Analysis in historischer Entwicklung (Springer-Lehrbuch)

Springer-Lehrbuch Ernst Hairer · Gerhard Wanner Analysis in historischer Entwicklung ¨ Ubersetzt von Andreas Lochman...

Author: Ernst Hairer | Gerhard Wanner

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Springer-Lehrbuch

Ernst Hairer · Gerhard Wanner

Analysis in historischer Entwicklung ¨ Ubersetzt von Andreas Lochmann

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Prof. Dr. Ernst Hairer Université de Genève Section de mathématiques rue du Lièvre 2-4 1211 Genève 4 Suisse [email protected]

Prof. Gerhard Wanner Université de Genève ´ Section de mathematiques rue du Lièvre 2-4 1211 Genève 4 Suisse [email protected]

¨ Ubersetzung der englischsprachigen Ausgabe: Analysis by Its History von E. Hairer und G. Wanner. c 2008 Springer Science+Business Media, LLC. Alle Rechte vorbehalten. Copyright

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-13766-2 e-ISBN 978-3-642-13767-9 DOI 10.1007/978-3-642-13767-9 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet u¨ ber http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 26-03, 01-01 c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der ¨ Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort . . . das vom u¨ blichen knochentrockenen Mathematik-Lehrbuch abwich. (M. Kline, aus dem Vorwort zur Taschenbuchausgabe von Kline 1972) Darum habe ich auch mit vieler Mühe eine grosse Zahl von Zeichnungen gemacht. (Brieskorn & Knörrer, Ebene algebraische Kurven, 1981, S. vi) . . . möchte ich . . . Punkte aufführe[n], durch deren Hervorhebung sie sich von den u¨ blichen Darstellungen der Lehrbücher besonders unterscheiden: 1.) Veranschaulichung abstrakter Betrachtungen durch anschauliche konkrete Figuren . . . 2.) Betonung der Verbindung mit den Nachbargebieten, wie der Differenzen- und Interpolationsrechnung, . . . 3.) Hervorhebung des geschichtlichen Werdegangs. . . . Mir scheint es a¨ ußerst wichtig, daß gerade die Lehramtskandidaten von all dem Kenntnis haben. (F. Klein 1908, 3.III.3, oder S. 514f. in der Autographie)

Traditionellerweise wird eine erste Vorlesung u¨ ber Analysis (mehr oder minder) in der folgenden Reihenfolge abgehalten: Grenzwerte, Mengen, ⇒ stetige ⇒ Ableitungen ⇒ Integration. Abbildungen Funktionen Andererseits fand die historische Entwicklung dieser Reihenfolge in umgekehrter Reihung statt: Archimedes Cantor 1875 Cauchy 1821 Newton 1665 ⇐ ⇐ ⇐ Kepler 1615 Dedekind Weierstraß Leibniz 1675 Fermat 1638 In diesem Buch versuchen wir in den vier Kapiteln Kapitel I. Kapitel II. Kapitel III. Kapitel IV.

Einführung in die Analysis des Unendlichen Differential- und Integralrechnung Grundlagen der klassischen Analysis Differentialrechnung in mehreren Variablen,

die historische Reihenfolge wiederherzustellen und beginnen in Kapitel I mit Cardano, Descartes, Newton und Eulers berühmter Introductio. Kapitel II präsentiert dann die Integral- und Differentialrechnung des 17ten und 18ten Jahrhunderts — auf Originalinstrumenten“ (wie ein Musiker sagen würde). Die Begründung der ” mathematischen Strenge durch Cauchy, Weierstraß und Peano im 19ten Jahrhundert für eine bzw. mehrere Variablen ist Gegenstand der Kapitel III bzw. IV. Dieses Buch ist das Ergebnis einer langen Zeit der Lehrtätigkeit beider Autoren. Im Jahr 1968 gab der zweite Autor seine erste Vorlesung u¨ ber Analysis an der Universität von Innsbruck, an der der erste Autor als Student im ersten Jahr teilnahm. Seit damals haben wir an vielen Universitäten Vorlesungen gehalten, mal auf Deutsch, mal auf Französisch, beeinflusst von vielen Büchern und Moden. Der vorliegende Text wurde schließlich für unsere Studenten in Genf auf Französisch geschrieben, jedes Jahr u¨ berarbeitet und verbessert, dann ins Englische u¨ bersetzt, wiederum u¨ berarbeitet und mit der unschätzbaren Hilfe unseres

vi

Vorwort

Kollegen John Steinig verbessert. Er hat so viele Fehler korrigiert, dass wir uns nicht vorstellen wollen, was wir ohne ihn getan hätten. Nummerierung: Jedes Kapitel ist in Abschnitte unterteilt. Formeln, Sätze, ¨ Abbildungen und Ubungsaufgaben sind in jedem Abschnitt fortlaufend nummeriert, wobei wir auch die Nummer des Abschnitts selber angeben, nicht jedoch die Kapitelnummer. Beispielsweise wird die siebte Gleichung in Abschnitt II.6 als (6.7)“ bezeichnet. Referenzen auf diese Formel aus anderen Kapiteln heraus sind ” von der Form (II.6.7)“. ” Referenzen auf das Literaturverzeichnis: Wann immer wir beispielsweise Euler (1737)“ oder (Euler 1737)“ schreiben, beziehen wir uns auf einen Text, ” ” der von Euler im Jahr 1737 veröffentlicht wurde, die genaue Referenz findet sich dann im Literaturverzeichnis am Ende des Buches. Gelegentlich sind auch genauere Angaben zu finden, wie beispielsweise (Euler 1737, S. 25)“. Dies ist ” dazu gedacht, diejenigen Leser zu unterstützen, die die Originalquelle einsehen möchten, und um die oftmals eleganten und enthusiastischen Texte der Pioniere zu würdigen. Wenn es im Literaturverzeichnis keinen passenden Eintrag gibt, sparen wir entweder die Klammern aus, oder schreiben beispielsweise (im Jahr 1580)“. ” Zitate: Wir haben viele Zitate aus der Literatur entnommen. Diejenigen, die im Text erscheinen, sind vornehmlich ins Deutsche u¨ bersetzt; die nichtdeutschsprachigen Originalzitate können im Anhang eingesehen werden. Wir haben sie mit dem Ziel aufgenommen, die Mathematik als internationale Wissenschaft mit langer Geschichte wiederzugeben, manchmal zur Unterhaltung, aber auch um denjenigen Lesern entgegenzukommen, die keinen Zugang zu einer Bibliothek voller alter Bücher haben. Wenn die Quelle eines Zitats nicht im Literaturverzeichnis enthalten ist, ist ihr Titel direkt angegeben, so wie beim oben erwähnten Buch von Brieskorn und Knörrer. Danksagung: Der Text wurde auf unseren Sun-Rechnern an der Universität von Genf in plain-TEX geschrieben, unter Verwendung von Macros des SpringerVerlags New York. Wir sind dankbar für die Hilfe von J.M. Naef, Mr. Sun“ der ” Services Informatiques“ unserer Universität. Die Abbildungen sind entweder ” Kopien aus alten Büchern (fotographiert von J.M. Meylan von der Universitätsbibliothek Genf und von A. Perruchoud) oder wurden von unseren Fortran-Programmen berechnet und als Postscript-Dateien eingebunden. Der abschließende Druck wurde auf einem 1200dpi-Laserdrucker in der Fakultät für Psychologie in Genf angefertigt. Wir danken auch der Belegschaft der Bibliothek der Fakultät für Mathematik und vielen Kollegen, besonders R. Bulirsch, P. Deuflhard, Ch. Lubich, R. März, A. Ostermann, J.-Cl. Pont und J.M. Sanz-Serna für ihre wertvollen Kommentare und Hinweise. Den abschließenden aber mit Sicherheit nicht geringsten Dank richten wir an Dr. Ina Lindemann und ihre e´ quipe vom Springer-Verlag New York für all ihre Hilfe, ihre kompetenten Bemerkungen und die angenehme Zusammenarbeit. März 1995

E. Hairer und G. Wanner.

Vorwort zur zweiten, dritten und vierten korrigierten Auflage. Dank dieser neuen Auflagen konnten wir einige Druckfehler korrigieren und den Text an vielen

Vorwort

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Stellen verbessern. Insbesondere können wir nun eine geometrischere Anschauung für Tartaglias Lösung der kubischen Gleichung angeben, die Beschreibung der einhüllenden Kurven verbessern und einen vollständigeren Beweis der Transformationsformel für Mehrfachintegrale anbieten. Wir danken vielen Studenten und Kollegen, die uns geholfen haben, Fehler und mögliche Verbesserungen zu finden, insbesondere R.B. Burckel, H. Fischer, J.-L. Gaudin und H.-M. Maire. Wir ¨ wollen besonderen Dank an Y. Kanie richten, den Ubersetzer der japanischen Ausgabe. März 1997, April 2000, September 2007


¨ Vorwort zur deutschen Ubersetzung Wenn das Buch, nach zwei Jahrzehnten Odyssee, aus einem französischen Manuskript in Genf, nach einer englischen Ausarbeitung in New York, dann einer japanischen in Tokyo, wieder einer französischen in Paris, einer russischen in Moskau, schließlich in die Muttersprache der Autoren u¨ bersetzt wird, ist dies natürlich ein Moment tiefer Emotion. Wir sind Herrn Laurent Bartholdi, welcher vor eben diesen 20 Jahren unsere damalige Einführungsvorlesung in Genf gehört hatte und jetzt, nach einer fulmi¨ nanten Karriere Professor in Göttingen ist, dafür dankbar, dass er diese Ubersetzung in die Wege geleitet hatte. Weiters danken wir Herrn Andreas Lochmann, ¨ der diese Ubersetzung dann mustergültig und mit viel Können durchgeführt hat. Zusätzlich haben beide noch manche der restlichen Fehler entdeckt und zahlreiche Verbesserungsvorschläge gemacht. Juni 2010


Inhaltsverzeichnis Kapitel I Einfuhrung ¨ in die Analysis des Unendlichen I.1 Kartesische Koordinaten und Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra Nova“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ”Descartes’ Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomiale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen .............................................................. I.2 Exponentialfunktion und binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen .............................................................. I.3 Logarithmen und Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung von Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fläche unter der Hyperbel und natürlicher Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen .............................................................. I.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlegende Beziehungen und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung von Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen .............................................................. I.5 Komplexe Zahlen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Eulersche Identität und ihre Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein neuer Blick auf trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eulers Produkt für die Sinus-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen .............................................................. I.6 Kettenbruche ¨ ......................................................... Ursprünge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Näherungsbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irrationalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen ..............................................................

2 2 6 8 10 15 18 19 26 29 31 33 35 37 42 43 46 49 52 56 59 61 63 65 67 70 73 73 76 81 84

Kapitel II Differential- und Integralrechnung II.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Parametrische Darstellung und implizite Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 II.2 Höhere Ableitungen und Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Die zweite Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 De Conversione Functionum in Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 II.3 Einhullende ¨ und Krummung ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Einhüllende einer Familie von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Die Kaustik eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Einhüllende von ballistischen Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Inhaltsverzeichnis

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II.4 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Taylorsche Formel mit Restglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 II.5 Elementar integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Nützliche Substitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 II.6 Näherungsweise Berechnung von Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Asymptotische Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 II.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Einige Klassen integrabler Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 II.8 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Inhomogene lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Die Cauchy-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 II.9 Numerisches Lösen von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Das Euler-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Taylorreihen-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Gleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 II.10 Die Euler-Maclaurin-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Eulers Herleitung der Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 De Usu Legitimo Formulae Summatoriae Maclaurinianae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Die Stirling-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Die harmonische Reihe und die Eulersche Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Kapitel III Grundlagen der klassischen Analysis III.1 Unendliche Folgen und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Konvergenz einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Konstruktion der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Monotone Folgen und kleinste obere Schranke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 III.2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Doppelreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Das Cauchy-Produkt zweier Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Vertauschen von unendlichen Reihen und Grenzwertbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 III.3 Reelle Funktionen und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Satz vom Maximum und Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

x

III.4

III.5

III.6

III.7

III.8

III.9

Inhaltsverzeichnis Monotone und Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Limes einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Gleichmäßige Konvergenz und gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Der Grenzwert einer Folge von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Das Weierstraß-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Definitionen und Kriterien für Integrabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Ungleichungen und der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Integration unendlicher Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Die Regeln von de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Ableitungen einer unendlichen Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Potenzreihen und Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Bestimmung des Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Differentiation und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Beschränkte Funktionen auf unendlichen Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Unbeschränkte Funktionen auf endlichen Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Die Eulersche Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Zwei Sätze uber ¨ stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Stetige, aber nirgends differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Der Approximationssatz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Kapitel IV Differentialrechnung in mehreren Variablen IV.1 Topologie des n-dimensionalen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Abstände und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Konvergenz von Vektorfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Umgebungen, offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 IV.2 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Stetige Funktionen und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Hausdorffs Charakterisierung stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Integrale mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 IV.3 Differenzierbare Funktionen von mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Gegenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Eine geometrische Interpretation des Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Inhaltsverzeichnis

xi

Der Satz von der impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Differenzierbarkeit von Integralen bezüglich eines Parameters . . . . . . . . . . . . . . . 336 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 IV.4 Höhere Ableitungen und Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Taylorreihen in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Taylorreihen in n Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange-Multiplikatoren) . . . . . . . . . . . . . . . . 351 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 IV.5 Mehrdimensionale Integrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Doppelintegrale u¨ ber ein Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Nullmengen und unstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Beliebige beschränkte Integrationsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Die Transformationsformel für Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Integrale mit unbeschränktem Integrationsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 ¨ Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Anhang: Originalzitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 Personen- und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

I Einführung in die Analysis des Unendlichen

. . . unsere Mathematik-Studenten würden sehr viel mehr davon profitieren, Eulers Introductio in Analysin Infinitorum zu studieren anstelle der verfügbaren modernen Lehrbücher. (André Weil 1979, zitiert nach J.D. Blanton 1988, S. xii) . . . da der Lehrer einsichtig genug war den ungewöhnlichen Schüler (Jacobi) gewähren zu lassen und es zu gestatten, daß dieser sich mit Eulers Introductio beschäftigte, während die u¨ brigen Schüler mühsam . . . . (Dirichlet 1852, Gedächtnisrede auf Jacobi, in Jacobis Werke, Band I, S. 4)

Dieses Kapitel erläutert den Ursprung der grundlegenden Funktionen und den Einfluss von Descartes’ Géométrie auf ihre Berechnung. Das Interpolationspolynom führt zu Newtons binomischem Lehrsatz und zu den Reihenentwicklungen der Exponential- und Logarithmusfunktion und der trigonometrischen Funktionen. Das Kapitel endet mit einer Diskussion der komplexen Zahlen, unendlichen Produkten und Kettenbrüchen. Die Darstellung der Themen folgt ihrer historischen Entwicklung und der mathematischen Strenge der damaligen Zeit. Die Begründung zweifelhafter Schlussfolgerungen wird eine weitere Motivation liefern für die strenge Behandlung des Konvergenzbegriffs in Kapitel III. Eulers Introductio in Analysin Infinitorum (1748) ist die Inspiration für große Teile dieses Kapitels wie auch seines Titels.

E. Hairer, G. Wanner, Analysis in historischer Entwicklung, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-13767-9_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

2

I. Einführung in die Analysis des Unendlichen

I.1 Kartesische Koordinaten und Polynome Als Algebra und Geometrie noch voneinander getrennt wurden, war ihr jeweiliger Fortschritt langsam und ihr Nutzen gering; aber in dem Moment, in dem diese Wissenschaften vereint wurden, unterstützten sie sich gegenseitig und strebten schnell und gemeinsam zur Perfektion. Wir verdanken Descartes die Anwendung der Algebra auf die Geometrie; dies wurde der Schlüssel zur größten Entdeckung auf dem Gebiet der Mathematik. (Lagrange 1795, Oeuvres, Band 7, S. 271)

Die griechische Zivilisation brachte die erste große Blüte mathematischen Fort¨ (∼ 300 v. Chr.) entwickelte sich schritts hervor. Beginnend mit Euklids Ara Alexandria zum weltweiten Zentrum der Wissenschaft. Alexandria wurde dreimal verwüstet (47 v. Chr. von den Römern, 392 von den Christen, und schließlich 640 von den Moslems), was zum Untergang dieser Zivilisation führte. Im Anschluss an die (für den Koran notwendigen) Verbesserungen am arabischen Schriftsystem u¨ bersetzten arabische Gelehrte eifrig diejenigen Fragmente, die von den griechischen Werken verblieben waren (Euklid, Aristoteles, Platon, Archimedes, Apollonius, Ptolemäus), sowie Werke indischer Arithmetiker, und vertieften das mathematische Wissen. Während den Kreuzzügen (1100–1300) entdeckten die Europäer schließlich diese Kultur; Gerhard von Cremona (1114–1187), Robert von Chester (12tes Jhd.), Leonardo da Pisa ( Fibonacci“, um 1200) und Regiomon” tanus (1436–1476) waren die Hauptübersetzer und ersten Wissenschaftler Westeuropas. Zu dieser Zeit gliederte sich die Mathematik in zwei klar abgegrenzte Gebiete: zum einen Algebra, zum anderen Geometrie.

Algebra Diophant kann als der Erfinder der Algebra betrachtet werden; . . . (Lagrange 1795, Oeuvres, Band 7, S. 219)

Die Algebra ist ein Erbe der griechischen und orientalischen Vorzeit. Das berühmte Buch Al-jabr w’al muqâbala von Mohammed ben Musa Al-Khowârizmˆı1 (830 n. Chr.) beginnt mit Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. Das a¨ lteste bekannte Manuskript datiert auf 1342 und beginnt wie folgt:2

1 2

Die Wörter Algorithmus“ und Algebra“ stammen jeweils von Al-Khowârizmˆıs Namen ” ” Buchs ab. und dem Kurztitel Al-jabr“ seines ” Dieses Bild sowie die Abb. 1.1 and 1.2 sind abgedruckt mit der Erlaubnis der Bodleian Library, Universität von Oxford, Ms. Huntington 214, Folios 1R, 4R und 4V. Englische ¨ Ubersetzung: F. Rosen (1831).

I.1 Kartesische Koordinaten und Polynome

3

Al-Khowârizmˆıs Beispiele. Betrachten Sie die quadratische Gleichung x2 + 10x = 39.

(1.1)

Eine solche Gleichung beschreibt die unbekannte Lösung x, die von den Arabern dshidr (Wurzel) genannt wurde, ein Wort, das ursprünglich für die Seite eines Quadrats von vorgegebener Fläche stand ( A root is any quantity which is to be ” multiplied by itself“, F. Rosen 1831, S. 6).

Manuskript von 1342

Moderne Darstellung 2

ABB. 1.1. Lösung von x + 10x = 39

Lösung. Al-Khowârizmˆı skizziert ein Quadrat der Seitenlänge x, um x2 zu repräsentieren, sowie zwei Rechtecke der Seitenlängen 5 und x für die Terme 10x (siehe Abb. 1.1). Gleichung (1.1) zeigt, dass das schattierte Gebiet von Abb. 1.1 die Fläche 39 besitzt; folglich ist die Fläche des gesamten Quadrats 39 + 25 = 64 = 8 · 8, also 5 + x = 8 und x = 3.

Manuskript von 1342

Moderne Darstellung 2

ABB. 1.2. Lösung von x + 21 = 10x

Ein zweites Beispiel (von Al-Khowârizmˆı), (1.2)

x2 + 21 = 10x

(oder, falls Sie die lateinische Version von Robert von Chester vorziehen: Sub” stancia vero et 21 dragmata 10 rebus equiparantur“), demonstriert, wie verschiedene Vorzeichen zu verschiedenen Figuren führen. Um seine Lösung zu errechnen, skizzieren wir ein Quadrat für x2 und fügen ein Rechteck der Breite x und unbekannter Länge für die 21 hinzu (Abb. 1.2). Aufgrund von (1.2) hat die

4


vollständige Figur die Länge 10. Sie wird mittig zerteilt, und das kleine Rechteck (A) zwischen x2 und der Halbierenden wird auf (B) platziert. Die resultierende Figur hat die Höhe 5. Das graue Gebiet beträgt 21 und das gesamte Quadrat (grau und schwarz) hat die Größe 5·5 = 25. Folglich muss das kleine schwarze Quadrat 25 − 21 = 4 = 2 · 2 groß sein, und wir erhalten x = 3. Mit einer a¨ hnlichen Zeichnung (versuchen Sie es), fand Al-Khowârizmˆı auch die zweite Lösung x = 7. Mohammed ben Musa Al-Khowârizmˆı beschreibt seine Lösung wie folgt (Rosen 1831, S. 11): . . . for instance, a square and twenty-one in numbers are equal to ten roots of the same square.“ That is ”to say, what must be the amount of a square, which, when twenty-one dirhems are added to it, becomes equal to the equivalent of ten roots of that square? Solution: Halve the number of the roots; the moiety is five. Multiply this by itself; the product is twenty-five. Subtract from this the twenty-one which are connected with the square; the remainder is four. Extract its root; it is two. Subtract this from the moiety of the roots, which is five; the remainder is three. This is the root of the square which you required, and the square is nine. Or you may add the root to the moiety of the roots; the sum is seven; this is the root of the square which you sought for, and the square itself is forty-nine.

Als Anwendung löst Al-Khowârizmˆı das folgende Rätsel: Ich habe 10 in ” zwei Teile zerlegt, und multipliziert man einen mit dem anderen, so ist das Resultat 21“. Setzen wir für einen der Teile x ein und für den anderen 10 − x, so ist ihr Produkt (1.3)

x · (10 − x) = 21

was (1.2) entspricht. Entsprechend ist die Lösung gegeben durch die zwei Wurzeln von Gl. (1.2), also 3 und 7 oder umgekehrt. Die Lösung von Gleichungen dritten Grades. Tartaglia präsentierte seine Lösung in schlechter italienischer Lyrik . . . (Lagrange 1795, Oeuvres, Band 7, S. 22) . . . Ich habe die allgemeine Regel entdeckt, aber für den Moment möchte ich sie aus verschiedenen Gründen geheim halten. (Tartaglia 1530, siehe M. Cantor 1891, Band II, S. 485)

Lassen Sie uns als Beispiel versuchen, die Gleichung (1.4)

x3 + 6x = 20,

zu lösen, oder, in schlechter“ italienischer Lyrik, Quando che’l cubo con le cose ” ” appresso, Se agguaglia a` qualche numero discreto . . .“ (siehe M. Cantor 1891, Band II, S. 488). Nicolò Tartaglia (1499–1557) und Scipione dal Ferro (1465– 1526) fanden unabhängig voneinander die Lösungsmethode für dieses Problem, hielten sie aber geheim, um mit ihr Wettbewerbe zu gewinnen. Erst unter Druck und gelockt von falschen Versprechungen verriet Tartaglia sie an Gerolamo Cardano (1501–1576), lyrisch verschleiert und ohne Beweis ( suppressa demonstra” tione“). Cardano rekonstruierte unter großer Mühe ihre Herleitung ( quod diffi” cillimum fuit“) und veröffentlichte sie 1545 in seiner Ars Magna“ (siehe auch ” di Pasquale 1957, und Struik 1969, S. 63–67).


x

x

u

v

x

x

u

5

v v v v

v v ABB. 1.3a. Kubische Gl. (1.4)

ABB. 1.3b. Rechtfertigung von (1.6)

ABB. 1.3c. Ausschnitt aus Cardanos Ars Magna von 1545, ed. Basilea 15703

Herleitung. Wir repräsentieren x3 durch einen Würfel der Kantenlänge x (wie auch sonst? Grauer Teil in Abb. 1.3a). Der Term 6x wird in Form je dreier Prismen mit quadratischer Grundfläche und Volumen x2 v und xv 2 angehängt (weiß in Abb. 1.3a). Wir erhalten einen Körper mit Volumen 20 (gemäß (1.4)), der die Differenz der Kuben u3 und v 3 ist (siehe Abb. 1.3a), also u3 − v 3 = 20, wobei (1.5)

u = x + v.

Arrangieren wir die sechs neuen Prismen wie in Abb. 1.3b, so sehen wir, dass ihr Volumen (wie gefordert) 6x gleicht, falls (1.6)

3uvx = 6x

oder

uv = 2

gilt. Nun kennen wir Summe (= 20) und Produkt (= −8) von u3 und −v 3 , und können daraus die ursprünglichen Zahlen wie in Al-Khowârizmˆıs Rätsel (1.3) rekonstruieren, nämlich

6


u3 = 10 +

√

108,

−v 3 = 10 −

√

108.

Wenden wir die Kubikwurzel und x = u − v an, erhalten wir (siehe auch die Nachbildung in Abb. 1.3c) q q 3 √ 3 √ (1.7) x= 108 + 10 − 108 − 10. Einige Jahre später wurde eine Lösungsstrategie für Gleichungen vierten ¨ Grades entdeckt (Ludovico Ferrari, siehe Struik 1969, S. 69f, und Ubungen 1.1 und 1.2); die Gleichungen vom Grad 5 blieben dagegen für Jahrhunderte ein Rätsel, bis Abel 1826 bewies, dass sich ihre Lösungen im allgemeinen nicht durch Radikale schreiben lassen.4

Algebra Nova“ ” Die Numerische Logistik ist diejenige, die mit Zahlen dargestellt und behandelt wird; die Spezifische wird durch Arten oder Erscheinungsformen von Dingen beschrieben: so wie die Buchstaben des Alphabets. (Viète 1600, Algebra nova, französische Ausgabe 1630) ALGEBRA ist eine allgemeine Berechnungsmethode mittels bestimmter Zeichen und Symbole, die zu diesem Zweck ersonnen und als nützlich erkannt wurden. (Maclaurin 1748, A Treatise of Algebra, S. 1)

Die antiken Werke behandelten ausschließlich konkrete Beispiele, und ihre Autoren führten arithmetische“ Betrachtungen nur mit Zahlen aus. François Viète ” (= Franciscus Vieta 1540–1603, 1591 In artem analyticam isagoge, 1600 Algebra nova) entwickelte das grundlegende Konzept, Buchstaben A, B, C, X, . . . für die bekannten und unbekannten Größen eines (oftmals geometrischen) Problems zu schreiben, um dann mit ihnen algebraisch zu rechnen (siehe Abb. 1.4a). Da sich keines der Probleme der griechischen Epoche der Methode geometrisches Problem

Buchstaben einsetzen ↓ −−− − −→

algebraisches Problem

rechnen ↓ −−− − −→

Lösung

widersetzen konnte, schrieb Viète in Großbuchstaben: NVLLVM NON PRO” ¨ BLEMA SOLVERE“ (d.h. LOSVNG EINES JEDEN PROBLEMS“). Dieses ” Konzept fand seine Vollendung in Descartes’ La Géométrie“. ” 3 4

5

Abbildung mit Erlaubnis der Bibl. Publ. Univ. Genève. ¨ Anm. d. Ubers.: Natürlich blieben Polynome fünften Grades nicht gänzlich unbeachtet, und es gab lange vor Abels Durchbruch eine ganze Reihe großartiger Ergebnisse: Ehrenfried Walther von Tschirnhaus nutzte Transformationen der Art von (1.11), um zu zeigen, dass jedes Polynom fünften Grades auf die Form x5 +ax +b = 0 gebracht werden kann; Gianfrancesco Malfatti fand eine Methode, alle u¨ berhaupt in Radikale auflösbaren Wurzeln auch als solche darzustellen; und Paolo Ruffini schuf 1799 mit einem (fehlerhaften) Beweis, dass nicht alle Wurzeln fünften Grades auflösbar sind, eine der Grundlagen für Abels späteren Erfolg. Abgebildet mit Erlaubnis der Bibl. Publ. Univ. Genève.


7

ABB. 1.4a. Nachbildung aus der französischen Auflage (1630) von Viète (1600)5

Beispiel. (Dreiteilung eines Winkels). Das berühmte klassische Problem Datum angulum in tres partes ” æquales secare“ wird unter Zuhilfenahme von (1.8)

sin(3α) = 3 sin α cos2 α − sin3 α

B

(siehe (4.14) unten) und einigen einfachen Rechnungen zur algebraischen Gleichung (1.9)

X

−4X 3 + 3X = B

(siehe Viète 1593, Opera, S. 290). Ihre Lösung erhalten wir aus (1.14) unten. Formel fur ¨ Gleichungen vom Grad 2. Mit Viète’s Notation wird der schwer verständliche Text von Al-Khowârizmˆı (siehe S. 4) zur Formel“ ” p (1.10) x2 + ax + b = 0 =⇒ x1 , x2 = −a/2 ± a2 /4 − b. Formel fur ¨ Gleichungen vom Grad 3. (1.11)

y 3 + ay 2 + by + c = 0

y + a/3 = x =⇒

x3 + px + q = 0.

Wir setzen x = u + v (dies entspricht (1.5), wenn −v“ durch v“ ersetzt wird), ” ” so wird aus Gl. (1.11) (1.12)

u3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0.

Einsetzen von uv = −p/3 (entspricht (1.6)) liefert (1.13)

u3 + v 3 = −q,

u3 v 3 = −p3 /27.

Nach Al-Khowârizmˆı s Rätsel (1.3) und den Formeln (1.10) erhalten wir (vergleiche die Nachbildung in Abb. 1.4b), q q p p 3 3 (1.14) x = −q/2 + q 2 /4 + p3 /27 + −q/2 − q 2 /4 + p3 /27.

8


ABB. 1.4b. Auszug aus Viète (1591a)6 (Opera S. 129 und 150); Lösung von A2 +2BA = Z und A3 − 3BA = 2Z

Descartes’ Geometrie An dieser Stelle möchte ich Sie bitten, nebenbei zu beobachten, wie die Skrupel, die die antiken Autoren davon abhielten, arithmetische Begriffe in der Geometrie einzusetzen, und die nur eine Folge ihrer Unfähigkeit sein konnten, die Beziehung zwischen diesen zwei Gebieten klar zu erkennen, für viel Unklarheit und Verwirrung in ihren Erklärungen sorgten. (Descartes 1637)

¨ Die Uberlieferung der Geometrie, dem gewaltigen Erbe der griechischen Antike, ¨ verdankt Europa arabischen Ubersetzern. So besteht Euklids Elemente (etwa 300 v. Chr.) aus 13 Büchern“, die Defi” ” nitionen“, Postulate“ und alles in allem 465 Propositionen“ enthalten, die streng ” ” bewiesen werden. Die Kegelschnitte des Apollonius (200 v. Chr.) sind von gleicher Wichtigkeit. Nichtsdestotrotz entzogen sich einige ungelöste Probleme den Anstrengungen dieser Wissenschaftler: die Dreiteilung des Winkels, die Quadratur des Kreises und ein Problem, das Pappus im Jahr 350 erwähnte, und das Descartes’ Forschung motivieren sollte. Problem von Pappus. ( Die Frage, deren Lösung von Euklid begonnen und ” von Apollonius fortgeführt, aber von keinem beendet werden konnte, lautet wie folgt“): Seien a, b, c drei Geraden und α, β, γ drei gegebene Winkel. Für einen beliebig gewählten Punkt C seien B, D, F diejenigen Punkte auf a, b, c, so dass CB, CD, CF mit a, b, c nacheinander die Winkel α, β, γ bilden (siehe Abb. 1.5a und 1.5b). Wir suchen den Ort des Punktes C, für den gilt: (1.15)

CB · CD = (CF)2 .

