Angewandte Mathematik: Body and Soul: Analysis in Mehreren Dimensionen, Volume 3

Angewandte Mathematik: Body and Soul K. Eriksson · D. Estep · C. Johnson Angewandte Mathematik: Body and Soul [BAND ...

Author: Kenneth Eriksson | Donald Estep | Claes Johnson

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Angewandte Mathematik: Body and Soul

K. Eriksson · D. Estep · C. Johnson

Angewandte Mathematik: Body and Soul [BAND 3]

Analysis in mehreren Dimensionen

Übersetzt von Josef Schüle Mit 170 Abbildungen

123

Donald Estep

Kenneth Eriksson Claes Johnson Chalmers University of Technology Department of Mathematics 41296 Göteborg, Sweden e-mail: kenneth|[email protected]

Colorado State University Department of Mathematics Fort Collins, CO 80523-1874, USA e-mail: [email protected]

Übersetzer: Josef Schüle Technische Universität Braunschweig Rechenzentrum Hans-Sommer-Str. 65 38106 Braunschweig email: [email protected]

Englische Originalausgabe erschienen bei Springer Heidelberg, 2003.

Mathematics Subject Classification (2000): 15-01, 34-01, 49-01, 65-01, 70-01, 76-01

ISBN 3-540-24340-2 Springer Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Josef Schüle, Braunschweig Druckdatenerstellung und Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: design & production, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

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Den Studierenden der Chemieingenieurwissenschaften an der Chalmers Universität zwischen 1998–2002, die mit Begeisterung an der Entwicklung des Reformprojekts, das zu diesem Buch geführt hat, teilgenommen haben.

Vorwort

Ich gebe zu, dass alles und jedes in seinem Zustand verharrt, solange es keinen Grund zur Ver¨ anderung gibt. (Leibniz)

Die Notwendigkeit fu ¨r eine Reform der Mathematikausbildung Die Ausbildung in Mathematik muss nun, da wir in ein neues Jahrtau¨ send schreiten, reformiert werden. Diese Uberzeugung teilen wir mit einer schnell wachsenden Zahl von Forschern und Lehrern sowohl der Mathematik als auch natur- und ingenieurwissenschaftlicher Disziplinen, die auf mathematischen Modellen aufbauen. Dies hat nat¨ urlich seine Ursache in der Revolution der elektronischen Datenverarbeitung, die grundlegend die M¨ oglichkeiten f¨ ur den Einsatz mathematischer und rechnergest¨ utzter Techniken in der Modellbildung, Simulation und der Steuerung realer Vorgänge ver¨ andert hat. Neue Produkte k¨ onnen mit Hilfe von Computersimulationen in Zeitspannen und zu Kosten entwickelt und getestet werden, die um Gr¨ oßenordnungen kleiner sind als mit traditionellen Methoden, die auf ausgedehnten Laborversuchen, Berechnungen von Hand und Versuchszyklen basieren. Von zentraler Bedeutung f¨ ur die neuen Simulationstechniken sind die neuen Disziplinen des so genannten Computational Mathematical Modeling (CMM) wie die rechnergest¨ utzte Mechanik, Physik, Strömungsmechanik, Elektromagnetik und Chemie. Sie alle beruhen auf der Kombination von

VIII

Vorwort

L¨ osungen von Differentialgleichungen auf Rechnern und geometrischer Modellierung/Computer Aided Design (CAD). Rechnergest¨ utzte Modellierung er¨ offnet auch neue revolution¨ are Anwendungen in der Biologie, Medizin, ¨ den Okowissenschaften, Wirtschaftswissenschaften und auf Finanzmärkten. Die Ausbildung in Mathematik legt die Grundlage f¨ ur die natur- und ingenieurwissenschaftliche Ausbildung an Hochschulen und Universitäten, da diese Disziplinen weitgehend auf mathematischen Modellen aufbauen. Das Niveau und die Qualit¨ at der mathematischen Ausbildung bestimmt daher maßgeblich das Ausbildungsniveau im Ganzen. Die neuen CMM/CAD Techniken u ¨ berschreiten die Grenze zwischen traditionellen Ingenieurwissenschaften und Schulen und erzwingen die Modernisierung der Ausbildung in den Ingenieurwissenschaften in Inhalt und Form sowohl bei den Grundlagen als auch bei weiterf¨ uhrenden Studien.

Unser Reformprogramm Unser Reformprogramm begann vor etwa 20 Jahren in Kursen in CMM f¨ ur fortgeschrittene Studierende. Es hat u ¨ber die Jahre erfolgreich die Grundlagenausbildung in Infinitesimalrechnung und linearer Algebra beeinflusst. Unser Ziel wurde der Aufbau eines vollst¨ andigen Lehrangebots f¨ ur die mathematische Ausbildung in natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen, angefangen bei Studierenden in den Anfangssemestern bis hin zu Graduierten. Bis jetzt umfasst unser Programm folgende B¨ ucher: 1. Computational Differential Equations, (CDE) 2. Angewandte Mathematik: Body & Soul I–III, (AM I–III) 3. Applied Mathematics: Body & Soul IV–, (AM IV–). Das vorliegende Buch AM I–III behandelt in drei Bänden I–III die Grundlagen der Infinitesimalrechnung und der linearen Algebra. AM IV– erscheint ab 2003 als Fortsetzungsreihe, die speziellen Anwendungsbereichen gewidmet ist, wie Dynamical Systems (IV), Fluid Mechanics (V), Solid Mechanics (VI) und Electromagnetics (VII). Das 1996 erschienene Buch CDE kann als erste Version des Gesamtprojekts Applied Mathematics: Body & Soul angesehen werden. Außerdem beinhaltet unser Lehrangebot verschiedene Software (gesammelt im mathematischen Labor) und erg¨ anzendes Material mit schrittweisen Einf¨ uhrungen f¨ ur Selbststudien, Aufgaben mit Lösungen und Projekten. Die Website dieses Buches erm¨ oglicht freien Zugang dazu. Unser Ehrgeiz besteht darin eine “Box“ mit einem Satz von B¨ uchern, Software und Zusatzmaterial anzubieten, die als Grundlage f¨ ur ein vollständiges Studium,

Vorwort

IX

angefangen bei den ersten Semestern bis zu graduierten Studien, in angewandter Mathematik in natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen dienen kann. Nat¨ urlich hoffen wir, dass dieses Projekt durch ständig neu hinzugef¨ ugtes Material schrittweise erg¨ anzt wird. Basierend auf AM I–III haben wir seit Ende 1999 das Studium in angewandter Mathematik f¨ ur angehende Chemieingenieure beginnend mit Erstsemesterstudierenden an der Chalmers Universität angeboten und Teile des Materials von AM IV– in Studieng¨ angen f¨ ur fortgeschrittene Studierende und frisch Graduierte eingesetzt.

Schwerpunkte des Lehrangebots: Das Angebot basiert auf einer Synthese von Mathematik, Datenverarbeitung und Anwendung. Das Lehrangebot basiert auf neuer Literatur und gibt damit von Anfang an eine einheitliche Darstellung, die auf konstruktiven mathematischen Methoden unter Einbeziehung von Berechnungsmethoden f¨ ur Differentialgleichungen basiert. Das Lehrangebot enth¨ alt als integrierten Bestandteil Software unterschiedlicher Komplexit¨ at. Die Studierenden erarbeiten sich fundierte Fähigkeiten, um in Matlab Berechnungsmethoden umzusetzen und Anwendungen und Software zu entwickeln. Die Synthese von Mathematik und Datenverarbeitung eröffnet Anwendungen f¨ ur die Ausbildung in Mathematik und legt die Grundlage f¨ ur den effektiven Gebrauch moderner mathematischer Methoden in der Mechanik, Physik, Chemie und angewandten Disziplinen. Die Synthese, die auf praktischer Mathematik aufbaut, setzt Synergien frei, die es schon in einem fr¨ uhen Stadium der Ausbildung erlauben, komplexe Zusammenh¨ ange zu untersuchen, wie etwa Grundlagenmodelle mechanischer Systeme, Wärmeleitung, Wellenausbreitung, Elastizit¨ at, Str¨ omungen, Elektromagnetismus, Diffusionsprozesse, molekulare Dynamik sowie auch damit zusammenhängende Multi-Physics Probleme. Das Lehrangebot erh¨ oht die Motivation der Studierenden dadurch, dass bereits von Anfang an mathematische Methoden auf interessante und wichtige praktische Probleme angewendet werden. Schwerpunkte k¨ onnen auf Probleml¨ osungen, Projektarbeit und Präsentationen gelegt werden.

X

Vorwort

Das Lehrangebot vermittelt theoretische und rechnergest¨ utzte Werkzeuge und baut Vertrauen auf. Das Lehrangebot enth¨ alt einen Großteil des traditionellen Materials aus Grundlagenkursen in Analysis und linearer Algebra. Das Lehrangebot schließt vieles ein, das ansonsten oft in traditionellen Programmen vernachl¨ assigt wird, wie konstruktive Beweise aller grundlegenden S¨ atze in Analysis und linearer Algebra und fortgeschrittener Themen sowie nicht lineare Systeme algebraischer Gleichungen bzw. Differentialgleichungen. Studierenden soll ein tiefes Verst¨ andnis grundlegender mathematischer Konzepte, wie das der reellen Zahlen, Cauchy-Folgen, LipschitzStetigkeit und konstruktiver Werkzeuge f¨ ur die Lösung algebraischer Gleichungen bzw. Differentialgleichungen, zusammen mit der Anwendung dieser Werkzeuge in fortgeschrittenen Anwendungen wie etwa der molekularen Dynamik, vermittelt werden. Das Lehrangebot l¨ asst sich mit unterschiedlicher Schwerpunktssetzung sowohl in mathematischer Analysis als auch in elektronischer Datenverarbeitung umsetzen, ohne dabei den gemeinsamen Kern zu verlieren.

AM I–III in Kurzfassung Allgemein formuliert, enth¨ alt AM I–III eine Synthese der Infinitesimalrechnung, linearer Algebra, Berechnungsmethoden und eine Vielzahl von Anwendungen. Rechnergest¨ utzte/praktische Methoden werden verstärkt behandelt mit dem doppelten Ziel, die Mathematik sowohl verständlich als auch benutzbar zu machen. Unser Ehrgeiz liegt darin, Studierende fr¨ uh (verglichen zur traditionellen Ausbildung) mit fortgeschrittenen mathematischen Konzepten (wie Lipschitz-Stetigkeit, Cauchy-Folgen, kontrahierende Operatoren, Anfangswertprobleme f¨ ur Differentialgleichungssysteme) und fortgeschrittenen Anwendungen wie Lagrange-Mechanik, Vielteilchen-Systeme, Bev¨ olkerungsmodelle, Elastizität und Stromkreise bekannt zu machen, wobei die Herangehensweise auf praktische/rechnergest¨ utzte Methoden aufbaut. Die Idee dahinter ist es, Studierende sowohl mit fortgeschrittenen mathematischen Konzepten als auch mit modernen Berechnungsmethoden vertraut zu machen und ihnen so eine Vielzahl von Möglichkeiten zu eröffnen, um Mathematik auf reale Probleme anzuwenden. Das steht im Widerspruch zur traditionellen Ausbildung, bei der normalerweise der Schwerpunkt auf analytische Techniken innerhalb eines eher eingeschränkten konzeptionellen Gebildes gelegt wird. So leiten wir Studierende bereits im zweiten

Vorwort

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Halbjahr dazu an (in Matlab) einen eigenen Löser f¨ ur allgemeine Systeme gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen auf gesundem mathematischen Boden zu schreiben (hohes Verst¨ andnis und Kenntnisse in Datenverarbeitung), wohingegen traditionelle Ausbildung sich oft zur selben Zeit darauf konzentriert, Studierende Kniffe und Techniken der symbolischen Integration zu vermitteln. Solche Kniffe bringen wir Studierenden auch bei, aber unser Ziel ist eigentlich ein anderes.

Praktische Mathematik: Body & Soul ¨ In unserer Arbeit kamen wir zu der Uberzeugung, dass praktische Gesichtspunkte der Infinitesimalrechnung und der linearen Algebra stärker betont werden m¨ ussen. Nat¨ urlich h¨ angen praktische und rechnergest¨ utzte Mathematik eng zusammen und die Entwicklungen in der Datenverarbeitung haben die rechnergest¨ utzte Mathematik in den letzten Jahren stark vorangetrieben. Zwei Gesichtspunkte gilt es bei der mathematischen Modellierung zu ber¨ ucksichtigen: Den symbolischen Aspekt und den praktisch numerischen. Dies reflektiert die Dualit¨ at zwischen infinit und finit bzw. zwischen kontinuierlich und diskret. Diese beiden Gesichtspunkte waren bei der Entwicklung einer modernen Wissenschaft, angefangen bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung in den Arbeiten von Euler, Lagrange und Gauss bis hin zu den Arbeiten von von Neumann zu unserer Zeit vollständig miteinander verwoben. So findet sich beispielsweise in Laplaces grandiosem f¨ unfb¨ andigen Werk Mécanique Céleste eine symbolische Berechnung eines mathematischen Modells der Gravitation in Form der Laplace-Gleichung zusammen mit ausf¨ uhrlichen numerischen Berechnungen zur Planetenbewegung in unserem Sonnensystem. Beginnend mit der Suche nach einer exakten und strengen Formulierung der Infinitesimalrechnung im 19. Jahrhundert begannen sich jedoch symbolische und praktische Gesichtspunkte schrittweise zu trennen. Die Trennung beschleunigte sich mit der Erfindung elektronischer Rechenmaschinen ab 1940. Danach wurden praktische Aspekte in die neuen Disziplinen numerische Analysis und Informatik verbannt und hauptsächlich außerhalb mathematischer Institute weiterentwickelt. Als ungl¨ uckliches Ergebnis zeigt sich heute, dass symbolische reine Mathematik und praktische numerische Mathematik weit voneinander entfernte Disziplinen sind und kaum zusammen gelehrt werden. Typischerweise treffen Studierende zuerst auf die Infinitesimalrechnung in ihrer reinen symbolischen Form und erst viel sp¨ ater, meist in anderem Zusammenhang, auf ihre rechnerische Seite. Dieser Vorgehensweise fehlt jegliche gesunde wissenschaftliche Motivation und sie verursacht schwere Probleme in Vorlesungen der Physik, Mechanik und angewandten Wissenschaften, die auf mathematischen Modellen beruhen.

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Vorwort

Durch eine fr¨ uhe Synthese von praktischer und reiner Mathematik eröffnen sich neue M¨ oglichkeiten, die sich in der Synthese von Body & Soul widerspiegelt: Studierende k¨ onnen mit Hilfe rechnergest¨ utzter Verfahren bereits zu Beginn der Infinitesimalrechnung mit nicht-linearen Differentialgleichungssystemen und damit einer F¨ ulle von Anwendungen vertraut gemacht werden. Als weitere Konsequenz werden die Grundlagen der Infinitesimalrechnung, mit ihrer Vorstellung zu reellen Zahlen, Cauchy-Folgen, Konvergenz, Fixpunkt-Iterationen, kontrahierenden Operatoren, aus dem Schrank mathematischer Skurrilit¨ aten in das echte Leben mit praktischen Erfahrungen verschoben. Mit einem Schlag lässt sich die mathematische Ausbildung damit sowohl tiefer als auch breiter und anspruchsvoller gestalten. Diese Idee liegt dem vorliegenden Buch zugrunde, das im Sinne eines Standardlehrbuchs f¨ ur Ingenieure alle grundlegenden Sätze der Infinitesimalrechnung zusammen mit deren Beweisen enthält, die normalerweise nur in Spezialkursen gelehrt werden, zusammen mit fortgeschrittenen Anwendungen wie nicht-lineare Differentialgleichungssysteme. Wir haben festgestellt, dass dieses scheinbar Unm¨ ogliche u ¨ berraschend gut vermittelt werden kann. Zugegeben, dies ist kaum zu glauben ohne es selbst zu erfahren. Wir hoffen, dass die Leserin/der Leser sich dazu ermutigt f¨ uhlt.

Lipschitz-Stetigkeit und Cauchy-Folgen Die u ¨ blichen Definitionen der Grundbegriffe Stetigkeit und Ableitung, die in den meisten modernen B¨ uchern u ¨ ber Infinitesimalrechnung zu finden sind, basieren auf Grenzwerten: Eine reellwertige Funktion f (x) einer reellen x) ist. f (x) heißt Variablen x heißt stetig in x ¯, wenn limx→¯x f (x) = f (¯ ableitbar in x¯ mit der Ableitung f (¯ x), wenn lim

x→¯ x

f (x) − f (¯ x) x−x ¯

existiert und gleich f (¯ x) ist. Wir gebrauchen daf¨ ur andere Definitionen, die ohne den st¨ orenden Grenzwert auskommen: Eine reellwertige Funktion f (x) heißt Lipschitz-stetig auf einem Intervall [a, b] mit der Lipschitz-Konstanten ur alle x, x¯ ∈ [a, b] Lf , falls f¨ ¯| |f (x) − f (¯ x)| ≤ Lf |x − x gilt. Ferner heißt f (x) bei uns ableitbar in x ¯ mit der Ableitung f (¯ x), wenn eine Konstante Kf (¯ x) existiert, so dass f¨ ur alle x in der Nähe von x¯ x)(x − x ¯)| ≤ Kf (¯ x)|x − x ¯|2 |f (x) − f (¯ x) − f (¯ gilt. Somit sind unsere Anforderungen an die Stetigkeit und Differenzierbarkeit strenger als u ¨ blich; genauer gesagt, wir verlangen quantitative Größen

Vorwort

XIII

Lf und Kf (¯ x), wohingegen die u ¨ blichen Definitionen mit Grenzwerten rein qualitativ arbeiten. Mit diesen strengeren Definitionen vermeiden wir pathologische Fälle, die Studierende nur verwirren k¨ onnen (besonders am Anfang). Und, wie ausgef¨ uhrt, vermeiden wir so den (schwierigen) Begriff des Grenzwerts, wo in der Tat keine Grenzwertbildung stattfindet. Somit geben wir Studierenden keine Definitionen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit, die nahe legen, dass die Variable x stets gegen x ¯ strebt, d.h. stets ein (merkw¨ urdiger) Grenzprozess stattfindet. Tats¨ achlich bedeutet Stetigkeit doch, dass die Differenz f (x) − f (¯ x) klein ist, wenn x − x¯ klein ist und Differenzierbarkeit bedeutet, dass f (x) lokal nahezu linear ist. Und um dies auszudr¨ ucken, brauchen wir nicht irgendeine Grenzwertbildung zu bem¨ uhen. Diese Beispiele verdeutlichen unsere Philosophie, die Infinitesimalrechnung quantitativ zu formulieren, statt, wie sonst u ¨blich, rein qualitativ. Und wir glauben, dass dies sowohl dem Verständnis als auch der Exaktheit hilft und dass der Preis, der f¨ ur diese Vorteile zu bezahlen ist, es wert ist bezahlt zu werden, zumal die verloren gegangene allgemeine G¨ ultigkeit nur einige pathologische F¨ alle von geringerem Interesse beinhaltet. Wir können unsere Definitionen nat¨ urlich lockern, zum Beispiel zur Hölder-Stetigkeit, ohne deswegen die quantitative Formulierung aufzugeben, so dass die Ausnahmen noch pathologischer werden. Die u uhen ¨ blichen Definitionen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit bem¨ sich um gr¨ oßtmögliche Allgemeinheit, eine der Tugenden der reinen Mathematik, die jedoch pathologische Nebenwirkungen hat. Bei einer praktisch orientierten Herangehensweise wird die praktische Welt ins Interesse gestellt und maximale Verallgemeinerungen sind an sich nicht so wichtig. Nat¨ urlich werden auch bei uns Grenzwertbildungen behandelt, aber nur in F¨ allen, in denen der Grenzwert als solches zentral ist. Hervorzuheben ist dabei die Definition einer reellen Zahl als Grenzwert einer Cauchy-Folge rationaler Zahlen und die L¨ osung einer algebraischen Gleichung oder Differentialgleichung als Grenzwert einer Cauchy-Folge von Näherungslösungen. Cauchy-Folgen spielen bei uns somit eine zentrale Rolle. Aber wir suchen nach einer konstruktiven Ann¨ aherung mit möglichst praktischem Bezug, um Cauchy-Folgen zu erzeugen. In Standardwerken zur Infinitesimalrechnung werden Cauchy-Folgen und Lipschitz-Stetigkeit im Glauben, dass diese Begriffe zu kompliziert f¨ ur Anf¨ anger seien, nicht behandelt, wohingegen der Begriff der reelle Zahlen undefiniert bleibt (offensichtlich glaubt man, dass ein Anfänger mit diesem Begriff von Kindesbeinen an vertraut sei, so dass sich jegliche Diskussion er¨ ubrige). Im Gegensatz dazu spielen diese Begriffe von Anfang an eine entscheidende Rolle in unserer praktisch orientierten Herangehensweise. Im Besonderen legen wir erh¨ ohten Wert auf die grundlegenden Gesichtspunkte der Erzeugung reeller Zahlen (betrachtet als möglicherweise nie endende dezimale Entwicklung).

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Vorwort

Wir betonen, dass eine konstruktive Annäherung das mathematische Leben nicht entscheidend komplizierter macht, wie es oft von Formalisten/Logikern f¨ uhrender mathematischer Schulen betont wird: Alle wichtigen S¨ atze der Infinitesimalrechnung und der linearen Algebra u ¨berleben, ¨ m¨ oglicherweise mit einigen unwesentlichen Anderungen, um den quantitativen Gesichtspunkt beizubehalten und ihre Beweise strenger f¨ uhren zu k¨ onnen. Als Folge davon k¨ onnen wir grundlegende Sätze wie den der impliziten Funktionen, den der inversen Funktionen, den Begriff des kontrahierenden Operators, die Konvergenz der Newtonschen Methode in mehreren Variablen mit vollst¨ andigen Beweisen als Bestandteil unserer Grundlagen der Infinitesimalrechnung aufnehmen: S¨ atze, die in Standardwerken als zu schwierig f¨ ur dieses Niveau eingestuft werden.

Beweise und Sätze Die meisten Mathematikb¨ ucher wie auch die u ¨ ber Infinitesimalrechnung praktizieren den Satz-Beweis Stil, in dem zunächst ein Satz aufgestellt wird, der dann bewiesen wird. Dies wird von Studierenden, die oft ihre Schwierigkeiten mit der Art und Weise der Beweisf¨ uhrung haben, selten gesch¨ atzt. Bei uns wird diese Vorgehensweise normalerweise umgekehrt. Wir formulieren zun¨ achst Gedanken, ziehen Schlussfolgerungen daraus und stellen dann den zugeh¨ origen Satz als Zusammenfassung der Annahme und der Ergebnisse vor. Unsere Vorgehensweise l¨ asst sich daher eher als Beweis-Satz Stil bezeichnen. Wir glauben, dass dies in der Tat oft nat¨ urlicher ist als der Satz-Beweis Stil, zumal bei der Entwicklung der Gedanken die notwendigen Erg¨ anzungen, wie Hypothesen, in logischer Reihenfolge hinzugef¨ ugt werden k¨ onnen. Der Beweis ¨ ahnelt dann jeder ansonsten u ¨ blichen Schlussfolgerung, bei der man ausgehend von einer Anfangsbetrachtung unter gewissen Annahmen (Hypothesen) Folgerungen zieht. Wir hoffen, dass diese Vorgehensweise das oft wahrgenommene Mysterium von Beweisen nimmt, ganz einfach schon deswegen, weil die Studierenden gar nicht merken werden, dass ein Beweis gef¨ uhrt wird; es sind einfach logische Folgerungen wie im t¨ aglichen Leben auch. Erst wenn die Argumentationslinie abgeschlossen ist wird sie als Beweis bezeichnet und die erzielten Ergebnisse zusammen mit den notwendigen Hypothesen in einem Satz zusammengestellt. Als Folge davon ben¨ otigen wir in der Latexfassung dieses Buches die Satzumgebung, aber nicht eine einzige Beweisumgebung; der Beweis ist nur eine logische Gedankenfolge, die einem Satz, der die Annahmen und das Hauptergebnis beinhaltet, vorangestellt wird.

Vorwort

XV

Das mathematische Labor Wir haben unterschiedliche Software entwickelt, um unseren Lehrgang in einer Art mathematischem Labor zu unterst¨ utzen. Einiges dieser Software dient der Veranschaulichung mathematischer Begriffe wie die Lösung von Gleichungen, Lipschitz-Stetigkeit, Fixpunkt-Iterationen, Differenzierbarkeit, der Definition des Integrals und der Analysis von Funktionen mehrerer Ver¨ anderlichen; anderes ist als Ausgangsmodell f¨ ur eigene Computerprogramme von Studierenden gedacht; wieder anderes, wie die Löser f¨ ur Differentialgleichungen, sind f¨ ur Anwendungen gedacht. Ständig wird neue Software hinzugef¨ ugt. Wir wollen außerdem unterschiedliche MultimediaDokumente zu verschiedenen Teilen des Stoffes hinzuzuf¨ ugen. In unserem Lehrprogramm erhalten Studierende von Anfang an ein Traiur Berechnungen. Die Entning im Umgang mit MATLAB als Werkzeug f¨ wicklung praktischer mathematischer Gesichtspunkte grundlegender Themen wie reelle Zahlen, Funktionen, Gleichungen, Ableitungen und Integrale geht Hand in Hand mit der Erfahrung, Gleichungen mit FixpunktIterationen oder der Newtonschen Methode zu lösen, der Quadratur, numerischen Methoden oder Differentialgleichungen. Studierende erkennen aus ihrer eigenen Erfahrung, dass abstrakte symbolische Konzepte tief mit praktischen Berechnungen verwurzelt sind, was ihnen einen direkten Zugang zu Anwendungen in physikalischer Realität vermittelt.

Besuchen sie http://www.phi.chalmers.se/bodysoul/ Das Applied Mathematics: Body & Soul Projekt hat eine eigene Website, die zus¨ atzliches einf¨ uhrendes Material und das mathematische Labor (Mathematics Laboratory) enth¨ alt. Wir hoffen, dass diese Website f¨ ur Studierende zum sinnvollen Helfer wird, der ihnen hilft, den Stoff (selbständig) zu verdauen und durchzugehen. Lehrende m¨ ogen durch diese Website angeregt werden. Außerdem hoffen wir, dass diese Website als Austauschforum f¨ ur Ideen und Erfahrungen im Zusammenhang mit diesem Projekt genutzt wird und wir laden ausdr¨ ucklich Studierende und Lehrende ein, sich mit eigenem Material zu beteiligen.

Anerkennung Die Autoren dieses Buches m¨ ochten ihren herzlichen Dank an die folgenden Kollegen und graduierten Studenten f¨ ur ihre wertvollen Beiträge, Korrekturen und Verbesserungsvorschl¨ age ausdr¨ ucken: Rickard Bergström, Niklas Eriksson, Johan Hoffman, Mats Larson, Stig Larsson, M˚ arten Levenstam, Anders Logg, Klas Samuelsson und Nils Svanstedt, die alle aktiv an unse-

XVI

Vorwort

rem Reformprojekt teilgenommen haben. Und nochmals vielen Dank allen Studierenden des Studiengangs zum Chemieingenieur an der Chalmers Universit¨ at, die damit belastet wurden, neuen, oft unvollständigen Materialien ausgesetzt zu sein und die viel enthusiastische Kritik und R¨ uckmeldung gegeben haben. Dem MacTutor Archiv f¨ ur Geschichte der Mathematik verdanken wir die mathematischen Bilder. Einige Bilder wurden aus älteren Exemplaren des Jahresberichts des Schwedischen Technikmuseums, Daedalus, kopiert.

My heart is sad and lonely for you I sigh, dear, only Why haven’t you seen it I’m all for you body and soul (Green, Body and Soul)

Inhalt Band 3

Mehr-dimensionale Infinitesimalrechnung

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54 Vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen 54.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Kurven in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Verschiedene Parametrisierungen einer Kurve . . . . . 54.4 Oberfl¨ achen in Rn f¨ ur n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . 54.5 Lipschitz-Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.6 Jacobi-Matrix, Gradient und Tangente . . . . . . . . . 54.7 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.8 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.9 Die Richtung des steilsten Abstiegs und der Gradient . 54.10 Ein Minimumspunkt ist ein stationärer Punkt . . . . . 54.11 Die Methode des steilsten Abstiegs . . . . . . . . . . . 54.12 Richtungsableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.13 Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung . . . . . . . . . 54.14 Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.15 Der Kontraktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.16 Nullstellen von f : Rn → Rn . . . . . . . . . . . . . . . 54.17 Der Satz zur inversen Funktion . . . . . . . . . . . . . 54.18 Der Satz u ¨ber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . 54.19 Die Newton-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.20 Ableitung unter dem Integral . . . . . . . . . . . . . .

817 817 818 819 820 821 822 827 827 829 831 831 832 832 834 835 837 838 839 840 841

XVIII

Inhalt Band 3

55 H¨ ohenlinien/Niveaufl¨ achen und der Gradient 55.1 H¨ ohenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2 Lokale Existenz von H¨ ohenlinien . . . . . . . 55.3 H¨ ohenlinien und der Gradient . . . . . . . . . 55.4 Niveaufl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.5 Lokale Existenz von Niveaufl¨ achen . . . . . . 55.6 Niveaufl¨ achen und der Gradient . . . . . . . .

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845 845 847 847 849 849 849

56 Linearisierung und Stabilit¨ at von Anfangswertproblemen 56.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.2 Station¨ are L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . 56.3 Linearisierung bei einer station¨ aren Lösung . . 56.4 Stabilit¨ atsanalyse f¨ ur symmetrisches f (¯ u) . . . 56.5 Stabilit¨ atsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . 56.6 Stabilit¨ at zeitabh¨ angiger L¨ osungen . . . . . . . 56.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . .

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853 853 854 854 856 856 859 860

57 Adaptive L¨ oser f¨ ur AWP 57.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57.2 Die cG(1)-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 57.3 Adaptive Zeitschrittkontrolle f¨ ur cG(1) . . . . . . 57.4 Analyse von cG(1) f¨ ur ein lineares skalares AWP 57.5 Analyse von cG(1) f¨ ur ein allgemeines AWP . . . 57.6 Analyse des r¨ uckw¨ artigen Euler Verfahrens . . . 57.7 Steife Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . 57.8 Explizite Zeitschrittwahl f¨ ur steife Probleme . . .

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863 863 864 866 867 869 871 873 876

58 Lorenz und das Wesentliche am Chaos* 58.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . 58.2 Das Lorenz-System . . . . . . . . . . . 58.3 Die Genauigkeit der Berechnungen . . 58.4 Berechenbarkeit des Lorenz-Systems . 58.5 Die Herausforderung . . . . . . . . . .

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883 883 884 887 888 891

59 Das Sonnensystem* 59.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59.2 Die Newtonsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 59.3 Die Einsteinsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 59.4 Ein System von gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen 59.5 Vorhersagbarkeit und Berechenbarkeit . . . . . . . . 59.6 Adaptive Zeitschrittwahl . . . . . . . . . . . . . . . . 59.7 Grenzen der Berechenbarkeit und Vorhersagbarkeit .

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895 895 898 899 901 904 905 906

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Inhalt Band 3

XIX

60 Optimierung 60.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.2 Sortieren f¨ ur endliches Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3 Was tun, wenn Ω nicht endlich ist? . . . . . . . . . . . 60.4 Die Existenz eines Minimums . . . . . . . . . . . . . . 60.5 In einem inneren Minimum ist die Ableitung gleich Null 60.6 Die Rolle der Hesseschen Matrix . . . . . . . . . . . . 60.7 Minimierungsalgorithmen: Der steilste Abstieg . . . . 60.8 Existenz eines Minimalwerts und eines Minimums . . . 60.9 Existenz einer gr¨ oßten unteren Schranke . . . . . . . . 60.10 Konstruierbarkeit eines Minimums und eines Minimalwerts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.11 Eine beschr¨ ankte abnehmende Folge konvergiert! . . .

909 909 911 911 912 913 916 917 918 920

61 Divergenz, Rotation und Laplace-Operator 61.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Betrachtung f¨ ur R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten . . . . . . 61.4 Einige wichtige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Der Laplace-Operator bei starren Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Betrachtung f¨ ur R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Weitere wichtige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Der Laplace-Operator in sph¨ arischen Koordinaten . .

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925 925 926 927 928

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928 929 930 931

62 Meteorologie und Corioliskraft* 62.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Ein grundlegendes meteorologisches Modell . . . . . . 62.3 Rotierende Koordinatensysteme und die Coriolisbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . .

935 935 936

63 Kurvenintegrale 63.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Die L¨ ange einer Kurve in R2 . . . . 63.3 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . 63.4 Reparametrisierung . . . . . . . . . 63.5 Arbeit und Linienintegrale . . . . . 63.6 Arbeit und Gradientenfelder . . . . 63.7 Die Bogenl¨ ange als Parameter . . . 63.8 Die Kr¨ ummung einer ebenen Kurve 63.9 Erweiterung auf Kurven in Rn . . .

. . . . . . . . .

941 941 941 943 944 945 947 948 949 950

64 Doppelintegrale 64.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Doppelintegrale u ¨ ber dem Einheitsquadrat . . . . . . .

953 953 954

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921 922

937

XX

Inhalt Band 3

64.3 64.4 64.5 64.6 64.7 64.8 64.9

Doppelintegrale mit Hilfe ein-dimensionaler Integration Verallgemeinerung auf ein beliebiges Rechteck . . . . . Interpretation des Doppelintegrals als Volumen . . . . Erweiterung auf beliebige Gebiete . . . . . . . . . . . . Iterierte Integrale u ¨ ber allgemeine Gebiete . . . . . . . Die Fl¨ ache eines zwei-dimensionalen Gebiets . . . . . . Das Integral als Grenzwert einer allgemeinen Riemannschen Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.10 Substitution bei Doppelintegralen . . . . . . . . . . . .

65 Oberfl¨ achenintegrale 65.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.2 Die Fl¨ ache einer Oberfl¨ ache . . . . . . . . . . . . . 65.3 Die Fl¨ ache der Oberfl¨ ache des Graphen einer Funktion zweier Variabler . . . . . . . . . . . . . . 65.4 Oberfl¨ achen von Drehk¨ orpern . . . . . . . . . . . . 65.5 Unabh¨ angigkeit von der Parametrisierung . . . . . 65.6 Oberfl¨ achenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.7 Das Tr¨ agheitsmoment einer d¨ unnen kugelförmigen Schale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Mehrfachintegrale 66.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.2 Dreifachintegrale u urfel . . . ¨ ber dem Einheitsw¨ 66.3 Dreifachintegrale u ¨ ber allgemeine Gebiete in R3 66.4 Das Volumen eines drei-dimensionalen Gebiets 66.5 Dreifachintegrale als Grenzwerte Riemannscher Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.6 Substitution bei Dreifachintegralen . . . . . . . 66.7 Drehk¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.8 Das Tr¨ agheitsmoment einer Kugel . . . . . . .

957 960 960 961 963 964 964 965

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971 971 971

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974 974 975 976

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977

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981 981 981 982 983

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984 985 987 988

67 Der Satz von Gauss und die Greensche Formel in R2 67.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2 Der Spezialfall eines Quadrats . . . . . . . . . . . . . . 67.3 Der Allgemeinfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

991 991 992 992

68 Der Satz von Gauss und die Greensche Formel in R3 68.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68.2 George Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1001 1001 1004

69 Der Satz von Stokes 69.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69.2 Der Spezialfall einer Fl¨ ache in einer Ebene . . . . . . . 69.3 Verallgemeinerung auf eine beliebige ebene Fläche . . .

1007 1007 1009 1010

Inhalt Band 3

69.4

XXI

Eine durch eine ebene Kurve beschränkte Fläche . . .

1011

70 Potentialfelder 70.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2 Ein rotationsfreies Feld ist ein Potentialfeld . . . . . . 70.3 Ein Gegenbeispiel f¨ ur ein nicht konvexes Ω . . . . . . .

1015 1015 1016 1018

71 Massenschwerpunkt und archimedisches 71.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Massenschwerpunkt . . . . . . . . . . . 71.3 Das archimedische Prinzip . . . . . . . 71.4 Die Stabilit¨ at schwimmender K¨ orper .

1021 1021 1022 1025 1027

Prinzip* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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72 Der Albtraum von Newton*

1031

73 Laplacesche Modelle 73.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Die W¨ armegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Die station¨ are W¨ armeleitung: Die Poisson-Gleichung 73.5 Ein Modell f¨ ur Konvektion, Diffusion und Reaktion . 73.6 Eine elastische Membran . . . . . . . . . . . . . . . . 73.7 L¨ osung der Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 73.8 Die Wellengleichung: Eine schwingende elastische Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.9 Str¨ omungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.10 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . 73.11 Die Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.12 Das Eigenwertproblem f¨ ur den Laplace-Operator . . 73.13 Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

1037 1037 1037 1040 1041 1043 1044 1046

. . . . . .

1047 1048 1054 1059 1063 1065

74 Chemische Reaktionen* 74.1 Konstante Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Ver¨ anderliche Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 R¨ aumliche Abh¨ angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .

1071 1071 1074 1075

75 Werkzeugkoffer: Infinitesimalrechnung II 75.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.2 Lipschitz-Stetigkeit . . . . . . . . . . . . 75.3 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . 75.4 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . 75.5 Der Mittelwertsatz f¨ ur f : Rn → R . . . 75.6 Ein Minimum ist ein station¨ arer Punkt . 75.7 Der Satz von Taylor . . . . . . . . . . . 75.8 Der Kontraktionssatz . . . . . . . . . . .

1077 1077 1077 1077 1078 1078 1078 1078 1079

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. . . . . . . .

XXII

Inhalt Band 3

75.9 75.10 75.11 75.12 75.13 75.14 75.15 75.16

Der Satz zur inversen Funktion . . Die Newtonsche Methode . . . . . Differential-Operatoren . . . . . . . Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . Oberfl¨ achenintegrale . . . . . . . . Die Greensche Formel und der Satz Der Satz von Stokes . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . von Gauss . . . . . . .

76 St¨ uckweise lineare Polynome in R2 und R3 76.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2 Die Triangulierung eines Gebiets in R2 . . . . 76.3 Die Erzeugung von Gittern in R3 . . . . . . . 76.4 St¨ uckweise lineare Funktionen . . . . . . . . . 76.5 Fehlerabsch¨ atzungen mit der Maximum-Norm 76.6 Sobolev und seine R¨ aume . . . . . . . . . . . 76.7 Quadratur in R2 . . . . . . . . . . . . . . . .

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1079 1079 1079 1080 1080 1081 1081 1082

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. . . . . . .

1083 1083 1084 1087 1087 1091 1094 1095

f¨ ur Randwertprobleme in R2 und R3 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Richard Courant: Erfinder der FEM . . . . . . . . . . Variationsformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die cG(1)-FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wichtige Datenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . Die L¨ osung des diskreten Systems . . . . . . . . . . . . Ein ¨ aquivalentes Minimierungsproblem . . . . . . . . . Eine a priori Fehlerabsch¨ atzung in der Energienorm . . Eine a posteriori Fehlerabsch¨ atzung in der Energienorm Adaptive Fehlerkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nicht homogene Dirichlet-Randbedingungen . . . . . . Eine L-f¨ ormige Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . Robin- und Neumann-Randbedingungen . . . . . . . . Das station¨ are Problem f¨ ur Konvektion, Diffusion und Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.16 Das zeitabh¨ angige Problem f¨ ur Konvektion, Diffusion und Reaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.17 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.18 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 FEM 77.1 77.2 77.3 77.4 77.5 77.6 77.7 77.8 77.9 77.10 77.11 77.12 77.13 77.14 77.15

78 Inverse Probleme 78.1 Einleitung . . . . . . 78.2 Ein inverses Problem Konvektion . . . . . 78.3 Ein inverses Problem

. . f¨ ur . . f¨ ur

. . die . . die

. . . . . . . . . . . . . . . ein-dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . ein-dimensionale Diffusion

1099 1099 1100 1101 1101 1108 1109 1110 1111 1112 1114 1116 1117 1118 1119 1121 1122 1123 1124 1129 1129 1131 1134

Inhalt Band 3

78.4 78.5 78.6

XXIII

Ein inverses Problem f¨ ur die Poisson-Gleichung . . . . Ein inverses Problem f¨ ur die Laplace-Gleichung . . . . Die r¨ uckw¨ artige W¨ armegleichung . . . . . . . . . . . .

1136 1138 1140

79 Optimale Kontrolle 79.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂L 79.2 Die Verbindung zwischen dJ dp und ∂p . . . . . . . . . .

1145 1145 1147

80 Werkzeugkoffer: Differentialgleichungen 80.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.2 Die Gleichung u (x) = λ(x)u(x) . . . . . . . . . . . 80.3 Die Gleichung u (x) = λ(x)u(x) n + f (x) . . . . . . . 80.4 Die Differentialgleichung k=0 ak Dk u(x) = 0 . . . 80.5 Der ged¨ ampfte lineare Oszillator . . . . . . . . . . 80.6 Die Exponentialfunktion einer Matrix . . . . . . . 80.7 Fundamentall¨ osungen des Laplace-Operators . . . . 80.8 Die ein-dimensionale Wellengleichung . . . . . . . . 80.9 Numerische Methoden f¨ ur AWPe . . . . . . . . . . 80.10 cG(1) f¨ ur Konvektion, Diffusion und Reaktion . . . 80.11 Die Formel von Svensson f¨ ur die Laplace-Gleichung 80.12 Optimale Kontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

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1151 1152 1152 1152 1152 1153 1153 1154 1154 1154 1155 1155 1156

81 Werkzeugkoffer: Anwendungen 81.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Malthus und Populationswachstum . . . . . . . 81.3 Die logistische Gleichung . . . . . . . . . . . . . 81.4 Das Masse-Feder-Pralltopf System . . . . . . . 81.5 Der LCR-Stromkreis . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Die Laplace-Gleichung f¨ ur die Gravitation . . . 81.7 Die W¨ armegleichung . . . . . . . . . . . . . . . 81.8 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . 81.9 Konvektion, Diffusion und Reaktion . . . . . . 81.10 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . 81.11 Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen 81.12 Die Schr¨ odingergleichung . . . . . . . . . . . . .

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1157 1157 1157 1157 1158 1158 1158 1158 1158 1158 1159 1159 1159

82 Analytische Funktionen 82.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Die Definition einer analytischen Funktion . . . . . . . 82.3 Die Ableitung als Grenzwert von Differenzenquotienten 82.4 Lineare Funktionen sind analytisch . . . . . . . . . . . 82.5 Die Funktion f (z) = z 2 ist analytisch . . . . . . . . . . 82.6 Die Funktion f (z) = z n ist analytisch f¨ ur n = 1, 2, . . . . 82.7 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 Die Funktion f (z) = z −n . . . . . . . . . . . . . . . . .

1161 1161 1161 1163 1164 1164 1164 1164 1165

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

XXIV

82.9 82.10 82.11 82.12 82.13 82.14 82.15 82.16 82.17 82.18 82.19 82.20 82.21 82.22 82.23 82.24 82.25 82.26 82.27 82.28 82.29 82.30 82.31 82.32 82.33 82.34 82.35

Inhalt Band 3

Die Cauchy-Riemann Gleichungen . . . . . . . . . . . Die Cauchy-Riemann Gleichungen und die Ableitung . Die Cauchy-Riemann Gleichungen in Polarkoordinaten Der Real- und der Imagin¨ arteil einer analytischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konjugiert harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . Die Ableitung einer analytischen Funktion ist analytisch Kurven in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschiebung, Rotation, Ausdehnung bzw. Kontraktion Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M¨ obius-Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w = z 1/2 , w = ez , w = log(z) und w = sin(z) . . . . . Komplexe Integrale: Ein erster Versuch . . . . . . . . . Komplexe Integrale: Der Allgemeinfall . . . . . . . . . Wichtige Eigenschaften des komplexen Integrals . . . . Die Taylor-Formel: Ein erster Versuch . . . . . . . . . Der Satz von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . Die Taylor-Formel: Ein zweiter Versuch . . . . . . . . Potenzreihenentwicklungen von analytischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laurentreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Residuum: Einfache Pole . . . . . . . . . . . . . . Das Residuum: Pole beliebiger Ordnung . . . . . . . . Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2π Berechnung von 0 R(sin(t), cos(t)) dt . . . . . . . . . ∞ p(x) Berechnung von −∞ q(x) dx . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen f¨ ur die Potentialtheorie in R2 . . . . . .

83 Fourier-Reihen 83.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Anlauf I: Orthonormale Basis in C . . . . . . . . . . . 83.3 Anlauf II: Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Komplexe Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Fourier-Reihen als Entwicklung in einer orthonormalen Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.6 Abgeschnittene Fourier-Reihen und beste L2 -Näherung 83.7 Reelle Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.8 Grundlegende Eigenschaften der Fourier-Koeffizienten 83.9 Die Fourier-Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.10 Parseval- und Plancheral-Formeln . . . . . . . . . . . . 83.11 Orts- versus Frequenzanalyse . . . . . . . . . . . . . . 83.12 Verschiedene Perioden . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1165 1166 1167 1167 1168 1168 1169 1170 1172 1172 1173 1174 1175 1176 1178 1178 1179 1180 1182 1183 1185 1186 1188 1189 1190 1190 1191 1199 1199 1202 1202 1203 1205 1205 1206 1209 1214 1216 1217 1218

Inhalt Band 3

83.13 83.14 83.15 83.16

Weierstrasssche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . L¨ osung der W¨ armegleichung mit Fourier-Reihen . . . . Berechnung von Fourier-Koeffizienten durch Quadratur Die diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . .

84 Fourier-Transformation 84.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformierten 84.3 Die Fourier-Transformierte f(ξ) strebt f¨ ur |ξ| → ∞ gegen 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.4 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.5 Die Formel f¨ ur die Inversion . . . . . . . . . . . . . . 84.6 Die Parseval-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.7 Die L¨ osung der W¨ armegleichung mit Hilfe der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.8 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation . . . . . 84.9 Der Abtastsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.10 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 84.11 Wavelets und die Haar Basis . . . . . . . . . . . . . . 85 Werkzeugkoffer: Analytische Funktionen 85.1 Differenzierbarkeit und analytische Eigenschaft . . 85.2 Die Cauchy-Riemann Gleichungen . . . . . . . . . 85.3 Real- und Imagin¨ arteil einer analytischen Funktion 85.4 Konjugiert harmonische Funktionen . . . . . . . . . 85.5 Kurven in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . 85.6 Eine analytische Funktion definiert eine konforme Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.7 Komplexe Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.8 Der Satz von Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.9 Die Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . 85.10 Die Taylor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.11 Der Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Werkzeugkoffer: Fourier-Analyse 86.1 Eigenschaften der Fourier-Koeffizienten . . 86.2 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.3 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . 86.4 Die Parseval-Formel . . . . . . . . . . . . 86.5 Diskrete Fourier-Transformation . . . . . . 86.6 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . 86.7 Eigenschaften der Fourier-Transformierten 86.8 Der Abtastsatz . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

XXV

1218 1219 1220 1221

. .

1225 1225 1227

. . . .

1229 1229 1230 1232

. . . . .

1232 1233 1233 1234 1235

. . . . .

. . . . .

1239 1239 1239 1240 1240 1240

. . . . . .

. . . . . .

1241 1241 1241 1241 1242 1242

. . . . . . . .

1243 1243 1243 1244 1244 1244 1244 1245 1246

. . . . . . . .

XXVI

Inhalt Band 3

87 Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen: Schnell und einfach 87.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2 Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen . . . . 87.3 Die zentrale Energieabsch¨ atzung f¨ ur Navier-Stokes . . 87.4 Lions und seine Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.5 Turbulenz: Lipschitz-Stetigkeit zum Exponenten 1/3? . 87.6 Existenz und Eindeutigkeit von L¨ osungen . . . . . . . 87.7 Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.8 Die stabilisierte cG(1)dG(0)-Methode . . . . . . . . . . 87.9 Die cG(1)cG(1)-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.10 Die cG(1)dG(1)-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . 87.11 Neumann-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 87.12 Berechnungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1247 1247 1248 1249 1250 1251 1252 1253 1253 1255 1256 1256 1258

Literaturverzeichnis

1263

Sachverzeichnis

1265

Band 3 Mehr-dimensionale Infinitesimalrechnung ∆u = ∇ · ∇u ∂u − ∆u = f ∂t ∂ 2u − ∆u = f ∂t2 i

1 ∂u = − ∆u + V u ∂t 2

∂u + u · ∇u − ν∆u = f, ∂t

∇·u=0

∇ × H = J,

B = µH.

∇ · B = 0,

54 Vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen

Auch die Chemiker m¨ ussen sich allm¨ ahlich an den Gedanken gew¨ ohnen, dass ihnen die theoretische Chemie ohne die Beherrschung der Elemente der h¨ oheren Analysis ein Buch mit sieben Siegeln bleiben wird. Ein Differential- oder Integralzeichen muss aufh¨ oren, f¨ ur den Chemiker eine unverst¨ andliche Hieroglyphe zu sein, . . . wenn er sich nicht der Gefahr aussetzen will, f¨ ur die Entwicklung der theoretischen Chemie jedes Verst¨ andnis zu verlieren. (H. Jahn, Grundriss der Elektrochemie, 1895)

54.1 Einleitung Wir wenden uns nun der Erweiterung zentraler Begriffe wie der LipschitzStetigkeit und der Differenzierbarkeit f¨ ur reellwertige Funktionen einer reellen Variablen auf vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen zu. Wir sind gut darauf vorbereitet, so dass die Erweiterung so nat¨ urlich und glatt wie m¨ oglich verlaufen wird. Wir werden sehen, dass die Beweise der zentralen S¨ atze, wie der der Kettenregel, der Mittelwertsatz, der Satz von Taylor, der der kontrahierenden Abbildung und der zu inversen Funktionen, sich fast wortw¨ ortlich auf die kompliziertere Situation von vektorwertigen Funktionen mehrerer reeller Variablen u ¨bertragen lassen. Wir betrachten Funktionen f : Rn → Rm , die in dem Sinne vektorwertig sind, dass der Wert f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)) ein Vektor in Rm ist, mit den Komponenten fi : Rn → R f¨ ur i = 1, . . . , m, mit fi (x) = fi (x1 , . . . , xn ) und

818

54. Vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen

x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Wie u ¨ blich betrachten wir x = (x1 , . . . , xn ) als einen n-Spaltenvektor und f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)) als einen m-Spaltenvektor. Als ein besonderes Beispiel vektorwertiger Funktionen betrachten wir zun¨ achst Kurven, das sind Funktionen g : R → Rn , und Oberflächen, das sind Funktionen g : R2 → Rn . Dann werden wir zusammengesetzte Funktionen f ◦ g : R → Rm betrachten, wobei g : R → Rn eine Kurve ist und f : Rn → Rm , wobei f ◦ g wiederum eine Kurve ist. Wir erinnern daran, dass f ◦ g(t) = f (g(t)). Die Argumente, die wir f¨ ur die Funktionen benutzen werden, haben ihren Ursprung im n-dimensionalen Vektorraum Rn , weswegen es lohnenswert ist, die Eigenschaften von Rn zu betrachten. Von besonderem Interesse ist dabei die Schreibweise der Cauchy-Folge und die Konvergenz von Folgen (j) (j) (j) = (x1 , . . . ., xn ) ∈ Rn mit den Koordinaten {x(j) }∞ j=1 von Vektoren x xk , k = 1, . . . , n. Wir sagen, dass die Folge {x(j) }∞ j=1 eine Cauchy-Folge ist, wenn f¨ ur alle > 0 eine nat¨ urliche Zahl N existiert, so dass (j)

x(i) − x(j) ≤

f¨ ur i, j > N.

n Hierbei ist · die euklidische Norm in Rn , d.h. x = ( i=1 x2i )1/2 . n Manchmal ist es auch angemessen, mit den Normen x1 = i=1 |xi | und x∞ = maxi=1,...,n |xi | zu arbeiten. Wir sagen, dass die Folge {x(j) }∞ j=1 von Vektoren in Rn gegen x ∈ Rn konvergiert, wenn f¨ ur alle > 0 eine nat¨ urliche Zahl N existiert, so dass x − x(i) ≤ f¨ ur i > N. Es l¨ asst sich einfach zeigen, dass eine konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist und umgekehrt, dass eine Cauchy-Folge konvergiert. Wir erhalten diese Ergebnisse, wenn wir die entsprechenden Ergebnisse f¨ ur Folgen in R auf jede der Koordinaten der Vektoren in Rn anwenden. 2 (i) Beispiel 54.1. Die Folge {x(i) }∞ = (1−i−2 , exp(−i)) konvergiert i=1 in R , x gegen (1, 0).

54.2 Kurven in Rn Eine Funktion g : I → Rn , wobei I = [a, b] ein Intervall reeller Zahlen ist, ist eine Kurve in Rn , vgl. Abb. 54.1. Wenn wir t als unabhängige Variable in I benutzen, nennen wir die Kurve g(t) durch die Variable t parametrisiert. Wir bezeichnen auch die Menge der Punkte Γ = {g(t) ∈ Rn : t ∈ I} als die durch die Funktion g : I → Rn parametrisierte Kurve Γ. Beispiel 54.2. Das einfachste Beispiel einer Kurve ist eine Gerade. Die Funktion g : R → R2 : g(t) = x ¯ + ta,

54.3 Verschiedene Parametrisierungen einer Kurve

819

4 3.5

x3

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 2 1

2 1

0

x2

0 −1

−1 −2

−2

x1

Abb. 54.1. Die Kurve g : [0, 4] → R3 mit g(t) = t1/2 cos(πt), t1/2 sin(πt),t

1

4

3

a

x2

2

x2

0.5

x ¯

0

x2 = 1 + x31 /3

1

0

−1

−0.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−2 −2

−1.5

−1

x1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

Abb. 54.2. Links: Die Kurve g(t) = x ¯ + ta. Rechts: Eine Kurve g(t) = (t, f (t))

mit a ∈ R2 und x ¯ ∈ R2 ist eine Gerade in R2 durch den Punkt x ¯ in Richtung a, vgl. Abb. 54.2. Beispiel 54.3. Sei f : [a, b] → R gegeben. Wir definieren g : [a, b] → R2 durch g(t) = (g1 (t), g2 (t)) = (t, f (t)). Diese Kurve ist einfach der Graph der Funktion f : [a, b] → R, vgl. Abb. 54.2.

54.3 Verschiedene Parametrisierungen einer Kurve Wir k¨ onnen f¨ ur die Menge an Punkten einer Kurve verschiedene Parametrisierungen benutzen. Ist h : [c, d] → [a, b] eine eins-zu-eins Abbildung, dann ist die zusammengesetzte Funktion f = g ◦ h : [c, d] → R2 eine durch g : [a, b] → R2 definierte Reparametrisierung der Kurve {g(t) : t ∈ [a, b]}. Beispiel 54.4. Die Funktion f : [0, ∞) → R3 mit f (τ ) = (τ cos(πτ 2 ), τ sin(πτ 2 ), τ 2 ),

820


ist eine Reparametrisierung der Kurve g : [0, ∞) → R3 , gegeben durch √ √ g(t) = ( t cos(πt), t sin(πt), t), wie wir mit Hilfe von t = h(τ ) = τ 2 erkennen. Es gilt f = g ◦ h.

54.4 Oberflächen in Rn fu ¨r n ≥ 3 Eine Funktion g : Q → Rn mit n ≥ 3 auf einem Teilgebiet Q von R2 kann als Oberfläche S in Rn betrachtet werden, vgl. Abb. 54.3. Wir schreiben g = g(y) mit y = (y1 , y2 ) ∈ Q und sagen, dass S durch y ∈ Q parametrisiert ist. Wir können folglich die Oberfl¨ ache S mit der Menge der Punkte ˜ → Rn reS = {g(y) ∈ Rn : y ∈ Q} identifizieren und S durch f = g ◦ h : Q ˜ → Q eine eins-zu-eins Abbildung eines Gebiets parametrisieren, wenn h : Q ˜ in R2 auf Q ist. Q

2 1.5

x3

1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 2 1

2 1

0

x2

0 −1

−1 −2

−2

x1

Abb. 54.3. Die Oberfl¨ ache s(y1 , y2 ) = y1 , y2 , y1 sin (y1 + y2 )π/2 mit ache x3 = x1 sin (x1 + x2 )π/2 −1 ≤ y1 , y2 ≤ 1, oder in Kurzform, die Oberfl¨ f¨ ur −1 ≤ x1 , x2 ≤ 1

Beispiel 54.5. Das einfachste Beispiel f¨ ur eine Oberfläche g : R2 → R3 ist 3 eine Ebene in R , mit ¯ + y1 b1 + y2 b2 , g(y) = g(y1 , y2 ) = x

y ∈ R2 ,

mit x ¯ , b 1 , b 2 ∈ R3 . Beispiel 54.6. Sei f : [0, 1] × [0, 1] → R gegeben und g : [0, 1] × [0, 1] → R3 mit g(y1 , y2 ) = (y1 , y2 , f (y1 , y2 )). Dies ist eine Oberfläche, die dem Graphen von f : [0, 1] × [0, 1] → R entspricht. Wir bezeichnen diese Oberfläche auch kurz als die Oberfl¨ ache, die durch die Funktion x3 = f (x1 , x2 ) mit (x1 , x2 ) ∈ [0, 1] × [0, 1] gegeben ist.

54.5 Lipschitz-Stetigkeit

821

54.5 Lipschitz-Stetigkeit Wir sagen, dass f : Rn → Rm auf Rn Lipschitz-stetig ist, falls es eine Konstante L gibt, so dass f (x) − f (y) ≤ Lx − y f¨ ur alle x, y ∈ Rn .

(54.1)

Diese Definition l¨ asst sich einfach auf Funktionen f : A → Rm erweitern, wobei das Gebiet D(f ) = A eine Untermenge des Rn ist. Beispielsweise kann A der Einheits-n-W¨ urfel [0, 1]n = {x ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, . . . , n} oder die Einheits-n-Scheibe {x ∈ Rn : x ≤ 1} sein. Um zu u ufen, ob eine Funktion f : A → Rm auf einer Untermenge ¨berpr¨ n A von R Lipschitz-stetig ist, gen¨ ugt es, zu u ufen, ob die Komponen¨berpr¨ tenfunktionen fi : A → R Lipschitz-stetig sind. Dies kommt daher, weil aus ur i = 1, . . . , m, |fi (x) − fi (y)| ≤ Li x − y f¨ folgt, dass f (x) − f (y)2 =

m i=1

|fi (x) − fi (y)|2 ≤

m

L2i x − y2 ,

i=1

1 woraus wir sehen, dass f (x) − f (y) ≤ Lx − y mit L = ( i L2i ) 2 . Beispiel 54.7. Die durch f (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 x2 ) definierte Funktion f : [0, 1] × [0, 1] → R2 ist Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten L = 2. Zur Kontrolle betrachten wir√f1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 auf [0, 1] × [0, 1], die zur Lipschitz-Konstanten L1 = 2 Lipschitz-stetig ist, da nach der √ Cauchyschen Ungleichung |f1 (x1 , x2 )−f1 (y1 , y2 )| ≤ |x1 −y1 |+|x2 −y2 | ≤ 2x−y. ¨ Ahnlich ist auch f2 (x1 , x2 ) √ = x1 x2 Lipschitz-stetig auf [0, 1] × [0, 1] zur Lipschitz-Konstanten L2 = 2,√da |x1 x2 − y1 y2 | = |x1 x2 − y1 x2 + y1 x2 − y1 y2 | ≤ |x1 − y1 | + |x2 − y2 | ≤ 2x − y. Beispiel 54.8. Die durch f (x1 , . . . , xn ) = (xn , xn−1 , . . . , x1 ), definierte Funktion f : Rn → Rn ist Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten L = 1, vgl. Abb. 54.4. Beispiel 54.9. Eine lineare Abbildung f : Rn → Rm , die durch eine m × nMatrix A = (aij ) mit f (x) = Ax gegeben ist, wobei x ein n-Spaltenvektor ist, ist Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten L = A. Wir haben diese

822

54. Vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen x2

f (¯ x) f (x) x ¯ x x1

Abb. 54.4. Darstellung der Abbildung f (x1 , x2 ) = (x2 , x1 ), die offensichtlich Lipschitz-stetig ist mit L = 1

Beobachtung bereits im Kapitel Analytische Geometrie in Rn“ gemacht. ” Wir wiederholen die Argumente: L = max x=y

f (x) − f (y) Ax − Ay = max x=y x − y x − y = max x=y

A(x − y) Ax = max = A. x=0 x x − y

Bez¨ uglich der Definition der Matrixnorm A möchten wir klarstellen, dass die Funktion F (x) = Ax/x homogen mit der Ordnung Null ist, d.h. F (λx) = F (x) f¨ ur alle von Null verschiedenen reellen Zahlen λ und daher ist A der maximale Wert von F (x) auf der abgeschlossenen und beschränkten Menge {x ∈ Rn : x = 1} und folglich eine endliche reelle Zahl. Wir halten fest, dass f¨ ur eine n × n-Diagonalmatrix A mit Diagonalelementen λi gilt, dass A = maxi |λi |.

54.6 Differenzierbarkeit: Jacobi-Matrix, Gradient und Tangente Wir sagen, dass f : Rn → Rm in x¯ ∈ Rn differenzierbar ist, wenn eine x)), die Jacobi-Matrix der Funktion f (x) in x ¯ m × n-Matrix M (¯ x) = (mij (¯ genannt wird, und eine Konstante Kf (¯ x) existiert, so dass f¨ ur alle x nahe bei x ¯ gilt: (54.2) f (x) = f (¯ x) + M (¯ x)(x − x¯) + Ef (x, x¯), mit dem m-Vektor (Ef (x, x¯)i ), f¨ ur den Ef (x, x¯) ≤ Kf (¯ x) x − x ¯2 gilt. Wir schreiben die Jacobi-Matrix auch Df (¯ x) oder f (¯ x), so dass M (¯ x) =

54.6 Jacobi-Matrix, Gradient und Tangente

823

Df (¯ x) = f (¯ x). Da f (x) ein m-Spaltenvektor ist, bzw. eine m × 1-Matrix, und x ein n-Spaltenvektor, bzw. eine n × 1-Matrix, ist M (¯ x)(x − x¯) das Produkt der m × n-Matrix M (¯ x) mit der n × 1-Matrix x − x ¯, das eine m × 1-Matrix, bzw. einen m-Spaltenvektor, liefert.

Abb. 54.5. Carl Jacobi (1804–51): Es ist oft angenehmer, die Asche eine großen ” Mannes zu besitzen, als den Mann zu seinen Lebzeiten.“ (Zur R¨ uckkehr der ¨ Uberreste von Descartes nach Frankreich)

Wir sagen, dass f : A → Rm f¨ ur eine Untermenge A des Rn auf A differenzierbar ist, wenn f (x) in x ¯ f¨ ur alle x ¯ ∈ A differenzierbar ist. Wir sagen, dass f : A → Rm auf A gleichmäßig differenzierbar ist, wenn die Konstante Kf (¯ x) = Kf unabh¨ angig von x ¯ ∈ A gewählt werden kann. x) der JacobiWir wollen nun zeigen, wie ein spezifisches Element mij (¯ Matrix mit Hilfe der Beziehung (54.2) bestimmt werden kann. Wir betrachten dazu die Koordinatenfunktion fi (x1 , . . . , xn ) und setzen x = x ¯ + sej , wobei ej der j. Einheitsbasisvektor ist und s eine kleine reelle Zahl. Wir ¨ konzentrieren uns auf Ver¨ anderungen in fi (x1 , . . . , xn ) bei Anderungen der Variablen xj in der N¨ ahe von x ¯j . Die Beziehung (54.2) besagt, dass f¨ ur kleine von Null verschiedene reelle Zahlen s x + sej ) = fi (¯ x) + mij (¯ x)s + Ef (¯ x + sej , x ¯)i fi (¯

(54.3)

gilt, wobei x − x ¯2 = sej 2 = s2 impliziert, dass |Ef (¯ x + sej , x ¯)i | ≤ Kf (¯ x)s2 . Wir halten fest, dass nach Voraussetzung Ef (x, x¯) ≤ Kf (¯ x)x − x¯2 und daher erf¨ ullt jede Koordinatenfunktion Ef (¯ x +sej , x ¯)i die Ungleichung |Ef (x, x¯)i | ≤ Kf (¯ x)x − x ¯2 .

824


Die Division durch s in (54.3) und Grenzwertbetrachtung f¨ ur s → 0 f¨ uhrt zu fi (¯ x + sej ) − fi (¯ x) , (54.4) x) = lim mij (¯ s→0 s was auch folgendermaßen geschrieben werden kann: mij (¯ x) = lim

xj →¯ xj

(54.5)

fi (¯ x1 , . . . , x ¯j−1 , xj , x ¯j+1 , . . . , x ¯n ) − fi (¯ x1 , . . . , x ¯j−1 , x ¯j , x ¯j+1 , . . . , x ¯n ) . xj − x ¯j

x) als die partielle Ableitung von fi nach xj in x ¯ und Wir bezeichnen mij (¯ ∂fi ∂fi wir benutzen die alternative Schreibweise mij (¯ x) = ∂x (¯ x ). Um (¯ ∂xj x) zu j berechnen, frieren wir alle Koordinaten außer der Koordinate xj in x ¯ ein und erlauben, dass sich xj in der N¨ ahe von x ¯j verändern kann. Die Formel ∂fi (¯ x) = (54.6) ∂xj fi (¯ x1 , . . . , x ¯j−1 , xj , x ¯j+1 , . . . , x ¯n ) − fi (¯ x1 , . . . , x¯j−1 , x ¯j , x ¯j+1 , . . . , x ¯n ) lim xj →¯ xj xj − x ¯j besagt, dass wir die partielle Ableitung nach der Variablen xj berechnen, indem wir alle anderen Variablen x1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xn konstant halten. Daher sollte uns das Berechnen von partiellen Ableitungen Vergn¨ ugen bereiten, wo wir doch unsere Fertigkeiten bei der Berechnung der Ableitungen von Funktionen mit einer reellen Variablen weiter benutzen können! Wir k¨ onnen die Berechnung alternativ, wie folgt, ausdr¨ ucken: ∂fi dgij (0), (¯ x) = mij (¯ x) = gij (0) = ∂xj ds

(54.7)

mit gij (s) = fi (¯ x + sej ). Beispiel 54.10. Sei f : R3 → R mit f (x1 , x2 , x3 ) = x1 ex2 sin(x3 ) gegeben. Wir berechnen ∂f ∂f (¯ x) = ex¯2 sin(¯ x3 ), (¯ x) = x ¯1 ex¯2 sin(¯ x3 ), ∂x1 ∂x2 ∂f (¯ x) = x ¯1 ex¯2 cos(¯ x3 ) ∂x3 und somit f (¯ x) = (ex¯2 sin(¯ x3 ), x ¯1 ex¯2 sin(¯ x3 ), x ¯1 ex¯2 cos(¯ x3 )). exp(x21 + x22 ) gegeben. Wir Beispiel 54.11. Sei f : R3 → R2 mit f (x) = sin(x2 + 2x3 ) berechnen 2x1 exp(x21 + x22 ) 2x2 exp(x21 + x22 ) 0 f (x) = . 0 cos(x2 + 2x3 ) 2 cos(x2 + 2x3 )

54.6 Jacobi-Matrix, Gradient und Tangente

825

Wir haben nun die Berechnung von Elementen der Jacobi-Matrix vorgestellt, indem wir die u ur die Ableitung nach einer reellen ¨ blichen Regel f¨ Variablen anwenden. Dies ¨ offnet uns eine ganz neue Welt von zu erforschenden Anwendungen. Die Voraussetzung dabei ist eine differenzierbare ur die f¨ ur geeignete x, x¯ ∈ Rn gilt: Funktion f : Rn → Rm , f¨ f (x) = f (¯ x) + f (¯ x)(x − x ¯) + Ef (x, x¯),

(54.8)

x)x − x ¯2 , wobei f (¯ x) = Df (¯ x) die m × n-Jacobimit Ef (x, x¯) ≤ Kf (¯ ∂fi Matrix mit den Elementen ∂xj ist: ⎛ ∂f1

x) ∂x1 (¯ ∂f2 x) ∂x1 (¯

⎜ ⎜ f (¯ x) = Df (¯ x) = ⎜ ⎝ ... ∂fm x) ∂x1 (¯

∂f1 x) ∂x2 (¯ ∂f2 x) ∂x2 (¯

...

... ... ... ∂fm x) . . . ∂x2 (¯

⎞ ∂f1 x) ∂xn (¯ ⎟ ∂f2 x) ⎟ ∂xn (¯ ⎟. ⎠

∂fm x) ∂xn (¯

Manchmal nutzen wir auch die folgende Schreibweise f¨ ur die Jacobi-Matrix f (x), einer Funktion y = f (x) mit f : Rn → Rm : f (x) =

dy1 , . . . , dym (x). dx1 , . . . , dxn

(54.9)

Die Funktion x → fˆ(x) = f (¯ x) + f (¯ x)(x − x ¯) wird Linearisierung der Funktion x → f (x) in x = x ¯ genannt. Es gilt x)x + f (¯ x) − f (¯ x)¯ x = Ax + b, fˆ(x) = f (¯ x) und dem m-Spaltenvektor b = f (¯ x) − mit der m × n-Matrix A = f (¯ x)¯ x. Wir sagen, dass fˆ(x) eine affine Abbildung ist, das ist eine Abbilf (¯ dung der Form x → Ax + b, wobei x ein n-Spaltenvektor, A eine m × nMatrix und b ein m-Spaltenvektor ist. Die Jacobi-Matrix fˆ (x) der Linearisierung fˆ(x) = Ax + b ist gleich der konstanten Matrix A, da die partiellen Ableitungen von Ax nach x einfach den Elementen der Matrix A entsprechen. ur die JacobiIst f : Rn → R, d.h. m = 1, dann schreiben wir auch ∇f f¨ Matrix f , d.h. ∂f ∂f f (¯ x) = ∇f (¯ x) = (¯ x), . . . , (¯ x) . ∂x1 ∂xn In Worte gefasst, ist ∇f (¯ x) der n-Zeilenvektor oder die 1 × n-Matrix der ¯. Wir nennen ∇f (¯ x) partiellen Ableitungen von f (x) nach x1 , x2 , . . . , xn in x auch den Gradienten von f (x) in x ¯. Ist f : Rn → R differenzierbar in x ¯, gilt folglich (54.10) f (x) = f (¯ x) + ∇f (¯ x)(x − x ¯) + Ef (x, x¯),

826

54. Vektorwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen x3 = f (x1 , x2 ) x3

x) + ∇f (¯ x)(x − x ¯) x3 = f (¯

x2 x ¯ x1 Abb. 54.6. Die Oberfl¨ ache x3 = f (x1 , x2 ) mit ihrer Tangentialebene

mit |Ef (x, x¯)| ≤ Kf (¯ x)x− x ¯2 . fˆ(x) = f (¯ x)+∇f (¯ x)(x− x ¯) ist die Linearisierung von f (x) in x = x ¯. Alternativ k¨ onnen wir das Produkt ∇f (¯ x)(x− x¯) des n-Zeilenvektors (1 × n-Matrix) ∇f (¯ x) mit dem n-Spaltenvektor (n × 1Matrix) (x − x ¯) als das Skalarprodukt ∇f (¯ x) · (x − x ¯) des n-Vektors ∇f (¯ x) mit dem n-Vektor (x − x¯) auffassen. Wir schreiben daher (54.10) oft in der Form: (54.11) x) · (x − x ¯) + Ef (x, x¯). f (x) = f (¯ x) + ∇f (¯

Beispiel 54.12. Ist f : R3 → R mit f (x) = x21 + 2x32 + 3x43 , dann ist ∇f (x) = (2x1 , 6x22 , 12x33 ). Beispiel 54.13. Die Gleichung x3 = f (x) mit f : R2 → R und x = (x1 , x2 ) stellt eine Oberfl¨ ache im R3 dar (den Graphen der Funktion f ). Die Linearisierung x) + ∇f (¯ x) · (x − x ¯) x3 = f (¯ ∂f ∂f (¯ x)(x1 − x ¯1 ) + (¯ x)(x2 − x ¯2 ) = f (¯ x) + ∂x1 ∂x2 ¯2 ) entspricht der Tangentialebene in x = x¯, vgl. Abb. 54.6. mit x ¯ = (¯ x1 , x Beispiel 54.14. Wir betrachten nun eine Kurve f : R → Rm , d.h. f (t) = (f1 (t), . . . , fm (t)) mit t ∈ R. Die Linearisierung t → fˆ(t) = f (t¯)+f (t¯)(t− t¯) in t¯ entspricht einer Geraden in Rm durch den Punkt f (t¯) und die Jacobi ¯ (t)) entspricht der Richtung der Tangente der Matrix f (t¯) = (f1 (t¯), . . . , fm m ¯ Kurve f : R → R in f (t), vgl. Abb. 54.7.

54.7 Die Kettenregel

827

x2

s (t) s(b) s(t) a

t

b

t

s(a)

x1

Abb. 54.7. Die Tangente s (t) an die Kurve s(t)

54.7 Die Kettenregel Seien g : Rn → Rm und f : Rm → Rp gegeben. Wir betrachten die zusammengesetzte Funktion f ◦g : Rn → Rp , die durch f ◦g(x) = f (g(x)) definiert ist. Unter geeigneten Annahmen f¨ ur die Differenzierbarkeit und LipschitzStetigkeit werden wir eine Kettenregel zeigen, mit der die Kettenregel aus dem Kapitel Ableitungsregeln“ mit n = m = p = 1 verallgemeinert wird. ” Mit Hilfe der Linearisierung von f und g erhalten wir x))(g(x) − g(¯ x)) + Ef (g(x), g(¯ x)) f (g(x)) = f (g(¯ x)) + f (g(¯ = f (g(¯ x)) + f (g(¯ x))g (¯ x)(x − x ¯) + f (g(¯ x))Eg (x, x¯) + Ef (g(x), g(¯ x)), wobei wir annehmen, dass x)) ≤ Kf g(x) − g(¯ x)2 ≤ Kf L2g x − x ¯ 2 Ef (g(x), g(¯ und f (g(¯ x))Eg (x, x¯) ≤ f (g(¯ x))Kg x − x ¯2 , mit geeigneten Konstanten Kf und Kg und Lipschitz-Konstanter Lg . Damit haben wir bewiesen: ¯ ∈ Rn und f : Rm→ Rp Satz 54.1 (Kettenregel) Seien g : Rn→ Rm in x m in g(¯ x) ∈ R differenzierbar und außerdem sei g : Rn → Rm Lipschitz¯ ∈ Rn stetig. Dann ist die zusammengesetzte Funktion f ◦ g : Rn → Rp in x differenzierbar mit der Jacobi-Matrix x) = f (g(¯ x))g (¯ x). (f ◦ g) (¯ Die Kettenregel besitzt eine F¨ ulle von Anwendungen und wir wollen nun einige der wichtigsten Beispiele als Ernte einbringen.

54.8 Der Mittelwertsatz Sei f : Rn → R auf Rn differenzierbar mit einem Lipschitz-stetigen Gradienten. F¨ ur gegebenes x, x ¯ ∈ Rn betrachten wir die Funktion h : R → R,

828


die durch h(t) = f (¯ x + t(x − x ¯)) = f ◦ g(t), definiert ist, wobei g(t) = x¯ + t(x − x¯) die Geradengleichung zwischen x ¯ und x ist. Es gilt f (x) − f (¯ x) = h(1) − h(0) = h (t¯), f¨ ur ein t¯ ∈ [0, 1], wobei wir den u ¨ blichen Mittelwertsatz auf die Funktion h(t) angewandt haben. Nach der Kettenregel gilt ¯), h (t) = ∇f (g(t)) · g (t) = ∇f (g(t)) · (x − x womit wir bewiesen haben: Satz 54.2 (Mittelwertsatz) Sei f : Rn → R auf Rn differenzierbar mit einem Lipschitz-stetigen Gradienten ∇f . Dann gibt es zu jedem x und x ¯ ¯) mit t¯ ∈ [0, 1], so dass in Rn ein y = x + t¯(x − x f (x) − f (¯ x) = ∇f (y) · (x − x ¯). Mit Hilfe des Mittelwertsatzes k¨ onnen wir die Differenz f (x) − f (¯ x) als das Skalarprodukt des Gradienten ∇f (y) mit der Differenz x − x ¯ ausdr¨ ucken, wobei y ein Punkt irgendwo auf der Geraden zwischen x und x ¯ ist. Wir k¨ onnen den Mittelwertsatz auf eine Funktion f : Rn → Rm erweitern. Er nimmt dann die Form ¯) f (x) − f (¯ x) = f (y)(x − x an, wobei y ein Punkt auf der Geraden zwischen x und x¯ ist, der f¨ ur verschiedene Zeilen von f (y) unterschiedlich sein kann. Wir können dann absch¨ atzen: f (x) − f (¯ x) = f (y) · (x − x ¯) ≤ f (y)x − x ¯ und wir k¨ onnen daher die Lipschitz-Konstante von f durch maxy f (y) absch¨ atzen, wobei f (y) die (euklidische) Matrixnorm von f (y) ist. n Beispiel 54.15. Sei f : Rn → R durch f (x) = sin( j=1 xj ) gegeben. Es gilt ⎛ ⎞ n ∂f (¯ x) = cos ⎝ x¯j ⎠ f¨ ur i = 1, . . . , n ∂xi j=1 ∂f (¯ x)| ≤ 1 f¨ ur i = 1, . . . , n und somit und daher ist | ∂x i √ ∇f (¯ x) ≤ n. n Wir folgern, dass f (x) = sin( j=1 xj ) Lipschitz-stetig ist zur Lipschitz√ Konstanten n.

