Begriffsschrift und andere Aufsätze, Zweite Auflage

Gottlob Frege

Begriffsschrift und andere Aufsätze Zweite Auflage Mit E. Husserls und H. Scholz' Anmerkungen herausgegeben von

Ignacio Angelelli

1993 Georg OllIlS Verlag Hildesheim · Zürich · N ew Y ork

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Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

4. Nachdruck der 2. Auflage 1964 © by Georg Olms AG, Hildesheim 1964

Printed in Germany Herstellung: Weihert-Druck GmbH, Darmstadt ISBN 3-487-00623-5

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VERZEICHNIS IV Vorbemerkung V Begriffsschrift 89 Anwendungen der Begriffsschrift 93 Über den Briefwechsel Leibnizens und Huygens mit Papin 97 Über den Zweck der Begriffsschrift 106 über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift 115 Anhang I: H. Scholz' Anmerkungen zur "Begriffsschrift" 117 Anhang 11: E. Husserls Anmerkungen zur "Begriffsschrift" 122 Textkritische Bemerkungen

Vorbemerkung In diesem Band erscheint Freges "Begriffsschrift" (1. AufI. Halle 1879) erstmalig zusammen mit_vier kleineren Aufsätzen~ die systematisch oder chronologisch eng damit verbunden sind. Die Seitenzählung des vorliegenden Bandes fällt mit derjenigen der Originalauflagen nur bei den Seiten der Begriffsschrift zusammen, die mit arabischen Ziffern numeriert sind. In allen anderen Fällen ist durch eingeklammerte Ziffern auf die Seitenzählung der Originalauflagen hingewiesen. Einige Verbesserungen zum Text der "Begriffsschrift" und zu den "Anwendungen der Begriffsschrift" (siehe Textkritische Bemerkungen) ferner eine Anmerkung zur Seite 24 der "Begriffsschrift" wurden vom Herausgeber angefügt. Die "Begriffsschrift" war kein "Nebenprodukt" in Freges Laufbahn - wie E. Abbe in seinem Gutachten zur Ernennung Freges zum Professor schrieb (Friedrich Stier: Ernst Abbes akademische Tätigkeit an der Universität Jena, Jenaer Reden und Schriften, Heft 3, Jena, 1955, S. 26-28) sondern ein bahnbrechendes Werk, dessen neue Veröffentlichung seit langem gewünscht wurde. Ich möchte vor allem Herrn Professor Bochenski für seine freundliche Hilfe danken. Auch bin ich Frau E. Scholz verpflichtet, für die liebenswürdige Erlaubnis, die im Anhang I enthaltenen Anmerkungen von Herrn Professor H. Scholz zu veröffentlichen. Ebenso danke ich besonders dem Direktor des Husserl-Archivs, Herrn Prof. H. L. Van Breda, daß ich in sein Archiv Einsicht nehmen konnte und Auszüge aus den Anmerkungen Husserls zur "Begriffsschrift" und seiner Korrespondenz mit Frege für den vorliegenden Band verwerten durfte. Ebenso bin ich Herrn Dr. R. Boehnl verpflichtet,der die Übertragung in Kurrentschrift des auf S. 7 der "Begriffsschrift" eingelegten Blattes besorgt hat. Herrn Professor G. Uschmann, Universität Jena, bin ich für seine intensive Unterstützung meiner Arbeit sehr verbunden. Ignacio Angelelli / Fribourg,

Schweiz~

1963.

BEG RIFFSSCHRIFT, EINE DER ARITHMETISCHEN NACHGEBILDETE

FORlIELSPRA.CHE DES REINEN DENKENS.

VON

DR. GOTTLOB

FREGE~

PRIVATliOCENTEN DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT JENA.

HALLE AIS. VERLAG VON LOUIS NEBERT. 1879.

Vorwort. Das Erkennen einer wissenschaftlichen Wahrheit durchläuft in der Regel mehre Stufen der Sicherheit. Zuerst vielleicht aus einer ungenügenden Zahl von Einzelfällen elTathen, wird der allgemeine Satz nach und nach sicherer befestigt, indem er durch Schlussketten mit andern Wahrheiten Verbindung erhält, sei es dass aus ihm Folgerungen abgeleitet werden, die auf andere Weise Bestätigung finden, sei es dass er umgekehrt als Folge schon feststehender Sätze erkannt wird. Es kann daher einerseits nach dem Wege gefragt werden, auf dem ein Satz allmählich errungen wurde, andrerseits nach der Weise, wie er nun schliesslich am festesten zu begründen ist. Erstere Frage muss möglicherweise in Bezug auf verschiedene Menschen verschieden beantwortet werden, letztere ist bestimmter, und ihre Beantwortung hängt mit dem innern Wesen des betrachteten Satzes zusammen. Die festeste Beweisführung ist offenbar die rein IQgische, welche, von der besondern Beschaffenheit der Dinge absehend, sich allein auf die Gesetze gründet, auf denen alle Erkenntnis beruht. Wir theilen danach alle Wahrheiten, die einer Begründung bedürfen, in zwei Arten, indem der Beweis bei den einen rein logisch vorgehen kann, bei den andern sich auf Erfahrungsthats&chen stützen muss. Es ist aber wohl vereinbar, dass ein Satz zu der ersteren Art gehört und doch ohne Sinnesthätigkeit nie in einem menschlichen Geiste zum Bewilsstsein kommen könnte. *) Also nicht die psychologische Entstehungsweise, sondern die vollkommenste Art der Beweisführung liegt *) Da ohne Sinneswahrnehmung keine geistige Entwickelung bei den UDS bekannten Wesen möglich ist, 80 gilt das Letztere von allen Urtheilen.

