Расчёт линейных электрических цепей постоянного тока.Методическое руководство

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Южно-Уральский государственный университет Кафедра “Теоретические основы электротехники”

621. 3 (07)

В. Н. Непопалов Расчет линейных электрических цепей постоянного тока Методическое руководство по самостоятельной работе студентов

Челябинск 2001

УДК 621.3.011(075.8) Непопалов В. Н. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока: Методическое руководство по самостоятельной работе студентов. – 30 с. В руководстве поясняются методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока. Руководство предназначено в помощь студентам при выполнении и защите семестрового контрольного задания №1 по курсу «Основы электротехники».

Ил. 32, табл. 2.

ОГЛАВЛЕНИЕ 1.

Метод эквивалентных преобразований ............................................................ 4 1.1. Общие сведения................................................................................................ 4 1.2. Решение типовых задач ................................................................................... 5 1.3. Контрольные вопросы и задачи.................................................................... 12

2.

Метод узловых напряжений............................................................................. 13 2.1. Общие сведения.............................................................................................. 13 2.2. Решение типовых задач ................................................................................. 14 3.2. Контрольные вопросы и задачи.................................................................... 23

3. Топологические методы формирования математической модели электрической цепи................................................................................................... 24 3. 1. Общие сведения............................................................................................. 24 3. 2. Решение типовых задач ................................................................................ 27

1. Метод эквивалентных преобразований 1.1. Общие сведения

Метод эквивалентных преобразований основан на замене двухполюсника одного вида на двухполюсник другого вида. Двухполюсники на рис. 1.1 будут эквивалентными, если

Rэк = R1 + R2 + K + Rn . R1

R2

Rэк

Rn

Рис. 1.1 Эквивалентность преобразования двухполюсников на рис. 1.2 определяет отношение

1 1 1 1 = + +K+ . Rэк R1 R2 Rn В случае n = 2

Rэк

1 1 1 = + , Rэк R1 R2

R1

R2

Rn

откуда

Rэк =

R1 R2 . R1 + R2

Рис. 1.2

При решение задач часто используется преобразование треугольник– звезда (рис. 1.3). Формулы эквива1 1 лентных преобразований имеют вид

R12

R1 2

R2 R3

R13

3

R23

2

3

Рис. 1.3

4

R1 R2 , D RR R23 = 2 3 , D RR R13 = 1 3 , D где D = R1 + R2 + R3 . R12 =

Двухполюсники, в которых есть источники э. д. с. и (или) тока, называются активными (рис. 1.4).

I

E

A

I

б)

G

U

J

R

I

U

a)

U

Рис. 1.4 Рис. 1.5 Двухполюсники на рис. 1.5 эквивалентны, если имеют одинаковые внешние характеристики U (I ) . Для двухполюсника по схеме рис. 3, а имеем U = E − RI . Внешняя характеристика двухполюсника по схеме рис. 3, б определится из уравнения − J + I + GU = 0 , откуда

U=

J 1 − I. G G

Двухполюсники эквивалентны, если

E=

J 1 ; R= . G G

1.2. Решение типовых задач

R1

Задача 1.1

Найти токи в ветвях и напряжение Uab в цепи по схеме рис. 1.6. Напряжение U = 75 B. Параметры цепи:

R1 = 50 Ом; R21 = 20 Ом; R22 =30 Ом; R31 =30 Ом; R32 = 20 Ом. Решение

Определяем положительные направления токов ветвей (рис. 1.6). В ветвях с токами I2 и I3 резисторы R21, R22 и R31, R32 соединены последовательно. Следовательно,

R2 = R21 + R22 = 50 Ом; R3 = R31 + R32 = 50 Ом. 5

I1

U1 U

U2

a

I2

I3

R21 U ab

R31

R22 Рис. 1.6

b

R32

Участки R2, R3 соединены параллельно, поэтому

R23 =

R2 R3 50 ⋅ 50 = = 25 Ом. R2 + R3 50 + 50

Электрическую цепь, состоящую из двух последовательно соединенных резисторов, называют делителем напряжения. Рассчитываем делитель напряжения R1, R23. Токи и напряжения делителя определяются по выражениям:

I1 =

75 U = = 1 А; R1 + R23 50 + 25

U 1 = I1 R1 = 1⋅ 50 = 50 В; U 2 = I1 R23 = 1⋅ 25 = 25 В; U 2 25 = = 0,5 A; R2 50 25 U = 0,5 A. I3 = 2 = R3 50 Напряжение Uab находим по второму закону Кирхгофа U ab = I 2 R22 − I 3 R32 . I2 =

Получаем

U ab = 0,5⋅30 – 0,5⋅ 20 = 5 B. 1

Задача 1.2

Найти ток в ветви a – b цепи по схеме рис. 1.7. Параметры цепи: R1 = 47 Ом; R2 = 75 Ом; R3 =33 Ом; R4 = 25 Ом; R5 = 40 Ом. Напряжение U = 100 В. Решение

Определяем положительное направление тока I ветви a – b. Преобразуем треугольник из резисторов R3, R4, R5 в звезду R35, R45, R34. По формулам эквивалентных преобразований имеем:

D = R3 + R4 + R5 = 33 + 25 + 40 = 98 Ом; RR 33 ⋅ 25 R34 = 3 4 = = 8,42 Ом; D 98 R R 25 ⋅ 40 = 10,2 Ом; R45 = 4 5 = D 98 R R 33 ⋅ 40 R35 = 3 5 = = 13,47 Ом. D 98

Получаем схему замещения (рис. 1.8).