54.9 Die Richtung des steilsten Abstiegs und der Gradient

829

54.9 Die Richtung des steilsten Abstiegs und der Gradient Sei f : Rn → R eine gegebene Funktion. Wir wollen die Veränderungen von f (x) in der N¨ ahe eines bestimmten Punktes x ¯ ∈ Rn untersuchen. Genauer ¨ gesagt, so lassen wir Anderungen von x auf der Geraden durch x ¯ in eine ¯ +tz, wobei t bestimmte Richtung z ∈ Rn zu, d.h. wir nehmen an, dass x = x eine reelle Variable ist, die sich in der N¨ ahe von 0 verändert. Vorausgesetzt, dass f differenzierbar ist, so impliziert die Linearisierungsformel (54.8), dass f (x) = f (¯ x) + t∇f (¯ x) · z + Ef (x, x¯),

(54.12)

x) · z das Skalarprodukt des Gramit |Ef (x, x¯)| ≤ t2 Kf z2. Dabei ist ∇f (¯ dienten ∇f (¯ x) ∈ Rn mit dem Richtungsvektor z ∈ Rn . Ist ∇f (¯ x) · z = 0, dann wird der lineare Ausdruck t∇f (¯ x) · z f¨ ur kleine t u ¨ ber den quadratischen Ausdruck Ef (x, x¯) dominieren. Daher wird die Linearisierung fˆ(x) = f (¯ x) + t∇f (¯ x) · z eine gute N¨ aherung f¨ ur f (x) mit x = x¯ + tz nahe bei x ¯ sein. Ist also ∇f (¯ x)·z = 0, so erhalten wir gute Informationen u ber die Ver¨ anderung von ¨ f (x) entlang der Geraden x = x ¯ + tz durch die Untersuchung der linearen Funktion t → f (¯ x) + t∇f (¯ x) · z mit der Steigung ∇f (¯ x) · z. Insbesondere ˆ wird f (x) mit gr¨ oßer werdendem t ansteigen, wenn ∇f (¯ x) · z > 0 und abnehmen, wenn t abnimmt. Ist dagegen ∇f (¯ x) · z < 0, dann wird ganz ähnlich fˆ(x) abnehmen, wenn t zunimmt und zunehmen, wenn t abnimmt. Alternativ k¨ onnen wir die zusammengesetzte Funktion Fz : R → R be¯ + tz trachten, die durch Fz (t) = f (gz (t)) mit gz : R → Rn und gz (t) = x definiert wird. Offensichtlich beschreibt Fz (t) die Veränderung von f (x) auf der Geraden durch x ¯ in Richtung z, mit Fz (0) = f (¯ x). Nat¨ urlich liefert die Ableitung Fz (0) nahe bei x¯ wichtige Information u ¨ ber diese Veränderung. Nach der Kettenregel gilt dabei x)z = ∇f (¯ x) · z, Fz (0) = ∇f (¯ und wir gelangen wiederum zu ∇f (¯ x) · z als interessante Größe. Insbesondere bestimmt das Vorzeichen von ∇f (¯ x) · z, ob Fz (t) in t = 0 anwächst oder abf¨ allt. Wir k¨ onnen uns nun fragen, wie wir die Richtung z wählen sollten, um einen maximalen Anstieg oder Abstieg zu erhalten. Wir setzen ∇f (¯ x) = 0 ur alle z zu vermeiden. Es ist voraus, um den Trivialfall mit Fz (0) = 0 f¨ dann ganz nat¨ urlich, z so zu normieren, dass z = 1 und wir untersuchen x) · z, wenn wir z mit z = 1 verändern. Wir die Gr¨ oße Fz (0) = ∇f (¯ folgern, dass das Skalarprodukt ∇f (¯ x) · z maximal wird, wenn wir z in Richtung des Gradienten ∇f (¯ x) w¨ ahlen: z=

∇f (¯ x) , ∇f (¯ x)

830


was als Richtung des steilsten Anstiegs bezeichnet wird. Dann gilt nämlich x) · max Fz (0) = ∇f (¯

z=1

∇f (¯ x) = ∇f (¯ x). ∇f (¯ x)

Ganz ¨ ahnlich wird das Skalarprodukt minimiert, wenn wir z in die dem Gradienten ∇f (¯ x) entgegengesetzte Richtung wählen: z=−

∇f (¯ x) . ∇f (¯ x)

Dies wird als Richtung des steilsten Abstiegs, vgl. Abb. 54.8, bezeichnet, da dann x) · min Fz (0) = −∇f (¯

z=1

∇f (¯ x) = −∇f (¯ x). ∇f (¯ x)

0

0.5

1

1.5

2 1 0.5

1 0.5

0 0 0.5

0.5 1

1

Abb. 54.8. Richtungen des steilsten Abstiegs auf einer Wanderkarte“ ”

Ist ∇f (¯ x) = 0, dann wird x ¯ als stationärer Punkt bezeichnet. Ist x ¯ ein station¨ arer Punkt, dann gilt offensichtlich ∇f (¯ x) · z = 0 f¨ ur jede Richtung z und f (x) = f (¯ x) + Ef (x, x¯). Die Differenz f (x) − f (¯ x) ist dann im Abstand x − x ¯ quadratisch klein, d.h., |f (x) − f (¯ x)| ≤ Kf x − x¯2 und f (x) kommt dem konstanten Wert f (¯ x) f¨ ur x in der N¨ ahe von x ¯ sehr nahe.

54.10 Ein Minimumspunkt ist ein station¨ arer Punkt

831

54.10 Ein Minimumspunkt ist ein stationärer Punkt Angenommen x ¯ ∈ Rn sei ein Minimumspunkt der Funktion f : Rn → R, d.h. (54.13) f (x) ≥ f (¯ x) f¨ ur x ∈ Rn . Wir werden zeigen, dass f¨ ur differenzierbares f (x) im Minimumspunkt x¯ ∇f (¯ x) = 0

(54.14)

gilt. Ist n¨ amlich ∇f (¯ x) = 0, k¨ onnten wir uns in Richtung des steilsten Abstiegs von x ¯ zu einem Punkt x nahe bei x ¯ mit f (x) < f (¯ x) bewegen, was (54.13) widerspricht. Um also die Minima einer Funktion f : Rn → R zu bestimmen, k¨ onnen wir stattdessen die Gleichung g(x) = 0 lösen, mit g = ∇f : Rn → Rn . Hierbei interpretieren wir ∇f (x) als n-Spaltenvektor. Eine breite Vielfalt von Anwendungen der Mechanik, Physik und anderen Disziplinen k¨ onnen als L¨ osungen der Gleichung ∇f (x) = 0 formuliert werden, d.h. als Suche nach station¨ aren Punkten. Wir werden unten auf viele Anwendungen treffen.

54.11 Die Methode des steilsten Abstiegs Sei f : Rn → R gegeben. Wir betrachten das Problem, einen Minimumspunkt x¯ zu finden. Um diesen zu erhalten, ist es nur nat¨ urlich, eine Methode des steilsten Abstiegs zu versuchen: Ist eine Näherung y¯ von x ¯ mit ∇f (¯ y) = 0 gegeben, so bewegen wir uns von y¯ zu einem neuen Punkt y in der Richtung des steilsten Abstiegs: y = y¯ − α

∇f (¯ y) , ∇f (¯ y )

wobei α > 0 eine w¨ ahlbare Schrittl¨ ange ist. Wir wissen, dass f (y) abnimmt, wenn α von Null aus zunimmt und die Frage besteht darin, einen vern¨ unftigen Wert f¨ ur α zu finden. Dazu k¨ onnen wir α in kleinen Schritten gr¨ oßer w¨ ahlen, bis f (y) nicht mehr abnimmt. Dann wird das Verfahren wiederholt, wobei wir y¯ durch y ersetzen. Offensichtlich ist die Methode des steilsten Abstiegs eng mit der Fixpunkt-Iteration f¨ ur die Lösung der Gleichung ∇f (x) = 0 in der Form x = x − α∇f (x) verbunden, wobei wir den Normalisierungsfaktor 1/∇f (¯ y) in α > 0 einbeziehen.

832


Abb. 54.9. Die Methode des steilsten Abstiegs f¨ ur f (x1 , x2 ) = x1 sin(x1 + x2 )+ x2 cos(2x1 − 3x2 ) beginnend bei (0, 5; 0, 5) mit α = 0, 3

54.12 Richtungsableitungen Sei gz (t) = x ¯ + tz, wobei z ∈ Rn ein gegebener normierter Vektor ist mit z = 1. Wir betrachten eine Funktion f : Rn → R und die zusammengesetzte Funktion Fz (t) = f (¯ x + tz). Die Kettenregel impliziert, dass Fz (0) = ∇f (¯ x) · z. Daher wird ∇f (¯ x) · z die Richtungsableitung von f (x) in x ¯ in Richtung von z genannt, vgl. Abb. 54.10.

54.13 Partielle Ableitungen höherer Ordnung ∂f Sei f : Rn → R differenzierbar in Rn . Jede partielle Ableitung ∂x (¯ x) ist i eine Funktion von x ¯ ∈ Rn , die ihrerseits wieder differenzierbar sein kann. Wir bezeichnen ihre partielle Ableitungen mit

∂ ∂f ∂2f (¯ x) = (¯ x), ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi

i, j = 1, . . . , n, x ¯ ∈ Rn .

Sie werden partielle Ableitungen zweiter Ordnung von f in x¯ bezeichnet. Es stellt sich heraus, dass unter geeigneten Stetigkeitsbedingungen die Ableitungsreihenfolge beliebig ist. Anders formuliert, so werden wir beweisen,

54.13 Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung

833

Abb. 54.10. Darstellung einer Richtungsableitung

dass ∂2f ∂2f (¯ x) = (¯ x). ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj Wir f¨ uhren den Beweis f¨ ur den Fall n = 2 mit i = 1 und j = 2 aus. Wir schreiben den Ausdruck x1 , x2 ) − f (x1 , x ¯2 ) + f (¯ x1 , x ¯2 ) A = f (x1 , x2 ) − f (¯

(54.15)

in der Form A = f (x1 , x2 ) − f (x1 , x ¯2 ) − f (¯ x1 , x2 ) + f (¯ x1 , x ¯2 ),

(54.16)

wobei wir die Reihenfolge der beiden mittleren Ausdr¨ ucke vertauscht hax1 , x2 ) und benutzen ben. Zun¨ achst setzen wir F (x1 , x2 ) = f (x1 , x2 ) − f (¯ (54.15) f¨ ur ¯2 ). A = F (x1 , x2 ) − F (x1 , x Aus dem Mittelwertsatz folgt, dass ∂f ∂F ∂f A= (x1 , y2 )(x2 − x¯2 ) = (x1 , y2 ) − (¯ x1 , y2 ) (x2 − x ¯2 ) ∂x2 ∂x2 ∂x2 x2 , x2 ]. Wir benutzen wiederum den Mittelwertsatz, f¨ ur f¨ ur ein y2 ∈ [¯ A=

∂2f (y1 , y2 )(x1 − x ¯1 )(x2 − x ¯2 ), ∂x1 ∂x2

834


mit y1 ∈ [¯ x1 , x1 ]. Als N¨ achstes schreiben wir A mit Hilfe von (54.16) in die Form A = G(x1 , x2 ) − G(¯ x1 , x2 ), wobei G(x1 , x2 ) = f (x1 , x2 ) − f (x1 , x ¯2 ). Wenn wir wie oben den Mittelwertsatz zweimal einsetzen, erhalten wir A=

∂2f (z1 , z2 )(x1 − x ¯1 )(x2 − x ¯2 ), ∂x2 ∂x1

f¨ ur zi ∈ [¯ xi , xi ], i = 1, 2. Wenn wir annehmen, dass die zweite partielle Ableitung in x ¯ Lipschitz-stetig ist, so ergibt eine Annäherung von xi an x ¯i f¨ ur i = 1, 2: ∂2f ∂2f (¯ x) = (¯ x). ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 Damit haben wir das folgende zentrale Ergebnis bewiesen: Satz 54.3 Sind alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion f : Rn → R Lipschitz-stetig, dann ist die Reihenfolge der Ableitungen zweiter Ordnung irrelevant. Das Ergebnis l¨ asst sich direkt auf partielle Ableitungen von partiellen Ableitungen verallgemeinern: Sind die Ableitungen Lipschitz-stetig, dann ist die Reihenfolge der Ableitungen beliebig. Welche Erleichterung!

54.14 Der Satz von Taylor Angenommen, f : Rn → R habe Lipschitz-stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung. F¨ ur gegebene x, x ¯ ∈ Rn betrachten wir die Funktion h : R → R mit h(t) = f (¯ x + t(x − x ¯)) = f ◦ g(t), wobei g(t) = x ¯+t(x−¯ x) die Gerade durch x ¯ und x beschreibt. Offensichtlich ist h(1) = f (x) und h(0) = f (¯ x), so dass der Satz von Taylor angewandt auf h(t) f¨ ur ein t¯ ∈ [0, 1] zu 1 h(1) = h(0) + h (0) + h (t¯) 2 f¨ uhrt. Mit Hilfe der Kettenregel berechnen wir: h (t) = ∇f (g(t)) · (x − x ¯) =

n ∂f (g(t))(xi − x¯i ) ∂x i i=1

54.15 Der Kontraktionssatz

835

und ¨ ahnlich nach weiterer Ableitung nach t: h (t) =

n n i=1 j=1

∂ 2f (g(t))(xi − x ¯i )(xj − x ¯j ). ∂xi ∂xj

Somit erhalten wir: f (x) = f (¯ x)+∇f (¯ x)·(x− x ¯)+

n 1 ∂2f (y)(xi − x ¯i )(xj − x ¯j ), (54.17) 2 i,j=1 ∂xi ∂xj

x)) f¨ ur ein y = x ¯ + t¯(x − x ¯) mit t ∈ [0, 1]. Die n × n-Matrix H(¯ x) = (hij (¯ ∂2 f mit den Elementen hij (¯ x) = ∂xi ∂xj (¯ x) wird Hessesche Matrix von f (x) in x = x ¯ genannt. Die Hessesche Matrix enthält alle zweiten partiellen Ableitungen von f : Rn → R. In Matrix-Vektor Schreibweise mit dem nSpaltenvektor x k¨ onnen wir schreiben: n i,j=1

∂2f (y)(xi − x ¯i )(xj − x ¯j ) = (x − x ¯) H(y)(x − x ¯). ∂xi ∂xj

Wir fassen zusammen: Satz 54.4 (Satz von Taylor) Sei f : Rn → R zweimal differenzierbar mit Lipschitz-stetiger Hessescher Matrix H = (hij ) mit den Elementen 2 f hij = ∂x∂i ∂x . Dann gibt es f¨ ur gegebene x und x ¯ ∈ Rn ein y = x + t¯(x − x ¯) j mit t¯ ∈ [0, 1], so dass n 1 ∂2f f (x) = f (¯ x) + ∇f (¯ x) · (x − x ¯) + (y)(xi − x¯i )(xj − x ¯j ) 2 i,j=1 ∂xi ∂xj

1 ¯) H(y)(x − x = f (¯ x) + ∇f (¯ x) · (x − x ¯) + (x − x ¯). 2

54.15 Der Kontraktionssatz Wir wollen nun die folgende Verallgemeinerung des Kontraktionssatzes beweisen: Satz 54.5 Sei g : Rn → Rn eine Lipschitz-stetige Funktion zur LipschitzKonstanten L < 1. Dann besitzt die Gleichung x = g(x) eine eindeutige n Lösung x ¯ = limi→∞ x(i) , wobei {x(i) }∞ i=1 eine Folge in R ist, die durch (i) (i−1) Fixpunkt-Iteration erzeugt wird: x = g(x ), i = 1, 2, . . ., beginnend mit einem Anfangswert x(0) . Der Beweis ist Wort f¨ ur Wort derselbe wie f¨ ur den Fall g : R → R, den wir im Kapitel Fixpunkte und kontrahierende Abbildungen“ betrachtet ”

836


haben. Wir wiederholen den Beweis dem Leser zuliebe. Das Abziehen der Gleichung x(k) = g(x(k−1) ) von x(k+1) = g(x(k) ) liefert x(k+1) − x(k) = g(x(k) ) − g(x(k−1) ). Mit Hilfe der Lipschitz-Stetigkeit von g erhalten wir somit x(k+1) − x(k) ≤ Lx(k) − x(k−1) . Wenn wir diese Absch¨ atzung wiederholen, dann erkennen wir, dass x(k+1) − x(k) ≤ Lk x(1) − x(0) und somit f¨ ur j > i x(j) − x(i) ≤

j−1

x(k+1) − x(k)

k=i

≤ x(1) − x(0)

j−1

Lk = x(1) − x(0) Li

k=i

1 − Lj−i . 1−L

n Da L < 1, ist {x(i) }∞ i=1 eine Cauchy-Folge in R und konvergiert daher (i) zu einem Grenzwert x¯ = limi→∞ x . Wenn wir den Grenzwert in die Gleichung x(i) = g(x(i−1) ) einsetzen, so erhalten wir x ¯ = g(¯ x) und daher ist x ¯ ein Fixpunkt von g : Rn → Rn . Eindeutigkeit ergibt sich aus der Tatsache, dass f¨ ur y¯ = g(¯ y ) folgt: ¯ x − y¯ = g(¯ x) − g(¯ y) ≤ L¯ x − y¯. Dies ist unm¨ oglich, außer wenn y¯ = x ¯, da L < 1.

Beispiel 54.16. Wir betrachten die Funktion g : R2 → R2 , definiert durch g(x) = (g1 (x), g2 (x)) mit g1 (x) =

1 , 4 + |x1 | + |x2 |

g2 (x) =

1 . 4 + | sin(x1 )| + | cos(x2 )|

Es gilt |

∂gi 1 , |≤ ∂xj 16

und daher durch einfache Absch¨ atzungen: g(x) − g(y) ≤

1 x − y, 4

woran wir erkennen, dass g : R2 → R2 Lipschitz-stetig ist zur LipschitzKonstanten Lg ≤ 14 . Die Gleichung x = g(x) hat also eine eindeutige L¨ osung.

54.16 Nullstellen von f : Rn → Rn

837

54.16 Nullstellen von f : Rn → Rn Der Kontraktionssatz kann, wie folgt, angewendet werden. Angenommen, f : Rn → Rn sei gegeben und wir suchen eine Nullstelle von f (x). Wir definieren g(x) = x − Af (x), wobei A eine w¨ ahlbare nicht-singul¨ are n × n-Matrix mit konstanten Koeffizienten ist. Die Gleichung x = g(x) ist dann äquivalent zur Gleichung f (x) = 0. Ist g : Rn → Rn Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten L < 1, dann besitzt g(x) einen eindeutigen Fixpunkt x¯, f¨ ur den f (¯ x) = 0 gilt. Dabei ist g (x) = I − Af (x), was uns dazu f¨ uhrt, die Matrix A so zu w¨ ahlen, dass I − Af (x) ≤ 1 f¨ ur x in der N¨ ahe der L¨ osung x ¯. Die ideale Wahl scheint x)−1 A = f (¯ zu sein, wenn wir voraussetzen, dass f (¯ x) nicht-singulär ist, da dann g (¯ x) = 0. In Anwendungen versuchen wir A nahe bei f (¯ x)−1 zu wählen ur x naund wir hoffen dabei, dass das zugeh¨ orige g (x) = I − Af (x) f¨ he bei der L¨ osung x ¯ eine kleine Norm g (x) besitzt und daher schnell konvergiert. Bei der Newton-Methode w¨ ahlen wir A = f (x)−1 , s.u. Beispiel 54.17. Wir betrachten das Anfangswertproblem u(t) ˙ = f (u(t)) f¨ ur t > 0, u(0) = u0 , wobei f : Rn → Rn eine gegebene Lipschitz-stetige Funktion zur Lipschitz-Konstanten Lf ist und wie u ¨blich ist u˙ = du dt . Wir betrachten das r¨ uckw¨ artige Euler-Verfahren U (ti ) = U (ti−1 ) + ki f (U (ti )),

(54.18)

wobei 0 = t0 < t1 < t2 . . . eine Folge von anwachsenden diskreten Zeitpunkten mit den Zeitschritten ki = ti − ti−1 ist. Haben wir bereits U (ti−1 ) bestimmt, so m¨ ussen wir das nicht-lineare Gleichungssystem V = U (ti−1 ) + ki f (V )

(54.19)

osen, um U (ti ) ∈ Rn als Lösung von (54.18) mit der Unbekannten V ∈ Rn l¨ zu berechnen. Diese Gleichung besitzt die Gestalt V = g(V ) mit g(V ) = U (ti−1 ) + ki f (V ) und g : Rn → Rn . Daher nutzen wir die Fixpunkt-Iteration V (m) = U (ti−1 ) + ki f (V (m−1) ),

m = 1, 2, . . . ,

838


mit der Wahl von V (0) = U (ti−1 ), um den neuen Wert zu berechnen. Bezeichnet Lf die Lipschitz-Konstante von f : Rn → Rn , dann gilt g(V ) − g(W ) = ki (f (V ) − f (W )) ≤ ki Lf V − W ,

V, W ∈ Rn ,

und daher ist g : Rn → Rn Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten Lg = ki Lf . Nun gilt Lg < 1, wenn f¨ ur den Zeitschritt ki < 1/Lf gilt und daher konvergiert die Fixpunkt-Iteration zur Berechnung von U (ti ) in ur die numeri(54.18), falls ki < 1/Lf . Damit erhalten wir eine Methode f¨ sche L¨ osung einer sehr großen Klasse von Anfangswertproblemen der Form u(t) ˙ = f (u(t)) f¨ ur t > 0, u(0) = u0 . Die einzige Einschränkung dabei ist, dass die Zeitschritte gen¨ ugend klein gew¨ ahlt werden m¨ ussen, was eine ernste Einschr¨ ankung sein kann, wenn die Lipschitz-Konstante Lf sehr groß ist, da die L¨ osung dann einen massiven Berechnungsaufwand (sehr kleine Zeitschritte) erfordert. Daher, Achtung bei großen Lipschitz-Konstanten Lf !!

54.17 Der Satz zur inversen Funktion Sei f : Rn → Rn eine gegebene Funktion und y¯ = f (¯ x) f¨ ur gegebenes x ¯ ∈ Rn . Wir werden beweisen, dass f¨ ur nicht-singuläres f (¯ x) die Gleichung f (x) = y

(54.20)

f¨ ur y ∈ Rn nahe bei y¯ eine eindeutige L¨ osung x besitzt. Daher können wir f¨ ur ein y nahe bei y¯ das Argument x als Funktion von y definieren, die wir als Umkehrabbildung oder inverse Funktion x = f −1 (y) von y = f (x) bezeichnen. Um zu zeigen, dass (54.20) f¨ ur alle y nahe bei y¯ eine eindeutige L¨ osung x besitzt, betrachten wir die Fixpunkt-Iteration f¨ ur x = g(x) mit x))−1 (f (x) − y) mit dem Fixpunkt x, f¨ ur den wie gew¨ unscht g(x) = x − (f (¯ f (x) = y gilt. Die Iteration ergibt mit x(0) = x ¯: x(j) = x(j−1) − (f (¯ x))−1 (f (x(j−1) ) − y),

j = 1, 2, . . . .

Zur Konvergenzanalyse subtrahieren wir x(j−1) = x(j−2) − (f (¯ x))−1 (f (x(j−2) ) − y) und erhalten mit ej = x(j) − x(j−1) ej = ej−1 − (f (¯ x))−1 (f (x(j−1 ) − f (x(j−2) ) f¨ ur j = 1, 2, . . . . Aus dem Mittelwertsatz folgt nun, dass fi (x(j−1) ) − fi (x(j−2) ) = f (z)ej−1 ,

54.18 Der Satz u ¨ ber implizite Funktionen

839

wobei z auf der Geraden zwischen x(j−1) und x(j−2) liegt. Bedenken Sie, dass f¨ ur unterschiedliche Zeilen von f (z) diese z-Werte möglicherweise verschieden sein k¨ onnen. Wir folgern, dass x))−1 f (z) ej−1 . ej = I − (f (¯ Wenn wir nun annehmen, dass x))−1 f (z) ≤ θ, I − (f (¯

(54.21)

wobei θ < 1 eine positive Konstante ist, so erhalten wir ej ≤ θej−1 . Wie beim Beweis des Kontraktionssatzes zeigt uns dies, dass die Folge n {x(j) }∞ j=1 eine Cauchy-Folge ist und daher gegen einen Vektor x ∈ R konvergiert, f¨ ur den f (x) = y gilt. Die Bedingung f¨ ur die Konvergenz ist offensichtlich (54.21). Diese Bedingung ist erf¨ ullt, wenn die Koeffizienten der Jacobi-Matrix f (x) nahe bei x))−1 x ¯ Lipschitz-stetig sind und f (x) nicht-singulär ist, so dass also (f (¯ existiert und wir y darauf beschr¨ anken, gen¨ ugend nahe bei y zu sein. Wir fassen dies im folgenden (sehr ber¨ uhmten) Satz zusammen: Satz 54.6 (Satz zur inversen Funktion) Sei f : Rn → Rn . Wir nehmen an, dass die Koeffizienten von f (x) nahe bei x¯ Lipschitz-stetig ur y gen¨ ugend nahe sind und dass f (x) nicht-singulär ist. Dann besitzt f¨ bei y¯ = f (¯ x) die Gleichung f (x) = y eine eindeutige Lösung x. Dadurch wird x als Funktion x = f −1 (y) von y definiert. Carl Jacobi (1804–51), deutscher Mathematiker, war der Erste, der die Rolle der Determinante der Jacobi-Matrix f¨ ur die Existenz der Inversen untersuchte. Er leistete außerdem wichtige Beiträge auf vielen Gebieten der Mathematik inklusive zur aufkeimenden Theorie f¨ ur partielle Differentialgleichungen erster Ordnung.

54.18 Der Satz u ¨ ber implizite Funktionen Es gibt eine wichtige Verallgemeinerung des Satzes zur Inversen. Sei dazu ur x ∈ Rn und y ∈ Rm f : Rn × Rm → Rn mit Werten f (x, y) ∈ Rn f¨ gegeben. Angenommen f (¯ x, y¯) = 0, so betrachten wir die Gleichung in x ∈ Rn f (x, y) = 0, f¨ ur y ∈ Rm nahe bei y¯. Im Falle des Satzes zur Inversen untersuchten wir einen Spezialfall dieser Situation mit f : Rn × R → Rn , definiert als f (x, y) = g(x) − y und g : Rn → Rn .

840


Wir definieren die Jacobi-Matrix fx (x, y) von f (x, y) bez¨ uglich x in (x, y) als die n × n-Matrix mit den Elementen ∂fi (x, y). ∂xj Wenn wir nun annehmen, dass fx (¯ x, y¯) nicht-singulär ist, können wir die Fixpunkt-Iteration bilden: x(j) = x(j−1) − (fx (¯ x, y¯))−1 f (x(j−1) , y). Wir gelangen so zu einer L¨ osung von f (x, y) = 0. Wenn wir wie oben argumentieren, k¨ onnen wir zeigen, dass diese Iteration eine Folge {x(j) }∞ j=1 erzeugt, die gegen x ∈ Rn konvergiert, f¨ ur das f (x, y) = 0 gilt, wenn wir ¯ und y nahe annehmen, dass fx (x, y) Lipschitz-stetig ist, wenn x nahe bei x bei y¯ ist. Dadurch wird x als Funktion von g(y) von y definiert, die f¨ ur y nahe bei y¯ gilt. Somit haben wir den (auch sehr ber¨ uhmten) Satz bewiesen: Satz 54.7 (Satz zur impliziten Funktion) Sei f : Rn × Rm → Rn mit f (x, y) ∈ Rn und x ∈ Rn und y ∈ Rm unter der Annahme, dass f (¯ x, y¯) = 0. Angenommen, dass die Jacobi-Matrix fx (x, y) bez¨ uglich x f¨ ur x nahe bei x, y¯) nicht-singulär ist. x ¯ und y nahe bei y¯ Lipschitz-stetig ist und dass fx (¯ Dann besitzt f¨ ur y nahe bei y¯ die Gleichung f (x, y) = 0 eine eindeutige Lösung x = g(y). Dadurch wird x als Funktion g(y) von y definiert.

54.19 Die Newton-Methode Als N¨ achstes betrachten wir die Newton-Methode zur Lösung der Gleichung f (x) = 0 mit f : Rn → Rn : x(i+1) = x(i) − f (x(i) )−1 f (x(i) ),

f¨ ur i = 0, 1, 2, . . . ,

(54.22)

mit Anfangswert x(0) . Die Newton-Methode entspricht der Fixpunkt-Iteration f¨ ur x = g(x) mit g(x) = x − f (x)−1 f (x). Wir werden beweisen, dass die Newton-Methode nahe bei der Nullstelle x ¯ quadratisch konvergiert, x) nicht-singul¨ ar ist. Die Argumente sind dieselben wie f¨ ur den wenn f (¯ Fall n = 1, den wir oben untersucht haben. Wenn wir ei = x¯ − x(i) setzen x) mit f (¯ x) = 0 benutzen, dann erhalten wir: und x ¯=x ¯ − f (x(i) )−1 f (¯ x) − f (x(i) )) x ¯ − x(i+1) = x¯ − x(i) − f (x(i) )−1 (f (¯ = x¯ − x(i) − f (x(i) )−1 (f (x(i) ) + Ef (x(i) , x ¯)) = f (x(i) )−1 Ef (x(i) , x ¯). Wir folgern, dass ¯ x − x(i+1) ≤ C¯ x − x(i) 2

54.20 Ableitung unter dem Integral

841

unter der Voraussetzung, dass f (x(i) )−1 ≤ C, wobei C eine positive Konstante ist. Somit haben wir das folgende wichtige Ergebnis bewiesen: Satz 54.8 (Newton-Methode) Sei x ¯ Nullstelle von f : Rn → Rn und f (x) gleichmäßig differenzierbar mit einer Lipschitz-stetigen Ableitung nahe bei x ¯. Sei ferner f (¯ x) nicht-singulär. Dann konvergiert die NewtonMethode zur Lösung von f (x) = 0 quadratisch, wenn wir gen¨ ugend nahe bei x ¯ beginnen. In praktischen Implementierungen der Newton-Methode schreiben wir (54.22) in der Form: f (x(i) )z = −f (x(i) ), x(i+1) = x(i) + z, wobei f (x(i) )z = −f (x(i) ) ein Gleichungssystem in z ist, das mit dem Gaussschen Eliminationsverfahren oder einem iterativen Verfahren gelöst wird. Beispiel 54.18. Wir greifen nochmals die Gleichung (54.19), d.h. h(v) = v − ki f (v) − u(ti−1 ) = 0 auf. F¨ ur die Newton-Methode berechnen wir h (v) = I − ki f (v) ar ist, wenn ki < f (v)−1 . Wir und folgern, dass h (v) in v nicht-singul¨ ugend erkennen daran, dass die Newton-Methode konvergiert, wenn ki gen¨ klein ist und wir nahe bei der L¨ osung beginnen. Die Einschränkung f¨ ur die Zeitschrittweite ist wiederum mit der Lipschitz-Konstanten Lf von f oße von f (v) widerspiegelt. verkn¨ upft, da Lf die Gr¨

54.20 Ableitung unter dem Integral Schließlich zeigen wir, dass sich die Bildung einer partiellen Ableitung nach asst, wenn die Integralgrenzen eines x1 hinter das Integralzeichen schieben l¨ Integrals von der Variablen x1 unabh¨ angig sind. Sei also f : R2 → R eine Funktion zweier reeller Variablen x1 und x2 . Wir betrachten das Integral 1 f (x1 , x2 ) dx2 = g(x1 ), 0

842


das eine Funktion g(x1 ) von x1 definiert. Wir werden nun beweisen, dass dg (¯ x1 ) = dx1

1

0

∂f (¯ x1 , x2 ) dx2 , ∂x1

(54.23)

was als Ableitung unter dem Integral bezeichnet wird. Der Beweis beginnt mit x1 , x2 ) + f (x1 , x2 ) = f (¯

∂f (¯ x1 , x2 )(x1 − x¯1 ) + Ef (x1 , x ¯1 , x2 ), ∂x1

wobei wir annehmen, dass |Ef (x1 , x ¯1 , x2 )| ≤ Kf (¯ x1 − x1 )2 . Nach dem Satz von Taylor trifft dies unter der Voraussetzung zu, dass die zweite partielle Ableitung von f beschr¨ ankt ist. Die Integration nach x2 f¨ uhrt zu 1 1 f (x1 , x2 ) dx2 = f (¯ x1 , x2 ) dx2 0

0

+ (x1 − x¯1 )

1 0

∂f (¯ x1 , x2 ) dx2 + ∂x1

1

Ef (x1 , x ¯1 , x2 ) dx2 . 0

Da

1 0

Ef (x1 , x ¯1 , x2 ) dx2 ≤ Kf (¯ x1 − x1 )2 ,

ergibt sich (54.23) nach der Division mit (x1 − x ¯1 ) und der Grenzwertbil¯1 . Wir fassen zusammen: dung x1 gegen x Satz 54.9 (Ableitung unter dem Integral) Ist die zweite partielle Ableitung von f (x1 , x2 ) beschränkt, dann gilt f¨ ur x1 ∈ R: d dx1

1

1

f (x1 , x2 ) dx2 = 0

0

∂f (x1 , x2 ) dx2 . ∂x1

(54.24)

Beispiel 54.19. d dx

1 0

(1 + xy 2 )−1 dy =

0

1

∂ (1 + xy 2 )−1 dy = − ∂x

0

1

y2 dy. (1 + xy 2 )2

Aufgaben zu Kapitel 54

843

Aufgaben zu Kapitel 54 54.1. Skizzieren Sie die folgenden Oberfl¨ achen in R3 : (a) Γ = {x : x3 = x21 + x22 }, (b) Γ = {x : x3 = x21 −x22 }, (c) Γ = {x : x3 = x1 +x22 }, (d) Γ = {x : x3 = x41 +x62 }. Bestimmen Sie in verschiedenen Punkten die Tangentialebenen. 54.2. Bestimmen Sie, ob die folgenden Funktionen auf {x : |x| < 1} Lipschitzstetig sind oder nicht und bestimmen Sie die Lipschitz-Konstanten: f : R3 → R3 f¨ ur f (x) = x|x|2 , f : R3 → R f¨ ur f (x) = sin |x|2 , f : R2 → R3 f¨ ur f (x) = (x1 , x2 , sin |x|2 ), f : R3 → R f¨ ur f (x) = 1/|x|, f : R3 → R3 f¨ ur f (x) = x sin(|x|), (freiwillig) f : R3 → R f¨ ur f (x) = sin(|x|)/|x|. (freiwillig) 54.3. Entscheiden Sie f¨ ur die Funktionen der vorangehenden Aufgabe, welche davon in {x : |x| < 1} Kontraktionen sind und bestimmen Sie deren Fixpunkte (freiwillig). 54.4. Linearisieren Sie die folgenden Funktionen in R3 in x = (1, 2, 3): f (x) = |x|2 , f (x) = sin(|x|2 ), f (x) = (|x|2 , sin(x2 )), f (x) = (|x|2 , sin(x2 ), x1 x2 cos(x3 )). 54.5. Berechnen Sie die Determinante der Jacobi-Matrix f¨ ur folgende Funktionen: (a) f (x) = (x31 −3x1 x22 , 3x1 x22 −x32 ), (b) f (x) = (x1 ex2 cos(x3 ), x1 ex2 sin(x3 ), x1 ex2 ). 54.6. Berechnen Sie das Taylor-Polynom zweiter ur die √ Ordnung in (0, 0, 0) f¨ folgenden Funktionen f : R3 → R: (a) f (x) = 1 + x1 + x2 + x3 , (b) f (x) = (x1 − 1)x2 x3 , (c) f (x) = sin(cos(x1 x2 x3 )), (d) exp(−x21 − x22 − x23 ), (e) Versuchen Sie, die Fehler in den N¨ aherungen in (a) − (d) abzusch¨ atzen. 54.7. Linearisieren Sie f ◦ s f¨ ur f (x) = x1 x2 x3 in t = 1 mit (a) s(t) = (t, t2 , t3 ), (b) s(t) = (cos(t), sin(t), t), (c) s(t) = (t, 1, t−1 ). 54.8. Berechnen Sie ∞ x von 0 e−xy dy.

∞ 0

y n e−xy dy f¨ ur x > 0 durch wiederholte Ableitungen nach

54.9. Versuchen Sie die Funktion u(x) = x21 + x22 + 2x23 nach der Methode des steilsten Abstiegs zu minimieren, indem Sie in x = (1, 1, 1) beginnen. Finden Sie die gr¨ oßte Schrittl¨ ange, f¨ ur welche die Iteration konvergiert. 54.10. Bestimmen Sie die Nullstellen f¨ ur (x21 −x22 −3x1 +x2 +4, 2x1 x2 −3x2 −x1 +3) nach der Newton-Methode.

844


54.11. Verallgemeinern Sie den Satz von Taylor f¨ ur eine Funktion f : Rn → R f¨ ur die dritte Ordnung. 54.12. Ist die Funktion f (x1 , x2 ) =

x21 − x22 nahe bei (0, 0) Lipschitz-stetig? x21 + x22

Jacobi und Euler waren in ihrer Art, wie sie Mathematik betrieben, Verwandte im Geiste. Beide waren produktive Autoren und noch produktivere Rechner; beide erlangten ein betr¨ achtliches Verst¨ andnis aus ihrer immensen algorithmischen Arbeit; beide arbeiteten auf vielen Gebieten der Mathematik (Euler u ¨ bertraf in dieser Hinsicht Jacobi bei weitem); und beide konnten jederzeit aus der großen Waffenkammer mathematischer Methoden genau die Waffen z¨ ucken, die beim Angriff eines gestellten Problems den gr¨ oßtm¨ oglichen Erfolg versprachen. (Sciba)

55 Ho¨henlinien/Niveauflächen und der Gradient

Es w¨ urde keinen Sinn machen, den Studenten mit allen m¨ oglichen Kleinigkeiten, die gelegentlich benutzt werden, zu u ¨ berladen. Es ist stattdessen wichtig, Studenten mit dem mathematischen Denken vertraut zu machen, so dass sie die Notwendigkeit mathematischer Methoden in Ingenieursproblemen erkennen und sich bewusst werden, dass Mathematik eine systematische Wissenschaft ist, die auf relativ wenigen Prinzipien aufbaut und ihnen ein sicheres Gef¨ uhl f¨ ur das Wechselspiel zwischen Theorie, Berechnung und Experiment zu vermitteln. (E. Kreyszig, im Vorwort zu Advanced Engineering Ma” thematics“, 1993)

55.1 Höhenlinien Eine Höhenlinie einer Funktion u : R2 → R ist eine Kurve g : [a, b] → R2 , so dass u(g(t)) = c

f¨ ur t ∈ [a, b],

(55.1)

mit konstantem c. Eine H¨ ohenlinie wird auch Isolinie oder Konturkurve genannt. Die Punkte x auf einer H¨ ohenlinie x = g(t), die (55.1) erf¨ ullen, besitzen alle denselben Funktionswert u(x) = u(g(t)) = c. Wenn wir die H¨ ohenlinien oder Isolinien f¨ ur eine Ansammlung verschiedener Konstanten c zeichnen, erhalten wir eine Höhenlinienzeichnung oder Konturzeichnung der Funktion u(x), vgl. Abb. 55.1. Die H¨ ohenlinien entsprechen den Projektionen der Schnitte des Graphen {x ∈ R2 : x3 = u(x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ R2 }

846

55. H¨ ohenlinien/Niveaufl¨ achen und der Gradient

mit den Ebenen x3 = c in R3 auf R2 . Wir veranschaulichen dies bildlich in Abb. 55.2. 4

x3

4

2

3

0

2

-2

1 0

1

2

x2

3

2

1

4 0

4

3

0

x1

0

1

2

3

4

Abb. 55.1. Die Zeichnung einer Oberfl¨ ache mit zugeh¨ origer Konturzeichnung. Die H¨ ohenlinien beginnen bei der Maximalh¨ ohe 4 und sie sind alle 0, 7 Einheiten aufgetragen

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 0.5 0 −0.5 −1

−1

−0.5

0

0.5

1

Abb. 55.2. Die Projektion auf R2 des Schnitts von x3 = c und x3 = u(x1 , x2 ) ohenlinie (mit u(x1 , x2 ) = 1 − exp(−x21 − x22 ) und c = 0, 5) ergibt eine H¨

Beispiel 55.1. Die H¨ ohenlinien der Funktion u(x) = x21 + x22 sind Kreise 2 2 ohenlinien der Funktion u(x) = 2x21 + x22 x1 + x2 = c mit c ≥ 0. Die H¨ 2 2 sind die Ellipsen 2x1 + x2 = c mit c ≥ 0. Die Höhenlinien der Funktion u(x) = x21 − x2 sind die Parabeln x2 = x21 − c mit konstantem c. Beispiel 55.2. Eine gute Wanderkarte enth¨ alt die Höhenlinien der Funktion u : R2 → R, die der H¨ ohe eines Punktes x ∈ R2 relativ zur Meereshöhe entspricht. Der H¨ ohenunterschied zwischen zwei benachbarten Linien ist u ohenunterschied zwischen zwei Punkten kann ¨ blicherweise 10 Meter. Der H¨ durch Z¨ ahlen der H¨ ohenlinien entlang einer Strecke zwischen den beiden Punkten erhalten werden. Dies ist bei der Planung einer Wanderung n¨ utzlich. Vergleichen Sie mit Abb. 54.8.

55.2 Lokale Existenz von H¨ ohenlinien

847

Eine H¨ ohenlinie u(g(t)) = c kann man sich auch als Uferlinie eines Sees denken, dessen Wasserspiegel c Meter u ¨ ber dem Meer liegt.

55.2 Lokale Existenz von Ho¨henlinien Die lokale Existenz von H¨ ohenlinien folgt aus dem folgenden Spezialfall des Satzes u ber implizite Funktionen, wobei die Höhenlinie f¨ ur g : R → R ¨ durch t → (t, g(t)) bzw. t → (g(t), t) gegeben ist. Satz 55.1 Angenommen, u : R2 → R habe stetige partielle Ableitungen ∂u und u(¯ x1 , x ¯2 ) = c. Ist ∂x (¯ x1 , x ¯2 ) = 0, dann existiert ein δ > 0, so dass 2 ur |x1 − x ¯1 | < δ besitzt. u(x1 , x2 ) = c eine eindeutige Lösung x2 = g(x1 ) f¨ ∂u Ist ∂x (¯ x , x ¯ ) =

0, dann existiert ein δ > 0, so dass u(x , x2 ) = c eine 1 2 1 1 ur |x2 − x ¯2 | < δ besitzt. eindeutige Lösung x1 = g(x2 ) f¨ ∂u (¯ x1 , x ¯2 ) = 0 parallel zur Wir halten fest, dass die H¨ ohenlinie f¨ ur ∂x 2 x2 -Achse verl¨ auft, weswegen wir nicht erwarten können, dass durch die Gleichung u(x1 , x2 ) = c die Variable x2 als Funktion von x1 (die zugehörige urde dann in x1 = x ¯1 unendliche Steigung besitzen) Funktion x2 = g(x1 ) w¨ definiert wird.

x2 u(x, y) = x2 + y 2 = 1

x1

x2 = g(x1 ) =

Abb. 55.3. x2 = −

1 − x21

1 − x21 als Teil der H¨ ohenlinie u(x1 , x2 ) = x21 + x22 = 1

55.3 Höhenlinien und der Gradient Durch Ableiten beider Seiten von (55.1) erhalten wir mit der Kettenregel d ∂u ∂u u(g(t)) = ∇u(x) · g (t) = (g(t))g1 (t) + (g(t))g2 (t) = 0. dt ∂x1 ∂x2 Da g (t) = (g1 (t), g2 (t)) der Richtung der Tangente der Kurve g(t) entspricht, bedeutet dies, dass die Richtung g (t) einer Höhenlinie einer Funktion u : R2 → R zum Gradienten ∇u(g(t)) orthogonal ist. Dabei zeigt der

848


Gradient ∇u(x) in die Richtung des steilsten Abstiegs der Funktion u(x) in x, und die Richtung senkrecht zum Gradienten (die Richtung der Höhenlinie) ist eine Richtung, in der u konstant bleibt, vgl. Abb. 55.4. Wenn wir uns entlang einer H¨ ohenlinie bewegen, bleibt die Funktion konstant und wenn wir uns in Richtung des Gradienten bewegen, verändert sich die Funktion so stark wie m¨ oglich! Da der Gradient ∇u(¯ x) zur Tangente der Höhenlinie durch x ¯ normal ist, können wir die Gleichung f¨ ur die Tangente einer Höhenlinie durch x¯ auch als ∇u(¯ x) · (x − x ¯) = 0 schreiben. x2

u>c u 0, so dass u(x1 , x2 , x3 ) = c eine eindeutige Lösung x3 = g(x1 , x2 ) x1 , x ¯2 ) < δ. Ist ∂u/∂x2 = 0, dann existiert ein besitzt, mit (x1 , x2 ) − (¯ δ > 0, so dass u(x1 , x2 , x3 ) = c eine eindeutige Lösung x2 = g(x1 , x3 ) besitzt, mit (x1 , x3 ) − (¯ x1 , x ¯3 ) < δ. Ist ∂u/∂x1 = 0, dann existiert ein δ > 0, so dass u(x1 , x2 , x3 ) = c eine eindeutige Lösung x1 = g(x2 , x3 ) besitzt, mit (x2 , x3 ) − (¯ x2 , x ¯3 ) < δ.

55.6 Niveauflächen und der Gradient Das Ableiten beider Seiten von (55.2) nach y1 und y2 f¨ ur y = (y1 , y2 ) liefert mit der Kettenregel ∂ u(g(y)) = ∇u(g(y)) · g,i (y) = 0, ∂yi

i = 1, 2,

1

0.5

0

−0.5 2 1.5

−1

1

1

0.5 0.5

0 −0.5

0 −1

−0.5

−1.5 −1

−2

Abb. 55.5. Eine St¨ uck der Niveaufl¨ ache u(x1 , x2 , x3 ) = x21 + x23 = 1

850


wobei wir die Schreibweise g,i (y) =

∂ g(y) ∂yi

benutzen. Wir verwenden das Komma in g,i , um die Ableitung nach xi anzudeuten, wohingegen gi f¨ ur Komponente i von g = (g1 , g2 , g3 ) steht. Wir erinnern daran, dass die Tangentialebene (Linearisierung) von g(y) in y ) + (y1 − y¯1 )g,1 (¯ y ) + (y2 − y¯2 )g,2 (¯ y ) gegeben x ¯ = g(¯ y ) durch (y1 , y2 ) → g(¯ ist und wir folgern, dass ∇u(g(¯ y)) zur Tangentialebene der Niveaufläche durch x ¯ = g(¯ y) orthogonal ist. Wir sagen, dass ∇u(g(¯ y )) zur Niveaufläche u(x) = c durch x ¯ = g(¯ y) orthogonal ist oder dass ∇u(g(¯ y)) eine Normale zur Niveaufläche u(x) = c in x ¯ = g(¯ y ) ist, vgl. Abb. 55.6. Da ∇u(¯ x) folglich eine Normale zur Tangentialebene in x ist, kann die Gleichung f¨ ur die Tangentialebene einer Niveaufl¨ ache durch x ¯ auch in der Form ∇u(¯ x)·(x−x¯) = 0 geschrieben werden. grad u

ds dt 2

1

0.5

ds

0

dt

1

−0.5

−1 1 0.5

2 1.5

0 1 −0.5

0.5 −1

0

Abb. 55.6. Der Gradient ∇u(x) = (2x1 , −1, 2x3 ) von u(x1 , x2 , x3 ) = x21 +x23 −x2 ist orthogonal zur Niveaufl¨ ache (x1 , x3 ) → g(x1 , x3 ) = (x1 , x21 + x23 + c, x3 ), da g1 = (1, 2x1 , 0) und g3 = (0, 2x3 , 1)

Wir fassen zusammen: Satz 55.4 Der Gradient ∇u(¯ x) einer Funktion u : R3 → R ist orthogonal y) + (y1 − y¯1 )g,1 (¯ y ) + (y2 − y¯2 )g,2 (¯ y ) einer zur Tangentialebene (y1 , y2 ) → g(¯ Niveaufläche y → x = g(y) f¨ ur x¯ = g(¯ y). Die Gleichung f¨ ur die Tangentialebene einer Niveaufläche durch x ¯ kann auch in der Form ∇u(¯ x)·(x− x¯) = 0 geschrieben werden. Beispiel 55.5. Wir betrachten die Funktion u(x) = x21 + x22 + x23 mit den Niveaufl¨ achen g(y), f¨ ur die g12 (y)+g22 (y)+g32 (y) = c2 gilt, wodurch Kugeln um den Ursprung mit Radius c beschrieben werden. Der Gradient ∇u(x) = 2x ist offensichtlich orthogonal zu einer Tangentialebene einer Niveaufläche in x. Beispiel 55.6. Besitzt u : R3 → R die Gestalt u(x1 , x2 , x3 ) = f (x1 , x2 ) − x3 mit f : R2 → R, dann ist ∇u(x) = (f,1 (x1 , x2 ), f,2 (x1 , x2 ), −1). Eine Ni-


851

veaufl¨ ache u(g(y)) = c kann durch g(y) = ((y1 , y2 , f (y1 , y2 ) − c) para metrisiert werden, mit g,1 (y) = (1, 0, f,1 (y)) und g,2 (y) = (0, 1, f,2 (y)). ur i = 1, 2. Offensichtlich gilt ∇u(g(y)) · g,i (y) = 0 f¨

Aufgaben zu Kapitel 55 55.1. Skizzieren Sie die folgenden Oberfl¨ achen in R3 : (a) Γ = {x : x21 + x22 = x3 }, (b) Γ = {x : x21 + 2x22 + 3x23 = 6}, (c) Γ = {x : x21 + x22 = −x23 }, (d) Γ = {x : ur die Fl¨ achen in verschiedenen x21 + x22 = x23 }. Bestimmen Sie Tangentialebenen f¨ Punkten. 55.2. Suchen Sie eine Parametrisierung f¨ ur die Schnittkurven der Fl¨ achen der vorangegangenen Aufgabe mit der Ebene x3 = 1. 55.3. Zeigen Sie, dass die Oberfl¨ ache Γ = {x : x21 + 2x22 + 3x23 + x1 x33 = 7} nahe uckt werden kann. bei (1, 1, 1) auch in der Form x3 = g(x1 , x2 ) ausgedr¨ 55.4. Berechnen Sie die Gradienten f¨ ur folgende Funktionen f : R3 → R: n n n (a) f (x) = x1 (x2 + x3 ), (b) f (x) = |x|, (c) f (x) = |x|2 , (d) f (x) = 1/|x|, (e) f (x) = exp(x1 x2 x3 ). 55.5. Bestimmen Sie f¨ ur jede der Funktionen der vorangegangenen Aufgabe die Gleichung f¨ ur die Tangentialebene zur Niveaufl¨ ache f (x) = f (1, 1, 1) in x = (1, 1, 1). 55.6. Bestimmen Sie die Gleichung f¨ ur die Tangentialebene in x = (1, 2, 3) f¨ ur die folgenden Fl¨ achen: (a) x3 = 32 x1 x2 , (b) x2 = sin(2πx1 ) + 2 cos(2πx3 ), (c) x21 + x22 + x23 = 14. 55.7. Bestimmen Sie die √ Tangentialebene und den Normalenvektor f¨ ur die Ellipse x21 + 3x22 = 10 in x = (1, 3). 55.8. Sei f : Q → R, wobei Q = [0, 1] × [0, 1] das Einheitsquadrat ist, mit f (x) = 0 f¨ ur x auf der Grenze von Q. Beweisen Sie mit praktischen Annahmen, dass es einen Punkt y ∈ Q gibt, so dass ∇f (y) = 0.

56 Linearisierung und Stabilität von Anfangswertproblemen

The logos of somewome to that base anything, when most characteristically mantissa minus, comes to nullum in the endth: orso, here is nowet badder than the sin of Aha with his cosin Lil, verswaysed on coversvised, and all that’s consecants and cotangincies. . . (Finnegans Wake, James Joyce)

56.1 Einleitung Wir setzen die Untersuchung des allgemeinen Anfangswertproblems (40.1) fort und konzentrieren uns diesmal auf die Stabilität der Lösungen, die ein Maß sind f¨ ur die Sensitivität der Lösungen auf Störungen in den gegebenen Daten. Dies ist ein sehr wichtiger Gesichtspunkt f¨ ur das Verhalten von L¨ osungen, wie wir bereits im Kapitel Das allgemeine Anfangswert” problem“ angedeutet haben und nun etwas genauer untersuchen wollen. Wir betrachten ein autonomes Problem der Form u(t) ˙ = f (u(t)) f¨ ur 0 < t ≤ T, u(0) = u0 ,

(56.1)

wobei f : Rd → Rd eine gegebene beschr¨ ankte Lipschitz-stetige Funktion ist und u0 ∈ Rd sind gegebene Anfangswerte. Wir suchen eine Lösung u : [0, T ] → Rd , wobei wir uns [0, T ] als ein gegebenes Zeitintervall vorstellen. Um die Stabilit¨ at einer gegebenen L¨ osung u(t) gegen kleine Störungen in den Eingangsdaten u0 zu untersuchen, werden wir ein assoziiertes linearisiertes Problem betrachten, das wir durch Linearisierung der Funktion v → f (v) um die L¨ osung u(t) herum erhalten.

854

56. Linearisierung und Stabilit¨ at von Anfangswertproblemen

56.2 Stationäre Lösungen Wir betrachten zun¨ achst den einfachsten Fall einer stationären Lösung u(t) = u¯ f¨ ur 0 ≤ t ≤ T , d.h. eine L¨ osung u(t) von (56.1), die von der Zeit t unabh¨ angig ist. Da u(t) ˙ = 0, wenn u(t) von der Zeit unabhängig ur ist, ist u(t) = u ¯ eine station¨ are L¨ osung, falls f (¯ u) = 0 und u0 = u¯, f¨ d ¯d ) ∈ R . Die Gleichung f (¯ u) = 0 entspricht einem System u ¯ = (¯ u1 , . . . , u u1 , . . . , u ¯d ) = 0, i = 1, . . . , d mit d Unbekannten von d Gleichungen fi (¯ u ¯1 , . . . , u ¯d , wobei die fi die Komponenten von f sind. Wir untersuchten derartige Gleichungssysteme im Kapitel Vektorwertige Funktionen meh” rerer reeller Variablen“. Hier nehmen wir die Existenz einer stationären u) = 0 erf¨ ullt. Im AllL¨ osung u(t) = u¯ an, so dass u ¯ ∈ Rd die Gleichung f (¯ gemeinen werden mehrere L¨ osungen u¯ der Gleichung f (u) = 0 existieren, weswegen es mehrere station¨ are L¨ osung geben kann. Wir bezeichnen eine station¨ are L¨ osung u(t) = u¯ auch als Gleichgewichtslösung. Beispiel 56.1. Die station¨ aren L¨ osungen u ¯ des Unfallmodells u˙ 1 + νu1 − κu1 u2 = ν t > 0, u˙ 2 + 2νu2 − νu2 u1 = 0 t > 0,

(56.2)

der Form u˙ = f (u) mit f (u) = (−νu1 + κu1 u2 + ν, −2νu2 + νu2 u1 ) lauten u ¯ = (1, 0) und u ¯ = (2, κν ).

56.3 Linearisierung bei einer stationären Lösung Wir werden nun St¨ orungen einer gegebenen stationären Lösung bei kleinen St¨ orungen in den Eingangsdaten untersuchen. Wir setzen daher voraus, dass f (¯ u) = 0 und bezeichnen die zugeh¨ orige Gleichgewichtslösung mit u ¯(t) f¨ ur t > 0, d.h. u ¯(t) = u ¯ f¨ ur t > 0. Wir betrachten das Anfangswertproblem ¯ + ϕ0 , wobei ϕ0 ∈ Rd eine gegebene kleine Störung der (56.1) mit u0 = u Eingangsdaten u ¯ ist. Wir bezeichnen die zugehörige Lösung mit u(t) und konzentrieren uns auf die St¨ orung der L¨ osung, d.h., auf ψ(t) = u(t)− u¯(t) = u(t)−¯ u. Wir wollen f¨ ur die St¨ orung ψ(t) eine Differentialgleichung herleiten, wozu wir f in u ¯ linearisieren: f (u(t)) = f (¯ u + ψ(t)) = f (¯ u) + f (¯ u)ψ(t) + e(t), u) die Jacobi-Matrix von f : Rd → Rd in u¯ ist. Der Fehlerausdruck wobei f (¯ e(t) ist quadratisch in ψ(t) (und daher sehr klein, falls ψ(t) klein ist). Da f (¯ u) = 0 und u(t) Gleichung (56.1) erf¨ ullt, gilt d ˙ ψ(t) = (¯ u + ψ(t)) = f (u(t)) = f (¯ u)ψ(t) + e(t). dt

56.3 Linearisierung bei einer station¨ aren L¨ osung

855

Wenn wir den quadratischen Ausdruck e(t) vernachlässigen, f¨ uhrt uns das auf ein lineares Anfangswertproblem: u)ϕ(t) ϕ(t) ˙ = f (¯

f¨ ur t > 0,

ϕ(0) = ϕ0 ,

(56.3)

wobei ϕ(t) eine N¨ aherung der St¨ orung ψ(t) = u(t) − u ¯ ist, die bis auf einen Ausdruck zweiter Ordnung miteinander u ¨ bereinstimmen. Wir bezeichnen (56.3) als das linearisierte Problem, das mit der stationären Lösung u ¯ von (56.1) im Zusammenhang steht. Da f (¯ u) eine konstante d × d-Matrix ist, k¨ onnen wir die L¨ osung von (56.3) mit Hilfe der Exponentialfunktion f¨ ur Matrizen als ur 0 < t ≤ T (56.4) ϕ(t) = exp(tA)ϕ0 f¨ u). Somit haben wir eine Formel gefunden, die die schreiben, mit A = f (¯ Entwicklung der St¨ orung ϕ(t) beschreibt, die mit einer Anfangsstörung angig von den Eigenschaften der Matrix exp(tA) ϕ(0) = ϕ0 beginnt. Abh¨ kann die St¨ orung mit der Zeit anwachsen oder abnehmen, was einer stärkeren oder schw¨ acheren Sensitivit¨ at der L¨ osung u(t) auf Störungen in den Eingangsdaten entspricht und somit unterschiedliche Stabilitätseigenschaften des gegebenen Problems aufzeigt. Ist A diagonalisierbar, so dass also A = BΛB −1 mit einer d × d-Matrix B und einer Diagonalmatrix Λ mit den Eigenwerten λ1 , . . . , λd von A, so wissen wir, dass ϕ(t) = B exp(tΛ)B −1 ϕ0

f¨ ur t ≥ 0.

(56.5)

Daran sehen wir, dass jede der Komponenten von ϕ(t) eine Linearkombination von exp(tλ1 ), . . . , exp(tλd ) ist und dass das Vorzeichen des Realteils uber entscheidet, ob der zugehörige Ausdruck exponentiell Re λi von λi dar¨ w¨ achst oder abnimmt. Sind einige der Re λi > 0, dann werden bestimmte St¨ orungen exponentielles Wachstum bewirken, was bedeutet, dass die zugeh¨ orige station¨ are L¨ osung u ¯ instabil ist. Sind andererseits alle Re λi < 0, dann erwarten wir, dass u¯ stabil ist. Diese Betrachtungen sind qualitativer Natur und um genauer zu sein, sollten wir Beurteilungen zur Stabilit¨ at oder Instabilität auf quantitative Absch¨ atzungen des St¨ orungseinflusses abst¨ utzen. Im diagonalisierbaren Fall folgt aus (56.5) in der euklidischen Vektor- und Matrixnorm, dass ϕ(t) ≤ BB −1 max exp(tλi )ϕ0 . i=1,...,d

(56.6)

Wir erkennen, dass das maximale Wachstum einer Störung durch den gr¨ oßten exponentiellen Faktoren exp(tλi ) und die Faktoren B und B −1 beschr¨ ankt ist. Ist die Matrix B orthonormal, dann ist B = B −1 = 1 und das Wachstum einer St¨ orung h¨ angt alleine von den exponentiellen Faktoren exp(tλi ) ab. Wir widmen diesem Fall besondere Aufmerksamkeit.

856


56.4 Stabilitätsanalyse fu u) ¨r symmetrisches f (¯ Ist A = f (¯ u) symmetrisch, so dass A = QΛQ−1 mit orthonormalem Q und Diagonalmatrix Λ mit reellen Diagonalelementen λi , dann gilt ϕ(t) ≤ max exp(tλi )ϕ0 . i=1,...,d

(56.7)

Sind insbesondere alle Eigenwerte λi ≤ 0, dann können Störungen ϕ(t) nicht mit der Zeit anwachsen, weswegen wir die Lösung u¯ stabil nennen. Ist origem Eigenvektor gi , dann löst ϕ(t) = andererseits ein λi > 0 mit zugeh¨ exp(tλi )gi das linearisierte Anfangswertproblem (56.3) mit ϕ0 = gi und die besondere St¨ orung ϕ(t) w¨ achst dann exponentiell. Wir bezeichnen die L¨ osung u ¯ dann als instabil. Nat¨ urlich beeinflusst die Größe des positiven Eigenwerts das Wachstum der St¨ orung. Ist also λi > 0 klein, dann ist auch das Wachstum klein und die Instabilit¨ at ist schwach ausgeprägt. Ist andererseits λi negativ und klein, dann ist auch die exponentielle Abnahme langsam.

56.5 Stabilita¨tsfaktoren Wir k¨ onnen die Stabilit¨ atseigenschaften einer gegebenen Störung ϕ0 durch den folgendermaßen definierten Stabilitätsfaktor S(T, ϕ0 ) ausdr¨ ucken: S(T, ϕ0 ) = max

0≤t≤T

ϕ(t) , ϕ0

wobei ϕ(t) das linearisierte Problem (56.3) zu den Eingangsdaten ϕ0 löst. Der Stabilit¨ atsfaktor S(T, ϕ0 ) ist ein Maß f¨ ur das maximale Wachstum der Norm von ϕ(t) im Zeitintervall [0, T ] relativ zur Norm des Anfangswerts ϕ0 . Wir k¨ onnen nun versuchen, die Stabilit¨ atseigenschaften einer stationären L¨ osung u ¯ durch Maximierung u ¨ ber alle verschiedenen Störungen zu erfassen: S(T, ϕ0 ). S(T ) = max 0 ϕ =0

Ist der Stabilit¨ atsfaktor S(T ) groß, dann wachsen einige Störungen sehr stark im Zeitintervall [0, T ] an, was große Sensitivität auf Störungen oder Instabilität bedeutet. Ist andererseits S(T ) nur moderat groß, dann ist auch der St¨ orungseinfluß moderat, was Stabilität bedeutet. Mit Hilfe der euklidischen Matrixnorm k¨ onnen wir S(T ) auch, wie folgt, schreiben: S(T ) = max exp(tA). 0≤t≤T

56.5 Stabilit¨ atsfaktoren

857

Beispiel 56.2. Sei A = f (¯ u) symmetrisch mit den Eigenwerten λ1 , . . . , λd . Dann ist S(T ) = max

max exp(tλi ).

i=1,...,d 0≤t≤T

Insbesondere ist S(T ) = 1, falls alle λi ≤ 0. Beispiel 56.3. Das Anfangswertproblem f¨ ur ein Pendel besitzt die Form u˙ 1 = u2 , u˙ 2 = − sin(u1 ) f¨ ur t > 0, u1 (0) = u01 , u2 (0) = u02 , was f (u) = (u2 , − sin(u1 )) entspricht. Die Gleichgewichtslösungen sind u¯ = (0, 0) und u ¯ = (π, 0). Es gilt 0 1 f (¯ u) = − cos(¯ u1 ) 0 und das linearisierte Problem in u¯ = (0, 0) nimmt die Form 0 1 ϕ(t) ˙ = ϕ(t) = A0 ϕ(t) f¨ ur t > 0, ϕ(0) = ϕ0 −1 0 an, mit der L¨ osung ϕ1 (t) = ϕ01 cos(t) + ϕ02 sin(t),

ϕ2 (t) = −ϕ01 sin(t) + ϕ02 cos(t).

cos(t) sin(t) − sin(t) cos(t) eine orthonormale Matrix ist) erhalten wir, dass f¨ ur t > 0

Durch direkte Berechnung (oder unter Ausnutzung, dass

ϕ(t)2 = ϕ0 2 gilt, d.h., die Norm ϕ(t) einer L¨ osung ϕ(t) der linearisierten Gleichungen ist von der Zeit unabh¨ angig, was bedeutet, dass der Stabilitätsfaktor S(T ) = 1 f¨ ur alle t > 0. Wir folgern, dass die Norm einer Störung f¨ ur immer klein bleibt, wenn sie zu Beginn klein ist. Dies bedeutet, dass die Gleichgewichtsl¨ osung u ¯ = (0, 0) stabil ist. Genauer gesagt, so wird das Pendel mit konstanter Amplitude um die Ausgangsposition vor- und zur¨ uckschwingen, wenn es anf¨ anglich ein bisschen in seiner Ruhelage gestört wird. Dies entspricht nat¨ urlich unserer experimentellen Erfahrung. Dabei ist der linearisierte Operator A0 unsymmetrisch; die Eigenwerte von A0 sind rein imagin¨ ar ±i, woraus folgt, dass ϕ(t) = ϕ0 und dass eine St¨ orung weder w¨ achst noch abnimmt. Wir können auf eine andere Art zu demselben Ergebnis kommen, indem wir ausnutzen, dass A0 antisymme trisch ist, d.h. dass A 0 = −A0 . Daraus folgt, dass (A0 ϕ, ϕ) = (ϕ, A0 ϕ) =

858


−(ϕ, A0 ϕ) = −(A0 ϕ, ϕ) und somit (A0 ϕ, ϕ) = 0, wobei (·, ·) das Skalarprodukt in R2 ist. Aus der Gleichung ϕ˙ = A0 ϕ folgt nach Multiplikation mit d d (ϕ, ϕ) = 12 dt ϕ2 , woraus sich ϕ(t)2 = ϕ0 2 ϕ, dass 0 = (ϕ, ˙ ϕ) = 12 dt ergibt. Das linearisierte Problem in u ¯ = (π, 0) lautet: 0 1 ϕ(t) ˙ = ϕ(t) = Aπ ϕ(t) f¨ ur t > 0, 1 0

ϕ(0) = ϕ0 ,

mit symmetrischer Matrix Aπ mit den Eigenwerten ±1. Da ein Eigenwert positiv ist, ist die station¨ are L¨ osung u ¯ = (π, 0) instabil. Genauer gesagt, so ergibt sich die L¨ osung zu ϕ1 =

ϕ01 t ϕ0 ϕ0 ϕ0 (e + e−t ) + 2 (et − e−t ), ϕ2 = 1 (et − e−t ) + 2 (et + e−t ). 2 2 2 2

Aufgrund des exponentiellen Faktors et , wachsen Störungen mit der Zeit exponentiell und daher wird eine anf¨ anglich kleine Störung groß werden, sobald etwa t ≥ 10. Physikalisch bedeutet dies, dass selbst eine winzig ¨ bringen wird. Dies kleine St¨ orung das Pendel aus seiner Uber-Kopf-Lage“ ” stimmt nat¨ urlich mit unserer Beobachtung u ¨berein: Ein Pendel u ¨ ber Kopf auszubalanzieren ist ein kniffliges Unterfangen. Bereits kleinste Störungen wachsen schnell zu großen St¨ orungen an und die Gleichgewichtslösung (π, 0) des Pendels ist instabil. Beispiel 56.4. Die Linearisierung des Unfallmodells (56.2) in der Gleichgewichtsl¨ osung u ¯ = (1, 0) nimmt folgende Form an: −ν κ ur t > 0, ϕ(0) = ϕ0 . (56.8) ϕ(t) = Aν,κ ϕ(t) f¨ ϕ(t) ˙ = 0 −ν Die L¨ osung ergibt sich zu ϕ1 (t) = tκ exp(−νt)ϕ02 +exp(−νt)ϕ01 und ϕ2 (t) = 0 ϕ2 exp(−νt). Offensichtlich nimmt ϕ2 (t) monoton auf Null ab, wie auch ur κ = 0. Ist jedoch κ = 0, erreicht ϕ1 (t), wenn wir der Einfachheit ϕ1 (t) f¨ halber annehmen, dass ϕ01 = 0, den folgenden Wert an: ϕ1 (ν −1 ) = ν −1 κ exp(−1)ϕ02 , worin der Faktor ν −1 enthalten ist, der groß wird, wenn ν klein ist. Anders formuliert, so ist der Stabilit¨ atsfaktor S(ν −1 ) ∼ ν −1 groß, wenn ν klein ist. Schließlich wird ϕ1 (t) jedoch auf Null abnehmen. Als Folge davon ist die Gleichgewichtsl¨ osung (1, 0) nur gegen kleine Störungen stabil. Wie wir im Kapitel Das Unfallmodellierung“ gesehen haben, ist (1, 0) instabil ge” gen¨ uber St¨ orungen oberhalb einer von λ abh¨ angigen Schwelle. Wir halten u) = Aν,κ einen doppelten Eigenwert −ν fest, dass die Jacobi-Matrix f (¯ besitzt. Aν,κ ist jedoch nicht-symmetrisch und der Raum der Eigenvektoren ist eindimensional und wird von (1, 0) aufgespannt. Als Folge davon

56.6 Stabilit¨ at zeitabh¨ angiger L¨ osungen

859

tritt der Ausdruck tκ exp(−νt)ϕ02 , der linear in t ist, auf. Daher kann f¨ ur ein hochgradig nicht-symmetrisches Problem (wenn ν klein ist) ein großes orung m¨ oglich sein, obwohl alle Eigenwerte nicht Wachstum ∼ ν −1 der St¨ positiv sind. ur eine nicht-normale Matrix. Eine nichtDie Matrix Aν,κ ist ein Beispiel f¨ normale Matrix A ist eine Matrix, f¨ ur die A A = AA . Eine nicht-normale Matrix kann diagonalisierbar sein oder nicht. Ist sie diagonalisierbar, so dass also A = BΛB −1 , dann kann B oder B −1 groß sein, was zu großen Stabilit¨ atsfaktoren f¨ ur das zugeh¨ orige linearisierte Problem f¨ uhrt, wie wir gerade gesehen haben (vgl. Aufgabe 56.5). Die Linearisierung der Gleichgewichtsl¨ osung u¯ = (2, κν ) nimmt die Form ϕ(t) ˙ =

0 2

ν κ

2κ ϕ(t) 0

f¨ ur t > 0,

ϕ(0) = ϕ0

(56.9)

√ an. Die Eigenwerte der Jacobi-Matrix sind ± √ 2ν und die Lösung ist eine √ Linearkombination von exp( 2νt) und exp(− 2νt). Sie besitzt folglich √ einen exponentiell wachsenden Teil mit dem Wachstumsfaktor exp( 2νt). Die Gleichgewichtsl¨ osung u = (2, κν ) ist daher instabil.

56.6 Stabilität zeitabhängiger Lösungen Wir wollen nun versuchen, die Reichweite unserer Aussagen auf die Linearisierung und die linearisierte Stabilit¨ at f¨ ur die zeitabhängige Lösung u ¯(t) von (56.1) auszudehnen. Wir wollen L¨ osungen der Form u(t) = u¯(t) + ψ(t) d u¯ = f (¯ u) und untersuchen, wobei ψ(t) eine St¨ orung ist. Mit Hilfe von dt der Linearisierung von f in u ¯(t) erhalten wir d (¯ u + ψ)(t) = f (¯ u(t)) + f (¯ u(t))ψ(t) + e(t), dt wobei e(t) ein in ψ(t) quadratischer Ausdruck ist. Dies f¨ uhrt uns auf die linearisierte Gleichung ϕ(t) ˙ = A(t)ϕ(t)

f¨ ur t > 0, ϕ(0) = ϕ0 ,

(56.10)

wobei A(t) = f (¯ u(t)) eine d × d-Matrix ist, die von t abhängt, wenn u ¯(t) von t abh¨ angt. Wir kennen keine analytische Lösungsformel f¨ ur dieses allgemeine Problem, weswegen ein analytischer Zugang zu den Stabilitätseigenschaften des linearisierten Problems (56.10) schwierig sein kann, auch wenn sich die Eigenschaften der L¨ osung u ¯(t) durch Lösungen ϕ(t) von (56.10) ausdr¨ ucken lassen. Wir k¨ onnen wie oben Stabilitätsfaktoren S(T, ϕ0 ) und S(T ) definieren, und wir k¨ onnen sagen, dass die Lösung u ¯(t) stabil ist, wenn S(T ) m¨ aßig groß ist und instabil, wenn S(T ) groß ist. Um S(T ) im

860


Allgemeinen zu bestimmen, m¨ ussen wir numerische Methoden anwenden und (56.10) f¨ ur verschiedene Eingangsdaten ϕ0 lösen. Wir werden auf die Berechnung von Stabilit¨ atsfaktoren im n¨ achsten Kapitel zur¨ uckkommen, wenn wir adaptive L¨ oser f¨ ur Anfangswertprobleme untersuchen.

56.7 Zusammenfassung Die Frage nach der Stabilit¨ at von L¨ osungen von Anfangswertproblemen ist von zentraler Wichtigkeit. Wir k¨ onnen f¨ ur den Fall einer stationären Lösung mit zugeh¨ origer symmetrischer Jacobi-Matrix klare Aussagen machen. F¨ ur den Fall bedeutet ein positiver Eigenwert Instabilität, wobei die Instabilit¨ at mit dem Eigenwert anw¨ achst; sind alle Eigenwerte negativ, bedeutet dies Stabilit¨ at. F¨ ur den Fall einer anti-symmetrischen Jacobi-Matrix liegt ebenso Stabilit¨ at vor, wobei die Norm der St¨ orungen u ¨ ber die Zeit konstant bleibt. Ist die Jacobi-Matrix nicht-normal, m¨ ussen wir vorsichtig sein und bedenken, dass pure Sicht auf das Vorzeichen des Realteils der Eigenwerte in die Irre f¨ uhren kann: Im nicht-normalen Fall, kann algebraisches Wachstum tats¨ achlich f¨ ur eine bestimmte Zeit gegen¨ uber langsamer exponentieller Abnahme u allen, wie auch f¨ ur zeitabhängige Lösun¨ berwiegen. In diesen F¨ gen, kann eine analytische Stabilit¨ atsanalyse jenseits unserer Möglichkeiten sein und die gew¨ unschte Information zur Stabilität kann dann nur durch numerische L¨ osung des assoziierten linearisierten Problems erhalten werden.

Aufgaben zu Kapitel 56 56.1. Bestimmen Sie die station¨ aren L¨ osungen f¨ ur das System u˙ 1 = u2 (1 − u21 ), u˙ 2 = 2 − u1 u2 und untersuchen Sie die Stabilit¨ at dieser L¨ osungen. 56.2. Bestimmen Sie die station¨ aren L¨ osungen f¨ ur das folgende System (MineaGleichungen) f¨ ur verschiedene δ > 0 und γ: u˙ 1 = −u1 − δ(u22 + u23 ) + γ, u˙ 2 = −u2 − δu1 u2 , u˙ 3 = −u3 − δu1 u3 . Untersuchen Sie die Stabilit¨ at dieser L¨ osungen. 56.3. Bestimmen Sie die station¨ aren L¨ osungen f¨ ur das System (56.1) mit (a) f (u) = (u1 (1 − u2 ), u2 (1 − u1 )),


861

(b) f (u) = (−2(u1 − 10) + u2 exp(u1 ), −2u2 − u2 exp(u1 )), (c) f (u) = (u1 + u1 u22 + u1 u23 , −u1 + u2 − u2 u3 + u1 u2 u3 , u2 + u3 − u21 ) und untersuchen Sie die Stabilit¨ at dieser L¨ osungen. 56.4. Bestimmen Sie die station¨ aren L¨ osungen f¨ ur das System (56.1) mit (a) f (u) = (−1001u1 + 999u2 , 999u1 − 1001u2 ), (b) f (u) = (−u1 + 3u2 + 5u3 , −4u2 + 6u3 , u3 ), (c) f (u) = (u2 , −u1 − 4u2 ) und untersuchen Sie die Stabilit¨ at dieser L¨ osungen. 56.5. Analysieren Sie die Stabilit¨ at der folgenden Variante des linearisierten Problems (56.8) mit kleinem > 0: −ν κ ur t > 0, ϕ(0) = ϕ0 . (56.11) ϕ(t) = Aν,κ, ϕ(t) f¨ ϕ(t) ˙ = −ν Diagonalisieren Sie dazu die Matrix Aν,κ, . Beachten Sie, dass die Diagonalisierung entartet, wenn gegen Null strebt (d.h. dass zwei Eigenvektoren parallel werden). Pr¨ ufen Sie, ob Aν,κ, eine normale oder eine nicht-normale Matrix ist.

57 Adaptive Löser fu¨r Anfangswertprobleme

Bei zwei Gelegenheiten wurde ich (von Mitgliedern des Parlaments) gefragt: Sagen Sie, Mr. Babbage, wenn Sie falsche Zahlen in die ” Maschine geben, wird dann die richtige Antwort herauskommen?“. Ich kann die Art von Verwirrung nicht richtig verstehen, die solch eine Frage hervorrufen kann. (Babbage (1792–1871))

57.1 Einleitung In diesem Kapitel untersuchen wir den wichtigen Gesichtspunkt der adaptiven Fehlerkontrolle bei numerischen Methoden zur Berechnung von Anfangswertproblemen. Uns interessiert dabei eine automatische Zeitschrittwahl, um den numerischen Fehler innerhalb einer Toleranz zu halten und dabei so wenige Zeitschritte wie m¨ oglich zu benötigen. Die zentrale Idee ist dabei, R¨ uckkopplungsinformationen aus der Berechnung des Residuums der berechneten L¨ osung mit den Ergebnissen zusätzlicher Berechnungen des Stabilitätsfaktors zu kombinieren. Wir konzentrieren uns dabei zunächst auf die cG(1)-Methode und werden dann das r¨ uckwärtige Euler Verfahren kommentieren, das auch als diskontinuierliche Galerkin-Methode mit st¨ uckweise konstanten Funktionen, dG(0), bezeichnet wird. Daneben werden wir auch Anwendungen der cG(1)- und der dG(0)Methode f¨ ur eine Klasse sogenannter steifer Anfangswertprobleme, AWP, diskutieren, die typischerweise bei der Modellierung chemischer Reaktionen auftreten.

864

57. Adaptive L¨ oser f¨ ur AWP

57.2 Die cG(1)-Methode Wir wiederholen zun¨ achst, dass cG(1), die stetige Galerkin-Methode mit Polynomen vom Grade 1, f¨ ur das Anfangswertproblem u(t) ˙ = f (u(t)) f¨ ur t > 0, u(0) = u0 mit f : Rd → Rd die folgende Form annimmt:

tn

U (tn ) = U (tn−1 ) +

f (U (t)) dt,

n = 1, 2, . . . .

