М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те...
15 downloads
235 Views
324KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т
Ф а культе тпр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки
Ка фе др а выч и сли те льно й ма те ма ти ки
Ч и сле нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши для о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге -Кутта . Ч а сть 1 .
М е то ди ч е ски е ука за ни я по кур су «Ч и сле нные ме то ды» для студе нто в 3 и 4 кур со в д/о и в/о фа культе та ПМ М
С о ста ви те ли : Ко р зуни на В .В . Ш а б уни на З.А .
В о р о не ж - 2001
2 С ОДЕРЖ А Н И Е
1. Я вные ме то дыти па Рунге -Кутта р е ше ни я о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ................................................................ ................. 1.1. Об щ а я фо р мули р о вка ме то до в ти па Рунге -Кутта ................................. 3 1.2. М е то д пе р во го по р ядка то ч но сти (о дно ч ле нна я фо р мула , q=1) .......... 5 1.3. М е то дывто р о го по р ядка то ч но сти (двуч ле нные фо р мулы, q=2) ........ 6 1.4. М е то дытр е тье го по р ядка то ч но сти (тр е хч ле нные фо р мулы, q=3) ..... 9 1.5. М е то ды ч е тве р то го по р ядка то ч но сти (ч е тыр е хч ле нные фо р мулы, q=4) ......................................................................................................................... 10 1.6. М е то дыпо р ядка выше ч е тве р то го ....................................................... 11 1.7. Ре ше ни е си сте м о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге -Кутта .................................................................................. 11 2. Двухсто р о нни е явные ме то дыРунге -Кутта ................................ ..................... 2.1. Двуч ле нные двухсто р о нни е ме то дыРунге -Кутта .............................. 14 2.2. Т р е хч ле нные двухсто р о нни е ме то дыРунге -Кутта ............................. 16 2.3. Ор га ни за ци я сч е та в двухсто р о нни х ме то да х ти па Рунге -Кутта ....... 18 3. По выше ни е то ч но сти экстр а по ляци о нным ме то до м Ри ч а р дсо на ....................... 19 3.1. По выше ни е то ч но сти в ме то де Э йле р а ................................................ 20 3.2. По стр о е ни е не пр е р ывно го пр и б ли ж е нно го р е ше ни я ......................... 22 4. Пр а кти ч е ски е спо со б ыо це нки по гр е шно сти явных о дно ша го вых ме то до в р е ше ни я за да ч и Ко ши ................................................................ ........ 4.1. Оце нка гло б а льно й по гр е шно сти по пр а ви лу Рунге ........................... 27 4.2. Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти по пр а ви лу Рунге ............................ 31 4.3. Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти на о сно ве ко мб и на ци и ме то до в р а зно го по р ядка то ч но сти ..................................................................................... 32 4.4. В ло ж е нные ме то дыо це нки ло ка льно й по гр е шно сти ......................... 35 4.5. М е р а по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я...................................... 38 5. А вто ма ти ч е ски й выб о р ша га и нте гр и р о ва ни я за да ч и Ко ши ............................... 41 5.1. М е то д удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м........................................... 42 5.2. М е то д выб о р а ма кси ма льно й для за да нно й то ч но сти дли ныша га ... 45 6. И нди ви дуа льные за да ни я по ч и сле нным ме то да м р е ше ни я за да ч и Ко ши ......... 46 6.1. О де мо нстр а ци и р а б о тыпр о гр а мм ...................................................... 46 6.2. Об о ши б ка х, до пущ е нных пр и за да ни и вхо дных па р а ме тр о в ........... 50
3 В связи с си сте ма ти ч е ски м со кр а щ е ни е м ч и сла ле кци о нных ч а со в по кур су “Ч и сле нные
ме то ды” , по лным и сч е зно ве ни е м и з уч е б ных пла но в
пр а кти ч е ски х за няти й по
это му пр е дме ту и усто йч и вым сущ е ство ва ни е м
пр а кти ки на Э В М , по дде р ж и ва ю щ е й ле кци о нный кур с “Ч и сле нные ме то ды” , во зни кла о стр а я не о б хо ди мо сть в но во й уч е б но -ме то ди ч е ско й ли те р а тур е , ко то р а я: 1. со де р ж и ткр а тко е ко нспе кти вно е и зло ж е ни е ле кци о нно го ма те р и а ла ; 2. вклю ч а е т
те о р е ти ч е ски е
ма те р и а лы,
пе р е да ва е мые
студе нта м
са мо сто яте льно го и зуч е ни я; 3. да е то пи са ни е о сно вных выч и сли те льных а лго р и тмо в и р е ко ме нда ци и к и х пр а кти ч е ско му и спо льзо ва ни ю ; 4. вклю ч а е тв се б я по др о б но е и нди ви дуа льно е за да ни е на Э В М ; 5. уч и тгр а мо тно со ста ви ть те сто вые и де мо нстр а ци о нные пр и ме р ы. Н а сто ящ е е по со б и е “Ч и сле нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши для о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге - Кутта ” являе тся пе р вым и з се р и и ме то ди ч е ски х р а зр а б о то к ука за нно го ти па . Оно на пи са но на о сно ве б о льшо го о пыта ве де ни я ле кци о нных, пр а кти ч е ски х и ла б о р а то р ных за няти й, на ко пле нно го на ка фе др е В ыч и сли те льно й ма те ма ти ки . По со б и е со сто и ти з двух ч а сте й. В пе р во й ч а сти на хо дятся ма те р и а лы, пе р е ч и сле нные в п. п. 1 - 5, во вто р о й - и нди ви дуа льные за да ни я на Э В М . И нди ви дуа льные за да ни я со ста вле ны а вто р а ми та к, ч то б ы о ни со о тве тство ва ли де ви зу Р.В . Х е мми нга “Ц е ль р а сч е то в – не ч и сла , а по ни ма ни е ".
1. Я вны ем е т о ды т и п а Р унге -К ут т а ре ше ни я о б ы к но ве нны х ди ф ф е ре нци а льны х ура вне ни й 1.1. Об щ а я ф о рм ули ро вк а м е т о до в т и п а Р унге -К ут т а Пусть на о тр е зке [ x0 , x0 + X ] тр е б уе тся на йти ч и сле нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши
y′ = f (x, y) y(x ) = y 0 0
(1) (2)
4 на се тке узло в
x0 <x1 <x2 ε , то не о б хо ди мо по вто р и ть выч и сле ни я с б о ле е ме лки м ша го м. В е ли ч и ну но во го ша га hε мо ж но о пр е де ли ть, по ло ж и в z ( x n ) hεs = ε ,
о ткуда на хо ди м hε = s ε z ( x n ) .
