Física guía para el estudiante

FÍSICA Guía para el estudiante Física 1 DIRECTORIO Lic. Miguel Ángel Correa Jasso Director General Lic. Jaime Ant...

Author: Luis Anaya ... et al. .

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FÍSICA

Guía para el estudiante

Física

1

DIRECTORIO

Lic. Miguel Ángel Correa Jasso Director General

Lic. Jaime Antonio Valverde Arciniega Secretario General

Dr. José Enrique Villa Rivera Secretario Académico

Dr. Efrén Parada Arias Secretario de Apoyo Académico

Dra. Ma. De la Luz Paniagua Jiménez Secretario de Extensión y Difusión

Ing. Manuel Quintero Quintero Secretario Técnico

Ing. Rafael Esquivel Pantoja Director de Educación Media Superior

M. en C. Alfonso Ramírez Ortega Director de Tecnología Educativa

Lic. Arturo Salcido Beltrán Director de Publicaciones

ACADEMIA INSTITUCIONAL DE FÍSICA DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Diana Cecilia Cartagena Herrera Felipe Morales González

CECyT 1 “Gonzalo Vázquez Vela”

Oscar Díaz Capito

CECyT 2 “Miguel Bernard Perales”

Gustavo Gallegos Maldonado y Xavier Martínez Abad

CECyT 3 “Estanislao Ramírez Ruiz”

Jorge Freeman Espinoza

CECyT 4 “Lázaro Cárdenas”

Eleazar Escamilla Colín Reyna Ma. del Socorro Romero Urbán

CECyT 5 “Benito Juárez”

José Bonifacio Barrón Alfaro

CECyT 6 “Miguel Othón de Mendizábal”

María Elena Martínez Morales y Marcos Amaro Merino

CECyT 7 “Cuauhtémoc”

Carlos Ruiz Palacios y Virginia Rodríguez Jiménez

CECyT 8 “Narciso Bassols”

Bernardo González García

CECyT 9 “Juan de Dios Bátiz”

Álvaro Díaz Porcayo y Arnoldo Kohler Carrasco

CECyT 10 “ Carlos Vallejo Márquez”

Filiberto Intriago Morales

CECyT 11 “Wilfrido Massieu”

Rogelio Cervantes Maldonado

CECyT 12 “José María Morelos y Pavón”

Rosa Estela Russi García

CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Alejandro Barrera Ayala y Victor Hugo Luna Acevedo

CECyT 14 “Luis Enrique Erro”

Inocencio Suárez Alvarado Francisco Javier Suárez Alvarado

CECyT 15 “Diódoro Antúnez Echegaray”

Víctor M. Gallardo Hernández

CET 1 “Walter Cross Buchanan”

Luis Anaya

CECyT “Gonzalo Vázquez Vela”

Gustavo Gallegos Maldonado

CECyT “Estanislao Ramírez Ruiz”

José Bonifacio Barrón Alfaro

CECyT “Miguel Othón de Mendizábal”

Filiberto Intriago Morales

CECyT “Wilfrido Massieu Pérez”

Rosa Estela Russi García

CECyT “Ricardo Flores Magón”

Alejandro Barrera Ayala y Victor Hugo Luna Acevedo

CECyT “Luis Enrique Erro”

María Elena Martínez Morales

CECyT “Cuauhtémoc”

Coordinación General

Dirección de Tecnología Educativa Coordinación Editorial

Instituto Mexicano de Investigaciones Educativas, S.C. Coordinación Técnica

María Trigueros Sonia Ursini Francisco Noreña Revisión Pedagógica

Javier Alfaro Claudia Martínez Editora

Ana María Sánchez Diseño y Formación

José Fco. Gómez de León La edición e impresión de esta guía no tiene carácter lucrativo. Los juicios y opiniones para mejorar el contenido de este material pueden ser enviados a las siguientes direcciones electrónicas: Academia Institucional de Física [email protected] Dirección de Tecnología Educativa [email protected]

PRESENTACIÓN El Instituto Politécnico Nacional, a través de la Secretaría Académica, la Secretaría de Apoyo Académico, la Dirección de Tecnología Educativa y la Academia Institucional de Física como parte de las acciones de fortalecimiento del Nivel Medio Superior, ha desarrollado la guía para el estudiante de la asignatura de Física I, en la que se abarcan las áreas: Físico Matemáticas, Sociales y Administrativas y Médico Biológicas, con la finalidad de brindar a los alumnos un elemento más que apoye los procesos de enseñanza-aprendizaje y contribuir a elevar la calidad y el rendimiento académico de nuestra institución. El contenido de la guía se desarrolla acorde con el programa institucional de la asignatura, haciendo énfasis en aquellos temas esenciales que, por su complejidad, presentan cierta dificultad para su comprensión. El enfoque metodológico que se presenta está basado en la experiencia docente de los maestros de la Academia, se desarrolla a través de una reflexión crítica de la enseñanza de los conceptos físicos, mediante análisis, autoevaluaciones y evaluaciones, aplicación de conceptos en problemas reales con sus soluciones, experimentos rápidos como complemento a las prácticas de laboratorio, imágenes y gráficos auxiliares, trivias y acertijos, además de referencias bibliográficas actualizadas. Se reconoce el trabajo de la Academia Institucional de Física del Nivel Medio Superior quienes, para el desarrollo de esta guía, aportaron experiencias valiosas para el logro de los aprendizajes en el salón de clases.

Dr. José Enrique Villa Rivera Secretario Académico

Dr. Efrén Parada Arias Secretario de Apoyo Académico

Índice UNIDAD 1 CONOCIMIENTOS GENERALES

Física

9

UNIDAD 2 CINEMÁTICA

53

UNIDAD 3 ESTÁTICA

91

UNIDAD 4 DINÁMICA

117

UNIDAD 5 ENERGÍA

147

UNIDAD 6 PROPIEDADES GENERALES DE LA MATERIA

167

7

Unidad 1 Conocimientos Generales

ANTECEDENTES En el complejo proceso evolutivo del conocimiento, el hombre siempre ha buscado comprender los fenómenos naturales. Poco a poco, al describirlos, clasificarlos e intentar manipularlos, nació lo que hoy conocemos como física y sus aplicaciones a la tecnología. La palabra física proviene del griego PHYSIKÉ que significa NATURALEZA, y es la ciencia que se encarga del estudio de la materia, la energía y las interacciones entre ambas. Es muy vasto el mundo de la física, ya que abarca desde lo inmensamente grande hasta lo infinitamente pequeño, pasando por todas las cosas que observamos en nuestra vida cotidiana. Respecto a lo muy grande, las primeras interrogantes se referían al movimiento de los astros, cuya comprensión está íntimamente ligada a una mejor planeación de las labores agrícolas. Surgieron así las primeras teorías acerca del universo y su comportamiento. De las primeras teorías geocéntricas se pasó a las heliocéntricas, basadas en las observaciones e investigaciones de científicos como Copérnico, Kepler, Galileo y Newton. Física

9

Nuevas investigaciones establecieron que el Sistema Solar es parte de una galaxia y que en el universo hay millones de galaxias que se alejan unas de otras. En el terreno de lo pequeño, las primeras preguntas estaban relacionadas con la estructura de la materia: ¿de qué están hechas las cosas? También en este caso las teorías han ido evolucionando: de las primeras ideas acerca de los átomos de Demócrito, se ha llegado hasta las modernas teorías de partículas elementales regidas por las leyes de la mecánica cuántica. Mientras el mundo gira, el universo se expande, y los protones, neutrones y electrones se mueven aparentemente al azar, el hombre continúa creando, investigando e inventando. Sus descubrimientos sirven para facilitar y recrear su vida. Los descubrimientos científicos y los inventos de la técnica se nutren mutuamente. Así, por ejemplo, la comprensión de los fenómenos relacionados con la electricidad y el magnetismo ha permitido el desarrollo de aparatos útiles como el teléfono, el horno de microondas, los aparatos de rayos X, la televisión, entre otros muchos. Por otra parte, la invención de la máquina de vapor condujo al estudio del calor y al nacimiento de toda una rama de la física; la termodinámica.

CLASIFICACIÓN DE LA FÍSICA Para su estudio, la física se clasifica en clásica y moderna. FÍSICA CLÁSICA: En general se afirma que la física clásica es la anterior a la mecánica cuántica. Algunos científicos incluyen la teoría de la relatividad dentro de la física clásica; para ellos la física clásica es toda la que no es cuántica; otros incluyen la relatividad dentro de la física moderna. FÍSICA MODERNA: Se entiende por física moderna a la que se desarrolló a partir del siglo XX. Sus dos principales áreas son la relatividad de Einstein y la mecánica cuántica. En este curso estudiaremos una parte de la física clásica, en particular la mecánica clásica. MEDICIONES Y ERRORES La física está basada en teorías cuyas leyes intentan dar cuenta 10

GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

de los fenómenos naturales. Para establecer o corroborar dichas leyes, es necesario medir diversas magnitudes como tiempos, distancias, masas, pesos, temperaturas, energías, voltajes, amperajes, etc. Recordemos que medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie. La medición nunca es exacta; depende en forma determinante de los aparatos que empleamos para medir y de la forma en que los usamos. A la diferencia entre el valor medido y el valor real de la magnitud la llamaremos error en la medición. Para obtener el valor más preciso o aproximado debemos efectuar varias mediciones y obtener el promedio de las mismas. Los errores cometidos en una medición pueden ser de dos tipos: sistemáticos y circunstanciales. ERRORES SISTEMÁTICOS Siempre son constantes y aparecen debido a: • Instrumento defectuoso • Error de paralelaje • Mala calibración del instrumento • Error de escala ERRORES CIRCUNSTANCIALES Se repiten de medición en medición y están causados por: • Humedad • Temperatura • Ambiente • Iluminación • Presión Dependiendo de sus causas o de sus aplicaciones, debemos considerar diferentes tipos de errores: ERROR ABSOLUTO ( EA ) Se define como la diferencia entre la medición y el valor más probable EA = M-Vp ERROR RELATIVO ( ER) Se define como el cociente entre el error absoluto y el valor más probable ER= EA/Vp

Física

11

ERROR PORCENTUAL Se define como el producto del error relativo por 100 EP= ER x 100 EJEMPLO: El equipo # 6 del grupo 301 del laboratorio de física I, mide el diámetro de una esfera y obtiene los siguientes datos : 2.23 cm , 2.22 cm, 2.21 cm, 2.23 cm, 2.21 cm y 2.22 cm. Calcular : A) El valor más probable B) El error absoluto C) El error relativo D) El error porcentual Solución del problema: Lo primero que vamos a hacer es anotar los datos obtenidos por el equipo para calcular lo que se nos pide. DATOS: m1 = 2.23 cm m2 = 2.22 cm m3 = 2.21 cm m4 = 2.23 cm m5 = 2.21 cm m6 = 2.22 cm En primer lugar calculamos el valor más probable como el promedio de los datos: Vp= (m1+m2+m3+m4+m5+m6 )/ 6 = (2.23+2.22+2.21+2.23+2.21+2.22 )/6 = 13.32/6 Vp= 2.22 cm Ahora vamos a calcular el error absoluto, que es la diferencia entre el valor medido y el valor más probable sin considerar el signo, pues únicamente nos interesa el tamaño de esta diferencia. EA= M-Vp 12


Para cada dato tenemos qué: 2.22 cm- 2.23 cm = 0.01 cm 2.22 cm- 2.22 cm = 0.00 cm 2.22 cm- 2.21 cm = 0.01 cm 2.22 cm- 2.23 cm = 0.01 cm 2.22 cm- 2.21 cm = 0.01 cm 2.22 cm- 2.22 cm = 0.00 cm El promedio de estos valores es: 0.04 cm/6 = 0.0066 cm Calculemos ahora el error relativo: ER = EA/Vp ER = 0.0066 cm / 2.22 cm ER= 0.0297 Por último vamos a calcular el error porcentual EP = ER X 100 % EP = 0.0297 X 100 % EP = 2.97 %

Crea un problema como el anterior con tus compañeros de clase. Midan el largo de una hoja, el largo del escritorio o el largo del salón y calculen: el valor más probable, el error absoluto, el error relativo, y el error porcentual, y expliquen el significado de cada resultado. Por último: no olvides que cuando tengas que “medir” debes hacerlo varias veces con el mismo instrumento y después sacar un promedio para obtener valor más aproximado al real. Al final de esta unidad encontrarás más problemas de este tipo. SISTEMAS DE UNIDADES Para medir una magnitud física es necesario establecer un patrón o unidad de comparación. En la historia de la humanidad se han establecido diferentes formas de medir las distintas magnitudes físicas, y se utilizaron en ocasiones las partes del cuerpo como los pies, las brazas, las pulgadas, etc. Cada civilización medía a su manera las magnitudes que les eran útiles. Cuando Física

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los diferentes pueblos interactuaron con mayor frecuencia, se enfrentaron a los problemas emanados de la diferente manera de medir las cosas que había adoptado cada uno y se hizo necesario establecer convenios internacionales cada vez más amplios para ponerse de acuerdo en las unidades de medición. En el año de 1960 se reunieron en Suiza técnicos y científicos de varios países para actualizar el sistema de unidades adoptado por todos ellos con el fin de permitir una comunicación y un comercio más eficientes. En esa reunión nació el Sistema Internacional de Unidades (SI). Este sistema tiene como base el metro, el kilogramo y el segundo como unidades de longitud, masa y tiempo, respectivamente. En la actualidad se siguen usando otros sistemas como el inglés, el c.g.s , y el gravitacional. El sistema internacional tiene 7 unidades básicas que son:

