Математический анализ I: Учебное пособие

È. À. ËÀÏÈÍ Ë. Ñ. ÐÀÒÀÔÜÅÂÀ Â. Ì. ÔÐÎËÎÂ

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ I Ó÷åáíîå ïîñîáèå

+1

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2008

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÛÕ ÒÅÕÍÎËÎÃÈÉ, ÌÅÕÀÍÈÊÈ È ÎÏÒÈÊÈ

È. À. ËÀÏÈÍ Ë. Ñ. ÐÀÒÀÔÜÅÂÀ Â. Ì. ÔÐÎËÎÂ

Êîëëåêòèâ àâòîðîâ: È.À. Ëàïèí, Ë.Ñ. Ðàòàôüåâà, Â.Ì. Ôðîëîâ Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I

Ïîä îáùåé ðåäàêöèåé Ë.Ñ. Ðàòàôüåâîé Ó÷åáíîå ïîñîáèå. ÑÏá: ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ, 2008 ãîä, 128 ñ.

Ïðåäëàãàåìîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áàçîâûé êîíñïåêò ëåêöèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå äëÿ ñòóäåíòîâ 1-ãî êóðñà (1 ñåìåñòð) äíåâíîãî è âå÷åðíåãî îòäåëåíèÿ îáùåèíæåíåðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé.  íåì ðàññìîòðåíû ñëåäóþùèå òåìû: ¾Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé¿, ¾Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé è åãî ïðèëîæåíèÿ¿, ¾Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ è åãî ïðèëîæåíèÿ¿. Ñîäåðæàíèå ïîñîáèÿ ñîîòâåòñòâóåò îáðàçîâàòåëüíûì ñòàíäàðòàì è ïðîãðàììå äèñöèïëèíû ¾ìàòåìàòèêà¿ äëÿ íàïðàâëåíèÿ 550000  Òåõíè÷åñêèå íàóêè. Îñíîâíîå íàçíà÷åíèå ïîñîáèÿ  ïîìî÷ü ñòóäåíòàì â ñàìîñòîÿòåëüíîì èçó÷åíèè äàííûõ ðàçäåëîâ êóðñà â óñëîâèÿõ ñîêðàùåííîãî êîëè÷åñòâà àóäèòîðíûõ çàíÿòèé. Ïðè íàïèñàíèè ïîñîáèÿ èñïîëüçîâàëèñü ó÷åáíûå ïîñîáèÿ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå òàêèõ àâòîðîâ êàê Ë.À. Êàëüíèöèé, À.À. Ïîòàïåíêî è äð., èçäàííûõ â ðàçíîå âðåìÿ â ÑÇÇÏÈ, à òàêæå ìàòåðèàëû äðóãèõ èçäàíèé, êîòîðûå ïðèâîäÿòñÿ â ñïèñêå ëèòåðàòóðû áåç äîïîëíèòåëüíûõ ññûëîê.

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ I Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ðåêîìåíäîâàíî ê ïå÷àòè Ó÷åíûì Ñîâåòîì åñòåñòâåííîíàó÷íîãî ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ (ïðîòîêîë  8 îò 22 àïðåëÿ 2008 ãîäà)  2007 ãîäó ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ ñòàë ïîáåäèòåëåì êîíêóðñà èííîâàöèîííûõ îáðàçîâàòåëüíûõ ïðîãðàìì âóçîâ Ðîññèè íà 2007-2008 ãîäû. Ðåàëèçàöèÿ èííîâàöèîííîé îáðàçîâàòåëüíîé ïðîãðàììû ¾Èííîâàöèîííàÿ ñèñòåìà ïîäãîòîâêè ñïåöèàëèñòîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ â îáëàñòè èíôîðìàöèîííûõ è îïòè÷åñêèõ òåõíîëîãèé¿ ïîçâîëèò âûéòè íà êà÷åñòâåííî íîâûé óðîâåíü ïîäãîòîâêè âûïóñêíèêîâ è óäîâëåòâîðèòü âîçðàñòàþùèé ñïðîñ íà ñïåöèàëèñòîâ â èíôîðìàöèîííîé, îïòè÷åñêîé è äðóãèõ âûñîêîòåõíîëîãè÷íûõ îòðàñëÿõ ýêîíîìèêè.

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2008

c Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè, 2008 ã.

c È.À. Ëàïèí, Ë.Ñ. Ðàòàôüåâà, Â.Ì. Ôðîëîâ, 2008 ã.

4 5 6 7 8

Îãëàâëåíèå

9 10 11 1

2

Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

. . . . . . . . . .

Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3

Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ôóíêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðåäåë ôóíêöèè. Åäèíñòâåííîñòü ïðåäåëà . . . . . . . . . . Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà. Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë . . Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ôóíêöèè . . . . . . Òåîðåìû î êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå . . . . . . . . . . . . . . . . Ðàçðûâ ôóíêöèè â òî÷êå. Êëàññèôèêàöèÿ ðàçðûâîâ . . . . .

Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè. Ìåõàíè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ . . . . . Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèé, çàäàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêè. Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà . . . . . . . . . . . Òåîðåìû î äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõ . . . . . . . . . . . . Ôîðìóëû Òåéëîðà è Ìàêëîðåíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé . . . . Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ âòîðîé ïðîèçâîäíîé . . . . Îáùàÿ ñõåìà èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . Äèôôåðåíöèàë äóãè ïëîñêîé êðèâîé . . . . . . . . . . . . . . . Êðèâèçíà ïëîñêîé è ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé . . . . . . . . .

Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ

1 2 3

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíûõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ . . . . . . . . . . . . . Äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Èññëåäîâàíèå èíâàðèàíòíîñòè èõ ôîðìû . . . . . . . . . . . . . . . . . Ôîðìóëà Òåéëîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðèëîæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè . . . . . . . . . Óñëîâíûé ýêñòðåìóì. Ìåòîä ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà . . . . . . Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 16 22 25 27 29 31 35 37 42 45

45 49 59 62 66 72 78 84 88 90 93 96

Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ . . . . . 96 Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ . . . 101 Ïðèìåíåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì è îöåíêå ïîãðåøíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1

2

107 111 112 115 117 122 123 125

Ãëàâà 1

Ïðèìåð 2.

íà 3 (Q).

Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü

Quidquid praecepies, esto brevis. ×åìó áû òû íè ó÷èë, áóäü êðàòîê. Çàïîâåäü Ãîðàöèÿ Ÿ 1

1

Çàìåòèì, ÷òî åñëè óñëîâèå P äîñòàòî÷íî äëÿ óñëîâèÿ Q, òî óñëîâèå Q íåîáõîäèìî äëÿ óñëîâèÿ P , à åñëè óñëîâèå P íåîáõîäèìî äëÿ óñëîâèÿ Q, òî óñëîâèå Q äîñòàòî÷íî äëÿ óñëîâèÿ P . Êðîìå òîãî, îñòàíîâèìñÿ íà íåêîòîðûõ ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ. 1.

_  äèçúþíêöèÿ (ëîãè÷åñêîå ñëîæåíèå). Âûðàæåíèå  _ ÷èòàåòñÿ:

2.

^  êîíúþíêöèÿ (ëîãè÷åñêîå óìíîæåíèå). Âûðàæåíèå  ^ ÷èòàåòñÿ: ¾ è ¿ è ïî îïðåäåëåíèþ èñòèííî â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îáà âûñêàçûâàíèÿ  è èñòèííû.

3.

:  îòðèöàíèå. Âûðàæåíèå : ÷èòàåòñÿ: ¾íå ¿ è ïî îïðåäåëåíèþ

Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ

Ëîãè÷åñêèå ñèìâîëû è ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè

 ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ, ïðè äîêàçàòåëüñòâàõ òåîðåì ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ñòàíäàðòíûå âûðàæåíèÿ ¾ñóùåñòâóåò ýëåìåíò¿, ¾ëþáîé ýëåìåíò¿ è ò.ï.. Äëÿ êîìïàêòíîé çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ òåêñòîâ, ñîäåðæàùèõ ïîäîáíûå âûðàæåíèÿ, èñïîëüçóþòñÿ îñîáûå ëîãè÷åñêèå ñèìâîëû (êâàíòîðû). Îñòàíîâèìñÿ íà íåêîòîðûõ èç íèõ. 1.

)  ñèìâîë ñëåäîâàíèÿ. Çàïèñü  ) ÷èòàåòñÿ òàê: ¾èç óòâåðæäå-

2.

,  ñèìâîë ýêâèâàëåíòíîñòè. Çàïèñü  , ÷èòàåòñÿ òàê: ¾óòâåð-

3.

9  êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ. Çàïèñü 9x :  ÷èòàåòñÿ òàê: ¾ñóùåñòâóåò

4.

8  êâàíòîð îáùíîñòè. Çàïèñü 8x :  ÷èòàåòñÿ

íèÿ  ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ¿ èëè òàê: ¾óñëîâèå  äîñòàòî÷íî äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ ¿. æäåíèå èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå ¿ èëè òàê: ¾óñëîâèå  íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ ¿. ïî êðàéíåé ìåðå îäèí x, äëÿ êîòîðîãî èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå ¿. èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå ¿.

òàê: ¾äëÿ âñåõ x

, è def =  îáîçíà÷åíèÿ, êîòîðûå óïîòðåáëÿåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû îòìåòèòü, ÷òî äàííîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî ïî îïðåäåëåíèþ. Çàïèñü def , èëè def = îçíà÷àåò, ÷òî  ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíî . Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïîíÿòèÿ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî. Îïðåäåëåíèå 1. Ãîâîðÿò, ÷òî óñëîâèå P äîñòàòî÷íî äëÿ óñëîâèÿ Q, åñëè 5.

def

èç âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ P âûòåêàåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Q. Ïðèìåð 1.

Åñëè ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì (P ), òî îíî ÷åòíîå (Q).

Ãîâîðÿò, ÷òî óñëîâèå P íåîáõîäèìî äëÿ óñëîâèÿ Q, åñëè âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Q âëå÷åò çà ñîáîé âûïîëíåíèå óñëîâèÿ P .

Îïðåäåëåíèå 2.

3

×èñëî äåëèòñÿ íà òðè (P ), ïîñêîëüêó ñóììà öèôð ÷èñëà äåëèòñÿ

2

¾ èëè ¿ è ïî îïðåäåëåíèþ èñòèííî â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç âûñêàçûâàíèé  èëè ÿâëÿåòñÿ èñòèííûì.

èñòèííî, åñëè  ëîæíî, è ëîæíî, åñëè  èñòèííî.

Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà

Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà â ìàòåìàòèêå èçíà÷àëüíîå, íåîïðåäåëÿåìîå. Èíòóèòèâíî ìíîæåñòâî  ýòî ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ ëþáîé ïðèðîäû, îáúåäèíåííûõ íåêîòîðûì õàðàêòåðíûì ñâîéñòâîì. Îáúåêòû, èç êîòîðûõ ñîñòàâëåíî ìíîæåñòâî, íàçûâàþò åãî ýëåìåíòàìè. Åñëè ýëåìåíò a ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A, òî ïèøóò a 2 A, åñëè ýëåìåíò a íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A, òî ïèøóò a 2= A. Èòàê, îòìåòèì, ÷òî 2  çíàê âêëþ÷åíèÿ äëÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà. Ìû ÷àùå âñåãî áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷èñëîâûå ìíîæåñòâà, ò.å. ìíîæåñòâà, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà. Ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùèå êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, íàçûâàþòñÿ êîíå÷íûìè. Ìíîæåñòâà íå ÿâëÿþùèåñÿ êîíå÷íûìè, íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íûìè. Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî îáû÷íî çàäàþò, îáúåäèíÿÿ âõîäÿùèå â íåãî ýëåìåíòû ôèãóðíîé ñêîáêîé, íàïðèìåð A = f1; 3; 5g  ìíîæåñòâî ñîäåðæàùåå ÷èñëà 1; 2; 3. Ìíîæåñòâî íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà íàçûâàåòñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì . Åñëè íåêîòîðàÿ âåëè÷èíà x ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà X , ò.å. x 2 X òàê, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà X ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì çíà÷åíèåì ýòîé âåëè÷èíû, òî x íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííîé, èçìåíÿþùåéñÿ íà ìíîæåñòâå X . Åñëè ìíîæåñòâî X ñîñòîèò èç îäíîãî åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà, òî x íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé èëè êîíñòàíòîé. Ïðè ýòîì ïèøóò x = const.

?

Ìíîæåñòâî B íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà A, åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà B ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A. Ïðè ýòîì ïèøóò B  A (ðèñ. 1 d)).

Îïðåäåëåíèå 3.

4

A

B

a)

A

A[B

B

b)

A

A\B

B

c)

A

AnB

d)

B BA

Îñòàíîâèìñÿ òåïåðü íà ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ äëÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ è ðàññìîòðèì ïîäðîáíî íåêîòîðûå èç íèõ. Ìíîæåñòâî  öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

N

N = f1; 2; 3; : : :g :

Z

Ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë îáû÷íî îáîçíà÷àþò , ò.å.

Ðèñ. 1.

Z = f0; 1; 2; 3; : : :g :

Òîò ôàêò, ÷òî ìíîæåñòâî B ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà A, ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ ìîæíî çàïèñàòü òàê

Ìíîæåñòâî ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äðîáè m=n, ãäå m; n 2 , à òàêæå ÷èñëî 0 îáðàçóþò ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë . Åñëè ê ìíîæåñòâó äîáàâèòü ìíîæåñòâî âñåõ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ò.å.p÷èñåë, p íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå m=n, ãäå m; n 2 (íàïðèìåð, ýòî ÷èñëà 2, 5,  è ò.ä.), òî ïîëó÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ èëè äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, êîòîðîå îáîçíà÷àþò áóêâîé . È, íàêîíåö, áóêâîé îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Îá ýòîì ìíîæåñòâå ìû ïîãîâîðèì íåìíîãî ïîäðîáíåå äàëüøå.

def

BA

,

8x 2 B ) x 2 A :

Èç îïðåäåëåíèÿ ïîäìíîæåñòâà ñëåäóåò, ÷òî A  A, êàêîâî áû íè áûëî ìíîæåñòâî A. Êðîìå òîãî, ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåì, ÷òî ïóñòîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî ìíîæåñòâà A, ò.å.  A.

?

?

Îïðåäåëåíèå 4. Äâà ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ äåðæàò îäíè è òå æå ýëåìåíòû, èíà÷å

A=B

def

,

(8x 2 B ) x 2 A)

ðàâíûìè, åñëè îíè ñî-

^ (8x 2 A ) x 2 B ) :

Îáúåäèíåíèåì èëè ñóììîé A [ B äâóõ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ A èëè B (ðèñ. 1 a)). Èíà÷å

Îïðåäåëåíèå 5.

x 2 A[B

def

,

(x 2 A)

_ (x 2 B ) :

Ïåðåñå÷åíèåì èëè ïðîèçâåäåíèåì A \ B äâóõ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ êàê ìíîæåñòâó A, òàê è ìíîæåñòâó B (ðèñ. 1 b)). Èíà÷å Îïðåäåëåíèå 6.

x 2 A\B Îïðåäåëåíèå 7.

def

,

(x 2 A)

^ (x 2 B ) :

Ðàçíîñòüþ A n B äâóõ ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíî-

æåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó A, íî íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó B (ðèñ. 1 c)). Òî åñòü

x2AnB

def

,

(x 2 A)

^ (x 2= B ) :

N

Q

Q

N

R

C

Îïðåäåëåíèå 8. Äâà ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ìåæäó èõ ýëåìåíòàìè ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Ïðè ýòîì ïèøóò A  B .

Åñëè A è B äâà ýêâèâàëåíòíûõ ìåæäó ñîáîé ìíîæåñòâà, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè èìåþò îäèíàêîâóþ ìîùíîñòü, ò.å. ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìîùíîñòü  ýòî òî îáùåå, ÷òî åñòü ó âñåõ ýêâèâàëåíòíûõ ìåæäó ñîáîé ìíîæåñòâ. Ïîíÿòèå ýêâèâàëåíòíîñòè ïðèìåíèìî ê ëþáûì ìíîæåñòâàì, êàê êîíå÷íûì, òàê è áåñêîíå÷íûì. ßñíî, ÷òî äâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâà ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ñîñòîÿò èç îäèíàêîâîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Òàêèì îáðàçîì, ó êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ïîíÿòèå ìîùíîñòè ñîâïàäàåò ïðîñòî ñ ïîíÿòèåì ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì @0 (÷èòàåòñÿ ¾àëåô íóëü¿). Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìåæäó 0 è 1 îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì C .

N

Îïðåäåëåíèå 9.

1) Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíûì, åñëè îíî ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å. A  .

N

2) Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî A èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà, åñëè îíî ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìåæäó 0 è 1, ò.å. A  (0; 1).

 òîì ñëó÷àå, åñëè B  A, òî ðàçíîñòü A n B íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà B äî ìíîæåñòâà A èëè äîïîëíåíèåì B â A (ðèñ. 1 d)).

Êàê ïðàâèëî, âñå áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ âñòðå÷àòüñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå, èëè ñ÷åòíûå, èëè èìåþò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.

5

6

3

Âåùåñòâåííûå ÷èñëà (ìíîæåñòâî

R)

2.

R

jaj 6 d ,

Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ (äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë) . Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâà , è ÿâëÿþòñÿ åãî ïîäìíîæåñòâàìè. Âåùåñòâåííûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè íà ÷èñëîâîé îñè.  ñâîþ î÷åðåäü êàæäîé òî÷êå íà ÷èñëîâîé îñè ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Òàêîå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè è òî÷êàìè íà ÷èñëîâîé îñè ïîçâîëÿåò â äàëüíåéøåì ëþáîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî íàçûâàòü òî÷êîé. Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë äîïîëíÿåòñÿ ýëåìåíòàìè, îáîçíà÷åííûìè 1 è +1, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòüþ è ïëþñ áåñêîíå÷íîñòüþ, ïðè÷åì, ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåì, ÷òî 1 < +1, à òàêæå äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a 2 ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà 1 < a < +1. Áåñêîíå÷íîñòè 1 è +1 èíîãäà íàçûâàþò áåñêîíå÷íûìè ÷èñëàìè. Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë , äîïîëíåííîå ýëåìåíòàìè 1 è +1, íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííûì ìíîæåñòâîì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë èëè ðàñøèðåííîé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è îáîçíà÷àåòñÿ . Ýëåìåíòû 1 è +1 íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííûìè òî÷êàìè ðàñøèðåííîé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Íàïîìíèì òåïåðü âàæíîå äëÿ íàñ îïðåäåëåíèå àáñîëþòíîé âåëè÷èíû âåùåñòâåííîãî ÷èñëà, èëè åãî ìîäóëÿ, è ðàññìîòðèì åãî ñâîéñòâà.

NZ Q

Äëÿ ÷èñåë a è d ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà

3.

Äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë a è b âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

(jaj + jbj) 6 a + b 6 (jaj + jbj) : È íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò îòñþäà, â ñèëó ñâîéñòâà (2). 4.

Äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë a è b âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

jaj jbj 6 ja bj : Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáîçíà÷èì a b = c ) a = b + c, íî jb + cj 6 jbj + jcj ) jaj 6 jbj + ja bj ) ja bj > jaj jbj.

Àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé ÷èñëà a, èëè åãî ìîäóëåì, íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ jaj è îïðåäåëÿåòñÿ òàê  a åñëè a > 0 jaj =

Îïðåäåëåíèå 10.

5.

a åñëè a < 0 :

Äëÿ ÷èñåë a è b âûïîëíåíû î÷åâèäíûå ðàâåíñòâà

0

Ñâîéñòâà àáñîëþòíûõ âåëè÷èí

Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà a âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

jaj 6 a 6 jaj :

x2

x

x2

x1 0

jaj ; (b 6= 0) : jbj x

x1

x2 0

x

Îòìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàñïîëîæåíèè òî÷åê x1 è x2 íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé jx1 x2 j èëè jx2 x1 j äàåò ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x1 è x2 .  ýòîì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ âåùåñòâåííîãî ÷èñëà (ðèñ. 2). Ïðîìåæóòêè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Îêðåñòíîñòè

(1)

Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó îïðåäåëåíèÿ, åñëè a > 0, òî jaj 6 a = jaj, à åñëè a < 0, òî jaj = a 6 jaj. Îáúåäèíèâ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì (1). 7

x1

b

Ðèñ. 2.

Ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðèè, jaj ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè, èçîáðàæàþùåé ÷èñëî a, äî íà÷àëà êîîðäèíàò.

1.

a =

ja
bj = jaj
jbj ;

Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ñäåëàííîãî îïðåäåëåíèÿ jaj ìîæíî çàïèñàòü òàê jaj = a
sign(a), ãäå

:

òðåóãîëüíèêà

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì (1), èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî jaj 6 a 6 jaj, jbj 6 b 6 jbj. Íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà ìîæíî ïî÷ëåííî ñêëàäûâàòü, ñëåäîâàòåëüíî

R

+1 åñëè a > 0 0 åñëè a = 0 1 åñëè a < 0 :

6d,

ja + bj 6 jaj + jbj :

R R

sign(a) =

(2)

Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ñâîéñòâà (1) jaj 6 a 6 jaj, íî jaj d 6 jaj. Èòàê, d 6 jaj 6 a 6 jaj 6 d ò.å. âûïîëíåíî (2).

R

8
0. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó Im z = y , òî íåðàâåíñòâó y > 0 ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè (ðèñ. 6). Ïðèìåð 4.

y

y

r

r = jz j =

p

 äàëüíåéøåì ìû ïîä àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà áóäåì ïîíèìàòü åãî ãëàâíîå çíà÷åíèå. Èç ðèñ. 4 ÿñíî, ÷òî

x = r cos ' y = r sin '

) r = x2 + y2 ; tg ' = xy :

z = r (cos ' + i sin ') :

Ýòà ôîðìà çàïèñè íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, â òî âðåìÿ êàê z = x + iy íàçûâàåòñÿ åãî àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = 1 i èçîáðàçèòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå (ðèñ. 5). p Ðåøåíèå. ßñíî, ÷òî r = 2, ' = 7=4. Ñëåäîâàòåëüíî,

Ïðèìåð 3.





Ðèñ. 6.





z = 2 cos 7 + 2k + i sin 7 + 2k 4 4



;

 òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà äàííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. 11

x

k2Z

Ðèñ. 7.

Èçîáðàçèòü íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì 1 < jz ij < 2. Ðåøåíèå. Íàéäåì Ïðèìåð 5.

p

jz ij = jx + iy ij = jx + i(y 1)j = x2 + (y 1)2 : Èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî òàêîé ñèñòåìå íåðàâåíñòâ 

p

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = x + iy ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

p

O

x2 + y 2 :

Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü íå òîëüêî êàê òî÷êó M (x; y ), íî è êàê âåêòîð r = (x; y ). Ïîýòîìó èíîãäà êîìïëåêñíîå ÷èñëî z íàçûâàþò âåêòîðîì, ïîäðàçóìåâàÿ, ÷òî ýòîò âåêòîð èìååò êîîðäèíàòû x è y. Óãîë, îòñ÷èòûâàåìûé îò âåùåñòâåííîé îñè Ox äî ðàäèóñ-âåêòîðà r ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ Arg z . Î÷åâèäíî, ÷òî Arg z èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé. Óãîë ' = arg z , óäîâëåòâîðÿþùèé íåðàâåíñòâó 0 6 arg z < 2 , íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì çíà÷åíèåì àðãóìåíòà. ßñíî, ÷òî Arg z = arg z + 2k, k 2 Z. 

i

x

x2 + (y 1)2 < 22 x2 + (y 1)2 > 12 :

Î÷åâèäíî, ÷òî òàêîé ñèñòåìå íåðàâåíñòâ óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè êîëüöà, îãðàíè÷åííîãî îêðóæíîñòÿìè x2 +(y 1)2 = 4 è x2 +(y 1)2 = 1 (ðèñ. 7). 5

Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè

1) Ðàâåíñòâî. Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2 íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè ðàâíû èõ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè, ò. å.

z1 = z2

,

x1 = x 2 ; y 1 = y 2 :

Íàéòè x è y èç óðàâíåíèÿ x + iy = 2. Èìååì x + iy = 2+ i0. Ïðèðàâíèâàÿ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè, ïîëó÷èì: x = 2, y = 0.

Ïðèìåð 6. Ðåøåíèå.

12

Ïðèìåð 7.

Ñóììîé äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2 íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî

2) Ñëîæåíèå.

àâðà.

Ðåøåíèå.

Íàéòè âûðàæåíèå äëÿ sin 3' è cos 3', ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Ìó-

Î÷åâèäíî, ÷òî

(cos ' + i sin ')3 = cos 3' + i sin 3' ;

z3 = z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) ; ò. å. ïðè ñëîæåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñêëàäûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî èõ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè. 3) Âû÷èòàíèå.

ò. å. z3 = z1

Âû÷èòàíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê äåéñòâèå, îáðàòíîå ñëîæåíèþ,

z2 , åñëè z1 = z2 + z3 . Èòàê, åñëè z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , òî x1 = x2 + x3 , y1 = y2 + y3 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî x3 = x1 x2 , y3 = y1 y2 , ò. å. z3 = z1 z2 = (x1 x2 ) + i(y1 y2 ) : 4) Óìíîæåíèå.

Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 = x1 + iy1 è

z2 = x2 + iy2 íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî

z3 = z1
z2 = (x1 x2 y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) :

òîãäà

z2 = r2 (cos '2 + i sin '2 ) ;

Òàêèì îáðàçîì, î÷åâèäíî, ÷òî ïðè óìíîæåíèè äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èõ ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ. Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî z ìîæíî çàïèñàòü â òàê íàçûâàåìîé ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå, ò.å. ïðåäñòàâèòü â âèäå z = rei' , òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî z
z = r ei'1
r ei'2 = r r ei('1 +'2 ) ;

1

2

Ïðèðàâíèâàÿ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè íàéäåííûõ âûðàæåíèé, ïîëó÷èì

cos 3' = cos3 ' 3 cos ' sin2 ' ; sin 3' = 3 cos2 ' sin ' sin3 ' : Îòìåòèì äàëåå, ÷òî i2 = 1. Ïîýòîìó ëåãêî âû÷èñëèòü ëþáóþ ñòåïåíü êîìïëåêñíîé åäèíèöû. Íàïðèìåð, i3 = i2
i = i, i4 = i2
i2 = 1,
14
17 28 2 35 2 i = i = 1, i = i
i = i.

Ðàññìîòðèì íàðÿäó ñ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z = x + iy êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = x iy , êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì êîìïëåêñíûì ÷èñëîì ïî îòíîøåíèþ ê z . ßñíî, ÷òî

x = z + z ; z
z = x2 + y 2 = r 2 2

z1
z2 = r1 r2 (cos('1 + '2 ) + i sin('1 + '2 )) :

1 2

(cos ' + i sin ')3 = cos3 ' + 3i cos2 ' sin ' 3 cos ' sin2 ' i sin3 ' :

6) Êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.

Âûïîëíèòü óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ìîæíî, çàïèñàâ èõ ïðåäâàðèòåëüíî â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü

z1 = r1 (cos '1 + i sin '1 ) ;

ñ äðóãîé ñòîðîíû

Íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà z è z ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé îñè Ox (ðèñ. 8).

12

N

Ïî îïðåäåëåíèþ, åñëè n 2 , òî

z n = z
z
z : : :
z (n ñîìíîæèòåëåé) :

Ìóàâðà

y

z = x + iy

0

x

y

Ïðèìåíèâ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, íåòðóäíî äîêàçàòü

ôîðìóëó

y

y

÷òî ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì âûøå ðåçóëüòàòîì. 5) Ñòåïåíü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.

p ) r = z
z:

z1 = 1 + i x

1

z = x iy

z2 = 1 i

Ðèñ. 8.

1

x

0 1

Ðèñ. 9.

z n = rn ein' = rn (cos n' + i sin n') :

Íàéòè êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ z 2 + 2z + 2 = 0 è ïîñòðîèòü èõ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.

13

14

Ïðèìåð 8.

Ðåøåíèå.

Êîðíè äàííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ

z1 = 1 +

p

1 = 1 + i;

z2 = 1

p

Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z 6= 0, ìîæíî çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå

1= 1 i

z = r(cos ' + i sin ') :

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîþ äâà êîìïëåêñíûõ ñîïðÿæåííûõ ÷èñëà, ðàñïîëîæåííûõ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííîé îñè Ox (ðèñ. 9).

Íàéäåì w. Áóäåì èñêàòü w â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå

7) Äåëåíèå. Äåëåíèå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿåòñÿ êàê äåéñòâèå z îáðàòíîå óìíîæåíèþ, à èìåííî: z3 = 1 , åñëè z1 = z3
z2 . Î÷åâèäíî

Òîãäà

w = (cos + i sin ) : n (cos n + i sin n ) = r(cos ' + i sin ') :

z2 z z3 = 1 = z1
z 2 = z1
z22 ; z2 z2
z 2 jz2 j z ò. å. äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷àñòíîãî 1 ñëåäóåò ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîz2 æèòü íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ.

Òàêèì îáðàçîì,

z1 = r1 ei'1 = r1 ei('1 '2 ) ; z2 r2 ei'2 r2

y

Îòñþäà

=

z1

ò. å. ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èõ ìîäóëè äåëÿòñÿ, à àðãóìåíòû âû÷èòàþòñÿ. Âû÷èñëèòü

1+i . 1 2i

1

x

z2

Èòàê


4(1 + i) i2 7 i (1 + i)5
i15 = 4i : = 1+i 1 i

n-îé

Ïîëîæèâ k = 0; 1; 2; : : : ; (n 1), ìû ïîëó÷èì n ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé êîðíÿ n-îé ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, àðãóìåíòû êîòîðûõ âû÷èñëÿþò' + 2k , k = 0; 1; 2; : : : ; (n ñÿ ïî ôîðìóëàì k = n p 1). Ìîäóëü êàæäîãî çíà÷åíèÿ êîðíÿ ðàâåí n r. Òàêèì îáðàçîì, î÷åâèäíî, ÷òî âñå p çíà÷åíèÿ êîðíÿ ëåæàò íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà n r. Âû÷èñëèòü âñå çíà÷åíèÿ çèòü èõ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.

Ðåøåíèå.

1+i (1 + i)(1 + 2i) 1 + 3i 1 3 = = = + i: 1 2i (1 2i)(1 + 2i) 5 5 5 (1 + i)5
i15 . Ïðèìåð 10. Âû÷èñëèòü 1 i 5 Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì (1 + i) . Äëÿ ýòîãî ïåðåéäåì ê òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà 1 + i, òîãäà ïîëó÷èì   p  5  5 5 (1 + i)5 = 2 cos + i sin  = 25=2 cos + i sin = 4(1 + i) : 4 4 4 4

n = ' + 2k ; k 2 Z :

pn z = pn r cos ' + 2k + i sin ' + 2k  ; k 2 Z : n n

 ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå

Ïðèìåð 9.

pn r ;

Ïðèìåð 11.

p

i è èçîáðà-

Ðèñ. 10.

p

Ðåøåíèå.

i = cos =2 + 2k + i sin =2 + 2k ; 2 2

k = 0; 1 :

Çíà÷åíèÿ êîðíÿ (ðèñ. 10)

  1 z1 = cos + i sin = p + pi ; 4 4 2 2 Ÿ 2

1

z2 = cos

5 5 + i sin = 4 4

p1

2

pi : 2

Ôóíêöèÿ

Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè

Ðàññìîòðèì äâà íåïóñòûõ ìíîæåñòâà X è Y (íå îáÿçàòåëüíî ÷èñëîâûõ).

Èçâëå÷åíèå êîðíÿ n-îé ñòåïåíè îïðåäåëÿåòñÿ êàê äåéñòâèå, îáðàòíîå âîçâåäåíèþ â nóþ ñòåïåíü p , wn = z : w= nz

Îïðåäåëåíèå 1. Åñëè â ñèëó íåêîòîðîãî ïðàâèëà f êàæäîìó ýëåìåíòó x 2 X ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò y 2 Y , òî ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå X çàäàíà ôóíêöèÿ f è ïðè ýòîì ïèøóò f : X ! Y .

15

16

8) Èçâëå÷åíèå êîðíÿ

ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.

 òîì ñëó÷àå, åñëè ìíîæåñòâà X è Y ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ò. å. X  , Y  , òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâîé è ïðè ýòîì ïðèíÿòà òàêàÿ ôîðìà çàïèñè y = f (x) èëè y = y(x), ãäå x  àðãóìåíò, y  çíà÷åíèå ôóíêöèè. Ìíîæåñòâî X â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò ìíîæåñòâîì îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, à ìíîæåñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé ff (X )g  ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè. Çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå x0 îáîçíà÷àåòñÿ f (x0 ). Åñëè f (x) = const äëÿ ëþáîãî x 2 X , òî ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé íà ìíîæåñòâå X è ïðè ýòîì ïèøóò: f (x) = const èëè y = c.

R

2

âñòðå÷àþòñÿ ôóíêöèè, íå äîïóñêàþùèå òàêîãî ïåðåõîäà. Î íåÿâíûõ ôóíêöèÿõ áóäåì ãîâîðèòü ïîäðîáíåå äàëüøå.

R

3)

Èíîãäà ïðè àíàëèòè÷åñêîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ôóíêöèè áûâàåò óäîáíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ïðîìåæóòî÷íûé àðãóìåíò t (òàê íàçûâàåìûé ïàðàìåòð) è âûðàçèòü x è y êàê ôóíêöèè ýòîãî ïðîìåæóòî÷íîãî àðãóìåíòà, èçìåíÿþùåãîñÿ íà íåêîòîðîì ÷èñëîâîì ïîäìíîæåñòâå T  . Íàïðèìåð, åñëè ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïåðåìåùàåòñÿ â ïëîñêîñòè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxy , òî, âçÿâ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà âðåìÿ t, óêàçûâàþò çàêîí äâèæåíèÿ â âèäå

R



Ñïîñîáû çàäàíèÿ ôóíêöèè

Àíàëèòè÷åñêèé ñïîñîá çàäàíèÿ

j j jj

Ïðèìåð 1.

Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè 

1

0

1

x

Ðèñ. 11.

×èñëîâûå ôóíêöèè ìîãóò çàäàâàòüñÿ ôîðìóëàìè íà ðàçëè÷íûõ ïðîìåæóòêàõ èëè èíòåðâàëàõ, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. Òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì. Ïðè ýòîì ìîãóò âñòðåòèòüñÿ ñëåäóþùèå ñèòóàöèè:

1)

2)

Åñëè ôóíêöèÿ òàêîâà, ÷òî åå óäàåòñÿ âûðàçèòü â âèäå y = f (x), òî ãîâîðÿò î ÿâíîì àíàëèòè÷åñêîì ñïîñîáå çàäàíèÿ. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ y = j ln jxjj îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå ( 1; 0) [ (0; +1) (ðèñ. 11). Ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé 0 6 y < +1.  òîì ñëó÷àå, åñëè íå óäàåòñÿ ÿâíî âûðàçèòü y ÷åðåç x, à óäàåòñÿ òîëüêî óêàçàòü çàâèñèìîñòü ìåæäó çíà÷åíèåì ôóíêöèè è àðãóìåíòîì â âèäå F (x; y ) = 0, òî òàêîé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ íåÿâíûì àíàëèòè÷åñêèì. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ x y 5 = 0. Çäåñü y êàê ôóíêöèÿ x ñâÿçàí ñ íèì íåÿâíîé àíàëèòè÷åñêîé çàâèñèìîñòüþ, ïðàâäà, â äàííîì ñëó÷àå íåòðóäíî ïåðåéòè ê ÿâíîìó àíàëèòè÷åñêîìó ñïîñîáó çàäàíèÿ, âûðàçèâ èç ýòîãî óðàâíåíèÿ y : y = x 5. Íî íà ïðàêòèêå ÷àùå âñåãî 17

t 2 [t1 ; t2 ] :

Èñêëþ÷èâ ïàðàìåòð t, ìîæíî ïåðåéòè ê ÿâíîìó èëè íåÿâíîìó àíàëèòè÷åñêîìó ñïîñîáó çàäàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ôóíêöèè.

y y = ln x

x = x(t) y = y (t)

x = t sin t y = 1 cos t

t 2 [0; +1) :

Ðåøåíèå. Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî cos t  2 -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå òîãî, êàê ïàðàìåòð t, ïðîáåæàâ ïîëíûé ïåðèîä [0; 2 ], ïðîäîëæàåò ðàñòè, çíà÷åíèÿ y áóäóò ïîâòîðÿòüñÿ. Ñîñòàâèì òàáëèöó

t x y

0 0 0

=6 0; 02 0; 15

=4 0; 08 0; 3

=3 0; 18 0; 5

=2 0; 57 1; 0

3=4 1; 65 1; 7

 3; 14 2; 0

5=4 4; 63 1; 7

3=2 5; 71 1; 0

7=4 6; 2 0; 3

2 6; 28 0

Òåïåðü îñòàåòñÿ òîëüêî ïîñòðîèòü êðèâóþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ öèêëîèäîé è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðàåêòîðèþ òî÷êè, çàêðåïëåííîé íà êàòÿùåéñÿ

îêðóæíîñòè è íàõîäÿùåéñÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 â íà÷àëå êîîðäèíàò ïðè óñëîâèè, ÷òî îêðóæíîñòü êàòèòñÿ ïî ïðÿìîé ëèíèè áåç ñêîëüæåíèÿ (ðèñ. 12).

y 2 0

 Ðèñ. 12.

