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EU(Mammut-Gigant).
Teilaufgabe b) Ansatz: (1 - 2 . p ) . 700.000 + p . 200.000 + p . (-900.000) = (1 - 2 . p ) . 350.000 + p . 100.000 + p . (-150.000)
Ergebnis: p = 0,2593
Teilaufgabe c) Ansatz : 0 , 4 - 700.000 + 0,3 • 200.000 + 0,3 • (-900.000 + Subv.) = 125.000
Ergebnis: Die erforderliche Subvention betrfigt 183.333,33.
77
Obungen zur InternenUnternehmensrechnung
78
Aufgabe 5.4:
Programmplanung bei risikoaversem Entscheidungstriiger und stochastischen Deckungsbeitr~igen
Sarah Strebernig bereitet fttr den Weihnachtsmarkt zwei Teemischungen zum Ausschank vor: Produkt 1 ist eine FrUchteteemischung, Produkt 2 Gltthwein. Die erzielbaren Preise fin- die beiden Produkten sind abh~ngig vom Wetter, Sarah geht in ihrer Planung vereinfachend von zwei m{Sglichen Zustanden, warme (Zustand 0i) und kalte (Zustand 02) Temperaturen aus. Die wetterabhangigen Deckungsbeitr~ige und die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zust~inde betragen. Zustand 01
Zustand 02
Wahrscheinlichkeit far die Zustfinde
0,6
0,4
Deckungsbeitrag Produkt 1 (xl) je Liter
31
33
Deckungsbeitrag Produkt 2 (x2) je Liter
20
45
Zur Verfeinerung der Endprodukte wird far jede Teemischung eine exquisite Gew~irzkombination verwendet, v o n d e r im betrachteten Zeitraum 2.100 kg zur Verfagung stehen. Jede Teemischung ben6tigt je Liter Tee jeweils 2 kg dieser Gewiirzkombination. Far beide Produkte existieren keine Absatzobergrenzen, und es fallen keine Fixkosten an. Die Festlegung des Produktionsprogramms muss vom Amt far Weihnachtsdekoration (MA 2412) genehmigt werden und erfolgt, bevor der tats~tchtiche Umweltzustand bekannt wird. Die Nutzenfunktion von Sarah ist logarithmisch und weist folgende Fon~ auf: U(D) = ln(D). a) Ermitteln Sie ftir Sarah das nutzenmaximale Produktionsprogramm, wobei die Produktionsmengen der Teemischungen beliebig teilbar sind. b) In Ab~andcrung der obigen Datensituation betrfigt nun der Deckungsbeitrag yon Produkt 1 mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit 31,- oder 33,-. Der Deckungsbeitrag von Produkt 2 betrfigt mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % 20,-, mit 60 % 45,-. Die Deckungsbeitrgge der beiden Produkte sind nun stochastisch unabh~ingig. Ermitteln Sie far Sarah das nutzenmaximale Produktionsprogramm far diese ge~_nderte Datensituation.
Musterli~sung: Teilaufgabe a) Das Optimierungsproblem lautet: Max LG = 0, 6. ln(3 lx 1 + 20x 2) + 0, 4. ln(33xI + 45x 2) - A. (2xl + 2x 2 - 2.100) u.d.B.: xj > 0, i =1,2.
Kapitel 5: Entscheidungsrechnung bei Unsicherheit
79
Die Optimalit~itsbedingungen lauten:
OLG 18,6 13,2 --+ 3x1 3 I x t + 2 0 x 2 33x~ + 4 5 X 2 OLG - -
12
18
-
Ox2 0LG
+
31x 1 + 2 0 x 2
-
22=0
2A
=
0
33xl + 4 5 x 2
2x l - 2 x 2 + 2 . 1 0 0 = 0
Die L6sung des Gleichungssystems lautet: A = 0,00048, x 1 = 1.598, 86, x 2 = -548, 64 Diese ftihrt zu einer nicht zul~issigen negativen Menge far x2, das optimale Produktionsprogramm lautet daher: xl = 1.050, x2 = O, Sarahs erwarteter Nutzen betr~igt EU(D) = 10,4155
Hinweis zur vereinfachten LOsungsermittlung: Ober die Armalune, dass die Restriktion voll ausgesch6pft wird, ergibt sich der Zusammenhang xl = 1.050 - x2, der in die Zielfimktion eingesetzt zum vereinfachten Optimierungsproblem M a x E U ( D B ) = 0, 6. ln(32.550 - 1 lx 2) + 0, 4. ln(34.650 + 12x 2) u.d.B.: x, >_ 0, i =1,2 f'tthrt. Die Optimalit~itsbedingung lautet dram:
OEU(DB)
6,6
_
Ox2
3 2 . 5 5 0 - 1 lx 2
-t
4,8
-0
34.650 +12x 2
Die L6sung der Gleichung fahrt zur selben nicht zul~issigen negativen L6sung wie oben, x2 = - 548,64 und damit zum selben optimalen Produktionsprogramm.
Teilaufgabe b) Durch die ge~inderte Datensituation sind nun vier m6gliche Deckungsbeitragskombinationen m6glich. Das Optimierungsproblem lautet nun:
Max L G = 0,2 • l n [ 3 1 x / + 20x2] + 0,2 • l n [ 3 3 x / + 20x2] + 0,3 • ln[3 l x l + 45x2] + 0,3 • i n [ 3 3 x / + 45x2] - )~[2xl + 2x2 - 2.100] u.d.B.: xi > 0, i =1,2.
80
0bungen zur Internen Unternehmensrechnung
Die O p t i m a l i t / i t s b e d i n g u n g e n lauten:
OLG
6,2
6,6
9,3
9,9
cqxt
31x I + 2 0 x 2
33x~ + 2 0 x 2
31x: + 4 5 x 2
33x~ + 4 5 x 2
8LG
- -
Ox2
~LG
4
-
4
~
31x 1 + 2 0 x 2
13,5
÷
33xl+20x 2
13,5
~
31x 1 + 4 5 x 2
22. = 0
22
= 0
33x~+45x 2
- 2x~ + 2x 2 - 2100 = 0
Die L 6 s u n g e n des G l e i c h u n g s s y s t e m s lauten: { Z = 0,00048, x: = 4 0 1 , 4 1 7 x 2 = 648,583 } bzw. die b e i d e n nicht zul~issigen L6sungen { 2 = 0 , 0 0 0 4 8 , x I = - 1 . 7 6 8 , 2 1 , x 2 = 2 . 8 1 8 , 2 1 } u n d { 2. = 0, 00048, x~ = 3.665,96, x 2 = - 2 . 6 1 5 , 9 6 }.
Dies fiShrt zu d e n zul~ssigen P r o d u k t i o n s p r o g r a m m e n : P r o d u k t i o n n u r xl: xz = 1.050, x2 = 0, EU(D) = 10,4218. P r o d u k t i o n n u r x2: xl = 0, x2 = 1.050, EU(D) = 10,4388. Beide Produkte i m P r o g r a m m : xr = 401,417, x2 = 648,583, EU(D) = 10,4511.
Der Vergleich der N u t z e n e r r e i c h u n g zeigt die Optimalit~it der ,,inneren" L6sung, Sa-
rah erzielt d e n grN3ten erwarteten N u t z e n m i t d e m P r o g r a m m xl = 401,417, x2 = 648,583.
Hinweis zur vereinfachten LOsungsermittlung: W i e d e r u m tiber die A t m a h m e wie unter a), dass die Restriktion r o l l ausgesch6pft wird, ergibt sich der Z u s a m m e n h a n g x~ = 1.050 - x2, der in die Z i e l f u n k t i o n eingesetzt wird. Das O p t i m i e r u n g s p r o b l e m lautet darm
Max E U ( DB) = 0, 2. in(32.550 - 1 lx 2) + 0, 2- ln(34.650 - 13x 2) + 0, 3- ln(32.550 + 14x 2) +0, 3. ln(34.650 + 12x2) u.d.B.: x, >_0, i =1,2. Die O p t i m a l i t g t s b e d i n g u n g lautet:
dLG dx2
- -0,2
11 32.550-11x 2
0,2
13 34.650-13x 2
+0,3.
14 32.550+14x 2
+-0,3.
12 34.650 + 12x2
Die L 6 s u n g e n des G l e i c h u n g s s y s t e m s f a h r e n zur s e l b e n L 6 s u n g wie oben.
Kapitel 5: Entscheidungsrechnungbei Unsicherheit
81
Allgemeiner Hinweis zur LOsung unter b) : Im Gegensatz zur Teilaufgabe a) gestaltet sich die L6sung des Gleichungssystems der Optimalitfitsbedingungen sehr schwierig und bedarf i.d.R, der Untersttitzung durch eine geeignete Software! Also bitte verzweifeln Sie nieht an der Suche nach gemeinsamen Nennem und der ansehliel3enden Umfommng und Aufl6sung der Gleichungen. Gratulation, wenn Sie es ohne ,,technische" Unterstfitzung geschafft haben!
Aufgabe 5.5:
Grundziige der State Preference Theorie und ,,Spanning"-Eigenschaft yon Kapitalm~irkten
Auf einem Kapitalmarkt, der die ,,Competitivity"-Eigenschaft erfallt, k6rmen drei Wertpapiere unbegrenzt gehandelt werden. Leerverk~iufe sind zul~ssig. Die Wertpapiere weisen folgende zustandsabh~ngige Rt'lckflussstruktur auf:
WP1 = [2, 4, 6], WP2 = [1, 1, 4], WP3 = [2, 0, 0]. WP1 kostet heute 3,6 GE, WP2 2 GE und WP~ ? GE. Femer ist bekannt, dass sich risikolose Anlagen mit i = 25 % verzinsen. a) Weisen Sie nach, dass dieser Kapitalmarkt die ,Spanning"-Eigenschaft erNllt! b) Bezeichne A die N ( = Anzahl der Wertpapiere) x M (= Anzahl der Umweltzustgnde) Matrix der Rf3ckflussstrukturen eines Kapitalmarktes mit ,,Spraining". Sei R der N x 1 Spaltenvektor einer gewanschten R~ickflussstruktur und __VeinN x 1 Spaltenvektor von Anteilen an den N Wertpapieren. Leiten Sie eine Matrizengleichung zur Bestimmung der v c V ab. c) Der Investor A'. Ngstlich m6chte ein Portefeuille mit folgender Rfickflussstruktur zusammenstellen: [100, 100, 100]. Wie viel Wertpapiere WP~, WP: und WP3 muss er dafttr erwerben bzw. leer verkaufen? d) Bestimmen Sie aus den vorhandenen Informationen den heutigen Preis von WP3! e) Wie viel kosten die Rackflussstrukturen [1, 0, 0], [0, 1, 0] und [0, 0, 1] auf diesem Kapitalmarkt? Wie bezeichnet man solche Wertpapiere? f) Die High Risk Corporation rectmet mit einer Rtickflussstruktur von [2000, 500, 2500] aus ihrem gegebenen Investitionsprogramm. Ferner erw~gt sie, ein Investitionsprojekt mit einer Investitionsauszahlung Io = 500 und der Rfickflussstruktur [1000, 1000, 200] zu realisieren. Welchen Wert h~ttte eine Aktie der High Risk Corporation vor Durchf0hrung der Investition? Soilte die Investition durchgefahrt werden?
82
Obungen zur IntemenUntemehmensrectmung
Musterl6sung: Teilaufgabe a)
,,Spanning" liegt vor, were1 die Riiekflussvektoren der 3 Wertpapiere linear unabhdngig sind. Ein Weg, dies zu zeigen, ist der Nachweis, dass die Determinmate der Matrix A nicht 0 wird. Far das Beispiel gilt:
DETA =
[i4i] 2:64 1
=2.(16-6)=20>0
0
Der Kapitalmarkt im Beispiel erFtillt also die ,,Spanning"-Eigenschaft. Sofern Leerverk/~ufe zulfissig sind, l~isst sich j e d e beliebige R~ekJlussstruktur aus WPt - WP3 herstellen. Mathematisch l~iuft dies darauf hinaus, dass ein durch A gegebenes Gleichungssystem eineindeutig 16sbar ist. Okonomisch bedeutet dies, dass dumb beliebige 6konomische Entscheidungen der Marktteilnehmer keine Oberschussstrukturen entstehen dtirfen, die sich nicht aus bereits vorhandenen Wertpapieren zusammenstelten lassen. Angesichts der sehr hohen Zahl yon in der Realitfit m6glicher Umweltzust~inde im Verh~iltnis zu real gehandelten Wertpapieren mag dies unrealistisch erscheinen. Neuere Forschungen auf dem Gebiet der Finanzierungs- und Kapitalmarkttheorie deuten jedoch darauf hin, dass sich dutch Finanzderivate (Optionen, etc.) M~trkte in diesem Sirra ,,vervollst~ndigen" lassen. Teilaufgabe b)
Wenn M = N Umweltzust~nde existieren, mtissen also auch N linear unabh~tngige Rtickflussvektoren existieren. Mma erh~ilt folgendes lineares Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: A ' x V = R --+ V = A '-1 x R
Man erh~tlt also den gewanschten Vektor, indem die Inverse der transponierten Matfix der Rticldlussstrukturen yon links an den Rtickflussvektor multipliziert wird. Die v bemltworten dabei die Frage, in welchem Verh~iltnis die einzelnen Wertpapiere des Marktes erworben bzw. leer verkauft werden mtissen, um eine gewanschte Rtickflussstruktur herzustellen. Teilaufgabe c)
Die L6sung yon ,4] Ngstlichs Problem ergibt sich also aus folgendem Ansatz:
Kapitel 5: Entscheidungsrechnung bei Unsicherheit
A=
[i 4 it 1
--+ A ' =
0
83
fili] iool ivll 1
; _R=~100[; _V= v 2
4
[100~
v3
-F6
A'-~= 0
I-°
V3
=
_
1],,I]
1
5 1
2
lO
lO_1
,
lO
0 V2
_3
1
- 73 1
2
10
0
~2
r~ool
~o
× 11001 = -2o 1 [lOO/ 30
10
Um die sichere Riickflussstruktur [100, 100, 100] zu erwerben, muss A. Ngstlich also heute 30 WPI und WP3 erwerben und -20 WP2 leer verkaufen. Tritt bspw. Umweltzustmad 01 ein, dalm erh~ilt er 2 - 30 - 1.20 + 2 • 30 = 100. Analoges gilt f~ir 02 und 03.
Teilaufgabe d) A. Ngstlich hat ein risikoloses Portefeuille erworben, welches ihm unabh~ingig vom Umweltzustand 100 GE einbringt. Wenn WP1 heute 3,6 Geldeinheiten (GE) kostet und WPe 2 GE kostet und die sichere Anlage sich mit 25 % verzinst, muss fttr dieses Portefeuille gelten: (30-3,6 - 2 0 . 2 + 30. W3). 1,25 = 100 ~ W3 = 0,4
Teilaufgabe e) Gefragt ist nach den Bewertungsfaktoren ,6, (0,) (i =1,2,3). Diese ergeben sich aus der L6sung des folgenden linearen Gleichungssystems:
2./?~ +4./72 + 6 . f l 3 - 3 , 6 = 0 /?~ + fl2 + 4" /73 - 2 = 0 2-/?~ - 0 , 4 = 0 --+/?~ = 0 , 2 ; , 8 2 = 0 , 2 ; / ? 3 = 0 , 4 1 zur Kontrolle : fl ~+p 2+/? 3= 0,8 = - - --> i = 0,25 1+i
84
l~lbungenzur Internen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe J) Der heutige Marktwert einer Aktie der High Risk w ~ e : 0,2 • 2.000 + 0,2 • 500 + 0,4 • 2.500 = 1.500 Das Investitionsprojekt hat die Riickflussstruktur [1.000, 1.000, 200] und eine Investitionsauszahlung y o n Io = 500. A u f g m n d der Eigensehafl der Wertadditivitgit kann es unabh~ingig v o m Basisprogramm beurteilt werden --~ Marktwert des Projektes: 0,2 • 1.000 + 0,2 • 1.000 + 0,4 • 200 - 500 = -20. Das Investitionsprojekt ftihrt zu einer Marktwertverminderung und sollte deshalb unterbleiben.
Aufgabe 5.6:
Risikoanalyse durch Simulation
Stan L. und Oliver H. wollen die Gourmet GmbH grfinden, urn ein Internet-Service Unternehmen zu er6ffnen. Diese nimmt per E-Mail Auftr~ige fiir individuell belegte Sandwiches an, die den Kunden im Frankfitrter Bankenviertel dann per Fahrradkutier zugestellt werden. Obwohl die beiden von ihrer Idee begeistert sind, ist der ins Auge gefasste Venture Capitalist S. Ceptic wohl nur durch harte Fakten und solide Planungsrechnungen zu fiberzeugen, das ben6tigte Startkapital gegcn eine Unternehmensbeteiligung yon 20% zur Verftigtmg zu stellen. S. Ceptie verhalte sieh dabei risikoneutral und wiirde sich dann beteiligen, wenn der Erwartungswert der w6chentlichen Gewinne der Gourmet GmbH positivist. Da diese Aufgabe Stan und Oltie fiberfordert, wenden sie sich gegen ein entsprechendes Zahlungsverspreehen an Sie, urn die ben6tigten Daten zur Verftigung zu stellen. Sie ihrerseits wenden sich an die Firrna Cube Consult und erhalten naeh entsprechender Zahlung folgende Wahrscheinlichkeitstabelle l°th" die Bestilnmungsfaktoren der w6chentlichen Gewinne und einen Zufallsgenerator in Gestalt eines norrnalen Wt~rfels. Bez~glich der Wahrscheinlichkeitseinschfitzungen gilt:
Parameter Preisp Menge x Var. Kosten k
Niedrig
Mittel
Hoch
Pr (p = 4) = 1/6
Pr (p = 5) = 1/2
Pr (p = 8) = 1/3
Pr (x = 1000)= 1/3
Pr (x = 5000)= 1/3
Pr (x = 10.000)= 1/3
Pr (k = 0,4) = ]/3
Pr (k = 0,8) = 1/3
Pr (k = 2) = 1/3
Die sicheren w6chentlichen Fixkosten for Mieten und Hilfspersonal zum Belegen der Sandwiches belaufen sich auf 20.000 C. Laut A n w e i s u n g Cube Consult werfen Sie den Wt~rfel jeweils dreirnal, wobei der erste W u r f den Preis, der zweite die Menge und der dritte die variablen Kosten bestimmt. Insgesamt tlihren Sie I0 Simulationsl~iufe dutch. Dabei erhalten Sie folgende Ergebnisse:
Kapitel 5: Entscheidungsrechnungbei Unsicherheit
85
Simulationslauf 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Wurfl(Preis)
1
1
1 4
1
1
5
2
3
4
Wurf2(Menge)
2
6
1 3
2
1
6
3
3
3
Wurf3(Kosten) 2
4
1 2
2
2
6
3
2
1
Sie kommen zu dem Schluss, dass bei der Cube Consult zwar gute Simulationsexperten, jedoch schlechte Betriebswirte sitzen. Nach Ihrer Einsch~itzung bestehen Abhgingigkeiten zwischen Preis und absetzbarer Menge an Sandwiches. Deutet das Ergebnis des ersten Wurfes auf einen niedrigen Preis bin, resultiert die Wahrseheinlichkeitsverteilung [0, 1/6, 5/6] far eine geringe/mittlere/hohe Menge. Resultiert aus dem ersten Wurf der mittlere Preis, ergibt sieh dagegen die Verteilung [0, 1, 0] far eine geringe/mittlere/hohe Menge und im Fall des hohen Preises die Verteilung [5/6; 1/6, 0] far eine geringe/mittlere/hohe Menge. Zwischen den Staekkosten einerseits und Menge und Preis andererseits bestehen dagegen keine Abh~ingigkeiten, ferner betragen die sieheren Fixkosten unver~tndert 20.000 C.
Hinweis: Stellen Sie zur Beantwortung der folgenden Teilaufgaben den Zusammenhang zwischen Wahrseheinliehkeitsverteilungen und resultierenden Simulationsergebnissen systematisch her, d. h. niedrigen Werten der Variablen Preis/Menge/Kosten sollten niedrige Augenzahlen der Wftrfe entspreehen bzw. hohen Werten hohe Augenzahlen! a) Berechnen Sie aus den Angaben die Gewiimverteilung der w6chentlichen Gewinne bei der vorgeschlagenen Vorgehensweise der Cube Consult. Welche Annahme liegt dieser Vorgehensweise implizit zugrunde? Ermitteln Sie mit Hilfe Ihrer Resultate den Erwartungswert des Gewinnes pro Woche far Stan und Ollie. Wird der risikoneutrale S. Ceptic unter diesen Bedingungen das Venture Kapital zur Verfagung stellen? b) Beantworten Sie Teilaufgabe a) far die von Ihnen revidierte Einschiitzung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen! c) Welche Komponente des Grundmodells der Entscheidungstheorie ist vor dem Hintergrund der Ergebnisse der Teilaufgaben a) und b) zus~tzlich erforderlieh, um letztendlich zu einer konkreten Entscheidung, d. h. Durehfahrung bzw. Nichtdurehfahrtmg der Untemehmensgrtindung auf Basis der Wahrseheinlichkeitsverteilung der monatlichen Gewinne zu gelangen? d) Versuchen Sie die obige Teilaufgabe a) mit Hilfe des Zufallszahlengenerators eines Tabellenkalkulationsprogramms zu 16sen. Wie viele Simulationsl~iufe sind n6tig, urn stabile Ergebnisse hinsichtlich der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gewinne zu erhalten?
86
Obungen zur Intemen Untemehmensrectmung
Musterl6sung:
Teilaufgabe a) Folgender Zusa_mmenhang zwischen Wtirfen und Auspr~tgung der Parameter wird unterstellt: •
Preis p: Augenzahl: 1-+ p = 4, Augenzahl: 2,3,4 --~ p = 5, Augenzahl: 5,6 ---~p = 8.
•
Menge x: Augenzahl: 1,2---~ x = 1.000, Augenzahl: 3,4 --~ x = 5.000 Augenzahl: 5,6 ~ x = 10.000.
•
Variable Kosten k: Augenzahl: 1,2---~ k = 0,4, Augenzahh 3, 4 ~ k = 0,8, Augenzahl: 5,6 --~ k = 2.
Unter Berticksichtigtmg dieser ZusammenNinge ergibt sich f~ir die 10 durchgefahrten Simulationsl~tufe und fixen Kosten K F = 20.000 (~: Simulationslauf
l
2
3
4
5
P
4
4
4
5
4
X
1.000
10.000
1.000
5.000
1.000
K
0,4
0,8
0,4
0,4
0,4
G
-16.400
12.000
-16.400
3.000
-16.400
Simulationslauf
6
7
8
9
10
P
4
8
5
5
5
X
1.000
10.000
5.000
5.000
5.000
K
0,4
2
0,8
0,4
0,4
G
-16.400
40.000
1.000
3.000
3.000
Interpretiert man die auftretenden relativen H~iufigkeiten der Gewinne als Wahrscheinlichkeiten, ergibt sich: Pr(G = - 16.400) = 0, 4; Pr(G = 1.000) = 0,1; Pr(G = 3.000) = 0, 3; Pr(G = 12.000) = 0,1; Pr(G = 40.00) = 0,1 Der Erwartungswert far den w6chentlichen Gewirm, den dung gem~il3 Aufgabenstellung zugrunde legt, ist dann:
S. Ceptic seiner Entschei-
E(G) = 0,4. (-16.400) + 0,1.(1.000) + 0,3. (3.000) + 0,1 .(12.000) +0,1. (40.000) = - 3 6 0 < 0 -+ Ablehnung
Kapitel 5: Entscheidungsreclmungbei Unsicherheit
87
Unter diesen Bedingungen, wird sich S. Ceptic also nicht an der Gourmet GmbH beteiligen. Die Empfehlung der Cube Consult ist aus folgenden Gffmden problematisch: * Empfehlung geht davon aus, dass Preis, Menge und variable Kosten stochastisch unabhangig sind! •
Dies ist in der Realit~it sehr fraglich, denn bei Gtiltigkeit einer normalen PreisAbsatz-Funktion f'tihren hohe (niedrige) Preise tendenziell zu geringeren (h6heren) abgesetzten Mengen
•
Solche Abh~ingigkeiten mtissten daher in der Simulation berticksiehtigt werden.
Teilaufgabe b) Diese Simulation bezieht die o. g. stochastischen Abhfingigkeiten durch die Belqicksichtigung bedingter Verteilungen in die Oberlegungen ein. In Abh~ingigkeit vom Wurf ftir den Preis, ergeben sich jeweils andere Verteilungen far die Menge g e m ~ den Wirkungszusammenh~tngen einer normalen Preis-Absatz-Funktion: * Wenn Augenzahl erster Wurf = 1 (---~p = 4), dann folgt die Absatzmenge der Verteilung [0; 1/6, 5/6], d. h. resultiert beim zweiten Wurf eine 1 (die Zahlen 26), ist als Menge 5.000 (10.000) anzusetzen. * Wenn Augenzahl erster Wurf = 2-4 (--~ p = 5), dann folgt die Absatzmenge der Verteilung [0; 1, 0], d. h. unabhLngig vom Resultat des zweiten Wurfs ist die mittlere Menge 5.000 anzusetzen. * Wenn Augenzahl erster Wurf = 5 oder 6 (---~p = 8), dann folgt die Menge der Verteilung [5/6, 1/6, 0], d. h. resultiert beim zweiten Wurf 1-5 (eine 6), ist als Menge 1.000 (5.000) anzusetzen. Die Beriicksichtigtmg dieser Zusammenh~inge fftr die 10 Simulationslfiufe ftihrt zu folgender Tabelle, wobei die variablen Kosten aufgrund der unterstellten stochastischen Unabh~ingigkeit von Preis/Absatzmenge einerseits und variablen Kosten andererseits unver~indert bleiben. Simulationslauf
1
2
3
4
5
P
4
4
4
5
4
X
10.000
10.000
5.000
5.000
10.000
K
0,4
0,8
0,4
0,4
0,4
G
16.000
12.000
-2.000
3.000
16.000
Simulationslauf
6
7
8
9
10
P
4
8
5
5
5
X
5.000
5.000
5.000
5.000
5.000
K
0,4
2
0,8
0,4
0,4
G
-2.000
10.000
1.000
3.000
3.000
88
ISbungenzur IntemenUnternehmensrechnung
Interpretiert man die auftretenden relativen H~tufigkeiten der Gewinne als Wahrscheinlichkeiten, ergibt sich: Pr(G = -2.000) = 0, 2; Pr(G = 1.000) = 0,1; Pr(G = 3.000) = 0, 3; Pr(G = 10.000) = 0,1; Pr(G = 12.000) = 0,1; Pr(G = 16.000) = 0,2
S. Ceptic entscheidet sich anhand von: E(G) = 0,2. (-2.000)+ 0,1 .(1.000) + 0,3.(3.000) + 0,1. (10.000) +0,1.(12.000)+ 0,2.(16.000)=6.000 > 0 --~ Annahme Jetzt w~irde S. Ceptic das Geld zur Verftigung stellen.
Teilaufgabe e) Analog zur analytischen Risikoanalyse liefert auch die Simulation letztlich nur Informationen fiber die Verteilung der interessierenden Variablen. Bevor eine endgfiltige Entscheidung getroffen werden kann, sind daher Kennmisse fiber das Pr~iferenzsystem des Entscheiders notwendig. In der Aufgabe wurden diese konkretisiert durch Orientierung des S. Ceptic am w6ehentlichen Gewinn (Arten- und H6henprfiferenz) sowie die Annabme der Risikoneutralit~tt (Risikopr~iferenz). Es versteht sich von selbst, dass andere Artenpr~iferenzen (Kapitalwert des Engagements, etc.) sowie andere Risikoprfiferenzen (Bemoulli-Prinzip) zu anderen Entscheidungen fiihren k6nnen.
Teilaufgabe d) Naturgemfi~ kann zu dieser Aufgabe keine "klassische" Musterl6sung angeboten werden. Im Folgenden wird eine m6gliche Vorgehensweise unter Verwendung yon Microsoft Excel ©vorgestellt. * Im Fall der Teilaufgabe a) sind zun~ichst insgesamt N = 33 = 27 Auspr~igungen der Zufallsvariable Gewinn m6glich, da bspw. jeder Preis kombiniert mit drei Mengen auftreten kann, wobei jede einzelne Menge wiederum mit drei Ausprfigungen der variablen Kosten vorkommen kann. * Bezeichnej = n, m, h, die niedrige, mittlere und hohe Auspr~gung der Variablen. Die obigen 27 M6glichkeiten lassen sich in der Aufgabe auf 25 reduzieren, weil der Gewinn 10.000 sowohl durch ( p ~ - k h ) . x h - K s als auch durch (Ph -kh )'xm - KF auftreten kann. Analog gilt, class ein Gewinn von 16.000 aus
(Ph -km )" xm - KF sowie (p, - kn).x h - K F resultieren kann. * Mit Hilfe des Zufallszahlengenerators yon Excel © (Menii ExtrasiAnalyseFunktionen) wurden far jede der drei Variablen jeweils 8.000 Zufallszahlen generiert und die entsprechenden Gewinne berechnet. Die folgende Tabelle zeigt die 25 m6glichen Auspr~igungen des Gewinnes aufsteigend sortiert, die H~iufig-
Kapitel 5: Entscheidungsrechnung bei Unsicherheit
89
keit ihres Auftretens, die relative Hfiufigkeit und den resultierenden Erwartungswert der Gewinne. Die Zufallszahlengenerierung flir 8.000 Werte wurde ~ n f m a l wiederholt, wobei sich die resultierenden Erwartungswerte um nieht meln" als 5% unterschieden, so dass dieses Simulationsergebnis als relativ robust bezeichnet werden kann. Ein Problem unter Verwendung bedingter Verteilungen wie in Teilaufgabe b) karm mit den Standardfunktionen nicht mehr gel6st werden. Ein entsprechendes Programm l~isst s i c h j e d o c h otme grol3e Mtihe in Visual B a s i c © erstellen.
Nummer M~glicher Gewinn Absolute H~ufigkeit
Relative Haufigkeit, interpretie~ als
1
-18.000
153
0,019125
2
-17.000
396
0,0495
3
-16.800
155
0,019375
4
-16.400
173
0,021625
5
-15.800
473
0,059125
6
-15.400
430
0,05375
7
-14.000
301
0,037625
8
-12.800
301
0,037625
9
-12.400
310
0,03875
10
-10.000
165
0,020625
11
-5.000
432
0,054
12
-4.000
158
0,01975
13
-2.000
147
0,018375
14
0
155
0,019375
15
1.000
398
0,04975
16
3.000
437
0,054625
17
10.000
729
0,091125
18
12.000
162
0,02025
19
16.000
433
0,054125
20
18.000
333
0,041625
21
22.000
427
0,053375
22
26.000
456
0,057
23
40.000
307
0,038375
24
52.000
278
0,03475
25
56.000
291
0,036375
Summe
8.000
1
Erwartungswert
5.309,7
90
t~ungen zur IntemenUntemehmensrechnung
Selbstverst~ndlich tassen sich Nr die resultierende Verteilung auch noch weitere Momente wie bspw. die Varianz berechnen, falls ein risikoscheuer Entscheidungstrgger gegeben ist. In der folgenden Grafik ist obige Tabelle in Histogrammdarstellung abgebildet.
8OO 700 600 500 400
300 200 100
G 0 O 0 0
~ ~ 0 0
~ ~ 0 0
~ O 0 0
~ ~ ~ 0
O O 0
O O 0
O O
~ O 0
O O 0
O ~ 0
O O 0
O O 0
Klasse
Relevante Fallstudien:
• Fallstudie 4 (Deterministische und stochastische Break-Even-Analyse im Einund Mehrproduktthll) • Fallstudie 5 (Produktionsprogrammplanung unter Unsicherheit und Entscheidungsrelevanz fixer Kosten)
Kapitel 6:
Aufgabe 6.1:
Kostenmanagement
Kosten der Variantenvielfalt und Gesetz der "umgekehrten Erfahrungskurve"
Als neu ernanntem Controlling-Chef des soeben fusionierten Automobilkonzerns Chraimler-Dysler Corporation (C&D) bereitet Ihnen die ungeheure Variantenvielfalt des neuen Unternehmens innerhalb der einzelnen Fahrzeugklassen groBe Sorgen. Dabei f~tllt Ihnen ein Ordner aus Ihrer Smdienzeit in die ttgnde, in dem Nr die angebotene Variantenvielfalt ein Gesetz der "umgekehrten Erfahrungskurve" formuliert wurde. Dieses Gesetz besagt, dass sich die Grenzkosten pro Stack mit jeder Verdoppelung der Variantenzahl um einen konstanten Prozentsatz erh6hen. Sie beschliegen, dieses Gesetz auf das Problem der Variantenvielfalt im Segment Pickup Trucks anzuwenden. Dabei bezeictmen K ' ( 1 ) ( K ' ( X ) ) die Grenzkosten pro Stttck, wenn 1 (X) Varianten von Pickups angeboten werden, z die Anzahl der Verdoppelungen und 0 < oc < 1 den konstanten Prozentsatz. Das Gesetz lfisst sich dann formulieren als:
a) Leiten Sie aus dem obigen Zusammenhang eine Grenzkostenfunktion ftir eine beliebige, (d. h. nicht nut verdoppelte) Variantenzahl her. b) Konkret gelte for Pickups (in 1.000 g) K'(1) = 10 und a = 0, 25. Bestimmen Sie die Grenzkosten ~ r 20 angebotene Varianten. c) Nehmen Sie an, dass die Marktforschung folgenden funktionalen Zusammenhang t'0r die Beziehung zwischen Umsatz und angebotener Variantenzahl ermittelt hat: Umsatz ( X ) = 100. X - X 2 . Bestimmen Sie graphisch die optimale Variantenanzahl flit Pickups, welche die C&D anbieten sollte. d) Wie hoch w~re der Gesamtgewinn der C&D bei Beracksichtigung (Vemachl~issigung) des Gesetzes der umgekehrten Erfahrungskurve? (Hinweis: Ermitteln Sie R~r Ihre L6sung die Gesamtkosten mittels einer N~iherungsl{Ssung unter Verwendung yon Integralen).
92
Ubungen zur Internen Untemehmensrechnung
Musterl~sung
Teilaufgabe a) Aus X = 2 z folgt dutch Logarithmieren (Logarithmus naturalis verwendet): Z--
In(X)
l (2)
Logarithmieren von (1 + a ) z ftihrt auf:
z.ln(l+~z)=ln(X) , , ln(l+~Z)=ln(X).K ln(2) "ln(l+tz)=ln(X)' /n(2) Konstante ~c
Die Gr6Be ~c bezeichnet dabei die Kostenelastizitgit der VariantenvielJalt, d. h. die relative Kostenerh6hung bei einer Erh6hung der Variantenzahl. Weiter erh~ilt man:
ln(1 +a)" =In(Y).K
~ ( 1 +cz)" = yz,(x)~ = X ~
Fttr die gesuchte allgemeine Grenzkostenfunktion ergibt sich schlieBlich:
x'(x)=K'(1).x Teilaufgabe b) Ft~r die angegebenen Werte im Markt f'tir Pickups ergibt sich: t< - In (1, 25) _ 0,321928 /n(2) K ' ( 2 0 ) = 10.20 °'3219z8 = 26, 23 (gerundet) Die Grenzkosten (in 1.000 C) haben sich gegent~ber der Fertigung von nur einer Variante also mehr als verdoppelt!
Teilaufgabe c9 Die optimale zu fertigende Variantenzahl ergibt sich aus der folgenden Bedingung: !00-4.X= Qrenzulrlsatz
K'(X)=K'(1).X
~
Grenzkasten
Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei K' bereits um eine Grenzkostenfunktion handelt. Wie man schnell erkennt, ist diese Gleichung analytisch nicht explizit 16sbar, da X linear bzw. mit dem Exponent tc auftritt. Folgende Graphik liefert eine Nfiherungsl6sung f'tir das gesuchte Ergebnis:
Kapitel 6: Kostenmanagement
93
c 100
Effekt vemachl~issigt 90 80 70 60 50 40 30 20
~ ' ~ - ' ~
K'(1) =10
10
"-.z
0
-
0
7
5
10
-
15
20
-
r
r
25
30
35
r ~
40
45
50
Unter Berticksichtigtmg des Gesetzes der umgekekrten Erfahrungskurve sollten 34 Varianten von Pickups angeboten werden. Wtirde der Effekt vemachlgssigt ergibt sich dagegen eine wesentlich h6here Variantenzahl yon 100 - 2. X = 10 ~ X = 45.
Teilaufgabed) Zur Bestimmung der gesuchten Gewinne mtissen die Gesamtkosten bestimmt werden. Ftir die Fertigung der optimalen Variantenzahl von 34 bzw. 45 bei Vernachl~issigung des Effektes ergeben sich folgende Ums~tze bzw. Gesamtkosten: 34
Umsatz(34)= 2.244;
IlO.X°'32'92"dX=Y92,82~G=l.451,18
K(34)=
8 0
1
45
Umsatz(45)=2.475;
K(45)= I10.X°'3a'928dX=l151,8~G=l.323,2 1
Bei V e m a c h l ~ i s s i g u n g d e s E f f e k t e s sinkt d e r G e w i n n also u m 128.600 (~.
