Springer-Lehrbuch
Dietlinde Lau
Algebra und Diskrete Mathematik 1 Grundbegriffe der Mathematik, Algebraische Strukturen 1, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Numerische Algebra und Kombinatorik Dritte, korrigierte und erweiterte Auflage
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Prof. Dr. Dietlinde Lau Institut für Mathematik Universität Rostock Ulmenstraße 69, Haus 3 18057 Rostock Deutschland
[email protected] ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-19442-9 e-ISBN 978-3-642-19443-6 DOI 10.1007/978-3-642-19443-6 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 15-01, 51Nxx, 65Fxx
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Vorwort zur dritten Auflage
Die dritte Auflage stimmt bis einschließlich Kapitel 15 im wesentlichen mit der zweiten Auflage u ¨berein. Teil III wurde durch ein 20seitiges Kapitel u ¨ber Kombinatorik erg¨ anzt. Dadurch kam es auch zu Erg¨anzungen des Teils IV mit ¨ den Ubungsaufgaben. Zeitgleich erscheint beim Springer Verlag das ¨ Ubungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie ¨ in der zweiten Auflage, in dem die L¨ osungen der Ubungsaufgaben des vorliegenden Buches zu finden sind. Dank der Hinweise von Leserinnen und Lesern konnte die Zahl der Druckfehler weiter reduziert werden. Mein besonderer Dank gilt meinen Kollegen Dr. Walter Harnau, Prof. Achill Sch¨ urmann und den Diplommathematikern Matthias B¨ohm und Konrad Sperfeld, die daf¨ ur gesorgt haben, daß mein erster Entwurf f¨ ur das KombinatorikKapitel an einigen Stellen u ¨berarbeitet und Schreibfehler korrigiert wurden. Bedanken m¨ochte ich mich auch bei meinen Kolleginnen Susann Dittmer und Heike Schubert, die mir bei der technischen Herstellung des Manuskript (z.B. bei Problemen mit Latex) schnell und effektiv geholfen haben.
Rostock, im Januar 2011
Dietlinde Lau
Vorwort zur zweiten Auflage
Die zweite Auflage unterscheidet sich von der ersten durch die Korrektur der inzwischen gefundenen Druckfehler, einigen Umformulierungen sowie ¨ Erg¨anzungen zum Kapitel 1 und den Kapiteln des Teils IV, in dem die Ubungsaufgaben zu den Kapiteln I–III zu finden sind. Dem Wunsch einiger Leser folgend, habe ich in Erg¨anzung zum vorliegenden ¨ Buch ein Buch mit den L¨ osungen zu den Ubungsaufgaben aus Teil IV geschrieben, das zeitgleich mit der vorliegenden zweiten Auflage beim Springer-Verlag unter dem Titel ¨ Ubungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie erscheint. ¨ Sehr hilfreich beim Uberarbeiten der ersten Fassung des vorliegenden Buches waren die Hinweise von Herrn Prof. Dr. L. Berg (Rostock). Besonders dankbar bin ich Herrn Dr. W. Harnau (Dresden), der in den letzten Monaten das ¨ gesamte Buch durchgearbeitet hat und dessen Anderungsvorschl¨ age ich fast ¨ alle beim Uberarbeiten des Buches umgesetzt habe. Mein Dank gilt nat¨ urlich auch allen Lesern, die mir ihre Meinung zur ersten Auflage geschrieben haben und denen ich ebenfalls Hinweise auf Druckfehler ¨ und Anderungsvorschl¨ age verdanke.
Rostock, im Juni 2007
Dietlinde Lau
Vorwort zur ersten Auflage
Soll ich mich im allgemeinen Sinne ¨ uber P¨ adago” gik ¨ außern, so will ich folgende Betrachtung vorausschicken: Man kann das p¨ adagogische Problem mathematisch formulieren, indem man die individuellen Qualit¨ aten des Lehrers und seiner n Sch¨ uler als ebensoviele Unbekannte einf¨ uhrt und verlangt, eine Funktion von (n + 1) Variablen F (x0 , . . . , xn ) unter gegebenen Nebenbedingungen zu einem Maximum zu machen. Ließe sich dieses Problem eines Tages entsprechend den bisher realisierten Fortschritten der psychologischen Wissenschaft direkt mathematisch behandeln, so w¨ are die (praktische) P¨ adagogik von da ab eine Wissenschaft, — solange das aber nicht der Fall ist, muß sie als Kunst gelten.“ ¨ (F. Klein (1849 – 1926) in seinem Vortrag: Uber Auf” gabe und Methode des mathematischen Unterrichts an Universit¨ aten“)
Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die die Autorin f¨ ur Physik-, Mathematik- und insbesondere Informatikstudenten zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie bzw. im Rahmen eines Grundkurses Mathematik f¨ ur die Informatikstudenten an der Universit¨at Rostock gehalten hat. Eingedenk der Probleme, die insbesondere viele Studienanf¨anger mit dem Fach Mathematik als solches, der Umstellung von der Schulvermittlung des Fachs Mathematik zum (komprimierten) Vorlesungsstil an den Universit¨aten haben und wegen des Heranf¨ uhrens an die Beweistechniken der Mathematik, wird versucht, die wichtigsten Beweise sehr ausf¨ uhrlich darzustellen und sie durch Beispiele vor- und nachzubereiten. Wert wird außerdem darauf gelegt, Teile der Schulmathematik zu wiederholen und zu erg¨anzen. Anliegen des Buches ist es auch, diejenigen Teile des Vorlesungsstoffes, die aus Zeitgr¨ unden sehr kurz behandelt werden m¨ ussen, zu erg¨anzen.
