Разложенiе въ ряды при помощи непрерывныхъ дробей

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЪ РЯДЫ ПРИ ПОМОЩИ НЕПРЕРЫВНЫХЪ ДРОБЕЙ. П.

Л.

ЧЕББПЫЕВА

(*)

(Читано 18-го Сентября 1865 года).

Милостивый Г о с у д а р ь , Николай

Дммтрьевичъ

!

Въ ряду различныхъ приложенш, сд'Ьланныхъ доселе изъ алгебрическихъ непрерывныхъ дробей, штерполировате по способу наименыиихъ нвадратовъ представляетъ н'Ьчто особен­ ное: здЪсь непрерывныя дроби являются какъ средство для разложешя въ рядъ. Интерполироваме по способу найметшихъ нвадратовъ и ВСЁ ряды, изъ него вытекаюгще, не обнимаютъ еще и малой доли ГЁХЪ приложенш, которыя требуютъ такого употреблешя непрерывныхъ дробей и которыя, быть можетъ, столь же обширны, какъ и приложешя непрерыв­ ныхъ дробей, при обыкновенномъ ихъ употребленш. Въ самомъ д^лФ, Tanifl дроби обыкновенно употребляются для опредфлешя ПОЛЙНОМОВЪ X, У, при которыхъ разность г« X — У наиболее приближается къ нулю; — зд^еь предполагается, что функщя и способна разлагаться въ рядъ по нисходящимъ (*) Эта статья, присланная въ Форм* письма къ Н. Д. Брашману, была прочтена самимъ П. Л. Чебышевымъ въ засвданш Московскаго Математическаго Общества 18-го сентября 4865 года.

— 292 — степенямъ переменной и что степень приближешя къ 0 опре­ деляется высшею степенью переменной въ остатке Для решетя вопроса, представляющагося при интерполированы по способу наыменьшихъ кводратоеъ (Journal de mathématiques pures et appliquées de M. Liouville, 2-я eepifl, III томъ, стр. 295) нужно было найти полиномы X, У, при которыхъ раз­ ность вида иХ — У приводится наиближе не къ нулю, а 1 къ некоторой функщи (къ функщи —, по знакоположешю вышеупомянутаго мемуара), и это привело къ новому употребление непрерывныхъ дробей. Но этотъ частный слу­ чай приведешя разности иХ — У по возможности ближе къ данной функщи не есть единственный, который предста­ вляется въ анализе и который требуетъ новаго употреблешя непрерывныхъ дробей: какова бы ни была функщя v, определеше полиномовъ X, У, съ которыми разность и X—У наиближе выражаетъ v, также решается помощью непрерыв­ ныхъ дробей и формулами подобными темъ, которыя служатъ для интерполированы по способу наименьшихъ квадратовъ. Этотъ вопросъ объ определенш полиномовъ X, У въ разности иХ — У темъ более интересенъ, что, по просто­ те своей, онъ занимаетъ первое место после вопроса, решаемаго обыкновеннымъ употреблешемъ непрерывныхъ дро­ бей, когда ищутъ X, У подъ услов!емъ, чтобы разность иХ — У была наиближе къ нулю. Пусть будетъ

9t+

k+L h

^

Чг +•

• •

непрерывная дробь, въ которую разлагается функщя и, и О,

*' 0 ,

?,

' 0Л

Q^+Q/

' ' ' '

ея подходягщя дроби. Если мы согласимся означать звакомъ Е целую часть функщи, то полиномы X, У, съ которыми раз-

— 293 — ность иХ — У наиближе подходить къ функцш », опреде­ лятся такими рядами: Х= Y=—Ev

(EqlQlv-qiEQiv)Q1-(Eq2Qîv-qî EQtv)Qt + .... + (EqlQlv-qlEQlv) Р, - (Eq,Q.2v - q, EQ2»)P2 + ....

