i
Ëåêöèè ïî Ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå
Ïðîôåññîð, ÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ Ñ.Ñ. Ãîí÷àðîâ
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâå...
82 downloads
241 Views
314KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
i
Ëåêöèè ïî Ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå
Ïðîôåññîð, ÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ Ñ.Ñ. Ãîí÷àðîâ
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ, 2006
ii
1. Ââåäåíèå â êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè.  ïðåäñòàâëåííîì ïîñîáèè èçëîæåíû ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, êîòîðûå ÷èòàëèñü â Íîâîñèáèðñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå â 2006/07 ó÷åáíîì ãîäó.  îñíîâó ëåêöèé áûëî ïîëîæåíî èçëîæåíèå îñíîâ òåîðèè ìíîæåñòâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ áàçèñíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ, êëàññè÷åñêîå èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ãèëüáåðòîâñêîå è ñåêâåíöèàëüíîå è ðàçëè÷íûå òèïû åãî ñåìàíòèêè, áàçèñíûå òåîðåòèêî-ìîäåëüíûå êîíñòðóêöèè, èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ ãèëüáåðòîâñêîå è ñåêâåíöèàëüíîå è èõ ïîëíàÿ ñåìàíòèêà íà îñíîâå òåîðåòèêî-ìîäåëüíîãî ïîäõîäà.  ðàìêàõ àêñèîìàòè÷åñêèõ êëàññîâ èçëàãàåòñÿ àêñèîìàòè÷åñêèé ïîäõîä Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ â òåîðèè ìíîæåñòâ è Ïåàíîâñêàÿ àðèôìåòèêà íà îñíîâå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Áàçèðóÿñü íà ïîäõîäàõ ê âû÷èñëèìîñòè ÷åðåç îïðåäåëèìîñòü è êëèíèåâñêóþ òåîðèþ ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé èçëàãàåòñÿ òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå àðèôìåòèêè è òåîðåìà ×åð÷à î íåðàçðåøèìîñòè Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. 1. Êóðñ "Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà"ðåàëèçóåòñÿ ïî íàïðàâëåíèÿì: Ìàòåìàòèêà, Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà â ðàìêàõ ôåäåðàëüíîé è ðåãèîíàëüíîé êîìïîíåíòû è Ìåõàíèêà â ðàìêàõ ðåãèîíàëüíîé êîìïîíåíòû. 2. Öåëè è çàäà÷è êóðñà. Öåëüþ êóðñà ÿâëÿåòñÿ îâëàäåíèå îñíîâíûìè ìåòîäàìè ôîðìàëèçàöèè ïîíÿòèÿ äîêàçàòåëüñòâà, èñòèííîñòè, àëãîðèòìà è ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ ëîãèêè ïåðâîãî ïîðÿäêà è åå ñåìàíòèêè. Çàäà÷àìè êóðñà ÿâëÿþòñÿ 1. Ïîñòðîåíèå ñîâðåìåííîé òåîðèè àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ è ôîðìàëüíîé àðèôìåòèêè Ïåàíî; 2.Îïðåäåëåíèå ôîðìàëüíûõ ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèé äëÿ ëîãèêè âûñêàçûâàíèé è ïðåäèêàòíîé ëîãèêè, 3. Óñòàíîâëåíèå ñâÿçåé ìåæäó äîêàçóåìîñòüþ è èñòèííîñòüþ äëÿ êëàññè÷åñêèõ ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèé, äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèé. 4. Ïîñòðîåíèå òî÷íîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîíÿòèÿ ðàçðåøèìîñòè è àëãîðèòìà, ïîñòðîåíèå òåîðèè âû÷èñëèìûõ è âû÷èñëèìî ïåðå÷èñëèìûõ îòíîøåíèé, àíàëèç
iii ðàçëè÷íûõ ïîäõîäîâ ê ïîíÿòèþ àëãîðèòìà, òåîðåìà î íåïîëíîòå íåïðîòèâîðå÷èâûõ ýôôåêòèâíî àêñèîìàòèçèðóåìûõ ðàñøèðåíèé àðèôìåòèêè Ïåàíî. 3. Òðåáîâàíèÿ ê óðîâíþ îñâîåíèÿ ñîäåðæàíèÿ êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Èìåòü ïðåäñòàâëåíèÿ î âîçìîæíîñòè ïîãðóæåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé â àêñèîìàòè÷åñêóþ òåîðèþ ìíîæåñòâ, ïðîáëåìàõ ïîñòðîåíèÿ ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèé è èõ ñåìàíòèêè, îñíîâíûõ ïðîáëåìàõ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè è îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè, îñíîâíûõ ñâîéñòâàõ ìîäåëåé è îïèñàíèÿõ íà ÿçûêå ïåðâîãî ïîðÿäêà, âûðàçèìîñòè ëîãèêè ïåðâîãî ïîðÿäêà è ìíîãîîñíîâíûõ ëîãèê, ìåòîäàõ äîêàçàòåëüñòâà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè àêñèîìàòè÷åñêèõ òåîðèé è ïðîáëåìàõ ïîëíîòû è íåçàâèñèìîñòè àêñèîì, ðàçëè÷íûõ ðàçðåøèìûõ è íåðàçðåøèìûõ ïðîáëåìàõ è ñïîñîáàõ èõ ñðàâíåíèÿõ. - Çíàòü Êëàññè÷åñêîå èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ ãèëüáåðòîâñêîãî è ñåêâåíöèàëüíîãî òèïà, òåîðåìó îá èõ âçàèìîñâÿçè, îñíîâàííóþ íà òåîðåìå î äåäóêöèè, ñåìàíòèêó Èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé èñòèíîñòíóþ è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííóþ, ñåìàíòèêó èñ÷èñëåíèÿé ïðåäèêàòíûõ íà îñíîâå òåîðèè ìîäåëåé(àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì) è èñòèííîñòè ïî Òàðñêîìó è òåîðåìû ïîëíîòû äëÿ íèõ. Çíàòü îáùåå ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå äîêàçàòåëüñòâà è àëãîðèòìà, äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå è ëîêàëüíóþ òåîðåìó Ìàëüöåâà. Óìåòü ñòðîèòü ôîðìàëüíûå òåîðèè äëÿ ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ, óìåòü ïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé ïîëíîòû äëÿ àíàëèçà ñâîéñòâ àêñèîìàòèçèðóåìûõ êëàññîâ, óìåòü ñòðîèòü ìîäåëè ñ ðàçëè÷íûìè ñâîéñòâàìè, à òàêæå óìåòü íàõîäèòü âçàèìîñâÿçè ìåæäó òåîðåòèêî-ìîäåëüíûìè è ñèíòàêñè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè êëàññîâ. Óìåòü ñòðîèòü àëãîðèòìû äëÿ ïðîâåðêè âûïîëíèìîñòè ñâîéñòâ êàê íà êîíêðåòíûõ ìîäåëÿõ, òàê è â àêñèîìàòèçèðóåìûõ êëàññîâ, óìåòü àíàëèçèðîâàòü îñíîâíûå ïðîáëåìû äëÿ àêñèîìàòèçèðóåìûõ êëàññîâ, óìåòü ïîëüçîâàòüñÿ ñîâðåìåííûìè ðåçóëüòàòàìè ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè â ïðèëîæåíèÿõ ê àëãåáðå , àíàëèçó, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, òåîðèè âû÷èñëèìîñòè è òåîðåòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Óìåòü íàõîäèòü ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè àëãîðèòìè÷åñêèõ ìåòîäîâ ê àíàëèçó ðàçëè÷íûõ ïðîáëåì â ïðîãðàììèðîâàíèè.
iv 1.4. Ôîðìû êîíòðîëÿ: 2 ýêçàìåíà è 2 çà÷åòà, êîíòðîëüíûå ðàáîòû. Ïðåäóñìîòðåíî èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðíûõ òðåíàæåðîâ ïî îòäåëüíûì òåìàì è êîìïüþòåðíîãî òåñòèðîâàíèÿ äëÿâûïîëíåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ïîäãîòîâêè. 2. Ñîäåðæàíèå äèñöèïëèíû. 2.1. Êóðñ íîñèò îðèãèíàëüíûé õàðàêòåð.  îñíîâó êóðñà ïîëîæåí ó÷åáíèê íàøèõ ïðîôåññîðîâ Þ.Ë.Åðøîâà è Å.À.Ïàëþòèíà "Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêè", êîòîðûé äîðàáîòàí â ñâÿçè ñ íîâûìè íàïðàâëåíèÿìè èññëåäîâàíèé è ïðèëîæåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, â ïåðâóþ î÷åðåäü ñ çàäà÷àìè ñîâðåìåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ìîäåëèðîâàíèÿ, à òàêæå ïðèëîæåíèé ê ìîäåëèðîâàíèþ ñëîæíûõ ïðîöåññîâ, ñî÷åòàþùèõ êàê íåïðåðûâíûå òàê è äèñêðåòíûå êîìïîíåíòû.
ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ ÊÓÐÑÀ "ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎÃÈÊÀ" 2-é è 3-é ñåìåñòðû
Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ. 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè. 2. Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû, äåêàðòîâî (ïðÿìîå) ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ. 3. Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè íàä ìíîæåñòâàìè, îáðàçû, ïðîîáðàçû è êîìïîçèöèÿ, àêñèîìà âûáîðà è áåñêîíå÷íûå ïðÿìûå ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ. 4. Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, ïðåäïîðÿäêà, ïîðÿäêà, ëèíåéíîãî ïîðÿäêà è ôàêòîð-ìíîæåñòâà. Ëåììà Öîðíà (áåç äîêàçàòåëüñòâà). 5. Âïîëíåóïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, îðäèíàëû è êàðäèíàëû, òðàíñôèíèòíàÿ èíäóêöèÿ, íàòóðàëüíûå ÷èñëà è îðäèíàëû â òåîðèè ìíîæåñòâ, àêñèîìà ñóùåñòâîâàíèÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà è ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Òåîðåìà î ñðàâíèìîñòè îðäèíàëîâ. Òåîðåìà î ñðàâíèìîñòè âïîëíå-óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Òåîðåìà Öåðìåëî(áåç äîêàçàòåëüñòâà). 6. Òåîðåìû Êàíòîðà è Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà. Îïåðàöèè íà êàðäèíàëàõ è îðäèíàëàõ. Òåîðåìà î ìîùíîñòè êâàäðàòà(èç òåîðåìû Öåðìåëî).
v
Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé 1. Âûñêàçûâàíèÿ è èõ èñòèííîñòíàÿ è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííàÿ ñå- ìàíòèêà è òåîðåìà î ñëåäîâàíèè â èñòèííîñòíîé ñåìàíòèêå èç ñëåäîâàíèÿ â òåîðåòèêîìíîæåñòâåííîé. 2. Ñåêâåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. Ëèíåéíûé è äðåâîâèäíûé âûâîäû è èõ ýêâèâàëåíòíîñòü. Òåîðåìà î ïîñòðîåíèè äëÿ êâàçèâûâîäà âûâîäà. Òåîðåìà î äâóçíà÷íîñòè Ñåêâåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè íîðìàëüíûå ôîðìû. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåòèêî ìíîæåñòâåííîãî ñëåäîâàíèÿ èç òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîãî. 3. Ãèëüáåðòîâñêîå èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé Òåîðåìà äåäóêöèè. Òåîðåìà î äîêàçóåìîñòè èç ñåêâåíöèàëüíîãî ñëåäîâàíèÿ ñëåäîâàíèÿ â ãèëüáåðòîâñêîì èñ÷èñëåíèè. Äîêàçàòåëüñòâî òîæäåñòâåííîé èñòèííîñòè â òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé ñåìàíòèêå ôîðìóë äîêàçóåìûõ â Ãèëüáåðòîâñêîì èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé. 4. Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè èñ÷èñëåíèé è ñåìàíòèê. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè êîíúþíêòèâíîé è äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíûõ ôîðì â Ñåêâåíöèàëüíîì èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé. 5. Òåîðåìà î õàðàêòåðèçàöèÿ äîêàçóåìûõ ôîðìóë â Ñåêâåíöèàëüíîì èñ÷èñëåíèè âûñêàçûâàíèé è Òåîðåìà Ãåäåëÿ î ïîëíîòå.
Òåîðèÿ ìîäåëåé. 1. Ïðåäèêàòû, ñèãíàòóðû, ìîäåëè (àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû). 2. Ñèíòàêñèñ ÿçûêà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ (òåðìû, ôîðìóëû, ñâîáîäíûå è ñâÿçàííûå âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ). 3. Ñåìàíòèêà ÿçûêà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ (èñòèííîñòü ôîðìóë íà ìîäåëè è çíà÷åíèå òåðìîâ). 4. Ãîìîìîðôèçìû, èçîìîðôèçìû; ïîäìîäåëè, ñâÿçü òåîðåòèêî-ìîäåëüíûõ ñâîéñòâ ñ óíèâåðñàëü- íûìè, ýêçèñòåíöèàëüíûìè ôîðìóëàìè è ïîçèòèâíûìè ôîðìóëàìè. 5. Ýëåìåíòàðíûå ðàñøèðåíèÿ è ïîäñèñòåìû; ýëåìåíòàðíûå âëîæå- íèÿ; îáúåäèíåíèå ýëåìåíòàðíûõ öåïåé.
vi 6. Ôèëüòðû, ãëàâíûå è íåãëàâíûå, ìàêñèìàëüíûå è óëüòðàôèëüòðû. Ôèëüòðîâàííûå ïðîèçâåäåíèÿ è òåîðåìà Ëîñÿ 7. Òåîðåìà êîìïàêòíîñòè Ìàëüöåâà. Ìåòîä äèàãðàìì è òåîðåìà Ìàëüöåâà î ðàñøèðåíèè.
Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ. 1. Ïðåäèêàòíîå Èñ÷èñëåíèå â ñåêâåíöèàëüíîé è ãèëüáåðòîâñêîé ôîðìå. 2. Òåîðåìà î ïîäñòàíîâêå. Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè. 3. Òåîðåìà äåäóêöèè äëÿ ãèëüáåðòîâñêîãî èñ÷èñëåíèÿ. Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè ñåêâåíöèàëüíîãî è ãèëüáåðòîâñêîãî èñ÷èñëåíèé. 4. Ïðåíåêñíàÿ è Ïðåäâàðåííàÿ íîðìàëüíûå ôîðìû. Òåîðåìà î ïðèâåäåíèè ê íîðìàëüíîé ôîðìå. 5. Íåïðîòèâîðå÷èâûå ìíîæåñòâà ôîðìóë è èõ ñâîéñòâà. 7. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ðàñøèðåíèé Õåíêèíà. 8. Êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü òåîðèè Õåíêèíà. 9. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ìîäåëè. 10. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î ïîëíîòå êëàññè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.
Àêñèîìàòè÷åñêàÿ ñèñòåìà òåîðèè ìíîæåñòâ Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ. 1. Àêñèîìàòèêà Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ ZF. 2. Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè àêñèîìû âûáîðà, ëåììû Öîðíà è òåîðåìû Öåðìåëî è òåîðåìû î ìîùíîñòè êâàäðàòà.
Àêñèîìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ Ïåàíî. 1. Àêñèîìàòèêà Ïåàíî è åå ñâîéñòâà. 2. Ñòàíäàðòíûå è íåñòàíäàðòíûå ìîäåëè àðèôìåòèêè Ïåàíî. 3. Êîíöåâûå ðàñøèðåíèÿ. Ôîðìóëû ñ îãðàíè÷åííûìè êâàíòîðàìè è Ñèãìàôîðìóëû.
