HENRI CARTAN
CEUVRES Collected Works
VOLUME I
Edited by R. Rernrnert and J-P.Sewe
SPRINGER-VERLAG BERLIN . HEIDELBERG - NEW YORK 1979
ISBN 3-540-09189-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-09189-0 Springer-VerlagNew York Heidelberg Berlin CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Cartan. Henri: [Sammlung] (Euvres-Collected Works I Henri Cartan. Ed. by R. Kemmert : J-P. Serrc. - Berlin, Heidelberg. New York : Springer. ISBN 3-540-09189-0 (Berlin. He~delberg,New York) ISBN 0-387-09189-0 (New York, Hsidelberg, Berlin) Vol. 1. - 1979. This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part oT the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use oT ~llustrations,broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means and storage in data banks. Under 5 54 of the German Copyright Law where coples are made Tor other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount ofthe fee to be determined by agreement with the publisher. 0 by Springer-Verlag BerlinHeidelberg 1979. Printed in Germany. Pr~nting:Julius Beltz, HemsbachIBergstr. Binding: Konrad Triltsch, Wi~rz,burg 214013130-54 3 2 1
Preface
We are happy to present the Collected Works of Henri Cartan. There are three volumes. The first one contains a curriculum vitae, a >and a list of publications, including books and seminars. In addition the volume contains all papers of H. Cartan on analytic functions published before 1939. The other papers on analytic functions, e.g. those on Stein manifolds and coherent sheaves, make up the second volume. The third volume contains, with a few exceptions, all further papers of H. Cartan; among them is a reproduction of exposes 2 to 1 1 of his 1954155 Seminar on Eilenberg-MacLane algebras. Each volume ist arranged in chronological order. The reader should be aware that these volumes do not fully reflect H. Cartan's work, a large part of which is also contained in his fifteen ENS-Seminars (1948-1964) and in his book "Homological Algebra" with S. Eilenberg. In particular one cannot appreciate the importance of Cartan's contributions to sheaf theory, Stein manifolds and analytic spaces without studying his 1950151, 1951152 and 1953154 Seminars. Still, we trust that mathematicians throughout the world will welcome the availability of the "Oeuvres" of a mathematician whose writing and teaching has had such an influence on our generation. Reinhold Remmert
Jean-Pierre Serre
Curriculum Vitae
Ne a Nancy Elkve a 1'Ecole Normale SupCrieure AgrCge de mathematiques Docteur es Sciences mathematiques Professeur au Lycee Malherbe Caen Charge de cours a la FacultC des Sciences de Lille Charge de cours, puis maitre de confCrences a la Faculte des Sciences de Strasbourg 1936-40 Professeur a la FacultC des Sciences de Strasbourg 1940-49 Maitre de conferences a la Faculte des Sciences de Paris 1945-47 DCtachC pour deux ans a la FacultC des Sciences de Strasbourg 1949-69 Professeur a la Faculte des Sciences de Paris 1940-65 Charge de l'enseignement des mathkmatiques a 1'Ecole Normale SupCrieure 1969-75 Professeur la FacultC des Sciences d'Orsay, puis a 1'Universite de Paris-Sud 1967-70 Prbident de 1'Union MathCmatique Internationale Professeur honoraire a la FacultC des Sciences de Strasbourg, puis a I'UniversitC Louis Pasteur Professeur honoraire a 1'Universite de Paris-Sud. Foreign Honorary Member of the American Academy (Boston), 1950 Foreign Honorary Member of the London Mathematical Society, 1959 Membre de 1'AcadCmie Royale des Sciences et des Lettres du Danemark, 1962 Membre correspondant de 1'AcadCmie des Sciences (Institut de France), 1965 AssociC Ctranger de 1'Academia di Scienze, Lettere et Arti di Palermo, 1967 Honorary Member of the Cambridge Philosophical Society, 1969 Foreign Member of the Royal Society of London, 1971 Membre correspondant de 1'AcadCmie des Sciences de Gottingen, 1971 Membre correspondant de 1'Academie des Sciences de Madrid, 1971 Foreign Associate of the National Academy of Sciences (USA), 1972 Membre de 1'AcadCmie des Sciences (Institut de France), 1974 Membre correspondant de 1'AcadCmie Bavaroise des Sciences, 1974 Membre associe de 1'Academie Royale de Belgique (classe des Sciences), 1978 Medaille d'or du Centre National de la Recherche Scientifique, 1976. Docteur honoris causa de 1'Ecole Polytechnique Federale de Zurich (1955), des Universites de Munster (1952), Oslo (1961), Sussex (1969), Cambridge (1969), Stockholm (1978). 1904 (8 juillet) 1923-26 1926 1928 1928-29 1929-31 1931-35
Brkve analyse des travaux*
I. Fonctions analytiques
1) Fonctions d'une variable complexe C'est a elles que sont consacres mes tout premiers travaux. Quelques Notes aux Comptes Rendus se rapportent a la fonction de croissance de Nevanlinna et a la repartition des valeurs des fonctions meromorphes. Dans ma These [3], j'ai reussi a prouver, en la precisant, une inegalite conjecturee par Andre BLOCH: pour tout nombre reel h>O, les points du plan complexe ou un polynbme unitaire de degre n est, en valeur absolue, au plus egal a h" peuvent Gtre enfermes dans des disques dont la somme des rayons est au plus Cgale 21 2 eh (e = base des logarithmes neperiens). J'ai montre de plus que l'on peut considerablement generaliser ce resultat; cette generalisation a Cte ensuite reprise et utiliske par Ahlfors. L'inCgalitC de Bloch s'est rCvClCe un instrument precieux dans l'etude de la repartition des valeurs d'une fonction analytique. Dans [25], j'ai etudie la croissance d'un systeme de fonctions holomorphes, c'est-a-dire, en fait, d'une application holomorphe dans un espace projectif, generalisant a cette situation les theoremes de NEVANLINNA. Cette etude a kt6 reprise, d'une f a ~ o nindkpendante, par Hermann et Joachim WEYL. C'est dans ma These [3] que j'ai Ctudie les familles normales d'applications holomorphes d'un disque dans l'espace projectif Pn(@) prive de n 2 hyperplans en position genkique. Ce sujet semble redevenu d'actualite a la suite de quelques travaux recents (notamment de P. KIERNANet S. KOBAYASHI,Nagoya Math. J. 1973).
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2) Probl2mes d'itkration et de limite pour les fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes ([I41, [24], [29]) J'ai notamment prouve le resultat suivant: soit D un domaine borne de a)",et soit f une application holomorphe D-D. Si, dans l'adherence de la suite des itCrees fk,il existe une transformation dont le Jacobien n'est pas identiquement nul, f est necessairement un automorphisme de D. Ce resultat est susceptible de nombreuses applications; M. HER* l'a utilise avec succes a diverses occasions. En voici une application immediate [24]: pour n = I, s'il existe un point a du plan complexe @, hors de D, et une courbe fermee de D dont l'indice par rapport * Caite par H. Cartan en 1973.
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Brkve analyse des travaux
a a soit non nul, si de plus f transforme cette courbe en une courbe dont l'indice est non nul, alors f est necessairement un automorphisme de D. Autre application: pour n quelconque, si f: D+D possede un point fixe en lequel le Jacobien est de valeur absolue Cgale a 1, f est un automorphisme de D.
3) Automorphismes des domaines born6s ([I 31, [20], [33]) Que peut-on dire du groupe de tous les automorphismes holomorphes d'un domaine born6 D de C"? (Cf. aussi 4) ci-dessous). Soit G ( a ) le groupe d'isotropie d'un point a E D, c'est-a-dire le sous-groupe forme des automorphismes qui laissent fixe le point a. Un premier rCsultat est le suivant: I'application qui, a chaque element de G (a), associe la transformation linCaire tangente en a, est un isomorphisrne de G (a) sur un sous-groupe (compact) du groupe linCaire GL(n,@).J'ai prouvC cela a partir d'un lemme t r b simple, qui dit que si une transformation holomorphe f de D dans D (non supposCe bijective) laisse fixe un point a E D et est tangente a 17identitCen a, c'est I'application identique. Ce lemme est aussi valable pour les groupes formels (cf. le livre classique de BOCHNERet MARTIN).I1 a aussi l'avantage de pouvoir s'appliquer tel quel aux fonctions holomorphes dans un espace de Banach complexe de dimension infinie, beaucoup Ctudiees aujourd'hui. Le rCsultat prCcCdent m'a conduit a une dkmonstration t r b simple du theoreme suivant: soient D et D' deux domaines cercles dont I'un au moins est suppose born6 (un domaine D est dit cerclC s'il est stable par toute homothCtie de rapport A tel que (A1 = 1 et s'il contient l'origine); alors tout isomorphisme holomorphe f: D+D1 qui transforme l'origine en l'origine est necessairement linkaire. Ce theoreme Ctait auparavant connu dans des cas particuliers, ou sous des hypotheses restrictives relatives a la frontiere (BEHNKE).I1 est, lui aussi, valable dans un espace de Banach. L'article [13] contient beaucoup d'autres resultats, notamment sur l'existence de developpements en sCries de types particuliers. La dktermination du groupe de tousles automorphismes d'un domainecerclC borne a ete faite completement pour le cas de deux variables dans [20]. A part quelques types spCciaux de domaines cercles (qui sont explicites), le groupe de tous les automorphismes se rCduit au groupe d'isotropie de l'origine. 4) Groupes de transformations holomorphes en gknkral
Le groupe des automorphismes holomorphes d'un domaine born6 D de @" est localement compact: c'est un rCsultat nullement Cvident que j'ai prouvC dans [24]. La question se posait ensuite de savoir si c'est un groupe de Lie. Ce probleme ne doit pas Stre confondu avec le fameux cinquieme probleme de HILBERT,qui du reste n'Ctait pas encore rCsolu a 1'Cpoque (1935). Dans [32], j'ai dCmontrC le thCoreme fondamental suivant: tout ccnoyau>>compact de groupe de transformations holomorphes, dans @",est un noyau de groupe de Lie. I1 en resulte d'une part que le groupe des automorphismes holomorphes
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d'un domaine borne est un groupe de Lie (a parametres reels); d'autre part que le groupe des automorphismes d'une varikte analytique complexe compacte est un groupe de Lie, comme BOCHNERl'a montre plus tard. Quant au theoreme fondamental ci-dessus, publie en 1935, il fut retrouve huit ans plus tard par MONTGOMERY SOUS une forme plus generale, valable pour les groupes de transformations differentiables; la methode de Montgomery est essentiellement la msme, mais en utilisant le thkoreme de Baire il reussit a I'appliquer au cas differentiable.
5) Domaines d 'holomorphie et convexite ([I 61, [23]) La notion de ccdomaine d'holomorphie>>est bien connue aujourd' hui. Dans l'article [16], j'ai pour la premiere fois montre qu'un domaine d'holomorphie posskde certaines proprietes de ccconvexitt>>par rapport aux fonctions holomorphes. Cette notion de ccconvexitt>> s'est, depuis lors, montrke feconde est non et elle est devenue classique. Dans [16], j'ai prouve que la ccconvexitC>> seulement necessaire pour que D soit un domaine d'holomorphie, mais qu'elle est suffisante pour certains domaines d'un type particulier (par exemple les domaines cercles). Qu'elle soit suffisante dans le cas general a etC dkmontre peu En mettant en commun nos idkes, Thullen et moi avons aprks par P. THULLEN. Ccrit le memoire [23] consacre a la theorie des domaines d'holomorphie. La notion de convexite holomorphe s'introduit aussi dans les problkmes d'approximation.
6) Problkmes de Cousin Le premier problkme de Cousin (ou probleme additif de Cousin) consiste a trouver une fonction meromorphe dont on se donne les parties principales (polaires). Le deuxikme problkme de Cousin (ou probleme multiplicatif) consiste a trouver une fonction meromorphe admettant un ccdiviseur,, donne (variete des zeros et des p6les avec leurs ordres de multiplicitC). On sait aujourd'hui que le probleme additif est toujours rCsoluble pour un domaine d'holomorphie, et plus gkneralement pour une ccvarietk de Stein,,. Ce resultat a kt6 prouve pour la premikre fois par K. OKA.Avant Oka, j'avais vu (6.[31]) que le probleme additif pouvait se rksoudre en utilisant l'integrale d'Andr6 WEIL,mais comme a cette Cpoque il manquait certaines techniques permettant d'appliquer l'integrale de Weil au cas general des domaines d'holomorphie, je renongai 5 publier ma demonstration. Par ailleurs, je savais que, dans le cas de deux variables, le premier problkme de Cousin n'a pas toujours de solution pour un domaine qui n'est pas un domaine d'holomorphie. En revanche, pour trois variables, j'ai donne le premier exemple (cf. [34]) d'ouvert qui n'est pas domaine d'holomorphie et dans lequel cependant le problkme additif de Cousin est toujours resoluble; il s'agit de C3 prive de l'origine. Ma methode de demonstration pour ce cas particulier (utilisation des series de Laurent) a et6
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Br6ve analyse des travaux
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9) La notion gknkrale d'espace analytique C'est apres 1950 qu'apparait la nCcessite de generaliser la notion de varietC analytique complexe, pour y inclure des singularites d'un type particulier, comme on le fait en GCometrie algkbrique. Par exemple, le quotient d'une varietk analytique complexe par un groupe proprement discontinu d'automorphismes n'est pas une variCtC analytique en gCnCral (s'il y a des points fixes), mais c'est un espace analytique (cf. [43]). Des 1951, BEHNKEet STEINtentaient d'introduire une notion d'espace analytique en prenant comme modeles locaux des ccrevktements ramifiis,, d'ouverts de Cn;mais leur dkfinition Ctait assez peu maniable. Ma premiere tentative date de mon Seminaire 1951-52 (Expose XIII); j'ai repris cette definition des espaces analytiques dans mon SCminairede 1953-54 en introduisant la notion genCrale d'espace annelk, qui a ensuite CtC popularisCe par SERRE,puis par GRAUERTet GROTHENDIECK. En 1953-54, ma dCfinition conduisait aux espaces analytiques normaux (c'est-a-dire tels que I'anneau associC a chaque point soit intkgralement clos). C'est SERREqui, le premier, attira I'attention sur I'utilitC d'abandonner la condition restrictive de normalitk. Ensuite GRAUERTpuis GROTHENDIECK introduisirent la catkgorie plus gCnCrale des espaces annelCs dans lesquels I'anneau attach6 a un point n'est plus nicessairement un anneau de germes de fonctions mais peut admettre des ClCments nilpotents. J'ai demontre dans [48] un thCoreme de ccprolongement~ des espaces analytiques normaux, suggerC par des travaux de W. L. BAILY,et qui s'applique a la compactification de SATAKEdans la thCorie des fonctions automorphes. 1 0 ) Quotients d7espacesanalytiques ([43], [51], et SCminaire 1953-54) Tout quotient d'un espace annelC X est canoniquement muni d'une structure d'espace annele (ayant une propriCte universelle aisee a formuler). Le probleme suivant se pose: lorsque X est un espace analytique, trouver des critkres permettant d'affirmer que I'espace annelC quotient est aussi un espace analytique. J'ai montrC que lorsque la relation d'equivalence est dCfinie par un groupe proprement discontinu d'automorphismes de X, le quotient est toujours un espace analytique. Puis, dans [51], j'ai donnC un critere valable pour toutes les relations d'equivalence ccpropres, et j'ai etendu au cas des espaces analytiques gkneraux un theoreme prouvC (par une autre mkthode) par K. STEINdans le cas des varietCs sans singularitks, et que voici: si f: X+Y est une application holomorphe, et si les composantes connexes des fibres de f sont compactes, le quotient de Xpar la relation d'iquivalence dont les classes sont les composantes connexes des fibres est un espace analytique. D'autres applications du critere sont donnCes dans [51]. 1 1 ) Fonctions automorphes e t plongements Ayant dCfini le quotient d'un espace analytique X par un groupe G proprement discontinu d'automorphismes, il s'agissait de realiser dans certains cas cet
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Brkve analyse des travaux
espace quotient comme sous-espace analytique d'espaces d'un type simple. Le premier cas que j'ai trait6 est celui ou X est un ouvert borne de @" et ou X/G est compact: en m'appuyant sur des resultats de M. HERVE(repris dans [47]), j'ai prouvC dans [43] que les formes automorphes d'un poids convenable fournissent un plongement de X/G comme sous-espace analytique (fermC) d'un espace projectif. Donc X/G s'identifie B l'espace analytique sous-jacent B une n . L'on peut choisir pour f une application fibr6e (en construisant avec SERREdes espaces de chemins), et I'on a donc une suite spectrale reliant les homologies de X, de Y et de la fibre. Cette mCthode permet le calcul (partiel) des groupes d'homotopie d'un espace a partir de ses groupes d'homologie.
2) DCtennination des algkbres d'Eilenberg-MacLane H. (17, n) ([9'1.], [92], 1931) Rappelons que K(17,n) dCsigne un espace dont tous les groupes d'homotopie sont nuls, sauf n,, qui est isomorphe a une groupe abClien donne 17. Un tel espace est un espace de HOPFet par suite ses groupes d'homologie foment une algebre graduee H.(17,n). Le probleme du calcul explicite de ces algebres avait CtC pose par EILENBERG et MACLANE.Je suis parvenu a ce calcul par des mCthodes purement algkbriques, basCes sur la notion de ccconstruction,,, et qui permettent un calcul explicite. Les resultats s'knoncent particulierement bien lorsqu'on prend comme anneau de coefficients le corps IF, a p klkments (p premier). Le cas ou p = 2 et ou le groupe 17 est cyclique avait CtC entierement rCsolu par J.-P. SERRE,par une mkthode un peu diffCrente. A l'occasion de ces calculs j'ai Ct6 amene introduire la notion d'algkbre graduCe a puissances diviskes; l'algkbre d'Eilenberg-MacLane possede de telles ((puissances divisCes,,. C'est une notion qui s'est avkree utile dans d'autres domaines, et notamment dans la thCorie des groupes formels (DIEUDONNG, CARTIER). 3) Suite spectrale d'un espace ou opdre un groupe discret ([82], [83]) On considere un groupe G opCrant sans point fixe, de fagon proprement discontinue, dans un espace topologique X. Dans une Note commune, J. LERAY et moi avions envisagC le cas ou le groupe est fini. J'ai CtudiC ensuite le cas gCnCra1, qui a de nombreuses applications. On trouve une exposition de cette question au Chapitre XVI de mon livre c~HomologicalAlgebra,, Ccrit en collaboration avec S. EILENBERG.
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Breve analyse des travaux
4) Cohomologie des espaces homog2nes de groupes de Lie ([86], [87]) I1 s'agit de la cohomologie h coefficients reels d'un espace hornogene Glg, G Ctant un groupe de Lie compact connexe et g u n sous-groupe ferme connexe de G. La methode utilisee est celle de I'ccalgebre de Weil>>d'une algebre de Lie. J'obtiens pour la premiere fois une determination complete de la cohomologie reelle de Glg; il suffit de connaitre la dans l'algebre de Lie de G, et 1'homomorphisrne I (G)+ I (g) (ou I (G) designe l'algebre des polynbrnes sur l'algebre de Lie de G, invariants par le groupe adjoint; de mime pour I (g)). Ces resultats ont etC ensuite repris par A. BORELqui les a en partie etendus au cas plus difficile de la cohomologie coefficients dans IF,. A ce sujet, on peut consulter le rapport de BORELdans le Bulletin de 1'A.M.S. (vol. 61, 1955, p. 397-432).
5) Opkra tions de STEENROD La premiere demonstration de la forrnule du produit pour les cccarres de Steenrod,,, irnproprernent appelee puisque c'est WU-WENTSUN qui m'avait propose de prouver cette formule, se trouve donnee dans la une demonstration Note [85]. Son seul merite est d'avoir suggere a STEENROD de la formule analogue .9i(xy) = r.+C .9;(x) .Y;(y) pour les operations de j=k Steenrod modulo p ( p premier impair). Aujourd'hui on a de meilleures demonstrations de ces relations. Dans [94], je determine explicitement les relations rnultiplicatives existant entre les generateurs St; de l'algebre de Steenrod pour p premier impair (le cas p = 2 avait ete trait6 par J. ADEM;le cas ou p est impair a ensuite Cte trait6 independarnrnent par J. Adern au rnoyen d'une rnCthode differente de la mienne).
6) Cohomologie a coefficients dans un faisceau Cette notion maintenant fondamentale, aussi bien en Topologie qu'en Analyse, avait ete introduite par J. LERAYd'une f a ~ o nrelativement compliquee. Dans mon SCminaire de 1950-51 j'en donne la premiere exposition axiomatique, qui est aujourd'hui adoptee (voir par exemple le livre classique de R. GODEMENT). Cette presentation a permis ultkrieurement de faire rentrer la theorie des et de lui faisceaux (de groupes abeliens) dans celle des appliquer les mCthodes de 1'Algebre homologique (foncteurs derives, etc. ...). D'autre part, c'est dans le cadre de la cohomologie a valeurs dans un faisceau que j'ai place le theorerne de DE RHAM(relatif au calcul de la cohomologie rkelle d'une variktk differentiable au moyen des formes differentielles), ainsi que la c> de PO IN CAR^ des varietes topologiques, triangulables ou non. d'etudier Ces idCes sont devenues courantes; elles ont permis a P. DOLBEAULT le cornplexe de d"-cohornologie d'une variCtC analytique cornplexe.
Breve analyse des travaux
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111. Theorie du potentiel ([70], [711.1, [72], [73], [74], [75], [84])
C'est sous l'influence de M. BRELOTque je me suis interesse pendant la guerre aux problemes de la theorie du potentiel (potentiel newtonien et generalisations diverses). J'ai utilid d'une maniere systematique la notion d'knergie, en commenqant par prouver le theoreme suivant: I'espace des distributions positives d'knergie finie, muni de la norme dkduite de I'energie, est complet. Ce fut l'occasion d'employer la methode de projection sur un sous-ensemble convexe et complet (dans un espace fonctionnel). Le theoreme precedent suggkra a J. DENYd'introduire en theorie du potentiel les distributions de SCHWARTZ; il prouva que I'espace vectoriel de toutes les distributions d'energie finie (et plus seulement les distributions positives) est complet. J'ai aussi introduit la notion de topologie fine (la moins fine rendant continues les fonctions surharmoniques), qui s'est averee utile notamment dans les questions d'effilement a la frontiere, et, plus recemment, dans les nouveaux developpements axiomatiques de la theorie du potentiel en relation avec les ProbabilitQ. J'ai donne la premiere demonstration d'un theoreme que dksirait BRELOT,et qui se formule ainsi: la limite d'une suite decroissante (ou, plus gkneralement, d'un ensemble filtrant dkcroissant) de fonctions surharmoniques, si elle n'est pas identiquement - 0 3 , ne differe d'une fonction surharmonique que sur un ensemble de capacite exterieure nulle. Enfin, je crois avoir Cte le premier a introduire une theorie du potentiel dans les espaces homogenes [7 11.
IV. Algebre homologique Ecrit entre 1950 et 1953, paru seulement en 1956, le livre ccHomological Algebra, est dii a une longue collaboration avec Samuel EILENBERG.On y expose pour la premi6re fois une theorie qui englobe diverses theories particulieres (homologie des groupes, homologie des algebres associatives, homologie des algebres de Lie, syzygies de HILBERT,etc. ...), en les plaqant dans le cadre general des foncteurs additifs et de leurs foncteurs ((derives>>.Les foncteurs Torn(A,B) (foncteurs derives gauches du produit tensoriel A 8 B) sont introduits dans cet ouvrage, ainsi que les foncteurs Extn(A, B) (foncteurs derives droits du foncteur Hom (A,B)). Auparavant, seul le foncteur Extl (A, R) avait it6 explicitement considCr6 dans la litterature (Eilenberg-MacLane). On montre notamment le r81e qu'ils jouent dans la ccformule de Kiinneth,,, qui est pour la premiere fois enoncee en termes invariants. Cet ouvrage de 400 pages semble avoir servi de catalyseur: il a ete a l'origine de rapides developpements tant en Algkbre pure qu'en Geometrie algkbrique et en Geometrie analytique. Le terme lui-mCme d'ccalgebre homologique>>,donnC comme titre a notre livre, a fait fortune. Dans ce livre nous avions trait6 le cas
XVIII
Brtve analyse des travaux
des modules sur un anneau; mais l'exposition avait Cte conduite de telle sorte qu'elle pouvait immkdiatement se transposer a d'autres cas, comme il Ctait d'ailleurs indiquC dans 1'Appendice a notre livre ecrit par D. BUCHSBAUM. I1 d'introduire et d'Ctudier systCmatiquement les devait revenir a GROTHENDIECK >de la transformation de Fourier dans le cadre gCnCral des groupes abCliens localement compacts, sans faire appel ala thCorie ccclassique>>. 4 ) Classes de fonctions indkfiniment dkrivables ([63]
[68]) J'ai Ctabli par voie ClCmentaire de nouvelles inCgalitCs entre les dCrivCes successives d'une fonction d'une variable rCelle. Puis, en collaboration avec S. MANDELBROJT,nous les avons appliqukes a la solution dCfinitive du problkme de 1'Cquivalence de deux classes de fonctions (chacune des classes ktant dkfinies par des majorations donnCes des dkrivkes successives).
Brkve analyse des travaux
XIX
5) Extension et simplification d'un thkor6me de RADO([40]) J'ai formule ce theoreme de la maniere suivante: une fonction continue f qui est holomorphe en tout point z ou f(z) = 0 est holomorphe aussi aux points ou f(z) = 0. La demonstration que j'en ai donnee est tres simple et basCe sur la theorie du potentiel. De 18on dCduit le theoreme de RADOSOUS sa forme usuelle (i.e.: une fonction holomorphe qui tend vers zero a la frontiere est identiquement nulle, sous des hypothkses convenables relatives a la frontiere). De plus, sous la forme ou je l'knonce, le theoreme s'Ctend trivialement aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, et meme aux fonctions dans un ouvert d'un espace de Banach.
VI. Collaboration au Trait6 de N. BOURBAKI Pendant vingt ans, de 1935 a 1954, j'ai participk au travail collectif d'klaboration des
log
1
5 P .
- Ona
'-"' I
1 2 2 5 log -- ' I + l t 1 = l o ~ [ I - ~ I - l ~ l ~ I + , t. ,lJ , I r - 9' 1 + 1 t l . 1 1~
On en dkduit
SUR LES S Y S T ~ Y E SBE FONCTIONS
HOLOMORPHES, ETC.
3I
I+P. et le rnaximum d u second membre a lieu pour ( y1 = f , ( I I = On trouve alors immediatement
log
1 - t.1, -----
r--tl
> (-.1 - p ) 2 4
Soit n I c nombrc des points t, d e modules inferieurs ou esaux
qp. On a , d'apr8s ce qui prkcbde,
i
la sornme qui figure au premier nlembre etant etcndue a ccs points t,. Mais on a evidenlment
les sorrllnes etant toujouis etenducs a u x m&mespoints t,. Si lI. cst un nombre positif arbitraire, on peut, en vertu d u theorkme 111, tracrr des cercles dont la somme des rayons soit (rgalc h 4 e k , et tcls que I'on ait I'inegalite ('1 (23)
Z'og
+
< I 1 log I I
a ,
ne penrent pas &t~'eenferrnes a l'inte'rierlr de circonfi:l.ences ddnt kc1 sornme drs rctyons soit d,a~le a y, on a , pour toilt point y intirieur all c e d e de rayon ayant pour centre l'origine, et sans exception cette fo is, ro).
Los notations du theorbmo precedent sont conservies. En effet, l'inegalitk ( 1 8 ) . traitec comme tout 2 l'hclure, perrnet d'ecrire
et, d'aprbs I'hypothbse de l'enonce, on peut choisir x de facon que les in'egalites ( 2 5 ' ) et (26) soient valables toutes deux, ce qui demontrc le theorkme. Tntidi\&,vlsIV ter. - Les conditions dn thdorime /I'bis ttlrnt mnintenues, on a r,),
sarlf per~t-c'trepour des points qu'on peut enfermer /i 1'intc;ricur de circonferences dont la sonirne des rayons est &ale ci y.
En effet, I'inkgalite (18j pcrmet d'ecrire
ct I'on peut choisir x de facon quc I'inegalite temps que la suivante T d r ,f
(2(i)
) < M T y ( r ,f ) ,
quel que soit y d e module inferieur A p.
soit verifiee en m6me
SUR LES SYSTEWES UE FONCTIONS HOLOMORPHES, ETC.
35
Mais I'on a , pour tout point d'affixe inferieure a p , sauf peut-6tre pour des points qu'on peut enferrner i I'interieur de circonferences dont la somme des rayons est egale i y, I'inegalitti
ce qui tte~nontrele theor8rno. 23. Avant de terrniner cc genre d e considerations, indiquons, en passant, comrnent l'incgaliti! (25) permet d e complkter un theoreme de S. Rlandelbrojt [Dl. On peut donner a u theoreme primitif la forrne suivan[e : Soit f ( x )une Jbnction holornolphe, sans zh.os, et de module i nferieur ci u n duns le cercle-unite'; x et y ttant deux points quelcongues du cercle tie rayon p I ayant pour ccntre l'origine, le quotient
s I , 2 , 3 ranges d a m un certain \ x 1" ordre 2 conclergP uers - I , et 2 et - convergent vers aCro. ' 1, ;. 1,
Dans le cas 6 , nous dirons, en anticipant s u r le cas general, que X, ct X, sont de premikre catkgolze, et X , de seconde catkgorie. Dans le cas a , nous dirons q u c toutes les fonctions sont de premibre categorie. 11 y a, en somme, quatre circonstances possibles, suivant que les trois fonctions sont de premibre categorie, ou q u e l'une d'elles est de seconde categorie. Dans le thkorPme precedent, nous avons enoncb des proprietes de convergence qui ont lieu dans le cercle-unite; mais il suffit, pour l'etablir, de montrer qu'on peut extraire, de la famille donnee, une suite de systbmes jouissant dc. ces mkmes proprietes de convergence dans rln rercle de rayon qr~elconquer , I ayant pour centre l'ori,o'zne. . l2n eff'ct, une fois ce point acquis, donnons-nous une suite infinie de cercles ( I ) C,, C,, . . . , C,,, . . . , dont les rayons tendent vers un. Nous pouvons extraire de la famiile une suite de systbmes pour laquelle un des quatre cas de convergence se trouve realise dans le cercle C , ; de cette suite nous pouvons extraire une suite nouvelle, pour laquelle un e dans le cercle C,; et ainsi de suite. des quatre C A S 'se t r o ~ ~ vrealise Le nombre des cas possibles etant tini (quatre), I'un d'eux se trouvera rkalise pour une infinite de cercles, et le procede diagonal fournira une suite de systkmes pour laqurlle les proprietes de convergence, relatives h ce cas, auront lieu dans le cercle-unite tout entier ( 2 ) .
constants non Lous nuls. Si zl et a, sont nuls, les fonctions X3, X,,, . . , X, sout likes par une relation l i n k i r e I~ornogene;Ics wronskiens U I e t U, s o n t donc identiquement nuls, c t l'on a U I U2 = o. Si a l e t a, ne sont pas nuls tous deux, les n - I fonctions a l X I + a 2 X 2 ,X1, . . ., Xn sont 1iecs.par unc relation lindaire homo-
46
M E N R l CARTRN.
Nous voyons q u e la fraction
q u e nous appellerons fraction dtrivke a n zermes f'ormCe avec les n fonctions X I , X,, . . . , X,,, est la derivke logarithmique de
Avec n fonctions on peut former n ( n - I ) fractions dCrivees i n termes, deux ideux opposees. Nous designerons sous le nom de fraction derivte ri deux termes, IX x I . une expression telle q u e 3
xi X,
11 est clair q u e les fractions derivees, ainsi que les expressions de X1x2'''xn'. la lorme x, x2.. .xn ne changent pas si I'on multiplie tootes les fonctions par une meme fonction de x.
31. Cela pose, enoncons le critbre d e fanlille complexe normale que nous demontrerons ensuite : T H E O H ~ VI. M E - @!ant donnke, duns le cercle-unite', rlne famille infinie de systkmes de quatre fonclions holomorphes, sons atros, vkrifianr l'identite X,+X,+X,+X,,~O.
on peut en extmire une suite injinie de systi.mes, pour laquelle se t~auve rtalisee l'une des circonstances suivantes : a . Ides i n d i c ~ sI , a , 3 , 4 se partagent en deux categories, jouissant d e ~ proprittts suivnntes : l o le quotient de deux fo~tc~ions quelconques cle ghnc, et I'on a donr a,
d'ob encore
U, + r,U1-- o,
; u, U? I = 0.
11 suffit de faire x = o dans ccttc derniere identit6 porlr ktablir la proposition annoncke.
pi-ernic~*ccat~;gol.ie conceigc u ; 2 O Ie quotient d'urre fonction quelconque de zecondc c(~tt;,aoi.iepar unc Jbnction quelconquc de premikl-e cnt&gol*ieconc9elqc ~~er:r zc;lo ( I ) ; 3 O colrllne consbquence de la propri Atb 2". It! quo ti en^ dr la sommr des fonction.~d~ p1.emti.r~caltgo~.iepar /'/me qrlelconqur d'enila clles converge DCI:F ;L;IY). Ajou to n s q u'il existe a11 rnoins cieux indices de ptwniikc cntegorie, c:t qu'il pelrt n'exi.stel. nilcun indice de seconde cnl(:goric. 1). Les indicrr se partaselzl cn d e glaupes ~ ~ dc deux in,dices chacun, ((
x.
X
soienl i,j et k. I. 1,es quotirnls 2 el X I convergent ver.s - I . Xi Pour plus de clarte, examinons les differents cas prevus dans a. Si hi
,
tous les indices sont de prsmikre categorie, tous les quotients - (( conX vergent s, h et ;I. prenant toutes les valeurs I , 2, 3, 4. S'il existe un X, x X seul indicc de seconde categorie, 4 par exemple, -, -1 et 2 (( conX, x, s, vergont
x.
?,;
57
X I X,
Xi X,
convergent vers zero, et
x 2 + '3
Xl
converge
vers zero. Enfin, s'il existe deux indices d e seconde catkgorie, 3 et X? par exemple, converge vers - I ,
4
X convergent vers zero. X, On ~nontrerait,comme au paragraphe 27, qu'il suffit d'etablir ces proprietes deconvergence pou~l'interieurd'uncercle C, (I X I
sistknres de la suilc Sf. En particuliet-, I,I(I.,)
< rrz(R) est borne. C.
0 . F. D.
On peut donc exlraire, d e la suite S', une nouvelle suite pour laquelle
X , X
c.t
X. X
((
convergent
))
dans le cercle C , de rayon r , .
Con~mc,caos qr~o~icnl~fs Ile peuvent convcrgcr tous les lrois vers - I , on est 1,arnrne i1'hypoth;se 2 O c l r ~paragraphe 32, et le theoreme V I eat dkrnontre pour Ir cercle C,,.
S definie au paragraphe 33, une suite infinic d r systl.!nt.s jouissant dc la propriCtP suivante : les Noos pouvonsalors cstraire, d e la suite
points du cercle C-?,tle rayon I.,, oil I X,,X, : I4 2 exemple, esl 1.1 X,X2I 1 , sr~pkl-irurk I I rlr ~ ~ ~ ~ o c l unc l e ,p e u v c ~ pas ~ t &trc enfermes i I'interieur dr circonfvt-cnccs do111la soinlncl tlos rayoils soit egale h y. Nous ; t l l u ~ ~tl;ins s , ccs conditions, trouver uno limitation d e
lorsque I. cst sul)i?l*ierlrB
1111 nornbrc
:I(;. On a cn elret I'identite
(I)
tixe
I.:,
colnpris entre I., e.t un.
ugua auuop ( c c ) l a ( 9 s ) 'KE? '(zc) ' ( 1 ~ )sa]!l&au! s a p uos!e~edtuo:, 137.sunwruo:, sju!od sa:, ap uu z = /C=x l ! o ~-saIqe[eA luos (5s) la (PC) sy![eBau! sa[ slanbsal anod z s)u!od xne l a /C s~u!od x n e sunwwo:, slu!od sap luau~au!el.~a:,a p x a p,nb rnod :6 = 2 aldwaxa red 'j!)ad zasse g a!r!oq:, al, lgjns 11 "3 ap.ia:, n p z slu!od sal rnod * s g ~ 8d r: 'lnolaed !sen[)
( *X'X C -E
-
+
y
>
\
I"zY
X"X
I
(
.
x "X
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(PI)
la "3 alum n p /Cs)u!od sal anod <s;rrdg y ' l n o ~ a e d!senb
' Ixx;xl.-.lCx1xI kxSxls- I'xixI.IL'x'xI "zx k'x I " z ~ ' ~ I I " S ' ~ ' ~ I ' ~ a w o j el aapuard lnad ( 0 s ) ?l!luap!,l a 0 I 3 al:,~a:, n p x lu!od.lnol anod
SUR LES SYSTEMES DE FOKCTIONS HOLOYORPHES, ETC.
57
il suftit d e poser
et de partir de 11inegalit8 ( 1 0 ) . On a ici
et Ipin8galitb (36) donne une borne superieure de m / I . ,
i)h l'aide de c lc ,
F; F:, Fj,
.
quantiles de la forme o7(r; P ), P designatit un polynome en i ; F" F" P" '9 2 e t 2.A partir de ce moment, le raisonnement fait au ChaF,
F,
F3
pitre I se repete identique. On peut donc extraire, de la suite considkree, une suite pour X, X X. Iaquelle p, e t 2 a convergent 1) dans le cercle-unite, e t n Ji)r.tiori - r
6
x,
xi. dans le cercle C,; tous les rapports mr~tuels(( convergent n alors,
XP
et le theoreme VI est enfin demontre pour le cercle C,,. D'apres la remarque dCjh faite, il se trouve etahli Pgalement pour le cercle-unite toul enlier.
37. De merne que le crithre relatif au cas y = 3, le thiol-+~~tr 1 7 lrste zlr.ni si b dornaine de onriation de x est guelconque. hiais le raisonnement d u paragraphe "4 ((Hemarqur) n'est plus valable ici; en eff'et, nous ne somrnes pas s Q r s u prio1.i de la propositior~suivante : (< Si le theoreme VI est vrai pour tous les points d'un tlomaine, c'est-i-dire si tout point do domaine est centre d'un cercle pour lequel le theoreme est vrai, il reste vrai pour I'ensemble d u domaine. ), Cela ticnt a ce que le thkorPme VI ne permet pas d'affirmer clue la famille des t'or~cS
tions x, ;~!,par exernple, soit norrnale.
I1 faut donc avoir recours a une :rutre methode. lndiquons qn'il suflit de raarcner le cas d ' l ~ ndornaitte cluelconrlue D au cas d u cercle, en elyectuaot la representation conforrne, s u r un cercle, d u dornaine de recouvrement si~nplement connexe (L7ebel*I~ig.er-ung.~frache) du domailre D.
58
HENRI CARTAN.
Sans nous attarder davantage au cas p = 4, qui sera etudie en ddtail au Chapitre suivant, traitons tout de suite'le cas oh p e s t quelconque. 111.
- Cas gbnbral.
38. THEOREME VII. - &ant donnte, duns le cercle-unitt?, une famille infinie de systbmes de p fonctions holomorphes, sans zbros, vtrijant l'identitt X,+X,+
...+X , = o ,
on peut e n extrnire une mite i n j n i e de systemes, pour laquelle se trouve rtalise'e 1 'une des circonstances suivantes : a . Les indice3
I , 2,
. . . ,p se partagent en deux catigorks, jouissant
des proprittis suivmntes : r le quotient de deux fonctions quelconques de premiere catkgorie (( converge ' 2 le quotient d'une fonction quelconqtle de seconde cntr;gorie par line fonction quelconque de premikre catigoric. converge uer~sztro;3" comrne conskquenco de la propriete zO, le quotient de la somme des fonctions de premiere cnte'gorie par l'une qr~elconque d'entre elles conve?Xc velr ~ 6 1 . 0 .Ajoutons qu'il existe au moins t k u x indices de premiere ct~t@orie,et qu'il peut n'exister ~ L L C ~ L I Z indice de seconde catkgoric.. b. I1 ~ x i s t edetrx grorrpes tl'i~itlicr.~, chaqt~egrorlpe comp~.cnnnt N U moins d e i ~ xindices: nrr/i.s il pcwt ( > x i s t ~des r indice3 n'nppnrtennnt ci alrctln de ces deux groupes, 101:rquep 4 . Duns chaqlrr groupe, on (/istingtre encore entre les indices de premiere catkgorir, m nombre au moins t g a l a deux, et lrs indicrs de seconde cntkgorie, quipeuvent Jailleulr ne pas exister; et t o n peut c5noncer, porll. Ips fonction.~rl'un nlPme porlpe, les m&rnes proprittks de convergence r O , 2 O et 3" que d a m le cas a, acgeccette diprence que la proprie'tt 30 est cetle fois inile'pendante iics cr u tres . ));
>
Le cas ( 1 est en som~rlele cas oil il existe un ~ I ' O I L P P unique compl-ennnt to1r.r IPS indices. Si I'on applique Ir thPori~meVII an cas p = 4,on retrouve le thCorbme VI, qui apparait ainsi colrlme un cas particulier d'un theortlrn~ plus general.
39. Comme Ir thbori.me VI, et pnur la meme raison, le theorvchmeVI1 reste vrai st le tlotn;~inutlv variation d11.zest quelconque. Indiqtlons alors rapidemcrrt la Inarche i snivre pour demontrer le tl~tnrhmeV I I . 011 srlppose qu'il a eti. etabli your p - I , lorsque le dnmaine dc vari2tion de x est quelconq~te,c t I'on montre qu'il est vrai pour p, lol.scluc>It. tlornaine de variation d r x est le c~rcle-unitk. Les fonctious cnvrsagees 6tant supposkes definies dans le cercleunito, il suffit, comrne dans les cas p = 3 e t p = 4, d'btablir les proprietes d~ convergence pour I'interieur d'un cercle C , , d e rayon r,, ayant pour centrr I'origine. Soit C, un cercle concentrique e t de rayon I., c o ~ n y r i sentre I., et un. Envisageons d'abord deux hypothhses parliculiibres :
Hsypnthi:seA . your laqucllc
--
X.
011
c o ~ ~ v e r gvers e zero dans le cercle C , , i et j designant
tleux des indircs I ,
Ilyl~oth?.scH . I:rquelle
2
oeut extrairc. de la famille une suite de systhmes
-
2,
. . . , p.
On prut extraire dc la famille une suite pour
a converge o vers une limitc dirkrente d e
- I dans lk
I
cercle C , . Dans I'unc e t I'autrc hyputhhses, on montre, en raisonnant comme at1 ~)aragr;~plle 32, que Ie tlleorerne VII se trouve etabli pour le cerclc! C,, cotllrne cons8rlucnce du thkorltme VII relatif h p - I fonctions d6finies dans un tlornaine quelconque.
40. On exclut d6sorrnais I'hypothbse A ; plusieurs hypothbses, q u i s'excluent m u t u e l l e m ~ n t ,sont alors possibles.