X
Vorwort zur ersten Auflage
Besonders wichtige Teile (meist gewisse S¨ atze) der einzelnen Kapitel sind schattiert, und Teile, die beim ersten Lesen u ¨bergangen werden k¨onnen bzw. zu den zwar wichtigen, aber in Vorlesungen meist nicht angegebenen Teilen des hier vermittelten Stoffes geh¨ oren, sind im Kleindruck angegeben. Um m¨oglichst eng an der Vorlesungsvermittlung des Stoffes zu sein, sind Definitionen und S¨ atze unter Verwendung von (platzsparenden) Symbolen — meist aus der mathematischen Logik — formuliert, die eingangs des ersten Kapitels erl¨autert werden. F¨ ur besonders oft auftretende Begriffe werden außerdem — wie in der Vorlesung — Abk¨ urzungen1 eingef¨ uhrt. Es sei darauf verwiesen, daß einzelne Kapitel auch unabh¨angig von den anderen Kapiteln lesbar sind, so daß man nicht gezwungen ist, zum Verst¨andnis z.B. von Kapitel 3 die beiden vorherigen zu lesen. Die einzelnen Kapitel sind numeriert und sind wiederum in einzelne — mit einer neuen Z¨ahlung beginnende — Abschnitte untergliedert. S¨ atze und Lemmata aus Kapitel x, Abschnitt y, werden in der Form x.y.i fortlaufend numeriert. Das Ende eines Beweises wird durch kenntlich gemacht. ¨ steht f¨ ¨ Die Abk¨ urzung UA ur Ubungsaufgabe. Da sich bekanntlich das Verst¨andnis f¨ ur Mathematik u ¨ber das Bearbeiten von Aufgaben vertiefen l¨aßt, sind ¨ nicht nur im nachfolgenden Text eine Reihe von Ubungsaufgaben angegeben, sondern zu jedem der Kapitel 1 – 15 findet man in den Kapiteln 16 – 18 eine ¨ Zusammenstellung von Ubungsaufgaben, anhand der die Leser testen k¨onnen, ob sie den behandelten Stoff verstanden haben und ob sie ihn auch anwenden k¨onnen. Die Anzahl der Aufgaben ist so gew¨ ahlt, daß gen¨ ugend Aufgaben ¨ f¨ ur die zur Vorlesung geh¨ orenden w¨ ochentlichen Ubungen und Hausaufgaben sowie f¨ ur das Selbststudium vorhanden sind. Zum Inhalt: Kapitel 1 beginnt mit einer Zusammenstellung von mathematischen Begriffen (wie z.B. die Begriffe: Menge, Relation, Korrespondenz, Abbildung, Operation, Graph, ...), die in sp¨ ateren Kapiteln, aber auch in vielen hier nicht behandelten Gebieten der Mathematik zu den Grundbegriffen geh¨oren. Dem Anf¨anger wird erfahrungsgem¨ aß die Abstraktheit“ dieser Begriffe etwas ” zu schaffen machen, jedoch ist es — eine langj¨ahrige Erfahrung — nur eine ¨ Frage der Zeit und der Ubung, bis man sich daran gew¨ohnt hat bzw. man es lernt, den Nutzen dieser Begriffsbildungen zu erkennen. Den Lesern sei gerade ¨ f¨ ur dieses Kapitel die Bearbeitung der Ubungsaufgaben aus 16.1 empfohlen, um sich m¨oglichst schnell diesen Begriffsapparat u ¨ber die Anwendungen zu erschließen. Kapitel 2 f¨ uhrt kurz in die — f¨ ur die Entwicklung der Mathematik der letzten zwei Jahrhunderte sehr wichtige — Denkweise, n¨amlich der in algebraischen ” Strukturen“, ein. Behandelt werden einige Grundlagen aus der Theorie der 1
Eine Liste der verwendeten Symbole und Abk¨ urzungen sowie Hinweise, auf welcher Seite sie eingef¨ uhrt wurden, findet man ab S. 497.
Vorwort zur ersten Auflage
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Halbgruppen, Gruppen, Ringe, K¨orper, Verb¨ande und Booleschen Algebren. Sie dienen außerdem als erste Vorbereitung auf Methoden und Denkweisen in der Theoretischen Informatik. Eine Fortsetzung findet dieses Kapitel im Teil III von Band 2, wo u.a. auch weitere Eigenschaften von K¨orpern hergeleitet werden und Anwendungen der K¨ orpertheorie (z.B. in der Codierungstheorie) gezeigt werden. Der in den Kapiteln 3 – 11 behandelte Stoff wird allgemein zur sogenannten Linearen Algebra und analytischen Geometrie gerechnet und ist nach soviel Abstrakten“ in den ersten beiden Kapiteln eine Art Erholung“. Anwendun” ” gen dieser Teile der Mathematik sind entweder sofort oder leichter erkennbar. ¨ Da ein erster Schwerpunkt unserer Uberlegungen L¨osungsmethoden und L¨osbarkeitskriterien f¨ ur beliebige lineare Gleichungssysteme sind, werden im Kapitel 3 zun¨achst Hilfsmittel dazu — n¨ amlich die Determinanten und Matrizen — vorgestellt und ihre Eigenschaften ermittelt. Die anschließende Untersuchung der linearen Gleichungssysteme ist dann sehr einfach und — spart man einmal den rein numerischen Aspekt (wie Rundungsfehler u.¨a.) bei der Behandlung von Gleichungssystemen aus, mit denen wir uns sp¨ater befassen werden — f¨ ur die nachfolgenden Kapitel ausreichend behandelt. Es sei hier bereits darauf verwiesen, daß die Matrizen und Determinanten auch Anwendungen haben, die weit u ¨ber die hier behandelten hinausgehen. Mit den im Kapitel 4 eingef¨ uhrten Vektorraumbegriff wird einer der grundlegenden und Verbindungen schaffender Begriff aus der Algebra, Analysis, Geometrie und mathematischen Physik behandelt. So lassen sich z.B. die Anschauungsebene bzw. der Anschauungsraum, in denen man Geometrie betreiben kann, mit Hilfe des Vektorraumbegriffs einheitlich beschreiben und zu sogenannten affinen Punktr¨aumen verallgemeinern, was im Kapitel 5 gezeigt wird. Wir beginnen in diesem Abschnitt auch mit der Wiederholung geometrischer Grundaufgaben. Besonders wichtig und interessant sind Vektorr¨aume mit Skalarprodukt, die im Mittelpunkt des Kapitels 6 stehen. Auch hier soll die Leistungsf¨ ahigkeit der neuen Begriffen zun¨achst anhand von Anwendungen in der Geometrie — genauer bei der Behandlung der euklidischen und unit¨aren affinen Punktr¨aume — im Kapitel 7 erl¨autert werden. In Vorbereitung auf Kapitel 9 behandeln wir im Kapitel 8 die sogenannten Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen. Auch hier behandeln wir Begriffe und S¨ atze, die nicht nur in der Linearen Algebra eine Rolle spielen. Es sei hier schon angemerkt, daß f¨ ur das Verst¨andnis von Kapitel 9 nur die Aussagen u ¨ber die Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von symmetrische Matrizen aus Kapitel 8 ben¨otigt werden. Die Ergebnisse u ur beliebige Matrizen (u.a. die Jordansche Normalform) ¨ber Normalformen f¨ werden im Kapitel 10 verwendet. Im Kapitel 9 geht es u.a. um die Frage, welche geometrischen Objekte durch Gleichungen, in denen (grob gesagt) die Variablen h¨ochstens im Quadrat vor-