Òåîðèÿ âû÷èñëèìîñòè è òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå.
vii 1. Ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûå è ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå è âû÷èñëèìûå ôóíêöèè. Òåîðåìà î ïðåäñòàâèìîñòè â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè àðèôìåòèêè. 2. Òåîðåìà î ïðåäñòàâèìîñòè â àêñèîìàòèêå Ïåàíî. 3. Ãåäåëåâñêàÿ íóìåðàöèÿ òåðìîâ è ôîðìóë è åå ñâîéñòâà. 4. Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèâíîñòü è âîçâðàòíàÿ ðåêóðñèÿ. Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèâíîñòü îñíîâíûõ îïåðàöèé è îòíîøåíèé íàä òåðìàìè è ôîðìóëàìè: ìíîæåñòâà ôîðìóë, ìíîæåñòâà òåðìîâ, îïåðàöèè ïîäñòàíîâêè, ìíîæåñòâà àêñèîì ãèëüáåðòîâñêîãî èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ, ïðàâèë âûâîäà, äîêàçàòåëüñòâ. Âû÷èñëèìàÿ ïåðå÷èñëèìîñòü äîêàçóåìûõ ôîðìóë. 5. Âû÷èñëèìî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà è èõ ñâîéñòâà. Ïåðå÷èñëèìîñòü âû÷èñëèìî àêñèîìàòèçèðóåìûõ òåîðèé è âû÷èñëèìàÿ àêñèîìàòèçèðóåìîñòü âû÷èñëèìî ïåðå÷èñëèìî àêñèîìàòèçèðóåìûõ òåîðèé. Òåîðåìà îá óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèè è íîðìàëüíîé ôîðìå Êëèíè. 6. Òåîðåìà î íåðàçðåøèìîñòè íåïðîòèâîðå÷èâûõ ðàñøèðåíèé àêñèîìàòèêè Ïåàíî. 7. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå. Òåîðåìà ×åð÷à î íåðàçðåøèìîñòè Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.
Ñåìèíàðû. II ñåìåñòð ïåðâîãî êóðñà. 1. Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâàõ. 2. ×àñòè÷íî-óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè. 3-4. Âïîëíåóïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, îðäèíàëû è ìîùíîñòè ìíîæåñòâ. 5. Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííàÿ ñåìàíòèêà âûñêàçûâàíèé è òàáëèöà èñòèííîñòè. 6. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ñåêâåíöèàëüíîå. Íîðìàëüíàÿ ôîðìà. 7-8. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé ãèëüáåðòîâñêîãî òèïà. Íåçàâèñèìîñòü àêñèîì. 9. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà. 10. Ìîäåëè, ãîìîìîðôèçìû, ïîäìîäåëè, ïðîèçâåäåíèÿ ìîäåëåé. 11. ßçûê èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ è åãî ñåìàíòèêà.
viii 12. Ôîðìóëüíûå ìíîæåñòâà è àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû. Ýëåìåíòàðíûå ïîäìîäåëè. 13. Êâàçèòîæäåñòâà è òîæäåñòâà. Ñâîáîäíûå ñèñòåìû, êîíãðóýíòíîñòè è ôàêòîðñèñòåìû. 14 Òåîðåìà êîìïàêòíîñòè Ìàëüöåâà è åå ïðèìåíåíèÿ 15. Àðèôìåòèêà Ïåàíî è åå ìîäåëè. 16. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà.
III ñåìåñòð âòîðîãî êóðñà. 1. Ãèëüáåðòîâñêîå èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ. 2. Èñòèííîñòü äîêàçóåìûõ ôîðìóë. 3-4. Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ ñåêâåíöèàëüíîå. 5. Ïðèâåäåíèå ê ïðåíåêñíîé è ïðèâåäåííîé íîðìàëüíîé ôîðìå. 6. Óñòîé÷èâîñòü A-ôîðìóë îòíîñèòåëüíî ïîäìîäåëåé, E-ôîðìóë îòíîñèòåëüíî ðàñøèðåíèé è ïîçèòèâíûõ ôîðìóë îòíîñèòåëüíî ãîìîìîðôèçìîâ. Àêñîìàòèêà Ïåàíî è òèïû èíäóêöèè â àðèôìåòèêå. 7. Àêñèîìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Îðäèíàëû è èõ ñâîéñòâà. 8. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà. 9.-10. Ïðèìèòèâíî-ðåêóðñèâíûå è ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. 11-12. Àðèôìåòèêà Ïåàíî åå ìîäåëè è Sigma-ôîðìóëû. Ïðåäñòàâèìîñòü ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè è òåîðèè àðèôìåòèêå Ïåàíî. 13. Ãåäåëåâñêàÿ íóìåðàöèÿ òåðìîâ è ôîðìóë. 14-15. Íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû. Òåîðåìû íåïîëíîòû ðàñøèðåíèé àðèôìåòèêè è ðàçðåøèìîñòè è íåðàçðåøèìîñòè òåîðèé. 16. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà.
Ëèòåðàòóðà. 1. Þ.Ë.Åðøîâ, Å.À.Ïàëþòèí. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, Ì.: Íàóêà, 1979. 2. Ý.Ìåíäåëüñîí. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó, Ì.: Íàóêà, 1971. 3. Þ.Ë.Åðøîâ.Îïðåäåëèìîñòü è ðàçðåøèìîñòü, ÍÈÈÌÈÎÎ ÍÃÓ, Íàó÷íàÿ êíèãà,1996
ix 4. Ï.Ñ.Íîâèêîâ. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, Ì.: Íàóêà, 1973. 5. Ñ.Êëèíè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, Ì.:Ìèð, 1973. 6. Ñ.Êëèíè. Ââåäåíèå â ìåòàìàòåìàòèêó, ÈË, 1957. 7. Ë.Ë.Ìàêñèìîâîé è È.À.Ëàâðîâà, Çàäà÷è ïî òåîðèè ìíîæåñòâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è òåîðèè àëãîðèòìîâ, Ìîñêâà, Ôèçìàòëèò, 2001. 2.4. Äëÿ êîíòðîëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ïîäãîòîâêè èñïîëüçóåòñÿ çàäà÷íèê Ë.Ë.Ìàêñèìîâîé è È.À.Ëàâðîâà
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå äèñöèïëèíû. Ïåðå÷åíü òèïè÷íûõ âîïðîñîâ è áèëåòîâ íà ýêçàìåí â ïåðâîì ñåìåñòðå. Áèëåò N 1 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Ëåììà Öîðíà. Àêñèîìà âûáîðà. Òåîðåìà Öåðìåëî. 2. Òåîðåìà äåäóêöèè Áèëåò N 2 1. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè. 2. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î ïîëíîòå ÈÑ. Õàðàêòåðèçàöèÿ äîêàçóåìûõ ôîðìóë Áèëåò N 3 1. Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû. Äåêàðòîâî (ïðÿìîå) ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ. 2. Ýëèìèíàöèÿ èìïëèêàöèè. Áèëåò N 4 1. Îòíîøåíèÿ è ôóíêöèè íàä ìíîæåñòâàìè, îáðàçû, ïðîîáðàçû è êîìïîçèöèÿ. 2. Ñåêâåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. Áèëåò N 5
x 1. Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, ïðåäïîðÿäêà, ïîðÿäêà, ëèíåéíî- ãî ïîðÿäêà è ôàêòîð-ìíîæåñòâà. 2. Õàðàêòåðèçàöèÿ äîêàçóåìûõ ôîðìóë Áèëåò N 6 1. Âïîëíåóïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà(ýêâèâàëåíòíûå îïðåäåëåíèÿ) 2. Ýëèìèíàöèÿ îòðèöàíèÿ. Áèëåò N 7 1. Ñðàâíåíèå âïîëíåóïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. 2. Âûñêàçûâàíèÿ è èõ èñòèííîñòíàÿ è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííàÿ ñå- ìàíòèêà. Áèëåò N 8 1. Îðäèíàëû è êàðäèíàëû 2. Ãèëüáåðòîâñêîå èñ÷èñëåíèå, Òåîðåìà î äåäóêöèè Áèëåò N 9 1. Òåîðåìà Êàíòîðà. 2. Íîðìàëüíûå ôîðìû. Áèëåò N 10 1. Òåîðåìà Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà 2. Ñèíòàêñèñ ÿçûêà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ (òåðìû, ôîðìóëû, ñâîáîäíûå è ñâÿçàííûå âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ). Áèëåò N 11 1. Âûñêàçûâàíèÿ è èõ èñòèííîñòíàÿ è òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííàÿ ñå- ìàíòèêà. 2. Òåîðåìà Êàíòîðà - Áåðíøòåéíà. Áèëåò N 12
xi 1. Ñåêâåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. 2. Òåîðåìà Ëîñÿ. Áèëåò N 13 1. Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè 2. Òåîðåìà Êàíòîðà - Áåðíøòåéíà Áèëåò N 14 1. Íîðìàëüíûå ôîðìû 2. Òåîðåìà î ñðàâíåíèè âïîëíåóïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Áèëåò N 15 1. Ãèëüáåðòîâñêîå èñ÷èñëåíèå. Èñòèíîñòíàÿ ñåìàíòèêà. 2. Òåîðåìà êîìïàêòíîñòè. Áèëåò N 16 1. Òåîðåìà äåäóêöèè 2. Âïîëíåóïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Áèëåò N 17 1. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î ïîëíîòå ÈÑ. Õàðàêòåðèçàöèÿ äîêàçóåìûõ ôîðìóë 2. Ìîäåëè è ïîäìîäåëè. Áèëåò N 18 1. Ýëèìèíàöèÿ èìïëèêàöèè. 2. Òåîðåìà Êàíòîðà. Áèëåò N 19 1. Ýëèìèíàöèÿ îòðèöàíèÿ. 2. Òåîðåìà Êàíòîðà.
xii Áèëåò N 20 1. Ïðåäèêàòû, ñèãíàòóðû, ìîäåëè (àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû). Ñåìàíòèêà ÿçûêà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ (èñòèííîñòü ôîðìóë íà ìîäåëè è çíà÷åíèå òåðìîâ). 2. Òåîðåìà î äâóçíà÷íîñòè ÈÑ ( |- Ð V non(P) ) Áèëåò N 21 1. Ñèíòàêñèñ ÿçûêà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ (òåðìû, ôîðìóëû, ñâîáîäíûå è ñâÿçàííûå âõîæäåíèÿ ïåðåìåííûõ). 2. Òåîðåìà Êàíòîðà - Áåðíøòåéíà Áèëåò N 22 1. Ãîìîìîðôèçìû, èçîìîðôèçìû; ïîäìîäåëè, ñâÿçü ñ óíèâåðñàëü- íûìè è ýêçèñòåíöèàëüíûìè ôîðìóëàìè; ïîçèòèâíûå ôîðìóëû. 2. Òåîðåìà î âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâàõ. Áèëåò N 23 1. Ýëåìåíòàðíûå ðàñøèðåíèÿ è ïîäñèñòåìû; ýëåìåíòàðíûå âëîæå- íèÿ. Îáúåäèíåíèå ýëåìåíòàðíûõ öåïåé. 2. Ôèëüòðû è óëüòðàôèëüòðû. Áèëåò N 24 1. Ôèëüòðîâàííûå ïðîèçâåäåíèÿ. Òåîðåìà Ëîñÿ. 2. Ãèëüáåðòîâñêîå èñ÷èñëåíèå Áèëåò N 25 1. Òåîðåìà Ëîñÿ 2. Õàðàêòåðèçàöèÿ äîêàçóåìûõ ôîðìóë. Áèëåò N 26 1. Òåîðåìà êîìïàêòíîñòè Ìàëüöåâà
xiii 2. Òåîðåìà Êàíòîðà. Áèëåò N 27 1. Òåîðåìà Ìàëüöåâà î ðàñøèðåíèè. Ïîëíûå äèàãðàììû ìîäåëåé. 2. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè óëüòðàôèëüòðîâ. Áèëåò N 28 1. Òåîðåìà Ðîáèíñîíà î ýëåìåíòàðíûõ ðàñøèðåíèÿõ. 2. Ñâÿçü èñòèííîñòíîé è òåîðåòèêî ìíîæåñòâåííîé ñåìàíòèêè. Áèëåò N 29 1. Ñâÿçü òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé ñåìàíòèêè è èñ÷èñëåíèÿ ñåêâåíöèé. 2. Òåîðåìà êîìïàêòíîñòè. Áèëåò N 30 1. Ñâÿçü Èñ÷èñëåíèé ñåêâåíöèé è ãèëüáåðòîâñêîãî èñ÷èñëåíèÿ. 2. Òåîðåìà Ëîñÿ. Áèëåò N 31 1. Ôèëüòðû, óëüòðàôèëüòðû è ìàêñèìàëüíûå ôèëüòðû. 2. Íîðìàëüíûå ôîðìû Áèëåò N 32 1. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè óëüòðàôèëüòðîâ. 2. Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè ÈÑ. Áèëåò N 33 1. Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè ÈÑ 2. Ôèëüòðû è óëüòðàôèëüòðû. Áèëåò N 34
xiv 1. Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè ÈÑ. 2. Âïîëíåóïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è îðäèíàëû. Áèëåò N 35 1. Ôèëüòðû, ãëàâíûå è íåãëàâíûå, ìàêñèìàëüíûå è óëüòðàôèëüòðû. 2. Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè ÈÑ. Òèïè÷íûå âîïðîñû è áèëåòû íà ýêçàìåí çà âòîðîé ñåìåñòð êóðñà.