94
Obungen zur InternenUntemehmensreclmung
Aufgabe 6.2:
Lebenszyklus-Kostenrechnung und Produktkalkulation
Die Max und Moritz Backmittet GmbH erzeugt Biovollkombackmittel far B~icker. Die Entwicklungsabteilung arbeitet an einer neuen, sensationellen Komspitzbackmischung. Dr. Wo(fMo, der Leiter, m6ehte erstmals eine lebenszyklusorientierte Kostenbetrachtung erstellen und erh~ilt aus der Controllingabteilung folgende Tabelle mit lnformationen fiber die laufenden Kosten der Sparte ,Komspitz" sowie die geplanten Einzelkosten je kg der neuen Backmischung ,,Erdbeergold", emfittelt aufgrund der Entwieklungsunterlagen: laufende Periodenkosten Rohstoffe Oetreide Mehl Wasser Erdbeeren Hefe Lagerbewirtschaftung :Extruder Mischen Verpacken Verwalmng Vertrieb
davon far Entwicklung Erdbeergold
GE geplant je kg Erdbeergold
200.000 50.000 5.000
2 0,3 0,1
15.000 40.000 110.000 60.000 80.000 40.000 80.000
0,1
1 15.000 25.000 5.000 10.000 8.000 20.000
0,5 0,8
Die Vorlaufkosten for ,,Erdbeergold" werden erkl~irt mit: Im Lager musste ein Silo for die Ganzjahreslagerung yon Erdbeeren adaptiert werden. Der Extruder musste im Probelauf auf die Konsistenz der Erdbeeren justiert werden, ebenso die Mischanlage. Die Verpackungsmaschine muss eine neue SackgrSBe befiillen, da die neue Backmischung sehr leicht ist. In den Verwaltungskosten ist der Schriftverkehr mit der Lebensmittelaufsichtsbeh6rde zur Genehmigung des neuen Produktes enthalten, im Vertrieb diverse Testesser zur Ermittlung der optimalen Mischung und erste Werbeaktivitfiten. Die Kosten je kg wurden vonder Controllingabteilung aus der laufenden Kostenrechnung unter Verwendung geeigneter BezugsgrSgen bereits in Geldwerte umgerechnet. An Nachlaufkosten erwartet Wolf Mo 40.000, da sieh die Max und Moritz bereit erkl~irt hat, die Fenster der B~iekereien yon den Erdbeergoldautklebem reinigen zu lassen, um dem Unmut ~iber die Kleber der letzten Produktein~hmng vo~zubeugen. a) Ermitteln Sie die Selbstkosten je kg ,,Erdbeergold" einmal mit, einmal ohne Berticksichtigung der Vorlauf- und Nachlaufkosten, wenn die Max und Moritz eine
Kapitel 6: Kostemnanagement
95
Zuschlagskalkulation verwendet. Die Zuschlagss~tze far die Verrechnung der Gemeinkosten sollen jenen der laufenden Periode olme Berticksichtigung der Vorlaufkosten entsprechen, wobei als Bezugsgr613e ffir die Verrechnung der Lagerkosten die Getreidekosten, zur Verrechnung der Verwaltungs- und Vertriebskosten die Herstel|kosten dienen. Andere a|s die ange~hrten Vorlauf- und Nachlaufkosten werden nicht erwartet. Insgesamt wird die Absatzmenge bis zur Einstellung der Produktlinie auf 100.000 kg gesch~itzt. b) Welche Gefahr birgt eine anteilige Verrechnung der Vorlaufkosten in den korrespondierenden Kostenarten anstelle einer pauschalen Verrechnung wie unter a) vorgenommen. MusterlSsung:
Teitaufgabe a) Ermittlung der Zuschlagsatze: 25.OO0 Lagerbewirtschafttmg: = - • 100 = 12,5% 200.000 92.000 Verwaltung/Vertrieb: = - .100=18,22% 505.000 Selbstkosten je kg ,,Erdbeergold": Rohstoffe
3,5
Lagergemeinkosten
0,25
Fertigung
2,3
Herstellkosten
6,05
Verwaltung/Vertrieb
1,10
Vorlauf-/Nachlaufkosten*
1,23
Selbstkosten
8,38
* Ermittlung der anteiligen Vorlauf-/Nachlaufkosten: 123.000 - 1,23 je kg 100.000 kg
Teilaufgabe b) Die Verwaltungs- und Vertriebsgemeinkosten werden als Zuschlag auf die Herstellkosten verrechnet. Anteilige Vorlaufkosten sind bei einer Verrechnung auf die einzelnen Kostenarten an dieser Stelle wieder auszusondern, ansonsten werden auch diese Vorlaufkosten mit Gemeinkosten belastet.
Obungen zur InternenUnternehmensrechnung
96
Target Costing
Aufgabe 6.3:
Dr. WolfMo m6chte seine lebenszyklusorientierte Produktkalkulation mit den Ergebnissen des Target Costing Proiektes vergleichen, das vor Beginn des Entwicklungsprojektes durchgefi~hrt wurde. Seine Unterlagen zeigen folgendes: Eine far Osterreich repriisentative Kundenbefragung zeigt als Ergebnis far die einzelnen Komspitzfunktionen: SfittigungsgefCthl
35 %
Bissfestigkeit
20 %
GesundheitsgeRthl
10 %
Design
12 %
Exotischer Geschmack
18 %
Verarbeitungsm6glichkeit zu Semmelbr6sel
5%
Getreide
Sfittigungs- Bissfestig- Gesundge~hl keit heitsgeflihl 85 % 70 % 60 %
Erdbeeren
10 %
Hefe Verpackungsmaterial
5%
30 %
10 %
Design 5% 15 %
10 % 20 %
Exotischer VerarbeitungsGeschmack m6glichkeit 20 % 60 % 80 %
20 % 20 %
80%
Kostenanalysen zeigen folgenden Zielkostenanteil: Getreide
65 %
Erdbeeren
20 %
Hefe
5%
Verpackungsmaterial
10 %
a) Ermitteln Sie die Bedeutung von Getreide, Erdbeeren, Hefe und Verpackungsmaterial far das Endprodukt aus Kundensicht. b) Ermitteln Sie die entsprechenden Zielkostenindices. Welche Amderungen wiirde aufgrund der Indizes der Anwender dieser Heuristik vorschlagen?
Kapitel 6: Kostenmanagement
97
Musterlfisung:
Teilaufgabe a) Getreide: 56,95 % = 0,35 • 0,85 + 0,2 • 0,7 + 0,1 • 0,6 + 0,12 • 0,05 + 0,18 • 0,2 + 0,05 • 0,6 = 0,5695 Erdbeeren: 27,7 % = 0,35 • 0,1 + 0,2 • 0,3 + 0,1 • 0,1 + 0,12 • 0,15 + 0,18 • 0,8 + 0,05 • 0,2 = 0,277 Here: 3,75 % = 0,35 • 0,05 + 0,1 • 0,1 + 0,05 • 0,2 = 0,0375 Verpackungsmaterial:
11,6 %
= 0,1 • 0,2 + 0 , 1 2 - 0,8 = 0,116
Teilaufgabe b) Bedeutung in %
Kostenanteil in %
Zielkostenindex
Kommentar*
Getreide
56,95 %
65 %
0,88
zal teuer
Erdbeeren
27,7 %
20 %
1,385
zu billig
Hefe
3,75 %
5%
0,75
zu teuer
Verpackungsmaterial
11,6 %
10 %
1,16
z u billig
* Allerdings ist aufgrund dcr Informationslage nicht bekannt, ob ein Einsparbcdarf tlberhaupt gegeben ist.
Relcvante Fallstudien: Fallstudie 6 ( A u s g e w g h l t e A s p e k t e des Z i e l k o s t e n m a n a g e m e n t s (Target Costing))
Kapitel 7:
Kontrollrechnungen
Aufgabe 7.1 :
Methoden der Abweichungsanalyse
In der Kostenstelle S 470 der SchnolIford AG rechnete man im abgelaufenen Quartal mit einer Erzeugung yon 10.000 Paar des Produktes Nahtlos-Strumpf Ffir die Erzeugung dieser Menge ben6tigt man 4.000 Nyloneinheiten, die zu einem Planpreis yon 50,- je Einheit eingekauft werden sollen. In der Nachkalkulation wird festgestellt, dass in der Istsituation auch tats~,chlich die geplante Menge erzeugt wurde, allerdings musste dabei ein Verbrauch yon 4.100 Nyloneinheiten festgestellt werden, die pro Einheit zu einem Preis von 80,- gekauft wurden. Errechnen Sie die relevanten Kostenabweichungen (Ist-Soll-Vergleich) nach der a) differenzierten Methode, b) kumulativen Methode, c) symmetrischen Methode und d) alternativen Methode!
Musterl6sung: Der Vergleich der Istkosten von 328.000 (= 4.100 • 80) mit den Plankosten (identisch mit den Sollkosten, da die Planbesch~tftigung der Istbesch/~ftigung entspricht) von 200.000 (= 4.000 • 50) zeigt eine Gesamtabweichung yon 128.000 Mehrkosten.
Teilaufgabe a) iPreisabweichung Mengenabweichung Abweichung zweiter Ordnung
= (80 - 50). 4.000 =
120.000 Mehrkosten
= (4.100 - 4.000) • 50 =
5.000 Mehrkosten
= ( 8 0 - 5 0 ) . ( 4 . 1 0 0 -4.000) =
3.000 Mehrkosten
Gesamtabweichung
128.000 Mehrkosten
Teilaufgabe b) Abweichungsermittlung beginnend mit der Preisabweichung: Preisabweichung
-- 328.000 - 50 • 4.100 =
123.000 Mehrkosten
Mengenabweichung
= 50 • 4.100 - 200.000 =
5.000 Mehrkosten
Gesamtabweichung
128.000 Mehrkosten
100
Obtmgen zur Internen Unternehmensrechnung
D i e A b w e i c h u n g z w e i t e r O r d n u n g ist hier zur G g n z e in der P r e i s a b w e i c h u n g enthalten. A b w e i c h u n g s e r m i t t l u n g begimaend mit der M e n g e n a b w e i c h u n g : Mengenabweichung
= 328.000 - 80 • 4.000 =
8.000 M e h r k o s t e n
Preisabweichung
= 80 • 4.000 - 200.000 =
120.000 M e h r k o s t e n
Gesamtabweichung
128.000 M e h r k o s t e n
Die A b w e i c h u n g z w e i t e r O r d n u n g ist nun zur G~inze in der M e n g e n a b w e i c h u n g enthalten.
Teilaufgabe c) Preisabweichung
= (80 - 5 0 ) . 4.000 + [(80 - 50)
Mengenabweichung
= ( 4 . 1 0 0 - 4 . 0 0 0 ) . 50 + [ ( 8 0 5 0 ) . ( 4 . 1 0 0 - 4.000)]/2 =
121.500 M e h r k o s t e n
• ( 4 . 1 0 0 - 4.000)]/2 =
Gesamtabweichung
6.500 M e h r k o s t e n 128.000Mehrkosten
Teilaufgabe d) A u s g e h e n d von den Istkosten: Preisabweichung
= 328.000 - 5 0 - 4 . 1 0 0 =
123.000 M e h r k o s t e n
Mengenabweichung
= 328.000 - 80 • 4.000 =
8.000 M e h r k o s t e n
Gesamtabweichung
131.000 M e h r k o s t e n
D i f f e r e n z z u r G e s a m t a b w e i c h u n g : 3.000 M e h r k o s t e n
A u s g e h e n d v o n den Plankosten: Mengenabweichung
= 50 • 4.100 - 200.000 =
5.000 M e h r k o s t e n
Preisabweichung
= 80 • 4.000 - 200.000 =
120.000 M e h r k o s t e n
Gesamtabweichung "\ \
'\
D i f f e r e n z zur Ges~xntabweichung: 3.000 M i n d e r k o s t e n
125.000 M e h r k o s t e n
Kapitel 7: Kontrollreclmungen
Aufgabe 7.2:
101
Vergleich differenzierte und kumulative Methode bei Spezialabweichungen
Die 6sterreichische Niederlassung des intemationalen Pharmakonzems CABI fertigt h~3chst wirksame Nasentropfen zur Milderung der Leiden bei Heuschnupfen. Al Lergie, der amerikmnische Controller, wertet die Produktionszahlen der vergangenen Abreehnungsperiode aus, wobei die Kostenstellenleiterin folgende Datensituation in ihrem Bericht meldet:
Produktionsmenge in Fl~tschchen Ausbeutegrad Intensit~it (Flfischchen/Stunde)
Plan Ist 17.000 17.000 40 % 30 % 200 250
Der geplante variable Maschinenstundensatz betr~tgt 900,-. Am Ende der Abrechnungsperiode wurde weiters festgestellt, dass insgesamt 250 Maschinenstunden angefallen sind. Der Anfall von (darin enthaltenen) 23,3 Stunden wird yon der Kostenstellenleiterin damit erkl~trt, dass ein Mitarbeiter beim Verlassen der Fabrik irrtamlich vergessen hat, seine Zeitkarte auszustempeln. a) Ermitteln Sie die zutreffenden Kostenabweichungen nach der differenzierten Abweichungsanalysemethode! Ftihren Sie eine Kontrolle Ihrer Ergebnisse tiber den Vergleich mit der Gesamtabweichung durch! b) Ermitteln Sie die zutreffenden Kostenabweichungen nach der kumulativen Abweichungsanalysemethode (Plan - Ist - Vergleich)!
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Ausbeutegradabweichung: I 17.000 900. •(200.0,3)
17.000 ] = 63.750 Mehrkosten ( ~ )
Intensit~ttsabweichung: / - -17.000 -F 900" L(250. 0,4)
17.000 ]/ ~38o250 Minderkosten (200.0,4)]
102
l)bungen zur Internen Unternehrnensrechnung
Gemischte Abweichung:
E [1
900. 17.000. - - ~ + 2 - - ~
" - 0,4
0 , 3 ] J - - - 1 2 " 7 5 0 Minderkosten
Verbrauchsabweichung:addititive Verknapfung: Soll~unden:
17.000 250.0,3
- 226,7
Iststunden: 250 Verbrauchsabweichung: 23,3333 • 900 = 21.000 Mehrkosten Kontrolle fiber Gesamtabweichung: 1) Istkosten - Sollkosten = 225.000 - 191.250 = 33.750 Mehrkosten 2) Summe der emfittelten Abweichungen = 33.750 Mehrkosten
Teilaufgabeb) 17.000 Plankosten = Sollkosten 1: = 9 0 0 . - = 191.250 200-0,4 17.000 Sollkosten 2 : = 9 0 0 . - - 200.0,3 Sollkosten 3: = 9 0 0 -
17.000 250.0,3
255.000
- 204.000
Istkosten zu P l a n p r e i s e n : = 9 0 0 . 2 5 0 = 225.000
Ergebnis." Ausbeutegradabweichung: = 63.750 Mehrkosten Intensit~itsabweichung: = - 51.000 Minderkosten Verbrauchsabweichung: = 21.000 Mehrkosten Gesamtabweichung: = 33.750 Mehrkosten
Aufgabe 7.3:
Unterschiedliche Methoden der Erl6sabwcichungsanalyse
Giinther X Weiger produziert auf seiner Plantage in Wuch bei Peiz naturtriiben biologischen Apfelsafl. Die Produktionskosten des Apfelsafles folgen der Funktion K(x) -- 8.000.000 + 6000x, die Preis-Absatz-Funktion l~isst sich im preispolitisch relevanten Bereich fiber die Funktion p(x) = 22.800 - 6x ann~hem (x wird in der Dimension
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
103
1.000 Liter gemessen). Aufgrund dieser Funktionen errechnet GO.nther den optimalen Planpreis und die optimale Planmenge. Am Ende der Periode stellt G f m t h e r fest, dass er einen Istpreis p' = 15.600 erzielen konnte, die Absatzmenge x' betrug 1.200. a) Ermitteln und interpretieren Sie die gesamte Erl6sabweichung und zerlegen Sie diese in die zutreffenden Teilabweichtmgen nach der differenzierten Methode der Abweichungsanalyse ohne Berticksichtigung der gegenseitigen Abh~ingigkeit yon Preis und Menge fiber die Preis-Absatz-Funktion! Welche Schl~isse ergeben sich far die Beurteilung der realisierten Preis- sowie Absatzpolitik? b) Ermitteln und interpretieren Sie die gesamte Erl6sabweichung und zerlegen Sie diese in die zutreffenden Teilabweichungen nach der symmetrischen Methode der Abweichungsanalyse ohne Berticksichtigung der gegenseitigen Abh~ingigkeit von Preis und Menge fiber die Preis-Absatz-Funktion! Welche Schltisse ergeben sich far die Beurteihmg der realisierten Preis- sowie Absatzpolitik? c) Ermitteln und interpretieren Sie die zutreffenden Abweichungen nach der diffcrenzierten Methode der Abweichungsanalyse unter Berficksichtigung der gegenseitigen Abh~ingigkeit von Preis und Menge fiber die Preis-Absatz-Funktion! Welche Schlfisse ergeben sich nun far die Beurteilung der realisierten Preis- sowie Absatzpolitik? d) Ausgehend von a) berficksichtigen Sie nun zus~itzlich den Branchenpreis pm und das Marktvolumen xm. Die entsprechenden Plan- und Istinformationen betragen: p~ = 15.000,p~ = 14.000,x~ = 8.000,xim = 7.000. Ermitteln und interpretieren Sie die Branchenpreisabweichung, die Marktvolumensabweichung, die relative Preisabweichung sowie die Marktanteilsabweichung. Ermitteln Sie alle Abweichungen 2. Ordnung und t'tihren Sie die Kontrolle fiber die Gesamtabweichung durch! e) Ausgehend yon c) berficksichtigen Sie nun zus~itzlich den Branchenpreis p,, und das Marktvolumen x,, wie in d) angefahrt. Ermitteln und interpretieren Sie die Branchenpreisabweichung, die Marktvolumensabweichung, die Marketingeffektivit~ttsabweichung sowie die Preiseffektivit~itsabweichung!
Musterl6sung: Teilaufgabe a) : G~nthers Optimierungsproblem lautet:
Max G = 22.800x - 6x 2 - 6.000x - 8.000.000 dG
--=16.800-12x dx
=0
daraus ergibt sich: x v = 1.400, pP = 14.400.
104
Obungen zur lntemen Untemelmaensrechnung
Die Abweichungen ermittelt Gf~nther wie folgt: Gesamte Erl6sabweichung: = 15.600 • 1 . 2 0 0 - 14.400 • 1.400 = - 1.440.000 (Mindererl6se) Preisabweichung = ( 1 5 . 6 0 0 - 14.400). 1.400 = 1.680.000 (Mehrerl6se) Mengenabweichung = ( 1 . 2 0 0 - 1.400) • 14.400 = - 2.880.000 (Mindererl6se) Abweichung 2. Ordnung = ( 1 5 . 6 0 0 - 14.400). ( 1 . 2 0 0 - 1 . 4 0 0 ) = - 240.000 (Mindererl6se) Beurteilung: gute Preis- und schlechte Mengenpolitik.
Teilaufgabe b) : Berechnungen wie umer a), die Abweichung 2. Ordnung wird je zur Ittilfte der Preisbzw. der Mengenabweichung zugeschlagen. Giinther erh~ilt dann folgende Abweichtmgen: Die Preisabweichung betr~igt 1.560.000 (Mehrerl6se), die Mengenabweichung - 3.000.000 (MindererlOse), beide zusammen ergeben die gesamte Erl0sabweichung v o n - 1.440.000 (Mindererl~3se). Beurteilung: gute Preis- und schlechte Mengenpolitik.
Teilaufgabe c)." Ftir den Istpreis p' = 15.600 ergibt sich aus der Preis-Absatz-Funktion eine Sollabsatzmenge von )d = 1.200. Giinther berechnet nun die Abweichungen wic folgt: Preisabweichung = (15.600 - 14.400) - 1.400 + 14.400 • (1.200 - 1.400) = -
1.200.000 (Mindererl6se) Mengenabweichung = ( 1 . 2 0 0 - 1.200). 14.400 = 0 Abweichung 2. Ordnung = (15.600 - 14.400)- (1.200 - 1.400) = - 240.000 (Mindererl0se)
Beurteilung: schlechte Preis-, neutrale Mengenpolitik.
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
105
Teilaufgabe d) : B e r e c h n u n g der BasisgrOgen: Marktvolumen Plan
M~ktanteil
Branchenpreis
1.400
15.000
8.000
8.000 1st
7.000
RelativerPreis 14.400 15.000
1.200
14.000
7.000
15.600 14.000
Daraus ermittelt GUnther f o l g e n d e A b w e i c h u n g e n : Branchenpreisabweichung 1.400 = (14.000 - 15.000) • 8.000 • - 8.000
14.400 - 15.000
1.344.000 ( M i n d e r e r l 6 s e )
Marktvol umenabweichmag 1.400 = (7.000 - 8 . 0 0 0 ) . 1 5 . 0 0 0 . - 8.000
14.400
-
2.520.000 ( M i n d e r e r l 6 s e )
15.000
A b w e i c h u n g 2. O r d n u n g e x o g e n e Gr6Ben 1.400 = (14.000 - 1 5 . 0 0 0 ) . (7.000 - 8 . 0 0 0 ) . - 8.000
14.400 - - 168.000 (Mehrerl6se) 15.000
Marktanteilsabweichung .1.200 1.400 14.400 - • 8 . 0 0 0 . 1 5 . 0 0 0 = - 411.428,57 ( M i n d e r e r l 0 s e )
= ( 7.O(d - 8 . ~ d
)" 15.000
Relativer Preis-Abweichung .15.600 14.400. 1.400 - • 8.000 • 15.000 = 3.240.000 ( M e h r e r l 6 s e ) =
-
15-
-0-d )
8.ooo
A b w e i c h u n g 2. O r d n u n g e n d o g e n e Gr6Ben 1.200 1.400 15.600 14.400. - ( ). ( ~ ) . 8 . 0 0 0 . 1 5 . 0 0 0 = - 66.122,45 (Minder14.000 7.000 8.OO0 13.uuu erl~Sse) 1.200 A b w e i c h u n g 2. O r d n u n g e x o g e n e - e n d o g e n e G r 6 g e n = ( 7 . 0 0 0 •
14.400
.
(14.000 .
7 . 0 0 0 - 15.000 .
.
8.000)=
15.600 14.000
506.448,98 ( M i n d e r e r l 6 s e )
G e s a m t e r l 6 s a b w e i c h u n g - 1.440.000 (Mindererl6se)
1.400 8.000
106
(21btmgenzur Intemen Untemehmensrechnung
Teilaufgabe e) Berechnung des Marktanteils bezogen auf die Solhnenge ergibt: x~" =
1.200 8.000 "
Die beiden folgenden Abweichungen ermittelt Gfinther unver~indert zu d): Branchenpreisabweichung 1.400 = (14.000 - 1 5 . 0 0 0 ) . 8 . 0 0 0 . - 8.000
14.400 - 15.000
1.344.000 (Minderer16se)
Marktvolumenabweichung 1.400 =(7.000-8.000). 15.000.-8.000
14.400 15.000
-
2.520.000 (Mindererl6se)
Als neue Abweichungen ermittelt G~nther nun: Marketingeffektivit~itsabweichung 15.600 1.200 15.600 1.200. = (14.000 " 7.00----0- 14.00---~ " 8 . ~ )" 15.000.8.000 = 2.865.306,12 (Mehrerl6-
se) Preiseffcktivit/~t sabweichung .15.600 1.200 14.400 = ( 1 4 . 0 0 0 " 8.000 - 15.000
1.400 --). 8.000
t 5 . 0 0 0 . 8 . 0 0 0 = - 102.857,14 (Minderer-
16se)
Aufgabe 7.4:
Abweichungsauswertung mit Hilfe des KontroUkartenverfahrens
Die Portogebfihren des Warenversandes machen dem Good Ear CD Versand schwer zu schaffen. Die Geschfiflsleitung beauftragt Sie, ein Kontrollkartenverfahren zur Fundierung einer Auswertungsentscheidung einzusetzen und stellt folgende Informationen zu Verfiigung: Die Portospesen verhalten sich in AbNtngigkeit des Umsatzes aus dem CD Verkauf, aus diesem Grund wurde die Verh~iltniszahl Portospesen zu Umsatz zuletzt wochenweise aufgezeichnet. Frfihere Untersuchungen ffdaren zur Annahme, dass diese Verhfiltniszahl nomlalverteilt mit Erwammgswert 0,062 und Varianz 0,0001 ist. Die letzten sieben Wochen zeigen folgendes Bild:
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
Kalenderwoche
Portogebiihren/Umsatz
40
0,046
41
0,07
42
0,065
43
0,064
44
0,072
45
0,078
46
0,077
107
a) Legen Sie die obere und untere Kontrollgrenze so fest, dass der Fehler erster Art mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % auftreten kann. Soll eine Abweichungsauswertung durchgefikhrt werden? Begrtinden Sie Ihre Empfehlung anhand einer Grafik. b) Welche zukfinflige Entwicklung der Verhfiltniszahl Portospesen zu Umsatz erwarten Sie aufgrund der bisherigen Beobachtungen?
Mustcrliisung:
Teilaufgabe a) Ermittlung der oberen und unteren Kontrollgrenze: Die Vorgabe einer 5 % Fehlerwahrscheinlichkeit ffihrt fiir diese Verteilung zu: • obere Kontrollgrenze: = ~t + 1,96(y = 0,062 + 1,96 • ~
= 0,0816
• untere Kontrollgrenze: = Ix - 1,96cy = 0,062 - 1,96 • ~
= 0,0424
Ergebnis: Graphische Darstellung: Portogebtihren/Umsatz 0~09 Obet~ Kot+tmlJ~+me
0~08 0,07
0~06 0,05 Unlere Kontrellgrenze
Of)4 ON3 0,02 0NI 0 40
41
42
43
44
45
46
KNen~he
108
0bungen zur IntemenUnternehmensrechnung
Empfehlung aufgrund der Graphik: Keine Auswertung, da die Realisationen innerhalb der Kontrollgrenzen liegen.
Teilaufgabe b) Die Datem'eihe lfisst einen Trend in Richttmg obere Kontrollgrenze erkennen, so dass der Sehluss auf einen systematisehen, kontrollierbaren Fehler gerechtfertigt erscheint und fftr die n~chsten Beobachtungen ein Oberschreiten der Kontrollgrenze erwartet werden kann. Die Geschgftsleitung k6nnte sich aus diesem Grund bereits jetzt Nr eine Auswertung entscheiden.
Aufgabc 7.5:
Kostcn und Nutzcnvergleich von Auswertungen
Carlo Studentnig arbeitet in den Sommerferien als DJ in einer GroBdiskothek. Das Trockeneisaggregat zur Erzeugung der Nebeleffekte bereitet ibm allerdings, gerade im Hinblick auf die nfiehste Open Air Veranstaltung, groBe Sorgen, da die Stromverbrauehswerte weit t~ber jenen der Gebrauchsan[eitung liegen. Um die Fehlerursache zu identifizieren und zu beheben, hat Carlo folgende Strategien ermittelt: Generaleheck dureh einen Servicemitarbeiter des Herstellers zu Kosten yon 18.000. Dieser Teehniker findet kontrollierbare Fehlemrsachen mit Sicherheit, die Reparatur kostet zus~ttzlich 10.000. Ian Stein, ein befreundeter Physikstudent und begnadeter Bastler, w~rde das Aggregat um 8.000 durehchecken. Bei Vorliegen einer kontrollierbaren Fehlerursache wttrde er diese mit einer Wahrseheinlichkeit yon 70 % erkennen und eine Reparatur urn 6.000 durchftthren. Allerdings wtirde Ian mit einer Wahrscheinlichkeit yon 30 % eine kontrollierbare Fehlerursache tibersehen. Falls Carlo nichts unternimmt, liegen die Stromkosten weiterhin um 60.000 tiber dem Planwert, falls eine kontrollierbare Fehlerursache vorliegt. a) Formulieren Sie allgemein die Kostenerwammgswerte der Carlo znr Verfligung stehenden Strategien in Abhgngigkeit von ~, der Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung eine kontrollierbare Ursache besitzt. b) Ermitteln Sie die kritischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Strategien und die jeweils optimale Strategie far die einzelnen Bereiche von ~. e) Der (risikoneutrale) Carlo vermutet eine Wahrseheinliehkeit ¢ von 50 %. Wie wird sich Carlo entscheiden? Ennitteln Sie die erwarteten Kosten der einzelnen Strategien. d) Welche (reparatumnabh~ingigen) Kosten dtirfen c.p. far den Servicetechniker anfallen, damit Carlo bei ~b= 50 % indifferent ist zwischen der Beauftragung yon Ian Stein und der des Technikers.
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
109
Musterl~sung: Teilaufgabe a) E(OK) = 6 0 . 0 0 0 . ~b E(Ian Stein) = 8.000 + [4.200 + 18.000] • ~b E ( S e r v i c e ) = 18.000 + 10.000 • ¢
Teilaufgabe b) Kritische W a l n ' s c h e i n l i c h k e i t z w i s c h e n den A l t e m a t i v e n (1) ,,Ohne K o r r e k t u r " und (2) ,,Ian Stein": 6 0 . 0 0 0 . ¢12 = 8.000 + [4.200 + 18.000]. ~12 ¢12 = 0,2116 Kritische W a h r s c h e i n l i c h k e i t z w i s c h e n den A l t e m a t i v e n (2) ,Jan Stein" und (3) ,,Servicetechniker": 8.000 + [4.200 + 18.000] • ¢23 -- 18.000 + 10.000- ¢a3 ¢:3 = 0,8197 Strategien: •
Keine Auswertung
¢t • [0, 0,2116]
• ,jan Stein"
¢~ • [0,2116, 0,8197]
•
¢~ • [0,8197, 1]
Servicetechniker
Teilaufgabe c) Carlo wird sich laut Ergebnis b) ffir Ian Stein entscheiden. Ein V e r g l e i c h der erwarteten K o s t e n zeigt:
E(OK) = 60.000 • 0,5 = 30.000 E(lan Stein) = 8.000 + 22.200 • 0,5 = 19.100 E ( S e r v i c e ) = 18.000 + 10.000 • 0,5 = 23.000
110
f2bungen zur Internen Untemehmensrectmung
Teilaufgabe d) Ansatz: 8.000 + 22.200 • 0,5 = x + 10.000.0,5 x = 14.100
Aufgabe 7.6:
Auswertungen bei Risikoaversion
Eine im Untemehmen Murkserati durchgeffihrte Abweichungsanalyse hat zu folgenden kontrollrelevanten Verbrauchsabweichungen (Absolutbetrfige) gefiihrt: At = 200 A2 = 100 A3 = 400 Dem ffir die Auswertung der Abweichmagen zustfindigen Controller HR. Zwei ist zum einen bekamat, dass jeder Abweichung ein bestimmter Betrag an relevanten Auswertungskosten AKi zugeordnet werden kann, zum anderen weil3 er auch aus jahrelanger Erfahrung, dass zwischen der H6he der einzelnen Abweichungen und den Auswertungsertr~gen AE(&) folgende Beziehung besteht:
AE(A~) = c~,. &
(i = 1,2,3)
Die einzelnen AK~ und oc, nehmen folgende Werte an:
AKI = 20;
AK2 = 20;
AK3 = 10
c~1 = 0,2;
a2 - 0,5;
~3 - 0,05
Die Auswertungsentscheidung soll in dieser Periode erstmals modellgestiitzt erfolgen. U.R. Zwei st613t dabei in der Literatur auf das Modell von Bierman/Fouraker/Jaedicke, das Jim1 aber hinsichtlich der Risikoeinstellung im vorliegenden Fall unangemessen erscheint, weil sich die Untemehmung risikoscheu verh~tlt. Ihre Risikonutzenfunktion U(Z) sei eine exponentielle Funktion der Form: - - -1- a
U ( Z ) = - e 20 +1 wobei Z die im jeweiligen Umweltzustand an die Untemehmung flieBenden Oberschfisse aus der Auswertungsentscheidung bezeichnet (wird eine Abweichung nicht ausgewertet, ist demnach Z = 0). Welche der angegebenen Abweichungen wertet der Controller U.R. Zwei unter obigen Annahmen (insbesondere also Maximierung des Erwartungsnutzens unter Verwendung der obigen Nutzenfunktion, wobei fiber die Auswertung jeder Teilabweichung isoliert entschieden wird) aus, falls die Wahrscheinlichkeiten ¢i, dass die Abweichungen auf nicht kontrotlierbaren Tatsachen beruhen, jeweils 30 % betragen
Kapitel 7: Kontrollrectmungen
111
(¢i = 0,3 mr i = 1,2,3)? Welche Abweichungen wertet er nicht aus (Begranden Sie Ihre Antwort!)?
MusterlOsung: Die Handlungsalternativen mit den entsprechen Ertr~igen sind in folgender Tabelle erfasst:
Abweichungsursache
Kontrotlierbar
Aktion
Nicht kontrollierbar
(1-¢)
Auswerten
AE - AK
- AK
0
0
Nicht auswerten
Der Nutzen, den die Untemehmung bei der Durchfahrung einer Auswertung erfahrt, muss mindestens so grog sein wie der Nutzen, den sie erf'ahrt, falls sie die Auswertung nicht durchfOhrt. (1 - ¢). U ( A E - A K ) + (~. U ( - A K ) >_g ( o ) AE(Aj) = 0,2 • 200 = 40 AE(A2) = 0,5 • 100 = 50 AE(A3) = 0,05 • 400 = 20 Auswertung A/: !
0,7. U(40 - 20) + 0,3- g(-20)_> g ( o ) 1
I
r . . . .
1
f)
0,7 • ( - e ?7(4° 2o~ + 1) + 0,3. ( - e -~~-2°) + l ) _ > - e :o +1 Da -0,07308040396 < 0 keine Auswertung. Auswertung k2: 0,7. U ( 5 0 - 20) + 0,3. U(-20)_>U(0) Da 0,028324338 > 0 Auswertung. Auswertung A3: 0,7. U ( 2 0 - 10) + 0,3. U(-10)_>U(0) Da 0,080812156 > 0 Auswertung.
Literatur: Bierman, H. Jr., L. E. Fouraker und R. K. Jaedicke: A Use of Probability and Statistics in Performance Evaluation, in: The Accounting Review 1961, S. 409-417.
112
Aufgabe 7.7:
l)bungen zur Internen Untemehmensreclmung
Auswertungen und zeitliehe Restriktion
Eine Abweichung sei mit einer Wahrscheinlichkeit ~ auf kontrollierbare und mit einer Wahrscheinlichkeit (1-¢) auf nieht kontrollierbare Ursachen zurfickzuf'tihren. Gegeben sei folgendes Modell zur Auswertung von Abweichungen: Wird eine Untersuchung der Abweichung mit Kosten von I durehgeffihrt, so soll sie mit Sieherheit aufdeeken, ob die Abweichung eine kontrollierbare oder nicht kontrollierbare Ursache besitzt. Ist die Abweichung kontrollierbar, wird eine Korrektumaagnahme gesetzt, die selber wieder Kosten K verursacht. Man kann als weitere Strategie auf die Untersuchung auch verziehten und sofort KorrekturmaBnahmen setzen, die im Fall, dass die Abweichung kontrollierbar ist, effektiv sind, und andernfalls ins Leere gehen. Dabei wird angenommen, dass die Korrekturmal3nahmen den Fehler immer beheben k6nnen. Wird schlieBlich nichts untemommen, entstehen Kosten OK, wenn die Abweichungen auf kontrollierbaren Ursachen beruhen. Vergleichen Sie zun~chst die Altemativen ,, Untersuchung und ggf." Korrektur" und ,, nichts unternehmen "! Zeigen Sie in allgemeiner Form auf, i) unter welehen Bedingtmgen es niemals gfinstig ist, eine Untersuchung durchzufiihreD,
ii) unter welchen Bedingungen es niemals gtinstig ist, nichts zu untemehmen! Vergleiehen Sie nun die beiden Alternativen ,, Untersuchung und gg~. Korrektur" und ,, sofortige Korrektur"! Zeigen Sie in allgemeiner Form auf, i) unter welchen Bedingungen immer untersueht wird, ii) unter welehen Bedingungen stets ohne Untersuchung die KorrekturmaBnahme gesetzt wird, gleiehgfiltig, ob sie greift oder nicht! Es soll nun angenommen werden, dass die H6he von OK von der H6he der Abweichung abh~ingt. Es sei O K = OK(A) - m • A mit A als Abweiehung trod m > 0 als konstantem Faktor. Zeigen Sie in allgemeiner Form auf, wie das hier betraehtete Modell mit in der Praxis tibliehen Entseheidungsregelungen korrespondiert, wonach nur solehe Abweichungen weiter ausgewertet werden, die einen bestimmten absoluten Wert tibersteigen! Eine Abweiehtmgsanalyse hat zu folgenden kontrollrelevanten Abweiehungen gefiihrt: At = 625 A 2 - 1.200 A3 = 1.750 A4 = 1.000
Es gelte weiterhin: OKj - OKi(A 3 = m~- Ai
(i = 1,2,3,4).
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
113
Die einzelnen ¢~ und mi netmaen folgende Werte an: ~t = 0,5;
¢: -0,4;
~3 - 0,4;
~4 = 0,7;
ml = 0,8;
m2 = 0,5;
ms = 0,4;
m4 = 0,4.