6

R1 U

a

I

U ab

R5 R3

2 Рис. 1.7

R2 b R4

Определяем эквивалентные сопротивления последовательно и параллельно соединенных участков:

R135 = R1 + R35 = 60,47 Ом; R245 = R2 + R45 = 85,2 Ом; R R 60,47 ⋅ 85,2 R10 = 135 245 = = 35,7 Ом. R135 + R245 60,47 + 85,2 Рассчитываем делитель напряжения R10, R34. Напряжение

1

UR10 100 ⋅ 35,7 U 10 = = = R10 + R34 35,7 + 8,42 = 80,92 B. Рассчитываем делители R1 – R35; R2 – R45 и

a

R2 b

R35

U

определяем

U 10

R R  U ab = U10  35 − 45  = 8,32 B.  R135 R245  Ток в ветви a – b находим по закону Ома:

R1 U ab

R45 0 R34

2

U 8,32 I = ab = = 0,208 A. R5 40

Рис.1.8

Задача 1. 3

Выполнить эквивалентные преобразования для двухполюсника (схема рис. 1.9). Параметры резисторов двухполюсника: R1 =75 Ом; R2 =50 Ом. Источники: Е1 = 30 В; J1 = 1 А. Решение

Этапы выполнения преобразований поясняет рис. 1.10.

R1

E1

R2

J1

J E1

R1

R1 J1

J

R1 E

R E

R2

R2

Рис. 1.9.

Рис. 1.10. 7

R2

Расчет выполняем по формулам эквивалентных преобразований: J E1 = E1 R1 = 30 75 = 0,4 А; J = J E1 − J1 = – 0,6 А; E = JR1 = – 0,6⋅75 = – 45 В;

R = R1 + R2 = 125 Ом. Задача 1.4

Методом эквивалентных преобразований рассчитать токи ветвей в цепи со схемой рис. 1.11.

E1

R1 I1

R2

R3 I4

I2

1

3

2

I5

I3

R4

R5

R7

R6

J6

I7

J7

I6

E5 0

E7

I 6′

Рис. 1.11 Параметры резисторов ветвей: R1 = 100 Ом; R2 =130 Ом; R3 = 43 Ом; R4 =75

Ом; R5 = 91 Ом; R6 =110 Ом; R7 =200 Ом; R8 = 45 Ом. Источники: Е1 =15 В; Е5 = 24 В; Е7 = 8 В; J6 = 0,2 А, J7 =0,1 А. Решение

Назначаем положительные направления токов в ветвях. Узлы схемы отмечаем цифрами 1, 2, 3 и 0. Выполняем эквивалентные преобразования для двухполюсника между узлами 1–2 (рис. 1.12).

R1

E1

R1

1

2

R2 1

2

R2

J1

Рис. 1.12 8

1

R12

E12

2

Находим:

J1 =

E1 15 = = 0,15 А; R1 100

R1 R2 100 ⋅ 130 = = 56,52 Ом; R1 + R2 100 + 130 = J 1 R12 = 8,48 В.

R12 = E12

Между узлами 2– 3 резисторы соединены параллельно, поэтому

R34 =

R3 R4 43 ⋅ 75 = = 27,33 Ом. R3 + R4 43 + 75

Получаем схему рис. 1.13.

R12

1

R34

E12

3

2

I5 R5

I7 R7

R6

J7

U 30

J6

I6

E5

E7

I 6′

0

Рис. 1.13 Преобразования для двухполюсника между узлами 3–0 поясняет рис. 1.14.

3 3

R7

R7 J7

J E7

J7

0

E7 0

3

J 7′

R7

R7 0

0 Рис. 1.14

Находим:

J E7 =

3 E7′

E7 8 = = 0,04 А; R7 200 9

J 7′ = J E 7 + J 7 = 0,04 + 0,1 = 0,14 А; E7′ = J 7′ R7 = 0,14⋅200 = 28 В. Получаем эквивалентную схему рис. 1.15.

R12

1 I5

E12 U 21

R125 J6

R34

2

U 20

3 U 23

I 30

R6

R7

U 30

I6

E5

0

E7′

I 6′

Рис. 1.15 Ветви на участках 2–1; 1– 0 соединены последовательно. Сопротивление R125 = R12 + R5 = 56,52 + 91 = 147, 52 Ом. Э. д. с.

E125 = E12 − E5 = 8,48 – 24 = – 15,52 В. Ветви на участках 2–3, 3– 0 соединены последовательно. Сопротивление R347 = R34 + R7 = 27,33 + 200 = 227,33 Ом. Получаем двухполюсник с двумя узлами (рис. 1.16). Рассчитываем напряжение U20. Имеем уравнение: 2 I5 I 30 G22U 20 = J 22 , где G22 =

1 1 1 + + – собстR125 R6 R7 U 20

венная проводимостей ветвей, принадлежащих узлу 2;

J 22

R6 J6

I6

E125

E E′ = 125 − J 6 + 7 – узловой ток. R125 R7

0

Подставляя данные: G22 = 0,02 1/ Ом, J 22 = – 0,182 А. Напряжение

U 20 =

R125

I 6′

Рис. 1.16

J 22 − 0,182 = = – 8,982 В. G22 0,02 10

R347

E7′

Рассчитываем токи:

U 20 − E125 = 0,044 А; R125 U I 6 = 20 = – 0,082 А; R6 U − E7′ = – 0,163 А. I 30 = 20 R347 Ток I 6′ определяем по закону Кирхгофа: I 6 + I 6′ + J 6 = 0 , I5 =

откуда

I 6′ = – I 6′ – J 6 = – 0,118 А. Рассчитываем напряжения U21, U23 и U30 (рис. 1.15).