Áèëåò N 1 1. Àêñèîìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ Ïåàíî àðèôìåòèêè. Ñòàíäàðòíûå è íåñòàíäàðòíûå ìîäåëè.Σ-ôîðìóëû è èõ ñâîéñòâà Êîíöåâûå ðàñøèðåíèÿ. 2. Äîêàçàòü íåäîêàçóåìîñòü ôîðìóëû
(∀x)(∃y)P (x, y) → (∃y)(∀x)P (x, y)
Áèëåò N 2 1. Àêñèîìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ. Âïîëíå óïîðÿäî÷íûå ìíîæåñòâà, îðäèíàëû è êàðäèíàëû. 2. Êîíå÷íî àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû. Áóäåò ëè êëàññ áåñêîíå÷íûõ ãðóïï êîíå÷íî àêñèîìàòèçèðóåìûì? Áèëåò N 3 1. Ýêâèâàëåíòíîñòü àêñèîìû âûáîðà, ëåììû Öîðíà è òåîðåìû Öåðìåëî.(ÀÂ
⇒ ËÖ) 2. Íàïèñàòü ôîðìóëó, îïðåäåäÿþùóþ óïîðÿäî÷åííûå ïàðû è äåêàðòîâû ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâ. Áèëåò N 4
xv 1. Ýêâèâàëåíòíîñòü àêñèîìû âûáîðà, ëåììû Öîðíà è òåîðåìû Öåðìåëî.(ËÖ ⇒ ÒÖ) 2. Äîêàçàòü ïðèìèòèâíóþ ðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèè, ïåðå÷èñëÿþùåé ïðîñòûå ÷èñëà (n → pn ). Áèëåò N 5 1. Ýêâèâàëåíòíîñòü àêñèîìû âûáîðà, ëåììû Öîðíà è òåîðåìû Öåðìåëî. (ÒÖ
⇒ α = α2 äëÿ α áåñêîíå÷íîãî) 2. Ñâîéñòâà Σ ôîðìóë îòíîñèòåëüíî êîíöåâûõ ðàñøèðåíèé. Áèëåò N 6 1.Ãåäåëåâñêàÿ íóìåðàöèÿ òåðìîâ è ôîðìóë êîíå÷íîé ñèãíàòóðû. Ôóíêöèÿ Sb. 2. Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ ãåäåëåâñêîãî òèïà. Áèëåò N 7 1. Àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû. 2. Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèé: rest, [x2], |x − y|, pn , ex(x, y). Áèëåò N 8 1. Òîæäåñòâåííàÿ èñòèííîñòü àêñèîì èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. 2. Ïîñòðîèòü ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé c, l, r , íóìåðóþùèõ ïàðû íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Áèëåò N 9 1. Σ-ïðåäñòàâèìîñòü ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé â àðèôìåòèêå Ïåàíî. 2. Òåîðåìà î çàìåíå. Áèëåò N 10
xvi 1. Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. 2. Òåîðåìà î ìîùíîñòè êâàäðàòà. Áèëåò N 11 1. Ýêâèâàëåíòíîñòü ãèëüáåðòîâñêîãî è ñåêâåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèé. 2. Äîêàçàòü, ÷òî èç àêñèîì Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå äåêàðòîâûõ ïðîèçâåäåíèé ìíîæåñòâ. Áèëåò N 12 1. Ýêâèâàëåíòíîñòü àêñèîìû âûáîðà, ëåììû Öîðíà è òåîðåìû Öåðìåëî.(èç ÒÖ äîêàçàòü ÀÂ). 2. Äîêàçàòü ïðèìèòèâíóþ ðåêóðñèâíîñòü ôóíêöèé Sb, Nm. Áèëåò N 13 1. Ýêâèâàëåíòíîñòü àêñèîìû âûáîðà, ëåììû Öîðíà è òåîðåìû Öåðìåëî. ( Èç À äîêàçàòü ËÖ ). 2. Ñòàíäàðòíûå è íåñòàíäàðòíûå ìîäåëè àðèôìåòèêè Ïåàíî. Áèëåò N 14 1. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè íàèìåíüøåãî áåñêîíå÷íîãî îðäèíàëà ω . 2. Òåîðåìà î íåðàçðåøèìîñòè íåïðîòèâîðå÷èâûõ ðàñøèðåíèé àêñèîì Ïåàíî. Áèëåò N 15 1. Ïåðå÷èñëèìîñòü ñëåäñòâèé ðåêóðñèâíî-àêñîìàòèçèðóåìûõ òåîðèé. 2. Ñóùåñòâîâàíèå äåêàðòîâûõ ïðîèçâåäåíèé â àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ. Áèëåò N 16 1. Ïåðå÷èñëèìîñòü òåîðåì èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.
xvii 2. Ïðåíåêñíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà.
Áèëåò N 17 1. Ïðèìèòèâíî-ðåêóðñèâíûå è ÷àñòè÷íî-ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. Èõ ñâîéñòâà. 2. Êîíöåâûå ðàñøèðåíèÿ, îãðàíè÷åííûå ìîäåëè è òåîðåìà î ðåôëåêñèè äëÿ
Σôîðìóë.
Áèëåò N 18 1. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ñòàíäàðòíûõ ïîäìîäåëåé â ìîäåëÿõ ïåàíîâñêîé àðèôìåòèêè. 2. Òåîðåìà î ïðåäñòàâèìîñòè ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé â ñòàíäàðòíîé ìîäåëè àðèôìåòèêè Ïåàíî.
Áèëåò N 19 1. Íåðàçðåøèìîñòü ðàñøèðåíèé àêñèîì Ïåàíî. 2. Èñ÷èñëåíèå ñåêâåíöèé. Îñíîâíûå ýêâèâàëåíòíîñòè.
Áèëåò N 20 1. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå. 2. Òåîðåìà î äåäóêöèè.
Áèëåò N 21 1. Òåîðåìà ×åð÷à î íåðàçðåøèìîñòè èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. 2. Òåîðåìà Öåðìåëî(èç Ëåììû Öîðíà).
Áèëåò N 22
xviii 1. Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ ñåêâåíöèàëüíîå. 2. Ôóíêöèÿ Ãåäåëÿ è åå ñâîéñòâà.
Áèëåò N 23 1. Ãèëüáåðòîâñêîå èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ. 2. Êàíîíè÷åñêàÿ ìîäåëü òåîðèè Õåíêèíà. Áèëåò N 24 1. Èñòèííîñòü äîêàçóåìûõ ôîðìóë. 2.Âîçâðàòíàÿ ðåêóðñèÿ. Ïðèìèòèâíàÿ ðåêóðñèâíîñòü ìíîæåñòâ ãåäåëåâñêèõ íîìåðîâ ôîðìóë, òåðìîâ è Σ-ôîðìóë. Áèëåò N 25 1. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î ïîëíîòå. 2. Ñâîéñòâà ðåêóðñèâíûõ, ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ è ðåêóðñèâíî ïåðå÷èñëèìûõ ìíîæåñòâ. Ñóùåñòâîâàíèå ïåðå÷èñëèìîãî, íî íå ðåêóðñèâíîãî ìíîæåñòâà. Áèëåò N 26 1. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ðàñøèðåíèÿ Õåíêèíà. 2. Îïðåäåëèìîñòü ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé â àðèôìåòèêå Ïåàíî Σôîðìóëàìè. Áèëåò N 27 1. Ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ ðàâåíñòâà â Èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ. 2. Îðäèíàëû è âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Áèëåò N 27
xix 1. Àêñèîìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà. Ñóùåñòâîâàíèå óïîðÿäî÷åííûõ ïàð, äåêàðòîâûõ ïðîèçâåäåíèé. 2. Íåïðîòèâîðå÷èâûå ìíîæåñòâà ôîðìóë è èõ ñâîéñòâà.
Áèëåò N 28
1. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè êàíîíè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ òåîðèè Õåíêèíà. 2. Ðàçðåøèìîñòü ïîëíûõ ðåêóðñèâíî àêñèîìàòèçèðóåìûõ òåîðèé.
Áèëåò N 29 1. Àêñèîìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ ZF è ZFC. 2. Òåîðåìà îá óíèâåðñàëüíîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè.
Áèëåò N 30 1. Ïðèìèòèâíî-ðåêóðñèâíûå è ÷àñòè÷íî ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè. 2. Îðäèíàëû è êàðäèíàëû. Îïåðàöèè íàä íèìè. Òåîðåìà î ìîùíîñòè êâàäðàòà.
Áèëåò N 31 1. Àðèôìåòèêà Ïåàíî, åå ìîäåëè è Σ-ôîðìóëû. 2. Ïðåíåêñíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà.
Áèëåò N 32 1. Ïðåäñòàâèìîñòü ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé â ìîäåëÿõ àðèôìåòèêè Ïåàíî. 2. Òåîðåìà î ïîäñòàíîâêå â äîêàçóåìûå ñåêâåíöèè è ôîðìóëû ÈÂ ôîðìóë ÈÏ âìåñòî ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ.
xx Áèëåò N 33 1. Ãåäåëåâñêàÿ íóìåðàöèÿ òåðìîâ è ôîðìóë. Îòíîøåíèå Pr(n,m). 2. Ëåììà Öîðíà (èç àêñèîìû âûáîðà). Áèëåò N 34 1. Íåðàçðåøèìûå ïðîáëåìû. Òåîðåìà ×åð÷à. 2. Òåîðåìû íåïîëíîòû ðàñøèðåíèé àðèôìåòèêè. Áèëåò N 35 1. Òåîðåìà Ðîáèíñîíà îá ýëåìåíòàðíîñòè ïîäìîäåëè. 2. Îãðàíè÷åííûå êâàíòîðû íà ðåêóðñèâíûõ è ïðèìèòèâíî ðåêóðñèâíûõ îòíîøåíèÿõ. Áèëåò N 36 1. Òåîðåìà Ëåâåíãåéìà -Ñêóëåìà. 2. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î ïîëíîòå ÈÏ. Áèëåò N 37 1. Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè ÑÈÏ è ÃÈÏ. 2. Òåîðåìà î ñâîéñòâàõ Σ-âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé. Áèëåò N 38 1. Òåîðåìà î äåäóêöèè. 2. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå àðèôìåòèêè. Áèëåò N 39 1. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè ìîäåëè. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î ïîëíîòå ÈÏ.
xxi 2. Ìåòîä äèàãðàìì è ñâîéñòâà äèàãðàìì ìîäåëåé. Áèëåò N 40 1. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î ïîëíîòå ÈÏ. 2. Òåîðåìà Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå àðèôìåòèêè Ïåàíî. 3.4.
Îñíîâíàÿ ëèòåðàòóðà ïî êóðñó "Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà". 1. Þ.Ë.Åðøîâ, Å.À.Ïàëþòèí. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, Ì.: Íàóêà, 1979. 2. Ý.Ìåíäåëüñîí. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó, Ì.: Íàóêà, 1971. 3. Þ.Ë.Åðøîâ. Îïðåäåëèìîñòü è ðàçðåøèìîñòü, ÍÈÈÌÈÎÎ ÍÃÓ, Íàó÷íàÿ êíèãà,1996 4. Ë.Ë.Ìàêñèìîâîé è È.À.Ëàâðîâà, Çàäà÷è ïî òåîðèè ìíîæåñòâ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è òåîðèè àëãîðèòìîâ, Ìîñêâà, Ôèçìàòëèò, 2001.
Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà ïî êóðñó "Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà". 1. Ñïðàâî÷íàÿ êíèãà ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå., ïîä ðåäàêöèåé Äæ.Áàðâàéñà, ò.1-4, Ìîñêâà "Íàóêà", 1982. 2. Ã.Êåéñëåð, ×.×.×åí, Òåîðèÿ ìîäåëåé,Ìîñêâà, Ìèð, 1977. 3.Ñ.Ñ.Ãîí÷àðîâ, Þ.Ë.Åðøîâ, Êîíñòðóêòèâíûå ìîäåëè,Íîâîñèáèðñê, Íàó÷íàÿ êíèãà, 1999. 4. Ñ.Ñ.Ãîí÷àðîâ, Ñ÷åòíûå áóëåâû àëãåáðû è ðàçðåøèìîñòü, Íîâîñèáèðñê, Íàó÷íàÿ êíèãà, 19996. 5. Õ.Ðîäæåðñ, Òåîðèÿ ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé è âû÷èñëèìîñòü, Ìîñêâà, Ìèð, 1972 6. Ð.Ñîàð, Âû÷èñëèìî ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà è ñòåïåíè,Êàçàíü, ÊÀÇÀÍÑÊÎÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÎÁÙÅÑÒÂÎ, 2000. 7. Þ.Ë.Åðøîâ, Ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè è êîíñòðóêòèâíûå ìîäåëè, Ìîñêâà, Íàóêà, 1980.
xxii 8. Ê.Êóðàòîâñêèé, À.Ìîñòîâñêèé, Òåîðèÿ ìíîæåñòâ, Ìîñêâà, Ìèð, 1970. 9. À.È.Ìàëüöåâ, Àëãîðèòìû è ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè, Ìîñêâà, Íàóêà, 1986. 10. Äæ.Øåíôèëä, Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, Ìîñêâà, Íàóêà, 1975. 11. À.Ðîáèíñîí, Ââåäåíèå â òåîðèþ ìîäåëåé è ìåòàìàòåìàòèêó àëãåáðû, Ìîñêâà, Íàóêà, 1967. 12. À.×åð÷. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó, Ìîñêâà, Èçäàòåëüñòâî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1960. 13. Ï.Ñ.Íîâèêîâ. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, Ì.: Íàóêà, 1973. 14. Ñ.Êëèíè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, Ì.:Ìèð, 1973. 15. Ñ.Êëèíè. Ââåäåíèå â ìåòàìàòåìàòèêó, ÈË, 1957. 16. Äæ.Áóëîñ, Ð.Äæåôôðè, Âû÷èñëèìîñòü è ëîãèêà, Ìîñêâà, Ìèð,1994. 17. Í.Êàòëåíä, Âû÷èñëèìîñòü. Ââåäåíèå â òåîðèþ ðåêóðñèâíûõ ôóíêöèé. Ìîñêâà, Ìèð, 1983. 18. Handbook of Recursive mathematics, Studies in logic and the foundation of mathematics,v 1-2,Edited by Yu.Ershov, S.Goncharov, A.Nerode, J.Remmel, ass.editor V.Marek, Elsever, AmsterdamLausanneNew-YorkOxfordShanonSingaporeTokio, 1998.
