Подрешетки решеток выпуклых подмножеств векторных пространств

Алгебра и логика, 43, N 3 (2004), 261—290

УДК 512.56

ПОДРЕШЕТКИ РЕШЕТОК ВЫПУКЛЫХ ПОДМНОЖЕСТВ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ∗)

Ф. ВЕРУНГ, М. В. СЕМЁНОВА Введение Вопрос о возможности вложить решетки из одного класса, в решетки из другого класса (или вопрос об описании подрешеток решеток, лежащих в заданном классе) имеет долгую историю. В этом направлении было получено много замечательных результатов. Среди первых, ставших к настоящему времени классическими, следует отметить результат из [1] о том, что любую решетку можно вложить в решетку разбиений некоторого множества. Вопрос о возможности вложить любую конечную решетку в решетку разбиений конечного множества долго оставался без ответа и был решен положительно в [2]. В [3] исследовался вопрос о вложении решеток в так называемые выпуклые геометрии, т. е. решетки замкнутых подмножеств пространств замыкания, обладающих свойством антизамены. Хорошо известно, что любая конечная выпуклая геометрия полудистрибутивна вверх, т. е. удовлетворяет квазитождеству ∗)

Работа

выполнена

при

финансовой

поддержке

фондов

GA CR,

проект

201/00/0766, и MSM, проект J13/98:1132000007a. Второй автор был также поддержан фондом ИНТАС, проект YSF:2001/1-65, РФФИ–DFG, проект 01-01-04003, Минобразованием РФ, проект Е02-1.0-32, Советом по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-2112.2003.1, а также Фондом поддержки отечественной науки.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

262

Ф. Верунг, М. В. Семёнова ∀xyz x ∨ y = x ∨ z → x ∨ y = x ∨ (y ∧ z).

Более того, в [3, теор. 1.11] показано, что любая конечная полудистрибутивная вверх решетка вложима в некоторую конечную выпуклую геометрию. В упомянутой работе среди прочего изучался один конкретный класс выпуклых геометрий, а именно, решетки алгебраических подмножеств полных решеток, и было доказано, что любая конечная полудистрибутивная вверх решетка вложима в решетку алгебраических подмножеств некоторой алгебраической и коалгебраической полной решетки A. В общем случае A может оказаться бесконечной. В связи с этим результатом в [3] была сформулирована следующая ПРОБЛЕМА. Существует ли класс U конечных выпуклых геометрий конкретного типа, содержащий все конечные полудистрибутивные вверх решетки в качестве подрешеток? Другими словами, существует ли класс U выпуклых геометрий конкретного типа такой, что любая полудистрибутивная вверх решетка вложима в некоторую решетку из U? Ответ на этот вопрос для класса решеток подполурешеток конечных полурешеток следует из результата, полученного независимо в [4] и [5], который утверждает, что конечная решетка вложима в решетку подполурешеток некоторой конечной (полу)решетки тогда и только тогда, когда она ограничена снизу. Другой результат того же характера получен в [6] (см. также [7]): конечная решетка вложима в решетку подпорядков некоторого конечного частично упорядоченного множества тогда и только тогда, когда она ограничена снизу. Заметим, что класс конечных ограниченных снизу решеток является собственным подклассом в классе конечных полудистрибутивных вверх решеток (см. [8]). Точное определение ограниченной снизу решетки дается в § 1. В качестве возможных вариантов ответа на поставленную проблему в [3] были предложены следующие классы: (1) класс конечных точечных полудистрибутивных вверх биатомных решеток;

Подрешетки решеток выпуклых подмножеств векторных пространств 263 (2) класс конечных решеток вида Co(P ), где Co(P ) обозначает решетку выпуклых подмножеств частично упорядоченного множества P ; (3) класс решеток вида Co(Rn , Ω) = {X ∩ Ω | X выпукло в Rn }, где n < ω, а множество Ω ⊆ Rn конечно. Класс (1) оказывается слишком узким, чтобы выступать в роли U (см. [9]), класс (2) еще более узок. В [10] дано описание подрешеток конечных решеток вида Co(P ). Это в точности все конечные решетки, удовлетворяющие трем тождествам, обозначаемым в [10] через (S), (U), (B). Вопрос о том, можно ли выбрать класс (3) в качестве такого универсального класса U для класса конечных полудистрибутивных вверх решеток, остается открытым (см. вопрос 1). В данной работе показывается, что любая решетка вложима в решетку выпуклых подмножеств некоторого векторного пространства (см. теор. 9.1). Кроме того, частично подтверждается гипотеза об ”универсальности“ класса (3), а именно, устанавливается, что любая конечная ограниченная снизу решетка вложима в решетку Co(Rn , Ω) для некоторых n < ω и конечного множества Ω ⊆ Rn . Доказательство обоих основных результатов работы использует одну и ту же конструкцию, которая описана в §§ 2—8. Все рассматриваемые векторные пространства будут строиться с использованием так называемых раскрашенных деревьев (см. опр. 2.1). Вершинами деревьев являются конечные последовательности неразложимых элементов исходной решетки. Отметим, что эта конструкция имеет много общего с конструкцией [4], где из конечных последовательностей неразложимых элементов исходной конечной ограниченной снизу решетки построена конечная нижняя полурешетка (см. также [3, § 2.1]). Элементы дерева T нумеруют базис свободного векторного пространства F(T ) от |T | порождающих. Используя правило преобразования −→∗ , применяемое к векторам, лежащим в по(T )