Descartes löste dieses Problem unter Verwendung von Viètes neuer“ und ange” sehender Algebra; der Punkt C wird festgelegt durch die Abstände AB und BC. 6

Abgebildet mit Erlaubnis der Bibl. Publ. Univ. Genève. Die unbekannte Variable ist hier A. Erst seit Descartes wählt man x, y, z für Unbekannte.


9

ABB. 1.5a. Problem von Pappus, Skizze von Descartes7

Diese zwei unbekannten Werte“ notierte er mit x“ und y“ ( Que le segment de ” ” ” ” la ligne AB, qui est entre les points A & B, soit nommé x. & que BC soit nommé y“.) Wir betrachten für den Moment nur zwei der Geraden (Abb. 1.5c) ( & pour ” me demesler de la cõfusion de toutes ces lignes . . .“). Wir zeichnen eine Parallele von EF durch C. Da alle Winkel festgelegt sind, sehen wir, dass es Konstanten K1 und K2 gibt mit u = K1 · CF, v = K2 · y. Da AE = x + u + v = K3 , erhalten wir (1.16)

CF = d + ℓx + ky,

d, ℓ, k Konstanten.

¨ Ahnlich finden wir (1.17)

CD = mx + ny,

m, n Konstanten.

( Und so sieht man, dass . . . die Länge einer jeden solchen Gerade . . . stets durch ” drei Terme ausgedrückt werden kann, von denen einer aus der Unbekannten y, multipliziert mit oder dividiert durch eine bekannte Größe, besteht; einem weiteren Term, bestehend aus der Unbekannten x, multipliziert mit oder dividiert durch eine andere bekannte Größe; und einem dritten Term, der nur aus einer bekannten Größe besteht. Eine Ausnahme stellt der Fall paralleler Geraden dar . . .“, Descartes 1637, S. 312). Folglich wird aus der Bedingung (1.15) y · (mx + ny) = (d + ℓx + ky)2 , welche eine Gleichung der Form (1.18)

Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

ist. Für jedes beliebige, feste y ist (1.18) eine quadratische Gleichung, die durch Algebra (siehe (1.10)) gelöst werden kann. Koordinatentransformation zeigt dann, dass (1.18) stets einen Kegelschnitt repräsentiert.

10


u

E a x

A

B

α

y

v c

C

x

A

B

α

y

C

γ b

E

γ F

β

F

D

ABB. 1.5b. Problem von Pappus

ABB. 1.5c. Gleichung einer Geraden

Polynomiale Funktionen Algebra kann nicht nur der Geometrie helfen, sondern Geometrie hilft auch der Algebra, da kartesische Koordinaten die Algebra in ein neues Licht tauchen. Wenn wir beispielsweise anstelle von (1.1) und (1.4) die Gleichungen (1.19)

y = x2 + 10x − 39,

y = x3 + 6x − 20

betrachten, und beliebige Werte für x einsetzen, dann können wir für jedes x einen Wert für y ausrechnen und die auf diese Weise erhaltenen Kurven studieren (Abb. 1.6). Die Wurzeln von (1.1) und (1.4) erscheinen als Schnittpunkte dieser Kurven mit der (horizontalen) x-Achse. So stellen wir fest, dass die Lösung von (1.4) schlicht x = 2 lautet (etwas schöner als Gl. (1.7)). (1.1) Definition. Ein Polynom ist ein Ausdruck der Form y = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 , wobei a0 , a1 , . . . , an beliebige Konstanten sind. Ist an 6= 0, dann ist das Polynom vom Grad n. Interpolationsproblem. Für n+1 gegebene Punkte xi , yi (siehe Abb. 1.7) suchen wir ein Polynom vom Grad n, das durch all diese Punkte verläuft. Wir interessieren uns hauptsächlich für den Fall, in dem die xi a¨ quidistant sind, insbesondere x0 = 0, 7

x1 = 1,

x2 = 2,

Abb. 1.5a mit Erlaubnis der Bibl. Publ. Univ. Genève.

x3 = 3, . . . .


11

100

50

50 −15

−10

0

−5

5

−4

0

−2

2

4

−50 −50

−100

ABB. 1.6. Die Polynome x2 + 10x − 39 und x3 + 6x − 20

Die Lösung dieses Problems, die sich als sehr praktisch in der Berechnung von Logarithmen und in der Nautik erwies, erschien erstmals im frühen 17ten Jahrhundert in den Arbeiten von Briggs und Sir Thomas Harriot (siehe Goldstine 1977, S. 23f). Newton (1676) ging das Problem an im Sinne von Viètes Algebra nova (siehe Abb. 1.8): Wir schreiben Buchstaben für die unbekannten Koeffizienten des Polynoms, z.B. y = A + Bx + Cx2 + Dx3 .

(1.20)

Mit den vorgegebenen Werten y0 , y1 , y2 , y3 transformieren wir das Problem“ in ” algebraische Gleichungen“ ” Abszisse Ordinate x=0 x=1

A A+B+C +D

= y0 = y1

x=2 x=3

A + 2B + 4C + 8D = y2 A + 3B + 9C + 27D = y3

Wir stellen nun fest, dass der Wert A verschwindet, wenn wir die Gleichungen voneinander abziehen, die erste von der zweiten, die zweite von der dritten, die dritte von der vierten: (1.21)

B + C + D = y1 − y0 =: ∆y0 B + 3C + 7D = y2 − y1 =: ∆y1

B + 5C + 19D = y3 − y2 =: ∆y2 . B verschwindet, wenn wir ein weiteres Mal subtrahieren: (1.22)

7

2C + 6D = ∆y1 − ∆y0 =: ∆2 y0

2C + 12D = ∆y2 − ∆y1 =: ∆2 y1 ,

Abbildung mit Erlaubnis der Bibl. Publ. Univ. Genève.

12


6

5

5 4

4

2

2 0

1

2

2 3

4

2 5

ABB. 1.7. Interpolationspolynom

ABB. 1.8. Interpolationsproblem von Newton (1676, Methodus Differentialis)8

und ebenso C: 6D = ∆2 y1 − ∆2 y0 =: ∆3 y0 .

(1.23)

Dies gibt uns D. Durch die erste Gleichung von (1.22) erhalten wir C, durch die erste von (1.21) den Wert von B. Wir erhalten als Lösung (1.24)

y = y0 + ∆y0 · x +

∆2 y 0 ∆3 y 0 · (x2 − x) + · (x3 − 3x2 + 2x), 2 6

was auch geschrieben werden kann als (1.24′)

y = y0 +

x x(x − 1) 2 x(x − 1)(x − 2) 3 ∆y0 + ∆ y0 + ∆ y0 . 1 1·2 1·2·3


13

Wir werden im nächsten Abschnitt unter Verwendung des Pascalschen Dreiecks sehen, dass dies ein Spezialfall einer allgemeineren Formel für Polynome beliebigen Grades ist. (1.2) Satz. Das Polynom vom Grad n, das die Werte y0 (für x = 0),

y1 (für x = 1), . . . , yn (für x = n)

annimmt, ist gegeben durch die Formel y = y0 +

x x(x − 1) 2 x(x − 1) . . . (x − n + 1) n ∆y0 + ∆ y0 + . . . + ∆ y0 . 1 1·2 1 ·2 · ...· n

(1.3) Bemerkung. Seit Newton (siehe Abb. 1.9) ist es u¨ blich, die Differenzen in folgendem Schema anzuordnen: y0 y1 (1.25)

y2 y3 y4

∆y0 ∆y1 ∆y2 ∆y3

mit 2

∆ y0 2

∆ y1 ∆2 y 2

∆3 y 0 ∆3 y 1

4

∆ y0

∆yi = yi+1 − yi

∆2 yi = ∆yi+1 − ∆yi

∆3 yi = ∆2 yi+1 − ∆2 yi , etc.

ABB. 1.9. Newtons Differenzenschema (Newton 1676, Methodus Differentialis)9

9

Abbildung mit Erlaubnis der Bibl. Publ. Univ. Genève.

14


Beispiel. Für die Werte in unserem Problem (Abb. 1.7) erhalten wir 4 5 2 5 2 2

1 −3 3

−3 0

−4 6

−6 3

10 −12 9

1 4 ·x− · x(x − 1) + . . . 1 1·2 613 x 473 x3 =4+ − 35 x2 + 30 24 9 x4 43 x5 − + . 2 120

y =4+ −22 21

⇒

43

Weitere Beispiele. a) Wir betrachten das Polynom y = x3 , für das wir die Lösung bereits kennen. Das Differenzenschema lautet: x(x − 1) x=0: 0 y =0+1·x+6· 1 2 x=1: 1 6 x(x − 1)(x − 2) 7 6 ⇒ +6· x=2: 8 12 6 19 x = 3 : 27 = x + 3x2 − 3x + x3 − 3x2 + 2x = x3 . b) Die Werte für x = n sind hier die Summen 13 + 23 + . . . + n3 , x=0:

0

x=1:

13 3

x=2:

1 +2 3

x=3: x=4:

1

3

1 +2 +3 3

3

23

3

3

3

1 +2 +3 +4

3

3

3

4

3

7 19 37 61

12 18 24

6 6 6

0 0

0,

und wir erhalten die Formel x(x − 1) x(x − 1)(x − 2) x(x − 1)(x − 2)(x − 3) y =x+7 + 12 +6 2 6 24 x4 x3 x2 = + + . 4 2 4 Auf a¨ hnliche Weise leiten wir her: 1 + 2 + ...+ n = 12 + 2 2 + . . . + n2 = (1.26)

13 + 2 3 + . . . + n3 = 14 + 2 4 + . . . + n4 = 15 + 2 5 + . . . + n5 =

n2 2 n3 3 n4 4 n5 5 n6 6

+ + + + +

n 2 n2 2 n3 2 n4 2 n5 2

n 6 n2 + +0 4 n3 n + +0− 3 30 5n4 n2 + +0− 12 12 +


15

Jakob Bernoulli (1705) fand die allgemeine Formel 1q + 2 q + . . . + nq =

wobei (1.27) A =

nq+1 nq q q(q − 1)(q − 2) + + Anq−1 + Bnq−3 + q+1 2 2 2·3·4 q(q − 1)(q − 2)(q − 3)(q − 4) q−5 + Cn + ... , 2·3·4·5·6

1 1 1 1 5 691 , B=− , C= , D=− , E= , F =− ,... 6 30 42 30 66 2730

die sogenannten Bernoulli-Zahlen sind. Für eine elegante Erklärung verweisen wir auf Abschnitt II.10.

¨ Ubungen 1.1 Das folgende Problem in Viètes Notation x + y + z = 20 x:y=y:z xy = 8 wurde Tartaglia am 15. Dezember 1536 von Zuanne de Tonini da Coi (Colla) gestellt. Tartaglia konnte es nicht lösen (siehe Notari 1924). Eliminieren Sie die Variablen x und z, um zu verstehen, wieso. Cardano gab das Problem ¨ später an Ferrari weiter, der eine Lösung fand (siehe nächste Ubung). Es ist nicht erstaunlich, dass Ferrari und Tartaglia später böse Briefe mit hitzigen Wortwechseln u¨ ber mathematische Fragestellungen austauschten. 1.2 Rekonstruieren Sie Ferraris Lösung der biquadratischen Gleichung (1.28)

x4 + ax2 = bx + c.

Hinweis. a) Addieren Sie auf beiden Seiten a2 /4 und Sie erhalten a 2 a2 x2 + = bx + c + . 2 4

b) Fügen Sie einen Parameter y ein und addieren Sie y 2 + ay + 2x2 y auf beiden Seiten, mit dem Ergebnis 2 a a2 x2 + + y = 2x2 y + bx + y 2 + ay + c + . 2 4

c) Der Ausdruck auf der rechten Seite, geschrieben als Ax2 + Bx + C, ist von der Form (αx + β)2 falls B 2 = 4AC. Dies führt zu einer Gleichung dritten Grades für y.

16


d) Cardanos Formel (1.14) liefert eine Lösung für y, setzen Sie diese ein in die folgende Gleichung mit zwei Wurzeln: a x2 + + y = ±(αx + β). 2 Bemerkung. Jedes Polynom z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d = 0 kann auf die Form (1.28) zurückgeführt werden, wenn man x = z + a/4 substituiert. 1.3 (Euler 1749, Opera Omnia, Band VI, S. 78–147). Lösen Sie die Gleichung vierten Grades x4 + Bx2 + Cx + D = 0 durch Koeffizientenvergleich mit x4 + Bx2 + Cx + D = (x2 + ux + α)(x2 − ux + β) und finden Sie eine Gleichung dritten Grades für u2 . Lösen Sie diese Gleichung und berechnen Sie die Lösungen der zwei quadratischen Gleichungen. 1.4 (L. Euler 1770, Vollst. Anleitung zur Algebra, St. Petersburg, Opera Omnia, Band I). Betrachten Sie eine Gleichung vom Grad 4 mit symmetrischen Koeffizienten, z.B. (1.29)

x4 + 5x3 + 8x2 + 5x + 1 = 0.

Zerlegen Sie das Polynom in (x2 + rx + 1)(x2 + sx + 1) und finden Sie die vier Lösungen von (1.29). Bemerkung. Für eine weitere Möglichkeit, (1.29) zu lösen, teilen Sie die Gleichung durch x2 und benutzen Sie die neue Variable u = x + x−1 . 1.5 Problem vorgestellt von Armenien/Australien für die 35te Internationale Mathematik-Olympiade (stattgefunden in Hong Kong, 12. bis 19. Juli 1994). Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck mit AB = AC. Nehmen Sie an, dass (i) M ein Mittelpunkt von BC ist, und dass O derjenige Punkt auf der Geraden AM ist, bei dem OB senkrecht auf AB steht; (ii) Q ein beliebiger Punkt auf dem Segment BC ist, verschieden von B und C; und (iii) E auf der Geraden AB liegt und F auf der Geraden AC liegt, so dass E, Q und F verschieden und kollinear sind. Beweisen Sie mit Viète’s Methode, dass OQ genau dann auf EF senkrecht steht, wenn QE = QF .


Jak. Bernoulli, Ars conj. 170510

9, 10

Abbildungen mit Erlaubnis der Bibl. Publ. Univ. Genève.

17

18


I.2 Exponentialfunktion und binomischer Lehrsatz Hier ist es angemessen, zu bemerken, dass ich x−1 , x−2 , x−3 , x−4 , &c. √ √ 1 3 5 1 2 für x1 , x12 , x13 , x14 , &c. schreibe, x 2 , x 2 , x 2 , x 3 ,x 3 , &c. für x, x3 , √ √ √ 1 2 1 3 1 1 x5 , 3 x, x2 , &c. und x− 2 , x− 3 , x− 4 &c. für √1x , √ 3 2, √ 4 x , &c. Und x dies gemäß einem Analogieschluss, den man aus geometrischen Folgen wie 5 3 1 1 dieser hier ersehen kann; x3 , x 2 , x2 , x 2 , x, x 2 , x0 , (d.h. 1;) x− 2 , x−1 , −3 −2 x 2 , x , &c. (Newton 1671, Fluxiones, Engl. Veröffentl. 1736, S. 3)

Für eine gegebene Zahl a schreiben wir (2.1)

a · a = a2 ,

a · a · a = a3 ,

a · a · a · a = a4 , . . . .

Diese Schreibweise hatte sich nur langsam durchgesetzt, hauptsächlich dank den Arbeiten von Bombelli im Jahr 1572, Simon Stevin in 1585, Descartes und Newton (siehe Zitat). Wenn wir multiplizieren, beispielsweise a2 · a3 = (a · a) · (a · a · a) = a · a · a · a · a = a5 ,

erkennen wir die Regel (2.2)

an · am = an+m .

In der geometrischen Folge (2.1) ist jeder Term das a-fache seines Vorgängers. Wir können diese Folge auch nach links hin fortsetzen, indem wir die Zahlen durch a teilen. Dies führt zu 1 1 . . . a−2 = , a−1 = , a0 = 1, a1 = a, a2 = a · a, . . . , a·a a wobei wir Nutzen ziehen aus der Notation 1 (2.3) a−m = m . a Auf diese √ Weise gilt Formel (2.2) auch für negative Exponenten. Wenn wir nun mehrfach a an 1 multiplizieren, wobei a eine positive Zahl sein muss, erhalten wir die geometrische Folge √ √ √ √ √ √ √ √ 1, a, a · a = a, a · a · a = a3 , a4 = a2 , . . . , was uns zur Notation (2.4)

am/n =

√ n

am .

veranlasst. Hiermit bleibt Formel (2.2) auch für rationale Exponenten gültig. Wir ziehen dabei nur die positiven Wurzeln, so dass a5/2 zwischen a2 und a3 liegt. Der letzte Schritt (für die Menschheit) liegt in irrationalen Exponenten, die, wie Euler √ 7 uns versichert, schwerer zu verstehen“ sind. Aber Sic a √ erit valor determi” ” natus intra limites a2 et a3 comprehensus“ bedeutet, dass a 7 als Wert zwischen a2 und a3 liegt, zwischen a26/10 und a27/10 , zwischen a264/100 und a265/100 , zwischen a2645/1000 und a2646/1000 , und so weiter.

I.2 Exponentialfunktion und binomischer Lehrsatz

19

Der binomische Lehrsatz Obwohl diese Behauptung eine unendliche Zahl an Fällen umfasst, werde ich einen ziemlich kurzen Beweis angeben, allein durch die Annahme zweier Lemmata. Das erste, das selbstverständlich ist, sagt aus, dass dieses Verhältnis für die zweite Zeile eintritt; denn es ist ziemlich offensichtlich, dass sich ϕ zu σ verhält wie 1 zu 1. Das zweite besagt, dass, wenn dieses Verhältnis in irgendeiner Zeile auftritt, es auch in der nächsten Zeile notwendigerweise auftreten muss. (Pascal 1654, einer der ersten Induktionsbeweise)

Wir wollen den Ausdruck (a+ b)n ausmultiplizieren. Indem wir nacheinander mit (a + b) multiplizieren, erhalten wir jeweils (a + b)0 = 1 (a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(2.5)

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 , und so weiter. Es erscheint ein interessantes Dreieck von Binomialkoeffizienten“ ” (Omar Alkhaijâmâ im Jahr 1080, Tshu shi Kih in 1303, M. Stifel 1544, Cardano 1545, Pascal 1654, siehe Abb. 2.1) 1 1 1 1

(2.6)

1 1 1 1

7

3 4

5 6

1 3

6 10

15 21

1 2

10 20

35

1 4

1 5

15 35

1 6

21

1 7

1

¨ in dem jede Zahl die Summe ihrer zwei Ubergestellten“ ist. Wir wollen eine ” allgemeine Regel für diese Koeffizienten finden. Es ist nicht schwer zu sehen, dass die erste Diagonale nur aus Einsen besteht, und die zweite (1, 2, 3, . . .) aus n“. Für die dritte Diagonale (1, 3, 6, 10, . . .) erraten wir n(n−1) “, gefolgt von ” n(n−1)(n−2) ” 1·2 “ und so weiter. Dies l¨ a sst uns folgenden Satz vermuten. 1·2·3 ” (2.1) Satz (Pascal 1654). Für n = 0, 1, 2, . . . finden wir (a + b)n = an +

n n−1 n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3 a b+ a b + a b +... . 1 1·2 1·2·3

Diese Summe ist endlich und endet nach n + 1 Termen.

Beweis. Wir berechnen das Verhältnis einer jeden Zahl aus (2.6) zu ihrem linken Nachbarn (Pascal 1654, S. 7, Consequence douziesme“). ”

20


ABB. 2.1. Erstpublikation des Pascalschen Dreiecks, Pascal (1654)1

(2.7) 7 1

5 1

6 1

6 2

...

4 1 5 2

3 1 4 2 5 3

2 1 3 2 4 3

1 1 2 2 3 3 4 4

...

1 2 2 3 3 4

1 3 2 4 3 5

1 4 2 5

1 5 2 6

1 6

...

1 7

Nun ist es nicht mehr schwer, eine allgemeingültige Regel zu erraten. Wir beweisen diese Regel durch Induktion nach der Zeilennummer“ (siehe Zitat). Nehmen ” wir an, dass (2.8)

A

B D

C E

D = A + B, E = B + C

ein Teil des Pascalschen Dreiecks ist, in dem die Induktionsannahme“ ” B k C k−1 = , = . A ℓ−1 B ℓ gilt. Dann gilt auch (2.9) 1

1+ C 1 + k−1 E B+C = = A B = ℓ−1 ℓ = D A+B +1 +1 B k

Abb. 2.1 mit Genehmigung der Bibl. Publ. Univ. Genève.

ℓ+k−1 ℓ ℓ−1+k k

=

k , ℓ


21

was bedeutet, dass wir in der nächsten Zeile dieselbe Struktur vorfinden. Die Tatsache, dass die Verhältnisse in der n-ten Zeile von (2.7) gegeben sind durch n/1, (n−1)/2, (n−2)/3, . . . impliziert, dass die Koeffizienten von (2.6) ein Produkt dieser Verhältnisse sind; beispielsweise ist die 20“ in der siebten Zeile ” das Produkt 20 15 6 (2.7) 4 5 6 6·5·4 20 = · · = · · = , 15 6 1 3 2 1 3·2·1 und wir sehen ein, dass Satz 2.1 allgemeingültig ist. ⊓ ⊔ Diese Koeffizienten n(n − 1) . . . (n − j + 1) n(n − 1) . . . (n − j + 1) (n − j) . . . 1 = 1 · 2 ·... ·j 1 · 2 · . . . · j · 1 · 2 · . . . · (n − j) (2.10) n! n = = j! (n − j)! j

werden Binomialkoeffizienten genannt, und n! = 1 · 2 · . . . · n heißt die Fakultät von n. Anwendung auf das Interpolationspolynom. Wir entwickeln die Ausdrücke im Differenzenschema (1.25): y0 y1 y2 y3

y1 − y0 y2 − y1 y3 − y2

y2 − 2y1 + y0 y3 − 2y2 + y1

y3 − 3y2 + 3y1 − y0 .

Das Auftauchen des Pascalschen Dreiecks ist kein Zufall, da jeder Term die Differenz der zwei links von ihm stehenden Terme ist. Desweiteren ist jeder Term des Schemas (1.25) die Summe des Terms u¨ ber ihm und des Terms rechts von ihm. Damit kann das Schema auch wie folgt geschrieben werden: y0 ∆y0 y0 + ∆y0

∆2 y 0

2

2

y0 + 2∆y0 + ∆ y0 y0 + 3∆y0 + 3∆2 y0 + ∆3 y0

∆y0 + ∆ y0 ∆y0 + 2∆2 y0 + ∆3 y0

2

3

∆3 y 0 .

∆ y0 + ∆ y0

Auch in dieser Richtung erscheint wieder das Pascalsche Dreieck. Formel (2.10) ergibt damit n n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3 ∆y0 + ∆ y0 + ∆ y0 + . . . , 1 2! 3! womit Satz 1.2 bewiesen ist. yn = y 0 +

22


Negative Exponenten. Wir beginnen mit (a + b)−1 =

1 . a+b

Wenn wir annehmen, dass |b| < |a|, so ist eine erste Annäherung an dieses Verhältnis schlicht 1/a. Wir versuchen, diesen Wert durch eine unbekannte Größe δ zu verbessern: 1 1 = +δ a+b a

⇒

1 = 1+

b + aδ + bδ. a

Da |b| < |a|, vernachlässigen wir den Term bδ und erhalten δ = −b/a2 . Wiederholen wir diesen Prozess wieder und wieder (oder, um präziser zu sein, fahren mit einer Induktion fort), finden wir (2.11)

(a + b)−1 =

1 b b2 b3 − 2 + 3 − 4 + ..., a a a a

was dasselbe ist wie Satz 2.1 für n = −1; doch dieses Mal ist die Reihe unendlich lang. Wenn wir (2.11) mit a multiplizieren und x = b/a einsetzen, erhalten wir (2.12)

1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + . . . 1+x

|x| < 1,

die berühmte geometrische Reihe (Viète 1593). √ 1/2 Quadratwurzeln. Als nächstes betrachten = a + b. Wieder √ wir (a√+ b) nehmen wir an, dass b klein ist, so dass a + b ≈ a, und suchen nach einem δ, so dass √ √ a+b= a+δ eine bessere Annäherung ist. Quadrieren liefert 2 √ √ a+b= a + δ = a + 2 aδ + δ 2 . √ Da δ klein ist, vernachlässigen wir δ 2 und erhalten δ = b/(2 a), also (2.13)

√

a+b ≈

√

b a+ √ 2 a ,

|b| ≪ a.

√ Beispiel. Berechnung von 2. Wir beginnen mit dem Schätzwert v = 1, 4 und setzen a = v 2 und b = 2 − a = 2 − v 2 ein. Dann gibt uns (2.13) einen neuen Schätzwert 2 − v2 12 v+ = +v , 2v 2 v eine Formel, die wir nun wiederholt anwenden können, mit dem Ergebnis


23

1, 4 1, 414285 1, 4142135642 1, 4142135623730950499 1, 4142135623730950488016887242096980790 1, 41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799 .

Dieselbe Rechnung, durchgeführt in Basis 60, ergibt mit dem Startwert 1, 25 das Resultat 1, 24, 51, 10 (Kommas trennen hier die Ziffern in Basis 60). Dieser Wert wurde auf einer babylonischen Tafel gefunden, die auf 1900 v. Chr. datiert (siehe Abb. 2.2, siehe auch van der Waerden 1954, Kapitel II, Bildtafel 8b). Dies deutet darauf hin, dass Formel (2.13) bereits seit der babylonischen und griechischen Antike angewandt wird.

ABB. 2.2. Auf der babylonischen Keilschrift-Tafel YBC 7289 von 1900 v. Chr. ist ein Quadrat der Seitenlänge 30 abgebildet, die Diagonale wird mit 42, 25, 35 angegeben, und das Verhältnis mit 1, 24, 51, 10.2

Nächster Schritt (Alkalsâdˆı etwa 1450, Briggs 1624). Um (2.13) weiter zu verbessern, betrachten wir √

a+b =

√

b a + √ + δ, 2 a

berechnen das Quadrat a+b= a+b+

√ b2 bδ + 2 a δ + √ + δ2, 4a a

vernachlässigen die letzten zwei Terme, und erhalten (2.14) 2

√ √ b b2 a+b≈ a+ √ − √ . 2 a 8 a3

Abbildung mit Erlaubnis der Yale Babylonian Collection.

24


Beispiel. Für

√

2 liefert die neue Approximation diesmal v+

2 − v2 4 − 4v2 + v 4 3v 3 1 − = + − , 2v 8v3 8 2v 2v 3

deren wiederholte Anwendung, beginnend mit v = 1, 4, sehr schnell konvergiert: 1, 4 1, 4142128 1, 41421356237309504870 1, 41421356237309504880168872420969807856967187537694807317643 .

Die √ Gleichungen (2.13) und (2.14) werden deutlich u¨ bersichtlicher, wenn wir durch a teilen, und b/a durch x ersetzen: 1

(1 + x) 2 ≈ 1 +

x , 2

1

(1 + x) 2 ≈ 1 +

x x2 − . 2 8

Mit dem Ziel noch besserer Annäherungen können wir die obigen Rechnungen weiterführen. Das Ergebnis wird eine Reihe der Form 1

(1 + x) 2 = 1 +

x + bx2 + cx3 + dx4 + . . . , 2

sein, deren Koeffizienten b, c, d, . . . wir noch bestimmen müssen. Setzen wir diese 1 1 Darstellung ein in die Beziehung (1 + x) 2 (1 + x) 2 = 1 + x und vergleichen die Potenzen von x miteinander, so erhalten wir b = −1/8, c = 1/16, d = −5/128, . . . , was sofort zu einer besseren Approximation führt (Newton 1665): 1 1 1 1 5 4 (1 + x) 2 = 1 + x − x2 + x3 − x + ... . 2 8 16 128

(2.15)

Wir stellen u¨ berdies fest − −

1 1·1 =− = 8 2·4

1 1 2(2

− 1) , 2

5 1·1·3·5 =− = 128 2·4·6·8

1 1 2(2

1 1·1·3 = = 16 2·4·6

− 1)( 12 − 2)( 12 − 3) , 1·2·3·4

1 1 2(2

− 1)( 12 − 2) , 1·2·3

was uns vermuten lässt, dass Satz 2.1 auch für n = 1/2 gültig ist. Die Folge 2 1+x/2, 1+x/2−x √ /8, . . . ist in Abb. 2.3 skizziert und illustriert die Konvergenz von (2.15) gegen 1 + x für −1 < x < 1. Beliebige rationale Exponenten.

Alles dies geschah in den zwei Jahren der Seuche 1665 und 1666, denn zu dieser Zeit war ich in der Blüte meiner Jahre als Erfinder, und widmete mich der Mathematik und Philosophie mehr als zu jeder späteren Zeit. (Newton, zitiert nach Kline 1972, S. 357)

Einer von Newtons Einfällen in jenen anni mirabiles“, inspiriert von der Arbeit ” von Wallis (siehe die Bemerkung, die auf Gl. (5.27) folgt), war der Versuch, die


25

3 2

√ N=2

N=1

4

1

−1

1+x

0

1

2 6

N = 16

1

ABB. 2.3. Reihe für (1 + x) 2 = 1 + 12 x − 18 x2 +

1 3 x 16

−

5 x4 128

...

Polynome (1 + x)0 , (1 + x)1 , (1 + x)2 , . . . zu interpolieren, mit dem Ziel, eine Reihe für (1 + x)a mit rationalem a zu finden. Dies bedeutet, dass wir die Koeffizienten in Satz 2.1 interpolieren müssen (siehe Abb. 2.4). Da letztere selber Polynome in n sind, ist klar, dass das Resultat durch denselben Ausdruck gegeben sein muss, wenn man n durch a ersetzt. Wir erhalten somit den allgemeinen Satz. (2.2) Satz (Allgemeiner binomischer Lehrsatz von Newton). Für jedes rationale a und für |x| < 1 gilt a a(a − 1) 2 a(a − 1)(a − 2) 3 (1 + x)a = 1 + x + x + x +... . 1 1·2 1·2·3

ABB. 2.4. Interpolation des Pascalschen Dreiecks, Newtons Originalmanuskript (1665)3

26


Selbst Newton empfand das Interpolationsargument als gefährlich. Euler gab den allgemeinen Satz in seiner Introductio (1748, §71) ohne weiteren Beweis oder Kommentar wieder ( ex hoc theoremate universali“). Erst Abel sah Bedarf für ” einen strengen Beweis, ein Jahrhundert später (siehe Abschnitt III.7 unten). Bemerkung. Dies ist genau die Formel, die auf Newtons Grabstein in Westminster Abbey 1727 eingraviert wurde. Versuchen Sie nicht, sie zu finden . . . in den letzten hundert Jahren war die Formel unlesbar.