Ilyl)o/hi.sc I. - On peut extraire de la famille une suite infinie d e systCmes, your laquellc deux fractions derivees d e u x termes restent inferieures ou egales i rrn en module en tout point d u cercle C,. En raisonnant commetia~lsle c a s p = 4,o n voit q u e le thAoreme V1I esl ktabli pour le crrcle C,,, dans I'hypoth6se I. On exclut ensuite I'l~ypoth&se1, ce qui conduit h I'existence d'une suite infinie S, de systkrnes, jouissant de la propriete suivante : cha-
60
H E N R I CARTAN.
cune des six fractions derivkes h deux termes, sauf ulle petit-etre, 'xr+lxp' par exemple, est supl!rieure P ~n en lliolIuIc C I I I UI; 1,oiut da XPIX, cercle C, . On n'envisage dksormais que la suite S , , et I'on I'ait relativcme~ltI cette suite l'hgpothese suivante : Hypothkse 11. - I., etant un nombre c o ~ n p r i se ~ ~ tI .r, ?ct rrn, on oeut extraire de S , une suite infinie de systkmes, pour laquclle il existe un groupe de trois indices i, j, X., pris parmi I , 7, . .., y - I , tels que chacune des trois fractions derivees a trois terrnes formbes avec X,, X, et XI, soit quasi partout, h y, prbs, infcrieure ou Pyale a lrrl en m o t l u l ~ dans le cercle C,(I x ( I . ? ) . Le nombre positil' y2 est ensuitc convenablement choisi. On rnontre, comme dans le-cas y = 4, clue le theorkmc Y 1 I cst Ctabli pour le cercle C,,, dans l'hypothese 11. On exclut ensuite I'hypothhse 11, ce qui conduit h I'existence tl'une suite S,, extraitedc la s u i t e s , ,jouissantdc la yropriGt~soiva~ttr~: 1,p, u designant trois quelconques des indices I , 2 , . ..,p, I'une a11 ~troins des trois fractions derivees h tr0i.s termes formees avcc Xi,X, et X,,
>
>
1
.~.~-F2-u1q+"q=(xu)3 ...+2~'2,+OL?=(xu)/ \
e uo m a p -a:,a~da y d e ~ 8 s ~ enp d suo!l!sodo~dsal ~ a n b q d d eJnal suoanod snou la I x 1 spa:, a1 suep sa!ugap luos ( x u ) B la ( x u ) / suo!louoj sa? 6~
>
SUR
LEs
S Y S T ~ Y E S DE
FoNcTloiYs HoLoMORPHES,ETc.
75
52. Soitf(x) une fonction mkromorphe dans tout le plan, on seulement au voisinage d'un point singulier essentiel isole, que nous supposerons a I'infini. Designons par E ( a ) l'ensemble des points oh la fonction f ( 2 ) prend la valeur a , et, en particulier, par E(m) I'ensemble des phles de la fonction. Dans tout ce qui suivra, on ndmettra, sauf indication contraire, que chaque point de l'ensemble E ( n ) est comptk autant de fois qu'il y a d'unitts dans l'ordre de multiplici~ede la racine correspondante de l'equation f ( x ) = a , si a est jini, d~rpdle correspondant, si a e ~ itlfitli. t Lorsque deux fonctions f ( x ) et g ( x ) , mBromorphes dans tout le plan, admettent le mCme ensemble E(a), nous dirons qu'elksprennent ensemble la valeur a , ou encore que g ( x ) prend la valeur a en mime temps ylle f ( x ) . 11 en est ainsi, t.11 particolier, lorsque chacune des deux fonctions admet a comme valeur exceptionnelle, c'est-8-dire ne prend pas la valeur a ; dans ce cas, I'ensemble E ( a ) est vide. Nous dirons, de mhn~e,que deux fonctions, meromorphes au voisinaye du point i I'in tin i. pr~~nnPnt ensemble la valeur a cru z~oisinagede l'injini, s'il cxiste un cercle de rayon assez grand, h I'extkrieur duquel les ensembles E(a) relatifs h ces deux fonctions coincident. Nous conviendrons Bgalrment de dire qu'une fonction /(XI, mkromorphe au voisinage du point i I'infini, admet (1 comrne valeur exceptionnelle, s'il cxiste uli cerclu ;I l'exteriec~rduquel / ( x ) ne prend pas lavaleur a . (1) Ccrlains des 1.6=11ltat.i de cc Ch;~pitl.c0111 &ti: plibliis dans dcux Notcs alix C o ~ j r p l e s~ C I L I I ~ (I/Se Z'.lcnd. rles S c . , t . 185? 1927, p. 1253, ct 1. 186, 1928, 11. 624. I.ci a f ( i ~ . n ~ : ~ ~dcs i o n sp a ~ , a g r a l ~ l ~4c sct 5 tlc la ~ c c o n d cNotc sont ~ 1 4 prol~ablcmcnr s
IIIl'XilCtCS.
53. G. POlga e t H. Neva~llinna ont kte, je crois, les premiers s'occuperde I'unicili. d e la determination d'une fonction meromorphe, par la connaissance d'un n o ~ n b r efini d'ensernbles E ( a , ) , E(t1,), . .., Etci,,), assujettis ou non la restriction relative aux ordres de rnultiplicitC. H. Nevat~linnaa demontre If: thCori!me suivant ('1 : S i rltlrr.r. Jbnctions, mt:~.ornorphe.s.arr voisintlgc (/I/ poinl il I'injni, srrpposk .singrrliel. c,ssc,ntiel, prenncnt ensemble c:rNc_, anlelrrs distinctes a u uoisinrrge cle l'infini, elles sont ~~t!ce.ssni~*ement r'dentiq~rcs,m&me1or.squ'on ne lien2 pas colnple clcs ol-rlws rle ~/~ulll;olicitr;. Une fonction meromorphe au voisinage d u point 5 l'infini cst donc complPtement determinee par la connaissance, au voisi~tngede cc point, de cinq ense~rlblesE ( a , ) , E ( u , ) , Eta,), E ( a , , ) ,E ( n , , ) . 11 est naturel de chercher B reduire ce nombre d e cinq. On y arrive en s'appuyant sur le theoreme de E. Borel, d e j i cite dans I'lntroduction ( 5 i ) : S i l'on
tr
rrne idcntitd de 111.forme
entre des fonctions enti?~r.s,sc1n.s zt!ms. ou bien 1eu1.s rtrpporls mirtuels sont des comtanles, - oil bien les fonclions se pcrrlagent e n ylusieurs p o r ~ y e s , 1t1 somine des fonclions rl'rrn m$me group(, cst i(lentique~nenl nulle, el lelr~riwpports mutrlels sonl des constantes. Rappelons clue, pour demontrer ce theori:me, H. N e v a ~ ~ l i ~ i(') na etablit la proposition suivante, d'ou il decoule immediatement : si les p fonctions ne solit pas liees par d'autre relation lineaire, homogbne, a coefficients constants non tous nuls, q u e la relation donnee
. . ., p ) sont bornes lorsque raugmente x et par suite les - - I s o n t d e s constantes. (i ~r, =I,
indeiiniment,
2,
P -
[ F , dl. G. Pblya avait ltabli cc ~1iCorCme [ G I dans le cas d e deux fonctions entikres, de gcnrc lini, qui prennent enst.mble quatrc valeurs h i e s distinctes. ( z ) [ F , 61. p. 3 8 1 . ( 1 )
SUR LES
SYSTBMES nE FONCTIONS
Or, pour rnontrer qrle n,(r.
IIOLOIIORPFIES,
ETC.
2)
77
est borne. i l sufit de supposer
que les fonctions sont d8li1iies gu voisinage d u point 9 l'infini, et qu'elles n'ont ni p8les ni zeros dans ce voisinage; dire que nr(r,
< X
)
est borne, c'est dire q u e
>
n'a pas de singularit6 h
!A
I'infini. D'oh une gen6ralis;1tion d u theorbme de Bore1 : N' l'on a lrne irlentit(;(1. la .forme
c n l r ~dc.r .fonctions /tolomo~p/~es, sans ziros, a11 voisin(~g.e(111 point ti l'inPni, 011 Oien leurs rapports mutnels sont rc;guliers a l'injini, - ou bien /es.fonctions se partagent e n pb~sieulrgroupes, la somme des .fonctions d'r~nm&rn~. grouppe cst i(1entiqrlerncnt nulle, el leurs rapporls niutr~elssont rigrr1ic1-.r/i l'infini.
Dans les problkmes que nous allons nous poser, nous nous ramltnerons systematiquement A I'etude d'une identitk, a laquelle nous appliquerons ce deruier theorhme. D'ailleura, celui-ci subsiste evidemment lorsque les fonctions X I , S,, .. ., X,, ont ,des zeros et des pbles, pourvu qu'aucun de leurs rapports mutuels n'en possi.de.
5%. Envisageons d'abord d e u s fonctions f ( x ) et g.(x), meromorplies au voisinage du point i I'inlini, supposk singulier essentiel; admettons qu'elles prennent ensemble, au voisinage de I'infini, quatre valeurs distinctes n , I), c, d , que nous pouvons supposer finies. Cherchons a voir si ces deux fonctions ne seraient pas forcement identiqnes. Designons, d'une facon generale, par ( e , , pe,, e,, c , ) le rapport anharrnonique de quatre nombres e l , e,, e,, r ; :
et posons (37)
I
(f,8.a , 1 ) ) -- X . (f,g, a, L . ) = Y , (f.g,a , d ) = % .
78 HENRI CARTAN. X, Y, Z sont des fon.ctions holomorphes, sans zeros, au voisinage du point a I'infini. Or, I'elimination de f et g entre les relations (37) conduit A une identite de Borel h six termes : ( a - b ) ( c- d ) ( X + Y Z ) + ( a -- c ) ( d- b ) ( Y + Z X ) + ( a - - - d ) ( -bc ) ( % + XY) - 0 .
R e h p l a ~ o n sX, Y, Z par leurs valeurs en fonction de f et g; il vient (38)
( a - b ) ( c - d ) [ (f - a ) ( f - b ) ( g - c ) ( g - d ) + (8'- a ) ( g - b ) (f - c ) ( l ' - d ) I + ( a - c ) ( d- b ) [ if - a ) ( f- c ) ( g - b ) i ~ 4 +!a-d)(b-()[(
+ (g- a ) ( # - c ) (f - b ) (f f -a)(j-d)(g.- b)(g-c)
dl]
+ (g- a ) ( # . - d ) ( j - b ) ( j - c ) ]G o .
Dbsignons respectivement par X:, X:, Xi,Xi, X:, X: les six termes qui figment au premier membre de (38), dans I'ordre o i ~ils se presentent. Ce sont des fonctions meromorphes au voisinage du point a I'infini, et leurs rapports mutuels ne possedent ni z'eros ni pdles. Nous appliquerons donc le theortme de Borel generalise a I'identite (38); les dimerents cas de decomposition possibles sont les suivants : a. Un seul groupe comprenant les six fonctions;
9. Deux groupes de trois fonction!;
y. Un groupe de deux fonctions et un groupe dequatre; t". Trois groupes de deux fonctions. Le cas p se subdivise Iui-mkme en deux cas essentiellement distirlcts, suivant que les trois fonctions d'un meme groupe ont leurs indices inferieurs tous differents, ou que deux de ces indices sent les mCmes. Nous prendrons, comme types de chacun de ces delis cas,
Le cas y se subdivise allssi en deux cas essentiellement distincts :
Enfin, le cas 4 se subdirisc en trois :
Jc dis d'abord que, 11 ct c designant deux quelconques des quatre nornbres a , 6, c , c / ( u $1 v ) , si deux des six rapports anharmoniques (.f, ,o., u , s u ~ reguliers t a I'infini, f ct g. sont idenliques. IIcrivons en clrct ( 1 )
(1. ,y.
11.
(,f. ,q. ( 1 , .
V )
u ,)
=I'
(,TI,
=,'F (x),
P ct P I etant des fonctions regulieres i I'infini. L'Clinlir~ation de g entre ces deux relations conduit a une equation, du second degre au plus ell .f. Si clle permettait de calculer f en fonction de P et P , , f n'aurait pas dc singularite rssrntielle a I'infini. II faut donc clue celte &quation soit identicjuenient rerifiee, autrement dit, que les deux relations kcrites se rkduisent 2 une seule. Or, si l'on y regarde, pour un instant, P el I), comrne des constantes, f e t g comrnedes variables, elles definissent une homographie admettant les points doubles 11, u, u 1 et u,, ce cjni fait au moins trois points doubles. Cette homographie sc reduit donc a la transformation identique, et I'on a
Cela posk, si l'on examinesuccessivement les cas enumeres plus haut, cn ecrivant, pour chacun d'eux, que le rapport de deux fonctions d'un mPnie groupe n'a pas de singularite a l'infini, on trouve precisement, all noi ins clans les cas a, p, , $, y I , y, et ;, , que delia des six rapports anharn~oniquesi f , g,11, c ) sont reguliers a I'infini. On en conclut f r g . Ilans le cas 6,, on a
[(I.,8, b. (')I2=
I.
Si (./', g., 6, 1 . ) r 1 , on a J'=g. Si (f, g, 6, c ) = - I , on tror~ve ensuite (j',g, u. h ) = I , ce q r ~ iest impossible, en vertu de la remarque faite plus haut.
80
II reste equations
IlENRl
CARTAN.
examiner le cas 2 , . L'elimination de f e t ,o. entre les ,Y;+X:=o
X:+X:o
et
donne [ ( a , 6,
d'oi1
I.,
d)12= I ,
( a , h , c , d )=
I.
puisc~ueles nombres ( I , I), c , d sont distincts. On trouve ensuite
cela exige q u e J'et g admettent (1 et 6 comme valeurs exceptionnelles; sinon j ' e t g prendraient ensemble la valeur 0, par exemplc; or on 11'a pas ( a / , 1 )= I . -
55. Tous les cas ayant ete examiees, nous obtenons le theorhme suivant : ' ~ I I ~ O R B D I V111. E - a , 6 , c , t/ dLsignant QIiATRE n01ttbre.rcomplexes distincts, i l existe a11 plus uric J'onction, m i r o m o y h e (111 f?oisinr~ge du point .ringulier essentiel a 1 ' i ~ r / i n iporrr , lalgnelle E ( a ), E ( b ) , E ( c ) , E ( d ) coi'ncideltt respcctic.ement, nu voisinage de l J i n . n i 7 aclr,c qrlrltrse ensembles do~cl,c!rA, 13, C , D. 11 y (1 e ~ : c e p ~ i osi, n les rns/,mbles A et B ttant vides U I I roisinage de l'itt/ini, 0 1 2 n
dans cr. cns, s'il existe l ~ folzction n ~ rel~onc//llttri la lguc.s/ion, il en existe d e u r , et dc~rr~. serrk~nzc~~c~, . / ' ( x ) ct g ( x ) , ct l'on n
1,orsquc rious disunu q u e tleus enscnil)lcs coi'ncident. au voisinage tlc I'infii~i, lou us cntentlons qu'il tlxistc un cercle cle rayon asscz gr:ind, i I'estkricur tluquel ils col~rcitlcnt. Conver~otrsalors de dire q u e dells e ~ i s e ~ n b l cdes points coi'ncident au sc~c.vlu~-,o.c,lorsqu'ils ire dillerent q u e par un ~ l o ~ r ~fini b r ede points. Le t1it'ori.m~\'Ill e1111.aincevicle~ii~nciil Ic suivant :
SUR I,ES SYSTEIIES DE FONCTIONS
IIOLOMORPI1ES,
8I
E1.C..
THEORBME VIIl bis. - (I existe arr plus une fonction me'romorphe dons tout leplan, non rationnelle, porrr laqrrelle E ( n ) , E(b), E(c), E ( d ) coi'ncident au sens large avec quatre ensembles donnks A, B , C, D ; il .y n exception xi, les ensembles A et B n'aynnt qrr'un nombre jini de poinls, on a ( a , I), c , d ) = -
I;
d a m ce cas, s'il existe une fonction repondant ci k1 question, il en existe deux, et deux seulernent, f ( x ) et g ( x ) , et l'on a
Ce theorPme reste vrai a fot.tior.i si I'on supprime les mots au sens large D ; le cas d'exception correspond alors seulement au cas oh les ensembles A et R sont vides. On retrouve ainsi u n thkoriime d i ~ a G. POlya et R. Nevanlinna ( I ) . ((
56. Corrsiderons maintenant trois fonctions f ( x ) , g ( x ) et 17(x), mCromorphes a u voisinage d n point h I'intini, suppose singulier essentiel; admettons qu'elles prennent ensemble, au voisinage d e l'infini, trois valeurs distinctes a , b , c, q u e nous pouvons supposer finies. Nous allons dkmontrer q u e deux de ces fonctions sont necessairement identiques. Posons en effet ( f , g , (7, //)=X. ( f ,,; n. r . ) = Y , ( f , / L , a , /,)=%, ( f , 11, a , 1 . ) = T ,
et Climinons J., g, /i entre ces relations; puis, dans I'identitk obtenue, r e m p l a ~ o n sde nouveau X, Y, Z, T en fonction de j;g , h. I1 vient, tous calculs faits, (39)
p~
( f -a)(g-b)(/~-,,) + ( f - b ) ( g -c)(/, - a ) a ) ( h- 0 ) - ( f - r ) ( g - I / ) ( / L - a ) -(f-a)(hr,on a necessairement f j x ) = g ( x ) . Dans le c:~s4" enfin, on a f ( x ) g ( x )=I . L e theorbme est demontre. I1 complkte le theorkme de G . Pblya e t R. Nevanlinna deja citk (Sj 57).
S U I ~ LES S Y S T ~ M E SnE FONCTIONS HOLOMORPHES,
ETC.
9'
t i l . 011pel11 encore le completer de la taron suivante :
THEOREME XV. - Soienl deux fonctions distinctes f ( x ) et g ( x ) , holomotphes et sans zkr-os a11 uoisinage du point sr'nguliet. essentiel ir l'inj'ni. Sccpposon.v j'(.I,) g ( x )$ I .
,
Soit alors uric. suite urbitraire de nornbres co~rtp lexes 5,,o, . . ., G,,, . . . gui tendent vers I'inJini. ktc~ntd o n n k ~une cit-conference r nyunt .son centre tl l'origine ot u n rayon arbiltnirc., i1 cxiste 11npoint z o sur celte circonfkrence, et une suite injinie c L , ,ok,, . . . , CI,, , . . . extraice de Lu suite yrkcedente, qui jouissent de La pt-oprie'tk srri(-nntc: C disignc~ntun cercle dc centre z,, et tte ruyon arbit~.airernentyeti(, el C,,, C,,, . . ., Ck,,, . . . dksignant Les cc.rcles hotr~olhttiquesde C par rapport ci L'origine, duns Les rapports re spec ti':^ c,,, G,,, . . . , c,,,, ..., . " . f-1 . ,
92
H.
C.\RTAN.
-
SUR 1.KS SYSTEWES DE FOSCTIONS
IIOCOMORPHES,
E'l'(:.
Par consequent, il existe s u r I' un point;,, qui jouit de la propriete suivantp : etant donne un cercle C quelconque, d r centrc z,, on peut trouver une suite infinie oymtelle que, dans chacun des crrcles C , , , la fonction
fz ait ao rnuins un "- I
sCn, eu un pblc. Prenons alors an(.
suite infinie de cercles, de centre ;,, dont les rayons tendent vcrs zkro ; pour chacun d'eux nous avons une suite ol,,,. La suite diagonale fournit la suite 4- de I'enonc6, et le theorerne est dernontrk.
Vu e t approur~!: I'aris, le 3 oclobrc rgv.8.
V M et permis d'imprimer : Paris, le 3 octobre 1928.
LE RECTRURDE L ' A C A D ~ BI)H I K I'AHIS, S.
CHARLETY.
4.
Un nouveau thbrkme d'unicitk relatif aux fonctions mkromorphes Comptes Rendus del'Academie des Sciences de Paris, 188,301-303 (1929)
I . Soierlt f ( x ) et g ( x ) deux forlctiorls de la variable cornplexe z, meren~orphesau voisinage d'rin point singulier essentiel isole, que nous s u p p o s e rolls a I'infini. Convenons de dire que ces fonctions prennent ensemble la v&ur (1 ( n pel~t6t1.e infir~i),s'il existe l r r r cercle a l'exterieur duquel les ~~uatio~ls
adrneltenl les 1116rrlt!s racirws. 11 se polrrra, ee particulier, qu'elles rl'ad[nettent a11t:llne racinc~all voisinage d r I'infini; la valrrrr n sera dite alors e~ce~tiorlnelle. Si I'on suppose c:n outre que les ordres de mr1ltil)licit6des racines sont les rnknles dans les d e l ~ vPqllations ( i ) , or1 sait alors q~i'ilne peut exister plus tle d e ~ l xfonctions prerrant enspmt)lc lrnis valeurs distinctes. $i l'oo fait abstraction des ordres de multiplicitt; des racines des equalio~ts( I ) , on sait se~llerntbnt(Nevanlinna) que deux fonctions qui prennent c!ltseIrlhlch cinq valeurs sont rlCcessairerncrlt ident,iques, mais jusqu'ici on Il'avait, PII ahaisst:r c r ~lomhrt.de cinq ~ I I ( :dans d r s cas particuliers, comme le srlivarlt (Yevanlinrla) : si dt t ltliH't;rr~r~r, t, el sru(')
(2)
Iement dans I r c : ~ soil A
est
le ~ I : I I I L O U I ~ I I I ~ C I . .
S ~ A N C ED U
21
6 27
OCTOBHE 1929.
4. Sul)l~osonsmaintenant f(x) rnkromoqhe duns tout le plan, et non mtionnelle. Alors t(r; f), et, d'une facon gCnCrale, toute fonction de I-ecouvrernent, augrnente indkfiniment avec r. A I'aide de (4) et de
H Ctant independant dc r, on demontre : THEOREYE 11. - 11, (I*)et u2(r) designant cteux qrr/~lconq~ies drs Jonciions c i c j
wcolicl,wnent (envisagees aux paragraphvs 2 et
:j),
on
(1,
pour tout a
> 1,
et your toiit r rxterieur a des intervalles duns lesquels la variation totalc de logr est j n i e ( ' ;), \ u , ( f , )~
--~2(r)l4 n1 l l l a ( L x . d ) XI amaao.!ql a1 ~ r r n c u a r ! ~ u . ) d s aluos . ~ uo!lsaul) ua saru?.toalll sn.>p so? 11 31) S U ~ ! ~ : , ~ I ~ J sal J . I ~ S( r ) v 1 . 1 ~salqe!.ll!.% ) r n a l ) all . ; ~ I ~ I ! ~ ~s.11 u o.JI n s ( , )
. ( ' g - ~ .d ' 5 6 ~ '61 1 '3
itl>y)s.~xaldrr~o:,.;alqe!.lr:n
"~ljrtcci
' ( c I I - L ~ . d '!881 'P ' I
"t/lauc
. s a 1 3 . 1xnap ~ ap a[qm;,sua,l ap asodluo:, as sa?9les!~ua suo!Jauoj sap a:)uals!xa,p aureruop a1 anbsaol l ~ a n b ! ~ t l d ~suo!~eaap!suo:, ?~s saluaui sal :)nb nprialua luela 'd?u?[ anuwjs!]) ?I 7nol.rwcl satld.iou~o.l?lrr suo!l:,uoj ap la saJ??lua sfio?l.31ioJa p suo.r;q.red snou 'saap! sal .rarrj ano,] ..t'ur?~(l a[ suep la x uuId a1 suep ~rraruaa!I:,ad -saa sanl!s jsarrhz103lanb xazdtilio3 l u a u ~ a l d u ~ sau!wtciop !s xnap ap aruam 110) saj.).ia3: m a p ay ?ul.rol'ati?u~uoyr i l l sti?,y s a q d a o ~ u o ~ a r u no saqd.iomoloy 'aa!e~lrro:, 1113 'rto ',(' ap la s, ap sa.?u$ s.inalun ap awys,Cs ]no7 nod s a q d ~ o u r o a a ~ uno saqd.~oruoloq ,€ a p la x a p sno!l:,uoj sap y luaurruaaa,fj!pu! eaanb!~ddu,sI!ns !nb a:, J n o L
'(11 am?Joayl la I am?Jo?ql a p ruou a[ snos !3! ~rroaannB!j!nb) (,) xnap suo.rpua!iaJ ua s n o -xnc~au?l;f ~ snld saruaaoaql zap !Iqela r! u!snon
aJ.ra!d -J.~I' a l u a q j ! p a!o.i aun .red ra ' p ~ e 1s n ~ dnad u n
. s ? 1 0 ~s~v?ocisap ri;)'? I / ) ajqtuasfia l ~ l u l n u u . rs, ~azi sad;??ltia suo!l.?uoi z n a p dp ~1ia?jo?16 I I au1.104 ~ D ) S I I O S a.rljaw as /?lad 'a?u$a3u~js?pY ~ ~ / ( / . I o u I o .~I n? o~ l( .I i ~'saxal(lu1o3 (/ S ~ ~ / U ? .xtiap IUC~ ap uo!~uuo./aun,nb~ 8 8 "a 1 a.'iuom?p e ( , ) aale:,u!od !auaH ' 1.
( 0 ~ 6 191 ) 1-66 'PS sanbneuraq~e~ sa9uaps sap u!lallna
saxaldu~oasalqapaa xnap ap suogauoj sal m s
u ( x ,. y ) ; et cela, de facon que, e'tant donnhs tleux voisinages quelconqrres q u i ont rine rrjgion conznzune, le quotient des d e u x fonctior~su ( x ,y j correspondnt~tessoit /iolot;zo~.~)he et d t f e r e n t de ze'ro duns cette rdgion c.omn~ritie.Alors i fexistc une fonction entidre U (x,y ) , telle que, a u voisiltrcge de tout point, le qziotient
u(x;
soit bolomorplie et d i j i r e n t de rdt-o.
Y)
2. Convenons d'appeller vnrie'te' caractP~.istiqzietoule v a r d t k dblinie, au voisinage de chacrin d e ses points, 1,ar u n e relation de la forme rl(x,.y)=o,
u ( x , y ) etant holomorphe au voisinage d u point considC1.e. Le thkoreme 1 exprime q u e l'on perit tocijours former- u t ~ fot~ction e entiere U ( x , y ) , s ' n n l ~ u l n n sur t des tla/.ittCs cnt,ac~S/.is~iqnes donndes, el&n o m b r e j n i ou en i~~Jinite'dd~tombr-able, et ne s'ann l ~ l a n tpas ailleut.~,pourc'u clue l ' e ~ ~ s eble m cle ces ~~rc~.ie'~ks n 'aclmette aucune singularit6 ti di.vtancej n i e . Cette derniere condition s'exprime, e n e n e t , d e la maniere suivante : btant d o n n e u n point quelconque d e l'espace, l'cnsemble des varibtbs qui passent au voisinage d e ce point p e u t 6lru defini e n &galanta zero u n e fonction holomorphe d e x et y. E n outre, le theor6rne I m o n t r e q u e 1'01~l)eut a'ssigner rrlt or-dre de mri1ti~)licittul.bitrair-e ci chaccitte des vri~.ie'tCssut* lesqrielles s'annule la fonction chel.chie U ( x , 3'). Voici ce qu'il faut entendre par la. S o i l V \ m e varikte s u r laquelle s'annule U ( x ,y ) . . au Nous dirons q n e i7est simple porlr la fonction U, SI -ne s'annule
OY
qu'en des point.s isoles s u r V ; il e n sora alors de m6me ( I ) 3u pour --, au nloins si la varieti. ii'est pas d c la f o r ~ i l c y = c o m t . , 0.z
auquel cas l'ordre d e nlultiplicite se l a k e definir i m u ~ e d i a t e m e n t . ( I ) Car, pour tt>l~td i o l a c e ~ r ~ e ncix, t
tfj/
s u r la \,;~l.ietC\', o n a I;( relalion
consequence de l a relatie)rr U ( x , y ) = o. S i
dtJ
-
03: .-.
s ' a r ~ n u l a i l e n des p o i n t s non
isolks, il serait nu1 c n l o u t p o i n l tle la varieli., r t par suite auszi
dU
--. dr
3u Si, au contraire, s'annule en tout point de V, et par 3v dU suite egalement - (a moins que la varietC ne soit de la forme dx . d' U x = const.), mais s l y ne s'annule ri~r'endes points isoles sur V, JY
-
la varik~e sera dite double porir la for~clionU. O n dkfinit de iu$me Lint? variete multiple d'ordre a . Si la variete V est multiple d'ordre a , la fonction U peut se mettre soos la forme U(x. y) = [ F ( r . y j l a U 1 ( x , y),
F(.?:,y ) Ctant ilne fonction entierc qui s'annule simplement sur V l et U , ( x , y ) tine fonction entiere qui ne s'annule qu'en des points isolt!s sur V. Le thdoreme I , qui s'etend aux fonctions de n variables complexes, @nkralise le thdorhnze d e W>ierstt.ass, d'aprhs lequel il existe toujours une fonction entiere d'une variable, admettant dcs z6ros donnCs avec des ordres de multiplicitC donnks. D'autre part, il fournit une dbmonstration du thCorPme de l'oincari: poiir un r~orrlbrequelconque de variables.
3. T H L ~ R11. E ~-C Convenorts E d'nppelet. Cquivalentes d a n s u n Oornaitte d e l'espuce ( x , y ) d e u x fonctiotts me't.on~or-phesdont la dife'rence est /lo/omorphe darts ce domaine. Supposons q u e tout poilit d e l'espace soit intkriecrr ci u n (( voisinnge u, d a n s lequel on a dtfini une fonction me'romophe ?(x,y ) , et celn d e facon q u e 7es fonctions y ( x , y ) , relatives a deux o o i s i ~ t u ~aeys a n t une 1-egioncommune, soient tquivalentes clans cette rkgion commune. A1ot.s ilexiste clne fonction @(x,y ) , p a r t o u t nte't.otnorphe i7. distance Jinie, et equivalente, a u voisirtnqe d e tout point d e l'espnca, h la fonction y ( x , y ) corresporlr/nnte. Ce t h e o r ~ m es'etend 6galement aux fonctions d'un nombre quelconqrie de variables complexes. I1 gkneralise le the'or6me d e Afittug-Lejfler, d'apres leqr~elon peut toujours former une fonclion d'one variable ad~neltantdes pciles donnes avec des parties principales donnees, et restant d'ailleurs holomorphe au voisinage de torit autre point du plan.
Le theoreme I peut Ctre ddduit du theoreme 11.
4. Dans cet article, je ddmontrerai un thkorCme fondamental (theoreme A) qui rentre dans l'ordre dlidCes prdcddent. Je rappelle d'abord un theoreme connu :
THEOR~ 111. ME - S o i t d o n n t e , d a n s le p l a n d e la v a r i a b l e conzplexe x, u n e suite infirzie d e points a i ( l i m a i = a);on p e u t toujours for.n~ertine Jbrrction 4 ( x ) , holonzor.phe en tout point diflkrent d e a;, et p r e n a n t e n c h a q u e p o i n t ai une v a l e u r arbitmir-e bi. Si bi est infini, on peut, de facon precise, se donner la partic principale de 4 ( z ) et le ternle constant de son ddveloppement au voisinage de x = a;. Si, au contraire, tous les bi sont finis, la fonction 4 ( x ) sera entiere. Nous indiquerons au no 6 la demonstration d'un thCor6me plus general (theoreme IV), ce qui nous dispense de rappeler ici la dkmonstration du theoreme 111.
5. Je generalise le thCor&me111 de la facon suivante : TH~ORE A.ME Soierzt donntes, d u n s l'espace ( x , y ) , des var.ie'te3 carmte'r.istiqiies Vi, e n nontbre f i n i ou e n infinite' de'nombmble, d o n t I'er~sernblen e pr-ksente a u c u n e s i n g u l a r i t t ci distance finie [en vertu du thdorkme 1, cet ensemble de varietds p e i ~ t&tre defini en egalant a zero une fonction e n t i h e F ( x , y ) ] . Sccpposons q u e l'orz a i t ddjini, s u r chagcie TTilune fonctior~ d e var.iable complexe, uniforme et p a r t o u t me'romorphe s u r V;, e t ddsignons cette fonction p n r cq ( M ) , M e l a n t urz poin t ycielconque d e Vi. Alors on p e u t trouoer icrze fonction @ ( x ,y ) , mkromorphe parlorLt a distance finie (,I ), et p r e n a n t sure chaque Tri les m&mes valeurs clue la fonction cq(M); il vaut mieux dire, a cause des
( I ) BlCme si p ( M ) est partout Ilolomorphc, i l n'est pas sQr (contrairen~entA ce q u i avalt lieu dans Ic cai du tllCoreme 111) qu'o~lpuisse prendre pour *(I,y ) une fonction enliere.
. ( I = ( A'x) uo!lelaJ el y luojs!?es !nb ,€ ap l a 3. ap sa!u!j s.ln.>le.\ s.71 anh a.t!r.llclon n e a%s!nua,u u o 'a.r?llua uo!lelaJ aun,p SF^ a1 sue(~l 'axald~l~rm ~!13alo.lduclcl a1 suep iur!5~ld as ua '!UIJU!,Iy slu!od sal ?la!~t!nP I " ~ e p. r a . ~ j u aaJlrj ~ I ! ( I ~uo J 'anh?.rq?2lu uo!le[a.c aun'p se.1 a1 s u e a (,)
: lue.i!ns aru?Joaql a1 l a j a ua e no f 111 ; ) U I ? . I O a1 ? ~~~a ! ~ r ~ a ! l sea ~ o darumoa luaruas!a?~d amJajuaJ rnb la 'aalou41s ?I:, yrap alllop sues e !nb uo!les!1e~?na2 aunlp alq!ldaasns Isa . 1 a ~ j a ~ - . 3 e l ap l ! ~aur?Joaql ,~ a1 ' a ~ q e y aun,p s~ suo!l -3uol sap auremop np ,I!IJOS sues 'anh lueualu!em suoAJasq0 .g
.s?r18!01? zasse !a!,nbsnT s?lsaJ aul?Jo?ql a?
an,4 a p slrl!od sap aJlrra ua!I un m o p j!lqela
v
. O = (,C .x)d ( , ) ?j?!.rwn v l .rns a l n u u v , s ( x ) h - (/CLr)a an6 ")la? '(.l' ' x )allavuo!pu.r ~ uo!l~uoJ sun a?s!xa '??pluawa.rlnw i .C l a x a p tro?13troJ ua luawallazruo?lu.r ~ a w ~ . r d x al,ns a d 'anb?.rq .rns at/dkrowo.r?w l a azu.ro.[?un ' ( x ) h uoy3uoJ apno7 'o = ( A ' x ) anb?.rqp3lr, ~ aq.rno3 a u n apuuop l u w 1 3
-?.qv a0.rno3
: sanb!aq?81e s a q ~ n o asap a!Jo?ql el suep anh!sse[a lsa !nh 'luen!ns aru,?~oaqia1 as![e.rau?8 I! ' l u a ~ ? ~ !onA p ap lu!od un,p 'urfu3 . I I I~ N I ? J O ?a1 I ~'q!p J suo,ie'l snou '!ssno as!le~aua% 11 so r ( m ) h jues -!I?] {la a,\no.lla.r rrolnh ' 1 aiu?Joaql a1 as!le~?u?9 aru?.ro?ql a? - 0 = 1 ap a5ou!s!on ne I ap aqd~omo.r?ruuo!lauoj aun 'uoy!urf?p ~ e 'de ~ a s (14)t i U ~ ! ~ ~ U a.llou O J ' 0 - C 'Ox~ u ~ np o da2eu!s!o~ n y .[!s!oqa luamalq -eua,\uoa Jayrra un luela zr ',L(Ox- x ) = 1 'aldruaxa ~ e d o] = j a p
v
I
a2cu!s!02\ no 1 a ~ ~ ? r u c a eudn ( p sarltl~ouro1oqsuoylauoj ua ~aru!~dxa,s lua,\rlad ap l u ~ o dnn,p , € l a x s a a u u o p ~ o o asal ",j ap O / C 'ox lu!od lnol ap a41:u!s!o~ n y -(( ala!JeA el Jns axaldruoa alqepen ap uo113uoj aun ~ e puajua d u o , ~a n b aa .ras!a?~d ap lua!~uoa 11 ))
variable cnnzylexe x , rlne suite i l l j r ~ i ed e points n , ( l i m a i = a), nil voisinnge d e chnqite p o i n ~a ; , 1111 de'veloppement
el,
1'.
(-) - a , I
x
d P s i g n a t ~ u,z r polj.tzorne or
2. Il,s.risle a l o r r ant. x -a,
fbttctio~t@ ( x ) , holomo~.p/~e en tout poiltt di-fe'rent d e a , , et a d m e ~ t c t n t a, u 1:oisinuge d e cl~ngrtepoint a;, 7LIt clhveloppeme~zt de la fornte * ( x ) =f,(X
I
+ ( X - ~ I ~ ) ~ ~ + ' , # ' , .T). I
En somme, on peut se doliner, at1 voisinagc d'une infinite de points isoles, autant de ternies du dkvcloppemen~de @ ( x ) que l'on veut; il n'est d ' a i l l e ~ ~ rpas s neccssairch que ? t i reste horn6 lorsque I'indice i nugmente indkliniment. Dkmonsrt.alion. - Soit F(z) rtne fonction entiP1-e admettant chaque ai pour zero d'ordre n;+ I . Cherchons a mettre la fonction inconnue @ ( xj sous la forme F ( x ) G ( x ) . I1 sr~ffitque
reste holomo~.phenu voisinnge de a , ; on connait donc 1'1 partie piincipale de G ( x ) au voisinage de c l ~ a q u eni, e l I'on sail par suite former G ( x ) (Mittng-Leffler).
7. Le theoreme preckden~nous sugge1.e une extension possible du theoreme fondanlental A. On a effectiven~ent le theoreme suivant : T H ~ O R E ME BDotznons . nous, tlans L'espi1ce (x,y),des carat~ d r $ t i ~ u eV;, s en nornbt.e.fini or, en infinit6 de'nomb~.able,d o ~ c t l'ensenzble n'admette nucrine singitlarite' a distance$nie. Srtr chaque V;, dkjnissons-nous n I fonrtiotzs d e rat-iable complexe, unp .tud ' ~ n a duo 'v y .rna!.ta~rr! 1s;) q = A 'I) = ~ t i r c ~a[ d !s la 'luala~!un sed lsa,u v !S .alq!ssodu~r 1saL3.uo.~~uu?ur.~az?pu?~p ~u?od 1111 aur?trr-!lrl aJ1+ I!v.r,iall rnl) ' l ~ t ~ oa:, t l ap a$vu!s!o~ 1 1 ~ la ?; a p satjd - . I O I ~ ~ OSIIO,ZI~~AU./' ~OI/ sap luair?Jas ,i' la .r 'aita!~alu! ~u!od r ~ r l!el? l 9 =A jurod ;JI 1s ~ . J U ~ ~ T ? . ~ 110s ! I I I I v .,IIII pJo(le1p srlosotl(1us 'la.lfa u g
x
'D
-- x
'hiYJ.lIV3
Z1
IHSBII
L E S FONCTIONS D E DEUX V A R l A D L E S COMPT,EXES.
I
3
en rCsulte, en particulier, que si l'on effectue, le long de cette courbe, le prolongement analytique d'une fonction f(x,y ) uniforme dans D , elle doit revenir a la m&me dbtermination lorsque le pointx, y revient t i son point de dCpart x,,,y o . Si le point xo,yo est un point de ramification, le point x = x,,eib, _y =yoeieest aussi un point de ramification. Comme les variCtCs de ramification sont analytiques, ce sont necessairement des varittes MCme si l'on se borne aux domaines univalents, les domaines cerclks, tels qu'ils viennent d'Ctre dCfinis, sont un peu plus gencraux que ccux considCrCs par M. Caratheodory. Nous rkserverons a ces derniers le nom d e domaines cerclCs itoilis. Dtfinition. - Un domaine D est dit cercle e'loilt 101-squ'ilsatisfait aux conditions suivantes : L'origine est inte'rieure d D ; Si le point x =x,,, y = y o appclrtient d D, le point x = kxo, y = ky, appartient aussi a D, quel put: soit le nornbre complexe k tie module infkrieur O I L egc~lci un. 1
2 O
Un domaine cercle etoile, non ramifiC a I'ot-igine, est nCcessairement univalent et simplement connexe (c'est-a-dire homComorphe h une hypersphhre). Comme l'a montrC M. Caratheodory (loc. c i t . ) ,tout domaine cerclt. I) peut se representer A l'aide d'une image I dans l'espace a trois di1ne11sions reelles x, , x,,y (x,+ ix2=x ) . En effet, B tout point
intkrieur a D, correspondent deux points,
qui appartiennent aussi h D. Ce sont deux points de l'espace ( x , , x,, y ) symdtriques par rapport a l'origine. Au domaine D tout entier correspond ainsi un domaine I de l'espace (x,,x,, y ) . L'origine
14
EIENIII
CARTAN.
est un point interieur a I et un centre de symdtrie. En outre, la section d e I p a r y = o se compose de cercles et d e couronnes centrdes B l'ori,vlllC. Keciproquemen I, P tout domaine 1 d e I'espace (x,,x,, y), qui satisfait aux trois conditions prdcCdentes, correspond un domaine cerclC D et un seul. O n voit ainsi de quel arbitraire dCpend un domaine cerclC. 1,es domaines D et I sont a la fois univalents ou non nnivalents. S i le domaine D admet des variCtCs de ramification 2' = const., le domaine z
1 se ramifie autour d e segments d e droite, passant en direction par l'origine (l'origine elle-m&men'Ctant pas un point d e ramification par h y pothkse), et reciproquement. Nous p l a ~ a n au t point d e vue de la thCorie des fonctionr, nous allons maintenant appliquer la convention [ A ] (') aux domaines cerclPs. Nous etablirons le thCorkme suivant :
T H E O R1.~ IE Si deux points d'un domaine cercle D coiizcident avec un rntme point de l'espnce, toute Jbnction f(x, y ) , rndromorphe et uniforrne (fans D ,possede la ndme determination en ces deux points. S i I'on applique la convention [ A ] , ce theoreme peut encore s'enoncer ainsi : Tout domaine cercle' est univalent.
2.UEVELOPPEMENT D'UNE FONCTI(IN HOLOMORPIIE DANS UN D O M A ~ Y EC E R C L ~ .Avant cl'Ctablir le theoreme I dans le cas ou f(x, y ) est mCromorphe, nous allons tl'abord nous l i m i ~ e rau cas ou f(x, y) est holomorphe (cela suffit d'ailleurs pour que la convention [ A ] entre en vigueur). Nous montrerons le thCor6me suivant :
T H E O R11. ~M EToute fonction f ( x , y ) , holornorphe et uniforme dans un domaine cercle' D, est ddc.eloppable en sPrie de polynomes homogt?nes
un{/:l'ol.~)~in~er~t convelgenlc
(111
soisinng.e de tout point inttrieul- (i D.
L E S FONCTIONS D E D E U K V A R I A B L E S COMPLEXES.
I5
I1 en rCsulte Cvidemment que si deux points du domaine D ont les mOmes coordonnCes 3. et y , f ( z ,y ) possbde la m6me dktermination ell ces deux points. Avant d'aborder la dCmonstration du tl16orkme 11, faisons quelques Ibc!marquee. Ce thkorkme avait Cte Ctabli en 1906 par M. Hartogs ('), dans le cas ori le domaine cerclP D rst etoile' (et par suite univalent). Inversemcmt, du thCorkn~eCnonce ici nous tirons la consCquence sui\ante : Si une fonction f (x, y).e.rt holomorphe dnns un domaine cerclt D ( forctrnent rlniualent ), elk est aussi holornorphe dans lepluspetit domaine C(~I'CIP P~oiltA contenant D. Le domaine A est d6fini de la facon suivante : c'est l'ensemhle des points x = kx,, y = ky,(/ k 15 I ) , x,, y o ktant un point quelcorique de D. I1 est clair, en effet, que si la serie XP,,(x, y ) converge uniformkment au voisinage de x,, yo, elle converge aussi uiiiformCmen t au voisinage d e x = kx,, y = ky, ( ( k 15I ) ; sa somrr~eJ'(x,y ) est donc une fonctio~iholomorphe au voisinage de ce dernier poinl. (:. Q. F. D.