ложительном конусе F+ пространства F(T ) , получаем новые отношения, связывающие векторы исходного базиса (см. § 2). Это правило преобразования обладает свойством конфлюэнтности (лемма 4.2), что позволяет определить отношение эквивалентности, полагая два вектора эквивалент-

264

Ф. Верунг, М. В. Семёнова

ными, если их можно привести к одному и тому же вектору посредством правила преобразования (см. обознач. 4.3 и предлож. 4.4). Полученное отношение эквивалентности определяет векторное подпространство NT пространства F(T ) ; все построения будут проводиться в фактор-пространстве VT = F(T ) /NT (см. § 6). Технические результаты настоящей работы можно разделить на две группы. К первой группе относятся общие результаты, полученные для векторного пространства F(T ) , построенного по произвольному дереву T . В частности, это позволяет выразить равенство двух векторов из F(T ) по модулю NT через правило преобразования (см. предлож. 4.4 и теор. 6.2). Эти результаты не относятся к теории решеток и имеют комбинаторный характер. Вторую группу составляют результаты, касающиеся теории решеток. Они связаны с построением раскрашенного дерева T по исходной решетке L, которое позволяет вложить L в Co(VT ). Основным результатом здесь является теорема 8.2, ее доказательство использует понятие L-нормы, определенной на дереве T . В § 10 устанавливаются отношения между вложением в Co(V ) и в Co(V, Ω), в § 11 приводятся открытые вопросы. Заметим, что ранее А. Хун изучал класс решеток выпуклых подмножеств векторных пространств, например, в [11], где показано, что для (n − 1)-мерного векторного пространства V решетка Co(V ) принадлежит многообразию, порожденному всеми конечными n-дистрибутивными решетками, поэтому сама является n-дистрибутивной, хотя и не является (n − 1)-дистрибутивной (см. также [12]). Описание главных идеалов решеток выпуклых подмножеств конечномерных пространств дано в [13].

§ 1. Основные понятия Напомним некоторые основные понятия, изложенные в [8]. Для произвольной (верхней) полурешетки L полагаем L− = L \ {0}, когда L имеет наименьший элемент 0, и L− = L в противном случае. Для подмножеств

Подрешетки решеток выпуклых подмножеств векторных пространств 265 X и Y полурешетки L пишем X ≪ Y , если каждый элемент из X меньше либо равен некоторому элементу из Y . Если a ∈ L− , то нетривиальным покрытием элемента a называется конечное множество X ⊆ L− такое, что a ≤ ∨X и a  x для всех x ∈ X. Нетривиальное покрытие X элемента a минимально, если для любого нетривиального покрытия Y для a условие Y ≪ X влечет X ⊆ Y . Пусть J(L) обозначает множество всех неразложимых элементов полурешетки L. Если a, b ∈ J(L), то пишем aDb, если b принадлежит некоторому минимальному покрытию элемента a. Последовательность a0 , . . . , an−1 элементов из J(L) называется D-циклом, если a0 D . . . . . . Dan−1 Da0 . Гомоморфизм h : K → L ограничен снизу, если для любого a ∈ L множество {x ∈ K | h(x) ≥ a} либо пусто, либо содержит наименьший элемент. Конечно порожденная решетка L называется ограниченной снизу, если она является ограниченным снизу гомоморфным образом некоторой конечно порожденной свободной решетки. Для конечной решетки L это равносильно отсутствию D-циклов в L. Для частично упорядоченных множеств K и L говорим, что отображение f : K → L сохраняет нуль, если f (0K ) является наименьшим элементом L в случае, когда K содержит наименьший элемент 0K . Говорим, что f сохраняет существующие пересечения, если для любого X ⊆ K, имеющего точную нижнюю грань, множество f [X] также имеет точную нижнюю грань и ∧f [X] = f (∧X). Если F – линейно упорядоченное тело, а n > 0, множество ) ( X + n ξi = 1 ∆n (F) = (ξi )i n1 > . . . > nk−1 , то X