Die Exponentialfunktion . . . ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (erste Definition von e; Euler 1736b, Mechanica, S. 60)

Ursprünge. 1. F. de Beaune (1601–1652) war der erste Leser von Descartes’ Géo” métrie“ aus dem Jahr 1637. Ein Jahr später stellte er Descartes das folgende geometrische Problem: Man finde eine Kurve y(x), so dass für jeden Punkt P der Abstand zwischen den Punkten V und T, die die Schnittpunkte zwischen der x-Achse und der vertikalen bzw. tangentialen Linie sind, stets konstant a ist (siehe Abb. 2.5a). Trotz den Anstrengungen von Descartes und Fermat blieb dieses Problem für fast 50 Jahre ungelöst. Leibniz (1684, . . . tentavit, sed non ” solvit“) schlug dann folgende Lösung vor (siehe Abb. 2.5b): Sei (x, y) ein bereits gegebener Punkt auf der Lösungskurve. Sodann erhöhe man x um einen kleinen ¨ Betrag b, so dass sich y (aufgrund der Ahnlichkeit zweier Dreiecke) um yb/a erhöht. Man wiederhole diesen Prozess, und erhalte eine Folge von Funktionswerten y,

b 1+ y, a

1+

b 2 y, a

b 3 1+ y, . . . a

für die Abszissen x, x + b, x + 2b, x + 3b, . . . . 2. Fragen der Form Wenn die Bevölkerung einer bestimmten Region jährlich ” um ein Dreißigstel wächst, und diese Region zu einem Zeitpunkt 100.000 Einwohner hatte, wie hoch wäre dann die Bevölkerung 100 Jahre später?“ (Euler 1748, Introductio §110) oder Ein bestimmter Mann lieh sich 400.000 Gulden zum ” Wucherzins von fünf Prozent im Jahr . . .“ (Introductio §111) führen zur Berechnung von Ausdrücken der Art (2.16)

1+

1 100 , 30

N 1 + 0.05 ,

oder allgemein

wobei ω klein ist und N groß. 3

Abb. 2.4 mit Genehmigung der Cambridge University Press.

1+ω

N

,


y

P

T

ABB. 2.5a. Beaunesche Aufgabe

ABB. 2.5b. Leibniz’ Lösung

Die Eulersche Zahl. Nehmen wir zunächst mal an, dass ω = (2.16) mit Hilfe von Satz 2.1 zu N 1+

1 N

z

xb b b b b b

V

a

27

1 N.

Wir berechnen

N N (N − 1) 1 N(N − 1)(N − 2) 1 + + + ... N 1·2 N2 1·2·3 N3 1(1 − N1 ) 1(1 − N1 )(1 − N2 ) =1+1+ + +... . 1·2 1·2·3 =1+

Ohne mit der Wimper zu zucken, behauptet Euler nun: Wenn N eine Zahl ist ” größer als jede bestimmbare Zahl, dann ist NN−1 gleich 1“. Dies zeigt, dass, wenn N gegen Unendlich strebt, (1 + N1 )N gegen die sogenannte Eulersche Zahl (2.17)

e=1+1+

1 1 1 + + + ... . 1·2 1·2·3 1·2·3·4

konvergiert. Wir möchten betonen, dass dieses Argument gefährlich ist, da es unendlich oft angewendet werden muss. So könnte man durch einen a¨ hnlichen Be” weis“ zeigen: 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + + = + + ...+ = 0 + 0 + 0 + . . . = 0. 2 2 3 3 3 N N N Wir werden auf diese Frage in Abschnitt III.2 zurückkommen. Tabelle 2.1 vergleicht die Güte der Konvergenz der Reihe (2.17) mit der von (1 + N1 )N . 1=

Potenzen von e. Als nächstes betrachten wir in (2.16) den Fall ω = x/N , wobei x eine feste, z.B. rationale Zahl ist. Das bedeutet, dass wir gleichzeitig N gegen Unendlich und ω gegen Null streben lassen, in der Weise, dass ihr Produkt konstant gleich x bleibt. Dieselbe Rechnung wie zuvor führt uns nun zum Ergebnis x N x2 x3 x4 (2.18) 1+ → 1+x+ + + + ... . N 1·2 1·2·3 1·2·3·4

28


TABELLE 2.1. Berechnung von e N

(1 +

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

1 N ) N

2,000 2,250 2,370 2,441 2,488 2,522 2,546 2,566 2,581 2,594 2,604 2,613 2,621 2,627 2,633 2,638 2,642 2,646 2,650 2,653 2,656 2,659 2,661 2,664 2,666 2,668 2,670 2,671

1+

1 1!

+

1 2!

+ ... +

1 N!

2,0 2,5 2,66 2,708 2,7166 2,71805 2,718253 2,7182787 2,71828152 2,718281801 2,7182818261 2,71828182828 2,718281828446 2,7182818284582 2,71828182845899 2,7182818284590422 2,71828182845904507 2,718281828459045226 2,7182818284590452349 2,718281828459045235339 2,7182818284590452353593 2,718281828459045235360247 2,7182818284590452353602857 2,718281828459045235360287404 2,7182818284590452353602874687 2,71828182845904523536028747125 2,718281828459045235360287471349 2,71828182845904523536028747135254

Wir können aber auch M = N/x, N = xM für jene Werte von N einsetzen, für die M eine ganze Zahl ist. Lassen wir N und M gegen Unendlich streben, bedeutet dies x N 1 Mx 1 M x (2.19) 1+ = 1+ = 1+ → ex . N M M Kombinieren wir (2.18) und (2.19), erhalten wir den folgenden Satz.

(2.3) Satz (Euler 1748, Introductio §§123, 125). Für N gegen Unendlich gilt

1+

x N x2 x3 x4 → ex = 1 + x + + + + ... . N 2! 3! 4!

⊓ ⊔

Die Konvergenz dieser Ausdrücke gegen ex (was auch mit exp x bezeichnet wird) ist in den Abbildungen 2.6a und 2.6b dargestellt. Die gepunktete Linie ist dabei die exakte Funktion ex .


29

3

6 6

6 2 2

4

2

4

2

N=1

2

N=1

4 2

6

−3

−2

−1

0

1

2

−3 5

−2

−2

−1

0

1

2

−2 3

ABB. 2.6a. 1 +

x N

N

ABB. 2.6b. 1 + x +

x2 2!

+

x3 3!

+ ...

¨ Ubungen 2.1 Beweisen Sie die folgende Formel (Euler 1755, Opera Band X, S. 280), nutzen Sie dafür 50 = 2 · 52 = 72 + 1: √ 7 1 1·3 1·3·5 2= 1+ + + + etc. 5 100 100 · 200 100 · 200 · 300 quae ad computum in fractionibus decimalibus instituendum est optissima“. ” Summieren Sie nummerisch fünf Terme dieser Reihe. Hinweis. Arbeiten Sie mit der Reihenentwicklung von (1 − x)−1/2 . 2.2 Zeigen Sie, dass die Zahl, die in Basis 60 als 1, 25 geschrieben wird, eine √ gute Annäherung an 2 ist. Zeigen Sie dann, dass eine Iteration des ba” bylonischen Quadratwurzel-Algorithmus“, der aus Formel (2.13) folgt, zu 1, 24, 51, 10, . . . führt, dem Wert aus Abb. 2.2. 2.3 Multiplizieren Sie die Reihe (1 + x)1/3 = 1 + ax + bx2 + cx3 + . . . zweimal mit sich selbst, und bestimmen Sie so die Koeffizienten a, b, c, . . . . Sie sollten folgendes finden: (1 + x)1/3 = 1 +

x 2 2 2·5 3 − x + x −+... . 3 3·6 3·6·9

30


Benutzen Sie 2 · 43 − 53 = 3, um hieraus die folgende Formel abzuleiten: √ 5 1 2 3 2= 1+ − 4 1 · 125 1 · 2 · (125)2 2·5 2·5·8 + − + ... . 1 · 2 · 3 · (125)3 1 · 2 · 3 · 4 · (125)4 √ Bemerkung. Die Bestimmung von 3 2 war eines der großen Probleme der griechischen Mathematik (Verdoppelung des Würfels). 2.4 (Bernoullis Ungleichung; Jak. Bernoulli 1689, siehe 1744, Opera, S. 380; Barrow 1670, siehe 1860, Works, Lectio VII, §XIII, S. 224). Beweisen Sie durch Induktion nach n, dass (1 + a)n ≥ 1 + na

für a ≥ −1, n = 0, 1, 2, . . . 1 1 − na < (1 − a)n < für 0 < a < 1, n = 2, 3, . . . . 1 + na n 2.5 Studieren Sie die Konvergenz von 1+ n1 gegen e, und betrachten Sie dafür die Folgen 1 n 1 n+1 an = 1 + und bn = 1 + . n n Zeigen Sie, dass

a1 < a2 < a3 < . . . < e < . . . < b3 < b2 < b1 und bn − an ≤ 4/n gelten. ¨ Hinweis. Benutzen Sie die zweite Ungleichung von Ubung 2.4 mit a = 1/n2 .

I.3 Logarithmen und Flächen

31

I.3 Logarithmen und Flächen Tabularum autem logarithmicarum amplissimus est usus . . . (Euler 1748, Introductio, §110)

Der Begriff des Logarithmus wird von den Schülern im allgemeinen nur sehr schwer verstanden. (B.L. van der Waerden 1957, S. 1)

M. Stifel widmete 1544 (siehe Nachbildung in Abb. 3.1) sein Interesse dem Zusammenspiel folgender zweier Folgen: ...

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

...

...

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

16

32

64

128

256

...

ABB. 3.1. Auszüge aus Stifels Buch (S. 237 und 250)1

¨ Uns fällt auf, dass der Ubergang von der unteren zur oberen Zeile Produkte in Summen u¨ berführt. So kann man beispielsweise, statt 8 mit 32 in inferiore ordine“ ” zu multiplizieren, auch die entsprechenden Logarithmen“ 3 und 5 in superiore ” ” ordine“ nehmen, ihre Summe (8) berechnen, und zur inferiore ordine“ zurück” kehren, womit man das Produkt 8 · 32 = 256 findet. Da Addition einfacher ist als Multiplikation, wäre eine detailliertere Tabelle dieser Art von großem Nutzen. Derart logarithmische“ Tabellen (λ´ oγoς ist griechisch für Wort, Beziehung“, ” ” α̺ιθµ´ oς steht für Zahl“, Logarithmen sind folglich nützliche Beziehungen zwi” schen Zahlen) wurden zuerst von John Napier (1614, 1619), Henry Briggs (1624) und Jost Bürgi (1620) berechnet.

1

Abbildung mit Genehmigung der Bibl. Publ. Univ. Genève.

32


(3.1) Definition. Eine Funktion ℓ(x), definiert für positive Werte x, heißt logarithmische Funktion, falls für alle x, y > 0 gilt: (3.1)

ℓ(x · y) = ℓ(x) + ℓ(y). Wenn wir zunächst y = z/x und dann x = y = 1 in (3.1) einsetzen, folgt

(3.2)

ℓ(z/x) = ℓ(z) − ℓ(x),

(3.3)

ℓ(1) = 0.

Wenden wir (3.1) zweimal auf x · y · z = (x · y) · z an, finden wir (3.4)

ℓ(x · y · z) = ℓ(x) + ℓ(y) + ℓ(z),

und entsprechendes für√Produkte √ von √ vier oder mehr Faktoren. Desweiteren kö√ nnen wir (3.4) auf 3 x · 3 x · 3 x = x anwenden, wir erhalten daraus ℓ( 3 x) = 13 ℓ(x) oder allgemein √ m m m (3.5) ℓ(x n ) = ℓ(x), mit x n = n xm . n Basen. Sei ℓ(x) eine fest vorgegebene logarithmische Funktion. Wir nehmen außerdem an, dass es eine Zahl a gibt, für die ℓ(a) = 1 ist. Dann wird aus (3.5) m m (3.6) ℓ(a n ) = , n d.h., die logarithmische Funktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ax . Wir nennen sie den Logarithmus zur Basis a und schreiben (3.7)

y = loga x

falls

x = ay .

Logarithmen zur Basis 10 (Briggsche Logarithmen) sind besonders geeignet für numerische Berechnungen, da eine Verschiebung des Dezimalkommas schlicht eine ganze Zahl zum Logarithmus hinzufügt. Die beste Basis für theoretische Arbeiten ist jedoch, wie wir bald sehen werden, die Eulersche Zahl e (natürlicher Logarithmus, selten auch Neperscher, Napierscher oder hyperbolischer Logarithmus). Dieser Logarithmus wird gewöhnlich mit ln x oder log x bezeichnet. Eulers goldene Regel“. Sobald die Logarithmen in einer Basis bekannt sind, ” lassen sich die Logarithmen aller anderen Basen durch eine einfache Division errechnen. Um dies einzusehen, betrachtet man den Logarithmus von x = ay zur Basis b und benutzt (3.7) und (3.5), also (3.8)

logb x = y · logb a

⇒

y = loga x =

logb x . logb a


33

Berechnung des Logarithmus Man erhält eine große Zahl an Logarithmen dadurch, dass man die Quadratwurzel der Basis a berechnet, dann die Quadratwurzel der Quadratwurzel usw., wobei sich die Logarithmen mittels (3.6) stets halbieren. Produkte der Quadratwurzeln liefern mit (3.1) weitere Logarithmen. Dies ist für a = 10 in Abb. 3.2 dargestellt. 1,00 Zahlen

Logarithmen

10,0000 7,4989 5,6234 4,2170 3,1623 2,3714 1,7783 1,3335 1,0000

1,0 0,875 0,75 0,625 0,5 0,375 0,25 0,125 0,0

0,75

0,50

0,25

0,00

1 101/4 101/2

103/4

10

ABB. 3.2. Mehrfache Wurzeln von 10 und ihre Produkte

Es bleibt aber ein Problem: Uns würden vielmehr Logarithmen zu Zahlen wie 2, 3, 4, . . . interessieren, als solche zu 4, 2170 oder 2, 3714. Briggs Methode. Man berechne die Wurzel von 10, dann die Wurzel der Wurzel usw., 54 Mal (siehe die Nachbildung in Abb. 3.3). Mit c = 1/254 ergibt dies (3.9a)

10c = 1,00000 00000 00000 12781 91493 20032 35 = 1 + a.

Sodann berechne man auf dieselbe Weise die iterierten Wurzeln von 2: (3.9b)

2c = 1,00000 00000 00000 03847 73979 65583 10 = 1 + b.

Wir wollen den Wert von x = log10 2 berechnen, dieser erfüllt 2 = 10x. Folglich gilt (Satz 2.2) (3.9b) (3.9a) 1 + b = 2c = (10c )x = (1 + a)x ≈ 1 + ax und wir finden (3.10)

log10 (2) = x ≈

b 3847739796558310 = ≈ 0,3010299956638812. a 12781914932003235

Damit haben wir gerademal einen Wert. Die Gesamtarbeit, die für eine umfangreiche Tabelle notwendig ist, u¨ bertrifft jede Vorstellung. 2

Abb. 3.3 mit Erlaubnis der Bibl. Publ. Univ. Genève.

34


ABB. 3.3. Briggs Berechnung der iterierten Wurzeln von 10, Briggs (1624)2


35

Interpolation. Ein wichtiges Werkzeug zur schnellen Berechnung von Logarithmen war in der damaligen Zeit die Interpolation. Angenommen, wir haben bereits vier Werte von log10 berechnet. Wir können leicht ihr Differenzenschema berechnen: log(44) = 1,6434526765 0,0097598373 0,0095453179

−0,0002145194

0,0093400262

−0,0002052917

log(45) = 1,6532125138 log(46) = 1,6627578317

0,0000092277 .

log(47) = 1,6720978579 Satz 1.2 (mit verschobenen Koordinaten) erlaubt uns, das Interpolationspolynom zu berechnen: p(x) =1,6434526765 + (x − 44) 0,0097598373 (3.11) x − 45 x − 46 + −0,0002145194 + · 0,0000092277 . 2 3 Einige ausgewählte Werte sind in Tabelle 3.1 mit ihren Abweichungen von den echten Werten wiedergegeben. Trotz der Einfachheit der Rechnung sind die Abweichungen sehr gering. Indem man weitere Stützpunkte hinzufügt, lässt sich die Präzision erhöhen, falls gewünscht. TABELLE 3.1. Abweichungen vom Interpolationspolynom x 44,25 44,50 44,75 45,25 45,50 45,75 46,25 46,50 46,75

p(x) 1,645913252 1,648359987 1,650793026 1,655618594 1,658011411 1,660391109 1,665111724 1,667452930 1,669781593

log10 (x) 1,645913275 1,648360011 1,650793040 1,655618584 1,658011397 1,660391098 1,665111737 1,667452953 1,669781615

Differenz 2,34 · 10−8 2,42 · 10−8 1,35 · 10−8 −1,05 · 10−8 −1,43 · 10−8 −1,04 · 10−8 1,32 · 10−8 2,34 · 10−8 2,24 · 10−8

Bevor wir mit dem Logarithmenkalkül fortfahren, fügen wir einen kurzen Exkurs in die Geometrie ein.

Berechnung von Flächen Die Bestimmung von Flächen und Volumina fasziniert Mathematiker seit der griechischen Antike. Zwei der größten Errungenschaften von Archimedes (283– 212 v. Chr.) waren die Berechnungen der Flächen der Parabel und des Kreises. Im

36


frühen 17ten Jahrhundert trat dann die Berechnung von Flächen unter Kurven der Form y = xa ins Rampenlicht, sowohl für ganze Zahlen a als auch für beliebige (Bonaventura Cavalieri, Roberval, Fermat). Problem. Sei a gegeben. Man bestimme die Fläche unter der Kurve y = xa zwischen den Schranken x = 0 und x = B.

y = x1/3

ABB. 3.4a. Fermat 1601–1655

Ba θaBa θ2aBa θ2B θB B

ABB. 3.4b. Fermats Berechnung der Fläche unter xa

Lösung (Fermat 1636). Wir wählen ein θ, das nahe an, aber kleiner als 1 ist, und betrachten die Rechtecke, die von der geometrischen Folge B, θB, θ2 B, θ 3 B, . . . (Abb. 3.4b) herrühren, mit ihren Höhen B a , θa B a , θ2a B a , θ3a B a , . . . . Dann kann die gesuchte Fläche annähernd durch eine geometrische Reihe berechnet werden, erstes Rechteck + zweites Rechteck + drittes Rechteck + . . . (3.12)

= B(1 − θ)B a + B(θ − θ2 )θa B a + B(θ2 − θ3 )θ2a B a + . . . 1−θ = B a+1 (1 − θ) 1 + θa+1 + θ2a+2 + . . . = B a+1 , 1 − θa+1 | {z } geometrische Reihe

solange nur a + 1 > 0 bzw. a > −1 gilt (siehe Gl. (2.12)). Sei nun θ = 1 − ε mit kleinem ε. Dann ist 1 − θ = ε, θa+1 = 1 − (a + 1)ε + . . . nach Satz 2.2. Wir finden 1−θ ε 1 ≈ = für ε → 0. a+1 1−θ (a + 1)ε a+1 Die Summe der Rechtecke (3.12) approximiert die Fläche S von oben (für a > −1). Wenn wir nun die Höhen der Rechtecke durch θa B a , θ2a B a , . . . ersetzen, erhalten wir eine Approximation von S von unten. In diesem Fall wird der Wert (3.12) schlicht mit θa multipliziert, was für θ → 1 gegen 1 strebt. Damit müssen beide Näherungen gegen denselben Wert streben, wir erhalten das folgende Resultat. (3.2) Satz (Fermat 1636). Die Fläche unter der Kurve y = xa zwischen den Schranken x = 0 und x = B ist gegeben durch S=

B a+1 a+1

falls

a > −1.

⊓ ⊔


37

Fläche unter der Hyperbel und natürlicher Logarithmus Im Monat September 1668 veröffentlichte Mercator seine Logarithmotechnia, welche ein Beispiel dieser Methode (d.h. der unendlichen Reihen) für einen einzigen Fall beinhaltet, nämlich die Quadratur der Hyperbel. (Brief an Collins, 26. Juli 1672)

Fermats Methode lässt sich nicht auf die Hyperbel y = 1/x anwenden. Tatsächlich wird aus der geometrischen Folge der Abszissen B, θB, θ2 B, θ3 B, . . . die Summe (1 − θ)(1 + 1 + 1 + . . .) für die Flächen, deren Partialsummen eine arithmetische Folge beschreiben. Dies motivierte die folgende Entdeckung von Grégoire de Saint-Vincent im Jahr 1647 und Alfons Antonius de Sarasa im Jahr 1649 (siehe Kline 1972, S. 354): Die Fläche unter der Hyperbel y = 1/x ist ein Logarithmus (siehe Abb. 3.5).

ABB. 3.5. Die Fläche unter der Hyperbel ist ein Logarithmus

Durch Kontraktion der x-Koordinaten und Strecken der y-Koordinaten stellen wir fest, dass beispielsweise Fläche (3 → 6) = Fläche (1 → 2). Damit haben wir Fläche (1 → 3) + Fläche (1 → 2) = Fläche (1 → 6). Dies bedeutet, dass die Funktion ln(a) = Fläche (1 → a) die Identität ln(a) + ln(b) = ln(a · b) erfüllt und folglich ein Logarithmus ist (der natürliche“ Logarithmus). ” Die Mercator-Reihe. Wenn wir den Ursprung um 1 verschieben, sehen wir, dass ln(1 + a) die Fläche unter 1/(1 + x) zwischen 0 und a ist. Wir ersetzen 1/(1 + x) = 1 − x + x2 − x3 + . . . mittels Formel (2.12) und fügen für die Flächen unter 1, x, x2 , . . . zwischen 0 und a die Ausdrücke aus Satz 3.2 ein: a2 a3 a4 , , , ... 2 3 4 (siehe Abb. 3.6). Auf diese Weise finden wir, wenn wir noch a durch x ersetzen (N. Mercator 1668) a,

(3.13) 3

ln(1 + x) = x −

x2 x3 x4 x5 + − + − +.... 2 3 4 5

Fermats Porträt, abgebildet mit Genehmigung der Bibl. Math. Univ. Genève.

38


ABB. 3.6. Integration der geometrischen Reihe Term für Term

Die Konvergenz dieser Reihe ist für verschiedene Werte von x in Abb. 3.7 zu sehen. Mit dem Wert x = 1 wird die Reihe zu (3.13a)

ln 2 = 1 −

1 1 1 1 1 + − + − + −..., 2 3 4 5 6

einer wunderschönen Formel von begrenztem Nutzen (siehe Tabelle 3.1). Für noch größere Werte von x konvergiert die Reihe u¨ berhaupt nicht mehr.

N=1

1

3

ln (1 + x)

N=2 0

−1

1 4

−1 N = 10

ABB. 3.7. Konvergenz von x −

x2 2

+

x3 3

−

x4 4

+ ...±

xN N

gegen ln(1 + x)


39

Die Gregorysche Reihe. Wir ersetzen in (3.13) die Unbekannte x durch −x: x2 x3 x4 x5 − − − − ... 2 3 4 5 und ziehen diese Gleichung von (3.13) ab. Dies liefert (Gregory 1668) (3.14)

(3.15)

ln(1 − x) = −x −

ln

1+x x3 x5 x7 x9 =2 x+ + + + +... . 1−x 3 5 7 9

Beispiele. Setzen wir x = 1/2 in (3.14) und x = 1/3 in (3.15) ein, so erhalten wir die folgenden zwei Reihen für ln 2: 1 1 1 1 (3.14a) ln 2 = + + + +... 2 3 2 2·2 3·2 4 · 24 1 1 1 1 (3.15a) ln 2 = 2 + + + + . . . . 3 3 · 33 5 · 3 5 7 · 37 Tabelle 3.2 stellt die Güte der Konvergenz gegen ln 2 der drei Reihen (3.13a), (3.14a) und (3.15a) einander gegenüber. Es ist offensichtlich, welche Reihe die beste ist. TABELLE 3.2. Konvergenz der Reihen für ln 2 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(3.13a) 1,000 0,500 0,833 0,583 0,783 0,617 0,760 0,635 0,746 0,646 0,737 0,653

(3.14a) 0,500 0,625 0,667 0,6823 0,6885 0,6911 0,69226 0,69275 0,69297 0,693065 0,693109 0,693130

(3.15a) 0,667 0,6914 0,69300 0,693135 0,6931460 0,69314707 0,693147170 0,6931471795 0,693147180559 0,6931471805498 0,6931471805589 0,69314718055984

Berechnung von ln p fur ¨ Primzahlen ≥ 3. Nutzt man (3.1), so reicht es aus, die Logarithmen der Primzahlen zu kennen. Die Logarithmen zusammengesetzter ganzer Zahlen und rationaler Zahlen erhält man sodann u¨ ber Addition und Subtraktion. Will man den Logarithmus einer Primzahl p berechnen, so teilt man p durch eine Zahl in ihrer Nähe, deren Logarithmus bereits bekannt ist. Dann kann man einen kleinen Wert für x in Reihe (3.15) einsetzen, die sehr schnell konvergiert. Zum Beispiel können wir für p = 3 ansetzen: 3 3 1+x 1 3 = · 2, = ⇔ x= , 2 2 1−x 5 so dass gilt (3.16)

ln 3 = ln

1+ 3 + ln 2 = ln 2 1−

1 5 1 5

+ ln 2.

40


Eine Alternative bildet 3 = (3/4) · 4, was zu (3.17)

ln 3 = 2 ln 2 − ln

1+ 1−

1 7 1 7

führt. Noch besser ist, man benutzt das geometrische Mittel der obigen Ausdrücke: r 1 9 √ 3 1 1 + 17 3= · 8 ⇒ ln 3 = ln 2 + ln 1 8 2 2 1 − 17 r 1 25 √ 3 1 1 1 + 49 (3.18) 5= · 24 ⇒ ln 5 = ln 2 + ln 3 + ln 1 24 2 2 2 1 − 49 r 1 49 √ 1 1 1 + 97 7= · 48 ⇒ ln 7 = 2 ln 2 + ln 3 + ln , 1 48 2 2 1 − 97 und so weiter. Je größer p ist, desto schneller konvergiert Reihe (3.15). Die ersten Werte, die man auf diese Weise erhält, lauten: ln(1) = 0,000000000000000000000000000000 ln(2) = 0,693147180559945309417232121458 ln(3) = 1,098612288668109691395245236923 ln(4) = 1,386294361119890618834464242916 ln(5) = 1,609437912434100374600759333226 ln(6) = 1,791759469228055000812477358381 ln(7) = 1,945910149055313305105352743443 ln(8) = 2,079441541679835928251696364375 ln(9) = 2,197224577336219382790490473845 ln(10) = 2,302585092994045684017991454684 . Diese eindrucksvolle Verfeinerung des Rechenverfahrens seit Briggs wurde in nur wenigen Jahrzehnten (zwischen 1620 und 1670) erarbeitet. Sie verdeutlicht wieder einmal den enormen Fortschritt, der in der Mathematik durch das Erscheinen von Descartes’ La Géométrie“ ausgelöst wurde. ” Zusammenhang zur Eulerschen Zahl. Der Zusammenhang zwischen e und dem natürlichen Logarithmus (in seiner Definition als Fläche unter der Hyperbel) wird durch folgenden Satz hergestellt. (3.3) Satz. Der natürliche Logarithmus ln x ist der Logarithmus zur Basis e. Beweis. Wir wenden den natürlichen Logarithmus auf die Formel aus Satz 2.3 an. Zusammen mit (3.5) und (3.13) ergibt dies x x N x x2 ln 1 + = N · ln 1 + =N· − + . . . → x, 2 N N N 2N

so dass ln ex = x sein muss.

⊓ ⊔


41

Dies liefert uns eine geometrische Interpretation von e: Die Eulersche Zahl ist diejenige Zahl e, für die die Fläche unter der Hyperbel y = 1/x zwischen 1 und e gerade 1 ist (siehe Abb. 3.8). y = 1/x 1

1 0

1

2

e = 2,71828 . . .

ABB. 3.8. Geometrische Bedeutung von e

4

4 3x

10x 3

3

y = x3 y = x2 y=x

2

-x

e

1

e

2x

1 y = 1/x3

0

2

x

0

1

y = 1/x

2

3

4 −2 a

ABB. 3.9a. Funktionen y = x

−1

0 0

1

ABB. 3.9b. Funktionen y = a

2 x

Beliebige Potenzen. Logarithmen erlauben es uns, beliebige Potenzen wie folgt zu berechnen (und zu definieren) (Joh. Bernoulli 1697, Principia Calculi Exponentialium, Opera, Band I, S. 179): Wir nutzen a = eln a und erhalten (3.19)

ab = (eln a )b = eb ln a .

Graphen der Funktionen (3.19), sei es als Funktionen von a oder als Funktionen von b, sind in den Abbildungen 3.9a und 3.9b dargestellt.

42


¨ Ubungen 3.1 (Newton 1671, Method of Fluxions, Euler 1748, Introductio, §123). Zeige dass man aus 2 = (4/3) · (3/2) erhält: 1 + 15 1 + 17 1 + 15 ln 2 = ln + ln , ln 3 = ln + ln 2, 1 − 15 1 − 17 1 − 15 was eine gleichzeitige Berechnung von ln 2 und ln 3 mittels der schnell konvergierenden Reihe (3.15) erlaubt. 3.2 (Newton 1669, Inventio Basis ex Area data). Angenommen, die Fläche z unter der Hyperbel ist gegeben durch die Formel z = x − 12 x2 + 13 x3 − 14 x4 + 15 x5 − . . . . Finden Sie eine Reihenentwicklung von x = ez − 1 von der Form x = z + a2 z 2 + a3 z 3 + a4 z 4 + . . . und (re)konstruieren Sie damit die Reihe der Exponentialfunktion.

I.4 Trigonometrische Funktionen

43

I.4 Trigonometrische Funktionen Sybil: Es geht zurück auf die Anfänge der Zivilisation. (J. Cleese & C. Booth 1979, Fawlty Towers, The Psychiatrists)

Winkelmessung. Eine der a¨ ltesten Anwendungen der Geometrie ist die Bestimmung von Winkeln, insbesondere für astronomische Zwecke. Die Babylonier teilten dafür den Kreis in 360◦, wahrscheinlich weil dies die ungefähre Zahl an Tagen im Jahr ist. Ein halber Kreis entspricht dann 180◦ , ein rechter Winkel 90◦ , und das gleichseitige ebene Dreieck hat 60◦ -Winkel (siehe Abb. 4.1a). Ptolemäus4 , verfeinerte im Jahr 150 in seinem Almagest die Winkelmessungen, indem er die nächste Ziffer des damals aktuellen Zahlensystems in Basis 60 einbezog, partes minutae primae (erste kleine Unterteilungen) und partes minutae secondae (zweite kleine Unterteilungen). Aus ihnen entwickelten sich unsere Minuten“ ” und Sekunden“. Doch gibt es noch andere Systeme als die 360◦-Zerlegung. Viele ” andere Einheiten können benutzt werden, beispielsweise wird in einigen technischen Anwendungen in einem System gerechnet, in dem ein rechter Winkel aus 100 Gon“ besteht. Wie im Fall der Logarithmen gibt es jedoch auch hier ein ” natürliches Maß, das auf der Bogenlänge eines Kreises vom Radius 1 basiert, das Bogenmaß (siehe Abb. 4.1b). Dabei ist die Bogenlänge eines Halbkreises, geschrieben in der Genauigkeit, die von Th. F. de Lagny im Jahr 1719 angegeben und von Euler reproduziert wurde (mit einem Fehler an der 113ten Dezimalstelle, der hier korrigiert ist), 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679 821480865132823066470938446 . . . . Für diesen etwas unhandlichen Ausdruck prägte W. Jones (1706, S. 243) die Abkürzung π ( periphery“, zu deutsch: Umfang“). Dann beträgt das Bogenmaß ” ” des Winkels von 54◦ aus Abb. 4.1 gerade 54π/180 = 0,9425 rad ( Radiant“). ” 120 130 140 150

110 100

90 80 70

60

2π/3 3π/4

50

π/3

π/2

1

π/4

40 30

160

π/6

20

170 180

2

−1

0

α

ABB. 4.1a. Babylonische Grade

10

1

0

3 π

−1

0

α

1

0

ABB. 4.1b. Bogenlänge als Winkelmaß

Definition der trigonometrischen Funktionen. Wie kann man die Größe eines Winkels messen, wenn man nur u¨ ber ein gerades Lineal verfügt? Nun, man kann lediglich die Sehne vermessen (siehe Abb. 4.2) und dann mit Hilfe von Tabellen 4

= Πτ oλεµα˜ιoς, Ptolemeus, Ptolemy, Ptolemée, Tolomeo, Ptolemei˘ , . . . .

