Alfred Böge | Jürgen Eichler Physik für technische Berufe
Aus dem Programm
Naturwissenschaftliche Grundlagen
Physik von J. Eichler Physik Aufgabensammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler von P. Kurzweil (Hrsg.), J. Eichler, B. Frenzel und B. Schiewe Mathematische Formelsammlung von L. Papula Analysis für technische Oberschulen von K.-H. Pfeffer Mathematik für die Fachschule Technik von H. Rapp Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg von H. Rapp und J. M. Rapp
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Alfred Böge | Jürgen Eichler
Physik für technische Berufe Physikalisch-technische Grundlagen, Formelsammlung, Versuchsbeschreibungen, Aufgaben mit ausführlichen Lösungen 11., aktualisierte und erweiterte Auflage Mit über 400 Abbildungen, 35 Tabellen sowie 350 Aufgaben und Lösungen Unter Mitarbeit von Walter Schlemmer und Gert Böge STUDIUM
Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.
1. Auflage 1968 2., berichtigte Auflage 1970 3., vollständig neu bearbeitete und erweiterte Auflage 1973 4., durchgesehe Auflage 1975 5., überarbeitete Auflage 1980 6., durchgesehene Auflage 1984 7., überarbeitete Auflage 1991 8., überarbeitete und verbesserte Auflage 1993 9., neu beabeitete und erweiterte Auflage November 2002 10., überarbeitete und erweiterte Auflage Oktober 2005 11., aktualisierte und erweiterte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner Verlag |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Der Vieweg +Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Satz: Klementz publishing services, Gundelfingen Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0342-9
V
Vorwort
Dieses Physikbuch ist aus der Unterrichtsarbeit mit den Studierenden der Technikerschule entstanden und wird laufend weiterentwickelt. Den bundesweiten Änderungen in den Lehrplänen der Fachschule Technik folgend enthält das Buch jetzt auch die Kapitel „Elektrizitätslehre“ und „Atomphysik“, erarbeitet von Herrn Prof. Dr. Jürgen Eichler. Als Arbeitsbuch in der Technikerausbildung bewährt wird es auch in anderen Formen der Berufsbildenden Schulen gern verwendet. Durch Auswahl, Gliederung, Anordnung und Gestaltung der Lerngegenstände fügt sich das Buch fördernd in die schulische und häusliche Lehr- und Lernpraxis ein: Auf dem linken Teil der Buchseite steht der Lehrtext mit dem Merksatz, der einen Lernschritt abschließt. Rechts daneben wird der Lehrtext ergänzt und zeichnerisch erläutert. Hinzu kommen die mathematischen Entwicklungen und Beispiele. Die rechte Spalte entspricht dem Tafelbild im Unterricht: Lernschritt
Linke Spalte Lehrtext Merksätze Regeln
Rechte Spalte Zeichnungen, mathematische Entwicklung mit eingerahmter Berechnungsgleichung, Hinweise und Beispiele
Neben den eigentlichen Lehrtextteilen (Kap. 1 bis 10) enthält das Buch einen Aufgabenteil (Kap. 13) und einen Lösungsteil (Kap. 14). Die vorgeführten Lösungen erleichtern dem Lehrer die Entscheidung darüber, welche Aufgaben für den Unterricht oder für die häusliche Bearbeitung geeigneter sind. Am Ende des Buches sind die wichtigsten Berechnungsgleichungen in einer 17-seitigen Formelsammlung (Kap. 15) zusammengefasst. Im Kap. 12 werden ausgewählte Versuche beschrieben, z.B. die Aufnahme eines AmplitudenFrequenz-Diagramms (Resonanzkurve). Die Versuche sind so ausgewertet, wie das auch im Unterricht geschieht. Die aus zeitlichen Gründen im Unterricht nicht durchgeführten Versuche können damit wenigstens besprochen werden. Die Formelzeichen und ihre Bedeutung entsprechen der aktuellen Norm DIN 1304. Für den Informationsaustausch steht die E-Mail-Adresse zur Verfügung:
[email protected] Braunschweig, Februar 2008
Alfred Böge
VI
Zu den Versuchen
Die vorliegende Auswahl von Versuchen kann nur eingeschränkt richtig sein; jeder Lehrer hat seine wohlbegründeten Vorstellungen von der Notwendigkeit eines Versuchs. Richtiger schien es uns a) auf die Beschreibung von Standardversuchen und -geräten (Wellenwanne, Fahrbahn, optische Bank usw.) zu verzichten und b) die ausgewählten Versuche so ausführlich zu beschreiben (Versuchsaufbau, Versuchsbeschreibung, Ergebnisse), dass sich die Studierenden in Gruppen-Selbstarbeit allein hineinfinden und der Lehrer als Berater arbeiten kann. Die Firmen LEYBOLD DIDACTIC GmbH, Leyboldstraße 1, 50354 Hürth PHYWE SYSTEME GmbH, Robert-Bosch-Breite 10, 37079 Göttingen haben uns bei der Auswahl und Erprobung der Versuche vorbildlich unterstützt. Braunschweig, Februar 2008
Alfred Böge
Das griechische Alphabet
Alpha
Α
α
Ny
Ν
ν
Beta
Β
β
Xi
Ξ
ξ
Gamma
Γ
γ
Omikron
Ο
ο
Delta
Δ
δ
Pi
Π
π
Epsilon
Ε
ε
Rho
Ρ
r
Zeta
Ζ
ζ
Sigma
Σ
σ
Eta
Η
η
Tau
Τ
τ
Theta
Θ
ϑ
Ypsilon
Ψ
ψ
Jota
Ι
ι
Phi
Φ
ϕ
Kappa
Κ
κ
Chi
Χ
χ
Lambda
Λ
λ
Psi
Ψ
ψ
My
Μ
μ
Omega
Ω
ω
VII
Inhaltsverzeichnis
1. Physikalische Größen und Einheiten 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
Definition der physikalischen Größe............................................................................ 1 Schreibweise physikalischer Größen .......................................................................... 2 Skalare und Vektoren.................................................................................................. 2 Basisgrößen (Grundgrößen) und abgeleitete Größen ................................................. 5 Einheiten, Basiseinheiten, abgeleitete Einheiten, kohärente Einheiten ....................... 5 Größengleichungen..................................................................................................... 7
2. Bewegungen fester Körper 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.
Eine Übersicht ............................................................................................................. 9 Geschwindigkeit v und Beschleunigung a ................................................................. 10 Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ...................................................................... 14 Ordnung und Gesetze der Bewegungsarten ............................................................. 15 Lösen von Aufgaben der gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung nach Plan ............................................................................ 18 2.6. Die speziellen Größen der Kreisbewegung ............................................................... 19 2.7. Kraft und Masse ........................................................................................................ 30 2.8. Die Gleitreibkraft FR .................................................................................................. 44 2.9. Fahrwiderstand ......................................................................................................... 48 2.10. Mechanische Arbeit und Energie, Energieerhaltungssatz ......................................... 49 2.11. Leistung und Wirkungsgrad....................................................................................... 62 3. Ruhende Flüssigkeiten und Gase 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.
Der Druckbegriff ........................................................................................................ 65 Die Druckeinheiten .................................................................................................... 65 Besondere Druck-Kennzeichnungen......................................................................... 67 Normzustand, Normvolumen Vn, Normdichte rn ....................................................... 67 Das Druck-Ausbreitungsgesetz für Flüssigkeiten ...................................................... 68 Einfluss der Schwerkraft auf den Druck in Flüssigkeiten........................................... 69 Der Auftrieb Fa in Flüssigkeiten................................................................................. 69 Die Druck-Volumengesetze für Gase ........................................................................ 70
4. Strömende Flüssigkeiten und Gase 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.
Strömungsgeschwindigkeit w, Volumenstrom qv, Massenstrom qm .......................... 71 Die Kontinuitätsgleichung.......................................................................................... 71 Gültigkeitsbereich der Kontinuitätsgleichung............................................................. 72 Der Energieerhaltungssatz der Strömung (Bernoulli’sche Druckgleichung) .............. 72
5. Wärmelehre 5.1. Wärmeausdehnung................................................................................................... 77 5.2. Wärme und Arbeit ..................................................................................................... 81 5.3. Spezifische Wärmekapazität c und Wärme Q bei festen und flüssigen Stoffen ............. 82 5.4. Spezifische Wärmekapazität cp, cv und Wärme Q bei Gasen ................................... 83 5.5. Die Mischungsregel................................................................................................... 84 5.6. Die thermodynamische Temperatur T ....................................................................... 84
VIII 5.7. 5.8.
Inhaltsverzeichnis Die Gaszustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung) ............................................ 86 Die Übertragung der Wärme Q ................................................................................. 91
6. Mechanische Schwingungen 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13.
Beschreibung der mechanischen Schwingung ........................................................ 102 Die Rückstellkraft FR ............................................................................................... 102 Das Rückstellmoment MR ....................................................................................... 103 Die harmonische Schwingung ................................................................................. 103 Das Schraubenfederpendel ..................................................................................... 109 Das Torsionspendel ................................................................................................ 112 Das Schwerependel (Fadenpendel) ........................................................................ 114 Schwingung einer Flüssigkeitssäule........................................................................ 115 Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionspendel, Schwerependel und zur schwingenden Flüssigkeitssäule ....................................... 116 Dämpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz ............................ 116 Koppelschwingungen .............................................................................................. 120 Überlagerung von Schwingungen ........................................................................... 121 Schwebungen.......................................................................................................... 123
7. Mechanische Wellen 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 7.13. 7.14. 7.15.
Formen, Entstehung und Ausbreitung linearer Wellen ............................................ 124 Gleichung der harmonischen Welle......................................................................... 125 Polarisation von Querwellen.................................................................................... 127 Entstehung und Ausbreitung flächenhafter Wellen (Oberflächenwellen) ................. 128 Entstehung und Ausbreitung der Wellen im Raum .................................................. 129 Überlagerung gleich frequenter Wellen (Interferenz) ............................................... 130 Huygens’sches Prinzip ............................................................................................ 134 Beugung.................................................................................................................. 134 Reflexion ................................................................................................................. 135 Brechung von Wellen .............................................................................................. 136 Doppler-Effekt ......................................................................................................... 137 Stehende Wellen ..................................................................................................... 141 Eigenschwingungen (stehende Wellen auf begrenztem Wellenträger) ................... 142 Kennzeichen und Bedingungen fortschreitender und stehender Wellen ................. 143 Mathematische Behandlung stehender Wellen ....................................................... 144
8. Akustik 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12.
Begriffsbestimmung und Einschränkung ................................................................. 145 Schallempfindungen................................................................................................ 145 Die Tonhöhe............................................................................................................ 146 Die Schallschnelle v ................................................................................................ 146 Der Schalldruck p .................................................................................................... 146 Die Schallstärke J ................................................................................................... 146 Die Schallgeschwindigkeit c .................................................................................... 148 Das Schalldruck-Frequenz-Schaubild .................................................................... 151 Die Lautstärke L ...................................................................................................... 152 Stehende Schallwellen ............................................................................................ 152 Schallsender, Lautsprecher, Mikrophone ................................................................ 153 Ultraschall ............................................................................................................... 154
Inhaltsverzeichnis
IX
9. Optik 9.1. 9.2. 9.3.
Einordnung und Ausbreitung des Lichts .................................................................. 157 Wellenoptik ............................................................................................................. 163 Geometrische Optik (Strahlenoptik) ........................................................................ 169
10. Elektrizitätslehre 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10
Elektrische Ladung.................................................................................................. 176 Elektrischer Gleichstromkreis .................................................................................. 178 Elektrisches Feld ..................................................................................................... 189 Magnetisches Feld .................................................................................................. 194 Elektromagnetische Induktion ................................................................................. 201 Wechselstromkreis .................................................................................................. 205 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen...................................................... 214 Stromleitung in Vakuum, Gasen und Flüssigkeiten ................................................. 219 Halbleiterbauelemente ............................................................................................ 223 Supraleiter ............................................................................................................... 233
11. Atomphysik 11.1. 11.2. 11.3. 11.4.
Bestandteile der Atome........................................................................................... 234 Aufbau der Atome ................................................................................................... 238 Licht und Laserstrahlung......................................................................................... 241 Hinweise zur Relativitätstheorie .............................................................................. 245
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 12.7. 12.8. 12.9. 12.10. 12.11. 12.12. 12.13. 12.14. 12.15. 12.16. 12.17. 12.18. 12.19. 12.20. 12.21.
Parallelogrammsatz, Gleichgewicht beim zentralen Kräftesystem .......................... 246 Trägheitskraft T = m a ............................................................................................. 248 Haft- und Gleitreibzahlen trockener Flächen ........................................................... 250 Federrate R zylindrischer Schraubenfedern ............................................................ 252 Elastizitätsmodul E (Hooke’sches Gesetz) .............................................................. 255 Wärmekapazität WK eines Kalorimeters ................................................................. 257 Schmelzenthalpie (Schmelzwärme) qs von Wasser ................................................ 259 Mechanisches Wärmeäquivalent ............................................................................ 260 Elektrisches Wärmeäquivalent ................................................................................ 263 Periodendauer T eines Federpendels ..................................................................... 264 Federrate R (Richtgröße D) einer zylindrischen Schraubenfeder ............................ 265 Trägheitsmoment J ................................................................................................. 266 Aufnahme eines Amplituden-Frequenz-Diagramms (Resonanzkurve).................... 267 Querwellen auf der Schraubenfeder........................................................................ 269 Polarisation mechanischer Querwellen ................................................................... 271 Stehende Schallwellen ............................................................................................ 272 Elektrische Feldlinienbilder...................................................................................... 273 Magnetische Feldlinienbilder ................................................................................... 274 Elektrischer Widerstand R ....................................................................................... 275 Elektrische Kapazität C ........................................................................................... 276 Induktionsgesetz ..................................................................................................... 278
13. Aufgaben 13.1. Physikalische Größen und Einheiten ...................................................................... 280
X
Inhaltsverzeichnis 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9. 13.10.
Bewegungen fester Körper ...................................................................................... 281 Ruhende Flüssigkeiten und Gase ........................................................................... 294 Strömende Flüssigkeiten und Gase ........................................................................ 295 Wärmelehre............................................................................................................. 297 Mechanische Schwingung....................................................................................... 301 Mechanische Wellen ............................................................................................... 306 Akustik..................................................................................................................... 306 Optik ........................................................................................................................ 307 Elektrizitätslehre ...................................................................................................... 310
14. Lösungen 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. 14.9. 14.10
Physikalische Größen und Einheiten....................................................................... 313 Bewegungen fester Körper ...................................................................................... 314 Ruhende Flüssigkeiten und Gase ........................................................................... 339 Strömende Flüssigkeiten und Gase ........................................................................ 341 Wärmelehre............................................................................................................. 344 Mechanische Schwingungen................................................................................... 350 Mechanische Wellen ............................................................................................... 355 Akustik..................................................................................................................... 355 Optik ........................................................................................................................ 357 Elektrizitätslehre...................................................................................................... 360
15. Formelsammlung 15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8. 15.9. 15.10. 15.11. 15.12. 15.13. 15.14. 15.15. 15.16. 15.17.
Beschleunigte geradlinige Bewegung...................................................................... 364 Verzögerte geradlinige Bewegung .......................................................................... 365 Gleichförmige Kreisbewegung................................................................................. 366 Beschleunigte Kreisbewegung ................................................................................ 367 Verzögerte Kreisbewegung ..................................................................................... 368 Kraft, Masse, Reibung............................................................................................. 369 Mechanische Arbeit und Energie............................................................................. 370 Leistung und Wirkungsgrad ..................................................................................... 371 Flüssigkeiten und Gase (Hydrostatik und Hydrodynamik) ....................................... 372 Wärmeausdehnung, Wärme und Arbeit, Mischungsregel, Kelvintemperatur ...............373 Gaszustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung), Gaskonstante ......................... 374 Wärmeübertragung der Wärme Q ........................................................................... 375 Mechanische Schwingung (harmonische Schwingung) ........................................... 376 Mechanische Welle (harmonische Welle) ............................................................... 377 Akustik..................................................................................................................... 378 Optik ........................................................................................................................ 379 Elektrizitätslehre ...................................................................................................... 380
Sachwortverzeichnis ............................................................................................................. 381 Aufgaben
ab Seite 280
Lösungen
ab Seite 313
Formelsammlung
ab Seite 364
1 „Wissenschaft ist der Versuch, die chaotische Vielfalt unserer Sinneserfahrungen mit einem logisch einheitlichen Denksystem in Übereinstimmung zu bringen.“ Albert Einstein (1879–1955)
1. Physikalische Größen und Einheiten
1.1. Definition der physikalischen Größe Soll ein physikalischer Zustand oder ein physikalischer Vorgang beschrieben werden, muss das in einer zweckmäßigen und möglichst international verständlichen Form geschehen.
Physikalische Zustände sind z.B. die Masse m und die Energie E eines Körpers, die Temperatur ϑ einer Schmelze.
Eine solche Beschreibung kann ein Messergebnis oder das Ergebnis einer Berechnung aus Messergebnissen sein.
Beispiele: a) Die Masse m beträgt 2 kg, gemessen b) die Temperatur ϑ beträgt 15 °C, gemessen c) die Geschwindigkeit v beträgt 20 m/s, berechnet aus Weg- und Zeitmessung.
In jedem Fall muss die Mitteilung zwei Angaben enthalten, wenn sie brauchbar sein soll. Es muss gesagt werden, was gemessen worden ist (Temperatur ϑ, Druck p, Weg s, Zeit t ) und was dabei herausgekommen ist. Man muss also die Art der gemessenen Größe und das Ergebnis der Messung oder Rechnung angeben.
Beispiel: Der Bär eines Fallhammers fällt 2 m frei herab. Man sagt kurz: Der Fallweg s beträgt 2 m und schreibt
Eine physikalische Größe macht qualitative und quantitative Aussagen über eine messbare Äußerung eines physikalischen Zustands oder Vorgangs. Sie ist das Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit.
physikalische = Zahlenwert · Einheit Größe •
Aufgabe 1
Physikalische Vorgänge sind z.B.: das Abbremsen einer Drehspindel, der freie Fall.
Fallweg s = 2 m. „Fallweg s“ und damit auch das rechts vom Gleichheitszeichen stehende Produkt „2 · 1 m“ heißt physikalische Größe.
Beispiel: Die Leistung P (von engl. power) eines Elektromotors beträgt 12 kW (Kilowatt). Leistung P → qualitative Aussage, 12 kW → quantitative Aussage der physikalischen Größe.
Beispiel: Leistung P = 12 · 1 kW = 12 kW
2
1. Physikalische Größen und Einheiten
1.2. Schreibweise physikalischer Größen Die Symbole (Formelzeichen) für physikalische Größen sind in DIN 1304 genormt. Es sind meist die Anfangsbuchstaben ihrer englischen oder lateinischen Bezeichnung.
Beispiele: Weg s (space, spatium), Zeit t (time, tempus), Geschwindigkeit v (velocity, velocitas), Beschleunigung a (acceleration, acceleratio), Leistung P (power).
Jede physikalische Größe wird als Produkt aus Zahlenwert und Einheit geschrieben. Allein stehende Zahlenwerte sind unbrauchbar. Qualitative Aussage (Art) und quantitative Aussage (Betrag) gehören untrennbar zusammen. Allgemein schreibt man:
Beispiel: Die Angabe, ein Körper bewegt sich mit der Geschwindigkeit „15“ ist für andere nicht verwertbar. Erst aus m kann jeder herauslesen: v = 15 s a) es handelt sich um die Größenart „Geschwindigkeit“ (also nicht um eine Temperatur usw.) und
a physikalische Größe
=
{a} Zahlenwert von a
⋅
[a] Einheit von a
b) der Körper bewegt sich, wenn er diese Geschwindigkeit beibehält, um 15 Meter je Sekunde weiter. Bei schriftlichen Rechnungen sollten nur waagerechte Bruchstriche verwendet werden, auch bei den Einheiten. Dann erkennt man leichter, welche Einheiten sich kürzen lassen.
Beispiel: 2
v=
m m § m· ¨ 6 ¸ + 2 ⋅ 9,81 2 ⋅15m = 18,17 s s © s¹
Im fortlaufenden Text eines Buches ist der schräge Bruchstrich erlaubt, um Platz zu sparen.
• Aufgabe 2
1.3. Skalare und Vektoren Mit physikalischen Größen und Größengleichungen werden physikalische Zustände oder Vorgänge beschrieben. Man sagt z.B. „Die Temperatur der Luft im Zimmer beträgt 20 °C.“ Damit ist im physikalischen Sinn alles Notwendige gesagt. Auch die Angabe, ein Körper bewegt sich während der Zeit t = 2 s, ist für jeden Betrachter eindeutig und ausreichend. Er kennt damit die Qualität der physikalischen Größe (Zeit t ) und deren Quantität (2 s = 2 Sekunden). Solche Größen nennt man „nicht gerichtete Größen“ oder „skalare Größen“ oder kurz Skalare. Skalare sind allein durch die Angabe ihres Betrags (Zahlenwert mal Einheit) vollständig bestimmt.
Beispiele für Skalare: Physikalische Größe Länge l=4m Fläche A = 3 m2 Volumen V = 2 m3 Winkel α = 2,5 rad Zeit t=5s Frequenz f = 50 Hz Masse m = 3 kg Stromstärke I = 6 A Lichtstärke Iv = 16 cd Arbeit W = 250 Nm Leistung P = 12 kW
Einheit Meter Meterquadrat Kubikmeter Radiant Sekunde Hertz Kilogramm Ampere Candela Newtonmeter Kilowatt
m m2 m3 rad s Hz kg A cd Nm kW
1.3. Skalare und Vektoren Bei einer zweiten Gruppe von physikalischen Größen reicht die Angabe des Betrags allein nicht aus. Mit der Angabe: „Ein Flugzeug fliegt mit konstanter Geschwindigkeit von 80 m/s (v = 80 m/s = 288 km/h)“ wird nicht gesagt, an welchem Ort es sich nach dem Flug befindet. Der physikalische Vorgang ist erst dann eindeutig und ausreichend beschrieben, wenn auch die Flug-Richtung angegeben wird. Solche Größen heißen „gerichtete Größen“ oder „vektorielle Größen“ oder kurz Vektoren. Die physikalische Größe Geschwindigkeit v ist demnach ein Vektor. Weitere Beispiele enthält die nebenstehende Tafel.
Vektoren sind erst eindeutig und ausreichend bestimmt, wenn außer dem Betrag noch Richtung und Richtungssinn angegeben werden.
Die Richtung des Vektors wird in einem Koordinatensystem festgelegt, z.B. in dem rechtwinkligen Nord-Ost-System. Eine Gerade durch Startund Landepunkt für die Flugstrecke AB zeigt den Kurs an und damit den Richtungswinkel α gegenüber der Nordrichtung (Kurs N 60° O). In der Zeichenebene E wird der Vorgang durch das Eintragen der so genannten Wirklinie (WL) und des Geschwindigkeitspfeils beschrieben.
Zeichnerisch werden Vektoren durch Pfeile dargestellt. Die Pfeillänge im gewählten Maßstab gibt den Betrag des Vektors an, die Wirklinie seine Richtung und die Pfeilspitze den Richtungssinn.
Mit der „Richtung“ wird die Lage der Wirklinie festgelegt, z.B. mit dem Winkel α gegenüber Norden.
3 Beispiele für Vektoren: Physikalische Größen Weg s=2m m Geschwinv=5 digkeit s
Meter je Sekunde
Beschleuni- a = 3 m gung s2
Meter je Sekundequadrat
s2
Radiant je Sekunde
rad s
Radiant je Sekundequadrat Newton NewtonDrehmoment M = 15 Nm meter
rad
Winkelrad geschwin- ω = 1 s digkeit Winkelrad beschleuni- α = 1 2 s gung Kraft F = 850 N
Einheit Meter
m m s m
s2
N Nm
4
1. Physikalische Größen und Einheiten
Durch die zeichnerische Behandlung von Vektoren werden physikalische Vorgänge überschaubarer: Steuert das Flugzeug den angegebenen Kurs bei ruhender Luft (Windgeschwindigkeit vW = 0), überfliegt es nacheinander die Bodenpunkte A, B, C, D. Bewegt sich dagegen die Luft, z.B. mit der Windgeschwindigkeit vW = 20 m/s, dann wird das Flugzeug in Windrichtung mitgenommen und dadurch laufend parallel versetzt. In gleichen Zeitabschnitten wie bei ruhender Luft überfliegt es jetzt die Bodenpunkte B1, C1, D1. Der „absolute“ Kurs (Winkel γ ) und die „absolute“ Geschwindigkeit vabsolut gegenüber der ruhend gedachten Erde ist dann die Diagonale eines Parallelogramms, das maßstäblich und richtungsgemäß aus den in bestimmten Zeitabschnitten zurückgelegten Wegabschnitten oder aus den gegebenen Geschwindigkeitsvektoren zusammengesetzt werden kann. Für α = 60°, β = 50°, vF = 80 m/s, vw = 20 m/s liest man aus dem Geschwindigkeitsplan ab: Absolutgeschwindigkeit vabsolut Winkel γ (Richtungswinkel) Kursabweichung ε
≈ 89 m/s, ≈ 72°, ≈ 12°.
Dieses Verfahren heißt „zeichnerische oder geometrische Addition von Vektoren“. Die Diagonale des Parallelogramms ist der „resultierende Vektor“, hier die resultierende Geschwindigkeit vres = vabsolut ≈ 89 m/s. Es ist zu sehen, dass sich mit dem Dreieck aus vF, vW und vres das gleiche Ergebnis einstellt:
Der resultierende Vektor zweier gegebener Vektoren wird nach Betrag, Richtung und Richtungssinn sowohl durch die Konstruktion des Parallelogramms als auch durch maßstäbliches und richtungsgemäßes Aneinanderreihen der Vektoren gefunden.
Beachte: Geschwindigkeits-, Beschleunigungs- und Kräftepläne (siehe Statik) sind Vektorpläne. Die Vektoren müssen richtungsgemäß und maßstäblich gezeichnet werden; es ist also stets der Maßstab anzugeben. Den Maßstab bezeichnet man auch als Maßstabsfaktor.
Beachte: Vektoren werden geometrisch addiert, also lage- und richtungssinngemäß. Es ist also nicht, etwa vres = vF + vW = 80
m m m + 20 = 100 s s s
Das wäre eine algebraische Addition, die nur bei Skalaren erlaubt ist. Für das Rechnen mit Vektoren wurde die Vektorrechnung geschaffen (wie z.B. die Trigonometrie, die Gleichungslehre usw.). Treten innerhalb einer Rechnung Skalare und Vektoren auf, so kennzeichnet man die Formelzeichen für Vektoren mit einem Pfeil G G G über dem Formelzeichen, z.B. v , F , a . Soll bei Vektoren nur der Betrag genannt werden, setzt man das Vektorsymbol in G Betragsstriche, z.B. | v | = 5 m/s, oder man schreibt einfach v = 5 m/s.
•
Aufgabe 3
1.5. Einheiten, Basiseinheiten, abgeleitete Einheiten, kohärente Einheiten
5
1.4. Basisgrößen (Grundgrößen) und abgeleitete Größen 1.4.1. Basisgrößen Als Grundlage der großen Menge physikalischer Größen wurden sieben Basisgrößen festgelegt. Die Auswahl war willkürlich, mit der einzigen Einschränkung: Eine Basisgröße darf nicht durch andere Basisgrößen definierbar sein.
Basisgröße Länge l Basisgröße Masse m Basisgröße thermodynamische Temperatur T Basisgröße elektrische Stromstärke I Basisgröße Lichtstärke Iv Basisgröße Stoffmenge n
1.4.2. Abgeleitete Größen Alle abgeleiteten Größen entstehen durch eine mathematische Verknüpfung von Basisgrößen. Die Form der Verknüpfung wurde durch Beobachtung und Versuch gefunden oder durch eine als zweckmäßig angesehene Definition festgelegt. Die aus der Verknüpfung hervorgegangene Rechenvorschrift heißt auch Definitionsgleichung.
•
Beispiel: Die Rechenvorschrift (Definitionsgleichung) für die Geschwindigkeit v eines gleichförmig bewegten Körpers lautet: Weg s Geschwindigkeit v = Zeit t Weg s (Länge eines Weges) und Zeit t sind Basisgrößen. Die Geschwindigkeit v ist eine abgeleitete Größe.
Aufgabe 4
1.5. Einheiten, Basiseinheiten, abgeleitete Einheiten, kohärente Einheiten 1.5.1. Einheiten Ein physikalischer Zustand oder Vorgang lässt sich nur durch Messen festlegen und beschreiben. Zum Messen braucht man Einheiten als Vergleichsgrößen.
Beispiel: Zum Bestimmen der Durchschnittsgeschwindigkeit eines Fahrzeugs braucht man eine Längeneinheit zum Messen des zurückgelegten Weges und eine Zeiteinheit zum Messen der benötigten Zeit.
Zum Messen braucht man Einheiten, deren Betrag so festgelegt ist, dass er jederzeit wieder reproduziert werden kann. Einheiten sind Vergleichsgrößen.
Die in diesem Buch verwendeten Einheiten sind Einheiten des Internationalen Einheitensystems (SI-Einheiten).
Hinweis: Ausführliche Angaben über SI-Einheiten siehe Handbuch Maschinenbau.
6
1. Physikalische Größen und Einheiten
1.5.2. Basiseinheiten Für die Basisgrößen wurden international und gesetzlich spezielle Einheiten festgelegt. Sie heißen Basiseinheiten und sind zugleich Einheiten des so genannten Internationalen Einheitensystems (SI-Einheiten). Aus ihnen werden die abgeleiteten Einheiten gebildet.
1.5.3. Abgeleitete Einheiten Werden in eine Definitionsgleichung die physikalischen Größen als Produkt von Zahlenwert und Einheit eingesetzt, entstehen abgeleitete Einheiten. Sie sind stets Potenzprodukte von Basiseinheiten oder lassen sich auf solche zurückführen. Soll nur die Einheit einer physikalischen Größe untersucht werden, schreibt man das Größensymbol (Formelzeichen) in Klammern.
Meter (m) für Länge l Kilogramm (kg) für Masse m Sekunde (s) für Zeit t Kelvin (K) für thermodynamische Temperatur T Basiseinheit Ampere (A) für elektrische Stromstärke I Basiseinheit Candela(cd) für Lichtstärke Iv Basiseinheit Mol (mol) für Stoffmenge n Basiseinheit Basiseinheit Basiseinheit Basiseinheit
Beispiel: Einheit der (v ) = Einheit des Weges ( s ) Geschwindigkeit Einheit der Zeit (t )
Meter m = Sekunde s (v) als Potenzprodukt geschrieben: (v ) = m s–1 (v) =
1.5.4. Kohärente Einheiten Am einfachsten werden physikalische Rechnungen bei Verwendung solcher Einheiten, die in einer „Eins-zu-Eins-Beziehung“ zueinander stehen, bei denen also keine besondere Umrechnungszahl erforderlich ist (Umrechnungszahl ist dann 1). Solche Einheiten nennt man kohärent, im Gegensatz zu „inkohärenten“ Einheiten, z.B. die Seemeile.
Beispiele: Kohärente Einheiten sind: Meter (m), Sekunde (s), Joule (J), sprich „dschul“, Watt (W). Inkohärente Einheiten sind:
Seemeile (sm) = 1 852 m, Stunde (h) = 3 600 s, Kilowattstunde (kWh) = 3 600 000 Ws (Wattsekunden).
1.5.5. Vielfache oder Bruchteile von Einheiten Die Basiseinheiten m, kg, s, K, A, cd, mol und auch die abgeleiteten Einheiten mit selbstständigem Namen (z.B. das Watt W) dürfen durch Vorsatzzeichen vervielfacht oder unterteilt werden: 1018 = Exa (E) 1015 = Peta (P) 1012 = Tera (T) 109 = Giga (G) 106 = Mega (M) 103 = Kilo (k) 102 = Hekto (h) 101 = Deka (da)
•
Aufgaben 5 und 6
10–1 = Dezi (d) 10–2 = Zenti (c) 10–3 = Milli (m) 10–6 = Mikro (μ) 10–9 = Nano (n) 10–12 = Pico (p) 10–15 = Femto (f) 10–18 = Alta (a)
Beispiele: 1012 m 109 g 106 W 103 g 102 l 101 m
= 1 Tm = 1 Gg = 1 MW = 1 kg = 1 hl = 1 dam
10–1 l 10–2 m 10–3 s 10–6 m 10–9 s 10–12 F
= 1 dl = 1 cm = 1 ms = 1 mm = 1 ns = 1 pF
1.6. Größengleichungen
7
1.6. Größengleichungen 1.6.1. Definition Man kann eine physikalische Gesetzmäßigkeit, wurde sie einmal durch Beobachtung und Messung gefunden, nicht immer wieder mit Worten beschreiben, etwa in Form eines Berichts. Man will die gefundenen Zusammenhänge möglichst einfach weitergeben und damit rechnen. Also werden sie in eine mathematische Form gebracht, in der die physikalischen Größen durch mathematische Zeichen miteinander verknüpft sind.
Größengleichungen beschreiben formelmäßig physikalische Zustände oder Vorgänge.
Beispiel: Es wird immer wieder festgestellt, dass der Druck p in einer Flüssigkeit von ihrer Dichte r, von der Flüssigkeitshöhe h und von der an diesem Ort auftretenden Fallbeschleunigung g abhängig ist. Da auch die Art der Verknüpfung der beteiligten Größen bekannt ist, schreibt man einfach: p = r g h. In Worten: Der Druck p in einer Flüssigkeit ist das Produkt aus der Flüssigkeitsdichte r, der Fallbeschleunigung g und der Flüssigkeitshöhe h.
1.6.2. Anwenden von Größengleichungen 1. Man schreibt die gegebene oder aus anderen Gleichungen entwickelte Größengleichung in der allgemeinen Form hin, wobei nur waagerechte Bruchstriche verwendet werden. 2. Der Index einer Größe muss tiefer geschrieben werden. Rutscht der Index auf die gleiche Höhe wie der Buchstabe für die Größe, ergibt das mathematisch ein Produkt (statt v0 also v · 0). 3. Zur Ausrechnung setzt man jede Größe als Produkt aus Zahlenwert und Einheit ein und verwendet nur waagerechte Bruchstriche. Dann ergibt sich auch das Ergebnis der Rechnung als ein Produkt aus Zahlenwert und Einheit. 4. Man überprüft, ob die im Ergebnis gefundene Einheit zur gesuchten physikalischen Größe passt.
Beispiel: Gegeben ist die Gleichung v0 =
v12 + 2 g h1
m m ; g = 9, 81 2 ; h1 = 15 m . s s Gesucht wird v0 .
mit v1 = 6
v0 =
v12 + 2 g h1
(allgemeine Form der Größengleichung)
2
m § m· ¨ 6 ¸ + 2 ⋅ 9, 81 2 ⋅ 15 m © s ¹ s m v0 = 18,17 s
v0 =
Beispiel: Es wird eine falsche Größengleichung bes nutzt, statt v = die Form (mit anget nommenen Beträgen): v = s · t = 10 m · 4 s = 40 m · s. Kontrolle: Die Einheit m · s ist keine Geschwindigkeitseinheit, also muss der Ansatz falsch sein.
8
1. Physikalische Größen und Einheiten
5. Es muss beachtet werden, dass nur Größen gleicher Art addiert und subtrahiert werden dürfen.
Beispiel:
Multiplikation und Division ist zwischen allen Größen zulässig; alle Größen können potenziert und radiziert werden.
Kann der folgende Ansatz richtig sein? v1 + 2 g h1 = v2 + h2 t 2 m m m + ⋅ m = + m ⋅ s2 s s2 s
Der Ansatz muss falsch sein, denn auf beiden Seiten der Gleichung werden Einheiten verschiedener Art addiert. •
Aufgaben 7 bis 11
1.6.3. Anwenden von Zahlenwertgleichungen Beispiel:
Während die Größengleichungen immer zu einem richtigen Ergebnis führen, gleichgültig, welche Einheiten bei der Rechnung eingesetzt werden, dürfen Zahlenwertgleichungen nur mit den vorgeschriebenen Einheiten ausgewertet werden.
Die Größengleichung für die Schnittgeschwindigkeit vc beim Drehen lautet:
Man schreibt bei der rechnerischen Auswertung solcher Gleichungen die Einheiten nicht mit.
Sie liefert immer richtige Ergebnisse, gleichgültig, ob man d in mm, cm, m und n in U/min oder U/s einsetzt, etwa:
Den Vorteilen der Größengleichung (Unabhängigkeit von den Einheiten, Einheitenkontrolle) steht das Bestreben gegenüber, den Rechnungsgang bei häufig wiederkehrenden gleichartigen Rechnungen in der Praxis zu rationalisieren. Das immer stärkere Ineinandergreifen physikalischer Tatbestände aus verschiedenen Bereichen (Elektrotechnik, Mechanik, Wärmelehre) sollte jedoch schon aus Sicherheitsgründen dazu führen, nur Größengleichungen zu benutzen.
Zahlenwertgleichungen sind daran zu erkennen, dass sie außer 2 und π noch andere Zahlenfaktoren enthalten.
Es gibt Ausnahmen, z.B. die Gleichung für das Kugelvolumen V = (4 / 3) π r 3. In diesem Buch werden nur selten Zahlenwertgleichung verwendet. Es handelt sich dann um solche Gleichungen, die zur Zeit in der Technik gebräuchlich sind (siehe z.B. Seite 21, unten).
vc = π d n.
vc = π · 10 mm ·
200 mm = 6283,19 min min
In der Praxis wird die Zahlenwertgleichung verwendet: ʌd n 1000 ʌ ⋅ 10 ⋅ 200 vc = 1000 m vc = 6, 28 min vc =
d in mm U 1 = min min m vc in min
n in
Beispiele für Zahlenwertgleichungen mit zugehöriger Größengleichung: P=
Mn 9550
statt
P=Mω
vc =
ʌdn 60000
statt
vc = π d n
ω=
ʌn 30
statt
ω=2πn
9
2. Bewegungen fester Körper
2.1. Eine Übersicht Überall im Betrieb sieht man feste Körper in Bewegung: umlaufende Zahnräder, Schleifscheiben, Bohrer, hin- und herschwingende Stößel, gleichförmig ziehende Werkzeugträger, schraubenförmig auf- und ablaufende Honahlen, aber auch vibrierende Rohrleitungen. Techniker und Ingenieure müssen diese vielfältigen Bewegungsarten analysieren, die Abhängigkeiten der Einflussgrößen erkennen und die gültigen Größengleichungen finden. Wo sich Körper bewegen, müssen Kräfte wirken. Bevor man sich mit ihnen beschäftigt, muss die „Geometrie“ der Bewegung untersucht werden.
Futter und Werkstück laufen um (drehen sich um ihre Zentralachse z) : ROTATIO1
Dazu braucht man Wegabschnitte Δs (Vektor),
Punkt P1 läuft auf einem Kreis: kreisförmige Bewegung (Kreisbewegung)
Zeitabschnitte Δt (Skalar),
Schlitten und Drehmeißel verschieben sich:
Geschwindigkeiten v (Vektor),
TRA1SLATIO1
Beschleunigungen a (Vektor).
Punkt P2 läuft auf einer Geraden: geradlinige Bewegung
Δs („Delta s “ ) und Δt („Delta t “ ) sind Weg- und Zeitabschnitte (Differenzen Δ, Intervalle), die beliebig größer oder kleiner sein können. Damit kann man zum Beispiel untersuchen, ob ein Gesetz auch noch für kleinste Zeit- oder Wegabschnitte gilt.
10
2. Bewegungen fester Körper
2.2. Geschwindigkeit v und Beschleunigung a 2.2.1. Geschwindigkeit v In der Technik muss man immer wieder bestimmte Eigenschaften zweier oder mehrerer Körper miteinander vergleichen. Dazu muss jede Eigenschaft messbar sein und eine eindeutige Bezeichnung erhalten. Man nennt sie eine Größe. Eine solche Größe ist die Geschwindigkeit v. Aus ihrem Betrag kann erkannt werden, welcher von zwei Körpern „schneller“ ist, d.h. in gleichen Zeitabschnitten Δt größere Wegabschnitte Δs zurücklegt: Die Geschwindigkeit v eines Körpers ist der Quotient aus dem Wegabschnitt Δs und dem zugehörigen Zeitabschnitt Δt.
Von zwei Körpern hat derjenige die größere Geschwindigkeit, der bei einer Messung im gleichen Zeitabschnitt Δt (z.B. 1 s) den größeren Wegabschnitt Δs zurückgelegt hat. Die Beziehung zwischen zwei physikalischen Größen lässt sich im rechtwinkligen Achsenkreuz darstellen. Das ist schon vom so genannten Drehzahlschaubild (Diagramm) an der Drehmaschine bekannt. Und das sind die Vorteile solcher Diagramme:
Geschwindigkeit v =
v=
ǻs ǻt
Wegabschnitt ǻs Zeitabschnitt ǻt
v m s
s
t
m
s
Grundgleichung der gleichförmigen Bewegung
Beispiel: Verbrauchs-Geschwindigkeits-Diagramm (Q-v-Diagramm) eines Autos.
a) Zu jedem Betrag der auf der (waagerechten) Abszissenachse aufgetragenen Größe findet man durch Loten den Betrag der zweiten Größe auf der (senkrechten) Ordinatenachse und b) es lässt sich „sehen“, in welcher Weise sich die eine Größe in Abhängigkeit von der zweiten verändert. Im nebenstehenden Q-v-Diagramm ist über der Fahrzeuggeschwindigkeit v in km/h der Kraftstoffverbrauch Q in l /100 km aufgetragen. Auf einen Blick erkennt man, in welchem Geschwindigkeitsbereich der geringste Kraftstoffverbrauch zu erwarten ist.
Ablesebeispiel: a) Bei v = 120 km/h ist ein Verbrauch von 10 l /100 km zu erwarten und b) der Verbrauch steigt von einem Minimum bei 55 km/h mit zunehmender Geschwindigkeit stark an.
2.2. Geschwindigkeit v und Beschleunigung a
11
2.2.2. Geltungsbereich der Gleichung v = Δs /Δt Es gibt keine Bedenken, mit der Grundgleichung v = Δs/Δt durch Messen und Rechnen etwa die Geschwindigkeit zu bestimmen, mit der sich der Werkzeugschlitten einer Drehmaschine bewegt. Man sieht ja, dass sich der Schlitten gleichförmig bewegt. Ebenso gleichförmig bewegt sich ein Umfangspunkt rotierender Werkstücke oder Werkzeuge während des Spanens (z.B. ein Punkt der Bohrerschneide). Weg-Zeit-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung: Ein Körper bewegt sich dann gleichförmig, wenn er in gleichen, beliebig kleinen Zeitabschnitten Δt stets gleiche Wegabschnitte Δs zurücklegt. Die Geschwindigkeit v ist dann konstant (v = konstant).
Δt gleiche Zeitabschnitte, Δs1 = Δs2 = Δs3 = Δs4 gleiche Wegabschnitte, v = konstant.
Wird nun die Bewegung des Stößels einer Waagerecht-Stoßmaschine beobachtet, erkennt man sofort, dass sich der Stößel ungleichförmig bewegt.
Ein Körper bewegt sich dann ungleichförmig, wenn er in gleichen Zeitabschnitten Δt ungleiche Wegabschnitte Δs zurücklegt. Die Geschwindigkeit v ist nicht konstant (v ≠ konstant).
Weg-Zeit-Diagramm einer ungleichförmigen Bewegung: Δs1 ≠ Δs2 ≠ Δs3 ≠ Δs4 (≠ heißt ungleich) ungleiche Wegabschnitte, v ≠ konstant.
Im Weg-Zeit-Diagramm können die Bedingungen für gleichförmige und ungleichförmige Bewegungen dargestellt werden. Auch bei einer ungleichförmigen Bewegung werden Weg- und Zeitabschnitte gemessen und die Geschwindigkeit v berechnet, aber der berechnete Betrag kann nur die Bedeutung einer Durchschnittsgeschwindigkeit vm haben. Ein gedachter zweiter Körper, der sich mit dieser Geschwindigkeit gleichförmig bewegt, würde im gleichen Zeitabschnitt den gleichen Wegabschnitt zurückgelegt haben wie der ungleichförmig bewegte Körper.
Für die Durchschnittsgeschwindigkeit oder mittlere Geschwindigkeit vm gilt: vm =
ǻs ǻt
vm Δs m m s
Δt s
Diese Gleichung gilt bei jeder Bewegungsart!
12
2. Bewegungen fester Körper
Über die Bahn (auch Bahnkurve genannt), auf der sich ein Körper (oder ein Körperpunkt) bewegt, etwa von P1 nach P2, wird in den Gleichungen für v und vm nichts festgelegt. Die Gleichungen gelten also für jede Bahnkurve. Für die technisch besonders wichtige Kreisbahn benutzt man die geometrischen Größen des Kreises (Winkel, Durchmesser) zur Bestimmung des Wegabschnitts Δs (Abschnitt 2.6, Seite 19). •
Aufgaben 12 bis 18
vm =
ǻs lE z = ǻt t
lE Längeneinheit z Anzahl der Längeneinheiten von P1 → P2
Am ungleichförmig bewegten Stößel der Waagerecht-Stoßmaschine kann man sehen, dass seine Geschwindigkeit sich laufend ändert. In den Umkehrpunkten „ruht“ er sogar für einen Moment, seine Momentangeschwindigkeit v ist dann null. Geschwindigkeits-Zeitdiagramm (v-t-Diagramm) einer ungleichförmigen Bewegung Zum Berechnen der Momentangeschwindigkeit zwischen zwei Punkten einer Bahn mit v = Δs/Δt müsste man den Zeitabschnitt Δt schon sehr klein machen, etwa eine millionstel Sekunde. Auch dann noch könnte nur die Durchschnittsgeschwindigkeit vm während dieses Zeitabschnitts ermittelt werden.
Die Momentangeschwindigkeit v eines ungleichförmig bewegten Körpers lässt sich mit v = Δs/Δt nicht berechnen! Die exakte Berechnung der Momentan-Geschwindigkeit v eines ungleichförmig bewegten Körpers wird später behandelt.
2.2.3. Definition der Beschleunigung Der Stößel einer Waagerecht-Stoßmaschine wird beschleunigt und verzögert. Dadurch ändert sich seine Momentangeschwindigkeit dauernd. Andere Beispiele sind der herabfallende Bär des Fallhammers oder die anlaufende Drehspindel.
Ungleichförmig bewegte Körper werden beschleunigt und verzögert; für jeden Zeitabschnitt Δt lässt sich eine Geschwindigkeitsänderung Δν abgeben.
2.2. Geschwindigkeit v und Beschleunigung a Die Ungleichförmigkeit einer Bewegung lässt sich mit dem Betrag der Geschwindigkeitsänderung Δv je Zeiteinheit erfassen (meist je Sekunde). Daher wurde festgelegt:
Die Beschleunigung a (oder Verzögerung a) eines Körpers ist der Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung Δv und dem zugehörigen Zeitabschnitt Δt.
13 Geschwindigkeitsänderung ǻv Beschleunia= gung Zeitabschnitt ǻt
a=
ǻv v2 − v1 = ǻt ǻt
a
Δv, v2, v1
t
m
m s
s
s2
Grundgleichung der gleichmäßig beschleunigten und verzögerten Bewegung
Von zwei Körpern hat derjenige die größere Beschleunigung (Verzögerung), dessen Geschwindigkeit im gleichen Zeitabschnitt Δt um den größeren Betrag zunimmt (abnimmt). Wie Δs und Δt ist auch Δv eine Differenz Δv = v2 – v1, nämlich die Differenz der Geschwindigkeiten am Ende und am Anfang eines Zeitabschnitts Δt. Die Einheit der Beschleunigung (a) muss sich – wie bei jeder physikalischen Größe – aus der Definitionsgleichung ergeben. Als „Geschwindigkeitsänderung je Zeiteinheit“ kann sich für a nur m/s2 oder eine entsprechende Einheit ergeben, z.B. km/min2:
v-t-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung m (ǻv) m (a) = = s = 2 (ǻt ) s s
Einheit der Beschleunigung (a) =
m s2
= m ⋅ s −2
m km ist die kohärente, ist die inkohärente s2 m in2 Einheit.
2.2.4. Geltungsbereich für a = Δv /Δt Ändert ein Körper seine Geschwindigkeit innerhalb einer Sekunde um 2 m/s, innerhalb der nächsten Sekunde aber um 3 m/s, dann kann angenommen werden, dass irgendwo in diesem Zeitbereich ein Abschnitt Δt liegt, in dem die Geschwindigkeitsänderung Δv größer als 2 m/s, aber kleiner als 3 m/s ist. Dann kann man mit a = Δv / Δt auch hier nur wieder einen Durchschnittswert erhalten, wie klein Δt auch gemacht wird. Tatsächlich ist das bei der Stößelbewegung der Waagerecht-Stoßmaschine so. •
Aufgaben 19 und 20
Für die Durchschnittsbeschleunigung oder mittlere Beschleunigung am gilt: am =
ǻv v2 − v1 = ǻt ǻt
a
Δv, v2, v1
t
m
m s
s
s2
14
2. Bewegungen fester Körper
2.3. Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm 2.3.1. Die wichtigste Aussage des v-t-Diagramms Zunächst wird das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm (v-t-Diagramm) einer gleichförmigen Bewegung, wie sie z.B. beim Werkzeugschlitten der Drehmaschine vorliegt, skizziert. Auch für eine gleichförmige Drehbewegung gelten die folgenden Überlegungen: Da die Geschwindigkeit v stets gleich groß bleibt (v = konstant), muss die Geschwindigkeitslinie eine zur t-Achse parallele Gerade sein. Da hier v = Δs / Δt gilt, ist der zurückgelegte Wegabschnitt Δs = v · Δt. Das Produkt v · Δt erkennt man im v-t-Diagramm als den Flächeninhalt A unter der v-Linie. •
Gleichförmige Bewegung im v-t-Diagramm Flächeninhalt A entspricht Weg Δs
A =ˆ ǻs
Aufgaben 21 bis 24
Es stellt sich die Frage, ob auch bei einer ungleichförmigen Bewegung der Flächeninhalt unter der v-Linie dem zurückgelegten Wegabschnitt entspricht. Die v-Linie ist jetzt keine Gerade mehr. Die Stößelbewegung der WaagerechtStoßmaschine ergibt etwa dieses Bild. Zerlegt man die die Fläche A in kleine Rechteckflächen ΔA = v · Δt und nimmt an, dass während der kleinen Zeitintervalle Δt die Geschwindigkeit v = konstant ist, gilt auch Δs = v · Δt ฬ ΔA, d.h. jede Teilfläche ΔA entspricht einem Teilweg Δs. Die Gesamtfläche A ist die Summe aller Teilflächen (A = Σ ΔA), ebenso ist der Gesamtweg Δsges die Summe aller Teilwege (Δsges = Σ Δs), d.h. die Erkenntnis bei der gleichförmigen Bewegung gilt auch hier: In jedem v-t-Diagramm entspricht die Fläche A unter der v-Linie dem zurückgelegten Weg Δs. Jeder Lösungsansatz sollte daher mit der Skizze des v-t-Diagramms beginnen. Diese Erkenntnis ist so wichtig, weil die v-Linien für technische Bewegungsabläufe meist Gerade sind oder als solche angesehen werden können. Dadurch ergeben sich leicht berechenbare Flächen (Rechtecke, Dreiecke, Trapeze).
Ungleichförmige Bewegung im v-t-Diagramm Δsges = Σ Δs = Δs1 + Δs2 + ... Δsn Δsges = v1 Δt1 = v2 Δt2 + ... vn Δtn ฬ A
Fläche A Weg ǻs
2.4. Ordnung und Gesetze der Bewegungsarten Mit den Bezeichnungen im v-t-Diagramm kann dann sofort eine Gleichung für den Wegabschnitt Δs geschrieben werden.
15 Beispiel: Steigt die Geschwindigkeit von v = 0 linear an, dann wird mit A ฬ Δs: ǻs =
ǻv ⋅ ǻt 2
2.4. Ordnung und Gesetze der Bewegungsarten Alle Gleichungen der gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung lassen sich aus der Grundgleichung a = Δv /Δt und der Weggleichung entwickeln (Weggleichung aus dem v-t-Diagramm abgelesen).
2.4.1. Die gleichförmige Bewegung Die v-Linie ist eine zur t-Achse parallele Gerade, d.h. die Geschwindigkeit ist konstant (v = konstant). Ein derart bewegter Körper wird weder beschleunigt noch verzögert, d.h. seine Beschleunigung ist gleich null.
v=
ǻs = konstant ǻt
(a = 0) Beispiele: Alle Vorschubbewegungen an Werkzeugmaschinen sind gleichförmige Bewegungen.
2.4.2. Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit Die v-Linie ist eine vom Nullpunkt ansteigende Gerade. Die Geschwindigkeit ändert sich von null im Zeitpunkt null bis vt im Zeitpunkt t linear. Da die Geschwindigkeitsänderung Δv in gleichen Zeitabschnitten Δt stets gleich groß bleibt, ist auch die Beschleunigung a = konstant. Der zurückgelegte Weg Δs entspricht der Dreiecksfläche A (Flächeninhalt A ฬ vt · Δt / 2). Die erste Weggleichung Δs = vt Δt / 2 liest man aus dem v-t-Diagramm ab. Die beiden folgenden Weggleichungen erhält man auf einfache Weise mit Hilfe der Einsetzungsmethode, indem man die Grundgleichung einmal nach Δt = vt / a und einmal nach vt = a Δt auflöst und die so erhaltenen Ausdrücke für Δt bzw. vt in die erste Weggleichung einsetzt. Beim freien Fall (ohne Luftwiderstand) bewegen sich alle Körper gleichmäßig beschleunigt auf den Erdmittelpunkt zu. Die entwickelten Gleichungen gelten also auch hier, wenn die Anfangsgeschwindigkeit null ist.
ǻs =
a=
vt ǻ t 2
ǻv v = t ǻt ǻt
Grundgleichung ǻs =
vt ⋅ ǻt v2 a = t = ǻt 2 2 2a 2
Beispiele: Anfahrendes Schienenfahrzeug, ein Punkt am Umfang eines Drehstücks beim Anlaufen (annähernd). Beim freien Fall ist für die Beschleunigung a die Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2 einzusetzen.
16
2. Bewegungen fester Körper
2.4.3. Die gleichmäßig verzögerte Bewegung ohne Endgeschwindigkeit Die v-Linie ist eine bis auf v = 0 abfallende Gerade. Die Geschwindigkeit ändert sich wie bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung linear.
ǻs =
Da die Geschwindigkeitsänderung Δv in gleichen Zeitabschnitten Δt stets gleich groß ist, bleibt auch die Verzögerung a = konstant. v0 ist die Anfangsgeschwindigkeit im Zeitpunkt 0. Der zurückgelegte Weg Δs entspricht der Dreiecksfläche A (Flächeninhalt A ฬ v0 · Δt / 2). Da die Verzögerung a nichts anderes ist als eine „umgekehrte Beschleunigung“, müssen die Gleichungen nach Abschnitt 2.4.2 gelten (Seite 15).
a=
Auch hier erhält man die beiden letzten Gleichungen für den Wegabschnitt Δs aus der Verknüpfung der ersten Weggleichung Δs = v0 Δt / 2 mit der Grundgleichung a = v0 / Δt. Gleichungen und v-t-Diagramm zeigen, dass man sich die gleichmäßig verzögerte Bewegung als die rückwärts ablaufende gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorstellen kann.
Der senkrechte Wurf (kein Luftwiderstand) ist im obigen Sinn der rückwärts ablaufende freie Fall. So ist beispielsweise der Betrag der Aufprallgeschwindigkeit vt eines um Δs gefallenen Körpers gleich dem der erforderlichen Anfangsgeschwindigkeit v0, wenn der Körper die gleiche Höhe Δs senkrecht nach oben steigen soll. •
v0 ǻt 2
v Δv = 0 Δt Δt
Grundgleichung
ǻs =
v0 ⋅ ǻt v2 a = 0 = ǻt 2 2 2a 2
Beispiele: Bremsendes Fahrzeug, ein Schleifscheibenkorn beim Auslaufen der Schleifspindel.
Beim senkrechten Wurf nach oben ist für die Verzögerung a die Fallbeschleunigung m g = 9,81 2 einzusetzen. s
Aufgaben 25 und 26
2.4.4 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit Die v-Linie ist eine ansteigende Gerade. Die Geschwindigkeit steigt linear von v0 im Zeitpunkt 0 auf vt im Zeitpunkt t. Da die Geschwindigkeitsänderung Δv stets gleich groß bleibt, ist auch die Beschleunigung a = konstant. Der zurückgelegte Weg Δs entspricht der Trapezfläche A (Flächeninhalt A ฬ (vt + v0) · Δt / 2).
ǻs =
vt + v0 ǻt 2
2.4. Ordnung und Gesetze der Bewegungsarten Weitere Gleichungen für Δs liest man aus dem Diagramm heraus, wenn man die Trapezfläche durch Rechteckfläche ± Dreieckfläche ersetzt. Außerdem kann man in der Weggleichung für jede Größe den Ausdruck einsetzen, der sich dafür aus der Grundgleichung ergibt (Einsetzungsmethode). Δv ⋅ Δt Beispielsweise wird aus Δs = v 0 ⋅ Δt + mit 2 Δv = a · Δt aus der Grundgleichung Δs = v 0 ⋅ Δt +
a ⋅ Δt ⋅ Δt a = v 0 Δt + Δt 2 . 2 2
Weitere Entwicklungen im Abschnitt 2.5, Seite 18.
17 a=
ǻv vt − v0 = ǻt ǻt
ǻs =
Grundgleichung
vt + v0 v 2 − v02 ⋅ ǻt = t 2 2a
ǻs = v0 ⋅ ǻt +
a ⋅ ǻt 2 2
ǻs = vt ⋅ ǻt −
a ⋅ ǻt 2 2
Beispiele: Während der Fahrt wird ein Schienenfahrzeug beschleunigt;
Für den freien Fall gilt, was im Abschnitt 2.4.2, Seite 15, beschrieben wurde.
jeder Körper während des freien Falls (ohne Luftwiderstand) wird gleichmäßig mit a = g = konstant beschleunigt.
2.4.5. Die gleichmäßig verzögerte Bewegung mit Endgeschwindigkeit Die v-Linie ist eine abfallende Gerade. Die Geschwindigkeit fällt linear von v0 im Zeitpunkt null auf vt im Zeitpunkt t.
ǻs =
v0 + vt ǻt 2
Da die Geschwindigkeitsänderung Δv stets gleich groß bleibt, ist auch die Verzögerung a = konstant. Der zurückgelegte Weg Δs entspricht der Trapezfläche A (Flächeninhalt A ฬ (v0 + vt) · Δt / 2). Weitere Gleichungen für Δs liest man aus dem Diagramm heraus, wenn man die Trapezfläche durch Rechteckfläche ± Dreieckfläche ersetzt und – wie früher – für eine Größe aus der Weggleichung den entsprechenden Ausdruck aus der Grundgleichung einsetzt. Beispielsweise wird aus Δs = v 0 ⋅ Δt −
Δv ⋅ Δt 2
Δs = v 0 ⋅ Δt −
a 2 Δt 2
mit Δv = a · Δt jetzt:
a=
ǻv v0 − vt = ǻt ǻt
ǻs =
Grundgleichung
v0 + vt v 2 − vt2 ⋅ ǻt = 0 ǻt 2a
ǻs = v t ⋅ ǻt +
a ⋅ ǻt 2 2
ǻs = v0 ⋅ ǻt −
a ⋅ ǻt 2 2
Weitere Formeln werden im Abschnitt 2.5, Seite 18, entwickelt.
Beispiele:
Für den senkrechten Wurf gelten die Erkenntnisse aus dem Abschnitt 2.4.3, Seite 16.
Sinngemäß wie bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
18
2. Bewegungen fester Körper
2.4.6. Die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) im v-t-Diagramm Unter der mittleren Geschwindigkeit vm eines ungleichförmig bewegten Körpers versteht man diejenige konstante Geschwindigkeit, die ein gedachter zweiter Körper haben muss, um im gleichen Zeitabschnitt Δt den gleichen Wegabschnitt Δs zurückzulegen. Im v-t-Diagramm muss daher der lnhalt der Rechteckfläche A = vm Δt gleich dem der Trapezfläche A ฬ (v0 + vt) Δt / 2 sein, also
Δs = v m Δt =
v0 + v t Δt 2
und daraus vm =
v0 +vt Δs = 2 Δt
2.5. Lösen von Aufgaben der gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Bewegung nach Plan Mit folgenden vier Lösungsschritten lassen sich alle Aufgaben dieser Bewegungsart planvoll und damit rationell lösen. Der Lösungsgang wird am Beispiel des senkrechten Wurfs erläutert.
Beispiel:
Ein Körper wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 senkrecht emporgeworfen. In h1 = 15 m Höhe besitzt er die Geschwindigkeit v1 = 6 m/s. Wie groß sind Anfangsgeschwindigkeit v0 und gesamte Steigzeit Δtges bis zum Umkehrpunkt? Lösung:
1. Schritt: Aufzeichnen (Skizze) des v-t-Diagramms für den gegebenen Bewegungsvorgang.
2. Schritt: Hinschreiben der Grundgleichung für die gleichmäßig beschleunigte oder verzögerte Bewegung. Im v-t-Diagramm verwendete Bezeichnungen benutzen.
a= g=
ǻv ǻv v −v v = = 0 1 = 0 ǻt ǻt1 ǻt1 ǻtges
2.6. Die speziellen Größen der Kreisbewegung 3. Schritt: Hinschreiben der Weggleichungen mit eingetragenen Bezeichnungen. Dabei auch die Vorstellung von Flächensumme und -differenz benutzen.
4. Schritt: Entwickeln einer Gleichung mit einer Unbekannten aus zwei gegebenen Gleichungen (Einsetzungs- oder Gleichsetzungsmethode). Eine der gegebenen Gleichungen ist stets die Grundgleichung a = Δv / Δt, die zweite ist eine der Weggleichungen.
19 ǻs = h1 =
v0 + v1 = ǻt1 2
ǻs = h1 = v0ǻt1 −
ǻv ǻt1 2
(Rechteck – Dreieck)
ǻs = h1 = v1ǻt1 +
ǻv ǻt1 2
(Rechteck + Dreieck)
v0 − v1 nach Δt1 ǻt1 auflösen und in die erste Weggleichung einsetzen ergibt: Die Grundgleichung g =
drittes Binom
v0 + v1 v0 − v1 (v0 +v1 ) (v0 − v1 ) h1 = ⋅ = 2 g 2g
h1 =
v02 + v12 2g
und daraus
v0 = v12 + 2 g h1
Wird nach diesem Lösungsplan verfahren, braucht man nur die Grundgleichung (Definitionsgleichung) für die Beschleunigung a = Δv / Δt im Kopf zu haben. Die Weggleichungen werden aus dem v-t-Diagramm entwickelt.
Aus g =
v0 wird umgestellt: ǻtges
•
ǻtges =
v0 18,17 m s 2 = = 1,85 s. g 9,81 m s
Aufgaben 27 bis 38
2
v0 =
2.6. Die speziellen Größen der Kreisbewegung 2.6.1. Vorüberlegung und Feststellung Sämtliche bis hierher entwickelten Gleichungen und auch alle Erkenntnisse gelten sowohl für die geradlinige als auch für die Kreisbewegung. Die Kreisbewegung hat in der Technik eine besondere Bedeutung, weil der „Energietransport“ vom Ursprung (Elektromotor, Turbine) zur Ausnutzung (Arbeitsmaschine) über Wellen und Zahnräder erfolgt.
m m Ê mˆ ÁË 6 s ˜¯ + 2 ¹ 9,81 2 ¹ 15 m = 18,17 s . s
20
2. Bewegungen fester Körper
Um rationeller rechnen zu können, baut man die mathematischen Beziehungen des Kreises in die Bewegungsgleichungen ein. Daher erscheint in allen Gleichungen der Kreisbewegung die Kreiszahl π. Die Gleichungen für die Kreisbewegung lassen sich leicht aus den bekannten Gleichungen für die geradlinige Bewegung entwickeln. Dazu ersetzt man die Größen für Weg s, Geschwindigkeit v, Beschleunigung a durch die „Kreisgrößen“ wie Drehwinkel ϕ, Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung α. Die Struktur einer Gleichung für die geradlinige Bewegung bleibt dann erhalten und man kann die neue Gleichung für die Kreisbewegung sofort hinschreiben. Dieses Vorgehen nennt man Analogieverfahren. Die Einheit für den Drehwinkel Δϕ ergibt sich aus der Definitionsgleichung Δϕ = Δs / r als Quotient zweier Längeneinheiten, z.B. m/m. Um zu kennzeichnen, dass es sich bei dem Bruch m/m = 1 um einen Winkel handelt, wird dafür die Bezeichnung rad = Radiant verwendet.
•
Aus der Mathematik:
Vollwinkel
ǻϕ = 2ʌ
Drehwinkel bei z Umdrehungen
ǻϕ = 2ʌ z
Bogenstück
ǻs = r ⋅ ǻϕ
Bogenstück bei z Umdrehungen
ǻs = r ⋅ ǻϕ = 2ʌ r z
Umrechnungen
ǻϕ ° = ǻϕ ⋅
ǻϕ =
Δs, r Δϕ m rad
180° ʌ rad
= ǻϕ ⋅ 57, 3
ǻϕ ° ⋅ π rad = 180°
z l
° rad
ǻϕ ° 57, 3
° rad
Δϕ °
Winkel in Grad,
Δϕ
Winkel in rad (Bogenmaß).
Aufgaben 39 bis 42
2.6.2. Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung α 2.6.2.1. Winkelgeschwindigkeit ω Ausgehend vom Begriff der mittleren Geschwindigkeit vm = Δs / Δt wird eine für die Kreisbewegung zweckmäßigere Form gesucht. Ein radialer Kreidestrich auf einer umlaufenden Scheibe (ein „Fahrstrahl“) hat während des Zeitabschnitts Δt den Drehwinkel Δϕ überstrichen. Zählt man die Anzahl z der Umdrehungen, kann der Drehwinkel aus Δϕ = 2π z berechnet werden. Dividiert man den Drehwinkel Δϕ durch den zugehörigen Zeitabschnitt Δt, erhält man die mittlere Winkelgeschwindigkeit ω m.
ωm =
Drehwinkel ǻϕ Zeitabschnitt ǻt
Die mittlere Winkelgeschwindigkeit ω m eines Körpers ist der Quotient aus dem Drehwinkel Δϕ und dem zugehörigen Zeitabschnitt Δt.
ωm =
ǻϕ 2ʌ z = ǻt ǻt
ω rad s
=
Δϕ 1 s
Δt z
rad = 1 s l
2.6. Die speziellen Größen der Kreisbewegung Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus der Definitionsgleichung.
21 (ω ) =
(ǻϕ ) rad 1 = = (ǻt ) s s
Die Gesetze der gleichförmigen und der ungleichförmigen Bewegung gelten auch für die Kreisbewegung. In der Formulierung wird einfach der Begriff „Wegabschnitt Δs“ durch die Kreisgröße „Drehwinkel Δϕ “ ersetzt.
•
Ein Körper dreht sich dann gleichförmig, wenn sein Fahrstrahl in gleichen, beliebig kleinen Zeitabschnitten Δt stets gleiche Drehwinkel Δϕ überstreicht.
Beispiele:
Ein Körper dreht sich dann ungleichförmig, wenn sein Fahrstrahl in gleichen Zeitabschnitten Δt stets ungleiche Drehwinkel Δϕ überstreicht. Vergleiche mit 2.2.2., Seite 11.
Beispiele:
Drehmaschinenspindel während des Schnittes; Planeten um ihre Achse, z.B. die Erde.
Drehmaschinenspindel beim An- und Auslauf; bestimmte Glieder in Hebelgetrieben.
Aufgaben 43 bis 47
2.6.2.2. Winkelgeschwindigkeit ω und Drehzahl n Auf dem Leistungsschild des Elektromotors ist unter anderem die Drehzahl n angegeben, z.B. n = 2800 U/min. Sie ist auch als Bezugsgröße in Nomogrammen an Drehmaschinen bekannt. In beiden Fällen gibt n die Anzahl z der Umdrehungen in 1 min an. Ohne Beschränkung auf eine bestimmte Zeiteinheit erhält man die Drehzahl, wenn die Anzahl z der Umdrehungen eines Körpers gezählt wird und man diese Anzahl durch den zugehörigen Zeitabschnitt dividiert: Die Drehzahl n ist der Quotient aus der Anzahl z der Umdrehungen und dem zugehörigen Zeitabschnitt Δt. Der Quotient z / Δt = n erscheint in der Gleichung für die Winkelgeschwindigkeit ω, also kann man aus der Drehzahl n die Winkelgeschwindigkeit ω berechnen und umgekehrt. Meist soll der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ω nicht in 1/min sondern in 1/s angegeben werden. Man muss dann die in min–1 gegebene Drehzahl n durch 60 dividieren (n / 60) und erhält für ω eine auf n in min–1 zugeschnittene Zahlenwertgleichung.
•
Aufgaben 48 bis 50
Drehzahl n =
Anzahl Umdrehungen z Zeitabschnitt ǻt z Δt
n z n= ǻt
U 1 = = s −1 s s n
oder
ω=
s z
Δt
U 1 = = min −1 1 min min
s
ǻϕ z = 2ʌ ǻt ǻt
ω = 2ʌ n
ω = 2ʌ
ω =
1
ω 1 min
n 1 U = min min
n 60
ʌn ≈ n /10 30
(Zahlenwertgleichung)
ω
n
rad s
min–1
22
2. Bewegungen fester Körper
2.6.2.3. Winkelbeschleunigung α Nachdem die Winkelgeschwindigkeit ω festgelegt ist, kann die Winkelbeschleunigung α mit der Änderung der Winkelgeschwindigkeit Δω definiert werden:
Die Winkelbeschleunigung α (oder -verzögerung) ist der Quotient aus der Winkelgeschwindigkeit Δω und dem zugehörigen Zeitabschnitt Δt.
Winkelbe- α = schleunigung
α=
ǻω ω 2 − ω 1 = ǻt ǻt
s2
=
Grundgleichung
Δω, ω 1, ω 2 rad 1 = s s
α rad
Winkelgeschwindigkeitsänderung ǻω Zeitabschnitt ǻt
1 s2
Δt s
rad Einheit der Winkelbe(ǻω ) (α ) = = s schleunigung (ǻt ) s Die Einheit der Winkelbeschleunigung wird wie üblich aus der Definitionsgleichung bestimmt.
(α ) =
rad s2
=
1 s2
= s −2
2.6.3. Zusammenhang zwischen Drehwinkel- und Weggrößen 2.6.3.1. Winkelgeschwindigkeit ω und Umfangsgeschwindigkeit vu Legt ein Umfangspunkt P den Wegabschnitt Δs zurück, dann hat der zugehörige Fahrstrahl den Drehwinkel Δϕ überstrichen. Die Geschwindigkeit des Punkts P auf der Kreisbahn heißt Umfangsgeschwindigkeit vu. Auch für sie muss die allgemeine Grundgleichung v = Δs/Δt gelten (bei gleichförmiger Bewegung oder als Mittelwert bei ungleichförmiger Bewegung). Den Wegabschnitt Δs (hier ein Bogenstück) erhält man aus
vu =
ǻs z = 2ʌ r = 2ʌ r n = ʌ d n ǻt ǻt
Δs = 2π r z = Δϕ r mit Anzahl z der Umdrehungen des Umfangspunkts oder des Fahrstrahls.
vu = ʌ d n = ω r
Mit z/Δt = n und 2π n = ω erhält man die gesuchte Beziehung zwischen ω und vu.
vu r, d ω m rad m s s
Die Umfangsgeschwindigkeit vu eines Umfangspunkts ist in jedem Augenblick tangential zu seiner Kreisbahn gerichtet. vu ist vom Radius r abhängig (vu ~ r, d.h. vu ist proportional r ). Dagegen ist ω für alle Punkte eines Fahrstrahls gleich groß. Darin liegt die besondere Bedeutung der Winkelgeschwindigkeit ω.
•
Aufgaben 51 bis 54
ω= n U s
vu m min
vu r r, d
m
ω rad s
n U min
2.6. Die speziellen Größen der Kreisbewegung
23
2.6.3.2. Winkelbeschleunigung α und Tangentialbeschleunigung a T Es wird auch hier wieder von der Grundgleichung ausgegangen. Für jede gleichmäßig beschleunigte oder verzögerte Bewegung heißt sie α = Δv / Δt. Bei Kreisbewegung ist die Umfangsbeschleunigung ebenso wie die Umfangsgeschwindigkeit tangential gerichtet. Man bezeichnet sie daher als Tangentialbeschleunigung aT = Δvu / Δt. Setzt man für Δvu = Δω · r und erinnert sich an Δω /Δt = α, so erhält man die gesuchte Beziehung. aT ist vom Radius r abhängig (aT ~ r ), ebenso wie vu; dagegen ist α für alle Punkte eines Fahrstrahls gleich groß, ebenso wie ω. Darin liegt die besondere Bedeutung der Winkelbeschleunigung α.
aT =
ǻvu ǻω r = ǻt ǻt
aT = α r
aT r
α =
aΤ
α
m
rad
s2
s2
r m
2.6.3.3. Zusammenstellung Eine Zusammenstellung der gefundenen Beziehungen zeigt, wie leicht man aus einer gegebenen Drehwinkelgröße die entsprechende Weggröße berechnen kann (und umgekehrt): Die Weggrößen Δs, vu, aT ergeben sich aus den Drehwinkelgrößen Δϕ, ω, α durch Multiplikation mit dem Radius r. Die nach ω und α aufgelösten Beziehungen regen zu folgender Vorstellung an: Teilt man die Umfangsgeschwindigkeit vu durch Radius r, z.B. vu = 6 m/s durch r = 2 m, dann ergibt sich die Umfangsgeschwindigkeit vu1 eines Punktes, der r = 1 m vom Mittelpunkt M entfernt liegt:
m m 6 3 vu s = = s = ω. r 2 m 1m
Die Beträge der Winkelgeschwindigkeit ω und der Umfangsgeschwindigkeit vu auf dem Einheitskreis sind gleich groß. Das gilt auch für die Beträge der Winkelbeschleunigung α und der Tangentialbeschleunigung aT auf dem Einheitskreis.
vu = ω r
ǻs = ǻϕ r ǻϕ =
ǻs r
ω =
vu r
aT = α r
α =
aT r
Δϕ
Δs
r
ω
vu
α
rad
m
m
rad s
m s
rad
m
s2
s2
aT
24
2. Bewegungen fester Körper
2.6.4. Das ω -t-Diagramm entspricht dem v-t-Diagramm Im v-t-Diagramm wurde die Geschwindigkeit v über der Zeit t aufgetragen. Bei der Kreisbewegung tritt an die Stelle der Geschwindigkeit v die Winkelgeschwindigkeit ω. So entsteht das ω -tDiagramm.
Aus dem v-t-Diagramm wird das ω-t-Diagramm
Wird die Grundgleichung für die gleichförmige Drehbewegung ω = Δϕ /Δt nach Δϕ aufgelöst, erhält man für den Drehwinkel Δϕ = ω Δt.
Mit dieser Gleichung kann der Flächeninhalt des Rechtecks unter der ω -Linie berechnet werden. In jedem ω -t-Diagramm entspricht die Fläche A unter der ω -Linie dem überstrichenen Drehwinkel Δϕ. Jeder Lösungsansatz sollte daher mit der Skizze des ω -t-Diagramms beginnen. Wie für das v-t-Diagramm gilt also auch hier: Da die ω -Linien meist Gerade sind, ergeben sich leicht berechenbare Flächen (Rechtecke, Dreiecke, Trapeze). Mit den Bezeichnungen im ω -t-Diagramm kann man sofort eine Gleichung für den Drehwinkel Δϕ hinschreiben.
Beispiel: Steigt die Winkelgeschwindigkeit von ω = 0 linear an, dann wird mit A ฬ Δϕ ǻϕ =
ǻω ǻt 2
2.6.5. Ordnung und Gesetze der Kreisbewegung Überblick und Verständnis gibt die Analogiebetrachtung: Jede der folgenden Gleichungen der Kreisbewegung entspricht im Aufbau genau der zugehörigen Gleichung für die geradlinige Bewegung. In der Gleichung für die geradlinige Bewegung können alle Größen durch die entsprechenden Größen der Kreisbewegung ersetzt werden. Auf diese Weise ergibt sich sofort die spezielle Gleichung für die Kreisbewegung.
Ersetzt wird: Wegabschnitt Δs
durch Drehwinkel Δϕ
Geschwindigkeit v durch Winkelgeschwindigkeit ω , Beschleunigung a durch Winkelbeschleunigung α , v-t-Diagramm
durch ω -t-Diagramm
2.6.5.1. Die gleichförmige Drehung
Die ω -Linie ist eine zur t-Achse parallele Gerade, das heißt, die Winkelgeschwindigkeit ist konstant (ω = konstant). Da sich ein gleichförmig drehender Körper weder beschleunigt noch verzögert, ist die Winkelbeschleunigung α = 0.
ω=
ǻϕ = konstant ǻt
Grundgleichung
2.6. Die speziellen Größen der Kreisbewegung
25
2.6.5.2. Die gleichmäßig beschleunigte Drehung
Die ω -Linie ist eine ansteigende Gerade. Die Winkelgeschwindigkeit steigt linear von ω 0 im Zeitpunkt 0 auf ω t im Zeitpunkt t. Da die Änderung der Winkelgeschwindigkeit Δω gleich groß bleibt, ist auch die Winkelbeschleunigung α = konstant. Der überstrichene Drehwinkel Δϕ entspricht der Trapezfläche A: Flächeninhalt A ฬ (ω 0 + ω t) Δt / 2. Weitere Gleichungen für Δϕ liest man aus dem Diagramm heraus, wenn die Trapezfläche durch Rechteckfläche ± Dreieckfläche ersetzt wird. Wird der Körper aus der Ruhelage heraus beschleunigt, vereinfachen sich die Gleichungen dadurch, dass ω 0 = 0 eingesetzt wird.
α =
ǻω ω t − ω 0 = ǻt ǻt
ǻϕ =
ωt + ω0 2
ǻϕ = ω 0ǻt +
ǻt =
α 2
ǻt 2
Grundgleichung
ω t2 − ω 02 2α ǻϕ = ω t ǻt −
α 2
ǻt 2
2.6.5.3. Die gleichmäßig verzögerte Drehung
Die ω-Linie ist eine abfallende Gerade. Die Winkelgeschwindigkeit fällt linear von ω 0 im Zeitpunkt 0 auf ω t im Zeitpunkt t. Da die Änderung der Winkelgeschwindigkeit Δω stets gleich groß bleibt, ist auch die Winkelverzögerung α = konstant. Der überstrichene Drehwinkel Δϕ entspricht der Trapezfläche A: Flächeninhalt A (ω 0 + ω t) Δt / 2. Weitere Gleichungen für Δϕ liest man aus dem Diagramm heraus, wenn die Trapezfläche durch Rechteckfläche ± Dreieckfläche ersetzt wird. Wird der Körper bis zur Ruhelage verzögert, vereinfachen sich die Gleichungen durch das Einsetzen von ω t = 0.
α =
ǻω ω0 − ω t = ǻt ǻt
ǻϕ =
ω0 + ω t 2
ǻϕ = ω t ǻt +
ǻt =
α 2
ǻt 2
Grundgleichung
ω 02 − ω t2 2α ǻϕ = ω 0ǻt −
α 2
ǻt 2
26
2. Bewegungen fester Körper
2.6.6. Lösen von Aufgaben der gleichmäßig beschleunigten oder verzögerten Kreisbewegung nach Plan Auch hier vermittelt die Analogie zum Abschnitt 2.5, Seite 18, größere Übersicht und tieferes Verständnis. 1. Schritt: Aufzeichnen (Skizze) des ω-t-Diagramms für den gegebenen Bewegungsvorgang.
2. Schritt: Hinschreiben der Grundgleichung für die gleichmäßig beschleunigte oder verzögerte Bewegung. Im ω-t-Diagramm verwendete Bezeichnungen benutzen. 3. Schritt: Hinschreiben der Drehwinkelgleichungen mit den eingetragenen Bezeichnungen. Dabei auch die Vorstellung von Flächensumme und -differenz benutzen.
α1 =
ǻω ω1 − ω 2 ω = ; α2 = 2 ǻt ǻt2 ǻt3
ǻϕ1 = ω1ǻt1 ǻϕ 2 =
ǻϕ3 =
4. Schritt: Entwickeln einer Gleichung mit einer Unbekannten aus zwei gegebenen Gleichungen (Einsetzungs- oder Gleichsetzungsmethode). Eine der gegebenen Gleichungen ist stets die Grundgleichung α = Δω /Δt, die zweite ist eine der Drehwinkelgleichungen.
α1 =
Aufgaben 55 bis 57
2
ω 2ǻt3 2
ω 2 - ω1
ǻϕ 2 = ǻϕ 2 =
•
ω1 + ω 2
ǻt2
=
α1 2
ǻt22 usw.
ω 22 usw. 2 α2
fi ǻt2 =
ω 2 + ω1 2
ǻt2 = ω1ǻt1 +
ǻt2 =
ω 2 - ω1 α1
(ω 2 + ω1 )(ω 2 − ω1 ) 2 α1
ω 22 − ω12 usw. 2 α2
Beachte: Es ist nur nötig, die Grundgleichung (Definitionsgleichung) für die Winkelbeschleunigung α = Δω/Δt im Kopf zu haben.
2.6. Die speziellen Größen der Kreisbewegung
27
2.6.7. Gegenüberstellung einander entsprechender Größen der geradlinigen Bewegung und der Kreisbewegung Kreisbewegung
geradlinige Bewegung Größe
Einheit
Größe
Einheit
Weg Δs
m
Drehwinkel Δϕ
rad
Zeit Δt
s
Zeit Δt
s
Winkelgeschwindigkeit (bei α = 0)
ω =
ǻϕ ǻt
rad s
Winkelbeschleunigung
α =
ǻω ǻt
rad s2
Geschwindigkeit (bei a = 0)
v=
ǻs ǻt
m s
Beschleunigung
a=
ǻv ǻt
s2
a=
Δv Δt
Δs =
m
v0 + vt ⋅ Δt 2
α =
Δω Δt
Δϕ =
ω0 + ωt 2
⋅ Δt
2.6.8. Die Zentripetalbeschleunigung az (Radialbeschleunigung) 2.6.8.1. Erste Herleitung
Ein Körper beschleunigt (verzögert) sich, wenn sich seine Geschwindigkeit ändert. Das sagt auch die Definitionsgleichung a = Δv / Δt. Daher könnte man annehmen, dass ein gleichförmig drehender Körper überhaupt nicht beschleunigt wird (denn vu = konstant, also auch at = 0). Diese Annahme ist falsch. Zwar ändert sich der Betrag der Umfangsgeschwindigkeit vu nicht (und damit ist die Tangentialbeschleunigung a t = 0), wohl aber ändert sich die Lage der Wirklinie (Tangente), also die Richtung von vu.
Auch ein gleichförmig umlaufender Körper wird beschleunigt, denn ununterbrochen ändert sich die Richtung der Umfangsgeschwindigkeit.
28
2. Bewegungen fester Körper
Läuft ein Umfangspunkt von P1 über P2 nach P3, beträgt der Wegabschnitt
Δs = 2 r Δϕ
(Δϕ im Bogenmaß).
Da seine Geschwindigkeit vu = konstant ist, gilt die Grundgleichung vu = Δs/Δt und daraus
ǻt =
ǻs 2 r ǻϕ = vu vu
Nun interessiert, wie sich die Richtung der Geschwindigkeit vu zwischen den Punkten P1 und P3 ändert. Dazu wird vu in den beiden Grenzpunkten P1, P3 in je eine waagerechte und senkrechte Komponente zerlegt: Während die x-Komponente vu cos Δϕ unverändert nach rechts gerichtet bleibt, ändert sich die y-Komponente von
ǻs = 2 r ǻϕ
ǻt =
ǻvr = 2 vu sin ǻϕ
az =
+ vu sin Δϕ auf – vu sin Δϕ, d.h. die Geschwindigkeitsänderung in Richtung der Strecke P2M (= Radius r ) beträgt
Δvr = 2 vu sin Δϕ . Damit ist erwiesen: Auch bei gleichförmiger Kreisbewegung tritt eine Beschleunigung auf. Sie ist stets zum Kreismittelpunkt (Zentrum) hin gerichtet und heißt Zentripetalbeschleunigung az. Sie äußert sich als Änderung der Richtung (nicht des Betrags) der Umfangsgeschwindigkeit.
ǻs 2 r ǻϕ = vu vu
az =
ǻvr 2 vu sin ǻϕ = 2 r ǻϕ ǻt vu
vu2 sin ǻϕ vu2 ⋅ = ⋅1 r ǻϕ r
(für kleine Winkel Δϕ ist sin Δϕ = Δϕ, also sin Δϕ /Δϕ = 1). Eine zweite Gleichung ergibt sich, wenn für vu = ω r eingesetzt wird.
az =
vu2 = r ω2 r
ω
az
vu
r
m
m s
rad m s
s2
2.6.8.2. Zweite Herleitung (Überlagerungsprinzip)
Ein gleichförmig umlaufender Körper kann nur dann auf der Kreisbahn gehalten werden, wenn er fortwährend zum Zentrum der Bewegung hin beschleunigt wird. Also gilt:
Hinweis: Ein typisches Beispiel ist das umlaufende Kettenkarussell: Die Ketten des Sitzes stehen ständig unter Zug. Reißen sie, fliegen Sitz und Mitfahrer in tangentialer Richtung weiter.
Bei der Bewegung eines Körpers auf der Kreisbahn überlagern sich in jedem Moment zwei Bewegungsformen
Hinweis: Ein anderes typisches Beispiel für die Überlagerung zweier Bewegungsformen ist der waagerechte Wurf: Der gleichförmigen Horizontalbewegung ist die gleichmäßig beschleunigte Bewegung des freien Falls überlagert.
–
die gleichförmig geradlinige Bewegung in Tangentenrichtung und
–
die gleichmäßig beschleunigte Bewegung in radialer Richtung.
2.6. Die speziellen Größen der Kreisbewegung Die gesuchte Gleichung für die Zentralbeschleunigung az findet man nun nach dem Überlagerungsprinzip:
29 Hinweis: Unter „Überlagerungsprinzip“ versteht man die mathematische Auswertung und Zusammenführung der überlagerten Bewegungsformen.
Während einer kleinen Zeitspanne Δt bewegt sich der umlaufende Körper auf der Kreisbahn vom Punkt P1 bis zum Punkt P2. Dieser Punkt P2 wird auch erreicht, wenn der Körper in der gleichen Zeitspanne Δt gleichförmig längs des Tangentialwegs Δs t = vu Δt bis zum Punkt R und von dort aus gleichmäßig beschleunigt längs des Radialwegs Δsr = au Δt 2/2 nach P2 bewegt wird. Die Weggleichung Δsr = az Δt 2/2 entspricht der in Abschnitt 2.4.2 auf Seite 15 hergeleiteten Gleichung Δs = a Δt 2/2.
Nun wird im Dreieck P1 R M der Lehrsatz des Pythagoras angesetzt.
2
1 Ê 2ˆ 2 2 2 ÁË r + 2 az ǻt ˜¯ = r + vu ǻt r 2 + r az ǻt 2 + az r +
1 2 4 az ǻt = r 2 + vu2 ǻt 2 4
1 2 2 az ǻt = vu2 4
Die daraus entwickelte Gleichung muss auch für Δt = 0 gelten. Damit ergibt sich die gesuchte Gleichung für die Zentripetalbeschleunigung az = v 2,u /r.
Mit Δt = 0 wird
Der Beschleunigungsvektor az ist in jedem Augenblick zum Kreismittelpunkt M gerichtet. Man spricht daher auch von der Radialbeschleunigung ar oder von der Normalbeschleunigung an (in Richtung der rechtwinklig auf der Tangente stehenden Normale):
Die Wirklinie der Zentripetalbeschleunigung az läuft in jedem Augenblick durch den Mittelpunkt der Kreisbahn, auf der sich der Körper bewegt.
az = ar = an.
•
Aufgabe 58
az =
vu2 r
30
2. Bewegungen fester Körper
2.7. Kraft und Masse 2.7.1. Die Kraft als Ursache jeder Bewegungsänderung Über den Kraftbegriff kann man vieles lesen. Anerkanntes Ergebnis aller Überlegungen ist die Feststellung: Wenn ein Körper seine Form oder seinen Bewegungszustand ändert oder beides zugleich geschieht, kann gesagt werden: Es wirkt eine Kraft. Symbol für die Kraft ist der Buchstabe F (von force, engl. Kraft). In der Technik versteht man unter „Körper“ alle Bauteile, z.B. Wellen, Träger, Schrauben, Ketten. Ihre Formänderungen werden in der Festigkeitslehre behandelt (Elastizitätslehre). Ändert ein Körper seinen Bewegungszustand, so wird er beschleunigt oder verzögert. Auch Richtungsänderungen ergeben Beschleunigungen oder Verzögerungen (siehe 2.6, Seite 28, Zentripetalbeschleunigung). Die Kraft F ist eine gerichtete physikalische Größe (Vektor); sie ist die Ursache jeder Bewegungs- und / oder Formänderung eines Körpers.
Beispiel der Formänderung: Ein dünner Rundstahlstab biegt sich durch (Ursache Erdanziehungskraft = Gewichtskraft FG).
Beispiel der Bewegungsänderung: Der Presskolben einer Presse wird beschleunigt oder verzögert (Ursache Kurbelkraft).
Beispiel der Form- und Bewegungsänderung: Fahrendes Auto prallt gegen festes Hindernis (Ursache Widerstandskraft).
Um Kräfte voneinander zu unterscheiden, benennt man sie entweder nach ihrer Ursache oder nach ihrer Wirkung. Soll angegeben werden, wodurch die Kraft zustande kommt, spricht man von: Muskelkraft, Windkraft, Magnetkraft, Federkraft, Reibkraft, Gewichtskraft, Handkraft usw.
Nach der Ursache benannt ist die Kraft, mit der jeder Körper und jedes seiner Stoffteilchen von der Erde angezogen wird:
Soll die erreichte physikalische Wirkung angegeben werden, spricht man von:
Erdanziehungskraft, Schwerkraft, Gewichtskraft.
Bremskraft, Haltekraft, Beschleunigungskraft, Druckkraft, Schnittkraft, Vorschubkraft, Zugkraft usw.
Sie ist stets zum Erdmittelpunkt gerichtet, wirkt also immer senkrecht.
Die Gewichtskraft FG ist von besonderer Bedeutung. Von ihr kann man sofort Richtung und Richtungssinn angeben. Gewichtskraft FG ist die Kraft, die ein Körper auf seine waagerechte Lage oder auf seine Aufhängung ausübt.
2.7. Kraft und Masse
31
2.7.2. Die Masse m als Maß der Trägheit eines Körpers Die Masse m wurde als Basisgröße festgesetzt. Sie ist ein Skalar und wird in der Basiseinheit Kilogramm (kg) gemessen. Ein Platin-Iridium-Zylinder von 39 mm Höhe und gleichem Durchmesser ist die Vergleichseinheit, das so genannte Urkilogramm. Auf Hebelwaagen misst man die Masse m eines Körpers durch Vergleich mit geeichten Wägestücken.
Masseeinheiten (Gewichtseinheiten): 1 Kilogramm (kg) 1 Gramm (g) = 10–3 kg 1 Milligramm (mg) = 10–6 kg 1 Megagramm (Mg) = 103 kg = 1000 kg
= 1 Tonne (t)
Nach dem Einheitengesetz darf das Ergebnis einer Wägung auch als das „Gewicht“ des Körpers bezeichnet werden. Masse und Gewicht sind also ein und dasselbe und dürfen nicht mit der Gewichtskraft verwechselt werden.
Beispiel: Die folgenden Angaben sind gleichwertig: a) Der Körper besitzt die Masse m = 5 kg, b) der Körper hat ein Gewicht von 5 kg, c) der Körper wiegt 5 kg.
Die Benennung „Masse“ wird im naturwissenschaftlichen Bereich verwendet, also auch hier in der Physik. Die Benennung „Gewicht“ ist die übliche Bezeichnung in wirtschaftlichen Bereichen. Die Benennung „Gewicht“ darf also nicht für eine physikalische Größe von der Art einer Kraft verwendet werden. Es muss dann von der „Gewichtskraft FG“ gesprochen werden.
Hinweis: FG ist das nach DIN 1304 genormte Formelzeichen für die Gewichtskraft (März 1994).
In vielen Fällen, z.B. in Gleichungen für Gase und Flüssigkeiten, aber auch in Tafeln für Stoffwerte, bezieht man die Masse m auf die Volumeneinheit. Das heißt, man teilt die Masse m eines Körpers durch sein Volumen V und erhält die „Masse je Volumeneinheit“. Diese physikalische Größe heißt Dichte r.
r=
Jeder Körper setzt „von sich aus“ jeder Änderung des Bewegungszustands einen Widerstand entgegen. Auch ohne Reibung muss eine resultierende Kraft Fres aufgebracht werden, um einen Körper zu beschleunigen, zu verzögern oder aus seiner Bahn zu bringen. Jeder Körper ist demnach „träge“, er besitzt „Trägheit“, er entwickelt einen Trägheitswiderstand.
Beachte: Stellt man sich einen Körper im völlig kräftefreien Raum vor, ist die aufzubringende Kraft F die einzige, die den Trägheitswiderstand überwindet: Fres = F.
m V
r kg m3
m
V
kg
m3
32
2. Bewegungen fester Körper
Trägheitsgesetz (erstes Newton’sches Axiom):
Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch eine resultierende Kraft gezwungen wird, diesen „natürlichen Zustand“ zu ändern. Diese Körpereigenschaft heißt Trägheit oder Beharrungsvermögen.
Das Trägheits- oder Beharrungsgesetz fand Galileo Galilei, ital. Mathematiker und Physiker (1564 – 1642). Formuliert wurde es zuerst von Isaac 1ewton, engl. Physiker, Begründer der Mechanik (1642 – 1727).
Zur Demonstration der Trägheit hängt man ein 2-kg-Wägestück an einem Faden auf. Unten wird ein zweiter, gleich starker Faden mit Handgriff befestigt. Beim langsamen Anziehen reißt der obere Faden und das Wägestück fällt in die Fangschnur. Beim ruckartigen Anziehen dagegen reißt der untere Faden und das Wägestück bleibt am oberen Faden hängen. Beim ersten Versuch hat der obere Faden die Gewichtskraft FG des Wägestücks und die am Griff aufgebrachte und immer größer werdende Zugkraft Fz aufzunehmen: F0 = FG + Fz. Sobald die Summe FG + Fz größer wird als die Zerreißkraft für den oberen Faden, reißt er irgendwo oberhalb des Wägestücks ab. Die Belastung des unteren Fadens ist stets kleiner; er hat nur die Zugkraft Fz aufzunehmen. Beim zweiten Versuch setzt das Wägestück der Bewegung nach unten einen um so größeren Trägheitswiderstand entgegen, je größer die beim ruckartigen Anziehen aufgebrachte Beschleunigung a ist (je „schneller“ angezogen wird). Der untere Faden hat zur Überwindung des Trägheitswiderstands sofort eine Beschleunigungskraft zu übertragen, die zum Abreißen führt, bevor der obere Faden mit einer wesentlich über die Gewichtskraft FG hinausgehenden Kraft belastet wird. Der Trägheitswiderstand eines Körpers ist um so größer, je größer seine Masse m ist. Doppelte Masse heißt auch doppelter Trägheitswiderstand. Das gilt für jede Bewegungsrichtung. Folglich ist die Masse m eine skalare Größe.
Die Masse m ist eine skalare Größe. Sie ist ein Maß für die Trägheit des Körpers, die er an jedem Ort unverändert beibehält.
Die Trägheit ein und desselben Körpers bleibt überall die gleiche, auf der Erde oder auf anderen Planeten, in großer Höhe oder in großer Tiefe. Beispiel: Eine Stahlkugel, auf der Erde mit m = 5 kg gemessen, behält auch auf dem Mond beim Wägen m = 5 kg, also auch den gleichen Trägheitswiderstand (spürbar beim Anstoßen).
2.7. Kraft und Masse
33
2.7.3. Begriffe Kraft und Masse Aus der Statik ist man gewohnt, mehrere gegebene Kräfte zeichnerisch oder rechnerisch zu einer Resultierenden zusammenzufassen. Um diese resultierende Kraft Fres geht es jetzt. Hält man einen Körper ruhig in der Luft, dann herrscht Gleichgewicht zwischen der Gewichtskraft FG und der Haltekraft. Gewichtskraft FG und Haltekraft kann mit einer zwischengeschalteten Federwaage gemessen werden. Die Anzeige bleibt die gleiche, wenn der Körper lotrecht nach oben oder unten geführt wird. Es muss nur darauf geachtet werden, dass dabei die Geschwindigkeit konstant bleibt. Reißen wir dagegen den Körper mit einer Zugkraft Fz > FG nach oben, wirkt auf den Körper eine resultierende Kraft Fres nach oben. Da keine anderen Kräfte wirken (Luftwiderstand vernachlässigt), muss Fres die Differenz aus der Anzeige der Federwaage und der vorher bestimmten Gewichtskraft FG sein.
Die resultierende Kraft Fres wird umso größer, je stärker der Körper beschleunigt wird. Sie ist auch umso stärker spürbar, je größer die Masse des Körpers ist.
Den Zusammenhang zwischen der Masse m des Körpers, der resultierenden Kraft Fres und der Beschleunigung a (Verzögerung) fand Newton. Er entwickelte damit das wichtigste Gesetz der Dynamik. Alle anderen Gesetze der Dynamik wurden daraus abgeleitet. Dynamik ist die Lehre von der Bewegung der Körper unter Kraftwirkung.
Dynamisches Grundgesetz (zweites Newton’sches Axiom):
Die auf einen Körper der Masse m wirkende resultierende Kraft Fres ist gleich dem Produkt aus der Masse m und der sich einstellenden Beschleunigung a. Beschleunigung und Kraft liegen auf gleicher Wirklinie und haben gleichen Richtungssinn.
Die Krafteinheit Newton (N) wird in Abschnitt 2.7.5 auf Seite 34 erläutert.
resultierende Masse m Fres = Kraft des Körpers
Fres Fres = m a
N=
kg m s2
Beschleuni-
· gung a des Körpers
m
a
kg
s2
m
34
2. Bewegungen fester Körper
2.7.4. Eine wichtige Erkenntnis zum Gleichgewicht Aus dem dynamischen Grundgesetz erkennt man sofort: Wird ein Körper nicht beschleunigt, dann ist a = 0. Das heißt, da die Masse m nicht null werden kann, muss Fres = 0 sein. Ein solcher Körper befindet sich im Zustand des „Gleichgewichts“. Die Summe aller an ihm angreifenden äußeren Kräfte ist dann gleich null. Dieser Körper ruht oder bewegt sich gleichförmig auf gerader Bahn (a = 0). Ruhezustand und gleichförmig geradlinige Bewegung sind Gleichgewichtszustände (Fres = 0). Das sagt auch das Trägheitsgesetz.
Ist Fres = 0, ruht der Körper oder er bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf gerader Bahn.
Nun kann man verstehen, dass sich die Anzeige der Federwaage im obigen Versuch dann nicht ändern durfte, wenn der Körper gleichförmig nach oben oder unten bewegt wird. Umgekehrt muss man auch folgern: Ändert sich die Anzeige der Federwaage, dann bewegt sich der Körper nicht gleichförmig.
2.7.5. Die Krafteinheit Newton (N) Fres = m a ist die mathematische Form eines Naturgesetzes. Für zwei der darin enthaltenen physikalischen Größen liegen die Einheiten fest. Dann kann die Einheit der dritten Größe nur noch eine „abgeleitete“ Einheit sein (siehe 1.4.2). Das muss mit Hilfe der Definitionsgleichung für diese Größe geschehen. In diesem Sinn ist Fres = m a die Definitionsgleichung für die Kraft. Wird mit Einheiten gearbeitet, werden sie in Klammern gesetzt. Möchte man eine „kohärente“ Einheit erhalten, also eine „Eins-zu-Eins-Beziehung“, dann muss für die Masse 1 kg und für die Beschleunigung 1 m/s2 eingesetzt werden. Die sich ergebende Krafteinheit heißt 1 Newton: Das Newton (N) ist die Kraft, die dem Körper der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 m/s2 erteilt. Das N ist die international gültige und gesetzlich vorgeschriebene kohärente Krafteinheit.
Einheit der Masse ist das kg, Einheit der Beschleunigung a ist das m/s2. Einheit der Kraft F muss dann sein: (F) = (m) · (a) = 1 kg ⋅ 1 1N = 1
kgm s2
m s2
= 1 Newton
= 1 m kg s −2
Eine abgeleitete Einheit ist dann kohärent, wenn sie mit dem Zahlenfaktor 1 aus den Basiseinheiten entwickelt worden ist.
2.7. Kraft und Masse
35
2.7.6. Gewichtskraft FG, Normfallbeschleunigung gn Schon aus der Bewegungslehre (freier Fall) ist bekannt, dass jeder frei bewegliche Körper im „Schwerefeld“ der Erde zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt wird. Diese Beschleunigung heißt Fallbeschleunigung g. Der Betrag von g nimmt mit zunehmender Entfernung vom Erdmittelpunkt ab. Wegen der Abplattung der Erde an den Polen ist g dort größer als am Äquator.
Beispiel: Auf 45° Breite und in der Höhe NN (Normal-Null) beträgt g = 9,80629 m/s2.
Will man solche physikalische Größen, die mit der Fallbeschleunigung g verknüpft sind, miteinander vergleichen, muss man sie auf einen bestimmten Betrag von g beziehen. Dazu wurde international die Normfallbeschleunigung gn verabredet.
Die Fallbeschleunigung g liegt an der Erdoberfläche zwischen 9,78 m/s2 und 9,83 m/s2.
Nach dem dynamischen Grundgesetz ist die Ursache jeder Beschleunigung eines Körpers eine resultierende Kraft. Im Schwerefeld der Erde ist das die Schwerkraft oder Erdanziehungskraft. Sie wird mit Gewichtskraft FG bezeichnet. Der Betrag von FG ergibt sich aus dem dynamischen Grundgesetz mit der Masse m des Körpers und der an seinem Ort herrschenden Fallbeschleunigung g.
Masse m Fallbeschleunigung g GewichtsFG = · des Körpers am Ort der Messung kraft
Da die Fallbeschleunigung an verschiedenen Orten verschieden groß ist, ändert sich auch die Gewichtskraft FG von Ort zu Ort, im Gegensatz zur Masse m des Körpers.
Über das dynamische Grundgesetz in der Form FG = m g kann die Krafteinheit Newton veranschaulicht werden: Die übliche Tafel Schokolade hat eine Masse von 100 g = 0,1 kg. Hängt man eine solche Tafel an einen Faden, dann zieht an ihm die Gewichtskraft FG der Tafel. Die Rechnung zeigt, dass diese Zugkraft ca. 1 N beträgt. Berechnet man die Gewichtskraft mit der Normfallbeschleunigung gn, etwa zum internationalen Vergleich, dann wird sie als Normgewichtskraft FGn = m g n bezeichnet.
•
Aufgaben 70 bis 74
g n = 9,80665
Normfallbeschleunigung
m s2
FG = m g Beispiel: Besitzt ein Körper die Masse m = 5 kg (mit der Hebelwaage gemessen), wird er an einem Ort mit g = 9,81 m/s2 von der Erde angezogen mit m Fres = FG = m g = 5 kg ⋅ 9,81 2 s kg m FG = 49,05 2 = 49,05 N . s Die Gewichtskraft FG eines Körpers der Masse m = 5 kg beträgt demnach (an diesem bestimmten Ort) FG = 49,05 N. FG = m g FG = 0,1 kg ⋅ 9,81 FG = 0,981
kg m s2
m s2 = 0,981 N
FG ≈ 1 N Beispiel: Die Normgewichtskraft eines Körpers von der Masse m = 10 kg beträgt m FGn = m g n =10 kg ⋅ 9,80665 2 = 98,0665 N s
36
2. Bewegungen fester Körper
2.7.7. Kraft und Gegenkraft Drückt man mit der Hand auf den Tisch, etwa mit F = 20 N, so wirkt vom Tisch auf die Hand eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von 20 N zurück. Wechselwirkungsgesetz (drittes Newton’sches Axiom):
Überträgt ein Körper auf einen anderen die Kraft F, so wirkt dieser mit einer gleich großen, aber gegensinnigen Kraft auf derselben Wirklinie zurück. Kraft und Gegenkraft greifen stets an zwei verschiedenen Körpern an, sie dürfen daher nicht an einem der beiden Körper angetragen werden. Legt man gedanklich einen „Schnitt“ zwischen beide Körper, so spricht man vom „Freimachen des Körpers“. Die Angriffspunkte A1, A2 von Kraft und Gegenkraft liegen immer an verschiedenen Körpern. Durch den „Schnitt“, d.h. durch das Freimachen, macht man „innere Kräfte sichtbar.“
2.7.8. Lösungswege für Aufgaben mit Kraft und Masse Aufgaben dieser Art bereiten Schwierigkeiten, weil erstmalig die beiden physikalischen Größen Kraft F und Masse m zusammentreffen und die saubere Unterscheidung beider Größen sowohl qualitativ physikalisch als auch formal bezüglich der Einheiten beim Lernenden noch nicht gesichert sein kann. Da diese Aufgabenstellungen a) das bisher Erarbeitete zusammenfassend überprüfen und b) für das Verständnis späterer Probleme unerlässlich sind, sollen die Lösungswege anhand eines einfachen Beispiels eingehend erläutert werden. 2.7.8.1. Lösungsweg über die resultierende Kraft Fres = m a
Am Kranseil hängt der Körper K von der Masse m = 2000 kg. Das Kranseil darf maximal mit einer Zugkraft Fz = 30000 N belastet werden. Der Körper K soll nach oben beschleunigt werden. Es soll nun diejenige Geschwindigkeit bestimmt werden, die nach 0,5 s aus dem Ruhezustand heraus höchstens erreicht werden kann, ohne das Kranseil beim gleichmäßigen Beschleunigen zu überlasten.
2.7. Kraft und Masse 1. Schritt: Zuerst wird die Gewichtskraft FG bestimmt, mit der der Körper an seiner Aufhängung (Kranseil) zieht; dabei rechnet man immer mit der Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2.
37 FG = m g FG = 2000 kg ⋅ 9,81
m s2
= 19620 N
2. Schritt: Der wichtigste Schritt ist das Erkennen und Bestimmen der resultierenden Kraft Fres. Körper frei machen (Gewichtskraft FG nach unten, Zugkraft Fz nach oben).
Beschleunigungsrichtung eintragen (in Klammern, damit a nicht als Kraft behandelt wird). Kräfteplan skizzieren:
Fres geht vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E (siehe Statik).
Körper K frei gemacht und Kräfteplanskizze zum Erkennen der resultierenden Kraft Fres.
3. Schritt: Dynamisches Grundgesetz ansetzen und nach der Unbekannten auflösen.
Fres = Fz – FG = m amax 30000 N − 19620 N F − FG amax = z = 2000 kg m 10380 amax =
4. Schritt: Bestimmen der restlichen Größen, z.B. Geschwindigkeiten, Wege, Zeiten, Beschleunigungen aus den gegebenen oder berechneten Größen. v-t-Diagramm skizzieren.
Je nach Art der Aufgabe kann das Diagramm auch als 1. Schritt notwendig sein.
kg m
s2 2000 kg
= 5,19
m s2
ǻv v = ǻt ǻt v = amax Δt m v = 5,19 2 ⋅ 0,5 s s m v = 2,6 s
amax =
2.7.8.2. Lösungsweg über die Trägheitskraft T = m a (Prinzip von d’Alembert)
Bei diesem Lösungsweg brauchen nur die bekannten Gleichgewichtsbedingungen der Statik angesetzt zu werden, allerdings mit einer wichtigen Zusatzforderung: Es ist bekannt, dass sich der am Seil hängende Körper nicht im Gleichgewicht befindet, denn er wird nach oben beschleunigt. Es ist also eine Resultierende Fres vorhanden, die bei Gleichgewicht nicht vorhanden sein dürfte. Die Summe aller äußeren Kräfte ist hier nicht gleich null. Aus dieser „Ungleichgewichtsaufgabe“ kann aber nach d’Alembert eine Gleichgewichtsaufgabe gemacht werden, wenn nur die so genannte Trägheitskraft T als Hilfskraft mit in die Betrachtung der Kräfte am Körper einbezogen wird.
Die Gleichgewichtsbedingungen der Statik: Σ Fx = 0 Σ Fy = 0
½ ¾ Kraft-Gleichgewichtsbedingungen ¿
Momenten-Gleichgewichtsbedingung
Σ M(D) = 0
® (wird beim zentralen Kräftesystem ¯ nicht gebraucht)
Beispiel: Beim anfahrenden Auto ist Σ Fx ≠ 0 beim bremsenden Aufzug ist Σ Fy ≠ 0 beim auslaufenden Schwungrad ist Σ M(D) ≠ 0
d’Alembert, französischer Gelehrter, 1717 –1783
38
2. Bewegungen fester Körper
Die Trägheitskraft T ist diejenige Kraft, die der Körper „von sich aus“ der Bewegungsänderung (Beschleunigung oder Verzögerung) entgegen setzt. Sie muss daher genau so groß sein wie die vorher bestimmte Resultierende Fres = m a, nur mit entgegengesetztem Richtungssinn (als Widerstandskraft).
T = Fres = m a N=
T kg m s2
m kg
a m s2
Der Lösungsweg ist nun sehr einfach: 1. Schritt: Körper frei machen, d.h. alle anderen Bauteile wegnehmen (auch die Erde) und die von diesen auf den Körper einwirkenden „äußeren“ Kräfte richtungsgemäß eintragen (also auch die Gewichtskraft FG).
Körper K frei gemacht für die Berechnung nach d’Alembert
2. Schritt: Die Beschleunigungs-(Verzögerungs-) richtung in Klammern eintragen. 3. Schritt: Entgegengesetzt zur Beschleunigungsrichtung die Trägheitskraft T = m a als Hilfskraft eintragen. 4. Schritt: Die Gleichgewichtsbedingung Σ F = 0 in Richtung der Beschleunigung (oder Verzögerung) ansetzen; diese Richtung als positiv ansehen.
Σ F = 0 = Fz – FG – T
5. Schritt: Die Gleichgewichtsbedingungen auswerten.
amax = 5,19
Aus amax kann abschließend mit Hilfe der Definitionsgleichung a = Δv/Δt die gesuchte Geschwindigkeit v bestimmt werden (siehe S. 37, 4. Schritt). Es ist leicht zu erkennen, dass dieser Weg zu derselben Lösungsgleichung führt wie der erste; der Zähler (Fz – FG) ist nichts anderes als die resultierende Kraft im dynamischen Grundgesetz (Fres = Fz – FG). Das zeigt uns deutlich die Gegenüberstellung der Kräfteplanskizzen für die Lösung mit dem dynamischen Grundgesetz (links) und nach d’Alembert (rechts).
•
Aufgaben 75 bis 92
Fz – FG – m a = 0 ; FG = m g = 19620 N amax =
Fz − FG 30 000 N − 19 620 N = m 2000 kg m s2
2.7. Kraft und Masse
39
2.7.9. Die speziellen Größen der Kreisbewegung (Rotation) 2.7.9.1. Das dynamische Grundgesetz für die Rotation
Ursache für das Beschleunigen oder Verzögern eines Körpers auf geradliniger Bahn ist nach dem dynamischen Grundgesetz Fres = m a die resultierende Kraft Fres. Sie muss die Trägheit (den Trägheitswiderstand) des Körpers von der Masse m überwinden.
Auch bei Körpern, die sich um eine Achse drehen, wird ein Widerstand spürbar, wenn man sie beschleunigen oder verzögern (bremsen) möchte (Bohrfutter, Drehspindel mit Dreibackenfutter, Schleifscheibe, Schwungscheibe, Zahnräder, Rad auf der Auswuchtmaschine usw.). Bei der geradlinigen Bewegung musste zur Überwindung dieses Widerstands eine resultierende Kraft aufgebracht werden, bei der Drehbewegung braucht man dazu ein resultierendes Drehmoment Mres. Die Frage ist, wie dieses Drehmoment bestimmt werden kann.
Wagen wird beschleunigt
Tisch der Hobelmaschine wird über Ritzel und Zahnstange beschleunigt
Autorad wird zum Auswuchten beschleunigt
Eine still stehende Kreisscheibe mit senkrecht stehender Achse 0–0 soll beschleunigt werden. Die Lager denkt man sich reibungsfrei und aus der Kreisscheibe ein Masseteilchen Δmn herausgeschnitten. Sein Abstand von der Drehachse ist rn. Zum Beschleunigen in Umfangsrichtung (tangential) braucht man nach dem dynamischen Grundgesetz die resultierende Teilkraft
ΔFres = Δmn a T. mit a T als Tangentialbeschleunigung.
Diese kann nach 2.6.3.2 auf Seite 23 durch die Winkelbeschleunigung α ausgedrückt werden:
a T = rn α . Das Produkt aus ΔFres und Radius rn muss das resultierende Teilmoment ΔMres sein:
ΔMres = ΔFres rn = Δmn a T rn ΔMres = Δmn · rn α · rn = Δmn · r n2 α .
Zur Herleitung des dynamischen Grundgesetzes für die Rotation
40
2. Bewegungen fester Körper
Wird dieses Verfahren auf alle Masseteilchen der Kreisscheibe angewendet, erhält man eine entsprechende Anzahl resultierende Teilmomente ΔMres1, ΔMres2, ΔMres3, ..., die nur noch addiert werden müssen, um das gesamte resultierende Moment Mres zu erhalten.
Mres = ΔMres1 + ΔMres2 + ΔMres3 + ... + ΔMres n Mres = Σ ΔMres = Σ Δmn rn2 · α = α · Σ Δmn rn2 = α J
Da die Winkelbeschleunigung α eine konstante Größe ist, wird sie vor das Summenzeichen gesetzt. Die Summe der Produkte Δmn rn2 heißt Trägheitsmoment J = Σ Δmn rn2
M res = J α
•
dynamisches Grundgesetz für Rotation
Aufgaben 100 und 101
Mres
Nm
α
J
kg m2
rad s2
2.7.9.2. Das Trägheitsmoment J
Die Herleitung des dynamischen Grundgesetzes für die Rotation führt zum Summenausdruck Σ Δmn rn2 , der Trägheitsmoment J heißt. Das Trägheitsmoment J eines Körpers erhält man, wenn man jedes Masseteilchen Δm mit dem Quadrat seines Abstands von der Drehachse multipliziert und alle diese Produkte addiert.
J = Ȉ ǻmn r 2n
J
Δm
r
kg m2
kg
m
( J ) = kgm 2 oder kg cm 2 oder g cm 2
Die Einheit des Trägheitsmoments J ist das Produkt aus der Masseeinheit kg und dem Quadrat der Längeneinheit m2: (J ) = kg · m2. Jedes Masseteilchen Δm1, Δm2, Δm3, ... muss nach dieser Rechenvorschrift mit dem Quadrat seines Abstands von der Drehachse multipliziert werden, folglich ergibt sich für gleich große Masseteilchen bei doppeltem Abstand der vierfache Wert. Mit anderen Worten:
Das Trägheitsmoment J eines Körpers (und damit sein Drehwiderstand) wächst quadratisch mit dem Abstand der Masseteilchen von der Drehachse. Bei Schwungscheiben wünscht man ein großes Trägheitsmoment, daher wird der Kranz sehr stark gemacht. Soll dagegen eine große Winkelbeschleunigung zustande kommen (bei gegebenem Antriebsmoment), muss man die „umlaufenden Massen“ möglichst klein halten.
Beachte:
Autofelgen sind daher aus dünnem Stahlblech oder einer Aluminiumlegierung, nicht etwa aus Gusseisen. •
Aufgabe 102
2.7. Kraft und Masse
41
2.7.9.3. Beispiel der Entwicklung einer Formel für das Trägheitsmoment J (Kreisscheibe)
Für die Kreisscheibe mit Radius r und Masse m soll die Berechnungsformel für das Trägheitsmoment aufgestellt werden. Dazu steht die Definitionsgleichung J = Σ Δm n rn2
zur Verfügung. Darin ist Δmn ein Teil der Gesamtmasse m und rn der zugehörige Radius vom Schwerpunkt des Masseteils zur Drehachse (0–0).
Die Scheibe wird in vier Teile zerlegt: in einen mittleren Vollzylinder 1 mit der Teilmasse Δm1 und in die drei umschließenden Hohlzylinder 2, 3, 4 mit den Teilmassen Δm2, Δm3, Δm4. Die Teilkörper müssen eine gemeinsame Drehachse (0–0) haben, weil nur dann ihre Trägheitsmomente addiert werden dürfen. Es ist bekannt, dass zur Bestimmung der Teilmassen Δm1 ... Δm4 sich die Masse eines Körpers aus seinem Volumen und seiner Dichte r berechnen lässt. Daher wird Δm 1 = 2 π
r r ¹ ¹hr ; 8 4
3 r Δm 2 = 2 π r ¹ ¹ h r ; 8 4
5 r 7 r Δm 3 = 2 π r ¹ ¹ h r ; Δm 4 = 2 π r ¹ ¹ h r . 8 4 8 4
42
2. Bewegungen fester Körper
Da die Gesamtmasse m = r 2 π h r ist, kann man auch schreiben: 1 Δm 1 = m; 16 5 m; Δm 3 = 16
3 Δm 2 = m; 16 7 m; Δm 4 = 16
J = Ȉǻmn rn2 = Ȉǻm1 r 12 +Ȉǻm2 r 22 +Ȉǻm3 r 23 +Ȉǻm4 r 42 =
1 3 5 7 m r 12 + m r 22 + m r 32 + m r 24 16 16 16 16
=
1 r2 3 9r2 5 25 r 2 m⋅ m⋅ + + + m⋅ 16 64 16 64 16 64
Für die zugehörigen Abstandsquadrate r 12 , r22 , ... kann man mit den eingetragenen Bezeichnungen schreiben: 1 2 9 2 25 2 49 2 r ; r22 = r ; r32 = r ; r 42 = r . 64 64 64 64 Schon mit dieser recht groben Aufteilung in vier Teile erhält man eine gute Annäherung an die exakte Formel. Statt 2 steht im Nenner 2,06. Das Trägheitsmoment der Kreisscheibe ist aber genau J = m r 2/ 2. Eine feinere Aufteilung (etwa in acht Teile) brächte eine noch größere Näherung an die 2.
r12 =
+
7 49 r 2 m⋅ 16 64
m r2 (1 + 27 + 125 + 343) 16 ⋅ 64 496 = m r2 1024
=
J =m
r2 r2 md2 ≈m = 2,06 2 8
2.7.9.4. Die Formeln zur Berechnung des Trägheitsmoments für die technisch wichtigsten Körper
Mathematisch exakt muss die Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment J mit dem Integralzeichen geschrieben werden und das Differenzzeichen Δ muss durch das Differential d ersetzt werden. Mit den Rechenregeln der Integralrechnung werden dann auch schneller die genauen Formeln gefunden (siehe Herleitungsbeispiel), die in Formelsammlungen stehen.
Ú
J = r 2 ¹ dm
dm ist ein Teilchen der Masse m des Körpers (unendlich klein gedacht), r ist der Abstand (Radius) dieses Teilchens von der Drehachse.
Es werden hier nur die technisch wichtigsten Körperformen bearbeitet: Kreiszylinder (Kreisscheibe)
Jx =
m d2 π π = r d 4h = r r 4h 8 32 2
Beispiele:
Jz =
π 4 r d 2 h( d 2 + h 2 ) 64 3
Zahnrad (mit Teilkreisdurchmesser d0 rechnen), Welle, Motor-Läufer.
Jx, Jz
m
D, d, h
kg m2
kg
m
r kg m3
2.7. Kraft und Masse Hohlzylinder
Beispiele : Schwungscheibe mit starkem Kranz, Hohlwelle, Innenzahnrad.
Ring
43
Jx =
m( D 2 + d 2 ) 8
Jz =
1 § 2 4 · m ¨ D + d 2 + h2 ¸ 16 © 3 ¹
3 ˆ Ê J x = m Á R2 + r 2 ˜ Ë 4 ¯
Beispiele: Schwungrad, Autoreifen.
•
J m = 2ʌ 2 r 2 R r
m
kg m2 kg
R, r
r
m
m3
kg
Aufgaben 103 bis 105
2.7.9.5. Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft (Fliehkraft)
Auch ein gleichförmig umlaufender Körper der Masse m wird beschleunigt, weil seine Bewegungsrichtung dauernd geändert werden muss. Nach 2.6.8 auf Seite 27 ist diese zum Zentrum z hin gerichtete Beschleunigung die Zentripetalbeschleunigung az = r ω 2. Das Zentrum z liegt in der Umlaufebene. rs ist der Schwerpunktabstand des Körpers von der Drehachse. Auch hier ist eine resultierende Kraft Fres die Ursache für die Beschleunigung. Sie heißt Zentripetalkraft Fz und ist hier die Resultierende aus der Zugkraft Fs (Seilkraft, Stangenkraft) und der Gewichtskraft FG des umlaufenden Körpers. Die Zentripetalkraft Fz muss dauernd die vom Zentrum weg gerichtete Trägheitskraft überwinden, die Zentrifugalkraft F genannt wird (Fliehkraft). Beachte: Die Zentrifugalkraft F ist keine äußere Kraft wie Gewichtskraft FG und Seilkraft Fs, sie wird vielmehr „vom Körper selbst entwickelt“ als Folge seiner Trägheit. Sie ist demnach nichts anderes als die schon bekannte d’Alembert’sche Trägheitskraft.