Passons A la dkmonstration du th6orbine 11. Ilontrons d'abord qlie le dCvcloppement ellvisage est possible d'une fapon au plus. Soit en effet m
F'uisque, par hypothbse, la sCrie converge uniformkment a u voisinage de l'origine, on peut differentier un nombre quelconque d e fois par. rapport A x et y, ce qui donne immkdiaternent
( )
//('/JC'I'
cit~alytisc./~e Fun A tioner~11lehrrt.er clttabh. Vrrund. ( Math. Ann. l e paragraphe 11.
62, I\,OG, 11. 1-88). I'oir
r6
HENHI CARTAK.
Les coefficients a,,-,,, sont tlonc bien dbterminbs; ils ne sont autres que les coefficients do dbveloppement de f(x, y ) en sCrie double de Taylor. Cela posC, soit I. un nombre rCel plus grand que un, mais aussi voisin de u n que l'on voudra, et soit D,. le domaine homothelique du Lorsque le point domaine D par rapport B l'origine dans le rapport x, y est intbrieur A D,., le point de coordonnbes rxf?" ye"' est intbrieur a D . Considbrons 1'intCgrale
i-
dans laquelle la variable complexe a dbcrit la circonfkrence C,., de centre origine et d e rayon I.. C'est une fonction holomorphe et uniforme des deux variables complexes x et y, lorsque le point a,y appartient B D,. O r l'origine est intbrieure a D,.; donc F(x, y)est holomorpl~e au voisinage de l'origine, comme f (x,y) d'ailleurs. Mais, si le point x, y est fix6 et assez voisirl de l'origine, la fonction pour I z ( I . , et l'on a par suile est I~olo~norplle
Les fonctions f \ x 7y) et l?(,x,y), qui croi'ncident au voisinage de l'origine, admettent le mOme domaine d'existence, et elles coi'ncident dans tout ce domaine. En ~ a r t i c u l i e rJ(x, , y ) est holomor1)he et uniforme dans D,, et l'on peut Ccrire m
la skrie Ctant uniformbment corivergente lorsque le poirlt z, y est voisin d'un point quelconque intbrieur h D,.. Posons
P,,(x, r) est une fonction holornorplle et uniforme clans
I),., el
1'011
LES FONCTIONS DE D E U X VARIABLES COMPLEXES.
obtient le dkveloppement suivant m
f ( x , ~ ) = p n ( x , ~ ) ,
( 2 )
11
=0
uniformement convergent au voisinage de tout point interieur Mais on a
D,..
.hl l:(
IJrr(zeLu, y e i u )= -. OU,
dz xzeiu,y z e i a )F,
en posant ae"=.t, ei/~u
dt
I'll ( xeia,yeiu) z -, , i l f ( x t , y t ) -~ I L = + Ieinupn ( x ,Y 1.
I1 en risulte que Po est une constante, et P n ( x ,y ) un polynome homogkne de degre n. Pour le voir, il sllffit de differentier un nombre quelconque de fois l'identitd P,(xeia,y e i u )E einu1 ' 1 1 ( ~ , y ) ,
et de faire x = y = o dans les relations obtenues. Les polynomes P , l ( x , y) que nous venons de trouver ne ddpendent pas de la valeur donne'e u r, puisque le developpement de f (x,y) en skrie de polynomes homogknes n'est possible que d'une seule f a ~ o nau voisinage de l'origine. Ainsi la skrie ( 2 ) converge uniformement au voisinage de tout point de D,., quel que soit r plus grand que un; elle converge donc uniformement au voisinage de tout point de D, et le thdor6me I1 est CtabIi. On a
comme on le voit en considdrant la relation (I), et en faisant rendre r vers I'unitC. La relation (3) est fort importante; on en dCduit immCdiatement l'inkgali~e
qui g6nCralise I'inCgalitC de Cauchy I n l l ~ ~ ~ ~ m a x ~ f ( x o e( 0l $Oe )$ aI 7, c ) ,
I8
HEKRI CARTAN
relative au dkveloppement d'une fonction d'une variable, liolomorphe dans un cercle. Remarque. - Soit A le plus petit domaine cerclk ktoilk contenant le domaine cercle D (qui est univalent, d'aprks ce qui prkckde). Comme nous l'avons vu, si f (x, , y ) est holomorphe dans D , elle est holomorphe dans A . J e dis que si rrne fonction mkromorphe f ( x , y ) ne prendpas la vnleul- n dnns D, elkc esl mr'romorphe dnns A et n'y prend pas la valeilr a. En elyet, la fonc tion
est holomorphe dans D , donc dans A . En particulier, si I'inkgalitC
a lieu dans le domaine U , elle a aussi lieu dans le domaine A .
3. LES D O ~ I A I N E SDE REIYHARDT. - Avant d'aborder la dkmonstration d u thkorkme I pour une fonction m ~ r o m o r p h e ,disons quelclues mots sur une classe remarquable de domaines cercles. IJn doniaine connexe D est un domaine de Reinhardt lorsqu'il satisfait aux conditions suivantes : I"
2"
L'origine (centre) est intkrieure a D ; S i le point x = xo,y = y o appnrtient a D l le point
s soient les nomnbres rdcl.~cr et $. nppartient nussi li D , q u ~ l que Tout domaine de Heinhardt est cercle, et par suite rlnivnlent si l'on applique la convention [A]. L'image I d'un domaine de Reintlardt, dans l'espace (x,, x,, y), est de revolution autour de l'axe O y ; rkciproquement, si l'image d'un domaine cerclb est de rkvolution autour de O y , le domaine est un domaine de Reinhardt. Les domaines considkrds effectivement par I I . Reinliardt d a m son 5Idrnoire deja citk sont u n peu plus particoliers. Nous les appellerons ici des domnincs de Reinllnrdt conylets.
L E S F O N C T I O N S D E D E U X VARIARLES COMPT.EXES.
'9
I n domaine 11) est uii c/omaine de Reinhardt compbt lorsqu'il satisfait a la condition suivan~e: si lc point x,, yo appartient a D, le domaine
I.~l5l.~."I.
~ ~ ' I ~ I Y O I
appartient aussi a D. P a r exemple, le domaine de convergence d'une serie double tle Taylor est un domaine de Reinhardt complet. .le ne sais si le theortime suivant a jamais CtC CnoncC dans le cas d'un domaine de Reinl~ardtquelconque :
T H E O R111. ~ ME fiiitr fonction f ( x , y ) , holornorphe et uniforme dans iLn domlline de Reinhardt D , cst de'veloppabl~e n strie double de Taylor
-2 w
f(z, y )
rn
a,n,ltxnayn,
uniformkment convrrgenle au voisinnge de torrl point inte'ricilr a D .
La d6monstration est analogue a celle d u thCorkme 11. On remarque d'abord que le dkveloppement est possible d'une facon au plus. On envisage ensuite 11int6graledouble
C, et
r,
ltJ=r(r>
designant respectivement les circonferences ( z 1 = r et 1).
Le raisonnement s'actlkve sans la moindre difficult6 . COROLLAIRE. - Si f ( x ,y ) est holomorphe dnns u n domaine de Reinhwdt D , elle est airssi Itolomorphe duns leplus pelit domaine de Reinhardt complel A contcnant D . L,e domaine A est le domaine form6 de l'ensemble
des domaines
I
I
O
I
IYI~IY~I~
x,, yo Ctant un point quelconque de D . Le theorkme bien connu de M. Hartogs : Sif ( x ,y ) est holomorphe pour ((
/cclo, p > o),
y:=~.
A chaque point x , y du domai~ie(m, p) cel.clC D correspondent mp points X, Y d'un domaine cercld A. Inversement, si le point X, Y dCcri t A, le point, .z=X"',
y=YP
dCcrit le domaine D recouvert mp fois. En somme, A est en correspondance biunivoque avec un domaine de recouvrement D , d'ordre mp du domaine D ; les variCl6s x = o et y = o sont des variCtCs de ramification pour D , .
CHAPITRE IV. LES DOMAINES Q U I ADMETTENT UNE
IN FIN IT^
DE TRANSFORMATIONS
LAlSSANT FlXE UN POIAT INTERIEUR.
I . GENERALITES. - Demandons-nous si, Ctant donnC un domaine born6 quelconque D, on peut en effectuer une reprksentation analytique biunivoque sur un domaine cercl6, semi-cerclC ou inversement cerclb, ou, plus genkralement, sur un domaine (m, p) cerclb. Un domaine (m, p) cerclC admet, d'aprds sa dCfinition, une infinit6 de trarisformations arialytiques biunivoques en lui-m6me laissant fixe nn point intdrieur (I'origine). Le domaine D doit donc, lui aussi, admettre une infinit6 de transformations analytiques biunivoques en lui-mCme, laissant fixe un point int6rieur. Nous monlrerons, dans ce Chapitre, que cette condition nCcessaire est aussi suffisanto. Bien entendu, tous les domaines envisag6s sont inpposds respecter la conrentiun [A]. &oncons dds maintenant le t hCordme fondamental qui sera Ctahli au paragraphe 3. T ~ i o n k a rYY ~
(I).
-
Tout domnine borne' D , univalent ou non, qui
( 1 ) Lorsclue j'ai Cnonce le thkoreme VII de ma Note aux Comptes rendus 190, 1!)3o. p . 35'1-356), je faisais prCvoir qu'il souffrait sans doute des cas d'ekcrption sous la forme oh il Chit Cnonce. Sous la forme actuelle, le thko-
I
reme XX esl exact et ne s o u f i e aucun cas d'exception.
.sl!el?p id.: snol suep lu!od ne as!iu a.lo3ua sed au a r la 'a?nb!ldmo:, s n ~ d tl1103nsaq isa Ilo!leJlsuow?p el 'rro!le3!l!me.1 ap lu!o(l rln lsa 0 anljs.107 ( , )
3 sop adnod? uti 1uaw~oJ *(_) .lns?~plu!lu?od utr ax!/luass?vl ?n6 'swp-?til ua a ? u ~ o q ~ ? D U I O ~ un,y sanboi~uti?qsan6~l/CIouvsuo?luw.~ofin.~l sa7 - JYX 3 ~ q n o v ~ : luehrns a1 lsa ar.ro?ql el a p aseq el y Isa !nb aur?ao?ql arI .sn1ls . s~s/Claup.,l . a aa!l -qaa as?qlodLg aun:,ne 'I:,! s a p n l ? sau!europ sal ans 'sanayl!e,p suoaaj .,rr s u o .saxarruo:, ~ luarualdurrs la sluale.i!un a u r p 's?uaoq sau!emop sal snol sed m o p anbrydde's au a a l r d e q ~l u a s a ~ da1 suep a?sodxa a!Joaql erl .l!os i!,nb p n b Jna!aalu! luiod uri avg luess!el samaw-xna ua suorlewaojsueJ1 ap 1ud' aJqtuou un'nb luallaurpe'u !nb ' ( a q q d s -.rad,C~~ aun saqd~oruo?uroq)saxauuo:, luauraldur!~ 's?uaoq slualea!un sau!eruop sap als!xa p i n b (g 3) luehrns aal!derl=) ne s u o x a h snoN
.?u~oq?!3.123?uawas.lanu?au?vwop urr .~nsaluss?~da.ras ltrb zuIJ s~y.10,y luowa.lc)noaa~ap auzvwop uti ap?ssod rro '?v.loq qp.1~37vdw~.r~anu? ~uzmcropun .Ins ~aiua.r?.~da.r as inad a .c .'pu~oq? p a 3 au?oulop uti ~ n dluas?.rda~ s JS znb l u f a ~ p . 1 0 zuswa.mro3a.l ,~ ap au?owop
un ap?ssod no lau~oq?pJaa ~ u ~ n ~ uu?i o .ms p .ialuss?dd~~ as 11rada ,z a ,I :pu.loq ?la73,11a73-?w~s ~ u z v u ~ nun p .~ns~aiuosa~da~ as Inad
: aluea!ns anraoj e l A X aur?Jo?rll ne .xauuop aao:,ua lnad uo 'luapdaaad a a l r d e q ~n p a q d e ~ g e a e d.la!uJap n p aldmo:, lueual u z a1 m o d ( , ) u o. ~ l.v.a f ~ w ayvl~u ~ o dun svd lsa,u 0 iu?od su3 s? suvp aruaJoaql a:, ao.rluourap y suo.rau.xoq snou snoN
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-ill?
1,ES FOSCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
3!3
Pour Ctablir ce thCor&me,nous nous placerons dans le cas gCnCral o i l le point 0 peut t t r e un point de ramification. Prenons le point 0 comme origine, et soit
la transformation S la plus gCn&raledu groupe G. Pour montrer que G est un groupe clos, nous ferons voir que, Ctant donnC un ensemble infini de transformations S, on peut extraire de cet ensemble une suite infinie de transformations S , , . . . , S,,, . . . ,
de telle maniere que : Les fonctions j;(x,y) et gn(x,y)convergent respectivement vers deux fonctions f,(x, y) et go( x , y ) , holomorphes dans D , la convergence Ctant uniforme au voisinage de tout point intCrieur a D ; 2" La transformation
soit bien line transformation du groupe G. La premikre partie rCsulte immkdiatement du fait que les fonctions f (x, y) et y), &ant uniformCn~entbornkes quelle que soit la substitution S du groupe (en effet, le domaine D est b o d ) , forment une famille normal: dans le domaine D . I1 reste donc a faire voir que si l'on a lim .f,,(.z, , Y ) = j,(Lr., J . ) ,
g(x7
l i m g n ( x , , ~ ) = g o ( * Jr.,) ,
la convergence Ctant uniforme, les formules (1) dkjinissent une transformation biunicloque (kD en lui-&me, laissantjixe l'origine. On a d'abord J;,(o, 0 ) = & ( 0 , 0 ) = 0 ,
puisque I'on a f " ! ~0, ) =g;,!o,
Cela p o d , dCsignons par
0)
=o
60
HESRI
CARTAN.
la transformation inverse de la transformation S,. Si les fonctions F,(X, Y) et G,,(X, Y ) ne convergeaient pas uniformhment vers des fonctions limites dans le domaine D , on pourrait en tout cas extraire de la suite S,, . . . , St,, . . . ilne r~ouvellesuite inGnie pour laqaelle la convergence aurait lieu (il rbsultera d'ailleurs de ce qui s u i ~que F, et Gn convergent effectivement, sans qu'il soit besnin d'ex~rairc:i l n e nouvelle suite). Nous pouvons donc supposer que l'on a lim F n ( X , Y ) = F o ( X , Y ), limGn(X, Y) = G o ( X , Y):
On a Cvidemment
F n ( o , o ) = Go(o, 0 ) = 0.
Cela posC, la transformation (I) fait correspondre a tout point voisin de l'origine 0 un point voisin d e 0 . Je dis que I'on a , si Ic point x, y est voisin de 0,
Cela rtsulte en effet des identit6s
et de la convergence uniforme. J e dis maintenant que la transformation ( I ) fait correspondre a tout point x, y intkrieur h D un point X,Y inthieur h D. En effet, le point x, y Ctant fixk, le point
est inttrieur A D quel que soit n ; donc, a la limite, le point
est interieur a D, a moins qu'il ne soit un point frontibre de D. Montrons qu'il ne peut pas 6tre un point frontibre. Pour cela, raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe une courbe C, interieure a D, partant du point 0 e t aboutissant en un point intbrieur hl,(xo, y o ) , telle que le transform6 d'un point quelconque M de C par ( I ) soit inttrieur a D, sauf le transform6 de Mo qu'on suppose Ctre un point frontzdre de D.
L E S POKCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
61
Nous allons montrer qu'une telle CventualitC est impossible. ConsidCrons en effet les fonctions
Si l'indice p reste fixe, et si l'indice n augmente indefinirnent, ces fonctions convergent uniformkment, au voisinage de l'origine, vers
or ces fonctions sont uniformkment bornCes dans D, ou elles forment par suite une famille normale. D'aprhs un thkor6me connu, elles convergen t uniformdment dans tout le domaine D. Soit alors @,(x,y) la fonclion limite. O n a , au voisinage de l'origine,
O n Ctablirait de mkme l'existence d'une fonclion Yp(x,y),holomorphe dans D , qui satisfait, au voisinage de l'origine, a l'identitk
Des identitCs ~rCc6denteson tire, si le point x, y est voisin d e l'origine,
(4,
\So ( J l Y )= fP[',?(J-l S')1 I V / ) ( J , Y)Il g o ( x ,Y ) _R,I[@,,(.C, Y I , t ~ p ( x Y l )I.
i
Les identiles (3) et (3') ont lieu tant que le point x, y dCcrit la courbe C, puisque le point f,,(x, y ) , go(x,y ) correspondant reste inlerieur a D ; donc le point cP,(x, y ) , Y,(x, y) reste intCrieur a D q u a d x, y dCcrit C . En outre, le point Q , ( x 0 , yo),V',(xo, yo)est bien ddterrninC; c'est un point frontiire, sinon les idenlitCs (4) donneraient pour le point f o ( x , y), go(x,y ) u n point intCrieur, ce qui est contraire ii l'hypothhse. Ainsi le point Ql,(xo, yoj, Yl,(xo, y o )?st frontihre quel que soit p. Or, lorsque p auglnente indefiniment, les fonctions a,($,y ) et Yp(x,y) convergent uniformbment, au voisinage d e l'origine, vers F o [f o ( x lJ ) , ,yo(xly ) ]= YC
el
GoL,/b(x. J , ) , ;;o(x,y i ] = Y .
Comme la famille (Dl,, qrP est normale, la convergence a lieu dans tout le domaine D. En par~iculier,le poirit cP,(xo, y , ) , Vl,(xo, yo) tend
I I E N R ~CARTAN.
62
vers le point. inte'rieur x,,y,,. On arrive a une contradiction, car un point intkrieur ne saurait &treLimite de points frontihres. C. Q. F. I).
Ainsi la transformation ( I ) fait correspondre a tout point x, y intCrieur a D un point intCrieur a D. L'identit6 ( a ) a lieu alors dans tout le domaine D. Or, cela suffit pour que la transformation ( I ) dCfinisse une transformation biunivoque du domaine D en lui-m6me. c.
Q . F.
D.
T H ~ ~ O RXXI1. ~ M E - Soit G le groupe des trunsformations d'un domaine bornt D en lui-mkme, qui laissent J x e un point intkrieur 0; il existe r ~ ngroi~peclos de sr~bstitutionsline'aires homogknes isonzorphc arl g r o v e C .
Supposons le point 0 a l'origine, et admettons d'abord qrle lepoint O ne soit pas rrnpoint de ramijcation pour le domaine D . Toute transformation de D en lui-meme, qui laisse fixe 0, a la forme
J e lni associe la substitution 1inCaire (2)
X1=a,X+6Y,
Y1=ri'X+b')'.
TI n'est pas possible qu'une mCme substitution Z soit associee a deux t~barrsformationsS et S' differentes; car, s'il en Ctait ainsi, la transformation S'S-' aurait la forme
elle se reduirait donc a la transfornlation identique (Chap. 11, tll6o1-&meVII). Cela pose, Z, et Z, ddsignant les substitutions associCes a S , et S,, la substitution associke a S , S, est 2,,Z,. Le groupe I' des substitutions Z et le groupe G sont donc isomorphes. Comme G est clos, I' est clos. O r , I' ne contenant pas de substitutioils dCgCnCrCes, on doit avoii-
1 abt-
la' / = I .
L E S F O R C T I O N S ' D E D E U X V A R ~ A B L E SC O M P L E X E S .
63
I'usson.~nu cas oli D esr rarnijik au point 0. ConsidCrons un voisi[rage D , du point 0 dans le domaine D, et l'ensemble d e ses transformks par toutes les transformations d u groupe G . Le groupe G Ctant clos, si le voisinage D, est assez restreint, tous les transformes d e D , rle contieudront que des points trks voisins d e 0, et leur ensemble cor~stitueraun domaine D', interieur a D, et tout entier tres voisin de 0 . Le domaine D' se transforme Cvidemment en lui-mCme par tnutes les transformations de G . O r , d'aprka la dkfinition d'un point de ramification intkrieur a un tlomaine, il existe, dans le domaine D, un voisinage V du point 0, q11i peut se transformer en un domaine univalent. O n peut choisir D, itssez petit pour que D' soit intkrieur h V. Alors D' se transformera en un domaine univalent A'. Au groupe G des transformations de D' en lui-m&me, correspond un groupe G' de transformations de A' en 111i-mtme, q r ~ ilaissent lixe u r ~point interieur ('). A ce groupe est iissocid un groupe clos de substitutions lindaires, d'aprks ce qui prCchdc. I,e thCorkrne Y I1 esl douc etahli dans tous les cas.
2. KECHEK(:HEDES
GROUPES CLOS D E SUBSTITUTIOXS LINEAIRES H O M O G ~ N E S
(:OMPLEKES A DEUX VARIABLES. tlieorie des groupes.
-
Kappelons quelques rCsultats d e la
r 0 Tout sous-groupe clos C; ci'un groupe de Lie est lui-&me un groupe tie Lie A moins que G ne contienne qu'un nombre fini d'operations.
(7,
Donc tout groupe clos G de substitutions IinCaires homogenes est 1111 groupe tle Lie (iious supposor~s une fois pour toutes que G contient une infinite de substitutions). Corolluire. - Les transformations analytiques d'un doniaine borne eri lui-merne, qui laissent fixe un point intdrieur, forment un groupe de l i e . ( 1 ) C't.3~Ih It. yrinciye de la dkmonstratio~ldu theoreme fondanlental XX dans le cas oil le poinl fixe 0 est un point de ramification. Cette demonslration, trup longue, ne sera pas donnee dans ce Memoire ( c f . 9 1). ( ? ) Voir €?LIE CARTAN, La tACorie des groupesfinis et continus et I'Analysis sitrrs ( klc;n7or.itrI tIrs .St*,r~zutlt.,XLJJ ; Gau~hier-Villare,p. 2 5 ) .
p u o d s a ~ ~suoynlysqris o~ xnap sa9 a p aIqmasua,I
- a g n d !ssna l!y ua
uoynlysqns e l !S .,€A x x aurJoj a1 a l u a p - +-em! luass!aI J a p suo!lnlysqns sa[ !J s o p a d n o ~ 8un a w o j sa?posse sno!lnlysqns sal salnol ap alqurasua'q .un la23 luaurur~al9pa p suog -nlrlsqns xnap sa?!3ossa !su!e luaAno.1) as ,3 a p uoynl!lsqns alnol y anb s u o n b ~ a m a u suo!lnlysqns sal anb salIal .alrunLIluRu!urJal?p m o d lua!e
s ,z la S T
*S3 =
s
suo!lnl!lsqns xnap a~s!xa 11
s
,3 a p anbuoqanb uoynl!lsqns aun s ~ o 110s p .,€A - +x-x aw~0.Jvl aiuv.z~vnu? luass!o] ,3adno.1.5'noannou np suo?~n?.?isqns sal an6 uo3vJ ap 'a]qvua.+uo~ a~tv?u?luo~~nizisqns aun ~ud~aw.roJsu o.11q inad uo 'saxaldwo~ salqv?.ivn xnap D S ~ J ? D ?suo~?npisqns UZ~ ay JL- sop adnoJ.8 un quuop i u v ~ ?'!su!v .LL i as.
-
'
-
( ,) a?u$jp aizw.iaH,p aw~oJaun aiuo?Jonu? SO^ a!7 ap a.[?a?uyadnod.8 ~ n o j.z
asszo] csaxaldwo3 srua?qJaoa p
L E S F O N C T l O K S D E D E U X VARlABLES
COMPLEXES.
une substitution homographique
qui jouit de la proprikte suivante : si I' est transform6 de z , alors -
4 Z
est transformi: de - f-. Tnversement, a
a toute substitution homogra-
phique jouissant de cette propriCt6 correspondent deux substitutions telles que (5) et (!if), qui laissent invariante la forme x G + f i . Au groupe r correspond donc un groupe clos H de substitutions hornographiques. Or, a chaque substitution de H correspond une rotation de la sphere autour d'un diametre (dans I'espace A trois dimensions rCelles). Le groupe H est donc isomorphe & un groupe de rotations de la sphere. Mais on connait tous les groupes clos de rotations de la sph6re :
- ou bien H n'a qu'un nombre fini d'operations; - ou bien H est isomorphe au groupe des rotations autour d'un diamhtre, Cventuellement combindes avec une rotation de 1800 autaur d'un diamhtre perpendiculaire ; - ou bien enfin H est isomorphe au groupe de toutes les rotations de la sphcre. Examirions successivement ces trois cas : Premier cas. - r n'a qu'un nombre fini de substitutions. A chacune
d'elles correspond donc une infinit6 de substitutions de C;'. (;' admet une infinit6 de substitutions de la forme (6)
.cl= .reiO,
Par suite,
y1= ye'O.
Comme G ' est clos, il admet loules les substitutions de cette forme, 0 Ctant un parametre reel quelconque. Comme ces substitutions restent invariantes par toute substitution linCaire homogene, le groupe G luim6me contient toutes les substitutions ( 6 ) , Cventuellement combinkes avec un nombrejini de substitutions lindaires. 1)euxiime cas. - On peut effectuer sur z une homographie conve-
nable, de facon que les valelirs de z correspondant aux extrdmitCs du
66
H E J R I CAItTAS.
diamktre fix(. soienl u et x. L e groupe H ailisi transform6 est alors le groupe des slibstitulions zl=kz
(Ik]=l),
Cventuellemcnt combinees avec la substitution
A l'Iiomograp~.iieeffectuke il y a 1111 i u s t a l ~ tsur 3 , correspond une substitrltion IinCaire sur x et y. J,e groupe I', aprks qu'il i1 CtC transform6 p a r cette substitution, se coirlpose des substitutions xeiw,
?I'=S.e-i~d
( w reel quelconr~rie),
Cvenluellement combiilkes avec la s u b s l i t u t i o ~ ~
Toutes les substilutions de G' ont donc la forme
ou, Cventuellemen t, la forlnc
O r , G' est un groupe dc Lie; c'est donc un groul)e a un ou deux paramktres. S i C;' est un groripe i deux parametres, c'est nkcessairement le groupe dcs substitutions ( 7 ) , ou a et (3 sont reels quclconques, Cventuellement combinCes avec
S i G' est un groupe a un paramktre, G' se compose d'un nombre fini d e familles connexes, et celle qrii contient la substitution identique a la forme zez~nb, v'= ( G reel quelconque), ., d
m et p Ctant d e s entiers positifs, nCgatifs ou nuls; si I I = ~ o ( ~= n o par exemple), on peut supposer p = I ; si mp # o, on peut supposer nz et p premiers entre eux.
LES F O N C T I O N S D E D E U S V A H I A B L E S COMPLEXES.
67
'li.oisi$me e l d ~ r n i e cns. r - r est le groupe de toutes les substitutions IinCaires, de determinant Cgal a trn, qui conservent rz:;tYj. Ce sont les substitutions de la forme .I.c""
coxy - j , e i b ) ' s i r l
sin p
cp,
+ y ~ - ~c o"s )y ?
qui dependent de trois paramktres r6els w , to' et p. On les obtient toutes en faisant varier ind6pendammen~w de o i275 w'de o a 2.;;, 7;
et ~ d c Ao- . Supposons d'abord quc3 les substitutions de G' qui correspondent i la substitution identiquc du groupe r soient en non~breinfini. Alors tollles les substitutions ( 6 ) appartiennent C ' ; par suite toutes les substitutions (8) appartiennent aussi a G', qui est ainsi le groupe (a cluatre paramktres) de toutes les substitutions qui conservent: z + Supl~osons maintenant que les substitutions de G' qui correspondent la substitu~ionidentique du groupe r soient en nombre fini. Elles on t alors la forme
yy.
n etant 1111 entier iixe, k un entier variable. A chaque substitution d e r cosrespo~ldentalors n substitutions de la forme ( 6 )et n substitutions de G ' . Je considbe l'ensemble des substitutions de r qui appartiennent a G' ; elles forment UII groupe clos qui dCpend Cvidemment de deux paranGtres au moins. D'aprks ce qu'on a vu, ce groupe d6pend alors de trois parametres el se confond avec T. Donc T est un sous-groul~ede ( ; I , clt C i ' rCsulte de la combinais,on des substitutions ( 8 ) et ( 9 ) . 1lCsumons tous les rksultats obienus. ' ~ ' H E O R ~ M EXXI11. - 12tont donnc' trn groupe clos de substitutions lineaires itomogi.nes complexes a deux variables, on peut efectuer sur les vczrinbles une substitution lininire telle qLre fe groupe transformt rentre dam Z'une des catdgories srlivantes : 10
G~.oupe.vci un parczmetre : groupe .rksultant de la combinaiso~l
d'un nombre fini de substitutions li11Caires avec toutc:s les substitutions dc la forme ..cl=
,y'=
.Cl'i"lO,
,ycil,b,
m et p dksignant deux entiers prernic1.s entre cux, O un nombre rCel quelconque. 2"
Groupcs u deuxparnmi.~cs:groupe des substitutions .r'=
zel",
2 '=,vclp
(
cc et ,5 reels quelconc[ues).
Cventuellement combinCes avec la substitution
3" Groupes ci troispamrnktrcs : groupe des substitutions
Cventuellement combin6es avec
4"
tiroupes a quatre pamnaitres :groupe tle toutes les subs~itutions qui laissent invariante la forlne x :
+yy.
COROLLAIRE. - ktant donne rrn p u p e clos de substitulions line'aires homogtnes a d e u x variables, on peut efeclrlcr sur les variables une substitution line'aire dc f neon quie lc grouipe transfolme' contiel~neun sousgroupe de /a f ormc y'= 3, r ' ~ O . =& e f ~ l O ,
3. DEMONSTRATIOS DU T H E O R ~ M EFONDAMENTAL. - (:omme nOUS l'avons dkja dit, nous dkmontrerons le thCor6me Y7i seulemcnt dans le cas ou le point j x c 0 n'est pas un point de rainz$cation ponr lc domaine borne' D envisage. C; dksignant le groupe de toules les transformations (en nombre infini) de D en lui-mCme, qui laisserit lixe le point 0 suppose a l'origine, A toute transformation
LES F O N C T I O N S D E D E C X V A R I A B L E S COMPLEXES.
du groupe G est associCe une substitution d'un groupe cios r. O n peut alors effectiler sur D uuc affinitC anal-\.tique, de f a ~ o nque le groupe I' contienne un sous-groupe de la f o r ~ n e S i mp # o, nous supposerons m et p premicrs entre eux, et nl positif; si mp = 0, nous supposerons 1)) = o et p = I . DCsignons par
la transformation de G associCe it la substitution (10). 1,e point x, "Y Ctant fix6 dans D, le point z'y' dicrit, lorsque O varie dv o A 2 r., nne conrbe fermke dcrns I). ( )n a Cvidemment
f[f( x ,y ; 91, g(z,y ; 9 ) ; 6 ' ] = j(s,jl:9 + 6'), ,ql..f(r, y ; 6 ) ,
;(.T,
y ; 0 ) : 0'1 = ' Y ( J , . ,y: 4 -t- 5').
Envisageons alors 1'intCgrale
Le point x, y &ant fixC, cette intbgrale existe; en ell'et, f ( z , y ; a) est une fonction continue de a , puisque le groupe C; est clos. Cette intCgrale est de plus une fonction holomorphe des variables complexes x et y dans le domaine I), comme le montre la differentiation sous le signe , diffbrentiation qui est possible A cause de la continuit6 uniforme des dCrivkes partielles dc f ( x , y ; a ) par rapport h x et y [la continuit6 uniforme rCsulte de ce que les fonctions f ( x , y;a ) sont uniform6ment bornCesl. Enfin, au voisinage dc 0, on a
S
et, par suite, F(x, y) a la formc
en particulier, F(X,y ) n?est pas identiquement nuile.
l?nvisageons de mkme la fonction
Les fonclions F ( x , y ) et G ( x ,.y) sont intlkpenduntes, puisque l'on a , au point 0,
1,orsque le point x, y decrit le dornaine D, le point S
= F(.r,y),
1' = G ( z , , y )
engendre u a domaine 4, sous la reserve que la condition [B] soit respectee (nous nous occuperons de cette question au paragraphe 4). Le domaine A est borne, car F et G sont Cvidemment t~ornCes.J e dis que le domaine A est (m, p ) cci.cl6. Effectuons en effet sur x et y la transforniation ( I I). O n a
I)'ailleurs, le poirlt S , Y Ctant fixC, la courbe
est ferrrtec duns 4, puisque, le point x, y Ctant fixC, le point x',y' dccrit une courbe fermCe dans D lorsquc 8 varie de o a 2 r,. I,e d o ~ n a i ~ lAe n'est pas ramifie A l'origine, puisque D n'est pas ramifie en 0 , et puisque l'on a
I,e tllCor&rnefondamental XX est donc Ctabli dans It: cas oh le point 0
'
7 n'est pas un point de ramification pour le domaine D. Comme nous l'avons dkja dit, nous nous bornerons a ce cas. L E S FONCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S C O M P L E X E S .
4. COMPLC~IENTS A LA DEMONSTRATION tenant si la transformation trouvke = F ( x ,y ) ,
X
PRECEDENTE.
- Chercllons main-
Y = G ( x ,y )
satisfait a la convention [B]. Peut-on avoir F(x,y)=a,
G(x,y)=b
en tous les points d'utie variClC V intirieure au domaine D.? Soit Ve la varikti transforrnee de V par
On aurait, sur V(,, F (I
'
'
=a
,
G ( x l y, ' ) = bei/ln.
S i mnp # o, on a forcknlen? n = b = o, sinon les varitt~ksVo seraient distinctes et forrneraient une fanlille continue, ce qui est impossible. Si m = o, on a forcement b = o. On voit que, dans tous les cas, la variCt6 V se transforme en elle-mCrne par la transformation (12). Je dis que, si rrtp est positif, In convention [B] est respectke d'ellem6mne. Supposons en effet que I'on ait
sllr une variete V intkrieure A D. A cette varikti V correspondrait, dans le dornaine (m,p ) cerclC A, un point fronti2re qui serait ia l'origine; or, A est ilnivakrit (Corollaire du thCor6me XVIII) et contient dkja l'origine a son intkrieur. La proposition est donc btablie. Au contraire, si mp est nu1 ou nCgatif, il n'est pas sQr que la convention [B] soit respectke. Mais nous allons etablir le theortme suivant :
THEOREME XXlV. - Si rrn dorrtaine D se trouve represent& sur un do~naine( 112, p ) cercld A ( m p 5 - o ) , et si lu trnnsformation ne respecte pas In convention [B], onpeut trouoer une trnnsformation de D en un autre ~lomaine( m ,y ) celclt: A , ,trclnsformation qili respecte la conc*ention[ B 1.
PHEMIER CAS : mp =o(m = o, p = I). Supposons que l'on ait
sur une variCtC V interieure au domaine T I . Considt.rons, d'une maniere prCcise, l'ensemble des points de D 1)our lesquels ont lieu les relations ( 1 3 ) ; laissons de ~ 6 t hles points isolPs; il reste d~:s varii.t@s, qui se partagent peut-&tre en plusieurs variCt6s connexes (en nombre fini ou infini). J e dCsigne par V l'une de ces vari6tCs conlieses. La varidtk V n e s'obtient peut-irtre pas tout entiere par prolongenle~~t analytique d'un seul de ses t.16ments; appelons \',, 1 ,, . . . , \ /,, . . . les variCtCs indPcomposables dont l'ensemble constitue 1' (ces varietks ont des points communs, puisque leur ensemble est connexe). Pla~ons-nousau voisinage d'un point de V, qui n'appartient i aucune autre V,,; soit m , le plus grand entier positif tel qutJ la fonctiori
soit uniforme au voisinage du point consid6rC; soit de 1r161nepi, le plus grand entier positif tel que la fonction
soit uniforme. La thCorie des fonctions de deur variables rlous apprencl que : lo 2"
Les entiers m , e t p , ne dependent pas du point de ITl, considkrt.; La fonction
est holomorphe et non nulle au voisinage de tout point de V , , autrr que les points d'intersection avec une V,,. Cela posk, revenons au domaine semi-cerclC A engendrt. par les fonctions F(x, y) et G ( x , y). Soit 8 sa projectiori sur le plan \ (Chap. 111, s3). Je dis que le point S = (I est un point fj-ontih-(~ de Z. En effet, z et y, coordonnkes d'un point dc D , sont des fonctions holo-
L E S FONCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
73
morphes dans A , et admettent des dkveloppements de la forme (Chap. 111, t11kor;me VIII)
les J;, et les gf,ktant holomorphes dans 8. Si X = a btait un point intCrieur ?I 2, x et y allraient des valeurs bien dbterminkes pour X = a , I - = o, ce qui n'a pas lieuj puisque le point r,y est dans ce cas un point quelconque de V. JI; dis maintenant que le point X = (2 est un point fronticre isole'de 2. En elt'et, au voisinage d'un point quelconque de V, la fonctiori
prend toute valeur voisine de a . 11 y a plus : la fonction
C. Q . F . I).
est uniforme an voisinage d'un point ordinaire de V , , et la fonction I
l
r y )a ] '
(nzf>nzk)
I
1
ne l'est pas. Donc ( X - a)'< est uniforme dans 2, et ( X - a)';;;ne l'est pas. C'est dire que le point X = n est un point de ramification d'ordrc m , exactement pour'le domaine 6 (le point X = a lui-mCme esl en dehors de 2). On a donc
soil ni la valeur coiilmulle de ces nombres, et supposons
1;aisons rnairitcnant rentrer dans le domaine 2, pour un moment, toris les points frontikres tels que S = ( I ; appelons a, le domaine airlsi coml,le~C.( ) I I 1)eilt constrwire une fonction @(X), holomorphe ct lroll r~ulledans 2, sauf a11voisinage de X = (1, oil I'on suppose qu'elle
a, ( X ) Ctant holomorphe et no11 nulle pour X = (I. Effectuons alors sur A la transformation
Le domaine A se transforme en un domaine semi-cerclC A , . D'ailleurs 1-, est une fonction holomorphe de z et y dans le domaine D tout entier, y compris les variCtCs exceptionnelles analogues A V. 1IIontrons que J . , est aussi holomorphe sur la variCtC V elle-m&me. O n ii en eff'et, au voisinage de V, Y l (x,y ) = -
Y
0, (S1
-
c! [X-aI7"
G'2.1Y ) [F(.r,y)l; p: [l~(,r~,y)-fl]"L
o r , la fonction G ( J ,y )
-
L!!
[ F ( , z . y )- a ] ' "
est holomorphe. De plus, au voisinagc d'un point de V , , cette fonction n'estpas nulle. P a r consequent la transfor~nation(14) respecte la convention [B], au moins sur la variCtC I TRlais , . alors le point 1 = a fait partie de la projection du domaine A , . J e dis que la convention [ B ] se trouve aussi respectCe sur les variCtCs V,, . . . , V,,, . . . . En effet, si elle ne l'ktait pas, lc point S = a serait un point frontithe pour la projection d u donlaine A , , et i ~ o u s venons de voir qu'il n'en est rien. Ainsi la convention [ B ] est respectCe sur la varikte V tout entiere. E n rCsum6, pour arriver a ce rt.sultat, il a sufIi de construire une fonction @ ( X ) quise comporte convenablenle~ltau woisinage de X = 11. S i l'on veut maintenant que la convention [ B ] soil respec1i.c dans le domaine D tout entier, on construira une fonction ( P ( X ) qui se comporte convenablement au voisinage de tous les poinls, tcls que X = 11, qui correspondent aux diverses vai-idles irnalogues h la \ ariktC \ , ct
J.I<S 1:OZC'rIONS
I)E D E U X
VARIABLES COMPLEXES.
I'on ell'ectllera la transformation
Lc tl~ko~.&~nt: \\:I\est clonc Ctabli dans le cas oil nq)= o.
D E U X I ~(:AS I E: mp
< o.
t ' o ~ ~simplifier r l'esposition, nous supposerons m = I , p =- I . Supposons que'l'on ait
sur cles varietes interieures A D. (:es variCtCs se partagent en variCtCs connexes. (:onsiderons l'une d'elles V ; elle est constituCe p a r des variktes indkcomposables V, , . . . , V,,, . . . . Soit m,, le plus graticl entier positif tel clue
soit uniforme au voisitlage d'un point ordinaire d e V , ; soit p , l e plus grand entier positif 1e1que 1
[ G ( x ,3 / ] E
soit uniforme au voisinage d'un point ordinaire d e \-,. Soit o' la projection d u domaine inversement cerclk A s u r le plan u ( n = X I - ) . R la variCtC \- correspond un point d e o' pour lequel u = o , point que je vais appeler 0 (le domaine 6 pouvant contenir p1usieul.s fois le point 11 = o, il convient d e distinguer ces points les uns des autres). O n montre, comme plus h a u t , que le point 0 est ell rbalite un point fiontiere d e ;(cela veu t dire qu'il ne correspond a auculi poirit x, y de D', non situe sur V). O n voit ensuite que 0 est un point frontikrt: isolC, et cine l'on a le point 0 est uti poiiit d e ramification d'ordre n pour s, n designant la v a l e ~ colnrnune ~r des sommes m,+p,,. Sul~posoitsque ~ n soit , le plus petit des mli (ou l'un des plus petits), e t p , le plus petit desp,. ComplCtons provisoirement le domaine 6 en lui adjoigriant les points frontikres tels q u e 0, et formons une fonc-
sled Isa,u (A 'x)
aed
12ua ? u r ~ o ~ s ulsa,s e~i
la 'li1 Jns allnu sad lsa,u (A
au!emop a? Z~ ~ n allnu s 'aalno u n
' x ) l ~
'A a p a s e u .r s.r o ~tle 'e uo ae3 ' ,I Jns saqd~ouroloq!ssne luos sa1Ia s!elt ',\ ?I?!J~A "1 ~nsa.113-lnad jnes 'a a p lu!od lnol ua saqdaoruolor\ 'Ala .r ap suo!l3uoj sap luos I , \ la ' X sanall!e,a 'V 313.1a3 Irrauras.raau! au!eruop un ua amJojsueal aan0.q as v arr!europ a q
'(Ax)@x='x
A *()
(511
~ ~ o r l e a r ~ o j seul esuonlaa*#n .~~ lu!od nr! alIrlu uou la aqdaouroloq luel? ( n )
asoddns ooll I,IO '0 a p a2eu!s!o~ ne jnes '?l?ldmo:, 2 au!ewop a1 sue[) allnu r~orrla arjd~orrrolorloo!13uoj aun ( r i ) ~ ,am?w ap l!os .0111rodne allnu uou la ar~d.rouro~or~ luel? (11)
am.roj el e .qlalnb asoddns u o , ~po '0 lu!od n p a2eu!s!oa ne ~ uo!l jnvs balald~~roo arl!europ a1 suep allnlr uorr l a a q d ~ o m o l o r' (?I)@
LES FOKCTIONS D E D E U X VARIABLES C O M P L E X E S .
77
les fonclions f,,(u, ), g,(u, ), A,,(u, ), k,,(u, ) sont mCrornorphes au point 0 ,; en outre, Xy ~ , , ( I L , )Y11'gl,(~rl)7 , X:h,,(ll,), Y','~,,(II,)ne deviennent pas intinies. O r , si le point (x, y) est sur V,,X, n'est pas ) restent finies au point 0 ,; de meme, nul; donc les f , , ( r ~ , ) e t les h,,(r~, si I,y est sur IT,, Y, n'est pas nul, donc les G i , ( I~)~et les PI.( r r , ) restent finies en 0,. La convention [ B l est rcspectke sur V , et V q . Elle l'est aussi sur V J 7 . . . , sillon I'on aurait X I = Y , = o sur ces varidtks; mais alors x ( X , , Y , ) et y ( X I , Y , ) auraient des valeurs bien determinkes, ce qui serait prCcis61lient contraire B I'hypothGse. Ainsi, au moyen de la transformation ( I i), la convelition [ B ] se trouve respectbesur la varieti! 1-tout cntibre. Le raisonnement s1ach&vc. alors comrne dans le cas d'nn domaine semi-cerclk.
