Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения

Современные ЛЕКЦИОННЫЕ КУРСЫ А.А. Болибрух

Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения

мцнмо Москва 2000

УДК

Б79

517.927.7,514.762.5 Б79

Болибрух А. А. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения.—М: МЦНМО, 2000.— 120 с. ISBN 5-900916-69-3 В лекциях начала аналитической теории дифференциальных уравнений излагаются с точки зрения расслоений с мероморфными связностями на римановой сфере. Этот подход позволяет добиться значительного прогресса в решении таких знаменитых старых задач, как проблема Римана—Гильберта и задача о Биркгофовой стандартной форме, исследованию которых и посвящена книга. Лекции, начинающиеся с основ теории и требующие от читателя знакомства лишь со стандартными курсами обыкновенных дифференциальных уравнений и комплексного анализа, выводят его на передний край этой бурно развивающейся в последнее время области математики, имеющей важные приложения к задачам математической физики. УДК 517.927.7, 514.762.5

ISBN 5-900916-69-3

© МЦНМО, 2000

Введение Настоящее издание является обработкой семестрового спецкурса с тем же названием, который читался мною в разные годы в Московском физико-техническом институте, в университетах городов Ниццы и Страсбурга, а также в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова. Чтение этого спецкурса преследовало следующие цели: — познакомить студентов физиков и аналитиков с понятиями расслоения и связности и показать, как эти понятия эффективно используются в аналитической теории дифференциальных уравнений; — рассказать о некоторых старых задачах аналитической теории дифференциальных уравнений (проблема Римана—Гильберта, задача о Биркгофовой стандартной форме), продвижение в исследовании которых в самое последнее время было связано с применением простейших алгебро-геометрических методов; — подготовить слушателей к спецкурсу об изомонодромных деформациях, который обычно читался в следующем после чтения настоящего спецкурса семестре. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений была, в основном, создана трудами математиков 19-го столетия, и к концу первой четверти 20-го века основные задачи этой теории, такие как проблема Римана—Гильберта или задача о Биркгофовой стандартной форме, считались решенными положительно. В каком-то смысле эта математическая дисциплина оказалась на некоторое время на периферии развития математики. Однако после открытия в начале 1970-х годов метода изомонодромных деформаций аналитическая теория дифференциальных уравнений получила новый мощный импульс к своему развитию. Оказалось, что многие знаменитые нелинейные уравнения математической физики могут быть проинтерпретированы как уравнения изомонодромных деформаций систем линейных дифференциальных уравнений. При этом важную информацию о поведении решений этих уравнений можно получить, исследуя соответствующие изомонодромные деформации линейных систем и, в частности, фуксовых систем дифференциальI--7.S73

4

ВВЕДЕНИЕ

ных уравнений. Но, чтобы построить изомонодромное семейство, надо вначале решить обратную задачу теории монодромии, задачу Римана— Гильберта. Так эта проблема вновь оказалась в центре внимания многих математиков. В начале 1980-х годов выяснилось, что в доказательстве положительной разрешимости этой проблемы имеются пробелы и она нуждается в дальнейшем исследовании. Изучению этой задачи и посвящен, в основном, настоящий спецкурс. С точки зрения алгебраической геометрии, система линейных дифференциальных уравнений — это связность в тривиальном расслоении (при выбранной тривиализации расслоения). Такой подход позволяет применить к исследованию проблемы Римана—Гильберта некоторые простейшие алгебро-геометрические методы, которые оказываются чрезвычайно эффективными. Например, исходную задачу о построении системы фуксовых дифференциальных уравнений с заданной монодромией и особыми точками (в чем и состоит проблема Римана— Гильберта) удается разбить на две независимые части: построение на расширенной комплексной плоскости расслоения с логарифмической связностью, имеющей заданную монодромию, и исследование вопроса о голоморфной тривиальности построенного расслоения. Именно на этом пути удалось найти контрпример к этой проблеме и сформулировать достаточные условия ее положительной разрешимости. Конечно, расширенная комплексная плоскость (сфера Римана) не самый сложный с точки зрения алгебраической геометрии объект, и все результаты по проблеме Римана—Гильберта (как и соответствующие доказательства) могут быть изложены в рамках методов комплексного анализа и аналитической теории дифференциальных уравнений, без использования понятий расслоения, связности и т. д., но при этом теряется понимание сути происходящего и становятся неясными мотивировки вводимых определений и методов доказательств. С другой стороны, попытки исключить уравнения из рассмотрения и говорить лишь о связностях и локальных системах приводят к потере связи с приложениями. Поэтому я старался при чтении спецкурса постоянно подчеркивать эту связь и часто давал формулировки соответствующих результатов одновременно в терминах связностей и систем уравнений. В первых трех лекциях спецкурса вводятся понятия голоморфного расслоения (главного и векторного) и связности. Эти лекции (как и спецкурс в целом) не претендуют на систематическое введение в теорию векторных расслоений. Мы ограничиваемся здесь лишь основными понятиями и необходимыми для дальнейшего примерами.