44


auf den Winkel schließen, oder umgekehrt. Solche Tabellen haben ihren Ursprung in der griechischen Antike (Hipparch 150 v. Chr. (verloren gegangen) und Ptolemäus 150 n. Chr.). Die Sinusfunktion, die mit der Sehnenfunktion (engl. chord“) u¨ ber sin α = (1/2) chord (2α) eng verwandt ist, stammt aus Indien ” (Brahmagupta um 630) und der europäisch-mittelalterlichen Wissenschaft (Regiomontanus 1464). Sie hieß ursprünglich sinus rectus (also senkrechter Sinus) und eignet sich wesentlich besser für Berechnungen am Dreieck als die Sehnenfunktion.

1

1

1

cos α

α

tan α

sin α

cot α

chord α

1

x

α

0

0

1

ABB. 4.2. Ptolemäus’ Sehnenfunktion

1

ABB. 4.3. Definition von sin, cos, tan und cot

(4.1) Definition. Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck in einem Kreis vom Radius 1, wie in Abb. 4.3 positioniert. Dann wird die Länge der Seite gegenüber dem Winkel α mit sin α bezeichnet, die der anliegenden Seite mit cos α. Ihre Verhältnisse, die zugleich die Längen der senkrechten und waagerechten Tangenten an den Kreis sind, notieren wir mit tan α =

sin α cos α

und

cot α =

cos α . sin α

Diese Definitionen lassen sich unmittelbar auf beliebige rechtwinklige Dreiecke anwenden: Für eine Hypotenuse c, Ankathete b und Gegenkathete a (d.h. a liegt dem Winkel α und c dem rechten Winkel gegenüber) finden wir: (4.1)

a = c · sin α,

b = c · cos α,

a = b · tan α.

Obwohl in der Geometrie Winkel u¨ blicherweise mit kleinen griechischen Buchstaben notiert werden, wollen wir, sobald wir zum Bogenmaß wechseln und Funktionen einer reellen Variablen betrachten (siehe Funktionsgraphen in Abb. 4.4), kleine lateinische Buchstaben (wie z.B. x) als Argument bevorzugen. Viele Formeln lassen sich bereits als Spezialfälle aus Abb. 4.3 ableiten, wie sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin π/2 = 1, cos π/2 = 0, sin π = 0, cos π = −1, (4.2a) (4.2b)

sin(−x) = − sin x,

sin(x + π) = − sin x,

cos(−x) = cos x cos(x + π) = − cos x


(4.2c) (4.2d)

45

sin(x + π/2) = cos x, cos(x + π/2) = − sin x 2 2 sin x + cos x = 1.

Die Funktionen sin x und cos x sind periodisch mit Periode 2π, tan x ist periodisch mit Periode π. 2

cos x

sin x

1

−π/2

0

y=x

tan x

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

3π

−1 −2

ABB. 4.4. Die trigonometrischen Funktionen sin x, cos x und tan x

Abb. 4.5 zeigt die Zeichnung einer Sinuskurve aus Seite 17 von A. Dürers Underweysung der Messung (1525). Dürer nannte diese Kurve eynn schraufen ” lini“ und behauptet, dass sie sich für Steinmetze eignet, die Wendeltreppen anlegen wollen.

ABB. 4.5. Eine Sinuskurve bei Dürer (1525)2

Seltsame geometrische Muster erscheinen, wenn man sin n nur an ganzen Zahlen n auswertet (Abb. 4.6, siehe Strang 1991, Richert 1992).

2

Abbildung mit Erlaubnis des Dr. Alfons Uhl Verlag, Nördlingen.

46


1

0 0 10

101

102

103

−1

ABB. 4.6. Werte von sin 1, sin 2, sin 3, . . . mit n in logarithmischer Skala

Grundlegende Beziehungen und Folgerungen Die Gleichungen . . . haben . . . ein ehrwürdiges Alter. Schon Ptolemäus leitet . . . (L. Vietoris 1949, J. reine ang. Math., Band 186, S. 1)

Seien α und β zwei Winkel mit Bogenmaß x bzw. y. (4.2) Satz (Ptolemäus 150 n. Chr., Regiomontanus 1464). (4.3) (4.4)

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y.

Beweis. Diese Zusammenhänge sieht man sofort für 0 ≤ x, y ≤ π/2, wenn man die drei rechtwinkligen Dreiecke in Abb. 4.7 näher untersucht. Alle anderen Kombinationen für x und y kann man mit den Formeln (4.2b) und (4.2c) auf diesen Fall reduzieren. ⊓ ⊔ sin β cos α

α

sin β sin β sin α

1 cos β sin α cos β β α 0

cos β cos α

1

ABB. 4.7. Beweis der Formeln (4.3) und (4.4)


47

Indem man die Gleichung (4.3) durch Gl. (4.4) teilt, erhält man (4.5)

tan(x + y) =

sin x cos y + cos x sin y tan x + tan y = . cos x cos y − sin x sin y 1 − tan x tan y

Weitere Formeln. Ersetzen wir y in (4.3) und (4.4) durch −y, erhalten wir (4.3′ ) (4.4′ )

sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y.

Addieren wir nun die Gleichungen (4.3) und (4.3′ ), liefert dies uns sin(x + y) + sin(x − y) = 2 · sin x cos y. Schließlich führen wir neue Variablen anstelle von x + y und x − y ein, nämlich x+y =u x−y =v

also

x = (u + v)/2 y = (u − v)/2,

mit der ersten der folgenden drei Formeln als Ergebnis: u + v u − v (4.6) sin u + sin v = 2 · sin · cos 2 2 u + v u − v (4.7) cos u + cos v = 2 · cos · cos 2 2 u + v u − v (4.8) cos v − cos u = 2 · sin · sin . 2 2 Die anderen leitet man a¨ hnlich her. Der Spezialfall x = y führt in (4.3) und (4.4) zu (4.9)

sin(2x) = 2 sin x cos x

(4.10)

cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1.

Ersetzen wir nun x durch x/2 in (4.10), finden wir r r x x 1 − cos x 1 + cos x (4.11) sin =± , cos =± . 2 2 2 2 Einige Werte von sin und cos. Die Verhältnisse im gleichseitigen Dreieck und im Quadrat erlauben uns direkt die Werte von sin und cos für die Winkel 30◦ , 60◦ und 45◦ zu berechnen. Für das C regelmäßige Fünfeck betrachten wir die nebenstehende Abbildung (Hippasos 450 v. Chr.): Die Dreiecke ACE und AEF sind sich a¨ hnlich, √ wir haben 1 + 1/x = x und daher x = (1 + 5)/2, d.h. die Diagonale CA wird vom Punkt F im goldenen Schnitt geteilt (siehe Euklid, Elemente, Band XIII, §8); damit haben wir sin 18◦ = 1/(2x).

B

1

1/x

F x x

1 18˚ 18˚ 1 36˚ 36˚

D

E

A

48


TABELLE 4.1. Spezielle Werte von sin, cos und tan

α

Bogenmaß

0◦

0

◦

π/12

18◦

π/10

30◦

π/6

36◦

π/5

45◦

π/4

60◦

π/3

75◦

5π/12

90◦

π/2

15

sin α

cos α

0

1

√ √ 2 4 ( 3− √ 5−1 4

1)

√ √ 2 4 ( 3 1 2

1 1 2

q2

√ 5− 5 2 √ 2 2 √ 3 2

√ √ 2 4 ( 3

+ 1)

q

+ 1)

√ 5+ 5 2 √ 3 2 √ 5+1 4 √ 2 2

1 2 √ √ 2 ( 3 4

1

− 1)

tan α 0 √ 2− 3 √ √

√ (3 5−5) 5+ 5 √ 10 2 √ 3 √ √3 √ 5− 5( 5−1) √ 2 2

1 √ 3 √ 2+ 3 ∞

0

Tabelle 4.1 ist eine Liste aller auf diese Weise erhaltenen Werte. Für eine vollständige Liste von sin α für α = 3◦ , 6◦ , 9◦ , 12◦ . . . siehe Lambert (1770c). Formeln von de Moivre. Wenn wir in (4.3) und (4.4) y durch nx ersetzen, erhalten wir die rekursiven Formeln (4.12) sin (n + 1)x = sin x cos nx + cos x sin nx, (4.13) cos (n + 1)x = cos x cos nx − sin x sin nx. Beginnen wir mit (4.9) und (4.10) und wenden (4.12) und (4.13) mehrfach an, finden wir cos(3x) = cos3 x sin(3x) =

3 sin x cos2 x

cos(4x) = cos4 x sin(4x) =

− sin3 x

− 6 sin2 x cos2 x

4 sin x cos3 x

cos(5x) = cos5 x sin(5x) =

− 3 sin2 x cos x

− 4 sin3 x cos x

− 10 sin2 x cos3 x

5 sin x cos4 x

+ sin4 x + 5 sin4 x cos x

− 10 sin3 x cos2 x

+ sin5 x.

Uns fällt dabei auf, dass das Pascalsche Dreieck wieder auftaucht; die Begründung hierfür ist genau dieselbe wie in Abschnitt I.2 (Satz 2.1). Hieraus folgern wir die allgemeinen Formeln (gefunden von de Moivre 1730, siehe Euler 1748, Introductio, §133):


49

n(n − 1) 2 sin x cosn−2 x 1·2 n(n − 1)(n − 2)(n − 3) + sin4 x cosn−4 x − . . . 1·2·3·4 n(n − 1)(n − 2) sin nx = n sin x cosn−1 x − sin3 x cosn−3 x 1·2·3 n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) 5 + sin x cosn−5 x − . . . 1·2·3·4·5

cos nx = cosn x − (4.14)

Reihenentwicklungen Sit arcus z infinite parvus; erit sin z = z et cos z = 1; . . . (Euler 1748, Introductio, §134)

Während sämtliche bisherige Formeln (4.5) bis (4.14) nur unter Einsatz von (4.3) und (4.4) sowie (4.2a) hergeleitet wurden, benötigen wir nun eine weitere grundlegende Annahme: Wenn x gegen Null strebt, so nähert sich der sinus rectus“ ” seinem Kreisbogenabschnitt an. Da wir Winkel in Bogenmaß messen, folgt daraus: Je näher x an Null ist, desto besser wird sin x von x approximiert. Wir notieren dies als (4.15)

sin x ≈ x

für x → 0.

Nun wenden wir dieselbe Idee an, die wir schon im Beweis der Gleichungen (2.18) und (2.19) eingesetzt haben: Wir setzen x = y/N , n = N in den Formeln (4.14) von de Moivre ein, wobei y ein fester Wert ist, während N gegen unendlich und x gegen Null streben. Aufgrund von (4.15) können wir nun sin x durch x und cos x durch 1 ersetzen. Da N → ∞ strebt, werden auch alle Terme (1 − k/N ) gegen 1 streben. Ersetzen wir schließlich y durch x, führt uns dies zu den folgenden Formeln (Newton 1669, Leibniz 1691, Jak. Bernoulli 1702): (4.16) (4.17)

x2 x4 x6 x8 + − + −... 2! 4! 6! 8! x3 x5 x7 x9 sin x = x − + − + −... . 3! 5! 7! 9!

cos x = 1 −

¨ Newtons Herleitung dieser Reihen wird in Ubung 4.1 skizziert; der obige Beweis stammt von Jak. Bernoulli und Eulers Introductio, §134.

Bemerkung. Es bedarf eigentlich einer größeren Sorgfalt, wenn wir cos(y/N ) für große N durch 1 ersetzen wollen, da dieser Ausdruck in der N -ten Potenz auftritt. Beispielsweise strebt zwar 1 + y/N gegen 1 für N → ∞, nicht jedoch (1 + y/N )N (siehe Satz 2.3). Die Rettung kommt hier aus der Tatsache, dass cos(y/N ) schneller gegen 1 strebt als 1 + y/N . Genauer gesagt gilt

50


N/2 1 y2 cosN (y/N ) = 1 − sin2 (y/N ) ≈1− →1 2 N

nach (4.2d), Satz 2.2 und (4.15).

Die Konvergenz der Reihen (4.16) und (4.17) wird in Abb. 4.8 demonstriert. Sie konvergieren offenbar für alle x (siehe Abschnitt III.7). Man sieht sehr deutlich, wie ab etwa x = 15 numerische Probleme aufgrund von Rundungsfehlern auftreten (die Berechnungen wurden hierfür absichtlich nur mit 32 Bit-Zahlen durchgeführt). 3 2

y = sinx

1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

1 0

5

−1

10

15

−2 −3 3 2

3

y = cosx

7 4

11 8

15

12

19

16

23

20

27 24

31

28

35

32

39

36

43 40

44

1 0

5

−1

10

15

−2 2

−3

6

10

14

ABB. 4.8. Die Reihen sin x = x −

18 3

x 3!

+

22 5

x 5!

26

30

− . . . und cos x = 1 −

34 2

x 2!

38

+

4

x 4!

42

−...

Die Reihen von tan x. Wir setzen y = tan x =

sin x = a1 x + a3 x3 + a5 x5 + a7 x7 + . . . . cos x

Um a1 , a3 , a5 , . . . zu bestimmen, multiplizieren wir diese Formel mit cos x und benutzen die bekannten Reihen (4.16) und (4.17): x3 x5 x2 x4 x− + − . . . = a1 x + a3 x3 + a5 x5 + . . . 1 − + − ... . 6 120 2 24 Vergleichen wir die Koeffizienten von x, x3 und x5 , erhalten wir 1 = a1 ,

−

1 a1 = − + a3 , 6 2

1 a1 a3 = − + a5 , 120 24 2

und damit a1 = 1,

1 1 1 a3 = − + = , 6 2 3

a5 =

1 1 1 2 − + = . 120 24 6 15


51

Wenn wir hiermit fortfahren, finden wir die Reihe (4.18) tan x = x +

x3 2 x5 17 x7 62 x9 1382 x11 21844 x13 + + + + + +... . 3 15 315 2835 155925 6081075

Man sieht zunächst keine allgemeine Regel in den Koeffizienten. Es gibt aber ¨ eine, und diese basiert auf den Bernoulli-Zahlen (1.29) (siehe Ubung 10.2 aus Abschnitt II.10). Antike Berechnungen und Tabellen. Aus den Werten der Tabelle 4.1, die bereits seit der Antike bekannt sind, können wir mit Hilfe von (4.3′ ) und (4.4′ ) die Werte von sin 3◦ , cos 3◦ oder, wie es damals u¨ blich war, chord 6◦ bestimmen. Die Formeln (4.11) für Winkelhalbierung erlaubt uns dann die Berechnung von ◦ ◦ chord 3◦ , chord 1 21 , chord 34 , jedoch nicht von chord 1◦ . Ptolemäus bemerkte, ◦ 3◦ dass chord 4 ungefähr die Hälfte ist von chord 1 21 . Damit liegt die Vermutung ◦ nahe, dass chord 1◦ = 23 · chord 1 12 , womit sich in Basis 60 ergibt (siehe Aaboe 1964, S. 121): (4.19) chord 1◦ = 0; 1, 2, 50 (richtiger Wert: 0; 1, 2, 49, 51, 48, 0, 25, 27, 22, . . .). Aus (4.14) können wir hiermit die Werte des Sinus und Cosinus für alle Winkel 2◦ , 3◦ , 4◦ usw. berechnen. Etwa um 1464 stellte Regiomontanus eine Tabelle auf ( SEQVITVR NVNC EIVSDEM IOANNIS Regiomontani tabula sinuum, per ” singula minuta extensa . . .“), in der er den Sinus aller Winkel in Schritten von einer Winkelminute angibt, bis auf fünf Dezimalstellen genau; siehe Abb. 4.9 für eine von ihm handgeschriebene Tabelle von tan x (üblicherweise mit vier korrekten Dezimalstellen). Eine besonders genaue Berechnung von sin 1◦ wurde von Al-K¯ash¯ı (Samarkand in 1429) durchgeführt, indem er numerisch die aus Gl. (1.9) folgende Gleichung (4.20)

−4x3 + 3x = sin 3◦

löste, dabei nutzte er eine iterative Methode und gab die Lösung in Basis 60 an ( Wir gewannen sie mit inspirierter Kraft der Ewigen Präsenz . . .“, siehe A. Aaboe ” 1954) sin 1◦ = 0; 1, 2, 49, 43, 11, 14, 44, 16, 19, 16 . . . . Hier ist nun der wahre Wert in Basis 60, berechnet von einem modernen Computer: sin 1◦ = 0; 1, 2, 49, 43, 11, 14, 44, 16, 26, 18, 28, 49, 20, 26, 50, 41, . . . .

52


ABB. 4.9. Regiomontanus’ Originaltabelle von tan α (siehe Kaunzner 1980)3

Ein weiteres Mal sehen wir den enormen Fortschritt der Reihenmethode (4.17), aus der wir sin 1◦ = sin(π/180) = sin(0,0174532925 . . .) bereits mit nur drei Termen auf sin 1◦ ≈ 0,0174532925199 − 0,0000008860962 + 0,000000000013496 ≈ 0,0174524064373 .

bestimmen können.

Arkusfunktionen Die trigonometrischen Funktionen definieren sin x, cos x und tan x für einen vorgegebenen Bogen x. Die inversen trigonometrischen Funktionen liefern den Bogen x als Funktion von sin x, cos x oder tan x, und heißen deshalb Arkus” funktionen“. 1

1 1 0

x

arcsin x 1

0

1 1

arccos x

x

1

1

x arctan x

0

ABB. 4.10. Definition von arcsin x, arccos x und arctan x

3

Abbildung mit Genehmigung der Nürnberger Stadtbibliothek, Cent V, 63, f. 30r .

1


53

(4.3) Definition. Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 1. Sei x die Länge der dem Winkel gegenüberliegende Seite, so ist arcsin x die Länge des zugehörigen Bogens (siehe Abb. 4.10a). Die Werte arccos x und arctan x werden a¨ hnlich definiert (Abbildungen 4.10b und 4.10c). Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen besitzen die Arkusfunktionen mehrere mögliche Funktionswerte. Die sogenannten Hauptäste erfüllen dabei die folgenden Ungleichungen: y = arcsin x y = arccos x y = arctan x

⇔ ⇔

⇔

x = sin y x = cos y x = tan y

für − 1 ≤ x ≤ 1, −π/2 ≤ y ≤ π/2, für − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π,

für − ∞ < x < ∞, −π/2 < y < π/2.

Reihen fur ¨ arctan x. Es ist aber guth, dass wann man etwas würklich exhibiret, ma entweder keine demonstration gebe, oder eine solche, dadurch sie uns nicht hinter die schliche kommen. (Brief von Leibniz; zitiert aus Eulers Opera Omnia, Band 27, S. xxvii)

Die Reihe des Arkustangens wurde von Gregory im Jahr 1671 entdeckt. 1674 fand Leibniz sie ein zweites Mal und veröffentlichte sie 1682 in den Acta Eruditorum, schwärmend u¨ ber die Weisheit Gottes, doch ohne Herleitung (siehe Zitat). Wir suchen daher die Inspiration in Newtons Behandlung der Reihe von arcsin x in seinem Manuskript De Analysi, das er 1669 schrieb, das aber erst 40 Jahre später veröffentlicht wurde (siehe Formel (4.25) unten). Man kann entweder die Bogenlänge oder die Fläche des zugehörigen Kreissektors berechnen. Die Beziehung ¨ zwischen beiden ist seit Archimedes bekannt (Uber die Vermessung des Kreises, Proposition 1) und wird auch von Kepler dargestellt (Abb. 4.12). Sei x die gegebene Länge der Tangente eines Winkels, dessen Bogenmaß y = arctan x wir bestimmen wollen (siehe Abb. 4.11a). Aufgrund des Satzes von Pythagoras haben wir p (4.21) OA = 1 + x2 .

Wir können den Satz des Thales auf die zwei größeren, einander a¨ hnlichen, grau gefärbten Dreiecke anwenden, und finden (4.22)

OB = √

1 1 + x2

sowie

∆u = √

∆x . 1 + x2

Gemäß den rechten Winkeln ist das kleine graue Dreieck auch a¨ hnlich zu den anderen zwei Dreiecken, und wir schließen (4.23) 3

∆y = √

(4.22) ∆x ∆u = . 1 + x2 1 + x2


54


A ∆x

x

1

y

B

1

∆u ∆y

1 1 + x2

1

O

1

a)

0

∆x

1 x

b)

ABB. 4.11. Die Ableitung der Reihe für y = arctan x

Dies bedeutet, dass die infinitesimal kleine Bogenlänge ∆y gleich der schattierten Fläche in Abb. 4.11b ist. Der gesuchte Bogen y ist daher gleich der Gesamtfläche zwischen 0 und x unter 1 1 + x2

(2.12) =

1 − x2 + x4 − x6 + x8 − x10 + . . . ,

nach Satz 3.2 (Fermat) heißt das für alle |x| ≤ 1: (4.24)

y = arctan x = x −

x3 x5 x7 x9 x11 + − + − + ... . 3 5 7 9 11

ABB. 4.12. Die Fläche des Kreises, Kepler 16154

Reihe fur ¨ arcsin x. Ein Freund, der außergewöhnliche Fähigkeiten in solchen Dingen hat, zeigte mir letztens einige Artikel, in denen er Methoden zur Berechnung von Größen wie der von Mr Mercator für die Hyperbel aufzeigte, aber viel allgemeiner . . . Er heißt Mr Newton; ein Gelehrter unseres Colleges, & sehr jung . . . aber von außerordentlichem Genie & Kenntnisstand in diesen Dingen. (Brief von Barrow an Collins 1669, zitiert aus Westfall 1980, S. 202)

Nach der Veröffentlichung von Mercators Buch zum Ende des Jahres 1668 hin, in dem auch die Reihenentwicklung von ln(1 + x) stand, beeilte sich Newton,


55

ABB. 4.13. Beweis von (4.25) für y = arcsin x; Skizze von Newton (1669)5

sein Manuskript De Analysi (Newton 1669) einigen seiner Freunde zu zeigen, erlaubte aber nicht dessen Veröffentlichung. Es wurde schließlich als erstes Kapitel von Analysis per quantitatum (Newton 1711) von W. Jones publiziert. Newton hat Mercators Reihe nicht nur deutlich früher entdeckt, sondern dazu noch die Reihe (4.25)

arcsin x = x +

1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · 5 x7 + + + ... 2 3 2·4 5 2·4·6 7

¨ und ebenso die Reihen für sin x und cos x (siehe Ubung 4.1). Newtons Beweis für (4.25) lautete wie folgt. Beweis. Angenommen, x ist gegeben und wir wollen den Bogen y berechnen, zu dem x = sin y gilt (siehe Abb. 4.13). Wenn sich x um den Wert ∆x erhöht, so erhöht sich y um ∆y, dabei ist (4.26)

∆y ≈ √

∆x 1 − x2

¨ aufgrund der Ahnlichkeit der zwei schattierten Dreiecke in Abb. √ 4.13. Diese ¨ Größe ist die Fläche des Rechtecks mit Breite ∆x und Höhe 1/ 1 − x2 . Ahnlich wie in Abb. 4.11c folgt daraus, √ dass die vollständige Bogenlänge y gleich der Fläche unter der Funktion 1/ 1 − x2 zwischen 0 und x ist. Wir wenden den binomischen Lehrsatz 2.2 mit a = −1/2 an, und finden (4.27)

1 1 1·3 4 1·3·5 6 √ = 1 + x2 + x + x +... 2 2 2·4 2·4·6 1−x

sowie Formel (4.25), wenn wir die Funktionen 1, x2 , x4 , . . . durch ihre Flächen x, x3 /3, x5 /5, . . . ersetzen (Satz 3.2). ⊓ ⊔

5

Die rechte Hälfte von Abb. 4.13 mit Genehmigung der Bibl. Univ. Genève.

56


Berechnung von Pi . . . Du wirst kaum leugnen, dass Du eine sehr bemerkenswerte Eigenschaft des Kreises entdeckt hast, die für immer unter Geometern berühmt sein wird. (Brief von Huygens an Leibniz, 7. Nov. 1674) Daher verhält sich der Durchmesser zu seinem Umfang, wie 1,000,&c. zu 3,141592653.589 7932384.6264338327.9502884197.1693993751.0582097494.4592307816 .4062862089.9862803482.5342117067.9+, exakt bis auf die hundertste Stelle; so berechnet vom genauen und stets bereiten Stift des wahrhaft genialen Mr. John Machin: Schlicht als ein Beispiel für den gewaltigen Fortschritt, den die arithmetischen Berechnungen aus der modernen Analysis ziehen, in einem so dermaßen für sich einnehmenden Bereich, dass er die Köpfe der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten auf sich gelenkt hat. . . . Aber die Methode der Reihen (wie sie von Mr. Newton and Mr. Halley verbessert wurde) bewältigt dies mit größter Leichtigkeit, verglichen mit den umständlichen und weitschweifigen Rechenwegen von Archimedes, Viète, Van Ceulen, Metius, Snellius, Lansbergius, &c. (W. Jones 1706)

Archimedes (283–212 v. Chr.) schätzte die Kreiszahl π ab, indem er den Kreis zwischen regelmäßigen 6-, 12-, 24-, 48- und 96-Ecken einschloss und deren Umfänge berechnete, er erhielt (4.28)

3

10 1 0 haben wir α < 1. Nehmen wir nun an, dass α = B/A rational ist mit 0 < B < A. Eine einfache Umformulierung von (6.30) liefert dann p1 − q1 α Ap1 − Bq1 β= = , α B so dass sich β ausdrücken lässt als rationale Zahl, dessen Nenner kleiner ist als der von α. Wenn wir dieselbe Argumentation auf β = p2 /(q2 + γ) anwenden, und dies immer wieder wiederholen, finden wir fortlaufend kleinere Nenner, die aber noch alle ganze Zahlen sind. Dies ist nicht unendlich oft möglich. ⊓ ⊔ Negative pj . Die Schlussfolgerung von Satz 6.4 ist auch dann gültig, wenn wir (6.29) ersetzen durch (6.29’)

2|pj | ≤ qj − 1.

Dies sieht man, wenn man wiederholt die Gleichheit qj−1 +

1 pj = (qj−1 − 1) + qj + β |pj | 1+ qj − |pj | + β

ausnutzt (sie gilt für pj < 0), welche unter der Annahme (6.29’) den Kettenbruch in einen anderen Kettenbruch umformt, der (6.29) erfüllt. (6.5) Satz (Lambert 1768, 1770a, Legendre 1794). Für jedes rationale x (x 6= 0) ist der Wert tan x irrational. Beweis. Sei x = m/n rational, wir setzen x in (6.6) ein: (6.31)

tan

m m/n m = = . n m2 /n2 m2 1− n− m2 /n2 m2 3− 3n − m2 /n2 m2 5− 5n − 7 − ... 7n − . . .

Rechts steht ein Kettenbruch mit ganzzahligen Koeffizienten. Da die Faktoren 1, 3, 5, 7, 9, . . . gegen Unendlich streben, ist die Bedingung (6.29’) für alle m und n ab einem bestimmten Index i0 erfüllt. ⊓ ⊔ Dasselbe Ergebnis gilt für den Arkustangens; tatsächlich muss x = arctan y irrational sein, wenn y rational ist, da ansonsten y = tan x irrational wäre nach Satz 6.5. Insbesondere muss π = 4 arctan 1 irrational sein.

84


Der Beweis eines analogen Resultats für den hyperbolischen Tangens tanh x = (ex − e−x )/(ex + e−x ) = (e2x − 1)/(e2x + 1) ist sogar noch einfacher, da sämtliche Minuszeichen in (6.31) zu Pluszeichen werden. Invertieren wir die letzte Formel, so haben wir ex = (1 + tanh(x/2))/(1 − tanh(x/2)) und erhalten insbesondere die Irrationalität von ex und ln x für rationale Zahlen x 6= 0 beziehungsweise x 6= 1.

¨ Ubungen 6.1 Zeigen Sie, dass die Nenner Ak und Bk der Näherungsbrüche (6.8) mit Hilfe der Matrixnotation wie folgt ausgedrückt werden können:

Ak Ak−1 Bk Bk−1

=

q0 1 1 0

q1 1 p1 0

q2 1 p2 0

...

qk−1 1 pk−1 0

qk 1 pk 0

.

6.2 Berechnen Sie numerisch die regulären Kettenbrüche der Zahlen √

2,

√

3,

√

5,

√

6,

√

7,

√ 3

2,

√ 3

3,

√ 3

√ 3

4,

5,

√ √ 3 3 6, 7

und entdecken Sie einen bedeutenden Unterschied zwischen den Quadratund Kubikwurzeln. 6.3 Zeigen Sie, dass 1 a+

und

1 a+

1 a+

1 1 a+ a +...

1 b+

1 a+

1 b+

1 a + ...

Lösungen einer Gleichung zweiten Grades sind. Berechnen Sie ihre Werte. 6.4 Die Länge eines astronomischen Jahres ist (Euler 1748, §382) 365 Tage 5 Stunden 48′ 55′′ . Entwickeln Sie 5 Stunden 48′ 55′′ (gemessen in Tagen) als regulären Kettenbruch und berechnen Sie die zugehörigen Näherungsbrüche. Vergessen Sie nicht, Papst Gregor XIII. ihren wertvollen Ratschlag für die Kalenderreform vorzulegen. 6.5 Geben Sie einen detaillierten Beweis von Gl. (6.24).