(95)
По дста вляя (89) и (91) в по сле дне е выр а ж е ни е , по луч а е м hε =
h (2 s − 1)ε h ε . = s s 2 yn − yn 2 R n
(96)
30 За ме ч а ни е 3. И з фо р мулы (96) сле дуе т, ч то пр и R > ε но во е зна ч е ни е ша га уме ньша е тся, пр и R < ε – уве ли ч и ва е тся. Э ти м о б сто яте льство м по льзую тся то гда , ко гда на о тр е зке и нте гр и р о ва ни я за да ч и Ко ши е сть не ско лько
ко нтр о льных то ч е к, в ко то р ых по гр е шно сти
пр и б ли ж е нно го
р е ше ни я до лж ны не
пр е во схо ди ть на пе р е д
за да нных до пусти мых по гр е шно сте й. За ме ч а ни е 4. И де я о пр е де ле ни я ша га и нте гр и р о ва ни я, пр и ко то р о м до сти га е тся за да нна я то ч но сть, по двум пр и б ли ж е нным зна ч е ни ям р е ше ни я мо ж е т б ыть и спо льзо ва на не пр и б ли ж е нно го во спо льзо ва ться двухсто р о нни ми
р е ше ни я по пр и
то лько пр и дво йно м пе р е сч е те пр а ви лу Рунге . Та к, е ю
ч и сле нно м
ме то да ми
р е ше ни и
Рунге -Кутта .
мо ж но
за да ч и Пусть
Ко ши по р ядо к
двухсто р о нне го ме то да р а ве н S . Т о гда с уч е то м выр а ж е ни й для ло ка льных по гр е шно сте й ме то да на ша ге (39) за пи ше м гла вные ч а сти по лных по гр е шно сте й в ви де y ( x n ) − y n+ ≅ Rn+ = γz ( x n )h s , y ( x n ) − y n− ≅ Rn− = −γz ( x n )h s ,
о ткуда 2γz ( x n ) h s = y n− − y n+ .
В е ли ч и ну но во го ша га hε мо ж но о пр е де ли ть, е сли по ло ж и ть γz ( x n ) hεs = ε . 2
Отсю да на хо ди м hε = h
За ме ч а ни е 5. В
2ε y n− y n+
.
(97)
случ а е р е ше ни я си сте мы ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й (35)
пр а ви ло Рунге за пи сыва е тся для ка ж до й и з ко мпо не нт р е ше ни я y 1 , y 2 ,..., y M
31
( ≅ (y
) 1 − 1 , l = 1,2,..., M , 2 − y ) (2 − 1), l = 1,2,..., M .
Rnl = y l ( xn ) − y nl ≅ y nl − y nl Rnl
= y ( xn ) − l
y nl
l n
l n
s
s
4.2. Оце нк а ло к а льно й п о гре ш но ст и п о п ра ви лу Р унге М е то д Рунге
пр а кти ч е ско й о це нки ло ка льно й по гр е шно сти являе тся
на и б о ле е р а спр о стр а не нным, хо тя и не са мым эффе кти вным ме то до м. Он за клю ч а е тся в то м, ч то по о дно й и то й ж е выб р а нно й выч и сли те льно й фо р муле сч и та ю тся два пр и б ли ж е ни я к р е ше ни ю в о дно й то ч ке , но с р а зными ша га ми . С р а вне ни е
эти х
двух
пр и б ли ж е нных
зна ч е ни й
по зво ляе т
по луч и ть
а по сте р и о р ную о це нку по гр е шно сти . Об о зна ч и м ч е р е з y1 р е ше ни е , по луч е нно е по выб р а нно й р а сч е тно й фо р муле ти па (4),(5) в то ч ке x1 = x0 + h . Г ла вный ч ле н ло ка льно й по гр е шно сти о б о зна ч и м ч е р е з ψ ( x0 , y 0 )h s +1 , по дч е р кнув те м са мым, ч то р е ше ни е по луч е но и з то ч ки x0 : y ( x0 + h) − y1 = ψ ( x0 , y 0 ) h s +1 .
(98) h 2
Об о зна ч и м ч е р е з yˆ р е ше ни е , по луч е нно е по пр а ви лу (4,5) в то ч ке x0 + , гла вный ч ле н по гр е шно сти ко то р о го р а ве н h h y x 0 + − yˆ = ψ ( x0 , y 0 ) 2 2
И з то ч ки x0 +
s +1
.
(99)
h выч и сли м пр и б ли ж е ни е 2
y1 к р е ше ни ю в то ч ке
x0 + h с
по гр е шно стью h h yˆ ( x0 + h) − y1 = ψ x0 + , yˆ 2 2
s +1
,
(100)
где yˆ ( x) – то ч но е р е ше ни е ур а вне ни я (1), удо вле тво р яю щ е е усло ви ю h yˆ x + = yˆ . 2
32 Если в ка ч е стве пр и б ли ж е ни я к р е ше ни ю в то ч ке x пр и нять y1 , то со гла сно пр а ви лу Рунге [6] гла вна я ч а сть по гр е шно сти ме то да на двух по сле до ва те льных ша га х h 2 р а вна y ( x0 + h) − y1 = ( y1 − y1 ) ( 2 s − 1) .
(101)
В ыч и сле нно е пр и б ли ж е нно е зна ч е ни е y1 мо ж но уто ч ни ть, пр и б а ви в к не му ве ли ч и ну гла вно го ч ле на по гр е шно сти , то е сть по ло ж и в y ( x1 ) ≅ y1 = y1 + ( y1 − y1 ) (2 s − 1) .
(102)
Т о гда y ( x1 ) − y1 = O(h s + 2 ) .
В
да нно м спо со б е
(103) о це нки по гр е шно сти фо р мула
Рунге -Кутта (4,5)
пр и ме няе тся тр и р а за и тр е б уе тся 3q − 1 выч и сле ни й пр а во й ч а сти
f ( x, y )
ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я (1), по это му пр и сло ж ных и тр удо е мки х для выч и сле ни я пр а вых ч а стях это тспо со б вле ч е тб о льши е выч и сли те льные за тр а ты. 4.3. Оце нк а ло к а льно й п о гре ш но ст и на о сно век о м б и на ци и м е т о до в ра зно го п о рядк а т о чно ст и Э то т ме то д, та к ж е ка к и ме то д о це нки по гр е шно сти Рунге , о сно ва н на ср а вне ни и двух пр и б ли ж е нных зна ч е ни й р е ше ни я в о дно й то ч ке , то лько эти зна ч е ни я выч и сляю тся по фо р мула м ти па (4),(5) р а зных по р ядко в то ч но сти с о дни м и те м ж е ша го м. Пусть выб р а ны два ме то да ти па Рунге -Кутта р а зных по р ядко в. Оди н ме то д по р ядка p : r
y1p = y 0 + ∑ pi k i ,
(104)
i =1
где i −1 k1 = hf ( x0 , y 0 ), k i = hf x0 + α i h, y 0 + ∑ β ij k j , j =1
др уго й – по р ядка s : ~ r
~ y = y0 + ∑ ~ pi k i , s 1
i =1
(105)
33 где i −1 ~ ~ ~ ~ k1 = hf ( x0 , y 0 ), k i = hf x0 + α i h, y 0 + ∑ β ij k j . j =1
Пусть p > s, r ≥ ~r . То гда о це нка ло ка льно й по гр е шно сти ρ s фо р мулы (105) и ме е тви д ρ s = y1p − y1s + O (h p +1 )
и ли , о ста вляя то лько ч ле ныгла вно го по р ядка , ρ s ≅ y1p − y1s .