5. C O M P L E ~ I,\u E K, .I ~I ~I E ~ K ~ FMO~R U A ~ I E X I A L . - Soit D nn dosnail~e horn6 qui a d ~ n em t e infinit6 de transfornlntions en lui-mGme, laissant fixe un point intkrieur 0, supposd B l'origine. Comme plus haut, nor~s adnlettrons, dans ce qlri suit, (111eICpoint 0 n 'estpas un point de rnrnqication pour 1~ domaine D . Soient G le groilpe dc tolltes les tt-anbforniations de D en lui-mhme, qui laissent fixe 0 , et 1'1,: groupe linkaire associe. On peut effectuelsur D une affinitC analytique convcnable, de fac:on que l' rentre dans l'une des categories 6numkr6es au 111CorbmeXXlII. Comme on I'n vu au paragraphe 3, on pcut alors effectuer une ~ransforrnation du domaine D en un domaine (in, p) ce~*cle b o r l ~ eA . Si le groupc (; depend d'un scul paramktre, il n'y it riel1 k dire dc plus. Sl~pposonsrnointennnt qiie G dependc dr' r f e ~ paramkrres ~s esncternent; a1oi.s r contient tontes les s~lbstitutions(I )
et, en oarticulier., les substitutions
7$ IIESRT CARTAN. D'aprks le paragraplit. 3, il existe donc une transformation de la forme ( I 6) qui transforme D en nn domaine cercle born6 A; ;lux substitutions ( I 7 ) correspondent des transforrnations de A en lui-m&me,de la forme \;'=Yeiz+. . .. l'= Ycl?+. . .. Comme -1 est cerclC et borne, ccs transforrnations sont lindaires; ee sont donc les transformations ( 1 7 ) elles-mPmes. l l o n c A e,st un domaine de Reinlrnrdt. S!~/yoson.s que (; dkpende d~ l/uno.c:pnrami.t).~s.Le groupe r contient encore lcs substitutions ( 1 8 ) ; donc 1) peut se transformer en un domaine cerclC born6 A, par une transformation de la fornie (16). Toutes les trarlsformntions tle A en Iui-m&me, qiii col-respondent aux trailsformations de (;, sont linciaires; -1 est donc invariant par toutcs les substitutions dc I'; or, ce s o r ~ ttoutes celles qui laissent invariante Donc A st une hypersphi.l.e. la forme x; + I1 reste A examiner le ccrs oli G dbpendrnit (ie trois parc~rni.t).es.Nous allo~is~rrontrerque si le group(? G dkpend d e trois paramhtres au moins, i l depend de quiltre paramhtl-es. En ctfet, si (; ddpend de trois paramhtres, r corltient le groupe
?y.
[ao)
:I;'=
J ' ( r c . y ; o),
b)'.
cp 1,
J"=
;(J'.
y ; o),
?)
(,)I,
les transfornlatior~scorrespondantes du groupe G . Nous allons formc'r nu systhme dc dcux fonctions
qui subissent la substitution linkaire (19) lorsqu'o~leffectue sur x et y la transformation ( 2 0 ) . T,c domaine A, engendrk par ces fonctions, sera donc invariant par- toutes les substitutions ( 1 9 ) ; ce sera forcdment une h y p e ~ p h c r e J. e dis que la transformation ( 2 1 ) respectern la convention [ B ] ; en efTet, si l'on avait l:(,r., y )= u ,
G (x.J , ) = 1,
en tous les points d'une vari6tC V inldrieure A D, on aurait forcCrllent n = b = o (raisonneme~rtdkjh fait au paragraphe A ) ; l'hyper-
LUS F O N C T I O N S D E D E U X VARIABLES C O M P L E X E S .
79
sphire A devrait admettre l'origine comiiie point frontikre, ce qui est absut.de. I'uisque D peut se reprksenler sur une hypersphkre, le groupe G depeutl dc quatre et non de trois paramhtres. c. Q. F. D. L1 nous reste B foriner les fonctions F(x, y ) et G ( x , y) annoncheg. Observons d'ahord que l'on obtient loutes les transformations (19)en faisant varier indcpendamrnent o de o 2 r;, of de o a 2 n , et y de o . 7 t
a
:.
S i nous posons
rt. =
x , + ix,, y = y , + iy,, les quatre coordon-
nees du poitrt translormk de YC = I , y = o par la transformation (19) sont : z,= coso cosy.
.r2=sinr1)co3p,
y , = cosw'siny, I,,=-sinw'sincp.
On oblienl ai~lsiunc repr6se11~ationparainCtrique de l'hypersphkre
I,'Cl6111entde surface ( a trois dimetisions) de cette hypersphbre est donnC par* ( I T ( ~ , I ,m', y i = sin? cosy d o d o ' d p . 11 esl iuvariant par toute transfol-mation (ICJ), car la surface d e l'hyperspl~itren'est pas changie par une rotation autour du centre. 1,'ClCmerit tl; n'est d'ailleurs autre que l'tle'mcnt de volrrme invariant qui existe toujours dans l'espace d'un groupe lineaire clos ( I ) . DCsignons par T le volume total, d'ailleurs facile a calculer. Cela posC, envisageons la substitution inverse de (19) .L.
=~ ' e - i r ~ c o+ s cy p7 c i ~ ' s i n p ,
",,=-
- SJT[
e-i~'
siny
+ y'eiWcoscp,
et les intcgrales I ? ( .r, j,)
,+
j (.c,y ; a , a', + )
C-'~COS+
sin+^(^, y ; a , a', + ) ] d r ( a ,a', +),
~ ( . l I, ,
)E
iiJ fI[-c - i 3 * > i n + f ( ~y c;, a . a', $1
- + - p i a ~ 0 6 $ d . y( c;~a. , a l . . + ) ] d r ( a a', , +), ( I ) Ifoil., pal- ereinple, I o , p = -pl,
rn #pl), les transformations d'un domaine ( m , p ) cercle born6 D en l u i - m h e , qui laissent fixe le centre, ont toutes la forme
sauf peut-&tredar~sle cas oil D peut se reprksenter sur un domaine de Fieintlardt, avec conservation de l'origine. Pour trouver la forme des transformations d'un domaine ( m , p ) cc.rclC borne D en lui-rnbrne, qui laissent fixe l'origine, dans le cas oil D peut se reprbsenter sur un dornaine de Reinhardt, il suffit de combiner les rbsultats du Cllapitre 111 avec le thCor6me XXIX. Nous laissons ce soin au lecleur.
LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.
89 T H ~ O RXXXI. ~ M E - Si un domaine ( m , p ) cerclt borne D peut se transformer en un domaine (m',pl) cerclt! D', l'origine restantjixe, et si l'on a mp1-pm'f o, alors D peut se transformer en un domuine de Reinhardt (l'origine restantjixe), sauf peut-ktresi, mm' -ppl itant nul, la transformation a la forme Y = al.c i-. . . X = / I ~ T + . . ., Nous pouvons supposer m #p et m'#pl; nous avons vu en effet (Chap. 111) que si un domaine ( m , p ) cerclk peut se reprksenter sur un domaine cerclk (l'un au moins des deux domaines ktant bornk), il peut se reprksenter sur un dornaine de Reinhardt ( ' ). Cela posk, soit
la transformation envisagke. Le domaine D admet les transformations suivantes en lui-mCme : y(xl, y') =elm'ey(x,y ) , + ( x l , y') = eip'O+(x, y ); ces transformations ont la forme
Supposons que D ne puisse pas Ctre reprCsent6 sur un domaine de Reinhardt, dans une transformation laissant fixe l'origine. Alors on peut appliquer le thkoreme XXX aux transformations de D en luim6me. On doit donc avoir, quel que soit 6 : ou bien
ablei!n'O
ou bien aa~(eiP'O
(1)
- ha'eip'o
= ableil~'O- ba'eiln'e = 0,
- ei~n'O) = bb'(ei'n'O - a l ~ ' o)
= 0.
Bien entendu, il s'agit toujours uniquement de transformations laissant
fixe I'origine.
HENHI CAHTAB 90 Dans le premier cas, on aurait ( I / ) ' = but== o , ce qui e s l i ~ ~ ~ ~ ) o s s i L (ab' - ba' # 0). On a doric
aal= bb':
o.
ce qui est possible de deux f a ~ o n s:
Dans le premier cas, le domaine D admvt des I ransforrttatio~~s err Inirneme, de la forme
et, comme il est ( r n , p ) cerclb ( m p l - pm' mations
# o), il admet des
transfor-
D'aprGs le thborkme XXV, il pourrait se repr6sent.er sur un dornai~ie de Reinhardt. Dans le deuxikme cas, D admet des transformations en lui-~nk~rte,
s'il ne peut pas se reprbsenter sur un domaine de K e i ~ ~ h a r don t : a forckment I ) L I I / 'f1pIr-Z 0. --
Le thborkme XXXI est ktabli.
T H E O R ~XXXII. M E - S i un domcline (111,~)cer.clP bornt; D(tn # y ) ne peut pas se transformer en u n domcline de Reinhardt, l7o?.iginc. restant j x e , route transformation de D en n n autl-e domuine ( m ,p ) cercle', qui laisse J x e l'origine, a l'une dcs .forrncs suivnntes :
(I)b a n s ce cas, llhypothese rle I'enonce se 1.Prl11ita la 5rlivnntc. : D n'vst pat un domaine de Reinharat.
1.ES
2') A;
VON(:TIOKS
D E L)EUX V A R I A B L E S
COMPLEXES.
11 PSI .sf~l~l;-cf~l~c/k,
3" Si D est inverserr~enlcercli,
1il
~ransfo~.mation envisagke. D'apr6s la dkmonstration du thCoreme
mais la seconde 6ventlralitC n'est possible que si m + p = o. I1 n'y a plus alors qu'a tenir compte des rksultats d u Chapitre 111 pour obtenir le r hkor6me XXXlI.
,x S XI[[. - Soit D rtn clomnine de Reinhurdt bornC qui n'a
'~IIEOR~MI.:
pcis In Jor.rne
'lbrlre 11.c1n.~ forrrzcltion qui laisse fixe I'origine et qui fepresente D srlr un clornc~ij~c: ( m ,p ) cercli A ( m # p ) a la f orme Y = ~ T - + .. . ,
ou la forme \
Soi t, en elluc>t,
=bj,i
.. .
.
y - 6' y t . . . 1
-
a'.c + . . . .
la trarlsfor~ilatio~h envisagke. En raisonnant conlme pour le thCorkme XYXI, on voit que D admet des transformations en lui-m&me
de la forine (32) (OU l'on remplacerait m' et p' respectivenlent par m et p). En vertu du thCor6me XXIX, on conclut nu1= bbl-
d
0.
D'ou le prksent thCorkme.
c.
Q. F. D.
S i u n domaine de Reinhardt bornt D n'a pas la forme (31), toute transformation de D en u n clutre domaine de Reinhardt, qui laisse Jixe l'origine, a la forme I"
X=ax,
ou la forme
X =bj,,
Y=bly
Y = al.r
('1.
En effet, le thCor&me prkckdent et le thCorkme VI s'appliquent. C. Q . F. D .
S i u n domaine de Reinhardt born6 D n'a pas la forme ( 3 I ) , tolcte trnnsformation de D en u n autre domaine de Reinhardt A 2"
x =f ( x ) ,
(35)
Y =?,g(x)
Posons, en effet, x-X,=X',
Y-Y';
le domaine A devient un domaine A' semi-cerclk. Le thCorkme XXXIII s'applique a la t.ransformation de D en A'. I1 suffit alors de se servir du theorkme XII, relatif aux transformations des domaines c. Q. F . D. semi-cercles . Nous avons la une proposition qui peut servir de point de ddpart -
(l)
-
M . Reinhardt a donne cet enonce dans le cas des domaines convexes.
LES FONCTIONS D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
93 pour la recherche d c toutes les transformations d'un domaine de Reinhardt born6 en lui-m&me('). 30 Le thCor6me XXXIII, combin6 avec les rCsultats du Chapitre 111, permet de determiner la forme la plus gCn6rale de la transfornlation d'un domaine ( m , p ) cerclC en un domaine (m', p') cerclC (l'origine restant fixe) lorsqu'ils peuvent se reprbsenter sur un domaine de Reinhardt (l'origine restant fixe).
LES
DOMAINES
MAXIMA.
O n gait que, Ctant donnC un domaine dans l'espace des deux variables complexes x et y, il n'est pas toujours possible de construire une fonction f ( x , y ) holomorplle dans ce domaine et non prolongeable au delh. Nous dirons qii'un domaine D est maximum s'il existe au moins une fonction f(x, y ) tiolomorphe dans D et non prolongeable au deli.
4 . LES DOMAINES
- NOUS avons vu (Chap. 11, th6ork1ne 11), que toute fonctiou f(x,y ) , holomorphe dans un domaine cerclC D non ramifiC B l'origine, admet un dkveloppement en s6rie de polynomes homogknes C E R C L ~ S MAXIMA.
uniformCmen t convergent au voisinage de tout point intkrieur h D. ( I ) hI. Behnke m'ecrit ( a n mai 1930) que &I. l'hullen tient cle ~+soudrecon)pleternent cette cluestion. D'apres M . Thullen, seuls, parlni Ics dol~iair~rc tit, Hcinhardt horn&, les tlomnines
admettent des transformations eu ens-n161nesq u i rle lailsrnt p a s fiw lc crnlre, et ces transfor.mations sont hie11 fat-iles itrollrrer.
..r!lqt:l? y anSuo1 sn1tI aJl,j e a aur,!.ro?rll np oll.retl a,r?!ura.rd erl .aar~aS.raauo:, ap 1 ~ 0 a[~!t?mop 1 ,)IUWO:, v I I I ~ ~ I I U I1au1pe ~ ~ I A!11b ? ( X L x ) " c ~~{~~ a w a d -tiola.iap un ap?ssod (X'x)[ '.?lap nv a ~ q e a S [ ~ o l o .[rorr ~ t I 1,) v srrep aqd,romo~oquo!l:,uoj nrrn (X'x)J ~!osla 'runru!xe~u?~n,ra:,arr!emop un y l!os : Iuarrrale!p?lrrrlr! a.rllrorrr9p as ?:,(ror1;)~1a p ~!I.Ic(Iapuo:,as er1
'?1!01? 913.1a3 au!etuop url luammap!a? Isa v a:,ua2.1aauo:, ap au!emop a 7 -v Jnarqlu! ~u!od 1no1 ap aSeulsroa . . ne ,)rrr~ojrun~ s a:,ua2aaauo:, a el a n b a~!p ~sa,:,'am~oj!un a:,ua%~a~uo:,ap aulemop un Isa v anb a J r a .aS~aauo:,a u ? s eT 'su!s!oa slu!od saT snol ua 16 O,C lu!od nr? 'anb'sIal OX' O X slulod sap aIqmas -U"I L u ~ ! l ! ~ g ? p~ e dllsa aaua2naauo:, ap IeIol aureruop a1 '?:,uou? ,133 s u e a . a w ~ o J z u ~a3ua3.1anuoa ~ ay au?owop u11 Isa'3 za L ~ n a ? ~ ? z u ? zlos v
[email protected]'l 1u+zuo3 v ama3,lanuon 3p lo102 au?uwop a] Lau!nwop un'y szu?odsal snoz ua a 3 ~ a , , u o(~X L x ) " d ~ a t q s v] ?S : I U R A ! ~ S am+ -o?rll neaq a, ?.~~uouu?p e (,) s 2 o l ~ e g. j q .u sap ap luela (,XLx)",l
sau?3omoq saurouiC10d ap a r q s aun .z.lo1.16 . v snou-suouuoa .sed IrJjns au qa:, anb J!OA suoIIe s n o x *?pol? a.1~3z?op 'WIIW.IXVUI a.11~m o d '?p.laa auzvwop u ~ i ' n baqns?J ua 11 I U L ' U ~ ~ U O : ,?~!ol? 3 p ~ a : , au!emop i q a d snld a1 suep a q d ~ o m o ~ oisa q ( , X L x ) / a n b la '([v]u o ! ~ - u a a n o ~ )luaIea!un luamaJ!essaD?u Isa a arlb p p a p suoae ua snoN
LES FOSCTIONS DE DEUX VARIABLES
COMPLEXES.
35
Soient LY,,(.c, y ) une serie de polynomes homogbnes, et A son domaine total de convergence. Nous voulons montrer que A est maximum. Soit A , , A,, . . . , .4,,, . . . une suite de nombres positifs croissants qui augmentent indefiniment, et soit q , , qs, . . ., rip, . . . une suite de nombres positifs decroissants qui tendei~tvers zero. Soit Ep l'ensemble des points (z, y ) en lesquels on a , quel que soit n, el soit A; le do~rlai~lc forme des points interieurs a El. Prenons les homothktiques E, et A, de E;, et A',,par rapport a l'origine dans le rapport I - q,,;l'ensernble El, est l'ensemble des points (x,y ) en lesquels on a , quel que soit n,,
1 plL(, x. j,) < A/,(1 - vl,
)I1,
et A , est le domaine form6 des points interieurs a E,. 'rout point de A , est evidernment interieur a A. R b c i p ~ o ~ u e m e n t , tout point x u ,yo de A est interieur a A, s i p est assez grand. En effet, la sirrie EP,,(x, Y ) converge u n i f o r m h e n t au voisinage de x,, y o ; donc I P,,(x, Y )/ admet une borne supbrieure independante de n et d u point x,y voisin de x,,,j r u . Prenons un entier q assez grand pour que A,, soil supkrieur a cette borne; alors le point x,,, yo est intkrieur it A:,, et, par suite, le point x = kx,, y = ky, appartient A;, quel que soit k suffisamrnent voisin de un. Choisissons p(p 2q ) assez grand pour que le point
a p p a r t i e ~ ~ nd eA;; il appartiendra a fortiori a A;; d o n c ~ z , ,yo apparc. Q . F . D. tient a A,. Ainsi, le clomai~~e A se presente comme limite d'one suite infinie de cloinaines fermcs A,,, complktement intbrieurs A A, et dont chacun contierlt le precedent. Je dis que le domaine A jouit de la proprikte suivante, que j'appellerai (( proprihtk [PI dans la suite de cette etude : ))
PropriPti [PI : Un domaine A jouit de la proprietk [PI si, ktant donnke m e suite infinie quelconque de regions L , , . . . , T p , . . . , interielires h A ct n'ayant aucnn point d'accumulation intkrieur a A, on
96
HENRI CARTAN.
peut former une fonction f ( x , y), holomol*plie d a m A, qui s'annule en un point au moins de chacune des regioos S,.
I1 est clair que tout domaine qui jouit de la propri6tC [ P I est maximum; en effet, il suffit de prendre urie suite infinie de rCgions s'accumulant au voisinage de tout point frontikre dl1 domaine consider6 ( I ) . En outre, tout transform6 analytique d'un domaine qui jouit de la propriCtC [PI jouit aussi de cette propriCtC, et, en particulier, est maximum. Revenons alors ail domaine total de convergence A de la sCrie XPn(s,y ) et aux domaines A, prCcCdemment dCfinis. ~ t a n donnCe t la suite des rdgions X,,, je puis associer A chaque Z, un domaine A,l tel que 3, soit extdrieure A A,,, et cela de facon que p' augmente indCfiniment avec p. P o u r la coinmotlitC du langage, nous pouvons supposer pl=p. Cela posd, il existe Cvidemment dans 2, un poinl x,,y,, qui n'appartient pas a Ep (car si tous les points de XI, appartenaient h E,, ils appartiendraient A A,). Puisque x , , y,, n'appartient pas B R,, il existe une valeur n, de n pour laquelle on a alors que, dans A,, on a
1 P , L , , ( J~,~) l1 < .1/,(1
--7i/,)"l,.
J e pose P n P ( x ,Y.
= Q 1 , ( z l, I . ) .
pnp(xp, Y P )
On a Qp(xp, ~
et, dans A,, par suite, dans A,-,
1 1 )
I Q p i x .2.j I < 1 ;
, on a
Pour plus de details, le lecteur pourra se reporter a mon article intitule :
(I)
Les domaines d'existence rles for~ctions analytiques, qui parnitra t)ienti)t dans le Bulletin de la Soc. Math. de France.
LES FONCTIONS D E DEUX V A R I A B L E S COMPLEXES.
I1 reste a former un produit convergent f ( x ,1,)
(1)
r1
[I
- ()/,(.c!
J.)]~RP[~'.",
/,=I
R , ( x , y ) etant un polynome destine a assurer la convergence. Donnons-nous a cet effet une sCrie convergente CE,, a termes positifs; la sCrie -
(
I - Q1,)=Q1,+ ; ( Q / , ) ? + . . .
convergeant uniformkment dans A,,-, , on peut prendre un nombre suffisant de termes, de facon que le reste soit inferieur a E,, dans A,-, ; l'ensemble de ces premiers termes constitue un polynome R,(x,y), qui rend le produit ( I ) uniformCment convergent a u voisinage de tout point intCrieur h A. Ainsi, nous venons d e montrer q u e A jouit non seulement d e la propriete [PI, mais d'une propri4t6 que nous appellerons [I"]et qui peut s'enoncer ainsi : Propriktt: [I"] : Un domaine A jouit de la propriCtC [I-"] si, 6tant donnee une suite infinie quelconque d e rCgions I,,intkrieures a A, n'ayant aucun point d'accumulation intkrieur a A, on peut former une fonction f ( x , y ) , holomorphe dans A, qui s'annule sur des variCtCs de l a forme
la varibte Q , = 1 contenant des points intCrieurs
a C,.
T H ~ O RXXXV. E D ~ ~- Torlt dornninc cerclk maximum jouit
la pro-
C~C
p/-ikte Y' ].
En effet, si A est cercle maximum, A est le domaine total d e convergence d'une certaine serie d e polynomes homog6nes et jouit, p a r conskquent, de la proprietC [P' I. COROLLAIRE. - Tout transfirmi e n a l y t i p e d'un domeine cercle ~ n a x i m u mest un rlonznine maximum. ? ' H E o I ~ ~ '\;X ~ I\ i~iI1E.
- I'OII~qu'un c/onz(~inczlnicwlent A , p i contient
- y x a a.r.?rlds.radi l l alrn ,I ss,loIel!os saurerrrop sap al!ur!l aururo:, ?.x?p!sno:, rssuu aJl? lnad r au!errrop a? -"'l,z-- I 1~odde.ra1 suap . ) U.I ~. ~ J O y ,Il ~ o d d e .led ~ '/Cl a p anb!l?qlouroqL1 110s -o.x?z sJah luaprIa7 la luassroJa?p !nb 'sjrlrsod .. saJqurou ap al!ns aun . . '"h '. . ‘I!, i ! o ~ .luap?2aCrda1 III~!IUO:, unaeq:, luop * - . ' ' ' ' ' saur.xaj sarrlerlrop a p a!urjrr! al!ns arln'p alrw!I ~urruo:, ?.x?p!suo:, a.113 lnad r . x .Irrnurlxem ~ Isa anb a!oA a.lrej a3sa.x 11 .?p.xa:, lsa v ~ s u y .uori~!pe.xlr~o:,aun a l!e.iaa!.x,ra 110 '111aci zasst? r ~ o i e. ~~p1,) " x q a.xlu;n a p a ~ ? y d s ~ a d i q sun y .~notl~ u e u a ~ lu:,~ d ."A'".r~ u y o da1 lueualuoa la 'V y .xnau?lur L U ?w.xaj y auiewop un .xaanoal lie.l.xnod .V y J n a r q x a ( I ( yl)O,iy .r.ylu!od a1 la ' y g .xna!.xyu! o/C'"X t,u!od a1 laua ua suosoddns . ? l r o ~ a
,x
"/a
da
"'a
:a \a
>
rro
i(1
a1a.xaa Isa 1! ( 1 \\yy aura.xo?rll n p suo!l!puoa xrle lyejsyas v au!enrop nn I.; 'p.xoq~!,(~ -n,lrresrJjrlsIsa rro!l!puo:, el anb lueualoyeur s u o ~ l u o ~ y
.-("A" . ' ) . I , ) " = d c , ( y o ,y i ) .
L'Cgali~C(8) est donc etablie. Cela posC, je vais montrer que toute transformation de C en luimCme, si elle est suffisamment voisine de la transformation identique, a la forme
Soient x, un point de H I , et yo,y , ,y, trois points distincts de C,. La position d'un point quelconque y de C, est dC~ermineesans ambigui'tC par les pseudo-distances dcp(y,yo),dc,,(y,y,) et dc,(y, y2),au moins si les points yo,y , , y, n'ont pas CtC choisis d'une mani6re spkciale. DCsignons par E un nombre positif; soient x un point quelconque de B,, tel que l'on ait
et y un point quelconque de C,, el que l'on ait
,y:, designe un point de C , , distinct de yo,y , et y,. O n a choisi E de facon que les pseudo-distances, dans C,, de deux quelconques des quatre points yo,y , ,y,, y, soient supkrieures a 3 E . Dans ces conditions, on a
et, par suite,
UCsignons par ( S ) une transformation de D en lui-nl&me. Soient (x',,, y,), (x',, y ; ) , (xl,yi), ( X I , y') les transformPs respectifs des points ( x o ,yo), (xo,y , ), (xu,y2),( x , y). Si ( X ) est voisine de la transforulation identiquc', les points xb, x',, xi sont voisins de x,, le point J." a t voisiil de x, elc. Iin vertu des inCgalitCs ( I I), on peut donc, si (S) est assez voisine de la transformation identique, supposer que
L E S FOXCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
I
13
l'on a ~ c ( y ' , y ; l ) > c ~ ~ L ( . ~ ' ld~c l3)( ,y ' , y ' , ) > d u , ( x ' , x ' , ) , 'Ic ( y', y; ) > (hi,(...I, x; ).
La pseudo-distance des points x i , yi et xi, y' est alors Cgale a d,,(y1, y',,); or elle est la mSme que la pseudo-distance de x,, yoet x, y . Donc (/,:>( Y', y;, = 4, ( j.3 3'" : on a de m&me
Le point y' est donc bien determine lorsqu'on connaft le point y. Ainsi, lorsque le point (x,y ) est voisin du point (x,, y , ) , on a , si (x', y ' ) designe le transform6 de (x, y ) ,
Mais cette relation a alors lieu dans le domaine D tout entier; ainsi y' ne depend pas de x. O n a de mCme
gtudions alors la transformation. A lout point y interieur a C, correspond un pointy' interieur a C,, et inversement ; donc y'= +(y) effectue une transformation biunivoque du domairle C, en lui-meme. De m&me,xi= ~ ( xtransforme ) le domaine C, en lui-m6me. Ce n'est pas tout. Soit xu un point de B, ; lorsque y decrit C,, le point z;,=
(~(9:,,),
?.I=
+(I,)
est le transfornle du point x,,,y. O r y' ddcrit C , ; dnnc xi est intkrieur a B , , sinon le point x;, y' ne serait pas toujours intkrieur a D. Ainsi ) le domaine B, en lui-mkme. la transformatjon xl= ~ ( x transforme De m&me,y'= + ( y ) transforme B, en lui-mkme. Voyons si toutes ces proprietes ne sont pas contradictoires. La transformation x1= y ( x ) doit transformer A , en lui-mkme, et A', en lui-meme. S~rpposonsque A , soit rrn c e ~ c l c Alors .
ne peul 6tre qu'une substitution homographique liyperholique admet-
I
14
HKNRI
CARTAX. -
L E S FOSCTIORS
D E D E U X VARIABLES.
tant pour points doubles u , et PI les points d'intersection de la circonfkrence A, avec la frontihl-e de.A', . Le domaine D ne posskde donc aucun point invariant dans la transfornlation. Donc, Ptant ckonnt; u n point quelconque inttrieur a D, 1r.r transformations qiri lni.~sentJixe cc point sont e n nombre Jini; car, s'il y en avait une infinilk, ellcs formeraient un groupe clos, et l'on pourrait en trouver ( p i soient arbitrairement voisines de la transformation identiclue, ce qrii serait en contradiction avec ce qui prec6de. D'ailleurs, si A', est un domaine c~uelconque,il n'esl cotlserve par aucune des substitutions hyperboliques envisagkes; alors D n'adnzet pus de transjormation en lui-m&me trts voisine de la u*ansforn~ation identique. Supposons au contraire que A , , A;, A, et 2 ' ) soient des c e d e s ; soient u , et /3, les points d'intersection dc A , et A',, x , et Ij, les points d'intersection de A, et A',. La transfor111a t'ron
dCpend de deux param6tres positifs k, et k 2 , et tl-ansforme 1) tSnluim&me.
Sur les fonctions de dew variables complexes: les transformations d'un domaine bonk D en un domaine intkrieur A D Bulletin de la SociCte mathematique de France 58, 199-219 (1930)
1. Soit, d m s l'espace des deux variables con~plexesx el y, un domainc D , univalent on non ( I ) . Par definition, un domaine A sera dit intireieur a D s'il existe dans A un point 0 qui coincide avec un point interieur a D, et si, etant donnCe une courbe quelconque intkrierire h A et ferrnec dans A , partant de 0 et y revenant, cette courbe est aussi inthrieure a D et fermke dans D. En p r t i c u lier, si D possede une v a ~ i e t ede ramification intkrieul-e h A , cette variete est aussi une variete de ramification pour A. Cela pose, si A est intkrieur a D, deux cas sont possibles : ou bien il existe une courbe intkrieul-e a A , fermee dans D et non fermee dans A , ou bicwil n'existe pas de telle courbe. Dans le second cns, A sera dil univalentpar rapport a D ; cette convention est toule naturelle, car, dans le cas oil D est univalent, A est univaleht s'il est univalent par rapport a D , et rCciproquement. D a m tout cequi suit, nous e ~ l v i s a ~ e r o un n s domaine bo1.1ziD contenant l'originc (x=y = o )a son intCrieur e l non ramifjk i I'origine ; nous envisagerms en ndme temps des systemes de dcux fonctions
( I ) J'adople ici, en ce qui concerne les donraines non univalenls, les conventions que j'ai exposCes dans man Memoire : cc Lea fonctions d e deux variables complexes et leproblbme d e l a repr'esen/ation analytique D, qni doit paraltre sous peu dans le Jourrtal d e Mathematiques (voir, au Chapitre I , les numeros I et 3 ) . Ce travail sera dGsignC ici par la Iettre [A]. J e rappelle que, sauf avis contraire, je 'ne considere que ded domai~resouverts, c'e>t-&-diredont tous les points sont ir&ldrieurs. (2) Cette notaliotl ahrCgCe signifie
holomorphes et uniformes dans Dl telles que le dornaine A, engendrt. (I)par le point X, Y lorsque le point z, y dkcrit llintCrieul. de D, soit lui-rnerne intkrieur a D ; rnnis uous ne supposerons pas a p r i o r i que A soit univalent par rapport a O . Nous dirons aussi, pourabi-eger, que les fonctions J'et g transforrnent D en un dornaine interieur a D. Par exemplc, si D est le dornaine suieant
nous supposerons f ( x , y ) et g ( x , 3.) holornorphes et uniforrnes dans ce dornaine, avec
2. Rappelons une proposition fondanlentale ( 2 ) qui petit s'enoncer de la f a ~ o nsuivante : T~i:oni\reI. -- S o i t D u n d o m a i r ~ eborn4 colttelzant ,!'origine e t nolt ranzi$(; h I'origine. S i les J b n c ~ i o l t s
(I) Dans mon Wtmoirc dkji cite, i'ai convenu de ne parler d e a dolr~aine e n g e n d r t par deux f o n c ~ i o n fs et ,g q u e dans le cas o h le?; equati4~11s
o n t sculement des solutions isolees quelles que soient les constantes a ct 6 . Ici, je ne ferai pas cetle convention restrictive; d'ailleurs, a u lieu d e dire, cnmlne dans le texte : a le domaine engendrk p a r le point X, Y cst interieur a U )I, je pourrais d i r e : a lorsque le p o i ~ l tx, .y dkcrit une courbe quelconque i n t t r i c u r r a D e t fermCe d a n s D, le point X, Y d t c r i t une courbe intkrieure A D e t fcrmCe d a n s D n. (2) H E N R IC.\RTAN,Les transfo~.naationsanalytiques des domaines cercles les uns d a n s les autres (Comptes rendus d e 1'Ac. des Sc., t . 190, 1930, p. 718, 5 2). Voir aussi une demonstration on peu silnpli!iCe d a n s [ A ] (Chap. 11, ne 6, thCoreme VII).
Le but essentiel de .ce travail est d'ktablir le thkoreme suivant :
T H ~ O R E11.ME Soit D un donaine bornt contenant l'origine,
-
et non ramiJit a l'origine. Supposons qrce les fonctions f ( x ,y )
(I)
ax
- by +.. .,
g(x,y ) r a ' x
b'y
2-
+. . .
transforment D en un donzaine A inttrieur ci D. Alol-s : On a 2"
1 ab'- bn'I51; -
Dnns le cns oil IaV-
baf(=l,
le domailze A est ~zkcessairementidentique a D ; autrement d i t , In transformation ( I ) est une transformation biccnivoque d e D en lui-m&me. Ce theoreme est en quelque sorte une extension aux fonctions de deux variables du thCoreme connu : (( Soit
une fonction holomorphe pour ( xI Alors : I O
Ona
2O
Dans le cas ou
< I , de module inferieur a u n .
lo.=I>
on a necessairement
f (z)= o x .
))
La premiere partie du thboreme 11 se d6montre presque immCdiatement, et n'est d'ailleurs sans doute pas nouvelle. Mais-la seconde partie est plus Vinteressante; en outre, son exactitude n e pouvait nullement &treprCvue; je vais en effet indiquer une proposition analogue qui, elle, n'est pas exacte. Considerons pour cela le lemme de Schwarz : (( Soit
une fonction holomorphe pour I x 1 Alors :
)
sont a u plus kgnux
((n
('r
-
-
6 ' ) ; . - nb'- l)ul==o
ult
L'on sait en effet qu'au nloj-en d'une m&me substilution lineaire effectrrke sur x,y e t sur X,Y, la substitution (3)
X
= ax
-1-
Y
by.
--
a'x
tb'y
peut prendre la forrne S = "I
.
Y--"' I. "Y>
sauf dans le cas ou )if= 1";dans ce dernier cas, la subslitution peut 6tt.e ramcnee a la forrne
Par consequent, en effectuant sur le donlaine D une transformation linkaire convenable: on peut supposer que la transformation ( 1 ) a l'une des deux formes suivantes t.. .,
(4)
f ( L C , ,v)z
(4')
.f ( x . J , ) =+ k ' x - 6-v
>.IS
. . ..
B ( . c . y ) >."J'- .. ~ ( xy ). x >.'-v . .
Itkrons cette transformalion, et posons, d'une maniere gcnkrale,
Les fonctions f,, e t g,, sont uniforn16nlent bornees dans I), car f et g sont bornees, le domaine D elant lui-m&me borne. Leur3 dCrivCes partielles du premier ordre sont don(: uniformenlent I ~ o r nCes a l'origine. O r on a visible~nent
ce qui exige donc Ih"I21.
1
I nb'puisque ah'-
bccl)jl,
bar= h'h";
la ~ r c m i e r e~ a r t i edu theoreme 11 esl donc Ctabliu.
Remnr(lue. - O n sait que les racines de l'equa~ion( 2 ) restent invariantes si I'on transforme la substitution (3) par une substitution lineaire homogene quelconque de determinant non nul. I1 est bon de remarquer que, si f, e t g,, designent les iter6es d'ordre n d e f et g ,
a pour racines les puissances
trctnsJor.nte I ) e n
ILI""~~
U I L domcr.ilte
des rncines de ]'equation (2).
intcJrieut i~D, et si l'on n
on yeut eJectue1. sur- U u n e tr.ans/ormation linknire d e facon Vcte In trtrnsjormntion ( I ) prSenlte la forme (5 (
J )
i
+
. .,
g(z, y )
y e ! ...
(z
et 13 rkels).
E n effet, d'ap1.6~le lemme I , on a forcelllent
1
;\'
1
=.
1 ;,"1
=I.
S i 'hl#l.'',la transfornlation ( I ) pcut prendre la forme ( d ) , et le present lemme est etabli. S i I.'= I,", la transformation ( r ) peut Ctre ramenee a la forme
(4'). On a dans re cas ,yn(.f> y
+. .,
) = I,
"llY
ce qili exige b = 0.
et, par suite, la transformation a bien la forme (5). COIIOLLAIRE. - Si 1 n0'-- ha' I = 1 , et si A'= nlcessairen~enl /~=h'=ei'J,
I.", a1ot.s o n a
o'=b=o.
En effet, on peut, d'apres ce qui precede, transformer la s u b s ~ i tulion ( 3 ) par rlne substitution linkaire, de facon a 111; h n n e r la forme ( '3'
1
X
= .~eiO!
Y
=eiO ;
I
mais alors la substitution (3) est identique a sa transformke, et ellc a ellc-memc la forme (3').
c. Q.
O n voit qiie si l'on a c/
6' - ha' =
fl
F. D .
-- b'
-= I . 2
on a 1 = if= I ; la transformation ( I ) a donc la forme j'(.r. y ) = ; . I ' -. . .
.
g ( x . y ) G -y
d'aprks lc theorknic I , elfe scJ t'kduit id(~ntiqice.
o quand M dCcrit C , , x et y sont des fonctions de ;, uniforrnes et holomorphes pour z 2 > o, cjui se reproduisent par les substitutions d'un groupe fuchsien O I I fuchsoi'de G . I1 en sera ainsi tnutes les fois que C nc sera pas sirnplement connexe, ni reprksel~tablesur une sphere privde de d e n points. Consid6rons l'expression
od z', z", z"' ddsignent les derivees successiues de z = ?(M)par rapport a x , z &ant consider6 cornrne fonction de x sur la courbe C. Cette expression est invarjante par rapport a toute transforrnation homographique effectuee sur z ; c'est donc une fonction uni-
forme sur C, et l'on peut bcrire
R ( x , y ) ktant une fonction mkromorphe pnrtout a distance tinie. Exemple. - Soit la courbe entiere
Posons ex=
11.
II vient :t-=logu:
.r=log(r-u).
Soit u ( a ) une fonction qoi effectue la representation conforme du demi-plan z 2 > o sur la surface de recouvrement du plan u prive des points o, I et a.Les formules (6)
z = log n ( z ) ,
y = log[[ - U
( Z )
I
donnent une represeutation pararnktrique de la courbe ( 5 ) ; x et y reprennent toutes deux la meme valeur si a subil les transformations d'un certain sous-groupe I' du groupe niodulaire G. Le groupe G peut &tre dbtini par les deux substitutions fondamentalts
Le groupe l' est le groupe des substitutions de la forme
oh Its ai et les pi sout des entiers positifs, negatifs ou nuls, assujettis aux conditions
L'ktude du groupe J? n'est pas sans inter&. 11 est impossible de lui donner un nombre fini de substitutions fondamentales. O n a un systeme de substitutions fondamentales, en nombre infini, en prenant toutes les substitutions d t la forme
( m et p etant des entiers arbitraires pobitifs, nkgatifs ou nuls) et leurs inverses. 11 n'existe aucunc relation entre ces substitutions fondamentales. O n a un domaine fondamental A, limit6 par une infinit6 de denli-circonfkrences ayant leurs centres sur I'axc r6el et tangentes exterieurement deux a denx; les extremitbs de ces demi-circonferences sont tous les points de l'axe reel dla.bscisses
Ces demi-circonferences sent conjugukes deux a deux; la circon-
est conjuguke de la circonference
I 2 Ilk- ) . Au doniaine fondamental A et a sa frontiere les formules (6) font correspondre une fois et une seule la courbe (5) tout entiere munie d'une infinitb de coupures allant de l'infini a l'infini. Ces coupures rendent la cor~rbesimplcment connexe; sans les coupures, elle est mnltiplement connexe d'ordre inlini.
16. Soient deux courbes entieres C et C' indecomposables. Supposons qu'on puisse etablir une correspondance conforme et biul~ivoqueentre ces dcux vnrietes. D'une maniere precise, supposons qu'il existe deux functio~lsde variable complexe X(M) et Y (M), uniforl~leset h o l o ~ ~ l o r p hsur c s C, telles que le' point (X, Y) dtcrive u ~ l e fois et une ser~le C' quand le point h1 dtcrit C. D'apres le thkoreme A, on peut alors ecrire
f et g e t a ~ ~lleromorphes ~t partout a distance finie. Inversement, M' designant un point quelconqoe d e C', x et y les
coordonntks du point M de C qui lui correspond, les fonctions x ( M r )et , y ( M 1 )sont uniforn~eset holornorphes s u r C', et l'on peut ecrire (8)
. r l ( , ) . ,
y=(;(X,Y),
F et G Btant rnerornorphes purtout a distance finie. Ainsi, les relations ( 7 ) ' ou les variables x et 3, sont likes par 1'Cquation d e la c o ~ l r b eC, permettent d'exprimer inversetnent x et y en fonctions merornorphes des variables X et Y likes par l'equation de C'. Nous dirons qu'elles detinissent une rr.ansjbr.mation c',irne'romoryhe de cour*be a c-oorbe, par analogie avec les transformations birationnelles des courbcs iilgebriques.
17. A quelle condition peut-il exister une tellc correspondance C et C ' ?
eutre
P r e m i e r cas : Si C est silnplenlent connexc, C' doit I'Qtre Cqlement; C et C' doivcnt Ctrc t o ~ l t c sdeux representables conforrnernent s u r le plan, 011 toutcs deux sur le cercle-unite. Soient z et Z les variables d'unifornlisation. O n aura la correspondance la Idus glnerale enlre C et C' e n kcrivant
si z et 7, d6crivcnt tout le plan, et
si 5 et Z decrivent le c e ~ * r l c , - ~ ~ ~I Il ai tle~.sle premier cas, la correspolldance depend dc qu~ttl-epamn~etresreels: dans le second cas, de trois pararnktres. Les relations ( 9 ) et ( l o ) nous tionnent t!galement la tr.arisforltr(zfio~rhirnr;r~onznrl~/te Icc p l u s g i n e r . 0 1 ~de la courbe C erz. ellenlPnie. lI)ecrxii,nrr, ctcs : Si (: est doublell~entconnexe, C' doit l'&tre Cgalement. (: et C' doivent Ctre toutcs d e u r representablcs conforllrement s u r le l)lirn prive d r zc;t.o et l7ill$ni, 011 toutes deux s u r u n ccrcle prire de son centre, o o toutes dcux s u r une m&mecouronne circulaire. Les tr:rn~forrnations l)imeromorphes d e C en C',
-
25 -
ou de C em elle-meme, dependent d e deux parametres dans le premier cas Z = a z , a complexe, ou encore
(
Z = 1'0,
kciO
./. = T,
Z = - , d'un
") o" k est fire). z
sell1 dans
w
Troisikme cas :11 se detinit par l'exclusion des deux autres. C et C' ont des varietes de recouvremenl C , et C',, clui se laissent chacune representer conforinement srlr un cercle: les groupes correspondants G et (3' ont plus d'une substitu~ionfondamentale jsinon l'on serait dans le deuxieme cas). Pour qu'il puisse exister une transformation bimeromorphe de C cn C', il faut et i1 suffit cju'il cxiste unt! substitution homographiquc
qui t r a ~ ~ s f o r mlee groupe G en le groupe G ' ; autrement dit, qlie les groupes C; et G' appartiennent a la mCme r*lasse. Nous dirons aussi que les r o u r b ~ sC et C' { ~ p p a r t i e n n e n rti la m&me classe. O n trouve les transformations bimCromo~.phesde la courbe C en elle-meme, en cherchant les substitutions de la forme ( I I ) qui laissent itlvariailt le groupe G. 11 est aise de montrer q ~ ~ ' e l l e s forlnent un groupe yropr-emertt discontinu, sinon C; n'aurait clu'line substitirtion fondamentale. Par consecjuenl, les trnns.fo~.mntiorls bimSromoty)hes de C e n elle-rndnze f b ~ . m e n tu n ensemble ~)t.opt-erwentdiscorttirzu. Cela veut dire que. ctant donne un point quelconque M de la courbe, il n'existe pas de transformation fai,ant correspondre a M un point nrbi~rairenientvoisin de M et difFerent de M. C'cst la generalisation d'une proposition bien connue relativc: aux courbes algCbriques dc gcnre plus grand que u n .