•
Aufgabe 106
Fz = m az = m rs ω 2 = m Fz N=
m
kg m s
2
kg
az m s
2
vu2 rs rs
ω
vu
m
rad s
m s
44
2. Bewegungen fester Körper
2.7.9.6. Zusammenhang zwischen Translation und Rotation (Analogiebetrachtung)
Zu tieferem Verständnis und zu größerer Übersicht führt wieder der Vergleich einander entsprechender Größen bei geradliniger Bewegung (Translation) und Drehbewegung (Rotation). Die resultierende Kraft Fres zum Verschieben eines Körpers war das Produkt von Masse m und Beschleunigung a.
Fres = m a
Das resultierende Moment Mres zum Drehen eines Körpers wurde als Produkt von Trägheitsmoment J und Winkelbeschleunigung α erkannt.
M res = J α
Dass der Kraft F und der Beschleunigung a bei geradliniger Bewegung (Translation) das Moment M und die Winkelbeschleunigung α bei der Drehung (Rotation) entsprechen, wurde schon früher festgestellt. Jetzt kann man erkennen, dass außerdem der Masse m das Trägheitsmoment J entspricht. Ist also die Gleichung Fres = m a bekannt, kann man durch Analogiebetrachtung sofort die Gleichung Mres = J α für die Rotation hinschreiben. Weil diese Entsprechungen immer gelten, helfen sie auch beim Aufbau anderer Gleichungen der Drehbewegung (z.B. beim Energieerhaltungssatz)
•
Fres kg m N= s2
m
kg
Mres Nm =
kg m
a m s2
J 2
kg m2
α rad
s2 Der Kraft F entspricht das Moment M:
F M
s2
(N Nm)
Der Beschleunigung a entspricht die Winkelbeschleunigung α : a α
§ m rad · ¨ 2 2 ¸ s ¹ ©s
Der Masse m entspricht das Trägheitsmoment J: mJ
(kg kg m 2 )
Aufgaben 107 bis 109
2.8. Die Gleitreibkraft FR 2.8.1. Definition der Gleitreibkraft Drehspindeln gleiten in ihren Lagern, der Werkzeugträger gleitet auf seinem Bett. Alle in Lagern oder Führungen bewegten Körper (Maschinenteile) kommen zur Ruhe, wenn keine Antriebskräfte mehr wirken. Nach dem Trägheitsgesetz müssten diese Körper „weiterlaufen“. Da sich ihre Bewegung aber ändert, müssen Führungen und Lager eine Kraft auf den bewegten Körper ausüben. Das ist die Gleitreibkraft FR. Gleitreibkraft FR ist diejenige Kraft, die zwischen jedem bewegten festen Körper und seiner Unterlage wirkt.
Beachte: Man unterscheidet in der Technik zwischen Gleitreibung und Haftreibung.
Die Haftreibkraft FR0 muss aufgebracht werden, um den ruhenden Körper in Bewegung zu bringen. Sie wächst von FR0 = 0 bis FR0 = FR0 max und ist dann stets größer als die Gleitreibkraft: FR0 max > FR.
2.8. Die Gleitreibkraft FR
45
Als äußere Kraft muss bei den Untersuchungen nun auch die Gleitreibkraft mit erfasst werden, z.B. bei der Feststellung des Kräftegleichgewichts an einem Körper, den man mit konstanter Geschwindigkeit über den Tisch zieht. In y-Richtung herrscht Gleichgewicht zwischen Gewichtskraft FG und Normalkraft FN, in x-Richtung kommt Gleichgewicht nur dann zustande, wenn man in der Berührungsfläche die nach links gerichtete Gleitreibkraft FR = F anträgt. Am frei gemachten Körper erkennt man, dass die Wirklinie der Gleitreibkraft „in der Berührungsebene“ liegt. Das kann beim Freimachen aller Körper beobachtet werden, gleichgültig wie sie oder ihre Unterlagen geformt sind.
Körper frei gemacht, F Antriebskraft, FR Gleitreibkraft, FG Gewichtskraft, FN Normalkraft
Im Gegensatz zur Normalkraft FN ist die Reibkraft FR eine Tangentialkraft. Sie wirkt stets in Richtung der Tangente, die man an die Berührungsstelle anlegen kann.
2.8.2. Definition der Gleitreibzahl An der Federwaage des mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Körpers der Masse m1 (Gewichtskraft FG1) kann die Gleitreibkraft FR1 abgelesen werden. Man muss nur darauf achten, dass parallel zur horizontalen Unterlage gezogen wird, weil auch die Gleitreibkraft nur parallel zur Unterlage wirken kann. Wird nun die Masse des Prüfkörpers (m1, 2 m1, 3 m1) verdoppelt oder verdreifacht, liest man an der Federwaage auch die doppelte oder dreifache Reibkraft ab (FR1, 2 FR1, 3 FR1). Bei horizontaler Unterlage und horizontaler Wirklinie der Zugkraft ist die Normalkraft FN = FG, also FN1 = FG1, FN2 = FG2 usw. Wie groß man bei diesen Versuchen die Masse m des Prüfkörpers auch wählt, stets ergibt sich für den Quotienten aus Gleitreibkraft FR und zugehöriger Normalkraft FN der gleiche Wert, z.B. 0,5. Diese Kenngröße heißt Gleitreibzahl μ. Ändert man die Werkstoffpaarung, z.B. statt Stahl auf Holz jetzt Holz auf Holz, ändert sich zwar der Betrag des Bruchs, er bleibt aber doch wieder bei jeder Normalkraft gleich groß.
FR1 = 0,5 = μ FN1
FR2 2 FR1 = FN2 2 FN1 = 0,5 = μ
FR3 3FR1 = FN3 3FN1 = 0,5 = μ
46
2. Bewegungen fester Körper
Daraus folgt: Das Verhältnis von Gleitreibkraft FR und zugehöriger Normalkraft FN ist eine von der Werkstoffpaarung abhängige Konstante. Sie heißt Gleitreibzahl μ.
F FR1 F = R2 = R3 = konstant = μ FN1 FN2 FN3
Auf Seite 48 sind Richtwerte der Gleitreibzahlen für verschiedene Werkstoffpaarungen zusammengestellt.
2.8.3. Definition der Haftreibzahl Bei vorsichtigem Anziehen des Körpers kann man feststellen, dass die Federwaage kurz vor dem Gleiten eine größere Kraft anzeigt als beim Gleiten selbst. Während des Anziehens wirkt offenbar eine größere Reibkraft als beim Gleiten, d.h. aber auch, dass man dafür einen größeren Quotienten FR / FN erhält. Er heißt Haftreibzahl μ0. Es ist ein Maximalwert, denn während des Anziehens wächst die Reibkraft von null auf einen Maximalwert (Anzeige der Federwaage beobachten!).
Beachte: Die Haftreibkraft wächst von null auf FR0max kurz vor dem Gleiten.
Die Haftreibkraft FR0max ist stets größer als die Gleitreibkraft FR.
Auf Seite 48 sind neben den Gleitreibzahlen auch die Haftreibzahlen für verschiedene Werkstoffpaarungen angegeben. Die Haftreibzahl μ0 ist der Quotient aus dem Maximalwert der Reibkraft FR0max beim Übergang vom Ruhezustand in die Bewegung und der zugehörigen Normalkraft FN.
•
FR 0 max = μ0 FN
FR0max , FN
μ0
N
N =1 N
Aufgaben 110 bis 114
2.8.4. Berechnung der Reibkraft 2.8.4.1. Das allgemeine Reibungsgesetz
Die Versuche haben gezeigt, dass der Quotient aus Reibkraft und Normalkraft eine werkstoffabhängige Konstante ist, eben die Reibzahl. Damit hat man das für alle festen Körper geltende Reibungsgesetz gefunden, mit dem die Reibkräfte berechnet werden können. Die maximale Haftreibkraft FR0max beim Übergang vom Ruhezustand in die Bewegung wird mit der Haftreibzahl μ0, die Gleitreibkraft FR mit der Gleitreibzahl μ berechnet.
Reibkraft = Reibzahl Reibungsgesetz Normalkraft daraus folgt: FR = FN μ FR0max = FN μ0
FR, FN
μ
N
N =1 N
2.8. Die Gleitreibkraft FR
47
2.8.4.2. Bestimmen der Normalkraft FN
Beim Lösen aller Aufgaben, in denen die Reibkraft FR erscheint, braucht man eine Gleichung für die Normalkraft FN, die immer aus den Gleichgewichtsbedingungen für den frei gemachten Körper entwickelt werden kann. Der Körper auf der schiefen Ebene gleitet abwärts, wenn die Hangabtriebskomponente FG sin α mindestens gleich der Gleitreibkraft FR = FN μ ist. Wirkt nur die Gewichtskraft FG als äußere Kraft, ist die gesuchte Normalkraft FN gleich der zweiten Gewichtskraftkomponente FG cos α. Wirkt außer der Gewichtskraft FG eine Kraft F unter dem Winkel α zur horizontalen Gleitebene, dann setzt sich die Normalkraft FN aus der Gewichtskraft FG und der y-Komponente von F zusammen. Der Körper soll eine schiefe Ebene hinaufgleiten. Die dazu erforderliche Kraft F greift unter dem Winkel β zur Horizontalen an. Die Normalkraft setzt sich wieder aus einer Gewichtskraftkomponente FG cos α und einer Komponente der Kraft F zusammen, für die sich hier der Ausdruck F sin (α + β ) ergibt. Bei der Berechnung des Schraubengetriebes liegt dieser Fall mit horizontal angreifender Kraft F vor. Dann braucht man in den gefundenen Gleichungen nur β = 0 zu setzen. Es wird dann
FN = FG cos α + F sin α
und
FR = μ (FG cos α + F sin α ). Beim Schubkurbelgetriebe wird der nach unten gehende Kolben frei gemacht. Die Reibkraft FR = FN μ wirkt dann nach oben. Die Schubstangenkraft F2 wird in die beiden Komponenten F2 cos α und F2 sin α zerlegt. Die Gewichtskraft des Kolbens kann bei den relativ großen Kräften vernachlässigt werden. Aus der Bedingung Σ Fx = 0 ergibt sich für die Normalkraft FN der gleiche Betrag wie für die Komponente F2 sin α der Schubstangenkraft F2.
48
2. Bewegungen fester Körper
2.8.4.3. Gleit- und Haftreibzahlen
Die einfache Beziehung FR = μ FN führt zu der Annahme, die Reibung sei eine leicht erfassbare physikalische Erscheinung. Das Gegenteil ist richtig. Nur weil eindeutig erfassbare Abhängigkeiten der Reibung von der Oberflächenbeschaffenheit (Form, Rauigkeit, Oxidhaut usw.), der Flächenpressung, der Relativgeschwindigkeit usw. bis heute nicht gefunden werden konnten, sieht das Reibungsgesetz so einfach aus. Versuche zeigen, dass Flächengröße und Relativgeschwindigkeit die Reibung kaum beeinflussen. Die experimentell gefundenen Reibzahlen schwanken stark, zum Teil um 100 %, z.B. in der Angabe: μ = 0,05 bis 0,1! Die physikalischen Unsicherheiten stecken demnach in der Reibzahl.
•
Gleit- und Haftreibzahlen trockener Flächen (Richtwerte) Werkstoff Stahl auf Stahl Stahl auf Gusseisen oder Bronze Gusseisen auf Gusseisen Holz auf Holz Holz auf Metall Lederriemen auf Gusseisen Gummiriemen auf Gusseisen Textilriemen auf Gusseisen Bremsbelag auf Stahl Lederdichtung auf Metall
μ
μ0
0,15 0,18
0,15 0,19
0,18 0,3 0,5 0,4 0,4 0,4
0,25 0,5 0,7 0,5
0,5 0,2
0,6
Aufgaben 115 bis 122
2.9. Fahrwiderstand Bewegt man ein Fahrzeug auf waagerechter Bahn mit konstanter Geschwindigkeit, so stellt sich am Kraftmesser der Fahrwiderstand Ff ein. Ff ist die Summe aller Reibungswiderstände in den Lagern sowie zwischen Rädern und Fahrbahn. Auch bei geneigter Fahrbahn rechnet man mit dem auf ebener Fahrbahn ermittelten μ f -Wert, weil die Zugkraft F am Fahrzeug sehr stark durch die Abtriebskomponente der Gewichtskraft FG sin α beeinflusst wird, die Reibungswiderstände sich dagegen nicht und die Normalkräfte nur geringfügig ändern.
Bestimmung des Fahrwiderstands Ff
Da die Antriebskraft F parallel zur Bahn wirkt, ist bei waagerechter Fahrbahn die Normalkraft FN gleich der Gewichtskraft FG des Fahrzeugs und man kann aus μ f = F f / FG die Fahrwiderstandszahl μ f definieren und berechnen.
Fahrwiderstandszahlen μf
Der Wert für Kraftfahrzeuge auf Asphalt in der Tafel zeigt z.B., dass der Fahrwiderstand Ff für einen Wagen mit FG = 10 000 N etwa 250 N beträgt.
Kraftfahrzeug auf Asphalt
0,025
Drahtseilbahn
0,01
Ff = μf FN = μf FG
Ff, FN, FG
μf
N
N =1 N
Eisenbahn
0,0025
Straßenbahn mit Wälzlagern
0,005
mit Gleitlagern
0,018
2.10. Mechanische Arbeit und Energie, Energieerhaltungssatz
49
2.10. Mechanische Arbeit und Energie, Energieerhaltungssatz 2.10.1. Der Arbeitsbegriff Bringt man einen Körper in eine andere Lage (Lageänderung), z.B. den Reitstock durch Verschieben, ein Werkstück durch Anheben, muss eine Kraft F längs eines Wegabschnitts Δs wirken. Das gilt auch für das Spannen einer Feder (Formänderung). Physikalische Vorgänge dieser Art werden als „Verrichten einer Arbeit W “ bezeichnet.
Reitstock wird verschoben Beachte: Formelzeichen W von engl. work (Arbeit)
Verschiebt sich der Angriffspunkt A einer Kraft F längs eines Wegabschnitts Δs, dann wird eine mechanische Arbeit verrichtet. Das Ergebnis sind Lage- und/oder Formänderungen. Bleibt die Kraft F dabei konstant, wie etwa beim Verschieben oder beim Anheben eines Körpers bei gleichförmiger Bewegung, bietet sich als Vergleichsgröße das Produkt aus Kraft und Weg an (doppelte Kraft, doppelter Aufwand, halber Weg, halber Aufwand):
Werkstück wird gehoben
Kurbel wird gedreht
Die Arbeit W einer konstanten Kraft ist das Produkt aus der in Wegrichtung wirkenden Kraft F und dem zurückgelegten Wegabschnitt Δs.
Merke: Kraft und Wegrichtung müssen zusammenfallen.
Feder wird gespannt (hierbei ist die Kraft nicht konstant)
Ist die Wirklinie der Kraft F unter dem Winkel α zur Wegstrecke geneigt, verrichtet nur die Kraftkomponente F cos α mechanische Arbeit am Körper. Deshalb wird die Definitionsgleichung in der allgemeinen Form W = F cos α · Δs geschrieben. Mit α = 0° und 90° ergeben sich zwei Grenzfälle: Bei α = 0° ist cos α = cos 0° = 1, also
W = F cos α ⋅ ǻs
W
F
Δs
Nm = J
N
m
W = F Δs.
Arbeit W der konstanten Kraft F
Bei α = 90° ist cos 90° = 0, also
Merke: Die SI-Einheit und gesetzliche Einheit der Arbeit und Energie ist das Joule (J). Nach James Prescott Joule (1818 – 1889), britischer Physiker, Aussprache: „dschul“.
W = 0.
•
Aufgaben 130 bis 132
50
2. Bewegungen fester Körper
2.10.2. Der Energiebegriff Ein gehobener Körper kann über eine feste Rolle selbst wieder einen anderen Körper anheben. Eine gespannte Feder kann ein Werkstück verschieben. Ein Hammer, auf die Geschwindigkeit v gebracht, kann einen Nagel eintreiben. Der Arbeitsaufwand für das Heben, Spannen, Bewegen des Körpers hat demnach eine Arbeitsfähigkeit des Körpers hervorgerufen. Man sagt dazu: Der Körper besitzt Energie.
Beachte: Nach DIN 1304 (März 1994) wird als Formelzeichen für die Energie der Buchstabe E verwendet.
Energie E ist die Arbeitsfähigkeit eines Körpers, sein Vermögen, Arbeit zu verrichten. Energie ist „gespeicherte Arbeit“. Arbeit und Energie sind Skalare.
Ist die einem Körper zugeführte Arbeit bekannt, kennt man auch die Energie, die er besitzt und umkehrt.
Da Energie E das Vermögen des Körpers ist, die Arbeit W zu verrichten, müssen Energieund Arbeitseinheiten gleich sein.
Das gilt auch für umlaufende Körper (Rotation), z.B. für das Schwungrad.
2.10.3. Die Einheiten für Arbeit und Energie Die Einheit von Arbeit und Energie muss nach der Definition das Produkt aus einer Kraft- und einer Wegeinheit sein. Als Krafteinheit steht das Newton (N), als Wegeinheit das Meter (m) zur Verfügung, natürlich auch Teile und Vielfache dieser Einheiten. Wird das Newton (N) als kohärente Krafteinheit benutzt, erhält man mit der Längeneinheit Meter (m) das Newtonmeter (Nm) als kohärente Einheit der Arbeit und Energie. Das Newtonmeter ist von besonderer Bedeutung, weil es durch internationale Vereinbarung zugleich als Einheit der mechanischen Arbeit, der thermischen Arbeit (Einheit der Wärme) und als Einheit der elektrischen Arbeit festgelegt worden ist. Man hat ihr den Namen Joule gegeben (Kurzzeichen: J). Als Einheit der elektrischen Arbeit ist sie gleich einer Wattsekunde (Ws).
1 Nm = 1
kgm s2
⋅m =1
kgm 2 s2
= 1 m 2 kg s −2
Beispiel:
Zum Verschieben eines Körpers ist eine parallel zur horizontalen Gleitbahn wirkende Kraft von 700 N erforderlich. Der Gleitweg ist 0,8 m lang. Die aufgebrachte Arbeit beträgt dann: W = F · Δs = 700 N · 0,8 m = 560 Nm = 560 J
Die Einheiten Newtonmeter (Nm), Joule (J) und Wattsekunde (Ws) sind gleichwertige kohärente Einheiten. Zur Messung einer Arbeit wird das Joule verwendet.
2.10. Mechanische Arbeit und Energie, Energieerhaltungssatz
Die Einheit der mechanischen, thermischen und elektrischen Arbeit ist das Joule. 1 Joule ist gleich einem Newtonmeter und gleich einer Wattsekunde.
In 2.7.6 auf Seite 35 wurde der Kraftbetrag 1 N mit Hilfe einer Tafel Schokolade von 100 g Masse veranschaulicht.
51
1 J = 1 Nm = 1 Ws 1 Joule ist gleich der Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Angriffspunkt der Kraft 1 Newton in Richtung der Kraft um den Weg 1 Meter verschoben wird. Die Zugkraft im Faden mit anhängender Tafel beträgt F = FG = 1 N
Eine Vorstellung von der Arbeitseinheit 1 J = 1 Nm = 1 Ws erhält man mit einer Erweiterung des Experiments: Wird die am Faden hängende 100 g-Tafel einen Meter hochgehoben, hat man die Arbeit W von einem Newtonmeter aufgebracht.
•
W = F Δs = FG Δs W = 1 N · 1 m = 1 Nm = 1 J
Aufgaben 133 und 134
2.10.4. Das Arbeitsdiagramm Wie in der Bewegungslehre das v-t-Diagramm gibt jetzt das Kraft-Weg-Diagramm (F-s-Diagramm) eine bessere Übersicht. Man nennt es Arbeitsdiagramm. 2.10.4.1. Das Arbeitsdiagramm einer konstanten Kraft
Bleibt die antreibende Kraft F auf dem Verschiebeweg Δs immer gleich groß, dann muss die Kraftlinie in einem Kraft-Weg-Diagramm eine zur Wegachse parallele Gerade sein. Dabei wird bestimmungsgemäß vorausgesetzt, dass es sich bei F um die in Wegrichtung fallende Kraftkomponente handelt.
Arbeitsdiagramm einer konstanten Kraft F
Da die Arbeit W dieser Kraft F als Produkt aus Kraft und Weg festgelegt wurde, muss die Fläche unter der Kraftlinie der aufgebrachten Arbeit entsprechen: In jedem Kraft-Weg-Diagramm (Arbeitsdiagramm) entspricht der Flächeninhalt A unter der Kraftlinie der Arbeit W.
Analogie aus der Bewegungslehre: In jedem v-t-Diagramm entspricht die Fläche unter der v-Linie dem zurückgelegten Weg.
52
2. Bewegungen fester Körper
2.10.4.2. Das Arbeitsdiagramm einer veränderlichen Kraft
Die Kolbenkraft Fk ist die Resultierende des Gasdrucks p im Verbrennungsraum eines Motors. Ihr Betrag ändert sich während des Kolbenhubs s, die Kraftlinie ist eine Kurve. Mit der einfachen Gleichung W = F Δs kann hier nicht gerechnet werden, da nicht bekannt ist, welche Kraft eingesetzt werden soll. Jetzt erkennt man die Bedeutung des Arbeitsdiagramms, denn auch hier entspricht der Flächeninhalt A unter der Kraftlinie der verrichteten Arbeit. Im maßstäblich aufgezeichneten Diagramm lässt sich die Fläche auszählen oder ausplanimetrieren. Dass die Fläche A auch bei veränderlicher Kraft der Arbeit W entspricht, zeigt die Zerlegung der Gesamtfläche in schmale Rechtecke, die addiert wieder A ergeben : Der Flächeninhalt ΔA entspricht der Teilarbeit ΔW = F · Δs. Die Gesamtarbeit W ist dann die Summe der Teilarbeiten.
Kolbenkraft Fk und Kolbenweg s im Verbrennungsmotor
Arbeitsdiagramm veränderlicher Kraft
W = F1 Δs1 + F2 Δs2 + ... + Fn Δsn W = ΔW1 + ΔW2 + ... + ΔWn
W = Ȉ ǻW = Ȉ Fǻs
Häufig sind die Kräfte in der Technik linear veränderlich. Die Kraftlinie ist dann eine ansteigende oder abfallende Gerade (Analogie: gleichmäßig beschleunigte oder verzögerte Bewegung). Ein Diagramm kann auch so vereinfacht werden, dass sich berechenbare Teilflächen ergeben (Rechtecke, Dreiecke, Trapeze). Mit gegebenen Kräften F und Wegabschnitten Δs kann man aus einem vereinfachten Diagramm ablesen:
Wges = W1 + W2 + W3 + W4 Wges =
•
F1 + F2 F + F3 ǻs1 + F2ǻs2 + 2 ǻs3 + 2 2 F + F4 + 3 ǻs4 2
Aufgaben 135 und 136
Vereinfachtes Arbeitsdiagramm
2.10. Mechanische Arbeit und Energie, Energieerhaltungssatz
53
2.10.5. Die speziellen Arbeits- und Energieformen 2.10.5.1. Hubarbeit Wh und potenzielle Energie Ep (Lageenergie) Hubarbeit Wh ist aufzubringen, wenn ein Körper um den Höhenunterschied Δh gehoben werden soll.
Geschieht das auf direktem Weg, d.h. senkrecht, ist die Hubkraft F gleich der Gewichtskraft FG und der Weg des Angriffspunkts ist die Höhe Δh. Die Hubarbeit Wh muss das Produkt aus Hubkraft F und Höhe Δs sein (Wh = F Δh = FG Δh = mg Δh). Hebt man den Körper um den Höhenunterschied Δh an, ist der Verschiebeweg Δs = Δh / sin α und die Verschiebekraft F in Wegrichtung gleich der Gewichtskraftkomponente FG sin α. Damit ergibt sich als Produkt aus Kraft und Weg die Hubarbeit: W h = F Δs = FG sin α ¹
Hubarbeit Wh = FG Δh
Δh = FG Δh = m g Δh , sin α
das heißt: Die Hubarbeit Wh ist unabhängig vom Neigungswinkel α der schiefen Ebene stets gleich dem Produkt aus der Gewichtskraft FG und dem Höhenunterschied Δh. Horizontale Verschiebungen beeinflussen daher die Hubarbeit nicht.
Wh = F ǻh = FG ǻh = m g ǻh Wh
J
FG
N
Δh m
m
kg
g m s2
1 J = 1 Nm = 1 Ws Beachte: Bei kleinerer Steigung ist die Zugkraft F = FG sin α kleiner, dafür ist der Weg Δs = Δh / sin α entsprechend größer. Potenzielle Energie Ep (Lageenergie oder Energie der Lage) besitzt ein Körper, der durch Ausnutzen eines Höhenunterschieds Δh Arbeit verrichten kann. So ist der (reibungsfrei) abwärts fahrende Wagen mit seiner Gewichtskraft FG in der Lage, einen Körper mit der Gewichtskraft FG sin α um die Höhe Δs zu heben.
Der Wagen verrichtet also von sich aus die Hubarbeit.
Wh =F Δs =FG sin α ⋅ Δs =FG sin α
Δh =FG Δh. sin α
Potenzielle Energie (Lageenergie) Ep
54
2. Bewegungen fester Körper
Daraus folgt: Die potenzielle Energie Ep (Lageenergie) eines Körpers ist genau so groß wie die Hubarbeit Wh, die an ihm vorher zur Überwindung des Höhenunterschieds Δh verrichtet werden musste.
Ep = FG ǻh = m g ǻh = Wh Ep,Wh
FG
m
J
N
kg
Δh
g m
m
s2
1 J = 1 Nm = 1 Ws Wie jede Energieform ist auch die potenzielle Energie Ep eine Zustandsgröße (s. Seite 1).
•
Aufgaben 137 bis 143
Beachte: Die Höhenlage der Bezugsebene BE wird nach Belieben festgelegt, weil es nur auf die Höhendifferenz Δh = h2 – h1 ankommt.
2.10.5.2. Beschleunigungsarbeit Wb und kinetische Energie Ek (Bewegungsenergie)
Nach dem dynamischen Grundgesetz wird ein Körper unter der Wirkung einer konstanten resultierenden Kraft Fres gleichmäßig beschleunigt. Geschieht dies längs des Wegabschnitts Δs, dann lässt sich die Beschleunigungsarbeit Wb = Fres Δs als Arbeit einer konstanten Kraft berechnen. Die Anfangsgeschwindigkeit v1 wird dabei auf v2 gesteigert. Mit der Grundgleichung a = Δv / Δt in Verbindung mit der Aussage des v-t-Diagramms (S. 17) erhält man die bekannte Weggleichung
ǻs =
a=
Δv v2 − v1 = Δt Δt
ǻs =
v2 + v1 ǻt 2
ǻs =
v2 + v1 v2 − v1 ⋅ 2 a
v 2 + v1 v 2 − v 12 ǻt = 2 2 2a
Nach dem dynamischen Grundgesetz kann für Fres = m a eingesetzt werden. Mit dem Ausdruck für Δs erhält man dann eine Gleichung für die Beschleunigungsarbeit Wb, in der nur die Masse m des Körpers sowie seine Anfangs- und Endgeschwindigkeit enthalten sind.
Wb = Fres Δs = m a Δs Wb = m a Wb =
m 2 (v2 − v12 ) 2
J=
kg m 2 s
2
kg
1 J = 1 Nm = 1 Ws
Wird der Körper aus dem Ruhezustand heraus beschleunigt, so ist v1 = 0 und v2 = v in die Gleichung für Wb einzusetzen.
Wb =
Beide Gleichungen müssen auch für den Fall gelten, dass der Körper durch eine konstante resultierende Kraft verzögert wird (Verzögerungsarbeit), weil sich an der Herleitung nichts ändert. Die Bremskraft kann wieder eine mechanische Arbeit verrichten, wie man an Hämmern aller Art erkennt.
ǻv v2 − v1 = ǻt ǻt v2 + v1 ǻs = ǻt 2 v +v v −v ǻs = 2 1 ⋅ 2 1 2 a a=
m v1,v2
Wb
v22 − v12 2a
m 2 v 2
m s
2.10. Mechanische Arbeit und Energie, Energieerhaltungssatz
55
Jeder bewegte Körper hat demnach die Fähigkeit, Arbeit abzugeben, er besitzt also Energie. Da die Ursache für die Arbeitsfähigkeit in der Bewegung des Körpers begründet ist, spricht man von kinetischer Energie oder Bewegungsenergie.
•
Die kinetische Energie Ek eines Körpers ist genau so groß wie die Beschleunigungsarbeit Wb, die vorher am Körper verrichtet werden musste, um ihn auf die Geschwindigkeit v zu bringen.
Ek =
Wie jede Energieform ist auch die kinetische Energie Ek eine Zustandsgröße (s. Seite 1).
J=
m 2 v = Wb 2
Ek, Wb kg m 2
m
v1 , v2
kg
m s
2
s 1 J = 1 Nm = 1 Ws
Aufgaben 144 bis 149
2.10.5.3. Federarbeit Wf und Federenergie Ef elastischer Körper
Die Federarbeit Wf einer Zugfeder ist das Beispiel für die Arbeit einer veränderlichen Kraft, nämlich der Zug- oder Druckkraft F, die beim Spannen einer Feder aufgebracht werden muss. Bei den meisten Federn steigt die Federkraft linear mit zunehmendem Federweg Δs an. Die Kraftlinie im Feder-Arbeitsdiagramm, die so genannte Kennlinie der Feder, muss dann eine ansteigende Gerade sein.
Federarbeit Wf = R Δs2/2 bei linearer Kennlinie a) Zugstab, b) Zugfeder (Schraubenfeder), c) Federdiagramm Als Kenngröße für Federn hat man die Federrate R = F/Δs festgelegt. Sie ist bei Zugfedern der Quotient aus der Zugkraft F und dem zugehörigen Federweg Δs. Ist z.B. R = 40 N/cm, weiß man, dass mit einer Kraft von 40 N eine Formänderung (Verlängerung, Verkürzung) von 1 cm erreicht wird. Man kann R einfach durch einen Belastungsversuch bestimmen. Die Gleichung für die Federarbeit W f wird aus dem Arbeitsdiagramm abgelesen.
R=
Federkraft zugehöriger Federweg ǻs
R=
F ǻs
1
R
F
Δs
N m
N
m
N kg m kg =1 2 =1 2 m s m s
56
2. Bewegungen fester Körper
Für die nicht vorgespannte Dehnungsfeder ist die Fläche unter der Kennlinie ein Dreieck, sodass Wf = F Δs / 2 ist. Eine zweite Form ergibt sich, wenn man mit der Federrate R arbeitet und dazu für die Federkraft F = R Δs einsetzt. Die Federenergie Ef ist genau so groß wie die vorher in die Feder eingebrachte Federarbeit Wf.
F ǻs R 2 = ǻs = Wf 2 2
Ef =
Ef , Wf
F
Δs
J
N
m
R N m
1 J = 1 Nm = 1 Ws
Wie jede Energieform ist auch die Federenergie eine Zustandsgröße (siehe Seite 1). Für die vorgespannte Dehnungsfeder ist die Arbeitsfläche ein Trapez. Auch hier setzt man für die Federkraft F = R Δs ein und erhält: Wf =
F2 + F1 Rs2 + Rs1 ǻs = (s2 − s1) 2 2
Mit (s2 + s1) (s2 – s1) = s22 – s12 erhält man die zweckmäßigste Form der Gleichung für die Federarbeit Wf.
Federarbeit Wf einer vorgespannten Feder
Wf =
R 2 ( s2 − s12 ) für vorgespannte Federn 2
Torsionsstabfedern (Drehstabfedern) haben ebenfalls gerade Kennlinien, jedenfalls wenn sie auf der ganzen Länge gleich bleibenden Querschnitt haben, was meistens der Fall ist. Da diese Federn verdreht werden, nutzt man die Kenntnis über einander entsprechende Größen bei geradliniger Bewegung und Drehbewegung (Analogiebetrachtung):
Federarbeit Wf einer Torsionsstabfeder Für Torsionsstabfedern (Drehfedern) gelten die Gleichungen der Dehnungsfedern, wenn statt der Federkraft F das Torsionsmoment MT und statt des Federwegs Δs der Drehwinkel Δϕ eingesetzt wird.
Im Federarbeitsdiagramm ist daher über dem Drehwinkel ϕ das Torsionsmoment MT aufgetragen und die Federrate R ist hier das Verhältnis von Torsionsmoment und Drehwinkel. Für die Federenergie Ef der Torsionsstabfeder gilt analog zur Zugfeder (Dehnungsfeder) Ef = MT Δϕ 2/ 2.
R=
Torsionsmoment M T zugehöriger Drehwinkel ǻϕ
R=
MT ǻϕ
Ef =
R Nm rad
MT
Δϕ Wf, Ef
Nm
rad
M T ǻϕ R = ǻϕ 2 = Wf 2 2
J
2.10. Mechanische Arbeit und Energie, Energieerhaltungssatz
57
Für die Federarbeit Wf einer vorgespannten Torsionsstabfeder gilt die Gleichung von Seite 56 für die vorgespannte Dehnungsfeder, wenn für den Federweg s der Drehwinkel ϕ eingesetzt wird. Spannungs- und Lageenergie eines Körpers nennt man potenzielle Energie Ep. Für die Spannungsenergie Ep gelten die Gleichungen der Federarbeit Wf = Ep.
•
Wf =
R 2 (ϕ 2 − ϕ12 ) 2
Wf
R
ϕ
J
Nm rad
rad
Aufgaben 150 und 151
2.10.5.4. Reibarbeit WR
Es ist bekannt, dass zwischen zwei aufeinander gleitenden Körpern die Gleitreibkraft FR wirkt. Mit dieser und dem Wegabschnitt Δs kann man die Reibarbeit WR = FR Δs definieren. Sie ist ein Beispiel der Arbeit einer konstanten Kraft FR = FN μ, jedenfalls solange die Reibzahl μ eine Konstante bleibt.
WR = FR ǻs = FN μ ǻs WR FR, FN J
N
Δs
μ
m
1
1 J = 1 Nm = 1 Ws
Bei horizontaler Gleitbahn und dazu parallelem Kraftangriff ist die Normalkraft
FN = FG = m g. Damit ergibt sich die Reibarbeit WR auf horizontaler Gleitbahn:
WR = FR μ ǻs = FG μ ǻs = m g μ ǻs
Bei geneigter Gleitbahn (schiefe Ebene) ist die Normalkraft
FN = FG cos α = m g cos α.
Damit ergibt sich die Reibarbeit WR auf geneigter Gleitbahn:
WR = FN μ ǻs = FG cos α μ ǻs WR = m g μ ǻs cos α
58
2. Bewegungen fester Körper
Wellen werden durch Zahn- oder Riemenkräfte in ihre Gleitlager gepresst. Die Lagerkraft FN ist die Resultierende der (kleinen) Flächenpressungskräfte und die Reibkraft FR (stets rechtwinklig zu FN wirkend) die Resultierende der an jedem Flächenteilchen angreifenden (kleinen) Reibkräfte.
Aus dem Lagerradius r und der Reibkraft FR erhält man das Reibmoment MR = FR r = FN μ r. Wie bei der Torsionsstabfeder (Analogiebetrachtung) ist dann die Reibarbeit WR aus dem Reibmoment und dem Drehwinkel zu bestimmen. Da hier konstante Reibkraft angenommen werden kann, ist die Reibarbeit das Produkt aus dem Reibmoment und dem Drehwinkel.
•
Reibmoment MR = FR r in Gleitlagern (schematisch) WR = M R ǻϕ = FR r ǻϕ = FR μ r ǻϕ WR
MR
Δϕ
FR, FN
r
J
Nm
rad
N
m
1 J = 1 Nm = 1 Ws
Aufgaben 152 bis 154
2.10.5.5. Beschleunigungsarbeit Wrot und kinetische Energie Erot bei Rotation
Durch das inzwischen erworbene Verständnis von der Bedeutung und der Behandlung einander entsprechender Größen bei Translation (Verschiebung) und Rotation (Drehung) können die bei drehender Bewegung gültigen Gesetze allein aus der Analogiebetrachtung hergeleitet werden. Dazu ist es zweckmäßig, noch einmal die entsprechenden Abschnitte durchzusehen, beginnend mit dem Abschnitt 2.7.9.6 auf Seite 44. Wichtig ist es nicht, die Analogie sofort zu erkennen und ausnutzen zu können, sondern hier noch einmal das Verfahren zu verstehen. Aus dem dynamischen Grundgesetz der Rotation ist bekannt, dass umlaufende Körper durch ein resultierendes Moment Mres (analog Fres bei Translation) beschleunigt werden. Weiter ist bekannt, dass die umlaufenden Körper kinetische Energie besitzen (der auslaufende Spiralbohrer kann noch Späne abnehmen). Diese Energie heißt Rotationsenergie Erot. Für das Beschleunigen von ω1 auf ω2 ist, analog zu Wb = (m / 2) (v 22 − v12 ) von Seite 54, die Rotationsarbeit Wrot = (J / 2) (ω22 − ω12 ) aufzubringen.
Analogieverfahren: Der Masse m entspricht das Trägheitsmoment J: m ԑ J. Der Geschwindigkeit v entspricht die Winkelgeschwindigkeit ω : v ԑ ω. Folglich muss der Beschleunigungsarbeit bei Translation m Wb = (v22 − v12 ) 2 die Beschleunigungsarbeit bei Rotation J 2 (ω 2 − ω12 ) entsprechen. 2 Auch hier muss die kinetische Energie Erot gleich der Beschleunigungsarbeit Wrot sein, die bis zum Erreichen der Winkelgeschwindigkeit ω aufgebracht werden musste. Wb =
Erot =
J 2 ω = Wrot 2
Wrot =
J 2 (ω 2 − ω12 ) 2
Erot , Wrot J=
kg m s2
2
J
ω
kg m2
rad s
1 J = 1 Nm = 1 Ws
2.10. Mechanische Arbeit und Energie, Energieerhaltungssatz
59
2.10.6. Der Energieerhaltungssatz 2.10.6.1. Untersuchung
Aus der Anfangsstellung A heraus gleitet ein Körper beschleunigt abwärts, wird auf der unter Winkel β geneigten schiefen Ebene verzögert und kommt in einer Endstellung E zur Ruhe. Die Erfahrung zeigt, dass der Körper ohne „Hilfe von außen“ die ursprüngliche Höhenlage nicht erreichen kann. Schaltet man allerdings gedanklich jede Reibung aus, auch die Luftreibung (Vakuum), dann muss der Körper (sich selbst überlassen) die Ausgangshöhe wieder erreichen, gleichgültig, unter welchem Winkel β die schiefe Ebene geneigt ist. Bei β = 0 bewegt sich der Körper mit der in B erreichten Geschwindigkeit v = 2 g ǻh unaufhörlich weiter (Trägheitsgesetz).
Reibungsfrei gleitender Körper auf schiefer Ebene mit veränderlichem Winkel β A Anfangsstellung; E1, E2 ... Endstellungen ohne Reibung
Zwar ändert sich während des Vorgangs die Energieform des Körpers von potenzieller in kinetische Energie und umgekehrt, der Gesamtbetrag bleibt aber vom Anfang bis zum Ende erhalten: Wenn einem Körper während eines physikalischen Vorgangs Arbeit weder zugeführt noch entzogen wird, dann muss seine Energie am Ende des Vorgangs (EE) gleich der am Anfang (EA) sein: EA = EE.
Energieerhaltungssatz: EE = EA
2.10.6.2. Ein Perpetuum mobile1) gibt es nicht
Die tatsächliche Endstellung E des Körpers liegt stets um irgendeinen Betrag Δh1 tiefer als die Anfangshöhe, d.h. in der Praxis ist die Endenergie EE des Körpers stets kleiner als seine Anfangsenergie EA (EE < EA). Es muss Energie „abgeführt“ worden sein. In diesem Fall muss die Energiedifferenz ΔE = EA – EE gleich der Reibarbeit WR sein (Gleitreibung und Luftreibung). Sie ist in Wärme umgesetzt worden (thermische Energie).
1)
Von lat. perpetuus, andauern: mobilis, beweglich
ΔE = m g Δh1 = WR
60
2. Bewegungen fester Körper
Noch nie ist ein Körper bei einem solchen Vorgang über seine Anfangshöhe hinausgestiegen. Diese Erfahrung schließt also die Möglichkeit aus, eine Maschine oder Vorrichtung zu bauen, die dauernd mehr Arbeit abgibt, als ihr zugeführt wird: Es gibt kein Perpetuum mobile.
ΔW1 = m g Δh1
Mit der aus Δh1 gewonnenen potenziellen Energie Ep = m g Δh1 ließe sich sonst eine Zusatzarbeit verrichten, die noch dazu dauernd anwachsen müsste (Δh2 beim Rücklauf usw.).
ΔW2 = m g Δh2 > ΔW1 ist unmöglich
2.10.6.3. Der Energieerhaltungssatz als Arbeitsgleichung
Überlegungen der vorstehenden Art und Beobachtungen über den Energieumsatz bei vielen verschiedenartigen Vorgängen führten Helmholtz (1821–1894), Mayer (1814–1878), Joule (1818–1889) und andere zu dem Satz von der Erhaltung der Energie, dessen technisch zweckmäßigste Form lautet: Energie am Ende eines Vorgangs EE
= Energie am Anfang des Vorgangs = EA
+ – ±
zugeführte abgeführte Arbeit Wzu, ab
Die mechanischen Energieformen, die ein Körper haben kann und die möglichen Formen der zu- oder abgeführten Arbeiten sind aus dem Abschnitt 2.10.5 von Seite 53 an bekannt. 2.10.6.4. Lösen von Aufgaben mit dem Energieerhaltungssatz
Ein Werkstück liegt auf der schiefen Ebene in Ruhe in der Anfangsstellung A, gleitet beschleunigt abwärts und kommt in der Endstellung E zur Ruhe. Der Gleitweg s2 auf der horizontalen Gleitbahn ist zu bestimmen (konstante Reibzahl μ vorausgesetzt). Die Bezugsebene BE wird willkürlich festgelegt; am besten wählt man die tiefste Lage des Körpers während des Vorgangs.
Aufgabenstellung
Erster Schritt ist das Freimachen des Werkstücks.
Unabhängig davon, in welcher Weise die Aufgabe gelöst werden soll (dynamisches Grundgesetz, d'Alembert oder Energieerhaltungssatz), der erste Schritt ist stets das Freimachen des Körpers in den verschiedenen Lagen. Hier sind zwei Stellungen wichtig. In beiden Fällen werden die Gleichgewichtsbedingungen rechtwinklig zur Gleitbahn angesetzt und man erhält wie gewohnt eine Gleichung für die Normalkraft FN.
Σ Fx ≠ 0 Σ Fy = 0 = FN1 – FG cos α FN1 = FG cos α = m g cos α
Σ Fx ≠ 0 Σ Fy = 0 = FN2 – FG FN2 = FG = mg
Körper in Anfangs- und Endstellung frei gemacht
2.10. Mechanische Arbeit und Energie, Energieerhaltungssatz
61
Drei Fragen führen zum Ziel 1. Frage: Welche Energieformen (potenzielle, kinetische oder Spannungsenergie) besitzt der Körper in der Anfangsstellung A und wie lassen sie sich beschreiben?
Der Körper besitzt im Punkt A nur potenzielle Energie gegenüber der willkürlich festgelegten Bezugsebene BE; kinetische Energie kann ein ruhender Körper nicht haben. Demnach ist EA = m g Δh.
2. Frage: Welche Energieformen besitzt der Körper in der Endstellung E und wie lassen sie sich beschreiben?
Der Körper besitzt hier weder potenzielle Energie (zur willkürlich gewählten Bezugsebene kein Höhenunterschied!) noch kinetische Energie (v = 0). Demnach ist EE = 0.
3. Frage: In welcher Form wird Arbeit zu- oder/ und abgeführt ?
Hier wird keine Arbeit zugeführt, jedoch Reibarbeit WR auf der ganzen Strecke s1 + s2 abgeführt (dem Körper Energie entzogen):
WR1 = FR1 s1 = FN1 μ s1 = m g cos α μ s1 WR2 = FR2 s2 = FN2 μ s2 = m g μ s2
Zum Schluss wird der Energieerhaltungssatz ausgewertet:
Beim Lösen von Aufgaben muss man sich frühzeitig daran gewöhnen, eine allgemeine Beziehung für die gesuchte Größe zu entwickeln!
Damit lassen sich die Zusammenhänge erkennen z.B. sieht man aus der letzten Form für s2, dass dieser Weg mit Δh wächst (Δh steht im Zähler!), ebenso mit größerem α, denn der Kotangens ist eine fallende Funktion, d.h. der Funktionswert wird mit größerem α kleiner und damit auch das Glied μ cot α. Dagegen wird s2 kleiner, wenn μ wächst (μ steht im Nenner und im Glied μ cot α !). Bei dieser Arbeitsweise wird der Rechenaufwand auf das Mindestmaß herabgesetzt (Rechenfehler!).
WE = WA ± Wzu, ab 0 = m g Δh – (WR1 + WR2) 0 = m g Δh – m g μ s1 cos α – m g μ s2
s2 =
ǻh − μ s1 cos α
μ ǻh (1 − μ cot α ) s2 = μ
ǻh − μ
=
ǻh cos α sin α
μ
Beispielsweise wird für
Δh = 1 m, μ = 0,2, α = 30° die Strecke •
Aufgaben 155 bis 166
s2 = 3,27 m.
62
2. Bewegungen fester Körper
2.11. Leistung und Wirkungsgrad 2.11.1 Der Leistungsbegriff Ein Kran hebt eine Last um eine bestimmte Höhe Δh. Die dabei verrichtete Hubkraft Wh = m g Δh bleibt unverändert, gleichgültig, ob die Last schnell oder langsam gehoben wird. Der Zeitfaktor ist im Arbeitsbegriff nicht enthalten. Zu Vergleichszwecken möchte man wissen, wieviel Arbeiteinheiten in der Zeiteinheit durch eine Anlage (z.B. Getriebe) hindurchgehen oder wieviel Arbeit ein Motor in der Sekunde abgibt. Dazu dividiert man die Arbeit W durch den Zeitabschnitt Δt, in dem diese Arbeit verrichtet wird. Man erhält dann die mittlere Leistung (Durchnittsleistung) Pm :
Die mittlere Leistung Pm (von engl. power) einer konstanten Kraft ist der Quotient aus der Arbeit W und dem zugehörigen Zeitabschnitt Δt.
Pm =
W ǻt
Pm
W
Δt
J =W s
J
s
1 W (1 Watt) = 1
Wird in die Definitionsgleichung für die Arbeit W = F Δs eingesetzt, erhält man eine in der Technik vielfach zweckmäßige Definitionsgleichung für die momentane Leistung.
Die momentane Leistung P ist das Produkt aus der konstanten Kraft F und der Momentangeschwindigkeit v.
P=
J Nm =1 s s
W F ǻs ǻs = =F ǻt ǻt ǻt
P=Fv
P J =W s
1W=1
F N=
v
kg m s2
m s
J Nm =1 s s
Mit dieser Gleichung kann man auch bei ungleichförmiger Bewegung und nicht konstanter Kraft die Augenblicks-(Momentan-) Leistung berechnen. Die kohärente Leistungseinheit Watt W ergibt sich in gewohnter Weise aus der Definitionsgleichung.
(P) = (F) · (v) (P) = N ⋅
m kg m m kg m 2 = 2 ⋅ = =W s s s s3
2.11.1 Der Leistungsbegriff
63
2.11.2. Die Einheiten der Leistung Aus der kohärenten Einheit für die Arbeit W oder die Energie E erhält man die kohärente Einheit für die Leistung, das Watt (W), wenn definitionsgemäß die Arbeitseinheit (Nm) durch die Zeiteinheit Sekunde (s) dividiert wird.
1
Joule J Newtonmeter =1 =1 Sekunde s Sekunde
1
Nm Wattsekunde =1 = 1 Watt = 1 W s Sekunde
Diese Einheit gilt gleichermaßen für die mechanische, die thermische und die elektrische Leistung. Das früher nur in der Elektrotechnik verwendete Kilowatt (kW) ist das Tausendfache des Watt (kilo = 1000).
1 kW = 1000 W = 1000
J Nm = 1000 s s
2.11.3. Die Leistung bei Drehbewegung Jede Rotation lässt sich auf das Drehen an einer Kurbel mit der Umfangskraft Fu zurückführen (Riemen- und Zahnradgetriebe, Motor usw.). Dann bewegt sich der Angriffspunkt der Umfangskraft Fu mit der Umfangsgeschwindigkeit vu.
Kurbel mit Umfangskraft Fu , Radius r und Umfangsgeschwindigkeit vu
Setzt man die bekannten Größen für vu ein, ergibt sich für die Leistung P = Fu vu = Fu 2π r n. Darin ist Fu r = M (Drehmoment) und 2π n = ω (Winkelgeschwindigkeit), sodass man zum Schluss eine Gleichung bekommt, die man mit dem Analogieverfahren sofort erhält, denn
P=Mω
P
M
ω
W
Nm
1 s
Leistungsgleichung 1W=1
Kraft F ԑ Drehmoment M Geschwindigkeit v ԑ Winkelgeschwindigkeit ω Fv ԑ Mω
•
Aufgaben 167 bis 172
J Nm =1 s s
64
2. Bewegungen fester Körper
2.11.4. Der Wirkungsgrad 2.11.4.1. Definition des Wirkungsgrads
Werden Drehmoment und Drehzahl an An- und Abtriebswelle eines Getriebes gemessen und daraus die Leistung berechnet, zeigt sich, dass an der Ausgangsseite immer eine kleinere Leistung vorhanden ist als an der Eingangsseite. Ein Teil der Leistung geht durch Reibung aller Art für den eigentlichen Zweck verloren. Die Erfahrung zeigt, dass sich diese Reibarbeit oder Reibleistung in Wärme umsetzt. Es gilt also: Die Abtriebsleistung Pab an der Ausgangsseite einer Maschine oder eines Gerätes ist immer kleiner als die Antriebsleistung Pan an der Eingangsseite. Die „Wirksamkeit“ verschiedener Getriebe oder Maschinen können miteinander verglichen werden, wenn man den Wirkungsgrad η (Eta) als Verhältnis der abgeführten Arbeit oder Leistung (W2, P2) zur zugeführten (W1, P1) festlegt. Weil W2 (P2) immer kleiner als W1 (P1) ist, muss immer η < 1 sein.
•
Pab < Pan P2 < P1
η=
Wab W2 P P = = ab = 2 Wan W1 Pan P1
η h1 muss nach der Druckhöhengleichung auch p2 > p1 sein. In horizontaler Richtung heben sich die Druckkräfte auf die vier Seitenflächen in jeder Höhenlage wegen des Gleichgewichts auf. Dagegen bleibt in lotrechter Richtung die Differenzkraft F2 – F1 übrig. Das ist die Auftriebskraft Fa, kurz Auftrieb Fa genannt.
Auftrieb Fa
Zur Bestimmung des Auftriebs Fa werden nur zwei Gleichungen gebraucht:
Fa = F2 – F1
Aus der Definitionsgleichung p = F /A erhält man die Druckkräfte F1 = p1 A und F2 = p2 A. Mit Hilfe der Druckhöhengleichung p = h r g hat man noch die Möglichkeit, die Drücke p1, p2 durch die Höhen (Tiefen) h1, h2 auszudrücken:
Fa = A(h2 rf g – h1rf g)
Fa = p2A – p1A
Fa = A(h2 − h1 ) rf g
Vv
m
kg m3
g m s2
70
3. Ruhende Flüssigkeiten und Gase p1 = h1 rf g p2 = h2 rf g.
In diesen Gleichungen ist rf die Dichte der Flüssigkeit A(h2 – h1) = Vv das verdrängte Flüssigkeitsvolumen. Wird für Vv rf = mv gesetzt, erhält man eine Gleichung mit der verdrängten Flüssigkeitsmasse mv.
•
Aufgaben 196 bis 202
rf
g
kg N m3 m3 Vv verdrängtes Flüssigkeitsvolumen rf Dichte der Flüssigkeit
m s2
Fa
Fa = Vv r f g
Fa = mv g
Vv
Fa
m
N
kg
g m s2
3.8. Die Druck-Volumengesetze für Gase Mit jeder Luftpumpe kann nachgewiesen werden: a) Gase lassen sich leicht zusammendrücken, im Gegensatz zu Flüssigkeiten und festen Körpern und b) dabei entsteht Wärme; die Temperatur des Gases steigt. Hält man beim Zusammendrücken die Temperatur des Gases durch ausreichende Wärmeabfuhr bei langsamem Prozessablauf konstant, lässt sich die gegenseitige Abhängigkeit von Druck p und Volumen V leichter nachweisen (messen). Boyle1) fand für diesen Fall: Bei konstant gehaltener Temperatur sind Druck p und Volumen V einer abgeschlossenen Gasmenge umgekehrt proportional.
Boyle’sches Gesetz im p-V-Diagramm
p1 V2 = p2 V1
p1V1 = p2V2 = konstant
Druck-Volumengesetz Die Druckkurve im Druck-Volumendiagramm (p-V-Diagramm) ist wegen p · V = konstant eine Hyperbel. Bei jeder Druckänderung ändert sich auch die Dichte r eines Gases (auch bei Temperaturänderung, die aber hier ausgeschlossen ist). Setzt man in bekannter Weise für V = m / r in das Boyle’sche Gesetz ein, so ist zu erkennen: Bei konstanter Temperatur ändert sich die Dichte r eines Gases proportional mit dem Druck. Eine Verdopplung des Drucks bringt also eine Verdopplung der Gasdichte.
•
Aufgabe 203
1) R. Boyle, englischer Physiker und Chemiker (1627–1691).
r1 m/r2 p1 V2 = = = r2 p2 V1 m/r1 p N m2
m
r
m3 kg
kg m3
Vv
71
4. Strömende Flüssigkeiten und Gase
4.1. Strömungsgeschwindigkeit w, Volumenstrom qv, Massenstrom qm Die Strömungsgesetze werden einfacher, wenn man zwei neue Größen festlegt. Durch eine Leitung strömt eine nicht zusammendrückbare Flüssigkeit (Dichte r = konstant) mit gleich bleibender Strömungsgeschwindigkeit w. In der Leitungsstrecke Δs strömt dann das Volumen V = A Δs. Wird diese Gleichung durch den Zeitabschnitt Δt dividiert, in dem ein Flüssigkeitsteilchen die Strecke P1P2 = Δs durchlaufen hat, dann erhält man mit Δs /Δt = w :
Volumen V, Leitungsquerschnitt A und mittlere Strömungsgeschwindigkeit w
V A Δs = = Aw Δt Δt V/Δt gibt das je Zeiteinheit (z.B. in 1 s) strömende Volumen an, den Volumenstrom qv, auch Volumendurchfluss genannt. Entsprechend dem Volumenstrom qv = V/Δt wird der Massenstrom qm = m / Δt definiert. Setzt man nach Seite 31 für die Masse m = Vr und für V = A Δs ein, erhält man: qm = m / Δt = Vr/Δt = Ar Δs /Δt = Awr.
qv =
V = Aw ǻt
qv
A
w
m2
m s
qm
A
w
r
m3 s
m2
m s
kg m3
m3 s
qm =
m = Awr ǻt
4.2. Die Kontinuitätsgleichung Angenommen, dass während der Strömung die Dichte r des Mediums konstant bleibt (Inkompressibilität des Mediums), dann muss bei jedem Querschnitt A1, A2, ... der Leitung der Volumenstrom qv und damit auch der Massenstrom qm gleich groß bleiben:
qv = A1w1 = A2 w2 = konstant Strömt ein Medium mit gleich bleibender Dichte durch eine Leitung mit veränderlichem Querschnitt, bleibt der Volumenstrom qv = A w konstant.
(Kontinuitätsgleichung)
w1 A2 = w2 A1
qv m3 s
A
w
m2
m s
72
4. Strömende Flüssigkeiten und Gase
Man kann auch sagen: Die Strömungsgeschwindigkeiten w und die durchströmten Querschnitte A sind umgekehrt proportional. Verringert sich etwa der Leitungsquerschnitt auf die Hälfte (A2 = A1/2), muss sich dort die Strömungsgeschwindigkeit verdoppeln.
Beispiel: Beträgt für eine Rohrleitung d1 = 0,2 m, d2 = 0,1 m, w1 = 1 m/s, dann ergibt sich mit der Kontinuitätsgleichung die Strömungsgeschwindigkeit d2 A 0,2 2 m 2 w2 = w1 1 = w1 12 = 1 m/s 2 2 A2 d2 0,1 m w2 = 4 m/s = 4 w1
4.3. Gültigkeitsbereich der Kontinuitätsgleichung Die Kontinuitätsgleichung gilt nur, wenn sich die Dichte r des Mediums während der Strömung nicht ändert. Das kann bei Flüssigkeiten angenommen werden, bei Gasen jedoch nicht ohne Einschränkung. Man hat daher die Druckschwankungen in strömenden Gasen gemessen und festgestellt, dass sie unwesentlich sind bei Strömungsgeschwindigkeiten bis etwa 100 m/s. Geringe Druckschwankung bedeutet geringe Volumenschwankung und damit auch geringe Dichteschwankung (siehe auch Boyle’sche Gleichung in 3.8, Seite 70).
•
Bei Strömungsgeschwindigkeiten unter 100 m/s gelten die Strömungsgleichungen auch für Gase.
Aufgaben 210 bis 215
4.4. Der Energiehaltungssatz der Strömung (Bernoulli’sche Druckgl.) 1) 4.4.1. Bekannte Begriffe, neuer Vorgang Durch eine horizontal liegende Leitung mit veränderlichem Querschnitt strömt reibungsfrei eine Flüssigkeit oder ein Gas. An einer beliebigen Anfangsstelle A wird dem Medium die Arbeit W1 = F1 s1 zugeführt, z.B. über einen Kolben 1. An einer beliebigen Stelle E wird über einen Kolben 2 die Arbeit W2 = F2 s2 abgeführt. Für die Druckkräfte F1, F2 kann man nach der Definitionsgleichung p = F / A den Flüssigkeitsdruck p und den Leitungsquerschnitt A einsetzen: (F1 = p1 A1 und F2 = p2 A2).
W1 = F1s1 = p1A1s1
Beachtet man noch, dass sich das Volumen V als Produkt aus Querschnitt A und Kolbenweg s ergibt (V = A1 s1 = A2 s2), erhält man den bekannten Arbeitsbegriff in neuer Form. Voraussetzung dabei ist, dass die Kontinuitätsgleichung gilt, d.h. V1 = V2 = V = konstant bleibt.
W2 = F2s2 = p2A2s2
1)
W1 = p1V
W2 = p2V
Daniel Bernoulli, Schweizer Mathematiker und Physiker (1700–1782).
W
p
V
J
N m2
m3
4.4. Der Energiehaltungssatz der Strömung (Bernoulli’sche Druckgleichung) Da sich die Flüssigkeitsteilchen bewegen (w1, w2), haben sie kinetische Energie Ek = m w 2/ 2. In A und E muss die durchströmende Flüssigkeit der Masse m gleich groß sein (Kontinuitätsgleichung). Nach 2.7.2 auf Seite 31 kann sie durch das Volumen V und die Dichte r ersetzt werden (m = Vr) und man erhält damit wieder die bekannte Gleichung Ek = m v 2/ 2 in neuer Form.
Ek1 =
m 2 r 2 w1 = w1 V 2 2
Ek2 =
m 2 r 2 w2 = w2V 2 2
Jetzt kann der Energieerhaltungssatz angesetzt werden.
Beachte: Der Gesamtdruck (statischer Druck p + Staudruck w 2 r / 2) ist bei Horizontalströmung an jeder Stelle der Leitung gleich groß.
m
w
r
V
J
kg
m s
kg m3
m3
Ek2 = Ek1 + W1 – W2 r 2 r w2V = w12V + p1V − p2V | :V 2 2 r 2 r 2 w2 = w1 + p1 − p2 2 2
Potenzielle Energieänderungen treten wegen der horizontalen Leitungsführung nicht auf. Zugeführt wird die Arbeit W1, abgeführt wird die Arbeit W2.
Die Drücke w12 r / 2 und w22 r / 2 nennt man Staudrücke. Dass diese Quotienten tatsächlich Drücke sind, zeigt sich leicht beim Überprüfen der Einheit (N / m2).
E
EE = EA + Wzu – Wab
Die Energie EE am Ende des Vorgangs ist die kinetische Energie Ek2, die Energie EA am Anfang des Vorgangs ist die kinetische Energie Ek1.
Die Drücke p1, p2 sind die statischen Drücke in einem Querschnitt rechtwinklig zur Strömungsrichtung.
73
p1 +
r 2 r w1 = p2 + w22 2 2
(gilt für Horizontalströmung)
p
w
r
N m kg m 2 s m3
4.4.2. Herleitung der Bernoulli’schen Druckgleichung für Leitungen mit Höhenunterschied Leitungen werden nicht nur in einer Höhe geführt; sie verändern ihre Höhenlage gegenüber einer beliebig gewählten Bezugsebene BE. Das ist aber auch der einzige Unterschied gegenüber der Horizontalleitung. Man darf daher annehmen, dass die Gleichung für Horizontalleitungen auch jetzt noch gilt, wenn man nur zu jeder Seite noch ein Glied hinzufügt, das diese einzige Änderung des physikalischen Sachverhalts erfasst. Da beim Energieerhaltungssatz nur nach der Energie des Mediums (des Körpers) in der Anfangs- und Endstellung gefragt wird, sieht man sofort, dass noch der Anteil an potenzieller Energie Ep hinzugefügt werden muss.
Energieerhaltungssatz der Strömung A1, A2 Kolbenflächen im Zylinder 1 und 2
74
4. Strömende Flüssigkeiten und Gase
Für die Anfangsstellung (Zylinder 1) ist Ep1 = m g h1, für die Endstellung (Zylinder 2) ist
EE = EA ± Wzu, ab m 2 m w2 + mgh2 = w12 + mgh1 + p1V − p2V 2 2
Ep2 = m g h2. (Gleiche Masse m, weil nach dem Kontinuitätsgesetz der Massenstrom konstant bleiben muss.) Behandelt man den Energieerhaltungssatz wie vorher (durch V dividieren, nachdem für m = Vr eingesetzt wurde), erhält man die Bernoulli’sche Druckgleichung in der zweckmäßigsten Form. Mit h1 = h2 ergibt sich aus der allgemeinen Gleichung die Gleichung für Horizontalströmung. Die Bezeichnungen für die einzelnen Druckanteile werden noch einmal zusammengefasst: p heißt statischer Druck (Flüssigkeitsdruck), r w 2/2 heißt Staudruck (Geschwindigkeitsdruck), r g h heißt geodätischer Druck (der Druck infolge der Schwerkraft nach Seite 69).
In einem strömenden Medium ist die Summe aus statischem Druck, dem Staudruck und dem geodätischen Druck konstant.
r 2 r w2 V + rVg h2 = w12 V + rVg h1 + 2 2 + V ( p1 − p2 ) r 2 r w2 + r g h2 = w12 + r g h1 + p1 − p2 2 2
p1 + r g h1 +
r 2 r w1 = p2 + r g h2 + w22 2 2
Bernoulli’sche Druckgleichung für reibungsfreie Strömung)
p
r
g
N m2
kg m3
m s2
p+
h
w
m
m s
r 2 w + r g h = konstant 2
Beachte: Bei der realen Strömung geht durch die Reibung an den Leitungswänden (äußere Reibung) und durch Wirbel in der Strömung (innere Reibung) Energie für den Prozess „verloren“ (Wärme).
4.3.3. Beispiele zur Anwendung der Kontinuitätsgleichung und der Bernoulli’schen Druckgleichung 1. Der statische Druck p1 in einer strömenden Flüssigkeit wird mit einem Steigrohr gemessen. An den Messpunkten 1 und 2 ist die Strömungsgeschwindigkeit gleich null (w1 = 0 und w2 = 0). Auf den Flüssigkeitsspiegel in 2 drückt der Luftdruck (barometrischer Druck) p2. Für die beliebig gelegte Bezugsebene BE haben die Messpunkte die Höhen h1 und h2.
Messung des statischen Drucks p1 = p2 + r gΔh (p2 Luftdruck)
4.4. Der Energiehaltungssatz der Strömung (Bernoulli’sche Druckgleichung) Damit kann man aus der Bernoulli’schen Druckgleichung eine Gleichung für den statischen Druck p1 im Messpunkt 1 entwickeln und erkennt, dass p1 die Summe aus dem barometrischen Druck p2 und dem hydrostatischen Druck ist (3.6, Seite 69). Der statische Überdruck p1ü im Messpunkt 1 ist demnach gleich dem Schweredruck, und die Höhendifferenz Δh im Steigrohr ist ein Maß für den statischen Überdruck.
r 2 r w1 = p2 r g h2 + w22 2 2 p1 + 0 = p2 + r g (h2 − h1 ) + 0
p1 r g h1 +
p1 = p2 + r g ǻh p1ü = p1 − p2 = r g ǻh
Ausfluss aus Gefäß mit gleich bleibender Höhe Δh
2. Die Ausflussgeschwindigkeit w aus einem Gefäß lässt sich ebenfalls mit Hilfe der BernoulliGleichung bestimmen. Der Vorgang wurde durch die Annahme vereinfacht, dass der Flüssigkeitsspiegel nur vernachlässigbar gering absinkt, sodass w1 = 0 wird. Der statische Druck an den Messpunkten 1 und 2 ist als barometrischer Druck gleich groß und fällt damit aus der Gleichung heraus. Das Ergebnis zeigt, dass die Ausströmgeschwindigkeit außer von der Fallbeschleunigung g allein von der „Fallhöhe Δh “ abhängig ist, was zu erwarten war, wenn die Reibung außer Acht bleibt.
Beachte: Die Ausflussgeschwindigkeit w wird durch innere Reibung vermindert. Das wird durch die Geschwindigkeitszahl ϕ < 1 berücksichtigt. Außerdem ist der wirkliche Strahlquerschnitt wegen der Strahlumlenkung nicht gleich dem Öffnungsquerschnitt A, sondern α · A, mit α < 1 als Kontraktionszahl. Das Produkt aus Kontraktions- und Geschwindigkeitszahl heißt Ausflusszahl μ = α · ϕ. Damit ergeben sich die tatsächliche Ausflussgeschwindigkeit w ' und der tatsächliche Volumenstrom qv.
75
p1 + r g h1 + 0 = p1 + r g h2 + r g (h1 − h2 ) =
r 2 w 2
r 2 w 2
w = 2 g ǻh
Ausflusszahlen μ für Wasser
w ' = ϕ w = ϕ 2 g ǻh qv = α A · w' = α A · ϕ w = α ϕ Α w = μ Α w
qv = μ A 2 g ǻh
qv
μ
A
g
Δh
m3 s
m3 m3
m2
m s2
m
76
4. Strömende Flüssigkeiten und Gase
3. Die Strömungsgeschwindigkeit w lässt sich mit dem Prandtl’schen Staurohr bestimmen. Dazu sind einige Vorbemerkungen über Manometer zweckmäßig. Die einfachste Ausführung für genaueste Messung ist das U-Rohr-Manometer. Für Gase verwendet man das offene U-Rohr-Manometer. Als Flüssigkeit wird hier Wasser oder – bei höheren Drücken – Quecksilber verwendet. Der Überdruck pü = p – p b ist dem Höhenunterschied Δh der beiden Flüssigkeitsspiegel proportional, d.h. die Messzahlen beider Schenkel müssen addiert werden, wenn man daraus den Überdruck pü berechnen will. Mit dem U-Rohr-Manometer für Flüssigkeiten wird der Differenzdruck Δp = p0 – pst gemessen. Man braucht Δp zur Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeit w. Als Sperrflüssigkeit wird hauptsächlich Quecksilber (rs = 13,55 g/cm3) oder Acetylen-Tetrabromid (rs = 2,96 g/cm3) verwendet (Dichte rs bei 20 °C). Der Druck p0 drückt die Sperrflüssigkeit soweit auf die Seite mit Druck pst, bis sich Gleichgewicht einstellt. Dann gilt für Punkt A: rechte Seite: p = p0 + rs g h1 + rf g (h2 – h1) + rf g h
Offenes U-Rohr-Manometer für Gase
rs rf h p0 pst Δp
Dichte der Sperrflüssigkeit Dichte des Messmediums willkürlich angenommene Höhe Druck an der Spitze der Messsonde statischer Druck Differenzdruck
linke Seite: p = pst + rs g h2 + rf g h. Damit ergibt sich der Differenzdruck Δp. Hält man einen Körper in eine strömende Flüssigkeit oder in strömendes Gas, dann gibt es stets eine Stelle am Körper, an der das Medium in Ruhe ist.
ǻp = p0 − pst = g (r s − r f )ǻh Δp
g
rs , rf
Δh
N m2
m s2
kg m3
m
Dieser Punkt heißt Staupunkt. Beim Prandtl’schen Staurohr liegt er an der Spitze der Messsonde. Dort stellt sich nach der Bernoulli-Gleichung der Druck p 0 = p st +
rf 2 r w fi p 0 - p st = f w 2 2 2
ein. Der statische Druck pst wird durch Bohrungen an der Seite der Sonde gemessen. Im U-RohrManometer stellt sich die Quecksilbersäule auf die Druckdifferenz p0 – pst = Δp = g (rs – rf) Δh. Beide Gleichungen vereint ergeben eine Gleichung für die Strömungsgeschwindigkeit w.
•
Aufgaben 216 bis 227
p0 − pst =
w=
rf 2 w = g (r s − r f ) ⋅ Δh = Δp 2
2 ⋅Δp = rf
2 g (r s − r f ) ⋅Δ h rf
77
5. Wärmelehre
5.1. Wärmeausdehnung 5.1.1. Wärmeausdehnung von festen Körpern 5.1.1.1. Längenausdehnungskoeffizient Jeder feste Körper wird mit zunehmender Temperatur länger, breiter und höher, d.h. sein Volumen V nimmt zu. Die meisten Metalle dehnen sich zwischen 0 °C und 100 °C gleichmäßig aus. Daher war es zweckmäßig, einen Kennwert für die Ausdehnung an Stäben aus verschiedenen Werkstoffen zu ermitteln, mit dem man jede Längenänderung bei Temperaturänderung berechnen kann. Man misst dazu die Länge l0 des Stabs bei 0 °C, erwärmt ihn auf die höhere Temperatur ϑ1 und misst die zugehörige Länge l1. Die Längendifferenz l1 – l0 ist die Längenzunahme Δl = l1 – l0. Wird Δl durch die UrsprungsIänge l0 dividiert, erhält man – wie in der Festigkeitslehre – die „Verlängerung je Längeneinheit“, z.B. in „m je m“ oder in „mm je mm (mm/mm)“. Wird diese „Dehnung“ nun noch durch die Temperaturdifferenz ΔT dividiert, dann erhält man die Verlängerung je Längeneinheit und zugleich je Temperatureinheit, den Längenausdehnungskoeffizienten α l. Er wird auch „linearer Ausdehnungskoeffizient“ genannt.
Längenausdehnung eines Stabes
Beispiel: Ein Stahlstab von l0 = 800 mm Länge verlängert sich bei Erwärmung von 0 °C auf ϑ1 = 10 °C (ΔT = 10 K) um 96 μm = 96 · 10–3 mm. Diese Verlängerung Δl durch die Ursprungslänge l0 und durch die Temperaturdifferenz ΔT = 10 K dividiert, ergibt:
Δl 96 ⋅ 10−3 mm 1 = 12 ⋅ 10−6 l0 ΔT 0,8 ⋅ 103 mm ⋅ 10 K K Beachte: Die Temperatur 1 °C ist gleich der SI-Basiseinheit 1 K (s. Seite 6 und Seite 85).
αl = Der Längenausdehnungskoeffizient α l ist ein Werkstoffkennwert. Er gibt die in m (oder jeder anderen Längeneinheit) gemessene Längenänderung eines Stabes von 1 m Länge (oder jeder anderen Längeneinheit) bei Erwärmung um 1 K an. Die Einheit von α l erhält man wie gewohnt aus der Definitionsgleichung, wobei beliebige aber gleiche Längeneinheiten eingesetzt werden können, die sich kürzen lassen.
ǻl l0 ǻT
αl
Δl, l0
ΔT
1 K
mm
K
Werte für α l siehe Seite 97.
(α l) =
(Δl ) mm 1 = = (l0 )ΔT mm ⋅ K K
(α l ) =
1 = K −1 K
78
5. Wärmelehre
5.1.1.2. Berechnungen mit dem Längenausdehnungskoeffizienten Aus der Definitionsgleichung für den Längenausdehnungskoeffizienten α l findet man eine Gleichung für die Längenänderung Δl und mit Δl = l1 – l0 auch eine Gleichung für die Länge l1 bei der Temperatur ϑ 1. Die Länge l0 ist die Stablänge bei 0 °C.
ǻl = l1 − l0 = l0 α l ϑ 1 Δl l1, l0 ϑ 1
l1 = l0 (1 + α l ϑ 1)
m
m
αl
ºC K–1
Meist ist die Länge l0 des Stabes bei 0 °C nicht bekannt. Erwärmt man ihn von der Anfangstemperatur ϑ 1 ≠ 0 °C auf die Temperatur ϑ 2, dann ist die Längenzunahme exakt Δl′ = l0α lϑ2 – l0α lϑ1 = l0α l(ϑ2 – ϑ1) = l0α lΔT, und die Länge l2 bei der Endtemperatur ϑ2 l2 = l1 + Δl′ = l1 + l0α l ΔT. Es entsteht jedoch nur ein vernachlässigbar kleiner Fehler, wenn man statt Δl′ = l0α l ΔT die Längenänderung Δl = l0 α l ΔT einsetzt. Dann kann die Längenänderung Δl unmittelbar aus der Anfangslänge l1 berechnet werden.
Δl ≈ l1α l ΔT l2 ≈ l1 + Δl = l1 + l1α l ΔT
l2 ≈ l1 (l + α l ǻT )
l 1, l 2
αl
ΔT
m
K–1
K–1
5.1.1.3. Wärmespannungen σ ϑ Werden Stäbe durch Einspannungen an ihrer Wärmedehnung gehindert, müssen im Stab Normalspannungen σ auftreten. Man nennt sie Wärmespannungen σϑ. Sie können bei hohen Temperaturdifferenzen Δϑ unzulässig groß werden, z.B. bei Schienen. Bei Formänderungen fester Körper gilt das Hooke’sche Gesetz σ = Δl E / l0. Ein nicht eingespannter Stab würde sich beim Erwärmen um Δl = l0α l ΔT verlängern. Das wird bei beidseitiger Einspannung verhindert. Als Folge davon entsteht im Stab die Druckspannung σϑ, die zum Verkürzen des Stabes um Δl erforderlich ist. In der Gleichung kürzt sich die Ursprungslänge l0 heraus, d.h.:
Die Wärmespannung σϑ in einem eingespannten Stab ist unabhängig von seiner Länge.
Hooke’sches Gesetz:
σϑ =
σ Normalspannung ǻl E (Zug- oder Druckspannung) l0 Δl Verlängerung oder Verkürzung l0 Ursprungslänge E Elastizitätsmodul
EStahl = 21 · 104 N/mm2, EKupfer = 12,5 · 104 N/mm2, EAluminium = 7,5 · 104 N/mm2.
σϑ =
l0 α l (ϑ 2 − ϑ 1 ) ǻl E= E l0 l0
σ ϑ = α l E (ϑ 2 − ϑ 1) = α l E ǻT
σϑ
αl
E
N mm 2
1 K
N mm 2
ϑ 1,ϑ 2 ΔT ºC
K
5.1. Wärmeausdehnung
79
5.1.1.4. Volumenausdehnungskoeffizient Ein Würfel hat bei 0 °C die Kantenlänge l0 und damit das Volumen V0 = l03 . Bei Temperaturerhöhung von 0 °C auf ϑ 1 wächst die Kantenlänge von l0 auf l0 (1 + α lϑ 1). Damit ergibt sich das neue Volumen V1 zu:
V1 = [l0 (1 + α l ϑ 1)]3 = l 30(1 + α l ϑ 1)3 V1 = V0 (1 + 3α l ϑ1 + 3α l2 ϑ 12+ α 3l ϑ 31 ). Für feste Körper ist α l von der Größenordnung 10–5 K–1, sodass für ϑ 1 = 100 °C würde:
α lϑ 1
= 10–5 · 102 = 10–3
α l2 ϑ 12 = 10–10 · 104 = 10–6 α l3 ϑ 13 = 10–9. Die beiden letzten Glieder kann man also ohne Bedenken vernachlässigen. Das Produkt 3 α l bezeichnet man als Volumenausdehnungskoeffizient αv = 3α l. Da auch hier das Volumen V0 bei 0 °C selten bekannt ist, macht man mit V0 = V1 die gleiche Vereinfachung wie bei der Längenausdehnung.
Volumenausdehnung eines Würfels V1 ≈ V0 (1 + 3α lϑ 1) = V0 (1 + α vϑ 1)
V2 = V1[1 + α v (ϑ 2 − ϑ1)] = V1 (1 + α v ΔT ) V1, V2, V0 α v m3
K–1
ΔT K
5.1.2. Wärmeausdehnung von Flüssigkeiten Die Wärmeausdehnung von Flüssigkeiten ist größer als bei festen Körpern. Der Volumenausdehnungskoeffizient α v steigt mit wachsender Temperatur. Wasser macht eine Ausnahme, denn es hat seine größte Dichte bei 4 °C. Bei Salzwasser liegt die größte Dichte bei um so tieferen Temperaturen, je größer der Salzgehalt ist. Bei mehr als 2,5 % liegt die Temperatur des Dichtemaximums unter 0 °C. Berechnungen wie bei festen Körpern mit dem Volumenausdehnungskoeffizient α v für Flüssigkeiten. Werte für αv siehe Seite 97.
•
Aufgaben 230 bis 244
Wärmeausdehnung von Wasser, bezogen auf das Anfangsvolumen V bei 4 °C (Anomalie des Wassers)
80
5. Wärmelehre
5.1.3. Wärmeausdehnung von Gasen (Temperatur-Volumengesetz) Während die Volumenänderung fester und flüssiger Körper nur von der Temperatur ϑ abhängt, ändert sich ein Gasvolumen auch mit seinem Druck p. Das ist schon aus 3.8, Seite 70 bekannt (Druck-Volumengesetz). Lässt man einen Kolben gasdicht auf einer eingeschlossenen Gasmenge vom Volumen V0 bei 0 °C schwimmen, bleibt der Druck p auch bei einer Ausdehnung des Gases konstant. Erwärmt man nun das Gas um 1 °C = 1 K, dann kann immer wieder festgestellt werden:
Jedes Gas dehnt sich beim Erwärmen um 1 K um 1/273 seines Volumens V0 bei 0 °C aus, wenn der Druck p konstant gehalten wird (isobare Erwärmung). Die Volumenzunahme ΔV beträgt dann bei z.B. ϑ = 10 °C das 10/273-fache des Null-Grad-Volumens, bei 50 °C das 50/273-fache usw. Allgemein ist ΔV also das ϑ/273-fache von V0. Damit erhält man eine Gleichung für das Volumen Vϑ bei der Temperatur ϑ. Später wird gezeigt, dass „273“ eine Temperaturangabe in Kelvin (K) ist und dass die Gleichungen nur für solche Gase gelten, die sich gerade mit dem Faktor 1/273 ausdehnen. Diese Gase heißen ideale Gase.
Man kann in der Gleichung für die Volumenzunahme ΔV0 = ϑ V0 (1/273 K) den Faktor 1/273 K auch als Volumenausdehnungskoeffizienten αvG für Gase ansehen. Dann erhält das Temperatur-Volumengesetz die gleiche Form wie die Gleichungen für die Längenund die Raumausdehnung (Seiten 78 und 79).
Wärmeausdehnung eines Gases bei p = konstant (isobare Erwärmung)
ǻV =
ϑ 273 K
V0
Vϑ = V0 + ǻV = V0 +
ϑ 273 K
⋅ V0
Ê ϑ ˆ Vϑ = V0 Á1 + Ë 273 K ˜¯
Temperatur-Volumengesetz ( p = konstant) ΔV, Vϑ , V0
ϑ
273
m3
ºC
K
Statt des Volumen V kann nach m = Vr auch m /r eingesetzt werden. ǻV = ϑ α vG V0
α vG =
1 273 K
Vϑ = V0 (1 + α vG ϑ ) Temperatur-Volumengesetz ( p = konstant)
5.2. Wärme und Arbeit
81
5.2. Wärme und Arbeit In einem Zylinder schwimmt ein Kolben auf einem Luftpolster, in dem eine Heizwendel liegt. Der Kolben soll um die Höhe Δh gehoben werden. Auf welche Weise kann das geschehen? Man könnte über ein Seil mit einer Winde den Kolben anheben. Mit einer Luftpumpe Iieße sich das Luftvolumen vergrößern, sodass sich der Kolben hebt. Man könnte aber auch die Luft im Zylinder erwärmen, indem durch die Heizwendel ein elektrischer Strom geschickt wird. Die Luft erwärmt sich (die Temperatur steigt), dehnt sich aus und drückt den Kolben aufwärts. Die Luft „verrichtet Arbeit“. Die Zufuhr einer Wärmemenge Q ist demnach gleichbedeutend mit der Zufuhr einer bestimmten Energiemenge, und auch das Fließen eines elektrischen Stroms muss einem Energietransport gleichkommen:
Wärme ist eine Energieform. Sie kann z.B. aus mechanischer oder elektrischer Energie gewonnen und wieder in diese Formen umgewandelt werden.
Man hat für alle Energieformen nur eine einzige Energie- und Arbeitseinheit festgelegt, um unnötige Umrechnungsfaktoren auszuschließen. Mit der Einführung des Joule als internationaler und gesetzlicher Einheit der Arbeit, Energie und Wärme gibt es in diesem physikalischen Bereich nur noch die Umrechnungszahl eins: 1 J = 1Nm = 1
kg m2 2
s
= 1m2 kg s−2 = 1 Ws
Unterschiedliche physikalische Vorgänge führen zum gleichen Ergebnis Hinweis: Nach DIN 1304 (Formelzeichen und deren Bedeutung) kann man von der Wärme Q oder auch von der Wärmemenge Q sprechen.
Beispiele: Durch Reibung entsteht Wärme, beim Bremsen, beim Zerspanen, beim Umformen (Biegen usw.). Stromdurchflossene Leiter werden warm (Heizwendel). Die Einheit der mechanischen Energie (Arbeit) ist das Joule (J): 1 J = 1 Nm = 1
kg m 2 s2
Die Einheit der elektrischen Energie (Arbeit) ist das Joule (J): 1 J = 1 Ws = 1 Nm = 1
kg m 2 s2
Die Einheit der thermischen Energie (Arbeit) ist das Joule (J): 1 J = 1 Ws = 1 Nm = 1
kg m 2 s2
82
5. Wärmelehre
5.3. Spezifische Wärmekapazität c und Wärme Q bei festen und flüssigen Stoffen 5.3.1. Bestimmen der spezifischen Wärmekapazität In einem vollständig isolierten Gefäß, einem Kalorimetergefäß (siehe Versuch 10.6), befindet sich eine Flüssigkeit, deren Temperaturänderung gemessen werden kann. Durch die Heizwendel schickt man eine Zeit lang einen elektrischen Strom. Während des Versuchs werden Spannung U, Stromstärke I, Zeitabschnitt Δt und die Temperaturänderung ΔT der Flüssigkeit gemessen. Spannung U und Stromstärke I hält man während des Versuchs konstant. Es ist bekannt, dass mit der elektrischen Arbeit (Energie) Wel = U I Δt = Wth = Q der Flüssigkeit eine bestimmte thermische Energie Eth zugeführt wird, die man Wärme Q (oder Wärmemenge Q) nennt.
Bestimmen der spezifischen Wärmekapazität c einer Flüssigkeit: alle Vorgänge verlustfrei angenommen. Beispiel: Es fließt ein Strom I = 1 A bei einer Spannung U = 24 V während eines Zeitabschnitts Δt = 300 s. Die Flüssigkeit (z.B. Maschinenöl) von der Masse m = 0,8 kg wird dadurch um Δϑ = 5,38 K erwärmt. Die zugeführte Wärme Q beträgt dann: Q = Wel = U I Δt = 24 V · 1 A · 300 s Q = 7200 Ws = 7200 J. Man dividiert diese Energiemenge durch die Masse m und durch die Temperaturdifferenz ΔT und erhält:
Dividiert man diese Wärme Q = 7200 J durch die Masse m = 0,8 kg der Flüssigkeit, dann erhält man die der Masseneinheit 1 kg zugeführte Wärme. Wird der Quotient Q / m noch durch die am Thermometer abzulesende Temperaturdifferenz ΔT = 5,38 K dividiert, dann hat man die spezifische Wärmekapazität c der Flüssigkeit gefunden:
Die spezifische Wärmekapazität c gibt diejenige Wärme (thermische Energie) in Joule an, die nötig ist, um 1 kg des Stoffes um 1 K zu erwärmen. Sie ist eine Stoffkonstante. Die Einheit (c) der spezifischen Wärmekapazität erhält man wie gewohnt aus der Definitionsgleichung.
Q 7200 J = m ǻT 0,8 kg ⋅ 5,38 K c = 1673
c=
Q m ǻT
(c ) =
J kg ⋅ K
(s. Tabelle 5.3, Seite 97)
c
Q
m
ΔT
J kg ⋅ K
J
kg
K
(Q ) J = (m)(ǻT ) kg ⋅ K
5.4. Spezifische Wärmekapazität cp, cv und Wärme Q bei Gasen
83
5.3.2. Bestimmen der Wärme Q (Wärmemenge) In der Praxis ist die Aufgabe meist so gestellt, dass für einen bestimmten Stoff diejenige Wärme Q gesucht ist, die man für eine bestimmte Temperaturdifferenz ΔT braucht, z.B. um einen Stoff bis zur Schmelztemperatur zu erwärmen. Diese Wärme Q gibt dann sofort auch die (meist elektrische) Energie an, die aufzuwenden ist (ohne Berücksichtigung des Wirkungsgrads η).
•
Q = Wth = Wel = Wmech Q = m c (ϑ 2 − ϑ1 ) Q = m c ǻT Q
m
c
ΔT
ϑ1, J 2
J
kg
J kgK
K
ºC
Aufgaben 245 bis 256
5.4. Spezifische Wärmekapazität cp, cv und Wärme Q bei Gasen Gase haben zwei verschiedene spezifische Wärmekapazitäten. Erwärmt man ein Gas bei konstantem Volumen (festgesetzter Kolben), wird die zugeführte Wärmeenergie allein zur Erhöhung der Bewegungsenergie der Moleküle aufgebraucht; es erhöhen sich Druck p und Temperatur ϑ des eingesperrten Gases. In diesem Fall (V = konstant) ist mit der spezifischen Wärme cv bei konstantem Volumen zu rechnen. Löst man dagegen die Sperre für den Kolben, kann sich das im Zylinder eingeschlossene Gas beim Erwärmen auch ausdehnen. Jetzt erhöht sich die Temperatur ϑ des Gases und sein Volumen wird größer, jedoch bleibt während des ganzen Vorgangs der Druck p konstant. Trotz gleicher Gasmenge m und gleicher Temperaturdifferenz ΔT muss die zugeführte Wärme Qp größer sein als im Fall des konstant gehaltenen Volumens, denn das Gas muss zusätzlich eine Ausdehnungsarbeit Wa verrichten. Es ist daher mit der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck cp zu rechnen. Bei Flüssigkeiten rechnet man nur mit cp, weil die Wärmeausdehnung des Körpers sehr viel geringer ist als bei Gasen und im Allgemeinen auch nicht behindert wird. Wegen der zusätzlich aufzubringenden Ausdehnungsarbeit Wa muss Qp > Qv sein, wenn das Gas in beiden Fällen um die gleiche Temperaturdifferenz ΔT erwärmt werden soll. Das bedeutet, dass cp > cv sein muss.
Ausdehnungsarbeit Wa der konstanten Kraft (hier Kolbengewichtskraft FG) über dem Kolbenweg Δs
Qv = mcv ǻT
Qp = m cp ǻT
(cv, cp nach Tabelle 5.4, Seite 97)
m
c v, c p
ΔT
J = Nm = Ws kg
J kg K
K
Qv, Qp
Beachte: Nach Tabelle 5.4, S. 97, ist z.B. für Luft von 0 °C die spezifische Wärmekapazität cp = 1005 J/kgK, dagegen cv = 718 J/kgK.
84
5. Wärmelehre
5.5. Die Mischungsregel Man bringt zwei Körper 1 und 2 unterschiedlicher Temperatur und aus verschiedenen Stoffen in einem isolierten Gefäß so miteinander in Verbindung, dass sie Wärme austauschen können. Der wärmere Körper 2 mit ϑ2 > ϑ1 gibt dann so lange Energie an den Körper 1 ab, bis sich bei beiden Körpern die gleiche Temperatur, die Mischungstemperatur ϑm, eingestellt hat. Da dem „abgeschlossenen System“ Arbeit (Energie) weder zugeführt noch entzogen werden soll, muss die Summe aller vorhandenen Energie vor und nach der Mischung gleich groß bleiben, d.h. hier: Die aufgenommene Wärme ΔQ1 muss in einem abgeschlossenen System gleich der abgegebenen Wärme ΔQ2 sein. Die Mischungsregel ist die Gleichung zur Bestimmung der Mischungstemperatur ϑm. Man erhält sie durch Umstellen der Gleichung für das Wärmegleichgewicht nach ϑm. Bei mehreren Körpern (m1, m2, m3, ...) und Änderung des Aggregatzustands (Schmelz- und Verdampfungswärme!) stellt man wie hier die Wärmegleichgewichtsbedingung auf und entwickelt daraus eine Gleichung für die Mischungstemperatur ϑm.
•
ΔQ1 = ΔQ2 m1 c1 (ϑ m − ϑ1 ) = m2 c2 (ϑ 2 − ϑ m )
Wärmegleichgewichtsbedingungen
ϑm =
m1c1ϑ1 + m2 c2ϑ2 m1c1 + m2c2
Mischungsregel m1, m2 c1, c2 ϑ1, ϑ2, ϑm kg
J kgK
ºC
Aufgaben 257 bis 268
5.6. Die thermodynamische Temperatur T Die tiefste Temperatur, die ein Körper annehmen kann, beträgt rund – 273 °C. Nach der kinetischen Wärmetheorie hat dann jede Molekularbewegung aufgehört, die Atome stehen still. Mit Messungen ist man schon dicht an diesen absoluten Nullpunkt = – 273,15 °C herangekommen. Die Celsius-Temperaturskala mit dem willkürlich festgelegten Nullpunkt (Fixpunkt) und den positiven und negativen Temperaturangaben eignet sich nicht für physikalische Rechnungen. Man zählt daher vom absoluten Nullpunkt – 273,15 °C nur positive Temperaturwerte, behält aber die Celsiusteilung bei.
Vergleich der Kelvin-Temperaturskala (K) mit den Skalen nach Celsius (°C), Fahrenheit (°F) und Rankine (°R)
5.6. Die thermodynamische Temperatur T Beachte: Temperaturdifferenzen Δϑ = ϑ2 í ϑ1 für sog. empirische oder Celsiustemperaturen und ΔT = T2 íT1 für sog. thermodynamische oder absolute oder Kelvintemperaturen sind gleich groß. Die Teilabstände betragen 1/273,15 des Temperaturabstands zwischen absolutem Nullpunkt und Tripelpunkt des Wassers. Eine Vorstellung für das Erreichen der tiefstmöglichen absoluten Temperatur Tabs = í273,15 °C gibt das folgende Experiment: In einem abgeschlossenen Behälter (Volumen V = konstant) wird Gas erwärmt und dabei Druck p und Temperatur ϑ gemessen. Trägt man die Messwerte für p und ϑ in ein rechtwinkliges Achsenkreuz ein, entsteht das p-ϑ-Diagramm. Man stellt fest: Die Messpunkte liegen auf einer Gerade, es besteht eine lineare Abhängigkeit der beiden physikalischen Größen p und ϑ. Man kann erwarten, dass auch bei Abkühlung des Gases diese Abhängigkeit besteht. Die zu fallenden Temperaturen hin verlängerte Gerade zeigt bei einem Druck p = 0 die Temperatur ϑ = í273,15 °C. Da ein Druck p kleiner als null nicht erreichbar ist (absolutes Vakuum), muss í273,15 °C der absolute Nullpunkt für eine Temperatur sein. Zum gleichen Ergebnis führt folgende Überlegung: Kühlt man ein Gas bei konstantem Druck p immer weiter ab, ändert sich das Volumen Vϑ nach der rechts angegebenen Funktionsgleichung in Abhängigkeit von der Temperatur ϑ. Die Gleichung wurde im Kapitel 5.1.3 (Seite 80) entwickelt. Wie das nebenstehende Beispiel zeigt, ergibt sich bei der Temperatur von ϑ = í273,15 °C das zugehörige Gasvolumen Vϑ zu null (Vϑ = 0). Der Druck p = 0 in einem Behälter bedeutet ein absolutes Vakuum. Das ist nur theoretisch möglich und gilt ebenso für die absolute Temperatur von T = 0 K = í273,15 °C. Beachte: Jedes Gas wird bei einer bestimmten Temperatur und einem bestimmten Druck flüssig. Dann gelten die für sog. ideale Gase aufgestellten Gasgesetze (Gaszustandsgleichungen) nicht mehr.
•
Aufgabe 269
85 Beispiel: Ein Körper wird von 20 °C auf 300 °C erwärmt. Die Temperaturdifferenz beträgt dann Δϑ = ϑ2 – ϑ1 = 300 °C – 20 °C = 280 °C = = ǻT = 280 K.
Druck-Temperatur-Diagramm (p-ϑ-Diagramm)
Beispiel: § ϑ · Vϑ = V0 ¨ 1 + ¸ 273 K¹ ©
siehe 5.1.3. Seite 80
Bei ϑ = – 200 ºC besitzt ein Gas nur noch
Ê -200D C ˆ V-200 = V0 Á1 + = 273 K ˜¯ Ë 273 - 200 ˆ K Ê = V0 Á1 + ˜ Ë 273 ¯ K 73 V− 200 = V0 = 0 ,267 V0 273 1 also ungefähr seines Volumens bei 0 °C. 4 Bei ϑ = −273 D C ist
§ 273 − 273 · V−273 = V0 ¨ ¸=0 © 273 ¹
86
5. Wärmelehre
5.7. Die Gaszustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung) 5.7.1. Die zwei Ausgangsgleichungen
Druck-Volumengesetz (T = konstant)
p1V1 = p2V2
Der physikalische Zustand eines Gases wird durch drei physikalische Größen beschrieben: N durch den Gasdruck p in 2 m durch die Temperatur T in K durch das Volumen V in m3
(Seite 70)
Wenn man die Änderung des momentanen Zustands einer bestimmten Gasmenge untersuchen möchte, hat man zwei Gleichungen zur Verfügung: das Druck-Volumengesetz und das Temperatur-Volumengesetz. In beiden Gleichungen wird jeweils eine der drei Größen konstant gehalten, um die Veränderung der beiden anderen feststellen und beschreiben zu können.
§ 273 K + ϑ · Umstellung: Vϑ = V0 ¨ ¸ © 273 K ¹ 273 K + ϑ = Tϑ = T2 gesetzt,
§ ϑ · Vϑ = V0 ¨1 + ¸ 273 K¹ ©
TemperaturVolumengesetz (p = konstant)
(Seite 80)
273 K
= T0 = T1 gesetzt, ebenso für
V0 = V1 und Vϑ = V2: T V2 = V1 2 T1
Beide Gleichungen sollen nun zu einer zusammen gefasst werden. Zuvor wird das Temperatur-Volumengesetz mit Kelvin-Temperaturen geschrieben. Dazu ist es nur nötig, nach 5.6, Seite 84, für 273 K + ϑ =Tϑ und für 273 K = T0 einzusetzen. Zur Übereinstimmung stellt man noch auf gleiche Indizes um (1 und 2).
V1 T1 = V2 T2
TemperaturVolumengesetz ( p = konstant)
5.7.2. Zustandsänderung in zwei Schritten Um vom Zustand 1 einer abgeschlossenen Gasmenge, gekennzeichnet durch p1, V1, T1, zum Zustand 2, gekennzeichnet durch p2, V2, T2, zu kommen, muss man die Vorschriften einhalten, die den beiden Ausgangsgleichungen zugrunde liegen (p = konstant bzw. T = konstant).
p1 = konstant
T2 = konstant
1. Schritt Bei konstant gehaltenem Druck (Kolbengewichtskraft FG bleibt gleich) erwärmt man das Gas von T1 auf T2. Es dehnt sich dabei nach dem Temperatur-Volumengesetz auf das „Zwischenvolumen“ V ' aus. Der „Zwischenzustand“ ist gekennzeichnet durch die Zustandsgrößen p1, V ′, T2.
V1 T1 = V ' T2 TemperaturVolumengesetz
V ' = V1
T2 T1
5.7. Die Gaszustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung)
87
2. Schritt: Jetzt drückt man die Gasmenge mit zunehmender Kraft FG → FG + F vom Volumen V ′ auf V2 zusammen und sorgt dafür, dass die Temperatur T2 konstant bleibt. Dabei steigt der Druck von p1 auf p2 an und es gilt das Druck-Volumengesetz.
p1V ' = p2V2 Druck-Volumengesetz
5.7.3. Zusammenfassung der beiden Ausgangsgleichungen zur Gaszustandsgleichung In beiden Gleichungen erscheint das Zwischenvolumen V ′. Man löst beide Gleichungen nach V ′ auf und vereinigt sie zu einer Gleichung, mit der ohne Einschränkungen die Zustandsänderung eines Gases erfasst werden kann. Sie heißt daher Gaszustandsgleichung oder allgemeine Gasgleichung.
V ' = V1
T2 p = V2 2 T1 p1
p1V1 p2V2 = T1 T2
p
V
T
N m2
m3
K
p
r
T
N m2
kg m3
K
p
v
T
N m2
m3
Gaszustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung)
5.7.4. Die verschiedenen Formen der Gaszustandsgleichung Vielfach ist nicht das Volumen V, sondern die Dichte r des Gases gegeben. Da Masse m = Vr ist und die Masse bei der Zustandsänderung erhalten bleibt, kann für V1 = m /r1 und für V2 = m /r2 eingesetzt werden. Noch einfacher werden die Rechnungen mit dem spezifischen Volumen v = V / m. Es gibt das Volumen in m3/ kg Masse an.
p1 p = 2 T1 r 1 T2 r 2
p1v1 p2v2 = T1 T2
kg
K
5.7.5. Die drei Spezialfälle einer Gaszustandsänderung Die Gaszustandsgleichung beschreibt die gegenseitige Abhängigkeit der Zustandsgrößen Druck p, Temperatur T und Volumen V bei der Zustandsänderung einer abgeschlossenen Gasmenge.
Ausgangsgleichung für alle Untersuchungen ist die Gaszustandsgleichung: p1V1 p2V2 = T1 T2
Hält man eine der drei Zustandsgrößen während der Zustandsänderung konstant, hat diese Größe keinen Einfluss mehr auf die beiden restlichen Zustandsgrößen. Sie fällt aus der Gaszustandsgleichung heraus. Dadurch entstehen drei spezielle Gleichungen: 1. Bleibt die Temperatur T während einer Zustandsänderung konstant, ist die Gaszustandsgleichung mit T1 = T2 = T zu schreiben. Wird die Gleichung mit T multipliziert, erhält man das Druck-Volumengesetz in der bekannten Form.
p1V1 p2V2 = ·T T T p1V1 = p 2V2
Druck-Volumengesetz (T = konstant)
88
5. Wärmelehre
2. Hält man dagegen im Verlauf einer Zustandsänderung den Druck p der eingeschlossenen Gasmenge konstant, ist in die Gaszustandsgleichung p1 = p2 = p einzusetzen. Man erhält dann das bekannte TemperaturVolumengesetz. 3. Läuft die Zustandsänderung einer Gasmenge schließlich in einem der Größe nach unveränderten Behälter ab, bleibt das Volumen V konstant und man muss V1 = V2 = V einsetzen. Es ergibt sich dann ein Druck-Temperaturgesetz.
pV1 pV2 = :p T1 T2 V1 V2 = T1 T2
Temperatur-Volumengesetz (p = konstant)
p1V pV = 2 :V T1 T2 p1 p2 = T1 T2
Druck-Temperaturgesetz (V = konstant)
Die drei Gleichungen können auch in anderer Form geschrieben werden; das Temperatur-Volumengesetz etwa in der Form T1/T2 = V1/V2.
5.7.6. Die individuelle oder spezielle Gaskonstante Ri Gaszustandsgleichung mit der Dichte r geschrieben
Für die folgenden Betrachtungen soll die Gaszustandsgleichung in der Form benutzt werden, in der die Dichte r = m / V enthalten ist. Es ist bekannt, dass die Dichte r eine spezifische Größe (Stoffkonstante) ist. Sie ist bei Gasen vom Druck und von der Temperatur abhängig (siehe Tabelle 5.10, Seite 99).
p1 p = 2 T1r 1 T2r 2
Man sieht, dass der Quotient mit dem Index 1 den gleichen Betrag besitzt wie der Quotient mit dem Index 2. Was für die Zustandsänderung von 1 nach 2 gilt, muss auch für jede andere Zustandsänderung gelten, z.B. von 2 nach 3, nach 4, nach 5 usw.
p1 p p p p = 2 = 3 = 4 = T1r 1 T2r 2 T3r 3 T4r 4 T r
Demnach gilt allgemein:
Der Quotient p / Tr (oder auch p v / T) ist eine von der Gasart (Dichte r) abhängige Konstante, die spezielle Gaskonstante Ri. R i ist eine Stoffkonstante; Werte in Tabelle 5.10, Seite 99.
p = konstant Tr
Ri =
p pv = Tr T
Werte siehe Seite 99
Ri
p
T
r
v
Nm J = kg ⋅ K kg ⋅ K
N m2
K
kg m3
m3 kg
5.7. Die Gaszustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung) Die Einheit der Gaskonstanten R i erhält man in bekannter Weise aus der Definitionsgleichung. Wie man sieht, gibt die spezielle Gaskonstante den Arbeitsbetrag in Joule an, der erforderlich ist, um die Temperatur von 1 kg Gas um 1 K zu erhöhen. Aus der Definitionsgleichung für R i lässt sich die Dichte r eines Gases bei beliebigem Zustand berechnen, weil die spezielle Gaskonstante für jedes spezielle Gas einen speziellen Wert hat (siehe Seite 99).
•
89
N 2 (p ) Nm m (Ri ) = = = kg (T )(r) K kg K m3 ( Ri ) =
Nm J Ws = = kg ⋅ K kg ⋅ K kg ⋅ K
1 J = 1 Nm = 1 Ws r=
p Ri T
r
p
kg m3
N m2
Ri
T
J K kg ⋅ K
Aufgaben 270 bis 281
5.7.7. Die universelle Gaskonstante R Die spezielle Gaskonstante R i ist von der Art des Gases (Dichte r) abhängig, wie aus Tabelle 5.10, Seite 99, erkennbar ist. Diese Massenabhängigkeit lässt sich aufheben, wenn die Gaskonstante auf die Stoffmenge n in der Einheit mol (mol oder kilomol (kmol)) bezogen wird. Die Stoffmenge n ist eine Basisgröße mit der Basiseinheit mol. Nimmt man von beliebigen Gasen die Stoffmenge 1 kmol, so haben sie
•
gleiche Anzahl Moleküle, es sind 103 NA (Avogadro-Konstante NA)
•
gleiches Volumen (im Normzustand), es ist das molare Normvolumen Vmn
1 kmol = 10 3 mol
1 kmol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Teilchen (Molekülen) besteht wie Atome in 12 kg Kohlenstoff 12C enthalten sind. g kg m Molare Masse M = in oder n mol kmol Die molare Masse eines Stoffes sind soviel Gramm oder Kilogramm, wie seine relative Molekülmasse angibt. Beispiele: g kg = 44 mol kmol g kg = 32 = 32 mol kmol
M CO 2 = 44 M O2
Avogadro-Konstante 1A Ê Teilchen ˆ 1 A = 6,022 ¹ 1023 Á Ë mol2 ˜¯ Molares 1ormvolumen Vmn
Vmn = 22,415
Die universelle Gaskonstante R ergibt sich aus der Definition der speziellen Gaskonstanten R i, wenn man darin das molare Normvolumen Vmn und die Zustandsgrößen des Normzustands p0 und T0 einsetzt. Aus der universellen Gaskonstanten R lässt sich mit der molaren Masse M die spezielle Gaskonstante R i für jedes Gas berechnen.
pV R = 0 mn = T0 R = 8315
Ri =
R M
m3 kmol
1,01325 ⋅105
N m3 ⋅ 22, 4145 2 kmol m 273,15
J kmol ⋅ K
Ri
R
M
J J kg kg K kmol K kmol
90
5. Wärmelehre
5.7.8. Zusammenhang zwischen der speziellen Gaskonstanten Ri und den spezifischen Wärmekapazitäten cp, cv An den Einheiten von Ri, cp und cv kann man schon erkennen, dass es sich um physikalische Größen „gleicher Art“ handelt. Alle drei Größen geben offenbar eine auf die Masse (kg) und die Temperatur (K) bezogene Energiemenge in J = Nm = Ws an. Größen gleicher Art dürfen addiert und subtrahiert werden. Aus den Tabellen 5.4 und 5.10 können z.B. die Werte für Luft abgelesen werden (Seite 99 ): J R L = 287 kg K J cpL = 1005 kg K c vL = 718
J kg K
Ri , cp , cv =
Energiemenge Masse ⋅ Temperatur
( Ri ), (cp ), (cv ) =
1005
J kg K
− 718
J kg K
287
J kg ⋅ K
J = RL kg K
Wird cp – cv berechnet, erhält man den Betrag für die spezielle Gaskonstante Ri. Zum gleichen Ergebnis führen die Rechnungen bei allen Gasen. Feststellung: Die Differenz der spezifischen Wärmekapazitäten eines Gases bei konstantem Druck und konstantem Volumen ergibt dessen spezielle Gaskonstante Ri.
Ri = cp − cv
Das kann gar nicht anders sein, denn cp ist nur deshalb größer als cv, weil neben der Temperaturerhöhung noch die Ausdehnungsarbeit Wa = FG Δs = p A Δs = p V verrichtet wird. Da cp und cv auf die Masse m und die Temperatur T bezogen sind, muss man auch die Ausdehnungsarbeit Wa darauf beziehen und genauer schreiben: pV Wa = mT Mit V / m = 1/r erhält man dann für die Ausdehnungsarbeit Wa denselben Ausdruck wie für die spezielle Gaskonstante Ri nach 5.7.6, Seite 88: pV p Wa = = = Ri = cp - cv mT T r Man erkennt, dass die spezielle Gaskonstante Ri gleich der Ausdehnungsarbeit Wa ist, bezogen auf die Masse m in kg und auf die Temperatur in K. • Aufgabe 282
Gasausdehnung von 1 kg Gas bei p = konstant
Einheitenprobe: Ê pˆ (p ) N ¹ m3 Nm J = = = = ËÁ T r ¯˜ (T ) ¹ (r) m 2 ¹ K ¹ kg kg ¹ K kg K Das ist auch die Einheit von Ri (Seite 89) sowie von cp und cv.
5.8. Die Übertragung der Wärme Q
91
5.8. Die Übertragung der Wärme Q Wärmeenergie „fließt“ vom Ort ihrer Entstehung in Bereiche niedrigerer Temperatur, z.B. von der Schneide des Drehmeißels als Wärme Q l (Wärmeleitung) von Stoffteilchen zu Stoffteilchen, aIs Wärme Qs (Wärmestrahlung) vom Drehmeißel auf das Werkstück und umgekehrt, als Wärme Qü (Wärmeübergang) vom Drehmeißel an die bewegte Luft und als Wärme Qd (Wärmedurchgang) aus der Zimmerluft durch das Fenster in die Atmosphäre. Voraussetzung jeder selbsttätigen Wärmeübertragung ist ein Temperaturgefälle (außer bei Wärmestrahlung).
5.8.1. Übertragung durch Wärmeleitung Stoffteilchen höherer Temperatur geben Energie weiter an ihre benachbarten Teilchen in Bereichen von niedrigerer Temperatur. Bestimmt man die durch den Körper geleitete Wärme Q l und dividiert sie durch die Querschnittsfläche A, die Zeit t und den Quotienten aus der Temperaturdifferenz ΔT und der Länge s, erhält man als spezifische Größe der Wärmeleitung die Wärmeleitfähigkeit λ:
λ=
Wärmeleitung durch Körper mit ebenen Wänden
Ql Q ls = ΔT ϑ At ( 1 − ϑ 2) At s
Die Wärmeleitfähigkeit λ (Tabellen 5.11 ... 5.13 auf den Seiten 99, 100) gibt demnach die Wärme in J an, die in 1 h bei einem Durchtrittsquerschnitt von 1 m2 und einem Temperaturunterschied von 1 K die Stoffdicke von 1 m durchströmt. λ ändert sich mit der Temperatur und bei Gasen auch mit dem Druck. Aus der Mess- und Rechenvorschrift für die Wärmeleitfähigkeit λ erhält man eine Beziehung für die übertragene Wärme Q l bei Wärmeleitung durch Körper mit ebenen Wänden. Diese Gleichung gilt auch für dünnwandige Rohre mit A = π d l (innere Mantelfläche) d Innendurchmesser, l Rohrlänge
( Ȝ) =
J mhK
A Q l = λ (ϑ1 − ϑ 2 ) t s
Wärme für ebene Wände und dünnwandiges Rohr
A l, s, d ϑ t λ J J m2 m ºC h mhK
Ql
ϑ1, ϑ2 Oberflächentemperaturen, A Fläche, s Wanddicke, t Zeit
92
5. Wärmelehre
Der Wärmestrom Φ l ist diejenige Wärme in J, die in 1 h übertragen wird. Zur Berechnung wird die Gleichung für Φ l durch die Zeit t dividiert.
A Φ l = λ (ϑ1 − ϑ 2 ) s
Für ebene mehrschichtige Wände kann man eine Gleichung für den Wärmestrom Φ l aus folgender Überlegung entwickeln:
Einheitenprobe: J m2 J ⋅ ⋅K = (Φ l ) = mhK m h
Wärmestrom für ebene Wände und dünnwandige Rohre
Der Wärmestrom Φ l wird zunächst durch die Temperaturdifferenz ϑ3 – ϑ4 und die Wärmeleitzahl λ3 bestimmt. Dazu wird die bekannte Gleichung für die ebene Wand benutzt
Φl =
λ3 A s3
(ϑ 3 − ϑ 4 ) =
λ3 A s3
ϑ3 −
λ3 A s3
ϑ4
Wärmestrom Φ l bei mehrschichtiger Wand
und nach ϑ3 aufgelöst:
ϑ3 =
Φ l s3 + ϑ4. λ3 A
Ebenso ergibt sich für ϑ2 die Beziehung
ϑ2 =
Φ l s2 Φ l s2 Φ l s3 + ϑ3 = + + ϑ4, λ2 A λ2A λ3 A
und schließlich für ϑ1
ϑ1 =
Φ l s1 Φ l s 2 Φ l s 3 + + + ϑ4. λ1A λ2A λ3 A
Abschließend erhält man eine Gleichung für den Wärmestrom Φ l auch in allgemeiner Form:
ϑ1 - ϑ 4 =
Φ l È s1 s2 ˘ Φl s + ...˙ = Í + Âλ A Î λ1 λ2 A ˚
mit s
Âλ
=
s1
λ1
+
s2
λ2
+ .... +
sn
λn
Für dickwandige Rohre steht in der Gleichung für den Wärmestrom Φ l der natürliche Logarithmus des Durchmesserverhältnisses (In (D / d )).
Φl =
A(ϑ max - ϑ min ) s
Âλ
Φl
A
ϑ
s
J h
m2
ºC
m
Wärmestrom für ebene mehrschichtige Wände
λ J mhK Wärmeleitung durch dickwandiges Rohr
5.8. Die Übertragung der Wärme Q Die Gleichung für den Wärmestrom kann hier nicht hergeleitet werden. l ist die Rohrlänge.
93 Φl =
2p λ l (ϑ1 - ϑ 2 ) Ê Dˆ ln Á ˜ Ëd¯
Wärmestrom für dickwandige Rohre
Für mehrschichtige Hohlzylinder (Rohre) steht im Nenner der Gleichung für den Wärmestrom Φ l analog zur mehrschichtigen Wand ein Summenausdruck. Die einzelnen Glieder des Nenners sind die Quotienten aus den natürlichen Logarithmen der Durchmesserverhältnisse und den zugehörigen Wärmeleitzahlen. Bei drei Schichten steht dann: ln(d 2/d1)
λ1
+
ln(d 3/d 2)
λ2
+
ln(d 4 /d 3)
λ3 Φl =
•
Aufgaben 283 bis 285
2p l (ϑ max - ϑ min ) ln(D/d )
Â
λ
5.8.2. Übertragung durch Wärmeübergang Geht eine Wärme Qü von einer strömenden Flüssigkeit oder von einem strömenden Gas an eine feste Wand über (oder umgekehrt), spricht man von Wärmeübergang (Konvektion).
Wärmeübergang Spezifische Größe des Wärmeübergangs ist der Wärmeübergangskoeffizient α. Er gibt diejenige Wärme in J an, die bei einer Berührungsfläche von 1 m2 und einer Temperaturdifferenz von 1 K in 1 h übergeht (Tabellen 5.14 und 5.15, Seite 100).
(Į ) =
Die Gleichung zur Bestimmung der übergehenden Wärme Qü enthält neben dem Wärmeübergangskoeffizienten α, der Wärme übertragenden Fläche A und der Übertragungszeit t die mittlere Temperatur ϑ fl des strömenden Mediums und die Wandtemperatur ϑw.
Qü = α A (ϑ fl − ϑ w )t Qü J
J m 2 hK
α
ϑ
t
J m2 ºC 2 m hK
h
A
94
5. Wärmelehre
5.8.3. Übertragung durch Wärmedurchgang Wärmedurchgang ist die Wärmeübertragung von einem flüssigen oder gasförmigen Körper durch eine Trennwand auf einen kälteren flüssigen oder gasförmigen Körper. Der Durchgang wird in Teilvorgänge zerlegt: a) Wärmeübergang Flüssigkeit (ϑ1) → Wandoberfläche (ϑw1) b) Wärmeleitung Wandoberfläche(ϑw1) → Wandoberfläche (ϑw2) c) Wärmeübergang Wandoberfläche (ϑw2) → kältere Flüssigkeit(ϑ2)
Wärmedurchgang durch eine ebene Wand (einschichtig)
Die durchgehende Wärme Qd wird mit der Durchgangsfläche A, der Temperaturdifferenz ϑ1 – ϑ2 der beiden strömenden Medien und der Durchgangszeit t bestimmt.
Qd = k A(ϑ1 − ϑ 2 )t
Spezifische Größe des Wärmedurchgangs ist der Wärmedurchgangskoeffizient k (Tabelle 5.16, Seite 101). Er gibt diejenige Wärmemenge in J an, die bei einer Wandfläche von 1 m2 und einer Temperaturdifferenz von 1 K in 1 h hindurch geht.
(k ) =
Für ebene mehrschichtige Wände Iässt sich der Wärmedurchgangskoeffizient k aus den Wärmeübergangskoeffizienten α1, α2 und der Wärmeleitfähigkeit λ bestimmen.
k=
ϑ
t
J m2 ºC 2 m hK
h
Qd
k
J
A
J m2h
K
1 1
α1
+
s
1
 λ + α2
Der Summenausdruck im Nenner ist von der Wärmeleitung in mehrschichtigen Wänden bekannt (5.8.1, Seite 91). Für mehrschichtige Hohlzylinder bestimmt man den Wärmedurchgangskoeffizienten k mit: d i Innendurchmesser der innersten Schicht, Da Außendurchmesser der äußersten Schicht, D / d > 1 Durchmesserverhältnis einer Schicht. Auch hier kennt man den Summenausdruck im Nenner von der Wärmeleitung in mehrschichtigen Hohlzylindern her (5.8.1, Seite 91).
•
Aufgaben 286 bis 288
k =
1 d + i αi 2 1
 λ ln ÊÁË d ˆ˜¯ + α a Di a 1
D
d
5.8. Die Übertragung der Wärme Q
95
5.8.4. Übertragung durch Wärmestrahlung Jeder Körper, dessen Temperatur über dem absoluten Nullpunkt liegt (0 K = – 273 °C), strahlt Energie in Form von elektromagnetischen Wellen1) aus. Beim Auftreffen auf einen anderen Körper wird sie zum Teil wieder in Wärme zurückverwandelt. Stehen sich z.B. zwei Bleche unterschiedlicher Temperatur im Vakuum gegenüber (keine Wärmeleitung!), so gleichen sich ihre Temperaturen aus. Dabei strahlen sich beide Körper Energie zu, nur ist die Strahlungsleistung des wärmeren größer als die des kälteren. Auch nach dem Temperaturausgleich geht die Strahlung weiter, nur ist jetzt die abgegebene Strahlungsenergie gleich der aufgenommenen (Qs1 = Qs2).
Wärmeübertragung auch durch Vakuum
Bringt man Stahlbleche gleicher Temperatur aber von unterschiedlicher Oberflächenbeschaffenheit (z.B. poliert, gestrichen, emailliert) vor ein Thermometer, zeigt sich unterschiedliche Strahlungsleistung der Prüfkörper. Stoffart und Oberflächenbeschaffenheit beeinflussen offenbar den Betrag der abgestrahlten Wärme Qs. Beim sogenannten absolut schwarzen Körper sind Absorption (das Aufsaugen) und Emission (das Ausstrahlen) am größten. Spezifische Größe für die Wärmestrahlung des absolut schwarzen Körpers ist die
Strahlungsenergie Qs3 > Qs2 > Qs1, lm konstanter Messabstand
Strahlungskonstante Cs auch allgemeine Strahlungskonstante
Cs = 2,08 ⋅ 10 −4
genannt (Stefan und Boltzmann 1884). Mit dieser Strahlungskonstanten lässt sich die vom absolut schwarzen Körper aus der Fläche A in der Zeit t ausgestrahlte Wärme Q bestimmen.
J
Siehe elektromagnetisches Spektrum Seite 157
m h K4
Wärme für absolut schwarzen Körper
Qs = Cs AT 4t
Qs
1)
J 2
Cs
A
T
t
J m2 m2 h K 4
K
h
96
5. Wärmelehre
Die vom realen Körper abgestrahlte Wärme ist stets kleiner als die des absolut schwarzen Körpers. Man arbeitet daher mit dem Gesetz von Stefan und Boltzmann, ersetzt aber die Strahlungskonstante Cs durch die kleinere Strahlungszahl C nach Tabelle 5.17, Seite 101. Der Verkleinerungsfaktor ist das Emissionsverhältnis ε (Ausstrahlungsverhältnis). ε ändert sich mit der Temperatur, wird aber sonst als konstant angesehen. In Wirklichkeit ändert sich ε auch mit der Wellenlänge. So absorbieren viele helle Flächen im Bereich der Lichtstrahlen (λ = 0,4 ... 0,8 μm) wenig, im Bereich der ultraroten Wärmestrahlung (λ = 0,8 ... 800 μm) dagegen viel.
Qs = C AT 4t
Wärme für wirklichen Körper
Qs = ε Cs AT t 4
Qs
C, Cs
A
T
t
ε
J
J m2 h K 4
m2
K4
h
1
ε=
C = ε Cs
C Cs
C, ε nach Tabelle 5.17, Seite 101
Stehen sich zwei Körper mit parallelen Flächen A1, A2 gegenüber und ist außerdem A2 ≥ A1, wird mit der Strahlungsaustauschzahl C12 (sprich C eins zwei) gerechnet.
C12 =
Die Strahlungszahlen C1, C2 erhält man aus dem Emissionsverhältnis (Tabelle 5.17, Seite 101) und der Strahlungskonstanten Cs.
C1 = ε1Cs
1 1 1 1 + − C1 C2 Cs
C12 ist stets kleiner als C1 und C2
C2 = ε 2Cs
Umhüllt die Fläche A2 die Fläche A1, so wird die Strahlungsaustauschzahl C12 noch durch das Verhältnis beider Flächen (A1/A2) beeinflusst. Wie aus der Gleichung herauszulesen ist, wird bei verhältnismäßig großer Fläche A2 Ԡ A1 die Strahlungsaustauschzahl C12 ungefähr gleich der Strahlungszahl C1, also C12 ≈ C1.
C12 =
Sowohl für parallele als auch umhüllende Flächen kann nun die durch Strahlung ausgetauschte Wärme Q12 bestimmt werden. Als Strahlungsfläche ist dabei die kleinere der beiden Flächen einzusetzen. Man erkennt auch hier wieder, dass die durch Strahlung übertragene Wärme stark von der Kelvin-Temperatur T der Körper abhängt, denn T erscheint in der vierten Potenz. Verhältnismäßig geringe Temperaturerhöhung in einer Warmwasserheizung beispielsweise erhöht die abgestrahlte Wärme erheblich.