(106)
По луч е нна я о це нка по гр е шно сти (106) тр е б уе т ~r + r − 1 выч и сле ни й пр а во й ч а сти ур а вне ни я (1). Если ко эффи ци е нтыв фо р мула х (104) и (105) та ко вы, ч то ~ r, α i = α~i , β ij = β ij , i = 1,2,..., ~
(107)
~
то k i = k i , i = 1,2,..., ~r , и для ло ка льно й по гр е шно сти (13?) по луч а е тся выр а ж е ни е ви да r
ρ s ≅ y1p − y1s = ∑ q i k i .
(108)
i =1
где
qi = pi − ~ pi , i = 1,2,..., ~ r , qi = pi , i = ~ r + 1,..., r
В е ли ч и на r
E = ∑ qi k i
(109)
i =1
на зыва е тся ко нтр о льным ч ле но м. И спо льзо ва ни е ко мб и на ци й
спе ци а льно
ко нтр о льных ч ле но в для
по до б р а нных фо р мул по зво ляе т уме ньши ть по
ср а вне ни ю с пр а ви ло м Рунге (102) и о це нко й (106) ко ли ч е ство выч и сле ни й пр а во й ч а сти ур а вне ни я (1). Пр и ме р 1. Ко мб и на ци я не за ви си мых фо р мул. Для ме то да тр е тье го по р ядка ( s = 3, ~r = 3) y1 = y 0 +
1 (K 1 + 3K 3 ) , 4
1 1 2 2 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + h, y 0 + K 1 , K 3 = hf x0 + h, y 0 + K 2 , 3 3 3 3
(110)
фо р мула
ко то р о го
34 пр и на дле ж и т двухпа р а ме тр и ч е ско му се ме йству (27) и 1 3
2 3
со о тве тствуе т зна ч е ни е м α 2 = , α 3 = , о ста то ч ный ч ле н о це ни м с по мо щ ью ме то да тр е х во сьмых (33) ч е тве р то го по р ядка ( p = 4, r = 4) y1 = y 0 +
1 ( K 1 + 3K 2 + 3K 3 + K 4 ) , 8
(111)
1 1 K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x 0 + h, y 0 + K1 , 3 3 2 1 K 3 = hf x0 + h, y 0 − K1 + K 2 , K 4 = hf ( x0 + h, y 0 + K 1 − K 2 + K 3 ) . 3 3
За ме ч а ни е .
Если о це ни ва ть по гр е шно сть ме то да (110) по пр а ви лу Рунге , то тр е б уе тся 8 о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти f ( x, y ) вме сто пяти по р а ссмо тр е нно му в пр и ме р е 1 ме то ду.
Пр и ме р 2. Ко мб и на ци я спе ци а льно по до б р а нных фо р мул. М е то ды(30) y1 = y 0 +
1 (K 1 + 4 K 2 + K 3 ) , 6
(112)
K h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x 0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf ( x0 + h, y 0 − K 1 + 2 K 2 ) , 2 2
и (22) y1 = y 0 + K 2 ,
(113)
K h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + , y 0 + 1 , 2 2
удо вле тво р яю тусло ви ю (107), пр и это м p = 3, s = 2, r = 3, ~r = 2 . Ко нтр о льный ч ле н (109) за пи сыва е тся в ви де E=
1 (K 1 − 2 K 2 + K 3 ) 6
(114)
и и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) . Пр и ме р 3. Ко мб и на ци я спе ци а льно по до б р а нных фо р мул. С та нда р тный ме то д Рунге -Кутта ч е тве р то го по р ядка (32) y1 = y 0 +
1 (K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6
(115)
35 K K h h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf x 0 + , y 0 + 2 , 2 2 2 2 K 4 = hf ( x 0 + h, y 0 + K 3 ),
и ме то д вто р о го
по р ядка
(22) удо вле тво р яю т усло ви ю
(107), пр и это м
p = 4, s = 2, r = 4, ~ r = 2 . Ко нтр о льный ч ле н (109) за пи сыва е тся в ви де E=
1 (K1 − 4 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6
(116)
и и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) . За ме ч а ни е .
Если о це нку по гр е шно сти ме то да (22) пр о во ди ть по пр а ви лу Рунге , то
по тр е б уе тся пять о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти и схо дно го
ур а вне ни я. В
пр и ме р е
2 для та ко й о це нки до ста то ч но
тр е х
о б р а щ е ни й, в пр и ме р е 3 – двух о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти . 4.4. Вло же нны ем е т о ды о це нк и ло к а льно й п о гре ш но ст и В ло ж е нные ме то дыо це нки ло ка льно й по гр е шно сти р е ше ни я за да ч и Ко ши – это ме то ды, о сно ва нные на ко мб и на ци и пр и б ли ж е нных ме то до в по р ядка p и p + 1 . Ка к и в пр е дыдущ е м пункте , два пр и б ли ж е нных зна ч е ни я р е ше ни я в о дно й
то ч ке по зво ляю т по луч и ть по гр е шно сть и нте гр и р о ва ни я ме то да по р ядка p . Н о вло ж е нные ме то ды – это та ки е ме то ды, в ко то р ых ме то д p -о го по р ядка по луч а е тся ка к “по б о ч ный пр о дукт” ме то да
( p + 1) -о го
по р ядка . Если
в
пр е дыдущ е м пункте б р а ли сь два са мо сто яте льных ме то да ти па Рунге -Кутта (4),(5), в ко то р ых ко эффи ци е нты α i , β ij , p qi о пр е де ляли сь и з усло ви я ми ни мума по гр е шно сти на ша ге , то во вло ж е нно м ме то де б е р е тся о ди н ме то д ти па Рунге Кутта по р ядка p + 1 . Для это го ме то да выч и сляю тся не о б хо ди мые зна ч е ни я k i (h) и с и х по мо щ ью по дб и р а е тся но вый пр и б ли ж е нный ме то д по р ядка p , ко то р ый, е сте стве нно , уж е не ми ни ми зи р уе т по гр е шно сть на ша ге и в это м смысле не являе тся ме то до м Рунге -Кутта . А лге б р а по луч е ни я та ки х ме то до в до ста то ч но гр о мо здка , о со б е нно для ме то до в по р ядка
p > 4 , о дна ко
за 1967-1969 го ды
36 И нгле ндо м, С и нта ни и Ф е льб е р го м б ыло по луч е но мно ж е ство та ки х ме то до в. Н и ж е пр и ве де ныпр о сте йши е пр и ме р ывло ж е нных ме то до в. За ме ч а ни е .
И но гда в ка ч е стве “по б о ч но го пр о дукта ” б е р ут ме то д по р ядка ме ньше , ч е м
В
p.
