Помехоустойчивые алгоритмы обработки данных промысловых гидродинамических исследований скважин

На правах рукописи

ЕНИКЕЕВ РУСЛАН РИНАТОВИЧ

ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ПРОМЫСЛОВЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ СКВАЖИН

Специальность 25.00.17 − «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Уфа − 2004

Работа выполнена в Уфимском филиале ООО «Нефтеюганский научноисследовательский и проектный институт нефти». Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Булгакова Гузель Талгатовна

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Пономарев Александр Иосифович кандидат технических наук, доцент Левченко Владимир Сидорович

Ведущая организация

Научно – производственное объединение «Нефтегазтехнология»

Защита состоится «22» октября 2004 года в 11.30 на заседании диссертационного совета Д 212.289.04 при Уфимском государственном нефтяном техническом университете по адресу: 450062, Республика Башкортостан, г.Уфа, ул. Космонавтов, 1. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке государственного нефтяного технического университета.

Уфимского

Автореферат разослан «__» ______ 2004 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Матвеев Ю. Г.

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Проектирование и осуществление контроля над процессом разработки нефтяных месторождений неотъемлемо связаны с определением коллекторских свойств и изучением фильтрационных параметров продуктивных коллекторов. Расчет фильтрационных параметров коллектора лучше всего проводить по данным гидродинамических исследований скважин и пластов (ГДИ), которые отражают непосредственный процесс фильтрации жидкости в пластовых условиях и позволяют получить усредненную информацию о значительной части пласта. Преимуществом гидродинамических методов является то, что при их помощи осуществляется прямое определение фильтрационных характеристик пласта. Наиболее перспективны в этом отношении исследования скважин и пластов на неустановившихся режимах фильтрации. В настоящее время довольно полно разработаны теория и технология исследования скважин по наблюдениям неустановившегося режима притока к скважинам. Разработано большое количество методов интерпретации результатов исследований. Но, к сожалению, исследования зачастую проводятся с нарушением технологии, не осуществляется пакеровка исследуемого объекта, за счет чего на форму кривой оказывает влияние приток жидкости в начальный и граница пласта в конечный моменты исследований. В результате научно-технического прогресса в последние годы появились приборы нового поколения, характеризующиеся высокой чувствительностью (по давлению до 0.001 МПа, предел измерения 100 МПа, по температуре до 1000С), с электронной памятью, малогабаритные, с возможностью снятия кривых длительностью от 30 суток и более. В связи с этим на форму кривых восстановления давления (КВД) начали оказывать влияние другие факторы, в том числе шумы. Эти шумы могут быть связаны с влиянием фазовых переходов (эффект барботажа в случае регистрации давления, ниже или близкого к давлению насыщения), «дыхания» пласта и т.д. Как следствие, встает проблема корректной интерпретации результатов промысловых исследований скважин. Последнее связано с тем, что обратная задача определения фильтрационных характеристик пласта по КВД оказывается некорректно поставленной: её решения неустойчивы относительно ошибок, которые неизбежно содержатся в замерах. В частности, неустойчивость проявляется в условиях малых выборок, когда в координатах метода удается спрямить только небольшой участок КВД. Это может быть связано, например, с тем, что не удается обеспечить стационарный режим работы скважин, окружающих исследуемую. Изменения режимов работы скважин ближайшего окружения приводят к появлению дефектных участков КВД, которые следует исключить из анализа. Очень часто приходится также обрабатывать так называемые недовосстановленные КВД, полученные в экспериментах, прерванных по техническим причинам или же изза желания уменьшить потери добычи нефти вследствие простоя скважины.