По второму закону Кирхгофа имеем U 21 − I 5 R12 = E12 , откуда U 21 = I 5 R12 + E12 = 10,984 В. Напряжения: U 23 = I 30 R34 = – 4,446 В; U 30 = U 20 − U 23 = – 4,536 В. Рассчитываем токи I1 ; I 2 ; I 3 ; I 4 ; I 7 (схема рис. 1.11). По второму закону Кирхгофа имеем U 21 + I1 R1 = E1 , откуда

I1 =

E1 − U 21 = 0,04 А. R1

По закону Ома:

U 21 = 0,084 А; R2 U I 3 = 23 = – 0,103 А; R3 U I 4 = − 23 = 0,059 А. R4

I2 =

По второму закону Кирхгофа имеем I 7 R7 − U 30 = − E7 , откуда

11

I7 =

U 30 − E7 = – 0,063 А. R7

Выполняем проверку правильности решения. Рассчитываем баланс мощностей. Мощность источников Рист определяется из выражения:

Pист = E5 I 5 + E1 I1 − E7 I 7 − U 20 J 6 + U 30 J 7 = = 24⋅0,044 + 15⋅0,04 – 8(– 0,063) – (– 8,982) 0,2 + (– 4,536) 0,1= = 3,511 Вт. Мощность, рассеиваемая в резисторах РR, PR = I12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 + I 42 R4 + I 52 R5 + I 62 R6 + I 72 R7 = = 0,042 100 + 0,0842 130 +(– 0,103)2 43 + 0,0592 75 + 0,0442 91 + + (– 0,082)2 110 + (– 0,063)2 200 = 3,511 Вт. Получаем Рист = РR, задача решена верно. 1.3. Контрольные вопросы и задачи

1. Сформулировать первый и второй законы Кирхгофа. 2. Методом преобразования найти токи в резисторах (рис. 1.17). Параметры резисторов: R1 = 45 Ом; R2 = 90 Ом; R3 = 30 Ом. Источники: Е = 12 В; J = 0,2 А.

R1

а)

R3

R2

б) J

E

R1

R2

R3

Рис. 1.17 3. Рассчитать токи в резисторах (рис. 1.18). Параметры резисторов: R1 = 45 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 15 Ом. Источники: Е = 15 В; J = 0,5 А.

R1

а)

E

R3

R2

R2

б) 2E

J

Рис. 1.18

12

R1

R3

0,5 J

2. Метод узловых напряжений 2.1. Общие сведения

Метод узловых напряжений основан на уравнениях первого закона Кирхгофа. В соответствии с методом определяются напряжения q − 1 узла электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти напряжения называются узловыми. Положительные направления узловых напряжений всегда принимаются от узла к базисному узлу. Число уравнений относительно искомых узловых напряжений равно числу независимых узлов q − 1 . Напряжение на любой ветви равно Eg Rg Ig m k разности узловых напряжений. Ток I g любой ветви определяется по второму закону Кирхгофа для контура: ветвь– наUk0 U m0 пряжения узлов ветви относительно базисного (рис. 2.1). Так для фрагмента цепи со схемой рис. 2.1 уравнение второго 0 закона Кирхгофа имеет вид Рис. 2.1 I g R + U k 0 − U m0 = E g , откуда

Ig =

E g − U k 0 + U m0 R

.

Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая трех независимых узлов имеет вид: G11 U10 – G12 U 20 – G13 U 30 = J11 ; – G21 U 10 + G22 U 20 – G23 U 30 = J 22 ; – G31 U 10 – G32 U 20 + G33 U 30 = J 33 . Здесь G11 ; G22 ; G33 – Jg R4 собственные проводимости ветвей узлов 1, 2, 3, соответстE1 E3 R 1 венно; G12 = G21 ; G23 = G32 ; 1 2 G13 = G31 – общие проводимости ветвей одновременно принадлежащих двум узлам. J11 ; R2 J2 J 22 ; J 33 – узловые токи. Способ определения этих величин поясняет фраг0 мент схемы цепи с тремя незаРис. 2.2 висимыми узлами (рис. 2.2). Собственная проводимость ветвей узла 2: 13

R3

3

G22 =

1 1 1 1 + + + R1 R2 R3 R4

определяется как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих узлу 2. Общие проводимости:

G12 = G21 =

1 1 1 ; G23 = G32 = + ; G13 = G31 =0 R1 R3 R4

определяются как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих соответственно узлам 1–2, 2–3 и 1–3 одновременно. Вклад в узловые токи дают ветвями, содержащие источники. Узловой ток равен алгебраической сумме токов эквивалентных генераторов тока. Для узла 2 (рис. 2.1) имеем

J 22 =

E1 E3 − + J g − J2. R1 R3

Источник, стрелка которого направлена к узлу, в уравнение входит со знаком плюс, из узла со знаком минус. 2.2. Решение типовых задач Задача 2.1

Записать узловые уравнения для цепи со схемой рис. 2.3.