это м случ а е
выч и сли те льные
фо р мулы
зна ч и те льно упр о щ а ю тся (см. пр и ме р 1). Пр и ме р 1. С та нда р тный ме то д Рунге -Кутта ч е тве р то го по р ядка (32) y1 = y 0 +
1 (K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6
(117)
по зво ляе то це ни ть ме то д вто р о го по р ядка y1 = y 0 +
1 (− K1 + 2 K 2 + 2 K 3 − K 4 ) . 2
(118)
Ко нтр о льный ч ле н за пи сыва е тся в ви де E=
2 (K 1 − K 2 − K 3 − K 4 ) , 3
(119)
и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) и и зве сте н ка к ко нтр о льный ч ле н Его р о ва . Пр и ме р 2. М е то д Рунге -Кутта тр е тье го по р ядка (30) y1 = y 0 +
1 (K 1 + 4 K 2 + K 3 ) 6
(120)
по зво ляе то це ни ть ме то д вто р о го по р ядка (20) y1 = y 0 +
1 (K1 + K 3 ) . 2
(121)
Ко нтр о льный ч ле н и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) и за пи сыва е тся в ви де E=−
1 (K 1 − 2 K 2 + K 3 ) . 3
(122)
Пр и ме р 3. Пяти ч ле нна я
фо р мула
ме то да
Рунге -Кутта
ч е тве р то го
по р ядка ,
пр е дло ж е нна я М е р со но м, y1 = y 0 +
где
1 (K 1 + 4 K 4 + K 5 ) , 6
(123)
37 K K K h h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf x0 + , y 0 + 1 + 2 , 3 3 3 6 6 K K h 3 3 K 4 = hf x 0 + , y 0 + 1 − K 3 , K 5 = hf x0 + h, y 0 + 1 − K 3 + 2 K 4 , 2 8 8 2 2
(124)
по зво ляе то це ни ть ме то д тр е тье го по р ядка y1 = y 0 +
1 (K 1 + 3K 3 + 4 K 4 + 2 K 5 ) . 10
(125)
Ко нтр о льный ч ле н по р ядка O(h 4 ) в да нно м случ а е за пи сыва е тся в ви де E=
1 (2 K1 − 9 K 3 + 8K 4 − K 5 ) . 30
(126)
Пр и ме р 4. Ш е сти ч ле нна я фо р мула ме то да Рунге -Кутта пято го по р ядка , по стр о е нна я И нгле ндо м, y1 = y 0 +
1 (14 K1 + 35K 4 + 162 K 5 + 125K 6 ) , 336
(127)
где K K K h h K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf x0 + , y 0 + 1 + 2 , 2 2 2 4 4 2 7 10 1 K 4 = hf ( x0 + h, y 0 − K 2 + 2 K 3 ), K 5 = hf x0 + h, y 0 + K1 + K2 + K 4 , (128) 3 27 27 27 h 1 (28K1 − 125K 2 + 546 K 3 + 54 K 4 + 378K 5 ) , K 6 = hf x 0 + h, y 0 − 5 625
да е то це нку для ме то да ч е тве р то го по р ядка y1 = y 0 +
1 (K 1 + 4 K 3 + K 4 ) 6
(129)
в ви де ко нтр о льно го ч ле на по р ядка O(h 5 ) E=
1 (− 42 K1 − 224 K 3 − 21K 4 + 162 K 5 + 125K 6 ) . 336
За ме ч а ни е .
(130)
М е то ды, пр и ве де нные в пр и ме р а х 1-4, по зво ляю туме ньши ть ч и сло о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти и схо дно го ур а вне ни я по ср а вне ни ю с те м, ко то р о е и ме е тме сто пр и по льзо ва ни и пр а ви ло м Рунге : пр и ме р 1 – ме то д вто р о го по р ядка , ч е тыр е о б р а щ е ни я вме сто пяти ; пр и ме р 2 – ме то д вто р о го по р ядка , тр и о б р а щ е ни я вме сто пяти ;
38 пр и ме р 3 – ме то д тр е тье го по р ядка , пятьо б р а щ е ни й вме сто во сьми ; пр и ме р 4 – ме то д ч е тве р то го по р ядка , ше сть о б р а щ е ни й вме сто о ди нна дца ти . 4.5. М е ра п о гре ш но ст и п ри б ли же нно го ре ше ни я В ыше
р а ссма тр и ва ли сь пр а кти ч е ски е
спо со б ы о це нки гло б а льных и
ло ка льных а б со лю тных по гр е шно сте й р е ше ни я, ко то р ые ле ж а тв о сно ве мно ги х а лго р и тмо в по луч е ни я пр и б ли ж е нных р е ше ни й с на пе р е д за да нно й ве р хне й гр а ни це й по гр е шно сти . Одна ко б ыва ю т си туа ци и , ко гда за да ни е а б со лю тных по гр е шно сте й р е ше ни я не то лько не р а зумно , но и пр и во ди т к пр и нци пи а льно й не во змо ж но сти по луч е ни я р е ше ни я на да нно й Э В М . В
са мо м де ле , пусть
до пусти ма я а б со лю тна я по гр е шно сть р а вна 10 − k , а ма кси ма льно е зна ч е ни е р е ше ни я – 10 − p . Т о гда для то го , ч то б ы тр е б уе ма я то ч но сть б ыла до сти гнута , ко ли ч е ство
и спо льзуе мых пр и выч и сле ни ях де сяти ч ных зна ко в t до лж но
удо вле тво р ять не р а ве нству t >k + p.
(131)
Оч е ви дно , ч то зна ч е ни е t мо ж е тпр е взо йти дли ну р а зр ядно й се тки Э В М и выч и сле ни я ста нутне во змо ж ны. По до б ные си туа ци и не
во зни ка ю т, ко гда за да е тся не
а б со лю тна я, а
о тно си те льна я по гр е шно сть пр и б ли ж е нно го р е ше ни я. Одна ко пр и за да нно й о тно си те льно й по гр е шно сти на до сле ди ть, ч то б ы пр и б ли ж е нно е р е ше ни е не о б р а щ а ло сь в нуль, ве р не е , ч то б ы пр и б ли ж е нно е р е ше ни е не по па да ло в ма лую о кр е стно сть нуля. Б о ле е
ги б ки м
и нстр уме нто м,
че м
а б со лю тна я
и
о тно си те льна я
по гр е шно сти , являе тся ме р а по гр е шно сти . М е р о й по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я на зыва е тся ди скр е тна я функци я Vn =
y( xn ) − y n yn
p
qp,
(132)
где q – не ко то р о е по ло ж и те льно е ч и сло , выб и р а е мо е с уч е то м о со б е нно сте й р е ша е мо й за да ч и ; p = 0 пр и y n ≤ q ; p = 1 пр и y n > q .
39 Л е гко ви де ть, ч то пр и y n ≤ q ме р а по гр е шно сти Vn со впа да е тс а б со лю тно й по гр е шно стью пр и б ли ж е нно го р е ше ни я, а пр и
yn > q
– с е е взве ше нно й
о тно си те льно й по гр е шно стью . За ме ч а ни е 1. Н а пр а кти ке и де я р а ссмо тр е ни я ме р ы по гр е шно сти р е а ли зуе тся сле дую щ и м о б р а зо м. Пусть ε ( А б с) , ε (О т н ) – на и б о льши е до пусти мые зна ч е ни я
а б со лю тно й
со о тве тстве нно .
То гда
и
о тно си те льно й
сч и та ю т,
ч то
по гр е шно сте й
ме р а
по гр е шно сти
удо вле тво р яе тза да нным тр е б о ва ни ям, е сли выпо лняе тся усло ви е ε n ≤ ν yn + µ ,
(133)
где ε ( А б с) , если y n ≤ q, 0, если y n ≤ q, ν = (О т н ) µ= , если y n > q, 0, если y n > q. ε
(134)
За ме ти м, ч то е сли в не ко то р о й то ч ке xn ве р но р а ве нство y n = 1 , то о тно си те льна я и а б со лю тна я по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я в это й то ч ке со впа да ю т. По это му ч а сто за да ю то дно зна ч е ни е ε ( 0 ) и пр о ве р яю твыпо лне ни е усло ви я (133), где 0, если yn ≤ 1, ε ( 0 ) , если y n ≤ 1, µ= ν = (0) ε , если yn > 1, 0, если y n > 1.