XII
Vorwort zur ersten Auflage
kommen, beschrieben werden k¨ onnen. Das hierbei entwickelte Verfahren — die sogenannte Hauptachsentransformation — wird es uns erm¨oglichen, ausgehend von gewissen Gleichungen, die Bedingungen f¨ ur die Koordinaten gewisser geometrischer Objekte angeben — durch reines Rechnen — Lage und Typ dieser Objekte zu erfassen. Eingesetzt werden dabei auch viele in vorherigen Kapitel eingef¨ uhrten Hilfsmittel (wie z.B. die Matrizen), durch die ¨ unsere durchzuf¨ uhrenden Uberlegungen und Rechnungen erst u ¨bersichtlich und durchschaubarer werden. Mit den Kapiteln 3 – 9 (mit Ausnahme gewisser Aussagen u ¨ber Normalformen von Matrizen) haben wir einen gewissen Grundstandard, den man auch in vielen anderen B¨ uchern u ¨ber Lineare Algebra und analytischer Geometrie findet, behandelt. Um den Leser den Einstieg in weiterf¨ uhrende Literatur2 zu erm¨oglichen, sind in den Kapiteln 10 und 11 Begriffe und S¨ atze zusammengestellt, die in meist f¨ ur Mathematiker geschriebenen B¨ uchern viel fr¨ uher eingef¨ uhrt werden, um den hier in den Kapitel 3 – 9 behandelten Stoff allgemeiner zu erarbeiten. Konkret geht es im Kapitel 10 um Eigenschaften sogenannter lineare Abbildungen zwischen Vektorr¨ aumen und im Kapitel 11 um Eigenschaften affiner Abbildungen zwischen Punktr¨ aumen. Da in der Vorlesung meist nicht viel Zeit ist, den Inhalt von Kapitel 10 und 11 sowie den von gewissen Teilen von Kapitel 8 ausf¨ uhrlich zu behandeln, seien diese Kapitel den Lesern insbesondere f¨ ur das Selbststudium empfohlen. Der Inhalt der Kapitel 12 – 14 wird u ¨blicherweise der Numerischen Mathematik zugeordnet. Unter Numerischer Mathematik bzw. unter Numerik versteht man diejenigen Teile der Mathematik, in denen mathematische Gr¨oßen aus gegebenen Zahlen auch zahlenm¨ aßig berechnet werden. Insbesondere besch¨aftigt sich die Numerik mit dem Aufstellen von Rechenvorschriften, nach denen aus Eingangsdaten, die oft mit (bekannten) Fehlern behaftet sind, die gew¨ unschten Ausgangsdaten mit absch¨atzbarer Genauigkeit berechnet werden. Die Numerik setzt in der Regel dort ein, wo ein Problem (z.B. der Algebra oder Analysis) als gel¨ ost angesehen werden kann, weil z.B. die Existenz einer L¨osung nachgewiesen oder ein L¨osungsalgorithmus (m¨oglicherweise aus unendlich vielen Schritten bestehend) gefunden wurde. Bei der konkreten Ermittlung der L¨ osung eines Problems ergeben sich dann aber eine Reihe von Schwierigkeiten, die numerische Verfahren erfordern. Welche Schwierigkeiten dies sind und welche L¨ osungsans¨ atze es zum Beheben dieser Schwierigkeiten gibt, wird im Kapitel 12 erl¨ autert. Im Kapitel 13 geht es um N¨ aherungsverfahren zum L¨osen von Gleichungen. Grundlage fast aller angegebenen Verfahren ist dabei der sogenannte Banachsche Fixpunktsatz. 2
Damit ist nicht nur Literatur zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie, sondern auch Literatur zur Funktionalanalysis gemeint.
Vorwort zur ersten Auflage
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Kapitel 14 setzt unsere Untersuchungen zu linearen Gleichungssystemen (kurz: LGS), die jeweils nur genau eine L¨ osung besitzen, fort. Es wird erl¨autert, warum f¨ ur LGS mit sogenannter schlechter Kondition unsere L¨osungsverfahren aus Kapitel 3 beim praktischen Rechnen (auf dem Computer oder per Hand) i.w. unbrauchbar sind und N¨ aherungsverfahren f¨ ur das L¨osen solcher LGS entwickelt, die nicht nur f¨ ur schlecht konditionierte LGS geeignet sind. Im kurzen Kapitel 15 u ¨ber Interpolation wird (unter Verwendung von zwei Ergebnissen aus Kapitel 3) das Interpolationsproblem mit Polynomen gel¨ost. Anwenden lassen sich die hierbei erzielten Resultate z.B. bei der numerischen Integration. Die in den Kapiteln 13 – 15 vorgestellten Verfahren geh¨oren bereits zur angewandten Mathematik. Mehr u ¨ber die Anwendungen der in diesem Band zusammengestellten mathematischen Gebiete sowie eine Fortsetzung der Theorie findet der Leser dann im Band 2, der aus den Teilen • • •
Lineare Optimierung Graphen und Algorithmen Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen
besteht. Große Teile der im Band 2 behandelten Gebiete rechnet man zur sogenannten Diskreten Mathematik. Das Wort diskret“ steht hierbei nat¨ urlich nicht ” f¨ ur verschwiegen“ oder unauff¨ allig“, sondern charakterisiert Teilbereiche der ” ” Mathematik, die sich vorrangig mit endlichen Mengen besch¨aftigen. Dies geschieht zwar in fast jedem Teilbereich der Mathematik, jedoch hat die Entwicklung der elektronischen Datenverarbeitung dazu gef¨ uhrt, daß fr¨ uher (wegen des großen Rechenaufwandes“) nicht praktikable Algorithmen inzwischen ” ihre Anwendungen und Verbesserungen erfahren haben. Seit einigen Jahren ist es deshalb u ¨blich, Gebiete der Mathematik, die gewisse Anwendungen in der Informatik besitzen oder die sich durch den enormen Aufschwung der elektronischen Datenverarbeitung entwickelten, unter dem Oberbegriff Diskrete ” Mathematik“ zusammenzufassen. Inzwischen ist die Diskrete Mathematik mit ihren Kernbereichen Kombinatorik, Graphentheorie, Algorithmentheorie, Optimierung und Theorie der diskreten Strukturen eine Grundlagenwissenschaft f¨ ur Mathematiker und Informatiker. Anliegen von Band 2 wird es sein – aufbauend auf Band 1 – f¨ ur ausgew¨ ahlte Gebiete der Diskreten Mathematik dies nachzuweisen. Insbesondere soll gezeigt werden, wie effektiv sich der vorher behandelte mathematische Apparat“ beim L¨ osen der verschiedensten — ins” besondere auch praktischen — Aufgaben einsetzen l¨aßt. Nicht vers¨aumen m¨ ochte ich es, mich bei Herrn Dipl.-Math. Hans-Christian Pahlig zu bedanken, der die erste LATEX–Fassung des vorliegenden Buches aus einer — von der Verfasserin von einigen Jahren auf dem PC 1715 geschriebenen — alten Computervariante entwickelt hat, wobei insbesondere von ihm s¨ amtliche Zeichnungen neu entworfen und programmiert wurden.
