Sobre El Campo Gravitatorio

SOBRE EL CAMPO GRAVITATORIO

Carlos S. CHINEA

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SOBRE EL CAMPO GRAVITATORIO

1. El campo gravitatorio: Sabemos que los campos físicos quedan definidos por su cuadripotencial y por la densidad de acción en vacío. Un campo gravitatorio es un campo físico en el cual el cuadripotencial viene dado por los

m φ , es decir, de potencial vectorial nulo: e r r m A= 0 A4 = i φ . e

valores A1 =A2 =A3 =0 y A4 = i

y su densidad de acción en vacío es proporcional a la curvatura escalar de Riemann:

U =

c3 .R − g 16π.k

k es una constante llamada constante gravitatoria, R es la curvatura escalar de Riemann, y g es el determinante del tensor mecánico, uno de los tensores característicos. El tensor fundamental viene dado por la expresión

 − δrx .dx r .dx s e  χ = . −  m.c 2   ∑ Ak .dx k donde las Ai son las componentes del cuadripotencial.

MARCHENA, 1995

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2. Intervalo y acción: El intervalo en un campo físico es, por definición, cual, sustituyendo

ds =

ds =

χ 2 .( A j dx j ).( Ak dxk ) por lo

χ2 , se tiene: χ 2 .( A j dx j ).( Ak dx k ) =

χ 2 .( A j dx j ) 2 = χ( A j dx j ) ⇒

 − δrx .dxr .dxs e  e ⇒ ds =  − .( Aj .dx j ) = − δrx .dxr .dx s − ( A .dx ) 2 Aj .dx j m.c  m.c 2 j j  m mφc y siendo A j .dx j = A4 .dx4 = i .φ.i.c.dt = − .dt , queda, al sustituir: e e e mcφ φ ⇒ ds = − δrx .dx r .dx s − (− dt ) = − r 2 + c 2 .dt 2 + dt 2 m.c e .c por tanto, la expresión del intervalo en el campo gravitatorio es:

ds = c 2 − v 2 .dt +

φ φ dt =  c 2 − v 2 +  dt .c .c  

La acción campo-materia se define, en los campos físicos, por la expresión:

S p = − m.c ∫ ds

Por tanto, es:

 1 dr 2 1    S p = − m.c ∫ ds = −mc∫  − dr 2 + c 2 .dt 2 + φ.dt )  = − mc ∫  − 2 + c 2 + φ .dt  c dt c     2   v 1 S p = − mc 2 ∫  1 −   + 2 φ.) .dt   c c   La acción total es en un campo físico la suma de la acción en el vacío con la acción campo-materia. En el caso del campo gravitatorio, la acción en vacío viene dada por la integral de volumen:

S v = ∫U .dΩ = Ω

c3 R. − g .dΩ 16πk Ω∫

con lo cual se obtiene para la acción total: 2   v 1 c3   S = S p + S v = − mc ∫ 1 −   + 2 φ.) .dt + R. − g .dΩ   c c 16.π.k ∫    2

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3. Funciones de Lagrange y de Hamilton: La función de Lagrange, la lagrangiana L de una partícula en un campo físico, viene relacionada con la acción campo-materia por la expresión campo gravitatorio se tiene:

S p = ∫ L.dt , por lo cual, en el

2 2     v 1 v S p = ∫ L.dt = − mc 2 ∫  1 −   + 2 φ.) .dt = ∫  − mc 2 . 1 −   − mφ.) .dt ⇒     c c c    

v ⇒ L = mc 2 . 1 −   − mφ. c 2

En cuanto a la función H de Hamilton o hamiltoniana: 2   v 2  ∂ − m.c 1 −   − mφ.     2  c ∂L   −  − m.c 2 1 −  v  − mφ. = H = v. − L = v.     ∂v ∂v c  

   m.v = v . 2  v  1−   c 

  2    m.c 2 v 2 + mφ  −  − m.c 1 −   − mφ.  = 2 c   v  1−    c 

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4. Cuadrimpulso. Impulso y energía: Como sabemos, se puede definir el cuadrimpulso por el cuadrivector de componentes las derivadas parciales de la acción campo-materia:

 ∂S p ∂S p ∂S p ∂S p   p =  , , , ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x  1 2 3 4  y resultan:

p1 =

p2 =

p3 =

p4 =

∂S p ∂x1 ∂S p ∂x 2 ∂S p ∂x3 ∂S p ∂x 4

=

=

=

=i

m v 1−   c

2

m v 1−  c

2

m v 1−   c

2

.

dx1 dt

.

dx 2 dt

.

dx 3 dt

m v 1−   c

2

+i

m φ c

Como sabemos del estudio de los campos físicos, las tres primeras componentes definen el vector impulso del campo, y la cuarta componente, multiplicada por -ic nos da la energía total: Impulso:

r m.v  dx1 dx2 dx 3  . , , = 2 2 dt dt dt   v   v 1−   1−   c c

r  ∂S ∂S ∂S  p =  p , p , p  =  ∂x1 ∂x 2 ∂x3 

m

Energía:

Et = −i .c.

