (= Ordinaten wen e} nach oben h in. DerAchsenschnittpunkt 0 heißt Ursprung des Koordir unensystems (.\'ieheAbh. 2.J.12).

2.1

83

Begriff und Darstellung von Funktionen

Bei der graphischen Funktionsdarstellung ist es nicht unbedingt notwendig. aufbeiden Koordinatenachsen denselben Maßstab zu verwenden: f:y =x+l ;

Beispiel 2. 1.13:

Abb ildung 2.1.14 zeigt drei Funktionsschaubilder mit verschiedenen Achsenma üstäbcn:

,

, I III

III

f

f

3

2

lxi

o

2

I

3

~r I

lxi

0

2

lxi 0

3

I

2 3

Abb. 2.1. 14 Alle drei Schaubilder stellen dieselbe Funktion f dar. Häufig ergibt sich ein geeignete r Achsenmaßstab durch die Zah lenwerte der auftretenden Daten und die Forderung nach anschaulicher Darstellung. Z u beachten ist allerdings. dass jede Wahl eines Maßstabes zu optischen verzerrnugcn oder (ökonomischen) Fehlinterpretationen führen kann, siehe Abb. 2.1.14. Im folgenden sind die Grap hen einiger bäufig,·orkommender Elementar-F unktionen aufgcfühn : Bt'i~pi eI 2 . 1.1 5:

EI ;

I)

(>cl I III

iI I

j

·1

[,

3

2

3

4

{(xl = x

a

Iy '" x2 1 ; xe lR ( Pa rabel)

il)

xelR

{(xl = x 2

iiJ

lxi

I

falls gleiche AchsenmaßsIIJbe. {I =45" tew. Steigung= fGn a = 1

·1

01

,

2

-

lxi

2

iii)

I ~ X31 y

; xe IR (kubische Parabel)

Funktionen einer unabhängigen Variablen

I ~ I; y=

h ·)

,

-2 -1

0

0,5

2 ...

x

1(, )

- K -I

lJ

0,125

8 ...

fex)

I f/I

iii) 1

" , 1-

,

xe lR\{O} (Hyperbel)

"

0)

D iese implizit definierte Funktion F ist explizit wed er nach x noch nach y autl ösba r. Wo hl ist eine Darstellung in Fonn eine r w ertetebelle ode r eines Graphen mit H ilfe von Näherun gsverfahr en möglich (z.B. Vorwahlvon x und n äherungsweise Gleichungslösung bzgl. y ) . Aufgahe 2. 1.58: Man emut ue aus den in Beispiel 2. 1.56 implizit gegebenen Fun ktionen jeweils die beiden expliziten Funkti on sgleichu ngen.

2 .1

95

Begriff und Darst ellung von Fun ktionen

2.1.6 Verkett ete Fu nktionen Funk t ion en h, k mit Funktionsgleichungen 'Wie z.B. i)

h(x) =

v;::r+T,

k(x) = (xL 1)20 ; x EIR

ii )

x EIR ;

kann man sich entstanden de nken durch lIintercimllldernusnihrung zwcicr (ele mentarer) Funktionen , wobei an dieStelle der unabhängigen Variablen einer Fu nktio n der kom pleit e Funkt ionstenn der anderen Funktion tritt :

V"fergibt sich;

zu i);

mit f(x) = x4 + 1 und !,>(l) =

(2.1.59)

g(f(, » =

z u ii);

mit f(x) = x2 - 1 und g(l) = f 20 ergibt sich:

(2.1.60)

g(f(x)) = f(x)20 = (xL 1)20 = k(x) .

Vf(, )

=

V7+T = h(» .

Man bezeichnet die du rch Ein setzen von f in g entstandene neue Funktion g(f(x)) als die a us f und g zusammengeseme. mittelhare ode rverkettete Funknon. In g(f(x») (d .h . erst f dann g bzw. g nac h f) heißt f die innere und g die äußere Funknon . Wie das fo lgende Beispiel zeigt, ist die Reihenfolge der Verkettung von Bedeu tu ng. Beispiel 2.1.6 1: Seien die beiden Funktionen f, g mit fex) = x4 + 1 und g(x) = ~ vorgegebe n (s.o . un ter i» . i)

Setzt man f in g ein, so erhält man (sie he 2.1.59): g(f(x» =

ii)

Setzt man umgekehrt g in f ein, so erhält man: f(g(x» = g(x)4 + 1 = ( V~">4 + 1 = x2 + 1 •

d. h. im allge meinen gilt:

g(f(,» • f(g(' »

Vfex) '"

~.

(2.J.62)

Bemerkung 2.1.63 : Damit eine Verkel/ung g(f(x)) zweier Funktionen f, g möglich ist, müssen die Wem der inneren Fun ktion I zum indest teilweise im Dcfinitionsh ereicn der äußeren Funktion g liegen, die Bi/dung von g(f(x)) ist somit nur dann m öglich; wenn WJ n Dg =I: { } .

Beispiel:

lI(x) '"

Vx 2 - 9

mit I (x) = x 2 - 9 , .re IR und g (f) '"

1fT,

Dg = IR; .

Wertebereich von I ist [-9, oo[ , der Def initionsbereich Dg der äußeren Funkt ion g aber nur IR; . Damit gilt [iir den Definitionsbereich derverketteten Funktion h:

I

D 11 = { x xL 9 2: 0 } .

Beispiel:

h(x) =

V

x 2 l mit f (x}

=- x 2 « l

und gif)

= 1fT .

o,

Der Wenebereich WJ ist [_ 00, -I] , der Definitionsbereicb ist IR; , so dass W/ und Dg kein gemeinsames Element besitzen: h = g(f(x)) ist keine Funktion, da D h = { l Besitzt eine Funktion feine Umkehrfu nktion vo n der Reihenfolge:

r-t . so ist die verke uung von

A us der Bezieh ung y = fex) ~ x = f - 1 (y) fo lgt d urch E insetzen:

(2.l.64)

i)

I fW '(y» I = y

ii )

I

f - 1(f(x» = x

I.

L und r- r unabh ängig

96

2

Funkt ionen einer unabhängigen Variablen

,

Wie man durch Glclchungslösengfcststcttt. sind f und C- I mit

ßci~p ieI2.1 . 6 5:

y ~ fex) '" XL 1

und

x ::: f - l(y) '"

V"Y"+l

Umkehrfunktio nen zuei nander. Du rch E insetzen (bzw. H intcreinanderau sfuhren} erhält ma n;

i)

a " IW ' (Y» = f( l'"Y""'l ) = (I'"Y""'l r

ii)

( - l (f(x» = C- 1(x3- 1) =

,

VxL

-, = ye l

,

r-

l =Y

t + l ::: ~ e x :

A n diesem Beispiel wird noch einmal deutlich, dass die An wendung der Umkehrfunktio n f -I auf f die ursprüngliche Funktionszuordnung f ~ rü rkgängi g~ macht. Man kann auch mehr als zwei Funktionen durch Hintereinanderausführen mitei nander ver kee ce:

,

Seien di e Fu nk tionen C, g. h und k gegeben durch di e Funktionsgleichungen

Beispiel 2. 1.6 6:

fex) = x2 + 1 ;

g(x) =

V; ;

~x

h{x)=2x +3

+I

k(x) ::: 3x _ 5

(x

* 1]). j

,

Dann erhä lt man durch Verkettung z.B.: k(h(g(I(,))))

=

.f (2

,JQ+'I + 3)+ 1 • D = R

3 (2~ + 3 ) -5 Aufgabe 2. 1.67: Gegebe n seien d ie Funktionen f, g, h und k mit den G leiehungcn:

f(x) =

VX ;

g(x) ==...!... ;

x

hex) == xl + 8x - 9

;

k(x) == Xi S .

Man ermittl e d ie Funk tionsterme und Dcfinit ionsbert:iehe zu folgen den Verkett ungen : i)

f(g(x»

ii )

g(f(x»

iii)

g(h(x»

h(g(x»

iv)

v)

,i ) h(k(f(x»)

k(f(b>(x»)

Aufgabe 2. 1.68: Ge geben sind d ie folgenden zusamme ngesetzten Funktio nsgleichungen:

a

h(x) =4 ~

1 )22 . 7 - 1O Man ze rlege jeweils h in innere und äußere Fu nknonstcrmc , deren Verk ettung wiederum die gegebene Fun kt ion h liefert .

i)

iii)

,

hex) = (

VxL

Aufgabe 2.1.69: Bei welchen Funktio ns-Paa ren ist die Rerbcntotge der Verke tt ung egal '? I)

2.2

fex) == x7

ii )

g(x) == x20

iii)

hex) =

VX

tv} k(x) = 14x

")

p(x) = -7x .

Eigensc ha ften von Funktionen

In den folgenden A bschnitt en wolle n wir einige wichtige E igenschaft en von Funktionen behandeln und graphisch veranschaulichen.

2.2.1 Besc hrän kte Fu nktionen E s kann vo rkom men, das s die Funk tion swcrte fex) einer Funkt ion f nic übe r eincn festen Wert hina usgehen oder untcr einen festen Wcrt absinkcn:

2.2

97

E igen schaft en von Funk tion en

DeI. 2.2. 1: [Beschränkte Funktionen) f sei ei ne Funktion mit dem Definition sbereich D f • Dann heißt f nach obe n besc hrän kt falls es eine reelle Zahl k (E IR) gibt , sodass für alle x ( E D f ) gilt: f(x) S k. Analog heißt f nach unt en beschränkt. falls es ein k (E IR) giht mit fex) 2: k für alle x (E D f ) .

Bei~piel

2.2.2: i)

,' ,' )

f(x) = - x2 + 4

,J ) &\x

1 ,~ =2x

ta!

. (fJ~

5

1

g

Abb. 2.2.4

lxi

I--+~-\--

o

f übe rsteigt a.B. nie den Wert k = 5, fex) s 5, also ist f nac h oben besc hrankt.

E ine Fun kt ion f in D, heißt unten besc hrä nkt ist.

Dei. 2.2.5:

Beispiel 2.2.6:

Da ste ts gilt: g(x) 2: 0, ist g nach unt en beschränkt.

he.~ chrän kt, wenn

f sowohl nach obe n als auch nach

Nach A bb. 2.2.7 gilt für f ste ts:

fex) s 1 und f(x) 2: 0, also ist f besc hränkt.

lxi Abb. 2.2.1

2.2.2 Monotone Funktionen Besonders w; chtig ist der Fall, dass eine Fu nktio n f mit zunehm enden Argumentenwerten selbst stets zunimmt (od er aImimmi). Derartige Funkt ionen heiße n (streng) mo noto n steigend (oder fallend) . Def,2.2,8: i) O ie Funktion f heißt in e inem Inte rvall I (e D r) streng monoton ste igend, wenn für alle Arg umentenwerte XI' Xz E I mit Xz > XI stets gilt: f(xz ) > f(x l ). ii) f heißt in I stre ng monoton fallend, wenn für alle x I' Xz E I mit Xz > XI stets gilt: f(xz) < f(xI)'

98

2

Beispiel 2.2.9:

Funktionen einer u nabhängigen Var iablen

f; y '" f(x) '" :0;3• XE IR (siehe A bb. 2.2.10)

f ist in D f streng mono to n steigend.

x2 > x\

=-

f(x l ) :> f(xl )·

Abb. 2.2.10 {(x,1

f: f(x) =x 2 , xelR (siehe Abb. 2.2.12)

Beisp id 2.2. 11:

(I/

Links vom Ursprung ist f streng mcnoton fallend, rechts vom Ursprung ist f streng monoton steigend.

II

In jed em o ffenen Intervall, das den Nullpunkt ent hält, ist f nicht monot on. (Das Symbo l f oder ~ am Funktionsnamen in A bb. 2.2.12

(x/

.,

soll die Richtung der Monotonie andcutcn.]

01 Abb. 2.2. 12

Bemerk/mg 2.2.13: i) Bei zahlreichen ökorwmiscllen Funktionen, wie etwa Konsumf unktion. Preis/ Ahsatz- Funktion, neoklassische Produktionsf unktion. G esamtk ostenfunk tion II. V.Ii. wird Monotonie beobachtet oder uufgnm d von Vem oltenshypothesen postuliert. ii) Nimmt eine Funktion [ in einem Intervall [ fü r wachsende Argumenlwerte nicht ab (zu), so heißI [ in I mOlIOLOn steigend (fallend). Bei dieser (gemilderten) MOllo(t)niede[initio" ist es also zugelassen, dass f in I stück weise kons tantist (siehe Abb. 2.2. 14):

I (I/

I (I/ I

Ab b. 2,2. 14

I

J

lxi

0 ,-

f ist monoton steigend, nicht aller streng monot on steigend: f(x2) 2: f(xtJ, falls Xz > x, .

f ist mo not on fallend, nicht aber streng monot on fallend: f(xz) ~ f(x l), falls x2 > xI .

I (I/ Streng monotone Funktionen nehm en offenbar je· uen Funktio nswert f ( E W f ) gena u einmal an. Daher muss es in d iesem Fall z u jedem Funktionswert fex) gcnau einen Wert x der unabhängigen Variablen gehen, mit anderen Wo rten, f ist eindeutig umkehrb ar (siebe A bb. 2.2.15).

I

f~! 1········· f{X11

Abb. 2.2,15

••-

,•.

2.2

99

Eigenschaften vo n Funkno nen

Satz 2.2.16:

Es sei f eine ~ I rellg monotolle Funktion in D f . Dann existiert zu f die U mkehrfuuktlon f - I mit D( - l :: W f .

Bem erkung 2.2.17: A llS DeI 2.2.8 folg t unminelber, dass die Umkehrfu llktion einer !ilrellg mOlloton steigenden (fallenden) Funk tion selbs t wieder strellg m onoto n steigelld (fallend) ist. Beispiel 2.2. 18:

I

Die Funktion I: y ::

+

x2 ist f ür x 2: 0 st reng monoto n steigend (siehe auch Beispiel

2.2.11). Daher existiert zu f die Um ke hrfunktion.

r-'. x '" 2

VY

mit y 2: 0, (s. A bb. 2.1.47).

Auch / - 1 ist streng m onotoll ueigcnd I

2.2.3 Symmetrische Fun ktio nen Der. 2.2. 19:

Eine Funktion f heißt arhsensymmet risch ZUt Spiegelachse x :: a. wenn für alle x(E D f ) gilt (mit a e consr.]: f(a- x) :: f(a+ x)

(s. A bb. 2.2.20).

Gilt für eine achscnsyrnrnetrische Funktton insbesondere a = 0, so folgt für alle x ( E D f ) :

tl- x) = tex) . In diesem Falle heißt die Funktion gerade.

Abb ,2.2.20

(Spiegcl acbsc ist die O rdinatenachse.) Beispiel 2.2.2 1: f: y :: x2n (n E IN) ist eine

I (I)

gerade Funktion. denn es gilt:

---.-.-.__ I

f(- x) :: (_x)2n :: x2n :: fex)

._...

fl-x} = ffxl

f{x } = x 2n

.. ,

(siehe Abb. 2.2.22): (x )

Abb. 2.2.2.2.'-----L_-";~'-------'----

,

-,

Det. 2.2.23 : Ei ne Funktion f heißt ungerade in D f • falls für alle x (E Df)gi!t: f(-x) = - f'(x]. Ungerade Funktionen sind punk tsymmetrisch zum Ursprung. Beislliel 2.2.24:

111/ {(xl

I

I _

f: fex) = x3 , x E IR:

Es gilt: fe-x) = (- X)3 = - x 3 = - f(x) , f(- xl

also ist f ungerade (s. Abb. 2.2.25) . Aufgahe 2.2.26: Man untersuche die Funktionen f a uf Symmetrie: i)

f:f(x )=X~ +x 2 + 1;

ii)

x

f: f(x) = - - ; ,,2- 2

ii i)

f: f(x)= (x - 4)2+ 2

Abb. 2.2.25

2

100

Fu nktio nen einer unabh ängigen Variab len

2.2.4 Nullstellen von Fu nkt ionen Beso nders wichtig sind d iejenigen A rgumen twerte xj einer Funktion, für die sich der Funkl ionswert Null ergiht. Diese Argumen twerte Xi heiße n N"ullstelkn de r betreffenden Funkt ion.

-J

I IfI

x,

G raphi sch be trac htet handelt es sich bei den Nu llste llen einer Funkt ion f um die Schnntsteücn XI' x2' ,.. des Funkt ionsgraphen vo n f mit der (waagerechten) A hszi~wnacll\e, s. A bb. 2.2.27.

f

-}X "2- - - - ->.\

I

ot

Ab b.2. 2.27

Der, 2.2.28: U nter den Nulistellen X; der Funkt ion f in D f verste ht ma n die A rgumen te xj mit f(x j) = 0 , Um die Nullst ellen der Funkt ion f: y = f(x) zu ermitteln, setzt man f(x) = 0 und löst die entsta ndene Gl eich ung bzgl. x. Beispiel 2.2.29: i)

f: y = 2x - 6 hat die N ullstelle XI "" 3 .

ij)

h: u = y2- y - 6 hat d ie Nullstellen VI = 3 ; Y2 = -2 . f: y = 3x(x - 4Xx + S)(xL 49 )(x2 + 36 ) hat die Nu llstellen

iii) iv)

; x2 = 4 ; x3 = - 5

; xs= -7 .

\' - I

g: k = -v-r , y e IR.\ {- l ; 1} y2 _ I hat keine Nullstellen. da die G leichung k(y) = {) keine Lös unge n hat (denn für y == I ist k nicht definiert).

N äheres übe r d ie Nulls tellen spezieller Funktionen findet sich in Kapitel 2 .3 .

Aufgahe 2.2.30: Ma n ermittle De finitionsbereich un d N ullst ellen der Fun ktionen , die du rch die folgenden Funkt ionsgleichungen definiert sind: 2 L 4 ; iv) k(x) = 6x - 20 ;) f(x) = 42 ; ii ) g{z) = - z2 + z+6 iii ) h(a) = x 5x2 - -15

Va

'I

9 - \"2

"(y) = -

-

-

2y+ 6 '

\i)

8(1) = 100· c" ;

vll} f(x) =

1,L ,

111, 111,

2: - 4 - + 1 111, x

x~ o 0 < xs)

x> 3

Weitere wichtige Eigenschaften von Funktionen wie etwa Stet igkeit, Steigungsverha lten , Krümmungsverhall en werden in den Kapiteln 4 . 5 und 6 behandelt.

2.3

Elementare Type n von Funktionen

Im fo lgenden sollen die wichtigste n Typen der bei ö konomisc hen Fragestellungen verwendet en Funktio nen dargestellt werden .

2.3.1 Ganzratio na le Funktionen (Polynome) Z u den wichti gsten Funktio nstype n gehö ren die Funkt ionen , deren T enn e d urch additive Kombination von Pote nzcndcs T yps ex" , n E lNo, a e R vcntstchcn.

2.3

101

E lementare Type n von Fun kt ionen

2.3.1.1 Gru ndbegriffe, H örner-Schema Dei. 2.3. I: Die Funktion f in D1 = IR mit der G leichung fex) '" anx n + an_1x n- 1 + ... + a1x + aij heißt ganzra tion aJe Funktion n-ten Grades oder Polynom n-Ien G rades . D ie reellen Zahlen

3 0'

a ., ..., an heißen die Koefflalcnten des Po lynoms.

Bemerkung: Häufig bezeichnet man bereits den Term f (x) = awt' +an_tX n -1 + ... +a Ix +ao als Polynom.

Beispiel 2.3.2: i) ii)

iii )

f fex) = x2 : g: !,,>(x) = - x" + jf3x2 -

Polynom 2. G rades (q uadratisches Polynom ) ; Polynom 6 . G rades mit den Koeffizie nten a 6 = - 1; as=O; a 4"'0 ; a3 = 0; a 2 ",jf3; a l "'- Jl;

;rx :

h: h(x) = 7 :

Polynom ü-ten Grades (konstan te Funktion ) ;

k:k(x) '" S -+x :

Polynom 1. G rades (lineare Funk t ion)

3 0=0;

u: u(p) = 2(p -1X p +l XpL 4) Po lynom 4. G rades. Die numerische E rmittlu ng eines Polynomwertes f(x) kann bei komplizierten Argumentwert en x wegen der a uftrete nden Poten zen x'' schwierig und aufwend ig sein . Das sogenannte Ilomer-Schema zur Berechn ung von Polynomwerten vermeid et den Nachteil des Porcnz lcrcns unhandlicher Zahlen. Die Da rstellung im Ho rner-Schema sei an einem einfac hen Beispiel demonstriert: lkispiel2.3.3: Ge gebe n sei das Polyno m 4. Grades f mit fex) '" 2x4- SX 3 + 4x2 + 6x - 2 1 .

(2 .3 .4)

Wir klamm em jetzt sukzessive - von rec hts a usgehe nd - das jeweils letzte "x ~ a us. es ergibt sich nacheinander: fex ) = (2x3 - Sx 2+4 x + 6)x - 2 1 fex) '" « 2x2- Sx+4 )x+ 6)x - 21 fex) = « (2x - S)x+ 4)x+6 )x - 21.

(2.3.5)

Au f diese Weise lässt sich jedes Polynom schreiben - die Berechn ung eines Polynom -Wertes fex) läuft dabe i h inaus auf wiederhohes Multiplizieren und Ad d ieren und ist daher besonde rs geeignet fü r cine aurorna tislerte spe ichersparende A uswert ung. Will man etwa f(3) ermitt eln. so kann man - beginnend in der Innersten Klammer - ohne Potenzieren ausschließlic h durch me hrfac he M ultiplikat ion und Ad diti on den Po lynomwert ermit teln:

f(3) od er schematisc h:

I ,= 3 I

= «(2 ' 3 -5 )-3 + 4 ) ' 3+ 6)

(a~)

(a 3)

(a2)

2

-5

4

j

2

6

· 3/

----

'"+ J 1

3

' 3/

/"

"'+ l 7

3 -21 = 60,

(ao) -21

(a l) 6

21 '3/ + I

----

27

' 3/ /"

81 '" + l

I 60 = f(3)

I

2

102

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Allgemein erhält man auf völlig analoge Weise: (2.3.6)

und damit das allgemeine Ho rnor ~ Schema:

EJ

'. '.

a n _I

an''',

'Y " + I ,'y... + l A,.. ,

'.

"

3 0 _2

A 2 "" 1

An _ I 'X I

)-/

+

A l -X I

I ?

A n _2

y '

+l

I C(xl ) I

A,

De r entlang des mit Pfeilen markierten Weges füh rende Rec hengang erfordert lediglich n M ultiplikationen mit " , und su kzessives H inzuaddieren der Polynomk oeffizienten a k (insgesa mt n Additio nen). Daher eignet sich das Homer-Schema gut für zeit- und speichersparende Berechnung auf programmierbaren elektronischen Rechnern. Bei.~pieI 2 .3.7 :

f(x) = ll,tx S - 0,3x4 + 2x2 - 3,5x + 2,85

Ix= 1,21

0,1

0,1

"

-{l,3

gesucht : f(I,2):

2,85

-3,5

2

0,12

-0,2 16

-0,2592

2.08 896

-0,18

-0,2 16

1,7408

- 1,4 1104

- 1,6932 48 1, 156 752 "" f(l ,2)

Aufgabe 2.3.8 : Welche der folgenden Funktionen sind Polynome? Man gebe gegebenenfalls den G rad des Po lynoms an: i)

f(x) = - x ;

iv) v(x)=3x L x + 4-YX;

V1O . 2

ii )

P{Y) '" ay2 + by + C

iii ) u(x) =

v)

s k(x) = 6x - 1

' i ) « p) = 2r' (p -1)(p +

26

7 ;

17)

Aufgabe 2.3.9: Man ermittle mit H ilfe des Ho rncr-Schcrnas die Funktio nswerte f(- ] ) ; f(0.5) ; f(2); i) f(z)= 5z 3+3zL4z+ 12;

2.3.1.2

Konstante und lineare Funktionen

Für n = 0 er halten wir nach Def. 2.3. 1 das Polynom f mit

I f(x) = 3 0 = con~1. 1 . E in dera rtiges Polynom wird als konstante Funknon bezeic hnet . Ihr G raph ist eine Parallele zur A bszisse, siehe A bb. 2.3.10. Jed e E insetz ung führt zum seihe n Punktionswert. f(x) = f(l ) = f(17,4) = f(- 5) = ... = ao = const.

I (li

I

-~I

f(x l = 0 0 = coast.

Abb. 2.3. fO

2.3

E lementare Typen von Funktionen

lO3

Beispiel 2.3.1 1: Fixkost enfunktio nen sind kon stante Funkt ionen, z.B. mon atliche Gru ndgebühr Ko eines Telefonanschlusses. für jede Zahl x von monallich verbra uchten Gebühren einheite n ergibt sich derselbe Wert (z.B. 24,60 € / Mo nat), siehe .Ahb . 2.3 .12.

Kc;" 24,6 "

30

coost.

20 10

{xl

o

GebOhrenein!Jeilen pro Monat

Abb . 2.3. 12 Bemerkung 2.3.13: Man beachte, da ss die durch die Relation x = ronst. (y beliebig) gegebene Punktmenge einesenkrechte Gerade darstellt, die allerdings nicht zu einer Funktion gen ön. (Denn zu Xo gibt es beliebig viele . Funtaionswene", sieheA bb. 2.3.1 4.)

{yl

{xl

o

Wohl ober existiert umgekeh n zu. jedem y gena u ein x (= Xo = const.), d.h. die Umkeh rung [ - 1: y l-+ X ist eine Funk tion.

x, Abb. 2.3. 14

Für n = l erha lten wir nach Dei. 2.3.1 das Polynom 1. Gra des

(2.3.15)

I [(x) = a tx+ao I

E in Polynom I . G rades bezeichne t man auch als lineare Funktion und schreibt häuf ig sta tt (2.3 .15) (mit a ]= m j ao=b)

(2.3.16)

I [: y '" mx + b I

I {li

xe lR . 1t" fIx;

P,

------------------

.

x e lR .

Beispiel 2.3. 17: Für m = 0,5 und b = 1 erhält man die lineare Funk tion y = O,5x + 1 .

.- -

,

xt - xr--]

i

x,

(xl

x, Abb.2.3,18

De r Graph einer linearen Funk tion ist ste ts eine Gerade (A bb. 2.3.18). A us Abb. 2.3 .18 wird die Bed eut ung dcr Koeffizient en m und b in der Gcradenglcicbung y = fex) = mx + b de utlich: I) Für x = 0 ist Y = m · 0 + b = b. Daher schneidet der G raph der Geraden gleich ung y = mx + b die Ordinat ena chse im Pu nkt (0; b). Man nen nt b auch den {Ordinaten -) Achsenehschntn. ii) Die Sleigung einer Geraden ist definiert als da s Verhältnis von Ordin atend ifferenz Y2 - YI zur e ntsprec henden A bszissendifferenz x2 - XI zweier beliebiger Ge raden punk te P I P2' Die Steigung ent spricht dem "T angens" des Steigungswinkels a (A bb. 2.3.18), geschrieben: ta n a (siehe Kap. 2.3.6) .

*'

(2.3.19)

(2.3. 20) Daher bedeutet der Koeffizient m die Steigung der Ge raden y = mxe b.

2

104

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Bemerkung 2.3.21: i) Fur m > 0 (positive Steigung) ist die lineare Fun ktion m onoton steigend, f ür m O ,.

Beispiel:

b) y= -2x- 1 , m < O

(sieheAbb. 2.3.22).

ii) Fur b = 0 ist der Ordinatena chsenahsch nitt 0, die Gerade y »mxrb verläuft durch den Kooräina-

tenursprung, sieheAbb. 2.3.23:

I 1I1

f{x) = 0.5x

-

\ -1

m = 0,5 (>0 1 f Ist steIgend

\+::-c-- \ 0 -1 \ \

lxi

m=-2 ( OI

I

BtO.5~:-:"-l

"

111

p

+2

---':l~';c----

-2

lxi

'-'

M

o Abb. 2.3.26

2.3

105

Elementare Typen von Funklionen

A ußer d ureh die Angabe der Koeffizienten mund b kann eine Geradengleichung aueh dan n ermnten werden, wenn i) die Steigung m und ein beliebiger P unkt P1 mit den Koordinaten (XI' Yl) gegeben ist, oder ii) wenn zwel beliebige Geradenpunkte PI (XI' YI) und P 2 (x z' Y2) (mit Xl X2) gegeben sind.

'*'

{y {

I

I{

P

Y Y, ...

~

,

P,

Y T

«

m

Y,

--.

ca

x Abb. 2.3.27

~

P,

;1}

T Y2 -Y ,

P,

f

__ __1

:--- X

,

x,

{y{

t

_X

f

-----j (xl x,

x,

Im Fall i) müssen (vgl. (2.3. 19») die Koordinaten (x, y) jedes beliebigen Geradenp unktes P die Beziehung Y - Yl

(2.3.28)

erfüllen (s.Abb. 2.3.27 i)).

- - =m x - Xl

Da xI'Yl und m gegeben sind, folgt aus (2.3.28): Y-Y I = m(x-xI) ' d.h. ( Punkt-Stelgungsrorm einer Geraden) .

(2.3.2 9)

Im Fall ii) kann man zunächst die Steigung m ermitteln (siehe 2.3.20): m = Y2 - Yt

Xl - :'tl

Setzt man dies in (2.3.29) ein, so erhält man die Gcradc ngleichung (2,3,30)

h - YI

_ · " ( y,-nu, ) Y -- Xl - Xl

(z- Punkteform einer Gerade n)

=b Beispie12.3.31: i)

Gegeben m = 0,2 sowie PI mit

Pl(xI: YI) = PI (2,5; t .5). Mit (2.3.29) ergibt sich:

y =O,2x +( 1,5-0,2· 2,5) d.h. y=O,2x+ l (Abb. 1.3.32) : Ii) Gegeben seien die Geradenpu nkte pet ; 5) und

,

=;1

t.s

{x l

Abb. 2.3,32

0(3; 3). Aus (2.3.19) folgt: m= -

.5 - 3 2 - = - =-1 . t - 3 -2

Abb. 2,3.33

Damit folgt aus (2.3.29) unt er Verwend ung von P (bzw, Q)' y = ->+(5-(-1) ·1) (bzw. Y = -x + (3-(-3) · 1» d.h.

y= - x+ 6 , (Ahb. 2.3.33) :

o

2

106

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Lineare Funknonen sind wegen ihrer einfache n mathematischen Struktur zur Beschreibun g vieler ökonomischerSa chverhalte belieht. Sowcrdcn sie u.a. verwendet als -

Kostennmknonen K (z .8. Gesam tkosten K(x) einer Prod ukt ion in A bhängigkeit des prod uzierten

Outputs x, Abb. 2.3.34) -

Nachfrngefunklionen x (z.B. Nachfrage x(p) nach Butter in Abhän gigkeit vom Butt erp reis p , siehe Ahh. 2 .3.35) häufi g als Um kehrung p = p(x) da rgestellt. siehe Abb. 2.3 .36 .

IKI oesoovkosten

Kf

(pJ ~ Preis

" ~PM

----, - -

-+__~,

I fixkoslen Kf I

Ip)

o

Preis

_

Ncxhfroge

Abb. 2.3.35

Abb . 2.3.34

IX)

---C

Abb.2.3.36

-

Konsumfunktionen C (z.B . A usgaben C(Y) für Lebenshaltu ng in A bhängigkeit vom verfügbaren Einkommen Y, Ab b. 2.3.37)

-

Produktionsfunktionen x (Out put x(r) einer Prod uktion in Abhängigkeit des eingesetzten Inputs r, Abb. 2.3.38)

-

Eriösfunktionen E (z.B. Erlös (wertmäßiger Umsatz) E(x) in Abhängigkeit der abgesetzten Menge x bei festem Preis p, s. Abb. 2.3.39) u.v.n.

IC)i K~Um

.:«

~ c;

Abb .2.3.37

fE)

I

ErIOs

an

E(xI

x(rJ

--, ---

. Existenz minimum "

I

o

(x) 1 OUlput

I
IY) Einkommen

01

Abb.2. 3.38

Inpu t

lxi

01 Abb.2. 3.39

M enge

Häufig werden funktionale ökonomische Zusammenhänge Cfi llirisch (z.B.durch Messungoderstatistische Erhebung) gewonnen. Bei der Frage. welehe Funktion die gemessenen Punkte (wcrtcpaare) besonders gut approximiert. Jegt man in vielen Fällen eine lineare Funktion als Approximationsgerade zugrunde. siehe Abb. 2.3.40. Die Frage. nach welchen Kriterien eine derartige " Ersat zfu n k tion ~ ausgesucht wird,kann in derStatislik mit Hilft:der R ~res.\ion ~nalyse beantwortet werden (siehe auch Kapitel?.3.2.4).

.Regressionsgerode"

Abb . 2.3.40

Ix )

2.3

107

Elementa re Typen vo n Funktionen

Aufgabe 2.3.4 1: i) Man ermittle die G leichung der zugehörigen linearen Funktion, wen n folgende Dat en gegeben sind (P Imd Q sind zweiPunkte, die auf derjeweiligen Geraden liegen);

a) Steigung: -3; P(0.6 ; 1.2) ;

b) P(0.5; 3) ; 0(- 1; -4)

c) p(l ; a) ; O(a;4)

ii ) Man ermittle jeweils den Schnittp unkt der Geraden g und h:

a) g; y '" 2x + 1 ;

h: y "" -O,5x + 6 ;

b) g; x-2y +3""0

h: 6y - 3x +4 "" 0 ;

c) g; y "" 0,25x + 1

h: 4y - x - 4 "" 0 ;

d) g; ax + by + c '" 0 ;

h: UX + vy + W

""

(o. b, c, u, v, w ""

0

COIl Sl. )

Aufgahe 2.3 .42 :

Elekt rische Energie kann zu zwei a lternat iven Tarifen bezogen werden; Tarif I: Gru ndgebü hr; 30,- € / Monat ; Arbeitspreis. lJ,25 € / kWh ; Ta rif 1I: G rundgebühr: 12,- € / Monat ; Arbcitspreis: 0,40 € /k Wh ; i) Man ermittle für jeden der beiden Ta rife d ie Gleichun g der Kostenf unktion K, die die monatlichen Gesamtkosten K( x) in A bhä ngigkeit des monatlichen E nergieverbrauchs x angibt. Man zeichne beide Kostenf unk tion en in ein einziges Koo rdinatensystem.

ii) Man berechne den monatli chen E nergieverbrauch (in kWh/M onat), für den sich in beiden T arifen dieselben Kos ten ergeben. Für welche Verbrauchswerte ist Tarif I günstiger als Ta rif II ? Aufgahe 2.3,43:

Ein PKW kann übe r das Woc henende zu zwei alternativen T arifen gemietet werden: T arif A: Grun dmiete 100,- € , zuzüglich km- Gebühren: für die ersten 100 km: 1,- € /km; fü r jede n km über 100 km bis 200 km: 80 Cent/ km; fü r jeden km über 200 km bis 400 km: 60 Ce nt/ km; jeder km über 400 km hina us kostet 50 Ce nt / km. T arif B: Gru ndmiete 150.- € . zuzug/ich km-Ge bühren: für die ersten 200 km: 70 Ce nt/ km; f(ir jeden km über 200 km bis 500 km: 50 Ce nt/ km; für jeden km über 500 km hinaus: 40 Ce nt / km. i) Man ermittle die Terme KA(x) und Ku(x) der beiden Gesamtkostenfunktionen in A bhängigkeit der ge fahrenen Strecke x und skizziere bcidc Funkt ionen in e inem Koo rdinatensystem, ii ) Man gebe an. fürwelche km- Lcist ung wd eher T arif für den Mieter am günstigsten ist.

Aufgabe 2.3.44: Der Ko nsum C(Y) eines H aushalts ist durch eine Konsumfunktion C in Abh ängigkeit des Ha ushaltseinkommens Y vorgegeben durch:

c "" C( Y)

"" 120 + 0.6 ' Y

,

(Y

~

0)

.

i) Man berechne die Höhe des E xistenz minimums (Minde,l"rkonsum ) des Ha ushaltes.

ii ) Man ermittle die Spa rfunktion S und gebe das Einkommen an, bei desse n Übe rschreiten die Sparsumme S(Y) positiv wird. iii ) Gibt es ein Einkommen. bei dem Sparsumme und Konsum gleich groß sind ? Man ermittle gegebcnenfalls dieses Einkommen. ( Rechnerische und graphische Losung angeben!)

2

108

Funk tionen einer unahhängigen Variablen

AufgalJe 2.3..15: D ie H ube rmobil AG produziert zwei Automodcllc: den H uber 1,8 N (Benziner) sowie den H uber 2,3 D (Diesd) , Mot orlcistu ng und Ausstattung beider Modelle sind identisch. D ie ne ues te Bet riebskostentabelle e iner A utomob il-Zeitschrift weist folgende Koste nda ten aus;

monatliche

mo natliche R ücklage f ür Neuwagen (€)

FIX kos ten (€)

97,-

1,8 N 2,3 D

218,244,-

105,-

Betriebskosten pro km (in Ü'ntikm) 21,92

19,28

M an untersuche, für welche jährl ichen Fahrleistu ngen (in kmßahr) der Typ 1,8 N und für welche Fa hrleistungen der Typ 2,3 D das kosten günstigere Modell ist. Man ermittle die Telefon- Kostenfunktion K , d ie d ie mon atlich en Gesamtkosten Aufgahe 2.3.46 : K(x) ein es T elefon-Mobilanschlusses in Abhän gigkeit von der A nza hl x der pro MOI1 Ia I
O) hat höchstens n reelle Nullstcllcn.

2.3.68: i) (genau n Nullstcllcn) f(x) = [x-rl ] -(x- I) ; (n = 2) hat die Nullstcllen 1 ; - I . ii ) (weniger als n Nullstellen) fex) = [x - 1)2' (x2+ 1) ; (n = 4) hat nur die Nullstelle I. Da der Faktor x -1 zweimal vorkommt, spricht man von einer DoJlllelnull~telle (analog gibt es dreifache Nußstellen usw.).

ßei~pieJ

Bem erkung 1.3.69: L äss t man als L ösungen einer Gleichung ,H en Grades auch die sogenannten kom plexen Zall/en 2 zu. so kann Satz 2.3.67 Iyrschärft werden: Ein Polynom n- sen Grades (n > 0) hat gena/l n (reelle oder komplexe) N ullstellen (Fund amenta lso tz der Algebra). Dabei werden mehrfache Nullstellen entsprechend ihrer Vidfa chheitgezahlt.

Zu n vorgegebenen Nullstellen XI' ..., xn eines Polynoms lässt sieh naeh (2.3.63)auf naheliegende Weise ein Polynom n-ten Grades mit eben diesen Nullstellen konstruie ren: (2.3.70)

Wie man durch Einsetzen unmittelbar erkennt, gilt für alle k ( = I , 2, ..., 11): Beispiel 2.3.71: Ein Polynom 4. Grades mit den vorgegebenen Nullstellen I ,

I

f{x) = 2009'(x - 1Xx -Y2Xx+n) x .

2 siehe etwa (2\ 1. Bd . I. 206 f[

V2, -."'1", 0

ist z.B.

2.3

113

E lement are Typen vo n Funktionen

Die Enn iltJullg von Nunsrene n be i Polynomen höh eren a ls 2. Grades d urch Abs palten von Lmearfaktorcn x -x k (und Untersuc hung des Restpolynoms] ist nur möglich be i Kenntnis dc r xk {d.h . nur in A usnah mcfällcn. siehe Kap. 1.2.4 .6). Meist ist es zur E rmittlung der Nußstellen einfac he r, ein Näherungsve rfahren (z.B. dtc . Rcgula falsi" (Kap. 2.4) oder das ~ Newton- Verfahren" (Kap. 5.4) ) zu verwenden. Die folgende n A bbildu ngen zeigen (Abb. 2.3 .72 i)-v)) exemplarisch die G raphe n einige r Polynome h öheren G rades:

1 111

Abb.2. 3.12

Itl

iil

11

2

lxi

f(xJ

= 0,01)(1- 0,025;(3-0, 5;(2+ O,5x +4

I I tl

111

lxi

lxi

I

f(xJ

I

= - O,0 Ix 7 +t5x3- x

i Abb.2.3.12

iiil

ffxl = X5~5x3 + 4x

i

'I

A n diesen Abbild ungen erkenn t man einige typisc he Eigen_~ chaften von Polynomen n-ren Grades: -

Die Zahl der N ullstellen eines Polynoms n-tcn G rades kann mit dem Gr ad n übereinsti mme n {Abb. i), v) oder aber geringer sein [A bb. ii ], iii], I V»~, siehe Satz 2.3.67.

2

114 -

Funkt ionen einer unabhängigen Var iablen

Ein Po lynom von ungeradem Grad hat SIelS mtn destens eine Nullstelle [Abb. iii), IV), v». E in Polynom von geradem Grad besitzt ma nchmal keine einzige Nu llstcllc (Abb.

ii».

Polynom e sind entweder nur na ch oben ode r nur nach un ten od er aber überhaupt nicht beschränkt: 1) Ist der Polynomgr ad n ungerade, so ist das Po lynom unbeschränkt, und zwar aufsteigend von - 00 bis + 00 (Abb. iii], v», falls an positiv und absteigend von + 00 bis - 00 (Ahb. IV»~, falls an nega tiv.

2) Ist der Polynomgrad n gerade, so ist das Polynom einseitig beschränkt, und zwa r nach oben besch ränkt [d .h. von - 00 aufste igend und wieder nac h - 00 absteigend, Ahb . li» falls an negati v und nach unten besch ränkt [d.h. von + 00 abste igend und w'icdcr nach + 00 aufslcigcnd, Ab b. i» , wenn a n pos itiv ist ! Aufgabe 2.3.73: Gegeben sind die Polynome f und eine oder meh rere zugehörige Nullst ellen xk (k == 1. 2• ...). Man ermit t le sämtliche reellen Nullstellen vo n f. i)

f(x) ==

XL

2xL 2x + 4 ;

Xl:::

2

x4 -

6x 3

XI ==

3 ; x2 == -2

+

3x2

+ 26x - 24 ;

ii )

f(x) :::

iii)

f(x) ::: x 3 -2x +

iv)

f(x) ::: 2x4-3xL lOx2 + 5x - 6 ;

1 ;

XI ::: 1

Xl :::

- 2 ; x2 ::: 3

Aufgabe 2.3.74: Man ermittle sämtliche reellen Losungen fo lgender G leichungen: i) x3 ::: 10 - 9x h·) n3-3n2",75-25n ii) y3 + 12 '" 34y v) z L 5z ::: 3z 2 + 25 iii)

3a 3 - 2a 2 + 30

'=

23a

\i )

t 4 - 4t 3 - 212 - 201 + 25 = 0

2.3.2 Gebroc hen-rationa le Funktionen Der Q uotient zwcie r Polynome heißt geb roc hen-rationa le Funktion : Def.2.3.75: Die Funk tio n f mit der Gleichung a" xn + a" l Xn~1 + bkx k + b k_1Xk 41 +

f(,) =

+ 3l x + 30 + b lx + b o

heißt gehrochen- rationale Funkt ion. Da f led iglich an den l"iullxtellen des Nennerpolynoms Nk(x) nicht definiert ist. muss man zur Ermittlung des Definitionsbereiches D, zunächst d iese Nullstellen ermitteln und als Deüntnousl ückcn ausschließe n:

Beispiel 2.3.76:

xI ' D

i)

f(x) =

ii)

f(x)

iii)

f(x) = ,..-' ''---cx2-2x + 2

'=

f

2:1: - -I

~,

,

= IR\ {O }

Df

'=

IR\ {I },

siehe Abb. 2.3.76 ii) ;

D f = IR, da der Nenner keine Nullstelle n hat, A bb. 2.3.76 iii)

2.3

1J5

Elementa re Typen von Funktionen {II I

~ j

Ifll

,

i :

(II I

il Abb. 2.3.76 2x

iv)

f(x) =- .~2 _ 1 , Dr =- lR \ { I; - I I , Abb. 2.3.76 iv) f(x) -

Ixfür x * 1

xLx _ x- I -

-

x 3 + 3x 2 + 3x + 2 x2 +2 x +1

fex) =- X + 1 + - '-, (x+l )

I {li

I

I I I I I

Abb. 2.3.76 v)

nicbt definiert für x = I

, Df = lR\ {-l I , Abb. 2.3.76 vi).

VtL/' / -'

I lfi

I

i ~ ~:

, I

-1

\ ! I

I II

'

Ixl -

1 I I

I I I I I I

· 1:,/

j-7-{:;j

ivJ

,, 1

t ...... /

I I

'I

,,

, ,,

,,

, ,,

,

'/

-"

' ,,

-'

0

Ix!

,

vi}

Abb. 2.3.76

In Abb. 2.3.76 wird deutlich, dass in der Umgebung der Definition slücken sowie für sehr große (bzw. sehr kleine) Argumcntwcrte die gebroc hen-rationalen Funktionen Beson derh eiten aufweisen, wie z.B. Unendlichke ltsstejlen (Pole), A.s~mptol ell od er L ücken. Näh eres hierzu s. Kapttcl a.S bzw, Kapitc14.8.

Bemerkung 2.3.77: Gebrochen-rationale Funktionstypen können im Bereich ökonomischer Fragestellungen imm er dann auf/relen, wenn slückbel.ogene oder Durchs chninsgr öß en (z.B. Stuckkosten. Stückgewinn, Durchschnusmrag ...) hetrachtetwerden. Beispiel: Sei K einelineare Kanenf unkunn, z.B. K(x) = O,9x + 25 (x> O; K" Gesamtkosten. x: OutpUl). Dann erhält man die Stückk osten k(x) t- Kosten pro O utp uteinheit), indem ma n K(x) durch die Anzahl x derOutputeinheiten dividiert: K(x) O,9x +15 25 k {x) = - = =- 0 9 + - ' X

X

'

x '

k(x) ist gebrochen-rational, sieheAhb. 2.3. 78.

(k

0.9

o

-- ----- -

_

{xl

5

Abb . 2.3.18

2

11 6

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Aufgabe 2.3.79: i) Die monatlichen Kost en K für elektrische E nergie eines Haushaltes seizen sich zusammen a us der monatlichen Grund geh uhr in Hö he von 40 € / Monat und einem Ar beitspreis von 0, l oS € /k Wh. Man erm it tele und skizziere die Funktion k(x), die die monatlichen Kosten pro verbrauchter kWh in Abhängigkeit vom monatlichen Gesamtverbrauch x angibt. ii) Au sgehend von der ertragsgesetzflehen G esam tkostenfunktion K mit K(x) = 0,07x3 - 2x2 + 60" + 267 ( K(x): Gesamt kostcn, x: O utput ( ~ O»

ermittle man die Funktionsgleichunge n und ökonomischen Dcfinitionsbcrcichc der variablen und

fixen Kosten sowieder variablen, fixen und gesamten Stückkosten. Skizze! iii) Unter Z ugrundd cgung des Ergebnisses von Aufgabe 2.3.46 cnnittlc ma n die Stückkostenfunktion k, die die Kosten k(x) pro Geb ühreneinheit in Abh ängigkeit von der Anzahl x der insgesamt pro Mo nat verbrauchten Gebüh re neinheiten angibt. Skizze !

2.3.3 Algebraisc he Funktionen (Wunelfu nktionen) Sowo hl ganzrationale als auch gebrochen-rationale Funktione n gehören zu einer allgemeineren Klasse vo n Funktionen, den sogenannten algehraischen Funktionen. Man kann eine algebraische Funktion implizit definieren als Polynom der Potenzen xi . y~ :

(2.3.80)

F(" y) =

•

m

i_ O

~. O

L L ',."r' = 0

aik E

IR iii)

xy- I ; O.

An diesem Beispiel erkennt man, dass algebra ische Funktionen La. in impliziter Form F(x, y) ; 0 vorliegen, und - wlc etwa in i) ersichtlich - häufignieht in explizite Darstellung gebracht werden können. An ii) erkennt man, dass die implizite Darstellung x 2 + y2 - I ; 0 offenbar nicht zu einer Funktion, sondern zu einer (zwcidcuugcn) Relation gehört, s. Abb. 2.3,82. IM Die Auflösung von X 2+y2_ l ; 0 nach y licfert nämy . j1"i"7 lieh die beiden Lösungen

y; +~;

l xls t

y =-~ ;

l xls f

Abb. 2.3.82 _

An diesem Beispiel wird gleichzeitig deutlic h, dass bel der expliziten Darstellung einer algebraischen Funktion (anders als bei rational en Funktionen) Wurzehenn e aufl rcten können.

~

An iii) erkennt man, dass es sieh um die gebrochen-rationale Funktion

I:}

_

o

\,

--

1

, /r » - jI"i"7

I

y = .~ ; x ,*, O handelt.

Umgekehrt kann jede gebrochen-rationale Funktion y = Z(x) durc h einfache Umformung in folgende N(x)

"algcbmische~ Fonn gebracht werden: (2.3.83)

y ·N(,) - Z(, ) = O .

E ine allgemeine Analyse der Typen algebraischer Funktio nen verbietet sich im Rahmen diese r Darstellung. Als relativ hä ufig vorkommendes Beispiel sei an dieser Stelle nur der Typ der Wurzclfunk tion herausgehobe n (als Spezialfall der allgemeinen Potenzfunktion y = x'' , ne IR) :

2.3

Elementare Typen von Fun ktionen

117

Der. 2.3.84: Die Umkehrfunktionen der Po tcnzfunklio n f: y e x'" , xe lR ~ ; n e N'{ I }

(y)

y=x n

.-;:. _---n

!xi

heiße n w urz elrunkuon en .

Schreibweise:

/

."

x =y 'ln=VY

=

"VY;

ye lR ~ .

(siehe Abb. 2.3.85) I

Abb. 2.3.85 Bem erkung 2.3.86: Fur den Def initions bereich bei geradem n gilt wegen der Forderung eines nichm ega -

tiven Radikanden: D1 = IR; . Bei ungeradem " ist .l'l'm Fallgilt: Df "= IR.

Beispiel 2.3.87:

i) f(x) =

V;- ; Df = lR ~

"VY al/ch Jar negative y

ü) f(x)

=

,

VX ;

erklärt, so dass in die-

D f = 1R.

(Abb. 2.3.88) .

I itl

1/

iI}

I(x} =

V7

s IM =

V7

o _ _ --:----'Ixl

-I

ot

\

oI Abb 2.3 88

Po te nzfunkt ionen mit nicht-n atü rlichen Exponenten werden u.a. für (gesamtwirtschaftliche] Prod uktionsfu nktionen verwende t:

Beispiel 2.3.89 :

Y '" e · A0,8. KO.2

• (A , K

~ O) .

A: A rbcitsin put; K: Kapitalin put: Y: Sozialp rodukt: (c: Konsta nte) . So ergibt sieh etwa für K = 32 = co nst. (und y =2 ·Ao.s e = 1): (siehe A bb. 2.3.90 )

"v;-

(-

-

-

I

-

-

-

lAI

Abb.2. 3.9O

Au s den elementaren Wurzclfunktionen f f(x) = (x a 0 ) ergebe n sich durchSpicgcln an der O rd inate bzw. Vcrsch iebung längs der A bszisse die folgenden - ebenfalls elementaren - W urzelfunktionen (siehe A bh. 2.3.9 1) (man beac hte jeweils die geä nderte n Dcflnirion sbcrcichc !):

2

118

Funktio nen einer unabhängigen Variab len

lfI

I II1

u

.,

111

.1

iiil

lxi

°l-(;j .,

0

lxi 0

1

2

Abb 2.3.91 Aufgabe 2.3.92 : Für die nachfolgend definierten Funktionen ermittle man den maximalen Definit ionsbereich und (in den Fallen i) - iv)) dieGleichung derUmkehrrelationen. i) y =(x + 1)2; ii) y=3y xL 4 ;

AUfgahe 2.3.93:

iii ) y= 4VJ=X2 ;

h')

y=~;

\') y =

Vrl

;~ SVx2 - 16

Gegeben ist eine Prod uktio nsfunktio n x: r 1-+ x(r) mit der Gleichung x(r) =

V4r

IOn - 10

(x: Ouput in r-IE. ; r: Faktorinput in ME r).

Pro eingesetz ter Fakto reinheit en tste hen Kosten von 8 G E /ME r• pro prod uzierter O utputeinheit kan n um Markt ein Preis von 100 GE/M E. erzielt werden. i) Man ermittle den (maximalen) mathemat ischen Definitionshereich sowiedenökonomischen Dcfinitionsbcrcic h (Output mus s nich tnegat iv sein!)

Ii) Es werde ein Ou tp ut von 50 ME, prod uziert und abgesetzt. Man berechne die entstande nen Fakto rkosten sowie den Umsatz.

iii) Man ennitt1e die Kostenfunktion K, die d ie Beziehung zwischen Ou tput x und zugehörigen Faktor kosten K(x) angibt . h') Welche O utpu tmengen müssen prod uziert (und abgesetzt) werden, damit die Unte rnehmung in der Gewinnzone prod uziert'!

2..3.4 Exponentialfunktionen Zu den wicht igsten nichtalgebraische n Funktionen (transzendenten Funktion en ) gehören die Expo nentialfunktionen: n-r, 2,3.94: Man nenn t die für alle xe IR definierte Funktion f mit Exponentialfunktion.

Betsptcl 2.3.95:

i)

y

= 2x ;

il)

Y = (+)"

= 2-'

; iii) y

I fex) = a I' a e IR+\ {I },

= c-' ""

X

2,71828'

.

Bemerkung 2.3.96: i) Der strenge Beweis f ür die Existenz von u'- für alle XE IR kann an dieser Stelle nicht gef uhr!werden. ii) Die Basis a in a'- sollte lmgleieh Eins sein, da andrmfa lls dir Exponcnüalfunktion in den trivialen Fallderkonstanten Funktton mit y = 1 ~ eIlta rlr/~.

2.3

119

Elementare Typen von Funktionen

iii) Der wesentliche in derf onn alen Darstellung zum A usdruck kommende Unterschied zwischen Potenzfunktion (mu fex) =x a) und ExporwIltialfimktwn (mit f(x ) = a X) bestehtdarin, dass im ersten Fall der Exponent (» a) konstant, im zwei/eil Fall derExponent ( =x) variabei ist. Cl· af/ (>:) +c2· ah (x) + ... Auen zusammenges etzte Funktionen des Typs f(x) = g () /i (J (mit f / x), g;(x) algebraisch) heißen Exponentialfunktionen. b 1 · a 1 x +b 2 · a 2 x +...

i~)

Beispiele: ~)

f ex) = 7· rs

,

fex) =

/i

4r Xf 2 + 1 3x +4

-,

Die allgemeinste Exponentialfunktion ist 110m Typ: fex)

= g(x)h(x) ,

z.B. f ex)

=XX

oder

fex) '" (2 +lr: rx)

X2 - J

.

Abb . 2.3.97 zeigt die Graphen einiger Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Bastszahlen.

\

\

Abb.2.3.97

(tl

\ \

\ e- x

\

2'

\

\

\

B

\

\ \ \

Es gilt stets;

\

\ \

( a e lR+;x e lR)

\ ,

"~

_f

0

An Ahh. 2.3.97 werden die Eigenschaften der Exponenlialfunktionen aX deutlich: Fall I:

8 ,

Beispiel:

f(x) = c X

:

i) Definitionsbereich D, = IR ; Wertebereich W f = IR. + (d.h. f: f(x) = cl[ ist stet s posnlv) . ii ) f ist in Of streng monoton steigend und nähert sich mit abnehmendem x (d.h. von rechts nach links

betrachtet) immer me hr dem Wert O.

iii ) f verläuft (wegen a O = 1) durch den Punkt p(O; 1) . Fall 11 :

I 0 < a < I I, Beispiel: f(x) = (-;- y;: = e- x;

I) Definitionsbe reich Of = IR : Wertebereich Wf = IR+ (d.h. f: f(x) = e- x ist stets VO"ith') ii) f ist in D, st reng monoto n fallend und nähert sich mit wachsendem x immer mehr dem Wert O. iii) f verläuft (wegen a(} = 1) durch den Punkt p(O; I ) .

Bemerkung 2.3.98: Da man z.B, e-x aus eX durch Vertauschen von negativen mit belrag.lglei,he!J p ositiven Argumemt'/l erhälr, agibt sich der Graph von e-x aus dem Graphen von eX durch Spiegelung {In der (.u nkrechlfl/) Ordinatenachse.

2

120

Funktionen einer unabhä ngigen Variablen

Bemerkung 2.3.99: i) Exponentialfunk tionen des Typs [ (x) '" eg(x) (g(x) algebraisch) sind f ür die Be-

schreibung vieler technischer und ökonomischer Vorgange - vor allem wenn sie mit Wach.l"turn oder Z erfall zu tun haben - von großer Bedeutung. A uch f ür die Bereiche der reinen Mathematik: und der

Stutis'ik gehörendie Exponentialfunktionen zu den wichtigsten Flink/ionen. ji) Jede Potenz aX (1.1 > 0) kan n in eine Potenz Zfl r Basis e umgeform t werden: Wegen u = (siehe Kap. J.2.3.3, (1.2.85») gilt: aX = (eln ay '" r -ln 0 ,1.8 . 7 x = e X 'In 7

A nalog:

g(x)h(x) '" I.jl(x) -ln g(x)

Aufgahe 2.3.100:

(g> 0) .

Man ermittle den maximalen Dcfinitionsbcrcich und die Nullstelle n von

I) f(x) = 3c- x -

e2"

j

iv) k(x) = 3xz·e -· 2_ 12e- x2 ;

2..3.5

elll a

, -, \I) p{x) = 7 'e

%+3 .

Loga rit hmusfunkt ione n

Da die Expon entialfunk tion f: y = aX , a E IR+\ {I} in ihrem Dcfinitionsbcreieh IR streng monoton ist, existie rt ihre Umkeh rfun ktion r-I , siehe Satz 2.2.16: Dd. 2.3. 101:

Die Umkehrfunkt ion f - 1 zu r Ex ponentialfunk tion f mit y = a X (y = CX) (a >O ; a e l } heißt l .ogarithmu~run klion ' b'e$e hri ehen :

(f - I : x = In y) . Ihr Definitionsbereich Df ~ 1 ist gleich de m Wert ebe reich W f der Expo ncntialfunktion: D r- I = W, = IR-. Ihr Wert ebereich W, _I ist IR ( = D r) .

,xi Abb. 2.3 .102 zeigt die Verhältn isse am Beispiel

f: y = e'

und

r -'. x = logS

= In y.

x = In y ergibt sich aus y = e" graphisch du rch Spiegelung an der " lnkelhalh ierenden des I. und IlI . Quadran ten (unter Beach tung der Konvention, dass die unahh ängige Variahle stets auf de r Ahszis~e abge trage n wird, siehe Bemerku ng 2.1 .10

ii».

y

= e~

Abb. 2.3, 102

;(-~-~

lxi

Iy':

x = lny

Aus Abb. 2.3. 102 werde n die Etgensche tten der Llgarilhm llsfunklion log,. (f ür a > I ) deu tlich: i)

Die Lo garithmusfunktion ist streng mon oto n steigend.

ii) De r Dcfinitionsbcrcich der Logarithmusfunkt ion umfasst nu r d ie positiven reellen Z ahlen IR+ (so ist etwa In 0 oder In (- 2) nicht delini ert !). iii) Die einzige Nullstelle der Loganthrnu sfunk tlon liegt beim Abszisscnwcrt , 1":

loga 1 = O.

h') Wenn x > l , soist log,.x posi tiv, wenn x -c 1, so ist 10&." negativ. v) Wenn sich der A rgumen twert de r Z ahl Null nähert, so fällt der w ert der Logarithmusfu nktion un ter jede negative Schranke.

2.3

121

Elem ent are Type n von Fun kt ionen

Bemerkung 2.3.103: i) Für die Gleichung der Umkehrf unk tion vun f: y = e~ schreibt m an x = In , (logarithm us naturalis], f ür die Umk ehrfunk nonsgieichung von f: y = J(}" schreibt ma n x = Ig Y oder x = log y (dekadischer Logarithm us). ii) Die Umformung von Funk uansterm en, die Logarithmen enthalten, geschieht mif Hilfe der Logorilllmellgeserze, siehe Kapifef J .2.3.3:

Beispiel:

LI:

Joga (u' v) = Joga u + loga v

L2:

/oga ( V' ) = Joga u - Jogav

L3:

/08aul' = v ·loga u .

u

s

f(X) = In (xS . ~ ) = 5 ·Jnx

1

+3 In (x +l),

(x> 0) .

Zu den im Z usamm enhang m it logarithm ischen Umfonnungen auftretenden Fehlern siehe Kap . J .2.6. AUfgabe 2.3. 104: Man ermittle den maximalen Dcfinition sbereich, d ie N ullstellen sowie die Umk ehrfunkt ionen (hzw. Umkehrrelationen} der nachfolgend defi nierte n Funktionen f, g, k, h mit:

I) iv)

= In ~ ; h(u) = In u + In r;;cT .

f(x)

ii)

g(p) = In (

~

iii )

) ;

k(x) = ln (x+l ) +ln x

2.3.6 Trigonomet rische Funkt ionen (Kreisfunktionen, " 1nkelfunklionen) Zur De finitio n dieser Fu nktio nen ste llen wir uns einen Kreis vor mit dem Rad ius r = 1 (" Einhcitskrcjs~), dessen Mitt elpu nkt 0 im U rsprung eines u.v- Koordina tensys tcms liegt, sichc Abb. 2.3.105 :

C

M (0.1/

pfu,vJ e-r-

0

-,

x

-,

8

(-f.{J!

E

iui

(1,0/

Einheitskreis (Radius = "

f Abb. 2 .3. 105

G

(0.--11

De r Radiu s 6P (L änge : r = 1) m öge nu n gcgen den Uhrz eigersinn (in " mathematisch positiver D reh ric ht ung") um den U rspru ng 0 rotieren, beginnend in der Ausgangslage OB.

oe.

Nacheinander e rreicht so de r Radiusstrabl die Posit ionen 15P, 00 usw., um nach einer volle n Umdrehu ng wiede r in die A usgangstage OB z urückzu kehren. J ede weit ere Rotat ion liefert erne ut die scho n bei der ersten Umdreh ung angenommenen Posit ionen, ein ident ischer Zyklus beginnt.

2

122

Funktio nen einer unabhängigen Variablen

Betrachten 'Wir nun im Verlauf der Rotation irgcndcinc Situalion, z.B. OP (fettgedruckt in Abb. 2.3.105). Die Spitze P des Radiusvekto rs besitzt d ie du rch die spezielle Lage def inierten Koordinat en u (= waa gerechte, horizon tale Koord inate, Abszissenwert von P) und v (= senkrech te, vertikale Koordinate, Ordi natenwert von P). Im gleichen Maß, wie sich nun der Winkel x bei diesem Rotationsvorgang äoden, ändern sich auc h die Koordinaten u;v der Ra diusspitze (P). (Lediglich die Länge r (= 1) des Radius bleibt bei der Drehung unverändert.] A us diesem G rund ändern sich mit Variation des Winkels x auch die Seitenverhältnisse

dick gezeichneten Dreieck, m.a.w., diese Sen enverhä nutsse sind jeweils Funktionen des Drehwinkels x .

v

u

7 ' -;:-

v

im u

(wegen r = 1: , = v; ,

=u)

Diese Funktio nen haben sfX:zielle Namen. nämlich Sillusfullklion {sinx) und Coslnusfunküon (cos x): (Sinus, Costnus)

Der. 2.3. 106:

,

.

sm x ,= -

(2.3.107 a)

bzw. (falls r = 1)

t

(2.3.107 b)

sin x '= v (sieheA bb. 2.3.1(5)

cos x '=u

Bemerkung 2.3.108: in A nbetracht der Tatsache, dass diese Funktionen am Kreis veranschaulicht taw. definiert werden können, nennt man siehäufig Kreisfunknonen. Die Tatsache, dass sie Funk tionen eines Winkels .r sind. fühn zur alternativen Bezeichnung Winkelfuntaionen. Eine drille Bezeichnung schließlich trägt der Tatsache Rechnung, dass diese Funktionen durch die Seaenvernatnusse in einem (rechtwinkligen) Dreieck (sieheAbb. 2.3.105) definiertsind: trigonometrische Punkno nen. Die Sinus- und Cosinusfunktlonc n sind nicht die einzigen Kreisfunkti onen. Bezugnehmend a uf Ab b. 2.3.105 definiert man die Tang enstunkuen (tan x) und die Cotangensfunklion (cot x) wte folgt:

Der. 2.3.10 9:

(Tangens. Cotengens) sin x

cos x e

v

(2.3.110)

tan x '= - - = cos x II

(2.3. 111)

eot x ,= - '- = ~ lan x sin x

(u

=.E..v

* 0)

sin x (v

ü

(sieheAhb.2.3.105)

*0

* 0)

Bemerkung 2.3.112: Die Definitionen der trigonometrischen Funktion (vgl. Der 2.3.106/ J09) stimmen überein mir den allgemein beka nnten elememargeomemschen Definitionen (Im rechtwinkligen Dreieck:

"'.'·~'c'k""O"C"e"'- = _' sinx= ~,G ros x =

Hypoehcnuse

r

A I/kurhete

u

Hypoehenus e

r

,

lan x =

Grgenkuthele = A I/k urhele u

cot x =

Ankuthete u =Gegenkathete v

Hypothenuse

r

a

x

Gegenkathete

,onx

u = Ankathete von x

3 Strenggenommen müsste man anstattvon ~ Gegenkathetev" von der"M"lßlahl v derLängeder Gcgcnkathcte'' sprechen usw. Solangekeine Missverständnisse zubefürchten sind, werden wir dic kürzer e und bequemere (wenn auch nicht ganz korrekte) Sprechweiseverwenden

2.3

123

E lementare Type n von Funktionen

Wühlt man jeweils eine (geeignete) Seitenlange des rechtwinkligen Dreiecks mit dem Wert ,,1 " vor, so ergeben sich anschauliche Interpretationen der Kreisf unk /ionen:

~/an x cos x

1

col x

Es ste llt sich nun hera us, dass es für mathema tische Anwend ungen zweckmäJlig ist, de n Winkel x nic ht im G radma ß (0°,3 0°,90° , ...) zu messen, sond ern im sogenannte n Bogenmaß.

Weil be i fest em Rad ius (hier wurde r = 1 ("E inheitskreis ") gt:Wähll) dem Mill elpunktswi nkd 'P umkehrbar ei ndeut ig die en tsprec hende Bogenlange x zugeord net ist, kann ma n (stall 'PJ genausogu t die Bogenlänge x (im Einheitskreis) als Maß für de n Winkel 'P nehmen:

AM . 2.3. 113

Der. 2.3. 114: (Bogenma ß eines Wink els, A bb. 2.3.113) Das Bogenmaß x eines Winkels 'P ist die LUnge x des zugehö rigen Bogens im Ein heits kreis.

Da (im Einhcuskreis] zu ei ner vollen U mdrehung (d.h. zum Vollwinkel 36ff') die volle Kreisboge nlänge 2."1"r l = 2.'l gehört 4 • gilt für Teilwinkel die Propor tion r= 1 Teilbo gen Voll bogen

(2.3. 115)

Te ilwinkcl (o) Vollwinkel ( 0)

d. h.

~

'-. n x = 3('0" ·'P = llWo ''P

Daher gilt 5atz2.3, 116: E in Winkel 'P (im G radma ß) hat das Bogenmaß x mit

Bemerkung 2.3.11 7: Entsprechende Winkel im Grad- und im Bogenmaß veranschaulichtdie nachf olgende Tabelle (2.J.II8):

(2.3.118)

4

Wink el im Gradmaß (0 ) 360"

27(}"

Winkel im Bogenm aß (X]

2";1

2.

3

180"

9(}"

"

st

x

2

3

60"

57,30"

1

W

30"

0"

•4

•6

0 usw.

Die Kreisza hl :r ist (als VerltiIllnis l' VJI UmJallg und Durchmesser eines Kreises) clnc sogenannte transzendente Zahl (dahe r ist auch die be rühmte " Qu adWlUr des Kreise s" unter aussc hließlich klassischer Benutzung vö n Zir kcl und Lineal unmöglich). Für Pt-Fans hier die ersten ~6 Ziffern: st = 3, 1-1- 159 26535 K9 793 238-1-(, 26-1- 33 83279 502 KK-1-197 1 69399 ...

124

2

Funktionen einer unab hängigen Variablen

W ir sind jetz t in de r Lage. die Eigenschaft 4) lösen. Einer ge schlo ssen en ~ fonn e l m ä ßi gen" Lösu ng widerset zen sich La . a uch transzende nte G leichungen, in den en Potenzen, E xpo ncntialausd rücke und /oder Logar ithmen nebeneinander auftrete n. Beispiel 2.4. 1: I) Folgende Gleic hungen lassen sich nur mit relativ hohem rechentechnischen A ufwand geschlossen lösen:

a) b)

4x 3 - 6x 2 + 2x - 7: 0 x4 - 2x 3 + 8x 2 - x = 13

(Gle ich ung 3. Grades) ; (Gleichung 4 . Grades) .

ii) Die Lösungen folge nder Gleic hungen lassen sich nic ht in geschlossener Form angeben: b) e' + x = 18 ;

e) In x+ e!' =x 2-l

d) eosx = x .

Von den zahl reichen 1"\äherungswrfahren zur Gleirhu l1g.~lösu ng wollen wir hier die sogenannte Regula falsi be handel n, die sich dur ch einfachc H andhabung und hoh e Wirksamkeit a usze ichnet. (Nach Bereitstellung der Diff erentialrechnung werden wir in Kapitel 5.4 noch eine weitere Methode - das ßNewtOI1 - Ver-

[a hrcn" - kennentemen.t D ie Lösungen einer jede n Gleichung f(x) = 0 lassen sich auffassen als die 1"\u1 lstellen der Fun ktion f mit y = f(x) . Wir betracht en nun eine Funktio n f , die im untersucht en Intervall stetig ist und dort gcnau ein e N ullstelle i besitzt, siehe Satz 4.6.7; Bcm . 4.6.8; A hh. 2 .4.2 .

2

128

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Nu n cnn ittclt man (etwa dur ch Prob ieren) zwei Stellen (Sta rtwert e) XI' x 2 mit t{x]) ' f(x 2) < 0 (d.h. solch e Stellen x I' x2' in denen die ent sprechende n Funkuonswerte f(x l) und f(xl) unt erschiedliches Vorzeic hen besi tze n). Dann muss (da f steti g ist) zwischen x, und x2 die gesuchte N u1Jstelle x liegen, siehe Abb. 2.4 .3:

I

to

P,

I (I!

I gesuchte

Nut/stelle

o

0

\

(x! ffx/I
6 siehe hierzu elwa [66]. Kap. 5.

2.5 Beispiele ökonormscher Funkt ion ell

2 .5

131

Beispiel e ökonomischer F u n ktione n

In nahezu allcn Be reichen de r Ökonomie werden zur Besc hreibung und Er klärun g ökonomisc her Sachverhalte Funktionen verwende t. Die Funktion ist gleic hermaßen das mathematische Mod ell der zugr undellegenden öko nomische n Stru ktur.

Polgeode Ein rz)-Koordinatensystem könnte eine derartige Isoquamc ctwa folgende Gestalt haben (Abb.2.5.17):

136

2

Um einen Out put von xlJ '" 6 ~ E produzieren zu kön-

1{21i

nen, benötigt man z.B. 2 ME von Faktor 1 und 4,5

ME von Faktor 2 od er alternativ 9 ME von Faktor 1 und 1 ME von Fak tor 2 usw.

Z u jedem festen OUIIlut Xo ( = const.) gehört La. genau eine Ertragdsoquante. so dass die zugrundeliegende Prod uktionsfunktion als Schar von Isoquanten im (r l• Tz)-Koord inatcnsystcm darstell bar ist (s. A bb. 2.5.18).

Funktionen einer unabhängigen Variablen

(2; 4,5/ /

'51 ~

x o = 6M[ (9,. tl

2

I

Irt)

9

Abb 2.517

Die Funktionsgleichung f2 '" f(t l ) der Isoquantc mit xI) = const. ergibt sich aus der zugrundclicgcndcn Produktionsfunktlon x '" x(rl' TZ) d urch Ko nstantsetzen von x ( = xo) und anschließendes A uflösen na ch [2'

x=6

Bei\pi el:

x = x(rl'

=>

6 ""

TZ) '"

2~ ; x '" Xo '" 6 = const.:

2~ ~ .2. ,, '" TZ

o. >0)

o

Abb. 2.5. 18

(Isoqua ntcnglciclmng für de n Dut putxj = 6 ME = CO IISt.)

(5) Kostenfunktion Zu sammenhang zwischen - Oulput x (Prod uknonsmc nge, Besc häftigung; in M E ) und - Cesamrkcst en K (in GE) für die Produktion des O utputs x ;

Schreihweise: K = K(x) ,

Bemerkung 2.5.19: i) Üblicherweise u r/rgtman die Gesamtkosten K(x) in die beschii[/igung,l'unuhhiingigen fu en Kosten Kf ,= K(O) = const. (auch . Kosten der Produktionsbereitschaft " grnannt) und die von der Art und

Höheder Besch äftigungabhangenden voriabien Kostm K,.(x): K ();) = K,,();) + Kj

I.

ii) Fass/ man die Kasten K(x) auf als den (mit dem Faktorpreisper)) bewerteten Faktorvrrhrauchr(x) für dir Produktion VOll x ME (wobei r die Umkellrjilllktion der zugrunde liegenden Produk tions[unktion x ist], so erhüh ma ll zu jr!der Produktionsfunktion x mit partieller Faktorvariation dieentsprechende Kasten[unktion K' x~K(x) mit: K (r ) = P. · r ex)

+ XI

(sieheAbb. 2.5.20),

Werden samtliehe Produktionsfaktoren variiert (totale Fek torvariation), so ergibt sich die zugehörige Kostenfunk tion durch diesog, Minimallwstenlwmbinatian, sieheKapitel 7.3.3.1.

(x!

01

(ri Abb. 2.5 20

2.5

(OUIpUl x

Typische Ko stenverläufe können sein i)

137

Beispiele ökono misc her Fu nkt ionen

~

0) :

Ertragsgeseuhche Kostent unknon K, z.B.: K(x) : O,01x 3 - x 2 + 60x + 800 . E s gilt : KJx) = 0,01x3 - x2 + 60 x und

Kr :

(siehe Abb. 2.5.21 i» .

K(O) = 800

ii) Necklasstsehe Kostenfu nktion K. z.B.: a ) K(x) = 0 ,1 x2 + 200 (mit K,,(x) ~ 0, 1x2 und Kr = K(O) ~ 2(0 ) ; 36 b) K(x) = 0,5x + 1 + x + 9

(mit

c) K(x) : 36 · eO.Oh + 2009

(mit Kf : K(O) : 20-15 (I) und K,..( x) : 36 ' eo,Oh - 36),

Kr ~ K (O) ~ 5 (1)

lind K,..(x) = 0,5.'1: -

~

36

+ x+9 ) ;

siehe Abb. 2.5 .2 1 ii) K(x) '" 0.8x + 100 : K(x)

iii) Lineare Kostenfunkt ion K. z.8.: E s gilt: KJx) : O,8x und

Kr

= 100

I IK!

(siehe Abb. 2.5.2 1 iii) .

IK!

Kfx)

n

--

- - - - - - - - - - -:;.-; ;/

~~ 1 ....... I

fil

/

fii}

Kr/xl

(

/ K( ' - ---

K{x!

KM

/ /

/

/

/ / /'

K(

'--.---- - -------,(------

01 c=-. _ . . . ./ /

{xl 0

(xl _

I

K(

-~~~~------- - -

Ix! --""

"" '-)"'-----

Abb.2.521

Im Zusammenha ng mit der Erschei nung sogenannter prod uktionsbedin gter Anpa....s uugsprozesse kön nen Kostenfunktionen auft reten, die absc hnitts weise definiert sind und /oder sich aus Kombinat io nen de r o ben angefü hrten Typen dars tellen lassen: Beispi el 2.5.22: Gegebe n sei die Gesam tkostenfunktion K: x I--+ K(x) durch (siehe A bb. 2.5.23 ): K(x) :

I

0.25x + 3 O,25x +5 n.Snx + 3 O,125x2-2.5x +2 1

Hi T O<x S -I (I) für -t cs s 8 (11) für 8 < x S 12 (111) für 12 <x S 16 (IV) .

Die vier a uftretenden Abschnitt e könnten z.B. folgendennaße n inter pretie rt werden : Pha se I: linea re Kostenfun ktion

("GrundJaslj

Phas e 11 : quant itat ive An passung (z.B. zusä tzliebes Aggregat) ~ sprun gfixe Kosten Phase 111: zeitl iche Anpassun g (z.B. Überstunden) ::::} erhöhter variable r Kostensatz Phase IV; intcnsitätsmäßigc A npassung (z.B. höhere Drehzahl) ~ überpropo rtionale Ve rschleiß kost en .

.1'r-"

Abb. 2.523

•

~r

F

11

IV

111 12

Ix! 16

2

138

Funktionen einer unabhängigen Variablen

D ividiert maß die Gesamt kost en K(x) du rch den entsprechend en Ou tput x, so erhä lt man die Kosten k(x). die die Produktio n einer einzigen Einheit des G utes im Durchschnür kostet, wenn insgesamt x E inheit en prod uziert werd en. Daher nennt man die Fun ktion k mit

k(, )

(2.5.24)

K (x )

= -

du rchs cbnmhche Oesemtkosten oder gesa mte Koste n 111'0 Stück. (Sluckkoslen)

x

Analog nennt man

~ (')

kJ, j =x-

(2.5.25) und

I

(2.5.26)

k, ,) = K, x

Wegen K(x) = KJx) + Kr

durcbscbnlunc he vartable Kosten (variab le Kosten pro Stück) Istuckvoriable Kosten)

I

du rchschmnnche fixe Kosten (fixe Ko sten pro Stück). (stückfixe Kosten) K {x )

gilt;

Kv(x )

+ Kt

x k(x) =

~(x) + k, (x)

K,,(x) Kr =--, x x

d.h.