I.6 Kettenbrüche

85

6.6 Beweisen Sie Formel (6.6). Hinweis (Legendre 1794). Definieren Sie ϕ(z) = 1 +

a a2 a3 + + + ... 1·z 1 · 2 · z(z + 1) 1 · 2 · 3 · z(z + 1)(z + 2)

und zeigen Sie, dass gilt: ϕ(z) − ϕ(z + 1) = Sie als nächstes (6.33)

ψ(z) =

a · ϕ(z + 1) z · ϕ(z)

, so dass

a ϕ(z + 2) . Definieren z(z + 1) ψ(z) =

a . z + ψ(z + 1)

Iteration von (6.33) führt zu einem Kettenbruch. Setzen Sie schließlich a = x2 /4, so dass ϕ(1/2) = cosh x und xϕ(3/2) = sinh x erfüllt sind, und ersetzen Sie x durch ix. Wir wollen anmerken, dass diese Formeln verwandt sind mit den Kettenbrüchen hypergeometrischer Funktionen (Gauß, Heine, siehe Perron 1913, S. 313, 353).

86


L. Euler 1707–1783

C.F. Gauß 1777–1855

Mit freundlicher Erlaubnis der Schweizer Nationalbank und der Deutschen Bundesbank

J. Wallis 1616–1703

J.H. Lambert 1728–1777

Mit Erlaubnis des Georg Olms Verlags Hildesheim und der Univ.-Bibl. Basel

II Differential- und Integralrechnung

Die Reichweite dieses Kalküls ist unermesslich: Er lässt sich sowohl auf mechanische als auch geometrische Kurven anwenden; Wurzelzeichen bereiten ihm keine Schwierigkeiten und sind oftmals sogar angenehm im Umgang; er lässt sich auf so viele Variablen erweitern, wie man sich nur wünschen kann; der Vergleich unendlich kleiner Größen aller Art gelingt mühelos. Und er erlaubt eine unendliche Zahl an u¨ berraschenden Entdeckungen u¨ ber gekrümmte wie geradlinige Tangenten, Fragen De maximis & minimis, Wendepunkte und Spitzen von Kurven, Evoluten, Spiegelungs- und Brechungskaustiken, &c. wie wir in diesem Buch sehen werden. (Marquis de L’Hospital 1696, Einführung zur Analyse des infiniment petits)

Dieses Kapitel stellt die Differential- und Integralrechnung vor, die größte Errungenschaft der Mathematik u¨ berhaupt. Wir erklären die Ideen von Leibniz, der Bernoullis und von Euler. Eine strenge Behandlung im Sinne des 19ten Jahrhunderts wird in den Abschnitten III.5 und III.6 gegeben. Die Entwicklung dieser zwei Kalküle wirft auch Licht auf die oft nur schwer durchschaubare Maschinerie wissenschaftlicher Forschung, wie die obige Abbildung zeigt. E. Hairer, G. Wanner, Analysis in historischer Entwicklung, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-13767-9_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

88

II. Differential- und Integralrechnung

II.1 Die Ableitung Und ich wage zu behaupten, dass dies nicht nur das nützlichste und allgemeinste Problem der Geometrie ist, das ich kenne, sondern das ich auch wissen möchte. (Descartes 1637, S. 342) Isaac Newton war kein angenehmer Mensch. Sein Verhältnis zu anderen Akademikern war berüchtigt, den Großteil seines Lebens war er in einen u¨ berhitzten Streit verwickelt . . . Ein ernsthafter Konflikt erwuchs zwischen ihm und dem deutschen Philosophen Gottfried Leibniz. Sowohl Leibniz als auch Newton haben voneinander unabhängig einen Zweig der Mathematik entwickelt, die sogenannte Differentialrechnung, dem der Großteil der modernen Physik zugrundeliegt . . . Nach Leibniz’ Tod, so wird berichtet, soll Newton große Genugtuung daran geäußert haben, ‘Leibniz’ Herz gebrochen zu haben’. (Hawking 1988, A brief history of time, Bantam Editors, New York) Was für eine Geringschätzung gegenüber den nicht-Engländern! Wir haben diese Methoden ohne jede Hilfe durch die Engländer gefunden. (Joh. Bernoulli 1735, Opera, Band IV, S. 170) Was Du mir u¨ ber Bernard Niewentijt berichtest, spielt keine Rolle. Wer könnte sich das Lachen verkeifen, wenn er seine lächerliche Haarspaltereien u¨ ber unseren Kalkül liest, als wäre er blind gegenüber seinen Vorteilen. (Brief von Joh. Bernoulli, zitiert aus Parmentier 1989, S. 316). Wir wollen die Funktion f x eine Stammfunktion der Funktionen f ′ x, f ′′ x, &c. , die sich von ihr ableiten, nennen, und wir wollen die letzteren abgeleitete Funktionen der ersten Funktion nennen. (Lagrange 1797)

Problem. Sei y = f (x) eine gegebene Kurve. Wir wollen an jedem Punkt x die Steigung der Kurve bestimmen, sei es in Form der Tangente an die Kurve oder ihrer Normalen. Motivationen. – Berechnung des Winkels, unter dem sich zwei Kurven schneiden (Descartes); – Konstruktion von Teleskopen (Galilei) und Uhren (Huygens 1673); – Suche nach Maxima und Minima einer Funktion (Fermat 1638); – Geschwindigkeit und Beschleunigung (Galilei 1638, Newton 1686); und – Bestätigung des Gravitationsgesetzes in der Astronomie (Kepler, Newton).

Die Ableitung Die lineare Funktion y = ax+b. Zusätzlich zum festen Wert x betrachten wir den leicht verschobenen Wert x + ∆x. Die zugehörigen y-Werte sind y = ax + b und y + ∆y = a(x + ∆x) + b, also ∆y = a∆x. Die Steigung der Geraden ∆y ist definiert durch ∆x und folglich gleich a. Abb. 1.1 zeigt mehrere Funktionen y = ax + 1 für verschiedene Werte von a.

∆y = a ∆x

y = ax + b

∆x

b 0

x

∆x

II.1 Die Ableitung

a=2

a=1

a = 1/2

a = −1/2

a=0

a = −1

89

a = −2

ABB. 1.1. Steigungen in Abhängigkeit von a

Die Parabel y = x2 . Wenn man x um ∆x erhöht, so erhöht sich y auf y + ∆y = (x + ∆x)2 = x2 + 2x∆x + (∆x)2 so dass gilt (siehe Abb. 1.2a) ∆y = 2x∆x + (∆x)2 .

(1.1)

Daher ist die Steigung der Geraden, die (x, y) mit (x + ∆x, y + ∆y) verbindet, gleich 2x+∆x. Wenn nun ∆x gegen Null strebt, wird sich diese Sekantensteigung der Steigung der Tangente an die Parabel annähern.

2x ∆x + ∆x 2 y = x2

0

∆x x

ABB. 1.2a. Tangente an die Parabel

ABB. 1.2b. Tangente an die Parabel (Zeichnung von Joh. Bernoulli 1691/92)1

Leibniz (1684) stellte sich vor, dass ∆x und ∆y unendlich klein“ werden ( tan” ” gentem invenire, esse rectam ducere, quæ duo curvæ puncta distantiam infinite parvam habentia, jungat, . . .“) und bezeichnete sie mit dx und dy. Wir vernachlässigen dann den Term (dx)2 , der unendlich viel kleiner“ ist als 2x dx und ” erhalten anstelle von (1.1) (1.1′ ) 1

dy = 2x dx

oder

Abbildung mit Genehmigung der Univ. Bibl. Basel.

dy = 2x. dx

90


Newton (1671, Veröffentl. 1736, S. 20) betrachtete seine Variablen v, x, y, z als allmählich und unaufhörlich anwachsend, . . . Und die Geschwindigkeiten, um ” die jede Größe durch ihre allgemeine Bewegung wächst, (die ich Fluxionen nennen möchte, . . .) werde ich mit den gleichen Buchstaben durch einen Punkt schreiben, also v, ˙ x, ˙ y, ˙ z“. ˙ Ihre Werte erhält man durch vernachlässigen der ” Terme . . . als wären sie gleich Null“. Newton widersetzte sich kategorisch der Veröffentlichung dieses Werkes ( Ich flehe Sie an, dass keiner meiner mathemati” schen Artikel ohne meine besondere Erlaubnis gedruckt wird“). Jak. und Joh. Bernoulli entwickelten die Differentialrechnung ein drittes Mal, basierend auf Leibniz’ schwer verständlicher Veröffentlichung von 1684 ( une ” e´ nigme plutôt qu’une explication“). Joh. Bernoulli (1691/92) gab dann dem adligen Marquis de L’Hospital Privatunterricht in der neuen Differentialrechnung. Für ihn waren unendlich kleine Größen ledigleich Werte, die man zu jeder endlichen Größe addieren kann, ohne deren Wert zu a¨ ndern, und Kurven waren Polygone mit unendlich kurzen Seiten. Desweiteren vertrat dieser größte aller Lehrer (neben seinen zahlreichen Söhnen und Neffen sowie de L’Hospital führte er auch Euler in die Mathematik ein) auch die Meinung, dass zu viele Erklärungen u¨ ber das unendlich Kleine eher das Verständnis derer behindern, die nicht accoutumés a` de ” longues explications“. B. Nieventijt schrieb 1694 eine erste Kritik am unendlich Kleinen (siehe das obige Zitat aus einem Brief von Joh. Bernoulli), gefolgt von einer Responsio“ von Leib” niz (im Juli 1695 im Journal Acta Eruditorum). Marquis de L’Hospital (1696) schrieb das berühmte Buch Analyse des infiniment petits (siehe Abb. 1.3), das zum endgültigen Durchbruch der neuen Differentialrechnung selbst in Frankreich führte, wo die Wissenschaft für viele Jahrzehnte von den Kartesianern“ beherrscht wurde (abbé Catelan, Papin, Rolle, . . . ). ”

ABB. 1.3. Zeichnung von de L’Hospital (1696), Analyse des infiniment petits2

Bischof Berkeley veröffentlichte den polemischen Artikel The Analyst im Jahr 1734 gegen das Konzept des unendlich Kleinen (siehe die Zitate in Abschnitt II.2 und Struik 1969, S. 333). Maclaurin (1742, Treatise of Fluxions, Band II, S. 420): . . . untersuchen das ” Verhältnis, welches der Grenzwert ist . . .“ 2


II.1 Die Ableitung

91

Euler (1755, Institutiones Calculi Differentialis) begann mit zwei langen Kapiteln De differentiis finitis und De usu differentiarum in doctrina serierum, gefolgt von sechs Seiten in Latein u¨ ber das Unendliche, bevor er den Satz wagte denotet ” dx quantitatem infinite parvam“ (dx = 0 und a dx = 0), dabei aber verlangte, a dx a dass ratio geometrica dx = 1 erit finita“. Er favorisierte Leibniz’ Schreibweise ” ¨¨ gegenüber Newtons und bemerkte . . . incommode hoc modo y¨¨¨ repraesantur, cum ” nostro signandi modo d10 y facillime comprehendatur“. D’Alembert (1754, Encyclopédie) führte eine klare Definition des Grenzwertes ein ( Dieser Grenzwert ist derjenige Wert, der sich dem Verhältnis z/n nach und ” nach annähert . . . Nichts ist klarer als diese Idee; . . .“). Lagrange (1797) verwarf das Konzept des unendlich Kleinen von vornherein und versuchte, die Analysis auf Reihenentwicklungen aufzubauen ( Man kennt die ” Schwierigkeiten, die aus der Annahme unendlich kleiner Größen entspringen, auf der Leibniz’ Differentialrechnung basiert.“) Er führte die Bezeichnung Ableitung ein und benutzte als Schreibweise für dy/dx (siehe Zitat) (1.2)

y′

oder f ′ (x). 2

Cauchy (1823) missbilligte die Taylorreihen (mit dem Gegenbeispiel y = e−1/x , siehe Abschnitt III.7 unten) und nutzte erneut das Konzept des unendlich Kleinen für seinen Grenzwert. Bolzano (1817) und Weierstraß (1861) perfektionierten den Begriff des Grenzwertes mittels ε und δ (siehe Kapitel III). F. Klein (1908, 3.III.1, Aut. S. 460) verteidigte den pädagogischen Wert des unendlich Kleinen ( Die u¨ berzeugende Kraft, die solchen naiven hodegetischen [an” leitenden] Betrachtungen inne wohnt, ist für verschiedene Personen natürlich sehr verschieden. Manche — und dazu rechne ich mich selbst — fühlen sich durch sie außerordentlich befriedigt; andere wieder, die einseitig nach der rein logischen Seite veranlagt sind, finden sie durchaus nichtssagend, und können sich nicht denken, wie man sie u¨ berhaupt als Grundlage mathematischer Betrachtungen auffassen kann. . . . In diesem Zusammenhang möchte ich gleich die Leibnizsche Schreibweise rühmen . . .“).

Ableitungsregeln His positis calculi regulae erunt tales:

(Leibniz 1684)

Summen und konstante Faktoren. Sei y(x) = a · u(x) + b · v(x), wobei a und b konstante Faktoren sind. Wir setzen y + ∆y = y(x + ∆x), u + ∆u = u(x + ∆x), v + ∆v = v(x + ∆x), finden ∆y = a · ∆u + b · ∆v und erhalten die folgende Ableitungsregel:

92


(1.3)

dy du dv =a· +b· dx dx dx

⇒

y = au + bv

oder y ′ = au′ + bv ′ .

Produkte. Für das Produkt zweier Funktionen y(x) = u(x) · v(x) haben wir y + ∆y = u(x + ∆x) · v(x + ∆x) = (u + ∆u) · (v + ∆v) = uv + u ∆v + v ∆u + ∆u ∆v, was zu dy = u dv + v du führt da du dv eine unendlich kleine Größe ist, wenn ” man sie mit den anderen Termen u dv & v du vergleicht“ (de L’Hospital 1696, S. 4), oder (1.4)

y =u·v

dy dv du =u +v dx dx dx

⇒

oder y ′ = u′ v + uv ′ .

Beispiele. Wir schreiben x3 als Produkt y = x3 = x2 · x und wenden die obige Formel an, mit dem Resultat y ′ = x2 ·1+x·2x = 3x2 . Auf a¨ hnliche Weise erhalten wir für das Produkt y = x4 = x3 · x die Ableitung y ′ = x3 · 1 + x · 3x2 = 4x3 . Durch Induktion finden wir auf diese Weise für jede positive ganze Zahl n y = xn

(1.5)

⇒

y ′ = n · xn−1 .

Quotienten. Für den Quotienten y(x) = u(x)/v(x) zweier Funktionen gilt y + ∆y =

u + ∆u . v + ∆v

Subtrahieren wir y auf beiden Seiten und benutzen die geometrische Reihe für (1 + ∆v/v)−1 , so erhalten wir für v 6= 0 ∆y =

u + ∆u u v∆u − u∆v v∆u − u∆v ∆v (∆v)2 − = 2 = · 1 − + ± . . . . v + ∆v v v + v∆v v2 v v2

Damit haben wir für v 6= 0 (1.6)

y=

u v

⇒

v du − u dv dy = dx 2 dx dx v

oder y ′ =

u′ v − uv ′ . v2

Beispiel. Die Funktion y = x−n = 1/xn ist der Quotient von u = 1 und v = xn . Durch Anwendung von (1.6) finden wir y=

1 xn

⇒

dy −nxn−1 1 = = −n n+1 = −n · x−n−1 . 2n dx x x

Dies ist Gleichung (1.5) für negative n.

II.1 Die Ableitung

93

∆x

∆y Steig. = 1/2 1

Steigung = 2

∆x 0

∆y 0

1

ABB. 1.4. Eine Umkehrfunktion

Umkehrfunktionen. Sei y = f (x) eine gegebene Funktion und x = g(y) ihre Umkehrfunktion. Da die Graphen von f und g durch eine Reflexion an der 45◦ Achse ineinander u¨ bergehen (Abb. 1.4), gilt

(1.7)

∆y 1 = ∆x ∆x ∆y

dy 1 = dx dx dy

und

für

dx 6= 0. dy

Beispiel. y = x1/2 ist die Umkehrfunktion von x = y 2 . Für sie gilt daher y = x1/2

dy 1 1 1 1 = dx = = √ = x−1/2 dx 2y 2 x 2 dy

⇒

und Gl. (1.5) scheint auch für rationale n zu stimmen. Exponentialfunktion. Für die Exponentialfunktion y = ex (Abschnitt I.2) gilt y + ∆y = ex+∆x = ex · e∆x

und

∆y = ex (e∆x − 1).

Benutzen wir e∆x = 1 + ∆x + (∆x)2 /2! + . . . (Satz I.2.3), so erhalten wir y = ex

(1.8)

⇒

y ′ = ex .

Die Exponentialfunktion ist also ihre eigene Ableitung. Logarithmen. Es gibt mehrere Wege, die Ableitung von y = ln x zu berechnen. a) Sie ist die Umkehrfunktion von x = ey . Nach (1.7) gilt dann (1.9)

y = ln x

⇒

dy 1 1 1 = = y = . dx dx/dy e x

b) Wir können ∆y auch aus y + ∆y = ln(x + ∆x) berechnen, und erhalten x + ∆x ∆x ∆y = ln(x + ∆x) − ln(x) = ln = ln 1 + . x x

94


∆x ∆x 1 ∆x 2 Die Reihe für ln 1 + = − + . . . (siehe (I.3.13)) liefert dann x x 2 x wieder (1.9). Trigonometrische Funktionen. Wir betrachten zuerst y = sin x. Mit Gl. (I.4.3) finden wir y + ∆y = sin(x + ∆x) = sin x cos ∆x + cos x sin ∆x. Die Reihenentwicklungen von sin ∆x und cos ∆x (siehe (I.4.16) und (I.4.17)) zeigen dann (∆x)2 (∆x)3 ∆y = sin x − + . . . + cos x ∆x − +... 2! 3! und folglich (1.10)

y = sin x

Auf a¨ hnliche Weise finden wir (1.11)

y = cos x

⇒ ⇒

y ′ = cos x. y ′ = − sin x.

Für y = tan x = sin x/ cos x benutzen wir (1.6) und erhalten (1.12)

dy cos2 x + sin2 x 1 = = 1 + tan2 x = . dx cos2 x cos2 x

Arkusfunktionen. Als eine Folgerung aus (1.7) und den obigen Formeln für die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen gelten: (1.13)

y = arctan x

⇒

(1.14)

y = arcsin x

⇒

(1.15)

y = arccos x

⇒

dy 1 1 1 = = = , 2 dx dx/dy 1 + x2 1 + tan y dy 1 1 1 = =p =√ , 2 dx cos y 1 − x2 1 − sin y

dy 1 −1 −1 = =p = √ . 2 dx − sin y 1 − x2 1 − cos y

Zusammengesetzte Funktionen. Wir betrachten eine Funktion y = h(x) = f g(x) und setzen z = g(x). Für die Funktionswerte bei x + ∆x finden wir z + ∆z = g(x + ∆x) und y + ∆y = h(x + ∆x) = f (z + ∆z). Aus der trivialen Identität ∆y ∆y ∆z = · ∆x ∆z ∆x folgt (1.16)

dy dy dz = · dx dz dx

oder

h′ (x) = f ′ g(x) · g ′ (x).

Um nun eine zusammengesetzte Funktion abzuleiten, muss man die Ableitungen der Funktionen f und g multiplizieren.

II.1 Die Ableitung

y 1

z ∆y

0

y

∆z

1

∆x 1

x

0

95

1

∆x 1

x

∆y

0

∆z 1

z

ABB. 1.5. Eine zusammengesetzte Funktion

Beispiel. Die Funktion y = sin(2x) ist zusammengesetzt aus y = sin z und z = 2x (siehe Abb. 1.5). Nach (1.16) ist ihre Ableitung y ′ = cos z · 2 = 2 cos(2x).

Wenn wir auf diese Regeln vertrauen, wird die Berechnung der Ableitung einer jeden aus elementaren Funktionen zusammengesetzten Funktion (Descartes’ großer Traum, siehe das Zitat zu Beginn dieses Abschnitts) eine Banalität. Beispielsweise gilt y = ax = ex·ln a

(z = x · ln a) ⇒

y = xa = ea·ln x

(z = a · ln x) ⇒

dy dy dz = · = ex·ln a · ln a = ln a · ax , dx dz dx dy dy dz a = · = xa · = a · xa−1 . dx dz dx x

Insbesondere gilt also Gl. (1.5) für jede reelle Zahl n.

Parametrische Darstellung und implizite Gleichungen Wir betrachten das Beispiel einer Kurve von durchaus ehrwürdigem Alter: Die Konchoide des Nikomedes (200 v. Chr.). Zu zwei gegebenen Konstanten a und b wird die Konchoide wie folgt definiert: Für jeden Punkt A auf der Konchoide ist der Abstand zwischen A und dem Schnittpunkt F zwischen dem Strahl vom Koordinatenursprung G durch A mit der horizontalen Gerade der Höhe a von konstanter Länge b (siehe Abb. 1.6). ¨ Aus der Ahnlichkeit der Dreiecke FAB und FGL folgern wir die Beziehung

und damit gilt (1.17)

y−a b =p 2 a x + y2 − b (y − a)2 (x2 + y 2 ) = b2 y 2 .

Wenn wir nun y als Funktion von x ausdrücken wollten, so müssten wir ausgehend von obiger Gleichung ein Polynom vierten Grades lösen. Stattdessen sollten wir versuchen, mit der impliziten Gleichung (1.17) selber zu arbeiten.

96


M

A b

b

L F a

B

t G

ABB. 1.6. Die Konchoide des Nikomedes

Eine Alternative ist es, den Winkel LGF mit ϕ zu bezeichnen, was uns die folgende Beschreibung der Kurve erlaubt: (1.18)

x = a tan ϕ + b sin ϕ y = a + b cos ϕ.

Wenn nun ϕ die Werte zwischen −π/2 bis π/2 annimmt, formen die Ausdrücke (1.18) eine parametrische Darstellung unserer Kurve. Die parametrische Darstellung ist keineswegs eindeutig. So könnten wir auch den Abstand GF als Parameter t anstelle von ϕ nutzen (siehe Abb. 1.6). Wir erhalten dann p x = (b/t + 1) t2 − a2 (1.19) y = (b/t + 1)a. Dies stellt die rechte Hälfte der Kurve dar, wenn t von a nach ∞ läuft. Wir betrachten nun das Problem, die Tangente an die Konchoide zu einem gegebenen Punkt A zu finden (dies ist Aufgabe 7“ von Joh. Bernoulli 1691/92). ” Ableitung der parametrischen Darstellung. Wir betrachten y in der zweiten Gleichung von (1.18) oder (1.19) als Funktion des Parameters (ϕ oder t) und interpretieren den Parameter wiederum u¨ ber die erste Gleichung als Umkehrfunktion von x. Wir finden dann aus (1.16) und (1.7) dy dy dϕ dy . dx dy dy . dx (1.20) = · = oder = . dx dϕ dx dϕ dϕ dx dt dt Nochmals vielen Dank an Dich, Leibniz, für Deine Notation. Ableiten der Gleichungen (1.19) und Division der Ableitungen liefert uns für die Konchoide √ dy −ab t2 − a2 (1.21) = . dx t3 + a 2 b

Diese Formel besitzt eine sehr schöne Interpretation (Joh. Bernoulli 1691/92): Wir bezeichnen mit M denjenigen Punkt, zu dem die Dreiecke LGF und GMA a¨ hnlich werden. Dann ist die Tangente in A parallel zu der Geraden, die M und F verbindet (siehe Abb. 1.6).

II.1 Die Ableitung

97

Implizite Ableitung. Diese Methode, die bereits Leibniz (1684) einsetzte, besteht aus der Anwendung der obigen Regeln, um eine Funktion y(x) abzuleiten, die nur durch eine implizite Gleichung gegeben ist, in unserem Beispiel durch Gl. (1.17). Wir finden 2(y − a) dy (x2 + y 2 ) + (y − a)2 (2x dx + 2y dy) = 2b2 y dy und nach Division durch 2dx dy −x(y − a)2 = . dx (y − a)(x2 + y 2 ) + (y − a)2 y − b2 y

(1.22)

Diese implizite Ableitung wird von uns in Abschnitt IV.3 etwas strenger behandelt.

¨ Ubungen 1.1 Dehnen Sie die Ableitungsregel (1.4) auf drei Faktoren aus: y =u·v·w

⇒

y ′ = u′ · v · w + u · v ′ · w + u · v · w ′ .

1.2 Berechnen Sie die Ableitung dy/dx von 2 2 q √ k x x 5 sin 3x + b x2 + e2x · tan 1+u + 3 ax−ln 2 x2 a2 +x2 q y= . x2 −b2 x 3a2 x3 3x arccos √3+x + arctan(1/x) + e− 2 · arcsin 1−x 2

1.3 (Ein Beispiel aus Euler 1755, §192). Zeigen Sie, dass aus ex

y = ee

ex

y ′ = ee

folgt

1.4 Berechnen Sie die Ableitung der Zissoide des Diokles (etwa 180 v. Chr.). Diese Kurve, die von Diokles genutzt wurde, um das delische Problem der Würfelverdoppelung zu lösen, wird erzeugt aus dem Kreis MCE als die Menge aller Schnittpunkte der Geraden DM und BF, wobei die Bögen BD und CD gleich lang sein sollen. Zeigen Sie, dass die Tangente in A parallel ist zu EH, wobei H so gewählt ist, dass EF und GH parallel sind.

x

· ee · ex .

D

C

B A

G −2

E −1

0

M 1

x

F H

98


1.5 Berechnen Sie die Ableitung des Kreises, der durch x2 + y 2 = r2 definiert ist, sowohl durch implizite Ableitung als auch durch Auflösen nach y und anschließender expliziter Ableitung. 1.6 (Leibniz 1684). Berechnen Sie die Ableitung der Funktion y(x), die durch √ x (a + bx) · (c − xx) yy + + ax gg + yy + √ = 0, y (ex + f xx)2 hh + ℓx + mxx definiert wird, wobei a, b, c, e, f , g, h, ℓ und m Konstanten sind. Diese Gleichung repräsentiert nicht etwa eine uralte berühmte babylonische oder a¨ gyptische Kurve, und hat auch sonst keine besondere Bedeutung. Sie wurde nur von Leibniz als entsetzlich komplizierter Ausdruck gewählt, um mit ihr die Fähigkeiten seines Kalküls zu demonstrieren.

II.2 Höhere Ableitungen und Taylorreihen

99

II.2 Höhere Ableitungen und Taylorreihen Aber die Geschwindigkeiten der Geschwindigkeiten, die zweiten, dritten, vierten und fünften Geschwindigkeiten &c. u¨ bersteigen, wenn ich mich nicht irre, jedes menschliche Verständnis. Je weiter der Verstand diese flüchtigen Ideen analysiert und verfolgt, desto mehr verirrt und verwirrt er sich; . . . (Bishop Berkeley 1734, The Analyst, s. Struik 1969, Source Book, S. 335) . . . unsere modernen Analysten sind nicht damit zufrieden, die Differenzen endlicher Größen zu betrachten: Sie betrachten auch die Differenzen solcher Differenzen, und die Differenzen der Differenzen der ersten Differenzen. Und so weiter ad infinitum. Das heißt, sie betrachten Werte, die unendlich viel kleiner sind als die kleinste erkennbare Größe; und andere, die unendlich viel kleiner sind als die unendlich kleinen; und wiederum andere, die unendlich viel kleiner sind als die vorangehenden Infinitesimalen, und so weiter ohne Ende oder Grenze . . . Wie man nun eine unendlich kleine Größe erhält . . . geht, so muss ich zugeben, u¨ ber meine Fähigkeiten hinaus. Aber von einer solchen unendlich kleinen Größe einen Teil zu nehmen, der wiederum unendlich viel kleiner ist als dieser, und folglich selbst bei unendlicher Vervielfachung niemals auch nur der kleinsten endlichen Größe gleicht, ist, so vermute ich, für wirklich jeden Menschen eine unendlich schwere Aufgabe; . . . (Bishop Berkeley 1734, The Analyst)

Die zweite Ableitung Wir haben in Abschnitt II.1 gesehen, dass die Ableitung f ′ (x) einer gegebenen Funktion y = f (x) die Steigung der Tangente an die Kurve y = f (x) ist. Dementsprechend ist die Funktion anwachsend auf dem Intervall [a, b], falls f ′ (x) > 0 für alle a < x < b ist, und abfallend, falls f ′ (x) < 0 für alle a < x < b ist. Punkte mit f ′ (x) = 0 heißen stationäre Punkte. y ′′ > 0 y0 x0

y1

y1

y0

y ′′ < 0 x1

x0

x1

ABB. 2.1a. Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung

ABB. 2.1b. Eine Zeichnung von Joh. Bernoulli (1691/92)1

Newton (1665) und Joh. Bernoulli (1691/92) haben als erste die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung von f untersucht. Wir leiten y ′ = f ′ (x) ab, um y ′′ = f ′′ (x) zu erhalten. Falls f ′′ (x) > 0 gilt für alle a < x < b, dann wird f ′ (x) in diesem Bereich ansteigen, d.h. für zwei Punkte x0 < x1 finden wir f ′ (x0 ) < f ′ (x1 ). Dies bedeutet, dass die Kurve bei x1 steiler ist als bei x0 , 1


100 II. Differential- und Integralrechnung

und dass sie sich nach oben biegt (siehe Abb. 2.1a, links). Wir sagen dann, dass die Funktion f (x) konvex ist. Analog sagen wir, dass die Funktion f (x) konkav (seltener auch konvex von oben) ist, falls f ′′ (x) < 0 eintritt für a < x < b (siehe Abb. 2.1a, rechts). Punkte mit f ′′ (x0 ) = 0, an denen die zweite Ableitung ihr Vorzeichen wechselt, heißen Wendepunkte. Abb. 2.1b bildet eine Zeichnung von Joh. Bernoulli ab, die diese Zusammenhänge erläutert. Probleme de maximis & minimis“. ”

Ich möchte nur, dass er weiß, dass unsere Fragen de maximis et minimis und de tangentibus linearum curvarum noch vor acht oder zehn Jahren perfekt waren, und dass viele Menschen, die sie in den letzten fünf oder sechs Jahren gesehen haben, dies bezeugen können. (Brief von Fermat an Descartes, Juni 1638, Oeuvres, Band 2, S. 154–162) Wenn eine Größe so groß oder so klein wie möglich ist, so fließt sie in diesem Moment weder zurück noch vorwärts. Denn wenn sie vorwärts fließen würde, d.h. größer wird, so beweist dies, dass sie mal kleiner war und aktuell größer ist als sie es war. . . . Darum suche ihr Fluxion, nach Prob. 1, und nehme an, es sei Null. (Newton 1671, engl. Veröff. 1736, S. 44)

Das Problem, maximale oder minimale Werte zu finden, war eine der frühesten Motivationen für die Differentialrechnung (Fermat 1638) und es wurde zu Lagranges Lebenswerk (siehe Lagrange 1759). An einem Maximal- bzw. Minimalwert einer Funktion f (x) kann diese nicht weiter ansteigen bzw. abfallen. Damit muss f ′ (x0 ) = 0 gelten (stationärer Punkt). Falls sich das Vorzeichen von f ′ (x) von + nach − a¨ ndert (dies ist der Fall, wenn f ′′ (x0 ) < 0), so handelt es sich um ein (lokales) Maximum, und bei einem Vorzeichenwechsel von − nach + (entsprechend f ′′ (x0 ) > 0), so ist es ein (lokales) Minimum. Wir fassen dies zusammen: (2.1)

f ′ (x0 ) = 0 und f ′′ (x0 ) > 0 f ′ (x0 ) = 0 und f ′′ (x0 ) < 0

⇒ ⇒

x0 ist ein lokales Minimum, x0 ist ein lokales Maximum.