Es sol1 angenommen werden, dass bei der Auswertung der vier Abweichungen keine (Grenz-) Kosten anfallen ( / = 0; K = 0), dass jedoch ftir Auswertungszwccke insgesaint nur 20 Smnden zur Verftigung und unvollstandige Auswertungen nicht m6glich sind (d.h. eine Abweichung wird entweder ausgewertet oder nicht ausgewertet). Welche Abweichungen werden ausgewertet und wie hoch ist der erwartete Auswertungsertrag, wenn zwischen der Abweichungsh6he Ai und der zur Auswertung ben6tigten Zeit t, nachfolgende funktionale Beziehungen bestehen (die Angabe erfolgt in Minuten)? tl(&) = 375 + 0,2 • A1 t2(A:) = 180 + 0,1 .A2 t3(t,~)
= 0,2
•
t,3
t4(A4) = 1O0 + O, 1 • A4
Musterl~sung: Teilaufgabe a) Die Entscheidungsregel lautet: Untersuchung und ggf. Korrektur, falls ~ > - OK- K" OK K Teilaufgabe b) Die EntscheidungsregeI lautet: Untersuchung und ggf. Korrektur, falls ~
_K Teilaufgabe c9 Vergleich der Altemativen ,,Untersuchung and ggt: Korrektur" tend ,,nichts unternehnlen":
Durch Einsetzen von OK~(A 0 = mi • & in die Entscheidungsregel in Teilaufgabe a) erhNt man: I ¢> m.A~
114
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
Eine einfache Umformung fiihrt schlieBlich zu:
I+¢.K
A > - ¢-m
Vergleich der Alternativen ,,sofort korrigieren" und ,,nichts unternehmen": K Die Entscheidungsregel lautet: Sofortige Korrekturmagnahmen, falls ~b> OK Durch Einsetzen von OKi(Ai) = mi • Ai in diese Entscheidungsregel erhalt man: K A>-¢.m
Teilaufgabed): OK1 = 0 , 8 . 6 2 5 = 500 01(2 = 600 OKs = 700 0[£4 = 400 tl(Aj) = 375 + 0,2 • 625 = 500 tXA2) = 300
O(~s) =
350
t4(A4) = 200 Insgesamt stehen 1.200 Minutcn f'gr Auswertungszwecke zur Verftigung. Die Auswertung aller vier Abweichungen ist jedoch nicht m6glich, weil 500 + 3 0 0 + 350 + 200 = 1.350> 1.200 M6glich sind folgende Kombinationen: A1, A2, A3:500 + 300 + 350 = 1.150 < 1.200 A1, A2, A4: 1.000 < 1.200 At, As, A4:1.050 < 1.200 A2, As, A4:850 < 1.200 Zu untersuchen ist im Folgenden, welche Kombination den h6chsten Auswertungserfolg erbringt: At, A2, A3:0,5 • 500 + 0,4 • 600 + 0,4. 700 = 770 At, A2, A4:770 At, A3, A4:810 A2, A3, A4:800 Es werden also die Abweichungen At, As mad A4 ausgewertet.
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
l 15
Eine Reihung der Auswertungen gem~iB den spezifischen Deckungsbeitr~tgen Nttte zu einem falschen Ergebnis gefahrt. Da die Auswertung van Az den niedrigsten spezifischen Deckungsbeitrag der vier Auswertungen erbringen wfirde, warden nach der entsprechenden Entscheidungsregel die Abweichungen A:, As und A4 ausgewertet werden, was jedoch nur zu cinem Auswertungserfolg van 800 f'tihren wfirde.
Aufgabe 7.8:
Managerentlohnung und Likelihood Relation
Ein risikoneutraler Untemehmer beschaftigt den risikoscheuen Manager R.A. Vers, der den Produktionsprozess steuert. In Abh~ngigkeit des Arbeitseinsatzes van R.A. Vers ergeben sich folgende Outputwahrscheinlichkeiten: Output x = 500
Output x = 4.000
Arbeitseinsatz aL
0,7
0,3
Arbeitseinsatz aH
0,2
0,8
Die Wahl des hohen Arbeitseinsatzes ah, verursacht dem Manager persiSnliche Kosten des Disnutzens V(aH) in H6he van 100. V(aD sowie der Reservationsnutzens U ~ des Managers betragen 0. Die Nutzenfunktion des Managers hat die Form
U~(s,a) = ~
,
jene des Untemehmers UP(x, s) = x - s .
a) Der Arbeitseinsatz des Managers ist beobachtbar. Welches Arbeitsniveau ist far den Untemel~ner mit der grN3tm6glichen Nutzenerreichung verbunden? Welche Entlohnung ist notwendig, um dieses Aktivit~itsniveau zu induzieren? b) Nur der Output der Aktivit/it ist allgemein beobachtbar. Emlitteln Sie das aus der Sicht der Unternehmensleitung optimale Aktivit~ttsniveau und die optimale Managerentlohnung. c) Warum ist die Entlohnung bei Nichtbeobachtbarkeit des Arbeitseinsatzes tar den Output x = 4.000 h6her als far x = 500.
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Die Untemehmensleitung bietet dem Manager eine Entlohnung der Arbeitsleistung an, die genau das Erreichen des Reservationsnutzenniveaus U A = 0 gewahrleistet, d.h far den Arbeitseinsatz aL gilt:
s(aL) = O, EUP(x,s(aL)) = 1.550, EUA(s(aL),V(aL)) = 0
116
13bungen zur Internen Untemehmensrechnung
far den Arbeitseinsatz s(an) = 100,
an gilt:
EUP(x,s(an)) - 3.200, EUA(s(an),V(aH)) = 0
Die Untemehmensleitung wird die Erbringung des hohen Arheitseinsatzes vertraglich vereinbaren und bei Vertragserfallung eine Entlohnung von 100 leisten.
Teilaufgabe b) Die Motivation des niedrigen Arbeitseinsatzes fahrt bei Nichtbeobachtbarkeit des Arbeitsniveaus zur selben L6sung wie unter a), damit: s(aL) = o, ~Ue(x,s(aL)) = 1.550, EU~(s(aL),V(aL)) = 0 Die Motivation des hohen Arbeitseinsatzes erfordert das Beachten der Teilnahmebedingung sowie der Aktionswahlbedingung im Rahmen der Untemehrnenszielverfolgung. Dadurch ergibt sich als Optimierungsproblem: min
s(x=5OO),s(x=4000)
0,2.
s(x = 500) + 0,8. s(x = 4.000)
u.d.N.:
0,2. ~/s(x = 500) - 1 0 0 + 0,8.x/s(x = 4 . 0 0 0 ) - 1 0 0 > 0
O,2. x/s(x = 500) - 100 + O, 8. ~ls(x = 4.000) - 100 _> 0,7.
x/s(x = 500) + 0,3. ~/s(x = 4.000)
Ergebnis (Die L6sungsemlittlung erfolgte mit Softwareuntersttitzung dutch MS Excel ©- Solver): s(x = 500) =106,7849 s(x = 4.000) = 331,6472 EU4(s(x),V(aH)) = 12,6969 EUe(x,s(x))
= 3.013,33
Far die Unternehmensleitung ist die Erbringung des hohen Arbeitseinsatzes mit einer h6heren erwarteten Nutzenerreichung verbunden. Zur Motivation dieses Aktivit~itsniveaus wird eine outputabNingige Entlohnung vertraglich vereinbart.
Teitaufgabe c) Die Likelihood Relation zeigt, dass ffir den Output x = 4.000 eher die Vermutung - > - - 0, 2 gilt, dass eine hohe Arbeitsintensitat gewahlt wurde: -0,8 0,3 0,7 '
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
Aufgabe 7.9:
117
Auswertungsstrategien in einem biniiren AgencyModell
Die Meltdown AG betreibt ein Kernkraftwerk in Osteuropa. Far die kommende Planperiode werden die beiden quantitativ messbaren, monet~ir bewertbaren lDberschtisse x L und x H far m6glich gehalten. Es gilt x L < x H. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieser Oberschfisse hgngt allerdings vom Sorgfaltsniveau a des technischen Direktors lsotop ab. A'otop empfindet bei Anstrengungen a Arbeitsleid. Es wird angenommen, dass Isotop nur ein hohes Anstrengungsniveau aH oder ein niedriges Anstrengungsniveau aL erbringen karm. Es gilt V ( a L ) = O , V ( a u ) = 1. Die Konstellation der ZahlungstiberscNisse und Wahrscheinlichkeiten sei so, dasses der Vorstandsvorsitzende Plutonium immer vorteilhaft findet, Isotop zu einem hohen Anstrengungsniveau zu motivieren. Plutonium ist risikoneutral, der risikoscheue Iso-
top bewertet Zahlungen gem~iB U(s(xi)) = ~
, i = L , H . Sein Reservationsnut-
zen ist U A = 0. Folgende Tabelle fasst die Situation zusammen. Dabei gilt stets
XL
aL ~
¢I ¢2
XH
1 -1-
¢1
02
a) Was wird in diesem Agency-Model1 durch ~1, ~ ausgedrfickt? b) Bestimmen Sie die second best L6sung dieses Szenarios ohne Auswertung. Welcher Zusammenhang besteht zwischen ¢1, ¢2 mid der Entlohnung von Isotop? Welcher Zusammenhang besteht zwischen ¢1, ~2 und der Zielerreichung yon Plu-
tonium? Interpretieren Sie diese Zusammenhfinge 6konomisch. c) Bezfiglich m6glicher Auswertungsstrategien stehen Plutonium die beiden folgenden Alternativen zur Verfagung. Er kann entweder auswerten, wenn er xL beobachtet, oder auswerten, wenn er xH beobachtet. Eine perfekte Informationstechnologie sei dagegen zu teuer. Gleichgtiltig, ob nut bei x L oder nur bei x H ausgewertet wird, entstehen Auswertungskosten v o n / 7 > 0. Durch die Auswertung wird verifizierbar aufgedeckt, ob aH oder aL erbracht wurde. Wie verfindert die M6glichkeit der Auswertung die Situation unter Teilaufgabe b)? Bestimmen Sie die optimale Auswertungsstrategie far 01 = 2 / 3, ¢~2 = 1/ 3 und far ~bI = 2 / 3 , ~b2 = 0,5. Kommentieren Sic lhr Ergebnis. d) Wie hoch sind der Grenzpreis bzw. die h~chsten Auswertungskosten, die Plutonium gerade noch in Kauf nehmen warde, um die Zusatzinformation der Auswertung zu erhalten? Gehen Sie zur Beantwortung dieser Frage v o n d e r Oberschussstruktur x L = - 1 0 , x H = 30 und den beiden konkreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Teilaufgabe c) aus.
1t 8
Obungen zur InternenUntemehmensrechnung
MusterlSsung: Um dem Leser ein stfindiges ,,Wer ist wer?" zu ersparen, werden in der Musterl6sung die Begriffe Agent (Isotop) und Prinzipal (Plutonium) verwendet.
Teilaufgabe a) 01, Ca geben die Wahrscheinlichkeiten ffir das Auftreten des niedrigen Uberschusses XL in Abhgngigkeit davon an, ob der Agent ein hohes oder niedriges Anstrengungsniveau gew~ihlt hat, d.h. 0~ = 01(x1~[aL), 02 = ca(xt, l a , ) • Sie geben Aufschluss dart~ber, inwieweit der Agent durch die hohe Anstrengung das Ergebnis im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung verbessem kann. Dieser Zusammenhang wird oft im Sinne einer stochastischen Produktionsfunktion interpretiert. Hohe Differenzen 01 - 02 besagen dama, dass der Agent eJne hohe (stochastische) Produktivitat besitzt. Aufgrund der Nutzenfunktion folgt, dass die Entlohnung des Agenten nicht negativ werden darf. Dies bedeutet, dass die maximal m6gliche Sanktion gegentiber dem Agent s o = 0 betrfigt. Dadurch l~isst sich die Situation eines beschrfinkt haftenden Angestellten recht maschaulich darstellen.
Teilaufgabe b) Der risikoneutrale Prinzipal maximiert unter der Bedingung, dass aH gewahlt werden soil, die (2rberscht~sse xi abztiglich der Entlohnung des Agenten unter BerOcksichtigung der Teilnahme- (TB) und Anreiznebenbedingung (AB). Die Zielfunktion ist: M a x Z = ca. x L + (1 - c a ) . x ~ - 0 2 " s ( x L ) - (1 - c a ) . s ( x H)
Min 02" s(xr) + (1 - Ca)" S(XH) Maximierung des Nettoiiberschusses entspricht hier also der Minimierung der Kosten der Entlohnung. Aufgrund der Nutzenfunktion des Agenten l~isst sich die Zielfianktion als quadratisch in den Nutzenwerten der Entlohnung darstellen, w~ihrend die TB/AB linear in den Nutzenwerten der Entlotmung verl~iuft, d.h. ut = ~ ~ s(xi) = u~. Das Problem lautet dann:
Min 02" u~ + (1 - ca). u~ 02 "uL +(1-02)"UH --1 _>0(TB) 02" UL + (1 -- ca). USr -- 1 > 01 "UL + (1 -
01)" MH
u,>_0(i:LH) Aus der AB folgt:
-1->O(AB) >o
0
t¢~ -42) 2I Die erwarteten Kosten der Entlohnung sind dan_n: K Min _
1-42 (41-~2) 2
Unter der Annahme ¢I - 42 > 0 lassen sich die folgenden komparativ-statischen Ergebnisse herleiten.
120
0bungen zur InternenUnternehrnensrechnung
OK
+02-2 -
802
>0
J
7o Die erwarteten minimalen Kosten des Prinzipals steigen mit zunehmender Wahrscheinlichkeit dafter, dass auch bei aH der niedrige Uberschuss auftritt. Je geringer also die Produktivit~t des Agenten (~1-~2), verstanden in dem Sinne, dass auch durch hohe Sorgfalt schlechte Ergebnisse relativ wahrscheinlich sind, d e s t o hOher sind die Kosten des Prinzipals. Seine Begrfindung findet dieses paradox anmutende Ergebnis letztlich in der AB dieser Randl6sung. Da der Agent bei Beobachtung von XL die Entlohnung UL = SL = 0 erh~ilt, gilt: (1-02).u H -1 >_(1-4a).uH (AB) Je geringer die Ffihigkeit des Agenten ist, die Wahrscheinlichkeit far das schlechte Ergebnis im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung negativ zu beeinflussen, desto h6her muss ihn der Prinzipal vergfiten, urn ihn zu aH ZU veranlassen. Der Grund liegt darin, dass der Agent im Falle yon aH ein k o n s t a n t e s Arbeitsleid empfindet, mit wachsendem 02 aber die Wahrscheinlichkeit sinkt, bei erwanschtem Verhalten die hohe Belohnung zu erhalten. Dem kann der Prinzipal nur dadurch begegnen, dass er UHmit wachsendem ¢2 immer welter erhSht. Die Ableitung von u~ nach 02 best~itigt dieses Ergebnis. du*H
1
~7~¢2
(41 -- 42 )2
>0
Steigt dagegen far ein gegebenes ¢2 die Wahrscheinlichkeit Rir den niedrigen f.)berschuss, wenn aL erbracht wurde, impliziert dies einen Anstieg der Produktivit~it des Agenten. Deshalb sinken die erwarteten Kosten im Intervall [¢1; 02 [ .
d K ~m
N
¢~-s o +(1 -~l).Un (AB) =0
(41 - O ~ ) . . + (42)'"L -1 _>0 (AB) >o
>o
Die Wahrscheinlichkeit des Agenten, die hohe Entlohnung zu erhalten, betr~gt unver~indert (1 - ¢h ) bei erwfinschtem Verhalten und (1 - 41 ) bei unerwfinschtem Verhalten. Ist UL > 0, erhfilt er diese Entlohnung jedoch nur noch dann, wenn er sich in erwanschter Weise verhalten hat. Abstrahiert man zun~ichst von Auswertungskosten, verbilligt sich deshalb zun~ichst die Einhaltung der AB aus Sicht des Prinzipals. In der umgeformten AB erkennt man dies daran, dass UL nicht mehr v o n d e r Differenz der Wahrscheinlichkeiten, hier interpretiert als die stochastische Produktivit/it des Agenten, abh~ingt, sondem nur noch yon der Wahrscheinlichkeit ftir den schlechten Umweltzustand, wenn tatsfichlich aH erbracht wurde.
122
Obungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Die Differenz zwischen TB und AB 01=
2/3
betr~igt:
(1-¢i)'u H >0 Ftir jedes u H > 0 impliziert dies, dass die Einhaltung der AB den Prinzipal st~irker bindet als die TB. Aus der AB erh~ilt man: 1 - u ~ " (¢1 - 02.)
/~L --
¢2
Eingesetzt in die Zielfunktion ergibt sich: M i n K = ¢2 " U2L +
(1 -- ¢2)" U~
K=¢z..1--UH'(¢~-¢2)
+(1_¢2).U 2
¢2 4.UH .01 +2.UH - 2-¢1 + 2 = 0 02
3K_2"u~'¢~
d~/H
¢2
¢1 --02 = ¢1 --~ 2> 0 --->UH = 02--2"¢t'02 +¢2 (01--02)2+¢2--02 Diese ,,imlere" LSsung f'lihrt zu einem ebenfalls positiven uL > 0. =
1-¢~
,,L (¢ _¢2)2+¢ _¢:
>UH>0
Die Nichtnegativit~itsbedingungen bezfiglich der Nutzen der Entlolmung werden also eingehalten. In diesem Szenario erhfilt der Agent also eine h O h e r e Vergfitung, wenn der sehlechte Umweltzustand eingetreten ist, denn diese Entlotmung wird nur bezahlt, wenn der Prinzipal auswertet und feststellt, dass tats~ichlich an geleistet wurde. Damit dies tats~ichlich optimal ist, muss angenommen werden, dass der Agent keine MSgliehkeit hat, Obersehtisse zu verniehten. Sonst kSnnte er versueht sein, durch sinnlose Ausgaben A = x H - x L den schlechteren Umweltzustand vorzuspiegeln, obwohl tatsfichlich xn vorliegt. Die minimalen erwarteten Kosten der Entlohnung sin& KMi, =
1- ¢2
= Z/L
Die erwarteten Kosten dieser Auswertungsstrategie entsprechen dem Nutzen der Entlohnung UL. Der Auswertungsertrag gegentiber Teilaufgabe b) betr~igt: AK-
1-¢ 2
1-¢ 2
_02)2+¢2_#
>0
Kapitel 7: Kontrollrectmungen
123
Ohne Auswertungskosten woxde also immer ausgewertet. Unter Berttcksichtigung yon Auswertungskosten wird ausgewertet, wenn:
AK-I-I=
1-02
1-¢2
/7_>0
(01-02) 2 (¢1-02)2+02-4 Es l~sst sich leicht ~iberp~fen, dass m6gliche Randoptima dieses Problems, d. h. uz = 0; uH > 0 oder u H = 0; u a > 0 zu h6heren erwarteten Kosten des Prinzipals f'lihren. Im ersten Fail resultiert dieselbe L6sung wie unter Teilaufgabe b) mit h6heren erwarteten Kosten (s.o.). FOx den zweiten Fall ergibt sich K = u L = 1/ ¢2, wobei AB und TB als Gleichungen erfallt sind. Die resultierenden erwarteten Kosten sind jedoch slels hOher als diejenigen der inneren L6sung uL > u H > 0 (Der Leser ist eingeladen, dies selber zu tiberprt~fen). Analysiert man den Einfluss von zunehmendem ¢2 bei gegebenem 01 (geringere Produktivitfit des Agenten), erhfilt man:
8uH =
0, "(¢~ -1)
< 0; OuL -
-(O1-1) 2
0(TB) 42 "btL + (1-4z)" uH -1 > 41 "uL + ( 1 - ¢~)'So(AB) =0
Wiederum umfasst die Entlohnung des Agenten eine Sanktion im Falle yon aL, wenn xH beobachtet wurde, sowie eine Vergtitungskomponente u~ die dann bezahlt wird, wenn die Auswertung erbringt, dass er sich in erv~nschter Weise verhalten hat. Die umgeformte AB lautet in diesem Fall: (1- 4 2 ) ' u . +(42 - 4,)'UL --1 _>0 (AB) >0
0. Wird dem Agenten eine nichtnegative Entlohnung uL gezahlt, impliziert die Einhaltung von AB automatisch die Einhaltung yon TB. hn Falle einer Randl6sung sind AB, TB und die Nichtnegativit/itsbedingung u L > 0 als Gleichungen erftillt. Aus AB folgt: uH "(¢2 - 1 ) + 1 bl L
--
(42
Kapitel 7: Kontrollreclmungen
127
Die Ableitung der inneren L6stulg erfolgt analog zur bisherigen Vorgehensweise. Sie lautet: ,~-----~,
~2 - ¢ 1
(¢,-o2)2+o2-o22
< 0
Die ,,innere LOsung" verletzt wiederum die Nichtnegativit~itsbedingung f'lir den Nutzen der Entlohnung uL. Es ergibt sich emeut eine Randl6sung mit: ,
,
1
UL = O , u H
KMO,(cIxH)
1_¢2
1
1-¢2
Im Untersehied zur Strategie ,,Nieht Auswerten" erzielt der Prinzipal in dieser L6sung (Auswertung bei x~) dadurch einen Vorteil, dass er bei der Festsetzung der Entlohnung u~ nicht m e h r die relative (¢1-¢2), sondern die absolute Produktivit~it (1 -
¢2) des Agenten ber~icksichtigen muss. Ohne Auswertung betrug die L6sung fiir
uH in Teilaufgabe b) ja: u~b) _
1
¢',-¢2 Die Entlohnung des Agenten t~r xL ist hier also stets niedriger als in Teilaufgabe b). Unter Berticksiehtigung der optimalen L6sung lautet die im Optimum bindende AB: (1 - ¢ 2 ) '
ua' - 1 ___0 ( A B ) : ( T B ) .
Wie man sieht, bleibt im Falle der Auswertungsstrategie xL das Problem erhalten, dass der Prinzipal Nr eine geringer werdende Produktivitfit des Agenten quasi ,,gezwungen" ist, bei Beobachtung von xH dem Agenten Vergiitungen zuzugestehen, die entgegen seiner Produktivitfit verlaufen, tun die erwt~nschte Aktion aH zu implementieren. Die Auswertungsstrategie xL ffihrt hingegen dazu, dass der Prinzipal die Entlohnungen an der Produktivit~it ausrichten kann, indem die Vergiitung bei sinkender Produktivit/~t ebenfalls sinkt. Die Auswermngsstrategie xH erm6glieht es dagegen, fiir eine g e g e b e n e Situation ¢1, ¢2 bez(iglich der Entlohnung yon einer relativen auf eine absolute Produktivitfitsorientierung iiberzugehen, was mit niedrigeren Entlohnungen einher geht. Daraus ergibt sich natttrlich die Frage, ob eindeutige Aussagen bez~iglich einer bestimmten Auswermngsstrategie mOglich sind, die tulabh~ngig vonder Produktivi~t des Agenten ist. Zur Beantwortung dieser Frage wird die optimale Auswertungsstrategie fur die beiden kol~creten Wahrscheinlichkeits- bzw. Produktivit~tskonstellationen ~ = 2 / 3, ¢2 = 1 / 3 (Bsp. far eher hohe Produktivit~tt) und ~1 = 2 / 3, ¢2 = 0,5 (Bsp. ftir eher geringe Produktivit/it) berechnet.
128
l]bungen zur InternenUntemehmensrechnung
¢~ = 2 / 3, ¢z = 1 / 3
keine Auswertung
Auswertung xL Auswertung XH
u~:
0
2
0
uH
3
1
1,5
K Min*
6
2
1,5
[~prit
-
4
4,5
Lohnt sich die Auswertung grunds~itzlich und sind die Auswerttmgskosten H w i e unterstellt ftir beide Strategien gleich hoch, dann wird ftir diese Agency-Situation, in welcher der Agent eine relativ hohe Produktivit~tt aufweist, nur bei XHausgewertet. ¢I1 = 2 / 3, 02 = 0,5
keine Auswertung
uL
0
1,8
0
uH
6
0,6
2
K MJ~*
18
1,8
2
16,2
16
[~krit
Unter
Auswertung xL Auswertung xH
der
Bedingung,
dass
die
Auswerttmg
gmndsfitzlich vorteilhaft ist
H < Flk~it), wfirde der Prinzipal sich bier ftir die Strategie ,,Auswertung bei
X L"
entscheiden. Eindeutige Aussagen beztiglich der Vorteilhaftigkeit einer bestimmten Auswerttmgsstrategie lassen sich deshalb nicht treffen. Generell kann man folgende Zusammenh~tnge zeigen: Je ungtinstiger also die Ausgangssimation des Agency-Problems (hohe ~bI ) ist und je geringer die stochastische Produktivit~it des Agenten, desto eher ist die Strategie ,,Auswerten bei xL" vorteilhaft. Die 6konomische Begrtindung dafOr ist, dass far die L6sung bei der Auswertung von xH das Problem weiterbesteht, dass sich die H6he der Entlohnung des Agenten entgegengesetzt zu seiner Produktivit~it entwickelt. Die Auswertungsstrategie xL erlaubt dagegen eine Orientierung an der Produktivit~it des Agenten, denn sowohl u L als auch u H sinken in Oz. Far eine entsprechend ungtinstige Ausgangssituation und eine geringe Produktivitfit des Agenten fiberwiegt dieser Vorteil der Orientierung an der Produktivitgt den Vorteil, der sich aus der Strategie xH ergibt (Orientierung an absoluter statt relativer Produktivit~t und dadurch verringerte u/t ).
Kapitel 7: Kontrollrechnungen
129
Teilaufgabe d) Ftir die Antwort wurden die Ergebnisse des Exkurses der letzten Teilaufgabe zur grunds~itzlichen Vorteilhafligkeit der Gewfihrung von Anreizen berticksichtigt (Sie sind selbst eingeladen, die Antwort zu finden, wenn der Prinzipal tats~ichlich stets aH implementieren m6chte). Der Erwartungswert der Bruttofiberschtisse betrfigt far die beiden Szenarien, sofem der Agent aH erbringt: 1/3.(-10)+2/3.30=
16,67
0,5. (-10) + 0,5.30 = 10 •
Ftir die gfinstige Situation bei hoher (stochastischer) Produktivitfit des Agenten entspricht der Grenzpreis far die Auswertungsinformation genau dem in der vorigen Teilautgabe abgeleiteten ] - f k n t = 4, 5. Dies liegt daran, dass in diesem Fall tats~ichlich die beiden Altemativen ,,Verzicht auf Auswertung und tnduzierung yon a j ' und ,Auswertung bei Beobachtung von x11 und Induzierung von azz" (optimale Auswertungsstrategie) verglichen werden. Dies impliziert Konstanz des Bruttotiberschusses 16,67, weswegen es ausreicht die Kosten der Alternativen zu vergleichen. Ein grunds~itzlicher Verzicht auf Anreize (aL start all) wiirde n~imlich zu E(G]a = a L )=10/3 zu ~ihren, wfihrend aus der Strategie ,,Verzicht auf Auswertung und Induzierung yon all" E(G) 2nd=16,67- 6 = 10,67 > 10/3 resultiert.
•
Anders verhNt es sich im Zahlenbeispiel far die eher ungtinstige Situation bei niedriger Produktivit~it des Agenten. Trotz der getroffenen Annahme, dass aH implementiert werden soll, w~ire dies aus Sicht des Prinzipals hier ngmlich nicht rational. Wie im Exkurs erl~tutert, k0nnte er sich im Beispiel durch den Verzicht auf Anreize (aL statt all) den Oberschuss E(GIa = a L ) = 10/3 > 0 sichem, w~ihrend die Alternative ,,Verzicht auf Auswertung und Induzierung yon all" mit dem Verlust E(G) 2~d=16,67 - 18 = -4/3 < 10/3 verbunden w~tre. In diesem Fall sind die zu vergleichenden Altemativen hinsichtlich ihrer erwarteten Bruttotiberschfisse nicht mehr identisch und es ergibt sich ein gegenfiber der reinen Kostenbetrachtung stark verringerter Grenzpreis von (10-1, 8) - 10 / 3 = 4, 86. Der erste Term beschreibt dabei den erwarteten Oberschuss der dann optimalen Strategie ,,Auswertung bei Beobachtung yon XL und Induzierung yon all", der zweite die Zielerreichung beim Verzicht auf Anreize.
130
f.)bungen zur Internen Unternehmensrechnung
Relevante Fallstudien: • Fallstudie 7 (Abweichungsanalysen und deren Auswertung) • Fallsmdie 8 (Abweichungsanalysen bei mehrstufigen Produktionsprozessen und deren Auswertung mit Hilfe des Modells yon Bierman/Fouraker/.laedicke) • Fallstudie 9 (Grundz~ge der Prinzipal-Agent Theorie) • Fallsmdie 10 (CJrenzplankostenrechnung und Abweichungsanalysen)
Kapitel 8:
Koordination, Budgetierung und Anreize
Aufgabe 8.1:
Weitzman-Sehema bei Sieherheit und Unsicherheit
Die Brfider Leo und Frank Weifibier beschlieBen eine Weltreise zu machen und die Familienbrauerei ,,Kronkorken-Pils" far ein Jahr einem kompetenten Manager zu tibergeben. Es melden sich drei Bewerber, Herr Braumeister ZapJhahn, Frau Dipl.Ing. (Brauereiwesen) Altbier und Mister Buddweiser, der einen MBA der Foam University in Kentucky erworben hat. Trotz der beeindruekenden Titel lassen die Qualifikationen der drei Bewerber keinen Riickschluss auf das Periodenergebnis am Ende des Jabxes zu. Nehmen Sie zungchst an, dass die drei Manager siehere Erwartungen bez~iglich ihrer zukttnftigen Ergebnisse haben.
Leo WeiJ3bierhat einst als westdeutscher Berater das Brauereikombinat ,,Rote Hopfenstaude'" in der Sowjetunion mit aufgebaut und erzfihlt seinem Bruder, dass man damals mit folgendem Entlohnungsschema gute Erfahrungen gemacht hat.
~400 + 0,5. ~ + 0,25. (x - J?), falls x ->
s(x,~) = [400 + 0,5. ~ + 0,75. (x - J?), falls x _ 1.500
Dabei gilt, dass far F(:?*)m = 0,5 und 0 < (Pro < 1 die Berichte in jedem Fall im Intervall (3) liegen (vgl. die obere Abbildung rome). So wttrde ein Manager mit (Pro =0(~% = 1) den Erwartungswert yon I I ( x ) ( G ( x ) ) ,
d. h. 1.000 (1.250), berich-
ten. Ft~r 0 < ~o,, < 1 liegen die optimalen Berichte daher im Intervall (3). Deshalb ist die relevante Verteilungsfunktion: F (x)~ = ~o,,. G(~) + (1 - ~o,o).H(x). Man ermittelt: 0,5 = F ( 2 )m =(P,, .G(2 )+(1-~,~)./-/(~*) 0,5=09,, .(5100 .~*
_
2/+(1-cp,~).(1.000 .~. - 0,51 1
/
:~* = (.1' 5" (Pro_+1/. 1.000
k
d~* -
-
-
)
500 - - > 0
@m 0
Hier wird die zentrale Aussage des Weitzman-Schemas bei Unsicherheit deutlich. Manager mit einem hoheren Qualit~tsindex ~o,n geben den Gebradern Weiflbier hO^*
^*
here Berichte 5.m ab, d.h. (a1 > q92 -+ x I > x e . Da der Bericht im Beispiel streng monoton in ~ w~ichst, existiert zu ~*(g'm) eine eineindeutige Umkehrfunktion ~om'(o?*), mittels derer die Gebriider WeiJ3bier unmittelbar auf den Qualit~itsindex schlieBen k51men. Im hier betrachteten Fall lautet sie:
1 Die st~indigeVerwendung des _ U = 0 Da die Entlohnung S(K) aus Sicht des Prinzipals einen Kostenfaktor darstellt, wird er im Fall der symmetrisehen Information dem Agenten nie mehr als seinen Reservationsnutzen zubilligen. Daraus ergibt sich:
S(K) - O,5. a(K( O, a(K, 0)) 2 = 0 --~ S(K) = O,5. a(K( O, a(K, O))z Setzt man diese Beziehung und den Zusammenhang a = 0 - K in die Zielfunktion ein, folgt (* bezeichnet optimale Werte im First Best):
MinC(O)= e + O , 5 . ( O - K ) 2 K
OC OK
1-(O-K)=O---~K*(O)=O-1
--~a = I V 0
142
0bungen zur Intemen Unternehmensrechnung
Die Kostenvorgabe des Agenten betragt somit 0 - 1 , so dass die Kosten zwischen K(2) = 1 und K(3) = 2 linear in 0 ansteigen. Um dieses Kostenbudget einzuhalten, muss der Agent in jedem Technologiezustand Anstrengungen in H6he von a* = 1 leisten und erh~ilt daftir eine Vergtttung in H6he von S = 0,5, die ihm einen Nutzen yon U A = 0 stiftet. Der Gewinn des Prinzipals betr~gt G* (0) = N - (0 - 1) - 0, 5.
Teilaufgabe b) Im Second Best karm der Prinzipal aus der Kostenbeobachmng nieht mehr auf das Anstrengungsniveau des Agenten schliefSen, da der Agent ~iberhOhte tats~chliche Projektkosten stets mit dem Verweis auf eine ungtinstige Technologie rechtfertigen k/Snnte. Verh~tlt sich der Prinzipal wie in Yeilaufgabe a), setzt er das Kostenbudget far das Projekt in Abh~ngigkeit vom abgegebenen Technologieberieht 0 B des Agenten lest, d.h. K(O ~) = 0 ~ - 1 und verg~itet ihm weiterhin S = 0,5. Far die vom Agenten tatsgchlieh zu leistenden Anstrengungen, werm er 0 B beriehtet hat und der tats~ichliche Technologiezustand 0 ist, gilt dann:
a(O 08)
= 0-(0R-l)
__~ Oa(O0 ~) DOe
10 fox viele der in den Wirtschaftswissenschaften eingesetzten stetigen Verteitungen gilt, u.a. Normal- und Gleichverteilung).
BudgeterhOhung gegentiber dem First Best •
Durch die Induzierung yon weniger Anstrengungen mittels h6herer Kostenbudgets ftir schlechte Technologien kann der Prinzipal die Informationsrenten des Agenten begrenzen! Die h6heren Kostenbudgets fahren dazu, dass der Agent weniger Anstrengungen untemehmen muss, um sie einzuhalten. Dies folgt aus der Gleichung far
a(O)**.
(So werden bspw. f'fir 0 = 0 = 3
keinerlei
Anstrengungen (a** = 0) mehr induziert.) Durch diese geringeren Anstrengungen verringert sich jedoch auch sein Vorteil aus asymmetrischer Information und damit die Informationsrente, welche ihm aufgrund der Anreiznebenbedingung gew~ihrt werden muss. Wie Teilaufgabe b) gezeigt hat, resultiert der Vorteil ja direkt aus den Anstrengungsreduktionen, die ihm eine gute Technologieumgebung gegenaber einer relativ schlechteren erm6glicht. •
W~ihrend im First Best die Zielsetzung des Prinzipals offenbar ausschlieBlich darin besteht, den Agenten zu m6glichst hohen Anstrengungen zu motivieren, ist die Second Best Situation durch einen tradeoffzwischen Anreizen far Anstrengungen einerseits und Begrenzung yon Informationsrenten andererseits gekennzeichnet.
Kapitel 8: Koordination, Budgetierungtend Anreize
147
TeilauJgabe d) Fiir die Ableimng von
K(O)** und a(O)** naeh 0 gilt:
dK(O)** - I + R ' ( 0 ) > 0 ; da(O)** _ R ' ( 0 ) < 0 . dO dO Weist die Verteilung der Technologie, also F (0), die sog. monotone hazard rate Eigenschaft R'(0)>_0 auf, steigt (fallen) das Kostenbudget (die optimalen Anstrengungen) streng monoton mit sich verschlechtemder Technologie. Dies zeigt ferner, dass die oben im Exkurs genannte Bedingung dK / dO < 0 ~ r die ermittelte L6sung tats~ichlich erfallt ist.
Teitaufgabe e) Die Gesamtverg~itung des Agenten setzt sich zusammen aus der Vergatung des zur Erreichung von K (0)** notwendigen anstrengungsniveaus
a(O)** und seiner Infor-
mationsrente. Man erh~itt ft~r die konkrete Verteilung der Aufgabe: o=3 t
** "~2
S(O)=0,5.[a(O) ) + fja(x)**dx x =uA(o) 3
-- o,5.(1-(o-2))2 + I(1-(o-2))do 0
:(02-6"0+9)
f ~ r 0 e [ 2 , 3 I.