Q12 = C12 A1 (T14 − T24 )t
•
Aufgaben 289 bis 291
Q12 J
1 1 A1 § 1 1 · ¨ ¸ + − C1 A2 ¨© C2 Cs ¸¹
C12
A T1, T2
J m2 m2 h K 4
K
t h
5.8. Die Übertragung der Wärme Q
97
Tabelle 5.1 Längenausdehnungskoeffizient α l fester Stoffe in 1/K zwischen 0 °C und 100 °C (Volumenausdehnungskoeffizient αv = 3 α l)
Aluminium Baustahl Blei Bronze Chromstahl Glas Gold Gusseisen
23,8 · 10–6 12,0 · 10–6 29,0 · 10–6 17,5 · 10–6 11,0 · 10–6 9,0 · 10–6 14,2 · 10–6 10,4 · 10–6
1,6 · 10–6 4,5 · 10–6 (10 ... 50) · 10–6 16,5 · 10–6 26,0 · 10–6 18,4 · 10–6 13,0 · 10–6 9,0 · 10–6
Invarstahl Jenaer Glas Kunststoffe Kupfer Magnesium Messing Nickel Platin
Porzellan PVC Quarzglas Hartmetall Wolfram Zink Zinn Zinnbronze
3,0 · 10–6 78,1 · 10–6 0,5 · 10–6 5,3 · 10–6 4,5 · 10–6 30,1 · 10–6 23,0 · 10–6 17,8 · 10–6
Tabelle 5.2 Volumenausdehnungskoeffizient αv von Flüssigkeiten in 1/K bei 18 °C
11,0 · 10–4 16,3 · 10–4 12,4 · 10–4 5,0 · 10–4
Äthylalkohol Äthyläther Benzol Glycerin
7,2 · 10–4 1,8 · 10–4 5,6 · 10–4 1,8 · 10–4
Olivenöl Quecksilber Schwefelsäure Wasser
Tabelle 5.3 Mittlere spezifische Wärmekapazität cm fester und flüssiger Stoffe zwischen 0 °C und J 100 °C in kg K
Aluminium Beton Blei Eichenholz Eis Eisen (Stahl) Fichtenholz Glas Graphit Gusseisen Kieselgut
913 1 005 130 2 390 2 050 460 2 720 796 879 544 879
Kork Kupfer Marmor Messsing Nickel Platin Quarzglas Quecksilber Sandstein Schamotte Silber
2 010 390 879 385 444 134 766 138 921 795 234
Steinzeug Ziegelstein Alkohol Ammoniak Aceton Benzol Glycerin Maschinenöl Petroleum Schwefelsäure Wasser
775 921 2 430 4 187 2 390 1 840 2 430 1 675 2 093 1 380 4 187
Tabelle 5.4 Mittlere spezifische Wärmekapazität cm und cv einiger Gase zwischen 0 °C und 100 °C J in kg K
CO
CO2
Luft
CH4
O2
N2
H2O
0 °C: cp cv
1 038 741
707 519
1 005 718
2 156 1 637
913 653
1 038 741
1 855 1 394
14 235 10 111
100 °C: cp cv
1 043 745
871 682
1 009 720
2 260 1 742
921 662
1 043 745
1 867 1 407
14 319 10 195
H2
98
5. Wärmelehre
Tabelle 5.5 Schmelzenthalpie hs fester Stoffe in
Aluminium Blei Eis Gusseisen
3,935 · 105 0,25 · 105 3,35 · 105 0,963 · 105
J bei 101325 Pa = 1,01325 bar kg
Kupfer Magnesium Nickel Platin
2,093 · 105 2,093 · 105 2,93 · 105 1,13 · 105
Tabelle 5.6 Verdampfungs- und Kondensationsenthalpie hv in
8,8 · 105 4,4 · 105 2,85 · 105
Alkohol Benzol Quecksilber
Sauerstoff Stickstoff
Stahl Zink Zinn
2,51 · 105 1,047 · 105 0,586 · 105
J bei 101 325 Pa = 1,01325 bar kg
2,14 · 105 2,01 · 105
Wasser Wasserstoff
22,5 · 105 5,0 · 105
Tabelle 5.7 Siede- und Kondensationspunkte einiger Stoffe in °C bei 101 325 Pa = 1,01325 bar
Alkohol Benzin Benzol Blei Eisen Glycerin Gold
78 95 80 1 730 2 500 290 2 650
Helium Kohlenoxid Kupfer Magnesium Mangan Methan Quecksilber
–269 –190 2 310 1 100 2 100 –164 357
Sauerstoff Silber Stickstoff Wasser Wasserstoff Zink Zinn
–183 2 000 –196 100 –253 915 2 200
Tabelle 5.8 Temperatur-Umrechnungen
ϑ
in Grad Celsius (°C):
ϑF
in Grad Fahrenheit (°F):
T
in Kelvin (K):
TR
in Grad Rankine (°R):
5 5 (ϑF – 32) = T – 273,15 = (TR – 491,67) 9 9 9 9 ϑF = ϑ + 32 = Τ – 459,67 = TR – 459,67 5 5 5 5 Τ = ϑ + 273,15 = ϑF + 255,37 = TR 9 9 9 9 ΤR = ϑ + 491,67 = ϑF + 459,67 = Τ 5 5
ϑ =
Beachte: Grad Fahrenheit und Grad Rankine werden in Großbritannien und in den USA verwendet. Der Grad Rankine verhält sich zum K wie der °F zum °C; es ist 1 °R = 59 K. Der Grad Reaumur ist veraltet und nicht mehr üblich. Tabelle 5.9 Temperatur-Fixpunkte bei 101 325 Pa = 1,01325 bar
Sauerstoff (Siedepunkt) Wasser (Tripelpunkt) Wasser (Siedepunkt)
– 182,97 °C 0,01 °C 100,00 °C
Olivenöl Quecksilber Schwefelsäure
444,60 °C 960,80 °C 1 063,00 °C
5.8. Die Übertragung der Wärme Q
99
Tabelle 5.10 Spezielle Gaskonstante Ri, Dichte r und Verhältnis γ =
Gasart
Atomzahl
Argon (Ar) Acetylen (C2H2) Ammoniak (NH3) Helium (He) Kohlendioxid (CO2) Kohlenmonoxid (CO) Luft Methan (CH4) Sauerstoff (O2) Stickstoff (N2) Wasserdampf (H2O) Wasserstoff (H2) 1)
Ri in
1 4 4 1 3 2 – 5 2 2 3 2
J kg K
208 320 488 2 078 189 297 287 519 260 297 462 4 158
r in
kg m3
1,7821 1,1607 0,7598 0,1786 1,9634 1,2495 1,2922 0,7152 1,4276 1,2499 – 0,0899
1)
einiger Gase
γ
molare Masse M (gerundet)
1,66 1,26 1,31 1,66 1,30 1,40 1,40 1,32 1,31 1,40 1,40 1,41
40 26 17 4 44 28 – 16 32 28 18 2
Die Werte gelten für die Temperatur von 0 °C und für einen Druck von 101 325
Aluminium Asbestwolle Asphalt Bakelit Beton Blei Duraluminium Eichenholz, radial Eis bei 0 °C Eisenzunder (1000 °C) Fensterglas Fichtenholz, axial –, radial Gips, trocken1) Gold Graphit Hartgummi
754 0,3 2,5 0,8 4,6 126 628 0,6 8,1 5,9 4,2 0,84 0,42 1,5 1 120 500 0,6
(209) (0,08) (0,69) (0,22) (1,28) (35) (174) (0,17) (2,25) (1,64) (1,17) (0,23) (0,12) (0,42) (310) (140) (0,17)
Kesselstein, amorph1) –, gipsreich –, kalkreich1) Kies Kohle, amorph1) –, graphitisch Korkplatten Kupfer Leder Linoleum Magnesium Marmor Messing Mörtel und Putz Nickel Nickelstahl (30 % Ni) Porzellan
4 5,5 1,8 1,3 0,63 4,2 0,17 1 360 0,6 0,67 510 10,5 376 3,4 293 42 4,5
(1,1) (1,53) (0,5) (0,36) (0,17) (1,17) (0,05) (380) (0,17) (0,19) (142) (2,92) (104) (0,94) (81) (11,7) (1,3)
Mittelwerte
Tafelbeispiel: Für Aluminium ist λ = 754 · 103
N = 1,01325 bar. m2
J W Klammerwerte in mhK mK
Tabelle 5.11 Wärmeleitfähigkeit λ fester Stoffe bei 20 °C in 103
1)
cp cv
J W = 209 m hK mK
Quarzglas Ruß Sandstein Schamottestein1) –, (1000 °C) Schaumgummi1) Schnee1) Silber Stahl (0,1 % C) – (0,6 % C) – (18 % Cr, 8 % Ni) Ziegelmauer, außen –, innen Zink Zinn
5,0 0,17 6,7 3 3,6 0,2 0,5 1 500 193 150 54 3,1 2,5 406 239
(1,39)
(0,8) (1,0) (0,06) (0,14) (420) (54) (42) (15) (0,86) (0,7) (113) (66)
100
5. Wärmelehre
Tabelle 5.12 Wärmeleitfähigkeit λ von Flüssigkeiten bei 20 °C in
Ammoniak Äthylalkohol Aceton Benzin
1 800 (0,5) 700 (0,19) 600 (0,17) 500 (0,14)
Glycerin –, mit 50 % Wasser Paraffinöl Quecksilber
J W ; Klammerwerte in m hK mK
1 000 (0,28) 1 500 (0,42) 460 (0,13) 33 000 (9,2)
Spindelöl Transformatorenöl Wasser Xylol
500 (0,14) 460 (0,13) 2 200 (0,61) 470 (0,13)
J W = m hK mK
Tafelbeispiel: Für Ammoniak ist λ = 1 800
Tabelle 5.13 Wärmeleitfähigkeit λ von Gasen in Abhängigkeit von der Temperatur (Näherungswerte) J W in ; Klammerwerte in m hK mK
Luft Wasserdampf Argon
0 °C
200 °C
400 °C
600 °C
800 °C
1000 °C
84 (0,023) 63 (0,017) 59 (0,016)
47 (0,013) 117 (0,032) 92 (0,026)
188 (0,052) 197 (0,055) 126 (0,035)
222 (0,062) 293 (0,081) 155 (0,043)
251 (0,07)
281 (0,078)
184 (0,05)
209 (0,058)
Tabelle 5.14 Wärmeübergangskoeffizient α für Dampferzeuger bei normalen Bedingungen (Mittelwerte) in
J m2
in
K
α1 = (83 ... 209) · 103 α2 = (210 ... 420) · 106 Überhitzer α1 = (125 ... 209) · 103 Lufterhitzer α1 = (42 ... 83) · 103 Wasservorwärmer α1 = (63 ... 126) · 103 α2 = (210 ... 330) · 106 Verdampfer
zwischen Feuergas und Wand zwischen Wand und Wasser zwischen Rohrwand und Feuergas oder Dampf zwischen Blechwand und Luft oder Feuergas zwischen Feuergas und Rohrwand zwischen Rohrwand und Wasser
Tabelle 5.15 Wärmeübergangskoeffizient α für Luft von 20 °C in
J m 2 hK
W m2 K
23 ... 58 (58 ... 117)·103 35 ... 58 12 ... 23 17 ... 35 (58 ... 92) · 103
in Abhängigkeit
von der Luftgeschwindigkeit w w≤5
glatte, polierte Wand Wand mit Walzhaut rauhe Wand
m s
α = (20 + 14 w) · 103 α = (21 + 14 w) · 103 α = (22,2 + 15 w) · 103
w>5
m s
α = 25,6 · 103 w0,78 α = 25,7 · 103 w0,78 α = 27,1 · 103 w0,78
5.8. Die Übertragung der Wärme Q
101
Tabelle 5.16 Wärmedurchgangskoeffizient k bei normalem Kesselbetrieb (Mittelwerte)
in
J
in
m 2 hK
(42 ... 126) · 103 (83 ... 209) · 103 (83 ... 251) · 103 (33 ... 63) · 103
für Wasservorwärmer für Verdampferheizfläche für Berührungsüberhitzer für Plattenlufterhitzer
W m2K
11,7 ... 35 23 ... 58 23 ... 70 9,2 ... 17,5
Tabelle 5.17 Emissionsverhältnis ε und Strahlungszahl C bei 20 °C
ε absolut schwarzer Körper Aluminium, unbehandelt –, poliert Glas Gusseisen, ohne Gusshaut Kupfer, poliert Messing, poliert Öle Porzellan, glasiert Stahl, poliert Stahlblech, verzinkt –, verzinnt Dachpappe
1 0,07 ... 0,09 0,04 0,93 0,42 0,045 0,05 0,82 0,92 0,28 0,23 0,06 ... 0,08 0,91
J m 2 hK 4 20,8 · 10–5 (1,47 ... 1,88) · 10–5 0,796 · 10–5 19,3 · 10–5 8,8 · 10–5 0,92 · 10–5 1,05 · 10–5 16,96 · 10–5 19,17 · 10–5 5,86 · 10–5 4,69 · 10–5 (1,3 ... 1,7) · 10–5 18,92 · 10–5
C in
W m2K 4 5,78 · 10–8 (0,41 ... 0,52) · 10–8 0,22 · 10–8 5,36 · 10–8 2,44 · 10–8 0,26 · 10–8 0,29 · 10–8 4,71 · 10–8 5,32 · 10–8 1,63 · 10–8 1,30 · 10–8 (0,36 ... 0,47) · 10–8 5,26 · 10–8
C in
102
6. Mechanische Schwingungen
6.1. Beschreibung der mechanischen Schwingung Im Außenring eines geteilten Kugellagers liegt eine Kugel in Stellung A. Das ist die stabile Gleichgewichtslage (Ruhelage). Bringt man die Kugel in eine labile Lage, z.B. in Stellung B, dann „schwingt“ sie zurück. Sie durchläuft die Ausgangsstellung A, schwingt infolge ihrer Trägheit darüber hinaus bis C (nicht ganz so hoch, wegen der Reibung) und läuft dann wieder zurück. Der Vorgang wiederholt sich periodisch, z.B. auch beim Pendel einer Uhr.
Begriff der mechanischen Schwingung, FR Rückstellkraft
Bewegt sich ein Körper selbsttätig aus einer labilen Lage über die stabile Lage hinaus und wieder zurück, so hat er eine mechanische Schwingung ausgeführt. Die Kugel kommt dann zur Ruhe, wenn ihre – beim „Auslenken“ von A nach B hineingebrachte – potenzielle Energie durch die Reibungsarbeit aufgezehrt worden ist. Sie führt eine gedämpfte mechanische Schwingung aus. Ursache der Dämpfung ist stets innere und äußere Reibung (Luftreibung, Flüssigkeitsreibung usw.). Bei einer gedämpften mechanischen Schwingung wird die Auslenkung des schwingenden Körpers immer kleiner. Soll die Auslenkung konstant bleiben, muss dem schwingenden System periodisch Energie zugeführt werden (Pendeluhr).
Beispiel: Blattfeder Alle Federn führen gedämpfte Schwingungen aus. Die Blattfeder (dünnes Lineal) kommt durch Reibung der Stoffteilchen im Innern und durch Luftreibung zur Ruhe.
Gedämpfte Schwingung einer Blattfeder
6.2. Die Rückstellkraft F R Die Ursache der mechanischen Schwingung kann nur eine resultierende Kraft sein (dynamisches Grundgesetz), denn nur dadurch setzt sich ein ruhender Körper in Bewegung. Diese resultierende Kraft heißt Rückstellkraft FR. Sie ist im Fall der (reibungsfrei) schwingenden Kugel die in Bewegungsrichtung wirkende Komponente der Gewichtskraft FG.
Beispiel für das Erkennen der Rückstellkraft: Gleichgewichtslage (Ruhelage). Auftriebskraft Fa = Gewichtskraft FG Keine Rückstellkraft vorhanden (FR = 0).
6.4. Die harmonische Schwingung Schwimmt z.B. ein Holzquader mit der Eintauchtiefe Δs im Wasser und drückt man ihn um die Strecke y tiefer in die Flüssigkeit hinein, schwingt er um seine Ruhelage, sobald man ihn loslässt. Die Rückstellkraft FR ist hier die Differenz aus der Auftriebskraft Fa und der Gewichtskraft FG (Fa wirkt nach oben, FG nach unten). Ursache der mechanischen Schwingung ist die Rückstellkraft FR. Sie ist die Resultierende der auf den Körper wirkenden Kräfte und stets zur Ruhelage hin gerichtet (Gleichgewichtslage, Nulllage).
6.3. Das Rückstellmoment MR Der geradlinigen mechanischen Schwingung steht die Drehschwingung gegenüber, z.B. bei der Torsionsstabfeder (Drehstabfeder) im Kraftfahrzeugbau. Es ist bekannt, dass der Kraft F bei der geradlinigen Bewegung stets das Kraftmoment M (Drehmoment) bei der Drehbewegung entspricht (vgl. z.B. mechanische Arbeit bei Drehbewegung). Der Torsionsstab wird durch die Kraft F am Hebelarm r elastisch verformt. In jeder Schnittebene x–x entsteht dann durch diese Verformung ein Torsionsmoment, das als Rückstellmoment MR bezeichnet wird. Ursache der Drehschwingung ist das Rückstellmoment MR. Es entspricht der Rückstellkraft FR der geradlinigen Schwingung.
6.4. Die harmonische Schwingung 6.4.1. Beschreibung Vor einer Projektionswand werden zwei Schwerependel im Abstand a1, a2 an der Zimmerdecke befestigt und auf die gleiche Periodendauer (Schwingungsdauer) eingestellt. Mit einem Lineal lenkt man beide Pendel gleich weit aus (Schattendeckung). Auf der Projektionswand sieht man nur eine Kugel schwingen, und zwar um so klarer, je kleiner die Auslenkung war. Dann gibt man dem vorderen Pendel P2 im Umkehrpunkt mit einem Brett einen zur Schwingungsebene rechtwinkligen Stoß. P1 schwingt nun geradlinig (linear), P2 dagegen gleichförmig auf einer Kreisbahn.
103
Auftriebskraft Fa > Gewichtskraft FG. Rückstellkraft FR zur Ruhelage hin gerichtet.
Auftriebskraft Fa < Gewichtskraft FG. Rückstellkraft FR zur Ruhelage hin gerichtet.
104
6. Mechanische Schwingungen
Man kann feststellen: Auch jetzt decken sich die Schatten der beiden schwingenden Pendel, d.h. die lineare Schwingung des Pendels P1 ist die Projektion der gleichförmigen Kreisbewegung des Pendels P2. Festzulegen ist: Jede lineare (geradlinige) Schwingung, die sich als Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung darstellen lässt, heißt harmonische Schwingung.
6.4.2. Die Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung Bis jetzt ist bekannt: a) die gleichförmige Bewegung (v-Linie ist eine zur t-Achse parallele Gerade), Beschleunigung a = 0; b) die gleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung (die v-Linie ist eine geneigte Gerade), Beschleunigung a = konstant. Zur harmonischen Schwingung kommt noch hinzu: c) die ungleichmäßig beschleunigte (verzögerte) Bewegung (v-Linie ist eine Kurve), Beschleunigung a ≠ konstant. Wenn nun die Bewegung eines harmonisch schwingenden Punktes untersucht werden soll, dann ist es am einfachsten, vom gleichförmig umlaufenden Punkt P auf der Kreisbahn auszugehen, denn a) die Kreisbahngesetze sind bekannt und b) einem Umlauf des Punktes P auf der Kreisbahn entspricht eine Auf- und Abbewegung (oder Hin- und Herbewegung) des projizierten Punktes. Zunächst wird festgestellt, in welcher Weise sich die Auslenkung y (also der Weg des projizierten Punkts) mit der Zeit t ändert.
6.4. Die harmonische Schwingung
105
6.4.2.1. Das Auslenkungs-Zeit-Gesetz des harmonisch schwingenden Punktes Der Punkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω von 0 nach 1. Der Radius r hat dabei den Drehwinkel Δϕ überstrichen. Die zugehörige momentane Auslenkung y von der Mittellage (Nulllage) ist die Sinus-Komponente des Radius (y = r · sin Δϕ ). Wird für ω = Δϕ /Δt und daraus Δϕ = ω · Δt (2.6.2, Seite 20) gesetzt, erhält man das Auslenkungs-Zeit-Gesetz. Für Δt wird hier verkürzt t geschrieben und gesprochen, also auch „Omega-t“.
y = r sin Δϕ y = r sin(ω Δt ) y = r sin(ω t )
6.4.2.2. Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz Der Punkt P besitzt die stets tangential gerichtete Umfangsgeschwindigkeit vu, von der ausgegangen werden muss (2.6.3, Seite 22). vu ist wie ω konstant. Man kann vu in zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten zerlegen. Davon interessiert nur die Kosinus-Komponente vy, denn sie ist die momentane Geschwindigkeit des auf der Projektionsebene schwingenden Punktes P. Da vu = r ω ist, erhält man mit vy = vu cos Δϕ das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz.
vy = vu cos Δϕ vy = rω cos(ω t ) Êʌ ˆ vy = rω sin Á ± ω t ˜ Ë2 ¯
Beachte: Es ist cos Δϕ = sin (90° ± Δϕ), also §ʌ · cos (ω t) = sin ¨ ± ω t ¸ . 2 © ¹ 6.4.2.3. Das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz Jeder auf einer Kreisbahn umlaufende Punkt – auch der gleichförmig umlaufende – wird in jedem Augenblick zum Mittelpunkt M hin beschleunigt. Diese Beschleunigung heißt Zentripetalbeschleunigung az (vergleiche 2.6.8, Seite 27). Die momentane Beschleunigung des Punktes P in der Projektionsebene ist die Sinus-Komponente ay. Da az = r ω 2 ist (2.6.8, Seite 28), erhält man mit ay = – az sin Δϕ das Beschleunigungs-ZeitGesetz. Beachte: Die Beschleunigung ay ist stets der Auslenkung y entgegengerichtet (siehe Bilder auf dieser Seite). Deshalb steht rechts vom Gleichheitszeichen das Minuszeichen. [
ay = − az sin Δϕ ay = − rω 2 sin(ω t ) ay = − yω 2
106
6. Mechanische Schwingungen
6.4.3. Die grafische Darstellung der drei Bewegungsgesetze für die harmonische Schwingung Werden über gleichen Zeitabschnitten Δt die Auslenkung y, die Geschwindigkeit vy und die Beschleunigung ay aufgetragen, müssen sich Sinus- und Kosinuskurven ergeben. Das erkennt man schon am Aufbau der Gleichungen: a) Die y, t-Linie muss wegen y = r sin (ω t ) = r sin Δϕ eine Sinuskurve sein. Da der umlaufende Punkt von 0 ausgehend nach oben wandert, hat seine Auslenkung y im Bereich Δϕ =0 bis Δϕ = 180° positiven Richtungssinn, danach bis Δϕ = 360° negativen Richtungssinn. b) Die vy, t-Linie ist wegen vy = rω cos (ω t ) = r ω cos Δϕ eine Kosinuskurve. Die Geschwindigkeit vy ist zwischen Δϕ = 0 und Δϕ = 90° nach oben gerichtet, hat also in diesem Bereich positiven Richtungssinn, zwischen Δϕ = 90° und Δϕ = 270° negativen und anschließend wieder positiven Richtungssinn. c) Die ay, t-Linie ist wegen ay = – r ω 2 sin (ω t ) = –r ω 2 sin Δϕ eine Sinuskurve. Die Beschleunigung ay ist zwischen Δϕ = 0 und Δϕ = 180° nach unten gerichtet, hat also in diesem Bereich negativen Richtungssinn, danach bis Δϕ = 360° positiven Richtungssinn.
Wird der Verlauf der drei Größen miteinander verglichen, dann ist leicht zu erkennen, dass sich die vy, t-Linie mit der y, t-Linie deckt, wenn eine der beiden um Δϕ = π / 2 = 90° verschoben wird. Die Geschwindigkeit vy „schwingt“ um π / 2 „phasenverschoben“ zur Auslenkung y (siehe auch 6.4.4. „Phase“). Aus der Mathematik ist bekannt, dass die Kosinuskurve nichts anderes ist als eine um 90° verschobene Sinuskurve: cos Δϕ = sin (90° ± Δϕ). Der Vergleich der Teilbilder a) und c) zeigt weiter, dass die Beschleunigung ay gegenüber der Auslenkung y um Δϕ = π = 180° phasenverschoben schwingt.
6.4. Die harmonische Schwingung
107
Zusammenfassend kann gesagt werden: Schwingt ein Punkt harmonisch, dann verändert sich Auslenkung y, Geschwindigkeit vy und Beschleunigung ay sinusförmig. Jede harmonische Schwingung ist eine Sinusschwingung.
•
Beachte: Die Größen y, vy und ay sind Vektoren, deren Richtung (hier die Senkrechte) übereinstimmt und erhalten bleibt. Verändern können sich nur Betrag und Richtungssinn.
Aufgaben 300 bis 305
6.4.4. Zusammenstellung der wichtigsten Größen und Gleichungen der harmonischen Schwingung Periode (Schwingung) ist ein Hin- und Hergang; eine Schwingung entspricht einem Umlauf auf der Kreisbahn. Auslenkung (Elongation) y ist die momentane Entfernung des schwingenden Punkts von der Nulllage (Mittellage, Gleichgewichtslage). Amplitude A (Schwingungsweite) ist die maximale Auslenkung aus der Nulllage. A ist konstant bei ungedämpfter Schwingung. Periodendauer (Schwingungsdauer) T ist die Zeit für eine volle Schwingung.
T =
Δt z
Frequenz f ist der Quotient aus der Anzahl z der Perioden und dem zugehörigen Zeitabschnitt Δt, also die Anzahl der Perioden je Sekunde.
f =
z 1 ω = = Δt T 2 π
Die Frequenz hat die Einheit 1/s und die Bezeichnung Hertz1) (Hz).
1 1 Hz = 1 ; 1000 Hz = 1 kHz s
Kreisfrequenz ω ergibt sich aus ω = 2 π f =
2π z , Δt
sie ist also nichts anderes als die schon bekannte Winkelgeschwindigkeit ω. Phase Δϕ ist der Winkel im Bogenmaß, den der umlaufende Punkt im Zeitabschnitt Δt durchläuft.
• 1)
Aufgaben 306 bis 308
Heinrich Hertz, deutscher Physiker, 1857–1894.
ω = 2π f =
z = Anzahl der Perioden während des Zeitabschnitts Δt f T, Δt
z
ω
1 s
1
1 s
2π T
Δϕ = ω Δt = 2π f Δt = 2π z
s
108
6. Mechanische Schwingungen y = A sin(ω t ) = A sin(2π f t ) 2π t y = A sin T
Mit den neu festgesetzten Größen können die hergeleiteten Bewegungsgesetze für die harmonische Schwingung neu geschrieben werden. Dazu setzt man für den Radius r die Amplitude A und für die Kreisfrequenz ω = 2 π f = 2 π / T ein.
υ y = Aω cos(ω t ) = Aω cos(2π f t )
Als Einheiten werden die gesetzlichen Einheiten Meter (m) und Sekunde (s) benutzt.
υ y = Aω cos
y, A
t, T
ω, f
vy
ay
m
s
1
m
m
s
s2
s
•
2π t T
ay = − Aω 2 sin(ω t ) = − Aω 2 sin(2π f t ) ay = − Aω 2 sin
2π t = − yω 2 T
Aufgaben 309 bis 314
6.4.5. Rückstellkraft F R, Richtgröße D und lineares Kraftgesetz bei der harmonischen Schwingung Bisher wurden nur die kinematischen Gesetze der harmonischen Schwingung behandelt. Jetzt muss nach den Kräften gefragt werden, die auf den harmonisch schwingenden Körper wirken. Auch dabei wird von der Kreisbewegung ausgegangen. Um den Körper von der Masse m auf einer waagerechten Kreisbahn zu halten, ist auch bei gleichförmiger Bewegung die stets zum Mittelpunkt M gerichtete Zentripetalkraft Fz erforderlich (2.7.9.5, Seite 43). Die Rückstellkraft FR ist die in Schwingungsrichtung wirkende Komponente Fy = Fz sin Δϕ ; das zeigt die Zerlegung von Fz. Fy ist stets der Auslenkung y entgegen und zur Nulllage hin gerichtet. Der Sinus des Drehwinkels Δϕ wird durch die Auslenkung y und die Amplitude A ausgedrückt.
Fy = FR = Fz sin Δϕ ; sin Δϕ =
Es ist bekannt, dass bei der gleichförmigen Drehbewegung die Winkelgeschwindigkeit ω konstant ist, folglich auch die Zentripetalkraft
Fz = konstant = Richtgröße D A
Fz = m r ω 2 = m A ω 2.
Da auch die Amplitude A eine Konstante ist, ist der Quotient Fz / A eine konstante Größe, die Richtgröße D.
Fy = Fz FR =
y y = Fz A r
Fz ⋅y A
FR = D y
FR ~ y
y A
6.5. Das Schraubenfederpendel
109
Die Rückstellkraft FR ist demnach der momentanen Auslenkung y proportional (FR ~ y ), denn bei konstanter Richtgröße D ergibt z.B. die doppelte Auslenkung (y2 = 2 y1) auch die doppelte Rückstellkraft (FR2 = 2 FR1). Da bekannt ist, dass die gleichförmige Kreisbewegung zur harmonischen Schwingung führt, andererseits aber die Rückstellkraft bei der gleichförmigen Kreisbewegung „linear“ von der Auslenkung y abhängt, kann man feststellen: Eine harmonische Schwingung liegt dann vor, wenn die Rückstellkraft FR einem linearen Kraftgesetz der Form FR = D y folgt.
•
Aufgaben 315 bis 317
6.5. Das Schraubenfederpendel 6.5.1. Rückstellkraft F R Eine unbelastete Schraubenfeder wird mit einem Körper der Masse m belastet, sodass sie sich um Δs dehnt. In dieser Ruhelage (Nulllage 0–0) ist die Federspannkraft Fs gleich der Gewichtskraft FG des Körpers (Fs = FG), wie der frei gemachte Körper zeigt. Wird der Körper nun um die Amplitude A = ymax nach unten gezogen und dann losgelassen, so schwingt er um die Ruhelage 0–0 mit der Amplitude A weiter (reibungsfrei betrachtet). Bei allen Untersuchungen wird die Masse der Feder vernachlässigt. Es wird zunächst der frei gemachte Pendelkörper im unteren Umkehrpunkt untersucht. Die Gewichtskraft FG wirkt wie immer lotrecht nach unten. Die Federspannkraft Fs muss am Körper nach oben ziehen, denn die Feder wirkt in dieser Stellung als Zugfeder. Die Rückstellkraft FR ist stets die resultierende Kraft, hier also die Differenz von Fs und FG: FR = Fs – FG.
FR = D y
Kriterium für die harmonische Schwingung
110
6. Mechanische Schwingungen
Befindet sich der Pendelkörper nun am oberen Umkehrpunkt, wirkt die Feder als Druckfeder, d.h. die Feder drückt auf den Körper. FG und Federspannkraft Fs sind dann gleich gerichtet (beide nach unten). Die Rückstellkraft FR ist also hier die Summe von Fs und FG ; FR = Fs + FG. Auch die Untersuchung des frei gemachten Pendelkörpers in beliebigen Zwischenstellungen könnte zu keinem anderen Ergebnis führen: Die Rückstellkraft FR beim Federpendel ist die Resultierende aus Federspannkraft Fs und Gewichtskraft FG des Pendelkörpers (Summe oder Differenz).
FR = Fs ± FG
6.5.2. Federrate R und Richtgröße D Solange eine Feder nicht überspannt wird, genauer: solange die Spannung im Federwerkstoff unterhalb der Proportionalitätsgrenze liegt, ist die Federspannkraft Fs der geradlinigen Auslenkung y proportional (doppelte Auslenkung – doppelte Federspannkraft usw.). Die Federrate R gibt diejenige Kraft an, die zum Dehnen oder Verkürzen einer Feder um eine Längeneinheit nötig ist. Federrate ist die Bezeichnung nach DIN, die Richtgröße D ist die allgemeine physikalische Bezeichnung. Beim Schraubenfederpendel ist D = R.
6.5.3. Das lineare Kraftgesetz Es ist nun die Frage zu klären, ob das Federpendel eine harmonische Schwingung ausführt. Das wäre der Fall, wenn das lineare Kraftgesetz gilt. Es werden zwei Stellungen des Federpendels herausgegriffen. Dann wird der Pendelkörper frei gemacht und die Gleichung für die Rückstellkraft FR aufgestellt. Für die Stellung unterhalb der Nulllage (a) ergibt sich mit den eingetragenen Bezeichnungen: FR = Fs – FG = Rs – R Δs ; FR = R (y + Δs – Δs) = R y .
s = y + Δs ;
Federrate R =
Federspannkraft Fs Federweg Δs
R, D
Fs
Δs
N m
N
m
6.5. Das Schraubenfederpendel
111
Ebenso ist für die Stellung oberhalb der Nulllage (b): F R = F G + F s = R Δs + R s ; s = y – Δs FR = R Δs + R (y – Δs) = R y .
In beiden Fällen ist die Rückstellkraft FR = R y. Das heißt, die Rückstellkraft FR ist der Auslenkung y proportional, denn R ist eine Konstante. Deshalb gilt: Das Federpendel schwingt nach dem linearen Kraftgesetz harmonisch.
Beachte: Nach Seite 108 ist FR = D y. Für die Schraubenfeder gilt FR = R y; folglich ist die Federrate R gleich der Richtgröße D. FR = Dy = Ry
FR
D, R N m
N
y m
Wie bei der harmonischen Bewegung ist die mechanische Schwingung des Federpendels periodisch und es gelten für Auslenkung y, Geschwindigkeit vy und Beschleunigung ay die Gleichungen der harmonischen Bewegung.
6.5.4. Periodendauer T des Schraubenfederpendels Schon bei den allgemeinen Betrachtungen zur harmonischen Bewegung wurde die Rückstellkraft FR als resultierende Kraft Fres erkannt. Folglich kann das dynamische Grundgesetz Fres = m a für diesen speziellen Fall auch in der Form FR = m ay geschrieben werden. Darin ist m die Masse des Pendelkörpers und ay seine momentane Beschleunigung. Die Periodendauer T ist unabhängig von der Amplitude A; sie ist umso größer, je größer die Masse m des Pendelkörpers und je kleiner die Federrate R ist (d.h. je weicher die Feder ist). Aus der Gleichung für die Schwingungsdauer kann man auch eine neue Beziehung für die Federrate der Schraubenfeder entwickeln.
•
Aufgaben 318 bis 324
FR = m ay; ay = y ω 2 ;ω = FR = m y ω 2 = m y FR = m
T = 2π
R=m
2π T
4π2 T2
4π 2 y = Ry T2
m R
4π 2 =D T2
FR
m
T
R
N
kg
s
N m
R, D
m
T
N m
kg
s
112
6. Mechanische Schwingungen
6.6. Das Torsionspendel 6.6.1. Federrate R, Rückstellmoment M R und Periodendauer T Wird der in Ruhelage an einem Stahldraht hängende Körper um den Drehwinkel Δϕ verdreht, beschreibt jedes Teilchen eine Kreisbewegung. Zur Überleitung von der geradlinigen in die kreisförmige Bewegung wird das Analogieverfahren benutzt. Die Beziehung für die Kreisbewegung bekommt man, indem in die bekannte Beziehung der geradlinigen Bewegung die entsprechenden Größen der Kreisbewegung eingesetzt werden. Beim Torsionspendel muss entsprechen: der Rückstellkraft FR das Rückstellmoment MR, der Auslenkung y der Drehwinkel Δϕ. Auch für die Torsionsbeanspruchung des tordierten Drahts gilt das Hooke’sche Gesetz, sodass die Gleichung für die Federrate R mit den entsprechenden Größen festgelegt werden kann.
Das Rückstellmoment MR ändert seinen Betrag proportional mit dem Drehwinkel Δϕ (MR ~ Δϕ) (wie beim Schraubenfederpendel die Rückstellkraft FR mit der Auslenkung y ), sodass man feststellen kann:
FR M R y Δϕ
R=
Rückstellmoment M R Drehwinkel Δϕ
R=
MR Δϕ
R
MR
ϕ
Nm rad
Nm
rad
M R = RΔϕ
kreisförmige Pendelbewegung
FR = R y
geradlinige Pendelbewegung
Für das Torsionspendel gilt ein lineares Momentengesetz und es liegt eine harmonische Schwingung vor.
Die Periodendauer T für das Torsionspendel erhält man mit der Analogiebetrachtung wieder leicht aus der Gleichung T = 2 π m / R für das Schraubenfederpendel, wenn man sich nur daran erinnert (2.7.9.6, Seite 44), dass der Masse m des Pendelkörpers das Trägheitsmoment J entspricht: Auch beim Torsionspendel ist die Periodendauer T unabhängig von der Amplitude A, sie ist um so größer, je größer das Trägheitsmoment J und je kleiner die Federrate R ist.
T J T = 2π R
J
R
s kg m2 Nm rad
Trägheitsmoment J in Bezug auf die Drehachse (siehe 2.7.9.2, Seite 40).
Beachte: J ist das Trägheitsmoment bezogen auf die Drehachse.
6.6. Das Torsionspendel
113
6.6.2. Experimentelle Bestimmung von Trägheitsmomenten J aus der Periodendauer Kupplungsscheiben, Zahnräder, Wellen, Schwungscheiben usw. müssen beschleunigt und verzögert werden. Den erforderlichen Berechnungen liegt das dynamische Grundgesetz für die Rotation Mres = J α zugrunde. Es muss also immer das Trägheitsmoment J des umlaufenden Körpers bekannt sein. Nicht alle Bauteile sind so einfach aufgebaut, dass man mit fertigen Formeln zum Ziel kommt. Dann wird das Trägheitsmoment J experimentell bestimmt. Dazu wird ein geometrisch einfacher Körper K1 von bekanntem (berechenbarem) Trägheitsmoment J1 an einen Torsionsstab von bekanntem Durchmesser d und bekannter Länge l gehängt.
Benutzt man als Körper K1 z.B. eine Kreisscheibe, kann nach 2.7.9.4. das Trägheitsmoment J1 berechnet werden.
J1 =
1 rπ r 4 h 2
rStahl = 7,85 · 103
Für den Körper K1 gilt für die Periodendauer T1 = 2π J1/R . Streckt man beide Prüfkörper auf, dann gilt für die Periodendauer T2 = 2π (J1 + J 2) / R .
T 12 = 4π2
Daraus kann eine Gleichung für das unbekannte Trägheitsmoment J2 entwickelt werden, in der neben dem berechneten Trägheitsmoment J1 nur noch die Periodendauer T1 und T2 steht, die man experimentell bestimmt.
T 12
•
Aufgabe 325
J
r
r, h
kg m2
kg m3
m
kg m3
J1 R + J2 J T 22 = 4π2 1 R
T 22
=
J1 J1 + J 2
J 2 = J1
und daraus
T 22 − T 12
J1 , J2
T1, T2
T 12
kg m2
s
114
6. Mechanische Schwingungen
6.7. Das Schwerependel (Fadenpendel) Auch hier wird als Erstes untersucht, ob die Rückstellkraft FR der Auslenkung (hier dem Bogen s) proportional ist, denn nur dann gilt ein lineares Kraftgesetz als Voraussetzung für eine harmonische Schwingung. Die Auslenkung s lässt sich aus der Pendellänge l und dem Winkel α bestimmen. Da für kleine Winkel (α < 14°) der Arcus gleich dem Sinus gesetzt werden kann (arc α ≈ sin α ), ist s = l arc α ≈ l sin α : sin α =
s . l
Die Rückstellkraft FR ist die Sinuskomponente der Gewichtskraft FG des Pendelkörpers. Sie ändert sich laufend mit dem Winkel α. Masse m, Fallbeschleunigung g und Pendellänge l sind für ein bestimmtes Pendel gleich bleibende Größen, d.h. es ist auch der Quotient m g / l eine Konstante. Sie ist die schon bekannte Richtgröße D : Auch für das Schwerependel gilt ein lineares Kraftgesetz und es liegt eine harmonische Schwingung vor.
FR = FG sin α = m g sin α s sin α = eingesetzt ergibt l mg FR = m g sin α = s l FR = D s
FR
D
N
N m
mg l
D=
s, l m
m
g
kg
m s2
Einschränkung: Die Auslenkung muss klein sein; allerdings beträgt der Fehler bei α = 14° nur ca. 1%.
Die Periodendauer T für das Schwerependel erhält man, wenn in die Gleichung T = 2π m / R für das Schraubenfederpendel, für die Federrate R = Richtgröße D = m g / l eingesetzt wird. Beim Schwerependel ist die Periodendauer T unabhängig von der Amplitude s und von der Masse m des Pendelkörpers. Am selben Ort, also bei gleicher Fallbeschleunigung g, verhalten sich daher die Quadrate der Periodendauer verschiedener Pendel wie ihre Pendellängen l.
• [[
Aufgaben 326 bis 331
T = 2π
m m = 2π R D
T = 2π
ml mg
T = 2π
T 12 T 22
=
l1 l2
l g
T s
l
g
m
m s2
6.8. Schwingung einer Flüssigkeitssäule
115
6.8. Schwingung einer Flüssigkeitssäule In Ruhe steht die Flüssigkeit in Höhe der Nulllinie = 0–0. Hebt man z.B. durch Ansaugen die Flüssigkeitssäule auf der einen Seite um die Höhe h, muss sie auf der anderen Seite um den gleichen Betrag sinken.
Die Rückstellkraft FR ist die resultierende Gewichtskraft FG der überstehenden Flüssigkeitssäule.
FR = FG = V r g = A ⋅ 2 h r g
Fläche A, Dichte r und Fallbeschleunigung g sind konstante Größen, die man wieder zu einer Richtgröße D zusammenfassen kann. Damit ist nachgewiesen, dass auch bei der schwingenden Flüssigkeitssäule im U-Rohr die Rückstellkraft FR der Auslenkung h proportional ist.
D = 2 Ar g
FR
D
N
N m
FR = D h
A
r
g
h
m2
kg m3
m s2
m
T
l
g
s
m
m s2
Für die schwingende Flüssigkeitssäule gilt ein lineares Kraftgesetz und damit die Gesetzmäßigkeit der harmonischen Schwingung. Die Periodendauer T für die schwingende Flüssigkeitssäule erhält man wieder, indem in die Gleichung T = 2π m / R für das Schraubenfederpendel für die Federrate R = Richtgröße D = 2A r g eingesetzt wird. Außerdem setzt man für die Masse m = Vr = A lr ein. Dann gilt: Die Periodendauer T ist unabhängig von der Amplitude h und von der Masse m (Dichte r) der Flüssigkeit. Ein Vergleich mit der Gleichung für die Periodendauer des Schwerependels zeigt, dass die Periodendauer Tf der Flüssigkeitssäule mit der Periodendauer Ts eines Schwerependels übereinstimmt, dessen Länge ls gleich der halben Länge l der Flüssigkeitssäule ist. [
T = 2π
m m = 2π R D
T = 2π
Al r 2 Ar g
T = 2π
l 2g
116
6. Mechanische Schwingungen
6.9. Analogiebetrachtung zum Schraubenfederpendel, Torsionspendel, Schwerependel und zur schwingenden Flüssigkeitssäule
Physikalische Größe
Schraubenfederpendel
Richtgröße D (Federrate R )
Rückstellkraft FR und Rückstellmoment MR Schwingungsdauer T
R=
d 4G 3 i 8Dm f
Torsionspendel 1)
FR = Ry T = 2π
m R
R=
Ip G l
=
πd 4G 32 ⋅ l
MR = R Δ ϕ T = 2π
Schwerependel
J R
D=
mg l
FR = D s T = 2π
l g
schwingende Flüssigkeitssäule
D=2Arg
FR = D h T = 2π
l 2g
Beachte: G Dm d if 1)
Schubmodul mittlerer Windungsdurchmesser Draht- oder Stabdurchmesser Anzahl der Windungen
Siehe Versuch 12.4, Seite 252
6.10. Dämpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz
6.10.1. Dämpfung Durch die Gleitreibung in den Gelenken und Führungen, durch Luft- oder Flüssigkeitsreibung wird die Bewegung eines schwingenden Körpers gebremst. Neben dieser „äußeren“ Reibung steht die „innere“, die Reibung der Teilchen im Körper selbst. Man sagt: Die Schwingung wird gedämpft.
Auslenkungs-Zeit-Diagramm für ungedämpfte (a) und gedämpfte Schwingung (b)
6.10. Dämpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz
117
6.10.2. Energieminderung durch Dämpfung Durch die Reibung wird dem schwingenden Körper Energie in Form von Reibarbeit entzogen (2.10.5.4). Beim Schwerependel z.B. schwingt der Pendelkörper nicht bis zur Ausgangshöhe zurück, die Amplitude verringert sich von A auf A1, der Winkel von α auf α1 und die abgeführte Reibarbeit Wr entspricht der Höhendifferenz Δh, was mit dem Energiesatz nachgewiesen werden kann. Was für das Schwerependel gilt, kann bei allen Schwingungsvorgängen beobachtet werden:
WE = WA – Wab Wab = WA – WE
Durch Dämpfung wird die Amplitude A jeder mechanischen Schwingung immer kleiner, weil sich die Energie des Schwingers laufend um die Reibarbeit Wr vermindert.
Wab = m g h – m g(h – Δh) Wab = m g Δh
Soll die Dämpfung überwunden werden, muss dem schwingenden System dauernd Energie zugeführt werden.
•
Aufgabe 332
6.10.3. Energiezufuhr Ursache jeder Dämpfung ist die dauernde Energieumwandlung in Reibarbeit. Also muss man den umgewandelten Energiebetrag immer wieder ersetzen, wenn die Amplitude unverändert bleiben oder der Schwingungsvorgang überhaupt in Gang gehalten werden soll. Das kann z.B. durch periodisches Anstoßen des Schwingers geschehen, aber im richtigen Augenblick, damit der Schwingungsvorgang nicht gestört wird. Die Energiezufuhr wird daher am besten durch die Eigenschwingung des schwingenden Systems gesteuert. Das nennt man Selbststeuerung oder Rückkopplung, wie z.B. bei der Pendeluhr durch Anker und Steigrad. Das Steigrad wird durch die Uhrfeder angetrieben, rückt bei jeder Pendelschwingung um einen Zahn weiter und gibt dabei einen Energiebetrag über den Anker an das Pendel ab (Arbeit wird zugeführt). Die Frequenz des periodisch wirkenden äußeren Erregers heißt Erregerfrequenz f, die Frequenz des Schwingers nach einmaligem Anstoßen ist die Eigenfrequenz f0.
118
6. Mechanische Schwingungen
6.10.4. Die erzwungene Schwingung und Resonanz Der Erreger (Oszillator1), z.B. Motor mit Exzenter) zwingt der Schraubenfeder mit dem anhängenden Körper der Masse m, dem Resonator 2) Schwingungen mit der Erregerfrequenz f auf. Dabei soll die Masse des Resonators klein sein gegenüber der Masse des Erregers, damit die Schwingungen des Resonators nicht auf den Erreger zurückwirken. Wählt man zunächst die Frequenz f der erzwungenen Schwingung sehr klein gegenüber der Frequenz f0 der Eigenschwingung, macht der Resonator genau die Bewegung der Führungsstange mit. Mit wachsender Erregerfrequenz f werden die Amplituden des Resonators immer größer.
Beachte: Kleine Frequenz f heißt geringe Anzahl Schwingungen je Sekunde.
Die Erregerschwingung läuft der Eigenschwingung etwa um eine Viertelperiode voraus. Bei fehlender Dämpfung würden dann die Amplituden des Resonators unendlich groß und das System würde zerstört werden. Das sind die in der Technik gefürchteten Resonanzkatastrophen, z.B. bei Brücken, Schiffen, Maschinenfundamenten.
Bei f ԟ f0 bewegen sich Führungsstange und Mitschwinger (Resonator) fast wie ein starrer Körper.
Wächst die Erregerfrequenz f weiter (f > f0), so werden die Amplituden des Resonators wieder kleiner, die Bewegung wird ungeordnet, bis schließlich ein kaum merkliches Zittern die kleinsten Amplituden anzeigt.
Bei Resonanz (f = f0) wird die Amplitude am größten (kritischer Bereich).
Die Amplitude des Resonators wird um so größer, je mehr sich die Erregerfrequenz f der Eigenfrequenz f0 des Mitschwingers nähert (unterkritischer Bereich).
Im überkritischen Bereich (f > f0) verringert sich die Amplitude mit zunehmender Erregerfrequenz.
6.10.5. Das Amplituden-Frequenzschaubild Über der Erregerfrequenz f (als Vielfaches der Eigenfrequenz f0) ist die Vergrößerungszahl Vz als Verhältnis der Amplitude der erzwungenen Schwingung zur Amplitude des Erregers aufgetragen. Kurve a gilt für die dämpfungsfreie Schwingung, b für schwache, c für stärkere und d für sehr starke Dämpfung des Resonators. Man erkennt, dass das Maximum mit zunehmender Dämpfung nach links rückt, also zu Frequenzen f < f0. Amplituden-Frequenz-Schaubild 1) 2)
Oszillator: Gerät zur Erzeugung von Schwingungen (Erreger). Resonator: Körper, der vom Erreger zum Schwingen veranlasst (angeregt) wird (Mitschwinger).
6.10. Dämpfung, Energiezufuhr, erzwungene Schwingung, Resonanz Die bei f = f0 auftretende Resonanz ist im Maschinenbau von größter Bedeutung. Vor allem bei Kraft- und Arbeitsmaschinen und Getrieben mit schnell laufenden Wellen zeigen sich durch kleine Ungleichförmigkeiten Schwingungen, die etwa die Frequenz der Drehzahl (oder eines Vielfachen davon) haben. Stimmt die Frequenz f eines Antriebsmotors mit der Eigenfrequenz f0 der umlaufenden Teile eines Getriebes überein, kann es zu Resonanzschwingungen mit großer Amplitude kommen, die zerstörende Wirkung haben. Die Resonanzdrehzahl einer Maschine heißt kritische Drehzahl, die möglichst schnell durchfahren werden muss, d.h. man muss möglichst im über- oder im unterkritischen Drehzahlbereich arbeiten, um Bruch oder auch nur Verminderung der Lebensdauer zu vermeiden.
•
Beispiel: Die Gehäuseteile eines großen Walzwerkgetriebes sind durch Passstifte miteinander verbunden. Diese lösen sich durch Schwingungen; das Getriebe fällt aus, die Produktion steht vorübergehend still.
Aufgaben 333 und 334
6.10.6. Phasenverschiebung und Erregerfrequenz Die Phasenverschiebung zwischen erzwungener Schwingung und Erregerschwingung zeigt das Δϕ -f-Schaubild, in dem der Phasenwinkel Δϕ über der als Vielfaches der Eigenfrequenz f0 angegebenen Erregerfrequenz f aufgetragen ist. Danach schwingen Erreger und Resonator bei ungedämpfter Schwingung in Phase bei allen Frequenzen f, die kleiner sind als die Eigenfrequenz f0. Für alle Frequenzen f, die größer sind als f0, ist die Phase um π verschoben, d.h. der Resonator schwingt genau entgegengesetzt zum Erreger. Das lässt sich leicht mit einem am Faden hängenden Körper (z.B. Schlüsselbund) zeigen, wenn man das Fadenende mit der Hand waagerecht hin- und herbewegt. Die Phase schlägt tatsächlich beim Durchlaufen der Resonanzfrequenz f = f0 plötzlich um 180° um. Bei gedämpfter Schwingung wächst die Phasenverschiebung bei f < f0 bis zur Resonanzfrequenz f = f0. Dort beträgt die Phasenverschiebung – unabhängig von der Dämpfung – stets π / 2 = 90°, d.h. der Resonator hat seinen größten Ausschlag, wenn der Erreger durch die Ruhelage geht.
119
a b c d
ohne Dämpfung mit schwacher Dämpfung mit stärkerer Dämpfung mit sehr starker Dämpfung
120
6. Mechanische Schwingungen
6.11. Koppelschwingungen 6.11.1. Untersuchung am gekoppelten Schwerependel Bei den Untersuchungen der erzwungenen Schwingungen wurde angenommen, dass der Resonator nicht auf den Erreger zurückwirkt. Bei gekoppelten Systemen wirken Erreger (Oszillator) und Mitschwinger (Resonator) dauernd aufeinander ein; fortwährend wandert die Schwingungsenergie von einem zum anderen und zurück, wie man leicht am Beispiel miteinander gekoppelter Schwerependel nachweisen kann: Die beiden gleich langen Schwerependel P1, P2 sind über den Kopplungsfaden K miteinander verbunden. Wird ein Pendel (z.B. P1) ausgelenkt (in Bild a quer zur Aufhängeebene, in Bild b in der Aufhängeebene), so beginnt nach kurzer Zeit das zweite Pendel mit wachsender Amplitude zu schwingen. Parallel dazu nimmt die Amplitude des ersten Pendels immer mehr ab, bis es ganz zur Ruhe kommt und sich der Vorgang umgekehrt wiederholt:
Transversale Kopplung (Querkopplung)
Schwingungsenergie wird durch Kopplung ausgetauscht; sie wird um so rascher übertragen, je enger die Kopplung ist. Die Kopplung wird um so enger, je straffer der Faden gespannt ist und je tiefer er angesetzt wird. Der Versuch zeigt, dass die longitudinale Kopplung „enger“ ist als die transversale, d.h. die Energie wird rascher übertragen. Sind die Fadenlängen der Pendel nicht genau gleich, so wird der Energieaustausch schon wieder rückläufig, bevor das zuerst ausgelenkte Pendel ruht:
Eine vollständige Energieübertragung ist nur bei Resonanz möglich (hier also bei gleich langen Pendeln).
Longitudinale Kopplung (Längskopplung)
6.12. Überlagerung von Schwingungen
121
6.11.2. Anwendung: Schlingertank Mehrere große Wasserbehälter I, II sind innen an den Bordwänden eines Schiffes befestigt und durch obere und untere Rohrleitungen miteinander verbunden (kommunizierendes System). Die obere Luftleitung lässt sich durch ein Ventil V drosseln. Das Schiff „rollt“ mit starken Ausschlägen, wenn die Frequenz der anstoßenden Wellen gleich der Resonanzfrequenz des Schiffes ist. Dann sind Schiffsschwingung und Anstoß um 90° phasenverschoben d.h. der Anstoß trifft das Schiff am stärksten, wenn es durch seine Ruhelage schwingt.
Longitudinale Kopplung (Längskopplung)
Die Wassermenge in den Tanks ist so abgestimmt, dass ihre Periodenfrequenz gleich der Eigenfrequenz des Schiffes ist. Das ergibt im Resonanzfall ebenfalls eine Phasenverschiebung um 90°, sodass die Phase zwischen der Tankwasserschwingung und dem Wellenanstoß um 180° verschoben ist. Das Tankwasser schwingt dann genau entgegengesetzt zu den Stößen der Wellen und vermindert das Rollen des Schiffes. Mit dem Ventil V wird der Luftausgleich zwischen I und II geregelt und die Dämpfung der Tankwasserschwingung je nach Seegang eingestellt.
6.12. Überlagerung von Schwingungen Schwingungen können sich genauso wie andere Bewegungsformen überlagern, wie z.B. beim waagerechten Wurf die horizontal gerichtete gleichförmige Bewegung mit der vertikal gerichteten gleichmäßig beschleunigten Bewegung des freien Falls.
6.12.1. Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz (f1 = f2) und ungleicher Amplitude (A1 > A2) Im y-t-Schaubild sind zwei phasenverschobene harmonische Schwingungen (1 und 2) gleicher Frequenz und unterschiedlicher Amplitude dargestellt. Gesucht wird die „resultierende“ Schwingung, um die Gesetzmäßigkeit für die Überlagerung beliebig vieler Schwingungen unter den gegebenen Voraussetzungen festlegen zu können. Dazu werden zu verschiedenen Zeitpunkten t die dort vorliegenden Auslenkungen y1 und y2 beider Schwingungen richtungsgemäß zur „resultierenden“ Auslenkung yres addiert.
122
6. Mechanische Schwingungen
Auf diese Weise entwickelt man Punkt für Punkt das y-t-Diagramm der resultierenden Schwingung und kann erkennen: Die Zusammensetzung (Überlagerung) zweier gleich frequenter harmonischer Schwingungen ergibt stets wieder eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz, gleichgültig ob die Amplituden gleich oder unterschiedlich sind. Zum gleichen Ergebnis kommt man auf rechnerischem Weg. Da Phasenverschiebung zwischen beiden Schwingungen vorausgesetzt wird, erhält man die Gleichungen y1 = A1 sin (2 π f t1) und y2 = A1 sin (2 π f t1 + 2 π f t0) und addiert sie zu yres.
Zur rechnerischen Addition der beiden harmonischen Schwingungen gleicher Frequenz setzt man 2π f t1 = Δϕ1 und 2π f t0 = Δϕ0 und erhält damit:
y1 = A1 sin Δϕ1 und y2 = A2 sin (Δϕ1 + Δϕ0). Die Entwicklung des Additionstheorems sin (Δϕ1 + Δϕ0) ergibt anschließend
y2 = A2 (sin2 Δϕ1 + cos2 Δϕ1) = A2 · 1. Damit ist
yres = A1 sin Δϕ1 + A2. d.h. die Gleichung der zu jedem Zeitpunkt um die Amplitude A2 vergrößerten harmonischen Schwingung 1.
6.12.2. Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen ungleicher Frequenz (f1 > f2) und ungleicher Amplitude (A1 < A2) Das Bild zweier harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Frequenz und Amplitude und deren Überlagerung kann leicht auf den Oszillographen gebracht werden, wenn man ihn mit den akustischen Schwingungen über ein Mikrophon füttert. Man erhält diesmal keine harmonische Schwingung beim Überlagern, wie vielleicht erwartet wurde. Auch das punktweise Addieren der Auslenkungen y1 und y2 führt zum gleichen Ergebnis:
Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen ungleicher Frequenz und Amplitude ergibt keine harmonische Schwingung sondern eine komplizierte periodische Bewegung (keine Sinuskurve!).
Auch die rechnerische Zusammensetzung führt wegen sin Δϕ1 ≠ sin Δϕ2 für yres nicht zur Gleichung einer harmonischen Schwingung.
y1 = A1 sin Δϕ1
½ ¾+ ¿ yres = A1 sin Δϕ1 + A2 sin Δϕ2
y2 = A2 sin Δϕ2
6.13. Schwebungen
123
6.12.3. Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz (f1 = f2) und gleicher Amplitude (A1 = A2) mit Phasenverschiebung Δϕ 0 = π = 180° Dieser Fall ist von besonderer Bedeutung, vor allem für die Optik. Aus der gewohnten zeichnerischen Überlagerung erkennt man sofort: Zwei gleich frequente harmonische Schwingungen von gleicher Amplitude löschen einander aus, wenn sie um den Phasenwinkel Δϕ 0 = π = 180° gegeneinander verschoben sind. Zum gleichen Ergebnis führt wieder die mathematische Untersuchung mit Hilfe der Gleichung nach 6.4.4, wenn man bedenkt, dass sin (Δϕ ± Δϕ0) = sin (Δϕ ± π) = sin (Δϕ ± 180°) sin (Δϕ ± 180°) = – sin Δϕ
y1 = A sin Δϕ y2 = A sin (Δϕ + 180°) = A (– sin Δϕ) y1 = A sin Δϕ
½ ¾ + y2 = – A sin Δϕ ¿ y1 + y2 = 0 (Auslöschung)
ist, wie die Betrachtung am Einheitskreis oder am Sinus-Funktionsverlauf zeigt.
6.13. Schwebungen Mit Schwebung wird das An- und Abschwellen der Amplituden einer Schwingung bezeichnet, die durch die Überlagerung von zwei Schwingungen mit wenig unterschiedlicher Frequenz zustande kommt (f1 ≈ f2). Die Schwebungsfrequenz f ist der Frequenzunterschied der beiden Einzelschwingungen. Akustische Schwebungen lassen sich hörbar und – über Mikrophon und Oszillograph – sichtbar machen, z.B. mit zwei gleich frequenten Stimmgabeln, von denen eine durch eine kleine Zusatzmasse verändert wird. Das An- und Abschwellen des Tones folgt um so rascher, je größer der Frequenzunterschied ist. Mit Schwebungen lassen sich zwei Tongeber genau auf gleiche Tonhöhe abstimmen (Orchester); bei gleicher Tonhöhe verschwinden die Schwebungen. Im Bild ist eine Schwebung zweier Schwingungen (f1 = 8 Hz, f2 = 7 Hz) durch punktweise Addition der Auslenkungen aufgezeichnet.
f = f1 − f 2
Schwebungsfrequenz
124
7. Mechanische Wellen
7.1. Formen, Entstehung und Ausbreitung linearer Wellen 7.1.1. Querwelle und Längswelle Man kann eine Querwelle oder Transversalwelle sehen, wenn in eine leicht gespannte Schraubenfeder (so genannter Federwurm) eine Querstörung eingeleitet wird, etwa durch eine plötzlich aufgebrachte Querkraft (Schlag). Ein Teilchen, hier eine Federwindung, schwingt dabei quer (transversal) zur Ausbreitungsrichtung der Welle.
Querwelle (Transversalwelle), Wandern einer Querstörung c Ausbreitungsgeschwindigkeit
Eine Längswelle oder Longitudinalwelle entsteht, wenn man in die stärker gespannte Schraubenfeder durch Zusammenziehen einiger Windungen eine Längsstörung einleitet. Ein Teilchen, hier eine Federwindung, schwingt dabei längs (longitudinal) zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Längswelle (Longitudinalwelle), Wandern einer Längsstörung c Ausbreitungsgeschwindigkeit
7.1.2. Störungseingabe Die mechanische Welle entsteht durch Eingabe einer Störung des momentanen Spannungszustands des elastischen Körpers, hier der Schraubenfeder. Die Teilchen werden gegeneinander elastisch verschoben, entweder durch eine Querkraft Fq oder durch eine Längskraft F l längs des Spannwegs Δs. Dem elastischen Körper wird damit Federarbeit und Beschleunigungsarbeit zugeführt, die seine Energie erhöhen.
Störungseingabe durch Querkraft Fq
Störungseingabe durch Längskraft Fl
7.2. Gleichung der harmonischen Welle
125
Je nach der Ausbreitungsart der Welle spricht man von linearen Störungswellen, wenn sich die Störung eindimensional (in der Länge) ausbreitet, von ebenen Störungswellen bei flächenhafter Ausbreitung (Wasserwellen nach dem Einschlag eines Körpers) und von räumlichen Störungswellen (Kugelwellen, z.B. Erschütterungswellen bei Erdbeben).
7.1.3. Schwingung, Welle und Energietransport Wird eine Störung in den Wellenträger eingegeben, schwingen die Teilchen (Oszillatoren = Schwinger) am Ort, reißen aber durch ihre Kopplung die benachbarten Teilchen mit, sodass die Störung über den Wellenträger wandert. Jedes Teilchen gibt seine aufgenommene Energie fortlaufend an seine Nachbarteilchen ab, d.h. die Energie wird mit der fortschreitenden Störung transportiert. Durch innere Reibung nimmt der Wellenträger selbst Energie auf (es wird Reibarbeit verrichtet). Der Träger (z.B. die Schraubenfeder) wird warm, seine Temperatur erhöht sich. Das ergibt eine räumliche Dämpfung der Welle, im Gegensatz zur zeitlichen Dämpfung einer Schwingung. Diese Dämpfung führt zum Abklingen der Amplitude längs des Wellenträgers (x-Richtung).
Die Störung wandert, aber die Stoffteilchen schwingen am Ort
Gedämpfte Welle
7.2. Gleichung der harmonischen Welle Eine harmonische Welle entsteht, wenn die einzelnen Schwinger (Oszillatoren) harmonische Schwingungen ausführen. Wellenlänge λ ist der Abstand zweier benachbarter Oszillatoren 1 und 2, die in gleicher Phase schwingen, am zweckmäßigsten gemessen als Abstand zweier Wellenberge oder -täler:
In Phase schwingende Oszillatoren 1 und 2 haben den Abstand λ
Die Welle legt während der Schwingungsdauer T den Weg λ zurück. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der harmonischen Welle ist wie bei jeder gleichförmigen Bewegung der Quotient aus Weg- und zugehörigem Zeitabschnitt, hier also aus der Wellenlänge λ und der Schwingungsdauer T = 1/ f (Frequenz f ).
c=
λ = λf Τ
c m s
λ m
T
f
s
1 = Hz s
126
7. Mechanische Wellen
Um die harmonische Welle „beschreiben“ zu können, wird eine Gleichung entwickelt. Damit hat man die Möglichkeiten a) für einen bestimmten gegebenen Zeitpunkt die Auslenkung y eines jeden Wellenpunkts zu berechnen und
Mit den Ergebnissen dieser Rechnung kann das Bild der Welle gezeichnet werden (Momentanbild). Bei der harmonischen Welle entsteht eine Sinuskurve.
b) für verschiedene Zeitpunkte die augenblickliche Auslenkung y eines einzelnen Wellenpunkts zu berechnen.
Trägt man die Ergebnisse dieser Rechnung über der Zeit auf, muss ebenfalls eine Sinuskurve entstehen, weil jeder Wellenpunkt harmonisch auf- und abschwingt.
Da jeder Wellenpunkt der harmonischen Welle eine harmonische Schwingung ausführt, wird von der schon bekannten Gleichung der harmonischen Schwingung ausgegangen (Abschnitt 6.4.4). Die Bewegung eines einzelnen Oszillators erkennt man, wenn an einer Schraubenfeder ein Farbpunkt angebracht und die Feder in Wellenbewegung versetzt wird.
Mit Amplitude A, Zeit t und Schwingungsdauer T wird die Auslenkung y mit der Gleichung der harmonischen Schwingung bestimmt: t· § y = A sin ¨ 2 ʌ ¸ T¹ ©
Die Schwingungsgleichung in der Form y = A sin (2π t / T) enthält noch keine Größe, die von der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle abhängig ist. Beobachtet werden zwei Punkte 1 und 2 des Wellenträgers, die den Abstand Δx voneinander haben. Wenn die Wellenbewegung Punkt 1 erreicht, ist Punkt 2 noch in Ruhe (a). Die Welle läuft weiter und Punkt 1 schwingt zunächst nach oben (b) und dann wieder nach unten, bis die Welle auch den Punkt 2 erreicht hat (c). Punkt 2 beginnt also seine Schwingung um einen Zeitabschnitt Δt später als Punkt 1. Auch während der weiteren Wellenbewegung schwingt Punkt 2, im gleichen Zeitabstand „hinter dem Punkt her“, d.h. in einem beliebigen Zeitpunkt t hat Punkt 2 dieselbe Auslenkung y, die Punkt 1 im Zeitpunkt t – Δt hatte. Wenn Punkt 1 im Zeitpunkt t die Auslenkung y = A sin (2πt / T) hat, hat Punkt 2 erst die Auslenkung y = A sin (2π(t – Δt ) / T ) erreicht.
7.3. Polarisation von Querwellen
127
Im Zeitabschnitt Δt legt die Welle aber den Weg Δx mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c zurück. Folglich ist c = Δx / Δt. Es ist aber auch c = λ / T.
c = Δx/Δt = λ /T; Δt/ T = Δx/λ
Damit kann die Auslenkung y des Punktes 2 (und damit jedes beliebigen Punktes) des Wellenträgers im Zeitpunkt t bestimmt werden.
ª § t ǻ t ·º y = A sin « 2ʌ ¨ − ¸» ¬ © T T ¹¼
§ t − ǻt · y = A sin ¨ 2ʌ ¸ T ¹ ©
ª § t ǻ x ·º y = A sin « 2ʌ ¨ − λ ¸¹ »¼ ¬ ©T
(Gleichung der harmonischen Welle) Mit dieser Gleichung der harmonischen Welle werden die beiden vorgegebenen Ziele erreicht:
y
A t, T Δx λ s m m
m m
Setzt man mit t = t0 einen bestimmten Zeitpunkt fest, z.B. durch die Festlegung t0 = 12 s, dann wird der Quotient t0 / T eine Konstante. Dann kann für jeden beliebigen Abstand Δx1, Δx2, Δx3 usw. und damit für jeden Wellenpunkt (Oszillator) seine augenblickliche Auslenkung y berechnet werden und man erhält die räumliche Anordnung aller Oszillatoren, d.h. das Momentanbild der harmonischen Welle.
ª §t ǻ x ·º y = A sin « 2ʌ ¨ 0 − T λ ¸¹ »¼ ¬ ©
Wird dagegen Δx = x0 festgesetzt, z.B. mit x0 = 1,5 m, dann wird der Quotient x0 / λ eine Konstante. Nun kann für beliebige Zeiten t1, t2, t3 usw. die Auslenkung y des einzelnen Oszillators bestimmt werden. Die Wellengleichung in dieser Form ist daher nichts anderes als die schon bekannte Schwingungsgleichung für die harmonische Schwingung.
ª § t x ·º y = A sin « 2ʌ ¨ − 0 ¸ » ¬ © T λ ¹¼
•
Aufgaben 340 bis 344
7.3. Polarisation von Querwellen Bei der Längswelle (Longitudinalwelle) ist die Schwingungsrichtung der Teilchen eindeutig festgelegt, sie schwingen in Fortpflanzungsrichtung. Anders ist das bei der Querwelle (Transversalwelle), bei der die Teilchen in allen Richtungen rechtwinklig zur Ausbreitungsrichtung schwingen können. Schwingen alle Teilchen in einer Richtung, also in ein und derselben Schwingungsebene, nennt man die Welle eine linear polarisierte Welle.
128
7. Mechanische Wellen
Erregt man eine Querstörung parallel zu dem aus zwei Stativstangen gebildeten Spalt, d.h. die Spaltmittellinie liegt in der Schwingungsebene, wandert die Querwelle ungehindert durch den Spalt. Liegt die Schwingungsrichtung rechtwinklig zum Spalt, wird die Welle aufgehalten und reflektiert. Liegt die Schwingungsebene beliebig schräg zum Spalt, löst sich die Welle in zwei rechtwinklig aufeinander stehende Komponenten auf. Die rechtwinklig zum Spalt liegende Komponente wird reflektiert, die andere läuft weiter. Der Spalt „siebt“ also die in seiner Richtung liegende Komponente aus der ankommenden Welle aus. Eine solche Vorrichtung, die nur Wellen einer Schwingungsrichtung durchlässt, heißt Polarisator. Benutzt man den Polarisator zur Feststellung der Schwingungsebene polarisierter Wellen, nennt man ihn Analysator. Polarisation ist eine charakteristische Eigenschaft der Querwellen, denn Längswellen gehen ungehindert durch den Polarisator. Vor dem Spalt aufgebrachte unregelmäßige Querstörungen mit beliebig wechselnder Schwingungsebene werden durch den Polarisator so ausgesiebt, dass nur die parallel zum Spalt liegende Komponente den Spalt verlässt.
7.4. Entstehung und Ausbreitung flächenhafter Wellen (Oberflächenwellen) Die deutlichste Vorstellung von zweidimensionalen Wellen gibt die Wasserwelle. Bei punktförmiger Erregung (Tropfen) bilden sich Kreiswellen aus, bei linienförmiger Erregung gerade Wellen, z.B. durch ein eingetauchtes und rasch herausgezogenes Lineal.
Kreiswellen
7.5. Entstehung und Ausbreitung der Wellen im Raum Ist die Wassertiefe überall gleich (wie in der Wellenwanne)1), breiten sich die Kreiswellen konzentrisch zum punktförmigen Erreger aus, die geraden Wellen laufen parallel zueinander und zum linienförmigen Erreger. Vielfach ist die Vorstellung vom Wellenstrahl zweckmäßig; Wellenstrahlen stehen rechtwinklig zu den Wellenfronten. Gerade Wellen Rückstellkräfte entstehen durch die Oberflächenspannung und die Schwerkraft, bei Schwerewellen (z.B. Meereswellen) hauptsächlich durch die Schwerkraft. Die Wasserwellen in der Wellenwanne haben sinusförmigen Querschnitt; bei Schwerewellen sind die Wellentäler meist länger als die Wellenberge.
7.5. Entstehung und Ausbreitung der Wellen im Raum 7.5.1. Beobachtungen im festen Körper Im festen elastischen Körper sind die schwingungsfähigen Masseteilchen räumlich allseitig elastisch gekoppelt; es können daher Längsund Querwellen übertragen werden. Wird Teilchen a plötzlich in y-Richtung in die Stellung a' ausgelenkt, wird in y-Richtung eine Längswelle, in x- und z-Richtung eine Querwelle angeregt. Der Verformungsweg a' b zum unteren Nachbarteilchen ist größer als die Verformungswege a' c , a' d , a' e , a' f zu den seitlichen Nachbarteilchen. Damit sind auch die Kopplungskräfte und die Rückstellkräfte in Richtung der Längsstörung größer als die in Richtung der Querstörung:
Modell des festen elastischen Körpers (Raumgitter mit Masseteilchen in den Eckpunkten)
In elastischen Körpern entstehen durch eine Störung Längs- und Querwellen, die Längswellen wandern schneller als die Querwellen. Erdbebenherde lassen sich durch die unterschiedlichen Laufzeiten der Längs- und Querwellen orten. In größeren Tiefen als 2900 km unter der Erdoberfläche konnten niemals Querwellen festgestellt werden, d.h. es lässt sich dort kein fester elastischer Körper vorstellen. 1)
Die Wellenwanne ist eine flache, mit Wasser gefüllte Schale zur Demonstration der Wellengesetze.
129
130
7. Mechanische Wellen
7.5.2. Beobachtungen in Flüssigkeiten und Gasen Flüssigkeiten und Gase können im Innern keine Querkräfte übertragen, d.h. eine eingeleitete Störung kann sich nur als Verdichtung und Verdünnung (bei Gasen) auswirken: Im Innern von Flüssigkeiten und Gasen breiten sich nur Längswellen (Longitudinalwellen) aus.
Wellenflächen bei punktförmigem Erreger
Wichtiges Beispiel ist der Schall (siehe Akustik), der sich in Luft nur als Längswelle auswirken kann (Verdichtung und Verdünnung der Luft). Die Form des Störungserregers bestimmt auch im Raum die Form der Ausbreitung. Punktförmige Erregung verursacht allseitig im Raum fortschreitende Kugelwellen mit Kugelradien als Wellenstrahlen. Ebene Erreger ergeben ebene Wellenflächen mit parallelen Wellenstrahlen.
Wellenflächen bei ebenem Erreger
Kommen Kugelwellen aus großer Entfernung oder wird nur die unmittelbare Umgebung eines Strahls betrachtet, dann kann die Krümmung der Wellenfläche vernachlässt werden und die Strahlen werden als parallel laufend angesehen (Beispiel: Sonnenstrahlen).
7.6. Überlagerung gleich frequenter Wellen (Interferenz) 1) 7.6.1. Beschreibung Man legt eine lange, wenig gespannte Schraubenfeder auf dem Fußboden aus und leitet eine Querstörung ein. Während der Reflexion am eingespannten Ende 2 erregt man die gleiche Querstörung am Anfang 1 noch einmal, sodass Wellenberg und Wellental aufeinander zulaufen (a). Beim Zusammentreffen beider Störungen kann ein mehr oder weniger vollständiges Auslöschen der Auslenkungen beobachtet werden (b).
Interferenz zweier Querstörungen
Danach laufen beide Störungen unverändert weiter (c). 1)
Alle Erscheinungen bei der Überlagerung gleich frequenter Wellen fasst man unter der Bezeichnung „Interferenz“ zusammen.
7.6. Überlagerung gleich frequenter Wellen (Interferenz)
131
Im folgenden Bild ist die geometrische Addition zweier rechtwinklig aufeinander stehender Querstörungen dargestellt. Überlagerung zweier rechtwinklig aufeinander stehender Querstörungen a) Störung 1 in x, y-Ebene, b) resultierende Störung unter dem Winkel α zur x, z-Ebene, c) Störung 2 in x, z-Ebene.
Alle Beobachtungen zeigen: Wellen überlagern sich auf dem gleichen Wellenträger ungestört. Treffen sie zusammen, addieren sich ihre Auslenkungen vektoriell (geometrisch).
7.6.2. Interferenzmaximum, Interferenzminimum und Auslöschung beim Überlagern harmonischer Wellen Die Bedingungen, unter denen sich beim Überlagern zweier harmonischer Wellen 1 und 2 in gleicher Schwingungsebene Maxima, Minima und Auslöschung zeigen, kann man durch zeichnerisches Übereinanderlegen der Auslenkung finden. 7.6.2.1. Der allgemeine Fall
Die beiden gleich frequenten Wellen 1 und 2 sind in Ausbreitungsrichtung x um den so genannten Gangunterschied Δx gegeneinander verschoben. Die Zusammensetzung zeigt eine resultierende Welle (1 + 2) von der Frequenz der Einzelwellen, jedoch phasenverschoben: Harmonische Wellen in gleicher Schwingungsebene und von gleicher Frequenz überlagern sich zu einer neuen harmonischen Welle von gleicher Frequenz. Sie kann phasenverschoben, verstärkt oder geschwächt sein.
Allgemeiner Fall einer Überlagerung
132
7. Mechanische Wellen
7.6.2.2. Bedingung für Interferenzmaximum
Die resultierende Welle (1 + 2) ergibt nur dann ein Maximum der Auslenkung, wenn die beiden Teilwellen „aufeinander“ liegen. Dabei ist der Gangunterschied Δx gleich null oder gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge λ: Δx = 0, ± λ, ± 2λ, ± 3λ, ...
ǻx = ± 2n
λ
n natürliche Zahl
2
Interferenzmaximum bei Gangunterschied Δx = geradzahliges Vielfaches von λ / 2
Diese Gleichung beschreibt die Bedingung für die größtmögliche Verstärkung der Welle.
7.6.2.3. Bedingung für Interferenzminimum
Ein Minimum der Auslenkung der resultierenden Welle (1 + 2) kann sich nur dann einstellen, wenn sich der Wellenberg der einen Welle mit dem Tal der anderen deckt. Genauer gesagt heißt das, der Gangunterschied Δx muss die Hälfte der Wellenlänge λ betragen oder ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge sein: Δx = ±
Interferenzminimum bei Gangunterschied Δx = ungeradzahliges Vielfaches von λ / 2
1 3 5 λ, ± λ, ± λ, ... 2 2 2
ǻx = ± (2n − 1)
λ 2
n natürliche Zahl
Diese Gleichung beschreibt die Bedingung für die größtmögliche Schwächung der Welle.
7.6.2.4. Bedingung für die Auslöschung
Die beiden Wellen können nur dann ausgelöscht werden, d.h. die Auslenkung der resultierenden Welle gleich null werden, wenn die Bedingung für das Interferenzminimum gilt und dabei die Amplituden beider Wellen gleich groß sind: ǻx = ± (2n − 1)
λ 2
n natürliche Zahl
A1 = A2
Diese Gleichung beschreibt die Bedingung für die Auslöschung der Welle. •
Aufgaben 345 und 346
Auslöschung bei Gangunterschied Δx = ungeradzahliges Vielfaches von λ / 2 und A1 = A2
7.6. Überlagerung gleich frequenter Wellen (Interferenz)
133
7.6.3. Die Interferenzhyperbeln bei Kreiswellen 7.6.3.1. Mathematische Vorbemerkung
Zum Verständnis des physikalischen Sachverhalts muss man das mathematische Gesetz kennen, das für alle Punkte einer Hyperbel gilt: Sind E1, E2 die Brennpunkte der Hyperbel in Scheitellage, dann ist für jeden beliebigen Punkt P der Hyperbel die Differenz seiner Abstände r1, r2 von den Brennpunkten konstant. Für den Punkt P muss also gelten: PE2 − PE1 = r2 – r1= konstant.
Hyperbel mit den Brennpunkten E1, E2
7.6.3.2. Experimenteller Nachweis der Interferenzhyperbeln
Es sollen auf einer Wasseroberfläche, z.B. in der Wellenwanne, zwei Wellen mit kreisförmigen Wellenfronten (Kreiswellensysteme) erzeugt werden, für die f1 = f2, ebenso A1 = A2 ist. Das wird leicht mit zwei in gleicher Phase schwingenden punktförmigen Erregern E1, E2 erreicht, die gleichzeitig zwei Kreiswellensysteme erzeugen. Die vielen Punkte P, in denen beim Zusammentreffen von Wellenberg und Wellental Auslöschung erfolgt (weil A1 = A2!), sind deutlich als so genannte Interferenz-Nullstreifen zu beobachten. Sie liegen ebenso wie die Interferenzmaxima auf Hyperbeln, weil der Gangunterschied in den Punkten P
Δx = ( 2n − 1)
λ 2
= r2 − r1
ist und der geometrische Ort aller Punkte, die diesem Gesetz folgen, eine Hyperbel darstellt: Interferenz-Nullstreifen und -maxima liegen bei zwei gleichartigen Kreiswellensystemen auf Hyperbeln, deren Brennpunkte die Erregerzentren sind. Interferenz-Nullstreifen sind offenbar leicht zu beobachtende Kriterien für den Wellencharakter einer physikalischen Erscheinung.
Für Erreger E1 sind nur die Wellenberge, für E2 nur die Wellentäler gezeichnet, sodass sich nur die Hälfte der Nullstreifen im Schnittpunkt von Berg und Tal zeigt.
134
7. Mechanische Wellen
7.7. Huygens’sches1) Prinzip Aus diesem Prinzip lassen sich die Erscheinungen bei der Reflexion und Brechung von Wellen herleiten. Lässt man geradlinige Wellen in einer Wellenwanne auf ein parallel dazu stehendes Hindernis (Brett) mit sehr schmalem Spalt S auflaufen, werden die Wasserteilchen dort zu einem neuen Wellenzentrum angeregt, von dem aus sich die Welle hinter der Wand kreisförmig ausbreitet :
Von Spalt S ausgehende Kreiswelle
Jeder einzelne Punkt einer Welle kann als Erregungszentrum einer neuen Elementarwelle angesehen werden, die sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie die ursprüngliche Welle als Kreiswelle (oder Kugelwelle im Raum) ausbreitet. Dieses Huygens’sche Prinzip ist auf jede Wellenbewegung anwendbar (Schall, Licht, elektromagnetische Wellen). Die ebene Wellenfront2) A ist in die Lage A’ gewandert. Dann ist nach Huygens jeder Punkt 0 dieser Wellenfront Mittelpunkt einer kreisförmigen Elementarwelle. Die Wellenfront A’’ ist dann die gemeinsame Tangentialebene (Einhüllende) an alle Elementarwellen. Für alle Punkte hinter der neuen Wellenfront hat Fresnel3) nachgewiesen, dass sich die Elementarwellen dort gegenseitig auslöschen. Nach Durchzug einer Wellenfront ist die Wasseroberfläche tatsächlich wieder in Ruhe.
Huygens’sches Prinzip, dargestellt an ebener Wellenfront
7.8. Beugung Untersuchungen an Wasserwellen4) zeigen, dass die Wellenbewegung nach Durchgang durch die Öffnungen der Blende (Spalt) in die geometrischen Schattenräume übergreift; die Wellen werden also um die Kanten der Öffnung herumgebeugt. Beugung ist das Eindringen der Wellen in die geometrischen Schattenräume (das „Um-dieEcke-gehen“). Die Beugung ist um so kräftiger, je mehr sich die Breite des Spaltes (oder Hindernisses) der Wellenlänge λ nähert. Die Wellen hinter dem Spalt breiten sich so aus, als würde im Spalt dauernd punktförmig eine Welle erregt. 1) 2) 3) 4)
Chr. Huygens (1629–1695). Eine Wellenfront bildet die Punkte gleicher Schwingungsphase. A. J. Fresnel (1788–1827). Zu empfehlen sind die Versuche mit der Wellenwanne.
7.9. Reflexion
135
Zum gleichen Ergebnis führt auch die Untersuchung mit Hindernissen verschiedener Breite, die der Wellenfront entgegengestellt werden, z.B. ist hinter einem dünnen Draht kein Schattenraum mehr zu erkennen. Bei Schallwellen ist die Beugung leicht erkennbar, weil die Abmessungen der Hindernisse (Möbel, Fahrzeuge, Häuser) in der Größenordnung der Schallwellenlängen liegen (λ = 1,5 cm bis 20 m). Lichtwellen dagegen haben millionenfach kleinere Wellenlängen, sie können daher nur bei entsprechend kleinen Hindernissen gebeugt werden.
Beugung linearer Wasserwellen am Spalt verschiedener Breite a) breiter Spalt, b) schmaler Spalt, c) sehr schmaler Spalt (Breite des Spaltes ist etwa gleich der Wellenlänge λ ).
Hohe Töne haben kleine Wellenlängen (hohe Frequenz), daher ist ihre Beugung gering und es lassen sich leicht Schattenräume feststellen. Wird eine größere Zahl gesetzmäßig angeordneter Spalte von einer Wellenbewegung getroffen, so lassen sich aus den Interferenzerscheinungen wichtige physikalische Erkenntnisse folgern (z.B. Beugungsgitter für Lichtwellen).
7.9. Reflexion 7.9.1. Reflexion von Seilwellen Erreicht eine eingeleitete Störung das Ende des Trägers, kehrt die Welle von dort ohne Zeitverlust zurück, sie ist reflektiert worden. Der Reflexionsvorgang wird durch die Befestigungsart des Trägers am benachbarten Körper beeinflusst. Man unterscheidet zwei Extremfälle: den Anschluss an einen „starren“ oder an einen „weichen“ Körper. Am festen Ende, d.h. Anschluss an starrem Körper großer Trägheit, tritt Reflexion mit Richtungsumkehr der schwingenden Teile ein: Phasenumkehr mit Δϕ = π oder Phasensprung um λ / 2. Am losen Ende, d.h. Anschluss an weichem Körper geringer Trägheit, tritt Reflexion ohne Richtungsumkehr der schwingenden Teile ein: kein Phasensprung. Beim Versuch erregt man am besten nur einen Wellenberg.
Reflexion der Störung am festen Ende mit Phasenumkehr (Δϕ = π = 180°)
Reflexion der Störung am losen (nachgiebigen) Ende ohne Phasenumkehr (Δϕ = 0°)
136
7. Mechanische Wellen
7.9.2. Reflexion von Oberflächenwellen Eine ebene Wellenfront wird von den parallelen Strahlen 1 und 2 begrenzt und trifft schräg auf eine undurchdringliche Fläche. Punkt A der Wellenfront AB erreicht die Wand zuerst. Dort entsteht sofort eine Elementarwelle von wachsendem Radius. Wenn Punkt B die Fläche in C erreicht hat, muss wegen der gleichen Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Radius AD der in A entstandenen Elementarwelle genauso groß sein wie die Strecke BC , die der Punkt B der Wellenfront in derselben Zeit zurückgelegt hat. Im Punkt C entsteht eine neue Elementarwelle, und die neue „reflektierte“ Wellenfront kann nach Huygens (7.7) nur die Tangente CD sein. Da die Dreiecke ACB und ACD kongruent sind
(AC = AC, BC = AD, ) ABC = ) ADC), muss auch α = β sein: Reflexionsgesetz: Der Einfallswinkel (Winkel des einfallenden Strahls mit dem Einfallslot) ist gleich dem Reflexionswinkel (Winkel des reflektierten Strahls mit dem Einfallslot.
Reflexion paralleler Strahlen nach Huygens
7.10. Brechung von Wellen Die Grenzfläche g trennt zwei Medien M1, M2, in denen die Ausbreitungsgeschwindigkeiten c1, c2 für Wellen verschieden sind, z.B. c2 < c1. Die beiden parallelen Strahlen 1 und 2 einer Wellenfront AB fallen schräg unter dem Einfallswinkel α auf die Grenzfläche. Hat Strahl 1 den Punkt A erreicht, muss Strahl 2 noch die Strecke BC zurücklegen, bis er auf die Grenzfläche in C auftrifft. Er braucht dazu die Zeit t = BC /c1. In gleicher Zeit wächst von A aus der Radius der Wellenfronten der Elementarwelle auf AD = c2 t = c2 · BC /c1. Die neue Wellenfront im Medium M2 ist nach Huygens die Tangente CD , d.h. der Strahl wird gebrochen. Wegen c2 < c1 muss hier auch AD < BC sein.
Brechung paralleler Strahlen nach Huygens
Aus sin α = BC / AC und sin β = AD / AC sowie BC / AD = c1/c2 folgt das Brechungsgesetz:
Die Sinusfunktionen von Einfalls- und Brechungswinkel verhalten sich wie die Ausbreitungsgeschwindigkeiten in den aneinander grenzenden Medien.
sin α c = 1 sin β c2
7.11. Doppler-Effekt
137
7.11. Doppler-Effekt Der Beobachter eines Autorennens hört einen Ton von höherer Frequenz, wenn sich das Fahrzeug nähert, einen tieferen, wenn es sich entfernt. Das ist der (akustische) Doppler-Effekt1), der immer dann auftritt, wenn sich Wellenerreger und Beobachter relativ zueinander bewegen. Nun lassen sich ganz unterschiedliche Bewegungsvorgänge konstruieren. So kann sich beispielsweise der Beobachter (B) auf den ruhenden Wellenerreger (E) zu- oder von ihm fortbewegen. Oder der Beobachter steht still und der Erreger bewegt sich auf ihn zu oder von ihm fort. Es ist auch vorstellbar, dass sich beide, Erreger (E) und Beobachter (B), bewegen. In allen Fällen muss noch festgestellt werden, wie sich dabei der Wellenträger, das Medium der Wellenübertragung, verhält, ob es ruht oder sich ebenfalls bewegt. Im folgenden Abschnitt wird das an zwei Beispielen dargestellt.
Beachte: Abstandsverringerung ergibt Frequenzerhöhung (f1 > f0).
Abstandsvergrößerung ergibt Frequenzverringerung (f1 < f0). Bezeichnungen und Gleichungen: f0 Frequenz der erregten Welle λ0 Wellenlänge der erregten Welle vB konstante Geschwindigkeit des Beobachters vE konstante Geschwindigkeit des Wellenerregers c Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle (Wellengeschwindigkeit)
c=
λ = λf Τ
7.11.1. Still stehender Erreger (E), bewegter Beobachter (B) Der still stehende Erreger (E) sendet eine Welle mit der Wellenlänge λ0 aus, die das Ohr des ebenfalls still stehenden Beobachters (B) mit der Wellengeschwindigkeit c trifft. Der Beobachter (B) nimmt dann die Frequenz f0 = c /λ0 auf. Bewegt sich nun der Beobachter (B) mit der Geschwindigkeit vB auf den Erreger (E) zu, trifft die Welle sein Ohr dann mit der (größeren) Relativgeschwindigkeit v1 = c + vB bei unveränderter Wellenlänge λ0. Sein Ohr nimmt jetzt also eine höhere Frequenz f1 auf, die sich aus der Relativgeschwindigkeit v1 und der Wellenlänge λ0 ergibt.
f0 =
f1 =
c
λ0 v1
λ0
→ λ0 = =
c ; v1 = c + vB f0
c + vB
λ0
v ˆ Ê f1 = f 0 Á1 + B ˜ Ë c¯ 1)
Von Christian Doppler um 1849 entdeckt.
=
c + vB c + vB = f0 c / f0 c (Beobachter bewegt sich auf Erreger zu)
138 Entfernt sich der Beobachter (B) mit der Geschwindigkeit vB vom Erreger (E), ergibt die Relativgeschwindigkeit zwischen Welle und Beobachter v1 = c – vB, d.h. in der gleichen Zeit wie vorher treffen sein Ohr jetzt weniger Wellen und es nimmt eine niedrigere Frequenz f1 wahr. In der Gleichung für f1 kehrt sich dann in der Klammer das Vorzeichen um.
7. Mechanische Wellen v1 = c – vB v ˆ Ê f1 = f 0 Á1 - B ˜ Ë c¯
(Beobachter entfernt sich vom Erreger)
Diskussion der Gleichungen
a) Stehen Erreger (E) und Beobachter (B) still, ist neben vE = 0 auch vB = 0. Dann wird in beiden Gleichungen der Quotient in der Klammer gleich null. Damit wird in beiden Fällen f1 = f0, was heißt, das Ohr des Beobachters nimmt die Erregerfrequenz f0 wahr.
§ f1 = f 0 ¨1 ± ©
0· ¸ = f0 c¹
b) Nähert sich der Beobachter (B) dem Erreger (E) mit der Wellengeschwindigkeit c = vB, nimmt er die Frequenz f1 = 2f0 wahr. Mit zunehmender Geschwindigkeit vB wird zwar die wahrgenommene Frequenz immer höher, sie behält aber immer einen endlichen Betrag, d.h. sie kann niemals unendlich groß werden.
§ f1 = f 0 ¨1 + ©
c· ¸ = 2 f0 c¹
c) Entfernt sich der Beobachter (B) vom Erreger (E) mit der Wellengeschwindigkeit (vB = c), wird der Betrag der Klammer gleich null und auch die wahrgenommene Frequenz f1 = 0. Der Beobachter bewegt sich gewissermaßen mit der Welle mit und seine Relativgeschwindigkeit zu ihr ist gleich null; er kann sie infolgedessen nicht wahrnehmen.
§ f1 = f 0 ¨1 − ©
c· ¸ = 0 ⋅ f0 = 0 c¹
Der negative Betrag, der sich für die Frequenz f1 ergibt, wenn vB > c wird, besagt, dass die Wellenbewegung den vor ihr davoneilenden Beobachter nicht mehr einholen kann.
7.11.2. Bewegter Erreger (E), still stehender Beobachter (B) Der Erreger einer Welle bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit vE. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle bleibt unverändert, was zugleich bedeutet, dass auch die Relativgeschwindigkeit v1 zwischen Beobachter und Welle gleich der Ausbreitungsgeschwindigkeit c ist (v1 = c), und zwar ohne Rücksicht auf die Bewegungsrichtung des Erregers.
7.11. Doppler-Effekt
139
Während jedoch im Fall 7.11.1 vom ruhenden Erregerzentrum konzentrische Kreis- (bzw. Kugel-)wellen mit einer in allen Richtungen konstanten Wellenlänge λ0 erzeugt wurden, bewirkt jetzt die Bewegung des Erregers eine exzentrische Verschiebung der Wellen gegeneinander, wie der Versuch in der Wellenwanne eindrucksvoll beweist: Vor dem bewegten Erreger (E) werden die Wellen „zusammengedrückt“, d.h. ihre Wellenlänge wird λ1 < λ0, hinter ihm werden sie „auseinandergezogen“, was bedeutet, dass λ1 > λ0 wird. Die Frequenz f1, die der Beobachter wahrnimmt, ergibt sich in jedem Fall wieder aus der Relativgeschwindigkeit – hier also der Ausbreitungsgeschwindigkeit c – und der jeweiligen Wellenlänge λ1. Der Erreger (E) bewegt sich geradlinig auf den Beobachter (B) mit der Geschwindigkeit vE zu. Der Erreger legt dann während einer Schwingungsdauer den Weg Δs = vET = vE / f0 zurück, und das Bild zeigt, dass die ursprüngliche Wellenlänge λ0 um den Betrag dieses Weges Δs „verkürzt“ wird. Die Länge der Wellen, die den Beobachter mit der Geschwindigkeit c erreichen, ist also λ1 = λ0 – Δs, und die Frequenz, die er wahrnimmt, ist f1 = c /λ1. Da allgemein c = λ f gilt, darf auch für λ1 = c / f1 und für λ0 = c / f0 gesetzt werden, und man erhält eine Gleichung für die höhere Frequenz f1 > f0, die ein still stehender Beobachter aufnimmt, wenn sich ihm ein Wellenerreger mit der konstanten Geschwindigkeit vE nähert.
λ1 = λ0 – Δs c c vE = − f1 f0 f0 f1 = f0
c c − vE
f1 = f 0
1 v 1− E c
( f1 > f0 )
(Erreger bewegt sich auf Beobachter zu)
Entfernt sich der Erreger (E) mit der Geschwindigkeit vE geradlinig vom Beobachter (B), dann zeigt das Bild, dass die Welle den Beobachter mit der Wellenlänge λ1 = λ0 + Δs erreicht. Hieraus kann wie oben eine Gleichung für die niedrigere Frequenz f1 < f0 entwickelt werden, die der still stehende Beobachter wahrnimmt, wenn sich ein Wellenerreger mit der konstanten Geschwindigkeit vE von ihm entfernt.
λ1 = λ0 + Δs f1 = f 0
1 v 1+ E c
( f1 < f0 )
(Erreger entfernt sich vom Beobachter)
140
7. Mechanische Wellen
Diskussion der Gleichungen
a) Stehen Erreger und Beobachter still, ist vE = 0 und vB = 0. Dann wird in beiden Gleichungen der Nenner gleich eins und damit die vom Beobachter aufgenommene Frequenz f1 = f0. b) Entfernt sich der Erreger vom Beobachter, kann seine Geschwindigkeit vE beliebig groß werden: Die Wellen werden den Beobachter in jedem Fall erreichen, und zwar bei zunehmender Geschwindigkeit mit immer niedrigerer Frequenz. Die aufgenommene Frequenz kann aber niemals null werden. c) Bewegt sich der Erreger mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Wellen auf den Beobachter zu, wird der Nenner des Quotienten null und die Frequenz wächst über alle Grenzen (Beispiel: Überschallknall).
1
f1 = f 0
1B
= f0
0 c
Beispiel: Mit vE = 1000 c wird
f1 = f 0
f1 = f 0
1
c 1 + 1000 c 1
c 1− c
= f0
= f0
1 ≈ 10−3 f 0 1000
1 →∞ 0
7.11.3. Die Mach’sche1) Zahl M Die entwickelten Gleichungen für den Fall, dass sich Wellenerreger und Beobachter relativ zueinander bewegen, wobei einer von beiden still steht, sagen Folgendes aus: Sendet ein Wellenerreger die Frequenz f0 aus, nimmt der Beobachter eine höhere Frequenz f1 > f0 wahr, wenn sich beide aufeinander zubewegen und eine niedrigere Frequenz f1 < f0, wenn sich beide voneinander wegbewegen. Die beobachtete (wahrgenommene) Frequenz f1 unterscheidet sich von der Erregerfrequenz f0 durch einen Faktor, der ein Geschwindigkeitsverhältnis enthält. Es heißt Mach’sche Zahl M. Bewegt sich ein Wellenerreger auf den still stehenden Beobachter mit vE = c zu, sagt man, er bewegt sich mit „Mach eins“ (M = 1). In der Wellenwanne erkennen wir, dass sich eine „Kopfwelle“ bildet. Da keine Welle dem Erreger davonlaufen kann, ist die Amplitude der Kopfwelle groß. Als Druckwelle entsteht sie, wenn ein Flugzeug „die Schallmauer durchbricht“, d.h. wenn seine Geschwindigkeit gerade gleich der Geschwindigkeit des Schalls in der Luft wird. Der Beobachter hört einen Knall. Bei vE > c Luft (M > 1) sind Druckwelle und Knall nicht so stark (Überschallknall). • 1)
Aufgaben 347 bis 349 E. Mach (1838–1916).
v ˆ Ê f1 = f 0 Á1 ± B ˜ Ë c¯ f1 = f 0
M =
1 v 1B E c
vE v ;M = B c c
Beobachter bewegt sich Erreger bewegt sich
M Mach’sche Zahl
vE Geschwindigkeit des Erregers vB Geschwindigkeit des Beobachters c Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle
7.12. Stehende Wellen
141
7.12. Stehende Wellen Bei der Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen gleicher Frequenz und Amplitude erscheint das Bild einer „stehenden“ Welle. Sie wird am einfachsten als Querwelle mit Reflexion sichtbar gemacht. Läuft Welle 1 nach rechts, Welle 2 mit gleicher Geschwindigkeit nach links, addieren sich im Überlagerungsbereich die Auslenkungen. Die zeichnerische Überlagerung der beiden gestrichelt gezeichneten Einzelwellen zu nacheinander folgenden Zeitpunkten ergibt als Resultierende die stark ausgezogene stehende Querwelle. Die so genannten Bewegungsknoten (Schnelleknoten) KI ... IV bleiben stets in Ruhe; sie liegen im Abstand λ / 2 voneinander. Dort treffen die Einzelwellen mit entgegengesetzt gleich großen Auslenkungen zusammen. Die Punkte zwischen zwei Knoten schwingen in Phase, jedoch mit von Punkt zu Punkt unterschiedlicher Amplitude; es entstehen Schwingungs- oder Schnellebäuche a, b, c, d. Dort sind die Auslenkungen beider Einzelwellen gleich groß und haben gleiches Vorzeichen; sie verdoppeln sich. Das räumliche Bild dieser Welle wandert im Gegensatz zur fortschreitenden Welle nicht weiter. Experimentell lässt sich die stehende Welle durch Reflexion sichtbar machen, indem am losen Ende einer langen Schraubenfeder durch richtiges periodisches Erregen Querwellen eingeleitet werden, die sich dann mit den am festen Ende reflektierten Wellen zur stehenden Welle überlagern. Die von Hand eingeleitete Frequenz muss um so größer sein, je größer die Federspannung ist. Auch hier kann mit festem und mit losem Ende nach 7.9.1 untersucht werden. Beachte: Am festen Ende eines mit stehender Welle schwingenden Gebildes entsteht immer ein Knoten, am losen Ende dagegen ein Bauch. Stehende Wellen sind ein Spezialfall der „Interferenz“. •
Aufgaben 350 und 351
Momentbilder einer stehenden Querwelle: auf den Knoten KI, KII, KIII, KIV liegen die Bewegungsknoten, auf den Loten BI, BII, BIII, BIV die Schwingungsbäuche
142
7. Mechanische Wellen
7.13. Eigenschwingungen (stehende Wellen auf begrenztem Wellenträger) Am SchIuss der Untersuchung stehender Wellen in 7.12 wurde schon darauf hingewiesen, dass die stehende Welle leicht mit einer langen Schraubenfeder erzeugt werden kann. Dieser „Federwurm“ ist dann ein begrenzter Wellenträger, der Eigenschwingungen ausführt. Sie sind heute wegen des Zwanges zum „Leichtbau“ in der Technik von großer Bedeutung (Achsen, Träger, Spindeln, Gestelle usw. „schwingen“). Stehende Wellen auf begrenztem Träger, also Eigenschwingungen des Trägers, bauen sich nur bei ganz bestimmten Frequenzen f (oder Wellenlängen λ) und dann in verschiedenen Formen auf. Man unterscheidet die Grundschwingung und die Oberschwingungen als Formen der Eigenschwingung. Bei einer ganz bestimmten Erregerfrequenz schwingt der Träger mit einem Bauch in der Mitte. Diese Frequenz ist die Grundfrequenz f0. Wie die Gleichung zeigt, ist die Grundfrequenz abhängig von der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle und von der Länge l des Wellenträgers.
Eigenschwingungen des Wellenträgers mit zwei Enden (z.B. beim Federwurm) a) Grundschwingung, b), c), d) erste, zweite und dritte Oberschwingung
f0 =
c 2l
f0
c
l m s s gilt für Träger mit zwei festen Enden
l m
Die Frequenzen f der Oberschwingungen sind ganzzahlige (n) Vielfache der Grundfrequenz f0. Das gilt auch für Träger mit zwei losen Enden.
f = n f0
Ist ein Ende eingespannt und am anderen losen Ende wird erregt, ist die Grundfrequenz nur halb so groß wie beim Träger mit zwei festen Enden.
f0 =
c 4l
gilt für Träger mit einem festen und einem losen Ende
Die Frequenzen f der Oberschwingungen sind dann das 3-, 5-, 7-...fache der Grundfrequenz f0.
f = (2n + 1) f 0
mit n = 1, 2, 3, ...
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c von Querwellen kann man einfach mit stehenden Wellen bestimmen, weil die Wellenlänge λ bequem messbar ist: Die Bewegungsknoten der stehenden Welle liegen um λ / 2 voneinander entfernt.
c = fλ
Für gespannte Schnüre und Saiten geringer Biegesteifigkeit bestimmt man die Ausbreitungsgeschwindigkeit c aus der Zugkraft F und der Masse m* je Meter Länge (kg/m). Wird z.B. eine Schnur mit einer Wechselstromklingel so erregt, dass sich die stehende Querwelle ausbildet, dann kann man mit veränderter
mit n = 1, 2, 3, ...
c
f
λ
m s
1 = Hz s
m
Erzeugung stehender Querwellen
7.14. Kennzeichen und Bedingungen fortschreitender und stehender Wellen Spannkraft F und Schnurmasse m (einfache, doppelte, vierfache Schnur) die Proportion Fl c ~ nachweisen. Theorie und Messungen m zeigen außerdem, dass der Proportionalitätsfaktor 1 ist, womit man eine Gleichung für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c erhält.
Breitet sich eine Welle in verschiedenen Medien aus, stellen sich bei gleicher Frequenz f mit c1 = f λ1 und c2 = f λ2 unterschiedliche Geschwindigkeiten ein.
c=
Fl = m
c
F
l
m
m*
kgm s2
m
kg
kg m
m s
N=
F m*
c1 λ = 1 c2 λ 2
c2 = c1
λ2 λ1
Fl = 4 f 02l 2 m F F = = 4ml 4 Alr ⋅ l
c2 =
Eine Gleichung für die Grundfrequenz f0 erhält man durch Gleichsetzen von c = F l / m und c = 2f0 l (aus f0 = c / 2l).
f02
Darin ist l die Länge der Saite, r die Dichte und σ die Zugspannung in der Saite (aus σ = F / A, siehe Festigkeitslehre).
f0 =
•
143
1 2l
σ r
f0
l
σ
r
1 N kg = Hz m 2 s m m3
Aufgaben 352 und 353
7.14. Kennzeichen und Bedingungen fortschreitender und stehender Wellen
fortschreitende Welle
stehende Welle
Das (räumliche) Wellenbild verschiebt sich mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c.
Das (räumliche) Wellenbild „steht“ am Ort; es ändert sich periodisch rechtwinklig zur x-Achse.
Alle Punkte des Wellenträgers erreichen zeitlich nacheinander gleiche Amplituden.
Jeder Punkt des Wellenträgers hat seine eigene Amplitude; die Gesamtheit der Amplituden ist nach einer Sinuskurve verteilt.
Es gibt keinen Punkt, der dauernd in Ruhe ist.
Die Knotenpunkte im Abstand λ / 2 sind dauernd in Ruhe.
In keinem Augenblick ist überall die Auslenkung gleich null.
Alle Punkte gehen im zeitlichen Abstand T / 2 gleichzeitig durch die Nulllage.
144
7. Mechanische Wellen
7.15. Mathematische Behandlung stehender Wellen Nach 7.2 werden zwei gegenläufige harmonische Wellen gleicher Frequenz f und Amplitude A mit ihren Gleichungen für die Auslenkung y1 und y2 erfasst. Die Überlagerung ergibt als resultierende Auslenkung yres die Summe der beiden Einzelauslenkungen.
ª § t x ·º y1 = A sin « 2ʌ ¨ − ¸ » ¬ © T λ ¹¼ x ·º ª §t y2 = A sin « 2ʌ ¨ + ¸ » T λ ¹¼ ¬ ©
yres = y1 + y2 ª §t x · º °½ ° ª § t x · º yres = A ®sin « 2ʌ ¨ − ¸ » + sin « 2ʌ ¨ + ¸ » ¾ λ λ T T © ¹ © ¹ ¼ ¿° ¼ ¬ ¯° ¬
Zur weiteren Behandlung wird x ˆ˘ x ˆ˘ È Êt È Êt Í2π ÁË T - λ ˜¯ ˙ = α und Í2π ÁË T + λ ˜¯ ˙ = β , Î ˚ Î ˚
gesetzt. Der Ausdruck in der geschweiften Klammer vereinfacht sich zu È Êt x ˆ˘ È Êt x ˆ˘ sin Í2ʌ Á - ˜ ˙ + sin Í 2ʌ Á + ˜ ˙ = sin α + sin β . Ë ¯ Ë T T λ λ ¯˚ Î ˚ Î
Für diese Summenformel (Additionstheorem) gilt: sin α + sin β = 2sin
α+β 2
cos
α−β 2
.
Werden die ursprünglichen Größen eingesetzt, erhält man die endgültige Gleichung für die resultierende Auslenkung yres der stehenden Welle. Die Gleichung zeigt, dass sich der Schwingungszustand nicht fortpflanzt, denn im Argument der Sinus- und Kosinusfunktion sind Zeit t und Entfernung x nicht zusammen enthalten, im Gegensatz zu den Ausdrücken für y1 und y2.
tˆ Ê Ê xˆ yres = 2 A sin Á 2π ˜ cos Á 2π ˜ Ë T¯ Ë λ¯
145
8. Akustik
8.1. Begriffsbestimmung und Einschränkung Wird mit dem Hammer auf eine lange Stahlschiene geschlagen, werden damit in der Schiene und der Umgebung (Luft) physikalische Vorgänge ausgelöst, die mit dem Ohr wahrgenommen werden. Alle über das Ohr vermittelten Erscheinungen werden als Schall bezeichnet und in der Akustik behandelt. Dazu gehören auch Fragen der Verträglichkeit für den Menschen (physiologische Probleme). Hier sollen nur die wichtigsten Größen aus der physikalischen Akustik besprochen werden, die sich mit den Schwingungen elastischer Körper befasst, soweit sie hörbar sind.
Physikalische Vorgänge nach dem Schlag
Alle bekannten Gesetze aus der Schwingungsund Wellenlehre gelten auch hier (Beugung, Brechung, Interferenz, Schwebung, Dopplereffekt); einige neue Begriffe kommen hinzu.
8.2. Schallempfindungen Den Schall kann unser Ohr nur empfinden, wenn ein Medium die Störung heranträgt, wenn also Stoffteilchen schwingen. So ist eine elektrische Klingel unter einer luftleer gepumpten Glasglocke nicht zu hören. Man ordnet die Schallempfindung in Knall, Geräusch, Klang und Ton. Die zugehörigen Druckschwankungen der Luft verlaufen beim Ton rein sinusförmig (harmonische Welle). Die Klangschwingung ist periodisch, kann aber, wie jede periodische Schwingung, in eine Summe von Sinusschwingungen zerlegt werden. Der Klang lässt sich demnach aus mehreren Tönen zusammensetzen (Grundton und überlagerte Sinusschwingungen als Obertöne). [
Oszillogramme verschiedener Schwingungsformen a) Knall, b) Geräusch, c) Klang, d) Ton
146
8. Akustik
8.3. Die Tonhöhe Wird eine Saite angerissen, empfindet man den Ton höher bei stärker gespannter Saite und niedriger bei geringerer Saitenspannung. In 7.13 wurde die Gleichung für die Grundfrequenz f0 einer schwingenden Saite hergeleitet. Danach wächst bei gleich bleibender Saitenlänge die Grundfrequenz f0 mit der Zugspannung σ, d.h.:
f0 =
1 σ 2l r
Die Tonhöhe ist der Frequenz f der Schwingungsbewegung proportional.
8.4. Die Schallschnelle v Im Medium, das den Schall überträgt (z.B. Luft), schwingen die Teilchen hin und her. Die Geschwindigkeit der Teilchen heißt Schallschnelle v. Sie ist der Amplitude A und der Frequenz f proportional. Sie darf nicht mit der Schallgeschwindigkeit verwechselt werden (8.7).
v=
2ʌ A = 2ʌ A f T
v = 2ʌ A f
v
A
f
T
m s
m
1 s
s
8.5. Der Schalldruck p Durch Verdichtungen und Verdünnungen (Dichteänderung eines Gases) beim Ausbreiten der Schallwelle entstehen Druckschwankungen. Die maximale Druckabweichung vom Druck der ruhenden Luft (Druckamplitude) ist der Schalldruck p, auch Schallwechseldruck genannt. Er ist proportional der Dichte r, der Schallgeschwindigkeit c und der Schallschnelle v.
8.6. Die Schallstärke J Denkt man aus einem Wellenträger einen Quader mit der Stirnfläche A und der Länge Δs = c Δt (c Schallgeschwindigkeit) herausgeschnitten, dann enthält er die kinetische Energie Ek = mv2/ 2, mit v als Schallschnelle der Teilchen. Die Masse m kann man durch Vr = m ersetzen, ebenso das Volumen V = A Δs = A c Δt.
r
c,v
N kg m 2 m3 Werte in Tafel 8.1, Seite 157
m s
p=rcv
p
8.6. Die Schallstärke J Die Schallstärke J aIs spezifische Größe erhält man, wenn die Schallenergiemenge Ek auf die Flächeneinheit (durch A teilen) und auf die Zeiteinheit bezogen wird (durch Δt teilen). Damit ist die Schallstärke J diejenige Energie, die in der Zeiteinheit durch eine rechtwinklig zur Ausbreitungsrichtung der Schallwelle stehende Flächeneinheit hindurchtritt. Sie ist also eine auf die Flächeneinheit bezogene Leistung. In der Gleichung für die Schallstärke J kann die Schallschnelle v durch den Schalldruck p ersetzt werden (v = p /r c).
147 m 2 Vr 2 v = v 2 2 A c ǻt r 2 Ek = v 2 E Ac ǻt r 2 J = k = v 2 A ǻt A ǻt Ek =
J =
r 2 p2 v c= 2 2r c J
r
c, v
p
W J = m 2 m 2s
kg m3
m s
N m2
(1 J = 1 Ws)
Wände nehmen Schallenergie auf (Schallschluckung), sodass die Schallstärke J1 hinter der ersten Wand auf J2, hinter der zweiten Wand auf J3 usw. absinkt. Dabei wird die Luft in den Poren der Wand erwärmt. Ein Teil der auf eine Wand auftreffenden Schallenergie wird reflektiert. Die Dämpfungsfähigkeit der Wände hängt von ihrer Dicke und vom Material ab (Tabelle 8.6, Seite 156). Bei akustischen Vorgängen nimmt das menschliche Ohr die Differenzen von Schallstärken in logarithmischen Stufen wahr (logarithmischer Empfindlichkeitssprung). Daher hat man als Vergleichsgröße D (Dämpfung) den zehnfachen Zehnerlogarithmus des Verhältnisses zweier Schallstärken eingeführt (zehnfach, um Dezimalstellen möglichst zu vermeiden). An Stelle des SchaIIstärkenverhältnisses J1 / J2 kann man nach der obigen Schallstärkengleichung das Schalldruckverhältnis p12 /p 22 einsetzen. Die Vergleichsgröße (Dämpfung) D ist ein Quotient von Größen gleicher Art (Schallstärken oder Schalldrücken). Wie stets in solchen Fällen ergibt sich dabei die Einheit eins = 1 (siehe z.B. Drehwinkel Δϕ ), und auch hier hat man der Einheit „eins“ einen besonderen Namen gegeben, das Dezibel (Kurzzeichen dB). So wie sich z.B. zwei Drehwinkel ϕ um soundsoviel rad unterscheiden, wird der Unterschied zweier Schallstärken J in dB angegeben.
D = 10 lg
p2 J1 p = 10 lg 12 = 20 lg 1 J2 p2 p2
Beachte: 2
10 lg
Êp ˆ p12 p = 10 lg Á 1 ˜ = 20 lg 1 p22 p2 Ë p2 ¯
eins = 1 = Dezibel = dB Beispiel: Das Verhältnis zweier Schallstärken beträgt J1/J2 = 105 = 100000. Dann beträgt die Dämpfung J1 = 10 lg 105 db = 50 dB J2 d.h., die Schallstärken unterscheiden sich um 50 Dezibel. D = 10 lg
148
8. Akustik
8.7. Die Schallgeschwindigkeit c ( p ¹γ ) r
Eine Zusammenstellung der Schallgeschwindigkeit in festen Körpern, Flüssigkeiten und Gasen geben die Tabellen 8.2 bis 8.4, Seite 155 und 156.
ck =
Die Gleichungen für die Schallgeschwindigkeit c k in festen Körpern (z.B. Stahl), c f in Flüssigkeiten (z.B. Wasser) und c g in Gasen (z.B. Luft) haben den gleichen Aufbau: Unter der Wurzel steht ein Bruch, dessen Nenner die Dichte des betreffenden Stoffes ist, also eine Stoffkonstante. Es liegt nahe, auch dem Zähler in den drei Gleichungen eine übereinstimmende Bedeutung zu geben.
E Elastizitätsmodul in N/m2 k Kompressibilitätsfaktor in m2/N p Druck des Gases in N/m2 γ = cp /cv Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten r Dichte des Stoffes in kg/m3 Werte für E, γ und r in den Tabellen 8.2 bis 8.4. Seite 155 und 156; für k siehe folgendes Beispiel.
Der Zähler in der Gleichung für c k ist bekannt, es ist der Elastizitätsmodul E, der über das Hooke’sche Gesetz E = σ / ε, das Elastizitätsgesetz für feste Körper, mit der Spannung σ in Verbindung steht. Auch Flüssigkeiten und Gase verhalten sich beim Zusammendrücken elastisch, wobei Flüssigkeiten nur sehr schwer zusammendrückbar (kompressibel) sind.
Beispiel:
Man kann also sagen, dass die Größen E, 1/ k und p γ einander entsprechen (ԑ) und das elastische Verhalten des jeweiligen Stoffes charakterisieren oder „beschreiben“. Wie die Dichte r sind auch sie Stoffkonstanten.
Wenn der Zähler des Bruches unter der Wurzel als eine „Elastizitätsgröße“ oder „Spannungsgröße“ bezeichnet wird, hat man die alle drei Fälle erfassende Struktur der Gleichung für die Schallgeschwindigkeit c gefunden: Die Schallgeschwindigkeit hängt für alle Körper von einer Spannungsgröße und der Dichte ab. Die Gleichung für die Schallgeschwindigkeit c k in festen Körpern wird anschließend hergeleitet.
E ; cf = r
1/k ; cg = r
Für Stahl ist E = 2,1 · 1011
N m2
1 1 N = ⋅ 1011 2 , k 46,8 m für Luft bei Atmosphärendruck ist mit N γ = 1,4 und p = 105 2 das Produkt m N 5 pγ = 1,4 · 10 . m2 für Wasser ist
1 ԑ pγ k In Worten: Dem Elastizitätsmodul fester Körper entspricht bei Flüssigkeiten 1/k und bei Gasen p · γ.
Eԑ
ck,f,g =
Ê 1 ˆ Spannungsgröße Á E , , p γ ˜ Ë k ¯ Dichte r
Beachte: Die drei Gleichungen enthalten nur Stoffkonstanten, folglich muss die Schallgeschwindigkeit von der jeweiligen Frequenz f unabhängig sein. Experimenteller Nachweis: Auch aus größerer Entfernung ist ein Musikstück erkennbar.
8.7. Die Schallgeschwindigkeit c
149
8.7.1. Schallgeschwindigkeit c k in festen Körpern Zur Herleitung der Gleichung c k = E /r für die Schallgeschwindigkeit c k in festen Körpern werden drei Beziehungen gebraucht, die schon bekannt sind: Das Hooke’sche Gesetz σ = ε E = F /A (siehe Versuch Seite 256),
Spannung σ = Dehnung ε =
die Gleichung für die Beschleunigungsarbeit Wb (siehe 2.10.5.2, Seite 54) und die Gleichung für die Federarbeit Wf (siehe 2.10.5.3, Seite 55).
Kraft F F = Querschnittsfläche A A
elastische Verkürzung ǻl ǻl = Ursprungslänge l0 l0
m 2 v 2 Fǻl Wf = 2
Wb =
Einem festen, elastischen Stab (z.B. einem Stahlstab) wird eine Federarbeit Wf = F · Δl/2 zugeführt, etwa durch einen Schlag. Die Stirnfläche des Stabes weicht dadurch kurzzeitig während des Zeitabschnitts Δt elastisch um die Länge Δl zurück. Stellt man sich einen sehr langen Stab vor, wird klar, dass die Zusammendrückung (Federung) des Stabes infolge des Schlages sich nicht augenblicklich bis an das andere Stabende fortpflanzt, sondern dazu eine bestimmte Zeit braucht. Während des Zeitabschnitts Δt wird also nur ein Teil des Stabes von der Federung erfasst, dessen Länge man mit l0 bezeichnet. Die Federarbeit Wf beschleunigt also innerhalb der Zeit Δt alle Stoffteilchen des Stabes längs der Strecke l0, d.h. die Federarbeit Wf wird in die Beschleunigungsarbeit Wb = m · v 2/ 2 umgewandelt. Darin ist v die mittlere Geschwindigkeit der während Δt in Schwingungen versetzten Stoffteilchen (v = Δl/ Δt ), die so genannte Schallschnelle (siehe 8.4, Seite 146). Die zugeführte Federarbeit Wf muss gleich der Beschleunigungsarbeit Wb sein. Für die während des Zeitabschnitts Δt von der Schwingung erfassten Masse m kann man mit Querschnittsfläche A, Stablänge l0 und Dichte r den Ausdruck m = A · l0 · r setzen.
zugeführte = Beschleunigungsarbeit Federarbeit Wf = Wb F
m ǻl 2 ǻl = ⋅ 2 ǻt 2 2
F Δ l = A l0 r
ǻl 2 ǻt 2
150 Die elastische Verformung hat zu der Spannung σ geführt, die man nach dem Hooke’schen Gesetz σ = F / A = Δl · E / l0 ausdrücken kann, womit eine Gleichung für die Federkraft F gefunden ist. Den Ausdruck für die Federkraft F setzt man in die Gleichung Wf = Wb ein und dividiert diese Gleichung durch (A · Δl2). Da l0 die während des Zeitabschnitts Δt von der Schwingungsenergie durchsetzte Stablänge ist, muss der Quotient l0 /Δt die Schallgeschwindig-
8. Akustik σ =
F ǻl = E A l0
F =
A ǻl E l0
FΔl= A l0 r
ǻl 2 ǻt 2
Aǻl E ǻl 2 ⋅ ǻl = A l0 r 2 : (AΔl2) l0 ǻt l02 = r ck2 ǻt 2
keit c k sein, also auch l02 /Δt 2 = ck2 , womit man
E= r
die gesuchte Gleichung für c k gefunden hat.
E = r ck2 ck =
E r
c
E
r
m s
N m2
kg m3
(ck, E und r siehe Tabelle 8.2, Seite 155) Für Stahl beträgt der Elastizitätsmodul
Beispiel:
E = 2,1 · 1011N/m2 = 2,1 · 1011 kgm/(s2m2). Die Dichte für Stahl beträgt r = 7,85 · 103 kg / m3.
Die Schallgeschwindigkeit in einem Stahlstab ist zu bestimmen.
