位相数学入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近 年 にお け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の 応 用 も さ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精神 の 浸 透 が 大 き い.理 工 学 は じめ 医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の 素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 きを 望 め な い で あ ろ う.   編 者 らは,こ の よ うな 事 実 を 考 慮 し,数 学 の 各 分 野 にお け る基 本 的知 識 を確 実 に 伝 え る こ とを 目的 と して本 シ リー ズ の 刊 行 を 企 画 した ので あ る.   上 の主 旨 に した が っ て本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の考 え方 を平 易 に理 解 で き る よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の数 学 に直 結 して,数 学 の基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に容 易 に はい れ る よ う書 か れ て あ る.   これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る人 た ちや 技 術 関 係 の 人 々の 参 考 書 と し て,ま た 学 生 の 入 門書 と して,ひ

ろ く利 用 され る こ とを 念 願 と して い る.

  この シ リー ズ は,読 者 を 数 学 とい う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の観 覚 に 資 す る と と も に,つ

ぎの 段 階 に す す む た め の 力 を 養 うに 役 立 つ こ とを意 図 した もの で あ る .

は

じ

め

に

  位 相 的 方 法 は 現 代 数 学 を 特 徴 づ け る もの の 一 つ で,そ

れ は 数 学 の 多 くの

分 野 に お い て 使 用 され て お り,現 代 数 学 の 理 解 の た め に は 位 相 数 学 は 必 須 の も の と され て い る.し か しな が ら,今 わ た り,位 相 的 方 法 も一 様 で な い.そ

日 で は 位 相 数 学 そ れ 自身 も 多 岐 に

こ で 本 書 で は,微 積 分 とそ れ に つ づ

く解 析 学 に お い て 位 相 的 方 法 が どの よ うに 用 い られ,ま

た 逆 に,解 析 学 が

位 相 数 学 の 研 究 に ど の よ うに 利 用 され て い るか を み る こ とに 話 題 を 限 定 し た.本

書 の 内 容 の 大 部 分 は 微 分 位 相 幾 何 学 と よば れ て い る 分 野 の 基 礎 的 事

項 で あ るが,必

ず し もそ れ ば か りで は な い.本 書 を 「位 相 数 学 入 門 」 と名

づ け た 理 由 も こ こ に あ る.   本 書 は 読 者 に高 等 学 校 程 度 の 数 学 の 知 識 を 仮 定 して い る が,そ 知 識 は 仮 定 せ ず,集

合,位

も一 応 の 説 明 を した.し

相,線

形 代 数,微

れ以 上 の

積 分等 の初 等 的部 分 につ い て

か しな が ら,こ れ らに 不 慣 れ な読 者 は こ の シ リー

ズ 中 の 関 連 す る書 物 を 参 照 して 頂 き た い.   終 りに,本 書 の 執 筆 を お す す め 下 さ っ た 小 松 醇 郎 先 生 に 対 し,ま た 原 稿 に つ い て 訂 正 を 頂 い た 塩 飽 忠 一,浦

久 保 正 美,大

和 健 二 の 諸 君 に 対 し,厚

く感 謝 した い.

1971年8月 著

者

目

0. 

準

  0.1 

次

備 集 合,写

  1 像 

1

  0.2  実 数,Rn 

1.  位

相

6

空 間  

  1.1  距 離 空 間,連

12

  1.2  開 集 合,閉

続 写像 

12

集合 

17

  1.3  位 相 空 間  

24

  1.4  連

30

2. 

結

性

 

コ ン パ ク ト性

  2.1 

 35

コ ン パ ク ト集 合

 35

  2.2  点 列 コ ン パ ク ト,完

備

  2.3  局 所 コ ン パ ク ト,パ

ラ コ ンパ ク ト

3. 

線

形 空

間

 

41

 

47

 

52

  3.1  線 形 空 間

 52

  3.2  線 形 写 像

  58

  3.3  行   3.4 

4. 

列

式

62

ノル ム 空 間  

微

分

  4.2  偏 Cr級

微

70

 

  4.1  写 像 の 微 分

  4.3 

 

分 

写像

79

  79 86  97

5. 

逆 関 数 の 定 理,微

分 方程 式 の解 の存 在 定理

 

  5.1  逆 関 数 の 定 理

 106

  5.2  微 分 方 程 式 の 解 の 存 在 定 理

  114

  5.3  初 期 条 件 に 関 す る 微 分 可 能 性   5.4 

6. 