P.-S. - Au no 13, je n'ai pas donnk d'exemple d'une courbe entiere simplement connexe reprksentable sur un cercle, parce que je n'avais pas su en trouver. IN probleme a resoudre etait le suivant : C o n s l r ~ l i t - etin systZme de d e u x J b r ~ c t i o n s
+1 g ( z )(
holotnotphes y o u r 1 z / < 1 , telles q u e 1 f ( z )( ~lnifornllnzetzt vers l'infini ~ l u a n c t1 z l e n d vers
terlde
UIZ ( I ) .
M. Valiron, a qui j'nvais pose ce probleme, I'a resolu de lavfaqon la plus elbgante en s'inspirant des travaux dc Fatou. J'indique ici rapidzment l'exemple qu'il m'a aimablement communique, en priant le lecteur de se reporter, poor plus de de~ails,ail beau Mbmoire de Fatou [ S u r les kquatiotzs fonctionnelles, ~roisieme Memoire ( H u l l . Soc. m a t h . d e F r a n c e ; t. 48, 1920, p. ao8-314); voir fj 62-65]. s etant rCel ( o < s < I ) , considbrons la substi~utionrationnelle
et la fonction de K e n i g s f ' ( z ) , solution de lJequa~.ionde Schroder
holomorphe pour / z 1 < I . J e d i s q u e / f'(z) ( + 1 f ( z ) I t e n d unifor.rndment vers 1 7 i n . n iq i l a n d 1 z 1 t e n d vers u n . E n effet, d'apres Fatou, on peut exclure du cercle / z 1 < I une infinite de domaines y,, , enlourant les zeros de f ( a ) , dont la somme ( I ) Dans ces conditions, en elTet, lorsaue z d i c r i t le cercle I z 1 < I , le point ( x , y ) engendre uoe variCtk sans singularith A distance finie, domc une courbe entiere C. Y a-t-il correspondance biunivoque entre / z < I e t la courbe C ? S'il n'en Ctait pas ainsi, A uo point quelconque ( x , y ) d e C correspondraicnt plusieurs
points r, se deduisant les uns cles autres par les substitutions d'un groupe G d'homographies conservant 'le cercle-unite. Ce groupe ne pcut contenir une inGnitC d'oplrations, sinon Ies homologues d'un point quelconque z , s'accumuleraient au voisinage de la circonfhrence 1 z I , et les fonclinns f et g seraient bornees ell ces points, ce qui est contraire h I'hypothese faite. Soient donc
-
les s u b s t i t u t i o ~ l srle G . .\lors
reste invariant par les substitutions de G ; inversement, i toute valeur d e t ( / t 1 < I ) correspondent n valeurs d e z , d e modules inf6rieurs a un, qui se dkduisent les unes J e s autres par les substitutions de G . On a donc une correspondance biunivoque entre la courbe C e t le cercle 1 t 1 < I . C. Q.
I. D.
des longueurs des contours est arbitrairement petite, de faqon que
( ja(z)( tende uniformkment vers l'infini quand 1 a ( tend vers u n en restant extkrieur aux y,,. MCme proposition pour f ( z ) , en excluant des domaines y:,. L'on peut en outre s'arranger pour que les y , et les y;, n'aicnt aucun point commun, a c o n d i t ~ o nque f ( z ) et $(I) n'aient aucult ;ero commun. :[I suffit domc de verifier que cette condition est remplie avec la fonction R ( z ) choisie ici. Et en effet, f(z) ne peut avoir de zCro multiple que si.f ( z ) et R1(z)ont un zkro commun; o r ici Rt(a)s'annule pour
d'autre part, les zeros de j ' ( z ) sont, outre z = o et z =- S, 1es antkckdents de z = - s, dont le module est superiei~ra s, puisque
I
zl
> l H(;) I:
aucun d'eux ne pcut donc coi'ncider avec a.
Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes Bulletin de la Societe mathematique de France 59, 46-69 (1931)
I.
- Introduction.
1. O n sait, depuis les travaux d e F. Hartogs ( I ) e t E. E. Levi ( 2 ) ' que les domaines d'existence des fonctio~lsanalytiques d e p1usic:urs variables complexes ne sont pas des domaines quelconques. E n particulier, si le domaine d'existence d'une fonction analytique drzdeux rvariablegcomplexesa pour frontihre une hypersurface (a trois dimensions reelles) qui satisfait a certaines conditions d e rCgularitk, il existe une expression differentielle qui fait intervenir les dkrivCes partielles du premier n ~ e m b r ede l'equation de l'hypersurface et qui doit posseder n n signe determink. G. Julia ( a ) a montrk plus tard q u e l'ensemble des points ou une famille d e fonctions holomorphes est normale jouit d e propriktks tout a fait analogues. Cela est assez nature], car les proprietes des domaines d'existence des fonctions holomorphes ont un rapport etroit avec celles des domaines d e convergence des series d e fonctions holomorphes. Malheureusement, le fait d e connaitre des conditions necessaires et suffisantes pour qu'une hypersurface soit, a u voisinage d ' u n d e ses points, la frontiere d'existence d'une fonction analytique, n'entraine pas la connaissance d e conditions necessaires et suffisantes pour qu'un dornaine donne soit le domaine rota1 d'existenw d'une fonction analytique. A I'heure actuelle, le problkme d e la recherche de telles conditions nbcessaires et suffi(I) Voir, n o t a m ~ ~ ~ e nUeber t, analytische Funklionen rnehrere~ unabhang. Veriind. ( M a t h . Ann., t. fi?, 1906, p. 1-88). ( I ) Annuli d i Matematica, sbrle 1118, t. 17, 1910, p. 61-87, e t t . 18, 1911, P. 69-79 (" Sur Ies familles d~ foncliolts analytiques d e plusieurs vuriables f Acla mathematica, t. 47, 1926, p. 53-115).
santes n'est resolu que dans c e r t a i n ~cas particuliers ( I j. Une classification des dornaines s'impose a ce sujct; elle sera indiquee au no 2. L e present travail est une rontl.ibution i la recherche de conditions nkessaires et suffisantes. Nous en trouverons dans des cas tres etendus. C'est en Ctudiant les propriktes des domaines d e convergence uniforme des series de fonctions holonlorphes que nous obtiendrons de telles conditions. E n passant, nous apporterons quelques complements aux theor6mes de G . Julia. Les problkmes dont nous venons de yarler sont en relation avec un probleme important, non encore rksolu : Est-il vrai qulCtant donne un domaine univalent (9 quelconque, toute fonction holomorpht? dans ce domaine y soit dCveloppablc en serie uniformement convergente de polynomes? Appelons n o r m a l tout domaine D qui jouit dc la propriCtC suivante : Toute fonction holomorphe dans D admet un developpement en sCric de polynomes, qui converge uniformentent au voisinage dc tout point intkrieur a D. u La question est de savoir si lous les domnines univalents sont normaux. O r , nous verrons que les domaines normaox jouissent de proprietes remarquables qui, vraisemblablement, n'appartiennent pas a tous les dornaines univalents. 11 suffirait donc dc donner l'exemple d'un domaine univalent qui ne posshde pas l'une de ces proprietbs, pour montrer du m&me coup l'existence de domaines non normavx. Encore resterait-il a caracteriser les domaines non normaux.
,,
((
2. Sauf evis contraire, nous ~i'envisagerons, pour simplifier, que des domaines unicv-tlents et ouverts, dont tous les points intdrieurs sont a distance h i e (9.Nous raisonncrons sur l'espace de deux variables cnmp1e~esx et y , mais nos raisonnements slappliqueront a un nombre quelconque de variables. Nous nous bor( I ) II en est ainsi, notamment, dans le cirs des domaines de Reinlrardt et, plus gen&ralement, des domaines cerclCs. Voir H . CART.+X,Les fonctions d e deux variables complexes e t l e probleme d e la representation a n a l y t i q u ,
m o p i t r e V (Journ. d e Math., qb sCric, 1 . 10, 1931, p. r - I 14). Ce Memoire sera ~J&Pigdpar la lettre [ C ] dans le prCsent article. (I) Un domainc univalent est un domaine tel qu'un point quelconque de I'esppce nppartienne au plus une fois au domaine. (I) C e h ne vent pa's dire qne nabs n'envisagerons que 6e5 domaines boroCs.
nerons a considkrer des fonctions holomorphes, laissant de c61e les fonctions meromorphes pour ne pas compliquer des questions dCjA difficiles. Nous dirons qu'un doniaine D est marinzum s'il existc une fonction f ( x , y ) , holomorphe dans D, qui n'est holomorphe en aucun point frontiere de D. Un domaine D sera dit rnaximum a u sens l a r g e si, elant donne un point frontiere quelconque x,, yode D , il existe une fonction f (2,y ) holomorphe dans D et non holomorphe en so, 3.0. Comme cette fonction f peut dependre du point x,, y o , il n'est nullement certain qri'un domaine m a x i m u m a u serts l a r g e soit m a x i m u m . Nous verrons cependant que tout domaine normal, maximum au sens large, est maximum. Un domaine 1) sera dit pseudo-convexe ( 4 ) en un p o i n t frorzti2re so, yo,s'il existe une hypersphere S, de centre x,, y o , et une fonction f ( x , y ) , holomorphe dans la rCgion commune a 0 et S, et non holomorphe en x,, y,. Uo domaine qui est pseudo-ccnvere en chacun de scs points frontiCres sera dit p a r t o u t pseudoconvexe. I1 est clair qu'un domaine maximum au sens large, et a fortiori un domaine maxin~um,est partout pseudo-convexe. Rien ne prouve que la reciproque soit exacte. E. E. Levi a prCcisCment donnk une condition necessaire et suffisante pour qu'un domaine soit pseudo-convexe en u n point de sa frontiere, dans le cas oh celle-ci est une hypersurface a trois dimensions qui satisfait, au voisinage du point considkre, a certaines conditions de regularite. Pour qu'un domaine h fronti&re rkguliere soit maximum, il faut donc que la condition de Levi soit verifike e n chaque point de la frontiere. Mais nous voulons dcs conditions nkcessaires et sufjsnntes pour qu'un domaine soit maximum. Nous e n trouverons pour tous les domaines normaux (sans faire aucune hypothese restrictive sur la nature de la tront~ere),en introduisant une nouvelle catCgol*ie de domaines, qui.sera definie au no 6 : celle des domaines strictement conve.res. Mais, alors que la catdgorie des domaines partout pseudo-convexes contient celle des domaines maxima, celle des domaines maxima contient cclle des domaines stricteme~lt (I)
Ce t e r ~ n esemble avoir t t C adept6 par les mathtmaticiens allemands.
convexes. A u t r e n ~ e n tdit, tout dornaine s t ~ . i c t e n ~ econvexe ~~t est maximum (theorerne V). L:I proposition reciproque est vraie pour les domaines rtor.maux. Voici rlne autre question : Etant donnk un domaine qui npparhient a l'une des quatrc categories precedentes (partout pseudoconvexe, rnaxi~numau sens large, niaxirnuni, stricternent convexe), les propriett.s qui caracterisent sa categorie se conservent-elks par une transformation analytiquc arbitraire de l'interieur du dornaine en uL autre? Nous verrons ail no9 qu'il en est bien ainsi, sans
f u i r e aucune hypoth6se sur la facon dorzt se comporte In trnrcsforr~ratiorr a u voisinage d e la,fr.orcti&~.e. Voici enfin un dernier prohlkrne : ~ t a n donni. t un dornaine D, non marimrim, toute fonction holornorphe dans D est holornorphe dans un dornaine plris grand, d'apres la definition m&me d'un dornaine maxirnu~n.Mais cela ne prouve pas qu'il existe un dornainc maximum A, tel clue toute fonction holomorphe dans L) soit aussi r classes holornorphe dans A. 11 en est pourtant ainsi p o ~ ~des en l>articulier pour tous les fort generales de dornaines (0, dornaines norrnaux. 11. - Domaines convexes relativement h une farnille de fonctions.
3. Plaqons-nous dans u n espace 6 i u n nolnhre quelconque de dimensions reelles. Sois 9 une farnille d e fonctions (rkelles ou complexes) continues dana u n dornaine ouvert 2 , borne ou non, dont tous!es points sont a distance linie, Par exernple, si 6 a quatre dimensions, o n pourra le considerer conlrne l'espace de deux variables complexes x et y , et envisager, par exernple. la farnille 3i d e toutes les fonctions holornorphes dans u n dornaine Z ('), ou r n h e la farnille forrnee par les fonctions d'une classe particulihre de fonctions holornorphes d a m Z; c'est ainsi que nous envisagerons parfois la farnille de tous les polynornes e n x et y , le dornainc 2 etant alors tout l'espace a distance finie. Voir aussi, A ce sujet, m o n M C n ~ o i r ed u Journal d e Math. d6ji cite. ( = ) Lorsque nous parlons de toutes les fonctions holomorphes dans Z, nous ( I )
n'entendons pas nous ailleurs.
l i m i t e r aux
fonctions q u i ne soot
pas
holomorphes
DEFINITION. - U I Ldomaine D sera dit convexe rclativenlent a une famille 9 d e fonctions continues duns 2 si I) est intk-
rieur ( I ) a 2, et si, e'tant donne's arbitrairement U I L domaine fernmd D o comp12tement intPr.ierrr ( 9u, D l un point frontikre M de D inttrieur a Z (s'il exisre d e tels points), et une l ~ y p e r sphZre S de centre M, intkrieure a 2 , i l existe a u moins Line fbnction f d e la famille 5. relle qrie lr m a x i m u n ~d e sort module dans S soit supdrieur. a u nzaximum d e son nzodule duns Do. Par exemple, un domaine bornk convcxe (au sens ordinaire du mot) n'est arltre qu'un domaine convexe relativement ila farnille des fonctions lineaires a coefficients reels des coordonnees d e l'espace. Dans l'espace de deux variables complexes a. e t y , nn domainc nn?estautre qu'on domaine cerclk convexe centre i l'origine convexe relativement a la fanlille des polvnomes honiogenes du premier degr6 en x e t y; Dans le m&me espace, un domaine cerclc rnaxilnun~,centre a 170rigine, n'est autre qu'un domaine convexe relativement h la famille de tor~sles polynomes hornogenes en x et y. C'est une consequence immkdiate des resultats que j'ai etnblis dans moll MCrnoire [ C ] [voir la note ( ' ) de la page 471. De m&me, un domaine de Reinhardt. ( 9 maximum n ' e s ~autre qu'un dornaine convexe relativernent a la farnille des rnonomes xnLyp( m et p entiers, positifs ou nuls). O n en deduit aussit6t la propriete caracteristique de la relation entre les rayons de convergence associks d'une serie double de Taylor.
(9
domaine intgriei~ra \' )I, ( 1 ) II esl entendu, dans tent ce qui suit, q u e par nous entendons un domaine dont Lous les points interieurs sont intCrieurs a E, sans rien prCjirger des points frontikres. (') Un domaine ferme est dit compliternent ittferieur a un a u t r e si tous ses points frontieres sont inttrieurs i l'autre. ( I ) Un dolnaine cerclk centre a I'origine est defini p a r les proprittts suivantes : I ' I'origine ( x = y = o ) est un point int6rieur; 2. si x,,, yo est un point du domaine, z -- x,ei8. y = y,e10 est aussi iln point d u domaine quel que soit le nombre reel 0. (') Un domaine de Reinhardt (centre B I'origine) est dhfini par les p r o p r i k ~ e s suivantes : I ' I'origiue est un point interieur; '2 si .z,.yo est un point du domaine, x = x,ei8, y = y,ei? est aussi un point d u tiomaine. quels q u e soient les nombres reels 0 e t y . lqmasua.l d 3 J!OS
e 110.1 1.10 .)p slrr!otI sap alqurasua'l ~ ! O S la 'dasuep ~ [ I I P O L U uos ap a ~ n a ! ~ ? d narrJoq s I?[ d'.fw 110s '6 aIl!ulej el a p ./ anbuo3pnI) uo!lauoj aun .).?uuop luclq .slueA!us sal S I I O ~E 'al!us . ~ ~ ! t l 'la 'dasap su!oru tie rrn,l e Jna!Jyu! l!os (1 y Jna!,raiu! cr~!od ,111olanb uo5ej a p s!s!oq:, ax]? luaa!op sau!eruop ST):, !lur!a!ns ne J I I ~ ! J ~ I U ! lrrarual -alduro:, la a e Jna!Jalu! lnarualaldruo:, Isa unaeq:, luop ' ' . ' 'd(l L... ''a s a r u ~ asau!eruop j a p a!u!lu! al!us auu'p al!u1!1 nu!eu~opa1
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.a jud!1uoJ ?716(dj') l u a w a n ? ~ v l a .axaouo.) ~) auluwop ]!lad snld a] suo~a11adde'lsnoN -saJlno sal snol v rna?Jplu? 1sa ? n b 'V ' u n 1sa ua 'a luauuafl - u o ~? n b 's v juawan?lwlaJ saxanuo~ 'sau?vzuop sal sno) I U I J W ~ .I( v .1na?~?7u? au?vulop 1111 a 1 ~ 0 sla ' 7 au?vzuop u n sunp sanu?luoa s u o ? ~ ~ u oa .p/ all?zuv./ atln g.??og - .I ~ ~ I I O ~ ..P H J
~
-J!Iqela,I ap u!os ,)I J n a p a l u e suoss!el snou : uo!l!u -gap e[ ap ae!p?ruru! aauanbasuo:, a u n Isa uo!l!sodo~d allan .gv 1uawan!7vla.1 a r a n u o ~azuatu-?nl Isa a au?vurop a? ' ( d a sal snol m o d aruaru el) I( s u v p sariu?luoD s u o . ~ l ~ u oa /p & a l p w v J aun v luawan?lvlaJ axanuo3 Isa da a n 6 v l j ~?S .sau!eruop sa:, snol ap alqruasua'l ap a r u ~ o au!eruoy j a1 l!os -luea!ns ne Jna!J?lu! luauralqdruoa la p e Jnayalu! luamala~druo:, Isa un:,eqa luop
a
' . . . lda' . . . 'la s.?ru~ajsau!eruop a p a!u!lu! al!ns aun l ! o ~ oz .I& e luaruaA!lelaJ axaauos '?~o!l.ro/v ' p a ?f; e luaruaA!lelnJ axa~rroaau!eruop lnol suep sanu!luoJ suo!lauoj a p anpuala snld all!wcj auo'p a!l~etl l!ej I( suep sanu!luo:, suo!l3uoj a p 6 L;JII!wej aun !S ,,I - 'djuap - 3 3 7 ~ d uo?7?u$pp v l ap s a ~ v ~ p p u ~s~1~uarr/i?slro3 w? sarrhlarrd
'x
esr intkrieur au domaine suivant A,,, ; l'ensenlble des A,, correspondant a toutcb les valeurs de p , definit un domainc A qui contient D. Je vais lnontrer : I * que A est convexe rela'tivement ii 9 ; a"-que tout domaine qui contient D et est convexe relativement a 5 contient aussi A. J'aurai alors etabli le theoreme I.
A est conveze relativement a 5. - E n efl'et, soient A,, un domaine ferme completenlent intkrieur a A , et S une hypersphere, intkrieure a S, dont Ic centre M est un point frontiere de A. Si p est assez grand, Ap contient A. et des points interieurs a S ; l'h3persph&re S, contenant alors au moins un point frontieru de A,, contient au moins un point frontiere tie l'un des E f , , dktinis plus haut. 11 existe donc un point P de S, en lequcl une fonction f de la famille 3 a son module plus grand qu'en tout point de D,, c.t mClne qu'en tout point de A,, d'apres la definition de A,. A fortiori, le modulc de f au point P est plus grand que la borne sup& rieure de ce module dans A,,. Le domaine A est donc convexe relativenlent A 6. 2" Supposons qu'il existc u n dornaine A', qui soit convexe relativernent a 3,contienne D et a d ~ n e t t eun point frontiere M inlkrieur a A, Montrons qu'une telle supposition est absurde. E n effet, M serait intkrieur a A, pour des valeurs assez grandes de p; p etant ainsi choisi, soit A; un domaine ferme completement interieur a A' et tel que D p soit completement interieur a A;. Soit aussi S une hypersphere, de centre M, tout entiere interieure B Ap. Puisque A' est convexe relativement a 9,i1 existe une fonction f de la famille d dont le module en un point P de S est plus grand qu'en tout point de A;. La borne supkrieure de f serait donc plus grande dans Ap que dans Dp. O r ceci est en contradiction avec la faqon dont on a dkfini Ap. iu
C.
111.
Q . F. D .
- Domaines etrictement convexea relativement a une famille de fonctions.
5. DEFINITION. - k t a n t donnte une famille 3; d e fonctions contin~iesdans un domaine ouvert D l D sera d i t strictement convexe rekativenlent a la famille bl si a chaque domaine
fermk Do, compl&tement i n t d r i e u r a D , o n y e u t associer u n d o m a i n e fermk D',,, c*omyli!tement inte'rieur a D , qr/i j o i ~ i td e la yr.opriBtt s u i c a n l e :e'tant d o r ~ n hn r b i t r a i r e ~ r ~ e 1111 u t point M intkrieut. a Dl m a i s e x t k r i e u r a DI,, il eziste u n e fortction d e la f a m i l l e d d o n t le t ~ l o d u l ee n M est p l u s g ~ * a n dqu'en toiit y o i n l d e Do. D'apres cette dkfinition, il est, clair q u e si D est strictement convcrc relativement a une famille 5 d e fonctions holomorphes dans o n domaine Z (contenant D ) , il est convert? relativement a 5. Nous verrons ail nu 6 que, dans certains cas, la reciproque est vraie. Cine condition ne'cessnire et sujfisanle pout. ~ U ' U I Ld o n ~ a i n e n e soit p a s . ~ t r i c t e n ~ e nconc~exe. t -- Elle va rksulter immCdiatenlent d e la definition; aussi 116noncerons-nous sans demonstra tion. P o u r ' q u ' u n domaine D ne soit pas strictenlent convexe relativement a unc f'arnille 5 . i1 faut e t il suffit qu'il existe nn domaine f e r ~ n eD,, completement intCrieura 11, et i ~ n e s u i t einfinie de f > o i n ~ s MI, . . . , Mp, . . ., interieurs D , n'ayant aucun point limite interieur i D l e t tels que, elant donnee une fonction quelconque d e 3,son nodule en chacun des points blp soit au tjli~s6gal h la borne superieure d e ce l~iCnlemodule dans Do.
6. P l a ~ o t ~ s ous - n d u n s 17e.spaced e derr x vat.inDles coml~lexesx e l y. P o u r abreger le langage, nous dirons qrie D est convexe relatic~ernenta Z,si D est convexe relativernent a la famille d e toutes les fonctions holomorphes dans 3. Ue mCme, nous dirons que D est striclement convexe s'il est strictenlent convexe relativenlcnt a la famille d e toutes les fonctions holomorphes dans D.
T H ~ O H11. ~M -ESi rln d o m a i t ~ ejel-rne 11 est c o m p ~ t e m e n t i n t e r i e u r a U I L donzaine 2 , e t s i D est convex(: 1.elatic.en1ent it X, il est stt.ictement convexe. SupPosons, en effet, que ne soit pas striclement convexe, et servons-nous de la condition necessaire et suffisanle Cnoncee a la fin d u ~ i i ~ m e prkcedent. ro Conservons les m&mesnotations. Toute fonctio~lholonlorphe dans D , trt de module arl plus egal a rcn dans
Do, aura son module au plus egal a nrz en chacun des points Mp. DCsignons par M un point fronti6re de D qui soit ]taint lirnite des M,. Cela posC, donnons-nous un donlaine ferrne 11, , con~pletement interieur a D , et tel que D, soit compl6temcnt intCrieur I D,. Soit aussi S une hypersphere de centre M et de rayon p assez petit pour que S soit intbrieure a 2. Supposons, en outre, p assez pctit pour qile toute translation, de longueur inferieurc, a z p , transforme D, en un domaine contenant encore le don~aineI),, et transforme Z en un domaine conLenant encore le domaine I). Puisque D est convexe relativemcnt a 5 , il existe una fonction f ( x , y ) , holornorphe dans Z,de module au plus Cgal a u n dans I ) , et de module plus grand que un en un point (i, n) de S. O r , il existe un point Mp(xp,.)ap) interieur a S. J e considere alors la fonction ~ ( - c , y ) = f ( . r - s , , - ~ , . ~ ~-.pi); -.~,,
elle est holonlorphe dans I ) ; son module est au plus Bgal i r ~ r t dans Do et plus grand que rrrz en Mp. 011arrive ainsi a une contradiction. c. Q. F. n .
TH~ORE 111. ME Si un donznine est cortciexe relativentenl ci la famille 3; des yolynomes erL x e&,-,il es/ srrictement convexe relativemen&a 6 ,e t , a fir-tior-i, strictement convex(.. Cornrnc plus haut, on raisonnera par l'absurde, avec cette dirkrence que, le dornaine D nlCtant plus suppose borne, les points M, pourraient n'avoir cette fois aucun p o i n ~lin~itea distance h i e . O r , cette derniere eventualite est a re.jeter, car si les points M, tendent vers l'infini, on pcut evidernment trouver des polynomes du premier degre ( x ou y par c:xernple) q i ~ isoient bornes d i ~ o s le domaine D o ( e n effet Do, etant ferme, est b o r ~ l e )et ne soient pas bornks sur l'ensemble des points Mp. Co~nmeplus haut, on arrive a une contradiction, et le theorerne est dernontre. La demonstration rnarche, en sornme, grgce ail fait suivant : si l'on effectue une translation de l'espace, tout pol? norne en x et 3. reste un polynorne. E n remplaqant les translations par des homotheties, on retrouverait des propositions qui rn'ont servi dans mon Memoire cite [C] :
ayd.rozuoloy '(-5 ' x ) d u o ? ? ~ u o Ja u n a.r!n.r?suon l n a d u o ' a p .rna?~p?u?a2.1zu.11?zr?od u n ~ n v?vvLv,u ' a v sJna?J+ju! ' ' '. . . ''Ms?u?od a p a n b u o q a n b a?ugu! a p s a u n a a u u o p ?UV?JJ .a s u v p s a q d ~ o z u o l o qS U O ~ D U O . / a p g all?urvJ a u n 2, juazuan?? -vlaJ a x a n u o ~/ u a u r a ? ~ ? . /au?vurop ~s un a 2.20s - ' 1 ~~4I U T H O ~ H L "
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'eelqeylea xnep ep eeqd~omo1oqeuo!puoj eep e3uelspe,p eaupmop e e l - ' ~ 1
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-,a Jtla!J?lu! luaruau!el~aa Isa v anh suolCo~snoN '(p ,,u) lueualuoa ( x y l u a r u a ~ y e l a a~x) a ~ u o 3au!euiop l y a d snld 'V anreruop a1 !uyap Isa luop uoEiej el y s ~ o ps n o u - s u o l ~ o d a u a p ~u!od Inol ua,nb ua p u e B snld Isa alnpow a1 IUOP suep aqd~oruoloquo!13uoj aun als!xa 11 ' , a Jnapalxa ap anbuoqanb lured un Inel? : alueA!ns a l ? ! ~ d o ~ d el ap ~.i n .oinb .l 'g y ~na!~?ln!luarua1aldruo3 a r u ~ aaureruop j un ayosse Isa a au!eruop ne ' a x a ~ u o a~ u a r u a l ~ p1ue19 is 'laja u 3
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'(11 a m a ~ o a q axanuoa ~) ~ u a z u a ? ~ !jsa ~ ? s'a??ns .rvd :?a 'x v Jna?Jp?u! ?uaura?qlduro.~azupw -!nl jsa a ? u v u a ? u o (~x v ?uazua'yvld.r) axanuo2 au?vurop ???ad s n l d a1 'x v Jna?J?Ju? l u a w a ~ ? l , l d w o?sa ~ a ?zu.iaJau?vwop un ?s l a 'aranuo2 ?uauialD?J?s ?sa x au?vurop un ?S - .AI 3 ~ 3 ~ 0 3 ~ ~ . . t ' ~ az saxa[druoa salqe!Jea xnap ap aaedsa'l sulep s ~ n o f n o suoisay~ l .L
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d a n s D, cjui s ' a n n u l e en chncun des p o i n t s Mp. et cela d e facon cjue les varie'tds s u r lesyuelles F s ' a n n u l e soient obtenues e n kpakunt & des constnntes certaines fonctions d c lo. J'amilh 3. Montrons d'abord que le theortme V est une consequence d u theoreme VI. Appliquons en effet ce dernier au cas oil la famille d est celle de toutes les fonctions holomorphes dans D l et oh les points MI, admettent coninle points limitcs tous les points frontieres de D . Je dis que la fonction F ( x , y ) correspondante n'est holomorphe en aucun point frontiere de D. Supposons en effetque F soit holomorphe en u n point frontiere M,, et par suite en tous les points frontieres voisins ( I ) . Comme chaque point frontiere cst point limite de points M,, la fonction F serait nulle en tout point de la frontiere voisin de M,. D'autre part. au voisinage de M,. F s'annulerait sur des caracteristiques rkgulieres. en nombre fini, a j a n t u n nombre fini de points d'intersection; la frontiere se composerait d'un certain nombre de ces caracteristiques. Soit 1' u n point frontiere appartenant A l'une de ces caracteristiques rt a une seule; au voisinage de Y, la fonction F ne s'annulerait pas ailleurs que s u r la frontikre. C'est impossible, puisque F s'annule aux points Rip, interieurs A D. L1hypoth6se faite est donc absurde : F ( x , y ) n'est holomorphe en aucun point frontiere de D, et par s ~ l i t eD est maxlmum. c. Q. Y . 11. Passons a la demontration du theoreme 1 I. Considerons D comme le domaine limite d'une suite infinie de domaines ferlnes Dl, . . . , D,,, . . . , dont chacun est completement interieur ti D et completement intkrieur au suivant. La definition d'un domaine D strictemen1 convexe relativenlent li une famille 9 associe a chaque domaine D, un doniaine ferme D;,, completement interieur a D. Soit alors n, la plus Rrande valeur de r t tclle que MI,soit exterieur G D;,. Puisque les points Mp n'ont aucun point l i m i ~ einterieur a D, n, tend vers l'infini avec p. Cela p o d , i1 kxiste, dans la famille 8, une fonction f,(x, y ) , Cgale a a, au point M,, e t dont la borne superieure dans Drip est ( I ) Nous supposons donc que D n'a pasde point fronliere isold. II est d'ailleurs facile de montrer que si D avait un point frontiere isolt, D ne serait pas slrictement convexe. Le thPortrne Y est donc valable sans aucune restriction.
.Jna!Jplo! lu!od anbeq3 ap a9eu!s!oa ne slualer!un lua!os sl!,nb a m p - y - l s a , ~Ls?~tuv.r ~ svd lua!os ao sl!,nb n n ~ n o d.slualen!un uou sau!etuop sap se3 ne ~uarualeS? anb!ldde,s a q g suolle snou anb luamauuos!eJ a? (,)
Lallnsaa11.1e3 'p = w anod aluap!a? anb'sa~dlsa uo!l!sodoad ley .w a?.roB?/va v l a p '?ssnv ?nl ' j s a v anb s!p a r i a a p a ~ ? ? l u o ~ J Jv nl s 8 l a -4~ u a j ~ o d z uasol~u o p U O ~ V Jv l J ~ ~ a s o d d n sua?J s u n s '(&)v lualeA!un au!leruop u n ua a luaruaoj -sule~l!nb
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*sanaAuoDluarrralD!als ,p feru!xeru ,,g f a8ale1 suas ne ew!xr?ru ,z f s a x a ~ u o ~ - o p n a slnolaed d ,,I : sau!eruop ap salueA!ns sa!ao8?je~ a a ~ e n bsa1 '.L 'x a3edsal1 suep 'aaa?p!suo~ y auauxe lsa uo 'uo!l~npoalu!'l suep l!p s u o ~ l e snou , ~ aruruon
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-a .a .O .o .aauou?.~ ap suorlrpuo~ .. sal salnol l![druaa !nb suep aydaoruo~oy' ( A ' ' x ) ~ uo!larroj null aluas?adaa l!npoad ar;) . ( s s e a l s ~ a ! a ~ap anb!sslela lrraruonuos!ea a1 aaladaa ap l g n s I!) (I y ana!a?lu! lu!od lnol ap a4eu!s!o~ ne juaruaruaoj!un a8aaauoa ~!npoad a3 anb uo3ej ap
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l ~ n p o a drrn a.lrllJlsuoD Inad uo,nb allnsaa ua 11 -1 "w anb alyad s n ~ d
de la definition m&me d'un domaine strictenlent convexe, que la proprikte, pour un domaine, d'&tre strictement convexe, se conserve par toute transformation analytique. Montrons, en second lieu, que le tr.a?~.~jbr.n~O d'ulc dornaine D partout pseudo-convexe est U I L domaine A partout pseudoconvexe. Soit (1)
x =.f(rr,
y),
Y = h-.(x , ~ )
la transformation de I) en A , et soit x = F(X,
Y),
y = G(X, Y )
la transformation inverse de A en D. Les domi~inesD et A etant supposks univalents, on a partout
Si A n'etait pas partout pseudo-convexe, il exis~eraitun point frontidre Xo, Yo de A , jouissant de la proprikte suivante : etant donnee une hypersphere quelconque Z,de centre X,,, Yo, toute fonction de X et Y, holomorphe dans ia rCgion commune a A et Z, est holomorphe en X,, Yo. Alors les fonctions
seraient holon~orphes en X,, Yo. La transformation ( 2 ) serait donc rkguliere en Xu,Y,,, et transformerait le voisinage tle Xo, 3 , en un voisinage univalent \ ' d'un point frontiere x , , 3.0 de D . Inversement, dans la rCgion V, f ( x , _ y ) et g ( x , 2.) seraient holomorphes, aver:
Soit alors S une hypersphere de centre xo,jaO, interieure a 1'. Yuisque D est partout pseudo-convexe, il exisi.e une hypersphere Sf intkrieure a S, et une fonction ~ ( x"Y), , holomorphe dans 1~1 region commune a D et S', et non holonlorphe en x , , y o . Poscns
( X , Y ) serait holomorphe dans la rCgion commune 4 A et a une certaine hypersphbre Z de centre X,,, Y o ; elle serait donc holomorphe en X,,Y,. O r on a et, par suite, ? ( x , y ) serait holomorphe e n xol Nous arrivons a tine contradiction. c. Q . F . D . O n montrerait de la mCme facon que le tr-ansformt analytique ?eo.
d ' u n domnirre m a x i m u m a u serzs large est mcrximum a u sens large.
10. 11 nous reste enfin 4 montrer que le transfornzt analytique d ' u n domaine maximzcm est m a x i m u m . Nous Ctablirons d'abord l e lenlnlc suivant :
LEMME. - Soiertt kj'onctiorrs I~olomorphesdans u n domaine A. Si, en chaque point frontiere de A, t u n e air moirzs de ces fonctior~src'esl pas Itolomor~phe,i l existe une combi~raison1inbair.e de ces.fonctior~sqrci n'est holorrzorphe en aururt poirlt Ji.onti2r.e d e A ; 1 c.st donc nzaxiniunl. Soient e n effet f , , . . . , f k ces fonctions. Uonnons-nous une suile ill-finie dc points frontibres dc A , MI, . . . . >I,, . . . , telle que tout point frontiere de A soit point limite de cette suitc. 11 spffitde trouver une conlbinaison Iineaire des j', qui ne soit holo~iiorpheen aucliil point MI,. O r , e n u n point frontiere donne M,, il existe nu 'plus k - I combi~laisonslinkaires homogenes distinctes
'~1.1, q u i soient l l o l o ~ l l o r ~ h e sn MI,; sinon, les j'; seraient toutes holomorphes en MI,. P o u r qu'une combinaison Za;f i soit holomorphe e n MI,, il doit donc exister au moins u n e relation linkaire homogene entre les a i . A chaque M,, est ainsi associee une telle relation; toutes ces relations etant en infinite denombrable, il est clair qu'on peut choisir les constantes ai de maniere qu'aucune de crs relations ne soit satisfaite. I,a fonction correspondante S a ;f i ne sera holomorphe en aucun point M,, e t le lemme est deniontre.
Cela pose, soit D un domaine maximum, et soit A le transform6 de D par une transfornlation (1
?i = f ( x , y ) ,
Y =g(x,y);
soi t (2)
x = F(X,Y),
y = G(X,Y)
la transfornlation inverse. D et A.sont suppases univalents ( n o u s l'avons d i ~plus haul une fois pour toutes). O n a donc
J e vais montrer que A est maximum. J e considere pour cela 11ne fonction Q ( X , y), holornorphe dans D, e t non prolongeable ail d e l i de D ( p a r hypothese, il existe u n e telle fonction). J e pose
+(X, Y) E ?[F(X, Y ) , G(X, Y)]. Les quatre fo.nctions
sont holonlorphes dans A. J e dis que, \,,, Yo etant un point frontiere quelconque de A , 1'11ne ail rnoins d e ces quatre fonctions n'est pas holornorphc en X,, k ,. Sinon, e n raisonnant comrne plus haut, on verrait que q(x,-v) serait holomorphe en un point frontiere x,,y,, de D, ce qui est contrdire a l7hypothese. 11 suffit donc d'appliquer A ces quatrc fonctions e t ail domaine A le lenlme qu'on vient dlCtL~blir. Ainsi A st maximum. C. Q. F. 11.
COROLLAIRE D U I.EMME.
Le domaine commrrlt h plusieurs domriines maxinza ( e n nombre $ni) est lui-m$me nzaximum. -
V. - Les domaines de convergence uniforme des series de fonctions.
11. Soit 2 un domaine ouvert d'un espace & a un nornbre quelconquc de dimensions. Considerons une serie de fonctions (rCelles
o u complexes) continues dans Z
q u i converge ynifortnement (vers une fonction finie) au voisinage d'un point 0 interieur a 8 . L'erisemble des points de Z au voisinage desq~ielsla serie converge uniformement constitue un domaine qui n'est peut-Ctre pas connexe; soit D la partie connexe de ce domaine q u i contient 0. Nous appellerons D lc dontnir~ed e convergence unQornre de la serie.
T H ~ O HYII. ~ ME Soit 5 U I Lf ~a ~ r ~ i l lde e /orzctions continlres d a n s U I L dolnai~teZ. ~ t n l t donnPe t une strie d e foncti0.n~d,? la famille 5,.q r ~ ic o n v e ~ . guniforrniment ~ a u voisinage d'un point 0 int(?riec/rh 2 , le dontaine d e convergence uniforme de cette sCrnieest cortveze r'elativement it la famille b. E n effet, soit Do n n domaine ferme completement i n t e r i e ~ i rau d o ~ n a i n ede convergence uniforme D , et soit S une hypersphere, interieure a Z, a j a n t pour centre un point frontiere de D. Nous allons nlontrer qu'il existe line fonction de la famille 9 telle que le maxinium de son module dans S soit superieur a11 maximum de son module dans Do. Envisageons a cet effet un domaine ferme D l , compl6tement intkrieur A D l qui contienne Do et des points intkrieurs a S. I1 suffit de montrer l'existence d'une fonction de % telle que le maximum de son module dans S soit superieur au maximum de son module dans D l . O r , soit
la serie envisagee, et soit
E ,
le maximum de If,,
dans D , . La
m
sdrie x r , , est convergente, h cause de la convergence uniforme. 1
Soit E l'enremble des points de 2 oli l'on a, qiiel que soit n .
soit A l'ensemble des points interieurs a E, et soit 4 la partie connexe de A qui contient le point 0. 11 est clair q u e A contient D l et est contenu dans D. Puisque A
contient D , , A contient des points interieurh n S ; il existe donc art rnoins un point frontiere de A intkrieur i S, soit M. Dans un voisinage arhitraire d e M, i1 existe o n point ou I'on ;I
pour une certainc. valeur de n (sinon M serait interieur a A). O n peut supposer qu'un tcl point est i n ~ e r i e u ra S. E n rksume, on a iJ;, 1 > E,, en U I ~point dc S, e t Id;, 1 <E, - en le theoreme tout point de D , . Comme f,, appartient a la famillc 9. est dkmontre.
12. Plaqons-nous dans l'espace de deux variables con~plcxesx et y. T ~ k o n k ~\,-I1 k : bis. - S i une skrie dej'onclions holomorphes dans u n domaine Z converge uniforrn2ment ( v e r s u t ~ forzctiorz e finie) a u voisinaqe d ' u n point O intkrierrr i t L, le donznine d e convergence rtniforrne d e l a sCrie est conc'exe r e l a ~ i o e m e nat L.
11 suftil en effet d'appliquer le thkoreme V I I au cas envisage. RBCIPROQUE D U .CHI?OREWE VII bis. - S i rrr1 domnine D est coavexe relativement u u n donzaine 8 , c'est le domaine d e conrergence u n v o r m e d'une cerlairze s t r i e d e Jonctions holomorphes d a n s Z. Considerons en eEel une suite intinie de donlaines SerlnCs D , , . . . , D,, . . . completement interieurs B U , dont chacun est completement interieur au suivanl, tout point interieur a D Ctant interieur a l'un d'entre eux ( e t par suite a tous les suivants). Donnons-nous aussi une suite infinie de points M I , . . . , M,, . . . , interieurs d 2,appartenant la frontiere de D, et admettant comme points limites tous les points frontieres de D interieurs a 8. A chaque 81, associons une hypersphere S,, intdrieure i Z, d e centre Mp et de rayon pp
.
Par hypothese, il existe une fonction J ; , ( x , y ) , holomorphe dans 2 , tellk que la borne supkrieure a, de son module dans D, soit plus petite que la borne supkrieure P, d c son module dans S,; en multipliant. au besoin f, par une constante, on peu t supposer Pp= I .
-
18
=
Soit alors /r, un entier tel que la seric ~
( a , , ) * rsoit
convergente.
La serie collverge uniformcrnent all voisinag? de lout point in~erieura D. .le dis qu'elle ne converge unifornl6nlent au voisinage d'aucun point frontiere de D. Soient en effet P un el point. et K une hypersphere de centre P; il existe line infinit6 d'hyperspheres S, interieures a K. et, par suite, il existe une infinite de fonctions fpdont le modr~leest egal a un en un point de I i (ce point peut varier avec la fonction f,). La convergence n'cst donc pas uniforme dans K. C. Q.
F. D.
13. 11 est a peine besoin de rappcll(1r que la somme d'une sbrie de fonctions holomorphes est U I I ~fonction holomorphe dans le dornaine de convergence uniforme (puisqo'on a exclu l'hypothhse de la convergence vers l'infini). Faisons encore la remarque srlivante : une serie de fonctions )lolomorphes dans Z etant supposee converger uniformement an \ oisi~lagcd'un point 0, l'ensen~bledes points de 2 oil cette famille eal nornlale constitue un domainc; l a p a r t i e connexe D' q u i conlieltt 0 est identiyrre ncc clomnine d~ convergence nrliforme D dkfini p111s haut. I1 est clair, e n efilt. que D' contient D. Inversement, D con~ i e n tD', car si une serie de fonctions, appartenant A une famille normale dans D', converge dans un domaine interieur A D', elle converge. uniformCmen~dnns D'. 24. Cotrlbinons maintenant le thborenle V11 bis auec le thboreme 11. 11 vient imnlkdiatement :
T H ~ O R EV11I. M E- Si le domaine d e convergence u ~ ~ i f o r m e d ' u n e skrie d e f'onctions holomorphes d n n s u n domaine Z est complbtement inttrieul. ( I ) a 2 . i l est strictement convexe, et, en parlicrrlie~.,maximum.. ( 1 ) Par a donlaine ouverl conqleternent interieur P un domaine 2 B, il foul entendre un domaine inttrieur a un domaine fermC lui-meme con~plttement inttrieur A X.