MAGNITUD

NOMBRE

SÍMBOLO

LONGITUD METRO m MASA KILOGRAMO kg TIEMPO SEGUNDO s TEMPERATURA KELVIN °k CANTIDAD DE SUSTANCIA MOL mol INTENSIDAD LUMINOSA CANDELA cd INT. DE CORRIENTE ELECT. AMPERE A Una UNIDAD es una base de comparación para medir. Las unidades se pueden clasificar en FUNDAMENTALES Y DERIVADAS Una unidad fundamental es aquella que no se puede definir ni expresar a partir de otras. Como ejemplo tenemos las anteriores magnitudes básicas. Una unidad derivada es aquella que se forma al combinar dos o más fundamentales; por ejemplo, la unidad de velocidad es m/s, la de volumen es el m3 y la de densidad es el g/cm3. PREFIJOS UTILIZADOS PARA FORMAR

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MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS EN EL SI FACTOR DE CONVERSIÓN 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

PREFIJO exa peta tera giga mega kilo hecto deca unidad deci cent mili micro nano pico femto atto

SÍMBOLO E P T G M k H Da d c m m n p f a

CONVERSIÓN DE UNIDADES Es importante aprender a realizar cambios de unidades, ya que en muchas ocasiones conviene usar diferentes unidades dependiendo de lo que se quiera medir. A continuación damos una tabla de conversiones que puede ser de gran utilidad:

TIEMPO 1 día = 1.44 x 103 min = 8.64 x 104 s 1 año = 8.76 x 103 H = 5.26 x 105 min = 3.15 x 107 s LONGITUD 1 m = 1 x 102 cm = 39.4 pulg = 3.28 ft 1 cm = 10 mm = 0.394 pulg 1 km = 1000 m = 0.621 mi 1 ft = 12 pulg = 0.305 m = 30.5 cm 1 pulg = 0.0833 ft = 2.54 cm = 0.0254 m 1 mi = 5280 ft = 1.61 km ÁREA 1 m2 = 100 cm2 = 1.55 x 103 pulg2 = 10.76 ft2 Física

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1 cm2 = 10 m_ = 0.155 pulg2 1 ft2 = 1.44 pulg2 = 9.29 x 10-2 m2 = 929 cm2 VOLUMEN 1 m3 = 103 dm3_= 106 cm3 = 35.3 ft3 = 6.10 x 104 pulg3 1 ft3 = 1728 pulg3 = 2.83 x 10-2 m3 = MASA 1 kg = 103 gr = 0.0685 slugs. FUERZA 1 N = 105 dinas = 0.225 lb = 1 lb = 16 onzas = 4.45 N. PRESIÓN 1 Pa = 1 N/m2 = 2.09 x 10-2 lb/ft2 1 atm = 1.013 x 105 Pa = 14.7 lb/pulg2 ENERGÍA 1 J = 0.738 ft . lb = 2.39 x 10 kcal. 1 kcal = 1000 cal = 4185 J = 3097 BTU. POTENCIA 1 w = 1 J/s = 0.738 ft lb/s. 1 kw = 1000 w = 1.34 Hp. 1 Hp = 550 ft lb/s = 746 w. PROBLEMAS Realiza los siguientes cambios de unidades:

16

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

88 km/h 110 km/min 143 m/s 120 mi/h 160 mi/h 143 pulg. 83 m 648 lb

a a a a a a a a

m/s m/s km/s pies/s m/s cm pies g

9.

9m

a

cm

10.

93 m

a

dm GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

11.

1,348 cm

a

pies

12.

681 cm

a

km

13.

916 pies

a

m

14.

310 km/h

a

m/s

15.

48 m/s

a

km/h

16.

318 pulg.

a

cm

17.

41.8 pie

a

m

18.

140 km/h

a

m/s

19.

161 pies

a

pulg.

20.

364 cm

a

Hm

21.

143 pulg.

a

cm

22.

83 m

a

pies

23.

648 lb

a

g

24.

90 km/h

a

m/s

25.

80 mi/h

a

pies/min

26.

19 Hm

a

cm

27.

9 yd.

a

cm

28.

351 km

a

mm

29.

43 mi/s

a

km/h

30.

1,493 pies

a

mi

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Características de las magnitudes escalares y vectoriales Algunos conceptos físicos, como la velocidad y la fuerza, requieren para quedar bien definidos de la especificación de su tamaño y de su dirección. Para otras, como por ejemplo el tiempo y la temperatura, esto no es necesario; basta con saber su magnitud. Por ello, las cantidades físicas se clasifican fundamentalmente en dos grupos: magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. a) Magnitudes escalares: son aquellas que quedan perfectamente determinadas por medio de un número y su unidad correspondiente; por ejemplo, la longitud de una varilla se determina completamente por su magnitud: 12 m

Física

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b) Magnitudes vectoriales: son aquellas que requieren de magnitud, dirección y sentido, para quedar completamente definidas. Su representación matemática es el vector. Por ejemplo, para que la velocidad de un automóvil que viaja de la ciudad “A” a la ciudad “B” quede bien definida, es necesario considerar que dicha velocidad es de 80 km/h en dirección este - oeste. Por lo tanto, se tiene: Magnitud de la velocidad: 80 km/h Dirección: este - oeste Sentido: de “A” a “B”

FIGURA 1.1

Diferencia entre las magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes físicas escalares, como longitud, superficie, volumen, masa, densidad, tiempo, temperatura, potencia, son ejemplos de magnitudes escalares. En cambio velocidad, aceleración, fuerza, momento de una fuerza, momento angular, campo eléctrico, campo magnético, son magnitudes vectoriales. Existe una diferencia fundamental entre las magnitudes físicas escalares y vectoriales: la manera de efectuar con ellas las operaciones de suma, resta y multiplicación o producto. Para sumar dos magnitudes escalares, se aplican las reglas del álgebra, mientras que para sumar dos cantidades vectoriales, se debe tomar en cuenta la magnitud, la dirección y el sentido de cada vector, y debe usarse el álgebra vectorial. 18

FIGURA 1.2 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

Características de un vector Un vector es un segmento de recta dirigido que, dibujado a escala conveniente, representa a cierta cantidad vectorial. Un vector se representa gráficamente por un segmento rectilíneo dirigido, con una punta de flecha en uno de los extremos. La longitud del vector AB se representa a una escala adecuada y corresponde a la magnitud del vector. Su dirección se especifica mediante el ángulo que forma el vector con la horizontal y la punta de flecha indica su sentido.

FIGURA 1.3

De acuerdo a las figuras, al punto “A” se le llama origen o Física

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inicio del vector mientras que al punto “B” se le llama extremo del vector, y la línea que une ambos puntos es una recta sobre la cual actúa. Notación de un vector Puesto que los vectores difieren de los escalares, para distinguir a los vectores se les denota en forma especial; existen varios tipos de notación: 1. Con una letra mayúscula y una tilde encima.

2. Con dos letras mayúsculas y una tilde encima.

La primera letra corresponde al origen del vector y la segunda a su extremo.

Dirección de un vectorLa dirección se puede indicar por el ángulo que forma el vector con un cierto eje de referencia. Por conveniencia se utiliza un eje horizontal, el eje “X”, como se muestra en la figura. A este tipo de representación se le llama representación geométrica de un vector.

FIGURA 1.4

El ángulo q se mide en la forma usual, es decir en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, usando un 20


transportador.

Establecimiento de la escala de un vector Para representar gráficamente un vector necesitamos una escala convencional, la cual establecemos según nuestras necesidades, de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que le queramos dar. Si queremos representar un vector en una cuartilla no usaremos la misma escala que si lo hacemos en una hoja de nuestro cuaderno. Por ejemplo, si se desea representar en la cuartilla un vector fuerza de 350 N, dirección horizontal y sentido positivo, podemos usar una escala de 1 cm igual a 10N: Así, con sólo medir y trazar una línea de 35 cm el vector estará representado. Pero en nuestro cuaderno esta escala sería muy grande; lo recomendable es una escala de 1 cm = 100 N para que el vector mida 3.5 cm. Para representar gráficamente un vector es necesario tener a la mano una regla graduada y un transportador, para medir longitudes y ángulos. 1. Represente geométricamente el vector = 30 N – 120° con una escala 1: 10 10 N = 1 cm 30 N = 3 cm

FIGURA 1.5

2. Representar geométricamente el vector = 80 N – 210° con escala 1: 20 20 N = 1 cm

Física

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80 N = 4 cm

FIGURA 1.6

3. Un automóvil viaja con una velocidad de 20 km/h hacia el sureste. Representar geométricamente el vector velocidad con una escala de 1 : 5 (usando la rosa de los vientos). V = 20 km/h al sureste Esc : 1 : 5 5 km/h = 1 cm 20 km/h = 4 cm

FIGURA 1.7

SISTEMA DE VECTORES: coplanares, no coplanares, colineales y concurrentes

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Sistema de vectores Es un conjunto de vectores que nos interesa estudiar, por ejemplo un conjunto de fuerzas actuando sobre un cuerpo. F = Es la fuerza que jala al cuerpo fR = Es la fuerza que se opone al movimiento (fuerza de fricción) W = Peso del cuerpo N = Es la normal perpendicular al plano

FIGURA 1.8

Los vectores que componen un sistema de fuerzas pueden ser coplanares o no coplanares. a) Un sistema de vectores coplanares es el conjunto de vectores que están contenidos en un mismo plano. b) Un sistema de vectores no coplanares es el conjunto de vectores que se encuentran contenidos en distintos planos. Los sistemas coplanares y no coplanares se subdividen en sistemas: • Colineales, donde los vectores del sistema están sobre una misma línea de acción, como se muestra en la siguiente figu-

Física

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ra:

FIGURA 1.9

• Paralelos, donde los vectores del sistema están sobre líneas de acción paralelas entre sí.

FIGURA 1.10

• Concurrentes, donde las líneas de acción de todos los vectores del sistema concurren en un punto.

FIGURA 1.11

• Arbitrarios, donde las líneas de acción de todos los vectores

24


del sistema no son concurrentes ni paralelas.

FIGURA 1.12

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Propiedad de transmisibilidad del punto de aplicación El efecto de la aplicación de un vector no se modifica si éste se traslada en una misma dirección, es decir, sobre su propia línea de acción. Por ejemplo, si se desea mover un cuerpo horizontalmente mediante la aplicación de una fuerza, el resultado será el mismo si empujamos el cuerpo que si lo jalamos.

FIGURA 1.13

Propiedades de los vectores libres Los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí

Física

25

mismos. Esta propiedad la utilizaremos al sumar vectores por los métodos gráficos del paralelogramo, el triángulo y el polígono que se estudiaran más adelante.

FIGURA 1.14

Sumamos el primer vector más el segundo vector.

FIGURA 1.15

Sumamos el segundo vector más el primer vector. OPERACIONES CON VECTORES Las operaciones que se realizan con los vectores se hacen 26


siguiendo métodos de composición y descomposición de vectores, en los que se utilizan las reglas de la geometría, de la trigonometría y del álgebra. Composición de cantidades vectoriales Cuando un sistema dado de vectores coplanares se sustituye por otro sistema del mismo tipo, con un número menor de vectores, pero que producen los mismos efectos que en el sistema original, se dice que se ha empleado el método de composición. Descomposición de cantidades vectoriales Cuando a un sistema dado de vectores se le sustituye por otro sistema del mismo tipo, con un número mayor de vectores, produciendo el mismo efecto que el sistema original, se dice que se ha empleado el método de descomposición. Los vectores se pueden sumar, restar y multiplicar: la suma y la resta o diferencia sólo se puede efectuar con vectores de la misma especie, mientras que la multiplicación o producto se puede efectuar con vectores de diferente especie. Suma y resta de vectores, método gráfico y analítico La suma de dos o más vectores de la misma especie da como resultado otro vector, al cual se le llama vector suma o vector resultante, y se le suele denotar con la letra La resultante tiene la propiedad de producir el mismo efecto que el sistema de vectores que lo originó. La resultante de dos vectores y se define como la diagonal del paralelogramo generado por y como se muestra en la figura; esta definición se conoce como la ley del paralelogramo.

FIGURA 1.16

Física

La resultante es el sistema más simple a que puede ser reducido un sistema dado de vectores, produciendo los mismo efectos. 27

Para utilizar estos métodos es necesario contar con un juego de geometría completo, regla graduada, transportador y lápices de colores I.- Métodos gráficos

a) Método gráfico del paralelogramo b) Método gráfico del triángulo

Existen dos procedimientos

c) Método gráfico del polígono

para efectuar la suma de vectores Son los que permiten determinar la suma o resultante con ayuda de la trigonometría II.- Métodos analíticos

a) Método analítico del triángulo o ley de senos y cosenos b) Método analítico de componentes rectangulares

a) Método gráfico del triángulo Para sumar dos vectores por este método, se procede de la manera siguiente: 1. Se grafican los vectores a la misma escala, de tal manera que el extremo de uno coincida con el origen del otro, como se muestra en la figura b.

28


FIGURA 1.17

2. Se traza un segmento rectilíneo desde el origen del primer vector al extremo del segundo. Este segmento, en la misma escala que los vectores, representa la suma o resultante de los vectores dados; su origen coincide con el origen del primer vector y su extremo coincide con el extremo del segundo, como se muestra en la figura c.

FIGURA 1.18

3. Se mide la longitud de este segmento, la cual determina la magnitud de la resultante, utilizando la misma escala en que se encuentran graficados los vectores. R=A+B R=B+A 4. Se mide el ángulo de la resultante.

