Атомная и ядерная физика: Методические указания к расчетно-графической работе

Министерство образования Российской Федерации Хабаровский Государственный Технический Университет

Утверждаю в печать Ректор университета, профессор В.К. Булгаков « » 2000 г.

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА Методические указания к расчетно-графической работе для студентов всех специальностей дневной формы обучения

Рассмотрены и рекомендованы к изданию кафедрой физики « » 2000 г. Зав. кафедрой Председатель совета « »

Кныр В.А. 2000 г.

Нормоконтролер

Намм Р.В. Крамарь Е.И.

Хабаровск Издательство ХГТУ 2000

Министерство образования Российской Федерации Хабаровский государственный технический университет

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА Методические указания к расчетно-графической работе для студентов всех специальностей дневной формы обучения

Хабаровск Издательство ХГТУ 2002

АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

Методические указания к расчетно-графической работе для студентов всех специальностей дневной формы обучения

Хабаровск 2002

УДК 539.18 : 539.17 АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА: Методические указания к расчетно-графической работе для студентов всех специальностей дневной формы обучения /Сост. Н.А. Хохлов. – Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2002. – 17 с.

Методические указания разработаны на кафедре «Физика». В работе приводятся четыре типовые задачи, охватывающие пять тем, и даются подробные пояснения примеров к данным задачам.

Печатается в соответствии с решениями кафедры «Физика» и методического совета факультета математического моделирования и процессов управления.

© Издательство Хабаровского государственного технического университета, 2002

Задание включает четыре типовые задачи по следующим темам атомной и ядерной физики: 1. Теория атома Бора. 2. Квантово-механическое описание частицы в одномерном потенциальном ящике, с бесконечно высокими стенками. 3. Радиоактивный распад. 4. Волновые свойства микрочастиц. По 25 вариантов условий к каждой задаче приведены в соответствующих таблицах, а вариант 26 рассматривается в качестве примера. 1. Теория атома Бора После возбуждения атомов исследуемого вещества световым облучением дугового разряда (в качестве электродов при этом служит сам исследуемый образец) проводится анализ спектра излучения с целью определения качественного состава образца. При этом, в частности, наблюдаются линии спектра, соответствующие переходу электрона в водородоподобном атоме с орбиты k на орбиту n, при котором излучается фотон с энергией Е ИЗЛ . Необходимо определить неизвестные величины, отмеченные вопросительным знаком в таблице 1, и показать на энергетической диаграмме, на какие энергетические уровни возможны переходы данного электрона. Рассмотрим решение задачи по условиям 26 варианта. В спектре образца наблюдается линия серии Бальмера водородоподобного атома, соответствующая излучению фотона с энергией Е ИЗЛ = 17.01 эВ. В момент излучения электрон находится на третьей орбите (k=3). Необходимо определить номер орбиты n, на которую переходит электрон, заряд ядра Z, длину волны λ и частоту γ испущенного фотона, и показать на энергетической диаграмме, какие переходы возможны для данного электрона. Дано: При переводе электровольт в E = 17,01эВ = 2,7216 ⋅1018 Дж изл джоули используем известную связь между величинаНайти: −19 Дж n, z, λ , ν ми: 1 эВ = 1,6 ⋅10 Решение Так как линия принадлежит серии Бальмера, то электрон переходит на орбиту с квантовым числом n = 2.

Согласно теории Бора энергия фотона, испускаемого электроном при переходе с орбиты k на орбиту n, равна: ⎛ 1 1 ⎞ Еизл = RhcZ 2 ⎜⎜ − ⎟⎟, ⎝ n2 k 2 ⎠ где R = 1,097 ⋅ 10 7 м −1 — постоянная Ридберга, c = 3⋅108 м/с – ско-

рость света и Z – номер элемента (заряд ядра) в таблице Менделеева, h = 6,626 ⋅10 −34 Дж ⋅ с - постоянная Планка. Тогда Eизл nk 2⋅3 2,726 ⋅10 −18 Z= ⋅ = ⋅ = 3. − 34 7 8 hcR 2 2 2 2 ⋅1,097 ⋅10 ⋅ 3 ⋅10 6,626 ⋅10 k −n 3 −2

По таблице Менделеева определяем, что в состав образца входит литий ( Li ). Частота испущенного фотона E 2,7216 ⋅10 −18 ν = изл = = 4,017 ⋅1015 Гц. − 34 h 6,626 ⋅10 Длина волны излучения c 3 ⋅108 λ= = = 7,305 ⋅10 −8 м =73,05 нм. ν 4,107 ⋅1015 Для электрона, находящегося на третьей орбите (k=3), возможны переходы на первую (n=1) и вторую орбиту (n=2). В результате схема переходов на энергетической диаграмме имеет следующий вид: Е4 Е3 Е2

Е1

Таблица 1 Вариант

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 *

k

4 2 5 3 3 4 3 6 * 2 * *

* 4 5 3 4 2 3 3 4 4 3 4 2 3

n

? ? ? ? ? 1 1 ? 2 1 2 3 1 3 ? 4 1 1 2 1 2 3 1 1 1 ?