ω ni = ω n0 ∔ . . . ∔ ω nk−1 .

i 1 и утверждение верно для n − 1. Пусть (T )

p˙ + x−→n p˙ + y, где p ∈ T и x, y ∈ F+ . Покажем, что x−→n y. Существует (T )

z ∈ F+

такой, что p˙ + x −→n−1 z−→1 p˙ + y. Тогда z = z(p)p˙ + z ′ для (T )

некоторого z ′ ∈ F+ с условием z ′ (p) = 0. Согласно предположению индукции получаем x −→n−1 (z(p) − 1)p˙ + +z ′ −→1 y, если z(p) > 1, и (1 − z(p))p˙ + x −→n−1 z ′ −→1 (1 − z(p))p˙ + y, если z(p) < 1. В первом случае x−→n y, что и требовалось. Поэтому можем предполагать, что p+x ˙ −→n−1 z−→1 p+y, ˙ где z(p) = 0. Поскольку z−→1 p+ ˙ +y и z(p) = 0, то z −→ p˙ + y для некоторого I ∈ MT (p). Из p˙ + x −→n−1 z следует

(p,I)

p˙ + x = z0 −→ z1 −→ . . . (p1 ,I1 )

(p2 ,I2 )

−→

(pn−1 ,In−1 )

zn−1 = z,

где (p1 , I1 ), . . . , (pn−1 , In−1 ) ∈ MT . Поскольку z0 (p) > 1 > 0 и zn−1 (p) = 0, существует наибольшее k ∈ {1, . . . , n − 1} такое, что zk (p) > 0; более того, k < n − 1. Из соотношений zk

−→

(pk+1 ,Ik+1 )

zk+1 и zk+1 (p) = 0 получаем

Подрешетки решеток выпуклых подмножеств векторных пространств 271 pk+1 = p∗ . В частности, ht(pk+1 ) < ht(p). Пусть l — наибольший элемент множества {1, . . . , n−1} с условием, что ht(pl ) минимально; очевидно, ht(pl ) < ht(p). Применяя лемму 3.3 к соотношениям zl−1 −→ zl (pl ,Il )

−→

(pl+1 ,Il+1 )

...

−→

(pn−1 ,In−1 )

zn−1 = z −→ p˙ + y, (p,I)

(и замечая, что pl ∈ / Il+1 ∪ . . . ∪ In−1 ∪ I), получаем zl−1

−→

(pl+1 ,Il+1 )

zl′

−→

(pl+2 ,Il+2 )

′ . . . −→ zn−1 −→ p˙ + y (p,I)

(pl ,Il )

(T )

′ ′ . Условия ∈ F+ . Тогда p˙ + x −→n−1 zn−1 для некоторых zl′ , . . . , zn−1 ′ ′ ′ zn−1 −→ p˙ + y и ht(pl ) < ht(p) влекут zn−1 (p) > 1, поэтому zn−1 = p˙ + u (pl ,Il )

(T )

для некоторого u ∈ F+ . Таким образом, p˙ + x −→n−1 p˙ + u−→1 p˙ + y, и по индукционному предположению получаем x −→n−1 u−→1 y, т. е. x−→n y. 2

§ 4. Конфлюэнтность отношения −→1 , отношение ≡ (T )

ЛЕММА 4.1. Пусть u, v, x ∈ F+ . Если x−→1 u и x−→1 v, то (T )

u−→1 w и v−→1 w для некоторого w ∈ F+ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию существуют λ, µ ∈ F+ , (p, I), (T )

(q, J) ∈ MT и u′ , v ′ ∈ F+

такие, что при m = |I| и n = |J| имеем ра-

венства u = λp˙ + u′ ,

(4.1)

v = µq˙ + v ′ ,

(4.2)

µX ′ λ X ′ p˙ + u′ = q˙ + v ′ . x= m ′ n ′ p ∈I

(4.3)

q ∈J

Без ограничения общности можем считать, что λ 6 µ. Рассмотрим два возможных случая. С л у ч а й 1: I = J. Поскольку T — дерево, то p = q. Из (4.3) вытекает P ′ u′ = p˙ + v ′ , поэтому µ−λ m

p′ ∈I

u = λp˙ +

µ−λ X ′ p˙ + v ′ и v = µp˙ + v ′ = λp˙ + (µ − λ)p˙ + v ′ , m ′ p ∈I

272

Ф. Верунг, М. В. Семёнова

следовательно, полагая w = v, имеем u−→1 v, что и требовалось. С л у ч а й 2: I 6= J. Поскольку I и J являются классами эквивалент(T )