(57.1)

tn−1

Dabei ist U (t) eine stetige st¨ uckweise lineare Funktion mit Knotenwerten U (tn ) ∈ Rd in diskreten Zeitpunkten 0 = t0 < t1 < . . . in ansteigender Folge und U (0) = u0 . Wenn wir das Integral in (57.1) mit der Mittelpunktsregel der Quadratur auswerten, erhalten wir das Mittelpunktsverfahren: U (tn ) + U (tn−1 ) U (tn ) = U (tn−1 ) + kn f , n = 1, 2, . . . , (57.2) 2 wobei kn = tn − tn−1 der Zeitschritt ist. Die cG(1)-Methode ist die erste einer Familie von cG(q)-Methoden mit q = 1, 2, . . ., bei der die Lösung durch stetige st¨ uckweise definierte Polynome der Ordnung q angenähert wird. Die Orthogonalit¨ at“ der cG(1)-Methode wird durch die Tatsache ” ausgedr¨ uckt, dass die Methode auch in der Form tn (U˙ (t) − f (U (t))) · v dt = 0, n = 1, 2, . . . , (57.3) tn−1

f¨ ur alle v ∈ Rd geschrieben werden kann. Dies besagt, dass das Residuum ˙ R(U (t)) = U(t) − f (U (t)),

t ∈ [0, T ],

(57.4)

der stetigen st¨ uckweise linearen N¨ aherungsl¨ osung U (t) auf jedem Teilintervall (tn−1 , tn ) orthogonal zu den konstanten Funktionen v(t) ∈ Rd ist. Das Residuum u(t) ˙ − f (u(t)) der exakten L¨ osung ist Null, da u(t) ˙ = f (u(t)), wohingegen das Residuum R(U (t)) der N¨ aherungslösung U (t) im Allgemei¨ ne ungleich Null ist. Ahnlicherweise ist das Residuum bei cG(q)-Methoden auf (tn−1 , tn ) orthogonal zu Polynomen des Grades q − 1. Wir betonen, dass (57.1) eine Vektorgleichung ist, mit den Komponenten

tn

Ui (tn ) = Ui (tn−1 ) +

fi (U (t)) dt,

n = 1, 2, . . . , i = 1, . . . , d,

tn−1

wie man aus (57.3) durch Einsetzen von v = ei , i = 1, . . . , d erkennen kann. Wir werden nun das Problem der automatischen Schrittweitenkontrolle untersuchen, um den Fehler durch u(T ) − U (T ) ≤ T OL

57.2 Die cG(1)-Methode

865

zu beschr¨ anken, wobei T = tN der Abschlusszeit entspricht und TOL eine gegebene Toleranz ist, wobei wir so wenige Zeitschritte wie möglich benutzen wollen. Das Ziel ist dasselbe wie das bei der Berechnung eines Integrals u ¨ ber das Intervall [0, T ] mit Hilfe der numerischen Quadratur, wo wir mit so wenigen Quadraturpunkten wie m¨ oglich eine bestimmte Genauigkeit erreichen wollen. Dies entspricht exakt dem Problem, das wir im Falle eines skalaren Anfangswertproblems u(t) ˙ = f (u(t), t) mit f (u(t), t) = f (t) vorfinden. Wir werden eine a posteriori Fehlerabschätzung herleiten, bei der der abschließende Fehler u(T ) − U (T ) mit Hilfe des Residuums R(U (t)) = ˙ U(t) − f (U (t)) und bestimmter Stabilitätsfaktoren abgeschätzt wird, womit die Anhäufung numerischer Fehler, die in jedem Zeitschritt auftreten, ber¨ ucksichtigt wird. Die a posteriori Fehlerabsch¨ atzung nimmt die Form u(T ) − U (T ) ≤ Sc (T ) max k(t)R(U (t)) 0≤t≤T

(57.5)

ur t ∈ [tn−1 , tn ). Der Stabilitätsfaktor Sc (T ) an, mit k(t) = kn = tn − tn−1 f¨ ist folgendermaßen definiert. Wir betrachten dazu das linearisierte Problem −ϕ(t) ˙ = A (t)ϕ(t)

f¨ ur 0 < t < T, ϕ(T ) = ϕ0 ,

(57.6)

mit A(t) =

1

f (su(t) + (1 − s)U (t)) ds.

0

Wir halten fest, dass der Austausch von u(t) gegen U (t) zur folgenden N¨ aherungsformel f¨ ur A(t) f¨ uhrt, wobei vorausgesetzt wird, dass U (t) nahe bei u(t) ist: A(t) ≈ f (U (t)). Wir folgern daraus, dass A(t) nahezu der Jacobi-Matrix f (u(t)) von f (v) in v = u(t) entspricht, falls U (t) eine sinnvolle Näherung von u(t) ist. Beachten Sie, dass in (57.6) die Transponierte (oder Duale) A (t) von A(t) vorkommt und dass das linearisierte duale Problem (57.6) r¨ uckwärts in der Zeit l¨ auft, da der Anfangswert ϕ(T ) = ϕ0 f¨ ur die Zeit t = T spezifiziert ist. Nun sind wir bereit, die folgenden Stabilit¨ atsfaktoren einzuf¨ uhren: ϕ(t) , ϕ0 t ϕ(s) ˙ ds Sc (T ) = max 0 , 0 0 d ϕ ϕ ∈R

Sd (T ) = max

ϕ0 ∈Rd

(57.7)

wobei ϕ die Gleichung (57.6) l¨ ost. Wir halten fest, dass die Stabilitätsfaktoren unterschiedliche Eigenschaften der dualen Lösung ϕ messen. Der

866


Stabilit¨ atsfaktor Sd (t) misst das maximale Wachstum einer Störung u ¨ ber das Zeitintervall [0, T ]. Wir haben diesen Faktor bereits im vorangegangenen Kapitel angetroffen. Wir werden sehen, dass dieser Faktor darauf zugeschnitten ist, den Einfluss eines Fehlers in den Eingangsdaten u0 zu messen. Das d“ in Sd verweist auf Daten“. Der Stabilitätsfaktor Sc (t) ” ” misst das Integral von ϕ ˙ u ¨ ber [0, T ] und ist dazu angelegt, den in der cG(1)-Methode inh¨ arenten Fehler zu bestimmen und das c“ in Sc verweist ” auf Computation“. ” Wir werden unten einen Beweis von (57.5) geben. Zunächst f¨ ur einen einfachen Fall mit n = 1 und f (u(t)) = au(t) mit einer Konstante a und dann f¨ ur den allgemeinen Fall. Die Beweise sind sehr einfach. Bevor wir aber in die Beweise eintauchen, werden wir zunächst versuchen, die a posteriori Fehlerabsch¨ atzung zu verstehen und uns anschauen, wie diese eingesetzt werden kann, um einen adaptiven Algorithmus zu entwerfen, um den abschließenden Fehler u(T ) − U (T ) zu kontrollieren, so dass er mit so wenigen Zeitschritten wie m¨ oglich innerhalb einer Toleranz verbleibt. Die Stabilit¨ atsfaktoren Sc (T ) und Sd (T ) können durch numerische Lösung des linearisierten Dualproblems (57.6) mit ϕ0 = ei f¨ ur i = 1, . . . , d ¨ berechnet werden. Ist d groß, k¨ onnen wir die Anderungen der Eingangsdaten reduzieren, indem wir die Fehlerkontrolle auf gewisse Komponenten einschr¨ anken oder indem wir ϕ0 parallel zu u(T ) − U (T ) wählen, was wir ahern k¨ onnen, wobei die Näherungen Uh (T ) und durch Uh (T ) − UH (T ) ann¨ UH (T ) mit zwei unterschiedlichen Fehlertoleranzen berechnet werden.

57.3 Adaptive Zeitschrittkontrolle fu ¨ r cG(1) Wir erinnern an die wichtige Fehlerabsch¨ atzung (57.5): u(T ) − U (T ) ≤ Sc (T ) max k(t)R(t), 0≤t≤T

(57.8)

mit R(t) = U˙ (t) − f (U (t)). Wir setzen voraus, dass der Stabilitätsfaktor Sc (T ) berechnet oder gesch¨ atzt wurde. Wir werden auf diesen Punkt unten zur¨ uckkommen. Um u(T ) − U (T ) ≤ T OL zu erreichen, benutzen wir (57.5), um die Zeitschritte kn = tn − tn−1 so zu wählen, dass k(t) = kn ≈

T OL Sc (T )Rn

f¨ ur t ∈ [tn−1 , tn ),

(57.9)

wobei Rn =

max

tn−1 ≤t≤tn

U˙ (t) − f (U (t))

das Residuum auf dem Zeitintervall [tn−1 , tn ) ist. Beachten Sie, dass das Residuum Rn aus der berechneten L¨ osung U (t) berechenbar ist. Wenn Sc (T )

57.4 Analyse von cG(1) f¨ ur ein lineares skalares AWP

867

bekannt ist, dann haben wir mit (57.9) eine Gleichung f¨ ur den Zeitschritt kn = tn − tn−1 , wobei tn−1 bereits bekannt ist. Wie bei der adaptiven numerischen Quadratur f¨ uhrt (57.9) auf eine nicht-lineare Gleichung f¨ ur den Zeitschritt kn = tn − tn−1 . Indem wir eine Strategie mit Ausprobieren nutzen oder eine Vorhersage-Strategie, bei der wir Rn durch Rn−1 ersetzen, k¨ onnen wir versuchen, diese Gleichung zu l¨ osen.

57.4 Analyse von cG(1) fu ¨ r ein lineares skalares AWP Wir wollen nun eine a posteriori Fehlerabschätzung f¨ ur cG(1) f¨ ur ein lineares skalares AWP der Form u(t) ˙ = au(t) + f (t) f¨ ur t > 0, u(0) = u0

(57.10)

beweisen, wobei a eine Konstante ist und f (t) eine gegebene Funktion. Die Analyse basiert auf der Darstellung des Fehlers mit Hilfe der Lösung ϕ(t) f¨ ur das folgende duale Problem: −ϕ˙ = aϕ f¨ ur T > t ≥ 0, (57.11) ϕ(T ) = e(T ), mit e = u − U . Beachten Sie, dass (57.11) wiederum in der Zeit r¨ uckwärts“ ” l¨ auft, beginnend mit der Zeit tN und dass die Ableitung ϕ˙ nach der Zeit ein negatives Vorzeichen hat. Wir beginnen mit der Gleichung T e (−ϕ˙ − aϕ) dt e(T )2 = e(T )2 + 0

und integrieren partiell. Dadurch erhalten wir die folgende Darstellung von e(T )2: T e(T )2 = (e˙ − ae)ϕ dt + e(0)ϕ(0). 0

Hierbei darf sich U (0) von u(0) unterscheiden, was einem Fehler im Anfangswert u(0) entspricht. Da u die Differentialgleichung (57.10) löst, d.h. u˙ − au = f , erhalten wir e˙ − ae = u˙ − au − U˙ + aU = f − U˙ + aU, woraus wir die folgende Darstellung des Fehlers e(T )2 in Abhängigkeit vom Residuum R(U ) = U˙ − aU − f und der dualen Lösung ϕ erhalten: T tN e(T )2 = (f + aU − U˙ )ϕ dt + e(0)ϕ(0) = − R(U )ϕ dt + e(0)ϕ(0). 0

0

(57.12)

868


Als N¨ achstes nutzen wir die Galerkin-Orthogonalität von cG(1)

tn

R(U ) dt = 0

f¨ ur n = 1, 2, . . . ,

tn−1

um (57.12) in der Form

T

e(T )2 = −

R(U )(ϕ − ϕ) ¯ dt + e(0)ϕ(0)

(57.13)

0

zu schreiben, wobei ϕ¯ dem Mittelwert von ϕ u ¨ ber jedem Teilintervall entspricht, d.h. 1 kn

ϕ(t) ¯ =

tn

f¨ ur t ∈ [tn−1 , tn ).

ϕ(s) ds tn−1

Nun nutzen wir

ϕ − ϕ ¯ dt ≤ kn

In

ϕ ˙ dt, In

was sich durch Integration und der Tatsache, dass sowohl

1 ϕ(t) − ϕ(t) ¯ = kn

tn

(ϕ(t) − ϕ(s)) ds

tn−1

als auch

t

ϕ(t) − ϕ(s) ≤

ϕ(σ) ˙ dσ ≤ s

tn

ϕ(σ) ˙ dσ

f¨ ur s, t ∈ [tn−1 , tn ]

tn−1

ergibt. Daher impliziert (57.13) e(T )2 ≤

N

In

n=1

≤

N

ϕ − ϕdt ¯ + e(0)ϕ(0)

Rn

(57.14)

ϕdt ˙ + e(0)ϕ(0),

kn Rn

n=1

In

mit Rn =

max

tn−1 ≤t≤tn

R(U (t)).

Mit Hilfe von maxn kn Rn erhalten wir: tN e(T )2 ≤ max kn Rn ϕ ˙ dt + e(0)ϕ(0). 1≤n≤N

0

57.5 Analyse von cG(1) f¨ ur ein allgemeines AWP

869

Nun bedenken wir, dass ϕ(T ) = e(T ) und ber¨ ucksichtigen die Definitionen von Sc (tN ) und Sd (tN ) und erhalten dadurch die folgende endg¨ ultige Absch¨ atzung: e(T ) ≤ Sc (T ) max k(t)R(U (t)) + Sd (T )e(0). 0≤t≤T

ur die FehleranDie Stabilit¨ atsfaktoren Sc (T ) und Sd (T ) sind ein Maß f¨ sammlung in der N¨ aherung. Damit die Analyse eine quantitative Bedeutung erh¨ alt, m¨ ussen wir diesen Faktor quantitativ beschränken. Das folur den Fall gende Lemma erlaubt eine Absch¨ atzung f¨ ur Sc (T ) und Sd (T ) f¨ a ≤ 0 und a ≥ 0 mit m¨ oglicherweise stark unterschiedlichen Stabilitätsfaktoren. Wir halten fest, dass die L¨ osung ϕ(t) von (57.11) durch die explizite Formel ϕ(t) = e(T ) exp(a(T − t)) gegeben wird. Wir erkennen, dass die L¨ osung ϕ(t) f¨ ur a ≤ 0 abnimmt, wenn t kleiner als T wird, weswegen der Fall a ≤ 0 der stabile Fall“ ist. Ist ” dagegen a > 0, gewinnt der exponentielle Faktor exp(aT ) die Oberhand, wodurch der Fall abh¨ angig von a instabil“ ist. Genauer formuliert, so ” folgern wir direkt aus der expliziten L¨ osungsformel, dass: ullen f¨ ur a > 0 Lemma 57.1 Die Stabilitätsfaktoren Sc (T ) und Sd (T ) erf¨ Sd (T ) ≤ exp(aT ), und f¨ ur a ≤ 0:

Sd (T ) ≤ 1,

Sc (T ) ≤ exp(aT )

(57.15)

Sc (T ) ≤ 1.

(57.16)

57.5 Analyse von cG(1) fu ¨ r ein allgemeines AWP Die Erweiterung der a posteriori Fehleranalyse auf ein allgemeines AWP u˙ = f (u) mit f : Rd → Rd erhalten wir folgendermaßen: Wir erinnern uns daran, dass das linearisierte duale Problem, die Form −ϕ(t) ˙ = A (t)ϕ(t) annimmt, mit

A(t) =

1

f¨ ur 0 < t < T, ϕ(T ) = e(T )

(57.17)

f (su(t) + (1 − s)U (t)) ds,

0

wobei u(t) die exakte L¨ osung ist und U (t) die Näherungslösung. Wir nutzen nun die Tatsache, dass 1 f (su(t) + (1 − s)U (t))e(t) ds A(t)e(t) = 0 (57.18) 1 d f (su(t) + (1 − s)U (t)) ds = f (u(t)) − f (U (t)), = 0 ds

870


wobei wir auf die Kettenregel und den Fundamentalsatz der Integral- und Differentialgleichung zurckgreifen. Wir beginnen mit der Gleichung e(T )2 = e(T )2 +

T

e · (−ϕ˙ − A ϕ) dt,

0

integrieren partiell und erhalten so die Fehlerdarstellung

T

(e˙ − Ae) · ϕ dt + e(0) · ϕ(0),

e(T )2 = 0

wobei wir zulassen, dass U (0) von u(0) verschieden ist, was einem Fehler im Anfangswert u(0) entspricht. Da u die Differentialgleichung u˙ − f (u) = 0 löst, impliziert (57.18), dass e˙ − Ae = u˙ − f (u) − U˙ + f (U ) = −U˙ + f (U ) und somit erhalten wir die folgende Darstellung f¨ ur den Fehler e(T )2 mit Hilfe des Residuums R(U ) = U˙ − f (U ) und der dualen Lösung ϕ: e(T ) = −

tN

2

R(U )ϕ dt + e(0)ϕ(0).

(57.19)

0

An dieser Stelle wird der Beweis wie im skalaren Fall, den wir oben untersucht haben, fortgesetzt und wir erhalten schließlich die folgende a posteriori Fehlerabsch¨ atzung e(T ) ≤ Sc (T ) max k(t)R(U (t)) + Sd (T )e(0), 0≤t≤T

die, wie oben angef¨ uhrt, als Basis f¨ ur die adaptive Zeitschrittkontrolle benutzt werden kann. Die Stabilit¨ atsfaktoren Sc (T ) und Sd (T ) können durch die L¨ osung des dualen Problems mit geeigneten Anfangsdaten abgeschätzt werden. Der Beweis f¨ ur die a posteriori Fehlerabschätzung zeigt, dass die Stabilit¨ atsfaktoren durch ϕ(t) , e(T ) t ϕ(s) ˙ ds Sc (T ) = 0 e(T )

Sd (T ) =

(57.20)

definiert werden k¨ onnen, wobei ϕ das linearisierte duale Problem mit den Eingangsdaten ϕ(T ) = e(T ) l¨ ost. Wie angedeutet, können wir das duale Problem mit einer Absch¨ atzung von e(T ) l¨ osen, um die Stabilitätsfaktoren atzung f¨ ur e(T ) gewinnen wir Sc (T ) und Sd (T ) zu berechnen. Die Absch¨ nach L¨ osung des Anfangswertproblems mit zwei Toleranzen als Differenz der entsprechenden N¨ aherungsl¨ osungen. Alternativ können wir ϕ(T ) = ei

57.6 Analyse des r¨ uckw¨ artigen Euler Verfahrens

871

w¨ ahlen und erhalten so eine a posteriori Fehlerkontrolle f¨ ur die Fehlerkomponente ei (T ). Ist d nicht groß, k¨ onnen wir so alle Fehlerkomponenten kontrollieren. Ist d groß, k¨ onnen wir einige i zufällig wählen. Die Gr¨ oße der Stabilit¨ atsfaktoren weist auf den Stabilitätsgrad der berechneten L¨ osung u(t) hin. Sind die Stabilit¨ atsfaktoren groß, m¨ ussen das Residuum R(U (t)) und e(0) entsprechend kleiner gemacht werden, indem kleinere Zeitschritte gew¨ ahlt werden. Der Berechnungsaufwand wächst entsprechend an.

57.6 Analyse des ru ¨ckwärtigen Euler Verfahrens fu ¨ r ein allgemeines AWP Wir leiten nun eine a posteriori Fehlerabschätzung f¨ ur das r¨ uckwärtige Euler Verfahren f¨ ur das AWP (56.1) her: U (tn ) = U (tn−1 ) + kn f (U (tn )),

n = 1, 2, . . . , N,

U (0) = u0 .

Dazu verkn¨ upfen wir eine Funktion U (t), die auf [0, T ] definiert ist, folgendermaßen mit den Funktionswerten U (tn ), n = 0, 1, . . . , N : U (t) = U (tn )

f¨ ur t ∈ (tn−1 , tn ].

Anders formuliert, so ist U (t) auf [0, T ] st¨ uckweise konstant und nimmt auf (tn−1 , tn ] den Wert U (tn ) an und besitzt daher zum Zeitpunkt tn−1 einen Sprung vom Funktionswert U (tn−1 ) auf den Wert U (tn ). Nun k¨ onnen wir das r¨ uckw¨ artige Euler Verfahren als tn f (U (t)) dt U (tn ) = U (tn−1 ) + tn−1

schreiben oder ¨ aquivalent als U (tn ) · v = U (tn−1 ) · v +

tn

f (U (t)) · v dt,

(57.21)

tn−1

f¨ ur alle v ∈ Rd . Dieses Verfahren wird auch als dG(0) bezeichnet, bzw. diskontinuierliches Galerkinverfahren der Ordnung Null. Dadurch soll eine exakte L¨ osung durch eine st¨ uckweise konstante Funktion U (t), die die Orthogonalit¨ atsbeziehung (57.21) erf¨ ullt, angenähert werden. Nun sind wir in der Lage, eine a posteriori Fehlerabschätzung herzuleiten, wobei wir dieselbe Strategie einschlagen wie bei der cG(1)-Methode. Wir beginnen mit der Gleichung e(T ) = e(T ) + 2

2

N n=1

tn

tn−1

e · (−ϕ˙ − A ϕ) dt

872


und integrieren partiell auf jedem Teilintervall (tn−1 , tn ). Dadurch erhalten wir die folgende Fehlerdarstellung: N

e(T ) = 2

(e˙ − Ae) · ϕ dt

tn−1

n=1

−

tn

N −1

(U (tn ) − U (tn−1 ))ϕ(tn−1 ),

n=2

wobei die letzte Summe von den Spr¨ ungen von U (t) in den Knoten t = tn−1 herr¨ uhrt und wir der Einfachheit halber davon ausgehen, dass U (0) = u(0). Da u die Differentialgleichung u˙ − f (u) = 0 löst, folgt aus (57.18) und der Tatsache, dass U˙ = 0 auf (tn−1 , tn ), dass e˙ − Ae = u˙ − f (u) − U˙ + f (U ) = −U˙ + f (U ) = f (U ) auf (tn−1 , tn ) und dadurch erhalten wir e(T ) = − 2

N −1

(U (tn ) − U (tn−1 ))ϕ(tn−1 ) +

tN

f (U )ϕ dt. 0

n=2

Mit Hilfe von (57.21) und v = ϕ, ¯ das ist wie oben der Mittelwert von ϕ, erhalten wir e(T )2 = − +

N −1

(U (tn ) − U (tn−1 )) · (ϕ(tn−1 ) − ϕ(t ¯ n−1 ))

n=2 n tn

f (U )(ϕ − ϕ) ¯ dt.

tn−1

n=1

Wir halten fest, dass

tn

f (U )(ϕ − ϕ) ¯ dt = 0,

tn−1

da f (U (t)) auf (tn−1 , tn ] konstant ist. Da ϕ¯ der Mittelwert von ϕ ist, nimmt die Fehlerdarstellung daher die folgende abschließende Form an: e(T )2 = −

N −1

(U (tn ) − U (tn−1 )) · (ϕ(tn−1 ) − ϕ(t ¯ n−1 )).

n=2

Mit Hilfe von ¯ n−1 ) ≤ ϕ(tn−1 ) − ϕ(t

tn

tn−1

ϕ(t) ˙ dt,

57.7 Steife Anfangswertprobleme

873

erhalten wir die folgende a posteriori Fehlerabschätzung f¨ ur das r¨ uckwärtige Euler Verfahren: e(T ) ≤ Sc (T ) max U (tn ) − U (tn−1 ). 1≤n≤N

(57.22)

Beachten Sie die sehr einfache Form dieser Abschätzung, bei der die Spr¨ unge U (tn ) − U (tn−1 ) die Rolle des Residuums u ¨ bernehmen. Die a posteriori Fehlerabsch¨ atzung (57.22) kann folgendermaßen als Ausgangspunkt f¨ ur einen Algorithmus mit adaptiver Zeitschrittkontrolle dienen: F¨ ur n = 1, 2, . . . , w¨ ahlen wir kn so, dass U (tn ) − U (tn−1 ) ≈

T OL . Sc (T )

57.7 Steife Anfangswertprobleme Ein steifes Anfangswertproblem u˙ = f (u) kann dadurch charakterisiert ur große T werden, dass die Stabilit¨ atsfaktoren Sd (T ) und Sc (T ) auch f¨ m¨ aßig groß sind, wohingegen die Norm des linearen Operators f (u(t)) groß ist, d.h. die Lipschitz-Konstante Lf ist sehr groß. Solche Anfangswertprobleme treten beispielsweise bei der Modellierung chemischer Reaktionen, bei denen langsame und schnelle Reaktionen vorkommen, auf. Typische ¨ L¨ osungen beinhalten sogenannte Ubergangszust¨ ande, in denen die schnel¨ len Reaktionen (anf¨ anglich) zu schnellen Anderungen der Lösung in kurzen Zeitintervallen f¨ uhren. Danach ist die schnelle Reaktion ausgebrannt“ und ” die langsamen Reaktionen ver¨ andern die L¨ osung auf einer größeren Zeitskala. Der Prototyp f¨ ur ein steifes Anfangswertproblem besitzt die Form u˙ = f (u) = −Au f¨ ur t > 0, u(t) = u0 = (u0i ),

(57.23)

wobei A eine konstante symmetrische und positiv-semidefinite d×d-Matrix mit nicht-negativen Eigenwerten λi ist, die sich von Null bis hin zu großen positiven Werten erstrecken. Entsprechend ist die Norm der Matrix A groß und daher ist auch Lf groß. Durch die Diagonalisierung können wir das Problem auf den Fall einer Diagonalmatrix A mit nicht-negativen Diagoosung daf¨ ur lautet nalelementen λi reduzieren. Die L¨ ui (t) = exp(−λi t)u0i

f¨ ur t > 0

(57.24)

osungsformel zeigt, dass eine Komponente mit u0 = (u0i ). Diese explizite L¨ ui (t), die zu einem großen positiven Eigenwert λi gehört, sehr schnell auf Null abnimmt, wohingegen eine Komponente mit einem kleinen Eigenwert, f¨ ur eine lange Zeit nahezu konstant bleibt, bevor sie schließlich Null wird. Das Vorzeichen der Eigenwerte ist offensichtlich ganz entscheidend: Wären

874


einige der λi negativ, dann w¨ urde die zugeh¨ orige Lösungskomponente exponentiell explodieren und zwar mehr oder weniger schnell, was vom Betrag angt. Insbesondere folgt aus (57.24) f¨ ur ein nicht-negatives λi , von λi abh¨ dass u(t) ≤ u0 f¨ ur t > 0, (57.25) was eine Art von Stabilit¨ at andeutet, wobei der Stabilitätsfaktor 1 ist, in dem Sinne, dass die Norm der L¨ osung nicht mit der Zeit anwächst. Das (57.23) entsprechende duale Problem besitzt die Form −ϕ˙ + Aϕ = 0 f¨ ur T > t > 0, ϕ(T ) = ψ, wobei ψ zur Zeit t = T gegeben ist. Als Konsequenz aus (57.25) folgern ¨ k¨ onnen wir zeigen, dass Sc (T ) mit wachwir, dass Sd (T ) ≤ 1. Ahnlich sendem T sehr langsam anw¨ achst. Wir fassen zusammen: (57.23) stellt ein steifes Problem dar; Stabilit¨ atsfaktoren sind auch f¨ ur große T mäßig groß, wohingegen der (linearisierte) Operator A eine große Norm besitzt. Vom numerischen Standpunkt aus scheinen steife Probleme besonders angenehm zu sein, da die Stabilit¨ atsfaktoren sehr langsam mit der Zeit anwachsen. Es gibt dabei jedoch einen Haken, der eine Menge Aufmerksamkeit in der Literatur zu numerischen Methoden f¨ ur Anfangswertprobleme auf sich gezogen hat, n¨ amlich das Scheitern einer expliziten Methode wie dem vorw¨ artigen Euler Verfahren. Wir schreiben das Verfahren f¨ ur die Gleichung u˙ = −Au in der Form U n = U n−1 − kn AU n−1 , aherung f¨ ur u(tn ) ist und 0 = t0 < t1 < . . . eine anwachwobei U n eine N¨ sende Folge von Zeitpunkten mit kn = tn − tn−1 . Ist A diagonal mit den Diagonalelementen λi ≥ 0, dann gilt Uin = (1 − kn λi )Uin−1 . Ist λi positiv und groß, dann kann |1 − kn λi | sehr viel größer sein als 1, ugend klein ist (kn ≤ 2/|λi | f¨ ur alle i). wenn der Zeitschritt kn nicht gen¨ Dann wird die numerische L¨ osung schnell gegen Unendlich explodieren, wohingegen die exakte L¨ osung schnell auf Null abnimmt. Das explizite Euler Verfahren ergibt daher v¨ ollig falsche Ergebnisse, außer wenn gen¨ ugend kleine Zeitschritte benutzt werden. Dies kann zu einer sehr ineffizienten ¨ Zeitschrittwahl f¨ uhren, da sich nach dem Ubergangszustand die Lösung nur wenig ver¨ andert und daher große Zeitschritte w¨ unschenswert wären. Wir ur alle i durch halten fest, dass die Grenze f¨ ur die Zeitschritte kn ≤ 2/|λi | f¨ ur den gr¨ oßten Eigenwert max λi bestimmt wird, wohingegen die Zeitskala f¨ das Langzeitverhalten durch den kleinsten Eigenwert min λi bestimmt wird. ¨ Daher wird das explizite Euler Verfahren jenseits der Ubergangszust¨ ande ineffizient, falls der Quotient max λi / min λi groß ist (wodurch ein steifes Problem charakterisiert wird).

57.7 Steife Anfangswertprobleme

875

Auf der anderen Seite ist dG(0) oder das implizite Euler Verfahren U n + kn AU n = U n−1 mit Uin = (1 + kn λi )−1 Uin−1 stabil und funktioniert ohne Schrittweitenbeschränkungen ausgezeichnet, da 1 + kn λi ≥ 1 f¨ ur alle λi ≤ 0. F¨ ur die cG(1)-Methode erhalten wir Uin =

1 − kn λi n−1 U 1 + kn λi i

und Stabilit¨ at wird vorherrschen, da 1 − kn λi 1 + kn λi ≤ 1 f¨ ur alle λi ≥ 0. Wir folgern, dass sowohl dG(0) als auch cG(1) f¨ ur steife Probleme benutzt werden können, aber beide Methoden sind implizit und erfordern die L¨ osung eines Gleichungssystems in jedem Zeitschritt. Um genauer zu sein, so nimmt dG(0) f¨ ur ein Problem der Form u˙ = f (u) die Gestalt U n − kn f (U n ) = U n−1 an. Zu jedem Zeitschritt m¨ ussen wir eine Gleichung der Form v − kn f (v) = osen, wobei U n−1 gegeben ist. An dieser Stelle können wir versuchen, U n−1 l¨ eine ged¨ ampfte Fixpunkt-Iteration der Form v (m) = v (m−1) − α(v (m−1) − kn f (v (m−1) ) − U n−1 ) einzusetzen, mit einer geeigneten Matrix α (oder im einfachsten Fall einer Konstanten). W¨ ahlen wir α = I und iterieren wir einmal mit v 0 = 0, so erhalten wir das explizite Euler Verfahren. Damit die Fixpunkt-Iteration konvergiert, muss I + kn αf (v) < 1 f¨ ur wichtige Werte von v sein, was ein kleines α erzwingen könnte (d.h. f¨ ur den steifen Fall, wenn f (v) große negative Eigenwerte besitzt) und zu langsamer Konvergenz f¨ uhrt. Als ersten Versuch könnten wir α als Diagonalmatrix w¨ ahlen, mit αi = (fii (v m−1 ))−1 (dies entspricht diagonaler Skalierung) und hoffen, dass die Zahl der Iterationen nicht zu groß wird. In einigen F¨ allen muss auf effektivere iterative Lösungsmethoden zur¨ uckgegriffen werden.

876


57.8 Explizite Zeitschrittwahl fu ¨ r steife Probleme Wir haben eben gesehen, dass explizite Zeitschrittwahl f¨ ur steife Probleme ¨ auch außerhalb von Ubergangszust¨ anden zu kleinen Zeitschritten f¨ uhrt und daher sehr ineffektiv sein kann. Wir werden nun eine Möglichkeit andeuten, um diese Einschr¨ ankung durch einen Stabilisationsprozess zu u ¨berwinden, wobei ein großer Zeitschritt von einer Reihe kleiner Zeitschritte begleitet ¨ wird. Das Ergebnis besitzt Ahnlichkeiten mit dem Kontrollsystem eines modernen (instabilen) Kampfjets wie der schwedischen JAS Gripen, bei dem der Flug durch schnelle kleine Schl¨ age kleiner zusätzlicher Fl¨ ugel, die vor dem Hauptfl¨ ugel angebracht sind, kontrolliert wird oder, falls wir eher an einer allt¨ aglichen Anwendung interessiert sind, mit der Balancierung eines senkrechten Stocks auf einer Fingerspitze. Wir wollen nun die zentrale (einfache) Idee hinter dieser Stabilisierung erkl¨ aren und sie mit einigen Beispielen unterf¨ uttern, die die zentralen Gesichtspunkte adaptiver L¨ oser f¨ ur AWP und steifer Probleme verdeutlichen sollen. Daher beginnen wir mit der Anwendung des expliziten Euler Verfahrens auf das skalare Problem u(t) ˙ + λu(t) = 0

f¨ ur t > 0. 0

u(0) = u ,

(57.26)

mit λ > 0. Wir machen zun¨ achst einen großen Zeitschritt K mit Kλ > 2 und dann m kleine Zeitschritte k mit kλ < 2. So erhalten wir das Verfahren U n = (1 − kλ)m (1 − Kλ)U n−1 ,

(57.27)

mit einer Gesamtschrittweite von kn = K + mk. Hierbei bedeutet K einen großen instabilen Zeitschritt mit |1 − Kλ| > 1 und k einen kleinen Zeitschritt mit |1 − kλ| < 1. Nach Definition des Polynoms p(x) = k k¨ onnen wir das Verfahren (57.27) in der Form (1 − θx)m (1 − x) mit θ = K U n = p(Kλ)U n−1 schreiben. F¨ ur die Stabilit¨ at ben¨ otigen wir |p(Kλ)| ≤ 1, bzw. m≥

das heißt

|1 − kλ|m (Kλ − 1) ≤ 1,

log(Kλ − 1) ≈ 2 log(Kλ), − log |1 − kλ|

(57.28)

mit kλ ≈ 1/2, um ein definites Problem zu erhalten. Wir folgern, dass m auch f¨ ur große Kλ ziemlich klein sein kann, da der Logarithmus langsam anw¨ achst, so dass also nur ein kleiner Bruchteil der Gesamtzeit mit stabilisierenden Zeitschrittweiten der Größe k zugebracht wird.

57.8 Explizite Zeitschrittwahl f¨ ur steife Probleme

877

Zur Absch¨ atzung des Effektivit¨ atsgewinns f¨ uhren wir α=

1+m ∈ (1/K, 1/k) K + km

ein, was der Anzahl der Zeitschritte pro Einheitsintervall mit dem stabilisierten expliziten Euler Verfahren entspricht. Nach (57.28) gilt: α≈

1 + 2 log(Kλ) log(Kλ) ≈ 2λ 2λ, K + log(Kλ)/λ Kλ

(57.29)

f¨ ur Kλ 1. Auf der anderen Seite betr¨ agt die Zahl der Zeitschritte pro Einheitsintervall mit dem normalen expliziten Euler Verfahren α0 = 1/k = λ/2,

(57.30)

wenn wir eine maximale Schrittl¨ ange von k = 2/λ wählen. Somit betr¨ agt die Ersparnis f¨ ur das stabilisierte explizite Euler Verfahren 4 log(Kλ) α , ≈ α0 Kλ was f¨ ur große Werte von Kλ betr¨ achtlich sein kann. Wir wollen nun einige Beispiele mit einem adaptiven cG(1) AWP-Löser in der stabilisierten expliziten Form mit einigen wenigen Iterationen in jedem Zeitschritt, wodurch wir große Zeitschritte machen können, vorstellen. ¨ Bei allen Problemen beobachten wir den anf¨ anglichen Ubergangszustand, in dem die L¨ osungskomponenten sich schnell verändern, und die oszillie¨ rende Natur der Zeitschrittfolge nach dem Ubergangszustand mit großen Zeitschritten, die von einigen kleinen stabilisierenden Zeitschritten begleitet werden. Beispiel 57.1. Wir wenden das vorgestellte Verfahren auf die skalare Gleichung (57.26) mit u0 = 1 und λ = 1000 an und stellen das Ergebnis in Abb. 57.1 dar. Die Ersparnis zum u ¨ blichen expliziten Verfahren ist groß: α/α0 ≈ 1/310. Beispiel 57.2. Wir betrachten nun das diagonale 2 × 2-System 100 0 u(t) ˙ + u(t) = 0 f¨ ur t > 0, 0 1000

(57.31)

u(0) = u0 mit u0 = (1, 1). Hierbei treten zwei Eigenmoden mit großen Eigenwerten auf, die stabilisiert werden m¨ ussen. Die Ersparnis dabei beträgt α/α0 ≈ 1/104.


1

1

0.8

0.8

U (t)

U (t)

878

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0

2

4

t

6

8

0

10

2

4

t

6

8

10 −3

x 10

0

k(t)

10

−2

10

0

1

2

3

5

4

6

t

7

8

9

10

1

1

0.8

0.8

U (t)

U (t)

Abb. 57.1. L¨ osung und Zeitschrittfolge f¨ ur (57.26); α/α0 ≈ 1/310

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0 0

2

4

6

t

0.05

0

10

8

0.1

t

0

k(t)

10

−2

10

0

1

2

3

4

5

t

6

7

8

9

10


57.8 Explizite Zeitschrittwahl f¨ ur steife Probleme

879

Beispiel 57.3. Das sogenannte HIRES Problem ( High Irradiance RESpon” se“) der Pflanzenphysiologie besteht aus den folgenden acht Gleichungen: ⎧ u˙ 1 = −1, 71u1 + 0, 43u2 + 8, 32u3 + 0, 0007, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u˙ 2 = 1, 71u1 − 8, 75u2, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u ˙ 3 = −10, 03u3 + 0, 43u4 + 0, 035u5, ⎪ ⎪ ⎨ u˙ 4 = 8, 32u2 + 1, 71u3 − 1, 12u4 , (57.32) u˙ 5 = −1, 745u5 + 0, 43u6 + 0, 43u7 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u˙ 6 = −280, 0u6u8 + 0, 69u4 + 1, 71u5 − 0, 43u6 + 0, 69u7, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u˙ 7 = 280, 0u6u8 − 1, 81u7, ⎪ ⎩ u˙ 8 = −280, 0u6u8 + 1, 81u7.

1

1

0.8

0.8

U (t)

U (t)

Anfangswert sei u0 = (1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0, 0057). Wir geben die Lösung und die Zeitschrittfolge in Abb. 57.3 wieder. Der Aufwand beträgt nun α ≈ 8 und die Ersparnis α/α0 ≈ 1/33.

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0

100

t

200

300

0

1

130

132

2

t

3

4

5

136

138

140

0

10

10

k(t)

k(t)

0

−1

10

−2

−1

10

−2

10

10

0

100

t

200

300

134

t


Beispiel 57.4. Das chemische Akzo-Nobel“ Problem besteht aus den fol” genden sechs Gleichungen: ⎧ u˙ 1 = −2r1 + r2 − r3 − r4 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u˙ 2 = −0, 5r1 − r4 − 0, 5r5 + F, ⎪ ⎪ ⎨ u˙ 3 = r1 − r2 + r3 , (57.33) u˙ 4 = −r2 + r3 − 2r4 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ u˙ 5 = r2 − r3 + r5 , ⎪ ⎪ ⎩ u˙ 6 = −r5 ,

880

57. Adaptive L¨ oser f¨ ur AWP −4

10

x 10

0.4

U (t)

U (t)

8

0.2

6

4

2

0

0

0

50

t

100

150

0

1

2

t

3

4

5

0

k(t)

10

−1

10

0

20

40

60

80

t

100

120

140

160

180


mit F = 3, 3 · (0, 9/737 − u2) und die Reaktionsgeschwindigkeiten betragen √ r1 = 18, 7 · u41 u2 , r2 = 0, 58 · u3 u4 , r3 = 0, 58/34, 4 · u1 u5 , r4 = 0, 09 · u1 u24 √ und r5 = 0, 42 · u26 u2 . Wir integrieren u ¨ ber das Intervall [0, 180] mit der Anfangsbedingung u0 = (0, 437; 0, 00123; 0; 0; 0; 0, 367). Wenn wir eine maximale (beliebig gew¨ ahlte) Zeitschrittl¨ ange kmax = 1 zulassen, betr¨ agt der Aufwand nur α ≈ 2 und die Ersparnis ungef¨ ahr α/α0 ≈ 1/9. Der aktuelle Gewinn bei einer spezifischen Situation h¨ angt sowohl vom Quotienten zwischen den großen Zeitschritten und den kleinen D¨ ampfungsschritten als auch von der Zahl der D¨ ampfungsschritte ab. In diesem Fall ist die Zahl der D¨ ampfungsschritte klein, aber die großen Zeitschritte sind nicht so viel gr¨ oßer verglichen zu den kleinen D¨ ampfungsschritten. Die Ersparnis h¨ angt also sowohl von der Steifigkeit des Problems als auch der Toleranz (bzw. der maximal erlaubten Zeitschrittweite) ab. Beispiel 57.5. Wir betrachten nun die Van der Pol Gleichung: u ¨ + µ(u2 − 1)u˙ + u = 0, die wir in der Form

u˙ 1 u˙ 2

= =

u2 , −µ(u21 − 1)u2 − u1

(57.34)

schreiben. Wir w¨ ahlen µ = 1000 und l¨ osen auf dem Intervall [0, 10] mit dem alt sich wie gew¨ unscht Anfangswert u0 = (2, 0). Die Zeitschrittfolge verh¨ und erfordert nur einige wenige D¨ ampfungsschritte. Der Aufwand betr¨ agt nun α ≈ 140 und die Ersparnis α/α0 ≈ 1/75.


881

−4

0

1.998

−1

1.996

−2

−3

1.994

0 −4 2 x 10

4

6

8

10

−4

t

0

−5

−2

−6

U2 (t)

x 10

U2 (t)

U1 (t)

2

−4

−7

−6

1.994

−8

0

0.05

0.1

1.996 1.998 U1 (t)

2

t

−2

k(t)

10

−4

10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

t


Aufgaben zu Kapitel 57 57.1. Berechnen Sie die Stabilit¨ atsfaktoren Sd (T ) und Sc (T ) f¨ ur das lineare skalare AWP u(t) ˙ = −λ(t)u(t) f¨ ur t > 0, u(0) = u0 , wobei λ(t) von der Zeit t abh¨ angt und (a) λ(t) ≥ 0, (b) λ(t) < 0. ur das lineare 2 × 2-System u˙ 1 = u2 , 57.2. Berechnen Sie Sd (T ) und Sc (T ) f¨ ur t > 0, u(0) = u0 . u˙ 2 = −u1 f¨ 57.3. Implementieren Sie adaptive AWP-L¨ oser f¨ ur dG(0) und cG(1) und nutzen Sie die L¨ oser f¨ ur unterschiedliche Probleme. 57.4. Zeigen Sie, dass die a posteriori Fehlerabsch¨ atzung f¨ ur cG(1) auch in der Form e(T ) ≤ Sc (T ) max0≤t≤T k(t)(f (U (t)) − f¯(U (t))) + Sd (T ) e(0) geschrieben werden kann, wobei f¯(U (t)) der Mittelwert von f (U (t)) in jedem Zeitintervall ist. 57.5. Zeigen Sie, dass die Wahl des dualen Problems ϕ(T ) = ei zur Fehlerkonuhrt. trolle der Komponente ei (T ) f¨ 57.6. Entwickeln Sie explizite Versionen von dG(0) und cG(1), die auf der Fixpunkt-Iteration in jedem Zeitschritt beruhen. Zeigen Sie, dass sich solch ein Verfahren mit Diagonalskalierung sehr gut f¨ ur einige steife Probleme eignen kann.

58 Lorenz und das Wesentliche am Chaos*

Ich bin davon u ¨berzeugt, dass das Chaos, zusammen mit den vielen damit zusammenh¨ angenden Begriffen – seltsame Attraktoren, Beckengrenzen, die Periode verdoppelnde Bifokalisierungen und so weiter – ohne weiteres von Lesern, die weder mathematischen noch naturwissenschaftlichen Hintergrund besitzen, verstanden und sogar genossen werden kann . . . (E. Lorenz im Vorwort zu The Essence of Chaos)

58.1 Einleitung Am 29. Dezember 1972 hielt der Meteorologe Edward Lorenz in einer Sitzung zum Global Atmospheric Research Program“ auf der 139. Sitzung ” der American Association for the Advancement of Science“ in Washington ” D.C. eine Rede mit dem Titel Vorhersagbarkeit: Kann das Flattern eines Schmetterlings in Brasilien einen Tornado in Texas auslösen? Die Rede von Lorenz mit seinem Schmetterlingseffekt“ wurde ein Jahrzehnt später ” mit der Entwicklung der Chaos-Theorie“ schlagartig ber¨ uhmt. Die Chaos” Theorie, die in der Mathematik und Physik in den 80er-Jahren in Mode kam, maßte sich an, eine Vielzahl von Ph¨ anomenen, angefangen bei turbulenten Str¨ omungen bis zum B¨ orsenzusammenbruch, u ¨ ber ihre Gemeinsamkeit der Unvorhersehbarkeit erkl¨ aren zu können. Ein Jahrzehnt fr¨ uher spielte die Katastrophen-Theorie“ eine ¨ ahnliche Rolle, wobei sich heute ” kaum jemand mehr an dieses faszinierende Thema erinnern kann. Nat¨ urlich ist Unvorhersagbarkeit bzw. Chaos“ ein Ph¨ anomen, das der Menschheit ”

884

58. Lorenz und das Wesentliche am Chaos*

seit langem bekannt ist. Das Wort Chaos“ entstammt der fr¨ uhen griechi” schen Kosmologie und bezeichnet das vollst¨ andige Fehlen einer Ordnung im Universum vor der Erschaffung von Gaea und Eros (Erde und Verlangen). Die Fragestellung von Lorenz h¨ angt mit der offensichtlichen Schwierigkeit zusammen, das t¨ agliche Wetter u ¨ ber einen längeren Zeitraum als eine Woche zuverl¨ assig vorherzusagen. Eine Wettervorhersage entspringt einer numerischen L¨ osung eines AWP, das atmosphärische Veränderungen modelliert und Variablen wie die Temperatur, die Windgeschwindigkeit und den Luftdruck beinhaltet. Es gibt f¨ ur diese Art von Wettervorhersage viele Fehlerquellen: Fehler in den Eingangsdaten, Modellierungsfehler und numerische Fehler. Es hat den Anschein, dass diese Fehler mit einer Geschwindigkeit vergr¨ oßert werden, die Vorhersagen auf einige wenige Stunden f¨ ur sehr lokalisierte Modelle bzw. Wochen in globalen Zirkulationsmodellen beschr¨ anken. Das Schmetterlingsanalogon von Lorenz deutet an, dass in bestimmten dynamischen Systemen sehr kleine Ursachen nach einer Zeit große Wirkungen ausl¨ osen k¨ onnen. Wir haben in dem u ¨ ber Kopf stehenden Pendel bereits ein derartiges System kennengelernt: Abhängig von der anfänglichen St¨ orung wird sich das Pendel nach kurzer Zeit in einer der möglichen deutlich unterschiedlichen Positionen befinden (auf der einen Seite oder der anderen). In der Meteorologie treffen wir auf ähnliche Verhältnisse, wenn bei der Wettervorhersage nicht klar ist, welchen Weg etwa ein Tiefdruckgebiet einschlagen wird, so dass keine Vorhersage dar¨ uber möglich wird, ob es morgen in Berlin regnen wird oder nicht. In seinem Buch f¨ uhrt Lorenz weitere Beispiele von instabilen Systemen an wie etwa einen Flipper, bei dem marginale Einflussnahmen des Spielers zu völlig unterschiedlichen Resultaten f¨ uhren kann. Nat¨ urlich gibt es viele andere Beispiele im täglichen Leben, bei denen kleine Ursachen große Wirkungen haben können, angefangen bei einem Fußballspiel bis zur Ermordung des Kronprinzen Francis Ferdinand am 28. Juni 1914 durch den serbischen Nationalisten Gavrilo Princip in Sarajevo, wodurch der erste Weltkrieg ausgelöst wurde.

58.2 Das Lorenz-System Lorenz formulierte ein AWP der Gestalt u˙ = f (u) f¨ ur f : R3 → R3 mit 8 f (u) = −10u1 + 10u2 , 28u1 − u2 − u1 u3 , − u3 + u1 u2 , 3 was als Lorenz-System ber¨ uhmt wurde. Lorenz fand heraus, dass die Lösung dieses Systems sehr empfindlich auf St¨ orungen reagiert. Das System hat ¨ gewisse Ahnlichkeit mit einem sehr einfachen Modell f¨ ur das Fließen von Fl¨ ussigkeiten und wurde f¨ ur die Erkl¨ arung von Bewegungen, wie der Turbulenz, in Fl¨ ussigkeiten eingesetzt. Dies war urspr¨ unglich nicht die Idee von

58.2 Das Lorenz-System

885

Lorenz, dem nur an einer Verbindung zur offensichtlichen Unvorhersagbarkeit gelegen war und die St¨ orungsanf¨ alligkeit von u ¨ blichen meteorologischen Modellen in den Raum stellte. Wenn das scheinbar so harmlose und unschuldige Lorenz-System unvorhersagbare L¨ osungen haben kann, sollte es einen nicht u ¨ berraschen, dass auch das Wetter unvorhersehbar sein könnte. Genauer formuliert, so fand Lorenz heraus, dass zwei verschiedene Lösungen des Lorenz-Systems mit nahe beieinander liegenden Anfangswerten f¨ ur eine gewisse Zeit nahezu gleich verlaufen, aber schließlich vollständig verschiedene Wege einschlagen werden. Das Lorenz-System lässt sich daher nur sehr schwer genau f¨ ur mehr als etwa 30 Zeiteinheiten numerisch lösen. Die numerische L¨ osung wird zun¨ achst nahezu gleich verlaufen wie die exakte L¨ osung, sich dann aber schließlich signifikant anders verhalten. Nat¨ urlich gibt es viele AWP, die ebenfalls diese Instabilitätseigenschaft besitzen. Sogar das einfache Pendel besitzt diese Eigenschaft, wenn sich das Pendel sehr langsam in die u ¨ ber Kopf“ Position bewegt. Daher ist es erstaun” lich, dass das Lorenz-System f¨ ur die wissenschaftliche Welt u ¨ berraschend zu sein schien. Aber so war es und es ist inzwischen ziemlich beliebt, unterschiedliche Ph¨ anomene, von der Turbulenz bis zur Politik, durch einen Hinweis auf die merkw¨ urdige Anziehung“ zu erklären, die scheinbar in ” Zeichnungen von L¨ osungen des Lorenz-Systems auftritt. Die einzelnen Komponenten des Lorenz-Systems lauten: ⎧ u˙1 = −10u1 + 10u2, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨u˙ = 28u − u − u u , 2 1 2 1 3 (58.1) 8 ⎪ u ˙ = − u + u u , 3 3 1 2 ⎪ 3 ⎪ ⎩ u1 (0) = u01 , u2 (0) = u02 , u3 (0) = u03 mit gegebener Anfangsbedingung u0 . Das System (58.1) besitzt Gleich√ drei√ gewichtspunkte u ¯ mit f (¯ u) = 0: u ¯ = (0, 0, 0) und u¯ = (±6 2, ±6 2, 27). Der Gleichgewichtspunkt u ¯ = (0, 0, 0) ist instabil und die zugehörige Jacobiu) besitzt einen positiven (instabilen) und Matrix f (¯ √ √ zwei negative Eigenwerte. Die Gleichgewichtspunkte u ¯ = (±6 2, ±6 2, 27) sind schwach instabil und die zugeh¨ origen Jacobi-Matrizen besitzen einen negativen (stabilen) Eigenwert und zwei imagin¨ are (schwach instabile) Eigenwerte mit einem sehr kleinen positiven Realteil. Um genauer zu sein, so lauten die Eigenwerte der Gleichgewichtspunkte ungleich Null λ1 ≈ −13, 9 und λ2,3 ≈ 0, 0939 ± 10, 1i. In Abb. 58.1 sind zwei verschiedene Blickwinkel auf eine Lösung u(t) dargestellt, die bei u(0) = (1, 0, 0) beginnt und mit einer Fehlertoleranz TOL = 0, 5 bis zur Zeit 30 mit Hilfe eines adaptiven AWP-Lösers, wie im Kapitel Adaptive AWP-L¨ oser“ vorgestellt, berechnet wurden. Wir können ” uns u(t) = (x(t), y(t), z(t)) als die Position zur Zeit t f¨ ur ein Teilchen denken, das sich entsprechend der Gleichung u˙ = f (u) bewegt. In Abb. 58.1 haben wir daher die Bahnlinie oder die Trajektorie, den das Teilchen mit der Zeit zur¨ ucklegt, dargestellt. Die gezeichnete Bahnlinie ist typisch: Das

886


z

z Ansicht von oben

Ansicht von unten

50

50

40

40

30

30 30

20

20

20 10

0

10

-20

(x0 , y0 , z0 )

-10 0

x

10 20 -20

-10

0

10

20

30

0

y -10

(x0 , y0 , z0 )

y -30

-20

-10

0

10

10 -20 20

-30 30

x

Abb. 58.1. Zwei Blickwinkel einer numerischen Bahnlinie des Lorenz-Systems im Zeitintervall [0, 30]. Die Berechnung beginnt in (1, 0, 0) mit einer absoluten Fehlertoleranz von TOL = 0, 5

Teilchen wird vom instabilen Punkt (0, 0, 0) förmlich weggestoßen und bewegt sich zu einem der von Null verschiedenen Gleichgewichtspunkte. Es entfernt sich kreisf¨ ormig von diesem Punkt, um nach einer bestimmten Zeit zu beschließen, sich zu dem anderen Gleichgewichtspunkt zu bewegen. Dort ¨ wiederholt sich das Spiel: Kreisf¨ ormige Entfernung, Ubergang zum anderen Punkt, kreisf¨ ormige Entfernung usw. Das Muster der Kreise um einen ¨ von Null verschiedenen Gleichgewichtspunkt, gefolgt von einem Ubergang zum anderen Gleichgewichtspunkt, wird mit scheinbar zufälliger Zahl von Umdrehungen um jeden Gleichgewichtspunkt wiederholt. Wie Lorenz bereits bemerkte, so l¨ asst eine genaue Untersuchung der Bahnlinie in Abb. 58.1 einige Struktur im Verhalten der Lösung erkennen. Der Weg der Bahnlinie scheint, schlicht formuliert, zwei flache Lappen“ ” zu bilden, in denen sich die Kreise um die von Null verschiedenen Gleichgewichtspunkte bewegen. In jedem Lappen scheinen die spiralförmigen Teile der Bahnlinie in Streifen“ gruppiert zu sein, die aus Teilen der Bahnli” nie bestehen, die sich kreisf¨ ormig vom Gleichgewichtspunkt entfernen, und Teilen der Bahnlinie, die Spr¨ unge vom anderen Gleichgewichtspunkt anzeigen. Nur die Bahnlinien im ¨ außersten Streifen wechseln zu dem anderen Gleichgewichtspunkt. Dadurch kommt eine scharfe Trennung zwischen den Bahnlinien im ¨ außersten Streifen und den Bahnlinien im nächsten inneren Streifen zustande. Wir bezeichnen dies als Schnitt mit einer Klinge“, wo” durch die Bahnlinien in ¨ außere Streifen getrennt werden. Die Bahnlinien im außersten Streifen dehnen sich in der Breite aus, wenn sie sich dem anderen ¨ Gleichgewichtspunkt ann¨ ahern, wobei die Bahnlinien umso näher an den Fixpunkt kommen, je weiter außen sie verlaufen. Wir bezeichnen dies mit Ausdehnung und Wegklappen. Wie weit sich eine Bahnlinie an den Gleichgewichtspunkt ann¨ ahert, bestimmt die Anzahl der Kreise, die die Bahnlinie in diesem Lappen beschreibt, bevor sie sich dem anderen Gleichgewichts-

58.3 Die Genauigkeit der Berechnungen

887

punkt zuwendet. Schließlich erkennen wir, dass die Kreise in einem Streifen nach einer Umdrehung nahe an den n¨ achsten äußeren Streifen ankommen. Dies passiert in jedem Streifen der Bahnlinie, bis sie alle schließlich im äußersten Streifen enden und zum anderen Gleichgewichtspunkt springen. Wir bezeichnen dies als verflechten. Zusammengefasst, so können wir die Dynamik des Lorenz-Systems als nie endenden Vorgang des Schneidens, Ausdehnens, Wegklappens und des Verflechtens beschreiben.

58.3 Die Genauigkeit der Berechnungen Unsere erste Aufgabe ist es, die Verl¨ asslichkeit der berechneten Fehlergrenzen einer a posteriori Fehlerabsch¨ atzung, wie wir sie im Kapitel Ad” aptive L¨ oser f¨ ur AWP“ vorgestellt haben, zu messen. Da wir die exakte L¨ osung nicht kennen, f¨ uhren wir das folgende Experiment aus: Mit Hilfe der Anfangsdaten (0, 1, 0) f¨ uhren wir die Berechnungen mit den Residualatzen den Fehler in der weniger toleranzen 10−5 und 10−9 durch und sch¨ genauen Berechnung, wobei wir den Unterschied zwischen den Ergebnissen beiden Berechnungen als Maßstab nehmen. In Abb. 58.2 stellen wir die berechnete Fehlergrenze und den gesch¨ atzten Fehler dar. Die Größe des Fehlers wird trotz der Sensitivit¨ at der L¨ osung gegen¨ uber Störungen durch die Fehlergrenze ziemlich gut vorhergesagt. Wir erhalten f¨ ur eine Vielzahl von Anfangsdaten ¨ ahnliche Ergebnisse. Damit wir eine Vorstellung von dem Verhalten der Fehlerkontrolle bekommen, stellen wir die Schrittweiten, die wir bei einer Berechnung mit absoluter Fehlertoleranz 0, 75 benutzen, in Abb. 58.3 dar. Die Schrittweiten variieren ungef¨ ahr mit einem Faktor 6 im Berechnungsintervall. In 20

100

10

10-1

U1 (t)

Fehler und Fehlergrenze

101

10-2

0

10-3 10-4

-10

10-5 10-6

0

5

10

15

20

t Fehler vs. Berechnung mit Resiudaltoleranz 10-9 berechnete Fehlergrenze mit Resiudaltoleranz 10 -5

-20

0

10 Residualtoleranz:

Residualtoleranz= 10-9

t

10-4

20

10-6 10-8 10-5 10-7

30

Abb. 58.2. Links sind die Ergebnisse des Verl¨ asslichkeitstests der berechneten Fehlergrenze f¨ ur die Anfangsdaten (0, 1, 0) dargestellt. Rechts stellen wir ¨ den Einfluss einer Anderung der Residualtoleranz auf die Genauigkeit der ur die Anfangsdaten (0, 1, 0) dar U1 (t)-Komponente f¨

888

58. Lorenz und das Wesentliche am Chaos* 0.004

k(t)R(t)

7.6 ·10-07

k(t)

0.003

0.002

7.4 ·10-07

7.2 ·10-07

0.001

7 ·10-07

0 0

5

10

15

20

0

5

10

15

20

t

t

Abb. 58.3. Zeitschritte und Residuum × Zeitschrittweite einer Berechnung als Funktion der Zeit mit den Anfangsdaten (1, 0, 0) und absoluter Fehlertoleranz 0, 75

Abb. 58.3 stellen wir das Produkt der Schrittweite mit dem Residuum f¨ ur diese Berechnung dar. Wir k¨ onnen beobachten, dass sich diese Werte innerhalb von 10% um einen konstanten Wert herum bewegen. Mit größerem Berechnungsaufwand k¨ onnen die Schwankungen reduziert werden, wodurch wir eine glattere Fehlergrenze erhalten.

58.4 Berechenbarkeit des Lorenz-Systems Von diesen Ergebnissen ermutigt, verringern wir die Toleranz oder äquivalent den Zeitschritt und versuchen eine exakte Lösung des Lorenz-Systems f¨ ur ein noch l¨ angeres Zeitintervall zu berechnen. Mit Hilfe der im Kapitel Adaptive L¨ oser f¨ ur AWP“ beschriebenen cG(1)-Methode berechnen wir ” die L¨ osungen mit immer kleineren Zeitschritten, k = 0, 01, k = 0, 001 und k = 0, 0001 und erhalten so immer genauere Lösungen. Wir stellen die osung in Abb. 58.4 dar, wobei wir auch den Punkt U1 -Komponente der L¨ eintragen, ab dem die L¨ osung nicht mehr genau ist. Wir sehen, dass die L¨ osung selbst mit 300.000 Zeitschritten nicht länger als bis t = 26 genau ist. Selbst wenn wir den Zeitschritt nochmals um einen Faktor 10 oder 100 verkleinern, f¨ uhrt uns das nicht wesentlich weiter. Wir folgern, dass es schwierig ist, die L¨ osung f¨ ur das Lorenz-System f¨ ur längere Zeitintervalle zu berechnen. Um die Berechenbarkeit des Lorenz-Systems im Detail zu untersuchen, kehren wir zur Fehlerabsch¨ atzung zur¨ uck, die wir f¨ ur den Fehler e(t) der cG(1)-Methode hergeleitet haben: e(t) ≤ Sc (T ) max k(t)R(t). 0≤t≤T

(58.2)

58.4 Berechenbarkeit des Lorenz-Systems

889

Beachten Sie, dass der Stabilit¨ atsfaktor Sc (T ) f¨ ur das Lorenz-System mit Hilfe der L¨ osung f¨ ur das duale linearisierte Problem definiert ist: T Sc (T ) = max3

0

ϕ0 ∈R

ϕ(t) ˙ dt . ϕ0

Wenn wir nur die Fehlerabsch¨ atzung betrachten, sollten wir so lange sinnvoll rechnen k¨ onnen, wie wir wollen, wenn wir nur den Zeitschritt k(t) und das Residuum R(t) klein genug halten. Eine etwas sorgfältigere Analyse ergibt jedoch, dass ein weiterer Fehlerbeitrag vorhanden ist, der meistens vernachl¨ assigt wird. Wenn wir diesen Ausdruck bei unserer Fehlerabschätzung ber¨ ucksichtigen, erhalten wir: e(t) ≤ Sc (T ) max k(t)R(t) + S0 (T ) max /k(t), 0≤t≤T

0≤t≤T

(58.3)

wobei die Maschinengenauigkeit des Computers ist, d.h. die kleinste Zahl, f¨ ur die (mit Computer-Arithmetik) 1 + = 1 gilt; S0 (T ) ist ein neuer Stabilit¨ atsfaktor. F¨ ur einen normalen Computer (im Jahr 2002) mit sogenannter doppelt-genauer Arithmetik“, beträgt die Maschinengenauigkeit ” atsfaktor S0 (T ) wird mit Hilfe der dualen Lösung ≈ 10−16 . Der Stabilit¨ definiert als: T ϕ(t) dt . S0 (T ) = max3 0 ϕ0 ∈R ϕ0 Der zus¨ atzliche Ausdruck in unserer verfeinerten Fehlerabschätzung (58.3) ber¨ ucksichtigt den Rundungsfehler, den wir in jedem Zeitschritt bei der k = 0, 01

20

10

0

−10

k = 0, 001

−20

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15

20

25

30

10 0

−10 −20

k = 0, 0001

0

20

20

10

0

−10

−20

t

Abb. 58.4. Die U1 -Komponente der cG(1)-L¨ osung f¨ ur verschiedene Zeitschritte. Die kleinen Kreise geben jeweils den Punkt an, ab dem die L¨ osung nicht l¨ anger genau ist

890


Berechnung machen; wenn wir in jedem Zeitschritt den neuen Wert U (tn ) bei der cG(1)-L¨ osung berechnen, so kommen wir nicht umhin, einen Rundungsfehler der Gr¨ oße zu begehen. Wie wir erkennen werden, so limitiert dieser zweite Ausdruck die Berechenbarkeit des Lorenz-Systems; der zweite Ausdruck in (58.3) kann groß werden, auch wenn der erste Ausdruck klein ist. Die Schwierigkeit bei der Berechnung genauer Lösungen des LorenzSystems wird deutlich, wenn wir die Gr¨ oße der Stabilitätsfaktoren betrachten. In Abb. 58.5 haben wir die Gr¨ oße des Anteils des Rundungsfehlers im Stabilit¨ atsfaktor S0 (T ) als Funktion des Endzeitpunkts T dargestellt. Beachten Sie die logarithmische Einteilung der y-Achse. Eine einfache Nähe16

10

14

10

12

S0 (T )

10

10

10

8

10

6

10

4

10

2

10

0

10

0

5

10

15

20

25

t

30

35

40

45

50

Abb. 58.5. Wachstum des Stabilit¨ atsfaktors S0 (T ) f¨ ur das Lorenz-System

rung f¨ ur das Wachstum des Stabilitätsfaktors lautet S0 (T ) ≈ 10T /3 , wonach der Rundungsfehler wie Er = 10T /3 × 10−16 /k = 10T /3−16 /k anwächst. Beachten Sie, dass der Fehler anwächst, wenn wir die Zeitschritte verkleinern! Dies ist nat¨ urlich (wenn auch un¨ ublich), da wir mit kleineren Zeitschritten eine größere Anzahl von Zeitschritten machen m¨ ussen, wodurch der Rundungsfehler vergrößert wird. Um den Einfluss des Rundungsfehlers klein zu halten, verwenden wir besser einen großen Zeitschritt, etwa k = 0, 1; dann wächst der Rundungsfehler wie 10T /3−15 . Zur Zeit T = 3 · 15 = 45 beträgt der akkumulierte Rundungsfehler folglich Er = 1, was bedeutet, dass wir nicht erwarten können, beträchtlich weiter als zur Zeit T = 45 rechnen zu können, da ab dann der Rundungsfehler dominieren wird. Mit der cG(1)-Methode werden wir noch nicht einmal T = 45 erreichen, da wir kleinere Zeitschritte als k = 0, 1 benutzen m¨ ussen (was wir aus

58.5 Die Herausforderung

891

Abb. 58.4 erkennen), um den ersten Ausdruck bei der Fehlerabschätzung klein zu halten.

58.5 Die Herausforderung Aus der vorangegangenen Diskussion ist nun klar, dass die mysteriöse Unvorhersagbarkeit und das chaotische“ Verhalten des Lorenz-Systems nur ” bedeutet, dass die Stabilit¨ atsfaktoren schnell anwachsen und es uns dadurch schwer machen, L¨ osungen u angere Zeit genau zu berechnen. ¨ ber l¨ Offensichtlich stehen wir vor der Herausforderung, mit einer Methode unserer Wahl, eine genaue Lösung f¨ ur das Lorenz-System ¨ uber ein so groß wie mögliches Zeitintervall [0, T ] zu berechnen. Wir mussten im vorangegangenen Abschnitt eingestehen, dass schiere Gewalt keine Antwort f¨ ur unser Problem ist. Es gen¨ ugt nicht, einen sehr schnellen Computer f¨ ur sehr kleine und sehr viele Zeitschritte zu benutzen. Mit der cG(1)-Methode k¨ onnen wir nicht weiter als bis T = 30 gelangen, unabh¨ angig davon, wie klein wir die Zeitschritte wählen, da der akkumulierte Rundungsfehler dann schnell anwachsen wird. Eine Lösung f¨ ur unser Problem w¨ are, eine neue Methode, ¨ ahnlich wie cG(1), zu entwerfen, die mit gr¨ oßeren Zeitschritten als die cG(1)-Methode arbeiten kann. Wie wir bereits vermuten, so existieren entsprechende Methoden wie cG(2), cG(3) usw., die mit gr¨ oßeren Zeitschritten verwendet werden können. Es kann gezeigt werden, dass f¨ ur diese cG(q)-Methode der Fehler mit k 2q anwächst, d.h. wir finden a priori Fehlerabsch¨ atzungen der Gestalt e(T ) ≤ C(T )k 2q , wobei C(T ) eine (unbekannte!) Konstante ist, die von der exakten Lösung u(t) abh¨ angt. Wir sagen, dass die cG(q)-Methoden die Ordnung 2q besitzen. Die normale cG(1)-Methode ist daher eine Methode zweiter Ordnung. (Dies stimmt mit (58.2) u ¨berein, da in R(t) noch ein Faktor k(t) enthalten ist.) Mit einer Methode h¨ oherer Ordnung, d.h. q > 1, können wir daher mit gr¨ oßeren Zeitschritten kleinere Fehler erhalten. Daraus folgt wiederum, dass wir mit einer Methode h¨ oherer Ordnung den Rundungsfehler kleiner halten k¨ onnen und somit l¨ anger sinnvoll rechnen können, als es mit der cG(1)-Methode m¨ oglich ist. In Abb. 58.6 haben wir die U1 -Komponenten der L¨ osungen f¨ ur das Lorenz-System dargestellt, die f¨ ur den Zeitschritt k = 0, 1 f¨ ur eine Folge von Methoden h¨ oherer Ordnung berechnet wurden. Wir sehen, dass die L¨ osungen bei einer Methode mit gen¨ ugend großer Ordnung bis zu einem Punkt kurz hinter T = 45 exakt sind, wie wir vorhergesagt haben; der erste Ausdruck in unserer Fehlerabschätzung (58.3) wird dadurch reduziert, dass die Ordnung der Methode vergrößert wird, weswegen der zweite Ausdruck dominiert. Man kann bis jenseits T = 50 gelangen, vielleicht zu T = 100, aber dazu m¨ ussen wir von doppelter Genauigkeit zu vierfacher Genauigkeit u ¨ bergehen.

892


cG(11)

20 0 20

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

cG(12)

20 0

20

cG(13)

20

0 20

cG(14)

20 0 20

cG(15)

20

0

20

Abb. 58.6. Die U1 -Komponenten von cG(q)-Methoden f¨ ur q = 11, 12, 13, 14, 15 mit Zeitschrittweite k = 0, 1. Bei den gestrichelten Linien ist die L¨ osung nicht mehr genau

Aufgaben zu Kapitel 58 58.1. Zeigen Sie, dass die drei Gleichgewichtspunkte, die im Text angef¨ uhrt wurden, die Gleichung f (u) = 0 erf¨ ullen. Linearisieren Sie das System in diesen Gleichgewichtspunkten, d.h., berechnen Sie die Eigenwerte (und Eigenvektoren) f¨ ur die Jacobi-Matrix von f in den drei Gleichgewichtspunkten. 58.2. Berechnen Sie die L¨ osung f¨ ur das Lorenz-System und zeichnen Sie die Kreisbahnen (x(t), y(t), z(t)) f¨ ur t ∈ [0, T ]. Stimmen Sie mit der Beschreibung der Dynamik des Lorenz-Systems als nie endender Vorgang des Schneidens, Ausdehnens, Wegklappens und des Verflechtens u ¨ berein? 58.3. Wiederholen Sie das Experiment, dass wir in Abschnitt 58.4 beschrieben haben, d.h. berechnen Sie die L¨ osungen f¨ ur das Lorenz-System mit der cG(1)Methode mit einer Folge kleiner werdender Zeitschritte und untersuchen Sie die Genauigkeit der L¨ osungen (indem Sie sie untereinander vergleichen). Gelangen Sie weiter als T = 25? 58.4. Wiederholen Sie das Experiment aus der vorangegangenen Aufgabe, aber nur mit Verfahren geringerer Ordnung; dem expliziten Euler und dem impliziten Euler Verfahren. Wie weit gelangen Sie nun? 58.5. Implementieren Sie eine einfache Version der cG(2)-Methode vierter Ordnung: U (tn−1/2 )

=

U (tn−1 ) +

U (tn )

=

U (tn−1 ) +

tn n ttn−1

tn−1

f (U (t), t) · (5 − 6(t − tn−1 )/kn )/4 dt, f (U (t), t) dt,


893

wobei U (t) das quadratische Polynom auf [tn−1 , tn ] ist, das durch die drei Werte U (tn−1 ), U (tn−1/2 ) und U (tn ) bestimmt wird. Wie weit gelangen Sie mit dieser Methode? 58.6. Liefern Sie eine Begr¨ undung f¨ ur den zus¨ atzlichen Ausdruck in der verfeinerten Fehleranalyse (58.3), indem Sie bei der N¨ aherung beginnen, die durch fehlerhafte Anfangsbedingungen verursachte Fehler ber¨ ucksichtigt (vgl. Kapitel L¨ oser f¨ ur adaptive AWP“). ” 58.7. Stellen Sie sich der Herausforderung des Lorenz-Systems, d.h. berechnen Sie eine exakte L¨ osung f¨ ur [0, T ] mit so groß wie m¨ oglichem T . Keine Regeln; alles ist erlaubt! Aber Aristarchus ver¨ offentlichte ein Buch, das bestimmte Hypothesen enthielt. Scheinbar als Folge der getroffenen Annahmen ist das Universum um vieles gr¨ oßer als das eben angesprochene Univer” sum“. Seine Hypothesen besagen, dass die Fixsterne und die Sonne unver¨ andert bleiben und die Erde sich auf einem Kreis um die Sonne dreht, wobei die Sonne im Mittelpunkt des Kreises liegt. Die Sph¨ are der Fixsterne, die oberhalb desselben Zentrums wie die Sonne liegt, sei so groß, dass der Kreis, auf dem seiner Meinung nach die Erde sich bewegt, etwa im selben Verh¨ altnis zum Abstand von den Fixsternen steht, wie das Verh¨ altnis zwischen dem Zentrum der Sph¨ are zu seiner Fl¨ ache. (Archimedes u ¨ ber Aristharcus von Samos)

59 Das Sonnensystem*

Es ward gedacht eines neuen Astrologi, der wollte beweisen, dass die Erde bewegt w¨ urde und umginge, nicht der Himmel oder das Firmament, Sonne und Monde; gleich als wenn einer auf einem Wagen oder einem Schiffe sitzt und bewegt wird, er s¨ aße still und ruhete, das Erdreich aber und die B¨ aume gingen um und bewegten sich. Aber es gehet jtzt also: wer da will klug seyn, der soll ihm nichts lassen gefallen, was Andere machen, er muß ihm etwas Eigens machen, das muß das Allerbeste seyn, wie ers machet. Der Narr will die ganze Kunst Astronomiae umkehren. Aber wie die heilige Schrift anzeiget, so hieß Josua die Sonne still stehen, und nicht das Erdreich. (M. Luther in seinen Tischreden“, als Antwort auf Kopernikus’ Pamphlet ” Commentariolus, 1514)

59.1 Einleitung Das Problem der mathematischen Modellierung unseres Sonnensystems, inklusive der Sonne und den neun Planeten Venus, Merkur, Tellus (die Erde), Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und Pluto und einer großen Anzahl von Monden, Asteroiden und gelegentlichen Kometen war seit alters her einer der Hauptfragen der Menschheit. Die abschließende Herausforderung besch¨ aftigt sich mit der mathematischen Modellierung des Universums, das aus Milliarden von Galaxien besteht, von denen jede aus Milliarden von Sternen besteht, von denen einer unsere eigene Sonne ist, die sich in den äußeren Bereichen der Milchstraße befindet.

896

59. Das Sonnensystem*

Das geozentrische Weltbild, das Aristoteles (384–322 v.Chr.) in Vom ” Himmel“ vorstellte und von Ptolem¨ aus (87–150 n.Chr.) in Hypotheses ” planetarum“ weiterentwickelt wurde, beherrschte die Vorstellung der Menschen u ¨ ber 1800 Jahre. Danach ist die Erde das Zentrum des Universums, um das sich die Sonne, der Mond, die anderen Planeten und die Sterne in einem komplizierten Muster von Kreisen (sogenannten Epizyklen) bewegen. Kopernikus (1473–1543) ver¨ anderte das Weltbild in De revolutionibus ” orbium coelestium“ und stellte die Sonne in das Zentrum in einer neuen heliozentrischen Theorie, behielt dabei allerdings das komplizierte System von Epizyklen (erweitert zu einem sehr komplizierten System von 80 Kreisen in Kreisen). Johannes Kepler (1572–1630) entdeckte, basierend auf ausgedehnten genauesten Beobachtungen durch den schwedischen/dänischen Wissenschaftler Tycho Brahe (1546–1601), dass sich die Planeten in elliptischen Kreisbahnen bewegen, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet. Sie gehorchen dabei den Keplerschen Gesetzen, die eine enorme Vereinfachung und wissenschaftliche Rationalisierung gegen¨ uber dem System von Epizyklen bedeuteten.

Abb. 59.1. Die Erde mit dem Mond und einigen anderen Planeten auf Umlaufbahnen; Jupiter und die galileischen Satelliten, Io, Europa, Ganymed und Callisto

Tats¨ achlich verstand bereits Aristarchus von Samos (310–230 v.Chr.), dass die Erde sich um ihre Achse drehte und er konnte damit die (offensichtliche) Bewegung der Sterne erkl¨ aren, aber Aristoteles widersprach diesen Ansichten mit folgender Argumentation: Sollte die Erde sich drehen, wie kann dann ein nach oben geworfener K¨ orper auf denselben Punkt zur¨ uckfallen? Sollte diese Drehung nicht einen sehr starken Wind bewirken? Vor Kopernikus konnte niemand diese Argumente hinterfragen. Können Sie es?

59.1 Einleitung

897

Abb. 59.2. Tycho Brahe: Ich glaube, dass die Sonne und der Mond um die ” Erde kreisen, aber dass die anderen Planeten sich um die Sonne bewegen“

Abb. 59.3. Johannes Kepler: Ich glaube, dass die Planeten durch unsichtbare ” regul¨ are Vielecke voneinander getrennt sind: Tetraeder, W¨ urfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder und außerdem, dass die Planeten, inklusive der Erde, sich in elliptischen Bahnen um die Sonne bewegen“

Newton (1642–1727) bereinigte die Theorien, indem er zeigte, dass sich die Bewegung der Planeten durch eine einzige Hypothese erklären lässt: Das Gravitationsgesetz mit inverser Proportionalität zum Quadrat des Abstands, vgl. das Kapitel Der Albtraum von Newton“. Insbesondere leitete ” Newton das Keplersche Gesetz f¨ ur das Problem zweier Körper her, bei dem ein (kleiner) Planet in einer elliptischen Bahn eine (große) Sonne umkreist,

898


vgl. das Kapitel Lagrange und das Prinzip der kleinsten Wirkung“. Leib” niz kritisierte Newton, weil dieser keine Erklärung f¨ ur das Gravitationsgesetz liefern konnte. Leibniz glaubte, dass es von einer zentralen Eigenschaft herr¨ uhrte und nicht nur, wie die vorherrschende Meinung vertrat, auf gegenseitiger Liebe“ beruhte, die ziemlich beliebt war. Eine gewisse ” Erkl¨ arung lieferte Einstein (1879–1955) in seiner Allgemeinen Relativitäts” theorie“, bei der sich die Gravitation als Folge einer durch eine Masse verursachten Kr¨ ummung“ der Raumzeit ergibt. Einstein revolutionierte die ” Kosmologie, die Lehre von der Entstehung und Entwicklung des Weltalls, aber relativistische Effekte f¨ uhrten nur zu kleinen Korrekturen im Newtonschen Modell unseres Sonnensystems, das auf der inversen Proportionalität zum Abstandsquadrat beruhte. Einstein konnte nicht erklären, warum die Raumzeit durch Massen gekr¨ ummt wird und selbst heute gibt es keine u ¨ berzeugende Theorie f¨ ur die Gravitation, die nahezu mystisch u ¨ ber einen noch zu entdeckenden Mechanismus aus der Entfernung wirkt“. Im Kapitel La” ” placesche Modelle“ geben wir eine Herleitung f¨ ur das Gravitationsgesetz, wie es von Laplace vorgestellt wurde. Trotz der mangelnden physikalischen Erkl¨ arung des Gravitationsgesetzes bedeutete die Newtonsche Theorie f¨ ur die mathematischen Wissenschaften einen enormen Schub und eine entsprechende Stimulation f¨ ur das Selbstbewusstsein der Wissenschaftler: Wenn das menschliche Gehirn in der Lage ist, (so einfach und endg¨ ultig) die Geheimnisse des Sonnensystems zu verstehen, dann sollte es keine Grenzen f¨ ur die Möglichkeiten des wissenschaftlichen Fortschritt mehr geben. . .