Física

29

R = R∠ θ • Hallar la resultante del siguiente sistema de vectores: A = 12 N ∠ 15° y B = 8 N∠ 70° por el método gráfico del triángulo, a una escala de 1: 2 Datos: A = 12 N ∠ 15° B = 8 N ∠ 70° Esc 1:2 A = 12 N = 6 cm B = 8 N = 4 cm R=A+B R = 9.2 cm = 18.1 N ∠ 33°

FIGURA 1.19

Utilizando el mismo sistema de vectores del problema anterior pero invirtiendo el orden de los vectores, grafíquelos. Datos:

30


A = 12 N ∠ 15° B = 8 N ∠ 70° esc 1:2 A = 12 N = 6 cm B = 8 N = 4 cm R=A+B R = 9.2 cm = 18.1 N ∠ 33° R=B+A

FIGURA 1.20

Al seguir la secuencia indicada encontramos que se cumple la ley conmutativa. A+B=B+A • Un jinete y su caballo cabalgan 3 km al N y después 4 km al O. Calcular su resultante por el método gráfico del triángulo a escala de 1:1. Datos: A = 3 km al N = 3 km ∠ 90° B = 4 km al O = 4 km ∠ 180° esc 1:1 A = 3 km = 3 cm B = 4 km = 4 cm R = 5 cm = 5 km R = 5 km – 153°

Física

31

FIGURA 1.21

• Utilizando el mismo sistema de vectores del problema anterior pero invirtiendo el orden de los vectores, grafíquelos. Datos: A = 3 km al N = 3 km ∠ 90° B = 4 km. al O = 4 km ∠ 180° esc 1:1 A = 3 km = 3 cm B = 4 km = 4 cm R = 5 cm = 5 km R = 5 km. – 153°

FIGURA 1.22

A+B=B+A b) Método gráfico del polígono

32


Este método es una generalización del método gráfico del triángulo para más de dos vectores y consiste en una repetición sucesiva de dicho método. Para sumar vectores utilizando este método, se procede de la manera siguiente: Dado un sistema de tres o más vectores 1. Se grafican los vectores a la misma escala, de tal manera que el extremo del primero coincida con el origen del segundo, el extremo de éste debe coincidir con el origen del tercero, y así sucesivamente hasta el último vector, como se muestra en la figura para el caso de un sistema de vectores.

FIGURA 1.23

2. Trazamos un segmento rectilíneo que une el origen del primer vector con el extremo del último. Este segmento en la misma escala que los vectores representa el vector suma o el vector resultante del sistema; su origen coincide con el origen del primer vector y su extremo coincide con el extremo del último como se observa en la figura.

R=A+B+C+D+E

Física

33

FIGURA 1.24

2. Se mide la longitud de este segmento, la cual de acuerdo a la escala utilizada para graficar los vectores, corresponde a la resultante del sistema. R=A+B+C+D+E 3. Se mide el ángulo que la resultante forma con la horizontal, el cual indica su dirección. R=R∠ϕ Determinar la resultante por el método gráfico del polígono del siguiente sistema de vectores, utilizando una escala de 1: 10. A = 35 N ∠ 20° = 3.5 cm B = 30 N ∠ 100° = 3 cm C = 25 N ∠ 315° = 2.5 cm R = 5.7 cm R = 57 N ∠ 30°

34

FIGURA 1.25 GUÍA PARA EL ESTUDIANTE

Problemas complementarios 1. Una lancha de motor efectúa los siguientes desplazamientos: 300 m al oeste, 200m al norte, 350 m al noreste, y 150 m al sur. Calcular su resultante utilizando el método gráfico del polígono con una escala de 1 : 100. A = 300 al oeste ο (∠ 180°) = 3.0 cm ∠ 180° B = 200 al norte o (∠ 90°) = 2.0 cm ∠ 90° C = 350 al noreste o (∠ 45°) = 3.5 cm ∠ 45° D = 150 al sur o (∠ 270°) = 1.5 cm ∠ 270°

= 3 cm ∠ 100° = 300 m ∠ 100°

FIGURA 1.26

1. Una ardilla camina en busca de comida, efectuando el siguiente desplazamiento: 15 m al sur, 23 m al este, 40 m en dirección noreste con un ángulo de 35°, 30 m en dirección noreste con un ángulo 60°, y finalmente 15 m en dirección suroeste con un ángulo 220°. Calcular su resultante por el método gráfico del polígono con escala 1 : 10 A = 15 m al S (∠ 270°) = 1.5 cm ∠ 270° B = 23 m al E (∠ 0°) = 2.3 cm ∠ 0° Física

35

C = 40 m al NE (∠ 35°) = 4 cm ∠ 35° D = 30 m al NE (∠ 60°) = 3 cm ∠ 60° E = 15 m al SO (∠ 220°) = 1.5 cm ∠ 220° Esc 1:10 R = 3.8 cm ∠ 40° R = 38 m ∠ 40

FIGURA 1.27

II. MÉTODO ANALÍTICO a) Método analítico del triángulo (ley de Cosenos) Este método consiste en utilizar el teorema de Pitágoras y algunos resultados de la trigonometría para encontrar la magnitud y el ángulo de la resultante de un sistema de dos vectores. Si los dos vectores del sistema forman un ángulo de 90°, se utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la magnitud de su resultante, y cualquier función trigonométrica para encontrar el valor del ángulo de esta resultante. Si los vectores no son perpendiculares, se utiliza la ley de los cosenos para hallar la magnitud de su resultante y la ley de los 36


senos para encontrar su ángulo. 1. Hallar la resultante del siguiente sistema de vectores: F1 = 30 N ∠ 30° y F2 = 38 N ∠ 0° por el método analítico del triángulo a) Primero se grafican los vectores a una escala correspondiente por el método gráfico del triángulo F1 = 30 N ∠ 30° = 3 cm F2 = 38 N ∠ 0° = 3.8 cm Esc 1 : 10

FIGURA 1.28

b) Para calcular la resultante debemos encontrar uno de los tres lados del triángulo oblicuo cuyos lados conocidos son F1 y F2. Aplicamos la ley de los cosenos tomando en cuenta que el triángulo oblicuo es el ángulo formado por los dos vectores.

FIGURA 1.29

c) Para calcular el ángulo a que forma la resultante con respecto Física

37

a la horizontal, aplicamos la ley de los senos.

R = 65.715 ∠ 13° 12 2. Hallar la resultante del siguiente sistema de vectores: F1 = 400 N ∠ 180° F2 = 250 N ∠ 40° por el método analítico del triángulo. Datos. esc 1 : 100 F1 = 400 N ∠ 180° = 4 cm ∠ 180° F2 = 250 N ∠ 40° = 2.5 cm ∠ 40° b = 40°

FIGURA 1.30

38


R= 263.25° ∠ 143° 24´

También podemos graficar los vectores de la siguiente manera y es el mismo procedimiento:

FIGURA 1.31

c) Método analítico de las componentes rectangulares Para estudiar las componentes rectangulares de un vector, se utiliza el concepto de proyección de un vector sobre un eje. Proyección de un vector sobre un eje Para facilitar las cosas, consideremos el eje “X” como el eje sobre el cual se proyecta el vector.

Física

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Sea V = V ∠ θ un vector con su origen en el punto “A” y su extremo en el punto “B”. Si estos puntos son proyectados perpendicularmente sobre el eje de las “X”, se consideran los puntos “C” y “D” como se muestra en la figura.

FIGURA 1.32

Definimos la proyección del vector V sobre el eje “X” como la longitud del segmento rectilíneo CD, y se denota V X. Del triángulo AEB de la figura anterior, se tiene:

Se realiza el mismo procedimiento para el eje de las “Y”: VY = V sen θ

Componentes Rectangulares de un Vector. Dado un vector V = V ∠ θ, se puede graficar en el sistema cartesiano de coordenadas (X,Y) como el de la figura.

40


FIGURA 1.33

En donde θ es el ángulo formado por el vector y el eje “X” positivo, como se muestra en la figura. La proyección del vector sobre el eje “X” recibe el nombre de la componente rectangular del vector V en el eje “X”, y la proyección sobre el eje “Y” se llama componente rectangular del vector V en el eje “Y”, como se muestra en la figura. Por consiguiente, las expresiones analíticas de las componentes rectangulares del vector están dadas por:

1. Calcular las componentes rectangulares del vector A = 10 N ∠ 150° Solución: A = 10 N ∠ 150° θ = 180° - 150° = 30°

FIGURA 1.33BIS

Física

41

Utilizando las ecuaciones anteriores: AX = A cos θ = 10 N (cos 150°) = - 8.66 N AX = - 8.66 N AY = A sen θ = 10 N (sen 150°) = 5 N AY = 5 N Escala 1 : 0.5 2. Calcular las componentes rectangulares del vector B = 25 m/s ∠ 217° Solución: B = 25 m/s ∠ 217° α = 217° - 180° = 37 ° Utilizando las ecuaciones anteriores. BX = B cos α = 25 m/s (cos 217°) = - 19.96 m/s BX = - 19.96 m/s BY = B sen α = 25 m/s (sen 217°) = - 15.04 m/s BY = - 15.04 m/s

FIGURA 1.34

3. Calcular las componentes rectangulares del vector E = 10 N/C ∠ 340° Solución: E = 10 N/C ∠ 340° β = 340°- 360° = -20° EX = E cos β = 10 N/C (cos 340°) = 9.39 N/C EX = 9.39 N/C EY = E sen β = 10 N/C (sen 340°) = - 3.42 N/C EY = - 3.42 N/C

42


FIGURA 1.35

Obtención de un vectorDadas a partir sus componentes rectangulares las de componentes rectangulares de un vector V, éste puede obtenerse llevando perpendiculares a los ejes “X” y “Y”, a partir de los respectivos componentes, como se muestra en la figura.

FIGURA 1.36

Recordando que las componentes están dadas por: VX = V cos θ VY = V sen θ Entonces:

Física

43

VX2 + VY2 = (V cos θ)2 + (V sen θ)2 VX2 + VY2 = V2 cos2 θ + V2 sen2 θ VX2 + VY2 = V2 (cos2 θ + sen2 θ) VX2 + VY2 = V2 V=

FIGURA 1.37

44


Cuadrante

θ

Signo (VX)

Signo (VY)

I

θ=α

+

+

II

θ = 180°- α

-

+

III

θ = 180° + α

-

-

IV

θ = 360°- α

+

-

Diagrama

Obtener el vector A cuyas componentes son: AX = - 13 T y AY = 8 T

Física

45

A = 15.26 T ∠ 148°24

FIGURA 1.38 46


1. Obtener el vector B dado por sus componentes: BX = -6 m/s y BY = - 7 m/s Graficamos con una escala adecuada. Sustituimos BX y BY en las ecuaciones.

A = 9.24 m/s ∠ 229°24

FIGURA 1.39

2. Determinar la magnitud y la dirección del vector F cuyas

Física

47

componentes son: FX = 25 N y FY = - 35 N Datos: FX = 25 N FY = - 35 N Solución:

FIGURA 1.40

Multiplicación de un escalar por un vector El producto de un escalar k por un vector r se escribe kr, y es otro vector cuya magnitud es k veces mayor que la magnitud de r, y cuya línea de acción es la misma que la del vector r. Si k es positivo, el sentido de kr será el mismo que el de r; pero si k es negativo, el sentido de kr será el contrario al de r. 1. Si r = 3 T ∠ u k = 25

2. Si r = 5 N – 30° k=6

kr = 25 (3 T ∠ u) kr = 75 ∠ u kr = 6 (5 N ∠ 30°) kr = 30 ∠ 30°

3. Si r = 4 N ∠ 90° k=-1 48


kr = -1 (4 T ∠ 90°) kr = - 4 ∠ 90° kr = 4 ∠ 270° Producto escalar o producto punto Tanto en física como en matemáticas resulta de gran utilidad definir un producto entre dos vectores cuyo resultado no es un vector sino un número, es decir un escalar. A este producto se le llama producto escalar de dos vectores o producto punto. El producto escalar de dos vectores consiste en multiplicar la magnitud de uno de ellos por la componente del otro vector en la misma dirección del primero. Esto significa que es el producto de las magnitudes de ambos vectores por el coseno del ángulo entre sus líneas de acción.

FIGURA 1.41

Matemáticamente se expresa:

1. Determinar el producto escalar de los vectores F y d graficados en la figura. Si F = 3 N ∠ 35° y d = 4 = 0° F * d = Fd cos 35° F * d = (3)(4) cos 35° F * d = 9.8304 Nm Algunas cantidades físicas que resultan del producto escalar de dos vectores son el trabajo mecánico, las potencia mecánica, o eléctrica, etc. Observe que el producto escalar de dos vectores también presenta la propiedad conmutativa de la multiplicaFísica

49

ción.

FIGURA 1.42

¿Qué es la técnica? Tomemos un ejemplo sencillo: la alfarería. En la alfarería se puso en práctica lo que los hombres habían transmitido como experiencias de generación en generación, lo DIFERENCIA ENTRE CIENCIA Y TÉCNICA que sabían sobre arcillas para hacer el barro y las formas de elaborar vasijas. Cuando ese tipo de tareas se hace una y otra vez, se está haciendo uso de la técnica. Puede decirse que la técnica se inicia dentro de las sociedades del hombre primitivo, y es la aplicación sistemática de ciertos procedimientos bien definidos para obtener bienestar; para estos procedimientos se basan en algunos conocimientos científicos. Desde la época medieval se puso de manifiesto la división entre ciencia y técnica. La ciencia era ocupación de sabios: se estudiaba en libros y trataba sobre fenómenos naturales, mientras que la tecnología abarcaba sólo las cosas prácticas y la ejecutaba el artesano. La palabra ciencia proviene del latín scientia, que significa sabiduría. Así, la ciencia es conocimiento. Según Bunge, ciencia es «ese creciente cuerpo de ideas que puede caracterizarse como conocimiento racional, sistemático, exacto, verificable y por consiguiente falible. La ciencia es un sistema de ideas establecidas provisionalmente (conocimiento científico) y como una actividad productora de nuevas ideas (investigación científica). Kedrop y Spérkrim expresan: «la ciencia es un sistema de conceptos acerca de los fenómenos y leyes del mundo externo o de la actividad espiritual de los individuos, que permite prever y transformar la realidad en beneficio de la sociedad». 50


Lo cierto es que la ciencia y la técnica siempre van de la mano pues no hay ciencia sin técnicas ni técnica sin ciencias.