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Vorwort zur ersten Auflage
Meinen Rostocker Kollegen Herrn Prof. Dr. R. Kn¨orr, Herrn Dr. F. Leitenberger und Frau Dr. K. Mahrhold gilt mein Dank f¨ ur die kritische Durchsicht ¨ einzelner Kapitel und einiger Anderungsund Erg¨anzungsvorschl¨age. Bei den Mitarbeitern des Springer-Verlages m¨ ochte ich mich f¨ ur die sehr angenehme Zusammenarbeit bedanken. Rostock, im November 2003
Dietlinde Lau
Inhaltsverzeichnis
Teil I Grundbegriffe der Mathematik und Algebraische Strukturen 1
Mathematische Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Logische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Elemente der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Korrespondenzen, Abbildungen und Verkn¨ upfungen . . . . . . . . . 1.5 M¨achtigkeiten, Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Boolesche Funktionen und Pr¨ adikate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 4 15 21 27 35 51
2
Klassische algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ringe und K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Verb¨ande und Boolesche Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 60 66 82 93
Teil II Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Matrizen . . 107 3.1 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.3 Rang von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.4 L¨osbarkeitskriterien und L¨ osungsverfahren f¨ ur LGS . . . . . . . . . 143
4
Vektorr¨ aume u orper K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 ¨ber einem K¨ 4.1 Die Definition eines Vektorraums u ¨ber K, Beispiele . . . . . . . . . 157 4.2 Untervektorr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.3 Lineare Abh¨ angigkeit und lineare Unabh¨angigkeit . . . . . . . . . . . 164 4.4 Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
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4.5
Inhaltsverzeichnis
4.6 4.7
Lineare Unabh¨ angigkeit und Basen u ¨ber einem Untervektorrraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Dimensionss¨ atze, Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Koordinaten, Basistransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.8
Anwendungen f¨ ur Vektoren aus V2 bzw. V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
→
→
5
Affine R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.1 Die Definition eines affinen Raumes, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 189 5.2 Koordinaten und Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.3 Affine Unterr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.4 Schnitt und Verbindung affiner R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.5 Parallele affine Unterr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6
Vektorr¨ aume mit Skalarprodukt (unit¨ are und euklidische VRe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
→
→
Das Skalarprodukt in V2 bzw. V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Das Skalarprodukt in Vektorr¨ aumen u ¨ber den K¨orpern R oder C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Norm (Betrag) von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Winkel zwischen Vektoren (in euklidischen Vektorraumen) . . . . 221 ¨ Orthogonalit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7
Euklidische und unit¨ are affine Punktr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.1 Abstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.2 Winkel- und Volumenmessung in euklidischen Punktr¨aumen . . 244 7.3 Koordinatentransformationen in kartesischen Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8
Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.1 Motivation, Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.2 Eigenwerte von Matrizen und Nullstellen von Polynomen . . . . . 259 8.3 Verallgemeinerte Eigenr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 ¨ 8.4 Uberf¨ uhrung von symmetrischen Matrizen in Diagonalgestalt . 279 8.5 Jordansche Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9
Hyperfl¨ achen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 9.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 9.2 Hauptachsentransformation (Beweis von Satz 9.1.1) . . . . . . . . . 300 9.3 Klassifikation der Kurven 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 9.4 Klassifikation der Fl¨ achen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Inhaltsverzeichnis
XVII
10 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 10.1 Allgemeines u ¨ber lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 10.2 Adjungierte Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 10.3 Normale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 10.4 Selbstadjungierte und antiselbstadjungierte Abbildungen . . . . . 344 10.5 Unit¨are und orthogonale Abbildungen, Isometrien . . . . . . . . . . . 345 10.6 Normalformen linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 10.7 Gruppen aus linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 11 Affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 11.1 Allgemeines u ¨ber affine Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 11.2 Gruppen gewisser affiner Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 11.3 Einige Invarianten affiner Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Teil III Numerische Algebra und Kombinatorik 12 Einf¨ uhrung in die Numerische Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 12.1 Fehlertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 12.2 Fehlerfortpflanzung bei differenzierbaren Funktionen . . . . . . . . . 363 12.3 Maschinenzahlen, Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 12.4 Intervallarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 13 Gleichungsaufl¨ osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 13.1 Problemstellung, geometrische Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 13.2 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 13.3 Das Newton-Verfahren, die Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 13.4 Polynomgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 13.4.1 Absch¨ atzungen f¨ ur Polynomnullstellen . . . . . . . . . . . . . . 384 13.4.2 Das Horner-Schema und das zweizeilige Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 13.4.3 Verfahren zur Nullstellenberechnung von pm . . . . . . . . . 388 14 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer L¨ osung . . . . . . . . . 391 14.1 Der Gauß-Algorithmus (mit Pivotisierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 14.2 Vektor- und Matrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 14.3 Die Kondition von LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.4 Elementare Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.4.1 Das Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.4.2 Das Gauß-Seidel-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 14.4.3 Konvergenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 14.5 Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.5.1 Grundidee der Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.5.2 Projektion auf Hyperebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 14.5.3 Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
XVIII Inhaltsverzeichnis
15 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 15.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 15.2 Interpolation mit Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 16 Grundlagen der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 16.1 Grundregeln des Abz¨ ahlens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 16.2 Permutationen, Kombinationen und Variationen . . . . . . . . . . . . 422 16.2.1 Permutationen (Anordnungen) von M . . . . . . . . . . . . . . 422 16.2.2 Permutationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 16.2.3 Variationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 16.2.4 Variationen ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 16.2.5 Kombinationen ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 16.2.6 Kombinationen mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 16.2.7 Einige Beispiele f¨ ur Anwendungen obiger Formeln . . . . 426 16.3 Das Prinzip der Inklusion-Exklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 16.4 M¨achtigkeiten von einigen Abbildungsmengen . . . . . . . . . . . . . . 431 16.5 Lineare Rekursionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 ¨ Teil IV Ubungsaufgaben ¨ 17 Ubungsaufgaben zum Teil I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 17.1 Aufgaben zum Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 17.2 Aufgaben zum Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 ¨ 18 Ubungsaufgaben zum Teil II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 18.1 Aufgaben zum Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 18.2 Aufgaben zum Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 18.3 Aufgaben zum Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 18.4 Aufgaben zum Kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 18.5 Aufgaben zum Kapitel 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 18.6 Aufgaben zum Kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 18.7 Aufgaben zum Kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 18.8 Aufgaben zum Kapitel 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 18.9 Aufgaben zum Kapitel 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 ¨ 19 Ubungsaufgaben zum Teil III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 19.1 Aufgaben zum Kapitel 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 19.2 Aufgaben zum Kapitel 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 19.3 Aufgaben zum Kapitel 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 19.4 Aufgaben zum Kapitel 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 19.5 Aufgaben zum Kapitel 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
Inhaltsverzeichnis
XIX
Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
Teil I
Grundbegriffe der Mathematik und Algebraische Strukturen
1 Mathematische Grundbegriffe
1.1 Logische Zeichen In vielen mathematischen Gebieten hat es sich als zweckm¨aßig erwiesen, bestimmte Formulierungen durch Verwendung logischer Zeichen zu formalisieren. Nachfolgend sind die von uns verwendeten wichtigsten Symbole in einer Tabelle zusammengefaßt:
Zeichen
Lesart
∧
und
∨
oder
¬
nicht
=⇒
wenn - dann; daraus folgt
⇐⇒
genau dann, wenn
:=
definitionsgleich
:⇐⇒
definitionsgem¨ aß ¨aquivalent
∃
es existiert (mindestens) ein
∃!
