Свойство интеграловъ отъ алгебраических иррациональныхъ функций которые выражаются одними логарифмами

СВОЙСТВО ИНТЕГРАЛОВЪ ОТЪ АЛГЕБРЙЧЕСШЪ ИРРАЩОИАЛЬНЫХЪ ФУНКЩЙ, КОТОРЫЕ ВЫРАЖАЮТСЯ ОДНИМИ ЛОГАРИ0МАМИ. Составила по записк* Карла Марш Еьюма, пом-вщенной въ IV том* Aimalï di Matematica TortolinL H.

АДЕВСВЕВЪ.

1. Пусть въ интеграла:

Г fax gm

f и 6 суть цФлые рацшнальные многочлены, многочленъ Ô можетъ им'Ьть множителя (х—ocQ)p; гд1* рлое, про­ стое число. Если предгьлы интеграла величины конечным, дтъйстттельнын или мнимы я, и если комплексную перемгьнную х измтьннемь между этими предтьлами mam, что указатель ел пере­ мещается по прямой лиши, wo предыдугщш определенный интегралъ не можешь быть безконечнымь, Если на прямой, по которой интегрируемъ, и которая сое­ диняешь пределы интеграла, нФтъ ни одной точки, относи-

.

f

тельно которой выражеше -~j~ обращалось бы въ со, то ннтегралъ будетъ конечнымъ. Но положимъ, что на этой пря­ мой существуетъ точка (я?0), для которой 6(а? 0 )=0; тогда для 12

— 174 — доказательства предыдущей теоремы употребляемъ следующШ способъ Коши. Разлагаемъ определенный интегралъ на эле­ менты и изъ этихъ элементовъ разсматрива^мъ особый опре­ деленный интегралъ

J

fax ~1

гд* £ безконечно-малая величина, a jx величина конечная.

J

fdx i_

6-

р

I

fclx

— ^~

f (X) ç

-J-

j

rix

^-

9

6-( x ) J (a;~^ 0 ) M

J (pc—x^**

здесь: Ь—(х— Ц*лые многочлены относительно а?, а первообразный корень уравнешя: # w — 1 = 0 . Докажемъ во 1-хъ, что если 6=(а?—й) р 0 1 a f не делится на (х—а)р~~\ то Р0 делится на х—а. Дифференцируя уравнеше (1), получаемъ: A

£ n=0

i

п

— 178 — n=zm.—4

+2

^^^f^f^£M

m .ИП11, . П

Е

TT

гтг

d

/

i?bzi\

LllTL^ïr^ré^!" )

Возьмемъ общШ членъ второй части о « F части, онъ равняется:

^

Zp m

e

(a"Û7+» Dn

._

и=0

_

n

п

ft

-

—

•

Знаменатель П есть симметрическая функция корней уравнешя у"*—0=0. Сумма числителей •ней того же тоавнет* » г. ^«.««ada Функщя корИ П ИТ0МЪ НУЛЬ ппи „ 1 Р эта сумма обращается въ 16 нуль при вс*хъ корняхъ уравнешя Ъ-г — n П Э Т У«™* ™ въ образимъ сумму числителей ч р е Г о х Г ,З н а м е°н ° М У МЫ И3~ Общи членъ поини, " Г Г Л ' * ™ ь чрезъ Y.

fei

Й#

г r+i

У

ОХ,

1_ х г

• у — i ' "y"

[^+£K*]

Означая чрезъ X X Y X r ) получимъ ' '•'"-'

^ ФУЩЦШ

^Са

п

°Д° б ныя

— 179 r—m—1 *Y r=o ИЛИ:

r=m—1

д = А2хг(р'го + -грге') Но

б' = р(х—ау-1в1-\-(х—а)РО\

в=(х—а)Рв1г

и

r=m—\

=АУХ(Р> - O ) 9 '

^ ^

+>А+^--«)в'л)

Откуда слФдуетъ, что если f не делится на (х—а)р~~~1, то Y делится на х—а; но при х=а, Y обращается въ (P 0 ) w ; следовательно Р0 делится но х—а, 4. Означимъ пределы интегрировашя чрезъ х0 и хп и положимъ во второй части равенства: п=т—1 fdx dx [ 1 Г-А/П Р о +а й Р 1 о я г +

î, 6

+a n ( m ~" , , P m _ 1 Ö

et üin1) w

ft

x—ß-}~yi9 общщ членъ произведешя приметъ видъ: x

=Хп, где RM модуль, а р0, ибо въ противномъ случае при х=хл вторая часть, деленная на (х — xL)q обратилась бы въ безконечность; сне можетъ быть мевФер0, потому *!то въ такомъ случае онъ долженъ быть равенъ наименьшему изъчиселъ p 4 + n i > - - и раздФливъ o6t части на (х—х^ получимъ, что вторая чаеть обратится въ нуль, когда первая сохраняатъ конечное значеше. Итакъ qzzpQ. Случай когда q есть число дробное можно привести къ предыдущему; стоитъ только вместо интеграла: w

A/n(P,+a^6 +

Щт

+* ~%п^

разсматр^вать слФдующШ ему равный: п*=*т—i

который можно привести къ такому виду:

m—1

m

)

_

184. —

n=ni'—1

ос

£/П |А0 + а%бЧ

|

т&ъ А0, А, . . . суть цФлые многочлены, a делитель выражешя въ скобЕахъ есть ц*лая степень разности х — xv Итакъ показатель делителя (х—xjq можно всегда предпо­ лагать ц-Ьлымъ, а потому на основанш всВхъ предыдущихъ разеужденщ №

= АШ

Q

0 +

Qi(x-xr-Oim+'

a^-^)

гдФ показатели piJrni— р 0 ... либо ц^лыя числа, либо нули и мы можемъ написать такъ: п=т—i \ J

б~

kt 4

«ни))

Ни одинъ изъ множителей подъ знакомъ Пне можетъ обра­ щаться въ нуль при х—хл, ибо Р0 не обращается въ нуль приз?—я?4. 7. Совершая подобныя приведешя относительно каждаго изъ множителей многочлена 0, получимъ следующую теорему Если: е*=\(х—ъ)н(х—хг)к

{х~хр)1[к

гдп> цтьлыя числа: h, ft, /*...« всгь ментье m, и если означамъ чрегь hv h2,. .; kl9 k2...; lt l2:*.; наименьшге положительные вычеты чиселъ h, Ш,,..; к, 2к...; I, Ш,... по модулю т, и если интегралъ можно выразить сь помощгю однихъ логаривмовъ, то существуют® щьлъи многочлены Р0> Р 1 > # . Р 1Э удо. влетворяющге тожеству:

— 185 — P 0 +a n PJ (x~Xi)

!™=А1П 6"

(x~x2)

,..{x-xp)

)- +

*=o(

такь, что ни одит изь множителей произведетя подь зна­ комь I не можешь обратиться вь нуль или еь безяонечнссть при конечномь значент х-са. 8. Изъ этой теоремы прямо следуете», что произведете" п^т—1 h г i

П Р о + а ^ К * - * , ) '. .(х-хр)Г+

-

п=0(

+а^Ч.-Л(*^.Л \...(х-*ср)ш ']* величина постоянная. Действительно: \{х—х,)

....(х—хр) Г ^ h M\{х—xj ..... (х—хр) Г

4 i hn—hn ln—U* {(эс—х,) ....(х—хр у

Но hn—hn= числу кратному съ т=Нт; Ы—кп=Кт и т. д Поэтому предыдущая дробь равна

__J[

1 Я \Х

Х^ J

L . . . . . \Х

m

Э£р)

гдф