18

2 x

Òàáëè÷íûé ñïîñîá

4

Èíîãäà íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó çíà÷åíèé àðãóìåíòà èç ìíîæåñòâà îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè óäàåòñÿ ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ êàêèõ-ëèáî èçìåðåíèé, òîãäà ðåçóëüòàòû ýòèõ èçìåðåíèé ìîæíî ñâåñòè â òàáëèöó.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î òàáëè÷íîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ôóíêöèè. Ïî ýòîé òàáëèöå ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè èëè ïîïûòàòüñÿ ïðåäñòàâèòü ýòó ôóíêöèþ àíàëèòè÷åñêè.

Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè è èõ ñâîéñòâà èçâåñòíû èç êóðñà ñðåäíåé øêîëû. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ñâîéñòâà ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé, êîòîðûìè ìû â äàëüíåéøåì áóäåì øèðîêî ïîëüçîâàòüñÿ. Èòàê, âîçüìåì ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n Pn (x) = an xn + an 1 xn 1 + : : : + a1 x + a0 ; ai 2 ; an 6= 0 ; n 2 : Òåîðåìà 1 (îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû). Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n > 1

Ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá

Ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ â âèäå ãðàôèêà, ïîñòðîåííîãî â íåêîòîðîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Àíàëèçèðóÿ îñîáåííîñòè ýòîãî ãðàôèêà, äåëàþò âûâîäû î ñâîéñòâàõ ôóíêöèè. 3

Êëàññèôèêàöèÿ ôóíêöèé

 ýòî òàêèå ôóíêöèè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå êîíå÷íîãî ÷èñëà àëãåáðàè÷åñêèõ äåéñòâèé (ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå, äåëåíèå, âîçâûøåíèå â ñòåïåíü ñ ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì) íàä àðãóìåíòîì x è ïîñòîÿííûìè. Ê ÿâíûì àëãåáðàè÷åñêèì ôóíêöèÿì îòíîñÿòñÿ öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ (àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí), äðîáíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. a xn + a xn 1 + : : : + a 1 x + a 0 y= n m n 1 m 1 ; a i ; bj 2 ; m ; n 2 : bm x + bm 1 x + : : : + b 1 x + b0 ßâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ôóíêöèè

R

Q

è èððàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. ÿâíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ îïåðàöèè èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, íàïðèìåð

y = p31 + x : x+2

Òðàíñöåíäåíòíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ÿâíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ àëãåáðàè÷åñêîé: xa (x > 0, a  èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî), y = loga x (a > 0, a 6= 1), y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. Âñå ÿâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ôóíêöèè, ïðîñòåéøèå òðàíñöåíäåíòíûå è, êðîìå òîãî, ôóíêöèè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç íèõ ñ ïîìîùüþ ÷åòûðåõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé (ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå è äåëåíèå), à òàêæå ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè âçÿòèÿ ôóíêöèè îò ôóíêöèè, ïðèìåíåííîé êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè. Ôóíêöèè, êîòîðûå íåëüçÿ çàäàòü â âèäå åäèíîãî è êîíå÷íîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ, íàçûâàþòñÿ íåýëåìåíòàðíûìè. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ

y = jxj =



x; x > 0 x; x < 0:

íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé. 19

Ñâîéñòâà ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé

R

N

èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü  âåùåñòâåííûé èëè êîìïëåêñíûé. (Áåç äîêàçàòåëüñòâà). Òåîðåìà 2 (Áåçó). Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà Pn (x) (n > 1) íà ðàçíîñòü (x c), ãäå c  ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî (âåùåñòâåííîå èëè êîìïëåêñíîå), ïîëó÷àåòñÿ îñòàòîê, ðàâíûé çíà÷åíèþ ìíîãî÷ëåíà, êîòîðîå îí èìååò ïðè x = c, ò. å. ëþáîé ìíîãî÷ëåí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå Pn (x) = (x c)Qn 1 (x) + Pn (c) ; ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè (n 1).

ãäå Qn 1 (x)  Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðè äåëåíèè ìíîãî÷ëåíà íà ðàçíîñòü (x c) ìû ïîëó÷àåì ÷àñòíîå Qn 1 (x)  ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè (n 1) è îñòàòîê R, ò. å. Pn (x) = Q (x) + R ) Pn (x) = (x c)Qn 1 (x) + R : n 1

x c

x c

 Ñëåäñòâèå 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìíîãî÷ëåí Pn (x) äåëèëñÿ áåç îñòàòêà íà ðàçíîñòü (x c), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå Pn (c) = 0. Ñëåäñòâèå 2. Åñëè â ðàçëîæåíèè ìíîãî÷ëåíà Pn (x) ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè êîìïëåêñíîå ÷èñëî a + ib ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè k, òî è ñîïðÿæåííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî a ib ÿâëÿåòñÿ êîðíåì òîé æå êðàòíîñòè.

Ïîëîæèì â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå x = c, ïîëó÷èì R = Pn (c).

Îáúåäèíèì ìíîæèòåëè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîïàðíî ñîïðÿæåííûì êîìïëåêñíûì êîðíÿì

(x (a + ib))
(x (a ib)) = x2 + px + q ; ãäå p = 2a, q = a2 + b2  âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Èòàê, âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè

ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âåùåñòâåííûõ ëèíåéíûõ è êâàäðàòè÷íûõ ìíîæèòåëåé âèäà Pn (x) = an (x c1 )k1 (x c2 )k2


(x cr )kr




x2 + p1 x + q1 l1 x2 + p2 x + q2 l2


x2 + ps x + qs ls ; ïðè÷åì k1 + k2 + : : : + kr + 2(l1 + l2 + : : : + ls ) = n. 20

Ìíîãî÷ëåí x4 1 ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. 4 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ðàçíîñòü êâàäðàòîâ, ñëåäîÐåøåíèå. Ìíîãî÷ëåí x âàòåëüíî

Ïðèìåð 2.

x4 1 = x2 1 x2 + 1 : 2  ñâîþ î÷åðåäü x 1 = (x 1)(x + 1). Îêîí÷àòåëüíî èìååì
x4 1 = (x 1)(x + 1) x2 + 1 : 4 x3 x +1 ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ñ âåùåñòâåíÏðèìåð 3. Ìíîãî÷ëåí x íûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî



x4 x3 x + 1 = x3 (x 1) (x 1) = (x 1) x3 1 = (x 1)2 x2 + x + 1 : 5 5x4 + 12x3 24x2 + 32x 16 ðàçëîæèòü íà ìíîÏðèìåð 4. Ìíîãî÷ëåí x

æèòåëè ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ðåøåíèå. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè x = 1 äàííûé ìíîãî÷ëåí îáðàùàåòñÿ â íîëü. Ñëåäîâàòåëüíî, îí áåç îñòàòêà äåëèòñÿ íà ðàçíîñòü (x 1). Âûïîëíèì ýòî äåëåíèå

x5 x5

5x4 + 12x3 x4 4x4 + 12x3 4x4 + 4x3 8x3 8x3

Òàêèì îáðàçîì

x5 5x4 + 12x3

24x2 + 32x 24x2 8x2 16x2 + 32x 16x2 + 16x 16x 16x

16 x 1 x4 4x3 + 8x2

16x + 16

16 16 0

24x2 + 32x 16 = (x 1) x4


4x3 + 8x2 16x + 16 : Äàëåå, îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìíîãî÷ëåí x4 4x3 + 8x2 16x + 16 îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè x = 2, ñëåäîâàòåëüíî, îí äåëèòñÿ íà ðàçíîñòü (x 2) x4 4x3 + 8x2 16x + 16 x 2 x4 2x3 x3 2x2 + 4x 8 3 2 2x + 8x 2x3 + 4x2 4x2 16x 4x2 8x 8x + 16 8x + 16 0

21

 ñâîþ î÷åðåäü ïîëó÷èâøèéñÿ ìíîãî÷ëåí x3 2x2 + 4x 8 òàêæå äåëèòñÿ íà (x 2), ò. å. x = 2 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè 2 äëÿ èñõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà.

Äåéñòâèòåëüíî

x3 x3

2x2 + 4x 2x2 4x 8 4x 8 0

8x 2 x2 + 4

Îêîí÷àòåëüíî èìååì

x5 5x4 + 12x3 Ÿ 3

1

24x2 + 32x 16 = (x 1)(x 2)2 x2 + 4 :


Ïðåäåë ôóíêöèè. Åäèíñòâåííîñòü ïðåäåëà

Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0

2

R, ò.å. x0  íåêîòîðîå êîíå÷íîå ÷èñëî. Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü âîïðîñ, êàê âåäåò ñåáÿ ôóíêöèÿ ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ x ê òî÷êå x0 .

Îïðåäåëåíèå 1 (ïðåäåëà ôóíêöèè ïî Êîøè). Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 , åñëè äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà " ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî Æ , çàâèñÿùåå îò ", ÷òî äëÿ âñåõ x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ jx x0 j < Æ , (x 6= x0 ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî jf (x) Aj < ". Ïðè ýòîì ïèøóò

lim f (x) = A

x!x0

èëè

f (x) ! A ïðè x ! x0 :

Çàìå÷àíèå. Çàìåòèì, ÷òî Æ -îêðåñòíîñòü U (x0 ; Æ ) òî÷êè x0 , èç êîòîðîé óäàëåíà òî÷êà x0 , íàçûâàåòñÿ ïðîêîëîòîé Æ -îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 ; îíà îáîÆ çíà÷àåòñÿ U (x0 ; Æ ), ò.å.

Æ U (x0 ; Æ ) = U (x0 ; Æ )fx0 g : Òîãäà ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ ñôîðìóëèðîâàííîå îïðåäåëåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê

, lim f (x) = A def

x!x0

Æ

8" > 0 9Æ = Æ(") > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : jf (x) Aj < " :

 òîì ñëó÷àå, êîãäà A = +1, x0  êîíå÷íîå ÷èñëî, îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. 22

Ãîâîðÿò, ÷òî +1 ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 , åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå Æ = Æ(") > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ jx x0 j < Æ , (x = 6 x0 ) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

Ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåë îáîçíà÷àþò ÷åðåç f (x0 + 0) è ïðè ýòîì ïèøóò

Îïðåäåëåíèå 2.

lim f (x) = f (x0 + 0) :

x!x0 +0

f (x) > 1=".

Ïðè ýòîì ïèøóò

Îïðåäåëåíèå 5

lim f (x) = +1

x!x0

èëè

f (x) ! +1 ïðè x ! x0 :

Èëè ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ

lim f (x) = +1 def , x!x0

Æ

8" > 0 9Æ = Æ(") > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : f (x) > 1" :

Åñëè òåïåðü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà A  êîíå÷íîå ÷èñëî, x0 = +1, òî îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 âûãëÿäèò òàê

Îïðåäåëåíèå 3. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 = +1, åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå Æ = Æ(") > 0, ÷òî

äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x > 1=Æ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî jf (x) Aj < ". Ïðè ýòîì ïèøóò

lim f (x) = A

x!+1

èëè

f (x) ! A ïðè x ! +1 :

Î÷åâèäíî, ÷òî àíàëîãè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü, åñëè

A  êîíå÷íîå ÷èñëî, à x0  îäíà èç áåñêîíå÷íîñòåé; èëè x0  êîíå÷íîå ÷èñëî, à A  áåñêîíå÷íîå. Îòìåòèì, ÷òî åñëè A  êîíå÷íîå ÷èñëî, òî ïðåäåë lim f (x) = A íàçûâàx!x0 åòñÿ êîíå÷íûì, åñëè æå A  îäíà èç áåñêîíå÷íîñòåé, òî ïðåäåë íàçûâàåòñÿ

áåñêîíå÷íûì èëè íåñîáñòâåííûì.

 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ñëåäóåò lim x = x0 , x!x0 à òàêæå lim C = C , ãäå C  êîíñòàíòà. x!x0 2

Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôóíêöèè

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 2 . Íàëîæèì îãðàíè÷åíèÿ íà ñïîñîá ïðèáëèæåíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè x ê òî÷êå x0 , à èìåííî: áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àè, êîãäà x ïðèáëèæàåòñÿ ê x0 , îñòàâàÿñü áîëüøå x0 , ò.å. x > x0 , òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî x ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå x0 ñïðàâà; åñëè x ïðèáëèæàåòñÿ ê x0 , îñòàâàÿñü ìåíüøå x0 , ò.å. x < x0 , òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî x ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå x0 ñëåâà.

R

Îïðåäåëåíèå 4

(ïðàâîñòîðîííåãî ïðåäåëà). Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ

ïðàâîñòîðîííèì ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 2 R, åñëè äëÿ ëþ-

(ëåâîñòîðîííåãî ïðåäåëà). Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ

ëåâîñòîðîííèì ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 2 R, åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå Æ = Æ (") > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x0 Æ < x < x0 , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî jf (x) Aj < ". Ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë îáîçíà÷àþò ÷åðåç f (x0 0) è ïðè ýòîì ïèøóò

lim 0 f (x) = f (x0

x!x0

0) :

R

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè â òî÷êå x0 2 ó ôóíêöèè y = f (x) ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë, òî â ýòîé æå òî÷êå ñóùåñòâóþò è ðàâíûå ìåæäó ñîáîþ îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ýòîé ôóíêöèè è íàîáîðîò, ò.å.

lim f (x) = A

x!x0 3

,

f (x0 0) = f (x0 + 0) = A :

Åäèíñòâåííîñòü êîíå÷íîãî ïðåäåëà

Âûøå ìû ðàññìîòðåëè ðàçëè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè. Âîçíèêàåò âîïðîñ: âñåãäà ëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë ó äàííîé ôóíêöèè y = f (x), à åñëè ñóùåñòâóåò, òî åäèíñòâåííûé ëè îí?

Òåîðåìà 1 (î åäèíñòâåííîñòè êîíå÷íîãî ïðåäåëà). Åñëè â òî÷êå x0 2 R äàííàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, òî îí åäèíñòâåííûé.

R

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî â äàííîé òî÷êå x0 2 ñóùåñòâóþò äâà ðàçëè÷íûõ ïðåäåëà lim f (x) = A1 è lim f (x) = A2 (A1 6= A2 ). x!x0 x!x0 Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî 8" > 0 Æ

9Æ1 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ1 ) : jf (x) A1 j < 2" ; Æ

9Æ2 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ2 ) : jf (x) A2 j < 2" :

(1) (2)

Î÷åâèäíî, ÷òî óòâåðæäåíèÿ (1) è (2) òåì áîëåå áóäóò èìåòü ìåñòî, åñëè çàìåíèòü â íèõ Æ1 è Æ2 íà Æ = minfÆ1 ; Æ2 g, à òîãäà îêàçûâàåòñÿ, ÷òî

Æ

8" 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : jA2 A1 j 6 jA2 f (x)j + jA1 f (x)j < 2" + 2" = " :

áîãî " > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå Æ = Æ (") > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x0 < x < x0 + Æ , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî jf (x) Aj < ".

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷èñëî " âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî è ìû ìîæåì âçÿòü åãî, óäîâëåòâîðÿþùèì íåðàâåíñòâàì 0 < " < jA2 A1 j. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò òåîðåìó. 

23

24

Ÿ 4

1

Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà. Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë

Äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî ïðåäåëà

Æ

Åñëè ôóíêöèè '(x), (x) è f (x) îïðåäåëåíû â U (x0 ; Æ), ïðè÷åì, â ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà '(x) 6 f (x) 6 (x) è, êðîìå òîãî, xlim !x0 '(x) = xlim !x0 (x) = A, òî è xlim !x0 f (x) = A.

Òåîðåìà 1.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïî óñëîâèþ òåîðåìû lim '(x) = A è lim (x) = A.  x!x0 x!x0 ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ýòî îçíà÷àåò, ÷òî 8" > 0

Æ

9Æ1 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ1 ) : A " < '(x) < A + " ; Æ

9Æ2 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ2 ) : A " < (x) < A + " :

(1) (2)

Óòâåðæäåíèÿ (1) è (2) òåì áîëåå áóäóò èìåòü ìåñòî, åñëè çàìåíèòü â íèõ Æ1 è Æ2 íà Æ = minfÆ1 ; Æ2 g. Òîãäà

A " < '(x) 6 f (x) 6 (x) < A + "

)

A " < f (x) < A + " ;



à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî lim f (x) = A. x!x0 2

Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë

B C O

x R

Äîïóñòèì, ÷òî x  íåêîòîðûé îñòðûé óãîë (ðèñ. 13). Ïóñòü S4OAB , S4OAC  ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ OAB , OAC è S^OAB  ïëîùàäü ñåêòîðà OAB . Èç ðèñóíêà ÿñíî, ÷òî

S4OAB < S^OAB < S4OAC ;

A

lim

x!+0

sin x = 1: x

sin x

Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî x < 0 è íàéäåì lim . Ïîëîæèì x = y , òîãäà x! 0 x sin x = sin( y ) = sin y . Èìååì

sin y sin y lim 0 sin x = ylim !+0 y = ylim !+0 y = 1 : x

x!

Èòàê, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì ïðåäåë, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ïåðâûì

÷àòåëüíûì ïðåäåëîì

çàìå-

sin x = 1: (3) x Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå '(x)= (x), â êîòîðîì '(x) ! 0, (x) ! 0 ïðè x ! x0 , íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ âèäà 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññìîòðåí0 íûé âûøå ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë (3) â òî÷êå x0 = 0 ïðåäñòàâëÿåò 0 ñîáîþ íåîïðåäåëåííîñòü . Íàõîæäåíèå ïðåäåëà ýòîãî âûðàæåíèÿ íàçûâà0 lim

x!0

åòñÿ ðàñêðûòèåì ýòîé íåîïðåäåëåííîñòè. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå íåîïðåäåëåííîñòè 1 âèäà , 1 1, 0
1, 00 , 10 , 11 è ò. ä.

1

3

Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ó ìîíîòîííîé ôóíêöèè

Îñòàíîâèìñÿ åùå íà îäíîì ïðèçíàêå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ó òàê íàçûâàåìûõ ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. Ïðåäâàðèòåëüíî äàäèì ñëåäóþùèå âàæíûå îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 1.

òî åñòü

1 R2 sin x < 1 R2 x < 1 R2 tg x ) sin x < x < tg x : 2 2 2 Ðèñ. 13. Ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî x  îñòðûé óãîë, çíà÷èò, sin x > 0, à òîãäà èìååì x < 1 1< ) cos x < sinx x < 1 : sin x cos x Ïîêàæåì, ÷òî lim cos x = 1.  ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà äëÿ 8" > 0 x!0 p p ñóùåñòâóåò Æ > 0, à èìåííî òàêîå Æ = 2", ÷òî åñëè ïîëîæèòü jxj < 2", òî

òîãäà

à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî lim cos x = 1. x!0 Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â ñèëó äîêàçàííîé âûøå òåîðåìû

2

j1 cos xj = 2 sin2 x2 < x2 < " ; 25

1)

2)

3)

Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñíèçó íà ìíîæåñòâå X , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî m 2 , ÷òî 8x 2 X : m 6 f (x).

R

Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñâåðõó íà ìíîæåñòâå X , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M 2 , ÷òî 8x 2 X : f (x) 6 M .

R

Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X , åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà m; M 2 , ÷òî 8x 2 X : m 6 f (x) 6 M .

R

Îïðåäåëåíèå 2. 1)

Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåóáûâàþùåé íà ïðîìåæóòêå X (êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì), åñëè äëÿ ëþáûõ x1 2 X è x2 2 X ñïðàâåäëèâî óñëîâèå x1 < x2 ) f (x1 ) 6 f (x2 ). Åñëè x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 ), òî ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ñòðîãî âîçðàñòàþùåé. 26

2)

3)

Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé íà ïðîìåæóòêå X (êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì), åñëè äëÿ ëþáûõ x1 2 X è x2 2 X ñïðàâåäëèâî óñëîâèå x1 < x2 ) f (x1 ) > f (x1 ). Åñëè x1 < x2 ) f (x1 ) > f (x2 ), òî f (x) íàçûâàåòñÿ ñòðîãî óáûâàþùåé. Ôóíêöèè íåâîçðàñòàþùèå, ñòðîãî óáûâàþùèå, íåóáûâàþùèå è ñòðîãî âîçðàñòàþùèå íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè íà ïðîìåæóòêå X .

Æ U (x0 ; Æ ), ãäå

Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) ìîíîòîííà è îãðàíè÷åíà â òî òîãäà ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ëåâîñòîðîííèé è ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåëû ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 . (Áåç äîêàçàòåëüñòâà). Òåîðåìà 3. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) íå óáûâàåò (íå âîçðàñòàåò) íà áåñêîíå÷íîì ïðîìåæóòêå X è îãðàíè÷åíà ñâåðõó (ñíèçó), òî îíà èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë. (Áåç äîêàçàòåëüñòâà). Òåîðåìà 2.

x0 2 R,

Ÿ 5

Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë

1

Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íóþ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü an , n = 1; 2; 3; : : : Íàïðèìåð, ýòî ìîæåò áûòü àðèôìåòè÷åñêàÿ èëè ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, èëè, ñêàæåì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1 an = ; è bn = ( 1)n ; n êîòîðûå ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 1 1 1 1 ; 1 ; 1 ; : : : ; ( 1)n ; : : : : 1; ; ;::: ; ;::: ; è

2 3

n

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ÷èòàåòñÿ çàäàííîé, åñëè óêàçàíî ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå åãî îáùåãî ÷ëåíà an ïî åãî ïîðÿäêîâîìó íîìåðó n. Î÷åâèäíî, ÷òî íà an ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà ôóíêöèþ åãî ïîðÿäêîâîãî íîìåðà, ò. å. an = f (n). Èíîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò âàðèàíòîé. Îïðåäåëåíèå 1. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî A ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (âàðèàíòû) an , åñëè äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà " ìîæíî óêàçàòü òàêîé íîìåð N = N ("), ÷òî äëÿ âñåõ n, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî n > N ("), ñëåäóåò jA an j < ". Ïðè ýòîì ïèøóò

lim a = A èëè an ! A ïðè n ! 1 : n!1 n Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ôóíêöèè, òî äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìåþò ìåñòî îñíîâíûå òåîðåìû, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ïðåäåëà ôóíêöèè. 27

2

Âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë

Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

 n un = 1 + 1 ; n

n2N:

(1)

èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî îíà ñòðîãî âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû áèíîìà Íüþòîíà

n(n 1) an 2 b2 + : : : + n(n 1)
: : :
(n (n 1)) bn (a + b)n = an + nan 1 b + 1
2 1
2
:::
n

èìååì

 n(n 1) : : : 1 1 n n(n 1) n(n 1)(n 2) + + ::: + = un = 1 + =2+ n 2!n2 3!n3 n!nn 











1 1 1 1 2 1 + 1 1 + ::: (2) 2! n 3! n n      1 2 n 1 1 1 1
:::
1 : ::: + n! n n n Èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî un > 2 äëÿ ëþáîãî n 2 N. Êðîìå òîãî, íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îò n ê n + 1 êàæäîå ñëàãàåìîå â =2+

ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2) óâåëè÷èâàåòñÿ è, êðîìå òîãî, äîáàâëÿåòñÿ íîâîå ïîëîæèòåëüíîå ñëàãàåìîå. Ïîýòîìó un < un+1 äëÿ âñåõ n 2 . Îöåíèì òåïåðü un ñâåðõó. Î÷åâèäíî, ÷òî

N







1 1 1 1 1 1 un < 2+ + + : : : + < 2+ + 2 + : : : + n 1 = 2+ 1 2! 3! n! 2 2 2

1



< 3: 2n 1

Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà, ò. å. 2 6 un < un+1 < 3. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1) ñõîäèòñÿ. Îáîçíà÷èì åå ïðåäåë áóêâîé e:   1 n = e: lim 1 + (3) n!1 n

×èñëî e = 2:718281828 : : : åñòü èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå ÷èñëîì Íåïåðà. Ïðåäåë (3) íàçûâàåòñÿ âòîðûì çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì. Êðîìå òîãî, ìîæíî äîêàçàòü òàêæå, ÷òî   1 x lim 1 + =e è lim (1 + x)1=x = e : x!1 x!0 x

28

y y = ex y = ln x 1

0

1

x

Ðèñ. 14.

Ÿ 6

×èñëî e ïîëîæåíî â îñíîâàíèå ëîãàðèôìîâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè ëîãàðèôìàìè è îáîçíà÷àþòñÿ òàê: loge a = ln a. ßñíî, ÷òî åñëè ln a = b, òî eb = a.  ìàòåìàòèêå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ôóíêöèÿ y = ex , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíòîé è èíîãäà îáîçíà÷àåòñÿ y = exp(x), à òàêæå ôóíêöèÿ y = ln x. Ýòè ôóíêöèè âçàèìíî îáðàòíû, âîçðàñòàþò è ãðàôèêè èõ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû ïåðâîãî è òðåòüåãî êîîðäèíàòíîãî óãëà. Ïðèâåäåì èõ ãðàôèêè (ðèñ. 14).

à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî

R

1) Ôóíêöèÿ '(x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå x0 2 , åñëè

lim '(x) = 0 :

x!x0

R

2) Ôóíêöèÿ (x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé â òî÷êå x0 2 , åñëè

lim

x!x0

j (x)j = +1 :

Ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. 1) Ôóíêöèÿ y = f (x) â òî÷êå x0 èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë xlim !x0 f (x) = A.

Òåîðåìà 2.

2) Ôóíêöèÿ '(x) = f (x) A ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé â òî÷êå x0 . Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü lim f (x) = A, ãäå x0 x!x0

2 R, A  êîíå÷íîå ÷èñëî. Ýòî çíà÷èò, ÷òî Æ

8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : ãäå '(x) = f (x)

j'(x)j < " ;

A, ò.å. '(x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå x0 .

2) Ïóñòü òåïåðü '(x) = f (x)

A åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå x0 , ò. å. Æ 8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : j'(x)j < " ;

ò.å. jf (x)

Aj < ", à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî xlim !x f (x) = A. 0

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Òåîðåìà 1.

1) Åñëè '(x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 , òî '(1x) åñòü áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ â ýòîé òî÷êå ïðè óñëîâèè, ÷òî '(x) = 6 0 â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 . 2) Åñëè (x) åñòü áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 , òî (1x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà x0  êîíå÷íîå âåùå-

ñòâåííîå ÷èñëî. Âîçüìåì ëþáîå ÷èñëî K > 0. Ïóñòü '(x) ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ôóíêöèåé â òî÷êå x0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

Æ

8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :

j'(x)j < " : 1 "

Âîçüìåì â êà÷åñòâå " òàêîå ÷èñëî, ÷òîáû K = , òîãäà 1 '(x)



Âòîðàÿ ÷àñòü òåîðåìû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.

Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå 1.

1  áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ. '(x)

1 > 1 ò.å. xlim !x0 j'(x)j = +1 ; " 29

 Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè áû óäàëîñü îïðåäåëèòü áåñêîíå÷íî ìàëóþ ôóíêöèþ, íå èñïîëüçóÿ ïîíÿòèÿ ¾ïðåäåë¿, òî îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè áûëî áû ìîæíî äàòü ïî-äðóãîìó (ñì. íèæå).

R

Ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 2 íàçûâàåòñÿ òàêîå ïîñòîÿííîå ÷èñëî A, ðàçíîñòü ìåæäó êîòîðûì è ôóíêöèåé y = f (x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ.

Îïðåäåëåíèå 2.

Áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè èãðàþò ñóùåñòâåííóþ ðîëü â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå, è â äàëüíåéøåì ïðè äîêàçàòåëüñòâå ðàçëè÷íûõ òåîðåì ìû áóäåì ïåðåõîäèòü îò ðàññìîòðåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè ê ðàññìîòðåíèþ áåñêîíå÷íî ìàëîé ôóíêöèè '(x) = f (x) A â òî÷êå x0 . Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó äîêàçàííîé âûøå òåîðåìû òàêîé ïåðåõîä çàêîíîìåðåí.

Åñëè ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , à ôóíêöèÿ '(x)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå x0 , òî èõ ïðîèçâåäåíèå f (x)
'(x) åñòü ôóíêöèÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â ýòîé òî÷êå.

Òåîðåìà 3.

30

Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , çíà÷èò, ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî K > 0, ÷òî 8x 2 U (x0 ; Æ ) : jf (x)j < K . Ôóíêöèÿ '(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå x0 , çíà÷èò Æ

8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : Òîãäà îêàçûâàåòñÿ

j'(x)j < K" :

Æ 8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :

Åñëè ôóíêöèÿ f (x) â òî÷êå x0 èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, îòëè÷íûé îò íóëÿ, à ôóíêöèÿ g(x)  áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ â ýòîé òî÷êå, òî èõ ïðîèçâåäåíèå f (x)
g(x) åñòü ôóíêöèÿ, áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ â òî÷êå x0 . (Áåç äîêàçàòåëüñòâà)

Òåîðåìà 4.

Òåîðåìû î êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ

Åñëè â òî÷êå x0 2 R ôóíêöèÿ f (xÆ ) èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, òî â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U (x0 ; Æ) ôóíêöèÿ f (x) îãðàíè÷åíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû, â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f (x) èìååò êîÒåîðåìà 1

(Áåç äîêàçàòåëüñòâà) Åñëè â òî÷êå x0 2 R ôóíêöèè f1 (x) è f2 (x) èìåþò êîíå÷íûå ïðåäåëû

(îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè, èìåþùåé êîíå÷íûé ïðåäåë).

íå÷íûé ïðåäåë. Ýòî îçíà÷àåò

Æ

8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :

jf (x) Aj < " , A " < f (x) < A + " ; ò.å. ôóíêöèÿ y = f (x) îãðàíè÷åíà â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 .  31

lim f1 (x) = A è xlim !x0 f2 (x) = B ;

x!x0

òî èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òåîðåìû. Òåîðåìà 3.

lim (f1 (x) + f2 (x)) = xlim !x f1 (x) + xlim !x f2 (x) :

x!x0

0

0

R

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà x0 2 , ò.å. x0 ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì âåùåñòâåííûì ÷èñëîì. Ïóñòü lim f1 (x) = A è lim f2 (x) = B . Òîãäà 8" > 0 x!x0 x!x0 Æ

9Æ1 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ1 ) :

j'1 (x)j < " ;

ò.å. " < '(x) < " , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî '1 (x) îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 . Òîãäà íà ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé '1 (x)
'2 (x) ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî ìàëîé è îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè. 

Ÿ 7

Åñëè â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå ïðåäåëû xlim !x0 '(x) = A, xlim !x0 (x) =

'(x) 6 (x) è B , òî A 6 B .

Æ

8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : jf (x)
'(x)j < " ; à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî f (x)
'(x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 .  Ñëåäñòâèå 3. Ïðîèçâåäåíèå C
'(x) ïîñòîÿííîé C íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ ôóíêöèþ '(x) â òî÷êå x0 åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â ýòîé òî÷êå. Ñëåäñòâèå 4. Ïðîèçâåäåíèå '1 (x)
'2 (x) áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé '1 (x) è '2 (x) â òî÷êå x0 åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ â ýòîé òî÷êå. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó '1 (x)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ â òî÷êå x0 , òî

Òåîðåìà 2.

Æ

9Æ2 > 0 8x 2 U (x0 ; Æ2 ) :

A

" < f (x) < A + " ; 1 2 2

(1)

B

" < f (x) < B + " : 2 2 2

(2)

Âîçüìåì Æ = minfÆ1 ; Æ2 g, òîãäà îáà óòâåðæäåíèÿ (1) è (2) îñòàíóòñÿ â ñèëå, à òîãäà, ïðèíÿâ âî âíèìàíèå, ÷òî íåðàâåíñòâà, èìåþùèå îäèíàêîâûé çíàê, ìîæíî ïî÷ëåííî ñêëàäûâàòü, ïîëó÷èì

Æ

8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) : (A + B ) " < f1 (x) + f2 (x) < (A + B ) + " ; à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî lim (f1 (x) + f2 (x)) = lim f1 (x) + lim f2 (x). x!x0 x!x0 x!x0



Òåîðåìà 4.

lim (f1 (x) f2 (x)) = xlim !x0 f1 (x) xlim !x0 f2 (x) :

x!x0

Äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü f2 (x) = ñâåäåòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó ïðåäûäóùåé òåîðåìû.

Äîêàçàòåëüñòâî. Òåîðåìà 5.

f2 (x) è äîêàçàòåëüñòâî

lim (f1 (x)
f2 (x)) = xlim !x0 f1 (x)
xlim !x0 f2 (x) :

x!x0

32



Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü lim f1 (x) = A è lim f2 (x) = B , òîãäà f1 (x) = x!x0 x!x0 A + (x) è f2 (x) = B + (x), ãäå (x) è (x)  áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè â òî÷êå x0 . Òîãäà

p

Ïðèìåð 5. Ðåøåíèå.

lim (f1 (x)
f2 (x)) = xlim !x0 (A + (x))
(B + (x)) =

x!x0

= xlim !x A
B + B xlim !x (x)+ A xlim !x (x)+ xlim !x (x)
(x) = A
B : 0

0

0

0

Ïðèìåð



(Áåç äîêàçàòåëüñòâà) Ïðèìåð 1.

Âû÷èñëèòü lim x!0 x

x

1

ïðè óñëîâèè, ÷òî xlim !x0 f2 (x) 6= 0 :

Ðåøåíèå.

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êå x = 0 äàííîå âûðàæåíèå ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ðàâíîå 0. Ïðè x = 0 çäåñü íåò íåîïðåäåëåííîñòè, òàêèì îáðàçîì

x = 0: lim x!0 x 1

Ïðèìåð 2.

Âû÷èñëèòü lim x!1 x

Ïðèìåð 7. Ðåøåíèå.

.

x . 1

Ïðèìåì âî âíèìàíèå ñâÿçü ìåæäó áåñêîíå÷íî ìàëîé è áåñêîíå÷íî áîëüøîé ôóíêöèåé. Î÷åâèäíî, ÷òî

lim

Ïðèìåð 3.

x3 1 . Âû÷èñëèòü lim 2 x!1 x 1

x = 1: 1

0


(x 1) x2 + x + 1 x3 1 x2 + x + 1 3 lim = lim = lim = : 2 x!1 x x!1 x + 1 1 x!1 (x 1)(x + 1) 2 x3 + x2 . Ïðèìåð 4. Âû÷èñëèòü lim x!0 x3 + x2 + x

Ðåøåíèå.

x3 + x2 = lim x2 (x + 1) = lim x(x + 1) = 0 : lim x!0 x3 + x2 + x x!0 x (x2 + x + 1) x!0 x2 + x + 1 33





  x 1+ 1 x x +1 1 lim = lim = lim 1 + = 1: x!1 x x!1 x!1 x x x5 + 2x4 x3 + 2 . Âû÷èñëèòü lim x!1 2x5 x4 + x 1 



Çàìåòèì, ÷òî ïîâåäåíèå ìíîãî÷ëåíà íà áåñêîíå÷íîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì åãî ñòàðøåé ñòåïåíè. Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè äàííîãî ïðèìåðà ìîæíî áûëî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü çàìåíèòü íà ýêâèâàëåíòíûå èì ñòàðøèå ñòåïåíè, ò.å.

Ïðèìåð 8.

x5 + 2x4 x3 + 2 = lim x5 = 1 : lim x!1 2x5 x4 + x 1 x!1 2x5 2 p4 3 p 3 x +px + 1 x 1. Âû÷èñëèòü lim 3 2 x!+1 x +x 1

Çàìåíÿÿ ìíîãî÷ëåíû, ñòîÿùèå ïîä êîðíåì, íà ýêâèâàëåíòíûå èì ñòàðøèå ñòåïåíè, ïîëó÷èì p4 3 p x +px + 1 3 x 1 x3=4 x1=3 = lim x3=4 = +1 : lim = x!lim 3 2 x!+1 x2=3 x!+1 + 1 x2=3 x +x 1

Ðåøåíèå.

Î÷åâèäíî, ÷òî ìû èìååì íåîïðåäåëåííîñòü . Ðàçëîæèì ÷èñëè0 òåëü è çíàìåíàòåëü íà ìíîæèòåëè

Ðåøåíèå.

p

x5 1 + 2 12 + 25 5 + 2x4 x3 + 2 x x x  1 x  = : lim = xlim !1 5 x!1 2x5 x4 + x 1 2 1 1 1 x 2 + 4 5 x x x

Ðåøåíèå.

x!1 x

p

x( x 1) x 1 lim x x x = xlim x!1 x 1 !1 (px 1)(px + 1) = xlim !1 px + 1 = 2 : x + 1. 6. Âû÷èñëèòü lim x!1 x

Òåîðåìà 6.

  f1 (x) = xlim !x0 f1 (x) lim x!x0 f2 (x) lim f (x) x!x0 2

x x x . 1

Âû÷èñëèòü lim x!1 x

Ïðèìåð 9. Ðåøåíèå.

sin 3x

Âû÷èñëèòü lim . x!0 sin 5x Ïðèíèìàÿ

âî

âíèìàíèå

ïåðâûé

çàìå÷àòåëüíûé

sin x lim = 1, çàïèøåì äàííûé ïðåäåë òàê x!0 x 3x
sin 3x 3x 3 sin 3 x 3x = lim = xlim lim !0 5x = 5 : x!0 sin 5x x!0 5x
sin 5x 5x 34

ïðåäåë

Ïðèìåð 10.

Âû÷èñëèòü lim x!0 1

sin2 x . cos x

3) Ãîâîðÿò, ÷òî (x) è (x) ýêâèâàëåíòíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå â òî÷êå x0 , åñëè (x) lim = 1. Ïðè ýòîì ïèøóò (x)  (x) ïðè x ! x0 . x!x0 (x)

Ðåøåíèå.

 x x x 2 x 2 sin
cos 4 sin2
cos2 2x sin2 x sin 2 2 2 2 = 2: lim = xlim = xlim = lim x!0 1 cos x x!0 2 sin2 x !0 !0 2 sin2 x 2 sin2 x 2 2 2 Çàìåòèì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè äàííîãî ïðåäåëà ìû ó÷ëè, ÷òî cos 0 = 1. 