In der Festigkeitslehre wird in den Tabellen der Elastizitätsmodul in N/mm2 angegeben, z.B. für EStahl = 2,1 · 105 N/mm2. Hier aber wird mit N/m2 gerechnet. Zur weiteren Umrechnung verwendet man 1 N = 1 kgm/s2 (siehe oben).
ck =
E = r
kgm s 2 m 2 = 5172 m kg s 7,85 ⋅ 103 3 m
2,1 ⋅ 1011
N ; 1 mm2 = 10–6 m2 mm 2 N N EStahl = 2,1 · 105 −6 = 2,1 · 1011 2 10 mm mm3
EStahl = 2,1 · 105
8.7.2. Schallgeschwindigkeit c f in Flüssigkeiten Zur Gleichung für die Schallgeschwindigkeit c f kommt man, wenn in der Gleichung für c k der Elastizitätsmodul E durch den Kehrwert 1/ k des Kompressibilitätsfaktors k ersetzt wird. Für Wasser von 20 °C beträgt der Kompressibilitätsfaktor k = 46,8 · 10–11 m2/ N, die Dichte r = 997 kg / m3.
cf =
1 k = r
1 kr
c
k
r
m s
m2
kg m3
N
(cf, r siehe Tabelle 8.3, Seite 155)
Beispiel: Die Schallgeschwindigkeit in einem Stahlstab ist zu bestimmen. ck =
1 = kr
1011 Nm3 m = 1464 s 46,8 m2 ⋅ 997 kg
8.7. Die Schallgeschwindigkeit c
151
8.7.3. Schallgeschwindigkeit c g in Gasen Wie unter 8.7.2 wird auch hier der Elastizitätsmodul E durch eine das elastische Verhalten von Gasen kennzeichnende Größe ersetzt. Das ist das Produkt aus dem in der abgeschlossenen Gasmenge herrschenden Druck p und dem Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten γ. Die Gaszustandsgleichung p /r = RT (siehe Seite 88) gibt noch die Möglichkeit, den Quotienten p /r durch das Produkt aus der speziellen Gaskonstanten R und der thermodynamischen Temperatur T zu ersetzen. Damit ist auch zu erkennen, dass die Schallgeschwindigkeit c g in Gasen von der Temperatur abhängig ist. Für die Luft von 0 °C beträgt die spezielle Gaskonstante Ri = 287 J / kg K, die Kelvin-Temperatur T = 273 K und γ = 1,402. Für Luft lässt sich die Schallgeschwindigkeit c l mit einer empirischen Gleichung berechnen.
cg =
pγ r
cg
p
γ
r
m s
N m2
l
kg m3
(cg, γ siehe Tabelle 8.4, Seite 156)
cg = RT γ
cg =
RT γ =
cg = 331
287
cg
R
T
γ
m s
J kg K
K
l
1 J = 1 Nm = 1
kgm 2 s2
J ¹ 273 K ¹1,402 kg K
m s
c l = 331,6 + 0,6 ⋅ ϑ
cl
ϑ
m s
ºC
8.8. Das Schalldruck-Frequenz-Schaubild Die Schallstärke J hängt vom Schalldruck p (quadratisch) (siehe unter 8.6) ab. Hörbarkeit eines Schalls erfordert eine gewisse Schallstärke (und damit auch einen bestimmten Schalldruck) und Frequenz. Untere Hörschwelle oder Reizschwelle und obere Hörschwelle oder Schmerzschwelle sind durch bestimmte niedrigste und höchste Schallstärken (Schalldrücke) gekennzeichnet. Untere Hörgrenze und obere Hörgrenze sind an bestimmte Frequenzen gebunden (16 Hz und 20000 Hz). Darüber liegende Frequenzen heißen Ultraschall, darunter liegende Infraschall. Sie werden nicht mehr als Schall (d.h. also nicht mehr mit dem Ohr) empfunden. Im p-f-Schaubild sind diese Abhängigkeiten erkennbar; über der Frequenz f in Hz ist der Schalldruck p in N/m2 aufgetragen. Obere und untere Hörschwelle begrenzen den menschlichen Hörbereich, die so genannte Hörfläche.
Menschliche Hörfläche (nach Grimsehl, Band 1) schraffierte Fläche: Bereich der Umfangssprache
152
8. Akustik
8.9. Die Lautstärke L Die Lautstärke L ist ein Maß für die subjektive Lautheitsempfindung durch einen Hörvergleich mit einem so genannten Normalschall von 1000 Hz. Der Normalschalldruck pn wird für den Vergleich so eingestellt (z.B. am Kondensatormikrophon), dass der erzeugte Normalschall und der zu messende Schall gleich laut empfunden werden. Der Bezugsschalldruck p0 entspricht etwa der unteren Hörschwelle für den 1000 Hz-Ton. Nach dem p-f-Schaubild ist p0 = 2 · 10–5 N/m2. Die Phon-Kurven sind Kurven gleicher Lautstärke (Empfindung) in Abhängigkeit von der Frequenz. Sie sind aus den Mittelwerten vieler Messungen am Menschen entstanden. Ebenso wie beim Schallstärkenverhältnis mit der Einheit eins = 1 = dB wird auch beim Lautstärkenverhältnis verfahren. Hier erhält die Einheit eins die Bezeichnung Phon (Kurzzeichen phon). Es ist also eins = 1 = phon zu setzen.
L = 20 lg
1 phon =ˆ
pn p0
L
pn, p0
phon
m2
N
pn = 1,122 p0
Beispiel: Mit einer Schallquelle von 1000 Hz wird ein Vergleichston eingestellt, dessen Schalldruck pn = 0,6 N/m2 beträgt. Welcher Lautstärke in phon entspricht dieser Schalldruck? Lösung:
N 0,6 2 pn m = 20 lg L = 20 lg = 90 phon N p0 2 ¹ 10 -5 2 m Beachte: Aus den Einheiten db und phon erkennt man, um welche physikalische Größenart es sich handelt: dB Schallstärkenvergleich (objektive Vergleichsbasis) phon Lautstärkenvergleich (subjektive Vergleichsbasis)
8.10. Stehende Schallwellen Da Schall ein Wellenvorgang ist, kann man auch stehende Schallwellen erzeugen, die Wellenlänge λ messen und die Schallgeschwindigkeit c mit c = f λ berechnen. Eine waagerecht gelagerte Glasröhre wird im Innern über der ganzen Länge mit Korkpulver belegt. Zwei vom gleichen Tonfrequenzgenerator gespeiste Schallköpfe dienen als Schallerreger. Die sich einstellenden Staubfiguren zeigen Knoten und Bäuche, die Kennzeichen der stehenden Welle:
Kundt’sche Staubfiguren zeigen stehende Schallwellen (Kundt, 1839–1894)
Schallwellen breiten sich in Gasen als Längswellen aus (Verdichtung und Verdünnung des Gases). Ist die Schallgeschwindigkeit c l in Luft bekannt, kann auch die Schallgeschwindigkeit c g in einem anderen Gas bestimmt werden.
cg = c l
λg λl
8.11. Schallsender, Lautsprecher, Mikrophone
153
8.11. Schallsender, Lautsprecher, Mikrophone Schallsender erzeugen Schallwellen auf mechanische oder elektromechanische Weise. Die Stimmgabel erzeugt sinusförmige Töne hoher Frequenzkonstanz. In der Lippenpfeife wird übereinen Spalt gegen eine keilförmige Schneide, die Lippe der Pfeife, eine Luftsäule angeblasen und dadurch in Schwingungen versetzt. In der Zungenpfeife werden durch den Luftstrom ein oder zwei Blattfedern, die Zungen der Pfeife, zu Eigenschwingungen gebracht. In der Sirene wird ein Luftstrom durch einen umlaufenden Zahnkranz oder eine umlaufende Lochscheibe periodisch unterbrochen. Lautsprecher sind Schallsender zur Wiedergabe von Sprache und Musik. Beim elektromagnetischen Lautsprecher übt ein Magnet eine Kraft auf einen beweglichen Anker aus. Durch die Spule fließt der Sprechwechselstrom und beeinflusst die Rückstellkraft des Ankers. Damit werden die elektrischen Schwingungen in mechanische umgewandelt und vom Anker mechanisch auf die trichterförmige Membran übertragen. Die Membran strahlt die mechanischen Schwingungen akustisch ab. Beim elektrodynamischen Lautsprecher ragt die Sprechspule in den Luftspalt des Topfmagneten hinein. Die Spule ist über einen Spulenkörper aus Hartpapier fest mit der Konusmembran verbunden, die elastisch aufgehängt ist und eine kleine Rückstellkraft auf die Sprechspule ausübt. Das konstante Magnetfeld erzeugt eine dem Strom proportionale Kraft, die auf die stromdurchflossene Sprechspule wirkt und damit die Konusmembran bewegt.
Elektromagnetischer Lautsprecher
Elektrodynamischer Lautsprecher
Schallempfänger weisen Schallschwingungen nach und wandeln Schallenergie in andere Energieform um. Mikrophone wandeln Schallschwingungen in elektrische Wechselspannung um. Sie werden gebaut als Kohle-, Kondensator-, Kristallmikrophone und elektrodynamische Mikrophone. Das elektrodynamische Mikrophon wirkt umgekehrt wie der elektrodynamische Lautsprecher: Eine zylindrische Spule wird (durch eine dünne Aluminiummembran angetrieben) im konstanten Magnetfeld eines Topfmagneten bewegt. Dadurch wird eine elektromotorische Kraft erzeugt, die dem Schallwechseldruck entspricht.
154
8. Akustik
8.12. Ultraschall Wellen im Frequenzbereich von 16000 Hz bis 1013 Hz bezeichnet man als Ultraschall. Die Wellenlängen bei 1012 ... 1013 Hz entsprechen etwa den Molekülabständen in festen und flüssigen Körpern. Wegen der erreichbaren kleinen Wellenlänge lassen sich Ultraschallwellen scharf bündeln und richten, sodass für Reflexion und Brechung von Ultraschallstrahlen die Gesetze der geometrischen Optik gelten. Erzeugt wird Ultraschall mit mechanischen und elektromechanischen Schallquellen. Die Sirene (mechanische Schallquelle) liefert niederfrequente Schallwellen (bis 200 kHz). Elektromechanisch lässt sich Ultraschall bis etwa 50 MHz, beispielsweise mit Quarzkristallscheiben, erzeugen, die zwischen zwei Elektroden durch ein elektrisches Wechselfeld zu Eigenschwingungen angeregt werden. Verwendet werden Ultraschallwellen in der Technik in vielfältiger Weise, z.B. für die zerstörungsfreie Metallprüfung mit der Impuls-Echomethode: Ein kurzer Ultraschallimpuls von einigen Millionen Schwingungen je Sekunde wird in das Werkstück eingestrahlt. Auf dem Leuchtschirm zeigt sich außer dem Rückwandecho noch das Fehlerecho F vom Riss als vorzeitiger Impuls. Die elektronische Auswertung gibt Aufschluss über Lage, Größe und Art des Fehlers.
Ultraschall von f = 16 kHz bis 200 kHz wird als niederfrequenter Ultraschall bezeichnet (1 kHz = 1000 Hz).
Schwingquarz zur Ultraschall-Erzeugung
Ultraschall-Impuls-Echomethode F Fehlerimpuls
Weitere Anwendungsbeispiele des Ultraschalls: 1. Mit der Schallortung stellt man z.B. die Entfernung von Fischschwärmen oder die Netzlage fest. Man misst dabei die Zeitabschnitte zwischen dem abgegebenen Ultraschallsignal und dem Empfang des durch Reflexion der Welle ankommenden Echosignals. 2. Die hohen Amplituden des Schalldrucks führen in Flüssigkeiten zu örtlichen Druckwechseln (Dichtewechseln) von mehreren tausend bar. Ultraschallwellen zerstören daher feste Körper oder Organismen in Flüssigkeiten. Diese Wirkung lässt sich ausnutzen, z.B. zur Reinigung komplizierter und kleinster Werkstücke oder von Ölen, zur Sterilisierung von Flüssigkeiten, aber auch zur Bildung von Emulsionen und zur Kornverfeinerung in photografischen Emulsionen.
8.12. Ultraschall
155
Tabelle 8.1 Lautstärke, Schalldruck und Schallstärke (absoluter Schallpegel)
Lautstärke L in phon 0,0 0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 100,0
N bei 1000 Hz m2 2,0 · 10–5 2,118 · 10–5 2,244 · 10–5 2,518 · 10–5 2,824 · 10–5 3,170 · 10–5 3,556 · 10–5 3,990 · 10–5 4,478 · 10–5 5,024 · 10–5 5,636 · 10–5 6,324 · 10–5 1,125 · 10–4 2,000 · 10–4 6,324 · 10–4 2,000 · 10–3 6,324 · 10–3 2,000
Schallstärke J in
Schalldruck p in
W m2
1,0 · 10–12 1,122 · 10–12 1,259 · 10–12 1,585 · 10–12 1,995 · 10–12 2,512 · 10–12 3,162 · 10–12 3,981 · 10–12 5,012 · 10–12 6,310 · 10–12 7,943 · 10–12 1,000 · 10–12 3,162 · 10–11 1,000 · 10–10 1,000 · 10–9 1,000 · 10–8 1,000 · 10–7 1,000 · 10–2
Tabelle 8.2 Schallgeschwindigkeit c, Dichte r und Elastizitätsmodul E einiger fester Stoffe
Stoff Aluminium in Stabform Blei Stahl in Stabform Kupfer Messing Nickel Zink Zinn Quarzglas Plexiglas
c in
m s
5 080 1 170 5 172 3 700 3 500 4 780 3 800 2 720 5 360 2 090
kg m3 2 700 11 400 7 850 8 900 8 100 8 800 7 100 7 300 2 600 1 200
r in
N m2 7,1 · 1010 1,6 · 1010 21 · 1010 12,5 · 1010 10 · 1010 20 · 1010 10,5 · 1010 5,5 · 1010 7,6 · 1010 0,5 · 1010
E in
Tabelle 8.3 Schallgeschwindigkeit c und Dichte r einiger Flüssigkeiten
Flüssigkeit Benzol Petroleum Quecksilber Transformatorenöl Wasser
in °C 20 34 20 32,5 20
m s 1 330 1 300 1 450 1 425 1 464
c in
kg m3 878 825 13 595 895 997
r in
156
8. Akustik
Tabelle 8.4 Schallgeschwindigkeit c, Verhältnis γ =
Gas Helium Kohlenoxid Leuchtgas Luft Sauerstoff Wasserstoff
c in
cp cv
m s
einiger Gase bei ϑ = 0 °C
γ
965 338 453 331 (344 bei 20 °C) 316 1284 (1306 bei 20 °C)
1,66 1,4 – 1,402 1,396 1,408
Tabelle 8.5 Lautstärke von Geräuschen in phon
Art des Geräusches
phon
untere Hörschwelle leises Flüstern, Blättersäuseln sehr ruhiger Garten, ruhige Wohnung Vorortanlagen, Rauschen von Bäumen Zerreißen von Schreibpapier Umgangssprache, Schreibmaschine Straßenbahn Großstadtstraßen starker Straßenverkehr Maschinenräume, Untergrundbahn sehr laute Autohupe Blechschmiede Flugzeugpropeller, Niethämmer Schmerzgrenze
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
Tabelle 8.6 Schalldämmung von Wänden
Material
Dachpappe Sperrholz, lackiert Heraklithwand, verputzt Vollziegelwand 1/4 Stein, verputzt Vollziegelwand 1/2 Stein, verputzt Vollziegelwand 1/1 Stein, verputzt
Dicke (cm)
Masse je m2 § kg · ¨ 2¸ ©m ¹
mittlere Dämpfung D (dB)
– 0,5 – 9 15 27
1 2 50 153 228 457
13 19 39 42 44 50
157
9. Optik
9.1. Einordnung und Ausbreitung des Lichts 9.1.1. Das elektromagnetische Spektrum Spektrum war ursprünglich die Bezeichnung für das farbige Band, das beim Zerlegen des Lichts in einzelne Wellenlängen entsteht; heute ist Spektrum die allgemeine Bezeichnung für alle Wellenbänder (elektromagnetisches Spektrum, Röntgenspektrum usw.). Licht gehört zu den elektromagnetischen Wellen, ist also Teil des elektromagnetischen Spektrums. Die Erscheinungen der Ausbreitung des Lichts lassen sich deshalb mit den Gesetzen der Wellenlehre erklären (z.B. Interferenz).
Elektromagnetisches Spektrum
Das Licht wird uns zugestrahlt und vom Auge als Lichteindruck wahrgenommen. Dem menschlichen Auge sichtbar ist nur ein schmaler Wellenlängenbereich. Im physikalischen Sinn zählen aber auch die benachbarten, uns nicht sichtbaren kürzeren und längeren Wellen zum Licht.
Sichtbar für uns ist Licht zwischen den Wellenlängen λ ≈ 400 nm ... λ ≈ 750 nm
Licht erscheint uns in verschiedenen Farben. Die Farbe wird durch die Wellenlänge bestimmt.
Farbe und Wellenlänge
An das sichtbare kurzwellige Licht schIießt das unsichtbare Ultraviolett an. Das langwellige sichtbare Rot geht in das unsichtbare Infrarot über; es wird auch Ultrarot genannt und gehört zu den Wärmestrahlen.
1 nm (Nanometer) = 10–9 m = 10–3 μm 1 nm = 0,001 μm Vergleich: Die Toleranz für H7 im Durchmesserbereich 30 bis 50 mm beträgt 25 μm. a) sichtbar: Violett Indigo Blau Grün Gelb Orange Rot
λ = 400 ... 420 nm λ = 420 ... 460 nm λ = 460 ... 490 nm λ = 490 ... 575 nm λ = 575 ... 585 nm λ = 585 ... 650 nm λ = 650 ... 750 nm
b) unsichtbar: Ultraviolett Infrarot
λ = 20 ... 400 nm λ = 750 nm ...1 mm
158
9. Optik
Projiziert man alle Lichtfarben auf einen Fleck (additiv gemischt), erscheint der Fleck weiß beleuchtet.
Weiß ist eine Mischfarbe.
Auch die Mischung zweier Farben, z.B. rot und grün, kann weißes Licht ergeben. Eine Anwendung ist die Rot-Grün-Brille zur Betrachtung entsprechend gefärbter Stereobilder.
Ergibt die Mischung zweier Farben weißes Licht, spricht man von Komplimentärfarben.
9.1.2. Lichtquellen Die meisten Lichtquellen sind Temperaturstrahler. Sie glühen, z.B. ein Stahlstab oder die Wendel einer elektrischen Glühlampe, bei etwa 700 °C 1 100 °C 1 500 °C
Im Kerzenlicht glüht und leuchtet der unverbrannte Kohlenstoff.
rot, gelb, weiß.
Als Nichttemperaturstrahler können Gase durch Zufuhr elektrischer Energie zum Leuchten gebracht werden.
Beispiel: Bunte Neonröhren.
Auch die chemische Umsetzung organischer Stoffe kann Licht erzeugen. Diese Erscheinung heißt Phosphoreszens.
Beispiel: Faulendes Holz, Leuchtkäfer.
Stoffe, die aufleuchten wenn sie angestrahlt werden, fluoreszieren (z.B. Zinksulfid).
Beispiel: Leuchtstoffröhren, deren Innenwand mit fluoreszierenden Stoffen bestäubt ist.
Nichtselbstleuchter sind alle Gegenstände, die man sieht, obgleich sie selbst kein Licht erzeugen. Sie werfen das aufgestrahlte Licht zerstreut zurück (sie reflektieren diffus, diffuses Licht). Einen Teil des auftreffenden Lichts absorbieren sie (saugen sie auf); er wird in Wärme umgesetzt.
Beispiel: Mond, Planeten, alle Gegenstände. Ein „rot aussehender“ Körper reflektiert nur den roten Anteil der Strahlen, ein blauer nur den blauen Anteil usw.
9.1.3. Spektren 9.1.3.1. Kontinuierliches- und Linienspektrum Im Licht glühender Körper sind alle Wellenlängen enthalten. Ein mit Glühlicht erzeugtes Spektrum ist deshalb ein kontinuierliches Farbband. Je nach Glühtemperatur ist der Anteil an kurz- oder langwelligem Licht im Verhältnis zur gesamten Lichtmenge größer oder kleiner. Dagegen senden zum Leuchten gebrachte Gase nur Wellenlängen aus, die ihrem atomaren Aufbau entsprechen. Das erzeugte Spektrum besteht daher nur aus einzelnen hellen Linien: Linienspektrum.
9.1. Einordnung und Ausbreitung des Lichts
159
9.1.3.2. Die Fraunhofer’schen Linien, Spektralanalyse Ein Gas absorbiert nur das Licht, das es aussenden würde, wenn es selbst leuchtete. Durchdringt Licht eines glühenden Körpers eine Gasschicht, fehlt danach das Licht einiger Wellenlängen. Im Spektrum dieses Lichts erkennt man dann einige schwarze Linien. Solche Linien werden auch im Spektrum des Sonnenlichts gefunden, weil das Licht der glühenden Sonne erst ihre Gashülle durchdringen muss, bevor es zur Erde kommt. Diese schwarzen Absorptionslinien im Sonnenlicht heißen Fraunhofer’sche Linien. Sie werden wie eine Skala zur Einteilung der Spektren benutzt. Die Linien oder Linienfolgen sind jeweils für bestimmte Stoffe charakteristisch, sodass eine Gasanalyse möglich ist, die Spektralanalyse.
Bereich rot
gelb grün blau violett
Linienzeichen
Wellenlänge λ in nm
A B C D E F G H
761 687 656 589 527 486 431 397
Feste Körper werden verdampft (in Gasform gebracht) und ihr Linienspektrum wird untersucht. Die Absorptionslinien zeigen an, aus welchem Stoff der Körper besteht (qualitative Analyse).
9.1.4. Die Schattenbildung Licht breitet sich in homogenen Mitteln (gleichmäßig beschaffenen Mitteln) geradlinig aus. Bei punktförmiger Lichtquelle L, die es praktisch nicht gibt, wird der Schatten des Körpers K durch die Lichtstrahlen 1 und 2 begrenzt. Bei einer praktisch möglichen, flächenmäßig ausgedehnten Lichtquelle L begrenzen die Strahlen 1 und 2 den Kernschatten, die Strahlen 1′ und 2′ den Halbschatten des Körpers.
9.1.5. Die wichtigsten Größen der Photometrie In der Photometrie (Lichtmessung) sind solche physikalischen Gesetze zusammengefasst worden, mit denen man die Wirkung sichtbaren Lichts auf das menschliche Auge beschreiben kann. Basisgröße dieses physikalischen Bereichs ist 1 Candela (cd) ist die Lichtstärke von die Lichtstärke I. Die zugehörige Basiseinheit 1 1 10 m2 = cm 2 = mm 2 ist die Candela mit dem Kurzzeichen cd. Sie 600000 60 6 wurde über die Lichtstärke von erstarrendem Platin definiert. erstarrenden Platins bei 1710 °C.
160
9. Optik
Über die Lichtstärke I einer punktförmigen Lichtquelle und den Raumwinkel Ω, den das Licht durchflutet, hat man den Lichtstrom Φ definiert: Der Lichtstrom Φ ist das Produkt aus der Lichtstärke I und dem Raumwinkel Ω, den das Licht ausfüllt. Die Einheit des Lichtstroms Φ ist das Lumen (Im). 1 Lumen ist gleich dem Lichtstrom, den eine punktförmige Lichtquelle mit der Lichtstärke 1 cd gleichmäßig nach allen Richtungen in den Raumwinkel 1 Steradiant (sr) aussendet.
Φ = IΩ
Φ
I
Ω
lm = cd sr
cd
sr
lm Lumen, cd Candela, sr Steradiant
1 Lumen (lm) = 1 cd · 1 sr = 1 cd sr
Eine bessere Vorstellung von der physikalischen Größe Raumwinkel Ω und dessen Einheit Steradiant sr lässt sich durch die Gegenüberstellung Raumwinkel Ω – Flächenwinkel ϕ erarbeiten. Bei diesem Analogieverfahren wird Bekanntes (Flächenwinkel ϕ ) zum leichteren Verständnis des Unbekannten (Raumwinkel Ω ) benutzt, wie die folgenden Gegenüberstellungen zeigen:
Darstellung des Flächenwinkels ϕ
Darstellung des Raumwinkels Ω
M Kreismittelpunkt, s Schenkel des Flächenwinkels, r Kreisradius, b herausgeschnittenes Kreisbogenstück
M Kugelmittelpunkt, r Kugelradius, Ak herausgeschnittene Kalottenfläche
Der Flächenwinkel ϕ ist das Verhältnis des von den Schenkeln s aus einem Kreis herausgeschnittenen Bogenstücks b zum Kreisradius r :
Der Raumwinkel Ω ist das Verhältnis der von einem geraden Kreiskegel aus einer Kugel herausgeschnittenen Kalottenfläche Ak zum Quadrat des Kugelradius r :
ϕ =
Bogenstück b Radius r
Aus der Begriffsbestimmung für den Flächenwinkel ϕ ergibt sich als Einheit der Quotient zweier Längeneinheiten. Diese Einheit heißt Radiant (rad):
(ϕ ) =
(b) m = = rad (r ) m
Ω =
Kalottenfläche Ak Radius-Quadrat r 2
Aus der Begriffsbestimmung für den Raumwinkel Ω ergibt sich als Einheit der Quotient zweier Längeneinheiten zum Quadrat. Diese Einheit heißt Steradiant (sr):
(Ω ) =
( Ak ) (r
2)
=
m2 = sr m2
9.1. Einordnung und Ausbreitung des Lichts
161
1 Radiant (rad) ist derjenige Flächenwinkel, dessen zwei Schenkel aus einem Kreis vom Radius r = 1 m ein Bogenstück b = 1 m herausschneiden.
1 Steradiant (sr) ist derjenige Raumwinkel, dessen gerader Kreiskegel aus einer Kugel vom Radius r = 1 m eine Kalottenfläche Ak = 1 m2 herausschneidet.
Da der Kreisumfang U = 2 π r ist, wird der Flächenwinkel des ganzen Kreises (Vollwinkel) :
Da die Kugeloberfläche O = 4 π r 2 ist, wird der Raumwinkel der ganzen Kugel (Vollwinkel):
ϕ voll =
b U 2π r = = = 2 π rad r r r
Zur Umrechnung des Flächenwinkels von Radiant (rad) in Grad (°) benutzt man die bekannte Beziehung
ϕo =
Ω voll =
Ak r2
=
O 4πr 2 = = 4 π sr 2 r r2
Eine Umrechnung des Raumwinkels von Steradiant (sr) in Grad (°) ist nicht üblich.
o 180o ⋅ ϕ = 57,3 ⋅ϕ π rad rad
Eine punktförmige Lichtquelle p der Lichtstärke I lässt den Lichtstrom Φ = I Ω fließen, der auf eine ebene Wand trifft. Ein Lichtstromteilchen ΔΦ = I ΔΩ wird dann ein bestimmtes Flächenteilchen ΔA der Wand beleuchten. Als Beleuchtungsstärke E ist der Quotient aus Lichtstromteilchen ΔΦ und Flächenteilchen ΔA festgelegt. In der nebenstehenden Skizze trifft ein Lichtstrahl der Lichtquelle P im Abstand l auf das Flächenteilchen ΔA. Aus der oben entwickelten Definitionsgleichung für den Vollwinkel ergibt sich mit den Bezeichnungen in der Skizze die Gleichung ΔΩ = ΔAn / l2 für das Raumwinkelteilchen. Dabei ist zu beachten, dass das Flächenteilchen ΔAn als Teil einer Kalottenfläche rechtwinklig zum Abstand l stehen muss.
E=
ΔΦ I Δ Ω = ΔΑ ΔΑ
162
9. Optik
Mit Hilfe des Einfallswinkels ϕ wird die Beziehung zwischen den FlächenteiIchen ΔAn und ΔA definiert: ΔA = ΔAn / cos ϕ. Dieser Ausdruck in die Ausgangsbeziehung E = ΔΦ / ΔA eingesetzt, ergibt eine für praktische Rechnungen verwendbare Gleichung für die Beleuchtungsstärke E einer punktförmigen Lichtquelle.
ΔA I 2n I ΔΦ I cos ϕ l E= = = A Δ ΔA l2 n cos ϕ
E=
I cos ϕ l2
E
I
l
ϕ
lx
cd
m
º
Die Einheit der Beleuchtungsstärke E ist das Lux (Ix): 1 Lux ist gleich der Beleuchtungsstärke, die auf einer Fläche herrscht, wenn auf 1 m2 dieser Fläche gleichmäßig verteilt der Lichtstrom 1 Lumen (Im) fällt.
•
1 lx = 1
lm cd sr =1 2 m2 m
Beachte: 1 lm = 1 cd sr (Candela-Steradiant)
Aufgaben 360 und 361
9.1.6. Die Lichtgeschwindigkeit c0 , Brechzahl n Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts hängt von der Dichte r des Stoffes und von seiner Temperatur ab. Im leeren Raum (Vakuum) beträgt die Lichtgeschwindigkeit c0 =3 ⋅ 108
Der größte bisher erreichte Messwert beträgt
c = 299 792
km s
m km =300000 s s
In durchsichtigen Stoffen wie Luft, Glas, Flüssigkeiten, Kunststoffen usw. läuft das Licht langsamer als im Vakuum. Diese Verminderung der Lichtgeschwindigkeit verursacht die Lichtbrechung und beeinflusst die Spiegelung. In der Optik rechnet man nicht mit der Lichtgeschwindigkeit c, sondern mit einer Bezugsgröße, der Brechzahl n (Tabelle 9.1, Seite 163). Sie ist das Verhältnis zwischen der Lichtgeschwindigkeit c 0 im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit c k im durchsichtigen Stoff.
Beispiel: In Kronglas beträgt die Lichtgeschwindigkeit ck = 200 000 n=
n=
km s
Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum Lichtgeschwindigkeit ck im durchsichtigen Stoff c0 >1 ck
9.2. Wellenoptik
163
Wie für mechanische Wellen muss auch für das Licht gelten:
ck = λ f
ck m s
λ
f
m
1 = Hz s
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c k ist das Produkt aus der Wellenlänge λ und der Frequenz f. Die Wellenlänge λ = c k / f ändert sich demnach mit der vom Stoff abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die Frequenz f bleibt in allen Stoffen gleich groß. Für Lichtquellen sind daher nur die Frequenzen absolut gültig. Weil direkt messbar, gibt man jedoch für technische Zwecke die Wellenlänge λ an, wobei die Wellenlänge in Luft gemeint ist.
Beachte: Das Auge spricht auf Frequenzen und nicht auf Wellenlinien an. Leuchtet man z.B. mit rotem Licht von oben in ein Wasserbassin und taucht mit geöffneten Augen unter, so bleibt das Licht rot, obgleich sich seine Wellenlänge im Wasser verändert hat.
Tabelle 9.1 Brechzahlen n für Übergang des Lichts aus dem Vakuum in optische Mittel1) (durchsichtige Stoffe)
Luft Wasser Acrylglas (Plexiglas) Kronglas 2)
1,000293 ≈ 1 1,33 1,49 1,48 ... 1,57
Flintglas 2) 1,56 ... 1,9 Kanadabalsam 1,54 3) Kalkspat (ao Strahl) 1,49 Kalkspat (o Strahl) 3) 1,66
Steinsalz Saphir Diamant Schwefelkohlenstoff
1,54 1,76 2,4 1,63
1)
Das optisch dichtere (dünnere) Mittel ist das mit der größeren (kleineren) Brechzahl. Kronglas ist Glas mit geringer, Flintglas mit hoher Farbzerstreuung (Dispersion). 3) Siehe 9.2.3. 2)
•
Aufgabe 362
9.2. Wellenoptik Die Vorgänge bei der Lichtausbreitung werden mit den bekannten Gesetzen der Wellenlehre (Abschnitt 7) behandelt. Ausreichende Begründung für die Wellennatur des Lichts liefert die Licht-Interferenz (daher auch „Wellenoptik“). Tatsächlich gelingt es wie bei den mechanischen Wellen (7.6), zwei Lichtwellen gleicher Frequenz zu überlagern. Auch hier erhält man
Licht + Licht kann also Dunkelheit ergeben.
maximale Verstärkung bei Gangunterschied Δx = geradliniges Vielfaches von
λ 2
Auslöschung bei Gangunterschied Δx = ungeradliniges Vielfaches von [
λ 2
164
9. Optik
9.2.1. Interferenz des Lichts 9.2.1.1. Schematisierte und vereinfachte Darstellung lnterferenzen sind nur bei absolut schwingungsgleichem Licht zu erwarten (kohärentes Licht). Für die meisten optischen Untersuchungen verwendet man monochromatisches Licht (einfarbiges, spektralreines), d.h. Licht einer Wellenlänge. Es wird durch Spektrallampen (elektrische Gasentladung) erzeugt oder durch Lichtfilter (gefärbte Gläser, Flüssigkeiten, Folien), die nur bestimmte Wellenlängen durchlassen. Das Licht darf nur von einer Lichtquelle kommen (im Gegensatz zur Akustik, denn mit zwei gleichen Tonerzeugern, z.B. Stimmgabeln, kann Interferenz nachgewiesen werden). Um zwei Wellenzüge von einem einzigen Lichtbündel s zu erhalten, wird das Licht durch Spiegelung an einer Glasoberfläche getrennt und durch eine zweite Spiegelung phasenverschoben wieder zusammengeführt.
Licht am dünnen Blättchen durch Spiegelung getrennt und um Δx versetzt wieder zusammengeführt. Strecke ABC = Δx ist Lichtweg im Blättchen von Dicke d (= Phasenverschiebung)
Nun lässt man kohärentes Licht nahezu senkrecht auf ein sehr dünnes Blättchen fallen und betrachtet nur einen Strahl aus dem auftreffenden Lichtbündel. Der Strahl 1 spaltet sich in zwei Teile auf. Teil 1′ wird in A reflektiert, Teil 2 dringt in das Blättchen ein und wird erst in B in Richtung 2′ reflektiert. Nun unterscheidet man in der Optik optisch dichtere und dünnere Stoffe: Das optisch dichtere Medium (größere Brechzahl n) reflektiert die Welle wie ein „festes Ende“. Das optisch dünnere Medium (kleinere Brechzahl n) wirkt wie ein „loses Ende“. Punkt A bedeutet für die ankommende Welle ein „festes“ Ende (Eintritt in das optisch dichtere Medium), die Welle wird mit λ / 2 reflektiert. Punkt B bedeutet dagegen ein „loses“ Ende (Eintritt in optisch dünneres Medium); die Welle kommt ohne Phasensprung zurück. Da Teil 2 außerdem den zusätzlichen Weg 2d (bei nahezu rechtwinkligem Auftreffen des Strahls ist AB ≈ d ) zurücklegt, beträgt der gesamte Gangunterschied Δx = 2d – λ / 2. [
Interferenz durch Reflexion A „festes“ Ende, B „loses“ Ende Erläuterungen zum festen und losen Ende siehe Seite 135.
Δx = 2d −
λ 2
Gangunterschied Δx im dünnen Blättchen.
9.2. Wellenoptik
165
Ist die Blättchendicke d = λ / 2, wird auch der Gangunterschied
Δx = 2d –
λ 2
=2
λ 2
–
λ 2
=
λ 2
d.h. Welle 1′ und 2′ löschen sich aus (Bedingung nach 9.2 und 7.6.2.4). Aus der Gleichung für den Gangunterschied Δx = 2d – λ / 2 werden in Abhängigkeit von der Blättchendicke d alle diejenigen Wellenlängen λ bestimmt, die ausgelöscht oder verstärkt werden.
Auslöschung bei Δx = λ / 2, 3 λ / 2, 5 λ / 2 usw., also für
λ
λ
= 2d – ; 2 2 3λ λ = 2d – ; 2 2 5λ λ = 2d – ; 2 2
λ=d 2 3
λ = d usw.
Verstärkung bei Δx = 0, 1λ , 2 λ , 3 λ usw., also für 0
= 2d –
λ
λ
= 2d –
λ
2λ = 2d – In der Technik verwendet man die Lichtinterferenz für feinste Messungen.
λ = 2d
2 2
λ 2
;
λ = 4d
;
λ= d
;
4 3 4 λ = d usw. 5
Beispiel: 1. Durch Auflegen von Probegläsern überprüft man die Ebenheit oder Kugelform blanker Flächen. 2. Mit dem Interferenz-Komperator wird die Länge von Endmaßen verglichen. 3. Im Interferenz-Mikroskop erkennt man feine Strukturen auf Oberflächen.
9.2.1.2. Genauere Betrachtung Bei nahezu rechtwinkligem Lichteinfall ist der Wegunterschied beider Wellenzüge Δx = 2d, mit d als Blättchendicke. Mit Brechzahl n = c0 / ck und λ = ck / f verkürzen sich die Wellenlängen in einem optischen Mittel mit der Brechzahl n > 1, sodass der Wegunterschied zu Δx = 2d n (optische Wellenlänge) wird. Lichtwellen verhalten sich wie mechanische Wellen bei der Reflexion unterschiedlich. Werden sie am optisch dichteren Mittel reflektiert, beträgt der Phasensprung die halbe Wellenlänge λ / 2. Damit ergibt sich der von der Brechzahl n abhängige Gangunterschied Δx. Wird als Zeichen für die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) der Buchstabe k eingesetzt, erhalten die Gleichungen aus 7.6.2. eine andere Form.
n=
c0 ; ck = λ f ck
λ=
ck c0 1 = ⋅ f f n
Δx =2 d n Δx = 2d n −
Δx = 2k ⋅
λ 2
λ 2
maximale Verstärkung des Lichts
Δx = (2k − 1)
Auslöschung des Lichts
λ 2
166 Mit der Interferenz des Lichts ist seine Wellennatur nachgewiesen. Das Huygens’sche Prinzip (7.7) gilt deshalb auch für Lichtwellen:
9. Optik 2k ⋅
λ 2
= 2d n −
(2k − 1) Für die Verstärkung des Lichts kann eine Gleichung für die Dicke des Blättchens entwickelt werden.
d =λ
λ 2
λ
Verstärkung
2
= 2d n −
λ
Auslöschung
2
2k + 1 4n
Lässt man weißes Licht, das mehrere Wellenlängen enthält, auf das dünne Blättchen auftreffen, so wird eine einfarbige Schicht sichtbar, weil entsprechend der Schichtdicke nur eine Wellenlänge verstärkt wird (Anlassfarben auf Stahl). Beim keilförmigen Blättchen entstehen wegen der wachsenden Schichtdicke farbige Streifen (Ölflecken auf Wasser, Insektenflügel). Ursache für das Erscheinen der Farben ist Interferenz; man spricht deshalb von Interferenzfarben. Auch die Newton’schen Ringe entstehen durch Interferenz. Sie sind manchmal beim Betrachten von Dias zu sehen, die in Glasplatten gerahmt wurden. Die Luftschicht zwischen Glasplatte und Film wirkt wie ein keilförmiges Blättchen. Man kann die Newton’schen Ringe leicht nachweisen. Dazu lässt man Licht auf die Luftschicht fallen, die sich zwischen einer ebenen Glasplatte und einer darauf gepressten, schwach gekrümmten Linse befindet. Verwendet man weißes Licht, treten farbige Interferenzkreise auf, bei monochromatischem Licht erscheinen helle und dunkle Kreise.
•
Aufgabe 363
9.2.2. Beugung des Lichts Mit der Interferenz des Lichts ist seine Wellennatur nachgewiesen. Das Huygens’sche Prinzip (7.7) gilt deshalb auch für Lichtwellen: Jeder Raumpunkt, der von einer Welle getroffen wird, ist Erregerzentrum einer neuen Welle.
Lichtbeugung an einer Blende
Auch die Blendenkante ist ein solcher Raumpunkt. Das an der Kante gebeugte Licht gelangt daher zum Teil in den geometrischen Schattenraum der Blende. Zum gleichen Ergebnis gelangt man mit sehr kleinen Öffnungen (Spalt); sie wirken wie selbstständige punktförmige Lichtquellen. Bei größeren Blendenöffnungen (groß gegenüber der Wellenlänge des Lichts) überwiegt das durchgelassene Licht so stark, dass die Beugung am Rand nicht bemerkt wird.
Lichtbeugung am Spalt
9.2. Wellenoptik
167
Beim Doppelspalt mit sehr kleinem Abstand der Spalte entstehen zwei Wellenfronten, deren Licht kohärent ist, weil sie von einer gemeinsamen Lichtquelle angeregt worden sind. Die Lichtwirkung (hell oder dunkel) in einem beliebigen Punkt P hängt vom Gangunterschied Δx der Lichtwellen ab, die sich dort treffen.
Lichtbeugung am Doppelspalt
Der seitliche Ablenkungswinkel α, unter dem sich Interferenzmaxima und -minima (Auslöschung) bilden, lässt sich aus den geometrischen Bedingungen am Spalt in Bezug auf die Wellenlänge λ bestimmen. Der Sinus des Winkels α ist abhängig von der Breite b am Doppelspalt und von der Wellenlänge. Das k-fache von λ / 2b ergibt die Sinusfunktionen der Winkel α, unter denen Maxima oder Minima zu erwarten sind. Man spricht von Maxima oder Minima nullter, erster, zweiter, ... Ordnung.
heller Streifen bei k =0, 2, 4, ... dunkler Streifen bei k =1, 3, 5, ...
sin α = k
Das Beispiel zeigt, dass starke Ablenkungen nur mit sehr engen Spaltabständen b erreicht werden. Dieser Forderung entsprechen die optischen Beugungsgitter. Das sind Glasplatten, in die mit Diamanten feine parallele Striche eingeritzt worden sind, mit b < 0,001 mm (bis 1800 Striche je mm). Da das Licht nur durch die ungeritzte Glasfläche ungestört hindurchdringt, wirkt das Gitter wie eine Blende mit sehr vielen dicht beieinander liegenden Spalten.
λ
α = arcsin k
2b
λ 2b
Beispiel: Ein Doppelspalt mit Spaltabstand b = 0,1 mm wird mit Licht der Wellenlänge λ = 600 nm beleuchtet. Es soll der Winkel α bestimmt werden, unter dem das erste Helligkeitsmaximum entsteht:
α = arcsin k
λ 2b
α ≈ arcsin 2 ⋅
600 ⋅ 10 −6 mm = 0,344° 2 ⋅ 10−1 mm
Aus der Gleichung sin α = k λ / 2b geht hervor, dass die Maxima mit steigender Wellenlänge (Farbe!) stärker abgelenkt werden. Ein mit weißem Licht beleuchteter Spalt, der über ein Beugungsgitter abgebildet wird, löst sich dadurch zu einem Beugungsspektrum auf. Da das Licht proportional mit der Wellenlänge abgelenkt wird, sind Beugungsspektren für die Spektrenanalyse wichtig. In optischen Geräten (Fernrohre, Mikroskope) ist wegen der Beugung die Vergrößerung begrenzt. Je nach Linsenabmessung hören die Geräte auf, weitere Einzelheiten der betrachteten Objekte aufzulösen. [
168
9. Optik
9.2.3. Polarisation des Lichts Bei der Untersuchung mechanischer Wellen wurde in 7.3 festgestellt, dass Polarisierbarkeit eine charakteristische Eigenschaft der Querwellen (Transversalwellen) ist. Versuche zeigen, dass auch Licht polarisierbar ist. Lichtwellen sind also Transversalwellen (Querwellen) und man kann die Überlegungen in 7.3 uneingeschränkt auf das Licht übertragen. Linear polarisiertes Licht wird aus natürlichem Licht durch Polarisatoren ausgefiltert. Das ist z.B. möglich mit dem Nicol’schen Polarisationsprisma. Es besteht aus einem diagonal zerschnittenen Kalkspatkristall, dessen beide Stücke mit Kanadabalsam (klar eintrocknendes Harz) wieder zusammengekittet worden sind. Endflächen und Seitenflächen werden auf einen Winkel von 68° geschliffen. Kalkspat ist für Licht doppelt brechend und teilt einen Lichtstrahl in zwei rechtwinklig zueinander schwingende Strahlen. Das natürliche Licht wird in einen ordentlichen Strahl (o) und einen weniger stark gebrochenen außerordentlichen Strahl (ao) zerlegt. Beide treffen auf die Balsamschicht. Brechzahl und Eintrittswinkel bewirken, dass der ordentliche Strahl (o) aus dem Strahlengang austritt. Der außerordentliche Strahl (ao) dagegen tritt als linear polarisiertes Licht auf der anderen Seite des Prismas aus. Durch Hintereinanderschalten zweier Nicol-Prismen erhält man bei entsprechender Einstellung zueinander gekreuzte Polarisatoren, die kein Licht durchlassen. Zwischen beide können Prüflinge eingeführt werden, wobei das erste Prisma als Polarisator, das zweite als Analysator dient. Für technische Zwecke werden meist zwischen Glasscheiben gekittete polarisierende Folien verwendet.
Nicol’sches Polarisationsprisma o ordentlicher, ao außerordentlicher Strahl
Anwendungsgebiete:
Prüfen des Spannungszustands in Gläsern und durchsichtigen Kunststoffteilen (Spannungs- oder Elastooptik), Unterdrücken von störenden Reflexen spiegelnder Flächen beim Fotografieren, Bildtrennung bei der Stereoprojektion, Messen der Konzentration von Lösungen. Verspannte durchsichtige Stoffe (z.B. Kunststoff-Folien) und Lösungen haben die Eigenschaft, polarisiertes Licht aus seiner Polarisationsebene herauszudrehen. Bringt man diese Stoffe zwischen gekreuzte Polarisatoren, wird das Gesichtsfeld aufgehellt, kann aber durch Drehen einer der beiden Polarisatoren wieder verdunkelt werden. Drehrichtung und Drehwinkel sind Materialkonstanten des zwischengeschalteten Stoffes. Damit können Spannungszustände oder Lösungskonzentrationen gemessen werden.
9.2.4. Der optische Doppler-Effekt Nähert sich eine Lichtquelle, verkürzt sich die Wellenlänge von λ auf λ1. Das Spektrum des ausgesandten Lichts verschiebt sich dadurch in Richtung violett.
f1 = f
c c−v
Lichtquelle nähert sich
f1 = f
c c+v
Lichtquelle entfernt sich
Die Frequenz wird größer, sie ändert sich von f auf f1 = f c / (c – v ) mit v als Geschwindigkeit der Lichtquelle (siehe 7.11). Entfernt sich dagegen die Lichtquelle mit der Geschwindigkeit v, werden die Wellen länger und die Spektrallinien verschieben sich nach rot hin. [
9.3. Geometrische Optik (Strahlenoptik) Die Frequenz wird kleiner, sie ändert sich von f auf f1 = f c / (c + v) (siehe 7.11). Wegen der hohen Lichtgeschwindigkeit c0 = 300 000 km/s muss die Geschwindigkeit v der bewegten Lichtquelle für unsere Begriffe groß sein, damit man den Doppler-Effekt messen kann. Solche Geschwindigkeiten kommen in der Astrophysik vor. Auch die leuchtenden Teilchen in Kanalstrahlen haben Geschwindigkeiten, mit denen der Doppler-Effekt durch die Verschiebung der Spektrallinien nachweisbar ist.
169 Beispiel für Annäherung der Lichtquelle: Ein leuchtender Stern nähert sich uns mit der Geschwindigkeit v = 1000 km/s. Die Änderung der Frequenz und Wellenlänge des von ihm ausgesendeten Lichts soll berechnet werden: km 300000 c0 s f1 = f = f km km c0 − v 300000 − 1000 s s f1 = 1,0033 f . Die Frequenz wird also um ca. 3,3 % höher. Da λ1 = c/f1 ist und die Lichtgeschwindigkeit c konstant bleibt, wird λ1 = c/1,0033 f, d.h. die Wellenlänge des ausgesandten Lichts wird für den Beobachter auf der Erde um 3,3 % kürzer und das Spektrum nach violett hin verschoben.
9.3. Geometrische Optik (Strahlenoptik) 9.3.1. Eine zweckmäßige Vorstellung In der geometrischen Optik werden die Erscheinungen bei der Ausbreitung des Lichts behandelt, bei denen auf die Vorstellung von der Wellennatur des Lichts verzichtet werden kann. Das ist der Fall, wenn die Ausbreitung nicht durch Interferenz oder Beugung beeinflusst wird. Es genügt dann die Vorstellung vom Lichtstrahl als einer Geraden, auf der sich Lichtenergie fortpflanzt. Man kann daher viele Vorgänge der Lichtausbreitung mit Zirkel und Lineal konstruieren.
9.3.2. Reflexion des Lichts 9.3.2.1. Reflexionsgrad, Reflexionsarten Die Strahlungsenergie Ws, die auf eine Fläche auftrifft, wird teilweise zurückgeworfen (reflektiert), aufgesaugt (absorbiert) und durchgelassen (transmittiert). Bezeichnet man die entsprechenden Energieanteile mit
Wr = reflektierte Energie (zurückgeworfene), Wa = absorbierte Energie (geschluckte), Wt = transmittierte Energie (durchgelassene), und bezieht sie auf die Strahlungsenergie Ws, erhält man die Bezugsgrößen Reflexionsgrad R, Absorptionsgrad A und Transmissionsgrad T.
Wr = R Reflexionsgrad Ws Wa = A Absorptionsgrad Ws Wt = T Transmissionsgrad Ws
Wr Wa Wt + + =1 Ws Ws Ws R + A +T
=1
170
9. Optik
Der Reflexionsgrad R entspricht dem schon bekannten Emissionsverhältnis ε nach 5.8.4 und Tabelle 5.17. Die absorbierte Energie Wa wird im Körper in Wärme umgesetzt. An matten (rauhen) Flächen wird das Licht diffus reflektiert (zerstreut zurückgeworfen). Der Reflexionsgrad solcher Flächen wird in der Optik als die Albedo bezeichnet. Der Reflexionsgrad ist vom Material und von der Oberflächenbeschaffenheit abhängig. Sind die Rauigkeiten einer Fläche klein gegenüber der Wellenlänge λ des Lichts, erscheint die Oberfläche blank. Das Licht wird an solchen Flächen gerichtet reflektiert; sie wirken spiegelnd. Auch an blanken Flächen ist der Reflexionsgrad unterschiedlich und vom Stoff abhängig. Die Oberflächen blanker durchsichtiger Stoffe, wie Glasflächen, reflektieren in Abhängigkeit von ihrer Brechzahl n. Die Fresnel’sche Reflexionsgleichung für den Reflexionsgrad R solcher Stoffe gilt in der nebenstehenden einfachen Form nur für rechtwinklig einfallendes Licht. In optischen Instrumenten ist die Reflexion an Linsen- und Prismenflächen schädlich. Dadurch treten Lichtverluste und Streulicht auf. So kann z.B. bei einem Prismenfernrohr der Lichtverlust durch Reflexion 50 % betragen, weil etwa 12 Glasflächen gegen Luft anstehen. Auf die Linsenflächen werden deshalb dünne Vergütungsschichten aus Material mit geringer Brechzahl aufgedampft, z.B. Magnesiumfluorid. Die Schichtdicke wählt man mit d = λ / 4 so, dass die Reflexion an der Grenze Schicht / Glas durch Interferenz wegfällt (siehe 9.2.1.2). Damit sinkt die Reflexion je Fläche von ca. 5 % auf weniger als 2 % ab.
Diffuse Reflexion bei rauer Oberfläche Beispiel: Silber reflektiert etwa 95 %, Aluminium etwa 88 %, Glas etwa 4 bis 12 %.
§ n − 1· R=¨ ¸ © n + 1¹
2
Brechzahl n nach Tabelle 9.1
Beispiel: Auf eine Glasscheibe mit Brechzahl n = 1,62 trifft die Strahlungsmenge Ws auf. Das Licht wird zum großen Teil durchgelassen, zum geringeren Teil wird es an der oberen und unteren Fläche mit Reflexionsgrad R reflektiert. Die Absorption sei vernachlässigbar gering. Die durchgelassene Lichtmenge Wt wird bestimmt. 2
2
§ 1,62 − 1 · § n − 1· R =¨ ¸ = 0,056 ¸ =¨ © n + 1¹ © 1,62 + 1 ¹ An der oberen Fläche wird R · Ws, an der unteren R(Ws – R Ws) reflektiert, weil nur die um RWs verminderte Lichtmenge an der unteren Fläche ankommt. Damit wird Wt = Ws (1 – 2R + R2) = = Ws (1 – 2 · 0,056 + 0,0562) = 0,89 · Ws d.h. es sind 11 % des auftreffenden Lichts verloren gegangen.
9.3. Geometrische Optik (Strahlenoptik)
171
9.3.2.2. Der Planspiegel Bei gerichteter Reflexion wird ein Lichtstrahl unter dem gleichen Winkel gespiegelt, unter dem er auf die spiegelnde Fläche trifft (7.9.2). Die Winkel misst man gegen das Lot im Einfallspunkt und bezeichnet sie mit ε. Einfallender und austretender (gespiegelter) Strahl und Lot müssen in einer Ebene liegen.
e einfallender, a gespiegelter Strahl
ε1 = ε 2
Reflexionsgesetz
Ein Punkt L wird von einem Planspiegel abgebildet. Von den unendlich vielen Lichtstrahlen, die von L ausgehen, sind nur drei ausgewählt, um den Vorgang deutlicher zu machen. Die Strahlen treffen den Spiegel und werden nach dem Reflexionsgesetz ε 1 = ε 2 gespiegelt. Verlängert man die reflektierten Strahlen in entgegen gesetzter Richtung, treffen sie sich in L'. Ein Beobachter im reflektierten Strahlengang sieht daher in L' das scheinbare (virtuelle) Bild des Punktes L. Das Spiegelbild L' liegt ebenso weit hinter dem Planspiegel, wie der Punkt L davor liegt (l1 = l2).
Reguläre (gerichtete) Reflexion. Abbildung eines Punktes durch einen Planspiegel. L' ist das virtuelle Bild von L
9.3.3. Lichtbrechung an ebenen Flächen 9.3.3.1. Planfläche Nach dem allgemeinen Brechungsgesetz (7.10) verhalten sich die Sinusfunktionen von Einfallsund Brechungswinkel an der Grenzfläche zweier Medien wie die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Wellen in diesen Medien. Mit Brechzahl n ist das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit c 0 im Vakuum zur Lichtgeschwindigkeit c k im durchsichtigen Stoff definiert (9.1.6). Mit der Einführung der Brechzahl n kann das Brechungsgesetz für Lichtwellen auch in anderer Form geschrieben werden. Daraus lässt sich der Sinus des Winkels ε 2 bestimmen, den der gebrochene Strahl mit dem Lot im Einfallspunkt E einschließt. Für kleine Einfalls- und Brechungswinkel (etwa bis 10°) ist der Sinus ≈ Arcus, sodass man sin ε ≈ ε (in rad) setzen kann.
•
Aufgabe 364
sin ε1 c = 1 sin ε 2 c2
n1 =
c0 ck1
c1 =
c0 n1
Lichtbrechung der Planfläche c c c n2 = 0 = 0 = 0 c1 ck 2 c2
sin ε1 n2 = sin ε 2 n1 sin ε 2 = sin ε1
n1ε1 = n2ε 2
c2 = oder
n1 n2
c0 n2
n1 sin ε1 = n2 sin ε 2
Brechungsgesetz für Lichtwellen nur für kleine Winkel gültig
172
9. Optik
9.3.3.2. Planparallele Platte Fällt ein Lichtstrahl aus der Luft (Brechzahl nL = 1) unter dem Winkel ε1 auf eine planparallele Glasplatte mit der Brechzahl n ≠ 1, wird der Strahl beim Austritt aus der Glasplatte um Δs parallel verschoben. Der im Punkt A auftreffende Strahl läuft im Glas unter dem Winkel ε 2 weiter und trifft im Punkt B auf die zweite Fläche. Dort tritt er (Umkehrung des Eintrittsvorgangs!) wieder unter ε1 aus dem Glas aus. Einfallender und ausfallender Strahl laufen daher parallel. Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Winkel CAB = ε1 – ε 2 ist die Strecke Δs = AB sin (ε1 – ε 2). Im Dreieck ADB ist die Strecke AB = d / cos ε 2, woraus sich die Beziehung für die Parallelverschiebung Δs ergibt. Eine Gleichung, in der die Brechzahl n der planparallelen Platte und der Einfallswinkel ε1 erscheinen, erhält man über das Additionstheorem (Handbuch Maschinenbau)
Lichtbrechung an einer planparallelen Platte
ε1 Einfalls- und Ausfallswinkel, ε2 Brechungswinkel, d Plattendicke,
Δs Parallelverschiebung
Δs = d
sin(ε1 − ε 2 ) cos ε 2
sin (ε1 – ε 2) = sinε1 cosε 2 – cosε1 sinε 2, wenn außerdem nach dem Brechungsgesetz sin ε 2 = sin ε1
n 2 sin ε1 (n = 1 für Luft!) = n n
und für cosε2 = 1 − sin2 ε 2 eingesetzt wird.
Ê Δs = d sin ε1 Á1 ÁË
ˆ ˜ n 2 - sin 2 ε1 ˜¯ cos ε1
9.3.3.3. Prisma Die Ablenkung durch Prismen mit kleinen Brechungswinkeln wird mit dem für kleine Winkel gültigen Brechungsgesetz bestimmt. Trifft der Lichtstrahl rechtwinklig auf die erste Fläche, wird er nicht gebrochen. Der Einfallswinkel an der zweiten Fläche des Prismas ist ε 3 = α, weil die Schenkel beider Winkel rechtwinklig aufeinander stehen. Der Ablenkungswinkel des Strahls ist dann δ = ε4 – α. Daraus ergibt sich eine Gleichung für den Winkel δ. Da die Ablenkung durch Prismen auch vom ersten Einfallswinkel abhängig ist, gilt δ = α (n – 1) nur für den speziellen Fall mit rechtwinkligem Eintritt und mit kleinem Brechungswinkel α. [
Ablenkung des Lichts durch ein Prisma α Brechungswinkel, δ Ablenkungswinkel δ = ε4 – α = ε4 – ε3 ε 4 n4 = ε 3 n3 (Brechungsgesetz), daraus n ε 4 = ε 3 3 ; n4 = 1 (Luft); n3 = n n4
ε 4 = ε 3n (= Brechzahl δ = ε 3n – ε 3 = α n – α des Prismas) δ = α (n − 1)
nur für rechtwinkligen Eintritt gültig
9.3. Geometrische Optik (Strahlenoptik)
173
9.3.4. Abbildung durch ebene Flächen Ebene Trennflächen zwischen zwei optischen Mitteln wirken infolge der Brechung abbildend. So wird z.B. beim Austritt eines Lichtstrahls aus Wasser in Luft der Punkt O1 nach O2 abgebildet. Der Punkt O1, der wirklich in der Tiefe a liegt, scheint jetzt nur noch in der Tiefe b unter dem Wasserspiegel zu liegen. Ein schräg ins Wasser gesteckter Stab erscheint uns deshalb an der Wasseroberfläche geknickt, weil seine unter Wasser liegenden Teile näher an uns herangerückt erscheinen. Mit dem Brechungsgesetz für kleine Winkel ε
n1ε1 = n2ε 2 und den geometrischen Beziehungen aus dem Bild h = tan ε1 ≈ ε1 (in rad) und a h = tan ε 2 ≈ ε 2 (in rad) b
ε1 n2 = ε 2 n1 h ⋅ b ε1 b = = a ⋅ h ε2 a b n2 = a n1 b=a
n2 n1
kann eine Gleichung zur Bestimmung der Strecke b entwickelt werden.
9.3.5. Totalreflexion Tritt Licht von einem optisch dichteren Mittel (größere Brechzahl n) in ein optisch dünneres Mittel über, wird ε 2 > ε1. Im Grenzfall kann ε 2 = 90° und damit sin ε 2 = sin 90° = 1 werden. Das Licht tritt dann entlang der Trennfläche streifend aus (Strahl 1). Ist der Einfallswinkel ε1 nur wenig größer, kann das Licht nicht mehr austreten (Strahl 2). Es wird dann in das Mittel, aus dem es austreten wollte, zurückgespiegelt (total reflektiert) und unterliegt dabei dem Brechungsgesetz
Totalreflexion
n1 sin ε1 = n2 sin ε 2. Mit sin ε 2 = 1 erhält man nun aus dem Brechungsgesetz den Grenzwinkel ε r der Totalreflexion. Alles Licht, das auf die Trennfläche unter dem Winkel ε r oder unter einem größeren Winkel auftrifft, wird total reflektiert.
sin ε r =
n2 n1
Totalreflexionsgesetz
174 Für den häufigen Fall, dass Licht aus einem Mittel mit der Brechzahl n in Luft mit der Brechzahl nL = 1 übertritt, vereinfacht sich die Gleichung zur Bestimmung des Grenzwinkels der Totalreflexion.
•
9. Optik sin ε1 =
1 n
Totalreflexionsgesetz für Übertritt in Luft
Aufgaben 365 bis 374
9.3.6. Linsen 9.3.6.1. Begriff und Arten
Sammellinse (bikonvex) F Brennpunkt f Brennweite
Optische Linsen sind Körper aus Glas oder anderen durchsichtigen Stoffen (Kristall, Kunststoffe), die von zwei meist kugelförmig (sphärisch) gekrümmten Flächen oder einer gekrümmten und einer ebenen Fläche begrenzt sind ! Sammellinsen sind in der Mitte dicker als zum Rand hin, Zerstreuungslinsen sind in der Mitte dünner. Der Punkt, in dem sich achsparallel einfallendes Licht sammelt, ist der Brennpunkt F (Fokus). Zerstreuungslinsen haben nur einen scheinbaren (virtuellen) Brennpunkt F. Er liegt da, wo sich die entgegen gesetzte Richtung verlängerten gebrochenen Strahlen mit der Achse schneiden. Die Strecke zwischen Linse und Brennpunkt ist die Brennweite f der Linse. Die letzte Annahme gilt exakt nur für dünne Linsen.
Zerstreuungslinse (bikonkav) Brennpunkt F ist virtuell Brennweite f ist negativ
9.3.6.2. Abbildung durch Linsen Bei Sammellinsen ist der Konvergenzpunkt (Sammelpunkt), der sich von parallel einfallendem Licht bildet, das Bild eines fernen Gegenstandspunktes. Viele solcher Bildpunkte ergeben das Bild eines fernen Gegenstands, wie es die Kamera-Objektivlinse abbildet. Es werden aber auch nahe Gegenstände abgebildet. Dabei ändert sich mit der Gegenstandsweite a auch die Bildweite b. Zwischen beiden Abständen und der Brennweite f ergeben Versuche die Beziehung für 1/f. Reelle Bilder sind mit dem Bildschirm auffangbar. Sie werden von Sammellinsen erzeugt, wenn die Gegenstandsweite a größer ist als die Brennweite f. Virtuelle (scheinbare) Bilder sind nur sichtbar, also nicht auffangbar. Sie entstehen, wenn die Gegenstandsweite a kleiner ist als die Brennweite f. Bei der Rechnung wird die Bildweite b für den Bildort virtueller Bilder negativ.
Abbildung durch eine Linse F gegenstandsseitiger Brennpunkt F' bildseitiger Brennpunkt O1, O2, O3 Gegenstand in verschiedener Lage zum Brennpunkt ' ' O1 , O2 reelle Bilder O3'
f =
virtuelles Bild 1 1 1 + a b
f a b
Brennweite Gegenstandsweite Bildweite
9.3. Geometrische Optik (Strahlenoptik) Der Quotient aus Bild- und Gegenstandsgröße ist der Abbildungsmaßstab β. Durch Versuch, aber auch aus den geometrischen Beziehungen in der Darstellung der Abbildung durch eine Linse ergibt sich, dass sich Bild- und Gegenstandsgröße wie die zugehörigen Abstände b und a verhalten.
175 AbbildungsBildgröße = maßstab β Gegenstandsgröße
β=
b a
b a
Bildweite Gegenstandsweite
9.3.6.3. Bestimmung der Brennweite f Die Brennweite f ist abhängig von den Flächenradien r1, r2, von der Dicke d der Linse und von der Brechzahl n des Glases (siehe auch Abschnitt 9.1.6 zur Brechzahl n). Die Gleichung für den Kehrwert der Brennweite kann hier nicht hergeleitet werden.
Technische Maße einer Linse
f =
Der Quotient (1 / f ) wird Brechkraft genannt.
1 § 1 1 · (n − 1) 2 d (n − 1) ¨ + ¸ − ⋅ n r1 r2 © r1 r2 ¹
r1, r2 positiv bei erhabenen, negativ bei hohlen Flächen Für dünne Linsen ist der Einfluss der Mittendicke d auf die Brennweite nur gering. Das zweite Glied in der Gleichung für die Brechkraft ist dann vernachlässigbar klein und die Gleichung für f wird einfacher.
•
Aufgaben 375 bis 383
f =
1 §1 1· (n − 1) ¨ + ¸ © r1 r 2 ¹
176
10. Elektrizitätslehre
Das Wort Elektrizität stammt vom altgriechischen Wort electron (Bernstein). Dies ist ein Hinweis darauf, dass beim Reiben von Bernstein Reibungselektrizität erzeugt wird. Die Elektrizitätslehre liefert die Grundlagen zum Verständnis elektrischer und elektronischer Bauteile, Geräte und Maschinen und zum Aufbau der Materie. Während die Gravitationskräfte die Bewegung im Sonnensystem und im Weltall bestimmen, wird die Welt der Atome, Moleküle und der daraus zusammengesetzten Materialien durch elektrische Kräfte beherrscht.
10.1. Elektrische Ladung 10.1.1. Definition, Einheit, Elementarladung Neben der Masse ist die elektrische Ladung eine der Grundeigenschaften der Materie. Um elektrische Ladungen breiten sich elektrische Felder aus, die für die Kräfte zwischen Ladungen verantwortlich sind. Bewegte Ladungen sind die Ursache für den elektrischen Strom. Die Materie ist aus Atomen aufgebaut, die aus dem Atomkern und der Elektronenhülle bestehen. Das Atom ist aus geladenen Teilchen zusammengesetzt: die Atomkerne sind durch die Protonen positiv geladen, die Atomhülle besteht aus negativ geladenen Elektronen. In einem Metall gibt jedes Atom ein oder zwei Elektronen ab. Diese sogenannten Leitungselektronen können sich frei durch das Material bewegen. Der elektrische Strom stellt einen Transport von Ladungen durch die Leitungselektronen dar. Die Einheit der elektrischen Ladung Q ist das Coulomb C. Das Formelzeichen für die Ladung ist Q. Nach dem Internationalen Einheitensystem (SISystem) wird das Coulomb 1) aus der Einheit des Stroms 1 Ampere = 1 A abgeleitet. Es gilt: 1 Coulomb (C) = 1 Ampere mal 1 Sekunde = 1 As.
Einheit der Ladung: 1 Coulomb (C) = 1 Amperesekunde = 1 As Beispiel: Welche Ladung liefert eine Autobatterie mit 20 Ah (Amperestunden)? Lösung: Sie erzeugt 20 · 3600 As = 72 000 As = 72 000 C
Die Ladungsmenge ist quantisiert, d.h. sie tritt immer in kleinen Ladungspaketen (Elektronen) auf. Die kleinste in der Natur vorkommende Ladungsmenge ist die Elementarladung von e = 1,602 · 10–19 C. Durch Verschieben der Elektronen in einem Material kann ein Körper elektrisch aufgeladen werden. 1)
Coulomb, französischer Physiker und Ingenieur, 1736 – 1806.
Das Elektron als kleinste Ladungseinheit besitzt die negative Ladung von ee = – e = – 1,602 · 10–19 C. Das Proton besitzt die positive Ladung ep = e = 1,602 · 10–19 C.
10.1. Elektrische Ladung Dort wo Elektronen abtransportiert wurden, überwiegt die positive Ladung der Atomkerne: Ein Körper oder Bauelement ist negativ geladen, wenn ein Elektronenüberschuss vorhanden ist. Dagegen liegt eine positive Ladung vor, wenn ein Elektronenmangel herrscht.
177
Beispiel: Die Platte eines Kondensators trägt die Ladung Q = – 10–6 C. Wie viele überschüssige Elektronen befinden sich auf der Platte? Lösung: Es befinden sich n = |Q|/e = 6,24 · 1013 Elektronen auf der Platte.
10.1.2. Kräfte zwischen Ladungen Ladungen üben auf andere Ladungen Kräfte aus. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab. Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an (Coulomb’sches Gesetz).
Dies kann an folgendem Versuch gezeigt werden: (1) Ein Metallstab wird mit einem Pol eines Hochspannungsgeräts (z.B. Pluspol) verbunden. Der andere Pol des Hochspannungsgeräts wird mit einem Aluminiumstreifen verbunden, der sich in der Nähe des Metallstabes befindet. Man stellt fest, dass der Streifen vom Metallstab angezogen wird. (Zur Vermeidung eines Kurzschlusses befindet sich der Metallstab in einem Glasrohr.) Ungleichnamige Ladungen ziehen sich also an. (Bei vielen Hochspannungsgeräten ist der eine Pol mit Erde verbunden, was nichts an dem Ergebnis ändert.)
Experimenteller Aufbau zum Nachweis von Kräften zwischen Ladungen: a) ungleichnamige Ladungen ziehen sich an b) gleichnamige Ladungen stoßen sich ab
(2) Verbindet man Metallstab und Aluminiumstreifen mit dem gleichen Pol (z.B. Pluspol), wird der Streifen abgestoßen, da Stab und Streifen gleichnamige Ladung tragen. Um elektrische Ladungen nachzuweisen, wird häufig ein Elektroskop benutzt. Dieses besteht aus einer Metallfolie oder einem dünnen Metallblech, das wie ein Pendel an einem Metallstab befestigt ist. Wird das System geladen, bewegt sich die Folie.
Nachweis von Ladungen mit einem Elektroskop: Der Ausschlag des bewegten Teils steigt mit zunehmender Ladung.
10.1.3. Coulomb’sches Gesetz Ladungen üben Kräfte aufeinander aus, die mit dem Coulomb’schen Gesetz berechnet werden können. Man geht von zwei punktförmigen Ladungen Q1 und Q2 aus, die sich im Abstand r von ein-
Kraft F zwischen zwei Ladungen Q1 und Q2
178 ander befinden. Die Kraft F zwischen den Ladungen ist proportional zu Q1 und Q2. Sie ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Ladungen r 2. Als Proportionalitätskonstante wird der Ausdruck 1/(4 π ε 0) festgelegt. Die Größe ε 0 ist die elektrische Feldkonstante, Permittivität des leeren Raumes (DIN 1304) oder Dielektrizitätskonstante. Sie ist eine Naturkonstante, die bei vielen elektrischen Erscheinungen auftritt.
•
10. Elektrizitätslehre Coulomb’sches Gesetz: Kraft F zwischen zwei Ladungen Q1 und Q2 im Abstand r F =
1 Q1 Q2 4 ʌ ε0 r 2
F
Q1, Q2 r
N
C
ε0
As m Vm
Die elektrische Feldkonstante beträgt
ε 0 = 8,854 ⋅ 10−12
C2 As = 8,854 ⋅ 10−12 Nm Vm
Aufgaben 384 und 385
10.2. Elektrischer Gleichstromkreis Verbindet man positiv und negativ geladene Körper oder die Plus- und Minuspole einer Batterie oder einer anderen Stromquelle mit einem elektrischen Leiter, so fließt ein Strom. Hier wird der Gleichstromkreis behandelt.
10.2.1. Elektrischer Strom Werden Bereiche unterschiedlicher Ladung durch einen elektrischen Leiter, z.B. einen Metalldraht, miteinander verbunden, so erfolgt ein Ladungsausgleich. Elektronen vom Bereich des Überschusses (Minuspol) fließen in den Bereich des Mangels (Pluspol). Als elektrische Stromstärke I wird die während der Zeitspanne Δt durch den Leiterquerschnitt transportierte Ladung ΔQ bezeichnet. Die Einheit der elektrischen Stromstärke ist das Ampere A. Das Ampere1) ist eine Basiseinheit des Internationalen Einheitensystems (SI-Einheit). Die Einheit der elektrischen Stromstärke ist durch eine komplizierte Vorschrift durch die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern definiert. Diese Definition ist für die Praxis der Strommessung nicht geeignet. Beim elektrischen Strom I fließen die Elektronen von minus (–) nach plus (+). In der Praxis hat man jedoch die Stromrichtung anders herum festgelegt: von plus (+) nach minus (–).
•
Aufgaben 386 und 387
1) A.-M. Ampère, französischer Physiker, 1775 – 1836
Elektrischer Strom I: I Q ǻQ I = ǻt A C
t s
Bei konstantem elektrischem Strom (I = const.) gilt: I =
Q t
Beispiel: Autobatterien werden durch die maximal lieferbare Ladung beschrieben. Eine Autobatterie mit der Bezeichnung 24 Ah kann 24 Stunden lang einen Strom von 1 A liefern oder 1 Stunde einen Strom von 24 A. Die Beleuchtung des PKW benötigt 10 A, sodass die Batterie in 2,4 Stunden erschöpft ist. Die Stromstärke 1 A verursacht zwischen zwei elektrischen Leitern, die in einem Abstand von einem Meter parallel verlaufen, eine Kraft von 2 · 10–7 N pro Meter. Der elektrische Strom fließt definitionsgemäß von plus (+) nach minus (–).
10.2. Elektrischer Gleichstromkreis
179
10.2.2. Elektrische Spannung In der Natur kommen hauptsächlich elektrisch neutrale Stoffe vor. Zur Erzeugung von Bereichen mit unterschiedlichen Ladungen (Plus- und Minuspolen) müssen die Ladungen getrennt werden. Dabei ist gegen die anziehende CoulombKraft Arbeit zu verrichten. Die Trennung der Ladung kann chemisch (Batterien), optisch (Solarzellen) oder mechanisch (Dynamos) erfolgen. Zwischen Bereichen mit unterschiedlicher Ladung herrscht eine elektrische Spannung.
Spannung U ist gleich der Trennungsarbeit W pro Ladung Q. Die Einheit der Spannung ist das Volt = V. Die Trennungsarbeit ist genau so groß, wie die der Spannungsquelle entnehmbare Energie.
Spannung U: Als elektrische Spannung U ist die Trennungsarbeit W (in J) je Ladungseinheit Q (in C = As) festgelegt.
U =
W Q
U
W
Q
V
J
C
Für die Einheit der Arbeit W gilt: 1 Joule (J) = 1 Wattsekunde (Ws). Damit kann die Einheit der elektrischen Spannung aus den beiden Einheiten J = Ws und C = As gebildet werden: [U] = Ws/As = W/A. Zur Abkürzung dient das Volt1): Die Einheit der elektrischen Spannung U ist das Volt: 1 V = 1 W/A. Die Richtung der elektrischen Spannung U verläuft (wie beim Strom) von + nach –. Die in ein einer Spannungsquelle aufgewendete Trennungsarbeit W ist ein relativ abstrakter Begriff. Anschaulicher und leicht messbar ist die elektrische Energie, die der Spannungsquelle entnommen werden kann. Diese ist gleich der Trennungsarbeit. In der Gleichung U = W / Q ist also W auch die verfügbare elektrische Energie.
•
Aufgabe 388
10.2.3. Widerstand und Ohm’sches Gesetz In Metallen und vielen anderen Materialien sind die Atome in einer regelmäßigen kristallinen Struktur angeordnet, dem Kristallgitter. Beim Fließen eines elektrischen Stroms durch einen Leiter bewegen sich die Elektronen durch dieses Kristallgitter. 1)
A. Volta, italienischer Physiker, 1745 – 1827
Schaltsymbol für eine Spannungsquelle mit Plus- und Minuspol. Die Spannungsrichtung (Pfeil) verläuft von plus (+) nach minus (–).
180 Dabei stoßen sie mit den Atomen zusammen und übertragen diesen Energie. Die Atome fangen an, um ihre Gleichgewichtslage zu schwingen. Dadurch entsteht Wärme, die Bewegungsenergie der Atome ist. Die Elektronen verlieren also Energie, so dass an dem Leiter ein Spannungsabfall entsteht. Der Betrag des Spannungsabfalls hängt vom elektrischen Widerstand ab.
10. Elektrizitätslehre
Beim Fließen eines Stroms durch ein Material stoßen die Elektronen mit den Atomen zusammen. Die Elektronen verlieren Energie und es entsteht ein Spannungsabfall. Dabei wird Wärme erzeugt.
Elektrischer Widerstand Ein einfacher Stromkreis besteht aus einer Spannungsquelle und einem Verbraucher (z.B. Draht, Elektromotor, Widerstand, elektrische Heizung). Bei einem Ohm’schen Verbraucher (ohne Kapazität und Induktivität) ist die Spannung U proportional zum Strom I. Der Proportionalitätsfaktor ist der elektrische Widerstand R. Je größer der Widerstand ist, umso weniger Strom fließt durch den Verbraucher.
Einfacher Stromkreis mit Spannungsquelle und Ohm’schen Widerstand R
Ohm’sches Gesetz In elektrischen Schaltkreisen gilt das Ohm’sche Gesetz:
Ohm’sches Gesetz
Die Spannung U ist proportional zum Strom I und zum elektrischen Widerstand R.
U = R I oder R =
Bauelemente oder Materialien, die dem Ohm’schen Gesetz U = R · I gehorchen, haben einen Ohm’schen Widerstand. Die Einheit des elektrischen Widerstands ist das Ohm1) (Ω = V/A). Der Kehrwert des elektrischen Widerstandes G = 1/R wird elektrischer Leitwert genannt. Je höher der Leitwert G ist, umso mehr Strom fließt durch eine Schaltung. Die Einheit des Leitwerts G ist das Siemens2) S = 1/Ω. Für Kondensatoren und Induktivitäten gilt das Ohm’sche Gesetz nicht (Abschnitt 10.6 Wechselstromkreis). Spezifischer elektrischer Widerstand Der elektrische Widerstand eines Drahtes hängt von seiner Länge l und seiner Querschnittsfläche A ab: 1) 2)
G. Ohm, Prof. in München, 1789– 1854 W. von Siemens, Elektrotechniker in Berlin, 1816 – 1892
U I
R Ω
U V
I A
Beispiel: Welchen Widerstand besitzt ein Föhn, durch den bei 220 V ein Strom von 8 A fließt? Lösung: R = U /I = 220 V/8 A = 27,5 Ω Elektrischer Leitwert G: G=
1 R
G
R
S
Ω
Beispiel: Wie groß ist der Leitwert G eines Widerstandes von R = 100 Ω ? Lösung: G = 1/R = 0,01 S.
10.2. Elektrischer Gleichstromkreis Je größer die Leiterlänge l ist, umso größer ist auch der elektrische Widerstand: R ~ l. Dagegen verkleinert sich R, wenn die Querschnittsfläche A groß wird: R ~ 1/A. Man kann beide Aussagen zusammenfassen zu: R ~ l/A. Der Proportionalitätsfaktor ist der spezifische elektrische Widerstand r, der für einige Materialien in einer Tabelle angegeben ist.
181 Der elektrische Widerstand R eines Drahtes hängt von den geometrischen Abmessungen ab: Länge l und Querschnittsfläche A. Dagegen ist der spezifische Widerstand r eine geometrieunabhängige Materialkonstante (siehe auch Versuch 12.19).
Der spezifische elektrische Widerstand r gibt den Widerstand eines Materials von l = 1 m Länge und einer Querschnittsfläche von A = 1 m2 an. In elektrischen Leitern diffundieren die Elektronen durch das Kristallgitter. Mit steigender Temperatur wird die Zahl der Gitterstörungen, an denen die Elektronen gestreut werden, größer. Daher nimmt der elektrische Widerstand R mit steigender Temperatur ϑ (in °C) zu. Näherungsweise gilt ein lineares Gesetz, wobei von einem Widerstand R20 bei 20 °C ausgegangen wird. Die Größe α ist der Temperaturkoeffizient des Widerstandes. Konstantan (60 % Cu, 40 % Ni) und Manganin (86 % Cu, 2 % Ni, 12 % Mn) zeigen einen sehr geringen Temperaturkoeffizienten. Halbleiter verhalten sich anders aIs Metalle. Der Widerstand fällt mit steigenden Temperaturen, und der Temperaturkoeffizient des Widerstandes ist negativ (NTC-Widerstände). Dies liegt daran, dass in Halbleitern die Elektronen bei tiefen Temperaturen nicht frei sind. Elektronenbewegung im Leiter Die freien Elektronen in einem Metall führen eine Temperaturbewegung aus und sie haben eine bestimmte thermische Energie. Durch die häufigen Stöße im Kristallgitter bewegen sie sich ungeordnet zickzackförmig. Die mittlere Geschwindigkeit ist mit 100 km/s hoch. Beim Einschalten einer elektrischen Spannung entsteht zusätzlich eine Driftbewegung zum Pluspol hin. Die Driftgeschwindigkeit ist mit etwa 1 mm/s klein. Der Einschaltvorgang der Spannung dagegen breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, d.h. der Startzeitpunkt der Driftbewegung breitet sich auch mit Lichtgeschwindigkeit aus.
•
Aufgaben 389 und 390
Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes: R = R20 (1 + α (δ – 20 ºC))
R, R20 α Ω
ºC–1
δ ºC
Spezifischer elektrischer Widerstand r und Temperaturkoeffizient α Material Silber Kupfer Gold Aluminium Eisen
r in 10–6 Ωm 0,016 0,017 0,022 0,027 0,10
Konstantan Manganin
0,50 0,43
Graphit
8,0
α
in 10–3 °C–1 3,8 3,9 3,9 4,7 6,1 0,03 0,02 – 0,2
Beispiel: Wie groß ist der Widerstand eines Kupferdrahtes von 2 m Länge und einem Querschnitt von 1 mm2 ? Lösung: R = r l/A = 0,017 · 10–6 · 2/10–6 Ω = 0,034 Ω.
182
10. Elektrizitätslehre
10.2.4. Elektrische Energie und Leistung Elektrische Energie Zur Erzeugung einer Spannung müssen Ladungen getrennt werden, so dass sich am Minuspol Elektronen ansammeln. Für diese Ladungstrennung ist Arbeit erforderlich. Diese Trennungsarbeit kann der Spannungsquelle als elektrische Energie wieder entnommen werden. Die verfügbare Energie W ist das Produkt aus der Ladung Q und der Spannung U. Diese Aussage folgt unmittelbar aus der Definition der elektrischen Spannung (Abschnitt 10.2.2): Die Spannung ist die pro Ladungseinheit gespeicherte Trennungsarbeit. Es gilt wie in der Mechanik für die Einheit der Energie: 1 Joule1) = 1 J = 1 Ws (= 1 AsV).
Elektrische Energie W: W=Q·U
W
Q
U
J, Ws
C
V
In der Praxis (z.B. Stromrechnung) wird die elektrische Energie statt in Joule oder Ws oft in kWh angegeben: Es gilt: 1 kWh = 3 600 kWs = 3 600 000 Ws Beispiel: Eine Autobatterie mit Q = 36 Ah hat eine Spannung von U = 12 V. Wie groß ist die gespeicherte Energie? Lösung: Die gespeicherte Energie beträgt W = QU = 12 V · 36 Ah = 432 VAh = 0,432 kWh.
Elektrische Leistung Die Leistung P ist gleich der entnommenen Energie W geteilt durch die Zeit t : P = W / t. Die elektrische Leistung erhält man somit aus P = W / t und W = Q U. Daraus folgt P = U Q / t. Der Strom ist I = Q / t und die Leistung ergibt sich zu P = U · I.
Die elektrische Leistung P ist das Produkt aus Spannung U und Strom I. Die Maßeinheit der Leistung ist das Watt 2): 1 W = 1 VA. Die Gleichung P = U · I wird zur messtechnischen Definition der Spannungseinheit herangezogen: Die Spannung von 1 V liegt zwischen zwei Punkten eines Leiters, wenn bei einer Stromstärke von 1 A eine Leistung von 1 W abgegeben wird.
1) 2)
J. Joule, englischer Physiker, 1818 – 1889 J. Watt, englischer Ingenieur, 1736 – 1819
Elektrische Leistung P: P=U·I
P
U
I
W
V
A
Beispiel: Durch eine 100 W-Glühlampe fließt ein Strom von I = P/U = 100 W/230 V = 0,43 A. Beispiel: Der Stromkreis (230 V) eines Haushalts ist mit einer 16 A-Sicherung versehen. Die maximale Leistung eines (oder mehrerer) Verbraucher beträgt P = 230 V · 16 A = 3680 W = 3,68 kW.
10.2. Elektrischer Gleichstromkreis
183
Die in einem Ohm’schen Verbraucher umgesetzte elektrische Leistung geht in Wärme über. Entsprechend dem Ohm’schen Gesetz gilt U = R I, sodass für die Leistung gilt: P = U I = U 2/R = I2 · R. Die Leistung wächst quadratisch mit der Spannung bzw. mit dem Strom.
•
Aufgaben 391 bis 393
10.2.5. Kirchhoff’sche Regeln Bei der technischen Anwendung der Elektrizität verzweigen sich die Stromkreise und es hängen mehrere Verbraucher an einer Spannungsquelle. Jedes elektrische Gerät stellt einen Lastwiderstand R dar. Eine Verzweigung von Leitern wird als Stromknoten bezeichnet, ein geschlossener Stromkreis als Strommasche. Ein in einen Knoten fließender Strom erhält ein positives Vorzeichen, ein abfließender Strom wird negativ gerechnet. Ladungen und Ströme können am Knoten nicht verschwinden (Ladungserhaltung). Daraus folgt das 1. Kirchhoff’sche Gesetz, das auch als Knotenregel bezeichnet wird:
Skizze zur Definition des Knotens und der Masche
Zur Definition der Vorzeichen der Ströme an einem Knoten 1. Kirchhoff’sches Gesetz:
Die Summe der zu- und abfließenden Ströme an einem Knoten ist gleich null. In einer Masche haben treibende Spannungen (von Spannungsquellen) ein positives Vorzeichen und Spannungsabfälle (an Widerständen) ein negatives. Bei einem einmaligem Umlauf in einer Masche kommt man wieder an demselben Punkt an und die Spannung ist gleich null. Das 2. Kirchhoff'sche Gesetz, das auch Maschenregel genannt wird, lautet:
N
I1 + I 2 + I 3 + ... I N = 0 oder
¦ In = 0 n =1
Zur Definition der Vorzeichen der Spannungen in einer Masche: – Treibende Spannungen (Spannungsquellen): U ist negativ – Spannungsabfälle (an Widerständen): U ist positiv 2. Kirchhoff’sches Gesetz:
Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist gleich null.
N
U1 + U 2 + U 3 + ... U N = 0 oder
¦U n = 0 n =1
In Maschen wird der Spannungspfeil der Spannungsquelle von + nach – gezeichnet. Der Pfeil der Spannungsabfälle an Widerständen folgt der Richtung des Stromes. Also zeigt er auch von + nach –. Die beiden Kirchhoff’schen Gesetze (Knoten- und Maschenregel) sind zur Berechnung von verzweigten Schaltkreisen geeignet. Dies wird an der folgenden Berechnung des Gesamtwiderstandes bei der Reihen- und Parallelschaltung gezeigt.
Richtung der Spannungspfeile in einer Masche
184
10. Elektrizitätslehre
Reihenschaltung Bei der Reihenschaltung fließt durch alle Widerstände der gleiche Strom I. Nach der Maschenregel muss die elektrische Spannung der Spannungsquelle U gleich der Summe aller Spannungsabfälle Un = RnI sein: U = R1I + R2I + R3I + ... RNI = = I (R1 + R2 + R3 + ... RN) = I Rges. Der Gesamtwiderstand Rges einer Reihenschaltung ist gleich der Summe der Einzelwiderstände.
Reihenschaltung von Widerständen Reihenschaltung: Rges = R1 + R2 + R3 + ... RN oder N
Rges =
¦ Rn n =1
Spannungsteiler Eine Reihenschaltung mit zwei Widerständen R1 und R2 mit einem mittleren Abgriff wird als Spannungsteiler verwendet. Die Ausgangsspannung U2 ist durch die Quellenspannung U und die Widerstände R1 und R2 gegeben. Oft wird der Spannungsteiler mit einem Potenziometer betrieben, so dass die Spannung U2 zwischen 0 und U kontinuierlich verändert werden kann.
Spannungsteiler mit a) zwei Festwiderständen und b) einem Potenziometer
•
Spannungsteiler:
Aufgaben 394
Parallelschaltung Bei der Parallelschaltung liegen zwei Knoten vor. (In Schaltplänen werden horizontale und vertikale Leitungslinien angestrebt, so dass bei der Parallelschaltung anscheinend mehrere Knoten vorliegen.) Die obere und untere Schaltung in nebenstehendem Bild sind gleichwertig. Jeder Widerstand Rn bildet mit der Quellenspannung U eine Masche: U = RnIn. Der Gesamtstrom ist die Summe der Einzelströme In = U /Rn, d.h.:
I = I1 + I2 + I3 + ... IN = U /R1 + U /R2 + U /R3 + ... U /RN = U(1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + ... 1/RN) = U /Rges.
U2 =
R2 R1 + R 2
U
U, U2
R1 , R2
V
Ω
Parallelschaltung von Widerständen: a) physikalische und b) elektrotechnische Darstellung
Daraus erhält man die Aussage: Der Kehrwert des Gesamtwiderstandes Rges einer Parallelschaltung ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände. Der elektrische Leitwert G ist gleich dem Kehrwert des elektrischen Widerstands R: G = 1/R.
Parallelschaltung: 1 1 1 1 1 oder = + + + ... Rges R1 R2 R3 RN 1 = Rges
N
1
¦ Rn n =1
10.2. Elektrischer Gleichstromkreis
Der Leitwert G einer Parallelschaltung ist gleich der Summe der Einzelleitwerte. In jedem Haushalt liegt eine Parallelschaltung von Verbrauchern (Widerständen) vor. Mit dem Einschalten eines elektrischen Geräts sinkt der Gesamtwiderstand, sodass der Strom (und die elektrische Leistung) steigt.
•
Aufgaben 395 und 396
185
Gges = G1 + G2 + G3 + ... GN oder N
Gges =
¦ Gn n =1
Beispiel: Ein Stromkreis in einem Haushalt (U = 230V) ist mit einer 16-A-Sicherung gesichert. Der Gesamtwiderstand aller parallel geschalteten Verbraucher beträgt beim Durchbrennen der Sicherung Rges = 230 V/16 A = 14,4 Ω.
10.2.6. Messung elektrischer Größen Für die Messung elektrischer Größen wie Spannung U, Strom I oder Widerstand R stehen Multimeter zur Verfügung. Der Name deutet die Umschaltmöglichkeiten der Messgröße und des Messbereiches an. Der elektrische Widerstand RM eines Messgeräts wird Eingangswiderstand genannt. Er bildet eine zusätzliche Last (Bürde) für die Spannungs- oder Stromquelle, sodass auch die Bezeichnung Bürdenwiderstand verwendet wird. Das Ersatzschaltbild eines realen Messinstruments besteht aus einem widerstandslosen Instrument und dem Bürdenwiderstand RM. Strommessung Bei der Strommessung liegt das Messgerät (Amperemeter) im Stromkreis (Hauptschluss). Die Stromstärke wird durch den eigentlichen Lastwiderstand RL und den Bürdenwiderstand RM bestimmt. Das Ersatzschaltbild enthält somit eine Reihenschaltung der Widerstände RL und RM. Anstelle des Stromes I0 = U /RL wird der Strom IA angezeigt:
IA = U /(RL+ RM) = I0RL/(RL + RM). Um den Messfehler klein zu halten, sollte der Bürdenwiderstand RM möglichst klein sein. Ein ideales Strommessgerät hat den Eingangswiderstand (Bürdenwiderstand) RM = 0.
a) Schalt- und b) Ersatzschaltbild einer Strommessung mit einem Amperemeter Wahrer Strom:
I0
Gemessener Strom: IA = I0
RL RL + RM
IA, I0 RL, RM V
Ω
186
10. Elektrizitätslehre
Spannungsmessung Die Spannung wird zwischen zwei Punkten im elektrischen System gemessen, beispielsweise an einem Verbraucher mit dem Lastwiderstand RL. Das Messgerät (Voltmeter) bildet eine eigene Masche parallel zu RL (Nebenschluss). Im Ersatzschaltbild liegt eine Parallelschaltung der Widerstände RL und RM vor. Die wahre Spannung, die gemessen werden soll, beträgt UL = RL I. Durch den Eingangswiderstand RM des Voltmeters verändert sich die Spannung, und es wird UA angezeigt: UA = I Rges, wobei Rges durch die Parallelschaltung von RL und RM gegeben ist, d.h. 1/Rges = 1/RL + 1/RM. Damit erhält man Rges = RL · RM/ (RL + RM) und UA = UL · RM/(RL + RM). Um den Messfehler klein zu halten, sollte der Bürdenwiderstand RM möglichst groß sein.
a) Schalt- und b) Ersatzschaltbild einer Spannungsmessung mit einem Voltmeter Wahre Spannung: UL Gemessene Spannung: UA = UL
RM RL + RM
Ein ideales Spannungsmessgerät hat den Eingangswiderstand (Bürdenwiderstand) RM → ∞. Messbereichserweiterung Spannungs- und Strommessgeräte sind für einen bestimmten Messbereich für den Strom IM und die Spannung UM als Vollausschlag ausgelegt. Sollen größere Werte gemessen werden, muss eine Erweiterung des Messbereichs erfolgen. Bei der Strommessung wird der überschüssige Strom durch einen zusätzlichen Widerstand Rp am Messgerät vorbei geführt, den man auch Shunt oder Nebenwiderstand nennt. Der Nebenwiderstand Rp liegt parallel zum Eingangswiderstand RM des Messgeräts.
Messbereichserweiterung eines Strommessgerätes
Bei der Spannungsmessung wird ein zusätzlicher Vorwiderstand Rv eingesetzt, an dem die überschüssige Spannung abfällt. Rv und Eingangswiderstand des Voltmeters RM bilden einen Spannungsteiler. Digitale Messgeräte Digitale Messgeräte sind im Prinzip nahezu ideale Spannungsmessgeräte. Sie vergleichen die zu messende Spannung mit einer sehr genauen Referenzspannung. Dabei fließen äußerst geringe Ströme, und der Eingangswiderstand liegt im Bereich von 10 MΩ.
Messbereichserweiterung eines Spannungsmessgerätes
10.2. Elektrischer Gleichstromkreis
187
Die Erweiterung eines Digitalvoltmeters zu einem Multimeter, das verschiedene Messbereiche für Spannung und Strom hat, erfolgt durch Einbau zusätzlicher Widerstände. Dadurch unterscheidet sich der Eingangswiderstand von digitalen und analogen Multimetern bei hohen Strömen und Spannungen nur unwesentlich. Widerstandsmessung Die Messung des Widerstands kann durch Messung von Strom und Spannung entsprechend dem Ohm’schen Gesetz erfolgen: R = U /I. In kommerziellen Multimetern (Ohmmeter) wird dem zu messenden Widerstand ein konstanter Strom eingespeist und der Spannungsabfall gemessen. Fehlerquellen sind dabei der Eingangswiderstand bei der Spannungsmessung und die Konstanz des Stromes. Eine genaue Methode zur Widerstandsmessung verwendet die Wheatstone’sche Messbrücke. Dabei wird der unbekannte Widerstand Rx mit einem bekannten (einstellbaren) Widerstand RN verglichen. Die Messbrücke besteht aus zwei parallel geschalteten Reihenschaltungen (Spannungsteiler Rx und RN sowie R1 und R2), einer Spannungsquelle (z.B. Batterie) und einem empfindlichen Messgerät. Der einstellbare Widerstand RN wird so lange verändert, bis das Messgerät keine Spannung oder keinen Strom anzeigt. In diesem Fall ist die Brücke abgeglichen. Beide Spannungsteiler haben dann in der Mitte die gleiche Spannung, d.h. Rx/RN = R1/R2. Da die Widerstände RN, R1 und R2 bekannt sind, kann der unbekannte Wert Rx ermittelt werden.
•
Aufgaben 397 und 398
Schaltbild einer Wheatstone’schen Messbrücke zur Bestimmung des Widerstandes Rx Rx RN R1 , R2
unbekannter Widerstand eingestellter bekannter Widerstand bekannte Widerstände
Bei Abgleich der Wheatstone’schen Brücke gilt: R Rx = 1 RN R2
10.2.7. Spannungs- und Stromquellen Spannungs- und Stromquellen sollen im Idealfall eine konstante Spannung oder einen konstanten Strom für die Verbraucher liefern. Dies ist in der Praxis nur näherungsweise der Fall. Im Folgenden wird erklärt, dass das reale Verhalten durch den sogenannten Innenwiderstand Ri beschrieben wird. Spannungsquelle Eine ideale Spannungsquelle sollte eine konstante Spannung unabhängig von der Belastung liefern. Im Grenzfall RL = 0 (Kurzschluss) würde
Symbol für eine ideale a) Spannungs- und b) Stromquelle
188
10. Elektrizitätslehre
das zu einem unendlich großen Strom führen. Um die realen Gesetzmäßigkeiten zu beschreiben, hat man Ersatzschaltbilder eingeführt. Die Spannungsquelle besitzt einen Innenwiderstand Ri, der beim Fließen eines Stromes zu einem Spannungsabfall Ri I führt. Im Leerlauf (ohne Strom) ist die Spannung maximal, und man nennt sie Leerlaufspannung U0.
Ersatzschaltbild für eine reale Spannungsquelle Die Klemmenspannung UK ist die reale Spannung beim Anschluss an einen Verbraucher mit Ri. Sie ist gegeben durch: UK = U0 – Ri I. Das Ersatzschaltbild einer realen Spannungsquelle besteht aus der idealen Quelle mit der Leerlaufspannung U0 und dem Innenwiderstand Ri, der mit dem Verbraucher RL in Reihe geschaltet ist. Der Strom I = U0/(RL + Ri) kann den Maximalwert (Kurzschluss) I0 = U0 / Ri nicht überschreiten.
Klemmenspannung UK einer Spannungsquelle: RL U K = U 0 − Ri I = U 0 RL + Ri Im Kurzschluss gilt: I0 =
U0 Ri
UK, U0
I0 , I
RL, Ri
V
A
Ω
Der Innenwiderstand einer Spannungsquelle sollte klein sein (Ri ԟ RL), damit die Spannung möglichst konstant bleibt. Reihenschaltung von Spannungsquellen Bei Reihenschaltung von N gleichen Spannungsquellen (z.B. Batterien) addieren sich die Spannungen UN = NU und die Innenwiderstände RiN = NRi. Der maximal entnehmbare Strom bleibt gleich.
Beispiel: Zur Erzeugung von 6 V müssen 5 Batterien mit je 1,2 V in Reihe geschaltet werden.
Parallelschaltung von Spannungsquellen Bei Parallelschaltung von Spannungsquellen bleibt die Leerlaufspannung U0 konstant. Der Innenwiderstand reduziert sich RiN = Ri / N. Der maximal entnehmbare Strom steigt um den Faktor N. Stromquelle Eine ideale Stromquelle liefert einen konstanten Strom unabhängig vom Widerstand des Verbrauchers RL. Die Spannung U stellt sich also entsprechend dem RL-Wert einstellen. Die reale Stromquelle wird durch ein Ersatzbild beschrieben, bei dem ein Innenwiderstand Ri parallel zur (idealen) Stromquelle liegt. Der maximale Strom I0 liegt im Fall des Kurzschlusses (RL = 0) vor.
Ersatzschaltbild für eine reale Stromquelle
10.3. Elektrisches Feld Ist RL > 0, verteilt sich der Strom I0 auf die Widerstände Ri und RL. Die Spannung der Stromquelle sei U. Diese Spannung liegt an der Parallelschaltung von Ri und RL, die einen Gesamtwiderstand Ri · RL/ (Ri + RL) bilden. Durch diesen Gesamtwiderstand fließt der Strom I0. Nach dem Ohm’schen Gesetz erhält man U = I0RiRL/ (Ri + RL). Damit erhält man für den Nutzstrom IN = U /RL = I0 Ri / (Ri + RL).
189
Verfügbarer Netzstrom IN: I N = I0
Ri RL + Ri
Der Innenwiderstand einer Stromquelle sollte groß sein (Ri Ԡ RL), damit der Strom möglichst konstant bleibt.
•
Aufgaben 399 bis 400
10.3. Elektrisches Feld Das Coulomb’sche Gesetz beschreibt die Kraftwirkung zwischen zwei Ladungen. Es handelt sich um eine Fernwirkung, die dadurch erklärt wird, dass Ladungen den freien Raum verändern. Diese Veränderung wird durch das elektrische Feld beschrieben, das jede Ladung umgibt. Das elektrische Feld charakterisiert die Kraftwirkung in Betrag und Richtung. Es benötigt keinen materiellen Träger, es existiert also auch im Vakuum.
10.3.1. Elektrische Feldlinien Das elektrische Feld beschreibt die Kraft auf eine Ladung. Zur Veranschaulichung des Feldes dienen Feldlinien, welche die Richtung der Kraft auf eine kleine positive Ladung (Probeladung) angeben, die sich im Raum befindet. Im nebenstehenden Bild wird das Feld dargestellt, das sich um eine positive und eine negative Ladung ausbreitet. (Die oben erwähnte Probeladung wird nicht gezeichnet.)
Elektrisches Feld zwischen einer positiven und einer negativen Ladung
Die Feldlinien beginnen auf einer positiven Ladung und enden auf einer negativen Ladung (Richtung von + nach –). Sie stehen rechtwinkling auf den Oberflächen der geladenen Körper. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die elektrische Feldstärke (oder Kraftwirkung). Die Richtung der elektrischen Kraft (auf eine kleine positive Probeladung) wird durch die Richtung der Tangente der Feldlinie gegeben. Die Feldlinien überschneiden sich nicht. Das nebenstehende Bild zeigt die Feldlinien einer einzelnen positiven Ladung. Die Linien verlaufen
Elektrisches Feld um eine positive Ladung
190
10. Elektrizitätslehre
in radialer Richtung. Sie enden auf nicht gezeichneten negativen Ladungen, die sich weit weg befinden (siehe Abschnitt „Influenz“). Die Richtung der Feldlinien zeigen von der positiven Ladung weg. Ein weiteres Bild stellt die Feldlinien zwischen zwei parallel stehenden geladenen Platten dar, wie sie beim Plattenkondensator vorliegen. Zwischen den Platten ist der Abstand der Feldlinien gleichmäßig. Man spricht von einem homogenen Feld, in dem die Kraftwirkung überall die gleiche ist. Nur am Rand des Kondensators ist das Feld inhomogen (ungleichmäßig) (siehe auch Versuch 12.17).
Elektrisches Feld zwischen zwei geladenen Platten (Kondensator)
10.3.2. Influenz und Polarisation Befindet sich Materie im elektrischen Feld, wirkt auf ihre Ladungen (Elektronen, positive lonen) eine Kraft. In Isolatoren sind die Elektronen nicht frei und sie werden nur geringfügig verschoben; es kommt zu einer sogenannten elektrischen Polarisation. Das Wort Polarisation bedeutet Ausrichtung. In Leitern aber sind die Leitungselektronen im elektrischen Feld frei beweglich. Die Ladungen werden getrennt und an die Oberfläche der Leiter verschoben. Man nennt diesen Effekt Influenz.
Polarisation ist die geringfügige Verschiebung von Ladungen bei Isolatoren im elektrischen Feld. Influenz tritt bei Leitern im elektrischen Feld auf. Freie Elektronen werden an die Oberfläche verschoben.
Influenz Bringt man einen Leiter in ein äußeres elektrisches Feld, bewegen sich die Leitungselektronen entgegengesetzt zur Feldrichtung. Influenz ist die Verschiebung von Ladungen in einem Leiter unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes. Die Ladungen werden so lange an die Oberfläche des Leiters verschoben, bis das resultierende elektrische Feld im Innern des Leiters null wird. (Wenn das Feld noch nicht null ist, werden weiter Ladungen verschoben.) Die Feldfreiheit in Leitern wird zur Abschirmung elektrischer Felder im sogenannten Faraday’schen Käfig genutzt: Im Innern eines metallumschlossenen Raumes ist das elektrische Feld gleich null.
Bei einer geladenen Hohlkugel befinden sich die Ladungen an der Außenseite. An der Innenseite ist die Ladung gleich null (Faraday’scher Käfig).
10.3. Elektrisches Feld Eine aufgehängte ungeladene leitende Kugel (z.B. mit einer Graphitschicht überzogener Tischtennisball) wird von einer starr befestigten geladenen Metallkugel angezogen. Dies erscheint auf den ersten Blick erstaunlich, da nach dem Coulomb’schen Gesetz eine Kraft nur zwischen zwei Ladungen wirkt. Die Erklärung des Versuches erfolgt durch die Influenz: Das elektrische Feld der positiv geladenen Metallkugel zieht freie Elektronen im Graphit an die Oberflächen in Richtung der positiven Kugel. Die Kraft entsteht dadurch, dass sich ungleichnamige Ladungen anziehen (siehe Bild). Elektrische Polarisation Bei einem Isolator sind die Elektronen nicht frei beweglich. Trotzdem gibt es eine der Influenz ähnliche Erscheinung: die Polarisation. Die Ladungen können im elektrischen Feld innerhalb der Moleküle verschoben werden. Bringt man einen Isolator zwischen zwei entgegengesetzt geladene Platten, so entstehen molekulare Dipole. Im Innern des Körpers heben sich die positiven und negativen Ladungen auf. Dagegen bilden sich an der Oberfläche des Isolators wirksame Ladungen.
191
Durch Influenz wird eine ungeladene leitende Kugel von einer positiv geladenen Kugel angezogen. (Die Influenz auf der Metallkugel wurde nicht mit eingezeichnet.)
Im elektrischen Feld wird ein Isolator polarisiert. Es entstehen Dipole und an der Oberfläche Ladungen.
10.3.3. Feldstärke und Spannung Die bisherigen Erläuterungen über das elektrische Feld waren nur qualitativ. Um die elektrischen Gesetze durch mathematische Gleichungen auszudrücken, wurde die elektrische Feldstärke eingeführt. Aus der Feldstärke kann die elektrische Spannung abgeleitet werden. Elektrische Feldstärke Im Feld eines Plattenkondensators befindet sich eine kleine Kugel, die mit der Ladung +Q geladen ist. Die Ladung soll sehr klein sein (Probeladung), damit sie das Feld im Plattenkondensator nicht verändert. Auf die Probeladung wirkt eine Kraft, die in Richtung der Feldlinien liegt (von + nach –). Die elektrische Feldstärke E ist die Kraft F (in Newton), die auf eine Probeladung Q (in Coulomb) wirkt, dividiert durch den Betrag der Probeladung. Die Einheit der elektrischen Feldstärke E ist: 1 N/C = 1 Ws/Cm =1 V/m.
Zur Definition der elektrischen Feldstärke dient die Kraft F auf eine Probeladung im elektrischen Feld E. Definition der elektrischen Feldstärke E: E F Q F E= Q V N C m
192
10. Elektrizitätslehre
Elektrische Spannung Die elektrische Spannung ist durch U = W /Q gegeben (Abschnitt 10.2.2.). Dabei ist W die Arbeit, die zum Verschieben der Ladung Q zwischen zwei Punkten mit der Spannung U aufgewendet werden muss. Wird im homogenen Feld zwischen einem Plattenkondensator (siehe Bild) eine Probeladung Q von der negativ geladenen Platte auf die positive geschoben, muss die Arbeit W=Fl=EQl aufgebracht werden. Dabei wurde die Kraft F = E Q gesetzt. Die Gleichung W = E Q l wird in die erste Gleichung dieses Abschnitts eingesetzt und man erhält: U = E l Die elektrische Feldstärke E ist gleich der Spannung U zwischen zwei Punkten dividiert durch den Abstand l. Im inhomogenen Feld gilt für die elektrische Feldstärke E = ΔU /Δl.
•
Aufgaben 401 und 402
Berechnung der Arbeit im elektrischen Feld (W = F l).
Spannung U und Feldstärke E: E=
U l
E
U
l
V m
V
m
Beispiel: Wie groß ist die elektrische Feldstärke E in einem Kondensator mit 1 mm Plattenabstand bei einer Spannung von 100 V. Lösung: E = 100000 V/m.
10.3.4. Kondensator Ein Plattenkondensator besteht im Prinzip aus zwei parallel zueinander stehenden Metallplatten. Durch Anlegen einer Spannung U kann eine Ladungsmenge Q auf den Kondensator gebracht und gespeichert werden. Die Ladung Q ist proportional zu U und der Kapazität C, die durch den Aufbau des Kondensators gegeben ist. Auf der einen Platte ist – Q, auf der anderen + Q gespeichert. Die Kapazität C ist die gespeicherte Ladung Q dividiert durch die Spannung U.
Die Einheit der Kapazität ist C/ V. Dieses wird mit 1 Farad1) = 1 F = 1 C/V abgekürzt. Die Kapazität C ist durch den Aufbau des Kondensators gegeben. Je größer die Fläche A, umso größer ist die Kapazität. Je kleiner der Abstand l umso größer ist C, d.h. C = const · A / l (siehe auch Versuch 12.20). 1)
M. Faraday, englischer Physiker, 1791 – 1867.
Die Ladung Q eines Kondensators ist proportional zur Spannung U. Kapazität C eines Kondensators: C=
Q U
C
Q
U
F
C
V
Kondensator: A As C = ε 0ε r mit ε 0 = 8,854 ⋅ 10−12 l Vm C εr ε0 A l F
l
As Vm
m2 m
10.3. Elektrisches Feld
193
Man kann beweisen, dass die Konstante die im Coulomb’schen Gesetz aufgetretene elektrische Feldkonstante ε0 ist. Befindet sich Materie zwischen den Platten eines Kondensators, so vergrößert sich die Kapazität um den Faktor εr. Die Größe εr wird Permittivitätszahl oder relative Permittivität genannt. Das Auftreten dieser Größe kann durch die Polarisation der Materie im elektrischen Feld erklärt werden. In der Praxis werden verschiedene Kondensatortypen eingesetzt. Ein Beispiel ist ein Wickelkondensator, bei dem zwei Metallfolien mit dazwischen liegenden Isolierfolien aufgewickelt werden. Oft werden auch Elektrolytkondensatoren eingesetzt, die sich durch eine hohe Permittivitätszahl auszeichnen.
Aufbau eines Wickelkondensators
Parallelschaltung: C = C1 +C2 + C3 + ... CN
Bei Parallelschaltung addieren sich die Kapazitäten der einzelnen Kondensatoren. Bei Reihenschaltung addieren sich die Kehrwerte der Kapazitäten.
Reihenschaltung
1 1 1 1 1 = + + ... C C1 C2 C3 CN
Energie im Kondensator In einem geladenen Kondensator ist elektrische Energie gespeichert. Zur Berechnung dieser Energie betrachtet man die Arbeit, die bei der Ladungstrennung, d.h. bei der Aufladung des Kondensators, aufgewendet wird. Beim Aufladen des Kondensators ist die Spannung am Beginn gleich null und sie steigt dann auf den Endwert U. Die mittlere Spannung beim Ladevorgang ist also gleich U /2. Die gespeicherte Energie W ist gleich dem Produkt aus Ladung und der Spannung. Bei der Spannung ist jedoch der Mittelwert U /2 einzusetzen: W = 21 QU. Die Ladung Q wird durch die Kapazität C und die Spannung U gegeben: C = Q /U oder Q = CU. Dieser Wert wird in die Gleichung für W eingesetzt und es entsteht die nebenstehende Gleichung.
Kondensatoren können im Gegensatz zu Batterien nur in Sonderfällen als Energiespeicher eingesetzt werden, z.B. Blitzlichtgerät oder Netzgerät für Pulslaser. Sie bieten den Vorteil, dass kurzzeitig hohe Ströme erzeugt werden können.
•
Aufgaben 403 bis 407
Energie W eines Kondensators:
W =
CU 2 2
W
C U
Ws F
V
Beispiel: Ein Blitzlichtgerät hat einen Kondensator mit 1 mF, der mit einer Spannung von 1 000 V aufgeladen wird. Welche Energie ist gespeichert? Lösung: Im Kondensator sind 500 Ws gespeichert.
194
10. Elektrizitätslehre
10.4. Magnetisches Feld Elektrische Ströme erzeugen Magnetfelder. Dies gilt sowohl für stromdurchflossene Leiter (z.B. Spule) als auch für Ströme der kreisenden Elektronen in den Atomen (z.B. Permanentmagnet). Das statische elektrische Feld geht von positiven und negativen Ladungen aus. Dieser Vorgang findet beim Magnetismus nicht statt: eine magnetische Ladung, „Monopol“ genannt, existiert nicht. Die magnetischen Pole treten immer paarweise auf. Man nennt die Gebilde, die aus einem Nord- und Südpol bestehen, magnetische Dipole („Zweipole“). Schon im Altertum hatte man im Ort Magnesia Erze gefunden, die Eisen anziehen. Daher stammt das Wort Magnet.
10.4.1. Magnetische Feldstärke Magnetische Dipole Permanentmagnete besitzen einen Nord- und einen Südpol. Man stellt fest: Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Ein Magnet hat die Tendenz, sich auf der Erde in Nord-Süd-Richtung auszurichten. Dabei zeigt der Nordpol des Magneten nach Norden. An dem geographischen Nordpol der Erde liegt also ein magnetischer Südpol, der den magnetischen Nordpol des Magneten anzieht. Ein Magnet übt eine Fernwirkung aus. Dies wird dadurch erklärt, dass die Eigenschaften des Raumes verändert werden. Um den Magneten breiten sich magnetische Feldlinien aus. Die Feldlinien beschreiben die Kraftwirkung auf einen kleinen Probemagneten (siehe auch Versuch 12.18.1).
Magnete treten nur als Dipole auf. Zerschneidet man einen Magneten, entstehen zwei Dipole.
Magnetisches Feld um einen Permanentmagneten
Die Richtung der Feldlinien hat man vom magnetischen Nordpol nach Süd festgelegt. Magnetfeld Um einen Leiter mit einem elektrischen Strom breitet sich ein kreisförmiges Magnetfeld aus. Man kann das Feld durch einen Versuch sichtbar machen. Ein Draht wird durch die Bohrung einer isolierenden Platte (z.B. Plexiglas) geführt, die mit Eisenspänen bestreut wird. Schaltet man den Draht an eine Autobatterie an, so fließt ein starker Strom. Die Eisenspäne ordnen sich bei leichtem Klopfen zur Überwindung der Reibung zu konzentrischen Kreisen an.
Versuch zum Nachweis des Magnetfeldes um einen geradlinigen stromdurchflossenen Leiter
10.4. Magnetisches Feld Die magnetische Feldstärke H um einen geradlinigen Leiter ist proportional zum elektrischen Strom I, der durch den Leiter fließt. Er nimmt mit dem Abstand r vom Leiter ab.
195 Magnetische Feldstärke H um einen Leiter: H I r I H = 2π r A A m m
Für die Richtung der Feldlinien gilt die Regel der rechten Hand: Zeigt der Daumen in Stromrichtung, so weisen die gekrümmten Finger in Feldrichtung. Zylinderspule Das äußere elektrische Feld einer langen Zylinderspule ähnelt dem eines Stabmagneten. Im Innern der Spule ist das Feld homogen (Bild). Die magnetische Feldstärke H wird durch die Zahl der Windungen N, die Länge der Spule l und den Strom I gegeben. Die magnetische Feldstärke H einer Zylinderspule ist gleich dem Strom I multipliziert mit der Zahl der Windungen N pro Länge l.
Das Magnetfeld einer Zylinderspule ähnelt dem Feld eines Permanentmagneten (siehe auch Versuch 12.18.3). Magnetische Feldstärke H in einer Zylinderspule:
1I l
Die Feldrichtung kann nach der Regel der rechten Hand ermittelt werden:
H =
Zeigen die Finger der gekrümmten rechten Hand in Stromrichtung, so weist der Daumen in Richtung der Feldlinien (und zum Nordpol der Spule).
Beispiel:
Die Größe N I einer Spule wird auch elektrische Durchflutung Θ genannt.
H
I
l
1
A m
A
m
l
Eine Spule mit 500 Windungen und einer Länge von 10 cm erzeugt bei einem Strom von 5 A ein Magnetfeld von H = 25000 A/m.
Θ
Durchflutung Θ = 1 I
A
1 1
I A
Magnetische Flussdichte Die magnetische Feldstärke beschreibt die Wirkung auf andere Magneten. In der Praxis wichtiger sind die Kräfte, die Magnetfelder auf bewegte Ladungen ausüben. Zur Beschreibung dieser Vorgänge wird neben der elektrischen Feldstärke H noch die magnetische Flussdichte B eingeführt. Eine anschauliche Begründung für die Einführung von B wird erst in den folgenden Abschnitten gegeben. Im Vakuum (und Luft) sind beide Größen B und H über die magnetische Feldkonstante μ0, auch Permeabilität des Vakuums genannt, verbunden. Die magnetische Feldkonstante μ0 ist eine Naturkonstante mit der Einheit Vs/Am.
Magnetische Flussdichte B im Vakuum: B H μ0
B = μ0 H
T,
Vs 2
m Magnetische Feldkonstante:
μ0 = 4 π 10−7
Vs Am
A m
Vs Am
Beispiel: Die oben erwähnte Spule mit H = 25000 A/m erzeugt eine Flussdichte mit B = 0,0314 Tesla.
196 Die Wirkung der Flussdichte macht sich bei Kräften auf bewegte Ladungen bemerkbar. Die magnetische Flussdichte zeigt in Richtung der Feldlinien. Man spricht auch von Flusslinien. Für die Einheit der Flussdichte B wurde der Begriff Tesla1) eingeführt: 1 Vs/m2 = 1 Tesla.
10. Elektrizitätslehre
Beispiel: Ein sehr großer Magnet (Luftspule) für einen medizinischen Kernspintomographen hat eine Flussdichte von 4 Tesla.
Magnetische Flussdichte B in Materie: Wird Materie in das Magnetfeld eingebracht, so erhöht sich die magnetische Flussdichte um einen Materialfaktor, den man Permeabilitätszahl μr nennt. Oft fasst man μr und μ0 zur Permeabilität μ = μ0 μr zusammen. Die magnetische Flussdichte kann mit einer sogenannten Hallsonde gemessen werden. Bezüglich der Permeabilitätszahlen werden die Werkstoffe in ferromagnetische (μr Ԡ 1) und nicht ferromagnetische (μr ≈ 1) Materialien eingeteilt.
μr
B B = μr μ0 H = μ H
T,
Vs m2
l
μ0
H
Vs A Am m
Beispiel: Befindet sich in einer Spule mit H = 10 A/m ein Eisenkern mit μr = 10000 beträgt die Flussdichte0,126Tesla.
Ferromagnetische Werkstoffe erhöhen die Flussdichte B stark. Man nennt sie auch oft magnetische Werkstoffe.
Magnetischer Fluss Eine weitere wichtige Größe des Magnetfeldes ist der magnetische Fluss Φ, der durch eine Fläche A strömt und sich aus der Flussdichte B ermitteln lässt. Man legt die Fläche A in der Regel rechtwinklig zu den Feld- oder Flusslinien. Die Flussdichte B und der Fluss Φ sind durch die Gleichung B = Φ /A verknüpft. Die magnetische Flussdichte B ist gleich dem magnetischen Fluss Φ dividiert durch die Fläche A, durch die der Fluss strömt.
Unter Dichte versteht man hier eine Größe dividiert durch eine Fläche A. Für die Einheit des magnetischen Flusses hat man den Begriff Weber2) = Wb eingeführt: 1 Vs = 1 Wb. Eine Begründung für die Einführung des magnetischen Flusses erfolgt in dem Abschnitt Induktion.
• 1) 2)
Aufgaben 408 bis 410 1. Tesla, kroatischer Ingenieur, 1856 – 1943 W. Weber, deutscher Physiker, 1804 – 1891
Der magnetische Fluss Φ durch die Fläche A ist in einem homogenen Magnetfeld gegeben durch Φ = BA = μ HA. Magnetischer Fluss Φ :
Φ = BA = μ HA
Φ
B
A
Wb
T
m2
μ H Vs A Am m
10.4. Magnetisches Feld
197
10.4.2. Kräfte im Magnetfeld Statische Magnetfelder üben Kräfte auf bewegte Ladungen aus, nicht jedoch auf ruhende. Man beobachtet diesen Effekt beispielsweise an Elektronenstrahlen und an stromdurchflossenen Leitern. Die Kräfte sind von der magnetischen Flussdichte B abhängig. Ein Leiter steht rechtwinklig zu den Feldlinien zwischen den Polen eines Magneten. Fließt Strom durch den Leiter, bildet sich zusätzlich ein kreisförmiges Feld um den Leiter aus. In dem Bild findet links vom Leiter eine Verstärkung der Feldlinien statt, rechts eine Schwächung. Anschaulich kann das so interpretiert werden, dass die verengten Feldlinien den Leiter nach rechts drücken. Es zeigt sich, dass die Kraft F proportional zur magnetischen Flussdichte B ist. Die Kraft steht rechtwinklig zum Magnetfeld und zur Stromrichtung.
Stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld: a) Äußeres Magnetfeld und Feld des Leiters getrennt. b) Überlagerung beider Felder. Der Leiter wird nach rechts abgelenkt.
Arbeitsweise des Elektromotors Der Elektromotor (und auch das Drehspulinstrument) beruht im Prinzip auf dem Verhalten einer Leiterschlaufe im Magnetfeld. Die Drehachse der Schlaufe steht rechtwinklig zum Feld. Aus nebenstehendem Bild erkennt man, dass die Stromrichtung der oberen und unteren Strombahn in der Schlaufe entgegengesetzt verläuft. Dadurch zeigt die Kraft oben nach links und unten nach rechts. Damit kann die Leiterschlaufe in eine Drehbewegung gebracht werden. Beim Elektromotor wird statt einer Schlaufe eine gewickelte Spule eingesetzt, aber das Funktionsprinzip ist das gleiche. Für einen mit dem Strom I durchflossenen Leiter der Länge l, der rechtwinklig zur Richtung der Flussdichte B steht, gilt: die Kraft F beträgt: F = I lB. Lorentz-Kraft Die Kraft auf stromdurchflossene Leiter (F = I · l · B) entsteht durch die Kraft auf die Elektronen im Leiter. Man kann den Strom I durch die in der Zeit t transportierte Ladung Q ersetzen: I = Q / t. Für die Geschwindigkeit der Ladung (Elektronen im Leiter) gilt: v = l/ t, wobei l die Leiterlänge ist. Damit erhält man einen Ausdruck für die Kraft auf bewegte Ladungen, die soge-
Versuch zum Nachweis der Kraft auf einen Leiter. Die Kraft beträgt F = I · l · B.