∂S p ∂x 4

=

m.c 2 v 1 −   c 

2

+ mφ

(coincide, por tanto, con la expresión de la hamiltoniana)

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Siendo la fuerza actuante sobre una masa m:

r r f = −m.∇φ , se tiene.

Para la energía potencial correspondiente:

r r r r r r E p = −∫ f .dr = −∫ ( −m.∇φ).dr = m.∫ ∇φ.dr = m ∫ dφ = mφ Y puesto que la energía total viene dada por

Et =

m.c 2 v 1 −    c

2

+ mφ

Y la energía cinética es la diferencia:

Ec =

Si llamamos

m0 =

m..c 2 v 1 −   c

2

m v 1−   c

2

Se tienen: Et = m0 .c2 + mφ,

Ec = m0 .c2 ,

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Ep = m. φ

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5. Momento cinético: Por definición, es

r r r  p M = pxr =  2  x2 En definitiva:

p 3 p3 , x3 x3

p1 p1 , x1 x1 r M =

p2 x2

  = ( p 2 x 3 − p 3 x 2 , p3 x1 − p1 x3 , p1 x 2 − p 2 x1 )   m

v 1−  c

2

r r .( v xr )

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6. El tensor de energía-impulso: Sabemos, del estudio de los campos físicos, que existe un tensor que resulta invariante en una variación virtual de la acción total del campo fisico cuando se produce una variación lineal de las coordenadas generalizadas de una partícula inmersa en el campo, de la forma x'l = xl + δxl . Esta magnitud es el tensor de energía-impulso del campo físico, Y jk , y a partir de él pueden obtenerse también las componentes de cuadrimpulso, esto es, el vector impulso y la energía total, que aquí hemos obtenido, en el apartado 4, derivando parcialmente la acción campo-materia. Las expresiones de las componentes del cuadrimpulso, desde el tensor de energía-impulso, serían:

pj = −

i Y jk .dS k c∫

(j=1,2,3,4- i es la unidad imag.) La expresión del tensor de energía-impulso es:

  1 ∂  ∂ − φ.∆ − φ.Y jk =  2 ∂x m   ∂φ jk     ∂  ∂x m    

(

)

   ∂ − jk  ∂φ  

(

− φ∆

)

donde es -φ el determinante del tensor mecánico, y las φjk son las componentes contravariantes del tensor mecánico. Λ es el término que aparecen en la expresión de la densidad de lagrangiana.

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Ecuaciones del campo gravitatorio:

Partimos, para obtener las ecuaciones del campo, del principio de mínima acción total: 3 1 δS = δ( S p + S v ) = δS p + δ S v = δ(- ∫ - g ΛdΩ ) + δ( c ∫ R - g .dΩ ) c 16πk

Veamos por separado la variación virtual de cada una de estas integrales: La primera puede expresarse, como ya sabemos del estudio general de un campo físico, en función del tensor de energia-impulso:

1 1 δ  - ∫ - g ΛdΩ  = − .c ∫ χ jk δg jk - g .dΩ 2  c 

(χjk es el tensor de Energia-Impulso del campo gravitatorio)

Desarrollamos a continuación la variación virtual de la segunda integral: 3  3  δ  c  = c δ ∫ g jk R jk - g dΩ =  16πk  16 πk 3

[

]

= c ∫ R jkdelta g jk - g + R jk g jk δ - g + g jk δ R jk - g dΩ = 16 πk 3 1 = c ∫  R jk g jk - g - - g g jk δ g jk g jk R jk + g jk δ R jk - g  dΩ = 16 πk  2 

3 1 = c ∫  R jk - g jk Rδ g jk - g dΩ 16πk  2  1 jk (Se ha utilizado la expresión: δ - g = - g jk . g , que se obtiene fácilmente para 2

cualquier campo físico)

En definitiva, se tiene, para la suma de ambas integrales:

δS = -

3 1 1 ∫ [ χ jk δg jk - g ]dΩ + c ∫ [ R jk - g jk R] - g δ g jk dΩ = 2c 16πk 2

3 1  8πk  = c ∫  - 4 χ jk + R jk - g jk R  . - g δ g jk dΩ = 0 16πk  C 2 

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De lo cual, al identificar el integrando a cero, se obtienen ya las ecuaciones tensoriales buscadas para este campo físico:

1 8πk R jk - g jk R = 4 χ jk 2 c (j,k = 1,2,3,4) Que son las ecuaciones del campo gravitatorio, en la forma deducida por A. Einstein a principios del siglo XX.

8. Bibliografía: L. LANDAU Y E. LIFSHITZ, CURSO DE FISICA TEÓRICA, Editorial Mir, Moscu, 1972

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