R21

R22

R1

1 J4

2 U 10

E3

R3

R6

U 20

R4

R5

3

U 30

E6

0 Рис. 2.3 Решение

В схеме рис. 2.3 четыре узла ( q = 4 ). Число узловых уравнений n = q − 1 = 3 . Выбираем в качестве базисного узел 0. Уравнения имею вид: G11 U 10 – G12 U 20 – G13 U 30 = J11 ; – G21 U 10 + G22 U 20 – G23 U 30 = J 22 ; – G31 U 10 – G32 U 20 + G33 U 30 = J 33 . 14

Собственные проводимости узлов 1, 2 и 3:

G11 =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ; G22 = + + ; G33 = + + . R1 R21 + R22 R4 R1 R3 R5 R3 R21 + R22 R6

Общие проводимости:

G12 = G21 =

1 1 1 ; G23 = G32 = ; G13 = G31 = . R1 R3 R21 + R22

Узловые токи:

J11 = J 4 ; J 22 = −

E3 E E ; J 33 = 3 − 6 . R3 R3 R6

Задача 2.2

Рассчитать токи ветвей в электрической цепи по схеме рис. 2.4. Параметры резисторов: R1 = 200 Ом; R2 = 100 Ом; R3 = 125 Ом; R4 = R3. Источники: E = 15 B, J = 0,5 A. Решение проверить балансом мощностей.

R2

1

I2 2 I3

U 20 J

Решение

R1

I1

U 10

R3

R4 I4

U 30

3 E

I Определяем положительные направления токов ветвей как на рис. 2.4. В схеме 0 цепи три независимых узла. Приняв в Рис. 2.4 качестве базисного узел 0, принадлежащий ветви с идеальным источником, получаем U 30 = E = 15 В. Узловые уравнения для узлов 1 и 2 имеют вид: G11U 10 − G12U 20 − G13U 30 = J 11 ; − G 21U 10 + G 22U 20 − G 23U 30 = J 22 .

Собственные проводимости:

G11 =

1 1 1 1 1 + = 0,015 1/Ом; G22 = + + = 0,026 1/ Ом. R1 R2 R2 R3 R4

Общие проводимости:

G12 = G21 = G23 =

1 1 = 0,01 1/ Ом; G13 = = 5 ⋅ 10 − 3 1/ Ом; R2 R1

1 = 8 ⋅ 10 − 3 1/ Ом. R3

Узловые токи:

J11 = J = 0,5 А; J 22 = 0. 15

Получаем уравнения для расчета неизвестных узловых напряжений:

0,015U 10 − 0,01U 20 = 0,5 + 5 ⋅ 10−3 ⋅ 15 ; − 0,015U 10 + 0,026U 20 = 8 ⋅ 10 −3 ⋅ 15 . Решив эти уравнения, найдем узловые напряжения:

U 10 = 55,7 В; U 20 = 26,03 В. Токи ветвей:

U10 − U 30 55,7 − 15 = = 0,2 А; R1 200 U − U 20 55,7 − 26,03 I 2 = 10 = = 0,3 А; R2 100 U − U 30 26,03 − 15 I 3 = 20 = = 0,09 А; R3 125 U 26,03 I 4 = 20 = = 0,21 А. R4 125 Ток I в ветви с источником э. д. с. Е определяем из уравнения Кирхгофа для узI1 =

ла 3. Имеем

I = − I1 − I 3 = −0,2 − 0,09 = −0,29 А. Рассчитываем баланс мощностей. Мощность источников

Pист = U10 J + EI = 55,7 ⋅ 0,5 + 15 ⋅ (−0,29) = 23,47 Вт. Мощность, рассеиваемая в резисторах

Pн = I12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 + I 42 R4 = = 0,2 2 ⋅ 200 + 0,32 ⋅100 + 0,09 2 ⋅125 + 0,212 ⋅125 = 23,47 Вт. Получаем Pист = Pн , баланс мощностей выполняется. Программа расчета в пакете Mathcad. R1

200 R2 100 R3 125 R4 R3 E 15 J 1 1 1 1 1 G11 G22 R1 R2 R2 R3 R4 1 1 1 G12 G21 G12 G13 G23 R2 R1 R3 G11 = 0.015

G22 = 0.026

G12 = 0.01

G13 = 5 10

0.5

← Исходные данные. ← Определение и расчет собственных и общих проводимостей.

3

3

G23 = 8 10 U10

G11

G12

U20

G21 G22

1

.

J

G13. E G23. E

← Расчет матрицы узловых напряжений.

16

U10 = 55.69 I1 I3 I Pej Pn

U10

U20 = 26.03

U30

U30

I1 = 0.2

I2

I3 = 0.09 R3 I1 I3 I = 0.29

I4

R1 U20 U30

U10. J 2 I1 . R1

E U30 = 15

U10

U20

R2 U20

I4 = 0.21

R4

E. I Pej = 23.47 2 2 2 I2 . R2 I3 . R3 I4 . R4

← Расчет токов ветвей.

I2 = 0.3

Расчет баланса мощностей. ← Мощность источника. ← Мощность нагрузок.

Pn = 23.47

Задача. 2. 3

Найти токи ветвей в цепи со схемой замещения рис. 2.5. Параметры ветвей: R1 = 110 Ом;

R2 = 91 Ом; R = 47 Ом; E = 100 B; J = 1 A.

Проверить решение, составив баланс мощностей.

1 I1 R1

Решение

R U 20

J

I2 2 I3

R

I

E U 30

U10

Определяем положительные 0 направления токов. В схеме цепи три независимых узла. Приняв в Рис. 2.5 качестве базисного узел 0, получаем U 20 = E = 100 В. Записываем уравнения для расчета напряжений узлов 1 и 3: G11U 10 − G12U 20 − G13U 30 = J11 ; − G31U10 − G32U 20 + G33U 30 = J 33 . Собственные проводимости узлов 1 и 3:

G11 =

1 1 1 1 + ; G33 = + . R1 R R2 R

Общие проводимости узлов 1– 2; 3 – 2; 1 – 3:

G12 =

1 1 ; G32 = ; G13 = G31 = 0. R R

Узловые токи:

J11 = – J; J33 = J.