Da K (0)" streng monoton in 0 f~llt, existiert eine eineindeutige Umkehrfunktion
O(K)** mit der Gleichung O(K)" = 0 , 5 . K + 1 , 5 . Substituiert man diese in S(O), erhNt man far das gesuchte S(K) = O,25. K 2 -1, 5. K + 2, 25. Die folgende Tabelle zeigt far verschiedene Auspr~tgungen der Teclmologie das resultierende Kostenbudget, das optimale Anstrengungsniveau des Agenten, seine Gesamtvergfitung und deren AufschlOsselung in verggitetes Arbeitsleid einerseits und Informationsrente andererseits sowie den Gewinn des Prinzipals:
148
0bungen zur internen Unternehrnensrechnmag
0=2
0=2,5
0=3
X(O)**
1
2
3
a(O)"
1
0,5
0 o
U a**
0,5
0,125
0
1
0,25
0
N-2,25
N-3
S(K**) G= N - K * * - S ( K )
N-2
Man bcachte, dass im Beispiel ftir die ungtinstigste Tcchnologie keinerlei Anstrengungen induziert werden, da dies aufgrund der dann h6heren Informationsrenten t'tir bessere Technologien zu teuer wgre. Ferner ist aufgrund der Informationsrenten auch im Fall der besten Tectmologie der Gewinn des Prinzipals im Second Best nattirlich geringer als im First Best, obwohl die Anstrengungen des Agenten gleich sind. Fttr die gesuchten Ableitungen gilt: d S ( K ) = O , 5 . K - 1 , 5 < O ~ r l < K 0 ~ r 1 < K < 3 dK 2 Die Vergiitung des Agenten f~llt also tats/ichlich streng monoton und verl~iuft strikt konvex in K. Diese strikt konvexe Entlohnungsfunktion S (K**) l~isst sich durch die Familie ihrer Tangenten ersetzen. Die gesuchten Tangenten an S(K**) lassen sich wie folgt konstruieren, was am Beispiel K = 1 verdeutlicht wird: *
Steigung von S(1) und der Tangente stimmen tiberein, man erh~ilt b = -1 (b = Steigung der Tangente)
* Funktionswert von Tangente und S(1) stimmen tiberein, man erhNt: S (1) = t = A - 1. l ~ A = 2 (A = Achsenabschnitt der Tangente). Ftir die drei gesuchten Tangenten ergibt sich also:
K=I--~T=2-K K = 2 -~ T = l,25-O,5. K K=3-+T=0 Beachten Sie, dass die Steigung dieser Tangenten folgende Eigenschaft aufweist:
Kapitel 8: Koordh~ation,Budgetierungund Am-eize
149
b = - V '(a**(K**)) = -a** (K**) . Die (negative) Steigung dieser Tangenten entspricht genau dem vom Agenten empfundenen Grenzarbeitsleid ~ r das zur Erreichung des Kostenbudgets K** notwendigen Anstrengungsniveaus. Weiterhin gilt offensichtlich, dass am Berahrpunkt die jeweilige Tangente dem Agenten denselben Nutzen wie S(K) stiftet, w~hrend dieser Nutzen far alle h{3heren oder geringeren Werte von K geringer ausf'~illt. Die folgende Abbildung zeigt die Vergtitungsfunktion und die zugehOrigen Tangenten l'ar K = 1 und K = 2.
S~ 0,8 0,6
...."...
0,4 0,2
•"
0
, 1,5
K 2
2,5
3
Aufgrund dieser Zusammenh~tnge l~isst sich die nichtlineare Verg~itungsfunktion des Agenten durch ein sog. Men~ linearer Kontrakte ersetzen, welches ihn einerseits dazxt veranlassen soll, tiber die Technologie wahrheitsgem~.g zu berichten und andererseits die zum wahrheitsgem/iBen Technologiebericht passenden Anstrengungen zu untemehmen. Dieses Ment~ hat die Form:
l(OB,K) = S''(OB)--V'(~''(oB))'( K(O) K''(O~))" T M
Zu beachten ist, dass dieses Menti nur ex post, d. h. nach Abgabe des Berichtes finear in den realisierten Kosten K(O) verlfiuft. Ex ante weist es eine betrfichtliche Komplexitgt hinsichtlich der notwendigen Informationen zur Festlegung yon S**(OB) (konvexe Funktion, s.o.) und V'(a**(0B)) auf.
Teilaufgabe J) Hier ist zu zeigen, dass das obige Men~ linearer Kontrakte den Agenten tats~iehlieh veranlasst, die Wahrheit zu sagen und das zum wahrheitsgemfiBen Bericht passende Anstrengungsniveau zu untemehmen, d.h. die Second Best L6sung zu implementieren. Der Agent maximiert im Falle eines Mentis linearer Kontrakte folgende Zielfunktion:
z(o , K)-0,5 a 2:
v'(a"
1-0,5 a2
150
l)bungen zur InternenUntemelmlensrechnung
Unter Verwendung der Ergebnisse der Teilaufgaben c) und d) ergibt sich far die konkrete Verteilungsannahme: ,
00~a/a= ( 1 - ( 0 " - 2 ) ) - a
= 0 - ~ a = (1- (0" - 2 ) ) = 1 -
R(OB) = a**(0 B)
Die Ableitung nach dem Anstrengungsniveau zeigt, dass der Agent stets das zu seinem Bericht passende Anstrengungsniveau w~ihlen wird. Die Ableitung nach dem optimalen Bcricht ist:
9J__l=O_a_2.0 e + 3 - - 0 - , -~0-0 ~ =0~0
o-(1-
oB-2
-ROB +3
B*' =0.
Dies zeigt, dass die Second Best L6sung tats~chlich durch das obige Ment~ linearer Kontrakte implementiert werden kann. Die folgende Abbildung zeigt das Problem der Berichtswahl ~ r einen Agenten bei Verwendung eines Mentts, wenn die tats~tchliche Technologie 0 = 2 , 2 5 , 0 = 2,5, 0 = 2,75 ist und der Zusammenhang a**(O~) far die Aktionswahl beracksichtigt wird. Wie man erkennt, kann sich der Agent weder durch einen zu optimistischen noch einen zu pessimistischen Technologiebericht besser stellen. Intuitiv liegt dies an folgender Eigenschaft des Meniis linearer Kontrakte (allgemeiner Nachweis erfolgt fiber die Konvexitfit von V(a)): * Im Fall eines zu optimistischen Berichtes 0 ~ < 0 wtirde zwar die FixvergOtung S**(OB) ansteigen, jedoch muss der Agent damn mit einer Budgettiberschreitung
(K(O) z'-K**(O~)) >0
rechnen, an tier er gemfil3
-V'(a**(OB)) beteiligt
wird
und welche die Steigerung des Fixums aberkompensiert. * Im Fall eines zu pessimistischen Berichtes 0 B > 0 kann der Agent zwar mit einer positiven Zahlung aus tier Budgetunterschreitung (K(0) ~' -K**(OB))< 0 rechnen, an der er gem~l~
-V'(a**(OB)) partizipiert, jedoch wird dies von der Absen-
kung des Fixums bei zu pessimistischer Berichterstattung tiberkompensiert.
Kapitcl 8: Koordination,Budgetierungund Anreize
151
0,6 lg') 0,5
""-. 0,4 1
r;(oB = o) "''''''S
0,3 0,2
0 = 225
'" " ' ' ' ' - .
0,1 0 2,5
2,75
3
-0,1 -0,2 -0,3
TeiIaufgabe g) Nach Abgabe des wahrheitsgem~tl3en Berichtes k6nnte der Prinzipal versucht sein, dem Agenten die zu seinem Typ passende Informationsrente vorzuenthalten und ihm analog zum First Best nur das entstehende Arbeitsleid vergttten (d.h. Ua = 0). Antizipiert der Agent ex ante eine solche ex post Verhaltensweise des Prinzipals, ware wahrheitsgemgf3e Berichterstattung far ihn jedoch nicht l~tnger optimal. Die Anwendung des Offenlegungsprinzips beruht also u. a. auf der Annahme, dass sich der Prinzipal glaubwi~rdig verpflichten kann, einem Agenten in der Technologieumgebung 0 die ihm zustehende Informationsrente U A(0) auch zu bezahlen. Dies k6nnte u.a. durch Gerichte sichergestellt werden, die abgeschlossene Vergtitungsvertr~ige durchsetzen. Eine weitere M6glichkeit ware der Aufbau von Reputation durch den Prinzipal, geschlossene Vertr~ige auch einzuhalten. Streng genommen kann dies allerdings nicht einfach angenommen werden, sondem wiirde die explizite Modellierung mehrperiodiger Zusammenhfinge mit der MOglichkeit des Reputationsaufbaus voraussetzen. Femer ist auf den Umstand hinzuweisen, dass in diesem Modelltyp Situationen denkbar sind, in denen es flir beide Seiten rational ware, den Vertrag nachzuverhandeln.
152
Aufgabe 8.3:
Obungen zur InternenUnternelmlensrechnung
Personelle Koordination und Managerentlohnung
Die Untemehmensleitung (Prinzipal) fibertrfigt einem Manager (Agenten) die Verantwortung far einen Produktionsprozess. Die Nutzenfunktion der Unternetunensleitung hat die Form UP(x,s) = x - s(x), jene des Managers U4(x,O) = s(x) - V(x, 0). Im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses liegt far beide Akteure die Information t~ber die m6glichen Umweltzust~inde 0~ [i = 2; 0t = 1, 02 = 2] vor. Die Kosten des Disnutzens V(x, O) folgen der Funktion
, der Reservationsnutzen des Managers U ~ betrfigt
0. Das Erreichen des Reservationsnutzens ist dem Manager far jedes 0 zu garantieren, da der Unternehmensleitung aufgrund der K~ndigungsm6glichkeit des Managers nur eingeschrSnkte Sanktionsm6glichkeiten zur Verffigung stehen. a) Ermitteln Sie die in dieser Situation untemehmensnutzenmaximale Produktionsmenge x, welm die tatsfichliche Realisation des Umweltzustandes vor Produktionsbeginn von beiden Akteuren beobachtet werden (,,first best" L6sung). b) Welche Konsequenzen ergeben sich far die Entlohnung, wenn die Information t~ber die tats~ichliche Realisation des Umweltzustandes lediglich dem Manager vorliegt. Motiviert die Entlohnung unter a) den Manager zur Produktion der jewefts unternehmensnutzenmaximalen Mengen? c) Ermitteln Sie die untemehmensnutzenmaximalen Mengen in der Situation asymmetrischer Informationsverteilung (,,second best" L6sung), wenn die Untemehmensleitung den Eintritt beider Umweltzust~nde tar gleich wahrscheinlich hfilt. d) Wie ver~tndert sich der Erwartungsnutzen der Unternehmensleitung, wenn in der Situation asymmetrischer Informationsverteilung die ,,first best" Mengen anstelle der ,,second best" Mengen vorgegeben werden? e) Welchen Einfluss haben die a priori Eintrittswahrscheinlichkeiten p(Oi) auf die Produktionsmengen?
Kapitel 8: Koordination,Budgetierungund Ameize
153
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Das Optimierungsproblem lautet: max EU e = x(O,) - V(x, ,0,)
u.d.B. : ~(x(O,)) - V(x, (o,), o,) = ~(x(O, )) -
>_ o
(Teilnalvnebedingung)
Der Manager ist bereit, fiir das Untemehmen t~ttig zu werden, wenn der Reservationsnutzen genau erreicht wird. Daher wird der Prinzipal keine dartiber hinausgehende Entlohnung anbieten. Das Erreichen des Reservationsnutzens wird dem Manager garantiert, indem in jedem Umweltzustand eine Entlohnung in HOhe der Kosten des Disnmzens V erfolgt, die Teilnahmebedingung ist als Gleichung erfttllt. Daraus folgt: s(x(O,)) =["~,x,(Oi)')2. O, ) Damit kann das Optimierungsproblem vereinfacht werden zu: max,, EU p = x ( O , ) - ( ~ )
2
Die Optimalitfitsbedingung lautet: d E U ~ = 1 - 2x, (0,) = 0 d~,(O,) O7
Ergebnis: Die umweltzustandsabhgngigen Produktionsvorgaben and Entlohnungszahlungen lauten entsprechend der Optimalit~itsbedingung:
Oi xi(O,)*
1 1
2 2
s(x/O)*)
1
1
154
f,)bungenzur InternenUnternehmensrectmung
Teitaufgabe b) Die Unternehmensleitung karm nur x, nicht jedoch 0 beobachten. Der Manager wird daher auch in Situation 02 die Produktion von xl* bevorzugen, da er in diesem Fall 3 einen Nutzen von - - tiber dem Reservationsnutzen realisiert. Die Unternehmenslei16 tung, die dieses Verhatten antizipiert, muss daher die Entlohnung im Umweltzustand
02 auf 19 erhOhen, um die Produktion yon x2* zu motivieren. 16
Teilaufgabe c) Bei der Formulierung des Optimierungsproblems ist nun neben der Teilnahmebedingung auch die Aktionswahlbedingung zu beracksichtigen. Das Problem lautet nun: max EU P = 0, 5. IxI - s(x I)] + 0, 5. Ix2 - s(x 2)] xl,x2
u.d.B. : s(xl )_ x~
>_0
(Teihaat~nebedingung 1)
s( x 2) - ( x2 / 2 >_0
(Teilnahmebedingung 2) 2
s(x,)- (011 xl >-s(x2)- 101/ x~
(Anreizbedingung 1)
s(x 2) -
(Anreizbedingung 2)
>__s(x L) -
Die zu Grunde liegende Literatur (vgl. z.B. Sappington (1983)) zeigt, dass Teilnahmebedingung 1 mad Anreizbedingung 2 die jeweils strengeren Restriktionen sind. Da sie in Gleichungsform erfallt sind, folgt aus Teilnahmebedingung 1 s(xl)= x~
4 entstehen Zusatzkosten yon 100 Reparaturstunden zu je 250 C/h = 25.000 tL Diese liegen bereits h6her als der maximal erzielbare Deckungsbeitrag bei nicht knappen Restriktionen 1 und 3, so dass sich d3 > 4 far die Toys & Fun niemals lohnen kann. Teilaufgabe c)
Der Standardansatz der linearen Programmierung kann hier nicht unmittelbar angewandt werden, weil fth" den Dreimaster eine Absatzmindestmenge von 50 gilt. Man kann aber die Kapazitfitsbeanspruchung dieser 50 Einheiten x~ vorab yon den vorhandenen Kapazit~tten abziehen und dann das Planungsproblem far die Restkapazitat 15sen.
Xl
X2
XS
W1
4
3
2
Wl W2 W3 W4 W5
1
0
0
0
0
1.200
RS
W2
5
6
8
0
1
0
0
0
1.850
17/3
1
0
0
0
0
1
0
0
200
W4
0
1
0
0
0
0
1
0
100
Ws
0
0
1
0
0
0
0
1
350
Z
-24
-42
-20
0
0
0
0
0
0
Nach drei Iterationen erh/flt man:
X1
X2
X3 W1
W2
W3
W4
W5
RS
1
-1/4
-11/4
-3/2
0
37,5
W1 0
0
0
X3
0
0
1
0
1/8
-5/8
-6/8
0
31,25
Xt
1
0
0
0
0
1
0
0
200
>(2 0
1
0
0
0
0
1
0
100
W5 0
0
0
0
-1/8
+5/8
6/8
1
318,75
Z
0
0
0
2,5
11,5
27
0
9.625
0
Das optimale Produktionsprogramm lautet: xl =200, x2 =100, x3 = 5 0 + 3 1 , 2 5 = 8 1 , 2 5 Der maximale Deckungsbeitrag ist: 9625 + 50 (xs). 20 = 10.625.
220
Ubungen zur InternenUntemehmensrechnung
Teilaufgabe d) Die LOsung erfolgt fiber den modifizierten Deckungsbeitrag des neuen Produktes. Zuerst ist der absolute Deckungsbeitrag des Piratenschiffes zu bestimmen. Produkt
Piratenschiff
Kunststoff
10
Bohrungen
60
Besttickungen
36
Masten
1,5
Segel
25
Kleinteile variable Kosten
20 152,5
Absatzpreis
180
Deckungsb.
27,5
Anmerkung: IntensitfitserhOhungen k6nnen sich nicht lohnen, da mit dem neuen Produkt maximal 27,5.100 = 2.750 an Deckungsbeitrag erwirtschaftet werden. Die Argumentation unter b) bleibt deshalb weiter gtiltig. Besttickungskoeffizient und Standardgrenzpreis des Piratenschiffes: 36 Bestiickungen =9h 4 Bestiickte / Teile/Stunde Die inputbezogenen Opportunit~itskosten (Schattenpreis) des Bestiickungsautomaten betragen 2,5 (aus dem Endtableau). Somit: 27,5 - 9.2,5 = 5 > 0 Daher sollte das Piratenschiff im optimalen Produktionsprogramm enthalten sein. Unklar ist jedoch, in welcher Menge es produziert werden sollte. Zun~ichst ist zu pr~ifen, ob die Restriktion 2 (Bohren) welter vemachl~issigt werden kann. Dies ist der Fall, denn das Piratenschiff ben6tigt 30/2 = 15 Minuten Bohrzeit, somit: lO.xl + 15.x2 + 20.xs + 15.x4 _0):
Fallstudien zur Intemen Untemelnnensrectmmag
221
Max 24 .x 1 + 4 2 . x 2 + 2 0 . x 3 + 2 7 , 5 - x 4 4.x I +3.x 2 +2.x3+
2,5.x4 $183,52? In der ersten Stufe wird deshalb der Generous-Auftrag angenommen, die anderen Auftr~ige aber abgelehnt.
EntscheidunginStufe1 ~
]
101,38+30
183,52
~
183,52
--....o,3 ~
~'101,38+'120 183,52
Die optimale Strategie lautet also: - Annahme des Generous-Auftrages in Stufe 1, sonst Ablehnung. - Amlahme Generous in Stufe 2, falls in Stufe 1 Generous-Auftrag angenommen, Ablehnung der anderen Auftrgge. - Annahme Generous oder Mediocre in Stufe 2, Ablehnung Cut-Throat, falls in der ersten Stufe nieht Generous angenommen wurde. - Annahme jedes Auftrages in Stufe 3, sofem Restkapazit~tt = 2. - Annahme Generous, Ablehnmag der anderen Auftr~tge in Stufe 3, sofem Restkapazit~t = 1. - Almahme jedes Auftrages in Stufe 4, sofern noch Restkapazitfit vorhanden. Aus dieser Strategie resultiert ein maximaler Zukunftserfolgswert yon:
E(DB*) = 0,2- $183,52 + 0,5. $183,52 + 0,3. $ 221,38 = $194,87
Fallstudienzur InternenUnternehmensrechnung
241
In der folgenden Tabelle sind die Preisuntergrenzen nochmals systematisch dargestellt: Stufe
Restkapazit~it
= 1
Restkapazitgt
= 2
1
nicht m6glich
1.000+82,14 = 1.082,14
2
1.000+93,4 - 1.093,4
1.000+70,6 = 1.070,6
3
1.000+82 = 1.082
1.000+0 =1.000
4
1.000+0
nicht optimal
Teilaufgabe c) Der Kauf von zwei zus~ttzlichen Kapazit~iten ~qlrde es erlauben, in jeder Periode einen Auftrag anztmehmen, da Kapazit~iten und m6gliche Auftragseing~inge iibereinstimmen. Es resultiert:
E(DB*IKap.= 4) = 4 .$ 82 = $ 328. Der Grenzpreis fiir die Kapazitgtserweitertmg wfire deshalb $328-$194,87 = $133,13. Das Angebot ist ftir die E & M folglich uninteressant. Die Fragestellung 2 (Kauf einer zus~itzlichen Kapazit/it) k6nnte im Prinzip wieder mittels eines Entscheidungsbaumes (4 Auflragseing~inge, 3 Kapazit~iten) gel6st werden. Mittels einiger Vortiberlegungen kann das Problem jedoch schneller gel6st werden. Da alle Deckungsbeitrtige positiv sind, kann es sich niemals lolmen, mehr Restkapazit~iten zu haben, als Auflragseing~inge vorhanden sind. Daraus ergibt sich aber, dass im Zeitablauf maximal ein Auflrag abgelehnt werden sollte. Wird bspw. bereits der erste Auflrag abgelelmt, sollte in den Folgeperioden jeder Auftrag angenommen werden. Im Einzelnen ergibt sich daraus: Stufe 4: Bei einer Restkapazitfit: L6sung analog zu Knoten F in Teilaufgabe b). Der "Wert" des Knotens F betr~igt wiederum $ 82, die Opportunitatskosten sind 0. Stufe 3: Bei zwei Restkapazitiiten betr~igt der erwartete DB:
E(DB) = 2 .$ 82 -- $164 Dns bedeutet, class j eder Auftrag angenommen wird. Bei einer Restkapazit~it entspricht die Entscheidung derjenigen des Knotens D in Teilaufgabe b). Zu vergleichen ist der optimale Einsatz der letzten Kapazitfit in Stufe 4 (Annabme des Auftrages) mit den Deckungsbeitr~igen der Stufe 3. Es wird nur der Generous-Auftrag angenommen, die beiden anderen werden abgelehnt. Der Weft des Knotens D betr~igt wiederum $ 93,4, die OpportunitStskosten sind $ 82 und die Preisuntergrenze deshalb $1.082.
242
Obungen zur InternenUnternehmensrechnung
Stufe 2: Bei drei Restkapazitgten (in 1 wurde abgelehnt), betr~igt der erwartete Deckungsbeitrag:
E(DB) = 3. $ 82 = $ 246. Bei zwei Restkapazit~ten entspricht die Entscheidung dem obigen Knoten C, d.h. der gute (Generous)und der mittlere (Mediocre) Auflrag werden angenommen, der schlechte Auftrag (Cut-Throat) wird abgelehnt. Der "Wert" des Knotens C ist wieder $183,52. Die Opportunit~ttskosten betragen $ 70,6 und die Preisuntergrenze betr~igt $ 1.070,6. Die Situation des Knotens B kann dagegen nicht auftreten, denn wenn in Stufe 1 bereits ein Auftrag angenommen wurde, sind ja noch zwei Kapazit~iten vorhanden. Stufe 1: Hier liegt der eigentliche Unterschied zu Teilaufgabe b). Wird ein Auftrag in der ersten Stufe abgelehnt, wird ktinflig jeder Auftrag angenommen. Der Erwartungswert dieser Strategie betrfigt $ 246. Wird dagegen in der ersten Stufe angenommen, erh~ilt man den Deckungsbeitrag des ersten Auflrages. Setzt man die verbleibenden zwei Kapazit~iten dann optimal ein, resultiert ein erwarteter Deckungsbeitrag von $ 183,52. Entscheidungskriterium ist somit DB1+$183,52 >_$ 246. Auf der ersten Stufe werden deshalb der Generous und der Mediocre-Auflrag angenommen! Der erwartete Deckungsbeitrag der optimalen Strategie lautet:
E(DB* IKap.= 3) = 0,2. $ 246 + 0,5. $ (183,52 + 80) + 0,3. $ (183,52 + 120) = $ 272,016. Die Opportunit~ttskosten der Annahme auf der ersten Stufe sind daher $ 246 - $183,52 = $ 62,48. Folglich betrfigt die Preisuntergrenze $1.062,48. Ffir die Entscheidung tiber den Zukauf von einer Kapazit~it sind die maximalen erwarteten Deckungsbeitr~ige der beiden Szenarien (2 Kapazitfiten o. 3 Kapazit~iten) zu vergleichen. Die Differenz betr~igt$ 272,016-$194,87 = $ 77,146. Da diese Steigerung des erwarteten Deckungsbeitrages den geforderten Preis $ 75 u m $ 2,146 fibersteigt, sollte die zus~itzliche Kapazit~it beschaffl werden.
Teilaufgabe d) Da der erwartete Deckungsbeitrag laut Aufgabenstellung stabil bleibt, gilt:
E(DB,eu) = 0,2. $10 + 0,5. $ 80 + 0,3. $ X = $ 82 X bezeichnet dabei den gesuchten neuen Deckungsbeitrag des Generous-Auftrages. L6st man nachXauf, ergibt sich X = D B ~ . . . . . . . $133,34. =
Fallstudienzur InternenUnternehmensrechnung
243
Teilaufgabe e) Die Varianz der ursprfinglichen Verteilung betr~igt: cr~ = 0,2.302 +0,5.802 +0,3-1202 -822 = 976 ffir die neue Verteilung: 0-2 = 0,2.102 +0,5.802 + 0,3.(133,34) 2 -822 = 1.829,34 Bei konstantem Erwartungswert hat sich somit das Risiko, gemessen durch die Varianz der Deckungsbeitr~ige, fast verdoppelt.
TeilauJgabefl Die Frage zielt darauf ab, wie sich die Preisuntergrenzen bei zunehmendem Risiko ver~ndern. Die L6sungsstruktur ist identisch zur Teilaufgabe b). Deshalb werden hier nut die Oppormnitfitskosten in der folgenden Tabelle angegeben. Stufe
Restkapazit~it = i
Restkapazit~tt = 2
1
nicht m6glich
82,54
2
97,46
66,6
3
82
0
4
0
nicht optimal
Der maximale erwartete Deckungsbeitrag der optimalen Strategie betr~gt $ 205,958. Besonderes Augenmerk ist auf die Entscheidungen der Stufe 2 zu legen. Ein Vergleich mit den Opportunit~itskosten unter b) zeigt, dass die Opportunitgtskosten bei zunehmendem Risiko steigen (Restkapazit~it = 1), aber auch abnehmen k6nnen (Restkapazit~it 2). Eine generelle Aussage ist daher nieht m6glich. Die folgenden beiden Entscheidungsbaumausschnitte stellen die ge~nderte Situation in Stufe 2 vergleichend dar:
244
Obungen zur lntemen Unternehmensrechnung
Entscheidung in Stufe 3 be, einer Restkapazitiit tl0 R
0,2/
97,4• 93,4
~-@82
A _ ~ I ~ 80
o,s
I~----~~R
~
~
82
0,3 A ~
~ 8
Entscheidungin Stufe2be, einer Restkapazit~it
~
o,s
I
~
[
]
~01',1388~
2
30110 ~
93,4197,4
,, A ~ 1 ~
~
~
~
133,34
80180
93,4,97,4
-
~
~
93,4/97,4
Fallsmdien zur Internen Unternehmensrechnung
245
Hier kann der erste Effekt (steigende Opportunit~itskosten bei steigendem Risiko) verdeutlicht werden. Auf der dritten Stufe betrfigt der Erwartungswert bei Auftragsablehnung (Mediocre und Cut-Throat) und einer Restkapazit~it unver~indert $ 82. Bei Auftragsannahme (Generous) werden dagegen $ 133,34 statt $ 120 erzielt. Das hOhere Risiko ist also nur insofern relevant, als es den Deckungsbeitrag des besten Aufirages bei unver~indertem Entscheidungsverhalten ansteigen ta'sst. Der Erwartungswert auf Stufe 3 steigt auf $ 97,4 start vormals $ 93,4. Dieser Effekt setzt sich anf Stufe 2 fort. Bei unver~indertem Annahme-/Ablehnungsverhalten steigt der Wert des Knotens B auf $ 108,18. Vergleicht man dieselbe Stufe (2) f'tir die beiden unterschiedlichen Verteilungen der Deckungsbeitrgge, ftihrt dieser Effekt zu einem Anstieg der Opportunit~itskosten. Der zweite Effekt (sinkende Opportunit~tskosten bei steigendem Risiko) kann anhand der Stufe 2 bei zwei Restkapazit~iten erl~tutert werden. Entscheidung in Stufe 2 bei zwei Restkapazit~lten
93,4 + 30 97,4 + 10
A
[]
R 1641164
~
190,72
~
[]
.._....---@
93,4÷ 80 97,4 ÷ 80
~
164 164
~
93,4 + 120 97,4 ÷ 133,34 164 164
Dieser zweite Effekt h~ingt mit dem ersten eng zusammen. Wie bereits erl~iutert, l~isst der erste Effekt den Erwartungswert des Knotens D auf $ 97,4 ansteigen. Sind Kapazit~iten noch relativ reichlich (2) im Vergleich zu noch eingehenden Auftr~igen vorhanden (3), Ftihrt dies ceteris paribus zu einer geringeren Differenz zwischen den I~oten E (Ablehnung), der in seinem "Wert" unver~tndert bleibt, und D (Am~ahme). Sie sinkt auf $ 1 6 4 - $ 97,4 = $ 66,6. Wird in Stufe 2 abgelehnt, muss kt~nftig jeder Auftrag angenommen werden. Nimmt man dagegen jetzt an, kann man zukanftig aus zwei Chancen eine auswghlen. Die Annahme ist folglich bei Opportunit~itskosten
246
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
m6glich, die um den Vorteil der Knappheit unter dem Erwartungswert von $ 82 liegen. Da dieser Vorteil aber mit h6herem Risiko steigt (Effekt 1), m~issen die Oppormnit~itskosten sinken.
Fallstudie 4:
Deterministische und stochastische Break-Even-Analyse im Ein- und Mehrproduktfall
Die Fallstudie behandelt Aspekte der deterministischen und stochastischen BreakEven-Analyse im Ein- und Mehrproduktfall. Ferner werden die Bedeutung yon Risikoprdiferenzen und das Konzept der stochastischen Dominanz erster Ordnung analysiert. Als Folge des weltweiten Preisverfalles im PC-Markt bietet die bereits bekalmte Cut-Throat-Electronics nur noch ein Produkt an, das Notebook "Pocket 2000". FOx dieses Produkt gelten folgende Daten: Absatzpreis p
$ 2.000
variable Kosten pro Stack k~
$1. 100
axe Kosten KF
$ 9.000.000
Zun~ichst geht die Cut-Throat Electronics yon sicheren Erwartungen beztiglich der Absatzmenge x aus. a) Berechnen Sic fox diese Daten die Break-Even-Menge und den Break-EvenUmsatz far das "Pocket 2000". Wieviel Einheiten des Notebooks m0.ssten abgesetzt werden, welm die C. Z einen Mindestgewinn von G = $ 900.000 erwirtschaften will? b) Wie ~indert sich die Break-Even-Menge, welm ceteris paribus jeweils die Fixkosten, Absatzpreise oder die variablen Kosten um eine infinitesimal Heine Einheit erh6ht werden (es gilt: p > k~, > 0; K F > 0) ? Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse ~konomisch. c) Die Kapazit~it der C.T. reicht zur Herstellung yon maximal 14.000 Sttick des "Pocket 2000" aus. Berechnen Sie ffir diesen Weft den "Sicherheitskoeffizienten" (SR) und den "Operating Leverage" (OL). Wo~ber sollen diese beiden Werte Auskunff geben? Gehen Sie bei Ihrer Begr0xldung davon aus, dass die Absatzmenge x tats~ichlich im Intervall [0,10.000] gleichverteilt ist. Wie grol3 ist die Wahrscheinlichkeit dafdr, tats~ichlich einen Gewinn G > 0 zu machen?
248
l)btmgen zur IntemenUntemehmensrechnung
d) Ftir die n~chsten drei J~tare wird mit einer jiihrlichen Steigerungsrate der variablen Kosten von 2%, sowie einer j~thrlichen Steigerung der Fixkosten um 5% gerechnet. Die (sehr optimistische) Cut-Throat rechnet damit, in jeder Periode soviel "Pocket 2000" absetzen zu k6nnen wie zur Erzielung eines Mindestgewinnes von $ 900.000 in der ersten Periode erforderlich waren. Berechnen Sie die Preise, die in den Perioden 1 bis 3 jeweils erforderlich sind, damit die C.T. in jeder Periode einen I) Gewinn yon $ 900.000 macht, II) der Gewinn, ausgehend von $ 900.000, injeder Periode um 10 % steigen soil. Da die Verwendung des SR bzw. OLder Leitung der C.T. angesichts der Ergebnisse des Teiles c) doch etwas zu gewagt erscheint, entschliel3t sie sich, das Risiko nun doch in Form von Wahrscheinlichkeitsverteitungen in ihre Uberlegungen einzubeziehen. Zunfichst wird davon ausgegangen, dass allein die Absatzmenge unsicher ist. Nach umfangreichen Sch~ttzungen kommt die Planungsabteilung zu dem Schluss, dass die Absatzmenge mit dem Erwarmngswert /l = 11.000 und der Standardabweichung o-= 2.000 normalverteilt ist, also: x ~ N(11.000,2.000). e) Berechnen Sie aus der Verteilung der Absatzmenge die Verteilung der Gewinne Mr das "Pocket 2000" und begranden Sie diese Verteilung. Wie wird diese Vorgehensweise allgemein bezeichnet ? f) Beantworten Sie mit Hilfe einer Tabelle der Standardnormalverteilung oder eines Mathematikprogrmnmes folgende Fragen: •
Wie hoch ist die Break-Even-Wahrscheinlichkeit?
•
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit Far einen Mindestgewinn yon $ 900.000?
•
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dat'tir, dass der Gewinn zwischen $ 0 und $ 900.000 liegt?
g) Zwischen welchen beiden Gewinnwerten schwankt der Gewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73 %? h) Welches Problem wiirde auftreten, wenn auger der Absatzmenge auch die Deckungsbeitr~ige unsicher w~ren ? Die C. Z tiberlegt, ob es vorteilhaft wgre, ihr Produktsortiment um zwei weitere Notebooks (P2, P3) zu erweitem, deren Absatzmengen ebenfalls unsicher sind. Beide Produkte erzielen denselben Deckungsbeitrag ($ 900) wie das "Pocket 2000". Die Aufnahme von P2 bzw. P3 ftihrt zu (zus~ttzlichen) produktfixen Kosten K2 F, K3 F von jeweils $ 9.000.000. Die Absatzmengen g~ und x2 sind normalverteilt nach: 2"z ~ N(11.000,500) 2"3 ~ N(11.000,500) Es gelten allerdings unterschiedliche Korrelationskoeffizienten (k) zwischen den Verteilungen der Absatzmengen bzw. Gewinne. kl,2 = 0,6, kl, 3 = -0,6, k2,3 = -1
Fallstudien zur lntemen Unternehmensreclmung
249
i) Gehen Sie zun~ichst davon aus, dass entweder P2 oder P3 ins Produktionsprogramm aufgenommen werden k6nnen. Ermitteln Sie erneut die Verteihmg der Gewirme ffir beide Alternativen. Durch welchen Effekt unterscheiden sich die Gesamtvarianzen? Berechnen Sie mittels Tabelle/Programm folgende Wahrscheinlichkeiten (i = 0 Basisprogramm, nur P1; i = 1(2), P1 und zus~itzlich P2 oder
P3): Pr(Gi, > -1.000.000), Pr(Gli ___-500.000), Pr(Gl, >_0); Pr(Gl, > 900.000), Pr(G~i > 2.000.000), Pr((~li > 5.000.000) j) Far welche Alternative entscheidet sich die C.T., wenn sie folgende Entscheidungsregeln anwendet? I: W~ihle die Alternative, bei der die Wahrscheinlichkeit far G >__0 am N3chsten ist. II: W~ihle die Alternative mit dem h0chsten G , der mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,74 % tiberschritten wird. Wie entscheidet sich die C.T. zwischen den beiden Alternativen, "Addition von P2" oder "Addition von/gs", wenn sie: •
risikoneutral ist und sich am Erwartungswert des Gewinnes orientiert,
•
eine spezielle Art der Risikoscheu an den Tag legt und sich ausschlieBlich an Erwartungswert und Varianz des Gewinnes orientiert (At- o- -Prinzip)?
k) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten unter h) erneut far den Fall, dass sowohl P2 als auch P3 gemeinsam mit P~ produziert werden k6nnen. 1) Betrachten Sie die Verteilung der Gewinne tar folgende Altemativen:
al
Herstellung von Pz und/92
a2
Herstellung von P1 und Ps
a3
Herstellung Pt, P2 und/'3
K6nnen Alternativen vorab ausgeschieden werden, wenn Ihnen nur bekannt ist, dass die C.T. mehr Gewinn weniger Gewinn vorzieht und ansonsten tiber ihre Risikoeinstellung nichts bekannt ist? Vergleichen Sie hierzu al mit as ftir die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn gr613er als 8.100.000 zu erzielen, und a2 mit a3 ftir die Wahrscheinlichkeit, einen geringeren Verlust als -4.700.000 zu erzielen. Verwenden Sie femer Ihre Ergebnisse aus 11)!
250
¢dbungenzur Intemen Untemehrnensreclmung
M u s t e r l O s u n g :
Teilaufgabe a) Break-Even-Bedingung:
G=(p-kv).x-K
F=O
Break-Even-Menge:
KF
9.000.000
(p-kv)
900
- 10.000 StrUck
Break-Even-Umsatz:
U---
K~
9.000.000
- 20.000.000
Break-Even-Menge mit Mindestgewinn:
G--(p-kv).x-X
;? -
K F +G
-- ( p - k~ )
~ =C_
9.900.000
900
- 11.000 Stack
Teilaufgabe b) Komparative Statik: Kr
(p-k~) ~¢J?
OK F -
-
-
1 -( p-- k>v )0 ;
8X - KF Oft KF Op-(p-kv) 2 0
Gestiegene Fixkosten, konstanter Sttickdeckungsbeitrag---> mehr Einheiten absetzen f'tir G = 0. Gestiegener Preis: Ceteris paribus erh6ht sich der Sttickdeckungsbeitrag--~ weniger x flit G = 0. Gestiegene variable Kosten: Ceteris paribus vermindert sich der Stfickdeckungsbeitrag--> m e h r x ffir G = 0.
Fallstudien zur Intemen Untemetu~aensreclmung
251
Teilaufgabe c) Sicherheitskoeffizient (g/~ngige Interpretation): Um wieviel Prozem kann die Absatzmenge, ausgehend von einer gegebenen Menge x, sinken, otme dass ein Verlust entsteht? p.x-p.~ p. x
SK:
x-~ - - x- -
1-x
~
10 = 1 - M = 0,2857
Die H6chstabsatzmenge kaml also um 28,57 % untersehritten werden, bevor die C. T. einen Verlust macht. Operating-Leverage: Relative Gewinn~nderung im Verh/iltnis zu einer relativen Umsatz/inderung: AG OL-
d.Ax -
AE
p. Ax
E
p.x x
-
- (d.x-KF).Ax
x---
d
1
KF
d
-
l--
- (d.x-KF)
1 x
-
SK
x
1
OL - - - 3,5 0,2857 Interpretation: W e n n sieh der Umsatz, ausgehend von x = 14.000, um 1 % erh6ht, steigt der Gewinn um 3,5 %. W e n n die Naehfrage j e d o c h tats~iehlieh im Intervall [0, 10.000] gleieh verteilt ist, werden diese beiden MaBe allerdings zur blogen Makulatur. Die Verteilungsfimktion lautet dann: 0flir x < 0 F(Y~)=~ 1 -x f'0x 0 < x < 10.000 |10.000 U ffir x > 10.000 Man ermittelt: W ( G > 0) = 1 - W(2 ~< .~) = 1 - F(2") = 0 Die Wahrscheinlichkeit fiir einen Gewirm betrggt exakt 0. In d i e s e m Licht erscheinen SK und OL h6chst fragwiirdig, wenn die Unsicherheit explizit in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen in die Betraehtung einbezogen wird.