Cette proposition complete le theoreme de G. Julia, relatif a I'ensemble des points ou une famille est normale. E n combinant Ie theoreme VIl avec le theoreme 111, nous trouvons :
T H ~ O R EIX. M --E Le domaine de convergence unifor.me d ' u n e strie de polynomes est strictement convexe relativement a la famille des polynomes, e t , en particulier, m a x i m u m . He'ciproqr~emer~t, tout domaine strictement convexe relativement & la famille des polynomes est le domaine de convergence trnifo~*me d ' t ~ n ecertaine serie de polynomes ('). J'avais deja montre, dans nion Memoire [ C ] , que le domaine de convergence uniforme d'une serie de polynomes homogenes est maximom. D'une faqon precise: en combinant le theoreme VII avec I'un des theoremes I11 bis et 111 ter, nous trouvons :
TH~OREME I X bis. - Le domaine de convergence ur~ifor-me d ' u n e skric de polynomes homogdnes est strictement convexe relativement a la famille des poiynomes homogt?nes. Rkciproquement, tout dom.aine slrictement convexe relativement ci la famille des polynomes homogt?nes est le d o m a i t ~ ede convergence d'une certaine serie de polynomes homogdnes.
T H E O R ~IXMter. E - Le domaine de convergence unijbrme d'trne serie double de Taylor est stt'ictement convexe relativement ci la famille 3 des mononles xTTL.yp ( m et p entiers positifs ou nuls). Reciproqcrement, tout domaine strictement conuexe relativement a d est le domaine de convergence urrifbrrne d'rtne certaine skrie de Taylor.. Comme je l'ai deja dit, on deduit de la la proprietk caracteristique de la relation entre les rayons des cercles d e convergence associes. VI.
- Les domaines normaux.
15. Nous resterons desormais dans I'espace d e deux variables complexes x et 3,. (I)
Cette rl:ciproque s'etablit comme la rtciproque du thCortrne VII bis
(no
12).
Rappelons la definition donnke dans I'lntroduction : (( un domaine univalent D est dit normal si Loute fonction holomorphe dans D y est developpable en sCric uniformement convergente de polynomes. ), Tous les domaines cel.clCs (et a fortiori les domaines de Reinhardt) sont normaux, puibque toute fonction holomorphe dans un domaine cercle y cst developpable en serie uniformement convergente de polynomes homogenes ( [ C ] , theoreme 11). THEOR~CNIE X. -- 7 b u t domaine normal m a x i m u m est strictenzent convexe relatioement ir la fnmille des polynomes. Soient en cffet D un tel dornaine, et f ( x ,y ) une fonction holoinorphe dans D et non prolongable au dela. Son dkveloppement en serie de polynomes aura Cvidernment D pour domaine de convergence uniforme; le thCor8me 1X entralne le thkoreme X. En somnla, pour q u ' u n domaine nornlal soit m a x i m u m , il f a u t et il s ~ r j j i qrr'il t soit striclenaent convexe relativement a l a .f'amille des polyrzomes (consequence des thboremes V et X). THEOREHE XI. S o i t D u n domaine normal. I1 e!ciste u n domaine normal m a x i m u m A, quijouit delapropriete suivante : toute fonction I~olomorpheduns D est aussi ho1omor~)heduns A. -
En cffct, le plus petit domaine convexe (relativement a la famille des polynornes) contenant D est strictement convexe ( t h o reme I11 ), donc niaximum (theorems V). Soit A ce domaine. Soit alors f ( x ,y ) une fonction holomorphe dans D. Son dbveloppement en sCrie de polynomes a pour domaine de convergence ~tnifornleA' un domaine convexe relativement h la farnille des polynomes (theoreme V11). Comme A' contient D , A' contient A, et f ( x , y ) est holomorphe dans A. 11 reste 6 montrcr que A cst normal. O r , tolite fonction holomorphe dans A est a yorliori holomorphe dans D, et admet par suite un dkveloppement en serie de polynomes qui converge uniformkme~ltdans D, donc dans A. c . Q. F. D.
26. LES noMAlNEs MAJORABLES. - J'ai introdui t cette classe de domaines dans mon Memoire [ C ] (Chap V, 5 5). P a r dbjinition, ( L I Z d o ~ ~ z a i nnon e rarnt'e D est (( majorable n, s'il existe un
A r n a i n e A, nott ramifid, rnaxiraunt a u sens l a r g e , q u i contient
D ee jouit d e / a proprietd suivante :toule fonction holornorphe &tzs D est aussi h o l o m r p h e d a m A. Le domaine A est dit associe ilu domaine D. Dans le cas ou le domaine associe est ma.xirnurn, It. dsmaine D sera dit strictement niajorable Le aheorCnae XI peut alors s'dnoncer ainsi : toccl dornuitte rzo1.((
)).
mad est stricterner8t naajorable, e t le domain(&associe esl norntal.
Nous allons indiquer quelques p ~ o p r i e t e scommunes a tous les domaines majorables; elles appartiendront rbn p a r t i c u l i ~ ra t o r ~ les s domaines normaux.
T H ~ O R EXII. M E- T o u t dornaine, rnaxirnunz atr serts l a r g e , q u i contient u n dornaine r n a ~ o r n b l e , contient assoc it?.
It!
tlomaine
Soient en effet D un domaine majorable, A le domaine associC,
A' un domaine m a x i n ~ u mau sens large qui contient D. Si le domaine A' ne contenait pas A, il aurait un point frontiere M interieur a A. Soit f ( x ,y ) une fonction holomorphe dans A' et non holomorphe en M; J ' ( x ,y ) , etant holomorphe dans T I , scrcrit holomorphe dans A, donc e n M. 11 v a contradiction. .(.. 0. v . I,. COROLLAIRE. - Le domaine associt a un dornaine majorable est unique; e n effet, si u n domaine A' jouit, vis-a-vis d e D, d e la m&me propriCt6 que le domaine associt! A, il contient A,. d'apres lrh theoreme precedent. Pour la mCme raison, A contielit A'. C:.
Q . F'.
1,.
T H ~ O R EXIII. M E - Si n n dornaitlc. s t ~ ' i c l e ~ r1~me at ~j o r a b l e est m a x i m u m a u sens l a r g e , i l est tnaxinztrm. Soit en effet D un tel domaine; il est, par hypothese, maxin~um au sens large; comme D se contient lui-ni&mc., on peut lui appliq u e r l e theoreme precCdent. Donc TI contient le d o n ~ a i n eassocik A ; ~ n a i sA contient D. Le d o n ~ a i n eTI esl donc idrntiquc B A, qui liar hypothese est maximum. c. 0. v. n.
COROLLAI~B. - Si U I L dornait~rr ~ u r t r ~est ~ r l trzazitt~urrltru setls l a r g e , il est m a x i m u m ; il est m&me strictc~tt~cnt convexe reln~ivenlent a la hrnillc des poljnomes ( t h e o r ~ m eX ).
THIIOI~EME XIV. - Soient D u n domaine majorable, A le domaine associk. S i une fonction, meromorphe dans D l n ' y prend pus l a vuleur a , elle est mdromorphe tlans A et n ' y p r e n d pus l u t~aleicra : si une fonction est holomorphe et bornCe dnns I), elle est holomorphe et admet la m&me borne duns A. E n c~ffet,si f(z,y ) n e prend pns la valeur a dans D! la fonction
est homolorphe dans D, et par suite dans A. S i maintenant l'on a
c . Q. r. n .
if(... Y ) I 5 M dans D , la fonction f ( x ! y ) ne prend dans D aucune valeur de module plus grand q u e M ; elle ne prend alors dans A aucune de ces valeurs, e t l'on a aussi, dans A,
C O R ~ L L A I I\ E . Si u n domaine majorable est bot.nk, ie d o r n a i n ~associ4 est borne'.
E n emet, les f o n c ~ i o n sx e t y , elant bornees dans le premier t:. y . F. D . dornaine, sont bornees dans le second.
THBOREME X\ ( I ) . - Soient D u n domaine majorable, et A le domaine arsocid. S i rcne transforntation analytiqtce transforme D e n u n d o r n a i n ~1)'non ram~$C, C)' est majorable, et la m & n tmnsformation ~ ~ tr-ccnsfbrme A e n A', domaine associd
I)'.
?I
Soit en cffet
r
(1)
Y
= g(x1 Y
la transformation de O en 1)'. Les fonctions j' et g,etant holomorphes dans Dl sont aussi holomorphes dans A; puisque leur dkterrninant fonctionnel n e s'annule pas dans D , il n e s'annule pas transforme donc A e n un domaine dans A. La transformation (I) non ramifie A'. Puisque A cst maximum au sens large, A' est aussi maximum nu sens large (cJ. no 9). (1)
Cf. [ C ] , Clrapi~reV ,
thkol.enlr: S1.111.
11 reste a montrer que toute fonction @ ( A : Y ), holornorphe dans D', est aussi holomorphe dans A'. Or? posons
La fonction y ( z , y) est holomorphe dans D, donc darls A. en deduit aussitiit q u e @(X, Y ) esl holomorphe dans A'. c . y.
0 1 1
F. 1).
Hemarqrre. - S i D est strictenlent majorable, D'est strictemenr majorable. E n effet, A Ctant maximum. son transfornle A' est rnaximunl ( n o I)). COROLLAII~E DU T H ~ O R ~ J MXV. E - 7'oute transfor.matior~ nnalytique biunivoque d ' u n don~ainenzajorable r n lui-mkme cst en mbme temps rlne transformation nnalrtique hiunic~oqup 414 domaine associe' en lui-mPme. Remarquons entin que tout domaine qui contient u n domaine majorable D et est contenu dans le domaine associe A est lui-meme majorable et admet A cornme domaine associe. A l'aide d e ceLte remarque et du corollaire precedent, j'ai indiqub dans mon MCmoire [C] (Chap. V, 5 5 ) u n procedC general d e construc~ion d e domaines qui n'admettent aucune tr,~nsformation analytiquc. en eux-m&mes.
17. La notion de donlaine normal est susceptible de genkralisation. P a r dkfinition, un domaine Dl interieur a un d o ~ n a i n e2, sera dit normal relativernent a 2 , si toute fonction holomorphe dans D -jest dkveloppable e n serie uniformtinlent convergente d e fonctions holomorphas dans 2 . Les donlaines nornlaux considbrks plus haut se presentent alors cornrne les dornaines norrnaux relativernent a tout l'espace a distance finie ( ' ) .
T H ~ O RXV1. ~ME - Soit D un domaine normalrelativement iz un domaine 2. Soit A le plus petit donlaine convexe (relativement a 2 ) contenant D . Le domaine A est normal, et toute fonction holomorphe dans D est aussi holomorphe dans A. ( I ) II est clair, en effet, que si une fonclion est dkveloppable en skrie uniformCment convergente de fonctions entieres, elle est dCveloppable en skrie uniformCment convergente de polynomes.
E n effet, soit f (x,y ) une fonction holomorphe dans D. Elle y admet un dkveloppcment en sdrie de fonctions holomorphes dans Z. C e ~ t eaerie admet un domaine de convergence uniforme A' qui contient D (par hypothese) et est convexe relativement a Z (theorerne VI1 bis). I1 contimt donc A (thkoreme I), et f(x, y ) cst holomorphe dans A. Le domaine A est normal, car toute fonction holomorphe dans A est a fortiori holomorphe dans D, et, par suite, admet un dkveloppement en sCrie de fonctions holomol-phes dans Z, qui converge uniformen~en~ dans D , donc dans A.
T H ~ O RXVII. ~ M Y-, Soient L; u n d0main.e strictement convexe, D u n domaine completement intkrieur a Z. Si D est normal ~*cjlcct;vementh Z, D est stric-tement majorable.
rt
Soit en effet A le plus petit domaine convt:xe (relativement A Z ) contenant T I . ll'aprds le theoreme IV (no 7), A est complktement intkrieur a 2 , donc strictement convexe (thkoreme lI), et, en parliculier, maxim um. D'apres le thdorkme XVI, toute fonction holomorphe dans D est ar~ssiholomorphe dans A. C. Q . F. D.
Puisque D est strictement majorable, D jouit de toutes les proprietes enonckes au nu 16.
Les transformations analytiques et les domaines convexes Associationfranpise pour I'avancement des sciences, Nancy 30-31 (1931)
Rappelons le theoreme de STUDY, dont on a donne bien des demonstrations : (( Dans toute representation conforme du cercle 1x1 < 1 s u r un domaine convexe, les domaines transform& des cercles 1x1 < r ( r < l ) sont convexes. )) Relativement aux fonctions (1s deux variables complexes x et y, on a 1e theoreme analogue suivant : Soit D u n domaine cercli ('1 convexe ayant pour centre l origine s = y =o ; dans toute transformation analytique (2) $U dornaiize D en u n donznrtte convexe, les dontaines homothetiqztes de D par rapport a l'originc duns u n rapport k 1 ontpour images des dornailzes convexes. La demonstration est semblable h cellc du thdorbrne de Study donnee recemment par M. RADOdans les X a t h . Annulen. Soit A un domaine borne quelconque, et soit 0 un point intkrieur a A ; considkrons, nvec M. C A R A T ~ O D O laR borne Y, superieure au point M (intkrieur a A) du module des fonctions r~ullesen 0, holomorphes et de module infbrieur a u n dans A ; soit d (M) cette borne superieure. On a d(M) 1, et, dans toute transformation analytique qui ltiisse fixe 0 et trsnsforme A en un domaine interieur a A , on a d (MI) d (MI, (1) M' Btant le transform6 du point M. /,a reczproyue est-elle vraie? D'une f a ~ o i lprecise, soient deux points M et M' de A, tels que l'inbgalit6 (1) soit vkrifike ; exisle-t-il une lra~lsformation analytique laissant fixe le point 0, transformant A en un do~naineinterieur a A, et amenant M en MI? Non, en genbral. Bornons-nous desormais a considerer /a classe C? des dollraines i: pour lesquels il ~ s i s t eu n point intirieur 0 tel que la riciproque yrkddelrte
O, u + 2 ) . Dans le premier cas, le thQor&meh dQmontrer est Qvident. Dans le second cas, on peut supposer que D a effectivement la forme
Transformations des domaines cerclbs et semi-cercl6s.
551
or, parmi les transformations d'un tel domaine en lui-mbme, celles qui laissent fixe un point xo, yo ( y o 0 ) dependent d'un seul paramitre; donc le point 0, de D , homologue du centre 0' de D', appartient B la variBt6 y = 0; il existe, par suite, une transformation de D en lui-mbme, dans laquelle le point 0, vient au centre 0. c. Q. F. D.
+
Cor 011a i r e. S i deux domaines cerclts borne's sont en correspondance analytique, ils sont kquivalents (conskquence immediate des theorhmes VIII et IX). En particulier, si u n domaine cercle' borne' n'est kquivalent aucun domaine de Reinhardt, il ne peut se reprdsenter sur aucun d o k i n e de Reinhardt. Passons maintenant A la correspondance entre un domaine cercle borne et un domaine semi-cercl6. ThBorhm e X. S i u n domaine cercle' bornt D est en correspondance analytique avec un domaine semi-cercle' D', il est tquivalent a u n domaine de Reinhardt. Ce thborhme a dejA Bt6 Qtablils) dans le cas ou le centre 0 du domaine D correspond B un point du plan de symetrie de D'. Dans le cas contraire, aux transformations
du dornaine D ' en lui-mbme, correspondent des transformations de D en lui-mbme, dans lesquelles le centre n'est pas fixe, et qui laissent fixes tous les points d'une variete A deux dimensions rhelies. Si D n'ktait Qquivalent B aucun domaine de Reinhardt, il serait equivalent 1 un domaine A, (theordme I). Or, dans toute transformation de A, en lui-mbme, il existe au plus une ligne (A une dimension) de points fixes, comme on s'en assure facilernent. Nous arrivons ainsi B une contradiction, et le thkorhme X est dkmontrk. I1 nous reste maintenant B rechercher B quelles conditions un domaine semi-cerclk peut se representer sur un domaine de Reinhardt borne. Le theordme X conduit au resultat suivant: Theorbme XI. S i u n domaine semi-cercle' borne' n7est e'quivalent a aucun domaine de Reinhardt, i l ne peut se repre'senter sur aucun domaine de Reinhardt. ~ t u d i o n se n h le cas de deux domaines semi-cercl6s D et A qui sont en correspondance analytique, en supposant que ces domaines soient gene'rauz (cf $ 3 ) et que 17un d'eux au moins soit borne. .
I"
[dl, th&or&rneXIII, p. 45. Voir aussi [ c ] .
552
H. Cartan.
Admettons que la correspondance entre D et A n'ait pas la forme
( 51 X=f(x), Y=yg(x), et envisageons la famille ( F ) des transformations de D en lui-meme, qui correspondent aux transformations
x'= X , Y'= Y e i e de A en lui-m8me. J e dis que, dans D , la vari6tQ y = 0 ne se traosforme pas en elle-mBme par toutes les transformations de ( F ) . Supposons en effet que cette variktd soit invariante par ( F ) ; alors la varietk correspondante de A serait invariante par (5''); ce serait donc une variQtQ X = a . Or, soient D' e t A' les plus petits domaines semi-cerclQs maxima contenant respectivement D et A. La correspondance envisagee entre D et A eat aussi une correspondance entre D' et A'; au point X = a , Y = 0 du domaine A' elle fait correspondre un point de D' pour lequel y = 0. Mais alors, d7apr8s le thkor8me (D), la correspondance envisagee a la forme ( 5 ) . Or nous avons fait l'hypoth8se contraire. I1 est donc Qtabli que, si la correspondance entre D e t A n'a pas la forme ( 5 ) , la variCtQ y = 0 n'est pas invariante par toutes les transformations de D en lui-m8me. Le domaine D appartient donc & l'une des trois categories dQfinies au thdor8me V; de m8me A. Or il est clair que deux domaines appartenant & ces categories exceptionnelles ne peuvent 8tre mis en correspondance analytique que s'ils sont Qquivalents. D'oh le thQor8me: Theor6 m e XII. S i deux domuines semi-cerclts ghiraux, dont l'un a u moins est borne', sont en correspondance analytique, ils sont e'quiualents. En outre, la correspondance envisqe'e a ntcessairement la forme P')
x= f(4,
Y= yg(x),
sauf peut-ilre duns le cas ou les domaines appartiennent & rune des trois cate'gories excep~ionnellesde'finies au the'ordme V . C h a p i t r e 11.
Iles tra~lsformationsdes domaines cercles. 5. Principe de la de'monstration du th6orhme I. Soit D un domaine cercld borne qui. ne soit Cquivalent & aucun domaine de Reinhardt. Supposons qu'il existe une transformation S analytique biunivoque de D en lui-meme, dans laquelle le centre n'est pas fixe. Nous voulons montrer que D est equivalent ti un domaine Au. Le domaine D admet la transformation infinitdsimale
f f .y _?t'. A = i x ddl + : ?/' (i
553
Transformations des domaines cercles et semi-cercles.
qui engendre les transformationslg)
(8 rkel). D admet aussi une transformation inhitksimale
obtenue en transformant par S la transformation (7). Les transformations engendrkes par ( 8 ) laissent fme le point transform6 du centre par S , et ne laissent fixe aucun autre point de D; elles ne laissent donc pas fixe le centre x = y = 0 , et, par suite, E (0, 0 ) et q ( 0 , 0 ) ne sont pas nuls tous lea deux. Cela posk, le groupe G de toutes les transformations de D en luimBme (nous ne savons pas encore si G est un groupe de Lie) doit contenir le plus petit groupe de Lie r contenant les transformations (7),et (8). Cela suffit B dkterminer effectivement le groupe r , bien que la transtormation (8) ait une forme inconnue a priori. E n effet, r ne peut pas Btre un groupe quelconque, car: l or n'admet pas d'autre transformation infinittsimale laissant fixe l'origine que la transformation ( 7 ) [cf. thkorhme (B), Chapitre I]; 2" r laisse invariant u n domaine bornt contenant l'origine (a savoir le domaine D envisagk). Nous allons voir que ces deux conditions permettent de determiner tous les groupes r possibles; nous montterons qu'ils se ramhnent, en effectuant une substitution linkaire convenable sur x et y , A l'un ou l'autre des deux groupes suivants
Pour achever la dkmonstration du thQor6me I, il restera A chercher les domaines bornQs invariants par chacun de ces deux groupes. Now verrons que les seuls domaines bornks invariants par TIsont les domaines d e Reinhardt suivants (k > 0 ) ; ; x i 9f k i y l < l --pppp-.
~
I1 est it peine besoin de rappcler que chaque transformation infinitesimale est consideree ici comme engendrant une famille de transformations finies dependant lo)
d'un parametre riel. Par exemple, la transformation (7) e t la transformation a, af cx s6nt regardbes comme diffbrentes.
f + y aay
554
H. Certan.
quant aux domaines bornks invariants par r 2 , ce sont prhcishment les domaines A,, et en outre le dicylindre E n somme, notre mkthode consiste B dkterminer a priori un sousgroupe I' du groupe de toutes les transformations du domaine cerclk D considkrk, puis B dkduire, de la connaissance de I',la forme du domaine D.
Soit B dkterminer le groupe I', plus petit groupe de Lie contenant les transformations ( 7 ) et (8), et satisfaisant en outre aux conditions lo et 2 O du paragraphe prkckdent ?O). Puisque la transformation ( 8 ) est transformke de (7) par S , et que S est une transformation analytique partout rkgulikre dans D , les fonctions E(z, y) et ~ ( zy), , qui figurent dans (8), sont holomorphes dans D . En vertu d'un thkorbme connu'l), elles sont d5veloppables dans D en sQries uniformkment convergentes de polynomes homogknes
5, et TI,, dksignant des polynomes homoghes en z et y de degrk n . D'aprb ce qu'on a vu plus haut, les constantes 5, et go ne sont pas nulles toutes les deux. L e m m e 1. Que D soit CYU ne soit 1~;8e'quivalent ci, un domaine de Reinhardt, on a Fn(z,y)=1;1,(x,y)=O pour n > 2 , et transformation
est une transformation infinittsimale de D en lui-mime. E n effet, formons le crochet des transformations (7) et (8), crochet qui appartient ausai au groupe I'. On trouve
B2= [ A , B l ]
=
m m af - - (n=O ~ ( n - 1 ) ? 5 , , } ~ ~ - (n=O ,Z(n-1)'~,,)~
") La dbtermination de r eat due it M. E. Certan, qui m'a aid6 de ses conseils dens la &solution du pdsent problhme. [dl, thborbme II, p. 14.
Transformations des domaines cerclbs et semi-cerclbs.
555
La transformation
fait aussi partie du groupe r. Or elle engendre des transformations laieaant fixe l'origine. Ces transformations sont donc lindaires (thkorhme A); donc a f dans B B, sont homogenes et du premier les coefficients de aa-i f et 3~
+
degrd. On en ddduit aussit6t le lemme. C. Q. F.D. Co r 011air e. La transformation
fait partie du goupe des transformations de D en Iui-meme. Lorsque D n'est Qquivalent a aucun domaine de Reinhardt, C fait partie du groupe K' dQfini plus haut. Lemme 2. Duns le cas ou D n'est e'quivalent d aucun domaine de Reinhardt, on peut ejjectuer une substitution line'aire homogdne eur x et y, de japon que la transjormation C prtcldente prenne ( d un jacteur riel constant p r b ) t u n e des deux formu suivantes
( 1 - - ~ ~a f) ~ + ( 1 -y2)-. - af ay
(11) En effet, on a
af af. cl=[A, Cl=i(-to+ i)G+i(-~o+qs)G, d'autre part, on a [ A , C,] = - C . En outre, la transformation
laisse fixe I'origine; elle doit donc etre identique It A B un facteur &el constant prhs; d'oa lea identiths
Rkciproquement, de deux quelconques sieme ( A un facteur e t Cl engendrent un groupe r cherchd.
supposons lea identitks (9) satisfaites. Alom le crochet des trois transformations A, C, Cl est 6gal h la troireel constant pr8s). Donc les transformatima A, C groupe B trois paramdtrea, qui n'eat autre que le
556
H. Cartan.
NWS sommes ainsi ramene's ci de'terminer lo,v,, 5,, 7, de fa~onque lea identite's (9) soient satisfaites. Or on peut, en effectuant une substitution linkaire et homogene sur x et y (ce qui transforme le domaine D en un domaine qui est encore cerclk, e t que nous appellerons encore D), se ramener au cas oh 7, = 0 . 0. En changeant au besoin x en k x, k ktant une conOn a alors 5, stante complexe, on peut se ramener au cas oh 5, = 1. Les identitks (9) donnent alors immkdiatement la forme que doit avoir la transformation C
+
p est une constante rkelle, a et b sont des constantes rkelles ou complexes. Mais p et b ne sont pas nuls tous deux. Sinon C engendrerait
u ktant un parametre ⪙ or il n'existe aucun domaine bornk invariant par ces transformations. p et b n'ktant pas nuls tous deux, on vkrifie sans peine qu'on peut effectuer sur x et y une substitution linkaire homogene, de fapon A annuler a . Supposons donc a = 0. J e dis que p 0. Sinon la transformation C engendrerait des transformations pour lesquelles on aurait X'=X+U ( u rkel quelconque);
+
or aucun domaine bornk ne peut admettre de telles transformations. I1 est donc prouvk que p n'est pas nul. En multipliant x et le parametre reel u par un m2me facteur reel et constant, on peut se ramener B l'un des deux cas suivants J e dis que le cas p = 1 ne peut pas se pre'senter. En effet, la transformation C correspondante s'obtiendrait en intkgrant le syst&me dz'du - I
+X'~,
~ = 2 ~ ' ~ ' + b ~ ' ~ ,
et en prenant la solution qui, pour u = 0 , se rkduit B x'= x, y'= y. On trouve ainsi x'-i sitl x - i . z'+i=e x+i' si l'on fait x = 0 , x' prend toutes les valeurs rkelles quand le parametre rkel u varie. I1 n'existe donc aucun domaine bornk qui contienne l'origine e t admette la transformation C. I1 reste donc seulement B envisager le cas oh p = -1. Si b = 0, la transformation C a la forme ( I ) kcrite plus haut. Si b 0, on peut, en
+
!l!ransformations des domaines cerclds et semi-cerclbs.
557
multipliant IJ par une constante complexe convenable, se ramener au cas od b = 1 ; ei l'on pose alors s=X, x-y=Y, la transformation C se trouve ramenke & la forme
Le lemme 2 est donc ktabli. Nous devons maintenant ktudier successivement les cas ( I ) et (11). Supposons d'abord que C ait la forme ( I ) ; on trouve facilement le groupe r, correepondant 1-ti z+t x J-- ,ie __. y1 = e i e (0 rkel, 1 t 1 < I). I +t z ' (1 + t x)= Cherchons les domaines bornks qui contiennent l'origine et sont invariants par TI.D'abord, x ( doit Btre infkrieur & un dans un tel domaine. Ensuite, les transform& de l'origine x = y --- O sont les points suivants
tous ces points seront intkrieurs au domaine. Enfin, soit x,, yo un point quelconque du domaine ( I so1 < 1, yo 0); il existe une transformation de rlqui amene x,, yo en un point pour lequel on a
+
or les transformks de ce point sont les suivants
on trouve ainsi tous les points pour lesquels on a
De tout cela, il rksulte que tout domaine bornk qui contient l'origine et eat invariant par le grsupe r, a la forme Passons au cas oh la transformation C a la forme (11). Le groupe r2 correspondant est y 1 = e i e -Ktte i -!it, ~ (0 &el, 1 t 1 < 1). (10) I+ tx
1+ty
Pour dkterminer les domaines bornks qui contiennent l'origine et sont invariants par r, on procBde comme on vient de le faire pour r,. On trouve, outre le dicylindre x Appliquons cette proposition B un domaine A,; soit D, le domaine associ6. Pour montrer le thQor6me I V (§ 2)' il suffit de faire voir que D, est identique B A,. --
") [dl, Chapitre V, thborkmes XXXVII et XLIII.
Transformations des domaines cercl6s et semi-cerclbs.
56 1
Or D , admet toutes les transformat,ions de A , ; il est donc identique B un domaine A , . I1 nous suffit maintenant de montrer que b = a , et, pour cela, de montrer que A, et D , ont au moins un point frontiere commun, pour lequel x f y . Or 1 z - y j admet, dans A,, un maximum M qui est atteint en un certain point frontiere x,, yo de A , . La fonction 1 z - Y -(zo-yo)
est holomorphe dans A , sans btre holomorphe en x,, yo, et, par suite, xo, yo est un point frontiere de D , . C. Q. F. D. Terminons ce chapitre par une remarque. I1 va sans dire que la mkthode, fondbe sur la theorie des groupes, qui a 6th employee aux paragraphes 6 et 7 pour la dbmonstration du thboreme I, pourrait aussi bien s'appliquer, avec de lkgeres modifications, It la determination des transformations des domaines de Reinhardt. On retrouverait ainsi les rksultats de P. Thullen par une mkthode diffkrente de la sienne. C h a p i t r e 111.
Les transformations des domaines semi-cerclCs. 9. Vue d'ensemble. Considkrons un domaine semi-cerclk bornk D . Parmi les transformations de D en lui-mbme, celles qui ont la forme (13) x' = d x ) , Y'= Y y ( x ) forment un groupe G, et les transformations x'= q ( x ) correspondantes foment un groupe g qui laisse invariant le domaine bornk d , projection de D . Le groupe g eat donc proprement discontinu, ou continu It un, deux ou trois parametres. A chaque transformation de g correspondent des transformations de G, dont chacune est d b f i e par la fonction y ( x ) correspondante. J e dis que, la fonction ~ ( x e'tant ) donnte, la fanction y ( x ) est bien dttermine'e au facteur e i e prh. Soient en effet ~ ( x etj y l ( x ) deux fonctions correspondant B la mbme fonction ~ ( x ) soient ; S et S, les transformations de G correspondant respectivement It y et y, . La transformation (S1)-l S s'kcrit
"'= x,
Y ' Y I ( ~= ) Y~ ( 5 ) ; comme elle transforme chacun des domaines 6 (x) 23) en lui-mbme, on doit avoir
U,
Cf-6 1.
562
H. Cartan.
Cela posk, nous allons prockder de la fagon suivante. L e m m e 7. groupe g , et le transformant le ramener a u cas
~ t a n tdonnds un sous-groupe y ci u n parame'tre d u sous-groupe r correspondant d u groupe G , o n peut, en domaine D en un domaine semi-cercle' e'quivalent, se ozi toutes les transformations de r ont la forme XI=
q ~ ( x ) , y'= y e i e .
Ce lemme sera dkmontrk 1 la fin du chapitre (§ 12). V ous commencerons par l'admettre. De ce lemme il rksulte que le groupe r peut Btre engendrk par deux transformations i~ifinitksimales. Par suite, le groupe G peut toujours itre engendrd par des transformations infinittsimales, ce qui n'ktait nullement kvident a priori. Le lemme 7 &ant admis, nous pourrons dkmontrer le L e m m e 8. S i le groupe g ddpend de plus d'un paramt?tre, le domaine D est kquivalent a u dicylindre 1x1 < I ,
lyi
0 ) ; xiq+ yia< 1 le groupe g ddpend donc de trois paramktres. Enfin, nous sewant du lemme 8, nous ktablirons le thkor6me V (cf. tj 3). Les thkoremes V I e t VII rksulteront alors des lemmes 7 et 8.
10. Dbmonstration du lemme 8. Supposons que le groupe g dkpende de deux ou de trois parametres. Le domaine d est alors simplement connexe, et l'on peut supposer que c'est le cercle I x 1 < 1. Or on connait tous les groupes A deux parambtres qui laiseent ce cercle invariant; un tel groupe est formk de toutes les transformations qui laissent fixe un point donnk de la circonfkrence. Repr6sentons d sur le demi-plan de Poincark x, > 0 (on pose x = x, i x,), de f q o n It envoyer le point fixe 1 l'infini; le groupe i deux parametres envisage prend la forme
-+
(14)
x'
=ax
+b
( a > O quelconque, b reel quelconque).
E n rksumk, si le groupe g depend de plus d'un parambtre, on peut se ramener au cas oh, le domaine d Ctant le demi-plan de Poincar6, le groupe g contient le sous-groupe y formk des transformations (14). Cherchons le sous-groupe r correspondant du groupe G. Le groupe r Gkpend de trois parametres et peut &re engendr6 par des transformations infinitksimales (conskquence du lemme 7, que nous admettons pour le moment). En ou-tre, toujours d'apres le lemme 7, on peut
Transformations des domaines cerclbs e t semi-cerclbs.
563
supposer que les transformations de r qui correspondent aux transformations
xl=x+b de y , ont la forme (15) xl=x+b, yl=yeie. Le groupe I' sera alors engendrk par les trois transformations infinitkimales suivantes
Les deux premikres engendrent le groupe ( 1 5 ) ; le premihre et la troisihme engendrent le sous-groupe de r correspondant aux transformations
( a > 0)
x'=ax
du groupe y. Soit B determiner la forme de la fonction q ( x ) . On a
gcrivons que ce crochet est une combinaison linkaire it coefficients rkels des transformations A , B, C ; il vient
q'(x) =i2
(1,
q(x) =i2x+p+ip1
( p et p, reels et constants).
On trouve alors facilement le groupe
rkel et constant);
r engendrk par A, B et C;
( a > 0 , b rhel),
=ax+b ,ieap y e - i l z
yle-ilzr=
"'
(0 reel quelconque)
Posons x
=X,
ye-ilz
=Y
c'eet
.
;
le domaine D se transforme en un domaine semi-cerclk kquivalent A, qui admet les transformations Supposons d'abord la forme
,LA = 0
. Alors il est clair que A a nhceaaairernent
X,>O,
JYl 0 (car y
= Yei"
est bonk dans le domaine, par hypothbe).
H. Cartan.
On a d'ailleurs 4X,= de sorte que A a la forme
Ix+il"- J x - i l a ,
Posons X-i -X+i
x',
4r Y
k(X+i)''
= y';
le domaine A se transforme en un domaine Bquivalent A', qui a la forme 1
x'iP+(Y';
1, so enthalt diese mindestens einen Polyzylinder Sj mit j < i , so daD die Polyzylinder Si und Sj Punkte ( des Raumes) gemeinsam haben und cij = 1 ist (d. h. 23 ist zusammenhangend); 2. gehort ein Punkt des Raumes drei Polyzylindern Si, Sj, S, an und ist cij = 1, SO ist stets cik L- F~~ (diese Bedingung besagt, daD zwei Punkte, die einem dritten identisch sind, auch untereinander identisch sind). Definition 1. Zwei Bereiche 23 und 23' seien je durch eine Oberdeckung definiert. 23 und 23' heipen identisch, falls man zwischen den Punkten von 23 und '$3' eine eineindeutige Zuordnung mit folgenden Eigenschaften herstellen kann: 1. Zwei einander zugeordnete Punkte besitzen die gleichen Koordinaten; 2. ist M,, ein Punkt aus 23, M,' der ihm zugeordnete Punkt aus 23', ist ferner Mi ( i = 1, 2, . ..) eine gegen M,, konvergierende 5, Punktfolge aus 23, so sol1 stets die Folge der den M i in 23' zugeordneten Punkte gegeri Mi konvergieren, und umgekehrt. Wir sagen ferner: Definition 2. Ein Bereich B' Ziegt im Innern eines Bereiches 23 oder 23 enthalt 23'-, falls man jedem Punkte aus 23' eindeutig einen Punkt aus 23 zuordnen kann und diese Zuordnung folgende Eigenschaften besitzt : 1. Zwei einander zugeordnete Punkte besitzen die gleichen Koordinaten ; 2. ist Mi ein Punkt aus B', Mo der ihm zugeordnete Punkt aus $3, ist ferner M i ( i = 1, 2, . . .) eine gegen Mi konvergierende Punktfolge aus 23', -
5, Wir nennen hierbei eine Punktfolge Mi aus M gegen den P u n k t M, aus $ '3 konvergent, falls - unter S sei ein beliebiger M, enthaltender Polyzylinder der Oberdeckung von b verstanden - von einem festen i ab alle M, in S liegen und der Abstand von Mi und M, gegen 0 strebt.
3 '
Singularitaten r o n Funktionen mehrerer Veranderlicl~en.
621
so sol1 stets die Folge der den i x in B zugeordneten Punkte gegen Mo konvergieren. Liegt B' im Innern von 2 und 8 im Innern von B', so sind B und B' identisch. D e f i n i t i o n 3. Ein im Innern von 23 liegender Bereich B' heiBt schlicht in bezug auf B - oder ein Teilbereich von B ---, falls ein Pullkt aus B rlie zwei verschiedenen Punkten aus B' zugeordnet ist. D e f i n i t i o n 4. Ein Bereich B' liegt ganz im Innern eines Bereiches 23, falls B' im Innern von B liegt und ferner, falls Mi, Mi, . . . eine beliebige Punktfolge aus B', MI, M,, . . . die den Mi' zugeordnete Folge aus B ist, in 23 mindestens ein Punkt P und mindestens eine Teilfolge der M iexistiert, die gegen P konvergiert. B sei ein beliebiger Bereich, M eiii Punkt aus B; unter allen Polyzylindern S ( M , r ) , die im Innern von B liegen, gibt es einen mit dem grdpten Radius Q. Wir bezeichnen diesen Polyzylinder mit S a ( M ) und nennen Q die Randdistanzo) won M in bezug auf %. Q ist dann und nur dann unendlich, falls 23 mit dem ganzen offenen Raum identisch ist. Liegt der Bereich B' im Innern von B urid ist M' ein Punkt aus B', M der ihm zugeordnete Punkt aus B, so verstehen wir unter der Randdistanz von M' in bezug auf % die Randdistanz von M in bezug auf %. Liegt der Bereich B' ganz im Innern von B, so ergibt sich ulimittelbar aus Definition 4, daB die Itanddistanzen der Punkte aus 8'in bezug auf 9 eine nicht verschwindende untere Grenze r besitzen. Wir nennen r die Minimaldistanz won B' in bezug auf B. Wir kommen nunmehr zu dem wichtigen Begriffe der k a n o n i s c h e n U b e r d e c k u n g e i n e s B e r e i c h e s 23: M, sei ein beliebiger fester Punkt des gegebenen Bereiches 8;iWl,M2, .. ., M y , , . . . sei ei~ieabzahlbare Punktfolge, die uberall in dem zu M, gehorigen Polyzylinder St+(Mo) dicht liegt. Wir betrachten dann die Polyzylinder S s ( M 1 ) ,S e (M, ), . . ., 8%(A!,.,),. . . ; in jedem dieser Polyzylinder, z. B. in Sa(M,,,) wdilen wir wiederum eine dort uberall dicht liegende Punktmenge My,,,, M,,,,,, . . ., M . . . ; und so fort. Wir erhalten so eine uberall in B dicht liegende abzahlbare Punktmenge, von welcher jeder Punkt MY, . , , eine endliche Anzahl Indizes ,.,,) ist. Diese Polybesitzt und Mittelpunkt eines Polyzylinders Sa(M,., zylinder ordnen wir in eine einzige Folge, die nur der Bedingung genugen mull, daB S B ( M v ,.,.,) stets an einer auf S % ( M , .,,,,.,_,) , folgenden Stelle steht; die Folge sei jetzt mit S,, S,, . . ., S , , . . . bezeichnet. Die F,; bestimmen wir wie folgt: Sind S i und Sj zwei Polyzylinder, die mindestens ,.,,,.7,
,.?.
,
,.?
,,,
6, Diese Sprechweise beeagt nicht, dalJ ~ r i rw i ~ ~ c nwas , unter dcm ,,Randc.' eines Bereiches zu verstehen ist.
H. Cartan und P. Tllullen
622
einen Punkt P aus 23 gemeinsam haben, so sei F~~ = I , in jedem anderen ~ ) wir eine kanoFalle F '.I. = 0. Die so konstruierte Menge {S,; F ~ nennen nische Siberdeckung des Bereiches 93. D e f i n i t i o n 5. Die Menge { S,; e i f ) sei eine kanonische Oberdeckung des Bereiches 23. Lassen sich die F~~ derart durch ein System von ersetzen, daD stets F ~ 5 ! ~ cij und daD ferner die dann entstehende Menge {S,; e h ) wieder einen Bereich 23' definiert, so heiDt 23' ein Uberlagerungsbereich von 23. K a n o n i s c h e s S y s t e m v o n R a n d p u n k t e n . {Si;F ~ ~sei) eine kanonische llberdeckung eines Bereiches 23. Auf dem Rande eines jeden Polyzylinders Si gibt es wenigstens einen Punkt, der nicht dem gegebenen Bereiche 23 angehort. Wir nennen ihn einen Randpunkt von 23. Einen solchen Randpunkt wahlen wir auf dem Rande jedes Polyzylinders S i . Die so erhaltene Menge von Randpunkten heiDe ein kanonisches System von Randpunkien des Bereiches 23. Es gilt folgender Satz: S a t z 1. 23 sei ein im Innern von 23' liegender Bereich; sind samtliche Punkte eines kanonischen Systems von Randpunkten des Bereiches 23 zugleich Iiandpunkte von 'H', so is2 23 entujeder mit 23' oder mi2 einem Uberlagerungsbereich von 23' identisch. E s stimmt namlich eine gewisse kanonische Oberdeckung von 23 bis auf die cij mit einer kanonischen Oberdeckung von 23' iiberein; da aber 23 im Innern von 23' liegt, mu0 stets c i j 5 sein ( F , ; seien zu 'Xf' gehorig), w. z. b. w. D e f i n i t i o n 6. E sei eine endliche oder unendliche Menge von Bereichen, die einen Punkt Mo gemeinsam haben. Der Durchschnitt 23 dieser Bereiche wird durch eine kanonische Oberdeckung wie folgt definiert: Sa(Mo) sei der groflte Polyzylinder mit M, als Mittelpunkt, der noch irn Innern aller Bereiche der Menge E liegt. Wir wahlen, wie friiher, eine iiberall in S?;(Mo) dicht liegende abzahlbare Folge MI, M., . . ., M,.,, . . . ; und so fort (vgl. S. 621). Die erhalt'enen Polyzylinder 8% (M., ,,, . .,)ordnet man dann wieder in eine einzige Folge S,, S,, . . ., S,, . . . ; es sei F . . = 1, '! falls S, und Sj als Polyzylinder des Raumes betrachtet ein Stiick gemeinsam haben, und falls ferner in jedem der gegebenen Bereiche sich die diesem Raurnstiick iiberlagerten Teile von Si und S, aus denselben Punkte,n des Bereiches zusammensetzen; in jedem andereil Falle sei cij = 0. Die so definierte Menge { S i ; c i j ) bestimmt einen Bereich 93, den wir den Durchschnitt der gegebenen Bereiche nennenC1).
~b
,
-
Durch die Wahl des Punktes M, ist der Durclischnitt B eindeutig bestin~mt'; dieser andert sich nicht, wenn man einen beliebigen andern Punkt des (zunachst, durch M, bestimmten) Bereiches 8 zugrunde legt. 6B)
Singularitaten rorl Funktionen mehrerer Veranderlichen.