1パ

ラ メ ー タ ー 変 換 群,イ

多 様 体,接

  6.1 

ソ トピー

お け る多 様 体 の接 空 間

  6.3  多

様

 119   127

空 間

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る 多 様 体

  6.2 Rpに

106

体

  135   135  

141

 

148

  6.4  多 様 体 の 接 空 間

  156

7. 

  165

多 様 体 の リ ー マ ン計 量 と 向 き

  7.1  接   7.2 

束 

165

リ ー マ ン計 量

 169

  7.3  多 様 体 の 向 き

 

8. 

  181

ブ ローエ ル の不 動 点 定理

  8.1 

サ ー ドの 定 理

  8.2  写

像

ワイ エ ル シ ュ トラ ス の近 似 定 理

  8.4 

凸

  8.5 

シ ャ ウ ダ ー の不 動 点 定 理

参 索

考

集

書 引

  181

度 

  8.3 

175

190   195

合 

201  

210

  216  

217

0.  準

  0.1  集 合,写

備

像

  0.1.1  範 囲 の は っ き りした もの を 一 つ に と りま と め て 考 え る と き,こ れ を 集 合 と い い,集 う.xが Xに

合 を構 成 し て い る個 々 の もの を そ の 集 合 の 元 また は 要 素 とい

集 合Xの

元 で あ る と き,こ

属 す る,ま た はxはXに

れ をx∈Xま

た はX∋xと

含 ま れ る とい う.x∈Xの

表 わ し,xは

否 定 を 

で 表わ

なわ ち,x∈Xな

らば

す.   集 合X,X′

が 全 く 同 じ元 か らな っ て い る と き,す

x∈X′ で あ り,か つ,x∈X′ あ る と い い,X=X′   集 合Xの

あ る と き,XとX′

こ の と きXはX′

は 同 じ集 合 で

と書 く.

どの 元 も集 合X′ の 元 で あ る と き,す

の と き,XはX′

と い い,φ

な らばx∈Xで

なわ ちx∈Xな

の 部 分 集 合 で あ る とい い,X⊂X′

らば￨x∈X′

ま た はX′ ⊃Xで

表 わ す.

に 含 ま れ る と も い わ れ る.元 を 全 く もた な い 集 合 を 空 集 合

で 表 わ す.任

意 の 集 合Xに

対 し φ⊂Xと

考 え る.

  有 限 個 の 元 か ら成 り立 っ て い る集 合 を 有 限 集 合 と い い,そ れ ら の 元 がx1,x2, … ,xkの

と き,こ の 集 合 を{x1,x2,…,xk}で

限 集 合 とい う.無

表 わ す.有

限集合 で ない 集合 を 無

限 集 合 の 場 合 もそ の 一 部 を 書 い て 全 体 が 推 測 され る場 合 は,

こ の 集 合 を{a,b,c,…}の

よ うに 表 わ す.

  あ る条 件 を み た す よ うな 元 全 体 の つ く る 集 合 を{x￨…}の こに…

の と ころ にxの

の うち で 集 合Xに   Λ を1つ

よ うに 書 く.こ

み た す べ き条 件 を 書 く の で あ る.な お,こ

属 す る も の の つ く る 集 合 を{x∈X￨…}で

の 集 合 と し,Λ

の 各 元 に1つ

の よ うなx

表 わ す.

の も のxλ が 定 め られ て い る と き,こ

れ ら のxλ 全 体 の 集 合 を{xλ￨λ ∈Λ}ま た は{xλ}λ∈Λで 表 わ し,Λ

を添 字 集合

と い う.な お,{xλ}λ∈Λを{xλ}と 略 記 す る こ と もあ る.   集 合 を 元 とす る よ うな 集 合,す

な わ ち 集 合 の 集 合 を 集 合 族 とい う.集

の 部 分 集 合 か ら な る集 合 族 をXの

部 分 集 合 族 と い う.