ВВЕДЕНИЕ

5

Следующие три лекции посвящены локальной теории систем дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками. Здесь представлена, в частности, теория нормирований Левеля, которая отсутствует в стандартной учебной литературе по аналитической теории дифференциальных уравнений. Системы с регулярными особыми точками на всей расширенной комплексной плоскости рассматриваются в седьмой лекции, а в восьмой рассказывается о постановке проблемы Римана—Гильберта и о методе исследования этой проблемы. В девятой лекции приводится элементарное (использующее лишь простейшие факты из одномерного комплексного анализа) доказательство теоремы Биркгофа—Гротендика о том, что всякое голоморфное векторное расслоение на расширенной комплексной плоскости эквивалентно сумме одномерных расслоений. Основные результаты по проблеме Римана—Гильберта представлены в лекциях 10 и 11, первая часть двенадцатой лекции посвящена задаче о Биркгофовой стандартной форме, а во второй ее части приводится список известных результатов, формулируются некоторые нерешенные задачи, а также указывается список литературы «для дальнейшего чтения». Подготовка и издание этого спецкурса были бы невозможны без поддержки и участия кафедры высшей математики МФТИ, кафедры дифференциальных уравнений МГУ, моих коллег из отделений математики университетов Ниццы и Страсбурга, которым я благодарен за поддержку и помощь. Я также благодарен сотрудникам Московского центра непрерывного математического образования за организацию публикации спецкурса.

ЛЕКЦИЯ 1

Понятие главного расслоения. Примеры Понятие расслоения находится примерно в таком же отношении к понятию прямого произведения, как понятие многообразия к евклидову пространству: и многообразие, и расслоение конструируются из отдельных кирпичиков, в первом случае — из шаров евклидова пространства, во втором — из декартовых произведений окрестностей точек многообразия на стандартный слой. Прежде чем дать инвариантное (бескоординатное) определение расслоения, напомним некоторые необходимые для дальнейшего определения. Определение I. Группой Ли G называется многообразие G, являющееся группой и такое, что групповые операции l)GxG—>G ((g,h) g g ) являются непрерывными (гладкими, аналитическими и т. д.) отображениями многообразий. Пример 1. Примерами групп Ли являются: 1) группа R (группа действительных чисел) по сложению; 1 2) окружность S , рассматриваемая как множество комплексных чисел, модуль которых равен единице; групповая операция в этом случ а е — умножение комплексных чисел; 3) группа Z2 = {+1, - 1 } по умножению (пример дискретной группы Ли); 4) общая линейная группа надполем R ( C ) — GL(p,R) {GL(p,C)) — группа невырожденных действительных (комплексных) матриц размера (р х р) по умножению.

Определение 2. Непрерывным {гладким, аналитическим и т.д.) действием группы Ли G на многообразии X справа называется непрерывное (гладкое, аналитическое и т. д.) отображение

XxG-^X ((x,g)^xg) такое, что

l)VxeXVg,h£G

2)VxeX: xe = x.

ПОНЯТИЕ ГЛАВНОГО РАССЛОЕНИЯ

Аналогичным образом определяется левое действие G на X. Пример 2. Примерами действия групп являются следующие: 1) группа G действует справа на многообразии X х G по правилу (,g) { g ) 2) группа Z2 из п. 3) примера 1 действует на многоообразии S 1 из п. 2) примера 1 (обычным умножением комплексных чисел); 3) группа GL(p,R) (GL(p,C)) действует слева на евклидовом пространстве Rp ( С ) (умножением матрицы на вектор). Теперь мы имеем все необходимое для того, чтобы дать определение главного расслоения.

Определение 3. Главным расслоением Р со структурной

груп-

пой G называется четверка P — (PE,B,TZ,G), где: 1) РЕ, В — многообразия, G — группа Ли, действующая справа на РЕ, К : РЕ — • В — сюръективное отображение; 2) для любого х е В существует окрестность U с В точки х и гомеоморфизм }и- K~\U) —> U х G такие, что диаграмма /и

UxG (1.1)

U коммутативна (см. рис. 1) и (эквивариантность

для любых х е n~l(U),

g€G.

Рис. 1

8

ЛЕКЦИЯ 1

Пространство РЕ называется тотальным пространством l слоения, В — базой расслоения, к — проекцией, тс~ (x)= G—

расслоем

расслоения. Свойство 2 означает, что расслоение Р локально тривиально (устроено как «простое» прямое произведение над U). Если все многообразия и отображения, участвующие в определении расслоения, непрерывны (гладкие, аналитические и т.д.), то говорят о

топологическом (гладком, аналитическом и т.д.) расслоении Р.

Простейшим примером главного расслоения является прямое произведение. Пример 3. Рассмотрим P=(BxG,B,pr,G), где действие G на BxG определяется как в п. 1 примера 2, а через рг обозначена проекция на первый сомножитель. Очевидно, что все условия определения 3 выполнены. Приведем пример «нетривиального» главного расслоения. Пример 4. Следующее расслоение: /> = (S l ,S 1 ,it, Z2). где п(2) = г 2 , а группа Z2 действует на S' так же, как в п. 2 примера 2, является «нетривиальным» (пространство расслоения S 1 не гомеоморфно прямому произведению 5 l х Z2, так как последнее пространство несвязно). Следующее расслоение хорошо известно в топологии. Оно называется расслоением Хопфа. 3

2

3

Пример 5. Рассмотрим расслоение P = (S , S ,7i,S'), где сфера 5 реализована как подмножество точек (21,22) пространства С 2 , удовлетворяющих условию |zi| 2 + I22I2 = 1, сфера S* = С — как множество 2 комплексных прямых пространства С , проходящих через начало координат (в этом случае каждой точке сферы ставится в соответствие число z\ : Z2, где, в свою очередь, (z\,z?)— направляющий вектор прямой)„а отображение к задано соотношением n(z\,Z2) = z\ : Z