Познание сложного. Введение

Г.Николис, И.Пригожин ПОЗНАНИЕ СЛОЖНОГО. ВВЕДЕНИЕ Книга написана бельгийскими авторами. Один из них, И.Пригожин — ученый с мировым именем, лауреат Нобелевской премии, хорошо известен советскому читателю по многим переведенным на русский язык трудам, в частности монографиям «Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации» (М.: Мир, 1973), «Самоорганизация в неравновесных системах» (М.; Мир, 1979). В предлагаемой книге дан общедоступный обзор методов, разработанных в последние годы в области нелинейной динамики, для изучения сложных систем и процессов, таких, как эволюция, самоорганизация и т. д. Приводятся конкретные примеры из разных областей науки — от химии, физики, биологии до социологии и климатологии. Для студентов естественнонаучных специальностей, для специалистов широкого профиля. ОГЛАВЛЕНИЕ От переводчика 5 Предисловие 7 Глава 1. Сложность в природе 10 1.1. Что такое сложность? 10 1.2. Самоорганизация в физико-химических системах: рождение сложного 12 1.3. Тепловая конвекция как прототип явлений самоорганизации в физике 13 1.4. Явления самоорганизации в химии 21 А. Реакция БЖ в системе с перемешиванием: химические часы и хаос 24 Б. Реакция БЖ в неоднородной системе: пространственные фигуры 29 1.5. Физико-химическая сложность и алгоритмическая сложность 35 1.6. Некоторые дополнительные примеры сложного поведения в обычном 37 масштабе А. Явления, вызванные поверхностным натяжением. Наука о материалах 37 Б. Кооперативные явления, обусловленные электромагнитными полями. 39 Электрические цепи, лазеры, оптическая бистабильность 1.7. Снова биологические системы 42 1.8. Сложность в планетарном и космическом масштабах 47 1.9. Связь между силами и корреляциями. Подведение итогов 53 Глава 2. Словарь сложного 58 2.1. Консервативные системы 58 2.2. Диссипативные системы 63 2.3. Механическое и термодинамическое равновесия. Неравновесные 67 ограничения 2.4. Нелинейность и обратные связи 70 2.5. Многогранность второго закона термодинамики 75 2.6. Устойчивость 80 2.7. Бифуркация и нарушение симметрии 88

2.8. Упорядоченность и корреляции Глава 3. Динамические системы и сложность 3.1. Геометрия фазового пространства 3.2. Меры в фазовом пространстве 3.3. Интегрируемые консервативные системы 3.4. Бифуркация в простой диссипативной системе: поиск прототипов сложного 3.5. Диссипативные системы в двумерном фазовом пространстве: предельные циклы 3.6. Сведение к системам меньшей размерности: параметры порядка и нормальные формы А. Бифуркации типа острия и предельной точки Б. Бифуркация Хопфа и предельные циклы 3.7. Снова фазовое пространство: топологические многообразия и фракталы А. Периодические аттракторы: циклы порядка k Б. Квазипериодические аттракторы: инвариантные торы В. Непериодические аттракторы: фракталы 3.8. Неинтегрируемые консервативные системы: новая механика А. Возмущение квазипериодических движений Б. Возмущение периодических движений 3.9. Модель неустойчивого движения: подкова 3.10. Диссипативные системы в многомерных фазовых пространствах. Хаос и странные аттракторы А. Некоторые модели-прототипы, приводящие к хаотическому поведению Б. Некоторые «сценарии» становления хаотического поведения 3.11. Пространственно распределенные системы. Бифуркации с нарушением симметрии и морфогенез 3.12. Дискретные динамические системы. Клеточные автоматы 3.13. Асимметрия, отбор и информация Глава 4. Случайное и сложное 4.1. Флуктуации и вероятностное описание 4.2. Марковские процессы. Основное уравнение 4.3. Марковские процессы я необратимость. Информационная энтропия и физическая энтропия 4.4. Пространственные корреляции и критическое поведение 4.5. Поведение флуктуации во времени. Кинетика и временные масштабы самоорганизации 4.6. Чувствительность и отбор 4.7. Символическая динамика и информация 4.8. Генерация асимметричных, информационно-насыщенных структур 4.9. Снова алгоритмическая сложность

92 97 97 100 106 112 117 122 123 123 130 132 133 133 137 140 141 143 146 147 151 156 162 167 173 173 179 186 191 198 207 212 216 223