Hasta hace no muchos años se hablaba de una serie de pasos que tenían que seguirse en la investigación científica para obtener conclusiones y nuevas leyes. A esta serie de pasos se le MÉTODO CIENTÍFICOconocía como método científico y consistía en observación, formulación de hipótesis, experimentación, comprobación de hipótesis (o modificaciones en su caso), etc. Hoy en día son tantas las ramas de la ciencia y los procedimientos seguidos para crear nuevos conocimientos, que difícilmente puede hablarse de un método científico. De hecho hay muchos métodos científicos, y lo que cuenta es la imaginación y la habilidad para crear ideas que expliquen los fenómenos naturales y sociales, y que por supuesto estén de acuerdo con los resultados experimentales y observacionales. Describiremos de todas maneras algunos de los pasos “clásicos” del método científico tradicional: 1. La formulación del problema.- En este punto se identifica un problema que requiera solución o una pregunta que necesite contestación. Para formular un problema se requiere del conocimiento básico del tema en particular que se encuentra insertado en un cuerpo de teoría o teorías. 2. Formulación de la hipótesis.- Aquí se hace una propuesta de solución al problema con carácter transitorio. Es una conjetura o una posibilidad basada en datos confiables aprobados y publicados, de preferencia en revistas de prestigio o en libros acreditados. 3.-Investigación.- Búsqueda de datos pertinentes que sirvan para resolver el problema o aceptar o impugnar la hipótesis. 4.-Análisis e interpretación de datos .- Una vez recogidos los datos de la investigación se procede a su análisis e interpretación. Aquí se observará lo mas relevante del estudio. En este punto pueden hacerse asociaciones entre variables, o el efecto de un factor sobre un fenómeno. En muchas ocasioFísica

51

nes, el cálculo estadístico será también de mucha ayuda para conocer el resultado real de los datos obtenidos. 5.-Redacción de las conclusiones.- Una vez efectuada la fase anterior, el investigador procede a obtener sus conclusiones. 6.-Proceso de verificación.- Por último, con base a las conclusiones y en conjugación con el establecimiento el problema y la hipótesis, esta última se acepta, se rechaza o se modifica. Los datos obtenidos deberán ser suficientes para proceder a aceptar o rebatir lo originalmente formulado. MÉTODO EXPERIMENTAL Al igual que ocurre con el método científico, no puede decirse que existan recetas para la realización de experimentos. Hay muchos métodos experimentales, tantos que casi podría afirmarse que para cada experimento hay uno, ya que los retos que nos plantean son siempre distintos. La habilidad del experimentador consiste en imaginar y llevar a cabo de la mejor manera posible el control de sus variables para poder obtener resultados lo más precisos posibles, y en este proceso se siguen muchos caminos distintos.

52


Unidad 2 Cinemática

1. INTRODUCCIÓN Si dejas caer simultáneamente desde la misma altura un libro y una goma, ¿cuál llegará primero al piso? ¿En cuánto tiempo puede alcanzar su máxima velocidad de 350 km/h un carro de carreras fórmula uno? ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y aceleración? ¿Con qué ángulo debe lanzarse un proyectil para que llegue lo más lejos posible? Llena un pedazo de manguera transparente con un líquido viscoso, por ejemplo, miel para bebé. Si al verter la miel no se formó ninguna burbuja de aire, inyéctala tú. Inclina la manguera hacia uno y otro lado. ¿Cómo se mueve la burbuja? ¿Por qué crees que los ingenieros y los albañiles utilizan un aparato (nivel) que se parece a este dispositivo? Para lograr un buen saque en el volibol hay que pegarle a la pelota justo cuando deja de subir y empieza a bajar. ¿Por qué? La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento. Supongamos que estamos interesados en saber cómo se mueve cierto objeto. Sabemos que tiene cierta posición, Física

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cierta velocidad y cierta dirección. Si las condiciones actuales no se alteran, ¿dónde se encontrará el objeto dentro de 1 hora? ¿En qué momento el objeto en cuestión ocupará una posición determinada? Este es el tipo de preguntas que la mecánica nos permite contestar. La mecánica se divide en cinemática y dinámica. La cinemática se ocupa de describir el movimiento de los objetos. La dinámica, por su parte, nos permite predecir el movimiento de los objetos a partir de la información que se tiene acerca del objeto mismo y de su entorno. En esta parte de la guía nos ocuparemos de la cinemática y empezaremos con las nociones que se generan cuando un objeto se mueve en un espacio unidimensional, esto es, a lo largo de una línea recta, para pasar después a considerar el movimiento en un espacio bidimensional, esto es, en un plano. Sabías que... La superficie de la Tierra en el ecuador se mueve con respecto al centro del planeta a una velocidad de 4.6 x 102 m/s aproximadamente. La galaxia conocida que se aleja más rápidamente de la Tierra, se mueve a una velocidad de 2.4 x 108 m/s aproximadamente. La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/s aproximadamente. El centro de la Tierra se mueve con respecto al Sol a una velocidad aproximada de 3 x 103 m/s. La magnitud de la aceleración de un protón en un acelerador de partículas es de 1014 m/s2 aproximadamente. ¿Cómo crees que se ha llegado a saber todo esto?

2. PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA CINEMÁTICA La cinemática es la parte de la mecánica que estudia los cuerpos en movimiento. Basándote en tu experiencia, ¿cuándo dirías que un cuerpo está en movimiento? A veces resulta fácil observar el movimiento. Por ejemplo, observamos que un coche se mueve por una calle y que sus ruedas avanzan y también giran. Otras veces no resulta tan sencillo. Por ejemplo, si observas un vaso de agua encima de una mesa seguramente dirás que el agua no se mueve. Sin embargo, sus moléculas están moviéndose constantemente. Pero no sólo eso, sino que el vaso se encuentra sobre la Tierra y ésta 54


se mueve girando sobre sí misma y trasladándose alrededor del Sol, que también se mueve. Cuando se habla de movimiento es importante, por lo tanto, definir el sistema de referencia con respecto al cual se mueve un objeto. Además, para simplificar la descripción del movimiento se conviene tratar a los objetos o cuerpos como si fueran partículas sin dimensiones o estructura. Esta convención no le resta validez alguna al desarrollo de los conceptos que siguen. ¿Qué caracteriza, según tú, a un cuerpo en movimiento? Lo que caracteriza a un cuerpo en movimiento es que éste cambia de posición en el tiempo, con respecto a otros objetos que permanecen en reposo. Esto es, el objeto se desplaza. El desplazamiento está dado en términos de la diferencia entre la posición final rf y la posición inicial ri de un objeto. El movimiento se describe en términos de las razones de cambio conocidas como rapidez, velocidad y aceleración. La rapidez es la medida de qué tan aprisa se mueve un objeto y se mide en términos de alguna unidad de distancia dividida entre una unidad de tiempo. Por lo tanto, la podemos definir como la distancia recorrida en una unidad de tiempo. En el sistema internacional de medidas se consideran los metros que un objeto recorre en 1 segundo y esto se indica con m/s. La velocidad de un objeto indica qué tan rápido se mueve el objeto y en qué dirección se está moviendo con respecto al sistema de referencia seleccionado. Para definir la velocidad conviene ante todo definir la velocidad promedio. La velocidad media vm de un objeto que se desplaza de una posición inicial ri a una posición final rf en el intervalo de tiempo que va del tiempo inicial, ti , al tiempo final, tf , está dada por la fórmula

Ahora podemos definir la velocidad instantánea como la que indica, para cada instante, qué tan rápidamente se mueve un objeto y en qué dirección. Esta velocidad viene dada por la fórmula

donde v representa la velocidad del objeto, r representa el desplazamiento del objeto y t el tiempo en que se realiza el desplazamiento. (Δ - esta es la letra griega llamada ‘delta’, y se utiliza para representar la diferencia entre dos valores de una misma variable). Física

55

Observemos que la rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo, mientras que la velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo. Finalmente, la aceleración de un objeto se caracteriza por la rapidez con que cambia su velocidad, tanto en magnitud como en dirección. La aceleración es, por lo tanto, la razón de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo

Si en 1 segundo un móvil se desplaza 2 metros en 2 segundos un móvil se desplaza 4 metros en 3 segundos un móvil se desplaza 6 metros Movimiento rectilíneo uniforme ¿Cuánto se desplaza en cada segundo? Observa que en cada segundo este móvil recorre 2 metros. Por lo tanto su velocidad es constante y su aceleración es igual a cero. Cuando un móvil sigue una trayectoria recta en la cual realiza desplazamientos iguales en tiempos iguales diremos que sigue un movimiento rectilíneo uniforme. Para determinar la posición que ocupa un móvil en el espacio hay que considerar el sistema de referencia seleccionado. En un sistema de referencia determinado la posición del móvil se representa por un vector de posición, trazado desde el origen de dicho sistema de referencia hasta la posición del móvil o partícula. Considera una partícula que en el tiempo t1 se encuentra en el punto A de la siguiente figura y cuya posición en el plano xy está descrita por el vector de posición x1. Supongamos que en un tiempo posterior t2, la partícula se encuentra en B, especificando su posición por el vector x2. El vector que describe el cambio en la posición de la partícula al moverse de A a B, se llama desplazamiento y está dado por Δx = x2 – x1 . El tiempo transcurrido durante el movimiento entre estos dos puntos es Δt = t2 – t1 .

56


FIGURA 2.1

Tomando como referencia los datos anteriores se realiza la gráfica siguiente:

Para calcular la tangente a la recta (es d – del valor10demla velocidad – 2 m basta8determinar m

V= elt valor decir, en cualquier punto de ella) – t de su5 pendiente seg – 1 seg 4seg f

f

i

i

FIGURA 2.2

Movimiento rectilíneo uniformemente variado

Física

57

Si la velocidad experimenta cambios iguales en cada unidad de tiempo, se habla de la razón de cambio llamada aceleración, definida como la tasa de variación de la velocidad. En el movimiento rectilíneo uniformemente variado la aceleración permanece constante. Por ejemplo, un automovilista tiene que acelerar constantemente su vehículo para aumentar su velocidad o, por el contrario, tiene que frenar para disminuirla. La aceleración relaciona los cambios de velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir, mide qué tan rápidos son los cambios de velocidad. Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia Un móvil está acelerado mientras su velocidad cambie. Ejemplos de este tipo de movimiento son: la “caída libre” o movimiento que experimenta todo cuerpo atraído por el campo gravitacional de la Tierra, cuando se deja libre en un punto del espacio; el movimiento que tiene una partícula al lanzarse verticalmente desde la superficie de la Tierra; el movimiento que tiene una partícula al ascender o descender una pendiente dentro del campo gravitatorio de la Tierra; el movimiento que tiene una partícula afectada por una aceleración constante en una trayectoria horizontal, vertical o inclinada. Recordemos que la aceleración es el cambio de velocidad en el tiempo

Donde a es la aceleración, vi y vf son la velocidad inicial y final respectivamente, y t indica el lapso de tiempo durante el que actuó la aceleración. La aceleración se expresa en unidades de velocidad entre el cuadrado de las unidades de tiempo, m/s2. La dirección de la aceleración depende del cambio de la rapidez. Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad, y si la rapidez está disminuyendo, entonces su aceleración va en sentido opuesto y decimos que el móvil está frenando. Esto puede aplicarse para determinar si 58


el signo de la aceleración es positivo o negativo. Si un cuerpo está en movimiento uniformemente acelerado, quiere decir que está sujeto durante cierto tiempo a la acción de una aceleración en el mismo sentido del movimiento. Cuando la aceleración actúa en el sentido opuesto al movimiento, la velocidad disminuye, es decir, tiene una aceleración negativa y el cuerpo tiene un movimiento uniformemente retardado. Cuando un cuerpo parte del estado de reposo, la relación entre aceleración, velocidad y tiempo sigue dada por la expresión Sin embargo, dado que vi = 0 se tendrá

Cuando la aceleración de un cuerpo es constante, la velocidad cambia uniformemente. La velocidad media (vm) de un móvil se define como el valor de la suma de dos velocidades consecutivas dividido entre dos.