Diese Fakten sequentibus exemplis illustrabimus“: ” Beispiel 1. Wir wählen

(2.2)

y = x3 − x2 − 3x,

y ′ = 3x2 − 2x − 3, y ′′ = 6x − 2.

Man sieht, dass die Funktion dort√wächst, wo y ′ > 0 gilt, d.h.√für x < (1 − 10)/3 und für x > (1 + 10)/3. Sie ist konvex für x > 1/3 und konkav für x < 1/3. Der Punkt x = 1/3 √ ist ein Wendepunkt. Der Punkt x = (1 − 10)/3 ist ein lokales (aber kein√globales) Maximum, der Punkt x = (1 + 10)/3 ist ein lokales Minimum.

2 Max

−2

−1

0

y’’

y’

1

2

Wend. −2

−4

Min

y

3

II.2 Höhere Ableitungen und Taylorreihen 101

1

y′ Max

√ − 3

−1

Wend.

Min

0 Wend.

−1

Wend. y √

1

3

y ′′

ABB. 2.2. Maxima, minima, Wendepunkte in Eulers Beispiel

Beispiel 2. Wir betrachten die Funktion (siehe Euler 1755, Pars Posterior, §265) (2.3)

y=

x , 1 + x2

y′ =

1 − x2 , (1 + x2 )2

y ′′ =

−6x + 2x3 , (1 + x2 )3

die wir zusammen mit ihrer ersten und zweiten Ableitung in Abb. 2.2 dargestellt sehen. Die Funktion y(x) besitzt ein (globales) Minimum bei x = −1, ein √ (globales) Maximum bei x = 1 und Wendepunkte bei x = 0 und x = ± 3. Sie √ √ ist konvex in den Intervallen − 3 < x < 0 und 3 < x < ∞ und ansonsten konkav. Fermats Prinzip. A v1

a α1 x

α2

l−x

v2

b B

ABB. 2.3. Zeichnung von Joh. Bernoulli 1691/922

ABB. 2.4. Fermats Prinzip

Fermat wollte das Snelliussche Brechungsgesetz erklären können, das die Lichtbrechung zwischen zwei Medien mit verschiedenen Lichtgeschwindigkeiten v1 2



f (x) p(x)

f (x)

f (x)

p(x) p(x) ∆x = 0,4 x0

x1

x2

∆x = 0,2 x0 x1 x2

∆x = 0,1 x0 x2

ABB. 2.5. Entwicklung des Taylorpolynoms

und v2 beschreibt. Seien zwei Punkte A und B gegeben (siehe Abb. 2.4). Wir suchen Winkel α1 und α2 , so dass das Licht von A nach B die kürzeste Zeit benötigt, bzw. auf den geringsten Widerstand trifft. Das heißt, wir suchen x, so dass p √ b2 + (ℓ − x)2 a 2 + x2 (2.4) T = + = min ! v1 v2 Fermat selbst empfand das Problem als zu schwierig, um es analytisch zu behandeln ( I admit that this problem is not one of the easiest“). Voller Stolz führte ” daraufhin Leibniz (1684) die nötigen Berechnungen in tribus lineis“ aus. Die ” Ableitung von T als Funktion von x ist 1 2x −2(ℓ − x) 1 √ + p . 2 2 v1 2 a2 + x2 v 2 b + (ℓ − x) 2 p √ Beachten wir, dass sin α1 = x/ a2 + x2 und sin α2 = (ℓ − x)/ b2 + (ℓ − x)2 , so sehen wir, dass die Ableitung verschwindet, wenn T′ =

sin α1 sin α2 = v1 v2

(2.5)

gilt (Snelliussches Brechungsgesetz). Die Berechnung von T ′′ T ′′ =

1 a2 1 b2 + > 0, v1 (a2 + x2 )3/2 v2 (b2 + (ℓ − x)2 )3/2

zeigt abschließend, dass unser Ergebnis tatsächlich ein Minimum ist.

De Conversione Functionum in Series Taylors Ansatz. Hierin liegt nun tatsächlich ein Grenzübergang von unerhörter Kühnheit. (F. Klein 1908, 3.III.2, oder S. 507 in der Autographie)

Wir betrachten für eine Funktion f (x) die Punkte (Taylor 1715) x0 , x1 = x0 +∆x, x2 = x0 + 2∆x, . . . und die Funktionswerte y0 = f (x0 ), y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ), . . . .


Dann berechnen wir das Interpolationspolynom, das durch diese Punkte verläuft (siehe Abb. 2.5 und Satz I.1.2; um letzteren anzuwenden, definieren wir x = x0 + 0 t∆x, t = x−x ) ∆x (2.6)

p(x) = y0 +

x − x0 ∆y0 (x − x0 )(x − x1 ) ∆2 y0 + , 1 ∆x 1·2 ∆x2

oder mit weiteren solchen Termen für höhere Grade. Lassen wir nun ∆x → 0, x1 → x0 , x2 → x0 gehen (oder, wie wir vormals gesagt haben: wir nehmen an, dass ∆x unendlich klein ist), so strebt der Quotient ∆y0 /∆x im zweiten Term gegen f ′ (x0 ). Desweiteren wird das Produkt (x−x0 )(x−x1 ), das im dritten Term auftritt, gegen (x − x0 )2 streben. Taylor hat dann postuliert, dass die zweiten Dif¨ ferenzen (geteilt durch ∆x2 ) gegen die zweite Ableitung streben (siehe Ubungen 2.5 und III.6.4); im allgemeinen: ∆k y 0 dk y → k = f (k) (x0 ). k ∆x dx 0

(2.7)

Wenn wir im Interpolationspolynom (2.6) mehr und mehr Terme berücksichtigen, und zugleich den Grenzwert ∆x → 0 nehmen, erhalten wir die berühmte Formel (2.8) (x − x0 )2 ′′ (x − x0 )3 ′′′ f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f ′ (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + . . . . 2! 3! Alle Reihen des ersten Kapitels sind letztlich Spezialfälle dieser series univer” salissima“. Beispielsweise hat die Funktion f (x) = ln(1 + x) die Ableitungen f (0) = 0,

f ′ (0) = 1,

f (k) (0) = (−1)k−1 (k − 1)!

und wir erhalten ln(1 + x) = x −

x2 x3 x4 + − ± ... . 2 3 4

Bemerkungen. Formel (2.8) wurde für u¨ ber ein Jahrhundert als allgemein gültig gesehen. Cauchy fand dann ein Beispiel einer Funktion, für die die Reihe (2.8) zwar konvergiert, jedoch nicht gegen f (x) (siehe Abschnitt III.7). Es gibt auch Beispiele von Funktionen, für die die Reihe (2.8) u¨ berhaupt nicht konvergiert ¨ für x 6= x0 (siehe Ubung III.7.6). Ein klarerer Beweis von (2.8) (erbracht von Joh. Bernoulli) benutzt die Integralrechnung und wird in Abschnitt II.4 vorgestellt. Maclaurins Ansatz (Maclaurin 1742, S. 223–224, Art. 255). Für die Funktion y = f (x) und einen gegebenen Punkt x0 definieren wir die Reihe (oder das Polynom) (2.9)

p(x) = p0 + (x − x0 )q0 + (x − x0 )2 r0 + (x − x0 )3 s0 + . . .

mit (2.10)

p(i) (x0 ) = f (i) (x0 )

i = 0, 1, 2, . . . ,


d.h. beide Funktionen haben bei x = x0 bis zu einer bestimmten Ordnung dieselben Ableitungen. Setzen wir nämlich in (2.9) x = x0 , so erhalten wir p0 = p(x0 ) = f (x0 ) aus (2.10). Wir leiten dann (2.9) ab, setzen erneut x = x0 und erhalten q0 = p′ (x0 ) = f ′ (x0 ). Durch weitere Ableitungen finden wir 2! · r0 = f ′′ (x0 ), 3! · s0 = f ′′′ (x0 ) und so weiter. Daher ist Reihe (2.9) identisch mit der aus (2.8). Die Partialsummen der Reihe (2.8) heißen Taylorpolynome. Beispiel. Zu der Funktion, die in (2.2) gegeben ist, wählen wir den Punkt x0 = 1 und finden f (x0 ) = −3, f ′ (x0 ) = −2, f ′′ (x0 ) = 4, und f ′′′ (x0 ) = 6. Daher sind die Taylorpolynome −2 ersten, zweiten und dritten Grades p1 (x) = −3 − 2(x − 1) = −2x − 1,

p2 (x) = p1 (x) + 42 (x − 1)2 = 2x2 − 6x + 1, p3 (x) = p2 (x) + 66 (x − 1)3 = x3 − x2 − 3x.

2

−1

0 0

p1

f = p3

−2

1

2

3

p2

−4

Newtons Verfahren fur ¨ Wurzeln von Gleichungen. Die Taylorpolynome stellen ein ungemein nützliches Werkzeug zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln zur Verfügung. Wir betrachten hierzu ein Beispiel, dass von Newton (1671) behandelt wurde, (2.11)

x3 − 2x − 5 = 0.

Wir berechnen einige Funktionswerte von f (x) = x3 − 2x − 5: f (0) = −5, f (1) = −6, f (2) = −1, f (3) = 16. Hieraus sehen wir, dass es eine Wurzel nahe bei x0 = 2 geben muss. Die Idee ist nun, die Kurve f (x) durch ihre Tangente an x0 zu ersetzen, diese ist gegeben durch p1 (x) = −1 + 10(x − 2). Die Wurzel von p1 (x) = 0, nämlich x = 2,1, ist dann ein verbesserter Schätzwert für die Wurzel von (2.11). Wir wählen nun x0 = 2,1 und wiederholen die Berechnung. Dies liefert p1 (x) = 0,061 + 11,23(x − 2,1) und x = 2,0945681 als neue Abschätzungen der Wurzel von (2.11). Ein weiterer Schritt liefert bereits x = 2,0945515, in dem alle gezeigten Ziffern schon korrekt sind (vergl. in Abb. 2.6a die Nachbildung der Originalrechnung von Newton). Nutzen des Polynoms zweiten Grades (E. Halley 1694). Wir wählen für das obige Beispiel den Punkt x0 = 2,1 und bringen nun zwei Terme des Taylorpolynoms zum Einsatz. Mit ihnen erhalten wir 0,061 + 11,23(x − 2,1) + 6,3(x − 2,1)2 = 0, 3



ABB. 2.6. Newtons Berechnung von x3 − 2x − 5 = 03

eine quadratische Gleichung für z = x − 2,1 mit zwei Wurzeln. Wir wählen diejenige, deren Betrag kleiner ist (d.h. für die x näher an 2,1 liegt) und finden p −11,23 + 11,232 − 4 · 0,061 · 6,3 z = x − 2,1 = , 12,6 also x = 2,0945515. Diesmal sind bereits nach einer einzigen Iteration alle gezeigten Ziffern korrekt.

¨ Ubungen 2.1 (Euler 1755, §261). Studieren Sie die Funktionen y = x4 − 8x3 + 22x2 − 24x + 12,

y = x5 − 5x4 + 5x3 + 1.

Finden Sie Maxima, Minima, konvexe Gebiete und Wendepunkte. 2.2 (Euler 1755, §272). Die Zahlenfolge √ 1

1 = 1,

√ 2

2 = 1,4142,

√ 3

3 = 1,4422,

√ 4

4 = 1,4142,

√ 5

5 = 1,3797 , . . .

√ suggeriert, dass die Funktion y = x x = x1/x einen maximalen Wert nahe an x = 3 annimmt. Wo genau? In welcher Beziehung steht dieser Wert zum Minimalwert von y = xx ?


2.3 (Joh. Bernoulli 1691/92). Finden Sie x, so dass das Rechteck, dass aus Abszisse und Ordinate eines Punktes auf dem Kreis y = √ x − x2 geformt wird, die größtmögliche Fläche annimmt. Bestätigen Sie mittels der zweiten Ableitung, dass es sich um ein Ma0 ximum handelt.

x

1

2.4 (Euler 1755, §272). Finden Sie x, so dass x sin x ein (lokales) Maximum annimmt (Sie werden eine Gleichung finden, die sich am besten durch Newtons oder Halleys Verfahren lösen lässt; Euler gibt als Ergebnis x = 116◦ 14′ 21′′ 20′′′ 35′′′′ 47′′′′′ an; der korrekte Wert der letzten Ziffern lautet 32′′′′ 38′′′′′ ). 2.5 Berechnen Sie die zweite Differenz ∆2 y = (x + 2∆x)3 − 2(x + ∆x)3 + x3 der Funktion y = x3 . Zeigen Sie, dass diese Differenz, dividiert durch ∆x2 , für ∆x → 0 gegen 6x strebt (die zweite Ableitung). 2.6 Sei f (x) = sin(x2 ). Berechnen Sie f ′ (x), f ′′ (x), f ′′′ (x), f ′′′′ (x), . . ., um daraus die Taylorreihe f (x) = f (0) + f ′ (0)x + f ′′ (0)

x2 x3 x4 + f ′′′ (0) + f ′′′′ (0) + . . . 2! 3! 4!

zu bestimmen. Gibt es einen deutlich einfacheren Weg, zu diesem Ergebnis zu gelangen? 2.7 Zeigen Sie, dass Newtons Verfahren, angewendet auf x2 − 2 = 0, genau √ der babylonischen Berechnung (I.2.13) von 2 entspricht. Allerdings weicht Formel (I.2.14) von Halleys Verfahren ab. Warum? 2.8 (Leibniz 1710). Zeigen Sie für eine Funktion y(x) = u(x) · v(x) als Erweiterung von (1.4), dass gilt: y ′′ = u′′ v + 2u′ v ′ + uv ′′ ,

y ′′′ = u′′′ v + 3u′′ v ′ + 3u′ v′′ + uv ′′′ .

Finden Sie eine allgemeine Regel für y (n) .

II.3 Einhüllende und Krümmung 107

II.3 Einhüllende und Krümmung Mein Bruder, Professor in Basel, hat diese Gelegenheit zum Anlass genommen, verschiedene Kurven zu untersuchen, die uns die Natur jeden Tag vor Augen führt . . . (Joh. Bernoulli 1692) Ich bin absolut u¨ berzeugt davon, dass es kaum einen Geometer in der Welt gibt, der sich mit Ihnen messen kann. (de L’Hospital 1695, Brief an Joh. Bernoulli)

Einhüllende einer Familie von Geraden Wir lassen uns von von einer Zeichnung A. Dürers inspirieren (1525, S. 38, siehe Abb. 3.1, rechts), und betrachten einen Punkt (a, 0), der sich auf der xAchse bewegt, sowie einen Punkt (0, 13 − a), der sich auf der y-Achse in entgegengesetzte Richtung bewegt. Wenn wir diese Punkte durch eine Gerade (3.1)

y=

13−a

a − 13 13x (x − a) = 13 + x − a − a a

a

verbinden, so erhalten wir eine unendliche Zahl an Linien, die in Abb. 3.1 angedeutet sind, und die eine interessante Kurve erscheinen lassen, ihre Einhüllende oder auch Hüllkurve, die jede dieser Geraden tangential berührt. Die Frage lautet, wie man diese Kurve berechnet. Leibniz (siehe Leibniz 1694a), Joh. Bernoulli und de L’Hospital diskutierten solche Problemstellungen ausführlich.

ABB. 3.1. Familie von Geraden, die eine Parabel formen; eine Skizze von Dürer (1525)1

1

Abbildung mit Genehmigung des Verlags Dr. Alfons Uhl, Nördlingen.


Ansatz. Wir halten die Variable x bei einem beliebigen Wert konstant, beispielsweise x = 4, für welchen die Familie (3.1) die Gleichung y = 17 − a − 52/a erzeugt. Wir stellen nun fest, dass dieser Wert sich zunächst für größer werdende a erhöht (siehe Abb. 3.1; für a = 3; 4; 5; 6 haben wir jeweils y = −3,33; 0; 1,6; 2,33). In diesem Bereich nähert sich der Punkt (4, y) der Einhüllenden an. Schließlich wird die Einhüllende genau dann erreicht, wenn diese Funk2 tion ihr Maximum annimmt, d.h. wenn die Ableitung y ′ = −1 + 52/a = 0 ist, √ √ also für a = 52. Der zugehörige Funktionswert lautet y = 17 − 2 52 = 2,58. Dieses Prinzip funktioniert nun auch für beliebige Werte von x: Wir müssen die Ableitung von (3.1) bezüglich a ausrechnen, wobei x als konstant angenommen wird ( differentiare secundum a“). Dies wird auch als partielle Ableitung ” bezüglich a bezeichnet. An Punkten der Einhüllenden muss diese Ableitung verschwinden. Die moderne Schreibweise hierfür lautet (siehe Abschnitt IV.3 unten, sowie Jacobi 1827, Oeuvres, Band 3, S. 65) ∂y = 0. ∂a

(3.2)

2 Für Gl. √ (3.1) wird daraus ∂y/∂a = −1 + 13x/a und Bedingung (3.2) liefert uns a = 13x. Wir erhalten die Einhüllende, indem wir dies in (3.1) einsetzen: √ (3.3) y = x − 2 13x + 13

oder (y − x − 13)2 = 52x.

(3.4)

Dies ist die Gleichung eines Kegelschnitts; in unserem Spezialfall handelt es sich um eine Parabel.

Die Kaustik eines Kreises Fragestellung. Sei x2 + y 2 = 1 ein Kreis (Abb. 3.2), und wir nehmen an, dass parallel einlaufende vertikale Lichtstrahlen von diesem Kreis reflektiert werden. Wir erhalten eine weitere Geradenfamilie, die offenbar eine interessante Einhüllende generiert. Wir suchen die Gleichung dieser Einhüllenden. Joh. Bernoulli (1692) fand eine Lösung per vulgarem Geometriam Carte” sianam“; jedoch verwendet er in seinen Lectiones“ (Joh. Bernoulli 1691/92b, ” Lectio XXVII, Caustica circularis radiorum parallelorum“, Opera, Bd. 3, S. 467), ” die moderne“ Differentialrechnung. ” Lösung. Um die Familie der reflektierten Strahlen zu beschreiben, wählen wir als Parameter den Winkel α zwischen dem Strahl und dem Radiusvektor (siehe ¨ Abb. 3.3). Nach einigen elementar-geometrischen Uberlegungen und aus der Tatsache heraus, dass der reflektierte Strahl die Steigung tan(2α − π/2) = − cos 2α/ sin 2α hat, finden wir die Gleichung


−1

0

1

ABB. 3.2. Die Kaustik des Kreises (Joh. Bernoulli 1692)

y 0

α

1

1 2

1 2 cos α

2α − π/2

α

x

α

−1

ABB. 3.3. Der reflektierte Strahl

(3.5)

y=−

1 cos 2α 1 x sin α cos α −x =− + − . 2 cos α sin 2α 2 cos α 2 cos α sin α

Gleichung (3.2) beschreibt nun die Bedingung an die Kaustik als (3.6)

∂y sin α x =− + =0 2 2 ∂α 2 cos α 2 cos α sin2 α

also (3.7)

x = sin3 α.

Wir setzen dies in (3.5) ein, und erhalten


1 1 1 sin4 α − + − sin2 α cos α = − cos α + sin2 α . 2 cos α cos α 2 Zusammen mit (3.7) bildet dies eine parametrische Darstellung der Kaustik. Wenn wir nun y durch x ausdrücken wollen, müssen wir nur sin α = x1/3 einsetzen, und erhalten 1 p (3.8) y = − 1 − x2/3 + x2/3 . 2 y=

Einhüllende von ballistischen Kurven Fragestellung. Eine Kanone im Koordinatenursprung verschieße Kugeln mit Anfangsgeschwindigkeit v0 = 1 unter allen Höhenwinkeln. Wir suchen die Einhüllende aller ballistischen Parabeln (Abb. 3.4). Diese Frage, die bereits von E. Torricelli (De motu projectorum 1644) betrachtet wurde, gehörte zu den ersten, die den jungen Joh. Bernoulli faszinierten (siehe Briefwechsel, S. 111).

0,4 0,2

0,5

1,0

ABB. 3.4a. Einhüllende von Wurfparabeln

ABB. 3.4b. Die Sonnen-Fontäne“ ” von 1721, in Peterhof“, St. Petersburg ”

Lösung. Sei a die Steigung der Kanone. Dann ist die Bewegung der Kugel (unter einer Schwerebeschleunigung von g = 1) gegeben durch t x(t) = √ , 1 + a2

at t2 y(t) = √ − . 2 1 + a2

√ Substituieren wir den Parameter t = x 1 + a2 , so erhalten wir

x2 (1 + a2 ) . 2 Ableitung von (3.9) bezüglich a ergibt ∂y/∂a = x − ax2 und Bedingung (3.2) führt zu a = 1/x. Setzen wir dies in (3.9) ein, so erhalten wir (3.9)

y = ax −

y = (1 − x2 )/2,

folglich ist die Einhüllende eine Parabel, mit der Kanone in ihrem Brennpunkt.


Krümmung Es gibt nur wenige Probleme u¨ ber Kurven, die so elegant sind wie dieses oder eine größere Einsicht in die Natur bieten. (Newton 1671, engl. Veröff. 1736, S. 59)

Fragestellung. Zu einer gegebenen Kurve y = f (x) und einen gegebenen Punkt (a, f (a)) auf dieser Kurve, möchten wir die Gleichung desjenigen Kreises finden, der so gut wie möglich die Funktion f (x) in der Umgebung von a approximiert. Dieser Kreis heißt Krümmungskreis und sein Zentrum ist der Krümmungsmittelpunkt. Der Kehrwert seines Radius (des Krümmungsradius) wird Krümmung der Kurve am Punkt (a, f (a)) genannt. Ansatz (Newton 1671). Sei (3.10)

y = f (a) −

1 f ′ (a)

(x − a)

die Normale an die Kurve y = f (x) im Punkt x = a. Wenn wir a erhöhen ( imagine the point D to move in the curve an infinitely little distance“), so ” finden wir eine zweite Normale, die die erste im Krümmungsmittelpunkt schneidet (Abb. 3.5). Wir finden dieselbe Situation vor wie bei den Einhüllenden (siehe Abb. 3.1b). Daher rechnen wir ∂y f ′′ (a) 1 = f ′ (a) + ′ (x − a) + ′ , ∂a (f (a))2 f (a)

(3.11)

und Bedingung (3.2) liefert uns den Krümmungsmittelpunkt (3.12) 1 + (f ′ (a))2 f ′ (a) 1 + (f ′ (a))2 x0 − a x0 − a = − , y0 − f (a) = − ′ = . f ′′ (a) f (a) f ′′ (a) p Für Radius r = (x0 − a)2 + (y0 − f (a))2 und Krümmung κ finden wir daher (3.13)

1 + (f ′ (a))2 r= |f ′′ (a)|

3/2

und

κ=

1 + (f ′ (a))2

Beispiele. Für die Parabel y = x2 erhalten wir r = Krümmungsmittelpunkt ist gegeben durch (3.14) x0 = a −

(1 + 4a2 )2a = −4a3 , 2

|f ′′ (a)|

y0 = a2 +

1 (1 2

3/2 .

+ 4a2 )3/2 , und der

(1 + 4a2 ) 1 = + 3a2 . 2 2

Diese Formeln bilden eine parametrische Darstellung der Ortskurve (x0 , y0 ) sämtlicher Krümmungsmittelpunkte. Sie wird als Evolute bezeichnet. Im Spezialfall der Gl. (3.14) kann der Parameter (hier a) substituiert werden, und wir finden (siehe Abb. 3.6b) 2

Abbildung mit Genehmigung der Editions Albert Blanchard, Paris.


¨ ABB. 3.5. Krümmung, Skizzen von Newton 1671, (Meth. Fluxionum; französ. Ubers. 1740)2

2/3 1 x0 y0 = + 3 . 2 4 Abb. 3.6a illustriert, dass die Evolute die Hüllkurve der Familie aller Normalen an die gegebene Kurve ist. 5

3

4 2

A

3 B

2 1

−2

−1

0

B 1

1

ABB. 3.6a. Evolute = Hüllkurve der Normalen

2

−2

C C −1

0

1

2

3

4

ABB. 3.6b. Parabel y = x2 und ihre Evolute

Krummung ¨ einer Kurve in parametrischer Darstellung. Betrachten Sie eine Kurve, die durch (x(t), y(t)) gegeben ist, und nehmen Sie an, dass sie nahe dem Punkt (x(a), y(a)) durch y = f (x) beschrieben werden kann. Dann folgt aus (1.20) dy dy/dt y ′ (t) f ′ (x) = = = ′ , dx dx/dt x (t)


und für die zweite Ableitung gilt f ′′ (x) =

d dy d y ′ (t) . dx x′ (t)y ′′ (t) − x′′ (t)y ′ (t) = = . dx dx dt x′ (t) dt x′ (t)3

Eingesetzt in die Gleichungen (3.12) und (3.13) finden wir

y ′ (a) x′ (a)2 + y ′ (a)2 x0 − x(a) = − ′ , x (a)y ′′ (a) − x′′ (a)y ′ (a) x′ (a) x′ (a)2 + y ′ (a)2 y0 − y(a) = ′ , x (a)y ′′ (a) − x′′ (a)y ′ (a) 3/2 x′ (a)2 + y ′ (a)2 r= ′ . |x (a)y ′′ (a) − x′′ (a)y ′ (a)|

(3.15) (3.16) (3.17) 2

1

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

ABB. 3.7. Zykloide und ihre Evolute

ABB. 3.8. Zeichnung einer Zykloide von Joh. Bernoulli (1955, S. 254, Brief vom 12. Jan. 1695 an de L’Hospital)3

Beispiel. Die Zykloide (beispielsweise die Spur des Ventils an einem Fahrradreifen) ist gegeben durch die parametrische Darstellung (3.18) 3

x = t − sin t,

y = 1 − cos t.

Abbildung mit Genehmigung des Birkhäuser Verlags, Basel.


Berechnen wir ihre Ableitungen, so erhalten wir aus Gl. (3.15) via (3.17), dass die Evolute der Zykloide gegeben ist durch (3.19)

x0 = a + sin a,

y0 = −1 + cos a.

Dies ist wieder eine Zykloide, nur in anderer Lage. Evolventen. Wir beginnen nun mit einer gegebenen Evolute ABB (Abb. 3.6b) und konstruieren aus ihr eine neue Kurve CC, die dadurch definiert ist, dass die Bogenlänge ABC konstant ist (man stelle sich einen Faden vor, der sich von der Evolute abwickelt). Diese neuen Kurven heißen Evolventen. Wenn einer der Punkte der Evolvente mit einem Punkt der ursprünglichen Funktion f (x) u¨ bereinstimmt, so haben beide Kurven dieselbe Krümmung. Es folgt dann (wie mit Hilfe der Ideen in Abschnitt III.6 streng bewiesen werden muss), dass beide Kurven gleich sind. Damit ist nicht nur die Evolute, sondern auch die Evolvente einer Zykloide (unter korrekter Wahl der Bogenlänge) wieder eine Zykloide (Newton 1671, Prob. V, Nr. 34). Huygens (1673) hat diese Eigenschaft genutzt, um die besten Pendeluhren seines Jahrhunderts zu bauen, gründend auf dem Fakt, dass ein Pendel, das sich auf einer Zykloide bewegt, isochron schwingt (siehe Abb. 7.8 aus Abschnitt II.7).

¨ Ubungen 3.1 Ein Stab der Länge 1 gleitet an einer vertikalen Wand herab (siehe Abb. 3.9a). Finden Sie die Formel der dadurch erzeugten Einhüllenden. 3.2 Finden Sie eine Formel für die Einhüllende, die von der folgenden Familie erzeugt wird (siehe Abb. 3.9b): 5 y = αx − (α3 − α). 2 3.3 (Cauchy 1824). Finden Sie die Einhüllende, die von der Familie von Parabeln y = b(x + b)2 mit Parameter b erzeugt wird (siehe Abb. 3.9c). 3.4 Berechnen Sie für die Funktion y = ln x den Krümmungsradius am Punkt a und bestimmen Sie dasjenige a, für den dieser Radius minimal ist (siehe Abb. 3.9d). Man kann erkennen, dass die Evolute einen stationären Punkt (eine Spitze) an diesem Minimum besitzt. 3.5 Berechnen Sie die Evolute der Ellipse (siehe Abb. 3.9e) x2 y2 + 2 =1 2 a b

oder

x = a cos t y = b sin t

0 ≤ t ≤ 2π .

Bestimmen Sie ihre maximale und minimale Krümmung. b2 a2 3 Ergebnis. x= a− cos3 t , y = b− sin t . a b


a)

1

b)

3 2

1

1 0 −3 −2 −1 −1

1

2

3

−2

d) 3

6

f)

3

2

9

1 −3

−2

−1

0

2 1

2

M

3

1

−1 −2

Evolute

2

−2

3

e)

y = ln x

1

−1

−3

1

0

−1

−2 0

c)

2

−2

−3

0

−1

1

N

2

ABB. 3.9. Evoluten und Einhüllende

3.6 Berechnen Sie den Krümmungsradius der Kettenlinie y = (ex + e−x )/2. Zeigen Sie, dass dieser Radius für einen gegebenen Punkt M auf der Kurve die Länge der Normalen MN besitzt (siehe Abb. 3.9f). 3.7 Wir stellen in Abb. 3.7 fest, dass eine Speiche eines rollenden Rades eine Einhüllende erzeugt, die einer Mini-Zykloide halber Höhe a¨ hnelt. Dies wird noch deutlicher, wenn der gesamte Durchmesser gezeichnet wird (Abb. 3.10). Berechnen Sie die Einhüllende dieser Geradenfamilie y = 1 + (x − t) ·

cos t . sin t

2

1

−1

0

1

2

3

4

5

ABB. 3.10. Kleine Zykloide als Einhüllende

6

7


Guillaume-François-Antoine de L’Hospital (1661–1704)5 Johann Bernoulli (1667–1748) Marquis de Sainte-Mesme et du Montellier Compte d’Autremonts, Seigneur d’Ouques et autres lieux 4

4 5

Abbildung mit Genehmigung des Georg Olms Verlags, Hildesheim. Abbildung mit Genehmigung des Birkhäuser Verlags, Basel.