I ,d.h.

Die Ges amtkosten pro Stüc k ent stehen durch Addit ion von variablen und fixen Kosten pro Stüc k.

I lkl

Beispiel 2.5.27: Ertragsgesetzflehe Gesamt kostenfunktion (sieh e Abh. 2.5.2 1 i)): 7

kfxl

K(x) = + x3 - 2x2 + 10x + 72 . Die Stückkos tenfunktionen ergebe n sich somit zu: K( x)

1

K,,(x)

1

72

k('j = - - = - x 2 - 2x + 1O + ; x 3 x 2 - 2x + 10 ; kjx) '" -, - = -x 3 ~

K, k, , ) = x

n

=-

x

; vgl. Ab b. 2.5.28.

5

Man kann de n Wert der Durr hschnlt tskesten k(x) =

__

lxi

10

I IKI

---x- au f graphischem Wege ermittel n, wenn der G raph

K

der Ges am tkostenfun ktion K vorliegt: Daz u zeichn et man für eine aebe nc Ou tput menge x den zugehörigen Fahrs tra hl (vom Urspru ng 0 bis zum entsprechenden Kurvenpunkt P, auch als "O rt~­ vcktor" 5P bezeichnet. siehe a uch Abb. 9.1.17) und vervolls tändigt diesen Fahrst rahl d urch das darunterllegcndc Steigungsdreieck.

or

7

~

Abb.2.528

K (x)

Man sieht (Abb. 2.5.29):

"

-.J

o

p

KM

Abb.2.529

+0 ; ------'_ --+--1-_ .- -

-

lxi

x

X --1

Über die allgemeinen Zusammenhänge zwischen den Graphcn von Ges amtkosten- und Stückkostenfunktionen siehez.B. [67J.

2.5

Beispiele ökonomischer Funktio nen

139

De r Wert K{x) der Stückkos ten k(x) für den O utput x ergibt sich als SteigUllg ta n a des zum Punkt x (x ; K(x» gehörigen Fabrs trahls a n den Graph en de r Gesamtkost enfunktion K:

k(x)

K (x) :0 -

x

'"

tao «

Dieser Sachverhalt läßt sich auf je de Durchschnittsfunktion f(x) verallgemeinern:

x

Man erhält den Wert

f(x) der z u f gehörenden Durchsch nittsfu nktion als Steigung des zur

x

Stelle x gehörenden Fahrstrahl s an den Graphen von t{ x) . Näheres zum Thema ~ Fa hrs t ra hl analyse " folgt in Kapitel 6.3 .2. 1.

(6) Gewinnfunktion Zu sanun en hang zwischen -

Produkti onsmenge x. die prod uziert und am Markt umgesetzt ....'ird (in ME ) zugehörigem Betriebserfolg G [ Betr iebsgewinn, Gewi nn) (i n G E).

und

Da sich der Ge....'inn G(x) definitionsgemäß a us der Differenz von Belriebser1mg ('" Erlös) E(x) und Kosten K(x) ergibt, gilt die gr undlegende Beziehung

(2.5 .30 )

Wegen E(x) = x -p(x) , siehe (2.5.7) , ergibt sieh aus (2.5.30): G(x) = x ·p(x) - K(x)

BeisllieI2.5.3 1:

Gegeben sei die Gesamtkostenfunktion K: XH- K(x) mit K(x) = x 3 - 12t 2 + 60x + 98,

x

~

0,

i) Der :\larktpreis p des produz ierten O utputs sei konstant (polypoli.Hischer Fall), z.B.

p = 52,50 GE/M E. Damit lautet die Erlös f unktionG(x)

:0

E(x) - K(x)

:0

E(x) '" 52,5x sowie die ents prechende Ge....'innfunktion: -x! + 12xL 7,5x - 98 , (siehe Ab b. 2.5.3 2) .

ii) Absetzbare Menge x und Marktpreis p seien über eine P reis-Absarz -Funküon verknüpft (wie e twa im monopoli stischen Fa ll), z.B.:

p(x) ::>

= 120 -

1Ox ~ E(x)

= x 'p(x) = 120x -

G(x) = E(x) - K.(x) '" - x3 + 2x 2 + 60x - 98

lOx2

(Iiehe Abb. 2.5.33 ):

2

140

Funk tionen einer unabhängigen Variablen

IKI

lEI

/EI IKI IGI

IGI

100

lxi

01G1 0 -c

-100

',

i

posi/iver

: G 0) heißt auch "Gewilmiinse". ii) Zur Bestimmung des Oewinnmaximums siehedieAusf ühmngen in Kapuet 6.3.2.3. iii) Zur Ermiutung der Gewinnsc!lwe[len muss die Gleichung G (x) ~ E (x) - K(x) '" 0 hzw. E(.t) '" K(x) gelä,'I/ werden. Im vorliegenden Beispiel empfiehlt sich dazu ein geeignetes Naherungsverfahren,

z.B. die Regll/a fu /si (Kap. 2.4) oderdas Newton- Verjahren (/VIp. 5.4). In A nalogie zur Bild ung der Stückkostenfunktion erhält man aus der Gewi nnt unk tion G(x) nach Division durc h die z ugehörige Menge x die Stückge""'innfunklion g mit: (in GE/ME)

.

Die Werte g(x) geben an, wie groß der durchschnittliche Gewinn (Bctriebsetfolg) pro abgese tzter O utputeinheit ist, wenn der gesamte O utput x ME bet rägt.

w ege n (2.5.35)

G(x) = E(x) - K(x)

::::.

G(x)

eoo

K (x )

x

x

x

1 g(x) = p(x) - k(x) I. d.h. "StückgL'\vinn = Preis minus Stückkostcn".

Bemerkung 2.5.36: Berücksichtigt man in den Stuckkosten nur den variablen An teil, so nennt man (2.5.3 7)

1

CD(X) '''' p(x) - kvC.x)

1

auch Deckungsbeitrag (pro Sn'ick) oder Stück· Deckllllgsbeilrag. Der gesamte Deckllllgsbeitrag G n(x) = cll x) .x ergibt sich analog als Differenz zwischen Gesamterlösunä gesamten variablen Kosten: (2.5.38)

1 GD(X) =

E (x) - KvCx)

1

( ::::.

Deck ungsbeitrag - Fixkosten = Gewinn) .

2 .5

141

Beispiele öko nom ischer Fun ktionen

(7) Konsumfunktion U nter einer (makroöko nomischen] Konsumrunjnon C mit C = C(Y) versteht ma n einen funkt io nalen Z usamm enhan g zwischen -

Volks einkommen bzw. Sozlajprodukt Y (in GEIZ E) und gesamtwirtschaftlieben Au.~gahell C für Konsum güter (in GE IZE ) .

J e nac h t heo retischem A nsatz (z.B. Keynes, Fr iedman ...) ergeben sich unterschiedlic he Einkommens- bzw. Konsumbegriffe sowie un tersc hiedliche (stets monoton ste igende ) Funkt ionsverläufe. H äufig unters tellt ma n eine lineare Funktion mit C = CO+c 1' Y ;

(co>O ; Oy- -

niereo: (2.5.40 )

IYI

/ -':"'- -C< y-

/

SIYl

21/ ,,0

C~ y

IYI

/

S(Y) = Y - (0,6Y +4) = O,4 Y- 4

5,0

die Z usammenhänge.

Abb.2.5 4 1

Nebe n ge samtwi rtscbattlic hen Konsumfunktionen b>ibt es auch einzelwirtschaftliche (mikroökonomisehe) Konsumfunktionen. in denen der Z usammenhang zwischen dem E inkommen Y ciocs H aushaltes und seinen Ausgabe n C für Konsumgüter besc hrieben wird. H andelt es sich dabei speziell um Konswnfunkt ionen. die die Nac hfrage nac h bestimmten Konsum gütern (z.8. Wohnung. Nah rungsmitt el, Kleidung....) in Abh ängigkei t vom H aushaltseinkommen beschreiben, so spricht man auc h von Engelfunktionen (nach dem Sta tis tiker E . E ngel, 182 1- 1896). E inige Typen von Engelfwlklionen sind: i) Potcnzfunktionen:

(a. b > 0) ii) Gebroc hen- ratio nale Funktionen:

2Y

a) C =Y+ l; iii) Exponentlalfu nktionem

b) C = 2

,

C = a - C)"

Y- I

Y+ 2

,

z.B.: C= 2 ·e)"

c) C = O,S Y

.Y..:..!. Y +2

(sieheAbb. 2.5. 42):

2

142

2 I _.{Cl

Funktionen einer una bhä ngigen Variabl en

Sdlti'gungswerl _ .~

2

l tct

Söltigungswen

--------- - ------ - - - --- - -.

bd

ur b J

ii/ oJ

!""- -

-

-

I r}

o

IIC}

,

(Y)

2

I

I r}

0

5

r >100.

x(r) mit der Gleichung:

(x: Output (ME,l : r: Input [r...tErJ ) .

Der Preis Pr des variablen Produktionsfaktors betrage 2 € /ME" de r Marktpreis Px des Produktes betrage 30 € / ME x' i)

Man ermitt le d ie G esam tkoste nfunktion K(x).

il)

Man ermitt le die Gt:winnfunktion G(x).

iii)

Man ermi ttle die Gewinnschwellen .

i ~')

I nnerhalb welc her Outputwert e ist der

- Stückgewinn - Deckungsbeitrag - Stückdec ku ngsbeitrug positiv'! Aufgahe 2.5 .58: De r Wied crvcrka ufswert W(t) (in € ) eines PK W sei in Abhä ngigkeit von sein em A lter t (in J ah re n) d urch folgende Funktionsgleichung gegeben:

W(t) = 10.000 ' ~5+-; ; i)

re

ü

Nach wieviel J ah ren ist der Wiederverka ufswert a uf Null ( 'OO Schrottwert) abgesunken?

ii ) In welchem Zeit punkt beträgt der gesamte Wertvcrlusl 60% des Neuwagcnwertes ?

Aufgabe 2.5.59: Eine Ein- Prod ukt-Unternehmu ng produziert ihren O utp ut x (in ME) z u fotge nden Gesamtkosten K = K(x) (in G E ): K(x) = 200 ' eo'olx + 400 ,

x 2:0 .

i) Man ermitt le die H öhe ~ de r Fixkost en.

ii ) Wie hoc h sind die.durchschnittlichen variablen Kosten für einen Output von 120 ME ? iii) Der O utpu t kan n (in beliebiger Höhe) zu einem Preis von 30 GE/ ME abgesetzt werden. Man e rmitt le d ie Gewinnzone der U nterne hmung. (Näherungsverfahrenl] Aufgahe 2.5.60: Ge geben sei eine Prod uktionsfunktio n x durch folgende Zuonl nungsvorschrift:

x(r) = -2r + 8r3 + 27 r2

(r: Input, in ME, ; x(r): Output, in ME).

Für welche Inputwerte ist diese Funktion ökonomisch sinnvoll definiert? Aufgabe 2.5.6 1: Ein Handelsunternehmen kann das Prod ukt P zu einem Preis von 140 € / ME a bsetzen. pm Monat werden da nn 600 ME nachgefragt. Bei Preiserhöhung auf 170 € / ME reagieren die Kunden mit einem Nachfragerückgang auf 500 ME / Monat. Die Nachfr age fu nktion x: Pl-+ x(p) (x: Mcnge (ME/ Mona t); p: Preis (€ / ME» ist vom Typ x(p) :

a p+ b '

a,b E lR .

Wie m üssen die Konst anten a und b gewählt werden, damit die n.a. empirischen Preis-I MengenKombinatio nen d urch die Nachfragefunktion beschrieben werden'!

2.5

Beispiele ökonomischer Funktionen

147

Aufgabe 2.5.62: Die monatlichen Konsumausgaben C(Y) eines Haushaltes seien in Abhängigkeit des H a ushaltseinkom mens Y ( ;,>: 0 ) gegeben durch die Funktionsgleichung: C(Y) = 900 + 0,6Y . i) Man enn ittle die Sparfunktion S: S = S(Y) des Haushaltes. ii ) Wie hoch ist das monatliche Existenzminimumdes Haushaltes? iii) Bei welchem monatlichen Ha ushaltsein kommen wird das gesamte Einkommen für Konsumzwecke verwendet? iv) Man ermittle das Haushaltscmkommcn, bei dessen Überschreiten dicSparsumrnc erstmals positiv ....-i rd.

\') Man zeige graphisch mit Hilfe von Fahrstrahlen, dass die durchschnittliche Konsumquote (d.h. der Quotient aus C(Y) und Y) mit steigendem Einkommen abnimmt. Aufgabe 2.5.63: Die Konsumausgaben C(Y) (in € /Monat) eines Haushaltes hängen vom Haushaltseinkonunen Y (in € /:vIonat) in folgender Weise ab: C(Y) = 80 . VO,2 Y + 36 i) Man ennittlcden mathematischen und ökonomischen Definitionsbereich der Konsumfunktion.

ii) Wie hoch ist das Existenzminimum? iii) Von weichem Monatseinkommen an wird die monatliche Sparsumme positiv'! iv) Bei welchem Monatseinkommcn verbraucht der Haushalt für Konsumzwecke gena u 90% seines Einkommens'! (Man sagt, die " Verbraucnsquote" belrage90% bzw. die " SparquOle" betrage 10 %.)

Aufgahe2.5.64: Der monatliche Butterverbrauch B(Y) (in € /Monat) eines Haushaltes hängevom monatliehen Haushaltseinkommen Y (in 100€/MOfW /) in folgender Weise ab: B = B(Y ) = 35 ' e

" Y

,

(Y >O).

I) Man e rmitt le den ökonomischen Defi nitionsbereich und skizziere die Funktion. ii) Wie hoch ist der monatliche Butlerverbrauch bei einem Haushaltseinkommen von 2.800 € I Mo-

nat? iii) Welches Monatscinkommcn erzielt ein Haushalt, dessen monatlicher Butterverbrauch eine Höhe

von 10 € /Monat erreicht '! h ') Man ermitt le und skizziere die Umkehrfunktion Y = Y(B). Wie laute! der ökonomische Dcfinitionsbcrcich der Umkehrfunktion'!

Aufgabe 2.5.65: Für ein Gut existiere die folgende Preis-A bsatz-Funktion :

p= p(x)= 1100 r-- 4rle x + 20 ; x c- ü c pc- ü , x

[x:

Menge (ME ); p: Preis (GEIME )) .

i) Man ermittle den Erlös, wenn 60 ME abgesetzt werden.

ii) Für welche nachgefragt en Mengen ist der Preis positiv?

Aufgabe 2.5.66: Für einen Haushalt seien die [monatlichen] A usgaben A(Y) für Energie (in € /M .) in Ahhängigkeit vom Haushaltseinkommen Y (in € /Mona!) gegeben durch die Gleichung A

= A(Y) = 200 ' ln(Y+100) -750

; Y ;'>: O.

14"

Funktionen einer unabhängigen Variablen

2

i) Die monatlichen En crgicau sgabcn betragen 900 ,-

€ . W ie hoch ist das H aushalrseinkommen?

ii) Bei welchem H aushaltseinkommen bewirkt eine E inkommcnscrh.öhung um 500,- € eine Ste ige-

rung dcr Encrgicausgabcn um gcnau 100,- €? iii) Bei welchem Einkommen werden 20% dieses Einkommens für Energie ausgegeben? (Nähcrungsvcrlahrcn !)

Aufgabe 2.5.67: H uber will ein ncues - nur für Glatzköpfe cnr....tckcttcs - Haa rwuchsmittel vermarkten. Pro abges etzter Men genein holt (M E ) des H aarwu chsmittels erzielt er einen E rlös von 10 Gctdelnhei-

Icn(GE). Er will nun in allenMedien eineaufwendigeWerbekampagne starten, die einmalig Fixkosten in H öhe von 10.000,- GE verursach t und zusä tzlich pro w erbe -Tag 20 ,000 ,- GE ko stet . Die kumuliert e A bsatzmen ge x (in M E) des H aarwu chsmitt els hängt vo n der Laufzeit t (in T agen) der Werbekampagne ab und kann durch folgende Funktion besc hrieben werden: x= x(t)=100.000(1-e- O,II) ,

rs

o.

i) Man e rmittle die Funktionsgleichung G '" G(t ), die H ube rs Gesamtgewi nn G( t) in A bhängigkeit von der Laufzeit t der Werbe kampagne beschreibt.

ii) W ie hoc h ist sein d urc hschnitt licher Gewinn pro Ta g, wenn die Werbe kam pagne 20 T age läuft ?

iii) Welchen Gesam tgewinn erzielt er, wenn er völlig auf die Werbekarnpagne verzichtet" iv) Wie hoc h ist die (Iheorelische) kumullerte A bsatzhöc hstmengc? v) Von welcher La ufzeit an wird der kumulierte Gesamtgewinn erstma ls negativ'!

Aufgabe 2.5.68: In einer Moddl-Vo lkswirtschalt kann die jäh rliche Prod uktio n von Schwefelsäure (Produktlonsm enge: x (in 1.000 I/Jahr)) in Abhängigkeit des erzielte n Brutt osozialprod uktes (ESP) (y, in Mif!jonen €I Jahr) besc hriebe n werden du rch folgende Funk tion sgleichung:

(y > I ) .

x '" x(y) '" 1,2 y°.5+ 420 ,

Im Jahr 2005 wurden 900 .000 t Schwefelsäu re produzi ert . Wie hoch war das ESP in 2005'!

Aufgabe 2.5.69 : Gegeben seien für ein Gut eine Preis-Absatz-Funkt ion eine Angebotsfunk tion P.. mit pix) = 12 + 0,5x , x 2: O.

r

mit p(x) '" 200· e"

O, 2x und

Ma n ermittle Menge x und Preis p (= Pa) im Marktgleichgcwicht. (N ähcrungsvcrfahrcnl)

Aufgahe 2.5,70 : Die Nachfra ge x (in ME/ Jahr) nach einem Marken an ikc1hänge (c.p.) ab von seinem Preis r (in G E /ME) und von den A ufwendun gen w (in G E /J ahr) für Werbu ng (und ande re markcring-politi sche I nstru mente). La ngjährige U nt ersuchungen f ühren zur folgenden funktionalen Beziehung zwisch en x, p und w: x = x(p, w) = 3 .950- 20 p + Y;

;

(p,w> 0).

Bei de r Produkt io n des Artikels fallen fixe Kosten in H öhe vo n 7.950 GEI J ahr an, die stü ckvariablen Prod ukt ionskosten be lragen ste ts 79 GE/ME. Selbstverständlich sind a ueh die jährlichen Mark etingau sgabe n w uls direkte Kosten für den Art ikel anzusehen. Im betracht et en Jahr werden 1.600 G E für Werbung/ Marketin g ausgegebe n. Man ermittle die Gleichung G '" G(p) der Gewinntunktion in Abhängigkeit vom Preis p des G utes .

2.5

149

Beisp iele ökono mischer Fu nktio nen

Aufgabe Z.S.7 1: Gegeben sei eine Investitionsfunktion I , die den Z usammen hang zwischen Investlnons a usgaben I(i) für den Wo hnungsbau (in Mio. €/Jahr) und dem (eff ek tiven) Kapitalmark tzinssat z i (in % p.a.: z.B. i '" 0,08 = 8%p.a. usw.) beschreibt: = 50.000 . ( . , 0 ) I = 1(·) I 250i + l ' I .

Bei welchem Ma rktzinssatz we rden pro J ah r 2 Milliarden € in den Wo hnungsbau investiert'! Aufgahe 2.5.72: Betrachtet werde ein ~ d u rc hschn i ttl ieher" U nte rnehmer. dessen J ahreseinkommen Y mit einer Steuer belastet wird. Ocr Steuersatz s sei vorgegeben (z.B. bedeutet s == 0,6: 60 % der Unternehmereinkommens werden als Steuer an den Staot abge[uhn usw. ); s kann vom Staa t geände rt werden. Langjäh rige Untersuchunge n zeigen, dass die Gesam teinnahmen T des Staat es an d iese rSte uer wiederum von der Höhe des Steuersa tzes s abhängen, d.h . T = T(s). Für die Eckwerte von s (nämlich 0 % und 100%) ergaben sich aus Erfah rung: i) Wenn s = 0 ( ~ 0% ), so benötigt der Staat offenbar keine Steuern, es gilt T == 0, das gesamte Einkorrunen verbleibt heim U nternehmer. ii) Wenn s = I ( ~ 100%) beträgt, so muss der Unternehmer sein gesamtes Einkorrunen an den

Staat abf ühren, daher wird der U nternehmer in diesem Fall - getreu dem ö konomischen Prinzip überhaupt kein Einkommen erziele n wollen, d.h . aueh jetzt wird derStaat keine Steuerein nahmen erzielen, T = O. iii ) Nur wenn der Steuersat z größer als 0 und kleiner als I ist, erzielt der Staat Ste uereinna hmen. d.h. nur in diesem Fall gilt: T > O.

Es werde nun unterstellt, dass d ie eben beschriebene Funktio n T fo lgende Gest alt besitzt; T = T(s) = a ' s ' (1 - s) ; (ü s s s I) ,

a

e

co nst. (>0) .

(T : Steuereinnahmen des Sta3ICS s: SICUCr5:llz)

Man zeige, das s diese Funktio n T die in i), ii ) und iii) beschriebenen Eigenschaften besitzt. Aufgahe Z.S.73: Die H uber AG will ihr neues Prod ukt vermarkten, pro Mengcneinlteit (ME ) erzielt sie einen Verkaufserlös von 50 Geldeinheiten (G E) . Bei der Prod uktion des Prod uktes fallen Fixkosten in Höhe von 5.000 G E / J ahr an, darüber hina us verursacht jede hergestellte Mengeneinheit Prod uktionskosten in Höhe von 4 GE. Um den Markterfolg ihres Prod uktes langfristig z u sichern, beauftragt die H uber AG eine Werbeage nt ur. Bezeichn et man die jährlichen Gcsamtaufwendungen für Werbung mit w (in GE/ Ja hr), so best eh t zwischen nach gefragter Menge x (in ME !Jahr) und Werbeaufwand w (in GE!Jahr) fo lgende fun ktionale Beziehung;

x = x(w) = 1.000 -200 ' c" O,OOlw, (x. w i)

~

0) .

Man ermn nc die Gewin nfunk tion für dieses Produkt in Ab hängigkeit des (jährlichen) w erbeaufwandcs: G '" G(w).

ii ) Wie hoch ist de r Gewinn, falls für Werbung 500 G E!J ahr aufgewende t werden'!

Aufgabe 2.5,74: Die H uber Gmb H produzi ert in der hier bet rachteten Period e ausschließlich Gimmicks. Dazu benötigt sie (außerfesten Inputfo ktoren] einen einzigen variablen lnputfaktor, nämlich Energie.

2

150

Funktionen einer unabhängigen V ariablen

Bezeichnet man die Ges amtheit der in der Bezugsperiode prod uzierten Gimmicks mit m (in kg) und die dafür insgesamt be nötigt e E nergiemenge mit E (m) (in Energieeinheiten (EE) ) , so besteht zwi-

schen mund E der folgendefunktionalc Zusammenhang:

E 0 und c

(> 0).

ii)

P = f(T. V) =

iii)

x = f(p, PI' .... Pn' Y) = 25 - 0,5p+O,l PI+O,IP2+ ... +O,l pn+O.5y mit p, P I' .... Pn' Y ?: 0.

mit T. V

= const.

3

154

Funktio nen mit mehreren unabhängigen Variablen

B emerkun g 3.1.4:

i) Die meisten Begriffe im Zusammenhang mit Funktionen einer unabhängigen Variablen (sieheKapilell.} .}) können sinngemäß unemommen werden. ii) Definiert man den tl-dimensionalen Raum IR" als Menge aller geordneten n- Tupel (x], xl> .n, x,J reeller Zahlen, so kan n man jedes n- Tupel (x J' •••, x,J als Punkt P des /R" auffassen. Dabei bezeichnet man x j als j-te Koordinate des Punktes P = (xb . .•, xJ E !Rn, Der DefiniliollSbereich DJ einer Funk/ion f mit n unabhängigen Variablen x J, .. ., x" besteht dann aus Punkten des n-dimensionalen Raumes IR", d.h. Dj e IR", DerWertebereich WJ ist dagegen nach wie vor eineTeilmenge der

reellen Zahlen IR.

Beispiel; Die Nachfrage x nach einem Gut sei durch den Preis p des Gutes sowieden Preis Ps eines Subsntunvgutesdurch folgende Funktionsgleichung gegeben:

x- = f(P, P.) = 25 - 0,5p + O,IPr Der ( ökonomisch sinnvolle) Definitionsbereich umfa sst nur nichtnegativePreise und besiehtsomit aus Punkten (p, pJ des lR 2 mit P 2: 0; P, 2: O. Die Funk tionswerte f sind dagegen reelle Zahlen: So ist z.8. der Preiskombination (10, 20) = (10 GElME, 20 GElME) die nachgefragte Menge x(= Funksionswert f(J 0,20) Ei IR) zugeordnet:

= 25- 0,5 · 10 + 0,1 '2 0 = 22 ME .. Symbolisch: (10, 20) Ä 22 . Manchmal schreibt mon statt (x-}, xl' ..., x,J kurz x (x heißt auch Vektor des IR"), so dass sichdie /(1 0, 20) = x

;ii)

[ormule Funktionsgleichung in der einfachen Vektorschreibweise y = f(X) ; lässt. (Zum VektorhegriffsieheKap. 9.1. 1)

3.2

xE Di e IR" darstellen

Darste llung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen

A ußer durch eine Funkt ionsgleichung y = f(X) = f(x l •. ..•xJ kann man Funk tionen mit meh reren unabhängigen Variablen auch durch w ertetebenen oder graphisch darstellen. Allerdings wird diese Darstellung desto unübe rsich tlicher, je mehr unabhängige Variable vorhanden sind. Beispiel 3.2. 1: (Dars tellung du rch eine Wertetabe lle)

y = f(x l• x2) = 2(XI)2 + (X 2)2,

I)

X,

x,

-3

-2

-I

0

I

2

3

-3

27

22

19

18

19

22

27

-2

17

12

9

s

9

12

17

-I

11

6

3

2

3

6

11

0

9

4

I

0

I

4

9

I

11

6

3

2

3

6

11

2

17

12

9

8

9

12

17

3

27

22

19

18

19

22

27

(wertctabctlc mit zwei Eingängen)

Z.B. f(-2, 3) = 2(-2)2 + 3 2 = 17 .

3 .2

155

D arstellung einer Funktio n mit mehreren unabhängigen Va riablen xje lR..

ii)

- 1

0

1

- 1

0

1

-

1

0

1

2

- 4

- 4

- 4

- 3

- 1

1

- 2

2

6

3

- 9

- 9

- 9

- 9

- 6

- 3

- 9

- 3

3

4

-16

-16

-16

-17

-13

- 9

- 18

-10

-2

2

- 8

- 8

- 8

- 7

- 3

1

- 6

2

10

3

-18

-18

-18

-19

-13

- 7

- 20

- 8

4

4

-32

-32

-32

-35

-27

-19

-38 -22

- 6

2

-12

-12

-1 2

-11

- 5

1

-10

2

14

3

-27

-27

-27

-29

-20

-11

- 31

- 13

5

4

-48

-48

-48

-53

-4 1

-29

-58

-3 4

-10

" Xl '" 1

Xl '" 2

Xl = 3

Xz = 2

Xz = 1

xz '" 0

"

z.B. f(2, 1, 4.-1)

(wertetabeüc mit 4 E ingängen)

= - 35.

Da s letzte Beispiel zeigt, dass de r Dar stellung mit H ilfe von Wertetahe llen hinsichtlich Übersic ht lichkeit und Variationsb reite dervo rkommenden Variablen enge Grenzcn gesetzt sind. Für die graphi~che Darstellung von y = f( x ) müssen wir uns - sofern der Gesamtverl auf von f dargeste llt werden soll - auf Fu nkt ionen mit zwei unabhängigen Variablen y = f(x l • Xz) bzw. z = fex. y) beschrän ken. da unse re A nscha uung maximal drei R aumd imcnsionen zulässt (zwcifürdicbcidcn unabhängigen Variable n und eine für d ie Funk tio nswert e (bzw. für die abhä ngige Variable)). Zur Veranscha ulichung der räumlichen Verhältnisse in de r Zeic henebe ne nut zen wi r im allgemeinen eine perspektivische D arstel lung. D azu legen wir im dreid imensionalen Raum IR? ein kartesisches Koord ina tensystem mit drei paarweise aufeinander sen krech t ste hende n Koo rdinatenachsen zu grunde. Dan n kann jeder Pun kt P des IR3durch seine 3 Koo rdinate n x, y, z beschrieben werde n, umgekeh rt gehört zu jedem Pu nkt P des lR3 gena u ein geordnetes T ripel (x, y, z) reel ler Zahlen. siehe Abb. 3 .2.2:

,

Izl

I1 Abb. 3.2.2 P(X.y.z)

lxi

' ------~____

11

i , -l ; : --·..1.---1 (y)

3

156

Funkt ione n mit mehreren unabhängigen Variablen

Iflj

Die Darstellung der Funktion z = f(x. y) liefert, da zu jedem Punkt [x, y) E D f genau ein Funkucnswen z gehört, ein (in der Regel zusanuncnhängcndes) Flächen-

1-.

stück im 1R3, Dabei orientiert man im 1R3 das Koo rd inatensystem so, dass der Funkucnswert z der Höhe über (falls z > 0) oder unt er (falls z < 0) der üblichen x, y-Ebcnc ent spricht, siehe Abb. 3.2.3:

Bemerkung 3.2. 4: Gelegentlich bezeichnet man eine räumlich darstellbareFunktionsfläche (Ab b. 3.2.3) von f(x, y) auch als " Funk lw nsgebirge ". Bei dieser Sprechweise ist jedoch zu beachten, dass die Fun k tionsp unk te nur auf der Oberflii·

x

o

lxi Abb.3.2.3

ehe des " Gebirges«liegen können, nicht aber im (massiven) Innem.A ndernfalls müsste es zujedem (x, f wäredann keine Funktion. sieheDef. 3.1.2.

y) mehr als einen Funktionswertgeben,

Da die perspektivische Darstellung räumlicher Flächenstücke in der Zeicheneben e erheblichen geo metrischen Aufwand bedeuten kann, benutzt man zur getrennten (~ partiellen") Darstellung von f häufig ebene Schnitte durch die Funktionsflächc parallel zu den 3 Koordinatenebenen. Dabei hält man eine Koordinate konsta nt und bet rachtet die dadurch entstehende (funktionale) Abhängigkeit der übrigen beiden Variablen, siehe A bb. 3.2.5. Die dabei entste henden ebenen Schnittk u.... en kann man dann in der entsprechenden parallelen Ebe ne darstellen.

Izi (x

= ffl

coasr t

,

" .. .. -

lxi

----:--- I

... ...

~ ~ ~ ~ )... - - - --

Ir

Ir Abb. 3.2.5

Ilzi Bei.~piel3 ,2.6 :

z '" f(x, y) '"

4 - XL

y2

mit x.ye R .

I) Ein Schnitt parallel z ur (x. z)-E bcne (siehe A bb. 3.2.5 I» erfolgt d urch Konstantsetzen vtm y:y '" Yo '" c. Wir erhaltcnfür jcdcs fcstc Yo '" c: z '" f(x, yo) '" 4 - x L e 2 '" k -x 2 • (k e ccnst.}.

Man crhält mit hin eine Schar von Parabeln in der (x.zj- Ebc ne, die d urch Parallclversehiebungauseinander hervorgehen. Abb. 3.2.7 zeigt für cinigc Werte von y '" e die entsprechenden Schnittk urven. die in die (x, z)-Ebcne projiziert wurden.

VZ

/ ' :==.5+2 y = 2__ z =_ x 2

- --,i--,+-c-,,,\---iXJ r»

v,-.

z = _x2 _2

\\

Abb. 3.2.7

3.2

Darstellung einer Funkt ion mit mehreren un abh ängigen Variablen

157

ii) Anal og ergeben sich die ebe nen Flächenschnitte parallel zur (y,z)-Ebene (wie in Abb . 3.2.5 ii» , in denen man x = Xo = const. setzt und dann

z = f(xo' y) = 4 -Xij_ y2 = 4 - eL y2 = k _ y2

z = -s

(mit k =consl.) erhält, d.h. wiederum eine Parabelschar, diesma l parallel zur (y.zj- Bbcrc (siehe Abb. 3.2.7, wenn ma n y statt x setzt).

{x!

iii) Schließlich liefern Schnitte parallel zur (x,y)Ebene (siehe A bb. 3.2.5 iii», d.h. mit konstantem z (und somit aue h mit konstantem Funktionswert) die Darstellung

z=z.o =e = 4 -x L y 2,

(z $: 4) .

Es handelt sieh um eine Schar konzent rischer Kreise mit dem Millelpunkt im Ursprung und dem Rad ius r = siehe A bb. 3.2.8.

Abb. 3.2.8

V"4'='Z ,

Dabei gibt der z- Wert des jeweiligen Kreises a n, in welcher Höhe über (ode r unter) der [x, y) - E bene sieh die Schnitt kurve befindet. Aus diesem G rund nennt man die Schnittkurven mit f(x, y) = z = const. auch Linien gleicher Höhe ode r Isohöhenlinien der gegebene n Funktion (analog den Höben-

linieneinerk artographischen Darstellung eines Gebirges],

Zusammentassend erhalten wir in perspek tivischer Darstellung für u nser Beispiel ein Rotationsparaboloid, dessen Sch nittkurven Parabeln bzw. konzentrische Kreise mit nach unten hin zunehmendem Radius sind, srehe A bb . 3.2.9:

z = f/x,y} = 4 _x2 _y2

{x!

{r !

y=O

z=-12 . ,=4

Abb. 3.2.9

3

158

Fun ktionen mit me hreren unabhängigen Variablen

Es felgen einige tzun ehm ena komp lex werdend e) Beispiele perspektivischer Darstellungvon Funktionen f(x,y) mit zwei unabhängigen Variablen mit Hilfe der Parameterlinien x 0: const. und y "" co nst. (Drahlgittermodelle -evgl. Abb. 3.2.10 i) -viii)): Abb. 3.2.10

z = f{x,yl =x· y

I.hyperbolisches Paraboloid"J

I Izi I

iiil _

x :: coost

z = flx,yj = sinlx + sin y} r » coosr

y= coost

lxi

3.2

Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhän gigen Variablen

159

Abb . 3.2.10

vi r = f(x,y/ = y'1

- 3x2y

( .A ffensatte/"/

vii z = f{x,Y/ = xy(x2 •

r/

( " 5attel " höherer Ordnung /

v/I)

z = {(x,y/ = e - Y. cos x

x hra ubenHdche Parameferdarsfel/ung .· x x(u,v / 3v y=y(u,v /= u 'cosv z z(u,v/ u · sin v

= =

U, V

= =

e /-:r,lr/

160

3

Funktio nen mit meh reren unabhängigen Variablen

Die Darstellung und A nalyse einer Funktion f mit Z = f(x,y) in der (x.y)-Ebc ne mit H ilfe ihrer H öhenlinien z = const . wird häufig bei ökonomischen Funktionen angewendet. Einige auttretende Isohöhenlinien habe n eigene Bezeichnungen: i) Bei einer Produklionsfunktion x = x(r l • c2) (x: Output: Ti: E insat zmenge de s Fak tors i) heißen die Li nien gleichen O ut puts x = Xo = const. l soquanl en. Sie entsprechen Horizontalschnitte n durch das ~ Ertragsgebirge~

(siehe A bb. 3.2 .11 bzw. A bb. 3.2.12 sowie Kapitel 2.5 (4». Produklionsfunklion

x =x(r,.rtl Isohd henlinie

fSClquanfen x = c:onsf der

Produk~onsfunkhon x

=

I ('21

Isoquante for den

festen Ou!p (Jf X= Xo

,{'tl ~ x.

o

tl'elcher AU5bn'ngung In

I

----- -1 ' r consf 'l=consl.

Isoquante X = X o = «()f1st

o I

Ir,J

= H{f' (2)

d~8Stef/l als linien der ff 1J2J-Ebene

~x.

x, x, x,

x=)(o

/r,1

in die ' 1,r;rEbene pro/Wert

Abb. 3.2. 11

Abb. 3.2.12

ii) Die entsprechenden Linien gleichen Nutzens U = const. einer Nerzentunknon U = U(xj • x2) heißen 111m fferenzkurven.

iii) In analoge r Bcgriffsbildung spricht man von lso kostenkurven, Isogewumkurven usw.

Belspiel 3.2.13: Eine Kostcnisoquanre (Isokostcn linie, Bilan zgcradc) ist definiert als Linie aller Fak torkombinationen (oder Gü terkombinatione n), die dieselben Fak tor kosten ~ (bzw. denselben Nutzcn-

grad U o) verursachen. Seien etwader Preis des Faktors 1 mit PI = 0,4 GE/ME und der des Faktors 2 mit Pa = 0,5 GE /ME fest vorgegeben, dann betragen die gesamten Faktorkosten Ko bei festem Faktoreinsatz von [\ bzw. f2 ME

Ko

= O,4 'c\ +

0,5 -[2 '

Möc hte m an nu n wissen, welche Faktormengenkombina tionen zu Gesamtkosten von z.B. 3 G E führen. so setzt man Ko gleich 3 und erhält

(3.2.14)

Koslenisoquanfe K(J=3

Diese Beziehun g definiert die zugehörige Kostentsoqua nte im (rl,r2)-Systcm. Lös t man (3.2.14) nach r2 auf. so erhält man

Slelgung.'

p, P,

sieh e Abb. 3.2.15.

Jeder Punkt der Kostenlsoquante liefert eine xr engenkombinalion (r l • r2) . d ie z u denselben Cesamt kosten Ko "" 3 GE führt.

o

7.5

Abb. 3.2.15

Offenba r ergi bt sich die Steigung de r Kosten-Isoquantc du rch das negative Verhältnis - Pl /p2 der Faktorpreise .

3.2

161

Darst ellung einer Fun ktion mit mehrere n unabhän gigen Variab len Mit steigende n Koste n versc hieben sich die Kostenisoq uanten nac h oben, wäh rend die Steigung unverändert bleibt (das Preisverhältn is bleibt konstant!). Die explizite Gleich ung rz = rz(r\) de r Schar der Kostenisoq uanten des vorliegenden Beispiels ergibt sich somit aus O,4rl + 0,5rz =

Ko '" const.

D urch Aufl ösung nach ra erhält man:

rz '" - 0,8r, + 2Ko . Variiert man Ko (Ko = I , 2, ",), so erhalt man d ie in A bb. 3.2.16 da rges tellte Kostenisoquantenschar.

Abb. 3.2.16

A uch in Fallen mit mehr als zwei unabhängigen Variablen ist eine graphische Darstellung und An alyse der entspreche nde n Funktion in der Koo rdinatenebcne möglich, sofern man sämtliche Variab len außer zweien einen konstanten Wert zuweist. Dann betracht et man die Z uordn ung zwischen de nbeidcn verbliebenen variablen G röße n bei konstanten Werten der übrigen - es handelt sich um die ceterts- panb us (c.p.) Prämisse (siehe Kapitel 2.5). Die zuletzt genannt e A rt der Darstellung und Untersuchung ökonomischer Funktionen bezeic hnet man allgemein als Partialanalyse (im Gegensatz z ur Untersuchungbei gleichzeitiger Variation aller Variablen, die als Totalanal yse bezeichnet wird ). Beispiel 3.2.17: Gegebe n sei folgende Produktionsfunktion (x: O utp ut; ri: Ei nsatzmenge des i-ten Fak tors (i» 1,...,4)

x: x = x(rl' rz' r3, r4 )

= 2Tlo.z· rzO,8· r30,5·T4 '

Um eine Darstellung der Funktion in 2 Variab len zu erhalten, muss man dcn übrigen Variab len einen feste n Wert z uweisen. Im vorliegenden Fall erhalt man je nach A uswahl der konstanten Variab len insgesamt (~) = 10 verschiedene Möglichkeiten einer Partialda rsteIlung. Für einige Beispiele seien d iese Darstellungen ausgefüh rt: rz = 1 ; ra = 4 ; r4 = 0.6

~ ii)

x

= x(rl; 1; 4;0.6)

'" 2 ' l l o.z ·l · I'4·0,6 = f(l l)

= 2,4r, 0,2

(siehe A bb. 3.2.18)

x = 32 ; r3 = r4 '" 1 32 = 2r,0,Z· lzo,8 · ] . 1 ~ 16 = rlo,z· rzO,8 (x, r3 ,T4 "' co nsL)

iii )

1\

, J2

v;;-

(siehe Abb. 3.2.19)

(r4 ~O)

(siehe Abb. 3.2.20)

= 1 ; rz '" 1 ; r3 = 0,04

J( '"

x(r4) '" 2 · 1 · 1 ·0,2r4 = 0,4r4

Funktionen mit mehreren unabhängige n Variablen

3

162

lxi

1 Iftl

lxi

partielle Produ*~'onsfunkßon

1

p anielle Produlclionsfunkfion

X=X(' I' (' 2-

r» '-/ = coasü

partielle !soquonle

'2='1'1'

x=xt,,,)

(x, r" '4 = coasu

t'l'

' 2' '3

=1 consf./

,I 1

o

(r,1

Abb. 3.2. 18

,-

01

(r-ll

Abb. 3.2.20

Abb . 3.2. 19

Besonders hä ufig hat man es mit lineare n Funktion en von mehreren unabhängigen Variab len zu tun.

Ihre Funktionsgleichung lautet allgemein

- --

-

-

-

-

-

(3.2. 21) (mit konsta nten reellen Koeffizienten aj .

Bei multipliziert werden).

°

Gegeben sei die Produktionsfunktion x "" f(rl.r2) = 10 · rlo,2. r20,6 . Es werde mit fest vorgegebenen Inputs 11, c2 der Output x produziert. Die Einsatzmengen der beiden Inputfaktoren mögen nun mit demselben Faktor ). > multipliziert werden (z.B.). = 1,1, was eincr lO%-igcn Erhöhung beider Inputmengen entspricht). Die Einsatzmengen ändern sich von rl , 12 auf }.rl' }.r2. Es stellt sich die Frage, um welchen Betrag dadurch die Outputmenge x geändert wird. Dazu setzen wir in die Produktionsfunktion x "" f(rI'r2) "" 10· r I 0.2. r2o.6 statt rI ' r2 die neuen Inputs ..l.r], ..l.r 2 ein. Man erhält: f(}.rI' ..l.( ) = lO(}.r])0.2(..l.r2)0.6 = 10·}.0.2. r]0.2 }.0.6 . r20,6 = ).0,8. 10 ' rlo,2. r20.6

Bei ~piel 3. 3 . 1 :

°

2

d.h.

Vervielfacht man in unserem Beispiel alle Inputmengen um }. (> 0), so erhöht sieh der Output um das }.0,8- fache und z.....ar für jedes beliebige Ausgangsnlveeu r l' 12' x(rl,r2) '

164

3

Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

F unk tionen mit der ebe n skizzie rten E igenschaf t nennt man homogen : Der. 3.3.2: (Homogenität von Funk tionen)

E ine Fun ktion f y = f( x ) = f(xI' x2' ...• xn) ; XE Of heißt homogen vom cred r, wenn für alle (xl,Xz' ..., xn)EDf und fOr alle AE1R+ gilt:

f(AXI' ,h z, ...•AXn) = .V · f(x l• )[2' ..., Xn)

(3.3.3)

I·

Bem erkun g 3.3.4: i) Gilt insbesondere fü r den Hom ogenit ätsgrad r = I, so nennt man gen , f ür r < 1 heißt f umeriinear-ho mogen.fur r > 1 überlinear-ho mogen.

f linear-homo-

ii) Die in Beispiel 3.3 .1 skizzierte Produktions/ unktion hat wegen f Ox l' A.t 2) = Ä.0~ r (x I»x2) den Ho'

mugeniliitsgrad 0,8, ist also umedin ear-homogen.

Beispiel 3.3.5: l) Gegeben sei

Dann erhält man durch gleichzeitigeMultiplikation aller unabhängigen Variablen mit ..t > 0: f(A.x p A.X2').x3) = 5(A.x l)2A.X2 - 6 V(A.XI)3A.X2 (A.X3)2 = ~

A.35xl zxz - 6VA.6xI3xz xl

~

A. 3 f(xl' xZ' x3)

f ist homogen vom Grad 3 .

f(u,v) = 6uZv + 5uv

ii )

A.35xIZXZ- A.36V XI 3 xz xl

~

f(h , A.v)

f ist nicht homogen . f sei eine COBB-DO UGLAS-Produktionsfunktion mit der Gleic hung:

iii)

(3.3.6)

y = f( v ) '" f(vl' vz' ..., vn) '" C ' vlal ' v z8 2·v3a3 Vn8n (Vi: Einsatzmenge des i-ten Inputfaktors. i = l , .n: c,1\ E IR. +).

M Ultiplikat ion aller Inputwerte mit A. > 0 liefert:

f(A. v) = c · (A. V,)81' (A.VZ)8Z . ... . (A.v n)8n '"

I( v ) Damit erhalten wir als allgemeines E rgeb nis: Ei ne COBB-DOUGLAS -P roduk lionsfunktion (3.3 .6) ist homogen vom Grad r = a, +az+ ... +a n. (Die ai bezeichnet man auch als Prod uktionselastizitäten, siehe Kapitel 7.3.1.3.) Für a l +a 2+ ...+a n = 1 ist die COBB-DO UGLAS- Proouk tionsfunktion linear-homogen. Die folgenden ersten drei Beispiele von Abb. 3.3.7 zeigen die drei Standard typen von Cob b-Do ugtasProduktionsfunktionen (C D- Funktio n). Die ljrweUs aufsteigende) obere Um risslinie (Ko.mmlinie) der flächen gibt einen Hinweis auf die Höhe r des H omogenitätsgrades der entsprechende n CD-Funktion :

3.3 I)

165

Homoge nität von Funktio nen mit mehreren unabhängigen Variablen In Abb. 3.3.7 i) erkennt man eine degressiv ansteigende Kammlinie, d.h. proporti o nale E rhöhungen beider Inputs bewirkt einen unterproportional steigenden Output x, die Prod uktionsfunktion ist umedin ear- homogen (r < 1), man spricht von abnehm enden Ska lenenmgen.

Ix} '

Oulpul

il

Abb. 3.3.7 ii) Die Kammlinie de r C D-Funktion in A bb. 3.3.7 ii) ist linear, proportionale Inputstcigcrungen liefern eine Outputsteigerung im gleichen Verhältnis (r= f ). Somit handelt es sich hier um eine linear-homogene Cobb-Douglas- Prod uktionsfu nktion , man spricht von konstanten Sk ulenerträgen.

(r;1

iii) Schließlich erkenn t man in Ab bil-

du ng3.3 .7 iii) die progrcsslvcStclgung der Kammlinie, eine gleichzeitige (z.B.) Verdopplung beider Inputs bewirkt einen mehr alsdoppelt so großen O utput . die CobbDo uglas - Prod uktionsfunktion ist uberlinl'ur-homogcn (r > 1, man spnduvon nmehmendenSkalenertragen) .

f =

1,4 (;>11

Die in de n A bbildunge n auftre tenden Gi tternetzlinien ent sprechendenlinicn r 1 =const. und r2 =const. , also den Schnittkurven der R äche in Richtung der Koordinatenebenen. Interessant ist, dass in allen d rei obe nstehe nden Fällen diese pa rtieiten Produktionsfunktionen x(r r) (m it rz = const.] und x(r2) (m it r] = const.) cinen d egressivsteigenden Verlauf aufweisen. d.h. für fü r jede n einze lnen I nputfaktor (c.p.) beobachte t man einen mit steigendem Input abnehmenden Ertragszuwachs. iv) Dagegen liefert A bb. iv) eine CI tragsgesctzßche Produktio nsfunklion {nidnhomogen ; zunächst zunehm ende, dann abn ehmende Ska-

I.JL_ _Ir;) (r1 1

Ir;)

(" )

lenenröge}. H ier sind sowohl die Kammlinie als auc h die partiellen Prod ukt ionsfunkt ionen ( ~ Ginemeulinieni s· fönni gimSinne des Ertragsgesetzes.

3

166

Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Aufgabe 3.3 .8:

Welche der folgenden Funktionen sind homogen? f(x, y) = 5 ·

vxrys;

f(u, v) =

3 U2 V 3

iii)

f(x, y)=

x' eY ;

iv)

2, b f(a,b) = - , - , a +b

ii )

Homogenitätsgrad ?

+

1

Aufgabe 3.3.9: Man konstruiere die Funktionsgleichung einer homogenen Funktion mit vier unabhängigen Variablen. deren Homogenitätsgrad 3 ist. Aufgabe 3.3. 10:

Gegeben sei eine Nurzenfunktion U mit der Gleichung U(x1• x2) =

Xl O,S. X2·

Wie ändert sich der Nutzenindex U. wenn man - ausgehend von einer Güterkombinatio n x I_x2- die

Konsummengen

Xl ' Xl

der nutzenstiftenden Güter jeweils verdoppelt ?

Aufgabe 3.3.11:

Gegeben sei einel inear--homogene (makroökonomischc) Produktionsfunktion

Y = f(A, K) (Y: Sozialprodukt; A: Bevölkerung( = Arbeit) ; K: Kapitala usstatru ng}. Man zeige. dass das Sozialprodukt pro Kopf t- YI A) eine Funktion biKlA) der Kapitalausstattung pro Kopf(= KJA)i st. ( Tipp:

Dazu dividiereman die Funk tionsgleichung durch A und beachte die lineare Homogenität.)

Die Beschreibung. Analyse, und Optimierung ökonomischer Modelle mit Hilfe von Funktionen mitmehrcrcn unabhängigen Variablen soll im Z usanunenhang mit der Differentialrechnung der entsprechenden Funktionen (in Kapitel 7) näher erfolgen.

167

4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 4.1 Der Grenzwertbegriff Bei vielen funkt ional (d.h. d urch mathematische Funk tionen) darstellbaren P rozessen (z.B. Wachslums -

prozesse, Kostenemw icklungen, Nachfrage- und Angebotsbewegungen. Gewinn- und E rl össchwankungen

u.\I.a.m.) kommt es nicht nur auf die absoluten Zahlenwerte der beteiligten Variablen an, sonde rn ebenso

(und ganz besonders) auf deren wech selseit ig bedingte Bewegung, En twicklung oder Änderung. Im folgenden Kapitel (Kap. 5) werden wir mit der dort behand elten nirferenlialredmung ein mäc htiges Werk-

zeug indie Hände bekommen, um derartigeProzcssändcrungcn beschreibenund analysierenzu können. Es wirdsich herausstellen (in Kap. 5), dass die Differentialrechnung es mit (sehr) kleinen Änderungender beteiligten Variablen zu tun hat. Um derart ige Änderungen mathematisch sinnvoll beschreiben zu können, benötigt man de n Gren zwertbegriff Das richtige Verständnis dieses nicht immer handl ichen Begriffes ist grundlegend für das richtige Verständnis der Differentialrechnung. 1m folgenden sollen daher die wes entlichen Ideen des G renzwertes von Punktionen diskut iert werde n und Methoden zur Grenzwenennittlung bereitgestellt werden, soweit sie mathema tisch notwendig sind, bei öko nomischen Anwendungen unmittelbar einsetzbar oderfür das Verständnis des allgemeinen Funktions begriffes im H inblick a uf d ie später zu behandelnde Differentialrec hnung notwend ig sind. Der Grenzwertbcgriff ist mat hematisch nicht unmitt elbar zugänglich und bietet bei erster oberflächlicher Betrachtung reichlich Fallstricke. Wie soll man sich den n auch richtig konkret vorstellen, was es bedeutet, einer Variablen oder einem Funktio nswert ~ beli ebi g nahe" zu kommen (evtl. ohne ihn zu erreichen) ? Andererseits kennt man auch im nichtmathematischen Bereich, selbst in der Antegssprachc, eine intuitive Verwendung von "G renzprozessen" der hier zu diskutierenden Art. So ist beispielsweise die maximale Leistungsfähigkeit eines Sportle rs (die berührmen "lOO%") ein Grenzwert, der nur selten oder allenfalls "angenähert" erreichbar scheint. Dasselbe gilt für den maximalen Wirkungsgrad einer Maschine -es handelt sieh um einen Grenzwert, der in der Praxis nie ganz erreichba r ist. E in weiteres Beispiel ist die maximale Betriebsdaue r einer batteriegetriebenen elektrischen Maschine: Auch hier handelt es sich um einen Grenzwert , der nur theore tisch oder unter beso nders günstigen Umweltbedingungen und aueh. dann nur annähernd erreicht werde n kann. E ntsprechende untere/obere Grenzwerte existieren für Produk tio nskosten, Höhe der Aussch ussprodu ktion . Grad der Staubfreiheit eines Raumes usw. Wir wollen nun im folgenden an Beispielen klären, was mit den Funktionswerten f(x) passieren kann, wenn d ie unabhängige Variable (hier: x ) -

sich immer meh r einer (inneren) Stelle Xo (e IR) nähert (symbolisch: x - xo), siehe Kap. 4. 1.1 oder aber

-

über alle Schranken wächst (x -

00) oder unter jede G renze fallt (x - - 00), siehe Kap. 4.1.2 .

168

4.1.1

4

Grenzwerte und Ste tigkeit von Fun kt ionen

Gre nzwerte von Fu n kt ionen fü r x - Xo

Man sagt, die Variable x nä here sieh der reellen Konstantcn x.,(z . B. Xo = 1) ..imme r mehr ", oder Xo sei der " Gre nzwert" be i der An näherung x - xo, wenn dabei der ab solute Ah stand lx- Xo I der beide n Wert e vo neinande r kleiner wird, als jede beliebige vorgegebene Zahl 0 (> 0), egal, wie klcin man diese Z ah l ö auch wählt. Dafür schreibt man ku rz lim x = Xo

("xgegen xo ")'

oder: x - xo

Betsptel 4.1.1: Wenn die Varia ble x nacheinander die fo lgende n Z ah lenwerte annimmt , so gilt - wie man leich t übe rprüft <jedesmal "x - 2":

!! . .!.L

,. 20 - I ,.

- 2

n . 11.

; -20 +_1 .

- 2

6 ' 7 '

3.,1..2 . .2.. . Il .

2'3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 7 '

1,9

1,99 ; 1,999 ; 1,9999

n

n

1,99999

2 -( I~)n;

-2

... ,'2+( ~ 10 )" ''

-2

;

,

2, 1 ; 2,01 ; 2.001 ; 2 ,0001 ; 2,00001

.1 . .2.. . 11 . 11. ..&.L 2 ' 4 ' K'

129 . 255. 16 ' 32 ' 64 ' 128'

Dagegen nähert sich x beim Du rchlaufen der Z ahlenfolge

- 1 . +.1.. '

2 '

_1.. . + 2. _.2.. . + !!. _ ll. 3 '4 '

5 '

6 '

7 " '"

.

(_I )n . 20 - 1 . n '

keinem Grenzwert , sondern strebt abwech selnd gegen +2 und - 2 .

D urch läuft nun etwa die unab hä ngige Variab le x einer Funk tion f: xl-+ f(x) eine solche Folgc von Z ah len mit x - x o, so ist es denkbar, dass dabei gleichze itig auch die Funktionswerte f(x) gegen einen bes timmten Ordinatenwert g streben, m.a .W ., dass - sofern x - Xo - aueh f(x) - g strebt. In diesem Fal1 nenn t man die Zahl g de n Grenzwert der Funk tion ( bei der A nnäherung x- xo:

Det. 4. 1.2: (C renzwert einer Funktion

f ftir x -

"0)

Wenn sich für x - Xo die zugehörige n Punkttonsv..e rte f(x) einem kon stanten Wert g ( e IR) immer mehr näh ern, egal, a ufweiche Weise x gegen Xo strebt, so sagt man.

g ist der Grenzw ert von f(x) bei der A nnä herung von x gegen xo ; sym bolisch:

lim f(x) = g x- xo (.,Limes von f(x) fü r x gegen Xo gleich g"),

oder:

f(x) korn'crgiert für x - Xo gegen (den Gre nzwert) g ( E IR).

4.1

169

Der Gr enzwertbegriff

Bei~pi eI4. 1.3:

(x -* 2) , vorgegebe n. Dann könnte sich be i A nnäh crung x - Z

Sei f: f(x)

etwa folgendes ergeben:

x -- Z von " rcehts~: 1(2,1) " 1,1 [(2,01) " 1,01

x -Z von " links ":

1(1 ,9) 1(1,99) f(I ,999) f(l ,9999) usw.

d.h .

" 0,9 " 0,99 = 0,999 = 0,9999

f(Z,OO I)

usw. d.h .

f -l

rn.a.W, es gilt:

f- 1

,-,

lim fex ) = 1

Bemerkung: A n der Stelle so = 2 ist [nicht de[inien! Dennoch können wir uns dieser Stelle Xo ( = 2) beliebig genau nähern, und dabei stellen wir[est, d ass die Funktionswenr [(x) dem Grenzwen ,,1 " beliebig nahe kommen!

(;,enzwerl g =1

A bbildun g 4.1 .4 veranscha ulicht diesen Sachverhalt durch die klei-

Abb. 4. 1, 4

nen Annähr~gsp[eil~

Bemerkung 4. 1.5:

= 1,001

f(Z,OOOl) = 1,0001

Diepräzise De[inition dieses Sachverhaltes k ann so beschrieben werden:

Man sagt, die Funktion [: x~[(x) hat[ür x - Xo d en Grenzwen g ( e IR), wenn die abso hue Diffe renz (der Abstand) zwischen [(x) und g beliebig klein gemacht werden ka nn, sofern m an nur x nahe genug an s o wählt. Und noch gen e uer (wenn au ch weniger anscha ulich): Die Funk tion [ hat den Grenz wert g für A nn äherung x - X o (" ko nvergien gegen g f ür x - Xo ") wenn für jede (noch so klein gewählte) Zahl E ( > 0) eine Zahl 0 ( > 0) existiert, so dass, wenn x in [xo - 0,. Xo + o} liegt, aue zugehörigen Fun ktions werte [(x) in [g - E; g + EI liegen; d.h.: Wenn aus 0


Beispiel: fex) = ll,tx 3+2

firn_ (O,1x3+ 2)

x_

(>

(>

(>

I (I!

(x!

T Beispiel 4.1. 26:

Beisp iel: fex) = 2x2+ 1 2 x _lim_ (2x + 1) =

T

Abb.4.1.25

oa

(unbes timmte Divergenz für x -

= -00

* 00 )

Liegt d ieser Fall vor, so strebt f keinem fest en endlichen Wert zu, wächs t/fällt allerdings a uch nicht übe r/unter jede Grenze. Vielmehr verhält sich f für x 00 völlig unbe stimm t bzw. schwa nkend (wie inAbb. 4.1.2 7 am Beispiel [(x) = sin x zu sehen):

*

{(xl = sin X

I (I! f

,, ,,

,,

3n \

!x!

•• ,

-f

Abb.4.1.27

Zusammenfassung:

i)

x !im _ _2 f(x)

I

'

I

_"

Betracht et werde die A nnähe rung de r unab hängigen Var iablen (hier: x) an eine innere Stelle Xo (EIR).

= 4

-[

,-11m , f(x) = 3

Konvergenz /Grenzwert existiert/

I

- - - - - - - - - - --(x! -2

ii)

x lim _ _! - f(x)

=

00

lim_l +f(x) =

00

x _

x lim _ 2-

f(x) = -

, lim - ,.. f(x) =

..,

I Ei n Cren zverhan en von Funktionen tr itt in fo lge nden Varian ten auf (Bsp.):

===:::;-----' Fall t: x- xo

.., .

00

00

(bestimmte/

Abb. 4. 1.28

Divergenz

Pol

(uneigentficher Grenzwertl

(x! Abb. 4. 1.29

176

4

iii )

lim

• _

0

+ f(x) =

x lim _ 3-

I It)

2

4

f(x) = 2

.- ,

2

lim +f(x) = 4

.- ,

1

x lim _ 7 + f(x)

Sprung

---

1-------0,..;. .. .

_+

lim _ f(x) = 0

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

"=

,IX)

7

3

= 1

Abb. 4. 1.30 x .O,2

lv)

I

[im f(x) = unbestimmt

x _

O,2

Abb. 4 . 1.3 1

flxl= sin-'x _ 0,2

Ix)

Divergenz

I Fall 2: i)

x-

00

.--

I

Betrachtet werde f ,wenn die unabhängigeVariable (hier: x) über alle Grenzen Wächst (x- 00) bzw. unter alle Grcnzenfä.llt (x- - 00).

tim f(x) = 3

f(x) = x _lim_ ....

Konvergenz

-1

I

(I)

3 ........

nnn~! _,

Ix)

111)

ii)

x _[im__ f(x)

.--

=

I

00

tim f(x) = -00

IbesUmmte)

Abb. 4. 1.32

Abb. 4. 1.33

oa

Divergenz

I f wächst /trilll}Ober lunter!alle Grenzen J

iii)

lim

x-

f(x) = unbestimmt

±_

{unbestimmte)

Divergenz

I (1)

I

/{xJ = sinx

Abb. 4. f.j4

Ix)

4.1

Der Grenzwertbegriff

177

Bemerkung 4.1.35: i) Es sei noch einmal (sieheBsp, 4.1.12) ausdrücklich betont, dass eineGrenzwertbetrachtung von [(x) für x - Xo auch dann durchgeführt werden ka nn, wenn an der Stelle Xo die Funktion f nichl defin iert ist. E~ kann sogar vorkommen, dass [ in so einen (endlichen) Grenzwen besitzt, ohne dass [ (x Q) existien (" Lücke", siehe Kßpilel4.5). ii) A us Abb. 4.1.30 wird noch einmal deutlich,dass in so [üreine Funktion

f

zwar rechts- und links-

seitigeGrenzwen e extstieren kö nnen, dennoch [ für x - Xo divergent ist: lim

x_r

[(x) =g / = 0

lim J(x) = g 2 = J . ,-,

und

Wegen gl * g2 aber gilt:

lim f ex) existiert nichl ,-,

("Sp m ng", siehe Kap . 4.5) .

iii] Ist von " Existenz eines Grenzwertes s " einer Funktion f die Rede, so meint ma n stets einen endlichen Grenzwert g ( E IR) . Bei deretwas missverständlichenBezeichnung "u neigentlicher Grenzwert" (d.h. lim f(x) = ± 00) gibt es dagegenkeinen (endlichen) Wert, gegenden [ strebt.

Aufgabe 4. 1.36:

{tl

Eine Funk tion f: y = f(x) besitze den nebenstehenden Graphen.

-.. 5

Man beschreibe mit H ilfe der G renzwert-Symbolik das Verhallen von f an jeder der zehn durch Pfeile markierten Stellen der Abszisse.

3

(Beispiel: lim [(x) = lim [(x) =

usw.)

x_ ·r

I n diesem einleitenden Kapitel 4. I haben wir gruudsätzhch zu klären versucht, was man unte rdem Crenzwert einer Funkt ion versteh t und welche Varianten prinzipiell bei Grenzprozessen auftreten können. Es stellt sich nun die Frage, wie man bei konkret vorliegenden ( ökonom ischem Funktionen korrekte Aussage n über das Gre nzverhalte n erhält. Die Antwort auf diese Frage geben wir in zwei Schritten: Zu nächst stellen wir fü r die wichtigsten Gr undtypen von Funktionen die Sta ndard-Grenzwerte zusammen (siehe Kap. 4.2) . Diese Elementar-Grenzwerte diene n dann als Gru ndbausteine, um mit H ilfe der G renzwertsät ze ( f:l Rechenregeln für Grenzwe rte) auch G renzwerte komplexer Funktionen zu ermitteln (siehe Kap. 4.3) .

Bemerkung 4.1.3 7: Um die symbolische Kurzschreibweise möglichst aussagekrä[tig zu machen, wollen wir die Art der A nnäherung von fex) an den (endlichen) Grenzwert g durch ein hochgestelltes" +" oder . -:" kennzeichnen, z.B; i)



.~

(zur symbolischen Schreibweise sieheBem. 4.1.37)

(4.2.8)

!im CX ""

x_ o

lim e-< "" 1

x_ o

{analog für fex) "" aX mit a > 1)

,.-- 01

/

/

,'

0'

{xl

1{fJ Inx

(4.2.9) i)

iii)

\im (Inx) ""

x __

,-.

lirn + (In x) '"

00

ii)

lim (In x) '" 0

x- I

'-----_-----.J - 00

(analog für f Ix) "" log(/x ; a > 1)

{xl

o

4

180 (4.2. 10) i)

11)

iii)

[im {1+1. / :

x_ _

x

(1-1./ :

lim x_""

x

," ,, lim _ 00 - e"

[im (l+ X)l / x : C

,,_ 0+

lim (l-X)' /X = 1 x_o+ e

(na IR)

=0

,"' - -

,, -0

(4.2. 11)a)

b)

sin x

,- ,-lim

q'? =

(e 2,71828 18284590452353602874 ...; Eulersche Zahl, Basis der natürlichen Logarithmcn) :0

(Einenachtragliehe Bestätigung - wenn auch kein Beweis - dieser Grenzwerte erfolgt in Kapite! 5.3)

(xe ü)

x

lirn q' =

Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

0

für Ol

11

für

ü

c q e; I

I " I x ) ; ( ,) = ,-, Beispiel: ( ,

(-

Beispiel: 1,08" ; c"

(- - )

Beispiel: (O,Zf " = 5" ;

ftIrq =1

(-tr" = e!-

0)

(- -)

x

Beispiel: 1,25- = 0,8" ; e- X = ( {- /

(-0).

Bemerkung 4.2.12: Um die Berechnung komplexer Grenzwerte im Ablauf übersichtlich darstellen zu kan firn, wollen wir gelegentlich Jur elementare Grenzprozesse eine in Anführungszeichen (»u. ") grsetzte Kurzschreibweise verwenden. 1"; " p",,: ., " ~ S elS

1 " ; "e " --0=

0"

; " e - 00 " ; "e 1/ 0-" ; " Ln 0" " i , 0,50 " usw.

DieAnfü hrungszeichen " ... " an derartigen nicht definiel1en und somit eigentlich unsinnigenTennen sollen signalisieren, dass es sich um Grenzprozesse von Funktionen handelt. So könnte etwa derAusdm ck ..!.... " bedeuten (siehe (4.2.1) bis (4.2.11) ):

-4- oder : _fim0- J-z- t

" O'

um

..!.... oder Um

x _o+ x

p _o P

oder tim

y _ .""

+ e

oder lim 1_

1+

I

/11 1

asw,

Allen diesen Grenzv enen ist gemeinsam, dass ihr Ziih1er gegen J und ihr Nenner (von rechts] gegen Null strebt. Nach (4.2.1) bis (4.2.11) lauteneinigederGrenzlt'errregein in dieser Symbolik: (4.2.1)

" oo n,,: oo

(4.2.2)

" ;; " =

(4.2.4)

J " O'

(42.6)

"e""'« = =

(4.2.9.iii)

" ln 0 "

(4.2.11)

,,1,1""''' : 00;

I

0+ ;

"

"= =

«

(4.2.3)

(n >O)

-I

"

00 ""' ' ' : 00

O± ,,: . ;;

" : 0-

_I " " 0-

(4.2.5) (42. 7)

= _ 00

,,0,5 00 "

:

0;

,,1,08 -

00

" = 0+

o±

:_00'

,

181

4.3

Die G renzwertsät ze und ih re A nwend ungen

4.3

Di e Grenzwertsä tze un d ih r e Anwen d u ngen

D ie folgenden Rechenregeln für Grenzwerte erleichtern ganz wesentlic h die Berechnung von Grenz werte n kom plexer zusammengesetzter Funktionen :

Salz 4.3 . 1: [Rechenregeln Cü r Grenzwerte) Die beiden Funkttonen f , h seien in einer Umgebun g der Stelle Xo defi niert. Für x-xo mögen beide Funkt ionen konvergieren, die Grenzwerte seien g, und &2' Wir schreiben daf ür kurz:

lim f

.«

lim f(x) = g1

lim h.e lim h(x) '" g2

(EIR) ;

x _~

( EIR)

.

x _ ~

W eiterhin sei e eine reelle Kon stante: Dann existieren aueh die folgenden Gr enzwert e, und es gilt: i)

!im e "'e ;

ii )

!im(f ± h) = !imf ± lim h = g,±g2

jii)

lim If-h}

iv)

hm h - I·Im h -

v)

lim f"> (lim f)" "' g,n

.

= lim f

. limh

= g, ' g2

(d.h. man darf die Grenzwene zusam mengesetzter Funk tionen einzeln bilden und die Grenzwerte entsprechend miteinander verknupfen l )

;

!. _~ _ h.

lirn

g2 ,sofern g2* 0

(nE IN) ;

" VT " '" ~ '" "vg;-

(nEIN

(d.h. der Grenzwen einer Funktion ist gleich der Funktion des Grenzwertes Grenzwenbildung und Funktionsbildung durfen vertauscht werden)

f,g, 2: 0)

"l i) !im (In f) '" In (Iim f) = In g, ,sofern f, g, > O.

\ iii)

Bemerkung 4.3.2: i)

Satz 4.3.1 bleibtgiillig, wenn x -

00

statt x - xv gesetzt wird.

ij) Satl 4.3.1 i)- iIJ) bedeutet, dass der Grenzwen einer Summe, einesProduktesbzw. einesQuotienten von Funktionen identisch ist mit der Summe, dem Produkt bzw. dem Quotienten der einzelnen Funk tionsgrenzwene, soferndieseendlich (d.h. aus JR) sind. iii) Satz 4.3.1 IJ)-IJiii) bedeutet, dass die Reihenf olge IJon Grenzwerthitdung und Funktionsbildung vertauscht werden kann, d.h. im Fall der Konvergenz ist der Grenzwert einer Funkrum identisch mit der Funksionder Grenzwenes. Dies gilt insbesonderefur zusammengesetzte (IJerkettete) Funktionen f(h(x)), sofern lim h(x) existiert und f stetig(siehe Kap. 4.4) ist: limf(h(x)) '" f (lim h(x)) = f(g ~ .

(unter Verwendung der Elementar-Grenzwerte (Kap . 4.2) , der Symbolik w kung 4.2.12 sowieden Grenzwenregeln aus Satz 4.3.1)

Bei.~pieI4.3.3:

I)

lim

,--"a

Iim( 3 -...!..)

•

, 11m (5 + -:;2) .

3 - lim...!..

5+,

•

!im - '-

"

"

«aus Bemer-

lim 3- 1im ";-

z

lim 5 +lim - ,, 3- 0 5 + 2' 0

,

1- .

._-

( tim ,= lim )

182

ii)

,.

,

s lim e r

,--

Grenzwert e und Stetigkeit von Funkt ionen

e o-

1

,.

14 -]jm e- x

14 - e- x

,

e x

4

,

lim e

+ 52

14 _ , CO- U

e"O" + 52

x + 52

_1_'_

14-1

0,25 .

0 + 52

16 •

"-;r;

iv) !im

,- 0

v)

1- I

lim

0,1

,-n

1- " I,r """

lim_ - -0,'-1

n_

0,1

10 .

0,1

Die Grenzwcrtberechnung bei gebrochen-rationalen Funknonen führt gelegentlich auf sogenannte unbestimmte Ausdrücke wie % ode r 00100 1 . Derartige Grenzwerte lassen sich unmittelba r weder mit

(4.2.1)-(4.2.11) noch mit Satz4.3.1 ermitteln. Die folgendenBeispiele zeigen exemplarisch das Vorgehen in solchen Fallen: Beispiel 4.3.4:

.

lim

x_ '"

6,,3 +4x 2 - 7 X

3

'"' ?

+x

Klammert ma n im Zä hler wie im Nenner die jeweils h öchst e Potenz aus, so erhäl t man : 3 (6 + - 4 - - 7 ) __x _ _ 0'-,-2.0'_ lim x3 (1 + 1.. )

,--

~

.--

'

!im

Wegen (4.2.2) gehen die Tenne a/xn für xergibt (siehe Bcispic14.3.3

i».

4

6+-

00

- -

7

"

6

sämtlichgegenNull, so dass sieh 6 als Grenzwert

Bemerkung: Dieses Verfahren (A usklammern der jeweils höchsten Potenz} ist bei " 00/00 « nur dann sinnvo ll, sofern es sich a) um gebrochen-rationale Funktionen handelt und b) die unabhängige Variableaberalle Grenzen strebt (x- 00 oder x - - oo) .

Beispi el 4.3.5: Klammert man in Zählerwi e im Nenner die jeweils kleinst e Pot enz aus. so erhält man: x2(5x + 4) 5x + 4 4 lim := (X,* O) lim :=(4.2.4):=-00 . 3 2 2 x _o + x (2x -8)

x _o + x (2x -8)

0 + · (-8)

Bemerkung: Ausklammern der jeweils kleinsten Potenz ist bei ,,010" nur sinnvoll, sofern es sich a) um gebrochen-rationale Funktionen handelt und b) die unabhängige Variable gegrn Null strebt (x - 0) . Grenzwerte sonstiger Funktionen, die auf unbcstimmte Ausdrücke wie 0/0. führen, lassensich mit der Regelvon L'Hospital ermitteln, siehe Kap. 5.3.

00 /00 ,

00.

00

0• 00

-

00 .

O· 00, 1-

4.3

D ie G re nzwertsät ze und ihre Anwendungen

183

x2 + 3x -4

Beispiel 4.3.6:

.Q. ..

= ?

o

2x2 -9)( +7

D a die Zahl 1 die Nullstelle des Z ähler- wie des Ne nne rpolynoms ist , müssen sieh Zähler wie N enner ohne R est durch (x - 1) tei len u nd somit in Teilpolynome zerlegen lassen {s. Knpitel2.3.1.4): x2 + 3x - 4 : (x - l ) = x +4 ;

Zahler:

x2

x

-

d.h .

x2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)

d.h.

2x L 9x + 7 = (2x - 7)(x - 1)

4, 4 4x - 4

o

2x2 - 9x+ 7 2x2 -2x -7x + 7 -7x + 7

Nenner:

(x -1)= 2x - 7

o

x2 + 3x - 4

(x + 4) (x - l ) (2x -7)(x - l)

2x2 -9x +7 =

'*

(x 1)

. ,,m

x -I

- x +-4 = -1. 2x -7

Bemerkung: Man k önnte im Fall x _ Xo (hier x - I) ebensogut die Variable x substituierendurch den Term xo+h (hier: 1 +h) und dann statt x - xo (hier: x -I) den Grenzübergang n -r 0 (siehe Beispiel 4.3.5) durchführen. 1m obigen Beispiel erhalten wir:

.!L "

" 0

Ausklam mern der kleinsten Potenz (siehe Beispiel 4.3. 5) fühn auf" lim h (h+ S) h _ 0 h(21t -5)

lim h +5 h _ 0 2h- 5

~ = -1 ,

-5

.1".0.

D ie folgenden Beisp iele zeigen einige unmittelbare Anwendungen des Grenzwert begriffes auf ökonomische Fragestellungen. Bei.\pieI 4.3.7: Für das Gesamteinkommen Y(t) (in GE/J ah r) eines expand ierenden wirtschaftszweiges wird - a usgehe nd vom Planungszeitpunkt t = 0 - im Zeitablauf eine En twicklu ng prognostiz iert , die gcmäßfolgcnder Funktion verläuft (.,Logist isehe Funktion ", siehe Kap. 2.5, (9) viii»: Y (t) =

210 0, 1 + 20' e- O,S t

(I: Z eudauer in Iahren seit I = 0) Gesucht ist der "SäUigungswert" des Einkornmens "a uf lange Sicht ", d .h. der Grenzwert des E inkommens, wen n die Z eit " über alle Grenzen" wächst. E rmittelt wird d ieser Sättigungswett über den Grenzwert vo n Y für t - 00 :

lim Y(t) =

1__

lim

I_

210 O , 1 +20 · "e - - ~

oe

210 0,1 + 20 "e - O,51

Abb ,4,3.8 200

o

.

Zeit

5

,

(/(

Das E inkomm en des Wirt schaft szweiges nähert sieh mit wachsend er Zeitda uer immcr me hr der Sätti gungsgrenz e 2100 GE/ J ahr, sieheAbb. 4.3.8 .

4 Grenzwert e und Stetigkeit von Funktionen

184

BeispieI4.3.9: Ocr monatliche Butt erverbrauch B (in € / Momll) eines H aushaltes hänge vom H aushalts einkomme n Y (in € / Monat) in folgende r Weise ab: ~

B{Y): 60 ' c

Y

; Y>O

Gesucht ist i) der Sättigungswcrt des Butterverbrauchs für unbeschränkt wachsendes Einkommen sowie - da B(Y ) fü r Y "" 0 nicht defi niert ist, - ii ) der Grenzwe rt des Butrervcrbrauch s, wenn das

Einkommen gegen Nullgeht. L ösung: i) Der Sättigungswert des Butterverbrauchs ist gegeben durch den Grenzwert von Bfür unbe schrä nkt wachse ndes Einkommen (Y -+ 00), d.h.

im B(Y) = v_ !im _ 60 - e v1__

~

(BJl Buflerverbrouch

Y

60

_ St:tlligungsgrenze

(Asymptote , B = 60)

= 60· e-« = 60 € /Monat, d.h . selbst bei unbe schränkt wa chsendem E inkommen werden nicht mehr als 60 € /Monat für den Butt erkonsum ausgege ben. ~

ii)

lim B(Y) = Jim 60c v _ o+ v _ o+ _ 1500

8fY)

y

10

~

60e" 0+

= 60 " c - .... " = 60·0 = 0,

Einkommen

d.h . mit sinkendem Einkommcn geht de r Bu tte rverbra uch gegen 0 , siehe A bb. 4.3.10 .

o

' 000

Aufgabe 4.3.11: Man ermittle folgend e G renzwerte (sofern sie existieren): 5x3 -4 2y + I i) lirn ii) lim iii) 2 x_ .... x y _ .... 3y5 - r

iv)

,-. lim

,

+

\ii) lim

p3 _ 3p2 + Kp ; v)

3t 5 - 313

5 (ln

1 _0+ 512 - Kl4

.--

lim R

qn _ I

- - .-

q - 1 q"

Aufgabe 4.3.12: I) Für f(x) =

..:.!.:..L /

ztim _ _ ( 2cz + d

lim + .L

vi)

p4 + P 2z2 -3z + I / . z2 - I '

tn

Abb. 4.3.10

x_ o ln x

. x2 + x - 2 11m _2± x3 + 5x2 + 8x + 4 . x_

ix)

(q > 1) .

