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^ } keine endliche Teilüberdeckung besitzt, oder Sie berufen sich darauf, daß die Folge (\)k=i,2,... in Dn \ 0 keine konvergente Teilfolge hat. — Sollte man nicht diesen Sachverhalt irgendwie mittels einer Karte um p für die Aufgabe ausnutzen können? Irgendwie schon. Aber
Kapitel 1. Mannigfaltigkeiten
24
Vorsicht: die Behauptung wird falsch, wenn wir die HausdorffForderung an M fallen lassen. Es muß also auch die HausdorfFEigenschaft in den Beweis eingehen! Zu
AUFGABE
5: Von Natur aus ist Sn x Sk C
^ zu Zwischenschritt wird vorgeschlagen, S " x R ^ Rn+1 \ 0 zu zeigen. Das erinnert an Polar- oder Kugelkoordinaten. Aber folgt so nicht eher Sn x K+ ^ R n + 1 \ 0, also mit dem Faktor l + : = { r e M | r > 0 } statt R? Und was würde Sn x R = M n+1 \ 0 uns denn für die Aufgabe selbst helfen?
pn+l
pfe+1 _
19.
Zu AUFGABE 6: Der erste Teil ist eine unproblematische Formulierungsübung. Für die Zusatzfrage muß man sich erst durch anschauliche Vorstellung einen Ansatz verschaffen. Schon für M — K und k = 0 findet man ein Gegenbeispiel. Das soll auch genügen! Noch besser wäre freilich der Nachweis, daß es Gegenbeispiele für jedes n-dimensionale M ^ 0 und 0 < k < n — 1 gibt. Die nebenstehenden Skizzen sollen Ideen für mögliche Vorgehensweisen geben. Das Hauptproblem ist dann freilich der Nachweis, daß eine angegebene Teilmenge von M wirklich keine UntermanFig. 20. Fig. 21 nigfaltigkeit ist. Zu AUFGABE 7: Matrizengruppen wie O(Q) sind wichtige Beispiele von Liegruppen. Für
Q(x)
=xl-x\-x\-x\
auf dem M4 ist O(Q) zum Beispiel die Lorentzgruppe. — Aus der linearen Algebra werden Sie wissen (siehe z.B. Abschnitt 11.5 in [ J:LiA]), daß es zu einer quadratischen Form Q auf dem M.n
1.10 Hinweise zu den Übungsaufgaben
25
eine wohlbestimmte symmetrische n x n-Matrix C gibt, so daß Q(x) —l x-C-x. Daß Q nichtentartet ist bedeutet, daß C den Rang n hat. Wenn C in diesem Sinne die Matrix der quadratischen Form Q ist, welche Matrix hat dann QoA ? Versuchen Sie nun, den Satz vom regulären Wert so anzuwenden, wie wir es in Abschnitt 1.5 für O(n) schon getan haben. Zu AUFGABE 8: Nennt man zwei Punkte a,b e M äquivalent, a ~ b, wenn sie durch einen stetigen Weg a: [ 0,1 ] —> M verbindbar sind, dann sind die Aquivalenzklassen die sogenannten Wegzusammenhangskomponenten von M. Sie sind offen (weshalb?) und es können nur abzählbar viele sein (weshalb?). Sei k e N Uoo ihre Anzahl, und denken wir sie uns als M\,..., Mk bzw. als ( M J ) J € N (falls k = oo) numeriert, "abgezählt". Sie sollen nun zeigen, daß die kanonische Bijektion k
JJ
Af
(nämlich welche?) ein DifFeomorphismus ist. Inhaltlich gesehen ist das eine Routine-Nachprüfung, aber Sie können dabei testen, ob sich Ihre anschaulichen Vorstellungen von der Summe in hieb- und stichfeste Argumente umsetzen lassen.
2
Der Tangentialraum
2.1 Tangentialräume im euklidischen Raum Es ist eine Grundidee der Differentialrechnung, differenzierbare Abbildungen durch lineare zu approximieren, um so nach Möglichkeit analytische Probleme (schwierig) auf linear-algebraische (einfach) zurückzuführen. Die lineare Approximation einer Abbildung / : R n —> K lokal bei x ist bekanntlich das sogenannte Differential dfx : Kn —> Rfe von / bei x, charakterisiert durch f(x + v) = f(x) + dfx • v + N zwischen Mannigfaltigkeiten lokal bei p e M durch eine lineare Abbildung approximieren? Natürlich können wir jederzeit das Differential d(k o / o hrx)x der mittels Karten heruntergeholten Abbildung betrachten. Dieses Differential hängt aber von der Wahl der Karten wirklich ab, wie es ja eben auch k o f o h"1 und nicht / selbst approximiert. Wollen wir indessen ein kartenunabhängiges Differential für / selbst definieren, so haben wir eine Vorarbeit zu leisten: wir müssen zunächst einmal die Mannigfaltigkeiten M und N lokal bei p und f(p) "linear", d.h. durch Vektorräume, approximieren. Erst danach können wir das Differential als eine lineare Abbildung dfp : TpM -+ Tf{p)N
Fig. 22. Tangentialraum TPM
zwischen diesen sogenannten Tangentialräumen erklären. Der Einführung dieser Tangentialräume ist das gegenwärtige Kapitel 2 gewidmet.
2.1 Tangentialräume im
27
Um uns zu orientieren, betrachten wir zuerst die Untermannigfaltigkeiten der euklidischen Räume R n . Hier bietet sich eine naheliegende Weise an, den Tangentialraum - analog zur klassischen Tangentialebene an eine Fläche im Raume - zu definieren: Lemma und Definition: Ist M C RN eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit und p e M, so ist der durch rpUIit
M := (dh}
h,
fxO)
für eine M ßachmachende Karte (U,h) von RN um p deßnierte Untervektorraum des RN unabhängig von der Wahl der Karte
"Flachmacher" um p
Fig. 23. Tangentialraum einer Untermannigfaltigkeit des RN
und heißt der (Untermannigfaltigkeits-) M am Punkte p .
Tangentialraum
von
Der Kartenwechsel w zweier Flachmacher (U, h) und (V,h) umpmußja h(UnV)n(Rn x 0) auf h{Uf]V)n(Rn x 0), sein Differential bei h(p) also Mn x 0 auf K " x O abbilden, wegen {dhv)~l — (dhp)~l o (dw^p))"1 folgt daraus die Behauptung; T£ntM ist also wohldefiniert. D BEWEIS:
'M R,
welche für alle f , g & £P(M) d i e P r o d u k t r e g e l
«(/ • 9) = v{f) • g(p) + f(p) • v(g) erfüllt. Den Vektorraum dieser Derivationen bezeichnen wir mit TplsM, er heiße der (algebraisch definierte) Tangentialraum von M bei p. D Nun zur dritten Version, der Fassung (c). In der physikalischen Literatur wird gewöhnlich in Koordinaten gerechnet, und dann meist in einem Kalkül, in dem die Stellung der Indices (oben oder unten) von Bedeutung ist, dem in der Differentialgeometrie so genannten Ricci-Kalkül. In diesem Ricci-Kalkül heißt das, was wir einen Tangentialvektor nennen, ein kontravarianter Vektor, und das sei, kurz gesagt, ein n-tupel, notiert als (v1,..., vn) oder ggf. (v°, v1, v2, v3) oder kurz als vß, welches sich nach dem Gesetz
"transformiert". Dabei wird, wie stets im Ricci-Kalkül, über doppelt (und gegenständig, d.h. oben und unten) innerhalb eines Terms vorkommende Indices summiert, hier also über v ("Summenkonvention"). Was soll das alles bedeuten? Übersetzt in unsere Sprache das folgende:
32
Kapitel 2. Der Tangentialraum
Definition (c): Es sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, p e M. Es bezeichne VP(M) := {(U,h) e V | p e U} die Menge der Karten um p. Unter einem ("physikalisch" definierten) Tangentialvektor v an M in p verstehen wir eine Abbildung v : VP(M) -> Mn
mit der Eigenschaft, daß für je zwei Karten die zugeordneten Vektoren in M.n durch das DifFerential des Kartenwechsels auseinander hervorgehen, d.h. daß
für alle (U, h), (V, k) e Vp(M) gilt. Den Vektorraum dieser Abbildungen v bezeichnen wir mit r ^ h y s M , er heiße der (physikalisch definierte) Tangentialraum von M bei p. D
:(z\..,z")/
\*=(21,..,*B)
/
Fig. 28. Zur Interpretation des Transformationsgesetzes für "kontravariante Vektoren": Matrix des Kartenwechsels x^^x^
1
^ ist die Jacobin ,...,x ), p=l,...,n.
Es liegt mir übrigens fern, den Ricci-Kalkül ironisieren zu wollen. Es ist ein sehx eleganter das explizite Rechnen anleitender, gleichsam maschinenlesbarer Kalkül, und er ist in der physikalischen Literatur in ständigem Gebrauch, weil es einen besseren operativen Kalkül für die Vektor- und Tensoranalysis nach wie
2.3 Äquivalenz der drei Fassungen
33
vor nicht gibt. Diese Vorzüge — die Sie bei näherer Bekanntschaft noch mehr zu schätzen lernen werden — sind aber mit gewissen Nachteilen erkauft. Die Eleganz einer Notation beruht meist auf der Unterdrückung "unwichtiger" Daten, und für das effiziente Handhaben von Formeln sind eben andere Dinge wichtig als für die logische Klärung geometrischer Grundbegriffe. Deshalb müssen wir jetzt einmal einen "kontravarianten Vektor", statt mit zierlichem v^, mit der plumpen Ausführlichkeit des v : VP(M) -> Mn,
(U, h) ^ v(U, h)
bezeichnen. Als Verbesserungsvorschlag zum täglichen Gebrauch für Physiker ist das nicht gedacht.
2.3
Äquivalenz der drei Fassungen
Wir wollen uns nun davon überzeugen, daß die drei Versionen des Tangentialraumbegriffs im wesentlichen dasselbe bedeuten. Sehen Sie aber das folgende Lemma nicht als Strafe für mutwilliges Dreifach-Definieren an, sondern als ein ganzes System von unentbehrlichen Hilfssätzen über den Tangentialraum, die in dieser Form am übersichtlichsten zusammengefaßt sind. Lemma: Die im folgenden näher beschriebenen kanonischen Abbildungen (3)
*
\
(1)
(2)
sind miteinander verträgliche Bijektionen, d.h. die Zusammensetzung von je zweien ist invers zur dritten. PRÄZISIERUNG UND BEWEIS:
zuerst einmal an:
Geben wir die drei Abbildungen
34
Kapitel 2. Der Tangentialraum
(1) Geometrisch -——*- algebraisch: Ist [a] ein geometrisch deßnierter Tangentialvektor an M in p, so ist durch £P(M) /
> R i
> (/oa)'(O)
eine Derivation, also ein algebraisch deßnierter Tangentialvektor gegeben. — Natürlich sind hierbei einige kleine Nachweise zu führen: Die Unabhängigkeit von der Wahl der repräsentierenden Funktion innerhalb des Keimes ist evident und wird von unserer Notation zurecht schon vorweggenommen. Die Unabhängigkeit von der Wahl des Repräsentanten a e JCP(M) von [a] e T&eomM prüft man mittels einer Karte (U,h) um p: oBdA repräsentiert / : U —>• M den Keim und oBdA haben a und ß denselben genügend kleinen Definitionsbereich (—e,e):
a,ß
Fig. 29. Tangential äquivalente Kurven definieren nach der Kettenregel dieselbe Derivation / n ( / o a ) ' ( 0 ) .
Dann ist (h o a)' (0) = (h o ß)' (0) nach Voraussetzung und daher (/ o h~x o h o a)' (0) = ( / o h~l o h o ß)' (0) nach der Kettenregel. — Daß schließlich die nun für gegebenes [a] als wohldefiniert erkannte Abbildung £P(M) —> M, />—>(/ o a)'(0), wirklich eine Derivation ist, folgt aus der Produktregel für Funktionen (-£,£)-»• M.
(2) Algebraisch -——>- physikalisch: Ist v : £P(M) —> M eine Derivation, so ist durch Vp(M) (U,h) i
> Mn >
(v(hi),...,v(hn))
2.3 Äquivalenz der drei Fassungen
35
ein physikalisch deßnierter Tangentialvektor gegeben, behaupten wir. Sind (U,h) und (V,k) Karten um p und w := k o hT1 auf h(U fl V) der Kartenwechsel, so haben wir also
zu zeigen. — Hier ist nun die einzige Stelle in unserer Untersuchung des Verhältnisses der drei Tangentialraum-Definitionen untereinander, wo man wirklich einen kleinen Kunstgriff braucht. Von v wissen wir nur, daß es eine Derivation ist. Deshalb sollten wir versuchen, irgendwie zu einer Darstellung der Form n
' J2 9ij zu gelangen, um die Produktregel auch ausnutzen zu können. Das gelingt mit dem folgenden HlLFSSATZ: Sei O C M.n eine bezüglich 0 sternförmige offene Menge, z.B. eine offene Kugel um 0 oder Mn selbst. Ist dann f : ü -> E eine differenzierbare (= C°°) Funktion mit /(0) = 0, so gibt es differenzierbare Funktionen /,• : 0, —> K mit
gilt /(#) = Jg1 -^f(txi,.. .,txn)dt x /o 53?= i j ~dx~ ( ^ i ' • • • > txn)dt und wir brauchen daher nur
BEWEIS DES HILFSSATZES: ES =
i
(tXi, . . . ,tXn)dt o
J
"
zu setzen. — Wir dürfen oBdA h(p) = k{p) = 0 und h(U) als eine so kleine ofFene Kugel um 0 annehmen, daß U in V enthalten ist. Gemäß unserem Hilfssatz sind dann die n
ANWENDUNG DES HILFSSATZES:
Kapitel 2. Der Tangentialraum
36
Komponentenfunktionen w\,...,wn Gestalt U
V
des Kartenwechsels von der W
i
=
und wegen k = w o h folgt daraus
y
v
Q
wie wir gehofft hatten, und wenden Fig. 30. Kartenwechsel auf wir darauf nun die Derivation v an, einer offenen Kugel O um 0. g o e r g i b t g i c h w e g e n ^ = Q.
j=i
5=1
aber u;^- (0) ist gerade ^- (0), und damit haben wir die behauptete Formel verifiziert. >- geo(3) Physikalisch metrisch: Ist v : Vp(M) -> M™ ein physikalisch deünierter Tangentialvektor und (U, h) eine Karte um p, und deßniert man a : (—£,e) —> U, für genügend kleines e > 0, durch
U
a{t) := eom soist [a] e T|| M unabhängig F i g 3 1 Z u r D e f i n i t i o n d e r Ab_ hl der Karte. Ist bildung TP h y s M^T| e o r a M. von der Wahl nämlich ß die analoge Kurve bezüglich (V, k) und u; der Kartenwechsel, und benutzen wir k, um die tangentiale Aquivalenz von a und ß zu prüfen, so ist (fc o a)'(0) — (k o ß)'(0) gerade gleichbedeutend mit dwh(p)(v(U, h)) = v(V, k), also mit dem definitionsgemäß erfüllten Transformationsgesetz des physikalisch definierten Tangentialvektors v.
2.4 Die Definition
37
Damit haben wir nun die drei in dem Lemma als kanonisch angekündigten Abbildungen explizit angegeben, wir wollen sie einmal mit 3 o $ 2 = Id T aig M
gilt. Ein geometrischer Tangentialvektor [a] zum Beispiel wird zuerst zur Derivation / H ( / O Q ) ' ( 0 ) , diese zum physikalischen Vektor v(U, h) = (h o CÜ)' (0), mit dem wir schließlich die Kurve ß(t) :— h~l(h(p) +t(hoa)'(0)) konstruieren, die $ 3 o $ 2 c $ i [ a ] repräsentiert. Ist [ß] = [o;]? Ja, denn (h o ß)'(0) ergibt sich direkt als (hoa)' (0). — Analog erweisen sich die anderen beiden Formeln als richtig, und mit dieser Beteuerung beschließen wir D den Beweis des Lemmas.
2.4 Definition des Tangentialraums Wie wollen wir nun den Tangentialraum schlechthin definieren, nachdem klargestellt ist, inwiefern TfomM, T^M und T^SM im Grunde dasselbe Objekt sind? Soll ich einfach sagen: Nennen wir es TpM? Ein mysteriöser Inbegriff, von dem die drei realen Versionen nwc irdische Gleichnisse sind? Lieber nicht. Oder wollen wir die drei Fassungen irgendwie durch Aquivalenzklassenbildung zu einem TPM identifizieren? Ginge schon eher an, aber wozu?
38
Kapitel 2. Der Tangentialraum
Haben wir an drei Fassungen noch nicht genug, daß wir unbedingt eine vierte herstellen müssen? Die wirkliche und vernünftige Praxis ist, alle drei Versionen neben- und durcheinander zu verwenden, ihre Kennzeichnung aber mit der unausgesprochenen Begründung wegzulassen, daß es entweder ersichtlich oder gleichgültig sei, welche Fassung man gerade benutzt. Damit Sie aber vor sich und anderen nicht zu ellenlangen Erklärungen genötigt sind, wenn Sie die berechtigte Frage "Was ist ein Tangentialvektor?" beantworten wollen, gehen wir etwas förmlicher vor und entschließen uns wie folgt. Definition: Es sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, p e M. Der Vektorraum TPM := T^M soll der Tangentialraum an M in p heißen, seine Elemente Tangentialvektoren. — Wir vereinbaren jedoch, eine Derivation v e TPM bei Bedarf auch als geometrisch oder physikalisch definierten Tangentialvektor gemäß 2.3 aufzufassen und diesen mit demselben Symbol zu bezeichnen, wenn keine Mißverständnisse zu befürchten sind. D Notiz: Die Tangentialräume einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit sind übrigens wirklich auch n-dimensional, denn die kanoniist linear, und für eine feste sche Bijektion T^M S T^SM Karte deßniert v^v(U,h) einen Isomorphismus TP hys M = M n .
2.5
Das Differential
Ich hatte die Einführung des Tangentialraumes als eine Vorarbeit für die Definition des Differentials, der lokalen linearen Approximation einer differenzierbaren Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten bezeichnet. Die Vorarbeit ist nun geleistet, wenden wir uns dem Differential zu. Obwohl ich nicht vorhabe, alle mit Tangentialvektoren befaßten Definitionen künftig in dreifacher Ausfertigung vorzulegen, soll es doch jetzt noch einmal geschehen. Sei
2.5 Das Differential
39
also / : M —> N eine differenzierbare Abbildung, p e M. Betrachten wir der Reihe nach in geometrischer, algebraischer und physikalischer Fassung, wie / eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen bei p und f(p) kanonisch induziert. Auf geometrische Tangentialvektoren wirkt / durch Kurventransport:
Fig. 32. Die Kurve a€K.p(M) wird durch / in die Kurve /oae/C /(p )(iV) "transportiert".
Die Abbildung
a
ist, wie man leicht prüft, wohldefiniert. - Kümmern wir uns nun um die algebraischen Tangentialvektoren. Vorschalten von / ordnet Keimen bei f(p) Keime bei p zu:
Fig. 33. Dem Keim von i^:;7^R bei /(p) wird der Keim von <po/ | /~ 1 (!7) bei p zugeordnet.
und definiert so einen Algebrenhomomorphismus
ft-^/i^+te^) repräsentiert (9M ist der Geschwindigkeitsvektor der /x-ten Koordinatenlinie); und als Derivation schließlich wirkt d^, ausführlich geschrieben, durch £P(M)
>• R
also als fi-te partielle Ableitung der heruntergeholten Funktion. Und eben das suggeriert ja die Ricci-Notation d^p trotz ihrer unüberbietbaren Gedrängtheit ganz unmißverständlich, denn was kann die Anwendung von -^ auf eine auf der Mannigfaltigkeit definierte Funktion
rgpf, und > kann vorkommen G rg dfp < Tgpf, und < kann vorkommen. (5) Es sei / : M —> N konstant. Dann ist dfp —
• f(p)
•
0
D
IdTpM.
(6) Es seien V und W endlichdimensionale reelle Vektorräume und f :V —* W linear. Dann ist dfp =
• /
• 0
D
f-f(P).
(7) Es sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und / : V —* V eine Translation. Dann ist dfp = D /
D 0
U
Idv
(8) Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und X, Y und Z endlichdimensionale reelle Vektorräume. Ferner sei duxch < ' , ' } : I x F - > Z irgend eine bilineare Verknüpfung bezeichnet. Dann gilt für differenzierbare Abbildungen / : M -*• X und g : M —>Y &n jeder Stelle p e M
2.10 Übungsaufgaben
49
D D d = - D d = (9) Eine differenzierbare Abbildung / : M —> iV sei in lokalen Koordinaten xv für N und xM für M durch xp =xp(x\...
,xn)
im Sinne des Ricci-Kalküls beschrieben. Dann ist die Matrix des Differentials durch D d^x"
D d^x"
D d9x»
gegeben. (10) Unter welchen zusätzlichen Voraussetzungen bieten die Differentiale dfp einer Abbildung f : M —> N bzw. deren Inversen die Möglichkeit, beliebige Vektorfelder kanonisch von der einen Mannigfaltigkeit auf die andere zu übertragen? D Von M nach N stets, umgekehrt nur, wenn / eine Überlagerung ist. D Auch von M nach N nur dann, wenn / ein Diffeomorphismus ist. D In beide Richtungen, sofern / eine Einbettung ist.
2.10
Übungsaufgaben
AUFGABE 9: Es sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, p e M. Man zeige, daß die Zusammensetzung der kanonischen Abbildungen
die Identität auf T^M
ist.
50
Kapitel 2. Der Tangentialraum
AUFGABE 10: Es sei / : M —> N eine differenzierbare Abbildung, p e M. Man weise nach, daß das Diagramm
kommutativ ist. AUFGABE 11: Sei / : M —> K eine differenzierbare Funktion, p e M. Durch Gradientenbildung bezüglich Karten ist eine Abbildung
> Rn
VP(M) (U,h) i
> gr&dh(p)(f o h^1)
gegeben, nennen wir sie grad p /. Ist das ein Element von T^hysM7 AUFGABE 12: Sei Mo C M eine Untermannigfaltigkeit, p e Mo. Kanonisch, nämlich vermöge des Differentials der Inklusion MQ =—> M, fassen wir TPMQ als Untervektorraum von TpM auf. Man zeige: Ist MQ das Urbild eines regulären Wertes einer Abbildung / : M -> N, soist
TPMO = Kern dfp.
2.11
Hinweise zu den Übungsaufgaben
Zu AUFGABE 9: Obwohl die drei Abbildungen kanonisch, also kartenunabhängig sind, kommt doch bei der Beschreibung von Tf*sM -> T| e o m M eine Karte (U, h) als Hilfsmittel vor. Deshalb sollte der Beweis so anfangen: Sei (U, h) eine Karte um p und v e TpigM eine Derivation. Dann ist die Derivation v' :— 1, aber man ergänzt sie zweckmäßig durch die Konvention: Alt°F := K.
D
Die alternierenden O-Formen sind also die rellen Zahlen, und Alt 1 ^ = Hom(V, M) =: V* ist der gewöhnliche Dualraum von V, die Eigenschaft des "Alternierens" kommt für k = 1 nicht zum Zuge, weil sie aus der Linearität schon folgt: w(0) = 0. Für k > 2 bedeutet das Alternieren aber etwas Besonderes, und es ist nützlich, dafür einige Kriterien zu kennen:
3.1 Alternierende fe-Formen
53
Lemma: Für multilineare Abbildungen w : Vx.. die folgenden Bedingungen einander äquivalent:
xV
W sind
d.h. ui(vi,.. ,Vk) = 0 , wenn (vi,..,Vk) (1) ui ist alternierend, Hnear abhängig. (2) to(v\,.. ,Vk) — 0, wenn unter den i>i zwei gleiche sind, d.h. wenn es i ^ j mit Vi = Vj gibt. (3) Bei Vertauschung zweier Variablen kehrt u> das Vorzeichen um: für i < j gilt w(vi, ..,vk) = - w ^ i , . . , Vj,.., vi}.., vk). (4) Ist T : { 1 , . . , k } —> { 1 , . . , k } eine Permutation, so gilt w(ui,.., vk). BEWEIS: Für trivial darf man die Implikationen (1) =>• (2) • (1), denn sind v±,.. ,vk linear abhängig, so ist einer der Vektoren Linearkombination der übrigen, und dadurch wird LJ(VI, .. ,Vk) zu einer Summe, deren k — 1 Summanden alle wegen (2) verschwinden. Um (2) = > (3) einzusehen, bedenkt man, daß (2) nicht nur L Ü ( V I , . . , Vi+Vj,..,
Vi+Vj
,..,vk)=0
bewirkt, sondern auch, daß von den vier Summanden, die sich aus der linken Seite wegen der Linearität in der i-ten und j-ten Variablen ergeben, nur zwei übrigbleiben und wir w(v\, ..,Vi,..,Vj,..,
vk) +
erhalten, also die Aussage (3).
D
Jede lineare Abbildung / : V -» W stiftet eine lineare Abbildung Hier lebt ui Altkf : A\tkW -> Altfey, also in die "GegenrichFig. 39. Zur Definition von Alt f c /. tung", und Altfc wird dadurch zu einem kontravarianten Funktor (siehe z.B. [J:Top], Seiten 80 und 76) von der Kategorie der reellen Vektorräume und linearen Abbildungen in sich, oder ganz ausführlich:
54
Kapitel 3. Differentialformen
Definition und Notiz: Ist f : V —> W linear, so wird die lineare Abbildung > Alt fc F Altkf : AltkW w ( / ( « i ) , . . . , f{vk)) bzw. durch durch ((Altkf)(Lo))(Vl, ...,vk):= die Konvention A l t 0 / = Id.R deßniert, und es gilt dann Id i—• Id und die kontravariante Kettenregel, d.h. und k
Alt (gof)
k
A\t foA\tkg
= f
9
für lineare Abbildungen V —> W —> X.
ü
In der Mathematik sind sehr viele Funktoren im Gebrauch, und im Zweifelsfalle ist es schön und klar, die individuelle Bezeichnung des Funktors, hier also Altfe, auch bei den zugeordneten Morphismen zu verwenden, aber immer ist ja kein Zweifelsfall, und im praktischen Leben kommt man bei Hunderten von Punktoren meist mit zwei Schreibweisen für den einem / zugeordneten Morphismus aus, nämlich mit /* im ko- und / * im kontravarianten Falle. Das ist nicht nur bequem, sondern auch übersichtlich, und deshalb wollen wir, wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, auch hier vereinbaren: Schreib- und Sprechweise: Statt Alt fe / schreiben wir auch einfach / * und sprechen von f*u> als von der durch / aus u> induzierten fc-Form. D
3.2
Die Komponenten einer alternierenden Ä;-Form
Wir müssen auch wissen, wie man bezüglich einer Basis von V mit alternierenden fc-Formen rechnet, weil wir später Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten manchmal in lokalen Koordinaten zu betrachten haben. Ist in V eine Basis ausgezeichnet, so kann man eine alternierende A;-Form, wie jede Multilinearform, durch die Zahlen charakterisieren, mit denen sie auf (fe-tupel von) Basisvektoren antwortet:
3.2 Komponenten
55
Sprechweise: Ist ( e i , . . . , e n ) eine Basis von V und ui eine alternierende /c-Form auf V, so heißen die Zahlen a
ßi...ßk
: =
^\epn
für 1 < fii bezüglich der Basis. D
Wegen des Alternierens von u) sind die Komponenten natürlich "schiefsymmetrisch" in ihren Indices, d.h. es gilt a
Mr(i)-Mr(*) ^ s g n f V l a ^ . . . ^ , und deshalb genügt es, a ^ . . , ^ für ß\ < • • • < ß}- zu kennen. Weitere Relationen unter den Komponenten gibt es aber nicht, d.h. man kann die a^x...Mfc für ßi < • • • < fik beliebig vorschreiben, genauer: Lemma: Ist ( e i , . . . , e n ) eine Basis von V, so ist durch
eiü Isomorphismus
gegeben.
B E W E I S : Die Abbildung ist ersichtlich linear. Wegen der Multilinearität von u> gilt stets
also ist die Abbildung Alt fc F —> RU) injektiv, denn wenn w ( e M l , . . . , eMfc) = 0 für ßi < • • • < ßk, dann wegen des Alternierens von u> auch für alle anderen ßi,..., ßk. — Die Abbildung ist aber auch surjektiv. Ist nämlich (aAj1.../Jfc)Atl { 1 , . . . ,fc} jeweils die Permutation sei, welche die Indices der Größe nach ordnet: ßT(i) < • • • < ßT(k) • Dann wird durch
w(v1,...,vk):=
E
v (i)
• • • •
56
Kapitel 3. Differentialformen
die gesuchte alternierende fe-Form gegeben, wobei vhy ..., v?--. natürlich die Komponenten von Vj e V bezüglich (ej,...,e n ) bezeichnen. • Korollar: Ist dim V = n, so gilt dim AltfeV = (£). Für k = 0 stimmt das zu der Konvention Alt 0 ^ := R, und für k = 1 ist es die wohlbekannte Tatsache dimV* = dimV\ Aber auch Alt"" 1 ^ hat die Dimension n, und deshalb werden die alternierenden (n — 1)-Formen, die 1-Formen und die Elemente ("Vektoren") von V selbst beim Rechnen in Koordinaten durch n-tupel reeller Zahlen dargestellt. Man sollte sie aber trotzdem nicht miteinander verwechseln, denn beim Übergang zu einer anderen Basis verhalten sich die n-tupel jeweils unterschiedlich. Vektoren, 1-Formen und alternierende (n — 1)-Formen sind eben nicht kanonisch dasselbe, und wenn man Isomorphismen V ^ V* S Alt™-1^ benutzt, was wegen der Gleichheit der Dimensionen natürlich möglich und zuweilen auch nützlich ist, so muß man beachten, daß solche Isomorphismen nicht kanonisch gegeben, sondern gewählt sind. (Ein Isomorphismus (p : V = V* entspricht der Wahl einer nichtentarteten Bilinearform ß auf V x V, nämlich vermöge ip(v)(w) = ß(v,w); ein Isomorphismus V ^ A l t ' 1 " 1 ^ der Wahl eines Basiselements in Alt n V. Vergl. Aufgabe 13.)
3.3 Alternierende n-Formen und die Determinante Von besonderem Interesse für die Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten sind die alternierenden n-Formen für n = dim V, über die wir jetzt also dim Alt n F = 1 wissen, was wir auch so formulieren können: Korollar: Ist (ei,..., e„) eine Basis von V und a e R, so gibt es genau eine alternierende n-Form u> auf V mit w(ei, ...,en)
= a.