4

В этих условиях обязательным этапом обработки КВД является проверка полученных результатов на устойчивость. Устойчивость задачи можно восстановить некоторым сужением класса возможных решений за счет привлечения дополнительной (априорной информации) количественного или качественного характера. Эта информация позволяет построить регуляризирующие (повышающие устойчивость) алгоритмы интерпретации КВД, основанные на известных методах решения некорректно поставленных задач. В качестве априорной информации можно использовать данные ГИС и результаты трёхмерного гидродинамического моделирования процесса разработки нефтяного месторождения на постоянно действующей модели (ПДМ). Исходными данными в этих моделях служат замеры, полученные в ходе нормальной эксплуатации скважин, что позволяет восстановить проницаемость пласта и скин – эффект любой работающей скважины. В связи с вышеизложенным проблема разработки помехоустойчивых алгоритмов интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин является актуальной задачей подземной гидромеханики и нефтепромысловой практики. В данной работе рассмотрена возможность применения теории некорректно поставленных задач к задаче интерпретации результатов гидродинамических исследовании скважин. Цель работы. Создание экспертной системы интерпретации результатов промысловых исследований скважин на основе модификации классических методик с учетом априорной информации об исследуемом объекте (скважине, пласте) методами теории некорректно поставленных задач. Усовершенствование методики интерпретации и технологии проведения промысловых гидродинамических исследований скважин и пластов. Основные задачи исследования 1. Разработка помехоустойчивого алгоритма интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин и пластов на неустановившихся режимах фильтрации и его апробация. 2. Разработка методики интерпретации гидродинамических исследований скважин на установившихся режимах фильтрации с учетом переходных процессов. 3. Создание экспертной системы интерпретации промысловых гидродинамических исследований скважин и пластов. Объекты изучения. Объектом изучения являются данные промысловых гидродинамических исследований скважин и пластов и задачи, связанные с интерпретацией этих данных. Методы исследований. Для соответствующих математических экспериментов, вытекающих из поставленных целей, разработан программный комплекс, реализовавший известные методы решения некорректно поставленных задач. Данные гидродинамических исследований скважин получены современными методами промысловых измерений. Научная новизна 1. Разработан помехоустойчивый метод интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин на неустановившемся

5

режиме фильтрации с использованием теории А.М.Тихонова (теории некорректных задач). 2. Предложена методика обработки недовосстановленных кривых восстановления давления, основанная на регуляризации производной давления. 3. Разработана методика интерпретации результатов исследований скважин методом гидропрослушивания осложненных совмещением с КВД. 4. Предложен метод учета переходных режимов скважины для интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин на установившихся режимах. На основе разработанных подходов и методик построены соответствующие алгоритмы и создана экспертная система интерпретации исследований скважин (Свидетельство № 2001611144 об официальной регистрации программы "Обработка данных гидродинамических исследований скважин"). Практическая ценность и реализация работы в промышленности Использование методики обработки кривых восстановления давления с привлечением априорной информации позволяет исключить ошибки при интерпретации, обусловленные шумами, влияющими на форму кривой. Предложена методика интерпретации недовосстановленных кривых при помощи производной давления. Разработана методика интерпретации кривой восстановления давления, совмещенной с кривой реагирования с целью определения фильтрационноемкостных свойств коллектора. Предложена методика учета переходных процессов, происходящих при проведении гидродинамических исследований скважин на установившемся режиме фильтрации. Учет переходных процессов позволяет оценить дополнительные фильтрационные параметры пласта (скин-фактор, пьезопроводность, проницаемость), которые согласуются с результатами других методов. Разработанная программа интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин с использованием помехоустойчивых алгоритмов (Свидетельство № 2001611144 об официальной регистрации программы "Обработка данных гидродинамических исследований скважин" (КВД)) используется в ОАО «Самаранефтегаз», ОАО «Юганскнефтегаз», ОАО «Томскнефть-ВНК» и ООО «Западно-Малобалыкское» при составлении проектов разработки нефтяных месторождений. Достоверность результатов интерпретации данных промысловых гидродинамических исследований скважин с использованием разработанной автором экспертной системы подтверждается результатами нормальной эксплуатации скважин. Также достоверность результатов подтверждается конкретным успешным внедрением результатов в организациях, занимающихся проектированием нефтяных месторождений.