Partiendo de la fórmula v = d / t ó d = vt y sustituyendo la fórmula anterior se obtiene d = (vi + vf )/ 2t y si se considera que vf = vi + at y se hacen las sustituciones correspondientes en la expresión anterior, se obtiene

Cuando el cuerpo parte del reposo (vi = 0), esta fórmula se reduce a:

Física

59

Movimientos con la aceleración de la gravedad Realiza los experimentos siguientes: Suelta cualquier objeto desde una altura y observa qué sucede. ¿Qué pasó? ¿Por qué crees que los objetos caen? ¿Sabes qué es el campo gravitatorio de la Tierra? Compara tu tiempo de reacción con el de un amigo cuando se trata de atrapar una regla que se deja caer entre los dedos. Haz que tu amigo sostenga la regla en forma vertical. Cierra tus dedos tan pronto como veas que la regla comienza a caer. La cantidad de centímetros que pasan por tus dedos depende de tu tiempo de reacción. ¿Puedes calcular tu tiempo de reacción? ¿Qué distancia habrá recorrido la regla después de 1 segundo? ¿Cuál será su velocidad? En los movimientos uniformemente acelerados y uniformemente retardados, por haber aceleración, se modifica la velocidad del móvil; un caso particular ocurre cuando la velocidad de un cuerpo en movimiento es modificada por la acción de la gravedad. En estos casos el valor de la aceleración está dado por la magnitud de la aceleración de la gravedad; por lo tanto, en las fórmulas basta sustituir la aceleración (a) por la gravedad (g). g = 9.8 m / s2 (la aceleración de la gravedad es constante) En el siglo XVII el físico italiano Galileo Galilei demostró que en el vacío los cuerpos tanto ligeros y como pesados que caen de una misma altura emplean el mismo tiempo en alcanzar el suelo. Es decir, una pluma de ave y una regla soltadas desde la misma altura llegarán al piso al mismo tiempo. En ambos casos se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado, en el que la aceleración es constante. Cuando suponemos que el aire no opone resistencia y la gravedad es el único factor que afecta la caída, entonces podemos decir que el cuerpo está en caída libre. Si soltamos un cuerpo en las inmediaciones de la Tierra, éste describe una trayectoria recta. Se dice que cae libremente debido a su peso. Si medimos continuamente su velocidad instantánea, encontramos que crece de manera semejante a la de un cuerpo que sigue un movimiento rectilíneo uniformemente variado. Por lo tanto, la caída libre es un caso particular del movimiento rectilíneo uniformemente variado. El movimiento conocido como caída libre es un movimiento uniformemente acelerado dado que la gravedad está actuando en el mismo sen60


tido del movimiento. Un ejemplo es el de la regla que soltaste en la actividad que realizaste al inicio de esta sección. Otro ejemplo es el de una fruta madura al caer del árbol, o el de una grúa que deja caer una carga. Para estudiar la caída libre se utilizan las mismas fórmulas que ya se introdujeron cuando se habló del movimiento rectilíneo uniformemente variado, sólo que en ellas se sustituye la aceleración a por la gravedad g cuyo valor es constante y es igual a 9.8 m/s2; y para indicar el desplazamiento en estos casos se suele usar la letra h, que representa la altura. En estos cálculos, por lo general, se desprecia la fricción del aire durante la caída. En la caída libre la velocidad inicial es igual a cero; por lo tanto, la velocidad final se calcula con la fórmula v = gt. La distancia en este caso es la altura desde donde cae el objeto y se calcula usando la fórmula h = gt2 / 2. Así, por ejemplo, en el experimento en el cual se soltaba la regla, se tendrá que después del primer segundo la regla tendrá una velocidad de 9.8 m/s, ya que ésta se calcula con la fórmula v = gt. Para saber el espacio recorrido por la regla en ese lapso de tiempo, se usa la fórmula h = gt2 / 2 y se tendrá así que h = 9.8 m/s2 x 1 s2/2 = 4.9m. La fórmula siguiente nos permite calcular el tiempo que tarda en caer un objeto cuando se conoce la altura desde la cual cae: Si la sustituimos en la formula de la velocidad tenemos:

Tiro vertical

Física

Al jugar un partido de baloncesto, la pelota realiza diferentes trayectorias. Una de ellas consiste en lanzarla verticalmente hacia arriba. En este caso se trata de una trayectoria rectilínea vertical. ¿Has medido el tiempo en que sube y baja el balón a tus manos? ¡Inténtalo tomando el tiempo con un cronómetro! Calcula tu tiempo de vuelo personal, es decir, el tiempo en que tus pies permanecen sin contacto con el suelo durante un salto vertical. A este movimiento rectilíneo de ida y vuelta del balón o de tu cuerpo, se le da el nombre de tiro vertical. En este movimiento interviene nuevamente la aceleración de la gravedad y lo analizamos a continuación. 61

El tiro vertical se presenta cuando un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba, donde la acción de la gravedad se opone al movimiento y como consecuencia se produce un movimiento uniformemente retardado. Durante su recorrido el objeto disminuye su velocidad gradualmente hasta que se detiene un instante: es el momento en que alcanza su altura máxima, hmax . En este punto su vf = 0, y después de ello empieza a caer en caída libre. Para calcular el tiempo t que tarda en alcanzar la altura máxima, despejamos la t de la fórmula vi = gt y obtenemos t = vi/g. El tiempo empleado en alcanzar su altura máxima se sustituye en la fórmula de movimiento rectilíneo uniformemente variado: h = gt2 /2 y se obtiene hmax = vi2 / 2g.

Coloca una moneda en el borde de una mesa lisa de modo que sobresalga un poco fuera de la misma. Coloca una segunda moneda sobre la mesa a cierta distancia de la primera. Desliza la segunda moneda sobre la tabla (golpeándola con un dedo) de modo que choque con la moneda que sobresale y ambas monedas caigan al piso. Observa cuál de las dos monedas llega primero al piso. ¿Depende tu respuesta de la rapidez de la moMovimiento de proyectiles neda que se desliza? Haz un dibujo de las trayectorias de ambas monedas. Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia, como la moneda, se llama proyectil. Los proyectiles que están cerca de la tierra siguen una trayectoria curva muy simple que conocemos como parábola. Para describir el movimiento es útil separarlo en sus componentes horizontal y vertical. El movimiento en la componente horizontal del proyectil es un movimiento rectilíneo uniforme, ya que en esa dirección la gravedad no influye. Cuando no tomamos en cuenta la fricción su velocidad es constante. La componente vertical de la velocidad de un proyectil se comporta de manera similar al movimiento de caída libre. Pero lo más importante es que ambos movimientos pueden trabajarse independientemente y combinados producen la trayectoria parabólica del proyectil. Cuando un proyectil se dispara con determinada inclinación con respecto a una superficie horizontal su trayectoria es una parábola y, al igual que la trayectoria descrita anteriormente, se genera a partir de la combinación de dos movimientos: uno 62


vertical y uno horizontal. La velocidad de salida se representa por un vector inclinado, cuyas componentes son la velocidad vertical (vy) y la velocidad horizontal (vx). La componente horizontal produce un movimiento rectilíneo uniforme y permanece constante durante el movimiento del proyectil. Por otro lado, la componente vertical está dirigida hacia arriba y produce un movimiento de tiro vertical. Esta componente decrece en magnitud mientras el proyectil asciende y alcanza el valor cero cuando el proyectil alcanza su altitud máxima. Una vez que el proyectil llegó a su altura máxima inicia su caída, esto es, una caída libre. El tiempo que el proyectil emplea en alcanzar su altura máxima es el mismo que tarda en caer. Durante este tiempo avanza también horizontalmente. La velocidad de llegada es la misma que la velocidad de salida y el ángulo de inclinación con el que sale es el mismo con el cual el proyectil llega. El proyectil describe una trayectoria parabólica simétrica.

FIGURA 2.3

La altura máxima que alcanza el proyectil se obtiene con la fórmula hmax = vy2/2g, donde vy representa la componente vertical de la velocidad. Si sustituimos vy por vi sena tenemos hmax = (vi2) (sena)2 / 2g. La distancia recorrida por el proyectil queda representada por la siguiente fórmula d= (vi2) (sen2a) / g.

Cuando las aspas de un ventilador giran, ¿cómo se compara la Física

63

Movimiento circular

64

velocidad de un punto que está cerca del eje de giro con la de uno en el extremo de las aspas? Si hacemos rodar una lata de refresco y un vaso de plástico, ¿qué diferencias observas en su movimiento? ¿Cómo es la trayectoria que siguen en su movimiento? ¿Cuál es la distancia que recorre la lata en un giro completo? ¿Cuál de los extremos de un vaso recorre mayor distancia al girar? ¿Cuál gira con mayor velocidad lineal? ¿Depende la velocidad lineal del radio de giro de la lata y del vaso? Cuando un objeto se mueve en una trayectoria circular con velocidad constante decimos que su movimiento es circular uniforme. La Luna, por ejemplo, sigue este tipo de movimiento al girar alrededor de la Tierra. Tú puedes lograr este tipo de movimiento al hacer girar una pelota de goma que está atada al extremo de una cuerda. En este tipo de movimiento, la magnitud de la velocidad permanece constante pero su dirección cambia continuamente. Puesto que la velocidad es un vector que apunta en la dirección del movimiento de partícula, o sea en la dirección tangente a su trayectoria, y la dirección de la velocidad cambia, en este movimiento hay aceleración, a pesar de que la magnitud de la velocidad sea constante. Durante un intervalo de tiempo Dt una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme se mueve del punto A al punto B que se muestra en la figura, siguiendo la trayectoria descrita por un arco de circunferencia que subtiende el ángulo Dq. El cambio en el vector velocidad en ese intervalo de tiempo es Dv que, como puede verse en la figura, es un vector que apunta hacia el centro de la circunferencia sobre la dirección de su radio de la misma. La dirección de la aceleración es la misma que la del vector Dv y por ello la aceleración en este movimiento se llama aceleración centrípeta. La magnitud de la aceleración centrípeta está dada por


en la que v es la magnitud de la velocidad y r es el radio de la circunferencia que describe la partícula en su movimiento. Nótese que el vector velocidad y el vector aceleración en este movimiento son perpendiculares uno al otro. En muchas ocasiones es más sencillo describir el movimiento circular uniforme en términos del número de vueltas que da el objeto por unidad de tiempo. A esta cantidad se le denomina frecuencia y la denotaremos por w. Llamaremos período, T, al tiempo que tarda el objeto en dar una vuelta completa a la circunferencia. Dadas estas definiciones, el período y la frecuencia están relacionadas como y la velocidad lineal a la que viaja el objeto al dar una vuelta completa sobre una circunferencia de radio r es

puesto que la distancia que recorre el objeto es justamente el perímetro de la circunferencia. ¿Cómo responderías ahora a las preguntas planteadas al principio de esta sección? Una característica que distingue a este tipo de movimientos es que el ángulo que recorre una partícula por unidad de tiempo es constante, por lo que decimos que su velocidad angular es constante. Los cuerpos rígidos también pueden tener un movimiento de rotación. Es el caso de las aspas de un ventilador o de alguna pieza de maquinaria. Para especificar qué tanto ha rotado un cuerpo basta dar el ángulo que ha girado sobre su eje, es decir, el ángulo mide el desplazamiento angular. En lugar de medir el ángulo en grados conviene medirlo en radianes. Los radianes se definen mediante la ecuación en la que s es el arco de circunferencia barrido por el ángulo θ y r es el radio de la circunferencia, como se muestra en la figura. Con esta definición es fácil darse cuenta de que el factor de conversión entre los grados y los radianes está dado por 360 º = 2π radianes.

Física

65

FIGURA 2.4

A la razón media de cambio del desplazamiento angular en el tiempo se le conoce como velocidad angular:

y, aunque puede medirse utilizando grados o revoluciones por segundo, la unidad más conveniente para la velocidad angular es el radián por segundo, o rad/s. El movimiento de rotación puede ser uniforme, con velocidad angular constante, o puede ser acelerado en el caso en que la velocidad varíe. En el caso del movimiento acelerado, es necesario definir la aceleración angular media como la variación de la velocidad angular con el tiempo; así, tenemos que Una forma más conveniente de expresar la aceleración angular es la ecuación: Si comparamos esta ecuación con la ecuación para la aceleración en el movimiento uniformemente acelerado, nos damos cuenta de que estas relaciones son muy similares: basta cambiar la aceleración y la velocidad en la fórmula para el movimiento uniformemente acelerado por la velocidad angular y la aceleración angular en el movimiento de rotación con velocidad variable y obtenemos el mismo resultado. Utilizando los mismos procedimientos que se usaron para obtener las relaciones entre las diferentes variables que necesitamos para estudiar el movimiento uniformemente acelerado, podemos concluir que en el caso del movimiento circular uniformemente variado, es decir, con aceleración angular constante, las relaciones entre las variables que nos permiten hacer un estudio del movimiento son, además de las anteriores,

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Es importante notar que al aplicar estas relaciones hay que tener cuidado con las unidades y con la elección de la dirección para usarlas en forma consistente. ¿Cuál es la relación entre la velocidad lineal que estudiamos anteriormente y la velocidad angular que acabamos de introducir? Si definimos el eje de rotación de un cuerpo en movimiento circular o de rotación como el centro de la circunferencia que describe el objeto o las partículas que componen al objeto en su movimiento, por experiencia sabemos que entre más alejada esté una partícula del eje de rotación su velocidad lineal será mayor. La partícula que gira recorre un arco de circunferencia s en un tiempo dado t. El arco de circunferencia está dado por de manera que la velocidad lineal estará dada por

como la velocidad angular se define como w=θ/t, sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior encontramos que

Física

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Movimiento armónico simple Un tipo de movimiento que se encuentra con frecuencia en la naturaleza es el movimiento oscilatorio o periódico. Algunos ejemplos de fenómenos en los que se presenta este tipo de movimiento son: el latido del corazón; la periodicidad de las estaciones; el péndulo de un reloj; las vibraciones de los átomos; y, según ciertas teorías cosmológicas, también nuestro universo sigue un movimiento oscilatorio. El movimiento oscilatorio más sencillo es el movimiento armónico simple. Un péndulo, por ejemplo, sigue este tipo de movimiento. Para que te familiarices con este movimiento haz el siguiente experimento: cuelga un hilo del techo y amarra en su extremo un objeto pesado. Ahora mueve ligeramente el objeto sacándolo de su posición de equilibrio. ¿Qué sucede? ¿Cómo se mueve el objeto? Como habrás observado el objeto empieza a oscilar de un lado a otro. El movimiento armónico se puede estudiar descomponiéndolo en sus componentes como en el caso del tiro parabólico. La componente horizontal de la posición de un objeto en este tipo de movimiento esta dada por la coordenada x que es función del tiempo t:

x = A cos (ωt + φ) en la que x representa la distancia del objeto al punto de equilibrio y se le conoce con el nombre de elongación. Cuando el objeto oscila, x varía de manera senoidal en función del tiempo entre x = A y x = A. Esta cantidad se denomina amplitud del movimiento. La variación de x está representada por la curva seno o coseno. La variable ω representa la frecuencia angular y su valor depende del ritmo de oscilación; por otra parte f se conoce como la constante de fase. La expresión (ωt + φ) representa la fase. Una característica de cualquier movimiento oscilatorio, y por lo tanto también del movimiento armónico simple, es que el mismo movimiento se repite después de un intervalo de tiempo conocido como período T. Esto es, en el intervalo de tiempo T el objeto realiza un ciclo completo de movimiento. Por lo tanto, después de un ciclo completo la fase (ωt + φ) se incrementa en 2π radianes y el tiempo se incrementa en T, lo que se representa en la expresión siguiente:

(ωt + T) + φ = (˘t + φ) + 2π 68


y simplificando obtenemos ωT = 2π ó T = 2π/ω Observamos así que el período T es inversamente proporcional a la frecuencia angular ˘. Esto quiere decir que a mayor frecuencia angular corresponde un menor período y, entonces, el objeto completa un ciclo más rápidamente. La componente horizontal de la velocidad en el movimiento armónico simple está dada por Vx = - ω A sin (ωt + φ) y la aceleración mediante ax = - ω2 A cos (ωt + φ) Si ahora tomamos en cuenta que x = A cos (ωt + φ), tenemos que para un objeto en movimiento armónico simple ax

= ω2x.