Спектральная линия

Z

Серия Бальмера Серия Лаймана Серия Пашена Серия Лаймана Серия Лаймана ? ? Серия Бальмера ?

1 ? ? ? 2 3 2 1 3 6 7 8 ? 5 2 3 ? ? ? 1 3 2 1 3 4 ?

? ? ? ? ? Серия Лаймана

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Серия Балмера

Определяемая характеристика спектральной линии Частота Энергия фоДлина 5 волны ν * 10 Гц тона , эВ λ ,мкм

ε

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0,54 0,4688 0,10255 0,0108 0,007596 ?

В начальном состоянии свободный электрон

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 267 ? ? ? 49,4 61,7 1,828 2,925 ? ? ? ? ? ?

? 92 15,5 302,9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 17,01

2. Квантово-механическое описание частицы в одномерном потенциальном ящике c бесконечно высокими стенками

Электрон находится в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками в состоянии, характеризуемом квантовым числом n. Ширина ящика l. Вероятность нахождения частицы в заданном интервале равна P. Интервал имеет ширину L и отстоит от левой границы ящика на расстоянии X. При переходе электрона с данного квантового уровня n на уровень k излучается квант света с

длиной волны λ . Необходимо определить неизвестные величины, отмеченные в таблице 2 вопросительным знаком и изобразить координатную зависимость плотности вероятности. Рассмотрим решение задачи по условиям 26 варианта. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками в состоянии, характеризуемом квантовым числом n=2. Ширина ящика l=1 нм. Какова вероятность P обнаружить электрон в интервале шириной L=l/4, отстоящем на расстоянии Х=3l/8 от левой границы ящика. Изобразить графически координатную зависимость плотности вероятности. Определить длину волны испускаемого фотона λ при переходе электрона на 1-й уровень Дано n = 2, k = 1, Уровни энергии частицы массой m, находящейся в одномерном потенциальном ящике с бескоl = 1нм = 10 −12 м, нечно высокими стенками шириной l, задаются m = 9,1094 ⋅ 10 −31 кг , формулой: 3 l X = l; L = 8 4 Найти P; λ

E

π

n

2

h = 2 ml

2 2

⋅n

2

, n = 1, 2, 3…

При переходе электрона в основное состояние излучается фотон с энергией:

π 2h 2

3π 2 h 2 ε γ = E 2 − E1 = ⋅2 − ⋅1 = = 2 ml 2 2 ml 2 2 ml 2 3 ⋅ 3 . 14 2 ⋅ (1 . 05 ⋅ 10 − 34 ) 2 = 1 . 81 ⋅ 10 −13 Дж . = − 31 −12 2 2 ⋅ 9 . 1 ⋅ 10 ⋅ (10 ) 2

π 2h 2

2

Длина волны фотона ch 3 ⋅10 8 ⋅ 6,62 ⋅10 −34 = 1,10 ⋅10 −12 м = 1,10 нм. λ= = −13 1,81 ⋅10 εγ

Вероятность нахождения электрона в интервале x1 < x < x2 определяется равенством P =

x2

∫

2

φ n ( x ) dx , где ϕ n (x) - волновая

x1

функция, описывающая состояние электрона с квантовым числом n в бесконечно глубоком потенциальном ящике. Эта волновая функция ⎫ ⎧ 2 nπ ⋅ sin ⋅ x , для 0 ≤ x ≤ l ⎪ ⎪ l ⎬, определяется выражением ϕ n ( x) = ⎨ l ⎪0, для l ≤ x и x ≤ 0 ⎪⎭ ⎩ квадрат модуля ее дает плотность вероятности того, что в результате измерения мы обнаружим электрон в точке с координатой х. Предполагается при этом, что координаты левого и правого края ящика равны 0 и l соответственно. Первому возбужденному состоянию 2 2π ⋅ sin ⋅ x. Косоответствует n=2 и собственная функция ϕ 2 ( x) = l l ординаты х1 и х2 заданного интервала легко найти из рисунка. l 3 x1 = (l − ) / 2 = l , 4 8

l 5 3 x 2 = l + = l. 8 4 8

Таблица 2 Вариант

n

k

l, пм

λ , пм

X; l

L; l

P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

3 3 4 3 ? 4 4 4 ? 3 4 4 ? 4 3 3 ? 2 3 3 4 4 5 3 4 2

1 2 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 1 2 1 1

1 1,5 ? 3 4 1 ? 3 4 1,5 ? 1 2 3 ? 1 0,5 1 ? 2,5 1 ? 2 1,5 1 1

? 1,4845 0,88 3,71 17,6 0,471 1,1 1,98 10,56 0,928 0,055 0,275 1,65 2,475 1,485 0,4124 0,055 1,1 2,64 2,58 0,275 0.055 ? ? ? ?