6

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на 47-й научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученных Уфимского государственного нефтяного технического университета (г.Уфа, 1996г.), на VI-й научнотехнической конференции молодых ученых и специалистов ДООО «БашНИПИнефть» (Уфа, 2001), на IX Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Ростов-на-Дону, 2002), III-м Всероссийском симпозиуме по промышленной и прикладной математике (Ростов-на-Дону, 2002). Публикации. По материалам диссертации автором опубликовано 10 печатных работ, в том числе 7 статей, тезисы трех докладов и получено свидетельство об официальной регистрации программы. Личный вклад автора в совместных публикациях: 1. [1]. Еникеев Р. М.– промысловые исследования скважин. Еникеев Р. Р. – постановка задачи, разработка алгоритма, получение и анализ результатов. Калиновский Ю. В. – постановка задачи, обсуждение результатов. Каримов М. У-Г. – промысловые исследования скважин. 2. [3]. Еникеев Р. М. – промысловые исследования скважин. Еникеев Р. Р. – постановка задачи, разработка алгоритма, получение и анализ результатов. Калиновский Ю. В. – постановка задачи, обсуждение результатов. Каримов М. У-Г. – промысловые исследования скважин. 3. [4]. Галлеев Р. Р. – постановка задачи, обсуждение результатов. Ганиев Э. Р. – постановка задачи, обсуждение результатов. Еникеев Р. Р. – постановка задачи, разработка алгоритма, получение и анализ результатов. Каримов М. У-Г. – промысловые исследования скважин. 4. [5]. Еникеев Р. М. Баширов И. Р., Сайфутдинов Ф. Х., Шавалеев А. М. – промысловые исследования скважин, обсуждение результатов. Еникеев Р. Р. – постановка задачи, разработка алгоритма, получение и анализ результатов. Каримов М. У-Г. – проведение расчетов 5. [7]. Гарифуллин Р. Н. – графическое представление результатов Еникеев Р. Р. – постановка задачи, разработка алгоритма, получение и анализ результатов. Хасанов М. М. – постановка задачи, обсуждение результатов. 6. [10]. Булгакова Г. Т. – постановка задачи, обсуждение результатов.

7

Еникеев Р. Р. – постановка задачи, разработка алгоритма, получение и анализ результатов. Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы, состоящего из 129 наименований. Текст работы изложен на 165 страницах, включая 68 рисунков и 10 таблиц. Автор выражает глубокую благодарность и искреннюю признательность научному руководителю доктору физико-математических наук Булгаковой Г.Т. за постоянное внимание и помощь в работе. Особая признательность доктору технических наук, профессору Хасанову М.М. за ценные замечания, практические советы и помощь при решении поставленных задач. Автор искренне благодарит заведующего лабораторией ГДИ ДООО «БашНИПИнефть» кандидата технических наук Еникеева Р.М., доцента кафедры РЭГ и ГКМ УГНТУ, кандидата технических наук Калиновского Ю.В. за поддержку и сотрудничество при выполнении настоящей работы, сотрудников лабораторий разработки и моделирования УФ ООО «ЮганскНИПИнефть», ОАО «Юганскнефтегаз», «Самаранефтегаз», «Томскнефть» за поддержку и квалифицированные советы при создании и внедрении комплекса программ. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, охарактеризованы основные результаты работы и приведены защищаемые положения. В первой главе приведен литературный обзор работ по определению фильтрационных параметров однородных пластов, таких авторов, как Аметов И.М., Баренблатт Г.И., Блинов А.Ф., Богачев Б.А., Борисов Ю.П., Бузинов С.Н., Бурдэ Д., Васильевский В.Н., Горбатова А.Н., Дияшев Р.Н., Желтов Е.П., Исайчев В.В., Каменецкий С.Г., Кульпин Л.Г., Крылов А.П., Ли Юн Шан, Литвинов А.А,, Максимов В.А., Муравьев И.М., Мирзаджанзаде А.Х., Мясников Ю.А., Пикуза В.И., Требин Ф.А., Умрихин И.Д., Хуань Коужень, Чарный И.А., Чекалюк Э.Б., Чернов В.С., Шагиев Р.Г., Щелкачев В.Н. и др. Параметры пласта, определяемые различными методами, из – за погрешностей, содержащихся в исходных данных, нередко отличаются друг от друга на значительные величины. Поэтому ряд статей специально был посвящен анализу и выбору методов, наиболее приемлемых в тех или иных случаях. Исследователи, занимавшиеся анализом методов обработки кривых восстановления давления, рекомендуют различные методы интерпретации, это отчасти объясняется тем, что промысловые кривые снимались на различных месторождениях и при различных условиях.