合X

  Xの 部 分 集 合 族{Xλ}λ∈Λが 与 え られ た と き,少 な く と も1つ のXλ に 属 す る 元 全体 のつ く る集 合 を 

で 表 わ し,ま た,ど

で 表 わ す.す

く る 集 合 を 

のXλ に も属 す る 元 全 体 の つ

なわ ち に対 し

あ る 

に対し

す べ て の 

こ れ ら を そ れ ぞ れ 部 分 集 合 族{Xλ}λ ∈Λの 和 集 合,共 n}の

と き,和

X1∩X2∩

集 合 はX1∪X2∪…∪Xnま

… ∩Xnま

  A,BをXの

い う.と

く に,集

AをAcで

固 定 し て 考 え る と き,Xの

表 わ し て,Aの

X1,…,Xnの

X×X×

与 え ら れ た と き,各Xiか く る 集 合 を 考 え る.こ

積 集 合 と い う.た

=x1′,x2=x2′

交 わ る と い う. 表 わ し,差

部 分 集 合Aに

集合 と

対 し,X−

補 集 合 と い う.

  集 合X1,X2,…,Xnが (x1,x2,…,xn)のつ

の と き,AとBは

属 さ な い 元 の つ く る 集 合 をA−Bで

合Xを

通 部 分は

で 表 わ さ れ る.

た は 

属 し てBに

で 表 わ され,共

た は 

部 分 集 合 と す る, 

ま た,Aに

通 部 分 と い う.Λ={1,2,…,

…,xn=xn′

ら 元xiを

任 意 に え ら び,列

の 集 合 をX1×X2×

… ×Xnで

だ し(x1,x2,…,xn)=(x1′,x2′,…,xn′)と

を 意 味 す る も の と す る.と

… ×X(n個)をXnで

く に,集

合Xに

表 わ し, はx1 対 し,

表 わ す.

  上 に 述 べ た 集 合 の 演 算 に 関 し て,次

の 基 本 的 な 等 式 が 成 り立 つ.

 (0.1)

  (0.2)

 (0.3)

な お,(0.2)をド   問1    0.1.2 

・モ ル ガ ン(de

(0.1)‐(0.3)を 集 合Xの

Morgan)の

法 則 と い う.

証 明 せ よ.

各 元xに

対 し て 集 合Yの

元 が1つ

ず つ 何 らか の 方 法 で 対

応 させ られ て い る と き,こ の 対 応 づ け をXか つ う1つ の 文 字 で 表 わ し,fが

集 合Xか

らYへ

の 写 像 とい う.写 像 を ふ

ら集 合Yへ

の 写 像 で あ る と き,こ れ

を また は で 表 わ す.fに

よ っ てx∈Xにy∈Yが

yをxのfに   Yが

対 応 し て い る と き,y=f(x)と

書 き,

よ る 像 と い う.

数 の 集 合 の と き は 写 像 を ふ つ う 関 数 と い う.

  x,yは

集 合X,Yの

元 を 一 般 的 に 表 わ す 記 号 で あ る と 考え る こ と に よ り,

写像f:X→Yはy=f(x)ま 立 変 数,yを

た は 単 にf(x)と

も 書 か れ る.こ

の と き,xを

独

従 属 変 数 と い う.

  写 像f:X→Yが

与 え ら れ た と き,A⊂Xに

対 し

f(A)={f(a)∈Y￨a∈A} をAのfに

よ る 像 と い い,B⊂Yに

対 し

f−1(B)={a∈X￨f(a)∈B} をBのfに

よ る 原 像 ま た は 逆 像 と い う.

  f:X→Yを

写 像 と す る.こ

の と き,Xの

部 分 集 合 族{Xλ}λ ∈Λ,Yの

部分 集

合 族{Yλ}λ ∈Λに 対 し,

 (0.4)

が 成 り立 ち,ま

た,A⊂X,B⊂Yに

 (0.5) 

対 し

f−1(f(A))⊃A, f(f−1(B))=B∩f(X)

が 成 り立 つ こ と は 容 易 に 示 さ れ る.   写像f:X→Yの像f(X)が1点y0∈Yの い,同

じ くy0で

=x(x∈A)で

と き,fをy0へ

表 わ す こ と が あ る.ま

た,A⊂Xの

定 義 し て 包 含 写 像 と い う.と

写 像 と い い,1Xま

た は 単 に1で

  写像f:X→Yと

写 像g:Y→Zに

く に,A=Xの

の 定 値 写 像 とい

と き,i:A→Xをi(x) と き,こ

表 わ す. 対 し,写

像h:X→Zをh(x)=g(f(x))

れ を 恒等

(x∈X)で お,こ

定 義 し,hをg°fま

た はgfで

表 わ し て,fとgの

合 成 と い う.な

の とき図 式

は 可 換 で あ る とい う.同 様 に,図

式

が 可換 で あ る とは,ψ°f=g° φ で あ る こ とを 意 味 す る もの とす る.   f:X→Yが f:A→Bが い,f￨Aで

写 像 で,A⊂X,f(A)⊂B⊂Yの 定 義 さ れ る.と

と き,f:X→Yに

く に,f:A→Yをf:X→YのAへ

表 わ す.f:X→Yでg=f￨Aの

×Xn→Y1×Y2×

の 制 限 とい

と き,fをgの

  写 像f1:X1→Y1,f2:X2→Y2,…,fn:Xn→Ynに fn:X1×X2×…

よ り写 像

拡 張 と い う.

