Введение в теорию упругости для инженеров и физиков

и*л Государственное

издательство

иностранной литературы *

AN INTRODUCTION TO THE THEORY OF ELASTICITY FOR ENGINEERS AND PHYSICISTS by

R. V.

SOUTHWELL

Second edition 1941

Р. В. САУСВЕЛЛ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УПРУГОСТИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И ФИЗИКОВ

Перевод со второго английского издания И. Е. САХАРОВА

1948 Государственное издательство ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва

Предлагаемая вниманию советского читателя книга Р. В. Саусвелла „Введение в теорию упругости для инженеров и физиков" может служить хорошим дополнением к широко распространенным у нас курсам теории упругости Лейбензона, Тимошенко, Филоненко-Бородича и др. Автор, ставя своей задачей выяснение физического содержания основных результатов теории, стремился объединить в одной книге сопротивление материалов, начала строительной механики и теорию упругости. Это повлекло за собой в одних местах повторения, в других — конспективность изложения, но в то же время позволило вскрыть связь между основными положениями теории упругости. Книга снабжена большим количеством задач, решение которых доведено до численного ответа. В русском издании бее встречающиеся английские меры пересчитаны на метрические. Книга содержит полезный материал как для преподавателя высшей школы, так и для инженера-практика. Перевод сделан со 2-го английского издания, отличающегося от первого небольшими изменениями и дополнениями, которые отмечены знаками * перед номерами параграфов или их заглавиями.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

Современное развитие техники, особенно в области авиации, требует более широкого, чем раньше, знания теории упругости. Большие скорости в машиностроении являются причиной постановки сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают внимание к вопросу упругой устойчивости. Случайные или умышленные концентрации напряжений вызывают следствия, которыми нельзя пренебрегать без риска. Испытания материалов стали более сложными, и их обработку следует проводить на основе теории. Поэтому инженеру для решения возникающих перед ним задач приходится, наряду с другими руководствами, прибегать к помощи двух энциклопедических трудов: «Математической теории упругости» Лява и «Теории звука» Рэлея. Чтение элементарных книг не подготовляет его, как правило, к полному освоению содержания этих двух больших трудов. Они написаны математиками для математиков и в малой степени представляют ту технику, с которой имеет дело инженер. Они большей частью посвящены задачам, с которыми инженер непосредственно не сталкивается, их обозначения ему непривычны, и их точка зрения чужда ему. Задача инженера была бы сильно облегчена, если бы он мог изучить эти книги в знакомом ему освещении, т. е. если бы он мог приблизиться к ним, имея уже некоторое представление об общих уравнениях теории упругости, и нашел бы в них обозначения, которыми он уже привык пользоваться. Дать такого рода подготовку для более глубокого изучения и в то же время воспроизвести обычное содержание (в отношении теврии) известных курсов сопротивления материалов было моей задачей при составлении этой книги.

Предисловие Для этой цели я, во-первых, стремился показать, что напряженное состояние является следствием физических законов, лежащих в основе всей теории упругости. Во-вторых, я пытался иллюстрировать развитие математической техники от простых решений, основанных на предположениях, которые должны быть оправданы обращением к интуиции-, вплоть до решений, которые представляют интерес для профессионального математика. Главы VIII—XII можно опустить при первом чтении. Однако я надеюсь, что, вернувшись к ним позже, изучающий будет в состоянии использовать большой труд Лява, а из глав, посвященных устойчивости упругих систем и колебаниям, он почерпнет некоторое представление о тех мощных методах, которым мы обязаны Рэлею. Я пытался сразу же приучить читателя думать в трех измерениях, считая, что инженеры подготовлены к этому занятиями по черчению и геодезии. Задачи, взятые здесь в качестве примеров, на мой взгляд, имеют чисто практический характер. Однако большая часть из них была выбрана скорее для иллюстрации изложения, чем из-за их практической важности. Считая, что только некоторые изучающие прочтут этот курс без руководителя, я позволил себе сократить число решенных примеров * ) , но приводил много указаний и всюду дал ответы. Историческим сведениям посвящены попутные замечания в подстрочных примечаниях, но специально я не заботился об исчерпывающих ссылках на первоисточники: они не касаются начинающего, а более подготовленный читатель может найти их в другом месте.