---fl- be stimme man die Grenzwertefür x -

0+; 0- ; "" ; - "" .

e + 10 X

ii) Für die Fun ktion f mit nebens teh end er Gleichun g best imme man a n de r Stelle X o = 1 den links - und den rechtsseit igen Grenzwert :

2

~ 6 (1-x)

f ür

O<x< 1

für

x= 1

für

x> 1

4.4

Der Stet igkeit sbegriff

185

Aufgabe 4.3. 13: I) Gege ben sei die Preis-A bsatz-Punktion p mit p(x) '" 10 · In xl~ , (x > 2). Gegen welchen Wert strebt die nachgcfragteMengcx, wenn der Preis p übe r alle G renzen wächst ? ii) Der Nahr ungsmittel konsum C (in GE/ Ja hr) eines H a ushaltes sei in A bhängigkeit vom H aushaltseinkommen V (in GEI Jah r) gegeben durch die Konsumtunktion-

qV) '" ~Oy - 140 ; Y ;:: 0 Y+8 a) Man enn ittlc dcn Sättigungswert des Nahrungsmittelko nsums. b) Ge!,'Cn welchen Wert streb t die durchschni ttliche Nah rungsmitt clquole(d.h. C(Y )/ Y), wenn das E inkommen übe r alle Gren zen steigt?

4.4

Der S t el ig keitsbegri lT

Bei der graphischen Darstellung von Funktionen geht man meist st illschweigend davon aus, da ss sich die (z.B. über eine Wertet abelle ermittel ten) Funk tionspunkte ohne Unterbrechung und lückenlos durch einen ".

umerstelh]: 0,8:0.: + 150 O.Rx + 200 O,Sx + 250 O,Sx + 300

K(,) =

für

,

~

O~x~IOO

für WO < x s 200

»>

,

Gesamt/(ostenfunkhon bei quantitativer Anpassung

10°1

rur 200 < x s 300 fur 300 -c x ~ -400

lxi

ol-~~'c----~--=c.:. 100 200 300

Dabei ent stehen pro Aggregat "intervallfixe" Bcrcnstcltungskostcn in llöhe von 50 G E sowieeinmalig globa l Fixkosten von 100 GE. Pro Leist ungseinheit (LE) entstehe n variable Kosten von 0,8 GE ILE . Die maximale Ausfestung eines jede n Aggregates beträgt 100 LE. Die Gcsam tkostenfunktion K hat nach jeweils 100 LE e inen Sprung in Hö he der intervallfixen Kosten von 50 G E pro neu eingesetztem Aggregat.

I lkl

Die zugchö ngc Stüc kkosrenfunktton k mit

K ( x)

k(x) = - x =

0 ,8 + 150/x O,S + 200/x 0,8 + 250/x U,S + 3UO/x

fü r

1

0< x ~100

für 100 < x s 2UO

für 200 < x für 300 -c x

~ ~

300 ·WO

1., j .

,i

o

\~ 5IVckkosienbei quantitativer Anpassung

Abb.4.1.7

~...... •• . . "_•. ••• __

x, 100

200

hat ebenfa lls nach jeweils 100 LE einen Sprung in Höhe der auf die bisherige Produktlonsmengcx, zu verteilenden neu hinzuge kommenen intervallfixen Kosten ~ (x, = 100.200,300, ...). Für x-O + wachsen die Stückkosten übe r alle G renzen, da lim k(x) = !im (0.8 + l ~.O ) = 00, d.h. k hat an der Stelle xQ = 0 einen Pol. x_o+ x_o+ I

194

4

Grenzwe rte und Stetigkeit von Funktionen

Beispiel 4.7.8: Kostenfunktio nen für P rodu ktionen mit zeitlicher AIl P:L~S un g eines Produktionsfaktors können Ecken aufweisen, wenn man unterstellt, dass von einer gewissen Austastung an konstante " Übe rta.~tzll';chläge~ auf die variablen Stückkoste n ~ zu zahlen sind. &(KI

Beispiel: Fixkosten: 100 GE; variable Stüc kkosten für eine Auslastu ng 0 < x s 50. Für Ausrasr ungen über 50 LE erfolgt ein Zus chlag von 100% auf k, ~ Gcsamt kostcnfunktion K

k... = 2 GEILE

fIir

2x + 100 4.(x - 50) + 200

K(') •

rur

Abb. 4.7.9

Ge!iamlk.os len

bei zeillicher

O <x ~50

Anpassung

50 < x ,

d.h . 2x + 100 -lx

K(,) =

Hir

O< xS 50

lxi

für 50 < x .

'00

50

Da gilt:

lim K(x) = Jim (2x + 100) = 200,

x_50 -

x _sö -

sowie

Iim K(x) = lim 4x = ZOO

. _ 50 +

. _ 50 +

sowie

K(50) = 2 ·50 + 100 = 200, ist K (trotz Ecke) stetig, siehe Abb . 4.7.9. durchschnitltiche variable Kosten be i z eitlicher Anpassung

Die Funk tion k, mit

k...(x) '" K,(x ) x

4

der d urchsch nit tliehen variablen Kosten {identisch mit der Steigung VOll K(x» ist dagegen an der E cke Xo '" 50 LE un,tetig. "" springt von 2 GEILE um 100% auf 4 GEILE (sieheAbb. 4.7.10): O <x S50 Hir 50 < x

für

kJX)"' {~

~J,-_-,-

o

IXI

50

Abb.41 10

'00

Aufgahe 4.7. 11: Für die folgenden Fun ktionen ermittle man a) den Definltkmsbereich, b) die N ul1stcllcn sowie c) Ort und Art ihrer Unstctigkcitcn:

un

f(y)::

ii)

f(x)::

I c 1/ (2y- 4) 10

i\')

z-e l f(z) :: ln ( ;:-;, ) ;

\-i)

her) =

für )' "*" 2

m r y ~ 2;

(x + h)4 - .~ 4 rur h* 0 v]

vii)

" iii)

,)

ffh) =

b>(t) =

(x 2 - 2x + I ) (x - 4) (x - l) (x2 - 4x + 3)

3x 2 - ]x (x - I)(x L3x +2 )

1

-Ix 3

{

~

h

_ 1/t 2

b1x) :: (x + I ) (x -

v;- - 2

f(,) = 0,5

f(jr h ::() ; (x

>

ix) f(, ) = .

I, - 2 I + 1

4

const)

für 1 "*" 0 für 1 :: 0 ; I)

pL

2- 1/ p _ 2

x2+ i - 4x + 13 x L2x -i

rur - o <x S2

'ftirl
- O.

q V) = O, 5y2 + 5,5YH5, Y a 0 Y+ 9

(Y: Einkummen in GE ; C: Konsu m in GE - jeweilsp ro Rrferenzperiode). i) Man überprüfe jeweils das asymptctische Verhalten des Konsums für unbeschränkt wachsendes

Einkommen. ii) Gibt es einen Sättigungswert (siehe Bsp. 4.3. 7 ) für den

iii) Man skizzie re jeweils den Konsumvert auf.

Konsum'!

199

5 Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen - Grundlagen und Technik

5.1 Gru ndlagen der Dttreren üat rechnung 5.1.1 P roblemstellung Wie be reits in der E inleitu ng z um letz ten Kapitel angede utet, gehört zu vielen wichtigen fun ktional darstcllbarc n Problemen in Nat urwissenschaft und Öko nomie nicht nur d ie Frage nach der fu nktionalen Zuordnung von Proble mvariablen. so ndern ebenso die Information über deren wechselseitig verursachte Bewegungen , Entwicklungen und Änderungen: -

Für den Piloten eine r R aumfä hre ist es nicht nur wicht ig zu wissen, in .....clcher Position er sich zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet, sondern a uch, wie sich dies e Position im Zeitablauf ändert. wie großseine Ge schwindigkeit s- und Bcschlcunigungsän dcrungen im Zcitablauf sind.

-

Für den A nbieter eines G utes ist es nich t nur wichtig zu wissen, wie hoch sein E rlös bei clncmgcgcbcnen festen Marktpreis ist, sondern vor allem auch, wie sich - nachfragcbcdingt - sein Erlös ändert . wenn er den Verkaufspreis um eine n bestimmten Betrag (ode r Prozen tsatz) anheb t ode r senkt.

-

Für den Hersteller eines Produktes ist es nicht nur wichtig zu wissen, wie hoch seine Gesamtkosten oder Stüc kkosten für eine best immte Prod uktio nsmenge (oder A uslastung) sind, sondern vor allem auch, in welcher Weise sich diese Kosten ändern . wenn die Produktionsmenge (oder die Auslastu ng) gesteige rt oder gemindert wird.

-

Bei der An alyse der A uswirkungen von Lohnerhöhunge n ist es u.a. wichtig zu wissen, wie sich die G uternachfrage bzw. die Konsumau sgaben der Haus halte ändern. wen n das Ha usha ltseinkomm en um einen best immte n Betrag (ode r Prozentsatz) a1t~l eigt .

Die Aullist ung derartiger Probleme, bei denen es entsche idend a uf die Äntlerung.\ lendenz einer Funktion f: y '" fex) an kommt. wenn sich d ie unabhängige Variab le x ändert, lässt sich beliebig fortsetzen. Vor etwa 300 J ahren schufen - fast unab hä ngig voneina nder - Go ttfncd Wilhd m LEIB]\.l Z (1646 -17 16) und Isaac NEWTOC\l (164 2· 1727) mit der Differ entialrechnun g ein a ußerorde ntlich leistu ngsfähiges und effektives I nstrumentarium I zur mathematischen E rfassung derartiger .Änderungen';

5.1.2 Durchschnittlich e Funktionsst eigun g (Seka ntensteigung) und Differen zenquotient A nschaulich kommt d ie Änden mgstendeuz einer Funktion f durch d ie meh r od er weniger große "Stcilheit" ihrer Funktionsk urve zum A usd ruck (A M. 5.1.1); l Ohnedie Differentialrechnung wäredie rapide neuzeitliche Entwicklung von Naturwissensc haft und Technik nicht möglich gewesen.

200

5

Di fferentialrechnung fü r Funkti onen mit einer unabhängigen Variablen

I {Kosten}

l lKoslenJ

il

ii}

Kostenzu wachs . g ro{j "

Abb. 51. f (Oulp ul)

{Output}

,,1 So wachsen bei einer ,,steil" ansteigenden Kosten kurve (AM . 5. 1.1 i)) die Kostenwert e be i Qutputzunah· rot: relat iv rasc h , bei einer " flach" ans teigenden Kostenkurve (AM. 5./ .1 ii» dagegen relat iv lan gsem .

o

Bei ünea ren Funktione n lässt sich das Änderu ng.w er* hallen vo n f d urch die Gern de nsteigung q uant ita tiv besc hreiben (s. Kap. 2.3. 1.2): Un ter der Steigung mder linearen Funkt ion f: y '" f(x) == mx + b versteht man da s (überall konstan te) Verh mlnis von I1öhenänderung A f (Ä ndcr ung von f ) zur ent sprechenden Honzoetalenän deru ng.6..x(Än de rung von x). siehe .Abb. 5 .1.2 :

p .-

-

- .1
0) 0,Jx4

( ,:- ) 2"

(O,4x3).

ii)

fex) = 2010x + 1

(2010);

fex) = -5x-1. (x",O) x

(-5 + 2 ) x'

5.1

205

Gr undlagen der Differentialrechnung

5.1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit Bei allen b isher be trac hteten Fu nktionen wurd e st illschweigend d ie Ex istenz de r A bleit ung f'(xo) a n jeder Stelle Xo vorausgesetzt. Da jedoch f (Xo) ein Grenzwert (des Differen zenquotienten von f ) ist, können die gleichen Falle der Nicht existenz eines Grenzwertes (hier: f'(xo)) auft rete n, wie sie in Kapitel 4.5 (U nstetigkeits type njfür be lieb ige Funkt ion en f an der Ste lle Xo beschrieb en wurden: 1.) Der G rap h d er Funkt ion f könn te in Xo ei ne Ecke oder einen Knic k (Abb. 5.1.23 ) aufweisen, d.h. link sseitiger und rechtsse itiger G renzwert des Differenzenquotienten existieren dann zwar, sind aber von einand er verschieden. D ies bedeutet:

f'( xo) existie rt nicht, es gibt in Xo keine (eindeutige)Steigungv 3 für x > 3

xc = 3

iv) f(x) = x +

{:~ +3

f(x) =

VX ;xo = 0

I x- I I ; Xo = 1 .

5.2 Techni k des D i ffe re nzie rens Aus den Berechnunge n zu Beispiel 5 .1.19 wird erneut de utlic h, dass zur Bestimmung jeder Ableit ung

[Funkttonssteigu ng) ein - mit der Kompliziertheit der zugrundeliegenden Funktion f zun ehmend müh-

sam werdender - G renzprozess gehö rt. Wie sich zeigen wird, gibt es - glücklicherweise - eine Reihe relativ einfac her Ablehungsrege fn. die es gest att en. bei Kenntnis der A bleitungen nu r weniger Gru ntlfun ktionen (z .B. x", eX, In x) ohne erneute Grenzwertprozed uren auch alle diejenigen Funktionen abz ule iten, die sic h a us einer od er mehreren elementare n Grund funkti onen in bel iebiger Weise mathema tisch komb inieren lassen . Diese - für eine erfo lgreiche A nwend ung der D ifferenti alrechn ung unabd ingbare Technik des Differen zierens wi rd im folgenden zunäch st au sführlich behandelt, ehe sich I nterpretat ion und An wend ung von Abl eitun gen bei ökono mischen Funktionen ansc hließe n.

5.2

207

Technik des Differenzicrcns

5.2.1 Die Ableitung der Gru ndfunktionen 5.2.1.1 Ableit ung der konstanten Funktion r( x)

=c

Für den Differenzenq uotienten von f(x) = c = co nst. (e elR) erhält man: df

f(x+6x) -f(x)

dX=

t.x

c

e

c

= t.x =O

{(xl := const.

,

so dass gilt (wie es wegen des waagerechten Verlaufs des Funktionsgraphen (Abb. 5.2.1) zu erwarten war):

Abb.52.1

Satz 5.2.2: Die konstante Funktion f fex) = c = const. (ce IR) ist überall differenzierbar, und es gilt:

fex) = c = const. f'(x) = 0

(5.2.3) ~

1) 1(, ) " 2

Beispiele:

11) x(p) =

f'(x) = 0

~

"""

J!. const. = 0 d,

5.2.1.2 Ableitun g der Potenztunktton fex)

= x"

I

,

V4 - 2eO,5 + In 23

(n e N )

Für den Differenzenquotienten von fex) '" x n (n E IN) erhalten wir nach (5.1.18): M

t. x =

[(,, +6x) - f(x) t. x

Mit H ilfe der Binomischen Pe rmet (Satz 1.2.42) folgt daraus: M "ß + (n · " ß- I. t.x +( ~ ) ." ß-2 · (6x) 2 + ...+ { n·(dx) n - x ß 6.'1: = ßX n( n- I) , ß X' (n x n I + - ,_ ' x n - ' d x + ... + (ß x)n-I ) +

n (n- 1)

n-x'" I + - -z

' xß

z +

' ß X + ... + (Ax)o- I

Jeder dieser Summanden enthält mindestens einen Faktor 6 x, strebt alsofür 6 x - 0 ebenfalls gege n Null.

Daraus folgt:

I'(x} = (Xli)' =

lim

/UI: _

O

.M. Ax

Satz 5.2.4: (5.2.5)

fex) = xn

:::} f'(x) = ß ' xn- I

so dass giLt:

~

dx

dp '" O.

208

5

Bei~piel

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

to

5.2 .6:

i) f(x) = x f(x) = xl ~

f'( x) = l ' xO = 1, (x* ü) . Wegen (5.1.20) bleibt das E rgeb nis auch für

x = 0 richtig,

*

r --:-'-...l ...

ii) f(x) = x3 => f'(x) '" 3x2 . iii ) p(t) = t

2OO9 =>

= 2009 · t

2OO8

I Abb. 5Z 7

(siehe auch Abb. 5.2.7) .

I... fxl

x.

Bemerkung 5.2.8: Wie sichsp öter zeigen wird(siehe 5.2.60), behält dieAbleitungsregel (5.2.5) für Potenzen ihre Giiltigkeit auch f ür ganzzahlige Exponenten 11 (ne Z; x 0) und - sofern x > 0 -sogar fur

*

beliebige reelle Exponenten (n E IR). Somitgilt allgemein: a) (5.2.9)

I1EN,

XE JR

mir b) neZ, xeIR\ {O } c) /1e fR, xe IR"

Setzen wir (5.2.9) als gültig voraus (der Beweis erjolgt in Kap. 5.2.3.2 i»), lässt sich die Klasse der differenzierbarenPotenzfunktionen he/räch/lieherweitern:

Beispiel 5.2.10: i)

f(x) ""

~ (x*O). Wegen ~ "" x- 6 folgt mlt(5 .2.9): f'(x) x

x

=

-6x- 6- 1 = -6x-7 "" -~ .

ü) f(x) "" 1. Wegen 1 "" xl} (x,*O) folgt mit (5.2.9): f'(x) "" 0 ' x O- 1

iii) f(x) ""

JfX (x > 0).

Wegen

VX = xi

x

""

.Q. "" x

o.

folgt mit (5.2.9):

j ....!..xL :..l · x H "" ..!.x- = - ' -

dx

2

iv) f(x) "" -

2

,-

'v;;-

2V;- .

(x > 0). Wegen _, _ -I

v;;-

5.2.1.3 Ableit ung der Exponen tia lfunkt ion f : f(x)

folgt aus (5.2.9):

= eX

Für den Differenzenquotienten von f: f(x) = CX erhält man nach (5.1.18): M ~ =

f(x + 6.x) -f(x) e"fAx -e" = (PI) 0' .O)

v)

f(x) = x2. x7 ' x9 h(p)

iii)

I :0 -, , --

JtP23

,

xi) t(z) =l n ( jI'Z · jI'Z) , (z > O)

7) xiii) u(v) = In e In (v , (v> 0)

,y,

(z > 0)

"i ) x(y) = yl ll 20, (y>O)

(P > 0)

"i ii) k(x) = x2c. x· ln 2, (X > O)

g(, ) "

ix)

t( n) = 3

1

V/ 2

,(n > Oj

xii) k(p)=C Iß P2 , (p>O)

5.2

211

Technik des Ditfc rcnzierens

5.2.2

Ableitungsregeln

A hnlieh wie bei dcn Grenzwertsätzen (siehe Satz 4.3.1) existieren Ableitung!igesetze zur EnniUlung des Differentialquotienten von solchen Funktionen, die sich alt'; den Grundfunktionen (deren Ableitungen bekannt sind. siehe Kapitel 5.2. 1) kombinieren lassen.

5.2.2.1

Faktorregel

Kennt man die Ableitung g'(x) einer Funktion g, so lässt sich aueh die Funktion f mit fex) 0': c · g(x) {c 0': const.) ableiten, und es gilt nach (5.1.18): fex ) =

lim f(x + f),x) - f(x) = Ill _ O f),x

""_0 lim

c

g(x+f),x) -

;,

C

g(x)

'

= c · ]Im lll -

g(x+f),x) - g(x) O

f),x

und daher: Mit g(x) ist aueh die Funktion f: fex) = c g(x) • (ce IR) differenzierbar,

Satz 5.2.22: (Faktorregel) und es gilt:

fex)

(5.2.23) ~

0':

c· g(x)

bzw.

f'(x) = e' g'(x)

(c g(x» = c · .ss, I. dx dx- I ' I-L

Die Ablcitungsregcl (5.2.23) wird häufig (erwas salopp) so formuliert: nEin konste ruer Faktor k ann vor äieA bieitunggezogen werden ."

Beispiel 5.2.24: I)

fex) = 5x20

~ f'(') =5· ..! x20 dx

= 5 '20x l 9 = 100x 19 . '

x ~ f'(x) = -7' ..! d, eX '" - 7e ;

ii)

fex) = - 7eX

iii)

fex) = 0,5 1n x

iv)

fex) = -,_,_ = 7 ' (9x3f l f8=7'9- l f8' x- 3f8 (x > O)

V9x]

q ,) =

5.2.2.2

~ f'(x) = 0,5 'd~ In x = ~ ( x > 0 ) ;

I 7 -9- 1' 8 -(- -3 ) , - Hf' = - - 21 (9 I -, 11)- 1'8 = -21 - - ..a_ -'-_

a

8

8

V90T

Summenregel

Au s den belden differenzierbaren Funktionen u: u(x) und v: v(x) we rde die Sunune nfunktion f mit fex) 0': u(x) + v(x) gebildet. Für deren Differenzenquotienten erhält man mit (5.1.18): f),f f(x + f),x) - f(xl -f),x = f),x

=

u(x + f),x) + v(x + f),.~) - u{x) - v(x) öx

=

u(x + f),.~) - u(x) öx

+

v(x + f),x) - v(x)

öx

Dcr Grenzübergang (für M - 0) liefert für die beiden letzten Summanden genau u'(x)+v'(x) , so dass wir schließlich erhalten:

212

5

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Satz 5.2,25: (Summenregel) Sind die beiden Funktionen u. u(x) und v: v(x) differenzierbar, so auch dere nSumme fex) = u(x) + v(x) und Differenz fex) = u(x)- v(x), undes gilt:

fex)

(5.2. 26) ~

= u(x) ± v(x)

bzw.

f '(x) = u'(x) ± v'(x)

1 J!. (u:tV) = i!..!!. ±Jb:. Idx dx dx

Die Summenregel (5.2.26) wird häufig auch so formuliert: " Eine Sum me (bzw. Diff erenz) d arfgliedweise (d.h. summe ndenweise) differenziertwerden. " Belspiel 5.2.27 : i)

f(x) = 4x7 -x + 2

F'(x) = 28x6 - 1 ;

ii)

g(x) = ax"+bxn-1+c

g'(x) = a -nxn" ! + b '(n - l ) 'xn - 2;

iii )

hex) = 2ex + 4 In x __,_

h'(x) = 2eX+..:!... + - ' x ~

iV)

f(x) = v 8 + 2x

V.

,r;;"

V3 - 10 2

,r;;"

f (x)=2V3 ' x

V3 - I

(X>O);

, (x > O) .

B emerkung 5.1.28: Die Satze 5.2.2215.2.25 gestalten die A bleitung beliebiger PolJlwm e:

[(x) = unx" + a" _lx" - 1 + ... + u/ x + e » "" Lu; .xi ;_ 0

f(x) "" n 'allx " - / + (n -l) .a" _lx" -2 + ... + a1 =

L "

,.,

j ·(li · x i - /

.

5.2.2.3 Produktregel Für die Ableitung f" des Produktes fex) = u(x) ·v(x) zweier differenzierbarer Funk tionen u, v könnte man in Analogie zwn Grenzw crtsatz für Prod ukte (siche Satz 4.3.1 iii) dic" Regel" (u - v)' = u' · v' vermuten :

Beispiel 5.2.29: Wegen u'(x)

=

Seien u: u(x) = x2 und v: v(x) "" x3 vorgegeben. 2x und v'(x) = 3x2 folgt: u'[x]. ' v'(x) "" Zx - 3x2

Tatsächlich aber ist die Ab leitung von f mit fex) = u(x)' v(x)

f(x) = 5x-4

(* 6x3).

Damit ist die Vermutung

= 6x3 .

= x2 . x3 = x5 gegeben d urch (u . v)' = u': v'

widerlegt.

Für den Differenzenquo tiente n der Produktfunktion fex) = u(x) · v(x) erhält man nach (5.1.18): lJ.f f(x + lJ.x) -f(x) lJ.x = Ax

u(x +Ax) ·v(x +h.x) -u( x) ·v(x) öx

Addiert manimZähler den "N ullterm" -v(x+ lJ.x)· u(x) + v(X+ AX)' U(X) • so folgt: lJ.f ~ \'( x + Ax) ' [ u(x + h.x) - u(x) I + u(x) ' [v(x+ lJ.x) - v(x) 1 lJ.x Ax

=

u( x+ lJ.x) - u(x) "

öx

)

() V(X+ßx)-v(x)

·\\x+h.X + u x ·

Ax

.

Strebt nun ex - 0, so streben die beide n Differenzenquotienten nach Voraussetzung gegen u'(x) bzw. v'(x), v(x+ tU) strebt (da v(x) stetig ist) gegen v(x), so dass wir schließlich erhalten:

5.2

2IJ

T echnik des Differenzierens

Satz 5.2.30: (Prod uklregel) Sind die Funktionen u: u(x) und v: v(x) differenzierbar, so auc h die Prod uktfunktion f: fex) = li(X)' v(x), und es gill: f(x) = u(x)'v(x)

(5.2.3 1) ~

I

bzw,

f(x) = u'(x) ' v(x) + u(x)'v'(x)

-d (u ' v) = -du 'v + u ' -dv dx dx dx

I.

Belspiel 5.2.32: i)

f(x) = 2x2 'e x

~

ii )

g(z) = z7 . Inz

~

iü)

iv)

f'( x) = 4x · c x+2 x2·ex = 2xe X( 2+x) . g'(z) = 7z 6 'lnz + z7 . ~ = z6( 7Inz +1) .

Die Faktorregel (5.2 .Z3) ergibt sich auch mit H ilfe der Pnxluktregel: Scif(x)= C'b>(x)

~

f(x) =c "g(x) + c 'g'(x)= c 'g'(x)

f(l) = (In t)2

::;>

f(t)=~ ·ln t+ ln t · ~ =2 · I~t.

(da e ' = O) .

D urch mehrlache Anwendung der P rodukt reget lassen sich auch Fu nktionen ableiten, d ie aus mehr als zwei Fa ktore n bestehen:

Beispiel:

~

fe x) = (3x 2 . eX) ' -lnx + 3x2. e X ' = (6x ' e x +3x 2 'ex) 'l nx+3x ' e x = 3x ' e-X(Z 'ln x +x ' ln x + I ).

~

"

+

~

f(x) =3x 2 . e X' ln x v

Allgemein gilt, sofern fex) = fl (x) ' f2(x) ' ... . fn(x):

I

(5.2.33)

fex) = f l ' ·f2· ..· · f n

+ f l · f 2'·fr ..·· f o

+ ... + f l · f2 · ·.. ·f o'

I.

5.2.2.4 Quotientenregel Dureh eine analoge Beweisführung wie in Kap. 5.2.2.3 erhält man d ie A bleit ungsregel für den Quotienten f(x) = u(x)/v(x), (v,*,O) zv....eier d ifferenzierbarer Funktionen u und v, Der Nachweis wird einfach, wenn man unters tellt, dass die A bleitu ng f'(x) existiert . Dann nämlich kann man wie folgt schließen: f(x) = u(x) \'(x)

~

f(x) ' v(x): u(x)

.

Nach der Prod ukt regel (5.2.31) folgt daraus durch Differenzieren: f'(x)'v(x) + f(x) ' v'(x) = u'(x) . Diese G leich ung muss noch nach f" aufgelöst werden:

f ·v

e

u' - f · v' = u' _ ..!!... · v'

u"v - u 'v'

v

Division durch v liefert schließlich die gesuchte A hlcitungsformcl für t', Damit haben wir schließlich Salz 5.2.34: (Q uotienlenregel) Sind die Funktionen u: u(x) und v: v(x) d ifferenzierbar, so auc h die Quotiententunktion f : f(x) = u(x)/v(x) (v,*O), und csgilt: f(x) = u(x) v(x)

(5.2.35) ::;>

f'(x) =

o'(x) ' v(x) - u(x) ·,·'(x) Iv(x)J2

du

dv

d;"" - Udx'"

"

214

5

Differentialrec hnung für Funktione n mit einer unab hängigen Variablen

Damit kö nnen beliebige gebroc hen- rationale Funkt io nen abgeleitet werden (Definitionsbereichbeachten/) . Beispi el 5.2.3 6:

f(x) = 4)\2 + 1

i)

f(x)

xl - X

ü)

",) = -

iii)

h(l) = -

e

g'(z) =

r. + I t

h'(I)

In I

iv)

f(x) '"

=

xl.

::)

V3 + ln 2

f'( x) =

8:>:

(x3 - xl - (4,,2 + 1){3x2 -

I)

(x3 _ x)2

eZ (z4 + l) - CO: . 4 2.3 = (7.4 + 1) 2 21 Int - t2 , 1ft (In 1) 2

=

- 4x4 - 7,,2 +1

Cl ( z4 - 4 1.3 +

( x3 _ X)2

1l

(z4 + 1)2

1 (2· 1nt- l) (In 1) 2

2x

V3 + ln2

.

(Quotiemenregel hierunvorteilhaft, besser mit Faktorregel (5.2.23 ) ableiten l)

V5

g'( x) = - 7 ' (l n4+ V'5) .

g(x) = In4 + h'

v)

2x8

(QuOIienleliregd hier weniger vorteilhaft, besser mit Faktorregel (5.2.23) in Verbindung mit (5.2.9) ableiten I] Bemerkung 5.2.3 7; Bei der allgemeinen Darstellung von Funktionstypen können neben der eigentlichen unabh ängigen Variablen weitere Variable als (komtall/e) Parameter auftfeien. Beispiel: a) [(x) = Xl ; x: unabhängige Variable; (allgemeine Potenz/unktion)

n (=const.): Parameter

b) / (z) = mz + b ; z: unabhängige Variable; (allgemeine Geradeng/eichung)

m, b t- const.]: Parameter

Werden derartige Funktionen bzgl, der unabhängigen Variablen abgeleitet, so müssen s ämtliche Parameter als Konstanten behandelt werden 3: Beispiel: Vorgegeben sei eine Funktion [ mit dem Funksionsterm

[ : 2.1;2 'z - z3 .;. z2 -lnx .

i)

Fasst man [ als Funktion [(x ) der unabhängigen Variablen x auf, so ist z ein konstanter Parameter, und esgilt: .!!L :2 f'(x) : ax : 4xz + X

ü)

Ist dagegen z die unabhängige Variable, so muss x wie ein konstanterParameterbehandelt werden, und es gilt: f'(z) : 2.1;1-3:2 + 2z 'lnx ,

11-:

Aufgabe 5.2.38: Man differenziere folgende Funktionen nach der geklanunerten Variablen: i) f(z) : ~ ii) g(t): 4 .(2t 3- 1Hf"iS iii) f(y): 4x3

v;ts

;v)

h(p) =

,y.yy

4 2+ I

p -,--"'---c-(p2 _1) (2 4+ p

p)

3 Dies Verfahren entspricht der pa rtiellen Ableiwng ~0I1 Funkt iOllen mit mehreren IInablrdllgigen Vari ablen , siehe Kapitel 7. Man benutzt dafür die Schreibweise afi'ax, um anzudeuten, dass r nach x abzuleiten sei, wobei alle übrigen Variablen wie Konstanten zu behandeln sind.

5.2

Tec hnik des Ditfe renzierens

ix)

Aufga~

215

u(v) :=x 2 . _2\' -- X 5v+ x

vii)

b(x):= e X _ ..!...

,)

e'

5.2.39:

a(x) := e X + ~)

.L

'"

2 · Inb

'tb) " 2b2 + cb

Man untersuche die a ngegebenen Funktionen f

a) auf Stetigkeit in 1R. b) auf Differenzierbar kelt in IR, c) auf Stetigkeit der ersten Ablcitung in IR. und skizziere f sowie ihre Ableitung f": x2 +x - 6

C)

f(,) "

1x2 +5x- 14

iii)

f(, ) "

j

.'(2 _

Inx

mrx e z mr x a z

x für x S

,

ii )

2 f():= { x +2 x mr x s z x 1,5 x2 für x > 2

filr x >1

Aufgabe 5.2.40: i) Man ermittle die G leichung der T angente an den Graphen von f: f(x) := x2- I an der Stelle x +I ii) Mit wclc hemSteigungsmaß schneidet der Gmph der Fun ktion f: f(x):=

I:;

Xo := 2.

die Ab szisse?

5.2.2.5 Kettenregel Obwohl die Klasse der Funktionen, d ie mit den bisher behandelten Ableitungsregeln diffe renziert werden kön nen, bereits recht umfangreich ist, lassen sich schon recht einfache zusammengesetzte Funktionen wie etwa

ii) fex) :=

V3x2 + X

iii ) f(x) := er;

iv) f(x) := ln (x 2 + 4)

nicht oder nich t ohne weiteres mit den bisherigen Regeln ableiten.

Bemerkung 5.2.41: Z war könnte man in Beispiel i) prinzipiell dieAbleitung durch Ausmultiplizieren des Funktionsterms und anschließende Anwendung der Produktregel gewinntn . Der Umfang der dadurch entstehenden Rechenarbeit ver uneiu jedoch dieseMethode zum Scheitern. Ebenso verbietet sichdieum ständliche Ermittlungdes Grenzwertes des Differenzellquolienletl (5.1.18) in jedem EimelfalJ. Bei den eben angef ührten Beispielen handelt es sieh ausnahmslos tun mittel bare Funktionen, die aus zwei elementaren Fun ktionen zusammengese tzt oder verkettet sind (Kapit el 2,1.6). Dabei erfolgt der Prozess der Verkett ung (odcr Hintcrcinandera usführung) zwcicr Funktionen ste ts in der Weise. dass der Funktlonstcrm g(x) der inner en Funktion g ansteIle der unabhängigen Variablen g in die ä ußere Funktion f := f(g) etegesetat winl, so dass d ie zusam mengesetz te Funktion f := fÜ,>(x» en tsteht (Beispiel 2.1,61): Beispiel 5.2.42: äußere Funktion f(g) i) f(g) := g lOO

vg

innere Funktion g(x) ; g := h>(x) := x2 + eX

zusammengesetz te Funktion f(g(x» ; ~ f(h>(x» := (x2 + ex)100

V3x 2 +X

g := g(x) := 3x 2 +X

~

f(g(x»:=

f(g) '" cS

g"g(,) " y,

~

f(g) := In g

g := g(x) := x2 + 4

~

f(g(x» := e I{X f(g(x)) := In(x2 + 4)

U)

f(g) "

iii)

Iv)

(Dabei ist zu beac hten, dass der Wen ebereich Wg dcr Inneren Funktion g und de r Dctinitio nsbereich Df der äußeren Funktion f einen nichtleeren Durchschnitt habe n, sie he Bcmerk ung2.l ,63.)

5

216

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

Es zeigt sich nun, dass auch verkettete Funktionen f(g(x» nach x differenziert werden können, sofern die Ab leitung f (g) der äußeren Funktion bezüglich g sowie die Ableit ung g'(x) der inneren Funktion bezüglich x existieren. Dazu betr achte n 'Wi r nach (S.1.t 8) den Differenzenquotienten zu f(g(x)): M f(g(x + 'ö'x)) - f(g(x)) .ö.x = ex

Erweitert man den Tenn auf der rechten Seite mit ög ,= g(X+Ax) - g(x), so folgt (sofern ög stets als von Nullverschieden vorausgesetzt wird 4): M _ f(gC x .6.x)) - f(g(x)) . ~ 6.:-: öx ag

Beachtet man, dass wc~,'cn

li.g ' ~

~

(5.2.43)

_

f{g(x + 6.x)) - f(g{x)) . ~

-

Ax

6.g

b'< x+.ix) - g(x) gill: g(x+ Alt) = g(x)+ ög = g+ eg, so folgt (ctnserzcnt).

_ 1"(8+6.8) - f(g)

6.g

öx -

g(x+6.x) - g{x )

öx

Da mit zx - 0 auch 6g = g(x+ ex) - g(x) gegen Null strebt (g ist - da differenzierbar- auc h stetig!), strebt für sx - 0 der e rste Fakto r von (5.2.43) gegen f'(g) und der zweite Faktor von (5.2.43) gegen g'(x). so dass wir zusammenfassend erhalten: Satz 5.2.44: (Kenenregel) Es sei f y :< f(g(x») eine aus f(g) und g(x) zusammengesetzte Funktion. Weiterhin mögen g'(x) und f(g) (mit g :< g(x» existieren. Dann existiert auch die Ableitung f'(x) der zusamme ngesetzten Funktion f(g(x» , und es gilt: (5.2.45)

f = f(g(, n ,.

fN

=

I dx I Jid x f(g(x)) :< dfd g . ss

bzw.

f(g ) · g"(')

mit g e g(x) .

BeispieI 5.2A 6: (siehe Bcispicl 5.2.42) I)

I f(x) :< (x2+ ex)100 Wegen: f(g) :< gl00 => g(x) :< x2 +e x =>

ii)

Ifex)

f(g) :< 100 g99 :< 100 (x2+ e X)99 g'(x) :< 2x+ e x

und

g(x) = 3x2+x

=>

6x+ 1

2,V 3xz+x

1 g- 1/2 = - 1- = _=~I== f '(g) = 2 2vg 2V 3xz+ x

g'(x) = 6x+ 1

und

f (x) :< f(g) · g'(x) .

r;

If(,) = / ' I Wegen: f(g) :< eg

f'(x) :< f '(g) · g'(x) . f '(x) =

V3x2 +x

Wegen: f(g) :< ,,..,. v g =g 1/2 =>

iii)

f'ex):< 100 .(x2 + eX)99.(2x+e X)

=>

f ex) = - ' -

2V;-

=> f '(g) = eg :< er;

,e- 1/ g(x) = v x= x 2 =>

I

g'(x) =-x 2

- 1/,

1

=-2V;

und I'(x) = f (g) ' g'(x) .

4 Wcgcn d iescr einschränkenden Vora ussetzung ist der o.a, Beweis der Keltenregel mathematisch nicht streng.

5.2

217

Tec hnik des Ditferenzie rens

If(x) ~ In (x2+ 4) I

Iv)

Wegen: f(g) = In g

g(x) = x2 +4

, ;) 1.

,,;)

I'(g) =

,,;)

g'(x) = 2x

g

(f '(x) = ~ I

= _1-

x2 +4

und

f '(x) = f (g)' g'(x).

Bemerkung 5.2.47: i) In dldx f(g(x» = ['(g) .g'(x) bezeichnet man dieA bleitung r (g) der äußrren Funktion als äußere

Ableitung und die A bleitungg'(x) derinneren Funktion als innereA bleilrmg, so dass man die Katenregel auch in derKurzf orm "/f llß ere Ableitung mal innere Ableitung" formulien. ii) Gelegentlich nennt man das Muitiptiiieren von ['(gY mit der inneren Abteuung g'(x) auch "Nach-

differenrierell".

!!L-.<J1. . ~

üi) Die Schreibweise (5.2.45)

dx -

dg

dx

der Kat enregel ist besonderseinprägsam, da fo rmal links wie rechts vom Gleichheitszeichenderselbe Tenn steht. Man beachte jedoch, dass ein tatsächliches " Kürzen" derSymbole dg nicht zul össig isl, da sie nur zur formalen Schreibweise eines Grenzwertes benutzl werden. Wie an der Form ( ,) der Kauenregel deutlich wird, ist diese (berei/s von Leibniz stammende] Schreibweisevon derart eleganter Z weckm äßigkeit, dass sie äem An wenda etnhohes Maß an Denkurbeu abnimmt. iv) A uch Funktionen, die aus mehr als zwei Trilfunktionen verkeilet sind, lassensich durch wiederholte Anwendung der Kenenregel differenzieren. Allgemeinerhält man so fü r eineaus n Teilfunklionenzusammtngesetzle Funktiun mit dem Funktionsterm f(g l(g 2(g3'" (gn(x»» ...) die allgemeine Knienregel (5.2.48)

Beispiel: Wegen:

fex) = [In (x4 + ])]8 f(g J)=gl

~

f'(gl ) = 8 g /

' ) srs:

~

) = g2 J J gl " lg2 = x4+ 1

~

g/ (x)

g2(x)

= Ing2

=x 4 + ]

= 8 [1n (x4 + l)p ; ;

= 4x 3

folgt: 32 x 3 [ln (x "' +

x' + J

l)l

Wie in Beisp iel 5.2.46 demonstr iert, erhält man mit H ilfe der Kettenregel unmitt elbar die Ablei tungen der verallge meinerten Grun d run ktione n mit J en Funktion sterm en . [g(x) ]n (n = consl.) ;

In g(x) ,

d ie a us den en tsprech end en elementare n G rundfunktionen xn, c'', In x da durch hervorgehen, dass an die Stc lle der unabhängigen Variablen x nun die innere Funktion g(x) tritt . E s gilt (u nter Beach tun g der üblichen Ei nsch ränkungen):

2 18

5

Differentialrechnung für Funktionen mit ein er unabhängigen Variablen

Satz 5.2.49: (Ableit ung der e ngereeinen Gru ndfunküc nen}

f(' j - [g(,)I" :::} fex) = n '[g(x)]O - I 'g'(X)

(5.2.50)

bzw.

fex) = ~( )[)

(5.2.5 1)

bzw.

:::} f'(x ) = ~(x). g'(x)

fex) = In g(x)

(5.2.52)

:::} f ex) =

bzw.

M g(x)

..!.. In g(x) '" ~ dx g(x)

Aufgabe 5.2.53: Man ermittle die Ableitung folgender Funktionen (nach der jeweils angegebenen un-

abhängigen Variablen): I) fex) = 0.5(4x'- 3x5)64 Iv) p{u) = c- 2u \li ) C( I) '"

,

,

V2f.e- I

Y"',2'_-",7"

iii)

k(z) = z5 . In (1 - z5)

k(t ) = 5 In (ln t)

\1)

K(y) = 20· e·

viii) k(x) = x" ' c - fLX

Ix)

0(,)

ii)

g(y)

=

= In

17

Iy .

V +sl

a

VTri"7

1

6 +s 2

2 x) P(W) = (In w ; I)20

e

5.2.3 Ergänzu ngen zu r Ableitungstechnik Im folgenden sollen einerseits die Klasse der differenzierbaren Funktionstypen erweitert werden (Kap. 5.2.3.2) und andererseits nützl iche zusärzltche Ableilung.'itechniken bereitgestellt werd en, die den Differenti at ionsaufwand verminde rn kön nen (Kap. 5.2.3.115.2.3.3) . Dabe i wird sieh zeigen. da ss in allen Fä llen der Kenee rege t (5.2.45) eine Schlü. 0).

ydiffcrc nzicrbar.

f - t '(y) ", 2y, so dass (5.2.57) liefert:

~ VX =_I- = _ 1_ '" I~' (x > 0) , siehe a uch Bsp. 5.2.10 iii) . dx d 2 2y 2~ x dy Y

ii) Vo n den zueinand er inversen G rundfunktionen e", In x (siehe Kapitc1 5.2.1.3! 5.2.1.4) ist nur

die Kennt nis einer de r beiden Ab leit ungen erforderlich! Die fehlende A bleit ung liefert (5.2.57): Fall a)

Die A bleitung von eY nach y sei bekannt, die A bleit ung von f: y = In x sei gesucht (x > 0). Wegen f: y '" Jn x = x = eY = f - I(y) folgt nach (5.2.57):

~ln x= -_I- = _ 1 dx -2.. cY r! dy

I

y .lnx

", .1 ; X

(x > O) .

Fall b) Die Ab leitu ng von In y nach y sei bekannt, d ie A bleitung von f: y = eX sei gesucht (y Wegen f: y = e X = x = In y = f - I(y) folgt nach (5.2.5 7):

..5L cx = dx

Aufgabe 5.2.59:

I = _'_=y ....!!... In y ...!.. dy

,

Iy=c'"

> 0).

=e x .

Man zeige mit (5.2 .57), dass für x > 0 die Abl eitung der allgemeinen Wurzelfunktion

•

f: y = VX nach der (noch unbewiesenen] Potenzreget (5.2.9) erfolgen kann.

5

220

Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhä ngigen Variablen

5.2.3.2 Ableitung allgemeiner Exponent ial- un d Logarith musfunktionen M it H ilfe der Kette nregel (5.2 .45) sowie der Ableitungen der Gru ndfunklionen (vgl. Satz 5.2 .49) lassen sich auch Expone ntial- und Loga ri thmll~fun ktionen allgemeinster Art differenzieren. i)

D ie Porenaregel (5.2.9) für Potenzf unktionen fex) "" XI mit beliebigen konstan ten re ellen Exponenl en r kann bewiese n werden , indem man nach (1. 2.85) die Basis x (x > 0) äqui valent als ExJXJncn tlalfun ktion zur Basis e schre ibt:

x '" eIn x , (x> O). Damit lautet die abzuleitende Potenzfunktion: fex) = XC = (ein X)! =

(1.2 .85)

Cf

In x , und man erhält mit der

Kettenregel (innere Fun ktion ist r ' In x]:

(5.2.60)

I dxd xr"' ....!.(er . lnX) = er . lnx · r ·..!.x =xr. r ·1.x = ~ dx ~

also das ber eits in (5 .2.9) vo rweggen omm ene und seitdem verwendete Ergebnis.

Beispiel:

f'(x) = In 2 · x(1n 2) - I '" 0,6931 .x - O,3069.

f(x) "" xln 2

ii ) Die Exponentialfunktion f : fex) = a'" mit beliebiger rcener Basts a (a = const. > 0) lässt sich mit H ilfe der Kett enregel ableiten, wenn die Basis a nach (1.2.85) umschreibt: a == eina, Dann folgt:

f'(x):: e x · ln a . In a = a X In a .

und daher

Wir erhalten somit für die Ableit ung der allgemeinen Exponentialfunktion mit konstanter positiver Basis a die Regeln:

, - -- -- - - - - - - - - ,

(5.2.6 ')

fex)

(5.2.62)

fex) =

Belspieles

i)

ii )

fex)

=

aX

f'(x) =

ag( x)

fex) = ag(x). g'(x) . In a

= lO x

f(x) =2 x2+x

a'~ '

In a

=>

f'(x ) = lO x -In 10

=>

f'(x) = 2 x 2+x '(2x+l) 'ln 2 .

=

2,3026 ' lO x

Für den Spezialfall a = e ergibt sich wegen In c = t das bekannt e Ergebnis (eX)' = cl( Ine = e'~ bzw.

(~(x) ' = ~( x). g·(x) . l ne '" eS(x). g'(x),

siehe (5 .2.12) und (5.2 .51).

> 0) zu be liebiger positiver Basis a (a * I ) lässt sich mit (5 ,2.15) abl eiten, wen n man bea chtet, das s wegen (1.2 .88) ganz allgemein gilt:

iü ) Die Lcgartthrnusfunkü on f f(x) '" lo&,x (x

(1.2.88)

Inx

log ax '" In a

+.

(a eR d l».

Daraus folgt mit (5 .2 ,15) und (5 .2.23) sofort:

..!L logx = ..!!.lnx ",_I_' ''!!'!n x ", _I_ .-l dx a dx ln a ln a dx ln a x

so dass folgende Regeln resultieren: x> O a> O

i '(, ) - _1- x -Ina

(5.2,63) (5.2,6 4)

f(x) '" logag(x)

Beixpiele: I)

f(x) '" 19x '" loglOx

,*1

g'( x)

~

g(x»O ,

f (x) = g(x) ' ln a ~

f'(, ) - _ 1 - x -tetu

;:::< 0,4343

1

' X'

5 .2

T ech nik des D ifferenzie ren s

221 2x + 7 (x2 + 7x)' ln 2

ii )

Für dcnSpezialfall a = e erhält man wegen In e = 1 das be kannte Ergebnis ,

,

(logex) = (In x) =

xI

bzw.

(In ~,'(x)

)/ _ g/(X) - g(x)'

( ( siehe 5.2.15) und 5 .2.52) .

Bemerkung: Regel (5.2.63) f olgt auch aus (5. 2.61) mit Hilfe der Ab leitung der Umkehrfu nktion (5.2.57): Wegen y = foga x ~ x = aY ergibt sich nämlich: d dx loga x =

1

d (#

ay

1

1

= (# ' 111 0 = ;.. 1110 .

iv) D ie allgemein .\ te Exponential funktion ist vom Typ f: fex) = g(x)b(x ) (g > 0). Setzt ma n wegen (1.2.85): b'< x) = ein

sro,

so lautet die abzulei tende Funkt io n f:

fex) = g(x)h(x) = [elng(x)jh( X) = ch(X) ' In g(x) , und dic Ket ten regel bzw. Produ ktregcl licfcm: d '(x) f'( x) = ;h (eh(x) In g(x» = ch{x) ' In g(x) .(h' (x) · In g(x) + h(x) ' ~) , d.h . es gilt die Regel: fex) = g(x)h(x)

(5.2.65) Beispieh i)

fex) = XX (x > 0)

~ ii )

~

('(x ) = g(x)h(x) . (h '(x) · In g(x) + h(x) '



f'(x ) = c"' ln x (ln l'+ x '

fex) = (x2+ 1)ln (x+4)

~

(1.2.85)

Mg(x) )

(g> O) .

fex) = (ein X)X = eX' lnx

~ ),

ci~xx =xX .(ln x+l ).

d. h.

(1.2.85)

fex) = e In (x2+1) ' In(x+4)

f '(, ) = e1n(x2+1) ' In (x+4) . (..1..!...-. [n(" 4) , 1" (x2+ 1) ' _1_ ). x2 + 1 x+4 '

d.h .

2+

..~(x2 + 1 in (x+4) = (x2+ 1)11I (X+4) .( 2x . III (XH) + III(X 1» . u.~ xi + I x +4

d.h.

v) Die allgemein.\ te I.ogarithmu~funktion ist vom Typ fex) = log g(x) h{x) , Na ch (1.2.88 ) kann ma n stattdessen schreiben:

g> 0; g* 1; h > O.

fex) = In hex) , In g(x)

so dass d ie A ble itung mil H ilfe vo n Qu ot ienten- und Kelt enreb'Cl erfolgen kann: d ci" log g(x) hex) =

(5.2.66)

Beispiel: i) ü)

In7 fex) = log 7 : x ln x fex) = log

~

(i"

~ hex) ' Ing(x) [ In

,.

..u&

In h(x) ' g(x)

sou 2

/ - ln 7 f(, ) : - l' (ln l')2

g(x»O ; h(x» O g(,)H (x > O,x * l)

x In e" cl' = - - : - -InV;o.s- tnx

f(x) = 1·0,5 ·lnx - l' ·0,5 · ' /" 0,52 .(In x)2

Inx -I 0,5' (Inl') 2

(x > o , x * 1) .

222

5

D ifferent ialrechnung für Funkt ionen mit einer unab hängige n Variablen

Aufgahe 5.2.67: Ma n ermittle (unter Beacht un g der jeweiligen Defmitionsbereiche] die erste Ableitun g

folgender Funktionen, definiert durch ihre Funktionsgleichungen: I)

fex) = x3 . y'

iv) f(, ) :

j I'X+{V'211- x

'0

\ 'ii) p{v) = vln\'

.

,-

h(z) == 2 In z ' (lnz)1O

, ) k(l ) = t JII

'i)

H(u) = (u +e - U)

, i ü) C(y) = (Iny)lny

ix)

Q(s) =

g(y)

= yllllO + (ln lO)Y

x 2 + .J

x) r(t) = (1 + 12) i+T

xiii)

iii)

ii )

1-u

s(s 0)

~

2'l

t" dK = 38 ' 2 :76 GE ii) dx = -1 ME => dK = 38 ' (-1): -38 G E .

x,,= 10 ME

lxi

Df i., wird die Produ ktion - ausgehe nd von 10 ME - um 2 M E erhöht, so nehmen die Kosten um ca. 76 GE zu, wird die Prod uktion um 1 ME verminder t, so sinken die Prod uktionskosten umea. 38 GE. (Z um Vergleich hier d ie etwas umständlich zu ermitt elnden exakt en Kostenä nderungen-

i)

6.K = K(12) - K(1O) = 75 ,7 GE

ii)

6.K = K(9) - K( IO) = - 38,3 GE.)

Bemerkung 6./.15: Durcn die Wahl der Bezeichnungen df, dx [ur die Änderungen von Tangentenfunktion und II/labh iingiger Vari abler erhiilt die schon fruher (siehe Der 5,/ .9) eingefuhne Schreibweise df/dx ("df nach dx ") für die ersteA bleitung f'(x) einenachträgliche Berechtigung. Das ~)'mbol df/dx kann nun in zweierlei Weise allfgefasst werden: i) dfldx ist der " Grenzwert des Difjerenzenqlloliemen" und somit identisch mit der l , Ableitung f'(x) (df nach dx). ii) df/dx ist der Quotiellt der Differentiale df ( Q, Ordinosenönderung der Tangemenf unktion] und dx (~zugehörige Absziuendifferenz

(* 0)) (df durch dx).

Da zwiscnen den Diff m mia/en df und dx (* 0) die Beziehung df = ['(x) . dx besteht (siehe (6./.8)), ist es unerheblich, welche derbeidenAuffa ssungen im Einzelfallzugrundegelegt wird: BeideAuffassungen führen stets zu gleichen, widerspruchsfreien Resultaten. AUfgabe 6.1.1 6: Man ermittle das Differential folgender Funk tion en und damit n äher ungsweise die Funkt ionswcrtändcr ungcn bei den gegebe nen Abszissenänderungen. Zur Kontrolle ermittle man die entsprec hen den wahr en Fu nktionsändcrungcn: i) k: k(x) '" O,2x2 - 4x + 60-

2~O ;xo

= 20; dx = 1

ii ) f: f(z) = c -z ;Z<J = 2 ;dz = 0,3

iii) p: p(t) = tn t ; t o = 7 ; dt = - 0,6 ,

AUfgabe 6.1 .1 7: Gegeben sei d ie ertragsgesetzflehe Prod uktionsfunktion x mit: x(r) = -r3 + 12rl + 30 r [x: O utpu t [MExl j r: I nput [MEl). Man e rmittle mit H ilfe des Different ials dx(r) näherungsweise die Ou tpurerh öhung. wenn - ausgehend von einer Inputmenge von 11 ME O

dfo=f7xJ>O

,

f

, - -

J..

.L.

dfo=f7xl < O

dx

0=

1

"

._

ot

dx=-1

dx= 1

O; p > O)

-

Konsumfunktion C mit C(Y) = 1,000 + 0,2 Y (C: Kon sum in G E; Y: Haushu usem kom men in GE)

(Y > O)

-

Nutzenfunknon U mit U(x) = 10 , (U: Nutzeninda; x: k onsum ierte Gtuerm enge in M E)

6~ r3 + ~

VX

r2 + 3r

(x > 0)

(r > O;x >O)

(x > O)

6 .1

251

Zur ö kono mischen Interpretat ion der ersten Ahleit ung

Man ermitt le: I ) die G renz kos ten bei einem Output von 70 M E , 2) die du rchschn itt lichen variab len Kosten für eine Prod uktmenge von 70 ME, 3) die G renz st ückkosten für den Ou tput 100 l\1E , 4) die Produ ktivität ( = D urchschnitt scrtrag) für den Fak torinput 40 ME r , 5) d ie G renz produktivität für eine Fakt o reinsatzmenge vo n 40 ME r 6) den A nstieg de r Grenzprodukt ivitätsfunkt ion be i einem Input von 40 ME r , 7) den Gesamtd eckungsbeitra g sowie de n Stüc kdec kungsbeitrag fü r den Ou t put 30 ME , 8) den G renzdec kungsbei trag sowie de n Grcnzs t ückd cck ungsbcitragfür de n O utput 30 ME , 9) de n Grenze rlös bzgl. der Menge be i einer A bsat zmenge von 150 ME , 10) de n G renze rlös hzgl. des Preises bei einem Markt preis von 120 GE/ME , 11) de n G renzgewinn bzg l. der Menge be i eincm Marktpr eis vo n 100 G E / ME , 12) d ie marginale Sparq uo te bei einem H aushaltsem kommen von 1.000 GE , 13) die d urchschnitt liche Kon sumquot e für das Einkommen 1.000 G E , 14) den Grenzst ückgewinn für den Output 40 ME , 15) den G renznutzen bei eine r kon sumierten G ütenncngc von 4 ME , 16) das d urch schnittli che Nutzennivea u für eine Konsumme ngevon 4 ME , 17) denjenigen Outpu t. be i dem i) die dur chsch nitt lichen variab len Kosten ii) die du rchschnittl ichen Gesamtk osten den A ns tieg Nu ll haben iii) die G renzkos ten gleich den (gesamte n) Stück ko ste n sind , 18) das H aushaltsein kommen. bei dem i) von jedem eingenomme nen Euro ii) von jed em zu sätzlich ei ngenommenen E uro 60 % gespa rt werd en , 19) denje nigen Faktorinput. für de n i) der A nstieg des Gesamt ertrages Null wird ii] die G renzproduktivität Null wird iii) die Prod ukt ivität N ull wird iv] Grenzproduktivität und D urchschnittsertrag über eins timme n, 20) denjenigen M arktpreis, für den der Grenzgewinn bzgl. der M enge Null wird , 2 1) denjenigen O utpu t, für den Grenzk osten und Grenze rlös über einstimm en , 22) diejen ige produ ziert e Menge, für die d ie G renzk ostenfunk tio n eine ho rizontale Tangente besitzt , 23) denjen igen Ma rktpreis, bei dem eine Preiserh öhung von 0,1 GE/ME zu einer Erl ösminderung von (ca. ) n,5 GE führt , 24 ) d iejen ige Faktoreinsatzmenge. bei der ein zusä tz licher I nput von 2 11E r die Prod uktionsmenge wn(ca .)O.1 MEx steige rt , 25) den jen igen O utput , be i dem d ie Stückkos ten um (ca.) 0,4 GE/ME sinken. wen n der Output um ein e M E gesteigert wird , 26) d iejenige Fak torcmsatzmcngc, bei der die Prod uktivität um (ca .) 0,5 ME x/l\1Er zunimmt, wenn ei ne I np ute inhe it weniger eingesetzt wird , 27) de njeni gen Output, bei dem der Stüc kgewinn u rn {ca .) 2 GE/ ME abni mmt, wenn d ie Prod ukt ion um 10 ME gesteigert winl , 28) d iejenige konsumierte Cütermcnge, bei de r i) der Grenznutzen N utzcnn ivea udcnWcrt .1) n.5 h) Nu ll annimmt ,

ii) das durch schnittliche

29) denjen igen O utput , bei dem der Gesam tdec kungsbe itrag um (ca.) 80 GE z unimmt. wenn d ie Prod uktion um 4 ME gedrossel t wird.

252

6

Anwendungen d er Differentia lrechn ung be i Funk tionen mit einer unab hängigen Variab len

Aufgabe 6.1.66: Für die folgenden ökonomisc hen Funktionen bea ntworte man d ie Fragen I) bis 29 ) von A ufgabe6. 1.65 : -

Gesam tkostenfunktion.

K(x) = eO,OO lx +IO + 10.000

-

Produ ktionsfunktion:

x(r) =

-

Nacbf ragefunktion;

x(p) = -100 · In (0,0005p)

-

Konsumfunktion.

-

Nutzenfunkt ion:

C( Y) = 200Y + 10.000 Y + 80 U(x) = _..l x3 + 1,5x2 3

V4r - loo

(0 < x

~

15.000 M E)

(r a 25 ME.) (0 < P s 2.000 GE/ME) (Y > 0)

+ 2x

(x > 0) .

Weiterhin ermit tle ma n;

30) den Produktionskoeffizienten für einen Ou tput von 20 MEx ' 3 1) die Fakto rverh ra uehsfunktion r = r(x),

32) dcn G renzverb rauc h des Prod uktionsfaktors bei einem O utp ut von 20 MEx ' 33) den Sätti gungswe n des K onsums sowie der d urchschnitt liche n Kons umqu ot e für unbegrenzt wachsend es Einkommen ,

34) d ie Sätt igungswert e von marginaler Kon sumquote und marginaler Sparquo te für un beschrän kt wachsendes E inkommen . 35) Bei welcher Kopazträtsaustastcng (in % der Maxlmalkapazirär) habe n die G renzs tückk os ten den Wert N ull'! Für diese Kapaz itätsauslastu ng ermittle ma n die Werte der Stückkosten sowie der G renzkost en. Aufgabe 6.1.6 7: Man ermittle und interp retiere die Grenzrate dcr Substitution in folgende n Fällen; i) Prod uktio nsfunktion: x(rl ; r2) = 5r I O,IL r2o,4 (x: O utput in ME; ri- f2: Inputs in ME !, M ~ ). Der Output sei mit 20 ME fest vorgegebe n: a) rl= 4 M E I

h) r2= l ME 2,

ii) N utz enfunktion: U(x 1. x2) = 2x] ' ~ (U: N utzenindext X I' X2 : kon sum ierte G ütermengen in M EI' ME 2). Der Nutzen index sei fes t vorgegeben mit U a = 100;

a) x l = 10 M E I

6.2

b) X2 = 4 ME 2 .

Anwend u ng der Differentialrechnung a uf die Untersuchung von Funktionen

Für die Untersuch ung funktional beschreibba rer öko nomisc her Z usammenhänge ist eine genau e Kenn tnis des Verhallens der zugrundclicgend cn ökcnomtschc n Funknon en bedeutsam : In welche n Bereich en et wa wächst (fä llt) eine Fun ktion ; ist diese Z unahme ~ progressiv~ oder ~deb'Te,~siv~; ob und an welchen Stellen nelun en Fu nktion oder/und Grenzfunktion ihre max imalen (m inimalen) Werte an u.v.a.? Das Konze pt der D ifferen tialrec hnu ng gesta tte t es, dera rtige Funktion seigenschaften mit Hi lfe der A blcitungsfunktio nen einfac h und genau zu untersuchen. Das vorliegende Kapitcl 6 .2 besc häftigt sich mit dcn formalen As pe kte n (de m ~ H andwerkszeug~) de r Funktion suntersuchung. wä hrend sich die ents prechende n Anwe ndungen auf ökonomische Fragestellungen im nac hfolgenden Ka pitel 6.3 ansch ließen. Um die Differentialrechnung anwenden zu können, mus.'i im folgenden vora usgesetz t werden , dass die betracht eten Funktionen (geniigerld oft) ste lig differenzi erb ar stnd (Unstetigkeilen 1'0" f oäer derenAbleaungen müssen separat untersucht werden, siehe Kap. 6 .2,5).

6.2

253

A nwendung der Differentialrechnung auf d ie Untersuchung von Funkti onen

6.2.1

Monotonie- und Krümmungsverhalten

E s ist anschauli ch klar (siehe A bbild ung 6.2.1), dass eine Funktio n. die übe rall e ine posith'e (hzw. negative) Steigung bes itzt, auch übe rall s treng monoton wächst ( 1 ) (bzw. fällt ( ; )) (Zum Monotonicbegriff siehe De f. 2.2.8).

to 1'

f ist streng mo noto n wachse nd (f f) f ist streng monoto n fallend (f I)

Bemerkung 6.2.3: i) In teressiert ma n sich lediglich f ür die "gemilderte" Monotonie (" ~" bzw. "~ ", siehe Bemerkung 2.2.13 ii) , so ist die Bedingung f '(x) 2: 0 (bzw, f'(x) s 0) notwendig und hinreichend für schwach monotones Wachsen (bzw. FaUen) von f.

verstanden werden. jii) Wie das Beispielder(streng) monoton wachsenden Funktion f: f ex) = xJ zeigt (siehe

A bb. 6.2.4), ist für eine strenge Monotonie die Bedingung f'(x) > 0 nicht notwendig: O bwohl wegen f(x) = 3x 2 gilt: 1'(0) = 0, ist f überall wachsend. Dagegen ist die Behaup tung von Satz 6.2.2 dann umk ehrbar ( 0 (bzw.l'(x) -c 0). Die entsp rechende n Lösu ngsmenge n liefern da nn die Bereiche, in den en f monot on wäch st (bzw. mo noton fa llt).

254

6

8ei~pieI6 . 2.5:

A nwendun gen der Differentialrechnung be i Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Die folge nden Funk tio nen f u nd

g sind auf Mono tonic zu untersuchen: fex) = 0,5 x2- 2x + 1

;)

~

b) f'( x) < 0

~

\1 \

x- 2 > 0

fix) = O,5x2 - zx » :

\'

Wegen f'( x) = x - 2 folgt: a) f'(x) > 0

11/1

~

» 2

x e 2,

\

2 monoton wa chsen d (A bb. 6 .2.6) .

I

f steigt

I 2

'\

"

0

1

f killt

1 ,

~

x< l d.h.

g ist für x < 1 mo noton wac hse nd und fü r x > 1 mon oton fallend (A bb. 6 .2.7) .

I

/

g(xJ=-x·e-X 1

.

g ig fällt 0.1 I steig t

JI

1

- 'I

'i

.

:lxl Abb . 6.2.7

Auch die Kennzeichnung des Krüm mu ng.\·,'erhalt ens ein er Fu nkt ion kann mit Hilfe des Mo notoniebc-griffcs erfolgen. (D ifferenzie rbare) Funktionen f können auf zweierlei Weise gekrümmt sein:

1)

r

i~ 1

konvex gekrü mml

(auch: fist lin ksgekrümmt. f ist gegenden Uhrzeigersinn gekrümmt, f ist im po sit iven Drehsinn gek rümmt; J ed e Ta ngen te an den Graphen von f liegt untorhalb de r Funktionskurve. jed e Seka nte liegt oberhalb der Funktio nsku rve), siehe au chAbb. 6.2.8 .

Abb. 6.2.8

(xl

(fJ

11)

r

f ist konkav, /' nimm t ab

Ist konkav gekrü mm t

(auch: fist rechtsgekrümmt. f im Uh rzeigersinn gekrümm t, fist imncgat iven D rehsinn gekrümm t; J edc T angente e n de n Funkt io ns-Gr aphen vo n f liegt obe rhalb dieses G ra phen, jed e Sekante liegt un terhalb der Funktio nsk urve], siehe a uch A bb. 6 .2.9.

n Abb. 6.2. 9

1""lxi

6 .2

255

A nwendu ng der Differe ntia lrechnung auf die U ntersuchu ng von Funk nonen

Betrach tet ma n eine konvexe (bz w. konka~e) Funkt ionskurve von links nac h rechts, so erkenn t man, das s

im Kurvenverlauf die Tangenlenst eigungen , d.h. die Wert e f" der I. Ableitung, mon ot on zunehmen (bzw. abnehmen) , siehe Abb. 6.2.8 (bzw. A bb. 6.2.9). Die Zunahm e (bzw. A bn ahm t ) der A bleitun gsfunktion t ' ist aber nach Satz 6.2 .2 dann gegebe n, wenn dic A bleitu ng der Ablcitungsfunktion f ", mithi n die 2. Ableitung I" positiv (bzw. " egat;..) ist. Damit ist der Zn.ammenhang zwi schen dem Krümmungsverhalten von f (konvex, ko nkav) und dem Vorzeichen der 2. Ableitung I" gewonnen. Analog zu Satz 6 .2 .2 gilt dah er: Ist die zweit e AhleitWlg I" von f im Intervall I positi v (negativ) , so ist d ie erste AbIeiSatz 6.2. 10: mo noto n z unehmend (ubm hm emi) und dahcr f im Inte rvall I konvex (konko v); tun g r in f"(x) > 0 f"(x) < 0

~ ~

f' ist monoton wachs end f' ist mon oto n fallend

~

f ist ko nvex

~

f ist ko nkav

Bemerkung 6.2.lJ : i) Gilt in einem g anzen Intervall l :

linear:

f(x) = mx + b

~

f

"(x)

a 0,

!,,(x) == O.

so ist f dort weder kon vex noch k onk av, sondern

ii} Die A bb. 6.2.8/6.2.9 zeigen, dass eine zunehmende (abnehmende) Strigu/lg unab1liingig von der Zunahme (Abnahme) der Originu ljim kJio" ist. Die vier m ögiknen Kombination en zeigt A bb. 6.2.12:

I f '(x) > 0 I (d .h. f ste igt)

Abb. 6.2.12

f(x) > 0 !,,(x) > 0

I! " (x) > 0 I [d.h . f ' steigt ~ f konvex)

I f'(x) -c 0 I (d.h. f fällt) f'(x) < 0 ["(x) > 0

I steigt

f MI/t

{'steigt

!f

I f isl sleigend wut k on vex f wäch\1 prog ressi v (od er überlinear) (mit zunehmender positiver Stcigungsrate)

f(x) > 0 ['(x) < 0

f'(x) < 0 ["(x) < 0

ffällt

I"(xl< 0 I If

I

f fallt mit negativer, zunehmender Steigungsra te (nimmt weniger stark ab als linear)

,. MI/t

(d.h . f ' fällt ~ f konkav)

isl f allend und k on vex

isl j'Ldgend und k on kav

I

f wäch~t d egres.~iv (od er unlerl inea r) ( mit ab nehm ender positiver Stcigungsratc)

!

f ist f allend un d k onkav

r

tril/t

I

f fallt mit negativer, abnehmender Stergungsra te (nimmt stürker ab als linear)

Mit H ilfe von Satz 6 .2. 10 läss t sich da s Krümmungsvertanen einer vorgegebe nen Funkt ion f ermitt eln, indem man das Vorzeich en der zweiten Ableitung f " untersuc ht:

256

6

Bei~ pie l

Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unahhängigen Va riablen

6.2.13:

K(x) =

I~

Für welche Outputwerte x Ist die Gesa mtkostenf unktion K mit: x 3 - 2x 2+ 60x + 900 ; x ~ 0

konvexbzw. konkav '1 (Diese Fragf'.I'tf'llllng ist nach 5111z 6.2. J() gleichbedeutend mit da Fragt' nach der Z u- bzw. Ab nahmt' der mtsprechmden Grenzkosten K ' .) Mit

K'(x) = O.2x L 4x+60 ( > O!) sowie K"(x) = O,4x - 4 fo lgt:

a) K" (x»O b) K"(x) 0 lJ,4x -4 10 J\.tE ist K konvex. die G renzk nsten nehmcn zu, siehe A bb. 6.2 .14.

lxi

10

Abb . 6.2. 14

Beispiel 6.2.15: Das " I. Gossensehe Gesetz" postuliert für eine Nut zenf unktio n U(x) (s. Ahb. 6.2. J6) für zu nehmenden Güt erkonsum x a) zu nehmendes Nutzemuveau. d.h . U t ; b) ah ndune nden Nurzenz uwachs. d.h. abnehmenden G renz nutzen (U ' ; ) und somit eine n kon kaven Verlauf de r Nu tzenf unktion. In mat hematische r Symbolsprache bedeuten dahe r d ie Post ulate des I. Gossensehen Gesetzes: a) dU

d,

u

I lVI

d

2U

dx'

Abb. 6 2. 16 0

Bemerkung 6.2.17; Bisher waren die Bedingungen I' >0 « 0), F' >0 « 0) [ur ein gef ordertes Monoto nie- taw. Krummun gsverhalten in eitlem ko mpletten Imevall I zu e!{ullen (sieheSätze 6.2,2/6.2. 10) . Sind die be/reffenden FunldionenlAbleil/lngsfimldiollen (wiein den Anwendungen nahezu ausschließlich untersteilt wird) stetig, so kann man Aussagen uter Monotonie/Krümmung bereits dann milchen, wenn die Vorzeichen ~'on 1', f" an nur einer Stelle Xo positiv hzw. negativ sind. Dabei macht man sich die Von.eid u!IIbeslämligkeiJ (siehe Satz 4.6.7 iv») stetigerFunktionen ZIIIlWU, die besagt, dass eine sletige Funksion f mit f(xo) 0 an der Steile Xo ihr Vorzeichen nicht spm nghajl wechseln kann. Welln etwa an der Stelle Xo gilt:!(xo) > 0, so /flUSS f auch in einergewissen (von Fall zu fall verschiedengroßen) beidseiJigen Umgebung derStelle Xo großerNull sein.

"*

Ubenräglmall diese Eigenschuft allf stetigeAbleitungen 1',1", so folgen (mit Satz 6.2.2/6.2./ 0) die im Zusammenhang mil derExtremwerrbestimmullg (siehe Kap. 6.2.2) wichtigen Eigenschaften: j)

Gilt an der Stelle x o : !'(xoJ > 0 (bzw. I'(x o) < 0), so ist f /llOlItJtQn steigend (bzw. mOllaton f allend) in einer beidseitigen Umgebung der Stelle x o '

ii)

Gilt an der Stelle xo: !"(xoJ > 0 (bzw. f"(xo) < 0), so ist f konvex (hzw. konka v} in einerbeidseitigen Umgebung der Stelle xo.

6.2.2 Extremwerte Be i der A nalyse ökonomischer Fun ktionen ist d ie Erm ittl ung von Extre mwerte n (i\Ia xima und Minima)

beso nders wichti g (Bsp.: Kostenminimum. Enragsmaximum, Niuzenmasimum, Verschnittminimum usw.]

6.2

257

A nwendung der Different ialrechnung auf die U ntersuchung von Funktionen

Der. 6.2. 18: Die Funkt ion f hat an der Stelle Xo ein relati ves (oder lokales} Maximum (Minimum ). wenn dcr Funktion swert f(xo) bzgl. eine r heill, eitigen Umgebung der Stelle Xo maximal (minimal) ist. d.h. wenn für alle x (=1= xo) d ieser Umgebung gilt :

f(xtJ)

> f(x)

(bzw. f (xo) < f (x) . Abb. 6.2.19

»

H andelt es sich be i (xo; 1'(xo um den höchsten (tiefsten) Pu nkt im gesamten Deßnitionsbe reich, so spricht man von eine m absoluten (od er globalen) Ma'Limum (Minimum) vo n f an de r Stel le xeDie A bbildungen 6.2.20 zeigen exemplarisch einige Funktionsverläufe mit relativen und/ oder absoluten Ex trcms tellcn (da bei bedeuten; ~ max/ mi n ~ = relat ive Ext rema ; ~ MA X/ M I N~ = abso lute E xtrema).

I {tl

MAX

IIfI

I IfI

~iil

1I

max

MAX i .

MAX

Ni!

~IN

mm

/- Bemerkung 6.2.21: A nhand von A bb. 6.2.20 erkennt man :

-+--

(xl

Abb. 6 2.20

i) Eine Funktion muss keine, k ann aber auch mehrere relative Maxima bzw. Minima besitzen. ii) Ein Punkt am Ra"d des Def initionsbereiches kalln (wegen Fchiens einer beidseitigen Umgebung)

kei" iii)

refati~'es

Extremum sein, wohl aber ein absolutes Exlrenillm (Raruiextrenlllm).

Ein absolutes Euremnm muss entweder ein relatives Earemum oder ein Randextremum sein. Z ur Bestim mung der absoluten Eurema einer Fun ktion genugt es daher, alle relativen Earema zu ermiueln und diesedann mit den Randw erten von f zu vergleichen.

D ie Differ entialrechnung liefert ein schlagkräftiges H ilfsmit tel zur Berechnung säm tlicher rela uver Extremwerte einer differen zierbaren Funk tion (nieh/differenzierbare Funk /ionen mit " Ecken" oder " Spitzen, siehe etwa A bb. 6.2.20 iii], müssen separat umersudn werden, siehe Kap. 6.2.5). Man erkennt (z.B, an Ab b. 6.2 .20 i), dass f in jedem retanven Est remum eine waagerec h te Tange nte und somit die Steigung Null bes itz t. Dieser Sachverhalt gilt fürjede (stetig) di fferenzierb are F unktion: Satz 6.2.22: Wenn die (stetig) diffe renz ierbar e Fu nktion f an der Stelle Xo einen relativen Extremwcrt bes itzt , so gilt notwe ndigerweise .

Abb. 6.2,23

258

6

Anw~ndungen

der Diffe rent ialrechnung bei Fu nkt ionen mit einer unabhängi/;,'e n Variablen

Denn würde - entgegen der Behauptung des Satzes - etwa in einem relativen Maximwn X o von f gelte n: f(x o) > 0, so müsste es nac h Bemerkung 6.2 .17 i) eine beidseitige Umgeb ung von xc geben, in der f mo noton wächst, a lso könnte - entgegen der Vorau ssetzun g des Satzes - f in Xo sicher nic ht maxima l sein (analoger Schluss, falls in Xo gill: f' (xoJ < 0 bzw. wenn Xo ein relatives Minimum von f ist) . A lso mus s in Xo zwingend gelten: f'(xo) = O. Das bede utet umgekehrt: Ei ne Stelle xo, in der f' (Xo) von Null versenteden ist , kann niemal s eine relative Ext remsteIle einer differenzierbaren Funktion sein . Satz 6.2 .22 liefert die Möglichkeit, durch Lösen der Gleichung r(x) = 0 alle diejenigen Ste llen zu erhalten, in den en f eine waagere chte Tangente besitz t (man spricht vo n ".s tationären" Ste llen) und die daher als mögliche relative Extreme in Frage kommen. Da bei ist freilich zu beachten, da ss eine stationäre 1 I (I) Stelle xo [d .h. mit f'(x o) = 0) keineswegs cin MaIIx) = x3 ximum oder Minimum garanti ert : D as Beispiel de r überall monot on zunehmenden F unktio n f mit fex) = x 3 zeigt (siehe Beme rkung 6 .2.3 iii),dilSS f an der Stelle xc = 0 (wegen f(x) = 3x 2, also f(O) = 0) stationär ist. f besitzt dort zwar ein e waagerechte T angente, aber keinen E xtremwert, siche Abb. 6 .2.24 . BehpieI6,2.25: An welchen Stelle n kan n f mit f(x) =

ta

-1

x, : o

I

("(0)

~

xL

~

=0 Abb.6.2.24

x2 + 2x + 3 relative Extrema bes itzen?