es existiert genau ein
∀
f¨ ur alle
Das Zeichen := benutzen wir, um z.B. die Bezeichnung A durch eine Formel ϕ zu erkl¨aren, wobei dann A := ϕ geschrieben wird. Wird A dagegen durch einen umgangssprachlichen Satz S, der entweder wahr oder falsch ist, erkl¨art, schreiben wir A :⇐⇒ S.
D. Lau, Algebra und Diskrete Mathematik 1, 3. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-19443-6_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
4
1 Mathematische Grundbegriffe
Um Klammern zu sparen, schreiben wir anstelle von ∃x ( E ) (gelesen: Es ” existiert ein x mit der Eigenschaft E“) kurz ∃x : E. Entsprechendes sei f¨ ur Formeln, die das Zeichen ∀ enthalten, vereinbart. Außerdem steht ∀x ∃y : ... f¨ ur ∀x (∃y (...)), usw. Erste Anwendungen obiger Zeichen folgen im n¨achsten Abschnitt, so daß wir hier auf Beispiele verzichten k¨ onnen. Die mathematische Theorie zu diesen Zeichen ist Gegenstand der sogenannten Aussagenlogik und Pr¨adikatenlogik, von denen wir Teile im Abschnitt 1.6 behandeln werden.
1.2 Elemente der Mengenlehre Wir beginnen mit der Einf¨ uhrung des Mengenbegriffs nach dessen Begr¨ under Georg Cantor1 : Definition“ Eine Menge ist jede Zusammenfassung von bestimmten, ” wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche die Elemente dieser Menge genannt werden – zu einem Ganzen. Das Wort Definition steht hier in Anf¨ uhrungszeichen, da der zu erkl¨arende Begriff Menge mittels weiterer, undefinierter Begriffe (z.B. Objekt) erl¨autert wird. Unter einer echten Definition versteht man dagegen die Erkl¨arung eines neuen Begriffs aus bereits definierten Begriffen. Wir werden weiter unten sehen, daß die obige Definition sehr schnell zu Unklarheiten und sogar zu logischen Widerspr¨ uchen (!) f¨ uhrt. Man hat deshalb versucht (bzw. man versucht immer noch), den Mengenbegriff exakter zu fassen. Das ist jedoch letztlich unm¨oglich, denn irgendwelche Begriffe muß man undefiniert lassen, um die erste Definition einer Theorie angeben zu k¨ onnen. Es ist jedoch gelungen2 , den Mengenbegriff so einzuf¨ uhren, daß zumindest bis heute keine logischen Widerspr¨ uche herleitbar waren. Dieser exakte Weg der Begr¨ undung der Mengenlehre kann hier jedoch aus Platzgr¨ unden nicht angegeben werden. Wir bleiben also bei der obigen naiven Definition“, m¨ ussen jedoch beim Umgang ” damit vorsichtig sein. Warum das so ist, wird nach der Angabe einiger Vereinbarungen und Bezeichnungen an zwei Beispielen erl¨autert. Zun¨achst einige Vereinbarungen: 1
2
Georg Cantor (1845–1918). Er schrieb von 1875 bis 1884 grundlegende Arbeiten zur Mengenlehre und legte damit das Fundament f¨ ur das moderne Verst¨ andnis vom Wesen der Mathematik. Wer mehr u ater noch erw¨ ahnten Mathematikern wissen ¨ ber Cantor und die sp¨ m¨ ochte, sei auf [Mes 73], [Wuß-A 89] oder [Wuß 2008] verwiesen. Einen ersten ¨ Uberblick u ¨ ber die Geschichte der Mathematik mit vielen Verweisen auf weitere Literatur findet man in [Wuß 89]. Historische Anmerkungen zu den in diesem Band behandelten Teilgebieten der Mathematik, die u ubersicht hin¨ ber eine Kurz¨ ausgehen, entnehme man [Alt 2003], [Scr-S 2003] und [Bri 83]. Siehe z.B. [Ass 75].
1.2 Elemente der Mengenlehre
Bezeichnungen f¨ ur Mengen:
große Buchstaben;
Bezeichnungen f¨ ur die Elemente der Mengen:
kleine Buchstaben;
5
Kurzschreibweise f¨ ur x ist Element von M“: x ∈ M; ” Kurzschreibweise f¨ ur x ist nicht Element von M“: x ∈ / M. ” Eine Menge M kann man (u.a.) auf drei Arten angeben: (1.) Durch eine (unmißverst¨ andliche) verbale Formulierung. Beispiel M sei die Menge aller im Jahre 2000 an der Rostocker Universit¨at immatrikulierten Studenten. (2.) Durch Aufz¨ ahlen (falls m¨ oglich) der Elemente a1 , a2 , . . . der Menge M . Wir schreiben: M = {a1 , a2 , . . .}. (3.) Durch eine charakteristische Eigenschaft E f¨ ur Objekte aus einer Grundgesamtheit G, die genau den Elementen von M zukommen soll. Wir schreiben: M := {x | x ∈ G erf¨ ullt E} oder M := {x ∈ G | x erf¨ ullt E}. Beispiel
G :={1, 2, 3, 4, . . .} (die Menge der nat¨ urlichen Zahlen), M := {x ∈ G | ∗x ist eine gerade Zahl}.