Ïðèìåð 11.

 x +1 x Âû÷èñëèòü lim . x!+1 x + 2

x!x0

Çàìåòèì, ÷òî ìû èìååì íåîïðåäåëåííîñòü 11 . Ïðèìåì âî âíèìà  1 x íèå âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë lim 1 + = e. Òîãäà äàííîå âûðàx!1 x æåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê Ðåøåíèå.

  x x  (x + 2)x x + 1 x + 2 1 1 (x + 2) = lim = x! lim = x!lim x!+1 x + 2 +1 x + 2 +1 1 + (x + 2) x 2 3 (x + 2) 

6 6 6 6 6 = x!lim 1+ +1 6 6 6| 6 4

Ÿ 8

Ïðîèçâåäåíèå äâóõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì êàæäûé èç ñîìíîæèòåëåé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (x) ! 0 è (x) ! 0 ïðè x ! x0 , òîãäà lim (x)
(x) = lim (x) = 0 è lim (x)
(x) = lim (x) = 0 :

Òåîðåìà 1.

7| 7  (x+2) 7 7 1 7 7 7 (x + 2) {z }7 7 5

{z

#

1

}

=e 1:

# e

x!x0

(x)

(x) (x) = 1 lim (x) = 1 1 = 0 : x!x0 (x) (x) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü â òî÷êå x0 ðàçíîñòü (x) (x) åñòü áåñêîíå÷íî (x) (x) ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì (x), ò.å. lim = 0, x!x0 (x) òîãäà (x) = 1 lim (x) (x) = 1 0 = 1 : lim x!x0 x!x0 (x) (x) lim

3

(ïðèíöèï çàìåíû íà ýêâèâàëåíòíóþ).

â òî÷êå x0 , òî

lim

Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé

Äîêàçàòåëüñòâî.

áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìà-

2) Ãîâîðÿò, ÷òî áåñêîíå÷íî ìàëûå (x) è (x) èìåþò îäèíàêîâûé ïîðÿäîê

(x) ìàëîñòè â òî÷êå x0 , åñëè xlim !x0 (x) = k, ãäå k - êîíå÷íîå ÷èñëî, k 6= 0. 35

(x)

x!x0 (x)

= xlim !x

0

 Åñëè (x)  1 (x),

1 (x) : 1 (x)

Ïî óñëîâèþ òåîðåìû,

lim

Îïðåäåëåíèå 1.

(x) ëîñòè, ÷åì (x) â òî÷êå x0 , åñëè xlim !x0 (x) = 0. Ïðè ýòîì ïèøóò (x) = o ( (x)) ïðè x ! x0 .

x!x0

x!x0

(x)  1 (x)

1) Ãîâîðÿò, ÷òî (x) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ

(x)

 Òåîðåìà 2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû áåñêîíå÷íî ìàëûå (x) è (x) áûëè ýêâèâàëåíòíû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èõ ðàçíîñòü áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì êàæäàÿ èç íèõ. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü (x)  (x) ïðè x ! x0 , òîãäà

Òåîðåìà

Ðàññìîòðèì â òî÷êå x0 áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè (x) è (x).

x!x0

x!x0

ñëåäîâàòåëüíî,

(x) = lim (x) = 1 ; 1 (x) x!x0 1 (x)

(x) = lim (x)
1 (x)
1 (x) = x!x0 1 (x) 1 (x) (x)  (x) 1 (x) 1 (x) 1 (x) = xlim !x0 1 (x)
xlim !x0 1 (x)
xlim !x0 (x) = xlim !x0 1 (x) : lim

x!x0 (x)

36



sin x = 1. Îòñþäà ìîæíî

Ìû äîêàçàëè ðàíåå çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë lim x!0 x ñäåëàòü âûâîä, ÷òî sin x  x ïðè x ! 0. Ïðèìåð 1.

Âû÷èñëèòü lim x!0

lim
f (x; x0 ) = 0

x!x0

arcsin x . x

òî åñòü

Ñäåëàåì çàìåíó arcsin x = t, òîãäà x = sin t. Î÷åâèäíî, ÷òî t ïðè x ! 0. Òîãäà èìååì

Ðåøåíèå.

!0

t arcsin x = tlim !0 sin t = 1 : x Çàìåòèì, ÷òî ìû ïîïóòíî óñòàíîâèëè, ÷òî arcsin x  x ïðè x ! 0. Ïðè lim

x!0

ðåøåíèè ïðèìåðîâ â äàëüíåéøåì ýòèì ôàêòîì ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ êàê î÷åâèäíûì. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî tg x  x è arctg x  x ïðè x ! 0. Ïðèìåð 2.

Ðåøåíèå.

Òîãäà

Î÷åâèäíî è îáðàòíîå ñîîòíîøåíèå

1 cos 2x

Âû÷èñëèòü lim . x!0 arcsin 3x

Ïðèìåì âî âíèìàíèå ôîðìóëó óäâîåíèÿ óãëîâ 1 cos 2x = 2 sin2 x.   2 sin2 x 2x2 0 1 cos 2x = = lim = lim = 0: lim x!0 arcsin 3x x!0 3x x!0 arcsin 3x 0

1

Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå

öèè â òî÷êå

Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 . Îïðåäåëåíèå 1.

Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé

â òî÷êå x0 , åñëè

lim f (x) = f (x0 ) :

x!x0

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) è äîïóñòèì, ÷òî îíà íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , ò.å.

lim f (x) = f (x0 ) x!x0

)

lim (f (x) f (x0 )) = xlim x!x0 !x0 f (x) f (x0 ) = 0 :

Îáîçíà÷èì
f (x; x0 ) = f (x) f (x0 ) è íàçîâåì ýòó ðàçíîñòü ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 , ñîîòâåòñòâóþùèì ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà
x = x x0 . ßñíî, ÷òî
x ! 0, åñëè x ! x0 . Òàêèì îáðàçîì,

lim f (x) = f (x0 )

x!x0

) 37

lim
f (x; x0 ) = 0 :

x!x0

,

lim
f (x; x ) = 0 :

Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 , åñëè áåñêîíå÷íî ìàëîìó ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà â ýòîé òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè, ò.å. åñëè lim
f (x; x0 ) = 0. x!x0 Åñëè âñïîìíèòü îïðåäåëåíèå êîíå÷íîãî ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå x0 , òî î÷åâèäíî, ÷òî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå ìîæíî îïðåäåëèòü èíà÷å.

Îïðåäåëåíèå 2.

Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 , åñëè âñÿêîìó " > 0 ìîæíî óêàçàòü òàêîå Æ > 0, ÷òî èç íåðàâåíñòâà jx x0 j < Æ ñëåäóåò íåðàâåíñòâî jf (x) f (x0 )j < ".

Îïðåäåëåíèå 3.

 çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî ïðèâåäåííûå îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå x0 ýêâèâàëåíòíû, ò.å. èç îäíîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàþò äðóãèå. Îäíîñòîðîííÿÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå

Îïðåäåëåíèå 4.

Ðàçëè÷íûå ôîðìóëèðîâêè îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíê-

lim f (x) = f (x0 ) ;

x!x0

0 0 x!x0 x!x0 Ïðèíÿâ âî âíèìàíèå âûøåñêàçàííîå, ìîæíî äàòü äðóãîå îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå x0 .

2 Ÿ 9

lim f (x) = f (x )

)

åñëè

Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé

â òî÷êå x0 ñïðàâà,

1) ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå çíà÷åíèå f (x0 ), 2) ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåë

lim f (x) = f (x0 + 0),

x!x0 +0

3) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå f (x0 ) = f (x0 + 0). Îïðåäåëåíèå 5.

åñëè

Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ

íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 ñëåâà,

1) ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå çíà÷åíèå f (x0 ), 2) ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë 3) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå f (x0 ) = f (x0

lim 0 f (x) = f (x0

x!x0

0),

0).

 çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì åùå îäíî îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå x0 . Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé îíà â ýòîé òî÷êå íåïðåðûâíà è ñëåâà, è ñïðàâà.

Îïðåäåëåíèå 6.

38

â òî÷êå x0 , åñëè

3

Ñâîéñòâà ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ â òî÷êå

Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 è f (x0 ) 6= 0, òî ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ îêðåñòíîñòü U (x0 ; Æ), â êîòîðîé ôóíêöèÿ èìååò òàêîé æå çíàê, ÷òî è â òî÷êå x0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè f (x0 ) > 0. Ïîñêîëüêó f (x) Òåîðåìà 1.

íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

8" > 0 9Æ > 0 8x 2 U (x0 ; Æ) :

f (x0 ) " < f (x) < f (x0 ) + " :

Òàê êàê " ìîæíî âûáðàòü ëþáûì, òî ïîëîæèì " = f (x0 )=2. Òîãäà áóäåò â ñèëó ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâ f (x) > f (x0 )=2 , ò.å. f (x) > 0 äëÿ 8x 2 U (x0 ; Æ ).

 Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèè f1 (x) è f2 (x) íåïðåðûâíû â òî÷êå x0 , òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ 1) ôóíêöèÿ c
f1 (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 (c = const), 2) ôóíêöèÿ f1 (x)  f2 (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , 3) ôóíêöèÿ f1 (x)
f2 (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , 4) ôóíêöèÿ ff12 ((xx)) (f2 (x0 ) =6 0) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì îäíî èç ýòèõ óòâåðæäåíèé (îñòàëüíûå äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî), à èìåííî: ïðîèçâåäåíèå f1 (x)
f2 (x) íåïðåðûâíî â òî÷-

êå x0 . Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ f1 (x0 ) è f2 (x0 ), ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò è êîíå÷íîå çíà÷åíèå f1 (x0 )
f2 (x0 ). Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóþò

lim f1 (x) = f1 (x0 ) ;

lim f2 (x) = f2 (x0 ) :

x!x0

x!x0

(íåïðåðûâíîñòü îáðàòíîé ôóíêöèè). Åñëè ôóíêöèÿ y = y (x) ñòðîãî âîçðàñòàåò (ñòðîãî óáûâàåò) íà îòðåçêå [a; b] è íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 2 (a; b), òî ó íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = x(y), êîòîðàÿ ñòðîãî âîçðàñòàåò (ñòðîãî óáûâàåò) íà îòðåçêå [p; q], ãäå p = y (a), q = y (b) è íåïðåðûâíà â òî÷êå y0 = y (x0 ). (Áåç äîêàçàòåëüñòâà). Òåîðåìà 5 (íåïðåðûâíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé). Ëþáàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. (Áåç äîêàçàòåëüñòâà). Òåîðåìà 4

4

Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ îò íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé

 ñèëó òåîðåìû î íåïðåðûâíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîé ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå 



lim f (x) = f xlim x!x0 !x0 x = f (x0 ) ; ýòî îáñòîÿòåëüñòâî óïðîùàåò ïîäõîä ê âû÷èñëåíèþ ìíîãèõ ïðåäåëîâ îò ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ïðèìåð 1.

Âû÷èñëèòü lim x!0

ln(1 + x) . x

Ðåøåíèå.

ln(1 + x) 1=x = ln  lim (1 + x)1=x  = ln e = 1 : = xlim ln(1 + x ) !0 x!0 x Êðîìå òîãî, ìû ïîïóòíî ïîêàçàëè, ÷òî ln(1 + x)  x ïðè x ! 0. ex 1 . Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü lim x!0 x lim x!0

À ýòî è ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå f1 (x)
f2 (x) íåïðåðûâíî â òî÷êå x0 . 

Çàìåíÿÿ ÷èñëèòåëü íà ýêâèâàëåíòíóþ âåëè÷èíó, ïîëó÷èì ex 1 = lim ln (ex 1 + 1) = lim ln ex = lim x ln e = 1 : lim x!0 x x!0 x!0 x x!0 x x x Îòñþäà, e 1  x ïðè x ! 0. ax 1 . Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü lim x!0 x

(íåïðåðûâíîñòü ñëîæíîé ôóíêöèè). Åñëè ôóíêöèÿ t = g (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , à ôóíêöèÿ f (t) íåïðåðûâíà â òî÷êå t0 , ãäå t0 = g (x0 ), òî ôóíêöèÿ f (g (x)) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , ò.å. ñóïåðïîçèöèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íåïðåðûâíà â äàííîé òî÷êå. (Áåç äîêàçàòåëüñòâà).

Çàìåíÿÿ ÷èñëèòåëü íà ýêâèâàëåíòíóþ âåëè÷èíó, ïîëó÷èì ax 1 = lim ln (ax 1 + 1) = lim ln ax = lim x ln a = ln a : lim x!0 x x!0 x!0 x x!0 x x x Òî åñòü, a 1  x ln a ïðè x ! 0.

Çíà÷èò ñóùåñòâóåò

lim f1 (x)
f2 (x) = xlim !x f1 (x)
xlim !x f2 (x) = f1 (x0 )
f2 (x0 ) :

x!x0

0

0

Òåîðåìà 3

39

Ðåøåíèå.

Ðåøåíèå.

40

Ðåøåíèå.

Âû÷èñëèòü lim x!0

(1 + x) x

1

.

Ïðèìåð 8.

Çàìåíÿÿ ÷èñëèòåëü íà ýêâèâàëåíòíóþ âåëè÷èíó, ïîëó÷èì (1 + x) 1 ln ((1 + x) 1 + 1)

Ðåøåíèå.

Ïðèìåð 4.

lim x!0

= xlim = !0 x x ln(1 + x) ln(1 + x) = xlim = 
xlim = : !0 !0 x x Ñëåäîâàòåëüíî, (1 + x) 1  x ïðè x ! 0. (1 + arcsin x)8 1 Ïðèìåð 5. Âû÷èñëèòü lim . x!0 ln (1 + tg x)

Ðåøåíèå. Çàìåíÿÿ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà ýêâèâàëåíòíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå, ïîëó÷èì

  (1 + arcsin x)8 1 8 arcsin x 8x 0 lim = = xlim x!0 !0 tg x = xlim !0 x = 8 : ln (1 + tg x) 0 2x 3x Ïðèìåð 6. Âû÷èñëèòü lim . x!0 4x 5x Ðåøåíèå.

 x

2 3 0 2x 3 x   = = xlim lim !0 x 4 x x!0 4x 5x 0 5 5 x+1 arctg x +2 Ïðèìåð 7. Âû÷èñëèòü lim 1 x!1 sin x 3x

 

Ðåøåíèå.

Íàïîìíèì, ÷òî

tg( ) =

1 1

 

= xlim !0

2 3x ln

3 = ln 3 ln 2 : 4 ln 5 ln 4 5x ln 5

 4.

tg  tg 1 + tg 
tg

è, êðîìå òîãî, tg(arctg x) = x. Ïðåîáðàçóåì ÷èñëèòåëü 





x+1 tg arctg x+2 Òîãäà

 x+1 x+1 1 tg x + 2 4 1  =   : = x + x2 + 1 = 4 2 x +3 x + 1  1+ 1 + tg arctg
tg x+2 x+2 4 

tg arctg

arctg x + 1 x+2 lim 1 x!1 sin x

   1 4 = 0 = lim 2x + 3 = 1 : 1 x!1 0 2 x 41

Âû÷èñëèòü lim (cos x + 2 sin 3x)1= arcsin x . x!0 



ln(cos x + 2 sin 3x) lim (cos x + 2 sin 3x)1= arcsin x = [11 ] = xlim = x!0 !0 exp arcsin x       cos x + 2 sin 3x 1 = lim exp 2 sin 3x = lim exp 6x = e6 : = xlim x!0 x!0 !0 exp arcsin x arcsin x x 5

Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè íà çàìêíóòîì ïðîìåæóòêå

Ôóíêöèÿ f (x), íåïðåðûâíàÿ â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a; b], íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì îòðåçêå.

Îïðåäåëåíèå 7.

Çàìåòèì, ÷òî ïîä íåïðåðûâíîñòüþ ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà ïîíèìàåòñÿ åå îäíîñòîðîííÿÿ íåïðåðûâíîñòü. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ãðàôèêîì ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå, ñëóæèò ñïëîøíàÿ (íåïðåðûâíàÿ) ëèíèÿ íà ýòîì îòðåçêå, êîòîðóþ ìîæíî âû÷åðòèòü îäíèì äâèæåíèåì êàðàíäàøà, íå îòðûâàÿ åãî îò áóìàãè. Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü äîñòàòî÷íî î÷åâèäíûå ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ òåîðåìû, äàþùèå íàì ñâîéñòâà ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå.

Òåîðåìà 6 (1-ÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], òî íà ýòîì îòðåçêå îíà è îãðàíè÷åíà. Òåîðåìà 7 (2-ÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], òî ñðåäè åå çíà÷åíèé íà ýòîì îòðåçêå èìååòñÿ íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå çíà÷åíèå. Òåîðåìà 8 (1-ÿ òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè). Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è íà åãî êîíöàõ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, òî âíóòðè îòðåçêà íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà, â êîòîðîé ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü. Òåîðåìà 9 (2-ÿ òåîðåìà Áîëüöàíî-Êîøè). Åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], òî, ïðèíèìàÿ ëþáûå äâà çíà÷åíèÿ íà [a; b], ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò è âñÿêîå ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå.

Ÿ 10

Ðàçðûâ ôóíêöèè â òî÷êå. Êëàññèôèêàöèÿ ðàçðûâîâ

Òî÷êà x0 , ïðèíàäëåæàùàÿ ìíîæåñòâó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x) èëè ÿâëÿþùàÿñÿ åãî ãðàíè÷íîé òî÷êîé, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), åñëè â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ f (x) íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé.

Îïðåäåëåíèå 1.

Ïðèìåð 1.

Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y = x2 íà îòðåçêå [0; 2].

Ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé íà ýòîì ïðîìåæóòêå, ñëåäîâàòåëüíî, îíà íà íåì è íåïðåðûâíà.

Ðåøåíèå.

42

Ïðèìåð 2.

1)  òî÷êå x0 = 0 ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà. 2) y (+0) = lim e1=x = e+1 = +1. x!+0

Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè

y=



x ; x 2 ( 1; 1] x2 ; x 2 (1; +1)

3) y ( 0) = lim e1=x = e 1 = 0. x! 0 Âûâîä: ôóíêöèÿ y = e1=x â òî÷êå x0 = 0 ïðåòåðïåâàåò ðàçðûâ 2-ãî ðîäà (áåñêîíå÷íûé ðàçðûâ).

â òî÷êå x0 = 1. Ðåøåíèå.

1)  òî÷êå x0 = 1 ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà: y (1) = 1.

2) Ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåë â òî÷êå x0 : y (1 + 0) = lim x2 = 1. x!1+0 3) Ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë â òî÷êå x0 : y (1 4) Î÷åâèäíî, ÷òî y (1) = y (1 + 0) = y (1

0) = x!lim 1 0 x = 1.

Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y =

y=

x

tg x â òî÷êå x0 = 0. x

tg x â òî÷êå x = 0 íå îïðåäåëåíà. Äåéñòâèòåëüíî, â 0 x 0 tg x òî÷êå x0 = 0 èìååì íåîïðåäåëåííîñòü . Âûâîä: ôóíêöèÿ y = â òî÷êå 0 x x0 = 0 ðàçðûâíà. Ðåøåíèå.

y = x2

0) = 1.

Âûâîä: ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 = 1 íåïðåðûâíà. Ïðèìåð 3.

y

Ðèñ. 15.

Ïðèìåð 5.

Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè

Óñòàíîâëåíà íèæåñëåäóþùàÿ êëàññèôèêàöèÿ òî÷åê ðàçðûâà.

Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, èëè òî÷êîé êîíå÷íîãî ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), åñëè â ýòîé òî÷êå, îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû f (x0 + 0) è f (x0 0) êîíå÷íû, íî íå ðàâíû ìåæäó ñîáîé. ×èñëî ! = f (x0 + 0) f (x0 0) íàçûâàåòñÿ ñêà÷êîì ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 .

Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà, èëè òî÷êîé áåñêîíå÷íîãî ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), åñëè õîòÿ áû îäèí èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü èëè íå ñóùåñòâóåò.

Îïðåäåëåíèå 3.

Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé óñòðàíèìîãî ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), åñëè â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f (x) íå îïðåäåëåíà, à îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû f (x0 + 0) è f (x0 0) êîíå÷íû è ðàâíû ìåæäó ñîáîé, ò.å. f (x0 + 0) = f (x0 0). Ïðè ýòîì ãîâîðÿò, ÷òî ðàçðûâ â òî÷êå x0 ìîæíî óñòðàíèòü, åñëè äîîïðåäåëèòü ôóíêöèþ f (x) â òî÷êå x0 , ïîëîæèâ f (x0 ) = f (x0 + 0) = f (x0 0). 1=x â òî÷êå x0 = 0. Ïðèìåð 4. Èññëåäîâàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y = e Îïðåäåëåíèå 4.

y=



x ; x 2 ( 1; 1) x2 ; x 2 [1; +1)

(1)

â òî÷êå x0 = 1. Ðåøåíèå.

1)  òî÷êå x0 = 1 ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà: y (1) = 1.

2) Ïðàâîñòîðîííèé ïðåäåë â òî÷êå x0 : y (1 + 0) = lim x2 = 1. x!1+0 3) Ëåâîñòîðîííèé ïðåäåë â òî÷êå x0 : y (1

0) = x!lim 1 0( x) = 1.

Âûâîä: â òî÷êå x0 = 1 ôóíêöèÿ (1) ïðåòåðïåâàåò êîíå÷íûé ðàçðûâ (ðàçðûâ 1-ãî ðîäà), ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 = 1 íåïðåðûâíà ñïðàâà (ðèñ. 15). Ñêà÷îê ôóíêöèè â òî÷êå x0 = 1: ! = y (1 + 0) y (1 0) = 1 ( 1) = 2.

Ðåøåíèå.

43

x

1

1

Ôóíêöèÿ y =

Îïðåäåëåíèå 2.

1

44

Ãëàâà 2 Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé Ÿ 1

Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè. Ìåõàíè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé

1

Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = f (x), îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå X . Âîçüìåì íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå x 2 X è ñòîëü ìàëîå ïðèðàùåíèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé
x, ÷òî òî÷êà (x +
x) 2 X , ïðè÷åì ïðèðàùåíèå
x ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Âûðàæåíèå
y = f (x +
x) f (x) ÿâëÿåòñÿ ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèì óêàçàííîìó ïðèðàùåíèþ
x. Ñîñòàâèì îòíîøåíèå


y f (x +
x) f (x) = :
x
x Ýòî îòíîøåíèå îïðåäåëåíî ïðè âñåõ
x 6= 0, äîñòàòî÷íî ìàëûõ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå. Ïîñêîëüêó x ôèêñèðîâàíî, îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî
x.

Ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x

íàçûâàåòñÿ ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè ê âûçâàâøåìó åãî ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîñëåäíåå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì f 0 (x) èëè y 0 (x). Èòàê

Îïðåäåëåíèå 1.


y f (x +
x) f (x) = lim = :
x
x!0
x Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X1  X .

f 0 (x) =
lim x!0

2

Èòàê, ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ïåðåìåùàþùåéñÿ ïðÿìîëèíåéíî, îïðåäåëÿåò ìãíîâåííóþ ñêîðîñòü ýòîé òî÷êè. Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ìîæåò èìåòü ñìûñë ñêîðîñòè è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ íå îïðåäåëÿåò çàêîíà ìåõàíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè ôóíêöèÿ q = q (t) îïðåäåëÿåò êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, óæå âñòóïèâøåãî â õèìè÷åñêóþ ðåàêöèþ ê ìîìåíòó t, òî òîãäà ïðîèçâîäíàÿ q 0 (t) îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü õèìè÷åñêîé ðåàêöèè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t.

Ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé

Äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà M ïåðåìåùàåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî, à ïóòü, ïðîéäåííûé ýòîé òî÷êîé çà âðåìÿ t, èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó s = s(t). Î÷åâèäíî, ÷òî îòíîøåíèå
s îïðåäåëÿåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü òî÷êè
t çà âðåìÿ
t, à ïðîèçâîäíàÿ

s(t +
t) s(t) s0 (t) =
lim = t!0
t åñòü íè ÷òî èíîå, êàê ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü òî÷êè â ìîìåíò t. 45

3

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé

y

y = f (x ) N

M O



 x

Ðèñ. 1.

Äëÿ âûÿñíåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà ïðîèçâîäíîé îáðàòèìñÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) (ðèñ.1). Âîçüìåì íà íåì òî÷êó M (x; y ), ãäå y = f (x), è áëèçêóþ ê íåé, òîæå ëåæàùóþ íà ãðàôèêå òî÷êó N (x +
x; y +
y ).


y

Î÷åâèäíî, ÷òî tg = , ãäå  óãîë, îáðàçîâàííûé ñåêóùåé MN ñ ïî
x ëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox. Ïðè ñòðåìëåíèè
x ê íóëþ òî÷êà N , îñòàâàÿñü íà ãðàôèêå, áóäåò íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàòüñÿ ê òî÷êå M , à ñåêóùàÿ MN áóäåò ðàçâîðà÷èâàòüñÿ è çàéìåò ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå  ñòàíåò êàñàòåëüíîé MK , êîòîðàÿ îáðàçóåò óãîë  ñ îñüþ Ox. Òàêèì îáðàçîì, ÿñíî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x) ðàâíà òàíãåíñó óãëà , îáðàçîâàííîãî êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f (x) â òî÷êå M (x; f (x)) ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäíîé ñâÿçàíî ñ ñóùåñòâîâàíèåì êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x), ïðè÷åì óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé tg  = f 0 (x) äîëæåí áûòü êîíå÷åí (êàñàòåëüíàÿ íå äîëæíà áûòü ïàðàëëåëüíà îñè Oy : â ýòîì ñëó÷àå  = =2 èëè  = 3=2, à òàíãåíñ òàêîãî óãëà ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè è ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ x ôóíêöèÿ f (x) íå èìååò ïðîèçâîäíîé). 46

4

Îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå

Ââåäåì òåïåðü ïîíÿòèå ïðàâîñòîðîííåé è ëåâîñòîðîííåé ïðîèçâîäíîé. Äîïóñòèì, ÷òî ïðèðàùåíèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé
x ñòðåìèòñÿ ê íóëþ íå ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, à ñî ñòîðîíû îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé èëè ñî ñòîðîíû ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé, ò. å.
x ! 0 èëè
x ! +0. Îïðåäåëåíèå 2. 1)

2)

Ïóñòü X  îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x).

Ëåâîñòîðîííåé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x 2 X , íàçûâàåòñÿ

f 0 (x) =
xlim ! 0


y :
x

Ïðàâîñòîðîííåé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x 2 X , íàçûâàåòñÿ


y f+0 (x) =
xlim !+0
x :

Èíîãäà ëåâîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíàÿ îáîçíà÷àåòñÿ f 0 (x 0), à ïðàâîñòîðîííÿÿ  f 0 (x + 0). Çàìåòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x ñïîñîá ñòðåìëåíèÿ ïðèðàùåíèÿ
x ê íóëþ ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðîèçâîëüíûì. Ïîýòîìó ÿñíî, ÷òî åñëè ó ôóíêöèè y = f (x) ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ, òî f 0 (x) = f+0 (x) = f 0 (x).

y

5

Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè

Îïðåäåëåíèå 3. Ôóíêöèÿ y = f (x), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x, íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â ýòîé òî÷êå, åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x). Òåîðåìà 1 (íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè â òî÷êå). Äëÿ òîãî, ÷òî áû ôóíêöèÿ y = f (x) áûëà äèôôåðåíöèðóåìà

â òî÷êå x, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèþ
x, ìîæíî áûëî ïðåäñòàâèòü â âèäå
y = A (x)

x + o (
x) ïðè
x ! 0 ; (1) ãäå A (x) íå çàâèñèò îò
x, à o (
x)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì
x. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, òîãäà

jj

y= x

0

x

Ðèñ. 2.

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = jxj (ðèñ. 2) è âû÷èñëèì åå îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå â òî÷êå x0 = 0. Ïî îïðåäåëåíèþ 

Ïðèìåð 1.

jxj =

Îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè â òî÷êå x0 = 0 ñóùåñòâóþò, íî íå ñîâïàäàþò, çíà÷èò, â íóëå ó äàííîé ôóíêöèè ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò. Çàìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî äàííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà â íà÷àëå êîîðäèíàò. Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f (x) â íåêîòîðîé òî÷êå x0 åùå íå ñëåäóåò, ÷òî â ýòîé òî÷êå ó ôóíêöèè f (x) ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ (ðèñ. 2).

x; x > 0 x; x < 0:

Ñëåäîâàòåëüíî,

f 0 (x) =
lim x!0


y
x

)


y
x

f 0 (x) = o (1) ; ïðè
x ! 0 ;

ãäå o(1)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ, ò.å. o(1) ! 0 ïðè
x ! 0. Îòñþäà ñëåäóåò (1) åñëè îáîçíà÷èòü A (x) = f 0 (x) è ó÷åñòü, ÷òî
x
o(1) = o (
x). Äîñòàòî÷íîñòü. Äîïóñòèì, ÷òî ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (1). Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî
x 6= 0, ïîëó÷èì îòñþäà


y = A (x) + o(1) ïðè
x ! 0 :
x

Ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó, ïîëó÷èì


y = A (x) ;
lim x!0
x à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ y = f (x) â òî÷êå x èìååò êîíå÷íóþ ïðîèçâîäíóþ A(x), ò.å. f 0 (x) = A(x). 


y (0 +
x) 0 f+0 (0) =
xlim = 1; !+0
x =
xlim !+0
x (0 +
x) 0
y = 1: f 0 (0) =
xlim ! 0 ! 0
x =
xlim
x

Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî èíîãäà ôóíêöèþ, äèôôåðåíöèðóåìóþ â òî÷êå, îïðåäåëÿþò êàê ôóíêöèþ, ïîëíîå ïðèðàùåíèå êîòîðîé â òî÷êå x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (1).  ñèëó äîêàçàííîé òåîðåìû î÷åâèäíî, ÷òî îáà ýòè îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. Îïåðàöèþ íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíîé îò ôóíêöèè â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì ýòîé ôóíêöèè.

47

48

6

Íåïðåðûâíîñòü äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè

Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, òî â ýòîé òî÷êå îíà è íåïðåðûâíà.

Ñëåäîâàòåëüíî,

Òåîðåìà 2.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, òîãäà ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè y = f (x) â ýòîé òî÷êå


y = A(x)

x + o (
x) ïðè
x ! 0

)


y = 0 ;
lim x!0



Ìû îòìåòèëè âûøå, ÷òî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî, ò.å. èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â äàííîé òî÷êå x íå ñëåäóåò åå äèôôåðåíöèðóåìîñòü â ýòîé òî÷êå. (Ýòî áûëî ïîêàçàíî ïðè ðàññìîòðåíèè âîïðîñà î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè y = jxj â íà÷àëå êîîðäèíàò). Åñëè ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (a; b), òî åå íàçûâàþò äèôôåðåíöèðóåìîé íà ýòîì èíòåðâàëå. Î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè íà êîíöàõ èíòåðâàëà, ò.å. â òî÷êàõ x = a è x = b ãîâîðèòü íåëüçÿ, òàê êàê â ýòèõ òî÷êàõ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî ïðàâîñòîðîííÿÿ è ëåâîñòîðîííÿÿ ïðîèçâîäíûå ñîîòâåòñòâåííî.

1

Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîñòîÿííîé ôóíêöèè

2

R

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = c, ãäå c = const äëÿ 8x 2 . Ïî îïðåäåëåíèþ

Èòàê, c0 = 0.


y c c = 0: c0 =
lim = lim x!0
x
x!0
x

Ïðèìåð 2. Ðåøåíèå.

3

Íàéòè

x


x x = x 1 :
x

 0

1 . x  0

1 x p Íàéòè ( x)0 .


= x 1 0 = 1
x 2 =

1 : x2

px
0 = x1=2 0 = 1
x 1=2 = p1 : 2 2 x

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïîêàçàòåëüíóþ ôóíêöèþ y = ax (a > 0, a 6= 1).
ax+
x ax = lim ax a
x 1 : (ax )0 =
lim
x!0 x!0
x
x Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ax 1  x ln a ïðè x ! 0. Çíà÷èò a
x 1 
x
ln a : Òîãäà

ax

x
ln a = ax ln a : (ax )0 =
lim x!0
x  ÷àñòíîñòè (ex )0 = ex .

4

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñòåïåííîé ôóíêöèè

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ñòåïåííîé ôóíêöèè y = x , ãäå   ëþáîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé


y = lim (x +
x) (x )0 =
lim x!0
x
x!0
x Íàïîìíèì, ÷òî (1 + x)

Ïðèìåð 1. Ðåøåíèå.

à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x.

Ÿ 2

Èòàê, (x )0 = x 1 .

(x )0 =
lim x!0

x = lim
x!0

x

1  x, åñëè x ! 0. Çíà÷èò, 

1+


x  x

1
49


x : x




x x
x

1+



1



:

y = log a x a > 0 ; a 6= 1 : Åñëè x > 0 è j
xj < x, òî ïðè
x 6= 0 èìååì



loga 1 +
x x log ( x +
x ) log x a a = lim (loga x)0 =
lim
x
x!0 x!0
x x
x  x=
x
x 1 1 1 log 1 + : =
lim = loga e = x x!0 a x x x ln a 1 1 Èòàê, (loga x)0 = .  ÷àñòíîñòè (ln x)0 = . x ln a x 50



=

5



Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

Åñëè ôóíêöèè f (x) è g(x) äèôôåðåíöèðóåìû â äàííîé òî÷êå òî òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. 1) (f (x)  g (x))0 = f 0 (x)  g 0 (x) ; 2) 0 0 0

Ïðèìåð 5.

Òåîðåìà 1.

x,

(f (x)g (x)) = f (x)g (x) + f (x)g (x) ;

3)



f (x) g (x)

0



6

Ïðèìåð 3.

Ðåøåíèå.



Íàéòè



0 p3 2 x + ln x .

p 0  0 p3 2 1 2 3 x2 + 3 2 1 = 3 2 = 3 0 x + ln x = x + = : + (ln x) = x 3 x 3x

Ïðèìåð 4.


0 Íàéòè x2 ex .

Ðåøåíèå.



x2 ex 0 = x2 0 ex + x2 (ex )0 = 2xex + x2 ex = x (x + 2) ex :

51

2 sin




x 2






cos x +
2x

=

Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî (cos x)0 =

3)

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = tg x. Åñëè x 6= =2 + n, n 2 , òî

(tg x)0 = sin x cos x 4)

0

sin x.

0 0 = (sin x) cos x 2 sin x(cos x) = 12 : cos x cos x

Z

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

(ctg x)0 = 7



2)





1 : x2

sin(x +
x) sin x =
lim x!0
x
x  
x  
x
cos x + 2
x =
lim = lim cos x + = cos x : x!0
x!0
x 2

0



Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = sin x.

(sin x)0 =
lim x!0

Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî äîêàçàòü ïóíêòû 1) è 2) òåîðåìû. Äîêàæåì ïóíêò 3). Èòàê, ðàññìîòðèì ÷àñòíîå f (x)=g (x). Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî g (x) 6= 0, ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè g (x) > 0. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, ñëåäîâàòåëüíî, îíà è íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå, à çíà÷èò â ñèëó òåîðåìû î ñîõðàíåíèè çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, ìîæíî óêàçàòü òàêóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè x, â êîòîðîé g (x +
x) > 0. Òîãäà ïîëó÷èì

f (x) f (x +
x) f (x)
g (x) f (x) = lim g (x +
x) g (x) = =
lim x!0
x!0
x g (x)
x f (x +
x)g (x) f (x)g (x +
x) = lim
f (x)g (x) f (x)
g (x) = =
lim
x!0 g(x)g(x +
x)
x x!0 g (x)g (x +
x)
x
f (x)
g (x) 0 0 g (x) f (x)
x
x = f (x)g (x) f (x)g (x) : =
lim 2 x!0 g (x)g (x +
x) g (x)


0

 x2 + 1 0 = x2 + 1 x x2 + 1 x0 = 2x
x x2 + 1 = 1 x x2 x2

Äèôôåðåíöèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé 1)

f 0 (x)g (x) f (x)g 0 (x) (g (x) 6= 0) : = g 2 (x)



 x2 + 1 0 . x

Ðåøåíèå.

Äîêàçàòåëüñòâî.



Íàéòè

1 ; sin2 x

(x 6= n ; n 2 Z) :

Ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = f (u), îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå U , è ïóñòü, â ñâîþ î÷åðåäü, u = g (x) îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà ìîæíî ãîâîðèòü î ñëîæíîé ôóíêöèè ïåðåìåííîé x: y = f (g (x)), îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâå X   X , êîòîðîå ñîñòîèò òîëüêî èç òåõ ýëåìåíòîâ x 2 X , äëÿ êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ u = g (x) 2 U . Ïðè ýòîì u íàçûâàåòñÿ ïðîìåæóòî÷íûì àðãóìåíòîì ñëîæíîé ôóíêöèè, à ñàìà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f (g (x)) íàçûâàåòñÿ òàêæå ñóïåðïîçèöèåé ôóíêöèé f è g . Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèÿ u = g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, à ôóíêöèÿ y = f (u) äèôôåðåíöèðóåìà â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå u = g(x), òîãäà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f (g(x)) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, ïðè÷åì (f (g (x)))0 = f 0 (u) u=g(x)
g 0 (x) (ïðàâèëî öåïî÷êè) :

52

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ôóíêöèÿ u = g (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, çíà÷èò


u = g 0 (x)
x + o(
x)

Ïðèìåð 9.


x ! 0 :

ïðè

Ðåøåíèå.