ГЛАВА I ЗАКОН ГУНА И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ, НАХОДЯЩИХСЯ В РАВНОВЕСИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ К НИМ ВНЕШНИХ СИЛ

Предварительные соображения 1. Ни один из известных нам в природе материалов не является абсолютно твердым. Тела неизбежно деформируются под действием приложенных к ним сил, хотя иногда деформации настолько малы, что требуются весьма чувствительные инструменты для того, чтобы их обнаружить. Мы сразу можем отличить п л а с т и ч н ы е материалы, как, например, свинец или вар, которые почти не стремятся возвратиться к своей первоначальной форме после удаления деформирующих сил, от у п р у г и х , как, например, эбонит или сталь, у которых (если приложенные силы были не слишком велики) восстановление формы практически полное. Процесс деформирования в каждом отдельном случае идет так, что приложенные силы, взятые в целом, производят над материалом некоторую работу. Если материал упругий, го эта работа запасается в виде потенциальной энергии, которая освобождается по мере того, как уменьшаются деформирующие силы. Если материал пластичный, то работа, произведенная приложенными к нему внешними силами, пойдет на изменение его физического состояния или вызовет нагревание. Чем больше жесткость материала, тем меньше при данной системе приложенных сил запасенная работа. Иногда неабсолютная жесткость является помехой. Например, это имеет место при точных измерениях, когда приходится учитывать деформацию измерительных инструментов, эталонов длины и т. д., происходящую вследствие их собственного веса. Но в очень большом числе случаев деформируемость является положительным качеством. Так, пластичность свинца или резины позволяет употреблять эти материалы в качестве «прокладок» в машинах высокого давления, где они, деформируясь, обеспечивают

S

Глава I

плотное соединение фланцев машины. Способность упругих материалов запасать и отдавать назад механическую работу используется, например, в пружинах. В соответствии с характером поставленной задачи, целью конструктора является достижение либо больших, либо малых деформаций. В каждом из этих случаев конструктор нуждается в теории, с помощью которой-деформации могут быть подсчитаны. 2. Теория такого рода имеет и другие приложения. Во-первых, она включает в область теоретической механики задачи, которые неразрешимы методами статики или динамики твердого тела. Простейший пример такой задачи дан на рис. 1. Два жестких бруса А, В, соединенных тремя параллельными стержнями а, Ь, с, подвержены действию сил Р так, как показано на рисунке. Одни только теоремы статики не дают нам возможности сказать, как нагрузка распределится между стержнями. Ясно, что ответ зависит от относительной жесткости стержней. Основным требованием является равенство удлинений всех трех стержней. Во-вторых, теория деформаций под нагрузкой представляет собой существенную часть ветви прикладной механики, известной под названием сопротивления материалов. В сопротивлении материалов стремятся отыскать правила, позволяющие каждой части конструкции или машины придать размеры, соответствующие тем силам, действию которых она должна противостоять. Деформация детали может быть настолько малой, что не будет иметь значения сама по себе; но ее нужно учиты-

вать, потому что она определяет напряженное состояние

(т. е. внутренние усилия). В только что приведенной задаче мы не можем сказать, будет ли иметь каждый из стержней а, Ь, с соответствующую прочность, до тех пор, пока мы не определим нагрузку, которую каждый из них должен удерживать. Следовательно, как мы видели, в первую очередь надо определить их удлинения. В качестве другого примера возьмем стержни А и В (рис. 2), сделанные из одинакового материала. Поперечное сечение стержня А равно наименьшему поперечному сечению (ab) стержня В, имеющего треугольные вырезы. Без учета деформации вблизи вырезов мы не сможем сказать, который из стерж-

Закон Гука и следствия из него ней и насколько будет прочнее, потому что мы не будем знать, как общая сила растяжения распределится по сечению ab. Предыдущие примеры были типичными задачами сопротивления материалов, и они показывают, что развитие этой науки должно итти по двум направлениям. Во-первых, следует развивать методы для определения напряженного состояния, появляющегося в теле заданной формы при действии на него

Рис. 1.

Рис. 2.

заданных сил. Во-вторых, нужно найти способы для решения вопроса о том, может ли данный материал выдержать данное напряженное состояние. Первое направление исследований касается теории упругости, которая является предметом настоящей книги. Второе относится к изучению реальных материалов, и им следует заниматься в лабораториях испытания материалов, металлографии и тому подобных. В идеальном случае наука должна развиваться по обеим линиям pan passu*). Однако нужно сразу же признать, что прогресс в нашей науке еще не достиг той стадии, на которой становится возможным учет всех, а не только наиболее простых свойств материалов. 3. Первым начал изучать сопротивление твердых тел разрушению, повидимому, Галилей *). Галилей рассмотрел задачу о стержне, заделанном одним концом в стену и нагруженном *) В равной степени (лат.). (Прим.. перев.) ] ) G а 1 i I e о G a l i l e i , Discorsi e Dimostrazioni matematiche, Leiden (1638). Интересное изложение этого мемуара и многих исследований «задачи Галилея», которые были сделаны в следующем веке, дается в первой главе ) Ср. Рэ лей, Теория зпука, 1, § 74.

16

Г.шва I

сохраняется для любого перемещения независимо от того, равно оно нулю или нет, и мы можем написать:

(9) и так далее.