x

[IV]

der Eintheilung zu Grunde. Indem ich mir nun die Frage vorlegte, ZU welcher dieser heiden Arten die arithmetischen " l.irtheile gehörten, musste ich zunächst versuchen, wie weit man in der Arithmetik durch Schlüsse allein gelangen könnte, nur gestützt auf die Gesetze des Denkens, die über allen Besonderheiten erhaben sind. Der Gang war hierbei dieser, dass ich' zuerst den Begriff der Anordnung in einer Reihe auf die logische Folge zurückzuführen suchte, um von hier aus zum Zahlbegriff fortzuschreiten. Damit sich hierbei nicht unbemerkt etwas Anschauliches eindrängen könnte, musste Alles auf die Lückenlosigkeit der Schlusskette ankommen. Indem ich diese Forderung auf das strengste zu erfüllen trachtete, fand ich ein Hindernis in der Unzulänglichkeit der Sprache, die bei aller entstehenden Schwerfälligkeit des Ausdruckes doch, je verwickelter die Beziehungen wurden, desto weniger die Genauigkeit erreichen liess, welche mein Zweck verlangte. Aus diesem Bedürfnisse ging der Gedanke der vorliegenden Begriffsschrift hervor. Sie soll also .zunächst dazu dienen, die Bündigkeit einer Schlusskette auf die sicherste Weise zu prüfen und jede Voraussetzung, die sich unbemerkt einschleichen will, anzuzeigen, damit letztere auf ihren Ursprung untei·sucht werden könne. Deshalb ist auf den Ausdruck alles dessen verzichtet worden, was für die Schluss(olge ohne Bedeutung ist. Icb habe das, worauf allein es mir ankam, in § 3 als begrifflichen Inhalt bezeichnet. Diese Erklärung muss daher immer im Sinne behalten werden, wenn man das Wesen meiner Formelsprache richtig auffassen will. Hieraus ergab sich aueh der Name "Begriffsschrift". Da ich mich fürs erste auf den Ausdruck solcher Beziehungen beschränkt habe, die von der besonderen Beschaffenheit der Dinge unabhängig sind, so konnte ich auch den Ausdruck "Formelsprache des reinen Denkens" gebrauchen. Die Nachbildung der arithmetischen Formelsprache, die ich auf dem Titel angedeutet habe, bezieht sich mehr auf die Gl·undgcdanken als die Einzelgestaltung. Jene Bestrebungen, durch Auffassung des Begriffs als Summe seiner Merkmale eine künstliche Aehnlichkeit herzustellen, haben mir dabei durchaus fern gelegen. Am unmittelbarsten berührt sich meine Formelsprache mit der arithmetischen in der Verwendungsweise der Buchstaben.

[V ]

XI

Das Verhältnis meiner Begriffsschrift zu der Sprache des Lebens glaube ich am deutlichsten machen zu können, wenn ich es mit dem des Mikroskops zum Auge vergleiche. Das Letztere hat durch den Umfang-- seiner Anwendbarkeit, durch die Beweglichkeit, mit der es sich den verschiedensten Umständen anzuschmiegen weiss, eine grosse Ueberlegenheit vor dem Mikroskop. Als optischer Appa·rat betraclttet, zeigt es freilich viele Unvollkommenheiten, die_ nur in Folge seinelinnigen Verbindung mit dem geistigen Leben gewöhnlich unbeachtet bleiben. Sobald aber wissenschaftliche Zwecke grosse Anforderungen an die Schärfe der Unterscheidung stellen, zeigt sich das Auge als' ungenügend. Das Mikroskop hingegen ist gerade solchen Zwecken auf das vollkommenste angepasst, aber eben dadurch für alle andern unbrauchbar. So ist diese Begriffsschrift ein für bestimmte wissenschaftliche Zwecke ersonnenes Hilfsmittel, das man nicht deshalb verurtheilen darf, weil es für andere nichts taugt. Wenn sie diesen Zwecken einigermassen entspricht, so möge man immerhin neue Wahrheiten in meiner Schrift vermissen. Ich würde mich darüber mit dem Bewusstsein trösten, dass auch eine Weiterbildung der Methode die Wissenschaft fördert. Hält es doch Ba co für vorzüglicher ein Mittel zu erfinden, durch welches Alles leicht gefunden werden kann, als Einzelnes zu entdecken, und haben doch alle grossen wissenschaftlichen Fortschritte der neuel'an Zeit ihren Ursprung in einer Verbesserung der Methode gehabt. Auch Leibniz hat die Vortheile einer angemessenen Bezeichnungsweise erkannt, vielleicht überschätzt. Sein Gedanke einer allgemeinen Charakteristik, eines calculus philosophicus oder ratiocinator*) war zu riesenhaft, als dass der Versuch ihn zu verwirklichen über die biossen Vorbereitungen hätte hinausgelangen können. Die Begeisterung, welche seinen Urheber bei der Erwägung ergl·HI, welch' unermessliche Vermehrung der geistigen Kraft der Menschheit aus einer die Sachen selbst tl'effenden Bezeichnungsweise entspringen wUrde, lieRs ihn die Schwierigkeiten zu gering schätzen, die einem *) Siehe hierüber: Trendelenburg , Historische Beiträge zur Philosophie 3, B3nd.