198
nannte Lorentz-Kraft. Dabei wirkt nur die Geschwindigkeitskomponente, die rechtwinklig zum Magnetfeld steht. Die Lorentz-Kraft steht wiederum rechtwinklig zum Magnetfeld und zur Geschwindigkeit der Ladung.
10. Elektrizitätslehre
Kraft F auf bewegte Ladungen (Lorentz’sche Kraft): F F=QυB
N
Q
v
B
C
m s
Vs m2
Dreifingerregel : Man spreize Daumen, Zeigefinger und Ringfinger der rechten Hand in Form eines x-, y-, z-Systems. Zeigt die Richtung von v parallel zum Daumen und von B parallel zum Zeigefinger, so zeigt F in Richtung des Ringfingers. Arbeitsweise des Stromgenerators Mit Hilfe der Lorentz-Kraft ist es möglich, den Stromgenerator zu erklären. Im Generator werden Leiterschlaufen rechtwinklig durch ein Magnetfeld bewegt. Die Leitungselektronen werden dabei mit bewegt. Auf die so bewegten Elektronen wirkt nun die Lorentz-Kraft. Man kann sich anhand der Dreifingerregel überlegen, dass die Kraft in Richtung des Leiters steht, das heißt, es wird ein Strom erzeugt. Dies ist das Prinzip der Stromerzeugung in den Elektrizitätswerken.
•
Aufgabe 411
10.4.3. Magnetische Materialien Bringt man Materie in ein Magnetfeld, ordnen oder bilden sich magnetische Dipole: die Materie wird magnetisiert. Es wurde bereits im letzten Abschnitt erklärt, dass sich durch die Materie die magnetische Flussdichte B erhöht. Dies wurde durch die Einführung der Permeabilitätszahl μr berücksichtigt.
Spule mit Eisenkern Die Flussdichte B beschreibt die magnetischen Kräfte. In einem Versuch wird die Kraft untersucht, die von einer stromdurchflossenen Spule auf ein Eisenstück ausgeübt wird. Auf der linken Seite des Bildes ist eine Luftspule dargestellt: Das Eisenstück wird nur schwach angezogen. Die
Magnetische Flussdichte B in Materie: B B = μr μ0 H = μ H
Vs m2
mit μ0 = 4 π 10–7
μr μ, μ0 H l
Vs Am
A m
Vs (magn. Feldkonst.) Am
10.4. Magnetisches Feld
199
magnetische Flussdichte B kann durch ein ferromagnetisches Material, z.B. einen Eisenkern (mit μr Ԡ 1) in der Spule erheblich vergrößert werden. Dadurch steigt die Anziehungskraft auf das Eisenstück (rechte Seite des Bildes). Ersetzt man den Eisenkern in der Spule durch ein nicht ferromagnetisches Material (μr ª 1), so erhält man etwa die gleiche Kraft wie bei der Luftspule. Mit einem Eisenkern in einer Spule wird die magnetische Flussdichte und die magnetische Kraft vergrößert.
Die magnetische Flussdichte B und die Anziehungskraft F auf ein Eisenstück werden durch einen Eisenkern in einer Spule vergrößert. Dieser Effekt wird bei Elektromagneten eingesetzt.
Atomarer Magnetismus Das magnetische Verhalten von Materie wird durch die atomaren Elektronen verursacht. Die Elektronenbahnen um den Atomkern stellen „Kreisströme“ dar. Diese Kreisströme erzeugen ähnlich wie bei einer stromdurchflossenen Spule ein Magnetfeld mit einem Nord- und Südpol. Größere Wirkung als dieser „Bahnmagnetismus“ hat der „Spinmagnetismus“. Die Elektronen besitzen neben ihrer Ladung auch einen inneren Magnetismus. Sie stellen einen winzigen magnetischen Dipol dar. Man stellt sich das anschaulich so vor, dass das Elektron um sich selbst rotiert und damit das Magnetfeld erzeugt. Diese Eigenrotation der Elektronen nennt man Spin. Diese Ausführungen erklären auch, warum beim Magnetismus nur Dipole vorhanden sind. Jedes Atom ist ein kleiner magnetischer Dipol.
Werkstofftyp Diamagnetismus Bei vielen Atomen mit abgeschlossenen Schalen (z.B. Wasserstoff H2, Stickstoff N2, Silber, Gold, Wismut) heben sich die atomaren Magnetfelder auf und sind normalerweise völlig unmagnetisch. Legt man jedoch ein Magnetfeld an, so werden nach dem Induktionsgesetz (siehe Kap. 10.5) Kreisströme in den Atomen induziert. Dadurch entsteht ein winziger magnetischer Dipol, der das äußere Feld schwächt. Für die Permeabilitätszahl gilt: μr ≤ 1 (z.B. 0,999990 für Cu).
diamagnetisch
paramagnetisch
weichmagnetisch hartmagnetisch
Permeabilitätszahl μr und Wirkung auf die Flussdichte B μr ≤ 1 geringfügige Verringerung von B μr ≥ 1 geringfügige Vergrößerung von B μr > 1 starke Vergrößerung von B μr Ԡ 1 sehr starke Vergrößerung
200
10. Elektrizitätslehre
Paramagnetismus Bei paramagnetischen Werkstoffen stellen die Atome einen kleinen magnetischen Dipol dar. Normalerweise sind diese Dipole statistisch in alle Richtungen orientiert, sodass sich das Material unmagnetisch verhält. Beim Anlegen eines äußeren Magnetfeldes erfolgt jedoch eine Ausrichtung der Dipole, die eine leichte Verstärkung der magnetischen Flussdichte B bewirkt (z.B. bei Sauerstoff O2, Chrom, Aluminium). Für die Permeabilitätszahl gilt: μr ≥ 1 (z.B. 1,00028 für Cr). Ferromagnetismus Insbesondere bei den Übergangsmetallen, z.B. Eisen, Nickel, Kobalt, haben die Atome einen relativ starken magnetischen Dipol. Es bilden sich kleine Kristallbereiche mit einer gleichgerichteten Flussdichte, die sogenannten Weiß’schen Bezirke1) mit einer Ausdehnung von 1 bis 100 μm. In diesen Bereichen sind die magnetischen Dipole der einzelnen Atome parallel gerichtet.
Innerer Aufbau eines Magneten (Ferromagnetismus) a) Die Weiß’schen Bezirke sind weitgehend ungeordnet, keine Magnetwirkung b) Die Bezirke sind geordnet, Magnetwirkung
Im unmagnetisierten Zustand sind die Dipole der Weiß’schen Bezirke ungeordnet, sodass keine Magnetwirkung auftritt. Bringt man ein ferromagnetisches Material in ein Magnetfeld, so beginnen sich die Weiß’schen Bezirke auszurichten. Dadurch steigt die magnetische Flussdichte B an. Im nebenstehenden Bild ist die Flussdichte B in Abhängigkeit vom äußeren Magnetfeld H für drei Materialien aufgetragen. Bei hohen Feldstärken steigt B nur noch geringfügig an. In diesem Fall sind alle Bezirke vollständig ausgerichtet, und man spricht von einer Sättigung. Die Kurven im nebenstehenden Bild sind etwas unterschiedlich, je nachdem, ob die Feldstärke bei der Messung erhöht oder verringert wird (Hysterese). Bei Ferriten gibt es zwei verschiedene Arten von Weiß’schen Bezirken, die zu einander antiparallel stehen. Sie ähneln ferromagnetischen Werkstoffen.
1)
P. Weiß, französischer Physiker, 1865 – 1940
Abhängigkeit der magnetischen Flussdichte B von der angelegten magnetischen Feldstärke H für drei ferromagnetische Materialien.
10.5. Elektromagnetische Induktion
201
10.5. Elektromagnetische Induktion Die elektromagnetische Induktion beruht darauf, dass Änderungen des Magnetfelds eine elektrische Feldstärke und damit eine Spannung in Leitern erzeugen. Sie ist die Ursache für die Funktion von Elektromotoren, Transformatoren und Spulen in der Elektrotechnik und Elektronik.
10.5.1. Induktionsgesetz In einem historischen Versuch hat Faraday 1831 eine elektrische Spannung dadurch erzeugt, dass er einen Magneten in einer Spule hin und her bewegte. Man kann den nebenstehenden Versuch leicht nachvollziehen und findet folgende Ergebnisse: Der Betrag der induzierten Spannung U hängt von der Stärke des Magneten (Flussdichte B ), der Geschwindigkeit der Bewegung und der Windungszahl der Spule ab.
Erzeugung einer Spannung durch Bewegung eines Magneten in einer Spule
Bei dem Versuch ist es gleichgültig, ob man den Magneten bewegt oder die Spule bewegt. Im Folgenden werden einige weitere Versuche beschrieben, bei denen zunächst Leiter in Magnetfeldern bewegt werden. Bewegung eines Leiters im Magnetfeld Wie im nebenstehenden Bild dargestellt, erzeugt ein Hufeisenmagnet ein Magnetfeld zwischen den beiden Polen, das von Nord nach Süd zeigt. Bewegt man einen Leiter durch dieses Feld, entsteht eine Spannung, die mit einem Voltmeter nachgewiesen werden kann. Nach Beendigung der Bewegung geht die Spannung wieder auf null. Ändert man die Bewegungsrichtung, so kehrt sich das Vorzeichen der Spannung um. Auch ein Vertauschen der Magnetpole, also eine Umkehrung der Feldlinien, würde zu einer Änderung des Vorzeichens der Spannung führen. Weiterhin zeigt sich: Der Leiter muss sich rechtwinklig durch die Feldlinien bewegen, um eine maximale Spannung zu erzeugen. Bei einer ausführlichen Durchführung des Versuches kann man folgende Ergebnisse feststellen: Die induzierte Spannung U steigt mit der Geschwindigkeit v der Bewegung, mit der Stärke des Magnetfelds (Flussdichte B) und der Leiterlänge l, die sich im Magnetfeld befindet. Um die Abhängigkeit der induzierten Spannung U von B
Erzeugung einer Spannung durch Bewegung eines Leiters im Magnetfeld
Induzierte Spannung U: U U=lBv
V
l
m
B
v
T
m s
202
10. Elektrizitätslehre
und l zu zeigen, benötigt man verschieden starke und breite Magnete. Die Induktion einer Spannung kann durch die Lorentz’sche Kraft verstanden werden. Die Elektronen im Leiter werden mit der Geschwindigkeit v rechtwinklig zu den Feldlinien B bewegt. Damit wirkt auf die Elektronen die Lorentz’sche Kraft, die rechtwinklig zu den Feldlinien und rechtwinklig zur Geschwindigkeit steht. Das ist aber genau die Richtung, in die der Leiter zeigt. Das bedeutet, dass die Elektronen an das eine Ende des Leiters gedrückt werden, sodass dort ein Elektronenüberschuss auftritt. Es entsteht eine Spannung. Man kann auch statt eines einfachen Leiters eine Spule im Magnetfeld bewegen. Die induzierte Spannung U ist proportional zur Windungszahl N der Spule.
Erzeugung einer Spannung durch Bewegung einer Spule im Magnetfeld
Ruhender Leiter und verändertes Magnetfeld Bei der Induktion ist es gleichgültig, ob man den Leiter durch ein statisches Magnetfeld bewegt oder ob die Spannung in einem ruhenden Leiter durch ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld verursacht wird. Bei der Spannungserzeugung kommt es nur auf die Relativbewegung zwischen Magnetfeld und Leiter an. Im nebenstehenden Bild sind zwei Spulen mit den Windungszahlen N und 2 N dargestellt, die mit einem Messinstrument verbunden sind. Durch Bewegung eines Magneten durch eine der Spulen entsteht eine Spannung. Bei doppelter Windungszahl N verdoppelt sich auch die induzierte Spannung U. Man erhält also: U ~ N. Der nächste Versuch soll klären, wie die induzierte Spannung U vom magnetischen Fluss Φ abhängt, in dem sich der Leiter bewegt. Dazu wird der Stabmagnet durch eine stromdurchflossene Spule 1 ersetzt. Auf diese Spule setzt man eine zweite Spule 2. Durch Ein- und Ausschalten des Stromes entsteht ein veränderliches Magnetfeld, das in der zweiten Spule eine kleine Spannung erzeugt. Durch Einfügen eines Eisenkernes (mit der Permeabilitätszahl μr ≈ 5000) erhöht man die magnetische Flussdichte B und den magnetischen Fluss Φ = AB (A = Querschnittsfläche im Innern der Spule). Beim Ein- und Ausschalten des Stromes steigt nun die Spannung stark an.
Erzeugung einer Spannung in Spulen mit der Windungszahl 1 und 2 1 durch Veränderung eines Magnetfeldes. Die induzierte Spannung ist proportional zur Windungzahl der Spule.
Induktion einer Spannung durch ein veränderliches Magnetfeld. Die Spannung hängt von der Flussdichte ab.
10.5. Elektromagnetische Induktion
203
Man kann durch sorgfältige Versuche zeigen, dass die induzierte Spannung U proportional zur zeitlichen Veränderung des Flusses ist: U ~ ΔΦ / Δt. Kombiniert man U ~ N und U ~ ΔΦ l Δt erhält man das Induktionsgesetz. Die in einer Spule induzierte Spannung U ist gleich der (negativen) Flussänderung ΔΦ in der Zeit Δt, multipliziert mit der Windungszahl N. Dieses Gesetz wurde an dieser Stelle nicht bewiesen, sondern nur durch Versuche anschaulich gemacht (siehe auch Versuch 12.21). Das negative Vorzeichen hat man eingeführt, weil die induzierte Spannung U zu einem Strom in der (zweiten) Spule führt, der das angelegte Magnetfeld verkleinert. Dies führt zur Lenz’schen Regel1): Die in einem Leiter induzierte Spannung erzeugt einen Strom, der ein Magnetfeld erzeugt, das der Ursache der Induktion entgegenwirkt. Die Richtung des Induktionsstroms ist so orientiert, dass er dem ihn verursachenden Vorgang entgegenwirkt.
Die technischen und natürlichen Prozesse unterliegen dem Satz von der Erhaltung der Energie. Auf die elektromagnetische Induktion angewandt führt dies zur oben angegebenen Lenz’schen Regel. Dies wird im Folgenden für einen Generator erklärt. Ein Generator liefert bei Zufuhr mechanischer Energie über die Induktion elektrische Energie. Würde der im Generator fließende Induktionsstrom die Bewegung nicht hemmen, sondern unterstützen, könnte sich der Generator von selbst weiter drehen. Dieses wäre aber die Schaffung von Energie aus dem Nichts (Perpetuum mobile).
•
1)
Aufgaben 412
H. Lenz, baltischer Physiker, 1804 – 1865
Induktionsgesetz: ǻΦ ǻ( AB) U = −1 = −1 ǻt ǻt U 1 Φ t A V
l
Vs
s
m2
B Vs m2
,T
204
10. Elektrizitätslehre
10.5.2. Selbstinduktion Das nebenstehende Bild zeigt die Parallelschaltung einer Glimmlampe und einer Spule. Die Spule muss für diesen Versuch eine hohe Windungszahl und einen geschlossenen Eisenkern aufweisen (hohe Induktion). Die Glimmlampe soll eine Zündspannung von etwa 100 V haben. Die Spannungsquelle hat etwa 12 V, was unterhalb der Zündspannung liegt. Wird die Anordnung mit einem Schalter an die Spannungsquelle angeschlossen, so stellt man fest: Nur beim Öffnen des Schalters leuchtet die Glimmlampe kurz auf. Es entsteht also ein Spannungspuls von über 100 V.
Versuch zur Selbstinduktion: Beim Öffnen des Schalters entsteht ein kurzer Spannungspuls von über 100 V und die Glimmlampe leuchtet kurz auf.
Erklärung: Beim An- oder Abschalten des Stromes ändert sich das Magnetfeld in der Spule. Dadurch wird in der Spule selbst eine Spannung induziert. Man nennt diesen Vorgang Selbstinduktion. Nach der Lenz’schen Regel hat die induzierte Spannung beim Ausschalten das gleiche Vorzeichen wie die angelegte Spannung. Beim Einschalten haben angelegte und induzierte Spannung verschiedene Vorzeichen. Induktivität einer Spule Die in der Spule induzierte Spannung U kann aus dem Induktionsgesetz berechnet werden: U =−N
ΔBA μ μ ΔH . =−N A r 0 Δt Δt
Dabei wurde die magnetische Flussdichte B durch die magnetische Feldstärke H ersetzt: B = μr μ0 H. Das Magnetfeld einer Zylinderspule wird durch den Strom I, die Windungszahl N und die Länge l gegeben: H = I N /l. Man erhält damit:
U =−
N2 ǻI . A μ r μ0 l ǻt
Die durch das eigene Magnetfeld induzierte Spannung U einer Spule ist also proportional zur zeitlichen Stromänderung. Die Proportionalitätskonstante kürzt man durch den Begriff Induktivität L ab. Die Einheit der Induktivität ist: 1 Vs/A = 1 Henry = 1 H.
Induzierte Spannung durch Selbstinduktion: U L ǻI ǻt V H Lange Zylinderspule: U = −L
L=−
12 A μ r μ0 l
ΔI Δt A s
μ0
μr
Vs Am
1
10.6. Wechselstromkreis
205
Damit lautet das Gesetz für die Selbstinduktion einer Spule: Die selbstinduzierte Spannung U in einer Spule ist proportional zur (negativen) Änderung des Stromes ΔI im Zeitintervall Δt und zur Selbstinduktion L.
Für eine lange Zylinderspule kann die Induktivität L durch die angegebene Gleichung berechnet werden. Die Gleichung gilt auch für eine Ringspule. Spulen spielen eine wichtige Rolle in Wechselstromkreisen.
•
Beispiel: Eine Spule mit 1000 Windungen, 10 cm Länge, und einer Querschnittsfläche von 1 cm2 hat folgende Induktivität: 10002 ⋅ 1, 256 ⋅ 10 −6 Vs ⋅ 10 −4 m 2 Am ⋅ 0,1 m = 0,00126 H = 1,26 mH
L=
Aufgabe 413
10.6. Wechselstromkreis Die Generatoren der Elektrizitätswerke liefern Wechselspannungen und -ströme. Das liegt an der Konstruktion der Generatoren und hat den Vorteil, dass die Wechselspannungen durch Transformatoren leicht verringert oder erhöht werden können.
10.6.1. Spannungsgeneratoren Die Funktion der Generatoren zur Erzeugung von Spannungen kann durch das Induktionsgesetz erklärt werden (Abschnitt 10.5.1.). Das Bild zeigt den vereinfachten Aufbau eines Generators. Eine Spule (im Bild wird nur eine Leiterschlaufe der Spule mit der Querschnittsfläche A gezeigt) dreht sich in einem Magnetfeld. Durch das Drehen der Anordnung ändert sich der magnetische Fluss Φ durch die Leiterschlaufe (Anker). Steht die Schlaufe senkrecht zum Magnetfeld, ist der Fluss maximal: Φ = AB, da der magnetische Fluss voll durch die Fläche A verläuft. Steht die Leiterschlaufe parallel zu den magnetischen Feldlinien, laufen keine Feldlinien durch die Schlaufe und der Fluss ist Φ = 0. Bei Drehen der Leiterschlaufe entstehen also periodischen Flussänderungen ΔΦ. Dadurch wird nach dem Induktionsgesetz eine Wechselspannung induziert, die mit Hilfe von Schleifringen abgegriffen werden kann.
Spannungsgenerator, schematisch
Induktionsgesetz:
U = −1
ǻΦ ǻt
U
1
Φ
t
V
l
Vs
s
206
10. Elektrizitätslehre
Wechselspannung Beim Drehen der Spule des Generators entstehen eine Wechselspannung und ein Wechselstrom. Die Wechselspannung kann durch eine Sinusfunktion beschrieben werden. In der Elektrotechnik werden zeitabhängige Ströme und Spannungen im Wechselstromkreis mit Kleinbuchstaben i und u beschrieben.
Wechselspannung
Die Scheitel- oder Maximalwerte (û und iˆ ) sind die Amplituden der Wechselspannung. Der Anker eines Generators wird mit der Frequenz f (Kreisfrequenz ω = 2 π f) gedreht. Die Frequenz der Wechselspannung ist genauso groß. Die technische Wechselstrom besitzt eine Frequenz von f = 50 Hz = 50 s–1. Man kann die Gleichung für die Wechselspannung u aus dem Induktionsgesetz beweisen.
Sinusförmige Wechselspannung u: u, û f, ω t, T
In einem Schaltkreis mit einem Ohm’schen Verbraucher (Widerstand) fließt entsprechend der Wechselspannung ein Wechselstrom i mit dem Scheitelwert iˆ .
Sinusförmiger Wechselstrom i: i, i,^ f, ω u = i,^ sin 2 π f t = i,^ sin 1 ω A s
Effektivwerte Im Wechselstromkreis verändern sich Spannung und Strom zwischen den negativen und positiven Scheitelwerten in Form einer Sinusfunktion. Die Mittelwerte von Strom und Spannung sind null. Da die Leistung an einem Widerstand quadratisch mit Strom oder Spannung zusammenhängt (P = I 2R = U 2 / R) ist die Leistung immer positiv. Sie wird durch eine sin2-Funktion beschrieben. Zur Berechnung der mittleren Leistung an einem Ohm’schen Widerstand im Wechselstromkreis dienen die Effektivwerte von Strom und Spannung Ieff und Ueff. Im Wechselstromkreis werden die Indizes oft weggelassen und es gilt Ieff = I und Ueff = U. Wenn in einem Wechselstromkreis die Spannung U oder der Strom I angegeben werden, sind die Effektivwerte gemeint.
Die Effektivwerte für Strom und Spannung (Ieff, Ueff) sind um den Faktor
1 kleiner als 2
die Scheitelwerte ( iˆ , û). Wechselstrommessgeräte zeigen für Strom und Spannung die Effektivwerte an. Für die mittlere Leistung P an einem Widerstand gilt die gleiche Gleichung wie im Gleichstromkreis. • Aufgaben 414 und 415
u = û sin 2 π f t = û sin ω t f =
1 T
V
1 s
s
ω = 2ʌ f
t s
Effektivwerte: uˆ iˆ U eff = I eff = 2 2 Beispiel: Im Wechselstromnetz ist der Effektivwert der Spannung Ueff = 230 V. Die Scheitelspannung beträgt û = 325,3 V. Mittlere Leistung P: P = Ieff Ueff = I U
P W
Ieff , Ueff, û i,^ A
V
Beispiel: Durch eine 100 W-Glühlampe (230 V) fließt ein Strom von I = P/U = 0,435 A. Es handelt sich bei U und I um die Effektivwerte.
10.6. Wechselstromkreis
207
Typen von Generatoren
Stromgeneratoren setzen sich aus einem Spulensystem, in dem die Spannung induziert wird, dem Anker und einem Magnetsystem zusammen. Der Anker dreht sich im fest aufgebauten Stator. Das Magnetsystem kann aus einem Permanentmagneten oder aus einem Spulensystem bestehen. Befindet sich das Magnetsystem als Stator außen und der Anker als Rotor oder Läufer innen, so liegt eine Außenpolmaschine vor. Im umgekehrten Fall entsteht eine Innenpolmaschine, bei der die Schleifkontakte entfallen.
a) Außenpolmaschine, b) Innenpolmaschine Beim Hauptschlussgenerator fließt zur Erzeugung des Magnetfeldes der gesamte erzeugte Strom durch das Magnetsystem. Magnetsystem und Verbraucher sind in Reihe geschaltet. Beim Nebenschlussgenerator sind Magnet und Verbraucher parallel geschaltet, sodass nur ein Teil des Stromes durch die Magneten fließt. Der Generator erzeugt eine Spannung, die je nach Lastwiderstand zu einem Strom führt. Mit zunehmendem Strom wächst die Gegenkraft, die die Rotation abbremst. Die Rotation wird durch entsprechende Antriebe aufrecht erhalten, z.B. Turbine oder Verbrennungsmotor.
a) Hauptschlussmaschine, b) Nebenschlussmaschine
10.6.2. Transformatoren Ein Transformator besteht aus zwei Spulen, die induktiv gekoppelt sind. In der häufigsten Ausführung sind auf einem geschlossenem Eisenkern unterschiedliche Windungszahlen N1 und N2 angebracht. Der magnetische Fluss Φ wird durch den Eisenkern geführt, sodass der gleiche Wert von Φ im Kern beider Spulen vorhanden ist. Wird an die erste Spule (Primärwicklung) eine Wechselspannung gelegt, fließt ein Wechselstrom. Damit entsteht eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses ΔΦ, die in beiden Spulen gleich ist. Nach dem Induktionsgesetz (Selbstinduktion) werden damit die Spannungen in beiden Spulen berechnet: U1 =−N 1
ΔΦ ΔΦ und U 2 =−N 2 . Δt Δt
Aus diesen beiden Gleichungen folgt:
a) Aufbau eines Transformators, b) Schaltbild
Induktionsgesetz: ǻΦ U = −1 ǻt
208
Beim Transformator ist das Verhältnis der Spannungen U an beiden Wicklungen gleich dem Verhältnis der Windungszahlen N.
10. Elektrizitätslehre
Transformator: U2 1 = 2 U1 11
U1, U2
11, 12
V
1
Beispiel: Für ein Netzgerät soll die Spannung von 230 V auf 12 V reduziert werden. Das Verhältnis der Windungszahlen des Transformators beträgt Nach dem Satz von der Erhaltung der Energie gilt:
1 2 230 V = = 19,17. 11 12 V
Die Effektivwerte der Leistung P1 im Primärkreis und P2 im Sekundärkreis eines Transformators sind gleich.
P1 = P2; I1U1 = I2U2
P1, P2 I1, I2 U1, U2 W A V
In der Praxis wird dieser Idealfall nur bis zu 98 % erreicht. Der Rest geht durch Feldstreuung und Wirbelströme im Eisenkern verloren (Erwärmung).
•
Aufgaben 416
10.6.3. Impedanzen (Wechselstromwiderstände) Der Wechselstromwiderstand oder die Impedanz wird in Analogie zum Gleichstromkreis festgelegt. Die Impedanz Z ist das Verhältnis der Scheitelwerte oder auch der Effektivwerte von Spannung U und Strom I.
Impedanz Z: Z=
U I
Z Ω
U V
I A
Ohm’scher Widerstand R
Für Widerstände gilt das Ohm’sche Gesetz I = U /R (Effektivwerte) oder i = u /R auch im Wechselstromkreis. Strom i und Spannung u sind zu jedem Zeitpunkt zueinander proportional und beides sind Sinusfunktionen. Für die momentane Leistung gilt p = i u und es ergibt sich durch Quadrieren eine sin2-Funktion. Die Periodendauer ist T = f1 .
Ohm’scher Widerstand R im Wechselstromkreis
Man kann Strom und Spannung auch im Zeigerdiagramm darstellen. Spannungs- und Stromamplitude û, iˆ weisen als Zeiger in die gleiche Richtung, wie im Bild gezeigt. Diese Zeiger rotieren entgegen gesetzt zum Uhrzeigersinn mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 2π f, wobei f die Frequenz der Wechselspannung ist. Die Projektion auf die rechtwinklige u-, i-Achse zeigt den Momentanwert von Strom und Spannung.
a) Zeitlicher Verlauf von Strom i und Spannung u, b) Zeigerdiagramm
10.6. Wechselstromkreis
209
Kapazitiver Widerstand XC
Im Gleichstromkreis fließt durch einen Kondensator kein Strom und er wirkt wie eine isolierende Strecke. Im Wechselstromkreis verhalten sich Kondensatoren anders. Aus der Gleichung Q = Cu folgt ΔQ = C Δu. Man teilt durch Δt und erhält: ΔQ Δu . =C Δt Δt Die zeitliche Änderung der Ladung ist gleich dem Δu Strom und es folgt daraus i = C Δt
Kapazitiver Widerstand XC im Wechselstromkreis
Der Strom i in einem Kondensator ist proportional zur Spannungsänderung Δu /Δt. Im Bild ist der sinusförmige Verlauf der Wechselspannung dargestellt. Am Nullpunkt (t = 0), d.h. beim Einschalten der Spannung ist die Spannungsänderung am größten: der Strom hat ein Maximum. Am höchsten Punkt der sinusförmigen Spannungskurve ändert sich für einen winzigen Augenblick die Spannung nicht: Der Strom ist gleich null. Zur Zeit t = 0 ist die Spannung noch null, aber der Strom hat schon seinen Maximalwert. Spannung und Strom sind gegeneinander phasenverschoben.
a) Zeitlicher Verlauf von Spannung u und Strom i beim kapazitiven Widerstand, b) Zeigerdiagramm
Bei einem Kondensator eilt der Strom der Spannung um eine viertel Periode zeitlich voraus. Im Zeigerdiagramm steht der Strom rechtwinklig auf der Spannung. Der Strom ist gegnüber der Spannung um 90° phasenverschoben. U fällt Die Impedanz eines Kondensators X C = I mit zunehmender Frequenz f oder Kreisfrequenz ω = 2 π f : Je höher die Frequenz, umso kleiner ist die Impedanz. Für Gleichstrom (f = 0) sperrt der Kondensator und die Impedanz wird sehr groß: XC → ∞. Für sehr hohe Frequenzen geht die Impedanz gegen null: XC → 0 (Kurzschluss). Im Unterschied zum Ohm’schen Widerstand entsteht beim Kondensator im Wechselstromkreis keine Wärme. Dem Stromkreis wird keine elektrische Energie entzogen. Der kapazitive Widerstand XC wird daher auch kapazitiver Blindwiderstand genannt.
Impedanz XC einer Kapazität: XC =
1
ωC
XC
ω
C
Ω
1 s
F
Beispiel: Ein Kondensator mit 1 μF hat bei 50 Hz eine Impedanz von XC = 3,2 kΩ. Bei 230 V fließt ein Strom von: I =
230 V = 0,072 A. XC
210
10. Elektrizitätslehre
Induktiver Widerstand XL
Im Gleichstromkreis wirkt eine verlustfreie Spule wie ein Kurzschluss. Verlustfrei bedeutet, dass der Ohm’sche Widerstand null ist. Im Wechselstromkreis treten Stromänderungen Δi auf. Diese induzieren durch den Effekt der Selbstinduktion eine Spannung u in der Spule. Die Gleichung für die induzierte Spannung lautet: u = −L
Induktiver Widerstand XL im Wechselstromkreis
Δi . Δt
Die Spannung u in einer Spule ist proportional zur (negativen) Stromänderung – Δi /Δt. Im Bild sind der sinusförmige Verlauf des Wechselstroms an einer Spule dargestellt. Bei t = 0 hat der Strom seinen Nulldurchgang. Dabei ist die Stromänderung Δi am größten; er ändert sich von – nach +. Damit erreicht die Spannung ihr Maximum. Am höchsten Punkt der Stromkurve ändert sich für einen winzigen Augenblick der Strom nicht (Δi = 0). Das hat zur Folge, dass die Spannung ihren Nulldurchgang hat. Zur Zeit t = 0 ist der Strom noch null, aber die Spannung hat schon ihren Maximalwert.
a) Zeitlicher Verlauf von Strom i und Spannung u beim induktiven Widerstand, b) Zeigerdiagramm
Bei einer Induktivität eilt die Spannung dem Strom um eine viertel Periode zeitlich voraus. Im Zeigerdiagramm steht die Spannung rechtwinklig zum Strom. Die Spannung ist gegenüber dem Strom um 90° phasenverschoben. U steigt I mit zunehmender Frequenz f oder Kreisfrequenz ω = 2 π f: Je höher die Frequenz f, umso größer ist die Impedanz. Für Gleichstrom mit f = 0 stellt die Induktivität einen Kurzschluss dar, XL geht gegen null. Für sehr hohe Frequenzen geht die Impedanz auf sehr hohe Werte: XL → ∞. Im Unterschied zum Ohm’schen Widerstand entsteht bei der Induktivität im Wechselstromkreis keine Wärme. Dem Stromkreis wird keine elektrische Energie entzogen. Der induktive Widerstand (Impedanz) ist daher genau so wie der kapazitive Widerstand ein Blindwiderstand.
Die Impedanz einer Induktivität X L =
Impedanz XL einer Induktivität: XL = ω L
XL
ω
L
Ω
1 s
H
Beispiel: Eine Spule mit 1 mH hat bei 50 Hz eine Impedanz von XL = 0,314 Ω.
10.6. Wechselstromkreis
211
Reihenschaltung von Impedanzen
In Wechselstromkreisen sind Strom und Spannung gegeneinander um die Phase ϕ verschoben, falls Induktivitäten oder Kapazitäten vorhanden sind. Der Winkel ϕ wird im Zeigerdiagramm vom Strompfeil aus in Richtung des Uhrzeigersinnes positiv gezählt. Für die Kapazität ist ϕ = ωt = – π/2 = – 90° und für eine Induktivität ist ϕ = π/2 = 90°.
Reihenschaltung von Impedanzen Reihenschaltung: Z =
1 · § R2 + ¨ ωL − ωC ¸¹ ©
2
Die Berechnung der Reihenschaltung kapazitiver und induktiver Impedanzen ist komplizierter als bei Ohm’schen Widerständen. In der Reihenschaltung von Widerstand, Induktivität und Kapazität erhält man nebenstehende Gleichung für die Gesamtimpedanz Z, die auch Scheinwiderstand genannt wird. Der Widerstand R wird auch als Wirkwiderstand bezeichnet. Die Impedanzen ω L und 1/ω C sind die Blindwiderstände.
Phasenverschiebung:
Die Gleichungen lassen sich aus geometrischen Überlegungen herleiten. Dabei wird der Widerstand R in waagerechter Richtung, der induktive Widerstand ω L rechtwinklig nach oben und der kapazitive Widerstand 1/ω C rechtwinklig nach unten aufgetragen (entsprechen dem Winkel ϕ). Die oben angegebene Gleichung folgt aus dem Satz des Pythagoras im Widerstandsdreieck.
Widerstandsdreieck bei Reihenschaltung
Parallelschaltung von Impedanzen
Bei der Parallelschaltung werden die Leitwerte der Impedanzen addiert. Statt eines Widerstandsdreiecks muss ein Leitwertdreieck verwendet werden, das hier nicht behandelt wird.
•
ϕ = arctan
ωL −
1
ωC
R
ϕ
Z R ω L C 1 H F º,rad Ω Ω s
Parallelschaltung von Impedanzen Parallelschaltung:
1 1 · § 1 · § = ¨ 2 ¸ + ¨ ωC − Z ω L ¸¹ ©R ¹ © Phasenverschiebung:
ϕ = arctan
ωC −
Aufgaben 417 bis 419
1 R
ϕ
1
ωL
2
Z R ω L C
º, rad Ω Ω
1 H F s
10.6.4. Leistung im Wechselstromkreis Falls es im Wechselstromkreis Kapazitäten und/oder Induktivitäten gibt, sind Strom und Spannung um den Phasenwinkel ϕ gegeneinander verschoben. Der Zusammenhang zwischen der Phase ϕ zwischen Strom und Spannung und der zeitlichen Verschiebung τ beider Größen
Spannung u und Strom i:
= τ , wobei T die Periodendauer der 2π T Wechselspannung oder des Wechselstroms ist.
i = iˆ sin (ω t )
lautet
u = û sin (ω t +ϕ)
ϕ
u, û i, iˆ V
A
ω
t
1 s
ϕ
s º, rad
212 Die elektrische Leistung p wird aus Strom i und Spannung u berechnet: p = u i. Zur Berechnung der Leistung p muss in dem Bild jeweils der Momentanwert von u und i miteinander multipliziert werden. Dabei kann es vorkommen, dass der Momentanwert der Leistung kurzzeitig negative Werte hat. Die in der Kapazität oder Induktivität gespeicherte Energie wird dann an das Netz abgegeben.
10. Elektrizitätslehre
Spannung u, Strom i und Leistung p im Wechselstromkreis
Der Momentanwert der elektrischen Leistung p schwankt um einen konstanten Mittelwert mit der doppelten Frequenz der Spannung. Bei elektrischen Geräten wird die mittlere Leistung oder Wirkleistung P angegeben, die auch von den Elektrizitätswerken in Rechnung gestellt wird.
P = Ueff Ieff cos ϕ = U I cos ϕ
Das Produkt aus den Effektivwerten von Strom und Spannung ergibt die Scheinleistung S.
Scheinleistung S:
Der Teil der Leistung, der zwischen den Induktivitäten bzw. den Kapazitäten und der Spannungsquelle hin- und herpendelt, ist die Blindleistung Q.
Blindleistung Q:
Der Zusammenhang zwischen P, S und Q kann im Leistungsdreieck dargestellt werden. Die angegebenen Gleichungen erhält man aus dem Dreieck, indem man die Definition der Sinus- und Kosinusfunktion anwendet. Den Ausdruck cos ϕ bezeichnet man als Leistungsfaktor λ = cos ϕ. Er gibt das Verhältnis der Wirkleistung P zur Scheinleistung S an.
•
Wirkleistung P:
S = Ueff Ieff = U I
Q = Ueff Ieff sin ϕ = U I sin ϕ P, S, Q Ueff, U W V
Ieff, I A
Leistungsdreieck im Wechselstromkreis Leistungsfaktor λ:
λ = cos ϕ =
P S
λ 1
P S W W
Aufgaben 420 und 421
10.6.5. Drehstrom Das Haushaltsnetz wird mit Dreiphasen- oder Drehstrom versorgt. In drei unabhängigen Spulenwicklungen des Generators werden drei Wechselspannungen erzeugt, die jeweils um ϕ = 120° (oder 1/3 Periodendauer) gegeneinander verschoben sind. Die Summe der Spannungen ist in jedem Augenblick gleich null.
Spannungsverlauf beim Drehstrom
10.6. Wechselstromkreis
213
Aufbau
Im Drehstromgenerator werden im Ständer drei räumlich um 120° versetzte Spulen (Stränge) angebracht. Ein Polrad induziert bei einer konstanten Drehzahl in jedem Strang eine Wechselspannung. Diese drei Wechselspannungen haben gleiche Frequenz und gleiche Scheitelwerte.
Aufbau eines Drehstromgenerators Sternschaltung (Symbol Y)
Im Prinzip besteht ein Drehstromgenerator aus drei Stromkreisen mit 6 Leitungen. In der Sternschaltung wird die Zahl der Leiter von sechs auf vier reduziert, indem drei Leitungen in dem Sternoder Mittelpunkt zusammengeschaltet werden. Den elektrischen Leiter, der mit dem Sternpunkt verbunden ist, nennt man Mittel- oder Neutralleiter (N). Daneben gibt es drei Außenleiter (L1, L2, L3), die mit den Spulenenden verbunden sind. Zwischen diesen Außenleitern herrscht die Leiterspannung. Die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt ist die Sternspannung. Die Spannungen werden mit Indizes versehen. Bei der Sternschaltung ist die Leiterspannung um den Faktor 3 größer als die Sternspannung. Beim Vierleiternetz (L1, L2, L3 und N) haben die Leiter- und Sternspannungen die Effektivwerte von 400 V und 230 V. Man benutzt die Abkürzung: 3/N ~ 50 Hz 400/230 V. Die Haushalte werden zwischen einer Phase und dem Nullleiter geschaltet. Der Effektivwert der Netzspannung ist dann gleich der Sternspannung U = 230 V. Der Scheitelwert ist dann û = 230 V · 2 = 325 V. Warmwassergeräte oder Heizungsanlagen werden zwischen 2 Phasen geschaltet. Die effektive Spannung beträgt dann U = 400 V und der Scheitelwert û = 400 · 3 = 665 V.
Prinzip der Sternschaltung. Strang 1, 2 und 3 sind die Spulenpaare des Drehstrommotors.
Leiterspannungen:
U12 = U23 = U21
Sternspannungen:
U1N = U2N = U3N
Vierleiternetz (Effektivwerte): Leiterspannung = 400 V Sternspannung = 230 V Beispiel: Ein elektrisches Gerät kann an die Sternspannung (230 V, normales Haushaltsnetz) oder an die Leiterspannung (400 V) angeschlossen werden. Bei einem 2 kW-Gerät fließt dabei ein Strom von 8,7 A bzw. 5 A.
Werden die drei Windungssysteme eines Elektromotors ebenfalls sternförmig angeordnet und mit drei Phasen der Sternschaltung versorgt, so entsteht in ihrem Zentrum ein rotierendes Magnetfeld (Drehfeld). Große elektrische Motoren in der Industrie werden so geschaltet. Schaltung bei einem Drehstrommotor
214
10. Elektrizitätslehre
10.7. Elektromagnetische Schwingungen und Wellen In Schaltkreisen mit Induktivitäten, Kapazitäten und Ohm’schen Widerständen können elektrische Schwingungen auftreten, d.h. Spannungen und Ströme ändern sich periodisch. Mit diesen Schaltungen können auch elektromagnetische Wellen erzeugt werden.
10.7.1. Elektrischer Schwingkreis Gedämpfte Schwingungen
In einem Stromkreis, der aus einem Kondensator und einer Spule besteht, kann ein periodisch wechselnder Strom erzeugt werden. Der Kondensator mit der Kapazität C im Bild wird mit der Spannung U aufgeladen. Zwischen den Kondensatorplatten baut sich ein elektrisches Feld auf, in 1 dem die Energie W = CU 2 gespeichert ist. 2
Elektrischer Schwingkreis, Entladung eines Kondensators durch eine Spule
Danach wird ein Schalter umgelegt und der Kondensator mit der Spule verbunden. Es fließt ein Entladungsstrom, der durch die Induktivität der Spule begrenzt wird. Durch den Strom in der Spule baut sich ein Magnetfeld auf. Der Kondensator wird allmählich entladen und die elektrische Energie wird kleiner. Dafür hat sich das Magnetfeld in der Spule vergrößert. Die Energie aus dem Feld des Kondensators wurde auf das Magnetfeld in der Spule übertragen. Wenn der Kondensator weitgehend entladen ist, sinkt der Strom. Dadurch wird das Magnetfeld der Spule reduziert. Diese Änderung des magnetischen Flusses induziert eine Spannung und einen Strom, die entgegengesetzt zur ursprünglichen Richtung wirken. Der Kondensator wird wieder aufgeladen und ein neuer Zyklus der Schwingung beginnt.
In einem Schwingkreis pendelt die Energie zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld hin und her. Bei verlustfreien Kondensatoren und Spulen würde die Schwingung sehr lange anhalten. Reale Bauelemente haben jedoch Ohm’sche Verluste. Dadurch wird die Energie in den Leitern und Bauelementen nach und nach in Wärme umgewandelt. Der Schwingung wird Energie entzogen und sie klingt ab. Man bezeichnet diesen periodischen Vorgang als gedämpfte elektromagnetische Schwingung.
Schritte während der Schwingung: Übertragung der Energie aus dem Kondensator auf die Spule
Darstellung der Schwingung mit einem Oszilloskop
Gedämpfte elektrische Schwingung
10.7. Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
215
Führt man dem Schwingkreis periodisch Energie zu, entsteht eine ungedämpfte Schwingung. Frequenz der Schwingung
Der Schwingkreis ist in sich geschlossen und Kondensator und Spule werden vom gleichen Strom durchflossen. Beide Bauelemente sind direkt miteinander verbunden. Damit ist die Spannung an Kondensator und Spule gleich. Wenn Strom und Spannung gleich sind, ist auch der Widerstand (Impedanz) von Kondensator 1 und Spule ω L gleich. Durch Gleichsetzen ωC erhält man die Kreisfrequenz ω und die Frequenz f : 1 = ωL ωC Die Schwingung ist sinusförmig. Die Gleichung für die Frequenz f setzt voraus, dass sich im Schwingkreis keine Widerstände befinden oder andere Ohm’sche Verluste auftreten. Befinden sich Widerstände im Schwingkreis, ändert sich die angegebene Gleichung für die freie Schwingung.
Frequenz f eines Schwingkreises:
ω=
1 LC
f =
1 2 ʌ LC
ω, f L C 1 s
H F
Beispiel: Ein Schwingkreis mit einem Kondensator von 100 pF und einer Spule mit 50 μH hat eine Frequenz von f =
1 2ʌ
1 = 2, 25 MHz LC
Ungedämpfte Schwingungen
Die Ohm’schen Verluste im Schwingkreis können durch periodische Energiezufuhr ausgeglichen werden. Dadurch kann in einer elektronischen Schaltung eine ungedämpfte Schwingung angeregt werden. Im Bild ist das Prinzip der Rückkopplung oder Selbsterregung dargestellt. Das Magnetfeld der Spule mit der Induktivität L des Schwingkreises induziert in einer zweiten Spule eine Spannung. Diese wird mit einem Verstärker (oder Transistor) verstärkt. Die Ausgangsspannung des Verstärkers wird dem Schwingkreis phasengleich mit der Schwingung zugeführt. Dadurch entsteht eine ungedämpfte sinusförmige Wechselspannung. Die Frequenz f wird durch die Induktivität L und die Kapazität C bestimmt: f = 1/(2 π LC ). Die Erzeugung von Sinusspannungen oder -strömen mit verschiedenen Frequenzen beruht auf dem Prinzip der Rückkopplungsschaltung.
•
Aufgabe 422
Erzeugung einer elektrischen Schwingung (Wechselspannung) in einem Schwingkreis mit Rückkopplung
216
10. Elektrizitätslehre
10.7.2. Elektromagnetische Wellen Zeitveränderliche elektrische und magnetische Felder sind untrennbar miteinander verbunden und sie erzeugen sich gegenseitig. Beim elektrischen Schwingkreis treten abwechselnd ein elektrisches und ein magnetisches Feld als Energieträger auf. Um die elektrischen und magnetischen Felder in den Raum abzustrahlen, biegt man die Platten des Kondensators eines Schwingkreises auseinander. Das Bild zeigt, wie man von einem geschlossenen zu einem offenen Schwingkreis kommt. Das elektrische Feld geht von der positiv geladenen Platte des Kondensators zur negativen und es erfüllt die ganze Umgebung des Schwingkreises. Auch das magnetische Feld der Induktivität greift in den Raum hinaus. Für hohe Frequenzen müssen Kapazität C und Induktivität L des Schwingkreises verkleinert werden. Die Fläche des Kondensators wird so weit reduziert, dass ein einfacher Draht übrig bleibt. Da auf einem Draht auch Ladungen gespeichert werden können, hat auch er eine (kleine) Kapazität. Der Draht stellt zwar keine Spule dar, aber er besitzt auch eine Induktivität. Ähnlich wie bei einer Spule wird auch von einem stromdurchflossenen Draht ein Magnetfeld um ihn herum erzeugt. Er stellt somit eine Antenne für elektromagnetische Wellen dar. In der Mitte des Drahtes wird die Wechselspannung zur Anregung angelegt. Diese Anordnung wird Dipol-Antenne genannt.
Übergang von einem geschlossenen zu einem offenen Schwingkreis
Übergang von einem offenen Schwingkreis zu einem Dipol
Zur Erzeugung einer elektromagnetischen Welle wird eine hochfrequente Spannung an eine Antenne gelegt. In der Antenne bewegen sich die Elektronen periodisch hin und her, sodass ein schwingender elektrischer Dipol entsteht. Diese schwingenden Elektronen sind die Ursache für die Abstrahlung einer elektromagnetische Welle. Im Bild können die Abstrahlung der Welle und die dabei vorhandenen elektrischen und magnetischen Felder verfolgt werden. Im ersten und zweiten Teilbild trägt das obere Ende eine positive das untere eine negative Ladung. Es breiten sich elektrische Feldlinien von plus nach minus aus. Zusätzlich entsteht durch den Strom in der Antenne ein kreisförmiges Magnetfeld.
Darstellung der elektrischen und magnetischen Feldlinien in der Nähe eines Dipols (Nahfeld).
10.7. Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
217
Im vierten und fünften Teilbild schnürt sich das elektrische Feld von der Antenne ab. Die elektrischen und magnetischen Feldlinien bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit von der Antenne weg. In Richtung der Antenne ist die abgestrahlte elektrische Feldstärke gleich null. Die elektrische Feldstärke steht parallel zum Dipol. Man nennt diese Ausrichtung der Schwingungsebene lineare Polarisation. Die magnetische Feldstärke steht rechtwinklig zum Dipol. Nebenstehendes Bild zeigt die elektrische (E) und magnetische (H) Feldstärke in einiger Entfernung vom Dipol, im sogenannten Fernfeld. Elektromagnetische Wellen breiten sich im freien Raum (Vakuum) mit der Lichtgeschwindigkeit c0 = 300 000 km/s = 3 · 108 m/s aus. Die Lichtgeschwindigkeit kann durch die elektrische (ε0) und magnetische Feldkonstante (μ0) ausgedrückt werden. Die Wellenlänge λ einer elektromagnetischen Welle ist durch die Frequenz f und die Lichtgeschwindigkeit c0 gegeben.
Darstellung der elektrischen (E) und magnetischen (H) Feldlinien weit weg vom Dipol (Fernfeld). Die Ausbreitung erfolgt in Richtung der z-Achse
Lichtgeschwindigkeit c0: m c0 = 3 ⋅ 108 s 1 As c0 = ε 0 = 8,854 ⋅ 10−12 Vm ε 0 μ0
μ0 = 4 π ⋅ 10 −7
λ=
c0 f
f =
c0
λ
Vs Am
λ
c0
f
m
m s
1 s
Beispiel: Eine Ultrakurzwelle mit 92 MHz hat eine Wellenlänge von
λ=
c0 = 3, 26 m. f
Elektromagnetisches Spektrum
Das Spektrum der elektromagnetischen Wellen umfasst nicht nur die Bereiche der Elektronik, sondern auch die der Wärmestrahlung, Optik, Röntgentechnik und Kernphysik (Abschnitt 9.1.1). Bei kurzen Wellenlängen um 10–11 m treten elektromagnetische Wellen als γ -Strahlen auf. Daran schließen sich die Röntgenstrahlen mit etwa 10–9 m. Bei dieser Art von Strahlung zeigt sich neben der Welleneigenschaft besonders stark der Teilchencharakter der Strahlung. Es treten γ -Teilchen oder γ -Quanten auf. Zwischen dem Röntgenbereich und der sichtbaren Strahlung liegt der Bereich der ultravioletten Strahlung. Das sichtbare Licht ist auch eine elektromagnetische Welle. Der Sehbereich beginnt bei kurzen Wellen von 380 nm im Violetten und er endet bei 780 nm im Roten. Dazwischen liegen die Spektralfarben blau, grün, gelb und orange. Größere Wellenlängen (ab 760 nm) hat die infrarote Strahlung oder die Wärmestrahlung. Dieser Bereich endet bei einer Wellenlänge von etwa 0,1 mm. Anschließend kommen Mikrowellen (mm, cm), Ultrakurzwellen (m), Kurzwellen (bis 100 m), Mittelwellen (bis 1 km), Langwellen (bis 10 km) und der Bereich der technischen Wechselströme.
218
10. Elektrizitätslehre
10.7.3. Nachrichtenübertragung Man kann sich vorstellen, dass das einfachste Verfahren zur Übertragung von Schall mit elektromagnetischen Wellen darin besteht, dass man die Information mit einem Mikrophon niederfrequente elektrische Spannungen (NF) umwandelt. Die Spannung wird dann mit Hilfe eines Transformators an eine Antenne gelegt und abgestrahlt. In der Praxis ist dieses Verfahren nicht durchführbar, da niederfrequente elektromagnetische Wellen eine nur sehr geringe Reichweite haben. Außerdem können verschiedene Sender nicht voneinander getrennt werden. In der Praxis benutzt man zur Übertragung von Information hochfrequente elektromagnetische Schwingungen (HF). Bei UKW wird eine Frequenz um 100 MHz eingesetzt, während die Sprache und Musik niedrige Frequenzen (NF) bis nur 20 kHz aufweist. Die HF-Welle des Senders wird mit der Niederfrequenz moduliert. Bei UKW findet eine Modulation der Sendefrequenz statt, d.h. die 100 MHz des Senders schwanken mit der Tonfrequenz.
Eine drahtlose Übertragung von niederfrequenten Signalen NF (z.B. Sprache) ist in der Praxis nicht möglich
Schematischer Aufbau eines Radiosenders
Einfacher zu verstehen ist die Amplitudenmodulation. Dabei wird die Hochfrequenz mit der Niederfrequenz direkt moduliert. Dieses Verfahren wird im Bereich der Mittelwelle eingesetzt. Mittelwelle wird auf englisch mit AM (= amplitude modulation) genannt, während UKW als FM (= frequency modulation) bezeichnet wird. Prinzip der Amplitudenmodulation
Am Empfänger wird das modulierte HF-Signal mit Hilfe einer Antenne als kleine Wechselspannung nachgewiesen. Diese wird mit einem HF-Verstärker vergrößert. Danach wird die HF-Spannung demoduliert. Bei der Amplitudenmodulation wird dafür einfach die HF-Spannung gleich gerichtet, sodass nur noch die NF-Spannung übrig bleibt. Danach geht das Signal über einen Verstärker auf einen Lautsprecher.
Schematischer Aufbau eines Empfängers
10.8. Stromleitung in Vakuum, Gasen und Flüssigkeiten
219
10.8. Stromleitung in Vakuum, Gasen und Flüssigkeiten Bei vielen Bauelementen und Geräten der Elektronik treten Ströme in Vakuum, Gasen und Flüssigkeiten auf. Ströme in Metallen wurden in Abschnitt 10.2.1. beschrieben. Besonders wichtig ist die Stromleitung in Halbleitern, die in Kapitel 10.9. nachzulesen sind.
10.8.1. Ströme im Vakuum Elektronenströme im Vakuum können durch die Glühemission aus einer Glühkathode erzeugt werden. Die Glühkathode besteht aus einem elektrisch geheizten Draht. Durch die hohe Temperatur gewinnen einige Elektronen eine so hohe thermische Energie, dass sie aus der Oberfläche ins Vakuum heraustreten. Der Vorgang ähnelt dem Verdampfen von Materialien bei hohen Temperaturen. Die Elektronen werden im elektrischen Feld durch Anlegen einer Spannung beschleunigt und stehen so für technische Anwendungen zur Verfügung. Die Energie W eines Elektrons ist durch die Beschleunigungsspannung U und die Elementarladung e gegeben.
Energie W eines Elektrons: W = eU
e = 1,602 · 10–19 C
W
e U
J
C V
Oszilloskop
Durchläuft ein Elektronenstrahl das homogene (gleichmäßige) elektrische Feld zwischen zwei parallelen Platten, so wie im Bild gezeigt, wird der Strahl in Richtung des + Pols abgelenkt. Der Strahl nimmt eine parabelförmige Bahnkurve ein. Nach Verlassen des elektrischen Feldes ist die Bahn wieder eine Gerade. Diese Anordnung dient zum Ablenken von Elektronenstrahlen, z.B. im Oszilloskop. In der Röhre eines Oszilloskops wird ein Elektronenstrahl mit einer Glühkathode erzeugt und durch eine Spannung beschleunigt. Die Spannung liegt zwischen der Kathode und einer Lochblende, durch die der beschleunigte Strahl hindurchtritt. Danach kann der Strahl durch zwei gekreuzte Plattenpaare in x- und y-Richtung abgelenkt werden. In der Regel liegt an der Horizontalablenkung eine sägezahnförmige Kippspannung, die den Strahl strichförmig von links nach rechts bewegt. Die Rückbewegung erfolgt ruckartig in einer vernachlässigbar kurzen Zeit, in der die Sägezahnspannung auf den Anfangswert abfällt.
Bahnkurve eines Elektronenstrahls in einem elektrischen Feld mit der Feldstärke E
Aufbau eines Oszilloskops
220
10. Elektrizitätslehre
Das zu untersuchende Messsignal wird an die Vertikalablenkung gelegt. Mit dem Oszilloskop können schnell veränderliche Spannungssignale auf dem Leuchtschirm sichtbar gemacht werden. Fernsehröhre
Die Ablenkung eines Elektronenstrahls kann auch durch ein Magnetfeld erfolgen. Trifft ein Strahl rechtwinklig auf die magnetischen Feldlinien, so tritt eine Kraft rechtwinklig zum Feld und zur Bewegungsrichtung auf (Lorentz’sche Kraft). Beim Fernseher wird ein Elektronenstrahl zeilenförmig über einen Leuchtschirm geführt. Die Zeilenablenkung wird mit einem magnetischen Ablenksystem erreicht. Das elektrische Bildsignal moduliert die Beschleunigungsspannung und damit die Leistung des Elektronenstrahls. Das Fernsehbild wird mit einer Wiederholfrequenz von 50 Hz auf den Leuchtschirm geschrieben, der bei Elektronenbeschuss aufleuchtet. Ein Fernsehbild hat ungefähr 600 Zeilen. Beim Farbfernsehen werden 3 Bilder in rot, grün und blau auf dem Bildschirm gemischt. Dafür ist der Schirm mit drei farbig leuchtenden Stoffen punktförmig belegt. Durch eine Lochmaske werden beim roten Bild nur die roten Punkte, beim blauen Bild nur die blauen Punkt usw. getroffen.
Ablenkung eines Elektronenstrahls quer zu einem Magnetfeld mit der Flussdichte B
Aufbau einer Fernsehröhre (es wird nur das Spulenpaar für die horizontale Ablenkung gezeigt)
10.8.2. Ströme in Gasen Gase sind im normalen Zustand Nichtleiter. Bei selbstständigen Gasentladungen wird beim Zünden der Entladung mindestens ein Atom ionisiert, d.h. ein Elektron wird aus dem Atomverband herausgelöst. Dieses Elektron wird im elektrischen Feld beschleunigt und kann weitere Atome ionisieren. Der Prozess setzt sich fort und es entsteht eine Stoßionisation. Das Gas ist somit leitend geworden (Plasma), da viele freie Elektronen vorhanden sind. Leuchtstoffröhren
Gasentladungen werden in der Beleuchtungstechnik eingesetzt. Die Funktion einer Leuchtstoffröhre ist im Schaltbild dargestellt.
Stoßionisation bei einer Gasentladung
10.8. Stromleitung in Vakuum, Gasen und Flüssigkeiten Die Induktivität (Drossel) dient einerseits zur Begrenzung des Entladungsstroms durch seine Impedanz und andererseits im Zusammenspiel mit dem Starter zur Zündung der Entladung. Beim Einschalten der Lampe wird der Starter kurzgeschlossen. Damit fließt ein Strom durch die beiden Elektroden, die erhitzt werden. Dadurch wird der Dampfdruck (Quecksilberdampf) so weit erhöht, dass beim Öffnen des Starters die Entladung gezündet wird. Die Zündung erfolgt durch einen hohen Spannungspuls in der Drossel, der beim Öffnen des Starters durch Selbstinduktion entsteht.
Schaltung einer Leuchtstoffröhre
Leuchtstoffröhren sind mit Quecksilberdampf gefüllt. Durch die Elektronen in der Entladung werden die Atome zur Lichtemission angeregt. Die Strahlung von Quecksilber liegt hauptsächlich im ultravioletten Bereich (UV). Durch Leuchtstoffe an der Innenwand der Röhre wird diese Strahlung in sichtbares Licht umgesetzt. Bei normalen Leuchtstoffröhren besteht das Entladungsrohr aus Glas, das für UV undurchlässig ist. Für Röhren in Sonnenstudios wird Quarzglas verwendet, das UV durchlässt. Auf den Leuchtstoff der Innenwand wird verzichtet.
Gaslaser
In Gaslasern (Argon-, HeNe-, CO2-Laser) entsteht das Licht auch in einer Gasentladung. Es gelten spezielle Bedingungen: (1) In der Gasentladung müssen die Elektronen die Atome so speziell anregen, dass die entstehende Strahlung nicht wieder absorbiert wird (siehe Abschnitte 11.3 und 10.9.6). (2) Ein großer Teil der entstehenden Laserstrahlung wird durch zwei axial angeordnete Spiegel in das Entladungsrohr rückgekoppelt. Unter diesen Voraussetzungen entsteht ein neuer Emissionsprozess: erzwungene oder stimulierte Emission. Der Laserstrahl breitet sich als nahezu paralleles Strahlenbündel aus. Die Lasertechnik findet Anwendungen z.B. in der Optik, Materialbearbeitung, Medizin und Nachrichtentechnik.
Prinzip eines Gaslasers
221
222
10. Elektrizitätslehre
10.8.3. Leitung in Flüssigkeiten Die Leitung in Metallen und Halbleitern erfolgt durch Elektronen. In Flüssigkeiten wird der Strom durch Ionen getragen. Von Bedeutung sind wässrige Lösungen von Salzen, Basen oder Säuren, die Elektrolyte genannt werden. Elektrolyse
In Elektrolyten zerfallen chemische Verbindungen in lonen. Ein Beispiel ist das Lösen von Kochsalz in Wasser: NaCI spaltet sich in Na+ und Cl–. Beim Anlegen einer Spannung an zwei Elektroden in einem Elektrolyten bewegen sich die positiven Ionen (Kationen) zur negativen Elektrode (Kathode) und die negativen lonen (Anionen) zur positiven Elektrode (Anode). Beim Galvanisieren wird als Elektrolyt ein Metallsalz verwendet (z.B. Silbernitrat). Die Metallionen wandern zur Kathode und werden dort als dünne Metallschicht abgeschieden.
Elektrolyse am Beispiel von NaCl
Primärelemente
Das Leclanché-Element wird als Batterie mit 1,5 V benutzt. Der Elektrolyt besteht aus eingedickter Salmiaklösung, die Elektroden aus Zink und Kohle oder Braunstein. Bei der Entladung der Batterie gehen Zinkionen (Zn++) eines Zinkbechers in Lösung, wobei zwei Elektronen an den Stromkreis abgegeben werden.
Aufbau einer Batterie (Primärelement)
Sekundärelemente
Im Gegensatz zu den Primärelementen sind Sekundärelemente aufladbar. Beim Blei-Akkumulator dient verdünnte Schwefelsäure als Elektrolyt. Im geladenen Zustand besteht die positive Elektrode aus Bleioxid (PbO2), die negative aus Blei (Pb). An der negativen Elektrode (Kathode) löst sich beim Entladen Pb in der Schwefelsäure zu PbSO4: Pb + SO24 − = PbSO4 + 2e–. Dabei werden zwei Elektronen an die Kathode abgegeben. Bei beiden Elektronen können durch einen äußeren Stromkreis transportiert und an der positiven Elektrode (Anode) abgegeben werden. Dort läuft die Umwandlung von PbO2 zu PbSO4. Beim Ladevorgang wird mit einem Ladegerät ein äußerer Strom in den Akku eingespeist.
Blei-Akkumulator: a) Entladung, b) Aufladung
10.9. Halbleiterbauelemente Damit läuft die umgekehrte Reaktion ab. Die Zelle eines Akkus erzeugt eine Spannung von etwa 2 V. Zur Erhöhung der Spannung werden mehrere Zellen in Reihe geschaltet. 1 kg Masse eines Akkus kann etwa 32 Wh speichern.
Brennstoffzellen
Bei der Oxydation von Wasserstoff entsteht Wasser. Die dabei frei werdende Energie kann in Brennstoffzellen direkt in elektrische Energie umgewandelt werden. An der positiven Anode wird Sauerstoff zugeführt, der katalytisch in OH–-lonen übergeführt wird. Dabei wird ein Elektron (e–) aufgenommen. Die Ionen wandern durch den Elektrolyten (Kalilauge) zur Kathode, an der Wasserstoff eingeleitet wird. An der Kathode wird katalytisch H+ erzeugt, wobei ein Elektron abgegeben wird. Dieses Elektron wandert als Strom durch einen Verbraucher zur Anode. Eine direkte Erzeugung von Strom durch chemische Reaktionen ist auch mit anderen Brennstoffzellen möglich.
223 Entladen: Kathode: Pb + SO 24 − = PbSO4 + 2 e– Anode: PbO2 + H2SO4 + 2 e– + 2 H + = PbSO4 + 2 H2O Beispiel: An einem Akkumulator mit 100 Wh wird eine Glühlampe mit 5 W angeschlossen. Die Lampe kann 20 h lang betrieben werden.
Prinzip einer Brennstoffzelle
10.9. Halbleiterbauelemente Die Materialien der Elektronik werden je nach spezifischem Widerstand in Leiter, Halbleiter und Isolatoren eingeteilt: Leiter: spezifischer Widerstand zwischen 10–10 und 10–5 Ωm; Halbleiter: spezifischer Widerstand zwischen 10–5 und 107 Ωm; Isolatoren: spezifischer Widerstand zwischen 107 und 1018 Ωm.
10.9.1. Bändermodell Atome bestehen aus einem Atomkern, der von Elektronen umkreist wird. Die Elektronen bewegen sich auf festen Bahnen mit ganz bestimmten Energiewerten oder Energieniveaus. Im Niveauschema werden diese als waagerechte Striche dargestellt, die die Energie eines Elektrons um das Atom angeben. Das unterste Niveau ist der Grundzustand des Atoms, in dem sich das Elektron normalerweise befindet. Die atomaren Elektronen können durch Energiezufuhr in höhere Bahnen oder auf die im Bild dargestellten höheren Niveaus gehoben werden. Bei großen Energien werden die Elektronen von den Atomen losgelöst; die Atome werden ionisiert.
Energiezustände in Atomen und Festkörpern
224
10. Elektrizitätslehre
In Festkörpern verbreitern sich diese Niveaus und es entstehen Energiebänder. Diese Bänder kennzeichnen die möglichen Energien der Elektronen im Festkörper. Zwischen den Bändern tritt eine Bandlücke auf. Elektronen können sich nicht in der Bandlücke aufhalten. Das Valenzband ist normalerweise mit Elektronen voll besetzt und die Elektronen können sich nicht frei bewegen. Dagegen ist das Leitungsband nicht oder nur teilweise mit Elektronen besetzt. Die Elektronen sind hier frei beweglich und es kann ein elektrischer Strom fließen.
Isolatoren, Halbleiter, Leiter
Bei Isolatoren sind das Valenz- und Leitungsband durch eine relativ große Energielücke (über 3 eV = 3 Elektronenvolt) getrennt. Es befinden sich keine Elektronen im Leitungsband und es kann kein Strom fließen. Der elektrische Widerstand ist sehr groß. Bandstruktur von Isolatoren
Bei Halbleitern ist der Abstand zwischen Valenz und Leitungsband klein (weniger als 3 eV). Bei tiefen Temperaturen (in der Nähe des absoluten Nullpunkts) verhalten sich reine Halbleiter wie Isolatoren, da sich keine Elektronen im Leitungsband befinden. Bei Temperaturen darüber haben die Elektronen eine thermische Energie und sie stoßen häufig gegeneinander. Durch Stöße gelangen sie in das Leitungsband. Der elektrische Widerstand nimmt daher mit steigender Temperatur stark ab. Dieser Effekt wird in den NTCWiderständen (NTC = negative temperature coefficient) zur Messung der Temperatur ausgenutzt. Bei Metallen (Leitern) überlappen sich Valenzund Leitungsband. Damit sind die metallischen Elektronen sehr beweglich und es kann ein elektrischer Strom fließen. Der elektrische Widerstand bei Metallen nimmt mit der Temperatur leicht zu. Dies liegt daran, dass durch die thermische Energie die Zahl der Stöße mit den Atomen im Metall zunimmt, wodurch die Beweglichkeit der Elektronen beim Anlegen einer Spannung erschwert wird.
Bandstruktur von Halbleitern
Bandstruktur von Metallen
10.9. Halbleiterbauelemente
225
10.9.2. Dotierte Halbleiter Die vierwertigen Elemente Silizium (Si) und Germanium (Ge) sind die wichtigsten Halbleiter. Jedes Atom hat vier Nachbaratome, die durch Elektronenpaarbindung (kovalente Bindung) zusammengehalten werden. Bei der kovalenten Bindung werden Elektronenpaare von benachbarten Atomen gemeinsam genutzt. Dadurch ist jedes Atom von 8 Elektronen umgeben. Auf die Schale von Silizium passen genau 8 Elektronen und sie ist damit für jedes Atom aufgefüllt. Eigenleitung
Die reinen Halbleiter Si oder Ge besitzen nur gebundene Elektronen und volle Schalen. Das Valenzband ist vollständig gefüllt. Bei tiefen Temperaturen sind diese Materialien Isolatoren. Durch thermische Energie werden jedoch einzelne Bindungen aufgebrochen. Im Bändermodell werden dadurch Elektronen vom Valenz- ins Leitungsband gehoben. Damit kann bei Anlegen einer Spannung ein Strom fließen. Im atomaren Bild bedeutet dies, dass sich ein Elektron von den Atomen löst und als Strom durch den Kristall wandern kann. Beim Stromtransport in Halbleitern treten zwei Mechanismen auf: (1) Die Elektronen bewegen sich im Leitungsband auf den Pluspol zu. (2) Im Valenzband sind Plätze für Elektronen frei geworden, die Defektelektronen oder positive Löcher genannt werden. An der Stelle eines fehlenden Elektrons ist das Ladungsgleichgewicht im Material gestört und die positive Kernladung überwiegt. Durch die positiven Löcher kann ebenfalls Strom transportiert werden. Dies geschieht dadurch, dass benachbarte Elektronen das Loch auffüllen. Dabei wandert das positive Loch zum Minuspol. Strom in Halbleitern: Elektronen wandern zum Pluspol (n-Leitung), positive Löcher zum Minuspol (p-Leitung). Störstellenleitung
Wird die regelmäßige Kristallstruktur eines Halbleiters durch Fremdatome gestört, kann die Leitfähigkeit beträchtlich erhöht werden.
Eigenleitung: a) Atomare Darstellung, b) Bändermodell
226
10. Elektrizitätslehre
Besonders wichtig ist der kontrollierte Einbau (Dotierung) 3- und 5-wertiger Atome in Silizium. Dabei entsteht n- und p-Leitung. n-Leitung
Silizium und Germanium sind 4-wertig und freie Elektronen existieren bei tiefen Temperaturen nicht. Setzt man beim Herstellen der Si-Kristalle aus der Schmelze 5-wertige Atome hinzu (Phosphor, Arsen, Antimon), können nur 4 Elektronen zur Paarbildung beitragen. Das fünfte Außenelektron des Fremdatoms wird nur sehr schwach gebunden, sodass es bei Zimmertemperatur im Leitungsband praktisch frei ist. Das Außenelektron wird also abgegeben. Daher werden die Fremdatome Donatoren genannt. Durch Dotieren mit 5-wertigen Atomen, z.B. Arsen, werden die Zahl der freien Elektronen im Material und die Leitfähigkeit erhöht. Im Bändermodell wird die Dotierung durch kleine Striche kurz unterhalb des Leitungsbandes symbolisch dargestellt. Das Elektron befindet sich praktisch im Leitungsband. Strom wird durch die negativen Elektronen geleitet (n-Leitung), die durch die 5-wertigen Atome (z.B. As) freigesetzt werden. Die Leitfähigkeit kann durch die Dotierung genau gesteuert werden.
n-Leitung: a) Atomare Darstellung, b) Bändermodell
p-Leitung
Verwendet man zur Dotierung 3-wertige Atome (Bor, Aluminium, Gallium, Indium), so fehlt bei der Paarbildung ein Elektron. Dadurch kann ein anderes Elektron aus der Umgebung an dieser Störstelle gebunden werden, wie im Bild am Beispiel eines Bor-Atoms gezeigt ist. Die 3-wertigen Fremdatome heißen Akzeptoren, da sie ein Elektron aufnehmen können. Beim Auffüllen des Loches am Bor-Atom fehlt aber ein Elektron an einem anderen Atom. Dort entsteht ein Defektelektron oder positives Loch. Bei Anlegen einer Spannung wandert das positive Loch zum Minuspol. Bei der p-Leitung entsteht der Strom durch die Bewegung der positiven Löcher zum Minuspol. Im Bändermodell wird der Akzeptor durch eine kleinen Strich kurz über dem Valenzband symbolisch dargestellt.
p-Leitung: a) Atomare Darstellung, b) Bändermodell
10.9. Halbleiterbauelemente
227
10.9.3. pn-Übergang Die bipolare Halbleitertechnik beruht auf den Eigenschaften von pn-Übergängen. Bipolar bedeutet, dass zur Leitung zwei Arten von Ladungsträgern beitragen: Elektronen und positive Löcher, p- und n-Leitung. Im Bild ist ein pnÜbergang dargestellt, dessen Dotierung sich innerhalb weniger Atomabstände von p nach n ändert. Die Donatoren werden mit einem + gekennzeichnet, da sie nach Abgabe eines Elektrons eine positive Ladung darstellen. Dem entsprechend werden die Akzeptoen mit einem – dargestellt, da sie nach Aufnahme eines Elektrons (oder nach Abgabe eines positiven Loches) negativ geladen sind. Die grauen Flächen stellen die beweglichen Ladungsträger, die positiven Löcher oder Elektronen dar. In Bereichen der grauen Fläche im Bild ist das Material elektrisch ungeladen. Im Gedankenexperiment stellt man sich vor, dass zunächst zwei getrennte p- und n-Halbleiter vorhanden sind (Bild a). Diese werden in Bild b zusammengefügt. Im n-Leiter befinden sich freie Elektronen, die in den p-Bereich diffundieren. Dabei füllen sie die positiven Löcher auf und damit sind keine freien Ladungsträger mehr vorhanden. Der weiße Randbereich in der p-Zone ist damit negativ aufgeladen. Dagegen ist der weiße Randbereich in der n-Zone positiv geladen, da die freien Elektronen in den p-Bereich weggeströmt sind. An der Grenze der pn-Schicht entstehen damit negativ und positiv geladene Zonen. Die p-Seite ist negativ geladen, die n-Seite positiv. Es entsteht eine Diffusionsspannung UD von ungefähr 0,5 V. Im Bändermodell wird das pBand um die Energie e UD angehoben. Die Energie ist gleich Ladung mal Spannung, wobei hier e die Ladung eines Elektrons (= Elementarladung) ist. Legt man nach Bild a an die p-Seite eine negative und an die n-Seite eine positive Spannung U an, werden die Elektronen zum Pluspol und die negativen Löcher zum Minuspol gezogen. Die ladungsfreie Zone (weißer Bereich) wird breiter. Im Bändermodell wird das p-Niveau noch weiter nach oben verschoben, insgesamt um e (UD + U). Ein Strom kann nicht fließen. Der pn-Übergang ist in Sperrrichtung geschaltet.
Eigenschaften einer pn-Schicht: a) getrennte p- und n-Leiter, b) verbundene pn-Schicht ohne äußere Spannung Symbole: – = Akzeptoren, + = Donatoren, grauer Bereich = positive Löcher oder Elektronen, weißer Bereich = positive oder negative Raumladungszone
Eigenschaften einer pn-Schicht: a) Spannung in Sperrrichtung, b) Spannung in Durchlassrichtung
228
10. Elektrizitätslehre
Polt man nach Bild b die Spannung U um, werden die Elektronen in den p-Bereich gezogen. Die ladungsträgerfreie Zone wird schmaler und verschwindet bei Spannungen zwischen U = 0,5 V und 1 V. Der Strom steigt steil mit der Spannung an. Der pn-Übergang ist in Durchlassrichtung geschaltet. Im Bändermodell liegt das p-Niveau nun nur noch um e (UD – U) über dem n-Niveau. Diode
Eine Diode stellt einen pn-Übergang dar. Das Verhalten von Dioden wird im Spannungs-StromDiagramm dargestellt (Kennlinie). Bei einer Silizium-Diode liegt in Durchlassrichtung eine Spannung zwischen U = 0,5 V und 1 V und es fließt ein hoher Strom. In Sperrrichtung dagegen ist der Strom bis zu einer Spannung von etwa 100 V praktisch gleich null.
a) Kennlinie und b) Symbol einer Si-Diode
Die Diode wird zur Gleichrichtung von Wechselspannungen eingesetzt. Eine einfache Schaltung wird im Bild gezeigt. Die Wechselspannung wird durch einen Transformator auf die gewünschte Höhe gebracht. Bei der positiven Halbwelle der Wechselspannung ist die Diode in Durchlassrichtung geschaltet. Es fließt ein Strom durch den Verbraucher und es tritt eine Spannung auf. Bei der negativen Halbwelle ist die Diode in Sperrrichtung geschaltet. Es fließt kein Strom und die Spannung ist gleich null. Es treten also nur Strom und Spannung in einer Richtung auf. Die Glättung der Kurvenverläufe kann durch Kondensatoren oder Schaltungen mit mehreren Dioden (Brückenschaltung) erfolgen.
Gleichrichterschaltung
10.9.4. Transistor Der Transistor ist ein Bauelement zur Steuerung oder Verstärkung von elektrischen Strömen. Ein kleiner Strom, der Signale tragen kann, wird verstärkt. Der bipolare Flächentransistor besteht aus zwei pn-Übergängen in der Reihenfolge npn oder pnp. Die mittlere Schicht ist sehr dünn, etwa 1 μm. Die Wirkungsweise wird an einem npn-Transistor beschrieben. Die verschiedenen Schichten werden wie folgt bezeichnet:
Symbol für einen a) npn- und b) pnpTransistor (E = Emitter, B = Basis, K = Kollektor
10.9. Halbleiterbauelemente
229
Emitter (n-Schicht, von der die Elektronen ausgehen), Basis (p-Schicht) und Kollektor (nSchicht, an der die Elektronen gesammelt werden). Das System besteht aus zwei Dioden mit den Grenzflächen (1) (= Emitter-Basis-Diode) und (2) (= Basis-Kollektor-Diode). Basisschaltung (Funktion)
Die Grenzschicht (2) wird in Sperrrichtung geschaltet (am Kollektor eines npn-Transistors liegt eine positive Spannung UCB), sodass kein Strom fließen kann. Dagegen wird die Grenzschicht (1) in Durchlassrichtung geschaltet (am Emitter liegt eine negative Spannung UBE). Damit sollte ein großer Emitter-Basis-Strom fließen. Die Basis ist jedoch so dünn, dass nahezu alle Elektronen (um 95 %) durch die Basis hindurchlaufen. Sie werden von der positiven Spannung des Kollektors angezogen. Der Strom, der eigentlich zur Basis fließen sollte, wird auf den Kollektor gelenkt, da die Basis sehr dünn ist.
Beschreibung des Transistoreffekts am Beispiel des npn-Transistors in Basisschaltung: a) Aufbau, b) Schaltung
Der Kollektorstrom IC wird durch die EmitterBasis-Spannung UEB oder den sehr kleinen Basisstrom IB gesteuert. Man unterscheidet die drei Grundschaltungen Basis-, Emitter- und Kollektorschaltung, je nachdem welcher Teil auf dem Grundpotential liegt. Basisschaltung (Anwendung)
Die Basisschaltung wurde dazu benutzt, den Transistoreffekt zu erklären. Bei der Basisschaltung liegt am Eingang zwischen Emitter und Basis eine Spannung UBE von ungefähr 0,7 V. Dieser Wert entspricht der Durchlassspannung einer Diode. Beim npn-Transistor fließen die Elektronen vom Emitter in Richtung der Basis, wo eine Aufteilung in den geringen Basisstrom IB und den Kollektorstrom IC stattfindet. Emitterstrom IE und IC sind nahezu gleich. Für die Stromverstärkung in der Basisschaltung, die mit VI oder A abgekürzt wird, ergibt sich ein Wert etwas unter eins: VI = A = IC/IE.
Eine Verstärkung der Spannung kommt dadurch zustande, dass ein kleiner Eingangswiderstand (Diode in Durchlassrichtung) und ein großer Aus-
Grundschaltung des npn-Transistors: Basisschaltung
Stromverstärkung VI in Basisschaltung: VI = A =
IC ≈ 0,9...0,995 IE
Spannungsverstärkung VU: VU ≈ 103 – 104
VU 1
VI, A IC, IE 1
A
230
10. Elektrizitätslehre
gangswiderstand (Diode in Sperrrichtung) von praktisch dem gleichen Strom durchflossen wird. Emitterschaltung
Der Emitterstrom IE, der etwa gleich dem Kollektorstrom IC ist, wird durch den kleinen Basisstrom IB gesteuert. Dabei wird wieder die Abkürzung A = IC/IE benutzt. Der Emitterstrom teilt sich in den Kollektor- und Basisstrom auf. Für den Basisstrom erhält man damit: IB = IE – IC.
Grundschaltung des npn-Transistors: Emitterschaltung
Die Stromverstärkung in der Emitterschaltung ist definiert als: VI = IC/IB. Für die Spannungsverstärkung VU ergibt sich ein ähnlicher Wert.
1
Die Emitterschaltung ist universell zum Verstärken von Strom, Spannung und Leistung einsetzbar.
Stromverstärkung VI in Emitterschaltung: VI =
I A = C ≈ 103...104 A − 1 IB
VI, A IC, IB
Spannungsverstärkung VU: VU ≈ 103 bis 104
VU 1
Kollektorschaltung
Die Kollektorschaltung zeichnet sich durch einen sehr hohen Eingangswiderstand aus. Die Spannungsverstärkung ist ungefähr gleich eins. Dies liegt daran, dass die Emitter-Basis-Diode in Durchlassrichtung geschaltet ist. Die StromSpannungs-Kennlinie der Diode ist in diesem Bereich sehr steil und die Emitter-BasisSpannung ist nahezu konstant, d.h. nahezu unabhängig vom Eingangsstrom IB. Damit folgt die Ausgangsspannung ziemlich genau der Eingangsspannung, sodass sich eine Spannungsverstärkung von eins ergibt. Die Stromverstärkung kann jedoch beträchtlich sein. Die Schaltung wird als Vorverstärker (Kleinsignalverstärker) oder als Impedanzwandler eingesetzt. npn- und pnp-Transistoren
Bisher wurden npn-Transistoren beschrieben, bei denen die Elektronen die Ladungsträger sind, die vom Emitter ausgehen. Analog arbeiten die pnpTransistoren. Die Ladungsträger sind hier aber positive Löcher. Die Funktion der Schaltungen ist völlig gleich, wenn man die Vorzeichen der Spannungen in der Schaltung vertauscht. Im Schaltbild unterscheiden sich beide Transistorarten durch eine unterschiedlich Pfeilrichtung des Emitters.
Grundschaltung des npn-Transistors: Kollektorschaltung
A
10.9. Halbleiterbauelemente
231
10.9.5. Feldeffekttransistor Die bisher beschriebenen Transistoren sind bipolar, d.h. es treten zwei Ladungsträger auf: Elektronen und positive Löcher. Bei unipolaren oder Feldeffekttransistoren (FET) gibt es nur eine Art davon: Elektronen bei Vorliegen eines n-Kanals oder positive Löcher beim p-Kanal. Der Sperrschicht-FET mit n-Kanal besteht aus einer länglichen Struktur aus n-leitendem Material, das von zwei Seiten durch je ein p-leitendes Gebiet begrenzt ist. In Längsrichtung legt man die Spannung UDS an. Elektronen wandern vom Minuspol, Source (Quelle) genannt, zum Pluspol, dem Drain (Senke). Legt man an die seitlichen pBereiche, die als Gate (Gatter) bezeichnet werden, eine negative Spannung UGS an, so sind die seitlichen pn-Übergänge in Sperrrichtung geschaltet. Es entsteht im n-Bereich eine von Ladungsträgern freie Raumladungszone. Die Größe dieser Zone steigt mit wachsender Sperrspannung UGS. Dadurch wird der leitenden Bereich steuerbar eingeengt. Das elektrische Feld in den seitlichen pn-Übergängen steuert somit den Strom durch den n-Kanal.
Häufig haben die Feldeffekttransistoren vier Anschlüsse. Außer Source (S), Drain (D) und Gate (G) gibt es noch einen Anschluss, der mit dem Substrat (Basismaterial) verbunden ist. Dieser Anschluss heißt Bulk (B). Für das Funktionsprinzip hat dieser Anschluss wenig Bedeutung und er ist häufig intern mit dem Gate verbunden.
n-Kanal Feldeffekttransistor: a) Schaltsymbol, b) Aufbau (G = Gate, Steuerelektrode, S = Source, D = Drain)
Schaltsymbole für FET: a) n-Kanal, b) p-Kanal (S = Source, D = Drain, G = Gate, B = Bulk)
MOS-FET
Während Sperrschicht-FET’s zur Verstärkung analoger Signale eingesetzt werden, haben sich in der Digitalelektronik und bei integrierten Schaltkreisen MOS-FET (Metal Oxide Semiconductor) durchgesetzt. Der Aufbau im Bild geht von einem n-Substrat aus, bei dem ohne Gatespannung kein Strom zwischen Source und Drain fließt. Beim Anlegen einer negativen Steuerspannung werden die Elektronen vom Gate weggedrängt. Es entsteht eine schmale p-leitende Schicht und es kann ein Strom fließen. Das Prinzip ist dem normalen FET ähnlich. Es gibt Ausführungen in p-MOS und n-MOS mit einem Gate aus Aluminium oder Silizium.
a) Aufbau eines MOS-FET (G = Gate, Steuerelektrode, S = Source, D = Drain), b) Schaltsymbol
232 Die Schaltbilder für MOS-FET’s enthalten meist auch einen Anschluss-Bulk an das Substrat. Auch hier sind häufig Bulk und Gate miteinander verbunden. Man unterscheidet selbstleitende (Verarmungstyp) oder selbstsperrende (Anreicherungstyp) MOS-FET’s. Dies bedeutet, dass die Bauelemente ohne Anlegen einer Steuerspannung UGS entweder leiten oder sperren. Weiterhin unterscheidet man zwischen n- und p-Kanal. FET-Transistoren sind die Grundelemente logischer Schaltungen.
10. Elektrizitätslehre
Schaltsymbole für MOS-FET’s: a) n-Kanal, selbstsperrend, b) n-Kanal, selbstleitend, c) p-Kanal, selbstsperrend, d) p-Kanal, selbstleitend
10.9.6. Optoelektronische Bauelemente Die Optoelektronik befasst sich mit der Umwandlung optischer Signale in elektrische und umgekehrt. Wichtige Anwendungen liegen beispielsweise in der Nachrichtentechnik, Elektronik, Laser- und Energietechnik (Solarenergie). Im Bändermodell können Elektronen vom Leitungsband ins Valenzband übergehen. Die frei werdende Energie kann als Licht abgestrahlt werden (z.B. Leuchtdiode). Umgekehrt kann in einen Halbleiter eingestrahltes Licht von Elektronen absorbiert werden. Die Elektronen gewinnen Energie und gehen ins Leitungsband über, wo sie als Strom nachgewiesen werden (z.B. Photodiode). Leuchtdioden
Lumineszens- oder Leuchtdioden (LED) bestehen aus einem pn-Übergang, der in Durchlassrichtung geschaltet ist. Elektronen fließen ins p-Gebiet und positive Löcher ins n-Gebiet. Dabei können sie rekombinieren, d.h. die Elektronen fallen in die positiven Löcher. In Leuchtdioden wird die frei werdende Energie als Licht ausgesendet. Die Frequenz f des Lichtes ist durch die Energie des Bandabstandes E gegeben: hf = E, wobei h = 6,626 · 10–34 Js das Planck’sche Wirkungsquantum ist. Photodiode Bei einer Photodiode wird eine pn-Schicht in Sperrrichtung geschaltet. Es fließt kein Strom. Durch Einstrahlung von Licht werden Elektronen in das Leitungsband gehoben. Dadurch entstehen in der Sperrschicht freie Ladungs-träger, die als Strom nachgewiesen werden. Der Strom ist proportional zur eingestrahlten Lichtleistung.
a) Emission von Licht im Bändermodell, b) Nachweis von Licht
10.10. Supraleiter
233
Halbleiterlaser
Der Halbleiterlaser besteht wie die Leuchtdiode aus einem pn-Übergang, der in Durchlassrichtung geschaltet wird. Bei der Leuchtdiode wird das Licht in alle Richtungen ausgesendet. Beim Halbleiterlaser (Diodenlaser) dagegen entsteht Strahlung nur in einer Richtung parallel zur Sperrschicht (Diodenschicht).
Aufbau eines Halbleiterlasers (Diodenlaser)
Bei Lasern müssen spezielle Mechanismen ablaufen (Abschnitt 11.3). (1) Das obere Energieband, von dem die Strahlung ausgeht, muss stärker mit Elektronen besetzt sein, als das untere Band. Beim Halbleiterlaser wird dies durch eine sehr hohe Dotierung erreicht, sodass sich in der Diodenschicht sehr viele Elektronen im Valenzband befinden. (2) Ein großer Teil der entstehenden Laserstrahlung wird durch zwei axial angeordnete spiegelnde Flächen in die Diodenschicht rückgekoppelt. Unter diesen Voraussetzungen entsteht ein neuer Emissionsprozess: erzwungene oder stimulierte Emission. Der Laserstrahl breitet sich als nahezu paralleles Strahlenbündel zwischen den Spiegeln aus. Diodenlaser haben Leistungen von mehreren mW bis zu 100 W und mehr.
10.10. Supraleiter Der elektrische Widerstand von Metallen nimmt bei fallender Temperatur stark ab (Abschnitt 10.2.1). Bei der Temperatur T = 0 K bleibt ein Restwiderstand übrig, der durch Gitterfehler verursacht wird. Bei supraleitenden Metallen, wie Blei (Pb) und Quecksilber (Hg), sinkt jedoch der Widerstand unterhalb der kritischen Temperatur TC schlagartig auf null. Mit Supraleitern können so Ströme verlustlos übertragen werden. Neben einigen Metallen zeigen auch Metallverbindungen Supraleitungseigenschaften. Die kritischen Temperaturen dieser Supraleiter liegen zwischen TC = 0,5 und 23 K. Damit sind der Anwendung von Supraleitern technische Grenzen gesetzt, da die Kühlung mit flüssigem Helium aufwendig ist. 1986 wurden Hochtemperatur Supraleiter entdeckt, die wesentlich höhere kritische Temperaturen von bis zu TC = 127 K aufwiesen. Kritische Temperaturen ab 77 K erlauben eine Kühlung mit flüssigem Stickstoff, der wesentlich leichter erzeugt werden kann als flüssiges Helium. Bei den neuartigen Supraleitern handelt es sich um keramische Werkstoffe mit CuO-Schichten. Supraleiter werden technisch zur Übertragung von Strömen und zur Erzeugung hoher Magnetfelder durch supraleitende Spulen eingesetzt (z.B. in der Medizintechnik bei NMR-Geräten zur Diagnostik). Die Anwendungen werden dadurch begrenzt, dass die Supraleitung bei hohen Magnetfeldern zerstört wird.
234
11. Atomphysik Materie besteht aus Atomen, die sich zu Molekülen, Festkörpern oder Flüssigkeiten gruppieren können. Früher glaubte man, dass die Atome unteilbar sind, und leitete den Begriff Atom aus dem griechischen Wort atomos (unteilbar) ab. Heute weiß man, dass die Atome wiederum aus Teilchen zusammengesetzt sind: aus dem Atomkern, der von einer Hülle aus Elektronen umgeben ist.
11.1. Bestandteile der Atome 11.1.1. Schematischer Aufbau der Atome Atome bestehen aus dem positiv geladenem Kern und der negativen Elektronenhülle. Kern Der Kern setzt sich aus einzelnen Teilchen zusammen: den positiv geladenen Protonen und den ungeladenen Neutronen. Die Masse von Proton und Neutron ist nahezu gleich. Der Kernradius ist außerordentlich klein ( rK ≈ 10-15 m). Er hängt von der Zahl der Protonen und Neutronen ab, die man Nukleonenzahl oder Massenzahl A nennt. Die Nukleonenzahl A ist die Summe aus Protonenzahl Z (DIN 32640) und Neutronenzahl N (A = Z + N).
Protonenmasse mP = 1,6726 ⋅ 10−27 kg 1eutronenmasse § Protonenmasse mN = 1,67496 ⋅ 10−27 kg Kernradius rK rK ≈ einige 10−15 m
Aufbau des Atomkerns aus Protonen und Neutronen
Atomhülle Die Atomhülle ist etwa 100 000mal ausgedehnter als der Kern. Die Atomradien liegen bei etwa 10-10 m. Die Hülle wird durch Elektronen gebildet, die etwa 2000mal leichter als Protonen oder Neutronen sind. Die Elektronen besitzen die gleiche Ladung wie die Protonen. Allerdings sind die Elektronen negativ geladen und die Protonen positiv. Man bezeichnet den Betrag der Elektronenladung als Elementarladung e. Die Einheit der Ladung ist 1 Coulomb (Kapitel 10.1.2).
Atomradius rA rA = 0,5 ⋅ 10−10 m
Elektronenmasse mE mE = 9,1095 ⋅ 10−31 kg Elektronenladung ee = – e = – 1,602 · 10–19 C. Protonenladung – Elementarladung ep = + e = + 1,602 · 10–19 C.
11.1. Bestandteile der Atome Die Zahl der Elektronen im Atom wird Ordnungszahl Z genannt. Sie ist gleich der Zahl der Protonen im Kern. Die positive Kernladung wird durch die negative Atomhülle neutralisiert. Die Atome sind insgesamt ungeladen.
235 Ordnungszahl Z = Zahl der Elektronen in der Hülle = Zahl der Protonen im Kern
Atommodell Aus den obigen Daten erhält man folgendes Bild: Die Masse eines Atoms ist zu über 99,9% im sehr kleinen Kern konzentriert. Die leichten Elektronen umkreisen den winzigen schweren Kern in relativ großen Abständen. Nach diesen Vorstellungen besteht das Atom aus den Elektronenbahnen und dem Kern. Dazwischen ist leerer Raum. Ein Vergleich: Wenn man sich den Atomkern als Kirschkern vorstellt, umlaufen die winzigen Elektronen den Kern in einem Abstand von über 100 m. Alle chemischen und elektrischen Prozesse der Materie finden in der Atomhülle statt. Das Gleiche gilt für mechanische Vorgänge, die auf den Kräften zwischen den Elektronenhüllen beruhen. Der Kern ist durch die Hülle abgeschirmt. Seine positive Ladung hält das Atom zusammen.
Aufbau der Atome aus Kern und Atomhülle: Die negativen Elektronen kreisen um den positiven Atomkern. In diesem Fall kreisen 6 Elektronen um den Kern, der 6 Protonen enthält. Es handelt sich um das Element Kohlenstoff (C). Chemische und elektrische Vorgänge laufen in der Atomhülle ab. Beispiel: Warum sind Atome elektrisch neutral? Lösung: Die positive Ladung des Kerns wird durch die negative Ladung der Elektronen ausgeglichen.
Periodensystem Schon vor über 100 Jahren wurden die Elemente aufgrund ihrer chemischen Eigenschaften in das Periodensystem eingeordnet (Tabelle).
Jedes Element wird durch die Ordnungszahl Z (und die Massenzahl A) charakterisiert. Das leichteste Atom ist Wasserstoff H mit Z = 1. Es besteht aus einem Proton im Kern und einem Elektron in der Atomhülle. Das nächste Atom ist Helium He mit Z = 2. Im Kern befinden sich zwei Protonen und in der Hülle zwei Elektronen.
Ordnungszahl Z = Zahl der Elektronen in der Hülle, beschreibt die Stellung des Atoms im Periodensystem Massenzahl A = 1 + Z = Zahl der Protonen Z und Neutronen 1 im Kern = Zahl der Kernteilchen Aufbau des Periodensystems Element Ordnungszahl Z H Wasserstoff 1 He Helium 2 Li Lithium 3 Be Beryllium 4 B Bor 5 C Kohlenstoff 6 N Stickstoff 7 O Sauerstoff 8 9 F Fluor
236
11. Atomphysik Aufbau des Periodensystems (Fortsetzung) Element Ordnungszahl Z Ne Neon 10 Na Natrium 11 Mg Magnesium 12 Al Aluminium 13 Si Silizium 14 usw. Beispiel: Wie viele Elektronen hat das Natriumatom? Lösung: Die Ordnungszahl ist Z = 11 und Na hat 11 Elektronen
11.1.2. Lichtwellen und Photonen Einstein hat 1905 gezeigt, dass Licht neben seinen Eigenschaften als Lichtwelle auch bei manchen Beobachtungen als Teilchen auftritt.
In der Wellenoptik wird Licht als Welle beschreiben. In der Teilchen- oder Quantenoptik tritt Licht als Lichtteilchen oder Photon auf.
Welle-Teilchen-Dualismus Aus der Wellenoptik (Abschnitt 9.2) ist bekannt, dass Licht eine elektromagnetische Welle darstellt. Beugung und Interferenz von Licht sind ein Beweis dafür. Andere Erscheinungen, beispielsweise der Photoeffekt, lassen sich durch die Wellenvorstellung nicht verstehen, sondern nur durch das Teilchenbild. Der Photoeffekt wird weiter unten beschrieben. Licht hat dualen (doppelartigen) Charakter: bei manchen Phänomenen treten die Eigenschaften als Welle hervor, bei anderen als Teilchen, Quanten oder Photonen. Diese Aussage gilt nicht nur für Licht, sondern für das gesamte elektromagnetische Spektrum, wie ultraviolette und infrarote Strahlung, Röntgen- oder γ -Strahlung. Der scheinbare Widerspruch zwischen Welle und Teilchen wird durch die Quantenmechanik gelöst.
Durch den Photoeffekt wird Licht in elektrischen Strom umgewandelt.
Licht ist zugleich Welle und Teilchen Elektromagnetisches Spektrum siehe Abschnitt 9.1.1. Beispiel: Wodurch unterscheiden sich ultraviolette Strahlung, infrarote Strahlung und Licht? Lösung: Es handelt sich in allen Fällen um elektromagnetische Strahlung. Der Unterschied liegt in den Wellenlängen.
11.1. Bestandteile der Atome
237
Photoeffekt Der Photoeffekt bildet die Grundlage optoelektronischer Bauelemente, die zur Umwandlung von Licht in elektrischen Strom (und umgekehrt) dienen. Beim Photoeffekt fällt ein Lichtteilchen, das man auch Lichtquant oder Photon nennt, auf ein Elektron und überträgt diesem seine gesamte Energie. Dabei verschwindet das Photon. Das Elektron gewinnt dabei Energie, wodurch ein elektrischer Strom erzeugt werden kann (Abschnitt 10.9.6 Optoelektronische Bauelemente).
Beim Photoeffekt stößt ein Photon auf ein Elektron. Dabei verschwindet das Photon und überträgt dem Elektron seine gesamte Energie. Beispiel: Geben Sie ein Beispiel für die technische Anwendung des Photoeffektes. Lösung: In einer Photodiode (z.B. Solarzelle) gewinnen Elektronen Energie durch den Stoß mit Photonen (Photoeffekt). Dadurch entsteht ein Strom.
Licht als Teilchen (Photon) Durch den Photoeffekt wurde nachgewiesen, dass sich Licht wie ein Teilchen verhalten kann, das man Photon oder Lichtquant nennt. Die Energie E eines Photons hängt von der Frequenz f des Lichtes und der Konstanten h ab. Die Konstante h wird Planck´sches Wirkungsquantum genannt; unter Wirkung versteht man das Produkt aus Energie multipliziert mit der Zeit (Einheit Js). Aus Experimenten zum Photoeffekt kann das Planck´sche Wirkungsquantum h ermittelt werden.
Licht als Photon Energie E eines Photons (Lichtquant) mit der Frequenz f E=hf
E J, Ws
h Js
f 1/s
Planck´sches Wirkungsquantum h = 6,625 ⋅ 10−34 Js
Beispiel: Wie groß ist die Energie eines Photons bei einer Wellenlänge von Ȝ = 500 nm ? Lösung: Es gilt f = c0 / Ȝ = 3·108 / 500 · 10-9 1/s = 6 · 1014 1/s und E = h f = 3,9·10-17 J.
Licht als Welle In der Wellenoptik hat das Licht die Eigenschaften einer Welle. Dabei gilt der aus der Wellenlehre bekannte Zusammenhang zwischen der Lichtgeschwindigkeit c0, der Wellenlänge λ und der Frequenz f (Abschnitt 9.1.6).
Licht als Welle c0 = f λ
c0 m/s
f 1/s
Wellenlänge λ, Frequenz f, Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum c0 = 299 792 km/s § 3 · 108 m/s
λ m
238
11. Atomphysik
11.1.3. Materiewellen Das Elektron ist als Teilchen mit der Masse mE = 9,11 · 10–31 kg bekannt. Es zeigt sich jedoch, dass Elektronen oder andere Teilchen an Gitterstrukturen in Kristallen gebeugt werden, ähnlich wie Licht an einem Beugungsgitter (Abschnitt 9.2.2). Daraus ist zu schließen, dass sich auch Materie wie eine Welle verhalten kann. Man stellt fest, dass der Dualismus Teilchen– Welle auch für Materie gilt. Damit kann man Elektronen auch eine Wellenlänge λ zuordnen. Die Wellenlänge λ (de-Broglie-Wellenlänge) hängt von dem Impuls p des Teilchens ab. Der Impuls p ist gleich der Masse m multipliziert mit der Geschwindigkeit v (p = m v).
Materie-Wellenlänge λ eines Teilchens mit dem Impuls p, z.B. eines Elektrons:
λ=
h p
λ m
h Js
p kgm/s
In der modernen Mikroelektronik nutzt man die Welleneigenschaften von Elektronen in Nanostrukturen aus, z.B. zur Herstellung spezieller Halbleiterlaser.
11.2. Aufbau der Atome
Der Kern ist positiv geladen. Er wird von negativ geladenen Elektronen umkreist. Es wirkt die elektrische Anziehungskraft zwischen der positiven und der negativen Ladung. Diese Kraft wird durch das Coulomb´sche Gesetz beschrieben (Abschnitt 10.1.3). Nach den Gesetzen der klassischen Physik können stabile Atome nicht existieren; die kreisenden Elektronen müssten wie schwingende Dipole elektromagnetische Energie abstrahlen und schließlich auf den Kern fallen. Eine Lösung dieses Problems wird durch die Quantenmechanik gegeben, die das Wellenverhalten der Materie (Materiewellen) berücksichtigt. Die Elektronen umkreisen den Kern auf ganz bestimmten Bahnen, die sich zu so genannten Schalen anordnen. Führt man dem Atom Energie zu, z.B. in der Gasentladung einer Sparlampe, können die Elektronen auf höhere Bahnen gestoßen werden. Danach fallen sie wieder auf ihre normale Bahn, wobei Energie in Form von Licht abgegeben wird. Licht entsteht also durch Übergänge von Elektronen von einer höheren auf eine niedrigere Bahn.
11.2. Aufbau der Atome
239
11.2.1. Wasserstoffatom Stationäre Elektronenbahnen Im Folgenden werden die Elektronenbahnen um den Kern am Beispiel des einfachsten Atoms mit einem Elektron beschrieben: Wasserstoff H. Im Teilchenbild wirkt zwischen dem positiv geladenen Kern und einem kreisenden Elektron die elektrischen Anziehungskraft (Coulomb-Kraft). Diese steht im Gleichgewicht mit der Zentrifugalkraft. Das Elektron umkreist somit den Kern ähnlich wie eine Satellit die Erde, wobei bei Satelliten die Gravitation und nicht die CoulombKraft wirkt.
Im Wellenbild stellen die Elektronen MaterieWellen dar. Es entstehen um die Kerne in sich geschlossene Elektronenwellen, d.h. in den Bahnumfang muss ein Vielfaches der MaterieWellenlänge passen. Dadurch wird erklärt, dass nur ganz bestimmte Elektronenbahnen um den Kern auftreten. Diese sind für das H-Atom im Bild für die 1. bis 5. Elektronenbahn gezeichnet. Jede Bahn entspricht einer Elektronenschale, aus historischen Gründen als K-, L-, M-, N- und O-Schale bezeichnet werden.
Im Wellenbild bilden sich um den Atomkern stehende Elektronenwellen. Dadurch kann die Schalenstruktur der Atome verstanden werden.
Die verschiedenen Elektronenbahnen bilden verschiedene Schalen (K-, L-, M-, N-, und O-Schale)
Beim H-Atom gibt es ein Elektron, dass sich normalerweise in der tiefsten Bahn (K-Schale) befindet.
Energiezustände Jede Elektronenbahn ist durch eine bestimmte Energie charakterisiert. Je größer der Bahnradius ist um so höher ist die Energie. Dem entsprechend wird im nebenstehenden Bild die Energie der verschiedenen Elektronenbahnen gezeigt. Jede Bahnkurve entspricht einem Energiezustand oder Energieniveau.
Energiezustände des H-Atoms. Jede Elektronenbahn hat eine bestimmte Energie
240
11. Atomphysik
Spektrallinien In Gasentladungen oder durch andere Anregung können Elektronen aus ihrer niedrigsten Bahn in angeregte Zustände gehoben werden. Die Aufenthaltsdauer in diesen höheren Bahnen ist nur kurz (ms bis ns). Beim Rückweg des Elektrons in die tieferen Zustände wird Energie in Form von Licht frei. Es entsteht ein Photon. Es treten ganz bestimmte, für das Atom typische Wellenlängen auf, die man Spektrallinien nennt.
Licht entsteht beim Übergang eines Elektrons von einem höheren Energiezustand in einen niedrigeren. Es wird ein Photon ausgesendet.
Bohr’sche Postulate
Bohr’sche Postulate
Im vorliegenden Abschnitt wurde das H-Atom mit Hilfe des Teilchen- und Wellenbildes von Elektronen beschrieben. Historisch standen am Anfang der Atomphysik die Bohr’schen Postulate im Vordergrund, die erst durch das Wellenund Teilchenbild verständlich werden.
(1) Es existieren ganz bestimmte Elektronenbahnen oder Energiezustände. (2) Beim Übergang von einer höheren Bahn mit der Energie E2 in eine niedrigere E1 entsteht Licht mit der Frequenz f: h f = E2 − E1 .
11.2.2. Deutung des Periodensystems Das Wasserstoffatom hat in seiner Atomhülle nur ein Elektron. Alle weiteren Atome besitzen mehrere Elektronen, die sich in so genannte Schalen gruppieren. Jede Schale kann nur eine bestimmte Anzahl von Elektronen aufnehmen (Pauli-Prinzip). Man kann alle Atome in ein Periodensystem einordnen, das den Schalenaufbau widerspiegelt. Jede Periode stellt eine gefüllte Elektronenschale dar. Dementsprechend hat ein Atom, das am Anfang einer Periode steht, ein Elektron außerhalb einer abgeschlossenen Schale (Alkalien). Ein Atom am Ende einer Periode besitzt eine abgeschlossene Schale und ist daher chemisch besonders stabil (Edelgas).
Vereinfachtes Periodensystem der Atome
1. Periode H und He 2. Periode Li, Be, B, C, N, O, F, Ne 3. Periode Na, Mg, Al, Si, P, S. Cl, Ar 4. Periode K, .............................Br, Kr 5. Periode Rb, ................................I, Xe usw. Beispiel: Wie viele Elektronen hat Silizium (Si) in seiner äußeren Schale? Lösung: Si steht in der 3. Periode und hat 4 Elektronen in der äußeren Schale.
11.3. Licht und Laserstrahlung
241
Alkalien Atome, die am Anfang eine Periode stehen, haben ein Elektron in der äußeren Schale. Diese Atome nennt man Alkalien. Das Elektron ist verantwortlich für die chemische Bindung. Daher sind Alkalien chemisch sehr aktiv und gehen leicht Verbindungen ein. Alkalien sind (neben Wasserstoff H): Li = Lithium, Na = Natrium, K = Kalium, Rb = Rubidium und andere. Edelgase Atome, die am Ende einer Periode stehen und damit eine abgeschlossene Schale besitzen, sind chemisch so stabil, dass sie keine Verbindungen eingehen. Es handelt sich um die Edelgase, die sich in geringen Mengen in der Luft befinden. Bekannt ist z.B. He = Helium, das zur Füllung von Ballonen dient. Weitere Edelgase sind: Ne = Neon, Ar = Argon, Kr = Krypton, Xe = Xenon. Halogene Bei Atomen an vorletzter Stelle in einer Periode fehlt ein Elektron zum Abschließen einer Schale. Diese Atome sind chemisch sehr aggressiv, da sie sich von anderen Atomen ein Elektron zum Schalenabschluss einfangen wollen. Man nennt diese Atome Halogene, wie F = Fluor, Cl = Chlor, Br = Brom, I = Jod. Halogene und Alkalien passen sehr gut zusammen: Halogenen fehlt ein Elektron zum Schalenabschluss und Alkalien haben ein Elektron in einer Schale. Damit bildet sich z.B. Na + Cl = NaCl = Kochsalz.
11.3. Licht und Laserstrahlung Im Grundzustand der Atome befinden sich die Elektronen auf den niedrigsten Bahnen, deren Aufbau im letzten Abschnitt dargelegt wurde. Durch Energiezufuhr, z.B. Strahlung oder Stöße mit Elektronen oder Atomen in einer elektrischen Gasentladung, werden atomare Elektronen in höhere Zustände gehoben. Die Lebensdauer dieser Energiezustände ist kurz (ms bis ns) und beim Zerfall emittiert die Atomstrahlung. Je nach Wellenlänge unterscheidet man infrarote Strahlung, Licht, ultraviolette Strahlung und Röntgenstrahlung
11.3.1. Emission und Absorption von Licht Strahlung im sichtbaren und den benachbarten infraroten und ultravioletten Gebieten wird überwiegend von den äußeren atomaren Elektronen ausgesendet. Wenn im Folgenden von Licht gesprochen wird, sind die erwähnten Bereiche mit eingeschlossen.
242
11. Atomphysik
Absorption von Licht Bei Bestrahlung von Atomen mit Licht können Photonen absorbiert werden. Dabei verschwindet das Photon und übergibt seine Energie an ein atomares Elektron.
Voraussetzung für Absorption ist, dass die Energie der Photonen hf gleich der Energiedifferenz E2 – E1 zwischen einem unteren besetzten (1) und oberen unbesetzten (2) Zustand ist. In freien Atomen sind die Energiezustände schmal und es wird nur ein kleiner Wellenlängenbereich absorbiert. Anders ist es in Festkörpern, bei denen breite Energiebänder auftreten (Kapitel 10).
Bei der Absorption verschwindet ein Photon und ein atomares Elektron geht von einem tieferen Zustand E1 in einen höheren Zustand E2 über.
Voraussetzung für Absorption hf = E2 – E1 hf = Energie eines Photons E1 = unterer atomarer Zustand E2 = oberer atomarer Zustand
Stimulierte Emission Der Umkehrprozess zur Absorption ist die stimulierte, induzierte oder erzwungene Emission von Strahlung. Bei der Absorption wird durch einfallende Strahlung ein Elektron von einem niedrigen (1) auf einen höheren Energiezustand (2) gehoben. Bei der stimulierten Emission wird ein Elektron durch Strahlung umgekehrt von einem höheren Niveau (2) auf das tiefere (1)
Bei der stimulierten Emission hat das entstehende Licht die gleiche Frequenz und die gleiche Richtung wie das einfallende.
Es handelt sich also um eine Verstärkung von Licht durch einen stimulierten (erzwungenen) Prozess, der die Grundlage des Lasers bildet.
Bei der stimulierten Emission wird ein Photon durch ein einfallendes Photon erzeugt. Ein atomares Elektron geht von einem höheren Zustand E2 in einen höheren Zustand E1 über. Voraussetzung für stimulierte Emission hf = E2 – E1 hf = Energie eines Photons E1 = unterer atomarer Zustand E2 = oberer atomarer Zustand
11.3. Licht und Laserstrahlung
243
Lichtverstärkung im Laser In einem optischen Material (Gas, Festkörper) findet einerseits eine Schwächung durch Absorption und anderseits eine Verstärkung durch stimulierte Emission statt. Fragt man, ob eine Lichtwelle verstärkt oder geschwächt wird, ist die Summe beider Prozesse zu betrachten. Die stimulierte Emission ist intensiv, wenn viele Atome im angeregten Zustand 2 sind. Die Absorption kann klein gehalten werden, wenn wenige Atome im Zustand 1 sind.
Voraussetzung für die Funktion eines Lasers Befinden sich mehr Atome in einem oberen Zustand 2 als im unteren Zustand 1 kann eine Lichtverstärkung auftreten. Dies ist die Voraussetzung für einen Laser.
Spontane Emission Die stimulierte Emission ist die Grundlage für die Erzeugung von Licht in einem Laser. Bei den anderen Lichtquellen überwiegt die spontane Emission. Während bei der stimulierten Emission durch einfallende Photonen Elektronen zu einem Übergang in einen tieferen Zustand gezwungen werden, zerfällt bei der spontanen Emission der höhere Zustand ohne äußeren Einfluss innerhalb der so genannten Lebensdauer.
Bei der spontanen Emission wird ein Photon ohne äußere Einwirkung erzeugt und ein atomares Elektron geht von einem höheren Zustand E2 in einen höheren Zustand E1 über.
Bei der spontanen Emission handelt es sich um einen statistischen Vorgang, wobei das Licht mit (leicht) unterschiedlicher Frequenz in verschiedene Raumrichtungen gestrahlt wird.
Beispiel: Warum kann eine Laser nur funktionieren, wenn der obere Zustand stärker besetzt ist als der untere (Inversion)?
Bei üblichen Lichtquellen entsteht Licht durch spontane Emission. Beim Laser tritt stimulierte Emission auf. Die spontane Emission ist ein Störeffekt.
Lösung: Wenn der obere Zustand stark besetzt ist kann stimulierte Emission stattfinden. Wenn der untere Zustand zu stark besetzt ist, wird die entstehende Strahlung wieder absorbiert.
Lichtquellen Bei Glühfadenlampen werden höhere Energiezustände 2 in Metallen durch die Wärmeenergie angeregt. Diese zerfallen in tiefere Zustände 1, wobei Licht ausgesendet wird. Allerdings gibt es in den Metallen keine scharfen Energiezustände sondern Energiebänder (Leitungsband). Diese Art von Strahlung nennt man auch thermische Strahlung.
Beispiel: Durch welche Prozesse entsteht Licht in normalen Lichtquellen und in Lasern? Lösung: Normale Lichtquellen beruhen auf der spontanen Emission, Laser auf der stimulierten Emission.
244
11. Atomphysik
In einer Gasentladung (z.B. Sparlampe) dagegen werden Atome durch Elektronenstoß in angeregte Zustände gehoben. Beim Zerfall dieser Zustände durch spontane Emission entsteht Licht. Die Typen und Anwendungen von Lichtquellen sind vielfältig. Laser Beim Laser ist die spontane Emission ein Störeffekt; es überwiegt die stimulierte Emission. Dies wird durch eine selektive Energiezufuhr erreicht, bei der eine Inversion erzeugt wird. Dabei müssen sich mehr Atome im oberen Zustand 2 befinden als im unteren Zustand 1. Bei Festkörperlasern wird die Inversion durch Einstrahlung von Licht z.B. aus einer Leuchtdiode erreicht. Dabei wird nur der obere Zustand 2 angeregt. Der untere Zustand 1 befindet sich über dem Grundzustand des Laseratoms und wird nicht angeregt. Bei der Konstruktion eines Lasers wird das längliche Lasermaterial zwischen zwei Spiegeln angeordnet. Beim Einschalten des Lasers entsteht zunächst nur spontane Emission in alle Richtungen. Ein Photon, das in axialer Richtung ausgesendet wird startet den Laserprozess. Das Photon wird durch induzierte Emission verstärkt, zurück gespiegelt und weiter verstärkt, bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Einer der beiden Spiegel reflektiert zu 100 %. Der andere ist unter 100 % verspiegelt, z.B. zu 90 %. Damit kann ein Teil der Laserstrahlung als freier Laserstrahl heraustreten. Der Laserstrahl breitet sich nahezu parallel aus. In Abschnitt 10.8.2 wird der Aufbau eines Gaslasers und in 10.9.6 eines Halbleiterlasers beschrieben. Laser finden Anwendungen in der Nachrichtentechnik, der Laser-Materialbearbeitung, Medizin- und Messtechnik.
Beim Festkörperlaser wird der obere Zustand 2 durch Einstrahlung von Licht angeregt, das untere Zustand 1 nicht (Inversion). Der Übergang von 2 nach 1 erfolgt durch stimulierte Emission, so dass Laserstrahlung entsteht.
Prinzip des Lasers, z.B. Festkörperlaser
Beispiel: Warum breitet sich der Laserstrahl nahezu parallel aus? Lösung: Bei der stimulierten Emission im Laser wird durch ein Photon ein zweites erzeugt, das sich in der gleichen Richtung ausbreitet.
11.4. Hinweise zur Relativitätstheorie
245
11.4. Hinweise zur Relativitätstheorie Zur genauen Beschreibung der Atome muss man einerseits die Welleneigenschaften der Materie (Abschnitt 11.1.3) und andererseits die Relativitätstheorie anwenden. In den Atomen bewegen sich die Elektronen oft mit nahezu Lichtgeschwindigkeit um den Atomkern. Einstein hat Anfang 1900 nachgewiesen, dass bei diesen Geschwindigkeiten die Gesetze der klassischen Mechanik aus Kapitel 2 nicht gelten. Stattdessen müssen die Gesetze der Relativitätstheorie angewendet werden, von denen im Folgenden einige Beispiele aufgezeigt werden.
Energie E und Masse m Masse ist eine Form der Energie. Das bedeutet, dass Masse in Energie und Energie in Masse umgewandelt werden kann. Dieser Vorgang findet beispielsweise in der Sonne aber auch in Kernreaktoren statt.
Masse m und Geschwindigkeit v Beschleunigt man Elektronen auf sehr hohe Geschwindigkeiten, z.B. durch elektrische Felder, so stellt man fest, dass die Masse der Elektronen größer wird. Dieses Verhalten zeigen alle Massen.
Masse m ist eine Form der Energie E. E = m c02
c0 = Lichtgeschwindigkeit
Die Masse m hängt von der Geschwindigkeit v ab. m=
m0 1 − v 2 / c02
m0 = Masse bei der Geschwindigkeit 0 (= Ruhemasse)
Länge l Bewegt man einen Meterstab (theoretisch) mit nahezu Lichtgeschwindigkeit an uns vorbei, so erscheint er uns verkürzt.
Die Länge l hängt von der Geschwindigkeit v ab. l = l0 1 − v / c02 l0 = Länge bei der Geschwindigkeit 0
Zeit t Bewegt man ein Uhr mit nahezu Lichtgeschwindigkeit an uns vorbei, so scheint sie für uns langsamer zu gehen. Die Uhr auf einem Erdsatelliten zeigt eine andere Zeit an als auf der Erde. Dieses Ergebnis der Relativitätstheorie muss bei der Satellitennavigation berücksichtigt werden.
Die Zeit t hängt von der Geschwindigkeit v ab. t = t0 1 − v / c02 t0 = Zeit bei der Geschwindigkeit 0
Die Relativitätstheorie zeigt, dass Masse, Länge und Zeit relativ sind, d.h. sie hängen von der Bewegung (Geschwindigkeit) ab.
246
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
12.1. Parallelogrammsatz, Gleichgewicht beim zentralen Kräftesystem 12.1.1. Versuchsaufbau Durch Zusammenknoten zweier Schnüre von etwa 70 cm und 20 cm Länge entsteht eine dreiteilige Schnur. Die drei Enden werden in die Kraftmesser K1, K2, K3 eingehängt. Die festen Rollen R1, R2 lenken die beiden oberen Schnurenden vom Knoten K zu den Kraftmessern K1, K2 um. Kraftmesser K3 ist am gleichen Stativ befestigt, das die Teilscheibe trägt. Anstelle des Kraftmessers K3 kann man auch nacheinander verschieden schwere Wägestücke anhängen. Die Kraftmesser sollten Nullpunkt-Korrektur ermöglichen (verschiebbare Hülse) und eine Zugkraft bis zu 5 N aufnehmen können. Die Scheibe mit der Gradeinteilung fertigt man selbst an (Durchmesser etwa 300 mm, Teilstriche je 5°).
12.1.2. Versuchsbeschreibung Durch Verstellen der Rollen R1, R2 in ihrer Höhenlage sowie des Kraftmessers K3 bringt man den Knoten K auf den Mittelpunkt der Teilscheibe. Durch seitliches Ausrichten wird dafür gesorgt, dass Schnur und Kraftmesser in einer Ebene liegen. Für jede neue Einstellung liest man die Kräfte und Winkel ab (so wie sie sich gerade ergeben) und trägt die Beträge in die vorbereitete Tabelle ein.
Beispiel: F1 1. Versuchseinstellung 2. Versuchseinstellung 3. Versuchseinstellung 4. Versuchseinstellung
F2
F3
α β
2,0 N
2,7 N
3,07 N 30° 50°
1,8 N
1,0 N
1,98 N 60° 25°
3,0 N
1,4 N
2,9 N
70° 5°
3,92 N 2,14 N 4,9 N
65° 40°
12.1. Parallelogrammsatz, Gleichgewicht beim zentralen Kräftesystem
247
12.1.3. Ergebnisse 1. Man trägt die Kräfte F1, F2 aus der 1. Versuchseinstellung maßstäblich und richtungsgemäß in ein rechtwinkliges Achsenkreuz ein, ausgehend vom Ursprungspunkt 0. Durch Parallelverschiebung der Wirklinien WL1, WL2 wird das Parallelogramm konstruiert. Beim Nachmessen stellt man fest, dass die Diagonale durch den Ursprungspunkt 0 rechtwinklig liegt und ihre Länge (nach dem gewählten Kräftemaßstab) dem Betrag der gemessenen Kraft F3 entspricht. Die Diagonale stellt also die Resultierende Fres 1,2 dar, die der Kraft F3 das Gleichgewicht hält.
Kräfteparallelogramm zur 1. Versuchseinstellung
In gleicher Weise wird nun mit den Ergebnissen der drei weiteren Versuchseinstellungen verfahren und immer wieder festgestellt: Betrag und Wirklichkeit der Resultierenden Fres 1,2 zweier Kräfte F1, F2 sind durch die Diagonale des Kräfteparallelogramms bestimmt. Damit hat man den Parallelogrammsatz nachgewiesen und erkannt, dass Kräfte (oder allgemein gesagt „Vektoren“) nicht algebraisch addiert werden dürfen, etwa:
Beachte: Bei gleicher Zugkraft F3, also der gleichen Resultierenden Fres = F3, stellen sich immer verschiedene Kräfte F1 und F2 ein, wenn die Winkel α und β verändert werden. Das kann man am besten erkennen, wenn anstelle des Kraftmessers ein Wägestück verwendet wird.