9 2. Rrgularitatsbereic.he und Reg~ilaritatshiillen. Ein Bereic,h % sei durch eine Uberdeckung ( 8 ; ;eij) gegeben. Unter einer in 23 regularen F ~ n k t i o nverstehen wir eine Menge von Funktionen f , , f 2 , . . ., 6 , . . .;) mit folgenden Eigenschaften: 1. fi ist in Sj regulk ( i == 1, 2 , . . .); 2. sind S i und Sj zwei Polyzylinder, fur die F~~ = 1, so stimmen ui~cl f;. in dem gemeinsamen Teile von Si und Sj uberein.
fi
Auf die gleiche Weise definiert man eine in 23 meromorphe Funktion. Wie man sieht, lassen wir nur solche Funktionen zu, die in B eindeutig sind. 1st f eine in einem Bereiche B regulare oder merornorphe Funktion, so bezeichnen wir mit f ( M ) den endlichen oder ,,unendlichenU Wert der Punktion im Punkte M aus 8 ; ist f in '.X3 beschrankt, so bezeichnen wir mit max j f ( B )1 die obere Grenze der Werte von , f i in den Punkten von 93. R e g u l a r i t a t s b e r e i c h e i n e r F u n k t i o n . f sei eine in der Umgebung eines Punktes Mo regulare Funktion. Die Methode der analytischen Fortsetzung fiihrt dann, wie folgt, zu einer kanonischen Uberdeckung eines gewissen Bereiches 23: Ss(lM,) sei der groote Polyzylinder mit dem Mittelpunkte Mo, in dem f noch regular ist. Wir wahlen in S3(M0) eine uberall dort dicht liegende Punktmenge MI, ..; nnd so fort (vgl. S. liS1 und Definition 6 ) . Man erhalt wieder eine unendliche Folge von Polyzylindern S,, S , , . . ., S i , . . .; zu jedem Si gehijrt ein Funktionselement 6 der gegebenen Funktion f. Wir wahlen q j = 1, falls Si und Sj einen Teil (des Raumesj gemeinsam haben und f;: und f. dort ubereinstimmen; im anderen Falle sei F~~ = 0 . Den durch diese Oberdeckung bestimmten Bereich 9' 3 l~eilneiiwir den Regula.ritatsbereich der Funktion f. Entsprechend definiert man den iVleromorphiebereich einer Funktion. 1st eine Funktion f in einem Bereiche 8 regular (meromorph), so liegt 23 im Innern des Regularitatsbereiches (Meromorphiebereiches) von f. Satz 1 besagt jetzt folgendes: S a t z 1a. Ist eine Funktion f in einem Bereiche B, aber in keinem Yunkte eines kanonischen Systems von Randpunkten von B regular (bzw. meromorph), so ist B mit dem Regularitatsbereich (bzw. Meromorphiebereich) $' 3' d e ~Funktion f oder mit einem 6'berlagerungsbereich von 23' identisch. :) Mit f' bezeichnen wir kurz die Funktion f ( z , , z,, Vrrauderlirhrn z,. z , , . . ., 2,.
. . ., 2 , )
der n komplexen
H. Cartan und P. Thullen.
624
Definition 7. Ein Bereich % heiBt ein Regularitatsbereich (Meromorphiebereich) schlechthin, wenn es mindestens eine Funktion gibt, die 23 als ihren Regularitatsbereich (Meromorphiebereich) hat. Man uberzeugt sich leicht, daB diese Definition mit der in der Einleitung gegebenen aquivalent ist. Wir werden spater (11, § 4 ) sehen, daB jeder Regularitatsbereich ein Meromorphiebereich ist (dies ist keineswegs trivial). Die Frage, ob umgekehrt jeder Meromorphiebereich ein Regularitatsbereich ist, steht noch ganzlich off en.
Die Regularitatshiille eines Bereiches. Gegeben sei ein beliebiger E sei die Gesamtheit der Regularitatsbereiche der in % reguBereich laren Funktionen. Der Durchschnitt B aller dieser Bereiche ist eindeutig bestimmt (vgl. Definition 6 ) . Nach Definition hat der Bereich B folgende Eigenschaften: 1. % liegt im Innern won B h); 2. jede in % regulare Funktion ist auch in B regular. Nun werden wir spMer zeigen (11.§ 4 ) , daB der Durchschnitt einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Regularitatsbereichen selbst ein Regularitatsbereich ist. Nehmen wir diesen Satz vorlaufig als richtig an! Es ergibt sich dann als eine weitere Eigenschaft: 3. B ist ein Regularitatsbereich. Wir nennen B die R e g u l a r i t a t s h i i l l e von %. Die drei gewonnenen Eigenschaften sind fur die Regularitatshiille B des Bereiches % charakteristisch, d. h. jeder Bereich B', der diese drei Eigenschuften besitzt, ist mit B identisch. 1st namlich f eine Funktion, die B als ihren Regularitatsbereich hat, so ist f in %, also auch in B' (Eigenschaft 2 ) regular, es liegt somit B' im Innern von B; ebenso zeigt man, daB B im Innern von B' liegt, w. z. b. w. Bemerkt sei, daB man B auch durch eine gleichzeitige analytische Fortsetzung aller in $' 3 regularen Funktionen definieren kann.
m.
§ 3-
Haupteigenschaften der Regularitatshiillen. Gegeben sei ein beliebiger Bereich %; die Existenz der zu % gehdrigen Regularitatshiille B setzen wir voraus (wir werden diese spater beweisen konnen; 11, § 4). Aus der zweiten charakteristischen Eigenschaft von B ergibt sich unmittelbar: *) b braucht keineswegs ein Teilbereich von B zu sein. 1st etwa b ein nichtsclilichter Kreiskorper, so ist B ein schlichter, sternartiger Kreiskorper; vgl. die unter ') zitierten Arbeiten und 111, # 5 dieser Arbeit.
Singularitaten von Funktionen mehrerer Verariderliclien.
625
S a t z 2. N i m m t eine in % meromorphe Funktion f' dort den Wert a nicht a n , so ist f auch in B meromorph und ihr Wert dort verschieden von a ; insbesondere ist also max i f (23)1 = max i f ( B ) 1 fur jede i n 93 regulare und beschrankte Funktion. 1 Es ist namlich die Funktion in %, also auch in B regular, f-a w. z. b. w. F olgerung. Ist % beschrankt, so ist auch B beschrankt. Die Absolutbetrage der Funktionen z,, z,, . . . , z,, liegen namlich in %, also auch in B unterhalb fester endlicher Schranken. Bei der Abbildung zweier Bereiche aufeinander gilt: S a t z 3. Wird durch eine regulare Transformation ein Bereich 23, eineindeutig und analytisch auf einen Bereich %, abgebildet, so bildet dieselbe Transformation auch die zugehbrigen Regularit~tshiillenB, und B, eineindeutig u n d analytisch aufeinander ab. Wir beweisen zunbhst den H i l f s s a t z : Der Bereich 23 sei eineindeutig und analytisch auf einen Bereich 93' abbildbar; ist % ein Regularitatsbereich, so ist auch 23' ein Regularitatsbereich. Es sei namlich B' die Regularitatshiille von %'; die Transformation ;--
( T ) z ; = f l ( z , , z q ,..., 2,); z . = f 2 ( z 1 , z 2 ,..., z,,); bilde
... ; zI:=fn(z1,2, ,..., 5,,)
B auf %' ab; die zu T inverse Transformation sei
.
Die Funktionen fi-' ( z ; , . ., zn)) ( i = 1 , 2, . . ., n ) sind in %', also auch in B' regular. Da ferner die Funktionaldeterminante von T-' in %', also auch in B' nicht verschwindet, so wird durch T-' der Bereich B' auf einen % enthaltenden Bereich B abgebildet. Es sei nun f eine Funktion, die 93 als ihren Regularitatsbereich hat. Die Funktion f ( ~ - ' ) ist dann in $' 3' und somit auch in B' regular, also f r f (T-'. T ) in B noch regular. Folglich liegt B im Innern von '$3; da umgekehrt 23 im Innern von B liegt, ist % mit B und damit auch %' mit B' identisch, w. z. b. w. Beweis von S a t z 3. T sei die gegebene Transformation des Bereiches %, in den Bereich %,; die Funktionen von T sind in B, noch regular, und ihre Funktionaldeterminante ist dort verschieden von 0. B, wird alsSdurch T auf einen Bereich Be' abgebildet; B l enthalt %, und ist nach dem Hilfssatz ein Regularitatsbereich. Ferner sind samtliche in 8, regularen Funktionen noch in B; regular; ist namlich f in B, regular,
H. Cartan und P. Thullen.
626
so ist f(T) in B1, also auch in B,, folglich f = ~ ( T T - ' j in Bd noch regular. Bi besitzt somit die drei charakteristischen Eigenschaften der zu 8, gehorigen Regularitatshulle B,, w. z. b. w. F o l g e r u n g e n a u s S a t z 3. I. Ein Bereich B la,% nur solche eineindeutigen und analytischen Transfo~mationeni n sich zu, die auch seine Regu1arittr:tshiille B i n sich uberfiihren. Die Gruppe aller eineindeutigen und analytischen Abbildungen von 23 auf sich ist also stets eine Untergruppe der eineindeutigen und analytischen Abbildungen von B auf sich. 11. Die Regularitatshulle eines Kreiskbrpers (bzw. Reinhardtschen Kreiskorpers) ist wieder ein Kreiskdrper (bzw. Reinhardtscher Kreiskorper) - unter einem Kreiskorper mit dem Mittelpunkte (a,, a,, . . ., a,) verstehen wir dabei einen Bereich, der durch samtliche Trsnsformationen Z:
-
a,
= (z,
- a,) e
i6
(v = 1 , 2 , . . ., n ; A beliebig reell)
auf sich abgebildet wird und den Punkt (a,, a,, .. ., a,) als inneren Punkt enthalt; ein Reinhardtscher Kreiskorper wird entsprechend durch die Transformatioi~en i $, (v = 1 , 2, . . . , n; 8,, beliebig reell) Z: - a, = (z, - a,) e dehiert. Die Regularitatshullen dieser Bereiche wurden schon fruher im Falle n = 2 genauer untersucht '). 111. Als wichtigste Folgerung sei ein Verfahren genannt, das gestattet, beliebig viele - sogar beschrankte und einfach-zuoammenhangende s t a r r e Bereiche zu konstruieren, d. h. solche Bereiche, die auDer der Identitat keine eineindeutigen analytischen Abbildungen auf sich zulassen. Beschranken wir uns auf zwei komplexe Veranderliche! Der Bereich !Xi sei ein Kreiskorper und selbst kein Regularitatsbereich, B sei seine Regularitatshulle (B ist wieder ein Kreiskorper). Nun sind samtliche Abbildungen eines Kreiskorpers - mit Ausnahme von ganz speziellen Bereichen - mittelpunktstreu und ganz linearlo). 1st also %' ein Bereich, der % enthalt, aber noch im Innern von B liegt, und 1aDt ferner B' keine der bekannten (ganz-linearen) Transformationen des Kreiskorpers B zu, so muD 23' ein starrer Korper sein. Vgl. I), vor allern c). Vgl. P. Thullen, Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer Veranderlichen, Math. Annalen 101 (1931), S. 244-259, und H. Cartan, Sur les transformations analytiques des domaines cercl6s et semi-cerclbs born&, Math. Annalen 106 (1932), S. 540- 573. Uber die mittelpunktstreuen Abbildungen siehe auch H. Behnke, Die Abbildungen der Kreiskorper, Hamb. Abh. 7. Wir setzen voraus, daB B unter keinen der wenigen Ausnahmekorper fIillt; es zeigt sich iibrigens, daS, falls B eiu Ausnahmekorper und zugleich 9 B ist, B einem Dizylinder Iiquivalent ist; vgl. auch IV, 9 1. Q ,
lo)
+
Singularitiiten von Funktionen mehrerer Veriinderlichen.
627
11. F~ndarnenta~lsatz und 9-konvexe Bereiche.
Der Fundamentalsatz. K l a s s e n von F u n k t i o n e n . @ sei eine Menge von Funktionen, die in einem gegebenen Bereiche 23 regular (bzw. meromorph) sein mogen. 9 heil3t eine ,,Klasse in 23 regularer (meromorpher) Funktionen" oder kurz eine i n % regulare (meromorphe) Klasse, falls $I? folgende Bedingung erf iillt : 1st f irgendeine Funktion aus 9 , so enthalt 9 a f ( i= 1 , 2 , . . ., n ) (hierrnit also auch sLmt1. deren Ableitungen azi am,+...+m,,
I ) und a%?. . . a 2 2 2. samtliche Funktionen A{f}"; hierbei bedeutet A eine beliebige komplexe Konstante, p eine beliebige positive ganze Zahl. Als Beispiele seien einige wichtige Klassen genannt: Die Gesamtheit der in 93 regularen (meromorphen) Funktionen; die Gesamtheit der rationalen Funktionen; die Gesamtheit der Polynome oder die der homogenen Polynome; die Gesamtheit der Monome a z;"lz,"z. .. zrnl~. D e f i n i t i o n d e r B e r e i c h e %.!' -1)er Bereich %, liege ganz im Innern des Bereiches 23, r sei die Minimaldistanz von %, in bezug auf %; ferner sei Q < r eine gegebene positive Zahl. Die Gesamtheit aller Punkte M aus %, zu denen es in WXf,mindestens einen Punkt gibt, dessen Abstand von M kleiner ist als g, bildet einen Teilbereich von %, den wir mit 523;" bezeichnen; %$' liegt ganz im Innern von %. F u n d a m e n t a l s a t z . %, sei ein ganz i m Innern eines Bereiches % liegender Bereich, r die Minimaldistanz won %, in bezug auf 23, 9 sei eine i n 23 regulare Klasse. Gilt dann in einem Punkte M, aus % fur jede Funktion f aus R If(M0) IS maxIf(B0) 1, so ist 1. jede Funktion f aus 8 i n dem Polyzylinder S (M,, r ) noch regular und 2. max 1 f ( S (M,. P I ) I 2 max I f ( W ' ) / fur jedes g < r . Beweis. 1. f sei eine beliebige Funktion aus $I?; zur Abkiirzung setzen wir m a x ~ f ( % b T - ~=)A ) ~( 1 1 ) . liche Ableitungen hoherer Ordnung
628
H. Cartan und P. Thullen.
Nach dem Cauchyschen Integralsatze gilt dann am,+%+ ...+ nln 1 (1) ! m ! . . m ! a,?~ a,?;.. .. in jedem Punkte M aus M,,. Da die Ableitungen von f zu 8 gehoren, besteht nach Voraussetzung die Ungleichung (1) erst recht im Punkte M,,. Fur die Potenzreihenentwicklung fur f urn M,, = (z:, z,O, . .. , z,O) gilt daher die Abschatzung
Die Potenzreihe konvergiert somit gleichmal3ig und absolut, solange
(i = l 72 , . .., n ) .
) z i pz:( 0 , ein p,, < r - go und eine Funktion f aus 8 nicht erfullt, es ware also
Setzt man dann
3
f vp= ( -A (,,,o
1
, So wurde max y p (& (Mo, QO 1) 1 bei ge-
nugend grol3em p beliebig grol3. Andererseits ist cp, eine Funktion aus $3' und ferner fiir alle p, max 1 q~,(%f-'"') = 1
I
--
- ..--
Hierunter sei der Wert der betreffenden Ableitung im Punkte N o verstanden. Man beachte, da13 wir bisher nur die erste Klasseneigenschaft benutzt haben; es gilt also dieser Teil des Fundamentalsatzes auch fiir solche Funktionsfamilien, die nur die erste Klasseneigenschaft besitzen. 11)
12)
629
Singularitaten r o n Funktionen mehrerer Veranderlichen.
somit nach ( 3 )
also y, in S (M,, Po) fur alle p beschrankt, was obigem widerspricht, w. z. b. w. Ganz entsprechend beweist man fur meromorphe Klassen : Der Bereich B,, die Zahl r > 0 habe die i m Fundamentalsatze vorausgesetzte Bedeutung; 9 sei eine i n 93 meromorphe Klasse. Gilt dann i n einem Punkte Ma aus B fur jede ( i n Mo und Bo noch regulare) Funktion f aus 9 If(M0)l S m a x I f ( B o ) I 9
so ist fur ein beliebiges u mit 0 < u < r 1. jede i n 8:' noch regultire Funktion f aus Q , auch i m Polyzylinder S (Mo, u ) regular und 2.
max ( f ( S (M,,, Q))I
=< max I f (B?') I
fiir alle
Q
< u.
Der Fundamentalsatz hat naturlich nur fiir solche merornorphe Klassen ': noch regullre Funktion gibt. Sinn, in denen es mindestens eine in 8
$ 2.
-
Si konvexe Bereiche und 9-konvexe Hiillen. Der Bereich 8 sei der Regularitatsbereich einer Funktion q ; 2 ' 3, sei ein ganz im Innern von 23 liegender Bereich, r die Minimaldistanz von 93, in bezug auf 8. Es sei ft irgendeine in B regulare Klasse, welche die Funktion y enthalt; aus dem ersten Teil des Pundamentalsatzes folgt dann, da13 zu jedem Punkte M aus 8 , dessen Randdistanz in bezug auf B kleiner als r ist, mindestens eine Funktion f aus ji) existiert, so da13 @ f;I)' >max f ( 8 , ) , . Diese Tatsache fiihrt uns zu dem Begriffe der 9 -konvexen Bereiche. D e f i n i t i o n 8. 2 sei eine in dem Bereiche 23 regulte (meromorphe) Klasse; B sei der Durchschnitt aller Regularitatsbereiche (Meromorphiebereiche) der Funktionen aus 2;'23 liegt im Innern von B. Der Bereich 23 heifit ,,konvex in bezug auf die Klasse 9 '' - oder kurz Q konvex -, wenn folgende Bedingungen erfullt sind: 1. 8 ist ein Teilbereich von B; 2. ist Bo irgendein ganz i m Innern von 23 liegender Bereich und r seine Minimaldistanz i n bezug auf 93, so existiert zu jedem Punkte M aus 93, dessen Randdistanz i n bezug auf B kleiner als r ist, i n 9 min-
-
630
H. Cartan und P. Thullen.
destens eine Funktion f (regular und beschrankt in Bo), so dab
.
Die zu Anfang d<s Paragraphen gefundene Eigenschaft eines Regularitatsbereiches besagt jetzt: F o l g e r u n g 1 d e s F u n d a m e n t a l s a t z e s . Ist der Bereic?~23 der Regularitatsbereich einer Funktion f', urtd R eine f enthaltende, in 23 reguhire Klasse, so ;st 23 9-konvex. Ebenso findet man: F o lger ung 2 . Der Durchschnitt 23 einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Regularitatsbereichen ist R -konetex; 9 bedeutet hierbei die Klasse aller in 23 regularen Funktionen (folgt unmittelbar aus dem ersten Teile des Fundamentalsatzes) . F o l g e r u n g 3. Ist der Bereich 23 der Durchschnitt einer endlichen oder unendlichen Anzahl von 9-konvexen Bereichen, so ist 23 Q-konvex; 9 bedeute irgendeine in 23 regulare oder meromorphe ~ i a s s e . B e w ei s. B sei der Durchschnitt der Regularitatsbereiche (Meromorphiebereiche) der Klasse 8;23 ist ein Teilbereich von B. Wir haben also nur die zweite Eigenschaft der 9 - konvexen Bereiche (Definition ti ) nachzuweisen. 23, sei irgendein ganz im Innern von '$3 liegender Bereich, r sei die Minimaldistanz von 8, in bezug auf '$3. Es sei ferner bl ein Punkt aus 23 mit der Eigenschaft, daB fiir jede (in '$3, beschrankte) Funktion f aus 9 gilt: f'(M) maxi f@O) I .
I
1s
Wir werden zeigen, daB die Randdistanz eines solchen Punktes M in bezug auf 23 groaer oder gleich r ist (woraus dann oilenbar die Behauptung folgt). Es ist namlich die Minimaldistanz von 23, in bezug auf irgendeinen der gegebenen 9-konvexen Bereiche mindestens gleich r und daher nach Definition 8 die Randdistanz von M in bezug auf jeden dieser Bereiche mindestens r ; es mu13 also der Polyzylinder S (M, r 1 im Innern von "3, des Durchschnitts aller dieser Bereiche liegen, w. z. b. w. Die 6.-konvexe Hiille eines Bereiches 8 . 8 sei eine in % regulare Klasse, B der Durchschnitt aller Regularitatsbereiche der Funktionen aus 9 . B enthalt 23 und ist 9 - konvex (Folgerung 1 und 3 ) . 13) Hat f (bei einer meromorphen Klasse) in M einen Pol, so gibt es in beliehiger Nachbarschaft von M Punkte M', in denen f noch regular, aher beliebig hohe Werte annimmt, also sicherlich auch ( t(M') [ > max 1 f (93,) ( erfiillt ist.
Singularitaten von Funktionen mehrerer Veriinderlichen.
63 1
Der Durchschnitt 23' aller 9-konvexen Bereiche, die 3 enthalten (es existiert wenigstens ein solcher Bereich, namlich B j , ist selbst wieder 3-konvex (Folgerung 3 ) . B' ist nach Definition der kleinste '$3 enthaltende 8-konvexe Bereich; wir nennen B' die 9-konvexe Hulle von B 14). Man erkennt leicht, da13 fiir jede i n B beschrankte Funktion f aus 9 gilt max I f(23') I = max I f ('$3) 1 .
Haupteigenschaft der 8 - konvexen Bereiche. Wir werden jetzt die wichtige Umkehrung von Folgerung 1 des Fundamentalsatzes beweisen : S a t z 4. 9 sei eine i n dem Bereiche 23 regulare (meromorphe) Klasse. 1st B 9 - konvex, so ist 23 ein ~berlagerungsbereich eines Regularitatsbereiches (Meromorphiebereiches). Existiert jerner ein Bereich B, der '$3 als Teilbereich enthult und zugleich Durchschnitt von Regularitatsbereichen ist, so ist B ein Regularitatsbereich ( Meromorphiebereich) . F o l g e r u n g . 1st 9 eine i n B regulcire Klusse und B Q- konvex, so is2 23 ein Regularitatsbereich. (Als Bereich B wahle man den Durchschnitt aller Regularitatsbereiche der Funktionen aus 9 . ) Beweis v o n S a t z 4. 1. Die Punktmenge M , , M ,:,..., Mi ,... sei ein kanonisches System G von Randpunkten des Bereiches 8 . Wir werden zunachst eine in '$3 regulare (meromorphe) Funktion f: konstruieren, die in samtlichen Mi wesentlich singular wird, womit nach Satz 1a der erste Teil des Satzes bewiesen ist. Hierzu wahlen wir eine im Innern von 3 liegende Punktfolge: P I , P,, . . . , P,, . . . , die in '23 keinen Haufungspunkt besitzt, sich aber gegen jeden Punkt Mi des kanonischen Systems 6 hauft. Ferner sei !8,, B,, .., B,, . . . eine Folge von Bereichen mit den beiden Eigenschaften: 1. jedes 23, liegt ganz im Innern von B und B,,, und ist ein Teilbereich von 'S ( m = 1 , 2 , . . .); 2. zu jedem ganz im Innern von liegenden Bereiche $' 3, gibt es ein m a , so daB alle Bn, mit m 2 ma 23, enthalten; bezeichnet man mit r, die Minimaldistanz von 23, in bezug auf %, so ist insbesondere lirn r, = 0 .
.
m-tm
3
Es sei nun qv die Randdistanz von P,, ( Y = 1 , 2, . . .) in bezug auf (es ist lim o = 0 ) . Zu jedem 1) (von einem gewissen v, ab) existiert 1,-*coCV
ein groBtes m - es sei mit m , bezeichnet --, so da13 q, 0 in bezug auf B', was der Voraussetzung widerspricht. Folgerung. Gibt es zu jedem Randpunkte M eines Regularitatsbereiches B eine in B regulare Funktion f , die in M singular, aber i n jedem anderen Randpunkte von B regular ist, so ist B keine echte Regularitatshiille. Beispiele solcher Bereiche sind die Hyperkugel / z, 1 ' ) t/z, / ' ... Jz, 1" 1 oder - im Raume zweier komplexen Vednderlichen ui, z - die Bereiche 1 w 1" ( z1" 1 ( j u reell), ferner alle vollkommen-konvexen Bereiche (konvex im gewohnlichen Sinn des Wortes).
-+ +
-
Bemerkt sei, daP samtliche Satze dieses Paragraphen ganz allgemein jiir 9-konvexe Hiillen gelten - 2 bedeute eine beliebige regulare Klasse.
5
2.
Eine Erweiterung der Theorie der 9 -konvexen Bereichr. Der Theorie der 9-konvexen Bereiche lag der zu Anfang mit Hilfe der Polyzylinder eingefiihrte Begriff des Abstandes zweier Punkte zugrunde jvgl. auch die Begriffe ,,Randdistanzb. und .,Minimaldistanzb6).UTir werden bald sehen, dal3 sich ganz parallele Theorien aufbauen lassen, wenn man von einem Distanzbegriff ausgeht, der durch einen beliebig vorgegebenen, schlichten und beschrankten Kreiskorper - z. B. durch eine Hyperkugel -
vm-
---
definiert ist, wenn man also etwa, wie iiblich,
z:"12
~
-
als Abstand
2- 1 ~.
cler Punkte MI und M2 einfiihrt. Die ganze Theorie der $?-konvexen Bereiche laWt sich dann auf Grund einer Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes ohne Schwierigkeit iibertragen. Xllerdings miissen wir dabei den Regriff dsr ..Klasse" etwas verengen, indem wir eine neue Bedingung - wir nennen sie die ..Eigensclra,'t [A]" - hinzufugen: 1st f eine Punk-
Singularitaten von Funktionen mehrerer Veranderlichen.
645
tion der gegebenen Klasse, so sollen samtliche Funktionen
( a , beliebige Konstante) zur Klasse gehoren. Diese Eedingung erfullt z. B. die Klasse der homogenen Polynome, nicht aber die Klasse der Monome. B ez ei c h n un g. 1st A irgendein beschrankter Kreiskorper mit dem Nullpunkt 0 als Mittelpunkt, so bezeichnen wir mit A(M) den durch Parallelverschiebung 633 aus A entstehenden Bereich; insbesondere gilt A ( 0 ) =. A ; A(M) ist ein Kreiskorper mit M als Mittelpunkt. Die B e r e i c h e %AA' (vgl. S. 627). 23, sei ein ganz im Innern des Bereiches 23 liegender Bereich, A irgendein schlichter, beschrankter Kreiskorper mit dem Mittelpunkte 0 , der nur der Bedingung genugt, da13 sanltliche Bereiche A (M) - M sei ein beliebiger Punkt aus 23, - im Innern von 23 liegen. Unter 23f' verstehen wir dann die Gesamtheit aller Punkte P aus 23, zu denen es in 2' 3, mindestens einen Punkt M gibt, so da13 P im Innern von A(M) liegt. 23k1) ist ein Teilbereich von 23. S a t z 16. (Verallgemeinerung d e s F u n d a m e n t a l s a t z e s . ) 23, sei irgendein ganz i m Innern des Bereiches 23 liegender Bereich, R sei eine i n 23 regulare (meromorphe) Klasse mit der Eigenschaft [ A ] . Gilt dann i n einem Punkte M, aus 23 fur jede ( i n M, und 23, noch beschrankte) Funktion f aus 9 I f(M0)I max I f(Mo!l, und ist ferner 4 ein beliebiger Kreisk6rper mit der Eigenschaft, daB der Bereich 23:' noch ganz i m Innern von 23 liegt, so gilt ffir jede ( i n g:," beschrankte) Funktion f aus 9 : 1. f ist i n dem Bereiche A(M,) regular und
s
2. maxf(A(M,))I ~ m a x I f ( 2 3 h 1 ' ) I . Den Fundamentalsatz erhalten wir, wenn wir statt 3 einen Polyzylinder S ( 0 , p ) wahlen - es sei p < r und r die Minimaldistanz von %, in bezug auf 23 -; es ist dann %hJ' E 23;" und A (M, i S (M,, p i . Wir fuhren den Beweis von Satz 16 zunachst fur sternartige Kreiskorper. H i 1 f s s a t z. Ist P, ein beliebiger Punkt eines sternartigen Kreiskdrpers A , so kann man stets durch eine homogene lineare Transformation
-
A so auf einen Bereich A' ") 32)
abbilden, dab der Bildpunkt P,,' von Po
A' ist selbst wieder ein sternartiger Kreiskorper.
646
H. Ca,rtan u r ~ dP. Thullen.
im I?anern eines Po1yzylindei.s S ( 0 , Q )
und S ( 0 , Q j selbst noch i m Innern von A' liegt. Beweis. Der Punkt Po habe die Koordinaten z r , z;, . . ., 22. Wir diirfen Po+ 0 voraussetzen (fur Po 0 ist der Hilfssatz trivial). Dann gibt es eine homogene lineare Transformation, die Poin einen Punkt P; mit den Koordinaterl ' 0 ' 0 -- - 0 (z;)O=l; (2,) =(zl)O= . . . = ( z,,)
-
abbildet. ;:I' sei der dabei aus A entstehende Bildbereich. Punkt PA enthalt und zugleich ein sternartiger Kreiskorper ist, samtliche Punkte (zi, 0 , . . ., 0 ) mit z i 1 2 1 im Innern von A'. dieser Punkte enthalt A' zugleich seine volle Umgebung; da menge abgeschlossen ist, gibt es also ein festes e > 0 , so daB liche Punkte des Polyzylinders
Da A ' den liegen auch Mit jedem die Punktnoch samt-
in1 Innern von il' liegen. Diirch eine geeignete Streckung 1aQt sich dieser Polyzylinder in einen Polyzylinder der gewunschten Form S ( 0 , ~ )iiberfuhren, w. z. b. w. Beweis v o n S a t z 16. Man beachte folgendes: Geht bei einer homogenen linearen Transformatio?~L der Bereich A i n den Bereich A' iiber, so wird durch L der Bereich A (M) auf den Bereich A'(M') abgebildet, wobei M einen beliebigen Punkt, M' seinen durch L entstehenden Bildpunkt bedeutet. Ferner geht bei einer homogenen linearen Transformation eine Klasse mit der Eigenschaft [ A ] wieder in eine solche Klasse uber. 1st demnach 3 ein sternartiger Kreiskorper, so laBt sich Satz 1 6 auf Grund des Hilfssatzes sofort auf den Fundamentalsatz zuruckfuhren. Es sei nun A ein beliebiger (nicht sternartiger) Kreiskorper, der die Voraussetzung von Satz 16 erfiillt. d sei die Regulantiitshiille von if, 23 die von B. 1st M irgendein Punkt aus B0, so liegt A(M) noch ganz in1 Innern von B und der Teilbereich Bid' ganz im Innern von Man wende jetzt auf den Bereich B und den sternartigen Kreiskiirper A Satz 16 an. Um dann die Behauptung des Satzes auch fur den Kreiskorper A zu gewinnen, braucht man nur J wieder durch A , B durch B zu ersetzen, indem man zugleich beachtet, daQ (nach Satz 2 )
a.
max I f (&MI)
1 = max I f (A (Mi) I ,
also auch max 1 f (B;")I = man I f (8;")1 .
Si~lgularitatenvon Funktionen mehrerer Veranderlichen.
647
A n w e n d u n g v o n S a t z 16. A sei ein beliebiger, aber im folgenden fester, beschrankter Kreiskorper mit dem Nullpunkt 0 als Mittelpunkt. Unter d ( M , r ) verstehen wir den durch die Transformation z/ = r .z; (i= 1 , 2 , .. ., n )
-
und die darauf folgende Parallelverschiebung O M aus A entstehenden Bereich. Sind dann M , und M, zwei beliebige Punkte und ist r die untere Grenze aller Werte Q , fur die ' l ( M 1 ,Q ) den Punkt M, noch enthalt, so wollen wir r den Abstand des Punktes M, von MI nennen. Es ist klar, daB M , von MI den gleichen Abstand hat, wie MI von M?. 3 ( M , r ) konnen wir jetzt als die Gesamtheit aller Punkte betrachten, deren Abstand von M kleiner als r ist. Entsprechend definiert man die ,,Randdistanz" und ,,Mini*maldistanzu. Auf den so eingefuhrten Distanzbegriff 1aBt sich die ganze Theorie der Q-konvexen Bereiche ohne jede dnderung ubertragen, wenn man nur verlangt, daB die betrachteten Klassen die Eigenschaft [ A ] besitzen. Wahlt 1 z, 1' . . . z, 1' < 1 , so man insbesondere fiir A die Hyperkugel z, 1" erhalt man den gebrauchlichen Distanzbegriff. Es gilt also die ganze in dieser Arbeit aufgebaute Theorie auch dann noch, wenn man dem Worte ,.Abstandd den gewohnten Sinn beilegt.
+ +
(Eingegangen am 17. 11. 1831.)
Sur les fonctions de ylusieurs variables complexes. L'itkration des transformations intkrieures d'un domaine bornk Mathernatische Zeitschrift 35,760-773 (1932)
Dans un article rQcentl), je m'ktais occupk des cc transformations intkrieures)) d'un domaine bornk D, c'est-a-dire des transformations (analytiques par rapport aux variables complexes) d'un domaine bornk D en un domaine intkrieur B. D . Je mYQtaisd'ailleurs limitk au cas de deux variables complexes. M. Carathkodory, dans un mkmoire2) dont il a eu l'amabilitk de me communiquer les kpreuves, a repris 1'Qtude de cette question en la simplifiar~tet en la complktant. LCmkmoire de M. CarathBodory, qui est en sommi un expos6 systkmatique de la thkorie de la convergence des suites de transformations analytiyues, contient certains rCsultats qui m'ont amen6 quelques rkflexions faisant l'objet essentiel du prksent travail (Satz 1 4 de M. Carathkodory, $ 5 de ce travail,). L'Qtude de M. CarathQodory, valable pour n variables complexes, ne s'applique malheureusement qu'aux domaines univalents. J'ai cherchk prQciskment i obtenir iui des 6noncks valables aussi hien dans le cas des domaines multivalents cjue dans celui des domaines univalents. Aussi ai-je QtQconduit & placer d'abord (5s 1-4) quelques considerations gknQrales sur les domaines et les transformations analytiyues. Sans chercher a d4velopper compl6tement une thkorie analogue a celle de M. ('arathkodory pour les domaines univalents, je dQmontre quelques propositions qui sont vraies l ) Henri Cartan, Sur les fonctious d e deux variables complexes. Les transformations d'un domaine born6 D en un domaine intkrieur B 1) (Bull. Soc. Math. de France 58 ( 1 9 3 0 ~p. 199-219). Ce travail sera dksignk ici pal [ a ] . 7 CC:. CarathBodory, Uber die Abbildungen, die durch Systeme von analytischei~ Funktionen von mehreren Veranderlichen erzeugt werden, Math. Zeitschr. 34 (1932), p. 738-792. Ce travail sera dBsignP ici par [b).
761
H. Cartan. Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
aussi bien dans le cas multivalent que dans le cas univalent; signalons notamment le theoreme 2 (§ 4), qui correspond au theoreme 10 de M. Carathbodory, bien que la dbmonstration en soit toute diffQrente. Mais les paragraphes 1, 2, 3, 4 ne doivent Btre considkrQs que comme des prbliminaires indispensables A l'exacte comprkhension du paragraphe 5 , qui constitue la partie essentielle de ce travail. Tout ce qui suit s'applique aussi bien au cas d'une variable complexe qu'au cas de n variables complexes. § 1.
GBnBralitBs sur les transformations analytiqnes. Plapons-nous dans l'espace de n variables complexes z, , z, , . . . , z,,, et considbrons un systeme de n fonctions de ces variables, holomorphes dans une hypersphere 2 ayant pour centre un point 0 de cet espace. A chaque point M de 2 ces fonctions font correspondre un point que nous dbsignerons par S ( M ) ; nous dirons aussi que ces n fonctions definissent, dans 2, une transformation analytique S. Si le jacobien de la transformation S est identiquement nu1 dans 2, les n fonctions dkfinissant X ne sont pas independantes; nous dirons alors que la transformation S est de'gtne'rde. Si S est dkgbnQrite, l'ensemble des transformbs des points de 2' a moins de n dimensions complexes. Envisageons maintenant une transformation S non degdndre'e. Ou bien le jacobien de S n'est pas nu1 au point 0 , ou bien il est nu1 en 0 sans Btre identiquement nul. Dans le premier cas (jacobien non nu1 en 0 ) , on sait qu'il existe une hypersphere 2' de centre 0 , interieure & 2, et un domaine univalent 2; contenant a son intQrieur le point 0, = X (01, tels que la transformation S Qtablisse une correspondance biunivoque entre les points interieurs de 2' et ceux de 2;'. Le cas oh le jacobien de S s'annule en 0 sans dtre identiquement nu1 est plus compliquQ. Le probleme de l'inversion de la transformation S , dans ce cas, a kt6 resolu par Osgood qui a montrit ceci"): ou bien il existe, dans toute hypersphere de centre 0 si petite soit-elle, au moins un point, autre que 0 , dont le transforme par S coi'ncide avec S ( 0 ) ; nous dirons alors que le point 0 est un point exceptionnel pour la transformation S , ou encore que la transformation S est exceptionnelle au point 0 ; - ou bien lYhypoth&seprkckdente est exclue, et l'on ditniontre alors l'existence d'une hypersphere -2" de centre 0 , d'une hypersph6re 2'; de centre 0, S ( 0 ) , et d'un entier k 2 2, tels que l'itquation S (&I ) M I ,
-
3,
Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie 2 (2. Aufl.), p. 139 (Satz 2).
-
762
H. Cartan.
oh M, dBsigne un point arbitraire de Y.,; ait exactement k solutions ikl intkrieures 21 2"; ces k solutions sont distinctes si MI ne se trouve sur aucune des variBt6s d'un certain ensemble E, de vari6tBs analytiques A n - 1 dimensions complexes4), en nombre fini, passant par 0 , ; au contraire, si MI vieilt en un point d'une variBtB de l'ensemble E,, les k solutions se confondent totalement ou en partie. L'ensemble El n'est d'ailleurs autre que l'ensemble des transformits par S des points oh s'annule le jacobien de S. 11 rBsulte de 1& que, lorsque 0 n'est pas un point exceptionnel pour la transformation S envisagite, S transforme un voisinage suffisamment petit du point 0 en un dornaine & k cc feuillets )) ; ces feuillets se raccordent suivant une ou plusieurs variBt6s de ramification, qui sont des vari8tBs analytiques 21 n - 1 dimensions complexes passant par le point 0, S ( 0 ) . Nous dirons dans ce cas ( e t aussi dans le cas k = 1 qui est celui oii le jacobien de S ne s'annule pas au point 0 ) que la transformation S est topologique au point 0. En rhumb, une transformation analytique quelconque, supposke dCfinie dans une hypersphBre 2 de centre 0 , est ou bien dCgBn&rBe, ou bien exceptionnelle au point 0 , ou bien topologique au point 0. Disons encore quelques mots sur les points exceptionnels d'une transformation analytique non dBgknkr6e. D'aprBs un thBorBme connu"), si 0 est un point exceptionnel pour la transformation S , l'ensemble des points M , voisins de 0 , dont l'image S ( M ) coincide avec S ( O ) , constitue une ou plusieurs variBtBs analytiques (en nombre fini) passant par 0 ; ces variBGs, qui n'ont pas toutes forcement le m6me nombre de dimensions (complexes), sont transformkes par S en un point unique, le point S ( O ) , e t tous les points de ces variirtBs sont des points exceptionnels pour la transformation S . Mais il se peut qu'il existe encore d'autres points exceptionnels dans un voisinage arbitraire du point 0 . =) 11 ne semble pas que l'on ait 6tudi6 systCmatiquement la distribution de l'ensernble de tous les points exceptionnels voisins d'un point donni! 0. J e suis arriv6 au rBsultat suivant, dont je ne donnerai pas ici la ditmonstration: Btant donnee une
-
Relativement 9, la notion de varibtb analytique & p dimensions complexes, voir Osgood, loc. cit., p. 131 - 133. 7 Osgood, loc. cit., p. 132. O) Par exemple, Btant donnee la transformation ( n 3)
-
-
les points z,, z,, z, ayant pour transform6 le point zi = z,' = z: = 0 remplissent trois varibtbs b une dimension complexe, savoir z, z, = 0 , z, z, = 0 et z, = z, = 0 ; quant aux points exceptionnels, ils remplissent trois varikt6s & deux dimensions complexes, savoir z l = O , z , = 0 et 2 , - 0 .
-
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
763
transformation analytique non dkgknkrke dans une hypersphere 2 de centre 0 , ou bien il existe une hypersphere 2' de centre 0 & l'intkrieur de laquelle ne se trouve aucun point exceptionnel; - ou bien 0 est un point exceptionnel, et il existc alors une hypersphere 2" de centre 0 , intkrieure & 2, telle que l'ensemble des points exceptionnels intbrieurs & ,. " constitue une ou plusieurs vari6tks analytiques (en nombre fini) passant par 0 ; chacune de ces variktks est dbfinie par une ou plusieurs relations analytiques entre les variables somplexes z, , . . ., zn ; ces varibtks n'ont pas toutes forckment le m6me nombre de dimensions.
$ 2.
Domaines et transformations analytiques. Nous considkrerons seulement des domaines ouverts, constituks uniquement de points & distance finie. Les domaines que nous envisagerons pourront n'gtre pas univalents; ils pourront mgme contenir & leur intkrieur des variktks de ramification analytiques A n 1 dimensions complexes, a condition que le voisinage d ' u n point de ramification quelconque puisse ktre considirk comme transforme' d'un voisinage univalent d'un certain point 0 par une transformation topologique en 0 . Un domaine d est dit inttrieur & un domaine D s'il existe une correspondance continue qui associe & chaque point M de d un point M' de D et un seul ayant les m6mes coordonnkes que M . On dit aussi que le domaine D contient le domaine A . Un domaine A est dit sous-domaine d'un domaine D si A est iritkrieur & D, et si en outre la correspondance prkckdente fait toujours correspondre deux points distincts de D & deux points distincts de d , ce que nous exprimerons en disant que A est univalent par rapport a D (par exemple, un domaine univalent, au sens ordinaire du mot, est un sous-domaine de l'espace, et rkciproquement). Un sous-domaine A d'un domaine D est dit compl2tement inttrieur & D si, ktant donrik un ensemble infini quelconque de points de A , les points correspondants de D ont au moins un point d'accumulation intkrieur & D. Un systeme de n fonctions holomorphes (uniformes) dans un domaine D dkfinit une transformatiori S du domaine D. Si S est dbgknkrke au voisinage d'un point particulier de D, S est dkgknkrke au voisinage de tous les points de D ; nous dirons simplement que S est de'ge'ntrte. Si S n'est pas dkgknkrke, on peut se proposer d'ktudier S au voisinage de chaque point de D. Au voisinagc d'un point intkrieur 0 qui n'est pas un point de ramification pour le domaine D, tout ce qui a ktk dit plus haut est applicable. Si le point 0 est un point de ramification, on se ramene au premier cas en considkrant le voisiriage de 0 comme transform6 -
d'un voisinage univalent par une transformation topologique, ce qui permet d'6tudier S comme plus haut. En rhumb, 6tant donnBe, dans un domaine D, une transformation analytique S non dBgBnQrQe,les points de D qui sont exceptionnels vis-&-via de S se repartissent sur des vari6tQsanalytiques, dont le nombre de dimensions complexes est d'ailleurs quelconque; ces variQt6s seront dites exceptionnelles vis-a-vis de la transformation S . Si le domaine D ne contient aucune vari6tQ exceptionnelle, la transformation S sera dite topologique dans D ; dans le cas contraire, S sera dite ezceptionnelle dans D . D'aprBs ce qui prkcBde, si une transformation analytique S est topologique dans un domaine D , elle transforme biunivoquement l'intbrieur de D en l'int6rieur d'un certain domaine D l ; nous Qcrirons
ou remarquera que la transformation inverse S-' est topologique dans Dl. Au contraire, soit S une transformation analytique exceptionnelle dans un domaine D , et soit D S le domaine obtenu en retranchant de D les varikt6s exceptionnelles vis-a-vis de S . La transformation S est topologique dans D" et transforme U " en un domaine Dl:
La transformation S - I transforme topologiquement D l en D S ; elle est indeterminie aux points transformks par S des points exceptionnels de D ; ces points d'indktermination sont des points frontiZros de D l . Par extension, nous emploierons la notation (1) m6me dans le cas oh S est topologique dans D , btant entendu que D S est identique & D dans ce cas.