D
3.3 n-Formen
57
Im Falle der Standardbasis (ei,..., e n ) des K" und a = 1 ist das die Determinante det : M(n x n, R) —> M, aufgefaßt als die Multilinearform in den Spaltenvektoren, wie man aus der Linearen Algebra weiß: Die Determinante ist die einzige Abbildung vom Raum der n x n-Matrizen über K nach K, die multilinear und alternierend in den Spalten ist und der Einheitsmatrix den Wert 1 s K zuordnet. — Für beliebige Endomorphismen / : V —> V gilt: Lemma: Ist V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum und f : V -> V linear, so ist Alt"/ : Alt"V -> Alt n ^ die Multiplikation mit det / e R. BEWEIS: Wegen dim Alt™V = 1 wäre die Aussage, nebenbei bemerkt, auch als koordinatenfreie Definition von d e t / geeignet. Da ^ wir aber det / nach der üblichen Definition det / := n für ein (dann jedes) ip : M. = V schon kennen: V
—> V
also d e t / = detA, so wird's ein beweisbedürftiges Lemma. Aber nach der Kettenregel für den Funktor Alt" ist Mtny
Altnip\9i
< ^ V
Mtny
Alt"V|e
Id & Kettenregel"), gilt nun auch
Notiz: Durch Q,k ist in kanonischer Weise ein kontravarianter Funktor von der differenzierbaren in die lineare Kategorie gegeben, d.h. bezeichnet f* : Q,kN —»• ftkM die von einem differenzierbaren f : M —y N induzierte lineare Abbildung, so gilt (Id^f )* = IdnkM und{gofy=f*og*. D
3.5
Einsformen
Die differenzierbaren 1-Formen, also die 10 e Q}M, heißen auch Pfaffsche Formen. Eine besondere Art Pfaffscher Formen ("exakte Pfaffsche Formen") sind die Differentiale difFerenzierbarer Funktionen, genauer: Definition: Sei / : M —> R differenzierbar. Dann heißt die durch p i > dfp e AltlTpM gegebene differenzierbare 1-Form df e Q}M das Differential von / . D Das Differential dfp an der einzelnen Stelle p e M wäre ja eigentlich eine lineare Abbildung dfp : TPM —> T/(p) M, aber wir berufen uns natürlich auf den kanonischen Isomorphismus M = Ty M (vergl. 2.6) und fassen dfp als Element im Dualraum T*M von TpM auf. In diesem Sinne gilt auch dfp(v) = v(f) für v e TpM, z.B. weil d/p(d(0)) = (/oa)'(O) e M, vergl. 2.7. In lokalen Koordinaten, d.h. bezüglich einer Karte (U, h), sind also die n Komponentenfunktionen von df gerade
Die Übungsaufgabe 11 handelte schon von der Tatsache, daß keinen Tangentialvektor VPM —> Rn das n-tupel (dif,...,dnf)
3.5 Einsformen
61
definiert. Hier sehen wir nun die von unserem gegenwärtigen Standpunkt aus "wahre" Bedeutung der partiellen Ableitungen nach Koordinaten: Es sind die Komponenten des Differentials df, welches deshalb auf Mannigfaltigkeiten die Rolle des Gradienten übernimmt. — Insbesondere können wir für eine Karte h — (x1,... ,xn) auf U die Differentiale dx^ e Ü1U der Koordinatenfunktionen xß selbst bilden. Deren Komponenten dx^(du), v = 1,..., n sind dann also dx»{dv) =
» = 5» :=
1 für 11 = 1/ 0 für fj, ^ u,
und das bedeutet: Lemma: Die Differentiale dx1,..., dxn e OXC/ der Koordinatenfunktionen x^ : U —> M einer Karte bilden an jeder Stelle p e U duale Basis (dx^,..., dx™) von T*M. D die zu (di,...,dn) Korollar: Ist u> eine 1-Form auf M und (U, h), h = (x1,..., xn), eine Karte, so gilt
=E 11=1
die Komponenwobei die ui^ : U d^) bezeichnen. tenfunktionen w^ Insbesondere gilt also auch für differen-
F g
°
i -^ 2 'i Ube , ra il a j f Ui
ist (dx ,...,dx ) dual
zierbare Funktionen n df df —
h dx»
zu (9i,...,a„). auf dem Kartengebiet U.
BEWEIS: Wir prüfen die Gleichheit an jeder Stelle p e U durch Einsetzen der Basisvektoren dv, v = 1,..., n auf beiden Seiten: u, und
also sind die beiden 1-Formen auf U gleich.
D
62
Kapitel 3. Differentialformen
Diese lokale Beschxeibung der 1-Formen als u> = ^ i ^ insbesondere der Differentiale als df = X^=i &ßf ' dxß, ist der Schlüssel zum Koordinatenrechnen mit diesen Formen, und sehr oft beruft man sich bei lokalen Begriffsbildungen und Beweisen darauf. Eine solche Beschreibung ist aber nicht nur für 1-Formen möglich. Sobald wir das äußere Produkt oder Dachprodukt werden eingefübxt haben, können wir eine fc-Form bezüglich einer Karte als Lü =
J2
UJ
/J,1...tJ,kdx'Jl1
A • ••
mittels Komponentenfunktionen und Koordinatendifferentialen ausdrücken und so das lokale Rechnen mit fc-Formen auf den Umgang mit den wohlvertrauten Funktionen zurückführen.
3.6 Test (1) Es seien j%,g% : V —> R lineare Abbildungen. Dann ist die durch (vi,...
,Vk) >->
•
fi{vi)
• •
/i(«i) + • • • + /*(«*) + 9i (ui) + • • .+9k(vk) (fi(vi) + gi(vi)) • . . . • (/fe(ufc) + gk{vk))
• . . . • fk(vk)
+ gi(vi)
•
••••gk(vk)
gegebene Abbildung V x. • • • x V ^> R multilinear. (2) Welche der folgenden Bedingungen an eine multilineare Abbildung / : V x . . . x V —*• E ist hinreichend dafür, daß / alternierend ist? D f(vi,... , Vk) = 0 sobald v^ = Vi+i für ein i D Es gibt ein e : Sn —>• {—1,4-1}, nicht konstant + 1 , ()
D f(v,...
()
)
, v) = 0 für alle v e V.
(3) Sei Altfe(V, W) der Vektorraum der alternierenden fc-linearen Abbildungen V x . . xV —> W und d i m y = n, dimW = m. Dann ist dim Altfe(V, W) =
3.6 Test
63
(4) Definiert das Kreuzprodukt von Vektoren im M3 ein Element von Alt 2 (K 3 , M3) ? D Ja, weil es bilinear und schiefsymmetrisch ist. D Nein, weil es zwar schiefsymmetrisch ist, aber nicht alterniert. D Nein, weil es nicht bilinear, sondern linear ist. (5) Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, k > 0,w eine alternierende fc-Form auf V und vi = 2Dj=i aijvj • Gilt dann ü nur für k = n D nur für k = 1 und k — n D fiir alle k. (6) Für eine nichtleere Mannigfaltigkeit M mit dimM = n > 0 und 0 < k < n gilt dim^ fe M — D oo
D
(^)
D fc(fc - l ) / 2
(7) Für eine differenzierbare Abbildung / : M —> 5 1 C C , geschrieben als f — eie, ist zwar nicht 6> e fi°M, aber immerhin sinö,cosö und d6 e Q}M wohldefiniert, weil 0 lokal als differenzierbare reellwertige Funktion bis auf Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 2TT wohlbestimmt ist. Ferner hat / als komplexwertige Funktion auch ein komplexwertiges Differential df e n 2 ( M , C ) . Es gilt U df = -sm0d6 + icos0d6 D df = ifd0. (8) Sei 1 < k < n = dim M,M ^ 0 . Kann es eine Abbildung / : M —> M mit der Eigenschaft /*o; = — u> für alle LÜ € Q,kM geben?
D Ja, z.B. gilt das für M = M.n, k ungerade und f(x) := -x D Ja, z.B. für M := Sn und / die antipodische Abbildung, k beliebig. D Nie und nimmer.
64
Kapitel 3. Differentialformen
(9) Es sei 7T : R2 \ 0 —> 5 1 die radiale Projektion und r\ eine 1-Form auf S1. Am Punkte p e R2 \ 0 betrachten wir den [Tp2 r^j rj-i /Trj)2 Tangentialvektor v :— (l) IK = lp\ JK \ 0) und ebenso ! ^NJ rp I TT 2 I \O) am Punkte rp für ein r > 0. w := (°) € W Dann gilt e
D it*r](w) == is*r\{y) D •n*r)(w) - VK*r\{y) D rn*rj(w) = TT*T](v) (10) Jetzt bezeichne -K die radiale Projektion von R 3 \ 0 auf S2 und b : S2 ^ R3 \ 0 die Inklusion. Seien 77 e O 3 (K 3 \ 0) und ÜJ e D,2S2. Dann gilt •
3.7
TTV?? = 77
D 7r*i*77 = 0
D t*7r*a; = w
Übungsaufgaben
AUFGABE 13: Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und u> s A l t n F von Null verschieden. Man zeige, daß die Abbildung > Altn-JF
V V
I
5- V—l U) ,
wobei (v-i ui)(vi,..., v n -i) '•= w(^i ^ i , . . . , v„_i), ein Isomorphismus ist. A U F G A B E 14: Es sei ( e i , . . . , e n ) eine Orthonormalbasis in dem euklidischen Vektorraum (F,) und u; die alternierende nForm auf V mit w ( e i , . . . , e n ) = 1. Man berechne die "Dichte" UJ(VI, . . . , vn)\ aus der "ersten Grundform" (gßV)n,v=i,...,n > wobei
AUFGABE 15: Man bestimme die Transformationsformel für kFormen im Ricci-Kalkül. Genauer: Für Karten (U, h) und (U, h)
3.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben
65
notiere man die Koordinaten als h = (x1,..
.,xn)
und
und bezeichne dementsprechend auch die Komponentenfunktionen von u> e QkM bezüglich der Koordinaten. Wie berechnet man Uß1...ßk aus den wMl...Mi. ? 16: Ist V+ C K2 der von 0 ausgehende abgeschlossene Halbstrahl mit dem Winkel a zur positiven x-Achse, so ist die Winkelfunktion AUFGABE
ipa : R2 \ V+
> (a - 2TT, a)
der Polarkoordinaten als differenzierbare Funktion wohldefiniert. Bezeichnet u>a :— d<pa ihr DifFerential, so stimmen jeweils u>a und ojß auf M2 x (V+ U Vg~) überein (weshalb?) und deshalb ist durch die uia eine Pfaffsche Form w e fi^^M2 \ 0) wohldefiniert. Diese ist ein beliebtes Musterbeispiel für gewisse Phänomene. Man beweise: Es gibt keine differenzierbare Punktion / : R2 \ 0 —• R mit u> =
df.
3.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben Zu AUFGABE 13: Ich schlage vor, den Ausdruck v-i UJ als "v in u>" zu lesen und zu sprechen, weil wir so an die Bedeutung Da V und des Symbols _i erinnert werden: D J U = LJ(V,...). Alt"^ 1 ^ oft identifiziert — um nicht zu sagen: verwechselt — werden, ist es nützlich, sich klarzumachen, welche Rolle die Wahl einer n-Form to dabei spielt. Übrigens kann man auch bei gegebenem w die Abbildung nicht ganz kanonisch nennen, denn ebensogut könnte man v auch als letzte Variable in u> einsetzen, was die Abbildung um das Vorzeichen (—l)""1 änderte. Wir wollen aber auch künftig bei der durch diese Aufgabe gegebenen Definition bleiben. — Technisch betrachtet ist die Aufgabe unproblematisch, und ich wüßte nicht, welchen Hinweis ich noch geben dürfte.
66
Kapitel 3. Differentialformen
Zu AuFGABE 14: Die Formel, die Sie hier finden und beweisen sollen, spielt eine wichtige Rolle beim Integrieren in lokalen Koordinaten auf "Riemannschen" Mannigfaltigkeiten, insbesondere auf Untermannigfaltigkeiten des M . Anstatt mit einem festen Vektorraum V hat man es dann mit den Tangentialräumen auf einer Karte zu tun, und die v\,... ,vn sind die d\,...,dn. Diese Funktionen g^v : U —> M sind im Prinzip leicht zu berechnen. Für 9flv das Integrieren aber braucht man K * in dieser Situation die Funktion |w(öi,..,9 n )| : U -y R+. (Daß \ui\ ,„ „. • ( ( j ( J )
\
•*• '
'
'
b
/ I
I
\
II
Fig. 43. "Komponenten
von der Wahl der ON-Basis (e%,.., en) unabhängig ist, kommt bei der Lösung
der ersten Grundform"
d e r
A u f g a b e
u
j a
m i t
h e r a u g
u n d
könnte auch leicht direkt gezeigt werden: ON-Basen gehen durch isometrische Transformationen auseinander hervor und diese haben stets Determinante ± 1 . . . ). Das ist der tiefere Sinn der Aufgabe! Vordergründig ist es eine nützliche Übung im Umgang mit n-Formen, Matrizen, Skalarprodukten, Transformationen von n-Formen usw. Praktischer Hinweis: Rechne zuerst aus, wie die Matrix G := {g^) mit der Matrix A — {a.p.v) zusammenhängt, welche die Entwickhmg der v^ nach der CW-Basis e\,...,en beschreibt, d.h. vß =: YlZ=i ai>.vev erfüllt. Zu AUFGABE 15: Wie Sie sehen, ist hier der Durchschnitt zweier Kartengebiete schon oBdA mit U bezeichnet, sonst hätte man eben U D V zu betrachten gehabt. — Daß die Frage nach der Transformationsformel für die Komponenten einer fc-Form sinnvoll und berechtigt ist, brauche ich wohl nicht zu verteidigen. Außer dieser nützlichen Information bietet Ihnen die Aufgabe aber auch Bekanntschaft mit einer ganz eleganten Notation aus der Trick-Kiste des Ricci-Kalküls. Man muß sie nur lesen können! Sie sehen ja, daß die Notation UJ^,...^ := uj^d^,... ,dßk) für die Komponenten einer A:-Form u eigentlich keine Information über die benutzten Koordinaten enthält — ganz im Einklang mit der Ricci-Philosophie, daß die Koordinaten selbst keine individuellen Namen erhalten. Wie lästig wäre auch ein anderes Vorgehen! Was aber, wenn nun ein zweites Koordinatensystem betrach-
3.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben
67
tet werden muß? Antwort: Querstriche auf — den Indices! Das schafft nicht nur neue Index-Bezeichmingen (wie es ohne nähere Erklärung natürlich von uns gelesen würde) sondern soll auch bedeuten, daß die Größen mit quergestrichenen Indices sich auf das zweite Koordinatensystem beziehen. Versuchen Sie einmal, damit umzugehen. Klappt tadellos! Zu AUFGABE 16: Sie kennen die "Argument"-Funktion (pa : M2 \ Va -» (a - 2ir, a)
auch aus der Funktionentheorie, z.B. für a = ir als den Imaginärteil des Hauptzweiges des Logarithmus. Nicht direkt, aber dem Sinne nach, hängt unsere Aufgabe auch mit der Tatsache zusammen, daß j ^ Inz = ^ zwar auf ganz C \ 0 wohldefiniert ist, aber doch dort keine Stammfunktion besitzt.— Die Aufgabe ist nicht schwierig zu lösen: Was wäre über / — ip^ (zum Beispiel) zu sagen, wenn es so ein / gäbe? Und wäre das denn möglich? Eine Pfaffsche Form kann also überall lokal ein Differential sein, ohne daß das auch global der Fall sein muß. Dies ist ein mathematisch wichtiges Phänomen ("de Rham-Cohomologie"), und das Beispiel, das die Aufgabe dafiir bietet, ist vielleicht das einfachste, das es gibt: kein Wunder, daß es oft herangezogen wird, man sollte es kennen. In der Physik spielt es bei der Interpretation des Aharonov-Bohm-Effekts eine Rolle.
4 4.1
Der Orientierungsbegriff
Einführung
Wie Sie wissen, kommt es beim Integrieren einer Funktion einer reellen Variablen auf die Integrationsn'c/iiwrig an: o
a
J f(x)dx = - J f{x)da Das dx spürt sozusagen die Umkehr der Integrationsrichtung: die Differenzen Ax^ — Xk+i — Xk in den Riemannsummen Y^f{xk)A%k sind positiv oder negativ, je nachdem ob die Teilungspunkte auf- oder absteigen. Analog bei Kurvenintegralen J f(x,y, z)dx + g(x,y, z)dy + h(x,y, z)dz, wobei 7 eine Kurve im M3 ist, oder bei den Kontur-Integralen J f(z)dz der Funktionentheorie. Sie sind invariant gegenüber allen Umparametrisierungen der Kurve, welche die Durchlaufungsrichtung nicht ändern. Durchläuft man aber die Kurve rückwärts, so kehrt das Integral sein Vorzeichen um. Ich will nicht sagen, daß dieses Reagieren auf die Integrationsrichtung eine Eigenschaft jedweder sinnvollen Fassung des Integralbegriffes sein muß. Zum Beispiel sollte die Bogenlänge J ds einer Kurve von der Durchlaufungsrichtung unabhängig sein, und in der Tat spürt das sogenannte "Linienelement" ds= ^dx2 + dy2 + dz2 (keine 1-Form!) die Richtungsumkehr nicht. Meist haben wir es aber mit richtungssensitiven Integralen zu tun, und für den Aufbau der Vektoranalysis ist es aus diesem und anderen Gründen
4.1 Einführung
69
notwendig, den Begriff des gerichteten Intervalls zu dem der orientierten Mannigfaltigkeit zu verallgemeinern. Als Vorstufe brauchen wir die linear-algebraische Version davon, nämlich den BegrifF des orientierten n-dimensionalen reellen Vektorraums. Um eine erste intuitive Vorstellung von der Orientierung zu erhalten, wollen wir einmal die unserer Anschauung direkt zugänglichen Dimensionen n = 1, 2 und 3 betrachten. Einen eindimensionalen reellen Vektorraum zu "orientieren" soll bedeuten, eine Richtung darin auszuzeichnen, und es ist anschaulich klar, daß dies auf genau zwei verschiedene Weisen möglich ist. Um einen 2-dimensionalen reellen Vektorraum V zu orientieren, muß man einen der beiden Drehsinne in V als positiv festlegen. Solange nicht gerade eine mathematische Definition gefordert ist, weiß natürlich jeder Mensch intuitiv ganz gut, was ein Fig. 44. Die beiden Orien"Drehsinn" ist, und immerhin ziem- tierungen eines 2-dimensionalen reellen Vektorlich viele werden gehört haben, daß raums. der "mathematisch positive" Drehsinn derjenige entgegen dem Uhxzeigersinn sei. Es ist deshalb vielleicht nicht ganz überflüssig, darauf hinzuweisen, daß es in einem zweidimensionalen Vektorraum V keinen wohldefinierten "Uhrzeigersinn" gibt. Auf denmathematisch positiven Drehsinn kann man sich erst berufen, wenn V schon orientiert ist. — In einem 3-dimensionalen reellen Vektorraum schließlich hat eine Orientierung den Zweck, eiFig. 45. Ist es auf der nen "Schraubensinn" auszuzeichnen, "durchsichtigen" 2-dimenoder festzulegen, was "Rechtshändigsionalen Uhr um Neun oder um Drei? keit" bedeuten soll. Dieser Ausdruck bezieht sich auf die bekannte RechteHand-Regel, wonach eine Basis (vi,v2,v3) "rechtshändig" genannt wird, wenn die drei Vektoren in dieser Reihenfolge die Richtungen von Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger einer rechten Hand angeben können. Es kostet eine gewisse Anstrengung, sich der IIlusion zu entziehen, die Rechte-Hand-Regel orientiere in der Tat
70
Kapitel 4. Der Orientierungsbegriff
alle dreidimensionalen Vektorräume. Fangen wir aber an, darüber nachzudenken, so bemerken wir bald, daß wir die Stellung dreier Vektoren in einem dreidimensionalen Vektorraum V erst dann mit unserer rechten Hand anschaulich vergleichen können, wenn wir V auf den realen, physikalischen, uns umgebenden Raum abgebildet haben, und je nachdem, wie wir das machen, wird (v\, v^, V3) dabei rechtshändig oder linkshändig ausfallen: eine rechte Hand sieht im Spiegel wie eine linke aus.
4.2 Die beiden Orientierungen eines n-dimensionalen reellen Vektorraums Wie wäre nun aber Orientierung als mathematischer Begriff genau zu fassen? Dafür gibt es mehrere äquivalente Möglichkeiten. Wir legen eine nicht sogleich anschauliche, dafür aber bequem handhabbare Version als Definition zugrunde. Zunächst setzen wir dim V > 0 voraus. Definition: Zwei Basen (v\,..., vn) und (wi,..., wn) eines reellen Vektorraumes V heißen gleichorientiert, geschrieben
wenn die eine durch eine Transformation mit positiver Determinante aus der anderen hervorgeht, d.h. also wenn det / > 0 für den Automorphismus / : V —> V mit f(vi) = w^ gilt. Notiz und Definition: Gleichorientiertheit ist offensichtlich eine Aquivalenzrelation mit gen.au zwei Aquivalenzklassen auf der Menge 55(V") der Basen von V. Diese beiden Aquivalenzklassen
heißen die beiden Orientierungen
von V: Ein
orientierter
Vektorraum ist ein Paar (V, or), bestehend aus einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum V und einer seiner beiden Orientierungen. D Wir haben bisher V als positiv-dimensional angenommen. Würden wir die Definition wörtlich so auch für nulldimensionale
4.2 Orientierte Vektorräume
71
Räume lesen, so wären diese kanonisch orientiert, denn { 0 } hat nur die leere Basis und daher auch nur eine Aquivalenzklasse gleichorientierter Basen. Es erweist sich aber als zweckmäßige Konvention, für die O-dimensionalen Räume auch noch eine dieser kanonischen "Orientierung" entgegengesetzte einzuführen: Konvention: Die beiden Zahlen ±1 seien die beiden Orientierungen eines O-dimensionalen reellen Vektorraums. D Im Zusammenhang mit dem Orientierungsbegriff stehen einige Sprech- und Schreibweisen, die sich beinahe von selbst verstehen. Ist z.B. (V, or) ein (positiv-dimensionaler) orientierter Vektorraum, so heißen die Basen (vi,...
,vn) e or positiv
orientiert,
die anderen negativ orientiert. Unter der üblichen Orientierung des R" versteht man natürlich diejenige, in der die kano nische Basis (ei,..., en) positiv orientiert ist. — In der Notation wird die Orientierung, wie andere Zusatzstrukturen, gewöhnlich unterdrückt. Ein Isomorphismus / : V —^ W zwischen positivdimensionalen orientierten Vektorräumen heißt orientierungserhaltend, wenn er eine (dann jede) positiv orientierte Basis von V in eine positiv orientierte Basis von W überführt. Im nulldimensionalen Fall nennen wir die (einzige) Abbildung natürlich nur dann orientierungserhaltend, wenn die beiden Orientierungen gleich (also beide +1 oder beide —1) sind. Bemerkenswert und oftmals nützlich ist die folgende topologische Charakterisierung der Orientierungen eines reellen Vektorraums: Lemma: Ist V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum, n > 1, so sind die beiden Orientierungen von V die beiden Wegzusammenhangskomponenten des Raumes 23 (F) C V x • • • x V der Basen von V. Angenommen, zwei verschieden orientierte Basen Bo = und Bi = (wi,..., wn) ließen sich durch einen ste(vi,...,vn) tigen Weg t — i >• Bt in 25(V) verbinden. Wir bezeichnen mit ft'V-^V den Isomorphismus, der Bo in Bt überführt. Dann ist die stetige Punktion 11-> det ft am linken Intervall-Ende t — 0 BEWEIS:
72
Kapitel 4. Der Orientierungsbegriff
positiv (nämlich 1) und am rechten nach Voraussetzung negativ, müßte nach dem Zwischenwertsatz also eine Nullstelle haben, im Widerspruch dazu, daß alle /( Isomorphismen sind. Unterschiedlich orientierte Basen gehören also jedenfalls verschiedenen Wegzusammenhangskomponenten von 33 (V) an. Zu zeigen bleibt, daß gleichorientierte Basen B$ und B\ stets durch einen Weg in 03 (V) verbindbar sind. Wir dürfen oBdA annehmen, daß V = Rn und B\ die Standardbasis (ei,...,e n ) ist. Nun wenden wir auf BQ das Erhard Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an. Dieses führt uns BQ in 2n — 1 Schritten in eine Orthonormalbasis über: Vektor normieren/ nächsten Vektor senkrecht (zu den schon bearbeiteten Vektoren) stellen/ normieren/ nächsten senkrecht stellen/ normieren/ usw. Dies ist zunächst nur ein Hüpfen von Basis zu Basis, wir brauchen aber bloß die Zwischenstationen jeweils gradlinig verbinden, um einen stetigen Zickzackweg in 23(V) von BQ ZU einer orthonormalen Basis zu erhalten, und es bleibt die Aufgabe, von dieser aus auf einem Weg in 03 (V) die Standardbasis zu erreichen. Das gelingt uns aber sogar auf A e GL+(n, M)
einem
me der Orthonormalbasen. Durch eine Drehbewegung SO{n) erreichen wir zuerst eine OrthoDrehung normalbasis, deren SO{n-l) erster Vektor e± Fig. 46. Zum Beweis des Wegzusammenhangs ist, von da aus geeiner Orientierungsklasse. langen wir mittels einer Drehbewegung in e^ zu einer Orthonormalbasis, deren erste beiden Vektoren e\ und e2 sind usw. Nach n — 1 Etappen haben wir auf unserem stetigen Weg eine Orthonormalbasis (ei,..., en-i, wn) erreicht, und wenn es überhaupt Schwierigkeiten gibt, dann jetzt, denn in dem eindimensionalen Raum { e i , . . . , e n _i }^ ist kein Platz mehr zum Drehen. Aber nun brauchen wir auch nicht mehr zu drehen, denn alle drei Basen sind gleichorientiert: E. Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren
4.3 Orientierte Mannigfaltigkeiten
73
die ersten beiden nach Voraussetzung, die letzten aufgrund der Wegverbindung. Also kommt von den beiden verbliebenen Möglichkeiten wn = ± e n nur wn = en infrage, und wir sind schon angekommen. D
4.3 Orientierte Mannigfaltigkeiten Eine Mannigfaltigkeit wird dadurch orientiert, daß man jeden ihrer Tangentialräume orientiert — aber nicht irgendwie, sondern so, daß sich diese Orientierungen nachbarlich gut vertragen und nicht plötzlich "umschlagen". Was soll das heißen? Um es genau ausdrücken zu können, führen wir folgende Sprechweise ein: Definition: Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Eine Familie { orp } p e M von Orientierungen orp ihrer Tangentialräume TpM heiße lokal verträglich, wenn sich um jeden Punkt von
M eine orientierungserhaltende
Karte finden läßt, also eine
Karte (U, h) mit der Eigenschaft, daß für jedes u e U das Differential dhu : TUM - ^ Rn die Orientierung oru in die übliche Orientierung des K" überführt.
D Auch mit den kurzen Worten "bezüglich Karten lokal konstant" wäre diese lokale Verträglichkeit nicht übel beschrieben gewesen. Aber wie dem auch sei, jetzt können wir formulieren: Definition: Unter einer Orientierung einer Mannigfaltigkeit M verstehen wir eine lokal verträgliche Familie { orp } p e M von Orientierungen ihrer Tangentialräume. Eine orientierte Mannigfaltigkeit ist ein Paar (M, or), bestehend aus einer Mannigfaltigkeit M und einer Orientierung or von M. D Natürlich wird man eine orientierte Mannigfaltigkeit nur zu besonderen Anlässen wirklich mit (M, or) statt einfach mit M bezeichnen.
74
Kapitel 4. Der Orientierungsbegriff
Definition: Ein Diffeomorphismus / : M —> M zwischen orientierten Mannigfaltigkeiten heißt orientierungserhaltend (bzw. -umkehrend), wenn für alle p e M das Differential dfp : TpM - ^ Tf(p-)M orientierungserhaltend (bzw. -umkehrend) ist. Der Mn ist wegen des kanonischen K" ^ Tp M.71 durch seine übliche Orientierung als Vektorraum auch als Mannigfaltigkeit orientiert, ferner ist klar, daß alle offenen, also volldimensionalen Untermannigfaltigkeiten einer orientierten Mannigfaltigkeit automatisch auch orientiert sind, und in diesem Sinne sind die eingangs "orientierungserhaltend" genannten Karten wirklich die orientierungserhaltenden Karten h : U - ^ - U' im Sinne der zuletzt getroffenen Definiton. Es sei übrigens auch angemerkt Notiz: Eine Karte ist genau dann orientierungserhaltend, wenn die Basis (di,..., dn) an jedem Kartenpunkte positiv orientiert ist. D Den besten Anschauungsunterricht über den Orientierungsbegriff für Mannigfaltigkeiten geben die zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten, die sogenannten Flächen. Anschaulich gesprochen, versieht eine Orientierung die Fläche überall mit einem Drehsinn, der eben angibt, welche tangentialen Basen positiv orientiert sind. Die Anschauung der Flächen zeigt uns aber auch sofort ein Phänomen, das sich im technischen Sinne nicht sogleich von selbst versteht, nämlich die Existenz nichtorientierbarer Mannigfaltigkeiten: Gerade die lokale Verträglich_ . . . IT ,, -., f keit, die das plötzliche UmFortsetzung ohne Umklappen funrt zu ...
'
r
klappen der Orientierung verbietet, führte "ersichtlich" bei einmaligem Umlauf entlang der Seele des Möbiusbandes ... unvermeidlicher Kollision Fig. 47. Das Möbiusband, eine
nichtorientierbare
2-dimensionale
ZU widersprüchlichen Orieilt i e r u n g s a n g a b e n a m Ausgangs„
i^
-r-v-
• i T v, T>
T.
P u n k t - ~ D l e Wirkliche Durchführung dieses Arguments verlangte natürlich erst einmal, daß wir das Möbiusband definieren und nicht nur hinzeichnen, sodann aber das Lemma aus Mannigfaltigkeit.
4.4 Konstruktion von Orientierungen
75
der Aufgabe 20 anwenden, wonach ein stetiges n-Bein längs einer Kurve in einer orientierten Mannigfaltigkeit seine Orientierung beibehält.
4.4 Konstruktion von Orientierungen Es ist klar, sowohl anschaulich als auch technisch, daß es zu jeder Orientierung eines Vektorraums oder einer Mannigfaltigkeit auch die entgegengesetzte Orientierung gibt. Wir führen hierfür eine Schreibweise ein. Notiz und Notation: Ist or eine Orientierung eines Vektorraums, so bezeichne —or die andere der beiden Orientierungen. Ist or = { orp }p€M eine Orientierung einer Mannigfaltigkeit M, so ist auch -or := {-or p } p e M eine (die entgegengesetzte) Orientierung von M. Wird die Orientierung in der Notation unterdrückt, bezeichnet also M eine orientierte Mannigfaltigkeit, so schreiben wir auch —M für die entgegengesetzt orientierte Mannigfaltigkeit. D Klar ist auch, daß die Summe M\ + M^ zweier orientierter n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten ebenfalls kanonisch orientiert ist, eben durch { orp }PeM!+M2 • So eine Summe besitzt also, wenn beide Summanden nicht leer sind, mindestens vier verschiedene Orientierungen, die in der soeben eingeführten Schreibweise zu den vier orientierten Mannigfaltigkeiten ±M\ ± M2 Anlaß geben. Wie die Summe ist auch das Produkt M\ x M^ zweier orientierter Mannigfaltigkeiten kanonisch orientiert, doch Vorsicht ist bei der Quotientenbildung geboten, vergl. dazu die Aufgabe 32. Untermannigfaltigkeiten orientierter Mannigfaltigkeiten brauchen nicht orientierbar zu sein, wie das Möbiusband im K uns vor Augen führt, aber Lemma: Ist c regulärer Wert einer differenzierbaren Abbildung f :M > N und ist M orientierbar, so auch die Untermannigfaltigkeit Mo := / ^ ( c ) C M.