Fres 1,2 = 2,0 N + 2,7 N = 4,7 N: Vektoren dürfen nur geometrisch addiert werden. Statt des Parallelogramms genügt für das Zusammensetzen von Kräften (Vektoren) ein Teildreieck des Parallelogramms. Die Resultierende ist die Verbindungsstrecke vom Anfangspunkt A der zuerst gezeichneten Kraft zum Endpunkt E der zuletzt gezeichneten Kraft. Mit dem Kosinussatz1) lässt sich die Resultierende Fres 1,2 auch berechnen:
Die Teildreiecke führen zum gleichen Ergebnis
Im schiefwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen beiden Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels.
2 Fres1,2 = F12 + F22 − 2 F1F2 cos(α + β )
1)
Fres1,2 =
F12 + F22 − 2 F1F2 cos(α + β )
Es handelt sich hier nur um die mathematische Seite des Problems; eine neue physikalische Erkenntnis wird nicht gewonnen.
248
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
Man nennt das die trigonometrische Auswertung des Kraftdreiecks. Dabei tritt gewöhnlich eine Schwierigkeit auf: Der „eingeschlossene“ Winkel (hier α + β ) und sein Kosinus müssen richtig bestimmt werden. Fehler werden vor allem dann gemacht, wenn der eingeschlossene Winkel größer als 90° ist (Vorzeichenwechsel !).
Zur trigonometrischen Auswertung des Kraftecks
Für die 1. Versuchseinstellung erhält man mit F 2 2 res1,2 = (2N) +(2,7N) - 2 ⋅ 2N ⋅ 2,7N ⋅ 0,174 F1 = 2,0 N; F2 = 2,7 N und α + β = 30° + 50° = 80°, also cos (α + β ) = cos 80° = 0,174 für die resul- Fres1,2 = 3,07 tierende Kraft Fres 1,2 den Betrag von 3,07 N.
2. Der Versuch vermittelt noch drei weitere Erkenntnisse: a) Seile, Schnüre, Bänder usw. übertragen nur Zugkräfte, deren Wirklinien durch Rollen umgelenkt werden können. Die drei vom Knoten K weglaufenden Schnurenden verkörpern die Wirklinien WL der Zugkräfte F1, F2 und F3. b) Zwei Kräfte (F1, F2) können durch eine Einzelkraft (F3) ins Gleichgewicht gesetzt werden (ΣF an Punkt K gleich null), die gleich groß aber von entgegengesetztem Richtungssinn ist wie die Resultierende dieser Kräfte. Gleichgewichtskraft und Resultierende haben eine gemeinsame Wirklinie. c) Mit dem Parallelogrammsatz muss eine gegebene Einzelkraft (Fres 1,2) auch in zwei Komponenten zerlegt werden können (F1, F2). Dazu müssen die Wirklinien (WL1, WL2) der Komponenten bekannt sein.
12.2. Trägheitskraft T = m a 12.2.1. Versuchsaufbau Dazu werden ein 1-kg-Wägestück mit Haken zum Einhängen und ein Kraftmesser (Federwaage) gebraucht.
12.2. Trägheitskraft T = m a
249
12.2.2. Versuchsbeschreibung 1. Man hält den Kraftmesser lotrecht nach unten hängend in der Hand, hängt das 1-kg-Wägestück ein und liest die Zugkraft Fz1 ab a) bei ruhendem Kraftmesser und b) bei gleichförmig nach oben und unten bewegtem Kraftmesser. 2. Beschleunigen des Wägestücks über den Kraftmesser nach oben. 3. Beschleunigen von Wägestück und Kraftmesser nach unten.
12.2.3. Ergebnisse 1. Der Kraftmesser zeigt sowohl bei a) als auch bei b) die Zugkraft Fz1 = FG = 9,81 N an. Da ein Körper der Masse m = 1 kg von der Erde mit der Gewichtskraft FG = 9,81 N angezogen wird, trägt man am frei gemachten Körper FG = 9,81 N nach unten und Fz1 = FG = 9,81 N nach oben an. Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung:
Σ Fy = 0 = Fz1 – FG. Die Trägheitskraft T = m a ist gleich null, weil sowohl im Ruhezustand als auch bei der gleichförmigen Auf- und Abbewegung die Beschleunigung a = 0 ist.
Trägheitskraft T = 0 bei Ruhe oder gleichförmiger Bewegung
2. Der Kraftmesser zeigt jetzt eine Zugkraft Fz2 > FG an. Die Zugkraft Fz2 wird umso größer, je stärker nach oben beschleunigt wird, z.B. Fz2 = 15 N. Auch für den beschleunigt bewegten Körper dürfen nach d'Alembert die Gleichgewichtsbedingungen am frei gemachten Körper angesetzt werden, wenn man außer den „äußeren“ Kräften (hier FG und Fz2) noch die Trägheitskraft T = m a anbringt. T ist stets der Beschleunigung a entgegengerichtet. Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung:
Σ Fy = 0 = Fz2 – FG – T.
Trägheitskraft T = Fz2 – FG bei beschleunigter Aufwärtsbewegung
250
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
3. Der Kraftmesser zeigt jetzt eine Zugkraft Fz3 < FG. Die Zugkraft Fz3 wird um so kleiner, je stärker nach unten beschleunigt wird, z.B. Fz3 = 5 N. Am frei gemachten Körper muss wegen der nach unten gerichteten Beschleunigung a die Trägheitskraft T nach oben gerichtet sein. Gleichgewichtsbedingung in y-Richtung: Σ Fy = 0 = Fz3 – FG + T. Lässt man Kraftmesser und Wägestück für einen Moment frei fallen, stellt sich Fz3 = FG ein. Dann ist nach der Gleichgewichtsbedingung: T = FG = m g m a = m g a = g.
Trägheitskraft T = FG – Fz3 bei beschleunigter Abwärtsbewegung
12.3. Haft- und Gleitreibzahlen trockener Flächen 12.3.1. Versuchsaufbau In einem Gestell aus Stahlblech ist eine etwa 1 m lange Gleitschiene drehbar gelagert. Das Gestell trägt eine Gradeinteilung bis 90°. Mit einer Flügelmutter ist die Gleitschiene in jeder Neigung feststellbar. In die etwa 20 cm breite Gleitschiene können in Längsrichtung Prüfplatten (ca. 1 m × 0,2 m) aus verschiedenen Werkstoffen eingeschoben werden (Stahlblech, Messingblech, Zinkblech, Holz, Kunststoff usw.). Auf diesen Prüfplatten müssen die Prüfklötze frei abwärts gleiten können. Die Klötze haben etwa 10 cm × 10 cm Grundfläche und 4 cm Höhe. Auch hier sind mehrere Klötze aus verschiedenen Werkstoffen vorhanden. Die Oberflächen einiger Prüfplatten und -klötze aus gleichem Werkstoff unterscheiden sich durch ihre Rautiefen.
12.3.2. Versuchsbeschreibung In die verstellbare Gleitschiene schiebt man eine Prüfplatte, z.B. die Stahlblechplatte, und setzt einen der Prüfkörper darauf. Durch vorsichtiges Neigen der schiefen Ebene wird der Grenzwinkel r 0 der Haftreibung gesucht. Unter diesem Winkel ist die schiefe Ebene geneigt, wenn sich der Prüfkörper gerade in Bewegung setzt. Der Mittelwert aus mehreren Versuchen wird in die vorbereitete Tabelle eingetragen.
Werkstoffpaarung (Beispiele)
Stahl auf Stahl Holz auf Holz Holz auf Stahl
Grenzwinkel der Haftreibung und Haftreibzahl
Grenzreibwinkel und Gleitreibzahl
r0 in °
μ0
r in °
μ
8,5
0,15
8,5
0,15
27
0,5
17
0,3
35
0,7
27
0,5
12.3. Haft- und Gleitreibzahlen trockener Flächen
251
Danach sucht man den Gleitreibwinkel r, bei dem sich der Prüfkörper mit konstanter Geschwindigkeit abwärts bewegt. Auch hierzu wird der Mittelwert in die Tabelle eingetragen.
12.3.3. Ergebnisse 1. Es soll geklärt werden, welche Bedeutung die gefundenen Winkel r0 und r haben. Dazu wird der mit konstanter Geschwindigkeit abwärts gleitende Prüfkörper frei gemacht und die Gleichgewichtsbedingungen angesetzt. Dividiert man die Gleichungen für FR und FN durcheinander, erhält man den Quotienten FR / FN, die Gleitreibzahl μ0 = tan r. Entsprechendes gilt für die Haftreibzahl μ0 = tan r0. Der Tangens des Gleitreibwinkels r ist die Gleitreibzahl μ, der Tangens des Grenzwinkels r0 der Haftreibung ist die Haftreibzahl μ0.
Σ Fx = 0 = + FR – FG sin r FR = FG sin r ΣFy = 0 = + FN – FG cos r FN = FG cos r FR F sin r sin r = G = = tan r FN FG cos r cos r Gleitreibzahl μ =
sin r = tan r cos r
Haftreibzahl μ0 =
sin r 0 = tan r0 cos r 0
2. Die Versuche zeigen vor allem: a) Bei gleichen Versuchsbedingungen schwanken die Reibzahlen zum Teil erheblich; Tabellenwerte sind also mit Vorsicht zu gebrauchen.
Daher wäre es unsinnig, Reibzahlen „genau“ angeben zu wollen, etwa auf drei Stellen hinter dem Komma.
b) Reibzahl und damit auch Reibkraft sind von der Größe der Berührungsfläche unabhängig (Auflegen des Prüfkörpers auf verschiedene Seitenflächen). c) Reibzahl und Reibkraft sind auch von der Rautiefe unabhängig. d) Die Reibzahl (nicht die Reibkraft) ist von der Masse und der Gewichtskraft des Prüfkörpers unabhängig. e) Bei den meisten Werkstoffpaarungen ist die Haftreibzahl μ0 größer als die Gleitreibzahl μ. 3. Da andere Abhängigkeiten der Reibzahlen als die von der Werkstoffpaarung nicht erkennbar sind, kann die Tabelle vervollständigt und die Reibzahlen eingetragen werden.
Für Holz auf Holz ist μ0 = 0,5 und μ = 0,3.
252
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
12.4. Federrate R zylindrischer Schraubenfedern 12.4.1. Versuchsaufbau Zwischen zwei Stativen ist eine Querstange befestigt, an der eine Schrauben-Zugfeder hängt. Die Feder ist etwa 75 cm lang, der Federstahldraht hat d = 1,5 mm Durchmesser und einen Windungsradius D / 2 von 9 mm. Die Stative stehen auf zwei Tischen, damit genügend freie Höhe zur Dehnung der Feder zur Verfügung steht. Zur Belastung der Feder werden fünf Wägestücke von m = 200 g Masse bereitgestellt, zur Höhenmessung vom Fußboden aus ein Maßstab mit verschiebbarer Zunge.
12.4.2. Versuchsbeschreibung 12.4.2.1. Vorbemerkung Vor dem Anhängen des ersten Wägestücks ist zu klären, welche maximale Belastung Fmax zulässig ist, ohne die Feder zu überdehnen. Bei Überlastung würde sich die Feder nach der Entlastung nicht wieder auf ihre Ursprungslänge zusammenziehen. Die Feder ist dann unbrauchbar. Zur Herleitung einer Gleichung für Fmax geht man in gewohnter Weise vor: Jeder Radialschnitt x–x zerlegt die Feder in zwei Teile. Die Skizze eines frei gemachten Teils zeigt als innere Belastung das Torsionsmoment M T = F (D / 2), das vom Drahtquerschnitt mit dem Durchmesser d aufgenommen werden muss. Die Abscherbeanspruchung ist vernachlässigbar klein, sodass nur die Torsionsbeanspruchung in die Berechnung einfließt. In der Torsions-Hauptgleichung τ t = MT / Wp ist Wp das polare Widerstandsmoment. Für den Kreisquerschnitt ist Wp = πd 3/16.
τ1 =
Fmax ≤
M T 16 FD = Wp 2ʌ d 3
ʌ d3 ⋅ τ t zul 16 ( D / 2)
Fmax
d, D
τt zul
N
mm
N mm 2
12.4. Federrate R zylindrischer Schraubenfedern Die zulässige Torsionsspannung τ tzul für Federstahldraht wird mit etwa 400 N/mm2 angenommen.
12.4.2.2. Ausführung Zur Streckung der Feder hängt man ein 200-gWägestück an und misst die erste Länge l1 vom Fußboden bis zur Unterkante des Wägestücks. Nun wird schrittweise weiter mit 200-g-Wägestücken belastet. Dann beträgt die Belastungszunahme ΔF1 = ΔF2 = ΔF3 = ΔF4 ≈ 2 N. Aus den Längen l1, l2, l3, l4, l5 berechnet man die zugehörigen Federwege (Verlängerungen)
Δs1 = l1 – l2 Δs2 = l2 – l3 usw.
253 Beispiel: Für die gegebene Feder wird π (1,5mm)3 N Fmax £ ¹ ¹ 400 9 mm 16 mm 2 Fmax ≤ 29,4 N.
Belastungszunahme ΔF in N
zugehöriger Federweg Δs in mm
ΔF1 = 2 N ΔF2 = 2 N ΔF3 = 2 N ΔF4 = 2 N
Δs1 = 60 mm Δs2 = 60,5 mm Δs3 = 60 mm Δs4 = 59,5 mm
Mittelwert Δsm = 60 mm
und trägt diese Differenzlängen in die vorbereitete Tabelle ein.
12.4.3. Ergebnisse 1. Man zeichnet ein rechtwinkliges Achsenkreuz mit N Kraftmaßstab mK = 4 cm mm Längenmaßstab m L = 60 cm als Kraft-Verlängerungs-Diagramm.
Beachte: mK = 4 N/cm heißt, dass 1 cm „auf dem Papier“ stets 4 N Belastung entspricht. Ebenso bedeutet mL = 60 mm/cm, dass 1 cm auf der Abszissenachse einem Federweg (einer Verlängerung) von 60 mm entspricht.
Die Federwege Δs1, Δs2, ... werden auf der Abszissenachse abgetragen und mit den zugehörigen Belastungen ΔF1, ΔF2, ... die Punkte P1, P2, ... festgelegt. Die Verbindung dieser Messpunkte P ergibt eine Gerade. Sie heißt Federkennlinie: Zylindrische Schraubenfedern mit gleich bleibendem Drahtquerschnitt haben eine gerade Kennlinie. Versuche an Schraubenzug- und -druckfedern mit veränderlichem Drahtquerschnitt oder veränderlichem Windungsradius R ergeben, dass die Federkennlinie keine Gerade ist, sondern eine immer steiler ansteigende Kurve. Solche Federn baut man z.B. in Kraftfahrzeuge ein.
Kraft-Verlängerungs-Diagramm (Federdiagramm) einer zylindrischen Schraubenfeder
254
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen ǻF ǻs
R N cm
ΔF
Δs
N
cm
2. Da die Federkennlinie dieser Feder eine Gerade ist, muss die Federrate R = ΔF /Δs eine Konstante sein, die auf zwei Wegen bestimmt werden kann:
tan α R =
An die Federkennlinie im Kraft-VerlängerungsDiagramm wird ein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet, und dessen Katheten ΔF und Δs gemessen. Der Tangens des Neigungswinkels α der Federkennlinie entspricht der Federrate R. Er ist für jedes eingezeichnete rechtwinklige Dreieck konstant, weil die Kennlinie eine Gerade ist.
R=
ǻF 4N N = = 0,33 ǻ s 12cm cm
R=
ǻ Fm 2N N = = 0,33 ǻ sm 60 mm cm
d.h., es sind 0,33 N Zugkraft erforderlich, diese Feder um 1 cm zu verlängern.
Man kann auch aus den gemessenen Verlängerungen Δs den arithmetischen Mittelwert Δsm = 60 mm bilden. Der zugehörige Mittelwert ΔFm kann hier nur ΔFm = 2 N sein. Aus beiden erhält man ebenfalls die Federrate R. Bei zylindrischen Schraubenfedern mit gleich bleibendem Drahtquerschnitt ist die Federrate R eine Konstante. 3. Wird die Feder schrittweise entlastet und die zugehörigen Längen gemessen, ergeben sich genau die gleichen Beträge wie beim Belasten. Die Entlastungskennlinie deckt sich mit der Belastungskennlinie. Das gilt aber nur dann, wenn die Feder vorher nicht überlastet wurde.
Federn reagieren bei Belastung und Entlastung „spiegelbildlich“, solange sie nicht „überdehnt“ worden sind. Ihre Beanspruchung muss stets im Gültigkeitsbereich des Hooke’schen Gesetzes bleiben (siehe Versuch: Elastizitätsmodul).
4. Wird der Versuch mit einer kürzeren Federlänge wiederholt, kommt man zu einer weiteren Erkenntnis. Dazu wird die Feder so aufgehängt, dass z.B. nur die Hälfte der federnden Windungen i an der Kraftübertragung beteiligt ist. Dann werden nur halb so große Δs-Beträge gemessen wie vorher: Die Feder ist „härter“ geworden. Die Federrate R einer Schraubenfeder mit gleich bleibendem Drahtquerschnitt und Windungsradius ist umgekehrt proportional der Windungszahl i. Das geht auch aus der Gleichung für die Federrate R hervor, die in der Festigkeitslehre hergeleitet worden ist. Die im Versuch gefundene Federrate R kann überprüft werden, wenn man die Größen d, G, i und (D / 2) für die Versuchsfeder in diese Gleichung einsetzt.
R=
d4G 64i( D / 2)3
R N cm
d, D
i
cm
1
G N cm 2
Der Schubmodul G ist eine dem Elastizitätsmodul E entsprechende Werkstoff-konstante bei Torsionsbeanspruchung:
τ Stahl = 80000
N N = 8 ⋅ 106 mm 2 cm 2
12.5. Elastizitätsmodul E (Hooke’sches Gesetz)
255
12.5. Elastizitätsmodul E (Hooke’sches Gesetz) 12.5.1. Versuchsaufbau Zwei senkrecht stehende Rohre von ca. 50 mm Durchmesser tragen eine Traverse aus hochkant stehendem Flachstahl ca. 50 mm × 10 mm. Die beiden Rohrstützen dieses Rahmens stecken in Stativfüßen, die auf möglichst „starren“ Tischen oder Blöcken stehen müssen, weil schon geringe Durchbiegungen das Ergebnis der Messungen verfälschen. Durch eine Bohrung in der Traverse ist ein l0 = 800 mm langer (Einspannlänge) und d = 0,5 mm dicker Stahldraht geführt. Eine Klemmbuchse auf der Traverse hält ihn oben fest, unten eine Klemmschraube in einem Einspannzylinder, der in einer Führung gleiten kann. Die Zylinderführung ist an der linken Rohrstütze festgeklemmt, ebenso wie der Messtaster, auf dessen Uhr die Verschiebung in senkrechter Richtung mit 1/100 mm-Teilung abgelesen werden kann. Zur Belastung des Stahldrahts werden fünf Wägestücke von m = 0,5 kg Masse bereitgestellt.
12.5.2. Versuchsbeschreibung Wie im Versuch „Federrate“ ist auch hier als Erstes die maximale Zugkraft Fmax zu bestimmen. Das ist leichter als bei der Schraubenfeder, weil jetzt die einfach aufgebaute Zughauptgleichung σz = F /A gilt, die nach Fmax aufgelöst wird. Die zulässige Zugspannung σz zul wird für kaltgezogenen Stahl mit 400 N/mm2 angenommen. Wie bei der Bestimmung der Federrate richtet man den Stahldraht durch eine Vorlast ein. Dazu wird ein 1 kg-Wägestück verwendet. Danach setzt man den Messtaster auf den Einspannzylinder, stellt die Messuhr auf null und belastet schrittweise weiter mit ΔF = 5 kg. Die zugehörigen Verlängerungen Δl werden an der Messuhr abgelesen und in die vorbereitete Tabelle eingetragen.
Fmax ≤ Aσ z zul
Fmax
A
N
mm2
σz zul N mm
2
Beispiel:
Für den gegebenen Stahldraht wird Fmax ≤ (0,5mm) 2
ʌ N ⋅ 400 4 mm 2
Fmax ≤ 78,5 N
ΔF
5N
5N
5N
5N
5N
Δt 0,1 mm 0,1 mm 0,1 mm 0,1 mm 0,1 mm
Mittelwert Δlm = 0,1 mm
256
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
12.5.3. Ergebnisse 1. Auch ein auf Zug beanspruchter Stahldraht stellt eine „Feder“ dar, nur sind die Formänderungen so klein (und damit die aufgenommene Formänderungsarbeit), dass erst sehr lange Drähte technisch interessante Verlängerungen ergeben. Wie bei der Schraubenfeder kann auch beim Zugstab die Federrate R = Δ F / Δl bestimmt werden. 2. Auch für den Zugstab gilt: Die Federkennlinie im Kraft-VerlängerungsDiagramm ist eine Gerade.
ǻF 5N N = = 50 ǻlm 0,1mm mm d.h., es sind 50 N Zugkraft erforderlich, den Zugstab um 1 mm zu verlängern. R=
Beachte: Weil die Federkennlinie eine Gerade ist, muss auch die „Zerreißkurve“ bis zur Proportionalitätsgrenze eine Gerade sein (siehe Handbuch Maschinenbau).
Die Federrate R ist eine Konstante. Belastungs- und Entlastungskennlinie decken sich. 3. Eine anschauliche Vorstellung vom Elastizitätsmodul E erhält man mit dem SpannungsDehnungs-Diagramm (σ -ε -Diagramm). Da die Spannung σ = F / A und die Dehnung ε = Δl / l0 ist und da Querschnitt A und Ursprungslänge l0 Konstante sind, muss die SpannungsDehnungskurve ebenso wie die Federkennlinie eine Gerade sein, solange der Zugstab nicht „überdehnt“ worden ist.
Mit Querschnitt A = π d 2/ 4 = π (0,5 mm)2/ 4 = 0,196 mm2 und l0 = 800 mm berechnet man die Differenzspannung Δσ = ΔF / A und die Differenzdehnung Δε = Δlm / l0 und zeichnet für den Messbereich das Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Im Kraft-Verlängerungs-Diagramm ist der Quotient aus der Differenzkraft ΔF und der zugehörigen Verlängerung Δl die Federrate R. Analog dazu ist im Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Quotient aus der Differenzspannung Δσ und der zugehörigen Differenzdehnung Δε der Elastizitätsmodul E des Werkstoffs. Er entspricht dem Tangens des Neigungswinkels α im SpannungsDehnungs-Diagramm. Damit hat man das nach seinem Entdecker benannte Hooke’sche Gesetz nachgewiesen.
ǻσ =
ǻF 5N N = = 25,5 A 0,196 mm 2 mm 2
ǻε =
ǻlm 0,1mm 1 = = l0 800mm 8000
tan α E =
E N mm 2
ǻσ ǻε
Δσ N mm 2
Δε mm mm
Hooke’sches Gesetz N 25,5 2 ǻσ N mm = = 204000 E= 1 ǻε mm 2 8000 Tabellenwert für Stahl EStahl = 210000
N mm 2
(siehe Handbuch Maschinenbau).
12.6. Wärmekapazität WK eines Kalorimeters 4. Der Vergleich des gemessenen mit dem Tabellenwert von E zeigt, dass der gemessene Zahlenwert etwas kleiner ist. Geht man davon aus, dass die Größen ΔF, l0 und A exakt sind, kann der Fehler nur noch in der zu groß gemessenen Verlängerung Δl liegen, z.B. weil sich die Traverse bei Belastung durchgebogen hat.
257 E=
ǻσ ǻF ⋅ l0 ǻF ⋅ l0 1 = = ⋅ ǻε ǻl A ⋅ ǻl A P P E
ǻl
zu klein
zu groß
12.6. Wärmekapazität WK eines Kalorimeters 12.6.1. Versuchsaufbau Zur Verfügung stehen ein Kalorimetergefäß beliebiger Bauart, ein Thermometer mit möglichst großer Teilung und ein Tauchsieder, mit dem man für mehrere Versuchsgruppen etwa 2 l Wasser erwärmen kann.
12.6.2. Versuchsbeschreibung Als Erstes wiegt man das trockene Kalorimeter einschließlich Rührer (sofern vorhanden), Thermometer und Deckel. Diese Masse wird mit m k, leer bezeichnet.
Beispiel: mk, leer = 476 g
Nun füllt man das Gefäß etwa halbvoll mit Leitungswasser und wiegt wieder. Diese Masse wird mit m k1 bezeichnet.
mk1 = 638 g
Man beobachtet das Thermometer und wartet, bis sich eine gleich bleibende Temperatur ϑ1 eingestellt hat.
ϑ1 = 18,5 °C
Nebenher werden etwa 2 l Wasser auf die Temperatur ϑ2 gebracht (Siedetemperatur).
ϑ2 = 100 °C
Mit einem Teil des siedenden Wassers füllt man das Kalorimetergefäß auf und beobachtet die sich einstellende Mischungstemperatur ϑm.
ϑm = 38,5 °C
Die abschließende Wägung des Kalorimeters mit der gesamten Wassermenge ergibt m k2.
mk2 = 694 g
12.6.3. Ergebnisse Die beiden ersten Wägungen liefern die Wassermenge m1 mit der Temperatur ϑ1. Mit der letzten Wägung erhält man die zugegossene Wassermenge m2 mit der Temperatur ϑ2.
m1 = mk1 − mk, leer m1 = 638 g – 476 g = 162 g m2 = mk2 − mk1
m2 = 694 g – 638 g = 56 g
258
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
Angenommen, während des Versuchs ist keine Wärme an die Umgebung abgeflossen, z.B. beim Eingießen des siedenden Wassers, dann muss die vom siedenden Wasser (m2, ϑ2) an das kalte Wasser (m1, ϑ1) und an das Kalorimeter abgegebene Wärme Qab gleich der vom kalten Wasser und Kalorimeter aufgenommenen Wärme Qauf sein.
Qab = m2cw (ϑ 2 − ϑ m )
Die Größe WK heißt Wärmekapazität des Kalorimeters. Sie ist wie m1 cw und m2 cw das Produkt aus einer Masse m und einer spezifischen Wärmekapazität c, erhält also die Einheit J / K oder J/°C.
Die Wärmekapazität WK gibt diejenige Wärme in J an, die je Grad Temperaturdifferenz vom Kalorimeter aufgenommen wird, z.B. J WK = 42,7 K
Die während des Versuchs vom Kalorimeter aufgenommene Wärme wird aus dem Produkt WK · Δϑ berechnet. Dieser Betrag (854 J) muss in die Wärmebilanz Qab = Qauf aufgenommen werden, sonst wird das Ergebnis verfälscht. Die Wärmebilanz wird als Gleichung geschrieben:
Qauf = m1cw (ϑ m − ϑ1) + WK(ϑ m − ϑ1 ) cw = 4,1868
J gK
cw spezifische Wärmekapazität des Wassers
Beispiel: WK Δϑ = WK(ϑm – ϑ1) J = 42,7 (38,5 °C – 18,5 °C) K WK Δϑ = 854 J müssen berücksichtigt werden.
abgegebene Wärme Qab = aufgenommene Wärme Qauf m2cw (ϑ2 – ϑm) = m1cw (ϑm – ϑ1) + WK (ϑm – ϑ1) Aus der Wärmebilanz ergibt sich die gesuchte Bestimmungsgleichung für WK. Die Genauigkeit des Ergebnisses hängt vor allem von der Exaktheit der Temperaturmessungen ab.
WK =
m2cw (ϑ 2 − ϑ m ) − m1cw (ϑ m − ϑ1 )
WK m1, m2 J K
Mit den Wassermengen m1 = 162 g und m2 = 56 g erhält man aus der oben entwickelten Gleichung die gesuchte Wärmekapazität des Kalorimeters zu WK = 42,7 J / K.
g
cw
ϑ1 , ϑ2 , ϑm
J gK
°C
J (100 − 38,5)°C ⋅ − gK (38,5 − 18,5)°C J J – 162 g · 4,1868 = 42,7 K gK
WK = 56 g · 4,1868
12.7. Schmelzenthalpie (Schmelzwärme) qs von Wasser
259
12.7. Schmelzenthalpie (Schmelzwärme) qs von Wasser 12.7.1. Versuchsaufbau Bereit stehen: ein Kalorimetergefäß mit Rührer und Thermometer, Wasser von 40 °C bis 50 °C, Eisstücke und ein Tuch zum Abtrocknen.
12.7.2. Versuchsbeschreibung Das trockene Kalorimeter einschließlich Thermometer und Rührer (mk leer) wird gewogen. Man kann auch ohne Rührer arbeiten und mit dem Thermometer umrühren.
Beispiel: mk, leer = 435 g
Das Kalorimeter wird etwa zur Hälfte mit Wasser von 40–50 °C gefüllt und wieder gewogen (mk1).
mk1 = 566 g
Von diesem Zeitpunkt an liest man in kurzen Zeitabständen die Temperatur ab und notiert sie fortlaufend.
Zeitabschnitte festlegen (z.B. 10 s) und Temperaturen notieren
Aus dem Kühlschrank nimmt man die Eisstücke, trocknet sie kurz ab und füllt das Gefäß damit auf. Unter vorsichtigem Umrühren werden die Temperaturen weiter abgelesen in jetzt kürzeren Zeitabständen.
Wegen der schnell fallenden Temperatur wird der Zeitabschnitt auf 5 s vermindert. Ist alles Eis geschmolzen, geht man wieder zu größeren Zeitabschnitten über.
Abschließend wird das Kalorimeter mit der gesamten Füllung (mk2) gewogen.
mk2 = 606 g
12.7.3. Ergebnisse Zunächst ist nicht bekannt, welche Temperaturen ϑ2 (Beginn des Schmelzens) und ϑ1 (Ende des Schmelzvorgangs) für die spätere Wärmebilanz festzulegen sind. Dazu trägt man auf Millimeterpapier die gemessenen Temperaturen über der Zeit auf und extrapoliert den gefundenen Temperaturgang durch eine Gerade g so, dass die Flächen A2, A1 rechts und links von g etwa gleich groß sind. Die Schnittpunkte A, E legen die gesuchten Temperaturen ϑ2, ϑ1 fest. Aus der Differenz der beiden ersten Wägungen erhält man die Masse mw des eingefüllten Wassers. Die Masse me des zugefüllten Eises ist die Differenz der Massen aus letzter und zweiter Wägung.
mw = mk1 − mk, leer mw = (566 – 435) g = 131 g me = mk2 − mk1
me = (606 – 566) g = 40 g
260
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
Das Eis nimmt beim Schmelzen die Wärme me · qs auf (qs Schmelzwärme); als Wasser erwärmt es sich auf die Temperatur ϑ1. Daraus erhält man die gesamte vom Eis aufgenommene Wärme Qe.
Qe = me qs + me cwϑ1
Während dieses Vorgangs kühlt sich das Wasser im Kalorimeter und das Kalorimeter selbst auf die Endtemperatur ϑ1 ab. Mit der Menge mw des Wassers und der Wärmekapazität WK des Kalorimeters (siehe 12.6) lässt sich die abgegebene Wärme Qab bestimmen.
Qab = (cw mw +WK ) (ϑ2 − ϑ1 )
Aus der Bedingung, dass beide Wärmemengen gleich groß sein müssen, erhält man die Bestimmungsgleichung für die Schmelzenthalpie hs von Eis.
hs = hs
cw
mw , me
Mit der Wassermenge mw = 131 g, der Eismenge me = 40 g und der vorher ermittelten Wärmekapazität WK = 42,7 J/K für das verwendete Kalorimeter wird mit der oben entwickelten Gleichung die gesuchte Schmelzenthalpie (Schmelzwärme) hs = 342 J/g (Tabellenwert hs = 335 J/g) berechnet.
J g
J gK
g
12.8. Mechanisches Wärmeäquivalent 12.8.1. Versuchsaufbau Die Grundplatte des Geräts wird so am Tisch festgeklemmt, dass ein 5-kg-Wägestück frei herabhängen kann. Die in der Grundplatte gelagerte Handkurbel trägt am anderen Ende einen Drehverschluss, an den man das Kalorimeter (zylindrisches Kupfergefäß) ansetzt. Die geflochtene Kupferlitze (Band) wird Schlag neben Schlag vier- bis fünfmal um das Kalorimeter gelegt. An einem Ende hängt man das 5-kgWägestück ein, am anderen Ende die Zugfeder, deren Spannung sich mit einem Steckstift verändern lässt. Die Anzahl der Umwicklungen der Kupferlitze wird so abgestimmt, dass das Wägestück beim Drehen der Handkurbel über dem Fußboden schwebt und die Zugfeder nur gering gespannt ist. Schwingt das Wägestück beim Drehen der Handkurbel, müssen Band und Kalorimeter mit einem Putzmittel von der Oxidhaut befreit werden.
Qe = me (qs + cwϑ1 ) cw = 4,1868
(spezifische Wärmekapazität von Wasser)
cw mw + WK (ϑ2 − ϑ1 ) − cwϑ1 me
4,1868 hs =
J gK
WK ϑ1, ϑ2 J °C K
J J ⋅ 131g + 42,7 gK K (45 − 17)°C − 40g
– 4,1868
J J · 17 °C = 342 g K
12.8. Mechanisches Wärmeäquivalent
261
12.8.2. Versuchsbeschreibung Man wiegt das trockene Kalorimeter (mk, leer) ohne Thermometer, füllt es mit etwa 50 bis 60 g Leitungswasser und wiegt mk, voll.
Beispiel: mk, leer = 100 g mk, voll = 156 g
Da beim Versuch eine Temperaturerhöhung um etwa 6 °C zu erwarten ist, sollte die Temperatur des Wassers bei Versuchsbeginn etwa 3 °C unter der Raumtemperatur liegen, um die Wärmeaufnahme und -abgabe auszugleichen. Man bestimmt noch die Masse m Band des geflochtenen Kupferbands und legt es vier- oder fünfmal um das aufgesteckte Kalorimeter.
mBand = 19 g
Am eingesteckten Thermometer wird die Anfangstemperatur ϑ1 festgestellt und mit der Zufuhr von Reibarbeit durch Drehen der Handkurbel begonnen.
ϑ1 = 18,0 °C
Nach je 50 Kurbelumdrehungen wird die Temperatur abgelesen und nach 200 oder 250 Umdrehungen die Endtemperatur ϑ2.
ϑ2 = 23,2 °C
Abschließend wird mit einem Messschieber der Durchmesser d des Kalorimeters und die Dicke s des Kupferbands gemessen.
d = 46,8 mm; r = 0,0234 m s = 1,2 mm
12.8.3. Ergebnisse Mit den Ergebnissen der Temperaturmessungen wird ein Diagramm gezeichnet, indem über der Anzahl z der Kurbelumdrehungen die zugehörigen Temperaturwerte aufgetragen werden. Verbindet man die Punkte miteinander, erkennt man den linearen Anstieg der Temperatur ϑ mit den Kurbelumdrehungen, denn die Verbindungslinie ist eine Gerade.
Aus Anfangs- und Endtemperatur ϑ1, ϑ2 wird die Temperaturdifferenz ΔT bestimmt. Die Masse m w des zugefüllten Wassers ergibt sich aus der Massendifferenz beider Kalorimeterwägungen.
ΔT = ϑ2 – ϑ1 = (23,2 – 18,0) °C ΔT = 5,2 °C = 5,2 K mw = mk, voll – mk, leer mw = 156 g – 100 g = 56 g
262
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
Bekannt ist, dass die aufgebrachte (zugeführte) mechanische Arbeit Wmech gleich der damit erzeugten Wärme Q (oder thermischen Energie Eth) sein muss. Das soll hier nachgewiesen werden. Zunächst bestimmt man die aufgebrachte mechanische Arbeit Wmech (Dreharbeit). Die Drehoder Rotationsarbeit Wmech = Wrot ist das Produkt aus dem aufgebrachten Drehmoment M und dem Drehwinkel Δϕ = 2 π z. Das an der Handkurbel aufgebrachte Drehmoment M muss gleich dem Drehmoment am zylindrischen Kalorimetergefäß sein, d.h. gleich dem Produkt aus der Gewichtskraft FG = mg = 5 kg · 9,81
m = 49,05 N s2
Wmech = Eth = Q
Wmech = M 2ʌ z
sˆ Ê M = FG Á r + ˜ Ë 2¯
sˆ Ê Wmech = FG Á r + ˜ 2 ʌ z Ë 2¯
und dem Wirkabstand r+
s = 23,4 · 10–3 m + 0,6 · 10–3 m = 24 · 10–3 m. 2
Die Rechnung ergibt einen mechanischen Arbeitsaufwand von 1480 Nm = 1480 J.
1, 2 · § –3 Wmech= 49,05 N ¨ 23, 4 + ¸ · 10 m·2π · 2 ¹ © 200 Wmech= 1480 Nm = 1480 J (1 Nm = 1 J)
Die damit erzeugte Wärme Q = thermische Energie Eth setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
Q = Qk + Qw
Kalorimeter und Kupferband haben die Wärme Qk = (mk, leer + mBand) cCu ΔT aufgenommen, das eingefüllte Wasser die Wärme Qw = mw cw ΔT.
Q = ǻϑ [cCu ( mk,leer + mBand ) + cw mw ]
Die Rechnung ergibt eine durch die mechanische Arbeit erzeugte Wärme von 1460 J. Die Abweichung von der oberen berechneten mechanischen Arbeit von 1480 Nm = 1480 J beträgt etwas mehr als 1 %. Dieser Fehler kommt vor allem dadurch zustande, dass man die Temperaturen nicht genau genug ablesen kann. Die Gleichwertigkeit (Äquivalenz) von mechanischer Arbeit und Wärme ist jedoch ausreichend genau nachgewiesen worden. Schon eine um 0,07 K höhere Temperaturdifferenz ΔT ergäbe Übereinstimmung von mechanischer Arbeit und Wärme.
Ê J Q = 5, 2K Á 390 ¹ 0,119 kg + kg K Ë + 4187
ˆ J ¹ 0,056 kg˜ kg K ¯
Q = 1460 J = 1460 Nm Berechnet mit den spezifischen Wärmekapazitäten für cw = 4187 J/kg K und Kupfer cCu = 390 J/kg K nach Tabelle 5.3
12.9. Elektrisches Wärmeäquivalent
263
12.9. Elektrisches Wärmeäquivalent 12.9.1. Versuchsaufbau Das Kalorimetergefäß mit Deckel, Rührer und Thermometer (möglichst mit 1/20-Gradteilung) enthält zwei Heizwiderstände, denen über zwei Buchsen elektrische Energie zugeführt wird. Zwei weitere Buchsen dienen zur Hintereinanderschaltung der beiden Heizwiderstände (Heizwendel). Zum Messen von Strom I und Spannung U stehen zwei Geräte zur Verfügung. Die elektrische Energie liefert ein Akkumulator oder ein Niederspannungs-Netzgerät. Die Geräte schließt man nach der Schaltskizze an.
Schaltskizze
12.9.2. Versuchsbeschreibung Durch Wägen des Kalorimeters leer und mit destilliertem Wasser gefüllt, wird die Masse mw der Füllung bestimmt. Destilliertes Wasser (kein Salz) verhindert elektrolytische Vorgänge. Bleibt die Temperatur ϑ1 konstant (rühren!), schaltet man Stromfluss und Uhr ein. Vier Messungen laufen nun parallel: elektrischer Strom I, elektrische Spannung U, Zeitabschnitt Δt, Endtemperatur ϑ2.
Beispiele: mw = 170 g
(200 g)
ϑ1 = 18,5 °C
(19,1 °C)
I = 2,7 A U = 4,7 V Δt = 300 s = 5 min ϑ2 = 23,6 °C
(2,2 A) (4,6 V) (300 s) (22,5 °C)
Der Versuch steht und fällt mit der Exaktheit des Temperaturausgleichs (rühren!) und der Genauigkeit, mit der die Temperatur abgelesen wird.
12.9.3. Ergebnisse Bekannt ist, dass die aufgebrachte (zugeführte) elektrische Arbeit Wel gleich der damit erzeugten Wärme Q (oder thermischen Energie Eth) sein muss.
Wel = Eth = Q Q = mc ǻΤ Wel = U I ǻt
Zunächst wird die aufgebrachte elektrische Arbeit Wel bestimmt. Aus der Elektrizitätslehre (Kap. 10) ist bekannt, dass elektrische Arbeit das Produkt aus der Spannung U, der Stromstärke I und dem zugehörigen Zeitabschnitt Δt ist. Die Rechnung ergibt einen elektrischen Arbeitsaufwand von 3810 Ws. Beachte, dass 1 VAs = 1 Ws = 1 Nm = 1 J ist.
Wel = 4,7 V · 2,7 A · 300 s = 3810 VAs Wel = 3810 Ws = 3810 Nm = 3810 J (Wel = 4,6 V · 2,2 A · 300 s = 3036 J)
264
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
Die damit erzeugte Wärme Q setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
Q = Qw + Qk Q = mw cw ΔT + WK ΔT
Das eingefüllte Wasser hat die Wärme Qw = mw cw ΔT aufgenommen, das Kalorimeter (mit seinen benetzten Teilen) die Wärme Q k = WK ΔT. WK ist darin die nach 12.6 vorher bestimmte oder vom Hersteller angegebene Wärmekapazität des Kalorimeters (hier WK = 37 J/K).
Q = ǻΤ (mw cw + WK )
Die Rechnung ergibt eine durch die elektrische Arbeit erzeugte Wärme von 3319 J (im zweiten Versuch 2972 J). Mit geringer Abweichung gegenüber der vorher berechneten elektrischen Arbeit von 3810 J (3036 J) konnte die Gleichwertigkeit beider Energieformen nachgewiesen werden.
Q J = Nm =Ws
ΔT
K
mw
cw
WK
kg
J kgK
J K
Q = 5,1 K (0,17 kg · 4187
J J + 37 ) kg K K
Q ≈ 3819 J = 3819 Ws Q = 3,4 K (0,2 kg · 4187
J J + 37 ) kg K K
Q ≈ 2972 J
12.10. Periodendauer T eines Federpendels 12.10.1. Versuchaufbau Zwischen zwei Tischen wird ein Stativrahmen augebaut. An seine Traverse hängt man eine zylindrische Schraubenfeder. Die Federrate R ist bekannt oder wird nach 12.4 ermittelt. Bevor die Wägestücke als Schwinger ausgewählt werden, muss man wie im Versuch 12.4 die maximal zulässige Belastung Fmax berechnen. Darüber hinaus ist auch noch die maximal zulässige Auslenkung Δsmax der Feder zu ermitteln. Das geschieht mit einer Gleichung, die hier nicht entwickelt werden kann und deshalb aus der Festigkeitslehre übernommen wird. Die zur Rechnung erforderlichen Größen werden zusammengestellt und damit Fmax und Δsmax berechnet: Größe
Beispiel
π d3 π ⋅ 3,38 mm3 N ⋅ τ zul = ⋅ 400 16 ( D/2) 16 ⋅ 9 mm mm 2
Drahtdurchmesser d
d = 1,5 mm
Fmax=
D mittlerer Windungsradius 2
(D / 2) 9 mm
Fmax= 29,5 N; also m ≈ 3 kg.
zul. Torsionsspannung τ t zul
τ t zul = 400
Anzahl der federnden Windungen i
i = 80
Schubmodul G
G = 80000
N mm2
N mm2
Δsmax=
8 d m3 i Fmax Gd4
Δsmax=
8 ⋅ (18 mm)3 ⋅ 80 ⋅ 29,5 N ⋅ mm 2 = 275 mm 80000 N ⋅5 mm 4
12.11. Federrate R (Richtgröße D) einer zylindrischen Schraubenfeder
265
12.10.2. Versuchsbeschreibung und Ergebnis Die Schwingungsdauer T eines Federpendels ist proportional der Quadratwurzel des Quotienten aus Masse m und Federrate R : T
m R
Gesucht wird der Proportionalitätsfaktor K. Dazu misst man für 20 Schwingungen die Schwingungszeit t20 und ermittelt daraus die Schwingungsdauer T. Dazu wird der Wurzelausdruck m / R und damit K = t / m / R berechnet, es ergeben sich Werte um 6,3. Damit ist die Schwingungsgleichung nach 6.5.4 T = 2π
m = 6,28 R
m R
Beispiel: Zylindrische Schraubenfeder mit c = 33,8 Nm Messreihe Größe 1 2 3 Masse m des 0,5 kg 1 kg 1,5 kg Schwingers Schwingungszeit 15,4 s 21,8 s 26,6 s t20 Schwingungsdauer 0,77 s 1,09 s 1,33 s T = t20 : 20 m R
0,1218 s 0,172 s
Proportionalitätsfaktor T K = m R
6,33
6,34
0,2104 s
6,32
12.11. Federrate R (Richtgröße D) einer zylindrischen Schraubenfeder 12.11.1. Versuchsaufbau (wie in 12.10) 12.11.2. Versuchsbeschreibung und Ergebnis Unter Berücksichtigung von Fmax und Δsmax nach 12.10.1 hängt man ein Wägestück an und misst die Schwingungsdauer T. Dazu wird die gleiche Feder benutzt. Zur Berechnung der Federrate R wird die Gleichung aus dem Abschnitt 6.5.4 genommen.
Beispiel: Masse m = 1 kg Schwingungsdauer T = 1,09 s R=m
R=m
Die Einheit N/m für R erhält man durch Erweitern des Bruchs kg/s2 mit der Einheit Meter (m).
4ʌ 2 T2
R N m
m
T
kg
s
4π 2 4π 2 kg = 1 kg ⋅ = 33, 2 2 2 2 T (1,09 s) s
R = 33, 2
kg m N = 33, 2 m s2 m
266
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
12.12. Trägheitsmoment J 12.12.1. Versuchsaufbau Ein Stahldraht von d = 1,5 mm Durchmesser und l = 500 mm Einspannlänge hängt als Torsionsstab lotrecht in der oberen Einspannung und wird dicht über dem unteren Ende fast reibungsfrei geführt, sodass die zylindrischen Prüfkörper Torsionsschwingungen ausführen können. Beide Prüfkörper sind Messingstäbe (Dichte r = 8,5 g / cm3) von gleichem Querschnitt: A1 = A2 = 0,785 cm2 (d1 = d2 = 1 cm). Die Stablängen betragen: l1 = 500 mm, l2 = 960 mm.
12.12.2. Versuchsbeschreibung Zuerst spannt man den kurzen Messingstab (Prüfkörper 1) mittig ein, setzt ihn in Drehschwingungen und misst die Periodendauer, z.B. t30 für z = 30 Perioden. Aus T = t / z wird dann die Periodendauer T1 bestimmt, ebenso die Periodendauer T2 für den längeren Prüfkörper 2.
12.12.3. Ergebnisse Für geometrisch einfache Körper wie den Prüfkörper 1 wurden Gleichungen zur Berechnung des Trägheitsmoments entwickelt. Mit der für den Kreiszylinder nach Abschnitt 2.7.9.4 gültigen Gleichung ergibt sich die Rechnung J1 = 6,95 · 104 g cm2 (h = l eingesetzt).
Beispiel: t30 = 58 s t30 58s = = 1,93s z 30 T2 = 5,17s T1 =
J1 = J1 =
1 4 ˆ Ê r ʌ d 2l Á d 2 + l 2 ˜ Ë 64 3 ¯ 1 g ⋅ 8,5 3 ⋅ ʌ ⋅ 1 cm 2 · 50 cm · 64 cm 4 Ê ˆ · Á1cm 2 + ¹ 2500cm 2 ˜ Ë ¯ 3
J1 = 6,95 · 104 g cm2
12.13. Aufnahme eines Amplituden-Frequenz-Diagramms (Resonanzkurve) Das Trägheitsmoment J2 des Prüfkörpers 2, hier also des längeren Messingstabs, wird als nicht oder nur umständlich berechenbar angesehen. Prüfkörper 2 vertritt hier die Stelle eines kompliziert aufgebauten technischen Bauteils, z.B. einer Kupplungsscheibe mit Nuten, Bolzen, Rippen usw. Die Gleichung T = 2π J / R für beide Körper angesetzt und durcheinander dividiert, ergibt eine Gleichung für das unbekannte Trägheitsmoment J2. Darin erscheinen neben dem bekannten J1 nur die gemessenen Schwingungsdauern T1, T2. Zu sehen ist, dass J2 > J1 ist (etwa das 7fache), weil beim Prüfkörper 2 mehr Masse weiter von der Drehachse entfernt liegt als beim Körper 1. Der geometrisch einfach aufgebaute Prüfkörper 2 ermöglicht es, das Versuchsergebnis durch die Rechnung zu überprüfen. Die Übereinstimmung ist recht gut.
267
T12 4ʌ 2 J1 c J = = 1 T22 4ʌ 2 J 2 c J 2
J 2 = J1
T22 T12
J2 = 69,5 · 103 g cm2 ·
(5,17s) 2 (1,93s) 2
J2 = 49,9 · 104 g cm2 J2 = 49,9 · 104 g cm2 > J1 = 6,95 · 104 g cm2
J2 =
1 4 ˆ Ê r ʌ d 2l Á d 2 + l 2 ˜ Ë 64 3 ¯
J2 = 49,9 g cm2
12.13. Aufnahme eines Amplituden-Frequenz-Diagramms (Resonanzkurve)
12.13.1. Versuchsaufbau An einem Freiträger aus Stativmaterial sind zwei Schwerependel befestigt. Die Pendelkörper sind Wägestücke von m = 100 g. Das Erregerpendel 1 hängt an einer Doppelschnur, die es in der Schwingungsebene hält. Seine Länge l1 ≈ 35 cm bleibt während des Versuchs konstant. Die Länge l2 des Resonanzpendels 2 dagegen wird über eine Schiebebuchse an der senkrechten Stativstange verändert. Die Anschlagleiste sichert für jeden Versuchsdurchgang beim Einleiten der Schwingung die gleiche Auslenkung des Erregerpendels. Mit der Messstange sollen die Auslenkungen des Resonanzpendels gemessen werden. Sie ist dazu in der Höhe verstellbar und mit Millimeterpapier beklebt.
268
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
12.13.2. Versuchsbeschreibung Die Länge l2 des Resonanzpendels 2 wird so eingestellt, dass vier Längen l2 < l1, eine Länge l2 ≈ l1 und vier Längen l2 > l1 sind. Je zwei Längen sollten möglichst dicht bei l1 liegen. Die Messstange muss vor jedem Durchgang so eingerichtet werden, dass man die Amplitude A stets an der gleichen Stelle des Resonanzpendels ablesen kann. Die Anschlagleiste bleibt während des ganzen Versuchs an gleicher Stelle stehen, damit die Energie des Erregerpendels gleich groß ist. Bei jedem Durchgang lässt man das Erregerpendel 1 von der Anschlagleiste aus schwingen und liest die größte Auslenkung A ab, die das zu Beginn ruhende Resonanzpendel 2 erreicht. Dann rückt man die Messstange zur Seite und ermittelt die Periodendauer Δt10 für z = 10 Perioden des Resonanzpendels. Da die Periodendauer T beim Schwerependel von der Amplitude unabhängig ist, kann das Pendel beliebig weit ausgelenkt werden. Allerdings gilt für die Auslenkung um den Winkel α die Einschränkung nach 6.7 (α < 14°). Amplitude A und Periodendauer t10 werden in die Tabelle eingetragen. Nach dem letzten Durchgang ermittelt man noch die Periodendauer t10 E für z = 10 Perioden des Erregerpendels.
12.13.3. Ergebnisse Erregerpendel 1 (Oszillator) und Resonanzpendel 2 (Resonator) sind über den Freiträger miteinander gekoppelt (6.11), damit tauschen beide Pendel Energie aus. Je mehr sich die Länge l2 des Resonanzpendels der Länge l1 des Erregerpendels nähert, desto mehr Energie wird von 1 nach 2 übertragen. Das erkennt man am besten in einem Diagramm. Aus der Periodendauer Δ t10 und der Anzahl z der Perioden wird für jeden Durchgang die Periodendauer T = Δ t10 / z berechnet. Das ist zugleich der Kehrwert der Frequenz f. Auf der Abszissenachse wird T = 1 / f aufgetragen (nicht f, weil sich 1 / f = 0,9; 1,0; 1,1 usw. leichter übertragen lässt). Das ändert nichts an der Charakteristik der Kurve. Als Ordinaten trägt man die gemessenen Amplituden der neun Durchgänge über den zugehörigen Abszissen ein.
gemessen Durch- Ampli- Periogang tude A dendauer Δ t10
in mm
in s
1
2
9
2
2,5
10
3
5
11
4
22
12
5
33
12,5
6
27
12,8
7
12
13
8
7
14
9
3
15
Erregerpendel
–
12,5
berechnete Periodendauer 1 ǻ t10 T = = f z in s 9 = 0,9 10 10 = 1,0 10 11 = 1,1 10 12 = 1, 2 10 12,5 = 1, 25 10 12,8 = 1, 28 10 13 = 1,3 10 14 = 1, 4 10 15 = 1,5 10 12,5 = 1, 25 10
12.14. Querwellen auf der Schraubenfeder
269
Man erkennt, dass Resonanz, d.h. maximale Energieübertragung, bei gedämpften Schwingungen dann zu erwarten ist, wenn Erreger und Mitschwinger etwa gleiche Frequenz besitzen (siehe 6.10.5, Seite 118).
12.14. Querwellen auf der Schraubenfeder 12.14.1. Versuchsaufbau Aus drei bis vier Schraubenfedern von je 1 m Länge setzt man eine lange Feder zusammen. Das eine Ende wird an einer Stativstange befestigt, das andere an dem Kraftmesser, der ebenfalls an einer Stativstange hängt. Werden die in 12.4. untersuchten Federn benutzt, braucht man einen etwa 30 N belastbaren Kraftmesser. Innerhalb dieses Bereichs wird die Feder auf verschiedene Längen gespannt, indem man die Tische auseinander rückt. Die Feder hängt durch, was keinen Einfluss auf die Messungen hat.
12.14.2. Versuchsbeschreibung und Ergebnisse Im ersten Versuchsgang wird am linken Federende durch Anzupfen eine Querstörung (Wellenberg) erregt und ihre Laufzeit Δt für mehrere Durchläufe gemessen. Wegen der starken Dämpfung kann die Querstörung nur drei bis vier Durchläufe lang beobachtet werden.
Querstörung einleiten und Laufzeit Δt als Mittelwert aus mehreren Versuchen mit unveränderter Spannlänge l und Spannkraft F bestimmen.
Dann misst man die Spannlänge l der Feder, liest die Spannkraft F am Kraftmesser ab und berechnet aus der Spannlänge l und Anzahl der Durchläufe der Querstörung ihren Laufweg Δs.
Spannlänge l messen und Spannkraft F ablesen. Laufweg Δs = Spannlänge l · Anzahl der Durchläufe.
Spannlänge l, Spannkraft F, Laufweg Δs und Laufzeit Δt werden in eine vorbereitete Tabelle eingetragen. Im zweiten Versuchsgang hängt man die Feder aus dem Kraftmesser aus, nimmt das freie Federende in die Hand, spannt die Feder auf die ursprüngliche Spannlänge l und erregt durch Aufund Abschwingen eine stehende Welle mit einem Knoten in der Mitte der Feder. Dann sind Spannlänge l und Wellenlänge λ offenbar gleich. Dazu wird die Zeit Δtz für z = 10 Schwingungen gemessen.
Stehende Welle mit l = λ erregen. Schwingungszahl z und zugehörige Schwingungszeit Δtz messen und in dieselbe Zeile der Tabelle eintragen wie die Größen aus dem ersten Versuchsdurchgang.
270
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
Die beiden Versuchsgänge wiederholt man mehrfach mit veränderten Spannlängen l und Spannkräften F und bestimmt zum Schluss durch Wägen die Masse m der Feder.
Die Masse der Feder beträgt im Beispiel m = 0,5 kg.
Aus den Tabellenwerten kann nun die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Querwelle auf der Schraubenfeder bei den verschiedenen Spannlängen l und Spannkräften F berechnet werden. Dafür gibt es drei verschiedenen Wege: Man berechnet c aus Laufweg Δs und Laufzeit Δt aus dem ersten Versuchsgang;
c=
man berechnet c aus Spannkraft F, Spannlänge l und Federmasse m ebenfalls mit den Werten aus dem ersten Versuchsgang;
c=
Fl m
man berechnet c mit Hilfe der Periodenzahl z und der Schwingungszeit Δtz der stehenden Welle mit den Werten aus dem zweiten Versuchsgang.
c=λ
z ǻtz
Die Rechnungen ergeben nur geringe Abweichungen bei gleich bleibender Spannkraft und -länge. Dagegen zeigt sich, dass mit zunehmender Spannkraft und -länge die Ausbreitungsgeschwindigkeit c zunimmt.
Da c = F l / m ist, muss mit größerem F und l auch c wachsen (F und l stehen im Zähler des Bruchs!).
Nr. Spann- Spannlänge l kraft F in m = in N Wellenlänge 1
4,6
12,26
ǻs ǻt
Laufweg Laufzeit Perioden- PeriodenΔs in m Δt in s zahl z dauer Δtz in s
Ausbreitungsgeschwindigkeit c in m /s aus c=
27,5
2,6
10
4,5
ǻs c= ǻt
10,6
Fl c = λ f = λ z ǻtz m
10,3
10,2
12.15. Polarisation mechanischer Querwellen
271
12.15. Polarisation mechanischer Querwellen 12.15.1. Versuchsaufbau Aus Stativstangen wird ein oben und unten geschlossener senkrechter „Spalt“ gebaut (der Polarisator) und die etwa 3,5 m lange Schraubenfeder hindurchgeführt. Ein Ende der Feder wird eingespannt. Der Analysator wird ausgeschwenkt.
12.15.2. Versuchsbeschreibung und Ergebnisse Am freien Federende erregt man Querstörungen und beobachtet das Fortschreiten der Störungen durch den Spalt: 1. Querstörungen, deren Schwingungsebene in Spaltrichtung liegt, laufen ungehindert durch den Spalt. 2. Querstörungen, deren Schwingungsebene rechtwinklig zur Spaltrichtung liegt, werden am Spalt reflektiert. Hinter dem Spalt bleibt die Feder in Ruhe. 3. Querstörungen, deren Schwingungsebene beliebig schräg zur Spaltrichtung liegt, werden aufgelöst in eine parallel zum Spalt liegende Komponente, die hinter dem Spalt weiterläuft, und in eine rechtwinklig zum Spalt liegende Komponente, die reflektiert wird. 4. Aus zirkular oder elliptisch polarisierten Querwellen (durch Kreisbewegung am Federende erzeugt) „siebt“ der Polarisator die in seiner Richtung liegende linear polarisierte Komponente heraus. Wird der Spalt um 90° gedreht, erhält man die andere linear polarisierte Komponente. Zirkular oder elliptisch polarisierte Querwellen setzen sich demnach aus zwei linear polarisierten Querwellen zusammen, die in zwei rechtwinklig zueinander stehenden Ebenen schwingen.
272
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
5. Stellt man hinter dem Polarisator einen Analysator auf (siehe Versuchsaufbau), – –
geht die Querstörung ungehindert durch beide Spalte, wenn beide in Richtung der Schwingungsebene liegen; geht keine Störung durch den Analysator, wenn beide Spaltrichtungen rechtwinklig zueinander stehen.
Vergleiche das Auslöschen der mechanischen Welle mit der Polarisation des Lichts. 6. Wird in der Feder eine Längsstörung durch Zusammenziehen einiger Federwindungen erregt, zeigt sich, dass sie ungehindert durch den Spalt läuft, gleichgültig wie er steht. Polarisation ist also nur bei Querwellen möglich.
12.16. Stehende Schallwellen 12.16.1. Versuchsaufbau Ein beiderseitig offener Glaszylinder wird unten durch einen Gummistopfen verschlossen, durch den eine dünne Glasröhre mit Gummischlauch und Quetschhahn geführt ist. Über der oberen Öffnung befestigt man an der Stativstange eine Stimmgabel und füllt den Glaszylinder mit Wasser.
12.16.2. Versuchsbeschreibung Man schlägt die Stimmgabel an und lässt das Wasser durch Lösen des Quetschhahns langsam ausfließen.
12.16.3. Ergebnisse Die Stimmgabel (Erreger) zwingt der Luftsäule im Glaszylinder die Frequenz f auf. Die Eigenfrequenz f0 der Luftsäule ist von ihrer Länge abhängig. Stimmen Erregerfrequenz f und Eigenfrequenz f0 überein, liegt also Resonanz vor, bilden sich in der stehenden Welle größere Amplituden aus, der Ton ist besonders deutlich zu hören. Bei stehenden Wellen liegt am festen Ende ein Bewegungsknoten, am losen Ende ein Schwingungsbauch. Der Wasserspiegel stellt das feste Ende dar. Mit sinkendem Wasserspiegel wird der Ton zunehmend lauter, bis bei l = λ / 4 das Maximum erreicht ist. Das Ergebnis ist ungenau, weil der Schwingungsbauch etwas vor dem oberen Ende des Glaszylinders liegt.
Beispiel: Wir messen l =
λ
= 0,19 m 4 Bei 20 °C beträgt die Schallgeschwindigkeit m in der Luft 344 ; damit wird s c c = 453 Hz f = = λ 4l Die tatsächliche Erregerfrequenz der Stimmgabel beträgt 440 Hz.
12.17. Elektrische Feldlinienbilder
273
12.17. Elektrische Feldlinienbilder 12.17.1. Versuchsaufbau Es werden die elektrischen Feldlinien von verschiedenen flachen Elementen untersucht: (1) Modell eines Plattenkondensators, (2) konzentrische Ringelektroden, (3) zwei Kreiselektroden, (4) lineare Elektrode und Kreiselektrode. Diese auf Plexiglas aufgebauten Modelle werden nacheinander auf einen Tageslichtprojektor gelegt und an ein Hochspannungsgerät (0 bis 25 kV) angeschlossen. Auf die Elemente wird eine flache Küvette gestellt, die mit einer Mischung aus Rizinusöl und Grieskörnchen gefüllt wird. Eine andere Möglichkeit besteht darin, auf die Modelle mikroskopisch feine Kunststofffäden fein aufzustreuen.
Modelle:
12.17.2. Versuchsbeschreibung und Ergebnisse Die Spannung wird so lange erhöht, bis sich an den Elektroden Ketten von Grieskörnern (oder ausgerichteten Kunststofffäden) bilden, die insgesamt ein Bild des Feldverlaufes geben. Ergebnis: Die Feldlinien treten senkrecht aus den Elektroden aus. (1) Im Innern des Plattenkondensators sind die Feldlinien parallel. (2) Zwischen den Ringelektroden verläuft das elektrische Feld radialsymmetrisch. Der Bereich in der inneren Elektrode ist feldfrei. (3) Bei zwei geladenen Kreiselektroden verlaufen die Feldlinien von einer Elektrode zur anderen. (4) Eine lineare Elektrode verzerrt das (eigentlich radialsymmetrische) Feld einer Kreiselektrode.
Verlauf elektrischer Feldlinien:
274
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
12.18. Magnetische Feldlinienbilder 12.18.1. Versuchsaufbau I Es wird eine Folie auf einen Tagelichtprojektor gebracht. Darauf wird ein kleiner Flachstab-Permanentmagnet gelegt. Mit einer Magnetnadel (kleiner Kompass in transparentem Gehäuse) werden die magnetischen Feldlinien abgefahren.
Magnetische Feldlinien eines Stabmagneten:
12.18.2. Versuchsbeschreibung und Ergebnisse I Die Magnetnadel wird schrittweise so verschoben, dass sie immer tangential zur Bahnkurve zeigt. Die Schritte werden durch Punkte markiert und verbunden. Ergebnis: Man verbindet die Punkte und erhält Bilder der magnetischen Feldlinien. Die Feldlinien treten an einem Pol aus und münden in mehr oder weniger weit geschwungen Bögen am anderen Pol.
12.18.3. Versuchsaufbau II Es wird eine Spule verwendet, die in axialer Richtung von einer Plexiglasscheibe gehalten wird. Die Spule wird auf einen Tageslichtprojektor gelegt und mit einem Hochstromgerät (12 V-/20 A) verbunden. Der Strom wird eingeschaltet und es werden Eisenfeilspäne auf die waagerechte Plexiglasscheibe gestreut. Ergebnis: Die Späne ordnen sich entlang der magnetischen Feldlinien. Im Innern der stromdurchflossenen Spule herrscht ein axial gerichtetes gleichmäßiges Magnetfeld.
Magnetische Feldlinien einer stromdurchflossenen Spule:
12.19. Elektrischer Widerstand R
275
12.19. Elektrischer Widerstand R 12.19.1. Versuchsaufbau Es wird ein Draht zwischen zwei IsolierHalterungen ausgespannt. Die beiden Enden werden mit einer Spannungsquelle verbunden (3 V und 2 A). In den Schaltkreis werden ein Ampere- und ein Voltmeter eingebaut. Es werden mehrere Konstantandrähte mit verschiedenen Durchmessern untersucht. (Der Widerstand von Konstantan ist weitgehend unabhängig von der Temperatur.) Vor jeder Schaltung muss die Spannungsquelle abgeschaltet werden. In dem Versuch werden Strom I und Spannung U gemessen.
Schaltbild:
Experiment:
12.19.2. Versuchsbeschreibung und Ergebnisse Ohm’sches Gesetz In den Stromkreis wird ein Draht eingespannt. Die Spannung U wird schrittweise von null an erhöht und die zugehörige Stromstärke I notiert. Ergebnis: Die Stromstärke I nimmt linear mit der Spannung U zu. Der Quotient aus U und I ist der elektrische Widerstand R = U / I, welcher konstant ist.
Beispiel: Konstantandraht (Durchmesser d = 0,35 mm, Länge l = 1,5 m) U V
I A
R Ω
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
0,063 0,125 0,186 0,250 0,312
7,94 8,00 8,06 7,97 8,01
Abhängigkeit des Widerstandes von der Leiterlänge In den Stromkreis wird ein Draht eingespannt. Die Spannung U wird konstant gehalten. Die Länge l des Drahtes wird verändert und die Stromstärke I gemessen. Vor jeder Änderung im Stromkreis muss die Spannungsquelle ausgeschaltet werden. Aus U und I wird der Widerstand R berechnet. Ergebnis: Die Stromstärke I nimmt mit zunehmender Drahtlänge l ab. Daraus folgt, dass der Widerstand der Länge l eines Leiters proportional ist. R ~ l.
Beispiel: Konstantandraht (Durchmesser d = 0,35 mm, Spannung U = 2 V) l m
I A
R Ω
0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50
1,50 0,75 0,50 0,38 0,30 0,25
1,33 2,67 4,00 5,33 6,67 8,00
276
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
Abhängigkeit des Widerstandes vom Leiterquerschnitt In den Stromkreis werden bei gleicher Spannung U nacheinander Drähte mit verschiedenem Durchmesser d aber gleicher Länge l eingespannt. Aus dem Durchmesser d wird die Querschnittsfläche ermittelt. Für jeden Draht wird die Stromstärke I gemessen. Aus U und I wird der Widerstand R berechnet.
Beispiel: Konstantandraht (Durchmesser d = 0,35, 0,5 und 0,7 mm, Länge 1 m, Spannung U = 2 V) d mm
A mm2
I A
R Ω
0,35 0,5 0,7
0,096 0,196 0,385
0,40 0,84 1,64
5 2,4 1,2
Ergebnis: Die Stromstärke I steigt mit der Querschnittsfläche A an. Daraus folgt, dass der Widerstand R eines Leiters dem Querschnitt A umgekehrt proportional ist: R ~ 1/A. Spezifischer Widerstand r Insgesamt erhält man aus den letzten beiden Versuchen R ~ l / A. Der Proportionalitätsfaktor ist der spezifische Widerstand r. Damit gilt: R = r l /A .
Rechenbeispiel aus der letzten Tabelle (R = 5 ȍ, A = 0,096 mm2, l = 1 m): r=
RA = 4,8 ¹ 10 -7 ȍm l
Für jede der vorhergehenden Messungen erhält man innerhalb der Fehlergrenzen den gleich Wert für r.
12.20. Elektrische Kapazität C 12.20.1. Versuchsaufbau Es wird das Demonstrationsmodell eines Plattenkondensators mit einem Voltmeter (gut isoliert für Spannungen bis 5 kV) verbunden. Die isoliert aufgebaute Platte des Kondensators wird elektrisch aufgeladen. Die Aufladung erfolgt durch Berühren der Platte mit einem Kunststoffstab, der vorher mit einem Wolltuch oder Fell gerieben wurde. (Durch das Reiben wird der Stab geladen.) Man beachte, dass das Verbindungskabel zum Voltmeter frei in der Luft hängt, so dass keine Kriechströme auftreten können. Wie im nebenstehenden Bild gekennzeichnet, kann für qualitative Versuche auch ein Elektrometer verwendet werden.
Kondensator:
12.20. Elektrische Kapazität C
277
12.20.2. Versuchsbeschreibung und Ergebnisse Aufladen eines Kondensators Beim Reiben eines Kunststoffstabs mit einem Wolltuch oder Fell wird dieser mit der Ladung Q aufgeladen. Man überträgt diese Ladung durch Abstreifen auf den Plattenkondensator und es entsteht eine Spannung U. Danach wird der Stab genau wie vorher gerieben und die gleiche Ladung Q wird auf den Kondensator übertragen. In dem Versuch wird die Spannung U in Abhängigkeit von der Zahl der Ladungsvorgänge n notiert.
Aufladen eines Kondensators mit einem geriebenen Kunststoffstab (Plattenfläche A = 170 cm2, Plattenabstand d = 0,7 cm) n
U in V
1 2 3 4 5
400 800 1200 1600 2000
(Spannungswerte U sind gerundet)
Ergebnis: Es zeigt sich, dass die Spannung U proportional zur Zahl der Ladungsvorgänge n ist. Die Spannung U ist also proportional zur Ladung Q auf dem Kondensator: Q ~ U. Die Proportionalkonstante ist die Kapazität C: Q = CU. Spannung U und Plattenabstand d Auf die isolierte Platte des Kondensators wird mit Hilfe des geriebenen Kunststoffstabes eine Ladung Q aufgebracht. Die Spannung U soll sich im unteren Bereich des Voltmeters befinden. Nach dem Aufladen wird der Plattenabstand d verändert. Es wird die Spannung U als Funktion des Plattenabstandes d notiert.
Veränderung des Plattenabstandes d: d mm 5 10 15 20
U V 1000 2000 3000 4000
Ergebnis: Die Spannung U nimmt mit zunehmendem Plattenabstand d zu. Da die Ladung Q konstant bleibt, nimmt nach der Gleichung Q = CU die Kapazität C ab. Es gilt also C ~ 1/d. Einbringen eines Dielektrikums in einen Kondensator Man ladet den Kondensator auf, so dass das Voltmeter eine Spannung im oberen Bereich anzeigt. Danach bringt man einen Isolierstoff (Dielektrikum) zwischen die Platten. Ergebnis: Die Spannung U sinkt beim Einbringen des Dielektrikums zwischen die Platten, d. h. die Kapazität steigt. Beim Herausnehmen der Platte stellt sich der Ausgangswert wieder ein.
Einbringen eines Dielektrikums in einen Kondensator: Spannung U ohne Dielektrikum Spannung U mit Dielektrikum Spannung U ohne Dielektrikum
4000 V 1000 V 4000 V
278
12. Ausgewählte Versuche zu den physikalischen Grundlagen
Die Kapazität wird durch ein Dielektrikum, welches durch die Permittivitätszahl εr gekennzeichnet ist, erhöht: C = εr ε 0 A /d . Dabei sind ε 0 =8,85×10-12 As/(Vm) , A die Plattenfläche und d der Plattenabstand. Mit dieser Gleichung werden die beschriebenen Versuche zum Kondensator erklärt.
Gleichung für einen Kondensator: A C = εr ε0 d
12.21. Induktionsgesetz 12.21.1. Versuchsaufbau Eine lange Spule wird über ein Amperemeter mit einem Netzgerät für Wechselspannung (25 V~, 12 A) verbunden. Die Frequenz der Wechselspannung kann verändert werden. Ein kleine Spulen wird an ein Voltmeter für Wechselspannungen angeschlossen. Es liegen verschiedene kleine Spulen vor, die nacheinander eingesetzt werden.
Beispiel: große Spule: 750 mm lang, 485 Windungen/Meter, 5 kleine Spulen: Durchmesser d = 41 mm (1 = 100, 200 und 300 Windungen), 300 Windungen (Durchmesser d = 26, 32, 41 mm)
12.21.2. Versuchsbeschreibung und Ergebnisse Die kleine Spule wird weit in die große Spule geschoben. Am Voltmeter wird die induzierte Spannung gemessen. Es werden verschiedene kleine Spulen eingesetzt. Abhängigkeit von der Windungszahl N Es werden drei kleine Spulen mit gleicher Querschnittsfläche A aber verschiedener Windungszahl N eingesetzt. Die induzierte Spannung U ist proportional zur Windungszahl N. Abhängigkeit von der Windungsfläche A Es werden drei kleine Spulen mit gleicher Windungszahl N aber verschiedener Querschnittsfläche A eingesetzt. Die induzierte Spannung U ist proportional zur Querschnittsfläche A.
Windungszahl 1: 1
U V
100 0,27 200 0,49 300 0,79 Spulen: d = 2 mm
Windungsfläche A: U V
d cm
A cm2
2,6 3,2 4,1
5,3 0,14 8,0 0,24 13,2 0,39
Spulen: 1 = 300
12.21. Induktionsgesetz Abhängigkeit von der Stromstärke I Es wird nur eine Spule eingesetzt und die Stromstärke I verändert. Die induzierte Spannung U ist proportional zur Stromstärke I.
279 Stromstärke I: I (A)
U (V)
2,0 4,0 5,5 7,0
0,09 0,19 0,27 0,34
Spule: 1 = 300, d = 41 mm Abhängigkeit von der Frequenz f Es wird nur eine Spule eingesetzt und die Frequenz des Wechselstroms durch die große Spule verändert. Die induzierte Spannung U ist proportional zur Frequenz f.
Frequenz f: f (Hz)
U (V)
100 200 300 400
0,23 0,46 0,70 0,91
Spule: 1 = 300, d = 41 mm
12.21.3. Diskussion Die in der kleinen Spule mit N Windungen induzierte Spannung U beträgt:
U = −NΔΦ / Δt , wobei ΔΦ die Änderung des magnetische Flusses in der Zeit Δt ist. Es gilt Φ = AB, wobei A die Querschnittsfläche der Spule und B die magnetische Flussdichte ist. Man erhält:
U = −NAΔB / Δt . Die magnetische Flussdichte B ist proportional zum Strom I. Die Änderung der Flussdichte ΔB / Δt ist proportional zur Frequenz f. Damit folgen die Ergebnisse der obigen Messungen: U ~ N, U ~ A, U ~ I und U ~ f. Damit wurden die wesentlichen Eigenschaften des Induktionsgesetzes experimentell nachgewiesen. Anmerkung: Die Versuche wurden im Wesentlichen aus dem Programm der Firma Phywe entnommen.
Induktionsgesetz: U = -1
ΔΦ ΔB = - 1A Δt Δt
280
13. Aufgaben
Die Aufgaben sind nicht durchlaufend nummeriert, sodass in Neuauflagen die Möglichkeit besteht, weitere Aufgaben hinzuzunehmen, ohne die Nummerierung der schon vorhandenen Aufgaben zu ändern. Alte und neue Auflage können daher ohne Schwierigkeiten miteinander benutzt werden.
13.1. Physikalische Größen und Einheiten 1. Was sind qualitative und quantitative Aussagen in der Angabe: Die Hauptnutzungszeit für das Drehen eines Werkstücks beträgt th = 13,5 min? 2. Beschreibe formelmäßig, d.h. mit den Symbolen für die physikalischen Größen, folgende Angaben: a) Der Werkzeugträger schiebt sich bei jeder Umdrehung um 0,1 mm vor. b) Der Bohrer dreht sich 1000-mal in der Minute. c) Die Rakete hebt mit einer Beschleunigung von 4 Meter je Sekunde-Quadrat ab. d) Die Leistung des Motors beträgt 6 kW. 3. Auf einer Drehmaschine bewegt sich der Werkzeugträger im Längsvorschub mit der Vorschubgeschwindigkeit vf1 = 200 mm/min. Gleichzeitig arbeitet der Planvorschub mit vf2 = 80 mm/min. Bestimme zeichnerisch: a) Die resultierende Vorschubgeschwindigkeit vf res, b) den Winkel α zwischen der Wirklinie von vf res und vf2. 4. Welche der folgenden physikalischen Größen sind abgeleitete Größen? Masse m, Geschwindigkeit v, Weg s, Temperatur T, Druck p, Kraft F, elektrische Spannung U, elektrische Stromstärke I, Drehmoment M, Zeit t, Vorschub f, Drehzahl n, Fallbeschleunigung g. 5. Rechne um in m: 4,5 mm; 12,5 · 103 nm; 4,3 · 107 pm; 5,8 · 104 dm; 0,04 Gm; 1,768 km. 6. Rechne um in kg: 4 Mg; 5,2 · 10–3 g; 2345 mg; 5,6 · 108 μg; 0,045 dg; 1,78 · 105 g. 7. Die Größengleichung für die Endgeschwindigkeit v eines um die Höhe h frei fallenden Körpers lautet: v = 2g h . Darin ist g = 9,81 m/s2 die Fallbeschleunigung. Bestimme v mit h = 20 m.
8. Die Größengleichung für die Umfangsgeschwindigkeit vu eines Punktes auf der Kreisbahn (gleichförmige Bewegung) lautet: v = πd n. Bestimme vu mit d = 0,3 m und n = 1440 min–1. 9. Die Größengleichung für die Fallhöhe h eines frei fallenden Körpers lautet: h = g t2/2. Bestimme h mit t = 5 s. 10. Die Größengleichung für die Leistung P eines Körpers lautet: P = F v. Bestimme P für eine Kraft F = 500 N und v = 18 m/s. 11. Bestimme: a) Spannung U = I R mit Stromstärke I = 10 A und Widerstand R = 2 Ω, b) Drehmoment M = F l mit Kraft F = 500 N und Wirkabstand l = 2,5 m, c) Wärme Q = m c(ϑ2 – ϑ1) mit Masse m = 5 kg, spezifische Wärmekapazität c = 2000 J/kg K und ϑ1 = 30 °C, ϑ2 = 80 °C! Beachte: 1 K = 1 °C, also Einheit 1 K = Einheit 1 °C.
Aufgaben
281
13.2. Bewegungen fester Körper 12. Bestimme die Bewegungsart (gleichförmig oder ungleichförmig) a) der Schneidenspitze beim Drehen, b) eines Schleifscheibenkorns beim Außenrundschleifen, c) des Kolbenbolzens im Verbrennungsmotor, d) eines Uhrenpendels, e) des Stößels der Waagerecht-Stoßmaschine, f) eines frei fallenden Körpers, g) des Werkzeugs beim Honen. 13. Ein Bauaufzug befördert eine Last in 20 s auf eine Höhe von 45 m. Bestimme die gleich bleibende Hubgeschwindigkeit. 14. Die Seiltrommel einer Bauwinde hebt eine Last mit einer Hubgeschwindigkeit von 120 m/min auf eine Höhe von 40 m. Bestimme die für das Heben erforderliche Zeit. 15. Rechne um in km/h: a) 10 m/s, b) 0,5 m/s, c) 1,5 · 103 m/min, d) 8400 km/s. 16. Rechne um in m/s: a) 36 km/h, b) 108 km/h, c) 7,9 · 103 km/s, d) 24 m/min, e) 100 km/h. 17. Ein Lastkraftwagen durchfährt eine Strecke von 180 km in 3 12 h. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeugs in km/h und m/s. 18. Ein Förderband mit einer Neigung von 50° zur Waagerechten überwindet einen Höhenunterschied von 30 m in 4 min. Bestimme die Geschwindigkeit des Fördergutes auf der schiefen Ebene. 19. Die Geschwindigkeit eines Körpers nimmt in 5 s um 40 km/h ab. Wie groß sind die Geschwindigkeitsänderung Δv in m/s und die Verzögerung a in m/s2? 20. Wandle um in m/s2: a) 200 km/h2, b) 15 km/min2. 21. Die Bewegung eines Fahrzeugs soll als gleichförmig angesehen werden. Es legt in 4 h eine Gesamtstrecke von 200 km zurück. Dabei ist es die Teilstrecke Δs1 mit v1 = 80 km/h und die Teilstrecke Δs2 mit 40 km/h gefahren. Bestimme die Teilstrecken Δs1, Δs2. 22. Ein Kran wird von Ort A nach Ort B gefahren, die 60 km voneinander entfernt liegen. Der Schwertransporter mit Kran verlässt A um 6 Uhr mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h. Um 8 Uhr fährt ein Pkw dem Transporter von B aus mit 80 km/h entgegen. Bestimme Zeitpunkt und Entfernung von B beim Zusammentreffen. 23. Ein Lastzug verlässt um 6 Uhr seinen Standort mit gleich bleibender Geschwindigkeit von 25 km/h. Ein Pkw folgt dem Lastzug um 9 Uhr mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h. Bestimme Uhrzeit und Treffpunkt (Entfernung vom Standort) beider Fahrzeuge. 24. Einem mit v1 = 72 km/h fahrenden Kraftfahrzeug 1 nähert sich von hinten ein Fahrzeug 2 mit v2 = 90 km/h. Wie lange braucht 2, um vom Abstand Δsh = 150 m hinter 1 auf den Abstand Δsv = 100 m davor zu kommen? Fahrzeuglängen werden nicht berücksichtigt. 25. Skizziere das v-t-Diagramm a) für den freien Fall, b) für den senkrechten Wurf bis zur Rückkehr des Körpers zur Abwurfstelle. 26. Bestimme die Fallhöhe h, die ein Körper haben müsste, um beim freien Fall 1) die Endgeschwindigkeit ve = 30 m/s zu bekommen. 1)
Die Aufgaben, in denen die Fallbeschleunigung g vorkommt, wurden mit g = 9,81 m/s2 gerechnet.
Aufgaben
282
Aufgaben
27. Zeichne maßstäblich das v-t-Diagramm für folgenden Bewegungsvorgang: Ein Körper wird aus der Ruhelage heraus in 20 s gleichmäßig auf die Geschwindigkeit Δv1 = 10 m/s beschleunigt und dann sofort in 10 s um Δv2 = 5 m/s gleichmäßig verzögert. Die erreichte Geschwindigkeit behält er 5 s lang bei. Dann wird er 5 s lang gleichmäßig bis zur Ruhelage verzögert. Bestimme die Beschleunigungen a1, a2, a3. 28. Es ist das v-t-Diagramm für folgenden Bewegungsvorgang zu entwickeln: Ein Körper wird aus der Ruhestellung (v1 = 0) gleichmäßig beschleunigt in Δt1 = 4 s auf die Geschwindigkeit v2 = 3 m/s gebracht, die er dann während der Zeit Δt2 = 3 s beibehält. Dann wird der Körper in Δt3 = 2 s auf die Geschwindigkeit v3 = 6 m/s gebracht und anschließend in Δt4 = 5 s bis zur Ruhestellung abgebremst. 29. Ein mit 72 km/h fahrender Kraftwagen wird gleichmäßig auf 36 km/h abgebremst. Der Bremsweg ist 100 m lang. Bestimme Verzögerung a und Bremszeit Δt. 30. Ein Körper wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 senkrecht emporgeworfen. In 15 m Höhe besitzt er eine Geschwindigkeit v1 = 6 m/s. Wie groß sind Anfangsgeschwindigkeit und gesamte Steigzeit bis zum Stillstand? 31. Ein Körper wird aus der Ruhelage heraus gleichmäßig beschleunigt und legt innerhalb der fünften Sekunde 4 m zurück. Bestimme seine Beschleunigung a und seine Geschwindigkeit vt nach vier Sekunden. 32. Ein Körper wird mit a = 4 m/s2 beschleunigt und durchläuft während der dritten und vierten Sekunde den Wegabschnitt Δs = 24 m. Bestimme seine Anfangsgeschwindigkeit v0. 33. Auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α = 30° bewegt sich ein Körper reibungsfrei abwärts. In lotrechter Richtung unterliegt er der Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2. Bestimme die Beschleunigung a des Körpers in Richtung der schiefen Ebene. 34. Ein Körper fällt aus der Ruhelage frei abwärts. Bestimme im Kopf (mit g = 10 m/s2 gerechnet): a) die in der ersten, zweiten, dritten, vierten und fünften Sekunde zurückgelegten Wege (benutze die Vorstellung der mittleren Geschwindigkeit!), b) den in der 25sten Sekunde zurückgelegten Weg, c) das Verhältnis der in den einzelnen Sekunden zurückgelegten Teilwege zum Weg in der ersten Sekunde, d) die Gesamtwege nach der ersten, zweiten, dritten, ... Sekunde, e) das Verhältnis der Gesamtwege zum Weg in der ersten Sekunde. 35. Zwei Körper werden vom Erdboden aus senkrecht nach oben abgeschossen, und zwar der erste mit einer Anfangsgeschwindigkeit v1 = 30 m/s, der zweite 2 s später mit v2 = 40 m/s. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt. Bestimme: a) die Bewegungsrichtung beider Körper beim ersten Zusammentreffen, b) die Zeit Δt2, nach der der zweite Körper den ersten eingeholt hat, c) die Höhe h des Treffpunkts. 36. Von gleicher Höhe werden zwei Körper lotrecht nach unten geworfen und zwar der erste mit v1 = 10 m/s Anfangsgeschwindigkeit, der zweite Körper 0,5 s danach mit doppelt so großer Anfangsgeschwindigkeit (ohne Luftwiderstand). Bestimme: a) die Zeit Δt2, nach der der zweite Körper den ersten eingeholt hat, b) den inzwischen zurückgelegten Fallweg h. 37. Welche Fallhöhe h2 müsste für den Bär eines Fallhammers vorgesehen werden, wenn er mit der doppelten Geschwindigkeit auftreffen soll, die er bei der vorhandenen Fallhöhe h1 besitzt? 38. Ein Fahrstuhl-Innenraum hat die Höhe h = 2,5 m. Von der Fahrstuhldecke löst sich ein Körper und fällt frei herab. Bestimme: a) die Fallzeit Δt bei ruhendem, gleichförmig aufwärts fahrendem und gleichförmig abwärts fahrendem Fahrstuhl, b) die Fallzeit Δt bei gleichmäßig beschleunigter Aufwärts- und Abwärtsfahrt mit a = 0,6 g, c) die Fallzeit Δt bei gleichmäßig beschleunigter Aufwärts- und Abwärtsfahrt mit a = 6 g.
Aufgaben
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39. In welchem Verhältnis stehen Gradmaß Δϕ ° und Bogenmaß Δϕ eines Drehwinkels zueinander? 40. Rechne um in Gradmaß: 1 rad; 0,3 rad; 5 rad; ebenso in Bogenmaß: 90°; 180°; 270°; 360°; 45°; 2000°. 41. Bestimme für z = 5 Umdrehungen den Drehwinkel Δϕ in Grad- und Bogenmaß. 42. Bestimme den Drehwinkel Δϕ im Bogenmaß, den eine Handkurbel bei 1,5 Umdrehungen überstreicht. 43. Bestimme die mittlere Winkelgeschwindigkeit einer Welle, die sich in 10 min 400-mal um die Achse dreht. 44. Wie oft hat ein Körper eine Kreisbahn durchlaufen, wenn er sich 1 h lang mit 4,5 · 10–3 rad/s bewegt? 45. Bestimme die Winkelgeschwindigkeit a) für den kleinen Zeiger einer Uhr, b) für den großen Zeiger. 46. Haben Punkte auf dem Kopfkreis und auf dem Fußkreis eines Zahnrads gleiche oder verschiedene Winkelgeschwindigkeiten? 47. Eine Turbine dreht sich in einer Minute 10000-mal. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit? 48. Eine Welle dreht sich in 5 min 5000-mal. Bestimme: a) die Drehzahl n, b) die Winkelgeschwindigkeit ω . 49. In welchem (abgerundeten) Verhältnis stehen Winkelgeschwindigkeit ω in rad/s und Drehzahl n in min–1 zueinander? 50. Gib die ungefähre Winkelgeschwindigkeit ω in rad/s an für die Drehzahlen n1 = 1500 U/min ; n2 = 560 U/min. 51. Wie groß sind Winkelgeschwindigkeit ω und Umfangsgeschwindigkeit vu der Erde am Äquator, wenn mit dem Erddurchmesser von 1,3 · 107 m gerechnet wird? 52. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Mondes bei seinem Umlauf um die Erde, wenn mit großer Annäherung eine Kreisbahn mit r = 384000 km angenommen wird und die Umlaufzeit 27 Tage, 7 h, 43 min und 12 s beträgt? 53. Die Handkurbel einer Bauwinde mit Radius r = 45 cm wird in 50 s 25-mal gleichförmig gedreht. Bestimme: a) den Drehwinkel Δϕ, b) den Drehweg Δs, c) die Winkelgeschwindigkeit ω, d) die Drehzahl n in s–1 und min–1, e) die Umfangsgeschwindigkeit vu des Kurbelpunkts mit r = 45 cm. 54. Die Drehzahl einer Scheibe beträgt 1500 min–1. Bestimme die Umfangsgeschwindigkeit vu für drei Scheibenpunkte im Abstand r1 = 0,2 m; r2 = 1 m; r3 = l,6 m. 55. Eine Schleifscheibe von d = 400 mm Durchmesser wird aus dem Stillstand heraus in 20 s gleichmäßig auf vu = 30 m/s beschleunigt. Bestimme: a) die Enddrehzahl n t , b) die Endwinkelgeschwindigkeit ω t , c) die Anzahl z der Umdrehungen beim Beschleunigen, d) die Winkelbeschleunigung α , e) die Tangentialbeschleunigung aT eines Korns auf dem Scheibenumfang. 56. Eine mit n1 = 5000 min–1 laufende Motorwelle wird innerhalb von 10 s auf n2 = 3000 min–1 gleichmäßig abgebremst. Bestimme: a) die Winkelverzögerung α , b) die Anzahl z der Umdrehungen während des Bremsvorgangs. 57. Eine Getriebewelle wird 10 s lang aus dem Stillstand heraus gleichmäßig beschleunigt, läuft mit der erreichten Drehzahl 15 s lang gleichförmig weiter und wird dann innerhalb von 5 s bis zum Stillstand abgebremst. Sie hat bei diesem Bewegungsablauf 2800 Umdrehungen ausgeführt. Welche maximale Drehzahl n wird erreicht? 58. Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung az eines Punkts auf dem Erdäquator, wenn mit einem Radius r = 6400 km gerechnet wird? Aufgaben
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Aufgaben
70. Ein Körper der Masse m = 10 kg soll mit a = 4 m/s2 beschleunigt werden. Bestimme die resultierende Kraft Fres. 71. Bestimme die Norm-Gewichtskraft FGn eines Körpers von der Masse m = 50 kg. 72. Um einem Körper die Beschleunigung a = 5 m/s2 zu erteilen, ist eine resultierende Kraft von 1000 N erforderlich. Bestimme die Masse m des Körpers. 73. Ein Kran hebt eine Last von m = 1000 kg mit a = 0,8 m/s2 gleichmäßig beschleunigt an. Welche Zug- kraft F tritt in den Lastseilen auf? 74. Wie groß ist die Gewichtskraft FG eines Körpers von m = 8 kg auf dem Mond, wenn dort die Fallbeschleunigung 1,7 m/s2 beträgt? 75. Ein Kraftwagen von m = 1000 kg wird von v1 = 20 km/h auf v2 = 120 km/h in 10 s gleichmäßig beschleunigt. Welche resultierende Kraft ist dazu erforderlich? 76. Zwei Körper hängen an den Enden eines Seils, das über einer festen Rolle liegt. Der Körper 1 besitzt die Masse m, der Körper 2 die Masse 5 m. Welche Beschleunigung stellt sich ein, wenn die Körper sich selbst überlassen werden und Seil und Rolle als masselos angenommen werden? 77. Ein Triebwagen besitzt die Masse m = 15000 kg und fährt mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h. Er wird 8 s lang gleichmäßig verzögert, wobei eine resultierende Bremskraft von 5000 N wirkt. Welche Geschwindigkeit stellt sich ein? 78. Zwei Wagen sind über ein Seil miteinander verbunden und sollen sich reibungsfrei bewegen können. Bestimme: a) die sich einstellende Beschleunigung a der Wagen, b) die Geschwindigkeit v nach 10 s. 79. Mit welcher Beschleunigung a dürfte eine Last von 1 t senkrecht nach oben gezogen werden, wenn im Seil eine Zugkraft Fmax = 35000 N nicht überschritten werden soll? 80. Ein Körper von m = 500 kg Masse soll mit einem Seil senkrecht nach oben gezogen werden, und zwar mit der Beschleunigung a = 1,2 m/s2. Bestimme die im Seil auftretende Zugkraft F. 81. Ein Triebwagen besitzt die Masse m = 100 t. Er fährt an einer Steigung 1:100 mit a = 0,1 m/s2 gleichmäßig beschleunigt an. Der Fahrwiderstand beträgt 30 N je 1000 kg Wagenmasse. Bestimme die erforderliche Antriebskraft F. 82. Ein Triebwagen von m = 100 t Masse bremst auf waagerechter Strecke seine Geschwindigkeit von v1 = 90 km/h gleichmäßig auf v2 = 30 km/h ab. Die Bremsstrecke beträgt Δs = 800 m. Bestimme: a) die Bremsverzögerung a, b) die Bremszeit Δt, c) die Bremskraft F bei 30 N/t Fahrwiderstand. 83. Ein Laufkran fährt mit einer Beschleunigung a = 0,2 m/s2 an. Unter welchem Winkel a zur Lotrechten stellt sich das Kranseil ein, an dem ein Körper von m = 0,8 t Masse horizontal bewegt wird? Welchen Einfluss hat die Masse m auf den Winkel α ? 84. An der Decke eines Fahrstuhls ist ein Kraftmesser befestigt, an dem ein Körper von der Masse m = 10 kg frei herabhängt. Bestimme die Anzeige des Kraftmessers bei: a) beschleunigter Aufwärtsfahrt mit a = 2 m/s2, b) beschleunigter Abwärtsfahrt mit a = 2 m/s2 , c) gleichförmiger Auf- und Abwärtsfahrt, d) freiem Fall des Fahrstuhls.
Aufgaben
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85. Ein Körper der Masse m = 3,6 kg wird an einem Seil beschleunigt, dessen Werkstoff eine zulässige Zugspannung von 25 N/mm2 besitzt. Der Seilquerschnitt beträgt 1,46 mm2. Bestimme die maximale Beschleunigung a, bei der im masselos gedachten Seil die zulässige Spannung auftritt, wenn der Körper a) in horizontaler Richtung (ohne Reibung), b) in vertikaler Richtung nach oben beschleunigt wird. 86. Zwei durch ein Seil miteinander verbundene Körper werden durch eine lotrecht nach oben gerichtete Kraft F = 100 N beschleunigt. Bestimme: a) die Beschleunigung a beider Körper, b) die im Verbindungsseil zwischen beiden Körpern auftretende Seilkraft Fs. 87. Mit welcher Kraft F muss an dem rechten Seilende gezogen werden, wenn sich der linke Körper mit einer Beschleunigung a = g/2 nach unten bewegen soll? Seil und Rollen masselos gedacht.
zu 86
zu 87
88. Der Stößel einer hydraulischen Waagerecht-Stoßmaschine hat 220 kg Masse. Er soll beim Umkehren in 0,6 s von null auf 16 m/min beschleunigt werden. Bestimme die erforderliche mittlere Antriebskraft F, wenn dem Stößel ein Reibungswiderstand von 350 N entgegenwirkt. 89. Ein beladener Supertanker von 100000 t Masse hat bei voller Fahrt eine Geschwindigkeit von 36 km/h. Wenn beim Bremsen die Maschinen volle Fahrt rückwarts laufen, fährt das Schiff noch 4 km bis zum Stillstand. Bestimme die verzögernde Kraft F. 90. Ein Körper von 10 kg Masse wird mit v0 = 50 m/s senkrecht nach oben geschleudert. Nach 80 m Steigweg wird er innerhalb von 2 s bis zum Stillstand gebremst. a) Wie lange steigt er bis in 80 m Höhe? b) Welches von beiden Ergebnissen in a) ist richtig; welche Bedeutung hat das andere Ergebnis? c) Welche Verzögerung ist beim Bremsen erforderlich? d) Wie groß ist die Bremskraft Fb, die senkrecht von oben auf den Körper wirken muss? 91. Ein Wagen der Masse m = 100 kg rollt aus dem Stand eine unter α = 30° geneigte schiefe Ebene abwärts. Während der Fahrt wirkt ein gleich bleibender Fahrwiderstand Ff = 100 N auf den Wagen ein. Bestimme nach dem dynamischen Grundgesetz die Geschwindigkeit v des Wagens nach 3 m Fahrstrecke. 92. Ein Wagen mit der Masse m = 100 kg rollt aus dem Stand eine unter α = 30° geneigte schiefe Ebene abwärts, durchfährt die horizontale Strecke s2 und steigt danach die unter b = 20° geneigte zweite schiefe Ebene hinauf. Während der Fahrt muss der gleich bleibende Fahrwiderstand Ff = 100 N überwunden werden. Bestimme nach dem dynamischen Grundgesetz den Steigweg s3. 100. Bestimme mit Hilfe des dynamischen Grundgesetzes für Rotation die kohärente Einheit für das Trägheitsmoment J. 101. Wandle um in kg m2: a) 0,05 g cm2, b) 5,8 · 103 kg cm2. 102. Das Trägheitsmoment J einer Stahlscheibe soll vergrößert werden. Welche Änderung bringt mehr: a) Verdoppelung der Scheibendicke, b) Verdoppelung des Scheibenradius?
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103. Eine Schleifscheibe von 400 mm Durchmesser und 100 mm Breite besitzt die Dichte r = 3000 kg/m3. Sie soll aus dem Stillstand heraus in 10 s auf 25 m/s Umfangsgeschwindigkeit gebracht werden. Bestimme: a) die Winkelgeschwindigkeit ωe nach 10 s, b) die Winkelbeschleunigung α , c) das Trägheitsmoment J (ohne Berücksichtigung der Bohrung), d) das Beschleunigungsmoment Mres. 104. Eine Frässpindel mit aufgesetztem Messerkopf hat ein Trägheitsmoment von 3,5 kg m2. Ließe man die Spindel aus einer Drehzahl von 1000 min–1 auslaufen, dann käme sie nach 4 min zum Stillstand (Leerlauf, ohne Verbindung zum Getriebe). Bestimme das bremsende Drehmoment (= Lager-Reibmoment). 105. Ein Schwungrad aus Stahlguss (Dichte r = 7,85 · 103 kg/m3) kann als Ring (Kreisquerschnitt mit r = 100 mm Radius) angesehen werden (Nabe und Speichen vernachlässigbar). Der mittlere Radius des Ringes beträgt R = 500 mm. Aus dem Ruhezustand beschleunigt soll das Schwungrad nach 100 Umdrehungen eine Drehzahl von 400 min–1 haben. Bestimme: a) das Trägheitsmoment J, b) die Winkelbeschleunigung α , c) das beschleunigende Moment Mres. 106. Eine Schleifscheibe von der Masse m = 20 kg ist falsch montiert worden: Ihr Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) liegt 2 mm von der Drehachse entfernt (rs = 2 mm). Die Scheibe erreicht eine Drehzahl von 3000 min–1. Bestimme: a) die Winkelgeschwindigkeit ω , b) die Zentripetalkraft Fz. 107. Der Einheit N bei der Translation entspricht die angekreuzte Einheit bei der Rotation: kg m s2
kg m
kg m 2 s2
rad s
Nm
108. Der Einheit rad/s2 bei der Rotation entspricht die angekreuzte Einheit bei der Translation: m s
kg m2
1 s2
s2
m s2
109. Setze unter die eingetragene Größe für die Translation die entsprechende Größe der Rotation: Kraft F
Masse m
Beschleunigung a
Geschwindigkeit v
110. Die Gleitreibkraft ist abhängig von der Berührungsfläche A
Rautiefe Rz
(Zutreffendes ankreuzen)
RelativWerkstoffKörpergeschwindigkeit v paarung gewichtskraft FG
Aufgaben
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111. Die Gleitreibkraft ist abhängig von parallel zur GleitLänge Δs des bahn wirkender Normalkraft FN Verschiebewegs Verschiebekraft F
Schmiermittel
Reibzahl μ
Anpresskraft FN
Werkstoffpaarung
(Zutreffendes ankreuzen) 112. Die Gleitreibzahl μ ist abhängig von der GleitKörpergeschwindigkeit v gewichtskraft FG
Rautiefe Rz
(Zutreffendes ankreuzen) 113. Die Gleitreibkraft wird größer bei kleinerer Reibzahl mit kleiner werdender Berührungsfläche mit zunehmender Gleitgeschwindigkeit mit zunehmender Verschiebekraft parallel zur Gleitbahn mit zunehmender Körpergewichtskraft (Zutreffendes ankreuzen) 114. Die Gleitreibkraft ist der Quotient von Normalkraft und Reibkraft Gewichtskraft und Fläche Reibkraft und Normalkraft Reibkraft und Gleitgeschwindigkeit Normalkraft und Masse (Zutreffendes ankreuzen) 115. Ein glatter Holzbalken von 2 kg Masse liegt auf einer horizontalen Stahlplatte. Um den Holzbalken in Bewegung zu bringen, braucht man eine parallel zur Auflagefläche wirkende Kraft von 14 N. Danach stellt sich bei gleichförmiger Weiterbewegung eine Kraft von 10 N ein. Bestimme: a) die Haftreibzahl μ0 und die Gleitreibzahl μ, b) den erforderlichen Neigungswinkel der Stahlplatte für den Fall, dass der Holzbalken mit gleich bleibender Geschwindigkeit abwärts gleitet. 116. Auf einer geneigten Stahlschiene sollen Werkstücke aus Stahl mit gleich bleibender Geschwindigkeit abwärts gleiten, nachdem sie abgestoßen worden sind. Bestimme den erforderlichen Neigungswinkel für trockene Gleitflächen. 117. Zwei glatte Holzbalken liegen nach Skizze auf einer verstellbaren Metallschiene. a) Welcher Körper (1 oder 2) beginnt bei zunehmender Neigung der Gleitschiene zuerst zu rutschen (trockene Gleitflächen)? b) Bei welchem Winkel rutscht auch der zweite Körper? Aufgaben
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Aufgaben
118. Auf einer unter α = 30° zur Waagerechten geneigten schiefen Ebene liegt ein Körper von der Masse m = 10 kg in Ruhe. Die Reibzahl zwischen Körper und Gleitbahn betragt 0,2. Bestimme die Beschleunigung a, mit der der Körper nach dem Loslassen abwärts gleitet. 119. Der Körper in Aufgabe 118 soll auf der schiefen Ebene dadurch stehen bleiben, dass die schiefe Ebene in waagerechter Richtung beschleunigt wird. Bestimme die erforderliche Horizontalbeschleunigung α h: a) ohne Berücksichtigung der Reibung, b) mit Reibzahl μ = 0,2. 120. Zwei Körper von gleicher Masse m werden in der gezeichneten Stellung sich selbst überlassen (Seil und Rolle masselos). Bestimme: a) die sich einstellende Beschleunigung a bei einer Gleitreibzahl μ = 0,2 und dem Neigungswinkel α = 60°, b) die Beschleunigung a für einen Neigungswinkel α = 90°. 121. Ein Körper der Masse m = 10 kg wird durch eine konstante, stets horizontal gerichtete Zugkraft F = 490 N eine schiefe Ebene emporgezogen. Reibzahl μ = 0,4. Bestimme die Beschleunigung a, die sich am Körper einstellt. 122. Auf einer geneigten Gleitbahn liegen zwei quaderförmige Körper aufeinander. Körper 2 von der Masse m ist durch ein Seil über eine feste Rolle (reibungsfrei) mit Körper 1 von der Masse m1 = 2 kg verbunden. Die Haftreibzahl zwischen Körper 1 und der Gleitbahn betragt μ01 = 0,3. Zwischen den Körpern 1 und 2 wirkt die Haftreibzahl μ02 = μ01/2. Das Seil läuft parallel zur Gleitbahn. Bestimme den Grenzwinkel α , bei dem sich die zunächst ruhenden Körper in Bewegung setzen. 130. Die mechanische Arbeit ist das Produkt von Kraft und Geschwindigkeit Gewichtskraft und Hubhöhe Masse und Hubhöhe Normalkraft und Verschiebeweg Kraftkomponente in Wegrichtung und Verschiebeweg (Zutreffendes ankreuzen) 131. Eine Arbeitseinheit kann sein: J s
N cm
J
Nm2
kg m 2 s2
(Zutreffendes ankreuzen) 132. Die angekreuzte Einheit gibt eindeutig an, dass es sich um die physikalische Größe Arbeit W handelt: Ncm2
Nm
kg m2
kg m
J
133. Drücke 120 Nm aus in a) kg m2/s2, b) Ws, c) J.
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134. Drücke 15 kg m2/s2 aus in a) Ws, b) Nm, c) J. 135. Ein Körper von der Masse m = 10 kg wird mit einer konstanten Kraft F = 100 N längs des Wegs Δs = 10 m verschoben. Die Kraft F greift unter dem Winkel α = 30° zur waagerechten Gleitbahn an. Bestimme die am Körper verrichtete Arbeit. 136. Ein Körper wird durch eine parallel zur waagerechten Gleitbahn wirkende Kraft verschoben. Über dem Wegabschnitt Δs1 = 1,5 m steigt die Kraft von F1 = 100 N auf F2 = 200 N linear an. Dann wirkt sie über dem Wegabschnitt Δs2 = 3 m mit konstantem Betrag von 200 N weiter. Welche Arbeit W hat die Kraft insgesamt am Körper verrichtet? 137. Ein Körper wird um die Höhe Δh angehoben. Die dazu erforderliche Hubarbeit Wh ist abhängig von Masse m des Körpers
FallHubHubhöhe Δh geschwindigkeit v beschleunigung g
Zugkraft F im Hubseil
(Zutreffendes ankreuzen) 138. Ein Körper soll auf einer schiefen Ebene reibungsfrei hinaufgeschoben werden. Dabei wird er von der Höhe h1, auf die Höhe h2 > h1 gebracht. Die erforderliche Hubarbeit ist abhängig von Neigungswinkel α der schiefen Ebene Hubzeit Gewichtskraft Hubweg Δs auf der schiefen Ebene Höhendifferenz Δh = h2 – h1 (Zutreffendes ankreuzen) 139. Ein Körper von der Masse 100 kg liegt 50 m höher als eine Bezugsebene. Bestimme: a) die Hubarbeit, die aufgebracht werden musste, um ihn von der Bezugsebene aus auf diese Höhe zu bringen, b) die potenzielle Energie, die der Körper nun besitzt! 140. Welche potenzielle Energie Ep besitzt ein Körper von der Masse m = 100 kg gegenüber einer um Δh = 4 m tiefer gelegenen Ebene? 141. Drücke die Energie des Körpers in Aufgabe 140 in Ws aus. 142. Ein Gepäckwagen mit Gesamtmasse m = 100 kg soll mit konstanter Geschwindigkeit eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel α = 45° emporgezogen werden. Das Zugseil läuft parallel zur schiefen Ebene. Der Fahrwiderstand des Wagens wurde zu Fw = 100 N ermittelt. Bestimme die erforderliche Arbeit W für einen Fahrweg Δs = 20 m. 143. Eine Last von 200 kg Masse soll um eine Höhe Δh = 4 m gehoben werden. Bestimme die erforderliche Hubarbeit Wh. 144. Ein Körper soll aus der Geschwindigkeit v2 auf die Geschwindigkeit v1 < v2 abgebremst werden. Die dazu erforderliche Arbeit ist abhängig von Masse m
Bremszeit Δt
Bremsweg Δs
Verzögerung a
Geschwindigkeit v1
(Zutreffendes ankreuzen)
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Aufgaben
145. Ein Körper von der Masse m = 1 kg fällt aus der Höhe Δh = 100 m frei herab. Bestimme (im Kopf) mit g = 10 m/s2 die potenzielle und die kinetische Energie: a) vor dem Fall, b) beim Aufschlag, c) in Δh1 = 80 m, Δh2 = 60 m, Δh3 = 40 m, Δh4 = 20 m Höhe über dem Aufschlagpunkt. 146. Ein Kraftfahrzeug von 1000 kg Masse fährt mit einer Geschwindigkeit von 144 km/h. Bestimme: a) das Arbeitsvermögen des Fahrzeugs bei dieser Geschwindigkeit, b) die Fallhöhe Δh, die das Fahrzeug frei fallen müsste, um das gleiche Arbeitsvermögen zu erhalten. 147. Ein Triebwagen von der Masse m = 100 t wird aus einer Geschwindigkeit v1 = 72 km/h auf v2 = 36 km/h abgebremst. Welche Wärmemenge wird dabei erzeugt? 148. Ein Kraftfahrzeug von der Masse m = 1000 kg wird auf einer Steigung von 5% in 20 s aus der Geschwindigkeit v1 = 36 km/h auf die Geschwindigkeit v2 = 72 km/h gebracht. Bestimme: a) die Beschleunigungsarbeit Wb, b) die Arbeit Wf zur Überwindung des Fahrwiderstands Fw = 300 N, c) die Steigarbeit (Hubarbeit) Wh, d) die gesamte aufzubringende Arbeit Wges (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands). 149. Der Tisch einer Hobelmaschine hat 4 t Masse. Welche mechanische Arbeit ist erforderlich, um den Tisch auf eine Geschwindigkeit von 40 m/min zu bringen (reibungsfrei)? 150. Welche Federarbeit Wf ist erforderlich, um eine entspannte Schrauben-Druckfeder um s = 20 cm zusammenzudrücken, wenn die gleiche Feder, senkrecht aufgestellt, durch einen vorsichtig aufgelegten Körper von m = 10 kg um Δs = 0,5 cm zusammengedrückt wird? Wie groß ist die mittlere Federspannkraft Fsm? Wie groß ist die maximale Federspannkraft Fs max? 151. Auf eine senkrecht aufgestellte Schrauben-Druckfeder wird ein Körper mit der Gewichtskraft FG = 300 N aufgelegt. Die Feder wird dadurch um Δs = 3 cm zusammengedrückt. Welche Federarbeit Wf ist erforderlich, um die Feder anschließend noch um s = 17 cm zusammenzudrücken? 152. Auf einer waagerechten Ebene soll ein Körper der Masse m = 50 kg mit konstanter Geschwindigkeit um den Weg Δs = 2 m verschoben werden. Die konstante Verschiebekraft F greift schräg von oben unter dem Winkel α = 30° zur Gleitbahn an. Die Gleitreibzahl beträgt μ = 0,4. Bestimme: a) die erforderliche Verschiebekraft F, b) die Verschiebearbeit W (= Reibarbeit WR). 153. Der Lagerzapfen einer Getriebewelle wird mit FN = 6 000 N in das Gleitlager gepresst. Zapfendurchmesser d = 50 mm, Gleitreibzahl μ = 0,003. Die Welle dreht sich mit n = 1460 U/min. Bestimme die infolge der Reibung in einer Stunde entwickelte Reibarbeit in J. 154. Ein Kraftfahrzeug von der Masse m = 1400 kg wird auf waagerechter Bahn aus v = 108 km/h bis zum Halt abgebremst. Der Bremsweg beträgt Δs = 60 m. Wie groß muss die Reibzahl μ mindestens sein (ohne Luftwiderstand)? 155. Ein Stahlklotz von der Masse m = 10 kg wird durch eine konstante Kraft F = 100 N auf einer waagerechten Gleitbahn längs des Weges Δs1 = 1 m beschleunigt und danach sich selbst überlassen. Die Kraft F wirkt parallel zur Gleitbahn, die Reibzahl beträgt μ = 0,3. Bestimme den Gleitweg Δs2 des sich selbst überlassenen Körpers bis zu seinem Stillstand. 156. Ein Körper der Masse m = 10 kg ruht auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α = 45° zur Horizontalen). Der Körper wird frei gegeben, gleitet den Weg Δs1 = 2 m auf der schiefen Ebene abwärts und gelangt anschließend auf eine horizontale Gleitbahn, auf der er bis zur Ruhestellung den Weg Δs2 zurücklegt. Bestimme für μ = 0,2 den Weg Δs2. 157. Vom Fuß einer unter α = 50° ansteigenden schiefen Ebene wird ein Körper von m = 10 kg durch eine konstante Kraft F = 1000 N längs des Weges Δs = 20 m angetrieben. Welche Geschwindigkeit v erreicht der Körper, wenn die Summe aller Widerstände ΣFw = 10 N beträgt?
Aufgaben
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158. Auf einer waagerechten Gleitbahn liegt ein Körper von der Masse m = 10 kg in Ruhe. Er wird durch eine konstante Kraft F (parallel zur Gleitbahn wirkend) auf dem Weg Δs1 beschleunigt und dann sich selbst überlassen. Der Körper gleitet jetzt den horizontalen Weg Δs2 weiter und steigt anschließend eine unter dem Winkel a zur Horizontalen geneigte schiefe Ebene aufwärts. Dort legt er den Weg Δs3 zurück und kommt dann zur Ruhe. Die Gleitreibzahl m ist konstant. Entwickle die Gleichung für Δs3. 159. Am Anfang einer Gefällestrecke von 400 m Länge und 5% Gefälle rollt ein Radfahrer mit seinem Rad ohne Antrieb aus der Ruhestellung abwärts. Die Masse von Radfahrer und Fahrrad beträgt 90 kg, der Fahrwiderstand 15 N. Bestimme: a) die Endgeschwindigkeit v am Ende der Gefällestrecke, b) die Beschleunigung a während der Fahrt, c) den Ausrollweg Δs1 auf der anschließenden Horizontalen, d) die Verzögerung a1 auf der Horizontalen, e) die gesamte Fahrzeit tges bis zum Stillstand. (Alle Rechnungen ohne Luftwiderstand!) 160. Eine Kugel von der Masse m = 1 kg fällt die Höhe Δs = 2 m frei herab und trifft auf eine senkrecht stehende, entspannte Schraubenfeder, die dadurch um Δs = 4 cm zusammengedrückt wird. Bestimme die Federrate R der Feder. 161. In einem aufrecht stehenden Zylinder befindet sich ein Kolben von 0,5 kg Masse. Auf die Kolbenunterseite drückt eine Schraubenfeder, die mit dem Kolben um 4 cm zusammengedrückt worden ist, mit einer Kraft von 50 N nach oben. Sobald die Sperre den Kolben frei gibt, schleudert ihn die Feder nach oben. Dabei wirkt ihm ein Widerstand Fw = 6 N entgegen. a) Wie hoch steigt der Kolben aus seiner Anfangsstellung im Rohr? b) Wie weit drückt der Kolben die Feder beim Abwärtsfallen zusammen, wenn ihm auch beim Fall ein Widerstand von Fw = 6 N entgegenwirkt? c) Wie weit wird die Feder zusammengedrückt, wenn der Widerstand beim Fallen Fw1 = 3 N beträgt? 162. Ein Körper der Masse m = 10 kg liegt auf einer horizontalen Gleitbahn. Die Druckfeder D hat die Federrate RD = 100 N/cm, die Zugfeder Z die Federrate Rz = 50 N/cm. In der Ausgangslage ist D um f = 8 cm zusammengedrückt, Z dagegen gerade entspannt. Beim Gleiten wirkt eine Reibkraft FR = 10 N. Bestimme den Weg l des Körpers bis zu seinem nächsten Stillstand. 163. Auf horizontaler Gleitbahn wird ein Körper der Masse m = 10 kg von einer Schraubenfeder abgeschnellt, die um Δs = 5 cm zusammengedrückt worden war und die Federrate R = 2450 N/cm besitzt. Der Körper gleitet nach dem Ablösen von der Feder den Weg s1 = 2 m auf horizontaler Bahn und steigt anschließend eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel α = 30° empor. Bestimme die Steighöhe Δh auf der schiefen Ebene, bei der der Körper zur Ruhe kommt, wenn auf der ganzen Bahn μ = 0,3 ist. 164. Ein Körper von der Masse m = 25 kg befindet sich am Kopf einer schiefen Ebene in Ruhe. Eine Schrauben-Druckfeder ist so zusammengedrückt, dass sie den Körper mit einer Kraft F = 500 N belastet. Die Federrate beträgt R = 40 N/cm. Auf der schiefen Ebene wirkt dem Körper eine Gleitreibkraft FR = 30 N entgegen. Bestimme die Strecke s, die der Körper nach der Freigabe durch die Feder zurücklegen muss, um eine Geschwindigkeit v = 6 m/s zu erhalten. Aufgaben
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Aufgaben
165. Ein Körper der Masse m = 10 kg gleitet aus der Ruhelage heraus eine unter α = 45° geneigte schiefe Ebene abwärts und trifft nach s = 1 m Weg auf eine ungespannte Schraubenfeder (R = 50 N/cm), die er um Δs zusammendrückt. Gleitreibzahl μ = 0,3. Bestimme den Federweg Δs. 166. Eine senkrecht stehende Schraubenfeder wird beim Auflegen einer Kugel der Masse m = 0,2 kg um Δs = 0,1 cm zusammengeknickt. Sie wird dann um weitere s = 5 cm zusammengedrückt und danach plötzlich frei gegeben. Bestimme: a) die Steighöhe h der Kugel, gemessen vom Augenblick des Lösens von der Feder, b) die Geschwindigkeit v0 der Kugel im Moment des Ablösens. 167. Kreuze die Leistungseinheiten an: kWh
W
Ws
J s
kg m 2 s3
168. Leistung P ergibt sich durch Multiplikation von Kraft und Weg Multiplikation von Kraft und Wirkabstand Division von Arbeit und Zeit Multiplikation von Kraft und Geschwindigkeit Division von Kraft und Geschwindigkeit (Zutreffendes ankreuzen) 169. Welche Basisgröße gehört zu den eingetragenen Einheiten? Trage das Kurzzeichen für die Basisgröße ein. Ws3 m2
Ns3 m kg
Js 2 m kg
Ws A Nm
170. Leistung ergibt sich durch Multiplikation von Kraft, Wirkabstand und Drehwinkel Multiplikation von Arbeit und Zeit Multiplikation von Drehmoment und Umfangsgeschwindigkeit Multiplikation von Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit Multiplikation von Drehmoment und Drehzahl (Zutreffendes ankreuzen) 171. Ein Güterzug von 1000 t Masse fährt mit 54 km/h eine Steigung von 1 : 400 aufwärts. Der Fahrwiderstand beträgt 40 N/t. Bestimme: a) die erforderliche Zugkraft Fz (ohne Luftwiderstand), b) die dieser Zugkraft entsprechende Leistung P.
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172. Zur Leistungsmessung wird über die Riemenscheibe eines kleinen Elektromotors eine Schnur gelegt und rechts mit einem 600 g-Wägestück belastet. Am Kraftmesser links stellt sich beim Lauf mit n = 3000 min–1 eine Zugkraft F1 = 2 N ein. Bestimme die Reibleistung PR. 173. Der Wirkungsgrad η eines Vorgangs ist [
das Produkt der Einzelwirkungsgrade das Verhältnis von Antriebs- zur Abtriebsleistung das Verhältnis vom Nutzen zum Aufwand das Verhältnis von abgeführter zu zugeführter Arbeit oder Leistung stets > 1 (Zutreffendes ankreuzen) 174. Wirkungsgrad η = 0,8 bedeutet: 80% der Antriebsleistung gehen verloren 20% der Abtriebsleistung gehen verloren die Abtriebsleistung ist das 0,8-fache der Antriebsleistung von 10 kW zugeführter Leistung stehen am Abtrieb nur noch 2 kW zur Verfügung die Verlustleistung beträgt 80 % (Zutreffendes ankreuzen) 175. Ein hydraulisches Hubgerät bringt eine Last von 500 kg Masse in 20 s auf eine Höhe von 4 m. Bestimme die erforderliche Antriebsleistung, wenn ein Gesamtwirkungsgrad von 70 % vorausgesetzt wird. 176. Der Antriebsmotor einer Drehmaschine entnimmt dem Netz bei einer bestimmten Dreharbeit eine Leistung P1 = 10 kW. Der Wirkungsgrad des Motors betrage η M = 92 %, der Wirkungsgrad aller bewegten Teile zwischen Motor und Drehspindel (Getriebe, Kupplungen, Lagerungen) betrage ηG = 0,8. Es wird ein Werkstück von d = 100 mm Durchmesser mit einer Drehzahl n = 1600 min–1 bearbeitet. Bestimme die in Richtung der Umfangsgeschwindigkeit vu wirkende und an der Drehmeißelschneide angreifende Hauptschnittkraft Fh. 177. Eine Wasserpumpe liefert 100 l/min auf eine Höhe Δh = 30 m. Der Antriebsmotor entnimmt dem Netz eine Leistung von 800 W. Bestimme den Wirkungsgrad der Anlage. 178. Die Dauerleistung eines Kraftwerks beträgt 20000 kW. Die Leistung wird über Wasserturbinen erzeugt, denen Wasser mit einem Gefälle von 4,5 m zufließt. Die Turbinen haben einen Wirkungsgrad von 74 %. Bestimme die in jeder Sekunde durch die Turbinen fließende Wassermenge in m3.