Nun zwei Beispiele zur Erl¨ auterung der Schwierigkeiten mit dem oben definierten Mengenbegriff. Erstes Beispiel Ist A := . . . . {{{{{{{{ a }}}}}}}}. . . . | {z } unendlich viele Klammern
eine Menge? Diese Frage ist nach obiger Definition einer Menge nicht zu beantworten. Wer A als Menge akzeptieren will (er muß es nicht!), der hat als n¨achstes zu kl¨aren, ob A ∈ A gilt. Zweites Beispiel Sei M := {x | x Menge ∧ x ∈ / x}, d.h., M ist die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. M ist nach obiger Definition“ offensichtlich eine ” Menge. Jedoch aus M ∈ M folgt M ∈ / M und aus M ∈ / M folgt M ∈ M . Zitat aus [Lid-P 82]:
6
1 Mathematische Grundbegriffe
Wie man sich dreht und wendet: es geht nicht – es bleibt uns nur der ” Strick!“ Das obige zweite Beispiel heißt nach Bertrand Russell (1872–1970) Russellsches Paradoxon, obwohl es nicht nur paradox ist, sondern in eine logische Sackgasse f¨ uhrt. Halten wir also fest: Vorsicht bei zu großz¨ ugiger Mengenbildung! Man vermeide unendlich viele Klammern (d.h., man bilde nur in endlich vielen Schritten aus bekannten Mengen neue Mengen) und definiere nicht so global, wie etwa M sei die ” Menge aller Mengen“! Besonders h¨aufig auftretende Mengen erhalten von uns besondere Bezeichnungen und Namen: N := {1, 2, 3, . . .} Menge der nat¨ urlichen Zahlen P := {2, 3, 5, 7, 11, . . .} Z := {0, 1, −1, 2, −2, . . .} Q := {x | ∃a ∈ Z ∃b ∈ N : x =
Menge der Primzahlen Menge der ganzen Zahlen a b}
Menge der rationalen Zahlen
R := {x | x ist ein (endlicher oder unendlicher) Dezimalbruch} Menge der reellen Zahlen C := {x | ∃a ∈ R ∃b ∈ R : x = a + bi ∧ i2 = −1} Menge der komplexen Zahlen (Ausf¨ uhrlich wird C im Abschnitt 2.3 behandelt.) N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}
X + := {x ∈ X | x > 0} f¨ ur X ∈ {Z, Q, R} X0+ := {x ∈ X | x ≥ 0} f¨ ur X ∈ {Z, Q, R} [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} [a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b} (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} (a, b) := {x ∈ R | a < x < b}
Auf eine exakte Definition der Zahlenmengen N, Z, Q und R wollen wir an dieser Stelle verzichten und uns mit der naiven Vorstellung begn¨ ugen, daß man sich die reellen Zahlen geometrisch als Punkte auf einer Geraden vorstellen kann, wobei Q die Gerade noch nicht, jedoch R diese Gerade ausf¨ ullt“. ” Die u ur die Zahlenmengen N0 , Z, Q, R setzen wir nach¨blichen Rechenregeln f¨ folgend als bekannt voraus. Als spezielle Eigenschaft von N (bzw. N0 ) sei le-
1.2 Elemente der Mengenlehre
7
diglich genannt, daß jede Menge nat¨ urlicher Zahlen, die aus mindestens einem Element besteht, ein kleinstes Element enth¨ alt. Mit Hilfe dieser Eigenschaft l¨ aßt sich nun ein wichtiges Beweisverfahren, die sogenannte vollst¨ andige Induktion, begr¨ unden. Satz 1.2.1 Sei A(n) eine Aussage u urlichen Zahlen n ≥ a (a ¨ ber alle nat¨ dabei aus N und fest gew¨ahlt). A(n) ist f¨ ur alle n ≥ a richtig, wenn folgende zwei Bedingungen erf¨ ullt sind: (I) A(a) ist richtig. (II) Aus der Annahme der G¨ ultigkeit von A(n) f¨ ur alle n mit a ≤ n ≤ k folgt stets die G¨ ultigkeit von A(k + 1). Beweis.3 Angenommen, (I) und (II) sind erf¨ ullt, jedoch gilt A(n) nicht f¨ ur alle n ≥ a. Dann gibt es ein kleinstes b, f¨ ur das A(b) falsch ist, wobei b > a (wegen (I)). Folglich ist A(b − 1) richtig und b − 1 ≥ a. Das ist jedoch ein Widerspruch zu (II). (I) aus obigem Satz wird Induktionsanfang und (II) Induktionsschritt genannt, wobei die in (II) getroffene Annahme oft auch Induktionsvoraussetzung und die Begr¨ undung f¨ ur (II) Induktionsbeweis heißt. Man beachte, daß in (II) keine Aussage u undung, mit der man von ¨ber die Begr¨ A(n) f¨ ur a ≤ n ≤ k zu A(k+1) gelangt, gemacht wird. Diese Begr¨ undung kann also im Prinzip f¨ ur jedes n eine andere sein; das Versagen einer Beweisidee f¨ ur gewisses k l¨aßt also keinen Schluß auf das Versagen der vollst¨andigen Induktion bei einer konkreten Aufgabenstellung zu. Außerdem kann es m¨oglich sein, daß eine bestimmte Beweisidee beim Induktionsschritt die Richtigkeit der Behauptung f¨ ur paarweise verschiedene Zahlen n ≤ k erfordert. In diesem Fall ist der Induktionsanfang (I) nicht nur f¨ ur eine Zahl, sondern entsprechend ¨ f¨ ur mehrere Zahlen durchzuf¨ uhren. Ein Beispiel dazu findet man in der UA A.1.8, (h). Die vollst¨andige Induktion wird von uns vorrangig als Beweishilfsmittel Verwendung finden. Sie kann jedoch auch bei der sogenannten rekursiven Definition bzw. rekursiven Konstruktion von Objekten herangezogen werden: Man definiert von n (∈ N) abh¨ angige Objekte Ob(n), indem man zuerst Ob(1) angibt und dann ein Verfahren, mit dem man Ob(n+1) aus Ob(n) (bzw. Ob(k) mit k ≤ n) erhalten kann. Wegen Satz 1.2.1 ist damit Ob(n) f¨ ur alle n ∈ N definiert. 3
Dies ist unser erstes Beispiel f¨ ur einen sogenannten indirekten Beweis. Wir nehmen an, daß bei den gegebenen Voraussetzungen die Behauptung falsch ist, und zeigen, daß sich hieraus ein Widerspruch ergibt. Geht man davon aus, daß eine Behauptung entweder wahr oder falsch ist, folgt hieraus die Richtigkeit der Behauptung.