76
Kapitel 4. Der Orientierungsbegriff
BEWEIS: ES seien also Orientierungen für die Mannigfaltigkeit M und für den Vektorraum TCN gewählt. Wie wir wissen (vergl. Aufgabe 12) ist TPMO der Kern von dfp : TPM
>• TCN.
Wir betrachten deshalb die folgende linear-algebraische Situation: es sei eine "kurze exakte Sequenz" linearer Abbildungen endlichdimensionaler reeller Vektorräume, d.h. t ist injektiv, n ist surjektiv und Kern ir = Bild i, wie es nämlich für 0 - • TPMO ^ TpM —^ TCN -> 0
der Fall ist. Orientierungen für VQ, V\, V^ mögen zueinander passend heißen, wenn folgendes gilt: Ist vi,... ,Vk eine positiv orientierte Basis von Vo und ergänzt man i(v\),..., i(vk) durch wi,... ,wn-k zu einer positiv orientierten Basis von V\, so ist TT(U>I), . . . , ir(wn~k) eine positiv orientierte Basis von V2 • In diesem Sinne gibt es dann zu Orientierungen je zweier der Räume Vb, Vi, V2 genau eine dazu passende des dritten. Von diesem linearalgebraischen Faktum überzeugt man sich leicht, wenn man bedenkt, daß für quadratische Matrizen A und B jede Block-Matrix der Form 'A B die Determinante det A • detB hat. — Orientiert man nun jedes TPMO passend zu den Orientierungen von TPM und TCN, so erhält man eine lokal verträgliche Familie von Orientierungen, D also eine Orientierung von Mo. Man kann Mannigfaltigkeiten auch mit Hilfe von Atlanten orientieren. Dazu defimeren wir: Definition: Ein Atlas 21 einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit heiße ein orientierender Atlas, wenn alle seine Kartenwechsel
4.5 Test
77
w orientierungserhaltend sind, d.h. also überall positive JacobiDeterminante det Jw (x) > 0 haben. D Ist M schon orientiert, so bilden die orientierungserhaltenden Karten offenbar einen maximalen orientierenden Atlas, und umgekehrt gilt Notiz: Ist 21 ein orientierender Atlas einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, so gibt es genau eine Orientierung von M, bezüglich derer alle Karten in 21 orientierungserhaltend sind. • Wir könnten deshalb eine Orientierung ebensogut als einen maximalen orientierenden Atlas auffassen, und diese Version der Definition wird auch oft bevorzugt, weil sie vom Begriff des Tangentialraumes keinen Gebrauch macht.
4.5 Test (1) Wann sind (v\,..., vn) und (—vi,..., —vn) gleichorientiert ( n > 1)? D Immer. D Für gerades n. • Nie. (2) Wieviele Wegzusammenhangskomponenten hat die orthogonale Gruppe O(n) für n > 3? D Eine, das kann man mittels Drehungen wie beim Beweis des Lemmas in 4.2 zeigen. D Zwei, nämlich SO(n) und 0(n) \ SO(n). D Eine für n ungerade, zwei für n gerade. (3) Sei dimF = n und 0 < k < n. Die von -Idy : V -> V induzierte Abbildung Alt fc (-Id,/) : Altfey -> AltfcF ist genau dann orientierungsumkehrend, wenn folgende Zahl ungerade ist:
n *
• (l)
D
k(D
78
Kapitel 4. Der Orientierungsbegriff
(4) Für Diffeomorphismen / : M —> N zwischen orientierten Mannigfaltigkeiten ist die Menge der x in M, für die dfx orientierungserhaltend ist, in M D offen, aber i.a. nicht abgeschlossen. D abgeschlossen, aber i.a. nicht offen. D offen und abgeschlossen. (5) Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit. Muß ein Diffeomorphismus / : M —> M, der nicht orientierungserhaltend ist, orientierungsumkehxend sein? D Ja, weil das bereits für Isomorphismen zwischen orientierten Vektorräumen so ist. D Ja, wenn M zusammenhängend ist, sonst aber im allgemeinen nicht. D Auch für zusammenhängendes M im allgemeinen nicht, weil dfp die Orientierung für einige p umkehren, für andere erhalten kann. (6) Es seien M und N orientierte Mannigfaltigkeiten mit Dimensionen n und k. Dann definiert die Variablenvertauschung einen orientierungserhaltenden Diffeomorphismus zwischen N x M und D •
tfxJV (-i)n-kMxN
• \-iy+kM x N
(7) Kann ein Produkt M x N von zwei zusammenhängenden nichtleeren nichtorientierbaren Mannigfaltigkeiten orientierbar sein? D Ja, z.B. ist M x M stets orientierbar. D Ein Produkt M x N nichtleerer Mannigfaltigkeiten ist genau dann orientierbar, wenn einer der Faktoren orientierbar ist. D Ein Produkt M x N nichtleerer Mannigfaltigkeiten ist genau dann orientierbar, wenn beide Faktoren orientierbar sind.
4.6 Übungsaufgaben
79
(8) Sei M —> M eine Überlagerung n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. D Ist M orientierbar, dann auch M, umgekehrt kann man jedoch nicht schließen. D Ist M orientierbar, dann auch M, umgekehrt kann man jedoch nicht schließen. ^ ü Die überlagernde Mannigfaltigkeit M ist genau dann orientierbar, wenn die überlagerte Mannigfaltigkeit M orientierbar ist. (9) Ist jede 1-kodimensionale Untermannigfaltigkeit MQ einer orientierbaren Mannigfaltigkeit M orientierbar? D Ja, weil MQ dann Urbild eines regulären Wertes einer Funktion / : M ->• E ist. D Ja, weil Untermannigfaltigkeiten orientierbarer Mannigfaltigkeiten stets orientierbar sind. D Nein, die reelle projektive Ebene RP 2 als Untermannigfaltigkeit des projektiven Raumes R P 3 ist ein Gegenbeispiel. (10) Sei MQ C M eine Untermannigfaltigkeit einer Kodimension > 2 und sei M \ MQ orientiert. Ist dann auch M orientierbar? D Ja, die Karten (U, h) von M, die auf U \ MQ orientierungserhaltend sind, bilden einen orientierenden Atlas für M. U Nein, Gegenbeispiel {p} C R P 2 . D Nein, Gegenbeispiel MP2 C
4.6
Übungsaufgaben
AUFGABE 17: Sei V ein reeller Vektorraum, dimF — n > 1 und (vi,...,vn-i,vn) und ( « i , . . . , vn-i,v'n) zwei Basen, die sich nur durch den jeweils letzten Vektor unterscheiden. Für 0 < t < 1 setzen wir jetzt v^ :— (1 — t)vn + tv'n, betrachten
80
Kapitel 4. Der Orientierungsbegriff
also die gradlinige Verbindung zwischen vn und v'n. Man zeige, daß (vi,... ,vn-i,Vn) genau dann für alle t e [0,1] eine Basis ist, wenn (vi,..., vn-i,vn) und (v\,..., vn-i,v'n) gleichorientiert sind. AUFGABE 18: Man zeige, daß eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit höchstens zwei Orientierungen besitzt.
AUFGABE 19: Es sei M eine nichtorientierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit und ui e flnM. Man zeige, daß es ein p e M mit ujp = 0 gibt. AUFGABE 20: Sei 7 : [0,1] —> M eine stetige Kurve in einer orientierten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit und
ein stetiges n-Bein längs 7, d.h. eine bezüglich Karten stetige Zuordnung, die jedem t e [0,1 ] eine Basis i>(£) = (ui(i), • - •, un(*)) von Tj(t}M zuweist. Man zeige: Ist v(0) positiv orientiert, so auch jedes v(t) für t > 0. Als Anwendung dieses Lemmas beweise man, daß die projektive Ebene K.P2 nicht orientierbar ist.
4.7
Hinweise zu den Übungsaufgaben
Zu AUFGABE 17: Es ist ratsam, über die Determinante des Endomorphismus nachzudenken, der (vi,... ,vn) in (v\,..., un-i,i>^) überführt. Man kann sich diesen Endomorphismus ja zum Beispiel als Matrix bezüglich (v\,..., vn) hinschreiben. Zu AuFGABE 18: Hier ist das typische Zusammenhangsargument anzuwenden. Sollte es jemand noch nicht kennen, so darf ich ihm [J:Top.] S. 17, Zeilen 14-21 empfehlen. Man beachte außerdem, daß ein Kartenwechsel genau dann orientierungserhaltend ist, wenn seine Jacobi-Matrix positive Determinante hat. Zu AuFGABE 19: Wie wir wissen (vergl. 3.3), wirkt ein Automorphismus fp : TpM -^^ TpM auf wp durch Multiplikation mit der
4.7 Hinweise zu den Übungsaufgaben
81
Determinante, also antwortet uip auf zwei Basen von TpM genau dann mit Werten gleichen Vorzeichens, wenn diese Basen gleichorientiert sind. Wie könnte man also ein LJ e Q,nM mit u>v ^ 0 für alle p e M (Annahme des indirekten Beweises) zu benutzen versuchen, um M im Widerspruch zur Voraussetzung zu orientieren? Darauf kommt man ziemlich leicht, die Formulierungsarbeit der Aufgabe besteht in dem Nachweis, die so definierte Familie von Orientierungen der Tangentialräume als lokal verträglich nachzuweisen. Zu AUFGABE 20: Der Beweis des Lemmas über das stetige n-Bein längs 7 ist nach Aufgaben 18 und 19 die dritte Variation des Themas "Die Orientierung darf nicht plötzlich umklappen". Das eigentliche Problem ist die ^~vn(0) ~* Anwendung auf die Frage F; 4g der Orientierbarkeit der projektiven Ebene. Probleme werden oft durchsichtiger, ja nicht selten einfacher zu lösen, wenn man sie etwas verallgemeinert. Hier ist es zum Beispiel nützlich darüber nachzudenken, unter welchen Umständen ein Quotient M/T einer (wegzusammenhängenden) Mannigfaltigkeit nach einer fixpunktfreien Involution r wohl orientierbar sein mag und wann nicht. (Vgl. 1.6). Am konkreten Beispiel muß man dann nur noch nachweisen, daß die antipodische Involution auf S2 orientierungsumkehrend ist. Wie ist das eigentlich für andere Dimensionen?
5
Integration auf Mannigfaltigkeiten
5.1 Welches sind die richtigen Integranden? Das Integrieren über n-dimensionale Mannigfaltigkeiten führt man mittels Karten auf das Integrieren im M.n zurück. Integriert werden n-Formen über orientierte Mannigfaltigkeiten, denn für gewöhnliche Funktionen / : M -> M. würde der Beitrag eines Kartengebietes U zum Integral ersichtlich von der Wahl der Karte h abhängen, während die Transformationsformel für das Mehrfachintegral l fok~ im Rn zeigt, daß das Integral foh über die mit einer orientierungserhaltenden Karte herh(U) untergeholte Komponentenfunktion einer n-Form koordiFig. 49. Integral der heruntergenatenunabhängig ist. — Das holten Funktion über das Bild des Kartengebiets ist offenbar ist der wesentliche Inhalt des abhängig von der Wahl der Karte. Kapitels 5. In Abschnitt 5.4 stehen die technischen Einzelheiten, in 5.3 werden die gebrauchten Vorkenntnisse referiert. In den ersten beiden Abschnitten aber wollen wir die Integration auf Mannigfaltigkeiten einmal von der anschaulichen Seite betrachten. — Als natürlicher Kandidat für die Rolle des Integranden bietet sich der Begriff der Dichte an. Denken wir uns in der Mannigfaltigkeit eine Substanz fein verteilt. Integration über die Dichte der Verteilung sollte die Gesamtmenge der Substanz ergeben. Durch was für ein mathematisch.es Objekt wird die Dichte beschrieben?
5.1 Die Integranden
83
Um uns hierüber klar zu werden, betrachten wir die infinitesimale oder linear-algebraische Version dieser Prage. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum (später TpM), eine Substanz darin gleichmäßig fein verteilt. Handelte es sich um den Mn, so könnten wir die Dichte durch die Zahl beschreiben, welche die Menge der Substanz im Einheitswürfel [0, l ] n mißt. In TpM oder V haben wir statt eines ausgezeichneten Einheitswürfels aber nur gleichberechtigte n-Spate: Definition: Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum und vi,...,Vk e V. Dann heißt Spat(t/i,..., vk) := {
0 < A» < 1}
das von den v±,.. ,Vk aufgespannte Parallelepiped oder k-Spat. Fig . 50 . sPat. Ohne eine Basis auszuzeichnen, können wir die Dichte z.B. durch die Abbildung p: F x . . . x F - > R beschreiben, welche für je n Vektoren die in deren Spat enthaltene Menge an Substanz mißt. Welche Abbildungen können äuf diese Weise vorkommen? Sicherlich verlangen wir nicht zu viel, wenn wir beim Versuch, den Dichtebegriff mathematisch zu fassen, positive Homogenität und Scherungsinvarianz fordern: Definition: Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum. Eine —> K heiße eine Dichte in Abbildung p : Vn = Vx..xV V, wenn sie positiv homogen und scherungsinvariant ist, d.h. wenn (1) p(vx,... , Xvi,... ,vn) = |A| p(vi,...,vn) und (2) p(v!,... ,Vi-i,Vi+Vj,vi+1,... ,vn) = p ( u i , . . . ,vn) für alle vi,... ,vn e V, A e R und i ^ j gilt. D
Fig. 51a. Zur positiven Homogenität
Fig. 51b. Zur Scherungsinvarianz.
84
Kapitel 5. Integration auf Mannigfaltigkeiten
Es zeigt sich nun, daß eine solche Dichte in V fast dasselbe wie eine alternierende n-Form auf V ist. Der Unterschied besteht nur darin, daß eine Dichte auf Vertauschung zweier Vektoren nicht reagiert, weil sie nur auf das Spat antwortet, während eine n-Form dabei das Vorzeichen ändert. Genauer: Lemma: Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Wählt man eine Orientierung or von V und modißziert jede Abbildung p:Vx...xV -> R durch [ —p(vi,-->vn) Poi{vi,..,vn) := < { p(vi,..,vn)
falls (vi,..,vn) negativ orientiert sonst,
zu por, so ist p genau dann eine Dichte, wenn por eine alternierende n-Form ist. BEWEIS: " ^ = " ist trivial; zu " = > " : Sei also p eine Dichte. Aus (1) und (2) folgt wenn w eine Linear(3) p(vi,.. ,Vi+w,.. ,vn) = p(vi,..,vn), kombination aus den Variablen vi,.., Wj_i, fi+i, • •, vn ist und (4) p ist invariant unter Vertauschung zweier, also überhaupt unter Permutationen der Variablen. Aus (3) und (1) folgt weiter, daß p verschwindet, wenn v\,..., vn linear abhängig sind. Es sei nun ( e i , . . . , e n ) eine positiv orientierte Basis von V und LÜ e Alt n V die wohlbestimmte alternierende n-Form, welche
erfüllt. Wir zeigen ,- • - , e n ) = pOT(vi,..
-,
für k — 0 , . . . , n durch Induktion nach k. Induktionsschluß von k auf k + 1: oBdA sei (vi,..., Vk+i,ek+2, • • •, e n ) linear unabhängig. Wegen (3) dürfen wir annehmen, daß vi,..., v^+i aus der linearen Hülle Vk+i von e\,... ,ek+i sind, wegen (4) daß v^+i i Vk gilt, und abermals wegen (3), daß v\,...,Vk Elemente von Vk
5.1 Die Integranden
85
sind, diesen Raum aus Dimensionsgründen also aufspannen. Nochmalige Anwendung von (3) erlaubt uns deshalb, v^+i — Aefe+i oBdA anzunehmen, womit wegen (1) der Induktionsschluß geführt ist. D Der Raum der Dichten in V, nennen wir ihn einmal Dens(F), ist also wie Alt n V ein eindimensionaler Vektorraum, aber erst die Entscheidung für eine der beiden Orientierungen von V stellt einen kanonischen Isomorphismus Dens(V) = Alt n V her. Analog zu den n-Formen auf Mannigfaltigkeiten definieren wir nun Definition: Unter einer Dichte auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M verstehen wir eine Zuordnung p, welche jedem p e M eine Dichte pp € Dens (TpM)
in dem Tangentialraum bei p zuweist.
D
Eine Dichte p auf M nennen wir natürlich stetig oder differenzierbar usw., wenn sie es bezüglich Karten ist, d.h. wenn p{d\,.. • ,dn) jeweils die Eigenschaft hat. Den Raum der differenzierbaren Dichten auf M könnten wir, wegen seiner nahen Verwandtschaft zu flnM, mit ttdensM bezeichnen. Auf orientierten Mannigfaltigkeiten besteht nur ein formaler Unterschied zwischen Dichten und n-Formen, und das obige Lemma gibt uns eine kanonische Bijektion zwischen f2densAf und QnM. Ubergang zur entgegengesetzten Orientierung ändert aber das Vorzeichen dieser Bijektion, und auf nichtorientierbaren Mannigfaltigkeiten scheint doch ein wesentlicher Unterschied zwischen Dichten und n-Formen zu bestehen, und so ist es auch. Als die naheliegenden Integranden empfehlen sich also die Dichten. Auf orientierten Mannigfaltigkeiten leisten die n-Formen zwar dasselbe — und insofern verstehen wir jetzt, was sie überhaupt mit der Integration zu tun haben — aber die Dichten führen auch auf nichtorientierbaren Mannigfaltigkeiten noch zu einem wohldefinierten Integralbegriff. Daß dennoch die Formen bevorzugt werden hängt damit zusammen, daß sie auch als kFormen für k < n zur Verfügung stehen, zum Beispiel ist ja
86
Kapitel 5. Integration auf Mannigfaltigkeiten
der Satz von Stokes ein Satz über (n — 1)-Formen. Zwar ließen sich auch fc-Dichten in einer für Integralsätze auf nichtorientierbaren Mannigfaltigkeiten zweckmäßigen Weise definieren, aber dazu brauchte man doch wieder den Formenbegriff. (In einer anderen Sprache gesagt: Bezeichnet L —> M das zur Orientierungsüberlagerung assoziierte Geradenbündel, dessen Schnitte die von den Physikern so genannten Pseudoskalare sind, dann sind die Dichten die L-wertigen n-Formen, und allgemeiner hätte man die fc-Dichten als L-wertige &-Formen aufzufassen.)
5.2 Die Anschauung vom Integrationsvorgang Obwohl wir die folgende Betrachtung ebensogut für eine Dichte auf einer beliebigen nichtorientierten Mannigfaltigkeit anstellen könnten, wollen wir uns, im Hinblick auf den weiteren Fortgang, an die Formen halten. Sei also M eine orientierte ndimensionale Mannigfaltigkeit und u> eine n-Form darauf. Jedes einzelne wp e AltnTpM antwortet auf orientierte Spate in TPM, und wir wollen nun intuitiv zu verstehen suchen, ob und inwiefern uns u) eine "Antwort" JM LÜ auf die ganze Mannigfaltigkeit gibt. Dazu betrachten wir eine orientierungserhaltende Karte Ct/CAf
"Masche"
Teilquader des Rasters
Q' c u' c mn Fig. 52. "Maschen"
h : U -=-> U' C Kn von M und im Kartenbild U' einen Quader Q' = [a 1 ,6 1 ]x---x[a n ,6 n ] C U', den wir uns durch Unterteilungen der Kanten-Intervalle [a*,6J] fein gerastert denken. Der große Quader Q' ist dann die Vereinigung vieler kleiner Teilquader, deren Urbilder unter der Karte h wir die Maschen des Rasters nennen wollen. Um eine Bezeichnung zu haben, wollen wir ap für die Masche mit dem "linken unteren
Eckpunkt" p schreiben, das ist also das Urbild des Teilquaders 4=1
5.2 Integrationsvorgang
87
der Rasterung von Q', wobei xp,... ,xp die Koordinaten des Gitterpunktes p e Q bedeuten. Natürlich soll
peGitter^o-p
gelten, und wir versuchen daher zu verstehen, ob und wie LO auf die einzelnen Maschen antwortet. — Es entspricht nur dem üblichen Vorgehen der Infinitesimalrechnung, wenn wir zu diesem Zweck die kleinen Maschen erst einmal linear approximieren, d.h. ap jeweils mit dem tangentialen Spat sp in TpM vergleichen, CM welches wir als Urbild unter der linearen Approximation dhp der Karte aus Fig. 53. Approximation dem zu ap gehörigen Teilquader erhalten: Da die Einheitsvektoren des K™ unter dem Kartendifferential gerade den Koordinatenbasisvektoren d\,..., dn des Tangentialraumes entsprechen, sind die die Kantenvektoren des Spates, also
Nun gibt uns die alternierende n-Form uip auf TPM eine wohldefinierte Antwort LÜP(AXI
• d 1 , . . . , A x % - d n ) - Lüp(du
.. . , d n ) A x l •...•
Ax^,
und natüxlich liegt es nahe,
E
wp{d1,...,dn)Axlp-...-Ax;
p € Gitter
als eine Näherungssumme für J„ u> aufzufassen und das Integral als Limes solcher Summen bei immer feinerer Rasterung von Q zu verstehen. Die eingangs schon angekündigte Formel
fu= Q
f{tü1...noh~1)dx1...dxn
Kapitel 5. Integration auf Mannigfaltigkeiten wird uns auf diese Weise geometrisch und nicht nur formal verständlich.
Kleine Maschen werden also dnrch orientierte tangentiale Spate approximiert, auf die u) ja eine Antwort schon bereit hält — in erster Näherung antwortet u> auf die orientierten Maschen selbst. Denkt man sich die ganze Mannigfaltigkeit in kleine Maschen aufgeteilt, so ist das Integral die Summe der Antworten auf die Maschen, und Zuversicht, daß das Ergebnis nicht von der Wahl der dabei verwendeten Karten abhängen wird, gibt uns die Interpretation der n-Form als Dichte. Diese Vorstellung von den n-Formen und dem Integral JM u> wird sich als nützlich erweisen, insbesondere für das intuitive Verständnis der Cartanschen oder äußeren Ableitung und des Satzes von Stokes, JMdui = jdMoj. Das bedeutet aber nicht, daß die Approximation von Maschen durch Spate auch technisch der beste Weg sein müßte, das Integral wirklich einzuführen. In der Tat setzen wir ja die Integrationstheorie im Rn als bekannt voraus und wollen sie für die Integration auf Mannigfaltigkeiten ausnutzen und nicht parallel noch einmal von vorn entwickeln. Was wir aus der Integrationstheorie dabei brauchen, wird im nächsten Abschnitt aufgezählt.
5.3
Lebesgue-Vorkenntnisse-Paket
Nach längerer Zeit stelle ich nun wieder einmal zusätzliche Anforderungen an Ihre Vorkenntnisse, indem ich annehme, Sie seien mit dem Lebesgue-Integral im R™ bekannt. Um aber etwas genauer zu sagen, was ich damit meine, schnüre ich Ihnen das folgende Vorkenntnis-Paket. Die Lebesgue-meßbaren Teilmengen des Kn bilden eine u Algebra SDT, auf der das Lebesgue-Maß ß : 2JI —>• [0, oo] definiert ist, wodurch dann der M" erst einmal als ein Maßraum
5.3 Lebesgue-Paket
89
(Rn,07l, ß) etabliert ist. Die bezüglich fi integrierbaren Funktionen R n —»• K bilden dann, wie analog für jeden Maßraum, einen Vektorraum JC,1 C$Ln, ß), auf dem das Integral als lineare Abbildung
f wie wir es ganz schlicht notieren wollen, gegeben ist. Die Abbildung
j \f{x)\dx =: ist eine Halbnorm auf iZ1, es gilt |/|i = 0 genau dann, wenn / fast überall, d.h. außerhalb einer Menge vom Maß Null, verschwindet. Dividiert man £1(Mn,/x) nach dem Untervektorraum der fast überall verschwindenden Funktionen, so erhält man also einen normierten Vektorraum, wir bezeichnen ihn mit L1 (K n , fi), dessen Elemente nun die Äquivalenzklassen integrierbarer Funktionen nach der Relation fast völligen Ubereinstimmens sind. Über die Eigenschaften dieses Lebesgue-Integrals wäre natürlich viel zu sagen, kleine Lemmas und große Sätze. Erinnern will ich jedenfalls an drei fabelhafte Konvergenzsätze, die übrigens für das Lebesgue-Integral über beliebigen Maßräumen gelten, nämlich den Normkonvergenzsatz, den Satz von der monotonen Konvergenz und drittens den Satz von der dominierten Konvergenz, auch Lebesguescher Konvergenzsatz genannt. Pauschal gesagt handeln alle drei Konvergenzsätze davon, wann eine Folge integrierbarer Funktionen wieder gegen eine integrierbare Funktion konvergiert und Limes und Integral vertauscht werden dürfen. Als Normkonvergenzsatz bezeichne ich dabei die Aussage, daß L1^ R n , /i) vollständig, also ein Banachraum ist. Der zweite Satz besagt, daß es bei punktweise monotoner Konvergenz fk / f für die gewünschte Konvergenzaussage genügt, daß die
90
Kapitel 5. Integration auf Mannigfaltigkeiten
Folge der Integrale J R n fkdx beschränkt bleibt, und der dritte schließlich versichert, daß bei beliebiger punktweiser Konvergenz fk —*• / die Existenz einer "dominierenden" Punktion g e £}, d.h. einer mit \fk{x)\ < d(x) für alle k und x, hinreichend für / e £} und J fdx = lim / ff.dx ist. Außer an diese drei allgemeinen Konvergenzsätze will ich an zwei wichtige speziell den Mn betreffende Theoreme erinnern,
nämlich an den Satz von Fubini und die
Transformationsfor-
mel. Der Satz von Pubini führt bekanntlich die Integration über den R n induktiv auf den eindimensionalen Fall, also auf die Integration über M zurück ("Mehrfachintegral"). Ich will die genaue Formulierung des Satzes jetzt nicht hinschreiben. Ganz ausführlich soll aber die Transformationsformel zitiert werden, denn sie ist ein Dreh- und Angelpunkt der Integration auf Mannigfaltigkeiten. Doch zuvor noch eine Sprech- und Schreibweise. Wir haben bisher immer von Integralen über ganz R n gesprochen. Der Fall einer Teilmenge 0, C R™ als Integrationsbereich ist dabei aber in folgender Weise mit eingeschlossen: Ist f2 im Definitionsbereich von / enthalten, so definieren wir /o : Mn —> M diirch f f \
/
f ü r
-^)
x
6
Q
{ 0 sonst, ganz gleich, ob und wie / außerhalb von f2 vorher erklärt war, und wir nennen / integrierbar über 0, (bezüglich des LebesgueMaßes fin des M.n, wohlgemerkt), wenn /n e ^ ( R " , ^ ) ist und schreiben dann
f
f
/ f{x)dx :— I fa(x)dx. J
J
ü
R"
Satz (Transformationsformel): Es sei fl C M" offen und f : fl —> M über O integrierbar. Ferner sei nun Q C R n eine weitere offene Teilmenge und ip : Q -^* fl ein^ C1Diffeomorphismus. Dann ist auch f o ip • | det Jv | iiber Ö integrierbar und es gilt
f
f
/ fdx=l(foip)-\ det Jv\dx, Ja Jn wobei Jv : £1 —> M{n x n, R) die Jacobimatrix von ip bezeichnet. D
5.3 Lebesgue-Paket
91
Der ^Diffeomorphismus
1
fc=i
eine solche Zerlegung M = (Ji^i M gegeben.
D
Unsere Absicht ist natürlich, JMLU := J2ili IA ^ z u Wie wir über kleine Stücke mittels Karten zu integrieren haben, ist
5.4 Die Definition
93
uns intuitiv schon klar geworden, die Transformationsformel fiir das Lebesgue-Integral gibt uns die technische Möglichkeit dazu.
Satz und Deflnition (Integration auf Mannigfaltigkeiten): Eine n-Form UJ auf einer orientierten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M heißt integrierbar, wenn für eine (dann jede) Zerlegung (Ai)ieN von M in abzählbar viele kleine meßbare Teilmengen und eine (dann jede) Folge (Ui,hi)ie® von orientierungserhaltenden Karten mit A^ c Ui gilt: Für jedes i e N ist die heruntergeholte Komponentenfunktion
von UJ bezüglich (C/j,/ij) iiber hi(Ai) Lebesgue-integrierbar, und es ist oo r
Yl
/ \ai(x)\dx i und (Bj)j>\ Zerlegungen von M in meßbare Mengen und (Ui,hi) und (Vj,kj) orientierungserhaltende Karten mit A^ c Ui und Bj C Vj. Die n-Form u>, mit heruntergeholten Komponentenfunktionen a» bezüglich (JJi,hi) und bj bezüglich (Vj,kj), erfülle die Bedingungen bezüglich der A^ und hi, d.h. a» ist über hi(Ai) integrierbar und X)i=i Ih(A ) \ai\dx < oo. Zu zeigen ist, daß dann auch die bj über kj(Bj) integrierbar sind und \bj\dx BEWEIS DER DABEI GEMACHTEN BEHAUPTUNGEN: ES
oo
Y,
i=l
/"
oo
/"
/ aidx = Yl /
J
hi(Ai)
1=1 J
kj(Bj)
94
Kapitel 5. Integration auf Mannigfaltigkeiten
gilt. — Bekanntlich ist eine Lebesgue-integrierbare Funktion auf dem R" auch über jede meßbare Teilmenge des Mn integrierbar, also insbesondere a» über hi(AidBj), und aus dem Lebesgueschen Konvergenzssatz folgt /
ciidx = JC
/
atdx,
und ebenso fiir |OJ| statt a». Nun wenden wir die in 5.3 so ausführlich zitierte Transformationsformel an, um von a^ auf hi(Ai n Bj) zu bj auf kj(Ai n Bj) überzugehen, d.h. wir setzen i n Bj
fürx ehi(AiC\Bj) 0 sonst, fi := kj(Ui n Vj) und schließlich (p-.^hiokr^kjiUinVj),
f(x) :=
der Kartenwechsel von fcj nach hi. Betrachte nun für jedes p e U~i n Vj die drei Differentiale
Aus der alternierenden n-Form ÜJP auf T p M werden durch die (Inversen der) beiden Kartendifferentiale zwei alternierende nFormen auf dem IRn induziert, die auf der kanonischen Basis die beiden Werte bj(kj(p)) bzw. (ii(hi(p)) annehmen. Der Endomorphismus Jv(kj{p)) wirkt aber auf Altn K" durch Multiplikation mit der Determinante, wie wir aus dem Lemma in 3.3 wissen, also gilt b k j( j{p)) = at(hi(p)) • det J^
5.4 Die Definition
95
oder bj =
(OJ
o ip) • | d e t J ¥
auf ganz kj(Ui n Vj), wobei wir die Betragsstriche setzen dürfen, weil ip orientierungserhaltend, die Jacobideterminante also positiv ist. Daraus folgt trivialerweise auch (b^k^AiOBj)
= {{ai)hi(AinBj) ° mit kompaktem Träger auf einer ndimensionalen orientierten Mannigfaltigkeit M ist genau dann integrierbar, wenn sie lokal integrierbar ist, d.h. wenn es um jeden Punkt eine Karte (U, h) gibt, so daß die heruntergeholte Komponentenfunktion w(d1,...,dn)oh'~1
: h{U)
>K
über h(U) C M.n Lebesgue-integrierbar ist. BEWEIS: Ist ({/j,/ij)j€N ein abzählbarer Atlas aus solchen Karten, so überdecken schon endlich viele, sagen wir die ersten r, den Träger von LÜ. Setzen wir A\ := U\ und Ai+\ = Ui+i \ Ufe=i ^-k, so ist u>\Ai = 0 für alle i > r, und daher
a,i\dx auf M und (p*oj natürlich ganz dieselben heruntergeholten Komponentenfunktionen und es ergibt sich die schöne und wichtige Natürlichkeitseigenschaft des Integrals: Notiz ("Transformationsformel" für die Integration auf Mannigfaltigkeiten): Ist
:= JMU>A, wobei U>A auf A mit u> übereinstimmt und außerhalb A null gesetzt ist. Die Transformationsformel nimmt dann die Form an Korollar: Ist (p : M —^M ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus und A c M eine Teilmenge, so ist co genau dann über M integrierbar ist, und es gilt
r fdß= M
r / JM
99
5.6 Test
Wegen dim Alt™ T P M = 1 ist aber jede n-Form auf M von der Gestalt fu>M, und so kann man die Integration von n-Formen auf orientierten Mannigfaltigkeiten auch als Integration von Ftuiktionen auf einem Maßraum auffassen. — Kanonisch gegeben ist eine Volumenform freilich nicht.