Die dafür allein in Frage kommen den stat ionäre n Stellen erhä lt man als Lösunge n der Gleichung f ex) = 0: f(x) = 0 ,5x 2 - 2.5x + 2 = 0 ~ x2 -5x + 4=0 ~ x =l ; x2= 4 , l

d.h. nur in xI = 1 Oll er x2 = 4 könnte f extremal sein, wobei (ohne Vor liegen wcitcrer Intormationen) außerdem unbe kannt ist, um welchen Extrcmaltyp (Mcx . oder M in.) es sich ggf. jeweils handelt.

D ie im letzten Beispiel angesproc hene Unsicherheit über Ex istenz bzw. Typ relativer Exu cma be i Vorl iegen einerwaagerechten T angente an der Stelle X o gibt Anlas s, über ein praktikables Überp rüfungs.illslrumentari um nie relative Ext reme nachzude nken. W ie aus Abb. 6.2 .26 deut lich wird, liegt an einer stationären Stelle Xo ganz siche r dann ein relatives Minimum vor , wenn f in eine r beutsefügeo Umgeb ung von Xo konvex ist (und ein relatives Maximum , wenn f dort konka vist], 4

l iI!

min

Ix! x,

+--- -x, -

Ix!

Abb.6.2.26

Da konvexes (bzw./wllkaves) Verhalte n von f in einer beidseit igen U mgebung von Xo nach Bemerkung 6 .2. 17 (ii) du rch f '( Xo) > 0 (bzw. f " (x o) < 0) gewä hrleistet ist, er halten wir folgende hinreichende Bedingungen fü r da s Vorliegen von relativen Minimal Maxima : Satz 6.2.2 7: Die zweimal (stetig ) d ifferenzierbare Funkt ion f besi tze an der Stelle Xo einen stationären Punkt, d.h . es gelte f("o) = O. Da nn besitzt f in X o i) ii )

4

ein re latives Minimum, wenn außerdem gilt: f '( "o) > 0 ; ein relaüves Maxim um, wenn außerdem gilt: f '( Xo) < 0 .

Liegt dagegen an einer steuonarco Stelle .~ kein relatives Extremrun rar (Abb. 6. 2.2 ~ in Xo = 0), so wechselt das Kn2mmungs-.'erhullen von [b eim Durchgang durch die stationäreStelle, in Abb. 6.2.24 von konkav nach konvex.

6.2

259

Anwendu ng der Differenti alrechnung auf die Un tersuchung von Funktionen

Satz 6.2 .27 gestattet die Ennittlung und Übe rprüfung relativer Extremwerte differenzierbarer Funk tionen auf folgende Weise: 1) Zunächst ermittel t man die Lösungen Xi der Gleichung f'(x) = O. Die so ermittelten stanc nären SteIlen xi sind die ciezigcn .Kandidatcn" für relat ive Extremstcllen von f (besitzt die Gleich ung f'(x) = 0 keine Lösung, so kann f auch keine relativen Extrema besitze n !). 2) Dann berechne t man d ie zweite Ableitung f"(x) und überp rüft d urch Einsetzen de r stationärenSteIlen xj das Vorzeichen \'on r ' (X;) und bestimmt nach Satz 6.2.27 den Typ des jeweiligen Extremums. Beispiel 6.2.28:

In Bcispicl 6.2.25 waren bereits die sta tionären Stellen der Funkt ion f mit

f(x) = t x3 _ ~ x2 + 2x + 3

ermit telt werden. x l=1;

Wegen f'(x) = O,5x2 - 2,5x + 2 fo lgt fü r die zweite Ab leitu ng: f"(x) = x - 2,5. Überp rüfung des Vorzeichens von f" an den starionären Stellen:

i) f"(x l ) = f"(1) = 1 -2,5 < 0, also hat f in XI = 1 ein relatives Maximum (mit dem Funktionswert f(1) 0, also hat f in x2 '" 4 ein relatives Minimum (mitf(4 ) 1

Abb. 6.2.30

(und nicht etwa ["(0) > 01).

txt o

Ohne Beweis 5 sei angemerkt, dass auch in derartigenFällen (die in der öko nom ischen Praxis allerdings selten sind) eine Oberprüfung von Existenz taw. Typ eines relativen Euremums möglich ist: Sal7. 6.1.32:

Die Funktion f sei im Iruervall 1 n-mat (stetig) differenzierbar. A n der Stelle xo€ l gelte: f'(xo ) = ["(xe) = ... = f n-1)(xe) = 0, aber j'(n)(xo):;: 0 ,

d.h. die erstean derstationären Stelle Xo nicht versch windendeA bleitung hab e die Ordnung n ,

Danngilt:

i) Ist n gerade, so hat [ in Xo einen relativen Extremwert, und zwar ein Minimum, [alls gilt: f"J(xo) > 0 und rin Maximum, fa lls gilt: fll)(XO) < O. ii) l st n ungerade, so hat [ in s o keinen relativen Extrem wert. Vielmehr ist f beim Durchgang d urch

die stationöre Stelle Xo monoton, und zwar mo noton steigend, fa lls fll)rX O) > 0 und monoton f allend, falls fll)(XO) < 0 (j besitzt in diesem Fall an der Stelle so einen WellllepunJamu ho rimntoter Tangente ("Sauelpunkt "), siehe Kap. 6.2.3) .

5 Der Beweis kann mit Hilfe des TaylorschcnSatzesgeführt werden, siehe etwa [21] Bd. 11, 99f.

260

6

An wendu ngen de r Different ialrechn ung bei Funktionen mit einer unabhän gigen Variahlen

i.r»

Beisp iel: Es sind die loka len Exirema von [mit [(x) =x / 2 gesucht . Wegen ['(x) = 12x J = 12·11 ·x JO gilt: ['(0) = 1"(0) = o. [ 6'1 stotion ar ln x o" 0, eine Überprufung nach Satz 6.2.27ist nicht m öglich. Daher betrachtet monnocn Salz 6.2.32 die höherenA bleitungen in Xo = Es folgt :

o.

p4)(0) = 0

uxw, bis

flJ)(O) = O.

Die erste in Xo = 0 nicht verschwindende A bleitung hat die Ordnung n = 12: [f/ 2J(X) = 12 ·11 ·10 · .... 2 ·1 ,. 12 ! = 4 79.001. 600 > 0 .

Also (da n gerade) hat [ in Xo = 0 ein relatives Minimum.

6.2.3 W end epunkte Nebe n de n Ext remstcllc n sind dieje nigen Pun kte einet Funkt ion f von Bedeu tung. in denen sich das Krümmun gsvertelten von f ändert :

Def. 6.2.33: U nter einem Wend epunkt einer (differenzierb aren) Funkt ion f verste ht ma n einen Punk t W, der an der Nahl\(elle eines konvexe» und eines konkaven Funk ucnsberetche, liegt. In ein em w endepunkt geht f von einer Lillk~krümmung in eine Recht~kriimmung (oder umgekehrt) übe r. Wie A bb. 6.2.34 zeigt, kann f einen ko nvex/ ko nkav- bzw. ko nkav/ konvex-Wendepunkt steigend. fallend od er auc h stationär durch laufen: f steigt in W

Abb. 6.2..34

konvex-rkonkavWendepun kt W

f fallt in W

/'

f ist stationär in W

w

/

ko nkav-/konvcxWendepunk t W

w

Bemerkung 6.2.35: Ein Wendepunkt mit ....aagerechter Tangefl/e (siehe A bb.

6.2.34, drille Spa lte) heiß I

Sattelp'l/l ld (auch: Srujellpllllld, Terassenpunki].

Die rechnerische Erm iUlung ein er w endestene Xo bereitet keine Schwierigkeiten, wenn man zur Charakterisierung des Wende punk tes die A ussage vo n Satz 6.2. 10 heranzieht : Da in einem konvexen (bzw . konko ren) Bereich von f die erste Ab leit ung r monoton wächs t (bzw. jii llJ), m uss in einem Wendepu nkt , d.h . an der Nahtstelle eines kcnveckonkaven (bzw. lum kavlkorwexen) Bereiches die erste Abl eit ung f' vom Wachsen in ein Fallen (bzw. vom Fallen in ein W ach u n ) übergehen und somit im Wendepunkt selbst d ie ers te Ableitung r ein (relatires) Maximum (bz w. ein (relatives) Minimum ) bes itze n, siehe A bb. 6.2.36 (bzw. 6.2.3 7).

6.2

261

Anwendun g der Differentia lrechnung a uf die Unt ersuchung von Funktionen

f konvex

f konkav

f konkav

f konvex

dh.

dA A /.

dh.

d h.

r fall!

r s/eigl

Abb. 6.2,36

w

r folll

( I

r Sleigt

,""Ir maximal I

Abb. 6.2.37

,- I'

w

f' minimal

ta

lxi

Satz 6.2.38: Die Wend epunkte einer zweimal (stetig) differenz ierbaren Funktion f sind genaudie relauv en Ext reme der ers ten Ableitung f " vo n f. i) In einem konvexikonka\'-WenJepunkt ist r maximal (siehcAhb. 6.2.36). ii) In ei nem konkawkonvex-w cndcpunkt ist r minimal (siehe Abb . 6.2.37). Damit lassen sich sämtliche Instrumente zur Ermittlung relativer Extrema (d.h. die Sä tze 6.2.22, 6.2.27, 6.2.32) analog auf die Ermittlun g der Wendepunkte von f übert ragen, indem man nunmehr stat t f die erste Able itung f " auf relat ive Extremstellen untersucht. Fo rmal geschieht dies einfach dadu rch, dass in den Sätzen 6.2.22, 6.2.27, 6.2.32 jedes Funktionssymbol einen (Ableitungs- )Strich mehr erhält, mithin dieSymholc f, f', f" ... ersetzt werden durch f', i ", I'".... Wir erh alten somit

Satz 6.2,39:

n

f sei in einer Umgebu ngderStelle Xo d reimal (stetig) differenz ierbar . 1 f" (Xo) = 0 Besitzt f in xI) einen Wendepunkt, so gilt notwendigerweise.

ü) Gilt an derStelle xI):

I f"(xu) = 0

I

und a ußerdem

I

f' ''(",,) H ,

Xo ei nen Wendepunkt, und zwar

I

I so besitzt f an der Stelle

a) einen konkawko nvex-wcndepun kr (Minimum von f: siehe Abb. 6.2.3 7) , wenn

f' '' (xo) > 0

b) einen kon\'ex/konkav-WendepunkC (Maximum von!" siehe Abb. 6.2.36), wenn

f" '(xo) < 0

Beispiel 6.2.40:

Die Wendepunkte vo n f mit fex ) =

2~ x4 -

-}-x3 +

~

x2 + 1 e rgeben sich als Lösun-

sungen von f"(x ) = 0 in Verbindungmit einer Vorzeichenübcrprüfungvo n I'". Mit

+;

f'(x) = ~ x3 - x2 x ; 2 f"(x) '" O,5x - 2x + 1,5 ;

f" '(x) '" x - 2 folgt: f"(x) = O 1,5 und x < 2,5. Kontrollwer t für x > 2,5: ['(3) = -9 < 0, also ist f fü r x > 2,5 mo noto n fa llend . (Gleiches R esultat bei[o rmokr L ösung der Ungleichungen[' > 0, [' < 0.)

f< O :::} f l

Krümmu ngsverhalt en: f ist in dem Bereich konvex (konkav), in dem gilt:

f " > 0 :::} f konvex

f"( x) =

f " < 0 :::} f konk av

po sitiv ist) ~ x > 1, d.h. I Ist konvex für x > 1 und kon kav CUr x e 1 (Wendepunkt: x3 = 1, siehe 7» .

8) Monotonie un d Krü mmung

Man ermittle dicI ntervalle , in denen f' bzw. I" positiv bzw. negat iv sind:

(Satz 6.2.2 / 6.2. 10)

9) Verhal ten em Rand

24x - 2~ >0 « 0) ~ 24x - 24> 0«0) (da der Nenner stet s

(5 - 2x)

«)

des Deünmonsber et-

Da D , nach beiden Seiten unbesc hränkt ist , muss da s Verhalten von f fü r x - ± 00 untersucht werden. Wegen

ches bzw. t ür x_ ± oo

f( )

(siehe Ka pitcl4.3)

•

3 -~,

x(3 - ;:>

3x - 6

x = (5 - 2x)2

25

20

.~(- -- + 4 )

,

"

gill: I _lim fex)

= ~ ";' 4" = 0+; I _lim_ fex) = ~

die x-A chsc ist Asym pto te fü r x _ ±

00

-2../

= 0- ,

d.h.

•

10) Graph von r

{tl

f/XI::

3x - 6 /5 _ 2x/ 2

Abb. 6.2.43 1.5

2

2,5

{xl

264

6

Anwendungcn dcr Differcntialrcchnung bei Funktio ncn mir einer unabhängigen Variablen

IBei~PieI6,2A4:1

I fex) = 16x2 - x4 1:

Diskussio n der ganz-rationalen Funktion f mit

I) Deüntuon-beresch: Df == IR, da f Polynom. 2) ~'ym met rie: Wegen fe- x) = 16(- x)2_ (- xl == 16x 2-x4 = fex) ist f achscnsymmctnsch zur Ordinatenacbsc. 3) Nullstellen: fex) = 16x2 _](4 = x 2(1 6 - x2) = 0 ~ Xl = - 4; x 2 = 0; X 3 = 4 4) Steligkeit: f ist überall stetig, da Polynom. 5) Dlfferenzterba rkelu f (sowie söm üicne Ableitungen von f ) sind überall stet ig differenzierbar.

=-Y8

;:::;; -2,K3 ; Xs == 0; 6) retanve Ext rema: f'(x) == 3 2x- 4 x~ == 4x(K- x2) == 0 ~ x4 2,83. Überprüfung der stationären Stellen mit f" (x) = 32 - 12x2 ; x6 =

VB:: :

-VB; f(- Y8)

f"(x.J) = q - Y8) = - 64 < 0

~

f ist maximal für X4 =

f" (xs) = f"(O) = 32 > 0

0:0>

f ist minimal für Xs = 0; t(O) == 0 ;

f"( x6) = q Y8) == - 64 O!)

Überprüfung mit f"(x) : 2c -' (x -2): f'"(X2) "" f"(1) : 2'1' -1.(-1 ) < 0, also hat f in x2 : 1 , f(x2) : 2 ' e-r 0 für x -c 2; f"(x) < 0 fü rx > 2. G raph'! b) f'( x) > 0 für x < 3; f ex) < 0 für x > 3; f"( x) > 0 für x*- 3. Grap h von f '!

6.3

Die Anwendung der Differentialrec hnung auf ökonomische Probleme

Mit Hilfe des klassischen Instrumenta riums der Differe ntialre chnung lassen sich in elegante r w eiseü bersichtlich, weitreichend u nd schnell (verglichen mit einer verbal-intellektuellen Analysemethode) detai llierte Al1~ O. Um die Art und Weise der Kostenzuna hme im E inzelfall genaucr zu chara kte risieren, fügt man A ussagen über das Krümm ungsverhalten von K (bzw. das W achs en/ Fallen de r Grenzkosten K') hinzu. siehe Ab b. 6 .3.3 aj -d ]: a) linea rer Kosteh"erlauf: 2K dK> O ; d = O dx2

dx

b) degressiver

lai

Ibl obnehmlimde

konstante Gfenzkosten

KO, 0 . - 2 < 0 (konkav) dx

IKI

I IKI

• dx

Abb 6.3.3. c) prog ressiver Vertauf: dK d 2K > 0·->0 (konvex) dx • dx 2

Jf------ -i----Grenzkosle n

lxi

lxi

IKI

IIKI

1o fur

8 Zur Konstruktion öko nomischer Fu nktio nen aus Beobachtungswerten sie he etwa [55J, 90 ff

272

6

Anwendungen der D ifferentialrechnung be i Funktione n mit einer una bhängigen Va riablen

Analog lassen sich für den Fall reg rev..h 'er (abnehmenJ er) Kost en die versch iedenen Kostenverläufe charakterisieren, siehe Ahb. 6 .3.4:

IKI

IKI abnehmende Grenz fcoslen

IKi zunehmende Grerufcosten

konstanie Grerufcosten

Regressiver Kos!envenau f

Abb. 6.3.4

lxi K ·< O, r < o

lxi

lxi K' 0 x -(r} < O

xlrl> 0

xlr/< 0

«ta eo «tn -:«

x 'trt < 0 x·'(rl < 0

r, poslh'V8, z unehmende GreMertrdge

posi/lve, abnehmende :negalive,abnehmende: Grenzerlrdge : Grenzertrdge :

:- - - - -- - - - -

posi!iver Gesom!erfrag - - - - - - - - - :- -

Beispiel:

,

:

,

negahver _ Gesamtertrag

x(r):: -O,5r3 + 1,5r2 + O,075r, r ~ O.

D ie Wendestelle r. (Ü bergang von zunehmenden zu ab nehmende n Grcn zcrtr ägcn) heißt "Schwelle des Ertrag...gese tzes'', die Stelle TM maximalen Outp uts wird "Sätti gulIg.~ p un kt" gena nnt: E in E insatz des I nputfaktors übe r r", hina us ist ökonomisch unsinnig, da er zu einer O ut putvermind erun gführt .

6.3

Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

273

6.3.9: Beschreibt man das einkommensabhängige Konsumverhalten von Haushalten durch eine (auf Querschnittsanalysen 9 basierende) Konsumfunktion C{Y), so postuliert das von Keynes hypothetisch formulierte "p~'Ycbologiscbe G rundge~etz": Der Grenzhang zwn Konsum ist bei jedem H aushaltseinkommen positiv (a) , aber kleiner als Eins (b) und außerdem kleiner als die dem jcwciligen Haushaltseinkommen entsprechende du rchsehnlunche Konsumquote (c). Übersetzt man die Postulate des psychologischen Gru ndgesetzes in die mathematische Symbolsprache, so ergibt sieh:

Bei~piel

«) -dC < dY

dC < l ' (b) dY ,

dC > O ' (, ) dY ,

C

-

Y

Aus der Bedingung (e) folgt, dass die durchsc hnittliehe Konsumquote C/Y abnehmend ist. Zum Beweis bildetman die Ableitungvon C/Y nach Y und formt um:

( ~ )' == C' · y - c · ! '" -l(C'- ~ ) y

y2

Y

y

'

Da der Klammerinhalt nach Vora ussetzung (c) negativ ist, gilt (wegen Y > 0) auch: (C/Y )' -c 0, d.h. nach Satz 6.2.2 ist C/Y monoton fallend. Interessant ist, dass aus dcrn.psycbologischen Grundgesetz " nicht gefolgert werden kann, dass der Grenz hang zum Konsum monoton fällt, mithin C einen konkaven Verlauf aufweist (siehe das Gegenbeispiel in Abb. 6.3.10 I).

I ICI

ICI

I ICI

I C kon vex I iYJ

f-~::;==,iiYJ

I c Ii",~ I

Sämtliche Beispielsfunknon en C(Y) in Abb. 6.3.10 genügen dcm spsychologischen Grundgesetz" von Kcyncs, Während das vorhandene Datenmaterial eher einen linearen oder konkaven Verlauf nahelegt. Beispiel 6.3, 11: Eine necklasstsehe Produ ktionsfunktion ist durch posluve(d.h.x'(r) > 0), aber ste ts abnehmende (d.h. x"(r) < 0) Grenzerträge gekennzeichnet: x(r) ~ O ;

dx

dr > O;

lxi i Output Neok/assische Produklionsfun klion

d2x

dr2< 0

Beispiele: t) x(r) == 2('·5 , siehe Abb . 6.3. 12 ii) XCI) == (0,6rO.5 + 1/ .

-+- - - - - -Input1'1 Abb.6.3.12

9 Bei einer Querschllilts(1llalyse betrachtet manjeweils in dergleichen Periode Haushalte mit unurschiedlichen Einkommen. Dagegen verfolgt man bei einet Zeitreinenanalyse das Verhalten eines Haushaltes oder einer Gruppe von Haushalten über mehrere Perioden.

274

6

A nwendu ngen der Differentialrechnung bei Funkt io nen mit einer unabhängigen Variablen

6.3.1.2

Konstruktion ökonomischer Funktionen mit vorgegebenen Eigensc hafte n

In vielen Fällen versucht man, für e ine gegebene funktio nale Abhängigkeit zweier ökonomischer Variablen ein konkretes mathemat isches Modell in Form einer Funkti onsgleichung y = f(x) zu finden. Dazu gibt man dcn allgemeinen Grundtyp der in Frage kommenden Funktio n vor (z.B. Polynom, Wurzelfunktion, Expo nentialfunktion lL~W. - je nach vermut etem Zusammenhang) und besümmt dann die noch unbekannten Koeffizienten derart. dass die Funktion den gemessenen ode r postulierten Eigenschaften entspricht (siehe etwa die Aufgaben 6.2.54 bis 6.2.56). Beispiel 6.3.13: Die Nachfrage C(Y) nach einem Konsumgut soll in Abhängigkeit vom Haushaltseinkommen Y beschrieben werden durch die allgemeine Exponentialfunktion C mit:

•

C(Y) = a 'e Y

(Y >O).

Wie müssen die Koeffizienten a. b gewählt werden, damit I) ii )

für unbeschränkt wachsendes Einkommen die Nachfrage ihrem Sättigungswert 50 zustrebt ; dic Nachfrage mit stergendem Eink ommcn stets zunimmt?

y--

Bedingung i) bedeutet: Bedingung ii) bedeutet :

lim C(Y) = 50,

.

C(Y) ist strcng monotonwachsend (C

f ), d.h.

C' (Y) > 0 .

Daraus folgt für den vorgegebenen Funktionstyp.

I) ü)

-"

lim a -e " =

y- -

-

~a'e""~ =

a -e'' = a

•

ICI I

b C'( Y) = a'e V' (-yz) >0 ~

-b c- ü

~

= 50;

SO

b c G.

(a > 0)

Konsumfunklion

Dies bedeutet:

b

CfYI = 50·

Jede Funktio n C mit C(Y) = 50 e Y und und negativem b besitzt die geforderten - 77 Eigenschaft en. z.B. C(Y) = 50'e v ,

-" er

IYI

500

ß eispieI6.3.14 : Ein e ertragsgesetzliche Gesam tkostenfunkti on soll durch ein Polynom ä.Cra des beschrieben werden:

fKI , Kosten

K

(a * O) . Wie müssen die Koeffizicnten a. b, c, d gewählt werden. damit K die für einen crtragsge setzlichen Verlauf typtsehen Eigenschaften (siehe Abb. 6.3. 15) besitzt? ökonomischer Sicht müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

AlL~

Krol

o Abb. 6.3.15

Output

6.3

Die A nwendun g der Differentialrechn ung auf ökonomische Probleme

275

i)

K ist für x 2: 0 monoton sleigentl;

ii)

K besitzt keine Extre mwert e;

iii)

K besitzt im 1. Quadrant en einen konkav/konv'ex-Wendepullkt S ("Schwelledes Ertragsgesetu s "), d.h. in S sind die Grenzkosten K' minimal;

iv)

Es existieren positive (höchstens vc rschwl ndc nc] Fixkoc ten, d. h . K(O) 2: O.

Übert rab-en auf den vorgegebenen Funktionstyp bedeut en diese Bedingungen: i) ii)

Es muss gelten: Die Gleichung

K'(x)

= 3ax2 + 2bx + c > O.

K'(x) =

3ax2

Daraus folgt:

+ 2bx + c '" 0

K'(O)

= e > O.

darf keine reelle Lö sung besitze n!

Der allgemeine Lösu ngsterm dieser Gleichung lautet (siehe 1.2.149): b x 1.2 '" - 3a ±

V

b' c 9a2- 3a

und ist genau dann nicht reell, wenn der Radikand negativ ist. b2 - 3ae

- - z- < 0 9a

~

b Z - 3ae< 0

~

Aus

< 0 folgt:

b2 < 3ac . b

iii)

Wegen K"(x) '" öax + 2h ; K" '(x) '" 6a (*'0) liegt der Wendepunkt S an der Stelle - 3a (> 0 I). Da dort K' minimal sein soll, muss gelten: K"'( x) = 6a > 0, also a > O. Damit muss auch gelten: - b > 0, d.h. b < O.

i\')

K(0) = a ' 0 3+ b ' Oz + e 0 +1.1 2: 0

d 2:0 .

Zusammenfassend gilt: Das kubische PoI ) 110m K(x) '" a>;3 + bx2 + Cesamtkostenrunkuon K, wenn gilt:

(6.3. 16)

a >O ; Beispiele:

( I)

h< O;

c> O ;

CX

+d

beschreibt eine ertrag';gesetzliche

11 2:0 ;

h 2 < 3ac .

K(x) = O,l xL 5x2+ 9Ox+ 100 id.h: a >O, b O, d >O) . 2 Wegen h = 25 ; 3ae = 3 , 0, 1 · 90 = 27, d.h. b Z O, b O) . bZ = 25 ; 3ac=] ' 0, 1' 80=24, d.h. b2 > 3ae

ist K nicht crtragsgesctzlieh. AUfgahe 6.3. 17: Man überprüfe (mit Hilfe graphischer Veranschaulichung) , ob die folgenden Funktionen x: r I-? x(r) , r ~ 0, als Modelle für ertragsgesetzliche Produktionsfunktionen in Frage kommen (daz u müssen sie einen ~ typise hen" Verlauf aufweisen wie in Abb. 6.3.8 ): i)

ll)

x(r) = - r! + 12r2 - 40r x(r) '" - rJ + IOr2 + r

iii)

x(r) = - 21" + 18rL 60r

h')

x(r) = -4 1" + 24rL 60r

• Aufgabe 6.3. 18: Welchen Bedingungen müssen die Koeffizienten a, h, e, d der Funktion x mit x(r) = ar' + hr2 + er + d ; (a ,*O. r ~O) genügen, damit es sich um eine ertragsgesetzliche Prod uktionsfunktion handelt (typischer Verlauf: siehe Abb . 6.3.S)?

276

6

Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängi gen Variablen

Aufgabe 6.3.19: Eine neo klassische Produktionsfunktion x mit x(r) = a r'> (r:!: 0) ist gekennzeichnet dureh positive Erträge und posit ive, aber abnehmende Grenzerträge für jeden positiven Input r. Welchen Bedingungen müssen dazu die Koeffizienten a, b genügen? Aufgabe 6.3.20: Man ermittle die Gleichung einer eruagsgesetzlichen Gesamt kostenfunktion K vom Typ eines kubischen Polynoms, die folgende Eigenschaften besitzt: Fukosten 98 GE; das Minimum der Grenzkosten wird für einen Ou tpu t von 4 ME angenommen; das Minimum de r gesamten Stückkosten licgt bei cincm Output von 7 ME. Ist die Funk tionsgleichung eindeutig bcstinunt? Aufgabe 6.3.21 : Man überprüfe, ob die Prod uktionsfunktion x(r) = (0,6 r',s + 1)2 (siehe Bsp. 6.3.11ii) ta tsächlich vom neoklassischen Typ ist. Aufgabe 6.3.22 : Bei der Produktioneines Gu tes wirken sich d ic mit stcigcndenStückzahl en gewonnenen Prod uktionselfahrungen kost ensenkend aus (Lerne//ek! !): Die in einer Men geneinheit (ME) des Produktes enthaltenen Stückkosten k (in € I ME ) (ohn e Berücksichtigung von Mat erialkosten) hängen von der (kumulierten) Gesarntproduktionsmengc x (in ME) ab gemäßeiner Produktionsfunktion des Typs

k = k.(x) = a 'x"

• (x :!: 1) •

("Lernkurve"; a, b e JR) .

Es wird nun folgendes beobachtet: -

Die erste prod uzierte Einheit verursac ht (ohne Mat erial) Kosten in Höhe von 160 ,- € .

-

Verdoppe lt man die Prod uktionsrnenge (ausgehend von einer bcliebigenStückzahl), so sinken die Stückkosten um 20 % gegenüberdem Wert vorStückzahlverdoppelung.

I) Wie lau tet die komplette Funktionsgleichung (.) der Lemkurve ? ü) Wie hoch muss die Gesarn tproduktionsmcngcsein, damit die gesamten Produktionskosten (o hne Material) 80.000,- € betragen ?

6.3.2 Analyse und Optimierung ökonomischer Funktionen Die Analyse und O ptimierung ökonomischer Funktionen mit Hilfe de r Differentialrechnung(auch Marginalanalyse genann t) unterscheidet sich in fonnaler H insicht nich t von der in Kap. 6.2.4 dargestellten Kurvendiskussion. Der c ntscheide nde Untcrschied best eht in der nunm ehr zwingenden Notwendigkeit. jeden mathematischen Modellbaustcin (Variab le, Funkt ion, Funk tionseigenschaften wieMonot onie und Krümmung, Grenzwerte, Extrem- und Wendcpunkte usw.) ökooomisch zu interpretieren. Nur dadu rch kann man -

mit dem mathematisc hen Modell ökonomische Zusammenhänge beschr eiben, erklären und prognostizieren; durc h Vergleich und Kontrollemit der Realität das Modell weiterentwickeln; aus mathematischen Optimierungsresultaten ökonomische H andlungsaltemauven aufzeigen u.v.a.

Da es weder möglich noch sinnvoll ist, alle nur denkbaren Anwendungen der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme lückenlos abzuhandeln, soll im folgenden die Wirksamkeit der MarginaIanaIyse lediglich an einigen klassischen ö konomischen Bei~ielen demonstriert werde n. Die Schlagkraft math ematischer Methoden besteht eben gerade nicht in ihrer Brauchbarkeit für einige Spezialfälle, sondern vielmehr darin, ein universelles und flexibles Instrumentarium zur Behandlun g unterschicdJicher und (scheinbar) wesensverschiedener Anwendungsprobleme zu liefern.

6.3 Die Anwendungder Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

277

6.3.2.1 Fahrstra hlanalyse Bei der sog. Fahrstrahlanalyse handelt es sich um eine beliebte und wirkungsvolle graphische Methode zur marginalanalytischen Untersuchungökonomischer DurchscJmittsfunktionen. __ -I Nach Kap. 2.5(5) bzw. Kap. 6.1.2.8 existiert zu jedem Funktionspunkt p(x;f(x» ( =1=(0 ;0» genauei n zugehöriger Fahrstrahl' o als Verbindungspfeil (.,Orrsvektor ") vom Ursprung 0 zum Kwvenpunkt P. Die Steigung (tan a) des Fahrstrahls an dieser Stelle x ist gegeben durch das Verhältnis f(x) (siehe Abb. 6.3.23) und gibt lxi x somit den Wert der Durchschnittsfunklion f mit f(x) ,.. ~ für dieseSteIle x an. Abb .6.3.23 Beisp iel:

Die Steigungdes FahrstrahIs an der Stelle x einer Gesamtkostenfunktion K: K(x) liefert den Wert k(x) (,... K~X) ) derStückkostenfunktion k für den Output x usw.

Mit Hilfe der variierenden Fahrstrahlsteigung beimj Durchfahren" eines graphisch vorliegenden Kurvenzuges kann auf anschauliche Weise festges tellt werden, ob und wo die zu f gehörende Durchschnittsfunktion f monoton ist oder relative Extremebesitzt. Beispiel 6.3.2:4: Es sei eine lineare Konsumfunktion C mit C(Y) '" Co + Cl ' Y, Y?:O, vorgcgcben(mit eo>O ;O< c , 0; b < O; c>O;J> 0; b2 ", 144 < 180 '" 3ac handelt es sich um eine ert ragsgesetzli ehe Koslenfunktion , d ie überall in [ 0 ; 13 ) stc-

ii ) Typ von K (siehe (6 .3.16): Wegen

ngdlffcr cnzlerbati st . De r grap hische Funk-

soo

tion sverlauf der Kostentunktion ents pricht daher A bb. 6.3 .27/6.3 .28). Al s ertragsgesetz liche Kostenfunkno n ist K übe rall monoton steigend, besitzt also in [ 0 j 13 J keine relative n Ext rcma. D ie Gesanukosr cncxtrcm a werde n som it am R and de s Definitionsbereiches angenommen: Gesamtko stenmini mum 1«0) '" 98 GE ( = Fixkosten be i N uliprodu ktio n); Gcs amt kostenmaxlr num K(13) = 1.047 GE an der

s Kr 4

6 7

10

Kapazitätsgrenze. iii) Schwelle des Ertragsgeselzcs : Mil K'(x] = 3xL 24x + 60; K" (x) = 6x- 24 '" 0 fo lgt : x, '" 4 ME sowie K" '(x) 0= 6 (>0) : Für einen Ou tp ut vo n 4 ME nehmen die Gr enz kos ten ihren minimale n Wert (närnlieh K'(4) = 12 GE/ M E ) an ( = Wendepunkt der Gcsamrkostcnfunktion, Schwelle des E rt ragsgesetzes). Da die G renzk oste nfunk tion K' eine nach obe n geöffnete Parabe l ist. wird das Grenzk ostenmaximum am Rand eingeno mme n. und zwar - wegen K'(O) = 60; K'( 13) = 255 an der Kapazität sgrenze.

K'

k

-t

Das Bet riebsminiiv) Bctnebsmmimum: mum ent spricht dem Ou tp ut m it minima len stuckvariablen Kosten kv Mit k,,(x) = x 2 - 12x + 60 (x > 0) folgt wegen

k:,(x) = 2x - 12 = O

~

xn, = 6 ME so-

s b ö. 6 3.30

6.3

Dic Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

281

wie kv"(x) :: 2 > 0, dass die kurrlrisligc Prcisuntcrgrcnze für einen Outpu t von 6 ME angenommen wird. Die zugehörigen minimalen stückvariablen Kosten ( := kurzfristige Preisuntergrenze) bet ragen kJ(6) := 24 GE/ME und stimmen mit den entsprechenden Grenzkosten K'(6) überein. v) ßetri ebsoplimum: (Betriebsoptim um '" Output mit minimalen gesamten Stückkos ten k ) Mit 2 k(x) = x - 12x + 60 + 98/x (x > 0) folgt wegen k'(x) = 2x - 12 - 98/x2 = 0: 2 3 2x - 12x - 98 = 0 ~ Xo =: 7 ME (Regula falsi) sowie k" (x) = 2 + 196/x3 , d.h. k"(7» 0. Somit wird die langfristige Preisuntergrenze für einen Ou tput von 7 ME angenommen. Die zugehörigen durchschnittlichen Gesamtkosten (=Iangfristige Preisuntergrenze) betragen 39 GE/ME und stimmen mit den ent sprechenden Grenzkosten K'(7) überein. siehe Kap. 6.3.4 (6.3.145). \i ) Dfe durchscbntnncben fixen Kosten kf mit kr<x) =

~8 , (x > 0), nehmen mit steigendem Output

ab (k,'(x) =: - 98/ x2 < 0) und haben daher ihr Minimum k{ l S] =: 7,54 GE/ME andcrKapa zitätsgrenze (x = 13 ME) . Abb. 6.3.30 lässt wiederum das bekann te Vierphasenschema erkennen. Beispiel 6.3.31: Produknonsruakttoeen Eine Unternehmu ng produziere ein Gu t !,'Cffi(xd) liefert genau de n maximalen Gesamtgewi nn Gma>: '

iii) Das Stückgewinnrnaxrmum ergibt sic h wegen g'( x) = -2x + 2 + 98,

x

l

g{x) =

~

0 mit H ilfc (z.B.) der Regula falsi zu:

= - x2 + 2x + 60-

~8

d.h .

Xo = 4,02 M E ;

{Überprufung: g"(x) = -2 - J ~6 < 0). Ocr zu gehör ige maximale Stückgcwinn g(4,0 2) be trägt x 27,5 GE/ME, der ent sprech end e Gesamtgewinn aber nur 110,6 G E , ist also de utlich kleiner als der maxima le Ges amtgewinn (sie he Beispiel 6.3.33 vi». Wei terhin erkennt man a n Abb. 6 .3.46 unt en, dass der maxirnalcSrückgcwtnn - ande rs als für den polypolisfischen Anhieter - nicht im Stückko stenminimum Xo (= Bctriebsopt imum), sondern fü r eine kleinere Menge (und einen höheren Preis) angenommen wird, do rt näm lich, wo d ie Steigungen p'(x) der Preis- Absatz-Funktio n und k'(x) der Stück kostenfunktion übereins timme n.

Mathematische Begründung: Wegen g(x) = p(x) - k(x) führt die Ex tremalbettingung g'(x) = p'(x) - k '(x) = 0 aut die Beziehung p'(x) = k'(x) im Stückgewinrunaxirnum.

Beispie-j 6.3.4 7: (H2: Monopol, linearer Gesamlkostem'erlauf) Gegenüber Fa ll B I (Be ispiel 6.3 .45 ) ergeben sieh keine wesentlichen Änder ungen , wenn man davon absieht, dass wegen der nun unterstellten Linearität der Gesam tkostenfunkt ion die Stückkosten ste ts mon ot on fa llen, es somit kein (cigentl iches) Bctriebsopt imum gibt. Vielmehrprod uzicrt die Un tcmchrnung stückkosterun inimal ste ts an der Kapazitätsgrenze (siehe Ab b. 6 .3.48 unte n). Gegebe n seie n als Beispiel die Gesamtkos tenfunktion K mit sowie d ie Preis-Absatz- Funk tio n p mit i)

K(x) = 2x + 16, p(x) = - 2x + 20 ,

(O~x ~10),

(05X 5 10).

Die Oewmnscbweucn ergeben sieh über E(x) = - 2x 2 + 20x = 2x + 16 = K(x) zu : Xl '" 1 ME; x2 = 8 ME , die e ntsprec henden Gewinnzo nen sind als graue R äche in Abh . 6.3 .48 da rgestellt.

13 Der dem gewinnma ximale n Angebot Xo cutsprechende Punkt C der Preis-Absatz-Funktion heißtauch Cournotscher Punkt (siehe Abb. 6.3 ,"'6 unten) , die gewinnmaximale Menge s o heißt Cournasche Menge und der gewinnmaximale Preis p(xG) heißt Co urnotscher Preis .

6.3

289

Die Anwend ung de r Differentialrec hnung auf ökonomisc he Problerne

ii ) Das Gewinnmaximum erhalt man wiederum übe r G'(x) = E'(x} - K'(x) = () (d.h. Grenzedös gleich Grcnzkostcn). Wegen G{x) = E(x ) - K(x) = -2x2 + l Sx - 16 sowie G'(x) = - 4x+ 18 = fo lgt Xo = 4,5 M E (Überprüfung; G "(x) = - 4 < Il, also Maximum) . Im vorliegenden Fall maximi ert der Mono polanbietcr seinen Gcsnmtgcwi nn, ....e nn er den Preis auf P(4,5 ) = 11 GEI ME fixiert und 4,5 M E produziert . ü

Stüc kgewinn : b>(4,5) = P(4 ,5) - k(4,5) = 5,4 4 G E / ME

maximaler GesamtgewinnG{4.5) = g(4.5)· 4,5 = 2 4.5 GE.

Bemerkung: Dass die gewinnmaximale Menge

Xc (= 4,5) genou in äer Mille der Gewinnzone [ 1;8] liegt, gill für jedes lineare Preis I 'Absatz-

16

Kostenfunktions-Modell, siehe auch (6.3 .156). iii) Das Stü ckge\\oi nnmaximum xg ergibt sich mit g(x)=-2x+ IS-';

=>

XII

=

VB

=>

-H-

---:'-:----::- .•.'0

g'(x) = -2 + ~~ l{)

~ 2,83 M E

(Über prüfung; g"(x g ) = lok ales Maximum).

3; < ().

-

also

xg

Au s Abb . 6.3.4ll untcn entnimmt man , dass das Stüc kgewinn maximum xg ste ts do rt liegt, wo die St üc kkostcntunktlo n g dieselbe.Steigung bes itzt wic d ie Preis-Absatz-Funktion (dcnn aus g'(xg ) = p' (xJ- k' (x g) = folgt: ü

p'(' J = k'(' J ).

Gesamtgewin n im Stüc kge....'innmaxirnum: G(xg) = 1R,9GE « G ma) .

6.3.2."

Xt

E'

10

Abb. 6,3.48

Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter Preis-Absat z-Funktion

Für die Beisp iele zur Gewinnmaximierung im vorangcJrdngenen Kap. 6 .3.2 .3 wurde (stillschweigend) ein vol lkommeuer Markt l 4 unt erstellt. Für de n realitätsnäheren Fall des Polypols auf de m uuvonkemmenen Markt schlägt E. G utcnbcrg1S eine dop pell -gekn ickte Preis-Absa tz-Fun ktion vor,die dem einze lnen A nbie te t inner halb de r für das jC\-\-d lige G ut typischen " Preisklasse" [PI; PZl ei ne monopo lähnliche Stellu ng einräumt, siehe A bb. 6.3.49.

Brst wenn d ie Preisklasse ver lassen wird, reagie ren die Nachfrager nahezu schlagartig mit deutlich verstärkte r Z u- oder Abwandcrung.

14 sieheelwa[ ~OI ,32 ff. 15 siehe [26], 238 rr.

I /pI monopolistischer Bereich Preiskl asse

lxi Abb , 6.3,49

290

6

Anwendungen de r D ifferent ialrechnung bei Funktionen mit eint'r unab hängigen Variahl en

Da d ie Preis-Absa tz -Funkti on in ihren beiden Ecken nichtdifferenzierbar ist, ergeben sieh bei der Gcwinnanalysc Besonderh eiten , die am folgend en Beisp iel geklärt werden so llen, Die doppelt-geknickt e Preis-Absatz-Funk tion des polypolis tischcn A nbietcrs sei vorgegeben du rch: - 0,5X+ 50 fiir

p(x) ::

U :S x :S 10

- 2x + 65 für 10 < x :S 20 - U,5x+ 35 fiir 20< x:S 70

1

(mo nopolistischer Bereich)

.

Die Kostenfu nkt ion des Anbietcrs sei K(x) :: lOx + 250 . Um de n gcwinnmaximalcn Output zu erhalten , wird man - wie üblich - z unäc hst die N ullstellen de r G renzgewinnfu nkt ion G '(x) :: E '(x) - K'(x) ermit te ln, muss aber die Ecken gesondertuntersuchen. Üht:r die E rlösfunktion E(x) E(x ) = x 'p(x) =

- 0,5x2 + 50x Ibr xe ] 0;101 _2:>;2 + 65x für xe110;201 - 0,5x2 + 35x für xe 120;701

1

Ipl IIE'/. IK') 50 I

erhält man d ie G renzerlösfunktion E '(x) E '(x) ::

I

- x + 5(1 ; xe r O;1O[ - ·h+ 65 ; xe]10;2U[ - x + 35 ; xe ]20;70]

p

sowie die Gcwinnfunk tion G(x) und die Gren zgewinnfunkt ionfunktion G '(x): G(x) = E(x) - K(x) ::

G '(x) ::

1

0 5x2 + -IOX- 250 - 2x2 + 55x - 250, - 0,5x2 + 25x - 250

l

- X+ -IO ; xe ] O;lO[ - 4x + 55; xe ]10:20[ - x+ 25 ; x e J20;70] .

10

, I

K '=10 K'= 4

,I

60C

1013,75

i

20

31

Ix)

r

I IEJ I IKI

E

M an erkennt dur ch Bildung der recht s- und linksseitigen G renzwerte an den E cken x e. 10 hzw. x :: 20 , dass an beld en Stellen sowohl die Grenzerlösfunktion als auch die Grenzgewinnfunktion e inen Sprung besitzen , siehe Abb. 6.3.50.

I ••,~ :;"i · ......1 ... ~

,

,

~ • •• -.

+. '

K

Bei de r Bestimmung der lokalen Extrema müssen dah er diese Sprungste Ilen x :: 10 und x :: 20 gesond ert unt ersucht wcrdcn: Die notwendige Maximierungsbcd ingung: G '(x) :: 0 [bzw. E '(x) :: K'(x] licfcrt durchNullsetzen der drei Tenne vo n G'(x) unter Beach tung der jeweiligen G ültigkeit sbe reiche: G '(x) = 0 =>

1

>+40 - 0 - -Ix + 55 - 0 - x+ 25"' 0

XI :: 40 ME (I$[O;1OD;

-,

:1{$5 :

"

to

13]5

»e

20

25

"

Xx

Abb. 6.3 50 60

Die Gleich ungder Gcsarnt kostenfu nktion K lautet: Man ermittle:

(p (> 0): Preis in GEIME; x: Menge in ~fE ( > 0»

K(x) = 15x + 3DOO.

i) das E rlösmaximum ii ) die Gewinnschwellen iii) das Gewinnmaximu m .

• Aufgabe 6.3.62 -11: Für einen Polypofisten auf dem unvollkom menen Markt sei d ie folgendcdoppcltgeknickte Preis-A bsatz- Funktion gegeben: p(x) =

- 0.5x + 50 mr 0 s x s 10 l\.tE - 2; O.

E s werde nun unterstellt. dass die ebe n beschriebene Funkt ion T von folgendem Typ ist:

(0')

T =T(s)=a ' s ' (l - s) ; (O :Ss:S l) ,

a =coflSt. (>O) .

(T: Steuereiunahmen des Stuates s: Steuersatz)

a) Man zeige. da ss diese Funktion T(s) die d rei eben besc hriebenen Ei genschaften besitzt. b) Für welche n Ste uersatz erzielt der Staa t die höch sten Steucreinnahm en? c) Wie müsste in der Steuerfunktion ( ~) die Konstante a gewä hlt werde n, dami t für einen Steu ersatz von 20% die Ela stizität der Steuereinnahmen bzgl. des Steuersatz es den We rt 0,75 aufweis!'! (FOr denA ufgabell/eil c) ist die Kenntnis von Kap. 6.3.3 Vorau,\·.I'('tzung.)

300

6

A nwcndunb'Cn der D ifferentialrechn ung bei Funkt io nen mit eine r unabhängigen Variablen

\1) Die pro Stunde Fahrt ent steh end en T reibstoffk ost en k[ (in €Al) einer D iesellokomotive sind pro· portio nal zum Qua drat der Lok omotivgcschwind igkeit v tin km/h) , d.h . es gilt:

kt = e ' v l

j

(c =cofl.l'I.).

Messungen ergaben. dass bei einer Ge schwindigkeit von 40 km/h die Treibstoffkosten 25 € /h betrage n .

D ie da rübe r hinaus (unabhängig von der Lokomotivgeschwmdigkeu} entstehende n Ko sten be lragen 100 € /h. Mit welcher Geschwind igkeit sollte die Lokom otive fahren, dam it die Insgesa mt p ro gefahrenem Kilometer ents te henden Kost en minimal werden '!

\ ii) W ährend ihrer umfangreichen Reisetätigkeit mit der Deutschen Ba hn AG ist de r Wirtschaftsprüferirr Prof. Dr. Z. aufgefallen, dass ein bemer kenswert er Zusammenhangbesteht zwischen der H öhe h (in cm) der A bsätze ihrer Stöc kelsc huhe und de r Wah rscheinlichkeit W dafür. da ss sie ihren Reisekoffer selbs t vom Bahn steig zum T axi lragen muss. Der funk tionale Z usammenhang zwischen W und h kann d urch fo lgende Fu nkti onsgleichung besc hrieben werden ; W = W(h) = 0,01 ' h2 - O,16h + 0,9 ; (O Sh~IO) .

Lesebeispiel: Bei Absatzhöhe 10 em ist die Wahrscheinlichkeit dalür, den Koffer selbst tragen zu müssen, 30% 0,3), bei flachen Absätzen (h '" 0) findet sieh nur in 10% aller Fälleein hilfreicherKofferträger (denn W(O) = 0, 9), usw.

c-

,

IM

,

Auf den erste n Blick schei nt sich eine Absatz höhe zu empfehlen, die W minim iert, d.h. 8 cm

(siehe A bb.). A ndererseit s steigt bei hohem Absatz der Ärger Ä (in Strafpunkten), der immer dann entste ht, wenn sie den Koffer doch einmal selbst tragen muss : J e höher der A bsatz, desto ärgerneh er das eigenhändige Koffert ragen. D ie zu geh örige Ärgerlunkt ion Ä laute t:

Ä:

!AI

Ä(h)"O .25h+l ; (OS h SIO) .

(d.h. derÄrger (oderdie "strafe") bei eigenhändigem Koffertragen nimmt linear mit der Stöcke/höhe zu.)

,

IM

so

Der zu jeder Stöc kclhö hc h zu erwarte nde G esamtf rust F(h) ist nu n definitionsgemäß gege be n als Prod ukt aus der Wahrsc heinlichkeit W(h), den Koffer selbs t trage n zu müssen, und der Strafe Ä(h) be im eigenhändigen T ragen des Koffers (F(h) i~1 ein" ErwurtUllgSWeTt "}, Welche Absatzhöhe würden Sie Frau Prof. Dr. Z. zukünftig empfehlen, damit ihr Gesa mtfrust möglich st gering ausfällt?

6.3

301

Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme

6.3.3 Die Elastizität ökonomische.. Funktionen 6.3.3.1 Änderungen von Funktionen Im folgenden Abschnitt wollen wir untersuchen. wie man in ökonomisch sinnvoller und aussagckräftiger Weise das Änderungsvemallen ökonomischer Größen beschreiben kann, die über einefunktionaleBeziehung (z.B. f: x t-+ f(x» miteinander verknüpft sind. Eine wesentliche Aussage über das wechselseitige Änderungsverhalten von Funkti onsvariablen kann bereits mit Hilfe des Ableitungsbegriffes erfolgen (s. Satz6.1.22): Danach gibt der Differenzenquotient M ft..x exakt (bzw. der Differentia!quotient dffdx nähenmgsweise) an, um wicviele Einbe:lten sich der Funkti onswert f(x) ändert, wenn die unabhängige Variable x um eine F.Jnheit geändert wird. Ob dieses - auf dem Verhäl.tnisabsoluter Änderungen df und dx (bzw. Mund t..x)beruhende -Ändenmgsmaß in allen Fallen zu einer befriedigenden Aussage über das Ändenmgsverhalten der zugrunde liegenden Funkti onführt, soll imfolgenden unte rsucht werden: i) Betrachtet sei die (zeitraumbczogene) Nachfrage x (in kg) nach einem Gu t in Abhängigkeit vom Marktpreis p (in € fkg) des Gu tes (hier bedeuten x die abhängige und p die unabhängige Variable). E s sei daz u eine lineare Nachfragefunktion x : pt-+x(p) unterstellt mit der Gleichung

x =x(p) =-40p+ 560

(0

-J Anderungsverhalten zu sprechen. Abb. 6,3.12

r"

r' ::::I::: ~n»

rL M" '

.c:-~ , 0, f(x) > 0 gilt. 111 diesem Fall sichtet sich das Vorzeit.:llen der Elast;ziJät f/,x '" F (x) . x offenbar nach dem Vorzeicllell der Funtaionssteigung rex): fex) -

Gilt f'(x) > 0 (d.h. ist f steigend], so isl die Elastizität

-

Gilt f'(x) < 0 (d.h. ist f fallend), so ist die Etastauat

f j ,x t j ,x

ebenfallspo sitiv. ebenfalls negativ.

(im 2., 3. und 4. Quadranren des Koordinatensystems müssen die entsprechenden Vorzeichen von x und f zusätzlich berucksiduigt werden.) So ist z.B. bei einer monoton jollenden Nachfragef unktion mit x > 0; P > 0 wegen x'(p) < 0 auch die Elosti:.itiit ex/' < O. Bemerkung 6.3.94: Gd egenrlid rdefiniertman spezielldie Preiselastizilät der Nachfrageals negatives taw. absolutes Anderungsverhutmis: dx dx X x (falls man sich nur für den absoluten F ,= - -dpb~. ';r,p Zahlenwert der Elastizirät interessiert). dp p

P

6 .3

Die Anwend ung de r Differenti alrechnung auf ökonomische Probleme

307

Für den so definierten Elastizitiitskoef!izienten ergeben sichbeimonotonfaltenden Naclljragefimktionm stets positive (statt negative) Werte. Wir wollen diesem Brauch im weiteren fliclltfo lgen, da dem Vorzeichen der Elastizität eine ökonomische Bedeutung zukommt: Ist E > 0, so ändern sidl die Variablen gleichsinnig, ist e < 0, so ändern sich die Variablen gegmsinnig.

f'(x )

f'(x)

--fex)

f/,x = I'x) I'

,

r J

cJ,x '"

J(x)

in der Form

so erkennt man, dass die ElastiZlUlt f/ x von fau ch definiertwerdenka nn als' , Gremfunktion f' geteilt dltrch Durchschninsfunkno n f von f.

Beispiel: f( x) '" xl - b:2 + 5x ~

~'(X).x

Schreibt man den Elastiziunsierm (6.3.8 7) f:J x '"

Bemerkung 6.3.95:

r ex) = 3x2 - 4x + 5 ;

~

3r - 4x +5

=

- fex) f= - = x 2 - 2x + 5 x

x2 -2x +5

Aufgahe 6.3.96 : Man ermittle die E lastizität sfunkt ionen f r,x z u fo lgenden Funkt ionen ; i) f(x) = lOx7

, 'ii ) f(x) = x3 ' ln (x1+ 1)

lv] f(x) = ~~: ~

ii) fex) = a' xn ;

a ,n ,*,0

v]

iii) fex) '" 4x3 + 2xLx + 1

4

"iii) fex) '" x · z' Ix) fex) = (3X)2x

fex) = Zx'e- 5x

\'1) f(, ) = ei / x,

JIX2+'I

x)

fex) = a

Aufgabe 6.3.97: Man zeige die G ültigkeit folgender Rec henregeln für die El as tizität ; E s seien u: lI(X), v: v(x) zwei differenzierbare Funktio nen, ferner gelte: u(x). v(x), x Dann lasse n sieh die Elastizitätsfunktlc nen f e, der komhinierten Funktionen I) f ,=u ± v

2) f ,,,,u' v

Cl"

•

'* O.

3) f ,= ~ v

d urch die einfachen El astizitä ten f u "" und E"",, a usdrücke n, und es gilt: u ±v

Mit H ilfe dieser Rec henregeln ermittle man die Elastizität f i,x fo lgende r Funkt ionen f mi t: i) fex) = 4x3+ 20x5

ii) fex) = e-zx, xS

iii) fex) =

y;-. cO,h 4 7.,

Aufgahe 6.3.99: Ge geben sind folgenden Nachfragefunktionen: I) x(p) = 18- 2p

j

0 5:p:!i9

2) p(x) =l Z- O. l x ; 0 ~x :5120

3) x(p) = l O' c - o,zp 4) P(x)= 800 ' e- O,Oh

j

p 2:0 . j

x 2: 0

i) Man ermit tle und interpretiere den Wert der Preiselastizit ät dcr Nachfrage bei einem Preis p von a) 5 GE/ ME h) 9 G E / ME c) 100 G E/M E d) 600 GE/ M E. ii) Bei welchem Preis bewirkt eine 3 %ige Preis senkung eine (ca .) 6% ige Nachfrages teigeru ng? iii) Bei welcher Nachf ragemenge geht eine 4%ige Mengenreduzierung mit einer ebe nfalls 4 % igcn

Preissteigerung e rnhcr? Aufgahe 6.3. 100: (siehe Kap. 6 .3.3 . t ) Man zeige, dass der Wert des Elastizirärskocfflzjenten f r,. du rch pro portionale Änderungen der Maßeinheiten nicht verände rt wird. Hinweis: Proportionale Maßiindemngen (wie2.B. bei kg /, m 2 cm 2 , € Dollarusw.)

können durch die Transformation x*=a . X;f* =b 'f beschrieben werden, wobeix*, f * die Variablen im neuen lind x,f die Variablen im allenMaßsystem bedewell; a , b sind nicht verschwindende Konstanten.

308

6 Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

6.3.3.3

Elastizität ökonomischer Funktione n

In den Wirtschaftswissenschaften haben sich Begriffsbildungen eingebürgert. die den Grad der Elastin· lät von f bzgl. x (Er) kennzeichnen (siehe BeupieI 6.3.78). In der folgenden Tabelle 6.3.101 sind exemplarisch einigeentsprechende übliche Redewendungen am Beispiel einer Preis-Absatz-Funktion l: mit x '" x(P) aufgeführt (x: Nachjragemenge;p : Prris) . Es handelt sich dabei also um die wertmäßigen Ausprägungen der ..Preis-Elastizität der Nachfrage" • symb0lisch: Ex,p' Man beachte daher, dass in der folgenden Tabelle die unabhängige Variable mit p (buher: x) und die Funktionswerte mit x (bisner: f) bezeichnet werden, entsprechend lautet dieverwendete Preis-Elastizität

der Nachfrage Ex,p (statt allgemein Er) : Tab. 6.3.101

Wert der Elastizität

I'." I > 1

(E > 1 oder E < - 1)

I'" I < 1

(- l<E < I)

allgemeine Begriffsbildung

Beispiel: Nachfragefunktion x(P) mit x a Menge und D ~ Preis

x ist elastisch

Die Nachfrage x ist elastisch: Relativ starke Reaktion der Nachfrager auf (kleine) relative Preisänderungen. Beispiel : Nicht lebensnotwendige, substituierbare Güter wie z.B. Genussmutet.

(x ändert sich relativ st örk er als p)

x ist unelastisch (x ändert sich relativ wetuger stark als p)

Sonderfall: : 1

I" , I

(E = 1 oder E = - 1)

x ist proportional elastisch

(........_ .1.",,,,)

Die Nachfrage x ist unelastisch: Relativ geringe Reaktion der Nachfrager auf Preisänderungcn. Beispiel: Wenigentbehrliche, kaumsubstituierbare Güter wie z.B. Brot, Fleisch, Medikamente Die Nachfrage x ist fließend (I-elastisch, proporttonaI elastisch): Eine Prcisänderungvon einem Prozent bewirkt eine Nachfrageänderung von einem

(Die relativen Anderungen von x und p sind gleich)

Prozent.

Grenzfall:

x ist vollkommen ela~tisch

I ,,,I-~ 00 oder E_ -OO)

(x reagiert ~unendlich heftig" auf kleine relative Änderungen von p)

Die Nachfrage x ist vollk ommen elastisch . Selbst kleinste Preisänderungen bewirken ..unendlich große" relative Nachfrageänderungen. Grenzfall: Der Preis p ist konstant, unabhängig von der Menge. Beispiel: Preisflxierte, substituicrbare Güter(z .B. gewisse Markenartikel im PoIyJXII)

(E_

Grenzfall: t'x,p e 0

x ist vollkommen unelastisch (starr) (x reagiert überhaup t nicht (kleine) relative Anderungenvon p)

.ur

Die Nachfrage ist starr (vollkommen unelastisch): Keine Reaktion der Nachfrager auf Preisänderungen. Grenzfall: Die Nachfrage ist konstant, d.h. unabhängigvom Preis. Beispiel: Unentbehrliche, nicht substituicrbare Güter wie etwa lebensnotwendige Medikamente.

309

6.3 Die Anwendung der Differentialrechnungauf ökonomische Probleme Beispiel 6.3.102:

Gegeben ist die Nachfragefunktion p mit p(x) = 8 - 0,5x bzw, ihre Umkelufunktion x mit 0 s x s 16 ME,O S p s 8 GEIME (p: Preis ; x: Nachfragemenge). x(P) = 16 - zp, Gesucht sind die Preis- bzw. Mengenintervalle, in denen die Nachfrage a) elastisch b) unelasusch c) fließend d) starr e) vollkommenelastisch ist. Lösung: Die Funktion der Preiselastizität der Nachfrage lautet nach (6.3.87): Ex,p

x'(p)

"p

= x(P) 'p = 8 -p (x> O;d.h. p< 8).

a) Die Nachfrage x ist (nach Tab. 6.3.101) elastisch, wenn entweder Ex,p > I oder Ex,p - 1, d.h. 1 + Ex.p > 0 und dahe r Im Bereich unelasuscber Nachfrage steigt der Umsatz bei Preisern ühungen. Bi)

FE,p > 0:

Im Umsatzmaximum gilt E '(p) E. ,p = -1:

= 0 , also auch EE.p = 0 , so dass mit 0 = 1 + l:x,p folgt: Der Umsatz wird an der Stelle fließender Nach t rage maxima l, siehe Abb . 6.3. 116.

Aufgabe 6.3.11 7: D ie Preis-Absatz- Fun ktion eines G utes sei gegeben durch d ie Gleichung a) x(p) = 20 - 0A p b) p(x) = 120 · e- ll• 1x ; x>O . p > O . i) Für welchc Preise ist die Nachfrage elastisch bzgl. des Preises ? ii) Bei welehcm Preis bewirkt eine 2%ib'C Preissteigerung ein en Umsatzrückgangvon 10% '!

Aufgabe 6.3. 118: Gegeben sei für einen Ha ushalt die Funktion E(W), die den funktio nalen Zu sammenhang zwischen Ausgaben W für WOhnvmg (in € /Monal) und dcn Ausgaben E für Energie (in € /M onat) bcschrcibt : E = E(W) = 10· 1+ 2W. w eiterbin sei bekannt, dass die A usgaben für Wo hnung W in folgender Weise vom Haushaltseinkommen Y (in € /Mona t) abhängen:

W '" W(Y) = 400 + O,05Y

(W, Y > 0) .

314

6

A nwcnd unh'Cn der Differentialrechnung bei Fu nkt ionen mit einer una bhangigen Variablen

i) Man ermittle für Wohn ungsausgabe n in H öhe von 800 € / Monat die E lastizi tät der E nergieaus-

gabe n bzgl. de r A usgaben für Wo hnung und inte rpretiere de n gefunde nen Wert ö konom isch. ii) Man ermittle mi t H ilfe des E lastizitätsbegriffs, um wieviel Prozent sich be i einem Einkommen

von 4.000 € / Monat der Energieverbrauch erhöh t, wenn das E inkomm en um 3% steigt. Aufgabe 6.3.11 9: Die Preiselastizit ät der Nachfrage naeh Weizen betrage wä hrend eines mehrjährigen Zei traumes konstant etwa - 0.2 . Man erläutere, wieso nac h schlech te n E rnten denn och der Gesamtumsatzwert im Weizengeseh äft (gegenüber J ahren mit guten E rnten ) zunimmt. Aufgabe 6.3. 120: Ma n zeige, dass die O utp utelastiz ität der Gesamtkosten im Bct ricbsoptimum stets den Wert 1 annimm t. Aufgabe 6.3. 12 1: Man ermittle die Preisela stizitä t des Grenzer löses für p = 150 G E / ME, wenn die Preis-Absatz-Funknon d urch x(p) = 100 - 0.5p gegeben ist. Wieso ist dies e Elast izität pos itiv, obgleich die Steigung E " des Grenzerlöses E '(p) stets ncganv i~t ? (siehe Bcm. 6.3.93 )

*"

Aufgabe 6.3. 122: E ine Funkt io n fex) heißt Isoelasüscb, wenn für alle x 0 gilt: Ef,~ = C = const. ( e IR). ff .x = n = cons t. i) Man zeige: Alle Po tenzfu nktio nen fex) = n : x'' sind isoelastisch. und es gilt: Bemerkung: Mall kann zeigen, dass die POlelltfullkJiOfU!/1 die elntlgen isoelastische n Funktionen sind, siehe Kap. 8.6.3 .2 . ii) Im Jahr 1968 wurden (be i einem Zuckerp reis von 3.500 € / t) 5,04 Mio t Z ucker nachgef ragt. Durch Zeitreihenanalysen war beka nnt, dass die Prclsclastizlt ät der Z uckemachfrage den konstau ten Wert -0,383 besaß. Wie lau tet e die Nachfragefun ktion nac h Zucker '! iii) Man ermit tle die G leichungen und zeichn e die Graphen der isoelas tischen Nachfragcfu nktionen p(x) mit folgenden Eigenschaften: f ür p = 2 sei x = 5 und es gelte: E•.p =: -1 ; a) übe rall fließe nde Nachfrage , d.h. b) übe rall vollkommen unclastisehe Nachfrage, d.h. t: x.p =: 0 ; c) überal l vollkommen elastische Nachfrage, d.h . f x.p =:,, ± oo ~ .

• Aufgahe 6.3. 123: Gegeben sei das Sozialprodu kt Y einer Vo lkswirtschaft inAbhängigkcitvon dcr Kapitalausstat tu ng K und dem A rbe itseinsatz A durc h d ie Prod uktionsfunktio n. Y = 100 ' A 0.8 . KO.2 . Ma n ermittle die Sub stitution selasnzlt ät oA K und interpretiere den erha ltenen Wert.

6.3.3.4 G r a p h isc he Enn ittl ung d er E lastizit ät

IIfI

Dazu zeichnet man in P an f dic Tan geme undbestimmt die absol uten Lä ngen PF bzw. px der TlUigenl en· Ahschn ille zwischen P und dem Schnittpunkt F mit derf-A chsc bzw. dem Schnittpunkt X mit der x-Ach se, siehe Abb. 6 .3.124.

I I

Dann gilt:

I I

I

~,

Liegt der Grnph einer Funktion f vor, so kan n auf einfac he Weise für jeden Kurvenpunkt P(x; f(x» der zugehö rige Wert er", (bzw. Ex,!) de r Elastizität (n ähcrungswcisc) ermit telt werden:

.'

f

lxi X 1 (x }

I::

lxi

x =

1, d.h. in P tstf bzgl. x (sowie x bzgL

n

ausgeglichen(.riehe Abb. 6.3.134) elastisch

III F

EJ

Abb. 6.3.134

o f=X

lxi

o

x

lxi

6.3

Die An wendu ng der Ditfcrcn na lrcchnuog auf öko nomische Probleme

317

Beispiel 6.3.135: Gegeben sei de r Graph der Nach fragefunktion p(x) = 10 - 2x , x, P > 0, siehe A bb. 6 .3.136 . Die Preiselastizität der N aehfragce x.p ist überall negat iv, da zusammengehörige Tangentenabschnitte in verschiede ne Richt ungen zeigen [sieh e Satz 6.3. 129) . Bei der graphischen Bestimm ung vo n f."x,p ist außerdem zu beachten, Jass im Zähler der T angentenahschnitt bis zu r x-Acbse(a 1. Index von f x.I')' im Nenner der Tange ntenabschnitt bis zur p-Ac hsc ( ~ 2. In dcx von f."x.p) stehe n,

Ipl

E

6

5 4

E = _1

A nstelle der Tangemmabschnine k önnen auch die entsprechenden A chscnabschnine (sie entstehen durch senk rechte Projek tion auf eine der Koordino tenochscn} ins Verhütmis gesetzt waden (Strahlensiitle 1). InAbb. 6.3. 136 sind an

'=-f

IPI ;

2

Bemerkung:

=-f

,, ,

: :

•

o

~

2

I ~

!

~

3

,

•

4

lxi

t: = 0

5

lXI

Abb. 6.3. 136

mehreren ausgew öhltcn Punkten die zugehörigen Elastizit ätswerte in Form der entsprechenden Langen verhaim isse ungeschrieben.

Aufgahe 6.3. 137: i) Man ermittle näherungsweise die E last izitätswert e er., in de n gegebe nen Pu nkt en A , S, ... der in A bb . 6.3. 138 graphi sch vorgegebe nen Funkti on f = f(x)

ii) In welche n Bereichen ist a) f elas tlsch/ unelastiscb? b) die Ela stizit ät po sitiv/ negativ?

IIII A

Abb . 6.3.138 B

lxi

c

I

o

E

r,

Aurgahe 6.3.139: Gegebe n sind der Gra ph je einer ertragsgesetzlichen Pw d uktionsfun ktion x(r) und Gesamtkostenfunktion K(x), siehe A bb. 6.3. 140.

i) Man ermittle näherungsweise die Ela stintäten e•.r u ndEK,xin den gegebenen Punk ten P, Q , .... ii) Welche r spez ielle ökonom ische S achverhalt lässt sich m it H ilfe des Ela stizit ätswerres jeweils im Punkt S formu liere n?

I lxI

jlKI

T

5

T

o

Abb. 6.3.140 p

ITI

o

318

6

Anwend ungen de r Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhangigcn Variab len

Ei ne weitere geome trische Deutung de r Elas tizilät wird d urch folge nden Sachverhalt ermöglic ht: Salz 6.3.141:

E s se i f: x l---+ f(x) eine diffe renzierbare Fun ktion, es gelte außerdem f, x > O. Dann gilt für d ie E lastizität vo n f bzgl. x:

t

(6 .3.142)

Bewelsr

d (In f(x)) d (loga f(x» := d (In x) d (loga x)

-

r,X -

Für die Differen tia le gilt nach (6.1.6); ['{x]

.)

d( lnf(x»:= (In f(x»"dx := Qx) dx

b)

d (ln x) '" (ln x)" dx '" .l ·dx.

CW ' dX

d (In rtx» d (In x)

I

so.....i e

Da raus folgt sofo rt der e rste Teil de r Beha upt ung:

x

I'(x)

(Ke ncnrcgcl)

roo

(siehe 6.3,87) ,

"' x'f(x)= t r,x

x'd,~

De r zweite T eil der Be hauptung folgt aus (1. 2.88) wegen 111f(X) 10 fex) = - ~ Ina

und

In x 10" x = - Ina

=

Mit ande ren Worten besagt Satz 6.3 .141; Man erhält die Elaslizitä l t f x ' inde m man die logarilhmische Funktion log f(x) nach der logarnhmicrtcn unabh ängigen Varia blen' log x a blelte t. Setzt man etwa: log f(x) =. v, tog x e.u. so gJ'It:

dV t:r,x = dli"

' (dllppel t rm

logarithm ische n) (u,v) - Koor dina ten system:

Z ur graphische n E nn itt1ung von f x bildet man daher die Ausg~gsrunktion f(x) in einem dcppell - logarilhm l_schen Koonhn atc nsy stem ab und erhält dann a n jeder Ste lle d ie Elaslizilä l t f • als

t

~gewöhnliche~ Steigung (~:

=

tan a ) im neu en Koordi natensystcm . In Abb. 6.3.1 43 sind Funk tionsbeispiele auf doppe lt -logarithmischem Papierdargestellt. Man erken nt zum Beispiel, dass sämt liche abge bilde te n Porcnzf unktio nen

15

+-+---;+-1---''''

10 f--"'c--'

5 4

+----=---;- - 'i-''+--+- - - + - :'*''

3

f-- - +---,n-+"",--;;

2

f---++-+-:7'~---''''-+-+- I+--

I a , ,", j .rm neuen vx , Sx ( ,ce

Koo rdina tensystem die konstan te ~ gt:wö hn l ich e~ Steigung tan a besi tze n, 'W 0, gcnau dann dem" 1. Gossensehen Gesetz " (siehe Beispie1 6.3.5) genügt , wenn für die Koeffizienten .1, b gilt: a>O, O 0

(b) N(C) = 200 + 0,2C ; C > 0 .

Man überprüfe in be iden Fällen, ob das ..Engelsehe Gesetz" erf ülll ist . (D(lJ Engelsehe Gesetz besagt: Die A u.w aben eines Haushaues für Nohru ngsmiud nehmen bei steigendem Gesam tk onsum des Haushaltes proremuat weniger stark zu als die Kon suma usgaben des Haushaltes insgesamt.) * Aufgabe 6.3. 164: Man zeige, dass im Fall der Fakt orentl ohnung nach seiner Wertgrenzproduktivität (6.3 .159 - Pof> pol) die hinreichen den Bedingungen für ein Gewi nnmaximum erfüllt sind, wenn eine Prod ukti onsfunktion mit übe rall abnehmend er Grenzproduktivität vorliegt. Für den allgemeineren Fall (6.3. 158 - Monopol) zeige man dies entsprechend, wenn zusätzlich noch eine linea re PreisAbsa tz-Funktio n sowie positive Grenzprod ukt ivitäten unterstellt werden . * Au[gabe 6.3.1 65: Man zeige: Ist eine gewinnmaximierende E in- Produkt-Unternelunun g(Produktionsfun knon. x: x(r» zugleich monopoli.stischcr Anbicter au f dem G ütermarkt [Preis-Ab satz- Funktion: p: p(x» als auch mono polistischer Nachfra ger (:\Ionop_sonist) auf dem Faktormarkt (Faktornaehfragcfunktion : Pr: Pr(r», so ist jede der folgen den Bedin gunge n notwend ig fü r einen gewinnmaximalen f aktorcinsat z:

i)

x'(r) ' (x p'(x) + p(x» = r p/(r) + p.(r)

ii)

x'(r) ' E'[x] = K'( r)

,

p,

1 + _ 1_

x'(r) =

h)

ex r x'( r) = _Pr . .....:.= P CE,.

p

f. r .

Pr . ----';~ 1 +__1 _ f •. p

iii)

-

{dabei bedeuten: E: E(x) =E(x(r)) = x(r) .p(x(r)) die Erlösfunktion und K" K(r) = r'P r(r) dir {Foktor-] Ko.\"tenf unktion) ;

;

Der zusätzliche E rlös für die mit der letzt en eie gesetzten Inputein heit erzeugten Prod ukt menge muss ubcrcin stirnmcn mit den zusätzli chen Aufwe ndu ngen für diese letzte Inpu teinheit.

325

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 7. 1 Grundlagen

7.1.1 Begriff und Berechnung von partiellen Ableit ungen Das klassisch e Grwldproh lem der Differentialre chnung für Fun ktio nen f: y ~ fex) einer unab hä ngigen Variab len ist die Frage nach der Steigung ode r Ände rungs lendcnz von f an einer beliebig vorgegebenen

Stelle x (s. Kap.5 .!.1). Wir wollen versuchen, eine analoge Fragestellun g bei Funktionell mit mehreren unabhiingigen Variabl en zu beantworte n. Dabei wollen wir un s - um mögl ichst anscha ulich vorgehe n zu können - zu näc hst a uf Funktionen

f: z

>

I{x.y)

besc hränken, die vo n zwei unabhängi-

!,'Cll Variablen x und y abhängen 1. Die Pmblemstelluug lautet also : ~ Welche

1111

I

•

;t:.~

i "'... 1.,--/

f

i ~P;~ ,

Steigung besitzt die Funk-

tion f: f(x,y) an derStelle (xo•Yo)'!" Wie aus Abb. 7. 1.1 hervorge ht. ist die Fragestellung in dieser Form offen bar nicht sehr sinnvoll: Im bet reffenden Punkt Pu (xu• Yo, zo) Abb. 7. t. 1 der Funktio nsflache gibt es - je nach Du rchla ufricht ung - beliebig viele ~·erschieaene Steigungen de r Räc he: Die Situation ist vergleichbar mit de r eines Wanderers im Ge birge, der - aus gehend von einem Punkt am H ang- mehrere verschieden steile Wege einschlagen kann. Dahcr ist es lediglich sinnvoll, nach dcr Steigung der Funktionsfläche in einer vorgegebe nen Richtung zu fragen. Da w ir als ausgezeichn ete R ichtu ngen d ic beiden hor izont alen Koo rdi na tenachsen ha ben, liegt es nahe, zun ächst nach der Steigung in x-Richlung (d.h. fü r konsta ntes y) sowie nac h der Steigung in rRichtung (d. h. für ko nstantes x) im Punkt Po zu fragen . Abb. 7.1.2 veranscha ulicht das Vorgehen :

1 Im folgenden wird der Inhaltvon Kap. 3 vorausgesetzt.

7

326

Differentialrech nung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

1(fJ

Yo

------- - -

Abb.7.1.2 Um in Po et wa d ie Steigung der Funktion in x-Rlr ht uug zu ermit teln, schneidet man die Funkt ionsfläche mit eine r zur (x ; zj-E be ne para llele n Schnittebene (d.h. sen krec ht zu r Grundeben e in x-R icht ung). Die resul tierende Schntnkurve (in Abb. 7.1.2 von links nac h rech ts verlaufend) hat übe rall denselben v-w en (nämlich y = Yo = consr.). Die Steigung dieser Schmu kurve in Po ist identisch mit der Steigung der Fun knon f in Po in x-R ichtung. Der Funktionswert z hängt längs dieser Schnittkurv e nur noch von einer Varia blen - nämlich x - ab, da d ie andere Variable (näm lich y) längs dieser Schnitt kurve unverändert bleibt : z = f(x, Yo) längs der Schnitt kurve in x-R ichtung. BcisjJieI 7. 1.3:

E s sei

z = f(x, y) = (x - 3)2+ 2xy2 _1 6

gegeben.

Wählt ma n z.B. y = Yo '" 2, so ergibt sich als Gldchung derentsprechenden Schnittkurvein x-Richtung:

z = f(x, 2) = (x-3)2 + 8x - 16 , d.h. f Ist jetzt eine nur noch von x abhängende Funk tion. D ie Steigung diese rSchnitt kurve lässt sich daher durehgewöhnliche Di!! errntiation nach x ermi tteln:

;h df

I,-, =

tan c ; = dx ' « x- 3r" +8x- 16) '" 2x+2 .

Im Pu nkt (3;2) erw a beträgt die Fl ächenst eigungin x-Richtung: ,df. ~

I • = 2 ' 3 + 2 '" 8 usw. ,-, x _.>

A nalog erhal t man in Po d ie Steigung der Funkti onsfläche in y-R iehtung(siehe A bh. 7.1 .2), inde m man die du rch x = Xo = const. dct inicrt c und da nn nur noch von y abhängende Gleichung z '" f(xo. y) der Schnitt kurve (in y- R ichtung] im gewöhnlichen Sinne nach y ab leitet: Beispiel 7. 1.3 ("o rt ...):

Aus

fex, y) '" (x - 3)2 + 2xy2 - 16 und daher

ergibt sich für x = Xo = const.:

"df I.. , '" tan a y '" 4xoy ·

D ie Rächensteigung in y-Richtung etwa an der Stelle (3; 2) bet rägt somit:

df

" lx -3 '" 24. ,-a

Man beachte, dass beim Ableiten nach y der Wert Xo wie eincKonstanle behan delt wird.