8

Помимо стандартных методик интерпретации также рассмотрена методика интерпретации КВД при помощи производной давления. Практика вычисления логарифмических производных давления по фактически замеренным данным показала, что качество соответствующих билогарифмических диагностических графиков, используемых для последующего анализа и оценки фильтрационных потоков и пласта, существенно зависит от наличия «посторонних шумов» и «помех» (вызванных вибрацией оборудования скважины, пульсацией потоков флюидов, погрешностями измерений и расшифровки данных измерений и т.д.). Во второй главе рассматривается возможность применения теории некорректных задач к задаче интерпретации результатов гидродинамических исследований скважин. Наиболее простым способом обработки кривых восстановления давления (КВД) является метод Миллера, Дайеса, Хатчинсона (касательной), в соответствии с которым зависимость P = f (t ) перестраивается в координатах P = f (ln(t ) ) , спрямляется конечный участок и по уравнению прямой определяются фильтрационные характеристики пласта. На рис.1 изображена фактическая КВД. Как видно из рисунка, фактическая кривая не является гладкой, а имеет некоторую погрешность.

P, МПа

22.8

22.7

22.6

22.5 10

20

30

40

50

60

70

80

90

t, час

Рис. 1. Кривая восстановления давления Для интерпретации исходная кривая перестраивается в координатах ∆P = ln (t ) . При попытке спрямления конечного участка (отрезок AB см рис.2) возникает задача минимизации функционала I ( a, b) =

1 n 2 ∑ ( a * xi + b − yi ) , n i =1

(1)

который представляет собой квадрат среднеквадратичного отклонения прямой y = a ⋅ x + b от точек спрямляемого участка. Коэффициенты уравнения находятся методом наименьших квадратов. Решение системы a * ,b* имеет вид: a = *

xy − x y x2 − x

2

,b = *

x 2 y − x xy x2 − x

2

,

(2)

9

знаменатели этих формул являются квадратом среднеквадратичного отклонения xi , величина этого отклонения мала. Из вышесказанного будет следовать, что при малом возмущении исходных данных отклонения a и b от их невозмущенного значения могут быть большими. В этом проявляется неустойчивость данной задачи. Это легко видеть из рис.3, на котором представлен разброс спрямляемых кривых при разбросе начальных данных в пределах статистической погрешности (в данном случае порядка 1%). Разброс a и b вызывает такой же разброс в результатах интерпретации КВД.

∆ P, МПа

0,3

0,2

0,1

0,0 0

1

2

3

4

ln t

Рис. 2. Результаты эксперимента по наложению шумов (линия 1 − спрямление исходных данных, линия 2 и 3 соответственно крайние нижние и верхние прямые спрямления при наложении шумов на исходные данные в 1%) Из вышесказанного можно сделать вывод о том, что данную задачу можно отнести к некорректно поставленным задачам, которые характеризуются: • неединственностью решения; • неустойчивостью решения; • отсутствием классического решения. Для решения подобных задач необходимо привлекать априорную информацию о решении (принцип отбора, критерий выбора), с помощью которой строятся приближенные решения данной задачи. Большой вклад в разработку теории некорректных задач сделан российскими математиками А. Н. Тихоновым, М. М. Лаврентьевым и многими другими. Появляется необходимость регуляризации данной задачи. Для этого предлагается использовать некоторую априорную информацию. В данном случае такой информацией может служить проницаемость пласта, определяемая геофизическими исследованиями. Это приводит к уменьшению разброса величины а, то есть к новому функционалу Ω(a, b) = (a − a0 ) 2 где а0 – определяется из проницаемости пласта, найденной из геофизических исследований. В общем случае величина а и а0 не совпадают. Следовательно,

10

задача минимизации и функционала I(a,b) и функционала Ω(a,b) не имеет решения, она является двухкритериальной задачей. Ее предлагается свести к однокритериальной задаче минимизации функционала M (a, b) = I (a, b) + αΩ(a, b) α > 0. (3) Ее решения находятся из системы  ∂M =0 ∂a ∂M = 0,  ∂b

(4)

решения которой имеют вид: xy + αa 0 − x y

a = **

α + x2 − x

2

,b = **

( x 2 + α) y − x( xy + αa 0 ) α + x2 − x

2

(5)

.