 ñâîþ î÷åðåäü, ôóíêöèÿ y = f (u) äèôôåðåíöèðóåìà ïî u, òîãäà


y = f 0 (u)
u + o(
u)

y0 =


u ! 0 ;

ïðè

çíà÷èò

Ïðèìåð 10.



y = f 0 (u) g 0 (x)
x + o(
x) + o(
u)

ïðè


u ! 0 :




y = lim f 0 (u) g 0 (x) + o(1)
+ o(1)
u = f 0 (u)
g 0 (x) : (f (g (x)))0 =
lim x!0
x
x!0
x

 Çàìåòèì, ÷òî ïðàâèëî öåïî÷êè ìîæíî îáîáùèòü íà áîëüøåå ÷èñëî ïðîìåæóòî÷íûõ àðãóìåíòîâ, åñëè âñå ôóíêöèè äèôôåðåíöèðóåìû â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ. Íàïðèìåð, åñëè y = f (u), u = g (v ), v = h(x)  äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, òî

Ïðèìåð 6.

Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y =

Ðåøåíèå.

y0 = Ïðèìåð 7. Ðåøåíèå.

Ïðèìåð 8. Ðåøåíèå.

r

1+

1 1 + sin x

!0

1+

Ðåøåíèå.

r

1

2 1+

1 1 + sin x






1 (1 + sin x)2

q

p 0 x+ x =

p

p

x + x.






cos2 x



1 

1



1 + ln ln 1 +

C C 2 C A 1




x

  1
1 :
x2 1 1+ 1 ln 1 + x x

1



cos2 x



.


ln 5
cos2 21cos2 x
2cos2 x
ln 2
2 cos x
( sin x) :

0 1 ctg@ 1 A x + =3 . Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = log5 3 0 1 ctg@ x +1=3 A

1

1 
: 1 (x + =3)2 x + =3 p3 x  2   . Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = e cos 2x + 4

0 1 1
3 ctg@ 1 A 3 x + =3
ln 5

Ïðèìåð 14.

1 p p
1 + 2p1 x : 2 x+ x 53

Ïðèìåð 13.

y0 =

1
1 : y 0 = (log2 log3 x)0 = (log3 x)
ln 2 x ln 3 Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y =


cos x :

1

1

p
p p
p : 2 1+ 1+ x 2 1+ x 2 x p

Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = 5tg 2

Ðåøåíèå.



 0 B B B @

Ðåøåíèå.

Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = log2 log3 x.

y0 =

1

y 0 = 5tg 2 =

1

q

Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = 3sin(3x+=4) .

1 1 + ln ln 1 + 0 x y =e

Ïðèìåð 12.

1 . 1 + sin x

! p 0=

q

1+ 1+ x

p

p

1 + 1 + x.

  0  y 0 = 3sin(3x+=4) = 3sin(3x+=4)
ln 3
cos 3x + 
3 : 4 1  1 1 + ln ln 1 + x . Ïðèìåð 11. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = e

(f (g (h(x))))0 = f 0 (u) u=g(v)
g 0 (v ) v=h(x)
h0 (x) : r

r

q

Ðåøåíèå.

Ïóñòü
x ! 0, òîãäà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè u = g (x) îêàæåòñÿ, ÷òî òàêæå è
u ! 0, ñëåäîâàòåëüíî 

Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y =

Ðåøåíèå.


ln 3


sin2



 2=3 p3   e p3 x
sin 2x2 +  
4x : y0 = e x
x
cos 2x2 + 3 4 4

54

8



Ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = y (x), îïðåäåëåííóþ íà ìíîæåñòâå X , è ïóñòü Y  ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé. Äîïóñòèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ñòðîãî âîçðàñòàåò èëè ñòðîãî óáûâàåò íà ìíîæåñòâå X , òîãäà êàæäîìó çíà÷åíèþ x 2 X îòâå÷àåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y 2 Y è íàîáîðîò, ò.å. íà ìíîæåñòâå Y îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ x = x(y ) òàêàÿ, ÷òî ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì åå çíà÷åíèé. Ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè y = y(x). Åñëè ôóíêöèÿ y = y(x) çàäàíà àíàëèòè÷åñêè, òî îáðàòíóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàçðåøèâ ýòî ñîîòíîøåíèå îòíîñèòåëüíî x. Èòàê, îòìåòèì, áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî y åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ y = y (x) îïðåy = tg x äåëåíà è ñòðîãî âîçðàñòàåò íà ìíîæåñòâå X , òî ó íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = x(y ), êîòîðàÿ îïðåäåëåíà è ñòðîãî âîç 2 ðàñòàåò íà ìíîæåñòâå Y , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ïðÿìîé ôóíêöèè   y = y (x). Åñëè îáîçíà÷èòü àðãóìåíò îá0 x 2 2 ðàòíîé ôóíêöèè ÷åðåç x, à ñàìó ôóíêöèþ  y = arctg x 2 ÷åðåç y , òî èç êóðñà ìàòåìàòèêè ñðåäíåé øêîëû èçâåñòíî, ÷òî ãðàôèêè ïðÿìîé è îáðàòíîé ôóíêöèè ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû ïåðâîãî è òðåòüåãî êîîðäèíàòíûõ óãëîâ. Ðèñ. 3. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ y = tg x íà èíòåðâàëå x 2 ( =2; =2) ñòðîãîãî âîçðàñòàåò. Ïðè ýòîì y 2 ( 1; +1). Î÷åâèäíî, ÷òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ y = arctg x ñòðîãî âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, è ïðè ýòîì arctg x 2 ( =2; =2). (ñì. ðèñ. 3).

Åñëè ôóíêöèÿ y = y(x) èìååò â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x îáðàòíóþ ôóíêöèþ x = x(y) è ôóíêöèÿ y = y(x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, òîãäà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = x(y) òàêæå äèôôåðåíöèðóåìà â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå y = y(x) è èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå

9

Äèôôåðåíöèðîâàíèå îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé

Äîêàçàííàÿ òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè îáðàòíîé ôóíêöèè ïîçâîëÿåò ëåãêî ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ îò îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = arcsin x. Îíà îïðåäåëåíà è ñòðîãî âîçðàñòàåò íà èíòåðâàëå ( 1; 1). Îíà ñëóæèò îáðàòíîé äëÿ ôóíêöèè x = sin y , îïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëå ( =2; =2). Ñëåäîâàòåëüíî

(arcsin x)0 =

Äîêàçàòåëüñòâî.

åìà â òî÷êå x, çíà÷èò â ýòîé òî÷êå îíà è íåïðåðûâíà, ò.å. åñëè ôóíêöèÿ, íàïðèìåð, âîçðàñòàåò (óáûâàåò) è
x 6= 0, òî è
y 6= 0, ïðè÷åì
y ! 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
x ! 0. Ñëåäîâàòåëüíî,

1 1 =p ; 2 1 x2 1 sin y

p

8x 2 ( 1; 1) :

Àíàëîãè÷íî

(arccos x)0 =

p 1 2; 1 x

8x 2 ( 1; 1) :

Ôóíêöèÿ y = arctg x îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå ( 1; +1) è ñëóæèò îáðàòíîé äëÿ ôóíêöèè y = tg x, îïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëå ( =2; =2), çíà÷èò

(arctg x)0 =

1 1 1 = cos2 y = = ; (tg y )0 1 + tg2 y 1 + x2

8x 2 ( 1; +1) :

Àíàëîãè÷íî

(arcctg x)0 = Ïðèìåð 15.

Òåîðåìà 3.

y 0 (x) = 01 : x (y ) Ôóíêöèÿ y = y (x) ïî óñëîâèþ òåîðåìû äèôôåðåíöèðó-

1 1 = = (sin y )0 cos y

Ðåøåíèå.

Ïðèìåð 16.

Ðåøåíèå.

1 ; 1 + x2

8x 2 ( 1; +1) :

p Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = earctg x . p 1 : y 0 = earctg x
1
p 1+x 2 x arcsin x Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = . arctg x   p 1 2
arctg x arcsin x 1 +1 x2 : y0 = 1 x (arctg x)2


y 1 1 y 0 (x) =
lim = = 0 :
x x!0
x x (y )
lim y!0
y

Òåïåðü îñòàåòñÿ ïîëó÷åííûå ôîðìóëû è ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ çàïèñàòü â òàáëèöó, êîòîðóþ íåîáõîäèìî âûó÷èòü íàèçóñòü.

55

56

Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ

c0 = 0 ; (x )0 = x 1 ; (ax )0 = ax ln a ; (ex )0 = ex ; (ln x)0 = 1 ; x 0 (log a x) = 1 ; x ln a 0 (sin x) = cos x ;

Ïðèìåð 17.

(cos x)0 = sin x ; (tg x)0 = 12 ; cos x 1 0 (ctg x) = ; sin2 x (arcsin x)0 = p 1 2 ; 1 x 0 (arccos x) = p 1 2 ; 1 x 1 0 (arctg x) = ; 1 + x2 1 : (arcctg x)0 = 1 + x2

Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = xx ïðè x > 0.

Ðåøåíèå.

ln y = x ln x

0 ) yy = ln x + 1 ) (xx)0 = xx(ln x + 1) : s

Ïðèìåð 18.

Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y =

(x + 1)(x + 2) . x(x + 4)

Ðåøåíèå.

1 ln y = (ln(x + 1) + ln(x + 2) ln x ln(x + 4)) 2   y0 = 1 1 1 1 1 + ) y 2 x+1 x+2 x x+4

y0 = 1 2

s



1 1 (x + 1)(x + 2) + x(x + 4) x+1 x+2

1 x

) 

1 : x+4

Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

(cf (x))0 = cf 0 (x) ; (f (x)g (x))0 = f 0 (x)g (x) + f (x)g 0 (x) ; (f (g (x)))0 = f 0 (g (x))g 0(x) ; 10

(f (x)  g (x))0 = f 0 (x)  g 0 (x) ;   f (x) 0 = f 0 (x)g (x) f (x)g 0 (x) ; g (x) g 2 (x) y 0 (x) = 01 : x (y )

Ëîãàðèôìè÷åñêîå äèôôåðåíöèðîâàíèå

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ íåêîòîðûõ ôóíêöèé, â òîì ÷èñëå òàê íàçûâàåìûõ ñëîæíî-ïîêàçàòåëüíûõ, ò.å. ôóíêöèé âèäà u(x)v(x) , ïîëåçíî ïðèìåíÿòü ïðèåì, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ôóíêöèþ, êîòîðóþ íóæíî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü, ïðåäâàðèòåëüíî ëîãàðèôìèðóþò (ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðè ýòîì, ÷òî ëîãàðèôì îò ýòîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò). Èòàê, ïóñòü y (x) = u(x)v(x) , òîãäà ln y (x) = v (x) ln u(x). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ïî x

y 0 (x) = v 0 (x) ln u(x) + v (x) u0 (x) y (x) u(x)

)

11

Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ

Ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x) ôóíêöèè y = f (x), îïðåäåëåííîé è äèôôåðåíöèðóåìîé íà èíòåðâàëå (a; b), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ, òàêæå îïðåäåëåííóþ íà èíòåðâàëå (a; b). Åñëè ýòà ôóíêöèÿ f 0 (x) ñàìà ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â íåêîòîðîé òî÷êå x 2 (a; b), òî åå ïðîèçâîäíóþ íàçûâàþò âòîðîé ïðîèçâîäíîé (èëè ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà) ôóíêöèè y = f (x) è îáîçíà÷àþò f 00 (x), èëè f (2) (x). Ïîñëå òîãî, êàê ââåäåíî ïîíÿòèå âòîðîé ïðîèçâîäíîé, ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ââåñòè ïîíÿòèå òðåòüåé ïðîèçâîäíîé, çàòåì ÷åòâåðòîé è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, ïîíÿòèå n-îé ïðîèçâîäíîé ââîäèòñÿ èíäóêòèâíî, ïðè ïåðåõîäå îò ïåðâîé ê ïîñëåäóþùèì èç ðåêóððåíòíîãî ñîîòíî ïðîèçâîäíîé 0 ( n ) ( n 1) øåíèÿ f (x) = f (x) . Ôóíêöèþ, èìåþùóþ íà äàííîì ìíîæåñòâå êîíå÷íóþ ïðîèçâîäíóþ n-ãî ïîðÿäêà, íàçûâàþò n ðàç äèôôåðåíöèðóåìîé íà ýòîì ìíîæåñòâå. 000 x Ïðèìåð 19. Íàéòè y (x), åñëè y = xe . Ðåøåíèå.

 0  y 0 (x) = u(x)v(x) v 0 (x) ln u(x) + v (x) u (x) : u(x)

y 0 = ex + xex = (x + 1)ex ; y 00 = ex + (x + 1)ex = (x + 2)ex ; y 000 = ex + (x + 2)ex = (x + 3)ex :

57

58

Ÿ 3

1

y

Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè

y = f (x )

Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè, åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë

N

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x, ò.å. ïðèðàùåíèå ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå x ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå


y


y = f 0 (x)
x + o(
x) ïðè
x ! 0 :

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè y = f (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ ñëàãàåìûõ: ñëàãàåìîå f 0 (x)
x ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî
x ÷àñòüþ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè. Ýòî ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé òîãî æå ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷òî è
x. Âòîðîå ñëàãàåìîå o(
x)  ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íî ìàëóþ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì
x, ò.å. o(
x)=
x = 0 . Ñëàãàåìîå f 0 (x)
x, íàçûâàåòñÿ òàêæå ãëàâíîé ÷àñòüþ
lim x!0 ïðèðàùåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè. Ëèíåéíàÿ îòíîñèòåëüíî
x ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ýòîé ôóíêöèè è îáîçíà÷àåòñÿ dy , ò.å.

Îïðåäåëåíèå 1.

dy = f 0 (x)
x :

Çàìåòèì, ÷òî äèôôåðåíöèàë äàííîé ôóíêöèè dy çàâèñèò îò òîãî, êàêàÿ òî÷êà çàêðåïëåíà, ò.å. îí çàâèñèò îò x è, êðîìå òîãî, îí ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïðèðàùåíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé
x. Åñëè ìû áóäåì èñêàòü äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè y = x, òî ÿñíî, ÷òî dx = x0
x =
x, ò.å. äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ñîâïàäàåò ñ åå ïðèðàùåíèåì dx =
x. Ñëåäîâàòåëüíî, äèôôåðåíöèàë ìîæíî çàïèñàòü òàê

dy = f 0 (x) dx :

Îòñþäà ñëåäóåò îáîçíà÷åíèå

Ëåéáíèöà äëÿ ïðîèçâîäíîé f 0 (x) = dy : dx

Ïîñêîëüêó äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ïðîïîðöèîíàëåí åå ïðîèçâîäíîé, òî äëÿ äèôôåðåíöèàëà ñïðàâåäëèâû òå æå ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ, ÷òî è äëÿ ïðîèçâîäíîé. Íàïðèìåð, åñëè ôóíêöèè f (x) è g (x) äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå x, òî  

dy

M x

x +
x

x

Ðèñ. 4.

2

Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà

Èòàê, åñëè x  íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, à y = f (x)  äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî dy = f 0 (x) dx. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè x ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé äðóãîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, òî äèôôåðåíöèàë ñîõðàíÿåò ñâîþ ôîðìó. Ïóñòü x = g (t)  äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé t. Ñëåäîâàòåëüíî, y = f (g (t))  ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé t, à òîãäà

dy = (f (g (t)))0 dt = f 0 (g (t))g 0(t) dt = f 0 (x) dx : Òàêîå ñâîéñòâî ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà. 3

Ïðèëîæåíèå òåîðèè äèôôåðåíöèàëà ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì. Ëèíåàðèçàöèÿ ôóíêöèé

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x è
x  ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà â ýòîé òî÷êå, à
y = f (x +
x) f (x)  ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè. Òîãäà

f (x +
x) f (x) = f 0 (x)
x + o(
x)

ïðè


x ! 0 :

Îòñþäà ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî

f (x +
x)  f (x) + f 0 (x)
x èëè
y  dy :

d f (x) = df (x)
g (x) 2 f (x)
dg (x) : g (x) g (x) Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè dy â òî÷êå x, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ðàâåí ïðèðàùåíèþ y â ýòîé òî÷êå. Ýòî îñîáåííî õîðîøî âèäíî ïðè ðàññìîòðåíèè ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x). Çàìåíà ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè åå äèôôåðåíöèàëîì îçíà÷àåò çàìåíó ó÷àñòêà ãðàôèêà ôóíêöèè íà îòðåçêå [x; x +
x] ó÷àñòêîì êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè, ïðîâåäåííîé ÷åðåç òî÷êó M (x; y ) (ðèñ. 4).

Îáû÷íî äèôôåðåíöèàë âû÷èñëèòü ïðîùå, ÷åì ïðèðàùåíèå ôóíêöèè, ïîýòîìó ïîëó÷åííîå ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî èãðàåò áîëüøóþ ðîëü â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ. Îöåíêà àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòåé ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé ïî ýòîé ôîðìóëå òðåáóåò îñîáîãî ðàññìîòðåíèÿ. Íà ýòîì âîïðîñå ìû îñòàíîâèìñÿ ïðè èçó÷åíèè ôîðìóëû Òåéëîðà.

59

60

Ïðèìåð 1. Ïëîñêèé ìåòàëëè÷åñêèé äèñê èìååò ðàäèóñ R = 1ì.. Ïîñëå íàãðåâàíèÿ äèñêà åãî ðàäèóñ óâåëè÷èëñÿ íà 1ñì. Âû÷èñëèòü ïëîùàäü äèñêà ïîñëå íàãðåâàíèÿ. Ðåøåíèå.

íèÿ

Ïëîùàäü äèñêà äî íàãðåâàíèÿ S (R) = R2 =  ì2 . Ïîñëå íàãðåâà-

S (R +
R) =  (R +
R)2 =  (1 + 0; 01)2 = 1; 0201
 ì2 :

È âîîáùå, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî ôóíêöèÿ y = f (x)  n ðàç äèôôåðåíöèðóåìà, ïîñëåäîâàòåëüíî, ïî èíäóêöèè, ïðèäåì ê ïîíÿòèþ äèôôåðåíöèàëà n-ãî ïîðÿäêà dn y = f (n) (x) dxn : Îòñþäà, êñòàòè, ñëåäóåò, ÷òî n f (n) (x) = d ny : dx

Ïðèðàùåíèå ïëîùàäè


S = S (R +
R) S (R) = 0; 0201
 ì2 : Åñëè çàìåíèòü ïðèðàùåíèå ïëîùàäè äèôôåðåíöèàëîì, òî ïîëó÷èì


S  dS = S 0 (R)
R = 2R
R = 2
0; 01 ì2 = 0; 02
 ì2 : Èòàê, çàìåíèâ ïðèðàùåíèå ïëîùàäè åå äèôôåðåíöèàëîì, èìååì ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïëîùàäè äèñêà ïîñëå íàãðåâàíèÿ: S (1 + 0; 01)  1; 02
 ì2 òî÷íîå çíà÷åíèå S (1 + 0; 01) = 1; 0201
 ì2 . Íåòðóäíî òåïåðü âû÷èñëèòü àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü ýòèõ ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé

j
S dS j = j0; 0201
 0; 02
j = 0; 0001
 ì2 : j
S dS j = 0; 005 = 0; 5% : dS  çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî çàìåíÿÿ ïðèðàùåíèå
y ôóíêöèè â òî÷êå x äëÿ ìàëûõ ïðèðàùåíèé
x åå äèôôåðåíöèàëîì dy , ìû òåì ñàìûì íà îòðåçêå [x; x +
x] çàìåíÿåì ôóíêöèþ y = f (x) ëèíåéíîé ôóíêöèåé. Ïîýòîìó òàêàÿ ïðèáëèæåííàÿ çàìåíà íàçûâàåòñÿ ëèíåàðèçàöèåé ôóíêöèè. Äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Íåèíâàðèàíòíîñòü èõ ôîðìû

Ââåäåì òåïåðü ïîíÿòèå î äèôôåðåíöèàëàõ âûñøèõ ïîðÿäêîâ ôóíêöèè

y = f (x). Åñëè y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà, òî dy = f 0 (x)dx. Ïóñòü x  íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, òîãäà dx îò x íå çàâèñèò è ïðè äàëüíåéøåì äèôôå-

ðåíöèðîâàíèè âûíîñèòñÿ çà çíàê ïðîèçâîäíîé êàê ïîñòîÿííàÿ. Ó÷èòûâàÿ ýòî, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü dy êàê ôóíêöèþ îò x. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà, òî ìîæíî íàéòè äèôôåðåíöèàë îò dy , îí íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì âòîðîãî ïîðÿäêà ïåðâîíà÷àëüíîé ôóíêöèè f (x) è îáîçíà÷àåòñÿ d2 y
0

d2 y = d (dy ) = f 0 (x) dx dx = f 00 (x) dx2 : 61

 
d2 y = (f (x(t))00 dt2 = f 00 (x(t)) x0 (t) 2 + f 0 (x(t))x00 (t) dt2 = = f 00 (x)dx2 + f 0 (x)d2 x ;

÷òî íå ñîâïàäàåò ñ (1), ò.å. ôîðìà âòîðîãî äèôôåðåíöèàëà ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè íå îáëàäàåò. Òî÷íî òàê æå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè íå îáëàäàåò è ôîðìà äèôôåðåíöèàëà ëþáîãî ïîðÿäêà âûøå ïåðâîãî.

Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü

4

Âûÿñíèì òåïåðü, îáëàäàþò ëè äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè. Ìû âûÿñíèëè ðàíåå, ÷òî äëÿ äèôôåðåíöèàëà ïåðâîãî ïîðÿäêà dy = f 0 (x) dx, ãäå x  íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, ôîðìà äèôôåðåíöèàëà ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà x  ôóíêöèÿ êàêîãî-òî äðóãîãî àðãóìåíòà. Ðàññìàòðèâàòü áóäåì äèôôåðåíöèàë âòîðîãî ïîðÿäêà. Èòàê, ïóñòü y = f (x) è, â ñâîþ î÷åðåäü, x = x(t), ïðè÷åì ôóíêöèè f (x) è x(t) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû. Òîãäà

(1)

Ÿ 4

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèé, çàäàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêè. Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà

1

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèé, çàäàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêè

Ïóñòü x è y çàäàíû êàê ôóíêöèè íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà t: x = x(t), y = y (t). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè x(t) è y (t) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî ïåðåìåííîé t íà ìíîæåñòâå, ãäå ýòè ôóíêöèè îïðåäåëåíû. Òîãäà 0 0
x0 (t) 6= 0 : yx0 = dy = yt0

t = yt0 dx xt

t xt Âû÷èñëåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé àðãóìåíòà t, ò.å. yx0 = yx0 (t). 00 . ßñíî, Òîãäà ìîæíî ñòàâèòü âîïðîñ îá îòûñêàíèè âòîðîé ïðîèçâîäíîé yxx ÷òî

00 = yxx

dyx0 (yx0 )0t

t (yx0 )0t = 0 = 0 : dx xt

t xt 62

00 äëÿ ôóíêöèè y (x), çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè Âû÷èñëèòü yx0 è yxx

Ïðèìåð 1.



x = a(t sin t) y = a(1 cos t)

1 < t < +1 :


a = a(t +
t)

Îòñþäà

2

a

ßñíî, ÷òî

0 yx0 = yt0 = a sin t = ctg t ; xt a(1 cos t) 2

Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà, åå ïðîèçâîäíàÿ. Ãåîìåòðè÷åñêèé è ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé

Åñëè êàæäîìó çíà÷åíèþ ïåðåìåííîé t èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà T ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ïî èçâåñòíîìó çàêîíó îïðåäåëåííûé âåêòîð 2 3 , òî ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå T çàäàíà âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ = (t). Ïîñêîëüêó êàæäûé âåêòîð 2 3 â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ êîîðäèíàòàìè ax , ay , az , òî çàäàíèå âåêòîðíîé ôóíêöèè = (t) ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ òðåõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé ax = ax (t), ay = ay (t), az = az (t).

a R

a a

z

a (t +
t)

y

O

x

v

a

Îïðåäåëåíèå 1. Ãîäîãðàôîì âåêòîðà (t) íàçûâàþò êðèâóþ, êîòîðóþ âû÷åð÷èâàåò êîíåö âåêòîðà (t) ïðè ïåðåìåùåíèè ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðà t ïðè óñëîâèè, ÷òî íà÷àëî âåêòîðà (t) íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ. 5).

a

a

63

r r r

[a(t)
b(t)]0 = a0 (t)
b(t) + a(t)
b0 (t) ; [a(t)  b(t)]0 = a0 (t)  b(t) + a(t)  b0 (t) :

Êàñàòåëüíàÿ ïðÿìàÿ è íîðìàëüíàÿ ïëîñêîñòü ê êðèâîé, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè

Ïóñòü íåêîòîðàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ îïðåäåëåíà êàê ãîäîãðàô âåêòîðà (t) = ax (t) + ay (t) + az (t) : Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî ýòà êðèâàÿ èìååò òàêèå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ x = ax (t), y = ay (t), z = az (t), ãäå t èçìåíÿåòñÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå T .

a

Ïðèìåð 2. Ðèñ. 5.

a

a

3


a
t

a

Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ÿñíî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ 0 (t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê ãîäîãðàôó ôóíêöèè (t) â òî÷êå t. ßñíî òàêæå, ÷òî êîîðäèíàòû ïðîèçâîäíîé 0 (t) ðàâíû a0x (t), a0y (t), a0z (t). Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ïðîèçâîäíûõ îò åå êîîðäèíàò. Çàìå÷àíèå 1. Åñëè âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ = (t) îïðåäåëÿåò çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî êðèâîé, òî (t) = 0 (t)  ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òî÷êè. Çàìå÷àíèå 2. Îòìåòèì, ÷òî ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðíûõ ôóíêöèé áóäóò òàêèìè æå, êàê è äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé, à èìåííî

a0 (t)

a(t)

a(t) :

a a a a a a(t +
t) a(t) : a0 (t) = ddta =
lim t!0
t

  t 0 ctg 0 2 1 00 = (yx0 )t = yxx = t: x0t a(1 cos t) 4a sin4 2

a a


a a(t +
t) =
t
t

Âåêòîð
=
t ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíþþ ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ âåêòîðíîé ôóíêöèè = (t) íà îòðåçêå [t; t +
t]. Ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè = (t) â äàííîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êå t íàçûâàåòñÿ ïðåäåë

( t 6= 2k ) :

a R

a(t) :

Óìíîæèâ ýòîò âåêòîð íà ÷èñëî 1=
t, ïîëó÷èì íîâûé âåêòîð, êîëëèíåàðíûé âåêòîðó


Íàïîìíèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ öèêëîèäîé. Ðåøåíèå.

a

Ââåäåì ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè (t) â äàííîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êå t. Äàäèì t ïðèðàùåíèå
t 6= 0 è ðàññìîòðèì âåêòîð

i

j

Íàðèñîâàòü êðèâóþ , îïðåäåëåííóþ êàê ãîäîãðàô âåêòîðà

a(t) = r cos t
i + r sin t
j + ht
k ;

Ðåøåíèå.

k

0 6 t < 2 ; r > 0 ; h > 0 :

Ïåðåéäÿ ê ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì

x = r cos t ;

y = r sin t ; 64

z = ht ;

z

Ïðèìåð 3.

g

Ðåøåíèå.

y

r x Ðèñ. 6.

6 t < 2), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âèíòîâîé

dax day daz = 2 sin t ; = 2 cos t ; = 3; dt dt dt p p day daz dax 2; = = 2; = 3: dt t==4 dt t==4 dt t==4 p p
Òî÷êà M0 èìååò êîîðäèíàòû M0 2; 2; 3=4 . Êàñàòåëüíàÿ 3 p p x p 2=yp 2=z 4 : 3 2 2 Íîðìàëüíàÿ ïëîñêîñòü

p

2(x

Ðàññìîòðèì êðèâóþ , îïðåäåëåííóþ êàê ãîäîãðàô âåêòîðà

a(t) = ax(t) i + ay (t) j + az (t) k ;

Ÿ 5

è ïóñòü íà ìíîæåñòâå T ôóíêöèè ax (t), ay (t), az (t) äèôôåðåíöèðóåìû. Ïðè íåêîòîðîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà t0 2 T íà êðèâîé ïîëó÷èì òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ), ãäå x0 = ax (t0 ), y0 = ay (t0 ), z0 = az (t0 ). Ìû óñòàíîâèëè, ÷òî âåêòîð ëåæèò íà êàñàòåëüíîé ê ãîäîãðàôó âåêòîðà (t) â òî÷êå t0 , ñëåäîâàòåëüíî, åãî ìîæíî ïðèíÿòü çà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð êàñàòåëüíîé, à òîãäà óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé áóäåò èìåòü âèä

a

x x0 y y0 z z0 = = : dax day daz dt t=t0 dt t=t0 dt t=t0 Ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê êàñàòåëüíîé â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ), íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé è, î÷åâèäíî, èìååò òàêîå óðàâíåíèå





dax (x x ) + day (y y ) + daz (z z ) = 0 : 0 0 0 dt t=t0 dt t=t0 dt t=t0 Çäåñü âåêòîð

n=







da da dax ; y ; z dt t=t0 dt t=t0 dt t=t0

ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüþ ê íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè. 65

a(t) = 2 cos t
i + 2 sin t
j + 3t
k

â òî÷êå t0 = =4.

h

0

íåòðóäíî íàðèñîâàòü êðèâóþ (0 ëèíèåé (ðèñ. 6).

Íàïèñàòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê âèíòîâîé ëèíèè

!

1

p

p

2) + 2(y

p



2) + 3 z



3 = 0: 4

Òåîðåìû î äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèÿõ

Òåîðåìà Ðîëëÿ

(Ðîëëü). Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (a; b) ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ f 0 (x) è, êðîìå òîãî, f (a) = f (b), òî òîãäà ìåæäó òî÷êàìè a è b íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà c (a < c < b) òàêàÿ, ÷òî f 0 (c) = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], ñëåäîâàòåëüÒåîðåìà 1

íî, íà ýòîì îòðåçêå îíà ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå m è íàèáîëüøåå çíà÷åíèå M . Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî m = M , òî f (x) ïîñòîÿííà íà îòðåçêå [a; b], ò.å. f (x) = const, ñëåäîâàòåëüíî, f 0 (x) = 0, 8x 2 [a; b], â ÷àñòíîñòè è â íåêîòîðîé òî÷êå c 2 (a; b). Åñëè m < M , òî ñóùåñòâóåò òî÷êè x1 è x2 òàêèå, ÷òî f (x1 ) = m, f (x2 ) = M , ïðè÷åì, åñëè áû îêàçàëîñü, ÷òî òî÷êè x1 è x2 íàõîäÿòñÿ íà êîíöàõ îòðåçêà [a; b], òî ìû ïðèøëè áû ê ïåðâîìó ñëó÷àþ, ïîýòîìó õîòÿ áû îäíà èç òî÷åê x1 èëè x2 ëåæèò âíóòðè îòðåçêà [a; b]. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè a < x1 < b è f (x1 ) = m. Òîãäà ïðè ëþáîì äîñòàòî÷íî ìàëîì ïî ìîäóëþ
x áóäåò f (x1 ) 6 f (x1 +
x), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

f (x1 +
x) f (x1 )
x f (x1 +
x) f (x1 )
x

>0

ïðè


x > 0 ;

60

ïðè


x < 0 :

66

y

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ

(x) = (f (x) f (a)) (b a) (f (b) f (a)) (x a) :

O

a x2

x 1 +
x x 1 +
x x1
x < 0
x > 0

b

Ôóíêöèÿ (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] êàê ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Êðîìå òîãî, îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b), ïðè÷åì, (a) = (b) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ. Çíà÷èò, íàéäåòñÿ òî÷êà c, ëåæàùàÿ âíóòðè îòðåçêà [a; b] òàêàÿ, ÷òî 0 (c) = 0. Ïîñêîëüêó

x

0 (x) = f 0 (x)(b a) (f (b) f (a)) ;

Ðèñ. 7.

Óñòðåìèì òåïåðü
x ê íóëþ. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x1 , òî ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðåäåë ïåðâîé äðîáè äîëæåí áûòü ðàâåí ïðåäåëó âòîðîé äðîáè, à ýòî ìîæåò áûòü òîëüêî 0. Èòàê, íàøëàñü òî÷êà c = x1 òàêàÿ, ÷òî f 0 (c) = 0 (ðèñ. 7). Äëÿ òî÷êè x2 , â êîòîðîé ôóíêöèÿ äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî.  Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ðîëëÿ

Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Ðîëëÿ, òî f 0 (c) = 0 â íåêîòîðîé òî÷êå x = c , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x = c ïàðàëëåëüíà îñè Ox. Çàìåòèì, ÷òî åñëè õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå y îòðåçêà [a; b] ôóíêöèÿ íå äèôôåðåíöèðóåìà, òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f (x) ìîæåò â íóëü è íå îáðàòèòüñÿ (ñì. ðèñ. 8). Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ 1 y = 1 jxj íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [ 1; 1], äèôôåðåíöèðóåìà íà ( 1; 1) çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè x0 = 0, ïðè÷åì f ( 1) = f (1) = 0, ò.å. óñëî1 0 1 x âèå òåîðåìû Ðîëëÿ íàðóøåíî â åäèíñòâåííîé òî÷êå x0 = 0 (â íåé ôóíêöèÿ íå äèôôåðåíöèÐèñ. 8. ðóåìà). Î÷åâèäíî, ÷òî íè â îäíîé òî÷êå ãðàôèêà ôóíêöèè íà îòðåçêà [ 1; 1] êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó íå ïàðàëëåëüíà îñè Ox.

2

òî ïîëîæèâ çäåñü x = c, ïîëó÷èì

0 (c) = f 0 (c)(b a) (f (b) f (a)) = 0 :



Îòñþäà ñëåäóåò ôîðìóëà (1).

Ôîðìóëó êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà ìîæíî çàïèñàòü íåñêîëüêî èíà÷å, åñëè ïîëîæèòü b = x +
x, a = x è îáîçíà÷èòü c = x + 
x, ãäå  - íåêîòîðîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó 0 <  < 1. Ïðè ýòîì ôîðìóëà Ëàãðàíæà áóäåò èìåòü âèä

f (x +
x) f (x) = f 0 (x + 
x)

x Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ëàãðàíæà

y f (c)

B f (b) f (a) 

A O

a

b a c

Òåîðåìà Ëàãðàíæà

Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b), òî âíóòðè îòðåçêà [a; b] íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà c (a < c < b) òàêàÿ, ÷òî áóäåò èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî 0 Òåîðåìà 2

(Ëàãðàíæ).

f (b) f (a) = f (c)(b a)

 ôîðìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà. 67

(1)

(0 <  < 1) :

b

x

Ðèñ. 9.

Èòàê, ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Ëàãðàíæà, òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé Ëàãðàíæà. Ïóñòü òî÷êè A è B , ëåæàùèå íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = f (x), èìåþò êîîðäèíàòû A (a; f (a)), B (b; f (b)), òîãäà î÷åâèäíî (ðèñ. 9), ÷òî

tg  =

f (b) f (a) ; b a 68

y

ãäå   óãîë íàêëîíà õîðäû AB ê îñè Ox. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, f 0 (c) = tg . Çíà÷èò, â òî÷êå x = c êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) ïàðàëëåëüíà õîðäå, ñòÿãèâàþùåé äóãó êðèâîé AB .  ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Ëàãðàíæà. 3

Òåîðåìà Êîøè

(Êîøè).

f (b) f (b) f 0 (c) = g (b) g (a) g 0 (c)

(ôîðìóëà Êîøè) :

(2)

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðåæäå âñåãî, çàìåòèì, ÷òî g (b) 6= g (a), òàê êàê èíà÷å â ñèëó òåîðåìû Ðîëëÿ íàøëàñü áû òî÷êà c òàêàÿ, ÷òî áûëî áû g 0 (c) = 0. Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ

(x) = (f (x) f (a)) (g (b) g (a)) (f (b) f (a)) (g (x) g (a)) : ßñíî, ÷òî ôóíêöèÿ (x) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] êàê ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, êðîìå òîãî, îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b). Çàìåòèì, ÷òî (a) = (b) = 0, ò.å. (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ. Èòàê, íàéäåòñÿ òî÷êà c òàêàÿ, ÷òî áóäåò 0 (c) = 0. Òàê êàê

0 (x) = f 0 (x) (g (b) g (a)) g 0 (x) (f (b) f (a)) ;

O

(a)

(c)

(b)

x

Ðèñ. 10.

ðàâåí f 0 (c)=g 0 (c), â ñèëó òåîðåìû Êîøè îí ñîâïàäàåò ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ñåêóùåé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè A è B . Èòàê, åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Êîøè, òî íà ãðàôèêå êðèâîé, çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (3) íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà C , òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ýòîé êðèâîé ïàðàëëåëüíà õîðäå, ïðîâåäåííîé ÷åðåç òî÷êè A è B . 4

Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ

Òåîðåìà 4. Åñëè ôóíêöèè f (x) è g (x) äèôôåðåíöèðóåìû â îêðåñòíîñòè 0 òî÷êè x0 è, êðîìå òîãî, xlim !x0 f (x) = 0, xlim !x0 g (x) = 0, ïðè÷åì g (x) 6= 0 â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , òî òîãäà

lim

f (x) = lim f 0 (x) x!x0 g 0 (x)

x!x0 g (x)

òî ïîëîæèâ çäåñü x = c, ïîëó÷èì

(c) = f 0 (c) (g (b) g (a)) g 0 (c) (f (b) f (a)) = 0 ;



îòêóäà ñëåäóåò ôîðìóëà (2). Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Êîøè

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Êîøè ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì ñìûñëîì òåîðåìû Ëàãðàíæà. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì êðèâóþ (ðèñ.10), çàäàííóþ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè 

B

A

Åñëè íà îòðåçêå [a; b] ôóíêöèè f (x) è g(x) íåïðåðûâíû è äèôôåðåíöèðóåìû â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (a; b), ïðè÷åì g0 (x) 6= 0 âî âñåõ òî÷êàõ ýòîãî èíòåðâàëà, òî òîãäà ìåæäó òî÷êàìè a è b ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà c (a < c < b), ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

Òåîðåìà 3

C

(c)

x = g (t) y = f (t) ;

(3)

ïðè÷åì ôóíêöèè f (t) è g (t) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû Êîøè. Ïóñòü ïàðàìåòð t 2 [a; b], òîãäà A (g (a); f (a)), B (g (b); f (b)). Óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó êðèâîé â íåêîòîðîé òî÷êå C (g (c); f (c)) 69

ïðè óñëîâèè, ÷òî âòîðîé ïðåäåë ñóùåñòâóåò (çäåñü x0 - êîíå÷íîå ÷èñëî, ëèáî x0 = 1, ëèáî x0 = +1, ëèáî x0 = 1). Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà x0  êîíå÷íîå ÷èñëî.

Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ôóíêöèè f (x) è g (x) äèôôåðåíöèðóåìû â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè, à ñëåäîâàòåëüíî è íåïðåðûâíû â òî÷êå x0 , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî lim f (x) = f (x0 ) = 0, xlim x!x0 !x0 g (x) = g (x0 ) = 0. Ïóñòü x - òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , òîãäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Êîøè è èìååò ìåñòî ôîðìóëà

f (x) f (x0 ) = f 0 (c) ; g (x) g (x0 ) g 0 (c) ãäå c ëåæèò ìåæäó x0 è x. Åñëè x ! x0 , òî è c ! x0 , òîãäà f (x) = lim f (x) f (x0 ) = lim f 0 (c) = lim f 0 (x) : lim x!x0 g (x) x!x0 g (x) g (x0 ) c!x0 g 0 (c) x!x0 g 0 (x) 70



5) 

ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ: äëÿ ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé 00

è

h

1 i íàäî çà1

ìåíèòü ïðåäåë îòíîøåíèÿ äâóõ ôóíêöèé ïðåäåëîì îòíîøåíèÿ èõ ïðîèçâîäíûõ. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî îòíîøåíèå ïðîèçâîäíûõ èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, òî ê ýòîìó æå ïðåäåëó ñòðåìèòñÿ è îòíîøåíèå äàííûõ ôóíêöèé. Äëÿ ðàñêðûòèÿ äðóãèõ íåîïðåäåëåííîñòåé 0
1, 1 1, 11 , 00 è ò. ï. ýòè íåîïðåäåëåííîñòè ñëåäóåò ïðåäâàðèòåëüíî ïðåîáðàçîâàòü ê íåîïðåäåëåí 

0 íîñòè âèäà èëè 0

h

1 i, äëÿ ÷åãî èõ ïðåäâàðèòåëüíî èíîãäà ïðèõîäèòñÿ 1

ïðîëîãàðèôìèðîâàòü. Åñëè íåîïðåäåëåííîñòü íå ðàñêðûëàñü ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ, ýòî ïðàâèëî ìîæíî ïðèìåíèòü åùå ðàç, íî óæå ê îòíîøåíèþ ïðîèçâîäíûõ (ïðè  óñëîâèè, ÷òî îòíîøåíèå ïðîèçâîäíûõ ïîðîæäàåò íåîïðåäåëåííîñòè Ïðèìåðû.

h1i 0 èëè 0 1 ).

1)

2)

 

 

 

0 sin x 0 cos x 1 1 cos x = = xlim lim !0 2x = 0 = xlim !0 2 = 2 : x!0 x2 0 1 log5 x h 1 i x ln 5 lim = x!+1 x 1 = x!lim+1 1 = 0 :

4) 

 



1 = [1 1] = lim x ln(1 + x) = 0 = x!0 x ln(1 + x) x 0 1 1 1 1 (1 + x)2 1+x = : = xlim !0 1 + 1 !0 ln(1 + x) + x = xlim 2 1+x 1 + x (1 + x)2

1 lim x!0 ln(1 + x)

Ÿ 6

1

Ôîðìóëû Òåéëîðà è Ìàêëîðåíà

Ôîðìóëà Òåéëîðà

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = f (x), îïðåäåëåííóþ íà îòðåçêå [a; b]. Äîïóñòèì, ÷òî íà ýòîì îòðåçêå f (x) äèôôåðåíöèðóåìà n ðàç. Äîêàæåì, ÷òî f (x) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

0 00 (n 1) (a) f (x) = f (a) + f (a) (x a) + f (a) (x a)2 + : : : + f (x a)n 1 + Rn 1! 2! (n 1)!  ôîðìóëà Òåéëîðà. Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ôîðìóëå Òåéëîðà íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì. Î íåì ìû ïîãîâîðèì îñîáî. Åñëè îòáðîñèòü îñòàòî÷íûé ÷ëåí, òî ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî

tg 3x (tg 3x)0 3 0 lim = = lim = xlim x!0 x x!0 x0 !0 cos2 x = 3 : 0

3)



ln(1 + 3x) lim (1 + 3x)1= sin x = [11 ] = exp xlim = x!0 !0 sin x 0 1 3 B 1 + 3x C 3 = exp @xlim !0 cos x A = e :

Òåîðåìà îñòàåòñÿ â ñèëå è â òîì ñëó÷àå, êîãäà â òî÷êå x0 ôóíêöèè f (x) è g (x) îáðàùàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå äîêàçàííóþ òåîðåìó, ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùåå   Çàìå÷àíèå.

71

0 00 (n 1) (a) f (x)  f (a) + f (a) (x a) + f (a) (x a)2 + : : : + f (x a)n 1 : 1! 2! (n 1)! Ìíîãî÷ëåí, ñòîÿùèé ñïðàâà, íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì Òåéëîðà. Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà Òåéëîðà âû÷èñëÿþòñÿ áåç òðóäà: äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (x) è åå ïðîèçâîäíûõ f 0 (x), f 00 (x), : : :, f (n 1) (x) â òî÷êå x = a. Çàìåíèâ ôóíêöèþ åå ìíîãî÷ëåíîì Òåéëîðà, ìû ñîâåðøèì îøèáêó, ðàâíóþ îòáðîøåííîìó îñòàòî÷íîìó ÷ëåíó Rn â ôîðìóëå Òåéëîðà. Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ýòó îøèáêó òî÷íî óêàçàòü, êàê ïðàâèëî, íåëüçÿ, îäíàêî âñåãäà ìîæíî åå îöåíèòü, ò.å. ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, êîòîðîãî íå ïðåâîñõîäèò ìîäóëü îòáðîøåííîãî îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. Âûâåäåì ôîðìóëó Òåéëîðà. Äëÿ ýòîãî ïðèáåãíåì ê òàêîìó èñêóññòâåííîìó ïðèåìó: äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðîå íåèçâåñòíîå ÷èñëî T îïðåäåëåíî ðàâåíñòâîì

f (b) f (a)

f 0 (a) (b a) f 00 (a) (b a)2 : : : 1! 2! (n 1) (a) f T (b a)n = 0 (1) ::: (b a)n 1 (n 1)! n! 72

è ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ

(x) = f (b) f (x)

f 0 (x) f 00 (x) (b x) (b x)2 : : : 1! 2! (n 1) (x) ::: f (b x)n 1 T (b x)n : (2) (n 1)! n!

 ñèëó ðàâåíñòâà (1) (a) = 0. Î÷åâèäíî, ÷òî (b) = 0. Êðîìå òîãî, (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b). Ñëåäîâàòåëüíî, (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ. Çíà÷èò, ìåæäó òî÷êàìè a è b ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ òî÷êà c òàêàÿ, ÷òî 0 (c) = 0. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ðàâåíñòâî (2) ïî÷ëåííî

 00    000 f (x) (b x) f 0 (x) f (x) (b x)2 f 00 (x) 2(b x) 0 (x) = f 0 (x) ::: 1! 1! 2! 2!   (n) f (x) (b x)n 1 f (n 1) (x) (n 1)(b x)n 2 + T n(b x)n 1 = (n 1)! (n 1)! n! ( n ) f (x) T = (b x)n 1 + (b x)n 1 : (n 1)! (n 1)!

Îòñþäà ñëåäóåò f (n) (c)

0 (c) =

(n 1)!

 ýòî ïîëó÷åííàÿ ðàíåå ôîðìóëà Ëàãðàíæà. Ïîëîæèì òåïåðü â ôîðìóëå Òåéëîðà n = 2.

00 f (x) = f (a) + f 0 (a)(x a) + f (c) (x a)2 2! è çàìåíèì â ýòîì âûðàæåíèè x íà x +
x, à òî÷êó a íà x, òîãäà ïîëó÷èì f 00 (c) f (x +
x) = f (x) + f 0 (x)
x + (
x)2 : 2! Îòáðîñèì ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, òîãäà f (x +
x)  f (x) + df (x). Ýòîé ôîðìó-

ëîé ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ, çàìåíÿÿ ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè åå äèôôåðåíöèàëîì. Ïîãðåøíîñòü òàêèõ ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé íåòðóäíî îöåíèòü, ðàññìîòðåâ îòáðîøåííûé îñòàòî÷íûé ÷ëåí

f 00 (c) (
x)2 . 2!

Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà Òåéëîðà èìååò î÷åíü øèðîêîå ïðèìåíåíèå, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò ëþáóþ ôóíêöèþ (ëèøü áû îíà áûëà íóæíîå ÷èñëî ðàç äèôôåðåíöèðóåìà!) çàìåíèòü ìíîãî÷ëåíîì ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. 2

Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé

ex , cos x, sin x, ln(1 + x), (1 + x)

ôîð-

ìóëîé Ìàêëîðåíà

(b c)n 1 +

T

(n 1)!

(b c)n 1 = 0

)

T = f (n) (c) :

1)

Ïîäñòàâèì íàéäåííîå çíà÷åíèå T â ôîðìóëó (1) è çàìåíèì â íåé b íà x, òîãäà ïîëó÷èì

00 0 f (x) = f (a) + f (a) (x a) + f (a) (x a)2 + : : : 1! 2! (n 1) (a) f f (n) (c) (x a)n : (3) ::: + (x a)n 1 + (n 1)! n! Çäåñü c ëåæèò ìåæäó a è x, ïîýòîìó c = a + x, 0 <  < 1

Ôîðìóëà (3) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà. Åñëè â ôîðìóëå Òåéëîðà ïîëîæèòü a = 0, òî ïîëó÷èì ÷àñòíûé ñëó÷àé ôîðìóëû Òåéëîðà  òàê íàçûâàåìóþ ôîðìóëó Ìàêëîðåíà

f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n 1) (0) n 1 f (n) (c) n f (x) = f (0) + x+ x + ::: + x + x : 1! 2! (n 1)! n!

Îòìåòèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè ôîðìóëû Òåéëîðà. Ïîëîæèì â ôîðìóëå Òåéëîðà n = 1

f (x) = f (a) + f 0 (c)(x a) 73

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = ex . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà ñêîëüêî óãîäíî ðàç íà âñåé ÷èñëîâîé îñè. Íàéäåì åå ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà. Ïîñêîëüêó f (k) (x) = ex ; f (k) (0) = 1 ; k = 0; 1; 2; : : : ; òî, ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ â ôîðìóëó Ìàêëîðåíà, ïîëó÷èì 2 3 n 1 ec + xn ; ex = 1 + x + x + x + : : : + x

1!

2!

3!

(n 1)!

n!

ãäå c ëåæèò ìåæäó 0 è x. 2)

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = sin x. Ôóíêöèÿ f (x) = sin x ñêîëüêî óãîäíî ðàç äèôôåðåíöèðóåìà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî     f (k) (x) = sin x + k
 ; f (k) (0) = sin k
 ; 2 2

k = 0; 1; 2; : : : :

Ïîäñòàâèì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ â ôîðìóëó Ìàêëîðåíà, ïîëó÷èì

sin x = x

x3 + x5 3! 5!

   x7 + : : : + sin(n 1) 2 xn 1 + sin c + n
2 xn : 7! (n 1)! n!

74

3)

Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ f (x) = cos x. Ïîñêîëüêó 







; k = 0; 1; 2; : : : ; f (k) (x) = cos x + k
 ; f (k) (0) = cos k
2 2 òî ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = cos x ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà èìååò âèä    cos(n 1) n 1 cos c + n x2 x4 2x + 2 xn : cos x = 1 + ::: + 2! 4! (n 1)! n! 4)

Ôóíêöèÿ f (x) = ln(1 + x) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà ïðè x > 1. Î÷åâèäíî, ÷òî k 1 f (k) (x) = ( 1) (k k 1)! ; f (k) (0) = ( 1)k 1 (k 1)! ; (1 + x)

k = 1; 2; 3; : : : :

Òàêèì îáðàçîì, èìååì ðàçëîæåíèå

ln(1 + x) = x 5)

x2 + x3 2 3

::: +

( 1)n 2 n 1 ( 1)n 1 n x + x : n 1 n(1 + c)n

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = (1 + x) , ãäå   ëþáîå ÷èñëî è x 6= 1. Ïîñêîëüêó f (k) (x) = ( 1)
( 2)


( k + 1)(1 + x) k ;

f (k) (0) = ( 1)
( 2)


( k + 1) ïðè k = 1; 2; 3; : : : ;

òî, ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (x) = (1 + x) ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà èìååò âèä

(1 + x) = 1 + x + ( 1) x2 + : : : + ( 1)2 : : : ( n + 2) xn 1 + 2! (n 1)! ( 1) : : : ( n + 1) (1 + c) n xn : + n! 3

Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Òåéëîðà ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì

Åñëè ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ôîðìóëîé Òåéëîðà

0 00 (n 1) (a) (n) f (x) = f (a)+ f (a) (x a)+ f (a) (x a)2 +: : :+ f (x a)n 1 + f (c) (x a)n ; 1! 2! (n 1)! n! òî, îòáðîñèâ ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå (îñòàòî÷íûé ÷ëåí), ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî

0 00 (n 1) (a) f (x)  f (a) + f (a) (x a) + f (a) (x a)2 + : : : + f (x a)n 1 : 1! 2! (n 1)! 75

Òàêèì îáðàçîì, åñëè íóæíî âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x0 , òî ìû ïîëó÷èì

f (x0 )  f (a) +

f 0 (a) f 00 (a) f (n 1) (a) (x0 a) + (x0 a)2 + : : : + (x a)n 1 : 1! 2! (n 1)! 0

Åñëè óêàçàíî, ñêîëüêî ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ ñëåäóåò âçÿòü, òî ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèé íåòðóäíî îöåíèòü, îöåíèâ ìîäóëü îòáðîøåííîãî îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. Èíîãäà â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ, ò.å. óêàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîãî íå äîëæåí ïðåâîñõîäèòü ìîäóëü îòáðîøåííîãî ÷ëåíà; ÷èñëî ñëàãàåìûõ, êîòîðîå ñëåäóåò âçÿòü â ôîðìóëå Òåéëîðà ïðè ýòèõ âû÷èñëåíèÿõ, îïðåäåëÿåòñÿ ñ ó÷åòîì çàðàíåå çàäàííîé òî÷íîñòè.

p Âû÷èñëèòü e, ðàçëîæèâ ôóíêöèþ ex ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà. Âçÿòü øåñòü ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèé. Ïðèìåð 1.

Ðåøåíèå.

Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè ex ïî ôîðìóëå Ìàêëîðåíà èìååò âèä

2 3 4 5 c ex = 1 + x + x + x + x + x + e x6 ; 1! 2! 3! 4! 5! 6! ãäå c ëåæèò ìåæäó 0 è x. Òîãäà, îòáðîñèâ îñòàòî÷íûé ÷ëåí è ïîëîæèâ x = 1=2, ïîëó÷èì

pe  1 + 1 + 1
1 + 1
1 + 1
1 + 1
1 : 2 2! 22 3! 23 4! 24 5! 25 Ïðåæäå ÷åì ïîäñ÷èòàòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñóììû ñëàãàåìûõ, ñòîÿùèõ ñïðàâà, îöåíèì ïîãðåøíîñòü

1=2 p c jR6 j = e6!
216 < e26 6! < 26 6!3 < 216;6!8 < 0; 00004 :

Ñäåëàííàÿpîöåíêà ïîãðåøíîñòè ãàðàíòèðóåò íàì, ÷òî â ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè e ÷åòûðå çíàêà ïîñëå çàïÿòîé áóäóò âû÷èñëåíû ïðàâèëüíî. Ïîäñ÷èòûâàåì

pe  1 + 0; 5 + 0; 125 + 0; 020833 + 0; 0026042 + 0; 00026042  1; 6487 :

Ïðèìåð 2.

ïåíÿì (x

Ðåøåíèå.

p

Âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå 5 33 , ðàçëîæèâ 32). Âû÷èñëåíèå âûïîëíèòü ñ òî÷íîñòüþ äî 0; 0001. Ðàçëîæèì ôóíêöèþ y =

p5 x ïî ñòå-

p5 x ïî ôîðìóëå Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè 76

òî÷êè x0 = 32.

Ÿ 7

y (x) = x1=5 ; y 0 (x) = 1 x 4=5 ; 5  1 4 y 00 (x) = x 9=5 ; 5 5 ::: y (n) (x) = ( 1)n 1 4
9
14 : :n: (5n 6) x1=5 n : 5 Èòàê, ðàçëîæåíèå ôóíêöèè y = èìåòü ñëåäóþùèé âèä

p5 x â

y (32) = 2 ; y 0 (32) = 1 4 ; 5
2 y 00 (32) = 2 4 9 ; 5
2 :::

îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 = 32 áóäåò

p5 x = 2 + 1 (x 32) 4 (x 32)2 + : : : 5
24 52
29
2! : : : + ( 1)n 1 4
9 : :n: (5n 6) c1=5 n (x 32)n ; 5
n! ãäå c ëåæèò ìåæäó 32 è x. Ïîëîæèì òåïåðü â ýòîì ðàçëîæåíèè x = 33. Òîãäà ïîëó÷èì

p5

4 4
9
14 : : : (5n 6) 1=5 n + : : : + ( 1)n 1 c ; 52
29
2! 5n
n!

33 = 2 + 1 4 5
2

çäåñü 32 < c < 33. Íóæíî ïîäîáðàòü òàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè, ÷òîáû îòáðîøåííûé îñòàòî÷íûé ÷ëåí áûë ìåíüøå 0; 0001. Ïðè n = 2 èìååì

jR2 j = 52
2!4
c9=5 < 52
2!
4(32)9=5 = 52
2!4
29  0; 000156 > 0; 0001 : Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû âûïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ, íåäîñòàòî÷íî âçÿòü äâà ÷ëåíà ðàçëîæåíèÿ, òàê êàê òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé íå ãàðàíòèðîâàíà. Âîçüìåì n = 3. Ïîëó÷èì

9 4
9 jR3 j = 53
3!4

9c14=5 < 53
3!4

(32) 14=5 = 53
2
3
214  0; 0001 : Î÷åâèäíî, ÷òî òðè ÷ëåíà, âçÿòûå â ðàçëîæåíèè â ñèëó ñäåëàííîé îöåíêè, ãàðàíòèðóþò íåîáõîäèìóþ òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé. Ïîäñ÷èòûâàåì

p5

33  2 + 0; 0125 0; 00015625  2; 0122 : 77

1

Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé

Ïðèçíàê ïîñòîÿíñòâà ôóíêöèè

Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b). Äëÿ òîãî, ÷òîáû f (x) áûëà ïîñòîÿííà íà îòðåçêå [a; b], íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b) âûïîëíÿëîñü óñëîâèå f 0 (x) = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü f 0 (x) = 0 äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b).

Òåîðåìà 1.

Âîçüìåì ëþáûå äâå òî÷êè x1 è x2 , ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó [a; b]. Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà íàéäåòñÿ òî÷êà c 2 (a; b) òàêàÿ, ÷òî

f (x2 ) f (x1 ) = f 0 (c)(x2 x1 ) ;

íî f 0 (c) = 0, ñëåäîâàòåëüíî f (x2 ) = f (x1 ) äëÿ ëþáûõ x1 ; x2 2 [a; b], à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî f (x)  ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [a; b]. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü f (x)  ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [a; b]. Òîãäà f 0 (x) = 0 äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b).  2

Ïðèçíàêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè

Ïóñòü f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b). Äëÿ òîãî, ÷òîáû f (x) íå óáûâàëà íà îòðåçêå [a; b], íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî áû ïðè ëþáîì x 2 (a; b) âûïîëíÿëîñü óñëîâèå f 0 (x) > 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü f (x) íå óáûâàåò íà îòðåçêå [a; b]. È ïóñòü x 2 (a; b). Âîçüìåì ïðèðàùåíèå
x > 0 ñòîëü ìàëîå, ÷òîáû áûëî (x +
x) 2 (a; b).

Òåîðåìà 2.

Òàê êàê
x > 0, òî x < x +
x, à òàê êàê f (x) íå óáûâàåò, òî î÷åâèäíî, ÷òî f (x) 6 f (x +
x). Ñëåäîâàòåëüíî,

f (x +
x) f (x)
x

> 0:

Óñòðåìèì òåïåðü
x ê íóëþ, òîãäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðàâîñòîðîííåé ïðîèçâîäíîé, ïîëó÷èì f+0 (x) > 0 äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b). Ïîñêîëüêó f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b), òî íà ýòîì èíòåðâàëå f 0 (x) = f+0 (x). Çíà÷èò f 0 (x) > 0 äëÿ ëþáîãî x 2 (a; b). Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî x èç èíòåðâàëà (a; b) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå f 0 (x) > 0. Âîçüìåì ëþáûå äâå òî÷êè x1 è x2 èç îòðåçêà [a; b], ïðè÷åì x1 < x2 . Òîãäà ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà íàéäåòñÿ òî÷êà c 2 (a; b) òàêàÿ, ÷òî

f (x2 ) f (x1 ) = f 0 (c)(x2 x1 ) ; à òàê êàê x2 x1 > 0 è f 0 (c) > 0, òî ÿñíî, ÷òî f (x1 ) 6 f (x2 ), à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî f (x) íå óáûâàåò íà îòðåçêå [a; b].  78

y

Ïóñòü f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b). Äëÿ òîãî, ÷òîáû f (x) íå âîçðàñòàëà íà îòðåçêå [a; b], íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî áû ïðè ëþáîì x 2 (a; b) âûïîëíÿëîñü óñëîâèå f 0 (x) 6 0.

Òåîðåìà 3.

y y = f (x )

max f (x)

max f

Äîêàçàòåëüñòâî.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ïðåäûäóùóþ òåîðåìó ê íå óáûâàþùåé ôóíêöèè g (x) = f (x).  y

min f

O x0 Æ

x0

x0 + Æ x

y

3

a)

x

O

b)

y

a

b

x

Ýêñòðåìóìû ôóíêöèè

1)

2)

x

x

c)

d) Ðèñ. 11.

Íà ðèñ. 11 äàíû ãåîìåòðè÷åñêèå ïîÿñíåíèÿ ê äîêàçàííûì âûøå òåîðåìàì. Íà ðèñ. 11 c) èçîáðàæåí ãðàôèê ïîñòîÿííîé ôóíêöèè f (x). ßñíî, ÷òî ýòî åñòü ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè Ox. Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ýòîé ôóíêöèè ïàðàëëåëüíî îñè Ox, â ëþáîé òî÷êå, ñëåäîâàòåëüíî f 0 (x) = tg  = 0, ãäå   óãîë íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè. Íà ðèñ. 11 a) èçîáðàæåíà ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ f (x). Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ýòîé ôóíêöèè â ëþáîé òî÷êå îáðàçóåò îñòðûé óãîë ñ îñüþ Ox, ñëåäîâàòåëüíî tg  > 0. Çàìåòèì, ÷òî ó ñòðîãî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè ìîãóò íàéòèñü òî÷êè, â êîòîðûõ áóäåò f 0 (x) = tg  = 0. Äåéñòâèòåëüíî, íà ðèñ. 11 d) èçîáðàæåí ãðàôèê ñòðîãî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè y = x3 . ßñíî, ÷òî f 0 (0) = 0. Íà ðèñ. 11 b) èçîáðàæåíà íå óáûâàþùàÿ, íî íå ñòðîãî âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî íà èíòåðâàëå (a; b) ôóíêöèÿ ïîñòîÿííà.  êàæäîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà f 0 (x) = 0.

79

Ðèñ. 13.

Îïðåäåëåíèå 1.

y

O O

x

O

Ðèñ. 12.

O

max f

3)

Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , èìååò â ýòîé òî÷êå ìàêñèìóì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå Æ > 0, Æ ÷òî äëÿ ëþáîãî x 2 U (x0 ; Æ ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) < f (x0 ) (ðèñ. 12). Ïðè ýòîì ïèøóò max f (x) = f (x0 ). Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , èìååò â ýòîé òî÷êå ìèíèìóì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå Æ > 0, Æ ÷òî äëÿ ëþáîãî x 2 U (x0 ; Æ ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x0 ) < f (x). Ïðè ýòîì ïèøóò min f (x) = f (x0 ). Ìàêñèìóìû èëè ìèíèìóìû ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ýêñòðåìóìàìè ôóíêöèè.

Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî ìàêñèìóìîâ èëè ìèíèìóìîâ, ïðè÷åì, íå îáÿçàòåëüíî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì, òî÷íî òàê æå, êàê è ìèíèìàëüíîå  íàèìåíüøèì. Ýòî âèäíî èç ðèñ. 13. 4

Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà

Åñëè ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé òî÷êå x0 , ïðèíàäëåæàùåé0 èíòåðâàëó (x0 Æ; x0 + Æ) è èìååò â ýòîé òî÷êå ýêñòðåìóì, òî f (x0 ) = 0.

Òåîðåìà 4.

80

Äîêàçàòåëüñòâî.

ìàêñèìóì. Òîãäà

Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò

f (x0 +
x) f (x0 ) < 0 ;
x f (x0 +
x) f (x0 ) > 0 ;
x

åñëè
x > 0 ; åñëè
x < 0 :

Óñòðåìèì
x ê íóëþ, òîãäà ïîëó÷èì f+0 (x0 ) 6 0 è f 0 (x0 ) > 0. Òàê êàê ôóíêöèÿ â òî÷êå x0 äèôôåðåíöèðóåìà, òî äîëæíî áûòü f 0 (x0 ) = f+0 (x0 ) = f 0 (x0 ), à ýòî âîçìîæíî, òîëüêî êîãäà f+0 (x0 ) = f 0 (x0 ) = 0, ñëåäîâàòåëüíî f 0 (x0 ) = 0.  Èç ðèñ. 13 ÿñíî, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè â òî÷êå ýêñòðåìóìó ïàðàëëåëüíà îñè Ox. Çàìåòèì, ÷òî â ðàññìîòðåííîì âûøå ñëó÷àå òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ãëàäêîãî ýêñòðåìóìà. Ýêñòðåìóì ó ôóíêöèè ìîæåò ñóùåñòâîâàòü è â òî÷êàõ, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå èìååò ïðîèçâîäíîé èëè ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, ò.å. â òî÷êàõ, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ íå äèôôåðåíöèðóåìà. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî â ýòèõ òî÷êàõ ôóíêöèÿ èìååò îñòðûé ýêñòðåìóì.

y

O

y

jj

y= x

y0

x

O

Ðèñ. 14.

y=

(x

5

Èññëåäîâàíèå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ñ ïîìîùüþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé

Òåîðåìà 5. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè (x0 Æ; x0 + Æ) òî÷êè x0 è f 0 (x0 ) = 0, òî, åñëè ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òî÷êó x0 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ¾ïëþñ¿ íà ¾ìèíóñ¿, òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì, åñëè ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òî÷êó x0 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ¾ìèíóñ¿ íà ¾ïëþñ¿, òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïåðâóþ 0ïîëîâèíó òåîðåìû. Äîïóñòèì, ÷òî ïðî-

õîäÿ ÷åðåç òî÷êó x0 , ïðîèçâîäíàÿ f (x) ìåíÿåò çíàê ñ ¾ïëþñà¿ íà ¾ìèíóñ¿, ïðè÷åì f 0 (x0 ) = 0. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðàçëè÷íûå x 2 (x0 Æ; x0 + Æ ). Òàê êàê âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Ëàãðàíæà, òî ìåæäó òî÷åê x0 è x íàéäåòñÿ òî÷êà c òàêàÿ, ÷òî

f (x) f (x0 ) = f 0 (c)(x x0 ) ; ïðè÷åì, åñëè x < x0 , òî f 0 (c) > 0 è f (x) f (x0 ) < 0 , åñëè x0 < x, òî f 0 (c) < 0 è ñíîâà f (x) f (x0 ) < 0, à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò

x0 )2=3 + y0

x0

êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü, â áåñêîíå÷íîñòü èëè íå ñóùåñòâóåò, ìîãóò îêàçàòüñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìà. Ýòè òî÷êè íàçûâàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè èëè ïîäîçðèòåëüíûìè íà ýêñòðåìóì. Òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì, ïîäâåðãàþòñÿ äîïîëíèòåëüíîìó èññëåäîâàíèþ ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ, èìååòñÿ ëè â íèõ ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì.

x

Ðèñ. 15.

ìàêñèìóì (ðèñ. 16). Âòîðàÿ ïîëîâèíà òåîðåìû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.



y

max

Íàïðèìåð, íà ðèñ. 14 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè f (x) = jxj. ßñíî, ÷òî â òî÷êå x0 = 0 ýòà ôóíêöèÿ íå äèôôåðåíöèðóåìàÿ, ò.å. ó íåå â ýòîé òî÷êå íå ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ. Îäíàêî, î÷åâèäíî, ÷òî â òî÷êå x0 = 0 ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì (îñòðûé ýêñòðåìóì). Íà ðèñ. 15 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = (x x0 )2=3 + y0 , ó êîòîðîé â òî÷êå x0 ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (ôóíêöèÿ â ýòîé òî÷êå òàêæå íå äèôôåðåíöèðóåìàÿ). ßñíî, ÷òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò îñòðûé ìàêñèìóì. Åñëè f 0 (x0 ) = 0, òî òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé. Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êè ãëàäêîãî ýêñòðåìóìà ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè òî÷êàìè, ïðè÷åì ÿñíî, ÷òî îáðàòíîå íå âåðíî. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = x3 â òî÷êå x0 = 0 èìååò f 0 (0) = 0, îäíàêî ïîíÿòíî, ÷òî â òî÷êå x0 = 0 ôóíêöèÿ ýêñòðåìóìà íå èìååò. Èòàê, òî÷êè, â

Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà îñòàåòñÿ â ñèëå, åñëè â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò èëè îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü, ëèøü áû òîëüêî â ñàìîé êðèòè÷åñêîé òî÷êå ôóíêöèÿ èìåëà êîíå÷íîå çíà÷åíèå.

81

82

y = f (x )

f (x 0 )

O x0 Æ

x0

min

x x0 + Æ x

óáûâàåò

âîçðàñòàåò

óáûâàåò

y0 < 0

y0 > 0

y0 < 0

1

Ðèñ. 16.

0

1

x

Ðèñ. 17.

Îòìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî ïðè ðåøåíèè ïðèìåðîâ ïîëåçíî äåëàòü ñõåìó, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñâåñòè âîåäèíî ïîëó÷àåìûå ðåçóëüòàòû è ñäåëàòü ñîîòâåòñòâóþùèå âûâîäû, à èìåííî: íà îñü Ox íàíîñÿò êðèòè÷åñêèå òî÷êè, óêàçûâàþò èíòåðâàëû âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè, à òàêæå õàðàêòåð êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Ýòà ñõåìà âûãëÿäèò ïðèìåðíî òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 17.

x

x

y Ðèñ. 19.

1=2 1 1=2

x

1

x

, èíòåðâàëû âîçðàñòàíèÿ Íàéòè ýêñòðåìóìû ôóíêöèè y = 1 + x2 è óáûâàíèÿ ôóíêöèè è ñäåëàòü åå ðèñóíîê. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè. Íàéäåì òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ


Ðåøåíèå.

y0 =

Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ âòîðîé ïðîèçâîäíîé

Åñëè â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà è äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà, ïðè÷åì â ýòîé îêðåñòíîñòè f 00 (x) íåïðåðûâíà, à â òî÷êå x0 ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî åñëè f 00 (x0 ) < 00 0, â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì, à åñëè f (x0 ) > 0, â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïåðâóþ ïîëîâèíó òåîðåìû. Íàïèøåì ôîðìóëó

Òåîðåìà 1.

Ðèñ. 18.

Ïðèìåð 1.

Ÿ 8

1 + x2 x
2x 1 x2 = : 2 2 (1 + x ) (1 + x2 )2

Ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ x1;2 = 1. Î÷åâèäíî, ÷òî y 0 < 0 ëåâåå òî÷êè x1 = 1 è y 0 > 0 ïðàâåå x1 = 1, çíà÷èò ñàìîé òî÷êå x1 = 1 ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì. ßñíî, ÷òî â òî÷êå x2 = 1 ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì. Íåòðóäíî âû÷èñëèòü ymin = min y è ymax = max y . Äåéñòâèòåëüíî, ymin = y ( 1) = 1=2, ymax = y (1) = 1=2. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî y (0) = 0 è lim y = 0, òî ëåãêî íàðèñîâàòü ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè (ðèñ. 18). x!1 Èç ëèñòà êàðòîíà ðàçìåðàìè 158 âûðåçàòü óãîëêè, òàêèå, ÷òîáû ïîñëå çàãèáàíèÿ êðàåâ ïîëó÷èëàñü êîðîáêà íàèáîëüøåãî îáúåìà (ðèñ. 19).

Òåéëîðà âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ äàííîé ôóíêöèè f (x)

00 f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x x0 ) + f (c) (x x0 )2 ; 2 ãäå òî÷êà c ëåæèò ìåæäó x è x0 . Ïî óñëîâèþ òåîðåìû, f 0 (x0 ) = 0, çíà÷èò 00 f (x) f (x0 ) = f (c) (x x0 )2 : 2 Äîïóñòèì, ÷òî f 00 (x0 ) < 0, òîãäà ïî òåîðåìå î ñîõðàíåíèå çíàêà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 òàêàÿ, ÷òî çíàê âòîðîé ïðîèçâîäíîé áóäåò òîò æå, ÷òî è â òî÷êå x0 , ò.å. â òî÷êå c âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ áóäåò èìåòü òîò æå çíàê, ÷òî è â òî÷êå x0 , ò.å. f 00 (c) < 0. À òîãäà Æ îêàæåòñÿ, ÷òî f (x) f (x0 ) < 0 äëÿ âñåõ x 2 U (x0 ; Æ ), ò.å. â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì (ðèñ. 20).

Ïðèìåð 2.

ßñíî, ÷òî èñêîìûé îáúåì V (x) = x(15 2x)(8 2x).Ïðèðàâíÿâ ïðîèçâîäíóþ V 0 (x) = 12x2 92x+120 ê íóëþ, ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå 12x2 92x +120 = 0. Åãî êîðíè x1 = 6, x2 = 5=3. Î÷åâèäíî, ÷òî x1 = 6 ñëåäóåò èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ. ßñíî, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òî÷êó x2 = 5=3 ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ¾ïëþñ¿ íà çíàê ¾ìèíóñ¿, çíà÷èò, åñëè âûðåçàòü óãîëêè ñ ðàçìåðàìè (5=3)  (5=3), òî êîðîáêà áóäåò èìåòü íàèáîëüøèé îáúåì Vmax = (5=3)
(35=3)
(14=3) = 2450=27 êóá.åä..

x0 Æ

x0

c

x0 + Æ

Ðåøåíèå.

83

Ðèñ. 20.

 1

Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü êðèâûõ

Îïðåäåëåíèå 1.

84

1)

2)

y

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ íà îòðåçêå [a; b], âûïóêëà ââåðõ, èëè ïðîñòî âûïóêëà, åñëè ýòà êðèâàÿ ðàñïîëàãàåòñÿ íèæå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó êðèâîé (ðèñ. 21 a)).

dy
y

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ íà îòðåçêå [a; b], âûïóêëà âíèç, èëè âîãíóòà, åñëè ýòà êðèâàÿ ðàñïîëàãàåòñÿ âûøå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó êðèâîé (ðèñ. 21 b)). y

x

O

y

x

x +
x Ðèñ. 22.

2

x

O

a)

Òî÷êà íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = f (x), îòäåëÿþùàÿ âûïóêëóþ ÷àñòü ãðàôèêà îò âîãíóòîé, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà.

Îïðåäåëåíèå 2.

x

O

Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òî÷êó ïåðåãèáà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê. Åñëè x0  àáñöèññà òî÷êè ïåðåãèáà, òî f 00 (x0 ) = 0, èëè f 00 (x0 ) = 1, èëè f 00 (x0 ) íå ñóùåñòâóåò.

b) Ðèñ. 21.