5.6 Test (1) Das von den drei Einheitsvektoren im M3 auf gespannte Spat ist ein D Tetraeder
D Dreieck
D Würfel
(2) Ist A : Rn —>• Mn eine lineare Abbildung, so ist das ndimensionale Volumen von J4([0, l] n )
• Pll D D
detA
(3) Ist p eine Dichte und io eine alternierende n-Form auf einem n-dimensionalen Vektorraum V, so ist D —\p\ eine alternierende n-Form eine Dichte D ÜJ eine Dichte. D (4) Eine Teilmenge X C Rn ist genau dann eine Nullmenge, wenn es zu jedem s eine Folge von Würfeln Wi mit einem Gesamtvolumen Yl'iLi Vol(Wj) < e gibt, so daß G ICU^j D xcn^Wi D X c Wi für beliebig große i. (5) In der Ebene R2 bezeichne Q das Rechteck (1,2) x (0,TT/2) und K das Kreisringviertel im ersten Quadranten mit den Radien 1 und 2. Der Wechsel von Polar- zu kartesischen Koi > (x, y) durch x = rcostp und y = rsimp ordinaten, (r, ip) — definiert dann einen Diffeomorphismus $ von
100
Kapitel 5. Integration auf Mannigfaltigkeiten D K nach Q
D K auf sich
D Q nach K.
(6) Die Jacobideterminante det J$ (r, ip) ist dann ü r
D rsin2(p
D — r.
(7) Zuweilen trifft man die Notationsgewohnheit an, eine bestimmte Punktion in den verschiedensten Koordinatensystemen immer wieder mit dem Buchstaben / zu bezeichnen, gleichsam als wäre die Schreibweise J\xl>
• • • > xn)
~
J \
x
l \
x
l i
• • • i xn)>
• • • jx
n
\
x
l t
•••>
x
n)j
vereinbart. Sehr verwirrend! Aber nachvollziehbar, wenn man sich vorstellt, daß / eigentlich koordinatenunabhängig auf U lebt (z.B. auf einem Bereich U des realen physikalischen Raumes) und f{x'i,... ,x'n) den Punktionswert an jenem Punkt bedeuten soll, der bezüglich des gestrichenen Koordinatensystems die Koordinaten (x'x,..., x'n) hat, usw. Man schreibt dann also statt / o h ~ x , / o / i " 1 usw. stets / , in konsequenter Unterdrückung der Bezeichnungen h,h',... der Karten. — Wir wollen uns diese Notation nicht gerade zu eigen machen, aber sie im Notfall doch lesen können, und in diesem Sinne heißt nun die Prage: Wie lautet bei Anwendung obiger Konvention die Integraltransformationsformel zwischen kartesischen und Polarkoordinaten? D
II f(x,y)dxdy
= ff f(r,ip)rdrdcp
G II f(x, y) sjx2 + y2dxdy —fff(r, (p)drdip
= II f(r, (8) In den lokalen Koordinaten einer Karte (U,h) ist das Integral einer n-Form UJ über das Kartengebiet
/ w JU
= /
f(x) dx,
Jh(U)
wobei / : h(U) —> M so angegeben werden kann:
5.6
T
e
s
t
1
0
1
D f{x)=io{h-\x)) x LüX...n (Ricci-Kalkül) D f(x , ...,xn)= D f°h = u){di,...,dn)
(9) Unterscheiden sich zwei Karten (U, h) und (U,h') nur durch das Vorzeichen der ersten Koordinate, und sind a und a' die heruntergeholten Komponentenfunktionen einer auf U gegebenen n-Form u>, so ist
f
f
/h{U) adx Jh{U)
=
— Jh'{U) / Jh'
a' dx
Weshalb? D Weil in den Koordinaten des Mn aix1,... ,xn) = a'{-x\x2,...
,xn)
und die Determinate der Jacobimatrix des Kartenwechsels —1 ist. D Weil a(x1,...,xn) = -a'i-x1,^2,... ,xn) und der Betrag der Determinate der Jacobimatrix des Kartenwechsels 1 ist. D Weil a(xx,...,
xn) = -a'^x1,
...,xn)
u n d der K a r t e n -
wechsel orthogonal ist. (10) Für orientierungsumkehrende Diffeomorphismen (p : M —> N gilt
102
5.7
Kapitel 5. Integration auf Mannigfaltigkeiten
Übungsaufgaben
21: Man gebe eine n-Form w auf dem M.n so an, daß füx jedes 4 C K" mit einem Lebesgue-Maß fJ,(A) < oo gilt: AUFGABE
AUFGABE 22: Es sei cu eine integrierbare n-Form auf der orientierten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M. Man zeige, daß wie bei der Integration im Rn gilt: Stimmt eine n-Form 77 außerhalb einer Nullmenge in M mit ui überein, so ist auch 77 integrierbar undesgilt JMu) = JMVAUFGABE 23: Es sei M eine orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Wie hätte man analog zu |..|i auf ^1(Mn,ju) eine Halbnorm |..|i auf dem Vektorraum £}(M) der integrierbaren nFormen auf M zu definieren? Erkläre zu jedem uo e Cl(M) in geeigneter Weise eine n-Form |u;|, so daß durch |u>|i := fM \ui eine Halbnorm definiert ist, die genau für die fast überall verschwindenden Formen Null ist.
24: Es sei TT : M —> M eine m-blättrige Überlagerung der zusammenhängenden n-dimensionalen orientierten Mannigfaltigkeit M. Die überlagernde Mannigfaltigkeit M sei so orientiert, daß n überall orientierungserhaltend ist. Man zeige: Ist cü auf M integrierbar, so auch ir*ui auf M und es gilt AUFGABE
5.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben Zu AUFGABE 21: Uber das Lebesgue-Maß braucht man zur Lösung dieser Aufgabe nur zu wissen, daß für Lebesgue-meßbare Ac Rn mit endlichem Maß ß(A) = / 1 dx gilt. Das soll hier natürlich nicht bewiesen werden, sondern wird als bekannt vorausgesetzt. Die Aufgabe ist nicht schwer und soll
5.8 Hinweise zu den Übungsaufgaben
103
Sie nur veranlassen, die Definition des Integrals über eine n-Form nochmals durchzulesen. Zu AUFGABE 22: Denselben Zweck hat auch diese Aufgabe, nur kommt man hier nicht wie in Aufgabe 21 mit einer einzigen Karte für M aus. Zu AUFGABE 23: Achtung: Mit \ÜJ\P ist hier nicht der Betrag \LÜP von uip : TpM x • • • x TPM —> M gemeint, das wäre ja auch gar keine alternierende n-Form auf TpM. Für jedes p e M wird man aber zweckmäßigerweise \LO\P :— ±top setzen, es fragt sich nur, wie das Vorzeichen von p abhängen soll. Daß \LU\ für ui e £x(M) wirklich integrierbar und | • |i := JM | • | eine Halbnorm auf CX{M) mit der genannten Eigenschaft ist, soll natürlich bewiesen, das heißt hier: auf entsprechende Eigenschaften des Lebesgue-Integrals im R.n zurückgeführt werden. Zu AuFGABE 24: Über den Überlagerungsbegriff ist man für diese Aufgabe hinlänglich unterrichtet, wenn man die Seiten 144-148 in [J: Top] durchliest und zusätzlich zur Kenntnis nimmt, daß im Falle einer Überlagerung TT : M —> M einer Mannigfaltigkeit M der überlagernde Raum M in kanonischer Weise auch eine Mannigfaltigkeit ist, und zwar mit der einzigen differenzierbaren Struktur, fiir die n überall lokal diffeomorph ist. Wie wird man die Zerlegung „
oo m
Karte
Fig. 56. Zur differenzierbaren Struktur von M
„
M = U U Azj von M in meßbare Teilmengen wohl zu wählen haben, damit die Integrierbarkeit von 7r*w und die Formel J~ TV*UI = mfMu) ohne Mühe folgt? Anschaulich ist's klar!
6
Berandete Mannigfaltigkeiten
6.1 Vorbemerkung Der klassische Satz von Stokes handelt von dem Zusammenhang zwischen "Flächenintegralen" und "Linienintegralen", eine dreidimensionale Version davon, der sogenannte Gaußsche Integralsatz, sagt etwas über die Beziehung zwischen "Volumenintegralen" und Flächenintegralen aus. Af,hier D3
or. Randlinie dM Fig. 57. Beim ursprünglichen Satz JM f rot v-dF= JBM f v-ds von Stokes wird über eine Fläche und deren Randlinie integriert.
Randfläche dM = S 2 Fig. 58. Beim Gaußschen Integralsatz f v-dP= f divvdV wird "über eine geschlossene Fläche und über das von ihr umschlossene Volumen" integriert.
Wir wollen hier natürlich beide Fälle zugleich behandeln, und schon dafür lohnte sich eine n-dimensionale Fassung des Satzes. Auch wollen wir uns nicht auf Untermannigfaltigkeiten des K3 oder des R beschränken. Um aber den Satz von Stokes in voller Allgemeinheit formulieren zu können, brauchen wir den Begriff der berandeten Mannigfaltigkeit, dem der gegenwärtige Paragraph gewidmet ist.
6.2 Der Halbraum
105
6.2 Differenzierbarkeit im Halbraum Das lokale Modell für die berandeten Mannigfaltigkeiten ist der abgeschlossene Halbraum, so wie Rn das lokale Modell der Mannigfaltigkeiten ist. Um diese Vorstellung in eine genaue Definition zu fassen, müssen wir zuerst erklären, was Differenzierbarkeit im Falle des Halbraumes bedeuten soll. Welchen Halbraum wir benutzen, ist natürlich gleichgültig, aber im Hinblick auf eine gewisse Orientierungskonvention, die wir zu treffen haben werden, entscheiden wir uns für den linken Halbraum: Notation und Sprechweise: Für n > 1 bezeichnen wir mit R™ den Halbraum {x e Rn | xl < 0} und mit ÖR™ := 0 x R™"1 seinen sogenannten Rand. Ist U C R™ offen in der Teilraumtopologie des R™ C R n (kurz: offen in R™ ), so heißt dU := UndWL der Rand von U, die Elemente p e dU dementsprechend Randpunkte von U. D Der Rand dU von U kann natürlich auch leer sein, offensichtlich ist das genau dann der Fall, wenn U C R™ nicht nur in R" , sondern sogar in der Topologie des R n offen ist. In der Topologie versteht ujn-i 9M" man unter einem Randpunkt einer Teilmenge A eixi nes topologischen Raumes X ein Element x e X, das weder innerer noch äußerer Punkt von A ist. FDieser Sprechweise sollten wir aber jetzt für einige Zeit aus dem Wege gehen, denn sie kollidiert mit dem oben eingeführten Randbegriff für in R™ offene U. Beachte, daß dU im allgemeinen nicht mit dem topologischen Rand von U übereinstimmt, ganz gleich ob man U dafür als Teilmenge von R" oder von R n ansieht. Definition: Sei U oflfen in R™ . Eine Abbildung / : U -+ Rk heißt differenzierbar an der Stelle p e U, wenn sie zu einer in
106
Kapitel 6. Berandete Mannigfaltigkeiten
einer Umgebung von p in M" difFerenzierbaren Abbildung fortgesetzt werden kann, d.h. wenn es eine offene Umgebung Up von p in M" und eine differenzierbare Abbildung g : Üp —> M gibt, so daß f\U nÜp = g\Un Üp gilt. D Für die p e U \ dU ist das nichts Neues, und / ist schlechthin, also überall differenzierbar, wenn es auf U \ dll im üblichen Sinne und für alle p e dU im obigen Sinne differenzierbar ist. Unter einem Diffeomorphismus zwischen in M" offenen Teilmengen verstehen wir natürlich eine Fig. 60. Zur Differenzier- in beiden Richtungen differenzierbare barkeit an Randpunkten. Bijektion. Solche DifFeomorphismen werden die Kartenwechsel der noch zu definierenden berandeten Mannigfaltigkeiten sein. Die folgenden beiden Lemmas beleuchten ihr Verhalten am Rande. u •
6.3 Das Randverhalten der Diffeomorphismen Lemma 1: Ist f : U -^^ V ein Diffeomorphismus zwischen in Mü offenen Teilmengen, so ist f(dU) = dV und folglich f\dU : dU
dV
ein Diffeomorphismus der offenen Teilmengen des
Fig. 61. Annahme
BEWEIS: Sei p e dll und g : Up —> R n eine lokale differenzierbare Fortsetzung von / . Angenommen, der Punkt f(p) wäre kein Randpunkt von V. Wegen der Stetigkeit von f^1 hätte er dann eine in Rn offene Umgebung Vp in V mit f-^Vp) C Up. Aber g°{f~l\Vp) ist dieldentität
6.3 Randverhalten der Diffeomorphismen
107
auf Vp, und g und / 1|V^) sind difFerenzierbar im üblichen Sinne, also hat / - 1 bei f(p) jedenfalls den vollen Rang n, ist nach dem Umkehrsatz also ein lokaler Diffeomorphismus im üblichen Sinne, insbesondere ist also /~1(^/p) C U Umgebung von p in R n , im Widerspruch z n p e dU. — Damit haben wir f(dU) C dV gezeigt, ebenso aber f~l{dV) C dU, also f(dU) = dV. D Die lokale difFerenzierbare Fortsetzung einer Abbildung / : U —>• K um einen Randpunkt p ist natürlich nicht eindeutig bestimmt, wohl aber alle partiellen Ableitungen daf von / an der Stelle p, insbesondere die Jacobi-Matrix Jf (p). Lemma 2: Ist f : U -^ V ein Diffeomorphismus zwischen in R™ offenen Teilmengen und p e dU, so bildet das wohldeßnierte Differential
unu.
Fig. 62. Lokale Fortsetzung nicht eindeutig bestimmt, wohl aber die daf\p.
™~ den Untervektorraum 0 x M™ ~ und die Halhräume M" jeweils in sich ab, d.h. die Jacobi-Matrix ist von der Form
0
Jfip) =
öl/2
mit dtf1 > 0 . BEWEIS: Wegen f(dU) = dV ist jedenfalls f\dU = 0, also dkfx = 0 für k = 2 , . . . ,n, und weil V in R™ liegt gilt f1 < 0 auf C/, also für t < 0, also ö i / 1 > 0 und daher sogar d\fx > 0, weil Jf{p) D vollen Rang hat.
108
Kapitel 6. Berandete Mannigfaltigkeiten
6.4 Der Begriff der berandeten Mannigfaltigkeit Soviel über die zukünftigen Kartenwechsel, und nun zum Begriff der berandeten Mannigfaltigkeit selbst. Der einzige formale Unterschied zu den gewöhnlichen ("unberandeten") Mannigfaltigkeiten besteht darin, daß wir nun als Kartenbilder auch in M™ offene Teilmengen zulassen. Sei zunächst X ein topologischer Raum. Ein Homöomorphismus h einer offenen Teilmenge U C X auf eine in M™ oder in I " offene Teilmenge U' von M™ bzw. Rn heiße eine berandete n-dimensionale Karte für X. Dementsprechend sind die Begriffe berandeter n-dimensionaler Atlas, differenzierbarer berandeter n-dimensionaler Atlas und berandete ndimensionale differenzierbare Struktur (maximaler Atlas) zu verstehen. Definition: Sei n > 1. Eine berandete n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein Paar (M, T>), meist kurz als M geschrieben, bestehend aus einem zweit-abzählbaren Hausdorffraum M und einer berandeten n-dimensionalen differenzierbaren Struktur V für M. Abbildungen zwischen berandeten Mannigfaltigkeiten nennen ü wir differenzierbar, wenn sie es bezüglich Karten sind. Bei einem Kartenwechsel müssen Randpunkte in Randpunkte übergehen, wie wir in Lemma 1 gesehen hatten. Daher dürfen wir definieren
Fig. 63. Ist P Randpunkt bezÜKÜch
h,
dann
auch
Definition: Sei M eine berandete Mannigfaltigkeit. Ein Punkt p e M heißt ein Randpunkt von M, wenn er durch eine (dann jede) Karte (JJ, h) um p auf einen Randpunkt 7
/ \
7
/rT\
_
mn
i
i Mi •
bezüglichfc:der Rand von HP) VOn h(U) C M™ abgeblldet M ist wohldefiniert. wird. Die Menge dM der Randpunkte heißt der Rand der berandeten Mannigfaltigkeit M. • Notiz: Der Rand dM einer n-dimensionalen berandeten Mannigfaltigkeit M erhält durch die Einschränkungen h\UndM:UndM
- ^ d(h(U)) C 0 x W1'1 ^ R™"1
6.5 Untermannigfaltigkeiten
109
der Karten von M einen (n — l)-dimensionalen gewöhnlichen differenzierbaren Atlas und wird so zu einer gewöhnlichen (unberan• deten) (n — l)-dimensionalen Mannigfaltigkeit. Diese Mannigfaltigkeit ist künftig stets gemeint, wenn vom Rand dM einer berandeten Mannigfaltigkeit die Rede ist. Man sagt auch, M werde von dM berandet oder dM berandet M. Ist / : M —> N eine differenzierbare Abbildung zwischen berandeten Mannigfaltigkeiten, so ist natürlich auch f\dM : dM —> N difFerenzierbar, und aus dem Lemma 1 folgt Notiz: Ist / : M -^^ N ein Diffeomorphismus zwischen berandeten Mannigfaltigkeiten, dann ist f{dM) — dN, und f\dM : dM ^^> dN ist ein Diffeomorphismus. D Für n > 1 betrachten wir jede gewöhnliche n-dimensionale Mannigfaltigkeit M in der naheliegenden Weise auch als berandete Mannigfaltigkeit mit leerem Rand. Unter einer nulldimensionalen berandeten Mannigfaltigkeit verstehen wir einfach eine nulldimensionale Mannigfaltigkeit. Der Rand einer nulldimensionalen berandeten Mannigfaltigkeit ist also, wie es sich für eine (—l)-dimensionale Mannigfaltigkeit gehört, stets leer.
6.5
Untermannigfaltigkeiten
Wir wollen nicht alles, was sich von den gewöhnlichen Mannigfaltigkeiten unmittelbar auf die berandeten Mannigfaltigkeiten verallgemeinert, ausführlich niederschreiben. Wäre das gefordert, so hätten wir besser von Anfang an den allgemeineren Begriff zugrunde gelegt! Indessen gibt es doch Angelegenheiten, bei deren Übertragung auf berandete Mannigfaltigkeiten gewisse Entscheidungen oder Verabredungen getrofFen werden müssen oder die sich sonstwie nicht ganz von selbst verstehen, und einiges dieser Art soll in diesem und den folgenden Abschnitten noch besprochen werden. Definition: Es sei M eine n-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit und 1 < k < n. Eine Teilmenge Mo C M heißt eine
110
Kapitel 6. Berandete Mannigfaltigkeiten
fc-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, wenn es um jedes p e Mo eine berandete Karte (U, h) von M gibt, so daß h(U n Mo) = (M_ x 0) n h(U) gilt. D Das ist nicht die einzige plausible Möglichkeit, den Untermannigfaltigkeitsbegriff für berandete Mannigfaltigkeiten zu fassen. Indem wir für uns diese Version wählen, treffen wir zwei Entscheidungen: erstens verlangen wir nicht, daß dM$ C dM sein muß. Wenn aber, zweitens, ein Punkt p e MQ im Rand von M liegt, dann ist er auch Randpunkt von MQ und MQ ist dort "transversal" zu dM in dem Sinne, daß eben MQ und dM bei p bezüglich der Karte wie R_ und 0 x l™" 1 aneinanderstoßen müssen:
Fig. 64. Die beiden zugelassenen Möglichkeiten für die Lage von dM0 bezüglich dM
Insbesondere ist dM selbst, außer wenn es leer ist, keine Untermannigfaltigkeit von M, und auch die nichtleeren Untermannigfaltigkeiten von dM lassen wir nicht als Untermannigfaltigkeiten von M gelten. Unter einer nulldimensionalen Untermannigfaltigkeit MQ C M verstehen wir sinngemäß eine gewöhnliche nulldimensionale Untermannigfaltigkeit von M \ dM, den Rand soll sie nicht treffen dürfen, weil sie selbst keinen hat. Wie bei den gewöhnlichen Mannigfaltigkeiten sind die k-dimensionalen berandeten Untermannigfaltigkeiten wirklich in kanonischer Weise fc-dimensionale berandete Mannigfaltigkeiten, die Einschränkungen der Flachmacher (U, h) jeweils auf U n MQ bilden einen fc-dimensionalen berandeten differenzierbaren Atlas für M o .
6.6 Konstruktion
111
6.6 Konstruktion berandeter Mannigfaltigkeiten Als Beispiele für Konstruktionen gewöhnlicher Mannigfaltigkeiten hatten wir die Bildung von Summen, Produkten, gewissen Quotienten und die Urbilder regulärer Werte angeführt. Die disjunkte Summe M\ + M^ zweier berandeter n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten ist in kanonischer Weise wieder eine. Bei der Produktbildung gibt es eine kleine technische Schwierigkeit: zwar ist kanonisch Rk x R n = R fe+n , aber Rfe x M™ ist kein Halb- sondern eher ein Viertelraum in Rk+n. Bildet man zum Beispiel das Produkt [ a, b ] x D2 aus einem abgeschlossenen Intervall und einer abgeschlossenen Kreisscheibe, so erhält man einen 3-dimensionalen Vollzylinder, in dessen Rand sich zwei Fig. 65. Entste"Kanten" befinden, nämlich a x S1 und hung von Kanten am Produkt. b x S1. Allgemeiner ist M x N, intuitiv gesprochen, so etwas wie eine berandete Mannigfaltigkeit mit Rand d(M xN) = dM x NUM xdN und einer "Kante" längs dM x dN. Je nachdem, weshalb man überhaupt solche Produkte betrachten möchte, wird man sie ent1 weder zu richtigen berandeten MannigfaltigaxS keiten machen, indem man die Kanten mit Fig. 66. [a,b]xD2 Hilfe eines nur bei 0 nicht lokal diffeomormit seinen "Kanten". phen Homöomorphismus R i x M.1 -> R2_ "glättet", oder aber man wird sie unverändert lassen und eine Theorie der "Mannigfaltigkeiten mit Kanten" entwickeln. Wir wollen hier keinen dieser Wege beschreiten, sondern nur darauf hinweisen, daß wenigstens dann, wenn einer der beiden Faktoren unberan- Fi s- 67- Glättungsabbildung det ist, das Produkt in kanonischer Weise wieder eine berandete Mannigfaltigkeit ist.
112
Kapitel 6. Berandete Mannigfaltigkeiten
Der Quotient M/T einer berandeten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M nach einer fixpuiLktfreien Involution r ist in kanonischer Weise wieder eine n-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit, ganz wie in 1.6 für gewöhnliche Mannigfaltigkeiten geschildert, und d(M/r) = (8M)/T. Eine wichtige Quelle E konkreter Beispiele berandeter Mannigfaltigkeiten ist, wie bei den unberandec ten Mannigfaltigkeif ten, der Satz vom regulären Wert: Lemma: Ist M eine n-dimensionale unberandete MannigfalFig. 68. Urbild /^((-oo.c])—M o bei regulärem c. Es ist dann /~ 1 (c)=9Mo. tigkeit und c e K regulärer Wert einer C°°-Funktion f : M -> R, so ist Mo := {p e M\ f(p) < c} eine ü n-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit von M.
6.7 Tangentialräume am Rande Wie steht es mit den Tangentialräumen TpM für Randpunkte p e dMI Sind sie überhaupt wohldefiniert? Und wenn ja, sollen wir vielleicht besser tangentiale Halbräume benutzen? Hinweis und Vereinbarung: Auch für berandete Mannigfaltigkeiten M und auch an Randpunkten p e dM ist der Tangentialraum als TpM:=T°;isM ^ rP h y s M kanon
wieder wohldefiniert, und bezüglich einer Karte (U, h) ist für jedes p e U wie bei gewöhnlichen Mannigfaltigkeiten die Koordinatenbasis (9i,... dn) von TPM erklärt. — Wir benutzen also auch für
6.8 Die Orientierungskonvention
113
Randpunkte den ganzen Vektorraum TPM als Tangentialraum, jedoch sind für p e dM die beiden Halbräume p
M :=
(K±)
unabhängig von der Karte wohldefiniert.
D
Notiz und Sprechweise: Es sei p ein Randpunkt von M. Dann ist offenbar kanonisch TpdM C TpM und T+MnTpM
= TpdM. T+M
Die Elemente von T~M \ TpdM heißen nach innen weisende, die Halbräume p von T+M \ TpdM nach außen p weisende Tangentialvektoren. Ein v e TpM weist genau dann nach innen bzw. atißen, wenn bezüglich einer (dann jeder) Karte die erste Komponente vl von v negativ bzw. positiv ist. D
6.8 Die Orientierungskonvention Die Begriffe Orientierung und orientierender Atlas werden für berandete Mannigfaltigkeiten genau so definiert wie für gewöhnliche. Man sieht leicht, daß der Rand einer orienüerten Mannigfaltigkeit M jedenfalls orientierbar ist, was aber nicht bedeutet, daß dM auch schon kanonisch orientiert sei. Dazu brauchen wir vielmehr eine Orientierungskonvention: Ist M eine orientierte n-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit und p e dM, von so soll eine Basis w±,...,wn-i TpdM genau dann positiv orientiert heißen, bzw. TpdM im Falle n = 1 die
Fig. 70. Zur Orientie-
k mngskonvention
114
Kapitel 6. Berandete Mannigfaltigkeiten
Orientierung +1 tragen, wenn für einen (dann jeden) nach außen von TpM posiweisenden Vektor v die Basis (v,w\,...,wn-i) tiv orientiert ist. Mit der dadurch festgelegten Orientierung sei der Rand dM einer orientierten Mannigfaltigkeit künftig immer versehen. D Orientieren wir also dreidimensionale berandete Untermannigfaltigkeiten, etwa eine Vollkugel oder einen Volltorus, des uns umgebenden realen physikalischen Raumes durch die Rechte-HandRegel, so ist die Oberfläche in der Daraufsicht entgegen dem Uhrzeigersinn orientiert.
Fig. 71. Orientierungskonvention und Rechte-Hand-Regel für Körper im physikalischen Raum.
Da wir Tangentialräume und auf Kartengebieten auch die Koordinatenvektorfelder di,...,dn für berandete Mannigfaltigkeiten zur Verfügung haben, ist natüxlich auch klar, was unter kFormen LO auf einer berandeten Mannigfaltigkeit zu verstehen ist, wann eine solche Form stetig bzw. differenzierbar heißt, was der Vektorraum QkM der differenzierbaren fc-Formen auf M und schließlich, wann eine n-Form LO auf einer n-dimensionalen orientierten berandeten Mannigfaltigkeit integrierbar ist und was dann unter dem Integral JMto zu verstehen ist. Damit sind wir dem Satz von Stokes wieder ein Stück nähergerückt.
6.9
Test
(1) Offen in der Topologie des Halbraums 1 " = { I 6 Wn | X1 < 0 ist
6.9 Test
115
D X := { x e Rn | || x || < 1 und xl < 0 } D X := { x € Rn j || x || < 1 und x1 < 0 } D X := { x e Mn | || a; || < 1 und z 1 < 0 }. (2) Sei U der in der linken Halbebene IR'L gelegene Teil des offenen Quadrats (—1,1) x (—1,1), also U = { (x, y)
G
M2 | - 1 < x < 0 und - 1 < y < 1}.
Es bezeichne A die rechte und B die Vereinigung der anderen drei Seiten von U, genauer jedoch: A := 0 x ( — 1,1) und ß : = - l x [ - l , l ] U [-l,0]x{±l}. Als Teilmenge des toplogischen Raumes M.2^ hat U auch einen topologischen Rand, das ist die Menge t/R2 der Punkte des R_ , die weder innere noch äußere Punkte von U sind, und analog können wir auch C/R2 betrachten. Die Frage zielt auf die Unterschiede, soweit vorhanden, zwischen dU, f/R2 und t/ R 2. Es gilt: D dU = AUB,
D dU = A U dU = A
ÜR2_ =AUB,
, ,
ÜR2_ =AöB, ÜR2_= B,
f7 R2 = A U B
ÜM2 = A U B ÜM2=AUB.
(3) Es bezeichne M eine berandete Mannigfaltigkeit. Kann M \ dM kompakt sein, wenn dM ^ 0 ? D Nein, denn dann wäre M \ dM auch abgeschlossen, also dM offen in M. D Ja, das ist genau dann der Fall, wenn M kompakt ist. D Ja, nach dem Satz von Heine-Borel gilt das zum Beispiel für alle abgeschlossenen beschränkten berandeten Untermannigfaltigkeiten des M.n. (4) Kann eine nulldimensionale Untermannigfaltigkeit MQ einer berandeten Mannigfaltigkeit M deren Rand "berühren", d.h. kann M o n dM ^ 0 sein? D Nein, da MQ aus isolierten Punkten in M^dM
besteht.
116
Kapitel 6. Berandete Mannigfaltigkeiten D Ja, Mo := { l/n \ n = 1, 2 , . . . } in R\ ist ein Beispiel dafür. D Nein, denn nulldimensionale Untermannigfaltigkeiten sind automatisch abgeschlossen, und daher gilt Mo n dM = MQ n dM — 0 .