LECTURE 1 Ëåêöèÿ 1. Ïðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà êàê îäíî èç âàæíåéøèõ íàïðàâëåíèé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè áåðåò ñâîå íà÷àëî ñ êîíöà äåâÿòíàäöàòîãî âåêà. Ýòî áûëî ñâÿçàíî ñ íîâûì ýòàïîì â ðàçâèòèè ìàòåìàòèêè, êîãäà ïðåäìåòîì åå èçó÷åíèÿ ñòàëè èäåàëüíûå áåñêîíå÷íûå îáúåêòû. Ðàáîòà ñ áåñêîíå÷íî áîëüøèìè è áåñêîíå÷íî ìàëûìè âåëè÷èíàìè, ñ áåñêîíå÷íûìè ðÿäàìè, íåïðåðûâíûìè è ðàçðûâíûìè ôóíêöèÿìè ïîòðåáîâàëà îáðàòèòü âíèìàíèå íà òå ñðåäñòâà, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â ðàáîòå ìàòåìàòèêîâ è ñàìè îñíîâàíèÿ ýòîé äðåâíåéøåé íàóêè. Íåîáõîäèìî áûëî ïîíÿòü ÷òî æå òàêîå äîêàçàòåëüñòâî â ìàòåìàòèêè è êàê îíî ñâÿçàíî ñ èñòèííîñòüþ èññëåäóåìîãî ñâîéñòâà. ×òî æå òàêîå èñòèííîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî óòâåðæäåíèÿ è ÷òî æå ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ ìàòåìàòèêè, ïî÷åìó ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû òàê ýôôåêòèâíû â ïîçíàíèè îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà. Åñòåñòâåííî ÷òî áîëüøàÿ ÷àñòü ýòèõ âîïðîñîâ ñâÿçàíî íå òîëüêî ñ ìàòåìàòèêîé, íî îòíîñèòñÿ ê ìåòîäîëîãèè íàó÷íîãî ïîçíàíèÿ è ôèëîñîôèè ìàòåìàòèêè è íàóêè â öåëîì.  òîæå âðåìÿ èõ èññëåäîâàíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ëèøü â òåñíîì ïðèìåíåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ è ìåòîäîëîãèè è ôèëîñîôèè ìàòåìàòèêè. Îäíèì èç êëàññè÷åñêèõ ðàçäåëîâ ôèëîñîôèè ÿâëÿåòñÿ ëîãèêà. Ëîãèêà ýòî íàóêà îá óìîçàêëþ÷åíèÿõ èëè ìåòîäàõ ðàññóæäåíèé, ìåòîäàõ ïîçíàíèÿ. Ïðè ýòîì áîëüøåå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ôîðìå, à íå ñîäåðæàíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàññóæäåíèé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà âîçüìåì ñëåäóþùåå ïðîñòîå ðàññóæäåíèå. Ïðèìåð 1. Þðèé è Âàëåðèé áðàòüÿ. Þðèé íîñèò ôàìèëèþ Áåëîâ. Áðàòüÿ íîñÿò îäíó è òó æå ôàìèëèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, Âàëåðèé íîñèò ôàìèëèþ Áåëîâ.  ïîâñåäíåâíîé æèçíè ïîñûëêà "Áðàòüÿ íîñÿò îäíó è òó æå ôàìèëèþ"ìîãëà áû áûòü îïóùåíà, ïî êðàéíåé ìåðå ïîêà áû íå âîçíèêëè ñîìíåíèÿ â åå ïðàâèëüíîñòè. Íî äëÿ öåëåé ëîãè÷åñêîãî àíàëèçà âñå ïîñûëêè äîëæíû áûòü ñôîðìóëèðîâàíû
1
2 ÿâíî.  òàêîì ñëó÷àå ýòî ðàññóæäåíèå âåðíî â ñèëó ñâîåé ôîðìû è íå çàâèñèò îò èñòèííîñòè èëè ëîæíîñòè ïîñûëîê. Ñðàâíèì åãî ñ äðóãèì ðàññóæäåíèåì, èìåþùèì òó æå ôîðìó. Ïðèìåð 2. ×èñëà i −
√ 33, ω ñóòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà, îòíîøåíèå êîòîðûõ
äåéñòâèòåëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Àðãóìåíò ω ðàâåí 2π3. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà, îòíîøåíèå êîòîðûõ åñòü äåéñòâèòåëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, èìåþò √ îäèí è òîò æå àðãóìåíò. Ñëåäîâàòåëüíî, àðãóìåíò i − 33 ðàâåí 2π3. ßñíî, ÷òî ôîðìà ýòîãî ðàññóæäåíèÿ òà æå, íî ñîäåðæàíèå äðóãîå. Íî íå âñåãäà òåêñòóàëüíîå ñëåäîâàíèå ôîðìå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ïðàâèëüíûé âûâîä. Ðàññìîòðèì, ñëåäóÿ Àëîíçî ×åð÷ó, ñëåäóþùèå äâà ïðèìåðà. Ïðèìåð 3. ß âèäåë ïîðòðåò Äæîíà Áóñà. Äæîí Áóñ óáèë Àâðààìà Ëèíêîëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ÿ âèäåë ïîðòðåò óáèéöû Àâðààìà Ëèíêîëüíà. Ïðèìåð 4. ß âèäåë ïîðòðåò íåêîåãî ìóæ÷èíû. Íåêòî èçîáðåë êîëåñî. Ñëåäîâàòåëüíî ÿ âèäåë ïîðòðåò èçîáðåòàòåëÿ êîëåñà. Âíåøíåå ñõîäñòâî çäåñü îáìàí÷èâî. äàííîì ñëó÷àå îøèáêà áûñòðî îáíàðóæèâàåòñÿ, êîãäà ìû íå îãðàíè÷èâàÿñü âíåøíèì ñõîäñòâîì, îáðàùàåìñÿ ê ñîäåðæàíèþ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå êàê îòìå÷àåò À.×åð÷ íàì íå òîëüêî æåëàòåëüíî, íî è ïðîñòî íåîáõîäèìî, óïîòðåáëÿòü äëÿ ëîãè÷åñêèõ öåëåé ñïåöèàëüíî ñîçäàííûé ôîðìàëüíûé ÿçûê. Ýòîò ÿçûê â ïðîòèâîïîëîæíîñòü îáû÷íîìó ÿçûêó áóäåò ñëåäîâàòü çà ëîãè÷åñêîé ôîðìîé è âîñïðîèçâîäèòü åå äàæå â óùåðá êðàòêîñòè è ëåãêîñòè îáùåíèÿ. Ââåäåíèå îñîáîãî ôîðìàëèçîâàííîãî ÿçûêà îçíà÷àåò ïðèíÿòèå îñîáîé òåîðèè, èëè ñèñòåìû ëîãè÷åñêîãî àíàëèçà. Èìåííî ýòî ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé ôîðìàëèçîâàííîãî ÿçûêà, à âîâñå íå òî, ÷òî îêàçàëîñü óäîáíûì çàìåíèòü îòäåëüíûìè áóêâàìè è ðàçëè÷íûìè ñïåöèàëüíûìè ñèìâîëàìè ñëîâà, êîòîðûå â íàïèñàíèè â áîëüøèíñòâå îáû÷íûõ ÿçûêîâ ñîñòàâëÿþòñÿ èç íåñêîëüêèõ áóêâ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà ýòî ÷àñòü ëîãèêè, êîòîðàÿ çàíèìàåòñÿ ïîñòðîåíèåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ðàññóæäåíèé è èñòèííîñòè. Èíòåðåñ êðóïíåéøèõ ìàòåìàòèêîâ ê ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå â êîíöå äåâÿòíàäöàòîãî è íà÷àëå äâàäöàòîãî âåêà áûë
Lecture 1
3
ïðåæäå âñåãî ñâÿçàí ñ ïðîáëåìîé ïîñòðîåíèÿ íàäåæíûõ îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè è ðàçðåøåíèåì îáíàðóæåííûõ ïàðàäîêñîâ. Ïîêà ìàòåìàòèêà ðàáîòàëà ñ êîíå÷íûìè îáúåêòàìè: íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè, ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè è ãåîìåòðè÷åñêèìè îáúåêòàìè ïðîáëåì áîëüøèõ íå âîçíèêàëî, â ñâÿçè ñ ïðèìåíèìîñòüþ îáû÷íûõ ìåòîäîâ è áîëüøîé íàãëÿäíîñòüþ. Õîòÿ êàê ëåãêî çàìåòèòü óæå è íà óðîâíå øêîëüíîé ãåîìåòðèè ìîæíî îáíàðóæèòü äîâîëüíî ìíîãî îøèáî÷íûõ ðåøåíèé, ïðåäëàãàåìûõ íàïðèìåð íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ çàäà÷ èç-çà ïîòåðÿííûõ ðåøåíèé â ñâÿçè ñ èñïîëüçîâàíèåì ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, êîòîðûå ïðèâîäÿò â ñèëó íàãëÿäíîñòè ëèøü ê îäíîé èç âîçìîæíîñòåé. Âîçíèêíîâåíèå áåñêîíå÷íûõ èäåàëüíûõ îáúåêòîâ ïðèâîäèò ê ðàçëè÷íûì òðóäíîñòÿì ñ ïîíèìàíèåì, ÷òî òàêîå êîððåêòíîå ðàññóæäåíèå èëè äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ýòèõ èäåàëüíûõ ïðåäåëüíûõ êîíñòðóêöèé.  îñíîâó ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè áûëî ïîëîæåíî ïðåäëîæåííîå Ã.Êàíòîðîì ïîíÿòèå ìíîæåñòâà, ïîçâîëÿþùåå èç ýòîé åäèíîé îñíîâû îïðåäåëèòü âñå ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ. Íî áûñòðî áûëî ïîíÿòî, ÷òî îáðàùàòüñÿ ñ ïîíÿòèåì ìíîæåñòâà íóæíî äîñòàòî÷íî îñòîðîæíî, òàê êàê íå ëþáûå êîíñòðóêöèè ñ íèìè äîïóñòèìû. Êðîìå òîãî è ñàìè ñïîñîáû äîêàçàòåëüñòâ, êîòîðûå ìû èñïîëüçóåì âûçûâàëè ñîìíåíèÿ â èõ êîððåêòíîñòè. Ã. Êàíòîð íà÷àë èññëåäîâàòü ïðîèçâîëüíûå ñîâîêóïíîñòè ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ êàê íåêîòîðîå áàçèñíîå ïîíÿòèå â ìàòåìàòèêå. Êàíòîð ïðèøåë ê ïîíÿòèþ ìíîæåñòâà èç àíàëèçà. Åãî èíòåðåñû áûëè ñâÿçàíû ñ èçó÷åíèåì áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. À ñîáñòâåííî ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ ïðèìèòèâíûõ ïîíÿòèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòèêè, êîòîðûå ìîæíî ïîëîæèòü â åå îñíîâó áûëà ðåøåíà Á.Ðàññåëîì. Èäåÿ Á.Ðàññåëà ñîñòîÿëî â òîì ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ìàòåìàòèêà ýòî ïðîñòî ëîãèêà. Íî ëîãèêà â åãî ïîíÿòèè áûëà çíà÷èòåëüíî øèðå, ÷åì îíà ðàññìàòðèâàåòñÿ ñåé÷àñ. Ñåé÷àñ ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî ðåàëüíî Á.Ðàññåë ïîêàçàë, ÷òî ôîðìàëüíàÿ ìàòåìàòèêà ýòî ëîãèêà è òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ñ äîñòàòî÷íî áîëüøîé âíèìàòåëüíîñòüþ è àêêóðàòíîñòüþ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëåíèå ëþáûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ïîíÿòèÿì òåîðèè ìíîæåñòâ è
4 ëîãèêè, à âñå äîêàçàòåëüñòâà âûâåäåíû â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ.  ðàìêàõ ïîñòðîåííîé èì òåîðèè ìíîæåñòâ, êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü íàèâíîé òåîðèåé ìíîæåñòâ, Ã.Êàíòîð óñòàíîâèë äâà âàæíûõ ðåçóëüòàòà, ïðîèñõîäÿùèå èç àíàëèçà. Ïåðâûé èç íèõ ñâÿçàí ñî ñðàâíåíèåì òèïà áåñêîíå÷íîñòè ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Êàíòîð ïåðåíóìåðîâàë âñå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè, ðàñïîëîæèâ âñå ïîëîæèòåëüíûå â âèäå ìàòðèöû áåñêîíå÷íîé âïðàâî è âíèç. Íóìåðàöèÿ îïðåäåëàëàñü çèãçàãîîáðàçíî ïî äèàãîíàëÿì, íà êîòîðûõ ñòîÿëè äðîáè ñ îäèíàêîâîé ñóììîé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ.
1/1 −→ 2/1
3/1 −→ 4/1...
. 1/2
2/2 % ...
↓ 1/3 % ... Ýòîò ðåçóëüòàò Ã.Êàíòîðà ïîêàçûâàë, ÷òî ñðåäè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû îí ñðàâíèë ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë è ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è ïîêàçàë, ÷òî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë óæå íåñ÷åòíîå ìíîæåñòâî è òàêèì îáðàçîì â ÷àñòíîñòè èíäóêöèÿ ê íèì íå ïðèìåíèìà. Ñàì ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ðåçóëüòàòà øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ â ìàòåìàòèêå è åãî íàçûâàþò äèàãîíàëüíûì ìåòîäîì. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà âåäåòñÿ îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü ìû ìîæåì ïåðåíóìåðîâàòü âñå âåùåñòâåííûå ÷èñëà r0 , ..., rn , .... Ìû îïðåäåëèì òåïåðü íîâîå ÷èñëî r, êîòîðîå â äåñÿòè÷íîé çàïèñè èìååò âèä 0, δ0 δ1 δ2 ..., ãäå öèôðà δn â ýòîì ðàçëîæåíèè ðàâíà 0, åñëè nòûé çíàê â äåñÿòè÷íîì ðàçëîæåíèè ÷èñëà rn íå ðàâåí 0 è δn ðàâíî 1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ëåãêî âèäåòü ÷òî òàêîå ÷èñëî r îòëè÷íî îò âñåõ ÷èñåë â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
r0 , ..., rn , .... Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò íàøå óòâåðæäåíèå. Òàêèì îáðàçîì ìû äîêàçàëè, ÷òî ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà ñ ðàçëè÷íûì
Lecture 1
5
÷èñëîì ýëåìåíòîâ. Îäíàêî Á.Ðàññåëîì áûëî ïîêàçàíî, ÷òî øèðîêàÿ òðàêòîâêà ìíîæåñòâ ïî Êàíòîðó (1895) áûñòðî ïðèâîäèò ê ïàðàäîêñàì. Ïðèìåð 1. (Ïàðàäîêñ Ðàññåëà, 1902 ã.). Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ
Y . Îïðåäåëèì òåïåðü ìíîæåñòâî X = {x ∈ Y | x ∈ / x}. Ïîäìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ X âûäåëÿåòñÿ â ìíîæåñòâå âñåõ ìíîæåñòâ ïðîñòûì ñâîéñòâîì è êîíå÷íî æå ñàìî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì. Ðàññìîòðèì òåïåðü äëÿ íåãî äâå âîçìîæíîñòè. 1) Åñëè X ∈ X , òî ïî îïðåäåëåíèþ ýëåìåíòîâ èç X ìû ïîëó÷àåì, ÷òî X ∈ / X. Çíà÷èò ýòîò ñëó÷àé íåâîçìîæåí. 2) Åñëè æå ìû ðàññìîòðèì âòîðóþ âîçìîæíîñòü X ∈ / X , òî â ñèëó âûïîëíèìîñòè ñâîéñòâà îïðåäåëÿþùåãî ýëåìåíòû èç Y , êîòîðûå ëåæàò â ïîäìíîæåñòâå X ìû èìååì, ÷òî X ∈ X. ×òî âíîâü ïðîòèâîðå÷èò íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ. Òàêèì îáðàçîì ìû ïîêàçàëè, ÷òî ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ â îáîèõ ñëó÷àÿõ è íàøà íàèâíàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ ïðîòèâîðå÷èâà è íå ãîäèòñÿ â êà÷åñòâå îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè. Èçâåñòíû è äðóãèå ëîãè÷åñêèå ïàðàäîêñû, ñâÿçàííûå ñ áîëåå ïðîäâèíóòûìè ïîíÿòèÿìè è ðåçóëüòàòàìè èç òåîðèè ìíîæåñòâ: 1. Ïàðàäîêñ Êàíòîðà, 1899 ã. Î ìîùíîñòÿõ ìíîæåñòâà âñåõ ìíîæåñòâ è ìíîæåñòâà âñåõ åãî ïîäìíîæåñòâ. 2. Ïàðàäîêñ Áóðàëè-Ôîðòè, 1897 ã. Î ñóùåñòâîâàíèè ìíîæåñòâà âñåõ îðäèíàëüíûõ ÷èñåë. Íî áûëè îáíàðóæåíû è äðóãèå ïàðàäîêñû, íîñÿùèå óæå ñåìàíòè÷åñêèé õàðàêòåð: 1. Ïàðàäîêñ ëæåöà. Íåêòî ãîâîðèò:"ß ëãó". 2. Ïàðàäîêñ Ðèøàðà, 1905ã. Ñ ïîìîùüþ ôðàç ðóññêîãî ÿçûêà ìîãóò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíû òå èëè èíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Âñå ôðàçû ðóññêîãî ÿçûêà ìîãóò áûòü ïåðåíóìåðîâàíû íåêîòîðûì ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì, à èìåííî ëåêñèêîãðàôè÷åñêè ôðàçû ñîäåðæàùèå îäèíàêîâîå ÷èñëî áóêâ, à ôðàçû ðàçíîé äëèíû óïîðÿäî÷èì ïî èõ äëèíå. Îïóñòèâ òåïåðü â ñòàíäàðòíîé íóìåðàöèè âñåõ ôðàç âñå ôðàçû
6 íå îïðåäåëÿþùèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ìû ïîëó÷àåì íóìåðàöèþ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, îïðåäåëèìûõ ôðàçàìè ðóññêîãî ÿçûêà. ×èñëî, ïîëó÷àþùåå ïðè òàêîé íóìåðàöèè íîìåð n íàçîâåì n-ûì ÷èñëîì Ðèøàðà. Îïðåäåëèì òåïåðü ÷èñëî α ôðàçîé ðóññêîãî ÿçûêà."Âåùåñòâåííîå ÷èñëî, ó êîòîðîãî â äåñÿòè÷íîé çàïèñè äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ñîîòâåòñòâóþùåì ìåñòå ñòîèò íóëü, åñëè ó ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëà Ðèøàðà íà ýòîì äåñÿòè÷íîì çíàêå ñòîèò íå íóëü è åäèíèöà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå". Íî ýòî ÷èñëî îïðåäåëèìî ôðàçîé ðóññêîãî ÿçûêà è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì Ðèøàðà, íî îíî îïðåäåëåíî òàê, ÷òî îòëè÷àåòñÿ îò n-ãî ÷èñëà Ðèøàðà â n-çíàêå. 3. Ïàðàäîêñ Áåððè, 1906 ã. Ðàññìîòðèì íàòóðàëüíîå ÷èñëî k ñî ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: íàèìåíüøåå èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå õàðàêòåðèçóþòñÿ íèêàêîé ôðàçîé ðóññêîãî ÿçûêà, ñîäåðæàùåé íå áîëåå ïÿòèäåñÿòè ñëîãîâ. Íî ýòà ôðàçà ñîäåðæèò ìåíåå ïÿòèäåñÿòè ñëîãîâ. Ïðîòèâîðå÷èå. 4. Ïàðàäîêñ Ãðåëëèíãà, 1908 ã. Ðàññìîòðèì ïðèëàãàòåëüíûå â ðóññêîì ÿçûêå. Îïðåäåëèì äâà òèïà ïðèëàãàòåëüíûõ. Àâòîëîãè÷åñêèå ïðèëàãàòåëüíûå, êîòîðûì ïðèñóùå íàçâàííîå ñâîéñòâî. Íàïðèìåð: ìíîãîñëîæíûé, ðóññêèé, . . .. Ãåòåðîëîãè÷åñêèå ïðèëàãàòåëüíûå: êîòîðûì íå ïðèñóùå íàçâàííîå ñâîéñòâî. Íàïðèìåð: îäíîñëîæíûé, ôðàíöóçñêèé, ãîëóáîé, . . .. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðèëàãàòåëüíîå "ãåòåðîëîãè÷åñêîå". Ê êàêîìó òèïó îíî ïðèíàäëåæèò. Åñëè îíî ãåòåðîëîãè÷íî, òî îíî íå îáëàäàåò ýòèì ñâîéñòâîì è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî íå ãåòåðîëîãè÷íî. Åñëè æå îíî àâòîëîãè÷íî, òî îíî ñàìî äîëæíî îáëàäàòü ýòèì ñâîéñòâîì, òî åñòü îíî ãåòåðîëîãè÷åñêîå è íå àâòîëîãè÷åñêîå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû øèðîêî èçâåñòíî è ìíîãîîáðàçèå ñìûñëà íåêîòîðûõ ôðàç ðóññêîãî ÿçûêà, ÷òî òàê æå ïðèâîäèò ê ïðîáëåìå ïîíèìàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ. Îñîáåííî ÷àñòî ýòà ìíîãîçíà÷íîñòü ñìûñëà âîçíèêàåò â äëèííûõ îïðåäåëåíèé êîíñòðóêöèé äàæå â ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâàõ. À â íàøèõ îáû÷íûõ ðàññóæäåíèÿõ ýòî âñòðå÷àåòñÿ äîâîëüíî ÷àñòî, íàïðèìåð: "Îí æäàë åå íà ïîëÿíå ñ öâåòàìè". Âñå ýòè ïàðàäîêñû ïîäëèííûå, òî åñòü íå ñîäåðæàò ëîãè÷åñêèõ èçúÿíîâ.