(135)
За ме ч а ни е 2. O пр и б ли ж е нно м р е ше ни и с на пе р е д за да нным ч и сло м ве р ных зна ко в. Пусть тр е б уе тся по стр о и ть пр и б ли ж е нно е р е ше ни е , и ме ю щ е е m ве р ных зна ко в пр и за пи си в де сяти ч но й си сте ме Пр е дпо ло ж и м, ч то зна ч е ни е
y n и ме е т по р ядо к
сч и сле ни я.
p , то гда о но
пр е дста ви мо в ви де y n = a1 ⋅10 p −1 + a 2 ⋅10 p −2 + ... + a m ⋅ 10 m −1 + ... (a1 ≠ 0) .
(136)
Н а по мни м, ч то ци фр а a k сч и та е тся ве р но й, е сли а б со лю тна я 1 2
по гр е шно сть не пр е во схо ди т 10 p− k . Если мы хо ти м и ме ть m
40 ве р ных зна ко в, то не о б хо ди мо по тр е б о ва ть, ч то б ы а б со лю тна я по гр е шно сть пр и б ли ж е нно го р е ше ни я удо вле тво р яла не р а ве нству 1 y ( x n ) − y n ≤ 10 p − m 2
(137)
Пр и это м о тно си те льна я по гр е шно сть не б уде тза ви се ть о тпо р ядка p:
y ( xn ) − y n yn
1 ≤ 101− m 2
(138)
И та к, ч то б ы на йти пр и б ли ж е нно е р е ше ни е с ве р ными зна ка ми , нуж но и ска ть зна ч е ни е ша га и нте гр и р о ва ни я и з усло ви я (138) и пр и это м сле ди ть, ч то б ы y n не о б р а ти ло сь в нуль 4.6. Сп о со б ы о це нк и п о гре ш но ст и п ри б ли же нно го ре ше ни я си ст е м ура вне ни й. Т а к ж е ка к и са ми ме то ды ти па Рунге -Кутта , по луч е нные в 2.1 для о дно го
ди ффе р е нци а льно го
по гр е шно сти ле гко
ур а вне ни я, пр а кти ч е ски е
спо со б ы о це нки
их
пе р е но сятся на случ а й р е ше ни я си сте м о б ыкно ве нных
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. Пусть ч и сле нно р е ша е тся си сте ма ур а вне ни й (501) ка ки м-ли б о ме то до м ти па Рунге -Кутта (502). А по сте р и о р на я о це нка гло б а льно й по гр е шно сти по пр а ви лу Рунге . В ыпи ше м по ко мпо не нтно о це нки по гр е шно сти , а на ло ги ч ные (307),(308): Rni = y i ( xn ) − y ni ≅ ( yni − y ni ) /(1 − 1 / 2 s ), i = 1,2,..., M Rni = y i ( xn ) − yni ≅ ( yni − y ni ) /(2 s − 1),
i = 1,2,..., M
Зде сь ч е р та на д о б о зна ч е ни ями являе тся не си мво ло м ве кто р а , а ста ви тся в зна к то го , ч то р е ше ни е (и ли по гр е шно сть) по луч е но с ша го м h. Н а и б о ле е
ч а сто сч и та ю т, ч то для гло б а льно й по гр е шно сти р е ше ни я
до сти га е тся не ко то р а я то ч но сть ε , е сли эта то ч но сть до сти гнута для все х ко мпо не нтр е ше ни я: Rni ≤ ε ,
i = 1,2,..., M .
Одна ко
б ыва е т, ч то
41 фи зи ч е ски й смысл за да ч и
и ли
и ные
со о б р а ж е ни я
по дска зыва ю т, ч то о це нку по гр е шно сти до ста то ч но пр о и зво ди ть то лько по о дно й и з ко мпо не нт р е ше ни я. В спо мни в,
ч то
по гр е шно сть р е ше ни я си сте мы
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й являе тся ве кто р о м р а зме р но сти
M, мо ж но
пр е дста ви ть си туа ци и , ко гда о це нка по гр е шно сти пр о во ди тся по не ко то р о й ве кто р но й но р ме по гр е шно сти . Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти
пр и р е ше ни и си сте мы о б ыкно ве нных
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й та кж е пр о во ди тся ч а щ е все го по ко мпо не нтно , т.е . те м и ли и ным ме то до м о це нки ло ка льно й по гр е шно сти (ме то до м Рунге , и ли на о сно ве ко мб и на ци й фо р мул р а зных по р ядко в то ч но сти , и ли вло ж е нным ме то до м) выч и сляю тся гла вные ч а сти по гр е шно сте й y i ( x0 + h) − y1i для все х ко мпо не нт р е ше ни я ( (i = 1,2,..., M ). За те м о пр е де ляе тся на и б о льша я и з по гр е шно сте й, ко то р а я и
пр и ни ма е тся за
о це нку по гр е шно сти
си сте мы. Одна ко
за
ло ка льную
по гр е шно сть р е ше ни я си сте мы ур а вне ни й мо ж но пр и нять и и ные о б ъе кты – ло ка льную по гр е шно сть не ко то р о й фи кси р о ва нно й ко мпо не нтыр е ше ни я, ср е дне е а р и фме ти ч е ско е по гр е шно сте й о тде льных ко мпо не нти т.п. За ме ти м, ч то в те ста х За да ни й все гда о со б о о го ва р и ва е тся, ч то пр и ни ма е тся за о це нку по гр е шно сти ч и сле нно го и нте гр и р о ва ни я си сте мыур а вне ни й.
5. Авт о м а т и че ск и й вы б о р ш а га и нт е гри ро ва ни я за да чи К о ш и И нтуи ти вно по нятно , ч то пе р е ме нных ша г и нте гр и р о ва ни я по зво ляе т уч и тыва ть о со б е нно сть по ве де ни я р е ше ни я и ми ни ми зи р о ва ть выч и сли те льные за тр а ты пр и со хр а не ни и тр е б уе мо й то ч но сти ч и сле нно го р е ше ни я. М е то да ми ва р и а ци о нно го выч и сле ни я по ка за но , ч то пр и за да нно м ур о вне гло б а льно й по гр е шно сти
р е ше ни я выч и сли те льные
за тр а ты б удут ми ни ма льны, е сли
ло ка льна я по гр е шно сть на ка ж до м ша ге б уде т по сто янна . Э то т фа кт являе тся це нтр а льно й и де е й а лго р и тмо в а вто ма ти ч е ско го выб о р а ша га . За ме ч а ни е . По гр е шно сть о кр угле ни я в на сто ящ е м ме то де не уч и тыва е тся.