Èç ðèñ. 21 î÷åâèäíî, ÷òî åñëè âûïóêëàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x), òî
y < dy , ò.å.

f (x +
x) f (x) f 0 (x)
x < 0 ; à åñëè êðèâàÿ âîãíóòà, òî dy <
y , ò.å. f (x +
x) f (x) f 0 (x)
x > 0 : Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ïðè÷åì f 00 (x) < 0 íà èíòåðâàëå (a; b), òî íà îòðåçêå [a; b], ãðàôèê ôóíêöèè âûïóêëûé, à åñëè f 00 (x) > 0, òî íà îòðåçêå [a; b], ãðàôèê

ôóíêöèè âîãíóòûé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f 00 (x) < 0 íà èíòåðâàëå (a; b). Âîçüìåì x 2 [a; b] è (x +
x) 2 [a; b], òîãäà èìååì ðàçëîæåíèå Òåéëîðà

85

3

Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè

Äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b], òîãäà íà ýòîì îòðåçêå îíà èìååò íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ. ×òîáû èõ íàéòè, íóæíî îòûñêàòü âñå ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû ôóíêöèè, âû÷èñëèòü åå çíà÷åíèÿ íà êîíöàõ îòðåçêà, à çàòåì ñðàâíèòü èõ ìåæäó ñîáîé è âûáðàòü íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå. Íà ðèñ. 23 ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå â òî÷êå x = a, êîòîðîå áîëüøå ymax = f (x2 ), à íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ f (b), êîòîðîå ìåíüøå ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ymin = f (x1 ).

y

òî÷êè

00 f (x +
x) = f (x) + f 0 (x)
x + f (c) (
x)2 ; 2 ãäå òî÷êà c ëåæèò ìåæäó x è x +
x. Ñëåäîâàòåëüíî, 00 f (x +
x) f (x) f 0 (x)
x = f (c) (
x)2 < 0 ; 2 ò.å.
y dy < 0, à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x)  âûïóêëàÿ êðèâàÿ (ðèñ. 22). Âòîðàÿ ïîëîâèíà òåîðåìû äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.

Òî÷êè ïåðåãèáà



O

a

x1

x2 Ðèñ. 23.

86

b

x

4

×åòíîñòü è íå÷åòíîñòü ôóíêöèè

Ïðè èññëåäîâàíèè ôóíêöèè âñåãäà íåëèøíå ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ôóíêöèÿ ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé, òàê êàê â òàêîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ òîëüêî äëÿ x > 0, à çàòåì îòîáðàçèòü åå ãðàôèê äëÿ îòðèöàòåëüíûõ x ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Oy èëè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Îïðåäåëåíèå 3. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ÷åòíîé, åñëè f ( x) = f (x) äëÿ ëþáîé òî÷êè x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.

Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = cos x  ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, f ( x) = cos( x) = cos x = f (x). ßñíî, ÷òî ãðàôèê ÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè Oy . Îïðåäåëåíèå 4. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íå÷åòíîé, åñëè f ( x) = äëÿ ëþáîé òî÷êè x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.

f (x)

Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = x3 íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òàê êàê f ( x) = ( x)3 = x3 = f (x). ßñíî, ÷òî ãðàôèê íå÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.

Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî b=x ! 0, ïðè x ! 1, òî ÿñíî, ÷òî ïîñëåäíåå ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâî ìîæåò èìåòü ìåñòî, ëèøü êîãäà âûðàæåíèå â êâàäðàòíîé ñêîáêå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à òîãäà èìååì

k = x!1 lim f (x) : x Åñëè k íàéäåíî, òî íåòðóäíî íàéòè è b b = x!1 lim (f (x) kx) :  ÷àñòíîñòè, åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî k = 0, òî ìû áóäåì èìåòü ÷àñòíûé ñëó÷àé íàêëîííîé àñèìïòîòû  ãîðèçîíòàëüíóþ àñèìïòîòó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðÿìàÿ x = a áóäåò ÿâëÿòüñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé, åñëè lim f (x) = 1. x!a Ÿ 9

Îáùàÿ ñõåìà èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âñå âûøåñêàçàííîå, ìîæåì ïðèâåñòè òàêîé ïëàí èññëåäîâàíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè. 1) Îïðåäåëèòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.

5

Àñèìïòîòû êðèâûõ

Ïðÿìàÿ ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x), åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó òåêóùåé òî÷êîé ãðàôèêà è ýòîé ïðÿìîé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïî ìåðå óäàëåíèÿ òî÷êè îò íà÷àëà êîîðäèíàò (ðèñ. 24).

Îïðåäåëåíèå 5.

y

2) Âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ äàííàÿ ôóíêöèÿ ÷åòíîé èëè íå÷åòíîé. 3) Íàéòè òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì è âûÿñíèòü õàðàêòåð ýêñòðåìóìîâ ñ ïîìîùüþ ïåðâîé èëè âòîðîé ïðîèçâîäíîé, à òàêæå âû÷èñëèòü ymin è ymax . 4) Îïðåäåëèòü èíòåðâàëû âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè. 5) Íàéòè èíòåðâàëû âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè ôóíêöèè.

N

6) Íàéòè òî÷êè ïåðåãèáà.

M

7) Íàéòè àñèìïòîòû ãðàôèêà ôóíêöèè.

x

O

8) Âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ôóíêöèè â íåêîòîðûõ êîíòðîëüíûõ òî÷êàõ è íàéòè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè ñ êîîðäèíàòíûìè îñÿìè. 9) Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè.

Ðèñ. 24.

Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè èìååò íàêëîííóþ àñèìïòîòó

y = kx + b (k 6= 1), òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî lim (f (x) kx b) = 0

x!1

) 87

lim

x!1



f (x) x

k





b =0 x

Ïðèìåð 1.

Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ f (x) =

Ðåøåíèå.

1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè

x2 1 jxj è íàðèñîâàòü åå ãðàôèê.

R n f0g. 88

2) Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òàê êàê

b)

2 k2 = x!lim1 f (x) = x!lim1 1 2x = 1 ; x x   1 x2 b2 = x!lim1 (f (x) k2 x) = x!lim1 + x = 0: x

2 2 f ( x) = ( x) 1 = x 1 = f (x) : j xj jxj 3) 8 > > >
> > :

x2 1 ; x > 0 x 1 x2 ; x > > < > > > :

x2 + 1 ; x > 0 x2 x2 + 1 ; x < 0 : x2

Òàêèì îáðàçîì, y = x! 1.

8) Âû÷èñëèì òå çíà÷åíèÿ x, ïðè êîòîðûõ f (x) = 0. ßñíî, ÷òî ýòî x = 1. 9) Ïîñòðîèì, íàêîíåö, ãðàôèê ôóíêöèè (ðèñ. 25).

Ôóíêöèÿ èìååò êðèòè÷åñêóþ òî÷êó x0 = 0, â êîòîðîé ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò, íî â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê 1, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ íå èìååò íè ìàêñèìóìîâ, íè ìèíèìóìîâ. 4) Ôóíêöèÿ óáûâàåò, êîãäà x 2 ( 5)

y

1; 0) è âîçðàñòàåò, åñëè x 2 (0; +1). 8 > >
> :

2 ; x>0 x3 2 ; x < 0: x3

1

Ïîñêîëüêó f 00 (x) < 0 â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, òî êðèâàÿ âåçäå âûïóêëà. 6) Òî÷êà x0 = 0 íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà, òàê êàê ìû óñòàíîâèëè ðàíåå, ÷òî â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà. 7) Î÷åâèäíî, ÷òî x = 0 ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé. Äåéñòâèòåëüíî,

lim f (x) = xlim x!+0 !+0

x2 1 = x

1;

lim f (x) = xlim x! 0 ! 0

1 x2 = x

1:

Íàéäåì íàêëîííûå àñèìïòîòû y = kx + b, ïðè÷åì îòäåëüíî ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà x ! +1 è x ! 1. a)

x ÿâëÿåòñÿ íàêëîííîé àñèìïòîòîé ïðè

f (x) = lim x2 1 = 1 ; k1 = x!lim x!+1 x2 +1 x  2 x 1 b1 = x!lim ( f ( x ) k x ) = lim 1 +1 x!+1 x

Èòàê, y = x  íàêëîííàÿ àñèìïòîòà ïðè x ! +1. 89



x = 0:

0

1

x

Ðèñ. 25.

Ÿ 10

Äèôôåðåíöèàë äóãè ïëîñêîé êðèâîé

Ïóñòü íà ïëîñêîñòè çàäàíà íåêîòîðàÿ êðèâàÿ AB (ðèñ.26). Ðàçîáüåì êðèâóþ òî÷êàìè M0 = A, M1 , M2 , : : :, Mn 1 , Mn = B ñëåäóþùèìè äðóã çà äðóãîì, ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íà n ÷àñòåé. Ñîåäèíèì ïîñëåäîâàòåëüíî ýòè òî÷êè ïðÿìîëèíåéíûìè îòðåçêàìè. Ïîëó÷èì ëîìàíóþ M0 M1 : : : Mn , âïèñàííóþ â êðèâóþ AB (ðèñ. 26). Îáîçíà÷èì äëèíó ýòîé ëîìàíîé ëèíèè Sn . Îáîçíà÷èì   íàèáîëüøóþ èç äëèí îòðåçêîâ ýòîé ëîìàíîé. Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë S = lim Sn , íå çàâèñÿ!0 ùèé îò âûáîðà òî÷åê Mk , òî ÷èñëî S íàçûâàåòñÿ äëèíîé êðèâîé AB , à ñàìà êðèâàÿ AB íàçûâàåòñÿ ñïðÿìëÿåìîé.

Îïðåäåëåíèå 1.

Ïóñòü êðèâàÿ AB çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè x = x(t), y = y (t), t 2 [; ] òàê, ÷òî A (x(); y ()), B (x( ); y ( )) (ðèñ. 27). Ïóñòü ôóíêöèÿ x = x(t) è y = y (t) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [; ] è èìåþò íà èíòåðâàëå (; ) íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå x0 (t), y 0 (t), îäíîâðåìåííî íå îáðàùàþùèåñÿ â íóëü. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ êðèâàÿ AB ñïðÿìëÿåìà, è ïðåäåë 90

y

Óìíîæèì è ðàçäåëèì ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà íà äëèíó
S äóãè MN

M2

M1 A = M0

MN

S =
S
t N x

dS = dt

Ðèñ. 26.

y


y

dS =


x

x

O

x +
x

x

q

dS = (x0t )2 + (yt0 )2 dt :

(1)

Äàäèì ïàðàìåòðó t ïðèðàùåíèè
t (äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî
t > 0), òîãäà ïåðåìåííûå x è y ïîëó÷àò ñîîòâåòñòâåííî ïðèðàùåíèÿ
x è
y , äëèíà äóãè S (t) ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå
S , à òî÷êà M ïåðåéäåò â òî÷êó N . Äëèíà õîðäû MN ñâÿçàíà ñ
x è
y ðàâåíñòâîì MN = Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà
t   
x 2
y 2 + :
t
t

91

q

(dx)2 + (dy )2 :

s

  q dy 2 dS = (dx)2 + (dy )2 = 1 + dx = 1 + (yx0 )2 dx : dx q

îòíîøåíèÿ äëèíû ëþáîé äóãè íà ó÷àñòêå AB ê äëèíå õîðäû, ñòÿãèâàþùåé ýòó äóãó, ðàâåí åäèíèöå ïðè ñòðåìëåíèè äëèíû äóãè ê íóëþ. Âîçüìåì íà êðèâîé AB òî÷êó M (x; y ), êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå t ïàðàìåòðà. Äëèíà S äóãè AM ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïàðàìåòðà t: S = S (t). Ïîêàæåì, ÷òî äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè S (t) ðàâåí

s 

   dx 2 + dy 2 ; dt dt

Êàê âèäíî èç ýòîãî ðàâåíñòâà, dS  äëèíà ãèïîòåíóçû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè dx è dy , ò.å., dS  äëèíà îòðåçêà êàñàòåëüíîé ê êðèâîé â òî÷êå ñ àáñöèññîé x, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò îòðåçêó [x; x + dx]. Åñëè ðîëü ïàðàìåòðà t èãðàåò ïåðåìåííàÿ x, ò.å. êðèâàÿ AB ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè y = f (x), x 2 [a; b], òî

Ðèñ. 27.

MN =
t

s

îòêóäà è ñëåäóåò ðàâåíñòâî (1). Ôîðìóëó (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

N M

  
x 2 +
y 2 :
t
t

Ïåðåéäåì â ýòîì ðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè
S ! 0. Òàê êàê ïðè ýòîì ! M , òî äëèíà äóãè
S ! 0, â ñèëó ñêàçàííîãî âûøå MN=
S ! 1. Òàêèì îáðàçîì, ïðè
t ! 0 ïîëó÷àåì

B = Mn

O

s

q

(
x)2 + (
y )2 .

Àíàëîãè÷íî, â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé, èìååì q

dS = (dx)2 + (dy )2 + (dz )2 : Ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîì çàäàíèè ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé x = x(t), y = y (t), z = z (t). Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå q

dS = (x0t )2 + (yt0 )2 + (zt0 )2 dt : Ïðèìåð 1.

Íàéòè äèôôåðåíöèàë äëèíû äóãè âèíòîâîé ëèíèè

z = h t: 2 0 0 0 h , òî Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó xt = r sin t, yt = r cos t, zt = 2 r r 2 2 dS = r2 sin2 t + r2 cos2 t + h 2 dt = r2 + h 2 dt : 4 4 x = r cos t ;

y = r sin t ;

92

y N

r O
'

M ' +
' x Ðèñ. 29. Ðèñ. 28.

Ÿ 11

Êðèâèçíà ïëîñêîé è ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé

Ðàññìîòðèì äóãó MN ñïðÿìëÿåìîé ïëîñêîé êðèâîé , èìåþùåé êàñàòåëüíóþ â êàæäîé ñâîåé òî÷êå (ðèñ. 28). Îáîçíà÷èì äëèíó äóãè MN ÷åðåç
S . Ïóñòü êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé â òî÷êå M îáðàçóåò ñ îñüþ àáñöèññ óãîë ', à â òî÷êå N  óãîë ' +
'. Òîãäà óãîë
' ÿâëÿåòñÿ óãëîì ìåæäó êàñàòåëüíûìè â êðàéíèõ òî÷êàõ äóãè MN . Óãîë
' íàçûâàåòñÿ óãëîì ñìåæíîñòè äóãè MN . Îïðåäåëåíèå 1.

Ñðåäíåé êðèâèçíîé Kcp äóãè íàçûâàåòñÿ ìîäóëü îòíîøåíèÿ

óãëà ñìåæíîñòè äóãè ê åå äëèíå



Òàêèì îáðàçîì, êðèâèçíà è ðàäèóñ êðèâèçíû îêðóæíîñòè ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè ïîñòîÿííûìè, íå çàâèñÿùèìè îò òî÷êè îêðóæíîñòè, â êîòîðîé îíè âû÷èñëÿþòñÿ, ïðè÷åì ðàäèóñ êðèâèçíû îêðóæíîñòè ðàâåí ðàäèóñó ýòîé îêðóæíîñòè. Åñëè êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì y = f (x), ãäå ôóíêöèÿ f (x) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà, òî y 0 = tg ', îòêóäà ' = arctg(y 0 ) è

d' =

Êðèâèçíîé K êðèâîé â òî÷êå M íàçûâàåòñÿ ïðåäåë ñðåäíåé êðèâèçíû äóãè MN ýòîé êðèâîé ïðè N ! M (åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò)

K=

Îïðåäåëåíèå 2.

Îïðåäåëåíèå 3.


' lim K = lim cp N !M
S!0
S

d' = dS

:

Ðàäèóñîì êðèâèçíû R êðèâîé â äàííîé òî÷êå íàçûâàåòñÿ

1 . Ïðè K = 0 âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ êðèâèçíå êðèâîé â ýòîé òî÷êå R = K ïîëàãàþò R = 1, à ïðè K = 1, R = 0. Íàéòè êðèâèçíó è ðàäèóñ êðèâèçíû îêðóæíîñòè ðàäèóñà r. Ðåøåíèå. Äëèíó äóãè MN ýòîé îêðóæíîñòè îáîçíà÷èì ÷åðåç
S è îáîçíà÷èì óãîë ñìåæíîñòè äóãè MN ÷åðåç
' (ðèñ. 29). Öåíòðàëüíûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äóãó MN , òàêæå ðàâåí
', ïîýòîìó
S = r
' è

Ïðèìåð 1.










' = lim 1
' = 1 K =
lim S !0
S
'!0 r
' r

93

)

R = 1 = r: K

d (y 0 ) y 00 dx : = 2 1 + (y 0 ) 1 + (y 0 )2

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñêîëüêó dS =



Kcp =
' :
S

K=


'

M

'

O

N

d' dS =

q

1 + (y 0 )2 dx, òî èìååì

jy00 j


1 + (y 0 )2 3=2

)

3=2  1 + (y 0 )2 1 : R= = K jy00 j

Íàéòè êðèâèçíó è ðàäèóñ êðèâèçíû ïðÿìîé. Ïóñòü ïðÿìàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì y = kx + b. Òîãäà y 0 = k, y 00 = 0, ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîé òî÷êå ïðÿìîé K = 0, R = 1.

Ïðèìåð 2. Ðåøåíèå.

Ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîì çàäàíèè êðèâîé x = '(t), y = (t) èç ïîëó÷åííûõ âûøå ôîðìóë âûòåêàþò ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ êðèâèçíû è ðàäèóñà êðèâèçíû 3=2 (x0 )2 + (y 0 )2 R= jx0 y00 x00 y0 j : 

0 00 00 0 K = jx 2y x 2y
3j =2 ; (x0 ) + (y 0 )

Âîçüìåì òî÷êó M íà ïëîñêîé êðèâîé , ïðîâåäåì ÷åðåç ýòó òî÷êó íîðìàëü ê êðèâîé è íà ýòîé íîðìàëè â ñòîðîíó âîãíóòîñòè îòëîæèì îòðåçîê MC , ðàâíûé ðàäèóñó êðèâèçíû R êðèâîé â òî÷êå M : MC = R. Òî÷êà C íàçûâàåòñÿ öåíòðîì êðèâèçíû êðèâîé â òî÷êå M , à îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ 94

öåíòðîì â òî÷êå C íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ êðèâèçíû êðèâîé â òî÷êå M . Ìíîæåñòâî âñåõ öåíòðîâ êðèâèçíû êðèâîé íàçûâàåòñÿ ýâîëþòîé ýòîé êðèâîé. Ñàìà êðèâàÿ ïî îòíîøåíèþ ê ñâîåé ýâîëþòå íàçûâàåòñÿ ýâîëüâåíòîé. Íà ðèñ. 30 ýâîëþòà êðèâîé îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç . M2 Îïðåäåëåíèå êðèâèçíû ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé òàêîå æå, êàê è â ñëó÷àå ñ ïëîñ c1 c2 êîé êðèâîé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êðèâèçíà K M1 ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé, çàäàííîé âåêòîðíîc ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ;

M

äàåòñÿ ôîðìóëîé

Ðèñ. 30.

K=

v u u( t

r0)2 (r00 )2
(r0
r00 )2 : (r0 )2 3

çäåñü

r0 (t) = x0(t) i + y0(t) j + z0 (t) k ;

Ñëåäîâàòåëüíî,

r0
2 =

r00 (t) = x00(t) i + y00(t) j + z00 (t) k :




x0 2 + y 0 2 + z 0 2 ;

è

r00
2 =

Ãëàâà 3 Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ Ÿ 1

Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

Ðàññìîòðèì (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ èç n âåùåñòâåííûõ ÷èñåë âèäà, êîòîðûå ìû íàçîâåì n  ìåðíûì äåêàðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì è îáîçíà÷èì ÷åðåç n , à êàæäûé òàêîé íàáîð ÷èñåë áóäåì íàçûâàòü òî÷êîé ýòîãî ïðîñòðàíñòâà è áóäåì îáîçíà÷àòü åãî M (x1 ; x2 ; : : : ; xn ). ×èñëà x1 ; x2 ; : : : ; xn íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè M . Òî÷êó O(0; 0; : : : ; 0) áóäåì íàçûâàòü íóëåâîé òî÷êîé ïðîñòðàíñòâà n . Ðàññìîòðèì äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè M1 (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) è M2 (y1 ; y2 ; : : : ; yn ). Âûðàæåíèå

R

R

 (M2 ; M2 ) =

x1 )2 + (y2 x2 )2 + : : : + (yn xn )2

ìåæäó òî÷êàìè M1 è M2 .

z




x00 2 + y 00 2 + z 00 2

y M

 M0

M0

" M

Íàéòè êðèâèçíó âèíòîâîé ëèíèè

r(t) = r cos t i + r sin t j + ht k :

Ðåøåíèå.

(y1

áóäåì íàçûâàòü ðàññòîÿíèåì

r
r00 = x0
x00 + y0
y00 + z0
z00 :

Ïðèìåð 3.

p

y

O

"



x

O

x

Ïîñêîëüêó

r0 (t) = r sin t i + r cos t j + h k ; r0
2 = r2 sin2 t + r2 cos2 t + h2 = r2 + h2 ; r
r00 = r2 sin t cos t r2 cos t sin t = 0 ; òî

s

K=

r00 (t) = r cos t i r sin t j ; r00
2 = r2 cos2 t + r2 sin2 t = r2 ;

(r2 + h2 )
r2 = 2 r 2: 3 2 2 r +h (r + h )

a)

b) Ðèñ. 1.




Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó M0 x01 ; x02 ; : : : ; x0n . Ìíîæåñòâî òî÷åê, óäàëåííûõ îò òî÷êè M0 ìåíåå, ÷åì íà ", ãäå " > 0, íàçûâàåòñÿ "îêðåñòíîñòüþ òî÷êè M0 è îáîçíà÷àåòñÿ U" (M0 ).  ÷àñòíîñòè, â òðåõìåðíîì äåêàðòîâîì ïðîñòðàíñòâå 3 "îêðåñòíîñòü òî÷êè M0 (x0 ; y0 ; z0 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè øàðà ðàäèóñà " ñ öåíòðîì â òî÷êå M0 (ðèñ. 1 a)), à â äâóõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå 2 "îêðåñòíîñòü òî÷êè M0 (x0 ; y0 )  ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè êðóãà ðàäèóñà " ñ öåíòðîì â òî÷êå M0 (ðèñ. 1 b)).

R

R

95

96

y

Òàêèì îáðàçîì,

M 2 U (M0 ; ")

n X

, (M0 ; M ) < " ,

k=1


xk x0k 2 < "2 :

y

O

O

x

x

Ââåäåì òåïåðü âàæíîå äëÿ íàñ ïîíÿòèå îáëàñòè n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëåíèÿ äàäèì äëÿ n = 2. Îäíàêî èõ ìîæíî îáîáùèòü è äëÿ n > 2.

R

Ìíîæåñòâî òî÷åê M (x; y ) 2 2 , îáëàäàþùåå ñâîéñòâàìè îòêðûòîñòè è ñâÿçíîñòè, áóäåì íàçûâàòü îáëàñòüþ. Ïðè ýòîì:

Îïðåäåëåíèå 1.

a)

1. Ñâîéñòâî îòêðûòîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ îáëàñòè, ïðèíàäëåæèò åé âìåñòå ñ íåêîòîðîé ñâîåé "îêðåñòíîñòüþ. 2. Ñâîéñòâî ñâÿçíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ëþáûå äâå òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå îáëàñòè, ìîæíî ñîåäèíèòü íåïðåðûâíîé êðèâîé, ñîñòîÿùåé èç òî÷åê, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì îáîçíà÷àòü îáëàñòè áóêâàìè , D è ò.ï.. Ïðèìåðîì îáëàñòè ìîæåò ñëóæèòü "îêðåñòíîñòü òî÷êè M0 (x0 ; y0 ).

b) Ðèñ. 2.

y

y

(x0 ; y0 ) r R

1

O

x

O

1

x

Îïðåäåëåíèå 2. 1)

Ãðàíè÷íîé òî÷êîé îáëàñòè íàçûâàåòñÿ

òàêàÿ òî÷êà, ÷òî ëþáàÿ åå

òî÷êè, åé íå ïðèíàäëåæàùèå. 2)

3)

Ðèñ. 3.

"îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò, êàê òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå îáëàñòè, òàê è

Ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê îáëàñòè íàçûâàåòñÿ îáëàñòè.

ãðàíèöåé ýòîé

Çàìêíóòîé îáëàñòüþ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðèñîåäèíåíèÿ ê îòêðûòîé îáëàñòè âñåé åå ãðàíèöû.

Çàìêíóòûå îáëàñòè ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü , D è ò.ï.. Îáëàñòü íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé, åñëè åå ìîæíî ïîìåñòèòü âíóòðü íåêîòîðîãî êðóãà êîíå÷íîãî ðàäèóñà R.

Îïðåäåëåíèå 3.

Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åê M (x; y ), äëÿ êîòîðûõ à) x
y > 0, á) x > 0, y > 0. ßâëÿþòñÿ ëè ýòè ìíîæåñòâà îáëàñòüþ?

à) Ìíîæåñòâî x
y > 0 îáëàñòüþ íå ÿâëÿåòñÿ, òàê êàê â òî÷êå O(0; 0) íàðóøàåòñÿ óñëîâèå ñâÿçíîñòè (ðèñ. 2 a)). á) Ìíîæåñòâî x > 0, y > 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ íåîãðàíè÷åííóþ çàìêíóòóþ îáëàñòü (ðèñ. 2 b)). 97

Ðèñ. 4.

×èñëî íå ñâÿçàííûõ äðóã ñ äðóãîì ÷àñòåé, èç êîòîðûõ ñîñòîèò âñÿ ãðàíèöà îáëàñòè, íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ñâÿçíîñòè îáëàñòè, íàïðèìåð, îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ îêðóæíîñòÿìè ðàäèóñîâ r è R ñ öåíòðîì â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóõñâÿçíóþ îáëàñòü (ðèñ. 3). Ïîíÿòèå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ìîæíî ââåñòè àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåìó ïîíÿòèþ äëÿ îäíîé ïåðåìåííîé. À èìåííî: ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ôóíêöèÿ n ïåðåìåííûõ (àðãóìåíòîâ) x1 ; x2 ; : : : ; xn â íåêîòîðîé nìåðíîé îáëàñòè, åñëè â ñèëó íåêîòîðîãî çàêîíà f êàæäîé òî÷êå M (x1 ; x2 ; : : : ; xn ) èç ýòîé îáëàñòè ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííîå ÷èñëî u. Ïðè ýòîì ïèøóò: u = f (x1 ; x2 ; : : : ; xn ). Îáëàñòü, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé îïðåäåëåíà äàííàÿ ôóíêöèÿ, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.  ñëó÷àå n = 1 èìååì ôóíêöèþ îäíîãî àðãóìåíòà u = f (x), ïðè n = 2 èìååì u = f (x; y ), ïðè n = 3 áóäåò u = f (x; y; z ) è ò.ä.. Ôóíêöèÿ z = ln(x + y 1) îïðåäåëåíà, åñëè àðãóìåíò ëîãàðèôìà ïîëîæèòåëåí, ò.å. x + y 1 > 0. Ìíîæåñòâî òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîìó íåðàâåíñòâó, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè (ðèñ. 4). Ýòî åñòü òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå ïðàâåå è âûøå ïðÿìîé x + y 1 = 0.

Ïðèìåð 2.

98

Ôóíêöèè z = f (x; y ) ìîæíî äàòü ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.

z

p

Ôóíêöèÿ z = 1 x2 y 2 äàåò íàì ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ íà âåðõíåé ïîëîâèíå ñôåðû x2 + y 2 + z 2 = 1. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ êðóã x2 + y 2 6 1 (ðèñ. 5).

Ïðèìåð 3.

1

y

x

1

Ðèñ. 5.

Åñëè äëÿ âñÿêîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà " > 0 ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî Æ = Æ ("), ÷òî èç óñëîâèÿ M 2 U (M0 ; Æ ), M 6= M0 ñëåäóåò óñëîâèå f (M ) 2 U (A; "), òî A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (M ) â òî÷êå M0 , è ïðè ýòîì ïèøóò

Îïðåäåëåíèå 4.

lim f (M ) = A

èëè

f (M ) ! A ïðè M

8" > 0 9Æ > 0 : 0 <  (M; M0 ) < Æ ) f (M ) > 1"

0

0

lim f (M )
g (M ) = Mlim M !M0 !M0 f (M )
Mlim !M0 g (M ) ;   f (M ) = Mlim !M0 f (M ) lim ; lim g ( M ) = 6 0 : M !M0 g (M ) M !M0 lim g (M ) M !M0 2

Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè

Ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè, ïîäðîáíî ðàññìîòðåííîå ðàíåå äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, ìîæíî îáîáùèòü òàêæå è äëÿ ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, ïðè÷åì, êàê è ðàíåå, ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè òåñíî ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå. Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ îïðåäåëåíèé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå, êîòîðûå ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé. Îïðåäåëåíèå 5.

Ôóíêöèÿ f (M ) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé

â òî÷êå M0 , åñëè

lim f (M ) = f (M0 )

! M0 :

Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ìîæíî äàòü è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà M0  áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà, à A  èìååò êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå çíà÷åíèå. Ýòè ðàçëè÷íûå ôîðìóëèðîâêè îïðåäåëåíèÿ êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ïðåäåëà â êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé òî÷êå ìîæíî çàïèñàòü ëàêîíè÷íî ñ ïîìîùüþ ââåäåííûõ ðàíåå ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ. Íàïðèìåð, åñëè M0  êîíå÷íàÿ òî÷êà, A = +1, òî

lim f (M ) = +1 def ,

lim (f (M )  g (M )) = Mlim !M f (M )  Mlim !M g (M ) ;

M !M0

Ïðåäåë ôóíêöèè

Äàäèì òåïåðü îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (M ), ãäå M = M (x1 ;
x2 ; : : : ; xn ), îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè M0 x01 ; x02 ; : : : ; x0n , ïðè÷åì â ñàìîé òî÷êå M0 ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü è íå îïðåäåëåíà.

M !M0

â ÷àñòíîñòè, òåîðåìû î ïðåäåëå ñóììû, ðàçíîñòè, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíîãî äâóõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.

M !M0

Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà ôóíêöèè â òî÷êå, òî ìîæíî äàòü òàêîå, áîëåå ðàçâåðíóòîå îïðåäåëåíèå. Ñôîðìóëèðóåì åãî äëÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ f (x; y ).

Ôóíêöèÿ f (x; y ) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ), åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 âñåãäà ìîæíî óêàçàòü òàêîå ÷èñëî Æ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê M (x; y ), ïîïàäàþùèõ â Æ îêðåñòíîñòü òî÷êè M0 (x0 ; y0 ), áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî jf (x; y ) f (x0 ; y0 )j < "

Îïðåäåëåíèå 6.

1 def , 8" > 0 9Æ > 0 : x2 + y2 + z2 > Æ12 ) f (M ) < 1" : Íàïîìíèì, ÷òî åñëè A  ÷èñëî, òî ïðåäåë íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè æå A ðàâíî 1, +1 èëè 1, òî ïðåäåë íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íûì èëè íåñîáñòâåííûì.

Ýòî îïðåäåëåíèå äîñòàòî÷íî íàãëÿäíî: äåéñòâèòåëüíî, èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f (x; y ) íåïðåðûâíà â íåêîòîðîé òî÷êå M0 (x0 ; y0 ), òî äîñòàòî÷íî ìàëûì èçìåíåíèÿì êîîðäèíàò ýòîé òî÷êè ñîîòâåòñòâóþò ìàëûå èçìåíåíèÿ çíà÷åíèÿ ñàìîé ôóíêöèè. Ïðîèçâîäÿ äàëüíåéøèå àíàëîãèè, áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ f (x; y ) íåïðåðûâíîé â íåêîòîðîé îáëàñòè , åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ýòîé îáëàñòè. Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, òî îíà íàçûâàåòñÿ ðàçðûâíîé â ýòîé òî÷êå. Ôóíêöèÿ íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ìîæåò ïðåòåðïåâàòü ðàçðûâ íå òîëüêî â òî÷êå, íî è íà íåêîòîðîé êðèâîé è ò.ï. Äëÿ ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ â òî÷êå, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü íåñêîëüêî òåîðåì, àíàëîãè÷íûõ ñîîòâåòñòâóþùèì òåîðåìàì, ðàññìîòðåííûì ðàíåå äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ.

99

100

M !M0

èëè äîïóñòèì, ÷òî M (x; y; z ) ! 1, A =

1, òîãäà

lim f (M ) =

M !1

Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåìó îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî èìåþò ìåñòî òàêæå è ìíîãèå òåîðåìû î ïðåäåëàõ, ñôîðìóëèðîâàííûå è äîêàçàííûå äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé f (x),

Åñëè ôóíêöèè f (M ) è g(M ) íåïðåðûâíû â òî÷êå M0 , òî â ýòîé òî÷êå 1) íåïðåðûâíî ïðîèçâåäåíèå c
f (M ), ãäå c = const , 2) íåïðåðûâíû ñóììà è ðàçíîñòü f (M )  g(M ) , 3) íåïðåðûâíî ïðîèçâåäåíèå f (M )
g(M ) ,

Òåîðåìà 1.

M ) , (g (M ) 6= 0) . 4) íåïðåðûâíî ÷àñòíîå fg((M 0 ) Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, íåïðåðûâíûå â çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè, îáëàäàþò òàêèìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, íåïðåðûâíûå íà îòðåçêå. Ñôîðìóëèðóåì ýòè ñâîéñòâà â âèäå òåîðåì, êîòîðûå ìû ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâ. Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèÿ f (M ) íåïðåðûâíà â çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè  Rn , òî â ýòîé îáëàñòè îíà ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå k è íàèáîëüøåå çíà÷åíèå K , ò.å. ñóùåñòâóþò òî÷êè M1 2 è M2 2 òàêèå, ÷òî f (M1 ) = k, f (M2 ) = K è ïðè ýòîì äëÿ âñåõ òî÷åê M 2 : k 6 f (M ) 6 K . Òåîðåìà 3. Åñëè ôóíêöèÿ f (M ) íåïðåðûâíà â îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé îáëàñòè  Rn , òî â îíà ïðèíèìàåò ïî êðàéíå ìåðå õîòÿ áû îäèí ðàç ëþáîå çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå ìåæäó åå íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì k è íàèáîëüøèì çíà÷åíèå K . Òåîðåìà 4. Åñëè ôóíêöèÿ f (M ) íåïðåðûâíà â îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé îáëàñòè  Rn , òî îíà â ýòîé îáëàñòè îãðàíè÷åíà, ò.å. ñóùåñòâóåò R > 0 òàêîå, ÷òî jf (M )j 6 R äëÿ ëþáîãî M 2 .

Ÿ 2

1

Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ

×àñòíûå ïðîèçâîäíûå

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ z = z (x; y ), îïðåäåëåííóþ â îáëàñòè . Ïðèðàùåíèå
x z , íàçûâàåìîå ÷àñòíûì ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè z = z (x; y ) ïî ïåðåìåííîé x, îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì


x z = z (x +
x; y ) z (x; y ) : Àíàëîãè÷íî

Ïîëíîå ïðèðàùåíèå


y z = z (x; y +
y ) z (x; y ) : ôóíêöèè z = z(x; y) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
z = z (x +
x; y +
y ) z (x; y ) : 101

Îïðåäåëåíèå 1. ×àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè z = z (x; y ) ïî ïåðåìåííîé x íàçûâàåòñÿ ïðåäåë îòíîøåíèÿ ÷àñòíîãî ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè
x z

ê âûçâàâøåìó åãî ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà
x ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîñëåäíåå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.

@z èëè zx0 . Èòàê, @x
x z z (x +
x; y ) z (x; y ) : =
lim zx0 = @z =
lim x!0
x x!0 @x
x @z èëè z 0 , ò.å. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ y @y
y z : zy0 = @z =
lim y!0
y @y Îáîçíà÷àåòñÿ òàêàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ

z y y O

x x +
x x Ðèñ. 6.

Âûÿñíèì òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Äîïóñòèì, ÷òî â îáëàñòè ôóíêöèÿ z = z (x; y ) ïîëîæèòåëüíà. Ýòîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ ïîâåðõíîñòü S , ðàñïîëîæåííàÿ íàä îáëàñòüþ

(ðèñ. 6). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îáûêíîâåííîé ïðîèçâîäíîé, íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî çíà÷åíèå ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé zx0 â òî÷êå M (x; y ) äàåò íàì òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè S è ïëîñêîñòè y = const c ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox. Àíàëîãè÷íî, çíà÷åíèå ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé zy0 â òî÷êå M (x; y ) ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî òàíãåíñó óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè S è ïëîñêîñòè x = const ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Oy . Îòìåòèì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ zx0 è zy0 íà ïðèðàùåíèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
x è
y íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè äèôôåðåíöèàëàìè è îáîçíà÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî dxz è dy z, ò.å.

dx z = zx0

x ;

dy z = zy0

y :

102

Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ è ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèé, çàâèñÿùèõ îò òðåõ è áîëåå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Ïðè îòûñêàíèè ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî x íà âñå ïðî÷èå ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â âûðàæåíèå ôóíêöèè, ñëåäóåò ñìîòðåòü êàê íà ïîñòîÿííûå. Ïîýòîìó îñòàåòñÿ â ñèëå òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ è ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ðàññìîòðåííûå ïîäðîáíî ïðè èçó÷åíèè ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. Ïðèìåð 1.

Ïóñòü u(x; y; z; t) = xyt2

p

1 + x2 z . Íàéòè

@u , @u , @u , @u . @x @y @z @t

2


z = zx0

x + zy0

y + o() ïðè  ! 0 : Äàäèì åùå îäíî î÷åíü âàæíîå îïðåäåëåíèå: îïðåäåëåíèå äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.

Îïðåäåëåíèå 3. Äèôôåðåíöèàëîì dz ôóíêöèè z = z (x; y ) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ îòíîñèòåëüíî
x è
y ÷àñòü ïîëíîãî ïðèðàùåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè, ò.å. dz = zx0

x + zy0

y : (2)

Ðåøåíèå.