ности по ∼, имеем I ∩ J = ∅, поэтому и по (4.3) найдется t ∈ F+ такой, что u′ =

µX ′ λ X ′ q˙ + t и v ′ = p˙ + t, n ′ m ′ q ∈J

p ∈I

откуда, применяя (4.1) и (4.2), получаем u = λp˙ +

λ X ′ µX ′ q˙ + t и v = p˙ + µq˙ + t. n ′ m ′ q ∈J

p ∈I

Значит, u−→1 w и v−→1 w, где w = λp˙ + µq˙ + t. 2 Применением простой индукции получается (T )

ЛЕММА 4.2. Пусть u, v, x ∈ F+ , m, n < ω. (i) Если x−→m u и x−→n v, то u−→n w и v−→m w для некоторого (T )

w ∈ F+ . (ii) Если x−→∗ u и x−→∗ v, то u−→∗ w и v−→∗ w для некоторого w ∈ (T )

∈ F+ . (T )

ОБОЗНАЧЕНИЕ 4.3. Для x, y ∈ F+ полагаем x ≡ y, если существу(T )

ет u ∈ F+ со свойством x−→∗ u и y−→∗ u. Из леммы 4.2(ii) немедленно следует ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.4. Отношение ≡ является отношением эк(T )

вивалентности на F+ .

§ 5. Отношения −։n и элемент x♯ Здесь применяется отношение −։n , определенное в § 2. ЛЕММА 5.1. Если x−։∗ y и x 6= y, то ν(x) > ν(y) для всех x, y ∈ (T )

∈ F+ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно рассмотреть случай x−։1 y. Существуют разложения x=

λ X q˙ + u и y = λp˙ + u, |I| q∈I

Подрешетки решеток выпуклых подмножеств векторных пространств 273 (T )

где λ ∈ F++ , (p, I) ∈ MT , u ∈ F+ и u(q0 ) = 0 для некоторого q0 ∈ I. Тогда supp(x) = supp(u) ∪ I и supp(y) = supp(u) ∪ {p}, где q0 ∈ I \ supp(u). Используя определение суммы Хессенберга, получаем ν(y) ≤ ν(u) + ω ht(p) < ν(u) + ω ht(q0 ) (поскольку ht(q0 ) = ht(p) + 1) ≤ ν(x) (поскольку u(q0 ) = 0). 2 (T )

(T )

ЛЕММА 5.2. Для любых x ∈ F+ , (p, I) ∈ MT существует y ∈ F+ такой, что x −։ y. (p,I)

λ P q˙ + u, где λ = |I| · min{x(q) | ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем x = |I| q∈I P λ q. ˙ Если y = λp˙ + u, то x −։ y. 2 q ∈ I} и u = x − |I| (p,I)

q∈I

(T )

ЛЕММА 5.3. Пусть x, y, z ∈ F+ , (p, I) ∈ MT . Если z−։ x и z−→ y, (p,I)

(p,I)

то y −։ x. Более того, y 6= z влечет x 6= z. (p,I) (T )

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существуют λ, µ ∈ F+ и u, v ∈ F+ такие, что выполняются следующие равенства (здесь n = |I|): x = λp˙ + u;

(5.1)

y = µp˙ + v; µX λX q˙ + u = q˙ + v, z= n n

(5.2)

q∈I

(5.3)

q∈I

причем u(q0 ) = 0 для некоторого q0 ∈ I. Из (5.3) вытекает, что µ 6 λ, P откуда v = λ−µ q˙ + u, n q∈I

x = λp˙ + u и y = µp˙ +

λ−µX q˙ + u, n q∈I

где u(q0 ) = 0, т. е. y −։ x. (p,I)

Если y 6= z, то µ > 0 и λ > 0, т. е. x 6= z. 2 (T )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.4. Для любого x ∈ F+ полагаем (T )

Φ(x) = {y ∈ F+ | x−→∗ y}, Φ∗ (x) = {y ∈ Φ(x) | Φ(y) = {y}}.