59.2 Die Newtonsche Gleichung Die Grundlage f¨ ur die Himmelsmechanik ist das zweite Newtonsche Gesetz F = m · a,

(59.1)

nachdem die Kraft F f¨ ur einen K¨ orper der Masse m zu einer Beschleunigung der Gr¨ oße a f¨ uhrt, zusammen mit der Formel f¨ ur die Gravitationskraft im Gesetz mit der inversen Proportionalit¨ at zum Abstandsquadrat: mma F =G 2 , (59.2) r wobei G ≈ 6, 67 · 10−11 Nm2 /kg2 die Gravitationskonstante ist, ma ist die Masse des anziehenden K¨ orpers und r der Abstand zum anziehenden K¨ orper. (59.1) und (59.2) ergeben zusammen eine Menge von Differentialgleichungen f¨ ur die Bewegung im Sonnensystem. Wenn wir die Anfangspositionen und -geschwindigkeiten f¨ ur alle K¨ orper im Sonnensystem kennen, dann k¨ onnen wir mit denselben Techniken, die wir oben im Kapitel Adap” tive AWP-L¨ oser“ vorgestellt haben, das Differentialgleichungssystem lösen.

59.3 Die Einsteinsche Gleichung

899

Wir diskutieren dies ausf¨ uhrlich im Abschnitt 59.4. Zur Vorbereitung bringen wir (59.1) und (59.2) in eine dimensionslose Gestalt, was sich als sehr bequem erweisen wird. Die drei zentralen Einheiten, die in den Gleichungen auftreten, sind der Raum, die Zeit und die Masse, die durch die Variablen x (oder r), t und m repr¨ asentiert werden. Wir f¨ uhren nun neue dimensionslose Variablen x = x/AU, t = t/Jahr und m = m/M ein, wobei 1/AU der durchschnittliche Abstand der Sonne zur Erde ist und M die Masse der Sonne. Mit Hilfe der Kettenregel erhalten wir f¨ ur die dimensionslose dt d dt d Jahr2 x/AU = Beschleunigung a = dtd dtd x = dt dt dt dt AU a. Wenn wir mit unseren neuen dimensionslosen Variablen in die Gleichungen (59.1) und (59.2) einsetzen, erhalten wir: m M

AU m M · ma M a =G , 2 Jahr r2 AU2

bzw. a = G

ma , r2

(59.3)

(59.4)

wobei die neue Gravitationskonstante nun folgendermaßen lautet: G =

G · Jahr2 M . AU3

(59.5)

¨ Wir u zu zeigen, dass mit sinnvollen Definitio¨ berlasen es Ihnen als Ubung, nen der Einheiten Jahr und AU die neue dimensionslose Gravitationskonstante, wie folgt, lautet: G = 4π 2 . (59.6)

59.3 Die Einsteinsche Gleichung Bei der allgemeinen Relativit¨ atstheorie ist nicht die Kraft die zentrale Gr¨ oße, wie in der Newtonschen Theorie, sondern die Kr¨ ummung der Raumzeit. Einstein erkl¨ art die Bewegung der Planeten in unserem Sonnensystem folgendermaßen: Die Planeten bewegen sich durch die Raumzeit entlang Gerader, sogenannter Geodäsien, die sich nur deswegen als kreisförmige (oder elliptische) Bahnen zeigen, weil die Raumzeit durch die große Masse der Sonne gekr¨ ummt ist. Wir wollen nun versuchen, eine Vorstellung davon zu vermitteln, wie dies funktionieren kann. Die Kr¨ ummung der Raumzeit ergibt sich durch ihre Metrik. Eine Metrik definiert den Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten in der Raumzeit. In der euklidischen Geometrie, die wir ausf¨ uhrlich in diesem Buch untersucht haben, wird der Abstand zwischen zwei Punkten x = (x1 , x2 , x3 ) und y = (y1 , y2 , y3 ) durch die Quadratwurzel des Skalarprodukts dx · dx

900


gegeben, wobei dx der Differenz dx = x−y entspricht. Mit der Schreibweise ds = |x − y| gilt daher: ds =

√

dx · dx =

3

1/2 dx2i

,

(59.7)

i=1

bzw. ds2 =

3

dx2i .

(59.8)

i=1

In der Schreibweise der allgemeinen Relativit¨ atstheorie wird die euklidische Metrik mit Hilfe der Matrix (des Tensors) ⎡ ⎤ 1 0 0 g = ⎣ 0 1 0 ⎦, (59.9) 0 0 1 als ds2 = dxT gdx

(59.10)

gegeben. In der Raumzeit nutzen wir die Zeit t als vierte Koordinate und jeder Vorgang in der Raumzeit wird durch den Vektor (t, x1 , x2 , x3 ) beschrieben. Bei der Minkowskischen Raumzeit ist die Kr¨ ummung bei Abwesenheit von Massen Null, und die Metrik wird gegeben durch ⎡ ⎤ −1 0 0 0 ⎢ 0 1 0 0 ⎥ ⎥ g=⎢ (59.11) ⎣ 0 0 1 0 ⎦, 0 0 0 1 wodurch wir ds2 = −dt2 + dx21 + dx22 + dx23

(59.12)

erhalten. Unter Ber¨ ucksichtigung von Massen erhalten wir eine andere Metrik, die nicht einmal diagonal sein muss. Aus der Metrik g lassen sich die Geraden der Raumzeit bestimmen, wodurch wir die Umlaufbahnen der Planeten erhalten. Die Metrik selbst wird durch die Verteilung der Masse in der Raumzeit bestimmt. Sie ergibt sich als L¨ osung aus der Einsteinschen Gleichung 1 Rij − Rgij = 8πTij , 2

(59.13)

wobei (Rij ) der sogenannte Ricci-Tensor ist. R ist die sogenannte skalare Kr¨ ummung und (Tij ) ist der sogenannte Spannungs-Energie-Tensor. (Rij ) und R h¨ angen von den Ableitungen der Metrik g = (gij ) ab, d.h., (59.13) ist eine partielle Differentialgleichung f¨ ur die Metrik g.

59.4 Ein System von gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen

901

Die L¨ osung f¨ ur die Umlaufbahnen der Planeten, die sich aus der Einsteinschen Gleichung ergeben, unterscheiden sich leicht von den Lösungen, die aus (59.4) nach Newton erzielt werden. Obwohl der Unterschied nur gering ist, so konnte die Einsteinsche Gleichung doch bei Beobachtungen der Umlaufbahn des Planeten Merkur, dem Planeten, der der Sonne am n¨ achsten ist, verifiziert werden. Wir werden diese relativistischen Effekte“ ” im n¨ achsten Abschnitt, in dem wir die Berechnung der Bewegungen im Sonnensystem fortsetzen, vernachl¨ assigen.

59.4 Das Sonnensystem als ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen Damit wir die Techniken aus dem Kapitel Adaptive Löser f¨ ur AWP“ ” f¨ ur die Beschreibung der Bewegungen im Sonnensystem benutzen können, m¨ ussen wir das System von gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen (ODEs von engl. ordinary differential equations), das wir mit (59.4) erhalten, in die Standardform u˙ = f bringen. Wir beginnen dabei mit der Einf¨ uhrung ur alle Körper im Sonnender Koordinaten xi (t) = (xi1 (t), xi2 (t), xi3 (t)) f¨ system, inklusive der Planeten, der Sonne und dem Mond. Wir erhalten insgesamt n = 9 + 2 = 11 K¨ orper und in Summe 3n = 33 Koordinaten. Damit wir die Gleichungen in ein System von Gleichungen erster Ordnung u˙ = f umschreiben k¨ onnen, m¨ ussen wir die Geschwindigkeiten aller Körper uhren, wodurch wir insgesamt N = 6n = 66 x˙ i (t) = (x˙ i1 (t), x˙ i2 (t), x˙ i3 (t)) einf¨ Koordinaten erhalten. Wir fassen alle diese Koordinaten im Vektor u(t) der L¨ ange N mit der folgenden Reihenfolge zusammen: u(t) = (x11 (t), x12 (t), x13 (t), . . . , xn1 (t), xn2 (t), xn3 (t), x˙ 11 (t), x˙ 12 (t), x˙ 13 (t), . . . , x˙ n1 (t), x˙ n2 (t), x˙ n3 (t)),

(59.14)

d.h. die erste H¨ alfte des Vektors u(t) enthält die Ortskoordinaten aller K¨ orper und die zweite H¨ alfte die zugeh¨ origen Geschwindigkeiten. Damit wir die Differentialgleichung f¨ ur u(t) erhalten, bilden wir die Ableitung nach der Zeit und beachten dabei, dass die Ableitung der ersten H¨ alfte von u(t) der zweiten H¨ alfte von u(t) entspricht: u˙ i (t) = u3n+i (t),

i = 1, . . . , 3n,

(59.15)

d.h. f¨ ur n = 11 gilt u˙ 1 (t) = x˙ 11 (t) = u34 (t) usw. Die Ableitung der zweiten H¨ alfte von u(t) enthält dann die zweite Ableitung der Ortskoordinaten, d.h. die Beschleunigungen, die durch (59.4) gegeben sind. Die Gleichung (59.4) ist als skalare Gleichung formuliert und muss in Vektorform umformuliert werden. F¨ ur jeden Körper im Sonnensystem muss der Anteil der Gesamtkraft auf jeden Körper als Summe der Beitr¨ age durch alle anderen K¨ orper berechnet werden. Wenn wir davon

902


ausgehen, dass wir mit dimensionslosen Variablen arbeiten (aber dennoch aus Bequemlichkeit x anstelle von x , mi anstelle von mi usw. schreiben), dann m¨ ussen wir die folgenden Summen berechnen: xï (t) =

G mj xj − xi , |xj − xi |2 |xj − xi |

j=i

wobei der Einheitsvektor der Kraft angibt.

xj −xi |xj −xi |

(59.16)

wie in Abb. 59.4 dargestellt die Richtung

m2 mj m1 xj − xi mi

Abb. 59.4. Die Gesamtkraft auf den K¨ orper i entspricht der Summe der Beitr¨ age aller anderen K¨ orper

Unsere endg¨ ultige Differentialgleichung f¨ ur die Bewegungen im Sonnensystem in der Form u˙ = f lautet somit ⎡ ⎤ u3n+1 (t) .. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (t) u 6n ⎢ ⎥ j 1 ⎥ ⎢ G mj x1 − x1 ⎥ ⎢ ⎥ (59.17) u(t) ˙ = f (u(t)) = ⎢ ⎢ j=1 |xj − x1 |2 |xj − x1 | ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .. ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ j ⎢ G m n ⎥ x − x j ⎣ 3 ⎦ 3 |xj − xn |2 |xj − xn | j=n

wobei wir der Einfachheit halber die Schreibweise x1 = (x11 , x12 , x13 ) anstelle von (u1 , u2 , u3 ) usw. auf der rechten Seite benutzen. Die Bewegungen unseres Sonnensystems k¨ onnen nun mit den Anfangswerten in Tabelle 59.1 mit

59.4 Ein System von gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen

903

Mond

Sonne

Pluto

Neptun

Uran

Saturn

Jupiter

Mars

Erde

Venus

Merkur

Table 59.1. Anfangswerte f¨ ur das Sonnensystem zur Zeit 00:00 Universal Time (UT1, etwa GMT) am 1. Januar 2000 mit dimensionslosen Ortskoordinaten und Geschwindigkeiten, die mit 1 AU = 1, 49597870 · 1011 m (einer astronomischen Einheit), 1 Jahr = 365, 24 Tage und M = 1, 989 · 1030 kg (einer Sonnenmasse) skaliert sind Position −0, 147853935 x1 (0) = −0, 400627944 −0, 198916163 −0, 725771746 x2 (0) = −0, 039677000 0, 027897127 −0, 175679599 x3 (0) = 0, 886201933 0, 384435698 1, 383219717 x4 (0) = −0, 008134314 −0, 041033184 3, 996313003 x5 (0) = 2, 731004338 1, 073280866 6, 401404019 x6 (0) = 6, 170259699 2, 273032684 14, 423408013 x7 (0) = −12, 510136707 −5, 683124574 16, 803677095 x8 (0) = −22, 983473914 −9, 825609566 −9, 884656563 x9 (0) = −27, 981265594 −5, 753969974 −0, 007141917 x10 (0) = −0, 002638933 −0, 000919462 −0, 177802714 x11 (0) = 0, 884620944 0, 384016593

Geschwindigkeit 7, 733816715 x˙ 1 (0) = −2, 014137426 −1, 877564183 0, 189682646 x˙ 2 (0) = −6, 762413869 −3, 054194695 −6, 292645274 x˙ 3 (0) = −1, 010423954 −0, 438086386 0, 275092348 x˙ 4 (0) = 5, 042903370 2, 305658434 −1, 664796930 x˙ 5 (0) = 2, 146870503 0, 960782651 −1, 565320566 x˙ 6 (0) = 1, 286649577 0, 598747577 0, 980209400 x˙ 7 (0) = 0, 896663122 0, 378850106 0, 944045755 x˙ 8 (0) = 0, 606863295 0, 224889959 1, 108139341 x˙ 9 (0) = −0, 414389073 −0, 463196118 0, 001962209 x˙ 10 (0) = −0, 002469700 −0, 001108260 −6, 164023246 x˙ 11 (0) = −1, 164502534 −0, 506131880

Masse 1, 0/6023600

1, 0/408523, 5

1, 0/328900, 5

1, 0/3098710

1, 0/1047, 355

1, 0/3498, 5

1, 0/22869

1, 0/19314

1, 0/150000000

1 1, 0/2, 674 · 107

904


den Standardtechniken berechnet werden, die wir im Kapitel Adaptive ” L¨ oser f¨ ur AWP“ vorgestellt haben.

59.5 Vorhersagbarkeit und Berechenbarkeit Die zwei wichtigen Fragen, die sich nat¨ urlicherweise stellen, wenn wir numerische L¨ osungen der Bewegung in unserem Sonnensystem wie in Abb. 59.5 untersuchen, sind die Fragen nach der Vorhersagbarkeit und der Berechenbarkeit. Die Vorhersagbarkeit des Sonnensystems ist die Frage nach der Genauigkeit einer Berechnung bei vorgegebener Genauigkeit der Anfangsdaten. Sind die Anfangsdaten etwa mit einer Genauigkeit von f¨ unf Dezimalstellen bekannt, wie lange dauert es dann, bis selbst bei genauer numerischer Rechnung die L¨ osung nicht einmal mehr in einer Dezimalstelle genau ist? Die Berechenbarkeit des Sonnensystems ist die Frage nach der Genauigkeit einer numerischen L¨ osung, wenn die Anfangsdaten exakt sind, d.h. wie lange wir eine genaue L¨ osung mit den verf¨ ugbaren Methoden und der verf¨ ugbaren Rechenleistung berechnen k¨ onnen. Sowohl die Vorhersagbarkeit als auch die Berechenbarkeit werden durch die Wachstumsrate der Fehler bestimmt. Gl¨ ucklicherweise wächst der Fehler nicht wie beim Lorenz-System exponentiell. Wenn wir uns vorstellen, die Erde leicht aus ihrer Umlaufbahn zu entfernen und dann die Berechnung zu beginnen, wird die Umlaufbahn und die Geschwindigkeit der Er-

U (t)

10

5

0

−5

−10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

3.5

4

4.5

5

U (t)

6

z

0.5

4 2

0 1 −0.5 1

0

0 0.5

0

−0.5

y

−1

−1

x

−2 3.2

3.4

3.6

t

3.8

Abb. 59.5. Eine numerische Berechnung der Bewegungen im Sonnensystem, inklusive der Erde, der Sonne und des Mondes

59.6 Adaptive Zeitschrittwahl

905

de etwas anders sein, was zu einem Fehler f¨ uhrt, der mit der Zeit linear anw¨ achst. Das bedeutet, dass die Vorhersagbarkeit des Sonnensystems ziemlich gut ist, da jede weitere genaue Dezimalstelle in den Anfangsdaten bedeutet, dass die Vorhersagbarkeitsgrenze um einen Faktor zehn erhöht wird. Wird jedoch die L¨ osung mit einer numerischen Methode, wie der adaptiven cG(1)-Methode, berechnet, wird dies zu einem zusätzlichen Fehler f¨ uhren. Wir k¨ onnen uns vorstellen, dass der Fehler, den eine numerische Methode bewirkt, einer kleinen St¨ orung in jedem neuen Zeitschritt gleicht. Wenn wir die Beitr¨ age aus allen Zeitschritten zusammenzählen, finden wir, dass der numerische Fehler quadratisch anw¨ achst, vgl. Aufgabe 59.2. Es zeigt sich jedoch, dass der Fehler bei der cG(1)-Methode nicht quadratisch anw¨ achst, sondern nur linear, wie in Abb. 59.6 verdeutlicht: Die Energie wird erhalten. Als Folge davon zeigt die cG(1)-Methode in einer Langzeitstudie bessere numerische Eigenschaften als die (genauere) dG(2)Methode h¨ oherer Ordnung. cG(1)

dG(1) 0.5

0

0

e(t)

0.5

−0.5

−0.5 0

10

20

40

50

0

cG(2)

−4

x 10

e(t)

30

10

20

5

0

0

−5

40

50

40

50

dG(2)

−3

x 10

5

30

−5 0

10

20

30

40

50

0

t

10

20

30 t

Abb. 59.6. Das Wachstum des numerischen Fehlers bei Simulationen des Sonnensystems mit verschiedenen numerischen Methoden. Die beiden Methoden links erhalten die Energie, wodurch der Fehler linear statt quadratisch anw¨ achst

59.6 Adaptive Zeitschrittwahl Wenn wir die Bewegungen im Sonnensystem mit der adaptiven cG(1)Methode berechnen, so erkennen wir, dass die Zeitschritte klein genug sein m¨ ussen, um der Umlaufbahn des Mondes (oder von Merkur, falls der Mond

906


unber¨ ucksichtigt bleibt) zu folgen. Dies ist ineffektiv, da die Zeitskalen der anderen K¨ orper bedeutend gr¨ oßer sind: Die Periode des Mondes beträgt einen Monat, aber die Periode von Pluto dauert 250 Jahre, weswegen die Zeitschritte f¨ ur Pluto ungef¨ ahr um einen Faktor 3000 größer sein sollten als die Zeitschritte f¨ ur den Mond. Erst k¨ urzlich konnte gezeigt werden, dass die Standardverfahren cG(q), inklusive cG(1), und dG(q) auf individuelle multi-adaptive Zeitschrittwahl f¨ ur unterschiedliche Körper erweitert werden k¨ onnen. In Abb. 59.7 stellen wir eine Berechnung mit individuellen Zeitschritten f¨ ur unterschiedliche Planeten dar. Beachten Sie, dass der Fehler quadratisch anw¨ achst, woran wir erkennen, dass die Energie bei dieser Methode nicht erhalten bleibt. (Es k¨ onnen auch multi-adaptive Methoden konstruiert werden, die die Energie erhalten.) t1

−3

4

x 10

x 10

2

e(t)

e(t)

2

0

−2

−4

t2

−5

4

0

−2

0

1

0

0.5

2

t

3

4

−4

5

0

1

2

t

3

4

5

4.5

5

−1

k(t)

10

−2

10

−3

10

1

1.5

2

2.5

t

3

3.5

4

Abb. 59.7. Eine Berechnung der Bewegungen im Sonnensystem mit individuellen, multi-adaptiven Zeitschritten f¨ ur unterschiedliche Planeten

59.7 Grenzen der Berechenbarkeit und Vorhersagbarkeit Mit Hilfe der multi-adaptiven cG(2) scheint die Grenze der Berechenbarkeit des Sonnensystems (f¨ ur den Mond und die neun Planeten) mit Berechnungen in doppelter Genauigkeit bei etwa 106 Jahren zu liegen. Bei der Vorhersagbarkeit desselben Systems scheint es, dass wir f¨ ur jede genaue Dezimalstelle mehr als die 5. Stelle, einen Faktor zehn in der Zeit


907

gewinnen, so dass beispielsweise eine Vorhersagbarkeit des Mondes f¨ ur die n¨ achsten 1000 Jahre eine Genauigkeit von etwa 8 genauen Dezimalstellen bei den Anfangspositionen, den Geschwindigkeiten, den Massen und der Gravitationskonstante erfordert. Wir folgern, dass u ¨blicherweise die Genauigkeit der Daten eine Grenze f¨ ur genaue Simulationen der Bewegungen im Sonnensystem zu setzen scheint, wenn wir einen multi-adaptiven Löser hoher Ordnung benutzen.

Aufgaben zu Kapitel 59 59.1. Zeigen Sie, dass mit geeigneten Definitionen der Einheiten f¨ ur das Jahr agt. Hinweis: Gehen Sie davon und AU die Gravitationskonstante G = 4π 2 betr¨ aus, dass die Erde eine Kreisbahn beschreibt, bei der die Zentrifugalkraft mv 2 /r der Gravitationskraft GmM/r 2 entspricht. 59.2. Begr¨ unden Sie das quadratische Anwachsen des numerischen Fehlers f¨ ur das Sonnensystem. Hinweis: Gehen Sie davon aus, dass der Fehlereintrag zur Geschwindigkeit in jedem Zeitschritt in der Gr¨ oßenordnung von liegt. 59.3. (Schwierig!) Zeigen Sie im Allgemeinen, dass f¨ ur ein bestimmtes Anfangswertproblem ein Fehlerwachstum mit |e(T )| ≤ S(T )|e(0)| zu einem Fehler in der numerischen L¨ osung des Anfangswertproblems mit T S(t) dt |e(T )| 0

anw¨ achst, vorausgesetzt, dass der zus¨ atzliche Fehler in jedem Zeitschritt unterhalb von kn bleibt. 59.4. Zeigen Sie, dass die cG(1)-Methode die Energie f¨ ur ein Hamiltonsches System erh¨ alt, d.h., zeigen Sie, dass f¨ ur ein System, f¨ ur das x ¨ = F = −∇x P (x) gilt, die Gesamtenergie E(t) = K(x(t)) ˙ + P (x(t)) 2

erh¨ alt. Hierbei ist P (x) ein gegebenes Potential und K(x) ˙ = x˙2 die kinetische Energie. Hinweis: Formulieren Sie ein System erster Ordnung f¨ ur den Vektor [u, v] = [x, x], ˙ benutzen Sie [v, ˙ u] ˙ als Testfunktion und nutzen Sie die Kettenregel. 59.5. Untersuchen Sie die Vorhersagbarkeit und Berechenbarkeit des Sonnensystems numerisch. K¨ onnen Sie das lineare Fehlerwachstum f¨ ur die cG(1)-Methode verifizieren?

60 Optimierung

1. Alle Lebewesen werden durch den Wunsch nach maximaler Freude getrieben. 2. Es gibt dabei Freude f¨ ur den K¨ orper und Freude f¨ ur die Seele. Bei der Freude f¨ ur die Seele kann der K¨ orper keinen Anteil nehmen, wohingegen die Freude f¨ ur den K¨ orper beiden gleichermaßen gemeinsam ist. (Die beiden ersten von 14 zentralen Prinzipien in Anthropologica physica, von K¨ onig Karl XII von Schweden, 1717)

60.1 Einleitung In diesem Kapitel werden wir einige wichtige Gesichtspunkte der Optimierung weiter ausf¨ uhren, die wir bereits im vorangegangenen Kapitel in Verbindung mit der Minimierung angesprochen haben. Optimierung ist ein sehr breites Themengebiet und wir werden unten auf weitere Gesichtspunkte stoßen. Hier werden wir vor allem solche Themen aufgreifen, die eng mit zentralen Aspekten der Infinitesimalrechnung verkn¨ upft sind. Sie gelten als tief gehend“ und als nur verständlich f¨ ur ” die besten fortgeschrittenen Mathematikstudenten. Sie können sich eine eigene Meinung zu den hier vorgestellten Untersuchungen bilden. Falls Sie dabei das zu erwartende Gef¨ uhl der Verwirrung u ¨ berkommt, sollte Sie das nicht weiter beunruhigen. Fahren Sie dann einfach mit dem nächsten Kapitel fort. Wenn Sie andererseits das Gef¨ uhl bekommen, dass sie wider alle Erwartungen die Hauptgedanken verstehen, so können Sie sich gratulieren und Sie sind besser zur Mathematik geeignet, als Sie bisher dachten!

910

60. Optimierung

In unserer modernen Welt ist Optimierung ein Kodewort. Etwas zu optimieren bedeutet, vorhandene Ressourcen so effektiv wie möglich zu benutzen oder die bestm¨ ogliche Alternative zu finden. In unserem Privatleben, können wir uns beispielsweise das Ziel setzen, dass unser Auto so wenig Benzin wie m¨ oglich verbraucht, dass wir etwas zum kleinstmöglichen Preis kaufen, dass wir mit dem geringstm¨ oglichen Aufwand das Haus putzen oder dass wir auf einer Urlaubsreise das gr¨ oßtm¨ ogliche Vergn¨ ugen erleben. Bei der automatisierten Herstellung ist die Optimierung das f¨ uhrende Prinzip, um so wenig Energie, Material und Arbeitskräfte bei der Herstellung einer gewissen Menge von G¨ utern einzusetzen wie möglich. Eine der wichtigsten Vorstellungen unserer kapitalistischen Gesellschaft ist es, dass auf lange Sicht das effektivste Herstellungsverfahren den Markt beherrschen wird. Das zentrale Problem der Optimierung ist die Suche nach einem Maximum oder Minimum f¨ ur eine gegebene Funktion f : Ω → R, die auf einer ¨ bestimmten Zahlenmenge Ω definiert ist. Ublicherweise ist Ω ein Gebiet d ankt oder unbeschränkt sein kann, in R mit d = 1, 2, 3, . . ., das beschr¨ oder aber Ω ist eine endliche Menge, wie die Menge der nat¨ urlichen Zahlen 1, 2, . . . , 100. Genauer formuliert, so bedeutet die Suche nach einem Minimum x ¯ in Ω, dass wir einen Punkt x ¯ ∈ Ω suchen, so dass f (x) ≥ f (¯ x) f¨ ur alle x ∈ Ω.

(60.1)

Wir sagen dann, dass f (¯ x) der Minimalwert von f : Ω → R ist. Beachten Sie, dass es zwar mehrere Minima geben kann, aber nat¨ urlich nur einen einzigen Minimalwert. Wenn in einem olympischen 100m Lauf drei Wettk¨ ampfer die Bestzeit von 9,99 Sekunden laufen, dann kann an alle drei L¨ aufer die Goldmedaille verliehen werden. Es kann jedoch keine zwei Wettk¨ ampfer mit unterschiedlichen Endzeiten geben, die beide die Goldmedaille erhalten. Als N¨ achstes wollen wir das Problem betrachten, den Minimalwert und das zugeh¨ orige Minimum, oder die Minima, f¨ ur eine gegebene Funktion f : Ω → R zu finden. Wir k¨ onnen zwei F¨ alle unterscheiden: (a) Ω ist ein Gebiet in Rd mit unendlich vielen Punkten, wie etwa, wenn Ω die Einheitsscheibe {x ∈ Rd : x ≤ 1} ist; (b) Ω enthält endlich viele Punkte, wie beispielsweise f¨ ur Ω = {1, 2, 3, . . . , 10}. Fall (a) wird als kontinuier” lich“ und Fall (b) wird als diskret“ bezeichnet. Die beiden Fälle sind nicht ” ¨ vollst¨ andig voneinander verschieden; es kann einen fließenden Ubergang von diskret“ zu kontinuierlich“ geben, wenn die Zahl der Elemente in Ω ” ” anw¨ achst. Im diskreten Fall mit endlich vielen Punkten können wir den Minimalwert und zugeh¨ orige Minima von f : Ω → R durch verschiedene Sortieralgorithmen finden. Ist Ω kontinuierlich mit unendlich vielen Punkten, kann das Sortieren unm¨ oglich werden und oft werden andere Algorithmen, die Informationen u ¨ ber die Ableitung von f (x) verlangen, in Kombination mit verschiedenartigen Methoden des steilsten Abstiegs eingesetzt.

60.2 Sortieren f¨ ur endliches Ω

911

60.2 Sortieren fu ¨r endliches Ω Ist Ω eine endliche Zahlenmenge, beispielsweise Ω = {1, 2, . . . , 9, 10}. Dann k¨ onnen wir eine Liste der zugeh¨ origen 10 Funktionswerte f (1), . . . , f (10) aufstellen, diese nach aufsteigenden Funktionswerten sortieren und somit den Minimalwert f (¯ x) und das zugeh¨ orige Argument x ¯ finden. Nat¨ urlich m¨ ussen wir nicht alle Zahlen entsprechend ihrer Größe sortieren, um die Kleinste zu finden. Wir ben¨ otigen nur das erste Element in der Liste, die nach aufsteigender Gr¨ oße sortiert ist. Wenn wir diesen Vorgang wiederholen, gelangen wir zu einer vollst¨ andig sortierten Liste. Beispiel 60.1. Sei beispielsweise Ω = {1, 2, . . . , 9, 10} und f (1) = 143, f (2) = 538, f (3) = 67, f (4) = 964, f (5) = 287, f (6) = 64, f (7) = 123, f (8) = 333, f (9) = 63 und f (10) = 88. Einfaches Betrachten liefert uns das Minimum in x ¯ = 9 mit dem Minimalwert f (¯ x) = 63. Sortieren klingt zwar einfach, effektiv zu sortieren ist aber durchaus ein ernst zu nehmendes schwieriges Problem, wenn eine Vielzahl von Werten sortiert werden muss. Es gibt verschiedene Algorithmen zur Sortierung und Sortierungsalgorithmen spielen in der Informatik eine wichtige Rolle. Das folgende Verfahren ist ein einfacher Algorithmus, um das Minimum m von N Zahlen f (1), . . . , f (N ) zu finden: ¯ = 1. 1. Sei m = f (1) und x 2. F¨ ur x = 2, . . . , N ist m = f (x) und x ¯ = x, falls f (x) < m. Der Minimalwert ist dann m = f (¯ x) und das Minimum tritt in x = x ¯ auf. Der Algorithmus beruht auf dem sich wiederholenden Vergleich von Zahlenpaaren (falls f (x) < m, wird m und x ¯ verändert). Die Anzahl der n¨ otigen Vergleiche im vorgestellten Algorithmus ist offensichtlich gleich N − 1. Wenn wir den Algorithmus ohne f (¯ x) wiederholen, erhalten wir eine vollst¨ andig sortierte Liste mit Hilfe von (N − 1) + (N − 2) + · · · + 1 ≈ 12 N 2 Vergleichen.

60.3 Was tun, wenn Ω nicht endlich ist? Ist Ω ein Intervall reeller Zahlen, beispielsweise Ω = [0, 1], dann enthält Ω unendlich viele Punkte. An eine Sortierung durch paarweises Vergleichen der Werte f (x) f¨ ur x ∈ Ω ist dann f¨ ur eine gegebene Funktion f : Ω → R nicht zu denken, da wir nicht unendlich viele Vergleiche durchf¨ uhren k¨ onnen. Nat¨ urlich ersetzen wir Ω in der Praxis durch eine endliche Zahlenmenge, indem wir beispielsweise mit einer Zahlendarstellung der Punkte in Ω in einfacher Genauigkeit arbeiten. Daher können wir im Prinzip die oben vorgestellte Sortierungsstrategie anwenden. Aber

912

60. Optimierung

die Berechnung wird sehr berechnungsaufw¨ andig sein. Mit sieben Dezimalstellen m¨ ussten wir 107 Werte von f (x) vergleichen, was mit dem obigen otigen w¨ urde, um das Minimum zu Algorithmus etwa 107 Vergleiche ben¨ finden. Ist das Intervall Ω und die gew¨ unschte Genauigkeit größer, dann w¨ are auch die Zahl der notwendigen Vergleiche entsprechend größer. Der Berechnungsaufwand enth¨ alt außerdem die Kosten f¨ ur die Auswertung der Funktionswerte f (x) f¨ ur jedes x als multiplikativen Faktor, was f¨ ur jede Auswertung viele arithmetische Operationen erfordern wird. Die Gesamtkosten f¨ ur den Vergleichsalgorithmus werden daher viel zu hoch sein. Wir suchen nun nach effektiven Algorithmen, um den Fall zu behandeln, dass Ω ein Gebiet in Rd ist und die Funktion f (x) Lipschitz-stetig ist zur Lipschitz-Konstanten L. F¨ ur diesen Fall k¨ onnen sich die Funktionswerte f (x) nicht mehr ver¨ andern, als das Produkt aus L mit x. Wollen wir den Minimalwert bis auf eine bestimmte Toleranzgrenze T OL genau bestimmen, ben¨ otigen wir in etwa (L/T OL)d Vergleiche, falls der Durchmesser von Ω in der Gr¨ oßenordnung von Eins ist. Abhängig von der Wahl der Toleranz T OL und von L mag dies akzeptabel sein oder nicht. Ist die Funktion f (x) differenzierbar, k¨ onnen wir die Suche weiter einschr¨ anken, indem wir Informationen der Ableitung zur Hilfe nehmen, wie wir unten noch sehen werden.

60.4 Die Existenz eines Minimums Wie k¨ onnen wir uns davon u ¨ berzeugen, dass tatsächlich ein Minimum existiert? Wir untersuchen unten den Beweis des folgenden wichtigen Satzes als Antwort auf diese Frage. Satz 60.1 Sei f : Ω → R Lipschitz-stetig und Ω eine abgeschlossene und ¯ ∈ Ω, so dass beschränkte Teilmenge des Rd . Dann existiert ein Minimum x f (¯ x) ≤ f (x) f¨ ur alle x ∈ Ω. Die Annahme, dass Ω abgeschlossen und beschränkt ist, ist unbedingt erforderlich, um die Existenz eines Minimums zu garantieren, wie wir an folgendem Beispiel sehen. Beispiel 60.2. Die Funktion f : (0, 1) → R mit f (x) = x besitzt kein Minimum in (0,1). Bei diesem Beispiel ist Ω nicht abgeschlossen. Beispiel 60.3. Die Funktion f : [1, ∞) → R mit f (x) = 1/x besitzt kein Minimum in [1, ∞). Bei diesem Beispiel ist Ω nicht beschränkt. Wir wollen jedoch darauf hinweisen, dass eine Funktion f : Ω → R durchaus ein Minimum besitzen kann, wenn Ω unbeschränkt ist. Insbesondere werden wir, wenn f (x) gegen Unendlich strebt falls x anwächst, die Suche nach einem Minimum ganz einfach auf ein beschränktes Intervall einschr¨ anken.

60.5 In einem inneren Minimum ist die Ableitung gleich Null

913

Beispiel 60.4. Die Funktion f : [0, ∞) mit f (x) = x2 − 2x besitzt einen Minimalwert f (1) = −1; da f (x) ≥ 0 f¨ ur x ≥ 2, können wir die Suche nach einem Minimum auf [0, 2] einschr¨ anken.

60.5 In einem inneren Minimum ist die Ableitung gleich Null Wir setzen voraus, dass f : Ω → R eine gegebene Lipschitz-stetige differenzierbare Funktion ist, wobei Ω ein Gebiet in Rd ist. Wir wollen nun beweisen, dass in einem inneren Minimum von f : Ω → R, d.h. x¯ ist ein ur ein δ > 0 in Ω Minimum und die Kugel {x ∈ Rd : x − x¯ < δ} ist f¨ enthalten, f¨ ur den Gradienten f = ∇f von f gilt, dass f (¯ x) = ∇f (¯ x) = 0. Dies ergibt sich aus x) · (x − x¯) + Ef (x, x¯) f (x) = f (¯ x) + f (¯ x)x − x ¯2 . Ist nun f (¯ x) = 0, so können wir x = mit Ef (x, x¯) ≤ Kf (¯ x ¯ − f (¯ x) ∈ Ω f¨ ur ein > 0 w¨ ahlen und abschätzen: f (x) ≤ f (¯ x) − f (¯ x)2 + 2 Kf (¯ x)f (¯ x)2 = f (¯ x) − f (¯ x)2 (1 − Kf (¯ x)) < f (¯ x). Ist gen¨ ugend klein, so f¨ uhrt uns dies zu einem Widerspruch zu der Annahme, dass x ¯ ein Minimum ist. Wir haben somit das folgende wichtige Ergebnis bewiesen, vgl. Abb. 60.1 und Abb. 60.2: Satz 60.2 Angenommen, f : Ω → R habe ein Minimum in einem inneren Punkt x¯ in Ω und sei ferner f : Ω → R in x ¯ differenzierbar. Dann gilt: f (¯ x) = 0. y

y = f (x) y = f (¯ x)

x a

x ¯

b

Abb. 60.1. In einem inneren Minimum x ¯ gilt: f (¯ x) = 0

914

60. Optimierung y

y = f (x) y = f (¯ x) y = f (¯ x) + f (¯ x)(x − x ¯) a

x ¯

x

b

x) < 0 folgt, dass f (x) < f (¯ x) f¨ ur ein x nahe bei x ¯ mit x ¯ > x, Abb. 60.2. Aus f (¯ d.h. x ¯ kann kein Minimum sein

Mit Hilfe dieses Ergebnisses k¨ onnen wir die Nullstellen der Ableitung f (x) in Ω nach einem Minimum von f (x) durchsuchen. Um diese Nullstellen zu bestimmen, k¨ onnen wir einen beliebigen Algorithmus f¨ ur die Nullstellensuche verwenden, wie die Fixpunkt-Iteration, die Newton-Methode oder die Bisektion. Es gibt daher eine enge Verbindung zwischen Algorithmen f¨ ur die Suche nach einem inneren Minimum von f : Ω → R und Algorithmen f¨ ur die Berechnung der L¨ osung von f (x) = 0. Bitte beachten Sie, dass f (x) ungleich Null sein kann, wenn das Minimum x ¯ von f : Ω → R kein innerer Punkt von Ω ist, d.h. wenn x¯ auf einer Grenze von Ω liegt, vgl. Abb. 60.3. y

y = f (x)

y = f (a) + f (a)(x − a), f (a) > 0

x a

b

Abb. 60.3. f (¯ x) kann in einem Minimum x ¯, das auf der Grenze liegt, ungleich Null sein

Beispiel 60.5. Angenommen, wir wollten das Minimum von f : Ω → R mit Ω = [0, 2] und f (x) = x2 − 2x bestimmen. Da Ω abgeschlossen und beschr¨ ankt ist und f (x) Lipschitz-stetig ist, wissen wir, dass ein Minimum x ¯ ∈ [0, 2] existiert. Ist x ¯ ein innerer Punkt in [0, 2], d.h. 0 < x ¯ < 2, dann gilt x) = 2¯ x − 2 = 0 und folglich x ¯ = 1. Wir vergleichen den Wert f (1) = −1 f (¯ mit den Werten f (0) = 0 und f (2) = 0 auf den Grenzen von [0, 2] und

60.5 In einem inneren Minimum ist die Ableitung gleich Null

915

folgern, dass f (1) = −1 der Minimalwert mit zugehörigem Minimum in x ¯ = 1 ist. Beispiel 60.6. Angenommen, wir wollten das Minimum von f : Ω → R mit f (x) = f (x1 , x2 ) = x21 + x22 − 2x1 − x2 auf einem abgeschlossenen Quadrat Q = [0, 2] × [0, 2] bestimmen, vgl. Abb. 60.4. Wir wissen, dass in Q ein Minimum existiert. Wir berechnen zun¨ achst die inneren Punkte x ˆ f¨ ur die x) = 0 gilt. Da f (x) = (2x1 − 2, 2x2 − 1), ist x ˆ = (1; 0, 5) mit dem f (ˆ Funktionswert f (1; 0, 5) = −1, 25. Nun m¨ ussen wir nur noch f (x) auf der Begrenzung von Q kontrollieren, um festzustellen, ob dort Werte kleiner als −1, 25 vorkommen. Wir betrachten dazu jedes Teilst¨ uck der Grenze f¨ ur sich. Auf dem St¨ uck x2 = 0 gilt: f (x) = x21 − 2x1 mit x1 ∈ [0, 2] und wir erkennen mit Hilfe des vorangegangenen Beispiels, dass der Minimalwert f (1, 0) = −1 ist. Auf dem St¨ uck x2 = 2 gilt: f (x1 , 2) = x21 − 2x1 + 3 mit Minimalwert f (1, 2) = 2. Auf dem St¨ uck x1 = 0 gilt: f (0, x2 ) = x22 − x2 mit Minimalwert f (0; 0, 5) = −0, 25 und auf dem St¨ uck x1 = 2 gilt f (2, x2 ) = x22 − x2 mit Minimalwert f (2; 0, 5) = −0, 25. Wir fassen zusammen, dass der innere Punkt x ¯ = (1; 0, 5) auch Minimum ist und dass der Minimalwert f (1; 0, 5) = −1, 25 betr¨ agt.

Abb. 60.4. Die Suche nach einem Minimum f¨ ur f (x) = x21 + x22 − 2x1 − x2 auf Q = [0, 2] × [0, 2]

Beispiel 60.7. Ihnen wird die Aufgabe gestellt, eine Schachtel (ohne Deckel) mit einem vorgegebenen Volumen zu entwerfen und dabei so wenig Material wie m¨ oglich zu verwenden. Es seien x1 , x2 und x3 die Seiten der Schachtel und das Volumen folglich V = x1 x2 x3 . Die zu minimierende Fläche lautet uhrt zu x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 . Elimination von x3 f¨ 1 1 f (x1 , x2 ) = x1 x2 + 2V + , x1 x2

916

60. Optimierung

was auf Ω = [0, ∞)×[0, ∞) minimiert werden soll. Die Suche nach Punkten x ˆ mit f (ˆ x) = (0, 0) liefert x ˆ1 = x ˆ2 = (2V )1/3 mit zugehöriger Höhe x ˆ3 = 1 1/3 (2V ) und Fl¨ a che 2 f (ˆ x) = (2V )2/3 + 2(2V )2/3 . Ein Vergleich mit (x1 , x2 ) mit sehr großem oder sehr kleinem x1 und x2 f¨ uhrt zu großen Werten von f (x1 , x2 ) und daher ist x ˆ das Minimum. Die L¨ osung ergibt eine Schachtel mit quadratischem Boden und einer Höhe, die halb so groß ist wie die Breite. Wir wollen noch betonen, dass ein Minimum auch an einem inneren Punkt bestimmt werden kann, wenn die Funktion dort nicht differenzierbar ist. So erh¨ alt man das Minimum der Funktion f (x) = |x − 1| auf [0, 2] in x¯ = 1 mit Minimalwert f (¯ x) = f (1) = 0. Diese Art von Minimum muss besonders untersucht werden. Daher m¨ ussen wir, um alle möglichen x) = 0 betrachten, zusätzlich noch Minima zu finden, alle Punkte x¯ mit f (¯ die Grenzen der Definitionsmenge und die inneren Punkte, in denen f (x) nicht differenzierbar ist.

60.6 Die Rolle der Hesseschen Matrix Wir wissen, dass f¨ ur ein inneres Minimum einer Funktion f : Ω → R, x) = 0 gilt. Aber es ist im Allgemeinen nicht wahr, dass x ¯ ein Minimum f (¯ ist, wenn f (¯ x) = 0. Ein Punkt x ¯ mit f (¯ x) = 0 kann auch ein Maximum oder ein Wendepunkt sein, vgl. Abb. 60.5. Ist die Hessesche Matrix H von x) = 0, dann gilt nach dem f : Ω → R nahe bei x¯ positiv-definit und f (¯ Satz von Taylor: 1 f (x) = f (¯ x) + (x − x ¯) H(y) · (x − x ¯) > f (¯ x) 2 f¨ ur x nahe bei x¯ und ein y zwischen x und x¯ und folglich ist x ¯ ein lokales Minimum. y

y y = f (x) y = f (x)

x ¯

x

x ¯

x

x) = 0 kann ebenso auf ein Maximum oder auf einen Wendepunkt Abb. 60.5. f (¯ hinweisen

60.7 Minimierungsalgorithmen: Der steilste Abstieg

917

Wir wiederholen, dass eine n × n-Matrix A positiv-definit genannt wird, falls v Av > 0 f¨ ur alle von Null verschiedenen v ∈ Rn . Nach dem Spektralsatz ergibt sich, dass A genau dann und nur dann positiv-definit ist, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind. Beispiel 60.8. Sei A = (aij ) eine symmetrische 2 × 2-Matrix. Dann ist A positiv-definit, falls a11 a22 − a212 > 0

und a11 > 0.

Dies ergibt sich durch quadratische Erg¨ anzung aus v Av = a11 v12 + a22 v22 + 2a12 v1 v2 .

60.7 Minimierungsalgorithmen: Der steilste Abstieg Wir werden kurz diskutieren, wie wir Kandidaten f¨ ur Minima f¨ ur eine gegebene Funktion f : Ω → R finden k¨ onnen, wobei Ω ein Gebiet in Rd ist. Wir setzen voraus, dass f : Ω → R Lipschitz-stetig und differenzierbar auf Ω ist. Bei der Methode des steilsten Abstiegs konstruieren wir eine Folge {xi } in Rd , die hoffentlich nach der Iterationsvorschrift xi+1 = xi − αi f (xi )

(60.2)

gegen ein (lokales) Minimum konvergiert, wobei αi ein positiver Parameter ist. Da αi > 0, ist xi+1 < xi , wenn f (xi ) > 0. Und ist f (xi ) < 0, dann ist xi+1 > xi . Somit wird, wenn f (xi ) > 0 und folglich f (x) in x = xi anw¨ achst, die Wahl von xi+1 < xi zu f (xi+1 ) < f (xi ) f¨ uhren. Daher sollte aher am Minimum liegen als xi . F¨ ur f (xi ) < 0 können wir ähnlich xi+1 n¨ argumentieren. Es ist klar, dass die Wahl des Parameters αi wichtig ist. Ist αi zu klein, dann wird die Konvergenz langsam und falls αi zu groß ist, kann die Folge {xi } hin und her schwingen. Beachten Sie, dass wir die Gradienten-Methode (60.2) zur Minimierung von f (x) als Fixpunkt-Iteration zur Berechnung der Nullstelle von f (x) betrachten k¨ onnen. Falls uns der steilste Abstieg an die Grenze Γ von Ω f¨ uhrt, dann können wir die Methode des steilsten Abstiegs durch die projizierte GradientenMethode xi+1 = xi − αi P f (xi )

918

60. Optimierung

ersetzen, wobei P f (xi ) die Projektion von f (xi ) auf die Tangentialebene zu Γ in xi ∈ Γ beschreibt. Die prinzipielle Idee f¨ ur die Minimierung von f (x) ist folglich, Nullstellen von f (x) mit Hilfe der Methode des steilsten Abstiegs zu finden oder aquivalent, die Fixpunkt-Iteration f¨ ur f (x) = 0 anzuwenden. Wurden die ¨ Nullstellen von f (x) erst einmal bestimmt, so kann die Minimierung auf die Suche auf der Grenze von Ω und auf innere Nullstellen von f (x) reduziert werden.

60.8 Existenz eines Minimalwerts und eines Minimums Wir kehren zum wichtigen Ergebnis zur¨ uck, dass f¨ ur eine Lipschitz-stetige Funktion f : Ω → R auf einem abgeschlossenen und beschränkten Gebiet Ω in Rd ein Minimum x¯ ∈ Ω mit zugeh¨ origem Minimalwert f (¯ x) existiert und wollen es nun beweisen. Wir f¨ uhren den Beweis f¨ ur d = 1 durch, so dass also Ω = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall ist. Der Beweis f¨ ur d > 1 verl¨ auft ¨ ahnlich. Dass eine Lipschitz-stetige Funktion f : [a, b] → R auf einem abgeschlossenen und beschr¨ ankten Intervall [a, b] ein Minimum besitzt, werden wir so beweisen, dass wir dabei ein Minimum mit dem Bisektionsalgorithmus konstruieren“. Wir werden bei der Konstruktion auf einen umstrittenen ” Schritt stoßen. Wenn es uns gelingt, diese Streitfrage zu klären, werden wir dadurch zus¨ atzliche Einblicke in das Prinzip von Minimierungsalgorithmen gewinnen. Normalerweise wird der hier vorgestellte Beweis als so schwierig“ ange” sehen, dass er nur fortgeschrittenen“ Studierenden präsentiert wird. Mit ” unserer guten Vorbereitung bez¨ uglich des Bisektionsalgorithmuses und der Natur der reellen Zahlen, wollen wir nun in den Beweis eintauchen und dabei werden wir feststellen, dass er, abgesehen von den nicht-konstruktiven Gesichtspunkten, einfach“ ist. ” Wir wiederholen zun¨ achst, dass aus der Lipschitz-Stetigkeit von f (x) und der Tatsache dass [a, b] beschr¨ ankt ist, folgt, dass f : [a, b] → R von unten und oben beschr¨ ankt ist. Insbesondere gibt es ein m ∈ R, so dass f (x) ≥ m

ur alle x ∈ [a, b]. f¨

(60.3)

Wir sagen, dass m eine untere Schranke von f : [a, b] → R ist, wenn (60.3) gilt. Nat¨ urlich gibt es viele untere Schranken, da jede Zahl m < m auch eine untere Schranke ist, wenn m eine untere Schranke ist. In unserem Beweis werden wir den Begriff der größten unteren Schranke benutzen, die wie folgt definiert ist: Wir sagen, dass m eine größte untere

60.8 Existenz eines Minimalwerts und eines Minimums

919

Schranke von f : [a, b] → R ist, wenn f (x) ≥ m f¨ ur alle x ∈ [a, b] und f¨ ur alle M > m,

(60.4)

gibt es ein x ∈ [a, b] so dass f (x) < M.

In Worten formuliert, ist m eine gr¨ oßte untere Schranke von f : [a, b] → R, wenn m eine untere Schranke von f : [a, b] → R ist und jede Zahl größer als m keine untere Schranke von f : [a, b] → R ist. Der Begriff der größten unteren Schranke spielte eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung im Laufe des 20. Jahrhunderts. Der Beweis vollzieht sich nun in zwei Schritten: Schritt 1: Existenz einer gr¨ oßten unteren Schranke m f¨ ur f : [a, b] → R Wir werden die Existenz einer gr¨ oßten unteren Schranke m mit Hilfe des Bisektionsalgorithmuses beweisen. Wie oben ausgef¨ uhrt, existiert eine untere Schranke m von f : [a, b] → R. Sei y0 = m und Y0 = f (b). Nun definieren wir yˆ1 = 12 (y0 + Y0 ) = 12 (m + f (b)). Beachten Sie, dass y0 ≤ yˆ1 ≤ Y0 . Ist f (x) ≥ yˆ1 f¨ ur alle x ∈ [a, b], dann setzen wir y1 = yˆ1 und Y1 = Y0 . Falls dies nicht der Fall ist, dann gibt es ein x ∈ [a, b], so dass f (x) < yˆ1 und wir setzen y1 = m und Y1 = yˆ1 . Dadurch gelangen wir vom Paar (y0 , Y0 ) oder vom Intervall (y0 , Y0 ) zum Intervall (y1 , Y1 ). Nach unserer Konstruktion ist ur alle x ∈ [a, b] und i = 0, 1 und es gibt ein x ∈ [a, b], so dass f (x) ≥ yi f¨ f (x) < Yi , falls nicht Y0 oder Y1 bereits gr¨ oßte untere Schranken sind. Wenn wir diesen Vorgang wiederholen, erhalten wir die Folgen {yi } und ur i = 0, 1, 2, . . . gilt: {Yi }, so dass f¨ yi < Yi ,

yi+1 ≥ yi

Yi+1 ≤ Yi ,

−i

0 < Yi − yi = 2 (Y0 − m), f (x) ≥ yi f¨ ur alle x ∈ [a, b], es gibt ein x ∈ [a, b], so dass f (x) < Yi , oßte untere Schranke. Wie im Kapitel Wurzel oder eines der Yi ist eine gr¨ ” Zwei“, sind die Folgen {yi } und {Yi } Cauchy-Folgen und beide konvergieren gegen eine reelle Zahl, die wir als m bezeichnen. Die Zahl m ist die größte untere Schranke von f : [a, b] → R, da m die folgenden beiden Bedingungen erf¨ ullt: f (x) ≥ m f¨ ur alle M > m

f¨ ur alle x ∈ [a, b],

gibt es ein x ∈ [a, b] so dass f (x) < M.

Somit haben wir die Existenz einer gr¨ oßten unteren Schranke f¨ ur eine Lipschitz-stetige Funktion f : [a, b] → R auf einem abgeschlossenen und beschr¨ ankten Intervall [a, b] bewiesen. Beachten Sie, dass dieses Ergebnis auch gilt, wenn (a, b) ein beschr¨ anktes offenes Intervall ist. Wir haben nämlich bisher nicht davon Gebrauch gemacht, dass [a, b] abgeschlossen ist.

920

60. Optimierung

Schritt 2: Existenz eines Minimums Wir konstruieren nun eine konvergente Folge {xi } mit xi ∈ [a, b] und lim f (xi ) = m.

i→∞

Wenn wir x ¯ = limi→∞ xi setzen, so erhalten wir, dass f (¯ x) = m und folglich ist x ¯ ein Minimum, womit wir mit dem Beweis fertig sind. Zur Konstruktion von {xi } nutzen wir wiederum den Bisektionsalgorithmus: Wir beginnen mit x0 = a und X0 = b und definieren x ˆ1 = 12 (x0 + X0 ). ur alle x mit x ˆ1 < x ≤ X0 , dann setzen wir x1 = x0 und Ist f (x) > m f¨ X1 = xˆ1 . Falls nicht, setzen wir x1 = x ˆ1 und X1 = X0 . Wenn wir diesen Vorgang wiederholen, erhalten wir eine konvergente Folge {xi } mit dem Grenzwert x ¯ und nach Konstruktion gilt f (¯ x) = m. Beachten Sie, dass [a, b] abgeschlossen sein muss, um zu garantieren, dass x ¯ ∈ [a, b]. Wir stellen fest, dass das Minimum (nat¨ urlich) mit der größten unteren Schranke u ¨ bereinstimmt. Wir fassen dies in folgendem Satz zusammen: Satz 60.3 (Existenz eines Minimums) Sei f : I → R Lipschitz-stetig und I = [a, b] ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall. Dann existiert ein Punkt x ¯ ∈ [a, b], in dem f : I → R einen Minimalwert m annimmt, ur alle x ∈ [a, b] und f (¯ x) = m. d.h., f (x) ≥ m f¨ Beim Beweis dieses Satzes haben wir den Bisektionsalgorithmus zweimal eingesetzt. Wenn wir y = f (x) setzen, können wir sagen, dass wir zun¨ achst den Bisektionsalgorithmus in der Variablen y benutzt haben, um die Existenz einer gr¨ oßten unteren Schranke m zu beweisen und danach in der Variablen x, um die Existenz eines Minumums x ¯ zu beweisen, f¨ ur das f (¯ x) = m gilt.

60.9 Existenz einer größten unteren Schranke Wenn wir uns den Beweis zur Existenz einer größten unteren Schranke f¨ ur die Lipschitz-stetige Funktion f : I → R vergegenwärtigen, erkennen wir, dass der entscheidende Schritt beim Beweis der ist, dass f : [a, b] → R von unten beschr¨ ankt ist, d.h., dass es eine reelle Zahl m gibt, so dass f (x) ≥ m f¨ ur alle x ∈ [a, b]. Wir k¨ onnen dies als Eigenschaft des Wertebereichs W (f ) = {y : y = f (x) f¨ ur ein x ∈ D(f ) = [a, b]} interpretieren, n¨ amlich dass y ≥ m, f¨ ur alle y ∈ W (f ). Dies besagt, dass die Menge W (f ) von unten beschränkt ist. Noch allgemeiner sagen wir, dass eine Menge A reeller Zahlen von unur ten beschr¨ ankt ist, wenn eine reelle Zahl m existiert, so dass y ≥ m f¨

60.10 Konstruierbarkeit eines Minimums und eines Minimalwerts

921

alle y ∈ A. Mit Hilfe derselben Argumentation, die wir eben f¨ ur den Fall A = W (f ) benutzt haben, erhalten wir die folgende zentrale Eigenschaft reeller Zahlen: Satz 60.4 (Existenz einer gr¨ oßten unteren Schranke) Angenommen, A sei eine Menge reeller Zahlen, die von unten beschränkt ist, d.h. es gibt eine reelle Zahl m, so dass x ≥ m f¨ ur x ∈ A. Dann besitzt die Menge ur alle x ∈ A und f¨ ur A eine größte untere Schranke m ∈ R mit x ≥ m f¨ alle M > m existiert ein x ∈ A, so dass x < M .

60.10 Konstruierbarkeit eines Minimums und eines Minimalwerts Wir wollen nun untersuchen, bis zu welchem Grad der obige Beweis konstruktiv ist. Es gibt zwei wichtige Schritte: (i) Die Konstruktion der größten unteren Schranke, die dem Minimalwert entspricht, und (ii) die Konstruktion eines Minimums. Bei der Anwendung des Bisektionsalgorithmuses in (i) m¨ ussen wir u ¨ berpr¨ ufen, ob ur alle x ∈ [a, b], f (x) ≥ yî f¨ w¨ ahrend wir bei der Anwendung in (ii) pr¨ ufen m¨ ussen, ob ur alle x, so dass x ˆ 1 < x ≤ X0 . f (x) > m f¨ ¨ Beide Uberpr¨ ufungen scheinen eine unendliche Zahl von x Werten zu betreffen, was im schlimmsten Fall unendlich viele Vergleiche benötigen w¨ urde. Diese Zahl kann verringert werden, wenn f (x) differenzierbar ist und wir die Informationen aus f (x) ausnutzen. So zeigt uns beispielsweise das Vorzeichen von f (x), ob f (x) ansteigend oder abfallend ist, wodurch wir die Zahl der Vergleiche verringern k¨ onnen. Daher ist der vorgestellte Beweis zur Existenz eines Minimalwerts und eines Minimums in Abh¨ angigkeit von den Eigenschaften der gegebenen Funktion f : I → R mehr oder weniger konstruktiv. L¨ asst sich der Beweis so ver¨ andern, dass wir die Minimierung stets praktisch durchf¨ uhren k¨ onnen? Wir nehmen an, dass dies möglich ist, wenn wir uns damit zufrieden geben, den Minimalwert bis auf eine Toleranz T OL > 0 genau zu bestimmen. Angenommen, die Funktion f (x) sei Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten L. Wir k¨ onnen dann die Vergleiche auf ein diskretes Gitter der Gitterweite L1 T OL zwischen benachbarten Punkten einschr¨ anken. Um zusammenzufassen, so k¨ onnen wir f¨ ur eine Lipschitz-stetige Funktion f : I → R auf einem abgeschlossenen I den Minimalwert bis auf eine Toleranz T OL mit einer endlichen Zahl von Operationen bestimmen.

922

60. Optimierung

Um ein inneres Minimum zu finden, m¨ ussen wir eine Nullstelle von f (x) bestimmen, wodurch sich die Konstruktion eines Minimums auf die Konstruktion einer Nullstelle von f (x) reduzieren lässt. Wir haben den Berechnungsaufwand f¨ ur die Bestimmung von Nullstellen bereits in den Kapiteln Fixpunkte“ und Newton-Methode“ untersucht. ” ”

60.11 Eine beschränkte abnehmende Folge konvergiert! Sei {xi } eine beschr¨ ankte abnehmende Folge, so dass x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ ur alle n mit einer Zahl m. Dann xn ≥ xn+1 ≥ . . . und es gelte xn ≥ m f¨ ist die Menge aller Zahlen xn von unten beschränkt und besitzt daher eine gr¨ oßte untere Schranke m. Wir wollen zeigen, dass limn→∞ xn = m. Aus der Definition der gr¨ oßten unteren Schranke folgt, dass f¨ ur alle > 0 ein ur n ≥ N und xn ≥ m, ¯ xN existiert, so dass m ≤ xN ≤ m+ . Da xn ≤ xN f¨ folgt, dass m ≤ xn ≤ m + f¨ ur alle n ≥ N , womit der Beweis abgeschlossen ist. Wir fassen dies in dem folgenden Satz zusammen, der ein Eckstein der Funktionalanalysis reeller Variablen ist. Satz 60.5 Sei {xi }∞ ankt i=1 eine abnehmende Folge, die von unten beschr¨ ist oder eine anwachsende Folge, die von oben beschränkt ist. Dann konvergiert {xi }∞ i=1 .

Aufgaben zu Kapitel 60 60.1. Bestimmen Sie Maximal- und Minimalwert der Funktion f (x1 , x2 ) = x21 + 2x22 − x1 auf dem Einheitskreis x21 + x22 ≤ 1. 60.2. Bestimmen Sie den Punkt in der Ebene 3x1 + 4x2 − x3 = 26, der dem Ursprung am n¨ achsten kommt. 60.3. Bestimmen Sie die Form einer Schachtel (mit Deckel), die bei vorgegebener Oberfl¨ ache das gr¨ oßte Volumen besitzt. 60.4. Bestimmen Sie Maximalwerte und Minimalwerte f¨ ur folgende Funktionen: ur (x1 , x2 ) ∈ R2 , (b) f (x1 , x2 ) = x1 x2 f¨ ur (a) f (x1 , x2 ) = (1 + x21 + x22 )−1 f¨ ur x21 + x22 + x23 ≤ 1. x21 + x22 ≤ 1, (c) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + x3 f¨ 60.5. Zeigen Sie, dass die Funktion x41 +x42 +x43 −4x1 x2 x3 in (x1 , x2 , x3 ) = (1, 1, 1) ein Minimum besitzt. 60.6. Bestimmen Sie das Dreieck mit der gr¨ oßten Fl¨ ache, das in einen vorgegeben Kreis eingebettet werden kann.


923

60.7. Bestimmen Sie den Punkt auf der Kurve x2 = x21 , der dem Punkt (0, 1) am n¨ achsten kommt. ur eine gegebene Funktion 60.8. Bestimmen Sie die Konstanten a0 und a1 , die f¨ f : [0, 1] → R das Integral 1 (f (x) − a0 − a1 x)2 dx 0

minimieren. 60.9. Bestimmen Sie den Maximalwert von x1 +x2 +· · ·+xn unter der Bedingung, dass x21 + x22 + . . . + x2n ≤ 1. 60.10. Ein station¨ arer Punkt einer Funktion f : Rn → R ist ein Punkt x ∈ Rn , aren Punkte der folgenden f¨ ur den f (x) = 0. Bestimmen Sie, welche der station¨ Funktionen ein Maximum oder ein Minimum ist: (a) f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 − x1 − x2 + x3 + 1, (b) f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + 2x23 + 4x1 − x2 + x3 + 5, (c) f (x1 , x2 , x3 ) = cos(x1 ) + cos(x2 ) + cos(x3 ).

61 Divergenz, Rotation und Laplace-Operator

. . . Stokes besaß einen sehr wichtigen pr¨ agenden Einfluss auf die folgenden Generationen von Cambridge-Studenten, unter ihnen auch Maxwell. Zusammen mit Green, der ihn auch beeinflusst hatte, folgte Stokes den Arbeiten der Franzosen, insbesondere Lagrange, Laplace, Fourier, Poisson und Cauchy. Dies wird in seinen theoretischen Untersuchungen zur Optik und Hydrodynamik deutlich; aber wir sollten nicht vergessen, dass Stokes sogar schon als Student unaufh¨ orlich experimentierte. Dennoch gingen seine Interessen und Untersuchungen u ¨ ber die Physik hinaus, da sein Wissen in Chemie und Botanik betr¨ achtlich war und seine Arbeiten in der Optik f¨ uhrten ihn oft auf diese Gebiete. (Parkinson) Ampère wurde 1809 zum Professor f¨ ur Mathematik an der Ecole Polytechnique ernannt und er hatte diese Stelle bis 1828 inne. Ampère und Cauchy teilten sich die Lehrveranstaltungen in Analysis und Mechanik, aber es herrschte ein betr¨ achtlicher Unterschied zwischen den beiden. Cauchy lehrte strikt analytisch, was zu großen mathematischen Fortschritten f¨ uhrte, aber von den Studierenden als extrem schwierig angesehen wurde, die daher Ampères eher herk¨ ommlichen Zugang zur Analysis und Mechanik bevorzugten. (O’Connor und Robertson)

61.1 Einleitung Wir haben oben gesehen, dass der Gradient einer Funktion mehrerer Variablen ein in der Praxis n¨ utzlicher Differentialoperator ist. In diesem Ka-

926

61. Divergenz, Rotation und Laplace-Operator

pitel werden wir noch weitere n¨ utzliche Operatoren einf¨ uhren, inklusive der Divergenz, der Rotation und dem Laplace-Operator, die zusammen mit dem Gradienten eine wichtige Rolle bei der mathematischen Modellierung in den Naturwissenschaften und den Ingenieurwissenschaften spielen. Wir werden diese Operatoren zun¨ achst in R2 und dann in R3 definieren und dabei feststellen, dass die Rotation in R2 und R3 etwas unterschiedliche Formen annimmt.

Abb. 61.1. Napoleon zu Laplace (1749–1827): Sie haben dieses gewaltige Buch ” u ¨ ber das System der Welt geschrieben, ohne den Autor des Universums zu nennen“. Laplace zu Napoleon: Sire, eine derartige Annahme war nicht n¨ otig“ ”

61.2 Betrachtung fu ¨r R2 Wir wiederholen, dass der Gradient einer Funktion u : R2 → R, den wir mit grad u oder ∇u bezeichnen, der vektorwertigen Funktion entspricht, die durch die partiellen Ableitungen erster Ordnung von u gebildet wird: ∂u ∂u , grad u = ∇u = . ∂x1 ∂x2 Die Divergenz einer Vektorfunktion u = (u1 , u2 ) : R2 → R2 , die div u oder ∇ · u bezeichnet wird, ist die folgendermaßen definierte skalare Funktion: div u = ∇ · u =

∂u2 ∂u1 + . ∂x1 ∂x2

61.3 Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten

927

Rein formal gilt ∇·u =

∂ ∂ , ∂x1 ∂x2

· (u1 , u2 ),

∂ wobei wir uns ( ∂x , ∂ ) als einen Vektor“ denken können und den Punkt 1 ∂x2 ” als Zeichen f¨ ur das Skalarprodukt“ auffassen. Diese Vorstellung kann f¨ ur ” alle Formeln unten verwendet werden, in denen ∇ mit dem Operator · kombiniert wird. Die Rotation einer Vektorfunktion u : R2 → R2 , die rot u oder ∇ × u bezeichnet wird, ist die skalare Funktion ∂ ∂u1 ∂ ∂u2 − = , rot u = ∇ × u = × (u1 , u2 ). ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2

Ist u : R2 → R eine skalare Funktion, dann wird rot u = ∇ × u als die Vektorfunktion ∂u ∂u ,− rot u = ∇ × u = ∂x2 ∂x1 definiert. Das unterschiedliche Aussehen von rot u = ∇ × u f¨ ur eine skalare Funktion u und eine Vektorfunktion u = (u1 , u2 ) wird unten beim ¨ Ubergang zu R3 analysiert. F¨ ur den Augenblick kann es hilfreich sein, sich das unterschiedliche Aussehen von a × b f¨ ur a, b ∈ R2 und a, b ∈ R3 ins Ged¨ achtnis zu rufen. Die folgenden Gleichungen f¨ ur jede beliebige Funktion u ergeben sich direkt aus den Definitionen: ∇ · (∇ × u) = div (rot u) = 0, ∇ × (∇u) = rot (grad u) = 0,

(u : R2 → R2 ) (u : R2 → R).

(61.1)

Schließlich ist der Laplace-Operator ∆u einer Funktion u : R2 → R definiert durch ∆u = ∇ · (∇u) = div (grad u) = mit

∂2u ∂x2i

=

∂ 2 u ∂ 2u + 2, ∂x21 ∂x2

∂ ∂u ∂xi ( ∂xi ).

61.3 Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten In Polarkoordinaten x = (x1 , x2 ) = (r cos(θ), r sin(θ)) mit r ≥ 0 und 0 ≤ θ < 2π nimmt der Laplace-Operator folgende Form an: 1 ∂ ∂u 1 ∂2u (61.2) ∆u = r + 2 2. r ∂r ∂r r ∂θ

928


Dies ergibt sich aus einer Routine-Rechnung mit Hilfe der Tatsache, dass die Jacobi-Matrix der Abbildung x = (r cos(θ), r sin(θ)) in der Schreibweise von (54.9) die Form d(x1 , x2 ) cos(θ) −r sin(θ) = sin(θ) r cos(θ) d(r, θ) annimmt, so dass also d(r, θ) = d(x1 , x2 )

cos(θ) − sin(θ)/r

sin(θ) cos(θ)/r

und folglich mit Hilfe der Kettenregel ∂ sin(θ) ∂ ∂ − = cos(θ) ∂x1 ∂r r ∂θ

und

∂ cos(θ) ∂ ∂ + . = sin(θ) ∂x2 ∂r r ∂θ

61.4 Einige wichtige Beispiele Die Funktion u : R2 → R2 mit u(x) = 12 (x1 , x2 ) erf¨ ullt ∇ · u(x) = 1. Die Funktion v : R2 → R2 mit v(x) = 12 (−x2 , x1 ) erf¨ ullt ∇ × v(x) = 1. Die Funktion w : R2 → R2 mit w(x) = 14 (x21 + x22 ) erf¨ ullt ∆w = 1. Wir haben diese wichtigen Beispiele in Abb. 61.2 dargestellt. Wir können erkennen, dass u(x) explodiert“, v(x) rotiert“, und w(x) bildet einen ” ” umgedrehten H¨ ocker“. ”

61.5 Der Laplace-Operator bei starren Koordinatentransformationen Aus der Formulierung des Laplace-Operators in Polarkoordinaten folgt, dass der Laplace-Operator unter Rotationen und Translationen in R2 , das sind sogenannte starre Koordinatentransformationen der Form x ˜1 = cos(α)x1 + sin(α)x2 + a1 , x ˜2 = − sin(α)x1 + cos(α)x2 + a2 ,

61.6 Betrachtung f¨ u r R3

929

Abb. 61.2. Wichtige Beispiele mit ∇ · u = 1, ∇ × v = 1 und ∆w = 1

invariant ist. Dabei sind (x1 , x2 ) die alten Koordinaten und (˜ x1 , x ˜2 ) die neuen. Anders formuliert, so nimmt der Laplace-Operator in den beiden Koordinatensystemen exakt dieselbe Gestalt an: ∂2u ∂2u ∂ 2u ∂ 2 u + = + 2. ∂x21 ∂x22 ∂x ˜21 ∂x ˜2 Diese Tatsache spiegelt sich in der Beobachtung wider, dass der LaplaceOperator u ¨ blicherweise in isotropen Modellen auftritt, die in allen Richtungen dieselben Eigenschaften besitzen.

61.6 Betrachtung fu ¨r R3 Der Gradient einer Funktion u : R3 → R, den wir grad u oder ∇u bezeichnen, ist die vektorwertige Funktion, die durch die partiellen Ableitungen erster Ordnung von u gebildet wird: ∂u ∂u ∂u , , grad u = ∇u = . ∂x1 ∂x2 ∂x3 F¨ ur eine Vektorfunktion u : R3 → R3 bezeichnet die Divergenz div u folgende skalare Funktion: 3 ∂ui div u = ∂xi i=1

930


und rot u die Vektorfunktion ∂u3 ∂u2 ∂u1 ∂u3 ∂u2 ∂u1 rot u = ∇ × u = − , − , − . ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 Wir wollen nun die Beziehung des Rotationsoperators ∇× in R3 zum uhrt haben, erklären. Rotationsoperator ∇× in R2 , den wir oben eingef¨ Dazu betrachten wir zun¨ achst eine Funktion u : R3 → R3 der Form u = (u1 , u2 , 0) mit von x3 unabh¨ angigem u1 und u2 , so dass also ui : R2 → R ur i = 1, 2. Es gilt dann mit ui = ui (x1 , x2 ) f¨ ∂u1 ∂u2 − = (0, 0, ∇ × (u1 , u2 )). ∇ × u = 0, 0, ∂x1 ∂x2 Als N¨ achstes gilt, wenn u : R3 → R3 die Form u = (0, 0, u3 ) besitzt mit von x3 unabh¨ angigem u3 , so dass also u3 : R2 → R, dass: ∂u3 ∂u3 ∇×u = ,− , 0 = (∇ × u3 , 0). ∂x2 ∂x1 Wir folgern, dass ∇ × u f¨ ur u : R2 → R und ∇ × u f¨ ur u : R2 → R2 , als 3 3 Spezialf¨ alle von ∇ × u f¨ ur u : R → R betrachtet werden können. Der Laplace-Operator ∆u einer Funktion u : R3 → R wird definiert durch: ∆u = ∇ · (∇u) = div (grad u) =

3 ∂2u i=1

∂x2i

.

Durch direkte Berechnungen erhalten wir die folgenden Gleichungen: ∇ · (∇ × u) = 0, ∇ × (∇u) = 0,

(61.3)

∇ × (∇ × u) = −∆u + ∇(∇ · u).

61.7 Weitere wichtige Beispiele F¨ ur die Funktion u : R3 → R3 mit u(x) = 13 x gilt: ∇ · u(x) = 1. F¨ ur die Funktion v : R3 → R3 mit v(x) = 12 (−x2 , x1 , 0) gilt: ∇ × v(x) = (0, 0, 1). F¨ ur die Funktion w : R3 → R mit w(x) = 16 x2 gilt: ∆w = 1. Wir haben zwei dieser wichtigen Beispiele in Abb. 61.3 dargestellt. Wir sehen wiederum, dass u(x) explodiert“ und v(x) parallel zur x3 -Achse ” rotiert“. Der H¨ ocker“ von w(x) ist graphisch schwer darstellbar. ” ”

61.8 Der Laplace-Operator in sph¨ arischen Koordinaten

1.5

1.5 1

0.5

0.5

x3

1

x3

931

0

0. 5

0

0. 5

1

1

1. 5 1.5

1. 5 1.5 1

1.5

0.5

1 0

1

x2

1 1. 5

1. 5

1 0

0.5 0

0. 5

0. 5

1

1.5

0.5

0.5 0

0. 5

x2

x1

0. 5

1

1 1. 5

1. 5

x1

Abb. 61.3. Wichtige Beispiele in R3 mit ∇ · u = 1, ∇ × v = 1

61.8 Der Laplace-Operator in sphärischen Koordinaten In den sphärischen Koordinaten x = (x1 , x2 , x3 ) = (r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ)), wobei r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π und 0 ≤ ϕ < π, nimmt der Laplace-Operator die folgende Form an: 1 ∂ ∂2u ∂ ∂u 1 ∂u 1 ∆u = 2 . (61.4) r2 + 2 sin(θ) + 2 2 r ∂r ∂r r sin(θ) ∂θ ∂θ r sin (θ) ∂ϕ2 Der Laplace-Operator ist gegen¨ uber orthogonalen Koordinatentransformationen in R3 invariant. Beispiel 61.1. Wir betrachten das Geschwindigkeitsfeld, das durch Rotation um einen Vektor ω ∈ R3 mit der Winkelgeschwindigkeit ω erzeugt wird, d.h. das Vektorfeld v(x) = ω × x. Wir berechnen ∇ × v(x) = ∇ × (ω2 x3 − ω3 x2 , ω3 x1 − ω1 x3 , ω1 x2 − ω2 x1 ) = (2ω1 , 2ω2 , 2ω3 ) = 2ω. Wir folgern, dass die Rotation ∇ × v(x) eines Geschwindigkeitfelds v(x), das durch Rotation um einen Vektor ω erzeugt wird, gleich 2ω ist. Daher der Name Rotation“ f¨ ur den Differentialoperator ∇×. ” Beispiel 61.2. Eine wichtige Formel der Elektromagnetik, die das Ampèresche Gesetz ausdr¨ uckt, besagt, dass das magnetische Feld H, das durch

932


1

0.5

x3

0

0. 5

1 1.5 1

1.5

0.5

1 0

0.5 0

0. 5

0. 5

1

1 1. 5

x2

1. 5

x

1

Abb. 61.4. Das magnetische Feld um einen Strom durch die x3 -Achse

einen durch die x3 -Achse in positiver Richtung fließenden elektrischen Einheitsstrom erzeugt wird, lautet: H(x) = H(x1 , x2 , x3 ) = Wir berechnen 1 ∇ × H(x) = 2π

1 (−x2 , x1 , 0) , 2π x21 + x22

f¨ ur x21 + x22 > 0.

(61.5)

∂ ∂ x1 −x2 = 0 f¨ ur x21 + x22 > 0. − 0, 0, ∂x1 x21 + x22 ∂x2 x21 + x22

Folglich ist ∇ × H(x) = 0 f¨ ur x21 + x22 > 0, was dem Ampèreschen Gesetz ∇×H = J entspricht, wobei J die Stromdichte ist. Folglich ist J(x) = 0 f¨ ur x21 + x22 > 0, d.h. außerhalb der x3 -Achse. Das Ampèresche Gesetz ist einer der Maxwellschen Gleichungen. Unten werden wir zeigen, wie die Gleichung ∇ × H(x) = J(x) f¨ ur x21 + x22 = 0 interpretiert werden kann und dabei den 1 Faktor 2π in (61.5) begr¨ unden.

Aufgaben zu Kapitel 61 61.1. Sei F = (5x1 − 3x1 x2 + x23 , sin(x1 ) cos(x1 ) + x1 , sin(x1 ) exp(x1 x2 )). Berechnen Sie f¨ ur x = (1, 2, 3) (a) ∇ · F , (b) ∇ × F , (c) ∇(∇ · F ), (d) ∇ × (∇ × F ). 61.2. Interpretieren Sie den Ausdruck (∇×∇)u auf vern¨ unftige Weise und zeigen Sie, dass (∇ × ∇)u = 0 f¨ ur alle u. Vergleichen Sie dies mit ∇ × (∇ × u). 61.3. Zeigen Sie, dass das Geschwindigkeitsfeld v(x) = ω × x f¨ ur einen gegebenen ullt. Interpretieren Sie das Ergebnis Vektor ω ∈ R3 die Gleichung ∇ · v(x) = 0 erf¨ aus str¨ omungsmechanischer Sicht.