@u = yt2 p xz ; @x 1 + x2 z 2 @u = p x ; @z 2 1 + x2 z

Èòàê, åñëè ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M (x; y ), òî åå ïîëíîå ïðèðàùåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

@u = xt2 ; @y @u = 2xyt : @t

Çàìåòèì, ÷òî åñëè x è y  íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, òî äèôôåðåíöèàëû ýòèõ ïåðåìåííûõ ñîâïàäàþò ñ èõ ïðèðàùåíèÿìè, ò.å. dx =
x, dy =
y . À òîãäà ôîðìóëó (2) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

dz = zx0 dx + zy0 dy :

Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ z = z (x; y ), îïðåäåëåííóþ â íåêîòîðîé îáëàñòè ïëîñêîñòè Oxy . Çàôèêñèðóåì òî÷êó M (x; y ) 2 è ðàññìîòðèì ïåðåìåííóþ òî÷êó N (x +
x; y +
y ) 2 . Ðàññòîp ÿíèå ìåæäó òî÷êàìè M è N ðàâíî  = (
x)2 + (
y )2 . Åñëè ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z = z (x; y ) â òî÷êå M (x; y ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
z = A
x + B
y + o () ïðè  ! 0 ; (1) ãäå A è B  âûðàæåíèÿ, íå çàâèñÿùèå îò
x è
y , o()  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì , òî ôóíêöèÿ x = z (x; y ) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå M (x; y). Òåîðåìà 1. Åñëè ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M (x; y ), òî ó íåå ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 è zy0 â ýòîé òî÷êå.

Îïðåäåëåíèå 2.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Èòàê, ïóñòü ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M (x; y ), òîãäà âûïîëíåíî (1). Åñëè ìû çàôèêñèðóåì y , ò.å. ïîëîæèì
y = 0, òî äëÿ ÷àñòíîãî ïðèðàùåíèÿ
x z , ïîëó÷èì


x z = A
x + o (
x) ïðè
x ! 0 :

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ zx0 . Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó A íå çàâèñèò îò
x, òî


x z zx0 =
lim =
lim (A + o(1)) = A : x!0
x x!0

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò zy0 = B . 103



Îòìåòèì, ÷òî òàê æå, êàê äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, èç äèôôåðåíöèðóåìîñòè z = z (x; y ) â òî÷êå M (x; y ) âûòåêàåò åå íåïðåðûâíîñòü â ýòîé òî÷êå. Äåéñòâèòåëüíî, î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïîëíîå ïðèðàùåíèå
z ! 0 ïðè  ! 0. Ðàññìîòðèì òåïåðü òåîðåìó, äàþùóþ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòèì óñëîâèÿì, äîâîëüíî ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ íà ïðàêòèêå.

Òåîðåìà 2. Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå M (x; y ), ïðèíàäëåæàùåé îáëàñòè , ôóíêöèÿ z = z(x; y) èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 è zy0 , òî îíà â ýòîé òî÷êå äèôôåðåíöèðóåìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z = z(x; y) è

ïðåîáðàçóåì åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì


z = z (x +
x; y +
y ) z (x; y ) = = [z (x +
x; y +
y ) z (x; y +
y )] + [z (x; y +
y ) z (x; y )] : Ê êàæäîé èç êâàäðàòíûõ ñêîáîê ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó Ëàãðàíæà. Ïðè ýòîì ïîëó÷èì


z = zx0 (x + 1
x; y +
y )
x + zy0 (x; y + 2
y )
y ; ãäå 1 è 2  íåêîòîðûå êîíñòàíòû, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì 0 < 1;2 < 1. Ïî óñëîâèþ òåîðåìû ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 , zy0 íåïðåðûâíû â òî÷êå M (x; y ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

0

lim z (x + 1
x; !0 x

0 0 y +
y ) = zx0 (x; y ) è lim !0 zy (x; y + 2
y ) = zx (x; y ) ; 104

p

(
x)2 + (
y )2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî zx0 (x + 1
x; y +
y ) = zx0 (x; y ) + o(1) è zy0 (x; y + 2
y ) = zx0 (x; y ) + o(1)

ãäå  =

ãäå o(1)  áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà ïðè  ! 0, ò.å. o(1) ! 0, êîãäà  ! 0. Ñ ó÷åòîì ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z = z (x; y ) ìîæíî çàïèñàòü òàê


z = zx0 (x; y )
x + zy0 (x; y )
y + o() : À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M (x; y ).

  çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ z = z (x; y ) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â íåêîòîðîé îáëàñòè , åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå ýòîé îáëàñòè. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî âñå, ñêàçàííîå âûøå, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Ïðèìåð 2.

Íàéòè ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè

u(x; y; z ) = Ðåøåíèå.

Çàìåòèì, ÷òî ýòî îïðàâäàíî â áîëüøîì ÷èñëå ñëó÷àåâ, ò.ê. ñâÿçàíî ñ äîâîëüíî ïðîñòûìè âû÷èñëåíèÿìè äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè. Ïîãðåøíîñòü æå òàêèõ âû÷èñëåíèé ìîæíî îöåíèòü, îöåíèâ îòáðîøåííîå ñëàãàåìîå o(). Ýòî ìû ñäåëàåì íåìíîãî ïîãîäÿ, êîãäà áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. p

Âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå (1; 01)2 + (2; 99)2 + 6, çàp 2 ìåíèâ ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z (x; y ) = x + y 2 + 6 â òî÷êå M (1; 3) åå äèôôåðåíöèàëîì. Ðåøåíèå. Èòàê, ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî Ïðèìåð 1.

z (x +
x; y +
y )  z (x; y ) + zx0 (x; y )
x + zy0 (x; y )
y ;

ïîëó÷èì p + p 2y
y2 : (x +
x)2 + (y +
y )2 + 6  x2 + y 2 + 6 + p 2x
x2 x +y +6 x +y +6

x2 + xy + xyz 2 :

Ïîëîæèì çäåñü x = 1, y = 3,
x = 0; 01,
y = 0; 01, òîãäà áóäåò

p (1; 01)2 + (2; 99)2 + 6  16 + 0p; 01 + 3( p0; 01) = 3; 995 : 16 16

p

du =

@u dx + @u dy + @u dz ; @x @y @z

1

ïðè ýòîì

@u = p x + xz 2 ; @y 2 x2 + xy + xyz 2

@u = p 2xyz : @z 2 x2 + xy + xyz 2

Ñëåäîâàòåëüíî,

2x + y + yz 2 dx + x + xz 2 dy + 2xyz dz p : du = 2 x2 + xy + xyz 2 Ÿ 3


z  dz èëè z (x +
x; y +
y )  z (x; y ) + zx0 (x; y )
x + zy0 (x; y )
y :

q

p

Î÷åâèäíî, ÷òî

@u = p2x + y + yz 2 ; @x 2 x2 + xy + xyz 2

 ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ èíîãäà çàìåíÿþò ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè åå äèôôåðåíöèàëîì, ò.å. ïîëàãàþò

Ïðèìåíåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì è îöåíêå ïîãðåøíîñòåé

Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ôóíêöèþ z = z (x; y ), îïðåäåëåííóþ â îáëàñòè

è äèôôåðåíöèðóåìóþ â òî÷êå M (x; y ). Òîãäà åå ïîëíîå ïðèðàùåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê p
z = zx0
x + zy0
y + o() = dz + o() ïðè  = (
x)2 + (
y )2 ! 0 :

105

Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ñ ïîìîùüþ ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà

Ïðè âûïîëíåíèè ðàçëè÷íûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðèõîäèòñÿ ñíèìàòü ïîêàçàíèÿ ñ ïðèáîðîâ, à çàòåì âû÷èñëÿòü èíòåðåñóþùóþ íàñ ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó ïî íåêîòîðîé ôîðìóëå. Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ýòîì ýêñïåðèìåíòàòîðà èíòåðåñóþò ïîãðåøíîñòè òàêèõ èçìåðåíèé. Ðàññìîòðåíèå ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ò.å. z = z (x; y ). Ïóñòü ìû èçìåðÿåì âåëè÷èíû x è y ñ ïîãðåøíîñòÿìè
x è
y . Ïîãðåøíîñòè ýòè íàì íå èçâåñòíû, íî ìû ìîæåì îöåíèòü èõ ñâåðõó: j
xj 6
1 , j
yj 6
2 . Çäåñü ïîëîæèòåëüíûå âåëè÷èíû
1 è
2 äàþò íàì àáñîëþòíûå ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé âåëè÷èí x è y . Äîïóñòèì, ÷òî íàì íàäî îöåíèòü àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû z = z (x; y ). Î÷åâèäíî, ÷òî îøèáêà âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû z


z = z (x +
x; y +
y ) z (x; y ) : Åñëè ïðèðàùåíèÿ
x è
y ìàëû ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, òî, çàìåíÿÿ ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè åå äèôôåðåíöèàëîì, ïîëó÷èì


z  dz = zx0
x + zy0
y : 106

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèé ìîæíî îöåíèòü òàê

j
zj 

Ÿ 4

0 zx
x + zy0
y

6 jz0 jj
xj + jz0 jj
yj 6 jz0 j
1 + jz0 j
2 : x

y

x

y

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíûõ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ

1

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ äâóõ àðãóìåíòîâ z = z (x; y ). Ïóñòü, â ñâîþ î÷åðåäü àðãóìåíòû x è y ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåêîòîðîãî àðãóìåíòà t: x = x(t), y = y (t). Òîãäà ÿñíî, ÷òî z ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé ôóíêöèåé àðãóìåíòà t, ïðè÷åì x è y âûñòóïàþò çäåñü â êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íûõ àðãóìåíòîâ, ò.å. z = z (x(t); y (t)). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé òî÷êå M (x; y ), à ôóíêöèè x = x(t) è y = y (t) äèôôåðåíöèðóåìû ïî ïåðåìåííîé t. Òîãäà ÿñíî, ÷òî åñëè ïåðåìåííàÿ t ïîëó÷èò ïðèðàùåíèå
t, òî ïåðåìåííûå x = x(t) è y = y (t) ïîëó÷àò ïðèðàùåíèÿ
x è
y , ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ z = z (x(t); y (y )) ïîëó÷èò ïîëíîå ïðèðàùåíèå

òîãäà

1 1 1 4tpcos2 t2 sin t2 : = 2 2 2 x + y cos t 2 cos2 t cos2 t2 + tg t Íåòðóäíî îáîáùèòü ñêàçàííîå íà ñëó÷àé z = z (t; x(t); y (t)). Ïîëó÷èì dz = z 0 + z 0 x0 + z 0 y 0 èëè dz = @z + @z dx + @z dy : t x t y t dt dt @t @x dt @y dt dz , åñëè z = xyt2 , x = ln pt, y = earctg t . Ïðèìåð 2. Íàéòè dt

dz = dt

Ðåøåíèå.

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

Ïðèìåð 1. Ðåøåíèå.

dz = z 0 x0 + z 0 y 0 èëè dz = @z dx + @z dy : x t y t dt dt @x dt @y dt dz , åñëè z = px2 + y , x = cos t2 , y = tg t. Íàéòè dt

Èìååì

x0t = 2t sin t2 ; x ; zx0 = p 2 x +y

yt0 = 12 ; cos t 1 0 zy = p 2 ; 2 x +y 107

ßñíî, ÷òî

ïîëó÷èì

2t sin t2 +


p

zt0 = 2xyt ; x0t = 1 ; 2t

zx0 = yt2 ;

zy0 = xt2 ; arctg t yt0 = e 2 ; 1+t

  dz = 2xyt + yt2
1 + xt2
earctg t = t earctg t 2 ln t + t ln t + 1 : dt 2t 1 + t2 2 1 + t2

q


z = zx0
x + zy0
y + o () ïðè  = (
x)2 + (
y )2 ! 0 : Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà
t
z = zx0
x + zy0
y + o()
 :
t
t
t 
t Óñòðåìèì òåïåðü
t ê íóëþ, òîãäà è
x ! 0,
y ! 0, ïðè÷åì
y = y 0 ;
z = dz ; lim
x = x0t ; t
lim t!0
t
lim t!0
t dt s
t!0
t     q  = lim
x 2 +
y 2 = (x0 )2 + (y 0 )2 : lim t t
t!0
t
t!0
t
t

x x2 + y

p

2

Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ

Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ î äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèè z = z (u; v ), ãäå â ñâîþ î÷åðåäü, u = u(x; y ), v = v (x; y ), ïðè÷åì ôóíêöèÿ z = z (u; v ) äèôôåðåíöèðóåìà ïî ñâîèì àðãóìåíòàì u è v , à ôóíêöèè u(x; y ) è v (x; y ), â ñâîþ î÷åðåäü, äèôôåðåíöèðóåìû ïî ïåðåìåííûì x è y . Äàäèì ïðèðàùåíèå ïåðåìåííîé x, òîãäà ôóíêöèè u(x; y ) è v (x; y ) ïîëó÷àþò ÷àñòíûå ïðèðàùåíèÿ
x u è
x v , ôóíêöèÿ z (x; y ) ïîëó÷èò ïîëíîå ïðèðàùåíèå, âûçâàííîå èçìåíåíèÿìè ïåðåìåííûõ u è v , íî ïî îòíîøåíèþ ê ïåðåìåííîé x ýòî ïðèðàùåíèå áóäåò ÷àñòíûì, ò.å. ïîëó÷èì q

(
x u)2 + (
y v )2 ! 0 : Ðàçäåëèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà íà
x
u
v o() 
x z = zu0 x + zv0 x +
:
x
x
x 
x Óñòðåìëÿÿ
x ê íóëþ, ïîëó÷èì zx0 = zu0 u0x + zv0 vx0 èëè @z = @z @u + @z @v : @x @u @x @v @x
x z = zu0
x u + zv0
x v + o() ïðè  =

Àíàëîãè÷íî

@z = @z @u + @z @v : zy0 = zu0 u0y + zv0 vy0 èëè @y @u @y @v @y 108

@z

@z

è , åñëè z = Âû÷èñëèòü @x @y Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó Ïðèìåð 3.

òî

@z = p2u + v ; @u 2 u2 + uv @u = 3y cos(3xy ) ; @x @v = y sin y ; @x x2 x

p2 u + uv , u = sin(3xy ), v = cos y . x

@z = p u ; @v 2 u2 + uv @u = 3x cos(3xy ) ; @y @v 1 y = sin ; @y x x

y @z = p2u + v
3y cos(3xy ) + p u y 2 + uv
x2 sin x = @x 2 u2 + uv 2 u   3y 2 sin(3xy ) + cos y cos(3xy ) + y2 sin(3xy ) sin y x x x: r = y 2 2 sin (3xy ) + sin(3xy ) cos x Ïðåäîñòàâèì ÷èòàòåëþ âîçìîæíîñòü íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ÷àñòíîé ïðîèç@z . âîäíîé

@y

3

2) F (x0 ; y0 ) = 0 , 3) Fy0 (x0 ; y0 ) 6= 0 . Òîãäà ñóùåñòâóåò, è ïðè÷åì åäèíñòâåííàÿ, ôóíêöèÿ y = y(x), êîòîðàÿ îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 è îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè 1) ôóíêöèÿ y = y(x) äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 , 2) y0 = y(x0 ) , 3) F (x; y(x))  0 . Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ z = F (x; y ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì, ñôîðìóëèðîâàííûì â òåîðåìå. Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè yx0 . Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî x îáå ÷àñòè òîæäåñòâà F (x; y (x))  0. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïîëó÷åííîå âûøå ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷èì Fx0 + Fy0 yx0 = 0 ; îòêóäà ñëåäóåò

0 yx0 = Fx0 èëè dy = Fy dx

Äèôôåðåíöèðîâàíèå íåÿâíûõ ôóíêöèé

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ àðãóìåíòà x, çàäàííóþ íåÿâíî, ò.å. ôóíêöèþ y = y (x), çàäàííóþ ñîîòíîøåíèåì âèäà F (x; y ) = 0. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî âûðàæåíèå çàäàåò ôóíêöèþ ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè êàæäîìó çíà÷åíèþ àðãóìåíòà x â ñèëó ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ëèøü åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y . Î÷åâèäíî, ÷òî íå âñåãäà èç ñîîòíîøåíèÿ F (x; y ) = 0 óäàåòñÿ íàéòè y . Òåì íå ìåíåå, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü íàõîäèòü ïðîèçâîäíóþ yx0 íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàöèþ îòûñêàíèÿ ïðîèçâîäíîé â äàííîì ñëó÷àå íå ñëåäóåò âûïîëíÿòü ôîðìàëüíî, ò.å. íóæíî îòäàâàòü ñåáå îò÷åò â òîì, à çàäàåò ëè âîîáùå ñîîòíîøåíèå F (x; y ) = 0 ôóíêöèþ, åäèíñòâåííàÿ ëè îíà è ñóùåñòâóåò ëè ïðîèçâîäíàÿ yx0 . Î÷åâèäíî, íàïðèìåð, ÷òî óðàâíåíèå x2 + y 2 + 1 = 0 íå îïðåäåëÿåò íèêàêîé ôóíêöèè. Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû, äàþùåé äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòè íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè y = y (x), îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì F (x; y ) = 0.

@F @x @F : @y

Àíàëîãè÷íîå ðàññìîòðåíèå ìîæíî ïðîâåñòè è äëÿ ôóíêöèè z = z (x; y ), îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì F (x; y; z ) = 0. Åñëè ôóíêöèÿ z = z (x; y ) îïðåäåëÿåòñÿ ýòèì ñîîòíîøåíèåì, òî F (x; y; z (x; y ))  0. Âûïîëíÿÿ ÷àñòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå, ïîëó÷èì

Fx0 + Fz0 zx0 = 0 ; îòêóäà ñëåäóåò

Fy0 + Fz0 zy0 = 0 ;

F0 Fx0 ; zy0 = y0 : 0 Fz Fz 0 Ïðèìåð 4. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ yx ôóíêöèè y = y (x), çàäàííîé íåÿâíûì óðàâíåíèåì x2 + y 2 1 = 0. zx0 =

Çàìåòèì, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò îêðóæíîñòü. Äèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå x2 + y 2 1 = 0 ïî÷ëåííî ïî x êàê ñëîæíóþ ôóíêöèþ

Ðåøåíèå.

Ïóñòü ôóíêöèÿ z = F (x; y) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì 1) F (x; y) îïðåäåëåíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 ; y0 ), ïðè÷åì F (x; y) è åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå Fx0 (x; y) è Fy0 (x; y) íåïðåðûâíû â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè,

Îòñþäà ñëåäóåò yx0 = x=y . ßñíî, ÷òî â òî÷êàõ, ãäå y = 0, ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (êàñàòåëüíàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ê îñè Ox).

109

110

Òåîðåìà 1.

2x + 2y
yx0 = 0 :

Ÿ 5

×àñòíûå ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ

Ÿ 6

Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ z = z (x; y ). Î÷åâèäíî, ÷òî âûïîëíèâ ÷àñòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå, íàéäåì

@z @z = f1 (x; y ), = f2 (x; y ), @x @y

ãäå f1 (x; y ) è f2 (x; y )  íåêîòîðûå ôóíêöèè, è åñëè îíè â ñâîþ î÷åðåäü äèô-

@f1 , @f1 à òàêæå @f2 è @f2 .  ýòîì ñëó÷àå @x @y @x @y ãîâîðÿò î ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè z = z (x; y ). Äëÿ ôåðåíöèðóåìû, òî ìîæíî íàéòè,

÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ââîäÿò ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ 



@ @z = @x @x   @ @z = @y @x

@2z 00 ; = zxx @x2 @ 2 z = z 00 ; xy @x@y





@ @z = @y @y   @ @z = @x @y

@2z 00 ; = zyy @y 2 @ 2 z = z 00 : yx @y@x

Àíàëîãè÷íî ââîäÿòñÿ â ðàññìîòðåíèå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Íàïðèìåð,

@nz @ @n 1z ; = @xn @x @xn 1 



@nz @ @n 1z = @ n 1 y@x @x @y n 1 

Åñëè ó ôóíêöèè z = z(x; y) â íåêîòîðîé00 îáëàñòè

 R2 ñóùå00 ñòâóþò íåïðåðûâíûå ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå z è zyx , òî îíè ñîâïà00 (x; xy 00 (x; y ) äëÿ ëþáîé äàþò â êàæäîé òî÷êå ýòîé îáëàñòè, ò.å. zxy y ) = zyx òî÷êè (x; y) 2 . Òåîðåìà 1.

Óáåäèòüñÿ, ÷òî ó ôóíêöèè z = sin xy 2 ñîâïàäàþò ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå.


Ðåøåíèå.


zx0 = y 2 cos xy 2 ;
zy0 = 2yx cos xy 2 ;

00 = 2y cos xy 2
2xy 3 sin xy 2
; zyx 00 = 2y cos xy 2
2xy 3 sin xy 2
: zxy 00 è zyx 00 ñîâïàäàþò. Èõ íåïðåðûâÌû âèäèì, ÷òî ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå zxy íîñòü íà âñåé ïëîñêîñòè Oxy î÷åâèäíà. 111

ñëåäîâàíèå èíâàðèàíòíîñòè èõ ôîðìû

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ z = z (x; y ). Åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìà, òî, êàê ìû ýòî âûÿñíèëè ðàíåå, ëèíåéíàÿ îòíîñèòåëüíî
x è
y ÷àñòü ïîëíîãî ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì ýòîé ôóíêöèè, ò.å. dz = zx0
x + zy0
y : Çàìåòèì, ÷òî çäåñü
x è
y  ïðèðàùåíèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y ñîîòâåòñòâåííî. Íàïîìíèì, ÷òî â ñëó÷àå äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé y = y (x) åå äèôôåðåíöèàë îïðåäåëÿåòñÿ òàê

dy = yx0
x :

 ÷àñòíîñòè, åñëè y = x , òî äèôôåðåíöèàë ýòîé ôóíêöèè dx =
x. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x ñîâïàäàåò ñ åå ïðèðàùåíèåì. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî dy =
y . À òîãäà ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè z = z (x; y ) ìîæíî çàïèñàòü òàê

dz = zx0 dx + zy0 dy :



Ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î òàê íàçûâàåìûõ ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ. 00 è zyx 00 . Î÷åÎñòàíîâèìñÿ íà ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà zxy âèäíî, ÷òî ýòè ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Âîçíèêàåò âîïðîñ, ïðè âûïîëíåíèè êàêèõ óñëîâèé ýòè ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå ñîâïàäàþò, ò.å. íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùóþ òåîðåìó î ñìåøàííûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.

Ïðèìåð 1.

Äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Èñ-

Ïîêàæåì, ÷òî ýòà ôîðìà äèôôåðåíöèàëà îáëàäàåò ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè è íà òîò ñëó÷àé, êîãäà ïåðåìåííûå x è y íå íåçàâèñèìûå, à ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåêîòîðîãî àðãóìåíòà t, ò.å. z = z (x(t); y (t)). Äåéñòâèòåëüíî
dz = zt0 dt = zx0 x0t + zy0 yt0 dt = zx0 dx + zy0 dy ;

ò.å

ãäå x = x(t) ; y = y (t) : dz = zx0 dx + zy0 dy ; Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî x è y çàâèñÿò íå îò îäíîãî, à îò äâóõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ, ò.å. x = x(u; v ), y = y (u; v ). Òîãäà z = z (x(u; v ); y (u; v )), ïðè÷åì ôóíêöèè x = x(u; v ), y = y (u; v ) ïðåäïîëàãàþòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûìè ïî ïåðåìåííûì u è v . Î÷åâèäíî, ÷òî

dz = zu0 du + zv0 dv = zx0 x0u + zy0 yu0 du + zx0 x0v + zy0 yv0 dv =

= zx0 x0u du + x0v dv + zy0 yu0 du + yv0 dv = zx0 dx + zy0 dy ; ò.å. îêîí÷àòåëüíî

dz = zx0 dx + zy0 dy ;

ãäå x = x(u; v ) ;

y = y (u; v ) ;

ò.å. ôîðìà ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ñîõðàíÿåòñÿ è â òîì ñëó÷àå, åñëè x è y çàâèñÿò â ñâîþ î÷åðåäü îò äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ u è v . Ñäåëàåì òåïåðü íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ. Èòàê, ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ z = z (x; y ). Òîãäà, êàê ìû òîëüêî ÷òî âûÿñíèëè, åå ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ðàâåí

dz = zx0 (x; y )
x + zy0 (x; y )
y : 112

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðèðàùåíèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
x è
y íå çàâèñÿò îò òîãî, â êàêîé òî÷êå âûïîëíÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè z = z (x; y ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûáðàâ ýòè ïðèðàùåíèÿ, ìû èõ çàôèêñèðîâàëè. Òîãäà ïîëíûé äèôôåðåíöèàë dz ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y , à òîãäà ìîæíî ñòàâèòü âîïðîñ î åå äèôôåðåíöèðîâàíèè, ò.å. î ñóùåñòâîâàíèè äèôôåðåíöèàëà îò äèôôåðåíöèàëà, ò.å. d (dz ). Åñëè äèôôåðåíöèðóåìà íå òîëüêî ôóíêöèÿ z (x; y ), íî è åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 (x; y ) è zy0 (x; y ), òî òîãäà ñóùåñòâóåò äèôôåðåíöèàë îò äèôôåðåíöèàëà, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ âòîðûì äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè z = z(x; y), è îáîçíà÷àåòñÿ d2 z, ò.å.

d2 z = d (dz ) :



d2 z = zx0
x + zy0
y 0x
x + zx0
x + zy0
y 0y
y = 00 (
x)2 + 2z 00
x
y + z 00 (
y )2 : = zxx xy yy

Íàïîìíèì, ÷òî çäåñü
x = dx,
y = dy . Îáîçíà÷àÿ èõ êâàäðàòû (
x)2 = dx2 , (
y )2 = dy 2 , ìîæåì çàïèñàòü âòîðîé äèôôåðåíöèàë òàê d2 z = z 00 dx2 + 2z 00 dxdy + z 00 dy 2 : xy

yy

Íàïîìíèì, ÷òî ìû ïðåäïîëàãàëè çäåñü, ÷òî x è y  íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî, îïðåäåëÿÿ ïîëíûé äèôôåðåíöèàë òðåòüåãî ïîðÿäêà ôóíêöèè z = z (x; y ) êàê ïîëíûé äèôôåðåíöèàë îò äèôôåðåíöèàëà âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å.
d3 z = d d2 z ;

âûïîëíèâ àíàëîãè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì

000 dx3 + 3z 000 dx2 dy + 3z 000 dxdy 2 + z 000 dy 3 : d3 z = zxxx yyy xyy xxy Äëÿ óäîáñòâà çàïèñè ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ëþáîãî ïîðÿäêà ââîäÿò òàêóþ ñèìâîëè÷åñêóþ çàïèñü

dn z =



n @ @ dx + dy z ; @x @y

êîòîðóþ ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê íåêèé ¾îïåðàòîð¿, ïðèìåíåíèå êîòîðîãî ê ôóíêöèè z = z (x; y ) ïðåäïîëàãàåò âûïîëíåíèå ÷àñòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè z = z (x; y ), ïðè÷åì ïîðÿäîê ýòèõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îïðåäåëÿåòñÿ ñòåïåíüþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè, êîòîðàÿ ðàñêðûâàåòñÿ êàê ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà. 113

@x

@y

@z

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë âòîðîãî ïîðÿäêà

00 dx2 + 2z 00 dxdy + z 00 dy 2 : d2 z = zxx xy yy

Î÷åâèäíî, ÷òî

xx

Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ u = u(x; y; z ) çàâèñèò îò òðåõ íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ, òî î÷åâèäíî, ÷òî åå ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ðàâåí du = u0x dx + u0y dy + u0z dz ; ïðè÷åì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà n-ãî ïîðÿäêà òàêîé ôóíêöèè, åñëè îí ñóùåñòâóåò, èìååò ìåñòî òàêàÿ ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü  n dn u = @ dx + @ dy + @ dz u :

Âûÿñíèì, ñîõðàíÿåòñÿ ëè ôîðìà âòîðîãî ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà, åñëè ïåðåìåííûå x è y íå íåçàâèñèìûå, à ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåêîòîðîãî àðãóìåíòà t, ò.å x = x(t), y = y (t). Äðóãèìè ñëîâàìè, âûÿñíèì, îáëàäàåò ëè ïîëíûé äèôôåðåíöèàë âòîðîãî ïîðÿäêà ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ñâîåé ôîðìû? Èòàê, ïîëàãàåì z = (x(t); y (t)). Òîãäà

dz = zt0 dt = zx0 dx + zy0 dy ;

ò.å. ïåðâûé äèôôåðåíöèàë ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ñâîåé ôîðìû îáëàäàåò. Äàëåå

d2 z = d (dz ) = zx0 dx + zy0 dy 0t dt = zx0 x0t + zy0 yt0 0t dt2 = 00 (x0 )2 + z 00 x0 y 0 + z 0 x00 + z 00 y 0 x0 + z 00 (y 0 )2 + z 0 y 00
dt2 = = zxx t xy t t x tt yx t t yy t y tt 00 dx2 + 2z 00 dxdy + z 00 dy 2
+z 0 d2 x+z 0 d2 y = d2 z +z 0 d2 x+z 0 d2 y 6= d2 z : = zxx xy yy x y x y

Âûâîä: âòîðîé äèôôåðåíöèàë íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ñâîåé ôîðìû. Àíàëîãè÷íî íå îáëàäàþò òàêèìè ñâîéñòâàìè è äèôôåðåíöèàëû áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ. Çàìåòèì, ÷òî èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò òîò ñëó÷àé, êîãäà x è y ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè àðãóìåíòà t, ò.å. x = at + b, y = ct + d. (Ïðåäîñòàâëÿåì âîçìîæíîñòü ÷èòàòåëþ óáåäèòüñÿ â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî). Ïðè÷åì ýòî îñòàåòñÿ â ñèëå äëÿ ñëîæíîé ôóíêöèè ëþáîãî ÷èñëà àðãóìåíòîâ, ò.å. ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, îáëàäàåò ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ñâîåé ôîðìû òîëüêî â ñëó÷àå ëèíåéíûõ çàìåí ïåðåìåííûõ.  çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî íàðÿäó ñ ïîíÿòèåì ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ dz ñóùåñòâóþò òàê íàçûâàåìûå ÷àñòíûå äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèè z = z (x; y ) ïî àðãóìåíòàì x è y , êîòîðûå îáîçíà÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî dx z è dy z , ò.å. dy z = zy0 dy :

dx z = zx0 dx ;

114

Ãåîìåòðè÷åñêè dx z îçíà÷àåò ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z (x; y ) â òî÷êå (x; y ) âäîëü êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé â òî÷êå (x; y ) ê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè z = z (x; y ) ñ ïëîñêîñòüþ y = const. Àíàëîãè÷íûé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë èìååò è ÷àñòíûé äèôôåðåíöèàë dy z . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ  ýòî åñòü ñóììà âñåõ ÷àñòíûõ äèôôåðåíöèàëîâ ýòîé ôóíêöèè.

Íàïîìíèì, ÷òî ïðè òàêîé çàâèñèìîñòè ïåðåìåííûõ x è y îò ïàðàìåòðà t, îáëàäàåò ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè íå òîëüêî ïåðâûé ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè z = z (x; y ), íî è ïîëíûå äèôôåðåíöèàëû âòîðîãî, òðåòüåãî è áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ, ò.å.

dk f (t) = dk z (x; y ) 

Ÿ 7

@ = dx + dy @x @y

Ôîðìóëà Òåéëîðà

Ðàíåå ìû âûâåëè ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà

f 00 (a) f (n 1) (a) f (n) (c) f (x) = f (a)+f 0 (a)(x a)+ (x a)2 +: : :+ (x a)n 1 + (x a)n ; 2! (n 1)! n! ãäå c ëåæèò ìåæäó x è a. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè y = f (x) ôîðìóëîé Òåéëîðà äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = a ôóíêöèÿ y = f (x) áûëà áû äèôôåðåíöèðóåìà n ðàç. Îáîáùèì ôîðìóëó Òåéëîðà íà ñëó÷àé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ôóíêöèè z = z (x; y ). Äîïóñòèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà n ðàç ïî ñâîèì àðãóìåíòàì â îêðåñòíîñòè U" (x0 ; y0 ) òî÷êè (x0 ; y0 ), ïðèíàäëåæàùåé íåêîòîðîé îáëàñòè ïëîñêîñòè Oxy . Ïóñòü òî÷êà (x0 +
x; y0 +
y ) ïðèíàäëåæèò ýòîé îêðåñòíîñòè. Çàôèêñèðóåì
x,
y è ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëîæíóþ ôóíêöèþ àðãóìåíòà t, îïðåäåëåííóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì

f (t) = z (x(t); y (t)) ;

x(t) = x0 +t
x ; y (t) = y0 +t
y ;

ãäå

t 2 [0; 1] :

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ x(t) è y (t) äàþò íàì óðàâíåíèÿ îòðåçêà ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè (x0 ; y0 ) è (x0 +
x; y0 +
y ) (ðèñ. 7). y

x=x0 +t
x; y=y0 +t
y k @

(

U" x0 ; y0

"

)

(x0 +
x; y0 +
y) (x; y)

(x0; y0)

O

x

Ðèñ. 7.

115

=

z (x; y )

x=x0 +t
x; y=y0 +t
y

: (1)

ßñíî, ÷òî çäåñü dx =
x dt, dy =
y dt. Íàïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè f (t) çàìåíèâ â íåé a íà t, à x íà t +
t. Òîãäà ïîëó÷èì

(n 1) (t) (n) 00 (
t)n 1 + f (c) (
t)n ; f (t +
t) = f (t)+f 0 (t)
t+ f (t) (
t)2 +: : :+ f 2! (n 1)! n! ãäå c = t + 
t, 0 <  < 1, ò.å. c åñòü òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó t è t +
t. Ýòó ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê

d2 f (t) dn 1 f (t) dn f (t + 
t) +:::+ + ; 0 <  < 1: 2! (n 1)! n! Ïîëîæèì òåïåðü çäåñü t = 0,
t = 1 è íàïîìíèì, ÷òî ïðè t = 0 ìû èìååì òî÷êó (x0 ; y0 ), à ïðè
t = 1 òî÷êó (x0 +
x; y0 +
y ), êðîìå òîãî f (0) = f (x0 ; y0 ), f (1) = f (x0 +
x; y0 +
y ), òîãäà ñ ó÷åòîì (1), ïîëó÷èì

f (t +
t) f (t) = df (t) +

2 z (x0 +
x; y0 +
y ) = z (x0 ; y0 ) + dz (x0 ; y0 ) + d z (x0 ; y0 ) + : : : 2! n 1 z (x0 ; y0 ) dn z (x + 
x; y + 
y ) d 0 0 + + ; 0 <  < 1; (n 1)! n! ïðè÷åì çäåñü ñëåäóåò ïîëîæèòü
x = dx,
y = dy , ò.ê.
t = dt, à ìû ïîëîæèëè
t = 1, ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèòåëüíî èç ñîîòíîøåíèé dx =
x dt, dy =
y dt ñëåäóåò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå
x = dx,
y = dy . Èòàê, çäåñü â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà äèôôåðåíöèàëû dx è dy ñîâïàëè ñ çàðàíåå âçÿòûìè ïðèðàùåíèÿìè
x è
y ïåðåìåííûõ x è y , ò.å. â ïðàâîé ÷àñòè ñòîÿò ïîëíûå äèôôåðåíöèàëû ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ ôóíêöèè z = z (x; y ) äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y . Ââåäåì ïîëíîå ïðèðàùåíèå ýòîé ôóíêöèè
z (x0 ; y0 ) = z (x0 +
x; y0 +
y ) z (x0 ; y0 ), òîãäà âûâåäåííóþ ôîðìóëó ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê

d2 z (x0 ; y0 ) + : : : 2! n 1 z (x0 ; y0 ) dn z (x + 
x; y + 
y ) d 0 0 + + ; 0 <  < 1: (n 1)! n!
z (x0 ; y0 ) = dz (x0 ; y0 ) +

116

Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà n-ãî ïîðÿäêà. Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, êàê è ðàíåå, íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà. Îòáðàñûâàÿ îñòàòî÷íûé ÷ëåí, ìû ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî, òî÷íîñòü êîòîðîãî ñëåäóåò îöåíèòü, îöåíèâàÿ ñâåðõó ìîäóëü îòáðîøåííîãî îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà. È â ÷àñòíîñòè, çàìåíÿÿ ïîëíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ åå äèôôåðåíöèàëîì, ìû ìîæåì îöåíèòü ïîãðåøíîñòü, îöåíèâàÿ ìîäóëü îòáðîøåííîãî îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà

00 (x; y ) (
x)2 + 2z 00 (x; y )
x
y + z 00 (x; y ) (
y )2
R2 = 1 zxx xy yy x=x0 +
x; y=y0 +
y : 2! Çàìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà Òåéëîðà èìååò ìåñòî è äëÿ ôóíêöèè ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Ÿ 8

Ïðèëîæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ôóíêöèé

ßñíî, ÷òî âåêòîð

ò.å. âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê êðèâîé, ëåæàùåé íà ïîâåðõíîñòè S . Ìíîæåñòâî òàêèõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ê ðàçëè÷íûì êðèâûì, ïðîõîäÿùèì ÷åðåç òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ) íà ïîâåðõíîñòè, ëåæèò â ïëîñêîñòè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ). Èç ñîîòíîøåíèÿ (1) ÿñíî, ÷òî âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðåí ê êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ). Òàêîé âåêòîð íàçûâàåòñÿ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ). Òåïåðü íåòðóäíî íàéòè óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ), à òàêæå íàéòè êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, íà êîòîðîé ëåæèò íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S . Äåéñòâèòåëüíî, êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè S ñ óðàâíåíèåì F (x; y; x) = 0 â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ) èìååò óðàâíåíèå

N

Fx0 (x0 ; y0 ; z0 )(x x0 ) + Fy0 (x0 ; y0 ; z0 )(y y0 ) + Fz0 (x0 ; y0 ; z0 )(z z0 ) = 0 :

íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ

1

Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü è íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè

N

z S

M0

2

1

y x Ðèñ. 8.

Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü S , çàäàííóþ óðàâíåíèåì F (x; y; z ) = 0 (ðèñ. 8). Ïóñòü ôóíêöèÿ F (x; y; z ) äèôôåðåíöèðóåìà, è äîïóñòèì òàêæå, ÷òî íè â îäíîé òî÷êå ýòîé ïîâåðõíîñòè âñå òðè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå Fx0 , Fy0 , Fz0 â íîëü íå îáðàùàþòñÿ, ò.å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè S íåò îñîáûõ òî÷åê. Çàôèêñèðóåì íà ýòîé ïîâåðõíîñòè íåêîòîðóþ òî÷êó M0 (x0 ; y0 ; z0 ) è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ðàçëè÷íûå êðèâûå k , k = 1; 2; : : : ; n, ëåæàùèå íà ýòîé ïîâåðõíîñòè, çàäàâ èõ ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé

x = xk (t) ; y = yk (t) ; z = zk (t) ;

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ëåâóþ ÷àñòü ýòîé ôîðìóëû êàê ñëîæíóþ ôóíêöèþ ïî ïåðåìåííîé t. Ïîëó÷èì

Fx0 x0t + Fy0 yt0 + Fz0 zt0 = 0 : Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå äâà âåêòîðà
Fx0 ; Fy0 ; Fz0 ;

117

T

Ïðèíèìàÿ çà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 ), âåêòîð , ïîëó÷èì êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýòîé íîðìàëè â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ; z0 )

N

x x0 y y0 z z0 : = = Fx0 (x0 ; y0 ; z0 ) Fy0 (x0 ; y0 ; z0 ) Fz0 (x0 ; y0 ; z0 )

z

2

Ïðèìåð 1. Íàéòè óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå M0 (1; 1; 2), åñëè óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè z = x2 + y 2 (ðèñ. 9).

M0

k = 1; 2; : : : ; n :

ßñíî, ÷òî ò.ê. êðèâûå k ëåæàò íà ïîâåðõíîñòè S , òî èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ F (xk (t); yk (t); zk (t)) = 0 ; k = 1; 2; : : : ; n :

N

T åñòü êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ãîäîãðàôó âåêòîðà r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ;


x0t ; yt0 ; zt0 :

(1)

1

1 x Ðèñ. 9.

ò.å.

Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè (ýòî ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ) òàê

N y

F (x; y; z ) = x2 + y 2 z = 0 : Íàéäåì Fx0 = 2x, Fy0 = 2y , Fz0 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî â òî÷êå M0 (1; 1; 2) íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè N = (2; 2; 1). Òîãäà êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü èìååò óðàâíåíèå

2(x 1) + 2(y 2x + 2y

1) (z 2) = 0 ;

z 2 = 0:

Ñîîòâåòñòâåííî, ïðÿìàÿ, íà êîòîðîé ëåæèò íîðìàëüíûé âåêòîð

x 1 =y 1 =z 2: 2 2 1 118

N, òàêîâà

2

Ýêñòðåìóìû ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ

Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, ââîäÿòñÿ îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ðàññìîòðåíèå ïðîâåäåì äëÿ ôóíêöèè äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ z = z (x; y ) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îáëàñòè ïëîñêîñòè Oxy , è ïóñòü òî÷êà M0 (x0 ; y0 ) ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ýòîé îáëàñòè. Äàäèì îïðåäåëåíèå ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà ôóíêöèè z = z (x; y ), êîòîðûå ýòà ôóíêöèÿ äîñòèãàåò â íåêîòîðîé òî÷êå îáëàñòè .

Åñëè áû ìû ïîëîæèëè, ÷òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì, òî ïîëó÷èëè áû òî÷íî òàêîé æå âûâîä. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî îôîðìèòü â âèäå òåîðåìû. Òåîðåìà 1

@z (x0 ; y0 ) = 0 ; @x

Îïðåäåëåíèå 1.

1) Ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ z (x; y ) èìååò ìàêñèìóì, åñëè ñóùåñòâóåò "-îêðåñòíîñòü U" (x0 ; y0 ) òî÷êè M0 òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê M èç ýòîé îêðåñòíîñòè (ïðè÷åì M 6= M0 ) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî z (M ) < z (M0 ).

2) Ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ z (x; y ) èìååò ìèíèìóì, åñëè ñóùåñòâóåò "-îêðåñòíîñòü U" (x0 ; y0 ) òî÷êè M0 òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê M èç ýòîé îêðåñòíîñòè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî z (M0 ) < z (M ) (M 6= M0 ).

Ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå M0 íàçûâàþò ïðîñòî ìàêñèìóì è ìèíèìóì ôóíêöèè z (x; y ) è îáîçíà÷àþò max z (x; y ) è min z (x; y ). Ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû, êàê è ðàíåå, íàçûâàþò ýêñòðåìóìàìè. Èòàê, c ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñèìâîëîâ ïðèâåäåííûå îïðåäåëåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü òàê def

max z (x; y ) = z (x0 ; y0 ) , 9" > 0; 8(x; y) 2 U" (x0 ; y0 ); M 6= M0 : z(x; y) < z(x0 ; y0 ) ; min z (x; y ) = z (x0 ; y0 ) def , 9" > 0; 8(x; y) 2 U" (x0 ; y0 ); M 6= M0 : z(x0 ; y0 ) < z(x; y) :

Çàìåòèì, ÷òî íå ñëåäóåò ñìåøèâàòü ïîíÿòèå ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà ôóíêöèè ñ åå íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì. Äîïóñòèì, ÷òî ôóíêöèÿ z = z (x; y ) äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè M0 (x0 ; y0 ) è èìååò â íåé ýêñòðåìóì (ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì). Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ z = z (x; y ) èìååò ìàêñèìóì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

8(x; y) 2 U" (x0 ; y0 ) n fM0 g : z(x; y) < z(x0 ; y0 ) ; è, â ÷àñòíîñòè, z (x; y0 ) < z (x0 ; y0 ) . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé z (x; y0 ) â òî÷êå x0 èìååò ìàêñèìóì. Íî òîãäà â ýòîé òî÷êå zx0 (x0 ; y0 ) = 0. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî â ýòîé òî÷êå zy0 (x0 ; y0 ) = 0. 119

(Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðå-

Åñëè ôóíêöèÿ z = z(x; y), îïðåäåëåííàÿ â îáëàñòè ïëîñêîñòè Oxy , èìååò â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ýêñòðåìóì, òî åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà â ýòîé òî÷êå îáðàùàþòñÿ â íîëü, ò.å. ìåííûõ).

@z (x0 ; y0 ) = 0 : @y M0 (x0 ; y0 ) îáðàùàåòñÿ

Èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, â òî÷êå äèôôåðåíöèàë ïåðâîãî ïîðÿäêà äàííîé ôóíêöèè.

â íîëü ïîëíûé

Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî íå âñÿêàÿ òî÷êà, â êîòîðîé îáðàùàþòñÿ â íóëü âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà äàííîé ôóíêöèè, ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé, â êîòîðîé ôóíêöèÿ èìååò ýêñòðåìóì. Èíûìè ñëîâàìè, ðàâåíñòâî íóëþ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) åñòü íåîáõîäèìîå, íî íå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà.

3

Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà

Ïî-ïðåæíåìó äëÿ áîëüøåé êîìïàêòíîñòè èçëîæåíèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ z = z (x; y ). Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî ìû íàøëè òî÷êó M0 (x0 ; y0 ), â êîòîðîé âûïîëíåíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà, ò.å. òî÷êó, â êîòîðîé îáðàùàþòñÿ â íóëü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 (x0 ; y0 ) è zy0 (x0 ; y0 ). Êàê è ðàíåå, òî÷êó M0 (x0 ; y0 ) ìû ìîæåì íàçâàòü ïîäîçðèòåëüíîé íà ýêñòðåìóì. Âûÿñíèì òåïåðü, êàêîâû æå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ áóäåò èìåòü ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì. Çàìåòèì, ÷òî äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ áóäóò íîñèòü íå ñëèøêîì ñòðîãèé õàðàêòåð. Äîïóñòèì, ÷òî ôóíêöèÿ z (x; y ) â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) äèôôåðåíöèðóåìà òðèæäû. Íàïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà äëÿ ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå M0 (x0 ; y0 )


z (x0 ; y0 ) = dz (x0 ; y0 ) +

1 2 d z (x0 ; y0 ) + 1 d3 z (x0 + 1
x; y0 + 2
y ) ; 2! 3!

ãäå
x è
y  ïðîèçâîëüíûå ïðèðàùåíèÿ, êîòîðûå ïðåäïîëàãàþòñÿ äîñòàòî÷íî ìàëûìè ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå,
z (x0 ; y0 ) = z (x0 +
x; y0 +
y ) z (x0 ; y0 )  ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè z (x; y ) â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) è 0 < 1 < 1, 0 < 2 < 1.  ñèëó òîãî, ÷òî íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà âûïîëíåíû, î÷åâèäíî, ÷òî dz (x0 ; y0 ) = 0, à òîãäà

1 z (x0 +
x; y0 +
y ) z (x0 ; y0 ) = d2 z (x0 ; y0 )+ 1 d3 z (x0 + 1
x; y0 + 2
y ) : 2! 3! 120

ßñíî, ÷òî åñëè
x è
y äîñòàòî÷íî ìàëû ïî ìîäóëþ, òî çíàê ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì åãî ïåðâîãî ñëàãàåìîãî, ò.å. çíàêîì d2 z (x0 ; y0 ), ò.ê. çäåñü â ïðàâîé ÷àñòè ñòîÿò îäíîðîäíûå ìíîãî÷ëåíû îòíîñèòåëüíî
x è
y ñîîòâåòñòâåííî âòîðîé è òðåòüåé ñòåïåíè. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå âûðàæåíèå äëÿ âòîðîãî äèôôåðåíöèàëà

00 (x0 ; y0 ) (
x)2 + 2z 00 (x0 ; y0 )
x
y + z 00 (x0 ; y0 ) (
y )2 : d2 z (x0 ; y0 ) = zxx xy yy Èòàê, åñëè d2 z (x0 ; y0 ) > 0, òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì, ò.ê. â ýòîì ñëó÷àå z (x0 ; y0 ) < z (x0 +
x; y0 +
y ), åñëè d2 z (x0 ; y0 ) < 0, òî ìàêñèìóì, ò.ê. òîãäà z (x0 +
x; y0 +
y ) < z (x0 ; y0 ). Ìîæåò, îäíàêî, îêàçàòüñÿ, ÷òî d2 z (x0 ; y0 ) > 0 ïðè îäíèõ ñî÷åòàíèÿõ
x è
y , à ïðè äðóãèõ d2 z (x0 ; y0 ) < 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ó ôóíêöèè z (x; y ) ýêñòðåìóìà íåò. Ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ èìååò

ìèíèìàêñ. Åñëè æå ýòî âûðàæåíèå çíàêà íå 2ìåíÿåò, íî ìîæåò îáðàùàòüñÿ â

íóëü, òî ýòî îçíà÷àåò ëèøü òî, ÷òî ïî çíàêó d z (x0 ; y0 ) íåëüçÿ ñóäèòü î íàëè÷èè ýêñòðåìóìà ó ôóíêöèè z (x; y ) â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ).  ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ôîðìóëó Òåéëîðà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è ïðîâåñòè àíàëîãè÷íûå èññëåäîâàíèÿ. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ñïðàâåäëèâû äëÿ ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò ëþáîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Ïîïûòàåìñÿ òåïåðü ïîëó÷èòü ïðîñòûå è óäîáíûå â ïðèìåíåíèè äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà äëÿ ôóíêöèè z (x; y ), âûðàæåííûå ÷åðåç çíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè z (x; y ) â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ). Äëÿ ýòîãî îáîçíà÷èì

00 (x0 ; y0 ) = A ; zxx

00 (x0 ; y0 ) = B ; zxy

00 (x0 ; y0 ) = C ; zyy


x =t
y

(äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî
y 6= 0). Î÷åâèäíî, ÷òî
d2 z (x0 ; y0 ) = At2 + 2Bt + C (
y )2 :

ßñíî, ÷òî çíàê ýòîãî âûðàæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì êâàäðàòíîãî òðåõ
÷ëåíà '(t) = At2 + 2Bt + C . Åãî äèñêðèìèíàíò D = 4 B 2 AC . Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè D < 0, òî ãðàôèê ôóíêöèè '(t) íå ïåðåñåêàåò îñü Ot (êîðíè êîìïëåêñíûå), åñëè D > 0, òî ãðàôèê ôóíêöèè ïåðåñåêàåò îñü Ot â äâóõ òî÷êàõ (êîðíè âåùåñòâåííûå), åñëè D = 0, òî ãðàôèê ôóíêöèè '(t) êàñàåòñÿ îñè Ot (êîðíè âåùåñòâåííûå è ðàâíûå). Ââåäåì òåïåðü â ðàññìîòðåíèå âåëè÷èíó
= AC B 2 . Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âñå âûøåñêàçàííîå, ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû 1) Åñëè
> 0 , òî
z ñîõðàíÿåò çíàê äëÿ âñåõ
x è
. Ïðè ýòîì, åñëè A > 0, òî è
z > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ z (x; y ) èìååò ìèíèìóì. Åñëè æå A < 0, òî è
z < 0, ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ z (x; y ) èìååò ìàêñèìóì. 121

2) Åñëè
< 0, òî äëÿ ðàçëè÷íûõ
x è
y ôóíêöèÿ '(t) èìååò ðàçëè÷íûå çíàêè, â ñèëó ÷åãî
z èçìåíÿåò çíàê â îêðåñòíîñòè òî÷êè M0 (x0 ; y0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) ôóíêöèÿ ýêñòðåìóìà íå èìååò. 3) Åñëè
= 0, òî
z çíàêà íå ìåíÿåò, íî ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü. Çíà÷èò, âîïðîñ î íàëè÷èè ýêñòðåìóìà â òî÷êå M0 (x0 ; y0 ) îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ìîãóò èìåòü ýêñòðåìóì íå òîëüêî â òåõ òî÷êàõ, ãäå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 (x; y ) è zy0 (x; y ) îáðàùàþòñÿ â íóëü, íî è â òî÷êàõ, ãäå ôóíêöèÿ íåäèôôåðåíöèðóåìà, ëèøü áû òîëüêî â ýòèõ òî÷êàõ îíà áûëà íåïðåðûâíà. Ÿ 9

Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè

Ïóñòü ôóíêöèÿ z = z (x; y ) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â íåêîòîðîé çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè . Òîãäà çàâåäîìî ôóíêöèÿ â ýòîé îáëàñòè èìååò íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå. Äëÿ èõ îòûñêàíèÿ íóæíî èññëåäîâàòü òî÷êè, ïîäîçðèòåëüíûå íà ýêñòðåìóì è ëåæàùèå âíóòðè îáëàñòè . Çàòåì íóæíî èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå ôóíêöèè íà ãðàíèöå îáëàñòè, ò.å. íàéòè íà ãðàíèöå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè. È â çàêëþ÷åíèå ñëåäóåò ñðàâíèòü ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò â îáëàñòè ñ åå çíà÷åíèÿìè íà ãðàíèöå.

y D

1

1

A

C 1

1 Ðèñ. 10.

Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè z = 3 x2 y 2 â îáëàñòè , îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè x = 1, y = 1.

Ïðèìåð 1.

B

x

Ïðèðàâíèâàåì ê íóëþ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå zx0 = 2x = 0, zy0 = 2y = 0. Ïîëó÷àåì òî÷êó (0; 0), ïîäîçðèòåëüíóþ íà ýêñòðå00 = 2, zxy 00 = 0. 00 = 2, zyy ìóì. Âû÷èñëÿåì zxx 2 Ñëåäîâàòåëüíî
= AC B = 4 > 0, A < 0. Çíà÷èò, â òî÷êå (0; 0) ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì. Èññëåäóåì òåïåðü ïîâåäåíèå ôóíêöèè íà ãðàíèöå îáëàñòè, ò.å. íà êîíòóðå ABCD, ãäå A( 1; 1), B (1; 1), C (1; 1), D( 1; 1) (ðèñ. 10). Ðåøåíèå.

1) Íà AB : y = 1, z = 2 x2 , x 2 [ 1; 1], zx0 = 2x. Òî÷êà x = 0 ïîäîçðèòåëüíà íà ýêñòðåìóì z (0; 1) = 2, z (A) = z (B ) = 1.

2) Íà BC : x = 1, z = 2 y 2 , y 2 [ 1; 1], zy0 = 2y . Òî÷êà y = 0 ïîäîçðèòåëüíà íà ýêñòðåìóì z (1; 0) = 2, z (B ) = z (C ) = 1. 122

3) Íà DC : y = 1, z = 2 x2 , x 2 [ 1; 1], zx0 = 2x. Òî÷êà x = 0 ïîäîçðèòåëüíà íà ýêñòðåìóì z (0; 1) = 2, z (D) = z (C ) = 1.

4) Íà AD: x = 1, z = 2 y 2 , y 2 [ 1; 1], zy0 = 2y . Òî÷êà y = 0 ïîäîçðèòåëüíà íà ýêñòðåìóì z ( 1; 0) = 2, z (A) = z (D) = 1. Îñòàåòñÿ ñäåëàòü âûâîä. Èòàê, âíóòðè êâàäðàòà ôóíêöèÿ z (x; y ) èìååò ìàêñèìóì â òî÷êå (0; 0): zmax = 3. Íà ãðàíèöå îáëàñòè ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå â òî÷êàõ A, B , C , D: z (A) = z (B ) = z (C ) = z (D) = 1, à íàèáîëüøåå â òî÷êàõ (0; 1), (1; 0), (0; 1), ( 1; 0), ïðè÷åì z (0; 1) = z (1; 0) = z (0; 1) = z ( 1; 0) = 2. Îòâåò: íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò â òî÷êå (0; 0), îíî ñîâïàäàåò ñ ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì ôóíêöèè zmax = z (0; 0) = 3, íàèìåíüøåå çíà÷åíèå zmin = 1 ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò â òî÷êàõ A, B , C , D. Ÿ 10

Óñëîâíûé ýêñòðåìóì. Ìåòîä ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà

Ìû ðàññìîòðåëè ýêñòðåìóìû ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, ñ÷èòàÿ òîëüêî, ÷òî ýòè òî÷êè ëåæàò âíóòðè íåêîòîðîé îáëàñòè . Òàêèå ýêñòðåìóìû íàçûâàþòñÿ áåçóñëîâíûìè. Îäíàêî ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ îòûñêèâàòü ýêñòðåìóìû ôóíêöèè z = z (x; y ) â îáëàñòè â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî êðîìå òîãî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ âèäà

'(x; y ) = 0 :

Ýêñòðåìóìû, óäîâëåòâîðÿþùèå òàêèì óñëîâèÿì, íàçûâàþòñÿ óñëîâíûàðãóìåíòû x è y äàííîé ôóíêöèè z (x; y ) íåëüçÿ ñ÷èòàòü íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè. Î÷åâèäíî, ÷òî èõ ñâÿçûâàåò óðàâíåíèå (1), êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñâÿçè. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óñëîâíûé ýêñòðåìóì îòûñêèâàåòñÿ íå äëÿ âñåõ òî÷åê (x; y ), ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè , à äëÿ òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè , è ëåæàùèõ íà íåêîòîðîé êðèâîé , óðàâíåíèå êîòîðîé '(x; y ) = 0. Íàïðèìåð, î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ p

z = 1 x2 y 2

p!

1 3 M0 0; ; 2 2

x

y=

1 2

1

Ðèñ. 11.

z=

(2)

äîñòèãàåò áåçóñëîâíîãî ìàêñèìóìà zmax = 1 â òî÷êå O(0; 0) (ðèñ. 11). Åñëè æå ïîòðåáîâàòü: íàéòè óñëîâíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè (2) íà ïðÿìîé y = 1=2, òî î÷åâèäíî,p÷òî îí äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå (0; 1=2) è ðàâåí 3=2. Îòûñêàíèå óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà ôóíêöèè ìîæíî ñâåñòè ê îòûñêàíèþ áåçóñëîâíîãî ýêñòðåìóìà íåêîòîðîé äðóãîé ôóíêöèè. Íàïðèìåð, â äàííîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ

y

p

1 x2



y 2

y=1=2

123

dz (x; y ) = zx0 (x; y ) dx + zy0 (x; y ) dy = 0 :

r

=

3 4

x2 :

(3)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå ñâÿçè (1), ïîëó÷èì

d'(x; y ) = '0x (x; y ) dx + '0y (x; y ) dy = 0 :

(4)

Óìíîæèì ñîîòíîøåíèå (4) ïî÷ëåííî íà íåêîòîðûé ìíîæèòåëü  è ïðèáàâèì ê ñîîòíîøåíèþ (3)

zx0 (x; y ) + '0x (x; y ) dx + zy0 (x; y ) + '0y (x; y ) dy = 0 :

Âûáåðåì òåïåðü ÷èñëî  òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå

zy0 (x; y ) + '0y (x; y ) = 0 :

(1)

ìè.  ýòîì ñëó÷àå

z

Îäíàêî òàêîé ñïîñîá íå âñåãäà áûâàåò óäîáåí. Ðàññìîòðèì äðóãîé ñïîñîá îòûñêàíèÿ óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà. Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî íàì íóæíî íàéòè óñëîâíûé ýêñòðåìóì ôóíêöèè z = z (x; y ), ïðè÷åì âûïîëíåíî óðàâíåíèå ñâÿçè (1). Äîïóñòèì, ÷òî òî÷êà M0 (x0 ; y0 )  òî÷êà óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà, çíà÷èò, â ýòîé òî÷êå ïðîèçâîäíàÿ ïî x îò ôóíêöèè z = z (x; y ) ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ ñâÿçè äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ, ÷òî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó íóëþ dz (x; y ) â òî÷êå M0 . Èòàê â òî÷êå M0

(5)

Çàìåòèì, ÷òî ýòî âîçìîæíî, ò. ê. ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè â ñèëó êîòîðîé '0y (x; y ) 6= 0. Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ è âòîðîå óñëîâèå

zx0 (x; y ) + '0x (x; y ) = 0 :

(6)

Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ

F (x; y ) = z (x; y ) + '(x; y ) : Î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèÿ (5) è (6) äàþò íàì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ôóíêöèè F (x; y ), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà, ïàðàìåòð  ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ ìíîæèòåëåì Ëàãðàíæà. Èòàê, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè òî÷êè, â êîòîðûõ äàííàÿ ôóíêöèÿ z = z (x; y ) ìîæåò èìåòü óñëîâíûé ýêñòðåìóì, îïðåäåëåííûé óðàâíåíèåì ñâÿçè '(x; y ) = 0, íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé 8 < :

Fx0 (x; y ) = zx0 (x; y ) + '0x (x; y ) = 0 Fy0 (x; y ) = zy0 (x; y ) + '0y (x; y ) = 0 '(x; y ) = 0:

Íàéäåííûå òàêèì îáðàçîì òî÷êè, åñòåñòâåííî, ïîäëåæàò äîïîëíèòåëüíîìó èññëåäîâàíèþ. 124

Íàéòè íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè u = ÷òî x + y + z = a, (a > 0). Ïðèìåð 1.

p3 xyz ïðè óñëîâèè, p

Èòàê, íåîáõîäèìî íàéòè óñëîâíûé ìàêñèìóì ôóíêöèè u = 3 xyz, åñëè óðàâíåíèå ñâÿçè x + y + z a = 0. Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ p

Ðåøåíèå.

F = 3 xyz + (x + y + z a) : Íàéäåì åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî x, y è z è ïðèðàâíÿåì èõ ê íóëþ, à òàêæå äîáàâèì ê íèì óðàâíåíèå ñâÿçè 8 > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > :

Fx0 =

p3 xyz

+ =0 3x p3 xyz + = 0 Fy0 = 3y

Fz0 =

p3 xyz 3z

òàêîãî ìíîãî÷ëåíà, êîòîðûé ðåàëèçóåò ìèíèìóì âåëè÷èíû

+ =0

x+y+z a

= 0:

Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó è èñêëþ÷àÿ ïàðàìåòð , ïîëó÷èì x = y = z = a=3. Ñëåp äîâàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ u = 3 xyz èìååò óñëîâíûé ýêñòðåìóì â òî÷êå (a=3; a=3; a=3). Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòîò ýêñòðåìóì ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìóìîì è ïðè ýòîì umax = a=3. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë xp, y , z ñâÿçàííûõ ñîîòíîøåíèåì x + y + z = a, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 3 xyz < a=3, íî a = x + y + z , ñëåäîâàòåëüíî, èìååì

p3 xyz 6 x + y + z : 3

Îáîáùàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íà ëþáîå ÷èñëî ïåðåìåííûõ, ìîæåì ñäåëàòü ïîëåçíûé âûâîä: ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå íåñêîëüêèõ ÷èñåë íå ïðåâîñõîäèò èõ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî. Ÿ 11

êîòîðîãî â n äàííûõ òî÷êàõ xi , i = 1; 2; : : : ; n (óçëàõ èíòåðïîëèðîâàíèÿ) ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè y = f (x) â ýòèõ òî÷êàõ. Îäíàêî, â ðÿäå çàäà÷ òàêîå ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè y = f (x) íå ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì è îáîñíîâàííûì, íàïðèìåð, êîãäà çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â óçëàõ îïðåäåëåíû ñ ïîãðåøíîñòÿìè.  ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ïðèáåãíóòü ê òàêîìó ñïîñîáó ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ìíîãî÷ëåíà, ïðè êîòîðîì îøèáêè ýêñïåðèìåíòà íå îêàçûâàëè áû ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà ðåçóëüòàò. Òàêèì ñïîñîáîì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëåíà, ïðèáëèæàþùåãî ôóíêöèþ y = f (x) â ñìûñëå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ. Òàêîé ìåòîä íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ïîñòàâèì çàäà÷ó îá îòûñêàíèè ñðåäè ìíîy ãî÷ëåíîâ m-îé ñòåïåíè y = Pm (x) Pm (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + : : : + am xm

Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ

Äîïóñòèì, ÷òî ýêñïåðèìåíòàòîð ñíèìàåò ïîêàçàíèÿ íåêîòîðîãî ïðèáîðà â îïðåäåëåííûå ìîìåíòû âðåìåíè èëè äåëàåò äðóãèå êàêèå-òî èçìåðåíèÿ, ò.å. â äàííûõ òî÷êàõ x1 ; x2 ; : : : ; xn ïîëó÷àåò ñîîòâåòñòâóþùèé íàáîð çíà÷åíèé ôóíêöèè yi = f (xi ), i = 1; 2; : : : ; n. Âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü íàõîæäåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) èëè ìíîãî÷ëåíà y = Pm (x), äîñòàòî÷íî òî÷íî ïðåäñòàâëÿþùåãî èñêîìóþ ôóíêöèþ y = f (x) íà äàííîì îòðåçêå [a; b] (ìû ñ÷èòàåì, ÷òî xi 2 [a; b], i = 1; 2; : : : ; n). Èíòåðïîëèðîâàíèå ôóíêöèè ñîñòîèò â çàìåíå äàííîé ôóíêöèè y = f (x) íà îòðåçêå [a; b] àëãåáðàè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì Pm (x) ñòåïåíè m, çíà÷åíèÿ 125

y = f (x) O

a

b

x

Æn =

Ðèñ. 12.

v u n u1 X t (P (xi )

n i=1

f (xi ))2 ;

íàçûâàåìîé ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì ìíîãî÷ëåíà Pm (x) îò ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a; b]. Åñëè âûðàæåíèå Æn ìàëî, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñðåäíåì íà ïîäàâëÿþùåé ÷àñòè îòðåçêà [a; b] ôóíêöèÿ Pm (x) áëèçêà ê f (x), õîòÿ â îòäåëüíûõ òî÷êàõ [a; b] èëè íà ïðîòÿæåíèè î÷åíü ìàëîé ÷àñòè ýòîãî îòðåçêà ðàçíîñòü f (x) Pm (x) ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé (ðèñ.12). Âûðàæåíèå äëÿ Æn áóäåò èìåòü ìèíèìóì, åñëè áóäåò èìåòü ìèíèìóì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå

S=

n X i=1

(P (xi ) f (xi ))2 =

n X i=1

(a0 + a1 xi + : : : + am xm i

yi )2 :

Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè ñóììû êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé çíà÷åíèé ìíîãî÷ëåíà Pm (x) îò çíà÷åíèé f (x) â óçëàõ xi . Îòñþäà è íàçâàíèå ìåòîäà  ¾ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ¿. Âåëè÷èíó S áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ S = S (a0 ; a1 ; : : : ; am ) êîýôôèöèåíòîâ ak , k = 0; 1; : : : ; m ìíîãî÷ëåíà Pm (x). Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèè S = S (a0 ; a1 ; : : : ; am ) ñîñòîèò â ðàâåíñòâå íóëþ âñåõ å¼ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ n @S = 2 X (a0 + a1 xi + : : : + am xm yi )
xki = 0 ; i @ak i=1

126

k = 0; 1; 2; : : : ; m : (1)

Óðàâíåíèÿ (1) îáðàçóþò îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ ak ñèñòåìó (m + 1) ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ, êàê ìîæíî äîêàçàòü, âñåãäà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ S = S (a0 ; a1 ; : : : ; am ) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé ñâîèõ àðãóìåíòîâ, òî ôàêò íàëè÷èÿ ýêñòðåìóìà ó ýòîé ôóíêöèè íå âûçûâàåò ñîìíåíèé, à ïîñêîëüêó î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ S = S (a0 ; a1 ; : : : ; am ) ìàêñèìóìà â ïðèíöèïå èìåòü íå ìîæåò, òî óïîìÿíóòûé ýêñòðåìóì ÿâëÿåòñÿ ìèíèìóìîì. Èòàê, îïðåäåëèâ èç ñèñòåìû (1) çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ak , k = 0; 1; : : : ; m, ìû ðåøèì çàäà÷ó îá îòûñêàíèè ìíîãî÷ëåíà Pm (x), íàèìåíåå óêëîíÿþùåãîñÿ â ñìûñëå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îò ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a; b]. Ïðèìåð.

Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) çàäàíà òàáëèöåé

xi yi = f (xi )

y

0; 5 0; 31

1; 0 0; 82

1; 5 1; 29

2; 0 1; 85

2; 5 2; 51

3; 0 3; 02

Òðåáóåòñÿ àïïðîêñèìèðîâàòü ýòó ôóíêöèþ ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ëèíåéíûì ìíîãî÷ëåíîì

P1 (x) = a0 + a1 x : Ðåøåíèå.

Ñîñòàâèì äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ ñèñòåìó (1),

ñîêðàùåííóþ íà 2 O

x Ðèñ. 13.

(a0 + 0; 5a1 0; 31) + (a0 + a1 0; 82) + (a0 + 1; 5a1 1; 29)+ +(a0 + 2a1 1; 85) + (a0 + 2; 5a1 2; 51) + (a0 + 3a1 3; 02) = 0 ; (a0 + 0; 5a1 0; 31)
0; 5 + (a0 + a1 0; 82) + (a0 + 1; 5a1 1; 29)
1; 5+ +(a0 + 2a1 1; 85)
2 + (a0 + 2; 5a1 2; 51)
2; 5 + (a0 + 3a1 3; 02)
3 = 0 ;

èëè ïîñëå óïðîùåíèé 

6
a0 + 10; 5
a1 = 9; 8 10; 5
a0 + 22; 75
a1 = 21; 945 : Èç ýòîé ñèñòåìû íàõîäèì a0 = 0; 285, a1 = 1; 096. Èñêîìûé ìíîãî÷ëåí P1 (x) = 1; 096x 0; 285 :

Ëèòåðàòóðà [1]

Áóãðîâ ß.Ñ., Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Äðîôà. 2007ã.

[2]

Ñìèðíîâ Â.È. Êóðñ

[3]

âûñøåé ìàòåìàòèêè. ò. 1,2. Ôèçìàòãèç. 2006ã. Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ò. 1,2. Ëàíü.

2008ã.

[4]

Àðõèïîâ Ã.È., Ñàäîâíè÷èé Â.À., ×óáàðèêîâ Â.Í. ìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ôèçìàòãèç. 2005ã.

[5]

Çîðè÷ Â.À. Ìàòåìàòè÷åñêèé

Ëåêöèè ïî ìàòå-

[6]

àíàëèç. ò. 1,2. -Ì. ÌÖÍÌÎ. 2007ã. Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Êðàòêèé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ò. 1,2.

[7]

Ôàéíøìèäò Â.Ë.

[8] [9]

Ôèçìàòãèç. 2005ã.

Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèé îäíîãî àðãóìåíòà. ÁX ÑÏá. 2006ã. Ôàéíøìèäò Â.Ë. Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèé íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ. ÁX ÑÏá. 2007ã. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ âòóçîâ. ïîä ðåä. Åôèìîâà À.Â. ò. 1,2,3,4. 2004-2007ãã.

[10]

Êóçíåöîâ Ë.À. Ñáîðíèê ðàñ÷åòû. Ëàíü. 2008ã.

çàäàíèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Òèïîâûå

[11]

Äåìèäîâè÷ Á.Ï.. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ âòóçîâ. 2001ã.

Íà ðèñ 13. èçîáðàæåíû øåñòü äàííûõ òî÷åê è ãðàôèê ïîëó÷åííîãî ìíîãî÷ëåíà. 127

Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà. ò. 1,2,3. -Ì.

128

 2007 ãîäó ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ ñòàë ïîáåäèòåëåì êîíêóðñà èííîâàöèîííûõ îáðàçîâàòåëüíûõ ïðîãðàìì âóçîâ Ðîññèè íà 2007-2008 ãîäû. Ðåàëèçàöèÿ èííîâàöèîííîé îáðàçîâàòåëüíîé ïðîãðàììû ¾Èííîâàöèîííàÿ ñèñòåìà ïîäãîòîâêè ñïåöèàëèñòîâ íîâîãî ïîêîëåíèÿ â îáëàñòè èíôîðìàöèîííûõ è îïòè÷åñêèõ òåõíîëîãèé¿ ïîçâîëèò âûéòè íà êà÷åñòâåííî íîâûé óðîâåíü ïîäãîòîâêè âûïóñêíèêîâ è óäîâëåòâîðèòü âîçðàñòàþùèé ñïðîñ íà ñïåöèàëèñòîâ â èíôîðìàöèîííîé, îïòè÷åñêîé è äðóãèõ âûñîêîòåõíîëîãè÷íûõ îòðàñëÿõ ýêîíîìèêè.

ÊÀÔÅÄÐÀ ÂÛÑØÅÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Êàôåäðà âûñøåé ìàòåìàòèêè - êðóïíåéøàÿ â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè. Ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ íà íåé ðàáîòàëè òàêèå âûäàþùèåñÿ ó÷åíûå, êàê È.Ï.Íàòàíñîí, Â.À.Òàðòàêîâñêèé, Â.Í.Ïîïîâ, È.À.Ìîëîòêîâ, À.Ã.Àëåíèöûí, Â.Â.Æóê è äðóãèå. Íàó÷íûå èíòåðåñû ñîòðóäíèêîâ ïîêðûâàþò ïðàêòè÷åñêè âñå ðàçäåëû ìàòåìàòèêè. Íà êàôåäðå ñëîæèëàñü ìîùíàÿ íàó÷íàÿ øêîëà ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ ñëîæíûõ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì.  ïîñëåäíåå âðåìÿ àêòèâíî ðàçâèâàåòñÿ íàïðàâëåíèå, ñâÿçàííîå ñ íàíîôèçèêîé è íàíîòåõíîëîãèÿìè, êâàíòîâûì êîìïüþòåðîì è êâàíòîâûìè êîììóíèêàöèÿìè. Ñîòðóäíèêè êàôåäðû àêòèâíî ó÷àñòâóþò â ìåæäóíàðîäíûõ íàó÷íûõ êîíôåðåíöèÿõ, ðàáîòàþò â ðàìêàõ Ðîññèéñêèõ è ìåæäóíàðîäíûõ íàó÷íûõ ïðîåêòîâ. Ñëîæèëîñü òåñíîå íàó÷íîå ñîòðóäíè÷åñòâî ñ Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèì ãîñóäàðñòâåííûì óíèâåðñèòåòîì, Ïåòåðáóðãñêèì îòäåëåíèåì Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èìåíè Â.À.Ñòåêëîâà ÐÀÍ, ëàáîðàòîðèåé ôèçèêîõèìèè íàíîñèñòåì Èíñòèòóòà õèìèè ñèëèêàòîâ ÐÀÍ è äðóãèìè íàó÷íûìè öåíòðàìè êàê â Ðîññèè, òàê è çà ðóáåæîì: óíèâåðñèòåòàìè Ìàðñåëÿ è Òóëîíà (Ôðàíöèÿ), Þâÿñêèëÿ (Ôèíëÿíäèÿ), Ãóìáîëüäòîâñêèì óíèâåðñèòåòîì Áåðëèíà (Ãåðìàíèÿ).

Èâàí Àëåêñàíäðîâè÷ Ëàïèí Ëàðèñà Ñåìåíîâíà Ðàòàôüåâà Âàëåíòèí Ìèõàéëîâè÷ Ôðîëîâ

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I

Ó÷åáíîå ïîñîáèå Ïîä îáùåé ðåäàêöèåé Ëàðèñû Ñåìåíîâíû Ðàòàôüåâîé

 àâòîðñêîé ðåäàêöèè

Êîìïüþòåðíûé íàáîð è âåðñòêà Äèçàéí îáëîæêè Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ

Çàâ. ÐÈÎ Ëèöåíçèÿ ÈÄ  Ïîäïèñàíî ê ïå÷àòè Òèðàæ

À.Ï. Òàí÷åíêî À.Ï. Òàí÷åíêî Í.Ô. Ãóñàðîâà Çàêàç  Îòï. íà ðèçîãðàôå

Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè 197101, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ïð. Êðîíâåðêñêèé, ä.49