Подставляем численные значения, получаем:

1 1 1 1 = 0,0304 Ом–1; G33 = + = 0,0323 Ом–1; + 110 47 91 47 1 1 = 0,0213 Ом–1; G12 = = 0,0213 Ом–1; G32 = 47 47

G11 =

17

3 I4 R2

J11 = – 1; J33 = 1.

Узловые уравнения принимают вид: 0,0304U10 – 0,0213⋅100 = – 1; 0,0213⋅100 + 0,0323 U 30 = 1, откуда

U10 =

1 + 2,13 − 1 + 2,13 = 37,17 В; U 30 = = 96,9 В. 0,0304 0,0323

Токи ветвей:

U10 E − U10 = 0,3376 А; I 2 = = 1,3376 A; R1 R E − U 30 U = 0,0652 A; I 4 = 30 = 1,0652 A. I3 = R R2

I1 =

Ток

I = I 3 + I 2 = 1,4028 А. Для проверки решения составляем уравнения баланса мощностей: − мощность, рассеиваемая резисторами, PR = I12 R1 + I 22 R + I 32 R + I 42 R2 = 200 Вт. − мощность, генерируемая источниками, Pист = EI + (U 30 − U10 )J = 200 Вт. Баланс мощностей выполняется. Задача. 2.4

На рис. 2.6 представлена схема замещения электрической цепи, содержащая зависимый источник тока, управляемый током. Найти напряжение U 2 на нагрузке R , если R1 = 220 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 470 Ом; R = 510 Ом. Параметр α = 0,95 – коэффициент усиления по току, напряжение Е = 5 В. Решение

Назначаем положительные направления токов. Уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид: − I 1 + I 2 + I 3 + αI 1 = 0 ;

α I1 R1

I1 E

1 I3 I2 R2 0 Рис. 2.6

R3 U2

2 R

− I 3 − α I1 +

U2 = 0. R

Выражаем токи ветвей через напряжения U1 и U 2 узлов 1 и 2 относительно узла 0. По закону Ома: 18

I1 =

E − U1 U U −U2 ; I 2 = 1 ; I3 = 1 . R1 R2 R3

Подставляем эти выражения в уравнения по первому закону Кирхгофа, получаем узловые уравнения:

1 − α 1 1  1 E  + + U10 − U 20 = (1 − α ); R2 R3  R3 R1  R1  1 α  1 1 E −  − U10 +  + U 20 = α . R1  R3 R1   R3 R 

Из уравнений имеем:

1− α 1 1 1 1 + + ; G22 = + R1 R2 R3 R3 R 1 1 α G12 = − ; ; G21 = R3 R3 R1 E E J11 = (1 − α ); J 22 = α . R1 R1 G11 =

Следует обратить внимание, что в схеме замещения цепи с зависимым источником G12 ≠ G21 , а каноническую форму узловых уравнений непосредственно по виду схемы без определения неких дополнительных правил получить нельзя. Записываем полученные уравнения в матричной форме G nn U n 0 = J nn ,

 G11

где G nn =  − G21

− G12   J11  J = – матрица узловых проводимостей, nn J  – G22   22  U1   матрица узловых напряжений. U  2

матрица узловых токов, U n 0 = 

Решение матричного узлового уравнения имеет вид −1 U n 0 = G nn J nn . Подставляем численные значения, получаем:

 0,052 G nn =  −3 2,191 ⋅ 10 0,231 U n0 =  , 5,157 

1,136 ⋅ 10 − 3  − 2,128 ⋅ 10 − 3   ; J nn =  ; 4,088 ⋅ 10 − 3  0 , 022  

откуда

U1 = 0,231 В;U 2 = 5,157 В. 19

Правильность решения проверяем балансом мощностей. Мощность, рассеиваемая в резисторах и зависимом источнике тока:

Pпот

2 ( E − U1 ) =

R1

(U − U 2 ) + α E − U1 (U − U ); U + 1 + 1 1 2 R2 R3 R1 2

2

Pпот = 0,108 Вт; Мощность источника

Pист = E

E − U1 = 0,108 Вт. R1

Pпот = Pист , задача решена верно. Задача. 2.4

На рис. 2.7 представлена схема замещения разветвленной электрической цепи. Рассчитать токи ветвей методом узловых напряжений. Параметры резисторов:

R1 = 100 Ом; R2 = 130 Ом; R3 = 43 Ом; R4 = 75 Ом; R5 = 91 Ом; R6 = 110 Ом; R7 = 200 Ом. Источники: Е1 = 15 В; Е5 = 24 В; Е7 = 8 В; J 6 = 0,2 А; J 7 = 0,1 А. Проверить выполнение баланса мощностей.

E1

R1 I1

R2

R3 I4

I2

1

3

2

I5 R5

R6

J6

I3

R4

I7

R7 J7

I6

E5 0

I 6′

E7

Рис. 2.7 Решение.