933

61.4. Zeigen Sie, dass f¨ ur geeignete Funktionen u und v gilt: 1. ∇(uv) = (∇u)v + u(∇v), 2. ∇ · (uv) = (∇u) · v + u(∇ · v), 3. ∇ × (uv) = (∇u) × v + u(∇ × v), 4. ∇ · (u × v) = v · (∇ × u) − u · (∇ × v), 5. ∇ × (u × v) = (v · ∇)u − (∇ · u)v − (u · ∇)v + (∇ · v)u, 6. ∇(u · v) = (u · ∇)v + (v · ∇)u + u × (∇ × v) + v × (∇ × u). 61.5. Berechnen Sie ∇(r · F (r)) f¨ ur r = x . 61.6. Zeigen Sie direkt mit Hilfe der Kettenregel, dass der Laplace-Operator in R2 und R3 unter starren Koordinatentransformationen invariant ist. 61.7. Beweisen Sie (61.3), (61.2) und (61.4). 61.8. Zeigen Sie, dass f¨ ur u : R2 → R gilt: ∇ × (∇ × u) = rot (rot u) = −∆u. ur u(x) = c1 log( x ) + c2 mit 61.9. Zeigen Sie, dass die Funktion u : R2 → R f¨ ur x = 0 l¨ ost. Konstanten c1 und c2 die Laplace-Gleichung ∆u(x) = 0 in R2 f¨ 61.10. Beweisen Sie, dass die Funktion u : R3 → R f¨ ur u(x) = c1 x −1 + c2 mit ur x = 0 l¨ ost. Konstanten c1 und c2 die Laplace-Gleichung ∆u(x) = 0 in R3 f¨ 61.11. Zeigen Sie, dass die Divergenz unter starren Koordinatentransformationen invariant ist. Besitzt die Rotation dieselbe Eigenschaft? Alle Wirkungen der Natur sind nur mathematische Folgerungen einer kleinen Zahl von unver¨ anderlichen Gesetzen. (Laplace)

62 Meteorologie und Corioliskraft*

Jeder Lehrer, der sich vor eine Klasse stellt und behauptet, dass die Corioliskraft daf¨ ur verantwortlich ist, wie das Wasser in einem Abfluss oder einer Badewanne abfließt, sollte Frasers WWW-Seite (www.ems.psu.edu/∼fraser/Bad/BadCoriolis.html) nicht nur lesen, sondern gezwungen werden, sie 100mal an die Tafel zu schreiben. (Jack Williams, USA TODAY)

62.1 Einleitung Eine normale Wetterkarte zeigt Konturlinien des Luftdrucks p, die sogenannten Isobaren. Unsere Intuition sagt uns, dass der Wind aus Gebieten mit hohem Druck zu Gebieten mit geringem Druck bläst, d.h. entgegen dem Druckgradienten ∇p und orthogonal zu den Isobaren. Dies stellt sich jedoch als v¨ ollig falsch heraus. Stattdessen zirkuliert der Wind auf der Nordhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn um ein Zentrum mit niedrigem Druck und auf der S¨ udhalbkugel im Uhrzeigersinn. F¨ ur Hochdruckzentren gilt jeweils die entgegengesetzte Richtung. Somit bläst der Wind also entlang der Isobaren statt senkrecht zu den Isobaren. Dieser Sachverhalt ist bei Seglern wohl bekannt, da dadurch die Windrichtung einfach und genau vorhergesagt werden kann, wenn nur die Lage der Tiefdruckgebiete und der Hochdruckgebiete bekannt ist. Der Grund liegt darin, dass die Erde rotiert, wodurch eine Beschleunigungskraft entsteht, die Corioliskraft genannt wird. Dadurch wird der Wind auf der Nordhalbkugel nach rechts ¨ abgelenkt und nach links auf der S¨ udhalbkugel (vom Aquator weg). Als

936

62. Meteorologie und Corioliskraft*

Folge davon rotiert der Wind um Tiefdruckzentren entgegen dem Uhrzeigersinn auf der Nordhalbkugel, so wie es die Wetterkarte in jeder Zeitung angibt. Wir sp¨ uren die Corioliskraft bei einer Umdrehung, wenn wir versuchen, die Position in radialer Richtung zu verändern, wodurch wir eine (unerwartete) Kraft in tangentialer Richtung erfahren.

62.2 Ein grundlegendes meteorologisches Modell Wir wollen nun ein einfaches Modell f¨ ur die Bewegung der Atmosphäre herleiten, um vorherzusagen, dass sich der Wind um Tief- und Hochdruckzentren drehen sollte. Die Modellgleichung lautet ∇p = ρ2ω × v,

(62.1)

wobei p der Druck ist, v die Windgeschwindigkeit, ω ∈ R3 die Winkelgeschwindigkeit der Erde und ρ die Dichte der Atmosphäre. Die Coriolisbeschleunigung wird durch die Gr¨ oße 2ω × v angenähert und die Gleichung ∇p = ρ2ω × v bringt die Balance zwischen der durch den Druckunterschied verursachten Kraft ∇p und der Corioliskraft ρ2ω × v zum Ausdruck. Dabei steht ∇p f¨ ur den Druckgradienten in einer ebenen Erdoberfläche. Daher kann das Modell f¨ ur die Kappen“ im Norden und S¨ uden eingesetzt wer” den, etwa oberhalb oder unterhalb von 60 Grad geographischer Breite, wo die Oberfl¨ ache der Erde durch eine flache Scheibe angenähert werden kann, vgl. Abb. 62.1. Dadurch scheint die Welt“ des Seglers und des Windes eine ” große ebene Umdrehung zu sein. Wir erkennen, dass nach (62.1) der Gradient ∇p zur Windrichtung orthogonal ist. Kennen wir den Druck p, so k¨ onnen wir die Windrichtung und -geschwindigkeit aus (62.1) bestimmen. ω

ω

ω×v v

Abb. 62.1. Nordhalbkugel

62.3 Rotierende Koordinatensysteme und die Coriolisbeschleunigung

937

62.3 Rotierende Koordinatensysteme und die Coriolisbeschleunigung Um in der Corioliskraft den Ausdruck 2ω × v herzuleiten, m¨ ussen wir Koordinatentransformationen von einem festen Koordinatensystem in ein sich rotierendes Koordinatensystem untersuchen. Sei daher {e1 , e2 , e3 } ein festes e1 , e¯2 , e¯3 } orthonormales Referenzkoordinatensystem f¨ ur den R3 und sei {¯ ein anderes orthonormales Koordinatensystem mit demselben Ursprung, das um den fest vorgegebenen Vektor ω ∈ R3 mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Genauer gesagt, so gilt f¨ ur einen Punkt x mit den Referenzkoordinaten x(t) = x1 (t)e1 + x2 (t)e2 + x3 (t)e3 , der im rotierenden Koordinatensystem fest vorgegeben ist, in Anlehnung an Abb. 62.2: dx = ω × x, dt

(62.2)

dx da dx dt sowohl zu ω als auch x senkrecht ist und dt = ωx sin(θ), wobei θ ∈ [0, π] den Winkel zwischen ω und x bezeichnet. Insbesondere gilt f¨ ur die Basisvektoren des sich bewegenden Koordinatensystems:

d¯ ei = ω × e¯i , dt

i = 1, 2, 3.

(62.3)

ω dx x θ

Abb. 62.2. Ein Vektor x, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω bewegt

Nun wollen wir einen sich bewegenden Punkt betrachten, der im Referenzsystem die Koordinaten x(t) besitzt und im rotierenden System die Koordinaten x ¯(t), so dass also x(t) = x1 (t)e1 + x2 (t)e2 + x3 (t)e3 , x ¯(t) = x¯1 (t)¯ e1 (t) + x ¯2 (t)¯ e2 (t) + x ¯3 (t)¯ e3 (t). Nat¨ urlich gilt x(t) = x ¯(t). Insbesondere k¨ onnen wir nun nach den Koordinaten der Basisvektoren e¯i (t) im festen System {e1 , e2 , e3 } fragen. Nun

938

62. Meteorologie und Corioliskraft*

berechnen wir die Geschwindigkeit ten:

dx dt ,

indem wir x(t) = x ¯(t) nach t ablei-

dx d d¯ x1 d¯ e1 d¯ e2 d¯ e3 d¯ x2 d¯ x3 = x ¯(t) = e¯1 + e¯2 + e¯3 + x +x ¯2 + x¯3 ¯1 dt dt dt dt dt dt dt dt d¯ x1 d¯ x2 d¯ x3 e¯1 + e¯2 + e¯3 + x = ¯1 (ω × e¯1 ) + x ¯2 (ω × e¯2 ) + x ¯3 (ω × e¯3 ). dt dt dt Hierbei haben wir noch (62.3) benutzt. Wir können diesen Ausdruck in der Form ¯x dx d¯ = +ω×x (62.4) dt dt schreiben, wenn wir uns darauf einigen, ¯x d¯ d¯ x1 d¯ x2 d¯ x3 = e¯1 + e¯2 + e¯3 dt dt dt dt zu schreiben. Die Geschwindigkeit des Punktes x(t) = x¯(t) im festen Re¯x d¯ ferenzsystem ist nun dx dt , wohingegen dt die Geschwindigkeit des Punktes d¯ x¯i (t). Insgegen¨ uber dem rotierenden Systems ist, mit den Ableitungen dt besondere erhalten wir f¨ ur einen im rotierenden System festen Punkt mit ¯x d¯ dt = 0 wieder die Gleichungen (62.2) und (62.3). Nun suchen wir entsprechende Formeln f¨ ur die Beschleunigungen. Dazu leiten wir noch einmal nach t ab und erhalten mit Hilfe von (62.4) nach ¯x Ersetzen von x durch d¯ dt : d2 x d = dt2 dt

¯ ¯ d d¯ d¯ x x dx +ω×x = +ω× dt dt dt dt

¯ ¯ ¯x d¯ x d¯ d¯ x d¯ +ω× +ω×x . = +ω× dt dt dt dt Wir k¨ onnen dies auch in der Form ¯x ¯ d2 x d¯2 x d¯ +ω× ω×x (62.5) = + 2ω × dt2 dt2 dt schreiben. Hierbei steht ω × ω × x f¨ ur die zentripetale Beschleunigung 2 ¯x d¯ und 2ω × dt f¨ ur die Coriolisbeschleunigung. ddt2x ist die Beschleunigung ¯2 gegen¨ uber dem Referenzsystem und ddt2x¯ die Beschleunigung gegen¨ uber dem rotierenden System. Nach dem Newtonschen Gesetz f = ma hängt die Beschleunigung direkt mit einer Kraft zusammen, weswegen sowohl die zentripetale wie auch die Coriolisbeschleunigung im Referenzsystem als Kräfte auftreten. Beide Kr¨ afte haben nach wie vor einen etwas mysteriösen Charakter; während wir


939

im t¨ aglichen Leben mit der zentripetalen Beschleunigung vertraut sind, ruft die Corioliskraft bei den meisten von uns Erstaunen hervor. Ist die Drehgeschwindigkeit ω verh¨ altnismäßig gering, dann können wir die zentripetale Beschleunigung vernachlässigen und erhalten: ¯x ¯ d¯2 x d¯ d2 x , ≈ + 2ω × 2 2 dt dt dt

(62.6)

womit wir wieder beim Modell (62.1) angelangen. Beachten Sie, dass wir dabei das rotierende Koordinatensystem in unserer Welt“ betrachten und ” ¯x dass somit d¯ ur uns relevante Geschwindigkeit ist. dt die f¨

Aufgaben zu Kapitel 62 62.1. Begr¨ unden Sie (62.1) und (62.6). 62.2. Untersuchen Sie die Isobaren auf einer Wetterkarte und berechnen Sie die Windrichtung aus (62.1) und vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Windrichtung auf der Karte. ¨ 62.3. Untersuchen Sie die Wirkung der Coriolisbeschleunigung am Aquator. 62.4. Zeigen Sie, dass die zentripetale Beschleunigung eines K¨ orpers, der sich auf 2 agt. einem Kreis mit Radius r mit der Geschwindigkeit v bewegt, vr betr¨ 62.5. Dem Golfstrom verdanken wir, dass Skandinavien nicht wie Alaska tiefgefroren ist. Erkl¨ aren Sie, warum der Golfstrom von Nordamerika nach Nordeuropa gebogen ist. 62.6. Stellen Sie sich ein Auto vor, das auf einem bestimmten Breitengrad von Osten nach Westen f¨ ahrt. Bei welcher Geschwindigkeit ist die Corioliskraft auf den Wagen gleich groß zur Zentripetalkraft? Bestimmen Sie diese Geschwindigkeit als Funktion vom Breitengrad und finden Sie heraus, in welchen Breitengraden das Minimum und das Maximum angenommen wird. 62.7. Ein Wassereimer drehe sich um sein Zentrum mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Welche Form besitzt die Wasseroberfl¨ ache? 62.8. Ein Pendel der L¨ ange l schwinge hin und her mit einer Periode von t = l/g, wobei g die Erdbeschleunigung ist. Berechnen Sie die auf das Pendel im ¨ Breitengrad θ einwirkende Corioliskraft (d.h. im Winkel θ vom Aquator aus). Die Corioliskraft bewirkt, dass sich die Ebene, in der das Pendel schwingt, dreht, d.h., wenn das Pendel zu Beginn in Nord-S¨ ud-Richtung schwingt, so schwingt es sp¨ ater in West-Ost-Richtung. Bestimmen Sie die Zeit T als Funktion des Breitengrads, nachdem das Pendel wieder in dieselbe Richtung wie zu Anfang schwingt.

63 Kurvenintegrale

Wir k¨ onnen kaum glauben, dass Ampère tats¨ achlich das Wirkungsgesetz mit den Experimenten, die er beschreibt, entdeckt hat. Stattdessen m¨ ussen wir vermuten, wie er auch selbst zugibt, dass er das Gesetz auf eine andere Weise entdeckte, die er uns verheimlicht und dass er, nachdem er im Nachhinein eine perfekte Demonstration aufgebaut hat, alle Spuren des Ger¨ ustes entfernte, mit dem er sie konstruiert hat. (Maxwell u ¨ ber Ampères Memoir on the Mathematical ” Theory of Electrodynamic Phenomena, Uniquely Deduced from Experience“)

63.1 Einleitung In diesem Kapitel werden wir den Begriff des Integrals ¨ uber eine Kurve oder einfacher das Kurvenintegral einf¨ uhren und damit einige Anwendungen wie die Bogenlänge, die Arbeit und das Linienintegral einf¨ uhren. Wir beginnen mit ebenen Kurven, die durch Funktionen s : I → R2 parametrisiert werden, wobei I = [a, b] ein Intervall auf der reellen Zahlengeraden R ist. Danach werden wir auf Kurven in Rn verallgemeinern, die durch Funktionen s : I → Rn mit n ≥ 2 parametrisiert werden.

63.2 Die Länge einer Kurve in R2 Sei Γ eine Kurve in R2 , die durch die Funktion s : I → R2 beschrieben wird, wobei I = [a, b] ein Intervall in R ist, d.h., Γ = {s(t) ∈ R2 : t ∈ I}

942

63. Kurvenintegrale x2 |Γi | = |s (ti−1 )| hn Γi s (ti−1 ) Ii a

t

s(b)

s(t)

ti−1 ti

b

t

s(a)

x1 Abb. 63.1. Die Gesamtl¨ ange einer Kurve entspricht der Summe der L¨ angen kleiner Teile der Kurve

oder Γ = s(I), vgl. Abb. 63.1. Wir wollen nun versuchen, die Länge von Γ zu bestimmen. Wir werden sehen, dass wir dadurch zu Integralen u ¨ ber einer Kurve oder einfacher zu Kurvenintegralen gef¨ uhrt werden. Um die L¨ ange einer Kurve zu bestimmen, stellen wir uns die Kurve Γ als aus kleinen St¨ ucken zusammengesetzt vor. Sind die kleinen St¨ ucke gen¨ ugend klein, k¨ onnen wir sie ohne Probleme durch gerade Strecken approximieren und die L¨ ange von geraden Teilen einer Kurve kann einfach berechnet werden. Die Gesamtl¨ ange von Γ erhalten wir dann durch Summation der L¨ angen aller kleinen Teilst¨ ucke, die Γ bilden. Wir werden sehen, dass das Integral zu diesem Zweck n¨ utzlich sein wird. Sei a = t0 < t1 < . . . < tn = b eine Unterteilung von I in Teilintervalle Ii = (ti−1 , ti ]. Wir betrachten die folgende lineare Näherung der Abbildung s(t), die auf das Teilintervall Ii beschr¨ ankt ist, vgl. Abb. 63.1: s¯(t) = s(ti−1 ) + (t − ti−1 )s (ti−1 ). uck Γi der Länge Die Abbildung s¯ bildet Ii auf das Streckenst¨ s (ti−1 )(ti − ti−1 ) ab. Dies f¨ uhrt uns ganz nat¨ urlich auf Ln (Γ) =

n

s (ti−1 )(ti − ti−1 )

i=1

als N¨ aherung f¨ ur die L¨ ange von Γ. Wenn wir annehmen, dass s (t) auf I Lipschitz-stetig ist und dass maxi (ti − ti−1 ) gegen Null geht, wenn n gegen Unendlich strebt, k¨ onnen wir mit Hilfe der u ¨ blichen Argumente zeigen, eine Cauchy-Folge gebildet wird, die folglich gegen dass durch {Ln (Γ)}∞ n=1 einen Grenzwert konvergiert, den wir mit L(Γ) bezeichnen. Wir definieren diesen Grenzwert als die Länge von Γ: (63.1) L(Γ) = s (t) dt. I

63.3 Kurvenintegrale

943

In dieser Gleichung formulieren wir die L¨ ange einer Kurve Γ = s(I) als ein Integral u ¨ ber das Gebiet I, wobei der Betrag s (t) der Ableitung der zugeh¨ origen Funktion s : I → R2 als Gewicht auftritt. Rein formal gilt ds = s (t)dt, wobei ds f¨ ur das Anwachsen der Länge der Kurve in Verbindung mit einem Anwachsen von dt des Parameters t steht; die Funktion anderung“ zwischen den Elementen der s (t) liefert die lokale Einheits¨ ” ” Kurvenl¨ ange“ ds und den Parameterelementen“ dt, vgl. Abb. 63.1. Dies ” f¨ uhrt uns zur Schreibweise ds = s (t) dt, L(Γ) = Γ

I

auf die wir im n¨ achsten Abschnitt zur¨ uckkommen. Beispiel 63.1. Wir berechnen die L¨ ange des Umfangs Γ eines Kreises mit Radius 1, dessen Zentrum im Ursprung liegt. Die Kurve wird durch die Funktion s : [0, 2π) → R2 mit s(t) = (cos(t), sin(t)) f¨ ur 0 ≤ t < 2π gegeben. Es gilt s (t) = (− sin(t), cos(t)) und s (t) = 1 und folglich 2π 2π L(Γ) = s (t) dt = dt = 2π. 0

0

Wir folgern, dass der Umfang eines Kreises mit Radius 1 gleich 2π ist ¨ (keine große Uberraschung). Wir u ufen das Ergebnis anhand einer ¨ berpr¨ anderen Parametrisierung. Der obere Halbkreis Γ+ von Γ kann in der Form √ s : [−1, 1] → R2 mit s(t) = (t, 1 − t2 ) f¨ ur −1 ≤ t ≤ 1 parametrisiert werden. Dies f¨ uhrt uns zu t 1 , s (t) = √ s (t) = 1, − √ 2 1−t 1 − t2 und wir erhalten folglich L(Γ) = 2L(Γ+ ) 1 " π " π ## !1 1 √ − − = 2π. dt = 2 arcsin(t) −1 = 2 = 2 2 1 − t2 −1

63.3 Kurvenintegrale Sei Γ = s(I) eine Kurve in R2 , die durch die Funktion s : I → R2 gegeben ist. Dabei ist I = [a, b] ein Intervall in R. Sei ferner u : Γ → R eine auf Γ definierte Funktion. Wir setzen voraus, dass sowohl die Tangente s : I → R2 als auch die Funktion u : Γ → R Lipschitz-stetig sind, wodurch garantiert wird, dass s (t) und u(s(t)) auf I Lipschitz-stetig sind. Wir definieren das Integral von u ¨ uber Γ durch b u ds = u(x) ds(x) = u(s(t))s (t) dt. Γ

Γ

a

944

63. Kurvenintegrale

Rein formal gilt ds = ds(x) = s (t) dt mit x = s(t). Beispiel 63.2. Sei Γ ein Intervall [a, b] auf der x1 -Achse, das durch s(t) = (t, 0) f¨ ur a ≤ t ≤ b gegeben ist. Dann gilt s (t) = (1, 0), s (t) = 1 und

u ds = Γ

b

u(x1 , 0) dx1 = a

b

u(t, 0) dt. a

Beispiel 63.3. Sei Γ = s(I) ein Halbkreis mit s(t) = (cos(t), sin(t)), f¨ ur 0 ≤ t ≤ π und u(x) = u(x1 , x2 ) = x21 . Mit Hilfe von s (t) = 1 erhalten wir π 1 π π u ds = cos2 (t) dt = (1 − cos(2t)) dt = . 2 2 Γ 0 0

63.4 Reparametrisierung Eine wichtige Beobachtung, die wir bereits oben in Beispielen gesehen haben, ist, dass der Wert des Kurvenintegrals von der Parametrisierung der Kurve unabh¨ angig ist. Um dies im Allgemeinen zu zeigen, gehen wir von zwei verschiedenen Parametrisierungen s : [a, b] → Γ und σ : [c, d] → Γ einer Kurve Γ in R aus. Wir verkn¨ upfen mit jedem τ ∈ [c, d] einen eindeutigen Wert t ∈ [a, b], so dass s(t) = σ(τ ), wodurch t = t(τ ) als Funktion von τ definiert wird (unter der Annahme, dass die Kurve sich nicht kreuzt). Somit ist also σ(τ ) = s(t(τ )), vgl. Abb. 63.2.

a

t c

t

b τ

d

Γ s(t) σ(τ )

τ

Abb. 63.2. Reparametrisierung einer Kurve

Wir nutzen nun die Formel mit der ver¨ anderten Integrationsvariablen und beachten, dass nach der Kettenregel σ (τ ) =

ds dt dσ dt = = s (t) dτ dt dτ dτ

63.5 Arbeit und Linienintegrale

gilt. Daraus erhalten wir mit der Voraussetzung, dass

b

u(s(t))s (t) dt =

a

d

dt dτ

u(s(t(τ )))s (t(τ ))

c

=

d

945

≥ 0: dt dτ dτ

u(σ(τ ))σ (τ ) dτ.

c

Dadurch haben wir gezeigt, dass das Kurvenintegral u ds = u dσ Γ

Γ

von der Parametrisierung s : [a, b] → Γ oder σ : [c, d] → Γ von Γ unabhängig ist. Beispiel 63.4. Wir √ reparametrisieren den Halbkreis Γ aus Beispiel 63.3 durch s(t) = (t, 1 − t2 ) mit −1 ≤ t ≤ 1 und erhalten mit u(x) = x21 mit Hilfe von partieller Integration: 1 1 !1 t u ds = t√ dt = −t 1 − t2 −1 + 1 − t2 dt 1 − t2 −1 −1 Γ π 0 π 1 − cos2 (θ)(− sin(θ)) dθ = sin2 (θ) dθ = . = 2 −π 0

63.5 Arbeit und Linienintegrale Sei F : R2 → R2 eine Vektorfunktion, die eine variable Kraft oder ein Kraftfeld repr¨ asentiert und sei Γ eine Kurve in R2 , die durch s : [a, b] → R2 gegeben ist und in A = s(a) beginnt und in B = s(b) endet. Wir stellen uns nun ein Teilchen vor, auf das die Kraft F einwirkt, während es sich entlang Γ von A nach B bewegt, vgl. Abb. 63.3. Die Projektion Fs (s(t)) der Kraft F (s(t)) auf die Richtung s (t) der Tangente an s(t) lautet: Fs (s(t)) = F (s(t)) · s (t)

1 . s (t)

(63.2)

Mit der Vorstellung, dass die Arbeit gleich ist mit der Strecke × der ” Projektion der Kraft auf die Richtung der Strecke“, ergibt sich die Arbeit, die durch die Kraft F (s(t)) aufgebracht wird, um ein Teilchen von s(ti−1 ) nach s(ti ) zu bewegen, durch 1 s(ti ) − s(ti−1 ) s (ti ) 1 ≈ F (s(ti )) · s (ti ) s (ti )(ti − ti−1 ) = F (s(ti )) · s (t)(ti − ti−1 ). s (ti )

F (s(ti )) · s (ti )

946

63. Kurvenintegrale s (t) Fs (s(t))

Γ B

s(t) A

F (s(t))

Abb. 63.3. Kraftfeld F , Kurve Γ und Projektion von F auf s (t)

Sei a = t0 < . . . < ti−1 < ti < . . . < tn = b wie oben eine anwachsende Folge diskreter Zeiten, wobei wir uns vorstellen, dass die Zeitschritte ti − ti−1 gegen Null streben. Dies f¨ uhrt uns zur Definition der Gesamtarbeit W (F, Γ) f¨ ur die Bewegung des Teilchens von A = s(a) nach B = s(b) entlang Γ:

b

F (s(t)) · s (t) dt.

W (F, Γ) = a

Indem wir ds = s (t) dt setzen, k¨ onnen wir

b

F · ds = Γ

F (t) · s (t) dt

a

schreiben, was wir als Linienintegral bezeichnen. Um zusammenzufassen, so haben wir b F · ds = F (t) · s (t) dt W (F, Γ) = a Γ (63.3) b (F1 (t)s1 (t) + F2 (t)s2 (t)) dt.

= a

Alternativ k¨ onnen wir auch Fs ds = W (F, Γ) = Γ

a

b

Fs s (t) dt =

F · ds

(63.4)

Γ

schreiben, wobei Fs gem¨ aß (63.2) die Projektion von F auf s (t) ist. Beispiel 63.5. Wenn wir annehmen, dass F (x) = (x2 , −x1 ) und Γ durch s(t) = (cos(t), sin(t)) f¨ ur 0 ≤ t < 2π gegeben ist, erhalten wir:

F · ds =

W (F, Γ) =

(sin(t), − cos(t)) · (− sin(t), cos(t)) dt 0

Γ

2π

2π

dt = −2π.

=− 0

63.6 Arbeit und Gradientenfelder

947

63.6 Arbeit und Gradientenfelder Es gibt einen wichtigen Spezialfall. Ist F = ∇ϕ, d.h., das Kraftfeld F entspricht dem Gradientenfeld eines Potentials, dann ergibt sich mit der Kettenregel

F · ds =

W (F, Γ) =

Γ b

= a

b

∇ϕ(s(t)) · s (t) dt

a

d ϕ(s(t)) dt = ϕ(B) − ϕ(A). dt

Entspricht das Kraftfeld F dem Gradientenfeld F = ∇ϕ eines Potentials ϕ(x), dann ist die Arbeit, um ein Teilchen entlang der Kurve Γ von A nach B mit der Kraft F zu bewegen, gleich der Potentialdifferenz ϕ(B) − ϕ(A) zwischen dem Potential im Endpunkt B und dem Anfangspunkt A. Anders ausgedr¨ uckt, so ist die Arbeit unabh¨ angig von der Kurve zwischen A und B. Insbesondere ist die Arbeit Null, wenn die Kurve geschlossen ist, so dass B = s(b) = s(a) = A ist. Unten werden wir die Frage untersuchen, unter welchen Bedingungen eine gegebene Kraft F (x) dem Gradienten eines Potentials entspricht, so dass also F (x) = ∇ϕ(x) mit einer skalaren Funktion ϕ(x). Beispiel 63.6. Als eine wichtige Anwendung betrachten wir die anziehende Gravitationskraft F (x) = ∇ϕ(x) mit dem Newtonschen Potential ϕ(x) = 1/x, entsprechend einer Einheitsmasse im Ursprung, d.h., F (x) = −

x 1 , 2 x x

wobei die Gravitationskonstante auf Eins normiert ist. Wir erkennen, dass F (x) zum Ursprung hin gerichtet ist und zum inversen Abstandsquadrat proportional ist: F (x) = x−2 . Es gilt W (F, Γ) =

1 1 − B A

f¨ ur die Arbeit, um eine Einheitsmasse im Gravitationsfeld vom Abstand A zum Abstand B relativ zum Ursprung zu bewegen. Insbesondere ist bei A = ∞ die Arbeit W (F, Γ) = 1/B. Liegt ein anziehendes Gravitationsfeld mit Einheitsst¨ arke im Ursprung vor, so folgern wir, dass die Arbeit, die n¨ otig ist, um ein Teilchen mit Einheitsmasse aus einem Abstand r auf einen unendlichen Abstand anzuheben“, gleich 1/r ist. ”

948

63. Kurvenintegrale

63.7 Die Bogenlänge als Parameter Bedenken Sie, dass f¨ ur u(x) = 1 f¨ ur alle x ∈ Γ gilt, dass

ds =

1 ds =

Γ

b

u(x) ds(x) =

Γ

Γ

s (t) dt

a

die L¨ ange der Kurve Γ = s(I) mit I = [a, b] wiedergibt. Insbesondere ist σ(t¯) =

t¯

s (t) dt

a

die Bogenlänge der Teilkurve von s(a) nach s(t¯). Aus dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung folgt, dass σ (t¯) = s (t¯).

(63.5)

Wir k¨ onnen nun die Bogenl¨ ange σ = σ(t) anstelle von t als Parameter w¨ ahlen, da es f¨ ur jedes t eine eindeutige Bogenlänge σ(t) gibt und umgekehrt. Dadurch erhalten wir eine Reparametrisierung von s(t) = s¯(σ) mit ¯ s (σ) =

s (t) ds dt 1 | | = s (t) = = 1. dt dσ |σ (t)| s (t)

Wir folgern, dass s (σ) = 1 und, vgl. Abb. 63.4, L(Γ) =

L(Γ)

ds = Γ

dσ, 0

falls die Bogenlänge σ benutzt wird, um die Kurve s : I → R2 zu parametrisieren. x2 s(0)

s( )

x1

Abb. 63.4. Eine durch die Bogenl¨ ange σ parametrisierte Kurve Γ

63.8 Die Kr¨ ummung einer ebenen Kurve

949

63.8 Die Kru ¨mmung einer ebenen Kurve Die Kr¨ ummung einer Kurve s : [a, b] → R2 ist ein Maß daf¨ ur, wie schnell sich die Kurve beugt, wenn wir uns auf ihr bewegen. Sie wird durch dθ dσ definiert, wobei θ der Polarwinkel des Tangentenvektors s = (s1 , s2 ) ist, −1 der durch θ(t) = tan s2 /s1 definiert ist; σ ist die Bogenlänge. Im Falle einer Geraden ist der Polarwinkel θ(t) konstant und die Kr¨ ummung ist Null, vgl. Abb. 63.5. κ=

Abb. 63.5. Der Polarwinkel θ des Tangentialvektors einer Geraden ist konstant, wie links zu sehen ist. Der Tangentialvektor einer gebogenen Kurve, wie im Beispiel rechts, besitzt in jedem Punkt einen unterschiedlichen Polarwinkel

Die Bogenl¨ ange σ(t) erf¨ ullt, wenn wir uns an (63.5) erinnern, dt = |s |−1 . Mit der Kettenregel erhalten wir und somit ist dσ κ(t) =

dσ dt

= |s |

θ (t) dθ dt = . dt dσ s (t)

Die Berechnung von θ (t) liefert s (t)s (t) − s1 (t)s2 (t) κ(t) = 1 2 3/2 . s1 (t)2 + s2 (t)2 Besitzt f : R → R eine stetige zweite Ableitung und wird die Kurve durch ummung im s(x1 ) = (x1 , f (x1 )) parametrisiert, so wird insbesondere die Kr¨ Punkt (x1 , f (x1 )) durch folgende Gleichung gegeben: f (x1 ) κ(x1 ) = 3/2 . 1 + (f (x1 ))2 Wir definieren den Kr¨ ummungskreis im Punkt P = s(t) einer Kurve s : [a, b] → R2 , als den Kreis mit Radius |κ|−1 (t) (vorausgesetzt, dass κ = 0), der in P dieselbe Tangente besitzt wie Γ und auf der linken Seite von S liegt, wenn κ > 0 und auf der rechten Seite, falls κ < 0, vgl. Abb. 63.6. Der Kr¨ ummungsradius in P betr¨ agt |κ|−1 (t).

950

63. Kurvenintegrale

s s'

| |-1 P

Abb. 63.6. Der Kr¨ ummungskreis von Γ in P

63.9 Erweiterung auf Kurven in Rn Die Definitionen von Kurvenintegralen und Linienintegralen lassen sich direkt auf Kurven in Rn , die durch s : [a, b] → Rn mit n ≥ 2 beschrieben werden, erweitern. Beispiel 63.7. Wir betrachten die kreisf¨ ormige Helix Γ in R3 , die durch s(t) = (cos(t), sin(t), t) gegeben ist, mit√0 ≤ t ≤ 20π und u(x) = x23 . Da s (t) = (− sin(t), cos(t), 1), ist s (t) = 2 und es gilt

20π

u ds = Γ

t 0

2

√

√ 2 (20π)3 . 2 dt = 3

Aufgaben zu Kapitel 63 63.1. Berechnen Sie die L¨ ange von (a) einer h¨ angenden Kette, die durch s(t) = (t, cosh (t)) mit −1 ≤ t ≤ 1 beschrieben wird, (b) einer kreisf¨ ormigen Helix s(t) = (cos(t), sin(t), t) mit 0 ≤ t ≤ 4π, (c) des Zykloids s(t) = (t − sin(t), 1 − cos(t)) mit 0 ≤ t ≤ 2π, (d) der semi-kubischen Parabel s(t) = (t3 , t2 ) mit 0 ≤ t ≤ 2, (e) des Hyperzykloids mit vier Zacken s(t) = (cos3 (t), sin3 (t)). 63.2. Sei Γ die kreisf¨ ormige Helix s(t) = ur t ∈ [0, 2π). Berech (cos(t), sin(t), t) f¨ ur (a) u(x) = 1, (b) u(x) = x3 , nen Sie den Wert des Kurvenintegrals Γ u ds f¨ (c) u(x) = x1 x2 x3 . 63.3. Berechnen Sie das Kurvenintegral Γ x1 x2 ds, wenn (a) Γ einen Teil des Einheitskreises in der x1 x2 -Ebene von (1, 0, 0) nach (0, 1, 0) beschreibt, (b) Γ einen Teil des Einheitsquadrats in der x1 x2 -Ebene von (1, 0, 0) nach (0, 1, 0) beschreibt und (c) Γ der k¨ urzester Weg von (1, 0, 0) nach (0, 1, 0) ist.


951

63.4. (a) Berechnen Sie das Linienintegral Γ F · ds, wobei Γ der Einheitskreis in der x1 x2 -Ebene ist. (b) Setzen Sie andere geschlossene Kurven Γ an und berechnen Sie das Integral. 63.5. Berechnen Sie das Linienintegral Γ F · ds, wobei Γ der Einheitskreis in (−x2 ,x1 ) 1 ,x2 ) . H¨ angt das der x1 x2 -Ebene ist und (a) F (x) = (x|x| 2 , (b) F (x) = |x|2 Ergebnis davon ab, ob Sie mit oder gegen den Uhrzeigersinn um den Einheitskreis integrieren? 63.6. Ein Teilchen wird gegen den Uhrzeigersinn um das Quadrat 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1, x3 = 0 unter der Einwirkung eines Kraftfelds f (x) = ((x1 − x2 )2 , 2x2 + x21 , x1 ) bewegt. Berechnen Sie die verrichtete Arbeit. ur Γ als (a) 63.7. Sei f (x) = (2x1 + x2 , 3x1 − 2x2 ). Berechnen Sie Γ f · ds f¨ die Gerade von (0, 0) nach (1, 1), (b) die Parabel x2 = x21 von (0, 0) nach (1, 1), (c) die Kurve x2 = sin(πx1 /2) von (0, 0) nach (1, 1), (d) die Kurve x2 = xn 1 mit n > 0 von (0, 0) nach (1, 1). 63.8. Berechnen Sie das Integral von u = x1 x2 u ¨ ber den Rand des Einheitsquadrats [0, 1] × [0, 1]. 63.9. Bestimmen Sie den Kr¨ ummungskreis von x2 = x21 in x1 = 0. 63.10. Bestimmen Sie die Kr¨ ummung der ebenen Kurve R cos(θ), R sin(θ) , wobei R konstant ist. Folgern Sie daraus, dass die Kr¨ ummung eines Kreises vom agt. Radius R stets R−1 betr¨ 63.11. Beweisen Sie die zwei Formeln f¨ ur die Kr¨ ummung. 63.12. Berechnen Sie die Kr¨ ummung der Kurven (a) (x1 , x21 ), (b) (x1 , x31 ). Diskutieren Sie das Geschehen im Beugungspunkt. 63.13. Betrachten Sie eine h¨ angende Kette, die durch die Funktion y(x) mit −1 ≤ x ≤ 1 und y(−1) = y(1) gegeben ist. Sei f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 in x der Betrag der Kettenkraft gleich T (x) und sei s(x) die L¨ ange der Kette von 0 nach x. Leiten Sie die vertikale Gleichgewichtsgleichung 1 1 + (y (x))2 dx, y (x) = cs(x) = c 0

mit der Konstanten c her. Zeigen Sie, dass diese Gleichung mit y (x) = sinh( xc ) erf¨ ullt ist und folgern Sie, dass y(x) = c cosh( xc ). 63.14. Bestimmen Sie die Richtung der Tangente im Punkt (1, 1, 1) des Kurvenausschnitts auf der Fl¨ ache x21 + x21 x2 + x22 x3 + x23 = 0. Hinweis: Nutzen Sie implizite Ableitung. 63.15. Zeigen Sie, dass, wenn eine ebene Kurve Γ in Polarkoordinaten (ρ(θ), θ) dargestellt wird, wobei ρ(θ) eine Funktion von θ ist und a ≤ θ ≤ b, dass dann ds2 = ρ2 dθ2 + dρ2 gilt und somit b (ρ2 + (ρ )2 )1/2 dθ. L(Γ) = a

Berechnen Sie die L¨ ange des Kardoids ρ = (1 − cos(θ)) mit 0 ≤ θ ≤ 2π.

952

63. Kurvenintegrale

63.16. Berechnen Sie die L¨ ange eines Fadens, der auf einen kreisf¨ ormigen Kegel mit gleichf¨ ormiger Neigung gewickelt ist.

64 Doppelintegrale

Um dies mit seinen Sinnen zu verstehen, braucht ein Mann nicht notwendigerweise ein Geometriker oder Logiker zu sein, sondern er sollte verr¨ uckt sein. [ Dies“ bezieht sich darauf, dass das Volumen, ” das durch Drehung des Bereichs unterhalb von 1/x entsteht, beginnend bei 1 und endend bei Unendlich, ein endliches Volumen ist.] (Hobbes 1588–1679) Er war 40 Jahre alt, als er sich der Geometrie zuwandte; was rein zuf¨ allig war. In einer Bibliothek lag 47 El. Buch I“ von Euklids ” Elementen offen [der Satz von Pythagoras]. Er las die Behauptung. Bei Gott“, sagte er, das ist unm¨ oglich“. Also las er den Beweis, ” ” der ihn zu einer anderen Behauptung f¨ uhrte, deren Beweis er las. Die f¨ uhrte ihn zu einer weiteren Behauptung, die er auch las. Et sic deinceps, dass er schließlich v¨ ollig von der Wahrheit der Behauptung ¨ u ¨ berzeugt war. Damit hatte er sich in die Geometrie verliebt. (Uber Thomas Hobbes von John Aubrey 1626–1697)

64.1 Einleitung Wir haben das Integral

1

f (x) dx, 0

f¨ ur eine Lipschitz-stetige Funktion f : [0, 1] → R einer Variablen untersucht. Wir bezeichnen dies als ein ein-dimensionales Integral. Nun wollen

954

64. Doppelintegrale

wir diese Vorstellung auf Doppelintegrale

1

1

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 0

(64.1)

0

erweitern, die zwei Integrationsvariable x1 und x2 besitzen, die sich von 0 nach 1 bewegen. Hierbei sei f : Q → R eine Lipschitz-stetige Funktion, die auf dem Einheitsquadrat Q = [0, 1] × [0, 1] = {x = (x1 , x2 ) : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1} definiert ist und f¨ ur die gilt: |f (x) − f (y)| ≤ Lf x − y

f¨ ur x, y ∈ Q.

(64.2)

64.2 Doppelintegrale u ¨ ber dem Einheitsquadrat Wir erinnern daran, dass wir das ein-dimensionale Integral durch

1

f (x) dx = lim

n→∞

0

N

f (xni )hn ,

(64.3)

i=1

definiert haben, mit einer Unterteilung 0 = xn0 < xn1 < . . . < xnN = 1 des Intervalls [0, 1] f¨ ur xni = ihn , i = 1, . . . , N mit hn = 2−n und N = 2n . Um das Doppelintegral zu definieren, seien 0 = xn1,0 < xn1,1 < . . . < n x1,N = 1 und 0 = xn2,0 < xn2,1 < . . . < xn2,N = 1 Unterteilungen des Intervalls [0, 1] f¨ ur xn1,i = ihn , i = 0, . . . , N , und xn2,j = jhn , j = 0, . . . , N , mit −n hn = 2 und N = 2n . Dadurch wird das Einheitsquadrat Q = [0, 1] × [0, 1] ache hn hn unterteilt, mit Iin = in kleine Quadrate Qnij = Iin × Jjn mit der Fl¨ n n n n n (x1,i−1 , x1,i ] und Jj = (x2,j−1 , x2,j ], f¨ ur i, j = 1, . . . , N , vgl. Abb. 64.1.

Qn ij

Qnm ij

hn

hm

hn

hn

Abb. 64.1. Unterteilung des Einheitsquadrats Q in quadratische oder rechteckige nm Teilgebiete Qn ij bzw. Qij

Wir wollen zeigen, dass der Grenzwert limn→∞ Sn existiert, wobei Sn =

N N i=1 j=1

f (xn1,i , xn2,j )hn hn

(64.4)

64.2 Doppelintegrale u ¨ ber dem Einheitsquadrat

955

die Riemannsche Summe u ¨ber alle kleinen Quadrate Qnij ist. Wir definieren dann

1

1

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = lim 0

n→∞

0

N N

f (xn1,i , xn2,j )hn hn .

(64.5)

i=1 j=1

Wir beginnen zun¨ achst mit der Absch¨ atzung der Differenz Sn − Sn+1 , um so zu beweisen, dass {Sn } eine Cauchy-Folge bildet. Jedes Quadrat Qnij n+1 n+1 n+1 besteht aus 4 kleinen Quadraten Qn+1 2i,2j , Q2i−1,2j , Q2i,2j−1 und Q2i−1,2j−1 , vgl. Abb. 64.2. Es gilt daher Sn − Sn+1 =

N N

aij hn hn ,

i=1 j=1

mit, vgl. Abb. 64.2, aij = f (xn1,i , xn2,j ) −

1 n+1 n+1 n+1 f (xn+1 1,2i , x2,2j ) + f (x1,2i−1 , x2,2j ) 4 n+1 n+1 n+1 + f (xn+1 1,2i , x2,2j−1 ) + f (x1,2i−1 , x2,2j−1 ) . +1 n+1 n+1 n+1 n n (xn 2i−1, x2j ) (x2i , x2j ) = (xi , xj )

n+1 n+1 +1 n+1 (xn 2i−1, x2j−1 ) (x2i−1, x2j )

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Abb. 64.2. Oben: Qn ij und vier Teilquadrate mit Quadraturpunkten. Unten: uckweise auf Qn Eine Funktion f (x1 , x2 ) und ihre st¨ ij und den vier Teilquadraten konstante N¨ aherung

956

64. Doppelintegrale

Aus der Annahme der Lipschitz-Stetigkeit (64.2) folgt |aij | ≤

# √ 1 " Lf hn+1 + hn+1 + 2hn+1 ≤ Lf hn+1 4

und somit |Sn − Sn+1 | ≤

N N

|aij |hn hn ≤ Lf hn+1

i=1 j=1

N N

hn hn = Lf hn+1 .

i=1 j=1

Mit den u onnen wir zeigen, dass f¨ ur ein m > n gilt: ¨ blichen Argumenten k¨ |Sn − Sm | ≤ 2Lf hn+1 = Lf hn , womit wir bewiesen haben, dass {Sn } eine Cauchy-Folge ist und folglich gegen eine reelle Zahl konvergiert. Auf den Spuren unserer lieb gewonnenen Freunde Leibniz und Cauchy beschließen wir, wie u ¨blich, diese reelle Zahl als

1

1

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = lim Sn = lim 0

n→∞

0

n→∞

N N


i=1 j=1

zu schreiben. Wir werden auch die Schreibweise 1 1 f (x) dx = f (x1 , x2 ) dx1 dx2 . 0

Q

0

benutzen. Wir fassen zusammen: Satz 64.1 Sei f : [0, 1] × [0, 1] → R Lipschitz-stetig. Dann existiert der Grenzwert lim

n→∞

N N

f (xn1,i , xn2,j )hn hn ,

i=1 j=1

mit hn = 2−n , N = 2n , xn1,i = ihn und xn2,j = jhn , und wir definieren

1

1

f (x) dx = Q

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = lim 0

n→∞

0

N N

f (xn1,i , xn2,j )hn hn .

i=1 j=1

(64.6) Im Allgemeinen k¨ onnen die Einteilungen f¨ ur x1 und x2 voneinander unabh¨ angig sein, was uns zu Riemannschen Summen der Form Snm =

N M i=1 j=1

f (xn1,i , xm 2,j )hn hm

(64.7)

64.3 Doppelintegrale mit Hilfe ein-dimensionaler Integration

957

f¨ uhrt, mit hn = 2−n , N = 2n , hm = 2−m und M = 2m . Dies entspricht n m einer Unterteilung von Q in kleine Rechtecke Qnm ij = Ii × Jj . Der obige Beweis l¨ asst sich direkt verallgemeinern und wir können beweisen, dass f¨ ur n ≥ n und m ≥ m |Snm − Snm | ≤ Lf max(hn , hm ) gilt. Damit haben wir die folgende Verallgemeinerung des obigen Satzes gezeigt: Satz 64.2 Sei f : [0, 1] × [0, 1] → R Lipschitz-stetig. Dann existiert der folgende Grenzwert: lim

n,m→∞

mit hn = 2

−n

f (xn1,i , xm 2,j )hn hm ,

i=1 j=1

, N = 2 , hm = 2−m , M = 2m , xn1,i = ihn , xm 2,j = jhm und n

1

f (x) dx =

1

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = 0

Q

N M

0

lim

N M

n,m→∞

f (xn1,i , xm 2,j )hn hm .

i=1 j=1

(64.8)

64.3 Doppelintegrale mit Hilfe ein-dimensionaler Integration Um die Riemannsche Summe Snm zu berechnen, m¨ ussen wir u ¨ber alle Teilrechtecke Qnm in Q summieren. Die Summation kann dabei in verij schiedenen Reihenfolgen, d.h. zeilenweise, spaltenweise oder einer anderen Reihenfolge, erfolgen. So erhalten wir die folgenden alternativen Ausdr¨ ucke f¨ ur das Doppelintegral von f (x1 , x2 ) u ¨ber Q: 1 1 N M f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = lim f (xn1,i , xm 2,j )hn hm 0

n,m→∞

0

=

=

lim

n,m→∞

lim

n,m→∞

i=1 j=1 N i=1

⎛ ⎞ M ⎝ ⎠ hn f (xn1,i , xm 2,j )hm

j=1

N M j=1

f (xn1,i , xm 2,j )hn

hm .

i=1

M Dabei steht N ur eine beliebige Reihenfolge bei der Summation, i=1 j=1 f¨ N N M ur spaltenweise Summation und M ur zeilenweii=1 j=1 f¨ j=1 i=1 f¨ se Summation u von Q in der x1 x2 -Ebene, vgl. ¨ ber die Teilgebiete Qnm ij Abb. 64.3.

958

64. Doppelintegrale

Abb. 64.3. Verschiedene Summationsreihenfolgen

Wir k¨ onnen auch die Grenzwerte nach n und m unabhängig voneinander bilden und gelangen so zur Gleichung:

1

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = 0

N M

1

0

lim

n,m→∞

i=1 j=1

N

= lim

n→∞

j=1

Dies entspricht folgender Gleichung: 1 1 f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = 0

M

⎝ lim

M

m→∞

0

⎛

i=1

= lim

f (xn1,i , xm 2,j )hn hm

1

m→∞

lim

⎠ hn f (xn1,i , xm 2,j )hm

j=1 N

n→∞

⎞

f (xn1,i , xm 2,j )hn

1

f (x1 , x2 ) dx2 0

0

1

f (x1 , x2 ) dx1 0

dx1

1

=

hm .

i=1

dx2 ,

0

bzw.

1

1

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = 0

0

1

g1 (x1 ) dx1 = 0

1

g2 (x2 ) dx2 , 0

wobei durch

1

g1 (x1 ) =

f (x1 , x2 ) dx2 = lim

m→∞

0

und

g2 (x2 ) =

1

f (x1 , x2 ) dx1 = lim 0

n→∞

M

f (x1 , xm 2,j )hm

j=1

N

f (xn1,i , x2 )hn

i=1

die Funktionen g1 (x1 ) und g2 (x2 ) f¨ ur jeweils x1 und x2 definiert werden. In anderen Worten ist das Doppelintegral von f (x1 , x2 ) u ¨ ber [0, 1] × [0, 1]

64.3 Doppelintegrale mit Hilfe ein-dimensionaler Integration

959

gleich dem Integral von g2 (x2 ) u ¨ber [0, 1]

1

1

0

M

1

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 =

g2 (x2 )dx2 = lim

0

m→∞

0

g2 (xm 2,j )hm ,

j=1

wie auch gleich dem Integral von g1 (x1 ) u ¨ ber [0, 1]:

1

1

1

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = 0

g1 (x1 )dx1 = lim

0

n→∞

0

N

g1 (xn1,i )hn .

i=1

Wir folgern, dass ein Doppelintegral durch wiederholtes oder iteratives eindimensionales Integrieren berechnet werden kann. Wir können diese Erfahrung, wie folgt, zusammenfassen: Satz 64.3 Sei f : [0, 1] × [0, 1] → R Lipschitz-stetig. Dann gilt

1

1

f (x) dx =

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = 0

Q

0

1

1

=

f (x1 , x2 ) dx2 0

1

1

dx1 =

f (x1 , x2 ) dx1

0

0

dx2 .

0

Wir k¨ onnen die Aussage dieses Satzes als Veränderung der Integrationsreihenfolge interpretieren, in dem Sinne, dass Integration bez¨ uglich x1 und dann bez¨ uglich x2 dasselbe Ergebnis ergibt wie eine Integration nach ¨ werden Doppelintegrale durch zun¨ achst x2 und dann nach x1 . Ublicherweise iterierte ein-dimensionale Integrationen in einer bestimmten Reihenfolge berechnet. Beispiel 64.1. F¨ ur Q = [0, 1] × [0, 1] gilt

x1 x32

1

x1 x32

dx = 0

Q

1

0 1

=

$

x1 0

x42 4

dx1 dx2 =

%1

1 dx1 = 4 0

1

x32

x1 0 1 0

1

dx2 dx1

0

$ %1 1 x21 1 x1 dx1 = = . 4 2 0 8

Alternativ k¨ onnen wir zuerst nach x1 und dann nach x2 integrieren und erhalten so: 1 1 1 1 x1 x32 dx = x1 x32 dx1 dx2 = x32 x1 dx1 dx2 0

Q

0 1

x32

= 0

$

%1 x21 2

0

dx2 =

1 2

0

0

1

x32 dx2 = 0

$ %1 1 x42 1 = . 2 4 0 8

960

64. Doppelintegrale

64.4 Verallgemeinerung auf ein beliebiges Rechteck Das Doppelintegral, das wir auf dem Einheitsquadrat definiert haben, lässt sich direkt auf Integrale u ¨ber beliebige Rechtecke Q = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] verallgemeinern, deren Seiten parallel zu den Achsen verlaufen. Ist nämlich f : Q → R Lipschitz-stetig, dann gilt: b1 b2 f (x) dx = f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = f (x1 , x2 dx2 dx1 Q

Q

b2

a1

=

f (x1 , x2 ) dx1 a2

a2

b1

dx2 .

a1

64.5 Interpretation des Doppelintegrals als Volumen In der Summe

N N


(64.9)

i=1 j=1

werden kleine Volumina der Gr¨ oße f (xn1,i , xn2,j )hn hn ,

(64.10)

die die Grundfl¨ ache hn hn und die H¨ ohe f (xn1,i , xn2,j ) besitzen, addiert. Intuitiv verstehen wir dies als N¨ aherung f¨ ur das Volumen unter dem Graphen von f (x1 , x2 ), wobei sich (x1 , x2 ) innerhalb von Q verändert. Daher ist es nat¨ urlich, das Volumen V (f, Q) unter dem Graphen von f (x1 , x2 ) u ¨ ber Q, wie folgt, zu definieren: 1 1 V (f, Q) = f (x1 , x2 ) dx1 dx2 . (64.11) 0

0

Beispiel 64.2. Wir berechnen das Volumen einer Pyramide mit Höhe 1 und Grundfl¨ ache [0, 2]×[0, 2], vgl. Abb. 64.4. Ein Viertel des Volumens ist gleich dem Integral Q f (x) dx, wobei Q = [0, 1] × [0, 1], f (x) = x2 f¨ ur x ∈ Q mit x2 ≤ x1 und f (x) = x1 f¨ ur x ∈ Q mit x1 ≤ x2 . Wir erhalten 1 x1 1 V (f, Q) = f (x) dx = x2 dx2 + x1 dx2 dx1 Q

=

0

1

0

0

x1

$ 2 %1 x x3 1 1 1 + x1 (1 − x1 ) dx1 = 1 − 1 = − = . 2 2 6 0 2 6 3

x21

Wir folgern, dass das Volumen einer Pyramide gleich 43 ist. Dies stimmt mit der Standardformel u ¨ berein, nach der das Volumen einer Pyramide gleich 1 Bh ist, wobei B der Grundfl¨ ache entspricht und h der Höhe. 3

64.6 Erweiterung auf beliebige Gebiete

961

x2 1 2 x1 Abb. 64.4. Volumen einer Pyramide

64.6 Erweiterung auf beliebige Gebiete Als N¨ achstes definieren wir das Doppelintegral einer Funktion f (x) u ¨ ber ein allgemeineres ebenes Gebiet Ω. Wir beginnen mit der Annahme, dass die Begrenzung Γ von Ω durch zwei Kurven x2 = γ1 (x1 ) und x2 = γ2 (x1 ) f¨ ur 0 ≤ x1 ≤ 1 beschrieben wird, wie in Abb. 64.5 dargestellt, so dass Ω = {x ∈ [0, 1] × R : γ1 (x1 ) ≤ x2 ≤ γ2 (x1 )}. Wir nehmen an, dass die Funktionen γi : [0, 1] → R Lipschitz-stetig sind zur Lipschitz-Konstanten Lγ . Ferner nehmen wir an, dass f : Ω → R Lipschitz-stetig ist zur LipschitzKonstanten Lf . x2 = γ1 (x1 )

x2 Γ Ω x1 n

x2 = γ2 (x1 ) Abb. 64.5. Das ebene Gebiet Ω

Zun¨ achst gehen wir davon aus, dass Ω im Einheitsquadrat Q enthalten ist. Wir unterteilen Q wie oben in Quadrate Iin × Jjn mit der Grundfläche hn hn , mit Iin = (xn1,i−1 , xn1,i ] und Jjn = (xn2,j−1 , xn2,j ]. Wir bezeichnen die Indexmenge (i, j), f¨ ur die die Quadrate Iin × Jjn in Ω liegen oder das Gebiet Ω schneiden, mit ωn und fassen die Quadrate Iin × Jjn mit Indizes in uckt, so ist Ωn eine Näherung (i, j) ∈ ωn in Ωn zusammen. Anders ausgedr¨ von Ω, die aus allen Quadraten Iin × Jjn in Q besteht, so dass Ω durch Ωn vollst¨ andig u ¨ berdeckt wird. Wir betrachten die Riemannsche Summe f (xn1,i , xn2,j )hn hn . (64.12) Sn = (i,j)∈ωn

962

64. Doppelintegrale

Wir werden beweisen, dass der Grenzwert limn→∞ Sn existiert und so ganz nat¨ urlich f (x) dx = lim f (xn1,i , xn2,j )hn hn (64.13) Ω

n→∞

(i,j)∈ωn

definieren. An dieser Stellen sch¨ atzen wir die Differenzen Sn − Sn+1 ab, die ¨ Eintr¨ age von zwei Quellen haben; (i) von der Anderung von f (x) auf jedem Teilquadrat Iin × Jjn und (ii) von dem Unterschied zwischen Ωn und Ωn+1 . Es l¨ asst sich zeigen, dass der erste Beitrag durch Lf hn beschränkt ist, indem wir wie bei der Integration u ¨ber das Einheitsquadrat argumentieren. Der zweite Beitrag ist durch 2A(1+Lγ )hn beschränkt, wobei A eine Grenze f¨ ur |f (x)| ist, d.h., |f (x)| ≤ A f¨ ur x ∈ Ω. Dies ergibt sich aus der Beobachtung, dass f¨ ur ein Quadrat Iin × Jjn von Ωn , das vollständig außerhalb oder innerhalb von Ω liegt, auch alle vier Quadrate von Ωn+1 in Iin × Jjn außerhalb oder innerhalb liegen. Der Unterschied zwischen Ωn und Ωn+1 entstammt aus den Quadraten Iin × Jjn , die teilweise innerhalb oder teilweise außerhalb von Ω liegen. Die Fl¨ ache dieser Quadrate ist durch 2Lγ hn beschr¨ ankt, wobei der Faktor 2 von der Tatsache herr¨ uhrt, dass zwei Kurven γ1 und γ2 existieren, vgl. Abb. 64.6. Der Flächenunterschied zwischen Ωn und Ωn+1 ist somit durch 2Lγ hn beschr¨ ankt.

Γ

Ω

Abb. 64.6. Die schraffierten Quadrate verdeutlichen den Unterschied zwischen Ωn und Ωn+1

Zusammen erhalten wir, dass |Sn − Sn+1 | ≤ (Lf + 2ALγ )hn ,

(64.14)

wodurch deutlich wird, dass limn→∞ Sn existiert. Wir fassen zusammen: Satz 64.4 Sei Ω = {x ∈ [0, 1] × R : γ2 (x1 ) ≤ x2 ≤ γ1 (x1 )}, wobei die γi : [0, 1] → R Lipschitz-stetig sind und sei f : Ω → R Lipschitz-stetig. Dann existiert limn→∞ Sn , wobei Sn die Riemannsche Summe ist, die durch (64.12) gegeben ist und wir definieren: f (x) dx = f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = lim Sn . (64.15) Ω

Ω

n→∞

64.7 Iterierte Integrale u ¨ber allgemeine Gebiete

963

64.7 Iterierte Integrale u ¨ ber allgemeine Gebiete Das Integral einer Funktion f (x) u ¨ ber ein Gebiet Ω = {x ∈ [0, 1] × R : γ2 (x1 ) ≤ x2 ≤ γ1 (x1 )} l¨ asst sich durch iterierte Integration in einer Dimension wie folgt berechnen:

f (x) dx = Ω

1

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 =

f (x1 , x2 ) dx2 0

Ω

γ1 (x1 )

dx1 .

γ2 (x1 )

(64.16) Dies ist nur eine andere Formulierung f¨ ur

f (x) dx = lim


n→∞

Ω

(i,j)∈ωn

= lim

n→∞

⎛

N

⎝

i=1

⎞

f (xn1,i , xn2,j )hn ⎠ hn .

j:(i,j)∈ωn

onnen vertauscht werden und das Integral ist Die Rollen von x1 und x2 k¨ unabh¨ angig von einer besonderen Darstellung von Γ. Um ein allgemeineres Gebiet Ω zu behandeln, unterteilen wir Ω in geeignete Teilintervalle Ωj und definieren Ω f dx = j Ωj f dx. Wie bekannt, steht das Integral von f u ur das Volumen u ¨ ber Ω f¨ ¨ ber das Gebiet Ω unter dem Graphen von f . Die Berechnung eines Integrals u ¨ ber ein zwei-dimensionales Gebiet durch wiederholte Integration wurde 1738 von Euler benutzt, als er die Gravitationskraft auf einen elliptischen K¨ orper berechnete. Beispiel 64.3. Wir berechnen das Doppelintegral (x21 + x2 ) dx

I= Ω

u ¨ ber dem Gebiet Ω = {x ∈ R2 : x21 ≤ x2 ≤ x1 , 0 ≤ x1 ≤ 1}. Es gilt:

1

x1

I=

x21

0 1

= 0

(x21

+ x2 ) dx2

1

$ x21 x2 +

dx1 = 0

x22 2

%x 1 dx1 x21

1 7 x2 x4 1 1 1 = . x31 + 1 − x41 − 1 dx1 = + − − 2 2 4 6 5 10 60

Beispiel 64.4. Wir berechnen das Doppelintegral I= Ω

1 dx x2

964

64. Doppelintegrale

u ¨ ber dem Gebiet Ω = {x ∈ R2 : 1 ≤ x2 ≤ exp(x1 ), 0 ≤ x1 ≤ 1}. Es gilt

1

exp(x1 )

I= 0

1

1 dx2 x2

dx1 = 0

1

1) [log(x2 )]exp(x dx1 1

1

=

x1 dx1 = 0

1 . 2

64.8 Die Fla¨che eines zwei-dimensionalen Gebiets Wir definieren die Fläche A(Ω) eines Gebiets Ω in R2 durch A(Ω) = dx,

(64.17)

Ω

d.h., durch Integration der konstanten Funktion f (x) = 1 u ur Ω = ¨ ber Ω. F¨ {x ∈ [0, 1] × R : γ1 (x1 ) ≤ x2 ≤ γ2 (x1 )}, erhalten wir 1

γ2 (x1 )

1

dx2

A(Ω) = 0

γ1 (x1 )

(γ2 (x1 ) − γ1 (x1 )) dx1 ,

dx1 = 0

was mit der vorangegangenen Formel f¨ ur die Fläche zwischen den Kurven γ1 (x1 ) und γ2 (x1 ) als dem Integral der Differenz von γ2 (x1 ) − γ1 (x1 ) u ¨ bereinstimmt. Beispiel 64.5. Die Fl¨ ache des Dreiecks Ω mit den Ecken (0, 0), (1, 0) und (1, 1) kann folgendermaßen berechnet werden: 1 x1 1 1 1 A(Ω) = dx1 = . dx = dx2 dx1 = 2 2 0 0 Ω 0

64.9 Das Integral als Grenzwert einer allgemeinen Riemannschen Summe Wir haben das Integral mit Hilfe gleichm¨ aßiger Unterteilungen von x1 und aherten Unterteilungen eines gegebenen Gex2 definiert, was uns zu angen¨ biets Ω in R2 durch Quadrate oder Rechtecke f¨ uhrte. Wir können jedoch allgemeinere Unterteilungen von Ω benutzen. Angenommen, f : Ω → R sei eine Lipschitz-stetige Funktion und die Begrenzung eines Gebiets Ω könne durch Teile Lipschitz-stetiger Kurven x2 = γ(x1 ) oder x1 = γ(x2 ) beschrieben werden. Dann unterteilen wir f¨ ur N = 1, 2, . . . das Gebiet Ω in angender Mengen Ωi , eine Ansammlung {Ωi }N i=1 paarweise unzusammenh¨ so dass die Vereinigung der Ωi mit Ω u ¨ bereinstimmt. Sei dΩi die Fläche

64.10 Substitution bei Doppelintegralen

965

x2

x1 Abb. 64.7. Unterteilung eines allgemeinen Gebiets

von Ωi und sei dN der maximale Durchmesser der Ωi f¨ ur i = 1, . . . , N , vgl. Abb. 64.7. Wir gehen davon aus, dass dN gegen Null geht, wenn N gegen Unendlich strebt. Die oben ausgef¨ uhrten Argumente zeigen, dass f (x) dx = lim

N →∞

Ω

N

f (xi )dΩi ,

(64.18)

i=1

wobei xi ein Punkt in Ωi f¨ ur i = 1, . . . , N ist. Der erste Schritt beim Beweis dieses Ergebnisses erfordert die Absch¨ atzung |f (x) − f (y)| ≤ Lf dN

f¨ ur x, y ∈ Ωi ,

(64.19)

woraus folgt, dass die Ver¨ anderung von f (x) f¨ ur x in Ωi klein ist, wenn der Durchmesser von Ωi klein ist. Der zweite Schritt benutzt die LipschitzStetigkeit der Begrenzung von Ω und die Beschränktheit von f (x). Und ganz nebenbei erhalten wir als Zugabe des Beweises dieses Ergebnisses die Absch¨ atzung N f (xi )dΩi ≤ Lf dN A(Ω), (64.20) f (x) dx − Ω i=1

wobei A(Ω) der Fl¨ ache von Ω entspricht.

64.10 Substitution bei Doppelintegralen Als N¨ achstes werden wir die Substitution, die wir von ein-dimensionalen Integralen kennen, auf zwei-dimensionale Integrale erweitern. Genauer formuliert, so wollen wir die Substitution f¨ ur ein Integral f (x) dx = f (x1 , x2 ) dx1 dx2 (64.21) Ω

Ω

966

64. Doppelintegrale

einf¨ uhren, wobei Ω ein vorgegebenes Gebiet in R2 ist und die Integrati˜ → Ω eine onsvariable x sich in Ω ver¨ andert. Wir nehmen an, dass g : Ω ˜ eindeutige Abbildung von y ∈ Ω auf x = g(y) in Ω ist, die die Substitution repr¨ asentiert. Wir werden beweisen, dass (64.21) bez¨ uglich x als ein Integral bez¨ uglich y in der Form f (x) dx = f (g(y)) G(y) dy (64.22) ˜ Ω

Ω

geschrieben werden kann, wobei G(y) durch G(y) = | det g (y)| definiert wird. Das heißt, dass G(y) dem Absolutwert der Determinante uhrt uns dies der Jacobi-Matrix g (y) von g(y) entspricht. Rein formal f¨ zu dx = | det g (y)| dy, bzw. | det g (y)| = | det dx |, wobei | det g (y)| der dy lokalen Ver¨ anderung des Fl¨ achenmaßes entspricht, wenn wir von den yKoordinaten zu den x-Koordinaten u ¨ bergehen. Daher lässt sich die Substitutionsformel auch schreiben: f (x) dx = f (g(y))| det g (y)| dy. (64.23) Ω

˜ Ω

˜ i ein kleines Teilgebiet von Ω ˜ und Ωi = g(Ω ˜ i) Um dies zu beweisen, sei Ω ˜ ˜ das Bild von Ωi unter der Abbildung x = g(y). Ist nun g (y) auf Ωi konstant, ˜ i linear sein und muss g(y) auf Ω ˜ i, dΩi = | det g (yi )|dΩ ˜ i ist, dΩi ist die Fl¨ ˜ i die Fläche ache von Ωi und dΩ wobei yi ein Punkt in Ω n ˜ ˜ ˜i ˜ des Gebiets Ωi . Ist nun {Ωi }i=1 eine Unterteilung von Ω in Teilgebiete Ω mit gr¨ oßtem Durchmesser dn , so gilt: f (x) dx ≈ f (xi )dΩi Ω

i

≈

i

˜i ≈ f (g(yi ))| det g (yi )|dΩ

f (g(y))| det g (y)| dy, ˜ Ω

mit xi = g(yi ). Die N¨ aherungen sind durch das Produkt der LipschitzKonstanten der Funktionen f (x), f (g(y)) und | det g (y)| mit dn beschränkt. Die Substitutionsformel (64.23) ergibt sich aus der Grenzwertbetrachtung f¨ ur n gegen Unendlich, wobei dn gegen Null strebt. Wir fassen zusammen: Satz 64.5 (Substitution) Angenommen y → x = g(y) sei eine Abbil˜ in R2 auf ein Gebiet Ω in R2 , wobei die Jacobi-Matrix dung eines Gebiets Ω

64.10 Substitution bei Doppelintegralen

967

von g Lipschitz-stetig ist. Ferner sei f : Ω → R eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann gilt: f (x) dx = f (g(y))| det g (y)| dy. (64.24) ˜ Ω

Ω

Beispiel 64.6. Wir betrachten die Abbildung x = g(y) = (2y1 +y2 , y1 −2y2 ), ˜ = [0, 1] × [0, 1] auf das Parallelogramm Ω mit der das Einheitsquadrat Ω abgebildet wird, das durch die Vektoren (2, 1) und (1, −2) aufgespannt wird. Es gilt dann det g (y) = −5 und somit f (x) dx = f (2y1 + y2 , y1 − 2y2 ) | − 5| dy ˜ Ω

Ω

1

1

f (2y1 + y2 , y1 − 2y2 ) dy.

=5 0

0

F¨ ur f (x) = x2 erhalten wir 1 1 1 5 −1 =− . f (x) dx = 5 (y1 − 2y2 ) dy = 5 2 2 0 0 Ω

Polarkoordinaten Ein Wechsel von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten (x1 , x2 ) = (r cos(θ), r sin(θ)) mit x = (x1 , x2 ) ∈ R2 und r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π, vgl. (64.8), ist eine besonders wichtige Substitution. x2 θ

x = (r cos(θ), r sin(θ))

ω

ω R

r

R

Abb. 64.8. Polarkoordinaten

Die Jacobi-Matrix der Abbildung (r, θ) → (x1 , x2 ) lautet d(x1 , x2 ) cos(θ) −r sin(θ) , = sin(θ) r cos(θ) d(r, θ)

x1

968

64. Doppelintegrale

mit det

d(x1 , x2 ) = r(cos2 (θ) + sin2 (θ)) = r. d(r, θ)

Beispiel 64.7. F¨ ur den Teil des Einheitskreises im positiven Quadranten Ω = {x ∈ R2 : |x| ≤ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} lautet das entsprechende Gebiet in ˜ = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π } mit Polarkoordinaten Ω 2 f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = f (r cos(θ), r sin(θ)) rdr dθ. ˜ Ω

Ω

Insbesondere erhalten wir f¨ ur f (x) = 1: A(Ω) = dx1 dx2 = rdr dθ Ω

π 2

=

˜ Ω

1

π 2

r dr dθ = 0

0

π 1 dθ = . 2 4

0

Somit haben wir die Fl¨ ache eines Viertels einer Einheitsscheibe zu π4 berechnet, weswegen die Fl¨ ache einer Einheitsscheibe gleich π ist. Ein wichtiges Ergebnis f¨ ur die Mathematik! Beispiel 64.8. Mit Hilfe von Polarkoordinaten erhalten wir $ %∞ 2π ∞ 1 −r2 −x21 −x22 −r 2 e dx = e r dr dθ = 2π − e = π. 2 0 0 R2 0 Da

e−x1 −x2 dx = 2

2

R2

∞

−∞

e−x1 dx1 2

∞

−∞

e−x2 dx2 , 2

können wir folgern, dass

∞

e−x dx = 2

√

π.

(64.25)

−∞

Offensichtlich haben wir dabei etwas Magisches vollbracht: Obwohl wir die 2 Stammfunktion von e−x nicht sind wir dennoch in der Lage, einen ∞ kennen, 2 analytischen Ausdruck f¨ ur −∞ e−x dx anzugeben.


969

Aufgaben zu Kapitel 64 64.1. ur das Einheitsquadrat Ω = [0, 1] × [0, 1] die Integrale Berechnen Sie f¨ und (d) Ω exp(−x1 x2 ) dx. (a) Ω (x1 + x2 ) dx, (b) Ω x1 x2 dx, (c) Ω x1dx +x2 64.2. Berechnen Sie f¨ ur Ω = {(x1 , x2 ) : 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 1} die Integrale 2 (a) Ω xx12 dx, (b) Ω exp2x2 dx und (c) Ω expx2 dx. 64.3. Ver¨ andern Sie die Integrationsreihenfolge f¨ ur die folgenden Integrale: 1 1−x1 f (x1 , x2 ) dx2 dx1 , 1. 1/2 0 1 √1−x21 2. 0 0 f (x1 , x2 ) dx2 dx1 , 10 3. 0 x2 −1 f (x1 , x2 ) dx1 dx2 , 1 1+x 4. 0 1−x11 f (x1 , x2 ) dx2 dx1 . 64.4. Berechnen Sie die folgenden Integrale: 1. Ω (x21 + 2x32 ) dx, wenn Ω ein Dreieck mit den Kanten (0, 0), (1, 0), (0, 1) ist, 2. Ω x21 x2 dx f¨ ur Ω = {x ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1, 0 ≤ x2 }, 3. Ω (x1 + x2 )dx, wenn Ω ein Tetraeder mit den Kanten (0, 0), (1, 0), (2, 1), (2, 2) ist, 4. Ω |1 − x1 − x2 | dx, wenn Ω das Einheitsquadrat ist. 64.5. Berechnen Sie das Volumen unter dem Graphen f¨ ur die folgenden Funktionen: 1. f (x) = ex1 cos(x2 ), 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤

π , 2

2. f (x) = x21 e−x1 −x2 , 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 2,

3. f (x) = x21 x2 , 0 ≤ x1 ≤ 1, x1 + 1 ≤ x2 ≤ x1 + 2, 4. f (x) = x21 − x22 , x21 − x22 ≥ 0, 0 ≤ x1 ≤ 1. 64.6. Ein zylindrisches Loch mit Radius b wird symmetrisch durch eine Metallkugel mit Radius a > b gedrillt. Berechnen Sie das Volumen des entfernten Metalls. 64.7. Berechnen Sie

1−

Ω

& wenn Ω der Ellipse x ∈ R2 : 64.8. Berechnen Sie

x2 1 a2 1

Ω

2

+

x2 x21 − 22 2 a1 a2

x2 2 a2 2

3/2 dx,

' ≤ 1 entspricht.

x1 + x2 x1 +x2 e dx, x21

f¨ ur Ω = {x ∈ R : x2 ≤ x1 ≤ 2 − x2 , 0 ≤ x2 ≤ 1}. Hinweis: Benutzen Sie die Substitution y1 = x1 + x2 , y2 = xx21 .

970

64. Doppelintegrale

64.9. Berechnen Sie die Fl¨ ache eines Bl¨ utenblatts einer Rose 0 ≤ r ≤ 3 sin(θ) (Polarkoordinaten). 64.10. Berechnen Sie die Fl¨ ache innerhalb des Cardoids r = 1 + cos(θ). 64.11. Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale: ur Ω = {x : 0 ≤ x1 ≤ 1, |x2 | ≤ x1 }, 1. Ω exp(−x1 ) dx, f¨ 2. Ω x1 x2 x dx, f¨ ur Ω = {x : 0 ≤ x1 ≤ 1, 1 ≤ x2 ≤ 2}, x1 3. Ω 1+x dx, f¨ u r Ω = {x : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1 − x1 }. 2 64.12. Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale: ur Ω = {x : 0 ≤ x1 ≤ 1, |x2 | ≤ x1 }, 1. Ω exp(−x1 ) dx, f¨ 2. Ω x1 x2 x dx, f¨ ur Ω = {x : 0 ≤ x1 ≤ 1, 1 ≤ x2 ≤ 2}, x1 3. Ω 1+x2 dx, f¨ ur Ω = {x : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1 − x1 }. 64.13. Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale durch Substitution: ur Ω = {x : x21 + x22 − 2x1 − 2x2 ≤ 0}, 1. Ω x 2 dx, f¨ 2. Ω x1 x2 dx, f¨ ur Ω = {x : 3x21 + x22 − 2x1 ≤ 0}, 2 3. Ω exp(− x ) dx, f¨ u r Ω = R2 .

65 Oberflächenintegrale

K¨ onig Karl XII von Schweden (1682–1717) hatte ein außerordentliches Talent f¨ ur die Mathematik. Er wurde von Swedenborg (dem großen schwedischen Universalgenie (1688–1772) selbst im Vergleich zu Leibniz als gleichwertig, wenn nicht sogar als u ¨ berlegen angesehen. K¨ onig Karl XII konnte große Zahlen ohne Papier und Bleistift spielend miteinander multiplizieren und er schlug 64 als die richtige ¨ Wahl f¨ ur die Basis der nat¨ urlichen Zahlen vor. Uber Nacht entwickelte er Symbole und erfand Namen f¨ ur alle Ziffern 0, 1, . . . , 62, 63. (aus Die Geschichte Schwedens“ von Hermann Lindquist) ”

65.1 Einleitung Im Kapitel Kurvenintegrale“ haben wir die Bezeichnung f¨ ur ein Integral ” u uhrt. In diesem Kapitel ¨ ber einer Kurve bzw. ein Kurvenintegral eingef¨ benutzen wir dieselben Ideen, um ein Integral u ¨ber eine Oberfläche oder ein Oberflächenintegral zu definieren. Wir beginnen mit dem Oberflächenintegral f¨ ur die Fläche einer Oberfl¨ ache.

65.2 Die Fläche einer Oberfläche Sei S eine Oberfl¨ ache in R3 , die durch die Abbildung s : Ω → R3 parametrisiert ist, wobei Ω ein Gebiet in R2 mit den Koordinaten y = (y1 , y2 ) ∈ R2 ist, so dass s = s(y) = (s1 (y), s2 (y), s3 (y)). Wir definieren die Fläche A(S)

972

65. Oberfl¨ achenintegrale

einer Oberfl¨ ache S durch das folgende Integral u ¨ ber das parametrisierte Gebiet Ω: s,1 × s,2 dy. (65.1) A(S) = Ω

Dabei entsprechen ⎞ ∂s1 ⎜ ∂y1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∂s2 ⎟ ⎟ s,1 = ⎜ ⎜ ∂y1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ∂s3 ⎠ ∂y1

⎞ ∂s1 ⎜ ∂y2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∂s2 ⎟ ⎟ s,2 = ⎜ ⎜ ∂y2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ∂s3 ⎠ ∂y2

⎛

⎛

und

den Spalten der Jacobi-Matrix ⎛ ∂s1

∂y1

⎜ ∂s2 s = ⎜ ⎝ ∂y1 ∂s3 ∂y1

∂s1 ⎞ ∂y2

⎟

∂s2 ⎟ ∂y2 ⎠ . ∂s3 ∂y2

Beachten Sie, dass alle Koeffizienten Funktionen von y ∈ Ω sind. Um diese Definition zu begr¨ unden, erinnern wir an die Linearisierung der Abbildung s : Ω → R3 in y¯, die durch y → sˆ(y) = s(¯ y ) + (y1 − y¯1 )s,1 (¯ y ) + (y2 − y¯2 )s,2 (¯ y) gegeben ist. Dazu stellen wir uns ein kleines Quadrat R(¯ y, h) = [¯ y1 , y¯1 +h]× [¯ y2 , y¯2 + h] in Ω mit der Seitenl¨ ange h und der Fläche h2 vor, dessen untere linke Ecke im Punkt y¯ ∈ Ω liegt, wobei h klein sei. Durch die Linearisierung sˆ(y) wird das Quadrat R(¯ y , h) in ein kleines Parallelogramm P (s(¯ y ), h) abgebildet, das in der Tangentialebene von S durch s(¯ y ) liegt. Diese Tangeny) und s,2 (¯ y ) aufgespannt. tialebene wird durch die beiden Vektoren s,1 (¯ Dabei liegt eine der Ecken des Parallelogramms in s(¯ y ). Wenn wir nun uckdenken, so beträgt an das Kapitel Analytische Geometrie in R2“ zur¨ ” die Fl¨ ache eines Parallelogramms, das durch zwei Vektoren a und b in R2 aufgespannt wird, a × b. Somit ist die Fl¨ ache von P (s(¯ y ), h) gleich s,1 (¯ y ) × s,2 (¯ y )h2 . Die Fl¨ ache ver¨ andert sich also um den Faktor s,1 (¯ y ) × s,1 (¯ y ). Ein kleines 2 St¨ uck (Quadrat) mit der Fl¨ ache h in y¯ ∈ Ω im Parameter-Gebiet entspricht also einem kleinen St¨ uck auf der Oberfl¨ ache S in s(¯ y ), dessen Fläche etwa y )×s,2 (¯ y )h2 betr¨ agt, wobei die N¨ aherung umso besser wird, je kleiner s,1 (¯ h wird. Wenn wir u ucke in S summieren und dabei h kleiner ¨ ber alle kleinen St¨ werden lassen, kommen wir zur Definition der Fläche A(S) der Oberfläche

65.2 Die Fl¨ ache einer Oberfl¨ ache

973

x3 y2 s2

s1 s (y)

y1

x2 x1

Abb. 65.1. Maßstab der Fl¨ ache einer Oberfl¨ ache

S durch (65.1), was wir folgendermaßen schreiben: A(S) = s,1 (y) × s,2 (y) dy = s,1 × s,2 dy = ds. Ω

Ω

S

Wir schreiben ds = s,1 ×s,2 dy, womit die Veränderung des Maßstabs zum Ausdruck gebracht wird. Nat¨ urlich gehen wir davon aus, dass s,1 × s,2 Lipschitz-stetig ist, um sicherzustellen, dass das Integral existiert. Beispiel 65.1. Wir betrachten die Oberfl¨ ache S einer Kugel mit Radius 1, die im Ursprung ihren Mittelpunkt besitzt. Wir beschreiben das Problem in sph¨ arischen Koordinaten x = s(y1 , y2 ) = (sin(y2 ) cos(y1 ), sin(y2 ) sin(y1 ), cos(y2 )) , mit 0 ≤ y1 < 2π, 0 ≤ y2 < π, vgl. Abb. 66.3. Es gilt: s,1 = (− sin(y2 ) sin(y1 ), sin(y2 ) cos(y1 ), 0) , s,2 = (cos(y2 ) cos(y1 ), cos(y2 ) sin(y1 ), − sin(y2 )) ,

(65.2)

woraus wir durch direkte Berechnung s = sin(y2 ) erhalten. Wir berechnen 2π 2π π sin(y2 ) dy2 dy1 = 2 dy1 = 4π A(S) = 0

0

0

und folgern daraus, dass die Oberfl¨ ache einer Kugel mit Radius 1 gleich 4π ist. Beispiel 65.2. Wir berechnen die Fl¨ ache A(S) einer Oberfläche S, die durch s(y1 , y2 ) = (2y1 y2 , y12 , 2y22 ) mit 0 ≤ y1 , y2 ≤ 1 gegeben ist. Wir erhalten s (y) = (2y2 , 2y1 , 0) × (2y1 , 0, 4y2 ) = 4(2y1 y2 , −2y22 , −y12 ), so dass s (y) = 4(y12 + 2y22 ). Somit ist 1 1 1 2 A(S) = + 4(y12 + 2y22 ) dy1 dy2 = 4 = 4. 3 3 0 0

974


65.3 Die Fläche der Oberfläche des Graphen einer Funktion zweier Variabler F¨ ur den Fall, dass S als Graph einer Funktion f : Ω → R gegeben ist, so dass also s(y1 , y2 ) = (y1 , y2 , f (y1 , y2 )), gilt: ( 2 + f 2 dy dy , A(S) = ds = s,1 × s,2 dy = 1 + f,1 (65.3) 1 2 ,2 S

Ω

Ω

wobei f,i die partielle Ableitung von f nach yi bezeichnet. Dies ergibt sich aus s,1 × s,2 = (1, 0, f,1 ) × (0, 1, f,2) = (−f,1 , −f,2,, 1). Beispiel 65.3. Die Oberfl¨ ache S einer Halbkugel mit Radius 1, die ihr Zentrum im Ursprung besitzt, wird durch s(y1 , y2 ) = (y1 , y2 , 1 − y12 − y22 ) mit y ∈ Ω = {y ∈ R2 : y12 + y22 ≤ 1} gegeben. Wir erhalten: ( 1 2 2 A(S) = 1 + f,1 + f,2 dy1 dy2 = dy 1 − y12 − y22 Ω Ω (65.4) 2π 1 *1 ) 1 √ r dr dθ = 2π − 1 − r2 = 2π. = 0 1 − r2 0 0 Wir erinnern uns an das obige Ergebnis, nach dem die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1 gleich 4π ist.