7 .1

327

Grundlage n

Die im letzten Beispiel ermittelten Steigungen ran a x (bzw. tan ay) der Funktion in x-Ric htung (bzw. in y-Richtung) hei ße n auch partielle Ableitungen von f nach x (bzw. nach y ); Der. 7. 1.-1 (part ielle Ableitungen): Unter der partiellen Ahicitu llg (1. O rd nung) de r Funkt io n f: f(x,y) nach der Vari ah len x (d.h. für y ;: Yo ;: const.) versteht man d ie (gewöh nliche) Abteitung der nur von x abhängigen Funktion f: f(x, Yo) nach x unter Konst anthaltung von y.

:~

Sch reibweisen:

,

2l~" fex. y) , f~ ,

fx

•

A nalog definiert man die partielle Abieifwig von fex,y) nach y un ter Konstantha ltu ngvon x.

" ,

Schrelbwelseru

ay

2ly fex, y), f}., fy .

Gegeben sei f du rch fex, y) ;: 3x 2y3 + 4xy + x2 . e 7y ; x,ye IR. .

Belspie l 7, 1.5:

Die partielle A bleit ung nach x erhält ma n, indem man y als Konstante a uffasst und mit de n üblic hen Abl eitungsregel n (siehe Kap. 5.2.5) nach x able itet:

ar ;: 6xy3 + 4y+ 2x ' e7y , x '

Analog liefert die Ablcitungvon f nac h y unter Konsta ntha ltungvon x die partielle A bleitung von f nach y: Bemerkung 7.1.6: i) Da die partiellen A bteitungen von f ex, y) als gewöhnliche Ableitungen bei Kon stanz der jeweils anderen Variablen erscheinen, hülfe man statt Def. 7.1.4 auch die Grenz wen dd initlon der ersten A bleilung verwenden können (siehe Def. 5.1.9 sowie (5./. 18) ): ' : .• ,~

'f ... ay

lim

,tx-

"m

f(X+L1J:; Y) -f(x, y) 0

.

Ily -

hX

f(x,. y+,dy) - f(x,y) 0

lIy

ji) Die partielle Ableitung I« (bzw. f y) bezeichnet die Ableitung von f in x-Richtung (bzw. in yR ichtung). Es f ragt sich dah er, wie man die Steigung von f auch in irgendeiner anderen Richtung erhalten kann.

Dazu nehmen wir an, da ss f im Punk t Po eine (sie beruhrende] Tangentialebene 2 besitzt, siehe AM. 7.1. 7. (Ahnlich wie man - s. Kap . 5.1.3 die Tangente einer Kurve als .beste" Näh erungsgerade turdiese Kurve auff assen ka nn, l ässt sich die Tangentialebene als .beste" Näherungsebene der Funktion f im Berührungsp un kt auffassen.)

(m it y ;: const.] (m it x ;: CO/1St.) .

!(11

x e ccost

r = consl.

I / Ir)

L.-

lxI

' -- - - - - - - - - A bb. 7. 1.7

Off en bar spannen die beiden Sdmiuk urvema ngenten in X+bzw . y- Riduung (mit den S/eigungen fx bzw. fy ) die Tangentialebene in Po auf. Dannliegt auch jede andere Schniukurvenumgeme durch Po in dieser Tangent ialebene, siehe A bb. 7.1.7. Ist die

2 Man kann zeigen, dassimmer dann in Po eine Tangentialebene existiert, wenn ;llie partiellen Ableit ungc n in Po stetig sind. In diesem Fall heißt r in Po diffcrcnzicrbar.

32l!

7

D ifferent ialrechnung bei Funknonen mit mehreren unabhängigen V ariablen

Rickmng der entsprechenden senkrechten Schn iueoene l'orgegeben (z. B. du rchAngabe des Wink els a gegmuber äer x- Richumg oder die X, v-Abst ände u und 1', siehe A bb. 7.1.8), so lässt sich die Steigung m VO ll f in d ieser Richtung allein mit Hilf e derpa rtiellen A bleinmgen [x- fy bestimmen, sieneA bh. 7.1.8: y-Richtung {Steigung

~

u, 'y

r-----------· df,

Die Sleigu:9 -----dieser Gerriden-> / Isfgesuchl

;T'-,L~====:::;;:;;~~ x ·Richtung

u

(Sleigung

u' y I

Abb. 7.1.8

Zun ächst erhältman mit dem Satz des Pythagoras im rech/winkligen Dreieck: PoQR: PoR;: Vu2 + 1'2 . Damil ergibt sich diegesuchte Steigung m » mn ß der Geroden PoS im schraffiertenDreieck PqRS zu: m = tan ß =

(,)

dJX t

::0

df

Wegen

Vu 2 +v2

af özw u : ax ".

af

d'f Jy ="' -ay

'

~"0

dlx

cf

0; y

y >l)

.....

v;-

y;;-

vz xz e ,.. Y '( ln ~i

~

f ,,"'c )'"•. +

2V;: ' ln y

2!{;' lny

Aufgabe 7. 1.15: Man b ilde sämt liche partiellen Ableitungen erster O rdnung: l)

f(x, y) = (xy)3 + xy2

ii )

fex, y) = 3x2 - 4y2 + 5xy + 4y

in)

Iv)

f'[x, y) =

,,4 _J,'(2 y J,'( + 2),2

\'ü)

\'Iii)

p(rt' r2' r3) = rI2 ' ln (rtrJ)-e-2rlr2

xCA. K) = 120 · A0,85. KO,3

JI2V

ix)

f(u, v, w) '" (w In w + u3)

x)

L(x, y, A) = RxO,3y1l.7 + . 1. (200 - öx -Sy)

")

L(rl, r2, r3' . 1. 1'..1.2) = 2Vrt2 + 3r22 - 5r]2 +

+ . 1. ](10 - rl - 2r2 + r3) + . 1. 2(20 - rIrZr] ) v)

~i )

xiii)

f(x, y) '" (x3y2»)'

f(x, y) = 2yJ,'( ' In ;

7

330

Differentialrechn ung bei Funkt ionen mit mehreren unabhängigen Variablen

7.1.2 Ökonomische Interp retation part ieller Ableit ungen D ie Tatsach e, dass die partiellen A bleitun gen jeweils nur den E influss der Änderung einer einzigen unab hängigen Variablen auf den Fu nktionswert be rücks ichtigen (und alle übrigen Variablen konstant ble iben),

lässt eine zu Satz 6.1.22 analoge Inlerprelalioll~möglichkeit zu: Salz 7. 1.16: Der Wert ~r (Po> der partielle n Ablcitungvo n f nac h xi an derStelle Po gibt (nä hcrungsweisc) an, um wlcviclc Einheite n sich der Funkucnswert f(P 0) änd ert, wenn sich xi um eine Einheit ändert und alle ührigen unabhängigen VariahIen unverändert bleiben {ceterisparibus(c.p.)-Bedingung).

"'

Für den Fall zweier unabhängige r Variablen wird dieser Sachverhalt noch einmal in Ahb. 7.1.17 verdcutlicht: ..!!. ~ Mx Steigung in x-R icht ung: (tu = 1) lan U x = Ste igung in y-R iehtung:

mn a y

=

"ar ay

~

My

(' Y = 1)

Jm

(r l

x,

Abb. 7 1. 17

Ix)

Die partiellen A bleitun gen erweisen sich als eincs der wichtigsten H ilfsmittel bei de r sogenannten . Pa rtialanalyse" ökonom ischer Funktionen: Dabe i werde n öko nomische Zielfunktionen {z.B. Produ ktionsfunk tion en, Nu tzenfunktionen. Kost enfunktionen. Ge winnfunktionen e tc.] bei Variation einer einzigen Va riablen betrac htet, während alle übrigen Einflussfak toren ( = übrige unabhängige Variable) konstan t ge halten werden (c.p-Prärntsse)? .

So kann man etwa unt ersuchen , wie sich bei gegebener Prod uktionsfunktion y: y(A. K) der Out put y ändert, wenn lediglich d ie E insatz men ge A des Produkti onsfaktors M Arbeit~ geändert wird, Während die Einsatzmenge K des Produktionsfaktors " Kapital(ausstatl ungt unverä ndert blei bt. Als Maß f ür d ie cn tsprec hende Output- Änderungstendenz d ient die p artielle A bleitu ng :~ , die (naherungswcisc) d ie Ände rung des O utp uts y angibt, wenn sich A (bei Konstanz von K) um eine Einheit än dert. Die entsprechende pa rtielle A bleitung vo n y nach A, d.h . ~ , heißt (part ielle) Grenzprod ukthiliit des Faktcrs Arbe lt (od er kurz: G renzprodu ktivität der Arbeit ). A nalog bez eich net man

~ als (partie lle) Grenz proda ktivltät de s Kapital s.

3 Die AnaI)"SC ökonomischer Funktionen bei gleichzeitiger Änderung aller unabhängigen Variablen (Tofa/analyse) wird in Kap. 7.1.5 und im Zusamm enhang mit der Extremwe nbes timmu ng in Kap. 7. 2 angeschnitten.

7. 1

331

Grund lagen

Beispiel 7. 1.18:

Gegeben sei d ie Prod ukt ionsfunk tion

y(A, K) = 2 ' A U." . KO,6

Dann ist die part ielle Grenzpr odu ktivität de r A rbe it gegeben du rch

~=

parti elle Gren zp roduktivität des Kapitals d urch

ß.

(A, K > 0).

= 0,8 . A - 0,6 . KO,6

und die

1,2 ' A 0,4. K - 0,4 .

Sämt liche ökonom ische Bcgriffsbild ungen wie z. B. Gre nz koste n. Grenzgew inn , marginal e Konsumquote usw, (siehe Kap. 6 .1.2) im Z usamm enh ang m it Funktionen einer unab hängigen Var iablen lassen sich durch den Zusat z ~ parti eJl ~ ana log auf ökonomische Funktionen m it mehreren unabhängigen Variable n (unter Beach tung der c.p-Prämtsse ) üben ragen. Aufgabe 7, 1.19: Gegeben sei d ie Produ ktion sfunk tion y "" y(L, K) '" 90 · LU,lI . KO,Z (L: Arbd/sinpu/ in Arbeitseinheuen (AE); K' Kapitalinpul in GE; y: Outpu t in GEy ; L , K > 0). Man ermittle und inte rpret iere d ie partiellen Grc nzpr od uktivität en der A rbe it und des Kapit a ls i) fü r

L = 1.000 AE;

K = 200 GE;

ii) wenn pro eingese tzte r Arbe itseinheit eine Kapitalau sstatt ung vo n 8 G E vorhanden ist . Aufgahe 7. 1,20 : Für zwei verb unde ne G üter seie n die möglichen A bsat zmengen XI. xz in A bhängigkeit der Marktpreise P I' Pa durc h fo lgende Preis-Ab satz- Funktio nen gegeben' Xt(P I, pz) = - O.5p l + 2pz + 10 ;

xZ(P I' pz) '" 0,8 P I- 1,5pz + 15 . ax-

I) Man unters uche mit Hi lfe der vier möglic hen partiellen Ableitungen ~ (I. k = 1.2), wie sich "

Pk

die Nachf rage Xi nach Gut I ändert be i A nderung des Preises Pk des Gut es k (i, k '" 1,2). ii) H andelt es sich u mkompleme ntäre ode r substitutive Gü ter'! iii) Man ermittle für jedes G ut die ind ividuelle Erl ösfunk tion und inte rpret iere die partiellen G renzerlöse a) bzgl. der Preise sowie · b) bzgt. der Mengen bei einer Preiskombination PI = Il G E / M E I - Pz '" 5 GE/MEz (siehcBeispiel6.1.40) .

7.1.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Wie etwa aus Be isp iel 7 .1.14 hervorgeht. sind die partiellen A bleit ungen erste r Or dnung ar einer FunkaXj tion f: f(xl ' .... xrJ selbst wiederum Funk tionen der n un abhängigen Variablen x I,''' ' x n . Beispi el 7. 1.2 1: f(xl'x 2, x3) = 4X IZ' x25 ' eXl Fun ktion, usw.

I

~

· -," 8 = x I 'x2j ' e X) ·lstemevon x 1,x2, x3abhanei an gIge

x

Daher lassen sic h (i.a.) die pa rtiellen A bleit ungen :; wiede rum part iell nac h jede r unabhä ngigen Variablen ableiten, man erhält so d ie partielle n A hlcitungeh zweiter Ordnung und daraus analog d ie partiellen Abl eitunge n d ritter und h öherer O rdnung(sieh e auch Kap. 5.2 .4) : Def. 7. 1.22:

Leit et man die partielle Ableit ung :: von f(x l ' .... xrJ wiederum partiell nac h de r

Variablen xk ab (i, k = 1,2..... n), so ergibt sich die parti elle Ableit ung zweiter Ord nung von f nach Xi, xk '

Schreibweisen:

"' ~ f XiX k bzw. ax~ ( f.)= x,

332

Differentialrechnung bei Funkti onen mit meh reren unabhängigen Variablen

7

Bemerkung 7.1.23.i) In

,",I

xk Xi

=

Ix,,.,-k

wird zuerst nach xi und dann nach xk abgeleitet - man beachte [zunöchst} die

Reihenfolge derIndizes je nach: Schreibweise! ii) Jede der n partiellen Ableitungen I/on f(x J' ..., x,J kann nach den n Variablen erneut abgeleitet

partielleAbleitungen 2. Ordnung.

werden, d.h. CI gibt

112

iii) Analog zu Der

7.1.22 werden drilleund höherepanielleAbleuungen gebildeI. Schreibweisen (z.B.):

all a)

ox/i.hlox.,

=

CI 11 Clf ClXI (

lll) - -2 '"

0

a

• so . Ist "

'~j

a Xj

bzZ /:I"' ul

Xi

a Xk

Ifx~ ol

(xii

" bzgr. "' xk ab-,Xk

nehmend, d.h . f bzgl. xk konkav .

.

ar

Ist -,

X;;

bzgl. xi und

af

-,

xi

bzgl. xk

(c.p) monoton zunehmend (bzw. abnehmend) .

Abb. 71.31

Beispiel 7. 1.32:

Gegeben sei die Produ ktionsfunktion

y '" y(A. K) ~ A0,8 . KO,2 (A A rbeitsinput (A > O) ;

K: Kapitalinput (K > 0);

y: Output, z.B. Soz ialprodu kt).

Für die G rcnzprodu ktivitätcn erhält man:

~ = 0 8 · Ko.2. J(Ü,2 > O· aA' •

~ '" 0 2 ·Ao.8 . K-O.8 :> 0 aK ' •

d.h . für a lle A, K :> 0 sind die Grenzp roduk tivitätcn positiv. d.h . der Output ist sowohl bzgl. der

A rbeit als auch bzgl. des Kapitals zunehmend. Die zweiten partiellen A bleitungen lauten; a2~.

aA'

'" - 0,16' A- 1,2 . KO,2 < 0 ;

7

334

D ifferentialrech nung be i Funk tion en mit mehreren unab hängigen Va riab len

Da raus folgt (na ch Salz 7 .1.30): Die G renzproduktivität der A rbeit (hzw. des Kapuals] nimm t m it steigendem A rbeitsinp ut (bzw. Kapilaljflpw ) c.p. ab, die ents prec henden partiellen E rt ragsfunk rioneo y '" y(A , K.:!) (bzw. y '" y(A O! K) sind kon kav gek rümmt, siehe A bb . 7. 1.33 (y : y(A . K) genügt dem ~ Gcsctz abne hme nde r Ertragszuwächsc ", siehe Bsp. 6 .3.11):

tr! K=Ko=conSI.

A :: Ao :: eansf.

(KI

(AI

01

01 Abb. 1. 1.33

Die beiden gemischten partiellen Ableitungen sind für alle A, K > 0 positiv. Daher nehmen die Grenzp roduktivität der A rbeit mit steigendem Kapite leinsatz c.p. (und die Grenzproduktivit ät des Kapitals mit steigendem Arbeitseinsatz c.p.) zu, vgl. Ab b. 7 .1.34:

(rl

IM

5

y ;;:

,,

,

KoO.2 A O•6 1

IJ( . 0). Man ermittle für a) A = 2: K = 5 sowie b) A = 10; K = 2 jeweils säm tliche partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnun g und gebe dami t eine öko nom ische C harakterisierung des Verhalten s der Produ ktion sfunkt ion in der nähere n Umgebung der jev....eils vorgegebenen l nputkombin ntlo nen.

7.1

Grundlagen

335

7.1.5 Partielles und vollst ändi ges (totales) Differenti al Naeh Satz 6.1.7 versteht man unter dem Dureren tial df der Funktion f(x) di e Än de ru n g der Tangen ~ tenfunkti on (d.h. näherun gsweise die Änderung M der Funktion f ), wenn sich x um den (endlichen) Wert dx ändert . FOr den Wert df des Differentials folgt aus Abb. 7.1.36

I

df = f'(x) , dx

wegen f'(x) = d, df :

t

lI'l

I.

dx

f=.1xJ

In analoger Weise lässt sich bei Funktionen mit meh rere n unabhängigen Variablen ein Differential für jede der unabhängigen Variablcn(bei Konstanz der übrigen Variablen) einführen:

/xl Abb. 7. 1.36

Der. 7.1.37:

Unter dem i- tcn parti ellen Differential der Funktion z = fex] ...., XII) versteh t man die Funktion df x; mit

(7.1.38)

ar -dx. dfx; "" aXj 1

(dfx; ist abhängig

-

-

von der betrachteten Stelle Xi sowie von der Wahl des DJffen:m ials dxi .)

satz 7. 1.39:

I

Das parti elle Differential df x; (7.l.38) gibt (nähe rungsweise) die Änden mg der Funktion f an, wenn die Variable Xi um dxj Einhciten geändert wird und allc übrigen unabhängigen Variablen konsta nt bleiben (c.p.}.

Bem erku ng 7.1.4 0: j) f: fex /> ... ,x,J mit 1I unabhängigen Voriahten besitzt n p artielle Diff erentiale. ii) Für den Fall zweier una bhä ngiger Variabler - statt x t. Xl schreiben wir aus Granaen der Übersichtlichk eit wieder x un d y -zeig/ A bb. 7.1.4 1 eine räum liche Veranschau lichung: dfx bzw. dfy sind die panidien A'ndenmg~,: der Tongeruialebenenf unk uon in .r- bzw. y- Richiung lind zug leichNähenmgenfurdiclarsächlich enAndem ngen .1fx bzw . .1f y von f in x-bzw.y-Ricluung:

d fx """ dfx = fx d( ;

d f y :;:,; df y = fyrl}' .

I /tl

y+dy

y

. --."-

'._--

Abb. 7.1.41 iii) Für den Spezialfa ll dxi '" I ist das partielle Diff erential dfxj gleich der pa nicilen A bleiumg fXi' siehe

( 7.1.38) bzw. Abb. 7.1.1 7.

7

33 6

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

D ie partiellen D ifferent iale df x; könn en - ebens o wie die pa rtiellen A bleitungen - für die Partiala nalyse ö konom ischer Funktionen (siche Kap. 7 .1.2) verwendet werden.

Wir wollen einen Schrill weiter gehen und nach der totalen Änderu ng der Funktion r für den Fall fragen, da ss sich g1ek hze itig jedc der n unabhängigen Variablen än dert, und zwar Xl um dxl . x2 um dX2•..., x n um dx n. A us A bb. 7 .1.4 1 erkennt man die G n md idce, die zur An two rt fuhrt : Man ersetzt a n der fraglichen Stelle P d ie F unk tion f d urch ihre Tangentialebene ('" ~ ~ te~ linea re Näheru ngsfunktlo n von f in P) und betrachtet nun stellvertretend für f dic Änderu ngdicscr Tangenliaifunklion . Dabei erkennt man {siehe Ab b . 7.1 .41 ), da ss die Gesaml:inde ru ng df der Tangentialfu nktion bei gleichze itiger Ä nderung von x um dx u nd vo n y um dy sich adili th' zlL~ammensetzt aus den be iden paru eüee Differe ntialen df x und dfy ' d.h.

I

(7. 1.42)

M ::::< df =dfx+ dfy

I·

M it (7 .1.38) ergibt sieh somit als Näherungswert df fü r die totale Ä nderung M von f das sogenannt e voll~tän d ige (totale) Differenli al

df = of · dx + -er ' dy oy

(7. 1.43)

"

Für den allgem einen Fall (wirindizieren jan wiederdie unabhä ngigen Variublen) ergibt sich analog Der. 7. 1.~: Unter dem "ollslÜm ligen (oder tolale n) Differenlial df = df(x (,,,.,xn> der ditferenzier haren Funktio n f an derStelle (Xl ,... ,xn) vers teht man die Summe aller partiellen Duterenuale:

(7. 1.45)

er er er df ,- - 'dx1 + - ' dx, + " ' + a ' dxn o X2

'.

'"

sat z. 7. 1.-16:

I

Das w llsländige Differential df (siehe (7.1.45» gibt (näherungsweise) an , um wieviele Ein heiten sich r änd ert. wenn sieh gleichzeiligjede der n unabhängigen Varia blen änd ert. und zwar Xl um dx l ' Xz um dxz. ".,xn um dx n.

Bemerkung 7.1.-17: A us DeI 7.1.44 entnimmt man, dass der Wen des vollständigen Differellliais außer von der betrachteten Slefle (x J' xl- ''' , xn) von den n Anderungs wen en dx 1, dx ], ..., dxn ahhängt. Bei~piel 7. IA 8: Gegeben sei die Prod uktionsfunktion y: y = 2A o.2 . KU,II (A: Arbci tsinput; K: Kapital inpu t; y: O utput). Für die vorgegebene Pakton nput kombina tion A = 20 ; K = 10 sollen i) die partiellen sowie ii ) die total en O utpulän deru ngen ermit telt werden, wenn die Inputs um

dA bzw. d K Einheiten geände rt werden, i) Partielle Fa ktcrvanauon

Ä ndert man den Ar beitsinput um dA E inheiten (K = co nst.), so än dert sich der O ut put y nach

Def. 7.1.37 um

~ . dA = O,4A -0,8. KO,8 ' dA I

oA

A nalog:

A _ 20; K _ IO

::::< 0,2297 dA .

oy ' dK = 1 6A0,1. K-U,2 dK I ::::< 1,8379 d K A _ 20; K _ IO ' K '

(dYA' dYK heißen auch partielle Crenzert räge}.

7.1

337

Grundlagen ii ) Tolale Faktorvenenon

Ändert man gleichzeitig A um dA und K um d E(, so erhält man als totale O utput änderung dy das volls l än di~ IJifferenliai nach Dei . 7.1.44:

dy

~ ~ 3A' dA + aK' d K O,4A -0,8 . f0l,8 . dA + 1,6A0,2 . K- O,2 . dK =::: 0,229 7 ·dA + 1,8379 ·dK .

I

A .. 20; K _ IO

(dy heißt auch totales Gre nzprod ukl).

Wählt man z.B. dA = -0,3 und dK = +0, 1 vor (d.h. wird der A rbeitsinput um 0,3 Einheilen vermindert und gleichzeilig der Kapitalinput um 0, I Einheiten erhöht (bezogen auf das A usgangsniveau A :: 20: K :: 10 ) , so er halt man das totale Grenzprodukt dy =::: 0,2297 ' (- 0,3)

+ 1,8379 ' 0, 1 :: 0, 1l 5 ,

d.h. der Output steigt {nähcnmgswcisc) um 0,115 Ein heiten . Der Vergleich mit dem exakte n Änderungswert t:.y :: y(19.7: 10,1) - y(20; 10)

= 2 · 19.70,2 . 10,10,8- 2 · 20° ,2 . 100,11 = 0,114

zeigt, dass das vollständige Differential nicht nur einfac h und universell zu handhaben ist, sondern auch. gute Näherungswerte liefert .

Aufgabe 7. 1,49:

Bei der Produ ktion eines Gut es hängt de r Output x von der Einsatzmengenkombination (ri ' r2, r3) drcicr Prod uktionsfaktoren gemä ß folgender Produ ktionsfunktion x ab:

Für eine vorgegebene Inputkombination (r\. rz- r3) :: (4; 5; 9) ermittle man d ie part iellen und totalen Grcnzp rodukte, wenn man r t um 0,2 Einheiten erhöht und glekhzeing tz und r3 um jeweils 0, 1 Einheile n vermindert.

7.1.6 Ken enregel, total e Ab lei t u ng Zusa mmengesetzte Funktio nen f: f(g(x) jeweils einer unabhängigen Variablen lassen sich (siehe Satz 5.2.44) mit H ilfe der KeUen regel ableiten: df

dx

df . !!ß dg dx

A uch bei Funktio nen f: fex I, .... XII)mit mehreren unabhängigen Variablen kommt es vor. dass die unabhängigen Varia blen Xi selbst wiede rum Funktionen efner oder meh rere r Variabler sind. Mit H ilfe des vo llständigen Differentials kann auch in solchen Fällen eine (verallgemeinerte) Keue nregel begr ündet werden. Dabei sind zwei F:ille z u untersc heiden: i) die Xi sind jeweils Funktionen einer unabhängigen Variablen t ; ii) die Xi sind jeweils Funktionen der k u nabhängigen Variable n ul '

u2' ..., uko

338

7

Differentialrechnung bei Funkti onen mit mehreren unabhängigen Variablen

Für die Ablei tu ng von f nach dcnjcwciligco "inncrcn"Variablcn t bzw.

Uj

gilt;

Salz 7. 1.50: (Keu ca regctj

Es sei f: f(xI. x2' ...•xn> eine differenzierbare Funktion. l) J ede unabhängige Variable xi sei eine differenzierbare Funktion der unabhängigen Variablen t : Xl = x ,(I) ; x2 = x2(1); ... ; )ln = xn(r). Dann lautet die totale Ahleitung von f nac h t : + ... +

(7.1.5 1)

ii) J ed e unabhängige Variable Xi sei selbst eine d ifferenzierbare Punktionder k una bhängigen Variablen u] , u2' ...• uk , d.h.

xl = xl (U\• ..., Uk) ;

" 2 = " 2(uI . ···,u0 ; ... ; xn="n(uI . ···,u0 ·

Dann lautet die total e parti elle Ahle ilwlg von f nach ui (i = 1, 2 , ..., k):

ar

(7. 1.52)

"

-~.~ + ~.~ + ... + ~ . 5 oX Du; a X2 eo, aUi I

".

-

mit uk = const . (k

*i).

D ie Gültigkeit von (7 .1.51 ) erkennt man so: : liefert d ie Ä nderung von I , wenn t um rine Einheit geändert wird (siehe Satz 6.1.22) . Ändert 11k1n nun t um diese eine Einheit, so ändert sich auch jede de r n Variablen XI. ,.., xn• und zwar (da die Xi ,

.

laut Voraussetz ung Funktionen von t smd)x I um

dX I

dt - xz

um

dxz

dx

dt ..... xn umdt"n

(s. Salz6.1.22) .

Nach Satz 7.1.46 lässt sieb andererseit s die resu ltierend e totale Änderung vo n f durch Jas vo llstä n-

,

dige D ifferent ial (7.1.45) besc hre ibe n. wobei - Ja dt eine E inheil sein soll - nunm eh r ddf statt df ~.

und - ' stau Uxi zu set zen ist.

"

Bem erkung: Dass die Schreibwelse \!(Jn (7.1.5 J) mi t Hilfe von Differemialen zweckm äßig ist, erkennt man auch duran, dass (7.1.51) aus (7.1.45) na ch " Division " durch dt hervorgeht, sof ern man anschtießend die Quotiemen der Diff erentiale als Ableitungen imaprenen.}

Ganz analog begründet man (7 .1.52 ). wobe i statt t nun setzen ist und die panicllc Schrclbwclsc verwendet wird .

Uj

(un ter Konstanthalt ung aller übrigen ud zu

*-

Bem erku ng 7.J.5 3: Die Bezeichnung " totale partielle " Ableitung fü r (7.1.5 2) ist insofern sinnvo ll, als einerseits die partielle Ableitung von f nach ul (unter Konstanz aller übrigen uiJ d arstellt, and ererseul aber säm tliche durch d ie A ndenmg von U j herv orgerufenen "j'nder fmgm der x t » Xl ,'''' x n (wie beim M alen DifftrfTltial) fJlm"U:ksidltigt.

Bd~I)iel 7. 1.54:

Gegebe n ist die Fun ktion f mit f(x, y, z) = 3xl y + yz • wobei gilt: x = x(t) = 5 t3 + 1; y= y(t)=e l t; z= z(I) =lnt .

Gesuch t ist die totale A bleitung von f nach t. Nac h (7.1.5 1) gilt: = 6 xY' 15t l + (3x l+Z) '2e l t +

Y'+

df dt

=

ar

~.

dx dt +

af. ~

a}'

dt

= 90t l ' (5t 3+ 1) ' e 21 + 2 ' (3 ' (5t 3+ l i + ln t) · c 21 +

+ ar al.

+.

dz dt

e 21,

7.1

339

G rundlagen

Beispiel 7. 1.55:

fex, y) ; 4x 2y3 sei gegeben. und es gelte:

Dic Fun kti on f mit

x = x(u, v); u 2 + 3v2 ;

y; y(u,v); u -cv .

Dann e rhäh man für d ie totalen pa rtiellen A bleit ungen von f nach u bzw. v wegen (7 . 1.52):

ar

ar (Jx er (Jv 3 '.2 _ .- + -.-' = xxy ' 2u + 12x- ,.. ' ev Bx äll By Du 16u ' (u 2+3v2)-(u' eV )3 + 12 -e'"- (u 2+ 3v2 )2 . (u e\i.

-

oll

=

;

Gel egentlich kommt es vor, dass in einer Funkt io n f: fex, y) eine Variable eine Funknon tier anderen ist, z.B. y eine Fu nktion von x : f(x , y) ; ffx, y(x» . J etzt liefert die Kettenreget (7 .1.51)(m it I ; x ): 3f dx a f dv - .- + _ .- .

df

-

dx

3x dx

3}" dx

dx Wegen - =: I erhält man schließlich d ie totale Ableitun g dx

er

(7. 1.56)

3x

ar dv + - .3y dx

Dabei ist zu unterschei den:

,

Dic totale A bleit ung ddf gibt an, wie sich f msgesamt mit x änd ert (d.h. unt er Berück sichtigung der " du rch x ind uzierte n An derung von y) , während die auf der reeht enScitc stehende partielle Abl eit ung ,3f die Ä nderun gvon f angibt, wenn sich nur x ändert, y abe r nicht.

,

Bei~lli eI 7 , 1.57:

I

ßei~lli el

Ge geben : fex, y) ; 2;.;3+4xy2 mit y ; y(x) ; 3x- 1. Dann lautet d ie totale Ableitun g: -df ; dx

-er + _af .dv - = 6x 2 + 4y2 +8xy '3 = 114x 2 - 48 x+ 4 3x ay dx

7. 1.58: (siehe etwa [50 ], S. 209)

Existiercn auf einem vollkommenen Markt nur zwei Anbi et er (D)'opol). so hängt der Markt preis p von der Summ e XI +x2 '" X der Absatzmengcn XI , x2 beider A nbieter ab. D ie Nachfragefun ktion p; p(:o.; ) ist somit eine F unkt ion der beiden Variab len x" x2; p(x) = p(x I,X2)' U nterst ellt man weiter hin eine funkti o nale Beziehung zwischen den A bsa tzmengen - z u interpreti ere n etwa als Reak tionen des einen Anbietcrs auf die Mengenpo litik des anderen - so gilt; p = p(xi ;x2(x I»)' Ist K(xJ) d ie Kostenfunktion des I. Anbeters, so lautet seine Gcwi nnfunkrion:

Um seinen Gewi nn zu maximieren, muss de r tot ale G renz gcwinn Null werd en: Mit (7.1.56 ) erhält .

.

man die Bcdm gung: .,

dG

dx

Xl

3G

aG dX2

- , ' -, . "-d ' Xt

x2

·' x], ..., x,J als Steigung der 1ndifferenzfinien: dU

(7.1. 74)

dx;

&,

I Uc.p._ C(",- 0 sind mono ton fallend und konvex.

344

7.1

7

D ifferentialrechnung bei Funktionen m it mehreren unabhängigen Variab len

Extr ema bei Funktionen mit mehreren un abhängigen Vari ab len

7.2.1 Relativ e Ext reme ohn e Nebenbedingungen A nalog wie im Fa ll eine r unabhängigen Variablen (siehe Def. 6.2 .18) sind re lati ve Extrema bei Funktionen mit mehreren unab hängigen Variablen solche Punkte, in denen der Funk don swert bzgl. seiner nähe-

ren Umgebung ein Maximum (bzw. Minimum) besitzt.

I1I

I 11I

~{YI Abb.7 2.1

Betrachtet man etwa A bb. 7 .2.1, so erkennt man, dass - D ifferenzicrbarkcit vorausgesetz t - in einem relativen Extremum notwendigerweise die Tangential eben e horizontal verlaufen muss und somi t auch d ie Fläch enta ngent en in x- und y- Rich tu ng. Daher müssen notwcndigcrwcise in einem relativen Bxt rcmUlTI die part iellen Ableitun gen vers ehwlnden . Satz 7.2.2: Notwendig für das Vorliegen eines relativen Extre mums der d ifferenzierbaren Fun kt ion f(x I" " ' xn) an der Ste lle P(x I,x2,...,xrJ ist das verscbwlnde n säm tlicher partiellen Ableitun gen 1. Ordnung in P;

er

a,"

=

0

B emerku ng: i) Wäre in einem relativen Earemum auch nur eine pa rtielle Ableitung von Null verschieden, z.B.

gf., > 0, so wöre f in einer Umgehung von P hzgl. x

f

m onotoll wachsend, könnte uLI'O in P kein

relatives Earemvm besitzen. ii) Ma n lIennt eine Stelle stationäre Stelle von f

(Xl' Xl> .. .,

x,,) , an der samuiche portieilen Ableitungen Nu ll sind, auch

Satz 7.2.2 liefert ein Verfah re n z ur Bestimmung aller stationären Stellen (unter denen allein die relativen Extreme zu finden sind) einer gegebe nen differenzierbaren Funkt ion f(xl ' ..., xrJ: Daz u ist es erforderlic h, das du rch die n Bcdi ngungsg1cichungen

:r

= 0 (i = 1 , ..., n) definierte Glel-

chungssystem (bestehend aus n G leichungen mit n Variab len) simuUi n zu lösen (siehe auch Kap . 9.2) .

7.2

345

Extrema bei Fun ktionen mit mehreren unab hängigen Variablen

Beispiel 7.2.3 : Die Ermi ttlung der stationären Stellen von f(x ,y) = O,5x2 + 2xy + 7.2.2 auf das Gleichungssystem

ar - =x +2y + 4 a,

= O

r + 4x + 2y + 3 führt mit Satz

er

Oy =2x + 2y+2=O

mit der einzigen Lösung: Xo = 2 ; Yo = - 3. f kann da her nur an der Stelle Po (2; - 3) ein relatives Extremum besitze n. Wie A bb. 7.2.4 zeigt. ist allerdings das Verschwinden der partiellen Ableitungen an der Stelle Po kemeswegs hinreichend für das Vorhand ensein eines relativen Extrcmums: f bes itzt zwar in Po eine horizontalc Tangentialcbc ne {d.h. Po ist eine stationäre Stelle), die beiden senkrechten Schnitt kurven in x- bzw. y-Riehtung haben in Po jedoc h unte rschiedlic he Extrcma, so dass f in Po weder maximal noch minimal ist.

,,

E inen solchen Punkt Po nennt man SaUelpunktvonf. Z ur i'oerpriifung von Existenz und Typ der relativen Extrema existieren auch für Funk tionen mit mehreren unabhängigen Variablen hinreichende Bedingungen ,de· ren Hand hab ung allerdings mit steigende r Variablenzah l zunehmend kompliziert wird (s. z.B. [60] . II 86f.)

Ix!

i

Xo ~.~~

. _ ~_~ ~

,

'

Yo

.......~>--=-... Ir !

Abb. 72.4

Für den Fall zweter unabhängiger Variabler lauten die hinreichenden Extrem albedingungen (ohne Beweis): Satz 7.2.5:

Es set f(x,y) eine differenz ierbare Funktion und P(xo,Yo)eine stationäre Stelle von f (d.h. es gelte fl( = 0 ; fy = 0 in P(xo,Yo))' Dann gilt:

i) f besitzt in P ein relatives Extre mwn, sofern a ußerdem in P gilt:

, - - - - - --

-----,

(7.2.6 ) und zwar a) ein relatives Maximum, sofern fxx(P) -c 0 b) e in relatives Minimum. sofern fx:,JP) > 0

(dann gilt auch: fn< P) < 0); (dann gilt auc h: f}){P) > 0) .

ü) f besitzt in P einen Saue lpunkt . sofern in P außerdem gilt:

I fß( PYn,P) < (f"" p»2 I

(7,2,7)

Bemerkung 7.2,8 : Falls in P gilt: [xx f}y = fjJf)2, so ist eine Oberprüfung mit Hilfe von Satz 7.2.5 nicht möglich, f kann in P earemat sein odermcht. Beispiel 7.2.9: Die Funktion f mit f(x.y) = x 3 - 3x 2y + 3xy2 + y3 - 3x - 21y soll auf relative Extrerna u ntersucht werden. Die Lösungen des G leichungssystems

f x = 3x2 - 6xy + 3y2 _3 = 0 fy = - 3x2 + 6xy + 3yL 21 =0 liefern die vier stationä ren Stellen:

P I(3; 2), P z(l ; 2), P3(-1 ; -2), P 4(- 3; - 2).

346

7

Mit PI :

Differentialrech nung bei Funktio nen mit meh reren unabhängigen Variable n

f xx : 6x - 6y ;

f yy '" 6x + 6y ;

fx.~fyy = 6 . 30

> (-6)'

P2: fxxf~.y = (- 6) ' 18 P3: P.j.:

fxy = f yx = --6x +

= (f",)2,

< 6 2 = (f:...~,.>2 : < (- 6)2 = (f xy? :

fx,l)'Y = 6' (-1 8) fxxf n, := (- 6) ' (- 30) >

62 = (f~,)2 :

Minimum in

öy

P, mit

f(3; 2)

folgt :

'" - 34 ; =

-30;

Sattelp unkt in P3 mit f(- I; -2) =

30 ;

Sat telpunkt in P2 mit f(I ; 2)

Maximum in P4 mit 1(-3 ; -2) = 34.

Für die Ext remwert ermittlung ("O ptimierung") bei öko nomischen Funkt ionen mit mehreren unabhängigen Variablen be gnügt ma n sich häufig m it der E rmittl ung der sta tion ären Stell en nach Satz 7.2 .2, da der Typ der verv...endeten ökonomischen Funkti on sowie die zugrundeliegende Problemstell ung La. genü-

gend Rückschlüsse auf die An der stationären Stellen gestattet, s. Kap. 7.3. Beispiele für Extremwerte öko nomischer Funknonen werden in Kap. 7.3 .2 beh and elt . Aufgabe 7.2. 10: An welchen Stellen könn en die fo lgend en Funkt ion en relative Ext remwe rte bes itze n? Sofcrn m il Satz 7.2.5 möglich, übe rprüfe man die Art der stationär en Stellen . ii)

iii)

f(x,y) = x2 + 2xy + O,5y2 + 2x + 4y - 7 f(x,y) = 3x2 + 3xy + 3y2 -9x + 1

i...)

f(x,y) = y3 - 3x 2y p(u ....) = 3 u3 + v 3 -3v2 - 36 u

v)

x(A .K) = 2AO,S . KO,S(A.K > 0)

\i )

K(X I,X 2) = Xj 'X2- ln(X? +x} )

"ii )

g(r l' r2,r3.r4) = r t ~ -4 r I 3 + r2r3r4- 2r3r4-2r2-4r3-8r4 + 1 .

i)

7.2.2 Extrem werte unter Nebenbedingu ngen 7.2.2.1 Problemstellun g Bisher konnte man be i der E rmittlung der relativen Extremwerte einer Funktion fexl,x2' ...•xnJ die unab hängigen Variablen XJ, .,', xn frei und una bhängig voneinander variieren . Die derartlösbaren ~ frclen " Extremwertprobleme genügen allerd ings oft nicht den ö konom ischen Fragestellunge n: Beispiel 7.2. 11: Bei einer Nutzenfunktion. e twa U(x,y) = 2xy (x,y > 0) , fü hrt die Frage nac h den nurzenmaxima len Gütermengen auf die notwendi gen Bed ingungen aU = 2y =0

ax

A

aU= 2x = 0 .

ay

Die cinzige Lö sung dieses Glcichungssystcms (nämlich x = y = 0) liefert den {ökonomisch unin unrssanten) Fall der Nutzenminimienmg durch Konsumverzicht. A ndererseils erkennt man, dass wegen U = 2xy der N utz en dureh beliebig hohe Kon summengen auch be lieb ig ges teigert werden kann: x -- 00 A Y-- 00 ::::- V _ 00 • E in sinnvolles Nu tzenmaximum existiert nicht. (Eine ahnliehtriviale

" Lösung" ergibt sich beim Prob/ern der Kostenminimierung: Bei Nu/lproduktion und Betriebssrillegung[allen offenbardie geringsten Kasten an.) Stnuvoll wird die Frage nach einem Nutzen maximum z.B. erst dann, wen n zus ärzuc h gefordert wird, dass die A usgabe n f ür die Besc haffung der nutzenstift enden Güter einem "orgcgehenen Budget C (~ Konsummengc~) e nts preche n. Steht z.B. für d ie Güterbeschaffungein Budget C = 60 GE zur VerfUgung, und betragen die Guterpreise Ps = 3 G E / ME. I\> = 2 GE/ ME , so muss stets die Bedingung (Res triklion) . pX 'x + ry y = C

d.h.

3x +2y - 60 = O

oder

60-3x- 2y =0

erfüllt sein . Damit lautel das gegeben e P roblem : Man maximiere die Nutzenf unkt ion (oder Ziel funktion) U(x,y) = 2xy unter gleichzeitiger E inhaltung der Nebenbed ingung (od er Reslriklion) b>{x,y) = 60 - 3x- 2y = O.

7.2

347

Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Probleme der genannten Art sind charakteristisch für ökonomische Wahlprobl eme, bei denen es meist darauf ankommt, unter Berücksichtigung beschränk ter Ressourcen maximale ßedürfnishcfriedigung zu erreichen:

-

Nutzcnmaximierun g bei vorgegebenem Budget Kostenminimierung bei vorgegebenem Prod uktionsniveau Gewinnmaximierung bei vorgegebenen Gesamtkosten

usw.

Die allgemeine Stru ktur solcher Opumlerungspre bleme unter Berücksichtigung von Restrik tionen (in Gleichungsfonn ) lautet: (7. Z.I Z)

Man ermittle das Maximum (oder Minimum) der Zielfunklion:

Z '" f(xI ' xz' ..., xIJ ,

wobei die a uftretenden n unabhä ngigen Variablen xI, xz- ..., xn gleichzeitig den m « n) vorgegebenen Nebenb edingungen (Re.st riktionen) in Gleichungdorrn genügen müssen: gl (XI , ..., xIJ'"0;

gix I' ···'x.J "' O;

gm(xI'···, X.J= O.

Um anschaulich argumentieren zu können, soll z unächst der einfachste Fall bet rachtet werden: Maximiere Z = f(x,y) umerEinhalt ungder Nebenbcdingun g g(x,y) = 0 (siehe Bsp. 7.2.11). Den charakteristischen Unterschied zwischen einem n rreien~ Maximum von f (im Punkt P) und einem (d urch Rcstnktlon j vgebundenen" Maximum von f (im Punkt Q) veransehaulieht Abt>. 7.2. 14: Das freie Maximum e ntspricht dem Gipfel P der Funktionsfläche. während das gebundene Maximum der höchste Pun kt Q der Flächenkurve k ist, die genau senkrecht über der (in der x.y-E bcne gelegenen) Kurve g(x,y) '" 0 liegt . Alle Punk te [x, y, f(x,y» dieser Rächenk urve genügen somit der gegebenen Ncben bedingung g(x,y) = O. ( Die Ncbcnbcdingung g(x,y) = 0 schränkt den wählbaren Bereich für die unabhängigen Variablen auf diejenige n Variablenkombinationen (x,y) ein, die auf der Funktionsfläche senk recht über (bzw. unter) der Kurve g(x,y) = 0 liegen.) Bemerkung 7.2./3 : Das A uff inden eines gebundenen Maximums auf der Funktion Z = f (x,y) entspricht etwa dem Auf su chen des höchsten Punk tes einer Gebirgsstraße ( Q Restriktion): Niellt das Gipfelk reuz ( Q f reies Maximu m, Punk t P in A bb. 7.2./4) ist gesucht, sondern d er am höchsten über NN liegende Punkt dcr Straße t e PunktQ inAbb. 7.2,/4).

I /t/

IIfI

/zl z~

{(X'!.!,/ ~-

Q

glx.yJ~O glx.y)~O

Abb. 7 2.14

Abb . 72. 15

7

34 8

Differe ntial rechnu ng bei Funkt ion en m it mehreren unabhängigen Va riable n

Bei~pieI7 .2. 16:

Eine lineare Nebenbedingung (wie etwa Y'" -

~ x + 5, d.h . g(x,y) '" x + 3y - 15 '" 0) wirkt w'ic der

Schnitt einer senkrecht zu r hor izontalen (x.yr-Ebcnc und dur ch die Ge rade g(x,y) = 0 verlaufenden Eben e mit der Funktionsfläche f(x,y). siehe die entsprechende Schnittkurve k in Abb 7.2.15. Im folgende n soll d ie matbcme üscb e l .ö~ung von Extremal problemen unt er Resrnkuonen in Gleic hungsfonn unt ersucht werden.

7.2.2.2 Varia blensubstit ution Bei formal einfach strukt urierten Problemen kan n ma n versuchen, mit H ilfe der Nebenbe dingungen eine oder mehrere Variab le d urch die iibri gen Variab len aus zud rücken (d.h. zu subs tituieren), so da ss sich die Anzah l der unab hän gigen Variablen in der Zi clfunktio n entsprechend verminde rt. Man löst die Nchcnbcdingung g(x,y) = 0, d. h. Betspiel 7.2. 17: [Fortsetzung ,",o n Beispiel7.2.11): g(x,y) = 60-3x-2y = 0 nach (z.B.) y auf: y '" - 1,5x +30 und subs tituiert dami t in der Z ielfunk tion U = 2xy d ie Variable y: U = V(x ,y(x» '" 2x .(- 1,5x+ 30) = - 3x2+60x. In d ieser Form der Zi elfunk tio n V ist die Nebenbedingung bere its ber ücksichtigt, so dass V(x) nun in gewöhnlicher Weise maximiert werde n kan n: A us U'(x) = - 6x+ 60 '" 0 ergibt sich als einzige Lösung (x;y): x e lOME, Y= - 1,5x+30 = 15 ME , und dar aus wegen V" (x) = - 6 >(x,y) '" 2xy + ). (60 - 3x - 2y) als Funktion der drei Variablen x. y und )., so erkennt man, wieso das gesuchte Ziel erreicht wird: Die notwendigen Bedingungen fürdas (freie) Maximumvon L lauten nachSatz 7.2.2: 1l L =3f+, .~

(7 .220) .

3x ax "1l x 1lL:: of + ). .~ oy 1ly ay

=

g(x,y)

""

al

0). ::

2y - 3)'

=0

2x -2).

"" 0

60-3x- 2y '" 0

Die Lösungen dieses Gleichungssystems liefern die stationären Stellen von L. Dabei garantiert die letzte Gleichung von (7.2.20), :; '" g(x,y) '" O. dass in der Lösung die Nebenbedinguog ceutcmatisch" berü cksichtigt wird: Unter den stationärenStellen von L sind also die relativen Extrema von f unter Berücksichtigung dcr Restriktion b>(x,y) = 0 zufinden. Aus(7.2.20) ist ersichtlich, dass für clnc sinnvollebzw. widerspruchsfreie Lösung des C äefchungssysrems notwendig vorausgesetzt muss: g,(x,y) * 0 oder g,.{x,y) * O. In unseremBeispiel lautet die einzigeLösung von (7.2.20): x'" 10, Y= 15, ). =1 0, Uma>: '" 300, in Übereinstinunung mit dem Ergebnis bei Variablcnsubstitulion, siehe Beispiel7.2.17. (Die B edeutung des Lösu ngswertes \ion ). wird in Kap. 7.3.3.1, Bem erkung 7.3.134, gekl ärt. Für dieg esuchteOptimallösung selbst ist ). zunächst erubehrtich.] Bem erkung 7.2.21: Die im letzten B eisp iel beschriebene Methode tieferr nur notwend ige B ed ingungen für das Vorliegen relativer Eurem a un ter Neben bedingungen. Hinreichende Bedingungen existieren (siehe z.B . [65a), 59 1 ff), sind aber mit steigender Variablen- und R estrik tionenzahl mühsam zu handh aben. Da die meisten ökonomischen Problem e so strukuurien sind, d ass apriori die Existenz eines Maxim ums oder M inimu ms angenommen werden k ann, unterbleibt hier die A ngabe der hinreichenden Eurem albedingungen.

Für Probleme mit mehr als zwei unabhängigen Variablen und einer Nebenbedingung erfolgt die Bildung und Optimierung der Lagrangefunktion analog zu Beispiel 7.2.18, so dass zusammenfassend gilt

°

Satz 7.2.22: Die relativen Extreme der Zielfunktion f(x!....,xO> unter Berücksichtigung der Nebenbedingung g(x t,... ,xO> :: finden sieh unter den stationärenStellen der Lagrangefunktion

I

L(x!. ..., xn',J.)= f(x!, ..., xn,) + ,J. · g(x!, ..., xO>

I,

( g, *O v Sy * O;). * O)

d.h. notwendig dafür, dass f in P ein relatives Extremwn unter Berücksichtigungder Restriktion g(x,y) = 0 besitzt,sind die n+1 Bedingungen

~

of +,J. ·2ß..""O

oXI

al

a"al

M

o XI

=

ar

a,.

oXI

+ ). .2ß.. =0 a,.

g(xI' ..., xO> "' 0 .

D ifferen tialrechnung bei Fu nktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

7

35 0

Bem erkun g 7.2.23: Man beachte f ür die k orrekte Anwendung VOll Salz 7.2.22, da ss die Nebenbedingung stets so umgef onnt wird, dass auf einerSeile Null steht: g(xl- ..., x,J = O. Beispiel 7.2.24: Von f: f (xl ,xZ,x3'x-\) = XI-l+X2-l +x 3-I +x-\-1 sind die relativen Ex trcma un ter Berückslcbtlgung dcr Rcstnknon Xt +x2+x3+x-\ = 8 gesuch t. D ie zuge hö rige Lagrangefun ktion lautel (sie he Bemerkung 7.2 .23): L = f

+ ,1. . g = X(~ +X2 -I +x) -I +x....\ + J. . (a- x , - Xl - X) - X-\) .

Notwendig für relative E xrrcma von L sind d ie Bedi ngungen:

'L

"I 'L

-A= 0

= 4X1 3

- ). =

4X23

oX 2

'L ax

4x-l3 - ,1. = 0

o X4

aL

sr

0

- ,1. = 0

4X33

.2h

Aus den vier ersten Gleichungen folgt :

= 8 -x\ - XZ- X3 - X-\

=0

).= 4XjJ=4x Z3 = 4x} = 4x-\3 und daher x I = x2 = x3 = x-\ . Eingesetzt in die letzt e Gleiebungfolgt: 8 -X I - x l -XI - X\ =O ,d.h. Xl = 2 und dah er: " I = "2 =" 3 = X4 = 2 ; A = 32, r = 64 . Die Ziclfunktion f kan n dah er an de r Stelle (x l,x2,x3,x.,> = (2; 2 ; 2; 2) ein relatives Extrcmum unter Berücksichtig ung der Restriktion x l+"2+ x3+x 4 = 8 besitzen.

Allrgabe 7,2.25 : An welche n Stelle n könn en diefolgenden Funktionen unter Bcrücksicbugu og dcr angc geben eu N eben bedi ngungen (NB) Extrema bes itzen'? I) f(x,y) = x L2 xy u.d. NB y::: 2x -6 ii)

E(x I, x2, x3) = xlx2 +2"lx 3 + 4x2" 3

u.dNß

iii)

K(u, v. w, z) = 2u + v + 4w + z x(rl. r2) = IOrlo ,4 ' r20, 6

u.d.NB

Iv)

" 1+x2+ 2x3 = 8 u 2 +v 2 +w2+ 2z 2 = H6

u.d.I".'B

Das Problern der Extremw ertbestimmung einer Funk tion fex ,•...• xlJ unter gleichzeitiger Berück sichtigung mehrerer Nehenbedingungen g ,(X\, ..., xJ = 0 ; ... ; gm(x!, ..., xn') = 0 (mil m < n) kann mit de r gleichen Idee gelös t werden, wie sie in Beispiel 7 .2.18 dem onstriert und in Satz 7 .2.22 formuliert wurde . Dazu fügt man in der Lagrangcf unkt ion L ruf jed e Nehenbedingung gj(X], ..., XII) = 0 eine mit einem jeweils eigene nl\tultiplikato r Ai (*0) versehene additil'e Komponente Ai ' gi(xI' ..., x n) hinz u. Dan n lautel die Lagran gefunktio n

L = L(x I, " " xI\'AI, ...,Am) = f(xI ' ..., xlJ + AI . gl (xI , ..., xlJ + A2 g2(X \•..., xJ + ... + + Am· &n(x l'·..· xJ.

(,1.;

*0).

mit m voneinander unabhängigen Lagrange - M ultip likatore n Al, ..1. 2, •••• A. m . Fasst man diese Multiplikatore n A.i wieder als zusätzliche unabhängige Variable von L auf, so liefern die m notwendigen Ex tre-

malmalbedingungen

~i

= 0 (j = 1,...,m)

zu Satz 7 .2.22 der allgem~ inc

~autornatiseh~ die

m Rest riktionen g;, = O. d.h. es gilt analog

Satz 7.2. 26 ()lulti IJIikatorregei von l .agrdoge): Die relativen Extre ma der Zielfunktion f(xI " " 'x o) unt er Bcrücksiehtigung dcr m « n) Nebenbedingungen g l(x l ,...•xn) = 0; ... ; gm(x l,""xn') = 0 finden sich un ter den staliooä reo Ste llen der zuge hörigen I.agrnngdunktioll L mit

LAi m

L(x I• ..., xII,A I, ...• A. m) = f(x I... ·,xJJ +

i -I

&(xl . ·.., xn') •

7 .2

351

Extrema be i Funktionen mit mehreren unab hängigen Variablen d.h . notwen dig dafür, dass f in P ein relatives Extrcmu munter Berück sicht igung der m Nebe nbedingungen g , = 0; ...; gm '" 0 bes itz t, sind die n+m Bed ingungen

'L = er

'"

a Xt

er

aL aXn

ih n

aL

'.

0

+ ). la~ + ). 2 a~ + ... + ).ma~

= 0

2,

"

'L

"m

,-

x

gl (xI , ..., xnJ

".

'.

+ ). I ~ + ). ~ + " ·+ ).ma%. aXt

0

o.

gm(xI•..., xnJ

Bem erkung 7.2.23 gill entsprechend. Belspiel 7.2.27: An welchen Stellen kan n die Funktion f mit f(x,y,z) = x 2+ 3y2+ 2z 2 relative Ex trema unter Bcrü cksieh tigungder Restriktion en x +3y = 30 ; y+ 2z = 20 besitz en '?

D ie zugehö rige Lagrangcfunktion lautet: L(x, y, z, ).1,). 2) = x 2 + 3y2 + 2z 2 + ).1(30 x - 3y) + ).2 (20 -y - 2z) , -t

d.h. nach Satz 7.2.26 lau ten die notwend igen Extrema lbedingungen:

2,

t, l.y

=

L,

=

LA. LA,

= 30- x-r Sy

=

6y

=0

- 3,.1, 1 -

=0

4,

-

= 20

3x -3y + Z= x+ 3y

- AI

y - 2z 0

-'"2 = 0 =0

Dies eingesetzt in die zweite Glciehunglicfert : 6y -6x -2z = O.

= O.

Dam it redu ziert sieh das Gleichungssystem auf:

Setz t man die aus der letzten Zeil e resultier end e Beziehung: y = - 2z + 20 in die bei den ersten Gleichungen ein, so reduziert sich das Gl eichungssystem a uf:

=3 0

y+2z =20 . 3x + 7z=

A'

A us der ersten und dritten Gleiehungfolgt: ). 1 : 2x ').2=2 z.

60

x - 6z = -30 .

A us der letzten Zeil e folgt x = 6z - 30 . E ingesetzt in die erst e Z eile folgt:

3(6z - 30) + 7z = 60 {;} 25z = 150 {;} z = 6 . Du rch Rückwärtseinsetzen erhält man sukzess ive x = 6 , y = 8 ' ).1 =).2 = 12 , f(6; 8; 6) = L(6; 8; 6 ; 12; 12) = 300. D ie Zi elfunk tion f kann daher (nu r) an der Stelle (x. y, z) = (6 ; 8; 6) e in relat ives Ext remum mit dem Fu nktionswert f = 300 bes itze n. (Z ur allgeme inen L ösung linearer Gleichungssysteme siehe Kap . 9.2.)

Aurgabe 7.2.28: An welchen Stellen kann ein relatives Ex trcrnum unter Berücksi chtigung der angege benen Nebenbcdingungcn (NB) voriiegen? i)

f(x,y.z) = x 2+ y2 + z2

u.d.NB

x + y: l ; y + z = 2

ii )

f(u , v,w) = 4u+ 3v +w

u.d.Nß

w e

ö

ivw e

za .

352

7

Di ffcrcntialrech nung bei Fun ktionen mit mehreren unabhä ngigen Variable n

7.3 Beispiele fü r die Anwendung der Differenti alrechnung auf ökonomische Funktionen mit mehreren un abhän gigen Varia blen Von den zahl reichen Anwendungen der D ifferent ialrechnung auf öko nomisc he Fu nktionen mit meh reren unabhängigen Variablen sollen nun einige klassische Beispiele behandelt werde n. D abei wird sich a uch hier zeigen , dass für die erfolgreiche A nwendung mathematisc her Method en die Ha ullt~ch\\'ierig· keu nicht so seh r in der ma thematisch- techn ischen Behandlung der auftretenden Fo nn eln und Gleichungen besteht, sondern vielmeh r im Au[\u chen , Form uliere n und i.'berp riifen ökonomischer Zielfunktlone n, Restriktionen und Problemlö sungswerte. So ist es etwa i.a . viel schwieriger. ein öko nomisches Wahlproblem korrekt zu formulieren, als es später mit H ilfe der Lagrange- Met hode richtig zu lösen.

7.3.1 Partielle Elastizitä ten 7.3.1.1 Begriff der partiellen Elastizitä t De r E lastizitätsbegri ff lässt sich a nalog zu Kap. 6.3.3 auch auf Funktionen m it meh reren una bhängigen Variab len a usde hnen. Nach De I. 6 .3.80 sowie (6 .3.81) ist d ie Ela\üzilät E[x einer Funktion fex) bzgl. der unabhängigen Variablen x das Verllältllis der relat iven (ode r MProzcn't ualen") Änderu ngen von f und x, und es gilt;

,

df Ef, x ' ''~

(7.3. 1)

df

x

f '(Xl

dx

f{x)

fC")

x

x

Nach Satz 6.3.84 gibt der Zah lenwert von E[ x an, wn w ieviel P rozent sich f (näherungswetse) ändert, wenn sich x um 1% ände rt. Analog Hisst sich d ieser Ela suz ität sbc gnff auf Fu nktio nen f(xI ' " .. xn) mit mehreren unab hängigen Variab len übertragen, indem man led iglich die Ei nwirkung der Ä nderung einer einzigen unab hängigen Variablen Xi auf das Verhalten von f betrachtet und die übrigen Variab len konstan t hall (c.p.- Bcdingun g). dXi ., .. und die dad urch hervorgerufene relative An de Beschreibt man die relative Anderung von Xj durch df

rung von f (c.p.) mit ---.:1.,'" (wobei dfx- ,: I so erhä lt man analog zu (7.3.1);

X;

,oX;r .Uxj das partielle Differential bzgl. Xi ist, siehe DeI. 7 .1.37 ),

n-r, 7.3.2: (partie lle EIa~üzität) E s sei f ein e differenzi erbare Fun ktion der n unabhängigen Variablen Xl , ..., Xo- Das Verhäl t· ni~ f:f,xi der retatlven Änderu ngen von f und Xi (un ter Kon sta nt haltun g aller üb rigen Variable n) heißt partielle Ela\lizität \"On f bz gl. Xi' und es gilt wegen (7.1.38) ;

(7.3.3)

Ef..~j

"'" r

,-

o f x_ . ~ '" oX; r

dX;

Beispi el 7.3.4: Für die beiden partiellen Ela stizit äten der Funkt ion f mit f(x,y) = 2xy3 + 4x 2 erhält man mit x. y, f(x,y) 0 (zurSchreibweiseder Variablen sieheSem. 7.1.13 ii);

*'

C1 f

Er.x :

-a; '

x ftx .}')

(2v 3 +Hx) ' x xy3 + 4x2 :

= i

, .3+ 4x ; .3 + 2x

of

;

ffS

,.

= C1y . f{~.y)

6.,..,.2 · "

= h").3 + 4x2

Das Beispiel zeigt, dass i.a. jede der n möglichenpartiellen Etasta uaten VOll f (x],...,x,J selbst wiederum eineFunktion der 11 unabh öngigen Varia blenisl.

7.3

Beispiele für die Anwendu ng a uf ökonomische Funktio nen

353

Analog zu Satz 6.3.84 ergibt sich die Interpretation des Zahlenwert es der partiellen Elastizität: Satz 7.3.5: Der Zahlenwert der part iellen EJa,tizität fr,Xi von f(xJ,...,xrJ bzgl. xi gibt an, um wieviel Prozent sich der Funktionswert f(xt,...,xrJ (näherungswcise ) ändert , wenn sich die unabhängige Variahle xi wo ein Prozent ändert und alle übrigen Variablen konstant bleiben. Beispiel 7.3.6: FUr die Elastizität von f f(X I' Xl ) = - 3x] + 5x l + 10 an der Stelle xl = 4, xl = 2 erhä lt man nach (7.3.3): (jf

x

'r.XI --

_

' r.xz --

_ . -"1 (jxz f -

(jx \

.-"1 f

(jf

x

I

-3x \+ 5x 2+ 10 XI - 4 ; XZ- 2 5x z

= - 1,5

= 1,25

Nach Satz 7.3.5 bedeutet dies. dass an der betrachte ten Stelle

i) f um 1,5% abnimmt, wenn xt um 1% zunimmt und xz unverändert ( =2)bleibt; ii) f um 1,25% zunimmt , wenn xl um 1% zunimmt und xl unverändert (= 4) bleibt. Sämtliche Aussege n und Ergebni....se über Ela~tizitäten von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen aus Kap. 6.3.3 gelten unt er H inzufügen der c.p.-Bedingung völlig analog auch für partielle Elasüzität en, da dort ....-ic hier stets nur der Einfluss der Änderung einer unabhängigen Variablen betrachtet wird. Für alle weiteren ökonomischen Anwend ungen partieller Ela,tizitäten sei daher auf Kap. 6.3.3 verwiesen. Dagegen ist die Bedeutung der partiellen Elastlaitäten bei gleichzei tiger Änderung aller unabhängigen Variablen Gegenst and der folgenden Abschnitte. Aufgabe 7.3.7: Man enn ittle die part iellen Elastizltat en folgender Funktio nen an den angegebenen Stellen und interpre tiere die erhaltenen Zah lenwerte: I)

y: y(A,K)= 4 ·AO,7 . I{Ü.3

für A= lOO; K= 400

ii)

f: f(u,v.w) =4u l +v l+3w2 - Zuvw

für u =1 ;v =2 ; w= 3 .

Aufgabe 7.3.8: Die Nachfrage X "Xl nach zwei Güt ern sei in Abhängigk eit der G üterpreise PI ' pz vorgegeben . Man untersuche mit H ilfe der Kre uzprei~ela~ lizi täten t'XI,Pl' (X 2.P I (s. Beispicl 6.3.104), ob es sich um substirutive 00 . komplementäre Gü ter handelt: ii)

x\ (p\ , P2) = 100- 0,8P\ +O,3P2; x \(P\, P2) = 4c Pz - PI ;

jjj)

x \(Pt, P1) =

i)

\~

PI P2

xl(P\, P2) : 150 +0 ,5p \- O.6P2 xl (PI> P2): 3e Pl - P2 Xl(P\, P2) = 5e P2 - P I

(Pl' P2 > O).

7.3.1.2 Die Eu tersehe Homogenitätsrelati on Für homogene Funktionen f (siehe Def. 3.3.2) existiert eine bekannte Beziehung zwischen den parti ellen Ableitungen von f und ihrem Homogenitäb gmd r. Nac h Def. 3.3.2 gilt für jed e vom Grad r homogene Funkt ion f(xI' ..., xrJ: (7.3.9)

354

7

D ifferenti alrechnung bei Funkti onen mit mehreren unabhängigen Variablen

Leitet man (7.3 .9) auf beiden Seiten partiell nach A ab, so folgt mit Hilfe der Kettenregel (sa lz 7.1.51);

... +

(7.3.10)

Beziehung( ?.3.10) muss für jedes ). > 0 gültig sein, also auch für ). = 1. Setzt man A = 1 in (7.3.10) ein, so folgt un mittel bar

Satz 7,3. 11: (E ulersc he Homogenitäl'irelation)

Die Funktion f: f(xi,...•xn> sei homogen vom Grad r. Dann gilt an jederStelle (xI,...,xnJ die Identität (7.3. 12)

Beispiel 7.3. 13:

... +

Die Fun ktion f mit f(x,y) = x2y3 ist homogen vom G rad r = 5, denn:

f(Ax,Ay) = (..lx)2 . (.1.y)3 = ).5. x2y3. f x = 2xy3, f y = 3x 2y2

Mit

fo lgt für die linke Seite von (7.3 .12):

x-f x + y ' f y = 2x2yJ +3x2y3 = 5x2y3 •

r ' f = 5 · x2y3 .

in Übereinstimmu ng mit der rechten Seite von (7.3 .12 ): (Zu r Schreibweise der Variab len siehe Bem. 7.1.13 ji)

7.3. 1.3

Elastizität h omog ene r F u nktionen

A ls Beispiel werde zunächst ein e CO BB-DOU G LAS- P rod uklionsfunktion x gewähl t:

( 0 ; r j > 0)

(7.3.14)

mit x als Ou tput und ri als Inpu t des t- rcn Fak tors. Ihr Homogcnit älsgrad r ist (siehe Bcispiel 3. 3.5) gleic h der Sum me aller Exponenten:

(7.3.15)

r = a l +a2 + ..· + an ·

D ie partielle E lastizität l:X. T; des Ou tp uts x bzgI. des i-ten FaktorinpUls Ti {auch ~ P rodu ktionsela..uztläl des i-t en Fa ktors " genannt) ergibt sich nach (7 .3.3) als Exponent a j des i-tcn Fak tors:

(7.3.16)

ai .

Bem erkung 7.3.17: Wegen

Die Bezieh ung (7.3.16) folgt noch einfacher aus Satz 6.3.141:

logx = logao + a, ' /og r , + ... + ai 'logr; + ... + t1f1 'log rn l:

x ,r j

=

akJgx

alog'j

=

folg t sofon:

(l .

,"

Die Relation (7.3.16) besagt also, d aJs f urj eden /llputjaJaor i einer COBB- DOUG LAS' Produktions [ unktion die partielle Produsuo nselastnität l: x r,, gleich dem entsp rechenden FakJorexpolu!/lten aj ist.

.

7 .3

355

Beispiele für die Anwe nd ung auf ökonomische Funktionen Zu sammen m it (7.3.1 5) erhalten wirdaherdas Ergebnis:

Der Hom ogenuatsgrad r einer COBB-DO UGLAS-Produk tions! unk tioJl x m it x : oo· r/u]· r2u2 · ... . ' /lu" ist gleid l der Sum me da Exponenten und gleich der Summ e der partiellen Proäuktions elastnitäten: ( 7.3.18)

lki~pi eI 7.3 .19 : Gegeben sei die CO BB- DOU G LAS- Prod uktionsf unktion y mit y: 100 · A O•7 . KO,3 (y: Sozialprod ukt. A: Arbciut nput. K: Kapitalinput). Die pa rtiellen Produknonsclasnzitätcn lauten : 0 \'

A

'A - ...... ·-'" y, - oA)'

70 · A - o,3 ·KCl•3 · A 100 ' A O,7. K Cl ,3

=0,7 ;

30 'ACl ,7' K-G,7 ' K tOO'ACl,7 ' K Cl,3 '" 0,3 •

d.h .

r = 1i)'. A

+ 1i) ',K

'"

0,7 + 0,3 '" I

(y(A,K) ist also linear-homogen)

D ie in (7 .3.18) zum Ausdruck kommende T atsache, dass der H omogenitäl sgrad r einer Funkt ion gleieh der Summe aller part iellen Elastizitätcn ist, gilt ganz allgemein (also nicht n ur für COBB-D OUG LASFu nktion en). D ividiert man näm lich in dcr Eulerschcn H omogen itätsrelat ion (7.3, 12) bcid c Sciten d urch f (,*,0). so folgt:

,,

(7.3.20)

d.h.

(7.3.21) Fü r jede homogene Funktion ist der lIomogenilätsgrad gleich der Summe ihrer sämtlichen parnetten Elastlaitäten. Um bei ein er be liebigen Produktion sfunktion f: f(xJ,...,xiJ ein Maß für die relat ive Änderung des O utpu ts f zu erhalte n, wen n sämtliche Inputs x ].... ,xn um den selben Prozentsat z geände rt werd en {d .h. mit demselben [Z uwa chs- od er A bnahme-) Faktor A multipliziert werden), def iniert man d ie sog. Skalen ode r Nh'ea ueJa~ lizitäl Efl: (7.3.22 )

Der Zahlenwert von Er) gibt somit an, um w ieviel Prozent sieb der O ut put ändert, wenn das . Prcd uktionsr nveau" A um I % geändert wird. So bed eut et etwa Er A= 1, dass eine z.B. 3 %igc E rhö hung sämtliche r Inputmengen Xi zu einer ebe nraus 3% igen O utput erhö hungführt (ma n spricht von konstanten Skai).. < 1) bewirkt eine proport ionale Erh öhung aller Faktorinputs mit lenerträgen ). Be i er) > 1 (bzw. E dem Zuwach sfakt o r i. cln über proportionales Wachstum (bzw. unterproportionales Wachs/um ) des O utputs f: Man spricht von steigend en (bzw ,faUenden) Skalene rt rägeu , siehe Abb. 3.3.7 iii) bzw. i). Im Fa ll einer homogen en Funktion (Homogenitätsgrad r) gilt wegen (7.3.9): f(Ax I' .... AxiJ '" .V · f(XI' "" xiJ.

Ableitung beid er Seilen nach A liefert:

7

356

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Damit ist wegen (7.3.22) gezeigt: Die Skalenelastizität einer homogenen Funktion ist gleich ihrem Homogenitätsgrad r und somit (wegen (7.3.21» gleich der Summesämtlicher partiellen ElastirlCäten: (7.3.24)

I

Bemerkung 7.3.25: Der ersle Teil der Relation (7.3.24) gilt auch [ur nichthomogene Funktionen, siehe Aufgabe 7.3.28. Die Skalenelastizität einer COBB-DOUGLAS-f unktion ist daher gleich ihrer Exponentensumme. Mit y:::c · Au·Kß · ir gilt: ey).=a+ß +r usw. Beispiel 7.3.26:

Gegeben seien diefolgenden drei COBB-DOUG LAS-Produktionsfunktionen

i) y = 5Ao,7 · Ko,3

ii) Y = 3AI. I.J
___ _

_

I.

----J

7 .3

Beispiele für die Anwend ung auf ökonomische Funkt ion en

7.3. 1.4

357

Fa ktoren tlohnung und Vert eilun g des Produktes

Nach de r Gre nzproduktivh ätstheo ne 'Wird jede r Produk üonsta kter m it dem Wert se iner Grenzproduktivität enüc hn t ", Sei etwa der " Loh nsatz~ (a Faktorpreis ode r Fakto rstück kostem des i-ten Fak tors mi t ki = co nst. vorgegeben. Da nn wird - e.p. - vom i-t en Faktor soviel eingesetzt, das s d ie pa rtielle G renzprodu ktivität ,öx - bewerte t mit dem Ma rktp reis p des erzeugte n Prod uktes - de n Wert ki a ufweist: r

I ~ p'

(7.3.3 1)

I

= kj

(i = 1, 2•..., n) .

Vom I-ren Faktor wird daher soviel eingesetz t. dass de r Mark twert des mit der " letzten~ Inputeinheit erzeugten Produktes gerade de m Faktorp reis ki entspricht. D urch diese Art der Faktorentloh nung wird die E insatzmengc ri eines jeden Prod uktionsfaktors det erminiert und somit auch das gesamte Produkt !onsvotumcn x = x(rl' ..., rU>. Das Faktoreinkommen FEi des t-t en Faktors beträgt nach (7.3.3 1)

"

FEj = ki ' ri = p 'ri ' -ÖT j

und somit das gesa mte Faktore inkommen FE aller Faktoren zusammen (7 .3 .32)

äx

1) folgt aus (7.3.37);

I FE >« q ..... ' "j I

(7.3.39)

d.h. der erzeugte Produktionswert reicht nicht aus, um allc dafür notwendigen Faktoren mit ihrer Grenzproduk tivität zu ernlohnen. Zur Erzielung eines Gleichgewichtszustandes müsste ein Lohn unterhalb des jeweiligen Grenzproduktivitätswertes gezahlt werden. iii) Im Fall sinkender Skalenert räge (d.h. für r < 1) folgt aus (7.3.37):

I

(7.'.40)

FE (q . ....'"j

I

so dass nach Entlohnung aller Faktoren noch ein Wertüberhang ("Gev.i nn") verbleibt. Für dcn Einkommensanieil ~ /x des i-ten Faktors am Gesamtproduktion"wert x erhält man mitderBeziehung (7.3.34) sowic(7.3.3) für beliebige - auch nichthomogene - Produktionsfunktionen (7.3.4 1) d.h . der Emkommensa nre ü des H ell Faktors am Gesamtproduktionswert ist identisch mit der Produktion sela~tizität

des i-tcn Faktors.

Das Einkömmensverhäl tnis FEi/FEk je zwclcr beliebiger Faktorarten i.k resultiert aus (7.3.41) durch

Division;

FE ;

x

(7.3.42)

d.h. das Verhällnis der Einkommen zweier beliebiger Faktoren ist identisch mit dem Verhällnis der entsprechenden Produktion.~ela~tizi täten . Ist die Produktionsfunktion x(rl•...,rnJ homogen vom Grad r, so lässt sieh mit (7.3.37) und (7.3.34) auch der Einkommensanteil FEj/FE des t-ten Faktors am gesam ten Faktoreinkommen ermitteln:

a,

(7.3.4 3)

FE ;

r·t · -Dr;

FE

r -x

~ r

d.h . der Einkornmensanteil des H ell Faktors am Faktorgesamteinkommen ist identisch mit der Produkuenselasuzit ät des i-ten Faktors, geteilt durch dcn Homogenitätsgrad.

7.3

Beispiele für die A nwend ung auf ökonomische Funktionen

Beispiel 7.3.44:

359

Gegeben sei die linear -homogene C OBB-DOUG LAS- Prod uktionsfunk tion y mit Y = e · Aa · KfJ = 4 · AO,8 · KO,2

(A t » 0) : Arbeitsinput; K ( > 0) : Kupitalinput; y: Dutpul; Outputpreis: p == J GElME). Der gesam te Arbeitslohn FE A be trägt nach der Grenzproduk tivitätstheo rie FE A

= A- ~ =

A · 3,2 ·A- O,2 · Ko.2

=

3,2 · A O,S .I(O,2 ,

Das gesamte Kapitaleinkommen (Zi nsen) be trägt FEK =

K'~

'K

= K ' 0 8 'AO,I:I 'K-o,8 '

0,8 · A O, 8 · KO,2.

Damit lautet das gesamte Fakto reinkommen.

FE = FEA+FEK = 4 'Ao,8 1(0,2 = Y

(siehe (7 .3.38» .

Die E inkomm ensant eile am Gesamtwert der Produkt ion ergeben sich wie folgt: FE A )'

_

3,2 ' AO'&' Ko,2 4 ' Ao,B' Ko,2 0,8 ' A0,&. K O.2

4 · AO'&· Ko.2

-

0,8

=

t y,A

=a

(siehe (7 .3.41)),

»

= 0,2 = f.v .,K= ß

(siehe (7 .3 .41

d.h . 80% des Prod uktionswertes werden durch A rbeitslöhne, 20% d urch Kapitalkosten aufgezehrt das gesamte Produkt wird du rch Faktorlöhne verbraucht , s.o. Das Einkonun ensverhältnis der Fakto ren laut et nach (7.3.42): 3,2 'AO,S ' KO,2 O,8 · Ao,s · Ko.2

4 = t y•A =::" e y,K

ß

0,8

0,2 '

d.h. Arbeitsein kommen und Kapitaleinkomm en ste hen im Verhältnis 4:1. Wegen FE == Y sind die E inkommensan teile de r Fakt o ren am Gesamteinkomme n dieselben wie am Prod uktionswert (s.o.), nämlich a und ß. Aufgabe 7,3.45 :

Gegeben sei die Prod uktionsfunk tio n y mit:

y( A, K) = Ao,.L KO,5

(A, K > 0) .