XII

[VI ]

solchen Unternehmen entgegenstehen. Wenn aber auch -tjies hohe Ziel mit Einem Anlaufe nicht erreicht werden kann, so braucht man doch an einer langsamen, schrittweisen Annäherung nicht zu verzweifeln. Wenn eine Aufgabe in ihrer vollen Allgemeinheit unlösbar scheint, so beschränke man sie vorläufig; dann wird vielleicht durch allmähliche Erweiterung ihre Bewältigung gelingen. Man kann in den arithmetischen, geometrischen, chemischen Zeichen Verwirklichungen des Leibnizischen Gedankens für tjinzelne Gebiete sehen. Die hier vorgeschlagene Begriffsschrift fUgt diesen ein neues hinzu und zwar das in der ~Iitte gelegene, welches allen andem benachbart ist. Von hier aus lässt sich daher mit der grössten Aussicht auf Erfolg eine Ausfl1llung der Lück~n der bestehenden Formelsprachen, eine Verbindung ihrer bisher getrennten Gebiete zu dem Bereiche einer einzigen und eine Ausdehnung auf Gebiete ins Werk setzen, die bisher einer solchen ermangelten. Ich verspreche mir überall da eine erfolgreiche Anwendung meiner Begriffsschrift, wo ein besonderer Werth auf die Bl1ndigkeit der Beweisff1hrung gelegt werden muss, wie bei der Grundlegung der Differential- und IntegraJrechnung. Noch leichter scheint es mir zu sein, das Gebiet dieser Formelsprache auf Geometrie auszudehnen. Es ml1ssten nur fltr die hier vorkommenden ·anschaulichen Verhältnisse noch einige Zeichen hinzugefügt werden. Auf diese Weise würde man eine Art von analysis situs erhalten. Der Uebergang zu der reinen Bewegungslehre und weiter zur Mechanik und Physik möchte sich hier anschliessen. In den letzteren Gebieten, wo neben der Denknothwendigkeit die Naturnotbwendigkeit sich geltend macht, ist am ehesten eine Weiterentwickelung der Bezeichnungsweise mit dem Fortschl"eiten der Erkenntnis vorauszusehen. Deshalb braucht man aber nicht zu warten, bis die Möglichkeit solcher Umformungen &USge~chlosseIi erscheint. Wenn es eine Aufgabe der Philo80phie ist, die HeITschaft des Wortes über den menschlichen Geist zu brechen, indem sie die rräuschungen aufdeckt, dio durch den Sprachgebrauch über die Beziehungen der Begriffe oft fast unvermeidlich entstehen, indem sie den Gedanken von demjenigen befreit, womit ihn

XIII

[VII]

allein die Beschaffenheit des sprachlichen Ausdrucksmittels behaftet, so wird meine Begriffsschrift, fllr diese Zwecke weiter ausgebildet, den Philosophen ein brauchbares Werkzeug werden können. Freilich giebt auch sie, wie es bei einem äussem Darstellungsmittel wohl nicht anders möglich ist, den Gedanken nicht rein wieder; aber einerseits kann man diese Abweichungen auf das Unvermeidliche und Unschädliche beschränken, andrerseits ist schon dadurch, das8 sie ganz andrer Art sind als die der Sprache eigenthtlmlichen, ein Schutz gegen eine einseitige Beeinflussung durch eines diesel Ausdrucksmittel gegeben. Schon das Erfinden dieser Begriffsschrift hat die Logik, wie mir scheint, gefördert. Ich hoffe, dass die Logiker, wenn sie sich durch den ersten Eindruck des Fremdartigen nicht zurückschrecken lassen, den Neuerungen, zu denen ich durch eine der Sache selbst innewohnende Nothwendigkei* getrieben ,vurde, ihre Zustimmune: nicht verweigern werden. Diese Abweichungen Vom Hergebrachten finden ihre Rechtfertigung darin, dass die Logik sich bisher immer noch zu eng an Sprache und Grammatik angeschlossen hat. Insbesondere glaube ich, dass die Ersetzung der Begriffe Subject und Praedicat durch Argument und Ji'unction sich auf die Dauer bewähren wird. Man erkennt leicht, wie die Auffassung eines Inhalts als Function eines Argumentes begriffbildend wirkt. Es möchte ferner der Nachweis des Zusammenhanges zwischen den Bedeutungen der Wörter: wenn, und, nicht, oder, es giebt, einige, alle u. s. w . Beachtung verdienen. w

r L ~

1

Im Besondern sei nur noch Folgendes erwähnt. Die in § 6 ausgesprochene Beschränkung auf eine einzige Schlu8sweise wird dadurch gerechtfertigt, dass bei der Grundlegung einer solchen Begriffsschrift die Urbestandtheile 80 einfach wie möglich genommen werden mUssen, wenn Uebersichtlichkeit und Ordnung geschaffen werden sollen. Dies 8chliesst nicht aus, dass später Uebergänge von mehren Urtheilen zu einem neuen, die bei dieser einzigen Schlussweise nur in mittelbaret Weise möglich sind, der Abkürzung wegen in unmlttelbare verwandelt werden. In der That möchte sich dies bei einer spätern Anwendung empfehlen. Dadurch wUrden dann weitere Schlu88weisen entstehen. w