Глава 5. На пути к единой формулировке понятия сложного 5.1. Общие свойства консервативных динамических систем 5.2. Общие свойства диссипативных динамических систем 5.3. Поиски унификации 5.4. Вероятность и динамика 5.5. Преобразование пекаря 5.6. Многообразия с нарушенной временной симметрией 5.7. Нарушающее симметрию преобразование Λ 5.8. Ансамбли Гиббса и Больцмана 5.9. Кинетическая теория 5.10. Резонанс и взаимодействие света с веществом 5.11. Заключительные замечания Глава 6. Сложное и перенос знаний 6.1. Нелинейная динамика вдали от равновесия и моделирование сложного 6.2. Наука о материалах 6.3. Пороговые явления в клеточной динамике 6.4. Моделирование климатической изменчивости 6.5. Вероятностное поведение и адаптивные стратегии у общественных насекомых 6.6. Самоорганизация в человеческих сообществах Приложение I. Линейный анализ устойчивости I.1. Основные уравнения I.2. Принцип устойчивости линеаризованной системы I.3. Характеристическое уравнение I.4. Иллюстрации I.5. Системы с хаотической динамикой Приложение II. Анализ бифуркаций II.1. Общие свойства II.2. Разложение решений в ряд по теории возмущений II.3. Бифуркационные уравнения Приложение III. Возмущение резонансных движений в неинтегрируемых консервативных системах III.1. Отображение закручивания III.2. Влияние возмущения в случае рациональных вращательных чисел III.3. Гомоклинические точки Приложение IV. Реконструкция динамики сложных систем по временной последовательности данных. Применение к климатической изменчивости IV.1. Вводные замечания IV.2. Теоретические основы анализа данных IV.3. Климатический аттрактор IV.4. Выводы и перспективы

225 226 229 230 232 233 237 239 243 244 247 249 251 252 253 257 261 268 275 281 281 284 285 288 291 294 294 296 298 301 301 303 306 310 310 313 314 316

Приложение V. Первичные необратимые процессы V.1. Введение V.2. Стандартная космологическая модель V.3. Черные дыры V.4. Роль необратимости Литература Предметный указатель

317 317 318 319 320 326 336

Предметный указатель Автокатализ 29, 33, 52 Бернулли сдвиг 235 Бимодальность переходная 206 — реакция БЖ 24—34 Биологические системы 42 — явления саморегуляции 27, 39 Биомолекулы 170 Автономные системы 97, 285 Бистабильность 32, 40 Алгоритмическая сложность 36, 37, — в иммунном ответе 261 223 — оптическая 40 Альбедо 52, 265 Бифуркация 88, 112 Амебы 42—47 — анализ 88, 294 Аминокислоты 170 — и асимметричные решения 156— Антивещество 169 160 Аррениуса закон 33 — в диссипативных системах 112 Архимедова сила 17 — зависимость от параметров 114— Асимметрия 167 116 — первичная 156 — и нарушение симметрии 156 — пространственная 159 — и пространственные корреляции Аттракторы 84 196 — временные последовательности — надкритическая 113 275 — поведение во времени 205—206 — глобальные 86 — предельная точка 123 — климатические 314 — типа камертона 113 — непериодические 133 — уравнения 128—130, 298 — периодические 120, 132 — Хопфа 121, 124 Больцмана — случайность 152—154 — ансамбли 243 — странные 146 — кинетическая теория 244 —хаотические 152 — постоянная 34 Белки 170 Больших чисел закон 175 Белоусова—Жаботинского реакция Большой взрыв, теория 56, 319 24—34, 89, 125 Броуновское движение 244 — — и петля гистерезиса 33 Брюсселятор, модель 123, 289 — — и распространение волны 30 Булева логика 164 — — и хаотические аттракторы 152 Возвратные множества 143 — — и химические часы 25 Возмущение 140, 296 Бенара задача 18—21, 29

— квазипериодического движения 140 — неинтегрируемое 138—140 — периодических (резонансных) движений 141 Время нахождения 28 — возвращения 187 Гамильтоновы системы 72 Гауссово распределение 176 Генетический код 171 Гиббса ансамбль 243 Гистерезис 33, 116 Гомоклиническая — орбита 154 — точка 306 Границы межфазные 37 Грюнайзена параметр 255 Дезоксприбонуклеиновая кислота (ДНК) 171 Де Ситтера пространство 323 Dictyostelium discoideum 44, 71 Дислокации 255 Диссипативная структура 20 Диссипативные системы 26, 63, 117, 229 — — и необратимость 26, 320 Дифференциация внутренняя 91 Диффузия 79 — и нарушающие симметрию неустойчивости 156—159 — и основное уравнение со многими переменными 179 — пространственные корреляции 191—194 Зародышеобразование 199 Изолированные системы 69 Иммунные системы, нелинейное поведение 261 Инвариантность 91 Инвариантные множества 99 Инерциальное многообразие 159 Инерции принцип 63