Lecture 1
7
Ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî âûäåëèòü òîò ìàòåìàòè÷åñêèé ÿçûê, êîòîðûé ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü â äîêàçàòåëüñòâàõ, ÷òîáû íå âîçíèêàëè ïðîáëåìû ïîñòðîåíèÿ óòâåðæäåíèé ñ íåîäíîçíà÷íûì ñìûñëîì. À òàêæå òðåáóåòñÿ óòî÷íèòü è ñàìî ïîíÿòèå äîêàçàòåëüñòâà â ìàòåìàòèêå. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ ïðîáëåì áûëî ðàçðàáîòàíî èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ.  Èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ îïðåäåëåí ôîðìàëüíûé ÿçûê è â íåì áûëî ïîñòðîåíî ìàòåìàòè÷åñêè êîððåêòíîå ïîíÿòèå äîêàçàòåëüñòâà. Îäíàêî óæå â îïðåäåëåíèè ïîíÿòèÿ äîêàçàòåëüñòâà âîçíèêëè ðàçíûå ïîäõîäû: êëàññè÷åñêèé è èíòóèöèîíèñòñêèé. Ïðîáëåìà ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñóùåñòâîâàíèÿ è èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ äîêàçàòåëüñòâà îò ïðîòèâíîãî. Îäíàêî ïðîáëåìà âûáîðà îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè è îáîñíîâàíèå èõ êîððåêòíîñòè òàêæå ïðèâåëî ê ðàçëè÷íûì ïîäõîäàì ê èõ ðåøåíèþ. Ïðèíöèïû ðåøåíèé: 1. Ä.Ãèëüáåðò èññëåäîâàë íåïðîòèâîðå÷èâîñòü ðàçëè÷íûõ òåîðèé, âîçíèêàþùèõ â ìàòåìàòèêå. Ïî åãî ìíåíèþ äëÿ ðàçâèòèÿ òåîðèè è åå íàäåæíîñòè íåîáõîäèìî äîêàçàòü åå íåïðîòèâîðå÷èâîñòü. 2. Ý.Öåðìåëî àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. 3. Á.Ðàññåë è À.Óàéòõåä òåîðèÿ òèïîâ.  òåîðèè òèïîâ ñ êàæäûì îáúåêòîì ñâÿçûâàåòñÿ òèï ýòîãî îáúåêòà è ýëåìåíòû ìíîæåñòâà èìåþò ìåíüøèé òèï, ÷åì ñàìî ýòî ìíîæåñòâî. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò èçáàâèòñÿ îò ïàðàäîêñà Á.Ðàññåëà. 4. Äåñêðèïòèâíàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Áîðåëü,Áýð, Ëåáåã, Ñóñëèí, Àëåêñàíäðîâ, Ëóçèí, Íîâèêîâ, Ñåðïèíñêèé, ß.Ìîñêîâàêèñ.  ýòîé òåîðèè ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî "ïðîñòûå"ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è èçó÷àþòñÿ èõ ñâîéñòâà. Ýòà òåîðèÿ îêàçàëàñü òåñíûì îáðàçîì ñâÿçàíà ñ òåîðèåé âû÷èñëèìîñòè è òåîðèåé äîïóñòèìûõ ìíîæåñòâ. Äàâèä Ãèëüáåðò ïðåäëîæèë ïðîâåðèòü íåïðîòèâîðå÷èâîñòü ñèñòåìû, â ðàìêàõ ñèñòåìû îïðåäåëèòü ïîíÿòèå "äîêàçàòåëüñòâî" è åãî èñïîëüçîâàòü. Ïîñòðîèòü êîíå÷íîå îáîñíîâàíèå ýòîé îáëàñòè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû âîçíèêàåò ïðîáëåìà ñåìàíòèêè ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ è ïîñòðîåíèÿ ñåìàíòèêè äëÿ èõ ðàçëè÷íûõ àêñèîìàòèçàöèé.  òî æå âðåìÿ ñ ïîñòðîåíèåì ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ è èõ òî÷íîé ñåìàíòèêè ñòàíîâèòñÿ àêòóàëüíîé ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ óíèâåðñàëüíîãî ñïîñîáà ðåøåíèÿ âñåõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
8 ïðîáëåì ôîðìóëèðóåìûì íà ýòîì ôîðìàëüíîì ÿçûêå. Òàêèì îáðàçîì âîçíèêàåò ïðîáëåìà àíàëèçà àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðîáëåì è ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà. È ýòî áûëî ñäåëàíî ðàáîòàìè ìàòåìàòèêàìè èç ðàçíûõ ñòðàí. Ýòî îòêðûòèå ïðèâåëî ê íåîæèäàííûì ïîñëåäñòâèÿì êàê â ìàòåìàòèêå, òàê è â ðàçâèòèè íàøåé öèâèëèçàöèè.  ìàòåìàòèêå áûëè äîêàçàíû çíàìåíèòûå òåîðåìû Ãåäåëÿ î íåïîëíîòå è À.×åð÷à î íåðàçðåøèìîñòè Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. À â òåõíèêå è ïðîèçâîäñòâå, äà âî âñåì óêëàäå æèçíè íàøåãî îáùåñòâà è â íàøåé öèâèëèçàöèè ïðîèçîøëè êîðåííûå èçìåíåíèÿ êàê â òåõíîëîãèÿõ, òàê è â âîçìîæíîñòÿõ ÷åëîâåêà äëÿ ðàáîòû ñ èíôîðìàöèåé è äîñòóïà ê èíôîðìàöèè è ìåòîäàõ ïîçíàíèÿ îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà. Èòàê çàäà÷à íàøåãî êóðñà ïîñòðîèòü ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ, â ðàìêàõ êîòîðîé ìû ñìîæåì äàòü òî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå òàêèõ âàæíûõ ïîíÿòèé êàê "Äîêàçàòåëüñòâî"óòâåðæäåíèÿ, "Èñòèííîñòü"óòâåðæäåíèÿ, "àëãîðèòì"è "âû÷èñëèìîñòü", à òàê æå óñòàíîâèòü ôóíäàìåíòàëüíûå ñâîéñòâà ýòèõ ïîíÿòèé è ñâÿçè ìåæäó íèìè. Ìû òàêæå õîòèì ïîñòðîèòü àêñèîìàòè÷åñêóþ òåîðèþ ìíîæåñòâ, êîòîðàÿ ëåæèò â îñíîâàíèÿõ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè, è îòâåòèòü íà âîïðîñ Ëåéáíèöà: "Åñòü ëè íåêîòîðûé óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá ðåøåíèÿ âñåõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðîáëåì?
LECTURE 2 Ëåêöèÿ 2. Íàèâíàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ.
Ïðè îïðåäåëåíèè íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ, ÷òîáû èçáåæàòü êîíôëèêòîâ ñ ñóùåñòâîâàíèåì ìíîæåñòâà âñåõ ìíîæåñòâ è äðóãèìè èçâåñòíûìè ïðîòèâîðå÷èÿìè, ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü,÷òî ìû èìååì íåêîòîðûé êëàññ ìíîæåñòâ U, óäîâëåòâîðÿþùèé îïðåäåëåííîìó íàáîðó àêñèîì. Èìåííî îáúåêòû èç ýòîãî êëàññ è òîëüêî èõ ìû è áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâàìè. Èç ñâîéñòâ ýòîãî êëàññà áóäåò ëåãêî ñëåäîâàòü, ÷òî ñàì ýòîò êëàññ ìíîæåñòâ íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì è íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñàìîãî ñåáÿ. Èñõîäÿ èç çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ âñåõ èñïîëüçóåìûõ â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå îáúåêòîâ, áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî äëÿ ìíîæåñòâ èç ýòîãî êëàññà âûïîëíÿåòñÿ íåêîòîðàÿ åñòåñòâåííàÿ ñèñòåìà ñâîéñòâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îñíîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ è êîíñòðóêöèé. Ìû áóäåì äîáàâëÿòü ýòè òðåáîâàíèÿ íà ïðàâèëà ðàáîòû ñ ìíîæåñòâàìè èç ýòîãî êëàññà ïî ìåðå íàäîáíîñòè â îïðåäåëåíèè íîâûõ êîíñòðóêöèé íàä ìíîæåñòâàìè èç ýòîãî êëàññà. Áóäåì íàçûâàòü ýòîò ôèêñèðîâàííûé êëàññ îáúåêòîâ U - Óíèâåðñóì ìíîæåñòâ U". Äëÿ çàïèñè èíòåðåñóþùèõ íàñ ñâîéñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü õîðîøî èçâåñòíûå âñåì èç êóðñà àíàëèçà ñîêðàùåíèÿ äëÿ çàïèñè íåêîòîðûõ ñòàíäàðòíûõ âûðàæåíèé, âñòðå÷àþùèõñÿ â çàïèñè ñâîéñòâ. Èòàê ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñîêðàùåíèÿ:
x ∈ Y äëÿ çàïèñè ñâîéñòâà "x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà Y ", à âûðàæåíèå x ∈ / Y áóäåò îáîçíà÷àòü ñâîéñòâî "x íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì Y ". Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òàêæå êâàíòîðû (∀x) è (∃x) äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè âûðàæåíèé "äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x"è "ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x", ñîîòâåòñòâåííî. Ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè: ∧ äëÿ ñîþçà "è", ∨ äëÿ ñîþçà "èëè",
⇔ äëÿ âûðàæåíèÿ "åñëè è òîëüêî åñëè", ⇒ äëÿ âûðàæåíèÿ "âëå÷åò"è ¬ äëÿ îòðèöàíèÿ.
9
10 Íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî èç êàêèõ ýëåìåíòîâ ñîñòîèò äàííîå ìíîæåñòâî è íèêàêèõ èíûõ ïîòóñòîðîííèõ ñâîéñòâ ìíîæåñòâî íå èìååò. Ïî-ýòîìó â êà÷åñòâå ïåðâîé àêñèîìû äëÿ íàøåãî óíèâåðñóìà ìû òðåáóåì âûïîëíèìîñòè àêñèîìû ðàâíîîáúåìíîñòè: X = Y ⇔ (∀x)(x ∈ X ⇔ x ∈ Y ). Ìû ïîòðåáóåì îò íàøåãî óíèâåðñóìà ñóùåñòâîâàíèÿ â U ïóñòîãî ìíîæåñòâà
àêñèîìû ïóñòîãî ìíîæåñòâà: Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî â íàøåì óíèâåðñóìå U, êîòîðîå íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ýëåìåíòà. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó íàøåãî ïðåäïîëîæåíèÿ ðàâíîîáúåìíîñòè, ýòî ñâîéñòâî îòñóòñòâèÿ â íàøåì ìíîæåñòâå ýëåìåíòîâ îïðåäåëÿåò äàííîå ìíîæåñòâî îäíîçíà÷íî. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ââåñòè äëÿ íåãî îñîáûé ñèìâîë
∅. Èñïîëüçóÿ íàøè ñîãëàøåíèÿ î ñîêðàùåíèÿõ ìû ìîæåì çàïèñàòü ýòó àêñèîìó â âèäå: "Ìíîæåñòâî ∅ ïðèíàäëåæèò íàøåìó óíèâåðñóìó"ëèáî â âèäå:
(∃X)(∀Y )(Y ∈ / X). Ïðåæäå âñåãî ìû õîòèì, ÷òîáû ìû ìîãëè îïðåäåëÿòü íàä ýëåìåíòàìè èç íàøåãî óíèâåðñóìà ñòàíäàðòíûå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè, êîòîðûå íåîáõîäèìû â ëþáîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè. Âî-ïåðâûõ ýòî îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ. Ìû ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ àêñèîì ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîæåñòâ ðàâíûõ îáúåäèíåíèþ è ïåðåñå÷åíèþ ëþáûõ ñîâîêóïíîñòåé ìíîæåñòâ, êîòîðûå îáðàçóþò ìíîæåñòâî èç íàøåãî óíèâåðñóìà.  ÷àñòíîñòè ýòî áóäåò ñïðàâåäëèâî è äëÿ äâóõýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ, à îòñþäà è äëÿ ëþáûõ ïàð ìíîæåñòâ, íî ïðè óñëîâèè, ÷òî ìû ìîæåì îáðàçîâûâàòü èç ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ íàøåãî óíèâåðñóìà ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå â òî÷íîñòè èç ýòèõ ýëåìåíòîâ. Îòñþäà ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìû ñìîæåì îáðàçîâûâàòü ëþáûå êîíå÷íûå ìíîæåñòâà èç ýëåìåíòîâ íàøåãî óíèâåðñóìà. ×òîáû îáåñïå÷èòü ýòè âîçìîæíîñòè ìû ââåäåì â êà÷åñòâå àêñèîì ñëåäóþùèé íàáîð òðåáîâàíèé ê íàøåìó óíèâåðñóìó. ×òîáû îïðåäåëèòü ýòè àêñèîìû, ìû ïðèìåì ñëåäóþùèå ñîãëàøåíèÿ î ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ äëÿ çàïèñè êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâ. Äëÿ ìíîæåñòâà èç íàøåãî óíèâåðñóìà, ñîñòîÿùåãî â òî÷íîñòè èç ýëåìåíòîâ íàáîðà
Lecture 2
11
A1 , A2 , ..., An , êîòîðîå â ñèëó àêñèîìû ðàâíîîáúåìíîñòè åäèíñòâåííîå â íàøåì óíèâåðñóìå, ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå {A1 , A2 , ..., An }. Åñëè æå ó íàñ åñòü íåêîòîðîå ñâîéñòâî α(x) ýëåìåíòîâ x íàøåãî óíèâåðñóìà è ñîâîêóïíîñòü âñåõ òàêèõ ýëåìåíòîâ îáðàçóåò ìíîæåñòâî èç íàøåãî óíèâåðñóìà, òî ýòî åäèíñòâåííîå, â ñèëó àêñèîìû ðàâíîîáúåìíîñòè ìíîæåñòâî, ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç {a|α(a)}.