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13.3. Ruhende Flüssigkeiten und Gase 190. Bestimme die Druckkraft F der Luft, die auf den Deckel eines zylindrischen Gefäßes drückt, in dem der Druck p1 = 2940 Pa (1 Pa = 1 N/m2) herrscht. Der äußere Luftdruck beträgt p2 = 1,013 · 105 Pa, der lichte Durchmesser des Gefäßes d = 400 mm. 191. Bestimme die Druckkraft F der Luft auf einen Menschen, wenn dessen Oberfläche mit 1 m2 angenommen wird und das Barometer 1 bar anzeigt. 192. Das Manometer eines Druckbehälters zeigt 15 bar an. Der Luftdruck beträgt 1 040 mbar. Bestimme den absoluten Druck des Mediums im Behälter. 193. Wie groß ist der hydraulische Druck p infolge der Schwerkraft in einer Meerestiefe h = 8000 m, wenn mit einer Dichte r = 1025 kg/m3 für das Wasser gerechnet wird? 194. Um wie viel cm3 würde in der Meerestiefe nach Aufgabe 193 eine Wassermenge zusammengedrückt werden, die an der Oberfläche 1000 cm3 ausfüllt, wenn 1 dm3 Wasser bei 1 bar um ca. 50 mm3 zusammengedrückt wird? 195. An einem zylindrischen Tank von d1 = 2 m ∅ und h1 = 2 m Höhe ist ein Steigrohr von d2 = 2 cm ∅ angesetzt, dessen Steighöhe h2 = 4 m beträgt. Bestimme: a) die Bodenkraft Fb für den Fall, dass nur der Tank mit Wasser gefüllt ist, b) die Bodenkraft Fb für den Fall, dass das Wasser auch noch 4 m im Steigrohr steht.
zu 195
196. Ein Profilstahlträger (rk = 7850 kg/m3) liegt unter Wasser (rf = 1000 kg/m3) und soll gehoben werden. Dabei wirkt im Zugseil eine Kraft F1 = 12000 N, solange sich der Träger unter Wasser befindet. Bestimme die Zugkraft F2 über Wasser. 197. Ein Stück Metall wiegt in Luft 2 N. Hängt man einen teilweise mit Wasser gefüllten Becher an eine Federwaage, so zeigt sie 4 N an. Bringt man das Metallstück an einem Faden ganz in das Wasser ein, so steigt die Anzeige auf 4,5 N. Bestimme die Dichte r des Metalls. 198. Ein Holzstab von lk = 40 cm Länge wird lotrecht so unter Wasser getaucht, dass seine Oberkante s1 = 50 cm unter dem Wasserspiegel liegt. Dann gibt man den Stab frei. Bestimme die maximale Höhenlage s2 der Stabunterkante über dem Wasserspiegel, wenn der Stab emporgeschnellt ist. Die Reibung sei vernachlässigt; die Dichte des Holzes sei rk = 0,5 g/cm3. 199. Der Stab nach Aufgabe 198 wird lotrecht direkt auf den Wasserspiegel aufgesetzt und losgelassen. Bestimme die maximale Eintauchtiefe s1, gemessen vom Wasserspiegel bis zur Oberkante des Stabes. 200. Ein quaderförmiger Eisberg ragt h1 = 4 m hoch aus dem Wasser. Die Dichten von Eis und Seewasser verhalten sich wie 9 : 10. Bestimme die Eintauchtiefe h2 des Eisbergs. 201. Ein zylindrischer Schwimmer aus 0,2 mm dickem Messingblech (rM = 8,5 g/cm3) hat d = 100 mm Außendurchmesser und h1 = 60 mm Höhe. Wie groß ist seine Eintauchtiefe h2 in Benzin (rB = 0,75 g/cm3)? 202. Eine Holzkugel (rH = 0,3 g/cm3) wird in einer Wassertiefe von h = 6 m frei gegeben. Bestimme die Steigzeit Δt der Kugel bis zur Wasseroberfläche (ohne Reibung). 203. Ein Gas hat beim Druck p1 = 0,96 bar das Volumen V1 = 100 l. Bestimme das Volumen V2 des Gases beim Druck p2 = 1,03 bar, wenn die Temperatur konstant geblieben ist.
Aufgaben
295
13.4. Strömende Flüssigkeiten und Gase 210. Durch einen Luftkanal von d = 120 mm ∅ werden 10 m3/min gefördert. Bestimme die Luftgeschwindigkeit w (ohne Verluste)! 211. In einer Rohrleitung von d1 = 100 mm lichter Weite strömt Wasser mit der Geschwindigkeit w1. Bestimme den erforderlichen Leitungsdurchmesser d2, wenn sich in dem anschließenden Rohrstück die Geschwindigkeit verdoppeln soll! 212. Der Volumenstrom qv in einer Wasserleitung soll 400 m3/h betragen. Das Wasser soll mit w = 1 m/s strömen. Bestimme die lichte Weite d der Leitung! 213. Die lichten Weiten d eines sich verjüngenden Rohres verhalten sich wie 3 : 1. Wie verhalten sich die Strömungsgeschwindigkeiten w? 214. Eine Rohrleitung von d1 = 300 mm lichtem Durchmesser führt qv = 500 m3/h Wasser. Der Volumenstrom soll in zwei Teilströme aufgeteilt werden. In allen drei Leitungen soll die Strömungsgeschwindigkeit gleich groß sein. Bestimme die lichten Weiten der beiden Rohrleitungen, wenn qv1 = 300 m3/h und qv2 = 200 m3/h sein soll. 215. Eine horizontal liegende Wasserleitung fördert qv = 0,2 m3/s bei einem lichten Durchmesser d1 = 400 mm. Der Durchmesser verjüngt sich auf d2 = 200 mm. Bestimme die Strömungsgeschwindigkeiten w1 und w2. 216. In einem Behälter mit dem Querschnitt A2 steht eine Flüssigkeit von der Dichte r = 800 kg/m3 unter dem Druck p2. Aus einer Öffnung vom Querschnitt A1 strömt die Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit w1 ins Freie. Querschnitt A2 ist sehr viel größer als Querschnitt A1 (A2 Ԡ A1). Bestimme die Ausströmgeschwindigkeit w1, wenn der Druckunterschied Δp = 20 bar beträgt. 217. Durch den Querschnitt 1 einer Rohrleitung strömt reibungsfrei Wasser mit einem Volumenstrom qv = 0,1 m3/s. Die lichten Durchmesser betragen d1 = 0,4 m, d2 = 0,2 m, d3 = 0,4 m. Die Flüssigkeit strömt im Querschnitt 3 bei einem barometrischen Druck p3 = pb = 1,013 bar ins Freie. Bestimme: a) die Strömungsgeschwindigkeit w1 im Querschnitt 1, b) die Strömungsgeschwindigkeit w2 im Querschnitt 2, c) die Strömungsgeschwindigkeit w3 im Querschnitt 3, d) den Druck p2 im Querschnitt 2. 218. In einem großen offenen Wasserbehälter wird der Wasserspiegel durch ständigen Zufluss auf gleicher Höhe hs = 4 m gehalten. Eine Rohrleitung von d2 = 60 mm ∅ und h1 = 10 m Höhe verjüngt sich am waagerechten Auslaufende auf d1 = 40 mm ∅. Der barometrische Druck beträgt 990 mbar. Bestimme: a) die Ausströmgeschwindigkeit w1 (ohne Verluste), b) die Strömungsgeschwindigkeit w3, c) den Druck p3 im Einlauf.
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296
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219. Am Ende einer Wasserleitung befindet sich eine Düse, deren Durchmesser sich von d0 auf d0 / 2 verjüngt. Entwickle eine Gleichung für den Druck px in Abhängigkeit vom Anfangsdruck p0, von der Strömungsgeschwindigkeit w0 und von der Düsenlänge x.
220. Eine horizontal liegende Wasserleitung von d1 = 80 mm lichtem Durchmesser führt den Volumenstrom qv = 10 l/s. An einer Stelle der Leitung ist der lichte Durchmesser auf d2 eingeschnürt, sodass dort der Druck 0,4 bar kleiner ist als vor der Einschnürung. Zu bestimmen sind: a) Strömungsgeschwindigkeit w1, b) Strömungsgeschwindigkeit w2, d) Durchmesser d2. 221. Der Luftwiderstand F1 eines Körpers ist proportional der Spantfläche A (= Querschnittsfläche rechtwinklig zur Strömungsrichtung = Projektionsfläche), dem Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit w (bis ca. 200 m/s Strömungsgeschwindigkeit) und der Dichte rL der Luft. Er hängt außerdem von der Form des Körpers ab. Diese Abhängigkeit wird durch den Widerstandsbeiwert cw berücksichtigt. cw wird im Versuch gewonnen.
F1 =
rL 2 w Acw 2
F1
rL
N
kg/m3
w
A
cw
m/s
m2
1
Bestimme die erforderliche Luftgeschwindigkeit w eines lotrecht nach oben gerichteten Luftstroms, in dem eine Holzkugel von rH = 600 kg/m3 Dichte und d = 10 cm Durchmesser gerade schwebt. cw = 0,4; rL = 1,2 kg/m3. 222. Eine Kreisfläche von d = 50 cm Durchmesser wird durch einen Luftstrom mit w = 30 m/s rechtwinklig zur Fläche angeblasen. Dichte der Luft rL = 1,25 kg/m3; Widerstandsbeiwert cw = 1,15. Bestimme den Luftwiderstand F1. 223. Ein Freileitungskabel von d = 10 mm ∅ wird vom Wind mit w = 60 m/s angeblasen. rL = 1,29 kg/m3; Widerstandsbeiwert für einen Zylinder cw = 0,9. Bestimme die Kraft Fl, die als Luftwiderstand auf l = 160 m Leitungslänge wirkt. 224. Ein Fallschirmspringer wiegt 90 kg, sein Fallschirm 30 kg. Der Widerstandsbeiwert des Fallschirms von 10 m ∅ sei cw = 1,35 (Halbkugel), die Luftdichte rL = 1,25 kg/m3. Bestimme die Sinkgeschwindigkeit w des Fallschirmspringers. 225. Ein zylindrischer Schornstein wird mit w = 60 m/s angeblasen. rL = 1,26 kg/m3; cw = 0,9. Bestimme den Winddruck p in Pa. Siehe Aufgabe 221. 226. Bestimme die allein durch den Luftwiderstand Fl aufgezehrte Leistung für einen Pkw, der mit v = 160 km/h genau gegen den Wind fährt, wenn die Windgeschwindigkeit w = 3,5 m/s beträgt. cw = 0,35; A = 1,5 m2; rL = 1,5 kg/m3. Siehe Aufgabe 221. 227. Wird eine Rechteckfläche von 200 mm × 80 mm durch einen Luftstrom mit w = 30 m/s angeblasen, so misst man einen Luftwiderstand Fl = 10 N. rL = 1,25 kg/m3. Bestimme den Widerstandsbeiwert cw. Siehe Aufgabe 221.
Aufgaben
297
13.5. Wärmelehre 230. Der Längenausdehnungskoeffizient hat die Einheit: m K
1 K
cm cm K
K mK
mm
(Zutreffendes ankreuzen) 231. Bestimme die Längenänderung Δl eines Stahlrohrs von 600 m Länge bei einer Temperaturschwankung von ΔT = 50 K. 232. Bestimme den Längenausdehnungskoeffizienten einer Glassorte, die sich bei einer Temperaturänderung von ΔT = 60 K um 0,38 ‰ ausdehnt. 233. Ein Kupferstab ist bei ϑ1 = 25 °C genau 500 mm lang. Bestimme seine Länge bei ϑ2 = 80 °C und bei ϑ3 = – 70 °C. 234. Eine Kupferleitung ist im Abstand von 80 m zwischen den Masten befestigt. Der Durchhang Δs soll bei 20 °C so groß sein, dass die Leitung bei – 30 °C (theoretisch) geradlinig gespannt ist. Um die Rechnung zu vereinfachen, wird dreieckförmiger Durchhang angenommen. Bestimme den Durchhang Δs. 235. Ein Kupferrohr hat bei 20 °C eine Länge von 100 m. Bestimme die Längenzunahme Δl bei Erwärmung auf 120 °C. 236. Ein Längenmaßstab aus Aluminium hat eine Temperatur von 8 °C. Mit ihm wird eine bestimmte Strecke 2150 mm gemessen. Der Maßstab misst genau 20 °C. Bestimme die wahre Länge der Strecke im Augenblick der Messung. 237. Bestimme die Längenänderung Δl eines Stahlturms von 300 m Höhe bei einer Temperaturschwankung von 30 K. 238. Die Dichte eines festen Stoffes mit dem Längenausdehnungskoeffizienten α l soll bei 0 °C mit r0 bezeichnet werden. Entwickle eine allgemeine Beziehung für die Dichte r in Abhängigkeit von r0, α l und der Temperatur ϑ! Berechne danach die Dichte r von Kupfer bei 100 °C, wenn r0 = 8,9 g/cm3 beträgt. 239. Ein zylindrisches Gefäß aus Metall mit dem Längenausdehnungskoeffizienten α l enthält eine Flüssigkeit mit dem Volumenausdehnungskoeffizienten α v. Bei 0 °C steht der Flüssigkeitsspiegel in der Höhe h0 über dem Gefäßboden. Bestimme in Form einer allgemeinen Beziehung (Gleichung) die Höhe h bei der Temperatur ϑ . 240. Ein Öltank von 5 m Länge und 3 m Breite ist bis zu 4 m Höhe mit Öl von 20 °C gefüllt (α v Öl = 10–3 l/K). Bestimme die Höhe Δh, um die der Ölspiegel ansteigt, wenn sich das Öl auf 60 °C erwärmt (ohne Berücksichtigung der Wärmedehnung des Tanks). 241. Die Wärmespannung σϑ ist abhängig von der Verlängerung Δl der Masse m des Körpers dem Elastizitätsmodul E des Werkstoffs der Länge l0 des Stabes der Temperaturdifferenz ΔT (Zutreffendes ankreuzen)
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298
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242. Es wird angenommen, dass ein Stahlstab spannungsfrei und rutschfest an den Enden eingespannt werden kann. Die freie Stablänge l beträgt 3 m, die Temperatur des Stabes 25 °C. Nach dem Hooke’schen Gesetz ist die Spannung σ = Dehnung ε · Elastizitätsmodul E. Die Dehnung ε ist der Quotient aus der Längenänderung Δl und der Ursprungslänge l0, es ist also ε = Δl/l0. Bestimme die Zugspannung σ im Stab, wenn er sich auf 0 °C abgekühlt hat. Der E-Modul für Stahl beträgt E = 2,1 · 105 N/mm2. 243. Ein Stahlstab ist in eine starre Halterung eingespannt und bei einer Temperatur von 30 °C spannungsfrei. Bestimme die Spannung σ im Stab bei 50 °C, wenn angenommen werden kann, dass der Stab nicht ausweicht. 244. Ein Kupferring wird auf 100 °C erwärmt und passt dann genau auf eine Stahlwelle, die eine Temperatur von 40 °C hat. Bestimme: a) die mittlere Zugspannung im Kupferring, wenn sich dieser auf 40 °C abgekühlt hat (ECu = 1,25 · 105 N/mm2), b) die Spannung im Ring, wenn sich das ganze System auf 0 °C abgekühlt hat. 245. Bestimme die erforderliche Wärme Q, um 3 kg Wasser von 20 °C auf 90 °C zu erwärmen. 246. Bestimme die erforderliche Wärme Q, wenn 15 kg Aluminium von 20 °C auf 100 °C erwärmt werden sollen. 247. Wieviel kg Aluminium können mit 4 · 106 J von 20 °C auf 300 °C erwärmt werden? 248. In welcher Zeit kann 1 kg Wasser von 10 °C auf Siedetemperatur gebracht werden, wenn dazu eine elektrische Leistung von 1000 W zur Verfügung steht ? 249. Wieviel Liter Wasser von 90 °C kann ein elektrischer Heißwasserbereiter in 1 min liefern, wenn er eine elektrische Leistung von 4 kW aufnimmt und das Wasser 12 °C Anfangstemperatur hat (ohne Verluste gerechnet)? 250. Der Massenstrom in einer Warmwasserheizung beträgt 20 kg/min. Das Wasser wird im Kessel auf 85 °C erhitzt und hat nach dem Durchlauf eine Temperatur von 65 °C. Bestimme für eine Betriebsdauer von einer Stunde: a) die abgegebene Wärme, b) die Luftmenge in m3, die damit von 5 °C auf 25 °C erwärmt werden könnte (alles ohne Verluste); rL = 1,25 kg/m3 als Mittelwert. 251. Einem Kupferstab von 20 mm Durchmesser und 400 mm Länge wird eine Wärme von 1,6 · 105 J zugeführt. Für Kupfer ist r = 8,92 g/cm3, α l = 16,5 · 10–6 1/K. Bestimme die Wärmedehnung ε für den Kupferstab. 252. Ein Gleitlager von 90 mm Bohrung ist mit 32 kN belastet. Wieviel mechanische Arbeit wird durch die Zapfenreibung bei 200 Umdrehungen verbraucht, wenn μ = 0,05 ist ? Welche Wärmemenge wird dabei entwickelt? 253. Beim Kühlen eines Verdichters werden 2,1 · 106 J/h an die Luft und an das Kühlwasser abgegeben. Bestimme die dadurch verloren gehende Leistung. 254. Ein elektrischer Heizofen nimmt bei 220 V einen Strom von 5 A auf und ist eine Stunde lang in Betrieb. Bestimme die Wärme, die der Ofen abgibt. 255. Ein Güterzug der Masse m = 1200 t wird aus der Geschwindigkeit v = 72 km/h bis zum Halten abgebremst. Bestimme die beim Bremsen entwickelte Wärme Q ohne Berücksichtigung des Fahrwiderstands.
Aufgaben
299
256. Eine Getriebewelle läuft mit n = 3000 min–1 um und ist in einem Gleitlager gelagert. Der Zapfendurchmesser beträgt d = 50 mm, die Lagerbelastung (Radialkraft = Normalkraft) FN = 4000 N. Es ist Umlaufschmierung vorgesehen; die Reibzahl wird mit m = 0,05 angenommen. Bestimme unter der Annahme, dass die gesamte Reibungswärme durch das Öl aufgenommen und abgeführt werden soll (Wärmeabgabe durch Gehäuse vernachlässigt): a) die Reibleistung PR, b) den Wärmestrom Φ L, c) den erforderlichen Ölstrom qm in kg/min, wenn eine Eintrittstemperatur ϑ1 = 20 °C und eine Austrittstemperatur ϑ2 = 40 °C für das Öl angenommen wird (cÖl = 1675 J/kg K). 257. Bestimme die Mischungstemperatur ϑm, wenn eine Flüssigkeit mit m1 = 50 kg und c1 = 2512 J/kg K mit m2 = 20 kg Wasser gemischt wird. Temperaturen sind ϑ1 = 60 °C, ϑ2 = 15 °C. Keine Wärmeverluste. 258. Ein Kalorimeter soll 62 g Wasser von 12 °C enthalten, dem 45 g Wasser von 48 °C zugegeben werden. Danach stellt sich eine Mischungstemperatur ϑm = 26 °C ein. Bestimme die Wärmekapazität WK des Kalorimeters. 259. Die spezifische Wärmekapazität ck eines festen Stoffes (z.B. eines Metalls) lässt sich bestimmen, indem man den Probekörper in Wasser erwärmt und ihn dann in das Wasser eines Kalorimetergefäßes von bekannter Wärmekapazität WK bringt. Mit der sich einstellenden Mischungstemperatur ϑm kann aus dem Wärmegleichgewicht die Wärmekapazität ck berechnet werden. Es sei mk = 200 g die Masse des Probekörpers (Ziegelstein), ϑk = 90 °C seine Temperatur, mw = 100 g die Wassermenge des Kalorimeters von der Temperatur ϑw = 20 °C. Die Wärmekapazität des Kalorimeters betrage WK = 50 J/K, die Mischungstemperatur ϑm = 40 °C. Bestimme die spezifische Wärmekapazität ck des Stoffes. 260. Es werden 37 kg Wasser von 85 °C mit 13 kg Wasser von 15 °C gemischt. Bestimme die Mischungstemperatur ϑm. 261. Ein Kalorimeter ist mit 800 g Wasser von 15 °C gefüllt. Das Gefäß des Kalorimeters besteht aus 250 g Silber. In das Gefäß werden 200 g Aluminium von 100 °C eingebracht. Die sich einstellende Mischungstemperatur beträgt ϑm = 19,25 °C. Bestimme die spezifische Wärmekapazität des Aluminiums. 262. Ein Körper aus Stahl von m1 = 25 kg und c1 = 460 J/kg K wird in 50 l Öl von c2 = 1884 J/kg K gebracht, das sich dabei von 20 °C auf 35 °C erwärmt. rÖl = 0,8 kg/dm3. Bestimme ohne Berücksichtigung der Wärmeverluste die Anfangstemperatur des Stahlkörpers. 263. Ein Stahlkörper von m2 = 500 g wird in Wasser auf ϑ2 = 88 °C erwärmt und dann in m1 = 300 g Wasser von ϑ1 = 21 °C gelegt (Kalorimeter). Im Wasser des Kalorimeters stellt sich die Mischungstemperatur ϑm = 31 °C ein. Bestimme die spezifische Wärmekapazität ck des Probekörpers ohne Berücksichtigung der Wärmeverluste. 264. Die Kondensationsenthalpie hv von Wasser lässt sich bestimmen, wenn man in eine Wassermenge mw1 von Zimmertemperatur ϑl Wasserdampf von ϑd = 100 °C leitet. Durch Wägen bestimmt man die durch Kondensation entstandene Wassermenge mk, am Thermometer liest man die Mischungstemperatur ϑm der beiden Wassermengen ab. Es beträgt die Anfangstemperatur des Wassers ϑl = 21 °C, die Wassermenge mw1 = 98,1 g, die Masse des kondensierten Wassers mw2 = 1,9 g, die Mischungstemperatur ϑm = 32,5 °C, die Temperaturdifferenz ΔT = ϑm – ϑl = 11,5 K. Bestimme ohne Berücksichtigung der Wärmeverluste die Kondensationsenthalpie hv. 265. Bestimme die Mischungstemperatur ϑm für den Fall, dass 1 kg Dampf von 100 °C in 10 kg Wasser von 20 °C geleitet wird und die Wärmekapazität WK des Kalorimeters 200 J/K beträgt.
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300
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266. Bestimme die erforderliche Wärme Q, wenn ohne Wärmeverluste aus 1 kg Eis von –15 °C überhitzter Dampf von 120 °C (bei 1,01 bar) gewonnen werden soll. Die spezifische Wärmekapazität von Eis beträgt ce = 2050 J/kg K, die von Dampf cd = 1867 J/kg K, die Schmelzenthalpie hs = 3,35 · 105 J/kg, die Verdampfungsenthalpie 22,5 · 105 J/kg. 267. In einem Kalorimetergefäß mit der Wärmekapazität WK = 250 J/K befindet sich m1 = 200 g Wasser von ϑ1 = 20 °C. In das Wasser legt man ein Metallstück von m2 = 100 g und ϑ2 = 100 °C. Es stellt sich eine Mischungstemperatur ϑm = 23 °C ein. Bestimme die spezifische Wärmekapazität c2 des Prüfkörpers. 268. Es werden me = 0,3 kg Eis von ϑe = 0 °C mit mw = 1,8 kg Wasser von ϑw = 10 °C und md = 0,15 kg Dampf von ϑd = 100 °C zusammengebracht. Bestimme die Wassertemperatur nach vollständigem Temperaturausgleich. 269. Bestimme die Temperatur T für –173,15 °C und für 20 °C. 270. In einer Pressluftflasche von 50 l Volumen herrscht ein Druck von 150 bar bei ϑ = 25 °C. Bestimme die Luftmasse in kg. 271. Bestimme das Volumen V von 20 kg Sauerstoff bei 45 °C und einem Druck von 70 bar. 272. In einer 50 l-Flasche befindet sich Wasserstoffgas bei 30 °C und einem Druck von 120 bar. Bestimme die Gasmasse in kg! 273. Bestimme die Gaskonstante RL für Luft, wenn die Dichte der Luft bei 0 °C und 1,01325 bar 1,293 kg/m3 beträgt. 274. Bestimme die Dichte der Luft bei einem Druck von 200 bar und 25 °C. 275. Auf welchen Überdruck (atmosphärische Druckdifferenz pe) steigt der Druck in einer Gasflasche bei Erwärmung auf 50 °C, wenn bei 10 °C ein Überdruck von 150 bar angezeigt wird und der umgebende Atmosphärendruck pamb 1000 mbar beträgt? 276. Wieviel m3 Luft strömt aus einem Raum von 1000 m3, wenn dessen Temperatur bei konstantem Druck von 10 °C auf 25 °C erhöht wird? 277. Ein Raum von V = 60 m3 ist mit Luft der Temperatur ϑ = 20 °C vom Druck p = 950 mbar gefüllt. Bestimme die Masse der Luft. 278. Für einen Ofen soll ein Gebläse bei einer Temperatur von 0 °C und einem Druck von 1,01 bar ein Volumen von 500 m3 Luft fördern. Bestimme das erforderliche Fördervolumen bei einer Lufttemperatur von 35 °C und einem Druck von 940 mbar. 279. In einem Druckgefäß von 3 m3 Volumen befindet sich Methangas von 20 °C unter einem Druck von 6 bar. Bestimme die dem Gas zuzuführende Wärme Q, wenn sich der Druck verdoppeln soll. Wärmeverluste sollen nicht berücksichtigt werden; die spezifische Wärmekapazität des Gases beträgt cv = 1741 J/kg K. 280. Bestimme für Kohlendioxid (CO2) die spezifische Gaskonstante RCO2 aus cp und cv. 281. In einem horizontal liegenden Zylinder mit leicht verschiebbarem Kolben befindet sich 1 kg Luft von 0 °C bei 1013,25 mbar. rL = 1,293 kg/m3. Bestimme die Ausdehnungsarbeit W der Luft bei 1 K Temperaturerhöhung. 282. Bestimme aus der universellen Gaskonstanten R die spezifische Gaskonstante für Sauerstoff (O2). 283. Ein wärmeisolierter Stahlstab von A = 10 cm2 Querschnittsfläche und 0,3 m Länge wird an einem Ende konstant auf 20 °C gehalten. Durch ständige Energiezufuhr wird das andere Ende dauernd auf 100 °C gehalten. l. Bestimme den Wärmestrom Φ
Aufgaben
301
284. Durch eine 1 cm dicke ebene Stahlplatte (0,1 % C) von A = 1 m2 sollen stündlich 20 · 106 J geleitet werden. Bestimme den erforderlichen Temperaturunterschied ΔT. 285. Bestimme die Wärme, die täglich durch eine 60 cm dicke Kesselwand aus Schamottestein hindurchgeht, wenn die Oberfläche A = 5 m2 beträgt und ein Temperaturunterschied von 100 K auftritt. Rechne mit λ = 4,2 · 103 J/mh K. 286. Ein Raum hat 10 m2 Fensterfläche aus einfachem Fensterglas von 3,5 mm Dicke. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C, die Außentemperatur –10 °C bei einer Luftgeschwindigkeit w = 3 m/s. Bestimme die Wärme Q, die in zwei Stunden verloren geht. 287. Bestimme die stündlich durch eine 24 cm dicke Ziegel-Außenmauer von 50 m2 bei 30 °C Innentemperatur und –20 °C Außentemperatur hindurchgehende Wärme. Wärmeübergangszahlen: α i = 25100 J/m2h K, α a = 50200 J/m2 h K, λ = 3100 J/mh K. 288. Eine Betonmauer von A = 40 m2 Fläche hat 20 °C Innentemperatur und –10 °C Außentemperatur. Die Wärmedurchgangszahl beträgt k = 8370 J/m2h K. Bestimme die erforderliche Heizleistung in kW. 289. Gusseisen mit Gusshaut reflektiert 20 % der auftreffenden Strahlung. Bestimme die Strahlungszahl C. 290. Die Öffnung zum Beschicken eines Schmelzofens kann als schwarzer Körper angesehen werden. Sie hat die Rechteckmaße 300 mm × 400 mm. Bestimme die durch diese Öffnung in 10 min ausgestrahlte Wärme bei 1400 °C Innentemperatur und 30 °C Außentemperatur. 291. Zwei oxidierte Kupferbleche von A1 = 2 m2 und A2 > A1 stehen sich parallel gegenüber. Die Temperaturen betragen T1 = 140 °C, T2 = 100 °C. Bestimme die in 2 h zwischen beiden Blechen ausgetauschte Wärme (keine Wärmeleitung, keine Wärmeströmung). Die Strahlungszahlen betragen: C1 = C2 = 15,2 · 10–5 J/m2hK4.
13.6. Mechanische Schwingung 300. Beim harmonisch schwingenden Körper bleibt der Betrag der Geschwindigkeit konstant bleibt der Betrag der Beschleunigung konstant sind Geschwindigkeit und Beschleunigung stets gleich gerichtet ändert die Beschleunigung laufend ihren Betrag ist die Geschwindigkeitsänderung gleich bleibend (Zutreffendes ankreuzen) 301. Die Geschwindigkeit eines harmonisch schwingenden Körpers ist am größten wenn seine Beschleunigung am größten ist wenn seine Beschleunigung null ist in den Umkehrpunkten beim Durchgang durch die Nulllage, d.h. in der Mitte der Periode wenn sich ihre Richtung ändert (Zutreffendes ankreuzen) Aufgaben
302
Aufgaben
302. Nach welcher Zeit t hat ein Schleifkorn auf dem Umfang einer Schleifscheibe mit r = 300 mm bei n = 1500 U/min die Auslenkung y = 100 mm? 303. Wie groß sind Geschwindigkeit vy und Beschleunigung ay des Schleifkorns in Aufgabe 302 ? 304. Für die Auslenkung y gilt y = r sin Δϕ, für die Beschleunigung gilt ay = yω 2. Daher kann nur richtig sein:
ay max bei ymax
ay max bei y = 0
ay = 0 bei y = 0
ay = 0 bei ymax
(Zutreffendes ankreuzen) 305. Für die Auslenkung gilt y = r sin Δϕ und für die Geschwindigkeit vy = r ω cos (ω t). Daher kann nur richtig sein:
vy max bei y = 0
vy max bei ymax
vy = 0 bei y = 0
vy = 0 bei ymax
(Zutreffendes ankreuzen) 306. Die Frequenz f ist die Periodenzahl je Sekunde mit der Einheit s benannt der Kehrwert der Periodendauer T dasselbe wie die Periodendauer T von gleicher Art wie die Drehzahl n (Zutreffendes ankreuzen) 307. Die Kreisfrequenz ω ist dasselbe wie das Hertz das 2 π-fache der Periodendauer das 2 π-fache der Frequenz mit der Einheit der Frequenz benannt aus der Periodendauer berechenbar (Zutreffendes ankreuzen) 308. Für z = 20 Perioden misst man eine Zeit Δt = 8 s. Bestimme die: a) Periodendauer T, b) Frequenz f, c) Kreisfrequenz ω . 309. Wie groß sind Auslenkung y, Geschwindigkeit vy und Beschleunigung ay eines schwingenden Punkts 0,02 s nach Beginn der Schwingung, wenn die Amplitude 30 mm und die Frequenz 50 Hz betragen? Die Schwingung ist harmonisch und ungedämpft. 310. Die Frequenz einer harmonischen Schwingung beträgt 50 Hz. Bestimme: a) die Kreisfrequenz ω, b) den Drehwinkel Δϕ, der bei der entsprechenden Kreisbewegung in einer Sekunde durchlaufen wird. 311. Bestimme die Anzahl z der harmonischen Schwingungen eines Punkts, der einen Phasenwinkel Δϕ = 15 rad durchlaufen hat.
Aufgaben
303
312. Bestimme die Auslenkung y, die Geschwindigkeit vy und die Beschleunigung ay eines harmonisch schwingenden Punkts 5 s nach Beginn der Schwingung, wenn die Amplitude A = 1 m und die Frequenz f = 0,3 Hz betragen. 313. Ein Teilchen führt eine Sinusschwingung in 20 s aus. Die Amplitude beträgt 40 cm. Während eines Zeitabschnitts von 2,5 s verdoppelt sich die Auslenkung. Bestimme die Beträge y1 und y2. 314. Die Amplitude einer harmonischen Schwingung beträgt 20 cm. Bestimme die Frequenz und die Periodendauer, wenn ein Punkt P 1,5 s nach dem Nulldurchgang eine Auslenkung y = 6 cm hat. 315. Mit Hilfe der Gleichungen für y, vy, ay und mit FR = Dy lässt sich feststellen:
FR max bei y = 0
FR = 0 bei y = 0
FR max bei vy = 0
FR max bei ay max
FR = 0 bei vy max
(Zutreffendes ankreuzen) 316. Ein Würfel aus Holz (Dichte r = 700 kg/m3) schwimmt im Wasser. Die Kantenlänge des Würfels beträgt a = 30 cm. Bestimme: a) die Eintauchtiefe Δa, b) das Kraftgesetz beim weiteren Eintauchen, c) die sich einstellende Frequenz des schwingenden Würfels, wenn er über seine Ruhelage hinaus um y = 8 cm tiefer in das Wasser gedrückt und dann losgelassen wird, d) den Einfluss des Maßes y auf die Frequenz. 317. Ein lineares Kraftgesetz liegt vor wenn die Rückstellkraft konstant bleibt wenn die Auslenkung konstant bleibt wenn die Richtgröße eine Konstante ist wenn sich bei doppelter, dreifacher, ... Auslenkung die doppelte, dreifache, ... Rückstellkraft einstellt wenn sich Rückstellkraft und Auslenkung umgekehrt proportional ändern (Zutreffendes ankreuzen) 318. Die Frequenz f, mit der ein Schraubenfederpendel schwingt, wächst mit größerer Masse m des Pendelkörpers bei größerer Federrate R bei gekürzter Federlänge wenn eine „steifere“ Feder verwendet wird wenn die Amplitude vergrößert wird (Zutreffendes ankreuzen) 319. Eine Schraubenfeder wird durch eine Zugkraft F = 0,4 N um 1 cm verlängert. Bestimme die Periodendauer T für die Feder, wenn sie mit einem Körper von 100 g Masse belastet wird. Bei allen Aufgaben dieser Art wird angenommen, dass die Masse der Feder sehr klein ist gegenüber der Masse des schwingenden Körpers (Pendelmasse Ԡ Federmasse). Aufgaben
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Aufgaben
320. Eine Schraubenfeder mit der Federrate R = 104 N/m wird mit einem Körper der Masse m = 8 kg in vertikaler Aufhängung belastet. Aus seiner Ruhelage heraus zieht man den Körper um 20 cm lotrecht nach unten und gibt ihn dann frei. Bestimme für die masselos gedachte Feder und ungedämpfte Schwingung: a) die Periodendauer, b) die Frequenz, c) die Maximalgeschwindigkeit des Pendelkörpers. 321. An einer Schraubenfeder hängt ein Pendelkörper von der Masse m = 1000 kg. Bei vertikalen Schwingungen misst man die Periodendauer T = 2 s. Bestimme die erforderliche statische Kraft F, mit der die Feder um Δs = 1 cm aus der Ruhelage gebracht werden kann. 322. Eine Stahlplatte von m = 150 kg drückt beim Auflegen ein Federsystem um Δs = 15 mm zusammen. Bestimme: a) die resultierende Federrate R01) des Systems, b) die Frequenz, mit der die Platte auf den Federn schwingt. 323. Ein Federsystem besteht aus zwei parallel geschalteten1) Schraubenfedern, denen eine weitere Feder nachgeschaltet ist. Der Schwinger besitzt die Masse m = 10 kg, die Federraten sind R1 = 50 N/cm und R2 = 80 N/cm. Bestimme die Schwingungsdauer T und die Anzahl z der Schwingungen in 1 min.
324. Zwei Schraubenfedern mit den Federraten R1, R2 sind einmal nach Bild a, das andere Mal nach Bild b zusammengesetzt.1) Bestimme das Verhältnis m1 : m2 der Massen der Pendelkörper, wenn sich die Federraten R1 : R2 = 1 : 2 verhalten und die Periodendauer T beider Kombinationen gleich groß sein soll.
1)
Häufig sind mehrere Schraubenfedern nötig, um eine technische Aufgabe zu lösen. Sie können hintereinander oder parallel geschaltet werden. Man denkt sich dann die Federn ersetzt durch eine Einzelfeder von gleicher Wirkung wie alle Federn zusammen. Ihre Federrate heißt resultierende Federrate R0. Sie wird bestimmt aus:
R0 = R1 + R2 + R3 + ... bei Parallelschaltung der Federn
1 1 1 1 = + + + ... R0 R1 R2 R3 bei Hintereinanderschaltung der Federn
R0 =
R1R2 R1 + R2
bei zwei hintereinander geschalten Federn
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325. Die Frequenz f eines Torsionspendels wird umso größer je länger das Pendel gemacht wird je kleiner das Trägheitsmoment des Pendelkörpers ist je größer der Drehwinkel (Amplitude) ist je mehr Masseteilchen des Pendelkörpers einen großen Abstand von der Drehachse haben je größer die Federrate ist (Zutreffendes ankreuzen) 326. Die Frequenz f eines Schwerependels wird umso größer je größer die Masse des Pendelkörpers ist je kleiner die Pendellänge l ist je größer die Amplitude gemacht wird je weiter der Versuchsort vom Erdmittelpunkt entfernt ist je kleiner die Dichte des Pendelkörpers ist (Zutreffendes ankreuzen) 327. Die halbe Periodendauer T/2 eines Schwerependels soll 1 s betragen. Bestimme die erforderliche Pendellänge l. 328. Ein Schwerependel wird um Δl = 0,5 m gekürzt. Die Periodendauer des ursprünglichen Pendels betrug T1 = 1,6 s. Bestimme die Periodendauer T2 des gekürzten Pendels. 329. Ein Schwerependel besitzt die Länge l = 0,5 m. Lotrecht unter dem Aufhängepunkt befindet sich im Abstand von 0,3 m eine Anschlagleiste, sodass das Pendel in der zweiten Hälfte der Bewegung mit verkürzter Pendellänge schwingt. Bestimme die Anzahl z der Perioden in 1 min. 330. Ein Körper von der Masse m = 2 t hängt an einem masselos gedachten Kranseil von l = 6 m Länge und gerät in Schwingungen mit der Amplitude A = 2 m (ungedämpfte Schwingung angenommen). Bestimme: a) die Periodendauer T, b) die Frequenz f, c) die maximale Geschwindigkeit v0, d) den Betrag der maximalen Beschleunigung amax, e) die Auslenkung y nach t1 = 2 s und t2 = 2 min. 331. Die Längen l1, l2 zweier Schwerependel verhalten sich wie 4:5. Nach 1 min hat das kürzere Pendel 10 Perioden mehr ausgeführt als das längere Pendel. Bestimme die Frequenzen f1, f2. 332. Eine Schraubenfeder der Masse mF = 0,15 kg hat die Federrate R = 34,5 N/m. Sie wird als Federpendel aufgehängt und mit einem Wägestück belastet. Aus dieser Nulllage heraus wird sie um Δs = Amplitude A = 10 cm verlängert. Die Periodendauer beträgt T = 1,09 s. Nach Δt = 5 min kommt die Stahlfeder zur Ruhe. Bestimme die Temperaturerhöhung ΔT des Federwerkstoffs unter der Annahme, dass keine Wärmeenergie an die Umgebung abgegeben wird und die Luftreibung vernachlässigbar klein ist.
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333. Ein Motor von der Masse m = 400 kg ist in der Mitte zweier U 120 befestigt, die auf l = 2 m Länge statisch bestimmt gelagert sind. Ist der Motor nicht vollkommen ausgewuchtet, treten periodisch wirkende Zentrifugalkräfte auf, deren Frequenz f zahlenmäßig gleich der Drehzahl n des Motors ist. Ist die Frequenz f gleich der Eigenfrequenz f0 des Systems Motor-U-Träger, tritt Resonanz auf. Die dieser Frequenz entsprechende Motordrehzahl heißt daher kritische Drehzahl nkr. Die U-Träger werden hier als masselos angesehen. Bestimme die kritische Drehzahl nkr für die Schwingungen in lotrechter Richtung.
334. Auf einer abgesetzten Welle sitzt eine Schwungscheibe. Die Welle wird im Schnitt x–x als eingespannt angesehen. Der Schubmodul (Stahl) beträgt G = 0,81 · 105 N/mm2, die Dichte r = 7850 kg/m3. Die Federrate R einer Welle als Torsionsfeder wird berechnet aus R = G I p / l ≈ G d 4 / 10 l, mit Ip als polarem Flächenmoment 2. Ordnung. Das Trägheitsmoment J der Schwungscheibe wird aus J = 0,5 r π r 4 b bestimmt, mit Radius r. Bestimme die Eigenperiodendauer T und die Anzahl z der Perioden in 1 min, sowie die Eigenfrequenz f0 und die kritische Drehzahl nkr.
13.7. Mechanische Wellen und 13.8. Akustik 340. Welche Wellenlänge λ hat eine Rundfunkwelle von f = 50 MHz bei einer Ausbreitungsgeschwindigkeit c = 300 000 km/s? 341. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Querwelle mit der Amplitude A = 20 cm beträgt c = 100 m/s, die Frequenz f = 0,1 Hz. Bestimme: a) die Wellenlänge λ , b) den Zeitabschnitt Δt, nach dem ein Teilchen im Abstand Δx = 400 m vom Ursprung zu schwingen beginnt, c) die Auslenkung dieses Teilchen nach t0 = 1 min. 342. Eine laufende Querwelle hat die Amplitude A = 20 mm und die Wellenlänge λ = 50 cm. Bestimme die Auslenkung y eines Teilchens P, das Δx = 30 cm vom Anfangsteilchen entfernt ist, wenn das Anfangsteilchen A gerade eine volle Periode ausgeführt hat. 343. Bestimme die momentane Geschwindigkeit vy und die momentane Beschleunigung ay des Teilchens aus der Aufgabe 342, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = 5 m/s beträgt.
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344. Das Teilchen im Erregerzentrum einer Wasserwelle hat gerade seine höchste Lage erreicht. Ein anderes Teilchen hat zu diesem Zeitpunkt die momentane Auslenkung y = 0,2 A. Bestimme die Entfernung x0 dieses Teilchens vom Erregerzentrum (x0 als Bruchteil z der Wellenlänge λ angegeben : x0 = z λ). 345. Zwei harmonische Wellen gleicher Frequenz (gleicher Wellenlänge) und gleicher Amplitude überlagern sich mit dem Gangunterschied Δx. Bestimme mit Hilfe der Gleichung der harmonischen Welle die Gesetzmäßigkeit der resultierenden Welle. 346. Zwei harmonische Wellen haben die Frequenz f = 50 Hz, die Amplitude A = 10 cm und die Wellenlänge λ = 2 cm. Bestimme die resultierende Auslenkung yres zur Zeit t = 2,6 s im Abstand x = 79,6 cm vom Erreger, wenn der Gangunterschied Δx = 3 λ = 6 cm beträgt. 347. Eine Stimmgabel hängt als Schwerependel an einem Faden und schwingt in Richtung eines ruhenden Beobachters auf ihn zu und von ihm weg. Die Frequenz der Stimmgabel beträgt 1700 Hz, die Schallgeschwindigkeit c = 340 m/s. Der Schwerpunkt der Stimmgabel ist 2 m vom Aufhängepunkt des Fadens entfernt. Das Pendel wird um α = 20° ausgelenkt. Bestimme die Frequenzen, die der Beobachter beim Annähern und beim Entfernen der Stimmgabel wahrnimmt, wenn die Stimmgabel durch ihre tiefste Lage (Nulllage) schwingt. 348. In einem mit v = 72 km/h fahrenden Zug nähert sich ein Beobachter einer Tonquelle, deren Frequenz 1000 Hz beträgt. Schallgeschwindigkeit in Luft c = 340 m/s. Bestimme die Frequenzen des Tons, den der Beobachter beim Annähern und beim Entfernen hört. 349. Eine von zwei 440 Hz-Stimmgabeln wird durch Aufkleben von etwas Wachs verstimmt. Schlägt man nun beide Stimmgabeln gleichzeitig an, treten Schwebungen auf. Man misst in 10 s 30 Schwebungen. Bestimme die Frequenz f2 der verstimmten Stimmgabel. 350. Zu welchen Zeiten t ist die Auslenkung an allen Stellen einer stehenden Welle gleich null? 351. In welchen Abständen x ist die Auslenkung einer stehenden Welle immer gleich null? 352. Ein Stahldraht von d = 1 mm ∅ wird an seinen Enden mit einer Zugkraft F = 20 N belastet. Bestimme die Ausbreitungsgeschwindigkeit c einer Querstörung im Draht. 353. Bestimme die Frequenz f des Tons einer Stahlsaite von l = 0,4 m Länge und A = 1 mm2 Querschnitt, die durch die Zugkraft F = 10 N gespannt wird.
13.9. Optik 360. Eine Lichtquelle hat die Lichtstärke I = 100 cd. Beim Abstand l1 = 2 m beleuchtet sie den ihr gegenüber liegenden Punkt einer Wand mit der Beleuchtungsstärke El. Wird der Abstand l1 um 20 % auf l2 = 2,4 m vergrößert, sinkt die Beleuchtungsstärke auf E2 ab. Bestimme: a) die Beleuchtungsstärke E1, b) die Beleuchtungsstärke E2, c) den Prozentsatz p, um den die Beleuchtungsstärke durch die Abstandsvergrößerung von 20 % absinkt. Aufgaben
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361. Bei einem Schattenfotometer wird gleiche Beleuchtungsstärke der Felder A und B für zwei Lampen bei folgenden Abständen zwischen Lampe und Bildwand erzielt: l1 = 0,76 m für Lampe 1, l2 = 1,94 m für Lampe 2. Die Lichtstärke der Lampe 1 ist mit I1 = 36 cd bekannt. Wie groß ist die Lichtstärke I2 der Lampe 2, wenn Einfallswinkel α1 = α2 angenommen wird? 362. Licht von der Wellenlänge λ1 = 558 nm kommt aus Luft mit der Brechzahl n1 = 1,0 und tritt in Glas mit der Brechzahl n2 = 1,5 ein. Welche Wellenlänge λ2 hat das Licht im Glas?
363. Eine schwach erhabene Linse wird auf ein Planglas gelegt und mit Na-Licht von der Wellenlänge λ = 589 nm beleuchtet. Es zeigen sich Interferenzringe, die Newton-Ringe heißen. Der dritte Ring hat d1 = 20 mm Durchmesser. Berechne den Kugelradius der erhabenen Linsenfläche.
364. Ein Lichtstrahl kommt aus Luft von der Brechzahl n1 = 1 und trifft unter dem Einfallswinkel ε1 = 45° auf eine Glasfläche von n2 = 1,6. Unter welchem Winkel ε 2 läuft der Strahl im Glas weiter?
365. Es ist zu beweisen, dass die Ablenkung des Lichts bei der zweifachen Spiegelung am Winkelspiegel konstant δ = 2 α ist mit α als Öffnungswinkel des Winkelspiegels. Die Ablenkung eines Lichtstrahls liegt als Winkel zwischen der Richtung des eintretenden und der des austretenden Strahls.
366. Ein Lichtstrahl kommt aus Glas von der Brechzahl n1 = 1,74 und trifft unter dem Winkel ε 1 = 50° auf eine Glasfläche von n2 = 1,5. Unter welchem Winkel läuft der Strahl im leichter brechenden Glas weiter?
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367. Ein Lichtstrahl trifft aus der Luft unter dem Winkel ε 1 = 45° auf eine planparallele Platte von d = 25 mm Dicke. Die Platte besteht aus Glas der Brechzahl n = 1,58. Der Strahl verlässt die Glasplatte unter dem gleichen Winkel, wird jedoch um Δs parallel verschoben. Diese Verschiebung ist zu berechnen! 368. Über einer Glasplatte von der Brechzahl nG = 1,532 befindet sich Wasser der Brechzahl nw = 1,333. Ein Lichtstrahl trifft unter ε W = 30° gegen das Einfallslot vom Wasser her auf die Glasplatte. Bestimme den Winkel ε 1, unter dem der Lichtstrahl das Glas auf der anderen Seite verlässt, wenn er dort in Luft eintritt. 369. Ein Lichtstrahl tritt aus Luft in ein Medium der Brechzahl n = 3 ein. Bestimme den Einfallswinkel ε p , bei dem der gebrochene Strahl rechtwinklig auf dem reflektierten Strahl steht (Brewester’scher Winkel). 370. In der Tiefe a = 4 m unter dem Wasserspiegel liegt ein Gegenstand. In welcher Tiefe b scheint er für den Beobachter zu liegen?
371. Es ist der Grenzwinkel der Totalreflexion gegen Luft für die folgenden durchsichtigen Stoffe zu berechnen: a) Plexiglas (Acrylglas) b) Kronglas c) Flintglas d) Wasser e) Diamant
mit n = 1,492 mit n = 1,52 mit n = 1,63 mit n = 1,33 mit n = 2,42
372. Bestimme den Grenzwinkel der Totalreflexion für den Übertritt des Lichts von Wasser in Luft. 373. Ein Lichtstrahl tritt vom Wasser in Luft über. Der Einfallswinkel beträgt ε 1 = 41,5°. Der Winkel des in Luft austretenden gebrochenen Strahls wird zu ε 2 = 62° gemessen. Bestimme: a) die Brechzahl des Wassers, b) den Grenzwinkel der Totalreflexion für Wasser. 374. Ein Lichtstrahl tritt in ein gleichseitiges Prisma ein (60°-Prisma), das aus Flintglas mit np = 1,75 besteht. Bestimme den Einfallswinkel ε 1, bei dem der Lichtstrahl die zweite Prismenfläche unter dem Grenzwinkel der Totalreflexion ε r trifft.
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375. Ein Quadrat von der Seitenlänge y1 = 3 cm soll durch eine Linse abgebildet und dabei auf ein Quadrat der Seitenlänge y2 = 9 cm vergrößert werden. Die Entfernung zwischen dem Quadrat und seinem Abbild beträgt l = 32 cm. Bestimme die Brennweite f der abbildenden Linse. 376. Der Lichtbogen einer Quecksilberdampflampe soll β = 50fach vergrößert auf eine Bildwand projiziert werden. Als Projektionsobjektiv wird eine Linse von der Brennweite f = 10,5 cm verwendet. Bestimme die Entfernung l von der Lampe zur Bildwand. 377. Der Abstand b zwischen Linse und Bild beträgt 50 cm, die Linsenbrennweite 10 cm. Bestimme: a) den Abstand a zwischen Linse und Gegenstand, b) den Abbildungsmaßstab. 378. Ein Gegenstand wird durch eine β = 5fach vergrößernde Linse abgebildet. Die Linsenbrennweite beträgt f = 1 m. Bestimme die Entfernung l zwischen Bild und Gegenstand. 379. Eine Sammellinse von der Brennweite f = 150 mm soll einen Gegenstand abbilden, der a = 1750 mm vor der Linse steht. Bestimme die Bildweite b. 380. Eine Sammellinse hat die Radien r1 = 40 mm und r2 = 80 mm. Sie ist aus Glas von der Brechzahl n = 1,52. Bestimme die Brennweite f der Linse! 381. Mit einer Kamera, deren Objektiv 100 mm Brennweite hat, wird im Abstand a = 2600 mm ein Gegenstand aufgenommen, der y1 = 1500 mm groß ist. a) In welcher Bildweite b entsteht das Bild? b) Wie groß wird es abgebildet? 382. Eine Kugel besteht aus Glas von der Brechzahl n = 1,52 und hat einen Radius r = 2 cm. Bestimme die Brennweite fk der Kugel. 383. Durch eine Linse von der Brennweite f = 50 cm wird ein Gegenstand in der Bildweite b1 = 60 cm abgebildet. Danach wird die Linse auf den Gegenstand hin um Δa = 1 m verschoben. Der Gegenstand bleibt am Platz und die Bildwand wird nachgerückt. Bestimme das Verhältnis der Bildgrößen.
13.10. Elektrizitätslehre 384. Wie viele Elektronen 1 ergeben eine Ladung von 1 Ah? 385. Zwei kleine Kugeln, die im Abstand von 10 cm an isolierenden Fäden aufgehängt sind, besitzen je die negative Ladung Q = 10–8 C. a) Wie groß ist die Abstoßungskraft F zwischen den Kugeln? b) Wie viele zusätzliche Elektronen befinden sich auf den Kugeln? 386. Durch einen Leiter fließt ein Strom von 1,5 mA. Wie viele Elektronen treten pro Sekunde durch den Draht? 387. Ein Strom von 2 A fließt 1,5 Stunden lang. Welche Ladungsmenge wurde in dieser Zeit transportiert? 388. Eine 12 V-Batterie liefert 20 Ah. Welche Energie kann ihr entnommen werden?
Aufgaben
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389. Zu berechnen sind der elektrische Widerstand und der Leitwert eines Bauelementes, bei dem bei einer Spannung von 1,5 V ein Strom von 100 mA fließt. 390. Ein Haushaltsgerät hat ein Netzanschlusskabel aus Kupfer (r = 1,7 · 10–6 Ω · cm) von 1,5 m Länge mit einem Querschnitt von 1 mm2. Wie groß ist sein elektrischer Widerstand? 391. Durch einen elektrischen Verbraucher fließt bei 230 V ein Strom von 8 A. Zu berechnen ist die Energie nach 2 Stunden. Was kostet die Energie bei einem Preis von 0,15 € / kWh? 392. Im Rahmen der EU wurde die Netzspannung in Deutschland von 220 V auf 230 V angehoben. Die Verbraucher eines Haushalts waren aber nicht auf die neue Spannung umzustellen. Um wie viel % erhöhte sich die Leistung in einem Verbraucher? 393. a) Wie groß ist der elektrische Widerstand einer 100-W-Glühbirne bei 230 V? b) Welcher Strom fließt durch die Glühbirne? 394. Zu berechnen sind die Widerstände R1 und R2 eines Spannungsteilers, der 12 V auf 3,6 V reduziert. Der Gesamtwiderstand R soll 50 kΩ betragen. 395. a) Es werden 3 Widerstände mit 40, 50 und 60 Ω parallel geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand R? b) Wie groß ist R bei Reihenschaltung? 396. Zwei Widerstände R1 und R2 haben in Reihenschaltung den 5-fachen Wert wie in Parallelschaltung. R Wie groß ist 1 ? R2 397. Ein Drehspulinstrument zur Strommessung hat einen Eingangswiderstand RM von 150 Ω. In einem Schaltkreis mit einem Lastwiderstand RL von 1 kΩ wird ein Strom von 0,8 mA gemessen. Wie viel Prozent beträgt der Messfehler? 398. Ein Digitalvoltmeter mit einem Messbereich von 0,2 V und einem Bürdenwiderstand von RM = 10 MΩ soll zur Spannungsmessung bis 200 V verwendet werden. Wie kann dieses erreicht werden? 399. Eine Spannungsquelle mit einer Quellenspannung von 6 V hat einen inneren Widerstand von 0,01 Ω. Wie groß sind die Klemmenspannungen bei einem Strom von 10 A und 100 A? 400. Die Spannung einer Spannungsquelle hat bei einem äußeren Widerstand von RL1 = 15 Ω den Wert 4,4 V und bei RL2 = 8 Ω den Wert 4,3 V. Wie groß sind a) der innere Widerstand und b) die Quellenspannung? 401. Wie groß ist die elektrische Feldstärke in einem 5 m langen Draht, an dem eine Spannung von 2 V liegt? 402. An zwei parallele Metallplatten im Abstand von 1 cm wird eine Spannung von 1000 V gelegt. a) Wie groß ist das elektrische Feld? b) Wie groß ist die Kraft auf ein Elektron, das sich zwischen den Platten befindet? c) Wie groß ist die Beschleunigung des Elektrons? d) Vergleichen Sie den Wert mit der Erdbeschleunigung. (Elektronenmasse m = 9,11 · 10–31 kg). 403. Welche Ladung enthält ein 2 μF-Kondensator, an dem eine Spannung von 230 V liegt? 404. Wie groß ist die Gesamtkapazität der im Bild dargestellten Schaltung. C1 = 4 μF, C2 = 2 μF 405. Berechnen Sie die Gesamtkapazität der Schaltung auf dem Bild.
C1 = C2 = 2 μF, C3 = 4 μF
Aufgaben
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Aufgaben
406. Welche Spannung muss an einen 1-μF-Kondensator gelegt werden, damit eine Energie von 1 Ws gespeichert wird? 407. Ein Kondensator besteht aus 2 Metallfolien von je 10 cm2 Fläche, die durch eine isolierende Folie mit εr = 10 von einander getrennt sind. Der Abstand der Metallfolien betragt 0,3 mm. Wie groß ist die Kapazität? 408. Das Erdmagnetfeld beträgt ungefähr 40 A/m. a) Es ist eine eisenfreie Zylinderspule zu berechnen, die etwa das gleiche Magnetfeld bei einem Strom von 50 mA erzeugen kann. b) Wie groß ist die magnetische Flussdichte? 409. Welcher Strom fließt durch eine eisenfreie Zylinderspule mit 450 Windungen, 2 cm Durchmesser und 12 cm Länge, die im Innern einen magnetischen Fluss von 2 · 10–6 Vs erzeugt? 410. Wie groß ist die magnetische Flussdichte in Eisen (μr = 3000), das sich in einem Magnetfeld mit H = 600 A/m befindet? 411. Ein mit 10 A durchflossener Leiter befindet sich im rechten Winkel zum Magnetfeld. Die magnetische Flussdichte beträgt 500 mT. Wie groß ist die Kraft auf ein 4 cm langes Leiterstück? 412. Welche Spannung wird in einer Spule mit 75 Windungen induziert, wenn der die Spule durchsetzende magnetische Fluss innerhalb von 3 s um 0,05 V zunimmt? 413. Wie groß ist die Selbstinduktivität L einer Spule mit folgenden Abmessungen: Windungszahl 1 = 1000, Länge l = 7 cm, Querschnittsfläche A = 8 cm2? 414. Das Haushaltsnetz hat eine Frequenz von 50 Hz und eine Spannung von 230 V. Gesucht ist die Gleichung für die sinusförmige Wechselspannung als Funktion der Zeit t. 415. Ein ohmscher Verbraucher im Haushaltsnetz hat eine mittlere Leistung von 100 W. Wie groß ist der Maximalwert der Leistung während einer Wechselstromperiode? 416. Ein Transformator soll 230 V auf 12 V verringern. Die Primärseite hat 1000 Windungen. a) Wie groß ist die Windungszahl der Sekundärseite? b) Wie groß ist der Sekundärstrom, wenn auf der Primärseite 100 mA fließen? c) Vergleichen Sie die Leistungen des Primär- und Sekundärkreises miteinander. 417. Welcher Strom fließt durch eine Spule (L = 0,7 H) bei einer 50-Hz-Wechselspannung mit 230 V? 418. Welche Kapazität hat ein Kondensator, der bei 50 Hz einen Wechselstromwiderstand (Impedanz) von 50 Ω besitzt? 419. Wie groß ist der Scheinwiderstand, wenn ein ohmscher Widerstand von 2 Ω in Reihe mit einer Induktivität von 2,4 mH liegt (Wechselstromfrequenz 50 Hz)? 420. Welcher Strom fließt in der Zuleitung zu einem Motor mit einem Leistungsfaktor von 0,75, der bei 230 V eine Leistung von 5,2 kW verbraucht? 421. Ein Verbraucher mit einem Leistungsfaktor von 0,8 nimmt bei 230 V einen Strom von 25 A auf. a) Wie groß sind Wirk-, Blind- und Scheinleistung? b) Wie groß sind Wirk- und Blindstrom? 422. Zu berechnen sind die Bauelemente eines Schwingkreises mit einer Frequenz von 1 MHz.
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14. Lösungen
14.1. Physikalische Größen und Einheiten 1.
4.
Qualitative Aussage: Größenart Zeit (genauer: Basisgrößenart), quantitative Aussage: 13,5 min m 1 a) s = 0,1 mm b) n = 1000 c) a = 4 2 d) P = 6 kW min s mm v 2 2 + vf2 = 215 b) tan α = f1 = 2,5; α = 68,2º a) vf res = vf1 min vf2 v, p, F, U, M, f, n, g
5.
4,5 μm = 4,5 · 10–6 m (weil 1 μ = 1 · 10–6 bedeutet!)
2. 3.
12,5 · 103 nm = 12,5 · 103 · 10–9 m = 12,5 · 10–6 m 4,3 · 107 pm = 4,3 · 107 · 10–12 m = 4,3 · 10–5 m 5,8 · 104 dm = 5,8 · 104 · 10–1 m = 5,8 · 103 m 0,04 Gm = 0,04 · 109 m = 4 · 107 m 1,768 km = 1,768 · 103 m Beachte: An die Stelle des Vorzeichens (μ, n) usw. wird die Zehnerpotenz gesetzt, die es bedeutet. Zum Schluss werden die Zehnerpotenzen zusammengefasst: Potenzen mit gleichen Basen (hier Basis 10) werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. 6.
4 Mg = 4 · 106 g = 4 · 103 · 103 g = 4 · 103 kg (103 durch „k“ ersetzt) 5,2 · 10–3 g = 5,2 · 10–3 · 103 · 10–3 g = 5,2 · 10–6 kg (durch multiplizieren mit 1 = 103 · 10–3 und wieder Ersetzen von 103 durch das Zeichen „k“ und anschließendes Zusammenfassen der übrig bleibenden Potenzen) Man kann hier einfacher 1 g = 10–3 kg benutzen, also: 5,2 · 10–3 g 2345 mg 5,6 · 108 μg 0,045 dg 1,78 · 105 g
= 5,2 · 10–3 · 10–3 kg = 2345 · 10–3 · 10–3 kg = 2,345 · 103 · 10–6 kg = 2,345 · 10–3 kg = 5,6 · 108 · 10–6 g = 5,6 · 108 · 10–6 · 10–3 kg = 5,6 · 10–1 kg = 0,56 kg = 0,045 · 10–1 · 10–3 kg = 0,045 · 10–4 kg = 4,5 · 10–6 kg = 1,78 · 105 · 10–3 kg = 1,78 · 102 kg = 178 kg
m m m2 m ⋅ 20m = 392, 4 2 = 392, 4 ⋅ = 19,81 2 2 s s s s 1 m vu = ʌ d n = ʌ ⋅ 0,3 m ⋅ 1440 = 1356,5 8. min min m 9,81 2 ⋅ 25 s 2 g t2 s 9. h= = = 122,6 m 2 2 m Nm 10. P = Fv = 500 N ⋅ 18 = 9000 s s 11. a) U = I R = 10 A · 2 Ω = 20 AΩ = 20 V (1 AΩ = 1 V = 1 Volt) b) M = F l = 500 N · 2,5 m = 1250 Nm J · 50 ºC = 5 · 105 J c) Q = m c (ϑ2 – ϑ1) = 5 kg · 2000 kg K
7.
v=
2 gh =
2 ⋅ 9,81
Lösungen
314
Lösungen
14.2. Bewegungen fester Körper 12. Gleichförmig: a), b) ungleichförmig: c), d), e), f), g)
13.
v=
Beachte: Einheiten, die aus einem Bruch bestehen (z.B. m/s), können in zweifacher Weise zum Zahlenwert gesetzt werden, wie ein Vergleich der letzten Zeile in den Lösungen 26 und 30 deutlich macht. Die Schreibweise nach 26 ist vorzuziehen, weil sie Fehler bei Summen oder/und Differenzen ausschließt.
ǻs h 45 m m = = = 2, 25 ǻt ǻt 20 s s
ǻs 40 m 1 = = min = 20 s m v 3 120 min 15. Die Umrechnung von km/h in m/s und umgekehrt ist oft erforderlich, sodass eine Umrechnungszahl zweckmäßig ist. Bezeichnet A die Maßzahl für die Angabe in km/h und B die für m/s, so findet man: 14.
ǻt =
km 103 m A m = A⋅ = h 3,6 ⋅ 103 s 3,6 s km 10 − 3 km m = B⋅ = 3,6 B B 1 h s h 3,6 ⋅ 103
A
Umrechnungszahl ist also 3,6:
Angabe in km/h durch 3,6 ergibt Geschwindigkeit v in m/s Angabe in m/s mal 3,6 ergibt Geschwindigkeit v in km/h km km m m km km b) 0,5 = 0,5 ⋅ 3,6 = 10 ⋅ 3,6 = 36 = 1,8 s h h h h s − 3 m 10 km km c) 1,5 ⋅ 103 = 1,5 ⋅ 103 = 90 1 min h h 60 km km km km = 8, 4 ⋅ 103 = 8, 4 ⋅ 103 ⋅ 3,6 ⋅ 103 = 30, 24 ⋅ 106 d) 8400 1 s h h h 3600
a) 10
16. a) 36
km 36 ⋅ 103 m m = = 10 h s 3,6 ⋅ 103 s
b) 108
km 108 ⋅ 103 m m = = 30 h s 3,6 ⋅ 103 s
km 103 m m m m 24 m m = 7 ,9 ⋅ 103 = 7 ,9 ⋅ 106 d) 24 = 24 = = 0, 4 min 60s 60 s s s s s km 100m m = = 27,8 e) 100 h 3,6s s ǻs 180 km km m 17. vm = = = 51, 43 = 14, 29 ǻt 3,5 h h s c) 7 ,9 ⋅ 103
18. Aus dem rechtwinkligen Dreieck liest man für den Weg Δs = h/sinα ab. Damit wird: v=
19.
ǻs h 30 m m = = = 0,163 ǻt ǻt sin α 240 s ⋅ 0,766 s
km 40 m m ǻv = 40 = = 11,1 h 3,6 s s
ǻv a= = ǻt
m m s = 2, 22 s = 2, 22 m 5s s s2
11,1
Lösungen
20. a) 200
315 km 103 m 2 ⋅ 105 m m = 200 = = 1,543 ⋅ 10 −2 2 h2 (3,6 ⋅ 103s)2 12,96 ⋅ 106 s 2 s
km 15 ⋅ 103m 15 ⋅ 103 m m = = = 4,17 2 2 2 3 2 min (60 s) 3,6 ⋅ 10 s s 21. Es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung, für die v = Δs/Δt gilt. Die v-Linie im v-t-Diagramm ist eine zur t-Achse parallele Gerade. Für den Gesamtweg s wird abgelesen: s = ǻs1 + ǻs2 = v1ǻt1 + v2ǻt2 Das ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten (Δt1 und Δt2). Da die Gesamtzeit Δt = Δt1 + Δt2 bekannt ist, kann man für eine der beiden Unbekannten einsetzen: Δt1 = Δt – Δt2 (oder Δt2 = Δt – Δt1). Damit erhält die Ausgangsgleichung die Form: s = v1Δt1 + v2Δt2 = v1(Δt – Δt2) + v2Δt2 (Gleichung mit nur einer Unbekannten) Ausmultipliziert und nach Δt2 aufgelöst ergibt: km v1ǻt − s 80 h ⋅ 4 h − 200 km ǻt2 = = = 3 h; ǻt1 = ǻt − ǻt2 = 1 h km v1 − v2 (80 − 40) h ǻs2 = v2 Δt2 = 120 km; ǻs1 = v1Δt1 = 80 km
b) 15
22. Ist Δs = 60 km die Strecke AB und sind Δs1 und Δs2 die vom Transporter und vom Pkw zurück gelegten Wege, hat beim Treffen in T der Transporter den Weg Δs1 = Δs – Δs2 in der Zeit Δt1 zurückgelegt, der Pkw dagegen in der Zeit Δt2 den Weg Δs2: Δs1 = Δs – Δs2 = v1Δt1 Δs2 = v2Δt2 = v2(Δt1 – Δt) Δs1 = Δs – v2(Δt1 – Δt) = v1Δt1 Δs – v2Δt1 + v2Δt = v1Δt1 Δt1(v1 + v2) = Δs + v2Δt km ǻs + v2ǻt 60 km + 80 h ⋅ 2h ǻt1 = = = 2, 2 h = 2 h 12 min v1 + v2 100 km h ǻt2 = ǻt1 − ǻt = 2, 2 h − 2 h = 0, 2 h = 12 min Zeitpunkt: 8 Uhr 12 min km ǻs2 = v2ǻt2 = 80 ⋅ 0, 2 h = 16 km von B aus. h 23. Bei Aufgaben dieser Art kommt es vielfach nur darauf an, diejenigen Größen zu finden, die den gleichen Betrag haben müssen. Das sind hier die Wegstrecken Δs1 = Δs2, die beide Fahrzeuge zum Zeitpunkt des Treffens zurückgelegt haben. Auch hier lässt sich einer der beiden unbekannten Zeitabschnitte ersetzen, z.B. Δt2 = Δt1 – Δt (da Δt bekannt ist): Δs1 = Δs2 v1Δt1 = v2Δt2 = v2(Δt1 – Δt) Ausmultipliziert und nach Δt1 aufgelöst: 80 km ⋅ 3h v ǻt h ǻt1 = 2 = ⋅ 4,3636 h = 4 h 21 min 49 s v2 − v1 55 km h ǻs1 = v1ǻt1 = 25 km ⋅ 4,3636 h = 109,09 km h Uhrzeit: 10 Uhr 21 min 49 s; Entfernung 109,09 km
Lösungen
316
Lösungen
24. Beide Fahrzeuge fahren während des gleichen Zeitabschnitts Δt. Dabei legt Fahrzeug 1 den Weg Δs1 = v1Δt, Fahrzeug 2 den längeren Weg Δs2 = v2 Δt zurück. Die Wegdifferenz Δs2 – Δs1 muss gleich der Summe der Abstände Δsh + Δsv sein: = Δsh + Δsv Δs2 – Δs1 v2Δt – v1Δt = Δsh + Δsv Δt(v2 – v1) = Δsh + Δsv ǻs + ǻsv 250 m = ǻt = h m v2 − v1 5 s Δt = 50 s (Kontrolliere mit Δs1 = v1Δt und Δs2 = v2 Δt die Wege!) 25. a)
b)
Beim freien Fall (a) wächst die Geschwindigkeit von null auf einen immer größer werdenden Betrag an. Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors bleibt jedoch unverändert. Beim Wurf nach oben (b) wird der Geschwindigkeitsbetrag immer kleiner, bis er schließlich null ist. Beim anschließenden freien Fall wird er wieder größer. Im v-t-Diagramm ist die hierfür übliche Darstellung in Volllinien gezeichnet. Diese Darstellung berücksichtigt aber nicht die Tatsache, dass der Geschwindigkeitsvektor im Gipfelpunkt seine Richtung umkehrt. Nimmt man die nach oben gerichtete Steiggeschwindigkeit (wie im Diagramm b) positiv an, muss die Fallgeschwindigkeit negativ (im Diagramm also unterhalb der t-Achse) aufgetragen werden (gestrichelte Linie). Diese Darstellung ist für manche Untersuchungen zweckmäßiger (z.B. Aufgabe 35).
26.
g =
ve v ǻt = e in die Weggleichung eingesetzt: ǻt g
m2 v ǻt s 2 = 45,9 m h= e = = 2 2 g 2 ⋅ 9,81 m s2 ve2
27.
[
900
m ǻv1 10 s m a1 = = = 0,5 2 ǻt1 20 s s a2 =
m ǻv2 −5 s m = = − 0,5 2 ǻt2 10 s s
a3 =
m ǻv3 −5 s m = = −1 2 ǻt3 5s s
Lösungen
317
28.
29. Erster Lösungsschritt ist immer das Skizzieren des v-t-Diagramms für den gegebenen Bewegungsablauf. Zweiter Lösungsschritt ist das Hinschreiben der Grundgleichung für die gleichmäßig beschleunigte oder verzögerte Bewegung in allgemeiner und spezieller Form, hier also
ǻv v0 − vt = ǻt ǻt Dritter Lösungsschritt ist das Hinschreiben der Gleichung für den Flächeninhalt mit den Bezeichnungen aus dem v-t-Diagramm. a=
Bei beschleunigter oder verzögerter Bewegung mit a = konstant entstehen als Flächenformen Dreiecke oder/und Trapeze: v0 + vt ǻvǻt ǻv ǻt ⋅ ǻt = v0ǻt − = vt ǻt + 2 2 2 Vierter Lösungsschritt ist das Auswerten der gefundenen Gleichungen. Manchmal erscheint sofort eine Gleichung mit einer Unbekannten, die man auswerten kann; sonst muss man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten finden, die nach der Gleichsetzungs- oder Einsetzungsmethode gelöst werden: v −v v −v v0 − vt 2ǻs 1. a = 0 t = ǻt = 0 t ǻt a a v0 + vt ǻs =
2. Δs =
a=
v0 + vt ⋅ ǻt 2
v02 − vt2 = 2ǻs
ǻt =
(400 − 100)
2ǻs v0 + vt
(v + v )(v − v ) = 2aǻs ; v02 − vt2 = 2aǻs
0 t 0
t 3.Binom
m
s 2 = 1,5 m 2 ⋅ 100 m s2
m 10 ǻv s = 6,67s oder zur Kontrolle ǻt = = a 1,5 m s2 30. Die Weggleichung für h1 (Trapezfläche) lautet:
ǻt =
2ǻs 200 m = = 6,67s m v0 + vt 30 s
h1 =
ǻv v0 − v1 v v0 + v1 v −v = = 0 ; ǻt1 = 0 1 eingesetzt ǻt1; g = g ǻt ǻt1 ǻtges 2
h1 =
(v0 + v1 ) (v0 − v1 ) v02 − v12 = 2g 2g
und daraus:
2
m m § m· v0 = v12 + 2 gh1 = ¨ 6 ¸ + 2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 15 m = 18,17 © s¹ s s Aus g =
v0 v 18,17 ms 2 wird (umgestellt): ǻtges = 0 = = 1,85 s 9,81 ms ǻtges g Lösungen
318
31.
Lösungen a=
v1 v1 = aǻt1 ǻt1
a=
v2 v2 = aǻt2 ǻt2
v1 + v2 a(ǻt1 + ǻt2 ) ǻt = ǻt 2 2 2ǻs 8m m = = 0,89 2 a= ǻt (ǻt1 + ǻt2 ) 1s ⋅ 9s s
ǻs =
vt = v1 = aǻt1 =
8 m m ⋅ ⋅ 4s = 3,56 9 s2 s
v1 − v0 v2 − v0 = wird ǻt1 ǻt2 v1 = a Δt1 + v0 und
32. Aus a =
v2 = a Δt2 + v0 gewonnen. Damit kann die Weggleichung geschrieben werden:
v1 + v2 aǻt1 + v0 + aǻt2 + v0 ǻt = ǻt 2 2 Aufgelöst nach v0 : m 4 2 ǻs a 24 m − (ǻt1 + ǻt2 ) = − s (2s + 4s) = 0 v0 = ǻt 2 2s 2 ǻs =
33. Beschleunigungen sind Vektoren, also auch die Fallbeschleunigung g. Für Vektoren gilt der Parallelogrammsatz, mit dessen Hilfe hier die Fallbeschleunigung in zwei Komponenten zerlegt wird: a = g sin α = 9,81
m s2
⋅ 0,5 = 4,905
m s2
34. a) Die Rechteckflächen im v-t-Diagramm innerhalb der Zeitabschnitte Δt = 1 s sind flächengleich den zugehörigen Trapezflächen (siehe S. 18). Mit den mittleren Geschwindigkeiten 5 m/s, 15 m/s, ... ergeben sich mit Δs = vm Δt die Wege 5 m, 15 m, 25 m, 35 m, 45 m. b) Die mittlere Geschwindigkeit muss vm = 245 m/s betragen, also ist Δs = vm Δt = 245 m/s · 1 s = 245 m. c) 1; 3; 5; 7; 9; ... d) 5 m; 20 m; 45 m; 80 m; 125 m; ... e) 1; 4; 9; 16; 25; ... = 12; 22; 32; 42; 52; ... 35. Vorbetrachtung a) Zuerst wird geklärt, ob der zweite Körper (B) den ersten (A) überhaupt einholen kann (A könnte nach 2 s schon wieder am Boden sein) und ob bei der Begegnung Körper A noch oder schon wieder fällt.
Lösungen
319
Das v-t-Diagramm a) für den Bewegungsvorgang des Körpers A bis zum Gipfelpunkt wird skizziert und ausgewertet: m 30 v1 v1 s = 3,058 s (Steigzeit) ; ǻtA = = g= g 9,81 m ǻtA s2 d.h. Körper A ist noch unterwegs, wenn B gestartet wird. Die zweite Frage beantwortet man über die Steighöhen. Körper A hat nach ΔtA = 3,058 s die gesamte Steighöhe hA erreicht:
v12
900
m2
v1ǻtA s 2 = 45,872 m = = 2 2 g 2 ⋅ 9,81 m s2 Zu diesem Zeitpunkt ist B bereits ΔtB = 1,058 s unterwegs. Das v-t-Diagramm b) zeigt: gǻtB2 ǻv ⋅ ǻtB ǻh = v2ǻtB − 2 = v2ǻtB − 2 2 m 9,81 1,12 s 2 m s2 ǻh = 40 ⋅ 1,058 s − = 36,83 m s 2 m m m v0B = v2 − ǻv2 = v2 − gǻtB = 40 − 9,81 2 ⋅ 1,058 s = 29,621 . s s s Ergebnis der Vorbetrachtung: 3,058 s nach dem Start hat A seine Gipfelhöhe hA = 45,872 m erreicht. Er hat die Geschwindigkeit v0A = 0 und beginnt wieder zu fallen. Im selben Zeitpunkt hat B die Höhe Δh = 36,83 m erreicht. Er hat jetzt die Geschwindigkeit v0B = 29,621 m/s und steigt weiter. Beide Körper haben jetzt einen Abstand Δh0 = ha – Δh = 9,042 m voneinander. Die Körper werden sich also begegnen, während A schon fällt und B noch steigt. hA =
b) Von dem Abstand Δh0 legt nun B einen Teilweg ΔhB steigend zurück, während gleichzeitig A um den Weg ΔhA fällt (siehe v-t-Diagramm c). Wichtig ist jetzt die Erkenntnis, dass im Zeitpunkt des Zusammentreffens beider Körper die Summe der beiden Teilwege gleich dem Abstand Δh0 ist: Δh0 = ΔhA + ΔhB (siehe Skizze). Im v, t-Diagramm c) erscheinen beide Geschwindigkeitslinien als parallele Gerade, weil beide Bewegungen mit derselben Beschleunigung g ablaufen. Infolgedessen ist die schraffierte Fläche ein Parallelogramm, das aus dem Dreieck ΔhA und dem Trapez ΔhB zusammengesetzt ist. Die Parallelogrammfläche beträgt ǻhA + ǻhB = ǻh0 = v0B ǻt3 , und daraus ǻh0 9,042 m = = 0,305 s Folglich ist v0B 29,621 m s ǻt 2 = ǻt B + ǻt3 = 1,058 s + 0,305 s = 1,363 s
ǻt3 =
c) Die Höhe h des Treffpunktes liegt um ΔhA unter dem Gipfelpunkt von A: h = hA – ΔhA m 2 2 gǻt32 9,81 s 2 ⋅ 0,305 s ǻhA = = = 0, 456 m 2 2 h = 45,872 m – 0,456 m = 45,416 m Lösungen
320
Lösungen Oder ein anderer Weg: Der Treffpunkt liegt in der Höhe h, die der Körper B nach der Zeit Δt2 erreicht hat: m 9,81 2 ⋅ 1,858 s 2 gǻt22 m s h = v2ǻt2 − = 40 ⋅ 1,363 s − 2 s 2 h = 54,52 m – 9,112 m = 45,408 m Dieses Ergebnis stimmt praktisch mit dem vorherigen überein.
36. a) Beim Treffen haben beide Körper den gleichen Fallweg zurückgelegt:
h1 = h2 = h g g (ǻt1 + ǻt2 ) 2 = v2ǻt2 + ǻt22 2 2 g 2 g 2 g v1ǻt1 + v1ǻt2 + ǻt1 + gǻt1ǻt2 + ǻt2 = v2ǻt2 + ǻt22 2 2 2 g 2 ǻt2 (v1 + gǻt1 − v2 ) = − v1ǻt1 − ǻt1 2 m 9,81 m g 2 ⋅ 0, 25 s 2 10 ⋅ 0,5 s + v1ǻt1 + ǻt1 s 2 s2 2 = = 1, 22 s ǻt2 = m m m v2 − v1 − gǻt1 20 − 10 − 9,81 ⋅ 0,5 s s s s g 2 b) h = v2ǻt2 + ǻt2 = 31,7 m 2 v1 (ǻt1 + ǻt2 ) +
37. Inhalt des großen Dreiecks ist h2, des kleinen h1. In die Weggleichungen setzt man aus der Grundgleichung g = Δv/Δt für Δt = Δv/g ein:
h1 =
v1ǻt1 v12 = v12 = 2 gh1 2 2g
h2 =
2v 2 2 ⋅ 2 g h1 2v1 ⋅ 2ǻt1 = 2v1ǻt1 = 1 = = ǻh1 2 g g
38. a) Bei ruhendem Fahrstuhl ergibt sich aus der Grundgleichung g = Δv/Δt und der Weggleichung (aus dem v-t-Diagramm) die Gleichung: ǻt =
2h 5 m ⋅ s2 = = 0,714 s g 9,81 m
Bei gleichförmig aufwärts fahrendem Fahrstuhl haben Körper und Fahrstuhl am Anfang die gleiche nach oben gerichtete Geschwindigkeit vf . Während Δt1 bewegt sich der Körper zunächst um Δh1 nach oben und fällt dann um Δh2 frei abwärts in der Zeit Δt2. Gleichzeitig hat sich während Δt1 der Fahrstuhl um vf Δt1 und während Δt2 um vf Δt2 nach oben bewegt (siehe Lageskizze und v-t-Diagramm).
Lösungen
321
Damit gilt: h + ǻh1 = vf (ǻt1 + ǻt2 ) + ǻh2
h+
vf2 gǻt22 = vf ǻt + 2g 2
h+
vf2 g§ v · = vf ǻt + ¨ ǻt − f ¸ g¹ 2g 2©
h+
vf2 gǻt22 ; ǻh2 = 2g 2 ǻt = ǻt1 + ǻt 2
ǻh1 =
ǻt2 = ǻt − ǻt1 = ǻt −
vf g
2
vf2 g v2 = vf ǻt + ǻt 2 − vf ǻt + f 2g 2 2g g 2 h = ǻt 2
2h wie bei ruhendem Fahrstuhl! g
Δt =
Zum gleichen Ergebnis kommt man beim gleichförmig abwärts fahrenden Fahrstuhl: h + Δhf
= Δhk
h + vf Δt = vf Δt +
Δt =
g 2 ǻt 2
2h g
b) Beim gleichmäßig (mit a = 0,6 g) nach oben beschleunigtem Fahrstuhl gilt nebenstehende Lageskizze mit v-t-Diagramm, woraus die folgende Entwicklung möglich wird:
h + Δh1 v2 h+ 1 2g h+
v12 2g
= Δhf + Δh2 a g = v1 Δt + ǻt 2 + ǻt22 2 2
ǻt2 = ǻt − ǻt1 = ǻt −
υ1 g
2
= v1 Δt + h=
Δt =
a 2 g § v · ǻt + ¨¨ ǻt − 1 ¸¸ weiter entwickelt ergibt sich g¹ 2 2 ©
g+a 2 ǻt 2
2h = g+a
2h = 1,6 g
5 m ⋅ s2 = 0,565 s 15,7 m
Beachte: Bei a = 0 ergibt sich dieselbe erste Gleichung wie unter a). Lösungen
322
Lösungen Für die gleichmäßig beschleunigte Abwärtsfahrt ist anzunehmen, dass die vorstehende Gleichung mit (– a) unter der Wurzel gilt. Das soll bewiesen werden: h + Δhf
= Δhk a 2 g h + v1Δt + ǻt = v1Δt + ǻt 2 2 2 g−a 2 h= ǻt 2
ǻt =
2h = g−a
2h = 0, 4 g
5 m ⋅ s2 = 1,129 s 3,924 m
c) gleichmäßig beschleunigter Aufwärtsfahrt wird mit a = 6 g:
2h 5 m ⋅ s2 = = 0,269 s 7g 7 ⋅ 9,81 m Bei gleichmäßig beschleunigter Abwärtsfahrt erreicht der Körper schon bei a = g den Boden nicht, weil er sich nicht von der Decke löst: ǻt =
ǻt =
2h = g−g
2h ∞ 0
39. Aus dem Kreisbild liest man ab: ǻϕ ° p ǻϕ = 360° 2 ʌ daraus ergibt sich ǻϕ º 360º 180º º = = = 57,3 p rad ǻϕ 2ʌ rad ʌ rad
40.
º ǻϕ ⋅ 57,3 ǻϕ º = p rad
Grandmaß gesucht
ǻϕ º ° 57,3 rad Bogenmaß gesucht
p ǻϕ =
º = 57,3º rad º ǻϕ º = 0,3 rad ⋅ 57,3 = 17,19º rad º ǻϕ º = 5 rad ⋅ 57,3 = 286,5º rad 90º 90º 90º ⋅ ʌ rad ʌ p = = = rad = 1,57 rad ǻϕ = ° 180º/ʌ rad 180º 2 57,3 rad ǻϕ º = 1 rad ⋅ 57,3
180º ⋅ ʌ rad p ǻϕ = = ʌ rad; 180º 45º ⋅ ʌ rad ʌ p ǻϕ = = rad; 180º 4
270º ⋅ ʌ rad 3 360º ⋅ ʌ rad p ǻϕ = ǻϕ = = ʌ rad; p = 2ʌ rad
180º 2 2000º p = 34,9 rad; ǻϕ = ° 57,3 rad
180º
Lösungen
323
41. Δϕ = 2π z = 2π rad · 5 = 10 π rad = 31,4 rad = 10 π rad ·
180º = 1800º ʌ rad
42. Δϕ = 2π z = 2π rad · 1,5 = 3π rad ǻϕ 2 ʌ z 800ʌ rad 4 rad rad = = = ʌ = 4 ,189 43. ωm = ǻt ǻt 600 s 3 s s
ω ⋅ ǻt ǻϕ 2ʌ z 44. ω = = z= = ǻt ǻt 2ʌ 45. a) ω k =
rad ⋅ 3,6 ⋅ 103 s s = 2,58 2ʌ rad
4,5 ⋅ 10 −3
ǻϕ 2 ʌ z 2ʌ rad 2 ʌ rad rad = = = = 0,145 ⋅ 10 − 3 ǻt ǻt 12 h s 12 ⋅ 3,6 ⋅ 103 s
ǻϕ 2 ʌ rad 2 ʌ rad rad = = = 1,75 ⋅ 10 − 3 = 12 ⋅ ω k ǻt 1h s 3,6 ⋅ 103 s 46. Gleiche Winkelgeschwindigkeiten ω = 2π n, weil ω nicht vom Radius des Kreises abhängt, im Gegensatz zur Umfangsgeschwindigkeit vu = d π n = ω r. b) ω g =
47. ω = 2π n = 2π rad
104 rad = 1047 60s s
48. a) n =
1 z 5000 1 = = 1000 = 16 ,67 ǻt 5 min min s
b) ω =
2ʌ z 2ʌ rad ⋅ 5000 rad = = 104,7 ǻt 300 s s
1 rad s s 49. Aus der Zahlenwertgleichung ergibt sich
ω = 2ʌ n = 2ʌ rad ⋅ 16,67 = 104,7
ʌn ≈ 0,1 n. 30 d.h. die Winkelgeschwindigkeit ω in 1/s ist ungefähr der 10-te Teil der Drehzahl in U/min. Damit können Umrechnungen leicht kontrolliert werden.
ω=
50. 51.
52. 53.
rad rad ; ω 2 ≈ 0 ,1 ⋅ 560 = 56 s s ǻϕ 2ʌ rad 2ʌ rad −5 rad = = = 7, 27 ⋅ 10 ω= 3600 s ǻt 24 h s 24 h h rad m vu = ω r = 7, 27 ⋅ 10 −5 ⋅ 0,65 ⋅ 107 m = 473 s s z 1 m 8 vu = 2ʌ r = 2ʌ rad ⋅ 3,84 ⋅ 10 m ⋅ = 1022 6 ǻt s 2,36 ⋅ 10 s
ω1 ≈ 0 ,1 ⋅ 1500 = 150
a) Δϕ = 2π z = 2π rad · 25 = 50 π rad; ǻϕ 50 ⋅ ʌ rad rad 1 c) ω = = = 3,14 = 3,14 ; ǻt 50s s s
b) Δs = Δϕ r = 50 · π rad · 0,45 m = 70,7 m 25 1 1 U z d) n = = = 0,5 = 30 = 30 1 ǻt 50s min min min 60 ǻs 70,7 m m rad e) vu = ω r = 3,14 = = 1,414 oder ⋅ 0, 45 m = 1, 414 oder vu = s ǻt 50s s 1 m vu = 2ʌ r n = 2ʌ ⋅ 0, 45m ⋅ 0,5 = 1,414 s s
Lösungen
324
Lösungen
ʌ n ʌ ⋅ 1500 rad rad rad m m = = 50ʌ ; vu1 = ω r1 = 50ʌ ⋅ ⋅ 0, 2 m = 10 ʌ = 31, 4 30 30 s s s s s rad m m m vu2 = ω r2 = 50ʌ ⋅ 1 m = 50ʌ = 157,1 ; vu3 = 251,3 s s s s 55. a) vu = 2π r nt, daraus m 30 1 1 vu s nt = = = 23,9 = 1432 2ʌ r 2ʌ ⋅ 0,2 m s min
54.
ω=
1 rad b) ω t = 2ʌ nt = 2ʌ rad ⋅ 23,9 = 150 s s ω t ǻt c) ǻϕ = = 2ʌ z (Fläche unter der ω -Linie ist ein Dreieck!) 2 rad ω t ǻt 150 s ⋅ 20 s = = 239 z= 4ʌ 4ʌ rad
ǻω ω t d) α = = = ǻt ǻt e) aT = α r = 7,5
rad s = 7,5 rad 20 s s2
150
rad m · 0,2 m = 1,5 2 s2 s
ʌ n1 rad ʌn rad rad ; ω 2 = 2 = 314 ; ǻω1 = ω1 − ω 2 = 210 = 524 30 s 30 s s rad 210 ǻω s = 21 rad = α= ǻt 10s s2
56. a) ω1 =
b) ǻϕ =
ω1 + ω 2 2
ǻt = 2ʌ z (Fläche unter der ω -Linie ist ein Trapez!)
(ω1 + ω 2 )ǻt = z= 4ʌ
rad ⋅ 10s s = 667 Umdrehungen 4 ʌ rad
838
57. Δϕges = Δϕ1 + Δϕ2 + Δϕ3 ǻω ǻt1 ǻω ǻt3 Δϕges = + ǻω ǻt2 + = 2ʌ z 2 2 rad 4ʌ z Δω = = 782 s ǻt1 + 2ǻt 2 + ǻt3 30ǻω 1 = 7467 ʌ min rad 1 2ʌ rad 58. ω = 2π n = 2π rad = = 0 ,727 ⋅ 10 − 4 s 24 h 24 ⋅ 3600s
n =
az = r ω 2 = 6,4 · 106 m · 0,7272 · 10–8
rad 2 m = 3,385 · 10–2 2 s2 s
Lösungen
325
70. Fres = ma = 10 kg · 4
m s2
= 40 N
71. FGn = m gn = 50 kg · 9,80665 F 72. m = res = a
m = 490,3325 N s2
kgm s 2 = 200 kg m 5 2 s
1000
73. Fres = Fs – FG
(Die Resultierende Fres ist stets die Kraft vom Anfangspunkt A zum Endpunkt E des Kräftezuges)
Fs = Fres + FG = m a + m g = m(a + g) m = 10610 N s2 m 74. FGM = m gM = 8 kg · 1,7 2 = 13,6 N s m km 27 ,78 100 ǻv v2 − v1 s = 2 ,778 m ; F = m a = 1000 kg ⋅ 2,778 m = 2778 N h = = = 75. a = res ǻt ǻt 10 s 10 s s2 s2
Fs = 1000 kg · 10,61
76. Fres = – FG1 + FG2 = mges a ; Fres = – m g + 5 m g = mges a ; a =
4 m g 4m g 2 = = g mges 6m 3
kgm 5000 2 Fres 5000 N s = 5000 kgm = 1 m 77. Fres = m a ; a = = = m 15000 kg 15000 kg 15000 kg s 2 3 s 2 m 1 m m km ǻv v1 − v2 · 8 s = 11,22 = 40,4 = ; v2 = v1 – a Δt = 13,9 – s 3 s2 s h ǻt ǻt 78. a) Fres = – FG sin α + FG sin 2α = mges a = 2 m a Für FG = m g eingesetzt und nach a aufgelöst: m 9,81 2 (0,643 − 0,342) g (sin 2α − sinα ) m s a= = = 1, 476 2 2 2 s m m b) v = a Δt = 1,476 2 ⋅ 10 s = 14,76 s s
a=
Lösungen
326
Lösungen
79. Fres = – FG + Fmax = m a; FG = m g − FG F = a = max m
35000 N − 1000 kg ⋅ 9,81 1000kg
m s2 =
25190
kg m
s2 1000kg
= 25,19
m s2
80. Fres = – FG + F = m a F = FG + m a = m g + m a = m (g + a) = 500 kg · 11,01
m s2
F = 5505 N 81. Diese Aufgabe wird nach d’Alembert gelöst (siehe Lösungsgang S. 37, 38). 1 = 10–2. Für kleine Winkel gilt: tan α = sin α. tan α = 100 30 N Fahrwiderstand Fw = · 100 t = 3000 N 1t Unter Einschluss der Trägheitskraft T = m a ist in x-Richtung die Summe aller Kräfte gleich null: ΣFx = 0 = F – FG sin α – Fw – m a ; FG = m g F = m g sinα + Fw + m a = m (g sin α + a ) + Fw m m F = 100 · 103 kg (9,81 2 ⋅ 10 − 2 + 0,1 2 )+ 3 · 103 N s s F = 19,81 · 103 N + 3 · 103 N = 22810 N 82. Die Auswertung des v-t-Diagramms führt über die Grundgleichung a = Δv/Δt in Verbindung mit der Weggleichung Δs = (v1 + v2)Δt/2 zu v12 − v22 v 2 − v22 m a= 1 = 0,347 2 2a 2ǻs s m 16,67 ǻv s = 48 s = b) ǻt = m a 0,347 2 s c) Σ Fx = 0 = – m a + F + Fw ǻs =
F = m a – Fw F = 105 kg · 0,347
m s2
−
30 N ⋅ 100 t = 31700 N 1t
83. ΣFx = 0 = + Fz sin α – m a nach Fz aufgelöst ΣFy = 0 = Fz cos α – m g und gleichgesetzt sinα ma mg = = tan Į wird: mit Fz = sin α cos α cosα m 0, 2 a 2 s tan α = = = 0,0204; α = 1,17° g 9,81 m s2 Wie die obige Gleichung zeigt, hat die Masse m keinen Einfluss auf den Winkel α (m ist in der Gleichung nicht enthalten).
Lösungen
327
84. a) ΣFy = 0 = F – m a – m g m· § F = m (g + a) = 10 kg ¨11,81 2 ¸ = 118,1 N s ¹ © b) ΣFy = 0 = – m a – F + m g m· § F = m (g – a) = 10 kg ¨ 7,81 2 ¸ = 78,1 N s ¹ © c) ΣFy = 0 = F – m g F = m g = 10 kg · 9,81
m = 98,1 N s2
d) ΣFy = 0 = – F + m g – m g F = m (g – g) = 0 85. a) ΣFx = 0 = σz zul A – m ah N 2 σ z zul A 25 mm 2 ⋅ 1, 46 mm 25 ⋅ 1,46 N m = = = 10,14 2 ah = m 3,6 kg 3,6 kg s b) ΣFy = 0 = σz zul A – FG – m av ; FG = m g N m 2 σ z zul A − m g 25 mm 2 ⋅ 1,46 mm − 3,6 kg ⋅ 9,81 s 2 = av = m 3,6 kg av = 0,33
m s2
86. a) ΣFy = 0 = F – FGges – mges a = F – mges g – mges a m F − mges g 100 N − 6 kg ⋅ 9,81 s 2 m a = = = 6,857 2 mges 6 kg s b) ΣFy = 0 = Fs – m2 a – FG2 Fs = m2 a + m2 g = m2 (g + a) = 4 kg (9,81 + 6,857)
m s2
Fs = 66,67 N
87. Vorüberlegung: Wenn der linke Körper nach unten beschleunigt werden soll, muss der rechte durch F nach oben gezogen werden. Diese Aufgabe wird nach d’Alembert gelöst. Dazu macht man beide Körper frei, setzt die Gleichgewichtsbedingungen an, löst beide nach der unbekannten Seilkraft Fs auf und setzt gleich. Da m2 = 2 m1 ist, setzt man für FG1 = m1g, für FG2 = 2 m1g, für T1 = m1a und für T2 = 2 m1a:
Lösungen
328
Lösungen linker Körper: ΣFy = 0 = – Fs – m1a + m1g Fs = m1 (g – a) m1(g – a) = 2m1(g + a) – F
rechter Körper ΣFy = 0 = Fs + F – 2 m1 (g + a) Fs = 2 m1 (g + a) – F (a = g/2 eingesetzt):
3 g 1· § F = 2 m1 g − m1 = m1 g ¨ 3 − ¸ = 2,5 m1 g © 2 2 2¹ m F = 2,5 ⋅ 10 kg ⋅ 9,81 2 = 245, 25 N s 88.
a=
ǻv 16 m 16 m m = ⋅ = 0, 444 2 ǻt min ⋅ 0,6 s 60 s ⋅ 0,6 s s
ΣFx = 0 = F – FR – m a F = FR + m a = 350 N + 22 kg · 0,444
m = 447,8 N s2
m2 m s2 89. a) a = = = 12,5 ⋅ 10 −3 2 2 Δs 2 ⋅ 4 ⋅ 103 m s v2
100
ΔFx = 0 = – m a + F F = ma = 108 kg · 12,5 · 10–3 90. a) Δs =
m = 12,5 · 105 N = 1,25 MN s2
v0 + vt v + (v0 − ǻv) v + v0 − gǻt ǻt = 0 ǻt = 0 ǻt 2 2 2
oder: g 2 g 2 Δt Δt – v0 Δt + Δs = 0 2 2 2 2 Δt2 – v0 Δt + Δs = 0 g g
Δs = v0 Δt –
m 2 50 2 § v0 · v0 2ǻs s ± (5,1 s) 2 − 160 m ⋅ s Δt1,2 = ± ¨ ¸ − = m g g ©g¹ 9,81 m 9,81 2 s Δt1 = 5,1 s + 3,11 s = 8,21 s Δt2 = 5,1 s – 3,11 s = 1,99 s = Δt b) Δt2 = Δt ist hier die gültige Lösung. Es dauert Δt1 = 8,21 s, bis der Körper beim Fallen die 80 m-Marke wieder erreicht. v v − gǻt c) a + g = t = 0 = ages ǻt3 ǻt3 ages
v − gǻt = = 0 ǻt3
50
m m − 9,81 2 ⋅ 1,99 s m s s = 15, 24 2 2s s
d) ΣFy = 0 = T – FG – F = m ages – m g – F m m· § F = m (ages – g) = 10 kg ¨15,24 2 − 9 ,81 2 ¸ = 54,3 N s s ¹ ©
Lösungen
91.
329
Fres = m g sinα – Ff = m a ; v =
2as = 2
v = 2⋅
a=
m g sinα − Ff m
m g sinα − Ff s m
m ⋅ 0 ,5 − 100 N m2 m s2 ⋅ 3 m = 23,43 2 = 4 ,84 100 kg s s
100 kg ⋅ 9,81
92. Der Bewegungsvorgang wird in drei Teilabschnitte (a, b, c) zerlegt.
Für Bewegungsabschnitt a) gilt: Fres = m g sin α – Ff = m a1 m m 100 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 0 ,5 − 100 2 m g sinα − Ff m s s = = 3,905 2 a1 = m 100 kg s Damit (und mit s1 = 1 m) kann die Endgeschwindigkeit v1 am Ende des Bewegungsabschnitts a) bestimmt werden. Aus dem v-t-Diagramm liest man ab:
s1 = v1t1/2 = v12 /2 a1 und daraus v1 = 2s1a1 = 2,795
m s
Für Bewegungsabschnitt b) gilt:
Fres = Ff = m a2 a2 =
Ff 100 N m = =1 2 m 100 kg s
Damit (und mit s2 = 2 m sowie v1 = 2,795 m/s) kann die Endgeschwindigkeit v2 bestimmt werden. Aus dem v-t-Diagramm (Trapezfläche!) ergibt sich:
v2 =
v12 − 2a2 s2 = 1,952 m/s .
Für Bewegungsabschnitt c) gilt: Fres = m g sin β + Ff = m a3 m 100 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 0 ,342 + 100 N m m g sin β + Ff s = 4 ,355 2 a3 = = 100 kg m s Aus dem v-t-Diagramm für den Bewegungsabschnitt c) liest man ab:
m2 3,81 2 v22 v2 t s s3 = = = = 0, 437 m 2 2a3 2 ⋅ 4,355 m s2 Lösungen
330
Lösungen
100. Mres = J α ; ( J ) =
(M ) (Die Größe in Klammern bedeutet „Einheit von ...“) (α )
kgm ⋅m 2 Nm = kg m 2 ( J ) = −2 = s −2 s s 101. a) 0,05 g cm2 = 0,05 · 10–3 kg · 10–4 m2 = 5 · 10–9 kg m2 b) 5,8 · 103 kg cm2 = 5,8 · 103 kg · 10–4 m2 = 0,58 kg m2 102. Die Verdopplung des Scheibenradius, weil nach der Definitionsgleichung für das Trägheitsmoment J = ΣΔmn rn2 der Radius quadratischen Einfluss hat und außerdem noch die Masse quadratisch mit dem Radius zunimmt. m rad 25 125 vue rad ǻω ω e s s = 12,5 rad ; b) α = = = 125 = = 103. a) ω t = r 0,2 m s ǻt ǻt 10 s s2 c) Nach 2.7.9.4 ist 1 1 kg J = r ʌ d 4h = ⋅ 3000 3 ⋅ ʌ ⋅ (0,4 m)4 ⋅ 0,1 m ; J = 0,754 kg m2 32 32 m 1 d) Mres = J α = 0,754 kg m2 · 12,5 2 9,42 Nm s 104. Mres = J α = J
2 ʌ ⋅ 1000 1 kg m 2 ǻω 1 =J·2πn· = 3,5 kg m2 · ⋅ = 1,527 = 1,527 Nm ǻt ǻt 60 s 240 s s2
105. a) m = 2 π2 r2 R r (nach 2.7.9.4) kg = 775 kg m3 3 · 3 § J = m ¨ R 2 + r 2 ¸ = 775 kg (0,25 m2 + · 0,01 m2) = 199,5 kg m2 4 4 © ¹ ǻω b) α = ǻt
m = 2 π2 · 0,01 m2 · 0,5 m · 7,85 · 103
Δϕ = 2π z =
α=
ǻω ǻt ǻω 2 = 2 2α
ǻω 2 ; 4ʌ z
αt =
Δω =
rad ʌ ⋅ ǻn ʌ ⋅ 400 rad = = 41,9 30 30 s s
1755 rad rad = 1, 4 2 2 4ʌ ⋅ 100 s s
c) Mres = J α = 199,5 kg m2 · 1,4 ʌ n ʌ ⋅ 3000 rad rad = = 314 ; 30 30 s s kg m Fz = 3,948 · 103 2 = 3950 N s
106. a) ω =
107. 109.
×
Drehmoment M
×
rad = 278,6 Nm s2
b) Fz = m rs ω 2 = 20 kg · 2 · 10–3 m · (3,14 · 102)2
108. Trägheitsmoment J
×
WinkelWinkelbeschleunigung α geschwindigkeit ω
rad s2
Lösungen
331
110.
× ×
111.
× × ×
112.
×
115. a) μ0 = −
113.
114. × ×
FR0max FR0max 14 N ⋅ s 2 = = ≈ 0 ,7; FN mg 2 kg ⋅ 9,81 m
μ=
10 N ⋅ s 2 FR = ≈ 0,5 FN 2 kg ⋅ 9,81 m
b) μ = tan r = 0,5 r = 26,6º. 116. μtrocken, St/St = 0,15 r = 8,5°.
117. a) Nach Seite 49 ist m0 Holz/Holz = 0,5 < μ0 Holz/Metall = 0,7, folglich gleitet zunächst Körper 2 auf Körper 1, während Körper 1 noch auf der Metallschiene haften bleibt. b) Die Lageskizze zeigt, dass der Körper 2 auf den Körper 1 die Normalkraft FN2 = FG2 cosα und die Gleitreibkraft FG2 = μ H FN2 überträgt. Aus den Gleichgewichtsbedingungen wird eine Gleichung für den Tangens des Neigungswinkels α entwickelt: ΣFx = 0 = μ0M FN1 – FG1 sin α – μ H FN2 ΣFy = 0 = FN1 – FG1 cos α – FG2 cos α = FN1 – (FG1 + FG2) cos α FN1 = (FG1 + FG2) cos α
0 = μ 0M (FG1 + FG2) cos α – FG1 sin α – μ H FG2 cos α 0 = cos α [μ 0M (FG1 + FG2) – μ H FG2] – FG1 sin α tan α = −
μ0M (FG1 + FG2 ) − μH FG2 FG1
tan α = μ0M
=
μ0M FG1 + μ0M FG2 − μH FG2 FG1
F + G2 (μ0M − μH ) > μ0M = tan r0M FG1
Dieses Ergebnis zeigt, dass der Neigungswinkel größer als der Reibwinkel für Holz auf Metall sein muss, wenn auch der Körper 1 rutschen soll. FN μ
118. ΣFx = 0 = m g sin α – m a – m g cosα μ ΣFy = 0 = FN – m g cos α FN = m g cos α m g (sin α − μ cos α ) = g (sin α – μ cos α ) = g (0,5 – 0,2 · 0,866) m m a = 0,3268 · g = 3,2 2 s
α =
119. Man löst die Aufgabe mit dem dynamischen Grundgesetz. Der auf der schiefen Ebene ruhende Körper darf sich in y-Richtung nicht bewegen, also muss die Summe aller Kräfte in dieser Richtung gleich null sein (ΣFy = 0). In x-Richtung bleibt als resultierende Kraft Fres die Komponente FN sin α übrig, die dem Körper die Beschleunigung ah erteilt: a) ΣFy = 0 = FN cos α – m g FN =
mg cos α
Fres = FN sin α = m ah ah =
m g sin α m m = g tan α = 9,81 2 ⋅ 0,577 = 5,66 2 m cosα s s Lösungen
332
Lösungen b) ΣFy = 0 = FN cosα + FN μ sin α – m g = FN (cosα + μ sinα ) – m g mg cos α + μ sinα
FN =
Fres = FN sina – FN μ cos a = m ah mg (sin α − μ cosα ) = m ah cos α + μ sinα ah = g
sinα − μ cosα m 0,3268 m = 9,81 2 ⋅ = 3,32 2 cosα + μ sinα 0,966 s s
120. a) ΣFx = 0 = m g sin α – 2T – FR1 – FR2 mg sin α – 2 m a – m g μ – m g μ cos α = 0 | : m g [sin α − μ (1 + cosα )] 2
9,81 m [0,866 − 0,2(1 + 0,5)] 2 s2 m a = 2,776 2 s m g b) a = [1 − 0, 2 (1 + 0)] = 0,4 g = 3,924 2 2 s
a=
=
121. Lösung (nach d’Alembert): Aus der Skizze des frei gemachten Körpers liest man ab: I. ΣFx = 0 = F cosα – m g sin α – FN μ – m a II. ΣFy = 0 = FN – m g cos α – F sin α Es wird immer zuerst die Normalkraft FN bestimmt (aus II.) und dieser Ausdruck in I. eingesetzt: II. FN = m g cos α + F sin α I. F cos α – m g sin α – (m g cos α + F sin α ) μ – m a = 0 F (cosα − μ sinα ) − m g (sinα + μ cosα ) m m 490 N (0,866 − 0,4 ⋅ 0,5) − 10 kg ⋅ 9,81 (0,5 + 0,4 ⋅ 0,866) 2 s a= 10 kg
a=
a = 24,33
m s2
122. Man macht beide Körper frei. Problematisch ist der Richtungssinn der Reibkräfte m g cos α μ 02 und 3 m g cos α μ 01. Zwei Fälle sind denkbar: 1. Körper 1 gleitet nach unten und damit Körper 2 nach oben. 2. Körper 1 gleitet nach oben und damit Körper 2 nach unten. In diesem Fall kehrt sich der Richtungssinn der Reibkräfte um (gestrichelt eingezeichnet).
Lösungen
333
Nach der Aufgabenstellung erscheint nur Fall 1 möglich; trotzdem sollen beide Fälle untersucht werden: Fall 1:
für Körper 2 ist: ΣFx = 0 = Fs – m g (sinα + μ02 cosα ) Fs = m g (sinα + μ02 cosα )
für Körper 1 ist: ΣFx = 0 = Fs + m g cosα (3μ01 + μ02) – 2 m g sin α Fs = 2 m g sinα – m g cosα (3μ01 + μ02) = m g [2 sinα – cosα (3μ01 + μ02)]
Bei reibungsfreier Rolle übertragen beide Seilstränge die gleiche Seilkraft Fs, sodass beide Ausdrücke für Fs gleichgesetzt werden können (m g fällt heraus): sin α + μ02 cos α = 2 sin α – cosα (3μ02) | durch cosα dividieren tanα + μ02 = 2 tanα – 3 μ01 – μ02 tanα = 3 μ01 + 2 μ02 tanα = 4 μ01 = 4 · 0,3 = 1,2
α = 50,2° Der Grenzwinkel α , bei dem das Rutschen beginnt, ist abhängig von den Haftreibzahlen m 0 und von der Verteilung der Gesamtmasse beider Körper (Faktoren bei den Haftreibzahlen). Fall 2:
Die gleiche Entwicklung mit den gestrichelt eingetragenen Reibkräften führt zu negativer Tangensfunktion, d.h. diese Bewegung kann hier nicht eintreten. 131.
130. ×
×
×
132.
× Nm kann Arbeitseinheit sein, ebenso aber Einheit des Drehmoments
×
133. a) 120 Nm = 120
134. a) 15
kg m 2 kg m · m = 120 ; 2 s s2
kg m 2 = 15 Nm = 15 Ws; s2
b) 15
b) 120 Nm = 120 Ws;
kg m = 15 Nm; s2
c) 15
c) 120 Nm = 120 J
kg m = 15 Nm = 15 J s2
135. W = F cos α · Δs = 100 N · 0,866 · 10 m = 866 Nm = 866 J (Die Masse m hat keinen Einfluss!) F1 + F2 ǻs1 + F2 ǻs2 2 Wges = W1 + W2 = 150 N · 1,5 m + 200 N · 3 m = 825 Nm = 825 J
136. Wges = W1 + W2 =
137. ×
× ×
139. a) Wh = m g Δh = 100 kg · 9,81 b) Ep = Wh = 49050 J
138. m · 50 m = 49 050 J s2
× × Lösungen
334
Lösungen
140. Ep = m g Δh = 100 kg · 9,81
m · 4 m = 3924 J s2
141. 3924 J = 3924 Ws 142. W = F Δs = (Fw + G sin α ) Δs = (100 N + 100 kg · 9,81
m · 0,707) · 20 m s2
W = 15871 Nm = 15871 J
143. Wh = m g Δh = 200 kg · 9,81 144.
×
m · 4 m = 7848 Nm = 7848 J s2
×
145. a) Ep = m g Δh = 1000 J, Ek = 0 m 2 v 2 c) Ep,80 = m g Δh1 = 800 J, Ek,80 = 1000 J – 800 J = 200 J usw.
b) Ep = 0; Ek = m g Δh = 1000 J =
m 2 m2 v = 500 kg · 1600 2 = 800 000 J 2 s b) Ek = Ep = m g Δh, E 800 000 J Δh = k = = 81,55 m m g 1000 kg ⋅ 9,81 m s2 m 100 ⋅ 103 kg § 2 m 2 m2 · ¨ 20 147. Ek = (v12 − v22 ) = − 10 2 2 ¸¸ = 1,5 · 107 Nm = 1,5 · 107 J ¨ 2 2 2 s s ¹ ©
146. a) Ek =
m 2 m2 (v2 − v12 ) = 500 kg (400 – 100) 2 = 150 000 Nm = 150 000 J 2 s m m 10 + 20 v +v s s · 20 s = 300 m (nach v-t-Diagramm) Δs = 1 2 ǻt = 2 2 Wf = Fw Δs = 300 N · 300 m = 90 000 Nm = 90 000 J Wh = m g Δh = m g Δs sin α (sinα ≈ tanα = 0,05)
148. a) Wb =
b) c)
m · 300 m · 0,05 s2 Wh = 147150 Nm = 147150 J
Wh = 1000 kg · 9,81
d) Wges = Wb + Wf + Wh = 387 150 J 2
149. W =
§ 40 m · m 2 4 m2 ¸ = 2 · 103 kg · ǻv = 2000 kg · ¨¨ ¸ 2 9 s2 © 60 s ¹
W = 889 J
150. R = Wf =
FG m g 10 kg ⋅ 9,81 m N = = = 19,62 ⋅ 103 ǻs ǻs m 5 ⋅ 10−3 m ⋅ s 2 R 2 19 ,62 ⋅ 103 N ⋅ 0,04 m 2 s = = 392 ,4 J 2 2⋅m
Lösungen
335 Wf R ⋅ s 19,62 ⋅ 103 N ⋅ 0,2 m = = = 1962 N s 2 2⋅m = R · s = 3924 N
Fsm = Fs max
151. R =
FG 300 N N = = 10000 ǻs 3 ⋅ 10 −2 m m
Wf =
R 2 N ( s − ǻs 2 ) = 5 ⋅ 103 (400 − 9) ⋅ 10 − 4 m 2 = 195,5 J 2 1 m
152. a) FR = FN μ = F cos α FN = F sin α + m g FR = F cos α = (F sin α + m g)μ
m 50 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 0, 4 m gμ s F = = = 294,6 N cosα − μ sinα 0,866 − 0, 4 ⋅ 0,5 b) W = WR = FRΔs = F cosα Δs = 294,6 N · 0,866 · 2 m = 510,2 J
153. WR = MR Δϕ = FN μ r Δϕ = FN μ r 2π z = FN μ r 2π n Δt WR = 6000 N · 3 · 10–3 · 25 · 10–3 m · 2π ·
1460 1 ⋅ ⋅ 3,6 ⋅ 103 s 60 s
WR = 2,477 · 105 Nm = 2,477 · 105 J
154.
m 2 v = FN μ ǻs = m g μ ǻs; 2
v2 = g μ ǻs (Masse m kürzt sich heraus !) 2
2
§ m· ¨© 30 ¸¹ s μ= = = 0,765 2 g ǻs 2 ⋅ 9,81 m ⋅ 60 m s2 v2
155. Man zeichnet eine Skizze zur Aufgabenstellung, legt die Bezugsebene (BE) sowie Anfangspunkt A und Endpunkt E fest und macht den Körper frei, um eine Gleichung für die Reibkraft FR = FN μ zu bekommen. Dann ist nach dem Energieerhaltungssatz: EE = EA ± Wzu, ab
0 = 0 + F Δs1 – m g μ (Δs1 + Δs2) m § · 1 m ¨100 N − 10 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 0,3¸ © ¹ ǻs1 (F − m g μ ) s ǻs2 = = = 2,398 m m mgμ 10 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ 0,3 s EE = 0, weil der Körper ruht, EA = 0, weil der Körper ruht, Wzu = Arbeit der Kraft F längs des Weges Δs1 (FΔs1), Wab = Reibarbeit = FR (Δs1 + Δs2) Lösungen
336
Lösungen
156. Vorbereitung1) wie bei Lösung 155, jedoch muss der Körper sowohl auf der schiefen Ebene als auch auf der horizontalen frei gemacht werden, weil in beiden Fällen die Normalkraft FN und damit auch die Reibkraft FR verschieden sind: FR1 = FN1μ = m g cosα μ ; FR2 = FN2 μ = m g μ
Energie am Ende ist EE = 0 (der Körper ruht und hat in Bezug zur BE keine potentielle Energie). Energie am Anfang ist EA = Ep = m g Δh = m g Δs1 sinα mit Δh = Δs1 sinα. Äußere Kräfte, die dem Körper Energie zuführen, sind nicht vorhanden, also ist Wzu = 0. Hier kommt stets der (scheinbar berechtigte) Einwand, dass doch auch die Gewichtskraft FG = m g eine äußere Kraft sei und dass damit auch eine Arbeit zugeführt wurde, nämlich die Arbeit der Komponente FG sinα längs des Weges Δs1. Diese Arbeit ist aber schon in der potentiellen Energie berücksichtigt (siehe oben). Abgeführt wird die Reibarbeit, und zwar längs beider Teilwege Δs1 und Δs2. EE = EA ± Wzu, ab 0 = m g Δs1 sinα – m g cos α μ Δs1 – m g μ Δs2 |: m g ǻs2 =
ǻs1 (sinα − μ cosα )
μ
=
2 m (0,707 − 0,2 ⋅ 0,707) = 5,656 m 0, 2
157. WE = WA ± Wzu,ab m 2 v + m g ǻh = 0 + Fǻs − ȈFw ǻs 2 m 2 v + m g ǻs sinα = Fǻs − ȈFw ǻs 2 2ǻs m v= (F − ȈFw − m g sinα ) = 60, 49 m s 158. EE = EA ± Wzu,ab m g Δh = 0 + FΔs1 – m g μ (Δs1 + Δs2) – m g cos α μ Δs3 ǻs3 =
Fǻs1 − m g μ (ǻs1 + ǻs2 ) m g (sin α + μ cosα )
(zeichnen Sie selbst die erforderlichen Skizzen !)
159. a) Aus dem Energieerhaltungssatz wird: v = b) a =
v2 m = 0,324 2 ; 2s s
e) tges = Δt + Δt1 =
1)
c) Δs1 =
2s m km (m g sin α − Fw ) = 16,1 = 57,96 m s h
m v2 = 777, 2 m ; 2 Fw
d) a1 =
v2 m = 0,1667 2 2ǻs1 s
§1 1 · v v + = v ¨ + ¸ = 146,3 s a a1 © a a1 ¹
Beachte hier und beim Lösen der folgenden Aufgaben die Fragestellungen für den Lösungsgang nach S. 61
Lösungen
337
160. In der vorliegenden Aufgabe ist die Feder zunächst ungespannt, also gilt für die Federarbeit: Wf = RΔs2/2. EE = EA ± Wab,zu R 0 = m g (ǻh + ǻs ) − ǻs 2 2 m 2 ⋅ 1 kg ⋅ 9,81 2 (2 m + 0,04 m) 2 m g (ǻh + ǻs ) N N s = = 2,5 ⋅ 104 = 250 R= m cm ǻs 2 16 ⋅ 10−4m 2 161. Die Federrate R ist nicht angegeben, lässt sich aber aus der Angabe des Spannweges Δs = 4 cm und der dadurch entstehenden Federkraft F = 50 N berechnen (R = F/Δs = 50 N/4 cm = 12,5 N/cm = 1250 N/m). a) EE = EA ± Wab,zu R m g s = 0 + ǻs 2 − Fw s 2 s=
R ǻs 2 2 (m g + Fw )
N ⋅ 16 ⋅ 10 −4 m 2 m s= = 917 · 10–4 m = 9,17 cm m 2(0,5 kg⋅ 9,81 2 + 6 N) s EE = EA ± Wab,zu R 0 = m g (ǻs1 + h1 ) − Fw (ǻs1 + h1 ) − ǻs12 2 2 h 2 ǻ s 1 1 ǻs12 + ( Fw − m g ) + ( Fw − m g ) = 0 R R 1250
b)
2 2 h1 Fw − m g § F − mg· ± ¨ w − ( Fw − m g ) ¸ © ¹ R R R Die Rechnung ergibt einen negativen Radikanten, d.h. der Körper erreicht die Feder nicht, weil der Widerstand größer ist als seine Gewichtskraft. c) Aus der Gleichung unter b) ergibt sich Δs1 = 1,417 cm. 162. EE = EA ± Wab,zu
ǻs1 = −
2
2
0 = 0+
l2 +
§F · RD 2 RZ 2 F R f − l − FR l l = − R ± ¨ R ¸ + D f 2 RZ RZ 2 2 © RZ ¹
2 FR R l− D f2 =0 RZ RZ
N § · 100 10 N ¨ 10 N ¸ cm =− ± ¨ ⋅ (8 cm)2 + N N ¸ N ¨ 50 ¸ 50 50 © cm ¹ cm cm
l = 11,12 cm
163. EE = EA ± Wab,zu R ǻh mgΔh = 0 + D ǻs 2 − m g μ ( s1 +ǻs ) − m g μ cos α 2 sin α
R 2 ǻs − m g μ ( s1 + ǻs ) ǻh = 2 = 1,65 m m g (1 + μ cot α )
Lösungen
338
Lösungen
164. EE = EA ± Wab,zu m 2 R F eingesetzt und umgeformt wird: v = m g ( f + s )sin α f 2 − FR ( f + s ); für f = 2 2 R m 2 F F v − (m g sin α + − FR ) R 2 s= s = 7,647 m m g sin α − FR 165. EE = EA ± Wab,zu R 0 = m g Δh – FR (s + Δs) – ǻs 2 2 R 0 = m g (s + Δs) sin α – m g μ cos α (s + Δs) – ǻs 2 2 Nach dem Umformen ergibt sich die gemischt quadratische Gleichung
Δs = −
mg ( μ cos α − sin α ) ± R
2
2m g s ªm g º ( μ cos α − sin α ) « R ( μ cos α − sin α ) » − R ¬ ¼
Δs = 14,94 m 166. a) Die Federrate ergibt sich aus der Überlegung, dass sich die Feder beim Belasten um Δs = 0,1 cm zusammendrückt. Also ist m 0, 2 kg ⋅ 9,81 2 mg s = 1962 N = 19,92 N = R= ǻs m cm 10−3m Der Energiesatz lautet nun: EE + EA ± Wzu,ab R m g (h + Δs + s) = 0 + ( s + ǻs ) 2 . Ausmultipliziert und nach h aufgelöst ergibt: 2 R ( s + ǻs ) 2 − m g ( s + ǻs ) = 1, 249 m h= 2 mg b) Man setzt den Energieerhaltungssatz an zwischen der alten Anfangsstellung A und der neuen Endstellung E: EE = EA ± Wzu,ab m 2 R v0 + m g ( s + ǻs ) = 0 + ( s + ǻs ) 2 ; m g = R ǻs eingesetzt, ausmultipliziert und nach v0 2 2 R 2 m ( s − ǻs 2 ) = 4,951 aufgelöst ergibt: v0 = m s 168. 169. 170. 167. m t l l × × × × ×
×
171. a) Die Zugkraft Fz muss gleich der Summe aus Fahrwiderstand Fw und Hangabtriebskomponente Fs = m g sin α sein. 1 Fz = Fw + Fs = Fw + m g sin α ; bei kleinen Winkeln ist sin α ≈ tan α ; hier ist also tan α = 400 40 N m 1 Fz = 1000 t ⋅ + 106 kg ⋅ 9,81 2 ⋅ = 40 000 N + 24 525 N = 64 525 N t s 400 m Nm Nm b) P = Fz v = 64 525 N · 15 = 967 875 = 967,88 kW Beachte: 103 = 103 W = 1 kW s s s
Lösungen
339
172. FR = F2 – F1 = m g – F1 = 0,6 kg · 9,81 v = π d n = π · 0,04 m
×
– 2 N = 3,886 N
3000 m = 6,283 60 s s
PR = FR v = 3,886 N · 6,283 173.
m s2
m Nm = 24,4 = 24,4 W = 0,0244 kW s s
174.