42 5.1. М е т о д удво е ни я и де ле ни я ш а га п о п о ла м Пусть для по луч е ни я пр и б ли ж е нно го р е ше ни я за да ч и Ко ши (1),(2) выб р а н не ко то р ый ме то д ти па Рунге -Кутта и и ме е тся в р а спо р яж е ни и спо со б о це нки ло ка льно й по гр е шно сти выб р а нно го ме то да . Ка к и р а не е , о б о зна ч и м ч е р е з ε n+1 ло ка льную по гр е шно сть ме то да в то ч ке
xn + h , а
пр и б ли ж е нно е
зна ч е ни е ,
выч и сле нно е с ша го м h – y nh+1 . Пусть на и б о льша я до пусти ма я ло ка льна я по гр е шно сть ша га и нте гр и р о ва ни я р а вна ε > 0 . Т о гда е сли ε n +1 > ε ,
(139)
то пр и б ли ж е нно е зна ч е ни е y nh+1 сч и та е тся не удо вле тво р и те льным по то ч но сти и выб и р а е тся но во е зна ч е ни е ша га h (1) = h . 2
(140)
С эти м но вым ша го м по то й ж е фо р муле Рунге -Кутта выч и сляе тся но во е зна ч е ни е y nh+1 в но во й то ч ке xn + h (1) . Если о це нка ло ка льно й по гр е шно сти ε n(1+)1 на (1)
но во м ша ге
h (1)
о пять пр е во схо ди т за да нную
на и б о льшую
до пусти мую
ло ка льную по гр е шно сть ε ε n(1+)1 > ε ,
(141)
то ша г сно ва де ли тся по по ла м h ( 2) = h
(1)
2
.
и выч и сле ни я по вто р яю тся. Т а к пр о и схо ди т до
(142) те х по р , по ка ло ка льна я
по гр е шно сть не ста не тме ньше и ли р а вна ε пр и ка ко й-то ве ли ч и не ша га , ко то р ую о б о зна ч и м hn : ε n +1 ≤ ε .
(143)
Да льне йше е и нте гр и р о ва ни е ур а вне ни я б уде т пр о и зво ди ться и з то ч ки x n +1 = x n + hn с ша го м hn +1 , ко то р ый выб и р а е тся по сле дую щ е му пр а ви лу. Если
ло ка льна я по гр е шно сть ε n +1 на ша ге hn = xn +1 − xn удо вле тво р яе тне р а ве нству ε n +1
0 ) и ли сле ва (пр и hn < 0 ) ве щ е стве нно го ч и сла , ко то р о е пр е дста вле но на и спо льзуе мо й Э В М . Для это го ша г и нте гр и р о ва ни я до лж е н удо вле тво р ять усло ви ю h ≥ max{σ , r},
где
σ
(148)
– на и ме ньше е по ло ж и те льно е ч и сло , пр е дста ви мо е на
да нно й Э В М , τ ≅ macheps ⋅ x , macheps – ма ши нно е эпси ло н [7]. Зна ч е ни е ,
б ли зко е
к
ма ши нно му
по сле дую щ е му пр о сто му а лго р и тму:
эпси ло н,
выч и сляе тся
45 R := 1 п ока (1 + R) > 1 нц R := R 2 кц macheps := R ∗ 2
(149)
За ме ч а ни е 6. Для то го , ч то б ы и зб е ж а ть не пр и ятно сте й, о ко то р ых го во р и ло сь в За ме ч а ни и 5, мо ж но ста ви ть о гр а ни ч е ни я на ч и сло де ле ни й пе р во на ч а льно го ша га и нте гр и р о ва ни я. Н а пр и ме р , е сли о гр а ни ч и ть ко ли ч е ство
де ле ни й два дца тью , то до пуска е тся ма кси ма льно е
уме ньше ни е ша га в 10 6 р а з. За ме ч а ни е 7. В ыб о р о пти ма льно го са мо го пе р во го ша га и нте гр и р о ва ни я – тр удна я за да ч а , е сли р е ша ть е е в по лно м о б ъе ме . С а мый пр о сто й выхо д – по ло ж и ть пе р во на ч а льный ша г р а вным не ко то р о й ч а сти о тр е зка и нте гр и р о ва ни я, на де ясь на то , ч то ме то д удво е ни я и де ле ни я
ша га
по по ла м
до во льно
б ыстр о
выйде т
на
удо вле тво р и те льно е зна ч е ни е дли ныша га . 5.2. М е т о д вы б о ра м а к си м а льно й для за да нно й т о чно ст и дли ны ш а га Н а по мни м, ч то ми ни ма льные выч и сли те льные за тр а тыпр и р е ше ни и за да ч и Ко ши (1),(2) ме то да ми ти па Рунге -Кутта и ме ю тме сто то гда , ко гда на все х ша га х и нте гр и р о ва ни я ло ка льна я по гр е шно сть ме то да по сто янна и р а вна не ко то р о му ε . Пусть р е ше ни е в то ч ке xn выч и сле но и и де тпр о ве р ка удо вле тво р и те льно сти ша га h для о пр е де ле ни я сле дую щ е й то ч ки и нте гр и р о ва ни я x n +1 = x n + h . С это й це лью
сч и та е тся по гр е шно сть ε n +1 (гла вна я ч а сть по гр е шно сти , см. со о тно ше ни е (84)), с ко то р о й о пр е де ляе тся зна ч е ни е y n+1 в то ч ке xn + h , и ср а вни ва е тся с ε . Если ψ ( x n , y n ) h s +1 = ε n +1 > ε ,
(150)
то зна ч е ни е ша га h пр и зна е тся не удо вле тво р и те льным и выб и р а е тся но вый ша г и нте гр и р о ва ни я hε и з со о тно ше ни я hε = αh ,
(151)
46 где па р а ме тр α вве де н для то го , ч то б ы гла вна я ч а сть ло ка льно й по гр е шно сти б ыла то ч но р а вна ε : ψ ( xn , y n ) hεs +1 = ε .
(152)
И з со о тно ше ни й (150)- (152) ле гко по луч а е м зна ч е ни е но во го ша га hε hε = s +1
ε ε n +1
⋅h,
(153)
пр и это м α = s +1
ε ε n +1
< 1.
(154)
Н о вым узло м и нте гр и р о ва ни я б уде тявляться узе л xn +1 = xn + hε . Если ло ка льна я по гр е шно сть ε n+1 не пр е во схо ди тза да нно го ε ε n +1 ≤ ε ,
ша г h
сч и та е тся удо вле тво р и те льным и
(155) в ка ч е стве
сле дую щ е го
узла
и нте гр и р о ва ни я пр и ни ма е тся узе л xn +1 = xn + h , пр и это м та кж е о пр е де ляе тся ша г hε по фо р муле (153), где α б уде туж е б о льше е ди ни цы, т.е . ша г hε б уде тб о льше
ша га h . Да льне йше е и нте гр и р о ва ни е ур а вне ни я (1) и з то ч ки xn+1 на ч и на е тся с пр о ве р ки удо вле тво р и те льно сти ша га hε . К о пи са нно му в это м пункте ме то ду выб о р а ша га и нте гр и р о ва ни я в по лно й ме р е о тно сятся За ме ч а ни я 2,5,7 и з пр е дыдущ е го пункта . За ме ч а ни е .
Пр и пр а кти ч е ско й р е а ли за ци и па р а ме тр α за ме няе тся на па р а ме тр α ∗ = 0,9α .