252
Obtmgen zur Internen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe d) Der entsprechende Preis erreehnet sich allgemein aus: (l+a)'
-KF+(I+fl)t.G
13 -
~?
+ (1 + z ) ' . k v
Ftir Tell 1) ist ~z= 0,05;/3 = 0; Z = 0,02, f'tir Teil 2) gilt a = 0,05;/3 = 0,1; Z = 0,02. Man erh~lt folgende Tabelle der kritischen Preisforderungen:
0
2.000
2.000
1
2.062,9
2.071,09
2
2.128,3
2145,5
3
2.196,3
2.223,37
Teilaufgabe e) Da die Absatzmengen risikobehaftet sind, ist auch der Gewinn stochastisch und ergibt sich zu:
~=d.~_K
~"
Da die Zufallsvariable Gewinn sieh aus einer linearen Transformation der Zufallsvariable "Absatzmenge" ergibt, ist der Gewinn normalverteilt mit:
E ( G) = Atd = d . At -
K F
=
900.11.000- 9.000.000 = 900.000
Var (G) = o.2 = d 2 "o.2 = 9002.(2.000) 2 = (1.800. 000) 2 Es handelt sich hier um ein Beispiel der analytischen Risikoanalyse, im Gegensatz zur Simulationstechnik (etwa Monte-Carlo-Verfahren).
Teilaufgabe J) Zu der normalverteilten Zufallsvariable (] l~isst sich die sog. standardisierte Zufallsvariable ~" gemgig folgender Transformation berechnen: -
d-#c O.G
Diese ist normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1. Mit einer Tabelle dieser Standardnormalverteilung oder einem Mathematikprogramm ermittelt man dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Beispielsweise ergibt sich die Break-Even-Wahrscheinlichkeit zu:
Fallstudienzur lnternenUnternehmensrechnung
253
W(dli ~ 0)= 1- W(Gli __0)
0,691462
Pr((~l,o _>900.000)
0,5
Pr((~l,o _>2.000.000)
0,2706
Pr((~l,o _>5.000.000)
0,01136
Teilaufgabe h) W~iren die Deckungsbeitr~tge ebenfalls tmsicher und normalverteilt, erg~ibe sich der Gewinn als Produkt zweier normalverteilter Zufallsvariablen. Dieses Produkt ist nicht mehr normalverteilt mid far dieses Problem existieren nut noch eher unbefriedigende mualytische Ansgtze. I.d.R. wird man die Verteilung des Gewinnes fiber Simulationstechniken bestimmen.
Teilaufgabe i) Unter der Beachtung der ReproduktiviNtseigenschafl der Normalverteilung gilt, dass eine Summe bzw. Differenz zweier normalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls normalverteilt ist. Ffir den hier vorliegenden Fall zweier Produkte erh~ilt man: 1,2 = d , .
+ d2.
ist normalverteilt mit:
- K,
-
254
121bungenzur IntemenUnternehmensrechnung
m,~ =d,.& + ¢ . & - x # - x ; 0-0~,2 = d~ .%2 +d22 .%2 +2.Cov(~l,~_2) 4 1 , 2 -- d~
.%2 +d~ . %2 + 2 . k 1, 2 . 4 . 4 . % . o - ~ 2
Far die gemeinsame Produktion von Produkt P1 und P2 ergibt sich:
kt01,2 = 1.800.000
4,~ =(2.mi.071,2) ~ Da das Risiko von P2 positiv mit Pt korreliert ist, ergibt sich neben dem verdoppelten Erwartungswert ein Gesamtrisiko des neuen Programmes, das hOher ist als die Summe der Einzelrisiken. Man erhglt folgende Wahrscheinlichkeiten fOr das neue Programm P1 und Pe: Pr(G1,a >_-1.000.000)
0,9086
Pr(G1.2 >-500.000)
0,8632
Pr(GI, 2 > 0)
0,8042
Pr(G~,2 >_900.000)
0,6658
Pr(G1,3 > 2.000.000)
0,462028
Pr(Gl, 2 _>5.000.000)
0,0638
Analog ergibt sich for die gelneinsame Herstellung von P1, P J: /2G ,,~ = 1.800.000 01,2 = (1.571.782, 4) 2
0 -2
Bei verdoppeltem Erwartungswert ergibt sich hier aufgmnd der negativen Korrelation ein niedrigeres Gesamtrisiko als im Fall des urspNnglichen Produktionsprogrammes. Analog dem Grtmdgedanken der Portfolio-Selektion kann dutch gemeinsame Produktion von P1 und P3 Risiko "wegdiversifiziert" werden. Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ergeben sieh zu:
Fallstudien zur Intemen Untemehmensreel~atmg
Pr(G1,3 >_-1.000.000)
0,9626
Pr(GL.3 >-500.000)
0,9283
Pr(G1,3 >_0)
0,8739
Pr(GI,3 >_900.000)
0,71654
Pr(G1,3 > 2.000.000)
0,44937
Pr(G1.3 > 5.000.000)
0,02087
255
Teitaufgabe j) Entscheidungskriterium I: (Wahrscheinlichkeitsmaximierung bei vorgegebener Ergebnish6he). Die C. Z entscheidet sich fiir das Programm, bei dem die Wahrscheinlichkeit, einen positiven Gewinn zu machen, am h6chsten ist. Aus den Tabellen ergibt sich eine Entscheidung t'tir die gemeinsame Fertigung von P~ und P3. Entscheidungskriterium II: (Ergebnismaximierung bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit). Aus einer Tabelle der Standardnormalverteilung ergibt sich gem/~i3 _ G - Pc~ Rir die gesuchte Wahrscheinlichkeit von 39,74 %, also ein z-Wert von (7 G
0,26. Damit ermittelt man: G L = 900.000 + 0,26.1.800.000 = 1.368.000 =
2.346.278,8
G1, 3 --
2.208.663,4
G1, 2
*
Die C.T. entscheidet sich f/Jr die gemeinsame Fertigung von P~ und P2. Risikoneutralit/~t: Gemeinsame Fertigung von P1 und P2 oder PC und P3 dominiert die ausschliegliche Fertigung von P1, da der Erwartungswert des Gewinnes doppelt so hoch ist. Zwischen diesen beiden Altemativen ist die C.T. allerdings indifferent. Spezielle Risikoscheu: (kt-or)-Prinzip: In diesem Fall ffillt die Entscheidung eindeutig zugunsten der gemeinsamen Fertigung von P~ und P3, denn dieses Programm weist neben einem gleich hohen Erwartungswert wie PI, P2 das geringste Risiko auf.
Teilaufgabe k) K6nnen alle drei Produkte gleichzeitig produziert werden, ergibt sich aufgrund der
ReproduktivitOtseigenschaft der Normalverteilung:
Diese Zufallsvariable ist normalverteilt mit:
256
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
=all'& 0.5G ],2,3
Xl
+d3"& x2
x3
+ 2. Cov(G 1, 02) + 2. Cov(G t, G 3) + 2. Cop(d2, d 3) Nach Einsetzen: P c ..... = 2.700.000 0 .2 = (1.800.000) 2 (71,2,3 Die gesuehten Wahrscheinliehkeiten sind dann:
Pr(GI,z,3 >-1.000.000)
0,9801
Pr(Gi,2,3 >_-500.000)
0,962
Pr(Gl,z, 3 > 0)
0,9332
Pr(G1,2,3 > 900.000)
0,8413
Pr(Gl,z, 3 > 2.000.000)
0,65 i32
Pr(GI,,2,3 > 5.000.000)
0,1006
Teilaufgabe l) Nach einem Blick auf die ermittelten Wahrscheinlichkeiten in den vier Tabellen k6nnte man vemmten, dass die gemeinsame Produktion aller drei Produkte stets vorgezogen wttrde. Denn die Wahrscheinlichkeiten dieser Gewinnverteilung liegen stets fiber denjenigen von al und a2 Dies ist aber ein Trugschluss. Wenn nur bekannt ist, dass die C. Z mehr Gewinn weniger Gewinn vorzieht, ist das einzige Kriterium zum Ausschluss von Altemativen die stochastische Dominanz erster Ordnung. FUr zwei Gewinnverteilungen a und b muss nach diesem Kriterium gelten:
W(G > G), > ( > ) W ( G > G)bVG. Wenn diese Ungleichung erftillt ist, dominiert Verteilung a Verteilung b (streng) im Sinne der stochastischen Dominanz erster Ordnung. Vergleich yon a3 mit al an der Stelle G = 8.100.000 : W(G > 8.100.000)~ 3 = 0,001349 < W(G > 8.100.000)a ~ = 0,001356 Zusammen mit den Tabellen far a3 mad al ---* keine stochastische Dominanz erster Ordnung zwischen a~ und al.
Fallstudien zur lntemen Untemehmensrechnung
257
Vergleich von a3 mit a2 an der Stelle G = -4.700.000 W((~ _> -4.700.000~ = 0,999980 < W(G > -4.700.000),~ = 0,999982 Zusammen mit den Tabellen f'tir a3 und a2 ---~keine stochastisebe Dominanz erster Ordnung zwischen a3 und a2. Dass zwischen al und a2 keine stochastische Dominanz erster Ordnung vorliegt, ergibt sich bereits aus den Tabellen f'tir al und a2. Fazit: Ohne Kermtnis der RisikoprN'erenz der C. T. kann keine der drei Altemativen ausgeschlossen werden. Es 1/isst sich allerdings zeigen, dass a3 ao in diesem Sinne dominiert (nicht verlangt).
Fallstudie 5:
Produktionsprogrammplanung unter Unsicherheit und Entscheidungsrelevanz fixer Kosten
Die Fallstudie behandelt Aspekte der Programmplanung unter Unsicherheit und der Entscheidungsrelevanz von Fixkosten, insbesondere die Entscheidungsrelevanz der Fixkosten in Abhi~ngigkeit vom unterstellten Kapitatmarktszenario. Eine Unternehmung stellt zwei Produkte her, deren Deckungsbeitr~ge und Fixkosten unsicher sind. Die Deckungsbeitr~ge, Fixkosten und Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustfinde k6nnen Sie der nachstehenden Tabelle 1 entnehrnen.
Wahrscheinlichkeit fttr die Zustfinde Deckungsbeitrag Produkt 1 (x~) Deckungsbeitrag Produkt 2
Zustand 1 (01)
Zustand 2 (02)
0,5
0,5
12
22
5
40
192
1.000
(X2) Fixkosten
Beide Produkte k6mlen tmbeschrfinkt abgesetzt werden. Zu ihrer Herstellung wird eine Maschine ben6tigt, die im Planungszeitraum 1.000 h zur Verffigung steht, xl ben6tigt vier Stunden Bearbeitungszeit je Stfick auf dieser Maschine und x2 ben6tigt fiinfStunden. Die Fest|egung des Produktionsprogramms muss irreversibel erfolgen, bevor der tats~chliche Umweltzustand bekannt wird Daneben existiert ein Kapitalmarkt, an dem zwei Wertpapiere in beliebiger Menge ge- und verkauft werden k6nnen. Femer k6nnen die Wertpapiere in beliebiger Stfickelung gehandelt werden und sog. Leerverkfiufe sind zulgssig. Entnehmen Sie die relevanten Informationen bitte der folgenden Tabelle: Heutiger Preis
Rt~ckfluss t~
Rt~ckfluss 02
Wertpapier 1
0,75
5
1
Wertpapier 2
1
10
1
260
Ubungen zur InternenUnternehmensrechnung
a) Welches Produktionsprogramm realisiert die Untemehmung, wenn sie den Erwarttmgswert der unsicheren Gewinne maximieren mOchte? b) Welches Produktionsprogramm realisiert die Unternehmung, wenn sie den Erwarmngsnutzen von Zahlungen aus dem Produktionsprogramm maximiert und sich dabei an der Nutzenfunktion U = ~ orientiert? Zeigen Sie, unabh~tngig yon Ihrer L/3sung, mit Hilfe der beiden Bedingungen erster Ordnung und einem Lagrange-Multiplikator A, dass das yon Ihnen ermittelte Programm tats~ichlich optimal ist. Begr~lden Sie dann 6konomisch den Unterschied zum Programm unter a) (Hinweis: bei der 6konomischen Begffmdung gentigt eine verbale Darstellung der Effekte) [ c) Ermitteln Sie aus den Angaben das marktwertmaximalc Produktionsprogramm. d) Zeigen Sie, dass es fftr das Untemehmen tats~ichlich vorteilhaft ist, das marktwertmaximale Programm zu realisieren. Argumentieren Sie bei Ihrer Antwort mit Kapitalmarkttransaktionen! Etwaige tiberschtissige Mittel zum Beginn der Periode werden sicher angelegt. Erkl~en Sie schematisch, wie die sichere Anlage in diesem Fall aussieht. e) Wie lautet das marktwertmaximale Programm, wenn die Unternehmung zur Fertigung von xl und x2 zus~itzlich einen knappen Rohstoff einsetzt, von dem in der Planungsperiode 1.000 kg zur Verffigung stehen. Produkt xl ben6tigt 1 kg des Rohstoffes mad x2 10 kg des Rohstoffes je Stack. f) Erl~iutem Sie, warum die Untemehmung bei Marktwertmaximierung die Fixkostenstruktur K f = 92 und K f = 1.100 gegentiber der ursprtinglichen Fixkostenstmktur K ( = 192 und K f = 1.000 ablehnen wtirde, obwohl der Erwartungswert der Fixkosten unver~ndert 596 betr~igt. g) Wiederum sei nur die ursprangliche Restriktion relevant. Nehmen Sie aber alternativ an, dass die Fixkostenstruktur K ( = 1.000 und K~- = 3.000 vorliegt. Kolmnt es zu Anderungen im marktwertmaximalen Programm? (BegrUndung!) h) An beiden Produkten mtissen nach der Fertigstellung Qualit~itsprtifungen dutch produktunabhfingig vergtitete exteme Experten vorgenommen werden. Diese Kosten beeinflussen somit den Fixkostenblock. Dieser entspreche dem der Teilaufgabe g), d.h. K f =1.000, K f = 3.000. Wird Produkt x2 hergestellt, ver~indem sich die Fixkosten in beiden Umweltzust~inden nicht. Wird dagegen xl gefertigt, rechnet die Unternehrnung damit, dass der Bedarf fOr Qualit~ttsprtifungen im ZuKF 3000 stand 02 gem~B dem funktionalen Zusarm~enhang K f (x 1) = (1 + x 1) - (1 + x 1) im Zeitablauf sinkt, ist es vorteilhaft, Ver~nderungen am Produktionsprogramm vorzunehmen, wenn das Unternehmen den Marktwert maximiert? Interpretieren und begrfinden Sie Ihre L6stmg!
Fallsmdien zur Internen Untemehmensrechnung
261
MusterlSsung: Teilaufgabe a) Erwartungswertmaximienmg: Entscheidungskriterium ist der "'erwartete spezifische Deckungsbeitrag". Die Fixkosten sind irrelevant. Die erwarteten spezifisehen Deekungsbeitr~ige sind: E(a~) = 0,5.12 +40,5.22 = 4,25 < 4,5 - 0,5.5 +50,5.40 = E(d2 ) Das Produktionsprogramm, welches den erwarteten Gewinn maximiert, lautet demnach (x~* = 0, x2 * = 200).
TeilauJ~labe b) Bei Maximierung des Erwartungslmtzens und der Nutzenfunktion U = 4 ~ die Lagrangefunktion:
lautet
Max LG = 0 , 5 - / 1 2 .x I + 5. x 2 - 192 + 0,5. ~/22. x a + 40. x 2 - 1.000 + 2 - (1.000- 4. x I - 5. x 2) XI~X 2 ~ 0
Sind beide Produkte im optimalen Produktionsprogramm enthalten, folgt wegen stets positiver Deckungsbeitfftge x 2 = 2 0 0 - 0,8 .x~. Eingesetzt in die Zielfunktion ergibt sich:
Max LG = 0,5. ~/8 .x I + 808 + 0,5. ~/7.000 - 10.x a Die Ableitung nach xl ist:
dLG
8
dxl - 4.~/8.x 1 + 8 0 8
10 4.,jT.000-10.x l
=0
448.000 - 640. x 1 = 800- x I + 80.800 367.200 = 1.440.x I ~ x~ = 255 Dies steht aber im Widerspruch zur Fertigtmgsrestriktion, wonach maximal 1.000/4 = 250 Einheiten xl hergestellt werden kt~nnen. Es liegt also eine sogenannte RandtOsung vor und das optimale Produktionsprogramm lautet: xl = 2 5 0 u n d x : = 0.
262
Ubungen zur Internen Untemehmensreclmung
Der Nachweis, dass dies tatsachlich optimal ist, gestaltet sich wie folgt: OLG
12
OXl
4. @ 2 . x l + 5 . x 2 - 1 9 2
8LG
5
cTx2
4.~12.x l+5.x 2-192
OLG x,=250;x2=0
x1
OLG x,=2so;x2=o
cTx2
12 - 4 . ~ - 4. ~
5
+ +
22 _ 4.~/22.x I + 4 0 . x 2 - 1.000 40 4.~/22.x t + 4 0 . x 2-1.000
22 + 44. ~ 5 0 0 - -
4-2.=0 -5.i=0
4.2=0~A~0,0347
40 + 4- 4-~-~0 - 5.0,03471 = -0,00083 < 0
Die Herstellung von x2 wtirde die Zielerreichung der Untemehmung vermindem. Deshalb ist das oben ermittelte Programm tatsgchlich optimal. Das Arrow-Pratt-Marl der Wurzelfunktion ist A P M - -U"/U' = 1/(2.G). Je geringer der Gewinn, desto risikoscheuer ist die Untemehmung. Hohe Fixkosten verringern den Gewinn und verschieben die Bewertung der Oberschtisse in Bereiche hoher Risikoaversion. Dies ftihrt dazu, dass das sicherere Produkt xt vermehrt auf Kosten yon x2 produziert wird. Hier sind die Fixkosten also so hoch, dass die Produktion des unsichereren Produktes x2 ganz aufgegeben wird. Produkt x2 erzielt dagegen hohe Deckungsbeitr~tge in Zustand 02, wenn die Fixkosten ebenfalls hoch sind. Dies wiirde tendenziell die Produktion von x2 begtinstigen. Dieser positive Effekt aus der Herstellung yon x2 wird hier jedoch vom ersten Effekt dominiert. Teilaufgabe c)
Aus den gegebenen Preisen der beiden Wertpapiere sind die (heutigen) Bewertungsfaktoren ~ r jeweils eine zuktinftige Geldeirtheit im Zustand 01 bzw. 02 zu ermitteln. Dies geschieht ~iber folgendes Gleichungssystem:
(1) 5.pl+p2-0,75=o
(2) lO.Pl+P2-1=o 1
"'~ /~1 = 0 ' 0 5 " /~2 = 0,5 " - - - ~ ' - - - -
(1+i)
+f12=0,55
i=9=0,gi 11
Entscheidungskriterium ftir die Produktionsentscheidung sind in diesem Falle die Marktwerte der spezifischen Deckungsbeitr~ige der beiden Produkte. Sie lauten: W(cl, ) = 0,05-12 + 0,5.22 _ 2,9 < 4,05 - 0,05.5 + 0,5-40 = W(c~2) 4 5 Bei Marktwertmaximierung ist wiederum das Programm xl = 0 und x2 = 200 optimal.
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
263
Teilaufgabe d) Sei A die Matrix der Rackflttsse und A" deren Transponierte. Werm O1 und 02 eine beliebige, gewiinschte Rtickflussstruktur bezeichnen, ergeben sich die gesuchten Verh~iltnisse v~ und v2, in denen die beiden Wertpapiere erworben bzw. leer verkauft werden miJssen, zu:
-
-
-
-
V2
-- [ 0,2
-- 1
02
Die R~3ckflussstruktur und der Marktwert des marktwertmaximalen Programmes sind darm: 0 m(01) = (200- 5 - 192) = 808 /Qm (02 ) = (200" 40 - 1.000) = 7.000 W(~STm) = 0,05. 808 + 0,5.7.000 = 3.540,4 Die Rfickflussstruktur und der Marktwert des erwartungsnutzenmaximalen Progrmnmes betragen dagegen:
(2E(U)"a~(oI) = (250" 12-- 192) = 2. 808 oE(U)max (02) = ( 2 5 0 . 2 2 -- 1. 000) = 4.500
W(() e(uJ'"x) = O,05" 2. 808 + 0, 5" 4. 500 = 2. 390, 4 Um diese Oberschussstrukturen zu duplizieren, sind folgende Portefeuilles aus den beiden Wertpapieren zusammenzustellen: V = A' -J x O '~ Portefeuille 1 :
[11 r
v 2 =[_ 0,2
69.192 -ljXL7000j =
5 34.192 5
V = A ' - I x/~E(U)max
Portefeuille 2:
E'I
v2 - [ _ 0 , 2
42.192 - 1 x[_4.500j=
5 19.692 5
264
Ubungen zur Internen Unternehmensrechntmg
Wenn das Untemehmen das Portefeuille 1 leer verkauft trod gleiehzeitig das Portefeuille 2 erwirbt und das marktwertmaximale Programm fertigt, sind die Oberschusspositionen am Ende der Periode ftir 0r und 02 : ~(0~) = 808 - 808 + 2.808 = 2.808 U(O2) = 7.000 - 7.000 + 4.500 = 4.500 Das marktwertmaximale Prograrnm liefert bspw. in 01 einen Zahlungsttberschuss von 808, der jedoch zur Bedienung des Leerverkaufs ben6tigt wird. 2.808 Geldeinheiten fallen aus dem gekauften Portefeuille an. Im Zeitpunkt 0 sind jedochJ?eie Mittel in H6he yon 3.540,4 - 2.390,4 = 1.150 verfiigbar. Dies ist die Differenz zwischen den heutigen ErlOsen f'tir das leer verkaufte Portefeuille und dem Kaufpreis des Portefeuilles, das die erwartungsnutzenmaximale Oberschussstmktur dupliziert. Der sichere Zinssatz betr/igt i = 9/11. Die siehere Anlage erbringt dann zus~itzliche Geldmittel in H6he von 1.150.9/11 = 940,91. Fertigung des marktwertmaximalen Programms ist also strikt vorteilhaft, da es bessere Konsumm6glichkeiten implizieren wtirde. Ein sicheres Wertpapier existiert zwar auf dem Kapitalmarkt nicht, jedoch l~isst sich die sichere Oberschussstrtcktur 2.090,91 aus einem entsprechenden Portefeuille herstellen. Seine Zusammensetzung ist: V = A '-1
x/~rSicher
sicheres Portefeuille:
r o9o9,7
v2
L 0,2
- 1 x L2090,91 j
Teilaufgabe e) Im Lehrbuch ist erwNant, dass ein wesentlieher Vorteil der Marktwertmaximierung darin besteht, dass sieh die bekannten Planungsans~itze unter Sicherheit in modifizierter Form weiter anwenden lassen. Hier tritt eine weitere Mehrproduktrestriktion auf, die zu einer unterschiedlichen Rangfolge der Marktwerte der Deekungsbeitr~tge ftihrt, denn es gilt: W(St1) = 2,9 < 4,05 = W(d 2) Restriktion 1 W(~I ) _ 11,6 _ 11,6 > 1
20,25 10
- 2,025 = W(d 2 ) Restriktion 2
Die L6sung dieses Problems ist daher mit dem Simplex-Algorithmus zu bestimmen. Die Zielfunktion besteht aus der Maximierung der Marktwerte der Deckungsbeitr~ige. Folgendes Ausgangstableau l~isst sich aufstellen:
Fallstudien zur Internen Untemehmensrechnung xl
x2
wl
w2
RS
4
5
1
0
1.000
Restriktion 1 Restriktion 2
1
10
0
1
1.000
Zielzeile
-11,6
-20,25
0
0
- 509,6
265
Dabei bezeichnet der negative Koeffizient in der Spalte RS den Marktwert der Fixkosten 0,05.192 + 0,5.1.000 = 509,6. 1. Iteration:
Restriktion 1
x/
x2
wl
w2
RS
3,5
0
1
-0,5
500
x2
0,1
1
0
0,1
100
Zielzeile
-9,575
0
0
2,025
1515,4
2. Iteration (Endtableau): x~
x2
wl
7/2
RS
xl
1
0
2/7
-1/7
142,8571
x2
0
1
-2/70
8/70
85,71543
Zielzeile
0
0
2,7357
0,6571
2.883,257
Unter Berticksichtigung der zus~itzlichen Restriktion werden in einem marktwertmaximalen Programm also beide Produkte hergestellt. Das Produktionsprogramm lautet xj = 142,8571, x2 = 85,71543 und der maximale Marktwert betr~igt 2883,257. Die inputbezogenen Opportunitfitskosten geben dann Marktwertsteigerungen an, die sich aus der Lockerung der j eweiligen Restriktion ergeben.
Teilaufgabe J) Die Fixkostenstruktur K~ F = 92,/£2 F = 1.100 verschiebt 100 Fixkosten von dem Zustand, in dem der Markt negative Geldbetr~ige sehr niedrig bewertet (0,05), in den Zustand, in dem der Markt negative Betrage hoch bewertet. Der Marktwert der Fixkosten steigt yon 509,6 auf 0,05.92 + 0,5.1.100 = 554,6. Dies ftihrt c. p. zu einem sinkenden Marktwert.
Teilaufgabe g) Die Erh6hung des Fixkostenblocks hat keine Konsequenzen, denn Fixkosten, gleichgtiltig ob deterministisch oder stochastisch, spielen bei der Marktwertmaximierung aufgrund der Wertadditivitiit keine Rolle.
266
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
Teilaufgabe h) In diesem Aufgabenteil wird ein eher "strategisch" ausgerichteter Effekt zwischen den stochastischen Fixkosten und dem Produktionsprogramm analysiert. Hierdurch soll verdeutlicht werden, dass sich aufgrund der Linearitgit des Ansatzes der Marktwertmaximierung auch komplexere Fragestellungen noeh relativ einfach 16sen lassen. Die Zielfunktion ist: 3.000 LG = 11,6. x 1 + 20,25. x 2 - 0,05.1.000 - 0,5. (1 + x 1) + A.. (1.000 - 4. x I - 5. x 2) x 2 = 200 - 0,8. x 1
LG = - 4 , 6 . x 1 + 4.000 8 LG Ox1
1.500 -4'6+(1+xl)2
1.500 (1 + x 1) , 0---~xl
1/~-.500 "V! 4,6 - 1
17,057---~x 2
186,3544
Um den Fixkostendegressionseffekt ausztmutzen, ist es jetzt vorteilhaft, in gewissem Umfang xl herzustellen. Die Ableitung nach Xl l~isst sich ftir die strategische Oberlegung sehr anschaulich interpretieren. -4,6 ist der Marktwertverlust, den die Herstellung einer Einheit x~ unter Bert~cksichtigung der Fertigungsrestriktion naeh sich ziehen wih'de. Er entspricht den inputbezogenen Opportunit~tskosten (Schattenpreis) der Herstellung einer Einheit x~ anstatt x2 bei ausgesch6pfter Kapazit~tt, d.h. 11,6 (4/5).20,25 = -4,6. Fttr konstante Fixkosten unterbleibt also die Fertigung yon xl. Die Grenzfixkostenerspamis aus der Fertigung yon xl ist 1.500/(l+xD 2 im Zustand 02. Das Produkt xl wird also so lange ins Produktionsprogramm aufgenommen, bis die Grenzfixkostenerspamis den inputbezogenen Opportunit~itskosten entspricht.
Fallstudie 6:
Ausgew ihlte Aspekte des Zielkostenmanagements (Target Costing)
Die Faltstudie untersucht einige Aspekte des derzeit oft diskutierten ZieIkostenmanagements. U. a. werden das Zielkostendiagramm, die Market into Company Merhode und der Einfluss asymmetrischer Information zwischen Zentrale und Konstrukteuren analysiert. Seit Jahren bewegt sich das alteingesessene Unternehmen Schaufele & Pfleiderer (S & P) in den roten Zahlen. Der kiirzlich eingetretene Juniorchef Fritz Pfleiderer, ein MBA-Absolvent der European Economic Academy in Bingen, m6chte neuen Wind in die Geschicke der S & P bringen. Fiir die Neuentwicklung eines Produktes, das aus 5 Komponenten besteht, soll bei der S & P erstmals das Konzept des Zielkostemnanagements angewandt werden. Von ibm verspricht sich Fritz die L6sung aller Probleme. Er zieht die Unterlagen einer alten Case-Study aus seinen Studientagen heraus und ermittelt ftir das neue Produkt folgende Werte: Komponente
Kostenanteil (absolut)
Nutzenanteil (in %)
Zielkostenindex
1
1.000 C
6,67
?
2
2.000 C
13,33
?
3
3.000 t~
20
?
4
4.000 t~
26,67
?
5
5.000 C
33,33
?
Standard Cost
15.000 C
100 %
?
Die Daten der von Dipl.-Kfm. R. Edlich geleiteten Marktforschungsabteilung haben "Allowable Costs" yon 12.000 ~ ergeben. Laut Fritz' damaliger Case-Study wurde anschlieBend ein Zielkostendiagramm entwickelt. Nach langer lSberlegung, legt Fritz per Ftkhrtmgsentscheidung den q-Wert far das Zielkostenkontrolldiagramm auf q = 30 % fest und gelangt sornit zu folgender Abbildung:
268
Obungen zur IntemenUntemehmensreclmung
Kostenanteil in % 120
Zielkostenzone
I
100
80-
60-
40
20-
% 0 0
I
l
/
I
I
I
~
I
I
10
20
3g
40
50
60
70
80
90
I 1O0
a) Tragen Sie die ermittelten Werte der Zielkostentabelle in geeigneter Form in die Abbildung ein. Welche Feststellung wird Fritz vermutlich machen? b) Erl~iutem Sie anhand der Ergebnisse unter a) zwei wesentliche Schwttchen des Zielkostenkontrolldiagramms. c) Unter anderem lassen sich Zielkosten investitionstheoretisch interpretieren. Es liege eine Sicherheitssituation vor und der Marktpreis p sei gegeben. Ferner gilt: T-- Laufzeit des Projektes p = Preis x = sichere, identische Absatzmenge far jede Periode q = (1+i) (i = sicherer Kalkulationszinsfug) kv = sichere, variable Kosten, konstant in jeder Periode K F = Fixkosten
I = Investitionsauszahlung Am Ende der Laufzeit ist das [nvestitionsobjekt wertlos. Leiten Sie mit Hilfe der angegebenen Symbolik eine allgemeine Beziehung zwischen dem Marktpreis p und einem dynamischen Vollkostensatz her. Wie hoch sind aufgrund dieser Beziehungen die Zielkosten und welcher Bestmldteil der traditionellen Vorgehensweise des Target Costing l~isst sich in diesem Zusammenhang nicht theoretisch schltissig integrieren ? d) Wtirde die S&P far T=2 p=26006 x = 100
Fallstudien zur InternenUnternehmensrechnung
269
q = 1,2 kV=25 K F = 10.000 e I = 100.000 das Projekt durehffthren? e) Wie sind ihre Ergebnisse unter c) zu modifizieren, weml Sie einen geplanten Mindestkapitalwert K W in die Analyse einbeziehen? Wie hoch sind in diesem Fall die Zielkosten? Wfirde die Untemehmung bei einem geforderten K W = 400.000 C far die konkreten Werte unter d) das Projekt weiterhin durchfahren? Worin liegt die Okonomische Problematik eines solchen Mindestkapitalwertes im untersuehten Szenario? Argumentieren Sie mit dem konkreten Ergebnis aus d). Fritz Pfleiderer wird die Methode des Zielkostenmanagements allm/ihlich suspekt. Zu allem Oberfluss weist itm der erfahrene Dipl.-Kfm. G. Ewiefi darauf hin, dass
seine ganzen bisherigen Oberlegungen einen wichtigen Faktor ~ibersehen haben. Konstruktionsanstrengungen, um die Zielkosten zu erreichen, mtissen vom Ingenieur Tiifiet erbracht werden. Der freiberuflich t/itige T~ftel gilt als der fahrende Experte far kostensenkende Konstruktionsantrengungen. Entsprechend hoch sind seine Honorarforderungen. G. Ewiefi bemerkt, dass v611ig unklar ist, in welchem AusmaB T~fiel zu solchen Anstrengungen angehalten werden soll. Nach diesem Einwand wgchst Fritz Pfleiderer das Zielkostenmanagement des neuen Produktes fiber den Kopf. Er setzt G. Ewiefi als Projektleiter ein und widmet sich selbst eher strategischen Fragen. G. Ewieft geht davon aus, dass far das neue Produkt folgende Kostenfunktion gilt: K=k.x=
-a
.x
Dabei bezeichnet c > 0 eine Konstante, 0 > 0 einen Technologieparameter, x die Produktionsmenge des Produktes und a die Konstruktionsanstrengung des Tiifiel. Die Nachfrage nach dem Produkt kann durch folgende lineare Preis-AbsatzFunktion (PAF) abgebildet werden. x ( p ) = A - p, A > 0
Weiterhin geht G. Ewiefi davon aus, dass TiifieI bei Konstruktionsanstrengungen Arbeitsleid gem~il3 folgender Funktion empfindet: V(a) = a 2
Ftir seine Konstmktionsanstrengungen erh~ilt TiifieI das Honorar s. Tiifiel wird ferner nur zur Mitarbeit bei der S & P bereit sein, wenn die Vergtitung durch das Unternehmen ihm mindestens seinen anderweitig am Beratungsmarkt erzielbaren Nutzen U garantiert. Dieser sei U = 0. FOr die Nutzenfunktion des T~fiel gelte: U = s- V(a)
270
I~oungen zur IntemenUnternehmensrechnung
G. Ewieft geht davon aus, dass sowohl er als auch Titfiel V(a), A, c und 0 kennen sowie K, p, und x zweifelsfrei beobachten k6nnen. Die Konstruktionsanstrengungen a des Tafiel sind dagegen durch G. Ewieft nicht beobachtbar. f) Formulieren Sie aufgrund dieser Angaben die Gewinnfunktion der S & P. Gehen Sie davon aus, dass in dieser Gewinnfunktion stets U = 0 gilt, da der Nutzen von Tiiflel ein Kostenfaktor Far G. Ewieft ist. g) Liegt aufgrund der Unbeobachtbarkeit von a eine far das Problem relevante Form der asymmetrischen Information zwisehen G. Ewie/l und Titfiel vor? h) Ermitteln Sie aus der Gewinnfunktion die Bedingtmgen erster Ordnung far den optimalen Preis p und die optimalen Sttickkosten k und interpretieren sie diese 6konomisch. Verwenden Sie hierzu die atlgemeine Formulierung der PAF, d.h.
x(p). i) Als Fritz Pfleiderer Ihre Ergebnisse tinter h) zu Gesieht bekommt, ist er begeistert. Er glaubt, dass sich die sogenannte Subtraktionsmethode des Target Costing gem~il3 Market-Into-Company direkt aus der Bedingung erster Ordnung far den Preis ergibt. Bei dieser Methode wird vom Marktpreis p ein Zielgewinn z abgezogen. Die daraus resultierenden Stfickkosten k sollen insgesamt eine optimale Politik sicherstellen, d.h. p - z = k. Leiten Sie einen solchen Zusammenhang aus der Bedingung erster Ordnung tar den Preis her. Erscheint Ihnen Pfleiderers Optimismus gerechtfertigt? j) Bestimmen Sie den optimalen Preis und die optimalen Stfickkosten allgemein und far die konkreten Werte c = 100.000, A = 10.000. Der Technologieparameter k/Jnnte dabei die beiden Werte 0l = 20 trod 02 = 25 annehmen. Begffmden Sie 5konomisch, warum far die bessere Teehnologie 02 = 25 hOhere Konstruktionsanstrengungen untemommen werden, obwohl die bessere Technologie "sowieso" schon zu geringeren Sttickkosten fahrt. k) Nehmen Sie jetzt an, dass G. Ewiefi den Technologieparameter nicht mehr kennt, sondem nur mit Wahrscheinlichkeit v davon ausgeht, dass 01 = 20 vorliegt. Tiff-
tel kennt dagegen den wahren Wert 0 genau. Nehmen Sie an, dass G. Ewiefi sich von Titfiel einen Bericht 0 B fiber 0 vorlegen Nsst. G. Ewiefi setzt diesen Bericht in die Kostenfunktion K = (c / 013 - a).x ein und bestimmt wie unter h) (insbesondere U = 0 )
einen optimalen Preis p*(O 8)
und optimale Stfickkosten
k* (0B). Diese Sttickkosten erh~ilt Tiiftel dann als Vorgabe (Kostenbudget). Besteht far T~ftel bei diesem Arrangement ein Anreiz, wahrheitsgemN3 ~iber 0 zu berichten, falls 02 = 25 der wahre Technologiezustand ist? Berectmen Sie hierzu den Nutzen von T~fiel bei wahrheitsgemgl3er Berichterstattung und bei Falschberichterstattung. Begrttnden Sie Ihre Resultate 6konomisch.
Failsmdien zur lnternen Unternehmensrechnung
271
Musterl6sung:
Teilaufgabe a) Zur Bestimmung des Zielkostenindex sind zun~tchst die prozentualen Kostenanteile zu bestimmen. Diese bestimmen sich aus dem Verh~tltnis des absoluten Kostenanteils zu den "Standard- oder Drifting Costs" yon 15.000 t~. Komponente 1 :
1.000 15.000
- 0, 0667; Komponente 2 :
2.000 15.000
- 0,1333, usw.
Der Zielkostenindex ist dann das Verh~iltnis von Kostenanteil (in %) zu Nutzenanteil (in %). Man erNilt: Zielkostenindex
1 1 1 1 1 1 Alle Komponenten haben einen Zielkostenindex yon 1.