El movimiento periódico de un péndulo ha sido desde hace tiempo utilizado para regular el mecanismo que mueve las manecillas de los relojes conocidos prescisamente como relojes de péndulo. Para desplazamientos pequeños, el movimiento de un péndulo simple sigue las reglas del movimiento armónico simple.

FIGURA 2.5

En el caso de un péndulo de longitud L, su aceleración se calcula con la ecuación siguiente: ax = - (g/L) x . Si comparamos esta ecuación con la vista anteriormente, nos damos cuenta de

Física

69

que para un péndulo • = √g/L . El período de un péndulo está dado por

por lo cual, sólo depende de su longitud.

Para oscilaciones de amplitud pequeña, el período de oscilación es independiente de la amplitud A. En péndulos de longitud diferente, los períodos son proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes T1 / √L1 = T2

/ √L2 .

3. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Si un chita mantiene una rapidez constante de 25 m/s, recorrerá 25 metros cada segundo. ¿Qué distancia recorrerá en 10 segundos? ¿Y en 1 minuto? Los siguientes son los datos del problema: v = 25 m/s t = 10 seg t = 60 seg Consideremos la fórmula v = d/t; si despejamos la d obtenemos d = v x t; al sustituir los datos se tiene d = 25 m/s x 10 s = 250 m y d = 25 m/s x 60 s = 1,500 m Obtenemos así que el chita recorre 250 m en 10 segundos y 1,500 m en 1 minuto. 2. Un automóvil se mueve en dirección sur-este con una velocidad de 6 m/s y experimenta una aceleración de 3.5 m/s2 durante 15 segundos. Calcular el desplazamiento y la velocidad del automóvil en este lapso. Los datos del problema son los siguientes:

70


vi = 6 m/s a = 3.5 m/ s2 t = 15 s Para calcular el desplazamiento d, usamos la fórmula d = vi t + at2/2 y obtenemos entonces que: d = 6 m/s x 15 s + 3.5 m/s2 (15 s)2 / 2 = 90m + 393,75m = 483.75 m Para calcular la velocidad final, vf , usamos la fórmula vf = vi + at y obtenemos: vf = 6 m/s +3.5 m/s2 (15 s) = 6m/s + 52.5m/s = 58.5m/s 3. Un niño deja caer una pelota desde una ventana que está a 60 m de altura sobre el suelo. ¿Qué tiempo tarda la pelota en llegar al suelo y conque velocidad choca? Los datos del problema son: vi = 0 d = 60 m g = 9.8 m/s2 Para calcular el tiempo t, usamos la fórmula t = √ 2h/g . Obtenemos entonces t = √ 2 (60 m ) / 9.8 m / s2 = 3.5 s Para calcular la velocidad con la que la pelota choca contra el suelo, esto es, su velocidad final vf , usamos la fórmula Vf = gt . Tenemos así: Vf = 9.8 m / s2 x 3.5 s = 34.3 m/s 4. Si un salmón nada en línea recta hacia arriba dentro del agua, lo suficientemente aprisa como para atravesar la superficie con una velocidad de 5 m/s, ¿hasta qué altura puede saltar fuera del agua? Aplicando la fórmula hmax = vi2 / 2g se obtiene:

hmax = (5 m/s)2 / 2 ( 9.8 m/s2 ) = 1.27 m

Por lo tanto, el salmón salta hasta 1.27 m por encima de la superficie del agua. 5. Se lanza una piedra horizontalmente a una distancia de 20 m desde lo alto de una torre de 4.9 m ¿Cuál es la velocidad con Física

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que es lanzada la piedra? La piedra se arroja en sentido horizontal y con la fórmula v = d/t se puede calcular la velocidad. No se conoce el tiempo pero lo podemos calcular considerando que cae libremente durante 1 segundo. De esta manera el tiempo de vuelo es 1 s y la piedra recorre 20 m en un segundo (v = 20 m/s). 6. ¿Cuál es la velocidad y cuál es la aceleración centrípeta de una pelota de goma de 130 g de masa que está atada a una cuerda y gira uniformemente sobre una circunferencia de radio 50 cm si da 2 vueltas en un segundo? La velocidad de la pelota se puede encontrar calculando el perímetro de la circunferencia y dividiendo entre el período:

Para calcular la aceleración centrípeta sustituimos este resultado en la relación

7. Una piedra de 200 g se amarra al extremo de una cuerda y se hace girar en una circunferencia horizontal de 1m de radio. Si la piedra da tres vueltas completas por segundo, determinar su velocidad lineal y su aceleración centrípeta. Si la piedra da tres vueltas por segundo, el período del movimiento es de 1/3 s y la velocidad lineal será

mientras que su aceleración centrípeta es

8. La rueda de una maquinaria rota inicialmente a 8rad/s; para realizar un trabajo pesado se le imprime una aceleración de 2rad/s2 ¿Cuál será su velocidad angular final? ¿Cuántas revoluciones habrá girado al cabo de 3 s? ¿Cuánto se ha desplazado en ese tiempo? Conviene, en primer lugar, encontrar el desplazamiento angular utilizando la relación 72


Sustituyendo en esta ecuación los datos del problema tenemos que

0= 24rad+9rad = 33rad

El desplazamiento angular es de 33 rad. Puesto que una revolución es igual a 2π radianes, tenemos que la cantidad de revoluciones que ha hecho la rueda en ese tiempo es de θ=(33rad)/2π rad=16.5 revoluciones Por último, la velocidad angular final la podemos calcular utilizando la relación

= 8rad/s+(2rad/s2)(3s) = 14 rad/s 9. Un eje de tracción gira con una velocidad angular de 80 rad/s; se desea que su velocidad lineal sea de 40 m/s y para ello se le pondrán unos contrapesos. ¿A qué distancia del eje de rotación deben colocarse los contrapesos para lograrlo? Tomando como punto de partida la relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal para el eje, tenemos que despejando el radio nos queda que y sustituyendo los datos encontramos

Es decir, los contrapesos deben colocarse a una distancia de 50 cm del eje de rotación del eje de tracción. 10. Determine el período de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40 cm. El único dato que tenemos es la longitud del péndulo. Para determinar su período usaremos la fórmula T = 2π√ L/g . Sustituyendo los valores para las variables que intervienen, obtenemos T = 2 x 3.14 √ 0.4 / 9.8 m/s2, esto es, T = 1.27 s. Recordemos que la frecuencia F es inversa al período, esto es, F = 1 / T . Por lo tanto, F = 1 / 1.27 s . Esto es, el péndulo oscila con una frecuencia de 0.79 oscilaciones por segundo. EXPERIMENTO: aceleración centrípeta Materiales necesarios: Una esfera de caucho 1.2 metros de hilo cáñamo arandelas (rondanas metálicas) de N (10 gf) Física

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Una pesa de 0.49 N (50 gf). Un tubo de vidrio, metal o plástico Una balanza Un cronómetro Una regla graduada de 0.3 m Plastilina Un centrifugador con accesorios Un disco horizontal giratorio Masking tape Equipo “Sisteduk” de mecánica

4. PRÁCTICA

Experimento 1 A) Arme el dispositivo de la figura, colocando en el porta-arandelas cuatro arandelas.

FIGURA 2.6

B) Gire la esfera en un plano horizontal por arriba de su cabeza. Procure que el giro sea uniforme: la uniformidad en el giro se tendrá cuando las arandelas sobre el porta-arandelas no se desplacen hacia arriba ni hacia abajo. C ) Cuando logre que la esfera tenga un movimiento circular uniforme, mida el tiempo en que la esfera da diez vueltas. Después tubo de la décima vuelta, coloque un dedo en el tubo, dese caucho por donde sale la cuerda, con el fin deesfera que no mueva esta última y pueda medir el radio de la trayectoria de la esfera. Mida el radio y regístrelo en la tabla 1. arandelas D) Calcule el período, la frecuencia, la velocidad lineal y la magnitud de la aceleración centrípeta y registre los valores en la tabla 1.

74


Número de Arandelas

E) Repita el experimento agregando hasta siete arandelas al porta-arandelas. Haga las mediciones y los cálculos correspondientes y regístrelos en la tabla 1. Responda las siguientes preguntas de acuerdo a la información obtenida: Cuando la rapidez angular Velocidad de la esfera es consPeríodos Frecuencia Lineal de caucho Aceleración tante, ¿qué forma tiene la trayectoria? ¿Qué sucede con la Hz. m/s Centrípeta trayectoria si la rapidez angular no es constante? ¿Qué cantidad física es responsable de la forma de la trayectoria de la esfera de caucho cuando gira con rapidez angular constante? Si se reduce el radio de la trayectoria de la esfera, pero se conserva constante la velocidad lineal ¿qué ocurre con la aceleración centrípeta? Experimento 2 Coloque dos esferas de plastilina iguales sobre el disco horizontal giratorio, como se muestra en la figura 3.

FIGURA 2.7

Haga girar el disco, aumentando la rapidez angular poco a poco. Responda las preguntas siguientes: ¿Cómo son la frecuencia y la rapidez angular instantáneas de las esferas, interna y externa? ¿Cómo es la magnitud de la rapidez tangencial de la esfera Física

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externa respecto a la interna? ¿Cómo son las magnitudes de la aceleración centrípeta de la esfera interna y la de la externa? Experimento 3 A) Arme el circuito que se muestra en la figura.

FIGURA 2.8

B) Verifique que la relación de vueltas del motor reductor esté en 6:1; si este no es el caso, gire el arillo rojo del motor, saque el engrane que está colocado, cámbielo por el del tamaño Sensor y vuelva a asegurarlo con el arillo rojo. adecuado, Disco C) Active el motor bajando el interruptor correspondiente y asegúrese de que el movimiento del disco sea uniforme. Motor D) Coloque el obturador sobre el disco en la marca O y acérquelo al sensor, sin taparlo. E) Coloque el indicador mecánico de vueltas en 9 y arranque el motor de nuevo. Suspenda la alimentación del motor cuando Banda el indicador luminoso de vueltas esté en nueve. Fuente F) Cuando el indicador de tiempo registre el intervalo de nueve vueltas, calcule el período y la frecuencia del movimiento. G) Repita los incisos D, E y F tres veces, calcule y registre el período y la frecuencia en cada ocasión. Obtenga el promedio de los períodos y el de las frecuencias. Regístrelos. Calcule la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta. 76


Experimento 4 El profesor le invitará a observar cómo funciona una máquina “centrifugadora“ en su mesa de trabajo. Describa en un breve párrafo lo que observó. Responda las siguientes preguntas: La máquina «centrifugadora» tiene dos poleas. Cuando giran con rapidez angular constante, ¿cómo es el periodo de la polea pequeña respecto a la grande? En el dispositivo de dos aros, que aparentan una esfera, ¿en qué puntos es mayor la rapidez tangencial? Al girar el dispositivo de vidrio en forma de copa, ¿qué partículas de agua tienen mayor rapidez angular? ¿Cuáles tienen mayor velocidad lineal? EXPERIMENTO: Péndulo Material y equipo empleados: Un cronómetro Un soporte con varilla de 1 m de longitud Un doble-nuez con varilla de 20x10-2 m Dos tramos de hilo de 100x10-2 m y 0.7 m Dos esferas de acero de masa diferente con armella Una regla graduada de 1 m Desarrollo de la práctica: Experimento 1. Análisis del péndulo simple A – Arma el péndulo simple como se ve en la figura:

FIGURA 2.9

Considera que la longitud del péndulo es de 1 m. Física

77

B – Haz oscilar el péndulo con una amplitud de 0.1 m, midiendo el tiempo de 10 oscilaciones. Calcula el período T, y la frecuencia, f, y anótalos en la tabla que viene a continuación. C – Calcula la velocidad y la aceleración del cuerpo para los puntos 1, 2 y 3 de la figura de arriba y anótalos en la tabla. D – Calcula el valor de g para el lugar del experimento despejándolo de la fórmula del período y regístralo en la tabla.

Experimento 2. El período de un péndulo depende de su longitud Repite el experimento 1 reduciendo la longitud del péndulo a 0.5 m. Haz los registros correspondientes. Experimento 3. El período de un péndulo no depende de su masa Repite el experimento 1 reduciendo la masa de la esfera. Haz los registros correspondientes.