対 し,写 … ×Ynを(f1×f2×

像f1×f2×

… ×

… ×fn)(x1,x2,…,xn)

=(f1(x1),f2(x2),…,fn(xn))(x1∈X1,…,xn∈Xn)で

定 義 し,f1

,…,fnの

積 写 像 と い う.   集 合Xに

対 し,Δ:X→XnをΔ(x)=(x,x,…,x)(x∈X)で

線 写 像 と い う.写 (f1×f2×

pi(x1,x2,…,xn)=xiで と 射 影pi:Y1×Y2× が 成

f:X→Yを

… ×Ynを(f1,f2,…,fn)で

対 し,pi:X1×X2× 定 義 し,射 … ×Yn→Yiの

り 立 つ.fiをfの

角

対 し,写

像

像f1:X→Y1,f2:X→Y2,…,fn:x→Ynに

… ×fn)°Δ:X→Y1×Y2×

  集 合X1,X2,…,Xnに

定 義 し,対

第i成

表 わ す.

… ×Xn→Xi(i=1,2,…,n)を

影 と い う.写 合 成 をfiと

像f:X→Y1×Y2×

… ×Yn

す る と き,f=(f1,f2,…,fn)

分 と い う.

写 像 と す る.f(X)=Yの

と き,fを

全 射 また は 上 へ の 写 像 と い

い,f(x)=f(x′)な と い う.全

ら ばx=x′

で あ る と き,fを

射 か つ 単 射 で あ る 写 像 を 全 単 射 ま た は 上 へ の1対1写

  f:X→Yが

全 単 射 の と き,写

義 し て,fの

逆 写 像 と い い,f−1で

  問2 

単 射 ま た は 中 へ の1対1写

(0.4),(0.5)を

像 と い う.

像g:Y→Xをg(f(x))=x(x∈X)に

示 せ.ま

像

よ り定

表 わ す. た,そ

れ ら の うち 等 式 で な い も の に つ い て は,

等 号 が 成 り立 た な い 例 を あ げ よ.   問3 

写 像f:X→Y,g:Y→Zの

単 射 で,gは   0.1.3  る.こ

全 単 射 な ら ば,fは

全 射 で あ る こ と を 示 せ. 一 平 面 上 の 直 線 の 全 体 を 考 え,そ

の と き,直

3条

合 成gof:X→Zが

線xが

直 線yに

こに お い て 平 行 と い う関 係 を 考 え

平 行 で あ る こ と をx∼yで

表 わ せば,次

の

件 が 成 り立 つ:

 ⅰ) 

x∼x.

 ⅱ) 

x∼yな

 ⅲ) 

x∼y,y∼zな

  一 般 に,集

らばy∼x. らばx∼z.

合Xに

て い て,xとyが

お い て,あ

た,x∼yの

  例1 

任 意 の2元x,yの

そ の 関 係 に あ る こ と をx∼yで

が 成 り立 つ な らば,こ う.ま

る 関 係 がXの

表 わ す と き,上

の 関 係 を 同 値 関 係 と い い,上

と き,xはyに

間 に 定 義 され のⅰ)―ⅲ)

のⅰ)―ⅲ)を

同 値 律 とい

同 値 で あ る と い う.

平 面 上 の 図 形 のつ く る 集 合 に お い て,合

同 と い う関 係 は 同 値 関 係 で あ

る.

  例2 

整 数 の つ く る 集 合 に お い て,差

が あ る一 定 数 で わ りきれ る とい う関 係

は 同 値 関 係 で あ る.   Xを の 元xに

集 合 と し,そ 対 し,xと

のⅰ)―ⅲ)よ

こに お い て 同 値 関 係 ∼ が 与 え られ た とす る.こ 同値 な 元 全 体 の つ く る部 分 集 合 をxの

り容 易 に,Xの

す べ て の 元 は1つ

わ す.な

お,同

値 類Cに

は 表 わ す)と い う.xを

同 値 類 と い う.上

しか もた だ1つ

す る こ とが わ か る.同 値 類 全 体 のつ く る 集 合 をXの

の と き,X

の 同値 類 に 属

商 集 合 とい い,X/∼

含 まれ て い る 任 意 の 元x∈XはCを そ の 同 値 類 に うつ す 写 像 π:x→X/∼

で表

代 表 す る(ま た を 射 影 と い う.