6. И нди ви дуа льны еза да ни я п о чи сле нны м м е т о да м ре ше ни я за да чи К о ш и 6.1. О де м о нст ра ци и ра б о т ы п ро гра м м В о вр е мя сда ч и пр е по да ва те лю пр о гр а ммы студе нт на р яде пр и ме р о в, ко то р ые по дго та вли ва е т са мо сто яте льно , до лж е н по ка за ть, ч то е го пр о гр а мма р а б о та е т в со о тве тстви и с за да ни е м. Н а пр и ме р , е сли за да ч а Ко ши р е ша е тся
47 ме то до м Рунге -Кутта тр е тье го по р ядка , на до по ка за ть, ч то р е а ли зо ва н в са мо м де ле ме то д тр е тье го по р ядка то ч но сти . Для это го до ста то ч но выпо лни ть р яд те сто вых пр и ме р о в – в за да ч а х Ко ши , в ко то р ых р е ше ни е являе тся по ли но мо м нуле во й, пе р во й, вто р о й и тр е тье й сте пе ни , до лж но по луч а ться то ч но е р е ше ни е , а е сли р е ше ни е е сть по ли но м б о ле е высо ко й сте пе ни , то ч и сле нно е р е ше ни е и ме е т по гр е шно сть. Если в со о тве тстви и с за да ни е м а вто ма ти ч е ски й выб о р ша га и нте гр и р о ва ни я р е а ли зуе тся ме то до м удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м, то не о б хо ди мо
по до б р а ть пр и ме р ы с за р а не е
и зве стно й
по гр е шно стью
и
спе ци а льным о б р а зо м за да ва ть то ч но сть с те м, ч то б ы р е ше ни е по луч а ло сь в за р а не е пр е дска за нных то ч ка х и т.п. По стр о е ни е
те сто вых
пр и ме р о в
не
до лж но
тр е б о ва ть
б о льшо й
выч и сли те льно й р а б о ты. Одна ко и х со ста вле ни е не во змо ж но б е з глуб о ко го по ни ма ни я пр о гр а мми р уе мо го ме то да . Н и ж е пр и ве де н р яд за ме ч а ни й по р а зр а б о тке и ллю стр и р ую щ и х те сто вых пр и ме р о в. В ни ма те льно е и х и зуч е ни е да ж е в случ а е , е сли о ни не по ср е дстве нно не о тно сятся к и нди ви дуа льно му за да ни ю
студе нта , зна ко мят ч и та ю щ е го
с
о сно вными пр и нци па ми и и де ями , ле ж а щ и ми в о сно ве по стр о е ни я те сто вых пр и ме р о в для р е ше ни я на ч а льных за да ч (1)-(2) ме то да ми ти па Рунге -Кутта . За ме ч а ни е о на ч а льно й то ч ке и нте гр и р о ва ни я. Н и ж е пр и со ста вле ни и те сто вых пр и ме р о в для пр о сто ты выкла до к по ла га е м x0 = 0 . За ме ч а ни е о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я с за р а не е и зве стным р е ше ни е м. До пусти м, мы хо ти м со ста ви ть ур а вне ни е , р е ше ни е ко то р о го е сть y ( x) = x 3 . У ч и тыва я, ч то
y′( x) = 3 x 2 , за пи ше м не ско лько пр и ме р о в
та ки х ур а вне ни й: y ′ = 3x 2 , y ′ = y − x 2 ( x − 3) , y ′ = x( y − x 3 + 3x ) .
За ме ч а ни е о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно й за да ч и , ко то р а я пр и ч и сле нно м р е ше ни и да е тза р а не е и зве стную по гр е шно сть ме то да на ша ге . Пр и ме р 1.
48 Пусть пр о гр а мми р уе мый ме то д Рунге -Кутта вто р о го по р ядка (22), по гр е шно сть на ша ге ко то р о го и ме е тви д (23). Пр е дпо ло ж и м, ч то пр а ва я ч а сть ур а вне ни я не за ви си т о т y . Т о гда в выр а ж е ни и для по гр е шно сти
(23)
о ста е тся
о дно
пе р во е
сла га е мо е .
Если
по тр е б о ва ть, ч то б ывто р а я пр о и зво дна я f xx′′ р а вняла сь ко нста нте , то о ч е ви дно , ч то на лю б о м ша ге и нте гр и р о ва ни я по гр е шно сть ме то да б уде тпо сто янна . Зде сь в ка ч е стве те сто во го пр и ме р а удо б но взять за да ч у y ′ = 12 x 2 , y (0) = 0 , по ско льку в это м случ а е по гр е шно сть на ша ге (23) и ме е тна и б о ле е пр о сто й ви д ϕ 2 ≡ h 3 . Пр и ме р 2. М о ж но
по дб и р а ть те сто вые пр и ме р ы с на пе р е д и зве стными
по гр е шно стями ме то да на ша ге , не и спо льзуя выр а ж е ни я для по гр е шно сти , ка к это сде ла но в пр и ме р е 1. Пусть пр о гр а мми р уе мый ме то д ч е тве р то го по р ядка (33). Опять по ло ж и м, ч то пр а ва я ч а сть и схо дно го ур а вне ни я не за ви си то т y . Т о гда со гла сно (7) не по ср е дстве нно выч и сли м по гр е шно сть h h 2 ϕ 4 (h) = y ( x 0 + h ) − y 0 − f ( x0 ) + 3 f x 0 + + 3 f x0 + h + f ( x0 + h ) , (156) 8 3 3
р а скла дыва я то ч но е р е ше ни е y( x0 + h ) и функци ю f в р яд Т е йло р а в о кр е стно сти то ч ки x0 : ϕ 4 ( h) = − f
IV
h5 . 9 ⋅ 6!
(157)
Оч е ви дно , ч то в ка ч е стве пр о сте йше го те сто во го пр и ме р а удо б но взять функци ю f с по сто янно й ч е тве р то й пр о и зво дно й, на пр и ме р , f
IV
= 9 ⋅ 6! . Т о гда
по гр е шно сть на ша ге
ϕ 4 ( h) = − h 5 , а
и ско ма я
де мо нстр а ци о нна я за да ч а Ко ши и ме е тви д ′ 9 ⋅ 6! 4 x , y = 24 y (0) = 0.
(158)
49 За ме ч а ни е о со ста вле ни и те сто во го пр и ме р а , де мо нстр и р ую щ е го удво е ни е ша га и нте гр и р о ва ни я пр и
а вто ма ти ч е ско м выб о р е
ша га
ме то до м
удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м. Пусть р е ша е тся за да ч а Ко ши ме то до м Рунге -Кутта по р ядка S и ка ки м-ли б о ме то до м на ка ж до м ша ге о це ни ва е тся по гр е шно сть р е ше ни я. Т о гда е сли в ка ч е стве те сто во го пр и ме р а взять за да ч у Ко ши , р е ше ни е м ко то р о й являе тся по ли но м сте пе ни не выше S , то по гр е шно сть на ка ж до м ша ге б уде тр а вна нулю (ч и сле нный ме то д б уде т
да ва ть
то ч но е
р е ше ни е )
и,
сле до ва те льно ,
ша г
и нте гр и р о ва ни я б уде тпо сто янно удва и ва ться. К пр и ме р у, пусть на ч а льный ша г и нте гр и р о ва ни я за да е тся р а вным 0.005.