Man ermittle (bei einem Du/pu/preis p e J GEIME) i) d ie E insatzmengen A, K von A rbeit und Kapital, wenn die Input- Faktoren nach ihrer Grenzproduktivität entlo hnt werden und die Faktorlohnsätze ( ~ Faktorpreise) mit kA = 0,2 GE/M E A

bzw. k K = 0,4 G E /ME K fes t vorgegeben sind;

ii ) den Gesamtwert des Prod uktionsvolum ens. iii) das gesamte Fakto reinkommen sowie de n cvtl. verbleiben de n Prod uktionsgewinn. iv) die E inkommensanteile de r Faktoren am a) Gesamtprod uktionswert sowie b) Ge samteinkomme n, v) da s Ei nkomm ensverhältnis beid er Faktoren.

Lässt ma n - be i einzelwirtschaftl icher Betrachtung - die Annahme vollständiger Konk urrenz auf dem G ütermarkt (d.h . p == ccost., h ier: p == 1) fallen und unterstellt man die Exist enz einer Preis-Absat zFunktion p(x) ( ~ Angebotsmonopo l), so wird das Grenzprodukti\itätsprillrip modifiziert: Nach (6 .3.158) max imiert näm lich ein monopo listischer Anbict cr seine n Ges am tgcwmn, indem er sein Produktionsniveau x dera rt d urch geeigneten Fakt oreinsatz festlegt, das s die Faktoren na ch ihrer mit dem C re nze rtös E '(x) bewertet en Gr enzprotlukthltät enuolmt werden (siehe auch Kap. 7 .3.2 ,1),

7

360

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Der Lohnsalz ( ~ Faktorpreis) kj des Hen Fak tors lautet unter dies er Prämisse;

mit x = x(q, ._., rn>

k. = oX' E'(x)

(7.3.46)

1

Of i

B emerkung 7.3.47:

i) (7.3.46) gehtf ür p = const. wegen E'(x) = p : comt. wiederin die abliche Form (7.3.31) über. ii) Wegen E = E(x(, ]....,r,J ) folgt mit Hilf ederKettenregel

',E = ~~ .

(7. 3.48)

"/

,ox '1

<M

= k,.

ä.n: man kann den Lohns at; k j des i-Im Faktors auffa ssen als Erlöszuwuchs, wenndie unlerEinsatz einer weiteren Faktoreinheit erzeugteMengeabgesetzt wird(,.Grenzerlös bzgl. des i-ten Faktors ").

Unte r Verwendung der Amoroso-Rohinson-Relation (6 .3.109): E'(x) = p(x) '( I+f-) lautet der Lohnsa lz kj des H eu Faktors nach (7.3.46):

"

,--- ' - - -----,

a

(7,3.49 )

1

unterscheidet sieh also von der " rei nen~

k I = p ' -ori (l + -t x,p )

,.,

Wertgrenzproduktivität (7.3.31) um den"Monopolfaktor" (1 + ~). Mit Hilfe von (7.3.49) erhält man für das Einkommen FEi des l-t en Faktors: ~

, = nI -k,I = f l" oox - ' E (x) = r· · ri l

Erweitert mnn den rechten Tenn mit x ( t-O) , so folgt:

~

(7,3,50)

OX -o r i

· p(x)· (1+ -f: r,

ox

~

ri

I x.P

).

~ = -;-', ' x ' p(x) ' (1+-,

I

'.p

),

d.h.

Bx,r;' E(x) ' (l +f- )

=

"

Bemerkung 7.3.51: Bei positiven Faktorlohnsätzen folgt: FE; > 0, so dass ull/er der Voraussetzung E(x) > 0, €X r i > 0 (d.h. positive Erlöse und positive Grenzproduklivitälen) notwendigerweisedieKlam•

1

mer positiv sein muss. Aus 1 + e > 0 f olgt i:x,p < - 1 , dh. die Unternehmung wird bei p ositiven 'p

Faktorpreisen ihr Produktionsniveau (und damit auch ihreAngehotsmenge) x stetsso wählen, dass sie im Bereich elastischerGiirernachfrage openen .

Aus (7.3.50) folgt (7.3 .52)

(7.3.53)

FEi

E{x ) =

I

Ex,r; (1+ ex,p)

(siehe aber (7.3.41» ,

(identisch mit (7.3.42» .

Für den Anteil des Faktorgesamteinkommens FE am Gesamterlös E(x) ergibt sich bei Vorliegen einer homogenen Produktionsfunktion wegen

7 .3

Beisp iele für die Anwend ung auf öko nom ische Fun kt ionen

36 1

und der Ta tsache, dass nach (7.3 .21 ) der Wert de r rechts stehe nde n Klamm er gleich dem H om ogenit ätsgrad r der Produkt ionsfunktion x(q , ..., rn:! ist: FE

(7.3.54)

1

= r(1 + - ) E(x) Ex,p

< - 1) .

(EX,p

Ebe nso wie in (7 .3.52) hängt der Anteil des Faktore inko mmens am Produkterl ös einerseits vo n den Eigen.~chaften der Produktionsfun ktion ab (gekenn zeichnet d urch die Produktionselastiz itäten bzw. die Skalenelastizitä t) und andererseits von der jeweiligen Marktsnuanon (geken nzeichnet durch die Preiselastizität der Nachfrage): i)

Im Fall konstanter Skalene rträge (T = 1) gilt wegen Ex,p < -1:

o< l+fX,p < 1,

d.h. a us (7 .3.54) folgt:

< 1

EF(E

x)

bzw.

FE < E(x) .

D ie Faktorlöhne zeh ren den P rodukterlös nicht aut , vielmehr verbleibt ein Wertüherllang (Gewin n). der m it absolut zune hmender El astizität (d .h. f x,p - - OQ) imme r mehr gegen Nu ll geht: EX,p

-ExI. - 0 "

- - OQ

p

-

FE

-

Et x)

r ( =l ) .

ii) Im Fall sinkend er Skale nerträge (r < 1) gilt ebe nfalls wegen (1 + ~)

,,'

FE

E(x) < J,

d.h .

< 1:

FE < E (x).

.

iii) Im Fall ste igender Skalenert räge (r> 1) ist eine Gcwinnerzielung nurmögUch , wen n das Produkt a us Ilomogenilä b grad und (1 +

-f-,) kleiner als Eins ist.

Beispiel 7.3.55: Gegeben sei die Prod uktionsfunkt ion x: x(Q ,r2) = q O,8 ' rZO,4 mit dem H omogenttätsgrad 1,2 ,d.h. m it ste igenden Skalcnerträgen . Die Faktorstückko sten (.. Lohn.~ätze") seien vorgegeben mit k. = 40 GE/ ME I , kz = 80 GE /MEz. Der Outpu t x kann abgese tzt werde n nach der Preis-Absatz-Funk t ion p = p(x) = 100 - O,Ix. D ie Fakto ren tlohnung erfolge nach dem G renzproduktivitätsprinzip, siehe (7 .3.46) . Um die Ein sat zmengen rl ' tz der Fakto ren zu ermitteln, löst man die G leichungc n (7.3 .46)nach TI, rz auf :

:;X ,- E'(x) = 0,8 r. - O,Z· rZ0,.L

(100- 0.2 q O,1l rZO,"')

(1)

k l = 40 =

(2)

k2 = 80 = :~ . E '(x) = 0,411°,8. rZ- 0,6 . (100 - 0 ,2r IO,8. rZO,4) . (Dabcigilt:

E '(x) = 100 - 0 ,2x = 100 - 0.2 · x(rl ,rZ)')

Dividiert man Gleichu ng (1) durc h Gleichu ng (2), so folgt: q = 4rz. D ies in G leichun g (2) eingesetzt, liefert nach etwas Umform ung 0,2 40,1l ' rz l,4 - 100 ' rzO'Z+~ =0 0 ,4 ' ",0,8

Substituiert man :

rzo,z =, z,

d.h .

.

rz l ,4 = z 7, so folgt:

0 ,606286627 · z7 -100z + 65.97539555 = 0 . A nwe ndu ng der Regula falsi (siehe Kap. 2.4 (2.4.5» liefert als einzige ö konomisch sinnvolle Lösung: z = 2 ,207241 684,

d.h .

rz = z5 "'" 52,3901 M E Z

und

rl = 4rZ "'" 209,5605 M E I .

Dami t ist das Prod uktionsn iveau festgelegt: x(r l' rz) = 350 ,5479 ME . De r Marktpr eis des mon opolistischen A nbieters lautet daher p = 100 -0,lx = 64 ,9452 GE/ ME, so da ss sieh ein E rlös E = P 'x = 22.766,40 60 GE ergibt.

7

362

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängige n Variablen

E'(x) == lOO- O,2x = 29,8904 GE/ME.

Der entsprechende Grenzerlös lautet:

, E

Die Preiselastizität der Nachfrage beträgt: 1+

darnit c rgibt sich:

" p

txp : ,

== 0,46024.

_" ~Ip' '" p ,PIxI')~ x '

==

~ x

= - 1,852677 ,

Damit lassen sich dieBeziehungen (7.3.52) - (7.3.54) bestätigen: MitdcnFaktoreinkormnen FE l ::: k [ "q = 8.382,42 GE und FEZ = k2 ' TZ = 4.19 1,21 GE folgt: FE, 8.382, 42 E(x) == 22.7(,6,-1 1

eX, T]

(1 + t

, .

p

,

x

)

== 0,8- 0,46024 == 0,3682

f EZ -1. 191,2 1 == e x r , () + ,- ) = 0,4-0,46024 == 0,1841 E(x) == 22.766,.H , X.p

d.h. 36, 82% des Gesa rnte rtöses werden durch den ersten Fakt or und 18,4 1% durch den zweiten Faktor aufgezehrt (siehe (7.3.52». zusamme n also 55,23% . 8.382,.42 == EX,Tl '" 0,8 == 2 • d.h . der erste Faktor verursacht doppelt so -\.19 1,2 1 E' .r2 0,4

(ii)

hohe Kosten wi e der zweite (siehe (7.3.53» .

FIE) '" 8.382,42 +4.\91.2\ '" r (J + - '-) :: 1.2 0,46024 '" 0.5523 • Ex 22.766..H Fx•p

(iii)

d.h. (s. a uch (i» 55.23% des E rlöses entfallen auf die Faktorkosten. es verbleibt ein Gewinn in Höhe von 44,77 % des Gesamterlöses. d.h. ca. 10.193 GE (siehe (7.3.5 4)).

7.3.2 Ökonomische Beispiele f ür relative Extrerna (ohne Nebenbedingungen) 7.3.2.1 Optimaler Fa ktorein satz in der Produktion Ei n Produkt [Output: x) möge durch den Einsatz von n in beliebiger Menge verfügbaren Inputs rl' r2,...,rn erzeugt werden gemäß der Produktionsfunktion x '" x(IJ,...,rJ. Die Faktorpreise k\... ., kß seien feste Größen. (7.3.56 )

In welcher Kombination soll der Produzent die Inputfaktoren einsetzen, damit sein Gewin n möglichst groß wird?

Frage (7.3.56) soll beantwortet werden für P '" ccnst. (,·ol l.~tlindige Konkurrenz auf dem Gü tennarkt) ; für p '" p(x) coest. (Angeootsmonopol auf dem Güt ennarkt) .

i)

'*'

ii)

zu i)

(polypollsüsc her Anbieter)

Die Edösfunktion E lautet: E(x(IJ• ..., r.J ) '" P"x(rl" '" rJ , die Kostenfunktion K lautet: K ", K(IJ, .... rJ '" kl rt + k2r2 + ... + knrn · Damit ist die Ge\\i nnfunktion G gegeben durch (7.3.57) mit p. kj '" const. .

7 .3

363

Beispiele für die Anwend ung auf öko nom ische Funknonen

No twendig für das Vorl iegen ein es Gewinnm aximums ist das gleichzei t ige Verschwinden aller parti ellen Ableitu ngen von G (siehe Satz 7.2 .2): 30 3, (i, k = 1, 2, ..., n), d.h. es werde unters tellt, dass die A bsatzmengc des kten Gu tes von den Preisen a ller n Güter abhänge (monopolistisc her Anbieter).

zu I)

(poI)polisti.~cher Anbiet er)

pr

;

(poI)'poIislische r Anbieter)

Die Gcwinnfunktion der Unte rnehmung lautet (7.3.75) G(xI ' ..., xn> = Plx l + P2"2 + ... + PnXn - K(x1' ..., xn> . Notwendigfü r cin relatives Gewin nmaximum ist das Verschwinden aller partiellen Abl eit ungen vo n G :

(7.3.76)

'0

'"

d.h.

'0 a Xi

o

(i= I,2, ...• n)

und dah er

I

Analog wie im Ein-P rod ukt-Fall (sieh e (6 .3.36» m uss für jedes Produ kt im Gcwinnmaxi mum der Marktpreis ldentlxch mit den entsp rechenden partiellen Grenzkosten sein.

7.3

Beispiele für die Anwendung auf ökonomische Funktionen

BeispieJ7.3.77:

367

Eine j - Prcdukr-U ntemeh rnung produziere naeh der Gesamtkostenfun ktion K mit K(Xt. x2, x3) '" x\2 + 2X22 + 3X32 + xlx2 + x2x3 + 100

(XI?: 0)

Die Markt preise P\.P:2.P3 der Güter seien fest vorgegebenmit PJ '" 40 GE/ME J, P2 '" 50 GE/ME 2• P3 = 80GE/ME 3· Über die Gewinnt unktion G mit G(X\, x2, x3) = - Xt 2 -2xi -3x} - x\x2 - x2x3 + 40x I + 50x2 + 80x3- 100 e rhält man als notwendige Extremalbedingungem

+ 40 '" 0 = - Xl - 4x2 - x3 + 50 = 0 - x2 - 6x3 + 80 '" 0

zu ii)

mit der einzigen Lösung: xJ '" 17,5 ME t ; x2 = 5 ME 2 ;

xa = 12.5 ME) .

Der maximale Unternehmensgewinn beträgt somit 875 GE .

(monopolistischer Anbieter)

Unte rstdlt man ein System von n Preis-Absatz- Funktionen Pi: pj(x 1.... ,xrJ (i = 1, ... . n). so lautet die Gewinnfunktion: G(x\, , xrJ = E(X t, xrJ - K(x\ , xrJ , d.h. G(xI'

, xrJ '" PJ(x\, , xrJ ' XI +

+ Pn(xI, ..., xtJ · xn - K(xJ' ..., xrJ

Daraus ergehen . . ich {Produ ktregel !) die notwendigen Maximalbedingungen aG", aXI

~ ' X I + PJ+~ ' X2 +"' + ~'x aXI

aXI

aXI

n

_ aK=O o XI

d.h. allgemein: (i = J,2,...n)

' p, ~ ~ oK --'-'- . Xl + ~ , Xj ' X2 + ''' + ' Xj ' Xj + Pi + " ' + ox.; · xn - -ox.; = 0 oX;

(7.3.78)

Die Lösung des Gleichungssys tems (7.3.78) liefert bei korrekter Problernstcllung die gewinnmaximale Out putmengcnkombination. Beispiel 7.3.7 9: Mit pJ = I .280 - 4xJ + x2 ; P2=2.360 +2x \-3x2; Gewinnfunktton.

K = 0,SXt2 + XtX2 + x22 + 500.000 lautet die

G(x l.x2) = - 4.5xJ 2 + 2x\x2 - 4X22 + 1.280x I + 2.360x2 - 500 .000 Au s den O pt lm albedlngungen -,'G x = - 9xI + 2x2 + 1.280 = 0; ergeben sich die gewinnmaximalen Outputmengen: XI = 220 ME \ ; x2 '" 3S0 ME 2 . Dazu .....i rd der Monopolist die Güterpreise festsetzen zu: PI = PI(220 ;350) = 7S0 GE/ME 1

bzw.

P2 = P2(220 ;35 0) = 1750 GE/ME2'

Der Erlös E = PtX t + P2x2 bet rägt 777.500GE, die Produktionskosten betragen 723.700 GE, so dass sich ein Maximalgewi nn von 53.800GE ergibt.

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

368

Gelege ntlich ist das System der Preis-Absatz-Funktio nen in der Fonn xi ::: Xj(PI' ..., PD)' d.h. mit den G üterpreisen als den unabhän gigen Variablen gegeben. Da eine A uflösun g des G leich ungssystem s nach den Pi La. m ühsam ist, wird man a uch die Gcwinnfunkt ion in A bhängigkeit der Pi formul ieren; G(Pl' ... . Pn) ::: XI(Pl' ... . Pn) "PI + ... + xn(Pl, ... ,PtJ· Pu - K(xl(P\,·..,Pn)' ...•xn(Pl.·..'Pn » ·

Bei der Ermittlung der partiellen Ableitungen nach Pi ist zu beachten, dassdie Kostenfunktion K nach der Kettcnrcgc1 (7.1.53) abzuleiten ist. Notwendigfür ein Gewmnmadmum sind dann die n Bedingungen

(7.3.80)

o

(i = 1,2,...,n)

Beispiel 7.3.8 1: Eine monopolistische Un ternehmung produziert zwei substtt utive Güter mit den stuckvariablen Kosten k l :: 2GE /ME I , kz :: 5 GE/ MEz. Die Nachfrage xl ''' Z nach diesen G üternwerde in Abhängigkeit der Güterpreise PI'PZ beschriebend urch die beiden Funktionen xl: "1 = 600 -50PI + 30pz ;

"Z: xZ= 800 + 10 PI -40pz .

Bemerkung: Dass die Güter Sllbstituti~ sind, erkennt man daran, dass die Nachfrageeines jeden Gutes C.p. steigt, wenn der Preis des jeweils anderen Gutes zunimmt. Derselbe Sachverhalt liegt in Beispiel

7.3.79 ~·or. Die Gcwinnfunkt ion G lautet : G:: PI" I + Ab satz- Funktio n und et was Umfonn ung

pzxz - k\" \ - kz"z . bzw. nach Einsetzen der Preis-

G = G(p\, pz) = - 50Pl z + 40PIPZ- 40pzZ + 650PI + 940pz -5.200 . Daraus e rgeben sich über

aG ::

-

ap\

- lOOPI + 40pz + 650 = 0

ao

-

ap2

:: 40p \ - 80pz + 940 = 0

die gewinnoptimalen Monopolpreise zu: p\ = 14 GE/M E I ; Pz " 18,75 GE/MEz . Die zu produzterenden G ütermengen lauten "1 = 462,5 ME t ; "z = 190 MEz, der maximale Untc rnehmungsgcwinn beträgt dann 8.162,50 GE, AUfgabe 7.3.82:

Gegeben sind die Nachfrage- und Kostentunknon dreicr monopolistischer 2· Produktunt ernehmu ngen. Man untersuche jeweils, ob die beiden Güter (suhstitwiv bzw. komplementär) miteinander verbu nden sind und ermittle je....etls die gewinnmaxima len Marktpreise, Absatzmengen und Gewin ne: ii )

PI = 16-2" 1 ; P2 = 12 - " Z ; K(xl'xZ) = 2" I Z+x1"Z +3 "ZZ ; " I =8 -2pj+ P2 ; xZ= lO+ p\-3pZ ; K(XI'XZ) = "j2-" Z2 j

iii)

PI = 400- 2xl - "2 ; Pa " 150- 0,5" t - 0,5"2 ; K(" I,x2) :: 50"1 + 10"Z'

i)

(Pi: Marktpreise Xi : Produktions- und Absatzmengen)

Aufgabe 7.3.83:

Wie muss man in Beispiel 7.3.8 1 die stückvariablen Produktionskosten kl {e const.) für das erste G ut einstellen, damit die gewinnmaximalen Absatzpreise beider Prod ukte identisch sind?

(Bemerkung: Bei den zunächst in Beispiel 7.3.81 vorgegebenen nu cs vutiubten Produktionskosten ergeben sich - wie oben ausgefühn - als gewinnoptimaleAbsatzpreisep 1 = 14 GEIME1 sowiep 2 = 18,75

GElMEJ»

7.3

Beispiele für die Anwe ndung auf ökonomische Funknonen

I EXK URS: I

369

O ptimaler Faktoreinsatz in Mehrproduktuntemehmun gen

Das in Kapitel 7.3.2.1 behandelte Problem des gewinnop timalen Faktoreinsatzes lässt sich auch auf Mchrprodukt unternchmungen übertra gcn. Für die Prod uktion von m Produkttypen mit n Inputfaktoren werde die Existenz von m Produktiondunktionen unterstellt: Xi: O utp utmenge des i-ten Produktes (i"" I. 2,....m)

(7.3.84)

rij: i nputmenge des j- ten Faktors bei der Produktion des i-tcn Produktes (i.. l,...•m; j"" I,...,n)

Insgesamt ....trd vom j-tcn Faktor somit eingesetzt: m

(7.3.85)

rj '= fJj + r2j + ... + rmj =

L rij

j = 1, ..., n .

j _l

Bezeichnet man die Fakturstückkosten des j-ten Faktors mit kj (= const.) und den Absatzpreis des iten Prod uktes mit Pi' so lautet die Gewinnfunktion: (7.3.86)

wobei für die Xi bzw. rj die Beziehungen (7.3.84) bzw. (7.3.8 5) gelten. Weiterhin seien weder auf Produktionsscitc noch auf der Absatzseite Restriktione n wirksam (etwa in Fonn von E ngpassfaktoren ode r Absatzhöchst mengcn). l)

Im Fall des polypolistischen Anbieters gilt PI, .... Pm = const., SO dass die notwendigen Bedingungen für ein Gewinnmaximum lauten: (7.3.87)

i = 1, ..., m (Produkuyp);

j = L, ..., n (Faktoran) .

Bemerkung 7.3.88) i ) BeiderAbleitung ,/On (7.3.8 6) beachte man, dass die Variable ' ij nur in Xi sowiein rj au[trill.

ii) Fürjedes[esse i (d.h.[ürjeden einzelnen Produkff}p) entsprechen dir! Maximalbedingungen (7.3.87) gerade der Beziehung (7.3.59): kj = Pi ' :;~ , d.h. Gewinnmaximierung im vorliegenden Fallzieht

notwendig die Entlohnung der Faktoren nachiJihrer Wertgrenzprodu1di~'iliif nach sich.

ii) Im Fall des monopolistischen Anbieten; sind die G üterpreise Pl ,...•Pm jeweils Funktionen der Gütermengen xl,,, ,,xm und diese wiederu m (nach (7.3.84)) jeweils Funktionen der n Inputs. Während . sich an der Faktorkostenfunktion gegenüber i) nichts ändert , laute t die Erlösfunktion ausführlich: E "" PIXl + ... + Pmxm "" PI(XI,,,,,xm) ·x \ + ... + Pm(xI' ''' ' xm) ' xm mit XI =x,(rll,···,r l n ) ; •.• i Xj=Xj(Tjl' •..,Tin)i ...

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

370

Daraus erhält ma n die partie llen Ableitungen nach Tij der Gewin ntun ktion (7.3.86) (wobei z u beach ten

ist, dass

nur in xi und Tj vorkommt] , Die notwendigen Bedingunge n für ein Gewinnmaximwn lauten:

'ü

OG

(7.3.89)

a rjj

=

OE a r ij

~ .~ - kj = 0

- kj

a Xi

a Tij

(i = 1,...,m :Produkttyp ;

mit

OE a Xi

j = 1,...,0 Paktorart )

Op ~ . :q + ~ ' x2 + ... +~ a Xi a Xi ';

Xj +pj +

,.. + ~ a

'. '.

Auch hier stellt man fest, dass für jedes feste I [d.h. für jeden Produkttyp) die Bedingung (7.3.89) idcntisch ist mit dcr Bczichung(7.3.67):

ee

k· = _ 1

aXi

.

=lIxll rij

,i=const.,

d.h. eine gewinnmaximiere nde monopolistische Mehrproduktuntemehmung entlehn t die Faktoren nach ihrer mit dem G renzerlös bewerteten G renzproduktivität (.,G renzertösprodukl"). Sowohl aus den Bedingungcn (7.3.87) als aueh (7.3.89) crgibt sich f ür jedes feste i [d.h. für jeden Prod ukttyp):

(7.3.90)

( j, I " 1,2,...n ; i '" CO IIS!. ) .

Dieselbe Bezie hung ergibt sieh - unabhä ngigvon der Marktfonn - für Einprod uktun temehm ungen, siehe (7.3.59), (7.3.67), so dass man sagen kann: (7.3.9 1)

Im Gewinnmaxim um einer (wederdurch Faktorengpässe noch durch Ab sauresuikiionen eingeschränkten) Unternehmun g ist - unabhän gig von der l\larktfonn oder der Anzah l der hergestellten Produkttypen - das Verh ällrlis der produktindividuellen G renzprodukth'itälen identisch mit dem entsprechenden Verhältnis der (konstanten) Fa ktorpreise.

Beispiel 7.3.92: Eine monopolistische Unternehmung produzi ere zwei Produkte (Outputs: xl bzw. xz) mit jeweils zwei Faktoren (Inputs: r11. r12 bzw. r21' r22) und den Fakto rpreisen kI' kz ( '" const .). A uf der Prod uktionsseite gelten die Produktionsfunktionen: (7.393)

xI = 1O ·fJ IO.S ·r 120,S ;

x2

=:

5' rZ I O,4 rzzO.6 .

Die (subst itutiven) Güt er genügen folgenden Preis-Absatz-Beziehungen: (7.3.94)

P2 =: 400 + 0,2xI - O,4xz

Somit lautet die ErlösfunktionE(x I' XZ) = Plx l + P2x2 = - 0,2x \z + O,3xlxz-0,4xzZ + 100x l + 400xz wo beifür XI, x2 die Abhängigkeiten (7.3.93) gelten. Zusammen mit der Fakto r - Kostenfunktion K = kt(r11 + r21) + kz(rl2 + r22) ergebensichtwegen G = E- K) folgende Gcwinnmaxirnicrungsbcdingungen (siehe (7.3.89)):

A us den beide n erste n G leichungen sowie den beiden letzten G leichungen fo lgt d urch Division und Ableiten von (7.3.93): 0)(,

~

Srll - O.5 · r I20.5

~

k,

Sr l lo.5 · rl2 - 0,5

0)(,

'" 'u

d.h .

or '2

k, k,

=

'"

o r21

0 )(2

arn

=

2r2 , ~O.6 · r220, 6

3r2, o.4 . rn - 0.4

2 r22

=- 3

'"

,

d.h .

Setzt man diese beid en Beziehungen in die erste bzw. vierte Gleichung ein, so folgt nach einiger Umfonnung: (7.3.95)

k, 05 k, OS 2k~ 0 .4 kl = 5 ( .......) . . (-4 ( ....... ) , . "l l + 1,5 ( ----,, ) , . r22 + 100) k2

k2

3k 1

2k,0 .4 k. OS 2k, 0 4 k2 = 3(----" ) ' · (3 ( ....... )' ' TJ J - 4 ( ---"" ) , ' r22 + 400) 3k,

k2

3k,

.

Für gegebene Faktorprcise k l ,k 2 stellt (7.3.95) ein linea res G leieh ungssystem in r ll , r22 dar. So erhält man etwa für kI = 80, k 2 = 40 d ie Fa ktoreinsatzmengen: fJ 1 = 56,79 66 ; r22 = 240,6432 ; rl2 = 113,593 1 ; r21 = 80,2 144 , wora us über die Prod uktionsfunktionen folgende Outputs resultieren: XI = 803, 2246 ; x2 '" 775,3451. Daher werden folgende Monopolpreise (siehe (7.3.94» festgesetzt: PI = 16 ,8896 ; P2 = 250,5069. Bei einem Gesamterlös von 207 .795,4 ] 62 und Faktorkosten in H öhe von 25. 130,3272 ergibt sich ein maximaler Unternehmungsgewi nn von 182.665,0890 G E . AUfgabe 7.3.96: Man ermittle das Gewi nnmaximum in Beisp iel 7.3.92 für die vorgegebenen Faktorpreise kl = 40 G E / ME , ; k2 '" 60 GE / ME 2 .

7.3.2.3 Gewinnmaximierung bei rä u mlicher Preisdifferenzierung Der menopoüsüsche Anbiet er eines Gutes sehe sich mehreren räumlich getrennte n T eilmärklen gegenüber, von d enen jede r eine eigene, unabhängige Prei s-Absatz-Funktion besitze. Das Problem besteh t darin, auf jed em T eilmarkt einen Angebotspreis individue ll derart festzusetzen, dass der Unternehmungsgesamtgewinn G maximal wird. Ei n einfach struktu riertes Beispiel soll das Vorgehen erläute rn:

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

372 Beispiel 7.3 .97 :

Es seien für ein Produkt zwei räumlich getrennte Teilmärkte mit zwei getrennten Preis-Absatz-Funktiunen PI: PI(X l ) und Pz: P2(X Z) vorgegcbcn d urchfolgcndc Bezich ungen: (7.3.98)

PI = 60- XI

I

P2 = 40 - "3 X2

(P1560 ;x l ~60) ;

(P1S40 ; x1 5120).

D ie Unterne hmung produziere zent ral für bcidc Tcilrnärkte, die Gesamt koste nfunktion K lautet: K K(x) = 1Ox+200, wobei x die Su mme der aufbeiden Teilmärkten abgese tzten Produkt einheiten bedeutet: x = xI +x2' T ransportkosten seien nicht entscheidungsrelevant . i) Bei getrenn ter Preisfixierung (Prei_~di rrerenzi e rullg) lau tet die Gewinnfunktion

(7.3.99)

G = EI (xl) + E2(x2)- K(x) , d.h. I

G = PI(x') 'x l + P2(xz) ·xz - K(x) = (60 - x,) 'x I + (40 - "3 "2) ' X2 -lOx - 200 • d.h. wegen x '" x I+x2:

(7.3.100)

z I , G( x ], x2) '" - xl - TX2 + 50x] + 30x2 - 200

Aus den notwendigen Maximalbedingungen folgt:

ec

- " ' - 2x]+50"'0 x] "' 25 MEj

2

-=-, X2+30=0 x2 =4 5ME .

Damit lauten die gewinnmaximalenAngebotspreise. siehe (7.3.98):

PI'" 35 GE /ME (Markt 1) j

P2 = 25 GE /ME (Markt2).

Der maximale Gesamtgewinn beträgt somit

Gm"" = 35 · 25 + 25 '45 -10 ' 70 - 200 = 1.100 GE .

I/p/

ii) Zum Vergleich wird das Gewinnmaximum

ermittelt, wenn der Anbieter keine Preisdifferen zierung betreibt, sondern auf beiden Märk ten denselben einheitlichen Preis p festsetzt . Dazu ist es zunächst erforderlich.die Nachfragefunktionen bcidcr Märktezu cincr Gesamtnachfragerunktlon zu eggregiere n, siehe aueh Bem. 2.5.4. Aus (7.3.98) folgt mit einheitlichem Preis p: X](p) = 60 - P (p s 60) sowie x2(P) = 120 - 3p (p 5 40). Daraus folgt dureh Addition der Mengen x I und x2 für jeden Preis p unter Beachtung der Definitionsbereiche: für p 5 40 für 40

(7.3.106)

mit Ek ,,,,txkPk 0 .

Die Faktor-Gcsamtkostenfunktion laute: K = rl +4r2+ t itz Man ermittle dieMinimalkostenkombination für einen vorgegebenen Output von 800 ME . Aufgabe 7.3. 14 6: Huber hat sich im heimischen Keller ein elek tronisch gestütztes Fa rblabo r eingerichtet und produziert nun nach Feierabend für Freunde, Verwandte und Nachbarn Farbphoto-Vergrößerungen. Die Anzahl x der von ihm pro Monat hergestellten Vergrößerungen (Einheitsfo rmat) hängt ab von der investierten Arbeitszeit t (in h/Monat) sowie der Einsatzdauer einer gemieteten Farbdruckmaschine (die Einsatzdauer m wird gemessen in hJMonat) gemäßfolgender Funktion x : x=3 0·Vt·JIin . (Arbeitszeit t und Maschinenzeil

In

sind som it substituierhare Fak toren !)

Statt im Farblabor könnte Huber in einer Diskothek als zusätzlicher Disk-Manager arbeiten (Nettogage 40 € /h). Pro Einsatzstunde der Farbd ruckmaschine muss Huber eine Mietgeb ühr in Höhe von € 10,- bezahlen. Im Februar soll er 900 Kamcvalsbilder herstellen. Huber überlegtnun, wieviele Arbeitsstunden er im Februar einsetzen soll und wie lange er die Farbdruckmaschine einsetzen soll, damit für ihn die Kosten (ind: entgangene Gagen) minimal werden. Zu welchem Ergebnis kommt Huber?

382

7

Differential rechnung bei Funkt ionen mit mehreren unabhängigen Va riablen

Aufgab e 7.3 . 147: Man ermittle Radius und H öhe eines zylindrischen Gefäßes (ohne Deckel) von einem

Liter Inhalt und möglichst kleiner Oberfläche [d.h. möglichst geringem Matcrialvcrbrauch).

Aufgabe 7,3. 148 : Kunigunde H ube r näht in H eimarbeit Modellkleider (Modrll . Diana "] , Wenn sie I) Stunden pro Woche näht. kann sie 0,5 ' Vi] Kleider fertigstelIen. Ihre Heimarbeit kostet sie pro Näh-

stunde 10,- €, die sie sonst als Aushüfsserviererln in der Kantine des Fachbereichs Wirtschaftswissensehaften verdie nen kön nte . Zusätz lich zu ihrer eigenen Ar beit könnte Frau H uber im Nähstudio

ft Kledasc he" arbe iten lassen. Das Näh st udio verlangt pro Stunde € 30 ,-, in 12 Stunden pro Woc he Kleider genä ht werden. Fra u H uber will genau 7 Kleider pro Woc he produzieren. könn en dort

Vi;

i) W ie so ll sie Eigcn- und Fremda rbeit kombinieren, dam it sie ihrvorgegebenes Prod ukttonsziel mit möglich st geringen Kost en erreicht? ii) Z u welc hem Stückp reis muss Frau H uber ihre Kleider mindestens verka ufen, wenn sie pro Woc he einen Gewinn ( = E rlös minus Kosten) von mindest ens 560 € erwirtschaften will'!

Aufgabe 7.3. 14 9: E ine Untcmehmungsabteilung setzt Facharbeiter und Hi lfsarbe iter ein. Ocr wöc hent liche O utp ut Y [ME ] bei E insat z von F Fachar beiterst unden und H H ilfsarbeiterstunden kann du rch folgende Funktion sgleichung besc hrieben werden: Y

= Y(F. H) = 120 F + 80H

+ 2OA-I - Fz- 2Hz.

Dcr Facharbcitcrlohn beträgt 6 GE/ h, der H ilfsarbeiterlohn 4 GE/h. Z ur En tlohnung de r A rbe itskräfte ste hen der A bteilung pro Woch e 28 4 GE zur Verfügung. M it welchen Zeiten pro Woc he soll die A bt eilung Facha rbeiter bzw. H ilfsarbeiter einsetzen, damit die Produktionsmenge mögl ichs t groß aus fällt?

Aufgabe 7.3 . 150 -a: Die Xaver H uber AG muss 210 kg eines Ge fahrstoffes beseitigen . Drei unterschiedliche (sichgegenseitignicht ausschließende) Verfahren ste hen zur Verfügung: Verfahren I :

Beseitigung du rch das selbst ent w'ickelte Verfahren ~Ordurex M, das allerd ings mit zu nehmender Prozessda uer immer weniger effe ktiv arbeitet: In t I Stunde n können 20 ~ kg des Stoffes besei tigt werden. Pro Verarbe itungsstu nde fallen variable Kosten in H öhe von 30.- € an.

Verfahren 11 : Verbrennung im kommunale n Abfallverbrenn ungsofen . In tz Stunden können dort 30vt;" kg unsch ädlich gemacht werden . Pro N utzungsst unde mü ssen 90,- € gezahlt werden . Verfa hren III: Entsorgung du rch dic Spezialfirma " Pubelle" Gm bH & Co KG. Pro kgdes zu bcscitigenden Abfalls werden 12,- € in Rcchnung gestd lt . A uf welche Weise muss d ie U nternehmung ihr A bfallproblcm lösen, damit die mit der A bfallbcscitigung verbundenen Gesamtkosten möglichst ge ring aus fallen?

Aufgabe 7.3. 150-b: Gegeben seien die Prod uktionsfunk tion x mit: x(q,rZ,r3) = 10' qO,2. rZO,3 . r30,5

ri > 0 ,

sowiedieFaktorpreisc k l = 12,8 G E / MEI , k2 = 6 14,4 GE/ M E 2, k 3 = 100 G E / M E 3.

i) Man ermittle die kostenminimale I nputkombinat ion für das Produknonsnivea u:

ii) Man erm ittle d ie o utputmaxima le Inputk ombination für das Kostenbudget .

x = 64 ME.

K = 2.048 G E .

7.3

Beispiele für die Anwendung auf ökono mische Funktionen

383

Aufgabe 7.3. 150-c: Bei einer verfahrenstechnischen Prod uktion richtet sich der Prod uktionso utpu t x (in ME) e.p. nach folgender Produktlonsfunktion : x '" x(E, A) = 5üDE + 800A + EA - E2 _2A2

(E, A ~ 0) .

A: Arbeitsinput (in h) . Dabei bed euten: E: En ergieinput ün Mwh) ; Der En ergiepreis bet rägt 100 € /MWh, der Preis für Arbe it betragt 50 € / h. i) Bei welcher Inputkombination wird die höchste Produkt ionsleistung erbrac ht ? ii) Bei welcher Inputkombination wird die höchste Produktionsleist ung erbracht, wenn die Produktio nskosten genau 27.500 ,- € betragen sollen'!

Aufgabe 7.3. 150-d: Das Weingut Pahlgrubcr & Söhne setzt zur Düngung seiner Weinstöcke für den bekannten Quali tätswein..Oberföhringer Vogelspinne" drei verschiedene Düngemittelsorten ein: Sorte A (Einkaufspreis 3,- €lk g); Sorte B (6,-€Jkg) ; SorteC (l2,- €/kg) , Der jährliche Weinertrag E (in Hektotitern (hl)) hängt - c.p. - ab von den eingesetzten Düngemittelmengen a, b. c Oeweils in kg der Sonen A, B, C) gemäßder folgenden Prod uktionsfunktionE = 5000 + 2Da + 45b + 40e + ae + 4bc - a L 2b L e 2

(a, b, c

;>:

0) .

Pro Jahr will das Weingut 1.200,- € für alle Düngemittel z usammen ausgeben. Außerdem muss beac htet werden. dass zur Vermeidung von schädlichen chemischen Reaktionen die Düngemittel A und B gcrL.1 u im Mcngcnvcrhälrnls 2:1 (d.h. aufje 2 kg A kommt ein kg B) eingesetzt werden. Bei welchem Dungemitteleinsatz erzielen Pahlgruber & Söhne unter Beachtung der Res triktionen einen maximalen Ernteertra g? Aufgabe 7.3. 15 1: Eine Unte rnehmung produziert zwei Produkte (Outpu t: XI ,x2) jeweils mit den Faktoren Arbei t und Kapital gem äß den beiden Produktionsfunktionen x I '" 2 'A lo,8 ' K t o,2 ;

Xl = 4 ' A 2o,5' K20,1

(A b Kr Faktorinputs für das Produkt i). Die Faktorpreise sind fest: kA = 20 GE/ME A' kK = 10 GEI ME K. Man ermit tle die kostenminimalen Faktoreinsatzm engen für bcide Produkttonsprozesse. wenn vom ersten Produkt 1.000 ME I , vom zweiten Produkt 800 ME 2 produz iert werden sollen.

7.3.3.2 Expa nsionspfad. Fakt orn achfrage- und Gesamtkostenfunktion Im Z usammenha ng mit der Frage (7.3.123) bzw. (7.3.142) nach der "Mi nimalkoslenkombinalio n" stellt sich die weitere Frage. in welcher Weise sich die Minimalkostenkombination (q , r2' ...) ändert, wenn das Produküonsnrveau x verschiedene we rte a nnimmt. Wie Abb. 7.3.152 verdeutlicht. wlrd durch eine sukzess ive An hebung des Produktionsnivea us x (Isoq uant en liegen immer weiter rechts obernste ts ein neuer l\1inimalkostenpunkt p(r ,.r2) erzeugt, dem immer höhere (minimalc) Gesamt kosten K entsprechen . Der Ort aller so erzeugten Minimalkostenpunkte (in Abb. 7.3 .152 stark ausgezogen) heißt l\lin imalkostenlinie oder Expanslonspfad. Eine kostenminimierendeodero utpu tmaximierende Unternehmung wird nur diese Inputkombinati onen realisieren.

f xpansionspfad

o Abb. 73. 152

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

384

Die Herteüung der Expan siOfLspfatlgleichun g T2 = T2(q) kann Ober die Optimalbedingungen (7.3 .136)

(bzw.(7.3.143» erfolgen, sofern die Isoquanten konvexund die Faktorpreise konstant sind. Das Verfahren soll am Beispiel einer Cobb-Dougles-Prcdukncnsfunkuon x = c· Tl a. T2b mit zwei InpUlfaktoren demonstrien werden . Die notwendigen Bedingungen für die Minimalkostenkombination fü hren auf die bereits bekannte Bedingung (7.3.128):

(mit kl,kz als feste n Faktorpreisen ) .

(7.3.!53) Da wegen x = c TI3 ' TZb gilt:

ax = c ' a - Tt a. l. r2b

ar

sowie c ·a · ll a - l. r2 b

erhält man durch E insetzen in (7 .3.153):

C'b' Tl a' T2b - 1

Daraus folgt unmittelbar die gesuchte Funktionsgleichung des Expansionsprades (einer Co bb- Doug tasProd uktionsfunktion) Der Expansionspfod slnsr

('2)

k, a r2 = r2(q) = --. . _ . rJ k, b

(7,3. 154)

Cobb-Dovglos~

funktionist eine U-SprungsgIJrode

Für die Prod uktionsfunktion x mir 10· rl o,4 . f20,9 und die Faktorpreise kl = 12; k2 = 18 lautet die Gle ichung des Expan sionspfades : tz = 1,5 r}. Bei~piel :

x=

Man sicht, dass de r

Expan~ion~p rad

'.

einer Cobb-Dou-

glas-Produktlens-Funküon eine Unopru ngsgerade ist

"

('1 1 (siehe Abb . 7.3.155). Dies gilt für de n Expansionspfad jeder homogenen Prod uktionsfunktion (sieheet- 0 2 I

t

I

k

,

3

V t2

-

1[""k,"

f2 = (16(2' fl )O,4) 1,2 = 12,6992 ' 2

b) Für vorgegebene Faktorkosten K = 1.200 GE folgen aus (7.3.157) die Nacbfragefunktioncn: 400

800

fJ "" k;"

f2 = k; '

zu ii) Gesamtkostenfunktion K (x) Setzt man die Beziehungen (7.3 .156) in die Faktorkostenfunktion K "" kl rl +k1r2 ein, so folgt (mit x statt x): k

- '-

b

k

'

K(x) = k l( ~ (~ . ~ )b )~ +b + k1( ~ ( -;. ~ )a y+b = [ k, ( -

(7.3.159)

I

c

k

-

,

( ..!. . ...l )b) B+b b

d.h.

kt

-'K(x) "" (k lCJ + k2Cl ) ' x a+b = k · x

..,,

(mit k ], k2' tj, ca = const., d.h. k ,= k ic i + xl cl " const.)

Die Kostenfunktion K(x) einer Cohb-Douglas-Produktionsfunkcion x = c · fJa . 12b ist somit eine Potenzfun ktion. Die Summe a + b der parti ellen Etastfznären (d.h. der Homogenitätsgrad r bzw. die Skalenclesüz nät Bx)' siehe (7.3.18) bzw. (7.3.24» ist für den speziellen Typ der Kostenfunktion maßgebend ;

IKI

--jL

IKI

la·' ='1 Ixl Abb . 7.3. 160

I IKI

lxi ---Abb. 7.3. 161

+---=

I a. '

d

I

- 'IXI

Abb. 7.3, 162

386

7 (1)

Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Im Fall konstant er Skall'nerträge (d.h. a-s h > r ~ I) ist K Ilnear: K(x) = k -x , slche Abb. 7.3.160.

(2)

Im Fall steigender Skalenerträge (d.h. r = a-b > 1) ist wegen a~b < 1 die Kostenfunktion K (7.3.159) unterllnear , wächst also degres.~iv . (Beispiel: a+ b=2 => K(x) = k ' x 1f2 = k' VX , siehe Abb. 703 .161)

(3)

Im Fall sinkender Skalenel1räge gilt a+ b < 1, d.h . a ~b > 1 , die Kostenfunktion wäch~t überlinear (progressiv). (Beispiel: a- b = 0,5 => K(x) = k · x2, sichc Abb 7.3.162)

Beispiel 7.3. 163: i) x = 2qU'.(' r20,6. Mit ge gebenen Faktorpreisen kl = 2 ; k2 = 5 lautet die Kostenfunktion nach (7.3.159): K(x) = 3,3966 ·x (linear, da konstante Skalenerträge). ii ) Für die Prod ukttonsfunktion x = ; rl O.25 . r20,25 und die Faktorprcise k l = 8 1 ; k2 =: 16 lautet die Kostenfunktion nach (7.3.159): K(x) = 162x2 (progressiv, da sinkende Skalenerträge).

Aufgabe 7.3.164: Gegeben sind dic Produktionsfunktion x = 10· q O.7 . r20,3 sowie die konstanten Faktorpreise kl = 12, k2 = 18. Man ermittle i) die Gleichung des Expansionspfades , ii) die Faktornaehfragcfunktion für das Kostenbudget K = 400, in) die Kostenfunktion K(x). Iv] die Minimalkostenkombination für das Produktionsniveau 200. Aufgabe 7.3.165: Gegeben sind die Produktionsfunktion x = q . r2 ' r3 SO\\1C die konstanten Faktorpreise kl = 2; k2 = 3; k3 = 5 . Man ermittle die Gleichung der Gesamtkostent"unktion, sofern stets Minimalkostenkombinalionen realisiert werden. •Aufgabe 7.3. 166: Man zeige, dass die Kostenfunktion K(x) (siehe(703. 159)) cincr Cobb-Douglas-Produktionst"unktion x = c · q a . r2b bei festcn Faktorprciscn k 1,k2 explizit lautet: (7.3. 167)

1

k

K(x) = [ c( 7

?(ik

.i,

- '-

)bj a+b. (a + b) ' x H b

Aufgabe 7.3. 168: Gegeben sind die Produktionsfunktion x = 2q 0.5. r20,5 S0\\1edie Faktorpreise k1= 8; k2 = 18. Vom zweiten Faktor werden stets konstant 72 = 100 ME erngesetz t. i) Man ermittle über K = k lfI +k2r2 die Kostenfunktion K(x). ii ) Man ermittle den Output x im Betriebsoptimum.

iii) Man zeige, dass im Betriebsoptimum g1cichzeitig die Minimalkostenkombination realisiert wi rd. Aufgabe 7.3. 169: Gegcben seien die Cobb-Douglas-Produktlonsfunktion x = C' rl a . l2b sowie die fcstcn Faktorpreise kl.k2' Vom zweiten Faktor werden konstant stets 72 ME eingesetzt. i) Man ermittle (über K = kI l 1 + k2(2) die Kostenfunktion K(x) so.....ic dicOutputmcngeim Beu icbs-

optimum. ii ) Man ermittle die Outputmenge bei Rcalisicrung dcr Minimalkostenkombination (mit [ 2 = const.).

iii) Man zeige. dass im Betriebsoptimum genau dann die Minimalkostenkombination realisiert ist, wenn die Produktionsfunktion linear-homogen Ist.

7 .3

3'7

Beispiele fü r die A nwe ndung auf ökonom ische Funktionen

7.3.3.3 Nutzenmaximieru ng und Hau shalt soptimum Das Grundprinz ip der N utzenmaximierung mit llilfc der Lagrange-Met hede wird als wichtiger Baustein für einige klassische ö konomische D isziplinen, wie etwa H aushaltstheo rie. Konsumt heo rie ode r A llokationst heorie (Woh lfahrtsö konom ik) benöttgt. Die konsumabhängigcn Nut zenvorstellungen eines individuellen H aushalts seien in Form einer (o rdina lcnll) Nutzenfunkt ion U: U(Xt,...,xn) quantifiziert: Ko nsumiert der H a usha lt die Gü tennengen xI. x2" " " "xn (wobe i Xi die Menge des i-ten G utes bed eutet, i = 1•....n], so st iftet diese r Konsum den Nutzen (ausgedruckt du rch de n ~ Nu t zen i ndex ") U = U(xJ,...,xnJ. Unters tellt man weiterhin, dass der H aushalt zur Befriedigung sei ner Konsumwü nsche den Betra g C (Konsumsumme od er lI alL~haIl~budget ) aufwenden will. so laut et - feste G üterpreise PI , ..., Pli vorausgesetz t - das klassische P roblem der ;'Ii utzenmaxi mienmg: (7.3 . 170)

In welcher Mengen ko mbinatio n (x J>x2,...,xnJ so ll ein H aushalt n verschiede ne G üter {Güterpreise: p j'P2, ...•pnJ nachfragen und kon sumie ren, um mit der \'orgegehenen Kcnsumxumme C einen m ögl kh~t hohen Nutze n zu erzielen?

[Haush attsoptimum, Housha hsgleichgewicht] fo r mal: (7. 3. 171)

Ma n maximiere d ie Nuraenfunk uon U(x J,x2,...,xnJ unter Bcrücksichti gung dcr Budget Nehe nbe dingung C = PJx J+P2 x2+ ... + PnXn = eonst..

W ie man durch einen Vergleich mit (7.3.1 42) bzw. (7.3 .123) erken nt, handelt es sich beim Proble rn der Nutzenmaximierung um eine zum Problern der l\li nimalkl»iten kombtnauon ä qulvetenre Fragestellun g. Hier wie do rt setzt man La. außerdem voraus, da ss die Indi lTcre nzlinien (Linien gleichen N ut zen s) - den Isoquanten im Fall der M inimalkostenkombinat ion ents prechend - fallend und konvex sind. sie he A bb . 7 .3. 172. Im Fa ll der Nu tze nfunktion wir d dadurch der E rfahru ngstatsache R echn ung getragen, dass eine E inheit eines G utes desto leichte r substituie rt werden kann, je mehr der Ha ushalt vo n diesem Gu t be reit s kon sum iert . Wah rend im z- Gütcr-Falt die graph ische Ermlttlung des H aushaltsoptimums Q in A bb. 7.3 .172 deu tlich wird - man vergleic he d ie Analogie zur M inimalkostenkomb inatio n - . erfolgt d ie Nu tze nmaximierung im n-C üter- Fan mit de r La grangeM elhotl e: A us de r Problemstellung (7 .3 .17 1) ergibt sich a ls Lagra ngefun ktion L: (7.3 .173) 10

siehe etwa (50J, 69 ff.

Abb . 7.3. 112

7

Differentialrechnung bei Funkt ionen mit mehreren unabhängigen Variablen

Dam it la ute n die notwen digen! l Bedingungen für da s Haushaltsoptimum

,e

(7.3, 174)

ou

- ,t.

ax

ax

0

(I )

-"h

~ - ,t ' pn • 0 i'l x

(n)

"0

PI

n

(n +1)

Die G leichungen (I) bis (n) habe n dieselbe Str uktur, fü r zwei beliebige, etwa (i) und (k), gilt : .

i'lU - ,t . Pi = 0 ; (k) i'l xi

('j -

eu

-

i'lxk

- A' Pk = O.

Dara us folgt:

,U (7.3.175 )

(a)

Pk

p;- =

o'~ k

i'lU

bzw.

(b)

au

-

i'lxi

i'lU

OU

OXj

OXk

Pi

Pk

=

i'lU. = I..Pk i'lxk

APi , -

-- . - - . ,

und da her:

für alle i, k = 1,2,.... n.

OXj

Damit haben wir in An alogie zu Satz 7.3.139: Salz 7,3. 176: (Ha ushaltsoptimurn) E in H ausha lt maxim iert seinen Nutz en U im Rahme n seiner Konsumsumme C. inde m er die (zu fes ten Preisen verfügbaren) nutzen stiftende n Ko nsumgüter in einer solc hen Mengenkombination (x],x2,...,xn> nachfragt und konsumiert. dass i) die Grenznut zen je zweie r he liebiger G üter sieb wie die ents prec hende n C üterprelse zueinan der verhalten. hzw. ii) de r G re nznutze n pro a ufgewendete r Geldeinheil (der Grenznutzen des Geldes ) für sämlli che Güt er gleich ist (,,2. Gossmsches Gesetz ") .

Bemerku ng 7.3. 177: i) Nach (7.1. 75) fo lgt mit ( 7.3.175) (a) :

P pk = i

~:' / ~U = - ~; ,

....... k

wcndctc McngcvonBloIcl und Stölpcl zu samm en gena u 100 Einheue n betragen. Bei welchem Blofelcinsatz und bei wcle hern Stölpclaufwand wird nun der D rupschquoticnt maximal?

Aufgabe 7.3. 183-a:

Ei n durchschnitt licher 4 -Pcrson cnh aushalt gebe pro Monat für Nah rungsmittel.

Wohnung. Energie und Körperpflege gcnau 2.400,- € aus. Das durchden Konsumdieservier Guter erzielbare Nutzen niveau U des H aushaltes richte sich nach folgender Nutzenfunktion :

U(x" x2' x3' x~) = l.OOOX\ + 4.880x2 .. 2x2x3 + x,x4 . Dabei bedeute n: xl: monatliche Nahrungsmitt elau sgaben (in € / Mona t): Xl : zur Verfügung ste hende Wo hnfläche (in m 2); x3: monatliche r E nergicverbraueh (in kWh/ Mo nat); x.r mon atftchc Ausgabe n für Körperpflege (in € / Monat). Die Monatsmiete be trägt H,- € / m 2, der E nergiepreis betr ägt 0,20 € / kWh . In welchen Mengen soll de r H aushalt die vier GUter" konsumierenu, damit e r darau s maximale n N utzen zieht? Aufgabe 7.3. 183-b: Naeh dem a ufse henerregen de n Bericht eines E nt enhauseuer Fo rschungsinstit utes hängt die H öhe H des Barvermögens vo n O nkel Dago be rt einzig und allein ab von der H öhe R (in R E) des von ihm eingesetz ten Raffs und der H ö he S (in SE) des von ihm aufgewendeten Schn apps. Es konnte auße rdem jetzt erstmal ig der zugrundcäegcnde funktionale Z usammenh ang besc hrieben werde n: H :< H (R ,S) :< 200 S 0.8 (R,S > 0)

VR .

i) Bei welch em Raffeinsatz und welc hem Schnappautwand wird O nkel D .'s Barver mögen maximal'!

ii) Spät er stellt sich heraus, dass aus umwelt hygienisc hen Gründe n die insgesa mt eingesetzte Menge von Raff und Schnapp zusamm en nur 130 E inheil en betragen kann . Bei welc hem Raffeinsatz und welchem Schnappa ufwand wird nunme hr O nkel Dagobcrts Barverm ögen maximal? ..Aufgahe 7,3 ,183-c: In einem abgegrenzten T es tmarkt hängt die N achfragc x (in Al E/Jahr) nach DVDrecor dern des Typs " G lozz uab a) vom Preis p (in GE/ME) des Gcrätcssowie b) vortrScrvicc s (Kundendienst...) des Prod uze nten ( s (in GEIluhr) = Höhe der jährlichen Serviceuufwendungen) . Der jährliche Aosatz x in Abhängigkeit von p und s kann wie fo lh'l. besc hrieben werden : x:<x(p ,s) =5 .000 - 2p - 1 .~

p.s c- ü .

Die d urch Prod ukt ion und Absatz (aha no ch ohne Service-Aufwendungen} hervorgerufen en Kosten setzen sich wie folgt zusamm en: Fixkosten. 10.000 G E / Jahr ; stückvariab le Kosten: 10 GE/ME. Für die Gesamt kosten pro Jahr müssen zusätzlich die Service- Kosten berüc ksichtigt werde n. Wie soll die U nternehmung den Preis festse tzen, und welche jährlichen Service-Aufwendungen soll sie tät igen, da mit der jährliche Ges amt gewi nn maximal wird? Aufgabe 7.3. 183-d: D ie Nachfrage x (in ME/Jahr) nach einem Markenart ikel hänge -c.p.- ab von seinem Pre is p (in GElME) und vo n den Au fwendunge n w (in GE/Juhr) für Werbun g (und ande re marketingpo litis che Inst rumente). Langjährige Untersuchungen führen zur folgende n funkt ionale n Bezie hung zwisch en x, p und wr x = x(p ,w) = 3950 -20p +

V;

(p,w >O) .

Bei der Prod ukt ion des A rtikels fallen fixe Kosten in H öhe von 79 50 GE/ Ja hr an, d ie stückvariablen Prod uktionskosten be tragen stets 79 GE/ ME. Selbst verständlich sind auch die jahrliehen Market ingausgaben wals direkte Kosten für den A rtikel anzusehen. Wie soll die Unternehmung den Preis p festlege n, und welche Marketi ngausgabe n w soll sie jährlich tä tigen, dam it d er J ahres-Gcsamt gcwinn maximal wird ?

7.3

Beispiele für d ie A nwc ndung auf ökono mische Funktio nen

393

Aufgabe 7.3. 184: Der Bundesbild ungsminister will in einer Sonde raktion Professoren, Assistenten und Tutoren zur Schulu ng von Stude nten in Prozentrechnung ei nsetzen. Bezeichnet man die E insatzze iten (Jilr Cumcularentwicklung, did aktische Umsetzung, Seminare, Gruppena rbeiten. Korrekmr von Übungsuujguben usw.) von Assisten ten. Profes soren bzw. Tu toren mit A. P bzw. T (jeweils inS tunden), so ergib t sich der stude ntische Le rnerfolgsind ex E gemäß fo lgender Lcmru nk non: E(A. P, 1) = 100 + 50A + 80 P + tOT + AP + PT - A L O,5p L2 T2. Einsatzhonorare- für Assisten ten 18,- € /h , für Professoren 36 ,- € /h, für T utoren 12,- € / h. i) Wicvicle Stunden jeder Kategorie so llte n geleistet werden. damit der studentische Lernerfolg in

Prozent rechnung möglichst hoc h wird" Wievie l Prozent der a) Gesamtarbeitszeit b) Gesamtkosten e ntfallen dan n auf den Tutorencinsatz? ii) Wie m üsse n die Einsatzzeilen geplant werde n, wenn ein möglichst ho her Lernerfolg a ngest rebt w-ird, der Bildungsm inistcr für diese &:hulungsaktion aber nur 5.430,- € ausgeben kann und wiII? Mit H ilfe von Proze ntza hlen (!) vergleichc man Lernerfolgi ndizes und daf ür erforderliche Kosten von i) und ii).

7.3 .3 .4

N u tzen maxim a le Gü temachfrage - und Konsumtunktto nen

Im A nschluss an die allgemeine Diskussio n der Nutzcnmaximierung (siehe K.1p. 7.3.3.3) stellt sieh d ie Frage, welchen Etnü uss I) Ände rungen der Konsumsumme C 2) Änderunge n de r Cüterprcise PI, P2' ...

bzw.

auf das lI au..bansopumum bes itzen. Um auch jet zt graphisch-a nsc haulich a rgumentieren zu können, beschrän ken wir uns zunäc hst auf den 2-Guter-Fall. I) Ände rungen der Kons umsumme C (Pl 'P2 fest ): E ine Veränderu ng der Konsumsumme (hervorgerufen etwa durc h hö heres Einkomm en ode rgewandeltes Konsum-/Sparverhahcn) bedeute t eine Pa ralleherschiehung der Budgelgeraden (da wegen der Preiskonstanz auc h das Preisverhältn is und somit die Steigung - Pl/ p2 der Budgctgcradcn u nvcrä ndert bleiben). Zu einer jeden Konsumsumme CI gibt es gcnau ei n Haushaltsoptimum Oj , siehe A bb. 7.3.185. A lle d urch Variation de r Ko nsumsumme erzeugten Haushaltsoptima 0 1, 0 2, 0 3' 0 -1, ... liegen auf einer Kurve, der sog. Einkommen - Konsum Kurie ode r Engel- Kur..e l 2: x2 = x2(x I) (siehe den stark ausg..c zogenen Kurvenzug in A bb. 7.3.1!l5). E in nutze nmaximierende r Haushalt .....'ird bei variiere nder Konsumsumme und konstantem Gü te rpreisverhältn is dah er nur die du rc h die E ngelkurve bes chriebenen G ütermengenkombinatio nen konsumieren. 12 E. Engel, I H21-] K96, preußisc her Statistik er

Einkommen - Konsum Kurve (Engel . Kurve!

x;rx/ x,' mitpI,P;rconst

v,

o Abb. 7 3.185

394

7

D ifferentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhäng igen Va riablen

Bemerkung 7.3.186 : Ein Vergleich mit Kap. 7.3. 3.2, A M . 7.3.152, zeigt, dass die Etlgelkllr~ eines nutzenmaximierenden Haushaltes dem Expansions pfad eines kostenminimierenden Produzenten entspricht. Die Kenntnis der Engelfunktion x2(xJ) gestattet d urch Bestimmen der beide n Koordinaten xl ' x2 des H aushallsoptimums bei wechselnder Konsumsunune C außerdem die E rmittlu ng der Beziehungen XI = X\(C) snwie x2 = xAC). d.h. der GÜlernachfmgefullktionen in Abhängigkeit von der Konsumsumme. Beispiel 7.3. 187:

Gegeben sei die Nutzenfunktion U mit 2" . x U(x l. x2) = ~ ,

,

die fallende und konvexe Indifferenzlinien (Übung!) besitzt. Die Gutcrprclso PI = 1 GE /ME! und P2 = 2G EI ME-.2 se ien fest vorgegeben. Dann lau ten die Bedingu ngen (7 .3.174) für J as H a ushahsoptimum: ( 1)

as,

-----"-z - ;. ( I+ Xj)

z«,

= 0

(2) ----'- l + x1

:v. "" 0

(3) C - x t - 2X2 =0.

4

A us J en Gleichunge n ( I) und (2 ) folgt durch E liminati on von ;' die G leichung de r E n~,'clkulVe (siche Ab b. 7.3 .189)

3

(7 .3.188) 1:=8

Setz tman (7.3 .188)in (3) ein.so fulgt:

C-X t-X tL X, = 0

bzw.

u:",

x12 +2 xt - C = 0 .

1:=3

Die Lös ungen dieser quadratischen G leichungen laut en: XI = -1 ± VT+C . Da XI stets positiv ist, kommt nu r die pos itive Lösung in Betr acht. und man erhalt : (7.3 .190) (7.3 .191)

Xl = xl (C) =

vc:;:-l -

1-----'-----"--'------

I

2

3

Abb. 7.3. 189

sowie x2 mit (7.3 .HlH) zu;

-----,;=----1

xz = x2(C) = O.5( C+ 1 -

o

V"C+l)

siehe A bb. 7 .3.192 .

l /x,1 3

3

2

2

01

x/CI

ICI

s

ICI

s

'0

'0

Abb. 73. 192 Auch diese Gü tcm achfragcfunktlonen in A bhängigkeit der Konsu msumme werde n E ngelfunktio nen genannt. Wie aus Abb. 7.3 .192 ersichtlich, handelt cs sich bei beiden G ütern um .mormalc " Gü ter.

Beisp iele für die Anwendung a uf ökonomische Funktionen

7.3

395

2) Änderu ngen der Güterpreise Pt . pz a) Ä ndern sich PI und P2 proportional [d.h. um den selben. z.B. intlationsbcdingten. Faktor k (*0». bleiben da s Preisverhä ltnis Pl /pz und som it die Steigung - 1'1/1'2 der Budgetgerad en unverän dert:

C=

Seien etwa PI * ' Pz * die neuen Preise, so gilt:

pz* = k · pz. Über d ie Budgetrestriktion C = Plxl +pzxz fo lgt die

const.

PI* =k ' PI

-1--

Gleichung de r Budgetgerad en

-

-

-

{x, 1

-

- ' cP,

(7.3. 193) P,* = 2P, Pl'=2Pl

Setzt man d ie ncucn Preise an die Stelle der alten Preise. so fo lgt

P•

xz"' -~ d.h .

C

x I + P2* '"

Xz '" -

.~l. x I + P2

kp

Abb. 7 3. 194

C

- ~' XI + kP2' C kP2 '

Die Steigung der Budgetgeraden bleibt unveränd ert. led iglich der O rdina lenabsdmill sinkt (fü r k > 1) bzw. stelgt (für k < 1). Daher wirkt proportionale Preislinderun g bei allen Gü tern wie eine Ällden mg der Konsums umme C. A bb. 7.3. 194 zeigt diese n Effekt graphisch für Preisverd oppelu ng. Die Budge tgerade wird pa rallel nach unten verschoben. die Mcffekt ive" Konsumsumm e sinkt um 50% a uf C/2. Dens elben Effekt (bei unveränderten Preisen PI' pz) bewirkt eine Venn inderungder Ko nsumsumme auf die H älfte des ursprünglich en w erns. Das mit der urspr ünglichen Konsumsumme C erzielbare Nutzennlveau sinkt daher wie bei einer ents prec henden Einkommensv erminderun gohne Preislinderung. Bemerkung 7.3.195: Der Haushalt könnte sein bisheriges N utzenn iveau erhalten, wenn rr seine Konsu m summe C den gestiegenen Preisen anpaHI, also C ebenfalls m it d em Preis önderungsf aksor k (*0) m ultiplizien : C· = kC Dan n law et die Gleichung d er Buägetgeroäen C* = k C = kp I + kp]X .2 = P l · x l + Pt · x t und ist daher - wie m an nach Division durch k feslI teilt - iaentiscn m it der ursprünglichen Budgetrestrik tion C = Pr t + Pr?" Bei proportianaler ..i:nderung sowohl der Preise als (weh der KOIIS/UlISllmme um del/seiben Faktor ändert sich daher d as Heushausoptimum weder bzgl. der G ütermengenk om bina tion I/och hzgl. des erzielbaren Nutzenniveaus. Man sagt, der Ha ushalt sei "frei

r

VOll Geldillllswllell ".

b) Im Z usammenhang mit bellehiger Güterpreisände rung sei zunächst die Ä nderung eines einzigen Preises , etwa PI, bet rac hte t (1'2 . C fest).

.s:

Dann bleibt der Ordinatenabschnitt der Budgergeraden (7.3 .19 3) stets un\'er änd efr. Die Sleigung -P l/pz der Budgetgeraden ist stets negativ und nimml mit ~ Ieigen dem Prei~ absol ut z u. siehe A bb. 7.3.196 (je hö her PI' desto steiler d ie Budgetgerade). Die Verhindullgslinie 0 1' Oz. 0 ), 0 4. ... aller Ilal1~ha1I'iO"lim a bildet die sog. Prels-K onsam- Kurve ode r c ttcr-curve. E in nutz enrnaxim ie-

.offer-C/IfYe -

c p, =

Abb, 7.3. 196

c

Pi

396

7

Di ff erentialrechnung bei Funk tionen mit mehreren unabhängigen Variablen

render Haushalt wird für jedes PI nur die durch die offcr-curvc determinierten Giitcnncngcnkomhinationcn x I, xl (mit 1'2. C fest) realisieren. Durch passende E limination gelingt es La . stets, (ur den Fall der Varia tion aller Gül erpreise die zugehö rigen Nachfrngefunklionen xI :: xl( P I. Pl ) ; x2 : " z(P!. Pl) zu ermitt eln,

Beispiel 7.3. 197: (Fortsetzung von Beispiel 7.3.187): Mit allgemeinen Prcls- bzw. Konsumsummcnparametem lautet die Lagrangefunktion. 2X1 X2

'L

' .. ·.Pn. C,,1.) durch Elimination entsprechender Variabler reduzieren auf eine Gleichung mu (höchstens noch) n +2 Variablt'll. Auf diese Weise können wir stetsdie allgemeine NachjragefimkJw/l x i eines nutzenmaximierenden Haushalts nach irgendeinem Konsumgut in Abhängigkeil allerGüterpreise Pi sowiederKan-

sumsumme C ermitteln:

• (X21

s

{p,I

+--- - - - - -

o

5

15

Abb. 7 3.205 (i=I. 2, ..., n)

Differe ntialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

7

398

U m allgemeine Preis- bzw. Konsumsummenänderunge n heim w-ichtigc n Cobb- Doeg tas-Nurzenfunküonstyp einerseits und für den allgemeinen n -O üter- Faü andererseits diskutieren zu können, sei abschließend eine Cobb- Douglas- Nut zcnfu nkt ion mit n Variablen bet rachtet : (7.3.206)

" "

I

M axim iere

".

V:; c ' x I I·X Z 2 · ... · xn

m it

Die O ptimalhcd ingu ngcn (7.3.175) la uten:

,U ~ _

(7.3 .207)

au -

'"

C - a; ' Xl a ! .

P,

c '~ ' xl a l

P,

Daraus folgt durch Kürzen: i.k = 1,... ,0 .

bzw,

(7.3.208)

Daher kan n man sämtliche Mengen xI ' »i • ...• xn du rch xi ausdrücken: xl =

Pi

Ul

Pi

~

X2 "' P2 " ii "Xj :

~ ' ii 'Xi ;

Xn :;

.!1 .u" P lI j n

Xi

Setz t man diese n - J Beziehungen in d ie Budgetrestriktion Plx\ +P2x 2+ ... + PnX n = C ein, so folgt:

p. ,a2 • X. + I

aj

... + pjXj +

l

+ pj ' ;, ·Xj=C

und daher

De r Klammerausdruck iSI nach (7.3.18) gcna u der H omoge nitä tsgrad r der Cobb-Douglas-Funktion, so dass man schlie ßlich die folgende Gleic hung crb än:

i = l ,...,n .

(7.3.209)

( C Konsumsumme des H aushalt es: xi: nach gefragte Menge nach dem i-t en G U!; Pi: Preis des i-tcn Gu tes; ai: Elastizität des N utzens bzgl. des i-tcn G utes : r: H omogcnität sgrad der Cobb-Douglas· Nutzenf unklio n ) Man erkennt, dass die N achfrage xi naeh de m I- ren G ut außer von de r Kon sumsurrune C nur noc h vom Preis Pt ab hängt. nic ht abe r von den ubngc n G uterpreisen. J e nac hdem, welche der beiden Var iab len Pt bzw . C konsta nt gehalten wird, folgt:

l lx)

(- -

-

(p/ =

coosü

-

-

Abb. 1 3. 2 10

IC/

Ip) Abb. 1 3.2 1f

7 ,3

i)

Beis piele für die A nwend ung auf ökonomische Funkt ione n Sei Pi = const. Da nn lautet die Engelfun kliewl : gerade im (C ,xi)-Syslem , siehe A bb. (7.3.210).

399

' (Cl = -a' - , C I r -Pi

ii) Sei C = cons t. Dann tautet d ic Xachfn lgefunktion;

Xi(Pi) =

3- -c

I, ist also eine Ursprungs-

I

- '-, - '"'P;

, ist also eine (monoton)

fa llende) H yperbel im (Pi ,xj}-System, s. Abb . 7.3 .21 1. iii) J ede oüer-c urve xi = Xi(Xk) mit

Beispiel 7.3.212: fu nktio n

,

C

_ .- = r Pi

Pi '" const. ist eine Konstante:

const.

Für d ie Cobb-Douglas-N urzcn-

U = U(x i , x2) '" 4 x , 1I,5 ' X2 0 ,25

I lx; 1

lauten die aus (7.3 .209) resultierenden Optima lbedtngunge n:

x,

0.'

C

0.75

P,

0,25 . .f.

'2 = 0,75 P,

2

C

1

C P2

T P, 3 '

Für festes Budget , z.B. C '" 48 GE, lauten die Nac hfragc funktio ncn : 32 16 x,(PI) = - ; xiP2) = PI P2

6

2

Die oner-curves lauten damit etwa :

a) PI = 4 '" const .: h) P2 = g = const.:

2

XI'" 8 = co nst. x2 = 2 = cons t.

4

tr

5

•••

6 6 ._ I

Abb. 7 3.213

(siehe A bb. 7.3 .213). Dic Engclfunktioncn laute n (für PI '" 4

3

P2 '" 8):

a) XI '"

~

C ;

Aufgabe 7.3.2 14: Gegeben ist für einen H aushalt d ie Nu tze nfunktion U : U(Xl,x2) = (xI+ lX x2+ 4). Der Preis P2 des zweiten Gu tes ist fes! vorgegeben: P2 = 4 G E /ME 2· i) Für

p, '" I GE/ ME, und die Kons umsu mme C '" I OUG E e rmitt le ma n das H aushaltsopttrnum .

ii) Wie laute t für konstan tes PI (z .B. PI = 1) die Gleichung Xl = x l(C) der E ngclfu nktio n des erste n

Gutes" iii) wie lautet für konstantes H aushalts budget (z.B. C '" 100) die Gleichung XI '" x, (p, ) de r Nach-

fragef unktio n nac h dem ersten Gu t? Ist

X I(PI)

monoton ab nehmcnd'!

lv) Wie laut et für konstan tes H aushaltsb udget die Nachtragefunktion x2 = xA pl), die die Nachfrage nach dem zweiten Gu t in Abh ängigkeit vom Preis des erst en Gutes besc hreib!'! H andelt es sich um substitutivc oder komplement äre Gü ter? \') Man ermit tle im (x I ,x2)-System die Gleichu ngen der a) E ngelfu nktion x2(xI) b) Preis- Ko nsum- Kurve (offer-curvc) x2(xtl

(p 1 = 12 ,. P 2 = 4 ,- C variabel) (Pl '" 4 ,. C = 100 ,- PJ variabel],

401

8 Einführung in die Integralrechnung Die mathemat isch-technische Grundlage der Dlfferen nal rechnung sind der Begriff und die Ermin lung de r Abieitullg f'[x) einer vorgegebene n Funktion f: fex). A ber auch die umgekehrt e Frages tellung ist von

Bedeutung; Wie erhält man - ausge hend von einer gegebenen Ableilungsfunktion gende O riginaIrunkt ion r ?

r -

die zugrunde lie-

Ein ökonomischesBeispiel solldie Problemstellung verdeutlichen: Bei~picl 8.0. 1 :

Eine Ein-Produkt-Untemchrnung sehe sich folgender Grenzkostenfunktion K': K'(x)gegenüber: K'(x) '" O,3x2 - 4x + 21 .

(8 .0.2)

Wie kann die Unte rnehmung da raus die G leichung der Gesam tkos lenfunktion K.: K(x) ermi ttel n? Gesucht ist also eine Funktion K: x l-t K(x) derart, dass ihre Ableitung K' genau die Grenzkostenfunkt ion (8.0.2) ergibt. M it den E rgebnissen der Differentialrechnung kann man eine Lö sung schrittweise gewinnen:

(2)

Die Abl eitung von x 3 ist 3x 2 , daher ist 0,3x 2 die Ableitung von O,l x 3. A nalog: -4x ist dieAbleitung von -2x 2 .

(3)

2 1 ist die A bleitung von 21x.

(1)

Damit erhält man als (vorläufiges) Ergebnis : (8 .0 .3)

K(x) = O,tx 3 - 2x2 + 2lx

(Kontrolle du rch Ableilen) .

M1n kann z ur Kostenfunkt ion (8.0.3) offenbar noch einen be liebigen Fixkostenwert Kr = cons t. h inz uaddieren, ohne dass die Grenzkosten (8.0.2) sich ändern; (8 .0.4)

K(x) = 0, tx 3 - 2x2 + 21x + Kr ,

denn die A blcitung der additiven Konst ant en Kr wird ste ts Null. Die Kostentu nktion (8.0 .4) ist dahe r ers t durch Vorgabcder Fixkosten einde utigbcstimml. Die dem letzten Beispiel zugrundcliegcnde Problemstellung soll im folgenden genauer un tersucht werde n.

8 .1

Das u nbestimmte In tegral

8.1. 1

Stammfun ktion und unbestimm tes Integral

Wie zuvor beispielhaft anged eutet, gib t es zahlreiche Prob leme in der Ökonomie, zu deren Lösung es erforde rlich ist , aus der Kennt nis de r ersten Ableitu ng f ' die zugehörige Original- ode r Stam mrunktion f zu ermitteln, also gewissennaße n den Ableit ungsproz ess rü ckgän gig zu machen , ihn umzukeh ren. Diesen Vorgang nennt man in der Ma thematik "integrieren". Beispiel 8.1. 1: Durch Integrieren (oder "A uf teilen ") erhält man et.....a a us der G renzerl ösfun ktion d ie E rlösfunktion , aus der Grenz prod uktivitätsfunk tion die Prod uktionsfun kt jon, aus der Funk tion de r marginalen Ko nsumquot e die Konsumfunk tion usw .

I

402

8

Einführungin die Integralrechnung

D ie Integra tion als Um keh rung der Differenti ation ist eine der beiden Hau plau fgaben der Integralrech mmg. M it der

Der. 8.1.2: Sei f eine gegebene stetige Funktion im Intervall [a , b ]. Einediffercnzierbare Funktion F in Ia , b] heißt Stammfunktion zu f , falls gilt:

P'(x) := fex)

(8.1.3)

~ '" fex) .

bzw.

lautet die l. lI auptaufgabe der Int egralre chnun g

(8.1.4) Gegeben ist die Funktion f: x I-t fex). Gesucht ist eine Stammfunkt ion F zu f (d.h. deren Ableitung F'(x) die gegebene Funktion f: fex) liefert).