В схеме q = 4 узлов. По методу узловых напряжений необходимо составить три уравнения. Положительные направления токов в ветвях указаны на рис. 2.7. Каноническая форма записи узловых уравнений имеет вид

G11U 10 − G12U 20 − G13U 30 = J11 , − G21U 10 + G22U 20 − G23U 30 = J 22 , − G31U 10 − G32U 20 + G33U 30 = J 33 , 20

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; G22 = ; G33 = – + + + + + + + + R3 R4 R7 R1 R2 R5 R1 R2 R3 R4 R6 1 1 1 1 собственные, G12 = G21 = + + ; G13 = G31 = 0 ; G23 = G32 = – обR1 R2 R3 R4 E E E E щие проводимости, J11 = − 1 − 5 ; J 22 = − J 6 + 1 ; J 33 = J 7 + 7 – узловые R1 R5 R1 R7 где G11 =

токи. Матричная форма записи узловых уравнений имеет вид

 G11   − G21   − G31

− G12 G22 − G32

− G13   U 10   J11       − G23  ⋅  U 20  =  J 22       G33   U 30   J 33 

или

G nn U n 0 = J nn . Решение этого уравнения −1 U n 0 = G nn J nn . Уравнения для расчета токов ветвей:

E1 − U 20 + U10 U − U10 U − U 30 U − U 30 ; I 2 = 20 ; I 3 = 20 ; I 3 = 20 ; R1 R2 R3 R3 U − U 20 E + U10 U − E7 + U 30 I 4 = 30 I 6 = 20 ; I 7 = ; I5 = 5 . R4 R7 R6 R7

I1 =

Баланс мощностей: − мощность PR , рассеиваемая резисторами,

PR = I12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 + I 42 R4 + I 52 R5 + I 62 R6 + I 72 R7 ; − мощность, генерируемая источниками,

Pист = E1 I1 + E5 I 5 − E7 I 7 − U 20 J 6 + U 30 J 7 .

Для численного решения воспользуемся математическим пакетом MathCAD. R1 R7

100 R2 130 R3 43 R4 200 E1 15 E5 24 E7 1 1 1 1 G11 G22 R1 R2 R5 R1 1 1 1 1 G33 G12 R3 R4 R7 R1 1 1 G23

75 R5 91 R6 110 8 J6 0.2 J7 0.1 1 1 1 1 R2 1 R2

R3 G21

R4 G12

21

R6

← Присвоение переменным заданных условием задачи величин ← Расчет собственных и общих проводимостей

G23

J11

Gnn

1

1

R3

R4

E5

E1

G23 G13

J22

J6

R5 R1 G11 G12

G13

G21 G22

G23

G31 J11 Jnn

G32

E1 R1

J22

Jnn = 0.05

J33

0.14

4.536

U30

R1 U20

← Определение матриц узловых проводимостей Gnn и узловых токов Jnn

0.037 0.042

← Расчет узловых напряжений ← Вывод и присвоение матрице Unn численных значений узловых напряжений

19.966

U30 U20

← Расчет задающий токов

E7

R7 0.029 0.018 0 0

Un0 Un0 = 8.982

U10

J7

←

0

Gnn = 0.018 0.063 0.037

U20

I4

J33

G32 G33 0.414

1 Un0 Gnn . Jnn U10

I1

0 G31

E1 I5

I2 U10

U20

U10

R2 E5 I6

I3

U20

U20 I7

← Расчет токов ветвей

U30

R3 U30

E7

R4 R5 R6 R7 I1 = 0.04 I2 = 0.084 I3 = 0.103 I4 = 0.059 I5 = 0.044 I6 = 0.082 I7 = 0.063 2 2 2 2 2 2 Pr I1 . R1 I2 . R2 I3 . R3 I4 . R4 I5 . R5 I6 . R6 Pr = 3.511 Pej E1. I1 E5. I5 E7. I7 U20. J6 U30. J7 Pej = 3.511

2 I7 . R7

← Вывод численных значений токов ветвей ← Баланс мощностей

Токи ветвей:

I1 = 0,04 A; I2 = – 0,084 A; I3 = – 0,103 A; I4 = 0,059 A; I5 = 0,044 A; I6 = – 0,082 A; I7 = 0,063 A. Рассеиваемая резисторами мощность PR = 3,511 Вт. Мощность, генерируемая источниками Pист =3,511 Вт. Баланс мощностей выполняется, задача решена верно.

22

3.2. Контрольные вопросы и задачи

1. Записать каноническую форму уравнений метода узловых напряжений (узловые уравнения). 2. Как по виду схемы замещения электрической цепи получить выражения собственных, общих проводимостей и узловых токов? 3. Как рассчитать токи ветвей по заданным параметрам ветвей и узловым напряжениям? 4. Методом узловых напряжений рассчитать токи в резисторах (схемы замещения на рис. 2.8), если: R1 = 10 Ом; R2 = 5 Ом; R3 = 20 Ом; E1 = 5 В; E2 = 10 В; J = 0,5 А. Расчет проверить балансом мощностей.

а)

E1

R1

б)

E2

R2

R2

J

R3

E1

R1

R3

Рис. 2.8 5. Схемы замещения электрических цепей содержат зависимые источники (рис. 2.9). Найти напряжение на нагрузке R = 2,5 кОм, если R1 = 1 кОм; R2 = 5 кОм;

R3 = 2 кОм; Е = 1 В; J = 5 мА. R3 а) R1 2 1 E

U1

R2

б)

1

2

J R2

R GU1 Рис. 2.9

23

R1

U1

µU1

R

3. Топологические методы формирования математической модели электрической цепи Математическую модель электрической цепи образуют уравнения по законам Кирхгофа и уравнения идеальных элементов. 3. 1. Общие сведения

На рис. 3.1 показаны схема и граф обобщенной ветви. Для электрической цепи со схемой, имеющей b обобщенных ветвей и q узлов, можно записать q – 1 уравнение по первому закону Кирхгофа и b – g + 1 уравнение по второму ib закону Кирхгофа A Ib = 0 , i 1 B Ub = 0 . G= u ub R ib В этих уравнениях I b столбцеub J вая матрица токов обобщенных ветвей, размерностью {b× 1},– U b столбe цевая матрица напряжений обобщенных ветвей, размерностью {b× 1}, ( b Рис. 3.1 – строк, один столбец). Матрица соединений А (или инциденций, или узловая), это таблица коэффициентов независимых уравнений по первому закону Кирхгофа. Размерность А {(q – 1) × b }. Строки матрицы А соответствуют узлам, столбцы – ветвям. Коэффициенты матрицы А: + 1, если ветвь j принадлежит узлу k и направлена из узла,

 ak , j = − 1, если ветвь j принадлежит узлу k и направлена к узла,  0, если ветвь j не принадлежит узлу k. 