Информация 92, 156, 167 — позиционная 47 — символическая динамика 212 — хаотическая динамика 219—222 Кантора множество 135 Катастроф теория 117 Квантовомеханический вакуум 249 Кварки 56 Кинетическая — теория 186, 244 — энергия 61 Кинетический потенциал 199 Кинетическое уравнение 245 Клеточная динамика 257 Клеточные автоматы 162 Климатические изменения 147, 261 Климатический потенциал 266 Колебания — в диссипативных системах 30—33 — в консервативных системах 62 Консервативные системы 28, 102, 106, 226 — — интегрируемые 106 — — неинтегрируемые 137 — — сравнение с диссипативными системами 84—86 Константа равновесия 21 Корреляции 92, 191 — крупномасштабные 42—43 — и неравновесные ограничения 196—198 Кортевега—Де Фриза уравнение 108 Космология 317—325 Ландау—Гинзбурга потенциал 198 Лиувилля — теорема 102, 105, 110, 226 — уравнение 105 Лоренца модель 244 Лотки — Вольтерра механизм 67 Ляпунова показатели 234, 292 — функция 87, 186, 230 Ляпунова—Шмидта процедура 129

Марковская — полугруппа 190 — цепь 213 Марковские процессы 179, 186 Материаловедение 37, 253 Машина бифуркационная 168 Маятник 62 — обратимость 28 — фазовое пространство 62 Межфазные границы 37 Мезофаза 254 Метастабильность 202 Механика классическая 112 — небесных тел 137 Множество меры нуль 135 Молекулярный хаос 20—22 Морфогенез 156 Муравьи, поиск пищи 268—275 Натяжение поверхностное 38 Нарушение симметрии 18, 91, 167, 237 Нелинейность 70, 252 Необратимость 193 — и второй закон термодинамики 7579 — и марковские процессы 188 Неоднородность пространственная 156—159 Неподвижная точка 98 — — гиперболическая 111 — — эллиптическая 110 Неравновесные состояния 70 Нормальная форма 122, 129 Нуклеиновые кислоты 171 Обратная связь 70 Ограничение внешнее 15 Оледенение 49 Оператор столкновений 245 Оптика 39—40 Орбитальная — неустойчивость 85 — устойчивость 84, 86

Основное уравнение 179 Особые точки 99, 117—122 Открытые системы, химические 28— 30 Отображение типа подковы 143—146 — закручивания 303 Параметры порядка 122, 129 Петля обратной связи 46 Планковское время 324 Помо—Манвиля пульсация 154 Предельные циклы 120; см. также Бифуркация Преобразование пекаря 233 Пуанкаре—Биркгофа теорема 303 Пуанкаре секущая поверхность 131 Пуассона распределение 93 Равновесие — детальное 69 — механическое 67 — термодинамическое 67 — химическое 21 Разбиение 213 Разрушение материалов 254 Реакционно-диффузионные модели 160 Резонанс 138, 247 — и взаимодействие вещества со светом 247 Ренорм-группа 198 Рёсслера модель 155 Рибонуклеиновая кислота (РНК) 171 Самовоспроизведение 24 Самоорганизация 12, 55 — в геологии 39—40 — в материаловедении 253—257 — в механике жидких сред 18—21 — в химии 24—34 — в человеческих сообществах 275— 280 Сгорание 204 Седло—фокус 148, 154 Сепаратриса 111

Снежинка 38 Собственные значения 157 Сродство 79 Субаддитивность 187 Теория относительности 225, 317 Тепловая конвекция 13; см. Бенара задача Теплопроводность 15 Узлы устойчивые и неустойчивые 118—119 Устойчивость 80 — анализ 281 — асимптотическая 80 — маргинальная 128 — орбитальная 84 Фазовое пространство 99, 100, 130 Фазовые переходы 56—57 Ферменты 46 — кооперативные 46 Фика закон 65 Флуктуации 82 — вероятностное описание 173 — критическое поведение 193—195 — локальный подход 185 — поведение во времени 198 Фокусы устойчивые и неустойчива 118 Фракталы 130, 134 Фредгольма альтернатива 299 Фурье интегралы 246

Хаббла функция 323 Хаотическая динамика 152 Хемотаксис 44 Химический потенциал 69 Хиральность 30 Центральная предельная теорема 175 Центральные многообразия, теория 129 Циклический аденозинмонофосфат (цАМФ) 44, 46 Часы химические 25 Черные дыры 319 Чувствительность 207 Шредингера уравнение 230 Шум, внешний 178 Эволюции законы 71 Экзотермические реакции 204 Электрические цепи, колебания 39 Эмбриональное развитие 42 Энергия активации 34, 171 Энтропия — возрастание 78, 80 — и вероятность 180—190 — и информация 186 — и космология 320—323 — как стрела времени 193 — производство, и второй закон термодинамики 78, 80 Эргодические состояния 187