× ×
×
m g ǻh 175. P2 = = ǻt
500 kg ⋅ 9,81
m s2
⋅4m
20 s
P2 = 981 W = 0,981 kW; P1 =
P2
η
= 981
Nm s
= 1,401 kW
176. ηges = ηM ηG = 0,92 · 0,8 = 0,736 ; P2 = P1 ηges = 10 kW · 0,736 = 7,36 kW = 7360
Nm s
Nm 7360 P2 s P2 = M ω = Fh r 2π n; Fh = = = 878,5 N 2ʌ r n 2ʌ ⋅ 5 ⋅ 10 −2 m ⋅ 1600 ⋅ 1 60 s 100 kg m ⋅ ⋅ 9,81 2 ⋅ 30 m P 60 s s 177. ηges = n = = 0,613 Nm Pa 800 s P Pab ǻt FG Δh m g ǻh V r g ǻh h = ab = 178. Pzu = = = ; Pzu V r g ǻh ǻt ǻt ǻt 20 ⋅ 106
V=
kgm 2
⋅1 s Pab ǻt s3 = = 612, 2 m3 η r g ǻh 0,74 ⋅ 103 kg ⋅ 9,81 m 4,5 m m3 s2
14.3. Ruhende Flüssigkeiten und Gase 190. F = Δp A = ( p2 – p1) A = 101 300 – 2940)
N π ⋅ ⋅ 0, 42 m 2 m2 4
F = 12360 N = 12,36 kN N 191. F = p A = 105 2 · 1 m2 = 105 N = 0,1 MN m N 192. pabsolut = pLuft + pManometer = 1,04 · 105 2 + 15 · 105 m kg m 193. p = h r g = 8 000 m · 1025 3 · 9,81 2 = 80,44 · 106 m s ǻV =
N m2 N m2
= 16,04 · 105 Pa = 80,44 MPa
50 ⋅ 10−9 m3 N = 80, 4 ⋅ 106 2 = 4 022 ⋅ 10−8 m3 = 40, 22 cm3 5 N m 10 m2
Lösungen
340
Lösungen
195. a) p '1 = h1 r g = 2 m ⋅ 103
kg m3
⋅ 9,81
m s2
= 19620
N m2
= 19620 Pa = 0,1962 bar
π d12 = 3,14 ⋅ 104 cm 2 = 3,14 m 2 ; Fb1 = p '1 A1 = 61 606,8 N ≈ 61,6 kN 4 N Fb2 = p '2 A1 = 184 820 N ≈ 0,185 MN b) p '2 = r g (h1 + h2 ) = 58 860 2 ; m 196. Die Gleichgewichtsbedingungen ΣF = 0 am Körper unter Wasser ergibt: F1 F1 + Fa − mk g = 0 ; F1 + Vk rf g – Vk rk g = 0 ; Vk = g (r k − r f ) Am Körper über Wasser gilt: rk F2 − mk g = 0 ; F2 = mk g = Vk r k g = F1 r k− r f A1 =
7850 F2 = 12 000 N ⋅ 6850
kg m3 = 13 752 N = 13,752 kN kg
m3 197. Fa = Vk rf g = 4,5 N − 4 N = 0,5 N;
FG = Vk rk g = 2 N
Vk rf g Fa F kg 2 N kg = rk = rf G = 103 3 ⋅ 4 ⋅ 103 3 FG Vk rk g Fa m 0,5 N m
198. EE + EA ± Wzu,ab l · l · §l § m k g ¨ k + s1 + s2 + k ¸ = 0 + Fa ¨ s1 + k ¸ ©2 © 2¹ 2¹ m k = Vk rk ; Fa = Vk rf g eingesetzt l · § Vk rk g (lk + s1 + s2 ) = Vk rf g ¨ s1 + k ¸ : Vk g © 2¹
l · § rk (lk + s1 + s2 ) = rf ¨ s1 + k ¸ © 2¹ rf § l · s2 = s1 + k ¸ − lk − s1 = 50 cm 2¹ rk ¨© 199. EE + EA ± Wzu,ab §l · 0 = mk g ( lk + s1 ) − Fa ¨ k + s1 ¸ ©2 ¹ §F · s1 (mk g − Fa ) = lk ¨ a − mk g ¸ : mk g © 2 ¹
§ § Fa · F · s1 ¨¨1 − a ¸¸ = lk ¨¨ − 1¸¸ ; m g 2 m g k ¹ © © k ¹
§ § rf · rf · s1 ¨1 − ¸ = lk ¨ − 1¸ rk ¹ © © 2rk ¹ rk
s1 = lk
2rk 1−
−1 rk rk
=0
rf Fa = mk g rk
Lösungen
341
200. FG = Fa (Gewichtszunahme = Auftrieb) Vk rk g = Vv rf g ;
Vk = Ak (h1 + h2 );
Vv = Ak h2
Ak (h1 + h2 )rk g = Ak h2 rr g h2 = h1
rk rf − rk
= h1
201. FG (Schwimmer) = Fa;
0,9 rf (1 − 0,9)rf
= 9 h1 = 36 m
VM rM g = Vv rB g : g
ª d 2π º πd2 s + (d − s ) π s (h1 − 2s ) » rM = h2 rB : π «2 4 «¬ 4 »¼
d2 s + (d − s ) s ( h1 − 2 s ) h2 = ⋅ 2 = 9,93 mm rB d2 4 rM
202. Fres = Fa − FG = mk a ; 203. p1V1 = p2V2 ;
V2 = V1
a= g
rW − rH rH
;
ǻt =
2h = a
2h rH g (rW − rH )
= 0,724 s
0,96 bar p1 = 100l ⋅ = 93, 2 l 1,03 bar p2
14.4. Strömende Flüssigkeiten und Gase m3 q m m min 210. qv = A w w = v = = 884, 2 = 14,74 A 1,131 ⋅ 10−2 m 2 min s 10
211. A1w1 = A2 w2 ; mit w2 = 2 w1 ist d2 =
212. A =
π d12 π d 22 w1 = 2 w1 4 4
1 d1 = 70,7 mm 2
qv πd2 ; d = = w 4
4 qv = 376 mm πw
213. qv = A1w1 = A2 w2 ;
w1 d2 = 22 ; w1 : w2 = 1 : 9 w2 d1
214. w1 = w2 = w3 = w =
qv 500 m3 m = = 1,964 A1 3 600 s ⋅ 0,0707 m 2 s
A1 =
qv1 300 m3 = = 0,0424 m 2 ; m w1 3 3,6 ⋅ 10 s ⋅ 1,964 s
d1 = 232,4 mm
qv2 200 m3 = = 0,0283 m 2 ; d2 = 189,9 mm m w2 3 3,6 ⋅ 10 s ⋅ 1,964 s qv m q m = 1,592 ; qv = A2 w2 w2 = v = 6,366 215. qv = A1w1 w1 = A1 s A2 s A2 =
Lösungen
342
Lösungen r 2 r w1 = p2 + w22 2 2 Bei A2 Ԡ A1 (d.h. A2 sehr viel größer als A1) ist nach der Kontinuitätsgleichung A1w1 = A2w2 auch w2 ԟ w1 und damit das Glied mit w2 vernachlässigbar klein: r p2 − p1 = ǻp = w12 2
216. p1 +
w1 =
2 ⋅ 20 bar ⋅ m3 = 800 kg
2 ǻp = r
40 ⋅ 105 N ⋅ m3 3
m ⋅ 800 kg
=
40 ⋅ 105 kg ⋅ m ⋅ m3 2
2
s ⋅ m ⋅ 800 kg
= 70,71
m s
3
217. a) qv = Aw ; w1 = d) p3 +
0,1 ms qv q q q m m m = = 0,796 b) w2 = v = 3,185 c) w3 = v = v = 0,796 A1 0,1257 m 2 s A2 s A3 A1 s
r 2 r w3 = p2 + w22 2 2
r 2 N kg m2 ( w3 − w22 ) = 1,013 ⋅ 105 2 + 500 3 (0,634 − 10,144) 2 2 m m s N N N p2 = 1,013 ⋅ 105 2 − 4755 2 = 96545 2 = 0,965 bar m m m 218. a) Nach Bernoulli ist
p2 = p3 +
r 2 w 2 1
p1 + r g h1 +
= p4 + r g h4 +
r 2
w42
Hier ist p1 = p4 = pb (barometrischer Druck), weiter ist h1 = 0 und h4 = hR + hs und w4 = 0, weil die Wasserhöhe konstant bleibt. Damit wird r 2 m m w1 = r g (hR + hS ); w1 = 2 g (hR + hS ) = 2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 14 m = 16,57 2 s s b) Nach der Kontinuitätsgleichung gilt: w3d32 = w1d12
w3 = w1
d12 d32
= 16,57
m 16 cm 2 m ⋅ = 7,364 2 s 36 cm s
c) Nach Bernoulli ist: p3 + r g h3 +
r 2
w32 = p4 + r g h4 +
r 2
w42
Hierin ist h3 = hR; alles Übrige wie bei a). r p3 + r g hR + w32 = pb + r g (hR + hS ) 2 § r N kg § m 7,3642 m 2 · w2 · p3 = pb + r g hS − w32 = pb +r ¨ g hS − 3 ¸ = 0,99 ⋅ 105 2 + 1000 3 ¨ 9,81 2 ⋅ 4 m − ¸ 2 2 ¹ m m © s 2 s2 ¹ © p3 = 99 000
219.
N m2
+ 12 125
N m2
= 1,11 bar
Wegen der kegeligen Form ist: r r 2 r0 − 0 rx − 0 r x º 2 ª 2 = 2 ; l r0 − 0 x = l rx ; r0 (l − ) » = ( l rx ) ⋅ π « 2 2 l l−x ¬ ¼ x 2 x 2 x 2 2 2 2 2 2 r0 (l − ) ⋅ ʌ = l rx ⋅ ʌ ; ʌ r0 (l − ) = ʌ rx l ; A0 (l − ) 2 = Ax l 2 2 2 2 A0 § l =¨ Ax ¨ l − ©
2
x 2
2 · § 2l · ¸ =¨ ; ¸ ¸ © 2l − x ¹ ¹
A0 w0 = Ax wx ;
wx =
A0 w0 Ax
Lösungen
p0 +
343 r 2 r w0 = px + wx2 ; 2 2
px = p0 +
px = p0 +
· r 2 r 2 r r§ A w0 − wx = p0 + w02 − ¨ 0 w0 ¸ 2 2 2 2 © Ax ¹
2
2 r 2 ª« § A0 · º» w0 1 − ¨ ¸ 2 « © Ax ¹ » ¬ ¼
2
§ A0 · § 2l · ¨¨ ¸¸ = ¨ ¸ A 2l − x¹ x © © ¹
4
von oben eingesetzt:
px = p0 +
4 r 2 ª« § 2 l · º» w0 1 − ¨ 2 « © 2 l − x ¸¹ » ¬ ¼
220. Gegeben: q1 = 10 l/s = 0,01 m3/s, d1 = 80 mm = 0,08 m, A1 = π · d2/4 = 0,0050 m2, Druckverlust Δp = 0,4 bar = 40 000 Pa a) Strömungsgeschwindigkeit w1 w1 = q1/A1 = 1,989 m/s b) Bernoulli (hier: verlustfreie horizontale Strömung): p1 +
r ⋅ w12 r ⋅ w22 mit p2 = p1 – Δp = 40 000 Pa, w1 = 1,989 m/s und = p2 + 2 2
2 ⋅ Δp
w12 +
r(Wasser) = 1000 kg/m3 ist w2 =
r (Wasser)
= 9,153 m/s
c) Kontinuitätsgleichung w1 ⋅ d12 = w2 ⋅ d 22 nach der gesuchten Größe d2 aufgelöst: d2 =
w1 ⋅ d12 = 0,0373 m = 37,3 mm w2
221. Luftwiderstand F1 = Gewichtskraft FG rL 2 rL 2 4 w Acw = V rH g ; w π r 2 cw = π r 3 rH g 2 3 2 w=
8 r rH g 3 rL cw
2 r rH g
= 2⋅
3 rL cw
;
w = 2⋅
2 ⋅ 5 ⋅ 10−2 m ⋅ 600 3 ⋅ 1,2
kg m3
kg m3
⋅ 9,81 m2 s
⋅ 0, 4
= 40, 44
m s
rL
2 kg m 1, 25 kg w 2 A cw = ⋅ ⋅ 900 m2 ⋅ 0,196 m 2 ⋅ 1,15 = 126,8 2 = 126,8 N 2 m3 2 s s rL 2 223. F1 = w A cw = 3344 N 2
222. F1 =
224. F1 =
rL 2 w A cw = FG ges = mges g ; w = 2
r 225. F1 = L w2 A cw ; 2
p=
2 mges g
r L A cw
=
2 ⋅ 120 kg ⋅ 9,81 m ⋅ m3 2
2
125 kg ⋅ 78,5 m ⋅ s ⋅ 1,35
= 4, 214
m s
2 Fl r kg = L w2cw = 0,63 3 ⋅ 3600 m2 ⋅ 0,9 = 2041 N2 = 2041 Pa 2 m s m A
226. Leistung P ist das Produkt aus Kraft Fl und Geschwindigkeit v: r 2 P = Flv = 2L wrel A cw v; wrel = v + w = 44, 44 ms + 3,5 ms = 47,94 ms P = 0,625
227. F1 =
kg m
3
2
⋅ 2 299 m2 ⋅ 1,5 m 2 ⋅ 0,35 ⋅ 44, 44 ms = 33 522 Nm = 33,5 kW s
rL 2 w A cw ; 2
s
cw =
2 Fl
rL w2 A
=
2 ⋅ 10 kgm ⋅ m3 ⋅ s 2 1,25 kg ⋅ s 2 ⋅ 900 m 2 ⋅ 0,016 m 2
= 1,11
Lösungen
344
Lösungen
14.5. Wärmelehre ×
230.
×
1 ⋅ 50 K = 360 mm K ǻl 0,38 mm 1 232. α1 = = = 6,33 ⋅ 10−6 l1 ⋅ ǻt 1000 mm ⋅ 60 K K
231. ǻl = l1α1St ǻT = 600 m ⋅ 12 ⋅ 10−6 ⋅
1 § · 233. l2 = l1(1 + α1 Cu ǻT ) = 0,5 m ¨1+16,5 ⋅ 10−6 ⋅ 55 K ¸ = 500, 454 mm K © ¹ 1 § · l3 = l1 (1 + α1 Cu ǻT ) = 0,5 m ¨1 − 16,5 ⋅ 10−6 ⋅ 95 K ¸ = 499, 216 mm K © ¹ 234. l2 =
l1 1 § · (1 + α l Cu ǻT ) = 40 m ¨1+16,5 ⋅ 10−6 ⋅ 50 K ¸ = 40,033 mm 2 K © ¹ 2
§l · ǻs = l22 − ¨ 1 ¸ = 1,625 m ©2¹ 1 ⋅ 100 K = 165 mm K 1 § · 236. l = l1 (1 − α1 AlǻT ) = 2150 m ¨1 − 23,5 ⋅ 10−6 ⋅ 12 K ¸ = 2149,394 mm K © ¹
235. ǻl = l1α1 Cu ǻT = 100 m ⋅ 16,5 ⋅ 10−6
237. ǻl = l1α1St ǻT = 300 m ⋅ 12 ⋅ 10−6 238. V = V0 = (1 + 3α1ǻT );
1 ⋅ 30 K = 108 mm K
m m = (1 + 3α1ǻT ) r r0
1 g 1 g = 8,9 3 ⋅ = 8,856 3 1 1 + 3α1ǻT cm 1 + 3 ⋅ 16,5 ⋅ 10−6 ⋅ 100 K cm K 239. Die Volumenänderung der Flüssigkeit folgt dem Volumenausdehnungskoeffizienten αv, die Durchmesseränderung des Gefäßes dem Längenausdehnungskoeffizienten α l. Es ist:
r = r0 ⋅
V0 = A0 h0 =
π π 2 d0 h0 mit A0 = d 02 ; 4 4
π 2 d 0 (1 + α1ǻT ) 2 h = V0 (1 + α vǻT ) ; 4 V 1 + α vǻT 1 + α vǻT h= 0 = h0 A0 (1+α1ǻT ) 2 (1+α1ǻT ) 2
V = Ah =
π 2 d h = V0 (1 + α vǻT ) ; d = d 0 (1 + a1ǻT ) 4
A0 h(1 + α1ǻT ) 2 = V0 (1 + α v ǻT )
1 10−3 ⋅ 40 K α vǻT V0α v ǻT ǻV l1b1ǻh K = 4m = 156,9 mm 240. = = ; ǻh = h1 1 1+α vǻT1 V1 l1 b1 h1 V0 (1 + α v ǻT1 ) 1 + 10 −3 ⋅ 20 K K 241. × ×
Lösungen
345
242. σ = α1St ǻT E = 12 ⋅ 10 −6
1 K
⋅ 25 K ⋅ 2,1 ⋅ 105
N mm 2
= 63
243. σ = α1St ǻT E = 12 ⋅ 10 −6
1 K
⋅ 20 K ⋅ 2,1 ⋅ 105
N mm 2
= 50, 4
244. a) σ Cu = α l Cu ǻT ECu = 16,5 ⋅ 10 −6 b) σ Cu = ECu
ǻl l0
=E
c) σ Cu = 1, 25 ⋅ 105
1 K
N mm 2
⋅ 60 K ⋅ 1,25 ⋅ 105
N mm 2
N mm 2
= 123,75
N mm 2
l0α1 Cu ǻTCu − l0α1St ǻTSt ǻlCu − ǻlSt =E = E (α1 Cu − α1St ǻTSt ) l0 l0
N mm2
(16,5 ⋅ 10
−6 1 K
⋅ 100 K − 12 ⋅ 10 −6
245. Q = m c (ϑ 2 − ϑ1 ) = m c ǻT = 3 kg ⋅ 4186,8
J kg K
1 K
)
⋅ 40 K = 146
N mm 2
⋅ 70 K = 8,792 ⋅ 105J
246. Q = m cAlǻT = 15 kg ⋅ 913 kgJ K ⋅ 80 K = 1,0956 ⋅ 106 J 247. m =
Q 4 ⋅ 106 J = = 15,647 kg cAlǻT 913 kgJ K ⋅ 280 K
248. Q = m cw ǻT = P ǻt 3 J m cw ǻT 1 kg ⋅ 4,187 ⋅ 10 kg K ⋅ 90 K = = 377 s ǻt = P 1000 sJ
249. m =
4000 sJ ⋅ 60 s P ǻt = = 0,735 kg cw ǻT 4,187 ⋅ 103 kgJ K ⋅ 78 K kg
250. a) Q = qmw ǻt cw ǻT = 20 min ⋅ 60 min⋅ 4,187 ⋅ 103 kgJ K ⋅ 20 K = 1,005 ⋅ 108 J = 100,5 MJ b) Q = mLcLǻT ; mL = VLrL ; VL =
251. ε =
1,005 ⋅ 108 J mL Q = = rL cL ⋅ ǻTL ⋅ rL 1005 J ⋅ 20 K ⋅ 1,25 kg K
kg
= 4000 m3
m3
ǻl Q = α l ǻT ; ǻT = ; m = Vr l0 mc
ε = αl
1 1,6 ⋅ 105 J Q = 16,5 ⋅ 10 −6 ⋅ = 6,039 ⋅ 10 −3 V rc K π cm 2 ⋅ 40 cm ⋅ 8,92 g ⋅ 10−3 kg ⋅ 390 J 3 g kg K cm
252. W = M R π = FR r 2 π z = FN μ r 2 π z W = 32 ⋅ 103 N ⋅ 0,05 ⋅ 45 ⋅ 10−3 m ⋅ 2π rad ⋅ 200 = 90 478 Nm = 90 478 J
253. Leistung = Wärmestrom P = Φ1 = 2,1 ⋅ 106
J h
= 2,1 ⋅ 106
J = 0,5833 ⋅ 103 J = 583,3 W s 3,6 ⋅ 103 s
254. Q = Pǻt = U I ǻt = 220 V ⋅ 5 A ⋅ 3,6 ⋅ 103s = 3,96 ⋅ 106 Ws = 3,96 ⋅ 106 J 2 12 ⋅ 105 kg ⋅ 400 m2 = 2, 4 ⋅ 108 Nm = 2, 4 ⋅ 108 J 255. Ek = Q = m v 2 = 2 2 s
Lösungen
346
Lösungen
256. a) PR = FR vu = FN μ π d n = 4 ⋅ 103 N ⋅ 5 ⋅ 10−3π ⋅ 5 ⋅ 10 −2 m ⋅ 3000 ⋅ 601 s = 157,08 Nm = 157,08 W s b) Wärmestrom und Leistung sind gleichartige Größen, also ist auch Φ L = P = 157,08 W (= 157,08 J/s) c) FL = qm cÖl ΔT = Pr
qm
ΦL cÖlǻT
257. ϑm =
=
157,08 sJ ⋅ 1675
J kg K
60 s min
⋅ 20 K
kg
= 0, 281 min
D D J J m1c1ϑ1 + m2c2ϑ2 50 kg ⋅ 2512 kg K ⋅ 60 C + 20 kg ⋅ 4187 kg K ⋅ 15 C = = 42 DC m1c1 + m2c2 50 kg ⋅ 2512 kgJ K + 20 kg ⋅ 4187 kgJ K
Beachte: Im Zähler und Nenner kürzt sich zunächst die Einheit kg, sodass im Zähler J / K · °C stehen bleibt, im Nenner nur J / K. Wird nun noch J / K gekürzt, bleibt für das Ergebnis die Temperatureinheit °C übrig: D
kg kgJ K C D
J C kg kg
=
J DC K J K
= DC
Falsch wäre es, im Zähler die Temperatureinheit K gegen °C zu kürzen. Das darf nur bei Temperaturdifferenzen ΔT geschehen, weil z.B. ΔT = 45 °C = 45 K ist, unabhängig davon, ob Anfangs- und Endtemperatur eines Vorgangs auf der Kelvin-Skala oder auf der Celsius-Skala liegen. In unserem Fall bezeichnen aber ϑ1 und ϑ2 nicht Temperaturdifferenzen, sondern bestimmte Temperaturpunkte auf der Celsius-Skala, und hier gilt die Umrechnungsbeziehung T = ϑ + 273 K. Daher wäre es auch in Ordnung, wenn man ϑ1 und ϑ2 in Kelvin-Temperaturen einsetzt, also ϑ1 = 60 °C + 273 K = 333 K und ϑ2 = 288 K. Die Rechnung sieht dann folgendermaßen aus: 50 kg ⋅ 2512 kgJ K ⋅ 333 K + 20 kg ⋅ 4187 kgJ K ⋅ 288 K 50 kg ⋅ 2512 kgJ K + 20 kg ⋅ 4187 kgJ K 258. WK =
=
65941920 kgJ K K 209340 kgJ K
= 315 K = 42 DC
m2cw (ϑ 2 − ϑ m ) − m1cw (ϑ m − ϑ1 ) J = 36, 48 ϑ m − ϑ1 K
Beachte: Anders als in Lösung 257 wird hier mit Temperaturdifferenzen gearbeitet, nämlich (ϑ2 – ϑm) und (ϑm – ϑ1), die nach den Überlegungen zur Lösung 257 entweder in °C oder (vorzugsweise) in K angegeben werden. Entsprechend erhält das Ergebnis die Einheit J/°C oder J/K. Im Endergebnis sollte die Einheit K vorgezogen werden. 259.1) ck = 260.2) ϑ m =
1) 2)
D D J J (cw mw + WK )(ϑ m − ϑ w ) (4187 kg K ⋅ 100 g + 50 K )(40 C − 20 C) J = = 0,937 mk (ϑ k − ϑ m ) gK 200 g (90 DC − 40 DC)
m1c1ϑ1 + m2 c2 ϑ 2 ; c1 = c2 = c ; m1c1 + m2 c2
siehe Bemerkung in Lösung 268 siehe Bemerkung in Lösung 267
ϑ m = 66,8 °C
Lösungen 261. cAl =
347 (ms cs + mw cw )(ϑ m − ϑ w ) J = 896,87 mAl (ϑ Al − ϑ m ) kg K
262. ϑ12) =
ϑ m (m1c1 + m2c2 ) − m2c2ϑ 2
ϑ1 =
m1c1 35 °C (25 kg ⋅ 460 kgJ K + 50 dm3 ⋅ 0,8
kg dm3
25 kg ⋅ 460 kgJ K
263.1) ck =
c1m1 (ϑ m − ϑ1 ) J = 0, 4407 m2 (ϑ 2 − ϑ m ) gK
264.1) hv =
cw [mw1ǻT − mw2 (ϑ d − ϑ m )] J = 2203 mw2 g
265.2) ϑ m =
md hv + cw ( mdϑ d + mwϑ w ) + WK ϑ w cw (md + mw ) + WK
ϑm =
⋅ 1884 kgJ K ) − 40 kg ⋅ 1884 kgJ K ⋅ 20 DC
1 kg ⋅ 22,5 ⋅ 105
J kg
133,3 DC
+ 4187 kgJ K (1 kg ⋅ 100 DC + 10 kg ⋅ 20 DC) + 200 KJ ⋅ 20 DC 4187 kgJ K (1 kg + 10 kg) + 200 KJ
ϑ m = 75,88 ° C 266.1) Q = m (ceǻTe + hs + cw ǻTw + hv + cd ǻTd )
(
J + 4,187 ⋅ 103 J ⋅ 102 K + 22,5 ⋅ 105 J + Q = 1 kg 2050 kgJ K ⋅ 15 K + 3,35 ⋅ 105 kg kg K kg
)
+ 1867 kgJ K ⋅ 20 K = 3,0718 ⋅ 106 J 267.1)
c2 =
(c1m1 + WK )(ϑ m − ϑ1 ) m2 (ϑ 2 − ϑ m )
c2 =
(4,187 g JK ⋅ 200 g + 250 KJ ) ⋅ (23 − 20)K 100 g (100 − 23) K
= 0, 4237
J gK
268.2) Zwei Änderungen des Aggregatzustands werden in die Gleichgewichtsbetrachtung aufgenommen. Um 1 kg Eis von 0 °C in Wasser von 0 °C umzuwandeln, ist die Schmelzenthalpie hs, Eis = 3,35 · 105 J/kg erforderlich (siehe Versuch 12.7). Um 1 kg Wasser von 100 °C in Dampf von 100 °C umzuwandeln, ist die Verdampfungsenthalpie hv,Wasser = 22,5 · 105 J/kg aufzubringen (siehe Tabelle). Die gleiche Wärme wird als Kondensationsenthalpie bei der Umwandlung von Dampf in Wasser wieder frei. Es ergibt sich demnach folgende Gleichgewichtsbedingung für die Wärmemengen
me hs, Eis + me cw (ϑ m − ϑ e ) + mw cw (ϑ m − ϑ w ) = md cw (ϑ d − ϑ m ) + md hv,Wasser
aufgenommene Wärme
abgegebene Wärme
und daraus:
ϑm =
cw (mdϑ d + mwϑ w + meϑ e ) + md hv,Wasser − me hs,Eis cw (me + mw + md )
= 39,82 ° C
269. T = ϑ + 273,15 K = – 173,15 ºC + 273,15 K = 100 K
T = ϑ + 273,15 K = 293,15 K 1) 2)
siehe Bemerkung in Lösung 268 siehe Bemerkung in Lösung 267
Lösungen
348
Lösungen
5 N −3 3 pV 150 bar ⋅ 50 ⋅ 10−3 m3 150 ⋅ 10 m2 ⋅ 50 ⋅ 10 m 270. m = = = = 8,765 kg RT 287 kgJ K ⋅ 298,15 K 287 kgJ K ⋅ 298,15 K
(Beachte: Nm im Zähler kürzt sich gegen J im Nenner) 271. V =
20 kg ⋅ 260 kgJ K ⋅ 318,15 K mRT = = 0, 236 m3 5 N p 70 ⋅ 10 2 m
272. m =
pV = RT
120 ⋅ 105 N2 m 4158 kgJ K
⋅ 50 ⋅ 10−3 m3 ⋅ 303,15 K
= 0, 476 kg
5 N 3 Nm J pV 1,01325 ⋅ 10 m2 ⋅ 1 m = = 287 = 287 273. R = mT 1,293 kg ⋅ 273,15 K kg K kg K
274. r =
200 ⋅ 105 N2 p kg m = = 233,7 3 RT 287 kgJ K ⋅ 298,15 K m
275. In allen Rechnungen mit der allgemeinen Gasgleichung ist unter „ p“ der absolute Druck pabs zu verstehen. Angaben als Überdruck oder Unterdruck müssen daher zuerst in absoluten Druck pabs umgerechnet werden. Hier beträgt der absolute Druck
pabs = p1 = pamb + pe = 1 bar + 150 bar = 151 bar p2 = p1 ⋅
T2 T1
= 151 ⋅ 105
N m2
⋅
323,15 K 283,15 K
= 172,33 ⋅ 105
N m2
Der Überdruck pe (atmosphärische Druckdifferenz) in der Flasche beträgt demnach:
pe = 172,33 · 105 Pa – 1 · 105 Pa = 171,33 · 105 Pa = 171,33 bar 276. ǻV = V1 ⋅ 277. m = 278.
T2 − T1 298,15 K − 283,15 K = 103 m3 ⋅ = 52,98 m3 283,15 K T1
0,95 ⋅ 105 N2 ⋅ 60 m3 pV m = = 67,75 kg RT 287 kgJ K ⋅ 293,15 K
p1V1 pV = 2 2 T1 T2
V2 = V1 279. T2 = T1
p1 = 1,01 ⋅ 105
N m2
p2 = 0,94 ⋅ 105
N m2
; V1 = 500 m3;
T1 = 273,15 K
T2 = 308,15 K
p1T2 1,01 ⋅ 105 Pa ⋅ 308,15 K = 500 m3 = 606,07 m3 p2T1 0,94 ⋅ 105 Pa ⋅ 273,15 K p2 = 293,15 K ⋅ 2 = 586,3 K ; p1
Q = m cv ǻT ; m =
Q=
ǻϑ = ǻT = 586,3 K − 293,15 K = 293,15 K
p1V1 eingesetzt: RT1 6 ⋅ 105 p1V1 cv ǻT = RT1
N m2
⋅ 3 m3 ⋅ 1741 kgJ K ⋅ 293,15 K 518 kgJ K ⋅ 293,15 K
= 6,05 ⋅ 106 J
Lösungen
349
280. Z.B. für 0 ºC : RCO2 = cp − cv = (707 − 519) 281. W = Fǻs = p Aǻs = pǻV ;
W = p
ǻV
J J = 188 kg K kg K
V0 (T1 − T0 ) V0 ǻT = T0 T0
V0 ǻT m ǻT N 1 kg⋅ 1 K J = p = 1,01325 ⋅ 105 2 ⋅ = 287 kg T0 r T0 kg m 1, 293 3 ⋅ 273,15K m
(siehe auch Gaskonstante RLuft für Luft) 282. Die molare Masse M für O2 beträgt 32 kg/kmol. Damit wird
RO2 =
R 8315 J⋅ kmol J = ⋅ = 260 M O2 32 kmol ⋅ K ⋅ kg kg K −4
2
10 ⋅ 10 m 283. Φ1 = λ A (ϑ1 − ϑ 2 ) = 193 ⋅ 103 J ⋅ 0,3 m ⋅ 80 K = 51467 J = 14, 296 W s mhK h
20 ⋅ 106 J ⋅ 10 −2 m Qs 284. Q = λ A (ϑ1 − ϑ 2 ) t ; ǻT = = = 1,036 K s λ At 193 ⋅ 103 J ⋅ 1 m 2 ⋅ 1 h mhK 285. Q = λ A ǻT t = 84 ⋅ 106 J s 286. Für glatte, polierte Wand beträgt bei ruhender Luft (w = 0) α1 = 20 000
für w = 3 ms beträgt α 2 = 62 000
J m2 h K
Damit wird mit λ Fensterglas = 4200
J und s = 3,5 ⋅ 10−3 m mhK
k =
1 = 14934 2 J ; s + 1 + Ȉ m hK α1 λ α2
J ; m2 h K
Q = k A (ϑ1 − ϑ 2 ) t = 8,96 ⋅ 106 J
1
287. k =
1 = 7290 2 J ; Q = k A (ϑ1 − ϑ 2 ) t = 18, 224 ⋅ 106 J 1 + 1 + Ȉ m hK αi λ αa
288. P =
Q k A (ϑ1 − ϑ 2 ) t = = k A (ϑ1 − ϑ 2 ) = 8 370 2J ⋅ 40 m 2 ⋅ 30 K = 10,044 ⋅ 106 J t h t m hK
1
P = 2790 sJ = 2,79 kW
289. Da 20 % reflektiert werden, beträgt das Emissionsverhältnis ε = 0,8, also ist C = ε Cs = 0,8 ⋅ 20,8 ⋅ 10 −5
290. Qs = 20,8 ⋅ 10−5
J m2 h K 4
J m2 h K 4
= 16,64 ⋅ 10−5
⋅ 0,12 m 2 ⋅ (16734 − 3034 ) K 4 ⋅ 16 h = 32,554 ⋅ 106 J
1
291. C = 1 ( 15,2
+
1 15,2
−
J m2 h K 4
1 )⋅ 1 20,8 10−5
⋅
m2 h K 4 J
= 11,976 ⋅ 10 −5
J m 2 hK 4
Q12 = C12 = A1(T14 − T24 ) t = 4,67 ⋅ 106 J
Lösungen
350
Lösungen
14.6. Mechanische Schwingungen 301.
300.
× ×
×
sin ǻϕ =
302. y = r sin ǻϕ = r sin (2ʌ f t ); t=
y 100 mm = = 0,3333 ǻϕ = 19, 47° = 2ʌ f t r 300 mm
ǻϕ 19, 47° = = 21,6 ⋅ 10 −4 s 2ʌ f 360° ⋅ 1500 1 60 s
ω = 2 ʌ f = 2 ʌ 1500 1 = 157 1
303. vy = r ω cos (2ʌ f t );
60 s
s
1 180° · § 1500 1 vy = 300 mm ⋅ 157 ⋅ cos ¨ 2ʌ ⋅ ⋅ 21,6 ⋅ 10 −4 s ⋅ © s 60 s ʌ ¸¹ cos ǻϑ = cos (50 ⋅ 180° ⋅ 21,6 ⋅ 10 −4 ) = cos 19, 47° wie oben;
cos ǻϕ = 0,943
vy = 300 mm ⋅ 157 1 ⋅ 0,943 = 44,37 m s s
(
)
ay = − y ω 2 = − 0,1 m ⋅ 1,57 ⋅ 102 1 = − 0,1 m ⋅ 2,467 ⋅ 104 12 = −2467 m2 s s s
304.
×
×
305. ×
8s = 0, 4 s b) 308. a) T = ǻt = z 20
f =
×
306.
307. × × ×
×
1 z = = 2,5 1 = 2,5 Hz s Δt T
×
c) ω = 2ʌ f = 2ʌ ⋅ 2,5 1 = 5ʌ rad s s
(
×
)
309. y = A sin (2π f t) = 30 mm · sin 2π ⋅ 50 1 ⋅ 2 ⋅ 10 −2 s = 30 mm ⋅ sin (2π ) s y = 30 mm · sin 360º = 30 mm · 0 = 0 (Nulllage) vy = A ω cos (2π f t)
ω = 2ʌ f = 2ʌ ⋅ 50 1 = 100 ʌ 1 ; s
s
(
vy = 300 mm ⋅ 100 ʌ 1 cos 2ʌ ⋅ 50 1 ⋅ 2 ⋅ 10−2 s s s
vy = 300 mm ⋅ 100 ʌ 1 cos (2ʌ) = 9, 425 m ; s s
310. a) ω = 2ʌ f = 2ʌ 50 1 = 314 1 ; s s 311. z =
ǻϕ 15 rad = = 2,387 2ʌ 2ʌ
ay = − y ω 2 = − 0 ⋅ ω 2 = 0
b) ǻϕ = ω ⋅ ǻt = 314 1 ⋅ s = 314 rad s
)
Lösungen
351
312. y = A sin (2π f t ) D § · y = 1 m · sin (2 · π · 0,3 1 · 5 s) = 1 m · sin ¨ 2 ⋅ ʌ ⋅ 180 ⋅ 0,3 1 ⋅ 5 s¸ s ʌ s © ¹ y = 1 m · sin (540º) = 1 m · sin 180º = 1 m · 0 = 0 vy = A ω cos (2ʌ f t ) = A 2ʌ f cos 180D = 1 m ⋅ 2 ⋅ ʌ ⋅ 0,3 1 ( −1) s m vy = −1,885 s
ay = − y ω 2 = 0 ⋅ ω 2 = 0
313. Aus dem Bild der harmonischen Schwingung wird abgelesen: y2 = 2 y1 A sin ϕ 2 = 2 A sin ϕ1 ϕ 2 = ϕ1 = Δϕ sin (ϕ1 + Δϕ) = 2 sin ϕ1 (Additionstheorem , siehe Handbuch Maschinenbau S. A98)
sin ϕ1 cos ǻϕ + cos ϕ1 sin ǻϕ = 2 sin ϕ1 : sin ϕ1 1 sin ǻϕ = 2; tan ϕ = sin ǻϕ 1 tan ϕ1 2 − cos ǻϕ sin Δϕ und cos Δϕ sind gegebene Größen, denn es ist § 2,5 s 180 · sin Δϕ = sin 2ʌ ǻt = sin ¨ 2ʌ ⋅ = sin 45D = 0,707 = cos 45D 20 s ʌ ¸¹ T © Damit wird cos ǻϕ +
(
tan ϕ1 =
)
sin ǻϕ 0,707 = = 0,5468 ϕ1 = 28,7D 2 − cos ǻϕ 2 − 0,707
y1 = A sin ϕ1 = A sin 28,7º = 40 cm · 0,48 = 19,2 cm y2 = A sin (ϕ1 + Δϕ) = 40 cm · sin (28,7º + 45º) = 40 cm · sin 73,7º y2 = 40 cm · 0,96 = 38,4 cm = 2 y1
314. y = A sin Δϕ = A sin (2ʌ f ǻ t ⋅
180°
π
)
6 cm y = = 0,3 ǻϕ = 17, 46° A 20 cm 180° 2ʌ f ǻt ⋅ = 17, 46°
sin ǻϕ =
π
f =
315.
17, 46D 2 ⋅ 180D ⋅ 1,5 s
1 = 0,0323 ; s
T =
1 = 30,93 s f
× × × ×
316. a) Auftrieb Fa = Gewichtskraft FG = MG kg
700 3 r m = 210 mm a ǻ a r f = a r H; ǻa = a H = 300 mm⋅ kg rf 103 2
3
m3
Lösungen
352
Lösungen b) Die Rückstellkraft FR ist gleich der Gewichtskraft derjenigen Flüssigkeitsmenge, die der Würfel zusätzlich verdrängt, wenn er über die Gleichgewichtsfrage hinaus um das Maß y tiefer in das Wasser gedrückt wird: FR = ΔV rf g = a2 y rf g FR = a2 rf g · y
(FR ist proportional der Auslenkung y)
c) Die Rückstellkraft wird bestimmt aus 2
FR = m 4ʌ2 y ; T
m = a3r H ;
2 a 2rf g y = a3rH 4ʌ2 y ; T
2 rf g = a rH 4ʌ2 T
kg
1000 3 ⋅ 9,81 m2 rf ⋅ g 1 1 1 1 m s f = = ⋅ = ⋅ = 1,088 = 1,088 Hz kg rH ⋅ a 2π s T 2π 700 3 ⋅ 0,3 m m
d) hat keinen Einfluss (y kürzt sich heraus) 318.
317.
× × ×
× ×
319. T = 2ʌ
m 100 g 10−1 kg = 2ʌ = 2ʌ N kg m R 0,4 ⋅ cm 0,4 ⋅ 2 −2
s ⋅ 10 m
T = 0,314 s
8 kg ⋅ s 2 ⋅ m = 2ʌ ⋅ 10 −2 ⋅ 2,828 s = 0,1777 s 320. a) T = 2ʌ m = 2 ʌ R 104 kg ⋅ m 1 b) f = 1 = = 5,627 1 = 5,627 Hz; T 0,1777 s s
321. T = 2ʌ m ; R 322. a) R0 =
2 R = 4ʌ 2m ; T
c) v0 = A R = 7,072 m m s 2 4ʌ 2 ⋅ 103 kg ⋅ 10 −2 m = 98,7 N FR = 4ʌ 2m y = T 4 s2
FR = R y ;
m N FG m g 150 kg ⋅ 9,81 s2 = = = 9,81 ⋅ 104 ǻs ǻs m 15 ⋅ 10 −3 m
b) f 0 = 1 = 1 2π T
R0 = 1 2ʌ m
mg = 1 2ʌ mǻs
9,81 m
s2
15 ⋅ 10−3 m
= 4,07 Hz
323. Für hintereinander geschaltete Federn wird die resultierende Federrate R0 berechnet aus: 1 ⋅ cm 1 ⋅ cm 21 ⋅ cm 1 = 1 ; + 1 = 1 + 1 = + = R0 R2 + R2 R1 2 R2 R1 160 N 50 N 800 N
Für die Periodendauer T gilt damit : T = 2π Die Anzahl z der Perioden ist dann:
R0 =
N 800 N = 38,1 21 cm m
2 −2 m = 2π 10 kg ⋅ s 10 m = 0,322 s 3,81 ⋅ 10 kg m R0
60 s z = ǻt = = 186,34 0,322 s T
Lösungen
353
324. Es gelten die Gleichungen für die Schwingungsdauer T1 = 2 ʌ
m1 R01
T2 = 2 ʌ
m2 R02
Bei hintereinander geschalteten Federn gilt für die resultierende Federrate R01: 2R 2 2 RR R01 = 1 2 = 1 = R1 R1 + R2 3R1 3 Für parallel geschaltete Federn ist R02 = R1 + R2 = 3 R1
Setzt man T1 = T2 = T und dividiert beide Gleichungen durcheinander, ergibt sich: T2 T2
4ʌ 2 ⋅ m 1 ⋅ 3R 1 9 m 1 = ⋅ ; 2 4ʌ 2 ⋅ R 1⋅ m2 2 m2 3
=
m1 : m2 = 2:9
325.
326. ×
×
× [[
l g
327. Aus T = 2 ʌ
g ⋅T 2 m 4s 2 = 9 , 81 ⋅ = 0 ,994 m ≈ 1 m 4ʌ 2 s 2 4ʌ 2
wird l =
328. Es stehen zwei Gleichungen zur Verfügung: l T12 = 4ʌ 1 ; g
I.
T22 = 4ʌ 2
II.
T2 =
329. Tges =
T12 g
4ʌ 2
· l1 − ǻl 4ʌ § T12 g = ¨ 2 − ǻl ¸ g g © 4ʌ ¹
T12 −
2
4ʌ 2ǻl = g
1,62 s 2 −
4 ⋅ ʌ 2 ⋅ 0,5 m = 0,74 s m 9,81 2 s
T T1 + 2 2
Tges = ʌ
z=
l1 =
§ l l l − l1 +ʌ = ʌ¨ + g g © g
l − l1 · = 1,1583 s g ¸¹
t 60 s = = 51,8 Tges 1,1583 s
330. a) T = 2ʌ
c) sinα max v0 =
l 6m 1 = 2ʌ = 4,913 s b) f = = 0 ,204 Hz m g T 9,81 2 s A 2m = = = 0,3333 ; αmax = 19,47º ; cosαmax = 0,9426 l 6m
2 g l (1 − cosα max ) = 2,6
m s
Lösungen
354
Lösungen d) Es gilt mit y = ymax = A
und ω = 2ʌ = 2ʌ = 1, 279 1 T 4,913 s s
amax = A ω 2 = 2 m ⋅ 1, 2792 ⋅
e) y1 = A ⋅ sin
1 s2
= 3, 271 m2 s
2ʌ t1 ⋅ 180° 2 ⋅ 2 s ⋅ 180° = 2 m ⋅ sin = 2 m ⋅ sin 146,55° = 1,09 m T ⋅ʌ 4,913 s
In gleicher Weise wird y2 = 0,908 m berechnet. 331. Es gilt T1 = 2ʌ l1 / g und T2 = 2ʌ l2 / g ; also auch T1 = T2
4 = 0,8944 = v2 . Mit z , z als Anzahl der Perioden und Δt = 60 s wird: 1 2 v1 5
f1 =
z1 z z − 10 ; f1 = 1 = 1 ; ǻt ǻt ǻt
f2 z − 10 = 1 = 0,8944; daraus f1 z1
z1 =
10 = 94,7 Perioden, 0,1056
z2 = z1 − 10 = 84,7 Perioden.
f1 =
z1 94,7 = = 1,578 Hz ; ǻt 60 s
f2 =
z2 84,7 = = 1, 412 Hz ǻt 60 s
R 2 A = mF ⋅ cStahl ǻT 2 Beachte: R ist die Federrate, cStahl = 460 J/ kg K ist die spezifische Wärmekapazität!
332. Ep =
ǻT =
N ⋅ 10 −2 m 34,5 m R A2 = = 0, 25 ⋅ 10−2 K 2 mF cStahl 2 ⋅ 0,15 kg ⋅ 460 kgJ K
Die Periodendauer hat also keinen Einfluss! 333. Für die Eigenfrequenz eines Federpendels gilt: f0 =
1 1 = T 2ʌ
R0 ; m
m Masse des Schwingers; R0 resultierende Federrate (s. Aufgabe 322)
Für Biegeträger ist R=
F 48 ⋅ E ⋅ I = f l3
E = 2,1 · 107 N/cm2 I = Iy = 43,2 cm4
(Elastizitätsmodul)
(Flächenmoment 2. Grades des Profils)
Für zwei parallel geschaltete Federn wird die resultierende Federrate: 48 ⋅ E ⋅ I
N = 10 866 cm l3 Damit wird die Eigenfrequenz f0: R0 = 2 R = 2 ⋅
f0 =
1 ⋅ 2π
10 886 ⋅102 mN 1 = ⋅ 400 kg 2π
1 2721,5 s −2 = 8,303 ; s
nkrit = 60 f 0 = 498, 2
U min
334. Für Torsionsschwingungen gilt: T = 2ʌ J ; J Trägheitsmoment; R = R0 resultierende Federrate R 0,81 ⋅ 107 N2 ⋅ 625 cm4 G ⋅ d14 4 2 cm 1 = = 2,531 ⋅ 107 Ncm J = 2 r ʌ r b = 2,89 kg m ; R1 = 10 ⋅ 20 cm 10 l1 Ebenso berechnet wird R2 = 10,5 · 107 Ncm und R3 = 3,456 · 107 Ncm.
Lösungen
355
Für hintereinander geschaltete Federn gilt: 1 1 1 1 1 1 · § 1 −7 1 ; R = 1, 283 ⋅ 107 Ncm = 1, 283 ⋅ 105 Nm = + + =¨ + + 0 ¸ ⋅ 10 Ncm R0 R1 R2 R3 © 2,531 10,5 3, 456 ¹ Damit wird die Eigenperiodendauer T0: J 2,89 kg m 2 t 60s = 2ʌ = 0,0298 s ; z = = = 2013 R0 T 0,0298s 1, 283 ⋅ 105 Nm Die Eigenfrequenz f0 dieses Schwingungssystems beträgt: 1 1 1 f0 = = = 33,56 = 33,56Hz s T0 0,0298s Die kritische Drehzahl nkr entspricht der Anzahl z der Eigenperioden in der Minute: nkr = 60 · f0 = (60 · 33,56) min–1 = 2013 min–1 T0 = 2 π
14.7. Mechanische Wellen und 14.8. Akustik m 3 ⋅ 108 c s = 6m 340. λ = = 1 f 6 50 ⋅ 10 s m 100 c s = 1000 m 341. a) λ = = f 0,1 ⋅ s-1
b) Δt =
ǻx § Wegabschnitt · 400 m =4s = = ¨ c © Geschwindigkeit ¸¹ 100 m s
ª § 60 s 400 m · º 1 1 ª § t ǻx · º c) y = A sin « 2ʌ ¨ 0 − ¸ » ; T = = = 10 s; y = A sin « 2ʌ ¨ − ¸ » = A sin (2ʌ ⋅ 5,6) −1 T f λ 0,1 s © ¹ ¬ ¼ ¬ © 10 s 1000 m ¹ ¼ y = A sin [2π (5 + 0,6)] = A sin [360° · 5 + 360° · 0,6] y = A sin 216° = A (– sin 36°) = – 20 cm · 0,588 = – 11,76 cm (nach unten). Beachte die Rechnung sin (2π · 5,6) = sin [2π (5 + 0,6)]! ª §t ǻx · º 342. y = A sin « 2ʌ ¨ 0 − ¸ » ¬ © T λ ¹¼
Da das Anfangsteilchen gerade eine volle Schwingung ausgeführt hat, ist t0 = 0; also auch ª ª § ǻx · º 180° § 30 cm · º y = A sin « 2ʌ ¨ ¸ » = 20 mm ⋅ sin « 2ʌ ⋅ ⋅¨ − ¸» ʌ © 50 cm ¹ ¼ ¬ © λ ¹¼ ¬ ª § 3 ·º y = 20 mm · sin «360°⋅ ¨ − ¸ » = 20 mm ⋅ sin (−216°) 5 ¹¼ © ¬ y = 20 mm · sin 36° = 11,76 cm
343. vy = A ω cos (ω t); ω t = 2π f t = 2π vy = A 2π
c ǻx ǻx c ; ω = 2π f = 2π ⋅ = 2ʌ
λ c
λ
λ
m 5 s
§ 360° 30 cm · c § ǻx · ⋅ cos ¨ 2ʌ ⋅ cos ¨ 2ʌ ¸ = 0,02 m ⋅ 2ʌ ⋅ © 0,5 m 2ʌ 50 cm ¸¹ λ λ¹ ©
vy = 1,257
m 3· m m § ⋅ cos ¨ 360° ⋅ ¸ = 1, 257 ⋅ cos 216° = −1,017 © s 5¹ s s 2
m § c· ay = – yω 2 = – (11,76 · 10–3 m) · ¨ 2ʌ ¸ = − 46, 43 2 © λ¹ s Lösungen
356
Lösungen ª «
§1
·º »
¬«
©
¹ ¼»
344. y = A sin «ª 2ʌ §¨ t − x0 ·¸ »º = A sin « 2ʌ ¨ 4 − zλ ¸ » ¨ ¸ ¬ ©T λ ¹¼ « ¨T λ ¸»
ª §1 ·º §ʌ · 0,2 A = A sin « 2ʌ ¨ − z ¸ » = A sin ¨ − 2ʌ z ¸ = A sin (90° − 360° z ) ¹¼ ©2 ¹ ¬ ©4 sin (90° – 360° z) = 0,2 = sin 11,54° 90° – 360° z = 11,54° 90° − 11,54° z = = 0, 2179 360° x0 = 0,2179 λ ª § x·º ª § x + ǻx · º 345. y1 = A sin « 2ʌ ¨ f t − ¸ » ; y2 = A sin « 2ʌ ¨ f t − ¸ © ¹ © λ λ ¹ »¼ ¬ ¼ ¬ x·º ª § x + ǻx · º ½ ª § yres = y1 + y2 = A ® sin « 2π ¨ f t − ¸ » + sin « 2π ¨ f t − © ¹ © λ λ ¸¹ »¼ ¾ ¬ ¬
¼
¿ ¯ α
β
α +β α −β Mit sin α + sin β = 2 sin cos (Formelsammlung) wird 2 2 x ǻx · x x ǻx · § § 2ʌ ¨ f t − + f t − ¸ 2ʌ ¨ f t − − f t + + ¸ © © λ λ¹ λ λ λ¹ yres = 2 A sin ⋅ cos 2 2 ª § 2 x ǻx · º ª § x · ʌ ǻx º § ǻx · § ǻx · cos ʌ ; yres = 2 A cos ¨ ʌ ¸ sin « 2ʌ ¨ f t − ¸ − yres = 2 A sin « ʌ ¨ 2 f t − − © λ¹ λ λ ¸¹ »¼ ¨© λ ¸¹ λ¹ λ »¼ ¬ © ¬ © Sonderfälle: Für Δx = n λ (n = ganze Zahl) ist cos (π n λ /λ = cos n π) = ± 1, d.h. ª § x · ʌ nλ º ª § x· º yres = 2 A sin « 2ʌ ¨ f t − ¸ − = 2 A sin « 2ʌ ¨ f t − ¸ − ʌ n » λ¹ λ »¼ λ¹ ¬ © ¬ © ¼
also ist die resultierende Auslenkung gleich der Summe der Auslenkungen der einzelnen Wellen. 1 § ǻx · § 2n − 1 λ · ªʌ º Für Δx = (2n – 1) λ wird cos ¨ ʌ ¸ = cos ¨ ʌ ⋅ ¸ = cos « (2n − 1) » = 0, d.h., die Wellen sind © ¹ © ¹ λ 2 λ 2 ¬2 ¼ gegenphasig und ihre Auslenkungen heben sich auf, es ist yres = 0 (Auslöschung): ª § º x· 346. Die Auswertung der obigen Gleichung yres = 2 A sin « 2ʌ ¨ f t − ¸ = − ʌ n » mit n = 3 ergibt © ¹ λ ¬ ¼ yres = – 5,95 cm (Auslenkung nach unten) m m 347. v0 = 2 g l (1 − cos α ) = 2 ⋅ 9,81 2 ⋅ 2m (1 − 0,9397) = 1,538 s s Beim Annähern wird: m 340 cLuft s f1 = f0 = 1700 Hz ⋅ = 1707,7 Hz m m cLuft − v0 340 − 1,538 s s Beim Entfernen wird: m 340 cLuft s = 1700 Hz ⋅ = 1692,3 Hz f1 = f0 m m cLuft + v0 340 + 1,538 s s
Lösungen
357
348. Beim Annähern: c+v = 1000 Hz f1 = f0 c
m m + 20 s s = 1058,8 Hz m 340 s
340
Beim Entfernen: c−v m f1 = f0 = 941,17 c s 349. fSchweb = f1 – f2; f2 = f1 – fSchweb = 440 Hz – 3 Hz = 437 Hz 350. Nach 7.12 zu den Zeiten t = n T/2 mit n = 0, 1, 2, 3, ... 351. Nach 7.12 in den Abständen x = (2n + 1) λ /4 mit n = 0, 1, 2, 3, ... 352. c =
F F m rV rAl = = ; m* = = = r A; A = 0,785 · 10–6 m2 m* l l l rA
20 c=
kg 7,85 ⋅ 103 3 m
kg m s2
⋅ 0,785 ⋅ 10−6
m2
= 56,97
m s
kg m
353. f =
10 2 1 1 c F s = ⋅ = ⋅ = 44,6 Hz 2 l 2 l rA 2 ⋅ 0, 4 m 7,85 ⋅ 103 kg ⋅ 10 −6 m 2 3 m
14.9. Optik
360. a) E1 =
I 100 cd = = 25 lx l12 (2 m) 2
b) E2 =
I 100 cd = = 17,36 lx l22 (2, 4 m) 2
25 lx − 17,36 lx ⋅ 100 % = 30,56 % 25 lx 361. Die Lichtstärken verhalten sich wie die Quadrate der Abstände: l2 l2 (1,94 m)2 I1 cos α I 2 cos α I E1 = E2 = 1 = 12 ; I 2 = I1 22 = 36 cd ⋅ = 234,57 cd 2 2 I 2 l2 l1 l2 l1 (0,76 m)2 c) p =
362. Während die Frequenz des Lichts stets konstant bleibt, ändert sich die Wellenlänge entsprechend der Lichtgeschwindigkeit, die in verschiedenen Stoffen verschieden groß ist (c = λ f ). Da sich die Lichtgeschwindigkeit in zwei Stoffen umgekehrt wie ihre Brechzahlen verhalten, ergibt sich n 1 λ2 = λ1 1 = 558 nm = 372 nm n2 1,5 363. Die Dicke d der Luftschicht an der Stelle des dritten hellen Interferenzringes ist mit n = 1 als Brechzahl der eingeschlossenen Luft: 2k + 1 2⋅3+1 d=λ = 589 ⋅ 10−6 mm ⋅ = 1031 ⋅ 10−6 mm. 4n 4 Die Dicke d ist die Pfeilhöhe des Kreisbogens von d1 = 20 mm Durchmesser. Aus der Geometrie gilt für den Kugelradius r angenähert: r≈
d12 2d
=
(20 mm)2 = 0,194 ⋅ 106 mm = 194 m 2 ⋅ 1031 ⋅ 10−6 mm
Lösungen
358
Lösungen
364. sin ε2 = sin ε1
n1 1 = 0,707 ⋅ = 0, 442 ε 2 = 26°14' n2 1,6
365. Die Skizze zeigt zwei Dreiecke, die zum Ablenkungswinkel δ führen. Im oberen Dreieck ist δ = 2 (ε1 + ε2), im unteren ist α = ε1 + ε2. Setzt man in die erste Gleichung für ε1 + ε2 = α aus der zweiten Gleichung ein, ergibt sich δ = 2α, d.h. die Ablenkung δ des Lichts ist bei zweifacher Spiegelung konstant und vom Einfallswinkel ε1 unabhängig. 366. sin ε2 = sin ε1
n1 1,74 = 0,766 ⋅ = 0,8886 ε 2 = 62°42' n2 1,5
Beachte: Es ist ε2 > ε1. Wenn ein Lichtstrahl in ein höher brechendes Mittel eindringt (größeres n), wird er zum Lot hin gebrochen. Tritt er in ein weniger stark brechendes Mittel ein (kleineres n), wird er vom Lot weg gebrochen und der Winkel ε2 wird größer. § · § · cos ε1 0,707 367. Δs = d sin ε1 ¨1 − ¸ = 8,83 mm ¸ = 25 mm ⋅ 0,707 ¨ 1 − ¨© ¨© n 2 − sin 2 ε1 ¸¹ 1,582 − 0,707 2 ¸¹ Oder auch aus: sin(ε1 − ε 2 ) sin(45° − 26,6°) = 25 mm ⋅ = 8,83 mm, wobei Δs = d cos ε 2 cos 26,6°
sin ε2 = sin ε1
1 = 0, 4475 ε 2 = 26,6° 1,58
368. sin εG = sin εW
nW nG
nG 1 nW nG sin ε1 = sin εW ⋅ = sin ε1 nW nG 1
sin ε1 = sin εW
sin ε1 = 0,5 · 1,333 = 0,666 5 ε1 = 41,8° 369. Aus der Skizze wird abgelesen: εp + 90° + ε2 = 180° ε2 = 90° – εp Mit dem Brechungsgesetz und sin ε2 = sin (90° – εp) = cos εp sowie mit sin εp / cos εp = tan εp ergibt sich: sin εp = n · sin ε2 = n sin (90° – εp) = n cos εp sin ε p = tan ε p = n = 3 = 1,732 ε p = 60° cos ε p 370. Mit Brechzahl n1 = 1,33 des Wassers und n2 = 1 der Luft wird n 1 b=a 2 = 4m⋅ = 3 m. n1 1,33 Das ist auch der Grund, weshalb ein schräg in das Wasser gesteckter Stab geknickt erscheint. Seine unter Wasser liegenden Teile scheinen um 1/4 näher heranzuliegen.
Lösungen
359
371. Der Grenzwinkel der Totalreflektion gegen Luft wird aus sin εr = 1/n berechnet: 1 = 0,670 εr = 42,09°; ebenso ergibt sich a) sin εr = 1, 492 b) 41,14° c) 37,84° d) 48,75° e) 24,41° Alles Licht, das aus dem optisch dichteren Mittel kommend (Mittel mit größerer Brechzahl) unter größerem Winkel als εr auftrifft, kann nicht in das optisch dünnerer Mittel eintreten; das Licht wird total reflektiert und unterliegt dem Spiegelungsgesetz. 372. sin εr =
nLuft 1 = = 0,7519 ε r = 48,75°. nWasser 1,33
373. a) Das Brechungsgesetz lautet sin ε1/sin ε2 = n2 / n1. In diesem Fall ist n2 die Brechzahl der Luft, also n2 = 1, sodass die Brechzahl n1 des Wassers wird: sin ε 2 sin 62° = = 1,333 n1 = sin ε1 sin 41,5° b) Der Grenzwinkel der Totalreflektion wird aus sin εr = n2/n1 bestimmt. Hier ist n1 = 1,333 die Brechzahl des Wassers und n2 = 1,0 die der Luft, sodass sich ergibt: 1 = 0,75 ε r = 48,61° . sin εr = 1,333 Alles Licht, das aus Wasser kommend und in Luft übergehend unter einem größeren Winkel ε auftrifft, wird reflektiert. 374. Wir rechnen vom Grenzwinkel der Totalreflexion aus rückwärts: n 1 sin εr = L = = 0,5714 ε r = 34,85°. np 1,75 Mit εr und dem Prismenwinkel α zeigt die Skizze in der Aufgabenstellung ε2 = α – εr = 60° – 34,85° = 25,15°. Aus dem Brechungsgesetz wird dann: np 1,75 ⋅ sin 25,15° = 1,75 ⋅ 0, 425 = 0,7437; ε1 = 48,12° sinε1 = sin ε 2 = 1 nL 375. Die Seitenlänge des Quadrats wird von y1 = 3 cm auf y2 = 9 cm vergrößert. Damit ergibt sich die Vergrößerung y 9 cm β= 2 = =3 y1 3 cm Nun ist aber auch β = b/a, d.h. die Seitenlängen der Quadrate verhalten sich wie die Bildweite zur Gegenstandsweite. Nach der allgemeinen Abbildungsgleichung ist 1 β 3 , sodass sich ergibt: f = l f = = 32 cm⋅ = 6 cm. 2 1 1 ( 1) (3 1) 2 + + β + a b 376. Man löst die in Aufgabe 375 gefundene Beziehung nach der Entfernung l auf und erhält: (β + 1)2 (50 + 1) 2 = 10,5 cm⋅ = 546, 21 cm l=f β 50 377. a =
bf 50 cm ⋅ 10 cm = = 12,5 cm; b− f (50 − 10) cm
b) β =
b 50 cm = =4 a 12,5 cm
Lösungen
360
Lösungen
378. l = f 379. b =
(β + 1) 2
β
= 1m
(5 + 1) 2 = 7, 2 m 5
af = 164,1 mm a− f
380. f =
1 = 51,3 mm §1 1· (n − 1) ¨ + ¸ © r1 r2 ¹
af 2600 mm ⋅ 100 mm = = 104 mm a− f 2600 mm − 100 mm b) Der Abbildungsmaßstab b ist der Quotient aus Bildweite b und Objektabstand a: b 104 mm β= = = 0,04 a 2600 mm Das Objekt wird in 0,04-facher Größe abgebildet; daraus ergibt sich: y2 = y1 · 0,04 = 1500 mm · 0,04 = 60 mm
381. a) b =
382. Die Glaskugel ist eine dicke Linse. Ihre Brennweite kann aus 1 f = bestimmt werden. § 1 1 · (n − 1) 2 d (n − 1) ¨ + ¸ − ⋅ n r1 r2 © r1 r2 ¹ Man setzt r1 = r2 = r und die Dicke der Linse d = 2 r ein und erhält: 2 cm 1,52 r n fk = ⋅ = ⋅ = 2,92 cm 2 n −1 2 1,52 − 1 383. Gegenstandsweite b f 60 cm ⋅ 50 cm = = 300 cm a1 = 1 b1 − f (60 − 50) cm neue Gegenstandsweite a2 = a1 – Δa = (300 – 100) cm = 200 cm neue Bildweite a f 200 cm ⋅ 50 cm = = 66,7 cm b2 = 2 a2 − f (200 − 50) cm Die Bildgrößen verhalten sich wie die Abbildungsmaßstäbe: β 2 b2 a1 66,7 cm 300 cm 5 = ⋅ = ⋅ = β1 a2 b1 200 cm 60 cm 3
14.10. Elektrizitätslehre
384. Q = 1e 1 = 385. a) F =
Q 3600 As = = 2, 25 ⋅ 1022 (Elektronen) e 1,6.10−19 C
1 QQ (10−8 )2 ⋅ C 2 ⋅ N ⋅ m 2 = = 9,0 ⋅ 10−5 N 2 4ʌ ε 0 r 4ʌ ⋅ 8,85 ⋅ 10−12 C 2 ⋅ 0,01 ⋅ m 2
b) Q = 1e 1 =
Q 10−8 C = = 6, 26 ⋅ 1010 (Elektronen) e 1,6 ⋅ 1019 C
Lösungen
386. Für den Strom gilt I =
361 ǻQ . Die Ladung ΔQ wird durch 1 Elektronen mit der Elementarladung e ǻt
transportiert: ΔQ = Δ1e. Damit erhält man
ǻ1 I 1,5 ⋅ 10 −3 A 1 = = = 0,937 ⋅ 10 −16 (Elektronen − 19 e 1,6 ⋅ 10 As ǻt s
pro Sekunde.) 387. Q = I t = 2 A · 5 400 s = 10 800 C 388. W = U Q = 12 V · 20 · 3600 As = 8,64 · 105 J = 0,24 kWh U 1,5 V 1 = 15 ȍ G = = 0,0666 S 389. R = = I R 0,1 A rl 1,7 ⋅10 −6 Ω cm⋅ 2 ⋅1,5 m = = 51 m Ω (Der Faktor 2 berücksichtigt, dass das Kabel zweiadrig ist). A 1 mm 2 391. Für die Energie gilt W = P t = I U t = 8 · 230 · 2 AVh = 3680 Wh = 3,68 kWh. Der Preis beträgt 3,68 · 0,15 € = 0,552 €. P (230 V) 2 U2 . Daraus folgt: 230 = = 1,093. Die Leistung erhöhte sich 392. Für die Leistung gilt: P = P220 (220 V) 2 R um 9,3 %. P 100 W U2 U 2 2302 V 2 = 0, 434 A 393. a) P = R= = = 529 Ω b) P = U I I = = R P 100 W U 230 V
390. R =
394. Der Gesamtwiderstand beträgt R = R1 + R2 = 50 kΩ. Das Verhältnis der Widerstände ist durch die SpanR 3,6 3,6 nungen gegeben: 2 = . Daraus folgt R2 = 50 kW = 15 kΩ und R1 = 50 kΩ – 15 kΩ= 35 kΩ. R 12 12 1 § 1 1 1 ·1 395. a) =¨ + + ¸ R = 16, 22 Ω b) R = (40 + 50 + 60) Ω = 150 Ω R © 40 50 60 ¹ Ω § 1 § R ⋅R · 1 · 396. R1 + R2 = 5 ¨ + = 5¨ 1 2 ¸ . ¸ © R1 R2 ¹ © R1 + R2 ¹
Man teilt die rechte und linke Seite durch R2:
Daraus folgt die quadratische Gleichung Man erhält 2 Lösungen:
R1 R2
R1 R1 5 +1 = 5 = . R2 R1 + R2 1 + R2 R1 2
§R · R : ¨ 1 ¸ − 3 1 + 1 = 0. R R © 2¹ 2
R1 = 1,5 ± 1, 25 . R2
RL IA 1000 = = 0,87. Das Verhältnis des gemessenen zum wahren Strom beRL + RM I 0 1000 + 150 trägt also 0,87. Dies ist eine Abweichung vom wahren Wert von – 13 %. Der wahre Strom ist also nicht 0,8 A, sondern 0,8 A/0,87 = 0,92 A. 398. Der Messbereich muss um den Faktor 1000 erweitert werden. Dazu muss ein Vorwiderstand von RV = 10 GΩ eingesetzt werden. Die Widerstände RV und RM bilden einen Spannungsteiler. (Derartig hohe Widerstände sind schon als Isolatoren anzusehen und durch Schmutzfilme höherer Leitfähigkeit nicht beständig. Daher wird ein separater Spannungsteiler 1000 : 1 aufgebaut, z.B. durch zwei Widerstände mit 99,9 kΩ und 0,1 kΩ.) 399. Es gilt: UK = U0 – I Ri. Damit erhält man mit 10 A: UK = 5,9 V und für 100 A: UK = 5,0 V.
397. IA = I0
Lösungen
362
Lösungen
400. a) Es gelten: UK1 = U0
RL1 RL2 und UK2 = U0 . Nach U0 Auflösen und Gleichsetzen ergibt RL1 + Ri RL2 + Ri
U L1RL1RL2 − U K1RL1RL2 = 0, 41 Ω U K1RL2 − U K2 RL1 U 2V V 401. E = = = 0, 4 l 5m m
Ri =
402. a) E =
U 100 V V = = 105 l 0,01 m m
b) U0 = UK1
b) F = EQ = Ee = 105
RL1 + Ri = 4,52 V. RL1
V · 1,6 · 10–19 As = 1,6 · 10–14 N m
F 1,6 ⋅10−14 N m m = = 1,76 ⋅1016 2 d) Die Normfallbeschleunigung beträgt 9,81665 2 m 9,11⋅10−31 kg s s Sie ist also um über 15 Zehnerpotenzen kleiner als die elektrische Beschleunigung. Damit ist sie bei Elektronen praktisch vernachlässigbar. c) F = ma a =
403. Q = C U = 2 · 10–6 F · 230 V = 0,48 · 10–3 As 404. C =
C1 + C2 = 0,75 μF C1C2
405. C =
C1 + C2 + C3 = 5 μF C1C2
406. W =
CU 2 U = 2
407. C = ε0εr
2W 2 Ws = = 1414, 2 V C 10−6 F
A As 0,01 m 2 = 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ 10 ⋅ = 2,95 nF l Vm 0,3 ⋅ 10−3 m
1 H 40 1 1 = = = 800 Die Spule hat 800 Windungen pro Meter l I 0,05 m m Vs b) B = μ0H = 4 π · 10–7 · 40 2 = 50 μT m
408. a) H =
409. B =
Φ A
1 I l
=
2 ⋅ 10−6 Vs Vs = 6,37 ⋅ 10−3 2 3,14 ⋅ 10−4 m2 m
H =
B
μ0
=
6,37 ⋅ 10−3 Vs Am A = 5069 m 4ʌ ⋅ 10−7 m 2 Vs
H l 5069 ⋅ 0,12 A = 1,35 A I = = 1 450 Vs A Vs 410. B = μ0 μr H = 4π · 10–7 · 600 · 3000 = 2, 26 2 = 2, 26 T Am m m 411. F = I · l · B = 10 A · 0,04 m · 0,5 T = 0,2 N 1 H= I l
412. Es gilt das Induktionsgesetz für die induzierte Spannung: U = – 1
ΔΦ 0,05 Vs = −75 = − 1, 25 V Δt 3s
413. Die Berechnungsformel für die Selbstinduktivität lautet: 12 106 Vs 1 L= A μ r μ0 = 4ʌ ⋅ 10 −7 ⋅ 8 ⋅ 10 −4 ⋅ m 2 ⋅ = 1, 44 ⋅ 10 −2 H l 0,07 Am m 414. Die Gleichung für die Wechselspannung lautet: u = û sin ω t = û sin 2π f t mit f = 50 Hz und û = Ueff 2 = 230 · 2 V = 325,27 V Daraus folgt für die Wechselspannung u in Abhängigkeit von der Zeit t:
Lösungen
363
1 · § u = 325,27 · V · sin ¨ 314 ⋅ ⋅ t ¸ s ¹ © 415. Die mittlere Leistung beträgt P = Ieff Ueff = 100 W. Die maximale Leistung in einer Periode beträgt Pmax = î û = 2 · Ieff 416. a)
2 · Ueff = 2 · P = 200 W.
12 U 2 U 12 1 2 = 2 11 = 1000 ≈ 52 Windungen = 11 U1 U1 230
I1U1 0,1 ⋅ 230 = A = 1,92 A U2 12 c) Die Leistungen sind gleich.
b) I2U2 = I1U1 I2 =
417. Die Impedanz (Wechselstromwiderstand) beträgt: XL = Daraus folgt: I =
418. XC =
U
ωL
=
U = ω L. I
U 230 V = = 1,05 A. 2ʌ f L 2ʌ ⋅ 50 ⋅ 1 ⋅ 0,7 H s
1 1 1 1 = 50 Ω C = = = = 63,7 μF. ωC ω X C 2ʌ f X C 2ʌ ⋅ 50 ⋅ 1 ⋅ 50 Ω s
419. XL = ωL = 2π · 50
1 ⋅ 2,4 ⋅ 10−3 H = 0,75 Ω Z = 2
R 2 + X L2 = (2 Ω)2 + (0,75 Ω)2 = 2,14 Ω
420. P = U I cos ϕ mit U = 230 V und cos ϕ = 0,75. Daraus folgt: I =
P 5200 W = = 30,1 A. U cos ϕ 230 V ⋅ 0,75
421. a) Wirkleistung: P = U I cos ϕ = 4600 W, Blindleistung: Q = U I sin ϕ = U I 1 − cos 2 ϕ = 3450 VA. Scheinleistung: P = U I = 5750 VA IWirk = I cos ϕ = 25 A · 0,8 = 20 A, a) Wirkstrom: Blindstrom:
422. f =
1 2ʌ
C=
IBlind = I sin ϕ = I 1 − cos 2 ϕ = 25 A · 0,6 = 15 A
1 1 LC = . Man wählt beispielsweise eine Spule von L = 1 mH. Damit erhält man LC 4ʌ 2 f 2
1 1 = = 2,53 ⋅ 10 −11 F = 25,3 pF. 4ʌ 2 f 2 L 4ʌ 21012 Hz 2 10 −3 H
Lösungen
364
15. Formelsammlung
15.1. Beschleunigte geradlinige Bewegung Die Gleichungen gelten auch für den freien Fall: Für Beschleunigung a wird die Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2 eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung beträgt gn = 9,80665 m/s2. Im Lösungsteil des Buches (Abschnitt 13) wurde mit g = 9,81 m/s2 gerechnet. Die Gleichungen dieser Tafel gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden v-t-Diagramme.
Einheiten Δs
Δt
m
s
v0, vt m s
a, g m s2
Beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit (v0 = 0)
Beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit (v0 ≠ 0)
Beschleunigung a (Definition)
a=
Geschwindigkeitszunahme ǻv m in 2 Zeitabschnitt ǻt s
Beschleunigung a (bei v0 = 0)
a=
vt v2 2ǻs = t = 2 ǻt 2ǻs ǻt
Beschleunigung a (bei v0 ≠ 0)
a=
vt − v0 vt2 − v02 = ǻt 2ǻs
Endgeschwindigkeit vt (bei v0 = 0)
vt = a ǻt =
Endgeschwindigkeit vt (bei v0 ≠ 0)
2a ǻs
vt = v0 + ǻv = v0 + a ǻt vt =
v02 + 2a ǻs
Wegabschnitt Δs (bei v0 = 0)
ǻs =
Wegabschnitt Δs (bei v0 ≠ 0)
ǻs =
Zeitabschnitt Δt (bei v0 = 0)
ǻt =
vt = a
Zeitabschnitt Δt (bei v0 ≠ 0)
ǻt =
vt - v0 v 2ǻs Êv ˆ = - 0 ± Á 0˜ + Ë a¯ a a a
vt ǻt aǻt 2 vt2 = = 2 2 2a
v0 + vt aǻt 2 ǻt = v0 ǻt + 2 2 vt2 − v02 ǻs = 2a
2ǻs a 2
Formelsammlung
Formelsammlung
365
15.2. Verzögerte geradlinige Bewegung Die Gleichungen gelten auch für den senkrechten Wurf: Für Verzögerung a wird die Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2 eingesetzt. Die Normfallbeschleunigung beträgt gn = 9,80665 m/s2. Im Lösungsteil des Buches (Abschnitt 13) wurde mit g = 9,81 m/s2 gerechnet. Die Gleichungen dieser Tafel gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nebenstehenden v-t-Diagramme.
Einheiten Δs
Δt
m
s
v 0, v t m s
a, g m s2
Verzögerte Bewegung ohne Endgeschwindigkeit (vt = 0)
Verzögerte Bewegung mit Endgeschwindigkeit (vt ≠ 0)
Verzögerung a (Definition)
a=
Geschwindigkeitsabnahme ǻv m in 2 Zeitabschnitt ǻt s
Verzögerung a (bei vt = 0)
a=
v2 v0 2ǻs = 0 = 2 ǻt 2ǻs ǻt
Verzögerung a (bei vt ≠ 0)
a=
v 2 − vt2 v0 − vt = 0 ǻt 2ǻs
Anfangsgeschwindigkeit v0 (bei vt = 0) Endgeschwindigkeit vt
v0 = a ǻt =
vt = v0 − ǻv = v0 − a ǻt vt =
Wegabschnitt Δs (bei vt = 0) Wegabschnitt Δs (bei vt ≠ 0)
2 a ǻs
ǻs =
v02 − 2a ǻs
v0ǻt aǻt 2 vt2 = = 2 2 2a
v0 + vt aǻt 2 ǻt = v0ǻt − 2 2 v02 − vt2 ǻs = 2a ǻs =
Zeitabschnitt Δt (bei vt = 0)
ǻt =
v0 = a
Zeitabschnitt Δt (bei vt ≠ 0)
ǻt =
v0 - vt v0 2ǻs Êv ˆ = ± Á 0˜ Ëa¯ a a a
2ǻs a 2
Formelsammlung
366
Formelsammlung
15.3. Gleichförmige Kreisbewegung
Einheiten Δϕ
z
ω
Δs, r, d Δt
rad =1 rad rad
m
s
n
rad 1 U 1 = = s −1 = = s −1 s s s s
Drehwinkel Δϕ bei z Umdrehungen
Δϕ = 2 π z
Bogenstück Δs bei z Umdrehungen
Δs = r Δϕ = 2 π r z
Umrechnungen für Drehwinkel Δϕ Winkelgeschwindigkeit ω und Drehzahl n
57,3° rad 180° 1 rad = = 57,3° ʌ ǻϕ 2ʌ z ω= = = 2ʌ n ǻt ǻt ǻϕ ° = ǻϕ ⋅
Winkelgeschwindigkeit ω und Umfangsgeschwindigkeit vu
vu = πd n = ω r v ω= u r
Zentripetalbeschleunigung az
az =
vu2 = ω 2r r
Gebräuchliche Zahlenwertgleichungen für vu und ω
vu =
ʌd n 1000
vu =
ʌd n 60 ⋅ 104
ω=
ʌn n ≈ 30 10
bei Drehzahl n in U/min ist ω in rad/s ungefähr n/10
vu m s
az m s2
r
Kreisradius ǻϕ 57,3° rad
ǻϕ ° =
n=
d n r
z ǻt
Kreisdurchmesser Drehzahl Kreisradius
vu
d
m mm min vu m s
n
U 1 = = min −1 min min
d
n
mm
U 1 = = min −1 min min
ω
n
rad 1 –1 U 1 = =s = = min −1 s s min min
Formelsammlung
367
15.4. Beschleunigte Kreisbewegung Die Gleichungen dieser Tafel gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nachstehenden ω -t-Diagramme
Einheiten
Δϕ Δt ω 0 , ω t α rad rad rad s s s2
r
vu
aT
m
m s
m s2
Winkelbeschleunigung α (Definition)
α=
Winkelgeschwindigkeitszunahme ǻω rad in 2 Zeitabschnitt ǻt s
Winkelbeschleunigung α (bei ω 0 = 0)
α=
Winkelbeschleunigung α (bei ω 0 ≠ 0)
α=
Tangentialbeschleunigung aT
aT = α r =
ǻω ǻvu r= ǻt ǻt
ω t = α ǻt =
2α ǻϕ
ωt ǻt
Beschleunigte Kreisbewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit (ω 0 = 0)
Beschleunigte Kreisbewegung mit Anfangsgeschwindigkeit (ω 0 ≠ 0)
ω t2 2ǻϕ = 2ǻϕ ǻt 2
=
ω t − ω0
=
ǻt
ω t2 − ω 02 2ǻϕ
Endwinkelgeschwindigkeit
ωt
(bei ω 0 = 0)
Endwinkelgeschwindigkeit ω = ω + Δω = ω + α Δt t 0 0
ωt
(bei ω 0 ≠ 0)
ω t = ω 02 + 2α ǻϕ
Drehwinkel Δϕ (bei ω 0 = 0)
ǻϕ =
Drehwinkel Δϕ (bei ω 0 ≠ 0)
ǻϕ =
ω 0ǻt 2
=
α ǻt 2 2
ω0 + ωt
=
ω t2 2α
ǻt = ω 0ǻt +
2
α ǻt 2 2
ω 2 − ω 02 ǻϕ = t 2α
Zeitabschnitt Δt (bei ω 0 = 0)
ǻt =
ωt = α
Zeitabschnitt Δt (bei ω 0 ≠ 0)
ǻt =
ω t − ω0 ω 2ǻϕ §ω · = − 0 ± ¨ 0¸ + © α¹ α α α
2ǻϕ
α 2
Formelsammlung
368
Formelsammlung
15.5. Verzögerte Kreisbewegung Die Gleichungen dieser Tafel gelten in Verbindung mit den Bezeichnungen der nachstehenden ω -t-Diagramme
Einheiten
Δϕ Δt ω 0, ω t α rad rad rad s s s2
r
vu
aT
m
m s
m s2
Winkelgeschwindigkeitsabnahme ǻω rad in 2 Zeitabschnitt ǻt s
Winkelverzögerung α
α=
Winkelverzögerung α (bei ω t = 0)
α=
Winkelverzögerung α (bei ω t ≠ 0)
α=
Tangentialverzögerung aT
aT = α r =
Anfangswinkelgeschwindigkeit ω 0 (bei ω t = 0)
ω 0 = α ǻt = 2α ǻϕ
Endwinkelgeschwindigkeit ω t Drehwinkel Δϕ (bei ω t = 0) Drehwinkel Δϕ (bei ω t ≠ 0)
Verzögerte Kreisbewegung mit Endgeschwindigkeit (ω t ≠ 0)
Verzögerte Kreisbewegung ohne Endgeschwindigkeit (ω t = 0)
ω0 ǻt
=
ω 02 2ǻϕ = 2ǻϕ ǻt 2
ω0 − ω t ǻt
=
ω 02 − ω t2 2ǻϕ
ǻω ǻvu r= ǻt ǻt
ω t = ω 0 – Δω = ω 0 – α Δt ω t = ω 02 − 2α ǻϕ ǻϕ = ǻϕ =
ǻϕ =
ω 0 ǻt 2
α ǻt 2
=
2
ω0 + ω t
ω 02
2 − ω t2 2α
=
ω 02 2α
ǻt = ω 0 ǻt −
α ǻt 2 2
Zeitabschnitt Δt (bei ω t = 0)
ǻt =
ω0 = α
Zeitabschnitt Δt (bei ω t ≠ 0)
ǻt =
ω0 - ω t ω 2ǻϕ Êω ˆ = - 0 ± Á 0˜ Ë ¯ α α α α
2ǻϕ
α 2
Formelsammlung
369
15.6. Kraft, Masse, Reibung
Einheiten m
kg
r
V Fres, FG, T, Fz, FR, FN a, az, g, gn
kg m3 m3
N=
kg m s2
m s2
Mres
Nm =
kg m 2 s2
J
kg m2
α
rs
ω
vu μ , μ 0
rad rad m N =1 m s s N s2
Masseeinheiten
Basiseinheit Masse m ist das Kilogramm kg: 1 kg = 1000 g = 103 g (mg Milligramm) 1 mg = 10–6 kg (Mg Megagramm; t Tonne) 1 Mg = 103 kg = 1 t
Dichte r
r=
Dynamisches Grundgesetz für Translation (Definition der Kraft)
Fres = m a = m
Gewichtskraft FG
FG = m g
g Fallbeschleunigung (ortsabhängig)
Normgewichtskraft FGn
FGn = m gn
gn = 9,80665
Dynamisches Grundgesetz für Rotation
Jα = J
Zentripetalkraft Fz
Fz = m az = m rs ω 2 = m
Gleitreibkraft FR
FR = FN μ
FN Normalkraft μ Gleitreibkraft (S. 48)
Haftreibkraft FR0 max
FR0 max = FN μ0
μ0 Haftreibzahl (S. 48)
Masse m Volumen V ǻv = T (Trägheitskraft) ǻt
m (Normfallbeschleunigung) s2
J Trägheitsmoment (S. 40) (früher: Massenträgheitsmoment) α Winkelbeschleunigung
ǻω ǻt vu2 rs
rs Schwerpunktsabstand
Formelsammlung
370
Formelsammlung
15.7. Mechanische Arbeit und Energie
Einheiten W, E
J = Nm
F, FG
Δs, Δh, r
N
m
m
g
v
R
Rd
kg
m s2
m s
N m
Nm rad
M, MR
Nm
J
ω
kg m2
rad s
Einheit der mechanischen und 1 Joule (J) = 1 Newtonmeter (Nm) = 1 Wattsekunde (Ws) elektrischen Arbeit und Energie kg m 2 sowie der Wärme (Wärmemenge) 1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1 2 = 1 m2 kg s–2 s ist das Joule (gespr: „dschul“) Arbeit W der konstanten Kraft F
W = F Δs cos α W = F Δs (bei α = 0)
Hubarbeit Wh (potentielle Energie Ep)
Wh = F G Δ h = m g Δ h Wh = E p
FG Gewichtskraft Δh Höhendifferenz
Beschleunigungsarbeit Wb (kinetische Energie Ek)
Wb =
m 2 (v − v12 ) = Ek 2 2 für Translation (m Masse des Körpers)
J 2 (ω − ω12 ) = Ek 2 2 für Rotation (J Trägheitsmoment)
Federarbeit Wf (Spannungsenergie)
R 2 ( s − s 2 ) = Es 2 2 1 für Zug- und Druckfedern (Translation)
Rd 2 (ϕ − ϕ12 ) = Es 2 2 für Torsionsfedern (Rotation)
Federrate R, Rd
R=
Reibarbeit WR für Translation
WR = FR Δs = FN μ Δs für Rotation (Δs Reibweg)
Wf =
Federkraft F Federweg ǻs
Energieerhaltungssatz EE = EA ± WZu, ab
Wb =
Wf =
Rd =
Drehmoment M Drehwinkel ǻϕ
WR = MRΔϕ = FR r Δϕ = FN μ r Δϕ (Δϕ Drehwinkel, r Lagerradius)
Formelsammlung
371
15.8. Leistung und Wirkungsgrad
Einheiten P
F
M
Δs
Δϕ
Δt
W
N
Nm
m
rad
s
ω
v m s
rad s
n
1 Nm =1 = min −1 min Nm
Leistung P (Definition)
P=
Leistung P
Fǻs = Fv ǻt für Translation (Kraft F konstant)
Arbeit W in W Zeitabschnitt ǻt
PTrans =
gebräuchliche Zahlenwertgleichungen für Rotationsleistungen
P=
Wirkungsgrad η (Definition)
η=
η
Mn P oder M = 9550 n 9550
J Nm kg m 2 1W=1 =1 =1 s s s3 J Nm 1 kW = 103 W = 103 = 103 s s M ǻϕ = Mω ǻt für Rotation (Drehmoment M konstant) PRot =
P
M
n
kW
Nm
min–1
Nutzarbeit Wn Nutzleistung Pn = zugeführte Arbeit Wz zugeführte Leistung Pz
η1 Lichtgeschwindigkeit ck im durchsichtigen Stoff
c0 = 3 · 108
Φ=IΩ
Beleuchtungsstärke E
E=
Brechzahl n (Werte S. 163)
n=
Ω Raumwinkel in Steradiant (sr)
ϕ Einfallswinkel
λ
Gangunterschied Δx in dünnen Blättchen
Δx = 2d n –
Verstärkung und Auslöschung des Lichts (k natürliche Zahl)
= 2d n − 2 2 Verstärkung
Auslenkungswinkel α bei Lichtbeugung am Doppelspalt
sin α = k
Reflexionsgrad R
§ n − 1· R=¨ ¸ © n + 1¹
Brechungsgesetz für Lichtwellen
sin ε 2 = sin ε1
Parallelverschiebung Δs in planparallelen Platten
ǻs = d
Totalreflexionsgesetz
sin ε r =
Linsengleichungen
R
I
Lichtstrom Φ
2k
n
d
2
λ
λ
Dicke des Blättchens
(2k − 1)
λ
λ
= 2d n − 2 2 Auslöschung
b Abstand im Doppelspalt heller Streifen bei k = 0, 2, 4, ... dunkler Streifen bei k = 1, 3, 5, ...
λ 2b 2
n
Brechzahl (S. 163)
ε1 Einfallswinkel ε2 Brechungswinkel
n1 n2
Ê sin (ε1 - ε 2 ) = d sin ε1 Á1 ÁË cos ε 2
n1 n2 1 1 1 = + f a b
m s
ˆ ˜ n 2 - sin 2 ε1 ˜¯ cos ε 2
1 ( für Übertritt in Luft) n f Brennweite a Gegenstandsweite b Bildweite Ê1 1 1 ˆ (n - 1) 2 d r1, r2 Radien = (n - 1) Á + ˜ ¹ f n r1r2 n Brechzahl Ë r1 r2 ¯ d Linsendicke sin ε r =
Formelsammlung
380
Formelsammlung
15.17. Elektrizitätslehre
Einheiten I, ΔI Q, ΔQ t, Δt U, ΔU W
A As=C
s
V
R P E l
C
XC, XL f
H
μ0 μr
B
V As V A Vs Ω= T= 2 m F= Hz m V A m m
J=Ws Ω W
Vs Am
I =
Q ǻQ genauer I = t ǻt
Q Ladung t Zeit
Elektrische Spannung U
U =
W Q
W Arbeit, Energie Q Ladung
Ohm’sches Gesetz
U = R I oder R =
Elektrische Leistung P
P=U·I
Elektrische Feldstärke E
E=
U l
Kapazität C
C=
Q U
Impedanz XC
XC =
Magnetische Feldstärke H
H =
Magnetische Flussdichte B
B = μr μ0 H
Magnetischer Fluss Φ
Φ=BA
Induzierte Spannung U
U = −1
Induktivität L
U = −L
Impedanz XL Frequenz eines Schwingkreises f
L Vs A
U elektrische Spannung R elektrischer Widerstand I elektrischer Strom U elektrische Spannung I elektrischer Strom U elektrische Spannung l Abstand
1 2ʌ f C
U elektrische Spannung Q Ladung f Frequenz 1 Windungszahl I elektrischer Strom l Spulenlänge
1I l
ǻΦ ǻt
ǻΦ ǻt XL = 2 π f L
f =
A
1 Wb=Vs m2 H=
Elektrischer Strom I
U I
Φ
1 2ʌ LC
Vs Am μr Permeabilitätszahl H magnetische Feldstärke A Fläche
μ 0 = 4ʌ10−7
1 Windungszahl Φ magnetischer Fluss t Zeit U I t f
induzierte elektrische Spannung elektrischer Strom Zeit Frequenz
L Induktivität C Kapazität
381
Sachwortverzeichnis
A Abbildung durch Linsen 174 abgeleitete Einheiten 5 f. – Größen 5 Ablenkungswinkel 167, 172 absolut schwarzer Körper 95 absoluter Druck 67 – Nullpunkt 84 Absolutgeschwindigkeit 4 Absorption 241 ff. Absorptionsgrad 169 Absorptionslinien 159 Akustik 145, 345 akustische Schwebung 123 – Vorgänge 147 Akzeptor 226 f. Alkalien 241 allgemeine Gasgleichung 86 – Strahlungskonstante 95 Alta 6 Ampere 178 Amplituden 107, 141, 268 – -Frequenzdiagramm 267 – -Frequenzschaubild 267 – -Modulation 218 Analogie 51 Analogiebetrachtung 116 Analogieverfahren 160 Analysator 128, 271 f. Anomalie des Wassers 68, 79 Arbeitsbegriff 49 Arbeitsdiagramm 51 f. Arbeitseinheiten 62 Arbeitsfähigkeit 50 Arbeitsgleichung 60 Arbeitsmaschine 64 Arbeitsweise, Elektromotor 197 Atmosphäre 65 Atom 234 – Aufbau 238 Atomhülle 234, 235 Atommodell 235 Atomphysik 234 ff. Atomstrahlung 241 Aufgaben der gleichmäßig beschleunigten Bewegung 18 Aufladen, Kondensator 277 Auftrieb 69
Auftriebskraft 102 f. Ausbreitung des Lichts 157 – linearer Wellen 124 Ausbreitungsgeschwindigkeit 26, 125, 127, 142 f., 163, 270 Ausdehnungsarbeit 83 Ausflussgeschwindigkeit 75 Ausflusszahl 75 Auslenkung 102, 107, 268 Auslenkungs-Zeit-Gesetz 105 Auslöschung 131 f., 163, 165 – des Lichts 165 – von harmonischen Wellen 131 Ausströmgeschwindigkeit 75 Autobatterie 178 B Bahnkurve 12 Bändermodell 223, 225 Bandstruktur 224 Bar 66 Barometer 67 Basis 228 f. Basiseinheiten 5 f. Basisgrößen 5 Basisschaltung 229 Basisstrom 230 Batterie 222 Beharrungsvermögen 32 Beleuchtungsstärke 161 Bernoulli 72 Bernoulli’sche Druckgleichung 72 Berührungsfläche 251 beschleunigte Bewegung 16 Beschleunigung 9, 12 f. Beschleunigungsarbeit 54, 58, 149 Beschleunigungsvektor 29 Beschleunigungs-Zeit-Gesetz 105 Betrag 3 Betragsstriche 4 Beugung 134 Beugung des Lichtes 166 Beugungsgitter 167 Beugungsspektrum 167
bewegter Beobachter 137 – Erreger 138 Bewegungen 9 – fester Körper 281 Bewegungsenergie 54 Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung 104 Bewegungsknoten 141 Bezugsschalldruck 152 Bildgröße 175 Bildweite 174 Blau 157 Blei-Akkumulator 222 Blendenkante 166 Blendenöffnungen 166 Blindleistung 212 Blindwiderstand 209 f. Bohr’sches Postulat 240 Boyle 70 Boyle’sche Gleichung 72 Boyle’sches Gesetz 70 Brechkraft 175 Brechung von Wellen 136 Brechungsgesetz 136, 171 Brechzahlen 162, 170 Brennpunkt 174 Brennstoffzelle 223 Brennweite 174 Bürdenwiderstand 185 C Candela 159 f. Celsius 98 Coulomb 176 Coulomb-Kraft 239 Coulomb’sches Gesetz 177 D Dämpfung 116, 119, 147 Dämpfungsfähigkeit 147 Defektelektron 225 Definitionsgleichung 5 Dehnungsfeder 56 Deka 6 Delta 7 Dezi 6 Diamagnetismus 199 Dichte 31, 67, 70
382 Dichtemaximum 79 Dichtewechsel 154 Dielektrikum 277 Dielektrizitätskonstante 178 Differenzdruck 76 Differenzen 9 Diode 228 Diodenlaser 233 Diodenschicht 233 Dipol 191 – -Antenne 216 Dispersion 163 Donator 226 f. Doppelspalt 167 Doppler 137 Dopplereffekt 137, 168 dotierte Halbleiter 225 Drain 231 Dreharbeit 262 Drehmoment 63 Drehschwingung 103 Drehstabfeder 103 Drehstrom 212 Drehstromgenerator 213 Drehwinkel 20 f., 56 – und Weggrößen 22 Drehwinkelgrößen 23 Drehzahl 21, Dreifingerregel 198 Drossel 221 Druck 65 – -Ausbreitungsgesetz 68 – -Temperaturgesetz 88 – -Volumengesetz 70, 86 f. Druckbegriff 65 Druckeinheiten 64, 66 Druckwelle 140 Dualismus 238 Durchflutung 195 Durchlassrichtung 227 Durchschnittsbeschleunigung 13 Durchschnittsgeschwindigkeit 11 Durchschnittsleistung 62 dynamisches Grundgesetz 33 – – für die Rotation 39 E ebene Störungswellen 125 Edelgas 241 Effektivwert 206 Eigenfrequenz 117, 272
Sachwortverzeichnis Eigenleitung 225 Eigenschwingung 142 Einfallswinkel 136, 162 Eingangswiderstand 185 Einheit 1, 5, 280 – der Beleuchtungsstärke 162 – – Arbeit und Energie 50 – – Beschleunigung 13 – – elektrischen Energie 81 – – Leistung 63 – – mechanischen Energie 81 – – thermischen Energie 81 – – Winkelbeschleunigung 22 – – Winkelgeschwindigkeit 21 Einheitenkreis 23 Einstein 1 Elastizitätsgröße 148 Elastizitätsmodul 255 f. Elastooptik 168 elektrische Arbeit 50, 82, 263 – Arbeit 182 – Feldlinie 189, 273 – Feldstärke 191 – Kapazität 276 – Ladung 176 – Leistung 182 – Polarisation 191 – Spannung 179, 192 – Stromstärke 178 elektrischer Strom 178 – Schwingkreis 214 – Widerstand 180, 275 elektrisches Feld 189 – Wärmeäquivalent 263 Elektrolyse 222 elektromagnetische Induktion 201 – Schwingungen 214 – Wellen 157, 216 elektromagnetisches Spektrum 157, 217 Elektron 176, 219, 225 Elektronenbahn 239 Elektronenbewegung 181 Elektronenladung 234 Elektronenstoß 244 Elektronenwelle 239 Elementarladung 176 Elongation 107 Emission 241 ff. Emissionsverhältnis 96, 101, 170 Emitter 228 f.
Emitterschaltung 230 Emitterstrom 230 Empfänger 218 Empfindlichkeitssprung 147 Emulsionen 154 Energie 50, 245 – der Lage 53 – eines Kondensators 193 Energieband 243 Energiebegriff 50 Energieerhaltungssatz 59 ff., 73 – der Strömung (Bernoulli’sche Druckgleichung) 72 Energieformen 81 Energieniveau 239 Energietransport (Vibration) 145 Energiezufuhr 116 Energiezustand 239, 241 ff. Entladung, Kondensator 214 Entstehung und Ausbreitung linearer Wellen 124 Erdanziehungskraft 30 Erdbebenherde 129 Erreger 118 Erregerfrequenz 117, 118 f., 272 Erregerpendel 267 f. Erregerzentren 133 Ersatzschaltbild 185 erzwungene Schwingung 116, 118 Exa 6 F Fadenpendel 114 Fahrenheit 84, 98 Fahrwiderstand 48 Fahrwiderstandszahlen 48 Fallbeschleunigung 15 Farad 192 Federarbeit 55 f., 149 Federarbeitsdiagramm 56 Federdiagramm 55 Federenergie 55 f. Federkennlinie 56, 254 Federkraft F 55 Federpendel 110, 264 Federrate 55, 110, 112, 252, 254, 265 Federspannkraft 109 Federweg 55, 254 Federwurm 142
Sachwortverzeichnis Fehlerecho 154 Feldeffekttransistor 231 Feldlinie 189 Feldstärke 191 Femto 6 Fernsehröhre 220 ferromagnetischer Werkstoff 196 ferromagnetisches Material 199 Ferromagnetismus 200 festes Ende 135 Fixpunkte 84, 98 flächenhafte Wellen (Oberflächenwellen) 128 Flächenwinkel 160 Flüssigkeiten 65, 71, 294 Flüssigkeitssäule 115 Flüssigkeitsvolumen 70 Flüssigkeitswürfel 65 Formelzeichen 2 Fraunhofer’sche Linien, Spektralanalyse 159 freier Fall 15 Freimachen 36, 60 Frequenz 107, 237 –, Schwingkreis 215 Frequenzerhöhung 137 Frequenzkonstanz 153 Frequenzverringerung 137 Fresnel 134 Fresnel’sche Reflexionsgleichung 170 Frontwellen 134 G γ -Strahlen 157 Galilei 32 Gangunterschied 131, 133, 163 ff. Gase 65, 71 Gasentladung 220 f. 240 Gaskonstante 99 Gaslaser 221 Gaszustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung) 86 ff. Gate 231 Gatter 231 gebeugte Wellen 166 gedämpfte Schwingung 102, 119, 214 Gegenkraft 36 Gegenstandsgröße 175 Gegenstandsweite 174
383 gekoppelte Systeme 120 Gelb 157 Generator 203 geometrische Optik (Strahlenoptik) 169 geradlinige Bewegung 27 Geräusch 145 gerichtete Größen 3 Gesamtwirkungsgrad 64 Geschwindigkeiten 9 f. Geschwindigkeitsänderung 16 f. Geschwindigkeitslinie 14 Geschwindigkeitsplan 4 Geschwindigkeitszahl 75 Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 10 Gesetz 32 – der Bewegungsarten 15 – der Kreisbewegung 24 Getriebe 64 Gewichtskraft 30, 35, 47 Giga 6 gleichförmige Bewegung 10, 15 – Drehung 24 Gleichgewicht 248 Gleichgewichtsbedingungen 37, 47, 249 Gleichgewichtszustände 34 gleichmäßig beschleunigte Bewegung 15 – Drehung 25 – verzögerte Drehung 25 Gleichrichterschaltung 228 Gleichung der harmonischen Welle 125, 127 – für die Schallgeschwindigkeit 148 Gleit- und Haftreibzahlen 48 Gleitbahn 57 Gleitebene 47 Gleitlager 58 Gleitreibkraft 44, 46, 57 Gleitreibwinkel 250 Gleitreibzahl 45 f., 250 f. Gleitschiene 250 Glimmlampe 204 Glühkathode 219 Glühlampe 158 Grenzwinkel 173, 250 Grimsehl 151 Größen der geradlinigen Bewegung 27
– Kreisbewegung 27 Größenart 2 Größengleichung 7 Grün 157 Grundfrequenz 146 Grundgesetz für die Rotation 39 Grundgleichung 10, 13, 15 ff., 22, 24 f. Grundschwingung 142 H Haftreibung 46, 250 Haftreibzahl 250 f. Halbleiter 223 f. Halbleiterbauelement 223 Halbleiterlaser 233 Halbschatten 159 Halogen 241 harmonische Schwingung 103 Hauptschlussgenerator 207 Helium 235 HF-Signal 218 Hochfrequenz 157 Höchstfrequenz 157 Höhenstrahlen 157 Hooke’sches Gesetz 78, 255, 257 Hörbarkeit 151 Hörfläche 151 Hörgrenze 151 horizontale Ablenkung 220 Horizontalströmung 73 Hubarbeit 53 Hufeisenmagnet 201 Huygens 134 Huygens’sches Prinzip 134 hydraulische Presse 68 hydrostatischer Druck 69 I Ideale Gase 80 Impedanz 208 ff. Index 7 Indigo 157 individuelle Gaskonstante 88 Induktion 202 Induktionsgesetz 201, 203, 205, 207, 278 induktiver Widerstand 210 Induktivität, Spule 204 Influenz 190 Infrarot 157
384 infrarotes Licht 157 Infraschall 151 inkohärente Einheiten 6, inkohärente Einheiten 13 Innenwiderstand 188 Interferenz 130 – -Komparator 165 – -Mikroskop 165 – -Nullstreifen 133 – des Lichtes 164 – zweier Querstörungen 130 Interferenzhyperbeln 133 Interferenzmaximum 131 Interferenzminimum 131 Internationales Einheitensystem (SI-Einheiten) 5 Intervalle 9 isobare Erwärmung 80 Isolator 191, 223 f. J Joule (J), sprich „dschul“ 6, 51, 60, 81, 182 K Kalorimeter 258, 260 Kalorimetergefäß 82, 258 Kapazität 192 kapazitiver Widerstand 209 Kelvin 98 – -Temperaturskala 84 Kennlinie 55 Kennzeichen fortschreitender Wellen 143 Kennzeichnung stehender Wellen 143 Kernradius 234 Kernschatten 159 Kerzenlicht 158 Kilo 6 Kilogramm 31 kinetische Energie 54, 58 Kirchhoff’schen Gesetze 183 Klang 145 Klemmenspannung 188 Knall 140, 145 Knotenregel 183 kohärente Einheiten 5 f., 13, 34 Kohlenstoff 235 Kolbenkräfte 68 Kollektor 228 f. Kollektorschaltung 230 Kollektorstrom 230
Sachwortverzeichnis kommunizierendes System 121 Komplementärfarben 158 Kompressibilitätsfaktor 148, 150 Kondensationsenthalphie 98 Kondensationspunkte 98 Kondensator 192, 193, 277 Konstantandraht 275 kontinuierliches Farbband 158 Kontinuitätsgleichung 71 Kontraktionszahl 75 Koppelschwingungen 120 Kopplung 120 Kosinuskurve 106 Kosinussatz 247 Kraft 30 –, Magnetfeld 197 Kraftbegriff 30 Kraftdreieck 248 Kräfteparallelogramm 247 Kraftlinie 51 Kraftmaßstab 253 Kraftmesser 249 Kraft-Verlängerungs-Diagramm 253 Kraft-Verlängerungs-Schaubild 256 Kreisbewegungen (Rotation) 19 f., 27, 39 Kreisfrequenz 107 Kreisgrößen 20 Kreiswellen 128, 134 Kreiswellensysteme 133 Kugelwellen 130 Kundt 152 Kundt’sche Staubfiguren 152 Kurzwellen 157 L Ladung 176 Ladungsmenge 176 Längenänderung 78 Längenausdehnung 77 Längenausdehnungskoeffizient 247 Längenmaßstab 253 Längsstörung 124 Langwelle 217 Laser 243 f. Lasermaterial 244 Laserprozess 244 Laserschicht 233 Laserstrahl 244
Laserstrahlung 233, 241 ff. Lautsprecher 153 Lautstärke 152, 155 f. Leerlaufspannung 188 Leistung, Wechselstromkreis 211 Leistungsfaktor 212 Leiter 223 – im Magnetfeld 201 Leiterspannung 213 Leitungsband 224 Leitwert 185 Lenz’sche Regel 203 Leuchtdiode 232 f. Leuchtstoffröhre 220 f. Licht 157, 233, 236, 241 ff. Lichtbeugung 166 Lichtbrechung 171 f. Lichtgeschwindigkeit 162, 217, 237, 245 Licht-Interferenz 163 Lichtquellen 158 f., 243 Lichtstärke 159 Lichtstrom 160 Lichtverstärkung 243 Lichtwelle 236 lineare Störungswellen 125 Linienspektrum 158 Linienzeichen 159 Linsen 174 Linsenmaße 175 Lippenpfeife 153 longitudinal 124 longitudinale Kopplung (Längskopplung) 120 Lorentz-Kraft 197 loses Ende 135 Luftdruck 74 Luftsäule 272 Lumen 160 M Mach’sche Zahl 140 Magnetfeld 194 magnetische Feldkonstante 195 – Feldlinie 274 – Feldstärke 194 f. – Flussdichte 195, 199 magnetischer Dipol 194 – Fluss 196 magnetisches Feld 194 Manometer 76 Maschenregel 183
Sachwortverzeichnis Masse 31, 245 Massenmoment 40 Massenträgheitsmoment 40 Massenzahl 234 Massestrom 71 Materiewelle 238 Materie-Wellenlänge 238 Maximalwert 206 mechanische Arbeit 49, 263 – Querwellen 271 – Schwingung 102, 301 – Wellen 124, 306 mechanisches Wärmeäquivalent 260 Meereswellen 129 Mega 6 Megagramm 31 Messbereichserweiterung 186 Messergebnis 1 Messsonde 76 Meteorologie 66 Mikro 6 Mikrophone 123, 153 Mikrowellen 157, 217 Milli 6 Millibar 66 Milligramm 31 Mischfarbe 158 Mischungsregel 84 Mischungstemperatur 84 Mitschwinger 118 Mittelwelle 217 mittlere Leistung 206 – Beschleunigung 13 – Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) 18 – spezifische Wärmekapazität 97 – Winkelgeschwindigkeit 20 Mol 89 molare Masse 89 Molekülmasse 89 Momentangeschwindigkeit 12, 62 monochromatisches Licht 166 MOS-FET 231 1 Nachrichtenübertragung 218 Nahfeld 216 Nano 6 Nanometer 157 Nebenschlussgenerator 207
385 Neonröhren 158 Neutron 234 Neutronenmasse 234 Newton 32, 34 Newton’sche Ringe 166 Newton’sches Axiom, drittes 36 –, erstes 32 –, zweites 33 Newtonmeter 50 f., Nichtselbstleuchter 158 Nichttemperaturstrahler 158 Nicol’sches Polarisationsprisma 168 n-Leitung 226 Normalbeschleunigung 29, 35 Normalkraft 45 ff. Normalschalldruck 152 Normdichte 67 Normdruck 68 Normtemperatur 68 Normvolumen 67 Normzustand 67 npn-Transistor 230 NTC-Widerstand 181 Nukleonenzahl 234 O Oberflächenwellen 128 Oberschwingung 142 offener Schwingkreis 216 Ohm 180 Ohm’scher Widerstand 208 Ohm’sches Gesetz 180, 275 Optik 157, 307 optischer Doppler-Effekt 168 Optoelektronik 232 Orange 157 Ordnung, Gesetze der Bewegungsarten 15 –, Gesetze der Kreisbewegung 24 Ordnungszahl 235 Oszillator 118 Oszillogramm 145 Oszillograph 123 Oszilloskop 219 P Parallelogramm 4 Parallelogrammsatz 246 ff. Parallelschaltung 184 – von Spannungsquellen 188
– von Impedanzen 211 Parallelverschiebung 247 Paramagnetismus 200 Pascal 66 Pendel 103 Pendeluhr 117 Periode 240 Periode (Schwingung) 107 Periodendauer 16, 103, 107, 111 f., 115, 264, 268, 270 Periodensystem 235, 240 Permanentmagnet 194 Permeabilitätszahl 196 Permittivitätszahl 193, 278 perpetuum mobile 59, 203 Peta 6 Pfeile 3 Phase 106 f. Phasensprung 135 Phasenverschiebung 119 phasenverschoben 106 Phon 156 Phosphoreszens 158 Photodiode 232 Photoeffekt 237 Photometrie 159 Photon 236, 242 physikalische Größen 1 f., 273 – Vorgänge 1 physikalischer Zustand 1 Pico 6 Planfläche 171 Plasma 220 Plattenkondensator 192 p-Leitung 226 pnp-Transistor 230 pn-Übergang 227 Polarisation 128, 274 – des Lichts 168 – mechanischer Querwellen 271 – von Querwellen 127 Polarisator 271 f. polarisierte Querwellen 274 positives Loch 225 potenzielle Energie (Lageenergie) 53 Potenzprodukt 6 Prandtl’sches Staurohr 76 Primärelement 222 Prinzip von d’Alembert 37 Prisma 172 Proton 176, 234
386 Protonenmasse 234 Q Quantenoptik 236 Quecksilbersäule 65 Querstörung 124, 128, 274 Querwelle 124, 263 R Radialbeschleunigung 27, 29 Radiant 161 Rankine 84, 98 Raumladungszone 227 räumliche Dämpfung 125 – Störungswelle 125 Raumwinkel 160 Rautiefe 251 Rechte-Hand-Regel 195 reelles Bild 174 Reflexion 135 Reflexion des Lichts 169 – von Oberflächenwellen 136 – – Seilwellen 135 Reflexionsarten 169 Reflexionsgesetz 136, 171 Reflexionsgrad 169 f. Reflexionswinkel 136 reguläre Reflexion 171 Reibarbeit 57 Reibkraft 251 Reibmoment 58 Reibungsgesetz 46 Reibzahl 46 Reihenschaltung 184 – von Impedanzen 211 – von Spannungsquellen 188 Reizschwelle 151 Relativgeschwindigkeit 137 Relativitätstheorie 245 Resonanz 116, 118, 120 Resonanzfall 121 Resonanzfrequenz 119 Resonanzkurve 267 Resonanzpendel 267 Resonator 118 Resultierende 247 resultierende Kraft 33 resultierendes Drehmoment 39 Richtgröße 108, 110, 265 Röntgenstrahlen 157 Röntgenstrahlung 241 Rot 157 Rotation 9, 39, 44, 58
Sachwortverzeichnis Rotationsenergie 58 Rückkoppelung 117 Rückstellkraft 102 f., 108 Rückstellmoment 103, 112 Rückwandecho 154 S Sägezahnspannung 219 Saitenspannung 146 Sammellinsen 174 Sättigung 200 Schalenstruktur 239 Schall 145 Schalldämmung von Wänden 156 Schalldruck 146, 155 – -Frequenz-Schaubild 151 Schalldruckverhältnis 147 Schallempfänger 153 Schallenergie 147 Schallgeschwindigkeit 148, 155 f., 272 – in festen Körpern 149 – – Flüssigkeiten 150 – – Gasen 151 Schallmauer 140 Schallortung 154 Schallquelle 152 Schallschluckung 147 Schallschnelle 146 Schallsender 153 Schallstärke 146 f., 155 Schallstärkengleichung 147 Schallstärkenverhältnis 147 Schallwellen 135, 153, 272 Schattenbildung 159 Scheinleistung 212 Scheinwiderstand 211 Scheitelwert 206 schiefe Ebene 47, 57 Schiffsschwingung 121 Schlag 145 Schlingertank 121 Schmelzenthalphie 98, 259 f. Schmelzwärme 84, 259 Schmerzschwelle 151 Schraubenfedern 55, 252, 269 Schraubenfederpendel 109, 111 Schraubenzugfeder 252 Schubkurbelgetriebe 47 Schubmodul 254 schwarze Linien 159 Schwebung 123
Schwebungsfrequenz 123 Schweredruck 69 Schwerependel 16, 103, 120, 267 Schwerewellen 129 Schwerkraft 30, 69 Schwinger 117, 264 Schwingquarz 154 Schwingung 102 Schwingungsbauch 141, 272 Schwingungsdauer 125, 265 Schwingungsebene 103 Schwingungsenergie 120 Schwingungsformen 145 Schwingungsgleichung 265 Schwingungsüberlagerung 121 Schwingungsweite 107 Sekundärelement 222 Selbstinduktion 204 Selbststeuerung 117 senkrechter Wurf 16 f. Siedepunkt 98 Siemens 180 sinusförmige Wechselspannung 206 sinusförmiger Wechselstrom 206 Sinuskurve 106 Sinusschwingung 107 Skalare 2 Source 231 Spalt 135 Spannungs-Dehnungs-Schaubild 256 Spannungsgenerator 205 Spannungsgröße 148 Spannungsmessung 186 Spannungsoptik 168 Spannungsquelle 187 Spannungsteiler 184 Spannungsverstärkung 229 f. Spekrallinie 240 Spektrum 157 f. Sperrrichtung 227 Sperrschicht 231 spezielle Gaskonstante 88, 90 spezifische Wärmekapazität 82 – bei Gasen 83 – des Wassers 258 spezifischer elektrischer Widerstand 181, 276 statischer Druck 73 Staudruck 73
Sachwortverzeichnis Staupunkt 76 stehende Schallwellen 152, 272 – Querwelle 141 f. – Welle 141 Steradiant 160 Sterilisierung von Flüssigkeiten 154 Sternschaltung 213 Sternspannung 213 stillstehender Erreger 137 – Beobachter 138 Stimmgabel 153 Stoffmenge 68, 89 Störstellenleitung 225 Störungseingabe 145 Stoßionisation 220 Strahlenoptik 169 Strahlungsaustauschzahl 96 Strahlungsenergie 169 Strahlungskonstante 95 f. Strahlungsmenge 170 Strahlungszahl 96, 101 Ströme, Vakuum 219 strömende Flüssigkeiten 71 – und Gase 295 Stromleitung 219 Strommessung 185 Stromquelle 188 Strömungsgeschwindigkeit 71 Strömungsgesetze 71 Stromverstärkung 229 f. Supraleiter 233 T Tangentialbeschleunigung 23, 39 Tangentialkraft 45 Tankwasserschwingung 121 technische Atmosphäre 66 Teildreiecke 247 Temperaturdifferenz 85, Temperatur-Fixpunkte 98 – -Umrechnungen 98 – -Volumengesetz 80, – -Volumengesetz 86, – -Volumengesetz 88 Temperaturstrahler 158 Tera 6 Tesla 196 thermische Arbeit 50 – Energie 59, 82, 262 thermodynamische Temperatur 84
387 Ton 145 Tongeber 123 Torr 65 Torsionsbeanspruchung 252 Torsionsmoment 56, 103, 252 Torsionspendel 112 Torsionsstab 266 Torsionsstabfedern 56, 103 Totalreflexion 173 Totalreflexionsgesetz 173 Trägheit 31 f. Trägheitsgesetz 32 Trägheitskraft 37 f., 248 ff. Trägheitsmoment 15, 40, 266 f. –, Formeln 42 –, Herleitung 41 Trägheitswiderstand 31 f. Transformator 207 Transistor 228 Translation 9, 44 Transmissionsgrad 169 transversal 124 transversale Kopplung (Querkopplung) 120 Transversalwelle 124 trigonometrische Auswertung 248 U Überlagerung 131 – gleichfrequenter Wellen 130 – von Schwingungen 121 Überlagerungsprinzip 28 f. Überschallknall 140 Ultrakurzwelle 217 Ultraschall 154 Ultraschaltimpuls 154 ultraviolettes Licht 157 Ultraviotett 157 Umfangsgeschwindigkeit 22, 63 Umfangskraft 63 ungleichförmige Bewegung 11, 14 universelle Gaskonstante 89 U-Rohrmanometer 76 V Valenzband 224 Vektoren 2, 247 Vektorrechnung 4 Verdampfungsenthalphie 98 Verdampfungswärme 84
Vergleichsgröße 147 Verlängerung 253 Verstärkung des Lichts 166 verzögerte Bewegung 16 f. Verzögerung 13 Vielfache von Einheiten 6 Vierleiternetz 213 Violett 157 virtuelles Bild 171, 174 Volt 179 Volumenausdehnung 79 Volumenausdehnungskoeffizienten 79, 97 Volumenstrom 71 Vorschubbewegungen 15 v-t-Diagramm 12 ff. W ω -t-Diagramm 24 Wandern einer Querstörung 12 Wärme 59, 81 Wärme und Arbeit 81 Wärmeäquivalent 263 Wärmeausdehnung 79 f. Wärmebilanz 258 Wärmegleichgewichtsbedingung 84 Wärmekapazität 257 f. Wärmelehre 77 Wärmeleitfähigkeit 91, 99 f. Wärmeleitung 91, 94 Wärmemenge 81 Wärmespannungen 78 Wärmestrahlen 157 Wärmestrahlung 91, 95 f. Wärmestrom 92 Wärmeübergang 93 f. Wärmeübergangskoeffizient 93, 100 f. Wärmeübertragung 91, 95 Wassersäule 65 Wasserstoff 235 Wasserstoffatom 239 Wasserwelle 128 Watt 182 Wattsekunde 50 Weber 196 Wechselspannung 206 Wechselwirkungsgesetz 36 Wechselwirkungskräfte 68 Wegabschnitte 9 f. Weggleichung 14 f., 17, Weggleichung 19
388 Weggrößen 23 Weg-Zeit-Diagramm 11 Weiß’scher Bezirk 200 Wellen im Raum 129 – und Energietransport 125 Wellenbänder 157 Wellenbewegung 126 Wellenbild 239 Wellenfront 128 Wellenlänge 125, 157, 159, 217, 237, 240 Wellenoptik 163, 236 Wellenstrahl 128 Wellenwanne 129, 139 Werkstoffkonstante 254 Werkstoffpaarungen 251 Wheatstone’sche Messung 187 Widerstandsmessung 187
Sachwortverzeichnis Wiederholfrequenz 220 Windungsfläche 278 Windungszahl 202, 208, 278 Winkel 20 Winkelbeschleunigung 20, 22, 40 Winkeleinheit 20 Winkelgeschwindigkeit 20, 63 Winkelumrechnungen 20 Wirkleistung 212 Wirklinie 3 Wirkungsgrad 64 Wirkungsquantum 237 Wirkwiderstand 211 Z Zahlenwert 1 Zahlenwertgleichungen 8, 22,
Zeiger 7 Zeigerdiagramm 208 ff. Zeitabschnitte 9 f. Zenti 6 Zentrifugalkraft (Fliehkraft) 43 Zentripetalbeschleunigung 27 Zentripetalkraft 43, 108 Zerstreuungslinse 174 zugeschnittene Zahlenwertgleichung 22 Zugstab 256 Zungenpfeife 153 Zylinderspule 195 zylindrische Schraubenfedern 253, 265
![Aufgabensammlung Technische Mechanik [Hauptbd.]. Mit 939 Aufgaben](https://epdf.pub/img/300x300/aufgabensammlung-technische-mechanik-hauptbd-mit-9_5a88aa7ab7d7bcf660ed867e.jpg)