Àêñèîìà ïàðû. Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ X, Y íàøåãî óíèâåðñóìà ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî {X, Y }, ñîñòîÿùåå â òî÷íîñòè èç ýëåìåíòîâ X è Y , òî åñòü â áîëåå ôîðìàëèçîâàííîé çàïèñè (∃Z)(X ∈ Z ∧ Y ∈ Z ∧ (∀W )(W ∈ Z → (W = X ∨ W =
Y )))
Àêñèîìà îáúåäèíåíèÿ. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà X ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ {a| ñóùåñòâóåò ýëåìåíò Y èç ìíîæåñòâà X òàêîé, ÷òî a ∈ Y è Y ∈ X}, â áîëåå ôîðìàëüíîé çàïèñè ñ ó÷åòîì íàøèõ ñîãëàøåíèé ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ {a|(∃Y )(Y ∈
X ∧ a ∈ Y ∧ Y ∈ X} êîððåêòíî îïðåäåëåíà è ëåæèò â íàøåì óíèâåðñóìå. Ìû åå S áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Y ∈X Y èëè ∪X . Ëåãêî âèäåòü òåïåðü, ÷òî èç àêñèîì ïàðû è îáúåäèíåíèÿ äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ Äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ X, Y íàøåãî óíèâåðñóìà ñóùåñòâóåò îáúåäèíåíèå X ∪ Y , êîòîðîå ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ ëåæàùèõ â ìíîæåñòâå X èëè Y , òî åñòü ðàâíîãî ìíîæåñòâó ∪{X, Y }. Åñëè ó íàñ åñòü êîíå÷íûé íàáîð ìíîæåñòâ A1 , A2 , ..., An èç íàøåãî óíèâåðñóìà, òî â ñèëó àêñèîì ïàðû è îáúåäèíåíèÿ ïî èíäóêöèè ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñóùåñòâóåò è êîíå÷íîå ìíîæåñòâî {A1 , A2 , ..., An } è îáúåäèíåíèå âñåõ ýòèõ ìíîæåñòâ A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïåðåñå÷åíèé îòäåëüíîå òðåáîâàíèå íàì íå íóæíî. Ìû ââåäåì äîïîëíèòåëüíóþ àêñèîìó, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü â íàøåì óíèâåðñóìå ïîäìíîæåñòâà, èç êîòîðîé â ÷àñòíîñòè áóäåò ñëåäîâàòü è ñóùåñòâîâàíèå ïåðåñå÷åíèé âñåõ ìíîæåñòâ èç ëþáîãî äàííîãî ìíîæåñòâà.
Àêñèîìà âûäåëåíèÿ. Ïóñòü α(x) íåêîòîðîå ñâîéñòâî òåîðåòèêî - ìíîæåñòâåííîå â ôîðìàëüíîì ÿçûêå òåîðèè ìíîæåñòâ. Áîëåå òî÷íî ýòîò ÿçûê áóäåò ïîñòðîåí
12 ïðè ðàññìîòðåíèè ÿçûêà Èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. À ñåé÷àñ áóäåì ïîíèìàòü íåôîðìàëüíî, ÷òî ýòî ñâîéñòâî âûðàæàåòñÿ òîëüêî ÷åðåç îòíîøåíèå ïðèíàäëåæíîñòè ñ ïîìîùüþ ëîãè÷åñêèõ ñâÿçîê è êâàíòîðîâ. Ìû òðåáóåì ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà X èç óíèâåðñóìà â íàøåì óíèâåðñóìå íàøëîñü ìíîæåñòâî Y òàêîå, ÷òî îíî ñîñòîèò â òî÷íîñòè èç òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâó α(x).  áîëåå ôîðìàëèçîâàííîé çàïèñè ìîæíî âûðàçèòü ýòî òðåáîâàíèå â âèäå çàïèñè
(∀X)(∃Y )(∀Z)(Z ∈ Y ↔ ((Z ∈ X) ∧ α(Z). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòî òðåáîâàíèå âëå÷åò, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ X, Y ñóùåñòâóþò â íàøåì óíèâåðñóìå ìíîæåñòâî X ∩ Y (ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ X, Y ) è ìíîæåñòâî ∩Y ∈X Y (ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ èç X ). Ïîä ïåðåñå÷åíèåì X ∩ Y ìíîæåñòâ X, Y ìû ïîíèìàåì ìíîæåñòâî ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ ëåæàùèõ îäíîâðåìåííî è â X , è â Y . Ïîä ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ èç X ìû ïîíèìàåì ìíîæåñòâî ñîñòîÿùåå â òî÷íîñòè èç òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå âõîäÿò â ëþáîå T ìíîæåñòâî èç X , êîòîðîå è îáîçíà÷àåì îäíèì èç äâóõ ñïîñîáîâ Y ∈X Y èëè
∩X . Ìû áóäåì â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü ñîêðàùåíèÿ â ôîðìóëàõ òèïà "X ⊆
Y ","X = V ∪ W "è "X = V ∩ W ", ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ óòâåðæäåíèé "(∀v)(v ∈ X ⇒ v ∈ Y )", "(∀v)(v ∈ X ⇔ (v ∈ V ∨ v ∈ W ))"è "(∀v)(v ∈ X ⇔ (v ∈ V ∧ v ∈ W ))". Åùå îäíà âàæíàÿ êîíñòðóêöèÿ, êîòîðàÿ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ìàòåìàòèêå ñâÿçàíà ñ îïðåäåëåíèåì ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà. Äîïóñòèìîñòü ðàññìîòðåíèÿ
ìíîæåñòâà ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî ìíîæåñòâà çàäàåòñÿ àêñèîìîé ñòåïåíè. Ìû ãîâîðèì, ÷òî ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà Y , åñëè ëþáîé ýëåìåíò èõ
X ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì Y , òî åñòü (∀Z)(Z ∈ X → Z ∈ Y ). Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ îòíîøåíèÿ áûòü ïîäìíîæåñòâîì (∀Z)(Z ∈ X → Z ∈ Y ) ñèìâîëè÷åñêóþ çàïèñü X ⊆ Y . Çàìåòèì, ÷òî èç àêñèîìû ðàâíîîáúåìíîñòè ñëåäóåò, ÷òî A =
B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A).
13
Lecture 2
Àêñèîìà ñòåïåíè. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà X ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî Y , ñ îñòîÿùåå èç âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X .
Ýòî ìíîæåñòâî ïî ñâîéñòâó ðàâíîîáúåìíîñòè åäèíñòâåííî â íàøåì óíèâåðñóìå è ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ X ÷åðåç P(X). Òàêèì îáðàçîì, P(X) = {Z|Z ⊆ Y }.
Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû è n-êè ýëåìåíòîâ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îñíîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîíÿòèé ïåðâè÷íûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå óïîðÿäî÷åííîé ïàðû ýëåìåíòîâ. Íàì íóæíî èñõîäÿ òîëüêî èç òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ ñâîéñòâ îïðåäåëèòü äëÿ êàæäîé ïàðû ýëåìåíòîâ X, Y ìíîæåñòâî, êîòîðîå áû îïðåäåëÿëî óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó < X, Y >, ïî êîòîðîìó ìû ìîãëè áû âîññòàíîâèòü ýòè äâà ýëåìåíòà è êàêîé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì â ñïèñêå , à êàêîé âòîðîé. Ìû íàçîâåì ìíîæåñòâî {{x}, {x, y}} óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé, ãäå ýëåìåíò x - ïåðâûé, à y - âòîðîé. Áóäåì îáîçíà÷àòü ýòî ìíîæåñòâî ÷åðåç hx, yi. Çàìåòèì, ÷òî ñâîéñòâî ìíîæåñòâà X áûòü óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé hx, yi ÿâëÿåòñÿ òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûì è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: (∃A)(∃B)((A ∈ X ∧ B ∈
X) ∧ ((x ∈ A) ∧ (∀z)(z ∈ A ⇒ z = x)) ∧ (x ∈ B ∧ y ∈ B ∧ (∀z)(z ∈ B ⇒ (z = x ∨ z = y)))). Ýòî îïðåäåëåíèå "ìíîæåñòâî X ðàâíî óïîðÿäî÷åííîé ïàðå hx, yi"áóäåì ñîêðàùåííî çàïèñûâàòü â âèäå "X = hx, yi"
Ïðåäëîæåíèå 1. Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû hx, yi è ha, bi ñîâïàäàþò, åñëè è òîëüêî åñëè (x = a ∧ y = b). Äîêàæåì íàøå óòâåðæäåíèå ñëåâà íàïðàâî (⇐), òî åñòü äîñòàòî÷íîñòü. Åñëè
x = a∧y = b, òî î÷åâèäíî, ÷òî {x} = {a},{x, y} = {a, b} è hx, yi ® {{x}, {x, y}} = {{a}, {a, b}} = ha, bi. Äîêàæåì òåïåðü íàøå óòâåðæäåíèå ñëåâà íàïðàâî(⇒), òî åñòü íåîáõîäèìîñòü. Èòàê ìû õîòèì äîêàçàòü, ÷òî åñëè hx, yi = ha, bi, òî {{x}, {x, y}} = {{a}, {a, b}}. Åñëè ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {x} â ïåðâîé ÷àñòè, òî â ñèëó àêñèîìû ðàâíîîáúåìíîñòè âîçìîæíû 2 âàðèàíòà:
14 1. {x} = {a}. 2. {x} = {a, b}. Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé. 1) Ïóñòü {x} = {a}. Òîãäà ïî àêñèîìå ðàâíîîáúåìíîñòè x = a, è, ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíåíà îäíà èç ñëåäóþùèõ âîçìîæíîñòåé óæå äëÿ âòîðîãî ýëåìåíòà èç
hx, yi. (1.1.) {x, y} = {a} èëè (1.2.) {x, y} = {a, b}. Åñëè âûïîëíåí ñëó÷àé (1.1), òî ïî àêñèîìå ðàâíîîáúåìíîñòè x = y = a. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî hx, yi ñîñòîèò èç 1 ýëåìåíòà è, ñëåäîâàòåëüíî, {a, b} =
{x}. Îòñþäà ïî àêñèîìå ðàâíîîáúåìíîñòè x = a è x = b,, íî òîãäà x = a = y = b. Åñëè âûïîëíåí ñëó÷àé (1.2), òî y 6= x èëè y = x. Ñëó÷àé y = x ñâîäèòñÿ ê (1.1). À èç y 6= x ñëåäóåò, ÷òî {x, y} 6= {a}, òîãäà {x, y} = {a, b}, íî èç {x} = {a} ñëåäóåò {y} 6= {a}, çíà÷èò x = a è y = b. Ðàññìîòðèì òåïåðü îñòàâøèéñÿ ñëó÷àé. 2) {x} = {a, b}. Íî åñëè {x} = {a, b}, ñëåäîâàòåëüíî, ñèììåòðè÷íî ñëó÷àþ (1.1.) ïîëó÷àåì
a = b = x è x = y = a = b. Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî. Äîêàçàííîå ïðåäëîæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî îïðåäåëåííîå âûøå ïî ïàðå ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíî êîäèðóåò âñþ òðåáóåìóþ èíôîðìàöèþ îá óïîðÿäî÷åííîé ïàðå, ïðè÷åì ýòà èíôîðìàöèÿ èçâëåêàåòñÿ îñíîâûâàÿñü òîëüêî íà òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûõ åãî ñâîéñòâàõ. Îïðåäåëèì òåïåðü ïîíÿòèå óïîðÿäî÷åííîé n-êè ìíîæåñòâ ïðè n ≥ 2 î èíäóêöèè. Äëÿ n = 2 ìû óæå èìååì ýòî ïîíÿòèå. Ïóñòü äëÿ íàáîðîâ èç n ≥ 2 ýëåìåíòîâ
a1 , ..., an ìû èìååì ýòî îïðåäåëåíèå óïîðÿäî÷åííîé n-êè. Îïðåäåëèì òåïåðü
15
Lecture 2
óïîðÿäî÷åííûé íàáîð äëÿ ýëåìåíòîâ a1 , ..., an , an+1 , âçÿâ äëÿ íàáîðà ýëåìåíòîâ
a1 , ..., an ñîîòâåòñòâóþùóþ óïîðÿäî÷åííóþ n-êó < a1 , ..., an > ïîëîæèâ â êà÷åñòâå óïîðÿäî÷åííîãî íàáîðà < a1 , ..., an , an+1 > èç ýëåìåíòîâ a1 , ..., an , an+1 óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó , an+1 >. Èç ïðåäëîæåíèÿ 1 ìû ïîëó÷àåì îñíîâíîå ñâîéñòâî óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ.
Ñëåäñòâèå. < a1 , ..., an >=< a1 , ..., an >⇔ a1 = b1 , ..., an = bn Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå. Îñíîâûâàÿñü íà ïîíÿòèè óïîðÿäî÷åííîé ïàðó ìû ìîæåì îïðåäåëèòü äåêàðòîâî
ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîæåñòâ. Ðàññìîòðèì äâà ìíîæåñòâà A, B . Îïðåäåëèì òåïåðü äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå êàê ìíîæåñòâî A × B â âèäå {hx, yi | x ∈ A, y ∈ B}. Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî âñåãäà ñóùåñòâóåò â íàøåì óíèâåðñóìå. Ýòî ñëåäóåò èç àêñèîìû âûäåëåíèÿ è àêñèîìû ñòåïåíè. Åñëè x ∈ A è y ∈ B , òîãäà
{x} ⊆ A, {x, y} ⊆ (A ∪ B) è
{x} ∈ P(A ∪ B), {x, y} ∈ P(A ∪ B). Ñëåäîâàòåëüíî, hx, yi ∈ P(P(A ∪ B)). Íî â òàêîì ñëó÷àå íàì íóæíî âûäåëèòü â ìíîæåñòâå P(P(A ∪ B)) óïîðÿäî÷åííûå ïàðû, â êîòîðûõ ïåðâûé ýëåìåíò âçÿò èç A, à âòîðîé èç B . Ìû ñìîæåì äîñòè÷ü ýòîãî äâàæäû ïðèìåíèâ àêñèîìó ñòåïåíè è ïîëó÷èâ íàëè÷èå â íàøåì óíèâåðñóìå ìíîæåñòâà P(P(A ∪ B)). À ïîñëå ýòîãî, ïðèìåíÿÿ àêñèîìû âûäåëåíèÿ è ðàâíîîáúåìíîñòè, ëåãêî ïîëó÷àåì, ÷òî A × B = {Z ∈ P(P(A ∪ B))|(∃x)(∃y)(x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ ”Z = hx, yi”)} è ñóùåñòâîâàíèå íàøåãî ìíîæåñòâà. Òåïåðü ïî èíäóêöèè ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ëåãêî äåêàðòîâû ïðîèçâåäåíèÿ íå òîëüêî ïàðû ìíîæåñòâ, íî è ïðîèçâîëüíûõ n ìíîæåñòâ A1 , ..., An , ïîëàãàÿ
A1 × ... × An × An+1 (A1 × ... × An ) × An+1 . Ìû ââåäåì òàêæå ñîêðàùåííóþ
16 çàïèñü äëÿ äåêàðòîâîé ñòåïåíè An ñîñòîÿùåãî èç âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ èç n ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî A1 = A.
Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî P â ìíîæåñòâå An áóäåì íàçûâàòü n-ìåñòíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå A. Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî P â ìíîæåñòâå A1 ×...×An áóäåì íàçûâàòü îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâàõ A1 , ..., An .
Ôóíêöèè íà ìíîæåñòâàõ. Îäíî èç áàçèñíûõ ïîíÿòèé â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå ïîíÿòèå ôóíêöèè.  ðàìêàõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ ïîíÿòèé ìû ìîæåì òåïåðü äàòü ìàòåìàòè÷åñêè òî÷íîå ïîíÿòèå ôóíêöèè. Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà A è B . Ôóíêöèåé f èç A â B íàçîâåì ïîäìíîæåñòâî
f ⊆ A × B , äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ: 1) ∀x ∈ A ∃y ∈ B | hx, yi ∈ f. 2) ∀x, y1 , y2 , åñëè hx, y1 i ∧ hx, y2 i ∈ f ⇒ y1 = y2 . Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ìû îïðåäåëÿåì ïîíÿòèå ôóíêöèè ÷åðåç çàäàíèå åå ãðàôèêà. Ïåðâîå ñâîéñòâî ãàðàíòèðóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè èç A ïðåäåëåí îáðàç. Ìû áóäåì íàçûâàòü â ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f è îáîçíà÷àòü Dom(f ). Èç âòîðîãî óñëîâèÿ ìû ïîëó÷àåì, ÷òî â êàæäîì ñå÷åíèè ïî x åñòü òîëüêî îäíà òî÷êà. Áóäåì îáîçíà÷àòü åäèíñòâåííóþ òî÷êó y äëÿ x òàêóþ, ÷òî hx, yi ∈ f ÷åðåç f (x). Äëÿ ïîäìíîæåñòâ X ⊆ A è Y ⊆ B îáîçíà÷èì ÷åðåç f (X) ìíîæåñòâî {y|(∃x)(hx, yi ∈ f è x ∈ X)} è ÷åðåç f −1 (Y ) ìíîæåñòâî {x|(∃y)(hx, yi ∈ f è y ∈ Y )}. ßñíî, ÷òî f (X) ⊆ B è f −1 (Y ) ⊆ A è áóäåì èõ íàçûâàòü, ñîîòâåòñòâåííî, f îáðàçîì ìíîæåñòâà X è f ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà Y . Ìíîæåñòâî f (A) áóäåì íàçûâàòü îáëàñòüþ çíà÷åíèé ôóíêöèè f îáîçíà÷àòü ÷åðåç Range(f ). Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f èç A â B è ïîäìíîæåñòâ
X1 ⊆ A è X2 ⊆ A âûïîëíåíî ðàâåíñòâî f (X1 ) ∪ f (X2 ) = f (X1 ∪ X2 ),
17
Lecture 2
,à äëÿ ïîäìíîæåñòâ Y1 ⊆ B è Y2 ⊆ B âûïîëíåíû ðàâåíñòâà
f −1 (Y1 ) ∪ f −1 (Y2 ) = f −1 (Y1 ∪ Y2 ) è
f −1 (Y1 ) ∩ f −1 (Y2 ) = f −1 (Y1 ∩ Y2 ) . Ýòî ëåãêî ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé íà îñíîâàíèè àêñèîìû ðàâíîîáúåìíîñòè.  òî æå âðåìÿ âûïîëíåíî âñåãäà âêëþ÷åíèå
f (X1 ) ∩ f (X2 ) ⊇ f (X1 ∩ X2 ), íî îáðàòíîå âêëþ÷åíèå âûïîëíÿåòñÿ íå âñåãäà. Ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ íà âñåì ìíîæåñòâå ðàâíóþ îäíîìó çíà÷åíèþ b è ðàññìîòðåòü äâà ìíîæåñòâà íåïóñòûõ, íî áåç îáùèõ òî÷åê, òî åñòü X1 ∩ X2 = ∅. Òîãäà (f (X1 ) ∩ f (X2 ) =
f (X1 ) = f (X2 )) = {b} 6= ∅, íî f (X1 ) ∪ f (X2 ) = ∅. Ñëåäîâàòåëüíî ðàâåíñòâî íå âûïîëíÿåòñÿ. Ìû áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ f èç A â B ðàçíîçíà÷íîé èëè èíúåêòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ a 6= b èç A çíà÷åíèÿ íà íèõ òàêæå ðàçëè÷íû
f (a) 6= f (b). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f èç A â B ðàçíîçíà÷íà, åñëè è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáûõ ïîäìíîæåñòâ X1 ⊆ A è X2 ⊆ A âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
f (X1 ) ∩ f (X2 ) ⊇ f (X1 ∩ X2 ). Íàçîâåì ôóíêöèþ f èç A â B îòîáðàæåíèåì èç A íà B èëè ñþðúåêòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà b èç B ñóùåñòâóåò ýëåìåíò a b A òàêîé, ÷òî f (a) = b. Ôóíêöèÿ f èç A â B íàçûâàåòñÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì A íà B , åñëè îíà ðàçíîçíà÷íà è ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì A íà B . ßñíî, ÷òî ðàçíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ñâîþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ íà îáëàñòü çíà÷åíèé. Åñëè ôóíêöèÿ f âçàèìíîîäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ìíîæåñòâî A íà B , òî ìíîæåñòâî f −1 {hy, xi|hx, yi ∈ f } îòîáðàæàåò âçàìíîîäíîçíà÷íî ìíîæåñòâî
B íà A è f (f −1 (b)) = b äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà b ∈ B , à f −1 (f (a)) = a äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a ∈ A.
18 Åñëè f ôóíêöèÿ èç A â B , à g ôóíêöèÿ èç B â C , òî îïðåäåëèì ïîäìíîæåñòâî
f ◦ g ⊆ A × C , ïîëîæèâ f ◦ g {hx, zi|(∃y ∈ B)(hx, yi ∈ f ∧ hy, zi ∈ g}. Ïðîñòàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî f ◦ g ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé èç A â C . Ýòà ôóíêöèÿ áóäåò ðàçíîçíà÷íîé, åñëè ôóíêöèè f è g áûëè ðàçíîçíà÷íû. Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâî íåïóñòî, åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò, ïðèíàäëåæàùèé ýòîìó ìíîæåñòâó. Íî êîãäà ìû ðàññìàòðèâàåì íå îäíî ìíîæåñòâî, à íåêîòîðóþ ñîâîêóïíîñòü íåïóñòûõ ìíîæåñòâ, òî åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ î âûáîðå â êàæäîì ìíîæåñòâå èç ýòîé ñîâîêóïíîñòè êàêîãî-ëèáî ýëåìåíòà, òî åñòü âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà ìíîæåñòâ â èõ îáúåäèíåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåé êàæäîìó ìíîæåñòâó èç ýòîé ñîâîêóïíîñòè ýëåìåíò èç ýòîãî ìíîæåñòâà. Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè òàêîé ôóíêöèè äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ðåøàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî, íî â ñëó÷àå áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ýòî óæå íåòðèâèàëüíàÿ ïðîáëåìà. Ðåøåíèå åå çàâèñèò îò òîãî êàêèå áàçîâûå àêñèîìû ìû íàêëàäûâàåì íà íàø óíèâåðñóì. Çàìåòèì òîëüêî, ÷òî áåç íåå íåâîçìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ áóäåò ñ÷åòíî.
Àêñèîìà âûáîðà. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ èç ìíîæåñòâà åãî íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ â ýòî ìíîæåñòâî, êîòîðàÿ âûäàåò ïî êàæäîìó òàêîìó íåïóñòîìó ïîäìíîæåñòâó ýëåìåíò èç ýòîãî ïîäìíîæåñòâà. Òàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè âûáîðà äëÿ äàííîãî ìíîæåñòâà. Ýòà àêñèîìà íå âêëþ÷àåòñÿ â ñòàíäàðòíûé íàáîð àêñèîì òåîðèè ìíîæåñòâ, íî â ñèëó åå óäîáñòâà è âîçìîæíîñòè äîêàçàòü, ÷òî àêñèîìàòèêà òåîðèè ìíîæåñòâ áåç ýòîé àêñèîìû è ñ ýòîé àêñèîìîé ðàâíî íåïðîòèâîðå÷èâû.  òîæå âðåìÿ ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ ôóíêöèé âûáîðà ìîæíî äîêàçàòü, êàê ìû ïîêàæåì ïîçäíåå, ÷òî äëÿ ëþáûõ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ìîùíîñòü ñàìîãî ìíîæåñòâà ñîâïàäàåò ñ ìîùíîñòüþ åãî êâàäðàòà. Ìû íå áóäåì òðåáîâàòü ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ ôóíêöèé. Ýòà àêñèîìà âûáîðà áóäåò ïðîàíàëèçèðîâàíà ïîçäíåå ñ òî÷êè çðåíèÿ åå ñâÿçè ñ äðóãèìè òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûìè ïðèíöèïàìè óæå íà îñíîâå ôîðìàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ.
19
Lecture 2
Äðóãîå âàæíîå ñâîéñòâî óæå íåîáõîäèìîå â ñàìûõ ðàçëè÷íûõ êîíñòðóêöèÿõ ñâÿçàíî ñ àêñèîìîé ïîäñòàíîâêè: Åñëè ìû âûáðàëè â íàøåì óíèâåðñóìå ìíîæåñòâî A è îïðåäåëèëè íåêîòîðîå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå ñâîéñòâî ϕ(x, y) òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a èç ìíîæåñòâà A ñóùåñòâóåò â íàøåì óíèâåðñóìå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò b òàêîé, ÷òî âûïîëíåíî ñâîéñòâî ϕ(a, b), òî ñóùåñòâóåò â óíèâåðñóìå ìíîæåñòâî B , ñîäåðæàùåå âñå òàêèå ýëåìåíòû, òî åñòü ëþáîé b òàêîé, ÷òî íàéäåòñÿ ýëåìåíò a â A, ÷òî âûïîëíåíî ñâîéñòâî ϕ(a, b), ëåæèò â B .
×àñòè÷íûå ïîðÿäêè è ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Íàðÿäó ñ ïîíÿòèåì ôóíêöèè âàæíûìè êîíñòðóêöèÿìè â ìàòåìàòèêå ÿâëÿþòñÿ ÷àñòè÷íûå è ëèíåéíûå ïîðÿäêè, à òàêæå îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè è ôàêòîðìíîæåñòâà. Ââåäåì òàêæå îñíîâûâàÿñü íà òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé òî÷êå çðåíèÿ ýòè ïîíÿòèÿ. Ïóñòü A íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Áèíàðíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå
A áóäåì íàçûâàòü ëþáîå ïîäìíîæåñòâî Q ⊆ A × A. Àíàëîãè÷íî, n-àðíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæåñòâå A, áóäåì íàçûâàòü ïîäìíîæåñòâî Q ⊆ An . Áèíàðíîå îòíîøåíèå P ⊆ A × A íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íûì
ïîðÿäêîì íà A, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1. Ðåôëåêñèâíîñòü: ∀x ∈ A hx, xi ∈ P. 2. Àíòèñèììåòðè÷íîñòü: ∀x, y ∈ A, åñëè
hx, yi ∈ P &hy, xi ∈ P ⇒ x = y. 3. Òðàíçèòèâíîñòü: ∀x, y, z ∈ A, åñëè
hx, yi ∈ P &hy, zi ∈ P ⇒ hx, zi ∈ P . Åñëè áèíàðíîå îòíîøåíèå P ⊆ A × A çàäàåò íà ìíîæåñòâå A ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà A, òî ïîäìíîæåñòâî P< ⊆ P , ñîñòîÿùåå èç âñåõ òåõ ïàð èç P , êîòîðûå ñîñòîÿò èç íåðàâíûõ ýëåìåíòîâ íàçûâàåòñÿ ñòðîãèì ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îíî óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
20 1. Èððåôëåêñèâíîñòü: ∀x ∈ A hx, xi ∈ / P. 2. Òðàíçèòèâíîñòü: ∀x, y, z ∈ A, åñëè
hx, yi ∈ P &hy, zi ∈ P ⇒ hx, zi ∈ P . Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâ P(A) ìíîæåñòâà A è áèíàðíîå îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ θ⊆ {hX, Y i|X ∈ P(A) ∧ Y ∈ P(A) ∧ ”X ⊆ Y ”}. Òàê ìû îïðåäåëÿåì îòíîøåíèå âêëþ÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå ïîäìíîæåñòâ, êîòîðîå êîíå÷íî æå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì. Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N {0, 1, 2, 3, ..., n, n+
1, ...}. Îïðåäåëèì îòíîøåíèå äåëèìîñòè "a äåëèò b": θ/ {ha, bi|(∃k)(b = ka)}. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ìû ïîçäíåå ïîñòðîèì â íàøåé òåîðèè ìíîæåñòâ ïîíÿòèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà è îïðåäåëèì ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë â íàøåì óíèâåðñóìå, íî äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ íà íàø óíèâåðñóì. Áèíàðíîå îòíîøåíèå P ⊆ A × A íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íûì
ïðåäïîðÿäêîì íà A, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1. Ðåôëåêñèâíîñòü: ∀x ∈ A hx, xi ∈ P. 2. Òðàíçèòèâíîñòü: ∀x, y, z ∈ A, åñëè
hx, yi ∈ P &hy, zi ∈ P ⇒ hx, zi ∈ P . Åñëè P ÷àñòè÷íûé ïðåäïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå A, òî ÷àñòî âìåñòî hx, yi ∈ P áóäåì èñïîëüçîâàòü áîëåå ïðèâû÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáîçíà÷åíèå x ≤P y . ßñíî, ÷òî ëþáîé ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïðåäïîðÿäêîì. Åñëè áèíàðíîå îòíîøåíèå P ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì íà A, òî íàçîâåì ïàðó hA, P i ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì. ×àñòî ìû áóäåì åãî çàïèñûâàòü â âèäå hA, ≤P i ëèáî ïðîñòî hA, ≤i. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî hA, P i íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå ñðàâíèìîñòè: (∀a ∈ A)(∀b ∈ A)(ha, bi ∈ P ∨ hb, ai ∈ P ).