1

i$2

i$1

2

i$4

3

Например, для графа по рис. 3.2 матрица соединений имеет вид дерева связи Ветви → 1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 0 0 0 A = 2  0 − 1 0 1 1 0   3 − 1 0 0 − 1 0 1

i$5 i$6

i$3 4

Узлы ↑

Рис. 3.2 Матрица главных контуров В, это таблица коэффициентов независимых уравнений по второму закону Кирхгофа для главных контуров при их обходе в направлении по токам дополнительных ветвей (связей). 24

Размерность матрицы В {(b – q + 1) × b }. Строки матрицы соответствуют контурам, столбцы – ветвям. Коэффициенты матрицы B:

+ 1, если ветвь j принадлежит контуру i и направлена по его обходу,  bi , j = − 1, если ветвь j принадлежит контуру i и направлена против обхода,  0, если ветвь j не принадлежит контуру i.  На рис. 3.3 представлено одно из возможных деревьев графа рис. 3.2 (пунктирные линии – дополнительные ветви). Главные контура I, II, III включают только одну дополнительную ветвь и направление обхода контура совпадает с положительным направлением тока этой ветви. Матрица главных контуров В i$1 имеет вид дерева связи I Ветви → 1 2 3 4 5 6

1

2

i$2

II

i$4

i$5

I − 1 1 0 1 0 0 B = II  0 1 − 1 0 1 0   III  1 0 − 1 0 0 1

3

III

i$3

i$6 4 Рис. 3. 3

Контуры ↑

Полезно при составлении матриц А и В первыми включать ветви дерева, а затем ветви – связи. Структура матриц приобретает блочный вид A = A T A L ] , B = B T 1],

[

[

где блоки A T и B T соответствует ветвям дерева, блок A L дополнительным ветвям, 1 – единичная матрица. Если порядок следования ветвей в матрицах А и В одинаков, то для одного и того же графа

A BT = 0 ; B AT = 0 . Здесь A T и B T транспонированные матрицы. Матрицы источников э. д. с. и тока ветвей. Е – столбцевая матрица э. д. с. ветвей. Размерность Е {b× 1}. Коэффициенты матрицы Е:

+ e, если направления стрелок э. д. с. е и тока i ветви j совпадают,  e j = − e, если направления стрелок э. д. с. е и тока i ветви j не совпадают,  0, если э. д. с. е в ветви j отсутствует.  25

J – столбцевая матрица источников тока ветвей. Размерность J {b× 1}. Коэффициенты матрицы J

+ J , если направление токов J источника и i ветви j как на рис.2.2,  J j = − J , если направление токов J источника и i ветви j не как на рис.2.2,  0, если источник тока J в ветви j отсутствует.  Матричные уравнения элементов (в случае резистивных элементов ветвей) имеют вид I = GbU ; U = R b I , где I и U – столбцевые матрицы токов i и напряжений u элементов ветви j, Gb и Rb квадратные матрицы, размерностью { b× b}. Элементы этих матриц

G , k = j R j , k = j Gk , j =  j , Rk , j =  .  0, k ≠ j  0, k ≠ j

Математическая модель электрической цепи в матричной форме записи приобретает вид ← 1– й закон Кирхгофа, − Ib + I − J = 0 ; − Ub + U = E ; ← 2– й закон Кирхгофа, ← уравнения элементов. I = GbU ; U = R b I , Исходными для вывода узловых уравнений являются уравнения первого закона Кирхгофа для обобщенных ветвей A Ib = 0 . Если определить матрицу напряжений узел – базисный узел как столбцевую матрицу U n0 размерностью {(q –1) × 1}, то в узловом уравнение

G nn U n 0 = J nn квадратная матрица узловых проводимостей определяется G nn = A G b A T , а столбцевая матрица задающих токов – J nn = − A G b E + A J . Решение уравнения определяет матрицу узловых напряжений −1 U n 0 = G nn J nn . Напряжения обобщенных ветвей и элементов ветвей U b = AT U n 0 , U = U b + E Токи элементов и обобщенных ветвей I = Gb U , I b = I − J . Исходными для вывода контурных уравнений являются уравнения второго закона Кирхгофа для обобщенных ветвей B Ub = 0 . 26

Определив матрицу главных контурных токов как столбцевую матрицу I nn размерностью {(b – q + 1) × 1} токов дополнительных ветвей дерева, матрицы известных величин в контурных уравнениях

R nn I nn = E nn определяются по выражениям

R nn = B R b B T , E nn = −B R b J + B E . Решение уравнения −1 I nn = R nn E nn

определяет матрицу контурных токов. Далее рассчитываются токи обобщенных ветвей I b = BT + I nn , токи и напряжения элементов I = Ib + J , U = R bI и напряжения обобщенных ветвей Ub = U − E . 3. 2. Решение типовых задач Задача 3.1

Для цепи со схемой рис. 3.4 найти токи ветвей. Параметра элементов: R1 = 10 Ом; R2 = 15 Ом; R3 = 20 Ом; R4 = 16 Ом; R5 = 75 Ом; R6 = 60 Ом; I1 Е1 = 150 В; Е4 = 300 В; Е5 = 80 В; J1 = 4,5 A; J3 = 5 A; J6 = 3 A. I$ 1