EXP

El estudio de la cinemática nos permite conocer y predecir en qué lugar se encontrará un cuerpo, qué velocidad tendrá al cabo de cierto tiempo, o bien, en qué lapso llegará a su destino. La descripción del movimiento de cualquier objeto siempre debe

L

A

m

m

T

F

v1

v2

v3

a1

s

s

m/s

m/s

m/s

m/s

1

a2

2

m/s

a3

2

m/s

g

2

m/s2

1 2 3

hacerse en relación a un marco de referencia. El movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento rectilíneo uniformemente variado solo se limitan a una dimensión (a lo largo de una recta). El desplazamiento es el cambio de posición del objeto, la velocidad y la rapidez generalmente se usan como sinónimos

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5. SÍNTESIS

de manera equivocada; la rapidez es una cantidad escalar que únicamente indica la magnitud de la velocidad, y la velocidad es una magnitud vectorial y se define como la razón de cambio de la posición. La velocidad media durante determinado intervalo de tiempo se define como el desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo. La aceleración se define como la razón de cambio de la velocidad o sea la variación de la velocidad de un móvil en cada unidad de tiempo. Un objeto se acelera cuando su rapidez aumenta, cuando su rapidez disminuye o cuando su dirección cambia. Si un objeto se mueve en una recta con aceleración constante, su movimiento es uniformemente acelerado. El movimiento circular puede dividirse para su estudio en movimiento circular uniforme y circular uniformemente variado. De la misma manera que el movimiento rectilíneo, el nombre lo recibe de la trayectoria que sigue la partícula y de cómo es la velocidad angular para cada movimiento. En el primero la velocidad angular es constante y en el segundo varía uniformemente con el transcurso del tiempo, dando lugar a una aceleración angular, que puede ser positiva o negativa. Las características cinemáticas fundamentales del movimiento circular uniforme son: • la trayectoria es circular, debido a la variación continua en la dirección de la velocidad tangencial y a que ésta tiene magnitud constante • la velocidad angular es constante El radio vector que se usa para describir el movimiento, es la recta imaginaria que une cualquier posición de la partícula sobre su trayectoria con el centro de la misma. El desplazamiento angular es una cantidad vectorial que nos indica cuánto ha girado el radio vector de una posición inicial a una final;

el ángulo se puede medir en grados, pero es más conveniente utilizar la unidad del S.I. que es el radián (rad). La relación entre ambos es: rad. La velocidad angular es la razón de cambio del desplazamiento angular con el intervalo de tiempo en que se efectúa. Es una cantidad vectorial cuya magnitud es: Física

79

y tiene una dirección perpendicular al plano que contiene al radio vector. Su unidad en el S.I. es el rad/s. A su módulo se le conoce también como rapidez angular. La velocidad tangencial es una cantidad vectorial perpendicular al radio vector cuya magnitud se puede obtener con la expresión: y cuya dirección es tangente a la circunferencia en cada punto de la trayectoria. El período T es el tiempo que tarda una partícula en movimiento rectilíneo uniforme en dar una vuelta completa. La frecuencia es el número de vueltas que la partícula da en la unidad de tiempo. Se denota por f y su unidad el ciclo por segundo o el Hertz (Hz). Por la forma en que está definida resulta ser la inversa del período y viceversa, de modo que matemáticamente f=1/T. La aceleración centrípeta es una cantidad vectorial cuyo módulo se puede calcular con la expresión y cuya dirección es contraria a la del radio vector, es decir, apunta hacia el centro de la circunferencia.

Trenes y vías ¿Qué ocurre cuando un tren pasa por una curva? ¿Cómo deben diseñarse las ruedas y las vías? Podemos pensar que la curva es circular; en este caso la vía exterior debe ser más larga que la interior. Las ruedas exteriores del tren tienen que viajar más aprisa que las interiores. Cuando un tren da la vuelta tiene una tendencia a mantenerse viajando en línea recta que puede hacerlo descarrilar. Para contrarrestar este efecto las ruedas del tren se diseñan de manera que sean ligeramente cónicas; así, cuando el tren toma una curva hacia la izquierda, la zona de mayor diámetro de las ruedas del lado derecho se apoya sobre la vía derecha y la zona de diámetro menor de la rueda izquierda se apoya sobre la vía izquierda. Recordemos que las ruedas están unidas por un eje, por lo que rotan a la misma velocidad angular, pero por su diseño, la rueda 80


derecha tiene una velocidad lineal mayor que la rueda izquierda y eso es lo que hace posible que el tren pueda tomar la curva sin descarrilar.

6. LECTURAS

Galileo Galilei El primer gran descubrimiento de Galileo ocurrió en el año de 1581 cuando tenía 17 años. Se sabe que cuando asistía a una misa celebrada en la catedral de Pisa, su ciudad natal, observó cómo la lámpara suspendida en el techo, debido a las corrientes de aire, se balanceaba. En su movimiento de vaivén, que en ocasiones era corto y en otras describía arcos más grandes, Galileo observo que aparentemente la lámpara tardaba el mismo tiempo en efectuar una oscilación, fuese grande o pequeña. Al regresar a su casa reprodujo el fenómeno utilizando bolas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes y descubrió que cualquiera que fuese la magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bola requería el mismo tiempo para completar un viaje de ida y vuelta. Únicamente la longitud del hilo afectaba el tiempo de la oscilación. Con estas observaciones Galileo había descubierto el principio del péndulo.

7. AUTOEVALUACIÓN 1.- En un movimiento rectilíneo uniforme, la pendiente de la recta en la gráfica distancia contra tiempo, ¿qué nos representa?________________ 2.- Cuando se recorren desplazamientos iguales en tiempos iguales se dice que el movimiento es _____________________ 3.- En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante en _________________,_________________y sentido. 4.- La rapidez es una magnitud________________. 5.- Unidades de la velocidad en el SI ________________. 6.- En la gráfica velocidad contra tiempo de un movimiento rectilíneo uniformemente variado, el área bajo la recta representa A).- La velocidad final Física

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B).- La aceleración C).- El desplazamiento D).- El tiempo transcurrido 7.- Cuando un móvil presenta variaciones en la velocidad se obtiene A).- Una velocidad B).- Un desplazamiento C).- Una aceleración D).- La rapidez instantánea 8.- En un movimiento rectilíneo uniformemente variado, al considerar intervalos de tiempo iguales, las distancias recorridas por una partícula son: A).- Cada vez son mayores o menores B).- Iguales C).- Cada vez son más pequeñas D).-No hay respuesta 9.- El cambio de velocidad con respecto al tiempo representa: A).- La velocidad B).- La aceleración C).- La rapidez D).- La velocidad angular 10.- Si a una partícula con movimiento rectilíneo uniformemente variado se le aplica una aceleración de sentido contrario a su movimiento, la velocidad comenzará a: A).- Disminuir B).- Aumentar C).- Variar D).- Se detiene 11.- Investigador italiano que comprobó que dos cuerpos con diferente peso caen con la misma rapidez A) Aristóteles B) Arquímedes C) Platón

D) Galileo

12.- Trayectoria descrita por un cuerpo en caída libre A) Circular B) Recta C) Parábola D) Semiparábola

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13.- Cuando un cuerpo cae libremente, su rapidez aumenta uniformemente respecto al tiempo, por ser afectado por: A) Su velocidad inicial B) Su desplazamiento C) La gravedad D) La masa 14.- El valor de la aceleración de la gravedad se considera A) 9.78 m/s2 B) 9.81 m/s2 2 C) 9.79 m/s D) 9.98 m/s2 15.- Unidades de la aceleración de la gravedad en el sistema internacional de medidas A) m/s B) cm /s C) m/s2 D) cm /s2 16. - A las proyecciones de un vector en el eje X y en el eje Y de un plano cartesiano se les llama_________________. 17. – La cinemática estudia las leyes del movimiento de los cuerpos en condiciones ideales, sin considerar la__________ ________que origina dicho movimiento. 18. – A la distancia que recorre el proyectil en un tiro parabólico se le llama____________________________. 19. – El movimiento rectilíneo uniformemente variado se encuentra sobre el eje vertical en el movimiento parabólico porque la única aceleración que actúa sobre dicho movimiento es la debida a la _____________________. 20. – La altura máxima en el movimiento parabólico se obtiene cuando transcurre un tiempo igual al que tarda en___ ______________. 21. – ¿Cambia la rapidez si la resistencia del aire es un factor significativo? 22. – Si lanzas una pelota de beisbol a 20 m/s hacia tu amigo que está en primera base, indica si la velocidad será igual, mayor o menor en el momento de atraparla, sin tomar en cuenta la resistencia del aire. 23. – Un cuerpo se mantiene en movimiento circular debido a una fuerza llamada _________________________.

Física

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24. – Las unidades de la velocidad angular en el sistema internacional son _______________________________. 25. - ¿Qué es un radián?_________________________. 26. – El _____________________de una partícula es el tiempo que tarda en completar una vuelta. 27. – Las unidades del desplazamiento angular son: vueltas, grados y _____________. 28. – ¿Cuál es la expresión para determinar el periodo de un péndulo simple?_______________________. 29. – ¿De qué depende el período de un vibrador armónico simple?_______________________________. 30. – Es el ángulo central al que corresponde un arco de longitud igual al radio______________________. 31. – La distancia de una partícula a su punto de equilibrio se llama _______________________________. 32. – Es la máxima elongación cuyo valor será igual al radio de la circunferencia ____________________. 33.- ¿Qué significa que un cuerpo esté en caída libre? 34.- Para un objeto que cae libremente desde una posición de reposo, ¿cuál es la velocidad al cabo del quinto segundo de caída? 35.- Para un objeto que cae libremente desde una posición de reposo, ¿cuál es la aceleración al cabo del quinto segundo de caída? ¿Del sexto segundo? ¿Al cabo de cualquier tiempo t transcurrido? 36.- Al lanzar un cuerpo en tiro vertical, la velocidad vertical a máxima altura es _______________. 37.- ¿A qué tipo de movimiento corresponde un tiro vertical?_ ________________________________. 38.- La aceleración debida a la gravedad tiene un valor prome84


dio aproximado de ________________. 39.- Escribe la expresión matemática de la altura máxima que puede alcanzar un tiro vertical:________. 40.- Explica qué sucede después de que un cuerpo alcanza su altura máxima: ___________________. PROBLEMAS 1. Determinar el tiempo en horas de un ciclista que efectúa un desplazamiento de 5 km, llevando una velocidad media de 30 m/s. 2. Calcular la distancia que recorrerá una pelota de golf durante 8 segundos, si lleva una velocidad media de 144 km/h. 3. Dos trenes parten de una misma estación. El tren “A” sale una hora antes que el tren “B”. El tren “A” parte con una velocidad de 70 km/h y el tren”B” con una velocidad de 90 km/h. Si ambos tienen la misma dirección y sentido ¿En qué tiempo el tren “B” alcanzará al tren “A”? ¿ A qué distancia de la estación ocurrirá el alcance? 4. Si un avión disminuye uniformemente su velocidad de 960 km /h a 750 km /h durante 30 minutos, ¿cuál será su aceleración? 5. Un ferrocarril parte del reposo y experimenta una aceleración de 1.2 m/s2 durante 1.2 minutos. Determinar la distancia que recorre y la velocidad que lleva. 6.- Un avión lleva una velocidad de 110 km/h al norte en el momento que inicia su aterrizaje, y ha recorrido 1.3 km antes de detenerse. Si la aceleración es constante determinar: a) la aceleración b) el tiempo que emplea para detenerse c) la distancia que recorre a los 7 segundos de haber inicia-

Física

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do su aterrizaje 7. Un autobús se mueve inicialmente con una rapidez de 40 m/s; después de transcurridos 25 segundos su rapidez es de 70 m/s. Calcular la aceleración y la distancia recorrida en este tiempo. 8.- Calcular la velocidad que lleva un ciclista a los tres segundos de recorrido, si baja por una pendiente adquiriendo una aceleración de 2.1 m/s2, partiendo con una velocidad de 3 m/s. 9.- Se deja caer una piedra a un pozo y tarda en tocar el agua 3 segundos. Calcular: La profundidad del pozo y la velocidad con que la piedra toca el agua. 10.- Se lanza un balón hacia abajo con una velocidad de 14 m/s. Calcular la altura que desciende adurante primer segundo y durante 2 segundos. 11.- Una maceta cae desde la azotea de un edificio que tiene 15 m de altura. Calcular el tiempo que tarda en caer y la velocidad con que chocará con el suelo. 12.- Calcular la altura de un edificio del cual se deja caer un objeto desde lo alto y tarda en llegar al suelo 4 segundos. 13.- Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Calcular: a).- La aceleración b).- La velocidad después de haber recorrido 100 m c).- El tiempo necesario para alcanzar una velocidad de 25 m/s 14.-Un muchacho lanza verticalmente un balón al aire y alcanza una altura de 20 m. Calcular: a) El tiempo que debe esperar para tomarlo de nuevo b) La velocidad inicial del balón c) La velocidad con que lo toma de nuevo 15.- Un saltamontes salta como si fuera un tiro vertical y llega a una altura con respecto al suelo de 0.85 m. Calcular: a) La velocidad con la que saltó b) El tiempo en que alcanza la altura máxima 16.- Una bala se dispara en tiro vertical con una velocidad de 86