21
Lecture 2
Ïîäìíîæåñòâî B îñíîâíîãî ìíîæåñòâà ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà
hA, P i íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûì ñåãìåíòîì â hA, P i, åñëè äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ b èç B è ýëåìåíòà a èç A, åñëè ha, bi ∈ P , òî ýëåìåíò a òàêæå èç B . Áèíàðíîå îòíîøåíèå θ ⊆ A × A íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì
ýêâèâàëåíòíîñòè íà A, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1. Ðåôëåêñèâíîñòü: ∀x ∈ A hx, xi ∈ θ. 2. Ñèììåòðè÷íîñòü: ∀x, y ∈ A, åñëè
hx, yi ∈ θ ⇒ hy, xi ∈ θ. 3. Òðàíçèòèâíîñòü: ∀x, y, z ∈ A, åñëè
hx, yi ∈ θ &hy, zi ∈ θ ⇒ hx, zi ∈ θ.
Åñëè áèíàðíîå îòíîøåíèå θ ⊆ A × A íà ìíîæåñòâå A ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà A, òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a èç A îïðåäåëèì ñìåæíûé êëàññ
a/θ {b | b ∈ A è ha, bi ∈ θ. Ìû çäåñü è â äàëüíåéøåì èñïîëüçóåì ñèìâîë äëÿ óêàçàíèÿ òîãî, ÷òî ìû îïðåäåëÿåì ëåâóþ ÷àñòü ðàâíîé ïðàâîé ïî îïðåäåëåíèþ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ A ïåðåñå÷åíèå ñìåæíûõ êëàññîâ
a/θ ∩ b/θ íå ïóñòî, åñëè è òîëüêî åñëè ha, bi ∈ θ. Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A çàäàåò ðàçáèåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà ñìåæíûõ êëàññîâ, ñîñòîÿùèõ èç ïîïàðíî ýêâèâàëåíòíûõ ýëåìåíòîâ. Òåïåðü ìû ìîæåì îïðåäåëèòü â ìíîæåñòâå ïîäìíîæåñòâ P(A) ìíîæåñòâà A ïîäìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ñìåæíûõ êëàññîâ íà A ïî îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè
θ è áóäåì åãî îáîçíà÷àòü A/θ è íàçûâàòü ôàêòîð-ìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà A ïî îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè θ. ßñíî, ÷òî A/θ = {a/θ|a ∈ A}. Êàê ëåãêî âèäåòü, ìû ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà è îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íà íåì èç íàøåãî óíèâåðñóìà ôàêòîð-ìíîæåñòâî òàêæå ïðèíàäëåæèò íàøåìó óíèâåðñóìó. Åñëè P ÷àñòè÷íûé ïðåäïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå A, òî îïðåäåëèì íîâîå áèíàðíîå îòíîøåíèå θ(P ) {hx, yi ∈ A2 |hx, yi ∈ P è hx, xi ∈ P }.
22 Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îòíîøåíèå θ(P ) ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A. Ðàññìîòðèì òåïåðü ôàêòîð-ìíîæåñòâî A/θ(P ). Îïðåäåëèì òåïåðü íà ýòîì ôàêòîð-ìíîæåñòâå áèíàðíîå îòíîøåíèå Pθ {hx/θ, y/θihx, yi ∈ P }. Ëåãêî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî, ÷òî ýòî áèíàðíîå îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ óæå ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì. Áóäåì åãî íàçûâàòü ÷àñòè÷íûì ïîðÿäêîì, èíäóöèðîâàííûì ïðåäïîðÿäêîì P . Ýòî ñòàíäàðòíàÿ êîíñòðóêöèÿ ñêëåèâàíèÿ ýêâèâàëåíòíûõ ýëåìåíòîâ îòíîñèòåëüíî ïðåäïîðÿäêà òàêèì îáðàçîì, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñêëåèâàíèÿ ìû óæå ïîëó÷àåì íà ñìåæíûõ êëàññàõ ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê. À îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè θ(P ) ïðè ýòîì ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà A òàêèì, ÷òî îòíîøåíèå P îïðåäåëÿåò óæå íà ôàêòîð-ìíîæåñòâå A/θ ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ îá ýëåìåíòàõ ÷.ó.ì.. Ïóñòü A ìíîæåñòâî, à P ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà A, hA, P i ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (÷.ó.ì). Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî X â ìíîæåñòâå A. Ýëåìåíò a íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèì (íàèìåíüøèì) â ïîäìíîæåñòâå X ÷.ó.ì. hA, P i, åñëè a ∈ X è (∀y ∈ X)y ≤p a ( a ∈ X è (∀y ∈ X), a ≤p y ). Ýëåìåíò a íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûì (ìèíèìàëüíûì) â ïîäìíîæåñòâå
X ÷.ó.ì. hA, P i, åñëè a ∈ X è (∀y ∈ X)(a ≤p y ⇒ y = a) ( a ∈ X è ∀y ∈ X , y ≤p a ⇒ y = a).
Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì â ìíîæåñòâå ïîäìíîæåñòâP(N ) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ îòíîøåíèåì âêëþ÷åíèÿ ïîäìíîæåñòâî X , ñîñòîÿùåå èç ìíîæåñòâ {0, 1}, {0, 2}, {0}. Òîãäà {0} íàèìåíüøèé è ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò â X , à ýëåìåíòû {0, 1} è {0, 2} ìàêñèìàëüíûå â X . Ýëåìåíò a íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ äëÿ ïîäìíîæåñòâà X ÷.ó.ì. hA, P i, åñëè a ∈ A è (∀y ∈ X)(y ≤P a) ( a ∈ A è (∀y ∈ X), (a ≤P y)). Ýëåìåíò a íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ äëÿ ïîäìíîæåñòâà
X ÷.ó.ì. hA, P i åñëè a ∈ A è ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì (íàèáîëüøèì) ýëåìåíòîâ
Lecture 2
23
ñðåäè âåðõíèõ (íèæíèõ) ãðàíåé äëÿ ïîäìíîæåñòâà X ÷.ó.ì. hA, P i. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü òî÷íóþ âåðõíþþ (íèæíþþ) ãðàíü äëÿ ïîäìíîæåñòâà X ÷.ó.ì. hA, P i ÷åðåç sup(X) èëè suphA,P i (X) (inf (X) èëè infhA,P i (X)). Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî â ëþáîì êîíå÷íîì ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå âñåãäà åñòü ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò.  áåñêîíå÷íûõ æå ìíîæåñòâàõ, íàïðèìåð â ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì, ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìîæåò è íå áûòü. ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî hA, P i íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî åãî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ïîäìíîæåñòâà åñòü âåðõíÿÿ ãðàíü. Íà îñíîâå Àêñèîìû âûáîðà, êàê ìû òàêæå äîêàæåì ïîçäíåå ñëåäóþùåå ïîëåçíîå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà Öîðíà.  ëþáîì èíäóêòèâíîì ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå ñóùåñòâóåò ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò. Áîëåå òîãî, ïðè ðàññìîòðåíèè àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîæåñòâ ÖåðìåëîÔðåíêåëÿ ìû äîêàæåì, ÷òî ýòà ëåììà ýêâèâàëåíòíà Àêñèîìå âûáîðà. ×àñòî ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàþò ïðèíöèïîì ìàêñèìóìà.
LECTURE 3 Ëåêöèÿ 3. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà.  ýòîé ëåêöèè ìû íà÷íåì ïîñòðîåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë â íàøåì óíèâåðñóìå è ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, à òàêæå ìíîæåñòâà îðäèíàëîâ, êàê áåñêîíå÷íîãî àíàëîãà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë è òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè. Êàê áûëî çàìå÷åíî ðàíåå ìû èìååì äëÿ íàøåãî óíèâåðñóìà àêñèîìó ñóùåñòâîâàíèÿ ïóñòîãî ìíîæåñòâà:
Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ®, êîòîðîå íå ñîäåðæèò íè îäíîãî ýëåìåíòà. Îñíîâûâàÿñü íà ýòîé àêñèîìå, àêñèîìàõ ïàðû è îáúåäèíåíèÿ ìû ìîæåì ëåãêî îïðåäåëèòü ñëåäóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ, îïðåäåëÿÿ äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà èç ìåòàòåîðèè ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîæåñòâî. Ýòî è áóäóò íàòóðàëüíûå ÷èñëà â íàøåé òåîðèè ìíîæåñòâ. Ïîëàãàåì, 0 ®. Çàìåòèì, ÷òî 0 ∈ / 0. Òåïåðü îïðåäåëèì 1 0 ∪ {0} = {®}, ÿñíî, ÷òî |0| < |1|, ãäå ìíîæåñòâî 1 ñîñòîèò â òî÷íîñòè èç îäíîãî ýëåìåíòà 0 ∈ 1,
/ 1. Ìû ìîæåì ïðîäîëæèòü àíàëîãè÷íóþ êîíñòðóêöèþ è äàëüøå. íî 1 ∈ Ïóñòü n îïðåäåëåíî, n + 1 n ∪ {n}, à èç n ∈ / n ñëåäóåò, ÷òî n + 1 ∈ / n+1 è
n∈n+1 . Îáðàçîâàëàñü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ . . ., ò. å., íà÷èíàÿ ñ ïóñòîãî ìíîæåñòâà ®, ìû îïðåäåëèëè ýëåìåíòû â íàøåì óíèâåðñóìå, îïðåäåëÿþùèå â íåì íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Íàì áóäåò íóæíî ïîêàçàòü â äàëüíåéøåì, ÷òî îíè ïîçâîëÿþò äåéñòâèòåëüíî èñïîëüçîâàòü èõ ïðè ïîñòðîåíèÿõ â ñîîòâåòñòâèè ñ íàøèìè èíòóèòèâíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè î íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ. Ñëåäóþùèé âîïðîñ, êîòîðûé íàñ âîëíóåò, à åñòü ëè â íàøåì óíèâåðñóìå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìû íå ïðèìåì äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé íà íàø óíèâåðñóì, òî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ìíîæåñòâà ìû íå ñìîæåì. È òàêèå ôèíèòàðíûå ñèñòåìû òåîðèè ìíîæåñòâ
25
26 òàêæå èññëåäóþòñÿ â ìàòåìàòèêè. Íî ìû õîòèì ïîñòðîèòü îñíîâó äëÿ ìàòåìàòèêè, â êîòîðîé áû ñîõðàíÿëèñü îñíîâíûå êîíñòðóêöèè êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè è îñíîâíûå òåîðåìû, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñ óñïåõîì ðåøàòü íàðÿäó ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè è ïðèêëàäíûå çàäà÷è, ÷òî îäíàêî íå ïðèâîäèò ê îøèáêàì. À åñëè îíè è ïîÿâëÿþòñÿ, òî âèíîé òîìó íå ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû, à íåêîððåêòíî ïîñòðîåííûå ìîäåëè ÿâëåíèé, êîòîðûå íå ó÷èòûâàþò êàêèõ-ëèáî âàæíûõ ôàêòîðîâ, ëèáî âèíîé òîìó îøèáêè â ðàññóæäåíèÿõ êîíêðåòíîãî èññëåäîâàòåëÿ. Ââåäåì òåïåðü àáñòðàêòíûé àíàëîã íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îðäèíàëû (ïîðÿäêîâûå ÷èñëà), ðàñïðîñòðàíÿþùèå ñâîéñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïîçâîëÿþùèå îñóùåñòâëÿòü èíäóêòèâíûå ïîñòðîåíèÿ íå òîëüêî íà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâàõ, íî è íà ìíîæåñòâàõ áîëüøåé ìîùíîñòè.
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, åñëè ëþáîé ýëåìåíò åãî ëþáîãî ýëåìåíòà ÿâëÿåòñÿ åãî ýëåìåíòîì, òî åñòü
(∀Y ∈ X)Y ⊆ X .
Îïðåäåëåíèå. Îðäèíàëîì ìû áóäåì íàçûâàòü ëþáîå ìíîæåñòâî, êîòîðîå òðàíçèòèâíî è âñå åãî ýëåìåíòû òðàíçèòèâíû. Íåòðóäíî âèäåòü èç îïðåäåëåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë â íàøåì óíèâåðñóìå, ÷òî îïðåäåëåííûå íàìè ìíîæåñòâà 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . ÿâëÿþòñÿ îðäèíàëàìè. Çàìåòèì òàêæå åùå ïàðó ïðîñòåéøèõ ñâîéñòâ îðäèíàëîâ: 1. Åñëè α îðäèíàë è β ∈ α,òî β òîæå îðäèíàë (âñå ýëåìåíòû îðäèíàëîâ ÿâëÿþòñÿ îðäèíàëàìè). 2. Åñëè α îðäèíàë è β α ∪ {α},òî β òîæå îðäèíàë è α ∈ β . Äëÿ èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ îðäèíàëîâ è ïðàâèë ðàáîòû ñ íèìè ââåäåì ïîíÿòèå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ è èçó÷èì èõ ñâîéñòâà.
Âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Ïóñòü Aìíîæåñòâî, P ⊆ A × A ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê íà ýòîì ìíîæåñòâå. ×àñòè÷íûé ïîðÿäîê P íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì íà A, åñëè (∀x, y ∈ A) (x≤P ∨ y≤P x) (ò.å. ëþáûå äâà ýëåìåíòà ñðàâíèìû ìåæäó ñîáîé).
Lecture 3
27
Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (ë.ó.ì.) hA, ≤P i íàçûâàåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì (â.ó.ì.), åñëè â ëþáîì íåïóñòîì ïîäìíîæåñòâå X ⊆ A ìíîæåñòâà A â ýòîì ïîäìíîæåñòâå X ñóùåñòâóåò íàèìåíüøèé ýëåìåíò x0 ∈ X . Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû ëèíåéíîóïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Ïðèìåð 1. Ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì (N, ≤) ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâîì. Ïðèìåð 2. Äîïóñòèì, ÷òî ω ìíîæåñòâî {0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .} íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îïðåäåëåííûõ â íàøåì óíèâåðñóìå. Îïðåäåëèì áèíàðíîå îòíîøåíèå P {hx, yi ∈
ω 2 |x = y ∨ x ∈ y}. òàêîì ñëó÷àå ïàðà hω, ≤P i ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì. Ïðèìåð 3. Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë íà îòðåçêå ([0, 1] ñ åñòåñòâåííûì ïîðÿäêîì h[0, 1], ≤i íå ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì. Ïðèìåð 4. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ïàð íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì ïîðÿäêîì hN 2 , ≤lex i, ãäå ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê ≤lex îïðåäåëåí êàê â ñëîâàðå ñðàâíèâàþòñÿ ñëîâà. Òîãäà íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî hN 2 , ≤lex i âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, òàê êàê äëÿ ëþáîãî íåïóñòîãî ïîäìíîæåñòâà X ìû ìîæåì âûáðàòü íàèìåíüøèé ýëåìåíò, âçÿâ âíà÷àëå íàèìåíüøóþ ïåðâóþ êîîðäèíàòó ó ýëåìåíòîâ èç ýòîãî ìíîæåñòâà X , à çàòåì ñðåäè ýëåìåíòîâ èç X ñ íàèìåíüøåé ïåðâîé êîîðäèíàòîé âûáðàòü íàèìåíüøóþ âòîðóþ êîîðäèíàòó. Òàêèì îáðàçîì íàéäåííàÿ ïàðà è áóäåò íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì â X . Àíàëîãè÷íî ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê íà ëþáîé äåêàðòîâîé ñòåïåíè hN n , ≤lex
i è ýòî òàêæå áóäåò âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì. Ïðèìåð 5. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
N 0. Èç îïðåäåëåíèÿ S γ+β = (γ + δ). Ñëåäîâàòåëüíî, γ + α ∈ γ + β è óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. δ