274

Ф. Верунг, М. В. Семёнова (T )

ЛЕММА 5.5. Для всех x ∈ F+

множество Φ∗ (x) содержит в

точности один элемент. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем u в Φ(x) такой, что ν(u) минимально. Пусть u−→∗ v для некоторого v 6= u. Тогда найдется v 6= u с условием u−→1 v; таким образом, согласно леммам 5.2 и 5.3 существует v 6= u такой, что u−։1 v. По лемме 5.1 имеем ν(v) < ν(u), что противоречит минимальности ν(u). Поэтому u лежит в Φ∗ (x). Единственность следует из леммы 4.2. 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.6. Единственный элемент из Φ∗ (x) назовем нор(T )

мальной формой вектора x ∈ F+ и обозначим его через x♯ . Говорим, что вектор x нормален, если x = x♯ . В силу определения из x−→∗ y вытекает x♯ = y ♯ . Легко доказывается следующая ЛЕММА 5.7. (i) Любой вектор вида λp, ˙ где λ ∈ F+ и p ∈ T , нормален. (T )

(ii) Если вектор x нормален, то любой вектор y ∈ F+ такой, что y ≤ x, нормален. ЗАМЕЧАНИЕ 5.8. Можно показать, что отношение −→∗ в действительности является антисимметричным. Однако здесь этот факт нигде не используется. (T )

ЛЕММА 5.9. Если x−→∗ nx♯ , то x−։n x♯ для всех x ∈ F+ и n < ω. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится индукцией по n. Если n = 0, то (T )

x = x♯ . Пусть n > 0. Тогда существуют y ∈ F+ и (p, I) ∈ MT такие, что (T )

x −→ y−→n−1 x♯ . Согласно лемме 5.2 найдется z ∈ F+ с условием x −։ z. (p,I)

(p,I)

По лемме 5.3 имеем y −։ z, а по лемме 4.2 существует w ∈ (p,I)

(T ) F+

такой,

что x♯ −→1 w и z−→n−1 w. Тогда w = x♯ и z−→n−1 x♯ . Поскольку x♯ = z ♯ и согласно индукционному предположению, получаем x−։1 z−։n−1 x♯ . 2 § 6. Теорема о сокращении Докажем сначала, что имеет место (T )

ЛЕММА 6.1. Пусть x, y ∈ F+ , вектор x нормален, p ∈ T , λ ∈ F+ .

Подрешетки решеток выпуклых подмножеств векторных пространств 275 (T )

1 y и λp+x Если λp+x−։ ˙ ˙ 6= y, то λ > 0, x(p) = 0 и существуют x′ ∈ F+

и ξ ∈ (0, λ] такие, что выполняются следующие условия (здесь I = [p]\{p} и l = |I|): (i) x = ξ

P

q˙ + x′ и y = (λ − ξ)p˙ + (l + 1)ξ p˙∗ + x′ ;

q∈I

(ii) вектор (λ − ξ)p˙ + x′ нормален; (iii) ((λ − ξ)p˙ + x′ )(q) = x(q) для всех q ∈ T с условием ht(p) < ht(q). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если λ = 0, то (поскольку x нормален) y = x, приходим к противоречию; отсюда λ > 0. Пусть x(p) > 0. Тогда существует ε ∈ F++ такой, что ελp˙ ≤ (1 − ε)x, поэтому ε(λp˙ + x) ≤ x. Поскольку x нормален и по лемме 5.7(ii), заключаем, что λp˙ + x нормален, это противоречит условиям λp˙ + x−։1 y и λp˙ + x 6= y. Поэтому x(p) = 0. Положим I = {pi | 0 6 i < l}. Пусть ξ ′ — наименьший элемент множества {x(pi ) | i < l}, а ξ = min{ξ ′ , λ}. Поскольку x нормален, свертка вектора λp˙ + x к вектору y действует в p∗ . Таким образом, существуют следующие разложения: λp˙ + x = (λ − ξ)p˙ + ξ p˙ + ξ

X

p˙i + x′ ,

(6.1)

i 0, поскольку y 6= λp˙ + x.

Вектор (λ − ξ)p˙ + x′ является нормальным. Действительно, в противном случае ξ < λ, и рассуждая как выше, получаем существование P ξ ′′ ∈ F++ , для которого x′ ≥ ξ ′′ p˙i , что противоречило бы условию x′ (pj ) = 0.

i 0. Из леммы 5.9 следует, что p˙ + x−։m u и p˙ + y−։n u. Поэтому существуют последовательности p˙ + x = x0 −։1 x1 −։1 . . . −։1 xm−1 −։1 xm = u,

(6.3)

p˙ + y = y0 −։1 y1 −։1 . . . −։1 yn−1 −։1 yn = u,

(6.4)

(T )

где x0 , . . . , xm , y0 , . . . , yn ∈ F+ . Если два члена одной из этих последовательностей совпадают, то либо p˙ + x−։m−1 u, либо p˙ + y−։n−1 u, и x = y согласно индукционному предположению. Предположим, что каждая из последовательностей (6.3) и (6.4) состоит из различных элементов. Пусть (qi )i