., 1

XIV

[VIII]

Nachtteäglicb habe ich bemerkt, dass die Formeln (31) und ( 41) in die einzige ~ (Tla = a) zusammengezogen werden können, wodurch noch einige Vereinfachungen möglich werden. Die Arithmetik, wie ich im Anfange bemerkt habe, ist der Ausgangspunkt des Gedankenganges gewesen, der mich zu meiner Begriftsschrift geleitet hat. Auf diese Wissenschaft denke ich sie daher auch zuerst anzuwenden, indem ich ihre Begriffe weiter zu zergliedern und ihre Sätze tiefer zu begrl1nden suche. Vorläufig habe ich im dritten Abschnitte einiges von dem mitgetheilt, was sich in dieser Richtung bewegt. Die weite}Oe Velfolgung des angedeuteten Weges, die Beleuchtung der Begriffe der Zahl, der Grösse u. s. w. sollen den Gegenstand fernerer Untersuchungen bilden, mit denen ich unmittelbar Daeh dieser Schrift hervortreten \verde. Jena, den 18. December 1878.

I n haI t. I. Erklärung der BeBeichnungen.

Seite

§ 1. Buchstaben und andere Zeichen . . .

I

Das Urth eil. § 2. Beurtheilbarkeit eines Inhalts. Inhaltsstrich , Urtheils8trich § 3. Subject und Prädicat. Begrifflicher Inhalt. . . . . . . . § 4. Allgemeine, besondere; verneinende; kategorische t hypothetische, disjunctive; apodiktische, assertorische, problematische Urtheile . • • • • . . . . . . • . ......

2

Die Bedingtheit. § 5. Wen n. Bedingungsstrich . . . . . • . • . § 6. Der Schluss. Die Aristotelischen Schlussweisen .

5

4

7

Die Verneinung. § 7. Verneinungsstrich. Oder, 'entweder - oder, und, aber, und nicht, weder - noch . . • • . . . . .. . • . . .

t0

Die Inhaltsgleichheit. Nothwendigkeit eines Zeichens fUr die Inhaltsgleichheit, flihrung eines solchen. . . . . . . . . . . . . .

13

§ 8.

Ein~

Die Funetion. § 9. Erklärung der Wörter "Function" und "Argument". Functionen mehrer Argumente. Arguments8tellen. Subject, Object. . . § 10. Gebrauch der Buchstaben als Functionszeichen. "A hat die Eigenschaft 4J." "B steht in der qJ-Beziehung zu A." "B ist Ergebnis einer Anwendung des Verfabrens qJ auf den Gegenstand A." Das FunctioDszeichen als Argument CI

•

•

•

Die Allgemeinheit. § 11. Deutsche Buchstaben. Die Höhlung des Inhalts8triches.

•

•

Er-

15

18

[X]

XVI

Belte

setzbarkeit der deutschen Buchstaben. Gebiet derßdlben. Lateinische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . 19 § 12. Es giebt einige Dinge, die nicht -. Es gibt kein -. Es giebt einige -. Jedes. Alle. Ursächliche Zusammenhänge. Kein. Einige nicht. Einige. Es ist möglich, dass -. Tafel der logischen Gegensätze • . . .' . . . . . . . • 22

11. Darstellung und Ableitung einiger Urthelle des reinen Denkens. § § § § § § § § § §

13. Nutzen der ableitenden Darstellungsweise · . . • . . . . 14. Die ersten beiden Grundgesetze der Bedingtheit . . . 15. Folgerungen aus ihnen . . . . . . . . . . . . . . . 16. Das dritte Grundgesetz der Bedingtheit und Folgerungen . . 17. Das erste Grundgesetz der Vemeinung und Folgerungen . . 18. Das zweite Grundgesetz der Vemeinung und Folgerungen . 19. Das dtitte Grundgesetz der Vemeinung und Folgerungen .. . 20. Das erste Grundgesetz der Inhaltsgleichheit und Folgerung . 21. Das zweite Grundgesetz der Inhaltsgleichheit und Folgerungen 22. Das Grundgesetz der Allgemeinheit und Folgerungen . . .

25 26 29 35 43 44 47 50 50 51

III. Einiges aus einer allgemeinen Beihenlehre.

§ 23. Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . • . . . . . § 24. Die Vererbung. Verdoppelung des Urtheilsstriches. Kleine griechische Buchstaben . . . . . § 25. Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . § 26. Das Aufeinanderfolgen in einer Reihe· . . . . . § 27. Folgerungen . . • . . . ~ . . . . .•. § 28. Weitere Folgerungen. . . . . . • . § 29. "z gehört der mit x anfangenden f-Reihe an." Erklärung und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 30. Weitere Folgerungen . . . . . . . . . . • . . . . . § 31. Eindeutigkeit eines Verfahrens. Erklärung und Folgerungen.

55 55

58 60

62 68 7t 73 77

I. Erklärung der Bezeichnungen. § 1. Die in der allgemeinen Grössenlehre gebräuchlichen Zeichen zerfallen in zwei Arten. Die erstere umfasst die Buchstaben, von denen jeder entweder eine unbestimmt gelassene Zahl oder eine unbestimmt gelassene Fnnction vertritt. Diese U ß-bestimmtheit macht es möglich die Buchstaben zum Ausdrucke dcr Allgemeingiltigkeit von Sätzen zu verwenden wie in (a + b) c = ac bc. Die andere Art umfasst solche Zeichen wie 0, 1, 2, von denen jedes seine eigenthümliche Bedeutung hat.