Т о гда
по сле до ва те льно сть то ч е к,
в ко то р ых б уде т
выда ва ться р е ше ни е , та ко ва : x0 = 0, x1 = 0.005, x 2 = 0.015, x3 = 0.035, x 4 = 0.075, x5 = 0.155 и та к да ле е .
За ме ч а ни е о со ста вле ни и те сто во го пр и ме р а , де мо нстр и р ую щ е го уме ньше ни е ша га и нте гр и р о ва ни я в два р а за пр и а вто ма ти ч е ско м выб о р е ша га ме то до м удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м. Пусть пр о гр а мми р уе тся ме то д Рунге -Кутта вто р о го по р ядка (22). И з Пр и ме р а 1 о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно й за да ч и с за р а не е и зве стно й по гр е шно стью
ме то да
на
ша ге
сле дуе т, ч то
пр и
и нте гр и р о ва ни и ур а вне ни я y ′ = 12x 2 о тна ч а льно го усло ви я y(0) = 0 по гр е шно стьме то да на лю б о м ша ге р а вна h 3 . Пустьна ч а льный ша г
( 2 ) , где
и нте гр и р о ва ни я H , а тр е б уе ма я то ч но сть р е ше ни я H
3
k
k –
не ко то р о е це ло е ч и сло . То гда о ч е ви дно , ч то пр и выч и сле ни и пе р во й то ч ки пе р во на ч а льный ша г б уде т k р а з по де ле н на два , а да ле е р а сч е тные то ч ки б удут сле до ва ть с по сто янным ша го м, р а вным H
2k
x0 = 0, x1 = H
:
2k
( 2 ), x
, x2 = 2 ⋅ H
k
3
( 2 ) и та к да ле е .
= 3⋅ H
k
Пр и ве де нные
выше
50 р а ссуж де ни я де ла ли сь в пр е дпо ло ж е ни и
о тсутстви я по гр е шно сте й о кр угле ни я. Для то го , ч то б ы о ни не по вли яли
на
пр е дпо ла га е мую
по сле до ва те льно сть
то ч е к
выч и сле ни я р е ше ни я, р е ко ме ндуе м зна ч е ни е то ч но сти б р а ть ч уть
( 2 ) , на пр и ме р (H 2 ) 1 − (H 2 ) . 3
ме ньше , ч е м H
3
k
k
3
k
За ме ч а ни е о те сти р о ва ни и , связа нно м с гло б а льно й по гр е шно стью ме то до в ти па Рунге -Кутта . Пр и те сти р о ва ни и это го р о да и спо льзую тто тфа кт, ч то гло б а льна я по гр е шно сть ме то до в ти па Рунге -Кутта р а вна сумме по гр е шно сте й на о тде льных ша га х и нте гр и р о ва ни я, е сли пр а ва я ч а сть и схо дно го ур а вне ни я не а р гуме нта
за ви си т о т y (x) , а являе тся то лько
x. В
это м случ а е
функци е й
по дб и р а е тся за да ч а Ко ши (см.
За ме ч а ни е о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно й за да ч и , ко то р а я пр и ч и сле нно м р е ше ни и да е т за р а не е и зве стную по гр е шно сть ме то да на ша ге ) с за р а не е
и зве стными по гр е шно стями на ша ге
и
пр о во ди тся и х не по ср е дстве нно е сумми р о ва ни е . 6.2. Об о ш и б к а х, до п ущ е нны х п ри за да ни и вхо дны х п а ра м е т ро в Одни м и з о б яза те льных тр е б о ва ни й, пр е дъявляе мых к р а зр а б а тыва е мым по дпр о гр а мма м, являе тся и х б е за ва р и йна я р а б о та . В
ч а стно сти , пр и лю б ых
вхо дных да нных выпо лне ни е по дпр о гр а ммы до лж но успе шно за ве р ши ться. У спе шно е за ве р ше ни е р а б о ты пр о гр а ммы пр и не пр а ви льно за да нных вхо дных па р а ме тр а х – это за ве р ше ни е р а б о ты с со о тве тствую щ и ми зна ч е ни ями ко да за ве р ше ни я. Пусть, к пр и ме р у, вхо дными па р а ме тр а ми являю тся: N – ч и сло то ч е к р а вно ме р но го р а зб и е ни я для о пр е де ле ни я пе р во на ч а льно го
ша га и нте гр и р о ва ни я; A, B – на ч а ло и ко не ц и нте р ва ла и нте гр и р о ва ни я; C – то ч ка , где за да нына ч а льные усло ви я (ли б о это то ч ка A , ли б о то ч ка B );
y C – на ч а льно е зна ч е ни е р е ше ни я в то ч ке C ;
51 m – ч и сло ве р ных зна ко в р е ше ни я,
а зна ч е ни е ко да за ве р ше ни я по дпр о гр а ммы ICOD = 3 со о тве тствуе т о ши б ке вхо дных да нных. Т о гда е сли ICOD = 3 , то до пущ е на о дна и з сле дую щ и х о ши б о к (на са мо м де ле пе р е ч е нь о ши б о к для да нно го пр и ме р а мо ж но сущ е стве нно р а сши р и ть):
N ≤ 0; A ≥ B; (C − A)(C − B ) ≠ 0; m < 1; m > m _ max ,
где
зна ч е ни е
m _ max связа но с р а зме р о м ма нти ссыу ва ше й Э В М . С о ста вле ни е на б о р а усло ви й для сво е го и нди ви дуа льно го за да ни я, пр и ко то р о м вхо дные да нные б удут сч и та ться о ши б о ч ными , выпо лняе тся студе нто м са мо сто яте льно . Л И Т ЕР А Т У Р А 1.
С а ма р ски й А .А. Ч и сле нные ме то ды / А .А .С а ма р ски й, А .В .Г ули н. М .: Н а ука , 1989. – 368 с.
2.
Л яшко И .И . М е то ды выч и сле ни й / И .И .Л яшко , В .Л .М а ка р о в. – Ки е в: В и щ а шко ла , 1977. – 408 с.
3.
Б а б ушка И . Ч и сле нные пр о це ссы р е ше ни я ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. / И .Б а б ушка , Э .В и та се к, М .Пр а ге р .– М .: М и р , 1969. – 368 с.
4.
М а р ч ук Г .И . По выше ни е то ч но сти р е ше ни й р а зно стных схе м. / Г .И .М а р ч ук, В .В .Ш а йдур о в.– М .: Н а ука , 1979. – 320 с.
5.
Кр ыло в
В .И .
Н а ч а ла
те о р и и
выч и сли те льных
ме то до в.
Ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я. / В .И .Кр ыло в, В .В .Б о б ко в,– М и нск: Н а ука и те хни ка , 1982. – 286 с. 6.
С о вр е ме нные
ч и сле нные
ме то ды
р е ше ни я
о б ыкно ве нных
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й / По д р е д. Дж . Х о лла , Дж . У а мла . – М .: М и р , 1979. – 312 с. 7.
Ар уша нян
О.Б .
Ч и сле нно е
р е ше ни е
о б ыкно ве нных
ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й на Ф о р тр а не . / О.Б .А р уша нян, С .Ф .За ле тки н. – М .: И зд-во М Г У , 1990. – 336 с.
52 С о ста ви те ли : Ко р зуни на В е р а В а си лье вна , Ш а б уни на Зо я А ле кса ндр о вна . Ре да кто р Т и хо ми р о ва О.А .