Teilaufgabe b) Kritik 1: Ergibt sich aus Teilaufgabe a). Die Standardkosten von 15.000 t~ t~bersteigen die Zielkosten in H6he von 12.000 • um 3.000 C. Trotzdem scheint sich aus dem Zielkostendiagramm zu ergeben, dass keinerlei Handlungsbedarf vorliegt. Kritik 2: Willkttrliche Festlegung des Parameters q. Warum soll etwa bei einer Komponente mit einem Kostenanteil von 20 % und einem Nutzenanteil yon 30 % nichts unternommen werden?
272
Obungen zur Internen Untemehmensrechnung
Teilaufgabe c) Investitionstheoretische Betrachtung: 7-
t=l
-_E(p- k ~). x - K ~ l eBF(q,r) >_i p > k V+
KF
+
I.WGF(q,T)
X
-~ p = ff fftr K W = O
X
¢, RBF_qr-1,.WGF - i.qr
1_
i.q r
RBF
qr_l
Man erMlt einen dynamischen Vollkostensatz, der durch das Produkt mindestens gedeckt sein muss, damit die Investition vorteilhaft ist. Verwirklicht werden alle Projekte mit K W > 0, so dass letztlich gilt p = / ~ . Often bleibt, wie in einer solchen Vorgehensweise ein Zielgewinn sinnvoll untergebracht werden kann. Teilaufgabe d)
Man erhfilt for das konkrete Zahlenbeispiel: 100. 000. / (1, 2)2_"0, 2] /£=25+10"000~ ~ (1'2)2-1)-779,55 100 100 Da p = 2.600 > 779,55, ist das Projekt vorteilhaft. Teilaufgabe e)." Unter Einbeziehung eines Mindestkapitalwertes lautet der Ansatz: r
t=l
p>_kv + K F + ( I + K W ) . W G F ( q , T ) X
X
/~' = 25 + 100 + (500. 000. WGF(1, 2,2) _ 3.397, 72 > 2.600 = p 100 Bei einem geforderten Mindestkapitalwert von 400.000 wird das Projekt unterlassen. Hierbei offenbart sich die Problematik dieser Vorgehensweise. FOx das Projekt gilt
Fallstudien zur Internen Untemehmensrectmung
273
gem~B Teilaufgabe d) offensichtlich KW > 0. Ohne zus~itzliche Angaben sollte es also durchgefiihrt werden. Z w a r kann man einen Mindestkapitalwert bspw. mit Kapitalknappheit begranden, in j e d e m Fall sollte dieser Mindestkapitalwert sich dann aber endogen aus d e m Model1 ergeben und nicht einfach exogen eingef'tihrt werden.
Teilaufgabe J) Mma ermittelt aus der Aufgabe folgende Zielfunktion der
S & P:
G=p.x(p)-K-s u. d. Nebenbedingung: U = s - a 2 _>U = 0 ~ s = a 2 (siehe unten)
--~ G= p. x ( p ) - I o - a ) . x ( p ) - a 2 G=p.(A-p)-
-a
.(A-p)-a2;
G =p.(A-p)-k.(A-p)-
a=-~-k
-k
Dies gilt, well nach Aufgabenstellung U = 0 gilt. Dann ist U = s - a 2 = 0 --~ s = a z . Die 6konomische Begr~indung (nicht gefragt) folgt aus Teilaufgabe g). Kann G. Ewiefi a implizit aus d e m Zusammenhang a = e / O - k beobaehten, wird er Tiifiel nie mehr als seinen Reservationsnutzen zubilligen.
Teilaufgabe g) Es liegt keine fiir das Problem relevante Form der asymmetrischen Information zwischen TiifieI und G. Ewieft vor. Denn G. Ewieft kann bei Kenntnis von O, x und K = k . x gemfii3 a = c / 0 - k eindeutig auf a schliel3en. Die Gr613e a ist also implizit beobachtbar.
Teilaufgabe h) Die beiden Bedingungen erster Ordnung unter Verwendung der allgemeinen P A F
x( p )sind G = p . x ( p ) - k. x ( p ) OG --=p.x'+x-k.x'=O Op =-x+2. Ok
-k
=0
-k
274
f2Poungenzur Internen Unternehmensreclmung
Die Bedingung far den Preis ist die bekannte Bedingung far den optimalen Preis eines Monopolisten, d. h. "GrenzerlOs = Grenzkosten". Die Bedingung far die Stt~ckkosten k besagt, dass das Grenzhonorar des T~ftet fox Konstruktionsanstrengungen V' (a) = 2. (c / 0 - k) im Optimum der Grenzersparnis -x aus diesen Anstrengungen entsprechen muss.
Teilaufgabe i) Die Subtraktionsmethode lautete laut Aufgabenstellung p - ~ -- k. Dividiert man die Bedingung erster Ordnung ~ r den optimalen Preis durch - x ' , erh~tlt man: =P--
X
Op
X
= ~C- a
Hieraus erkl~rt sich Pfleiderers Begeisterung, denn durch diese Formuliemng scheint die Subtraktionsmethode in ihrer Reinform bestfitigt zu werden. Vom marktbestimmten Preis p muss ein Zielgewinn ( x / - x ' ) > 0 abgezogen werden, um zu Sttickkosten k zu gelangen, die letztendlich eine optimale Politik sicherstellen. Dabei hfingt die linke Seite ausschliei31ich vom Absatzmarkt ab und scheint somit die Market into Company Methode zu rechtfertigen. Das erweist sich jedoch als Trugschluss, denn diese Gleichung l~sst vollkommen often, welcher Preis eigentlich gew~hlt werden soll. Die Sttickkosten k sind n~xnlich nicht gegeben, sondern far sie existiert eine eigene Optimierungsbedingung. Dies wird schnell Mar, wenn man die Optimalbedingung far die S~ckkosten in die Optimalbedingung fOx den Preis einsetzt. Es ergibt sich:
[2(O J=k
Um zu einer optimalen Politik zu gelangen, m(issen die beiden Bedingungen erster Ordnung simultan gel6st werden. Dies ergibt sich daraus, dass die optimalen Anstrengungen erst dram bestimmt werden k61men, wenn die optimale Menge bekannt ist et vice versa. Erst nach L6sung des Gesamtsystems l~tsst sich der oben beschriebenen Zusammenhang sinnvoll ausfallen, doch kann die optimale L6sung niemals mit der Subtraktionsmethode allein gefunden werden. Diese L6sung hgngt letztlich von Faktoren innerhalb des Unternehmens, insbesondere den Anstrengungen a, aber auch den Gegebenheiten des Absatzmarktes ab. Letztlich sprechen die beiden Bedingungen also viel eher f'OXeinen "Into and Out of Company"-Ansatz.
Fallstudien zur Internen Untemehmensrechnung
275
Teilaufgabe j) Zur Herleitung einer allgemeinen L6sung verwendet man folgende Gewinnfunktion:
G=p.(A-p)-k.(A-p)-
-k
Die Bedingungen erster Ordnung sind:
dG -A-2.p+k=O dp dG-
L6sung dieses Gleichungssystems ergibt:
p* -
A.O+2.c 4.c-A.O k* = 3.0 " 3.0
A.O-c ;--+ a" - - 3.0
Ffir die beiden konkreten Auspr~igungen der Technologie ergibt sich: Gr6Be p*
0 = 20
0 = 25
6.666,67
6.000
k*
3.333,34
2.000
a*
1.666,67
2.000
Die hOheren Konstruktionsanstrengungen im Fall der besseren Technologie 0 = 25 lassen sich wie folgt begriinden: Eine bessere Technologie ~hrt bereits far sich genommen zu geringeren Stfickkosten/Grenzkosten. Diese haben aber einen geringeren Preis und eine h6here Menge x zur Folge. H6here Mengen x erh6hen jedoch die Grenzersparnis aus Konstruktionsanstrengungen a. Deshalb ist es vorteilhaft, gerade fttr gfinstige Technologien hohe Konstruktionsanstrengungen zu untemehmen.
Teilaufgabe k) Jetzt liegt tatsfichlich asymmetrische Information zwischen G. Ewieft trod Tiifiel vor, denn T~ifiet kann nicht mehr aus den ex post beobachteten Stfickkosten auf das tatsgchliche Anstrengungsniveau schlieBen, wenn er 0 nicht kennt. Die Aufgabenstellung gibt an, dass sich G. Ewiefi wie im Fall der symmetrischen Information verh/ilt. Fall 1: Tiiftel berichtet wahrheitsgemfil3 0 B = 0 = 25.
276
Obungen zur Imemen Unternehmensrechnung
Aus Teilaufgabe j) folgt dann: Gr6Be
0 = 25
p*
6.000
k*
2.000
a*
2.000
T @ e l erhielte eine Stfickkostenvorgabe von k* = 2.000 und ein Honorar in H~She von V(2.000) = 2.0002 . Er mfisste Anstrengungen yon a = 100.000 / 25 - 2.000 = 2.000 erbringen und sein Nutzen betr~igt U = s - V ( a ) = 20002 - 20002 = 0. Fall 2: Tiifiel berichtet falsch, 0 ~ =
201o= 25.
Aus Teilaufgabe j) folgt dann:
Gr/313e
0 = 20
p*
6.666,67
k*
3.333,34
a*
1.666,67
Er erhielte die Kostenvorgabe k* = 3.333,34 und das Gehalt s = (1.666,67) 2 . Damit man ihn ex post nicht der offensichtlichen Falschberichterstattung fiber~hren kann, muss aus seiner Sicht gelten: a = 100.000 / 25 - 3.333,34 = 666,67.
T~ftel kann also die ftir den schlechten Technologiezustand gedachten Stfickkosten k* = 3.333,34 mit Anstrengungen erreichen, die um 1.000 niedriger sind als diejenigen, die n6tig gewesen w~iren, wenn tats~tchlich der schlechte Technologiezustand vorgelegen hare. Der Nutzen des Tafiel ergibt sich dann zu: U = s - V(a) = (1.666,67) 2 - (666,67) 2 > 0 Dieser Nutzen ist positiv, weil das vergfitete Arbeitsleid deutlich fiber dem tats/ichlich empfundenen liegt. Tafiel erzielt eine 6konomische Rente aus der asymmetrischen Information, d. h. einen die Vergfitung seines Arbeitsleides tibersteigenden Betrag. Deshalb ist Falschberichterstattung bei diesem Arrangement far ihn dominant besser.
Fallsmdien zur InternenUnternehmensrechnung
277
Hinweis: Sie kOrmen der Fallstudie "Controlling im 6ffemlichen Sektor" sowie dem Modell zu Verrechnungspreisen bei asymmetrischer Information in Kapitel 11 des Lehrbuchs entnehmen, wie sich G. Ewieft in diesem Szenario verhalten sollte.
Fallstudie 7:
Abweichungsanalysen und deren Auswertung
Die vorliegende Fallstudie befasst sich mit Abweichungsanalysen in der Fertigungsund in der Vertriebsabteilung eines Unternehmens. Die einzetnen Analysemethoden werden anhand unterschiedlicher Bezugssysteme und BezugsgrO'flen variiert. Auflerdem ist ein Modell zur Auswertung yon Abweichungen zu analysieren. In der Rayer AG, einem Unternehmen der kunststoffverarbeitenden Industrie, soll dem Kontrollaspekt verstfirkt Rechnung getragen werden. Deshalb werden in verschiedenen Unternehmensteilbereichen Abweichungsanalysen durchgeRihrt. a) In der Fertigungsabteilung Nhrten teehnische Schwierigkeiten an einer Masehine zu einer Verschlechterung des Ausbeutegrades von in Serie gefertigten Spezialfolien. Um die ursprtinglich geplante Menge von 10.000 Spezialfolien zeitgerecht an den Abnehmer liefem zu k6~men, wurden die aufgetretenen Probleme fiber eine Erh6hung der Intensit~it zu korrigieren versucht. Die Plan- und tstdaten der Fertigungsabteilung lauten im einzelnen wie folgt:
Plan
Ist
10.000 Sttick
10.000 Stack
Seriengr613e (Sttick je Serie) s
25
40
Dauer eines Umrtistvorgangs t (Stunden)
0,6
0,6
Ausbeutegrad a
80%
50%
Intensitgt (Sttick/Stunde) z
100
160
Rtiststundensatz (variable Kosten) r
400
400
Maschinensmndensatz (variable Kosten) m
600
600
Produktionsmenge x
FOJaren Sie auf der Basis eines Ist-Soll-Vergleichs mit Planbezugsgr~Jl~en far die Rtistkosten Abweichungsanalysen gem~iB allen Ihnen beka~mten Methoden durch! Beachten Sie dabei auch unterschiediiche Reihenfolgen der Einzelabweichungen! b) Fahren Sie mit Hilfe der Daten aus Teilaufgabe a) auf der Basis eines Soll-IstVergleichs mit Istbezugsgr~llen far die Ausftihrungskosten Abweichungsanalysen gemfig der alternativen Methode und gem~tl3der kumulativen Methode durch! Beachten Sie auch hier unterschiedliche Reihenfolgen der Einzelabweichungen!
280
l)bungen zur IntemenUnternehmensrechnung
c) Ftihren Sie nun auf der Basis eines Ist-Soll-Vergleichs mit Planbezugsgr~flen ftir die R~istkosten eine Abweichungsanalyse gem~iB der kumulativen Methode durch unter der Annalvne, dass der Istrtiststundensatz r t den Wert 500 annimmt, alle anderen Angaben aus Teilaufgabe a) jedoch unverLrtdert gelten! Beachten Sie dabei wiederum unterschiedliche Reihenfolgen der Einzelabweichungen[ d) Die Rtiststundensatzabweichung Ar soll einer genauen Auswertung unterzogen werden. Die Unternehmung ver~gt tiber eine Auswertungsmagnahme, welche die tats~ichlichen Abweichungsursachen perfekt aufzudecken imstande ist und Auswertungskosten in HOhe von A K > 0 verursacht. Es wird davon ausgegangen, dass die Abweichung entweder nur kontrollierbare oder nur nicht kontrollierbare Ursachen haben kann. Dabei sei ~ (0 < ¢ < 1) die Wahrscheinlichkeit daffir, dass die Abweichung Ar auf nicht kontrollierbaren Ursachen beruht. Hat die Abweichung kontrollierbare Ursachen, dann bestehen Eingriffsm6glichkeiten seitens des Unternehmens. Aus der Behebung der Fehlerursachen kann in diesem Fall ein Auswertungserfotg in H6he von A E > 0 erzielt werden. Weiterhin sei unterstellt, dass die Auswertungskosten A K unabh~tngig vonder AbweichungshOhe sind, dass aber der Auswertungserfolg A E linear yon der Abweichungsh6he abh~tngt. Es sei also: AE(Ar) - ~z.lAr[
(cz> 0)
(1) Stellen Sie die beiden Handlungsaltemativen "Auswerten" (Alternative I) und "Nicht auswerten" (Alternative II) in Form einer geeigneten Entscheidungsmatrix dar. (2) Zeigen Sie in allgemeiner Form for einen risikoneutralen Entscheider auf, welchen Wert die Wahrscheinlichkeit ¢ maximal annehmen darf, damit Alternative I gegentiber Alternative II vorteilhaft ist! Unterstellen Sie dabei, dass 0 < A K < AE!
(3) Zeigen Sie in allgemeiner Form ftir einen risikoneutralen Entscheider auf, welchen Wert die Abweichungsh6he mindestens annehmen muss, damit Alternative I gegentiber Alternative II vorteilhaft ist! FOr welche Altemative entscheidet sich ein risikoneutraler Entscheider, falls A K = 400; cz = 10; ~ = 0,7 und Ar = 100? Wie beurteilen Sie die Aussageffihigkeit des bier verwendeten Auswertungsmodells beziiglich der in der Praxis h/iufig verwendeten Entscheidungsregel, nut solche Abweichungen weiter auszuwerten, die einen bestimmten absoluten Weft ~ibersteigen? e) Nicht nur in der Fertigungsabteilung, sondem auch in der Vertriebsabteilung wetden Abweiclmngsanalysen notwendig. Zeigen Sie mit Hilfe der Produktdaten in nachstehender Tabelle auf, wie rich die Gesamterl6sabweichung eines bestimmten Produktes auf der Basis eines Soll-Ist-Vergleichs mit IstbezugsgriiBen nach der differenzierten Methode in eine exteme (nicht kontrollierbare) und eine interne Abweichung zerlegen l~isst! !nterpretieren Sie kurz das Ergebnis! Welche zus~itzlichen Informationen ben6tigen Sie, dmnit Sie die interne Abweiehung welter zerlegen k6nnen? Warum sind Sie auf diese Informationen angewiesen?
Fallstudien zur Intemen Unternehmensrechnung
Plan
281
Ist
Produktpreis p
306
294
Absatzmenge x
6.000
6.270
B r a n c h e n p r e i s pm
340
300
M a r k t v o l u m e n Xm
60.000
66.000
f) Z e i g e n Sie auf, wie sich die e x t e m e A b w e i c h u n g in Teilaufgabe e) a u f der Basis eines S o U - I s t - V e r g l e i c h s m i t Istbezugsgr~JBen n a c h der s y m m e t r i s c h e n Methode welter zweckmgBig zerlegen l~tsst! Ftir welche F u n k t i o n der K o n t r o l l e ist diese A u f s p a l t u n g nicht y o n Interesse? Begr~ndung!
Musterl~sung: T e i l a u f g a b e a)
x 1 Rfistkosten = - - . - - t . r , w o b e i x i = xP; a
Setze c~ = -
1
t t -- tP;
r t = r v.
s
1
u n d fl = - :
a
s
Rt~stkosten = x . t . r . a . / 3
1
1
Plan: 1 0 . 0 0 0 . 0 , 6 . 4 0 0 . . . . = 120.000 0,8 25 1 1 Ist: 1 0 . 0 0 0 . 0 , 6 . 4 0 0 . . . . = 120.000 0,5 40 A ~ = ~z~ - o~~ -
1
1
0,5
0,8
1
1
40
25
a,/3 =/3' -/3p . . . .
0,75
0,o15
Differenzierte Methode :
Ausbeutegradabweichung:
1
x . t . r . AP ~ • t i p = 2 . 4 0 0 . 0 0 0 . 0 , 7 5 . 5
= 72.000
SeriengrOBeabweichung:
1
x - t - r . ~zp . Ap f l ~ 2.400.000 .-y-2. ( - 0,015) -- - 4 5 . 0 0 0
282
ISPoungenzur Internen Untemehmensrectmung
Abweichung hOherer Ordnung: x. t. r. APa
•
Symmetrische
APfl
2.400. 000.0, 75. ( - 0, 015) = -27. 000
=
Methode
:
Ausbeutegradabweiehung: 72.000-
27.000 2
- 58.800
Seriengr6Beabweichung: -45.000
Alternative
27.000 - 2
Methode
-58.500
:
Ausgehend yon den Istkosten: Ausbeutegradabweichung: x.t.r
.a ~ .fit
. a p .fit = 45.000
- x.t.r
Seriengr6Beabweichung: x . t . r . a ~ • fit
_ x . t . r . a i . tip
= -72.000
Ausgehend von den Plankosten: Ausbeutegradabweichung: x . t . r . oc' . f l ;
-
x . t . r . o~ p . t i p
= 72.000
Seriengr6Beabweichung: x.t.r.a
m . fl'
Kumulative
-
x.t.r.a
Methode
m .tip
=-45.000
:
Zun~chst Ausbeutegradabweichung: Ausbeutegradabweichung: x.t.r.oc
~ . fl'
- x.t.r.o~
p . fl~
=45.000
S eriengr613eabweichung: x.
t.r.
ce p • f i t
_ x.
t. r. a p • tip
= -45.000
Zunachst Seriengr6Beabweichung: Seriengr6Beabweichung: x .t .r .d
. flz - x . t . r .a
t .tip
= -72.000
Fallstudien zur Internen Unternehmensreclmung
Ausbeutegradabweichung: x.t.r.~
~ .tip
Teilaufgabe
-
. t i p = 72.000
x.t.r.~P
b) x
1
a
z
A u s f f i h r u n g s k o s t e n = - - . - . m , w o b e i x i = xP; 1 Setzea=-und
Z=-:
a
m I = raP.
1 z
A u s f f i h r u n g s k o s t e n = x . m . ~z. Z
1
1
P l a n : 10.000. 6 0 0 . . . . = 75.000 0,8 100
1
1
Ist: 10.000. 6 0 0 . . . . = 75.000 0,5 160 A'a=aP-a
N Z
i_
= Z I' -
Alternative
Z i -
Methode
1
1
0,8
0,5
1
1
100
160
-
0,75
0,00375
:
Ausgehend von den Plankosten: Ausbeutegradabweichung: x.
m.
~z p • Z p -
x.
m.
~z ~ • Z p
= -45.000
Intensit~tsabweichung. x . m.
c~ ~ . Z I' -
x . m.
a t' . Z
~ = 28.125
Ausgehend yon den Istkosten: Ausbeutegradabweichung: x.t.aP.Z
t -x-t.~z
i .Z i =-28.125
Intensit~tsabweichung: x.
t . ~z' • Z t'
Kumulative
- x - t . c ( • Z ~ = 45.000
Methode
:
Zunfichst Abspaltung der Ausbeutegradabweiehung: Ausbeutegradabweichung: x .m .~ P •Z p -
x . m.
cc ~ • Z p
= -45.000
283
284
13bmagen zur I n t e m e n U n t e m e h m e n s r e c h n u n g
Intensit~t s a b w e i c h u n g : x.t.ai
.Z p-
* =45.000
x.t.~.Z
Zunfichst A b s p a l t u n g der lntensit~itsabweichung: lntensit~tsabweichung: x.m.oe
. Z ~ = 28.125
~ . Z p - x.m-d'
Ausbeutegradabweichung: x . t.~z p • Z * - x - t . ~z* • Z ~ = -28.125
Teilaufgabe
e) x
1
a
s
Rtistkosten = - - - - . t- r , w o b e i nur x i = x p und t* = tp, d.h. in dieser Teilaufgabe l i e g e n drei E i n z e l a b w e i c h u n gen vor.
1
1
Ist: 1 0 . 0 0 0 . 0 , 6 . 500 . . . . = 150.000 0,8 25 Plan: 120.000
Kumulative
Methode :
Reihenfolge a-~ fl~r: Ausbeutegradabweichung: X "t " r i "OJ i . f l i - - x . t . r i . a p . f l i =
56.250
S eriengrSl3eabweichung: x.t
. r i .~z p - f l ' - x .t . r ' - a p . f i e = - 5 6 . 2 5 0
Rttststundensatzabweichung: x.t
. r i .~z p . f l p - x . t . r
p . a p . t i p = 30.000
R e i h e n f o l g e a ~ r ~ fl: A u s b e u t e g r a d a b w e i c h u n g : 56.250 R f i s t s t u n d e n s a t z a b w e i c h u n g : 18.750 Seriengr613eabweichung: -45.000 R e i h e n f o i g e fl--~ a - ~ r : SeriengrSl3eabweichung: -90.000 A u s b e u t e g r a d a b w e i c h u n g : 90.000 R i i s t s t u n d e n s a t z a b w e i c h u n g : 30.000
Fallstudienzur InternenUntemehmensrectmung
285
Reihenfolge fl--~r--->~: Seriengr6Beabweichung: -90.000 R/iststundensatzabweichung: 48.000 Ausbeutegradabweichung: 72.000 Reihenfolge r--->c~--->/3: Rt~ststundensatzabweichung: 30.000 Ausbeutegradabweichung: 45.000 Seriengr6Beabweichung: -45.000 Reihentblge r--~/~--->a: Rfiststundensatzabweichung: 30.000 Seriengr6geabweichung: -72.000 Ausbeutegradabweichung: 72.000 T e i l a u f g a b e d)
(1) Folgender Tabelle k6nnen die zustandsabh~ngigen Ergebnisse der beiden Aktionen enmommen werden: Abweichungsursache Aktion Auswerten Nicht auswerten
kontrollierbar
nicht kontrollierbar
(1-¢)
¢
AE - AK
- AK
0
0
(2) Eine Auswertung lohnt sich dann und nut dann, wenn gilt: (1-qk).(AE-AK)+(k-(-AK) > 0 Wenige Umformungen fffihren zu: AE - AK
AK
AE
AE
~_< - - = I - - -
(3) AE
= a . An eingesetzt in Ungleiehung (2) fflhrt zu:
¢ - aO-¢)
Zahlenbeispiel: AK
400
~.(1-0)
10.0,3
133,33
Da dieser Quotient gr6ger ist als Ar = 100, ist eine Auswertung nicht vorteilhafi. Falls Abweichungen auf kontrollierbaren und nicht kontrollierbaren Ursachen beruhen, ist die in der Praxis h~ufig verwendete Entscheidungsregel, nut solche Abweichungen weiter auszuwerten, die einen bestimmten absoluten Wert tibersteigen, mit der in der Aufgabensteltung beschriebenen Modellstruktur theoretisch begrtindbar. Teilaufgabe e)
Gesamtabweichung: AE = 3 0 6 . 6 . 0 0 0 - 294.6.270 = -7.380 Somit ist bei gegebenem Bezugssystem das Ergebnis besser als geplant.
pP PP p~
pP
306 340
xp
0,9
xP
p~ 294 -0,98 - p~ - 300 -
x,,P
6.000 60.000 =0'1
xi 6.270 i __ Xr -- Xm' -- 66.000 = 0,095
a e = ( p f . x f ) . ( p ~ . x ~ ) - ( p ~ .x~).(p~ . x ; ) Interne Abweichung: ' ' "X., ' = -61.380 (p~ .x~ - p ; "Xr)'Pm
Exteme Abweichung: e ? - - P mi ' X ~i ) ' P r ' 'X (Pm'Xm
r' = 55.860
Abweichung h6herer Ordnung: p
p
i
p
i
i
( p ~ . x~ - Pr" x'r)" (P~" x~ - p~ -x~ ) = -1.860
Trotz einer ungfmstigen Marktsituation ist insgesamt eine gtinstige Gesamtabweichung entstanden. Das interne Ergebnis ist besser als geplant (Vorzeichen beachten!). Aufgrund der Interdependenzen yon Preis- und Absatzmenge ben6tigt man fox die weitere Zerlegung der internen Abweichung die Preis-Absatzfunktion des betrachteten Produktes im monopolistischen Bereich des Unternehmens. Mit der PreisAbsatz-Funktion kann man sodann die Sollgr/513e ~ r den Marktanteil aufgrund der Preis~inderung ermitteln.
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
287
Teilaufgabe J) Branchenpreisabweichung: i
AHO
( p ; . x ~ ) . ( p ~ - p i ). xo + - 2
- 234.612
Marktvolumenabweichung:
+ - - -(p;.x~).p'~ • (x2 _ x ~ . ) AHO 2
-178.752
Dabei ist:
AHO = (p'~ • x~~)" (P,oP - P~,,) ' ( xp - x,,i ) = - 2 2 . 3 4 4 Die hier v o r g e n o m m e n e weitere A u f s p a l t u n g ist n u r i m R a h m e n der E n t s c h e i d u n g s f u n k t i o n der K o n t r o l l e v o n Interesse; nicht h i n g e g e n zur V e r h a l t e n s s t e u e r u n g , da die e x t e m e A b w e i c h u n g v o n den Verantwortlichen nicht b e e i n f l u s s b a r ist.
Fallstudie 8:
Abweichungsanalysen bei mehrstufigen Produktionsprozessen und deren Auswertung mit Hilfe des Modells von Bierman/Fouraker/Jaedicke*
Diese Fallstudie befasst sich zungichst mit Abweichungsanalysen bei mehrstufigen Produktionsprozessen gemgiJ3 der Vorgehensweise nach Kloock/DOrner (1988). In einem zweiten Schritt werden Abweichungen einer Auswertung unterzogen. Hierzu wird insbesondere das Modell yon Biermann/Fouraker/Jaedicke verwendet. Ein Unterrlehmen der chemischen Industrie kauft am Markt zwei Chemikalien (R1 und R2) ein und stellt daraus zwei marktg~tngige Absatzprodukte her. In einem chemischen Prozess reagieren die Chemikalien zu einem Zwischenprodukt z3, welches anschliel3end zu den Endprodukten x4 und x5 weiterverarbeitet wird. Um zu x4 zu gelangen, muss allerdings noch eine gewisse Menge der Chemikalie R1 dem Zwischenprodukt beigemengt werden, xs hingegen ergibt sich direkt aus der Weiterverarbeitung von z3. Femer ist zu beachten, dass eine bestimmte Menge x4 eingesetzt werden muss, um z3 zu erhalten. Folgende Graphik bietet einen Oberblick tiber die Produktionsstmktur:
V14
...~V13
X4
V34
~43
.~35 ~23
X5
290
Obungen zur Internen Umemehmensrechnung
Die Untemehmung geht yon folgenden Plan- und Istdaten aus: EinflussgrN3e
Planwert
Istwert
1/3
1/2
V13 VI4
½3 v34 V35
v43
Beschaffungspreis R1 (rl) Beschaffungspreis R2 (r2)
12
10
Absatz X4
200
300
Absatz x5
400
200
a) Ermitteln Sie s/~mtliche kontrollrelevanten Abweichungen erster Ordnung auf der Basis eines Soll-lst-Vergleiehs mit lstbezugsRriiBen. Weisen Sie anschlieBend diese Abweichungen den jeweils Verantwortlichen zu! Es gilt: Leiter Einkauf RI:
Herr Sdure
Leiter Einkauf R2:
Frau Base
Leiter Produktion z3:
Herr Dr. Knallgas
Leiter Produktion x4:
Frau Dipl.-Ing. Insektizid
Leiter Produktion xs:
Herr Dr. Pestizid
Leiter Vertrieb:
Herr Dipl.-Kfm. Heiflluft
b) W~thrend davon ausgegangen wird, dass die Abweichungen in den Verm~twortungsbereichen von Herrn Sdure, Frau Base, Frau Inselctizid und Herrn Heifllufi zu 100% auf nicht kontrollierbaren Ursachen beruhen, t~berlegt sich die Unternehmensleitung, ob Rir die vier Abweichungen in den Verantwortungsbereichen yon Hem1 Dr. Knallgas und Herin Dr. Pestizid Abweichungsauswertungen vorgenommen werden sollen. (Hinweis: Gehen Sie - unabNingig davon, welche Werte Sie ftir die Abweichungen in Teilaufgabe a) errechnet haben - bei dieser und den folgenden Teilaufgaben yon nachstehenden vier Abweichungen aus: AI = 6.000; A2 = 2.000; A3 = 7.000; A4 = 3.000! Die hier gew~ihlte Indizierung hat keinen Bezug zu Teilaufgabe a)!). Es ist bekmmt, dass zwischen der H6he der einzelnen Abweichungen Ai und den Auswertungsertr~tgen AE(A 0 folgende Beziehung besteht: AE(&) = ~z, A,
(i = 1,2,3,4)
Fallstudien zur InternenUmernehmensrechnung
291
Der Nachwuchscontroller J. Fuchs erh~ilt den Auftrag, sich ein geeignetes Auswertungsmodell zu tiberlegen. J. Fuchs beschlieBt, die Auswertungen mit Hilfe des Modells yon Bierman/Fouraker/Jaedicke vorzunehmen. Dabei geht er yon folgenden Annahmen aus: • die Unternetmmng ist risikoneutral • die Auswertungskosten der einzelnen Abweichungen AK~ betragen: AK~ = 150; AK2 = 100; AK3 = 300; AK4 = 200. • die (xi nehmen folgende Werte an: c~1= 0,1; c~2= 0,2; c~3= 0,1; c~4= 0,2 • die Wahrscheinlichkeiten daftir, dass die Abweichungen auf nicht kontrollierbaren Ursachen beruhen (4i), sehen wie folgt aus: 41 = 42 = 43 = 0,6; 44 = 0,5. Welche der angegebenen Abweichungen werden unter obigen Annatunen gem~iB dem Modell von Bierman/Fouraker/Jaedicke ausgewertet, welche nicht? e) Der direkte Vorgesetzte yon Fuchs, Abteilungsleiter Stuffz, ist der Ansicht, dass sich die Unternehmung risikoscheu verh~ilt. Er unterstellt als Risikonutzenfunktion U(Z) eine exponentielle Funktion der Form
U(Z) = - e
1 ---.Z
300
+ 1,
Z bezeichnet die im jeweiligen Umweltzustand an die Untemehmung flieBenden Obersch~isse aus der Auswertungsentscheidung (wird eine Auswertung nicht ausgewertet, ist demnach Z = 0). Welche der angegebenen Abweichungen w/irde Herr Stuffz auswerten, wenn er bis auf die AImahme der Risikoneutralitgt alle anderen Annahmen aus Teilaufgabe b) beibeh~ilt? d) Der Chefcontroller G.E. Schieden stellt lest, dass das Modell von Bierman/Fouraker/Jaedieke nicht unmittelbar anwendbm" ist, da es bestimmte Kostenkomponenten nicht berticksiehtigt. Eine n~here Analyse zeigt auf, dass die eigentliche Untersuchung einer Abweichung Ai tats~ichlieh Kosten in H6he von AK, verursacht, dass jedoch KorrekturmaBnahmen (ffir den Fall, dass die Abweichung auf kontrollierbaren Ursachen bemht) zusfitzliche Kosten in H6he von KKi nach sich ziehen. Die fibrigen Annahmen yon Fuchs (Teilaufgabe b)) stellen sich als richtig heraus. (1) Stellen Sie die beiden Handlungsalternativen "Untersuchung und gegebenenfalls Korrektur" (Alternative I) und "Nichts untemehmen" (Alternative II) unter Berticksichtigung dieser Information in einer geeigneten Entscheidungsmatrix dar! (2) Zeigen Sie in allgemeiner Form far einen risikoneutralen Entseheider auf, welchen Wert die Wahrscheinlichkeit ¢, maximal annehmen darf, damit Altemafive I gegen(iber Alternative II vorteilhaff ist! Unterstellen Sie dabei, dass 0 < AK,
+ KK~ < AE~I
292
Obungen zur InternenUnternetmmnsrechnung
(3) Zeigen Sie in allgemeiner Form far einen risikoneutralen Entscheider auf, welchen Wert die Abweichungsh6he mindestens annehmen muss, damit Alternative I gegenttber Alternative II vorteilhafl ist! (4) Far welche Alternative entscheidet sich ein risikoneutraler Entscheider jeweils bei den einzelnen Abweichungen aus Teilaufgabe b) unter Berticksichtigung der Zusatzinformationen aus Teilaufgabe d) und der Annahme, dass KKj = 200; KK2 = 150; KK3 = 250; KK4 = 250 ?