+

+, -, \/"

Diesen Grundgedanken der Unterscheidung zweier Arten von Zeichen, der in der Grössenlehre leider nicht rein durchgeführt ist *), nehme ich auf, um ihn für das umfassendere Gebiet des reinen Denkens überhaupt nutzbar zu machen. Alle Zeichen, die ich anwende, theile ich daher ein in solche, unter denen man sich Verschiedenes vorstellen kann, und in solche die einen gtmz bestimmten Sinn haben. Die erstern sind die BuchstalJen, und diese sollen hauptsächlich zum Ausdrucke der Allgemeinheit dienen. Bei aller Unbestimmtheit muss aber daran festgehalten werden, dass ein Buchstabe die Bedeutung, welche man ihm einmal gegeben hat, in demselben Zusammenhange beibehält.

nas UrtheiL § 2.

Ein Ui-theil werde immer mit Hilfe des Zeichens

ausgedrUckt, welches links von dem Zeichen oder ,der Zeichenverbindung steht, die den Inhalt des Urtheils angiebt. Wenn man den kleinen senkrechten Strich am linken Ende des wagerechten *) Man denke an I, log, sin, Lim. Fr e g e t ForweI.vrache.

2

fortlässt, so soll dies das Urtheil in eine blosse Vorstellungsver bindung vel·wandelu, VOll welcher der Schreibeude nicht ausdrückt, ob er ihr Wahrheit zuerkenne oder nicht. Bedeute z. B. I A*) dss Urtheil: "die ungleichnamigen Magnetpole ziehen sich an"; dann wird

--A nicht dies Ul-theil ausdrücken, sondern lediglich die Vorstellung von der gegenseitigen Anziehung der ungleich namigen Magnet.pole in dem Leser hervorrufen sollen, etwa um Folgerungen dal-aus zu ziehen und an diesen die Richtigkeit des Gedankens zu prilfen. Wir unJSchreiben in diesem Falle durch die Worte ."de1· Umstand, dass" oder "der Satz, dass". Nicht jeder Inhalt kann durch das vor sein Zeichen gesetzte I ein Urtheil wel-den, z. B. nicht die Vorstellung "Haus'''. Wir unterscheiden daher beu,rtheilbare und unbeurtheilbare Inhä.lte **). Der 1IJagerechte Strich, aus dem das Zeichen I gebildet ist, verbindet die darauf folgenden Zeichen zu einen/' Ganzen, und

auf dies Ganze bezieht sich die Bejahung, welche durch den, senkrechten Strich am linken Ende des wagerechten ausgedrückt wird. Es möge der wagerechte Strich Inhaltsstrich, der senkrechte Urlheilsj,"lrich heissen. Der Inhaltsstl·ich diene auch sonst dazu, irgendwelche Zeichen zu dem Ganzen der dal·auf folgenden Zeichen. in Beziehung zu setzen. Was auf den lnhaltsstrich folgt, l1ntS~' immer einen beurtheilbarell, Inhalt haben. § 3. (Eine Unterscheidung von Subject und Prädicat findet bei meinei" Darsd.~Ul.lng eines Urtbeils nicht statt. Um dies zu l-eehtfertigen, bemerke ich, dass die Inhalte von zwei Ul"theilen in doppelter Weise verschieden sein können: erstens 80, dass die ~"ol­ gerungen, die aus dem einen in Verbindung mit bestimmten andern *) Ich bediene mich der g:ros&en griechischen Buchstaben als A bkürzungen, denen der Leser einen passenden Sinn unterlegen möge, wenn ich sie nich t beson Yp)

(98.

Wenn y in der (-Reihe auf x und llJenn z in der "-Reihe auf 11 [olgt, so folgt z in der f;..Relhe auf x.

S 29.

- x) 11-((.. I-. (z " p r (zr'

)= - ~" f(x", z{J)J J Z fI) {J

(99.

Ich verweise bier .auf das bei den Formeln (69) und (76) über die EinfnhruDg neuer Zeichen Gesagte. Es mag

p "I

(xi" %p)

durch "z gehört der mit x anfangenden {-Reihe an", oder durch "x gehört der mit zendenden f - Reihe an" übersetzt werden. DanD lautet (99) in Worten 80:

72

Wenn z dasselbe wie x ist, oder auf x in der (-Reihe (olgt, so sage ich: ,,z, gehört der mit x anfangenden (-Reihe anti; oder: "X gehört der mit Z endenden {- Reihe an tt.

I

99.

(57) : (er) r c

(z

d L..

= x)

1_. t[~X"'ZfJ»)=1[(X,,'ZfJ»)

((

l

= I-, p" ( (

~....,..--. (z

I-

xi"

I-, t [(x,,_ zfJ)

p(

(

zp)

"

7i [(x", zfJ)

\

(100.

zi" ZfJI

(4:8) : b (z

x)

= z)

c

f [(x", ZfJ)

d

!. (Xi"

a

'1

fJ

_I

t [(x", VfJ)

I _I

(z, v)

!. f fJ

ZfJ)

[(x,,_ VfJ) [(z, v)

_I

t

(xr , Z{J)

[(x", VfJ)

(z, v)

t[

(x",

Z

fJ)

t Lf

[(x". VfJ) (z, 11) (z =x)

(96,

92)

z z v

x Z z x

y

y v

I

1

t [ (x", vfJ)

-

(z,. v)

(101.