Limite d'une suite uniformement convergente de transformations. Soit donn6 un domaine D ; consid6rons une suite infinie de systBmes de n fonctions holomorphes dans le domaine D ,
et supposons que, pour chaque valeur de j ( j = 1, 5 , . . ., n ) les fiJ convergent uniformQment') vers une fonction holomorphe f,3 quand i augmente ind6finiment. Soit S , la transformation d6finie par les fonctions fil, . . ., fin, et soit So la transformation d6finie par f,', . . ., Sous dirons que la
fa".
-- ..--
7 Xous
convenons de dire que la convergence est uniforme dans le domaine LJ si elle est uniforme dans tout sous-domaine compl6tement intkrieur a D .
4
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
765
suite des transformations Si ( i= 1, 2 , . . ., k , . . .) converge uniformtment vers la transformation S o . Une famille infinie F de transformations analytiques d'un domaine D .sera dite normale dans ce domaine, si de toute suite infinie de transformations de F on peut extraire une suite infinie qui converge uniformkment dans le domaine D. I1 en est ainsi, par exemple, lorsque les ensembles des points transformks des points de D par une transformation quelconque de F sont uniformkment born&. T h k o r h m e 1. Soit D u n domaine privt de varie'tts de ramification, et soit, dans ce d o m i n e , une suite de transformations analytiques S,, . . ., S,, . . . qui convergent uniforiniment uers une transformation analytique S . Xupposons que: 1" X soit topologique dans D ;2' S transforme D en un domaine D' privt de varitte's de ramification'). Alors, e'tant donnks arbitrairement deux sous-domaines A et (J, complPtement inttrieurs ci D , et tels que A soit complbement inttrieur a A,, on peut trouver un entier K qui jouit de la proprittt suivante: pour toute valeur de k plus grande que K , 1" S , est topologique dans J,; 2" le domaine S , (A,) est u n sous-domaine de U ' ; 3" le domaine S (J) est u n sous-domaine de S,L(il,). La premihre partie du thkorhme rksulte du fait que les jacobieris des transformations S , convergent uniform&ment vers le jacobien de S ; comme ce dernier ne s'annule pas dans D , le jacobien des S , lie s'annule pas dans A, dQ que k est plus grand qu'un certain nombre K,. Donc, si k > K,, nor1 seulement S , est topologique dans A,, mais le domaine S,(A,) ne possBde aucune variktk de ramification. D'ailleurs, le domaine S,(A,) est intkrieur A D' dhs que k est plus grand qu'uii certain nombre K, i K2 2 K,), puisque le domaine S(il,) est complhtemeiit intbrieur A D' et que les transformations S , convergent uniformkmrnt vrrs S . Paur montrer la deuxihme partie du thkorhme, il faut montrer l'existence d'un nombre K, ( K , 2 K,) tel que, pour tout k > K,, le domaine S , (A,) soit ilon seulement intkrieur A D', niais encore univalent par rapport a D'. Or, admettons qu'un tel nombre h:, n'existe pas. On pourrait trouver une suite infinie croissante d'entiers 2 , : . . ., i,,. . . . et une suite correspondante de couples de points distincts ,41;,, e t Pi, du domaine A, tels que les points S A ,(MA,)et 81, (P;.,,)fussent confondus ell url mBme point de D'.On pourrait, en extrayant au besoin de la suite i , ,. . ., A,, . . . -
Ces deux llypothkses equivalent j. la s u ~ v a n t c :le jacob~cn de S ne s'annulc pas dans D . H,
766
H. Cartan.
une nouvelle suite, supposer que les points M,, et P).,tendent respectivement vers deux points M, et Po, int6rieur au domaine D . Les points transformks S (M,) e t S (Po)seraient confondus en u11 meme point de U ' , ce qui exigerait que P, fiit confondu avec M,. Cela pod, soit \' une hypersphhre complhtement intkrieure A D et d o r ~ tle centre est en M,; nous supposerons en outre le rayon de 2 assez petit pour que le domaine S (L) soit univalent. Le nombre des solutions de l'kquation en M qui sont intkrieures A 2 est au moins kgal & deuz si 2, est assez grand; or ce nombre est &gal A une certaine intkgrale (intkgrale de Kronecker) ktendue & la frontihre de X. Lorsque A, augmente indkfiniment, la valeur de cette int6grale tend, A cause de la convergence uniforme, vers la valeur de l'intkgrale donnant le nombre des solutions de l'kquation S(M)
-
S(M,),
c'est-A-dire vers un. Nous arrivons ainsi A une contradiction. C. Q. P. D. La troisihme partie du thkorkme 1 se dkmontre d'une manihre analogue, toujours I l'aide de l'intkgrale de Kronecker. C o r o l l a i r e du thkorkme 1. Les notations du thtordme 1 ttant conservtes, les transformations convergent uniformkment vers 8-' duns le domaine D'. Remarquons d'abord clue la transformation SL' n'est pas forckment dkfinie dans le domaine D ' tout entier; mais, ktant donnk arbitrairement un sous-domaine A' compl6tement intkrieur A D', le thkorkme I montre que A' est un sous-domaine tle S , ( D ) pour toutes les valeurs de k plus gandes qu'un certain nombre K ( A f ) ;par suite, dhs que k > K(A,'), la transformation ~ i est ' dkfinie dans J'. Cela posk, le corollaire, tel qu'il est knonck, signifie que, dans tout sous-domaine 3' compl6tement int6rieur B D', les transformations SL' (qui sont bien dkfinies A partir d'un certain rang) convergent uniformkment vers 8-'.
9 4. Transformations intbrieures et transformations biunivoques d'un domaine. D 6 f i ni t i o n. Nous dirons qu'une transformation S, analytique dans un domaine D , transform.e D en u n domaine intkrieur a D ' s'il existe une correspondarice continue qui associe I chaque point M de D un point J1' de D ' e t un seul ayarit les m6mes coordonnkes que S ( M ) . La dkfinition prkckdente s'applique aussi bien aux transformations exceptionnelles, o t ~m6me dkgkne'rdes, qu'aux transformations topologiques. Elle s'applique en particulier au cas oii le domaine D ' est identique au domaine D : toute transformation analytique S qui transforme D en un
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
767
domaine intkrieur A D sera dite, par abrkviation, transformation inltrieure du domaine D . L e m m e 1. Soient D et D' deux domaines. Considirons une suite de transformations analytiques S,, . . ., S,&,.. . dont chacune transforme D en u n domaine inttrieur d D ' ; supposons que les S , convergent uniformiment dans D vers une transformation S non digindrte. Alors on peut trouver u n sous-domaine univalent 2' de D et u n sous-domaine univalent E' de D', tels que S itablisse une correspondance biunivoque jtopologique) entre 2' et 1'. E n effet, les transformks par S des points de D , ktant limites de points intkrieurs & D', sont des points intkrieurs & D' ou des points fronti6res de D'. Mais, 8 n'ktant pas dkg6n6rke, ces points ne sont pas tous des points fronti6res. Soit donc A un point de D dont le transform6 A' = S ( A ) est intkrieur & D ' ; tous leo points de D suffisamment voisins de A sont transformks par S en des points int6rieurs a D r . Parmi eux, 11 en est au moins un, soit 0 , qui n'est pas un point de ramification pour D et en lequel le jacobien de S ne s'annnle pas. Soit alors 2 un hypersph6re de centre 0 e t de rayon assez petit pour que la transformation S soit topologique dans L et transforme L ell un domairie univalent L' intkrieur A Dr.L'existence de L e t 2' dkmontAe le lemme. C. Q. P. D. L e m m e 2. Soient D et D' deux domnaines. Soient S une transformation analytique qui transforme D en un domaine intirieur ci D', et S f une transformation analytique qui transformne D' en u n domaine intdrieur d D . S i la transformation X'S ") est une transformation biunivoque de D en lui-me'nle, alors on a
D'
=
S (D),
D
-- S f( D ' ) .
lo)
Montrons d'abord que S cst topologic-jue dans D e t transforme D en un sous-domaine de D r . I1 suffit de niontrer que deux points distincts i%ll e t 1% du domaine D sont toujours transformis par S en deux points distincts de D r . Or, supposoris les points &'(MI) et S ( M 2 ) confondus en un m$me point de D ' ; les points S ' S ( M l ) et S f S(&12) seraient confondus en un m$me point de D ; antrement dit, &Il et &1? seraient confondus en un m6me point de D . C'. Q. F. D. C'ela posk, soit L): - S ( D l . La transformation S' est topologique dans 1): i pour la m6me raison clui veut clue S soit topologique dans D ) ; d'autre part, puisclue S ' S est nne transformation biunivoque de D en ") La notation S ' S indique que la transfo~.~nationS est effcctlree d'abord, la transformation S' cnsuitc. 'O) Au sujet de cette notation, roir la fin du paragrapht. '? de ce travail.
766
H. Cartan.
lui-mi?me, S' transforme biunivoquement Di en D . Je dis que Dl n'a aucun point fronti6re intI5rieur D'; en effet, si un tel point M' existait, son transformI5 S'(11.l') serait bien dktermink; d'autre part, & cause de
le point S ' ( M t ) serait uii point fronti6re de D, ce qui est contraire au fait que S f transforme D' en un domaine intdrieur B D. Ainsi, le domaine D: est un sous-domaine de D' et n'a aucun point frontiere intQrieurA D'; il est donc identiclue B D', ce qui dkmontre le lemme. Cor 01 1 ai re. Si le produit de deux transformations intkrieures d'un domaine D est une transformation biunivoque de D en lui-m&me, chacune des transformations envisagees est une transformation biunivoque de D en lui-m&me. T hQor$me 2. S i une suite de transformations biunivoques S,, .. ., S,, ... d'un domaine born6 D en lui-mime converge uniforme'ment vers une transformaiion limiie S , et s'il existe dans D au moins u n point inte'rieur A dont les transformts A: = S , ( A ) tendent vers u n point inte'rieur ci D , alors S est une transformation biunivoque de D en lui-m,6me11). Montrons d'abord que la transformation S n'est pas dQg6nQrQe. 11 esiste, dans le domaine D, un certain voisinage V du point A, tel que, 0 Qtantun point quelconque de V, les transformks 0; = S p( 0 )tendent vers un point 0' intkrieur & L ) . C'ela Qtant, on peut choisir 0 de fapon que 0 ne soit pas un point de ramification pour D, ni 0'. Pour montrer clue X n'est pas d&g6nkrke, il suffit de montrer que les modules des jarobiens des transformations S , admettent, au point 0 , une borne infheure non nulle (au moins & partir d'une certaine valeur de p). Or cela rhsulte du fait que les transformations S i l forment une famille normale dans D (puisque D est born&); par suite, les jacobiens des 8,' admettent, au voisinage de O', une borne supI5rieure fixe. C. Q. P. D. Ainsi, S n'est pas dQginI5rI5e. Avant d'aller plus loin, faisons une remarque: il rhsulte de ce qui prec6de que si une suite de transformations biunivoques d'un domaine born&D converge uniformQment vers u ~ i etransformation dtgtne'rke S . S transforme D en une variQtk analytique tracQe sur la fronti6re de D ; donc, s'il n'existe aucu?le varitte' analytique sur la froniie're de D , S transforme D en u n point unique. C'est le cas, d'ailleurs connu, de l'hypersph6re. Terminons maintenant la dI5monstration du thI5oreme 2. I1 suffit de dQmontrer le lemme: 11) Cf. [b], Satz 10. Notre th6orBme 2 ~'appliqueaux domaines non univalent~, meme s'ils contiennent des vari6t6s de ramification.
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
769
L e m me 3. Si une suite de transformations biunivoques S, , . . . , S, , . .. d'un domaine born6 D en lui-mime converge uniforme'ment vers une transformation limite S non dtgtnkrke, la transformation S est biunivoque. D'aprBs ce qui prkcGde, il existe a l'intkrieur de D un point 0 qui n'est pa5 un point de ramification et dont le transform6 O f = S ( 0 ) est intkrieur & D et n'est pas un point de ramification. Dksignons par 2 un sous-domaine univalent de D, contenant le point 0, et assez petit pour que son transformk 2' par S soit univalent. D'aprBs le corollaire du thQorBme 1 (§ 3 ) , les transformations 8,' convergent uniformkment vers S-' dans 2'; comme elles constituent une famille normale dans D, elles convergent uniformkment dans le domaine D tout entier 13). Soit S f la transformation-limite; Sf est dkfinie dans D, e t d'ailleurs identique & S - I dans 2'. Si nous prouvons que S et S f sont des transformations inthrieures du domaine D, alors la transformation S'S sera bien dQfinie dans D tout entier; comme S'S n'est autre que la transformation identique dans 2 , S'S sera aussi la transformation identique dans D ; en particulier, S'S sera une transformation biunivoque de D en lui-meme. En vertu du corollaire du lemme 2, nous pourrons conclure que S est bien une transformation I biunivoque du domaine D en lui-mbme. I1 suffit donc de montrer que S est une transformation int6rieure du domaine D (le raisonnement sera le mkme pour S f ) '7). Admettoris que S ne soit pas une transformation intkrieure: on pourrait trocver une courbe C , intQrieure & D, partant de 0 e t aboutissant en un point intkrieur P, telle que la transformbe C' de C par S fiit intkrieure B D, exception faite pour le point P' = S (P) qui serait un point frontiere de D. Nous allons montrer qu'une telle Qventualitk est & rejeter. L'indice k restant fixe, et p augmentant indbfiniment, les transformations S i l S , forment une famille normale dans D, et, dans 2 , elles convergent uniformQment vers la transformation S i l S ; elles convergent donc uniformkment dans D vers une transformation T, qui est identique & SF'S dans 2. I1 rQsulte de 1& que le transformk T,L(IC1)d'un point M qui dkcrit la courbe C tend vers une limite quand le point d l tend vers P; d'ailleurs, SF1 Qtant une transformation biunivoque de D en lui-mbme, le point T,(P) est nkcessairement un point frontiZre de D. 12) Ceci, en vertu du thhorhme connu: si une suite de fonctions. appartenant B une famille normale dans un domaine A , converge uniformhment dans un sousdomaine de A , elle converge uniformbment dans A . 13) La dbmonstration qui va suivre est calqube surcelledu theorbme S X I (page 58) de mon mhmoire: Les fonctions de deux variables complexes, ete., Journal de Math. (10) 9 (1931), p. 1-114.
770
H. Cartan.
Faisons maintenant croitre k indkfiniment. Les transformations T k forment une famille normale dans D, et, dans 2, elles convergent uniformkment vers S - l S , c'est-&-dire vers la transformation identique. Donc T , converge uniformkment vers la transformation identique dans le domaine D ; en particulier, le point T k ( P ) tend vers P. Mais nous arrivons & une contradiction, car un point P intkrieur & D ne saurait Btre limite de points fronti6res T k ( P ) . Le lemme 3, e t par suite le thkor8me 2, est donc compl6tement dkmontrk. § 5. Sur l'ithration des transformations inthrieures d'un domaine bornh.
T hkorBme 3. Soit S une transformation inttrieure d'un domuine D . S i une suite de puissances de cette transformation, soit . . . , S1/l,. . . (les exposants positifs 1, ttant bornts ou non) converge uniformtment dans D vers une transformation biunivoque T de D en lui-mime, alors S est une transformation biunivoque de D en lui-me"me. Si les exposants 1, sont born&, il existe une puissance S1' qui est une transformation biunivoque de D en lui-mQme. Le lemme 2, appliqu6 21 S e t 21 S t - s"-', permet de conclure que S est biunivoque. Dans le cas gknkral, on peut raisonner de la fapon suivante: 1" S est topologigue duns D et transforme D en u n sous-domaine 1 de D . Pour le prouver, il suffit de montrer que deux points distincts MI e t M , du domaine D ont toujours deux transform& distincts S ( M 1 ) e t St M , ) . En effet, si S ( M , ) et S ( M , ) 6taient confondus, s ' ~ (ill,)et 8%( M ? ) seraient confondus, et, 21 la limite, T ( M , ) e t T ( M , ) seraient confondus; T &taut biunivoque, iV, et M, seraient confondus. C. Q. P. D. 2' Le domaine A est identique a D . 11 suffit de montrer que tout point de D appartient aussi & A. Or, si un point M, de D n'appartenait pas 1A = S ( D ) ,il n'appartiendrait pas aux domaines S " ( I 1 ) = S . SAL-'(Dl. On serait done en contradiction avec la troisihrne partie du thkor6rne 1 (9 3 ) . C. Q. P. D. ThkorGrne 4 ( t h i i o r 6 m e f o n d a n l e n t a l ) . Soit S une transformation inttrieure d'un domaine born6 D. S i une suite de puissances S r j , . . . , S1'h,. . . ( p , < p, -.: . . p, < . . .) converge uniformtment duns D vers une tran~formationT non dtgintrte, alors la suite SPh+l-'h converge uniforme'ment dans D z'ers la transformation identique. E7z particulier, S est une lransformation biunivoque de D en lui-mime (en vertu du thkor8me 3 ) , et T tgalement (en vertu du lemrne :I). Corollaire. La limite d'une suite uniformtment convergente de puissances croissa7ztes d'une transformation inttrieure 8 u n domaine bornt D
s",
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
77 1
est une transformation biunivoque de D en lui-mime ou une transformation dtgdntrte. D B m o n s t r a t i o n du thhoreme 4. En vertu du lemme 1, on peut trouver deux sous-domaines univalents 2' et 2' du domaine D, tels que la transformation T soit topologique dans 2 et transforme biunivoquement 2' en 2'. En vertu du corollaire du thBor8me I, les transformations (sPh)-' convergent uniformQment vers T-I dans 2'; par suite, les transformations s P k + ~ - P k =( S ~ L ) - ~ . S ~ ~ + ~ convergent uniformkment dans 2' vers la transformation identique. Comme ces transformations appartiennent & une famille normale dans D, elles convergent uniformhment dans D vers la transformation identique. C. Q. F. D. Le thBor6me precedent est tout & fait fondamental. I1 peut servir dans bien des problemes. Indiquons-en, & titre d'exemples, deux applications intkressantes. P r e m i e r e a p p l i c a t i o n d u thkorerne f o n d a m e n t a l . Soit D un domaine born6, et soit 0 un point intkrieur autre qu'un point de ramification. Si une transformation S inttrieure d u domaine D laisse fixe 0 , et si le module, a u point 0 , du jacobien de S est Cgal ci un, S est une transformation biunivoque de D en lui-mtme. Cette proposition, qui faisait l'objet essentiel de l'article [a], peut maintenant se ddmontrer de la fapon suivante: de la suite S, S3, . . ., S P , . .. , qui est normale, on peut extraire une suite uniformkment convergente; le module, au point 0, de la transformation limite T Qtant Bgal A un, T n'est pas d6gBnQrBe. Donc (thBor8me 4 ) S est biunivoque. C. Q. F. D. D e u x i e m e a p p l i c a t i o n d u t h k o r e m e f o n d a m e n t a l . Bornonsnous, pour simplifier, au cas d'une seule variable complexe z. Soit, dans le plan z , un domaine bornt D multiplement connexe (d'ordre fini ou infinij. Soit d'autre part S une transformation intBrieure de D. Pour qu'on puisse affirmer que S est une transformation biunivoque du domaine D en lui-mt,me, il suffit que l'une ou I'autre des deux circonstances suivantes se trouve re'aliste: a ) I1 existe dans D une courbe fermte particulidre C , non topologiquement Cyuivalente ci ze'ro et non re'ductible ci u n point I*), telle que la courbe C' transfo~me'ede C par S soit topologiquement e'quivalente ci C ; 14) Nous disons qu'une courbe fermee 1: inthrieure B 11 c t lion topologiquement equivalente a zitro, est rkductible ci z L n point, s'il esiste un point frontibre No du domaine D, tel que clans un voisinage arbitraire de M, on puisse trouver une courl~e fermhe interieure a D e t top~logic~uement equivalente & T . Si I ) n'admet aucun point front,ibre isol6, aucunt, courbe ferrnee non topologiquement irquivalente & zero n'est rirduotible iL un point.
772
H. Cartan.
0) D n'admet aucun point fronti6re isole', et i l n'existe, d a n s le domaine D , aucune courbe fermte n o n topologiquement tquivalente d zkro dont l a transformte par S soit topologiquement tquivalente ci ztro. D k m o n s t r a t ion. Aucune suite uniformkment convergente extraite de la suite S , s', . .., S1', . .. ne peut avoir pour limite une transformation d&gknkrCe,& cause de l'hypoth6se a) ou de l'hypothbe P). Donc (thkor6me fondamental) S est biunivoque. C. Q. F. D. Comme application. proposons-nous de retrouver un thkor6me de M. Carathkodory ([b], Satz 1 4 ) . Soit D un domaine bornt multiplement corlnexe jd'ordre fini ou infinij, et soit 0 un point intkrieur A D, autre qu'un point de ramification (nous pouvons supposer 0 B l'origine z = 0 ) . I1 existe alors un nombre positif Q, plus petit que u n , qui dkpend seulement de D et du point 0 , et qui jouit de la propriktk suivante: toute transformation intirieure d u domaine D ( 8 ) z'= f j z ) ,
pour laquelle o n a f ( 0 ) LO,
(f'(0)1
> Q,
est n6cmsairement u n e transformation biunivoque de D e n l u i - m i m e (et, par suite, on a f ' ( 0 ) 1 = 1). Supposons en effet qu'un tel nombre SZ n'existe pas. On pourrait alors trouver une suite de trarlsformatio~ls ir~tkrieuresn o n biunivoques s l , . . ., s p , . . . , (8,) 2'-=f P "z), pour lesquelles on aurait lim l f ' ( 0 ) 1 = 1. fp(0) = 0 , p-rm
'
P
Or, on peut supposer que les tra~lsformationsS,, convergent uniformCment vers une transformation limite S (sinon, il suffirait d'extraire de la suite des S , uile suite partielle uniformkment convergente). Soit donc (8)
z'= f ( z )
la transformation limite; on a
S , n'ktant pas dkgknkrke, est topologique (car nous sommes dans le cas d'une seule variable complexe). Puisque S est topologique et est limite de transformations intkrieures, S est une transformation intkrieure du domaine D; S est donc une transformation biunivoque de D en lui-m6me. Cela posk, de deux choses l'une. O u bien D possZde au moins un point fronti6re isolk M,,; dans ce cas la fonction fp est holomorphe en M,,, puisqu'elle est holomorphe en tous les points voisins et born&; comme,
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
773
d'autre part, les transformations S - I S, sont interieures et convergent vers la transformation identique, elles laissent fixe le point M, B partir d'une certaine valeur de p. Or elles laissent aussi fixe le point 0 ; elles sont donc biunivogues (on s'en assure en considkrant les itkrkes de chacune d'elles et en appliquant le theoreme fondamental 4). O u bien il existe dans D au moins une courbe fermke C non topologiquement kquivalente & zero et non rkductible un point. Alors, B partir d'une certaine valeur de p, toutes les , trouvent dans le cas a ) (page 771); elles sont transformations s - ~ sse donc biunivoques, et l'on arrive encore B une contradiction. L'existence du nombre D est donc demontree dans tous les cas. La determination effective de Q semble assez facile dans le cas od D est une couronne circulaire. I1 va sans dire que, moyennant quelques prkcautions, les derniers Qnonces qui precedent peuvent 6tre ktendus au cas de plusieurs variables complexes. (Eingegangen am 15. Dezember 1931 .)
Sur les zkros des combinaisons linkaires de p fonctions holomorphes donnkes Mathematica (Cluj) 7,s-29 (1933)
Requ le 3 septembre 1932.
Introduction. Je me propose de developper ici le contenu d'une Note aux Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris (1). Rappelons d'abord une inegalite fondamentale de R. NEVANLINRA, Cette inegalite concerne la theorie des fonctions meromorphes d'une variable complexe. Soit f (x) une fonctioil meromorphe pour I x 1 < R , a, q nombres complexes (R peut &re infini), et soient a , , az, distincts; on a, pour toute valeur de r inferieure B R,
.. .
Voici la signification des symboles utilises: T (r, f ) designe la fonction deAnie par la relation de croissance de NEVANLINNA,
Dans le second membre de (I), Nl(r, a,) est une abreviation pour N1(r, f -ai)(2). Enfin, S (r) designe une fonction de r dont R. NEVANLINNA (3) 189, 1929, p. 727. $(x) etant une fonction mkromorphe, nous d6signons par N(r, g) la vale-ir de la somme (1)
(2)
Btendue aux z k o s hi de + (x), chaque zero Btant comptb avec son ordre de multiplicite ; la meme somme, dsns laquelle chaque zero serait comptb une seule fois quel que soit son ordre de multiplicit6, sera designee par N, (r, @). - Pour la cornmodit6 de
+
l'bcriture, nous avons ajoutb - log 1 f (0) I B la fonction T (r, f ) de R. NEVANL~NNA ; nous supposons d'ailleurs, pour simplitier, que x = 0 n'est pas on pble pour f (x). (3) Voir le livre de R. NBVANLLNNA, Le thdorbme de Picard-Bore1 et la theorie des fonctions meromorphes (Collection Borel, Paris, 1929), p. 141-144. Dans la suite du present travail, je dbsignerai ce livre par [ a ] .
6
H . CARTAN
a indique les proprietes; il nous suffira de savoir ici que la quantite S (r) est, en general, negligeable devant T (r, f ) ; d'une faqon precise, on a, dans le cas ou K est infini, a condition d'exclure eventuellement des valeurs de r qui remplissent des intervalles dont la somme des longueurs est finie; ces intervalles ne dependent que de la fonction f (r), et non des valeurs a ] , . , aq intervenant dans l'inegalite (1). Dans le cas ou R a une valeur finie, on a
..
avec des intervalles exc.eptionnels dans lequels la variation totale de
1
log - est finie. R-r ilinegali&e(1) limite la croissance de la fonction f ( x ) , des qu'on connaft les racines de q ( q > 3) equations f (z)- ai= 0. R. NEVANLINNA en a tire des conclusions fort impol.tantes, qui lui ont notamment permis de preciser la portee du theoreme de Picard-Bore1 relatif aux ealeurs .exceptionnelles" d'une fonction meromorphe dans tout le plan. Or, e~ivisageonsl'inegalite (1) du point de vue suivant: rnettons f ( z ) sous la forme du quotient de deux fonctions g1(x) et g2(x), holomorphes pour I x I < R et sans zeros communs (on sait qu'une telle operation est toujours possible); les racines des equations f (x)-a,=0 se presentent alors comme les zeros des combinaisons lineaires gl(x)-aig2(x). Ainsi, le second membre de (1) fait intervenir les zeros de q combinaisons lineaires distinctes de deux fonctions holomorphes g,(x) et g , ( x ) sans zeros communs. On est alors amene a se demander s'il n'existe pas une inegalite analogue a (I), et relative aux systemes de p fonctions holomorphes donnees et aux zeros de q ( q 9 p) combinaisons lineaires distinctes p a p, de ces p fonctions. Une telie inegalite est a prevoir, car on sait, par exemple, que la somme de p fonctions entieres sans zeros, lineairemer~t independantes, a necessairement une infinite de zeros (4). Effectivement l'inegalite (1) est susceptible d'etre generalisee, comme nous le montrerons au cours de ce travail. Voici le resultat precis que nous etablirons: designons par gl (z),. . . , g, (x) p fonctions holomorphes pour I x I < R et linkairement indt!p p ) cornbinaisons linbaires homogenes a coefficients constants de ces p fonctions; designons ces combinaisons par Fi (x) (i= 1 , 2 , , q), et supposons-les linhairement distinctes p a p. Designons enfin par Np-1 (r, Fi) la somme l:11
.. .
2log+
r I l k 1
BtenduL aux z e ~ ~ ld o j de la fonction F~(x), chaque zero etant compte autant de fois qu'il y a d'unites dans son ordre de multiplicite si celui-ci est inferieur a p-1, et p-1 fois dans le cas contraire. Cela pose, nous Btablirons (5 2) I'inegalite fondamentale
dans laquelle le reste S ( r ) jouit des mernes proprietes que plus haut, a condition deremplacer, dans les inegalites (2) et (2)', T(r, f ) par l'(r). Pour p=2, cette inegalite se reduit a l'inegalite (1). Pour p 2, l'inegalite (3) est appelee Arendre, dans la theorie des systemes de p fonctions holomorphes, les memes services que l'inegalite de NEVANL~NNA dans la theorie des fonctions meromorphes. Nous l'appliquerons notamment au cas ou les fonctions gj(x) sont entiires (voir 5 4). Auparavant, nous nous occuperons des fonctions algt?broi'des ,,du type generalu (5 3), pour lesquelles l'inegalite (3) fournit une inegalite plus precise que celles connues auparavant. Les paragraphe? 5 et ti seront consacres a quelques applications dc l'inegalite (3) & des problemes d'unicite.
>
1. La fonction de croissance T (r).
.. .
Soient donnees p fonctions g, (x), , g p (x) holomorphes pour 1 x 1 K. Supposons une fois pour toutes qu'il n'existe aucune valeur toutes ces fonctions; supposons en outre, de x annulant ~i~v~ultanbnaent dnns le but de simplifier les calculs qui suivront, qu'aucune de ces fonctions ne s'annule pour x=0(5). Designons par u(x) la fonction reelle qui, pour chaque valeur de x, est 6gale a la plus grande des p R, quantites log I g, (x) I ( i = 1,2, . . ,p), et posons, pour r
y-i+ 1 ;
en designant par a une racine ye primitive de l'unite. Dans cet exemple, p parmi les 2 p combinaisons (a savoir celles qui correspondent a k Z p ) n'ont pas de zero ; il est probable qu'il s'agit la non d'une co'incidence fortuite, mais d'une loi generale; on sait du reste qu'une telle loi existe effectivement pour le cas p = 2 (theoreme de NEVANLINNA) (24). Arrivons mainter~ant a la demonstration du theoreme d'unicite enonce plus haut. Considerons donc nos p systemes de p fonctions entieres g!(c), dont le determinant n'est a s identiquement nul, e t telles que, pour chaque valeur de i, les p fonctions $(x) soient lineairement independantes. Posons
Pour chaque valeur de i, appliquons l'ir egalite fondamentale (3) aux p fonctions y:(z) et a leurs 2 p + l combinaisons Ff(r). I1 vierit
Soit alors Fk(z) une fonction entiere qui aurait pour zkros les zeros cornmuns a routes les F: (r) (k fire, i = 1 , p ) cllaque zero de Fk(x) ayant pour ordre de multiplicitk le plus petit des ordres de multiplieite qu'il possede relativement aux F:(x). On peut ecrire
..
+
-0 (!,) T ' J ~ ~ I ~ ~ UmI oI dS 'asoddns uo (ge) ( x ) Y J SUOII;UOJ I+CIZ sal ! r u ~ e d 1-d a p s n l d Jalnuuv lnad au 05: ~ n a ~ eaun'nh a ~anb.1euIa.r2p a q n o na a l ~ o d u i ! I[ ' ~ a l n o r el a ' "" Y'P ' . . . ' a ~ a ! u r a ~ sda p sluarnala s a ( ~ a g d g l n a ra p lgjns I! a p uo!ssa~dxa'l suep ' a ~ u a p ! ~u?a a q l a u r m o d ( c z )
9
led lu~uxa.t!laadsa~ sauuoloa ' ( 2 )y~ -
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'q la lua!os anb s ~ a n b' l ! e ~ e u o , ~!s anb n a n b ~ z u a a~p lgjns I! ' a ~ u o u u e arnaJoayl a1 J!ualqo Jnod
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1 801
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' J S ? I I I O ~ned ~ I I Inu luauranb!luap! sed p a , u ( r ) s!eM ~
(EZ) e UO'I anb allnagj!p sues aJnsse,s u o
COAZBliVAlSONS DL' E'OIVCTIONS HOLOMOHPHES
25
alors, en vertu de (19), les fonctions Ti (r) resteraient bornees quand r augmente indefiniment, et par suite, pour chaque valeur de i les quotients mutuels des g{(x) seraient des constantes ; or on a suppose les g!(x) lineairement independantes. On arriverait done a une contradiction. C. Q. F. D. Le theoreme precedent conduit immediatement & un theoreme d'unicite relatif alix algebro'ides d'ordre v, du typc general, partoat meromorphes h distance finie. On obtient la proposition suivante : Soient v + 1 telles algdbroi'dcs, telles que le diternzinant des coefficients des & p i n tions qui Ecs dtfinissent 9t.e soit pas identiquement 71~1; alors ces '/+1 algthroi'des ,,prennet~tensemble" au plus 2v+ 2 valeurs distinctes. (Nous disons que v + 1 algebroi'des fi (x) (i= 1 , . . . , v + 1) .prcnnent ensembleu la valeur a, si lcs equations fi (2) - u = O ont les m6rnt:s racines, avec les memcs ordres dc multiplicitk). I1 serait interessant de savoir si l'on peut effectivernent trouver v 1 algebroi'des, satislaisant aux conditions p~kcedentes,et prenant ensemble %-I-2 valcurs distinctes.
+
6. Application A des problkmes d'unicitb (Suite). Nous allons, pour terminer, nous occuper du problerne suivant : etiint donnees deux fonctions entiires fi {z) et f2 ( s ) , non constantes, diprirvues de zkros, et telles que f l (x) -!rf2 (z) et fl (x) . fi (x) fl e 1, coniparer l'ensemble des zeros de f ; (x)- 1 ii l'ensemble des zeros de f2 (4-1. On sait (POLYA ct NEVANLINNA) (2-) qile ces deux ensembles ne peuvent pas co'incider, m6me si l'r~n fait abstrac~iondes ordres de multiplicite des zeros de fl (x) - 1 et de f2 (2) - 1. NOUS allons ici demontrei' une proposition beaucoup plus precise, et cela en application de l'inegalite fondamentale (3). Posons 4- r N (7) = lop lai l , 1
2
S'(r) =
2 log+ 1
r
p/
I
,
N "(7) =
2 log -1 . 4-
k
r
lyk
ai designant les zeros cornmuns ii fl(z) - 1 et f2(lc)- 1 , 3/, les zeros
de fl(z) -- 1 qui n'annulcnt pas f2(x) - 1, et yk les zeros de f2(2) - 1 qui n'annulent pas f , ( z ) - 1 ; dans les sommes precedentes, chaque (2')
Voir, par exemple, Ii. ~ ' I . : \ . A T L I N S A , Einzge h;inrieuligheitssiit:e i n der Ttteorle Bt~~zlibione~z (Acta Math~.matica,4S, 1956).
der tnqrornsrpnen
saIIeAJalu! su!slaaa y Jna!Jalxa Isa
),( I
!s
luaruaslaAu! smal[!g,p s u o 'slug a p l o l ~ n a n 8 u o [ap I s a l q q w lusia (22) salge2au! sa1
+
(Z 'I = T) '(4801) 0 (( '/'A) 201) 0 f (1-!J ' 1 ) ' ~> (!/ ' 4 ) ~ (ZZ) ' l = Ev ( b = ~ Zv '0 = lv l u e u a ~ dua '((x)W P no) (x) I j B (uo!lanpoalul,[ J!OA) ([)al!qeifau!,~ap'uo!laaqdda ~ e 'la d
' (Zj ' I ) W = (ZJ '4)J ' (IJ ' 4 ) = ~ (I/
'1)J
caluap!i\a sal!p8aur la s?l!lv8a sa1 p~oi;e,plnol suonb -Jeurau - s l u s p u o d s a ~ ~ o al!a!ld!llnur 3 ap saJpJo xnap sap l!lad snld a1 aaae luauraa!laadsa~ s y d '1 - (x)Zj lo - (x)IJ q sunururoa soaaz sal s o ~ a zmod luede aaa!lua uo!lauoj aun (z)$ l!os - 'NolLvaJsNoruga .(oz) ~ s a!uJnoj d al!ur![ o[ JaJo!qvLue,p a~qrssodur! auop lsa I!
~ o d'la ' 0 = 4 , (*)N = (.c),,N luamalaexa e uo zZa= (z)Z/ ' ~a ( L ) lJ p u a ~ du o , ~!s anb suonbaeura~' ( 0 ~al!1e8au!,l ) aaaluourap a p l u s a g
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27
COMBINAISONS DE FOsCl'10!yS HOLOMORPHES
inegalite, quj, jointe a (22), entraine
(24)
N(r,fi-1)-N~(r,fi-l)I]
soit : louniformbment bornde dans Z1,+, ; 2" sans fonction-limite identiquement nulle. Je dis que les quotients'
sont inf6rieurs (IT
48 Zi
CROUPES
un nombre fixe ; sinon, en effet, la famille -
q~ q T irr (M) 9 q~ qui est uniformement bornee dans le domaine commun & D, et XIk+,, aurait, dans ce domaine, une fonction-limite identique[T(M)-MI
=--a
ment nulle, ce qui n'est pas. Mais alors, puisque
QT
-
est infCrieur
QT
& un nombre fixe, la famille
est uniformement bornbe dans Z',+,. C. Q. F. D. La demonstration du thCor8me 10 est ainsi compl&tement achevee.
9. - Le groupe des transformations pseudo-conformes biunivoques d'un domaine born6 en lui-meme (6tude globale) Soit D un domaine borne dans l'espace de n variables complexes, et soit G le groupe de toutes les transformations pseudoconformes biunivoques de D en lui-mCme. I1 se peut d'abord que G ne contienne pas de transformations arbitrairement voisines de la transformation identique ; dans ce cas, G ne contient qu'un nombre fini ou une infinite denombrable de transformations, et les transform& d'un point 0 de D (quel qu'il soit) par les transformations de G n'ont aucun point d'accumulation int6rieur & D : le groupe G est proprement discontinu dans le domaine D. Ecartons desormais ce cas. Alors, d'aprbs le theorbme 12, le groupe G est un groupe de Lie du point de vue local. Cela veut dire qu'il existe un groupe l? M1=Y(M;t,,...,tp),
( I t i I ~ O ! I I I D O I 01 ap suas a1 la 'qalnoru?p m o p eaas 11 aru?~o?qla1 f A ap sed puad?p au ( A 'z)$ anb 'V au!suiop a1 susp ( A ' T ) $ ap anb!li1uus luau1 -a9uo1o.ld ~ e 'da ~ n l m oe ~ u n o d uo '!yqal? 11 amura1 a1 s!oj a u n L~
au?uwop np (,C ' x ) y o d ?no7 .mod
??w 210'1 an6 alla? Isa J UO?~WW.IO./SUW.I~ 01 ?S :aluvn?ns ?l;)?.rdo.id w1 ap ?uwss?noC (,.1 > d '.I > w) d ?a w sLll?sod saJqwolr xnap a?s?ra 'sa+j.ras -uoa 7uv?? sa?~lap?a?.rdsuo??v~ou?a sayylodA?/ sa7 '11 X W ' Y ~ ~ I : luea!lls aurural a[ ~ a ~ l r r o r u ?suoIIe p snoN . ( . i ' ) aaedsa,~ap ,A l a A slu!od xnap ap no ' ( 3 " ) a3edsa'l ap ,x la x slu!od xnap ap auua!p!1311o az~uuis!pel
asd suouDg!spp 'a~l~l!mg,laa!~!~du~!sarrod v . 4 ~ e a.rna!.l?ln! l!os ,.I z noie.1 ap la 'iC'aalua3 ap a ~ a q d s ~ a d i qanb ' [ la y ~.IIIC>!.I~IU!I!OS .I z uo6e.1 ap la Ox amnaa ap a ~ ? q d s ~ a d i qanh , l sIa1 ',.I la .I sj!~!sod saJqurou xnap als!xa I! 'suo!l!pno3 sa3 s u e a .no!le3g!mlu ap lu!od un aJla ua sues e anua!l~eddt!O Aanb la 'uo!~sag!ure,l ap lu!od un a.lla ua suss e auua!l~eddu Ox anb la] (".C' "'x) ~ u ~ ou rd~
La
d b yue le quotient !.vl-..v I 15'-x 1
est infir-ieur h un certain nombre positif K . Dans cet knoncd, d;,;(x; YC')ddsigne la pseudo-distance des points x et x' dans le domaine D,, et d ~ ( xy, ; x', y') ddsigne la pseudo-distance des points (x, y ) et (x', y') dans le domaine A. Pour ddinontrer (5, I ) on remarquc d'abord que l'on a
En effet, si l'on ddsigne pour un instant par D le produit topologique de D, par l'espace ( y ) tout entier, et qu'on observe que A est intdrieur a D. on a C ~ A (yX; ,x', y')? d ~ 1 2y, ; x', y ' ) ; clu(x, y ; x ' . y ' ) = 4,ix; 50, car toute fonc~ionde x e l y, holomorphe et de module infhrieur a a n dans 0, se rdduit a une fonction de x seul, holomorphe et de module infdrieur a un dans D,.. 11 reste donc a ddtnontrer l'inkgalitd (5,3)
d ~ i x",Y ; x', y ' ) s & ( x ; z').
Pour cela, supposons x, y , x',y' fixes; au moyen d'uoe ~rnnsforformation lineaire s u r les coordonndes (conservant les distances), on peut se ramener au cas ou toutes les coordonndes de x et de sf sont dgales sauf une; de m61ne pour y et y'. O n aura donc
.
Celn dtant, a chaque point k(k, , . .,t,) de D,, je fais correspondre le p o i n ~q ( q , , . . ., a,/) dbfini par les fornjules
O n a par hypothbc.
(11 p
r suite
1 7/1-,1,1
I < K 151-
X,
I < KMl
M Btant u n n o ~ n b r efixe; en effet, le domaine D , est. bornk par hypothese. P a r hypothese aussi, le p o i n t y est intbrieur a l'hypersphere de centre y o et de rayon r'. Nous serons donc sGrs que le point q reste intbrieur a ]II.si
car alors le point q sera intdrieor a llhypersphere d e centre yoel de rayoil a r ' . E n d6finitive, il suffit que
pour que le point (5. 71) (dont les coordonndes sont des fonctions holomorphes d e coordonndes de E lorsque 5 decrit le domaine D,) reste intkrieur a A. K Ctant choisi de facon a satisfaire a cctte condilion, je vais construire une fonction G(E), holomorphe et d e module inf4rieur li un dans I).,.. nulle pour E = x, et egale a d ~ ( x y, ; sf, y') pour i .- x'. L1inCgalitP (5,3)en rksultera. Or i1 existe prkcisdment une fonction F ( < , q ) , holomorphe et de modl~leinfdrieur u n dans A , nulle nu point (x, . y ) et Bgale ii dA(*c,3'; x', y') au poinl (x', y ' ) . Si, dans cette fonction, nous renlplaqoos 7, cu fonction de 5 d'apres les formulcs ( i , 4 ) , nous obtiendrnos I;r fonction G(E) annouc6e. Le lemme III est donc tl&inontl+.
ti. Nous arrivons a la ddmonstrntion du lemme 11. Suit R un ~ i o m b r epositif assez grand pour que tor~tetljpersphere de rayon R, dolll le cchnlre 5 appnrtient a I'hypersph6rc
c u t i e n o e le doninine D, a son inti'rieur. 1I';tprt;s la dbfinitioll d e r ( $ 4 ) . I'hj-persphere de rayon r et de centre ( est int8rieure d l~),,.q ~ ~~eI lI soit C hstisfaisalit ( 6 , I ) . Si uous vorllons appliquer
le lelnme I au domaine D, et au point 5 de ce domaine, nous sommes conduit a choisir un nombre positif p(p < r ) satisfaisant a 3p
--
zpt --
nous ajouterons la condition (6'2)
P