Beispiel 8.1.5:

Durch Umkehrung elementarer Dfffcrennanons regcln ("A ufldlen") erhält man z.B. fol-

gcnde Stammfunkt ionste rme: i)

f(x)= x

~

F(x) = O,5x 2+7, denn d~(O.5x2+7) =x =f(X) ;

ö)

fez) = 2ez

~

F(z) '" 2ez - 31 . denn

iii)

f(q)

~

F(q) :: Inq + C (C= const.}, denn F'(q) =

=1. q

(q >0)

F (z) = 2ez -= f(z) ;

t

= f(q)

usw.

Bemerkung 8.1.6: Man überzeugt sich allgemein von der Richtigk eit einer Integration, indem man die gefundene (oder ~'mnute/e) Stammfunktion djfferenzien und mirdergegebenen Funktion vergleicht.

Wie man an Beispiel8. 1.5 iii) erkennen kann, lassen sich zu einer Stammfunktion F durch Hinzufligen von eddmven Konstanten C beliebig vieleverschie dene Stammfunklionenzu f erzeugen(denndie Ableilung von Cergibt stets den Wcrt Null). Allc diese unendlich viclcnStammfunktioncn unterscheiden sich voneinander nur durch die additive Konstante C. So sind z.B. sowohl FJ mit F[(x) = x2+7 als auch F2 mit F2(x) = x2 - 23 Stammfunktionenzu f mit fex) = 2x , usw. Allgemein gilt: Satz 8.1.7: Sei f stertgin [a .b] , und sei F 1 ln ja. b] cincStammfunktion zu f. Dann erhält man sämtliche Stammrunktionen F zu f durch (8.1.8)

F(x)=F ](x) + C,

Bemerkung 8.1.9:

Ce lR

Satz 8.1. 7 enthält zweiAussagen:

(a) Wenn F(x) Stamm[unklion zu J(x) ist, so auch F(x) T C. (b) Wenn F J und F Z Stammfunktionen zu J sind, so gilt stets: F/(x) = FZ(x) geeignet gewählten Konstanten C) .

Beispiel 8.1,10:

Sei fex) = x2 . Dann erhält man eineSlammfunktion durch F1(x) =

T

C (mit einer

+x 3.

Nach Satz8.1.7 Iasscn sich siimtlicheStammfunktionen darstellen durch F(x) = ...!.x3 + C, z.B.

I

Tx3 + 5 ;

I

T xL ln 2

usw.

3

8. 1

403

Das unbes timmte Integral

D ie Menge F aller Sta mmfunkti onen (die sich nach Satz 8.1.7 nu r durch diel ntegra tions konstan te C unterscheiden) zu einer gegebenen Funktion f wird mit fo lgender Symbolik besc hriebe n: Die Menge aller Stam mfunktionen zu f in Ia.b1wird unbestimmtes Int egral

Der. 8. 1.11:

genannt und mit

J

feX) dx bezeichne t. fex) heißt Integrand.

Wegen Def. 8.1.2 gilt:

; --

Bemerku ng 8.1.13:

-

-

-

-

-----,

i) Die Schreibweise J f M dt schein t zun ächst unmotiviert zu sein, m an haue auch

J f (x) oder J f verwenden können. I hre Sinnfal/igkeit wird erst spiuer im Zusam m enhang mit den

Haupts ätzen der Differential- und Integralrechnung (Kap. 8.3 .218.3.3) sowie bei A nwendung der ~ SubslilUlionsregel"

(Kap .8 .4.2) deutlich.

ii) Fürdas un bestimm te Integral benutzt man ha ufig die (nicht ganz k o"ekt e) Schreibweise

I

(8.1.14)

I r!x) O

ax+b < 0, 3*0

xe R

+C

e'

CX

ea'C + b

...!..eax+b + C a

,. 0

sin x

- cos x e C

xe R

cos x

sln x + C

>ER

Beisp iel 8.1.19: i) iii)

,.)

J x7 dx = ~ x8 + C ;

JVYdy

=

J~

I

V>'

J yl/2dY = =

Ix-215

~

y3/z+ C ;

dx =

, ,

I (3z -2)3 ' +C

=

I ,

j (2X-l)O,5 ctx

+ (3Z-Z)3 + C

j

_1 . (2x _ I),,5

I

2

-

1,5

I

(2x)" dx = "2 '

i\")

~ x3J5+C ;

(3z - Z)2 dz = - ,

J ~ dx

Jdx =J t . dx =X + C ;

ii )

-

= -,

( 2x)5

5 +C ;

:::-:::-, Vr(2x -t )3 + C ;

8.1

405

Das unbestimmte Integra l

J

dx 2x -8 =

\iii)

Je-o.

f

0,5 1n (2x - 8) fii r x> 4 1 0,5 In (l'I- 2x) Hir x < 4

1t = - lOe- O,lt + C .

Bemerku ng 8.1.20: Obwohl - wie noch zu sehen sein wird - jede sretige Flmldioll auch eine Stam mfu nk. tion besitzt, ist es nicht immermöglich, dieseStammfunktton ingeschlossener Form (d.h. durch Kombination endlich vieler elementarer Funkt ionen) dan ustd lm . Dies ist beispielsweisederFall beifolgenden

,x

Integralen:

J

x

.

J I~X

-dx '

In solchen FäHen kann m an sich mit speziellen Integraltabellen (siehe z.B. {U } ) helfen, in denen die Stammfun ktionswene tabettien sind. A uch für geschlossen darstellbare Integrale ist die tedmische Durchftihnmg der Int egrati on häufig rech t mühsam - die (oft trickreiche) Integrationstechnik bedarf zu ihrer Beherrschung er heblicher Übung. Für die Zielsetzung de r vorliegenden Einfüh rung reichen die angegebenen Gru ndintegmle La. aus, wenn zusätzlich ei nige einfache Regeln für die Integration zusammengesetzter Funktionen benutzt werden (siehe das folgende Kap. 8. 1.3). E ine Zusammenstellungweiterer Integrationstechniken findet sich in Kap. 8.4.

8.1.3

Elementa re Rechenregeln für das unbestimmte Integral

Für die Integr ation einer mit einem konstanten Faktor multiplizierten Funktio n f sowie für die Int egrat ion einer Summe f ±g l'....eier Funktionen gelte n fo lgende einfache Linearitäts- Regeln: Satz 8. 1.21: I)

Es seien f, g stet ige Funkti onen. Dann gilt (mit k = const.):

I J.-fr' ) dx • • -jfr' ) dx I

U)

;:-J:"'(-fr,-)'-g(-')-)-dx"-'-J-f-('-)dx-'-J-g(-,)-dx~

Der Beweis erfolgt jeweils durch Ab leiten bcidcr Scitcn unter Beach tung von (8.1.15): sowie de r Diffcrentianonsregeln (5.2.23) bzw, (5.2.26) .

d~ J fex) dx = fex)

Beispiel 8. 1.22: i)

J 6x2dx = 6Jx2dx = 6 . + x3+C = 2X3 +C ;

iii ) J ( 8X3-4X+2 +

12

V4:.: +9

)dx

ii )

J- ~dx =

_Jd:

= - ln x+ C (x>O);

= 2xL2x2+2x+ 6V4x+ 9 +C;

Jv) Eine U nterneh mung prod uziere ein Gut mi t der Grenzproduktivitätsfunktion x'(r) = - 2r2+ 4r + 6. Ocr Output x beim Input r = 0 sei N ull. Dann lautet die entsprechende Prod uktionsfunkti on. x(r) = J X'(r) dr = J (- 2r 2 +4 r + 6) dr = Wegen x(O) = C = 0 ergibt sich schließlich:

~

x(r) = -

r 3+ 2r 2+ 6r+ C.

~

r3 + 2r2 + 6r .

406

8

Einf ührung in die Imegra lrec hnung

Bemerkung 8,1.23:

i) Derin Satz 8.1.21 darges/elfteSachverhalt wird häufig wiejolgtjonnulieJ1: a) Ein k onstant er Fak tor darf vor das Integralzeichen geschrieben werden;

b) Eine Summe darfgliedweiseintegriertwerden. Man nennt diese Eigenschaf ren L inearität des un bestimm ten Integrals. Man kann sie äquivalent

beschreibendurch eineeinzige Gleichung: (8.1.24)

(a,b E /R)

J (a -[(x) ± b- g(x)) dx '" a -!f(X)dx ± b -jg(x) dx

ii} Man beachte, dass es eine zu (8.1.24) bzw. Salz 8.1.21 analoge Regel f ür die l ntegratwn eines

Produktes nicht gibt. Denn wegen r(x} ' g '(x)

iv)

, 'ii)

(Produk lregell) gilt auch:

Man ermittle die folgenden unbestimmten Integrale:

Aufgabe 8. 1.25: i)

'*' (f(x) . g (x» ,

J(4xL2x3 J18c~O,091

+ 4-

I~ ) dx

dt

J""

(l _u)2 ;

ii)

JzV;

;

iii)

,)

J,~

\i )

\'iii)

J(24 ,(2X+ I )1I - e-X+

dz

30 dx

!4'Y4Y-3

dy

JV

s du 1- u

V; 2x2

+

;

..2L.)ct x 16-5x

Aufgabe 8. 1.26: Eine Ein-Produkt-Unternehmung produ ziere mit folgender Grenzkostenfunktion: K'(x) = 1,5x2 - 4x+ 4 . Be i ei nem O utput von 10 ME bet ragen die Gesamtkosten 372 GE . Man ermittle die Gesam tkosten- und Stückkostenfunktion.

Aufgabe 8.1.27:

Diemarginale Konsumquote C'(Y) eines Haushaltes werde durch die Funktion: C'(Y) =

7,2 VO.6Y+4

(Y?:O)

beschrieben. Das Existenzminimum ( = Konsum beim Einkommen Null) betrage 50 GE . Man ermittle die Gleichungen von Konsum- und Sparfunkt ion. Aufgabe 8. 1.28:

Beim Abs atz eines Produktes sei die G renzerlösfunktion E '(x) bekannt: i)

E'(x) = 4 - 1,5x ;

ii )

E '(x) =

Man ermitt le in beiden Fällen die Preis-Absatz-Funktion p = p{x) .

~. (2x + 5) 2

8.2

407

Das bestimmte Int egra l

8.2.

Das bestimmte Integral

8.2.1 Das Flächeninhaltsproblem u nd der Begriff des bestimmten Integrals E s sei f eine im I ntervall [a , b] ste tige und positive Funkt ion. Dann bes teh t d ie 2. lIaupla ufgabc der Integral rechn ung - anschaulich formuliert - dari n. den In halt A des Flächenst ücks z u best immen. das vom Funktionsgraphen, der A bszisse sowie den beiden Senkrechte n x = a und x = b begrenzt wird. siehe Abb. 8. 2.1 . E s soll zunäch st vers ucht werden, den Flächen inhalt A {d .h. die Flächenmaßzahl) des schraffierten Bereiches in A bb. 8.2 .1 zu ermitteln. Da nicht alle Begrenzu ngslinien gera dt!nig sind, versa gen elementar-geometrische M ethod en:

11/1

lxi a

Abb . 8.2. 1

Mit H ilfe des Grenzwertkonzeptes wollen wir versuchen, mit achscnparallc1en Rechtecken die Fläche ~auszusehöpfen~ t . Das Vo rgehen so ll in " ier Schritte n e rläutert werde n:

L Schritt: Das Intervall [a . b ] wird durch E infü-

----

I If)

gen von Zwisc henpu nkten Xi m it a = Xo < XI < x2 < ... < x n = b in n Teilint ervalle zerlegt.

siehe A bb. 8.2.2. Dic Lä nge dcs i-t cn Teilin tervalls [xi-l> xj) wird m it Axi bezeichnet:

i = 1,2.... .n . 2. Schri ll : In jed em der so entstande nen n Teilintcrva nc wird eine zwtschenstene ~i beliebig gewählt (~i kann auch am rechten oder linken Ra nd des Teilintervalls liegen) undder daz ugehörige Funk t ionswert f(';i) gebildet , siehe A bb . 8.2.4. D ann wird der Flächeninha lt eines senkrechten , oben vom G raph en von f begren zten Flächenstreifens durch den Inhalt Ai des in der A bb . 8.2 .4 schraffierten Rechteckes angenähe rt: (8 .2.3)

/

a lässt sich die l ntegraljunktion (8.3.3) als ~ variabler Flächeninhalt " unterdem Graphen von f interpretieren, sieheAbb. 8.3.4. ii) Je nach Festlegung derunteren Grenze a gibt es verschiedene Integralfunktionen zu f .

8.3

Bezieh ungen zwischen bestimmtem und unbestim mtem I ntegral

4 13

8..3.2 Der I. H auptsatz der Different ial- und Integralrech nung

, 1

E s werde die Funk tion f mit f(x) '" x betrachtet. Nach dem E rgehnis von Kap. 8.2.2 erhält man für das bes timmte I ntegral von a bts b nach (8 .2.14):

a ax dx '" b - ; . Erset zt man d ie obere Integrations-

2 grenze b d urch die u nabhängige Variable x, so laut et die allgem eine Gleichung der Integralfunktion F nach Def. 8.3 .2:

(8 .3 .6) J e nach spezieller Fest1cgung der unte ren in tegrat ionsgrenze a erhält man unt ersch ied liche Darstel lungen für die I ntegralfunktion z.B. F3(X)

=

, =, 1 tdt

"

usw.

!.. - 50 2

A n diesem Beisp iel fällt auf. dass die versetuedenen Integralfunktionen F 1, F 2• F3, ... zu f(x) '" x einan der erstaunlich ähnlich sind: -

sie unt ersch eiden sich nur du rch eine additive Konstante;

ihre Ableilungen liefern die All~gang.\funktion f: F, (x) = F (x) '" F)(x) '" ... '"

2

2) ( 112 ' '"

x.

Exak t diese lben Eigenscha ften weisen die in Kap. 8.1.1 behandel ten Slam mfunktione n auf. D ies giht A nlass zur Vennutung. da ss es sieh be i den Integral funkli onen (8 .3.3) einer ste tigen Fu nkt ion f stets um Slam mfunklionen F zu f handelt, d.h. mit de r E igenschaft: F'(x) = fex) . D iese Verm utung erweist sich nun in der T at als allgemeingültig, wie diefolgende Bet rachtu ng zeigt:

(t/

Dazu muss nachgewiesen werden, dass jede Intcgralfunkt ion F mi t F(x) '"

L~(t) dt

gleichze itig

Stammfunktion zu List, d.h. dass fü r ste tiges F die fol gendcBehuup lung stets \...ahr ist: (8 .3 .7)

F'(x) '"

~ J)(t) dt

M = f(x) ,

Nach Der. 5.5.55 ist d ie erste Ableit ung F' von F definiert als G renzwert des Differenzenquoticntcn: (8.3.8)

f{x)

(

m

- F(x) F'(x) -~ ,.Im F(x+ t..x) ~ . lu _O ""x

D ie D ifferenz F(x+.:lx)- F(x) im Z äh1cr von (8.3.8) bezeichnet (an scha ulich formuliert] den FlächeninhaJt des Flächenst reifens zwi schen x und öx ( '" D ifferenz der Fl ächenin halte von a bis x + t..x und a b is x ), siehe den dunk leren Teil in A bb. 8.3.9.

f{x +ßx)-f(x)

(xl a

Abb. 8.3.9

Der f lächeninhall F(x +t..x)- F(x) ist (A bb.8.3.9)

i) kleiner als der Flächcnlnhal r M · öx des umbeschriebe ncn Rec htec ks mit den Seiten M und .:lx (M ,= Max imum von f in [x ;x + t..xJ) . ii)

m - öx des einbeschriebenen Rech tecks mit de n Seiten m und öx (m t e M inimum von f in [x ;x+ t..xJ) .

größrral~ der Flächen inhalt

414

8

Einführung in die Integralrechnung

Daher gilt folgende Ungleichungskette-

m-e x s F(x+ .6.x) - F(x) s M ·ax .

(8.3.10)

Division durch öx (> 0) liefert:

m ,

(8.3.11)

F(x + .6.x) - F(x)

s M.

>,

Lässt man- um F'(x) zu erhalten - .6.x gegenNullstreben, so folgt: -

m und M nähern sich (da f stetig ist) beide immer mehr dem Funktionswert fex) an der Stelle x, sieheAbb. 8.3.9 ;

-

der Differenzenquotient in (8.3.11) nähert sich derfgesuchten) Ableitung F (x) an derStelle x, siehe Dcf. 5.1.9).

Daher folgt für ax-

o aus (8.3.11):

fex) s F'(x] S fex) • -e=>

F'(x) = fex) .

Genau dies sollte gezeigt werden, siehe (8.3.7). Damit gilt der grundlegende Satz 8.3. 12:

( I. Haup tsat z der Different ial- und Int egralrechnun g)

E s sei f auf [a.b] stetig. Dann ist jede Int cgralfunktion F von f auf [a.b ] differenzierbar, und es gilt

F'(, )

(8.3.13)

Bemerkung 8.3.14:

=

J'

dx d af(t)dt = fex)

Der Inhalt von Satz 8.3.12 bedeutetin andererFormulierung:

- Jedeb uegra/funktion F von f (f stetig) ist gleichzeitigStammfimkrion von f ; (Die Umkehrung allerdings gilil/kht, d.h. flieh/jede Stammfunktio n von f tst auch Integralfunktion von f f) Beispiel: Aus (8.3.6 ) [0 Igl: l ntegraifunk tionrn zu f (x) "' x sind F(x) = O,5(x 2 _ a 2), DE lR. Die Funktion S mit S(x) := o,5xl+l (2.B.) ist zwar Stammfunk/ian zu [ , nicht aber Imegralfun ktion, da e.~ kein 0 ( E IR) gibt mit -0,50 2 = 1 .

- Differenziert man einbestimmtes InJegrol nach seineroberen Grenze, so erhält man den /megranden,

genommenanderoberen Grenze; - DieAbleitung einer Illtegra/funkJ.ion lie/ ertden Integrand en (an deroberenGrenze).

Beispiel 8.3.15:

J x

I)

Nach (8.3.6) gilt: F(x) = at dt =

ii)

-d t 2 ' e- 41 d l '" dx a

iv)

J!.

J'

r l ~ dU

dtJ o

x2

32

"2 - "2 . iii )

'"

~

Daraus folgt:

F (x) ::: -d

J'

dx a

«n

»

x.

8 .3

415

Beziehungen zwischen bestimmtem und unbes timmtem Integral

8.3.3 Der 2. Haupt satz der Differen ti al- und Integral rechnung D urch den in Satz 8.3.12 hergestellten engen Zu.\amm ellhan g zwisc hen bestimmtem und unbesnmnuem Integral wird es möglich. jedes he..ü mrnte Integral o hne die langwierige A uswertun g von Zwlsch cnsummen zu bere chnen. sofern nu r irgendeine Stammfunktion F zu f be kannt ist. D as kann man folgendermaße n einseh en: NachSatz 8.3 .12 ist die In tegralfunktio n L f( t) dt eine Stammfunktion zu f. sic möge mit F1(x)bczcichncr werden. E s sei nun eine be liebige weitere Stammfunktion F(x) zu f beka nnt. Dan n unterscheiden sich nach Satz 8. 1.7 d ie beide n Stammf unkti on en F, und F nur d urch eine additive Konstante C , d.h . es muss gelte n

(8 .3.16)

F I(x)

= L~(t)dt = F(x) + C

Damit abrr{ässt sich die Konstante C bestimmen! Setzt man näm lich für x den Wert a ein. so folgt aus (8 .3.16) mit Dcf. 8 .2.20 ii):

(8.3.17)

L ;(t) dt

= F(a) + C.

d.h.

C = -F(a) .

~

- 0

Daher lautet das bestimm te Integral (8.3. 16) (mit bcliebigcrStammfunklion F zu f )

(8 .3.18)

fht ) dt = F(x) - F(a)

Dies ist der fü r die Berec hnu ng bestimm ter Int egrale ents cheide nde Sechve rbalu Setzt man näm lich für die obe re G renze den spe ziellen Wert b ein. so folgt (wieder mit x als l ntegration.w aria blen) Salz 8.3. 19: (2. Haup tsat z der Differential- und lnt egral recbnung) E s seien f in [a.b I stet ig und F eine beliebige Stammfunklion zu f.

Dann gilt

J. "

[(')W< ; F(b) - F(')

(8 .3 .20)

Dam it ist die 2. Hauptau fgahe der Integralrechnu ng (Flächencrmlt tlung, bes timm tes Integral) zurüc kgeführt auf die 1. H auptaufgabe der Integralree hnung(Stammfunktion, unbestimmtes Integral): Die gleiche Symbolik

(J bzw.

r:

für versch icdcnelntegralbegriffe ersche int nac hträgl ich gerech tfe rtigt.

1•

Satz 8 .3.19 1iefert das schrittweise Vorge hen be i der Berec hnung des bestimmten Integrals f(x)dx : a I) Ermittlung einn bdieb igen Stammfunkti on F(x) zu fex); il) E insetzen von oberer und un terer Integrationsgrenze in F(x) sowie Bildu ng der D ifferenz F(b)- F(a) = L"f(X)dx

•I,

Bemerkun g 8.3.21 ; Statt F(b) - F(a) schreibt man abkünend auch F(x) so da ss sich die Schriufolge f onnal reduziert auf a (8.3.22)

•f (X) dx

J.•

•

= F(x) I = F(b) - F(, j •

4 16 BeispieIS .3.23:

(siehe Kap. 8.2.2)

Gesucht ist

Einführung in die Integralrechnung

8

L,

x dx.

a

Eine Stammfu nktion F zu f(x) = x ist (s.8.1 .18): F(x) '" ~ + C.

l

b

a Xdx

=

2x2 +C bl •

=

b' "2 +C

-

b2

("

a2

"i +C ) ="2 -"2

Dann gilt nach (8 .3.22):

,siehe(8 .2.14).

Man erken nt, dass es unerheblich ist , we lche Starnmfunklion F zu f ausgewä hlt wird, da sich d urch die Differenzbildung F(b) - F(a) die Int egrau onskcns tante C stets weghebt.

Belspiel 8.3.24: Es ist der Flächeninhalt des zwischen dem Graphen von f: f(x) = der x-Achsc und

VX,

den Grenzgeraden x = 1 sowie x = 4 liegenden Aäcbcnstücks gesucht (sieheAbb. 8.3.25), d.h. dasbe -

I IfJ

,

stimmte Integral

1: Y;

ffxl = Vi"

dx ist z u be rechnen .

Nach (8. 1.18) gilt:

JVX

F(x) = so dass folgt:

,

dx =

Jxl /2 dx

~

x3/2 (+C),

(xl 4

1: V;dx AUfgalJe 8.3.26 :

=

Abb. 8.325

2 4 312 _1.., 3/2 = !± 3 3 3' Man ber echne folgende bestim mte In tegrale:

i)

L • (,'- 3)"'1+1J.'1"(,'-3)"' 1 • 1"--3,11 3 03 3t'1

· 1Y3-3Y31+19-9-(Y3-3Y3)1

3

3

2Y3+ 2Y3 • 4Y3

z 6,9282 .

Bemerkung 8.3.34: Den Inhalt A des Ftächensnuk s, das zwischen zwei (sich nkht schneidenden] Funtalonsgraphe n [und g (mit f 2:g) liegt (s. Abb. 8.3.33), kann man als Dif[erenz der beiden unler den Graphen liegenden Flä-

.

111I to!

chenstackeauffasStn.' (8.3.35) A

"

g

= L f(X) dX - L g(X)dx

lxi L \ f(X) - g(x» dx .

a

b

Abb. 8.3.33

418

Für den Fall, dass

f

8

E inführ ung in d ie Integralrechnung

f

txt

und g in [a,b] die Sehninstel- I (f)

ten Xj,x2•... ,xn besitzen, muss zur Inhaltsbestim- Ig}

mung der eingeschlossenen Fla chen Mn Sclmiltp unfa

zu Sclmittpunkt integriertwerden (sieheAbb. 8.3.36). Absolutstriche vermeiden die Zahlung negativer Flachenmaßzahlen: (8.3.37)

a x, Abb.8. 3.36

Aufgabe 8.3.38: Man cnnittlc den Flächeninhal t zwischen Abszisse, Fu nktionsgraph und de n Grenzen a und b. Z um Ve rgleich cnn ittl c man das best immte Integral von f zwischen a und b : I)

f(x) '" 0.4xL2 ,2x + 1,8 ;

a = 0 ; b =6

ii)

f(z) = _ z2 + 8z- 15 ; a = O;b = 10

iii)

I(p) : (p- IXp-2Xp +3) ; a =-4 j b =4

h')

k(y) : J - 4 ;

'I

k(t) = O,312 _~. l j

a=O ;b =3

a '" 1 ; b = 4 .

Aufgabe 8.3.39: Man ermittle den Flächeninhalt der zwischen den Gra phen von f und g liegenden Fl ächcnstücke : i)

f(x) = x 2 ;

g(x)=-2x2 +27 ;

a =O ; b=2

ii)

f(x) = 0,2x2 ;

g(x) = 0,4x + 3 ;

a = -6 ;b =6

iii)

f(x) = (x - 2f ;

g(x) = _ x2 + 8 ;

Bereich sgrcnzen = Schnittp un kte der G raphen.

8.4 Spezielle Integrationstechniken A nders als in der Different ialrech nung existieren nicht für alle Integncrbarcn Fu nktionen Integrat ionsregeln. So gibt es weder eine " Prod ukt regel- noch eine" Q uotie nten - " oder" Kett enr egeJ", die es gesta tten, ein be liebiges Produk t. einen be liebigen Q uotient en oder eine bel iebige zusammen gesetzte Funktio n zu integriere n. wen n die Tcilfunktionen intcgricrbar sind und zu ihnen die Stammfunktionen angegeben werde n können.

+

Belspiet 8.4. 1: e" hat die Stammfunktion e", _ x2 hat die Stammf unkti on x3 : Für die zusammenx2 gesetzte Funktion e - abe r lässt sieh keine gesch lossen darstellbare Stammfunktio n angehen (siehe

I

Bemerku ng 8 .1.20).

A uße r Näherungsverfahren (siehe z.B. [20]) gibt es einige weite re I nte gr auo nsregeln , die es in bes timmten Ri llen ermöglichen, ein I ntegral in gesch lossene r Form anzugeben. Das Prinzip dieser nachs tehend angeführten Regeln ist in allen Fällen dasselbe: Man versuc ht, den In tegrand en du rch geeignete Umformu ngen in eine Ges ta lt zu überfü hren, die mit H ilfe von Grundintegralen (siehe (8 .1.18» bzw. den Sätzen 8.1.21/8.2.16 geschlossen integrierbar ist.

8.4

419

Spezielle Integratio nstec hniken

8.4.1 Part ielle I n tegrati on Liegt der Integrand als Produkt von Teil-Funktio nstennen vor, lässt sich das Integral manchmal in eine einfachere Ges talt überführen. Satz 8.4.2:

Es seien f, f , g, g' stctige Funktionen.

Dann gilt

(8.4 .3)

Der Beweis ergibt sich d urch Ableite n beider Seiten nach x unter Beach tung von (8.1. 15) sowie der Produktregel (5.2.3 1):

.!Jf( X)' g'(xj dx = f(x) ' g'(x) ;

i) linkeSei tevon (8.4.3 ):

dx

ii ) rechteScitcvon (8 .4.3):

d~ ( f(x) ' g(x) - J

f'(X) ' g(x)dx ) = f (x)' g(x)+f(x) ' g'(x) - f'(x) ' g(x ) = f(x) ' g'(x)

(wie in

i» .

Somit unterscheiden sich bcidc Seiten von (8.4.3) nur in der üblichen additiven Integrationsko nstanten C.

Bemerkung 8.4.4: DieA nwendung derpartietlenlmegranon nach (8.4.3) empfiehltsich, wenn i ) der Integrand als Produkt allfgefasst werden kann, dessen einer Faktor (nilmiich g '(x») leichtinte-

gn ert werden kann (- g (x»), und

J

ii) das allf der rechten Seite von (8.4.3) siehendeIntegral

ursprünglicheintegral

Jr(x).g(x) dx einfacher zu lösen ist als das

f(x) ·g'(x)dx.

Ob diese VOfllus.I'elzungen vorliegen, lässt sich mit einiger Übung meist raschentscheiden. Beispiel 8.-1.5:

Gesucht ist

Jx - ln x dx (x> 0) . Es liegt Produktform vor. Ocr zweite Fakt or (ln x) ist

nicht o hne weiteres iruegricrbar, wohl aber der erste Fakto r ( = x). Daher setzt man am besten: f(x) = ln x, g'(x) = x.

J

x -Inxdx = -,l ' lnx 2

Jx

Dann folgt mit (8 .4.3):

2 2 x2 - ' - \ dx = -r lnx - -x + C. 2 x 2 -I

Für da s besummt e tntegral Iau tet d ie zuSatz8.7 analoge Regel fü r die part ielle Integrntioo:

" !.f'('h " " ) xI>. Je nach H öhe vo n K' kann XI oder x2 die gewinnmaximale Menge xG liefern. Nun ste llt das Integral

f. " "

(E '(q) - K '(q)) dq = G(' , ) - G(' l)

den zu.~ätzl ichen Gewinn über G( xI ) hinaus dar . Ist dieser Zusatzgewinn positiv (bzw. negativ), so liegt da s Gewi nnmaximum in x2 (bzw. xJ ). Für die E ntscheidung hat man also abzuschätze n, ob die positiv gezählte n Gewi nnflächen -lnhalte d ie negativ gezä hlten Gewinnfl ächen -I nhalte überkompensieren odernicht.

In

IKI

............

r

f'

i.

K'

!r

-I

K'

lxi

+---~---~--c--

x,

,, ,, ,

K'

K'

S"-C+

D ieAbb. 8 .5.14 /8 .5.15 zeigen die beide n entsprechenden Situationen:

Abb , 8.514

r

K'

K'

Abb. 8.5.15

lxi AUfgabe 8.5. 16: Gegeben sind d ie Grenzkosten K' sowie der Grenzerlös E ' einer Ein -P rodukt-Unternchm ung d urch folgende Funklio nsgleichungen: K'(x) = 3xL 24x + 60 ; E '(x) = - 18x + 132 . Die Gesamtkoste n für den O utp ut 10 ME betragen 498 GE. Man ermittle I) die E rlösfunktion ii ) die Kostenfunkt ion iii ) die Preis-A bsatz-Fun ktion iv) den gewinnmax imalen Pre is sowie ,.) den maximalen Gesamtgewinn.

8.5

425

Ökonomische Anwendu ngen der Integralrechnung

8.5.2 Die Konsum ent enre nt e Es sei eine monoton fallende Nach fragefunktion

I lpl

p(x) gegeben und der sich autgrund des Marktniecbamsmus einstellende Gleichgewich l~ ll un kt Po

I

(Abb. 8.5.17). Man erkennt: Viele Nachfragerhätten auch einen höheren Preis für das Gut bezahlt, als sie ihn jetzt im Gleich gewi cht spunkt zu zahlen haben. Diese Nachfrager sparen also dadurch etwas, dass der tatsächlich gezahlte Preis Po niedriger ist als der, den sie zu zahlen bereit gewesen wä ren. (Insgesamt zahlen sie E o = Po ' Xo GE, was dem Flächeninhalt des schraffierten Rechtecks in Ab b. 8.5.17 entspricht.)

Abb. 8.5.17

~-- p(x/

lxi

Es soll nun dieFrage beantwortet werden, wie groß die Summe E- ist, die die Konsumenten insgesam t zu zahlen bereisgewesen wären, wenn jeder den für ihn gerade noch akzeptablen höchsten Preis gezahlt hätte. Dazu wird die Ab szisse von 0 bis Xo in n Intervallc mit den Längen dJq ,dx2....,dxn unterteilt. Außerdem nehmen wir vereinfachend an , dass über diesen Intervallen der Preis gleich dem Preis in den Endpu nkten des jeweiligen I ntervalls ist, S. Abb. 8.5.19. Wir sehen: Beim Preis PI werden dx l Mß nachgc fragt, der zuge h örige Erlös betragt dE I = PI . dx\. Sinkt der Preis auf P2' so konuncn (in der Annahme, dass die erste n
Einführung in die Integralrechnung

IIpl I

Abb. 8.5 2 1

spart" haben dadurch, dass jeder Konsument nur den Preis Po gezahlt hat. Diese Differenz KR = E'"- E o zwischen theoretisch möglichen und tatsachlichen A usgaben wird

P,

Po EI) = Po'x(}

Konsumentenrente genannt, ihre H öhe ist ein Maß fur d le , Vo rteilhatligkeit q des G üterkaufs.

{xl

'0

0

DcrWert KR der Konsumentenrentebeträgt (slehe Abb. 8.5.21)

(8.5.21)

(=

Konsumemenreme]

Beispiel 8.5.23: Gegeben seien die Nachfragefunktion p(x) = 10 e- O,5x sowie die Gleichgewichtsmenge Xo = 2 ME . D ann beträgt die Ko nsumcntcnrcnte: 2

KR =

2

r lOe - O,5x dx - 2 ' 10 'e- 1 = -20e- O,5x oI - 7,3576 = - 20e- 1+ 20 -7,3576 ~5,2848 G E, J,

beträgt also ca. 72 % des tatsächlichen Umsatzes von 7,3576 G E.

Aufgabe 8.5.24: Gegeben seien die Nachtragefun ktion p:Jx) = -ux + b und die Angcbo tsfunkti on PA(x) = cx + d mit a.b.c.d > 0 sowie b > d . i) Man ennittl e d ic Konsumentenre nte im Mark tgleichgewicht. ii ) Welchen Wert mu ss der (absotutcj Steigungsraktor a der N achfragcfunktion aufwe isen, damit d ie

Konsumentenrente maximal wird? Aufgabe 8.5.25 : Für die Nachf ragcfunktion Pl\{x) = 18 - 0 ,l x 2 und die A ngcbot sfunklion PA(x) = O,5x + 3 ermittle man die Konsumentenrent e im Marktgleiehgewie ht. Aufgabe 8.5.26: Eine Ein -Prod ukt -U nt ern ehm ung operiere mi t de r Ges amtkos ten funkt ion K: K(x)= 5x +80 und sehe sieb der Preis-Absatz -Fun ktion p(x) = 125 x . x s 125 ME , gegenüber. Man ermittle die Konsu mentenre nte im Gewinnmaximum.

V

(Hinweis: Mit den rechnerischen Lösungen von Wurzelgleichungen isl stets die Probezu machen!)

8.5.3 Die Produzentenrente E s sei für ein G ut eine monoto n steigende Angebot sfunklion vorgegebe n. Diese A ngebot sfunktion sei d urch Aggregation in der Weise zustande geko mmen , dass jeder Produzent seine gesamt e Warenmenge von einer bes timmten Prelsuntergree ze an anbietet: Ste igt der Markt preis, treten neue Anbtctcr hinzu, d ie bisherigen An bieter ha lten ihr unverändertes A nge bot aufrecht.

8 .5

427

Ökonomische Anwend ungen der Integralrechnung

Es stellt sich nun aufgrund der Naehfra gefu nktion ein Marktgl cichgc\\oicht Po(xo' Po) ein (siehe A bb. 8.5.27). Dad urch, dass im G leichgewicht sämthchc An blcter z um Preis Po verkaufen können, crhaltcn dicjcr ügen A nbictcr, die ihren gesamten Warenbestand bereits zu einem geringeren Preis verkauft hätten, einen zusätzlichen Gewinn.

I lpl I

Die Summe PR aller d ieser zusat zgewmne nennt man Produzentenrente.

txt

Ana loge Übe rlegungen "'i e bei der E nnittlung der Konsumentenrente fü hren zum E rgebnis, dass der gesamte Flächen inhalt unter der A ngebot sfunktion zwischen 0 und Xo dem gesamten Minimalumsatz entspricht, wennjeder Prod uzent seine gesamte Ware zum kleinste n akzeptablen Preis verkauft.

Abb. 8.527

Der aufgrund des Marktmechanism us ta tsächl ich erzielte Umsatz E o = xoPo ( f;; Flächeninhalt des Rechtec ks O,xo,Po-Pc (A bb. 8 .5.27) übertriff t den Minimalumsatz. so dass sich die Produzentenrente PR als Differen z alt"! eral elrem und mindestens erwartete m Umsatz ergibt zu

(8.5.28)

(siehe d as getönte F/ächenslück in A M . 8.5.27) .

Beislliel 8,5.29: Für die A ngebot sfunktion PA(X) = 0,25 (x + 2)2 und die Gleichgewichtsmenge Xo = 3 ME lautet die Produzentenrente (wegen Po = 6,25 GE / ME) :

PR = 6 ,25 ' 3 -

, 1 o

0,25(x+ 2)2dx = 18,75-

I

'

x+ 2)3 1 = 9GE,

12(

o

entspricht also 48% des tatsächlichen Umsatzes.

Bem erku ng 8.5.30: Wird die aggregierte Angeöotsfueküon PA(X) durch Überlagerungindiv iduellerAngebotsfunknonen erzeugt, so existiert keine Produsemenreme , da jeder A nb iaer gemäß seiner individuellen Angebotsfunktion zu unterschiedlichen Preisen auch unterschiedliche Mengen anbietet.

Aufgabe 8.5.3 1: Gegeben seien Angebotspreise PA(X) und Nachfragepreise rr..{x) durch die G leichungen: PA(x) = 0,5x 2+9 sowie ",,{x) = 36-Q,25x2 (x: Angebols- bzw. Nachjragemenge). Man ermittle im Marktgleichgewicht Aufgabe 8.5.32:

I) die Konsumentenrente

ii) d ie Produzentenrente.

Gegeben seie n die Nachfrage- und Angebotsfunktion wie in Aufgabe 8.5.2 4.

I) Man ermittle die Produzenten rente im Marktgleic hgewicht. ii ) Bei welchem Steigungswe rt c der A ngebot sfunkt ion ist die Prod uzentenrente maximal?

428

8

Einführung in die Integralrechnung

8.5.4 Kontinui erlich e Zahlungsströ me Die Integralrechnung ermöglicht eine einfache und elegante Darstellung ökonomischer Modelle, in denen es auf die Bewertung von zeitverschiedenen Zahlungen und Zahlungsströmen ankommt (wie etwa in der Investitionstheorie oder w acbstumsrbeorte). Nach dem Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik 3 Ist ein Vergleich ode r eine Aufrec hn ullg zeitverschiedener Za hlungen nur zulässig, wenn zuvor säm tliche Za hlungen auf einen gemeinsa men Bezugstermin diskonti ert wurden. Statt der in der Praxis ublichcn fdiskret en) Zinseszinsmethod e werden aus Gründen de r mathe matisc h einfache ren H an dhabung im folgenden stets die zum diskret en Fall äquivalenten ste tigen Auf-/Abzinsungsl'orgällge betrachtet .

Beispiel 8.5.33: E in heutiges Kapita l Ko = 100 € hat bei diskreter jährlicher Verzinsung zu i = 8 % p.a. in 20 J ahren den E ndwert K20 = Ko(l +i)20 = 100 · 1,08 20 = 466,10 €. Ben utzt man stattdessen den äqu ivalenten ste tigen Z insvorgang, so folgt mit dem aquivalenttn sietigen 4 Zinssatz r = In( 1+ 1) = In1,08 = 0,0 7696 1 für den E ndwert. K20 = Ko ' er ' 20 • 100 · e 20 ' 0,076961 = 466,10 € , also da sselbe Resultat wie bei d iskrete r Aufzinsung.

Es werde nun angenommen, dass die mit einem ökonomischen Prozess verbunde nen Zahlungen in Fonn eines stetigen und kontinuierlich fließenden Zahlungs. O

nn x s s

h'l X > 1

v) 2 < X S 3.

8

432

E inführung in d ie I ntegralrech nung

8.5.5 Kapita lstock und Investiti onen einer Volkswirtsc haft Die Stromfunktion I: I(t) [ = Nettolnvestl tjonen im Z eitp un kt t] gibt an, wie hochdie Ne tto- Investiüonsgeschwindigkelt (gemes sen z.B. in Mrd. € /J ahr) einer Volkswirtschaf t zum Z eitpunkt I ist. Bezeichn et man den in I vorha ndenen Kapitalslock der Volkswirtschaft mit K(t) , so gilt dcfi nitionsgcmäß: Die ze itliche Änderung K'(t) des Kapital stocks ist gleich den Nenotnves uuo nen:

I

(8.5.54)

K'(t) = !(t)

I,

Die D ifferenz K(T)- K(O) gibt die Ände rung (Zuwachs od er A bnah me) des Kapilalslock.s in der gesamten Zeitspa nne zwischen t = 0 und I = T an, kan n also als Sum-

(I!

me ( = Integral!) allerzwischen 0 und T getätigten Nettotovesuuonen aufgefasst werden. In der T at ergibt au s (8 .5.54), siehe auch Abb. 8 .5.56: T

(8.5 .55)

T

T

1!(t) dt =1 K'(t) dt =K(t) 1=K(1) - K(O) ,

(f/

0 0 0

o

De r Bestan d KfI) des Kepttals tocks im Ze itpunkt T be t rägt dah er:

Abb. 8.5.56

T

(8,5,57)

K(l) = h l(l)dt + K(O)

Beispiel 8.5.58: Die jäh rliche Rate der Nettcin vcsuuoncn betrage: 1(1) = 7 · t O,4 (in Mrd. €fl ahr). Der Kapitalstoc k in [ = 0 bet rage: K(O) = 800 Mrd. € . i)

Im Zeitpunkt T (> 0 ) beträgt der Kapitalstock allgemein

K(1) =

L T

7 · tO,4 dt + K(O)

T

,41+ 800

5 ·t1

c

=

5 ' T 1,", + 800

ii) Die Kapitalakkumulati on beträgt

a) b)

im ersten Jahr: im 10. Jahr:

K(l) -K(O) = 5 Mrd. oE: ; K(lO) - K(9) = 5(10 1,4-9 1,4) ~ 17,22 Mrd. € .

iii) Der Kapitalstock nach dem 10.Jahr bet rägt:

K(l O) = 5 _10 1,4 + 800 = 925,59 1-lrd . € .

Aufgabe 8.5.59: Ocr Nettoinves titio nsfluss 1(0 ) im Z eitpunkt 1 = 0 be trage 1.000 Mrd . € /J alu. Ocr sich aus ~ Urzeiten " (1- - 00) b is heu te (t :: 0) gebildete Kapit alsrock habe sich aufgebaut d urch jährlich mit 10% (stet ige Zu nahm crare] steigende Nett oinvestiti onen. Man ermittle i)

die.Net toin vestitionsfunktion I: 1(1)

ii)

den Kapitalstoc k in I = 0;

iii)

den Ka pitalstoc k in 1 = T ;

iv)

die Kapir alakk umu larion zwischen

(Hi nweis: Es muss gelte n: I(t ) ::o c · c o.lt )

a) 1= 9und t= 11

b) t

e

e

;

I üü und t e

ü

.

8.5

Ökonom isch e Anwendungen der Integralrechnung

8.5.6

433

Opti male Nu tzungsda uer von In vestitionen

U nt er dem Kapital wert Co eine r In vestiti on versteht man die Surrune aller auf den Planu ngszeit punkt t:: 0 (La. I nvestitionsbe ginn) d iskonti erten (abgezinsten) Za hlungen. die mit der Investition verbunde n sind:

.., T

Co :: - A + 2 (e l - at ) ' q -t + L(I) ' q -T

(8.5.60)

Dabei bedeute n. A : Investitionsauszahlung in t :: 0 ; Cl' a l : E inza hlung bzw. A usza hlung der Periode 1 (nachschüssig); T: wirtsch aftliche Laufzeit des I nvcstitionsprojektcs ; L(I): Liquidat ionserlös der Anlage (E nde Period e 1); q :: I + i: (d iskreter) Z insfaktor (pro Periode). Fasst man d ie E in- und Auszahl ungen als stetige Zahl ullg.'iStröme e(1), a(t) auf (siehe Kap . 8 .5 .4), so laut et der Kap italwert (8.5 .60) ana log zu (8.5 .42):

Co(I) '" - A + J J e(t)-a(t» e - r l dt + L(I) ' e -"

(8.5.61)

(dabei ist r :: In (1+i) die zu i äquivalente stetige Z insrat e pro Periode, siehe Beispiel 8.53 3) . (A)

Un tcr der optimalen wirts chaftlichen NUlzungsda uer de r Etmeunves tutc n versteh t man diejenige La ufzeit T. für die der Kap italwert Co(I) maximal wird. Notwendig für ein relatives Maximum vo n Co ist die Beding ung Cn'(T):: O. Mit Satz 83 .12 sowie der Produkt- und Kctt enr egel folgt aus (8.5.6 1):

o'" Co'(I) :: (e(I) - a(l)

(8.5.62)

' e - rT + L '(T) ' e - rT - r L(T) e- rT .

Nach D ivision durch e - rT ('* 0) fol b'! als notwendige Optimalhedingung für die N utzungsdauc rT: (8.5 .63)

I 00" I « I) =0(1) '"

« T) ' L'(I) • "lI) ' d {I)

L(I) - L'(1)

I·

Man ka nn c(1). a(T) als zu~ätzliche Ein-, A uszahlungen auffassen , wenn d ie A nlage über T hinaus eine weitere Pe riod e genutzt wird . Entsprechend bedeut en r ' L(T) die entgangenen P erioden zinse n auf den bei Weiternutzung nic ht rea lisierte n Liqu idat ion serlös und L '(T) die Ände ru ng des Ltq uldanoesen öses bei Weitemutzun g um eine Period e (i.a. gilt: L '(T) < 0) . D ie Optimalbcdingung (8.5.63) ents pricht also der beka nnt en Gewinrunax imieru ngsbedi ngung "G renzerlös = G renzkos len~. siehe (6 3 .35). Beispiel 8.5,64: Einelnvestition erfordere 2.000 GE in I :: O. Einzahlungsstrom. e(t):: 1.000 +50 t (G E /J ahr ); A uszahlu ngsstrom. a(t ) = 500 + 90 t (G E / Jahr); Liquidationserlös. L(t) :: \. 600 - 100t (0 s t s 16); stetiger Kalkulat ionszinssat z: r e 10 % p.a .

~

Kapitalwert:

Co(T) :: - 2.000 +

L T

(500 -40t) e- O,lt dt + (1.600 - toOl)e - O.1T .

Notwendig dafür, dass T die o ptima le Nutzungsdau er darstel lt. ist:

o = Co'(1) = (500 - 40T) e- o.11' - 100 ' C- O.1T - 0, 1(1.600 - 100I) e -O,11' , o :: 500-40T- 100 - 160 + ior , d.h. T = 8. Die opt imale Nu tzungsdau er be trägt somit 8 J ah re .

d.h .

8

434 (8 )

Man kann den Kapttalwert Co (s. H.5.6 1) in einen äquivalenten konstanten Gewlnustrom R umwan deln . der währ end der La ufzeit von 0 bis T fließ t (" äq uivalente A nnuit ät" ). Nach (8.5.46) ist der auf t = 0 bezogen e Ge genwartswert K;, de s kons tanten Stroms R zwischen 0 und T gegeben durch

Ko '"

(8.5.65)

1

T

o

I

(8.5.66)

R =

_rT

R ' c - rt dt '" R · ....:!....-

'

Da der Gegenwarts....crt Ko genau dem Kapitalwert (8.5 .65) d ie dqulvalent e Strombre tte R zu

(e)

E inführun g in die In tegralrec hnung

r'

cnm

1-

c- rT

Co de r Investit ion ent spricht , ergibt sich aus mit Co(l) gemäß (8.5.61).

Wird die Investition von "unendlich" vtel en Idennscben ;'I;achfolgem abgelöst, so besitzt jede Einzclinvcsntlon denselben Kapitalwert und somit dieselbe Gcwinn strombrcite R . I nteressant ist dah er die Frage nach derjenigen individuel len Anl a~..e n- N utzu ngsda uer T, die den (konstanten) Cewtnnstrom R (für alle Zeiten) zu einem Maximum macht (in d iesem Fall ist T die Nutzun gsdau er einer einzeln en Anlage innerhalb der unendlichen Invesüu onskctte). Aus (8.5.66) ergibt sich als not ....endige Optimalbcdin gung (Qu otientenrcgel !)

o=

d.h.

(l_c - rT)2

! _ ~-rT

Co'(l)-

(8.5.67)

r ' Co'(T) ( 1 - c- rT) - r L Co(T) e- rT

R '(T) =

= e-rT Co(l")

• (T >O).

M it (8.5.6 1)/(8.5.62) ergib! sieh damit fü r die gesuchte optimale Nut zun gsdau er T d ie Bed ingung:

(8.5.68)

I _rT (c(T) - a(T) ;. L '(T) - r ' L(T»....:L. = - A +

r

1T 0

(e(t) - a(t» · e - " dt + L(T) ' c -r'l·.

In (8.5 .68) kön nen - je nach Sachlage - Vereinfachungen eingea rbeite t werd en, z.B: a)

E s seien nu r dieAusga hen a(t) [z.B . ein Rep araturk ostmsuo m] relevant, zu keiner Zeit falle ein Liquidationserlös an (d.h . L(T) =- 0 ): Dan n folgt aus (8 .5.68) die Bed ingung: l _ c- r'1'

-a(T)' -

(8.5.69)

-

r

=

1T u

- a(t) c?' dt

1

«

A

hzw.

!_e - rT a(t)'c -rt d t+ A = a(T) ' - -

T

o

'

Für die resultierende optimale Nutzungsdauer T ist der Kosten strom auf " (.·wig~ minimal . b)

Über die Vereinfacbungen von a) hinaus möge der Zi nseszinseffek t vernachlässigt (r- 0) l-c- rT werden (sta tisc he Bet rachtung). Wegen lim - = T folgt a us (8.5. 69): r_

O

r

T

(8.5.7 0)

l a(t)dt + A = a(T) ' T

Für die so enni tt cltc o ptimale N utzungsdauer T sind die nomincll en Gesamtkosten pro Zeit einheit minimal (au f ~t:wig~) .

8.5

435

Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung

Beispiel 8.5.7 1: Es werde die Investition vo n Beispiel 8 .5.64 betrachtet, wobei nunmeh r unterstellt wird, dass sie beliebig viele identische Nachfo lger besitzt. Dann ergibt sich d ie op timale Nuaungsdauer 'T einer jeden Einzelinvestition aus (8 .5.67) bzw. (8.5.68): Der Kapitalwert C o la utet nach (8.5.61): Cor D = - 2.000 +

L T

(500 - 40t) · e -O,H dt + (1.600 - lOO1) e -O,l'l' .

Das auft retende Integral muss mit Hilfe der panic1len Integration (siehe 8 .4.6» gelös t werden . Nach Au fgabe 8.4 .8 vi) ergibt sich:

L T

(500 - 40t ) · e -o.1t dt = e -o,lT. (400T - 1.000) + 1.000,

so dass der Kapitalwert Co der Invest ition lautet:

(8.5.72)

Co 0) sei aufgrund von Vergangenheit sdat cn zuverlässig schätzba r (p(t) seimonoton wachsend). Wird d ie Ge ige (um einen höheren Verka ufspreis z u erz ielen) zu einem späteren Zei tpunkt verkauft, so ents tehe n bis dah in für Lagerung. Pflege, Versicheru ng usw, Lagerkost en (als stetiger kon stanter A usza hlungsstrom) in H öh e vo n s € / Ja hr, de r stetige Kalkulationszins satz sei r (p.a .). i) Man ermittle und inte rpretiere in allgemeiner Weise d ie Bedingun gsgleichung für den opt ima len Verkaufszeitpunkt T. ii ) De r Preis de r Geige steige - von Po = 200.000 € ausgehend - jähr lich linea r um 20 %, d.h. es gelte

p(t) = 200.000 ' (1+0,2t) . Der Lagerkostenst rom betrage s = 4.8011 € /Jah r, stet iger Kalkulationszins: r = 8% p.a. Wan n und zu welchem Preis sollte der H änd ler die Geige verkau fen? Wie hoch ist der Kapitalwert im o ptima len Verka utszeitpunkt? - iii ) Man bea ntworte d ie Fragen zu ii), wenn die Wcrtstcigeru ng des Instr umentes mit der stetigen Z uwachsrate von 9% p.a. erfolgt, d.h. es gilt dann: p(t) = 200 .000' CO.091 • (Nil/weil': Der maximale Pkmungshoruont des Händ lers be/rage 15 lahre.]

8.6

8.6

Elementare D ifferentialgleichun gen

437

Elementare Differenti algleichu ngen

8.6.1 Einleitu ng Bei der Analyse ö konomisc her Mode lle mit Hilfe vo n Funkt ion en treten imme rwieder Gleichun gen auf, in denen - außer der relevan ten Fun kt ion f selbst - noch eine oder mehrere Ableitungen (f", i ", I'"...) die...er Funktion enthalten sind. Derartige G leich ungen heiße n Differentialgleich ungen. Beispiel 8.6. 1:

(:r""

Folgende G leichungen sind Differentialgleich ungen:

I)

f'( x) = fex) + 2x

iii)

y2 + y3 + y = e'

iv)

fxxy + fyy "" f(x,y) + I

ii)

x1.f(x)

( mit y ""Y(t); y ,= : . ) ( mit

r, "" ~~

usw. )

Als O rdn ung einer Differenli alglri chung bezeic hnet man die hödt..le vorkommende Ablettungscrdnung (in Bsp . 8 .6.1: i) 1. Ordnung; ii) 1. Ord nung; iii) 2. Ordnung; iv] 3. O rdnung). De r Grad einer Differenti algleichun g iSI der größte Exponent, in dem die h öchste vor kom mend e Ahlellun g ersc heint (in Bsp. 8.6. 1; i) 1. Grad (lineare Differentialgleichung); ii) 3. Grad; iii) 2. Grad; Iv) 1. Grad (lineare Differe ntialgleichung» . E ine Different ialgleich ung he ißt gewöhnlich, wenn die ge suchte Funktion und ihre A bleitung nu r von einer Variablen abhängen, andernfalls partiell (in Bsp . 8 .6.1: i), ii), iii) gc....ö hnlic he Differentia lgleichungen; iv) part ielle Differenti algleich ung).

Bemerkung 8.6.2; Die Vielzahlder verwendetenUnterscheidungsmerkmale für Differentialgleichungrn l ässt auf eine entsprechend vielfältige, differenzie m und komplexe Lösullgstechnik 5 für Differentialgleichungen schließen. 1m Rahm en dieser Einf uhn.mg Jollen /ediglkh einigespezielle gewöhn/khe lineare DifferentialgleichImgen behandeltwerden. Un ter einer Lö sung einer (gewöhnliche n) D ifferentia lgleichung G(x, y, y', y", ....y(n» "" 0 versteht man ei ne Funktion f mit Y"" fex), die - zusammen mit ihren A bleit ungen y', y", ... - ucr gegebenen Differentia lgleichung G(x, y, y'. s". ..., y(n» "" 0 genügt.

Bemerkung 8.6.3: Um die Obersichtlichkeit der Darsteilung zu erhöhen, soll im folgenden stalt y = f(x} vereinfachend y = }'(x) geschrieben werden. Bei\ pieI 8.6.4: Gegeben sei die Different ialgleichung G(x,y,y ') "" y'(x) - y(x) "" o. Eine Lösun g ist e.a die Funk tion f mit Y"" fex) = et, de nn wegen y' = c'" ist stets y' - y = c' - et = 0 erfüllt. Weiter sieht man, da ss jede Funkt io n des Typs y = c· e" ebenfalls e ine Lösung de r D ifferentialgleichung y'-y = 0 ist.

I

Differen tialgleichu ngen t reten im ökonomischen Bereic h hä ufig dan n auf, wenn die Ze it t als unab hängige stetige Variab le auftri tt. In diesem Fall näm lich stellt die erste Ableitung y'( t) (., y) einer ökonomischen Funkt ion y "" y(t) näherungsweise die Ände rung ,"on y pro Zeiteinhei t da r, d.h. die Momentangeschwladlgkelt des du rch y = y(t) besc hriebenen ökonomische n Prcees..es. J ede definierte (beo bachtete, postulierte] Beziehun g zwische n den . Bcstands'' -wcrtcn y(t) und ihren zeitlichen Änderungen y(t) kann d urch eine Differentialgleichung besc hriebe n werden . 5

siehe Z.B. Kamkc j3Sj

438

8

Ei nführung in die Integralrechnung

Belspiel 8.6.5: Der zeitab hängige Bestand einer Bevölkerung werde d urch die Funktion B: B(t) beschrieben . Die Bevölkerungsänderung pro Zeiteinheit wird dann im Zeitpunkt t durcb dic crstc A blcit ung 8(t) beschriebe n. U nterstellt man, dass die zeitliche Ä nderun g Bder Bevölkerung in jedem Zeitpunkt t proportional zum gerade vorhandenen Bevölkerungsbestand B(t) ist (konstanter Properlionalitätsfaktor b), so gilt die Beziehung

8(t) = b ·B(t)

(8 .6.6)

Dies ist eine gewöhnlichelineareDiff erentialgleichung erster Ordnung für die gesuchte ze nabhängige Bev ölkerungs-Best andsfunktion B: B{I). Man überzeugt sich (Ableiten und Einsetzen in (8.6 .6)!) davon, dass z.B. die Expon entialfunktion 8( t) = 100· &1eine Lösung von (8.6.6) ist. A uf welchem Wege man diese Lösung ermittelt, ist Gegenstand des folge nden Abschnitts .

8.6.2 Lösung von Differenti algleichungen du rch Trennung der Variab len Wie in Bemerkung 8.6.2 bereits angedeutet, ist die Lösungstechnikfür Differentialgleichungen im allgemeinen recht verwickelt. Einfach dagegen (und für eine beträchtliche Zahl ökonomischer Probleme a1L~ ­ reichend) ist die L ösungsmethodef ür gewöhnlichelineare Diff erentialgleichungen 1. Ordnung vom Typ

g(y) f

(8.6.7)

= h(, )

I

mit y '" y(x) .

Jede Differentialgleichung. die sich auf diese Form bringen lässt, heißt separabel, Beispiel 8.6.8:

Folgende Differentialgleichungen sind scparabcl:

I)

y' '" 6x2 + 1

mit

ii )

x -y' '" (y - lXx + l)

mit

iii)

(x2+1) -y' '" 2x .y2

mit

iv)

y''''y+ x.

g(y) = 1; t g(y)= y -t t bV) = - ; y'

h(x) '" 6x2+ 1 ; h(x) '" 1 + h(X:) '"

xt ;

-..1.!.... x2 + I

Diese Differentialgleichung ist zunächst nicht vom Typ (8.6.7). Setzt man aber z(x) '''' y(x) + x, so folgt y,'egen z' = y' + 1 d.h. y' = z' -1 aus der gegebenen Differentialgleichung: y' = z '-l

e

y e x e z. also z'=z+ 1,wasaufdieForm(8.6.7) führt:

z:\

= I

(z * -I).

Um eine separablc Differentialgleichung des Typs (8.6.7) zu lösen, integriert man beide Seiten von (8.6.7) bzgl. x: (8.6.9)

Nach derSubstitutionsregcl(Satz 8.4.9) folgt daraus (wegen dy = y'(x) dx) (8.6. 10)

mit

y '" y(x) .

Damit ist die Lösung der separablen Difkrentialgleichung (8.6.7) zurückgef ührt auf die Bestimmung der Stammfunktionen G(y) zu g(y) und H (x) zu h(x) :

I

Gelingen die beiden unbestimmten Integrationen in (8.6.10), so kann die Lösungsfunknon y '" y(x) ermittelt werden.

Elementare Differentialgleichunge n

8.6

439

Bemerkung 8. 6.11: Formal em öttm cn (8.6.10), indem man dieseparable Differelllialgleichung (8.6. 7) in der Form

g(y).;f;. h(x) schreibt und mit dem Differetllial dx mullipliziert: g(y) dy = hex) dt .

(8.6.12)

lmegrien man jetzt links nach y und rechts nach x , so folgt (8.6.10). Man beachteaber,dass dieseformale . Lösung" kein Beweis f ür die Richtigkeit der Methode ist, sondern lediglich zeigt, dass dieformalen Symbole und Operationen sinnvollgewählt wurden:Siefüh rensozusagen " automatisch«zum richtigen Resultat - eine Tatsache, diefürdie praktische Durchfiihrungdes Lösungsverfahrens angenehm ist. Es sollen nun die Differentialgleichungen von Bctsptct x.ö.x gelöst werden: Beispiel 8.6. 13: i)

A us y' '" 6x2+ I folgt unmittelbar durch gew öhnliche unbestimmte Integration:

y = ! (6X2 + 1) dx + C = 2x 3 + X + C, d.h . die Trenn ung der Variablen gemäß(8.6.12) ist für diesen einfachen Fall entbehrlich, hätte aber gleichwohl wegen dy = J (6X2+ 1) dx

J

+ C zum selben Ergebnis geführt .

Die Intcgrationskonstante C läss t sich be stimmen, wenn man eine Anfangshedingun g vorgibt , ctwa y(l ) = 5: Bingesetzt in die Lösungsfunktion erhält man; 5 = 2 + 1 + C . d.h. C = 2. so dass die spezielle Lösung des Anfangswenproblems lautet: y = 2x3 + X + 2 .

Bemerkung 8.6.14: Wie aus dem lernen Beispiel ersichtlich, treten beiderLösung VOll Differelllialgleichungen stets eine oder mehrere Imegrations kans tomen auf, so dass die Lösung aus einerMenge von Funksionen besteht, diesich in der Integrationskonstanten unterscheiden: i) Die Menge der L ösungsfun ktionen einerDiff eremialgleicllung heißt allgemeineLösung der Diff eren-

tialgieichung. ii) Jede - etwa durch Vorgabe von Anfangswerten gewonnene - Einzell ösungsfunkno n heißt spezielle

oder partikulöreLösung derDifferentialgleichung. Fortsetzung von Bcispicl 8.6.13: X·y ' =(y - I)(x+ l) .

ii)

(8.6.15)

- "' y- l

=

Trcnnung dcr Variablen liefert:

( l + -x1 ) dx .

Unt erstellt man y - 1 > 0, x > 0, so liefert Integration; [n(y-l ) = x eln x e C

~

y - L = c' +lnH C = c' e1nx c C = k -x -c"

mit e C= k> O.

Daraus erhält man die allgemeine Lö sung y =k · x t:" +1 Mit der Antangsbedingung (z.B.)

(x>0;y >1 ).

y(1) = c + 1 folgt als spezielle Lösung (wegen k = 1):

y =x ·c' + l . (Unterstellt man dagegen y- l < 0, x > 0, so liefert die Integration von (8.6.15): In(1- y) = x + lnx + C mit der allgemeinen Lösung: y e r - kx C· . Die Anfangsbcd ingung (z.8.) y(1) = 0 liefert k = e'" und somit die spezielle Lösung y = )- e- l. x ·e" = l - x · c"-J.)

440

8

Einführung in die Integralrechnung

(X 2+ I) ' y' = 2x ' y2 .

iii)

J ~y2 -_ J hx2+dX1 +c,

d.h.

T rennung der Variablen liefert :

- y-l = ln (x2+ 1) + C

und s omitdicallgcmcincLösung:

-1

0,5

y' = x+ y.

iv)

Trennung der Variablen:

In (z+ l ) = x+ C

=-c ' -1

Die Substit ution z:: X+ Y liefert: z':: Z+ 1.

~= dx . z+l

Die Integration liefert (für z + 1 > 0):

z =kc' - l

und daher

Wegen z:: x + y lautet die allgemeine Lösung y:: kl., x- x- I. Mit der Anfangsbcdingung (z.B.) y(O):: 4 erhält man dlc spczicllc Lösung; » 5&" - x- l .

v

Bemerkung 8.6.16:

A uch die Diffem l/iulgldchungen höherer Ordnung lassen sich durch elementare yl"' (x) ::f ex) sind.

lmegrationsprozesselösen, wenn sievom1}p:

Beispiel: Die lineare Differentialglrichung 3. Ordnung y'" = (jOx2 + 12 wird durch 3 hintereinander geschalteu unbestimmte lntegrauonen getöst,[urdie jeweils eineneue Integrationskonstame ben öugt wird. Man erhält sukzessive: y"=20x3+12x +C ~

y' = 5x 4 + 6x2 + Cx+ C2

~

y==x5 + 2xl + Cjx4 + Cr + Cl

( mirC / " a,SC ) .

An diesem Beispiel wird deutlich. dass die Anzahl der in der allgemeinen Lösung vorkommenden Integrationskons tante n mit da Ordnung der Differentialgleiclllmg übereinstimmt, Im vorliegenden Fall konnte eine spezielle Lösung durch VorgubedreierA njangsbedingllngen gewonnen werden, z.B. )'(0) == 7 ; )" (0) =0; )'''(0) =1 . Durch Einsetzen dieserAnfangswate in y, s', y" ernatt man nacheinander: C3 = 7; C2 = 0; C = 1, d.h. C/ = 0,5 lind somit diespezielle Lösung: }' == x 5+2x3 +0,5x 2+7. Aufgahc 8.6. 17: Für die folgenden Differentialgleichungen gebe man a) die allgemeine b) die spezielle Lösung (unler Bau cksichtigung der vorgegebenen An! angsbedingungen) a n:

i)

y' = 8x 2 +

V2X - 1,

\(0)" 4;

ii)

K'(t) " i K(t),

f(I)" 100;

i,,)

I"'(x) =

G '(x) = 50 -2G(x),

0(0)" 0;

\i )

y ' + y = 1;

\ii)

xZy'== l + y,

, (1) " 2;

\iii)

ix)

y

,(2) " 4;

' x)

iii ) \')

f'( x] =

,

..!... fex), x

,

=y'

~ ' (0,5x - 2);

K(O) "

K" (> 0); 1(1)" 1; , (0)" 0;

y'" + 3x 2 == 4; mit , "( 1)"9; , '(0)" 1; , (0)" 8;

x = 100 · VX - O,OIx ;

(x == x(t»)

x > 0 ; x(O) = 250 .000 ; (Hinweis: Man substituiere I. = V; ).

Aufgabe 8.6. 18: Man ermit tle die allgemeine Lösungder Differentialgleichung k = kn (mit k == k(t) sowie k(t) > 0) für die folgenden Werte von n und skizziere (außer für vii] jeweils eine spezielle Lösungsfunktion: i) n= - I ;

ii) n = O;

...)

UI

1 n=2" ;

i\') n = l ;

v) n=2 ;

\i) n = 3 ;

\'ii) n = a ( =I= l ) .

8.6

44 1

E lemen tare Differentialgleichungen

8.6.3 Ökonomische Anwendungen sepa ra bler Differenti algleichungen 8.6.3. 1 Exponentielles Wach stum Das Waehstumsmodc11 von Bsp. 8 .6.5 geht von der realistischen A nnahme aus, das s die zeit liche Änderung B(t) ( ,-

~)

des Bevölkerungsbestandes zu jedem Z eitpunkt t proportional zum gerade vorhande-

nen Bestand 8{t) ist (Proportlonalitätsfakt or: b = ccos t.). Für die ze itliche Entwi ck lung des Bestandes gilt also die Diffe rentia lgleic hung

(mu B (l) > 0 ; b >0).

B(t) "" b B(t)

(8.6.1 9)

T rennung der Variablen liefert

d: = b · dt

und da her

(81

f d: = b · ldt+ C, d.h. In B = b- t + C. Dar aus ergibt

b> O

sich d ie ges uch te Bes tandsfunkt io n B: 8{t) : 8{t) =k · eb1

(8.6.20)

Der Bestand 8( t) ändert sie h da her eXI)()ne ntid l mit der

stetige n Änderungsrate b (pro Z eit einheit). Die Integration skonsta nte k kan n durch eine Anfangsbedingung bestimm t werden: ISI etwa der Best and im Z eitpun kt t = 0 z.B. 60 (d.h. 60 "" 8(0) = k · e O"" k] , so lautet d ie spez ielle Bestandsfunkt io n B:

b= O

':~r-

bO ;x> O .

Einfü hrung in die Integr alrechnung

8

442

Man sieh t: J ede muhlplikatlve Komhinalion aus Potenzruukuoe xb und Exponentia Irunklion cax besitzt eine linea re EIa.,Uzität, runk tion. d.b. mit Er.x = ax + b.

Beispiel:

a", 2j b : - }

Er,x '"

2x- 1

Son de rfälleergeben sic h, wen n a oder b Null werden: i)

a=0

~

Er,. =

f(x) =k 'xb

(8.6.25)

I,

b '" ro nst.

d.h . f ist Isoclasus ch . Nach (8.6.24) folgt wegen CO= 1:

I,

d.h . d ie elementaren Pct en ztunku onen sind die einzigen isoelast ischen Fu nktionen.

ii )

b =O

~

,

(8.6.26)

'.' e ax I· f(x) : " ' &"

Nach (8.6.24) folhrt wegen XO= I :

I.

d.h. d ie ele me ntaren Expo nentialfunktione n sind die einzigen Funkti onen , dcrcn E lastizitätsfunktionell Urspru ngsgeraden sind.

( B)

er.x '" fex)

I,

d.h.jct4 sind die Funkti onen gesuch t, die mit ihrcr Ela~lizilälsrunklion übe retns ümmen: f ' I X\

.~_l..: :·!.

~,)

X

= fex ).

I IfI

Trennung de r Variable n führt auf

J J"x df f2 =

+ C d.h.

10

I f", I

- f"I "' Inx + C .

>0

Die allgcmei nc Lö sung lautet dahcr

(8.6.27)

(1:/

2 0

- )

f(, ) - - -

111 x + C

{xl

•t t

t

M it de r A nfa ngsbedingu ng f(l ) = 1 etwa erhält

-10

m.U1 als spezielle Lö sung wege n 1 = C = - I:

-~ ,

(8.6.29)

(s. Abb. 8.6 .28)

f(' j "

I - ln x

d.h .

I I I t

I

Ab b. 8.6.28

A n jeder Ste lle x ( E IIP \ Ie l ) stimm t der Funktio nswert fex) mit der Elastizität Er.• von f bzgl. x überein. An der Stelle x = e bes itzt f einen Pol.

8.6

443

E lementare Different ialgleichungen

8.6.3.3 Neoktasslsches Wachstumsmodell nach Solow 6 Das Nettosozialprod ukt Y einer Volk swirtsc haft werd e mit de n Prod uktionsfakt oren Kapital (Ei nsa tzmenge; K) und A rbeit {Einsat zmenge: A ) gemäß einer neoklassischenlinear-homogenen Cobb-DouglasProduk tionsfun ktion produ ziert;

(8.6.30)

O< a < l.

Input- und O utp utgr ößen werden als zeitabhängige Variable aufgefasst, so da ss (8 .6.30) lautet;

(8.6.31) Folgende Prämissen werden unterstellt: i)

Die Bevölkerun g und dami t das A rbeit sangebot A(t) wachse m it einer kon sta nten , stetigen Rate b (> 0 ). es gelte da her (siehe Kap. 8.6.3 .1):

(8.6.32)

A (t) =

Au ' e'"

(A u, b >0) .

Dabei se ien A o und b exoi,,'en vorgegebene Konstanten . ii)

D ie zeitliche Änderun g K(t) des Kapitalstockes K(t) ist gleich den Nettoinvesti tionen let) (siehe Kap. 8.5 .5), d.h .

(8.6.33) ii i)

« t) = I(t) .

Die Nettoinvestitionen I(t) sind zu jedem Zeitpunkt propernonal zum jeweiligen Nettosozi alprodukt Y(t) {konstanter Propo rtionalitätsfaktor s mit 0 < s < 1), d.h .

(8.6.34)

I(t) = s · Y(t) .

(s ist somit die tkonstam vorausgesetzte] durchschnittliche Investitions- bzw. Sparquote- der Rest desSozialproduktes wird konsumien] Zusamme ngefasst besteht d as Solow-Wachs tumsmode ll aus den Relat ionen

(8.6,35)

Y{t) = K(t)3 ' A{t) l -a

(8.6.36)

A{t) '" A o ' ebl

(8.6,37)

«t) =

I(t)

=,

m it

O< a< l ; b> O ; A o > O ;

V(t)

O<s < 1.

Das Arbeitsangebo t A (t) ist dabei eine exogen vorgegebene Fu nktion . Ges uch t wird - bei be kannte n Werten b, A u, s 0):

In ( s- b) x =- b( 1 -a )t + C,

d .. h

Mit Umfonnung und Rcsubstit ution ergibt sich nacheinander: s

e

bx = C oe-b(l -a)1

~

x = k1- a = .!.. _.f. e- h( l -a)l

und daraus schließlich die allgemeine Lösung.

0».

I)

M an stelle die Diffc rcntlatglcichung fü r K(t) auf und ermittle

a)

d ie altgerneine Lösung.

b)

die spezielle Lö sung. wenn der Kapitalstock in t = 0 den Wert

ii)

Man ermittle und skizz iere die spe zielle Lös ung f ür K· = 100 GE ,

iii)

Nach welch er Zeit hat sich die ursprüngliche Differcnz K· -

Aufgabe 8.6.5 1:

Ko

Ko besitzt. Ku = 10 G E ,

a = 1l,5.

um d ie H älfte verringe rt'!

Gegeben iSI die Elas tizitäls funktio n f: r,. einer Fu nktio n f .

Man ermitt le f(x) unter Berüc ksich tigungder gegebenen A nfangsbedi ngungen: 0) 1 f( l)=l ;x > O ; ' ii)

iii)

f: r.• f

=-; ,

2 r.• =2x -3x + 4,

f f.•

= ~,

f(3) = 162 ; x > 0 ; 1"(0 ,25) = c : x > O

Aufgabe 8.6.52: Man ermittle jeweils d ie zu treffend e Nachfragefunktion x = x(p) für ein G ut, wenn folgende Info rmatio nen vorliegen: I)

D ie Prelsclasnz ität de r Nachfrage hat den stets konstanten Wert - 2. Bei einem Preis von 10

GEI M E werden 10ü M E nachgefrab'l. ii)

D ie Preiselastizität der Nachfrage ha t nur an de r Stelle p = 1 GE/ M E ; x = I ME den Wert - 2, iSI abe r allgemein von der Form f • .p = ap (a = ccost.).

iii )

Die Preiselastizität der Nachfrage hat die Ges talt werde n 28 ME nach ge fragt.

lv]

f •. p

=

Die Preiselastizität der Nachfragclautct e•.p = 6;:- p ' für

AUfgahe 8.6.53 :

7-22~2 2 . Fü r den Preis 4 G E / M E P

r = 50 GEIME ist x = 115 ME .

Für ei n G ut seien Ange bots- und Nae hfragefun ktion gegebe n durch: xA(p)= p - 20 ;

X:...{p) = 100-2p

(xA,x",p > O) .

Dabei werde de r Preis p als zeitabhängige Variab le p(t) aufgefasst. Für den Nicht-Gleichgc.....i cbtsfalt werde un ters tellt, dass die zeitliche Ä nderung P(I) des Marktpreises pro port ional zum Nachfrageübe rhang x",ll) - XA(I) ist, Propo rt ionalitätsfaktor sei a (> 0).

8.6

447

Elementare Differentialgleichungen i)

Man stelle die Differentialgleichung fü r p(t) auf und ermittle für einen Au sgangspreis von Po = P(O) die spezielle Lösung. Man ermittle - sofern existent> den sich für t -e- 00 einstellenden Gleichgewichtspreis.

ii)

Man löse i) unter Berücksichtigung folgender Da ten:

Aufgabe 8.6.54: i) ü)

a = 0,04 ;

Po = 25 GE /M E.

Man löse jeweils dasSolow-Modctl (8.6.41) für den Fall, dass

keine Bevölkerungsveränderung stattfindet (b == 0) ; die Bevölkerung im Ze itablauf abnehme (b < 0, z.B . b = - 0,0 1).

Dabei benutze man speziell die Daten s = 0.2 ; a

= 0,5 ; k(O) = 1.

Man ermitt le - sofern existent - in beiden Fällen de n (stabileIl) Gleichgewichtswert der Pro- Ko pf- Kapitalausstatt ung für t _

00 .

AUfgabe 8.6.55: Auf einem (abgegrenzten) Markt werde ein High-Tcch-Ha ushaltsgerät erstmalig angeboten (zum Z eitpun kt t = 0) . Die t heoretisch mögliche Absatz-O bergrenze [S önigungsmenge] betrage in diesem Markt x. ( = 100.000 ME) . Die bis zum Zei tpunkt t (

~ 0)

insgesamt verkaufte Menge werde mit x(t) bezeich net.

Gesucht ist die Funktionsgleichung (sowie der Graph) der Ab satz- Zeit -Funktion x(t) , wenn gilt: -

In jedem Zeitpunkt t (> 0 ) ist dic Zahl der in der nächste n Ze iteinhe it verkauften Stücke [d.h. die zeitliche Änderung x(t) des Absatzes) proporti onal zum Abstand x. -x(t) zw-ischen Sättigungsmenge x. und kumulierter Absatzmenge x(t) . (Dies bedeutet: Je näher der (k umulien e) A b~ satt x(t) an die Söuigungsmenge X s stoß t, desto schwieriger (und somit kostspieliger) wird es, weirereStücke ahzusetzen.)

-

1m Zeitpunkt t = 12 (d.h. nach 12 Z eueinheuen] seien bereits 20.000 ME verkauft. i)

Wie lautet die Absatz-Ze it- Funktion x(t) ?

ii)

Nach welcher Zeit sind 80% der höchstens absetzbaren Stücke verkauft'!

iii)

A ngenommen, der Deckungsbeitrag für jedes Gerät betrage 10 GE (olme Berücksichtigung der m it dem A bsatz verbundenen Kasten}. Die mit dem Absatz der Geräte verbundenen Kosten betragen pro Ze iteinheit einheitlich 1.000 GE.