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1 Mathematische Grundbegriffe
Der folgende Satz mit Eigenschaften von Primzahlen ist den meisten Lesern sicher aus der Schule her bekannt. Sein Beweis dient hier zur Erl¨auterung der bisher eingef¨ uhrten Beweistypen (vollst¨ andige Induktion und indirekter Beweis). Wir werden sp¨ ater sehen, daß Primzahlen wichtige Anwendungen besitzen. Satz 1.2.2 (a) Jede nat¨ urliche Zahl n mit n ≥ 2 l¨aßt sich auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen: α2 αr 1 n = pα 1 · p2 · ... · pr ,
(1.1)
wobei p1 , p2 , ..., pr ∈ P mit p1 < p2 < ... < pr und α1 , α2 , ..., αr ∈ N. (b) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. (a): Wir beginnen mit dem Beweis der Existenz von (1.1) durch vollst¨andige Induktion u ¨ber n ≥ 2. (I) n = 2. Da 2 eine Primzahl ist, gilt offenbar (1.1) f¨ ur n = 2. (II) k −1 −→ k. Angenommen, f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n mit 2 ≤ n ≤ k −1 ist (1.1) richtig. F¨ ur n = k sind zwei F¨ alle m¨ oglich: Fall 1: k ∈ P. Dann gilt offenbar (1.1). Fall 2: k 6∈ P. In diesem Fall existieren Zahlen a, b ∈ N mit k = a · b, 1 < a < k und 1 < b < k. F¨ ur a und b existieren laut Annahme Darstellungen in Form von Produkten aus Primzahlpotenzen. Wegen k = a · b besitzt dann auch k eine Darstellung als Produkt von Primzahlpotenzen. Die Eindeutigkeit der Darstellung (1.1) l¨ aßt sich durch einen indirekten Beweis zeigen. Angenommen, f¨ ur eine gewisse nat¨ urliche Zahl n existieren zwei verschiedene Darstellungen der im Satz angegebenen Art. Durch Division von gemeinsamen Potenzen gelangt man dann zu einem Widerspruch (ausf¨ uhrlich: ¨ UA). (b): Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen, die mit p1 , p2 , ..., pt bezeichnet seien, wobei p1 < p2 < ... < pt gelte. Wir betrachten die nat¨ urliche Zahl n := 1 + p1 · p2 · ... · pt . Nach (a) existieren gewisse α1 , ..., αt ∈ N0 mit α2 αt 1 n = pα 1 · p2 · ... · pt .
Da n > 1, ist mindestens ein αi mit i ∈ {1, 2, ..., t} von 0 verschieden. Aus obigen Darstellungen von n folgt dann, daß pi sowohl ein Teiler von n als auch von n − 1 ist, d.h., es existieren u, v ∈ N mit n = pi · u und n − 1 = pi · v. Folglich gilt auch pi · (u − v) = 1, was wegen pi > 1 und pi , u, v ∈ N nicht sein
1.2 Elemente der Mengenlehre
9
kann. Also war unsere Annahme falsch und damit die Behauptung richtig.
Wir kommen nun zu den Grundbegriffen bzw. wichtigen Begriffen der Mengenlehre. Definitionen •
Die Menge, die aus gar keinem Element besteht, heißt leere Menge und wird mit ∅ bezeichnet, d.h., z.B. ∅ := {x | x = 6 x}.
•
A und B seien Mengen. A ⊆ B ( A ist Teilmenge von B“ bzw. B ist Obermenge von A“) ” ” :⇐⇒ ∀x ∈ A : x ∈ B. A = B :⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A. A= 6 B :⇐⇒ ¬(A = B).
A ⊂ B ( A ist echte Teilmenge von B“) :⇐⇒ A ⊆ B ∧ A 6= B. ” Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Außerdem gilt f¨ ur beliebige Mengen A, B, C: (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) =⇒ A ⊆ C. Man beachte: {a} ∈ / {a}, aber {a} ⊆ {a} und a ∈ {a}. {{a}} 6= {a}. Definition
Sei A eine Menge. Die Menge P(A) := {M | M ⊆ A}
aller Teilmengen von A heißt Potenzmenge von A. Beispiel
A = {0, 1}, P({0, 1}) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}.
Satz 1.2.3 Sei M eine endliche, nichtleere Menge und bezeichne |M | die Anzahl ihrer Elemente. Dann gilt |P(M )| = 2|M| .
10
1 Mathematische Grundbegriffe
¨ A.1.11. Beweis. UA Die Aussage von Satz 1.2.3 motiviert auch folgende u ur ¨bliche Bezeichnung f¨ die Potenzmenge einer Menge M : 2M . F¨ ur beliebige Mengen A, B kann man folgende vier Mengenoperationen definieren, die wir uns mittels sogenannter Venn4 -Diagramme (Eulersche5 Kreise) veranschaulichen: •
Durchschnitt von A und B: A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} A∩B C ' $ C CW B A & %
Falls A ∩ B = ∅, nennen wir A und B disjunkt. •
Vereinigung von A und B: A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} A∪B
B A ' $
•
& %
Differenz von A und B:
A\B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ / B} 4 5
John Venn (1834–1923), englischer Philosoph. Leonhard Euler (1701–1783), schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosoph. Schrieb entscheidende Beitr¨ age zu fast allen damaligen Gebieten der Mathematik, Physik und Astronomie. Verfasser hervorragender Lehrb¨ ucher. Einige von ihm eingef¨ uhrte Begriffe und Bezeichnungen werden noch heute verwendet.