(5) Sei M eine berandete Mannigfaltigkeit und p e dM. Ist dann M \ p eine berandete Untermannigfaltigkeit von M mit d{M \ p) = dM \ p ? D Ja, j'ede offene Teilmenge X c M ist berandete Untermannigfaltigkeit mit dX = X D dM. D Nein, M \ p ist dann zwar berandete Untermannigfaltigkeit, aber für dimM > 0 gilt d(M \ p ) = dM, weil M \p dicht in M liegt. D Ja, die Karten (U, h) von M mit p ^ U bilden einen Atlas für M \ p. (6) Welche der folgenden den Zusammenhang betrefFenden Implikationen sind für berandete Mannigfaltigkeiten M richtig: D M zush. 4=> M \ ÖM zush. D M zush. =^> dM zush. D dM zush. =^- M zush. (7) Diese Erage handelt vom Zerschneiden einer Mannigfaltigkeit längs einer 1-kodimensionalen Untermannigfaltigkeit. Sei M eine unberandete n-dimensionale Mannigfaltigkeit und MQ := / - 1 ( c ) j^ 0 das Urbild eines regulären Wertes c einer differenzierbaren Funktion / . Dann ist M die Vereinigung der beiden n-dimensionalen berandeten Untermannigfaltigkeiten A := /~ x ([c, c»)) und B :— f~l((—oo, c]), deren Durchschnitt ihr gemeinsamer Rand MQ ist. Anschaulich darf man sich dabei etwa vorstellen, daß M beim Zerschneiden längs MQ in die disjunkte Vereinigung von A und B zerfallen würde. Jetzt sei keine Funktion / , sondern nur eine 1-kodimensionale abgeschlossene unberandete nichtleere Untermannigfaltigkeit MQ C M gegeben. Was geschieht, wenn man M längs MQ "zerschneidet", oder genauer gefragt: Ist M die
6.9 Test
117
Vereinigung zweier berandeter Untermannigfaltigkeiten A und B mit dA = dB = A n B = Mo ? Wir würden dann sagen, M zerfalle beim Zerschneiden längs MQ . Wann geschieht das? D Nicht immer, man zerschneide etwa eine Kreislinie "längs" eines Punktes oder einen Torus längs eines Meridians. D Es gibt aber stets eine offene Umgebung X von MQ in M, die beim Zerschneiden längs MQ zerfällt, man muß X nur eng genug um Mo wählen. D Auch das trifft nicht zu, man zerschneide etwa ein Möbiusband längs der "Seele" (Mittellinie) oder WP2 längs RP *: dabei zerfällt kein X. (8) Sei M unberandet und X c M offen. Ist dann die abgeschlossene Hülle X C M eine berandete Untermannigfaltigkeit? D Nein, Gegenbeispiel: M = K3 und X durch die Ungleichung x2 + y2 + z2 > 0 definiert. D Nein, Gegenbeispiel: M = M3 und X durch die Ungleichung x2 + y2 — z2 > 1 definiert. D Nein, Gegenbeispiel: M — R3 und X durch die Ungleichung x2 + y2 > z2 definiert. (9) Ist dM immer eine Nullmenge in M? D Ja, weil 0 x R'1^1 eine Nullmenge für das Lebesguemaß im M" ist. D Nein, z.B. hat die Kugeloberfläche das Maß 4?rr2 ^ 0. D Nein, nur wenn dM = 0 ist. (10) Sei M eine orientierte unberandete Mannigfaltigkeit. Man spricht dann von M\ := 1 x M und MQ : = 0 X M als von DeckelundBodendes Zylinders [ 0 , l ] x M über M. Sieseien beide als Kopien von M orientiert, d.h. so, daß die kanonischen Abbildungen M\ = M = MQ orientierungserhaltend sind. Sei nun das Intervall [0,1] wie üblich orientiert. Dann bewirkt unsere Orientierungskonvention für die Randorientierung:
118
Kapitel 6. Berandete Mannigfaltigkeiten
D ö([O,l] x M ) =Mo D D
6.10
Übungsaufgaben
AUFGABE 25: Es sei M eine berandete Mannigfaltigkeit. Man zeige, daß dM abgeschlossen in M ist. AUFGABE 26: Es sei / : M —> E eine überall reguläre difFerenzierbare Funktion auf der kompakten berandeten Mannigfaltigkeit M. Man zeige, daß / seine Extrema am Rande annimmt.
AuFGABE 27: Kompakte unberandete Mannigfaltigkeiten heißen geschlossen, zwei geschlossene Mannigfaltigkeiten Mo und M\ heißen bordant, wenn MQ + M\ (difFeomorph zum) Rand einer kompakten berandeten Mannigfaltigkeit ist. Man beweise: Ist M geschlossen und a, b reguläre Werte von / : M —> M, dann sind f^(a) und f~l(b) bordant. AUFGABE 28: Man beweise: Jede geschlossene Mannigfaltigkeit M, auf der eine fixpunktfreie differenzierbare Involution r existiert, ist "nullbordant", d.h. berandet eine kompakte Mannigfaltigkeit.
6.11 Hinweise zu den Übungsaufgaben
S- 72-
m
Zu A U F G A B E 25: Anschaulich klar: um jeden Punkt von M\dM gibt es eine Umgebung, die den Rand nicht trifft. Beim Beweis muß man nur korrekt mit der Relativtopologie des Halbraumes R 1 umgehen.
6.11 Hinweise zu den Übungsaufgaben
119
Zu AUFGABE 26: Auch auf einer nichtkompakten Mannigfaltigkeit kann eine reguläre Funktion übrigens kein Extremum auf M \ dM annehmen, nur braucht sie dann ja überhaupt keine Extrema zu haben, während eine stetige Funktion auf einem kompakten topologischen Raum bekanntlich immer ein Maximum und ein Minimum annimmt. — Die Aufgabe ist so einfach, daß mir kein sinnvoller Lösungshinweis einfällt. Vielleicht soll ich daran erinnern, daß / : M —> R genau dann regulär ist, wenn überall dfp ± 0 gilt. Zu AUFGABE 27: Die Aufgabe ist so gemeint, daß Sie das am Ende von 6.6 mit bloßem Hinweis auf den Satz vom regulären Wert angegebene Lemma über /~1((—oo, c]) benutzen sollen. Zu AuFGABE 28: Diese Aufgabe ist etwas schwieriger als die vorangehenden drei. Die nicht so fern liegende Idee ist, jeweils x und T(X) gleichsam durch eine Strecke zu verbinden, um so eine kompakte Mannigfaltigkeit W mit dW = M zu konstruieren. Wie aber führt man das technisch aus? Man kann z.B. mit der unberandeten Mannigfaltigkeit M x R beginnen und zunächst einen ebenfalls unberandeten Quotienten (M x R ) / ~ nach einer geeigneten freien Involution bilden, wie in 1.6 beschrieben, und zwar so, daß man das gesuchte W als berandete Untermannigfaltigkeit /~1((—oo,c]) in diesem Quotienten vorfindet.
7
Die anschauliche Bedeutung des Satzes von Stokes
7.1 Vergleich der Antworten auf Maschen und Spate Erst im nächsten Kapitel werden wir die Cartansche oder äußere Ableitung d : QkM —> Ük+1M wirklich definieren, im übernächsten den Satz JM du> = JdM ui von Stokes beweisen. Im gegenwärtigen Kapitel will ich (in freilich fiktiver Weise) zu schildern versuchen, wie man intuitiv auf den Begriff der äußeren Ableitung verfallen und den Satz von Stokes vermuten könnte. Wir hatten uns das Integral j v ui über ein in kleine Maschen zerlegtes Stück U einer orientierten Mannigfaltigkeit anschaulich als Summe der Antworten der n-Form ui auf die Maschen vorgestellt: Dabei wird u die Masche tjp duxch das tangentiale Spat Fig. 74. ^ d i , . . . , Axndn) approxiSp = miert. Wenn wir jetzt, nachdem wir in Kapitel 5 das Integral förmlich eingeführt haben, noch einmal auf die Approximation durch Y,puip(sp) zurücksehen, können wir auch beurteivon len, wie gut sie ist. Ist nämlich a — ^i...n ° h-1 die heruntergeholte Komponentenfunktion, so ist der wahre Beitrag der Masche zum Integral h\a,
f
f
/ u! = / Quader Qp mit Kantenlängen Ax1, ..., Axn Fig. 75. Unter h entspricht der Quader der Masche, unter dhp dem Spat.
J <Jr>
a(x)dx,
J QT>
während die Approximation davon, a{/l{p))ax,
7.2 Strömungsbilanz
121
das Integral über den konstanten Wert a(h(p)) = cop(di,..., dn), also uip(di.. .dn^Ax1 • ... • Axn ist. Wenn also zum Beispiel u> eine stetige n-Form ist, so kann der Fehler dem Betrage nach nicht größer als ep • Vol(Qp) sein, wobei ep die Schwankung von a auf dem Quader Qp bezeichnet, genauer: ep := sup \a{x) — a(h(p))\. xeQp
Der Betrag des Gesamtfehlers über den ganzen Bereich U ist dann also kleiner oder gleich maxpep • Vol(/i([/)), und maxpep wird für stetiges LO bei genügend feiner Rasterung beliebig klein. Diese Überlegung zeigt nun auch, wie wir für stetiges UJ die alternierende n-Form u>p e AltnTpM aus der Integralwirkung von tu auf Maschen an p zurückgewinnen. Betrachten wir für feste orientierungserhaltende Karten h die Kantenlängen Ax1,..., Axn der Masche an p als Variable, dann ist ujp(di,.
.,dn)=
lim —
—— / LÜ.
Ax^o Axl-..-Axn J
Diese Formel präzisiert die Aussage, u>p sei die infinitesimale Version bei p der Integra- Fig. 76. Maschen .•
"i
tion uber UJ .
e QkM, fiir beliebiges k, gibt es genau eine (& + l)-Form dio e Qk+1M, die auf orientierte (ft + 1)Maschen so antwortet, wie ui auf deren orientierten Rand. Auf diese Weise erhält man eine ganze Sequenz
linearer Abbildungen. Die Cartansche Ableitung d : fl°M —>• Q,lM der Nullformen, also der C°°-Funktionen auf M, ist einfach das Differential: Für eine orientierte 1-Masche a wie in Fig. + 82 wird durch die Orientierungskonvention q positiv und p negativ orientiert, also fadw = tü(q) — LÜ{P) für LJ e Q°M. Desp halb gibt es keine Kollision zwischen unserer Fig 82 ' ' bisherigen Notation df e Q}M für das Differential einer Funktion und der Bezeichnung der Cartanschen Ableitung durch d. Die Sequenz der Cartanschen Ableitungen ist, was man in der homologischen Algebra einen Komplex nennt, d.h. es gilt dod = 0. Ist nämlich u> e Q^^M und a eine orientierte (k + 1)-Masche, so haben wir ja
f
f
f
/ ddio = I du> = I Ja
JdcF
Jddrr
ui,
7.6 Simpliziale Komplexe
127
wobei das Integral über dda eben die Summe der Integrale über die Seiten der Seiten von a bezeichnen soll. In dieser Summe wird aber über jede Kante zweimal, mit entgegengesetzten Orientierungen integriert, und deshalb ist fgg^u = 0. Oder: Wagen wir es, die (k + 1)Masche a trotz ihrer Kan-^.
ten und hcken als berandete Mannigfaltigkeit aufzufassen, was zum Zwecke des darüber Integrierens schon angeht, dann hat do ,
,
, , , ,
• r i
-r
j
• Seite r 2 von n°M -^ Q}M - ^
U S ] " " 1 ! -U ünM -^ 0
nennt man den de Rham-Komplex
7.6
von M.
Simpliziale Komplexe
Der de Rham-Komplex definiert in kanonischer Weise einen kontravarianten Funktor von der differenzierbaren Kategorie in die Kategorie der (Coketten-) Komplexe und stellt eine wichtige Schnittstelle zwischen Analysis und algebraischer Topologie dar. Dies im technisch genauen Sinne zu erläutern würde natürlich zuvor eine Einführung in die algebraische Topologie erfordern und deshalb über den Rahmen des vorliegenden Buches hinausgehen. Aber eine intuitive Vorstellung davon zu geben, will ich einmal versuchen. Zu diesem Zweck muß ich zunächst etwas über eine ganz andere Art von Komplexen erzählen.
128
Kapitel 7. Anschauung
"Komplex" ist ja ein Allerweltswort füx etwas aus Einzelbausteinen Zusammengesetztes. Diesen naiven Sinn hat es in der Bezeichnung de Rham-Komplex nicht mehr, aber in dem Ausdruck simplizialer Komplex ist es noch so gemeint. Stellen Sie sich vor, Sie dürften aus (abgeschlossenen) Tetraedern, Dreiecken, Strecken und Punkten im R als 3-, 2-, 1- und nulldimensionalen Bausteinen (" Simplices") beliebige Gebilde zusammensetzen, wobei Sie nur zwei Spielregeln zu beachten haben: (1) Sie dürfen jeweils nur endlich viele Bausteine verwenden und (2) benachbarte Bausteine müssen aneinanderpassen, genauer: der Durchschnitt zweier Bausteine muß leer oder ein gemeinsames Teilsimplex sein. Die Teilsimplices eines Tetraeders z.B. sind seine Ecken, Kanten und Seitenflächen. Analog im Mn, wo entsprechende Bausteine bis zur Dimension n möglich und zugelassen sind. Die Gebilde, die Sie nach dieser Baukastenmethode zusammensetzen können, heißen endliche simpliziale Komplexe. Mit etwas Vorsicht ("lokal endlich" statt "endlich" in der ersten Spielregel) kann man auch unendlich viele Bausteine in sinnvoller Weise zulassen. Sucht man nicht gerade absichtlich nach Gegenbeispielen, so wird man sich von jedem geometrischen Objekt im Mn, dem man begegnet, ein simpliziales Baukastenmodell vorstellen können: von Kugel, Kegel, Torus; von Mannigfaltigkeiten und Nichtmannigfaltigkeiten aller Art - meist zwar nicht ganz echt, weil eckig und kantig, aber doch homöomorph zum Vorbild und deshalb dessen topologische Eigenschaften treu wiedergebend. Um solcher topologischer Eigenschaften des Originals habhaft zu werden, betrachtet man nun simpliziale Ketten im Modell. Jeder kann sich eine "Kette" aus endlich vielen orientierten Bausteinkanten vorstellen, die von einer Ecke des simplizialen Komplexes zu einer anderen läuft, deren "Rand" daher von dem (positiv orientierten) Endpunkt und dem (negativ orientierten) Anfangspunkt gebildet wird. Ist der Anfangspunkt gleich dem Endpunkt, so ist die Kette ein "Zykel". Einleuchtende Benennungen!
7.6 Simpliziale Komplexe
129
Will man aber die Vereinigung von Ketten zu einer abelschen Gruppenverknüpfung machen und auch beim eindimensionalen Fall nicht stehen bleiben, so wird man automatisch auf folgende Verallgemeinerung des Kettenbegriffs geführt: Definition: Die Ä-dimensionalen simplizialen Ketten eines simplizialen Komplexes X werden durch ganzzahlige formale Linearkombinationen • • • + Xrar von orientierten ft-dimensionalen (Teil-)Bausteinen des simplizialen Komplexes beschrieben und dementsprechend addiert, aber mit der Maßgabe, daß ein fc-Simplex a durch Umorientierung in —a übergeht. D Die /c-dimensionalen Ketten von X bilden so eine abelsche Gruppe Sk(X), jedes einzelne orientierte Ä-Simplex a hat (mit derselben Orientierungskonvention wie bei den berandeten Mannigfaltigkeiten) eine (k — 1)-Kette da als Rand, wodurch auch für jede k-Kette c e Sk(X) eine Randkette dc e Sk-i(X) definiert ist. Eine Kette c mit dc = 0 nennt man einen Zykel, und die Sequenz 0 -> Sn(X) M Sn-X{X)
-*+...-*+S^X)-±+
S0(X) - . 0
der Randoperatoren heißt der simpliziale Kettenkomplex X.
von
Die Randkette der Randkette eines fc-Simplex ist ersichtlich Null, weil sich, wie bei einer Masche, der Beitrag jeder Seite mit den gegenorientierten Beiträgen der Nachbarseiten aufhebt. Deshalb gilt auch für Ketten d o d = 0 oder in Worten: Alle Ränder sind Zykeln. Aber nicht alle Zykeln brauchen Ränder zu sein, ein MeridianZykel auf einem simplizialen Torus zum Beispiel sieht nicht so aus, als ob er der Rand einer 2-Kette sein könnte. Und gerade diese nichtberandenden Zykeln scheinen etwas über die topologische Gestalt des simplizialen Komplexes auszusagen und damit auch über
130
Kapitel 7. Anschauung
die Gestalt des uns eigentlich interessierenden geometrischen Objekts, dessen Baukastenmodell der simpliziale Komplex nur ist. Aber wie können wir an diese Information rechnerisch herankommen? Will man die uninteressanten Ränder im Kalkül unterdrücken, so muß man mit Zykeln "modulo Rändern" rechnen, d.h. zwei Zykeln für äquivalent oder homolog erklären, wenn sie sich nur um einen Rand unterscheiden. Die Äquivalenz- oder Homologieklassen von Ä-Zykeln sind dann die Elemente der A;-ten Homologiegruppe von X, des Quotienten der Zykelgruppe durch die Rändergmppe: Deflnition: Ist X ein simplizialer Komplex, so heißt die abelsche Gruppe
die k -te simpliziale Homologiegruppe von X.
D
Ist zum Beispiel X ein endlicher simplizialer Komplex, so ist Hh(X, Z) nach Konstruktion eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, die man im Prinzip zu Fuß ausrechnen kann. Sagt sie uns aber wirklich etwas über das ursprüngliche geometrische Objekt oder wird sie von den uninteressanten Details der Anfertigung des Baukastenmodells beeinflußt? Nun, in letzterem Falle würden wir heute über diese etwa hundert Jahre alte Erfindung wohl nicht mehr reden. Mittels einer simpliziale Approximation genannten Methode ließ sich nicht nur zeigen, daß homöomorphe simpliziale Komplexe isomorphe Homologiegruppen haben, sondern daß die simpliziale Homologie sogar in kanonischer Weise einen Funktor von der Kategorie der "triangulierbaren" (d.h. zu einem simplizialen Komplex homöomorphen) topologischen Räume und stetigen Abbildungen in die Kategorie (der durch den Index k graduierten) abelschen Gruppen definiert. Die Homologietheorie war damit etabliert.
7.7 Das de Rham-Theorem
131
7.7 Das de Rham-Theorem Der Erfolg der Homologietheorie war durchschlagend. Berühmte alte Theoreme sanken zu kleinen Lemmas herab, ungeahnte neue Resultate ergaben sich in Massen. Man konnte nun durch Anwendung des Homologiefunktors gleichsam einen Röntgenblick ins Innere unangreifbar scheinender geometrischer Probleme tun. Sie können sich denken, daß dies mit einer Weiterentwicklung der Methoden einherging. Als das eigentliche Erfolgsrezept kristallisierte sich heraus, geometrischen Objekten X auf möglichst natürliche, funktorielle Weise Kettenkomplexe • • • -*+ Ck+1(X)
-±> Ck(X) -^ X des /c-dimensionalen Standard-Simplex nach X, im Falle k = 1 also einen stetigen Weg in X, und die Ä-Ketten dieser Theorie sind die formalen ganzzahligen Linearkombinationen von singulären fc-Simplices. Die resultierenden singulären Homologiegruppen Hk(X, Z) lassen sich zwar nicht mehr "zu Fuß" ausrechnen, aber die naiven Berechnungsmethoden hatte die sich entwickelnde Homologietheorie sowieso schon hinter sich gelassen und durch elegantere axiomatische ersetzt.
132
Kapitel 7. Anschauung
Von besonderer Bedeutung bei der Erfindung neuer Homologietheorien war die Anwendung algebraischer Punktoren auf die Kettenkomplexe schon vorhandener, bewährter Theorien. In einem Kettenkomplex schlummert mehr Information als die Homologie herausholt, man darf daher schon hoffen, etwas Neues zu finden, wenn man vor Bildung der Homologiequotienten Kernd/Bildd den Kettenkomplex einer algebraischen Manipulation unterwirft, wenn diese nur die Komplex-Eigenschaft d o d = 0 erhält. Zum Beispiel kann man eine abelsche Gruppe G nehmen und alle "Kettengruppen" Ck (X) damit tensorieren. Im Falle der singulären Homologie führt das zur sogenannten singulären Homologie mit Koeffizienten in G, deren Gruppen mit Hk(X,G) bezeichnet werden. Eine ausgefeilte algebraische Theorie der Kettenkomplexe wurde für die zur Industrie anwachsende Homologietheorie schließlich zu einer so zwingenden technischen Notwendigkeit, daß ihr Sog eine eigenständige neue Teildisziplin hervorbrachte, die homologische Algebra.
Unter den algebraischen Funktoren, die sich zur versuchsweisen Anwendung auf vorhandene Kettenkomplexe anbieten und auch frühzeitig angewandt wurden, ist natürlich der Hom-Funktor Hom(—, G). Da er kontravariant ist, macht er aus einem Kettenkomplex einen, wie man dann lieber sagt, Coketten-Komplex, dessen Graduierung nun mit dem Randoperator aufsteigt, aus dem singulären Kettenkomplex zum Beispiel macht er den sogenannten singulären Coketten-Komplex mit Koeffizienten in G: •••J- Rom(Ck+1(X),G)
J- Bom(Ck(X),G)
J- • • • ,
dessen Homologiegruppen dann folgerichtig singuläre Cohomologiegruppen mit Koeffizienten in G genannt und Hk (X, G) geschrieben werden. Es war nicht sogleich zu sehen gewesen, auf welche bedeutende Erweiterung der Homologietheorie man damit gestoßen war. Erst nach und nach fand man heraus, daß für die singuläre Cohomologie - im Gegensatz zur Homologie! - mit Koeffizienten in einem
7.7 Das de Rham-Theorem
133
kommutativen Ring R in natürlicher Weise ein Produkt - : Hr(X,R)xHs(X,R)
• Hr+S(X,R),
das sogenannte Cup-Produkt erklärt ist, das die Cohomologie zum Cohomologiering macht, was weitreichende Konsequenzen hat. Wie Sie nun sehen, ist auch der de Rham-Komplex ein Cokettenkomplex und definiert eine Cohomologietheorie für die Kategorie der Mannigfaltigkeiten. Die Cohomologiegmppen H§KM dieser sogenannten de Rham-Cohomologie sind reelle Vektorräume, und mit dem Dachprodukt bilden sie einen Cohomologiering. Viel äußere Ahnlichkeit mit der singulären Cohomologie mit Koeffizienten in M! Aber die Herkunft der de Rham-Cohomologie wirkt unter den anderen Homologietheorien, die ihre Abstammung von der simplizialen Homologie nicht verleugnen können, geradezu exotisch. Ihr Randhomomorphismus, die Cartansche Ableitung, ist ein Differentialoperator! Georges de Rham hat als erster herausgefunden, was diese exotische Cohomologietheorie ist, deshalb ist sie nach ihm benannt, er hat sie identifiziert. Es ist die reelle singuläre Cohomologie der Mannigfaltigkeiten, und Dach ist Cup. Die Verbindung wird durch den Satz von Stokes hergestellt. Man kann nämlich eine fc-Form w auf M über ein (differenzierbares) singuläres fc-Simplex a in M integrieren, indem man a u> setzt. Deshalb ist auch fcu> für (differenzierbare) singuläre kKetten erklärt, und der Satz von Stokes, angewandt auf A^ (die Ecken und Kanten machen keine wirklichen Schwierigkeiten) liefert Jc dr\ — fdc r\. Deshalb haben wir lineare Abbildungen H^M
—> Rom(H%im(M,
Z ) , M) i,.., vr+s) auch durch die wohldefinierte Summe
136
Kapitel 8. Dachprodukt und Cartanableitung
über die ( r + s )-elementige Menge ZTtS dieser Zerlegungen gegeben. Lemma: Das Dachprodukt schaften (1) und (2):
A hat die folgenden beiden Eigen-
(1) Für jeden reellen Vektorraum V wird die direkte Summe ©^=o Alt f c F durch das Dachprodukt zu einer graduierten antikommutativen Algebra mit Einselement, genauer: Für alle r,s,t>0 gilt: (i) Das Dachprodukt A : A l f V x A l t s F -*• A l t r + S V ist bilinear. (ii) Das Dachprodukt A ist assoziativ, d.h. für co e A l t r F , 77 e A l t s F und C e Alt*V gilt (LO A r?) A C = u; A (ry A 0 (iii) Das Dachprodukt A ist antiicommutativ, d.i. für w e A l t r F , 77 G A l t s F giit 77 A w = ( - l ) r - s w A 77. (iv) Die O-Form 1 e Alt°V = M erfüllt 1 A W = LÜ für alle UJ G Alt/V. (2) Das Dachprodukt ist "natürlich", d.h. mit linearen Abbildungen verträglich: f*co A f*rj = f*(u> A 77) für jede lineare Abbildung f :W -^V und alle w € AltfV, 77 e A l t s F . ZUM B E W E I S : Die Eigenschaften (i), (iv) und (2) folgen trivial aus der definierenden Formel, auch die Antikommutativität (iii) ist direkt zu sehen. Um die Assoziativität zu verifizieren, denke man sich u> A 77(^1,.., iv+ s ), wie oben erläutert, als Summe über die Zerlegungen von {l,.. ,r+s} in eine erste und eine zweite Teilmenge aus r bzw. s Elementen. Dann erkennt man nämlich auch (LÜ A 77) A C und u> A (77 A C), angewandt auf (vi,.., vr+s+t), als ein und dieselbe Summe über die Menge ZrtSjt der Zerlegungen von {1,.. ,r + s + t} in eine erste, zweite und dritte Teilmenge aus r, s und t Elementen, oder als
(LÜ A 77 A C)(wi, • •, vr+s+t) ——
£
' •»•!
V
T(r+s))
• C(vr(r+s+l)
j •• , ^r(r+s+t))
D
8.2 Charakterisierung des Dachprodukts
137
Als nachträgliche Kurzfassung des Lemmas können wir also formulieren: Das Dachprodukt macht ©^LQ Altfe zu einem kontravarianten Funktor von der Kategorie der reellen Vektorräume und linearen Abbildungen in die Kategorie der reellen graduierten antikommutativen Algebren mit Einselement und deren Homomorphismen.
8.2 Eine Charakterisierung des Dachprodukts Dadurch ist das Dachprodukt noch nicht charakterisiert, für beliebiges / : N o ->• M \ 0 mit /(0) = 1 hätte z. B. das zu ^V : = f(r+s) ^ A ^ abgeänderte Dachprodukt A immer noch die Eigenschaften (1) und (2). Nach unserer Defmition erfüllt das Dachprodukt aber auch die folgende Normierungsbedingung: Notiz: Bezeichnet e±,..,ek die kanonische Basis des Rfe und S1,..,Sk die dazu duale Basis von Rk* = Alt 1 Rfc, so gilt (3)
ö1A..AÖk(e1,..,ek)
= 1 füralle
k>\.
D
Satz: Nur A erfüllt (1), (2) und (3). BEWEIS: Genauer will der Satz natürlich besagen: erfüllt eine für alle V,r,s erklärte Verknüpfung A : A l f F x Alt s F -^ A l t r + S F die oben genannten Bedingungen (1) - (3), so stimmt sie mit dem in 8.1 explizit angegebenem Dachprodukt überein. Sei also A eine beliebige solche Verknüpfung. Dann gilt auch
(4) Sei e\,.., en Basis eines reellen Vektorraumes V, sei ferner S1,.. ,5n die duale Basis und 1 < v\ < .. < v^ < n. Dann ist
wobei T die Permutation bezeichnet, durch die ß\,.., nenfalls aus fi,.., vk hervorgeht (ßi = vT(i))-
fj,k gegebe-
138
Kapitel 8. Dachprodukt und Cartanableitung
Es bezeichne nämlich Vo den von eVl,.., eVk aufgespannten kdimensionalen Unterraum von V und i :VQ ^> V die Inklusion. Wegen der Natürlichkeit (2) ist dann Ä " 1 A .. A ö " k (eVl , . . , e V k ) = L * ö i * 1 A . . A L*ö»k (eVl , . . , e V k ) .
Ist (fii,.., ßk) keine Permutation der v\ < .. < vj., so gibt es entweder i ^ j mit /Xj = ßj , und dann ist schon S^ A 5^ = 0 wegen der Antikommutativität (1) (iii), oder es gibt ein i mit /Zj ^ I/J für alle j . Dann aber ist z,* V die Inklusion des von fi, • •, tv+« erzeugten endlichdimensionalen Vektorraums VQ in V bezeichnet. Der Satz ist also bewiesen. D Ausdrücklich sei als Folgerung aus (5) auch angemerkt: K o r o l l a r : Ist ( e i , . . , e „ ) eine Basis von V die duale Basis, so ist (S^A. . A(5 Mfc ) Ml< .. • LÜAT]
von Differentialformen auf M natürlich punktweise, d.h. D durch (ui A r))p := u>p A r)p, für jedes p e M. Beachte, daß das Dachprodukt mit einer Nullform, also einer Funktion, einfach das gewöhnliche Produkt ist: / A 77 = frj für / e Ü°(M) wegen (l)(i),(iv) S. 136. Notiz (vergl. 8.1): Durch das Dachprodukt wird ü* := ® ^ 0 Qk zu einem kontravarianten Funktor von der Kategorie der Mannigfaltigkeiten und differenzierbaren Abbildungen in die Kategorie der reellen graduierten antikommutativen Algebren mit Einselement. D
140
Kapitel 8. Dachprodukt und Cartanableitung
Sei jetzt (U,h) eine Karte. /^*^\ ^' Hier leben die VekWir prirmprn imq (vpre-1 / /• e QkU. Da djjto nach der definierenden Formel (*) eine Summe von Dachprodukten von Differentialen ist, genügt es, wegen der schon bewiesenen Produktregel, den Fall k = 0 zu betrachten. Für eine Funktion f e Q°U aber ist n
duduf = dudf — du J2 9ßf
= fj,=i E n
=E denn d^d^f ist symmetrisch in p und v, aber dxv A dx^ schiefsymmetrisch. Damit haben wir auch die Komplexeigenschaft füx die djj gezeigt, und für den Spezialfall M = U ist der Satz jetzt bewiesen.
8.5
Beweis für die ganze Mannigfaltigkeit
Wenden wir uns nun dem allgemeinen Fall zu. Für den Existenzbeweis werden wir natürlich versuchen, dM lokal mittels Karten zu definieren. Für UJ e QkM setzen wir also
für eine Karte (U,h) von p, wobei mit dyw natürlich djj(to\U) gemeint ist. Die Unabhängigkeit von der Kartenwahl ist klar, denn U n V = dunvu = dyoj \ U n V
8.5 Beweis global
143
ergibt sich sofort aus der definierenden Formel (*) für die Cartansche Ableitung in Kartengebieten. — Da das so definierte fl°M
USW.,
welche Differentialbedingung, Komplexeigenschaft und Produktregel erfüllen, und der Existenzbeweis ist schon fertig. Zum Beweis der Eindeutigkeitsaussage müssen wir nun umgekehrt zeigen: Ist ÜM eine Cartansche Ableitung für ganz M, d.h. erfüllt es die Bedingungen (a) - (c), so gilt auch (rf^w)p = {duuj)p. Nun ist zwar
u>\u=
Lün
aber davon können wir für die Anwendung von du nicht unmittelbar Gebrauch machen, denn ^M wirkt nach Voraussetzung nur auf Differentialformen, die auf ganz M definiert sind, und das trifft auf die Funktionen ^ßi.-.fik u n d die Einsformen dx^ gerade nicht zu. Deshalb wenden wir nun einen Kunstgriff an. Wir wählen in h(U) drei konzentrische offene Kugeln um h(p) mit Radien 0 < £i < e2 < e3, ihre Urbilder unter h nennen wir U\ C U2 C U3 • Jetzt wählen wir Fig. 85. Vor> [0,1] mit bereitung zum eme C°°-Funktion r : U3 r | C/i = 1 und T | U3 \ U2 = 0, eine "Tafel- Tafelberg. bergfunktion" sozusagen, mit Plateau über U\ und dem Hang in U2 \ U\. Dazu braucht man ja nur eine C°°Hilfsfunktion A : M+ -> [ 0,1 ] wie in Fig. 86, mit der man dann r(q) :— A(|| h(q)—h(p) ||) für q € U3 C U definiert. - Der Zweck die£l £2 £3 ses Werkzeugs r ist es, die Funktionen u ^ . . . ^ Fig. 86. Hilfs- und x1,..., xn von U\ differenzierbar auf ganz funktion für M fortzusetzen, und zwar einfach indem wir den Tafelberg. definieren:
144
Kapitel 8. Dachprodukt und Cartanableitung
0 0
für q e M \ C/3 für q e M \ C/3.