  集 合Xか

ら集 合Yへ

の 全 単 射 が 存 在 す る と き,XとYは

う.容 易 に 示 さ れ る よ うに,集   有 限 集 合Xに

対 して は,負

対等である と い

合 が 対 等 で あ る とい う関 係 は 同 値 関 係 で あ る. で な い 整 数nが

定 ま り,Xは

集 合{1,2,…,n}

と 対 等 で あ る.   自然 数 全 体 のつ く る集 合{1,2,3,…}をNで

表 わ す.Nと

対 等 で あ る集 合

を 可 算 無 限 集 合 とい う.   有 限 集 合 と可 算 無 限 集 合 を 総 称 して,可

算 集 合 とい う.

  可 算 集 合 の 部 分 集 合 は 可 算 集 合 で あ り,X,Yが

可 算 集 合 な らば 積 集 合X×

Yも 可 算 集 合 で あ る こ と は 容 易 に 示 され る.   こ の こ と よ り,有 理 数 全 体 の 集 合Qは   な お,実数

全 体 の 集 合 は 可 算 集 合 で な い こ とが 知 られ て い る.(松

集 合 論 入 門(基 礎 数 学 シ リー ズ5),朝   問4  集 合Xか

ら集 合Yへ

x,x′ はf(x)=f(x′)の 値 関 係 で,そ

  0.2  実

可 算 無 限 集 合 で あ る こ とが 示 さ れ る.

倉 書 店,p.65参

の 全 射f:X→Yが

照.)

与 え られ た と き,Xの2元

と き 同 値 で あ る と定 義 す れ ば,こ

の 同 値 類 の 集 合 はYと

村 英 之:

れ はXに

おけ る同

対 等 で あ る こ と を 示 せ.

数,Rn

  0.2.1  実 数 全 体 の 集 合 をRで

表 わ す.よ

て は 加 減 乗 除 の 四 則 演 算 が(0に

よ る 除 法 を の ぞ い て)自 由 に で き る.さ

Rに

おい らに,

お い て は 数 の 大 小 関 係 が 定 義 され て い る.

  次 の 形 を もつRの a0に 対 しa−

数fは

実 数 値 関 数 とす る.像f(X)が 上(ま た は 下)に 有 界 で あ る とい う.こ

f(X))を 

また は 

上 限(ま た は 下 限)と い う.   容 易 に 示 され る よ うに,f,g:X→Rが

が 成 り立 ち,f,g:X→Rが

が 成 り立 つ.

あ る とい う こ とが

存 在 す る.下 限 につ い て も 同 様 で あ る.

は 下)に 有 界 の と き,関 た はinf

大 数 を 下 限 とい う.X

表 わ す.

は 次 のⅰ),ⅱ)を

ε<xを

sup f(X)(ま

上 限 とい い,最

上 に 有 界 な らば

下 に 有 界 な らば

上(ま た の とき

で 表 わ して,fの

  実 数 列x1,x2,…,xn,… る が,こ

は 自然 数 全 体 の 集 合Nか

の 写 像 が 上(ま

た は 下)に

有 界 の と き,数

らRへ

の 写 像 とみ な され

列{xn}は

上(ま

た は 下)に

有 界 で あ る と い う.   実 数 列{xn}はx1≦x2≦ … ≧xn≧

… ≦xn≦

… の と き 単 調 増 加 で あ る と い い,x1≧x2≧

… の と き 単 調 減 少 で あ る と い う.

  周 知 の よ う に,数

列{xn}がxに

収 束 す る と は,nが

xnがxに

限 り な く 近 づ く こ と を 意 味 す る が,厳

て も,あ

る 自 然数n0を

￨xn−x￨0が (x∈Rn)で rで

定 義 す る.fは

あ る 球 面(ま

  問3 

与 え ら れ た と き,写

Rnに

る こ と を 示 せ.