65.4 Oberflächen von Drehkörpern Oberflächen von Drehkörpern treten in vielen praktischen Anwendungen auf. Um die Oberfl¨ ache eines Drehk¨ orpers zu erzeugen, gehen wir von einer vorgegebenen positiven Funktion f : [a, b] → R aus und betrachten die Oberfl¨ ache S, die durch s(x1 , x2 ) = (x1 , f (x1 ) cos(θ), f (x1 ) sin(θ)) beschrieben wird, mit a ≤ x1 ≤ b und 0 ≤ θ < 2π, vgl. Abb. 65.2. Wir benutzen dabei (x1 , x2 ) als Referenzkoordinaten anstelle von (y1 , y2 ) und erhalten so: s,1 × s,2 =(1, f (x1 ) cos(θ), f (x1 ) sin(θ))× (0, −f (x1 ) sin(θ), f (x1 ) cos(θ)). Daraus ergibt sich durch direkte Berechnung: s,1 × s,2 = f (x1 ) 1 + (f (x1 ))2 .

(65.5)

65.5 Unabh¨ angigkeit von der Parametrisierung

975

x2

x22 + x23 = r = f (x1 ) b

x1

x3

Abb. 65.2. Die Oberfl¨ ache eines Drehk¨ orpers

Die Fl¨ ache A(S) von S lautet:

2π

A(S) = 0

b

f (x1 ) 1 + (f (x1 ))2 dx1 dθ

a

= 2π

b

f (x1 ) 1 + (f (x1 ))2 dx1 . (65.6)

a

Beispiel 65.4. Wir betrachten die Oberfl¨ ache S eines Parabolspiegels, die √ wir durch Rotation der Kurve f (x1 ) = x1 um die x1 -Achse zwischen x1 = 0 und x1 = 1 erhalten. Es gilt: + 1 1 √ √ 1 π x1 1 + dx1 = π 4x1 + 1 dx1 = (53/2 − 1). A(S) = 2π 4x 6 1 0 0

65.5 Unabhängigkeit von der Parametrisierung ˜ → Ω von Wir werden beweisen, dass f¨ ur eine eindeutige Abbildung t : Ω ˜ ⊂ R2 auf y = t(η) ∈ Ω, wobei r(η) = s(t(η)) das Gebiet Ω ˜ auf S η ∈Ω abbildet, gilt: ds = r,1 × r,2 dη = s,1 × s,2 dy. (65.7) S

˜ Ω

Ω

Daran erkennen wir, dass die Fl¨ ache der Oberfläche S unabhängig von der Parametrisierung von S ist. Dazu m¨ ussen wir nur zeigen, dass f¨ ur y = t(η) gilt: (η) × r,2 (η) = s,1 (y) × s,2 (y) | det t (η)|, r,1

(65.8)

wobei | det t | der Determinante der Jacobi-Matrix t (η) von t(η) entspricht. Dies ergibt sich nach einer l¨ angeren Berechnung, die mit der Ableitung von r(η) = s(t(η)) nach der Kettenregel beginnt.

976

65. Oberfl¨ achenintegrale y2 η2 Ω ˜ Ω η

y = t(η) y1

η1 x3 x = s(y) = s(t(η)) = r(η) x2

x1 Abb. 65.3. Reparametrisierung r(η) = s(t(η)) einer durch s(y) parametrisierten Oberfl¨ ache

65.6 Oberfla¨chenintegrale Sei S = s(Ω) eine Oberfl¨ ache in R3 , die durch die Abbildung s : Ω → R3 reparametrisiert ist, wobei Ω ein Gebiet in R2 ist. Ferner sei u : S → R eine reellwertige Funktion, die auf S definiert ist. Wir nehmen an, dass u, s und s,1 × s,2 Lipschitz-stetig sind und definieren das Integral von u u ¨ ber S zu: u ds = u(s(y))s,1 (y) × s,2 (y) dy. (65.9) S

Ω

Beispiel 65.5. Sei S = s(Ω) das Gew¨ olbe“, das durch s(y1 , y2 ) = ” (y1 , y2 , 1 − y12 − y22 ) und Ω = {y ∈ R2 : y12 + y22 ≤ 1} gegeben ist, mit u(x) = (5x21 + 5x22 + x3 )1/2 , so dass u(s(y)) = (5y12 + 5y22 + 1 − y12 − y22 )1/2 = (1 + 4y12 + 4y22 )1/2 . Wir berechnen s,1 (y) × s,2 (y) = (1, 0, −2y1) × (0, 1, −2y2) = (1 + 4y12 + 4y22 )1/2

65.7 Das Tr¨ agheitsmoment einer d¨ unnen kugelf¨ ormigen Schale

977

und erhalten mit Hilfe von Polarkoordinaten: u ds = u(s(y))s,1 (y) × s,2 (y) dy S Ω = (1 + 4y12 + 4y22 )1/2 (1 + 4y12 + 4y22 )1/2 dy Ω

1

(1 + 4r2 )r dr =

= 2π 0

3 . 2

65.7 Das Trägheitsmoment einer du ¨nnen kugelförmigen Schale Das Tr¨ agheitsmoment um die x3 -Achse einer d¨ unnen Kugel S = {x = 1} mit (einheitlich verteilter) Gesamtmasse m ist gleich m (x2 + x22 ) ds. (65.10) I= 4π S 1 Wenn sich die Kugel mit Winkelgeschwindigkeit ω um die x3 -Achse dreht, dann ist die gesamte kinetische Energie gleich 1m 1 E= ω 2 (x21 + x22 ) ds = ω 2 I. (65.11) 2 4π S 2 Mit Hilfe sph¨ arischer Koordinaten f¨ ur die Berechnung erhalten wir I=

2m . 3

(65.12)

Aufgaben zu Kapitel 65 65.1. (a) Zeigen Sie, dass in (65.2) gilt: s,1 (y) × s,2 (y) = sin(y2 ). (b) Beweisen Sie (65.5). 65.2. Finden Sie heraus, welches ber¨ uhmte Geb¨ aude durch die unten angef¨ uhrten MATLAB Anweisungen beschrieben wird und berechnen Sie die Dachfl¨ ache. r=0:.1:1; v=0:pi/20:2*pi; [R,V]=meshgrid(r,v); surf(10*cos(V),10*sin(V),R.*(5+cos(V).ˆ 2-sin(V).ˆ 2)) hold on surf(10*R.*cos(V),10*R.*sin(V),5+(R.*cos(V)).ˆ 2-(R.*sin(V)).ˆ 2) hold off axis(’equal’)

978


65.3. Hier handelt es sich um ein anderes ber¨ uhmtes Geb¨ aude. Wieviel Farbe ben¨ otigen Sie, um es neu zu streichen? w=0:pi/20:3*pi/4; v=0:pi/20:2*pi; [W,V]=meshgrid(w,v); h=surf(sin(W).*cos(V),sin(W).*sin(V),cos(W)); set(h,’FaceColor’,[1 1 1]) axis(’equal’) 65.4. Begr¨ unden Sie (65.11) und beweisen Sie (65.12). 65.5. (a) Betrachten Sie die Oberfl¨ ache S = {x : x = y1 a + y2 b + (1 − y1 − y2 )c, y ∈ T }, mit a, b, c ∈ R3 und T = {y ∈ R2 : y1 + y2 ≤ 1, yi ≥ 0, i = 1, 2}. Geben Sie eine geometrische Beschreibung von S und berechnen Sie ihre Fl¨ ache. (b) Bestimmen Sie eine Parametrisierung der Gestalt x = M y + b einer (ebenen) dreiecksf¨ ormigen Fl¨ ache S mit Ecken in (1, 0, 0), (0, 0, 3) und (0, 3, −9). Das Parametergebiet T soll ¨ ahnlich wie in (a) lauten, wobei b ein 3-Vektor ist und M eine 3 × 2-Matrix. (c) Berechnen Sie die Fl¨ ache von S. H¨ angt die Fl¨ ache von b ab? Interpretieren Sie das Ergebnis. (d) Berechnen Sie S (x1 + 2x2 ) dS. 65.6. Berechnen Sie (a) S dS und (b) S f (x) dS mit S = {x : x = M y, y ∈ Q}, 2 wobei Q das Einheitsquadrat in R ist und M eine 3 × 2-Matrix mit den Spalten ache S (1, 0, 1) und (0, 1, 2) und f (x) = x3 . Zeichnen Sie außerdem die Oberfl¨ und interpretieren Sie (a) als Fl¨ ache von S. Vergleichen Sie die Berechnung von (a) mit der Methode f¨ ur die Berechnung der Fl¨ ache f¨ ur ein Parallelogramm mit Hilfe des Kreuzprodukts der linearen Algebra. 65.7. Berechnen Sie (a)

S

dS und (b)

S

x2 dS mit

S = {x : x = y1 (1 − y2 )(1, 0, 0) + (1 − y1 )(1 − y2 )(1, 2, 0)+ (1 − y1 )y2 (0, 1, 1) + y1 y2 (0, 0, 3), 0 ≤ yi ≤ 1, i = 1, 2}. Zeichnen Sie die Oberfl¨ ache und beschreiben Sie ihre Geometrie. 65.8. Berechnen Sie (a) 0 ≤ yi ≤ 1, i = 1, 2}.

S

dS und (b)

S

x1 x2 dS f¨ ur S = {(y1 , y2 , y1 y2 ) :

65.9. Betrachten Sie f¨ ur gegebenes r > 0 und h > 0 die Oberfl¨ ache S = {x : x = (r cos(v), r sin(v), z), 0 ≤ v ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ h}. (a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung von S und finden sie zugeh¨ orige Parametrisierungen der Oberfl¨ achen. (b) S = {x ∈ R3 : x22 + x23 = 4, |x1 | ≤ 5} (c) S = {x ∈ R3 : x22 + 4x23 = 4, 0 ≤ x1 ≤ x22 + x23 }. ur S = {(x1 , x2 , x3 ) : x1 = y1 cos(y2 ), 65.10. Berechnen Sie S (x1 + x2 + x3 ) dS f¨ x2 = y1 sin(y2 ), x3 = y1 (cos(y2 ) + sin(y2 ))}.


979

65.11. Berechnen Sie S (x1 , x2 , x3 ) · n ds, wenn S der Begrenzung von Ω = {x : x1 + x2 + x3 ≤ 1, xi ≥ 0, i = 1, 2, 3} entspricht. ,x2 ,x3 ) 65.12. Berechnen Sie S (x1x · n dS f¨ ur die zylindrische Schale S = {x ∈ R3 : 2 x21 + x22 = 1, −a ≤ x3 ≤ a} zusammen mit dem entsprechenden Grenzwert f¨ ur a → ∞. 65.13. Berechnen Sie das Tr¨ agheitsmoment einer zylindrischen Schale S = uglich der x1 -Achse. {x ∈ R3 : x21 + x22 = 1, −1 ≤ x3 ≤ 1} bez¨ ur S = {(y1 + y2 , y12 − y22 , y1 y2 ) : 65.14. Berechnen Sie S (x1 , 0, x3 ) · n dS f¨ 0 ≤ y1 ≤ 1, 0 ≤ y2 ≤ 1}, wobei n die Normale zu S ist mit n3 < 0. 65.15. Berechnen Sie die Fl¨ ache eines Torus (Karpfens) in R3 , der durch s(y1 , y2 ) = (a + b cos(y2 )) cos(y1 ), (a + b cos(y2 )) sin(y1 ), b sin(y2 ) gegeben ist, f¨ ur 0 ≤ y1 , y2 < 2π, wobei a > b Konstanten sind. 65.16. Zeichnen und berechnen Sie die Fl¨ ache der Oberfl¨ ache S = {(r cos(v), r sin(v), v) : 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 4π}. In welcher Art von Geb¨ auden kann man auf ¨ ahnliche Konstruktionen treffen? 65.17. Beschreiben und zeichnen Sie die Oberfl¨ achen (von Drehk¨ orpern, wenn Sie wollen) von (a) x21 + x22 = x23 , x3 > 0 (b) 5 + x21 + x22 = x23 ≤ 9, x3 > 0. Berechnen Sie die Fl¨ achen.

66 Mehrfachintegrale

Wir trafen uns w¨ ochentlich (manchmal im m¨ oblierten Zimmer von Dr. Goddard, manchmal in der Mitra in der nahe gelegenen Wood Street) zu einer bestimmten Stunde mit einem bestimmten Reglement und einem w¨ ochentlichen Beitrag f¨ ur die Kosten der Experimente, wobei wir uns an vereinbarte Regeln hielten. Dabei vermieden wir, um Ablenkung zu anderen Themen zu vermeiden und aus anderen Gr¨ unden, alle Diskussionen u ¨ ber den Glauben, die Politik und von Nachrichten (andere als solche, die unsere philosophischen T¨ atigkeiten betrafen) und beschr¨ ankten uns auf philosophische Untersuchungen und verwandte Gebiete; wie die Medizin, die Anatomie, die Geometrie, die Astronomie, die Navigation, die Statik, die Mechanik und naturwissenschaftliche Experimente. (Wallis u undung ¨ ber die Gr¨ der Royal Society)

66.1 Einleitung Wir betrachten nun Dreifachintegrale u ¨ ber Gebiete in R3 und ganz allgemein Mehrfachintegrale u ¨ber Gebiete in Rn mit n > 3.

66.2 Dreifachintegrale u ¨ber dem Einheitswu ¨ rfel Ein Dreifachintegral einer Lipschitz-stetigen Funktion f : Q → R u ¨ ber dem Einheitsw¨ urfel Q = {x ∈ R3 : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3} nimmt die folgende

982

66. Mehrfachintegrale

Gestalt an:

1

1

f (x) dx =

f (x1 , x2 , x3 ) dx1 dx2 dx3 . 0

Q

1

0

0

Es kann durch wiederholte Integration in beliebiger Reihenfolge berechnet werden, wie beispielsweise 1 1 1 f (x) dx = f (x1 , x2 , x3 ) dx3 dx2 dx1 . 0

Q

0

0

Die Definition des Integrals und die wiederholte Integrationsformel ist eine direkte Verallgemeinerung der entsprechenden Schritte f¨ ur den Fall des Doppelintegrals u ¨ber dem Einheitsquadrat. Beispiel 66.1. Wir berechnen das Integral von x21 x2 ex1 x2 x3 u ¨ ber dem Einheitsw¨ urfel Q: 1 1 1 2 x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 x1 x2 e dx = x1 x2 e dx3 dx1 dx2 Q

1

= 0

0

1

0

0

) *x3 =1 x1 ex1 x2 x3 dx1 dx2 = x3 =0

0

0

1

1

x1 (ex1 x2 − 1) dx1 dx2 . 0

Wir erhalten so ein Doppelintegral, mit dem wir umzugehen wissen.

66.3 Dreifachintegrale u ¨ber allgemeine Gebiete 3 in R Sei Ω = {x ∈ R3 : γ2 (x1 , x2 ) ≤ x3 ≤ γ1 (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ ω}, wobei ω ein Gebiet in R2 ist. γ1 : ω → R und γ2 : ω → R sind vorgegebene Funktionen von (x1 , x2 ), vgl. Abb. 66.1. Sei f : Ω → R Lipschitz-stetig. Wir definieren das Dreifachintegral von f (x) u ¨ ber Ω durch γ1 (x1 ,x2 ) f (x) dx = f (x1 , x2 , x3 ) dx3 dx1 dx2 Ω

γ2 (x1 ,x2 )

ω

mit wiederholter Integration zun¨ achst bez¨ uglich x3 und dann bez¨ uglich (x1 , x2 ) ∈ ω. Wenn wir das Doppelintegral u ¨ber ω in zwei ein-dimensionale Integrale, unter der Annahme, dass ω = {(x1 , x2 , x3 ) : α2 ≤ x1 ≤ α1 , β2 (x1 ) ≤ x2 ≤ β1 (x1 )} umformulieren, erhalten wir: α1 β1 (x1 ) γ1 (x1 ,x2 ) f (x) dx = f (x) dx3 dx2 dx1 Ω

α2

α1

β2 (x1 )

=

γ2 (x1 ,x2 )

f (x1 , x2 , x3 ) dx2 dx3 α2

ω(x1 )

dx1 .

66.4 Das Volumen eines drei-dimensionalen Gebiets

983

x3

x3 = γ1 (x1 , x2 )

x3 = γ2 (x1 , x2 ) x2 x1 ω Abb. 66.1. Integration u achst in der x3 -Richtung ¨ ber ein Volumen, wobei zun¨ integriert wird

Dabei ist ω(x1 ) = {(x2 , x3 ) : β2 (x1 ) ≤ x2 ≤ β1 (x1 ), γ2 (x1 , x2 ) ≤ x3 ≤ γ1 (x1 , x2 )} die Schnittmenge des Gebiets Ω mit einer Ebene mit fester x1 Koordinate. Diese Art und Weise, ein Dreifachintegral in ein ein-dimensionales Integral von Doppelintegralen u ¨ ber Gebietsschnitte zu unterteilen, entspricht dem Aufschneiden eines Brotlaibs oder eines Schinkens in Scheiben. Wir k¨ onnen so Dreifachintegrale f¨ ur allgemeinere Gebiete definieren, indem wir das Gebiet geeignet unterteilen.

66.4 Das Volumen eines drei-dimensionalen Gebiets Wir definieren das Volumen V (Ω) eines Gebiets Ω in R3 durch V (Ω) = dx, Ω

d.h., durch Integration von f (x) = 1 u ur Ω = {x ∈ [0, 1] × ¨ber x ∈ Ω. F¨ [0, 1] × R : γ2 (x1 , x2 ) ≤ x3 ≤ γ1 (x1 , x2 )} gilt: 1 1 γ1 (x1 ,x2 ) dx3 dx1 dx2 V (Ω) = 0

1

0

γ2 (x1 ,x2 ) 1

(γ1 (x1 , x2 ) − γ2 (x1 , x2 )) dx1 dx2 .

= 0

0

Dies entspricht der vorangegangenen Formel, nach der das Volumen zwischen den Oberfl¨ achen γ1 (x1 , x2 ) und γ2 (x1 , x2 ) zum Integral u ¨ ber die Differenz γ1 (x1 , x2 ) − γ2 (x1 , x2 ) gleich ist.

984


Beispiel 66.2. Das Volumen der Pyramide Ω mit Ecken in (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) kann durch {x ∈ R3 : 0 ≤ x1 + x2 + x3 ≤ 1, x1 , x2 , x3 ≥ 0} beschrieben werden und mit ω = {(x1 , x2 ) : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1 − x1 } folgendermaßen berechnt werden:

1−x1 −x2

V (Ω) = ω 1

0

1−x1

dx3 dx1 dx2 = dx

=

Ω

1−x1 −x2

dx3 0

0

1 = 0

0 1−x1

dx2 dx1

1

(1 − x1 − x2 ) dx2 dx1 =

(1 − x1 )2 /2 dx1 = 0

0

1 . 6

Dies stimmt mit den fr¨ uheren Berechnungen u ¨ berein, nach denen das Volumen einer Pyramide gleich 13 Bh ist, wobei B die Grundfläche ist und h die H¨ ohe, vgl. Abb. 66.2. x3

1 x3 = 1 − x1 − x2 x2

1

x2 = 1 − x1 1

x1

Abb. 66.2. Integration u ¨ ber eine Pyramide

66.5 Dreifachintegrale als Grenzwerte Riemannscher Summen Wir k¨ onnen auch Integrale u ¨ber Gebiete in R3 als Grenzwerte Riemannscher Summen N f (x) dx = lim f (xi )dΩi (66.1) Ω

N →∞

i=1

66.6 Substitution bei Dreifachintegralen

985

formulieren, wobei {Ωi }N i=1 eine Unterteilung eines gegebenen Gebiets Ω in St¨ ucke Ωi ist. Diese Teilst¨ ucke besitzen das Volumen V (Ωi ) ≤ dN und die Quadraturpunkte xi ∈ Ωi , wobei dN gegen Null strebt, wenn N gegen Unendlich geht. Die Fehlerabsch¨ atzung (64.20) f¨ ur Doppelintegrale lässt sich direkt auf drei Dimensionen verallgemeinern.

66.6 Substitution bei Dreifachintegralen Als N¨ achstes beweisen wir ein Analogon der Substitutionsformel f¨ ur zweidimensionale Integrale. Wir wollen also eine Substitution im Integral f (x) dx = f (x1 , x2 , x3 ) dx1 dx2 dx3 (66.2) Ω

Ω

durchf¨ uhren, wobei Ω ein gegebenes Gebiet in R3 ist und die Integrations˜ → Ω eine eindeutige Abbildung variable x sich in Ω ver¨ andert. Ist g : Ω ˜ auf x = g(y) in Ω, so gilt die folgende Substitutionsformel: von y ∈ Ω f (x) dx = f (g(y))| det g (y)| dy. (66.3) ˜ Ω

Ω

Dabei ist | det g (y)| der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix g (y) von g(y). Rein formal schreiben wir dx = | det g (y)|dy oder | det g (y)| = ¨ ur das Volumen, | dx dy | und | det g (y)| beschreibt die Anderung im Maß f¨ wenn wir von den y-Koordinaten zu den x-Koordinaten wechseln. ˜ i eine kleines Teilgebiet von Ω ˜ und sei Ωi = Um dies zu beweisen, sei Ω ˜ ˜ g(Ωi ) das Bild von Ωi unter der Abbildung x = g(y). Wäre g (y) konstant, ˜ i und folglich w¨ are g(y) linear auf Ω f (x) dx ≈ f (xi )dΩi Ω

i

≈

˜i ≈ f (g(yi ))| det g (yi )|dΩ

i

f (g(y))| det g (y)| dy, ˜ Ω

˜ i }N ist eine Unterteilung von Ω ˜ mit dem jemit xi = g(yi ). Die Folge {Ω i=1 weils gr¨ oßten Durchmesser dN . Wenn wir nun annehmen, dass f (x), f (g(y)) und | det g (y)| Lipschitz-stetig sind, dann ergibt sich die Formel (66.3) ¨ durch Ubergang zum Grenzwert, wenn dN gegen Null strebt.

Sphärische Koordinaten Als Beispiel f¨ ur eine besonders wichtige Substitution betrachten wir die sph¨ arischen Koordinaten (x1 , x2 , x3 ) = (r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ)),

986

66. Mehrfachintegrale x3 x = (r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ)) ϕ x2

θ x1

Abb. 66.3. Sph¨ arische Koordinaten

mit x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 und r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ < π, vgl. Abb. 66.3. Die Jacobi-Matrix der Abbildung (r, θ, ϕ) → (x1 , x2 , x3 ) lautet: ⎛ ⎞ sin(ϕ) cos(θ) −r sin(ϕ) sin(θ) r cos(ϕ) cos(θ) d(x1 , x2 , x3 ) ⎝ = sin(ϕ) sin(θ) r sin(ϕ) cos(θ) r cos(ϕ) sin(θ) ⎠ d(r, θ, ϕ) cos(ϕ) 0 −r sin(ϕ) und die direkte Berechnung liefert: det d(x1 , x2 , x3 ) = r2 sin(ϕ). d(r, θ, ϕ)

(66.4)

Die Formel f¨ ur die Substitution von kartesischen Koordinaten zu sphärischen Koordinaten nimmt folgende Gestalt an: f (x) dx Ω f r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ) r2 sin(ϕ) dr dθ dϕ, = ˜ Ω

˜ ein Teilgebiet von {(r, θ, ϕ) : 0 ≤ r, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π} ist, wobei Ω ˜ auf Ω ist. so dass (r, θ, ϕ) → x eine eindeutige Abbildung von Ω Beispiel 66.3. Die Einheitskugel B = {x ∈ R3 : |x| ≤ 1, } wird in sphäri˜ = {(r, θ, ϕ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ < 2π, schen Koordinaten durch B 0 ≤ ϕ < π} beschrieben. Das Volumen V (B) von B ergibt sich zu: π 2π 1 B= dx = dr dθ dϕ = r2 sin(ϕ) dr dθ dϕ ˜ B π

B

0 2π

sin(ϕ) dϕ

= 0

0

r2 dr = 2 · 2π

dθ 0

0 1

0

4π 1 = . 3 3

66.7 Drehk¨ orper

987

Beachten Sie, dass das Dreifachintegral in ein Produkt von drei ein-dimensionalen Integralen zerf¨ allt, da die Integrationsgrenzen in allen Koordinatenrichtungen feste Zahlen sind und die zu integrierende Funktion ein Produkt von Funktionen unterschiedlicher Variabler ist. Wir haben gezeigt, dass das Volumen der Einheitskugel in R3 gleich ist. Wieder ein wichtiges Ergebnis der Infinitesimalrechnung!

4π 3

66.7 Drehkörper Um einen Drehkörper zu erzeugen, gehen wir von einer gegebenen (positiven) Funktion f : [a, b] → R aus und betrachten den Körper B in R3 , der durch s(x1 , r, θ) = (x1 , r cos(θ), r sin(θ)) dargestellt wird, mit a ≤ x1 ≤ b, 0 ≤ θ < 2π und 0 ≤ r ≤ f (x1 ), vgl. Abb. 66.4. Es gilt: ⎛ ⎞ 1 0 0 d(x1 , x2 , x3 ) ⎝ = 0 cos(θ) sin(θ) ⎠ d(x1 , r, θ) 0 −r sin(θ) r cos(θ) und wir erhalten durch direkte Berechnung det d(x1 , x2 , x3 ) = r. d(x1 , r, θ) Das Koordinatensystem (x1 , r, θ) ist ein Beispiel f¨ ur sogenannte zylindrische Koordinaten, die in Verbindung mit Rotationssymmetrien sehr praktisch sind. x2

x22 + x23 = r = f (x1 ) b

x1

x3

Abb. 66.4. Ein Drehk¨ orper

Das Volumen V (B) von B ergibt sich zu: 2π b f (x1 ) V (B) = r drdx1 dθ = π 0

a

0

a

b

f 2 (x1 ) dx1 .

(66.5)

988


Beispiel 66.4. Wir betrachten den K¨ orper B, der durch Drehung der Pa√ rabel f (x1 ) = x1 um die x1 -Achse zwischen x1 = 0 und x1 = 1 erhalten wird: 1 π V (B) = π x1 dx1 = . 2 0 Beispiel 66.5. Das Massenzentrum x ¯ eines Drehkörpers B, der durch Drehung der Kurve f (x1 ) um die x1 -Achse von x1 = a bis x1 = b erhalten ¯3 = 0 (Rotationssymmetrie) und wird, besitzt die Koordinaten x¯2 = x x ¯1 =

π V (B)

b

x1 f 2 (x1 ) dx1 . a

66.8 Das Trägheitsmoment einer Kugel Das Trägheitsmoment um die x3 -Achse der Kugel B = {x = 1} mit (gleichm¨ aßig verteilter) Gesamtmasse m entspricht m (x2 + x22 ) dx. (66.6) I= V (B) B 1 Wenn sich die Kugel mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die x3 -Achse dreht, ergibt sich die gesamte kinetische Energie zu: 1 1 m ω 2 (x21 + x22 ) dx = ω 2 I. (66.7) E= 2 V (B) B 2 Mit Hilfe von sph¨ arischen Koordinaten wird dies zu: I=

2m . 5

(66.8)

Aufgaben zu Kapitel 66 66.1. Begr¨ unden Sie (66.7) und (66.8). 66.2. Beweisen Sie (66.4). 66.3. Berechnen Sie die folgenden Dreifachintegrale: ur Ω = {x ∈ R3 : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3}, 1. Ω x 2 dx, f¨ 2. Ω exp(x1 +x2 +x3 ) dx, f¨ ur Ω = {x ∈ R3 : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, x3 ≤ x1 +x2 }, ur Ω = {x ∈ R3 : 1 ≤ x ≤ 2}. 3. Ω 1/ x 2 dx, f¨


989

x3

x3 (0, 1, 1)

(0, 0, 1) (1, 1, 1) x2 (0, 1, 0) (1, 0, 0)

x2 (0, 1, 0)

x1 x1

66.4. Berechnen Sie f¨ ur die Gebiete Ω in obiger Figur das Integral

Ω

(1 − x2 ) dx.

66.5. Berechnen Sie f¨ ur Ω = {(x1 , x2 , x3 ) : x21 + x22 ≤ 1, |x3 | ≤ 1} dx 1. Ω x 2, 2. Das Tr¨ agheitsmoment von Ω bez¨ uglich der x3 -Achse, 3. Das Tr¨ agheitsmoment von Ω bez¨ uglich der x2 -Achse. 66.6. Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale: dx, f¨ ur Ω = {x ∈ R3 : x > 1}, 1. Ω exp(−x) x 2. Ω x1 + x2 + x3 + x4 dx, f¨ ur Ω = {x ∈ R4 : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, 3, 4}, 3. Ω x1 + . . . + xn dx, f¨ ur Ω = {x ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, . . . , n}. 66.7. Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale: 1. Ω x dx, 2. Ω x dx, 3. Ω x 2 dx, f¨ ur Ω = {x ∈ R3 : x ≤ 1}. 66.8. Versuchen Sie, das Ergebnis in der vorangegangenen Aufgabe auf Rn zu verallgemeinern, indem Sie die Fl¨ ache der Einheitskugel {x ∈ Rn : x = 1} mit Sn bezeichnen. 66.9. das Integral R2 exp(− x 2 ) dx und nutzen Sie das Ergebnis, Berechnen Sie um Rn exp(− x 2 ) dx zu berechnen. 66.10. Bestimmen Sie das Tr¨ agheitsmoment eines Einheitsw¨ urfels bez¨ uglich seiner Diagonale. 66.11. Sei Ey das Gebiet in Rn , definiert dadurch, dass der Absolutbetrag von oßer als y ist, d.h. Ey = {x ∈ Rn : |f (x)| f : Rn → R gr¨ > y}. Sei ferner g(y) das Volumen (Gr¨ oße,Maß) dieses Gebiets, d.h. g(y) = Ey dx. Zeigen Sie durch Ver¨ anderung der Integrationsreihenfolge, dass ∞ |f (x)| dx = g(y) dy. Rn

0

67 Der Satz von Gauss und die Greensche Formel in R2

Mathematik in Hochform: Es sieht eindrucksvoll aus (unverst¨ andlich) und ist f¨ ur jeden, der die Schreibweise durchschaut, trivial. (R. Reagan)

67.1 Einleitung Wir kommen nun zu zwei Ecksteinen der mehr-dimensionalen Infinitesimalrechnung, n¨ amlich dem Satz von Gauss und der Greenschen Formel, wobei wir zwei-dimensional beginnen. Wir werden sehen, dass diese ber¨ uhmten (und n¨ utzlichen) Ergebnisse direkte Folgerungen der wichtigen Gleichung ∂u dx = u n2 ds (67.1) Ω ∂x2 Γ sind, wobei Ω ein Gebiet in R2 mit der Begrenzung Γ ist. Mit n(x) = (n1 (x), n2 (x)) bezeichnen wir die auswärts gerichtete Einheitsnormale zu Γ in x ∈ Γ, d.h. n(x) steht senkrecht zur Tangente an Γ in x, weist aus dem Gebiet Ω hinaus und es gilt: n(x) = 1, vgl. Abb. 67.1. Wir werden sehen, dass diese Formel ein Analogon zum Fundamentalsatz b du dx = u(b) − u(a) (67.2) a dx ist, nach dem das Integral der Ableitung du ¨ber ein Interdx einer Funktion u u vall [a, b] der Differenz zwischen den Funktionswerten in den Endpunkten u(b) und u(a) entspricht.

992

67. Der Satz von Gauss und die Greensche Formel in R2

67.2 Der Spezialfall eines Quadrats Um den Zusammenhang zwischen (67.1) und (67.2) herzustellen, betrachten wir zun¨ achst das Einheitsquadrat [0, 1] × [0, 1] als Gebiet Ω. In diesem Fall ist n2 = 1 f¨ ur Γ1 , n2 = −1 f¨ ur Γ3 und n2 = 0 auf den senkrechten Seiten Γ2 und Γ4 , vgl. Abb. 67.1. Daher ist 1 1 u n2 ds = u(x1 , 1) dx1 − u(x1 , 0) dx1 , 0

Γ

0

falls wir Γ1 durch s(x1 ) = (x1 , 1) und Γ3 durch s(x1 ) = (x1 , 0) parametrisieren. Wenn wir auf der anderen Seite zuerst nach x2 und dann nach x1 integrieren und dabei Gebrauch von (67.2) machen, dann erhalten wir 1 1 1 ∂u ∂u u(x1 , 1) − u(x1 , 0)) dx1 dx = (x1 , x2 ) dx2 dx1 = 0 0 ∂x2 0 Ω ∂x2 1 1 = u(x1 , 1) dx1 − u(x1 , 0) dx1 = u n2 ds. 0

0

Γ

Damit haben wir (67.1) f¨ ur ein Quadrat Ω bewiesen. Wir sehen, dass sich (67.1) daraus ergibt, dass wir (67.2) benutzen und dabei du dx dx durch ∂u dx ersetzen und anschließend nach x integrieren. Das Gesamtergebnis 2 1 ∂x2 ∂u u ber Ω durch das Kurvenintegral von un2 dx ist, dass das Integral von ∂x ¨ 2 2 u ¨ ber die Grenze Γ von Ω ersetzt wird. n = (0, 1) Γ1

Γ n

Γ2 n = (−1, 0)

Ω

n = (1, 0) Γ4

Γ3 n = (0, −1) Abb. 67.1. Links: Ein Gebiet Ω mit Begrenzung Γ und Normaler n. Rechts: Ein Spezialfall

67.3 Der Allgemeinfall Wir betrachten nun ein Gebiet Ω, dass durch zwei Kurven Γ1 , parametrisiert durch s1 (x1 ) = (x1 , γ1 (x1 )) und Γ2 , parametrisiert durch s2 (x1 ) =

67.3 Der Allgemeinfall

993

x2

x2 = γ1 (x1 )

Γ Ω x1 n

x2 = γ2 (x1 ) Abb. 67.2. Ein Gebiet Ω mit zwei Kurven, die die Begrenzung Γ definieren

(x1 , γ2 (x1 )), begrenzt ist. Dabei ist a ≤ x1 ≤ b, und n = (n1 , n2 ) ist die ausw¨ arts gerichtete Normale zu Γ, vgl. Abb. 67.2. Der Beweis von (67.1) h¨ angt von der Schl¨ usselbeobachtung ab, dass , , , ds1 , ( 1 2 , , , dx1 , = 1 + (γ1 ) , n2 = 1 + (γ )2 , 1 , , , ds2 , ( 1 2 , , , dx1 , = 1 + (γ2 ) , n2 = − 1 + (γ )2 . 2

Rein formal ist n2 ds1 = dx1 und n2 ds2 = −dx1 , vgl. Abb. 67.3. dx1 = n2 ds n2 n n = 1

ds

dx1

¨ Abb. 67.3. Die Schl¨ usselbeobachtung: Aus der Ahnlichkeit folgt:

dx1 ds

=

n2 1

Beachten Sie, dass n2 auf der oberen Grenzkurve s1 positiv ist und negativ auf der unteren Grenzkurve s2 . Daher gilt: , , b , ds1 , , , dx1 = un2 ds1 = u(x1 , γ1 (x1 ))n2 , u(x1 , γ1 (x1 )) dx1 , dx1 , a a Γ1 , , b b , ds2 , , dx1 = − un2 ds2 = u(x1 , γ2 (x1 ))n2 , u(x1 , γ2 (x1 )) dx1 . , dx1 ,

Γ2

a

b

a

994


Wenn wir als N¨ achstes nach x2 und dann nach x1 integrieren und dabei den Fundamentalsatz anwenden, erhalten wir: b γ1 (x1 ) ∂u ∂u ∂u dx = dx2 dx1 = dx2 dx1 a γ2 (x1 ) ∂x2 Ω ∂x2 Ω ∂x2 b b = u(x1 , γ1 (x1 )) dx1 − u(x1 , γ2 (x1 )) dx1 . a

Da

a

u n2 ds = Γ

un2 ds1 +

Γ1

un2 ds2 , Γ2

ergibt sich nun die erw¨ unschte Formel (67.1). Der Beweis kann f¨ ur beliebige Gebiete, die durch glatte Kurven mit Lipschitz-stetigen Tangenten begrenzt sind, verallgemeinert werden. Wir fassen dies in dem folgenden wichtigen Satz zusammen: Satz 67.1 Sei Ω ein Gebiet in R2 mit Begrenzung Γ, auswärts gerichteter Normaler (n1 , n2 ) und differenzierbarer Funktion u : Ω → R. Dann gilt: ∂u dx = u ni ds, i = 1, 2. (67.3) Ω ∂xi Γ Wenn wir (67.3) auf das Produkt vw zweier Funktion v und w anwenden, dann erhalten wir das folgende Analogon f¨ ur die partielle Integration in zwei Dimensionen: Satz 67.2 (Partielle Integration in 2D) Sei Ω ein Gebiet in R2 mit Grenze Γ, auswärts gerichteter Normaler (n1 , n2 ) und v, w : Ω → R. Dann gilt: ∂v ∂w w dx = vw ni ds − v dx, i = 1, 2. (67.4) Ω ∂xi Γ Ω ∂xi Wenn wir (67.3) auf die Komponenten ui einer vektorwertigen Funktion u = (u1 , u2 ) anwenden und u ¨ber i = 1, 2 summieren, erhalten wir den Divergenzsatz oder den Satz von Gauss: ∇ · u dx = u · n ds, (67.5) Ω

Γ

mit u · n = u1 n1 + u2 n2 und ∂ ∂ ∂u1 ∂u2 , + . · (u1 , u2 ) = ∇·u= ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂w ersetzen und u Wenn wir (67.4) anwenden und dabei w durch ∂x ¨ ber i i = 1, 2 summieren, erhalten wir die Greensche Formel: ∇v · ∇w dx = v∂n w ds − v∆w dx, (67.6) Ω

Γ

Ω

67.3 Der Allgemeinfall

wobei ∂n w = ∇w · n =

∂w ∂w n1 + n2 , ∂x1 ∂x2

995

(67.7)

die auswärts gerichtete Ableitung von w auf Γ ist. Wir verwenden die Green¨ sche Formel des Ofteren in der Gestalt v∆w dx − ∆v w dx = v ∂n w ds − ∂n v w ds. (67.8) Ω

Ω

Γ

Γ

Wir erhalten sie, wenn wir (67.6) zweimal anwenden und dabei ausnutzen, dass ∆w = div grad w = ∇ · ∇w ∂ ∂w ∂w ∂w ∂w ∂ ∂ ∂ , , = · = + , ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 2

2

was in Kurzform auch als ∆w = ∂∂xw2 + ∂∂xw2 geschrieben werden kann. 1 2 Wir wollen noch auf das folgende Analogon des Divergenzsatzes hinweisen: ∇ × u dx = n × u ds, (67.9) Ω

Γ

wobei u : Ω → R , ∇ × u = − und n × u = u2 n1 − u1 n2 . (67.9) ist nur eine Umformulierung von ∂u2 ∂u1 u2 n1 − u1 n2 ds, (67.10) − dx = ∂x1 ∂x2 Ω Γ ∂u2 ∂x1

2

∂u1 ∂x2

was aus (67.3) folgt. Wir weisen ferner darauf hin, dass τ = (−n2 , n1 ) eine Einheitstangente an Γ ist, da n = (n1 , n2 ) eine Einheitsnormale ist und (−n2 , n1 ) · (n1 , n2 ) = 0. Dabei ist τ = (−n2 , n1 ) entgegen der Uhrzeigerrichtung von Γ gerichtet, vgl. Abb. 67.4. τ

n Ω

Γ Abb. 67.4. Die Einheitstangente τ = (−n2 , n1 ) an Γ, die mit Hilfe der Normalen n = (n1 , n2 ) definiert wird


996

Wir schreiben auch oft u2 n1 − u1 n2 ds = u · τ ds = u · ds, Γ

Γ

Γ

wobei wir ds im letzten Integral als den Vektor τ ds interpretieren, wobei wir die alte Bedeutung von ds als Inkrement der Kurvenlänge nutzen. Dies stimmt mit folgender Schreibweise u ¨ berein:

b

u(s(t)) · s (t) dt,

u · ds = Γ

a

wobei s : [a, b] → R2 die Begrenzung Γ beschreibt, wie wir es im Kapitel Kurvenintegrale“ eingef¨ uhrt haben. Vorsicht: Wir benutzen hier ds“ in ” ” zwei unterschiedlichen Bedeutungen: Als Inkrement der Kurvenlänge (ein Skalar) und als ein Inkrement des Tangentialvektors (ein Vektor). Wir fassen die wichtigen Ergebnisse, die wir in diesem Kapitel hergeleitet haben, folgendermaßen zusammen: Satz 67.3 Sei Ω ein Gebiet in R2 mit Begrenzung Γ , auswärts gerichteter Einheitsnormaler (n1 , n2 ), u : Ω → R2 und v, w : Ω → R. Dann gilt: ∂v dx = v ni ds, i = 1, 2, (67.11) Ω ∂xi Γ Ω

∂v w dx = ∂xi

vw ni ds −

Γ

v Ω

∇ · u dx = Ω

v∆w dx − Ω

u · ds,

(67.14)

v∆w dx,

(67.15)

Γ

v∂n w ds − Ω

v ∂n w ds −

∆v w dx = Ω

Γ

Γ

(67.12) (67.13)

n × u ds = Γ

∇v · ∇w dx = Ω

i = 1, 2,

u · n ds, Γ

∇ × u dx = Ω

∂w dx, ∂xi

∂n v w ds.

(67.16)

Γ

Beispiel 67.1. F¨ ur v(x1 , x2 ) = x1 und i = 1 in (67.11) erhalten wir Ω dx = x n ds = Γ x1 dx2 . Eine interessante Beobachtung ist dabei, dass wir Γ 1 1 die Fl¨ ache Ω dx bestimmen k¨ onnen, beispielsweise eines St¨ uckes Land, in dem wir einfach die Grenze ausmessen und Γ x1 dx2 berechnen. Das Planimeter ist ein mechanisches Ger¨ at zur Berechnung der Fläche ebener Gebiete, das auf diesem Prinzip beruht. Es wurde intensiv von Bauvermessern eingesetzt.


997

Beispiel 67.2. Sei ∇ × u = 0 im Gebiet Ω zwischen zwei Kurven Γ 1 und Γ2 , die beide im Punkt a beginnen und im Punkt b enden. Dann gilt Γ1 u·ds = Γ2 u · ds, wobei ds die Vektortangente an die Kurven in Richtung von a nach b ist, deren L¨ ange dem Inkrement der Kurvenlänge entspricht. Dies ergibt sich daraus, dass nach (67.4) Γ1 ∪Γ− u · ds = Γ u · ds = 0, wobei 2

Γ− 2 die Kurve Γ2 bedeutet mit umgedrehter Richtung von ds. Wir folgern daraus, dass Kurvenintegrale eines Feldes u = (u1 , u2 ) mit ∇ × u = 0, d.h. von einem nicht-drehenden Feld, von dem speziellen Weg“ der Kurve von ” a nach b unabhängig sind. Das Integral von u · ds hängt nur von den beiden Endpunkten a und b der Integration ab. Felder u = (u1 , u2 ) mit dieser Eigenschaft werden als konservativ bezeichnet. Wie wir unten sehen werden, werden derartige Felder durch ein Potential erzeugt, d.h., sie entsprechen dem Gradientenfeld eines skalaren Potentials ϕ = ϕ(x) mit u = ∇ϕ. Außerdem gilt γ u·ds = ϕ(b)−ϕ(a) f¨ ur eine Kurve von a nach b. So besitzt beispielsweise das Feld u = (x2 , x1 ) die Komponenten u1 (x1 , x2 ) = x2 und ∂u1 2 u2 (x1 , x2 ) = x1 und somit ist ∇u = ∂u onnen ∂x1 − ∂x2 = 1 − 1 = 0. Wir k¨ einfach erkennen, dass u = ∇ϕ f¨ ur ϕ(x) = x1 x2 und dass das Integral von u · ds von einem Punkt a = (a1 , a2 ) nach b = (b1 , b2 ) durch b1 b2 − a1 a2 gegeben wird.

Aufgaben zu Kapitel 67 67.1. Leiten Sie (67.4), (67.5), (67.6) und (67.8) aus (67.3) her. 67.2. (a) Erkl¨ aren Sie, warum (67.1) auch f¨ ur ein Gebiet wie {(x1 , x2) : x1 ≤ ∂u dx |x2 |, x21 + x22 ≤ 1} gilt. (b) Zeigen Sie durch direkte Berechnung von Ω ∂x 2 1/4 und Γ u n2 ds, dass (67.1) f¨ ur u = r sin(v/4) und Ω = {(r cos(v), r sin(v)) : x21 + x22 und 0 < r < 1, 0 < v < 2π} G¨ ultigkeit besitzt. Dabei sind r = v = arccot(x1 /x2 ) f¨ ur x2 > 0, v = arccot(x1 /x2 ) + π f¨ ur x2 < 0 die u ¨ blichen Po∂u als Ausdruck larkoordinaten. Denken Sie daran, dass Sie mit der Kettenregel ∂x 2 ∂u ∂u onnen. von ∂r und ∂v formulieren k¨ 67.3. asst sich u ¨ ber Sei u = (u1 , u2 ) divergenzfrei in Ω mit Begrenzung Γ. Was l¨ ur Punkte x auf Γ aussagen? (a) Γ u · n ds und (b) u(x) · n(x) f¨ 67.4. Sei Γ u · n ds = 0 mit Begrenzung Γ f¨ ur ein Gebiet Ω mit ausw¨ arts gerichteter Normaler n. Was l¨ asst sich u ¨ ber ∇ · u in Ω sagen? (Bevor Sie in ihrer 2 2 ur den Einheitskreis Antwort ganz sicher sind, sollten Sie den Fall u = (x1 , x2 ) f¨ ur alle geschlossenen Kurven γ in Ω, und Ω ber¨ ucksichtigen). Sei γ u · n ds = 0 f¨ asst sich dann u die Ableitungen von ui seien Lipschitz-stetig. Was l¨ ¨ ber u in Ω aussagen? 67.5. Stellen Sie sich eine “Verformung“ von R2 vor, wobei die Punkte x = (x1 , x2 ) durch neue Positionen x + u(x), u = (u1 , u2 ), ui = ui (x) ersetzt werden.

998


Wir bezeichnen u(x) als Versetzungsfeld und die Jacobi-Matrix u (x) von u(x) als Versetzungstensor (Matrix). Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall ache ui (x) = ai xi , i = 1, 2 und gehen Sie davon aus, dass die Versetzung die “Fl¨ erh¨ alt“, was f¨ ur das verformte Material bedeutet, dass es nicht zusammendr¨ uck” bar“ ist. Zeigen Sie, dass f¨ ur kleine Verformungen div u ≈ 0 gilt. Hinweis: Betrachten Sie x → x + u(x) als Substitution und nutzen Sie eine Tatsache u ¨ ber die Jacobi-Matrix einer Abbildung, die die Fl¨ ache erh¨ alt. 67.6. Betrachten Sie das Vektorfeld u(x) = x/ x 2 . Sei Ω die Scheibe {x ∈ R2 : x − a ≤ 1} und arts gerichteter Einheitsnormaler n. Γ die Begrenzung mit ausw¨ ur a = (2, 0) und a = 0. Stimmen die Ergebnisse mit dem Berechnen Sie Γ u·n ds f¨ Divergenzsatz u ¨ berein? Stellen Sie u in der (x1 , x2 )-Ebene als Pfeilzeichnung“ ” ¨ dar. K¨ onnen Sie eine Ahnlichkeit mit einem Vulkanausbruch feststellen? L¨ asst sich der Divergenzsatz f¨ ur den Fall a = (0, 0) anwenden? ¯ Kurven mit Normalen n und n 67.7. Seien Γ und Γ ¯ , wie in folgender Figur. ¯ ds. Zeigen Sie, dass f¨ ur ∇ · u = 0 gilt: Γ u · n ds = Γ¯ u · n

n

Γ

n ¯ ¯ Γ

" 67.8. Berechnen Sie f¨ ur u =

2x1 x2 , − log(1 1+x2 2

+ x22 )

# das Integral

Γ

u · n ds mit

Γ entsprechend der Kurve in (a) {(x1 , x2 ) : x21 + x22 = 1, xi ≥ 0, i = 1, 2} und (b) {(x1 , x2 ) : x1 = 2 − (x2 − 1)2 , x1 ≥ 1}. Hinweis: Schließen Sie die Kurven und nutzen Sie den Divergenzsatz. 67.9. Zeigen Sie, dass das Feld u = ex1 x2 (1 + x1 x2 , x21 ) nicht-drehend ist und finden Sie ein Potential ϕ, so dass u = ∇ϕ. 67.10. Berechnen Sie die Integrale in (67.16) f¨ ur ein w, das die Differential1 ost und v = − 2π log(x − x ¯). Nehmen Sie an, gleichung −∆w = f in Ω = R2 l¨ ur großes x verschwinden. Zeigen Sie, dass Sie dadurch eidass w und ∂n w f¨ ne Formel f¨ ur w(¯ x) mit Ausdr¨ ucken in f und v erhalten. Hinweis: Nehmen Sie ¯ > } an und lassen Sie gegen Null gehen. Ω = {x ∈ R2 : x − x 67.11. Sei w die L¨ osung von −∆w = f in der oberen Halbebene x2 > 0 und ∂w = g f¨ u r x ur großes x ver− ∂x 2 = 0 und nehmen Sie an, dass w und ∇w f¨ 2 schwinden. Zeigen Sie, dass wir f¨ ur x ¯ = (¯ x1 , 0) auf Γ = {(x1 , x2 ) : x2 = 0} 1 x) = {x:x2 >0} vf dx + {x:x2 =0} vg ds mit v = − 2π log(x − x ¯). Hinerhalten: 12 w(¯ 2 weis: Gehen Sie von Ω = {x ∈ R : x2 > 0, x − x ¯ > } in (67.16) aus und lassen Sie gegen Null gehen.


999

67.12. Zeigen Sie, dass f¨ ur harmonische Funktionen v und mit w, d.h. Funktionen ∆v = 0 und ∆w = 0, f¨ ur eine geschlossene Kurve Γ gilt: Γ ∂n vw ds = Γ v∂n w ds. 67.13. Bestimmen Sie die Fl¨ ache des Gebiets, das durch die Kurve Γ = {(r cos(v), r sin(v)) : r = 2 + sin(v), 0 ≤ v < 2π} eingeschlossen wird. Hinweis: Integrale der Form sin4 (v) dv und cos4 (v) dv k¨ onnen mit Hilfe partieller Integration, wie folgt, berechnet werden: I = cos4 (v) dv = (1 − sin2 (v)) cos(v) · cos(v) dv = {part. Int.} 1 1 sin(v) − sin3 (v) (− sin(v)) dv = sin(v) − sin3 (v) · cos(v) − 3 3 1 1 (1 − cos2 (v))2 dv = sin(v) − sin3 (v) · cos(v) + sin2 (v) dv − 3 3 1 1 1 (1 − 2 cos2 (v)) dv − I, = sin(v) − sin3 (v) · cos(v) + sin2 (v) dv − 3 3 3 woraus I berechenbar ist.

68 Der Satz von Gauss und die Greensche Formel in R3

Von all denen, die wie ich etwas u ¨ ber dieses Gebiet geschrieben haben, bin entweder ich verr¨ uckt oder ich alleine bin nicht verr¨ uckt. Eine andere M¨ oglichkeit gibt es nicht, es sei denn, (was vielleicht f¨ ur manche so scheinen mag), wir alle sind verr¨ uckt. (Hobbes zu Wallis) Wenn Sie verr¨ uckt sind, werden Sie verstandesm¨ aßig kaum u ¨ berzeugt werden k¨ onnen; andererseits, wenn wir verr¨ uckt w¨ aren, w¨ aren wir nicht in der Lage, dies zu versuchen. (Wallis zu Hobbes)

68.1 Einleitung Wir wollen nun die Ergebnisse des vorangegangenen Kapitels auf drei Dimensionen erweitern. Die zentrale Aussage ist das folgende Analogon zu (67.1): Sei Ω ein Gebiet in R3 mit Begrenzung Γ, dann gilt: ∂u dx = u n3 ds, (68.1) Ω ∂x3 Γ wobei (n1 , n2 , n3 ) die ausw¨ arts gerichtete Normale zu Γ ist. Um dies zu beweisen, gehen wir davon aus, dass Γ aus zwei Flächen Γ1 , definiert durch s1 (x1 , x2 ) = (x1 , x2 , γ1 (x1 , x2 )), und Γ2 , definiert durch s2 (x1 , x2 ) = (x1 , x2 , γ2 (x1 , x2 )), zusammengesetzt ist. Dabei ist (x1 , x2 ) ∈ ω mit einem Parametergebiet ω ⊂ R2 und wir nehmen an, dass Ω = {x ∈ R3 : (x1 , x2 ) ∈ ω, γ2 (x1 , x2 ) < x3 < γ1 (x1 , x2 )}, vgl. Abb. 68.1. Es gilt dann ∂γi ur i = 1, 2 mit γi,j = ∂x , weswegen auf si,1 × si,2 = (1, 0, γi,1 ) × (0, 1, γi,2) f¨ j

1002


Γ1 gilt: s1,1 × s1,2 =

( )2 + (γ )2 , 1 + (γ1,1 1,2

1 n3 = ( . )2 + (γ )2 1 + (γ1,1 1,2

Auf Γ2 gilt: s2,1 × s2,2 =

( )2 + (γ )2 , 1 + (γ2,1 2,2

1 n3 = − ( . )2 + (γ )2 1 + (γ2,1 2,2

x3 x3 = Γ1 (x1 , x2 )

x3 = Γ2 (x1 , x2 ) x2 x1

Ω

Abb. 68.1. Ein Gebiet Ω, das durch zwei Funktionen Γ1 und Γ2 begrenzt ist

Wenn wir zun¨ achst nach x3 integrieren und dabei den Fundamentalsatz einsetzen, erhalten wir ∂u ∂u dx = dx3 dx1 dx2 ∂x ∂x 3 Ω Ω 3 = u(x1 , x2 , γ1 (x1 , x2 )) dx1 dx2 − u(x1 , x2 , γ2 (x1 , x2 )) dx1 dx2 ω ω = u n3 s1,1 × s1,2 dx1 dx2 + u n3 s2,1 × s2,2 dx1 dx2 ω ω = u n3 ds + u n3 ds = u n3 ds, Γ1

Γ2

Γ

womit (68.1) bewiesen ist. Beachten Sie, dass auf den senkrechten“ Teil” st¨ ucken von Γ gilt: n3 = 0! Dieses Ergebnis lässt sich zu ∂u dx = u ni ds, i = 1, 2, 3, (68.2) Ω ∂xi Γ f¨ ur ein beliebiges Gebiet Ω in R3 mit Begrenzung Γ mit auswärts gerichteter Einheitsnormaler (n1 , n2 , n3 ) verallgemeinern.

68.1 Einleitung

1003

Wenn wir (68.2) f¨ ur ein Produkt vw zweier Funktionen v und w anwenden, erhalten wir das Analogon zur partiellen Integration in drei Dimensionen: ∂v ∂w w dx = vw ni ds − v dx, i = 1, 2, 3. (68.3) ∂x ∂x i i Ω Γ Ω Wenn wir (68.3) auf die Komponenten ui einer vektorwertigen Funktion u = (u1 , u2 , u3 ) mit w = 1 anwenden und u ¨ ber i summieren, gelangen wir zum Divergenzsatz oder dem Satz von Gauss in drei Dimensionen: ∇ · u dx = u · n ds. (68.4) Ω

Γ

3 ∂ui ∂u2 ∂u3 ∂ 1 Dabei ist ∇ · u = ( ∂x , ∂ , ∂ ) · (u1 , u2 , u3 ) = ∂u i=1 ∂xi ∂x1 + ∂x2 + ∂x3 = 1 ∂x2 ∂x3 und u · n = u1 n1 + u2 n2 + u3 n3 ist die Komponente von u in Richtung der Normalen n. Steht u f¨ ur die Strömung einer Größe, wie den Wärmefluss oder eine Wasserstr¨ omung, dann repr¨ asentiert u(x) · n(x) in einem Punkt x ∈ Γ den Fluss durch Γ (aus Ω heraus) oder den Normalfluss, so dass also u · n ds Γ

f¨ ur den gesamten Fluss durch Γ steht. Wir erhalten auch das folgende Analogon des Satzes von Gauss f¨ ur eine Funktion u : Ω → R3 : ∇ × u dx = n × u ds, (68.5) Ω

Γ

Die Gleichung ist eine Vektorgleichung! Eine andere Schlussfolgerung aus (68.3) ist die Greensche Formel:

∇v · ∇w dx = Ω

wobei ∂n v = ∇v·n =

v∂n w ds −

Γ

v∆w dx,

∂v ∂v ∂v arts gerichtete normale ∂x1 n1 + ∂x2 n2 + ∂x3 n3 die ausw¨ 2 ∂2w ∂2 w Γ ist und ∆w = ∂x2 + ∂x2 + ∂∂xw2 . Wir benutzen die 1 2 3

Ableitung von v auf Greensche Formel auch oft in der Gestalt v∆w dx − ∆v w dx = v ∂n w ds − ∂n v w ds, Ω

(68.6)

Ω

Ω

Γ

(68.7)

Γ

die sich ergibt, wenn wir (68.6) zweimal anwenden. Wir fassen die in diesem Kapitel hergeleiteten wichtigen Ergebnisse in einem Satz zusammen:


1004

Satz 68.1 Sei Ω ein Gebiet in R3 mit Begrenzung Γ und auswärts gerichteter Einheitsnormaler n = (n1 , n2 , n3 ). Ferner sei u : Ω → R3 und v, w : Ω → R. Dann gilt ∂v dx = v ni ds, i = 1, 2, (68.8) Ω ∂xi Γ ∂v ∂w w dx = vw ni ds − v dx, i = 1, 2, (68.9) ∂x ∂x i i Ω Γ Ω ∇ · u dx = u · n ds, (68.10)

Ω

Γ

∇ × u dx = Ω

∇v · ∇w dx = Ω

Γ

Ω

Ω

v∆w dx,

v ∂n w ds − Γ

(68.12)

Ω

∆v w dx =

(68.11)

v∂n w ds −

v∆w dx −

n × u ds, Γ

∂n v w ds.

(68.13)

Γ

Beispiel 68.1. Wir berechnen den Gesamtfluss durch die Begrenzung S der ur das Vektorfeld Einheitskugel B = {x ∈ R3 : x = 1} nach außen f¨ u(x) = (x1 + x52 , x2 + x3 x1 , x3 + x1 x2 ), d.h. das Integral u · n ds = ((x1 + x52 )x1 + (x2 + x3 x1 )x2 + (x3 + x1 x2 )x3 ) ds, (68.14) S

S

wobei wir die zu S ausw¨ arts gerichtete Einheitsnormale n in x ∈ S mit n(x) = x benutzt haben. Da div u(x) = 3 f¨ ur x ∈ R3 , erhalten wir nach dem Satz von Gauss: u · n ds = 3 dx = 3V (B) = 4π. S

B

Dies er¨ offnet uns einen schnellen Weg, um das ziemlich schwierige Integral (68.14) zu berechnen.

68.2 George Green George Green (1793–1841), Sohn eines M¨ ullers und autodidaktischer Mathematiker (er verließ die Schule mit 9 nach dem 2. Schuljahr), veröffentlichte 1827 selbst¨ andig An Essay on the Application of Mathematical Analysis ” to the Theories of Electricity and Magnetism“, in dem er insbesondere sogenannte Greensche Funktionen einf¨ uhrt, die die Grundlage f¨ ur moderne Theorien u ur ¨ ber partielle Differentialgleichungen bilden. Seine Bedeutung f¨


1005

die Mathematik wurde erst, insbesondere durch die Arbeiten von Maxwell u ¨ ber den Elektromagnetismus, nach seinem Tod erkannt.

Aufgaben zu Kapitel 68 68.1. Formulieren Sie detailliert und beweisen Sie (68.5) mit Hilfe von (68.2). 68.2. (a) Beweisen Sie die Greensche Formel (68.6) mit Hilfe von Formel (68.3). (b) Beweisen Sie (68.13). x ur a > 0 und j = 0, 1, 2 mit 68.3. Berechnen Sie das Integral Γ x 3 · n ds f¨ 3 2 2 2 Γ = {x ∈ R : x1 + x2 + (x3 − ja) = a2 }, wobei n die ausw¨ arts gerichtete Einheitsnormale zu Γ ist. Interpretieren Sie die Ergebnisse. (−x2 ,x1 ) 1 × ds mit Γ = {x ∈ R3 : 68.4. Berechnen Sie das Integral Γ x2 +x 2 x2 +x2 1

x21 + x22 + x3 = 1}.

2

1

2

arts gerichteter Einheitsnormale n 68.5. Sei Γ die Einheitskugel in R3 mit ausw¨ und berechnen Sie die folgenden Integrale: 1. Γ x · n ds, 2. Γ x × n ds, 1 x 3. Γ x 2 x · n ds, 1 x 4. Γ x 2 x × n ds. x gilt: 68.6. Zeigen Sie, dass f¨ ur ein radiales Feld F (x) = x α x

div F = (α + 2) x . 68.7. Welches ist der kleinstm¨ ogliche Wert des Integrals Γ F · n ds f¨ ur F (x) = (x1 x22 −4x1 x2 , 4x2 x23 +8x2 x3 +5x2 , x21 x3 −2x1 x3 ), wenn Γ eine geschlossene Kurve arts gerichtete Einheitsnormale? Hinweis: Beziehen Sie in R3 ist und n eine ausw¨ alle Abfl¨ usse“ von F ein, d.h. betrachten Sie das Gebiet mit div F ≤ 0. ” ur 68.8. Berechnen Sie das Fl¨ achenintegral Γ F · n ds f¨ F (x) = (x22 , x1 x2 (cos(x1 ))2 + x1 x32 + exp(cos(x1 x23 )), x1 x3 (sin(x1 ))2 − 3x1 x22 x3 ),

wenn Γ der Teil der Kugel x = 2 mit positiver x3 -Komponente ist. Hinweis: Die Funktion F ist nur zu ihrer Verwirrung scheinbar so kompliziert gew¨ ahlt. 68.9. Sei {x1 , x2 , . . . , xN } eine Menge von Punkten in Rn und sei F (x) =

N j=1

1 x − xj . 4π x − xj 2 x − xj

Berechnen Sie das Fl¨ achenintegral Γ F · n ds f¨ ur jede geschlossene Fl¨ ache Γ, die alt, wobei n wie u arts k ≤ N der Punkte {x1 , x2 , . . . , xN } enth¨ ¨ blich die ausw¨ gerichtete Einheitsnormale ist.

1006


68.10. Zeigen Sie wie im Kapitel Der Albtraum von Newton“, dass die Gra” vitationskraft, die von einer Kugel ausge¨ ubt wird, identisch mit der Kraft ist, wobei alle Masse im Zentrum der Kugel konzentriert ist. Benutzen Sie den Satz von Gauss, um dies zu vereinfachen. Gehen Sie als Start davon aus, dass die Divergenz des Gravitationsfeldes (proportional zur) Dichte ist, d.h. ∇ · F = ρ/c f¨ ur eine Konstante c und nehmen sie sph¨ arische Symmetrie an, d.h., dass die Richtung des Gravitationsfeldes in radialer Richtung aus dem Zentrum der Kugel entspringt. 68.11. Zeigen Sie f¨ ur −∆u = f in Ω, dass dann f¨ ur jede Funktion v, die auf der Begrenzung Γ des Gebiets Ω Null ist, gilt: ∇u · ∇v = f v. Ω

Ω

ur alle Funktionen v gilt: Zeigen Sie ferner, dass f¨ ur ∂n u = g auf Γ f¨ ∇u · ∇v = fv + gv ds. Ω

Ω

Γ

69 Der Satz von Stokes

Ich meine auch, dass ich in der letzten Zeit zu viel nachgedacht habe, aber auf eine andere Weise: Mein Kopf besch¨ aftigt sich fortlaufend mit divergenten Reihen, der Diskontinuit¨ at von beliebigen Konstan¨ ten, . . . Ich dachte mir des Ofteren, dass du mir gut tun w¨ urdest, indem du mich davon abhalten w¨ urdest, mich durch diese Dinge so gefangen nehmen zu lassen. (Stokes, als er 1857 Mary Susanna Robinson bat, seine Frau zu werden)

69.1 Einleitung Der Satz von Stokes besagt, dass f¨ ur differenzierbares u : R3 → R3 (∇ × u) · n ds = u · ds (69.1) Γ

S

gilt, wobei S eine Fl¨ ache in R ist, die durch eine geschlossene Kurve Γ umschrieben wird und n ist eine Einheitsnormale auf S. Dabei ist Γ im Uhrzeigersinn orientiert und die Richtung des Normalenvektors n ist rechtshändig zur Umflaufrichtung von Γ gew¨ ahlt, vgl. Abb. 69.1. Das Integral u · ds 3

Γ

wird Zirkulation von u um Γ genannt. Das Integral (∇ × u) · n ds S

1008

69. Der Satz von Stokes n 1

0.5

0

0. 5

Γ

1 1

1

0.5 0.5

0 0 0. 5

0. 5 1

1

Abb. 69.1. Eine Stokesche Fl¨ ache mit Begrenzungskurve Γ

Abb. 69.2. Stokes im Alter von 22: Nach meinem Abschluss behielt ich meinen ” Wohnsitz im College und nahm mir Privatsch¨ uler. Ich dachte daran, mich an der Grundlagenforschung zu versuchen . . .“

69.2 Der Spezialfall einer Fl¨ ache in einer Ebene

1009

wird als Gesamtfluss der Rotation ∇×u durch die Oberfläche S bezeichnet. Der Satz von Stokes besagt, dass der Gesamtfluss von ∇ × u durch S der Zirkulation von u l¨ angs der Begrenzung Γ von S entspricht. Stokes (1819–1903), ein irischer Mathematiker/Physiker erhielt 1849 eine Professur in Cambridge. Er leistete wichtige Beiträge zur Theorie viskoser Fl¨ ussigkeiten, die durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden, vgl. Abb. 69.2.

69.2 Der Spezialfall einer Fläche in einer Ebene Wir beginnen mit der Betrachtung des Spezialfalles einer ebenen Fläche in der Ebene {x ∈ R3 : x3 = 0} mit der Normalen n ¯ = (0, 0, 1) und mit der Begrenzung Γ, vgl. Abb. 69.3. F¨ ur diesen Fall nimmt der Satz von Stokes folgende Gestalt an: ∂u2 ∂u1 (∇ × u) · n ¯ ds = − dx1 dx2 ∂x1 ∂x2 ¯ ¯ S S = u · ds = (u2 n1 − u1 n2 ) ds. (69.2) Γ

Γ

Wenn wir die Ebene {x3 = 0} mit R2 identifizieren, so erkennen wir darin die Gleichung (67.10), die sich direkt aus (67.3) ergibt. Dieses Ergebnis wird oft auch als zwei-dimensionale Greensche Formel bezeichnet. Wir haben folglich den Satz von Stokes f¨ ur den Fall einer ebenen Fläche S in der Ebene {x3 = 0} schon bewiesen.

Abb. 69.3. Zwei Spezialf¨ alle: Eine ebene Fl¨ ache S¯ mit Normaler n ¯ und Begrenzung Γ und eine gekr¨ ummte Fl¨ ache S mit Normaler n und einer ebenen Begrenzungskurve Γ

Beachten Sie, dass die Richtung der Einheitstangente τ = (−˜ n2 , n ˜ 1 ) lautet, wobei n ˜ = (˜ n1 , n ˜ 2 ) die nach außen gerichtete Richtung der Normalen zu Γ in der Ebene {x : x3 = 0} ist, die von der Spitze der Normalen

1010

69. Der Satz von Stokes

n ¯ = (0, 0, 1) aus betrachtet eine Orientierung gegen den Uhrzeigersinn besitzt. Diese Orientierung ist mit der Spezifikation der Tangente τ konsistent, die im Uhrzeigersinn orientiert sein sollte, wenn wir in Richtung der Normalen zu S¯ schauen. Beispiel 69.1. Sei S = {x ∈ R3 : x ≤ 1, x3 = 0} die Einheitsscheibe in der Ebene {x3 = 0}, die durch die Kurve Γ umschrieben wird, die durch s(t) = (cos(t), sin(t), 0), 0 ≤ t ≤ 2π parametrisiert ist. Wir wählen n = (0, 0, 1) und u(x) = (−x2 , x1 , 0), so dass ∇ × u(x) = (0, 0, 2). Wir berechnen mit Hilfe des Satzes von Stokes: 2π (∇ × u) ds = 2π, u · ds = (cos2 (t) + sin2 (t))dt = 2π. Γ

S

0

Beispiel 69.2. Nach dem Ampèreschen Gesetz ist ∇ × H = J, wobei H das magnetische Feld ist und J der elektrische Strom. Nach dem Satz von Stokes ist die Zirkulation von H l¨ angs einer geschlossenen Kurve Γ, die eine Fl¨ ache S beschr¨ ankt, gleich dem Gesamtstrom durch die Fläche S. Der Satz von Stokes ist daher einer der zentralen Sätze der elektromagnetischen Feldtheorie.

69.3 Verallgemeinerung auf eine beliebige ebene Fläche Wir wollen nun beweisen, dass sowohl die linke wie die rechte Seite der Gleichung von Stokes (∇ × u) · n ds = u · ds S

Γ

unter einer orthogonalen Koordinatentransformation invariant ist. Wir erhalten so einen Beweis des Satzes von Stokes f¨ ur eine vorgegebene ebene Fl¨ ache S durch den Ursprung, indem wir die Koordinaten so wählen, dass S in der Ebene {x3 = 0} liegt und den Beweis des vorherigen Abschnitts verwenden. Der Fall einer Fl¨ ache S, die nicht durch den Ursprung läuft, lässt sich auf den vorherigen Fall reduzieren, indem wir einfach den Ursprung des Koordinatensystems verschieben. Um die Invarianz zu beweisen, sei x = Q¯ x eine orthogonale Koordinatentransformation eines Vektors mit den Koordinaten x ¯ auf den Vektor x, wobei Q eine orthogonale 3 × 3-Matrix ist. Die abhängige Vektorvariable u wird entsprechend u = Q¯ u transformiert, wobei u die Komponenten in den x-Koordinaten bezeichnet und u ¯ die Komponenten desselben Vektors in den x ¯-Koordinaten. F¨ ur die Komponenten der Integrationsvarias = s¯ (t)dt ergibt sich eine ähnliche Beziehung, da blen ds = s (t)dt und d¯

69.4 Eine durch eine ebene Kurve beschr¨ ankte Fl¨ ache

1011

s (t) = Q¯ s (t), d.h. ds = Qd¯ s. Daher gilt u · ds = Q¯ u · Qd¯ s= Q Q¯ u · d¯ s= u¯ · d¯ s, Γ

Γ

Γ

Γ

woraus sich die Invarianz der rechten Seite von (69.1) ergibt. Um die Invarianz der linken Seite von (69.1) zu beweisen, nutzen wir die Kettenregel und erhalten so die folgende Beziehung zwischen dem Gradi¯ bez¨ enten ∇ bez¨ uglich x und dem Gradienten ∇ uglich x ¯: ¯ ∇ = Q∇. Die direkte Berechnung ergibt nun ¯ × Q¯ ¯ ×u (∇ × u) · n = (Q∇ u) · Q¯ n = (∇ ¯) · n ¯,

(69.3)

womit die Invarianz bewiesen ist, da d¯ x = dx. Wir weisen darauf hin, dass (69.3) zur Beziehung (Qa × Qb) · Qc = (a × b) · c mit a, b, c ∈ R3 analog ist. Diese Gleichung bringt die Invarianz des Volumens, das durch die drei Vektoren a, b und c aufgespannt wird, unter orthogonalen Koordinatentransformationen zum Ausdruck.

69.4 Verallgemeinerung auf eine durch eine ebene Kurve beschra¨nkte Fla¨che Sei S eine Fl¨ ache, die durch eine Kurve Γ beschränkt ist, die in der Ebene {x3 = 0} liegt, vgl. Abb. 69.3. Wir gehen allerdings nicht davon aus, dass ache in der Ebene {x3 = 0} mit S in {x3 = 0} enthalten ist. Sei S¯ die Fl¨ der Begrenzung Γ und sei Ω das Volumen, das durch die Fläche S und die ebene Fl¨ ache S¯ eingeschlossen wird. Da ∇ · (∇ × u) = 0, ergibt sich nach dem Divergenzsatz, dass ∇ · (∇ × u) dx = ∇ × u · n ds + ∇ × u · n ds, (69.4) 0= Ω

¯ S

S

wobei n die nach außen gerichtete Einheitsnormale an die Begrenzung ∂Ω ¯ so folgt von Ω ist. Ist n eine Normale zu S und n ¯ = −n eine Normale zu S, aus (69.4), dass ∇ × u · n ds = ∇×u·n ¯ ds. S

¯ S

1012


Wenn wir den Satz von Stokes auf S¯ anwenden, erhalten wir ∇ × u · n ds = ∇×u·n ¯ ds = u · ds, ¯ S

S

Γ

womit wir den Satz von Stokes f¨ ur die Fl¨ ache S, die durch die ebene Kurve Γ begrenzt ist, bewiesen haben. Ein Beweis f¨ ur den Satz von Stokes f¨ ur den Fall einer allgemeinen Kurve ist in Aufgabe 69.1 skizziert. Wir fassen zusammen: Satz 69.1 (Satz von Stokes) Sei S eine Fläche in R3 mit der Einheitsnormalen n. Sei ferner Γ eine Begrenzung von S, deren Umlaufrichtung rechtshändig zur Richtung von n ist. Dann gilt (∇ × u) · n ds = u · ds. Γ

S

Wir wollen noch folgende wichtige direkte Folgerung des Satzes von Stokes formulieren: Satz 69.2 Sei u : Ω → R3 f¨ ur ein Gebiet Ω in R3 ein differenzierbares Vektorfeld, so dass u · ds = 0 Γ

f¨ ur alle geschlossenen Kurven Γ in Ω. Dann ist ∇ × u = 0 in Ω.