Für die durch
gegebene fc-Form o; e OfcM folgt nun wirklich aus den Axiomen (a) - (c), daß
gilt, denri die a und £ sind jetzt auf ganz M differenzierbar. Insbesondere ist, wie die definierende Formel (*) für U zeigt:
und letzteres ist gleich (duui)p, weil ja ui und UJ auf der Umgebung XJ\ C U von p übereinstimmen. Also brauchen wir nur noch zu zeigen, daß auch gilt. Ahnlich wie vorhin die Tafelbergfunktion r wählen wir jetzt eine "Hochebenenfunktion" a : M —> [0,1], nämlich eine C°°Funktion mit a\M \ U\ = 1 und cr(p) = 0 . Dann ist Lü — Lü — U • (üJ —
üj),
daher folgt aus (a) - (c) für d M : — iü)
=
d(T A (üJ — CO) + G(IM((JJ
—
io).
Beide Summanden verschwinden bei p, weil a; — ui und a dort null sind, und daher ist du{u — w)p = 0, was zu zeigen war. D
8.6 Natürlichkeit
145
8.6 Die Natürlichkeit der Cartanschen Ableitung Damit haben wir nun die Cartansche Ableitung zur Verfügung. Wir konnten sie durch allgemeine Eigenschaften (a) - (c) charakterisieren, und durch die unterwegs gewonnene lokale Formel
haben wir auch eine konkrete Anleitung für das Berechnen von duj in den Koordinaten einer Karte (U, h). — Die Natürlichkeit der Cartanschen Ableitung hatten wir nicht unter die charakterisierenden Forderungen aufgenommen, sie folgt nun von selbst: Lemma: Die Cartansche Ableitung ist mit differenzierbaren Abbildungen verträglich, d.h. ist f : M —> N eine differenzierbare Abbildung, so gilt für alle Differentialformen
u> auf N.
BEWEIS: Für O-Formen w e fl°N, also differenzierbare Funktionen u> : N —> R., ist f*du> = d(f*u>) nur eine andere Schreibweise der Kettenregel, denn f*u> := w o f und (f*duj)p := dw/(p) ° dfp. Für Differentialformen höheren Grades wissen wir aus der obigen Rechenformel für doj\U immerhin schon im voraus, daß die Cartanableitung mit der Inklusion ofFener Teilmengen verträglich ist, und deshalb dürfen wir oBdA annehmen, es gäbe eine Karte (U,h) für N, deren Kartenbereich ganz N ist. Dann hätten wir also w —
und daher nach Anwendung von / * :
f*uj = Efw w ... w "
.. /\dx^k
und
146
Kapitel 8. Dachprodukt und Cartanableitung
Bevor wir nun d auf die erste dieser beiden Gleichungen anwenden, um df*u> mit f*duo vergleichen zu können, wollen wir uns überzeugen, daß d(f*dxßl A - A / W ) = 0 ist. Das folgt mittels Induktion und Produktregel daraus, daß für die Nullform xßi auf N, wie wir schon wissen,
gilt, also d(/*dx'J N einen sogenannten phismus zwischen den de Rham-Komplexen von N und M induziert, d.h. daß das Diagramm 0
•
r\
r\
r
o —> kommutativ ist. Durch den de Rham-Komplex ist daher, wie in 7.5 angekündigt, kanonisch ein kontravarianter Punktor von der differenzierbaren Kategorie in die Kategorie der Komplexe und ihrer Kettenhomomorphismen definiert. — Der de Rham-Komplex einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist natürlich nur bis
8.8 Test
147
zum Grade n interessant, weil QkM = 0 für k > n ist. Deshalb wird oft auch die endliche Sequenz
0 -> 0°M -t ÜlM -t • • • -i Sl^'M -i Ü"M -» 0 de Rham-Komplex von M genannt. Die Natürlichkeit von d bezieht sich aber nicht nur auf Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Mannigfaltigkeiten, und es ist deshalb formal bequemer, den endlichen de Rham-Komplex nach rechts durch seine Nullen zu ergänzen. Ist dim JV =: k < n, so macht die Natürlichkeit von d noch eine nichttriviale Aussage über die fc-Formen auf M: Alle von N kommenden fc-Formen haben die Cartansche Ableitung Null, sind "Cozykel", wie man auch sagt: 0
Korollar: Ist M eine n-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit und f : M —> dM irgendeine differenzierbare Abbüdung, so gilt df*u) = 0 für alle ÜJ e ün-1dM.
D
8.8 Test (1) Sei (ei,..., en) eine Basis von V und (ö1,..., 5n) die duale Basis. Dann ist die folgende Familie von Dachprodukten eine Basis von Alt 2 F: • D
(«"AJ"),I1/=I (^A v\ die Determinante mus / : V —> V mit vt — +1, daher ist wj«-i wohldefiniert, vergl. Aufg. Fl 14). - Der eigentliche Hinweis zu der Aufgabe 32 S- 87ist nun: Auch M" hat eine kanonische Volumenform, und zwar ist das natürlich LÜ — dx1^..
Adx11.
Wie antwortet also dx1 A .. A dxn auf (v0,..., u n - i ) , und was hat das mit u_i w zu tun?
9
Der Satz von Stokes
9.1 Der Satz Endlich kommen wir nun zu dem Satz, von dem schon so viel die Rede war: Satz von Stokes: Sei M eine orientierte n-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit und u> e Q,n~lM eine (n — 1)-Form mit kompaktem Träger. Dann gilt
M
=h8M
Bevor wir mit dem Beweis beginnen, sei an zwei Konventionen erinnert, die in der Formulierung stillschweigend benutzt wurden. Erstens ist dM gemäß der in (6.8) vereinbarten Orientierungskonvention orientiert: die Außennormale gefolgt von der Randorientierung ergibt die Orientierung von M, und zweitens bedeutet j a M LJ := JgM i*üo, wobei i: dM M die Inklusion ist (Notation in 7.2). — Wir führen den Beweis in drei Schritten zunehmender Allgemeinheit: 1. Fall: M = Rü 2. Fall: Es gibt eine Karte (U, h) mit Trw C U 3. Allgemeiner Fall. Einige Rechenarbeit ist nur im ersten Schritt zu leisten, wobei aber keine Ideen gebraucht werden, sondern ein ganz geradliniges Anwenden der Definitionen zum Ziel führt. Die beiden anderen Schritte sind eher begrifflicher Natur. Im dritten und letzten werden wir ein Hilfsmittel kennenlernen, das auch sonst beim
9.2 Beweis für den Halbraum
153
Übergang von lokalen zu globalen Situationen oft nützlich ist, nämlich die sogenannten Zerlegungen der Eins.
9.2 Beweis für den Halbraum Sei also M — M" . In den kanonischen Koordinaten ist us = Y] u>. ~
dx A . . . . . . . A dxn
11=1
oder, wenn wir kurz f^ := UJX -~ n für die Komponentenfunktionen schreiben, LO = J2 fßdx1 A . . . / 2 . . . A dxn, H=l
wobei die Notation /2 wieder bedeutet, daß der Index /x bzw. der zum Index ß gehörige Faktor dx^ ausgelassen werden soll. Daraus berechnen sich die beiden Integranden dco s Qn M™ und i*ui e Q71^1 M™"1 definitionsgemäß wie folgt: n
du> = ^2 dfß
A
dx1 A ... p,...
11
A dx
f l = l
n
n
vfßdx") A dx1 A ... /2... A dx"
und wenn wir die kanonischen Koordinaten des 0 x M.n l C auch mit x2,... ,xn bezeichnen, so gilt n
L*Lü — Y2 i* fn • L^dx1 A . . . ß . . . A dxn = i*/i -dx2
A...A
dxn s fi™"1 R " " 1 ,
154
Kapitel 9. Der Satz von Stokes
denn die Inklusion t : 0 x M.n * M™ induziert aus den Koordinatenfunktionen xl,...,xn auf M" offenbar die Funktionen 0, x2,..., xn auf 0 x M"" 1 und daher ist fdx1
= 0
und
für
ß>2.
Soviel über die Integranden duj auf M" und L*LO auf und nun zur Integration selbst. Die kanonischen Koordinaten auf M" definieren natürlich eine orientierungserhaltende Karte, und nach der Orientierungskonvention gilt das auch für die Koordinaten x2,... ,xn von 9M™ . Daher gilt nach Definition der Integrale (Integration über die "heruntergeholte Komponentenfunktion"): 1
...dxn
und
M=l.
f1{O,x2,...,xn)dx2...dxri
f ÜJ= f
als gewöhnliche Mebxfachintegrale über difFerenzierbare Integranden mit kompaktem Träger. Da es bei der Integration über die einzelnen Variablen nach dem Satz von Pubini auf die Reihenfolge nicht ankommt, dürfen wir auch im /x-ten Summanden von JM diü mit der Integration über die //-te Variable beginnen und erhalten dabei, weil der Träger {x e M™ | tox ^ 0} von w und daher auch der von
Fig. 88. Zum Stokesschen Satz im Falle
schränkt sind, für /x = 1 xl=0 r
für die anderen \x jedoch oo
f
i d f j
M
ß
= 0
T
)
U be"
9.3 Beweis für ein Kartengebiet
155
und daher
=f
f dw = M
dM
]
für unseren 1. Fall M := M™.
9.3 Beweis für ein Kartengebiet Sei also (U, h) eine Karte von M mit Tru C U. Unsere Definition des Begriffes berandete Mannigfaltigkeit läßt die beiden Möglichkeiten zu, daß h(U) ofFen in R" oder in R n ist. Hier dürfen wir dM aber oBdA das erstere annehmen, denn da Tra; kompakt ist, wäre das erforderlichenfalls durch Translation und Verkleih(U) nerung des Kartengebietes zu erreichen. Außerdem dürfen wir h : U —> U' und damit nach der Orientierungskonvention auch h\dU : dU -^> dU' als orientierungserhaltend voraussetzen. Dann gilt Fig. 89. Zum StokesSatz im Falle aber nach der "Transformationsformel" schen Trwcl/. (vergl. 5.5) für die Integration auf Mannigfaltigkeiten und weil die Cartansche Ableitung natürlich ist:
f dco= f du>= f JM
h-^duj = f
-1*
lh(U) Jh
Jh{U)
JU
d(h
Setzen wir nun h u) durch Null außerhalb h(U) zu einer Form ui' e O " " 1 1 " fort, was wegen der Kompaktheit des Trägers Tr/i" 1 *^ = h(Trui) möglich ist, dann ist also
/ Jh{U)
d{h-uu) = [ ir
dJ
= !•
Fal1
f J9R«
ÜJ' = [ Jh(dU)
h~l*uj,
Kapitel 9. Der Satz von Stokes
156
wegen der Transformationsformel für h\dU : dU —> dU' gilt aber /
h~ULÜ
Jh(dU)
=
U =
JdU
U),
JdM
womit also der 2. Schritt abgeschlossen ist.
9.4
Allgemeiner Fall
Konnten wir bisher ganz routinemäßig vorgehen, so brauchen wir nun einen Trick, denn der Träger paßt jetzt vielleicht nicht mehr in eine Karte, und die gewaltsame Zerlegung von M oder Tr'u> in kleine meßbare Stücke führte zu unstetigen Integranden in Trw K™ , auf die die Cartansche Ableitung gar nicht anwendbar wäre. Ja, wenn wir ui als eine Summe LO = u>i+- • -+u)r differenzierbarer (n — 1)-Formen u>i e £ln~lM schreiben könnten, deren jede einen kompakten, in ein dM Kartengebiet passenden Träger Trwj c Ui Fig. 90. Zum Stohätte! Dann wären wir nach (9.3) freilich kesschen Satz im mit dem Beweis fertig. allgemeinen Fall. Und eben das werden wir jetzt bewerkstelligen. Zuerst wählen wir um jedes p e Trw eine orientierungserhaltende Karte (Up, hp) und eine C°°-Funktion Ap : M >• [0,1] so, daß \p(p) > 0 ist und der Träger von \p kompakt und in Up enthalten ist. Das ist kein Problem: wir brauchen nur eine geeignete "Buckelfunktion" ßp mit kompaktem Träger in h(Up) nach Up hp(U, hochzuheben, das heißt Ap(g) := ßp(h(q)) fiir q e Up und 0 sonst zu setzen. Dann ist { Ap^O, 1] }PeTru> eine Familie offener Menh(P) gen, in deren Vereinigung TXLÜ enthalten ist, und da Trw kompakt ist, gibt es endlich viele Fig. 91. ßp für Pi, • •. ,pr s o daß schon pedM.
TILÜC
9.5 Zerlegungen der Eins
157
gilt. Auf der offenen Menge X c M definieren wir jetzt r differenzierbare Funktionen T\ , . . . , r r durch n:X
> [0,1] XPl(x)
+ • • • + XPr(x)
'
Dann ist offenbar
£
Tj(a;) = 1 für alle
x e X,
weshalb man { Tj }*=].,...>r auch eine "Zerlegung der Eins" auf X nennt. Durch Multiplikation mit LO erhalten wir nun dementsprechend die "Zerlegung von w", die wir suchen, genauer: Wir definieren uii e Qn~1M durch Ti(p)ujp
fur p e X
0
sonst.
Mit TILÜ ist auch Trfri • u\X) C Trw kompakt, deshalb ist tüi nicht nur auf X, sondern auf ganz M differenzierbar, aus Tr LO C X und ]T>j = 1 auf X folgt
und die Träger der einzelnen Summanden passen schließlich wie gewünscht in ein Kartengebiet, da ja aus u^p ^ 0 jedenfalls n(p) ^ 0 und daher \Pi(p) ^ 0, also Trw, C TrAPi C UPi folgt. D
9.5 Zerlegungen der Eins Der Satz von Stokes ist nun bewiesen. So wie hierbei, sind Zerlegungen der Eins auch anderweitig ein sehr nützliches Werkzeug (siehe z.B. [ J: Top], Kap. VIII, § 4.), und insbesondere ermöglichen sie den am Schluß des Abschnitts 5.3 schon versprochenen Zugang
158
Kapitel 9. Der Satz von Stokes
zur Integration auf Mannigfaltigkeiten, bei dem die Mannigfaltigkeit zur Definition des Integrals nicht gewaltsam in kleine Stücke zerlegt zu werden braucht. Definition: Sei M eine Mannigfaltigkeit und il eine offene Überdeckung von M (z.B. durch die Kartengebiete eines Atlas). Unter einer differenzierbaren, der Überdeckung il untergeordneten Zerlegung der Eins verstehen wir eine Familie { ra } a e A von C°°-Funktionen ra : M —> [0,1] mit den folgenden drei Eigenschaften: (1) Die Familie {ra}a€A ist lokal endlich in dem Sinne, daß es zu jedem p e M eine offene Umgebung Vp gibt, so daß ra|V^ = 0 für alle bis auf endlich viele a e A, (2) Es ist Y.aeATa(p) — l f ü r a l l e P € M und (3) Für jedes a ist der Träger Tr ra in einer der Überdeckungsmengen von il enthalten. D Lemma: Zu jeder offenen Überdeckung einer Mannigfaltigkeit M gibt es eine untergeordnete Zerlegung der Eins. BEWEIS: Wäre M kompakt, so könnten wir wie beim Beweis des Satzes von Stokes vorgehen: Wir wählten zunächst zu jedem p e M eine "Buckelfunktion" Xp : M —> [0,1 ] mit Träger in einer p\,...,pr der Überdeckungsmengen und Xp(p) > 0, könnten dann mit U[=i Vi 1 ^ 0 ' ~L} = M finden und rk := XpJ YH=I \i setzen. Probleme mit der lokalen Endlichkeit oder dem Aufsummieren der Buckelfunktionen kann es dabei nicht geben, da es sich ja jeweils nur um endlich viele Funktionen handelt. Ist nun M nicht kompakt, so nehmen wir eine sogenannte kompakte Ausschöpfung von M zu Hilfe. Darunter versteht man eine Folge K1cK2C---cM o
kompakter Teilmengen mit Ki C Ki+i und U ^ i Ki — M. Im konkreten Fall sind kompakte Ausschöpfungen meist ganz leicht anzugeben, einen allgemeinen Existenzbeweis kann man zum Beispiel so führen: Sei { öi }J [0,1], so daß zwar \\+.. +Xlri > 0 für alle x e Ki \ Ki-i (kompakt!) gilt, aber die einzelnen Träger klein genug sind, um jeweils in eine Fig. 92. Der Streifen "verdurch A^,...,A Überdeckungsmenge aus il und wird sorgt". in ifj+i \ Ki-2 (offen!) zu passen. Dann ist die Gesamtfamilie {Xlj}i€nti<j solle kompakten Träger haben, darf man auch im Falle M = R™ offensichtlich nicht einfach weglassen, weil sonst die Integrale nicht mehr zu existieren brauchen. Bleibt der Satz aber richtig, wenn man statt der Kompaktheit des Trägers die Existenz der Integrale auf beiden Seiten fordert? D Ja, weil dann das harmlose Verhalten von LÜ und du> im Unendlichen ein ausreichender Ersatz für die Kompaktheit des Trägers ist. D Ja, weil diese Voraussetzung mit der Kompaktheit des Trägers in der Tat gleichbedeutend ist. D Nein, wie schon ein Blick auf den Fall n = 1 zeigt. (5) Zur Frage der Einschließbarkeit kompakter Teilmengen in Kartengebiete: Betrachte X := S^xl U lxS1 C S1 x 5 1 . Ist X in einer Karte des Torus enthalten? ü Nein, weil schon S1 x 1 nicht in ein Kartengebiet paßt. D Nein, obwohl S1 x 1 und 1 x S1 einzeln in Kartengebiete passen. Bedenke das Schnittverhalten ihrer Bilder in M2 unter einer einzigen ganz X enthaltenden Karte! D Ja, weil bereits der punktierte Torus S1 x S1 \ p diffeomorph zu einer offenen Teilmenge im R2 ist. (6) Ausgehend von der durch f(x) := e - 1 / xx für x > 0 und f(x) := 0 für x < 0 gegebenen C°°-Funktion / : R - • R soll eine kleine "Buckelfunktion" um den Nullpunkt im Rn angegeben werden, nämlich eine C°° -Funktion ß: R n —> R + , deren Träger die abgeschlossene Kugel um 0 vom Radius
9.7 Test
163
e > 0 sein soll. Welche der folgenden Deftnitionen leistet das Gewünschte?
D ß(x):=f(e-\\x\\) D ß(x) := f(e2 - \\x\\2) D ß(x):=f(\\x\\2-e2) (7) Es sei U C M eine offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit, z.B. ein Kartengebiet. Die Funktionen r : M —> R und / : U —> R seien differenzierbar (d.h. C°°), und r verschwinde außerhalb von U. Ist dann die durch r(x)f(x) )
für x e U für x € M \ U
definierte Funktion F difFerenzierbar auf ganz M ? D Ja, in jedem Falle. D Ja, wenn / beschränkt ist. Sonst im allgemeinen nicht. D Die Beschränktheit genügt zwar für die Stetigkeit von F, aber nicht für die Differenzierbarkeit. der Eins auf (8) Weshalb gibt es für eine Zerlegung {ra}aeA einer kompakten Mannigfaltigkeit M stets nur endlich viele a mit Ta ^ 0 ? D Weil bereits endlich viele der offenen Teilmengen genügen, um M zu überdecken. D Weil bereits endlich viele der nach der Forderung der lokalen Endlichkeit vorhandenen Mengen Vp genügen, um M zu überdecken. D Weil — es gar nicht wahr ist: Auch. auf kompakten Mannigfaltigkeiten können die Träger TrrQ "immer kleiner werden"und daher unendlich viele in lokal endlicher Weise Platz finden. (9) Auf einer unberandeten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M sei CÜ eine (n — 1)-Form mit kompaktem Träger und / eine beliebige differenzierbare Funktion. Dann gilt nach dem Satz von Stokes:
164
Kapitel 9. Der Satz von Stokes
D
(10) Es seien { ra }a€A und { a\ }\€\ zwei Zerlegungen der Eins auf M. Ist dann auch {raa\ }(a,\) N eine differenzierbare Abbildung in eine (n — l)-dimensionale Mannigfaltigkeit N. Sei ferner r? e H™" 1 ^ und uj := f*r]. Man zeige: fdMu = 0. AUFGABE 35: Man beweise: Auf jeder n-dimensionalen orientierbaren Mannigfaltigkeit M gibt es eine n-Form LO e VlnM mit OJP ^ 0 für alle p e M. AUFGABE 36: Es sei M eine berandete n-dimensionale Mannigfaltigkeit und 77 e ^ln~1dM. Man zeige, daß es eine (n — 1)Form uj e O " " ^ mit t*cu — r\ gibt, wobei 1 : dM ^-> M die Inklusion bezeichnet.
9.9 Hinweise zu den Übungsaufgaben
9.9
165
Hinweise zu den Übungsaufgaben
Zu AUFGABE 33: Diese Aufgabe ist ganz nahe am ersten Beweisschritt für den Satz von Stokes und hat auch nur den Zweck, Ihnen diesen Beweisschritt näherzubringen. Zu AUFGABE 34: Manche Aufgaben sind so fragil, die darf man nur anrühren, und schon zerfallen sie zu Staub. Ich lasse also die Finger davon und erzähle Ihnen stattdessen eine schöne Anwendung dieser Aufgabe. Kann man eine orientierte Mannigfaltigkeit M differenzierbar auf ihren Rand retrahieren, d.h. eine differenzierbare Abbildung p : M —> dM finden, so daß die Zusammensetzung
dM ^ M A dM Fig. 94.
die Identität ist? Immer? Manchmal? Nie? Sicher nicht immer: eine Retraktion p : [0,1 ] —> {0,1} wäre eine stetige Funktion mit p(0) — 0 und p(l) = 1, die keinen Zwischenwert annimmt. Aber in höheren Dimensionen? Sieht nicht so aus: die Mannigfaltigkeit wird wohl zerreißen, wenn man sie mit Gewalt auf den Rand retrahiert. Oder gibt es doch einen Twist, mit dem das gelingen kann? Vielleicht in noch höheren Dimensionen? Es geht gar nie, wie aus Aufgabe 34 folgt. Wählen Sie dazu irgend ein r\ e Q71"1 (dM) mit JaM r\ ^ 0. Das ist stets möglich, wir brauchen ja nur eine kleine Buckelfunktion A > 0 mit nichtleerem Träger in einem Kartengebiet U von dM zu wählen und J \(p)dxl Vp
'~ 1 0
A • • • A dxn~l
in
sonst
U
Kapitel 9. Der Satz von Stokes
166
zu setzen. Wäre nun p : M —»• dM eine differenzierbare Retraktion, also po i = Id^M > so wäre nach Aufgabe 34 / p*T] : = / t,*p*r) = rj = ' JdM JdM JdM
Ein Widerspruch. Wir haben also gezeigt: Satz: Man kann keine kompakte orientierbare Mannigfaltigkeit ü differenzierbar auf ihren Rand retrahieren. Korollar: Jede differenzierbare Abbildung f : Dn —> Dn hat einen Fixpunkt, denn sonst könnte man eine differenzierbare Retraktion p : Dn —>• dDn konstruieren. H In der Tat kann man Satz und Korollar durch ein Zusatzargument (Approximation stetiger Abbildungen durch differenzierbare) auf stetige Abbildungen verallgemeinern, und dann heißt das Korollar Brouwerscher Fixpunktsatz. Fig. 95.
Zu AUFGABE 35: Wir haben bisher die Zerlegungen der Eins nur dazu benutzt, eine Differentialform zu "zerlegen". Noch öfter aber gebraucht man sie, um lokal gegebene, aber nicht zusammenpassende Einzelteile zu einem glatten globalen Objekt zu vervorher nachher schweißen. Der Vorgang g 96 istin§4in[J:Top]Kap. ' ' VIII ausführlich beschrieben, und auch ohne dort die Einzelheiten studieren zu müssen, werden Sie bei flüchtigem Durchgehen die Idee für das Vorgehen in unserer Aufgabe 35 finden. Zu AUFGABE 36: Die Zerlegungen der Eins sind doch ein überaus bequemes Konstruktionsmittel. Auch hier brauchen Sie die Aufgabe nur lokal zu lösen und sich dann in ein, zwei geschickt formulierten Zeilen auf die Zerlegungen der Eins zu berufen.
10 10.1
Klassische Vektoranalysis
Einführung
Die klassische Vektoranalysis des 19. Jahrhunderts handelt, wie man im Nachhinein leicht sagen kann, von der Cartanschen Ableitung und dem Satz von Stokes, allerdings in einer Notation, in der diese Gegenstände nicht auf den ersten Blick gleich wiederzuerkennen sind. Wenn wir, von der Analysis auf Mannigfaltigkeiten kommend, auf die klassische Vektoranalysis zugehen, so sehen wir schon von weitem, daß wir es dort nur mit Untermannigfaltigkeiten des R3 oder allenfalls des Mn zu tun haben werden. Nun, unsere Begriffe lassen sich ja sogar auf beliebige Mannigfaltigkeiten anwenden. Beim Näherkommen sehen wir außerdem, daß die Integranden meist nicht nur auf M, sondern auf einer ganzen in M3 ofFenen Umgebung X von M definiert sind, zum Beispiel auf X = R3 oder X = R3 \ 0 oder dergleichen. Wenn schon! Jedes r\ e Q,kX wird ja durch i : M X als die Einschränkung i*rj e QkM unserer Analysis auf M zugänglich. Das ist zwar im Prinzip richtig, aber trotzdem sollten wir uns nicht auf diese Weise von den Formen auf offenen Mengen I c l 3 gleich wieder verabschieden. Zum einen müssen wir, wenn wir nun in die klassische Vektoranalysis eintreten, die Formen r\ auf X als die eigentlichen Gegenstände des Interesses anerkennen. Sie beschreiben physikalische "Felder" verschiedener Art, während die Untermannigfaltigkeiten M c X nur hilfsweise herangezogen werden, gleichsam um ein r/ e flkX zu "testen", zu untersuchen. Denken sie etwa an eine Strömungsdichte r\ e Q?X auf einem räumlichen Bereich X, deren Strömungsbilanz JM rj über diese und jene Fläche M c X man zu betrachten wünscht.
168
Kapitel 10. Klassische Vektoranalysis
Zum anderen hat es aber auch technische Vorteile, mit den Formen 77 auf X zu rechnen, wenn sie nun schon einmal dort gegeben sind, auch wenn man eigentlich mit der Teilinformation i*r\ auskommen würde. Auf X haben wir die kanonischen Koordinades M3 und können die Differentialformen global ten x1,^2,^3 mit Hilfe der dxß darstellen, und da Dachprodukt und Cartansche Ableitung mit Abbildungen, insbesondere mit der Inklusion verträglich sind, (L*LÜ A L*r] — L*(UJ A 77) und di*rj = i*drj), so ist es einerlei, ob wir vor oder nach der Anwendung von i* rechnen, und vorher ist's oft bequemer. Der Grund, weshalb man die klassische Vektoranalysis beim ersten Anblick durchaus nicht als Anwendungsbereich des Cartanschen Kalküls erkennt, ist die völlige Abwesenheit der Differentialformen. Der BegrifF wird gar nicht erwähnt! Stattdessen handelt die Theorie von Vektorfeldern — wie der Name sagt — auf X und von den Operatoren Gradient, Rotation und Divergenz, und nur daß über Volumina, Flächen und Linien integriert wird zeigt uns an, daß doch eine Verbindung zur Analysis auf Mannigfaltigkeiten besteht. Diese Verbindung wird durch die Basisfelder und -formen der Koordinaten x 1 ,^ 2 ,^ 3 hergestellt. Bezüglich der Basen werden nämlich 1- und 2-Formen, wie Vektorfelder, durch drei Komponentenfunktionen beschrieben, 3-Formen durch eine. Von den Einzelheiten dieser Übersetzung der Formen in die Sprache der klassischen Vektoranalysis handelt der nächste Abschnitt.
10.2 Die Übersetzungsisomorphismen Für eine offene Teilmenge X c R3 bezeichne V(X) den Vektorraum der differenzierbaren Vektorfelder und C°°(X) den der difFerenzierbaren Funktionen auf X. Die Komponentenfunktionen eines Vektorfeldes a e V(X) bezeichnen wir mit ai, a2, a 3 , bewußt entgegen dem Ricci-Kalkül mit unteren Indices. Andernfalls würde eine Kollision mit den Konventionen des Ricci-Kalküls eben an anderer Stelle entstehen! Darin drückt sich der Umstand aus, daß die Beschreibung von 1- und
10.2 Die Übersetzungsisomorphismen
169
2-Formen durch Vektorfelder in der Tat nicht mit allen Koordinatentransformationen verträglich ist. Wir halten hier aber an den kanonischen Koordinaten des M fest, und solange wir das tun, ist es auch erlaubt, ein Vektorfeld a einfach als ein Tripel a = (ai, ci2, 03) von Punktionen anzusehen. Um die Formeln für die Übersetzungsisomorphismen übersichtlich schreiben zu können, führen wir folgende Notation ein. Definition: Sei X C K3 offen. Die K3-wertigen ("vektorwertigen") 1- bzw. 2-Formen (dxx\ ds:= dx2 \dx3)
und dF :=
sollen das vektorielle Linienelement ds e fi1(.X', M3) und das vektorielle Flächenelement dF € f22(X, K3) , und die gewöhnliche reellwertige 3-Form dV := dxlA dx2A dx3 e Q3X soll das Volumenelement von X heißen.
D
Konvention: Die üblichen Übersetzungsisomorphismen sind durch
gegeben.