Решение

Определим положительные направления токов, как на рис. 3.4. За базисный принимаем узел 0. Матрица инциденций

1

I$3 J3

1 1 0 0 0 1 A =  0 −1 0 −1 1 0 .   − 1 0 0 1 0 − 1  

J1 R1

R2

E1 E4

I2 2 I5

I3

I 4 R4

3 $I 6

R5

R3 E5

J6

R6 I6

0

Рис. 3.4 Топологические матрицы э. д. с и токов источников и проводимостей элементов ветвей:

27

0 0 0 0 0   E1   − J1  1 R1 0  0   0 1R 0 0 0 0  2       0 1 R3 0 0 0  0  J3   0 E =  ; J =   ; Gb =  . E 0 0 0 0 1 R 0 0 4  4      E5   0   0 0 0 0 1 R5 0        0 0 0 0 1 R6  0  J6   0 Программа расчета в пакете Mathcad. R1 E1

A

10 R2 15 R3 20 R4 16 R5 75 R6 60 150 Е4:= 300 E5 80 J1 4.5 J:=5 J6 3 1

1 1 0 0 0

0

1 0

1 1 0

1 0 0 1 0

1 1 R1

E=

150

4.5

0

0

0

5

300

J=

0

0

0

3

1 R2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Gb

0

80

0

R3

1 R4

1 R5 0

Gnn

A . Gb. A

Gnn =

1 R6

← Расчет матрицы узловых проводимостей

0.067 0.142 0.063 0.1

← Е, J, Gb.

0

0.217 0.067 0.1 T

← Задание исходных данных. Определение матриц ← А,

0.063 0.179 14.5

Jnn

A . Gb. E

A.J

Jnn = 17.683

← Расчет матрицы узловых токов

2.25

20.396

Un0

Gnn

1.

Jnn

Un0 = 122.846 18.911

U10 U20

Un0

U30

← Расчет узловых напряжений. ← Расчет напряжений обобщенных ветвей Ub и напряжения на элементах U.

T Ub A . Un0 U Ub E

28

Ub =

I

39.307

110.693

143.242

143.242

20.396 103.935

20.396

U=

196.065

122.846

202.846

18.911

18.911

Gb. U

I=

11.069

15.569

9.549

9.549

1.02

Ib

12.254

I

J

Ib =

← Расчет матриц токов I в элементах ветвей и токов Ib обобщенных ветвей.

6.02 12.254

2.705

2.705

0.315

3.315

Результаты расчета приведены в таблицах 3.1 и 3.2. Таблица 3.1 U10 , B

U20 , B

U30 , B

I$1 , A

I$3 , A

I$6 , A

– 20,4

122,8

18,9

15,57

– 6,02

– 3,315 Таблица 3.2

I1 , A

I2 , A

I3 , A

I4 , A

I5 , A

I6 , A

11,07

– 9,55

–1,02

12,25

2,705

– 0,315

Мощность, рассеиваемая в резисторах PR = U T I . Мощность, генерируемая источниками PEJ = ET I + U Tb J Pr

T 3 U . I Pr = 5.571 10

Pej

T E .I

T Ub . J

3

Pej = 5.571 10

PR = 5571 Вт, PEJ = 5571 Вт. Баланс мощностей выполняется.

i$1

Решение методом контурных токов

Граф и дерево для схемы цепи по рис. 3.4 представлены на рис. 3.5. Ветви дерева выделены. Матрицы: главных контуров

 1 − 1 0 1 0 0 B=0 1 − 1 0 1 0 ,   1 0 0 1 − 1 0

I

1

2

i$2 II

i$4 i$5

i$3

i$6 4 Рис. 3.5

29

3

III

э. д. с. Е и токов источников J, сопротивлений ветвей Rb:

 E1   − J1   R1 0  0  0      0  J3  0 E =  ; J =  R = ;   b  E4   0  0  E5   0  0      0  J6  0

0 R2

0 0

0 0

0 0

0

R3

0

0

0 0

0 0

R4 0

0 R5

0

0

0

0

0 0  0 . 0 0  R6 

Программа расчета в пакете Mathcad. R1

B

E=

10 R2

15 R3

1

1 0 1 0 0

0

1

1 0 1 0

1 0

1 0 0 1

16 R5 E1

75 R6

0 E

0 E4

Rb

0

0

0

0

0

0

15 0

0

0

0

0

0

20 0

0

0

0

0

0

16 0

0

3

0

0

0

0

0

B. Rb. J

0

0 R6

60

B. E

10

495

15 110 20

Enn = 180 475

90 T B . Inn

12.254 3.315

0 R4 0 0

0

Inn = 2.705

0

0

75 0

Ib

0

0

0

1 Rnn . Enn

0

0

0

10 20

0

J6

0

Rnn =

0 R3 0

0

0

41 15

0

0 R5 0

0

Enn

0

0

80

T B. Rb. B

0

0

Rb =

0

0

0

0

300

4.5 J3 0

0

0

5

80 J1 0 0

E5

10 0

J=

150 E4 300 E5 R1 0 0 0 R2 0

J3

J

4.5

0

60 E1 J1 0

150

Rnn

Inn

20 R4

Ib =

I

Ib

J

15.569

11.069

9.549

9.549

6.02 12.254

I=

1.02 12.254

2.705

2.705

3.315

0.315

Здесь: Ib – токи обобщенных ветвей, I – токи в резисторах.

30

5 J6

3