'

Здесь а ш а 1 2 , . . . являются коэффициентами влияния вида, рассмотренного в §§ 4—6. Работа, совершаемая силами, приложенными к упругому телу 8. Мы видели, что каждое из 6 Ь 82, . . . зависит, вообще говоря, от всех сил Рг, Р 2 , . . . так, что (например) 8j не будет в общем пропорционально Р,. Но если все силы возрастают одновременно и в одном и том же отношении, то все перемещения возрастают тоже в том же отношении. В этом случае соотношение между Р 1 и Ь1 будет линейным. Другими словами, мы имеем:

*

г>

п

C O n S t

/Г = ClU + «12 /Г-+ a12jT + • • • =

ъ Р' Р» Это имеет место лишь тогда, когда отношения -==-, -~- , . . . имеют постоянные значения. Мы ранее видели (§ 6), что окончательные значения перемещений не зависят от способа приложения силы. Пусть силы при нагружении возрастают в постоянном отношении и скорость возрастания мала (так что на каждой стадии прох цесса сохраняется равновесие) ) . При этих условиях работа, совершаемая (например) силой Pit когда точка ее приложения испытывает перемещение 8^ очевидно, дается выражением: Wl = ~Pibl= = -2~ P l [ < l » / > '~r- a H ! 'Vf я 1 а Р 3 +

[согласно (9)] [-

(10),

') Внезапное приложение силы пызывает колебания п нагружаемом теле.

Закон Гука и следствия из него

17

Аналогичные выражения можно написать для других сил. Общая работа, совершенная внешними силами, будет:

Выражение (10) представляет собой половину суммы произведений сил на «соответствующие перемещения». Значения реакций, возникающих в абсолютно жестких опорах, не содержатся в этом выражении, так как перемещения, «соответствующие» им, равны нулю. Если же опоры перемещаются под нагрузкой, то работа совершается против сил, которые в них возникают. 9. Если равновесие сохраняется в течение всего процесса нагружения, то можно сказать, что работа, совершаемая приложенными силами, запасается в нагружаемом теле в виде потенциальной энергии. В самом деле, если силы будут медленно убывать, причем их отношение, как и раньше, будет сохраняться постоянным, то та же работа будет совершаться против сил, и к моменту, когда перемещения обратятся в нуль, будет возвращена вся работа в целом. Это последнее соображение показывает, что общее количество запасенной потенциальной энергии (подобно окончательным значениям перемещений) не может зависеть от порядка, в котором данные силы прикладываются, так как разгружая, подобно тому как описывалось выше, мы можем вновь получить от упругого тела при возвращении его в ненапряженное состояние определенное количество работы. Если же мы допустим, что упругое тело может запасти большее или меньшее количество потенциальной энергии при приложении сил в каком-нибудь специальном порядке, то мы придем к противоречию с законом сохранения энергии. • • • Упругая энергия деформации. Соотношения между коэффициентами влияния 10. Мы пришли к представлению о потенциальной энергии, запасаемой в теле и возвращаемой при желании, в такой форме, в которой эта величина зависит только от характера и величины деформации. Мы назовем ее у п р у г о й э н е р г и е й

IS

Глава I

д е ф о р м а ц и и . Если Р „ Р 2 , . . . , Рп — силы, необходимые для того, чтобы сохранять равновесие в какой-либо частной конфигурации, и если 8j, 8 2 , . . . , 8„—«соответствующие перемещения» (§ 7) точек, в которых действуют силы, те общее количество упругой энергии деформации равно

При выводе этого выражения мы принимали, что силы прикладываются определенным способом, но закон сохранения энергии вместе с принципом суперпозиции показывают, что оно должно сохраняться при любом способе приложения сил. Обращаясь опять к этим основным законам, мы можем показать, что ап и а21 в выражениях (9) обязательно имеют равные постоянные значения. Представим себе, что действуют только две силы Р1 и Р 2 , и пусть процесс нагруженил состоит в приложении сначала силы Р,, а затем Р 2 — в обоих случаях столь медленного, что равновесие сохраняется в течение всего процесса. По мере того, как Р, возрастает от нуля до окончательного значения, 8j возрастает от нуля до величины 8, = а и Р 1 ; работа, совершаемая при этом Pv будет -у-аиР*. Когда же затем прикладывается Р 2 , Ьх возрастает на величину a i 2 P 2 и 82 — на величину апР2. Работа, 2 совершаемая при этом Р 2 , будет -н- а 2 2 Р 2 . а работа, совершаемая Pj (величина которой постоянна в течение второго процесса), равна {ai2P2)Pv Таким образом, когда Р, прикладывается раньше Р 2 , общая работа, совершенная двумя силами, действующими на упругое тело, будет равна

W=± (а,,Р,« + аиЯа«) + a . J W

(12)

Если мы примем, что Р 2 прикладывается раньше, чем Р1г то аналогичные соображения для общей работы, совершаемой обеими силами, дадут выражение

W = ^ (