全 単 射 で,Sn−1(ま

像f:Rn→Rnをf(x)=a+rx

た は 球 体)の お け る 球 体,直

た はBn)を

中 心 がaで

半径が

上 に うつ す こ と を 示 せ. 方 体,半

空 間,線

分,直

線 はす べ て 凸集合 で あ

1.  位

  1.1 

距 離 空 間,連

  1.1.1 

n次

相

空

間

続写 像

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnに

お け る2点x,yの

距 離d(x,y)は

次

の 性 質 を もつ:   (D1) 

d(x,y)≧0で,d(x,y)=0と

な る の はx=yの

と き しか も そ の と き に

限 る.   (D2) 

d(x,y)=d(y,x).

  (D3) 

d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z).

  実 際,(D1),(D2)は 4式

自 明 で あ る.d(x,y)=‖x−y‖

で あ る か ら,(0.6)の

第

よ り, 

が 得 ら れ,(D3)が   (D3)は,3角

成 り立つ.

形 の2辺

の 長 さ の 和 は 他 の1辺

う事 実 を 一 般 化 し た も の で,3角   上 の(D1)−(D3)が い.例

不 等 式 と よ ば れ て い る.

成 り立つ の は,な

に も 上 のd(x,y)に

限 った こ とで は な

えば,Rnの2点x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)に

 (1.1) 

対 し,

d(x,y)=max{￨x1−y1￨,￨x2−y2￨,…,￨xn−yn￨}

と し て も,ま

た

 (1.2) 

d{x,y)=￨x1−y1￨+￨x2−y2￨+…+￨xn−yn￨

と し て も,(D1)−(D3)の

成 り立つ こ と が 容 易 に 確 か め ら れ る.さ

外 の 集 合 に つ い て も(D1)−(D3)の え ば,集

の 長 さ よ り小 さ く は な い と い

合Xが

与 え ら れ た と き,X上

ら な る 集 合 をF(X)と

と す れば,こ

成 り立 つ よ う なd(x,y)が

し,f,g∈F(X)に

れ に 関 し て(D1)−(D3)の

  上 に み た よ う に,集 れ て い て,(D1)−(D3)の

合Xの

ら に,Rn以

定 義 で き る.例

で 定 義 され た 実 数 値 有 界 関 数 の 全 体 か 対 し

成 り立 つ こ と が わ か る.

任 意 の2元x,yに

対 し て 実数d(x,y)が

成 り立 つ こ と が し ば し ば あ る.こ

定義さ

の よ うな も の を 一

般 的 に 取 り扱 うた め,次   空 で な い 集 合Xに −(D3)が

対 し,写

像d:X×X→Rが

成 り立 つ と き ,Xを

こ の と き,Xの   Xを

の 概 念 を 導 入 す る.

距 離 空 間 と い い,dを

距 離 関 数 と し て,距

れ を 距 離 空 間Xの

部 分 空 間 と い う.

  X1,X2,…,Xnを

距 離 空 間 と し,d1,d2,…,dnを

た,

合X1,…,Xnの

積 集 合X=X1×X2×

と定 義 す れば,d:X×X→Rは

の と き,Xの

離 空 間 に な る.こ

そ れ ら の 距 離 関 数 と す る. … ×Xnを

の2元x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)に

考え,Xの

任意

対 し

距 離 関 数 で あ る こ とが 容 易 に 示 され る.こ

よ うに し て 得 られ る距 離 空 間Xを Xを

距 離 関 数 と い う.ま

そ の 距 離 関 数 と す る.こ

任 意 の 部 分 集 合Aは,d:A×A→Rを

  問1 

の(D1)

元 を 点 と も い う.

距 離 空 間 と し,d:X×X→Rを

こ の と き,集

与え られ て い て,上

距 離 空 間X1,X2,…,Xnの

の

積 空 間 とい う.

空 で な い 集 合 と し,d:X×X→Rを

で 定 義 す る と き,dは

距 離 関 数 で あ る こ とを 示 せ.(こ

の距 離 空 間 を 離 散 距 離

空 間 と い う.)   問2 

距 離 関数 は ￨d(x,y)−d(y,z)￨≦d(x,z)

を み た す こ と を 示 せ.   1.1.2  X,Yを ∈Xに

距 離 空 間 と し,f:X→Yを

写 像 とす る.こ

対 し,次 の 条 件 が 成 り立 つ な らば,fはx0に

お い て 連 続 であ る とい う:

どん な 正 数 εに 対 して も,あ る 正 数 δが 存 在 し て,d(x,x0)