V(X) - ^
Q}X,
V(X) - ^
2
Ü X,
a^a-ds, b^b-dF
und
D
Dabei bedeutet der Punkt das Standard-Skalarprodukt des K 3 . Wenn wir aber a, b als Zeilen und ds, dF als Spalten schreiben, kann man ihn auch als das Zeichen für das Matrizenprodukt lesen. Diese Konvention ist der Anfang des Wörterbuchs für die Übersetzung von klassischer Vektoranalysis in den Cartanschen Kalkül
170
Kapitel 10. Klassische Vektoranalysis
und umgekehrt. Wie Sie sehen, ist die Übersetzung zwar von rechts nach links eindeutig, aber ob ein Vektorfeld als 1- oder als 2-Form interpretiert werden muß, kann man nicht aus dem Wörterbuch allein entnehmen, sondern da kommt es, wie auch sonst bei fremden Sprachen, auf den Kontext an. Die Benennungen Linien-, Flächen- und Volumenelement werden übrigens plausibel, wenn man sich die geometrische Bedeutung dieser Formen klar macht: Notiz: An jeder Stelle x e X ist
dFx: dVT: R3 x
dsx 1D)3 X X
die Identität, das Kreuzprodukt und die Determinante. D
Beweisen braucht man diese Behauptungen, wegen der jeweiligen Linearitätseigenschaften, nur für die kanonischen Basisvektoren, für die sie aber evident sind (beachte dFx(e\,e2) = e*3, und entsprechend nach zyklischen Permutationen, wie beim Kreuzprodukt). Wenden wir uns deshalb gleich der Interpretation zu: Die Determi(v , w) — v x w nante gibt das elementargeometrische Volumen eines positiv orientierten 3Spates an, das Kreuzprodukt antwortet auf ein orientiertes 2-Spat bekanntlich mit demjenigen der beiden Normalenvektoren von der Länge des elementargeometrischen Flächeninhalts, 97. Erinnerung an der gefolgt von der Spatorientierung das Kreuzprodukt die Raumorientierung beschreibt, und die Identität schließlich braucht keine Erläuterung. Denkt man sich nun, daß die Formen auf kleine ("infinitesimale") Maschen antworten, so werden die Namen verständlich.
10.3 Gradient, Rotation und Divergenz
171
10.3 Gradient, Rotation und Divergenz Benutzen wir nun dieses Wörterbuch, um die Cartansche Ableitung in die Sprache der Vektoranalysis zu übersetzen. Nach wie vor bezeichnet X C K3 eine offene Teilmenge. Für / € C°°(X) haben wir «
d
f
aj — „
, l , M
= (dl_ {
d
df , 2
f
, s
-
df_ df_
dxiy dx2' dxaJ
'
und für Vektorfelder a,b e V(X) ergeben sich die Cartanschen Ableitungen der 1-Form a • ds und der 2-Form b • dF als d(a • ds) = d ^2 a^ = (820-3 — Ö3a2)dx2A dx3 + zykl. Perm. = (Ö2Ö3 — 030,2, O3Ü1 — Ö\(l3, d\Ü2 — Ö2alj
' dF
und d(b • dF) = dbi A dx2/\ dx3 + zykl. Perm. l = —-rdx A dx2A dxs + zykl. Perm. öx1 > >
V(X)
Gradienten,
172
Kapitel 10. Klassische Vektoranalysis
divb-=
df
df
dü3 dx2
dai da\ 3 dx ' dx3
9bl
dt>2 1
dx
df
2
dx
da3 dü2 dx1 ' 9a:1
dai. 9a;2
dbs
dx3 D
Die obige Rechnung zur Übersetzung der Cartan-Ableitung hat also ergeben: Notiz: Es gilt df = grad/ • ds und d(a • ds) = rota • dF und d(b • dF) = div b • dV, also ist für offenes X C K das Diagramm
o 0
• n°x —d-^ nlx —d-^ n2x —d-^ n3x > C°°(X)
> V(X) grad
> V{X) rot
> C°°(X)
• o > 0
div
kommutativ.
D
Korollar: Für alle Funktionen f und alle Vektorfelder a gilt D rot grad / — 0 und div rot a — 0. Wir halten auf dieser Stufe der Übersetzung einmal inne, um zu notieren, wie sich der Satz von Stokes inzwischen als ein Satz über Vektorfelder bzw. Funktionen auf X ausnimmt. Das sich für dimM = 3 ergebende Korollar aus dem Satz von Stokes nennt man den Gaußschen Integralsatz oder Divergenzsatz: Gaußscher Integralsatz: Sei X c R3 offen und b ein differenzierbares Vektorfeld auf X. Dann gilt
f divb dV = I b-dF M3
8M3
für alle kompakten berandeten 3-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten M3 C X. D
10.4 Linien- und Flächenelemente
173
Beachte, daß 3-dimensionale Untermannigfaltigkeiten kanonisch durch den M3 orientiert sind. — Im 2-dimensionalen Falle ergibt sich der klassische Satz von Stokes, von dem der allgemeinere den Namen erhalten hat: Stokes'scher Integralsatz: Sei X C K3 offen und a ein differenzierbares Vektorfeld auf X. Dann gilt rot a • dF = M
2
/ a • ds dM2
für alle orientierten kompakten berandeten 2-dimensionalen UnD termannigfaltigkeiten ("Flächen") M2 C X. Der Vollständigkeit halber wollen wir auch den 1-dimensionalen Fall erwähnen, wenn er auch keinen eigenen Namen führt: Ist X C R3 offen und f : X -> R eine differenzierbare Funktion, so gilt / grad/ • ds = f(q) - f(p) M
1
für jede orientierte kompakte 1-dimensionale UntermannigfaltigD keit M1 c X von p nach q.
10.4 Linien- und Flächenelemente In der Integralnotation der klassischen Vektoranalysis spielen das nichtvektorielle Linienelement ds und das nichtvektorielle Flächenelement dF eine zentrale Rolle. Diese beiden "Elemente" sollen deshalb als nächstes eingeführt werden, und zwar — unserer begrifflichen Bequemlichkeit halber — zunächst in einer nicht ganz authentischen, nämlich dem Differentialkalkül zu nahe stehenden Interpretation.
174
Kapitel 10. Klassische Vektoranalysis
Deflnition: Ist M C Mn eine fc-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit, so heißt die fc-Form welche auf jede positiv orientierte Orthonormalbasis eines Tangentialraumes TPM C Mn mit +1 antwortet, die kanonische Volumenform von M. Im Falle k = 1 nennen wir die kanonische Volumenform das Linienelement, im Falle k = 2 das Flächenelement von M und bezeichnen sie mit ds bzw.rf-F.D Es ist anschaulich klar, was die kanonische Volumenform, der wir auch in den Übungen schon begegnet sind (vergl. Aufgaben 14 und 32), bedeutet: sie antwortet auf ein positiv orientiertes tangentiales &-Spat mit dessen elementargeometrischem fc-dimensionalen Volumen, und bezeichnen wir mit Volfc(A) das fc-dimensionale Volumen einer Teilmenge 4 c M , s o gilt Volfe(A) = [ LÜM, JA
sofern das Integral existiert — betrachten Sie diese Gleichung als Definition, falls Sie keine andere Erklärung des fc-dimensionalen Volumens in Mn vorrätig haben, sonst aber als ein Lemma. Insbesondere ist für k = 1 also JA ds die Bogenlänge und für k — 2 ist JA dF der Flächeninhalt von A. — Im Falle k = 3 kann man auch dV für das kanonische Volumenelement schreiben, für M3 C K3 stimmt das mit unserer früheren Definition dV = dx1^ dx2A dx3 überein. Wie aber hängen die in unserem Wörterbuch (10.2) und in den Integralsätzen figurierenden vektoriellen Linien- und Flächenelemente ds e ^(X, M3) und dF e O2(X, M3) mit ds und dF zusammen? Aus der geometrischen Bedeutung von ds und dF (vergl. Notiz in 10.2) ist ersichtlich, daß im 2-dimensionalen Falle die Antworten von L*dF und dF auf ein orientiertes tangentiales 2-Spat denselben Betrag haben, analog für t*ds und ds im 1dimensionalen Fall. Aber während ds und dF mit reellen Zahlen antworten, geben ds und dF Vektoren zurück, und zwar, als Identität bzw. Kreuzprodukt einen tangentialen bzw. normalen Vektor. Um das genau und vorzeichenrichtig ausdrücken zu können, führen wir folgende Schreibweise ein:
10.5 Die klassischen Integralsätze
175
Notation: Sei M C M.n eine orientierte &-dimensionale Untermannigfaltigkeit, k = 1 oder k = n — 1. (a) Im Falle k = 1 bezeichne T : M —> R n das positiv orientierte Einheitstangentialfeld. (b) Im Falle k — n - 1 bezeichne N : M —*• M" das Orientiemngs-Einheitsnormalenfeld, d.h. JV(x) _L TXM, ||iV(x)|| — 1, und iV(x), gefolgt von einer positiv orientierten Basis von TXM, ergibt eine positiv orientierte Basis des Mn. D N(x)
M
Fig. 99. Tangenteneinheitsvektor und Normaleneinheitsvektor im 1-dimensionalen bzw. 1-kodimensionalen Fall.
Lemma: Sei X C K3 oSen und i: Mk ^ R3 für k = 1,2 die Inklusion einer orientierten k-dimensionalen Untermannigfaltigkeit. Dann gilt 1 3 L*ds = fds e fi^M , K ) bzw. 4*dF = NdF e f22(M2, M3). BEWEIS: Für k = 1 ist an jeder Stelle ds(f) = f und ds(f) - 1, also gilt die erste Gleichung. Ist für k — 2 eine positiv orientierte Orthonormalbasis (v, w) von TXM2 gegeben, so ergänzt N(x) diese Basis zu einer positiv orientierten Orthonormalbasis (N,v,w) von R 3 . Ferner ist dF(v,w) = 1, also NdF(v,w) = JV = v x w = dF(v, w). D
10.5 Die klassischen Integralsätze Mit den nichtvektoriellen Linien- und Flächenelementen ist uns nun auch die klassische Notation der Integralsätze zugänglich. Das Integral einer 1-Form a • ds über eine orientierte 1-dimensionale
176
Kapitel 10. Klassische Vektoranalysis
Untermannigfaltigkeit können wir nun als /
JM1
a • ds=
JM1
a -T ds
schreiben, wobei mit a • T : M1 —• R natürlich die durch x — i > d(x) • T{x) gegebene Funktion auf Ml gemeint ist, also eigentlich (a^M1) • T. Diese Schreibweise gibt anschaulicher wieder, was mit dem Vektorfeld bei der Integration geschieht, denn a(x) • T(x) =: atlm(x) ist ja die tangentiale Komponente des Vektors a(x) an der Stelle x e M1, und der Beitrag eines kleinen Stückchens von M1 bei x zum Integral ist also näherungsweise das Produkt ata,n(x)As aus dieser Tangentialkomponente und der _ Bogenlänge As des Stückchens. - Analog im 2-dimensionalen Falle: /
JM2
b-dF=
JM2
,b-N dF,
wobeijetzt b(x)-N(x) =: bnoi(x) dieNorFig. 100. Anteil der malkomponente von b am Punkte x der Strömung durch die Fläche M 2 ist. Wenn z.B. b Stärke und Masche a Richtung einer Strömung angibt, so antwortet bnordF auf eine Masche in M2 mit der Durchtrittsrate. - Insbesondere erhalten wir die beiden Integralsätze von Gauß und Stokes (vergl. 10.3) jetzt in der vielleicht gebräuchlichsten Fassung: Gaußscher Integralsatz: Ist X c
offen und b ein differen-
zierbares Vektorfeld auf X, so gilt divb dV = 3
M
/ b-N dM
dF
3
für alle kompakten berandeten 3-dimensionalen UntermannigfalD tigkeiten M3 C X. Da M 3 hier als durch den M kanonisch orientiert gedacht ist, bedeutet N nach der Orientierungskonvention das nach außen gerichtete Einheitsnormalenfeld auf dM.
10.5 Die klassischen Integralsätze
177
Stokes'scher Integralsatz: Ist X c M3 offen und a ein diffe_^ renzierbares Vektorfeld auf X, so N
r
r
I r o t a • N dF = / a-T JM2 JdM2
ds
für alle orientierten kompakten berandeten Flächen M2 C X. •
btokesschen batz
Als Beispiel für die Anwendung des Gaußschen Integralsatzes betrachten wir einmal den Fall b = grad / . Dann haben wir das Volumenintegral über div grad / zu bilden, geschrieben in den Koordinaten x,y,z des R3 ist divgrad der wohlbekannte LaplaceOperator A, d2f d2 f d2f A , 1 ' dx2 + dy2 8z2' und in diesem Zusammenhang wird für den Gradienten auch gern die Notation V ("ATabZa") verwendet: v
_,d_l d£ d_l dx dy dz
Im folgenden seien / und g immer differenzierbare Punktionen auf einer offenen Teilmenge X c R 3 , und M3 C X sei eine kompakte berandete 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wie im Gaußschen Integralsatz. Setzen wir b = V / , so erhalten wir also zunächst Korollar 1:
[/ AfdV AfdV== I
JM3
IdM33 JdM
Vf-NdF. D
Weil übrigens Vf-N die Richtungsableitung von / in Richtung der Außen-Normalen ist (d.h. Nf in der AufFassung von Vektoren als Derivationen), so wird auch
178
Kapitel 10. Klassische Vektoranalysis
("Normalableitung von / " ) geschrieben, und der Gaußsche Satz für grad / nimmt die Gestalt an Korollar 2:
/ AfdV = / JM3
^fdF
JdM3
On
D
Etwas allgemeiner setzen wir nun b = g • V / . Nach. der gewöhnlichen Produktregel ergibt sich = Vg • V / + gAf, und daher Korollar 3 (Greensche Formel):
/(V R heißt harmonisch, wenn A / = 0 ist. Satz (Mittelwerteigenschaft der harmonischen Funktionen): Sei f : X —> M. harmonisch. Dann gilt für jede ganz in X gelegene abgeschlossene Vollkugel K mit Radius r, Mittelpunkt p und Rand S:
d.h. der Funktionswert am Mittelpunkt ist der Mittelwert der Funktion auf der Oberßäche der Kugel. BEWEIS: OBdA sei p = 0. Wir schreiben x := (x1, x2, x3), um uns den vektoranalytischen Formeln anzupassen, wenn (x1, x2, x3) als Tangentialvektor vorkommt. Eigentlich sollten wir x = (x1, x2, x3) als Vektor in als Punkt in M — M3 und x = (xl,x2,x3) Tq R3 = M3 unterscheiden. Aber den Unterschied zwischen dem Mn und seinen Tangentialräumen haben wir ja auch sonst nicht in die Notation einfließen lassen. Für jedes t e [0,1] ist die durch ft(x) := f(tx) definierte Funktion ft ebenfalls auf einem K umfassenden Gebiet harmonisch und hat bei p denselben Wert wie / . Da die konstante Funktion /o offenbar die Eigenschaft Airr2f(p) = Js fodF hat, so genügte es zu zeigen, daß das Integral
It := [ ft dF Js
180
Kapitel 10. Klassische Vektoranalysis
von t nicht abhängt, daß also ^ / t = 0 gilt. Wegen -^ Vf(tx) • x und Wft{x) = Wf(tx) ist für t > 0:
*'> = !
]„"*•***•
Auf dem Rand S der Kugel vom Radius r ist aber N = ^x die Außennormale, und daher ist nach der Gaußschen oder Greenschen Formel (Korollar 1 in 10.5): d
-It at
T
i
=VffN t js
—*
dF=-
T*
/
tj
K
Aft dV,
also Null, weil ft eine harmonische Funktion ist.
ü
Korollar (Maximumprinzip für harmonische Funktionen): Ist X C M3 offen und zusammenhängend und hat die harmonische Funktion / : X —> R ein Extremum, so ist sie konstant. BEWEIS: OBdA sei f(x) < f(x0) =: y0 für alle x e X. Wegen der Stetigkeit von / ist f~l{yo) abgeschlossen in X, nach der Mittelwerteigenschaft aber auch offen, denn auf dem Rand S einer jeden ganz in X liegenden Kugel um ein p e /~1(j/o) muß / konstant gleich y0 sein, sonst wäre aus Stetigkeitsgründen JsfdF < f(p)JsdF. Also ist die nichtleere Menge /~ 1 (yo) offen und abgeschlossen in dem zusammenhängenden Teilraum X c M3, also f'^iyo) = X. D
Korollar (Eindeutigkeitsaussage für das Dirichletsche Randwertproblem): Es sei M c R 3 eine kompakte berandete 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit und f,g : M —> R zwei stetige, auf M \ dM harmonische Funktionen. Stimmen dann f und g am Rande überein, d.h. ist f\dM — g\dM, so gilt f = g auf ganz M. BEWEIS: OBdA sei M ^ 0 und zusammenhängend. Als stetige Funktion auf einem Kompaktum muß / — g Extrema annehmen, d.h. es gibt XQ und x\ e M mit
f{xo) ~ g(x0) < f(x) - g(x)
dG, t ^
(in(t),Vi(t)),
i —
l,...,r
orientierungsgerecht parametrisiert sein. Korollar 4: Ist X c M3 offen und a ein differenzierbares Vektorfeld auf X, so gilt für jede differenzierbare Abbildung x — x(u, v) von G in X:
jj (rota(x(u, v)))- ( ^ x -£} dudv G ßi
r i=\
r
/
d
— x(ui(t),Vi(t))dt.
10.8 Das Flächenelement des Graphen
185
Die versprochene besondere Bewandtnis mit dieser Fassung des Satzes besteht aber darin, daß die Abbildung G —>• X keineswegs eine Einbettung, also ein Diffeomorphismus auf eine Untermannigfaltigkeit M C X sein muß, sondern irgend eine differenzierbare Abbildung
X sein darf, auch eine solche, bei der G ganz zerknittert, singulär und selbstdurchdrungen in X ankommt! Ein neuer, beweisbedürftiger Satz steckt aber nicht dahinter, sondern nur die Anwendung des allgemeinen Satzes von Stokes auf G statt auf ein M C X. Setzen wir nämlich w :— a- ds e fl^X, so besagt die Formel des Korollars 4 einfach JG d(cp*üj) = faG (p*uj.
10.8 Das Flächenelement des Graphen einer Funktion von zwei Variablen Von besonderem Interesse ist der Spezialfall, daß U der Graph einer differenzierbaren Funktion z = z(x, y) ist. Dann sind u := x\U und v :~ y\U die Koordinaten der kanonischen Karte h. Die inverse Karte oder "Parameterdarstellung" G -^- U ist dann durch x — x,y
= y und z = z(x,y)
gege-
ben, und deshalb sind die tangentialen Basisvektoren
Fig. 105. Tangentialbasis am Graphen
und
der Betrag ihres Kreuzproduktes daher X
C
Korollar: Unabhängig von der Orientierung gilt für eine Funktion if; : U —> M auf einem Graphen U:={(x,y,z(x,y))\(x,y)eG} einer differenzierbaren Funktion z = z(x,y) aufeiner in M2 oder
186
Kapitel 10. Klassische Vektoranalysis
.2__ offenen Menge G:
^ + (§l:)2 + (§l)2 dxdy, U
G
sofern dieses Doppelintegral existiert. Insbesondere ist der Flächen.inh.alt von U
G
D
10.9 Der Integralbegriff der klassischen Vektoranalysis Ganz zum Schluß dieses Kapitels kommen wir jetzt noch einmal auf die Erage zurück, wie denn nun eigentlich die klassische Vektoranalysis ihrerseits die Integration auf Mannigfaltigkeiten — in der Hauptsache also das Flächenintegral — auffaßt, wenn sie von DifFerentialformen keinen Gebrauch macht? Ich hatte schon eingeräumt, daß unsere Interpretation der Linien- und Flächenelemente ds und dF als die kanonischen Volumenformen orientierter Linien und Flächen nicht ganz authentisch ist. Was wäre denn die authentische Auslegung? Das echte, unverfälschte Flächenelement dF der klassischen Vektoranalysis ist für jede Fläche im Raum (analog für jede kdimensionale Untermannigfaltigkeit Mk c M.n) erklärt, mit Orientierung oder Orientierbarkeit hat es gar nichts zu tun. Es ordnet aber jedem p e M nicht eine alternierende 2-Form, sondern eine Dichte dFp : TPM x TpM > M+ zu (vergl. 5.1), dFp antwortet auf ein Paar (v,w) von Tangentialvektoren am Punkte p nämlich einfach mit dem elementargeometrischen Flächeninhalt des Parallelogramms, für M2 C M.3 also dFp(v,w) = \\v x w\\.
10.9 Der Integralbegriff
187
Ist M tatsächlich orientiert, so hängt die Volumenform U>M mit dem Flächenelement dF durch dF(v,w) = \wM(v,w)\ zusammen. Stellen wir uns wieder wie in 5.2 vor, daß dF näherungsweise so auch auf kleine Maschen antwortet, so ist intuitiv klar, was das Integral
jfäF M
einer Punktion / : M —> M über eine beliebige, nicht notwendig orientierte oder auch nur orientierbare Fläche bedeutet. Einer formalen Definition legt man die lokale Formel dx
dx
dudv
zugrunde (vergl. Korollar 2 in 10.7). Steht das Lebesgue-Integral für M2 zur Verfügung, so ist die allgemeine Definition von Integrierbarkeit und Integral fM fdF wie in 5.4 mittels Zerlegung von M in kleine meßbare Mengen anwendbar, mit der zusätzlichen Bequemlichkeit, daß man sich um das Orientierungsverhalten der verwendeten Karten nicht zu kümmern braucht. Durch A i
> / dF e [0,oo] JA
ist dann übrigens ein Maß \iu auf der R den Abstand vom Nullpunkt. Welcher 1-Form u> e Q^R^xO) entspricht das radial nach außen gerichtete Einheitsvektorfeld ? r
r2
(3) Es gilt stets D grad rot = 0
D rot grad = 0
D div grad = 0.
190
Kapitel 10. Klassische Vektoranalysis
(4) Als Integrand beim Stokes'schen Integralsatz für ein Vektorfeld v ist anstelle der Punkte in JM2 ... dF — JdM2 v • Tds UrotvxN
D mtv-N
D ||rotu||
einzusetzen. (5) Die Notation V x v der klassischen Vektoranalysis kann, gutwillig gelesen, wohl nur D rotdivw
D graddiviT
D rotv
bedeuten. (6) Nach dem Gaußschen Integralsatz gilt für jede differenzierbare Punktion / : D3 -> R:
° II a SL D
k
(7) Sei / : X —> M auf dem Rande dM der dreidimensionalen Untermannigfaltigkeit M C X konstant. Was bedeutet das für die Normalableitung?
(8) Sei X C E 3 offen und / : X ->• K differenzierbar. Daß für jede Kurve 7 : [tojii] —* X von p nach g die Formel ft x f' (l(t))Af(t) dt = f(q) — f(p) gilt, ist ja sowieso klar. Inwiefern ist sie aber ein Spezialfall des Satzes fM duj = JQM UJ von Stokes? Setze DM:=Iund ui := f
D M:=[to,ii] und OJ :— 7 * /
(9) Das Linienelement ds des Graphen { (x, ausgedrückt durch die Koordinate x, heißt
•
M :=[tQ,ti] und ui := /
10.11 Übungsaufgaben
191
(10) Wie heißt das Flächenelement dF e Q,2S2 der wie üblich orientierten 2-Sphäre, ausgedrückt in den geographischen Winkelkoordinaten (östliche) Länge A und (nördliche) Breite ß ? D sinßdßAdX
10.11
D cosßdXAdß
D
sinßdXAdß
Übungsaufgaben
37: Sei X C R3 offen. Es seien V(X) ^ tfX S Q2X und Ü°X = £13X die durch die Basisfelder bzw. -formen AUFGABE
dud2, d3 für dx1, dx2, dx3 für O a X dx2Adx3, dx^Adx1, dxlAdx2 und (ia;1^ 1.
41: Es sei M c R 3 eine 3-dimensionale kompakte berandete Untermannigfaltigkeit und pi,...,pn e M \ 9 M . Man bestimme AUFGABE
n
10.12
Hinweise zu den Übungsaufgaben
Zu AUFGABE 37: In 10.3 haben wir die Cartansche Ableitung in die klassische Vektoranalysis "übersetzt", hier sollen Sie es mit dem Dachprodukt machen, also die drei durch das Dachprodukt gegebenen Abbildungen Ü1X x Ü1X Q}X x Ü2X ÜXX x Q}X x VtlX
> Q2X >• O 3 X > Q 3X
in entsprechende Verknüpfungen der Vektorfelder umrechnen, z.B. für die erste Zeile das Diagramm
I" V(X) x V(X)
> V{X)
kommutativ ergänzen. — Man kann das natürlich ganz formal ausrechnen, soll aber möglichst auch erkennen, was dabei herausgekommen ist. Zu AUFGABE 38: Dies ist eine Fortsetzung von Aufgabe 37, deren Ergebnisse man benutzt. In (a) haben wir zum Beispiel das
10.12 Hinweise zu den Übungsaufgaben
193
Diagramm
n°x x nxx —-—• nxx —-—• n2x
1 v(x) ——»• v(x)
rot
> v(x)
mit den üblichen Übersetzungsisomorphismen nach oben zu betrachten. Oben kennen wir uns aus, denn im Differentialformenkalkül genügt eine Produktformel, sie heißt für u> e QrX stets d(u> AT?) = dui AT] + (—l)ru) A dr\.
Zu AUFGABE 39: Hier sind / und g etwa auf einer offenen Umgebung X C R2 von M als differenzierbar gegeben zu denken. Natürlich ist die Aufgabe irgendwie eine Anwendung des Satzes von Stokes, und links in (a) steht ja auch ein Integral der Form fdMu>. Beachte aber, daß rechts nicht JM dui steht: dxdy ist kein Druckfehler für dx A dy\ Die Aufgabe verlangt gleichzeitig, daß man auf die Definition des Integrals über eine 2-Form in dieser speziellen Situation Bezug nimmt. In beiden Teilaufgaben muß man auch auf das Vorzeichen achten! Zu AuFGABE 40: Welches Vektorfeld b auf einer Umgebung von D3 soll man wohl wählen, damit die Formel in der Aufgabe_gerade die Aussage des Gaußschen Integralsatzes JD3 div b — J9D3 b-NdF wird? Hat man dieses b erst einmal gefunden, dann ist auch die Verallgemeinerung ganz naheliegend. Zu AUFGABE 41: Die Physiker unter Ihnen werden den Integranden kennen: ^- ist der negative Gradient der harmonischen Funktion i . Wer das hier zum ersten Mal erfährt, sollte es einmal nachxechnen. — So wird die Aufgabe also zu einer Anwendung der Gauß- oder Greenschen Formel
f AfdV= f JM3
Vf-dF
JdM3
(Korollar 1 in 10.5). Aber nicht so direkt, denn unser Integrand hat isolierte Singularitäten! Am besten legt man kleine Kugeln darum, ähnlich dem Vorgehen beim Residuensatz in der Funktionentheorie.
11
Die de Rham-Cohomologie
11.1 Definition des de Rham-Funktors Von der klassischen Vektoranalysis wenden wir uns jetzt einem ganz anderen Aspekt des Differentialformenkalküls zu. Betrachten wir den de Rham-Komplex 0-> fi°AT-^ fi^AT-i • • • einer Mannigfaltigkeit M. Die Komplexeigenschaft d o d = 0 bedeutet, daß für jedes k Bild (d : ük~lM
-> ükM) c Kern (d : ÜkM -> O*+1M)
gilt, und wir können deshalb den Quotienten dieser beiden Vektorräume bilden. Definition: Ist M eine Mannigfaltigkeit, so heiße der Quotientenvektorraum k
=
die k-te de Rham- Cohomologiegruppe von M. Die Cartansche Ableitung d wird auch der Corand- Operator genannt, die Differentialformen im Bild eines d heißen Coränder, die im Kern Cozykeln. Ist r\ e Q,kM ein fc-dimensionaler Cozykel, so heißt seine Nebenklasse [rj] :=r] + dnk-lM die Cohomologieklasse von r/.
e HkM D
11.1 Der de Rham-Funktor
195
Die Ausdrücke Ränder, Zykeln und Homologieklasse, auf die hier angespielt wird, stammen aus der Homologietheorie. Dort sind es gewisse "Ketten" c, welche einen "Rand" dc haben und "Zykeln" genannt werden, wenn dieser Rand verschwindet. Zwei Zykeln heißen homolog, wenn sie sich nur um einen Rand unterscheiden. Wir können hier nicht näher darauf eingehen, aber dem geometrischen Inhalte nach entspricht die Randbildung in der Homologietheorie der Randbildung bei den kompakten berandeten Mannigfaltigkeiten, was auch die vom eindimensionalen Fall übernommene Bezeichmmg "Zykel" für die unberandeten Ketten erklärt. Da nun die Cartansche Ableitung in dem Sinne dual zur Randbildung ist, daß die Wirkung von da gerade die Randwirkung von a ist, wie in Kapitel 7 ausführlich beschrieben, wird die Bezeichnung "Co-Rand-Operator" für d verständlich. Lemma und Definition: Das Dachprodukt und die funktoriellen Eigenschaften des de Rham-Komplexes machen oo
H* := 0 Hk fe=o
in kanonischer Weise zu einera kontravarianten Funktor von der differenzierbaren Kategorie in die Kategorie der antikommutativen graduierten Algebren und ihrer Homomorphismen. Dieser Funktor H* heiße die de Rham-Cohomologie schlechthin. BEWEIS: Wir zeigen zuerst, daß durch [LÜ] A [ T ) ] :•= [ W A J J ]
das Dachprodukt HrM x HSM A Hr+SM wohldefiniert ist. Ersichtlich ist mit ui und r\ auch u) A r] ein Cozykel, denn aus dto = 0 und dr] = 0 folgt d(oj A rj) — dui A 77 + (—l)ro; A dr) — 0. Bleibt oBdA zu prüfen, daß stets [(LÜ + da) f\rj]~[uj
A 77],
also da ATJ ein Corand ist. Wegen drj = 0 ist aber d{a ATJ) = da A r\ + (—l)r~la A drj = da ATJ,
196
Kapitel 11. Die de Rham-Cohomologie
das Dachprodukt eines Corandes mit einem Cozykel ist daher stets ein Corand, also ist das Dachprodukt auch für die Cohomologieklassen wohldefiniert. — Ist ferner / : M —> N eine differenzierbare Abbildung, so ist /* : HkN
M>
> HkM
durch
>[f*v]
wohldefiniert, wie aus der Natürlichkeit von d (vergl. 8.6) sofort folgt. — Die algebraischen und Funktoreigenschaften übertragen sich nun von O* (vgl. 8.7) auf H*. •
11.2 Einige Eigenschaften Was können wir aus dem Stegreif zur Berechnung der de RhamCohomologie beisteuern? Zunächst die ganz triviale Bemerkung Notiz: Ist M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und k > n, so ist HkM = 0, denn dann ist ja sogar £lkM — Q. D Außerdem kennen wir natürlich die O-Cozykeln, also die Punktionen / e Q°M mit df — 0: das sind die lokal konstanten reellen Punktionen, Corand ist nux die Null, also: Notiz: H°M ist der Vektorraum der lokal konstanten Funktionen, insbesondere ist für zusammenhängendes M kanonisch H°M = R. D Ferner erhalten wir aus dem Satz von Stokes noch eine Aussage über das andere Ende der de Rham-Sequenz, nämlich Korollar aus dem Satz von Stokes: Ist M eine orientierbare, geschlossene (d.h. kompakte und unberandete) n-dimensionale Mannigfaltigkeit, so ist HnM ^ 0. BEWEIS: Orientiere M und wähle r\ e ünM mit JMri ^ 0, etwa mittels Karte und Buckelfunktion. Wie jede n-Form ist rj wegen
11.2 Einige Eigenschaften
197
Ün+1M = 0 ein Cozykel, aber r\ ist kein Corand du, denn sonst wäre nach dem Satz von Stokes j M r\ — JM dio = JdM ui = 0, da D nach Voraussetzung dM = 0 ist. Also gilt [77] ^ 0 e HnM. Sehen wir schließlich nach den Morphismen, so können wir außer den Funktoreigenschaften über /* = Hkf : HkN —> HkM noch notieren Notiz: Für konstantes f : M -> N ist Hkf = 0 für alle k > 0, und fär zusammenhängendes M und N ist H°f : M —> K die Identität für jedes f. • Soweit die karge Ausbeute direkter Inspektion. In den folgenden beiden Abschnitten werden wir aber einen wichtigen nichttrivialen Sachverhalt beweisen: die Homotopie-Invarianz der de Rham- Cohomologie. Definition: Es seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Zwei differenzierbare Abbildungen f,g : M ^- N heißen differenzierbar homotop, wenn es eine differenzierbare Homotopie h zwischen ihnen gibt, d.h. eine differenzierbare Abbildung h: [0,1] xM > N mit h(0,x) — f(x) und h(l,x) — g(x) für alle x e M.