Musterl6sung: Teilaufgabe a) Zur Durchfithamg einer Abweichungsanalyse nach Kloock/DOrner werden zun~ichst folgende Werte benOtigt: k~; k~ ; k'5
(Istkosten der Zwischen- und Endprodukte)
g;;
(Istgesamtbedarf der Zwischen- und Endprodukte)
g~ ; g;
Diese fehlenden Werte lassen sich durch eine Matrizenrechnung der folgenden Form ermitteln: g=Vxg_+x (E-V) x g = x g=(E-V)
"1 × x
Istbedarfsmatrix: -00
3
60-
00
3
00
0
13
V=O
0
000,500 00
(E - V) =
0
00
-1 0
-3
0
1
-6
0
-3
0
00
1
-1
0
00
-0,5
1
0
00
0
0
1
-
i012183i
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
( g - V)-' =
1 0 0 0
6 2 1 0
6 2 2 0
293
18
Die Gesamt(ist)bedarfsmengen ergeben sich folglich aus: -1 0 0 0 0
0 12 1 6 0 2 0 1 0 0
18 366 18 2 6 2 3 0 1
0 0 0
-_ [ 2.6oo, 5.400,1.8oo 1.2oo, 200]
300 200
Die sekund~iren Kosten (Kosten der Zwischen- und Endprodukte) errechnen sich wie folgt: 36 [4; 10]x[ 1 2 1 8 6 1 8 1 =[108; 132; 324] Damit sind alle ben6tigten Werte f'tir eine Abweichungsanalyse nach Kloock/D6rner bekannt:
"Y13
vl4 ve3 v34 v35 v43
rl r2 k3
Plan
Ist
Ai
2 4 2
3 6 3
-1 -2 -1
2 2
1 3
1 -1
2/6 3 12
3/6 4 10 108 132 324 1.800 1.200 200 300 200
-1/6 -1 2
k4
k5 g3 84 gs x¢ X5
200 400
-100 200
294
r~bungen zur Intemen Unternehmensrechnung
N u n lassen sich f o l g e n d e kontrollrelevante A b w e i c h u n g e n ermitteln:
Preisabweichungen: Beschaffung R1 ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Herr Siiure):
A~rl • vi3. g; = ( - 1 ) . 3.1.800 -- - 5 . 4 0 0 A'rl" vi4" g'4 = ( - 1 ) . 6.1.200 = - 7 . 2 0 0 Beschaffung R2 ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Frau Base): i
#
Nr2 "v23 "g3 = 10.800
Direktverbrauehsabweichungen: Stelle 3 ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i e h Herr Dr. Knallgas): fii . A,v~ 3 . g'3 = - 7 . 2 0 0 r 2' • Nv23 • g~ = - 1 8 . 0 0 0 k ] - A'v43 • g; = - 3 9 . 6 0 0 Smile 4 ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Herr lnsektizid): r[ • Nv~4 • g'4 = - 9 . 6 0 0 ki3 "Atv34 "gl4 = 129.600 Stelle 5: ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Herr Dr. Pestizid)
k~. A~v35 - g~ = -21.600
Absatzabweichungen ( V e r a n t w o r t u n g s b e r e i c h Herr Heifllufi): r 1' • v14 • A'x 4 = - 2 . 4 0 0
k~ .v34 • N x 4 = -10.800 k~. v3s- A' x s = - 6 4 . 8 0 0
Teilaufgabe b) Die I t a n d l u n g s a l t e r n a t i v e n im Model1 v o n Bierman/Fouraker/Jaedicke sind in folgender Tabelle dargestellt:
Fallstudien zur Intemen Untemehmensrechnung Abweichungsursache
295
kontrollierbar
nicht kontrollierbar
(1-¢)
O
AE - AK
- AK
0
0
aktion Auswerten Nicht auswerten
Eine Auswertung lohnt sich dann und nur dalm, wenn gilt: ( 1 - ~). (AE - A K ) + ~ . ( - A K ) >. 0
Naeh dem Einsetzen yon AE(Ai) = at ' A, ftihren wenige Umfomamlgen dieser Ungleichung schliel31ich zu: AK
4 > _c~(1-~) -Im einzelnen bedeutet dies: 4=6.000>
A2 = 2.000 >
AK1 -3.750 °:1(1-~1) AK z
Auswertung Auswertung
= 1.250
°:2(1-¢2) A3 = 7.000
AK3 - 7.500 c~3(1 - ~ 3 )
AK4
- 2.000
Keine Auswertung ~ Auswertung
a4(1--~ 4) Teilaufgabe c) Bedingung f'~ die Durchf'tihrung von Auswertungen: Der Nutzen, den die Entscheidungstrgger bei der Durchftihrung einer Auswertung erfahren, muss mindestens so groB sein wie der Nutzen, den sie erfahren, falls sie die Auswertung nicht durchfiihren. AE(A;) = 0,1 • 6.000 = 600 AE(A2) = 400 AE(A3) = 700 AE(A4) = 600 Bedingung ffir AI: 0,4. U ( 6 0 0 - 150) + 0,6- U(-150)_>U(O)
296
I)bungen zur Intemen Unternehmensrechnung 1
1
t
1
0,4, (--e -3~'{600-150)+ 1) "4-0,6" ( - e -~'(-I5°) + 1) ~_- e - ~ ° + 1
0,4.0,776869839 + 0,6 • (-0,648721271) _> 0 Bedingung nicht erftiltt, da -0,078484827 < 0
Keine Auswertung
Bedingung Rtr A2: 0,4. U(400 - 100) + 0,6-U(-100) _>U(0) Bedingung erffillt, da 0,015474777 > 0
Auswertung
Bedingung f'~ A3: 0,4. U(700 - 300) + 0,6. U(-300) >U(0) Bedingung nicht erftillt, da -0,736407952 < 0
Keine Auswertung
Bedingung far A4: 0,5. U(600 - 200) + 0,5. U(-200) >_U(0) Bedingung nicht ert'tillt, da -0,10566559 < 0
Keine Auswertung
T e i l a u f g a b e d)
(1) Die Handlungsalternativen mit den entsprechen Ertr~tgen sind in folgender Tabelle erfasst: Abweichungsursache
kontrollierbar
aktion
nicht kontrollierbar
(1-~b)
Auswerten
AE - AK - KK
- AK
0
0
Nicht auswerten
(2) Das Unternehmen wertet dann und nur dann aus, wenn gilt: (1 - ¢). ( A E - A K - K K ) - ¢ . A K > 0
Nach einigen Umformtmgen erh~ilt man: ¢
5.750
Auswertung
A2 = 2.000 = 2.000
Auswertung
As = 7.000 < 10.000
Keine Auswertung
A4 = 3.000 < 3.250
Keine Auswertung
Li/eratur:
Bierman, It. Jr., L. E. Fouraker und R. K. Jaedicke: A Use of Probability and Statistics in Performance Evaluation, in: The Accounting Review 1961, S. 409-417. Kloock, J. und E. DOrner: Kostenkontrolle bei mehrstufigen Produktionsprozessen, in: OR Spektrum 1988, S. 129-143.
Fallstudien z u r Internen Unternehmensrechnung
Fallstudie 9:
Grundziige der Prinzipal-Agent Theorie
Die Faltstudie untersucht die wesentlichen Zusammenhdnge im Grundmodell der PrinzipaI-Agent Theorie. Ferner wird eine explizit lOsbare Variante des Grundmodells analysiert. Zur Diskussion steht ein Prinzipal-Agent Modell mit zwei m6glichen Aktivit~itsniveaus a H und a L des Agenten. Es gilt a H > a L . Insgesamt h/ilt der Prinzipal, abh~ingig vom Umweltzustand 0 i (i = 1,2,3,4), drei m6gliche Bruttoaberschasse xt am Ende des (einperiodigen) Planungszeitraurnes air m6glich. Die Wahrscheinlichkeit far das Auftreten hoher I~lberschasse hgngt allerdings davon ab, ob der Agent ein hohes (/q) oder ein niedriges (L) Anstrengungsniveau realisiert hat. Die Nutzenfunktion des Agenten sei mit uA= U A( s ( x ) - V(a)), die des Prinzipals mit U p = U P ( x - s ( x ) ) bezeichnet. Das Symbol s(x) steht dabei far die Entlohnungsfunktion des Agenten und V(a) far das empfundene Arbeitsleid. Kommt der Vertrag nicht zustande, k6nnte der Agent alternativ am Markt ein Nutzmmiveau U A erzielen. Es gilt for beide Nutzenfunktionen U'> 0, U " < 0. Weiterhin gilt V'> 0, V"_> 0. Ansonsten gelten die fiblichen Aimahrnen des Gmndmodells der Prinzipal-Agent Theorie. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der f]berschasse lautet: 0r
02
Os
04
0(0t) = 0,3
0(02)= 0,2
0(03)= 0,4
0(04)= 0,1
Agent leistet aL
1.000
1.000
5.000
6.000
Agent leistet a~v
1.000
5.000
6.000
6.000
Umweltzustand Wahrscheinlichkeit
Die Zahlenwerte bezeichnen die 13berschtisse, ¢(0) die Wahrscheinlichkeit far das Auftreten des Umweltzustandes 0,. Damit l~isst sich folgendes Problem des Prinzipals aufstellen:
300
(Abungen z u r Internen U n t e m e h m e n s r e c h n u n g
?
Max = ~ U p (x, - s ( x , ) ) . L , j = H , L
,(x,)
u. d. Nebenbedingungen: ?
(1) ~V~(s(x,)). f,, -v(a,,) >_0 ~ i=l ?
(2)
?
~ U A(s(x,)). f , - V(a H) > ~_, U A(s(x,)). f,L - V(aL) i-1
i=1
¢(x, aj ) bezeichnet dabei die bedingte Wahrscheinlichkeit tar I~lberschuss xi, wenn der Agent das Anstrengungsniveau a: gewahlt hat (Hinweis: Die durch '?' gekennzeichneten Obergrenzen der Summation sollen Sie selbst bestimmen). a) Erl~tutem Sie kurz die 6konomische Bedeutung der beiden Nebenbedingungen (1) und (2) (verbale Begrgndung geniigt). b) Leiten Sie aus der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung die far die Modellformulierung ben6tigten bedingten Wahrscheinlichkeiten f j ab! c) Unter der Annahme, dass der Prinzipal nur die Nebenbedingung (1) beachten muss, gilt f'dr die optimale L6sung: 2 , - U e ' ( x ' - s ( x j ) ) Vi
gA'(s(x,)) Dabei bezeichnet 2. den Lagrangemultiplikator der Nebenbedingung (1). Welche Aussagen lassen sich bezt~glich der Entlotmung s (x,) treffen, wenn I: U e" =O;
U A" 0 konkretisiert. Die hohe (niedrige) Arbeitsleistung sei a H = 8 ( a L = 5 ). Femer gilt: U(s(xi))
- ui
V i
Die Prgferenzen des Agenten werden durch folgende Logarithmusfunktion beschrieben:
U(s) = LN(s), s > 0 Der Reservationsnutzen des Agenten betr~igt ~-A = 0. Der Prinzipal kann das Anstrengungsniveau des Agenten nicht beobachten (second best Situation). Ferner sei der Prinzipal risikoneutral. e) Bestimmen Sie fiir diesen Fall den Nutzen des Agenten und sein Gehalt, wenn der risikoneutrale Prinzipal den Agenten durch eine geeignete Vergtitung zu einem hohen Anstrengungsniveau a , motivieren m6chte. Welche Eigenschaft weist die Vergfitung des Agenten auf und welche Zusatzannahme muss getroft?n werden, damit diese Vergfitung tatsgchlich optimal ist? f) Welchen Einfluss hat der Parameter b auf den (erwarteten) Nutzen des Agenten und des Prinzipals?
MusterlSsung: Teilaufgabe a) In der deutschen Literatur wird die erste Nebenbedingung meist als Teilnahrnebedingung (engl. Individual Rationality) bezeichnet. Sie besagt, dass dem Agent im Erwartungswert zumindest sein Reservationsnutzenniveau U-A gew~hrt werden muss, um ihn zur Mitarbeit in der Prinzipal-Agent Beziehung zu motivieren, ffA wird dabei oft als der alternativ am Arbeitsmarkt erzielbare Nutzen des Agenten interpretiert, sofern es sich um eine Arbeitgeber/Arbeitnehmer Situation handelt. Im deutschen Sprachraurn wird die zweite Nebenbedingung meist als Anreiznebenbedingung (engl. Incentive Compatibility) bezeiclmet. Sie ist nur dann relevant, wenn der Prinzipal das Anstrengungsniveau des Agenten nicht beobachten kann (second best). Sie l~isst sich wie folgt interpretieren: M6chte der Prinzipal den Agent
302
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
zur hohen Anstrengung a H veranlassen, muss der Entlohnungskontrakt so gestaltet werden, dass sich der Agent bei Wahl yon a H i m Erwartmlgswert des Nutzens der Entlohnung zumindest nicht schlechter stellt als bei Wahl von a L.
Teilaufgabe b)
Die gesuchten Verteilungen ergeben sich zu (damit ist '?' = 3): Oberschuss
X1
=1.000
f~.
x2 = 5.000 x3 = 6.000
0,5
0,4
O, 1
0,3
0,2
0,5
Teilaufgabe c)
Ausgangspunkt der Uberlegungen ist die Beziehung: ,,~ = UP'(xi - s(xi)) V i
u~'(=(x,)) Aus ihr lisst sich folgender Zusammenhang herleiten: g " ' (x, - s ( x , ) ) - .Z. U A ' ( s ( x , ) ) = 0 A' OUP'(xj S(X~ )) 2 . U (s(x, ))
= (UP") • (1 - s '(x, )) - Z. U A"(s(x,)). s '(x,) = 0
Oxs = uP'.O-s'(x,))= UP'+ ( U P''
.u~°(s(x,)).s'(xD
. U A" . s , = U p" U A" ~
(_U P" _U~"'~
U P"
_U p"
_-Vm=+Tj.=,rP --)
s'
-
-
-
Dabei bezeichnen r p ( r A) die sogenannte absolute Risikoaversion (Arrow-PrattMaB) der Nutzenfunktionen von Prinzipal (Agent). Die Beziehung besagt, dass die Ableitung der Entlohnung nach x~ dem Quotienten aus der absoluten Risikoaversion des Prinzipals an der Stelle x~ und der Summe der absoluten Risikoaversionen von
Fallstudien zur lnternenUntemehmensrechnung
303
Prinzipal und Agent an der Stelle x i entspricht. Abgesehen von einigen Sonderf~illen (s.u.) h~ingt dieser Quotient jedoch von xi ab, denn far die meisten strikt konkaven Nutzenfunktionen wie etwa die Wurzel- oder Logarithmusfunktion gilt: ~ r P (x~ - s(x i )) s'=
p
_
+
Hieraus ergeben sich also im Allgemeinen Vergfitungen, die nichtlinear in den 13berschtissen verlaufen. Wie man ferner erkennt, nimmt bereits im first best die L6sung die Gestalt einer Differentialgteichung an, da s mad die Ableitung s' in den Ausdruck eingehen. Einzig far die Spezialt'fille der Aufgabe lassen sich die L6sungen ohne allzu grogen formalen Aufwand bestimmen. I: U P'=O;
U A" 0) ist. Damit ergibt sich s' = 0. Da nut die Ableitung einer Konstanten zum Wert 0 fahrt, ergibt sich daraus eine Fixvergfitung far den Agent. Dies ist auch unmittelbar einleuchtend, denn in der analysierten first best Situation spielt bekanntlich nur die optimale Risikoteilung eine Rolle. Im Optimum wird das Risiko also v o n d e r Partei getragen (Prinzipal), die dazu aufgmnd ihrer Risikopr~tferenzen am besten in der Lage ist. Formal folgt dies daraus, dass far einen risikoscheuen Agent stets gilt SJfZ 0) Prinzipal. Daraus ergibt sich s' = r p / r p = 1. Das bedeutet, dass die Entlotmung des Agenten FOxj eden Oberschuss xi die Steigung 1 aufweist. Erwirtschaftet der Agent also eine zusgtzliche Einheit Uberschuss, steigt seine Entlotmung um eine Geldeinheit. Dies impliziert, dass der Agent zum Residualanspruchsberechtigten der von ihm erwirtschafteten l~lberschtisse gemacht wird. Dies ist die sogenmmte Verpachtungsldsung. Der Agent pachtet das Untemehmen far eine fixe Zahlung yore Prinzipal und erh~ilt alle anfallenden Uberscht~sse aus dem Produktionsprozess abztiglich des Fixums. Wiederum tr~igt die Partei das Risiko (Agent), die dazu am besten in der Lage ist. FOr den Prinzipal gilt SAZ < E ( x - s(x)). Da er das Recht der Vertragsgestaltung besitzt (Contract Design), stellt er sich dann am besten, wenn er I Vergleicheauch die Ausf-dhrungendes Lehrbuchsin Kapitel 5.
304
LTbungenzur InternenUntemehmensrechnung
die sichere Pachtzahlung P im Kontrakt - P + 1. x so festlegt, dass der Agent im Erwartungswert gerade seinen Reservationsnutzen erh/ilt. III: U p = - l . o ( - ~ N v ) , U A = _ 1 . 6 (.... (x,)/ NU bezeichnet dabei den Nettotiberschuss des Prinzipals mit N O = x - s ( x , ) . Exponentielle Nutzenftmktionen besitzen die Eigenschaft der so genannten "konstanten absoluten Risikoaversion'. Das bedeutet, dass ihr Arrow-Pratt-Mag unabhNagig yon xi ist. Es gilt: _ U r' Up. - f l ;
re-
_ U A" r A= UA. =c~
Somit:
pP s' (r p + r a)
/3 _ konstant ~ 0 < s < 1 fl+o~
Die Vergtitung des Agenten ist in diesem Fall linear in den (2berschit'rsen und der Agent ist mit einem Anteil, der kleiner ist als 1, an diesen Uberschtissen beteiligt. Je risikoscheuer der Agent relativ zum Prinzipal ist, desto geringer ist der variable Vergfitungsbestandteil, der dem Agent Risiko aufbtirdet. Dies folgt aus: O,S" '
-r P
or A (r" +rA) 2
0 und a bezeichnen die Verkaufsanstrengungen der Vertreter.
T@et & SShne werden als risikoneutral angenommen. Die tibrigen Symbole entsprechen tier Darstellung im Lehrbuch.
2 Diese Darstetlung ist bereits ein Spezialfall des Gnmdmodells und wird als so genannter "First Order-Approach" bezeictmet. Dieser Ansatz setzt voraus, dass die allgemeine Anreiznebenbedingung dutch ihre erste Ableitung ersetzt werden kann. Dies ist zulgssig, wenn das Aktionswahlproblem des Agenten strikt konkav in a ist. Nur darm ist die notwendige Bedingung such hinreichend, vgt. hierzu Rogerson(1985).
314
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
Dieses Grundmodell wird jetzt wie folgt konkretisiert: a/2 Die Arbeitsleidfunktion der Vertreter sei V ( a i ) - 2 Welter wird unterstellt, dass die Gesch/fftsleitung der Tafiel & SOhne jeweils nur am Jahresende den erzielten Gesamtgewinn der beiden Handelsvertreter beobachten kann. Sie hat jedoch keine M/Jglichkeit, Zwischenverkaufsergebnisse zu beobachten. Aufgrund dieses Umstandes lasst sich die Beschrankung auf lineare Vergtitungskontrakte der Form L ( x ) = S + s . x auch theoretisch begrtinden. 3 Dabei bezeichnet S ein Fixum und s einen variablen Vergiitungsanteil. Die Pr~iferenzen der beiden Vertreter lassen sich durch eine exponentielle Nutzenfimktion abbilden. Es gilt: U A = _U~.(L(~-v(~) = _U~-(s+~-~-r~) Dabei ist r der konstante Risikoaversionskoeffizient der beiden Vertreter. Der aus dem Verkauf der Maschinen erzielbare Bruttogewinn x (vor Berttcksichtigung der Vertreterentlohnung) h~ngt yon den Verkaufsanstrengungen der Vertreter, abet auch stochastischen Komponenten wie der allgemeinen wirtschaftlichen Lage, Wechselkursrelationen, Konkurrenzangeboten und Kundenpr~fferenzen ab. Diese Faktoren werden in einer Zufallsvariable ~ zusammengefasst, die mit Erwartungswert p = 0 und Standardabweichung o- normalverteilt ist. Es gilt also: Y=a+g. Aufgrund dieser Annahmen sind die Anwendungsvoraussetzungen des sogenannten LEN-Modells (L(inearit~t), E(xponentielle Nutzenfunktion), N(ormalverteilung) der Zufallsvariablen) erft~llt. FOr den Nutzenerwartungswert der Entlohnung der beiden Vertreter lfisst sich dann schreiben:
+•l
-r. S+s.(a+e)-~
2"2
Jdz=-~ ~
2
2 )
2 .~f~.o"
Der zweite Term bezeichnet dabei die Dichteftmlaion einer nach /t = 0 trod cr normalverteilten Zufallsvariablen. Aus Griinden der Ubersichtlichkeit wurde bisher auf eine Indizierung verzichtet. Im weiteren Verlauf bezeichnet der Index i = 1,2 die Werte fiir S c h r a u b e n s c h l ~ i s s e l u n d S c r e w d r i v e r .
3 Nur so kann sichergestellt werden, dass der Agent das VergUtungssystemnicht strategisch ausbeuten kann, indem er etwa bei einer konkavenVergiatungsformjegliche Anstrengungen einstellt, wenn er hohe Zwischenergebnissebeobachtet. Zu diesem Punkt vgl. Ewert/Wctgenhofer (1993).
Fallstudien zur IntemenUntemehmensrechmmg
315
a) Formulieren Sie das Agency-Problem unter Verwendung von Sicherheits~iquivalenten urn. b) Wie hoch sind das Fixum Si, der variable Vergfimngsbestandteil si, das Sicherheits~iquivalent des Nutzens der Agenten und der erwartete Gewirm der Tgifiel & SOhne aus der Verkaufst~itigkeit, wenn die Firmenleitung das Anstrengungsniveau der beiden Vertreter beobachten kann und a 1 = a 2 = a , r 1 = r 2 = r sowie o-j = o-2 = o- gilt (Symmetrieannahme)? Femer seien die Risiken cr auf dem europ~tischen bzw. amerikanischen Markt zwar gleich hoch, aber stochastisch unabh~ingig. Beglqinden Sie ihre Antworten 6konomisch. c) Beantworten Sie Teilaufgabe b) ftir den Fall, dass die Verkaufsanstrengungen nicht beobachtbar sind und nur fiber das Vergiitungssystem L(x) = S + s. x gesteuert werden kOnnen. Wie hoch sind die Agency-Costs? Worin liegt der grunds~itzliche Unterschied der beiden Szenarien? d) Wie ~indert sich der optimale variable Vergtittmgsanteil, wenn I: die Varianz o-2 = o_2 zunimmt? II: die Vertreter "risikoscheuer" werden, d. h. r~ = r nimmt zu? Wie verfindert sich der erwartete Gewinn der Firmenleitung, wenn die Varianz o-2 (die Risikoscheu r) der Vertreter zunimmt? Was gilt ~ r den Spezialfall o-,.2= 0 ~ r die Ergebnisse unter c)? Interpretieren Sie ihre Antworten 6konomisch.
Problembereich "Zus~itzliche Information und Controllability-Principle" Aufgrund [hrer Ergebnisse zu Teilanfgabe c) beurteilen Sie die M6glichkeit einer erfolgreichen Steuerung der Verkaufstgtigkeit der beiden Vertreter ~iuBerst skeptisch. Es ist n~nlich davon auszugehen, dass die stochastischen Einflfisse auf die Gewinne eher hoch sein werden (or,2 ist sehr hoch), Der neu eingestellte Dipl.-Kfm. Pfiffig empfiehlt Ihnen, die beiden Vertreter j eweils zusatzlich anhand eines Branchenindex der j~ihrlichen, durchschnittlichen Gewinne der deutschen Maschinenbauindustrie insgesamt zu vergtiten. Dieser Index misst auf j~ihrlicher Basis die Abweichungen zwischen den durchschnittlichen Gewinnen des aktuellen Jahres und des Vorjahres. Entrtistet wenden Sie ein, dasses doch wohl nicht angehen kOnne, die Vertreter anhand einer GrOge zu vergtiten, auf die diese "tiberhaupt keinen" Einfluss haben. Ihrer Ansicht nach widerspricht so eine Vorgehensweise s~mtlichen gesunden Controlling-Grunds~tzen, da sie das Controllability Principle geradezu auf den Kopf stellt. Schliel31ich sollten Mitarbeiter nur anhand von Gr6Ben beurteilt werden, die sie auch beeinflussen kOrmen. Pfiffig entgegnet: "Aus dem Blickwinkel der Agency-Theorie betrachtet, liegen sie da vollig daneben Chef Moment, ich zeig 's Ihnen..." Der zur Debatte stehende Index habe folgende Form:
316
I)bungen zur InternenUnternehmensrechnung
Die Zufallsvariable 2"3 sei mit Erwartungswert ¢t = 0 und Standardabweichung o-3 normalverteilt und von der Beurteilungsgr6Be 2~i = a i + ~ nicht stochastisch tmabh~ingig. Der Korrelationskoeffizient zwischen 2, und 2 3 sei k, wobei -1 < k < 1 und k ~ 0 gelten soll. Zwar beeinflussen auch die Verkaufsanstrengungen von Schraubenschliissel und Screwdriver den Index, jedoch wird dieser Einfluss zur Vereinfachung als vernachl~issigbar gering angenommen. Das yon Pfiff~g vorgeschlagene Verg~itungssystem ist somit:
L = S i +s, "~i + s 3 " ~ Ansonsten bleiben die oben getroffenen "LEN-Annahmen" weiter gtiltig. e) Wie lautet das modifizierte Agency-Problem unter Verwendung von Sicherheits~iquivalenten? f) Bestimmen Sie die optimalen Verkaufsanstrengungen, die variablen Vergtitungss~itze sowie den erwarteten Gewinn der Firmenleitung aus der Verkaufst~itigkeit fiir den Fall der symmetrischen Information tiber a i . g) Beantworten Sie Teilaufgabe f) erneut Rir den Fall der asymmetrischen Information tiber a~. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit Teilaufgabe f) und c) und begrtinden Sie eventuell auftretende Unterschiede 0konomisch. Kommentieren Sie Ihr Ergebnis auch vor dem Hintergrtmd der Aussagen des Controllability Principle. h) Was wtirde die Tiiftel & SOhne maximal far die Verwendung des Verkaufsindex bezahlen, wenn dieser vom Zentralverband nur entgeltlich zum Preis P zur Verf'tigung gestellt wird? Wie ver~ndert sich ceteris paribus dieser Preis, wenn I: o-7 steigt? II: der Korrelationskoeffizient k zunimmt?
Problembereich "Steuerung mehrerer Aktionen (multi-tasking)" Angesichts der Ergebnisse unter e)-h) beschleicht Pfiffig ein gewisses Unbehagen. Zwar k6nnen durch geeignete Anreize die Vertreter scheinbar zu gewtinschten Anstrengungen motiviert werden, aber Pfiffig tiberlegt, dass es schlieNich nicht nur die Verkaufsanstrengungen sind, welche die T~itigkeit von Herr Schraubenschlu'ssel und Mister Screwdriver ausmachen. Sie sollen neben der Verfiul3erung noch eine ganze Reihe von Aufgaben wie Marktbeobachtung, Bearbeitung von Reklmnationen, technical support und ~ihnlichem leisten. Er erinnert sich an einen Satz, den er einmal auf einem Vortrag zu erfolgsabhfingigen Vergfitungsformen w~thrend seiner Studentenzeit geh6rt hat: "Getting people to chase money will produce nothing but people chasing money." Der Vortragende hatte damals das Beispiel yon sttickabhfingigen Akkordl6tmen genmmt. Er hatte einen Fall erl~tutert, wo die Vorteile des erhfhten Outputs der Arbeiter letztlich von den zus~itzlichen Kosten einer versch~irften Qualitatssicherung tiberkompensiert wurden, da mit der Einftihrung der Sttickl6hne die
Fallstudien zur Intemen Unternehmensrechnung
317
Ausschussquote um 40 % gestiegen war. Pfiffig beschlieBt, das Vergtitungsproblem unter diesem Aspekt nochmals erneut zu analysieren. Mit a 4 werden im Folgenden die yon den Vertretem erwarteten Aktivit~iten neben der Verkaufst~itigkeit bezeichnet. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass sie den Erfolg ebenfalls linear beeinflussen, d. h. :~, = a t + a 4 +~,. Die Arbeitsleidfunktion der beiden Vertreter lautet nun V(a~ , a 4 ) = 0,5-
(a 2 + a i • a 4 + a 2 ).
Die beiden T~i-
tigkeiten stellen aus Sicht der Vertreter also unvollkommene Substitute dar. W~ihrend es ffir die Verkaufstatigkeit eine eindeutig verifizierbare Bemessungsgrundlage gibt (erzielte Gewinne p. a.), ist dies ftir a 4 nicht der Fall. Wie sollte man etwa beurteilen, ob im Falle yon Problemen mit der Maschine der technical support "schnell und zuverET"ssig" zur Stelle war, wie es im Werbeprospekt der Tiifiel & SOhne versprochen wird. Diese Gr613e kann somit nicht zum Teil des Vergtitungsvertrages gemacht werden. Ansonsten gelten s~aatliehe "LEN-Annahmen" weiter. i) Stellen Sie das Agency-Problem in dieser Situation emeut mit Hilfe yon Sicherheitsaquivalenten dar. j) Zu welchem Niveau der Tfitigkeiten a, und a 4 veranlasst die Tiifiel & SOhne die beiden Vertreter im Fall der Beobachtbarkeit der T~itigkeiten (first best)? Wie hoch ist in diesem Fall der erwartete Gewinn der Taflel & Sohne aus den beiden T~ttigkeiten? k) Welchen Einfluss h~itte ein zus~itzlicher Ertrag Z = a~ • a 4 auf die Ergebnisse unter Teilaufgabe j)? 1) Beantworten Sic Teilaufgaben j) und k) m r den Fall der asymmetrischen Information tiber das Anstrengungsniveau (second best). m)Skizzieren Sie den Einfluss der Entwicklung einer Gr6Be 2"4 = a 4 + 2"4 auf die second best L6stmg unter 1). Die Gr613e g4 sei normalverteilt m i t / t = 0, cr4 > 0 und von Y, stochastisch unabh~ingig.
Musterlfisung:
Teilaufgabe a) Das Sicherheitsaquivalent ist definiert als de~enige sichere Betrag, der denselben Nutzen stifler wie die unsicheren Zahlungen aus einer Lotterie. Man erh~tlt also folgenden Ansatz:
U ~ (SA'Z") = E ( U ~ ) ~ SAZ = U A(E(U ~))-' SA.ZA = - 1 . L N ( E(UA) ) F
S.~'Zj ! = s i . a i + S,
(12
F
318
Ubungen zur InternenUnternelmaensreelmtmg
Das Sicherheits~iquivalent der Entlohnung der Vertreter setzt sich also zusammen aus dem Erwartungswert der Entlohnung abztiglich des empfundenen Arbeitsleides aus den Verkaufsanstrengungen und abziaglich einer Risikoprdmie. Aufgrund der Annahmen des LEN-Modells ist die Maximiertmg yon SA'ZA ~iquivalent zur Maximierung des Erwartungsnutzens der Entlohnung. Wie man sofort erkennt, verl~iuft SA'Z~ strikt konkav in den Verkaufsanstrengungen. Die folgende Aktionswahlbedingung beschreibt daher das globale Maximum von 5~'ZA hinsichtlich der Verkaufsanstrengungen aus Sicht der Vertreter Schraubenschliissel und Screwdriver. OS.~Z A - - Oa~
st - a j = 0
Auf gleiche Weise wie oben l~isst sich ein Sicherheits~tquivalent des Mindestnutzens U/ bestimmen, das den Vertretem (ira Erwartungswert) mindestens gew/ihrt werden muss, damit sie zur Zusammenarbeit mit der T#fiel & SOhne bereit sind. Dieses Sicherheitsfiquivalent wird im Folgenden als m° bezeichnet. Die Teilnahmebedingung lautet daher: sjfZA=s.a,+S~
a} 2
r.(s2.o.})>_mO' 2
Die risikoneutrale Fimaenleitung der Tiifiel & SOhne maximiert den Erwartungswert des (Netto-)Gewinnes abztiglich der Vertretervergiitung aus der Agency-Beziehung. Dieser lautet: 2 d
p
=
~2 2 i
-
s i • ~;
-
Si
i=l 2
-~
E(O ~)
= ~
~, - ~, . a, - s ,
i-1
Das Agency-Problem unter Verwendung yon Sicherheits~quivalemen lautet daher: 2
Max E(O ~ ) : ~ ,
-
~, .~,
- s,
l=l
u. d. Nebenbedingungen:
(I),
s,.a,
+s,-aZ-~-~-r.(s}.g)>_m°~ 2 2
(2)~ s, - a s = 0
Teilaufgabe b)
Were1 die Firmenleitung der Tiifiel & Sdhne die Verkaufsanstrengungen direkt beobachten kann, braucht die Aktionswahlbedingung (2) nicht beachtetet zu werden, da die Firmenleitung (Prinzipal) den beiden Vertretern (Agenten) das gew/anschte
Fallstudienzur IntemenUnternehmensrechnung
319
Ausmag an Verkaufsanstrengungen direkt vorschreiben kann. Somit ist ausschlieBlich die Teilnahmebedingung (1) relevant. Femer gilt, dass diese Bedingung als Gleichung erffillt sein muss, denn h6here SA'Z A mindem den Gewinnerwartungswert der Firmenleitung aus der Verkaufst/itigkeit. Da im vorliegenden Grundmodell annahmegem/g3 keine Interdependenzen zwischen den beiden Verkaufsgebieten existieren, genfigt es, den Fall eines Vertreters zu untersuchen (Symmetrieamlahme). L6st man (1) nach S~ anf, ergibt sich: S, = - s i .a~
2
2
Setzt man diesen Ausdruck in den Gewinnerwartungswert der Zentrale aus der Ttttigkeit eines Agenten ein, resultiert: 2
M a x E ( G ) = a i . . ai. ,.~, 2
. .
r, 2
2. s~
CY~
o
- - I'Yli
Die optimalen Werte ergeben sich dann aus der Ableitung dieser Zielfunktion nach a, und s,. 2
MaxE(G,)=a, ~,,, dE(d,)
a~ 2
ri o . ~ . s i2_ 2
m~,
,
1-a~ = 0
da,
- -r.o-~.s~___O~m~ =0 8s t
Verkaufsanstrengungen in einem der beiden Teilm~irkte sollten bis zu dem Punkt ausgedehnt werden, an dem deren Grenzertrag 1 ihren Grenzkosten (= Grenzarbeitsleid des Vertreters) entspricht. Kann die Firmenleitung die Verkaufsanstrengungen direkt beobachten, entt~llt das Anreizproblem und die einzige Aufgabe eines effizienten Verg/itungsvertrages besteht in einer optimalen Risikoteilung zwischen Prinzipal und Agent(en). Da die Firmenleimng risikoneutral, die Vertreter jedoch risikoscheu sind, ist es nicht zweckm/~Big, den Vertretem t~ber s, Risiko aufzubarden, da sie hierfttr eine Risikopr'Jmie fordern, die den Gewinnerwartungswert der Firmenleitung aus der Verkaufst~tigkeit mindert. Wie im agency-theoretisehen Grundmodell erhalten die Vertreter eine Fixverg~tung und die Firmenleitung tr~gt das gesamte Risiko. Durch Einsetzen erNtlt man das optimale Fixum, SA'Z *A sowie E(G~)' : s; =
+
SA'Z'A = m o
2
E(d,)* = ½- m °
320
l]bungen zur Intemen Untemehrnensreclmung
Teilaufgabe c)
Kann die Firmenleitung die Verkaufsanstrengungen nicht direkt beobachten, muss sic die Aktionswahlbedingung (2) zus/itzlich berticksiehtigen. Wie man aus dem umformulierten Agency-Problem unter Teilaufgabe a) sofort erkennt, ist eine reine Fixvergfitung der Vertreter in diesem Fall nicht mehr optimal, denn die Aktionswahlbedingung zeigt, dass die Verkaufsanstrengungen nut dutch den variablen Vergfitungsanteil gesteuert werden k6nnen. Ist dieser 0, unternehmen die Vertreter auch keinerlei Verkaufsanstrengungen. Die L6sung fttr dieses Szenario erNtlt man wiederum durch Aufl6sen von (1) nach&, Einsetzen v o n & in die Zielfunktion und dem anschlieBenden Einsetzen yon (2) in die Zielfunktion:
s}
MaxE(G,)=s, ~,
2
OE(G,) = l - s , - r . o Os1
r,.cr}.s}_m o 2
-2 .s, = 0
** 1 --+s t - - - > 0 l+r.er 2 Ftir das optimale Fixum SA'Z **A und E(G, ) ** gilt: 87* ----//20 '
(1 - r. 0"2) 2.(1+r.o-}) 2'
1
E(0,)** = 2.(1 +r.cr})
sAZ,.A = m o ;
o
ms
0
In der second best Situation erftillt das Vergfimngssystem eine Doppelfimktion. Wtihrend seine Zielsetzung im first best allein darin bestmad, eine optimale Risikoteilung zwischen Prinzipal und Agent(en) herzustellen, besteht bei asymmetrischer Information ein Tradeoff zwischen Anreizgew(~hrung und Risikoteilung. Damit die Vertreter tiberhaupt zu Verkaufsanstrengungen zu motivieren sind, muss der variable Vergiitungsanteil positiv sein. Das bedeutet aber, dass den risikoscheuen Vertretem Risiko aufgebtirdet wird. Diesen Tradeoff erkennt man insbesondere an der ge~nderten Optimalbedingung Rir den variablen Vergfitungsanteil. Wird dieser um eine infinitesimal kleine Einheit erhSht, erh6hen sich die Verkaufsanstrengungen des Agenten um denselben Betrag und erbringen den Grenzerfolg 1. Gleichzeitig steigt abet der an ihn abzuf'tihrende Anteil s t und die ihm zu gew~hrende Risikoprfimie gem~B r. o-} .s~ aus Sicht der Zentrale. Das resultierende Vergtitnngsschema stellt also eihen Kompromiss in dem Sinne dar, dass eine Abwtigung zwischen Risikoteilung und Anreizen vorgenommen wird. Da die Firmenleitung im first best das gewinnmaximale Anstrengungsniveau durchsetzen konnte und zudem eine optimale Risikoteilung erfolgte, muss der erwartete Gewinn aus den Verkaufsanstrengungen im Fall der unbeobachtbaren Anstrengungen stets geringer sein. Dies kann man anhand des
Fallstudien zur Internen Untemehmensrechnung
321
Vergleiches von E(G;)* mit E((~;)** erkennen. Die resultierende Gewinneinbulde wird als Agency-Costs bezeichnet und ergibt sich zu:
E(G,)"-E(G,)'"
= 1 2
1 2.(1 + r . o - ? ) > 0V °'2 > 0
Wie man unsehwer erkennen kann, steigen die Agency-Costs ceteris paribus mit h6herem Risiko or;2 und h6herer Risikoaversion r der Vertreter.
Teilaufgabe d) Komparativ-statische Analyse der second best L6sung. Far die gesuchten Ableitungen ergibt sich: m°
s,-a, = 0
Die Gr6ge 2~3 hat keinen Einfluss auf die Aktionswahl der Vertreter, beeinflusst aber offensichtlich die Risikopramie. Teilaufgabe J)
Zur Ermittlung der first best L6sung *st wiederum nur die im Optimum als Gleichung erfiillte Teilnahmebedingung zu beachten. Aufl6sen von (1)~ nach Si und Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: Max E(G) = ai 01,s, ,s 3
a; 2
2
2
0
r.(s~.0.2, + 2 . k . s i .s 3 .0" 3 • 0.i + s3" 0"3 ) - m, 2
OE(G) = 1- at = 0 3a, = -r.
s , . 0., - r . k . s 3 • 0.3" 0., = 0
8s i
3E(d) ds3
, • --~S i =S 3 = 0 -
. r . s 3.o- 3 - r . k . s ~ . c r 3.0.,
0
Der Verkaufsindex wird nicht verwendet und die variablen Vergtitungsanteile sind wiederum 0. Die Begrtindung *st identisch zu Teilaufgabe b). Die risikoscheuen Vertreter erhalten eine Fixvergtitung, da die risikoneutrale Firmenleitung die Verkaufsanstrengungen direkt vorsehreiben kann und das gesamte Risiko allein tragen sollte.