1.2 Elemente der Mengenlehre
A\B B A' $ & %
•
11
Bei einer fixierten Grundmenge G und A ⊆ G bezeichnen wir G\A auch mit A und nennen diese Menge das Komplement von A (bez. G). Symmetrische Differenz von A und B: A△B := (A\B) ∪ (B\A) A△B B A' Q $ s Q
& %
Zusammenfassend geben wir die oben definierten Mengenoperationen noch in Form von Tabellen an, die man zum sp¨ ateren Nachweis von Rechenregeln f¨ ur diese Operationen heranziehen kann. Dazu schreiben wir die vier m¨oglichen F¨alle f¨ ur ein beliebiges x: x∈ /A x∈ /A x∈A x∈A
und und und und
x∈ /B x∈B x∈ /B x∈B
kurz durch A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
auf. Eine vollst¨andige Charakterisierung der Mengen A∩B, A∪B, A\B und A△B liefert dann die nachfolgende Tabelle, in der eine 0 oder 1 in der entsprechenden Spalte unter A ∩ B, . . . angibt, ob im jeweiligen Fall x zu dieser Menge nicht geh¨ort oder geh¨ ort:
12
1 Mathematische Grundbegriffe
A B A ∩ B A ∪ B A\B A△B 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 . Allgemeiner kann man f¨ ur Mengen Ai (i aus einer Indexmenge) Durchschnitte und Vereinigungen durch T i∈I Ai := {x | ∀i ∈ I : x ∈ Ai } und S i∈I Ai := {x | ∃i ∈ I : x ∈ Ai }
definieren. Auch u ¨blich sind die Schreibweisen \ [ A bzw. A, A∈S
A∈S
wobei S ein Mengensystem (z.B. S := {Ai | i ∈ I}) bezeichnet. T S Eine weitere Beschreibung f¨ ur die Menge A∈S A (bzw. A∈S A) ist \ [ {A | A ∈ S} ( {A | A ∈ S} ).
Im nachfolgenden Satz fassen wir wesentliche Eigenschaften der oben definierten Mengen zusammen. Satz 1.2.4 F¨ ur beliebige Teilmengen A, B, C eines Grundbereichs G gilt: (a) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A△B)△C = A△(B△C) (b) A ∩ B = B ∩ A A∪B =B∪A A△B = B△A (c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C) (d) A ∪ A = A A∩A=A (e) (A\B) ∩ C = (A ∩ C)\(B ∩ C) A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) (A\B) ∪ B = A ∪ B A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) (f ) A ∩ B = A ∪ B A∪B = A∩B (g) A = A.
(Assoziativgesetze)
(Kommutativgesetze)
(Distributivgesetze) (Idempotenzgesetze)
(Morgansche Gesetze)
1.2 Elemente der Mengenlehre
13
Beweis. Wir wollen hier nur (A\B) ∩ C = (A ∩ C)\(B ∩ C) beweisen. Die Begr¨ undungen f¨ ur die anderen Aussagen verlaufen analog. Zun¨achst eine Veranschaulichung unserer Behauptung durch ein Venn-Diagramm: linke Seite der Gleichung: A B '$ '$ '$ > A\B&% 7 &% C &% (A\B) ∩ C
rechte Seite der Gleichung: A B '$ '$ '$ @@ @ l@@ B∩C @@ &% &% 6l C &% (A ∩ C)\(B ∩ C) A∩C
Diese Veranschaulichung l¨ aßt vermuten, daß unsere Behauptung richtig ist. Sie ist jedoch kein Beweis! Nachfolgend werden zwei Beweise angegeben. Im ersten Beweis wird gezeigt, daß (A\B)∩C ⊆ (A∩C)\(B ∩C) und (A∩C)\(B ∩C) ⊆ (A\B)∩C gilt, woraus sich nach der Definition der Gleichheit von zwei Mengen die Behauptung (A\B) ∩ C = (A ∩ C)\(B ∩ C) ergibt. (A\B) ∩ C ⊆ (A ∩ C)\(B ∩ C) folgt aus x ∈ (A\B) ∩ C =⇒ =⇒ =⇒ =⇒
x∈A\B ∧ x∈C (x ∈ A ∧ x 6∈ B) ∧ x ∈ C x ∈ A ∩ C ∧ x 6∈ B ∩ C x ∈ (A ∩ C) \ (B ∩ C).
(A ∩ C)\(B ∩ C) ⊆ (A\B) ∩ C folgt aus x ∈ (A ∩ C) \ (B ∩ C) =⇒ =⇒ =⇒ =⇒ =⇒
x ∈ A ∩ C ∧ x 6∈ B ∩ C (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∧ (x 6∈ B ∨ x 6∈ C) x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ x 6∈ B x∈A\B ∧ x∈C x ∈ (A \ B) ∩ C.
Ein weiterer Beweis wird durch die folgende Tabelle erbracht, indem – die oben vereinbarte Codierung benutzend – f¨ ur die m¨ oglichen 8 F¨alle der Zugeh¨origkeit bzw. Nichtzugeh¨origkeit eines beliebigen Elements x zu den Mengen A, B und C aufgeschrieben wird, welche Zugeh¨ origkeit/Nichtzugeh¨origkeit von x zu den in der ersten Zeile angegebenen Mengen sich hieraus ergibt. Die Gleichheit der unterstrichenen Spalten liefert die Behauptung.
14
1 Mathematische Grundbegriffe
A B C A\B (A\B) ∩ C A ∩ C B ∩ C (A ∩ C)\(B ∩ C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 Definitionen
Seien A und B nichtleere Mengen. Die Menge A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
heißt kartesisches Produkt der Mengen A, B. Die Elemente (a, b) von A × B nennt man geordnete Paare, wobei (a, b) = (c, d) :⇐⇒ (a = c ∧ b = d). Allgemeiner: Seien A1 , A2 , . . . , An nichtleere Mengen. Die Menge Nn Qn A1 × A2 × . . . × An = i=1 Ai (oder = i=1 Ai )
:= {(a1 , a2 , . . . , an ) | ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : ai ∈ Ai }
heißt kartesisches Produkt der Mengen A1 , A2 , . . . , An . Die Elemente von A1 × A2 × . . . × An nennt man (geordnete) n-Tupel, wobei (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) :⇐⇒ ∀i ∈ {1, . . . , n} : ai = bi . Weiter seien A1 := A, A2 := A × A, A3 := A × A × A, . . . . Man beachte, daß A × (A × A) = A × A2 = 6 A3 ist. Falls Ai = ∅ f¨ ur ein gewisses i ∈ {1, 2, ..., n}, sei A1 × A2 × ... × An = ∅. Beispiel
W¨ahlt man A = {0, 1} und B = {∅, a}, so gilt A × B = {(0, ∅), (1, ∅), (1, a), (0, a)}, A3 = {(a, b, c) | a, b, c ∈ {0, 1}} und A × A2 = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ A2 }.
Satz 1.2.5 F¨ ur beliebige nichtleere endliche Mengen A1 , A2 , . . . , An gilt: |A1 × A2 × . . . × An | = |A1 | · |A2 | · . . . · |An |. Beweis.
¨ 1.1.12. UA
1.3 Relationen
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1.3 Relationen Zwischen den Elementen einer Menge k¨ onnen gewisse Beziehungen ( Rela” tionen“) wie z.B.