D
Da M und N wie immer auch berandet sein dürfen, sei ausdrücklich angemerkt, daß wir eine auf einer in [ 0,1 ] x M" offenen Teilmenge U definierte Abbildung
• Mn differenzierbar nennen wollen, wenn es um jedes u e U eine in M™+1 ofFene Umgebung Vu gibt, auf die sich tp\U n Vu differenzierbar ausdehnen läßt. Satz (Homotopie-Invarianz der de Rham-Cohomologie): Sind M,N Mannigfaltigkeiten und f,g : M —> N zwei differenzierbar homotope Abbildungen, so gilt f* =g* : HkN für alle k.
> HkM
198
Kapitel 11. Die de Rham-Cohomologie
Was ich zum Homotopiebegriff im allgemeinen und der Bedeutung der Homotopie-Invarianz für Funktoren aus geometrischen in algebraische Kategorien im besonderen eigentlich jetzt noch sagen möchte, steht in [J:Top], Kap. V.
11.3
Homotopieinvarianz: Aufsuchen der Beweisidee
Ich möchte Ihnen nicht nur zeigen, wie der Beweis aussieht, sondern auch, wie man ihn finden kann. Sei also u> ein kdimensionaler Cozykel auf N. Wir sollen beweisen, daß [f*u] = [g*cü} € HkM gilt, d.h. daß sich die beiden Cozykeln f*co und g*oj nur um einen Corand da unterscheiden. Gesucht ist daher ein a e £lk~xM mit g*u; — f*u) = da.
Soweit die Aufgabe. Nun mustern wir unsere Mittel. Die einzige Vbraussetzung ist die Existenz einer differenzierbaren Homotopie zwischen / und g, d.h. einer differenzierbaren Abbildung h von dem Zylinder [ 0,1 ] x M über M nach N, die auf dem Boden 0 x M mit / und auf dem Deckel 1 x M mit g übereinstimmt, oder etwas förmlicher gesagt: hoi0 = f hot1=g, wenn tt : M ^-> [0,1 ] x M die durch tt(x) := (t, x) definierte Inklusion in die Höhe t des Zylinders bezeichnet.Dementsprechend stimmt dann auch der [0, ljxM induzierte Cozykel h*oj j\f auf dem Boden mit f*u> und auf dem Deckel mit g*uj überein, oder genauer:
Ö
hier lebt w
Fig. 106. Die Homotopie h zwischen hoi0=f und hoLt=g.
^ t\h
=• f*u> ^ Lü = g Lü.
11.3 Homotopieinvarianz
199
Nachdem wir nun alles aufgeführt haben, was sich von selbst versteht, müssen wir unser zuversichtlich.es Niederschreiben des Beweises vorerst unterbrechen, um nach einer Idee für die Konstruktion von a zu suchen.
Der Cozykel h*u> auf [0,1 ] x M stellt ja doch wenigstens eine Art von Verbindung zwischen f*uj und g*u> her. Die vage Vorstellung, h*u> irgendwie zur DefLnition des gesuchten a e f2fc~1M benutzen zu wollen, ist wohl naheliegend genug. Wovon sonst könnten wir ausgehen? Also müssen wir die Beziehung von h*co zu f*u und g*ui genauer ansehen. Sei r eine orientierte fc-Masche in M, also [ 0,1 ] x r c [ 0,1 ] x M der Zylin1xr der oder das Prisma über r. Wie jeder Cozykel muß h*u> auf den orientierten Rand von [0,1 ] x T mit Null antworten:
/ "'"= I h*w =
9([0,1]XT)
I
dh*uj = 0, 0xr
[0,1]XT
Fig. •i
77 *
rx • ,
i-N
i-.
i i
, i ,
i
107.
Prisma über
Das der
weü dn ÜJ = ü lst. Der Kand besteht aber fc-Masche r aus Deckel, Boden und Seitenteilen. Dabei sind Deckel und Boden entgeSeitenteile, gengesetzt orientiert. Weil nun h auf Deckel dem Deckel durch g, auf dem Boden durch / gegeben ist, gilt also
f
Boden
h*LÜ.
/
[0,1]
XÖT
Fig. 108. 9([0,l]xr) =
[0,l]x9r
Auch das Vorzeichen könnten wir bei genauerem Betrachten der Orientierungen natürlich herausfinden (es ist das positive), aber das wäre jetzt pedantisch. Es kommt doch nur darauf an, eine (k — 1)-Form a e £lk~lM zu finden, deren Corand da auf r so antwortet, wie lXr U Oxr U [ 0 , 1 ] X 8 T .
200
Kapitel 11. Die de Rham-Cohomologie
h*Lü auf [0,1] x dr. Da aber da auf r jedenfalls so antwortet wie a auf dr, wünschen wir uns a = V
/
h*cü
[O,l]xcr
füx jede orientierte (k — 1)-Masche a in M. In Worten: a so/Z an/ <j so antworten, wie h*co auf das Prisma über a. Wir brauchen also nur diese Forderung an a zur Definition von a zu erheben und sind mit dem Beweis intuitiv fertig.
Wie aber verwirklicht man die intuitive Vorstellung eines "Prismenoperators" P:flk([0,1}
y Ük~lM,
xM)
wobei Pr\ durch die Prismenwirkung von r\ gegeben gedacht ist, als präzise Definition? Nun, das Integral J,Q 1 i Xcr '7 ist ja als gewöhnliches Mehrfachintegral über die heruntergeholte Komponentenfunktion erklärt, und durch Ausführung der Integration über die Variable t ergibt sich nach Fubini:
[0,l]X, also dPh*u> = ilh*Lü - t*oh*üj,
einfach nachzurechnen. Betrachten wir statt des speziellen h*w ein beliebiges rj, so wissen wir ja aus der geometrischen Bedeutung der Operatoren d und P, daß Pd-q auf eine orientierte fc-Masche r in M wie r\ auf den Rand des Prismas über r antworten wird, da dieser Rand aus Boden und Deckel und den Seitenteilen besteht, haben wir also (vielleicht bis auf's Vorzeichen) Pdr\ = (i\ri - LQT]) -
dPrj
zu erwarten. Schreibweise: Die durch Einsetzen eines Vektors v auf den ersten Variablenplatz einer fc-Form r/ entstehende (k — 1)-Form r](v,...) bezeichnen wir mit i>_i r\. D Behauptung: Für den sogenannten
Prismenoperator
P:ük([0,1] xM) —>nk-lM, l
r) i—>• J(dt-i o
r])dt
gilt Pdrj = u\ri — IQT) — dPrj. BEWEIS DIESER BEHAUPTUNG: Die Behauptung ist linear in rj und lokal bezüglich M, also genügt es, in lokalen Koordinaten x1,..., xn für M die beiden Fälle
(1)
r] = a dx^1 A .. .A dxßk und
(2)
?7 = bdt
zu betrachten.
202
Kapitel 11. Die de Rham-Cohomologie
FALL (1): Hier ist Pr\ = 0, weil dt _i r\ = 0, erst recht also dPrj = 0. Ferner gilt A
. . .A
und daher l
Pdrj = (/adi) da^A .. .A o = (a(l, •) - a(0, •)
(2): Jetzt ist IQ7? = ^i*7 = 0, weil i^dt = 0 für jedes feste to • Also haben wir Pcfo? = —dPrj zu zeigen. Es ist FALL
drj= V •7--dxl/\dtAdxtllA...Adxflk-1, i=i 9x* also dt) dxlA j=l 0
Andererseits gilt l
P?7 = (/fedt) da^A .. . o und daher n
1 ßh
dPv = J2(J—dt) dxlA (2)D
Damit ist die Behauptung bewiesen, und ist nun ui ein fe-Cozykel auf A^ und r\ :— h*ui der induzierte Cozykel auf [ 0,1 ] x M, so ist d?? = 0, also auch Pdr) = 0 und wir erhalten g*Lo — f*uj — ilh*u) — /,Q/I*W
11.5 Das Poincare-Lemma
203
und haben also gezeigt: Lemma: Ist u> ein Cozykel und h eine Homotopie zwischen f und g, so unterscheiden sich die Cozykeln g*ui und f*w nur um den Corand d(Ph*u>). Der Satz von der Homotopieinvarianz der de Rham-Cohomologie ist damit bewiesen. D
11.5 Das Poincare-Lemma Nun wollen wir eine Serie von Korollaren der Homotopieinvarianz einernten. Die Homotopien sind immer differenzierbar gemeint. In der Tat sind stetig homotope differenzierbare Abbildungen immer auch differenzierbar homotop, wie ein geeigneter Approximationssatz zeigt, und in der Homotopieklasse einer stetigen Abbildung / : M —> N sind stets auch differenzierbare Repräsentanten zu finden. Deshalb ist die de Rham-Cohomologie sogar auf der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und stetigen Abbildungen wohldefiniert und homotopieinvariant, worauf wir aber hier nicht näher eingehen wollen. Weil eine von einer konstanten Abbildung induzierte fc-Form für k > 0 nur Null sein kann (vergl. 8.3) folgt zunächst Korollar 1: Ist f : M —> N nullhomotop, d.h. homotop zu einer konstanten Ahbildung, so ist f* : HkN —> HkM für alle k>l die Nullabbildung. D Korollar 2: Ist M zusammenziehbar, d.h. ist Idjf : M —> M nullhomotop, so ist HkM — 0 für alle k > 1. BEWEIS: Id^ : HkM —>• HkM ist wegen der Funktoreigenschaft die Identität, nach Korollar 1 aber auch Null. ü Korollar 3: Auf einer zusammenziehbaren Mannigfaltigkeit ist jeder positivdimensionale Cozykel ein Corand, d.h. aus UJ e Q,kM, k > 0 und du> = 0 folgt, daß es ein a e fifc-1M mit da ~ u> gibt. D
204
Kapitel 11. Die de Rham-Cohomologie
Korollar 4 (Poincare-Lemma): Für beliebige Mannigfaltigkeiten M gilt: Lokal ist jeder positiv-dimensionale Cozykel ein Corand, d.h. umjeden Punkt gibt es eine offene Umgebung U, in der zu jedem ui e QkM mit k > 0 und du> = 0 ein a e Vfi^U ü mit da = co\U existiert. Jede zusammenziehbare offene Umgebung U von p, z.B. jede offene "Kartenkugel" leistet ersichtlich das Gewünschte. — Auch ein anderer Spezialfall von Korollar 3 wird oft PoincareLemma genannt und soll deshalb eigens mit aufgeführt werden: Korollar 5: Ist X C M™ offen und sternförmig, so ist jeder positiv-dimensionale Cozykel auf X ein Corand. D Dieser Fall verdient auch ein besonderes Interesse, und zwar aus folgendem Grund. Wenn eine "Zusammenziehung" einer Mannigfaltigkeit M, also eine differenzierbare Abbildung h:[0,l]xM ho — const
>M
mit
und
explizit gegeben ist, dann haben wir aus dem am Schluß des Beweises der Homotopieinvarianz formulierten Lemma auch eine explizite Integralformel dafür, wie man zu jedem Cozykel LJ auf M eine Form a mit da = ui finden kann, eine "Stamm-Form" a, wie man in Anlehung an den Ausdruck "Stammfunktion" sagen könnte: duj = 0 =*> d(Ph*to)
= LÜ,
also ist a = Ph*u> eine Stammform von u). Ein bezüglich XQ e X sternförmiges Gebiet X C M.n besitzt nun die allereinfachste Zusammenziehung, nämlich das gradlinige h(t, x) := x0 + t(x - x0).
11.5 Das Poincare-Lemma
205
Deshalb kann man die Stammform eines Cozykels ui e QkX auch ganz explizit hinschreiben. Sei oBdA XQ = 0, also h(t,x) = tx, und
An jeder Stelle (£, x) e [0,1 ] x X ist dann
h*dx^ = dhTx» = afdt + Da außerdem dt(dt) = 1 und dx^(dt) = 0 auf [0,1] x X gilt, erhalten wir daraus
1
und da Ph*u als f(dt—ih*üj)dt definiert war (vergl. 11.4), so o ergibt sich: Korollar 6 ("Stammformformel"): Sei X C R n eine bezüglich XQ = 0 sternförmige offene Teilmenge und u> e flkX ein Cozykel, d.h. dtü = 0. Setzt man dann a:=
E
E(-l)'~ 1 (/* fe ~ 1 ^ 1 .. w (te)d*)x" i da^ 1 A..T..Ada;'' fc ,
ßi HnM ist natürlich erst recht die Zusammensetzung von / * mit JM homotopie-invariant: Korollar: Ist M eine n-dimensionale geschlossene orientierte Mannigfaltigkeit, so ist die für alle f : M —> N erklärte Zusammensetzung HnN homotopie-invariant.
- ^
HnM
- ^
R D
11.6 Satz vomlgel
207
Aus diesem Korollar, angewandt auf M = N = S2k, werden wir den Igelsatz gleich ableiten, wir wollen deshalb bemerken, daß es leicht direkt aus dem Stokesschen Satz zu bekommen ist: Für eine Homotopie h zwischen / und g haben wir fto - / f*iü = M
M
/
h*tü =
9([0,l]xM)
/
dh*uj = 0,
[0,l]xM
da dh*üo = h*dui = 0 wegen dui = 0 gilt. Trotzdem ist die Aussage als Korollar der Homotopie-Invarianz der de Rham-Cohomologie schon am systematisch richtigen Platz. — Doch nun zur Anwendung: Satz: Jedes differenzierbare Vektorfeld auf einer gerade-dimensionalen Sphäre hat mindestens eine Nullstelle. BEWEIS: Sei v ein nirgends verschwindendes Vektorfeld auf Sn, zunächst für beliebiges n. Für jedes x e Sn können wir v(x) als einen Wegweiser zum antipodischen Punkt — x e Sn ansehen und erkennen anschaulich sofort, daß die Identität und die antipodische Involution r : Sn —-> Sn, x — i >• — x, homotop sind. Zur förmlichen Bestätigung setze 1) I
h(t,x) :— cos nt x + sinnt
v(x)W
Wegen der Homotopie-Invarianz des Integrals (aus dem Satz von Stokes, s.o.) folgt daraus f T*üJ = S"
Fig. 109. Vekn
Lü
tor v(x) Wegweiser
JS
als
für alle LÜ e QnSn (die Homotopieinvarianz der de RhamCohomologie liefert sogar r*[tv} — [u>])- Andererseits wissen wir, daß für jeden Diffeomorphismus / : Sn = Sn
f JS
U) S"
gilt, wobei das Vorzeichen vom Orientierungsverhalten von / abhängt (vergl. 5.5), so einfach lautete die Transformationsformel
208
Kapitel 11. Die de Rham-Cohomologie
für das Integral von Differentialformen. Die antipodische Abbildung r : Sn —* Sn kehxt die Orientierung aber genau dann um, wenn n gerade ist. Das sieht man z.B. so: Der Diffeomorphismus —Id : Dn+1 —*• Dn+1 führt (durch sein Differential, das überall —IdRn+i ist) für jedes x e Sn die Außennormale N(x) in N(—x) bei —x über, er kehrt die Randorientierung also genau zugleich mit der Gesamtorientierung in Dn+1 um, und letzteres tut er ersichtlich genau dann, wenn n gerade ist. Für gerades n gilt also U!
für alle u>, und da es n-Formen w mit Js„ w / 0 gibt, wäre das ein Widerspruch zur Homotopie-Invarianz, also kann es für gerades n kein solches Vektorfeld v geben. D Dieser schöne, auf mancherlei Arten beweisbare geometrische Satz ist nicht nur für sich genommen interessant, sondern auch Ausgangspunkt und gemeinsamer Spezialfall für verschiedene weitere Entwicklungen (globale Eigenschaften von Vektorfeldern auf Mannigfaltigkeiten, allgemeiner von Schnitten in Vektorraumbündeln, Eulerzahl, charakteristische Klassen, ... ).
11.7 Test (1) Die Cohomologieklasse [rj] C QkM eines Cozykels r/ vom Grade k ist D D D
k
+ Cü Lü G n M, + dtü U) u + UJ dto = drj}
du.; = M }
(2) Mit der Antikommutativität der graduierten Algebra H*M ist die Eigenschaft des Dachproduktes gemeint, daß für alle [u] e HrM und [r/] e HSM gilt: D
MA[J7] = -[77]AM
D [ W ]A[7,] = (-ir+»[7 ? ]A[o;] D
[W]A[I,] =
(-1)"[I/]A[W]
11.7 Test
209
(3) Genau dann ist HkM — 0, wenn D für jedes LO e flkM ein rj e fi^^M existiert, so daß dr\ — LÜ ist.
D für jedes u) e QkM mit dui — 0 ein rj e £lk~xM existiert, so daß dr] = LO ist. D für jedes u> s HkM von der Form ui = drj gilt: dw = 0. (4) Durch die Polarkoordinaten (r, cp) ist auf M :— M2 \ 0 eine 1-Form d finden. Zu diesem Zweck wählt man sich einen Punkt q e S2 , z.B. den Südpol, und definiert
•J *y
J q
wobei 7 einen Weg von q nach x bezeichnet. Glauben Sie nicht, ich hätte damit die Lösung der Aufgabe schon angegeben: jetzt geht die Arbeit ja erst richtig los! Wieso ist / dadurch überhaupt wohldefiniert, weshalb gilt df = u> ? Die lokalen Lösungen der Gleichung df — u>, die man aus dem Poincare-Lemma hat, sind bei diesen Überlegungen eine gute Hilfe. Genauso läßt sicli für jede einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit H^i^M) = 0 beweisen. Für M — S2 kann man sich das Leben aber etwas leichter machen, indem man zum Beispiel das Poincare-Lemma auf die zusammenziehbaren Teilgebiete S2 \ q und S2 \ p von S2 anwendet und die beiden Funktionen miteinander vergleicht.
212
Kapitel 11. Die de Rham-Cohomologie
Zu AUFGABE 43: Für den zweiten Teil der Aufgabe braucht man nur die funktoriellen Eigenschaften von H1 auszunutzen, man betrachte zum Beispiel die durch die Projektionen auf und Inklusionen von den Faktoren gegebenen vier Abbildungen S1
+±
S1 xS1
+±
S1
und wende auf sie den Funktor H1 an. Zu AUFGABE 44: Anfangs, wenn man nur erst die Definitionen kennt, sind solche topologischen Existenzfragen leichter mit Ja als mit Nein zu beantworten, denn wenn die fragliche Sache existiert, dann hat man doch eine Chance, sie zu finden und anzugeben, aber wenn das nicht gelingt: wie kann man sicher sein, daß es gar nicht gehti Später wendet sich das Blatt, weil man Funktoren kennenlernt, die Nichtexistenzaussagen oft kostenlos liefern, während mit expliziten Konstruktionen meist ein gewisser Arbeitsaufwand verbunden bleibt. Beim ersten Teil der vorliegenden Aufgabe hält sich dieser Arbeitsaufwand aber in Grenzen, und ein Funktor, den Sie für den zweiten Teil gebrauchen können, liegt von den anderen beiden Aufgaben her gleichsam noch auf dem Tisch.
12
Differentialformen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten
12.1 Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten Zur weiteren Entfaltung des Differentialformenkalküls begeben wir uns jetzt auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten, wo uns Stern-Operator, Laplace-de Rham-Operator, Hodge-Zerlegung und Poincare-Dualität begegnen werden. Anfangs betrachten wir, etwas allgemeiner, auch semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Vor Einführung der Riemannschen und semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten sei an einige linear-algebraische Begriffe und Fakten erinnert: Eine symmetrische Bilinearform auf einem nichtentartet, n-dimensionalen reellen Vektorraum V heißt wenn • V* V v
i
>
ein Isomorphismus ist, und das ist genau dann der Fall, wenn die durch 9ßv
'•=
gegebene n x n-Matrix G für eine (dann jede) Basis (vi,..., vn) von V vollen Rang hat. Man kann eine Basis so wählen, daß G die Gestalt \ +1
- i /
214
Kapitel 12. Riemannsche Mannigfaltigkeiten
annimmt, die Anzahl s der Einträge — 1 in der Diagonalen ist unabhängig von der Wahl einer solchen Basis (Sylvesterscher Trägheitssatz) und heißt der Index der symmetrischen Bilinearform. Durch , , q(v) :— ist die zu gehörige quadratische Form q : V —> M definiert, aus ihr kann man < •, • > rekonstruieren, da = - (q(v + w)-
q(v) - q(w))
gilt. Das Paar (V,q) oder (V,) nennt man auch einen nichtentarteten quadratischen Raum vom Index s, und für s — 0, also im positiv definiten Falle, einen euklidischen Raum.
Deflnition: Eine semi-Riemannsche
Mannigfaltigkeit
vom
Index s ist ein Paar (M, ), bestehend aus einer Mannigfaltigkeit M und einer Familie < • , • > = { < • , ->p }peM von symmetrischen Bilinearformen < •, • >p auf TpM vom Index s, welche in dem naheliegenden Sinne differenzierbar ist, daß für die Karten (U, h) eines (dann eines jeden) Atlas für M die Funktionen g^ : U —> M, definiert durch p I-H- 0^,8^, differenzierbar sind. Im positiv definiten Falle s = 0 nennt man (M, ) eine
Riemannsche
Mannigfaltigkeit.
D
Man nennt auch die Riemannsche oder semi-Riemannsche Metrik von (M,). Das "p" i n der Notation p wollen wir nur führen, wenn diese Klarstellung gefordert zu sein scheint, sonst schreiben wir <w,w>p =: , w> für v,w e TpM. Untermannigfaltigkeiten im Mn sind in kanonischer Weise Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Aber auch jede beliebige Mannigfaltigkeit kann man mit einer Riemannschen Metrik versehen: Man wähle eine Zerlegung { T A } A € A der Eins mit Trägern C U\ für Karten (U\,h\) und setze p:= J2 AeA
T\(p)x,
12.1 Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten
215
wobei < •, • >A die duxch dh\ von U'x C M" auf U\ übertragene Riemannsche Metrik bezeichnet. Beachte jedoch, daß dasselbe Verfahren i.a. versagt, wenn wir es zur Konstruktion einer semiRiemannschen Metrik von einem Index 0 < s < n anzuwenden versuchen. Zwar könnten wir von der semi-Riemannschen Metrik
<x, y>n-s,s := E XV ~
E
*V V
auf Mn ausgehen und die obige Formel für < •, • > auf M analog hinschreiben, aber im Gegensatz zur positiven Definitheit ist die Eigenschaft, nichtentartet und vom Index s zu sein, nicht konvex (vergl. z.B. [J:Top], S. 136) und überträgt sich deshalb im allgemeinen nicht von den < •, • >A auf die konvexe Kombination n E A T A ( P X ' > ~\ • I der Tat gibt es zum Beispiel auf den geradedimensionalen Sphären Sn keine semi-Riemannsche Metrik vom Index 1 (oder n — 1), wie man mit Hilfe des "Satzes vom Igel" und eines Überlagerungsarguments ([ J:Top] S. 171/172) zeigen kann. Semi-Riemannsche n-dimensionale Mannigfaltigkeiten (n > 2) vom Index 1 oder n — 1 heißen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Vorzeichenänderung der Metrik vertauscht diese Indices, wir wollen uns der Konvention anschließen, Lorentz-Mannigfaltigkeiten als vom Index n — 1 anzunehmen. Die reale Raum-Zeit ist durch eine physikalisch gegebene Metrik < •, • > eine 4-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit. Dieser Umstand war historisch und bleibt auch heute noch ein Hauptmotiv dafür, die Riemannsche Geometrie auf die semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten auszudehnen. In der Allgemeinen Relativitätstheorie spielt die Differentialgeometrie der Lorentzmannigfaltigkeiten begrifflich und technisch eine wichtige Rolle, und in der Teilchenphysik ist die LorentzMetrik durch die spezielle Relativitätstheorie allgegenwärtig. Unser erstes Ziel wird es sein, für eine orientierte n-dimensionale semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit M den sogenannten Sternoperator * zu definieren. Das geschieht für jedes p e M einzeln durch einen Sternoperator Altn~kTpM, * : AltkTpM - ^
216
Kapitel 12. Riemannsche Mannigfaltigkeiten
und deshalb setzen wir die Mannigfaltigkeiten vorerst beiseite und kehren nochmals zur linearen Algebra zurück.
12.2 Skalarprodukt alternierender k-Formen Wir beginnen mit einer linear-algebraischen Bemerkung über endlichdimensionale reelle Vektorräume, in die noch keine Zusatzstrukturen wie Orientierung oder Metrik eingehen: (Altfey)* und Altfe(V*) sind kanonisch dasselbe, genauer: Lemma: Interpretiert man jede Linearform
(v) je nach Bequemlichkeit auch \ oder v0, analog fiir J|. D Den Sinn der Notation erkennt man aus den englischen Bezeichnungen für jj und b in der Musik, die bekanntlich "sharp" und "flat" heißen. Durch jj wird die Linearform a zum Vektor "a "angespitzt". Ein Isomorphismus V = V* bewirkt nach obigem Lemma aber auch einen Isomorphismus Alt fe y = (Altfey)* und mithin eine Bilinearform auf Alt fe F, genauer
Definierendes Lemma (Skalarprodukt im Formenraum): Ist (V, ) ein n-dimensionaler nichtentarteter quadratischer Raum, so ist auf kanonische Weise, nämlich durch )
AltV kanon
AltF Alt*b
eine ebenfalls symmetrische nichtentartete Bilinearform < •, • > auch auf Alt fe F gegeben. seien u , t j e Alt^V" und tp,tp e (AltfcV)* ihre Urbilder unter obiger Abbildung. Zu zeigen bleibt nux die Symmetriebedingung BEWEIS: ES
<w, rp : = ip(rf) = tp{uj) —: >.
218
Kapitel 12. Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Verfolgen wir, wie sich ui über > (f I
(fi I
> U)
ergibt, so finden wir w(ui,...,u f e ) = ^ ( b u i , . . . , W ) — vK^i A ••• A W ) , eine orthonormale analog für 77 und ^ . Es sei nun (e\,...,en) Basis oder kurz ON-Basis des quadratischen Raumes V, d.h. ^e^e^,) = ±5ßU. Wir schreiben ^e^e^y = : eM = ± 1 . Sei ferner ( 5 1 , . . . , 5n) die dazu duale Basis von V* . Beachte, daß b
=
eß
e ^
für jedes /x (keine Summation), denn b
e M (e y ) := <eM, e^) = £M5MJ/ =
e^^e^)
für jedes i^. — Wir setzen nun oBdA iü = 5^
A...A
Vl
•q = 5
A...A
ößk
5"*.
Dann gilt <cu,r)>= = YU2 ajiaik oder in Matrizenschxeibweise G' = fA • G • A,
woraus wegen | det G\ — \ det G'\ = 1 (ON-Eigenschaft der Basen) zunächst | det A\ = 1 folgt, und daraus weiter, weil / orientierungserhaltend ist, det / = det A = + 1 . D Ist übrigens die zweite Basis nicht notwendig orthonormal, sondern nur positiv orientiert, so zeigt dieselbe Rechnung
det/ = vldetG'' oder in einer häufig gebrauchten Notation: Lemma (Volumenformformel): Sei V ein orientierter ndimensionaler nichtentarteter quadratischer Raum und (vx,.., vn) eine positiv orientierte Basis, ö1,.. ,ön die duale Basis. Dann ist die Volumenform
220
Kapitel 12. Riemannsche Mannigfaltigkeiten
wobei g die Determinante der durch
gegebenen n x n-Matrix bezeichnet.
D
Nun aber zur Definition des Sternoperators.
Definierendes Lemma (Sternoperator): Ist V ein orientierter, n-dimensionaler nichtentarteter quadratischer Raum und ÜJV 6 Alt ra y seine kanonische Volumenform, so gibt es zu jedem k genau eine lineare Abbildung * :
(den Sternoperator),
so daß
für alle rj,( e AltfcF güt. BEWEIS: Zuerst zur Eindeutigkeit. Nach dem Lemma über ONBasen im Formenraum (12.2) impliziert die Forderung auch, daß für die duale (ö1,.., 5n) einer positiv orientierten ON-Basis und geordnete Indices Ai < .. < Afe und ßi < .. < \iy. gelten muß:
£ßi • • • • £/j,k^v,
0
falls ßi = Aj für i — 1 , . . , k
sonst.
Das bedeutet aber, daß
nur eine einzige von Null verschiedene Komponente in dieser Summe haben kann, zum komplementären Multiindex
12.3 Der Sternoperator
221
gehörig, und genauer daß gilt 1
A .. A ö»k) = eMl •.. • eMfcsgnr • ö"1 A .. A
8v^k,
wobei v\ < .. < vn-k komplementär zu ßi < .. < \i\. ist und r die Permutation bedeutet, die ( 1 , . . , n) in (ßi,.., ßk, v\,.., vn_k) überführt. Insbesondere ist >K durch diese notwendige Bedingung eindeutig festgelegt. Umgekehrt benutzen wir diese Formel für eine feste positiv orientierte ON-Basis zur Definition von HTPM S AltnTpM und einen Sternoperator > Altn~kTpM, * : AltkTpM alles differenzierbar von p abhängig. Definition: Sei M eine n-dimensionale orientierte semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann sind die kanonische Volumenform LÜM e 0 n M , das Skalarprodukt
12.4 Die Coableitung
von fc-Formen sowie der
223
Sternoperator
* : QkM
>
nn~kM
in der naheliegenden Weise durch die entsprechenden Objekte für die Tangentialräume definiert. D
12.4 Die Coableitung Der Sternoperator übersetzt den im Grad der Differentialformen "aufsteigenden" de Rham-Komplex in einen dazu äquivalenten absteigenden Komplex: o - • n°M
-*U fl'M -A+ ...
40 ->• VLnM -^
4fi"-'M
A ün~lM
-4 nnM
-+ o
4 - 4 -^ ••• —>• fi^M —>• O°M -^- 0
Die Cartansche Ableitung d geht dabei also in ^rf*" 1 über, und das ist bis auf's Vorzeichen die sogenannte Coableitung 5. Das Vorzeichen ist aber uneinheitlichen Konventionen unterworfen; wir entscheiden uns so: Definition: Die Coableitung
auf einer n-dimensionalen semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit M werde durch S:= ( - l ) ^ * ^ * - 1 festgesetzt.
D
Die Coableitung ist offenbar unabhängig von der Orientierung von M. — Die Bedeutung des Vorzeichens ergibt sich, wenn man nach dem bezüglich des Skalarprodukts formal adjungierten oder dualen Operator d' von d fragt. Damit ist folgendes gemeint. Punktweise Bildung des Skalarprodukts von fc-Formen r), ( auf
224
Kapitel 12. Riemannsche Mannigfaltigkeiten
M defmiert eine Punktion