~

I--!" (zr' zfJ) fJ

Die Ableitung von (102) mag hier in Worten folgen. Wenn z dasselbe wie z ist, 80 folgt nach (92) jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf z in der (-Reihe .ufx. Wenn z in der (-Reihe auf x folgt, so folgt nach (96) jedes Ergebnis einer Anwendung von f auf z in der (-Reihe auf z. AU8 diesen heiden Sätzen folgt nach (100): e) In Betreif des letzten Schlus8es siehe § 6.

73 Wenn z der r,nit.x anfang.enden {-Reihe angehört, 80 folgt J·edes Ergebnis einer AnftJendung des Verfahrens f auf % in der f - Reihe auf x.

I (z - x) '-r t { (x", z{J)

I

100

-=-----

(19) : b (z

=

c -, d

.! f {J

(X'Y'

{(x", Z {J)

I---~~-(x

x)

7{(x",

f

,-, t

Z{J)

= z) {(x", z{J)

..:-.-.- !( (x)" %{J) {l

Z (J)

~--:--I-(x

a (x.- z)

= z)

-(z=x)

{lOS.

(55) :.:

:1:

(104.

§ 30. 99 (52) :

(r) r C

d

I

Z=Z

-, t {(x", z{l)

~ f (x", fJ

{t05.

ZfI)

(37) : a

1-

b (z c

{(xr' z{l)

=x)

t {(xr, z/I)

I

I ;

-t

{(r", z{J) {(x", z{J)

(106.

WtJI in der {-Reihe auf x {olgt, gehört der mit x anfangenden f ~ Reihe an.

74 0

106

xl vz Z

(7) :

a

!. f (zr' {J

v{J)

b

t {(zr' vfl)

c

f

d

2: (zr' Y{J)

L -1 {(Zr' vfl)

I

f (y, v)

7

{(Zr'

(y, v)

I

f1

lIpl

t {(Zr' vfJ)

-(y,'v)

.--2:. !(zr' lIfJ) fJ

(102) : :

xlzy

I

%

I

(107.

-1 {(Zr' vfJ)

- ( y , v)

~ f (Zr' YfJ) (108. fJ Hier folge die Ableitung von (lOB) in Worten. Wenn y der mit z anfaongenden (-Reihe angehört, 80 folgt nach (102) jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens { auf 11 in der f- Reihe auf z. Nach (106) gehört dann jedes Ergebnis einer A.nwendung des VerfahreDs f auf Y der mit z anfangenden f- Reihe an. naher: Wenn y der mit z anfangenden (-Reihe angehört, so gehört Jedes ErgebnOis einer An1lJendu'lg des Verfahr81is f auf y der Illit z anfangenden f- Reihe an. I_ _

lOB v a x y b

z

(75) :. F(r)

/7

{(.1"r'

r fl)

I

1(7 a

{(x"/' afl)

«ö, a)

109.

Die Eigenschaft, der mit x anfangenden {-Reihe an zug ehören, vererbt sich in der f - Reihe.

75

1(~

109

{(x r , ap)

(0, a)

a

(78) :

./tlF) ![(xr,lp) {J

r fJ r . -1 !(Yr' mfJ)

I

~ f(x y , mp)

x 11 11 m

I

CI '-'

7i1 {(xr , (J.p)

-(1/, Q)

108

(110.

I f {(zr' vp)

I

- ( y , v)

r ((zr' Yp)

vv

fJ

(25) :

a

1-

C

f (Y,

d

j {(Zr' Y{J)

{(Zr' Vp)

!{J

I

r

-,-t

v)

l(zr' VfJ) {(r'r' z{J)

(y, v)

r (v , ZfJ) b - ,-(j r

!

fJ

~"olgendes

{(zr' Yp)

(111.

ist die Ableitung von (111) in Worten. Wenn y der mit z anfangenden (-Reihe angehört, so gehört nach (108) jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf y der mit z anfangenden f- Reihe an. Daher gehört dann jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfabrens f auf 11 d~r mit z anfangenden (-Reihe an, oder geht in der f - Reihe dem z vorbel Also: Wenn 11 der mit z anfangenden f- Reihe angehört, so gehört jedes Ergebnis einer A.nllJe1~dung des "·er(ahrens f auf y der mit z anfangenden {-Reihe an, oder geht in der {-Reihe dem w •

z vorher.

76

t

105

1I

{(xr' zp)

(z = x)

t

{(xr' zp)

If

{(x r zp)

1_.

(11) : a

f

b (z

{(Xr' Zp)

= x)

c -,

t

I

(112.

- ( z =x)

{(x r zp)

(7) : a

1-

{(xr'

z p ) 1.-----:------:---:-- ~ {(xr' zp)

=r x) - . 7i {(zr' xfJ)

b (z c

d

f

r -. P [(zr' }

{(zr' xp)

(z

xfJ)

{(zr xp)

=

x)

'1 -. P ({zr' x{l)

~{(Zr xp)

{113.

(l04) : :

=1=

~I~--.-

1- {(xr

zp)

-. 1r {(z", :e{l)

1

{(Zr xp)

(114:.

Folgendes ist die Ableitung dieser Formel in Worten.