196 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a su altura máxima? ¿Cuál es esa altura? 17.- La velocidad de lanzamiento de un proyectil es 20 m/s a 53º arriba de la horizontal. ¿Cuál es la componente vertical de su velocidad en el momento del lanzamiento? ¿Cuál es la componente horizontal de su velocidad? ¿Cuál de estas componentes permanece constante durante el trayecto de vuelo? ¿Cuál determina el tiempo que el proyectil permanece en el aire? 18.- Un niño lanza una piedra con una honda directamente hacia un blanco que esta a una distancia tal que le toma medio segundo alcanzarlo. ¿A qué distancia bajo el blanco golpea la piedra? ¿A qué altura arriba del blanco deberá apuntar la honda? 19.- Un futbolista patea el balón con una velocidad de 34 m/s y un ángulo con respecto a la horizontal de 35º. Calcular: a) La velocidad en un punto de la trayectoria, en 2.3 segundos b) La duración del trayecto 20.- Una bala de un rifle tiene una salida de 305 m/s. Determine: a) El ángulo que debe formar el rifle con la horizontal para un alcance máximo b) El alcance máximo c) El tiempo de vuelo 21.- Una pelota se dispara con una velocidad de 200 m/s y con una inclinación de 45º. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y cual es la distancia recorrida? 22. – Una rueda gira a 90 rpm. Hallar la velocidad angular en un punto cualquiera de la misma y la velocidad lineal de un punto situado a 1 m de su centro. 23. – A un rueda girando con velocidad angular inicial de 25 rad/s se le aplica una aceleración angular de 5 rad/s2 durante 7 segundos. Calcular: a) El desplazamiento que tiene en ese tiempo b) La velocidad angular

Física

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24. – Un cuerpo recorre una circunferencia de 1.5 m de radio con una velocidad de 4 rps. Calcula la velocidad lineal y la aceleración centrípeta. 25.- Calcula la velocidad angular de una rueda de 25 cm de radio para que la velocidad lineal de un punto de su superficie sea de 400 m/min. Expresa el resultado en rpm y en rad/s. 26.- Un móvil con trayectoria circular recorre 870º ¿A cuántos radianes equivale? 27.- Determina el período y la frecuencia de oscilación de un péndulo si su longitud es de 50 cm. 28.- Un péndulo efectúa 90 oscilaciones en un minuto. Calcula el período y la frecuencia. 29.- En un experimento de laboratorio un estudiante recibe un cronómetro, una lenteja de madera y un trozo de cuerda. Se le pide que determine el valor de la aceleración de la gravedad (g). Si el estudiante construye un péndulo simple de 1 m de longitud y al medir el periodo, éste es de 2 s, ¿qué valor obtendrá para g? (Elevar al cuadrado la ecuación para despejar). 30.- Un cuerpo describe un movimiento armónico simple con un período de 3 s y un radio de 20 cm. Calcular: a) Su elongación a los 4 s b) Su velocidad máxima c) Su aceleración máxima

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Física

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Unidad 3 Estática

INTRODUCCIÓN Cierra los puños de tus manos y extiende los dedos índices; sobre ellos apoya una regla de plástico (de 30 cm aproximadamente) por sus extremos. Ahora coloca sobre la regla otro cuerpo, por ejemplo un prisma de madera o una moneda; sopórtala con tus dedos índices, aprecia la posición de los cuerpos y los apoyos. Puedes cambiar de posición los cuerpos y los apoyos. Reflexiona sobre lo que observas y anótalo. Para cada caso elabora un diagrama indicando las posiciones de los cuerpos involucrados. Toma una cuerda o lazo y con la ayuda de otro compañero, tiren de sus extremos en sentidos opuestos (como jugando a las vencidas). ¿Cómo se comportan los cuerpos involucrados si la fuerza que aplica tu compañero es mayor a la que tú aplicas? ¿Cómo se comportan los cuerpos si la fuerza que aplicas tú es mayor que la que aplica tu compañero? ¿Cómo se comportan los cuerpos si la fuerza que aplican los dos son iguales? ¿Cómo se comportarían los cuerpos involucrados si las exFísica

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periencias anteriores si se realizan sobre un barco que navega a velocidad constante? Trivia Siempre que cargamos un objeto pesado con una mano, como por ejemplo una cubeta llena de agua, ¿por qué tenemos la tendencia a estirar el brazo contrario hacia un costado? ¿Cuál es el objetivo de separar los pies y flexionar las rodillas para evitar ser derribado? ¿En dónde se localiza el centro de gravedad de las personas? ¿En dónde se encuentra el centro de gravedad de una dona? Imagina un plano inclinado; en él se encuentran dos copas de vidrio, una se encuentra vacía mientras que la otra tiene agua hasta el borde. ¿Cuál de las copas es inestable y está a punto de caer? ¿Por qué una persona se proyecta hacia delante cuando se detiene sorpresivamente un auto? Si dos personas con patines se encuentran sobre el hielo, se colocan de frente y dándose las manos y se empujan uno al otro, ¿qué es lo que ocurre? CONCEPTOS FUNDAMENTALES La estática es la parte de la mecánica que estudia los cuerpos en estado de equilibrio. Los conocimientos de la estática han hecho posible la construcción de puentes, diques, edificios, y toda clase de estructuras sujetas a grandes presiones, pesos, tensiones y torcas. Estado de equilibrio de un cuerpo rígido Basándote en tu experiencia, ¿cuándo dirías que un cuerpo está en equilibrio estático? ¿Qué caracteriza a un cuerpo en equilibrio estático? Lo que caracteriza a un cuerpo en equilibrio estático es el hecho de que si consideramos uno cualquiera de sus puntos, éste permanece en reposo con respecto a un sistema inercial de referencia. Por otro lado hay que recordar que la condición necesaria y suficiente para considerar que una partícula está en reposo es que el conjunto de fuerzas externas que actúan sobre ella tenga como resultante una fuerza igual a cero S F ext = 0. 92


Sin embargo, bajo la acción de las mismas fuerzas externas no todos los cuerpos se comportan de la misma manera. Hay cuerpos que se deforman o cambian de tamaño. Otros, conocidos como cuerpos rígidos, no sufren alteración alguna o cambian tan poco que podemos considerar que no se alteran. Lo que nos interesa aquí es estudiar esencialmente el comportamiento de los cuerpos rígidos. ¿Cómo caracterizarías un cuerpo rígido? Una característica fundamental de los cuerpos rígidos es que si consideramos cualquier par de puntos del cuerpo y la distancia entre ellos, esta no cambia cuando actúan fuerzas externas sobre el cuerpo. Un cuerpo al moversepuede trasladarse y/o rotar. Para que un cuerpo esté en equilibrio estático es necesario que no esté ni en traslación ni en rotación. Se dice que para que un cuerpo esté en equilibrio estático es necesario que esté en equilibrio traslacional y en equilibrio rotacional. ¿Qué caracteriza al equilibrio traslacional? Diremos que un cuerpo está en equilibrio traslacional cuando la aceleración de su centro de masa (acm) es igual a cero. Por otro lado, si Acm = 0 se tiene que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo también será igual a cero dado que macm = S Fext , donde m representa la masa del cuerpo en cuestión. Como decíamos, si bien el centro de masa de un cuerpo puede quedar en reposo, el cuerpo no necesariamente está en equilibrio estático, dado que puede estar rotando, esto es, cambiando de orientación o girando alrededor de su centro de masa. Un cuerpo que no rota está en equilibrio rotacional. ¿Qué caracteriza al equilibrio rotacional? Antes de contestar esta pregunta hay que introducir el concepto de torca o momento de una fuerza. Torca alrededor de un eje Cuando se habla de la rotación de un cuerpo es fundamental tomar en cuenta tanto el eje de rotación como el punto sobre el que actúa la fuerza que produce la rotación. Para medir la rotación se recurre al concepto de torca. La torca tiene que ver con la fuerza y con el eje de rotación, y es la que provoca que un objeto rote. Para definir la torca se considera una fuerza y el punto del cuerpo sobre el que se aplica esta fuerza. ¿Cuándo diremos entonces que un cuerpo está en equilibrio rotacional? Para que un cuerpo esté en equilibrio rotacional es necesario que la suma de las torcas externas sea igual a cero. Si denotamos con la letra griega τ (tau) a la torca, lo anterior se expresa Física

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matemáticamente como sigue: S τext = 0. Condiciones para un equilibrio estático Regresando finalmente a la pregunta inicial, diremos que para que un cuerpo esté en equilibrio estático es necesario que se cumplan al mismo tiempo las dos condiciones siguientes: Σ Fext = 0

y

Σ τext = 0.

• Estas dos se conocen como la primera (Σ Fext = 0) y la segunda (Σ τext = 0) condición de equilibrio Lo anterior es válido para un cuerpo rígido en el espacio. Pero, ¿cómo hay que interpretar estas condiciones cuando se consideran fuerzas coplanares? Cuando dos o más fuerzas yacen en un mismo plano xy, se les llama coplanares, como ya vimos en la Unidad I. La torca es un vector, que en general se calcula mediante una operación vectorial llamada producto cruz o producto vectorial, que aquí no estudiaremos. En caso de fuerzas coplanares el cálculo de la torca es más simple: se considera que la torca actúa sólo a lo largo del eje z, perpendicular al plano xy, en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario. Si todas las fuerzas son coplanares, todas sus torcas son paralelas, por lo que consideraremos sólamente su magnitud y su signo. Veamos cómo calcular las torcas para el caso de fuerzas coplanares. Elegimos un punto del cuerpo respecto al cual se calcularán todas las torcas. Este punto en realidad es un eje perpendicular al plano en el que yacen todas las fuerzas. La magnitud de la torca de una fuerza dada respecto a este punto se calcula multiplicando la magnitud de la fuerza por la distancia del punto a la línea de acción de la fuerza.

FIGURA 3.1

La magnitud de la torca es entonces t= Fd (nótese que la 94


distancia d es la distancia perpendicular del punto a la línea de acción de la fuerza). El signo de la torca está relacionado con la rotación que la fuerza en cuestión tiende a producir respecto al punto elegido: Si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, la torca es negativa Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, la torca es positiva

FIGURA 3.2

En la figura anterior, la torca es positiva. Para ejemplificar calcularemos los valores de las torcas de las cuatro fuerzas de la siguiente figura, respecto al punto indicado:

FIGURA 3.3

En la siguiente tabla ponemos los datos del problema anterior y algunas de las respuestas.

Física

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Termina tú de llenar la tabla

F

d

Rotación

Signo

TORCA

20 N

6m

-

- 120 Nm

8N

6m

+

48 Nm

10 N

0m

5N

10 m

Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio estático cuando se están considerando sólo fuerzas coplanares, es necesario que Σ Fx ext = 0, Σ Fy ext = 0 y Σ τz ext = 0. Existe un procedimiento de seis pasos que puede sernos de mucha utilidad cuando tenemos que resolver problemas simples de estática. Los pasos a seguir son los siguientes: 1. Haz un croquis de la situación en el que se muestre el cuerpo rígido en equilibrio estático. 2. Construye el diagrama de cuerpo libre dibujando todos los vectores correspondientes a las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido, indicando su magnitud, dirección y punto de aplicación. Alguna de estas cantidades será desconocida. 3. Elige un conjunto conveniente de ejes coordenados y descompón todas las fuerzas a lo largo de estos ejes. 4. Escoge un eje alrededor del cual se evaluará la torca. 5. Aplica las condiciones del equilibrio estático. 6. Resuelve las ecuaciones obtenidas.

Centro de masa y centro de gravedad Se considera que el centro de masa de un cuerpo es el punto en el que puede considerarse que está concentrada su masa, mientras que el centro de gravedad es un punto en el que puede considerarse que se aplica el peso total del cuerpo. ¿Es válido suponer que el peso de un cuerpo actúa sobre un solo punto? ¿Qué sucede con el peso del cuerpo completo? Un cuerpo se puede descomponer en partes. Cada parte tendrá su masa y su peso. ¿Cómo se calcula el peso de cada una de estas partes? Para ello se multiplica la masa mi de la parte 96


en cuestión por la aceleración de gravedad g. El peso total del cuerpo se obtendrá sumando el peso de cada una de las partes, F = Σ mi g = (Smi)g = mg , donde m representa la masa total del cuerpo. Vemos así que al sumar el peso de las partes obtenemos el peso total del cuerpo, lo que indica que el peso del cuerpo es independiente del punto al cual se aplica la fuerza que llamamos peso. Sin embargo, el punto de aplicación de cada fuerza cobra importancia fundamental cuando es necesario calcular la torca del cuerpo. Hay que señalar que el peso de cada parte en la que se descompuso el cuerpo ejerce cierta torca alrededor de algún eje. Para calcular la torca total del cuerpo debida a la fuerza de gravedad es necesario sumar las torcas de cada una de las partes. Por lo tanto, la torca de un cuerpo debida a la fuerza de gravedad depende de la distribución espacial de sus partes. Ahora podemos ampliar el concepto de centro de gravedad. Se trata del punto del cuerpo que sometido a la fuerza (peso del cuerpo) produce una torca igual a la que se obtiene al considerar la suma de las torcas de cada una de sus partes. ¿Existe alguna relación entre el centro de masa y el centro de gravedad? Cuando la aceleración de un cuerpo debida a la gravedad es igual para todas sus partes entonces el centro de gravedad y el centro de masa coinciden.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.-Encontrar la resultante del siguiente sistema de fuerzas, sabiendo que:

Sabemos que

Física

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Mag.[N]

Dir.[0]

Comp..X [N]

comp..Y [N]

200 300 300 150 200 100

270 225 300 60 135 0

(200)(cos2700) =0 (300)(cos2250) =-212.132 (300)(cos3000) =150.000 (150)(cos600) =75.000 (200)(cos1350) =-141.421 (100)(cos00) =100.000

(200)(sen2700) =-200.000 (300)(sen2250) =-212.132 (300)(sen3000) =-259.808 (150)(sen600) =129.904 (200)(sen1350) =141.421 (100)(sen00) =0

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2. El paquete de la figura tiene un peso de 10N. Dibuje el diagrama de cuerpo libre del paquete de la cuerda BD y del anillo en B

Figura 3.4

Figura 3.5

3. Encuentra la resultante del siguiente sistema de fuerzas concurrentes y coplanares por el método analítico del triángulo, sabiendo que: R = -F1 + F2 F1 =480N

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