Aufgaben zu Kapitel 69 69.1. Beweisen Sie den Satz von Stokes f¨ ur eine Kurve Γ, die durch s(t) = (x1 (t), x2 (t), f (x1 (t), x2 (t))), t ∈ [a, b] gegeben ist, mit f : R2 → R. Dadurch wird eine Fl¨ ache Ω = {x ∈ R3 : x3 − f (x1 , x2 ) = 0} in R3 begrenzt. Hinweis: ˜ die durch Die Projektion von Γ auf die x1 x2 -Ebene entspricht der Kurve Γ, ˜ s˜(t) = (x1 (t), x2 (t), 0) dargestellt wird, wodurch das Gebiet Ω in der x1 x2 -Ebene begrenzt wird. Zeigen Sie, indem Sie ui = ui (x1 , x2 , f (x1 , x2 )) schreiben, dass b ∂f ∂f u1 x1 + u2 x2 + u3 dt u · ds = x1 + x2 ∂x1 ∂x2 a Γ b ∂f ∂f = u1 + u3 x1 + u2 + u3 x2 dt ∂x1 ∂x2 a ∂f ∂f , u2 + u3 = u1 + u3 · ds = I. ∂x1 ∂x2 ˜ Γ Nutzen Sie dann den Satz von Stokes f¨ ur eine ebene Kurve, wie er oben gezeigt wurde, um zu zeigen, dass ∂ ∂f ∂f ∂ u2 + u3 − u1 + u3 dx I= ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ˜ Ω


1013

und beweisen Sie, indem Sie die Ableitungen ausf¨ uhren und die entsprechenden Berechnungen durchf¨ uhren, dass I = (∇ × u) · n ds, Ω

mit n ds =

∂f ∂f (− ∂x , − ∂x , 1) dx. 1 2

69.2. Beweisen Sie die Gleichung Ω ∇ × u dx = Γ n × u ds, wobei Ω eine Unterarts gerichteter Einheitsnormalen menge von R3 ist mit Begrenzung Γ und ausw¨ n. Wenden Sie dazu den Divergenzsatz auf u × a an, wobei a ein beliebiger konstanter Vektor ist. 69.3. Untersuchen Sie die Beziehung zwischen der Greenschen Formel (67.9) in der Gestalt von (67.10) und dem Divergenzsatz, der auf das zwei-dimensionale Gebiet S mit der Begrenzung Γ angewendet wird: ∂v2 ∂v1 dx1 dx2 = (v1 n1 + v1 n2 ) ds , + ∂x1 ∂x2 S Γ wobei (u1 , u2 ) = (−v2 , v1 ) gelten soll, was einer Drehung des Vektors (v1 , v2 ) um π/2 gegen den Uhrzeigersinn entspricht. Erkl¨ aren Sie, wie der Uhrzeigersinn im Satz von Stokes in (67.9) zu einer Richtung gegen den Uhrzeigersinn wird. 69.4. Berechnen Sie das Integral (x21 x2 , −x31 ) x 4 · ds, Γ

wobei Γ die Kurve in der x1 x2 -Ebene zwischen (1, 0) und (0, 1) ist, die durch (x1 (t), x2 (t)) = (cos(t)15 , sin(t)17 ), 0 ≤ t ≤ π/2 definiert ist. 69.5. Berechnen Sie das Integral 1 (−x2 , x1 , x3 ) · ds, 2 2 x + x x Γ 1 2 unfmal wobei Γ eine Kurve ist, die auf dem Einheitskreis in der x1 x2 -Ebene f¨ gegen den Uhrzeigersinn verl¨ auft, darauf zweimal im Uhrzeigersinn und dann wiederum viermal gegen den Uhrzeigersinn. 69.6. Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes von Stokes, dass v ds = n × ∇v ds, Γ

S

3

wobei S eine Fl¨ ache in R ist, die durch die geschlossene Kurve Γ begrenzt ist. Hinweis: Nutzen Sie den Satz von Stokes mit u = va f¨ ur einen beliebigen Vektor a in R3 . 69.7. Zeigen Sie durch direkte Berechnung den Satz von Stokes f¨ ur (a) den Halbkreis S = {x ∈ R3 : x = 1, x3 ≥ 0} und u = (x2 , 2x3 , 3x1 ), (b) S = {x ∈ R3 : x3 = 1 − x21 − x22 , x3 ≥ 0}.

1014


ache 69.8. (a) Sei Ω ein Gebiet in R2 mit Grenzkurve Γ. Zeigen Sie, dass die Fl¨ A(Ω) durch die Formel 1 u · ds, A(Ω) = 2 Γ gegeben wird, mit u(x) = (−x2 , x1 ) und Γ gegen den Uhrzeigersinn. Nutzen Sie dieses Ergebnis, um zu zeigen, dass die Fl¨ ache, die durch die Ellipse x = (a cos(t), b sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π mit den Halbachsen a und b beschr¨ ankt ist, gleich πab ist. (b) Versuchen Sie ein mechanisches Instrument zur Messung der Fl¨ ache eines Gebiets in R2 zu konstruieren (Planimeter).

70 Potentialfelder

Er ist ein sehr großer, schlaksig aussehender Mann mit Schnurrbart, ergrauendem Bart, einer etwas rauen Stimme und er ist ziemlich taub. Er war ungewaschen, mit seiner Kaffeetasse und Zigarre. Einer seiner Fehler ist es, dass er die Zeit vergisst. Er zieht seine Uhr hervor, merkt, dass es nach drei Uhr ist und rennt hinaus, ohne auch nur den Satz zu beenden. (Thomas Hirst u ¨ ber Dirichlet, 1850)

70.1 Einleitung Wir wissen aus dem Kapitel Kurvenintegrale“, dass Potentialkraftfelder ” eine wichtige Rolle in der Mechanik spielen. Sei u : Ω → R3 eine gegebene ufen, Vektorfunktion, wobei Ω ein Gebiet in R3 ist. Wie können wir dann pr¨ ob u(x) ein Potentialfeld ist, d.h. ob es eine skalare Funktion oder ein skalares Potential ϕ gibt, so dass u(x) = ∇ϕ(x)

f¨ ur x ∈ Ω ?

(70.1)

Wir erinnern daran, dass bei einer Parametrisierung s : [0, 1] → R3 einer Kurve Γ von a = s(0) nach b = s(1) sich die Arbeit im Potentialfeld u = ∇ϕ entlang Γ wie folgt errechnet: 1 1 dϕ(s(t)) dt = ϕ(b) − ϕ(a). u · ds = ∇ϕ(s(t)) · s (t) dt = dt 0 0 Γ Insbesondere ist die Arbeit f¨ ur alle Kurven von a nach b identisch. Ist die Kurve geschlossen mit ϕ(1) = ϕ(0), dann ist die Arbeit f¨ ur die Bewegung

1016

70. Potentialfelder

entlang der Kurve gleich Null. Ein Feld mit der Eigenschaft, dass die Arbeit entlang einer geschlossenen Kurve gleich Null ist, wird als konservatives Feld bezeichnet. Ein Potentialfeld ist daher ein konservatives Feld. Ein wichtiges Beispiel f¨ ur ein Potentialfeld ist das Gravitationsfeld einer Masse m im Ursprung: m x u(x) = −m = ∇ . x3 x Dabei haben wir die Einheiten so normiert, dass die Gravitationskonstante gleich Eins ist. Das elektrische Feld einer Ladung m im Ursprung besitzt die gleiche Gestalt. F¨ ur diesen Fall steht das Potential ϕ(x) = m/x f¨ ur die potentielle Energie (der Gravitation oder der elektrischen Wechselwirkung) und die Kurvenintegrale Γ u · ds = ϕ(b) − ϕ(a) entsprechen der Arbeit, die aufzubringen ist, um eine Einheitsmasse oder eine Einheitsladung entlang Γ von a nach b zu bewegen.

70.2 Ein rotationsfreies Feld ist ein Potentialfeld Wir haben bereits fr¨ uher gesehen, dass ein Potentialfeld u = ∇ϕ rotationsfrei ist, d.h., dass ∇ × u = ∇ × (∇ϕ) = 0. Dies ergibt sich aus einer 2 2 ϕ ϕ = ∂x∂j ∂x . Anders formuliert, so direkten Berechnung mit Hilfe von ∂x∂i ∂x j i ist ∇ × u = 0 in Ω eine notwendige Bedingung, damit u ein Potentialfeld in Ω ist. Wir wollen nun beweisen, dass die Bedingung ∇ × u = 0 in Ω eine hinreichende Bedingung ist, damit u ein Potentialfeld in Ω ist, wenn Ω konvex ist. Wir erinnern daran, dass Ω konvex ist, wenn f¨ ur zwei beliebige Punkte x ¯ und x in Ω auch die Strecke x ¯ +t(x− x ¯), 0 ≤ t ≤ 1 zwischen x ¯ und x vollst¨ andig in Ω liegt, vgl. Abb. 70.1. Konvexität impliziert insbesondere, dass Ω keine Löcher“ besitzt. Wir fassen also zusammen, dass u dann und ” nur dann ein Potentialfeld in einem konvexen Gebiet Ω ist, wenn u in Ω rotationsfrei ist. Oder anders formuliert, so gilt dann und nur dann u = ∇ϕ in Ω f¨ ur ein Potential ϕ, wenn ∇ × u = 0 in Ω.

Abb. 70.1. Ein konvexes und zwei nicht konvexe Gebiete

Wir f¨ uhren den Beweis so aus, dass wir ein Potential ϕ konstruieren, so dass ∇ϕ = u f¨ ur ein vorgegebenes rotationsfreies Feld u(x) im konvexen

70.2 Ein rotationsfreies Feld ist ein Potentialfeld

1017

Gebiet Ω. F¨ ur die Konstruktion w¨ ahlen wir einen festen Punkt x ¯ in Ω. F¨ ur jeden Punkt x sei Γx eine Kurve in Ω, die x ¯ mit x verbindet und wir definieren u · ds. (70.2) ϕ(x) = Γx

x ¯ Ω Γx

x

Abb. 70.2. Eine Kurve Γx in Ω, die x ¯ mit x verbindet

Wir beweisen zun¨ achst, dass ϕ(x) von der Wahl der Kurve Γx von x ¯ ˜ x seien zwei Kurven von x ¯ nach x unabh¨ angig ist. Angenommen, Γx und Γ nach x. Zusammen bilden sie eine geschlossene Kurve Γ, die eine Fläche S begrenzt. Nach dem Satz von Stokes ergibt sich somit: u · ds = ± (∇ × u) · n ds = 0, Γ

S

da ∇ × u = 0 auf S. Nun gilt u · ds = Γ

u · ds −

Γx

˜x Γ

u · ds,

wenn wir Γ mit derselben Richtung betrachten wie Γx und folglich in ent˜ x . Wir folgern, dass gegengesetzter Richtung zu Γ u · ds = u · ds, ˜x Γ

Γx

woraus sich die Unabh¨ angigkeit von der Wahl der Kurve, die x¯ mit x verbindet, ergibt. Als N¨ achstes beweisen wir, dass die Funktion ϕ(x), die durch (70.2) definiert wird, f¨ ur x ∈ Ω die Gleichung ∇ϕ(x) = u(x) erf¨ ullt. Dazu wählen ¯ verbindet und teilweise entlang der x1 -Achse wir eine Kurve Γx , die x mit x oder der x2 -Achse oder entlang der x3 -Achse verläuft, vgl. Abb. 70.3. Sei die Laufrichtung entlang der x1 -Achse wie in Abb. 70.3, so erhalten wir ein x ˆ nahe bei x, so dass x1 u1 (t, x2 , x3 ) dt . ϕ(x) − ϕ(ˆ x) = x ˆ1

1018

70. Potentialfelder

x ¯

Ω

Γx x

x ˆ

Abb. 70.3. Eine Kurve Γx , die x und x ¯ verbindet und teilweise entlang der auft x1 -Achse verl¨

Nach dem Fundamentalsatz folgt daraus, dass ∂ϕ (x) = u1 (x). ∂x1 ¨ Ahnlich erhalten wir

∂ϕ ∂xi (x)

= ui (x) f¨ ur i = 2, 3. Wir fassen zusammen:

ur Satz 70.1 Wenn f¨ ur u : Ω → Rd auf einem konvexen Gebiet in Rd f¨ d = 2, 3 gilt, dass ∇ × u(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ Ω, dann gibt es eine Funktion ϕ : Ω → R, so dass u(x) = ∇ϕ(x) f¨ ur alle x ∈ Ω.

70.3 Ein Gegenbeispiel fu ¨r ein nicht konvexes Ω Wir betrachten die Funktion u : Ω → R2 , die durch u(x) = (−x2 , x1 )/x2 mit Ω = {x ∈ R2 : x = 0} definiert ist. Diese Funktion erf¨ ullt ∇ × u(x) =

∂u1 −2x1 x2 −2x1 x2 ∂u2 − = − =0 ∂x1 ∂x2 x4 x4

f¨ ur x ∈ Ω.

Nichtsdestotrotz kann u(x) nicht in der Form u(x) = ∇ϕ(x) f¨ ur x ∈ Ω geschrieben werden. Dies ergibt sich daraus, dass f¨ ur die geschlossene Kurve Γ, die durch s(t) = r(cos(t), sin(t)), 0 ≤ t < 2π gegeben wird, gilt:

u · ds =

Γ

0

2π

1 2 r dt = 2π, r2

wohingegen Γ u · ds = 0 gelten sollte, falls u(x) = ∇ϕ(x), da Γ geschlossen ist. Der Grund liegt darin, dass in diesem Fall Ω nicht konvex ist. Der Punkt x = 0 geh¨ ort nicht zu Ω, d.h., Ω besitzt ein Loch“. Wir können Ω nicht ” erweitern, um x = 0 einzubeziehen, da die Funktion u(x) in x = 0 singulär und insbesondere nicht Lipschitz-stetig ist.


1019

Aufgaben zu Kapitel 70 70.1. Finden Sie, falls m¨ oglich, ein Potential ϕ f¨ ur (a) u(x) = (x1 , x2 , x3 ) (b) u(x) = (x3 , x1 , x2 ) (c) u(x) = (x22 − x3 , 2x1 x2 , 3x23 − x1 ). 70.2. Wir wiederholen von oben, dass ∇ × u = 0 dann und nur dann, wenn u = ∇ϕ f¨ ur ein ϕ. Wir stellen nun die Frage, ob dann und nur dann ∇ · u = 0, wenn u = ∇ × ψ f¨ ur ein (Vektor-)Potential ψ gilt. Beachten Sie, dass wir bereits wissen, dass der dann-Teil“ der Aussage wahr ist, d.h., dass ∇ · u = 0, wenn u = ∇ × ψ f¨ ur ein ” ψ. Es zeigt sich, dass auch der und nur dann, wenn-Teil“ wahr ist, d.h. f¨ ur ∇ · u = 0 ” k¨ onnen wir ein (Vektor-)Potential ψ konstruieren, so dass u = ∇×ψ. Beweisen Sie 1 dies mit Hilfe der Konstruktion ψ(x) = 0 u(tx)×tx dt unter der vereinfachenden Annahme, dass ∇ · u in ganz R3 definiert ist. 70.3. Erweitern Sie das obige Gegenbeispiel auf die Funktion u : R3 → R3 , die durch u(x) = (−x2 , x1 , 0)/ x 2 gegeben ist. Durch diese Funktion wird das Magnetfeld um einen Leiter l¨ angs der x3 -Achse beschrieben.

71 Massenschwerpunkt und archimedisches Prinzip*

Das einfachste Schulkind ist heutzutage mit Tatsachen vertraut, f¨ ur die Archimedes sein Leben geopfert h¨ atte. (Ernest Renan)

71.1 Einleitung Wir wenden uns nun der Stabilit¨ atsuntersuchung f¨ ur schwimmende Körper zu und untersuchen dabei auch die Frage, wie ein großes Schiff oder ein Segelboot entworfen werden muss, so dass es nicht umkippt. Ein Beispiel f¨ ur einen ung¨ unstigen Entwurf liefert das Kriegsschiff Vasa, das auf seiner Jungfernfahrt am 10. August 1628 im Hafen von Stockholm umkippte und zusammen mit 50 von 150 Mann Besatzung sank. Bei der anschließenden Gerichtsverhandlung wurde entschieden, dass das Schiff wohl gebaut aber ” schlecht proportioniert“ war und niemand wurde f¨ ur das Ungl¨ uck f¨ ur schuldig befunden. Das Schiff ist nun im Vasa Museum in Stockholm ausgestellt. Offensichtlich kam die Instabilit¨ at der Vasa u ¨berraschend. Die Vasa wurde nach einem neuen Entwurf mit zwei statt einem Kanonendeck f¨ ur schwere Artillerie gebaut, und der geplante Ballast mit Steinen war als Gegengewicht nicht ausreichend. Die alten Gesetze f¨ ur den Schiffbau waren offensichtlich nicht f¨ ur den neuen Entwurf anwendbar, und Infinitesimalrechnung und wissenschaftliche Berechnungen waren zu der Zeit f¨ ur glaubw¨ urdige Vorhersagen zu primitiv. Wozu w¨ aren wir heute mit ein bisschen Infinitesimalrechnung in der Lage? Wir beginnen mit dem Begriff des Massenschwerpunkts, fahren dann

1022

71. Massenschwerpunkt und archimedisches Prinzip*

mit dem archimedischen Prinzip fort und stellen die Frage nach der Stabilit¨ at schwimmender K¨ orper.

Abb. 71.1. 10. August 1628: Die Vasa wird instabil und sinkt

71.2 Massenschwerpunkt Wir betrachten einen K¨ orper B, der das Volumen V in R3 einnimmt. Wir nehmen dazu an, dass die Dichte des K¨ orpers in x durch ρ(x) gegeben wird. Die Gesamtmasse m(B) des K¨ orpers betr¨ agt: ρ(x) dx. m(B) = V

Der Massenschwerpunkt x ¯ = (¯ x1 , x ¯2 , x ¯3 ) ∈ R3 des Körpers B wird durch ρ(x) dx = xi ρ(x) dx , i = 1, 2, 3 x ¯i V

V

definiert, d.h., xi ρ(x) dx x ¯i = V , ρ(x) dx V

i = 1, 2, 3.

71.2 Massenschwerpunkt

1023

In Vektorschreibweise lautet dies: xρ(x) dx x¯ = V . ρ(x) dx V Wir wollen nun die Bedeutung des Begriffs des Massenschwerpunkts mit Hilfe des Begriffs des Drehmoments erl¨ autern. Dazu betrachten wir die Wirkung eines senkrechten Gravitationskraftfelds −e3 mit Einheitsstärke, das auf den K¨ orper B einwirkt, wobei die Koordinatenrichtung e3 senkrecht nach oben orientiert ist. Das Drehmoment um einen Punkte x¯, das eine Kraft F , die in x angreift, aus¨ ubt, lautet: (x − x¯) × F = −F × (x − x¯), vgl. Abb. 71.2. Anders formuliert, so ist das Drehmoment ein Vektor, der senkrecht zu der Ebene ist, die durch die Richtung der Kraft und den Hebelarm x − x ¯ aufgespannt wird. Der Betrag entspricht dem Betrag der Kraft F multipliziert mit dem Abstand zwischen Punkt x ¯ und dem Angriffspunkt x. x3

x D

x−x ¯ F x ¯ D

F

x2

x1 Abb. 71.2. Das Drehmoment D = (x − x ¯) × F um den Punkt x ¯ einer in x angreifenden Kraft F

Das Drehmoment um einen gegebenen Punkt x ¯, das durch das Schwerkraftfeld (unter der Annahme einer Gravitationsbeschleunigung g = 1) im Punkt x mit dem Massenelement ρ(x) dx hervorgerufen wird, entspricht: ¯). ρ(x) dx e3 × (x − x

1024


Das Gesamtdrehmoment D des Gravitationsfeldes −e3 f¨ ur den Körper B um x ¯ ergibt sich folglich zu: D = e3 × ρ(x)(x − x¯) dx = 0, V

wobei wir die Definition des Massenschwerpunkts benutzen. Das Drehmoment um x¯ verschwindet also, was bedeutet, dass der Körper ausbalanciert ist, wenn er im Punkt x ¯ unterst¨ utzt wird, vgl. Abb. 71.3. Genauer formuliert, gilt ρ(x)x dx − x ¯ ρ(x) dx = 0 (71.1) D = e3 × V

dann und nur dann, wenn

V

xi ρ(x) dx x ¯i = V V ρ(x) dx

f¨ ur i = 1, 2. Das heißt, dass der K¨ orper ausbalanciert ist, wenn er in einem utzt wird mit x1 = x ¯1 , x2 = x ¯2 , wohingegen Punkte x = (x1 , x2 , x3 ) unterst¨ ahlt werden kann, vgl. Abb. 71.3. Daher wird der Körper x3 beliebig gew¨ unabh¨ angig von seiner Orientierung ausbalanciert sein, wenn er in seinem Massenschwerpunkt x ¯ unterst¨ utzt wird. Wird der Körper in einem anderen Punkt x als dem Massenschwerpunkt x ¯ unterst¨ utzt, so ist er dann und nur dann balanciert, wenn x¯ − x zur Richtung des Gravitationsfeldes parallel ist.

Abb. 71.3. Ein in seinem Massenschwerpunkt unterst¨ utzter K¨ orper in zwei stabilen Positionen und ein K¨ orper, der in einem Eckpunkt unterst¨ utzt wird; balanciert aber instabil

Beispiel 71.1. Wir berechnen den Massenschwerpunkt x ¯ einer d¨ unnen dreieckigen Platte mit einheitlicher Dicke, die in der Ebene den Bereich Ω = {x ∈ R2 : 0 ≤ x1 , x2 , x1 + x2 ≤ 1} einnimmt. Wir erhalten xi dx 1 1/6 = . x ¯i = Ω = 1/2 3 dx Ω

71.3 Das archimedische Prinzip

1025

Beispiel 71.2. Wir berechnen den Massenschwerpunkt der Halbkugel Ω = {x ∈ R3 : x ≤ 1, x3 ≥ 0}. Aus Symmetriegr¨ unden ist x¯1 = x¯2 = 0. F¨ ur arischen Koordinaten: x ¯3 erhalten wir mit Hilfe von sph¨

2π

π/2

1

r cos(ϕ) r2 sin(ϕ) drdϕdθ

x3 dx = 0

Ω

d.h., x ¯3 =

0

0

) 1 *1 1 sin(2ϕ) r4 dϕdθ = 2 4 0 0 0 2π ) * π/2 1 1 2π 1 − cos(2ϕ) dθ = dθ = π/4, = 4 0 4 8 0 0

Ω

x3 dx/

2π

Ω

π/2

dx =

π/4 2π/3

= 38 .

71.3 Das archimedische Prinzip Das archimedische Prinzip besagt, dass die Auftriebskraft eines vollständig eingetauchten K¨ orpers B (i) dem Gewicht der verdrängten Fl¨ ussigkeit entspricht und (ii) senkrecht zum Massenschwerpunkt der verdrängten Fl¨ ussigkeit, den wir als Auftriebszentrum cb bezeichnen, einwirkt. Wir wollen diese Tatsache nun mit Hilfe vektorieller Infinitesimalrechnung beweisen. Die Kraft durch die Fl¨ ussigkeit, die auf ein Element ds = ds(x) der Fläche S eines K¨ orpers B im Punkt x einwirkt, entspricht −p(x)n(x) ds, wobei p(x) der Druck der Fl¨ ussigkeit ist und n(x) ist die auswärts (von B) gerichtete Einheitsnormale an S in x. Die gesamte Druckkraft auf B beträgt daher F = − p(x)n(x) ds(x) = − pn ds. S

Da

V

S

∂p dx = ∂xi

pni ds,

i = 1, 2, 3,

S

wobei V dem Volumen von B entspricht, erhalten wir F =− ∇p(x) dx. V

Der Druck p(x) in einer ruhenden Fl¨ ussigkeit, der als hydrostatischer Druck bezeichnet wird, ergibt sich aus p(x) = ρz(x) + p0 . Dabei ist z(x) die Tiefe, ρ die konstante Dichte der Fl¨ ussigkeit und p0 der Druck auf die Oberfl¨ ache der Fl¨ ussigkeit, vgl Abb. 71.4.

1026

71. Massenschwerpunkt und archimedisches Prinzip* p0

z

p Abb. 71.4. Hydrostatischer Druck p(x) = ρz(x) + p0

Die Druckkraft in einem Punkt x ist in alle Richtungen gleich groß und ihr Betrag p(x) entspricht dem Gewicht ρz(x) der Fl¨ ussigkeitssäule u ¨ ber dem Punkte x zuz¨ uglich dem Oberfl¨ achendruck p0 durch die Atmosphäre. Wir folgern, dass ∇p(x) = −ρe3 , wobei wir annehmen, dass die Koordinatenrichtung e3 senkrecht und aufw¨ arts gerichtet ist. Daher ist F = ρ dx e3 = M e3 , V

wobei M = V ρ dx dem Gesamtgewicht der verdrängten Fl¨ ussigkeit entspricht. Damit ist der erste Teil des archimedischen Prinzips bewiesen. Als N¨ achstes erhalten wir f¨ ur das Gesamtdrehmoment D aus den Fl¨ ussigkeitsdruckkr¨ aften auf S: D = (x − x¯) × (−p(x)n(x)) ds(x) = n(x) × p(x)(x − x¯) ds. S

S

Wenn wir ber¨ ucksichtigen, dass n × F ds = ∇ × F dx, S

V

so ergibt sich: ∇ × (p(x)(x − x ¯)) dx.

D= V

Nun ist aber ∇ × (p(x)(x − x ¯)) = ∇p × (x − x ¯) + p ∇ × (x − x ¯).

71.4 Die Stabilit¨ at schwimmender K¨ orper

1027

Da ∇ × (x − x ¯) = 0, folgt, dass D= ∇p × (x − x¯) dx = − ρ(x − x¯) dx × e3 . V

V

Das Drehmoment D verschwindet folglich, wenn f¨ ur x ¯ gilt: ρ dx = xi ρ dx f¨ ur i = 1, 2. x ¯i V

V

Wir fassen zusammen, dass die Auftriebskraft senkrecht aufwärts gerichtet ist und l¨ angs einer senkrechten Linie durch den Massenschwerpunkt der verdr¨ angten Fl¨ ussigkeit einwirkt. Somit haben wir bewiesen: Satz 71.1 (Archimedisches Prinzip) Die auf einen in eine Fl¨ ussigkeit eingetauchten Körper einwirkende Auftriebskraft entspricht dem Gewicht der verdrängten Fl¨ ussigkeit. Sie wirkt längs einer vertikalen Geraden durch den Massenschwerpunkt der verdrängten Fl¨ ussigkeit. Wir k¨ onnen das archimedische Prinzip direkt auf teilweise eingetauchte K¨ orper ausdehnen, indem wir annehmen, dass der Oberflächendruck der Fl¨ ussigkeit dabei Null betr¨ agt.

71.4 Die Stabilität schwimmender Körper Die Stabilit¨ at eines schwimmenden K¨ orpers B ist von zentraler Wichtigkeit f¨ ur alle Arten des Schiffbaus; angefangen bei Kanus bis hin zu großen Schiffen. Die Frage nach der Stabilit¨ at kann auf die Frage nach der relativen orpers B und (ii) des Zentrums Lage (i) des Massenschwerpunkts cm des K¨ uckder Auftriebskraft cb von B entsprechend der folgenden Diskussion zur¨ gef¨ uhrt werden. Wir betrachten dazu den K¨ orper in Ruheposition mit einer vom Massenschwerpunkt senkrecht nach unten gerichteten Schwerkraft und die Auftriebskraft, die aus dem Zentrum der Auftriebskraft senkrecht nach oben wirkt. Wir nehmen an, dass der K¨ orper sich im Gleichgewicht befindet, wobei die Gravitationskraft und die Auftriebskraft, die durch die senkrechten Geraden des Massenschwerpunkts und des Auftriebszentrums verlaufen, sich ausgleichen, vgl. Abb. 71.5. Nun nehmen wir an, dass der K¨ orper um einen kleinen Winkel geneigt wird, so dass das Zentrum der Massenschwerkraft und der Auftriebskraft horizontal gegeneinander verschoben sind, vgl. Abb. 71.5. Sei D das resultierende Drehmoment, das sich aus den beiden Kräften ergibt. Das Vorzeichen des Drehmoments wird f¨ ur die Stabilit¨ at ausschlaggebend sein! Wirkt D in dieselbe Richtung wie die Neigung, wird sich die Neigungstendenz verst¨ arken und der K¨ orper wird sich aus der Gleichgewichtslage entfernen und gegebenenfalls umkippen, vgl. Abb. 71.5. Dies tritt auf, wenn das

1028


cm

cm

cb

cb

cm cb

Abb. 71.5. Schwimmende K¨ orper mit ihren Massenschwerpunkten und den Auftriebszentren

Schwerkraftzentrum sich horizontal schneller in Neigungsrichtung bewegt, als dies das Auftriebszentrum tut. Andererseits wird das Drehmoment negativ, wenn sich das Schwerkraftzentrum langsamer verschiebt und es wirkt dann als R¨ uckstellkraft, die bestrebt ist, den Körper in die Ausgangslage zur¨ uckzubewegen, vgl. Abb. 71.5. Wir wollen nun zwei Beispiele mit einfachen Geometrien betrachten. Beispiel 71.3. Nun wollen wir eine Raumkapsel mit konischer Spitze und halbkugelf¨ ormiger Grundfl¨ ache betrachten, die im Pazifik schwimmt und auf ihre Bergung wartet. Wird die Kapsel aufrecht schwimmen oder nicht? Angenommen, die Kapsel schwimmt aufrecht, so dass ein Teil der halbkugelf¨ ormigen Grundfl¨ ache in das Wasser eintaucht, vgl. Abb. 71.6.

C cm cb Abb. 71.6. Aufrecht schwimmende Raumkapsel

Die Resultierende der Auftriebskr¨ afte ist aufwärts gerichtet und wirkt auf das Zentrum C der Halbkugel ein, vgl. Abb. 71.6. Wenn die Kapsel leicht geneigt wird, so ist die Auftriebskraft stets durch C gerichtet und das Drehmoment durch die Gravitationskraft wird destabilisierend sein, wenn sich der Massenschwerpunkt cm der Kapsel oberhalb von C befindet und es wird stabilisierend wirken, wenn cm unterhalb von C liegt (wenn cm auf der Symmetrieachse der Kapsel liegt), vgl. Abb. 71.6. Beispiel 71.4. Wir betrachten eine rechteckige Schachtel mit quadratischen Seitenfl¨ achen der Breite 2w und H¨ ohe 2l und einer Dichte ρ¯, die in einer


1029

2h M

2w

A B

Abb. 71.7. Schwimmende Schachtel

Fl¨ ussigkeit der Dichte ρ schwimmt, vgl. Abb. 71.7. Angenommen, dass ρ¯ verglichen zu ρ klein ist, so dass die Schachtel nur leicht ins Wasser eintaucht. Um die Stabilit¨ at der Schachtel zu pr¨ ufen, gehen wir von einer leichten Drehung um einen Winkel θ um den Mittelpunkt C im Boden aus. Das destabilisierende Drehmoment um C, das durch die Gravitationskraft durch das Massenzentrum hervorgerufen wird, entspricht g ρ¯(2w)2 2hh sin(θ), vgl. ¨ Abb. 71.7. Das stabilisierende Drehmoment, das durch die Anderung der Auftriebskr¨ afte durch die Drehung bewirkt wird, ergibt sich zu 1 2 2 www sin θ ρgw, 3 2 da die Fl¨ ache des Dreiecks CAB gleich ww sin θ 12 ist und da das Massenzentrum von CAB im horizontalen Abstand 2 23 w von C liegt. Die Position ist stabil, falls 1 2 2 w4 sin θ ρg > g ρ¯8w2 h2 sin(θ), 3 2 d.h., falls w2 ρ > 12h2 ρ¯.

Aufgaben zu Kapitel 71 71.1. Die Eisdichte betr¨ agt das 0, 917-fache der Wasserdichte (bei −4◦ C). Wie viele Teile eines Eisbergs sind oberhalb der Wasserfl¨ ache sichtbar? 71.2. Wie schwimmt ein Baumstamm? Warum schwimmt er nicht in senkrechter Lage? 71.3. Untersuchen Sie, warum Katamaran-Boote gute Stabilit¨ atseigenschaften besitzen. 71.4. Bestimmen Sie die stabile Schwimmlage eines Baumstamms“ mit qua” dratischer Grundfl¨ ache und Dichte ρ¯ = 12 ρ. Bestimmen Sie die stabilen Lagen als Funktion des Verh¨ altnisses ρ¯/ρ. (Wir wissen von oben, dass er f¨ ur gen¨ ugend kleines ρ¯/ρ, flach wie die Schachtel in Abb. 71.7 schwimmen wird.) Gibt es mehr als eine stabile Position (neben Symmetrie-bedingten Positionen)? Diskutieren Sie! H¨ angen die Schlussfolgerungen von der Form der Grundfl¨ ache ab?

1030


71.5. Wie schwimmt ein (perfekter) Eisw¨ urfel? Wie schwimmt ein Fass (Zylinder), bei vorgegebenem Verh¨ altnis von H¨ ohe zu Durchmesser und Dichteverh¨ altnis? 71.6. Untersuchen Sie den Entwurf von Segelbooten unter Stabilit¨ atsgesichtspunkten. Vergleichen Sie insbesondere moderne Entw¨ urfe mit guter Formstabilit¨ at (breiter und flacher Boden) und klassische Entw¨ urfe mit einem engen tiefen Rumpf. Stellen Sie eine Verbindung zur Vasa her. 71.7. Verallgemeinern Sie das archimedische Prinzip auf einen K¨ orper, der in ein System zweier aufeinander schwimmender Schichten verschiedener Fl¨ ussigkeiten eintaucht.

72 Der Albtraum von Newton*

Gott k¨ ummert sich nicht um mathematische Schwierigkeiten. Er integriert empirisch. (Einstein)

Die Newtonsche Theorie der Schwerkraft besagt, dass das Schwerkraftfeld F (x), das durch einen Massenpunkt m im Ursprung erzeugt wird, dem Potentialfeld m x F (x) = −m = ∇ (72.1) x3 x entspricht, das zum Potential ϕ(x) = m/x gehört. Dabei sind die Einheiten so gew¨ ahlt, dass die Gravitationskonstante Eins beträgt. Das bedeutet, dass die Gravitationskraft auf eine Einheitspunktmasse im Punkt x, die durch eine Masse m im Ursprung hervorgerufen wird, F (x) beträgt. In Absolutbetr¨ agen ergibt sich F (x) =

m , x2

was als Newtonsches Gesetz mit inverser Proportionalität zum Abstandsquadrat bekannt ist. Ganz allgemein lautet das Schwerkraftfeld einer Masse m in einer Position y: F (x) = −m

x−y , x − y3

(72.2)

wobei F (x) die Kraft auf eine Einheitsmasse in Position x beschreibt mit zugeh¨ origem Potential ϕ(x) = m/x − y.

1032

72. Der Albtraum von Newton*

Abb. 72.1. Isaac Newton 1689: Ich war nicht in der Lage, ein Ph¨ anomen f¨ ur die ” Ursache der Schwerkraft zu entdecken und ich m¨ ochte keine Hypothese aufstellen; denn alles, was sich nicht aus Ph¨ anomenen herleiten l¨ asst, muss Hypothese genannt werden, und Hypothesen, seien sie metaphysisch oder physikalisch mit okkultem oder mechanischem Hintergrund, haben keinen Platz in der experimentellen Philosophie“

¨ Uber eine lange Zeit versuchte Newton eine Folgerung seiner neuen Gravitationstheorie zu zeigen: Die Gravitationskraft zwischen zwei festen Kugeln ist gleich der zwischen den in den Massenschwerpunkten der Kugeln konzentrierten Massen der Kugeln. Dieses Ergebnis hat wichtige praktische Auswirkungen. So w¨ urde es beispielsweise die Modellierung des Sonnensystems durch 9 kleine Punkte f¨ ur die Planeten, die um einen fixen großen Massenpunkt, der f¨ ur die Sonne steht, erlauben, d.h., als ein 9K¨ orper System. Ohne dieses vereinfachende wichtige Ergebnis m¨ ussten wir die Anziehungskraft zwischen den Teilen jedes dieser Körper betrachten, was das Modell betr¨ achtlich komplizieren w¨ urde. Die praktische Anwendbarkeit des Newtonschen Gravitationsgesetzes wäre durch jeden, der wie die Kirche daran Interesse hatte, einfach in Frage zu stellen. In Ermangelung dieses wichtigen Ergebnisses verz¨ ogerte Newton die Veröffentlichung seines Monumentalwerks Principia Mathematica um viele Jahre. Newton behauptete, dass er die Principia“ absichtlich schwer zu lesen hielt, um zu ” ” vermeiden, von kleinen Lichtern der Mathematik geschlagen zu werden“. Newton liebte Kritiker nicht. Tats¨ achlich kann auch ein 9-K¨ orper System von Punktmassen weit jenseits des Verst¨ andnisses oder der mathematischen Analyse liegen. Gl¨ ucklicherweise ist das Sonnensystem ein sehr spezielles 9-Körper System, bei der die Bewegung jedes Planeten in guter N¨ aherung als ein 1-Körper System betrachtet werden kann, so als ob jeder Planet ungestört um eine schwere Sonne kreisen w¨ urde. Derartige 1-K¨ orper Systeme besitzen eine vollständige analytische L¨ osung, wie wir im Kapitel Lagrange und das Prinzip der ” kleinsten Wirkung“ gesehen haben.


1033

Das wichtige Ergebnis, das Newton schließlich erfolgreich bewies, lässt sich folgendermaßen in Worte fassen: Sei eine d¨ unne Kugelh¨ ulle S mit Radius r und gleichm¨ aßiger Dicke und Masse m im Ursprung zentriert. Sei F (x) das Schwerkraftfeld, das durch diese sphärische Schale erzeugt wird, so dass F (x) die Schwerkraft der Kugelh¨ ulle auf eine Einheitspunktmasse im Punkt x außerhalb der Kugel ist. Newton bewies, dass F (x) = −m

x x3

f¨ ur x > r,

wonach das Schwerkraftfeld, das durch die Kugelh¨ ulle auf einen Punkt außerhalb ausge¨ ubt wird, dem Feld entspricht, das durch eine Punktmasse m im Zentrum der Kugel erzeugt wird. Das Gravitationsfeld F (x) der Kugelh¨ ulle entspricht der Summe der Gravitationsfelder aller kleinen Teile ds(y) der Oberfläche mit Masse dm(y) im Punkt y, aus denen die Kugel zusammengesetzt ist, so dass also f (y)ds(y), F (x) = S

wobei f (y)ds(y) = −dm(y)

x−y x − y3

dem Schwerkraftfeld des Fl¨ achenst¨ ucks ds(y) der Masse dm(y) im Punkte y entspricht. Wir halten fest, dass dm(y) =

mds(y) , 4πr2

agt und die Gesamtmasse m ist, so dass da die Fl¨ ache der Kugel 4πr2 betr¨ also x−y m . (72.3) f (y) = − 4πr2 x − y3 Newton wollte also beweisen, dass x f (y) ds(y) = −m 3 x S

f¨ ur x > r,

(72.4)

wobei f (y) durch (72.3) gegeben ist. Ist dieses wichtige Ergebnis f¨ ur eine sph¨ arische Schale gezeigt, so ergibt sich das entsprechende Ergebnis f¨ ur eine feste Kugel einfach als Vereinigung einer Menge von d¨ unnen Sphären verschiedener Radien. Das endg¨ ultige gesuchte Ergebnis f¨ ur zwei feste Kugeln ergibt sich dann ganz ¨ ahnlich. Wir wollen nun beweisen, dass (72.4) das Gravitationsfeld einer d¨ unnen sph¨ arischen Schale S mit Radius r und Gesamtmasse m, deren Zentrum im Ursprung liegt, beschreibt. Wir nehmen dazu an, dass x = (R, 0, 0) mit

1034


R > r. Aus Symmetriegr¨ unden deckt dies die ganze Kugel ab. Wir halten fest, dass die Komponenten F2 (x) und F3 (x) der Schwerkraft verschwinden, da die Schwerkraft von (R, 0, 0) zum Ursprung hin gerichtet ist, so dass wir einfach nur zeigen m¨ ussen, dass R − y1 m m ds(y) = − 2 . F1 (x) = − 4πr2 S x − y3 R Wir setzen sph¨ arische Koordinaten y = (r cos(ϕ), r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ)) ein, um das Fl¨ achenintegral mit 0 ≤ ϕ ≤ π und 0 ≤ θ ≤ 2π zu berechnen, vgl. Abb. 72.2. Wir verweisen auf das Kapitel Oberflächenintegrale“ f¨ ur ” ds(y) = r2 sin(ϕ)dϕ dθ. x2

(r cos(ϕ), r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ))

θ

r ϕ (R, 0, 0)

x1

x3 Abb. 72.2. Der Albtraum von Newton

Nach Abb. 72.2 erhalten wir R − y1 m ds(y) F1 (x) = − 2 4πr S x − y3 (R − r cos(ϕ)) sin(ϕ) m π 2π dθdϕ =− 4π 0 0 ((R − r cos(ϕ))2 + (r sin(ϕ))2 )3/2 m π (R − r cos(ϕ)) sin(ϕ) =− dϕ, 2 0 ((R − r cos(ϕ))2 + (r sin(ϕ))2 )3/2 wobei wir die Integration nach θ mit Hilfe der Tatsache, dass der Integrand von θ unabh¨ angig ist, ausgef¨ uhrt haben. Somit m¨ ussen wir beweisen, dass π (R − r cos(ϕ)) sin(ϕ) dϕ 2 = 2. (72.5) I= 2 + (r sin(ϕ))2 )3/2 R ((R − r cos(ϕ)) 0


1035

An dieser Stelle substituieren wir t = cos(ϕ) und benutzen dt = − sin(ϕ)dϕ: 1 1 (R − rt) dt (1 − at) dt 1 = 2 I= 2 2 3/2 R −1 (1 + a2 − 2at)3/2 −1 (R + r − 2Rrt) mit a = Rr < 1. Durch eine Routine-Rechnung erhalten wir, dass aus a < 1 folgt, dass 1 (1 − at) dt 2 3/2 −1 (1 + a − 2at) 2 2 1 1 ( 1+a − at) dt ( 1+a − 1) dt 2 2 = − 2 − 2at)3/2 2 − 2at)3/2 (1 + a (1 + a −1 −1 !1 !1 1 a2 − 1 − (1 + a2 − 2at)1/2 −1 − (1 + a2 − 2at)−1/2 −1 2a 2a a2 − 1 1 1 1 1 + a − (1 − a) − − = = 1 + 1 = 2, 2a 2a 1−a 1+a =

woraus sich das erw¨ unschte Ergebnis ergibt: F1 (x) = −

m R2

falls x = (0, 0, R),

R > r.

Unten werden wir noch einen viel k¨ urzeren Beweis f¨ ur dieses Ergebnis anf¨ uhren, wobei wir Werkzeuge der Infinitesimalrechnung einsetzen, die wir in den n¨ achsten Kapiteln entwickeln werden.

Aufgaben zu Kapitel 72 72.1. Beweisen Sie, dass das Schwerkraftfeld einer Kugelh¨ ulle innerhalb der Kugel gleich Null ist. 72.2. Berechnen Sie das Schwerkraftfeld F (x) f¨ ur x ∈ R3 f¨ ur einen festen Ball mit Gesamtmasse m und Radius r, dessen Zentrum im Ursprung liegt. 72.3. Berechnen Sie das Schwerkraftfeld einer d¨ unnen gleichf¨ ormigen Stange. 72.4. Bestimmen Sie das Schwerkraftfeld f¨ ur einen d¨ unnen kreisf¨ ormigen ebenen (a) Ring bzw. (b) eine Scheibe. 72.5. (a) Betrachten Sie eine Teilchenwolke gleichf¨ ormiger Dichte in Gestalt eines Balls. Gehen Sie davon aus, dass sich die Teilchen nach dem Newtonschen Schwerkraftgesetz gegenseitig anziehen. Berechnen Sie die Entwicklung der Wolke f¨ ur t > 0 unter der Annahme, dass sich die Teilchen zur Zeit t = 0 in Ruhe befinden. (b) Wiederholen Sie dasselbe f¨ ur eine Wolke in Gestalt des Volumens zwischen zwei konzentrischen Kugeln. (c) Erweitern Sie dies auf Wolken mit variabler Dichte.

73 Laplacesche Modelle

. . . on aura donc ∆u = 0; cette équation remarquable nous sera de la plus grande utilité . . . (Laplace) Wenn man bei diesen verdammten Quantenspr¨ ungen bleiben muss, dann bedaure ich, dass ich jemals damit zu tun hatte. Ich mag sie nicht (die Quantenmechanik) und es tut mir Leid, dass ich jemals etwas damit zu tun hatte. (Schr¨ odinger)

73.1 Einleitung In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Modelle vor, die den LaplaceOperator enthalten. Darunter sind Modelle f¨ ur Wärmeleitung, Elastizität, Elektromagnetismus, Str¨ omungsmechanik und Gravitation. Bei der Herleitung dieser Modelle werden wir von den Grundlagen der mehr-dimensionalen Infinitesimalrechnung Gebrauch machen wie den Sätzen von Gauss und Stokes und wir werden so eine schnelle und einfache Einf¨ uhrung in einige der Mysterien der Mechanik und der Physik kontinuierlicher Medien“ ” erhalten. Wir werden auch Br¨ ucken zur linearen Algebra schlagen, wenn wir den Laplace-Operator mit Hilfe des 5-Punkte Sterns und Varianten der Svensson-Formel“ diskretisieren. ”

73.2 Wärmeleitung Als Erstes wollen wir die Wärmeleitung in einem wärmeleitenden Material, das das Volumen Ω in R3 mit der Begrenzung Γ einnimmt, u ¨ ber ein Zei-

1038

73. Laplacesche Modelle

tintervall I = [0, T ] modellieren. Dabei bezeichnet u(x, t) die Temperatur und q(x, t) den Wärmefluss im Punkte x zur Zeit t. Der Wärmefluss ist ein armefluss oder die Wärmemenge, die Vektor q = (q1 , q2 , q3 ), wobei qi den W¨ in Richtung xi fließt, bezeichnet. Ferner bezeichnet f (x, t) die Wärmemenge (pro Einheitsvolumen), die in (x, t) durch eine Wärmequelle eingespeist wird. Wir leiten das Modell mit Hilfe eines wichtigen Erhaltungsgesetzes her, das die Wärmeerhaltung in der folgenden Form zum Ausdruck bringt: F¨ ur jedes feste Gebiet V in Ω mit Begrenzung Γ ist die gesamte Wärmemenge, die in V durch eine ¨ außere W¨ armequelle eingebracht wird, gleich der gesamten W¨ armemenge, die sich in V angesammelt hat, zusätzlich des ge¨ samten W¨ armeflusses durch Γ. Dies basiert auf der Uberzeugung, dass die W¨ arme, die in V durch eine ¨ außere Quelle eingespeist wird, nur zwischen zwei M¨ oglichkeiten w¨ ahlen kann: (i) Fluss aus V hinaus und (ii) Ansammlung in V . Wenn Γ die Begrenzung von V bezeichnet und n die auswärts gerichtete Einheitsnormale zu Γ, vgl. Abb. 73.1, dann kann das Erhaltungsgesetz in der Form

V n

Abb. 73.1. Eine beliebige Teilmenge V eines w¨ armeleitenden K¨ orpers Ω

f dx = V

∂ ∂t

q · n ds

λu dx +

(73.1)

Γ

V

geschrieben werden. Dabei ist λ(x, t) der Wärmekapazitätskoeffizient, der die W¨ armemenge pro Einheitsvolumen angibt, die nötig ist, um die Temperatur um eine Einheit zu erh¨ ohen. Alle Funktionen werden dabei zu einer bestimmten Zeit t ∈ I ausgewertet. Aus dem Divergenzsatz q · n ds = ∇ · q dx, Γ

V

ergibt sich in Kombination mit (73.1), dass V

∂ (λu) + ∇ · q ∂t

dx =

f dx, V

73.2 W¨ armeleitung

1039

wobei die Ableitung nach der Zeit unter das Integralzeichen gezogen werden kann, da V nicht von der Zeit t abh¨ angt. Da V beliebig ist, ergibt sich unter der Annahme, dass die Integranden Lipschitz-stetig sind, dass ∂ (λu)(x, t) + ∇ · q(x, t) = f (x, t) f¨ ur alle x ∈ Ω, 0 < t ≤ T. ∂t

(73.2)

Wir erhalten so eine Differentialgleichung mit zwei Unbekannten, die die Wärmeerhaltung beschreibt: Die Temperatur u(x, t) und den Wärmefluss q(x, t). Wir benötigen zur L¨ osung dieser Gleichung mit zwei Unbekannten noch eine weitere Gleichung. Die zweite Gleichung ist eine Beobachtungsgleichung, die den Wärmefluss q mit dem Temperaturgradienten ∇u in Zusammenhang bringt. Das Fouriersche Gesetz besagt, dass die W¨ arme von warm nach kalt fließt, wobei der W¨ armefluss zum Temperaturgradienten proportional ist: q(x, t) = −a(x, t)∇u(x, t)

f¨ ur x ∈ Ω, 0 < t ≤ T,

(73.3)

wobei der Proportionalit¨ atsfaktor a(x, t) dem Koeffizienten der Wärmeleitf¨ ahigkeit entspricht. Beachten Sie das Minuszeichen, durch das zum Ausdruck gebracht wird, dass die W¨ arme von warm nach kalt fließt und dass die W¨ armeleitfähigkeit a(x, t) positiv ist. Durch Kombination von (73.2) mit (73.3) erhalten wir die wichtige Differentialgleichung zur Beschreibung der W¨ armeleitf¨ ahigkeit: ∂ (λu) − ∇ · (a∇u) = f ∂t

in Ω × (0, T ],

(73.4)

wobei a(x, t) und λ(x, t) vorgegebene positive Koeffizienten sind, die von (x, t) abh¨ angen, f (x, t) ist eine gegebene W¨ armequelle und die Unbekannte u(x, t) steht f¨ ur die Temperatur. Um die L¨ osung eindeutig zu definieren, wird die Differentialgleichung durch Anfangs- und Randbedingungen vervollständigt. Das vollständige Modell mit Dirichlet-Randbedingungen lautet: ⎧ ∂ ⎪ ⎨ ∂t (λu) − ∇ · (a∇u) = f in Ω × (0, T ], (73.5) auf Γ × (0, T ], u = ub ⎪ ⎩ f¨ ur x ∈ Ω, u(x, 0) = u0 (x) wobei u0 die Anfangstemperatur ist und ub die Temperatur an den Grenzen. Die Dirichlet-Randbedingung beschreibt das Eintauchen des Körpers Ω in ein großes Reservoir mit einer bestimmten Temperatur ub . Dabei nehmen wir an, dass die Begrenzung ein idealer Wärmeleiter ist, so dass die Temperatur der K¨ orperh¨ ulle der Temperatur ub des Reservoirs außen entspricht. Beachten Sie, dass die vorgegebene Außentemperatur ub = ub (x, t) sich mit (x, t) ver¨ andern kann.

1040


Andere u ¨ bliche Randbedingungen sind Neumann- und Robin-Randbedingungen. Eine Neumann-Randbedingung bedeutet, dass der Wärmefluss durch die Grenze q · n = −a∇u · n = −a

∂u = −a∂n u = g ∂n

auf Γ

betr¨ agt, wobei g vorgegeben ist. Eine homogene Neumann-Randbedingung mit g = 0 entspricht einer idealen Isolierungsschicht, wobei der Wärmefluss durch die Grenze Null ist. Eine homogene Robin-Randbedingung ist etwas dazwischen, wobei die Grenze weder ideal leitend noch ideal isolierend ist. Der W¨ armefluss durch die Begrenzung ist dann proportional zur Temperaturdifferenz u innerhalb und einer vorgegebenen Temperatur ub außerhalb von Ω: −a∂n u = κ(u − ub ), wobei κ ein positiver Koeffizient ist, der der Wärmeleitungfähigkeit der Begrenzung entspricht. Wenn wir die Begrenzung Γ in unterschiedliche Teilst¨ ucke Γ1 , Γ2 und Γ3 mit verschiedenen Randbedingungen aufteilen, dann nimmt das allgemeine Anfangs-/Randwertproblem die folgende Gestalt an: ⎧ ∂ ⎪ in Ω × (0, T ], ⎪ ∂t (λu) − ∇ · (a∇u) = f ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ auf Γ1 × (0, T ], u = u b ⎨ (73.6) auf Γ2 × (0, T ], −a∂n u = g ⎪ ⎪ ⎪ a∂ u + κ(u − u ) = 0 auf Γ × (0, T ], ⎪ n b 3 ⎪ ⎪ ⎩u(x, 0) = u (x) f¨ ur x ∈ Ω, 0 wobei ub f¨ ur eine ¨ außere“ Temperatur steht und g f¨ ur den auswärts ge” richteten W¨ armefluss durch die K¨ orperh¨ ulle. ∂ (λu) = 0 Wir wollen noch festhalten, dass f¨ ur ein stationäres Modell mit ∂t und wenn die W¨ armequelle f = 0 ist, die Gleichung (73.2), die den Wärmeerhalt beschreibt, folgende Form annimmt: ∇ · q = 0.

(73.7)

Wird W¨ arme weder erzeugt noch eingespeist, dann wird die Wärmeerhaltung durch die Gleichung ∇ · q = 0 ausgedr¨ uckt, d.h. der Wärmefluss q ist divergenzfrei. Unten werden wir auf weitere Beispiele divergenzfreier Felder treffen.

73.3 Die Wärmegleichung Wir bezeichnen den Spezialfall von (73.6) mit λ = a = 1 als Wärmegleichung. F¨ ur den Fall einer homogenen Dirichlet-Randbedingung erhalten

73.4 Die station¨ are W¨ armeleitung: Die Poisson-Gleichung

wir das Modell

⎧ ∂u ⎪ ⎨ ∂t − ∆u = f u=0 ⎪ ⎩ u(x, 0) = u0 (x)

1041

in Ω × (0, T ], auf Γ × (0, T ], f¨ ur x ∈ Ω,

wobei u0 die Anfangstemperatur ist und ∆u = ∇ · (∇u) der LaplaceOperator. Die W¨ armegleichung dient oft als wichtiger Prototyp f¨ ur parabolische Probleme.

73.4 Die stationäre Wärmeleitung: Die Poisson-Gleichung Das station¨ are Analogon von (73.6) lautet ⎧ ⎪ ⎪−∇ · (a∇u) = f ⎪ ⎨u = u b ⎪−a∂n u = g ⎪ ⎪ ⎩ a∂n u + κ(u − ub ) = 0

in Ω, auf Γ1 , auf Γ2 , auf Γ3 .

Die Wahl von a = 1 f¨ uhrt uns zur Poisson-Gleichung: ⎧ −∆u = f in Ω, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨u = u auf Γ1 , b ⎪ u = g auf Γ2 , −∂ n ⎪ ⎪ ⎩ ∂n u + κ(u − ub ) = 0 auf Γ3 .

(73.8)

(73.9)

Abb. 73.2. Poisson (1781–1840): Es gibt nur zwei gute Dinge im Leben: Ma” thematik zu studieren und zu lehren“

1042


Mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen f¨ ur die gesamte Begrenzung lautet die Poisson-Gleichung: −∆u = f in Ω, (73.10) u=0 auf Γ. Die Poisson-Gleichung dient als wichtiges Modell f¨ ur elliptische Probleme und sie besitzt zahlreiche Anwendungen in der Physik und der Mechanik, von denen wir unten einige wichtige vorstellen werden. Die PoissonGleichung −∆u = f mit f = 0 wird auch als Laplace-Gleichung ∆u = 0 bezeichnet. Wir wollen nun einige analytische L¨ osungen f¨ ur die Wärmegleichung in einfachen Situationen pr¨ asentieren: Beispiel 73.1. Die station¨ are Temperatur u in einem wärmeleitenden Einheitsw¨ urfel Q mit W¨ armeproduktion und Leitfähigkeitskoeffizienten gleich ur Eins, Begrenzungstemperatur Null f¨ ur x1 = 0, 1 und Wärmefluss Null f¨ x2 , x3 = 0, 1 lautet: u(x) =

1 x1 (1 − x1 ). 2

Wir sehen, dass die Temperatur in x1 = 0, 5 maximal ist und quadratisch gegen die Dirichlet-Grenzen abf¨ allt, vgl. Abb. 73.3, mit einer graphischen Darstellung des entsprechenden zwei-dimensionalen Falls auf dem Einheitsquadrat. Beispiel 73.2. Wir betrachten die homogene Wärmegleichung auf dem Einheitsquadrat Q mit f = 0 und homogenen Dirichlet-Randbedingungen: Die Funktion u(x, t) = e−(n

2

+m2 )t

sin(nx1 ) sin(mx2 )

mit m, n = 1, 2, 3, . . . ist eine L¨ osung der homogenen Wärmegleichung ∂u − ∆u = 0 zu den Anfangsbedingungen u0 (x1 , x2 ) = sin(nx1 ) sin(mx2 ), ∂t vgl. Abb. 73.3. Wir erkennen, dass die Temperatur u(x, t) mit der Zeit exponentiell abnimmt, wenn n und/oder m nur mäßig groß ist. Dies entspricht der Tatsache, dass eine r¨ aumlich oszillierende Temperatur schnell ausgeglichen wird. Beispiel 73.3. Die station¨ are Temperatur u(x) zwischen den beiden Ebenen arme leitende Schicht mit Wärme{x3 = 0} und {x3 = 1}, die eine W¨ leitf¨ ahigkeitskoeffizienten gleich Eins begrenzen, ohne Wärmequelle und Temperaturen u = 1 in {x3 = 1} und u = 0 in {x3 = 0} ergibt sich ¨ zu u(x) = x3 , was einer linearen Anderung der Temperatur zwischen den ¨ Ebenen entspricht. Nat¨ urlich ist das keine Uberraschung.

73.5 Ein Modell f¨ ur Konvektion, Diffusion und Reaktion u(x 1 ,x2 ) = sin( S x1 ) sin(2 S x2 )

u(x ,x )=x (1-x )/2 1 2

1

1043

1

0.5

1

0.4 0.5 0.3 0 0.2 0.5 0.1

0

1

1

1 1

1

0.5

0.5 0.5

x

2

0

0

0.5 x

x1

Abb. 73.3. Die Funktionen

1 (x1 (1 2

2

0

0

x1

− x1 )) und sin(πx1 ) sin(2πx2 )

73.5 Ein Modell fu ¨r Konvektion, Diffusion und Reaktion Die W¨ armegleichung modelliert das physikalische Phänomen der Diffusion und wir wollen nun dieses Modell erweitern, um Konvektions- und Reaktionsphänomene zu beschreiben. Wir erhalten eine skalare Gleichung zur Beschreibung von Konvektion, Diffusion und Reaktion; ein weiteres wichtiges Modell. Wir betrachten einen typischen Fall, in dem u f¨ ur die Konzentration einer bestimmten chemischen Substanz steht, die Konvektion mit einem gegebenen Geschwindigkeitsfeld β(x, t), Diffusion mit Diffusionskoeffizient (x, t) und einer Reaktion mit Reaktionsgrad α(x, t) ausgesetzt ist. Dabei kann u beispielsweise die Konzentration einer Verschmutzung in einem Wasservolumen darstellen, die sich mit der Geschwindigkeit β(x, t) ausbreitet. Das Modell ergibt sich aus dem Massenerhaltungssatz, zusammen mit einer Beobachtungsgleichung, mit der das Fouriersche Gesetz verallgemeinert wird. Dabei wird die Fließgeschwindigkeit q der chemischen Substanz durch ∇u und βu ausgedr¨ uckt. Der Massenerhalt wird wie folgt formuliert: u˙ + ∇ · q + αu = f, wobei f f¨ ur einen Quellterm steht. Die Beobachtungsgleichung nimmt die Form q = βu − ∇u

1044


an, wodurch zum Ausdruck gebracht wird, dass sich die gesamte Fließgeschwindigkeit q als Summe der Konvektionsgeschwindigkeit βu und der Diffussionsgeschwindigkeit −∇u ergibt. Somit lautet das Modell: u˙ + ∇ · (βu) + αu − ∇ · (∇u) = f

in Ω × (0, T ].

(73.11)

Es fehlen noch Anfangs- und Randbedingungen. Ω ist ein Gebiet im Raum und [0, T ] ein vorgegebenes Intervall. Wir werden unten auf dieses Modell und auf Verallgemeinerungen davon in mehreren verschiedenen Zusammenh¨ angen treffen.

73.6 Eine elastische Membran Wir betrachten ein waagrechtes elastisches Netz, das das Einheitsquadrat Q = {x ∈ R2 : 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2} bedeckt. Wir stellen uns elastische F¨ aden vor, die in den Knoten aij ∈ R2 mit aij = (ih, jh), i, j = 0, 1, . . . , N , zu einem einheitlichen vierseitigen Gitter mit Gitterweite h = 1/N zusammengebunden sind, wobei N die Zellenzahl in jeder Koordinatenrichtung angibt. Wir wollen annehmen, dass das Netz gedehnt ist, so dass die Spannung in jedem Faden gleich h ist, was bedeutet, dass die Spannung pro Einheitsl¨ ange gleich Eins ist. Beachten Sie, dass diese Normalisierung bedeutet, dass die Spannung in jedem Faden abnimmt, wenn die Zahl der F¨ aden zunimmt. Wir beziehen uns auf die Situation, bei der alle Knoten in der Ebene des Quadrats liegen und keine ¨ außere Last auf das Netz einwirkt als die unbelastete Referenzkonfiguration des Netzes. Angenommen, das Netz werde in den Knoten aij einer Menge von senkrecht nach unten gerichteter Belastungen der Größe fij h2 ausgesetzt. Das Netz wird sich unter der Belastung verformen und die Knoten werden sich aus der unbelasteten Referenzkonfiguration entfernen. Sei die vertikale Entfernung des Knotens aij gleich ui,j . Sind die Entfernungen klein, dann sind (mit R¨ uckblick auf das Kapitel Stringtheorie“) die senkrecht aufwärts ge” richteten Kr¨ afte durch das Netz auf den Knoten aij gleich (ui,j − ui−1,j ) + (ui,j − ui+1,j ) + (ui,j − ui,j−1 ) + (ui,j − ui,j+1 ), wobei wir die Beitr¨ age von den vier Fadenst¨ ucken, die in aij aufeinander treffen, erkennen. Diese Formel r¨ uhrt daher, dass die senkrechte Neigung der Strecke zwischen beispielsweise dem Knoten (i, j) und (i − 1, j) gleich (ui,j − ui−1,j )/h ist und dass die Spannung h beträgt. Dadurch erhalten wir die folgende Gleichgewichtsgleichung f¨ ur jeden Knoten aij : −

ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1 ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j − = fij . 2 h h2

73.6 Eine elastische Membran

1045

Bilden wir den Grenzwert f¨ ur h gegen Null und erinnern wir uns dabei an den Satz von Taylor, so folgt daraus u(x − h) − 2u(x) + u(x + h) d2 u = u (x) = (x). h→0 h2 dx2 lim

Ist u : R → R zweimal differenzierbar, so f¨ uhrt uns dies auf die Gleichung −∆u(x) = f (x). Diese Gleichung bringt das Gleichgewicht einer horizontalen Membran, die aus einem elastischen Material hergestellt ist und auf die eine senkrechte Belastung (Kraft pro Einheitsfl¨ ache) f (x) einwirkt, zum Ausdruck. Dabei ist u(x) die senkrechte Auslenkung der Membran in x und wir gehen davon aus, dass die Membran in der unbelasteten ebenen Referenzkonfiguration mit in allen Richtungen einheitlicher Spannung vorgespannt ist. Wir k¨ onnen dies auf eine waagrechte Membran, die ein beliebiges Gebiet Ω in R2 bedeckt, verallgemeinern. Wenn wir annehmen, dass die Membran auf der Begrenzung Γ von Ω fixiert ist, so dass die vertikale Auslenkung u(x) in Γ Null ist, so erhalten wir die Poisson-Gleichung −∆u = f

in Ω, u = 0

auf Γ

(73.12)

als Modell f¨ ur die senkrechte Auslenkung einer waagerechten elastischen Membran, die in der Begrenzung Γ eines Gebiets Ω in R2 eingespannt ist und die einer vertikalen Belastung f (x) ausgesetzt wird. Dies ist ein wichtiges Modell f¨ ur die Theorie der Elastizität.

u f Abb. 73.4. Eine in Γ eingespannte elastische Membran unter einer Belastung f

Beispiel 73.4. Ist Ω = {x ∈ R2 : x < 1} die Einheitsscheibe und ist die Belastung f radial symmetrisch, dann ist auch die Auslenkung u radial symmetrisch. Wenn wir uns an die Form des Laplace-Operators in Polarkoordinaten aus dem Kapitel Divergenz, Rotation und Laplace-Operator“ ” erinnern, k¨ onnen wir (73.12) in der Form 1 ∂ ∂u ∂u (0) = 0 −∆u = − r = f (r) f¨ ur 0 < r < 1, u(1) = 0, r ∂r ∂r ∂r schreiben. Beachten Sie, dass die Randbedingung ∂u ur die es ∂r (0) = 0, f¨ in den x-Koordinaten kein Gegenst¨ uck gibt, besagt, dass u(x) in x = 0

1046


differenzierbar ist. Ist ∂u ∂r (0) = 0, dann besitzt u(x) eine konische Spitze in x = 0 und ist nicht in x = 0 differenzierbar. Ist f (r) = 0, dann lautet die L¨ osung: u(r) =

1 (1 − r2 ) f¨ ur 0 ≤ r ≤ 1. 4

73.7 Lösung der Poisson-Gleichung Angenommen, wir wollten die Poisson-Gleichung −∆u = f

in Ω,

u = ub

auf Γ

numerisch l¨ osen, wobei Ω das Einheitsquadrat mit Begrenzung Γ ist und f (x) eine gegebene Funktion auf Ω. Wenn wir uns an die Herleitung der Modellgleichung −∆u = f im vorangegangenen Abschnitt erinnern, f¨ uhrt uns das auf die Berechnung von N¨ aherungen Ui,j von u(ih, jh) f¨ ur i, j = 0, 1, . . . , N , mit h = 1/N aus dem Gleichungssystem −

Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j Ui,j−1 − 2Ui,j + Ui,j+1 − = f (ih, jh), h2 h2 i, j = 1, . . . , N − 1,

d.h., 4Ui,j − Ui−1,j − Ui+1,j − Ui,j−1 − Ui,j+1 = h2 f (ih, jh), i, j = 1, . . . , N − 1, (73.13) mit Ui,j = ub (ih, jh), falls i oder j gleich 0 oder N ist. Wir erkennen, dass dies einem m × m-Gleichungssystem entspricht, mit m = (N − 1) × (N − 1) und den Unbekannten Ui,j mit i, j = 1, . . . , N − 1. Dies ist der ber¨ uhmte 5-Punkte Stern f¨ ur die Poisson-Gleichung, durch den die Unbekannten Ui,j mit den vier Nachbarn Ui−1,j , Ui+1,j , Ui,j−1 und Ui,j+1 gekoppelt ist. F¨ ur f = 0 nimmt der 5-Punkte Stern die Gestalt ( Svensson-Formel“) ” 1 Ui,j = (Ui−1,j + Ui+1,j + Ui,j−1 + Ui,j+1 ), 4 an, wonach jeder Wert Ui,j sich als Mittelwert der Nachbarwerte ergibt (wodurch ein wichtiger schwedischer Nationalcharakter zum Ausdruck kommt). Beachten Sie, dass (73.13) ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die Werte von U bildet, das zur L¨ osung einige Arbeit benötigt. So können wir beispielsweise versuchen, (73.13) durch eine Fixpunkt-Iteration mit k = 0, 1, . . . wie folgt zu l¨ osen: k+1 k = Ui,j Ui,j k k k k k − α 4Ui,j − Ui−1,j − Ui+1,j − Ui,j−1 − Ui,j+1 − h2 f (ih, jh) , (73.14)

73.8 Die Wellengleichung: Eine schwingende elastische Membran

1047

k f¨ ur i, j = 1, . . . , N − 1 mit Ui,j = ub (ih, jh), falls i oder j gleich 0 oder k N ist. Hierbei ist Ui,j eine N¨ aherung f¨ ur Ui,j nach k Iterationsschritten, wobei wir mit einer Anfangsn¨ aherung Uij0 beginnen; α ist eine positive Konstante. Es stellt sich heraus, dass die Iteration f¨ ur gen¨ ugend kleines α konvergiert, vgl. Aufgabe 73.9, obwohl die Konvergenz schlechter wird, wenn die Schrittweite h abnimmt.

angig, so f¨ uhrt uns dies zum Modell Beispiel 73.5. Ist x2 unabh¨ −u (x) = f (x) mit u (x) =

du dx .

f¨ ur 0 < x < 1,

u(0) = u0 , u(1) = u1 ,

Das zugeh¨ orige diskrete Modell nimmt die Form −(Ui−1 − 2Ui + Ui+1 ) = h2 f (ih), i = 1, . . . , N − 1, U0 = u0 , UN = u1

(73.15)

aherung f¨ ur u(ih) ist. Wenn wir der Einfachheit halber an, wobei Ui eine N¨ u0 = u1 = 0 annehmen, dann kann das diskrete Modell als AU = b, geschrieben werden, mit U = (U1 , . . . , UN −1 ), b = (b1 , . . . , bN −1 ) mit bi = h2 f (ih) und der (N − 1) × (N − 1)-Matrix A = (aij ) mit aii = 2, ai,i−1 = ai−1,i = −1 und aij = 0 f¨ ur |i − j| > 1. Die oben vorgestellte FixpunktIteration nimmt dann folgende Gestalt an: U k+1 = U k − α(AU k − b). Als Kriterium f¨ ur die Konvergenz ergibt sich daraus I − αA < 1. In Aufgabe 73.9 beweisen Sie, dass dies f¨ ur gen¨ ugend kleine α > 0 erf¨ ullt ist. Hierbei ist I − αA die euklidische Norm der Matrix I − αA, wobei aus dem Spektralsatz folgt, dass I − αA = max |1 − αλi |, i

wobei die λi die Eigenwerte der symmetrischen Matrix A sind.

73.8 Die Wellengleichung: Eine schwingende elastische Membran Als N¨ achstes wollen wir die dynamische Bewegung der elastischen Membran, die wir oben statisch betrachtet haben, untersuchen. Dazu erweitern wir die vorgegebene ¨ außere Kraft f (x, t), die nun auch von der Zeit

1048


abh¨ angen mag, um eine dynamische Kraft, die nach dem Newtonsche Gesetz die Form m¨ u besitzt. Dabei steht m f¨ ur die Masse pro Einheitsfläche und u¨ f¨ ur die Beschleunigung der senkrechten Auslenkung u. Dies f¨ uhrt uns auf die Wellengleichung, die eine schwingende Membran unter einer außeren ⎧ Last modelliert: ¨ ⎪ ¨ − ∆u = f in Ω × (0, T ], ⎨u (73.16) u=0 auf Γ × (0, T ], ⎪ ⎩ ˙ 0) = u˙ 0 (x) f¨ ur x ∈ Ω. u(x, 0) = u0 (x), u(x, Dabei ist Ω ein Gebiet in Rd mit der Begrenzung Γ, u0 ist eine gegebene Anfangsauslenkung, u˙ 0 entspricht einer gegebenen anfänglichen Auslenkungsgeschwindigkeit und wir gehen der Einfachheit halber von homogenen Dirichlet-Randbedingungen aus. Andere Randbedingungen, insbesondere periodische Randbedingungen, spielen f¨ ur dieses Modell aber auch eine wichtige Rolle.

73.9 Strömungsmechanik Die Str¨ omung von Fl¨ ussigkeiten bietet ein reiches Feld f¨ ur die mathematische Modellierung. Dabei stellen wir uns eine Fl¨ ussigkeit als eine Ansammlung sehr kleiner Fl¨ ussigkeitsteilchen“ vor und wir versuchen, die ” Str¨ omung der Fl¨ ussigkeit als Ergebnis der Bewegung aller dieser Fl¨ ussigkeitsteilchen zu beschreiben. Wir arbeiten dabei mit der Annahme, dass diese Teilchen so klein sind und dass es so viele davon gibt, dass wir die Fl¨ ussigkeit als ein Kontinuum betrachten können. Normalerweise benutzen wir eine Eulersche Beschreibungstechnik, indem wir die Strömung mit ussigkeitsteilchen in der PoHilfe der Geschwindigkeit u(x, t) ∈ R3 der Fl¨ sition x ∈ R3 zur Zeit t beschreiben oder einfach nur die Geschwindigkeit der Fl¨ ussigkeit in (x, t). Dies entspricht der Vorstellung, in jedem Punkt x einen Beobachter zu haben, um die Geschwindigkeit u(x, t) der Fl¨ ussigkeitsteilchen, die gerade zur Zeit t in der Position x sind, zu messen. Der Beobachter sitzt somit in Position x und beobachtet die Fl¨ ussigkeitsteilchen, wie sie vorbei wirbeln. Alternativ k¨ onnen wir uns in der Lagrangeschen Beschreibungstechnik einen Beobachter denken, der in jedem Fl¨ ussigkeitsteilchen sitzt, um die Ver¨ anderung der Geschwindigkeit dieses Fl¨ ussigkeitsteilchen mit der Zeit zu beobachten. Dabei folgt der Beobachter dem Teilchen. Beide Beschreibungsmodi sind n¨ utzlich und k¨ onnen gemeinsam benutzt werden, vgl. die Kapitel u ber die Konvektion-Diffusion in [10]. ¨

Die Massenerhaltungsgleichung Wir betrachten die Str¨ omung einer Fl¨ ussigkeit in einem bestimmten Volumen Ω ∈ R3 mit Hilfe einer Eulerschen Beschreibung, wobei u(x, t) f¨ ur die

73.9 Str¨ omungsmechanik

1049

Geschwindigkeit der Fl¨ ussigkeit in x zur Zeit t steht. Die Geschwindigkeit u ist ein Vektor u = (u1 , u2 , u3 ). Sei ρ(x, t) die Dichte einer Fl¨ ussigkeit in (x, t), die die Masse der Fl¨ ussigkeitsteilchen pro Einheitsvolumen angibt. Sei V ein festes Volumen mit Begrenzung S. Die gesamte Masse der Fl¨ ussigkeit in V zur Zeit t ergibt sich aus ρ(x, t) dx. V

Die Masse der Fl¨ ussigkeit, die zur Zeit t pro Einheitszeit durch die Grenze S fließt, wird durch ρ(x, t)u(x, t) · n(x) ds(x) = ∇ · (ρu)(x, t) dx S

V

gegeben, wobei wir den Divergenzsatz benutzen. Die Veränderung der Masse in V muss zusammen mit dem Massenfluss durch die Begrenzung Null ergeben, wenn wir davon ausgehen, dass keine Fl¨ ussigkeit weggenommen wird oder hinzukommt. Dies f¨ uhrt uns zu folgendem Ausdruck f¨ ur die Massenerhaltung: ∂ ρ(x, t) dx + ∇ · (ρu)(x, t) dx = 0. ∂t V V ∂ unter das Integralzeichen gezoWenn sich ρ allm¨ ahlich ver¨ andert, kann ∂t gen werden. Da V beliebig war, f¨ uhrt uns das zur Differentialgleichung f¨ ur die Massenerhaltung: ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0. (73.17) ∂t Dies ist nat¨ urlich eine wichtige Gleichung in der mathematischen Modellierung. Wenn wir die Ableitung nach x ausf¨ uhren, können wir die Massenerhaltung auch in folgender Form schreiben:

∂ρ + u · ∇ρ + ρ∇ · u = 0. ∂t

(73.18)

Bahnlinien und Strömungslinien Die Geschwindigkeit einer Fl¨ ussigkeit sei durch die Funktion u(x, t) gegeben. Wir betrachten das AWP d x(t) = u(x(t), t) f¨ ur t > 0, x(0) = x0 . dt Die L¨ osung x(t) bildet eine Kurve, eine Bahnlinie oder eine Trajektorie, die sich aus der Verfolgung eines Fl¨ ussigkeitsteilchens ergibt, die in der Position ur t > 0 x0 zur Zeit t = 0 beginnt und mit der Geschwindigkeit u(x(t), t) f¨ fortgesetzt wird. Ist die Geschwindigkeit u(x, t) = u(x) unabhängig von der Zeit t, so werden die Teilchentrajektorien auch als Strömungslinien bezeichnet.

1050


Inkompressible Strömung Wenn f¨ ur die Str¨ omungsgeschwindigkeit u(x, t) gilt, dass ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∇ · u(x, t) = + + (x, t) = 0 f¨ ur x ∈ Ω, ∂x1 ∂x2 ∂x3

t > 0,

dann wird die Str¨ omung als inkompressibel in Ω f¨ ur t > 0 bezeichnet. Ist die Str¨ omung inkompressibel, dann nimmt die Gleichung (73.18) f¨ ur den Massenerhalt die folgende Gestalt an: ∂ρ + u · ∇ρ = 0. ∂t Da f¨ ur eine gegebene Teilchentrajektorie Kettenregel, dass

dx dt

(73.19) = u gilt, ergibt sich aus der

∂ ∂ρ ρ(x(t), t) = + u · ∇ρ = 0. ∂t ∂t Diese Gleichung besagt, dass die Dichte entlang einer Teilchentrajektorie konstant ist, oder anders formuliert, dass das Volumen, das von einer gewissen Menge an Fl¨ ussigkeitsteilchen eingenommen wird, konstant ist. Somit kann die Fl¨ ussigkeit nicht verdichtet, d.h. komprimiert, werden. Im Allgemeinen wird angenommen, dass die Dichte einer inkompressiblen Fl¨ ussigkeit konstant ist. Wasser ist fast inkompressibel; das Volumen eines Eimers voller Wasser zu ver¨ andern ist sehr schwierig. Luft ist kompressibel; die Pressluftflasche eines Tauchers enth¨ alt ein großes Luftvolumen bei Normaldruck, das in einem kleinen Volumen unter hohem Druck komprimiert und aufbewahrt wird. Allerdings ist Energie notwendig, um die Luft in die Pressluftflasche hineinzudr¨ ucken.

Inkompressible Potentialströmung Bei sogenannter stationärer Strömung ist die Geschwindigkeit u(x, t) von der Zeit unabhängig, so dass die Str¨ omungsgeschwindigkeit u(x) nur eine Funktion von x ∈ Ω ist. Beachten Sie, dass sich bei einer stationären Str¨ omung die Fl¨ ussigkeitsteilchen in x bewegen, wenn u(x) = 0, aber dass sich die Teilchengeschwindigkeit, die in x gemessen wird, nicht mit der Zeit ver¨ andert. Das Geschwindigkeitsfeld u(x) einer rotationsfreien Fl¨ ussigkeitsströmung erf¨ ullt ∇ × u = 0, woraus unter entsprechenden Konvexitätsannahmen f¨ ur eine skalares Geschwindigkeitspotential ϕ folgt, dass u = ∇ϕ. Ist die Fl¨ ussigkeit inkompressibel, dann ist ∇ · u = 0 und wir erhalten die LaplaceGleichung ∆ϕ = 0 f¨ ur das Potential einer rotationsfreien inkompressiblen Str¨ omung. An einer festen Begrenzung, die die Fl¨ ussigkeit nicht durchdringen kann, ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Begrenzung gleich Null,

73.9 Str¨ omungsmechanik

1051

wodurch wir f¨ ur das Potential ϕ eine homogene Neumann-Randbedingung ∂n ϕ = 0 erhalten. Wir wollen nun einige wichtige Beispiele f¨ ur inkompressible Potentialstr¨ omungen geben. Der Einfachheit halber betrachten wir nur Situationen, in denen die Geschwindigkeit u(x) nicht von der x3 -Koordinate abhängig ist. Beispiel 73.6. Das Potential ϕ(x1 , x2 ) = x21 − x22 erf¨ ullt ∆ϕ = 0 und die zugeh¨ orige Str¨ omungsgeschwindigkeit u = ∇ϕ wird durch u(x) = (2x1 , −2x2 ) gegeben. Daher stellt sich in den Ecken eine stationäre Strömung ein, vgl. Abb. 73.5. F¨ ur eine Str¨ omungslinie x(t) gilt dx dt = (2x1 , −2x2 ), wodurch wir eine separierbare Gleichung mit L¨ osungen x1 (t)x2 (t) = c erhalten, wobei c eine beliebige Konstante ist, vgl. Abb. 73.5. Wir u ¨ berd x1 x2 = x˙ 1 x2 + x1 x˙ 2 = 2x1 x2 − 2x1 2x2 = 0 pr¨ ufen dies, indem wir dt berechnen. 3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

0

0

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-2

0

2

-2

0

2

-3

-2

0

2

Abb. 73.5. Beispiele f¨ ur inkompressible Potentialstr¨ omungen

Beispiel 73.7. Das Potential ϕ(x) = log(x) erf¨ ullt ∆ϕ = 0 f¨ ur x = 0 und die zugeh¨ orige Fließgeschwindigkeit u = ∇ϕ x wird durch u(x) = x 2 gegeben, vgl. Abb. 73.5. Beispiel 73.8. Wir betrachten die inkompressible Potentialströmung von links nach rechts um einen senkrechten unendlichen kreisförmigen Zylinder

1052


mit Querschnitt Ω = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x < 1}, vgl. Abb. 73.5. Das Potential ϕ lautet in Polarkoordinaten x = r(cos(θ), sin(θ)): 1 ϕ(x) = ϕ(r, θ) = r + cos(θ) r und entspricht damit einer Str¨ omung von links nach rechts um Ω herum, die sich f¨ ur große x2 an u(x) = (1, 0) annähert. Wir halten fest, dass 2 ur r = 1, so dass die ∇ϕ = 0 f¨ ur r = 0 und dass ∂ϕ ∂r = 1 − 1/r = 0 f¨ Str¨ omung zur Zylinderwand tangential verl¨ auft. Beachten Sie, dass die Str¨ omung von Fl¨ ussigkeiten selten im gesamten Gebiet, das die Fl¨ ussigkeit einnimmt, rotationsfrei ist. Insbesondere dann nicht, wenn die Fl¨ ussigkeit viskos (z¨ ahfl¨ ussig) ist, da dann an festen Grenzen Wirbel erzeugt werden.