EI gehöre x der mit z anfangenden {-Reihe an. Dann ist Dach (104) Z dasaelbe wie x; oder z rolgt in der {- Reihe auf z. Wenn z d...elbe wie x ist, 80 gehört nach (112) z der mit .x anCangenden {-Reihe an.

77 Aus den letzten beiden Sätzen folgt: z gehört der mit x anfangenden f-Reihe an; oder x folgt in der {-Rei~e auf z. Daher:

Wenn x der mit z anfangenden {-Reihe angehört, so gehört z der mit x anfangenden {- Reihe an; oder x {olgt in der f-Reihe auf z. § 31.

Ich 11 bersetze

°I

((0, E)

E

durch "der Umstand, dass das Verfahren (eindeutig ist". kann (115) so wiedergegeben werden:

Dann

Wenn aus dem Umstande, dass e Ergebnis einer An1lJendung des Verfahrens ( auf bist, 1IJas auch b sein 1nag, geschlossen 1IJerden kann, dass JOedes Ergebnis eine1· Anwendung des Ver{ahrens ( auf b dasselbe 1IJie e sei, so sage ich: "das 17erfahren f ist eindeutigtl.

(68) : f(r)

~-~-I (a = I) -f(b, a) ·--f(b, p) Ö

I {(o, e)

b

E

a e (9) :

5

o

-=------ 1 f( Ö, e) E

c x

*)

I-~-~-«(l_ x) I-f(b, a) '--f(b, x)

24.

(116.

r

78 b

••

~-~-(a=x) '-/(b, a) I (h, X)

== X)

4 (_ ---'--'a

I_(y,

(1)

(y, X)

0 c I (ö, E)

(}'

I (6, e)

E

E

~-(a=x) '-(1/, (1)

a -~-(4 =x)

I_(y, a)

(y, x)

{(y, x)

~-~-«1=x) '-f(b, a) ((b, x)

(117.

(58) : :

a b

I

= '-(r,

f(r) -~- (4

X)

(er,

cly

a) x)

(a=x) II~-' -{(y, a)

{(V, X) d

I (ö,

E)

E

(118.

(19) :

=

I

b ~-(a=x) I_f(y, a) c ({g, x)

r (a -f{JI,

x) a) {(1/, x)

& I (tl, E)

.1 d

I (.1, e) E

a

E

= '-(1/, (a

(a =x) -(y, a)

,

x) a)

~-, (a

=

x)

-f(Y, (1) (58) : :

f(r)l' (r-

x) -leg, I')

c a

-I

I

(119.

=

(a x) I-(y, a) {(y, x)

4

I f(o, E)

E

(20) :

(120.

79

=

b (a x) c f{y) a) d f(Y, x)

I

I

-f(Y, a) f(y, x}

ingtn baffelbt .3eidJtn gebtn, btatid}ntn roit eigendid) nid.)t mt~r bat tinaelnt 1)ing, fonbtrn ba~ i~nen @tmeinfanlt, btn ergriff. Unb biefen gtminnen \\lir ttft baburd], ba; wir i~n beötid)nen; benn ba er an tim unanfd]auli~ i~, bcbarf er

[50]

108

tiatß anfd,Aldia,tn Ukrtrfter~, llJn un~ trfcf)ti~lt 311 'ÖnntM. So trfd)fitfjt un~ bae EinnCict,r bie ®eft bt'~ Unttnnfid>m. ~itrlnit ~llb bie mrrbirnfte ber 3dd)rl1 nid)t trfd}öl'ft. @~ nlaß inbefftn geni'ltJtn, il)re Unrntbf~rfid)feit bar~ut~lln. rünolid)ftit fo nabe au lommen fd)einrnl ba; fit wie jtne felbft gebroud)t \nerben~ C&in ftreng abgegren~ttr .ireie \)on iYormtn bee Sd)lieUtne ift in ber Spralte eben nid}t norbanben, fobafj ein lüdtn(ofer lYorroang an ber fprad}lid)en t10rm non tinent Utberfl'ringen non Slt>ifd)engliebern nid)t au unterfd>tibtn ift. ~Jlan fallit fogar fagtn, ba~ ~rfiertr in btr Sprad)t faft nid)t \)Orfonllnt, hap er btm C5prad}gefü~{e ",ibel~ ftrtbt, tufil er mit dntt unerträglid)en ~eitfd)",eifigfeit \)er~ bunbtn wärt. ~ie (ogifd}tn mer~äUniffe werbtn burd) bic <S\)rad)e fart immer nur llngei:ltutet, bem &rrat~en übtrlaffen, nid)t tigentIid) "u~ßebrüdt. IDae gefdJritbene bat \)or t)tnl oefprod)enen m30rtr nUT bit ~4Uer 'Ooraus. 9Jlan fann eintn @ebanftngang me~rm(1(e übtrblidtn , o~nt eine meränbtrung befürd}ten au lnüffen, unb il)n. fo Rrünblid.}tr auf feine ~ünbieftit "rüfen. l)ie 9ltgeln btr ~09if werben hierbei wie rine mid)tfd)nur äuöerlidJ angelegt, b,,· in btm m!tfen ber ~ortfd)rift felbft feint genügtnbt @ewä~f U,gt.. ~ber au~ fo tnt~t~tn Itid}t ~t~lfr btm ~ugt b,~ ~rüfen~ ben, btfonbtre fold}t, bt.t "U~ leid}ten merfd)iebtn~eittn btr Q3rlf btutung tine~ UBortt~ entfl>ringtn. ~a~ mir troöbem in1 \!t~en mit in ber ~ifftnfd}nft ncm fo Itfblid) un~ aurtd)t finbtn I \)tr~ bRafen \uir ben mtlnnid)f"d)en IDlitteln btr 9lod)l'rüfung I bit un' mtifttn~ ~u Qjrbote flt~en. 1)it ~rfa~rung I bit räunlHd}f jlnfdJauung btlllai)rfn unG ~or ~itltn ~tb(ern. ~i( logifd)en Sltgt(n ßtwä~rtn ~in9r9tn n>mig Sd)u~, mit ~tifpiere (tU" foldJtn @,bitttn Arioen, in Denfn bie IDlitte( btr ~qd}~litlfuns AlS eoeJfagtn 4ßfan.ßtn.. l)irft meoe{n babtn tlud] groje ~~UO$ fDl'btn nidJt nor 3rl.bilmer.n brl\),,~rt, unb ebenf&) roenifl bakn 2)