II.4 Integralrechnung 117

II.4 Integralrechnung . . . notam

R

pro summis, ut adhibetur nota d pro differentiis . . . (Letter of Leibniz to Joh. Bernoulli, March 8/18, 1696) . . . quod autem . . . vocabulum i n t e g r a l i s etiamnum usurpaverim . . . (Letter of Joh. Bernoulli to Leibniz, April 7, 1696) R r Und während M Leibnits den Buchstaben der Ordinate einer Kurve

voranstellt, um die Summe der Ordinaten oder die Fläche der Kurve zu bezeichnen, habe ich einige Jahre zuvor dieselbe Sache durch ein Quadrat um die Ordinate dargestellt . . . Meine Symbole sind daher . . . die a¨ ltesten ihrer Art. (Newton, Brief an Keill, 20. April 1714)

Die Integralrechnung ist tatsächlich wesentlich a¨ lter als die Differentialrechnung, insofern als die Berechnung von Flächeninhalten, Oberflächen und Volumina die besten Mathematiker seit der Antike beschäftigt hat: Archimedes, Kepler, Cavalieri, Viviani, Fermat (siehe Satz I.3.2), Grégoire de Saint-Vincent, Guldin, Gregory, Barrow. Der entscheidende Durchbruch aber kam, als Newton, Leibniz und Joh. Bernoulli unabhängig voneinander entdeckten, dass die Integration die Umkehrung der Differentiation ist, womit alle Anstrengungen der erstgenannten Forscher auf ein paar Ableitungsregeln zurückgeführt wurden. Das Integrationszeichen stammt von Leibniz (1686), der Ausdruck Integral“ geht auf ” Joh. Bernoulli zurück und wurde von seinem Bruder Jak. Bernoulli (1690) bekannt gemacht.

Stammfunktionen Zu einer vorgegebenen Funktion y = f (x) möchten wir die zwischen der xAchse und dem Graphen der Funktion eingeschlossene Fläche bestimmen. Wir legen einen Punkt a fest und bezeichnen mit z = F (x) die Fläche unter f (x) zwischen a und x (Abb. 4.1a). Der entscheidende Punkt ist nun, dass (4.1)

die Funktion f (x) die Ableitung von F (x) ist.

Wir nennen F (x) dann eine Stammfunktion von f (x). Begrundung. ¨ Newton stellte sich vor, wie das Segment BD u¨ ber die betrachtete Fläche streicht ( And conceive these Areas . . . to be generated by the lines BE and ” BD, as they move along . . .“, Abb. 4.1a, 4.1c); folglich muss die Fläche, wenn x um ∆x anwächst, ihrerseits um ∆z = F (x + ∆x) − F (x) wachsen, was unter Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung in ∆x als f (x)∆x geschrieben werden kann (das dunkle Rechteck in Abb. 4.1a). Im Limes ∆x → 0 finden wir daher (4.2)

dz = f (x) · dx

und

dz = f (x). dx


D

y = f (x) z = F(x)

dx B

a

x

a x1x2 . . .

xn = b

ABB. 4.1a. Newtons Idee ABB. 4.1b. Leibniz’ Idee ABB. 4.1c. Skizze von Newton1

Leibniz interpretierte die Fläche als Summe (später: Integral“) vieler kleiner ” Rechtecke (Abb. 4.1b): (4.3)

zn = f (x1 ) ∆x1 + f (x2 ) ∆x2 + . . . + f (xn ) ∆xn .

Daraus folgt, dass zn − zn−1 = f (xn ) ∆xn ,

und wieder erhalten wir (4.2), wenn ∆xi → 0. Daher ist die Ableitung die Umkehroperationen des Integrals, so wie die Subtraktion die Umkehroperation der Addition ist. Nach vielen Ansätzen notierte Leibniz die Summe in (4.3) (für den Limes ∆xi → 0) als (siehe Abb. 4.2) Z (4.4) f (x) dx. Heutzutage wird die Fläche zwischen den Grenzen a und b mit Z b (4.5) f (x) dx, a

notiert (Fourier 1822), wohingegen (4.4), das unbestimmte Integral“ für eine be” liebige Stammfunktion F (x) von f (x) steht. Stammfunktionen sind nicht eindeutig; aus jeder Stammfunktion F (x) kann man durch Addition einer beliebigen Konstanten C eine weitere Stammfunktion F (x) + C derselben Ausgangsfunktion f (x) erhalten. Für C = −F (a) erhalten 1

Abbildung mit Genehmigung der Editions Albert Blanchard, Paris.


wir diejenige Stammfunktion F (x) − F (a), die bei x = a verschwindet (so wie die Fläche z). Folglich ist die Fläche zwischen a und b gegeben durch Z

(4.6)

a

b

f (x) dx = F (b) − F (a)

(siehe Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung“ in Abschnitt III.6). ”

ABB. 4.2. Erste Veröffentlichung des Integralzeichens, ein s“ in altem Schriftstil ” (Leibniz 1686)2

Indem wir die Ableitungsregeln umkehren, erhalten wir Formeln für Stammfunktionen. Beispielsweise hat die Funktion f (x) = xn+1 die Ableitung f ′ (x) = (n + 1) · xn . Deshalb muss xn+1 /(n + 1) eine Stammfunktion von xn sein. Diese und weitere Regeln aus Abschnitt II.1 sind in Tabelle 4.1 zusammengefasst. TABELLE 4.1. Eine kurze Tabelle der Stammfunktionen

Z Z Z Z

xn dx =

xn+1 +C n+1

Z

(n 6= −1)

1 dx = ln x + C x

ex dx = ex + C sin x dx = − cos x + C 1 dx = arctan x + C 1 + x2

Z

Z

cos x dx = sin x + C √

1 dx = arcsin x + C 1 − x2

Umfangreichere Integraltafeln können mehrere hundert Seiten lang sein. Wir erwähnen hier die Auflistungen von Gröbner & Hofreiter (1949) und Gradshteyn & Ryzhik (1980). In den letzten Jahren wurde dieses Wissen auch in viele Computeralgebrasysteme eingebaut.

Anwendungen Fläche der Parabeln. Die Fläche unter der Parabel n-ten Grades y = xn zwischen a und b lautet gemäß (4.6) und Tabelle 4.1 Z b xn+1 b bn+1 − an+1 (4.7) xn dx = , = n+1 a n+1 a 2



wobei wir bereits die Schreibweise F (x)|ba = F (b) − F (a) benutzt haben. Für a = 0 ist diese Formel Fermats Satz I.3.2. Fläche der Kreisscheibe. Um die Fläche einer Viertelkreisschreibe vom Radius √ 1 zu berechnen, betrachten wir die Funktion f (x) = 1 − x2 für 0 ≤ x ≤ 1. Eine Stammfunktion von f (x) ist (4.8)

F (x) =

xp 1 1 − x2 + arcsin x. 2 2

Man kann dies durch Ableitung von (4.8) prüfen. Später werden wir sehen, wie man solche Formel direkt findet. Durch Anwendung von (4.6) erhalten wir nun Z 1p Fläche der Einheitskreisschreibe = 4 1 − x2 dx = 4 F (1) − F (0) = π, 0

da sin(π/2) = 1. Es gibt noch einen eleganten Weg, den Kreisflächeninhalt zu berechnen. Niemand zwingt uns dazu, anzunehmen, dass die Streifen f (x) dx dünne vertikale Rechtecke sind. Lassen Sie uns lieber die Scheibe (von Radius a) in unendlich dünne Dreiecke zerlegen (Kepler 1615, vergleichen Sie auch mit Leibniz’ Vorstellung, Fig. I.4.11). Die Fläche eines solchen Dreiecks lautet dS =

a2 · dϕ , 2

wobei dϕ der unendlich kleine Zuwachs des Winkels ist. Die ganze Fläche ist (als Summe all dieser Dreiecke) Z 2π 2 Z a dϕ a2 2π a2 2π S= = dϕ = ϕ = a2 π. 2 2 2 0 0 0

π/2

dϕ·a

ϕ 0

a

Volumen der Kugel. Betrachten Sie eine Kugel vom Radius a (siehe Abb. 4.3) und lassen √ Sie sie uns zerlegen in dünne Scheiben der Dicke dx und Radius r = a2 − x2 . Das Volumen einer solchen Scheibe ist dV = r2 π dx = (a2 − x2 )π dx und für das Gesamtvolumen der Kugel erhalten wir Z +a x3 +a 4a3 π V = (a2 − x2 )π dx = π xa2 − . = 3 −a 3 −a Arbeit in einem Kraftfeld. Nehmen wir an, dass eine Kraft f (x) in Richtung einer Geraden wirkt, die mit s parametrisiert ist. Die Arbeit, die nötig ist, um einen Körper von s nach s + ∆s zu bewegen, ist f (s)∆s (Kraft × Strecke). Daher Rb ist die gesamte Arbeit a f (s) ds. Beispiel. Die Anziehungskraft der Erde auf eine Masse von 1 kg beträgt f (s) = 9,81 · R2 /s2 [N ] , wobei s der Abstand zum Erdmittelpunkt ist. Folglich ist die


dx x = −a

(a2 − x2)1/2 x=a

ABB. 4.3. Volumen der Sphäre

Energie, die nötig ist, um 1 kg aus dem Ruhezustand von der Erdoberfläche ins Unendliche zu heben, gegeben durch Z ∞ R2 R2 ∞ E= 9,81 2 ds = −9,81 = 9,81 R = 62 · 106 [J]. s s R R Bogenlänge. Das Fluxion der Länge wird bestimmt, indem man es mit der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Fluxione der Abszisse und der Ordinate gleichsetzt. (Newton 1736, Fluxions, S. 130)

Wir wollen die Länge L einer Kurve y(x) für a ≤ x ≤ b berechnen. Wenn wir x um ∆x erhöhen (siehe Abb. 4.4), so wächst die Ordinate um ∆y = y ′ (x)∆x (wir vernachlässigen Terme höherer Ordnung). Dies impliziert, dass die Länge eines kleinen Stücks der Kurve durch ∆s gegeben ist, mit ∆s2 = ∆x2 + ∆y 2 = 1 + y ′ (x)2 ∆x2 (Satz des Pythagoras). Für den Limes ∆x → 0 erhalten wir Z bp p (4.9) ds = 1 + y ′ (x)2 · dx und L= 1 + y ′ (x)2 dx. a

Beispiel. Für die Parabel y = x2 finden wir y ′ = 2x, und als Länge des Bogens zwischen x = 0 und x = 1 (siehe (4.27) unten) Z 1p 1 p 1 p 1 L= 1 + 4x2 dx = x 1 + 4x2 + ln 2x + 4x2 + 1 2 4 0 0 √ √ 5 1 = + ln(2 + 5 ). 2 4


1 dy

ds

dy dx dx

0

0

1

ABB. 4.4. Bogenlänge von y = x2

Schwerpunkt. Nehmen wir beispielhaft an, zwei verbundene Massen m1 , m2 befinden sich an den Punkten x1 , x2 auf der Abszisse. Das Gesamtdrehmoment, das auf den Ursprung wirkt, ist m1 x1 + m2 x2 . Der Schwerpunkt x ist nun derjenige Punkt, an dem beide Massen gemeinsam dasselbe Drehmoment erzeugen würden, also (4.10)

(m1 + m2 ) · x = m1 x1 + m2 x2 .

Wenn sich die Dichte eines Körpers entlang seiner Ausdehnung kontinuierlich in der Weise a¨ ndert, dass eine Scheibe der Dicke dx die Masse m(x) dx besitzt, finden wir in Analogie zu (4.10) Rb Z b Z b x m(x) dx (4.11) m(x) dx · x = x m(x) dx und x = Ra b . a a m(x) dx a

Beispiel. Für ein Dreieck, das von der Geraden y = cx und 0 ≤ x ≤ a begrenzt wird, gilt Ra 2 cx dx a3 /3 2a (4.12) m(x) = cx, x = R0a = 2 = . a /2 3 cx dx 0 Bemerkung. f (x) (die die BeR ∞ Für eine Zufallsvariable X mit ”Dichtefunktion“ R∞ dingung −∞ f (x) dx = 1 erfüllt), ist der Wert x = −∞ x f (x) dx gerade der Mittelwert von X.

Integrationsmethoden Wir werden nun einige allgemeine Techniken demonstrieren, wie man Stammfunktionen findet. Einen systematischen Zugang zu bestimmten Klassen von Funktionen wird in Abschnitt II.5 vorgestellt. Unsere erste Beobachtung ist, dass Integration eine lineare Operation ist, d.h. Z Z Z (4.13) c1 f1 (x) + c2 f2 (x) dx = c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx. Dies folgt sofort aus der Tatsache, dass die Ableitung linear ist (siehe (1.3)).


Substitutionsregel. Nehmen wir an, F (z) ist eine Stammfunktion von f (z), d.h. F (z) = f (z), und betrachten wir die Ersetzung z = g(x), welche die Variable z in x u¨ berführt. Dann folgt aus (1.16), dass F g(x) eine Stammfunktion von f g(x) g ′ (x) ist. ′

Dies impliziert (4.14)

Z

b a

f g(x) g ′ (x) dx =

Z

g(b)

f (z) dz,

g(a)

da gemäß (4.6) beide Terme gleich F g(b) − F g(a) sind. Den Ausdruck auf der linken Seite erhält man, indem man z durch g(x) in f (z) und dz = g ′ (x)dx ersetzt.

ABB. 4.5. Ersetzen einer Variable in einem Integral

Geometrische Interpretation. Wir wollen das Integral Z 1,5 4x dx 1 + x2 0

berechnen und benutzen hierfür die Substitution z = x2 . Wegen dz = 2x dx erhalten wir aus Gl. (4.14) Z 1,5 Z 2,25 2,25 2 2 · 2x dx = dz = 2 · ln(1 + z) 2 1 + x 1 + z 0 0 0 1,5 = 2 · ln(1 + x2 ) = 2 ln(3,25). 0

Abb. 4.5 veranschaulicht die Transformation z = x2 und die Funktionen 4x/(1 + x2 ) und 2/(1 + z). Die Punkte x und x + ∆x werden auf z = x2 und z + ∆z = x2 +2x∆x+∆x2 abgebildet. Folglich sind die schattierten Rechtecke für ∆x → 0 gleich groß, und beide Integrale in (4.14) haben den gleichen Wert.


Beispiele. Die ganze Kunst besteht darin, eine geeignete“ Substitution zu finden. ” Wir demonstrieren dies in einer Reihe von Beispielen. Für Funktionen der Form f (ax + b) ist die Ersetzung z = ax + b oft sinnvoll. Beispielsweise haben wir mit z = 5x + 2, dz = 5 dx Z Z dz 1 1 (4.15) e5x+2 dx = ez = ez = e5x+2 . 5 5 5 Manchmal kann man die Anwesenheit des Faktors g ′ (x) für eine Ersetzung z = g(x) sehr einfach erkennen. Beispielsweise drängt einem bereits die bloße Anwesenheit des Faktors x in unten stehendem Integral die Substitution z = −x2 , dz = −2x dx auf, so dass wir erhalten: Z Z 2 1 1 1 −x2 (4.16) xe dx = − ez dz = − ez = − e−x . 2 2 2 √ In Tabelle 4.1 finden wir die Integrale von √ 1/(1 + x2 ) und 1/ 1 − x2 . Wenn wir nun beispielsweise für 1/(7 + x2 ) oder 1/√ 7 − x2 Stammfunktionen finden √ wollen, substituieren wir x2 = 7z 2 bzw. x = 7 z, dx = 7 dz. Damit erhalten wir Z Z √ dx 7 dz 1 1 x (4.17) = = √ arctan z = √ arctan √ . 2 2 7+x 7(1 + z ) 7 7 7 Quadratische Ausdrücke x2 + 2bx + c lassen sich oft dadurch vereinfachen, dass man sie quadratisch ergänzt zu (x + b)2 + (c − b2) und dann die Substitution z = x + b folgen lässt. Auf diese Weise können wir folgendes Integral durch die Substitution z = x + 1/2 auf das Integral der Gl. (4.17) zurückführen: (4.18) Z Z 2x + 1 dx dz 2 2z 2 √ √ √ √ = = arctan = arctan . x2 + x + 1 z 2 + 3/4 3 3 3 3 Als abschließendes Beispiel betrachten wir die Funktion (x+2)/(x2 +x+1) (Euler 1768 § 62). Wir schreiben hierfür den Zähler als x+2 = (x+1/2)+3/2, so dass der erste Teil x+1/2 ein skalares Vielfaches der Ableitung des Nenners wird. Diesen Teil des Integrals berechnen wir dann mit der Substitution z = x2 + x + 1. Der zweite Teil ist ein Vielfaches von (4.18), so dass wir in der Summe folgendes Ergebnis finden: Z 2x + 1 √ x+2 1 2 √ (4.19) dx = ln(x + x + 1) + 3 arctan . x2 + x + 1 2 3 Partielle Integration. Eine zweite Integrationstechnik basiert auf der Ableitungsregel (1.4) f¨ Integration der Formel (uv)′ = u′ v + uv ′ liefert Rur Produkte. ′ u(x)v(x) = u (x)v(x) + u(x)v′ (x) dx bzw. (4.20)

Z

u′ (x)v(x) dx = u(x)v(x) −

Z

u(x)v′ (x) dx.


Durch diese Formel wird ein Integral durch ein anderes ersetzt. Wenn man jedoch die Faktoren u′ und v geschickt wählt, kann man das zweite Integral zuweilen einfacher berechnen als das erste. R Beispiele. Lassen Sie uns versuchen, das Integral x sin x dx zu berechnen. Es würde nichts bringen, u′ (x) = x (also u(x) = x2 /2) und v(x) = sin x zu wählen, da dann das zweite Integral noch viel schwieriger wird als das ursprüngliche. Daher wählen wir u′ (x) = sin x (mit u(x) = − cos x) und v(x) = x. Gleichung (4.20) liefert dann Z Z (4.21) x sin x dx = −x cos x + 1 · cos x dx = −x cos x + sin x. Manchmal muss man die partielle Integration mehrfach wiederholen. In folgendem Beispiel setzen wir zunächst v(x) = x2 , u′ (x) = ex und anschließend in einer zweiten partiellen Integration v(x) = x, u′ (x) = ex : Z Z 2 x 2 x (4.22) x e dx = x e − 2 x ex dx = ex (x2 − 2x + 2). Funktionen wie ln x und arctan x besitzen einfache Ableitungen. Sie spielen oft die Rolle von v(x): Z Z Z x (4.23) ln x dx = 1 · ln x dx = x ln x − dx = x(ln x − 1), x

(4.24)

Z

arctan x dx = x arctan x − = x arctan x −

Z

x dx 1 + x2

1 ln(1 + x2 ). 2

In diesem Fall wird das letzte Integral durch die Substitution z = 1 + x2 , dz = 2x dx gelöst. R√ Betrachten wir nun als nächstes das Integral 1 + 4x2 dx, das uns in der Berechnung der√Bogenlänge der Parabel begegnete. Partielle Integration mit u′ (x) = 1, v(x) = 1 + 4x2 liefert Z p Z p 4x2 2 2 √ (4.25) 1 + 4x dx = x 1 + 4x − dx. 1 + 4x2

Nun sieht das zweite Integral zunächst nicht besser aus als das erste. Jedoch kann man nun den Zähler zerlegen in 4x2 R=√(1+4x2 )−1. Das Integral spaltet sich dann in zwei Teile, von denen der eine − 1 + 4x2 dx lautet (das ist das Integral, das wir suchen) und auf die linke Seite gebracht werden kann; der √andere ist das letzte Integral aus Tabelle 4.1: Die Ableitung von arsinh z ist 1/ 1 + z 2 , so dass wir ¨ mit der Substitution z = 2x (siehe Ubung I.4.3) erhalten: Z p dx 1 1 √ (4.26) = arsinh (2x) = ln 2x + 4x2 + 1 . 2 2 1 + 4x2


Für (4.25) bedeutet dies: Z p p 1 p 1 (4.27) 1 + 4x2 dx = x 1 + 4x2 + ln 2x + 4x2 + 1 . 2 4 Rekursive Integrale. Angenommen, wir wollen Z (4.28) In = sinn x dx

berechnen. Wir wählen u′ (x) = sin x, v(x) = sinn−1 x und wenden partielle Integration an. Wir finden Z Z sinn x dx = − cos x sinn−1 x + (n − 1) cos2 x sinn−2 x dx. Nun setzen wir cos2 x = 1 − sin2 x ein, so dass das rechte Integral in die zwei Integrale In−2 und In zerfällt. Bringen wir In auf die linke Seite, so erhalten wir (1 + n − 1)In = − cos x sinn−1 x + (n − 1)In−2 , bzw. (4.29)

In = −

1 n−1 cos x sinn−1 x + In−2 . n n

R Diese Rekursionsformel kann man nun R nutzen, um jedes In auf I1 = sin x dx = − cos x (für ungerades n) oder I0 = dx = x (für gerades n) zurückzuführen. Als ein weiteres Beispiel betrachten wir das Integral Z dx (4.30) Jn = . (1 + x2 )n In Ermangelung einer besseren Idee, wenden wir eine partielle Integration mit u′ (x) = 1 und v(x) = 1/(1 + x2 )n an: Z Z 1 x 2x2 Jn = 1 · dx = + n dx. 2 n 2 n (1 + x ) (1 + x ) (1 + x2 )n+1

Wir wiederholen unseren Trick aus (4.25), schreiben im letzten Integral 2x2 = 2(1 + x2 ) − 2, und finden Jn =

x + 2nJn − 2nJn+1 . (1 + x2 )n

Wir scheinen kein Glück gehabt zu haben, da der Index n größer geworden ist anstatt kleiner. Das spielt aber keine Rolle: Wir lösen die Formel einfach nach Jn+1 auf und erhalten (4.31)

Jn+1 =

1 x 2n − 1 + Jn . 2n (1 + x2 )n 2n

Diese Beziehung führt die Berechnung von (4.30) auf die von J1 = arctan x zurück.


Taylorsche Formel mit Restglied Joh. Bernoulli (1694b, Effectiones omnium quadraturam . . .“) berechnete Inte” grale durch wiederholte partielle Integration und fand generalissimam“ Reihen, ” die denen a¨ hnelten, die später von Taylor entdeckt wurden. Cauchy (1821) fand dann heraus, dass diese Methode, geschickt modifiziert, zielstrebig zu Taylors Reihen für eine Funktion f führt, zusammen mit einem Fehlerglied, das sich als Integral ausdrücken ließ. Der Ansatz besteht dabei darin (siehe (4.6)), Z x f (x) = f (a) + 1 · f ′ (t) dt a

zu schreiben, und dann mit u (t) = 1 und v(t) = f ′ (t) partiell zu integrieren. Der Knackpunkt ist, dass wir u(t) = −(x − t) anstelle von u(t) = t einsetzen (x ist dabei eine Konstante). So erhalten wir x Z x ′ f (x) = f (a) − (x − t)f (t) + (x − t)f ′′ (t) dt a a Z x ′ = f (a) + (x − a)f (a) + (x − t)f ′′ (t) dt. ′

a

Im nächsten Schritt wählen wir u(t) = −(x − t)2 /2! und v(t) = f ′′ (t) mit dem Ergebnis Z x (x − a)2 ′′ (x − t)2 ′′′ ′ f (x) = f (a) + (x − a)f (a) + f (a) + f (t) dt. 2! 2! a Wiederholen wir diese Vorgehensweise, gelangen wir zum gesuchten Resultat:

(4.32)

f (x) =

k X (x − a)i i=0

i!

f

(i)

(a) +

Z

a

x

(x − t)k (k+1) f (t) dt. k!

Beispiel. Für f (x) = ex , f (i) (x) = ex und a = 0 wird Gl. (4.32) zu Z x x2 xk (x − t)k t (4.33) ex = 1 + x + + ... + + e dt. 2! k! k! 0

Es mag Sie erstaunen, dass der Fehlerterm der Reihe durch ein Integral ausgedrückt wird, nachdem wir soviel Mühe damit hatten, solche Integrale auszurechnen. Wenn man das Integral in (4.33) ausrechnet, erhält man auch tatsächlich nur Pk ex − i=0 xi /i!, was uns kein Stück weiterhilft. Die weitere Vorgehensweise lautet nun, den Integranden in (4.33) durch etwas einfacheres zu ersetzen, um den Fehlerterm zumindest abzuschätzen. Wenn wir beispielsweise annehmen, dass 0 ≤ x ≤ 1, und damit auch 0 ≤ t ≤ 1, so werden sich die Funktionswerte et zwischen 1 und 3 aufhalten. Es erscheint nun zweckmäßig (und dies wird später Satz III.5.14 sein), dass die dazu gehörige Fläche ebenfalls zwischen


Z

0

x

(x − t)k xk+1 · 1 dt = k! (k + 1)!

und

Z

0

x

(x − t)k 3xk+1 · 3 dt = . k! (k + 1)!

liegen wird. Dies erlaubt uns die Schlussfolgerung, dass, beispielsweise für k = 10, der Fehlerterm kleiner ist als 10−7 .

¨ Ubungen 4.1 Es sei eine Kurve in parametrischer Darstellung x(t), y(t) gegeben. Zeigen Sie, dass ihre Bogenlänge für a ≤ t ≤ b Z bp L= x′ (t)2 + y ′ (t)2 dt a

lautet. Berechnen Sie die Bogenlänge der Zykloide (3.18) für 0 ≤ t ≤ 2π. 4.2 Berechnen Sie die Integrale Z Z Z x dx dx √ √ a) , b) , c) x2 sin x dx, 9 − x2 9 − x2 Z Z Z dx 3 −x2 d) I−n = , e) x e dx, f) arccos x dx, sinn x Z Z Z x dx g) eαx cos βx dx, h) eαx sin βx dx, i) . x2 − 6x + 13

Hinweise. Für (d) kehren Sie Gl. (4.29) um, für (e) schreibenRSie x3 = x · x2 , (g) und (h) können Sie entweder partiell integrieren oder e(α+iβ)x dx in Real- und Imaginärteil zerlegen. 4.3 Zeigen Sie durch wiederholte partielle Integration, dass für ganze Zahlen m und n gilt: Z b (b − x)m (x − a)n (b − a)m+n+1 (4.34) dx = . m! n! (m + n + 1)! a Insbesondere gilt Z

1

−1

(1 − x2 )n dx =

2 · 2 · 4 · 6 · · · 2n . 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)

II.5 Elementar integrierbare Funktionen 129

II.5 Elementar integrierbare Funktionen Die obige Größe ppads qqss − ppaa

¨ reduziert sich unmittelbar, ohne jede Anderung, auf zwei logarithmische Brüche, indem man sie wie folgt zerlegt: 1 1 pds pds ppads = 2 − 2 ... qqss − ppaa qs − pa qs + pa (Anhang an einen Brief von Joh. Bernoulli, 1699, siehe Briefwechsel, Band 1, S. 212) Problem 3: Wenn X für eine beliebige rationale Funktion in x steht, beschreibe man eine Methode, mit der man den Ausdruck Xdx integrieren kann. (Euler 1768, Opera Omnia, Band XI, S. 28)

Im vorigen Abschnitt haben wir einige Integrationsmethoden kennen gelernt. Nun wollen wir diese Methoden systematisch einsetzen, um zu zeigen, dass einige Klassen von Funktionen elementar integrierbar sind, d.h. dass ihre Stammfunktionen elementare Funktionen sind. Elementare Funktionen sind dabei solche Funktionen, die sich aus Polynomen, rationalen, Exponential-, Logarithmus-, trigonometrischen und Arkusfunktionen zusammensetzen.

Integration rationaler Funktionen Sei R(x) = P (x)/Q(x) eine rationale Funktion (mit den Polynomen P (x) und R Q(x)). Wir werden einen konstruktiven Beweis präsentieren, dass R(x) dx elementar ist. Die Berechnung der Stammfunktion geschieht dabei in drei Schritten: – Rückführung auf den Fall deg P < deg Q (dabei ist deg P der Grad von P (x)); – Faktorisierung von Q(x) und Zerlegung von R(x) in Partialbrüche; sowie – Integration der Partialbrüche.

Ruckf ¨ uhrung ¨ auf den Fall deg P < deg Q. Wir können eine erste Vereinfachung der Funktion R(x) im Fall deg P ≥ deg Q erzielen. In dieser Situation teilen wir P durch Q und erhalten (5.1)

P (x) Pb (x) = S(x) + , Q(x) Q(x)

wobei S(x) und Pb(x) Polynome sind (Quotient und Rest) mit deg Pb < deg Q. Als Beispiel betrachten wir (5.2)

P (x) 2x6 − 3x5 − 9x4 + 23x3 + x2 − 44x + 39 = . Q(x) x5 + x4 − 5x3 − x2 + 8x − 4

Wir entfernen zuerst den Term 2x6 , indem wir 2x · Q(x) von P (x) abziehen, sodann fügen wir 5Q(x) zu P (x) hinzu und gelangen zu


(5.3)

P (x) 6x4 − 20x2 + 4x + 19 = 2x − 5 + 5 . Q(x) x + x4 − 5x3 − x2 + 8x − 4

Das Polynom S(x) lässt sich schnell integrieren, so dass nur der zweite Term in (5.1) noch weiterer Beachtung bedarf. Zerlegung in Partialbruche. ¨ Wir nehmen an, dass eine Faktorisierung von Q(x) in lineare Terme bekannt ist: (5.4)

m1

Q(x) = (x − α1 )

(x − α2 )

m2

· . . . · (x − αk )

mk

=

k Y

i=1

(x − αi )mi .

Dabei sind α1 , . . . , αk voneinander verschiedene (möglicherweise komplexe) Wurzeln von Q(x) und die mi ihre zugehörigen Vielfachheiten. Das folgende Lemma zeigt, wie unsere rationale Funktion als Linearkombination einfacher Brüche geschrieben werden kann, sogenannter Partialbrüche. Dieses Prinzip geht zurück auf einen Briefwechsel zwischen Joh. Bernoulli und Leibniz (um 1700), und wurde von Joh. Bernoulli (1702), Leibniz (1702), Euler (1768, Caput I, Problema 3), und Hermite (1873) systematisch erforscht. (5.1) Lemma. Sei Q(x) wie in (5.4), und sei P (x) ein Polynom, das deg P < deg Q erfüllt. Dann gibt es Konstanten Cij mit k

(5.5)

m

i P (x) X X Cij = . Q(x) (x − αi )j i=1 j=1

Beweis. Wir entfernen wie folgt einen Faktor nach dem anderen aus Q(x): Wir schreiben Q(x) = (x − α)m q(x), wobei α eine Wurzel von Q(x) und q(α) 6= 0 ist. Wir werden die Existenz einer Konstanten C und eines Polynom p(x) vom Grad < deg Q − 1 nachweisen mit (5.6)

P (x) C p(x) = + , (x − α)m q(x) (x − α)m (x − α)m−1 q(x)

oder, was dazu (durch Multiplikation mit dem gemeinsamen Teiler) a¨ quivalent ist: (5.7)

P (x) = C · q(x) + p(x) · (x − α).

Der Spezialfall x = α erzwingt die Wahl (5.8)

C = P (α)/q(α).

Das Polynom p(x) erhält man nun, indem man P (x) − C · q(x) durch den Faktor (x − α) teilt. Dieser Algorithmus wird nun auf den rechten Ausdruck von (5.6) rekursiv angewendet, bis wir die gewünschte Zerlegung (5.5) vorfinden. ⊓ ⊔


Beispiel. Das Polynom Q(x) auf (5.2) besitzt die Faktorisierung (5.9)

Q(x) = x5 + x4 − 5x3 − x2 + 8x − 4 = (x − 1)3 (x + 2)2 .