1/8 1/4 1/4 1/8 1/16 1/2 1/2 1/4 1/2 1/8 1/3 1/3 2/3 1/2 1/4 1/5 1/2 1/5 1/2 1/6 1/6 1/6 1/16 3/8 1/8 3/8

½ ¼ ½ 1/8 ¼ ¼ ½ ¼ ¼ 1/16 1/3 2/3 1/3 ½ ¼ 1/5 1/5 ½ 1/5 1/3 1/3 1/3 1/3 ¼ ½ ¼

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Искомая вероятность P =

5 l 8

∫

3 l 8

sin 2

2 ⋅ sin l

2

2π x dx . l

Учитывая, что

2πx 1 4πx = (1 − cos ), получаем 2 l l

5 5 l ⎡ 85 l ⎤ l⎞ ⎛ 85 l 8 8 ⎟ 2 ⎢1 1 4π 4π l ⎥ 1⎜ ⋅ xdx ⎥ = ⎜ x | − sin P = ⎢ ∫ dx − ∫ cos x|⎟= 23 l 23 l l ⎜ 3 4π l 3⎟ l l ⎢ 8l ⎥ l 8 ⎠ ⎝ 8 8 ⎣ ⎦ 1⎡l 3π ⎞⎤ l ⎛ 5π = ⎢ − − sin ⎟⎥ ≈ 0.1 ⎜ sin 2 2 ⎠⎦ l ⎣ 4 4π ⎝

Изобразим на рисунке зависимость |ϕ (x)| внутри потенциального ящика. Вероятность обнаружить электрон внутри потенциального ящика в интервале от x = 3l / 8 и x = 5l / 8 равна площади заштрихо2 ванной фигуры, ограниченной сверху функцией |ϕ (x)| , снизу осью, слева и справа прямыми x = 3l / 8 и x = 5l / 8 . 2

3. Радиоактивный распад

Радиоактивный образец массой M

содержит в начальный момент

времени x 0 % радионуклида Z X N . Через время τ процентное содержание радионуклида уменьшилось до x . Период полураспада радионуклида равен T. При этом образец, помещенный в термостат, A

нагрелся на ∆t градусов Цельсия. с – теплоемкость образца. В таблицах 3 и 4 указаны основной канал распада радионуклида, энергия испущенного электрона (позитрона) ε β , энергия испущенного γ кванта ε γ , энергией нейтрино (антинейтрино) пренебречь. Необходимо определить неизвестные величины, отмеченные в таблице 2 вопросительным знаком. A

Радиоактивное ядро (радионуклид) обозначается Z X , где X – символ химического элемента, A – массовое число, Z – число протонов в ядре. Условия задачи соответствуют двум типам распада - β − и

0

β + . В первом случае ядром испускается электрон −1 e , во втором -

позитрон

0 +1

e , который является античастицей электрона и нейтри-

но 0ν . При расчете полной выделившейся в результате распада тепловой энергии во втором случае следует учесть, что позитрон обязательно вступает в реакцию (аннигилирует) с каким-либо электроном образца. 0

Рассмотрим решение задачи по условиям 26 варианта. Радиоактивный образец (алюминий) массой M=5 кг содержит в на23

чальный момент времени x0 = 10 % радионуклида 12 Mg . Период полураспада радионуклида равен T=11.3 с. Энергии испущенных в результате реакции позитрона и фотона равны соответственно 3.10 МеВ и 450 КэВ. Найти процентное содержание радионуклида x через время τ=16 с и изменение температуры образца, помещенного в термостат. Определить, какое ядро образуется в результате реакции. -6

Дано: c = 896 Дж /( кг ⋅ К ) , M = 5 кг

Решение

В данном радиоактивном образце содержится радионуклид массой: τ =16 с X T = 11,3 с. m = 0 M = 0,5 ⋅10 −7 кг . Массу 0 100 Найти x, ∆N , ∆t радионуклида, оставшегося в образце через время τ =16 с, найдем из закона радиоактивного распада: −16 −τ m = m 2 T = 0,5 ⋅10 −7 ⋅ 2 11.3 = 0,16 ⋅10 −7 кг. 0 При этом масса всего образца за счет перехода энергии покоя в тепловую энергию практически не изменится, т.к. m0