(Sk izze /)

Man crmitt le diejenige kumulierte Absatzmengc x, für die gilt: Das nächs te verkaufte Stück verursacht genauso hohe Absatz- Kosten, wie es Deckungsbeitragerwirtschaftet .

449

9 Einführ ung in die Lineare Algebra Mit den Crundclememen (Matrizen.Vektoren. lineare Gld chu ngssystemc ) und Me thoden der Linearen Algebra lasse n sich auf prägnan te und komp akte Weise heliehig große verfloch tene velks - oder tetrtebswirtschaftliche Systeme beschreiben und anal ysieren (z.B, im Zusamm enhan g mnl nput-Output -A nalysen, mehrstufigen Prod uktionsprozessen. innerb etrieblicher Leistungsverrechnung u.a.], Zugl eic h liefert die Linea re A lgebra die notwend igen Grundlagen fü r eines de r wicht igsten Verfahren des Operattens Research, die in Ka pitel lO beha ndelte Lineare Optimi erung.

9.1 Matrizen und Vektoren 9.1.1 Gru ndbegriffe der Matrizenrechnung Rechteckige zahlentabenen sind ein wicht iges H ilfsmitt el zur Beschreibung ökono misc her Sachverhalte: Beispiel 9. 1.1: i) Tabel le von Produktion skoe fflzlenten:

Produkt J Maschine J Maschine 2

Produkt 2

Produkt 3

2 (h/ME) 4 (h/M E) 0,5 (h/ME ) 1 (h/ME) 3 (h/ME) 1,5 (h/ME)

Dabei bede ute t etwa d ie Zahl 4 (ersteZeile, zweite Spalte), dass zur Bcarbe üung vo n einer ME des Prod uk tes 2 eine Masc hinenbea rbeitungszeit von 4 h auf Maschin e I erforde rlich ist. ii ) Vo lkswirtschaftliche Ve rflechtungstabelle.

empfangende Sektoren

liefernde Sektoren

Bergbau E nergie Sta hl

Bergbau

E nergie

Stahl

0 500 50

1.000

2.000

400

100

800 0

2.500 7.000

200

E ndverbrau cher

Dabei bede utet etwa die Zahl 800 (zweite Z eile, dritte Spalte) , das s der E nergiesektorim bet rac htcten Zei traum 800 Leist ungseinheiten an den Sektor Stahl geliefert ha t (d ie dieser zu seiner Prod uktion benö tigt). Die List e de rartiger Beisp iele lässt sich beliebig fortse tzen. In de r Linearen A lgeb ra fasst man de rartige Rechre ckschemata als ~e1bständige Rerhenobjekt e (~ Matri zen") auf und versucht, auf möglich st kom pa kte und übersichtliche Weise eine " Mathcmatik mit derartigen O bjekten zu ermöglichen, die den Anwencungsted ürtnrssen genügt. U

450

9

Der. 9. 1.2:

Einführung in die Lineare Algeb ra

Unter einer m ~ n-Ma lri ll: A (auch: m-m at-n-Matrix; auch: (m , n)-Matrix) versteht ma n ein recht eckiges Zahl en_~c h ema aus m Zeilen und n Spalten:

'n 'n A

'" '" ail

a i2

aOl I

'm'

' .. '"

'" '"

eu

_ i-tc Zeile

~.

'm'

'm.

t

k-te Spal/e Die a ik (E IR) heißen Elemente der Matrix A, der erste Index i (i = 1, ..., m) gibt dabei die lfd . Nummer der Zeile, der zweite Index k (k = 1, ..., n) die lfd . Nu mmer der Spalte an.

Bemerkung 9.1.3: 1mfolgenden werden Mamz en mi/fettgedruckten Großbuchstaben A, B, C, ... bezeichnet .

i)

ii)

In aik Ill'llnt man i den Zeilenindex und k den Spahenindex.

iii)

Die Allzahl m tier Zeilen bzw. n der Spulten charakterisieren die Ordnung (werden Typ ] der Metrix A. Folgende Schreibweisenjur eine m »n-Mctnx A sind außerdemgebräuchlich: A (m,Il) ; (aildrn",,); (oiV mit i v l , ...,m ;k= ] , ....n . Gil/ m = 11, so heIßtdie Matrix A (n,ll) quadratisch. Die Elemente at l' a 22' "', ull " einer quadratlschen Matrix heißen Diagonatelememe, sie bitden die Diagonale der Matrix A(II,n)'

ß ei..piel 9. 1.4: Bei den Z ahlensc hemata vo n Beispiel 9.1 .1 handel t es sich um die Matrizen i) AO ,3) =

iii)

D ie Mat rix C(3,3) "

( ~ ~ ~:~ )

ii )

B(3,4) =

0 1000 2.000 50() 100 SOO ( 50 200 0

, 37) ( oK 4 I ist quadratisch . Diagon aleleme nte: 2 6

400 ) 2.500 7.000

a n = 5; an = 4; a33=6.

D ie für reelle Zahlen be kannten Relat ion en Gleichheil und Ungleichhe it lassen sieh in naheliege nder Weise auf Matrizen übertrage n: Def 9.1.5: (C terch hen. Ungleichh eit m n Matrizen) ;)

Zwei Mat rizen A = (ajk)(m,n) und B = (b ik)(m.n) gleichen Typs hcißcngcnau da nn gleich , wenn säm rücbe entsp rechenden Elemente von A und B ühere inst immen:

(9.1.6) ii)

IA= B

~

aik = bjl;

I

für alle i, k .

A nalog zu i) definiert man:

(9.1.7)

A< B

~

3il; < bjk

für alle i, k

(9.1.8 )

AS E

~

aik S hjk

fiir alle i, k

9. 1

451

Matrizen und Vektoren

Bei~piel

9.1.9:

A us de r Matrizengleichung

(" ")

x j= 2;

x4 = - 7 ,

x2 = 5 ;

x3 =1 ;

folgt nach (9.1.6):

)(4

'~ 3

ii ) Gegeben se ien d ie Mat rize n A, B, C, 0 mit

A=

Gl~ ) ;

B= (:

j~ ) ;

Dann gelten folgende Relationen:

C

4

=(,

A SB ;

6 9

O > C;

0 = ( A *C ;

~

H* C;

7 10

8' ) .

A *O ;

" *0 .

Vertauscht ma n Zeilen und Spal ten ein er rn ~ n-Matrix A, so erhält ma n eine (La. von A verschiede ne) n ~ m- Matrix, die zu A tran sponi erte Matrix AT :

Def 9.1.10: (trenspon ferte Matrix) E s sei A = (ai k)(m.n) eine m - n-Ma trix. Dann nenn t man die du rch Verta uschen von Zeilen und Spal ten ents tehe nde nem- Matrix AT ,= (aki)(n.m) die tran sponierte Matlix AT zu A.

Bei~pieI9 .1 .11:

i)

(siehe Bsp. 9 .1.1 /Bs p. 9.1. 4)

A(2,3) =

ii)

B(3,4) =

(;

4 3

(,~'0

0,5 ) 1,5 1.000

2.000

I~'

,,~

200

T A (3,2) = (

~

0

400 )

2.500 7.000

2 4 0,5

~

I~J T ( 1000 0 B (4,3) = 2 000

500 100 800

400

2.500

50 ]

200

7.0(\(~

Man beachte be i der öko nomisc hen In terpretation der T ransponierten, da ss auch Kopfspalte und Kopfzeile miteinander vertausc ht werden (elwa in & ispiel 9.1.1) .

Bemerkung 9.1.12: i) Offenbar[uhn zweimaliges Transponieren wiederzu r ursprünglichen Matrix; d.h. esgill stets

I

(9.1.13)

Beispiel:

Der. 9.1.14:

A

(A l1' =

AI , t: ii)

Die Produktionsmengen dreter Produkte seien im 1. Halbjahr bzw, im 2. Halbjahr gegeben durc h die Produktionsvektoren

_ (20."") Xl =

10.000

:

15.000

Dann lautet der Jahresprod uktionsvektor

x:

X2 =

18.000) .

( 17.(lOQ 25.000

- - +x = XI

x2 =

38.000) . ( 35.000 32.000

9 .1

Ma trizen und Vekt oren

455

iii) E ine inn erhetriehlich e I.eistu ngswrllecht ung (s. auch Kap. 9.2.6 .2) sei beschrieben durch die folgenden Verflech tungs mat rizen Ai (i :: 1,2,3,4) für d ie 4 Qua rtale eines Ge schäftsjahres:

empfangende Kostenstellen I . Quartal

lief emde

Kostenstellen

K,

K,

KJ

K, 0 K, 30 K) 20

10

0 20

3 .Quartal

2. Quarta l

K,

K,

20

0

15

25

25 25

0

(= A, )

0 25

4.Quartal

K)

K, K,

KJ

K,

K,

25

0 30 20

20 0

10

0 40

30 0

10

25

25

0

( = A, )

15

0

25

K) 10

20 0

(= A, )

( = AJ)

a) Für die innerbet rieblichen Gesamtlieferu ngen des Gesc h äftsjahres ergibt sich d ie Matr ix A mit A = A ] +A 2+A} +A.; =

(12~ 7~ ~~ ). 75

0

20

h) D ie D ifferenzmatrix D mit D ,= A.;-A 1 =

10 0 ( - 10 5 runge n des 4. Q uarta ls bezoge n auf da s I . Qu arta l an.

h ') D ie Addition zwctcr Vektoren im 1R.2 kann graphisch veranscha ulicht werden (s. Abb.9. J ,2';):

Der Summenvek to r ä +b (mil ä

=G): b ::

cn

ä+h = ( ': ) ist graphisch du rch den von (~)aus­ gehenden Dlegcnalenvekter des du rch a und b aufgespa nnte n Parallelogramms geken nzeic hnet. Demselben Gesetz der Vekt oraddition genügen in der Mechan ik K räfte un d ihre Überlagerung bzw. Zcr tegung.

95

- 10 ) -~

0

gibt die Mehr - bzw. Minderhe fe-

_ (16) 8 _= _

I (x2)

C=

a+b

~

5( (:)

F= (~)

5

lXI }

1O

Abb. 9. 1.24

Nach De f. 9. 1.22 gelten fü r die Matrizenad dino n analo ge Ge setze wie für d ie A ddition reeller Zahlen; Satz 9.1.25: (Ge setze der I\Iatrizenadditioll)

Für Mat rizen gleichen Typs gilt: I)

A + B = B +A

(Kommutanvgcsctz)

ii)

A + (B +C) = (A +B) +C

(Assoztat lvgesctz)

iii)

A +O =A

(Ex istenz eines Nußelementes [Nullmarrixj]

h')

Aus A +B =O folgt B = -A (mit - A' = (-aik)(m,n»

(Ex istenz des inversen El ements bzgt.der Addition )

v)

(A+ B)T = AT+ BT

(Surnmandcnweiscs Transponieren erlaubt) .

9

456

Ei nführung in die Lin eare Algebra

9.1.3.2 l\lultiplikation einer Matrix mit einem Ska larfaktor Betrachtet man die beiden Mat rizen A =

(~

~~ ) . so ste llt man fest, dass jedes

: ) und B = ( 1:

E lement vo n B gena u dreimal so großisl wie das ents preche nde E leme nt von A : A ndererseits ergibt sich B offcnhara uch d urchdicSumme A+A +A = ( 2+2+2 6+6+6

bik = 3 "aik . -1+4+4)

8+8+11

~ (3J ,6 '2

J 4) J 8 .

Schreibt man (wie in IR)statt A+A+A den Ausdruck 3 . A, so ",,;rd man sinnvollerweise definieren: Dd.9.1.26: (Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar ) W ird jedes Eleme nt aik einer Ma trix A mit demse lben skalaren Faktor k e IR mult ipliziert. so sp richt man von der Multiplikation der Matnx A mit dem Skalar k . Für die so ents tandene

Matrixschreibt man: (9.1.27)

k·

(,,, "")

(

3mn

a",1 ...

k" ," ) .

H "

...

:

k''''',

k ' ilmn

Beispiel 9.1.28: i)

2 '(5 j 4 i 6)T '"

CD·

ii)

Die Ma trix [ - 1:1

11 8

I~ ]

11

11

11

7

iii)

iv)

77 · E(3,3)

:0

lässt sich vereinfac ht schreiben als

i\-.(-~ _~

In 4 Bet rieben werdenjewcils diese lben 3 Produkte gefertigt. D ie mo natliche Prod uktion werde durch die felge nde Prod uktion smat rix besc hrieben: Pm =

(

10 \2 8

12 14 8

30 25 10

\5 ) 20 9

Bei unverändert em mon atlichen Outpu t lautet die Jahrespr oduktionsmatrix P : P = 12 · Pm =

A us

(

120

\ olol

Hol

168 96

96

ä = ( a \ az ... an)T - 'I

= ( - al - a2 ...

360 300 120

HO .

180)

Dabei bedeutet 1.. 8. die lah1300, dass im Betrieb 3 j ährlich 300 Einheiten von Pro-

008

dukt 2 hergestellt werden.

Oeome trtsche Veransc ha ulichung der Mul tiplikation eines Vektors ä mit einem Skalar k (EJR) (s. A bb. 9 .1.29) : Der Vektor k · ä geht aus dem v ek tor ji d urch St rec kung (Ik l > 1) od er Sta uchung (l kl < I ) hervor. Falls k negativ ist , zeigen ä und k ·ä in en tgegengesetzte Richtun gen.

e)

I Ix;'

folgt:

-an? = (-l )·ä. 2

c)

2ä , ,

4

Abb 9.1.29

9.1

457

Matrize n und Vekt oren

Für d ie Multiplikation von A mit einem Skalar gelten die folgenden einfaeh verifizierbaren Gesetze: Sat z 9.1.30:

Es seien A. B zwei Matrizen gleichen Typs und k, r zwei reelle Konstant en. Dann gilt:

;)

k '(r ' A)

ii)

k '(A+ B)

iii )

(k +r) ' A

(k ' r) ' A k · A +k · B

"

k ·A + r ·A

(Assoziativgesetz)

I

(Distribut ivgcsetze)

Wendel man Addition und M ultiplikation einer Matrix mit einemSkalar kombin iert auf Vektoren an, so spricht man von einer Lincarkomhi nation vnn Vektoren. Beispiel 9.1.3 1: Gegeben seien die Vektoren ä =

( ~ ),

b'" ( ~) des 1R2 sowiedie Skalare k '" 2, r = 0,5. Dann gilt: Der Vektor X mit x= k · ä + r b, d.h . ist wicderum ein Vek tor des 1R2, und zwar eine sog. " ü ncarkombi nat ion ~ der Vektoren ä und E. siehe A bb. 9.1.32 .

Abb. 9.1.32

Allgemein definiert man: Def, 9.1. 33: (I.incarkombinalion vün Vektoren)

Es seien "ä t , ä 2,...,än n Vektoren gleichen Typs und c I' cz-...,c n n Skalare (E IR). Dann nennt man den Vektor mit

x

(9.1.3-1)

x=Cjä[ + e2ä2 + ... + cuän = L" ejäi ; -1

eine Ltnearkomhlnaüon der n Vektoren ä j

•

(i=1 •. .,0)

Bemerkung 9.1.35: 1m Fall nidunegativer Ska/arjakJore1l ci, deren Summe genau Eins ergibt (d.h. f ür c/ + C2 + ... + CTI = 1 und ci a 0) spricht man von einer konvexen Linearkombination der Öi' BeisIJieI 9. 1.36:

Gegeben sele n diefolgenden Vek toren des IR} :

i) q =4; c2 "' -2; c)"'O,2:

ist eine

nicht konvexe Linca rkombinatio n der aj.

H) cI = 0,5; c2 = 0,2; c3 '" 0,3: konvexe Lrnearkornbtuaüon der 'äj •

~

458

9

Einfiihrung in die Lineare Algebra

Bl'i~pit·19.1.37 :

Es seien Im [R2 die beide n Vektoren

_xI = (') 10' _ xz '" (1 5')

gegeben.

Bildel man X\. X2 sowie ein ige konvexe Linearkomb inationen graph isc h ab,

z.B.

X3 =O,5XI + 0,5

xl = (;,~)

X,j. = O,2 xt + O,8 x2 = xs =O,6x\ +0,4X2 =

( 1,3)

(,' )

usw.

(sAbb. 9.1.38) , so erkennt man: Sämtliche konvexen Ltnearkomblneuonen zweier (richtungsverschiedener ) Vektoren des IR2 liegen auf der Verbindungsgeraden der durch die beiden Vektoren gekennzeichnete n Punkte.

9.1.3.3 Die ska la re Multiplikation zweler Vektoren (Ska larp rodukt) Eine Unternehmung produziere 5 verschiedene Güter. Die wöchentlichen Produktionsmengen XI ,xl"'" Xs (in ME) werden beschriebe n durch den Prod uktionsvektor = ( 10 15 7 4 3). Die entsprechen-

x

den Verkaufspreise p \" ",PS (in € / ME ) bilden den Preisvektor f ,= ( 5,50 8,00 10,00 12,50 50,00)T.

Damit ergibt sieh (unter der An nahm e, dass die Produkt e unmittelbar nachi hrer Produk tion verkauft werde n) der wöc hentlic he Umsatz U der U nternehmung, indem entsprechende Komponenten von x und p erst multipliziert und die entstandenen Prod ukte soda nn addiert werden:

U = xIPI +x2P2 + x3P3 + x.tP-1 + xSPS = 10 ' 5,5 + 15 ' R+ 7 ' 10 + 4 ' 12,5 + 3 ' 50 = 445 € / W(x;he. Man sagt, der Umsatz sei das skalare Produkt ! aus Mengenvektor

xund Preisve ktor p.

Um fo rmale Widersprüehliehkcitcn mit der im nachfolgenden Kapitel da rgestellten allgemeinen Matrize nmultiplikation zu vermeiden, ist es zweckmäßig zu verlangen, dass der linke Faktor ste ts ein Zeilenvektor, der rechte Faktor ste ts ein Spaltenvektor ist.

Der. 9.1.39: (Skalarprodukt zweier Vektoren) Gegeben seien ein Zeil envek to r äT = ( al a2 ... an) und einSpalte nvektor b = Un ter dem Skalarprodukt von äT und b versteht man die rccllc Z ahl (Skalar)

(9.1.40)

I .S kalares Produkt", weildas Resultat der Operation eine reelle Zahl ("Skalar") ist.

459

9. 1 Matrizen und Vektoren Die formal korrekte Schreibweise des zuvor errechneten Umsatzes lautet nunmehr:

U =,T. p= [x (ode r;

U

...

,,)(!:)

(,,)

= ' ,P, ' ... ,

',p, = 445 [€JW,~h'l

= pT·x= ( PI ... Ps) ~s = P1x\ +... - psxs = 445).

Bemerkung 9.1.41: i) Die Produkte (iT"bT zweier Zeilenvektoren bzw. Ci b zweierSpaltenvektoren sind f onn al nicht definien. Das Produkt (i J;T eines Spalten- mit einem Zeilenvekior ergibt def initionsgemäß als Resultat eint nxn-Matrix(also keinen Skalar!), sieht das [olgende Kapuet 9.1.3.4. ii) Es gilt stets:

(iT . b= jjT .(i

Beispiel 9. 1.42 :

7 1O) .(=D =5 '2 -7 ' 1- 1O '2",-17 =(2-1 -2) · CD

I)

(5

11)

(- 2 1

iii)

Ein Vektor

3)'(;,)'" -2,2+1,1+3 '1 =

0

{slehe Bem. 9.1.41 ii)

(Man sieht: Das Skalarprodukrkann Null werden, ohne dass einerderFaktorenNullvektor ist l]

s mit laute r Einsen heißt . summierender" Vektor (sieheDef. 9.1.19 vii) wegen; (5 7 11).( :) = 5'7' 11 = 23

Allgeme in: Wenn ä T ", ( a l a2 ...

an). so gilt:

äT·s", sT·ä", ( a l a2 '" a n) ' ( 1 1 ... l )T

= a,+a2+ ... +a n •

d.h. das Skalarprod ukt vo n ä und dem (vom Typ her) passenden summierenden Vektor fert die Summe der Kompo nenten von ä.

s lie-

Die lineare Gleichung 5x+7y-4z '" 17 lasst sich mit H ilfe der Vektoren ä T '" ( 5 7 - 4) und x '" (x y z) L alsSkatasprodukt schreiben: äT .x '" 17.

Allgemein: Die lineare Gleichung a lx l +a2x2+... +aoXn '" b läss t sieh kompakt schreiben als äT·x = b mit: ä T '" ( a , az ... an) ; x = ( XI X2 ,,,xn) T .

9.1.3.4 Multi plika tion von Matri zen Auch für zwei geeignete Matrize n ist eine Multiplikalion erklärt, die a llerdings nicht (wie bei der Addition) kompon entenwe ise geschieht. Es sei dazu ein ckonomlsches Beispiel betrachtet; Beispiel 9. 1.43: In einer Unte rnehmung werden zwei Typen von Endprodukten E I' E z aus drei versc hiedenen Typen von Zwischenprodukten Z I' Z2' Z3 gefertigt, die jeweils wiederum aus vier verschiedenen Rohs tofftypen R I •R 2, R 3, R,. bergestellt werden. Abb . 9.1.44 zeigt graphiseh die Zu sammenhänge dieser zweistufigcn Fertigung. Für jede Einheit der Zwischenprod ukte werden best immte Mengen der verschiedenen Rohstoffe, für jede Endprodukteinheit werden bestimmte Mengen derverschied enon Z wi schenprod ukte benötigt. Die notwendigen Mengenangaben (vProduktionskoef!izienten") finden sich in folgenden Verbrauchsrnatrizen A, B(Tab. 9.1.45):

9

460

Einführung in die Uneare Algebra Zwischenprodukte

. 9.1.45 (a)

z,

Rohstoffe R

R R R

End-

6

7

0

RohSIoffe

Zwischenprodukte

Endprodukte

A

heit vcn Zwischenprodukt q 7 Einheiten des Rohstoffs R3 erforderlich sind, usw.)

Tab. 9.1. 45 (b) f2. S/ufe)

Z,

(Es bedeutet etw a die zahl ,,7", dass pro Ein -

verbrauch

(1, Stufe)

z,

, ,, , a , , , a

Endpro dukte

Z Z Z

Abb. 9.1.44

.,

,, ,

Zwischenprodukte

,,s

6

,

B

(DieZ:JhI ,,3"bedeutet, dass pro Endprodukteinheit des Typs EZ 3 Einheiten des Zwischenproduktes 2 2 benötigt werden, usw.)

Gesucht sei nun für jede Endprodukteinheit von E I. E2 die zugehörige Anzahl der verschiedene n Rohstoffe R I• ..., R-I. d.h . eine Tabelle (Matrix C) des Typs von Tab. 9.1.46: Um etwa das Element C32 zu ermitteln, dessen Wert angibt, wieviel RohstotTeinhc itcn des T~ps R) pro Endproduktcmheit E2 erforderlich sind, benötigt man die Anzahl der für 1ME von E2 erfordcrlichen Zwischenproduktcinheiten ( '" zweite Spalte vo n B) sowie die in jeder Zwischcnprodukteinheit enthaltenen Rohstoffmengen von R)

r- dritte Zeile von A):

(Z , ) (Z, )

(1

(RJJ

(D

4)

7

3. Zeile von A

mal

Rohstoffe

R, R, R,

...

102

C 11

C12

C21

C22

C31

C32

(41

C42

T ab. 9,1. 46

(E,) (Z, )

Endprodukte EI

Die pro Einheit von E2 enthaltenen (ZI) (2,) (2,)

2. Spalte von B

5 Einheiten Z t erford. je 1 Einheit R3 3 Ei nheiten Z2 erford. je 7 Einheiten R3 2 Ei nheiten Z3 erford. je 4 Einheiten R3 insgesamt erfordert eine Einheit von E2 dahe r C32 - 1 · 5 + 7 · 3 + 4 · 2 ~ 34 Einheiten R3'

Diese Resultat bildung ist offen bar identisch mit der Bildun geines Skala rprod uktes: C32 hat sich ergeben als Skalarprodukt der dritt en Ze ile von A mit der zweiten Spalte von B. Ganz analog errechne t man die iibrigcn Ele mente von Ci k als Skalarprod ukte de r i-tcn Ze ile von A und de r k-t cn Spalte von B . Als E ndergebnis erhält man die gesuch te Rohstoff· En dprod ukt· Yerbrauehsmatrix C mit:

C

Cu

_

-

(

e" c"

C"

CU Cz2 ] ( 30 34 =

C 32

CU

3K

30

"" "] "

Man sagt, d ie Matrix C sei durch Multip likation der Mat rix A mit der Matrix B entstanden : C =A ·B,

9 .1

461

Matrize n und Vektoren

Allgemein defi niert man: Def. 9.1.4 7: (M ultiplika tion zweier Ma trizen) Gegeben seien die Matrizen A = ( aij) {m,p) und B = (tJ.jk)(p,n) ' (Die Spaltenzahl p von A mus s also mit der Zeilenzahl p von B übereinstimmen.') Dann versteht ma n unter dem P rodukt A · B der Mat rizen A und B die Matrix C = ( Cik) (m.n) , deren E lemcnt Cjk d.1SSkalarp rod ukt aus Her Ze ile vo n A und k-ter Spal te von B ist:

(i = 1,...•m ; k

Cik =

v

l, ...,n).

Bemerkung 9.1.48: Die Z eilenzahl von A B stimmt mit der Zeilenzahlvon A . die Spaltenzahlvon A B mit der Spaltenzahl von B überein.

J c: -:-;-n

Belspiel 9. 1.49 :

~

8 =

- 2 5 - 7 ) (1 ' 1- 2 ' 3 - 1,2+ 2 ,4 4 - 6 II = 3' 1- 4,3 -3 ·2 + 4' 4 5' 1 -6 '3 -5 ,2+6 '4

-,- 7

- 11

5' 5 - 6' 6

- 5'7 + 6

')

11

13 .

Besonders übe rsichtlich gesta lte t sich die Matrizcn multiplikat ion A·B d urch Verwendung des Falk.'sc he n Schemas . Dabe i ordnet ma n die Faktoren nicht nebeneinander an , sondern den linken Fa ktor A links unten, den rech ten Pak to r B rechts o be n an (Ab b. 9.1.50).

ä?

Im Kreuz ungspunk t der i-tcn Zeile von A und dcr k-ten Spalte vo n B steht dan n deren Skala rprodu kt ~ als e nts preche ndes E lement Cik de r Produktmatrix A·B = C.

t;.

1 ,5 - 2, 6 - 1' 7 + 2 :8) 3, 5 - 4' 6 - 3' 7 + 4

Abb. 9. 1. 50

Fa/kschesl

~he~a-L '"

'n ...

I

" p

... ...

bp' ...

b"

,

b"

c"

...

an

eu

' m'

' m'

...

' mp

...

bp"

...

c,"

I

c m, ...

...

b,"

,

B

' mo

C ( = AB) k 'scbcs Schema:

(AI

bp'

,

...

A

Behpicl 9.1.5 1 (Matrizenmulliplikalion) :

b, "

,

-- ~

... a ip

...

b"

... ...

b"

I

5 1 2

-2 3 5

0 2 I

3 2

,

11

I

19 21

tu 37

10

[ill

(8)

C = A8

462

9

Einführung in die Lineare Algebra

Die für die Matrizenmultiplikation geltenden Gesetze unterscheiden sich durch einige Besocdernenen von den üblichen l\Iulü plikalionsregeln ree ller Zahlen: Belsp iel 9.1.52: i)

Seien ä T=(Z - 1 3); b: (5 1 - Z)T gcgcbcn. Dannis!..nach Dcf. 9.1.47 sov.u hl dasProdukt äT . '6 als auch das Prod ukt mit vertauschten Faktoren b ·iT definiert, und es gilt:

3){D

.)

, T ·b = ( 2 - 1

b)

b'iT (:)'(2 l 3)

= 10 -1 - 6 =

=

-r

-2

=

3

( 1~ =~ l~ ) 2

-~

-6

Während äT .b (alsSkala rprod ukt) den We rt 3 hat, stellt b'ä T eine (3x3)- Matrix da r. ii)

Seien A = ( _:

~ );

( ~ ~ ~ ) gegeben.

B =

Nach Def. 9. 1.47 ist zwar das Prod ukt AB de-

finlcrt , nicht jedoch das Prod ukt BA (da die Spalten zahl von B nicht mit der Zeilenza hl von A über einstimm t) . iii )

Seien A = ( _ ~

~ );

B =

( ~ - ~)

gegeben. Nach o cr, 9.1.47 sind sowohl AB als auch BA

definiert, das E rgebnis beider M Ultiplikationen istjeweils cinc 2 ~2 -Matrix (mir A B

,

1 -)

3

[a]

5 2

-I

1

11 3 8 11

(8)

5

(b)

= AB

,

1 -1 3

-1

=1=

BA I) :

(Al

2 3

6 -I

B -A (=I= A ' B)

11 18

(8)

t, ein LOS äqu ivalent umzufonnen auf die Ge stalt von Beispiel 9 .2.5 v) (d.h. auf obe re Dreiecksform. siehe Dcf. 9. 1.19 lv):

Linea re Gleichungssysteme (LOS)

9 .2

477

5x, - X2 -2x3+ 3x-l 29 3x2 - 4x3 + x-l :: - 7 2x3 + 2X4 :: 30 x4 JO

(9.2 .15)

(Die KoefflZientf!1lmalrix A ist eine obere Dreiecksmatrix; d as LOS besitzt die " obere Dreiecksj orm"]

so lässt sich die Lösung verhältnismäßig rasch ermitteln: Setz t ma n in (9.2.15) den aus der letzten Zeile resultierende n Wert x4 :: 10 in die vor letz te Zeile ein, so ergibt sieh unmitt elbar x3 :: 5. E insetzen be ider Werte in die zweite Z eile liefert x2 :: 1 , und analog folgt damit a us der erste n Zeil e x l:: 2 , so da ss die Lösung x von (9.2.15) lautet:

Noch einfache r lässt sich die Lösung eines LOS angebe n, da s auf Diagooalfonn umgeformt wurd e (siehe Beispiel 9.2.5 vi» (9 .2.16)

' I

x2

: -3~ .

H ier liest man ohne Re chnung den Lösungsvektor ab:

x=

(3) -:

.

E s stellt sich daher die Frage. mit welche n Umfonn ungen ein LGS ohne Änderung sein er Lösungsmenge äquivalent umgeformt werden ka nn (etwa in eine Diago nalform wie (9.2.16»). Dafür gilt der grundlegende

Ax

Satz 9.2. 17: D ie Lösungernenge eines linearen Gleichungssystems = b änd ert sich nicht, wenn man das System in folgendcr Weise umformt (z ulä.\Sige Zeilenoperaüonen): i)

vertauschen zweier Zeilen;

ii)

:\Iuhiplikalion einer Zeile m it ein er reellen Z ahl k l ( * 0) ;

iii)

Erset zen einer Zeil e dureh die Summe aus dieser und dem kz-fachen eine r and eren Z eile {d.h. Addit ion des kz-faehen einer Z eile zu einer anderen).

Bem erkung 9.2 .18: i)

Z um Beweis von Satz 9.2.17: i) ist offensichtlich (wegen d er Symm etrie des logischen " /\ U); ii) und iii) fo lgen aus den entsprechenden Regeln (1.2.113) und (l .J. J12) f ür G leichungen.

ii) Z usatzlieh zu den in Satz 9.2.1 7 erwahnten Aquivalenz-Umformung en darf ma n

-

Variable umbmennen und dann das LOS neu ordnen (entsprich t einem Spaltentaus ch)

-

Null zeilen O·x1 + 0 'x2 + ... + O·XII = 0 ersatzlos streichen, da sief ürjeden beliebigen Vektor wahr sind un äsom it k einen spezif ischen Beitrag zur Lösungst indung lief ern k önnen.

x

.•. LOS (2) (I ) 3x " Y= = -107 mit . der einzigen . . Lö sung -x = (') · . 192 Berspre , . 19: Geeebe geben sei. uas 2x-3y Y = ( -l1) .

Nacheinander werden die drei zulässigen Zei lenwnformungen von Satz 9.2.17 vorgenommen: i) Offenba r kann sich die Lö sungnicht verändern, wenn man beide G leich ungen vertauscht :

(11 .. (2) (2) .- (1)

zx- 3y = - 10 3x +y ::

7

9

478

Einführung in die Lineare Algebra

ii) Wenn z.B. die erste Gleichung mit 2 und die zweite Gleic hung mit - 3 multipliziert wird, ändert

sich die Lö sung nicht:

(I " ) ,. 2 -(1) (2" ) -= - 3- (2)

öx + Zy = 14 -6x + 9y: 30

) hat ebenfaJ1s die Lösung ( :) _

iii) Ersetzt man im letzten System die zweite Glcichung durch die Summe aus zweiter und erster Gleichung (d.h. addiert man die erste Gleichung z ur zweiten Gleichung und lässt die erste Gleichung stehen), so felgt: ( I''') ,. (1") (2''') .. (2") + (1")

Durch Einsetzen von

6x +2y= 14 l1 y = 44

(~ ) überprüft man: Auchjetzt hat sich die Lösungsmenge nicht verändert.

Man kann die Umformungen ii) und iii) von Salz 9.2 .17 zusamm enfassen zu ein er einzige n zulä~sigen Z eilenumronnung: (9.2.20)

Das Ersetzen einer Zeile durch die Summe aus dem k j-fachcn dieser Zeile und dem kr fachen einer beliebigen andere n Zeile (k I,k2 E IR mit kI 0) ist eine erlaubte Äquivalcnzumfonn ung.

Bl'i~pil'l 9.2.2 1:

'*'

Das Gleiehungssystem

(1) (2)

3x - 2y = - 4 ,einzige Lös ung: 4x+3y= 23

x=

(2 ,),

kann man äquivalent umformen , indem man das 3-fache der ers ten Zeile zum 2-fachen der zweiten Zeile addiert und die erste Gleichung unverändert lässt

(I ) (1) (2') ,. 3 -(1) + 2 -(2) Auch dieses System hat die einzige Lösu ng

3x-2y = - 4 17x = 34

(~) .

Mit H ilfe von zulä...slgen Zeilenopt'ralionen (siehe Salz 9.2.17) versucht man, ein vorgegebenes LGS in

obere Dretecksrcrm3 (siehe Beispiel 9.2.5 v» oder in DiagonaJronn 4 (siehe Beispicl9 .2.5 vi) äquivalent umzuformen, um daraus auf einfache w eise oder unmi ttelbar die Lö sungen ablese n z u können. Bei~ piel 9.2.22:

(Ca ußscher AJgorilhmlL
Man maximiere die Zielfunktion Z = T

AxSb (m it b
Jeder Vektor x ( e IRU) , der zugleich allen Rest riktionen und NNB genügt, heißt zulä\ sige I.ö.\ ung des l O-Problems. Ist darüber hinaus für eine zulässige Lösung x der Zielfunkti ons wc rr Z(X) maximal, so heißt optimale z uläs\ige I.ös ung von (10.2 .3).

x

Bemerkung 10.2.4: i) Analog zu (l0.2.3) definiertman das Standard-Minimum-Problem: (10.2.5)

Mun minimieredie Zielfunk tion Z = cT . x unter Einha ltung der Restriktionen Ax
ji) Bei Beisp iel 10.1.2 handelt es sich um ein Stand ard- Maximum-Problem, bei Beispiel 10.1.11 um

ein Standard-Minimum-Problem.

Im Fall zweier Problemvariabler (n = 2) lässt sich - .....'ie zuvor demonstriert - die optimalc Lösungci nes l O-Problems graphisch ohne &hwierigkeiten ermitteln . Dies gilt im Prinzip selbst für eine beliebige Anzahl m von Restriktionen, wobei Grenzen allein d urch die Zeichenge nauigkeit gesetzt werden. Etwas anderes gilt jedoch, wenn sich die Za hl n der Problemva riablen erhöht: Für n = 3 .....'ird die graphi· sehe Methode unhandlich (dreidimensionale Darstellung l). für n
Eine solche Methode w ird d urch das im folgenden behandelte Simplexverfahren 2 geliefert. 2 Das Simplexverfahre n wurde um 19 ~7 "On G. B. Dantzig entwickelt, siehe [15J .

10

512

Lineare Optimieru ng

10.2.2 Grundidee des Simp lexverfa hrens Wie schon im Verla uf des graph ischen Lös ungsverta nrens deu tlich wurde (siehe auch Bem. 10.1.18) , wird das Optimum eines LO- Problems (sofern es denn überhaupt existiert) in (mindestens) einem Ec kpunkt des zulässlgen Bere iches B angenomm en. Bemerkung 10.1.6: A llgem ein ist ein Eckp un k t im n- dimensionalen Raum /Rn gekennzeichnet als Schninpuniavon n " Hyperebenen " (linearen Unterräumen) derjeweiligen Dimension n -1 . Im JR2 stellt die lineare Gleichung 5x t " 2xZ = 7 eine I -dimensionale Hyp erebene ( = Gerade] des 1R2 dar, also Eckeim JR 2 = SchniupunkczweierGeradm .

Beispiele: -

Im 1R3 s/ellt die lineare Gleichung 3x I -mZ + 2x3 = 4 eine 2· Jimensionale Hyp erebene (= Ebene) des IR3 dar, also Ecke im JR] = Schninpunki dreier Ebenen, USW.

-

I m JRn stellt die/ineareGleichung brX2+ ...+3x n ", 5 eine (n-I)-dimens ionale Hyperebene des /Rn dar, also Ecke im JRn '" Schnittpunkt von n dieser Hyp erebenen .

Das Simplexve rfahre n berechnet dah er ausschließlich Eckpunkrkeordlnaten des zulässigen Bereiches, und zwa r sukzess ive derart, dass I) 11)

10.2.3

stets n ur zulä~sige Eck punk te berec hnet werden, cin neu berechneter Ec kpunkt ste ts a uch einen bessere n (und schließlich - da es nu ren dlich viele Eckp unk te gibt - den opt imalen) Zielfullkti OlIS'wert bes itzt.

Einführung von Sc hlupfva riablen

Das Sim plexve rfahren be nutzt wese nt liche E rgebnisse aus der Theorie der linearen G lekhwlg~s'Ysteme (siehe Kap. 9.2). Das Restriktions-Ungleic hungssys tem AX S b ....tr d daher (durch EinJugen von sog. " Sclilupfr'ariablen ") zunächst in ein äq uivalentes lineares Gleichungssyste m übe rführt. A ls Beispiel soll das Standard -Max imum- Prob lem (Beispic110. 1.2 - Ptod uktionsplnnung) dienen: (10 .2.7) mit

I {x2}

z '" 3Q:.q + 20x2 -- M ax.

Xl

(0,6)

S 10 6 2x 1+ 4X2 $ 32

xa s

xI,x2

~

h(

Ob~'!lr~nz~n:

I

( 61

5pnuguss Ve!'fXKken Prossen

n~k'i;;;~:-.l

B

0 Abb. 10.2.8

I (0. 0) in derjenigen Zeile gewählt wird, für die sieh der kleinste, mcbmeganve Wert bi /ajk der neuen Basisvariablen xk ergibt (i = 1,....m). Man enn ittelt daher die Pivotzeile (.,Engpasszeilej , indem man die Elemente b:i (;:: 0) der rechten Seite jeweils durch die entsprechenden positiven Koeffizienten ajk der neuen (k- ten) Pivotspalte dividiert : Die resultierenden Q uotienten qj,= b:i /ajk (i = 1,...,m) entsprechen den möglichen Werten der neuen Basisvariablen xk' Als Ptvotzene wählt man dann diejenige Zeile i , für die bi /aik minimal wird. Beispiel 10.2.24:

Gegeben seien Pivotspalte und rechte Seite eines nichtopnmajcn Simplextableaus

b

qi ... bj /ajk

2 0

10

10/2 = 5 kein Engpass, da O· xk s 10 kein Engpass, da - 1 .xk ~ 15 18/ 3 = 6 2817 = 4 = min (qi): Pivotzeile I

... -1

(10.2.25)

3

[I] Z

> 0)

Xk ...

10 15 18 28

(mit

aik

... - 3

Die letzte Zeile bildet den E ngpass, der minimale Wert der neuen Basisvariablen betragt: siehe (10.2.25). Daher wird die letzte Zeile als Pivo tzeile gewählt und sichert der ncucn Basislösung die Z ulässigkein keine Restriktion wird verletzt. Z ur Engpasserrnittlung führt man zweckmäßigerweise am rechten Rand des Tablea us eine Quotientenspalte ein, die die ar- bj /ajk (mit aik > 0) aufninunt, s.(10.2.25).

10

5 18

Lineare Optimierung

Bemerkung 10.1.26: ;) Man beachte, dass die 2. und 3. Z eile von (10.2.25) nicht ab Pivotzeile in Frage k om m en, da f ür sie aik S 0 gilt und sie daher keinen Engpars da rstellen k önnen. ii)

Kom mt uuf der rechten Seite eine Null vor, so bildet die entsprechende Z eile (falls « n> 0) wegen

bjlUjk '= 0 = min (qJ einen Engpass und kann als Pivotzeilegewähltwerden. iii) Gibt es mehrere Engposse mit gleichem m inimalem qj. so ka nn irgendeint der entsprechenden

Z eilen als Pivotzeile gewähil werden. In den nichtgew ählten zulässigen Pivotzeilen entsteht nachdem Pivotschrin rechts eineNull.

10.2.7 Simp lexverfa hren im Standard-Ma ximum-Fall - Zusamm enfassung Nachd em Pivotspalte und Pivotzei le festge legt sind, erfolgt die Umformung des linea ren Gteic hungssystem s (einsch ließlich de r Zielfunktion szeile) mit einem Pivotschritt und somit die En eugung der näcbs ren Basi~lösung ( ~ bena chbarter E ckpunkt des zulässigen Bereiches), der erste Simplexschritl ist beendct . Nun schließen sich die gleichen O perationen erneut an; l)

Unt ersuchung der Optimalilät der neuen Basislösu ng (Satz 10.2.20). Falls Z noc h nicht op timal ist (erke nnba r an negativen Z ielfunktionskocffizicnt cn), erfo lgen d ie Wah l der Pivot spalt e sowie die Schritte ii) und Ei) (a ndernfalls ste llt d ie let zte Basislösung die Optimallösung dar) .

ii) Wah l der Pivotzelte mit H ilfe der Engpassbcdi ngung (Satz 10 .2.23). iii) D urchführung eines Pi\'otschri tls, Ablesen der neuen Basislösung weiter be i i)

usw.

Dies Verfahr en füh rt (bei Exis tenz dcr optim alen Lö sun g") zwangsläufig nach end lich vielen Schrit ten zum gcs uehte n Optimum (da jed er zu lässige Bereich nur endlich viele E cken bes itz t). Abb. 10.2.27 fasst das geschilderte Iterationsverfahren in Fonn eines Ablaufdiagramms zusamm en: STAJ?T

Abb. 10.2.27

(1)

(2) (3)

I (4)

Simplexvert:ahren

Aufs/ellen des m othemoh$chen M odells

ftJr optimal lösbare

I

EinfOgen von 5chlup fvan'abiell Ausg angslobleou

I

I

Erste zu/~ssige BosiskJsung ablesen

I

(5)

i'

Is/ Z oplrmal?

1

Tn ein Wdhle (5) 1 Pivo/spoile

(6) (7)

I W:~~eile

Standard-MaximumProbleme

--~-"

EWE.letz/e BosiskJsung =' OplrmaikJsung

Salz 10.2.20

fOpflmaliKl/s knl erium l

I. {soe

10.2.23

- -' fEngpossb edingungJ

Pivo/schrill du((hfohren. neue Bosisk:Jsung obiesell

4 Alle Sonderfälle sowie nicht (bzw. nicht optimal) lösbare Probleme werden in Kapitel 10.3 bzw. 10.-\ behandelt.

10.2

519

Simplexverfahren

10.2.8 Beispiel z u m Simp lexverfahren (Sta nda rd-Ma ximum-Problem) Das Simplexverfahren wird nun vollständig um Beispiel des Produktionsplanungproblems (10 .2.7) durchgeführt:

( 1)

Mathemansches Modell (siehe (10.2.7» :

(10.2.28)

(2 )

(10.2.29)

+ YI

~O .

= 10 = 6

+ Y2

'2 2xI + 4xl -]Oxi - 20xl

+Y3

+Z

=32 0

=

I. Simplextableau (All~gang.1' 10.2.20)'

Da die Z ielfunktionskocff izicntcn der ersten und zweiten SJ1: 4 -x{*- " 2 + 2,,) ' - 2,,) /1 8

sowie

xj ,x2''' ) ''x) ''

z O.

Das LO-Problem (10.4 .27) kann nun wie iiblich mit dem Simplcxvcrfahrcn gelöst werden. Zu samme nfassend gilt: ( 10.4.28)

Jedes LO -P roblem mit Variablen Xi ' für die keine Nichtn egathitäbbedingungen (NN B) gefo rdert werden, lässt sich in ein äquivalentes LO-Problem transformieren, dessen sämtliche Variablen den NNB genügen: Falls Xi S; 0, so set zt man:

"i = -X i*

(mit Xi *

Falls Xi ~ O. so setzt man :

Xi = xi' - xi"

(mit

a 0);

xi'. xi"

?: 0).

534

10

Lineare Optimierung

Die nunmeh r ,"ollständig darge stellte SimplCml elhode für beliebige Lrj-Probtcmc unter Bcrücksichtigu ng allerSondenalle wird in Furm eines Ablaufdiagram m.~ (Abb. 10.4.29) zusammengefasst:

10.4.6 Ablaufdiagramm Simplexverfahren

lallgemelnY fall1

5TA ~r

m .M e (inftihfIJnf/

VGIfl

SChfupfvonabfen

ENDE:

Erzeugung von NNB tor arie Von'oblen Ausgangsfcbl eau

/

(10.4 .61 } ._

..

keine zl/Ni s sig e UJsUf1g

~. r

1

zu/ass.

Salz

10.2.20, --:::---;-_ , zukiss.

nein

BasrSlosung ablesbar?

nein

BasiskJsunger->--"""-' zeugbar?

-r-__--' ia __J

laf-

__ -

10

Z optimal?

BosiskJsung mehrdeutig?

1( 10 4.241

io

nein

gibfes eIn positives Plvofelemen!?

nein

olle optrmalen Basis/(jsungen erzeugen und ollgemeine optrmale

ENDE: es gibl k.elne rmdlir;he optimale

UJsung bilden

1

l(jsuflg

L---,----'

- -{ So~ 10 113

J-.

(10.4.24}

(104. f OI

EfllJE:

ophmale UJsung(enlge funden

Pivolschrift durchfahren neue BO$iskJsung ablesen

Abb. 10 4.29

Aufgabe 10.4.30: Man ermittle die optimale Lösung fo lgender LO-P robleme mit Hilfe des Simplexverfahre ns (bei mehrdeu tigen o ptimale n Lösungen gebe man sämtliche optimalen Bastslösungen. die allgemeine optim ale Lösu ng sowie zwei spez ielle Nichtbas tslösungen an ): I)

mit sowie iii)

z=

-

Max '1 + ' 2 + '3 3x\ + 6x2 + 2x3 s 6 4xI + 3xz + 3x) 2 12

Z = 5xI + 4x2 - 32x3 - 24x-I - Max XI + 3x2 - 7x) - 5x.. :::; 5 - xI + x2 + 6x) + 5x-I :::; 3 sowie XI, xz. x). X-I 2 O. mit

xI ' xZ'x) 2 O.

Z=6x\ + 12x2 + 4X3 - Max 3x\ + 6x2 + 2x3 s 6 s 2 -xi + 2' 2 sowie xI,x2,x3 2 O. mit

ii)

1, )

Z mit

sowie

+ '2 - e Max -2xI - ' 2 s 16 XI - 3xZ s 27 - xI -2X2 2 8 '1 - ' 2 2 1 X\ ~ O;x2 s O.

= - 2x )

10.5

535

D ie ö konomische Interpretation des o ptimalen Simplextablea us

10.5 Die ökonomische Interpretation d es optimalen Simpl extableau s Nebe n der op tima len Basislösu ng weist das opt imale Simp lextab lea u weitere Koeffizienten auf, dere n ökonomisc he Interpretatio n einen vertiefte n E inblick in die Problemsit uation ermöglicht und die es gestaltet, Kon seq uenzen aufzuzeige n, d ie sich durch Abweichen von der opt imalen Lö sung ergeben.

Am Beispiel je ein es Standard-M aximum-Prob lcms {Produktionsplanungsproblern) und eines Sta ndardMinimum-Problems [Diätproblem) sollen die ökonomischen Interpretationsmöglichkeiten des optimalen 5 Simplexta blea us demonstri ert werden.

10.5.1 Produktionsplanungsprobl em 10.5.1.1 Problemformulierun g. Einführung von Einheiten E ine Unternehmung produziere drei Prod uktt ypen 1, II, III . Die en tsprechenden E ntscheidungsvariablen xi bez eichne n die Produktmcngcn:

xI,x2,xr prod uz ierte Menge von I (in M E !) 6; II (in M E 2); 1II (in M E J ) . Z ur Produktio n wird ein Rohstoff ve rwendet, jedes Prod ukt muss 2 Fertigungsstellen durchlaufen. Prod ukt ions koeffizient en, verfügbare Kapaz itäten und Deckungsbeiträge gehen aus (10.5.1) hervor:

Produkttyp II

(10.5.1)

I Fert igungsstelle 1 Fert igungsstelle 2 R ohstoff

5 h l / ME !

Deckungsbeit räge

8 € / ME I

1 h2/ ME ! 1 kglM E 1

25 h!/ME 2

max imal verfügbare

Kapazitäten

III

4 h2/ME 2

5 kglME 2

8 h l / M EJ I h2/ M EJ 2 kgl M E J

35 € /M E 2

13 € /ME J

215 h l 30 h2 50 kg

Gesucht ist das Prod uktionsprogramm mit maximalem Deckungsbeitrag. Nach E infügen von Schlupfvaria blen lautet das mathemansche Modell:

(10.5.2)

-e-

Max.

= 215 5xI + 25x2 + 8xJ + y! = 30 x l + 4x2 + xJ + Y2 XI + 5x2 + 2xJ + YJ = 50

Daraus erhält man das AIL~gangstahleau (10 .5.3) für das Simplexverfahren . In ec kigen Klamm em hinzugefügt wurden die jeweiligen Einheilen von Var i.ablen und Koeffizien ten :

SEine völlig analoge Interpretatio nsmöglichkeit ergibt sieh filr die Koeffizienten eines jeden im Verlauf des Simplcxvcrfahrcns auftretenden Simplextableaus . 6 Die Mengeneinheiten (fl..tE) werden entsprechend dem Produkttyp indiziert, damit aus der Angabe einer Einheit sofort ersichtlich ist, um welches Produkt es sich handelt. Analogsind die übrigen Einheiten-Indizes 7lI verstehen [z.B. 8 h t = 8 Stunden in der Fertigungsstelle l usw.).

10 Lineare Optimierung

536

(10.5.3)

xI

xl 1ME21

[ ~lE il

Y2 [h21

5 Ih lfl.1EII 1 I h2/ME JI

Y3 [kg]

I

1kg.&1Ell

Z [€]

-8

[€ lI\itEIi

YI [bl 1

B emerkung 10.5.4:

i)

x3 [ME3 l

1€ fl\.1E2]

Y21 h2 1

Y3 [kg]

Z [€ ]

b

8 (hllMB )]

I

2 [kgfME3 1

0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

215 (bil

1 [hZ1ME31 - 13 1€ 1ME31

0

0

0

1

o I€ l

25 (h JiME21 4 Ih2"t. lE21 5 IkgIME21

-35

YI [1111

50 [kg]

Mit ihren korrek ten Einheiten laulei z.B. die erste Z eile von 10.5.3:

h,

hJ

h,

5x1 [ 'fE ' ME,) + 25x.2 [jJE ' MEd + 8xdhfE ' MEJ + J 'yJfh,J "

30 [h21

2

1

3

=

215fhlJ ·

Durch Kurzen gleichlautender Mengeneinheiren erkennt m an, dass alle Summanden sow ie d ie rechte Seue di eselbe Einheit besitzen.

ii) Es ist bei allen ökonomisch interpretierbaren m athematischen Beziehungen stets d arauf zu achten, dass nur so lche dim ensionsgleichen Größ en sum miert werden, deren Einheiten übereinstimmen. (Eine Sum me wie etwa x = lO[€) + 8 [k m] ist nicht definiert und offenbar auch unsinnig.] Man uberzeugt sich ana log zu i) davon, dass in (10.5.3) alle Gleichungen dieser Forderung grnügen.

Bereits im Ausgangstahlcau (10.5.3) erkennt man eine wichtige (und für jedes Simpiextableau gültige) Eigemchafl der Koefflzlentenelnhejten: Satz 10.5.5: In einem Simplextableau ergibt sich die Einheit irgcndeines beliebigen E lements aik wie folgt: (10.5.6)

Einheit von aik

Einhcil \"on xi Einheit von xk

wobei Xi diejenige Basisvariable bedeutet, deren Einheitsvektor die Eins in der Zeile von aik besitzt und xk diejenige Variable bedeutet, die zurSpalte von aik gehört. Bezeichnet man die Einheiten von xi mit [MEil und von xk mit [MEkl, so sichert (10.5.6) im Simplextableau folgenden Einheiten- Zusammenhang(10.5.7) :

o (10.5.7)

Xi [M1;.]

o 1

o o

Dass die Eigenschaft (10.5.6) auch bei einem Pivotschritt unverändert bleibt, kann man leicht durch explizites Nachrechnen feststellen. Mit Hilfe von (10.5.6)/(10.5.7) kannjeder Koeffizient in jedem Simplextablcau sofort mit seiner korrekten Einheit versehen werden und so unmittelbar einer ökonomischen Interpretatlou zuganglich gemacht werden.

10.5

Die ökonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus

537

10.5.1.2 Op timalt ableau und optimale Basislösung Nach einigen Simplex-Schrille n erhält man aus (1O.5.3) Jas optimale SimpleXlahleau (1O.5.S):

(10 .5.8)

xIII'>1EJI

Yl [bll xI [r-iE ll x3 [ME3J

0 1 0

Z I€ J

0

x3 [ME31

yJl hl1

2 IhllME2J 3 IMEllME21 1 (1\.1E31ME2J

0 0 1

1 0 0

2 [€1ME21

0

0

x2 11'>1E2l

Y2 [h2l

Y3 IkgJ

Z I€ J

- 2 [bl!h2J - 3 [bllkgJ 2 [~lE l !h2l - I [l'>1Ellkgl - 1 [ME31h2J I [ ~lE 3Ikgl 3 [€1h2J

5 l€lk gj

b

0 0 0

5 [bI! 10 IME JI 20 11'>1E31

1

340 I€ l

Z unächst ist anhand der rechten Seite von (10.5.8) die optimale Bao;islösung erkennbar : x

(1 0.5.9)

Xopl '"

x x

" " y,

Z

10 [l'>1Ed

o [ME21

10 [ME)] j [hl! o [h21 o (kgJ 340 (€ ]

Durch Vcrwendung der Ei nheiten ist die ökonomische De utung unmittelbar erkennbar: Von Produkt I müssen 10 ME I' von Produkt II darf nichts, von Produkt 1II müssen 20 ME3 produziert werden, um einen maximalen Deckungsbeitrag in H öhe von 340 € zu erwirtschaften. Dabei sind von Fertigungsstelle 1 noch 5 h l ungenutzt, wahrend Fertigungsstelle 2 voll ausgelastet ist (Y1 '" 0) und der gesamte Rohstoff verbraucht worden ist (Y3 '" 0).

10.5.1.3 Deutung der Zielfunkt ionskoeffizient en Um die Koeffizienlen der Zieifullktionszeile zu interpretieren, schreibt man die letzte Zeile von (1O.5.8) als Gleichung: 2x1+3Y1 +5Y3 +Z '" 340 . bnv.

(1 0.5.1 0)

Z "' 340 - 2x2 - 3Y2 - 5Y3

I·

In der optimalen Basislösung (1O.5.9)gilt: Xz = Yl '" Y3 '" 0 (NBV!), aus (1O.5.1O) folgt:

Z = 340 €.

Erhöht man nun -c. p> in (1O.5.l 0) irgendeine der /liBV um eine Einheit (von Nullauf Eins), so "ermindert sich der Dcckungsbeitrag Z gcnau in Höhe des entsprechenden Zielfu nküoh.~koeffizi enlen . Beispiel 10.5. 11: I) Erhöht man Xl von Null auf Eins {d.h. produziert man eine Ei nheit von Produkt 11), so folgt aus (IO.5.IO): € Z = 340-2x2 '" 340 [ € J - 2 · t ["ME ' ME2] = 338 [ € ] .

z

Der Deckungsbettrag Z hat sich also genau um 2 [€/ME z] (~ Z iclfunktionskoeffizient von xz in (I O.5.IO) vermindert.

-c-p- Yl von Null auf Eins (d.h. lässt man eine Stunde der bisher voll genutzten Kapazität " leer", produziert also in Fertigungsstelle 2 eine Stunde weniger), so sinkt Z um 3 ( € /h1]' wie aus (10.5.10) unmittelbar ablesbar ist. Entsprechendes gilt für den Rohstoff: Setzt man 1 kg weniger ein (Y3 '" 1) , so sinkt dcr Deckungsbeltrag um 5 [€ /kg]. ii) Erhöht man

10

538

Lineare Optimierung

Darausfolgt ganz allgemein: (10.5. 12)

Die ZieJ(un ktiOll~ koe ffizienten (der Nidubasisva nablen (NB V) xi , YfJ im op timalen Simplcxtablea u geben an, um w ieviele Ein heilen sich de r Zielfunkti Oß~wert verm inde rt , wenn i) eine Ein heit eines bisher nicht produzierten Erzeugnisses produziert wird (xi "" NBT/) ; ii ) eine bisher volta usgelastete Kapazität (Ferti gung, R ohst offe, etc.) um eine Einheit weniger ausgetastet wird (Yk '" NB V) .

Bem erkung / 0.5.13:

i) Aus diesem Gnmd heißen die Zielfunktim ukoeff izienten im optimalen Tabl eau auch Schauenpreise oder Oppormnität5!wsten der Produkte bzw. der Engpasskopazüäten. Ökonomisch betrachtet handelt essich um Grenzgewinne bzw. Gremkonen. ii)

00.5.10)/(10.5.12) lasst sich analog ablesen, dass bei Er/wh/mg der Kapazitiite/l von Engpassjertiglmgsstellen um eine Einheit (dA Y2 = - ) ; Y3 = - 1) die Werte Z derZieljunktWlIin Höhe der Oppommit ötskosten zunehmen.

A I~~

iii) Am optimalen Tableau (10.5.8) erkennt man, dass der nicht ausgelasteten Fenigungssteüe } ein Schauenpreis von Null zugeordnet ist: Eine zusanticne Kapasuötsem öhung um eine Stunde würde keinen zusätzlichen Deckungsbeitrag erwirtschaften, da ohnehin schon einenicht genutue Kapazit ät von 5 h t vorhandenist. M Bei sehr hohen Opportlmitiitskosten [ur eine Engpassfertigungsstdte sollte eine UnternehmungKustenvergleiche unstetten und erwägen, die entsprechende KapazillJl zu erweuem . Dabeimussen allerdings die beschrankten Kapaziuuen derübrigen Fertigungsstellen milberucks ichligt werden, um nicht unzulässigeLösungen zu erhalten.

10 .5 .1.4

D eut un g der inneren Kcerrlal enten

D ie Deutung der inn er en Koeffizient en 3ik des optimalen Simplextableaus e rschließt sich besond ers einfach , wen n man aus (10.5.8) zu nächst die allgemeine Lösung des Restriktionsgleichungssystems angiht (siehe 9 .2.6 1»: 1O- 3xZ- 2Yz + Y3

Xz ( ~O) 20 - xz + Yz - Y3

(10.5.1 4)

5 -2xz +2yz +3Y3 yz ( ~ O) Y3 ( ~O)

( In dieser allgemeinen Lö sung dü rfen die NBV xl, Y2 ' Y3 ( ;:: 0) beliebig vo rgewählt werden und determinieren dan n die übrigen Variablenwerte. Die entsprechende zulässige optimaleBaslslösung ergibt sich für die speziel le Wah l x2 = Y2 = YJ = 0 .) Die Bedeutung der in (10.5. 14) vorkomme nden (inneren) Koeffizienten aik ergibt sich, indem man (wie scho n be i der Deutung der Z iclfunktions kocffizicntcn) den Wert einer der Nicht ba\iwariahlen in der optima len Bastslösun g von Null auf Eins anhe bt (suboptimale Nichtbasistösungen}:

-c.o-

i)

Koeffizient en in der xrSpalte \on (10 .5.8): Erhöht man die NBV x2 von Null auf Eins {d.h. produziert man eine E inheit des Produktes II ), so folgt aus (10.5.14) (d a weiterhin gilt: Y2 = Y3 = 0 ) :

10.5

Die ö konomische Interpretation des op timale n Simplextableaus

(10.5.15)

1

10 - 3 I zo - I , - 2

x

x x y,

I

19 0

Y,

"

0

539

[MEd [ME21 [ME]]

)

[hI!

0 0

[kg)

[h 21

Man erkennt. dass sieh die Werte der Bastsvana blen urndie cn tsprechcndc n Koeffizienten a ik der xZSpalte vermindert haben :

x, sinkt von 10 um 3 auf

7 MB, ;

x3 sin kt von 20 um 1 auf 19 ME 3 ; y, sinktvon 5 um 2 auf 3 hl '

Die Koeffizient en 3. 1. 2 der xz-Spa lte des optimalen T ableaus (10.5.8) geben also an, wieviele Prod ukteinheiten bzw. Leerkapazitätseinheiten durch die erstmalige Prod ukt io n von einer ME Z des Produktcs II verdrängt (oder substituiert ) werden. Aus diesem G runde nennt man die aik häufig aueh Verdräng ung...koerüztenten. Anpass ung...koemzjemen oder Subsumuenskoetnzremen. Die im optimalen Tab leau (lO.5.8) zusätzlich aufgeführten Ei nheilen unterstützen die ökonomische Interpretation. (So bedeutet etwa die A ngabe: 2 [bt 1ME Z]' dass in Fertigungsstclle 1 pro neu aufgenommener Ein heit von Prod ukt 11 2 St unden wenigerLeerkapazität anfallen.)

Bemerkung 10.5.16: Setzt man die durch x2 = 1 definierte suboptimale Nichtbasislösung (J 0.5.15): x1== 7; x2 = 1; x] '" 19 in die urspriingliche Zielfunktion bzw. die ursprünglichen Restriktionen (10.5.2) ein, so erhält man (auf etwas umständlichem Wege) dieselben Ergebnisse, wie sie direkt aus dem optimalen Tebteau (10.5.8) abtesbar sind: -

ZielfimkJion:

Z == ful + 35x2 + 13x] '" 56 + 35 + 247 = 338 €, d.h. es ergibt sichgegenüber dem optimalen Deckungsbeitrag 340€ eine Vennindenmg I'On 2€ (siehe Zielfunktionskoeffizient der xrSpalte des optimalen Tableaus (10.5.8)). -

Kap arirätsauslastung Fertigungsstelle J:

5:>:1 + 25x2 + &3 = 35 + 25 + 152 '" 212h l , d.h. die Leerzeit YI beträgt 3h l, sie hai sich von 5 h 1 um 2 11 ]IME2 verminden (siehe 1. Koeffizient der 2. Spulte von (10.5.8)). - Kapazitätsuuslastllng Fertigungsstelle 2: x I + 4x2 +X] == 7 + 4 + 19 '" 32 h 2 , ä.h. Vollauslaslllng (Y2 = 0, siehe (I OS.8) bzw. (10.5.15)). - Rohswffierbruuch: x , + 5x2 + 2x] == 7 + 5 + 38 '" 50kg, d.h. vollständiger Rohstoff verbrauch bzw. (10.5.15)) .

0-']

= 0, siehe (10.5.8)

Man erkennt, dass deranige Komrollrechllll/igen CfIlbehrlich sind, da das optimale Simplextableau bereits sämtliche Informationen enthatr: Die übrigen inner en Koeffizienten aik des optimalen Simplextableaus (10.5.8) lassen sich mit Hi lfe von

(10.5.14) auf analoge weise deuten:

10

540

Linea re Optimieru ng

ii ) Koeffizient en in der n - Spalle \'on (10.5.8): Erhö ht man -c .p.- Y2 vo n N ull au f E ins, d.h. produziert man in Perngungsstelle 2 1 h2 wen iger als im Opt imum (nunmehr 29 h 2 statt 30 h2). so folgt aus (10.5. 14):

(10.5.17)

" "'5 5, .v7

y,

10-2 0 20 + 1 5+ 2

8 0 21 7

1

1

0

0

[f\.1E d

[tv1E 2 J

[ME)l [lid [11 21

(kgJ

Die Prod uktion von I vermindert sich um 2 ME l auf8 ME J• die Produktion von III erhöht sich tun 1 ME) auf 21 ME)_die nicht ausgenutzte Kapazität in Fertigungsstelle 1 erhöht sich um2 hI auf 7 hl' A uch hier liefern die Koeffizienten der Y2-Spa ltc vo n (10.5.8) die resultierenden Ä nderungen d irekt:

Der Deckungsbeitrag vermindert sich dabei einerseits tun 2 ME j • 8 oE/MEI '" 16 € (Produkt I) und

er höht sich andererseits um 1 M E ) ' 13 € / ME) = 13 oE: (Prod ukt I1I), also tritt insgesamt eine Verminderun g des Deckungsbeitrages um 3 € ein: Dasselbe E rgebnis wird du rch den Z ielfunktionsko effiziente n 3 € / hZin der n-Spal te des optimalen T ablea us ( 10.5 .8) unmittel bar signalisiert. iii) Koeffizien ten in der YJ - Spe lte \ '0 11 ( 10.5 .8):

E rhöht man -c-p- y] von Null a uf E ins, d.h. setzt man I kg Ro hstoff weniger ein als im Op timum (49 kg sta tt 50 kg), so folgt aus ( 10.5 .14) :

(10.5.17)

x

to + I

'2

0 2U - I 5+ J 0 I

xa .v Y2

,

y,

11 0 19 8 0

,

[MEt!

[ME21 [~IE ] ]

[htl [h21 [kg]

Die Prod uktion von I erhö ht sich um I ME l auf 11 ME l ; die Prod uktio n vo n III vermindert sich um 1M E ] a uf 19 ME] ; d ie Leerzeit in Fertigungsstelle 1 erhö ht sich um 3 hI auf 8 h 1- dte cotsprechenden inneren Koeffizienten signalisieren unmitt elba r d iese resultie rende n Ä nderungen .

10.5.1.5

Z usammenfa ssung

Im optimale n Simplextableau eines Standard-Maximum-Problems (z.B. Produkuonsptunungsprobtem} habe n d ie Koe ffizient en folgende ökonomisehc Bedeutung: i) Koeffizienten der rechten Seile: optimales Prod uktion sprogram m ;

ii) Koeffizienten der Zielfunk tionszeile: Opportu nität sko sten bzw. Schall enp reise oder G renzgewinne nicht prod uzierter Prod ukt e od er E ngpassfert igungsstellen. D ie posi tiven Ziel funk tionskoeffizien ten geben an, um wieviele E inheiten der op timale Zielfunktionswert sinkt (steigt) , wenn die be treffe nde N ichtbasisvar iab le von N ull auf Ei ns angehoben (mn Null aufminus Eins ahgesenkt) wird. iii) Übrige Koetn zienren aik im Inneren des Tableauc Vcrdrängun gskocfftzicnre n, A npassun gskocf-

fizicntcn , Grenzrate n der Subs titution. Sie geben an, um wieviele E inheiten die zu aik gehöre nde Basisvariable ab nimmt (falls ajk > 0) ode r zunimmt (falls aik c 0), wenn die zu aik gehö rende Nicht basis variable von N ull a uf Eins angehobe n wird . (Umgekehrte Vcrändcrungsrichtung, falls die NBV von N ull auf minus E ins abgese nkt wird, z.B. zur Simulat ion von Kapa zirätscrhöhungcn.)

10.5

541

Die öko nomische Interpretation des o ptimalen Simplextablea us

10.5.2 Diätproblem Auf analoge Weise wie z uvor lässt sich das Optimattableaueines M inimumprob lems (mit z-Restrtktio nen) ö konomisch interpretieren.

Beispiel:

A us zwei Nahrungsmittelsort en I, II soll ein Men ü gemischt we rden, das unter E inhaltung von Mindestmengen an Vitaminen möglichst geringe Kosten verursacht . Tabel le 10 .5 .19 dokume ntiert d ie Situation: vor handen in

Tab. 10.5.19 Vitami n A Vitamin B V itam in C

Sorte II

1 [M E A! MEd 2 (M Es J ME}l 2 (M E cJ ME d

2 [ME A! ME Z]

40 [MEAJ

1 [MESJ MEz ] 4 (ME c! ME z ]

10 [€ / MEIi

Kosten

in Mischung mindes tens erforde rlich

Sorte I

100 (ME s l 130 (ME cJ

8 [€ / ME, ]

Gesucht ist d ie kosten minimale M ischun g. Beze ichnet ma n mit xI ,x2 die notwendigen Mengen de r be ide n Sorten und mit YI'Y2'Y3 die übe r die Mindestmengen hinau sgehenden Mengen de r Vitamine A,B,C, so lautet das mathematisch e Modell:

(10.5 .20)

z '"

IOx l XI 2x I 2x I

+ 8x2 - M in.

bzw. nac h E infügen von Schlu pfvariablen.

+ 2x2 2: 40 + Xz 2: 100 + 4xZ 2: 130

Z '" IOx l + 8xz Z ' ", - Z '" - lOxI - 8x2

d.h .

-e-e

XI + 2X2 - Y1 2x I + Xz 2x I + 4x2

- yz

Min.

Max.

'" 40 '" 100 - Y3 '" 130

mit U nter Verwendung von H ilfsschlupfvariablen erh ält IlL.Ul in drei Simp lcxsehrittcn da s optimale T ablea u (10.5.2 1), das gemäß (10.5.6) mit de n entspreche nde n ök onom isch en E inheiten ve rsehe n wurde: (10.5.21)

XI [ME Jl Xz [MEzJ YI [ME AJ

XI [M E Jl

1

0

0

YI [M EA J

0

0

1

Xz [MEZl

0

1

0

Z' [€ ]

o

o

_ _ _ _ __ __

I)

_

o

-'---_ _ 1

y, [ME. ]

YJ [MEcI

_2 [ :ME1 ]

Z' [€ J

b

...!.. [~1E l 1 6 MEc

0

45 [ME Ii

0

_ ...!.. ( MEA J z MEc

0

25 [MEAJ

...!.. [ ME 2 J 3 ME,

_ ...!.. [ ME' J J MEc

0

10 [M E Z]

J

4

ME,

[~J

l

'

[*1

_ _1- 530 [€ J

Recht e Seite: D ie koslenminimale Mischung bes teht aus 45 ME I (> x J) dcr Sorte I und 10 MEZ ('" xZ) der Sorte II . In der Mischung sind 25 ME A ('" YI) zuviel Vitamin A entha lten, die Mindcstmengen von Vit amin B u nd C sind gcnau cingchalte n (yz '" Y3 '" 0) . D ic dafür erforderlichen minima len Kosten Z ergeben sich zu Z '" - Z ' = 530 € .

542

10

ii) ZieJrunktionskoeffizienlen:

Linea re Optimierung

Wegen Z ' = - Z lautet die letzte Zeile ausführlich 4YZ+ Y3 -Z = - 530

d.h.

Z = 530 + 4Y2 + Y3

(10.5.22)

Jede Erhöhung einer der beiden NBV Yl,Y3 von Null auf Eins (d.h. die Erzeugung eines VitaminÜ berschusses von 1 ME B oder I MEc) vergrößert die Kosten in H öhe des entspreche nden Koeffi-

zienten 4 € /ME B bzw. 1€ /MEC' Umgekehrtsenkt eine Reduzierung der Vitaminmindesunengcn um je eine E inheit (d. h. Y2 '" - 1 oder Y3 = - 1) die Gesamtkosten um einen entsprechenden Betrag. Die Zielfunktionskoeffizi enlen haben daher die ökonomisc he Bedeut ung von Grenzkosten. iü ) Übrige innere Koeffizienten in der YT. yj-Spalte (NBV) : A uch hier erkennt man d urch ausführliche

Schreibwe ise der Res trikti onsgleichungen. wie sich die Basisvariablen bei Ä nderung der !'>;1JV

Yl

bzw. Y3 um eine E inheit verändern: So bede ute t etwa der Koeffiz ient - ; ME I/ MEB ' dass die

+

entsprechende Basisvariab le Xl um ; ME ) zunimmt, wenn Y2 (d.h. der Vita min- B-Übc rschu ss)

+

auf eine Einheit angehoben wird. Gle ichzeitig verminde rt sich d ie Basisvariable x2 wegen alt =

ME2/ME B um

ME 2. Analoge Überlegungen gelten für die übrigen inneren Koeffizienten von

(10.5 .21 ), d ie somit gleichfa lls als Verdrän gungs- oder Anpass ung.s kod fizie nle n bzw. Substitutionsraten gedeutet werden kön nen . Aufgab e 10.5.2 3: Man gebe eine ökonomische Interpretatio n sämtlicher Koeffizienten der op timale n Simplexta blea us von

i) A ufgabe 10.1.29 \.) A ufgabe 10.1.3 3 xi ) A ufgabe 10.3.17 .

ii) Aufgabe 10.1.30 \i) A ufgabe 10.2 .39

iii) Aufgabe 10 .1.31 \ii) Beispiel 10.3 .11

iv) Aufgabe 10.1.32 \iii) Aufgabe 10.3.16

10.6 Dualität 10.6.1 Das du ale LO·ProbI em Bisher wurden lineare Maximicrun gs- u nd Minimieru ngsproblcm e als u ntersc hiedlic he LO -Mod elle (siehe 2-Phasen- Met hode) beh andelt. T atsächlich abe r besteht ein enger Zu..ammenhan g zwischen beld en LO-l)'pen. E s zeigt sich, dass es

I

ZU jedem

linearen Maximienmgsprohl em ein korrespondi erendes (~dua{es") lineares Minimierungs~ probl em (und umgekeh rt) gibt, deren Eigenschaften aufs engste miteinander verknüpft sind.

Das zugr und eliegcnd e Originalproblem nen nt man prtmales Lrj-Prcolem (kurz: PrimaI). das korrespo ndiere nde Problem heißt dual es LO -Problem (ku rz: Dual ). Z unächst soll die rein formale ßildung des Dualproblems aus einem gegebenen Primalproblem an fo lgenden Beispielen demonstriert werde n: Bei.spieI1O.6.1: E s seie n: i)

X l,x2'"

= Problemvariablen im Primal; u i-uz .. = Problemvariablen im D ual;

Primat

5" I - 2"2 :5 4

Dual

(formaleBeziehung)

XI + xZ :5 10 2xI + X2 :5 15

Z '"' 3" 1 + 7" 2 -+ Max. (xI'xZ e 0)

Z ' = 4u I + 1Ou2 + 15u3 - Min. ( Ulo u2' u3
10.6

Du alität

ii)

543

Prim al 6X I + 2xZ?: 5 3xI Xz 2: 4 4x I + 5xZ ?: 9 -xI +7x Z 2:1 Z = RX I + lOxZ- Min. (x I' xz ?: 0 )

(formale Beziehung)

"wo! 6UI+3u Z+ 4u32u] - Uz + 5u3 +

z' =

u ~ :s: 7u~ :S:

8 In

5u] +4uZ + 9U3 + u~- Max . (u I' uz, u3' u~ ?: 0)

An den beiden Beispielen erken nt ma n die formal en Regeln, nach denen aus einem primalen das duale Problem kon st ruiert wird: Dcf. 10.6.2: i)

Is t das Prima! ein Maxim um-Problem mit lauter ~ :s: < Bedingungen, so ist das Dual ein Minimum -Problem mit lauter" ?: < Bedi ngungen (und umge kehrt).

ii)

D ie Restriktionsmatrix des D ual ist die transpo ntcrte Restriktionsmat rix des Primal. (Im D ual sind also Spalten und Zeilen gegenüber dem Primal vertauscht .}

iii)

J ed er Nebenhedingung des Primal (d.h. jeder Schlupfvariahlen Yi des Primal) entspricht eine Problemvariable Uj des Du al (und umgekehrt). J eder Problemvariab len xk des Prima! entspric ht eine Nebenhedingung (d.h. Schlupfvari able "d des D ual (und umge kehrt) . D ie Zielfunkti onskoertizi ent en des Primal bilde n die recht e Seite des D ual, die rechte Seile des Primal wird zur Zielfunklion.."t eile des D ual.

vi)

Für Primal- und D ualvariab len gelten die l"ichlnegath 'ilätshed ingungen.

A us de n Regeln von Dcf. 10.6.2 folgt sofort: i) Bildet man zum dualen Problem erne ut das Dual, so erhält man wiede rum da s Prlmal: Das Dual

zum Dual ist da s Prima! . ii) Besitz t da s Primal n Problemvariablen und m Restriktionen (d.h. m Schlu ptvanablcn). so besitzt das Dual n Restrik tionen {d.h. n Schlupfvariah len) und m Proble mvariablen . M it H ilfe de r M atrizenschreibweise (siehe (10 .2.3)/(10 .2.5» lässt sich die Bildung des Dual auf kom pakte Weise beschreiben:

nef. 10.6.3: i)

"wo!

Primal Z = C'Li

-

Max.

-

M in.

mit Ai :S: b und x ?:O

ii )

Z =cT ·x m it

Ai