~tnn

[52]

110

fit bit

~öbtre

9)latbtmatif 'Oon ~t~(trn inlmtr frti ot~Q[ttn, tutH fit bem 3nb,llte flet! äuperlidJ bleiben. ~ie ~er\1orgebobtntn IDlängrl ~abtn i~rtn @runb in eintr gen,iffen ~tid)~eit unb mtränberlid}ftit ber Sprad]t, bit anbttr$ ftit~ ~tbinßung il,fer ~ntlUide{ungefäbi9frit unb »ielfeitigen XaufJlid)ftit ift. Die SpradJt f'lnn in bitftr ()infid)t mit ber ~anb »trgfid)en 'Derben I bit una tro~ f~rcr \jä~igfeit, ticl> beil utrfd)iebtnfttn 2lufg'lbtn 'lnaupafftn, nid)t genügt. mir fd)affen un~ fünftLid)e ~änbe, ~erfaeuße für befonbtre 31Utde, bit fo genon arbeittn, roit bit ~anb ce nid)t »ttlnÖd)le. Unb luoburd) mirb biefe @enauigftit mögUcf1? ~urd} fbtn ~ie Starr~tit, bit UnutränberUcljfeit ber ~~eile I bettn IDlangtl ~it ~llnb f0 »itf~ feUig gefdJidt nHld)t. So gtnügt aud) bie ~ortfprad)e nid)t. ~ir btbiarfen tiltt! @anatn »on 8tfct,en, QUa btm itbe mitl~ btutigfeit utrbannt ift I befftn ftttnger {ogifd}er ~urln btr ~Qlt nid,t entf~(~pftn fann. \~ «en auf ber 5rueifnd) (1u~oebebnttn Scbreib'fläd)e fönntn in weit 11lannid}fad)tttr ~tife ~l1m ~u"" t-rude inntrer ~eaitbungtn "errotnt'tt werbtn a{ß ba~ bloöe ~ol9cn unb morbtrgebtn in bcr ein fad) auegtbebnttn 3tH, unb bie~ erfeid}tert bit ~uffinbuno btfftn, morauf \uir unfere 21uf* mtrffamftit gerabt riebttn lUOUtn. ~n ber ~b'lt tntfpridJt ja aud) bit einfad)r 9lei~ung in feiner ~tife ber rolannict,faltigfeit ber (ogifcben ~t~itl)unstn, burd) ll)t(~t bie @eb'lnfrn unter einanDer nerfnü\>ft finb. So tinb grabe bit &igenfcbaften, bUtd) ,ue(~t fid) bie Sd)rift non bem morfteUun9~~tr('lufe \»titer rntftrnt, am meiften getignet, getuifftn gJlängt{n unftrcr 21n(ase ab~u~trfcn. mtnn t~ tiel) nid)t barum ~anbelt, ba~ natürlid)e ~enftn bar!ufteUen, ,,,fe e~ fief} in ~ed)fthnirfun9 mit Dtr \lBortfprod}t ßt'ftaUet bat, fonbern btffen ~inftiti9feittn au ergan~en, bic fiel) aua btm engtn Qlnfd)(uj an btn einen Sinn bt~ @tbör" ergeben ~aben, fo mirb bemnad) bie Sd)rift bt.ln ~aute \'orauoie~en fe~n. l)ufif'lHfd)en ~lpl>\lra'e ; biefe fönnen nur burd) eine fort:, gefd)rittrne XedJnif ~er'Oorgebracl)t ll'erben, \ueld}e \l'iebtr auf btr -Renntnip btr 9laturaeft~e fufjt. l)er ~rei~ {öft fiel} in aUen ~äUtn auf biefelbe meife. ~in ~ortfd)ritt in bet ~~tJfif ~at einen fo(d)fn in ber Xed)nif aUf ljolge, unb biefer mad)t ee mögfid) neUt ~PP'lrate AU bauen, lnittel0 beTen wiebet bie ~~t)fif gefötbert l»{rb. 1)ie ~n,ue1tbung auf unfrrn ~aa ergiebt ftd) t)on felbft. ~d) ~abt nun l'erfud)t *) bit matbeluatifd}e ~orme{fl'rad)e burd) 3ei~en fiir bie {ogifd)en mer~äftniffe au ergän~tn, foba, batau6 3undd>ft für ba~ @ebitt ~er rolatbtmatif eint ~tgriff~­ fd)rift ~er'Ootgt~e, mie icQ fit ale ",ünf