Fallsmdien zur Intemen Unternehmensrechnung
323
Teilaufgabe g) In diesem Fall ist neben der nach Si anfgel6sten Teilnahmebedingung die Aktionswahlbedingung in die Zielfunktion einzusetzen. Man erh~ilt folgendes Optimierungsproblem: a t = s, eingesetzt:
MaxE(d)=st
OE(d)= 1 8s~
s~
r (s~.crZ +2.k.st.s3.cr3.cr, +s2.cr~)_mO
s, - r. s,. cr~ - r . k .s 3 .o"3 .o-, = 0
OE(d)
~ = -r
.s 3 -o- 3 -r
.k-s~
. o - 3 .cr~ = 0
Os3
•,
---~S t
=
1 1+ ( 1 - k 2 ) . r . c r ~
> 0 ---~ S 3**
--~ s 3 -
crt'k's'
o-t . k . s ,
0-3 ) 0 ftir k > ( < ) 0
0-3
Die optimale lineare Entlohnung besteht in diesem Fall aus einem variablen Vergfitungsanteil s,**, der wegen -1 < k < 1 und k ~ 0 stets hOher ausf~illt als in der second best L6sung unter Teilaufgabe c), und einer Beteiligung am Index, dessen Vorzeiehen yon der Korrelation zwischen den beiden Zufallsvariablen bestimmt wird. Sind der Erfolgsindex der Branehe und der Erfolg von Tiifiel & SOhne positiv (negativ) korreliert, ist s~* negativ (positiv). Durch diese Gr6Be wird insgesamt ein Versiche-
rungseffekt beztiglich der Entlohnung far den Vertreter erzielt. Ist der Erfolg etwa aufgrund einer fiul3erst schlechten Gesamtbranchenentwicklung (niedrige Realisatiohen von ~ ) sehr gering, ist bei positiver Korrelation tendenziell damit zu rechnen, dass der Index, der ja Abweichungen zum Vorjahr misst, aufgrund der positiven Korrelation negativ wird. Die sehr geringe variable ex post Vergtitung w0rde dann durch eine positive Zahlung s 3 (< 0). x3(< 0) > 0 ergfinzt. Diese ex ante Diversifikation des Vergfitungsrisikos senkt die Grenzrisikopr~imie, was man anhand der Bedingungen erster Ordnung far s,, s 3 erkennt. Diese geringere Grenzrisikopramie fahrt aber aus Sicht der Firmenleitung dazu, dass es vorteilhaft ist, den Agenten tiber einen h6heren variablen Vergtitungsanteil s i zu h6heren Verkaufsmastrengungen zu veranlassen. Man kann zeigen, dass es sich bei (1-kZ)-cr 2 urn die bedingte Varianz der Zufallsvariablen g, handelt, wenn zuvor das Signal 2 3 beobachtet wurde. Das bedeutet, dass der Prinzipal sich so verhalt, als ob er zuerst das Signal Y3 beobachtet, um dann, basierend auf diesem verbesserten Informationsstand, den variablen Vergfitungsanteil s t letztendlich festzulegen. In diesem Sinne ist 2"3 informativ bezfiglich der eigentlich interessierenden T~itigkeit a~ des Agenten. Es handelt sich somit um einen Spezialfall des bekannten inforrnations6konomisehen Resultates, demzufolge die Verwendung zus~itzlicher, kostenloser Information den Prinzipal nie schlechter stellen kann als der Verzieht auf die Verwendung dieser Information. Dies ergibt
324
Obungenzur IntemenUntemehmensrectmung
sich daraus, dass die Verwendung der zus~ttzlichen Gr613e den Aktionsraum des Prinzipals erweitert. Er hat weiterhin s~tmtliche M6glichkeiten der Vergtitung unter Teilaufgabe c) und zus~itzliche M6glichkeiten, die sich aus Verwendung der Vergt~tungsgrundlage x3 ergeben. Da abet keine zus~itzlichen Kosten anfallen, kann er sich dadurch nie schlechter stellen. Gegebenenfalls kann er sich ja immer dat'tir entscheiden, 2"3 nicht zu verwenden. Im vorliegenden Modellzusammenhang ist die erwartete Zielerreichung des Prinzipals allerdings dominant besser. Sind die beiden Zufallsvariablen bspw. vollkommen positiv (k = +1) bzw. vollkommen negativ (k = - 1 ) korreliert, ergibt sich s i = 1 und es resultiert die first best LOsung. Allgemein ist der erwartete (Netto-)Gewinn der Finnenleitung aus der Verkaufst~itigkeit: E(~,(s,,s~))
=
1
2.(1 +r.(1-k2).crT)
0
1
m~ > 2 . ( l + r . c r ~ )
0
~
**
m, =E(G,(s~))
Abgesehen vom ausgeschlossenen Fall k = 0 ist dieser erwartete Gewinn stets hOher als derjenige in Teilaufgabe c). Werm die beiden Zufallsvariablen unkorreliert w~iren ( k = 0), w~ire x3 nicht informativ tiber die T~tigkeit a,, weshalb sich keine Verbessemngen des erwarteten Gewinnes erzielen lassen wtirden. AuBer ftir den Fall der vollstfindigen positiven (negativen) Korrelation k =1 (k = - 1 ) , ist der erwartete Gewilm jedoch stets geringer als bei symmetrischer Information. Ftir -1 < k < 1 und k ;~ 0 k6nnen durch Verwendung von ~3 also die Agency-Costs reduziert, aber nicht g~nzlich vermieden werden, so dass inamer noch eine echte second best L6sung vorliegt. Es ist offensichtlich, dass die Agency-Costs um so geringer sind, je starker positiv bzw. negativ die Korrelation zwischen den beiden Zufallsvariablen ausffillt. Fasst man E(G i (si ,s 3))** ceteris paribus als Funktion von k auf, erh~ilt man eine nach oben ge6ffnete Parabel mit einem Minimum bei k = 0. Die grN3ten (erwarteten) Erfolge lassen sich somit durch das modifizierte Vergt~tungsschema erzielen, wenn es sich bei der Taftel & SOhne urn ein relativ typisches Unternehmen der Branthe handelt, das tendenziell denselben Risiken ausgesetzt ist, wie sie fftr den Index gelten, oder aber wenn die Tafiel & SOhne ein extrem atypisches Untemehmen der Branche ist, dessen Verkaufslage dann besonders gut ist, wenn es der Branche als Ganzes tendenziell schlecht geht. Das Ergebnis zeigt, dass der eindeutige VerstoB gegen das Controllability Principle, der sich aus der Verwendung der Gr613e ~ ergibt, bis auf den ausgeschlossenen Fall k = 0, zu h6heren erwarteten Gewinnen aus der Verkaufst~itigkeit f'tihrt. Dies liegt daran, dass sich dieses Prinzip vor allem am Aspekt der Anreizgew~ihrung orientiert, und Anreize sollten tats~ichlich nur ausgetibt werden, wenn die T~itigkeit des Agenten das Ergebnis auch beeinflussen kann. Ansonsten wirken sie kontraproduktiv. Dieser Aspekt wird besonders oft in verhaltenswissenschaftlichen Ans~ttzen zu Vergtitungsfragen betont. Im Zusammerdmng des Tradeoffs zwischen Anreizgewfihrung und Risikoteilung der Agency-Theorie ist dieses Prinzip allerdings zu modifizieren. Obwohl die Gr6Be Y~
Fallstudien zur Internen Untemehmensrechnung
325
keine direkten Anreizwirkungen beztiglich a i entfaltet, ist sic informativ tiber diese T~itigkeit. Diese Zusatzinformation verrnindert die Grenzrisikopr~imie far den Prinzipal und erm6glicht somit h6here Anreize. Im informationsOkonomischen Zusammenhang ist das Controllability Principle daher wie folgt zu modifizieren: Als Bemessungsgmndlagen sollten nur solche Gr6Ben verwendet werden, die beztiglich der interessierenden T~itigkeiten informativ im obigen Sinne sin& Gilt k = 0, ist 2 3 in diesem Sinne nicht informativ, far k ~ 0 ist sic infomaativ.
Teilaufgabe h) Steht Z~ nicht mehr kostenlos zur Verftigung, sind bekanntlich keine allgemeingtiltigen Aussagen mehr dartiber m/3glich, ob diese Information beschafft bzw. FOr die Vergtitung eingesetzt werden sollte. In diesem Fall sind die Kosten der zus~itzlichen Informationen mit den durch sic generierten erwarteten (Zusatz-) Ertragen zu vergleichen. Man erh~ilt folgendes Entscheidungskriterium: 1
0 _p_>
2.(1 + r . ( l _ k2).0-2)
mi
1
2.(1+r.0-~) - m °
k 2 .r.cr 2
pkrit =
2. (1 + r . (1- k2). or2). (1+ r •0-2) Ftir k = 0, ist dieser Preis nattirlich 0, well die Ti~fiel & Sdhne kein Geld far wertlose Informationen ausgibt. Unter Verwendung der Quotientenregel erhNt man die beiden folgenden komparativ-statischen Ergebnisse:
OPk''
k . r . 0-[ > ( (mO
.a4 + a 4 ) - ~ - o ,
t
a~-O,5.a 4+s~=O
4
2
--). a I = . . . ~ . si~ a 4 = - - - - ~ .
st
a4 - O ' 5 " a t =O
Der erwartete (Netto-)Gewinn der Tqfiel & SOhne aus der Verkaufstatigkeit eines Vertreters ist: E(G) = ai + a 4
- s i •a i - S i
Wie man anhand der Aktionswahlbedingungen erkennen kann, hat die Be~cksichtigung der Gr6Be a 4 gravierende Konsequenzen. Ftir einen positiven variablen Vergtitungsanteil wird das Niveau der zweiten T~itigkeit negativ und ffthrt zu EinbuBen im erwarteten Gewinn des Prinzipals. Dies impliziert nicht, dass der Agent dem Prinzipal absichtlich schadet, sondem bildet nur den plausiblen Effekt ab, dass Artreize ftir eine kontrahierbare Aktion dazu Rihren k6nnen, class der Agent andere (nicht kontrahierbare) Ttitigkeiten vemachl~tssigt, was mit Kosten far den Prinzipal verbunden ist. In manchen Modellen zu dieser Problematik wird von einem Basisniveau a-4 ausgegangen, das der Agent von sich aus bereit ist zu erbringen, urn negative Aktivit~ttsniveaus zu verrneiden. Dies verkompliziert lediglich die Darstellung, andert aber nichts an den Modellaussagen. Teilaufgabe j)
Die first best LOsung ergibt sich wie tiblich aus Einsetzen der (bindenden) Teilnahmebedingung in den erwarteten (Netto-)Gewinn und Optimierung beztiglich ai~a4~s
i 1
2
2.
r
2
2
a,,Maxa4,s, E(G,) = a t + a 4 - - ~ . (a, + a t .a 4 + a4)--~.rr , .s t -m, dE(Gt)da~
a~-Oo5.a 4+1=0]
dE(~t) -
a4-0,5"a,+l=0
[ ,
69a 4
dE(~,)
ds,
= r . rr,2 .s, = 0 ~ s, = 0
, =2.1
a' =a4
3
o
Fallstudien zur IntemenUntemehmensreclmung
329
Kann die Firmenleitung die beiden T~ttigkeiten beobachten, legt sie diese so fest, dass die Grenzkosten der T~ttigkeit ihrem Grenzertrag entsprechen. Aufgrund derselben Grenzertr~ige 1 ist das gewanschte Niveau gleich hoch. Wiederum erhalten die Vertreter ein Fixum, da die risikoscheue Firmenleitung das gesamte Risiko tragen sollte. Setzt man die optimale L6sung in den erwarteten Gewinn ein, ergibt sich nach einigen Umformungen:
J
Der erwartete Gewinn ist h O h e r als der first best Gewinn bei ausschliel31icher Berficksichtigung der VerkaufstNigkeit. Das liegt daran, dass durch a 4 eine zus~tzliche Ertragsm6glichkeit geschaffen wird, die aufgrund der Beobachtbarkeit dieser Gr6ge auch vollst~hadig ausgenutzt werden kmm. Im first best ffihrt die Berficksichtigung dieser Gr6f3e also zu Steigerungen des erwarteten Gewinnes des Prinzipals und wird deshalb von ihm begraN.
Teilaufgabe
k)
Treten zus~itzlich Aspekte der verbundenen Produktion Z =
aca 4
auf, wird dieser
Effekt noch verstarkt. Die Aktionswahl- und Teilnatmlebedingungen bleiben unver~indert. Der erwartete Gewirm ist: E(G)
= a , . a 4 + ai + a 4 - s i • a, - S i
Der L6sungsweg ist analog zu Teilaufgabe j), weshalb hier nur die L/Ssung selbst angegeben wird: ai
= a 4=2,5"/ = 0
E(d,)* = 2 - m ° > 2 - m ° Aufgrund der zus~itzlichen ErtragsmOglichkeiten durch die verbundene Produktion induziert der Prinzipal nochmals h6here Aktivit~itsniveaus und steigert so den erwarteten Gewinn. Teitaufgabe
l)
Grunds~tzlich anders stellt sich die Situation dar, wenn die Leitung der T f i f i e l & S d h n e die T~itigkeiten nicht beobachten kann. Setzt man neben der Teilnahmebedingung die Aktionswahlbedingtmgen in den erwarteten Gewinn ein, so ergibt sich:
330
Qbungen zur Intemen Untemehmensreclmung
Max E(G,)
=72 "s' - 72 s
dE(G,) _ 2 Os~ 3 ,,_ -+s,
z
r
z
-m°
4.s _r.cr?.s =0 3 1
1
,1,5.r.G2 + 2, < -1+ -r'cr2, rail Multi-tmsking
E(G,)** --
Nur eine Aktion
1 ,(4' 5"r'er2 +6 ) mit Multi-tasking
mO
0 und V"> 0, d.h. diese Opportunit~tskosten nehmen mit zunehmenden Anstrengungen tiberproportional zu. Femer sei die Funktion V sowohl der GS als auch dem Ministerium bekannt. Die wohldiversifizierte GS sei risikoneutral und orientiere sich an folgender additiv separabler Nutzenfunktion: U = t - V(a)
6 Durch diese Anstrengungen werden in der GS Ressourcen gebunden, die sie ansonsten etwa flir die Annahme anderer Regierungsauftrggeeinsetzen k/~nnte.
336
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
Die Variable t bezeiehnet dabei einen monetaren Nettotransfer, d. h. einen die reine Erstattung der Projektkosten fibersteigenden Geldbetrag. Der Vertrag mit dem Ministerium muss bei der G S zu einem mindestens gleich hohen Nutzenniveau ffihren wie anderweitig verffigbare Alternativen, etwa die Annahme eines anderen Aufirages des Verteidigungsministeriums. Dieser sog. Reservationsnutzen sei bier auf 0 normalisiert und l~isst sich fonnal durch eine sogenmmte Teilnahmebedingung (engl. Individual Rationality Constraint) ausdrficken. Sie lautet: U>U-,
U-=0
Der Technologieparameter kaml dabei zwei m6gliche Ausprfigungen 0 ~ und 0 ° annehmen, wobei 0" < 0 ° gelten soll. Der Nutzen des Weltraumlabors sei "N = konstant" und es gilt N - O i > 0, d. h. der Bau des Weltraumlabors wird unabh~ngig vom Technologiezustand und etwaigen Anstrengungen der Kostenreduktion far vorteilhaft gehalten. Pfiffig ist sich bewusst, dass der Staat seinen Bfirgem gegentiber f~r einen m6glichst effizienten Einsatz von Steuermitteln verantwortlich ist. Er geht deshalb davon aus, dass der Nutzen der Btirger genau dann maximiert wird, wenn das Raumlabor (unter Beachtung der Teilnahmebedingung) m6glichst kostengtinstig hergestellt wird. Das Problem l~isst sich also durch folgende Zielfunktion ausdrticken: Z=N-(C+t)
Nettmen Sie zun~ichst an, dass PfiJfig davon ausgeht, dass der Technologieparameter 0 i sowohl der G S als auch dem Ministerium bekannt ist. Femer k6nnen beide Vertragsparteien die tats~tchlich entstandenen Kosten C ex post zweifelsfrei beobachten. Das Anstrengungsniveau a ist dagegen dutch das Ministerium nicht beobachtbar. a) Zu welchen Kosten wttrde das Labor hergestellt, wenn das Ministerium der GS einen Kostenplus-Kontrakt der Form (1 + 6 ). C anbietet, wobei 6 > 0 einen positiven Gewinnzuschlag bezeichnet? Welche Anstrengungen a unternimmt die GS und wie hoch ist ihr Nettotransfer? Was folgt daraus far die Effizienz von Kostenplus-Vertr~igen Far die Vergabe 6ffentlicher Auftrgge? b) Was folgt aus dem beiden Vertragsparteien bekannten 0 ~ und Beobaehtbarkeit von C ffir das Anstrengungsniveau a ? e) Bestimmen Sie das aus Sicht des Ministeriums optimale Anstrengungsnivean a, die daraus resultierenden Kosten C des Raumlabors, die H6he des Nettotransfers t und das Nutzenniveau der GS. Verwenden Sie hierzu die konkrete Funktion V(a) = b. a 2 .
d) Zeigen Sie, dass der Kontrakttyp t(C) = b. (a*)2 _ ( C - C*) genau die unter Teilaufgabe e) ermittelte L6sung implementiert. Dabei bezeietmet C die ex post tats~ichlich entstandenen Kosten und C,* a* die unter Teilaufgabe c) ermittelten minimalen Kosten bzw. optimalen Anstrengungen. Wie wfirden Sie diesen Kontrakttyp charakterisieren und 6konomisch interpretieren? Kommentieren Sie Ihr
Fallstudien zxtrIntemen Untemehmensrechnung
337
Resultat vor dem Hintergrund der derzeit vorherrschenden Kostenplus-Vergtitung. e) Nennen Sie einige Argumente, die in der Realitgt gegen den unter d) analysierten Kontrakttyp sprechen. Netmlen Sie jetzt altemativ an, dass die GS weiterhin 0 i genau kennt. Das Ministerium weig dagegen nur, dass der gute Tectmologiezustand O" mit Wahrscheinlichkeit v und der schlechte Technologiezustand 0 ° mit Wahrscheinlichkeit (1 - v) vorliegt, d. h. im folgenden wird der Fall der asymmetrischen Information fiber 0 t untersucht. P.fiffig fiberlegt, ob es in diesem Fall nicht am besten wfire, wenn die besser informierte GS vorab einen Bericht 0 B tiber die Technologie i. S. einer Kostensch~itzung abgibt und die Festlegung eines Kostenbudgets f0x das Projekt sowie der endgt~ltigen Vergfitung dann anhand dieses Berichtes erfolgt. Nehmen Sie an, dass das Ministerium sich in diesem Fall zunfichst wie im Szenario der symmetrischen Information verh/~lt. f) Untersuchen Sie, ob die GS unter diesen Umst~nden einen Anreiz hat, wahrheitsgemN3 0 ~ -- 0" zu berichten, wenn ihr bekannt ist, dass tats/~chlich der gute Technologiezustm~d vorliegt. Was folgt daraus ffir ein Kostenerstattungssystem bei asymmetrischer Information? Versuchen Sie, aufgrund dieser Ergebnisse den Planungsansatz des Ministeriums bei asymmetrischer Information herzuleiten. (Hinweis: Die folgenden Aufgabenteile sind schwierig und gelegentliches Nachschlagen in der Musterl6sung ist ausdracklich erlaubt). g) Wie hoch sind die optimalen Projektkosten, die Anstrengungen zur Kostenreduktion sowie der Nutzen der GS in den beiden Technologiezust/~nden O" und 0°? Vergleichen Sic ihr Ergebnis mit Teilaufgabe c)! h) Berechnen Sie die Kosten C , die optimalen Anstrengungen a t , den Nettotransfer t i , den Nutzen U i, den ex post realisierten Nutzen des Raumlabors Z ~ -- N - C ~ sowie den ex ante erwarteten Projektnutzen E ( Z ) . Nehmen Sie die Berectmungen jeweils t'OXdie Situation der symmetrischen Intbrmation, Far die unter g) ermittelte L6sung und ffir den Fall, dass das Ministerium bei asymmetrischer Information dieselbe Politik wie im Fall der symmetrischen Information verfolgt, vor. Verwenden Sic hierzu den konkreten Datenkranz 0 u = 8, 0 ° = 10, b = 0,25, N = 20, v = 0,1. i) Nun geht es, ~ihnlich wie bei Teilaufgabe d), um die Frage, ob und ggf. wie die unter g) ermittelte L0sung bei asymmetrischer Information durch einen bestimmten Vertragstyp direkt implementiert werden kann. Der Vertrag soil einerseits sicherstellen, dass die Teilnahmebedingung der GS in beiden Tectmologiezustanden er~llt ist, andererseits muss er gewahrleisten, dass das Untemehmen keinen Anreiz hat, bei Vorliegen des guten Technologiezustandes so zu tun, als ob der schlechte Technologiezustand vorliegt, et vice versa. Pfiffig erwagt der GS die folgenden beiden Kontrakte anzubieten (so genanntes "Mena linearer Kontrakte",
338
Obungen zur Internen Unternehmensrechnung
siehe auch Aufgaben zu Kapitel 9). Dabei bezeichnet a u die optimalen Anstrengungen bei asymmetrischer Information im guten Technologiezustand und a ° den analogen Wert fro" den schlechten Technologiezustand (L6sung Teilaufgabe g)). C u und C ° sind die entsprechenden Projektkosten. Etwaige Informationsrenten werden mit R abgekorzt (Hinweis: Beachten Sic, dass diese Werte keine Variablen sind, sondern durch die LOsung unter g) festgelegt werden). I
u x2
Kontrakt 1" b . l a ) + R - 2 . b . a
u
.((7-6")
Konn'akt 2: b.( a° ) 2 - 2 . b . a ~ - ( C - C ' ) j) In einem etwas anderen Zusammenhang erscheinen solche Anreizschemata auch im Letu'bueh. Wie nennt man sie? Ist dieses "Menti linearer Kontrakte" in der Lage, die L/Ssung unter g) zu implementieren? (Hinweis: Prafen Sie, ob die beiden Kontrakte die Teilnahmebedingung erfallen und Rir die GS kein Anreiz besteht, sich bei Vorliegen von Teehnologie 0" wie im Fall von Technologie 0 ° zu verhatten und umgekehrt). Wo genau liegt das Problem? k) Wie kann das Problem unter Teilaufgabe j) beseitigt werden ? Charakterisieren Sie den erhaltenen Vertrag vor dem Hintergrund von Festpreiskontrakten versus Anreizkontrakten. Ein Anreizkontrakt hat die Form F i x u m - l . ( C - C r) C r, 0 < l < 1, C r bezeichnet ein Kostenziel.
Musterl6sung:
Teilaufgabe a) FOr den Kostenplus-Kontrakt gilt: 6- C + C --+ t = 8. C. Einzige Entseheidungsvariable der GS ist a. Sie wird bei diesem Vertrag das Anstrengungsniveau a so festlegen, dass der Nettotransfer t maximiert wird. Ihre Zielfunktion lautet daher: Max U = t - V(a) = 6. C - V(a) = 6. (0 i - a) - V(a) (l
Der maximale Nutzen ergibt sich aus: OU Oa
---
8 - V'(a) < 0
Hier offenbaren sich sehr anschaulieh die perversen Anreize, die yon KostenplusVertr/igen ausgehen. Durch Anstrengungen zur Kostensenkung vcarde sich die GS selbst schaden, da jede ErhOhung von a zu einer (Grenz-) Nettotransfereinbuge yon - 6 fiihrt und dartiber hinaus noch Opportunit~itskosten verursaeht. Das Problem hat somit nur die RandlOsung a" = 0. Die Kosten betragen 0 r , sind also jeweils maximal. Die Teilnahmebedingung ist wegen 6 . 0 i > 0 stets ergillt, und die GS realisiert ein (Rand-) Maximum an Nettotransfer. Wie leieht klar wird, ist diese LOsung abet
Fallstudien zur Internen Unternehmensrechnung
339
far das Ministerium sehr ineffizient, da dieser Vertrag "sicherstellt", dass das Labor stets zu maximalen Kosten produziert wird.
Teilaufgabe b) Die Unbeobachtbarkeit yon a ist unerheblich, sofern das Ministerium C beobachten kann und 0 i kennt. Aus dem Zusammenhang C = 0 i - a folgt durch einthche Umformung n~mlich sofort a = 0 i - C . Das bedeutet, dass das Ministerium aus 0 ~ und C eindeutig auf a schliegen kann. Die Anstrengungen sind also faktisch beobaehtbar.
Teilaufgabe c) Bei Beobachtbarkeit von C und Kelmtnis yon 0 i 16st das Ministerium far beide Technologiezustgnde folgendes Problem:
MaxZ = N-(C U,C
+ f ) --->M i n ( C + t ] U,C
~
J
u. d. Nebenbedingung:
U'=t'-V(a')>_O
i=u,o
L6st man die Nutzenfunktion der GS nach t auf, ergibt sich U + V(a) = t. Der Nettotransfer wirkt sich somit erhOhend auf die Projektkosten aus. Es ist deshalb aus Sicht des Ministeriums nicht rational, der GS mehr als den unbedingt nStigen Nettotransfer zur Einhaltung der Teilnahrnebedingung zukommen zu lassen. Das bedeutet, dass die Nebenbedingung im Optimum als Gleichung erftillt sein muss, d. h. U ~= 0 --~ t = V(a). Das Problem 1/isst sich darm wie folgt darstellen:
M a x Z = N - ( C +t) = N - ( O j - a + U i +V(a))= N - ( C ~+U s +b.(O ~ - C ' ) 2) U ,C
= N-(C'
+b.(O'-C') 2)
Die Bedingung erster Ordnung lautet: 7
dZ =-l+2.b.(0 dC ~
i-C)=0
bzw. C ? = 0 i - - - 1; 2b
a • = 1 ; t' = - -1 ~4b
--~ Z ' * = N - ( O ' - 2 . b + ~ . b
)=N-
OS-4. b ,
Ut, -
1 4.b
1 _ 0 4.b
7 Das Problem ist streng konkav. Deshalb ist die notwendige Bedingung far ein Maximum auch hinreichend.
340
l)bungen zur InternenUnternelmaensreclmung
Ft~r beide Technologiezust~nde wfirden somit Konstruktionsanstrengungen in H6he von a' = 1 / (2. b) festgelegt und das Raumlabor zu Kosten von C* = Or - 1 / (2. b) hergestellt, wobei nattMich Z u > Z ° reduktion werden bis zu dem Pmkkt einsparungen (-1) genau den durch V' entsprechen, die das Ministerium
bzw. C" < C ° gilt. Anstrengungen zur Kostenm~ternommen, an dem die marginalen Kostensie hervorgerufenen Grenzopportunitgtskosten der GSja vergfiten muss.
TeiIaufgabe d) Unter dem oben angegebenen Kontrakt legt die GS die Anstrengungen a wie folgt lest, wobei G ihren Gewinn bezeiclmet:
8G --=l-2.a.b=O---~a= Oa
1 =a'; 2. b
82G Oa2
2.b 0, jedoch steigen die Opportunititskosten in diesem Fall tiberproportional an.
Ein solcher Kontrakt wird als Festpreiskontrakt (engl. Fixed Price-Contract) bezeichnet. Das Untemehmen erhNt eine vorab festgelegte Vergtitung und hat Kostenabersehreitungen voll zu tragen. Bemerkenswert ist, dass dieser Kontrakttyp offenbar in diametralem Gegensatz zur derzeitig vorherrschenden Kostenplus-Praxis bei der Vergabe 6ffentlicher Auftrgge steht.
Teilaufgabe e) M6gliche Argumente sind: Unsicherheit: Das hier vorgestellte Modell ist deterministisch. FOr ein Projekt yon der Dimension eines Weltraumlabors sind die zukrmftigen Kosten zum Zeitpunkt
Fallstudienzur IntemenUnternetunensreelmung
341
des Projektbeginns h6chst unsicher und i. d. R. von einer HGhe, die bei Fehlplanungen das gesamte Untemehmen gef'0hrden warden. Warden solche Projekte ausschlieglich auf Festpreisbasis vergeben, darfte es dem Staat schwer fallen, tiberhaupt Firmen zu finden, die zur Projektabemahme bereit sind. Streng genommen gilt dieses Argument jedoeh nur far risikoscheue Untemehmen, die in diesem Fall horrende Risikopr~ien fordem warden. Keinesfalls kann aus diesem Argument heraus jedoeh die Vorteilhaftigkeit eines reinen Kostenplus-Vertrages begrfindet werden (siehe aueh unten, asymmetrische Information). Verhandlungen: Das Modell unterstellt implizit, dass das Recht der Vertragsgestaltung (engl. Contract-Design) vollst:indig beim Ministerium liegt. Es bietet einen Vertrag an, und die GS kann nur annehmen oder ablehnen. In der Realit:it werden langwierige Verhandlungen die Regel sein, und in die letztendliehe Einigung werden die Vorstellungen beider Seiten einflieBen (Verhandlungsl6sungen), denn als einziger Anbieter verfagt auch die GS tiber eine gewisse Verhandlungsmaeht. Dvnamik: Das Modell beracksichtigt nicht, dass im Zuge einer in der Realit~it lange wNlrenden und unsicheren Projektrealisierung beiden Seiten zusatzliche Informationen fiber die Kosten zugehen werden. Insbesondere ist das Argument, dass man ja mit einem Festpreiskontrakt beginnen k6nnte und dann ggf. neu verhandelt, nicht stichhaltig. In diesem Fall w~,re der Festpreiskontrakt blol3e Makulatur, da die strategisch handelnde Untemehmung antizipieren wttrde, dass sie gerade durch Kostenaberschreitungen einen Spielraum fttr Neuverhandlungen schaffen wfirde. Ein solches Problem mfisste spieltheoretisch angegangen werden. Teitaufgabe J)
Liegt tats~ichlich der gute Teehnologiezustand vor und wfirde die GS wahrheitsgem/ig OB =Ou beriehten, erh:ilt Sic C ~ +t(O") = O " - 1 / ( 2 . b ) + l / ( 4 . b ) vergatet und erzielt ein Nutzenniveau yon U-= 0. Beriehtet die GS dagegen falseh, oB= 0 °, warden ihr Kosten in H6he von C ° = 0 ° - 1 / ( 2 . b ) vorgegeben. Damit sic dann nicht ex post der offensichtlichen Falschberichterstattung tiberfiihrt werden kann, muss aus ihrer Sicht gelten: O" - a " : 0 ° - ( 1 / 2 . b ) --> 0" - 0 " = 1 / ( 2 . b ) - a " > 0 (!) --->a" C °** = 0" - - - +1 2.b
2.b.(O ~ -C°))+(1-v).(-l
1 . ( 0 ° _ O~ ) , C 1-v 1
C°**_C°*=_(O°_O")+
345
+ 2.b.(O ° -C°)) =0
°" = OO _ _ _1
2.b
.(Oo_O,)>O___>fflrv>O___>aO**t "_b.(O ~-C") 2 o > _ u ~ + b . ( O '~ _ C , , ) 2 _ b . ( O , ' _ C , , )
2
Sei far i = u , o ; j = u,o; i , j : f (o j - c ') = b. (o ~- c') 2 - b. (o j - c' - (o ° -o" ))2
o >_u" - ( b . ( o ° - C " ) 2 - b . ( o ° - C ' - ( o
° - o " ) ) 2)
O>_U"-f(O °-c")
u ° - u ° = u " = b . ( o ° - c o ) 2 - b . ( ( o ° - c o - ( o ° - o ~ ) ) 2 = f ( o ° - c °) O> f ( O ° - c ° ) -
f(O °-C")
Dies ist abet ffir die oben abgeleitete L6sung stets erfiillt, delta f i s t monoton waehsend in a ~ (s.o.) und damit monoton fallend in C ~ und aus der optimalen L6sung iblgt C ~'* = C ~* < C °*" . Teilaufgabe h)
Die verlangten L6sungen mit den konkreten Werten k6nnen nachstehender Tabelle entnommen werden.
346
Obungen zur Intemen Untemehmensrechnung
0= 8
(syntax. Inf.)
0 = 10
(sylrml. Inf.)
0= 8
(asymm. Inf.)
0 = 10
(asymm. Inf.)
Verhalten
Verhalten
wie bei wie bei symm. Info. symm.Info. 0=8 0=10
C
6
8
6
8,22
6
8
d
2
2
2
1,777
2
2
t'
1
1
1,77
0,7901
2
1
U/
0
0
0,77
0
1
0
Z' (ex post)
13
11
12,22
10,98
12
E(Z) =
11,1111
11 11,1
O,1.Z(O")+ 0,9.Z(O °) Wie oben erlfiutert, werden im Fall der symmetrischen Intbrmation dieselben Anreize beztiglich der Anstrengungen gesetzt und t'tir beide Zustande jeweils nut die Opportunit~itskosten vergtitet, was gerade die Einhaltung der Teilnahmebedingung sicherstellt. Im Fall der optimalen L6sung bei asymmetrischer Information und einem guten Technologiezustand untemimmt die GS weiterhin Anstrengungen yon a* = 2, so dass die Projektkosten C" = 8 - 2 unver~tndert 6 betragen. AIlerdings fallen zus~itzliche Kosten in Form yon Informationsrenten an (0,77), wodureh der ex post Ertrag des Projektes auf 12,22 f~tllt. Im sehlechten Technologiezustand werden dagegen geringere Anstrengungen veranlasst (1,77 statt 2) und das Labor wiirde zu h6heren Kosten erstellt. Dies geschieht, well Anstrengungen im schlechten Technologiezustand die Renten im guten Technologiezustand verteuern. Der erwartete Projektertrag bei dieser Vorgehensweise betr~igt 11,111. In den letzten beiden Spalten ist gezeigt, was gesch~ihe, wenn das Ministerium weiterhin wie bei symmetrischer Information vorginge. Zwar kann im schlechten Technologiezustand der Projektertrag wieder auf 11 gesteigert werden, aber daffir steigen im guten Technologiezustand die Renten auf 1. Dieser Rentenzuwachs (0,222) ist gr6Ber als der zus~itzliche Projektertrag im schlechten Technologiezustand (0,02). Deshalb ist diese Vorgehensweise unvorteilhaft.
Teilaufgabe i) Der Struktur nach handelt es sich um sogenannte Osband-Reichetstein-Schemata, wobei die Opportunit~ttskosten b.a 2 zuztiglich etwaiger Informationsrenten das Fixum bestimmen und deren Ableitung 2.b.a an der Stelle der gewfinschten Anstrengungsniveaus einen Teilungspm'ameter fox Kostentiberschreitungen (-untersehreitungen) innerhalb eines ex post in den realisierten Kosten Bnearen Vergtitungskontraktes festlegt. Zun~ichst wird gezeigt, dass diese beiden Kontrakte die
Fallstudien zur Intemen Untemehmensrechnung
347
Teilnahmebedingungen erf'fillt. Liegt der gute Tectmologiezustand 0" vor und w~hlt die GS Kontrakt 1, 16st sie fblgendes Problem: M a x G ( a ) = b . ( a" )2 + R - 2 . b - a '~ . ( C - C " ) - b . a
2
a
=b.(a")2+R-2.b.a".(0"-a-0"
+a")-b.a 2
=b.(a°)2+R-2.b.a".(a"-a)-b.a aG
= 2 .b.a" -2.b.
~
a = 0 --~ a = a" = a"** = a"*
Oa G(a ~) = R > 0
Kontrakt 1 stellt also sicher, dass die GS ihre positive Rente R = R(a °) > 0 erh~tlt, wodurch die Teilnahmebedingung erffillt wird. Liegt der schlechte Technologiezustand 0 ~' vor und wghlt die GS Kontrakt 2, dann gilt: M a x G ( a ) = b .( a ° )2 _ 2. b. a °. (C - C °) ~
a 2 b
~
a
:b.(a°)2-2.b.a°.(a°-a)-b.a -
c~G=2.b.a°-2.b.a Oa -
=
O-+a
=
a ° - a °" --
2 c a
o,
G(a °) = 0
Weiterhin hat die G S bei Vorliegen des schlechten Zustandes 0 ° keinen Anreiz, Kontrakt 1 zu wghlen. Dies kann man wie folgt zeigen: MaxG(a) = b-(a~) 2 + R - 2 . b . a ~ . ( C - C ~ ) - b . a
~
a
=b.(aU)2+R-2.b.aU.(O°-a-O
~+a~)-b.a 2
= b . ( a , )2+ R _ 2 . b . a u . ( O ° - O ~ +a ' ~ - a ) - b . a 2 3G =2.b.a"-2.b.a Oa
= O---~a = a " -~a' ' -
= a ~"
Wttrde die GS bei Vorliegen des schlechten Technologiezustandes Kontrakt 1 w~hlen, dann untemimmt sie auch die zu diesem Kontrakt passenden Anstrengungen zur Kostenreduktion. Der Gewinn der GS w~e dann:
348
l)bungen zur Intemen Unternehmensrechnung
G(a"lO°)=b.(a")2+R - 2 . b . d ' . ( O ° - a " - O G(a~lO°)=R-2.b.a'~.(O°-Ou)
u +a")-b.(a") 2
R(a°)=b.(a°)2-b.(a°-(O°-O"))2
10°)--
(0o_0 )
Nach einigen weiteren Umformungen erh/ilt man:
G(a"lo°): 2.b.a° .(O°-O")-b.(O ° -0") 2 - 2.b.a ~ .(O ° -O") a" = a"** = a ~* =
l
2.b
>
aO _ ao**
-
--~2.b.a" =l;O