В этих формулах знаменатель становится порядка единицы при α не очень малых, а решения задачи становится устойчивой. В задаче остался произвол в выборе величины α. Эта величина в данной работе выбиралась из следующих соображений: вычислялось значение I(a*,b*), в качестве α бралась максимальная величина α, при которой I(a**(α),b**(α)) отличается от I(a*,b*) не больше, чем среднестатистическая погрешность задания yi. В большинстве случаев величина α оказывается больше 0.5, следовательно, при данной регуляризации задача становится устойчивой. Это легко видеть из рис.3, на котором аналогично рис.2 приведен эксперимент по наложению шумов в начальных данных. A

∆ P, МПа

0.3

B

0.2

0.1 Интерва л

0.0 0

1

2

3

4

ln t

Рис. 3. Результаты применения регуляризации В третьей главе рассматривается задача интерпретации промысловых исследований с помощью производной давления. Для того, чтобы продифференцировать кривую (рис.1), а именно, выборку значений давления ui в разные моменты времени, проинтерполируем ее в классе ломаных кривых по точкам (ui , ti ) , то есть в качестве функции возьмем функцию вида u (t ) =

u i +1 − u i (t − t i ) + u i , t i ≤ t < t i +1 . t i +1 − t i

(6)

11

В качестве производной КВД возьмем значения производной этой

t +t ломаной в точках ~ti = i +1 i . Рассмотрим эту кривую на рис. 4. График 2

производной находится справа от самой КВД. Теперь в выборку значений {ui }in=1 внесем относительную погрешность в 0.05 % , то есть рассмотрим новую выборку значений {u~i }in=1 , где u~i = ui (1 + θ i * 0.0005) , а θ i - случайные числа от -1 до 1. Как и прежде для выборки {u~i }in=1 найдем значения {u~i' }in=−11 . Графики обоих кривых представлены на рис.5. А) 22,9

В) 0,1

22,7 P', МПа/час

P, МПа

22,8

22,6

0,0 10

30

50

70

90

22,5 10

30

50

70

90

t, час -0,1

t, час

Рис. 4. Кривая восстановления давления (кривая А) и ее производная (кривая В) При относительной погрешности на кривую восстановления давления в 0.05 % относительная погрешность при получении значений {u~i'}in=−11 была в среднем 100 – 300 %. Пример показывает неустойчивость операции дифференцирования, что приводит к некорректности задачи нахождения производной КВД. В частности, неустойчивость проявляется в условиях малых выборок, когда в координатах метода удается спрямить только небольшой участок КВД. Очень часто приходится обрабатывать так называемые недовосстановленные КВД, полученные в исследованиях, прерванных по каким – либо причинам. На характер кривой восстановления давления влияют многие факторы. Одним из основных является немгновенное прекращение притока нефти к забою. Для учета переменного притока q(t ) необходим учет изменения дебита скважины на забое, а именно, учет изменения дебита от установившегося значения до остановки (нуля). Немгновенное изменение дебита при смене режимов работы показано на рис.6.

12 В)

А) 22,9

0,1

P', МПа/час

P, МПа

22,8 22,7 22,6

0,0 10

30

50

70

90

22,5 10

30

50

70

t, час

90 -0,1 t, час

Рис. 5. Результаты математического эксперимента по наложению шума на кривую восстановления давления в 0.05 %

Рис. 6. Изменение дебита скважины при смене режимов работы скважины Зная Q1 - установившийся дебит до остановки, значения дебита в момент времени θ i − qi , а также зная депрессию ∆P(θ i ) , в преобразованных координатах θ −t θ − θi−2   − qi ln(θ i − θ i −1 )]  [Q1 ln(θ i − t1 ) + q1 ln i 1 + ... + qi −1 ln i  − − θ θ θ θ i i i −1 1 ψ =   x  Q1 − qi   ψ = ∆P(θ i )   y Q −q  1 i  