эти ряды будутъ конечные или безконечные, смотря потому каковъ будетъ рядъ подходящихъ дробей Р, Р, Рз Q,' О,' Q,' * ' ' ' Члены этихъ рядовъ, какъ не трудно заметить, предетавляютъ собою полиномы, которыхъ степени идутъ возрастая. Остановленные на соответствующихъ членахъ, эти ряды даютъ значешя X и У въ виде целыхъ функцш, степеней бо­ лее или менее высокихъ, смотря по числу членовъ взятыхъ въ выражешяхъ X, У, и во всякомъ случае эти значешя X, У будутъ таковы, что при нихь разность и X — У бу­ детъ столь близка кь функцш v, какь только возможно быть при цтьлыхъ значеш'яхъ X, У тгьхъ же степеней, а также при степеняхъ болтье высокихъ, но ниже степеней значети X, У, получаемыхъ послгъ прибавленгя члена въ ихъ разложение Значешя X, У, представляющая столь замечательныя свой­ ства, получаются изъ разложения функцш v по значешямъ функцш R^nQ^-P^

R2==WQ2_P2, R3==WQ3-P3,. . .

которыя все степеней ниже нуля и степени ихъ идутъ умень­ шаясь. Разложеше функцш v по значешямъ R4, R2> R3>- • • не трудно сделать. Если отъ v отнимемъ ея целую часть Ег? и остатокъ разделимъ на R£, новый остатокъ разделимъ на R2, и т. д., то ясно, что полученныя при этомъ частныя, умноженныя на соответственные делители R1? R2,.--> ВЪ сум­ ме съ Ег> дадутъ значеше функцш v верно до последняго остатка. Разложеше же функцш t>, получаемое такимъ образомъ, какъ не трудно увериться, приводится къ следующе­ му РЯДУ-

— 294. — v = Ev + (Ecus

— ^EQ,*) R 4 -(E ? 2 Q 2 »- ? 2 EQ 2 *0 R2 + . . .

гд*Ь члены представляютъ функцш, которыхъ степени идутъ постоянно уменьшаясь. Въ случае наиболее обыкновенномъ, когда ВСЁ знамена­ тели ql7 q.2, q^}. . . непрерывной дроби

суть функцш первой степени, этотъ рядъ значительно упро­ щается. Въ этомъ случае веб множители, стоягще при R4, R2, R3,. . . обращаются въ постоянныя количества и эти по­ стоянный приводятся къ произведешямъ: А^,

A2L2, А 3 Ь 3 ,. . .,

гд* А£, А2, А3,- . . означаютъ коеффищенты х въ знамена1 теляхъ qif q21 q3î. . ., a L4, L2, L 3 , . . . коеффищенты — въ произведешяхъ Qi», Q 2 ^ Q3»,- • • • ВслФдств1е этого, въ разсматриваемомъ случае разложеше функцш v представится такъ: v = Et? + A ^ R , — A2L2R2 -f. . ., a значешя полиномовъ X, У, при которыхъ разность и X—У наиболее приближается къ функщи v, будутъ определяться такими формулами: Х= A1LJQ1-A2L2Q2 + . . . , у = _Ег? + А ^ Р , — A 2 L 2 P 2 + . . . Въ томъ случае, когда функщя v можетъ быть предста­ влена суммою N

'

ф

sy

/то

nrt

«A/

*^4

**•'

*Asa

>

sy*

/у*

*A/

«Дх «

— 295 — гд* Ф(х) цЪлая функц1я, а К,, К2, К3,. . . xv хг> х3,. . . постоянныя, мы находимъ, полагая 0 1 "=ф 1 (ж), 0 2 = '^2(^)г Q3 =ф3(а?) . . ., ташя формулы для опред*лешя постоянныхъ Lt, L2, L3,. . .: L2 = K ^ f o ) + К,Ы**) + K A f o ) + •••• = S Кг42(*г0, L3 = К ^ ( * , ) + К2Фз(^) + К,ф,(ж,) + .... = S K ^ f o ) , При этихъ значешяхъ Lf, L2, L 3 ,... вышепоказанные ряды даютъ: t,=

E«+A 1 SK^ 1 (ar j )R 1 -A I SK < ^(a î< )R î +A s SK / |3(^)R,-..,

у= _ Ег , + А 1 1:к г 4 1 (^Р 1 --А 2 2:к г 4 2 ( ; г 1 .)Р 2 4-Аз2К г 4 3 (^)Р 3 -..,

ГДЪ

Въ частиомъ случае, когда функщя и приводится къ од­ ному члену 1 х—а по первой изъ предыдущихъ формулъ находимъ такое раз1 ложенш выраженш : х—а - ± - = A4