Inkompressible Strömung mit Rotation Als N¨ achstes betrachten wir die zwei-dimensionale inkompressible Strömung mit von Null verschiedener Rotation. Wir gehen davon aus, dass ullt, mit x = (x1 , x2 ). u(x) = (u1 (x), u2 (x)) die Gleichung ∇ · u = 0 erf¨ Indem wir v = (−u2 , u1 ) definieren, l¨ asst sich diese Gleichung in der Form ∇ × v = 0 schreiben und unter geeigneten Konvexitätsannahmen existiert ein Potential ϕ mit v = ∇ϕ. Somit gilt: u = (v2 , −v1 ) = (

∂ϕ ∂ϕ ,− ) = ∇ × ϕ. ∂x2 ∂x1

F¨ ur die vorgegebene Rotation ∇×u = f erhalten wir die Poisson-Gleichung f¨ ur ϕ: f = ∇ × u = ∇ × (∇ × ϕ) = −∆ϕ.

Beispiel 73.9. F¨ ur f = 4 erhalten wir f¨ ur das Potential ϕ(x) = −x2 die Str¨ omungsgeschwindigkeit u(x1 , x2 ) = (−2x2 , 2x1 ), vgl. Abb. 73.6. Die Wahl von ϕ(x) = log(x) entspricht f (x) = 0 f¨ ur x = 0 mit zugehöriger Geschwindigkeit u(x1 , x2 ) = x−2 (−x2 , x1 ), vgl. Abb. 73.6.

Die Euler- und die Navier-Stokes-Gleichung Die Euler-Gleichung f¨ ur eine inkompressible nicht viskose Fl¨ ussigkeit mit konstanter Dichte gleich Eins besitzt die Form: ∂u + (u · ∇)u + ∇p = f, ∂t

∇ · u = 0,

(73.20)

73.9 Str¨ omungsmechanik 3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -3

-2

-1

0

1

2

1053

3

Abb. 73.6. Inkompressible Str¨ omung mit Rotation

wobei u(x, t) die Geschwindigkeit und p(x, t) der Druck der Fl¨ ussigkeit im Punkte x zur Zeit t ist. Dabei ist f eine einwirkende Volumenkraft wie beispielsweise die Schwerkraft. Bei einer nicht viskosen Fl¨ ussigkeit ist die Viskosität gleich Null und zwischen den Fl¨ ussigkeitsteilchen herrscht als einzige innere Kraft die Druckkraft, die in alle Richtungen gleich ist und auf alle Fl¨ achen senkrecht einwirkt. Die Gleichung ∇ · u = 0 bringt zum Ausdruck, dass die Fl¨ ussigkeit inkompressibel ist. Ist x(t) die Trajektorie, der ein Fl¨ ussigkeitsteilchen folgt, f¨ ur das dx dt = u(x(t), t) gilt, so ist nach d dem Newtonschen Gesetz die Beschleunigung dt u(x(t), t) gleich der Kraft −∇p + f . Dies ist in der linken Gleichung formuliert, wobei sich die Kraft aus der Druckkraft −∇p und der einwirkenden Kraft f zusammensetzt. Dieser Zusammenhang wird deutlich, wenn wir die Kettenregel und die Gleichung dx dt = u(x(t), t) benutzen: ∂ui dx ∂ui d ui (x(t), t) = + · ∇ui = + (u · ∇)ui . dt ∂t dt ∂t

Abb. 73.7. Luftstr¨ omung und Druck um einen Spielzeugzug

1054


Dies ist die Vektorschreibweise von (73.20). Die Navier-Stokes-Gleichung ist eine Modifikation der Euler-Gleichung und enthält einen zusätzlichen Ausdruck f¨ ur die Viskosit¨ atskraft −ν∆u mit dem Viskositätskoeffizienten ν. In einer viskosen Fl¨ ussigkeit treten außerdem tangentiale (Scher-) Kräfte an den Fl¨ achen auf.

73.10 Die Maxwellschen Gleichungen Die Wechselwirkungen zwischen elektrischen und magnetischen Feldern werden durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben: ⎧ ∂B ⎪ ⎪ + ∇ × E = 0, ⎪ ⎪ ∂t ⎪ ⎪ ⎨ ∂D + ∇ × H = J, − (73.21) ∂t ⎪ ⎪ ⎪ ∇ · B = 0, ∇ · D = ρ, ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ B = µH, D = E, J = σE. Dabei ist E das elektrische Feld, H das magnetische Feld, D die elektrische Verschiebung, B die magnetische Flussdichte, J der elektrische Strom, ρ die Ladung, µ die magnetische Permeabilität, die Dielektrizitätskonstante der elektrischen Leitfähigkeit und σ die elektrische Leitfähigkeit. Die erste Gleichung ist auch als Faradaysches Gesetz bekannt, die zweite als Ampèresches Gesetz, ∇ · D = ρ ist das Coulomb Gesetz. Das Gesetz von Gauss ∇ · B = 0 bringt die Abwesenheit einer magnetischen Ladung“ zum ” Ausdruck und J = σE entspricht dem Ohmschen Gesetz. Von Maxwell, vgl. unden Abb. 73.8, wurde der Ausdruck ∂D/∂t aus rein mathematischen Gr¨ eingef¨ uhrt. Dann nutzte er die Infinitesimalrechnung, um die Existenz von elektromagnetischen Wellen vorherzusagen, bevor diese experimentell entdeckt wurden. Typische Randbedingungen beinhalten verschiedene Kombinationen von E · n (idealer Isolator), E × n (idealer Leiter), H · n und H × n. Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben sämtliche elektromagnetischen Ph¨ anomene mit einer in Erstaunen versetzenden kurzen Schreibweise und Modellierungsgenauigkeit. Unsere moderne Informationsgesellschaft ist auf elektromagnetische Wellen aufgebaut. Wir wollen nun eine Reihe von Modellen mit Laplace-Gleichungen aus den Maxwellschen Gleichungen herausgreifen indem wir einige wichtige Spezialfälle betrachten.

Elektrostatik Ein wichtiges Problem in der Elektrostatik ist die Beschreibung des station¨ aren elektrischen Feldes E(x) in einem Volumen Ω in R3 , das eine Ladung

73.10 Die Maxwellschen Gleichungen

1055

Abb. 73.8. Maxwell (1831–1879), Erfinder der mathematischen Theorie f¨ ur den Elektromagnetismus: Wir k¨ onnen wohl kaum der Folgerung entgehen, dass Licht ” in transversalen schl¨ angelnden Bewegungen desselben Mediums besteht, das auch Ursache f¨ ur elektrische und magnetische Ph¨ anomene ist“

mit Dichte ρ(x) enth¨ alt und von einer ideal leitenden Fläche Γ umgeben ist. Nach dem Faradayschen Gesetz gilt ∇×E =0

in Ω,

da wir von ∂B ∂t = 0 ausgehen. Wir erinnern uns an das Kapitel ”Potentialfelder“, wonach das elektrische Feld E dem Gradienten eines skalaren elektrischen Potentials ϕ entspricht, d.h. E = ∇ϕ. Nach dem Coulomb Gesetz gilt: ∇·E = ρ

in Ω,

wodurch wir die Poisson-Gleichung f¨ ur das Potential ϕ erhalten: ∆ϕ = ∇ · ∇ϕ = ρ in Ω. Die Randbedingung E×n = 0 f¨ ur die Begrenzung Γ von Ω, mit der auswärts gerichteten Einheitsnormalen n, besagt, dass die tangentiale Komponente von E auf der Begrenzung verschwindet. Dadurch wird eine ideal leitende Begrenzungsfl¨ ache modelliert, in der nat¨ urlich alle Unterschiede im elektrischen Feld ausgeglichen werden. Dies bedeutet, dass E = ∇ϕ zur Begrenzung normal ist, d.h. die Begrenzung ist eine Isofläche von ϕ und das Potential ϕ ist auf der Begrenzungsfl¨ ache konstant. Da ϕ nur bis auf einen konstanten Wert eindeutig bestimmt ist, k¨ onnen wir auf der Begrenzung ϕ = 0 setzen, wodurch wir die Poisson-Gleichung −∆ϕ = f mit f = −ρ in Ω mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen ϕ = 0 auf Γ erhalten. Das Potential ϕ(x) einer Punktladung im Ursprung lautet c ϕ(x) = x

1056


mit zugeh¨ origem elektrischen Feld E(x) = −

cx x3

f¨ ur eine geeignete Konstante c. Wir werden unten auf diese Lösung zur¨ uckkommen. Beispiel 73.10. Sei Ω = {x ∈ R2 : x < 1, x1 < 0 und x2 > 0} ein Teil einer kreisf¨ ormigen Scheibe mit Winkel ω = 3π uck 2 , aus der ein St¨ herausgeschnitten ist, vgl. Abb. 73.9. Durch direkte Berechnung können wir zeigen, dass die Funktion ϕ(x) = rα sin(αθ), die in Polarkoordinaten x = r(cos(θ), sin(θ)) mit α = ωπ = 23 formuliert ist, die Laplace-Gleichung ∆ϕ = 0 in Ω erf¨ ullt und dabei auch der Randbedingung ϕ = 0 auf den geraden Teilen der Grenzlinien, die durch den Ursprung laufen, gen¨ ugt. Wenn ϕ f¨ ur ein elektrisches Potential steht, dann gilt f¨ ur das zugeh¨ orige elektrische Feld E(x) = ∇ϕ(x): ∂E = αrα−1 sin(αθ). ∂r Da α < 1, ist dieses Feld in der Ecke mir r = 0 singulär (unendlich). Dies bedeutet, dass das elektrische Feld nahe dieser Ecke sehr stark ist. Je sch¨ arfer diese Ecke ist (α ist dann kleiner), desto stärker ist das Feld. Diesen Effekt kennen wir aus unserer Erfahrung, wonach ein elektrischer Blitz wahrscheinlicher in einen spitzen Turm einer Kirche einschlägt als in einen flachen Berg, oder auch von einem elektronischen Scanner, bei dem Elektronen aus der Spitze einer scharfen Nadel herausspringen.

Beispiel 73.11. Das Potential ϕ des elektrischen Feldes zwischen zwei konzentrischen Kugeln S1 = {x ∈ R3 : x < r1 } und S2 = {x ∈ R3 : x < r2 } mit r2 > r1 lautet ϕ(x) =

1 , x

wenn wir annehmen, dass ϕ = 1/ri auf Si , i = 1, 2. Beispiel 73.12. Die f¨ ur x1 > 0 definierte Funktion x2 ϕ(x1 , x2 ) = arctan x1

73.10 Die Maxwellschen Gleichungen

1057

2.5

ϕ

E(x1 , x2 ) 3

2

2 1.5 1

x

2

1

0 -1

0.5 -2 0

-3

-5

-3

-2

-1

0 x

1

2

3

1

5

0 0 x2

5

-5

x

1

Abb. 73.9. Ein Potential mit einem singul¨ aren elektrischen Feld

erf¨ ullt die Gleichung ∆ϕ(x) = 0 f¨ ur x1 > 0. Die Funktion ist auf Strahlen x2 = cx1 , die durch den Ursprung mit Neigung c verlaufen, konstant gleich arctan(c). Das zugeh¨ orige elektrische Feld E(x) = ∇ϕ(x) wird durch E(x) =

(−x2 , x1 ) x2

gegeben. Wir können erkennen, dass E(x) in x = 0 singulär ist.

Magnetostatik Wenn wir annehmen, dass µ konstant ist und dabei gleichzeitig gewährleisten, dass H = ∇ × ψ f¨ ur ein Vektorpotential ψ f¨ ur das ∇ · ψ = 0 gilt, erhalten wir ein wichtiges Problem der Magnetostatik. Dabei kombinieren wir das Gesetz von Gauss ∇ · H = 0 mit dem Faradayschen Gesetz ∇ × H = J zu: ∇ × (∇ × ψ) = −∆ψ = J, wobei wir die Tatsachen ausnutzen, dass ∇ × (∇ × ψ) = −∆ψ + ∇(∇ · ψ) und ∇ · ψ = 0. Das magnetische Feld um einen Einheitsstrom J in x3 -Richtung wird durch H(x) =

1 (−x2 , x1 , 0) 2π x2

1058


gegeben, was sich durch direkte Berechnung zeigen lässt. Dazu pr¨ ufen wir zun¨ achst nach, dass ∇ · H(x) = 0 und∇ × H(x) = 0 f¨ ur (x1 , x2 ) = 0. 1 f¨ uhrt zu Γ H · ds = 1 f¨ ur jeden im UhrzeiDie Gegenwart des Faktors 2π gersinn orientierten Kreis in der x1 x2 -Ebene, woraus nach dem Satz von Stokes folgt, dass ∇ × H = J, wie wir in den nächsten Abschnitten u ¨ ber Gravitation und Delta-Funktionen zeigen werden.

Zeitabhängiger Magnetismus In niederfrequenten Anwendungen spielt der so intelligent von Maxwell einassigbare Rolle und kann weggelassen gef¨ uhrte Ausdruck ∂D ∂t eine vernachl¨ werden. Wir wollen untersuchen, wohin uns das f¨ uhren mag. Da ∇ · B = 0, k¨ onnen wir das Magnetfeld B als B = ∇× ψ schreiben, wobei ψ ein magnetisches Vektorpotential ist. Wenn wir diesen Ausdruck in das Faradaysche Gesetz einsetzen, erhalten wir ∂ψ + E = 0, ∇× ∂t woraus folgt, dass ∂ψ + E = ∇ϕ ∂t f¨ ur ein skalares Potential ϕ. Wir k¨ onnen mit σ multiplizieren und das Ohmsche und das Ampèresche Gesetz benutzen und erhalten so eine Vektorgleichung f¨ ur das magnetische Potential ψ: ∂ψ σ + ∇ × µ−1 ∇ × ψ = σ∇ϕ. ∂t Dieses System l¨ asst sich unter der Annahme, dass B = (B1 , B2 , 0) von x3 unabh¨ angig ist, zu einer skalaren Gleichung in zwei Variablen reduzieren. Daraus ergibt sich f¨ ur ψ die Gestalt ψ = (0, 0, u) mit einer skalaren Funkangt, so dass also B1 = ∂u/∂x2 und tion u, die nur von x1 und x2 abh¨ ur B2 = −∂u/∂x1 . Wir gelangen schließlich zu einer skalaren Gleichung f¨ das skalare magnetische Potential u in der Form ∂u − ∇ · µ−1 ∇u = f, σ (73.22) ∂t mit einer Funktion f (x1 , x2 ). Wenn wir σ = µ = 1 wählen, gelangen wir zu der W¨ armegleichung ⎧ ∂ ⎪ ur x ∈ Ω, 0 < t ≤ T, ⎨ ∂t u(x, t) − ∆u(x, t) = f (x, t) f¨ (73.23) u(x, t) = 0 f¨ ur x ∈ Γ, 0 < t ≤ T, ⎪ ⎩ f¨ ur x ∈ Ω, u(x, 0) = u0 (x) f¨ ur Ω ⊂ R2 mit der Begrenzung Γ, wobei wir die homogene DirichletRandbedingung formuliert haben. Im stationären Fall erhalten wir wiederum die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen.

73.11 Die Gravitation

1059

73.11 Die Gravitation In seinem ber¨ uhmten f¨ unfb¨ andigen Werk Mécanique Céleste, das zwischen 1799–1825 ver¨ offentlicht wurde, erweiterte Laplace die Newtonsche Gravitationstheorie und entwickelte insbesondere eine Theorie f¨ ur die Beschreibung von Schwerkraftfeldern, die auf Gravitationspotentialen, die die Laplace-Gleichung oder ganz allgemein die Poisson-Gleichung erf¨ ullen, aufbaut. Wir betrachten ein Schwerkraftfeld in R3 mit Gravitationskraft F (x) in der Position x, das durch eine Massenverteilung der Dichte ρ(x) hervorgerufen wird. Wir ber¨ ucksichtigen dabei, dass die Arbeit, um eine Einheitsmasse entlang einer Kurve Γ zu bewegen, durch F · ds Γ

gegeben ist. Ist die Kurve Γ geschlossen, dann sollte die zu verrichtende Gesamtarbeit gleich Null sein. Nach dem Satz von Stokes folgt, dass f¨ ur ein Schwerkraftfeld F die Gleichung ∇ × F = 0 gelten sollte. Mit Hilfe des wichtigen Ergebnisses aus dem Kapitel Potentialfelder“ können wir ” den Schluss ziehen, dass F dem Gradienten eines skalaren Potentials ϕ entspricht, d.h. F (x) = ∇ϕ(x). (73.24) Laplace schlug die folgende Beziehung zwischen dem Schwerkraftfeld F und der Massenverteilung ρ vor: −∇ · F (x) = ρ(x),

(73.25)

wobei wir von einer auf Eins normierten Gravitationskonstanten ausgehen. Diese Formulierung ist analog zum Coulomb Gesetz ∇ · E = ρ der Elektrostatik und zur Energieausgleichsgleichung ∇ · q = f der stationären W¨ armeleitung, wobei q f¨ ur den W¨ armefluss steht und f f¨ ur eine Wärmequelle. Insbesondere besagt (73.25), dass in den Punkten x, in denen keine Masse vorhanden ist und folglich ρ(x) = 0 gilt, die Gleichung ∇ · F (x) = 0 erf¨ ullt ist. Wenn wir (73.24) und (73.25) kombinieren, gelangen wir zur ur das Graviationspotential ϕ. Poisson-Gleichung −∆ϕ = ρ f¨ Da f¨ ur die Ursache und die Eigenschaft der entfernten Wirkung“ der ” Gravitation immer noch eine u ¨berzeugende physikalische Erklärung fehlt, sollte die Gleichung −∇·F (x) = ρ(x) und somit ∇·F (x) = 0 im materiefreien Raum als das zentrale Postulat u ¨ber die Natur eines Gravitationsfeldes aufgefasst werden. Nat¨ urlich f¨ allt es sehr schwer, sich vorzustellen, dass ∇ · F (x) im materiefreien Raum etwas anderes als Null sein sollte, aber ein echter Beweis“ daf¨ ur, dass ∇ · F (x) Null sein muss, scheint noch zu fehlen. ” Newton betrachtete Gravitationsfelder, die durch Punktmassen erzeugt wurden. Mathematisch betrachtet wird eine Einheitspunktmasse in einem

1060


Punkte z ∈ R3 durch die so genannte Delta-Funktion δz in z dargestellt, die durch die Eigenschaft definiert wird, dass f¨ ur jede glatte Funktion v δz v dx = v(z) (73.26) R3

gilt, wobei die Integration in einem verallgemeinerten Sinne zu sehen ist. ur kleiner Wir k¨ onnen uns δz als Grenzwert der positiven Funktionen ϕh (x) f¨ werdendes h vorstellen, mit ϕh (x) = 0 f¨ ur x − z > h, wobei die ϕh (x) ϕh (x) dx = 1 R3

erf¨ ullen. Beispielsweise k¨ onnten wir

f¨ ur x − z < h sonst

3 4πh3

ϕh (x) =

0

w¨ ahlen. Ist v(x) in z Lipschitz-stetig, dann folgt limh→0 ϕh (x)v(x) dx = v(z), R3

wodurch (73.26) eine praktische Bedeutung erhält. Die Funktion ϕh (x) beschreibt einen sehr spitzen und schmalen H¨ ugel“ um z mit Volumen ” Eins. Wir erwarten, dass das Gravitationspotential Φ(x), das zu einer Einheitsmasse im Ursprung geh¨ ort, die Gleichung −∆Φ = δ0

in R3

(73.27)

erf¨ ullt, wobei wir von der Gravitationskonstanten gleich Eins ausgehen. Um dieser Gleichung eine exakte Bedeutung zu verleihen und insbesondere die etwas mysteri¨ ose Delta-Funktion δ0 in 0 zu erklären, multiplizieren wir (73.27) zunächst mit einer glatten Testfunktion v, die außerhalb einer beschr¨ ankten Menge verschwindet. Wir erhalten so: ∆Φ(x)v(x) dx = v(0). (73.28) − R3

Als N¨ achstes integrieren wir die linke Seite rein formal mit Hilfe der Greenschen Formel partiell, um so den Laplace-Operator von Φ auf v zu verschieben. Dabei beachten wir, dass Randausdr¨ ucke wegfallen, da v außerhalb einer beschr¨ ankten Menge verschwindet. Somit können wir (73.27) als die Suche nach einem Potential Φ(x) formulieren, das Φ(x)∆v(x) dx = v(0) (73.29) − R3

73.11 Die Gravitation

1061

f¨ ur alle glatten Funktionen v(x), die außerhalb einer beschränkten Menge verschwinden, erf¨ ullt. Wir k¨ onnen dies als die konkrete Interpreation von (73.27) betrachten, die nun wohl-definiert ist, da der Laplace-Operator nun auf eine glatte Funktion v(x) angewandt wird und wir davon ausgehen, dass Φ(x) integrierbar ist. Wir verlangen außerdem, dass das Potential Φ(x) auf Null abnimmt, wenn x gegen Unendlich wächst, was einer Dirichlet” Randbedingung im Unendlichen“ entspricht. Im Kapitel Divergenz, Rotation und Laplace-Operator“ haben wir ge” zeigt, dass die Funktion 1/x die Laplace-Gleichung ∆u(x) = 0 f¨ ur 0 = ullt, aber in x = 0 singul¨ ar ist. Wir wollen nun beweisen, dass x ∈ R3 erf¨ die folgende skalierte Version dieser Funktion Φ(x) =

1 1 4π x

(73.30)

die Gleichung (73.29) erf¨ ullt. Wir bezeichnen diese Lösung als die Fundamentallösung von −∆ in R3 . Wir werden insbesondere folgern, dass das Gravitationsfeld in R3 , das durch eine Einheitsmasse im Ursprung erzeugt wird, durch 1 x F (x) = ∇Φ(x) = − 4π x3 beschrieben wird, was genau dem Newtonschen Gravitationsgesetz mit inverser Proportionalit¨ at zum Quadrat des Abstands entspricht. Laplace liefert folglich eine Begr¨ undung f¨ ur das quadratische Verhalten, was Newton nicht konnte (weswegen er von Leibniz kritisiert wurde). Nat¨ urlich fehlt uns noch die Begr¨ undung von (73.25). Im Zusammenhang mit der Wärmeleitung beschreibt die Fundamentall¨ osung Φ(x) die stationäre Temperatur in einem homogenen K¨ orper mit der W¨ armeleitfähigkeit Eins, der den gesamullt, in dem eine konzentrierte W¨ armequelle der Stärke Eins im ten R3 ausf¨ Ursprung sitzt und die Temperatur gegen Null abnimmt, wenn x gegen Unendlich geht. Wir wollen nun beweisen, dass die Funktion Φ(x), die durch (73.30) definiert wird, die Gleichung (73.29) erf¨ ullt. Dazu halten wir zunächst fest, dass Φ∆v dx = lim Φ∆v dx, (73.31) R3

a→0+

Da

da ∆v eine glatte Funktion ist, die außerhalb einer beschränkten Menge verschwindet und wir annehmen, dass Φ(x) u ¨ber beschränkte Gebiete integrierbar ist. Dabei ist Da = {x ∈ R3 : a < x < a−1 } mit einem kleinen positiven a ein beschr¨ ankter Bereich, den wir aus R3 erhalten, indem wir eine kleine Kugel mit Radius a und Begrenzungsfläche Sa entfernen und auch Punkte, die weiter als a−1 vom Ursprung entfernt sind, weglassen, vgl. Abb. 73.10. Wir benutzen nun die Greensche Formel f¨ ur Da mit w = Φ. Da v f¨ ur große x Null ist, verschwinden die Integrale u ¨ber die äußere Begrenzung, wenn a gen¨ ugend klein ist. Wenn wir dann noch ausnutzen,

1062


dass ∆Φ = 0 in Da , Φ = 1/(4πa) auf Sa und ∂Φ/∂n = 1/(4πa2 ) auf Sa , wobei die Normale zum Ursprung hin gerichtet ist, erhalten wir: 1 1 ∂v ds = I1 (a) + I2 (a), Φ∆v dx = v ds − − 2 4πa 4πa ∂n Da Sa Sa mit entsprechenden Definitionen f¨ ur I1 (a) und I2 (a). Da v(x) in x = 0 stetig ist und die Fl¨ ache von Sa gleich 4πa2 betr¨ agt, gilt aber lima→0 I1 (a) = v(0). unschte Gleichung (73.29) Andererseits gilt aber lima→0 I2 (a) = 0. Die gew¨ ergibt sich nun daraus, wenn wir dabei noch (73.31) bedenken.

a−1 a Sa Da Abb. 73.10. Ein Querschnitt durch das Gebiet Da

Die zugeh¨ orige Fundamentall¨ osung von −∆ in R2 lautet 1 1 log Φ(x) = . 2π x

(73.32)

F¨ ur diesen Fall ist die Fundamentall¨ osung im Unendlichen nicht Null. Wenn wir 0 durch einen beliebigen Punkt z ∈ R3 ersetzen, wird (73.29) zu − Φ(z − x)∆v(x) dx = v(z), (73.33) R3

womit wir eine L¨ osungsformel f¨ ur die Poisson-Gleichung in R3 erhalten. Erf¨ ullt u beispielsweise die Poisson-Gleichung −∆u = f in R3 und u(x) = ur x → ∞, dann kann u mit Hilfe der Fundamentallösung Φ O(x−1 ) f¨ und der rechten Seite f folgendermaßen formuliert werden: f (x) 1 dx. (73.34) Φ(z − x)f (x) dx = u(z) = 4π z − x 3 3 R R Wir erkennen, dass u(z) einem Mittelwert von f entspricht, der um z zentriert ist und so gewichtet ist, dass der Einfluss der Werte von f (x) invers proportional zum Abstand von z ist. Ganz ¨ ahnlich ergibt sich das Potential u auf einer (beschränkten) Oberfl¨ ache Γ in R3 , das durch eine Massenverteilung mit Dichte ρ(x) erzeugt wird, zu ρ(x) 1 ds(x). (73.35) u(z) = 4π Γ z − x

73.12 Das Eigenwertproblem f¨ ur den Laplace-Operator

1063

Formal erhalten wir diese Formel, indem wir einfach die Potentiale der verschiedenen Teile der Masse auf Γ addieren. Wir können zeigen, dass das Potential u, das durch (73.35) definiert wird, in R3 stetig ist, wenn ρ auf Γ beschr¨ ankt ist und nat¨ urlich erf¨ ullt u die Laplace-Gleichung außerhalb von Γ. Angenommen, wir wollten nun die Massenverteilung ρ auf Γ bestimmen, so dass das zugeh¨ orige Potential u, das durch (73.35) definiert ist, dem vorgegebenen Potential u0 auf Γ entspricht, d.h. wir suchen insbesondere eine Funktion u, die das Randwertproblem ∆u = 0 in Ω erf¨ ullt mit u = u0 auf Γ, wobei Ω f¨ ur das Volumen steht, das von Γ umschrieben wird. Dies f¨ uhrt uns zu folgender Integralgleichung: Sei u0 auf Γ gegeben, so suchen wir die Funktion ρ auf Γ, so dass gilt: 1 ρ(y) ds(y) = u0 (x) f¨ ur x ∈ Γ. (73.36) 4π Γ x − y Dies ist eine Fredholm-Integralgleichung erster Art, die nach dem schwedischen Mathematiker Ivar Fredholm (1866–1927) benannt ist. Zu Anfang des 20. Jahrhunderts wetteiferten Fredholm und Hilbert mit Hilfe von Integralgleichungsmethoden um den Existenzbeweis f¨ ur Lösungen der zentralen Randwertprobleme der Mechanik und der Physik. Die Integralgleichung (73.36) ist eine alternative Formulierung f¨ ur das Randwertproblem zur Suche von u, so dass ∆u = 0 in Ω und u = u0 auf Γ. Integralgleichungen k¨ onnen auch mit Hilfe von Galerkin-Methoden gelöst werden.

73.12 Das Eigenwertproblem fu ¨r den Laplace-Operator Das Eigenwertproblem f¨ ur den Laplace-Operator mit Dirichlet-Randbedingungen auf einem Gebiet Ω in Rd besitzt die folgende Form: Gesucht sind die von Null verschiedenen Eigenfunktionen ϕ(x) mit den zugehörigen Eigenwerten λ, so dass −∆ϕ = λϕ in Ω, (73.37) ϕ=0 auf Γ. Im ein-dimensionalen Fall mit Ω = (0, π) lauten die Eigenfunktionen (modulo einer Normierung) ϕn (x) = sin(nx) mit den zugehörigen Eigenwerur ein zwei-dimensionales Quadrat Ω = ten λn = n2 , n = 1, 2, . . .. F¨ (0, π) × (0, π) lauten die Eigenfunktionen ϕnm (x1 , x2 ) = sin(nx1 ) sin(mx2 ), n, m = 1, 2, . . . , mit den Eigenwerten λnm = n2 + m2 . Durch Multiplikation von (73.37) mit ϕ und anschließender partieller Integration ergibt sich, dass alle Eigenwerte λ positiv sind. Genauer formuliert, so existiert eine anwachsende gegen Unendlich strebende Folge von Eigenwerten. Eigenfunktionen uglich zu verschiedenen Eigenwerten sind bez¨ des Skalarprodukts (v, w) = Ω vw dx orthogonal.

1064


Ist ϕ(x) eine Eigenfunktion origem Eigenwert λ, dann löst die √ mit zugeh¨ Funktion u(x, t) = exp(it λ)ϕ(x), genauer gesagt, ihr Realteil, die homogene Wellengleichung u¨ − ∆u = 0 in Ω × R, die ebenso eine schwingende elastische Membran (Schlagzeugfell) f¨ ur d = 2 (eine Saite f¨ ur d = 1) beschreibt. Der kleinste Eigenwert entspricht dem Grundton des Schlagzeugfells. In Abb. 73.11 sind Konturzeichnungen f¨ ur die ersten vier Eigenfunktionen dargestellt, die zu λ1 ≈ 38, 6, λ2 ≈ 83, 2, λ3 ≈ 111, 0 und λ4 ≈ 122, 0 geh¨ oren. Dabei soll Ω der Decke einer Gitarre in Ellipsenform entsprechen mit Dirichlet-Randbedingungen an den ¨ außeren Grenzen und NeumannRandbedingungen im Deckenloch.

Abb. 73.11. Konturzeichnungen der ersten vier Eigenfunktionen einer Gitarrendecke zu (a) λ1 ≈ 38, 6, (b) λ2 ≈ 83, 2, (c) λ3 ≈ 111 und (d) λ4 ≈ 122. Sie wurden mit Femlab mit festem Gitterabstand von 0, 02 Durchmesser berechnet

Die kleineren Eigenwerte sind bei Betrachtungen zum Design am wichtigsten. Dies gilt insbesondere beim Entwurf von Hängebr¨ ucken, die so gebaut werden m¨ ussen, dass die unteren Schwingungseigenwerte in der Br¨ ucke nicht nahe bei m¨ oglichen durch den Wind induzierten Frequenzen liegen. Dies wurde bei den ersten H¨ angebr¨ ucken nicht richtig verstanden, was zum ber¨ uhmten Einsturz der Br¨ ucke von Tacoma im Jahre 1940 f¨ uhrte.

73.13 Quantenmechanik

1065

Der kleinste Eigenwert entspricht dem Minimum des Rayleigh-Quotienten (∇ψ, ∇ψ) , (ψ, ψ) wenn wir u ullen, mi¨ ber alle Funktionen ψ, die die Randbedingungen erf¨ nimieren. Ganz allgemein entsprechen die Eigenwerte stationären Punkten des Rayleigh-Quotienten.

73.13 Quantenmechanik Die beiden revolution¨ arsten Ergebnisse der Physik während des 20. Jahrhunderts waren die Entwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie durch Albert Einstein zur Gravitation in astronomischen Skalen und die Quantenmechanik durch Schr¨ odinger (1887-1961, 1933 Nobelpreis f¨ ur Physik) f¨ ur atomare Skalen, vgl. Abb. 73.12. Einstein akzeptierte die Quantenmechanik niemals vollst¨ andig. Die große einheitliche Theorie, die Schwerkraft und Quantenmechanik miteinander verbindet, wobei die Stringtheorie zu den neueren Versuchen z¨ ahlt, um diese L¨ ucke zu u ucken, fehlt nach ¨berbr¨ wie vor. Die zentrale Gleichung der Quantenmechanik ist die Schrödingergleichung, die f¨ ur ein System von N -Elektronen (in der Born-Oppenheimer N¨ aherung) die folgende normierte Form annimmt: ⎛ ⎞ 1 ∂ϕ = Hϕ = ⎝− (73.38) ∆j + V (r1 , . . . , rN )⎠ ϕ, i ∂t 2 j mit der imagin¨ aren Einheit i und einer Wellenfunktion ϕ = ϕ(r1 , . . . , rN , t), die von der Menge der Raumkoordinaten (r1 , . . . , rN ) abhängt. Dabei verandert sich jedes rj u ¨ ¨ ber die Zeit t in R3 , und ∆j bezeichnet den LaplaceOperator bez¨ uglich der Koordinaten rj ∈ R3 . Die abstoßenden Coulomb Kr¨ afte zwischen den Elektronen und die anziehenden Coulomb Kräfte zwischen den Elektronen und den (fixen) Kernen des Systems werden im Coudas von den Koordinaten lomb Potential V (r1 , . . . , rN ) zusammengefasst, angt. H = − 21 j ∆j + V wird als Hamilton-Operator be(r1 , . . . , rN ) abh¨ zeichnet. Er fasst die Summe aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. Die Wellenfunktion ist komplexwertig und ihr Betragsquadrat steht f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichte von Elektronen. Die Schr¨ odingergleichung scheint eine sehr gute Beschreibung f¨ ur Phänomene auf atomaren Skalen zu liefern, aber ungl¨ ucklicherweise ist ihre Handhabung nicht einfach, da so viele r¨ aumliche Dimensionen ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen: F¨ ur ein System mit 100 Elektronen, was immer noch sehr

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Abb. 73.12. Schr¨ odinger (1887–1961) im Alter von 13: Ich war in allen F¨ achern ” ein guter Student, liebte Mathematik und Physik, aber auch die strenge Logik der antiken Grammatiken und hasste nur das Auswendiglernen von Geschichtsdaten und Fakten. Von den deutschen Dichtern liebte ich besonders die Dramatiker, hasste aber die pedantische Zergliederung dieser Werke

klein ist, betr¨ agt die Zahl der Raum-Dimensionen 300 und Standardtechniken f¨ ur die analytische wie auch die numerische Lösung sind doch sehr eingeschr¨ ankt. Obwohl die Schr¨ odingergleichung zugegebenermaßen eine wundervolle Gleichung ist, die eine u azise Beschreibung der atomaren ¨berraschend pr¨ Physik erlaubt, kann sie sicherlich unm¨ oglich exakt analytisch gelöst werden, weswegen N¨ aherungsl¨ osungen eine Schl¨ usselrolle zukommen. Der Nobelpreis f¨ ur Chemie wurde 1998 an Robert Kohn f¨ ur seine Näherungslösung der Schr¨ odingergleichung verliehen, die darauf beruht, ein einziges Elektronendichtefunktional zu benutzen, dessen räumliche Abhängigkeit unabh¨ angig von der Zahl der Elektronen und zugehörigen Näherungspotenankt ist. Derartig vereinfachte Schrödingergleichungen, tialen auf R3 beschr¨ die als Kohn-Sham Gleichungen bezeichnet werden, werden heute in der theoretischen Chemie ausgiebig eingesetzt.

73.13 Quantenmechanik

1067

Das Wasserstoffatom Das Wasserstoffatom, das aus einem Elektron und einem Proton besteht, ist der einzige Fall, f¨ ur den eine analytische Lösung der Schrödingergleichung m¨ oglich ist: F¨ ur diesen Fall nimmt die Schrödingergleichung unter der Annahme, dass das Proton im Ursprung positioniert ist, die folgende (normierte) Gestalt an: Gesucht ist die Wellenfunktion ϕ(x, t) mit x ∈ R3 , so dass f¨ ur t > 0 ∂ϕ 1 i = − ∆ + V ϕ in R3 (73.39) ∂t 2 1 gilt, wobei ∆ der u uglich x ist und V (x) = − |x| ¨bliche Laplace-Operator bez¨ ist das Coulomb Potential des Protons. Die Normierung erfolgt so, dass |ϕ(x, t)|2 dx = 1 f¨ ur t > 0. R3

F¨ ur ein Gebiet Ω ∈ R3 beschreibt das Integral |ϕ(x, t)|2 dx Ω

die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, das Elektron zur Zeit t im Gebiet Ω anzup2 treffen. Rein formal betrachtet, beschreibt − 12 ∆ die kinetische Energie 2m mit Impuls p und Masse m, wobei p durch −i∇ ersetzt und m = 1 gesetzt wird. F¨ ur den harmonischen Fall mit einer Zeitabhängigkeit exp(−iωt) mit Frequenz ω erhalten wir das Eigenwertproblem: Gesucht ist ϕ(x) = 0 und ω ∈ R, so dass Hϕ = ωϕ, (73.40) wobei H = − 12 ∆ + V der Hamilton-Operator ist und der Eigenwert ω ein Energieniveau beschreibt. Die Eigenwerte sind reell und die (reelle) Eigenfunktion, die zum kleinsten Eigenwert (kleinste Energie) gehört, wird als Grundzustand bezeichnet und die Eigenfunktionen zu höheren Eigenwerten als angeregte Zustände. Wenn wir sph¨ arische Symmetrie annehmen, nimmt (73.40) in sphärischen Koordinaten mit Radius r die folgende Form an: Gesucht ist ϕ(r), so dass −

1 d2 ϕ 1 dϕ 1 − ϕ = ωϕ f¨ ur r > 0, − 2 dr2 r dr r

mit der Nebenbedingung, dass ϕ(0) endlich ist und das Quadrat von ϕ(x) u ¨ ber R3 integrierbar ist. Der Grundzustand wird durch die Eigenfunktion ϕ(r) = exp(−r) gegeben mit zugeh¨ origem Eigenwert ω = − 21 .

1068


Aufgaben zu Kapitel 73 73.1. Interpretieren Sie die Fixpunkt-Iteration f¨ ur die Poisson-Gleichung als ex− ∆u = f mit Zeitschritplizites Zeitschrittverfahren f¨ ur die W¨ armegleichung du dt aherung U 0 entspricht. Erkl¨ aren ten αh2 und einem Startwert, der der Anfangsn¨ Sie, warum die Konvergenz f¨ ur kleineres h langsamer wird. 73.2. Betrachten Sie eine waagerechte elastische Membran, die im unbelasteten Zustand mit homogener konstanter Spannung H auf einen geschlossenen Ring aufgezogen ist. Diskutieren Sie, unter welchen Bedingungen die Membran ein von Null verschiedenes Wasservolumen tragen kann und versuchen Sie, das Volumen zu berechnen. 73.3. Beweisen Sie, dass (73.32) eine Fundamentall¨ osung von −∆ in R2 ist. 73.4. Da die vorgestellten mathematischen Modelle f¨ ur den W¨ armefluss und die Gravitation, insbesondere die Poisson-Gleichung, gleich sind, k¨ onnen wir uns ein Gravitationspotential als Temperatur“ und ein Gravitationsfeld als W¨ arme” ” fluss“ denken. K¨ onnen Sie mit Hilfe dieser Analogie etwas u ¨ber die Gravitation verstehen“? ” 73.5. Formulieren Sie f¨ ur d = 2 die Integralgleichung (73.36). 73.6. Welche Gleichung erh¨ alt man, wenn der Ausdruck ∂D/∂t bei der Betrachtung des zeitabh¨ angigen Magnetismus’ nicht vernachl¨ assigt, sondern in der x3 Koordinate ber¨ ucksichtigt wird? 73.7. Leiten Sie die W¨ armegleichung her, die die W¨ armeleitung in einem d¨ unnen Drahtst¨ uck der L¨ ange Eins, dessen Enden bei konstanter Temperatur gehalten werden, beschreibt (d.h. formulieren Sie die ein-dimensionale W¨ armegleichung): ⎧ ⎪ in (0, 1) × (0, T ], ⎨u˙ − u = f (73.41) u(0, t) = u(1, t) = 0 f¨ ur t ∈ (0, T ], ⎪ ⎩ f¨ ur x ∈ (0, 1). u(x, 0) = u0 (x) 73.8. Sei F (x) das durch eine homogene Kugel der Masse m mit dem Volumen ulle ∇F (x) = ρ f¨ ur x < r {x ∈ R3 : x ≤ r} erzeugte Gravitationsfeld. Es erf¨ und ∇F (x) = 0 f¨ ur x > r, wobei ρ die Dichte der Kugel angibt. Begr¨ unden −x f¨ ur x > r mit einer Funktion Sie, dass Symmetrie bedingt F (x) = f ( x ) x f : (0, ∞) → R gelten muss. Benutzen Sie den Divergenzsatz, um zu zeigen, dass f¨ ur R > r gilt: F (x) · ndS = 4πR2 f (R) = ∇F (x) dx = m. SR

KR

Dabei ist SR die Begrenzung der Kugel KR = {x ∈ R3 : x ≤ R}. Folgern Sie, m m −x ur x > r gilt. Auf diese Weise dass f (R) = 4πR 2 und somit F (x) = 4π x3 f¨ erhalten Sie einen alternativen Zugang zum Albtraum von Newton. Beachten Sie die Ver¨ anderung in der Normierung, wodurch hier der Faktor 1/4π auftritt.


1069

73.9. F¨ ur die Konvergenzanalyse der Fixpunkt-Iteration f¨ ur das Gleichungssystem (73.15) m¨ ussen wir zeigen, dass I − αA < 1, wobei A = (aij ) die ur (N − 1) × (N − 1)-Matrix mit aii = 2, ai,i−1 = ai−1,i = −1 und aij = 0 f¨ |i − j| > 1 ist. Da A symmetrisch ist, erhalten wir mit R¨ uckblick auf das Kapitel Der Spektralsatz“: ” I − αA = max |1 − αλi |, i

wobei λi , i = 1, . . . , N − 1 die Eigenwerte von A sind. Diagonalisieren Sie A, um dies nachzuvollziehen. Beweisen Sie, dass f¨ ur alle von Null verschiedenen V ∈ RN−1 AV · V =

N−1

aij Vi Vj > 0

i,j=1

ur alle i (Hinweis: Quadratische Erg¨ anzung!). gilt und folgern Sie, dass λi > 0 f¨ ¨ Ahnlich k¨ onnen Sie zeigen, dass f¨ ur alle V ∈ RN−1 (I − αA)V · V ≥ 0 1 4

(Hinweis: Quadratische Erg¨ anzung!). Folgern Sie, dass die gilt, falls α ≤ onnen Sie die Konvergenz Fixpunkt-Iteration konvergiert, wenn 0 < α ≤ 14 . K¨ ur α < 0? (Hinweis: f¨ ur α < 12 beweisen? Was geschieht mit der Konvergenz f¨ Machen Sie Gebrauch davon, dass f¨ ur eine symmetrische m × m-Matrix A mit den Eigenwerten λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λm gilt, dass λ1 = minV ∈Rm (AV · V )/(V · V ) ur V = 0.). und λm = maxV ∈Rm (AV · V )/(V · V ) f¨ 73.10. Erweitern Sie die obige Analyse auf den 5-Punkte Stern f¨ ur den LaplaceOperator und zeigen Sie, dass Fixpunkt-Iterationen konvergieren, wenn 0 < α < 18 (oder besser noch α < 14 ). 73.11. Treffen Sie sich mit einigen Freunden und stellen Sie sie in einem quadratischen regelm¨ aßigen Gitter auf. Bitten Sie ihre Freunde, ihren eigenen Wert immer wieder nach der Svensson-Formel als den Mittelwert der Werte der Nachbarn neu zu berechnen (beginnend bei Null), nachdem Sie den Freunden auf der Begrenzung bestimmte andere Werte zugewiesen haben. Notieren Sie die Werte nachdem Konvergenz erzielt wurde. Sie haben jetzt die Laplace-Gleichung auf einem Quadrat mit Dirichlet-Randbedingungen numerisch gel¨ ost. Welchen Wert f¨ ur α haben Sie dabei effektiv in der Fixpunkt-Iteration benutzt? 73.12. Beweisen Sie den Satz von Bernoulli, nach dem f¨ ur eine station¨ are Eulersche Str¨ omung, f¨ ur die (u · ∇)u + ∇p = 0 gilt, die Gr¨ oße 12 u 2 + p entlang von Str¨ omungslinien konstant bleibt. 73.13. Erkl¨ aren Sie den Magnuseffekt, nach dem ein Tennisball mit Top-Spin eine abw¨ arts gerichtete Kurve beschreibt, vgl. auch das Kapitel Analytische ” Funktionen“. 73.14. Beweisen Sie, dass das Wasserstoffatom stabil ist, in dem Sinne, dass f¨ ur den Rayleigh-Quotienten 1 |∇ψ|2 dx − Ω ψ 2 /r dx RQ(ψ) = 2 Ω ψ 2 dx Ω

1070


gilt: min RQ(ψ) ≥ −2.

ψ∈V

Dadurch wird verhindert, dass das Elektron in das Proton st¨ urzt. Hinweis: Sch¨ atzen Sie Ω ψ ψr mit Hilfe der Cauchyschen Ungleichung und der folgenden Poincaréschen Ungleichung ab: ψ2 dx ≤ 4 |∇ψ|2 dx. (73.42) 2 Ω r Ω Dadurch zeigen Sie, dass die potentielle Energie im Rayleigh-Quotienten nicht u ¨ ber die kinetische Energie dominieren kann. Um die letzte Ungleichung zu beweisen, nutzen Sie zusammen mit der Cauchyschen Ungleichung die folgende Gleichung ψ2 dx = − 2ψ∇ψ · ∇ ln(|x|) dx, 2 Ω r Ω die sich aus der Greenschen Formel ergibt. 73.15. (a) Zeigen Sie, dass das Eigenwertproblem f¨ ur das Wasserstoffatom f¨ ur Eigenfunktionen, die nur radiale Abh¨ angigkeit besitzen, auch in der folgenden ein-dimensionalen Formulierung geschrieben werden kann: 1 1 1 ϕ2 r 2 dr < ∞, (73.43) − ϕrr − ϕr − ϕ = λϕ, r > 0, ϕ(0) endlich, 2 r r R dϕ . (b) Zeigen Sie, dass ψ(r) = exp(−r) eine zum Eigenwert λ = − 21 dr zugeh¨ orige Eigenfunktion ist. (c) Bestimmen Sie λ2 und die zugeh¨ orige Eigenosen Sie funktion, indem Sie wie folgt substituieren: ϕ(r) = v(r) exp(− 2r ). (d) L¨ (73.43) numerisch.

mit ϕr =

Uns scheint das Kontinuum einfach zu sein. Irgendwie haben wir den Blick f¨ ur die Probleme verloren, die es mit sich bringt . . . Uns wird gesagt, dass die Bedenken zu einer Zahl wie Wurzel 2 Pythagoras und seine Schule fast zur Verzweiflung brachte. Nun, da wir an derartige seltsame Zahlen von Kindheit an gewohnt sind, sollten wir uns davor h¨ uten, die mathematische Intuition dieser klassischen Periode zu bel¨ acheln; ihre Bedenken sind wohl begr¨ undet. (Schr¨ odinger)

74 Chemische Reaktionen*

Wir kennen bereits die Gesetze, die das Verhalten von Materie unter allen, außer den extremsten Situationen, beschreiben. Insbesondere kennen wir die zentralen Gesetze, die die Grundlage der Chemie und der Biologie bilden. Dennoch betrachten wir diese Gebiete sicherlich nicht als gel¨ oste Probleme; wir hatten bisher recht geringen Erfolg darin, das menschliche Verhalten aus mathematischen Gleichungen vorherzusagen. Selbst wenn wir eine vollst¨ andige Menge von Grundgesetzen kennen, wird es f¨ ur die kommenden Jahren eine Herausforderung an unsere Intelligenz bleiben, bessere N¨ aherungsmethoden zu entwickeln, um sinnvolle Vorhersagen u ¨ ber das wahrscheinliche Ergebnis in komplizierten und realistischen Situationen zu treffen. (S. Hawking in Eine kurze Geschichte der Zeit“) ” Es ist besonders schwer, exakte L¨ osungen der (Einsteinschen) Gleichungen zu finden, da diese Gleichungen nicht linear sind. (Einstein) Da eine sich ausbreitende Flamme als Welle einer chemischen Reaktion betrachtet werden kann, die durch ein str¨ omendes Gas verl¨ auft, bietet sie einen ausgezeichneten Pr¨ ufstein f¨ ur die analytischen F¨ ahigkeiten eines Str¨ omungsmechanikers, eines Spezialisten f¨ ur W¨ armeund Massentransport und eines physikalischen Chemikers, die alle zusammen in einem rundum bewanderten angewandten Mathematiker vereint sind. (M. Kanury)

74.1 Konstante Temperatur Wir betrachten N verschiedene chemische Substanzen A1 , . . . , AN , die an J Reaktionen mit den st¨ ochiometrischen (positiven) ganzzahligen Koeffizi-

1072

74. Chemische Reaktionen*

enten νn,j und λn,j teilnehmen, wobei die Substanz n in der Reaktion j als Reaktand (νn,j ) oder als Produkt (λn,j ) auftreten kann. (Die Koeffizienten sind Null, wenn die Substanz in einer Reaktion weder Reaktand noch Produkt ist.) Dies wird im Allgemeinen wie folgt formuliert: N n=1

νn,j An →

N

λn,j An

f¨ ur j = 1, . . . , J.

(74.1)

n=1

N Wir sagen, dass die Ordnung der Reaktion j gleich n=1 νn,j ist und bezeichnen die molare Konzentration (ausgedr¨ uckt in Mol pro Einheitsvolumen) einer Substanz An mit cn . Wir nehmen an, dass die Reaktionsgeschwindigkeit rj von Reaktion j durch rj = kj (T )

N .

cνmm,j

m=1

ausgedr¨ uckt werden kann, wobei der Reaktionskoeffizient oder der Arrhenius Faktor kj (T ) sich wie folgt ergibt: Ej αj kj (T ) = Bj T exp − , RT wobei Ej > 0 die Aktivierungsenergie angibt, R ist die Gaskonstante und Bj T αj steht f¨ ur den Häufigkeitsfaktor, wobei Bj und αj positive Konstanten sind. Wir gehen davon aus, dass die absolute Temperatur T f¨ ur alle Substanzen gleich ist. Der zentrale Gedanke hinter der Produktformulie/ νm,j ist der, dass die Reaktionsgeschwindigkeit zur molaren rung N m=1 cm Konzentration des Reaktanden Am , die νm,j -fach reagiert, proportional ist. Der Arrhenius Faktor ist klein, wenn T unterhalb eines bestimmten E Grenzwertes liegt, was damit zusammenh¨ angt, dass dann der Quotient RTj nur m¨ aßig groß ist. Die Nettoproduktion (in Mol pro Volumen pro Einheitszeit) von Substanz An in Reaktion j entspricht αn,j rj mit αn,j = λn,j − νn,j , und die gesamte Nettoproduktionsgeschwindigkeit sn von Substanz An betr¨ agt: sn =

J

αn,j rj .

j=1

Wir wollen nun annehmen, dass die Temperatur T konstant und vorgegeben ist. Wir suchen den Konzentrationsvektor c(t) = (c1 (t), . . . , cN (t)) als Funktion der Zeit t. Er beschreibt die Dynamik der Reaktionen f¨ ur t > 0,

74.1 Konstante Temperatur

1073

wobei wir annehmen, dass c(0) = c0 der Vektor c0 = (c01 , . . . , c0N ) mit vorgegebenen Anfangskonzentrationen ist. Mit Hilfe der Balancegleichung ur jede Substanz n = 1, 2, . . . , N gilt, erhalten wir das folgende c˙n = sn , die f¨ Anfangswertproblem f¨ ur ein System gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen: Gesucht ist c(t) = (c1 (t), . . . , cN (t)), so dass / νm,j c˙n (t) = Jj=1 αn,j kj (T ) N ur t > 0, n = 1, . . . , N, m=1 cm (t) f¨ (74.2) c(0) = c0 . Dies entspricht einem Anfangswertproblem der Form u(t) ˙ = f (u(t)) f¨ ur t > 0 mit u(0) = c0 und u(t) = c(t) und einer vorgegebenen Funktion f : RN → RN . Ein Gleichgewicht bei einer bestimmten Temperatur T bedeutet dann ur t > 0, n = 1, . . . , N . Es wird durch das algebraische Gleic˙n (t) = 0 f¨ chungssystem J

αn,j kj (T )

N .

cνmm,j = 0

f¨ ur n = 1, . . . , N

(74.3)

m=1

j=1

beschrieben, was der Gleichung f (u) = 0 entspricht. Beispiel 74.1. Die Reaktion 2NO + Cl2 → 2NOCl kann in die Form (74.1) gebracht werden, wenn wir A1 = NO, A2 = Cl2 , A3 = NOCl, N = 3, J = 1, ν1,1 = 2, ν2,1 = 1, ν3,1 = 0, λ1,1 = 0, λ2,1 = 0, λ3,1 = 2, α1,1 = −2, α2,1 = −1 und α3,1 = 2 setzen. Beispiel 74.2. Die zwei Reaktionen 2NO + Cl2 →k1 2NOCl, 2NOCl →k2 2NO + Cl2 k¨ onnen in die Form (74.1) gebracht werden, wenn wir A1 = NO, A2 = Cl2 , A3 = NOCl, N = 3, J = 2, ν1,1 = 2, ν2,1 = 1, ν3,1 = 0, λ1,1 = 0, λ2,1 = 0, λ3,1 = 2, α1,1 = −2, α2,1 = −1, α3,1 = 2, ν1,2 = 0, ν2,2 = 0, ν3,2 = 2, λ1,2 = 2, λ2,2 = 1, λ3,2 = 0, α1,2 = 2, α2,2 = 1 und α3,2 = −2 setzen. Das Gleichgewicht wird folgendermaßen beschrieben: k1 c21 c2 = k2 c23

oder

c21 c2 k2 = . c23 k1

Beispiel 74.3. Ein idealer Tankreaktor erster Ordnung wird durch die Gleichung qc0 − V kc = qc

1074


beschrieben, wobei c0 die Konzentration des Reaktanden am Einlass ist, c ist die Konzentration im Reaktor, q die einströmende (= ausströmende) Menge, V das Tankvolumen und k der Reaktionskoeffizient. Die Gleichung bringt zum Ausdruck, dass die (Menge an) Reaktandenzugabe abz¨ uglich der durch die Reaktion verbrauchte Reaktandenmenge dem Reaktandabuhren, die sich der Reaktand fluss entspricht. Wenn wir die Zeit τ = Vq einf¨ im Reaktor aufh¨ alt, erhalten wir: c=

c0 . 1 + τk

Der Wirkungsgrad des Reaktors ergibt sich zu: η=

c0 − c 1 τk = = . 0 c 1 + τk 1 + τ1k

Insbesondere erkennen wir, dass der Wirkungsgrad abnimmt, wenn τ abnimmt. Beispiel 74.4. Ein idealer Rohrreaktor erster Ordnung, der das Intervall (0, 1) einnimmt, kann als eine in Serie geschaltete Menge von Tankreaktoren erster Ordnung betrachtet werden. Er wird durch qc(x) − A∆xkc(x) = qc(x + ∆x)

f¨ ur 0 < x < 1

modelliert, wobei q die (konstante) Fließgeschwindigkeit, A der Durchmesser des Rohrs und ∆x ein kleines x-Inkrement ist. Wenn wir durch ∆x dividieren und ∆x gegen Null streben lassen, f¨ uhrt uns dies zu einem Anfangswertproblem, bei dem wir nach der Konzentration c(x) f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1 suchen, so dass dc = −τ kc dx

f¨ ur 0 < x ≤ 1,

c(0) = c0 ,

A osung lautet c(x) = c0 e−τ kx und der Wirkungsgrad beq . Die L¨ 0 x = c −c(1) = 1 − e−τ k . Wenn wir nun bedenken, dass 1+x < 1 − e−x c0

mit τ =

tr¨ agt η f¨ ur x > 0, so folgt daraus, dass der ideale Rohrreaktor einen höheren Wirkungsgrad besitzt als der ideale Tankreaktor.

74.2 Veränderliche Temperatur Wir wollen nun zulassen, dass sich die Temperatur T (t) mit der Zeit t ver¨ andert und ebenso wie die Konzentrationen c1 (t), . . . , cN (t) unbekannt ist. Die Reaktionswärme von Reaktion j ergibt sich aus N αm,j hm rj , − m=1

74.3 R¨ aumliche Abh¨ angigkeit

1075

wobei hm der molaren Enthalpie der Substanz Am entspricht. Die Reaktionsw¨ arme ist f¨ ur eine exotherme Reaktion positiv und f¨ ur eine endotherme Reaktion negativ. ur Das Problem besteht nun darin, c(t) = (c1 (t), . . . , cN (t)) und T (t) f¨ t > 0 zu bestimmen, so dass ⎧ J /N ν ⎪ c˙n = j=1 αn,j kj (T ) m=1 cmm,j , t > 0, n = 1, . . . , N, ⎪ ⎨ / ν J N N m,j Cp T˙ = j=1 (− m=1 αm,j hm )kj (T ) m=1 cj , ⎪ ⎪ ⎩ c(0) = c0 , T (0) = T 0 mit den Anfangskonzentrationen c0 = (c01 , . . . , c0N ) und der Anfangstemperatur T 0 . Cp ist die spezifische W¨ arme der Substanzmischung.

74.3 Raümliche Abha¨ngigkeit Wenn wir r¨ aumliche Abh¨ angigkeiten in einem Gebiet Ω in R3 ber¨ ucksichtigen, f¨ uhrt uns dies zu folgendem Modell: Gesucht wird T (x, t) und ur x ∈ Ω, t > 0, so dass c(x, t) = (c1 (x, t), . . . , cN (x, t)) f¨ ⎧ ⎪ c˙n + ∇ · (cn β) − ∇ · (n ∇cn ) ⎪ ⎪ ⎪ J /N ⎪ ν ⎪ ⎪ = j=1 αn,j kj (T ) m=1 cmm,j f¨ ur x ∈ Ω, t > 0, n = 1, . . . , N, ⎪ ⎨ Cp T˙ + ∇ · (Cp T β) − ∇ · (0 ∇T ) ⎪ ⎪ J N /N ν ⎪ ⎪ = j=1 (− m=1 αm,j hm )kj (T ) m=1 cmm,j f¨ ur x ∈ Ω, t > 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩c(x, 0) = c0 , T (x, 0) = T 0 f¨ ur x ∈ Ω, wobei β(x, t) eine vorgegebene Konvektionsgeschwindigkeit ist und die n sind gegebene Diffusionskoeffizienten. Das System wird durch Randbedingungen vervollst¨ andigt, die f¨ ur jede Gleichung vom Dirichlet-, Neumannoder vom Robin-Typ sein k¨ onnen. Beispiel 74.5. Eine station¨ are Reaktion erster Ordnung mit konstanter Temperatur und einer Substanz mit konstanter Diffusion, aber ohne Konvektion, wird in dimensionsloser Form durch die Gleichung ∆u = ϕ2 u

in Ω,

zusammen mit Dirichlet-, Neumann- oder Robin-Randbedingungen modelliert, wobei ϕ der Thiele-Modulus ist und Ω ein Gebiet in Rd , d = 1, 2, 3. Dabei interessiert vor allem die Gesamtproduktion Ω u(x) dx als Funktion von Ω, dem Thiele-Modulus ϕ2 und den Randbedingungen.

1076


Beispiel 74.6. Ein einfaches Modell f¨ ur die Flammenausbreitung in einem Kanal besitzt folgende Gestalt: ⎧ ∂u ⎪ ⎨u˙ 1 − ∆u1 + β1 1 = u2 f (u1 ) x ∈ Ω, t > 0, ∂x1 (74.4) ∂u ⎪ ⎩u˙ 2 − ∆u2 + β1 2 = −u2 f (u1 ) x ∈ Ω, t > 0, ∂x1 wobei geeignete Randbedingungen noch fehlen. Dabei ist Ω = R × (0, 1), ur die Temperatur, u2 beschreibt die Konzentration des Reaktanu1 steht f¨ den, β1 die Geschwindigkeit des Reaktanden in x1 -Richtung und u2 f (u1 ) die Reaktionsgeschwindigkeit, wobei f : R+ → R+ vorgegeben ist. Bei geonnen wir station¨ are Lösungen mit u˙ = 0 finden, eigneter Wahl von β1 k¨ die eine sich ausbreitende Flammenfront beschreiben. Beispiel 74.7. Ein wichtiges Modell f¨ ur die Verbrennung in einem Gebiet Ω in R3 besitzt die folgende Gestalt: Gesucht ist die Konzentration c und die Temperatur T , so dass E c˙ − 1 ∆c = −B1 e− RT c, x ∈ Ω, t > 0, (74.5) E T˙ − 0 ∆T = B0 e− RT c x ∈ Ω, t > 0, beispielsweise in Verbindung mit homogenen Neumann-Randbedingungen angig von der Aktivierungsenerund positiven Konstanten B0 und B1 . Abh¨ gie E und den Anfangsbedingungen kann der Prozess in Raum und Zeit schnell oder langsam ablaufen. Axiom 1: Alle K¨ orper sind entweder in Bewegung oder in Ruhe. Axiom 2: Jeder K¨ orper kann seine Geschwindigkeit ver¨ andern. Lemma 1: K¨ orper unterscheiden sich voneinander bez¨ uglich ihrer Bewegung oder ihrer Ruhe, ihrer Schnelligkeit oder Langsamkeit und nicht bez¨ uglich ihres Materials. Lemma 2: Alle K¨ orper stimmen in gewissen Gesichtspunkten u ¨ berein. Lemma 3: Ein K¨ orper in Bewegung oder in Ruhe muss durch einen anderen K¨ orper veranlasst worden sein sich zu bewegen oder zu ruhen. Dieser andere K¨ orper wurde seinerseits zur Bewegung oder Ruhe durch einen anderen K¨ orper veranlasst, der wiederum durch einen anderen und so weiter. ... Lemma 6: Werden gewisse K¨ orper, die ein individuelles Ding bilden, ¨ zu einer Anderung der Bewegungsrichtung veranlasst und zwar so, dass sie alle ihre Bewegung fortsetzen k¨ onnen und dieselbe relative Beziehung behalten wie zuvor, so wird auch dieses individuelle Ding ¨ seine relative Beziehung und seine eigene Natur ohne Anderung der Gestalt erhalten. (Spinoza 1632–1677, Ethica II)

75 Werkzeugkoffer: Infinitesimalrechnung II

Timeo hominem unius libri. (Thomas von Aquin)

75.1 Einleitung Wir sammeln hier die zentralen Werkzeuge der Infinitesimalrechnung f¨ ur die Funktionen f : Rn → Rm , das bedeutet die Infinitesimalrechnung von vektorwertigen Funktionen in mehreren Variablen. Die euklidische Norm n eines Vektors x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn wird als x = i=1 x2i bezeichnet.

75.2 Lipschitz-Stetigkeit Eine Funktion f : A → Rm ist auf einer Untermenge A von Rn Lipschitzstetig, wenn es eine Konstante L gibt, so dass f (x) − f (y) ≤ Lx − y f¨ ur alle x, y ∈ A.

75.3 Differenzierbarkeit Eine Funktion f : A → Rm ist in x ¯ ∈ A differenzierbar, wobei A eine offene Untermenge des Rn ist, wenn eine m × n-Matrix f (¯ x), die als JacobiMatrix der Funktion f (x) in x¯ bezeichnet wird, und eine Konstante Kf (¯ x)

1078

75. Werkzeugkoffer: Infinitesimalrechnung II

existiert, so dass f¨ ur alle x ∈ A in der N¨ ahe von x ¯ gilt: x)(x − x ¯) + Ef (x, x¯), f (x) = f (¯ x) + f (¯ wobei Ef (x, x¯) ein m-Vektor ist, f¨ ur den Ef (x, x¯) ≤ Kf (¯ x)x − x ¯2 gilt. m Wir sagen, dass f : A → R gleichmäßig differenzierbar auf A ist, wenn x) = Kf unabh¨ angig von x¯ ∈ A gewählt werden kann. die Konstante Kf (¯ Wir schreiben f = ∇f f¨ ur m = 1 und bezeichnen ∇f als den Gradienten von f .

75.4 Die Kettenregel Ist g : Rn → Rm Lipschitz-stetig und in x ¯ ∈ Rn differenzierbar und ist m p m x) ∈ R differenzierbar, dann ist auch die zusamferner f : R → R in g(¯ mengesetzte Funktion f ◦ g : Rn → Rp in x ¯ ∈ Rn differenzierbar, mit der Jacobi-Matrix: x) = f (g(¯ x))g (¯ x). (f ◦ g) (¯

75.5 Der Mittelwertsatz fu ¨r f : Rn → R Ist f : Rn → R auf Rn differenzierbar und ist der Gradient ∇f Lipschitzstetig, dann gibt es f¨ ur vorgegebene x und x ¯ in Rn ein y = x + t¯(x − x ¯) mit ¯ t ∈ [0, 1], so dass f (x) − f (¯ x) = ∇f (y) · (x − x ¯).

75.6 Ein Minimum ist ein stationa¨rer Punkt Ist x ¯ ∈ Rn ein lokales Minimum einer differenzierbaren Funktion f : Rn → R, d.h. f (¯ x) ≤ f (x) f¨ ur alle x nahe bei x ¯, dann gilt: ∇f (¯ x) = 0.

75.7 Der Satz von Taylor Ist f : Rn → R zweifach differenzierbar mit der Lipschitz-stetigen Hesse2 f , dann gibt es f¨ ur schen Matrix H = (hij ) mit den Elementen hij = ∂x∂i ∂x j n ¯ ¯ vorgegebene x und x¯ ∈ R ein y = x + t(x − x¯) mit t ∈ [0, 1], so dass f (x) = f (¯ x) + ∇f (¯ x) · (x − x ¯) +

n 1 ∂2f (y)(xi − x¯i )(xj − x ¯j ) 2 i,j=1 ∂xi ∂xj

1 = f (¯ x) + ∇f (¯ x) · (x − x ¯) + (x − x ¯) H(y)(x − x ¯). 2

75.8 Der Kontraktionssatz

1079

75.8 Der Kontraktionssatz Ist g : Rn → Rn Lipschitz-stetig zur Lipschitz-Konstanten L < 1, dann besitzt die Gleichung x = g(x) eine eindeutige L¨ osung x ¯ = limi→∞ x(i) , wobei (i) ∞ n {x }i=1 eine Folge in R ist, die beginnend bei irgendeinem Anfangswert x(0) durch die Fixpunkt-Iteration x(i) = g(x(i−1) ) erzeugt wird.

75.9 Der Satz zur inversen Funktion Sei f : Rn → Rn und habe f (x) nahe bei x ¯ Lipschitz-stetige Koeffizienten x) nicht singul¨ ar. Dann besitzt die Gleichung f (x) = y eine und sei f (¯ eindeutige L¨ osung x f¨ ur ein y nahe bei y¯ = f (¯ x). Dadurch wird x als eine Funktion x = f −1 (y) von y definiert.

75.10 Die Newtonsche Methode Ist x ¯ eine Nullstelle von f : Rn → Rn und f (x) in der Nähe von x ¯ mit einer Lipschitz-stetigen Ableitung f (¯ x) gleichmäßig differenzierbar, die nicht singul¨ ar ist. Dann konvergiert die Newtonsche Methode x(i+1) = (i) (i) −1 osung von f (x) = 0, wenn wir x − f (x ) f (x(i) ) quadratisch zur L¨ gen¨ ugend nahe bei x ¯ beginnen.

75.11 Differential-Operatoren Der Gradient einer Funktion u : Rd → R: ∂u ∂u ∂u grad u = ∇u = , ,..., . ∂x1 ∂x2 ∂xd Die Divergenz einer Vektorfunktion u : Rd → Rd : div u = ∇ · u =

d ∂ui i=1

∂xi

.

Die Rotation einer Vektorfunktion u : R3 → R3 : ∂u3 ∂u2 ∂u1 ∂u3 ∂u2 ∂u1 rot u = ∇ × u = − , − , − . ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x2 Der Laplace-Operator einer Funktion u : Rd → R: ∆u = ∇ · (∇u) = div (grad u) =

d ∂2u i=1

∂x2i

.

1080


Gleichungen: ∇ · (∇ × u) = 0, ∇ × (∇u) = 0, ∇ × (∇ × u) = −∆u + ∇(∇ · u). Der Laplace-Operator in R2 lautet in Polarkoordinaten x = (x1 , x2 ) = (r cos(θ), r sin(θ)): 1 ∂ ∂u 1 ∂2u ∆u = r + 2 2. r ∂r ∂r r ∂θ Der Laplace-Operator lautet in sphärischen Koordinaten x = (r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ)): ∂2u ∂u ∂ 1 ∂ 1 ∂u 1 ∆u = 2 . r2 + 2 sin(θ) + 2 2 r ∂r ∂r r sin(θ) ∂θ ∂θ r sin (θ) ∂ϕ2 Der Laplace-Operator ist unter orthogonalen Koordinatentransformationen invariant in Rd .

75.12 Kurvenintegrale Sei Γ = s([a, b]) eine Kurve in Rn , die durch die Funktion s : [a, b] → Rn gegeben ist und sei u : Γ → R, dann gilt: b u ds = u(x) ds(x) = u(s(t))s (t) dt, Γ

Γ b

u · ds = Γ

a

u(s(t)) · s (t) dt,

a

ds = Γ

b

s (t) dt = L¨ ange von Γ.

a

Ist u = ∇ϕ, dann gilt:

u · ds = ϕ(s(b)) − ϕ(s(a)). Γ

75.13 Mehrfachintegrale Integrale ¨ uber dem Einheitsquadrat: Ist f : Q = [0, 1] × [0, 1] → R Lipschitzstetig, dann gilt: 1 1 N N f (x) dx = f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = lim f (xn1,i , xn2,j )hn hn , Q

0

0

n→∞

i=1 j=1

75.14 Oberfl¨ achenintegrale

mit hn = 2−n , xnj,i = ihn , N = 2n und 1 1 f (x) dx = f (x1 , x2 ) dx2 dx1 = 0

Q

0

0

1

1081

1

f (x1 , x2 ) dx1

dx2 .

0

˜ in Rd auf Substitution: Die Funktion y → x = g(y) bilde ein Gebiet Ω d ein Gebiet Ω in R ab, wobei die Jacobi-Matrix von g wie auch f : Ω → R Lipschitz-stetig ist. Dann gilt: f (x) dx = f (g(y))| det g (y)| dy. ˜ Ω

Ω

Polarkoordinaten: f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = f (r cos(θ), r sin(θ)) rdr dθ, ˜ Ω

Ω

˜ auf Ω ist, mit x = wobei (r, θ) → x eine Eins zu Eins Abbildung von Ω (r cos(θ), r sin(θ)). Sph¨ arische Koordinaten: f (x) dx Ω = f r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ) r2 sin(ϕ) dr dθ dϕ, ˜ Ω

˜ auf Ω ist, mit wobei (r, θ, ϕ) → x eine Eins zu Eins Abbildung von Ω x = (r sin(ϕ) cos(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(ϕ)).

75.14 Oberflächenintegrale Ist S = s(Ω) eine Fl¨ ache in R3 , die durch die Abbildung s : Ω → R3 parametrisiert ist, wobei Ω ein Gebiet in R2 ist und u : S → R eine reellwertige Funktion, die auf S definiert ist. Dann gilt: u ds = u(s(y))s,1 (y) × s,2 (y) dy, S

Ω

1 ∂s2 ∂s3 mit s,i = ( ∂s ∂yi , ∂yi , ∂yi ).

75.15 Die Greensche Formel und der Satz von Gauss Ist Ω ein Gebiet in R3 mit der Begrenzung Γ und der auswärts gerichteten Normalen n = (n1 , n2 , n3 ) und ist u : Ω → R3 und v, w : Ω → R, dann gilt: ∂v dx = v ni ds, i = 1, 2, 3, Ω ∂xi Γ

1082


Ω

∂v w dx = ∂xi

vw ni ds −

v

Γ

Ω

∂w dx, ∂xi

i = 1, 2, 3,

∇ · u dx =

u · n ds,

Ω

(Divergenzsatz von Gauss)

Γ

∇ × u dx =

Ω

∇v · ∇w dx =

Ω

v∂n w ds −

Γ

v∆w dx − Ω

n × u ds, Γ

v∆w dx, Ω

v ∂n w ds −

∆v w dx = Ω

Γ

∂n v w ds. Γ

75.16 Der Satz von Stokes Sei S eine Fl¨ ache in R3 , die durch eine geschlossene Kurve Γ begrenzt ist und sei n eine Einheitsnormale zu S. Γ sei dabei in Uhrzeigerrichtung zur positiven Richtung der Normalen n orientiert. Ferner sei u : R3 → R3 differenzierbar. Dann gilt: (∇ × u) · n ds = u · ds. S

Γ

76 Stu¨ckweise lineare Polynome in R2 und R3

. . . normalerweise saß er in bequemer Haltung, nach unten schauend, leicht gebeugt mit im Schoß gefalteten H¨ anden. Er sprach frei, sehr deutlich, einfach und gerade heraus: Wenn er aber einen neuen Gesichtspunkt betonen wollte, . . . dann hob er seinen Kopf, wendete sich an einen von denen, die ihm am n¨ achsten saßen und starrte ihn mit seinen sch¨ onen, durchdringenden blauen Augen w¨ ahrend seiner energischen Rede an. . . . Wenn er von einer Erkl¨ arung von Prinzipien zur Entwicklung mathematischer Formeln u ¨ berging, dann stand er auf und schrieb in einer w¨ urdevollen sehr aufrechten Haltung in seiner eigenartigen sch¨ onen Handschrift an die Tafel neben ihm: Dank seiner Sparsamkeit und besonnenen Aufteilung gen¨ ugte ihm stets sehr wenig Platz. F¨ ur numerische Beispiele, auf deren sorgf¨ altige Fertigstellung er besonderen Wert legte, brachte er die erforderlichen Daten auf kleinen Zetteln mit sich. (Dedekind u ¨ ber Gauss)

76.1 Einleitung In diesem Kapitel werden wir den Einsatz der FEM f¨ ur partielle Differentialgleichungen vorbereiten, indem wir N¨ aherungen von Funktionen durch st¨ uckweise lineare Funktionen in R2 und R3 untersuchen. Wir betrachten drei Hauptgebiete: (i) Die Konstruktion eines Gitters oder Triangulierung uckweise linearen f¨ ur ein Gebiet in R2 oder R3 , (ii) die Konstruktion von st¨ Funktionen auf einer Triangulierung und (iii) die Abschätzung von Interpolationsfehlern.

1084

76. St¨ uckweise lineare Polynome in R2 und R3

Abb. 76.1. Das Gitter links wurde benutzt, um die Luftstr¨ omung um zwei Tragfl¨ ugel zu berechnen. Das Gitter rechts wurde benutzt, um ein St¨ uck Metall, in das ein Fantasiezeichen eingestanzt ist, zu diskretisieren. In beiden F¨ allen handelt es sich um ein adaptives Gitter, um so bei gleichzeitiger Ber¨ ucksichtigung des L¨ osungsverhaltens und der Gebietsform genaue Berechnungen zu erhalten

76.2 Die Triangulierung eines Gebiets in R2 Wir beginnen mit der Betrachtung eines zwei-dimensionalen Gebiets Ω mit einem Polygonzug als Begrenzung Γ. Eine Triangulierung Th = {K} ist eine Unterteilung von Ω in eine Menge sich nicht u ¨ berlagernder Dreiecke oder Elemente K, die so konstruiert sind, dass keine Ecke eines Dreiecks auf einer Seite eines anderen Dreiecks liegt, vgl. Abb. 76.2. Wir verwenden Nh = {N }, um die Menge von Knoten N oder Ecken der Dreiecke zu bezeichnen, die u ¨ blicherweise mit N1 , N2 , . . . , NM nummeriert werden. Dabei entspricht M der Gesamtzahl an Knoten. Eine Triangulierung wird durch eine Liste der Koordinaten der Knoten zusammen mit einer Liste der Knotennummern jedes Dreiecks spezifiziert. Wir können auch die Menge an Dreiecksseiten oder Kanten Sh = {S} auflisten, wobei jede Kante S durch die zwei Knotennummern ihrer Endpunkte spezifiziert wird, zusammen mit einer Liste der Knoten und Kanten auf der Begrenzung Γ. Wir messen die Gr¨ oße eines Dreiecks K ∈ Th als die Länge hK seiner l¨ angsten Seite, die auch als Durchmesser des Dreiecks bezeichnet wird. Die Gitterfunktion h(x), die einer Triangulierung Th zugeordnet wird, ist die ur x ∈ K f¨ ur jedes st¨ uckweise konstante Funktion, die durch h(x) = hK f¨ K ∈ Th definiert ist. Wir messen die Isotropie eines Elements K ∈ Th als den kleinsten Winkel τK . Ist τK ≈ π/3, dann ist K fast gleichschenklig, wohingegen K spitz ist, wenn τK klein ist, vgl. Abb. 76.3. Wir nutzen den kleinsten Winkel in allen Dreiecken in Th , d.h. τ = min τK , K∈Th

als Maß f¨ ur die Anisotropie der Triangulierung Th . Unten werden wir sehen, dass bestimmte Interpolationsfehler, die in Verbindung mit der Näherung

76.2 Die Triangulierung eines Gebiets in R2

N

1085

hK K

K

K

K

S

Abb. 76.2. Eine Triangulierung eines Gebiets Ω

K

K

τK

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