(7)

можно построить экстраполирующую прямую и, таким образом, найти значение углового коэффициента

µ . Проводить экстраполирующую прямую 4πkh

можно с помощью регуляризирующего метода наименьших квадратов (глава 2). Регуляризация поиска такой прямой ведется как и в разделе 2. На практике непосредственно измерить темп затухания притока с необходимой точностью чрезвычайно трудно, а в малодебитных скважинах

ψ y = i ⋅ψ x + A

13

достоверный учет притока из пласта технически невозможен. По этой причине приток определяется расчетным путем, который связан с выполнением операций дифференцирования экспериментальных значений давления. Для расчета производной давления используется регуляризирующий метод дифференцирования функции Тихонова А.М., повышающий устойчивость этой процедуры. В четвертой главе предлагается новый подход к задаче интерпретации результатов гидропрослушивания скважин. Гидродинамические методы исследования пластов методом гидропрослушивания имеют ряд преимуществ, а именно – результаты исследований характеризуют значительный участок пласта. Однако обработка кривой реагирования (КР) является относительно простой лишь в том случае, если в качестве реагирующей скважины выбрана наблюдательная. Из-за ограниченности фонда наблюдательных скважин в качестве реагирующих часто используются скважины эксплуатационные. Технология проведения исследований в большинстве случаев такова, что скважина останавливается для спуска глубинного манометра. С точки зрения полноты исследования, если скважина оборудована глубинным манометром, то выгодно не только осуществить гидропрослушивание, но и снять в этой скважине кривую восстановления давления (КВД). Понятно, что при совмещении этих двух видов исследований становится сложной обработка КВД, если вначале проводилось гидропрослушивание, и наоборот, усложняется обработка КР, если перед гидропрослушиванием снималась КВД. Однако, на наш взгляд, и в этом случае существует удовлетворительная технология исследования, которая заключается в следующем. В простаивающую эксплуатационную скважину спускается глубинный манометр; если скважина работающая, то она останавливается, в нее спускается манометр и она выдерживается до стабилизации забойного давления. После этого скважина пускается в работу с некоторым постоянным дебитом Q, при этом снимается кривая падения забойного давления (КПД). Затем в некоторый момент времени T1 скважина останавливается и в ней снимается КВД до тех пор, пока прирост забойного давления станет незначительным, т.е. давление практически стабилизируется. Затем в некоторый момент времени Т2 с дебитом ∆Q пускается в работу (или резко меняет режим) возмущающая скважина (как правило, нагнетательная), а в эксплуатационной скважине снимается КР. Схематично изменение давления в эксплуатационной скважине показано на рис. 7. Полагая, что процесс фильтрации в пласте описывается линейным уравнением пьезопроводности и используя принцип суперпозиции, легко записать зависимость изменения прироста давления во времени в реагирующей скважине для времени t > T2 :

14

∆P(t ) = Pc (t ) − Pc (0 ) = −

 r 2   Q⋅µ Q⋅µ × ⋅  − E i  − c   + 4⋅ π⋅ k ⋅ h   4 ⋅ χ ⋅ t  4 ⋅ π ⋅ k ⋅ h

(8)

      rc2 R2 µ   + ∆Q ⋅   . ×  − Ei  − ⋅  − Ei  − ( ) ( ) ⋅ ⋅ t − T ⋅ π ⋅ k ⋅ h ⋅ χ ⋅ t − T 4 4 4 . χ 1 2        12

Рзаб, МПа

10 8 6 4 2 T1

T2

TN

0 -

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

t, мин

Рис.7. Изменение давления в эксплуатационной скважине при гидропрослушивании При записи (8) учтено, что дебит скважины-стока имеет знак минус, скважины-источника - плюс; R - расстояние между нагнетательной и реагирующей скважиной. Первые две интегральных экспоненты с большой точностью могут быть заменены известным асимптотическим представлением для малых значении аргумента: − Ei (− x ) = −C − ln ( x ) , x