Wenden wir (5.7) und (5.8) mit α = −2 und m = 2 an, erhalten wir für (5.6): 6x4 − 20x2 + 4x + 19 −1 6x3 − 11x2 − x + 9 = + . (x − 1)3 (x + 2)2 (x + 2)2 (x − 1)3 (x + 2) Eine zweite Anwendung mit α = −2 und m = 1 ergibt (5.10)

6x4 − 20x2 + 4x + 19 −1 3 3x2 − 8x + 6 = + + . (x − 1)3 (x + 2)2 (x + 2)2 x+2 (x − 1)3

Im letzten Ausdruck setzen wir x = (x − 1) + 1 ein, also 3x2 − 8x + 6 = 3(x − 1)2 − 2(x − 1) + 1, und schließlich wird aus (5.10) (5.11) 6x4 − 20x2 + 4x + 19 1 −2 3 −1 3 = + + + + . 3 2 3 2 2 (x − 1) (x + 2) (x − 1) (x − 1) x − 1 (x + 2) x+2 Zweite Möglichkeit. Aus Lemma 5.1 wissen wir, dass es eine Zerlegung (5.12) 6x4 − 20x2 + 4x + 19 A0 A1 A2 B0 B1 = + + + + . (x − 1)3 (x + 2)2 (x − 1)3 (x − 1)2 x − 1 (x + 2)2 x + 2 gibt. Die Koeffizienten Ai und Bi können nun wie folgt berechnet werden: Wir multiplizieren Gl. (5.12) mit (x − 1)3 und erhalten 6x4 − 20x2 + 4x + 19 = A0 + A1 (x − 1) + A2 (x − 1)2 + (x − 1)3 g(x), (x + 2)2 mit einer Funktion g(x), die in einer Umgebung von x = 1 wohldefiniert ist. Daher sind die Ai die ersten Koeffizienten der Taylorreihe von P (x)/(x + 2)2 (siehe Abschnitt II.2) und erfüllen 1 di 6x4 − 20x2 + 4x + 19 , i! dxi (x + 2)2 x=1

Ai =

also A0 = 1, A1 = −2, A2 = 3. Auf a¨ hnliche Weise erhalten wir Bi =

1 di 6x4 − 20x2 + 4x + 19 , i! dxi (x − 1)3 x=−2

bzw. B0 = −1, B1 = 3.

Integration der Partialbruche. ¨ Die einzelnen Terme der Zerlegung (5.5) können auf einfache Weise integriert werden, wenn wir die Formeln aus Abschnitt II.4 einsetzen (siehe Tabelle 4.1):


(5.13)

Z

 −1  dx = (j − 1)(x − α)j−1  (x − α)j ln(x − α)

falls j > 1 falls j = 1.

Fügen wir die Gleichungen (5.3), (5.9) und (5.11) zusammen, erhalten wir für unser Beispiel die Stammfunktion Z P (x) 1 2 1 dx = x2 −5x− + +3 ln(x−1)+ +3 ln(x+2)+C. 2 Q(x) 2(x − 1) x − 1 x+2 Falls alle Wurzeln von Q(x) reell sind (d.h. die αi aus (5.4) sind allesamt reell), so sind auch die Cij in (5.5) reell und wir haben das Integral als Linearkombination reeller Funktionen ausgedrückt. Aber nichts hält uns davon ab, den obigen Reduktionsprozess auch in Fällen anzuwenden, in denen Q(x) komplexe Wurzeln hat. R Beispiel mit komplexen Wurzeln. Nehmen wir an, wir wollen (1 + x4 )−1√dx √ 4 berechnen. Die Wurzeln von x + 1 = 0√ sind α1 = (1 + i)/ 2, α2 = (1 − i)/ 2, √ α3 = (−1 + i)/ 2, α4 = (−1 − i)/ 2, die Zerlegung von Lemma 5.1 führt daher zu 1 A B √ + √ = 4 1+x x − (1 + i)/ 2 x − (1 − i)/ 2 C D √ + √ . (5.14) + x + (1 − i)/ 2 x + (1 + i)/ 2 Aus (5.8) folgern wir

α3 −1 α4

α1 0

1 α2

√ 1 1 2 √ √ = A= = √ √ (−1 − i), (α1 − α2 )(α1 − α3 )(α1 − α4 ) 8 i 2 · 2 · ( 2 + i 2) √ √ √ und auf a¨ hnliche Weise B = (−1+i) 2/8, C = (1−i) 2/8, D = (1+i) 2/8. Daher gilt Z √ √ dx = A ln(x − (1 + i)/ 2) + B ln(x − (1 − i)/ 2) 4 1+x (5.15) √ √ + C ln(x + (1 − i)/ 2) + D ln(x + (1 + i)/ 2). Nutzen wir (I.5.11) und die Relation arctan u + arctan(1/u) =

π/2 falls u > 0 −π/2 falls u < 0,

die sowohl aus (I.4.5) als auch aus (I.4.32) folgt, so gelangen wir zu Z dx 1 x−α = ln(x − α − iβ) = ln (x − α)2 + β 2 + i arctan , x − (α + iβ) 2 β und können die rechte Seite des Ausdrucks (5.15) nun schreiben als


(5.16) √ √ √ Z √ √ dx 2 x2 + 2x + 1 2 √ = ln + arctan(x 2+1)+arctan(x 2−1) . x4 + 1 8 x2 − 2x + 1 4 Vermeidung komplexer Arithmetik. Wann immer komplexe Arithmetik unerwünscht ist, kann man auch wie folgt vorgehen: Nehmen wir an, dass das Polynom Q(x) genau l verschiedene komplex-konjugierte Paare von Wurzeln α1 ± iβ1 , . . . , αl ± iβl und k verschiedene reelle Wurzeln γ1 , . . . , γk hat. Dann haben wir die reelle Faktorisierung (5.17)

Q(x) =

l Y

i=1

(x − αi )2 + βi2

k mi Y

i=1

(x − γi )ni ,

wobei mi und ni die Vielfachheiten der Wurzeln sind. Eine reelle Version von Lemma 5.1 lautet dann: (5.2) Lemma. Sei Q(x) gegeben durch (5.17) und sei P (x) ein Polynom mit reellen Koeffizienten und deg P < deg Q. Dann gibt es reelle Konstanten Aij , Bij und Cij , so dass gilt: l

(5.18)

m

k

n

i i XX P (x) X X Aij + Bij x Cij = + . j 2 2 Q(x) (x − γi )j i=1 j=1 (x − αi ) + βi i=1 j=1

Beweis. Für die reellen Wurzeln gilt das im Beweis von Lemma 5.1 mgesagte. Für die komplexen Wurzeln schreiben wir nun Q(x) = (x − α)2 + β 2 q(x), wobei α+iβ eine Wurzel von Q(x) und q(α±iβ) 6= 0 ist. Dann gibt es reelle Konstanten A, B und ein Polynom p(x) vom Grad < deg Q − 2, so dass P (x) A + Bx p(x) m m + = . m−1 2 (x − α)2 + β 2 q(x) (x − α)2 + β 2 (x − α) + β 2 q(x)

Um dies einzusehen, betrachten wir die a¨ quivalente Gleichung

P (x) = (A + Bx) · q(x) + p(x) · (x − α)2 + β 2 .

Aus den Spezialfällen x = α ± iβ erhalten wir A und B, und das Polynom p(x) folgt dann aus der Division von P (x) − (A + Bx) · q(x) durch den Faktor (x − α)2 + β 2 . So wie im Beweis von Lemma 5.1 erhalten wir Formel (5.18) durch eine Induktion nach dem Grad von Q(x). ⊓ ⊔ Um den allgemeinen Term aus (5.18) zu integrieren, schreiben wir ihn als A + Bx (x −

α)2

+

j β2

=

B(x − α)

(x −

α)2

+

j β2

+

A + Bα (x − α)2 + β 2

j .


Den ersten Term in dieser Summe können wir sofort mit Hilfe der Substitution z = (x − α)2 + β 2 , dz = 2(x − α)dx integrieren. Im zweiten Term setzen wir die Substitution z = (x − α)/β ein und finden das Integral (4.30) aus Abschnitt II.4. Daher gilt für j = 1 Z x − α A + Bα A + Bx B dx = ln (x − α)2 + β 2 + arctan , 2 2 (x − α) + β 2 β β und für j > 1 Z A + Bx

(x − α)2 + β 2

j dx =

−B

2(j − 1) (x − α)2 + β 2

mit J1 (z) = arctan z und (5.19)

Jj+1 (z) =

j−1 +

A + Bα x − α Jj , β 2j−1 β

z 2j − 1 + Jj (z). j + 1) 2j

2j(z 2

Beispiel. Für die Funktion aus Gl. (5.14) liefert uns Lemma 5.2 die Zerlegung 1 1 A + Bx C + Dx √ √ √ √ = = + . 2 2 2 2 1 + x4 (x + 2x + 1)(x − 2x + 1) x + 2x + 1 x − 2x + 1 √ √ Multiplizieren wir diese Relation mit (x2 + 2x+1) und setzen x = (−1±i)/ 2 ein, so erhalten wir 1 1±i (−1 ± i) = =A+B √ , 2 ∓ 2i 4 2 √ und wir finden A = 1/2, B = 2/4 durch den Vergleich √ von Real- und Imaginärteil dieser Formel. Die Konstanten C = 1/2 und D = − 2/4 folgen analog. Benutzen wir nun obige Formeln, gelangen wir wieder zu (5.16). Bemerkung. Die neue Technik der Partialbruchzerlegungen entfachte bei den Mathematikern des 18ten Jahrhunderts das Interesse an Wurzeln von Polynomen und an der Algebra aufs Neue.

Nützliche Substitutionen Wir kombinieren nun das obige Resultat mit speziellen Substitutionen, um so zu weiteren Klassen von Funktionen mit elementaren unbestimmten Integralen zu gelangen. In diesem gesamten Abschnitt soll dabei R für eine rationale Funktion mit ein, zwei oder drei Argumenten stehen. √ R Integrale der Form R n ax + b, x dx. Eine offensichtliche Ersetzung ist (5.20)

√ n

ax + b = u,

mittels der wir zu

x=

un − b , a

dx =

n n−1 ·u · du, a


Z

R

Z Z √ n un − b n−1 n e ax + b, x dx = R u, u du = R(u) du a a

e gelangen, wobei R(u) eine andere rationale Funktion ist. Dieses letzte Integral kann nun mit den zuvor erläuterten Techniken gelöst werden. R Integrale der Form R eλx dx. Die offensichtliche Substitution u = eλx mit du = λeλx dx und dx = du/(λu) gibt uns als Ergebnis ein Integral einer rationalen Funktion. Beispiel. Z Z Z dx dx du = = 2 = 2 + sinh x 2 + (ex − e−x )/2 u2 + 4u − 1 √ √ Z du 1 u+2− 5 1 ex + 2 − 5 √ = √ ln √ . =2 = √ ln (u + 2)2 − 5 5 u+2+ 5 5 ex + 2 + 5 ¨ Hier haben wir die Formel aus der später folgenden Ubung 5.1 eingesetzt. R Integrale der Form R(sin x, cos x, tan x)dx. Seit der Antike ist bekannt (Pythagoras 570–501 v. Chr., siehe auch R.C. Buck 1980, Sherlock Holmes in Babylon, Am. Math. Monthly Band 87, Nr. 5, S. 335–345), dass die Tripel (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), . . . die Gleichung a2 + b2 = c2 erfüllen und von der Form (u, (u2 − 1)/2, (u2 + 1)/2) sind. Dies erlaubt uns die Substitution (Euler 1768, Caput V, §261) (5.21)

sin x =

2u , 1 + u2

cos x =

1 − u2 , 1 + u2

tan x =

Man stellt fest, dass sin x = u(1 + cos x) gilt, so dass der Punkt (cos x, sin x) im Schnittpunkt der Geraden η = u(1 + ξ) mit dem Einheitskreis liegt (siehe Abbildung). Daher gilt u = tan(x/2), x = 2 arctan u und 2 du. 1 + u2 R Setzen wir dies in R(sin x, cos x, tan x)dx ein, finden wir das Integral einer rationalen Funktion.

x/2

dx =

u

2u . 1 − u2

2u 1+u2

x 1−u2 1+u2

Beispiel. Z

dx = 2 + sin x

Z

2du 2 (1 + u )(2 +

2u 1+u2 )

=

Z

u2

du . +u+1

Das letzte Integral kennen wir aus Gl. (4.18), also Z dx 2 2 1 2 2 x 1 = √ arctan √ u + = √ arctan √ tan + . 2 + sin x 2 2 2 3 3 3 3


√ R Integrale der Form R ax2 + 2bx + c, x dx. Der Ansatz (Euler 1768, § 88) ist es, eine neue Variable z zu definieren, die die Gleichung ax2 + 2bx + c = a(x − z)2 erfüllt. Dies erlaubt die Ersetzung a(az 2 + 2bz + c) dz, 2(b + az)2 p √ √ az 2 + 2bz + c ax2 + 2bx + c = ± a (z − x) = ± a · , 2(b + az) .√ p z = x ± ax2 + 2bx + c a, x= (5.22)

az 2 − c , 2(b + az)

dx =

und wieder erhalten wir das Integral einer rationalen Funktion. Für a < 0 ¨ führt dies zu komplexer Arithmetik, welche man aber durch die in Ubung 5.3 vorgestellte Transformation umgehen kann. √ Manchmal ist es etwas angenehmer, den Ausdruck ax2 + 2bx + c zuvor durch eine geeignete lineare Substitution z = αx + β in eine der Formen p p p z 2 + 1, z 2 − 1, 1 − z2 zu u¨ berführen. Dann können die Ersetzungen (5.23)

z = sinh u,

z = cosh u,

z = sin u

direkt eingesetzt werden, um die Quadratwurzel unter dem Integral zu entfernen. Beispiel. Betrachten wir nochmals Integral (4.27). Setzen wir x = sinh u ein, so erhalten wir Z p Z Z 1 cosh 2u u sinh 2u x2 + 1 dx = cosh2 u du = + du = + 2 2 2 4 √ p 2 u sinh u cosh u 1 x x +1 = + = ln x + x2 + 1 + . 2 2 2 2 ¨ Für die Umkehrfunktion von x = sinh u verweisen wir auf Ubung I.4.3.

¨ Ubungen 5.1 (Joh. Bernoulli, siehe Zitat zu Beginn dieses Abschnitts). Beweisen Sie Z dx 1 x−a = ln + C. 2 2 x −a 2a x+a Z s n ax + b 5.2 Zeigen Sie, dass R , x dx eine elementare Funktion ist. ex + f

5.3 (Euler 1768, Caput II, §88). Nehmen Sie an, dass ax2 +2bx+c die voneinander verschiedenen reellen Wurzeln α und β hat. Zeigen Sie, dass die Substitution z 2 = a(x − β)/(x − α) das Integral


Z

R

p ax2 + 2bx + c, x dx

(R R ist eine rationale Funktion mit zwei Argumenten) in ein Integral der Form e dz u¨ berführt, wobei R e rational ist. R(z)

5.4 Herr C.L. Ever vereinfacht Gl. (5.16) unter Zuhilfenahme von (I.4.32) zu √ √ √ √ Z dx 2 x2 + 2x + 1 2 x 2 √ = ln + arctan x4 + 1 8 4 1 − x2 x2 − 2x + 1 und erhält beispielsweise √ √ Z √2 dx 2 2 = ln 5 + arctan(−2) = −0,1069250677, 4 +1 x 8 4 0

also einen negativen Wert für das Integral einer positiven Funktion. Wo hat er einen Fehler gemacht, und was ist der wahre Wert? 5.5 Berechnen Sie

Z

dx x2 + 1 auf zweierlei Weise; einmal mit der Substitution (5.22) und außerdem √ mit der Substitution (5.23). Dies führt Sie zur Formel arsinh x = ln(x + x2 + 1) ¨ (siehe Ubung I.4.3). 5.6 Beweisen Sie, dass Z R(sin2 x, cos2 x, tan x) dx √

integriert werden kann, wenn man folgende Ersetzungen vornimmt: sin2 x =

u2 , 1 + u2

cos2 x =

1 , 1 + u2

tan x = u.


II.6 Näherungsweise Berechnung von Integralen . . . weil die Analysten nach allen Versuchen endlich geschlossen haben, daß man die Hoffnung aufgeben müsse, elliptische Bögen durch algebraische Formeln, Logarithmen und Circulbögen auszudrücken. (J.H. Lambert 1772, Rectification elliptischer Bögen . . ., Opera, Band I, S. 312) Obwohl das Problem (der numerischen Quadratur) etwa zweihundert Jahre alt ist und von zahlreichen Geometern bearbeitet worden ist: Newton, Cotes, Gauß, Jacobi, Hermite, Tchébychef, Christoffel, Heine, Radeau [sic], A. Markov, T. Stitjes [sic], C. Possé, C. Andréev, N. Sonin und anderen, kann es dennoch nicht als zu Genüge erschöpft betrachtet werden. (Steklov 1918) Mit unserer RMethode kann man sich sehr leicht davon u¨ berzeugen, dass x das Integral e xdx , das viele Geometer lange beschäftigt hat, unmöglich in endlicher Form geschrieben werden kann . . . (Liouville 1835, S. 113)

Trotz der außergewöhnlichen Ergebnisse der vorigen Abschnitte, widersetzten sich die meisten Integrale doch der Genialität der Bernoullis, Eulers, Lagranges und vieler anderer. Zu diesen Integralen gehören beispielsweise Z Z x Z 2 e dx dx e−x dx, , , x ln x Z Z p Z dx dx 2 2 p p , 1 − k cos x dx, . 2 3 (1 − x )(1 − k 2 x2 ) 4x − g2 x − g3

Die letzten drei sind sogenannte elliptische Integrale“. Legendre, Abel, Jacobi ” und Weierstraß haben einen großen Teil ihrer Arbeit dem Studium dieser Integrale gewidmet. Die obigen Integrale können nicht durch endlich viele Terme elementarer Funktionen dargestellt werden (Liouville 1835, siehe Zitat), und wir sehen uns mit neuen Funktionen konfrontiert, die mit neuen Methoden berechnet werden müssen. Wir verfolgen dafür drei Ansätze: (1) Reihenentwicklungen; (2) Näherung durch Polynome (numerische Integration); und (3) asymptotische Entwicklungen.

Reihenentwicklungen Der Ansatz besteht darin, die Funktion als Reihe zu entwickeln (entweder in Potenzen von x oder in allgemeineren Termen) und diese Term für Term zu integrieren. Eine Rechtfertigung dieses Vorgehens werden wir in Abschnitt III.5 weiter unten liefern. Historische Beispiele. Die Berechnungen von Mercator (siehe Gl. (I.3.13)) Z Z 1 x2 x3 ln(1 + x) = dx = 1 − x + x2 − . . . dx = x − + −... 1+x 2 3

sind √ das a¨ lteste Beispiel. Die Berechnung der Bogenlänge des Kreises y = 1 − x2 (siehe Gl. (4.9) und Satz I.2.2)

II.6 Näherungsweise Berechnung von Integralen 139

Z

Z p ′ 2 1 + y (t) dt =

r

Z x t2 arcsin x = 1+ dt = (1 − t2 )−1/2 dt 1 − t2 0 0 0 Z x 1 1·3 4 1 x3 1 · 3 x5 = 1 + t2 + t + . . . dt = x + + +... 2 2·4 2 3 2·4 5 0 x

x

ist genau Newtons Ansatz für Gl. (I.4.25).

Umfang der Ellipse. Wir wollen den Umfang einer Ellipse mit den Halbachsen 1 und b berechnen: x2 +

y2 =1 b2

oder

x = cos t,

y = b sin t.

Da dx = − sin t dt und dy = b cos t dt ist, beträgt der Umfang Z 2π p Z π/2 p P = dx2 + dy 2 = 4 sin2 t + b2 cos2 t dt 0 0 (6.1) Z π/2 p =4 1 − (1 − b2 ) cos2 t dt. | {z } 0 α Dies ist ein elliptisches Integral“ (daher der Name), das im allgemeinen nicht ” elementar lösbar ist. Wir berechnen es √ wie folgt: Sei 1 > b > 0, also 0 < α < 1. Die Idee ist nun, Newtons Reihe für 1 − x (Satz I.2.2) zu benutzen, (6.2)

√

1−x= 1−

mit dem Ergebnis (6.3)

P =4

Z

π/2

(1 −

0

x 1·1 2 1·1·3 3 − x − x − ..., 2 2·4 2·4·6 α 1·1 2 cos2 t − α cos4 t − . . .) dt. 2 2·4

Mit den Methoden aus Abschnitt II.4 (siehe Gl. (4.28)) finden wir Z π/2 π 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) cos2n t dt = · , 2 2 · 4 · 6 · . . . · (2n) 0 und (6.3) wird zu (vgl. Euler 1750, Opera, Band XX, S. 49) 1 1 1·1 1·3 1·1·3 1·3·5 (6.4) P = 2π 1 − α · − α2 · − α3 · − ... . 2 2 2·4 2·4 2·4·6 2·4·6

Die Konvergenz dieser Formel ist in Abb. 6.1 dargestellt. Für α = 0 (d.h. b = 1) haben wir einen Kreis vorliegen, also P = 2π. Für α = 1 (d.h. b = 0) konvergiert die Reihe nur a¨ ußerst langsam gegen den wahren Wert, nämlich 4. Fresnelsche Integrale. Die Fresnelschen Integrale (Fresnel 1818), Z t Z t (6.5) x(t) = cos(u2 ) du, y(t) = sin(u2 ) du, 0

0


2π 6

y=

5

1 3

Z

t

sin u2 du

0

−1

x=

2

Z

t

1 cos u2 du

0

exakt

4 .0

b 1.0

.5

−1

ABB. 6.1. Konvergenz der Reihen (6.4) (Umfang der Ellipse)

ABB. 6.2. Fresnelsche Integrale

¨ haben interessante Eigenschaften (Ubung 6.4) und erzeugen in der (x, y)-Ebene eine wunderschöne Spirale (Abb. 6.2). Sie sind nicht elementar. Jedoch haben die Funktionen sin(u2 ) und cos(u2 ) einfache Reihendarstellungen (die Reihen von sin z und cos z mit z = u2 ; siehe (I.4.16) und (I.4.17)), aus denen wir das Integral Term für Term bestimmen können: Z t Z t u6 u10 t3 t7 t11 sin(u2 ) du = u2 − + − . . . du = − + −... 3! 5! 3 7 · 3! 11 · 5! 0 0 Z t Z t u4 t5 t9 t13 cos(u2 ) du = 1− + . . . du = t − + − + ... . 2! 5 · 2! 9 · 4! 13 · 6! 0 0 Die Konvergenz dieser Reihen ist in Abb. 6.3 wiedergegeben. Die Ergebnisse sind besonders gut für kleine Werte von t. Für wachsende Werte von |t| müssen dagegen mehr und mehr Terme in Betracht gezogen werden.

1 0

Z

t

cos u2 du

9

1

0

1

2

5 13

3

4

5

0

Z

t

sin u2 du

11

0

1

2

7 15

3

4

5

ABB. 6.3. Fresnelsche Integrale aus der Reihenentwicklung; die Zahlen 5,9,13 und 7,11,15 beziehen sich auf die letzte berechnete Potenz von t.

Numerische Methoden Rb Nehmen wir an, wir wollen das Integral a f (x)dx u¨ ber ein gegebenes Integrationsintervall [a, b] berechnen. Der Ansatz ist nun der folgende: Wir halten ein N


fest, unterteilen das Intervall [a, b] in N Teilintervalle der Länge h = (b − a)/N , x0 = a,

x1 = a + h,

...

xi = a + ih,

...

xN = b,

und ersetzen die Funktion f (x) lokal durch Polynome, die sich leichter integrieren lassen. Trapezregel. Auf dem Intervall [xi , xi+1 ] ersetzen wir die Funktion f (x) durch eine gerade Strecke, die durch (xi , f (xi )) und (xi+1 , f (xi+1 )) verläuft. Das Integral zwischen xi und xi+1 wird dann durch die trapezförmige Fläche h · f (xi ) + f (xi+1 ) /2 genähert, und wir erhalten Z

b

f (x) dx ≈

a

N −1 X i=0

h f (xi ) + f (xi+1 ) 2

f (x0 ) f (xN ) =h + f (x1 ) + f (x2 ) + . . . + f (xN−1 ) + . 2 2

(6.6)

Beispiel. Die oberen Bilder aus Abb. 6.4 zeigen die Funktionen cos x2 und sin x2 zusammen mit ihren jeweiligen trapezförmigen Approximationen (Schrittweite h = 0,5, N = 10). Die Punkte in den unteren Abbildungen stellen die Näherungen des Fresnelschen Integrals dar, die man jeweils für h = 1/2 und h = 1/8 erhält; die einzelnen Punkte sind durch gerade Linien miteinander verbunden. 1

1 sin x2

cos x2

0

1

2

3

4

5

−1

1 0

0

1

2

3

4

5

2

3

4

5

−1

Z

x

cos t2 dt

1

0

1

2

3

4

5

0

Z

x

sin t2 dt

0

1

ABB. 6.4. Fresnelsche Integrale mit der Trapezregel

Simpson-Regel (benannt nach Simpson 1743). Die Idee ist, drei aufeinander folgende Werte von f (xi ) (yi = f (xi )) auszuwählen und dann die Interpolationsparabel durch diese Punkte zu berechnen (siehe Satz I.1.2 und Gl. (2.6)): p(x) = y0 + (x − x0 )

∆y0 (x − x0 )(x − x1 ) ∆2 y0 + . h 2 h2

Mit der Ersetzung x = x0 + th wird die Fläche zwischen x-Achse und dieser Parabel zu

142 II. Differential- und Integralrechnung TABELLE 6.1. Berechnung von N 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144

(6.7)

R 10 1

dx x

mit verschiedenen Quadratur-Regeln

Trapez

Simpson

2,34 2,31 2,305 2,303 2,3027 2,3026 2,3025 2,302587 2,3025858 2,3025852

2,307 2,303 2,3026 2,302587 2,3025852 2,3025851 2,302585093 2,3025850930 2,302585092996 2,3025850929941

Z

x2 x0

p(x) dx = 2h · y0 + h

Z

Newton

Cotes

2,31 2,303 2,3026 2,30259 2,3025854 2,3025851 2,302585094 2,3025850930 2,302585092999 2,3025850929943

2,305 2,3027 2,30259 2,3025852 2,302585095 2,3025850930 2,3025850929947 2,30258509299405 2,3025850929940458 2,302585092994045686

0

2

Z t dt · ∆y0 + h

0

2

t(t − 1) dt · ∆2 y0 2

h = y0 + 4y1 + y2 . 3 Wir finden die Simpson-Regel (für gerades N ) (6.8) Z b h f (x) dx ≈ f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + . . . + f (xN ) . 3 a Newton-Cotes-Formel. Wählen wir statt einer Parabel Interpolationspolynome höheren Grades, so finden wir analog Z x3 3h f (x) dx ≈ f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 ) 8 x Z x0 4 2h f (x) dx ≈ 7f (x0 ) + 32f (x1 ) + 12f (x2 ) + 32f (x3 ) + 7f (x4 ) , 45 x0 und so weiter. Die erste Formel geht auf Newton (1671) zurück, und heißt 3/8Regel. Cotes berechnete 1711 sämtliche dieser Formeln bis zum Grad 10 (siehe Goldstine 1977, S. 77). R 10 Numerische Beispiele. Wir berechnen Näherungswerte für 1 dx x = ln(10) mit den obigen Regeln für N = 12, 24, 48, . . . . Die Ergebnisse sind in Tabelle 6.1 zusammengefasst. Wir stellen fest, dass sich die Näherungswerte nur in jeder ¨ zweiten Spalte deutlich verbessern (siehe Ubung 6.5 für eine Erklärung). Wir können ein interessantes Phänomen beobachten, wenn wir die TrapezR 2π √ regel auf das elliptische Integral P = 0 1 − α cos2 t dt anwenden (hier mit b = 0,2, α = 0,96, siehe Tabelle 6.2). Die Näherung konvergiert viel besser als erwartet. Der Grund hierfür liegt in der Periodizität der Funktion f (t); wir werden diese Superkonvergenz“ durch die Euler-Maclaurin-Formel in Abschnitt ” II.10 erklären können.

II.6 Näherungsweise Berechnung von Integralen 143 TABELLE 6.2. Berechnung eines elliptischen Integrals mit der Trapezregel N Trapezregel 12 24 48 96 192 384

4,1 4,201 4,2020080 4,20200890792 4,20200890793780018891 4,2020089079378001889398329176947477824

Asymptotische Entwicklungen Rx 2 Die folgende Methode wurde von Laplace (1812) zur Berechnung von 0 e−t dt ¨ eingesetzt (siehe Oeuvres, Band VII, S. 104 und Ubung 6.7), sowie 1842 von Cauchy für Fresnelsche Integrale (siehe Kline 1972, S. 1100). Wohingegen sich Reihenentwicklungen und numerische Methoden für besonders kleine und auch mittlere Werte von x eignen, ist die Methode der asymptotischen Entwicklung angepasst an große x. Wir demonstrieren diese Technik anhand der Fresnelschen Integrale. Für den ¨ Grenzwert x → ∞ ist der exakte Wert des Integrals bekannt (Ubung IV.5.14): r Z ∞ Z ∞ 1 π (6.9) cos t2 dt = sin t2 dt = . 2 2 0 0 Rx R∞ R∞ Die Idee ist nun, das Integral in die zwei Teile 0 = 0 − x aufzuspalten, d.h. (6.10)

Z

0

x

cos t2 dt =

1 2

r

π − 2

Z

∞

cos t2 dt.

x

Dem Integral auf der rechten Seite fügen wir künstlich die Faktoren 2t und 1/(2t) hinzu, um eine partielle Integration mit u(t) = 1/t, v(t) = sin t2 auszuführen. Dies liefert uns Z ∞ Z Z 1 ∞1 1 1 1 ∞ 1 2 2 2 − cos t dt = − · 2t cos t dt = sin x − sin t2 dt. 2 2 t 2 x 2 t x x x Das neue Integral erscheint keineswegs einfacher zu sein als das anfängliche. Doch für große x ist das Integral auf der rechten Seite, das ja den zusätzlichen Faktor 1/t2 enthält, viel kleinerR als das ursprüngliche. Daher ist bereits (2x)−1 sin x2 ∞ eine gute Näherung für − x cos t2 dt. Falls die Güte der Näherung noch nicht ausreicht, kann man das Verfahren wiederholen (nun mit u(t) = 1/t3 und v(t) = − cos t2 ): Z Z 1 ∞ 1 1 1 1·3 ∞ 1 2 2 (6.11) − sin t dt = − cos x + cos t2 dt. 2 x t2 2 · 2 x3 2 · 2 x t4


Setzen wir dies fort, finden wir nach (6.10) r Z x 1 π 11 1 1 1·3 1 2 cos t dt = + sin x2 − cos x2 − sin x2 3 2 2 2 x 2 · 2 x 2 · 2 · 2 x5 0 1·3·5 1 1·3·5·7 1 (6.12) + cos x2 + sin x2 − . . . . 2 · 2 · 2 · 2 x7 2 · 2 · 2 · 2 · 2 x9 Eine analoge Formel gilt für r Z x 1 π 11 1 1 1·3 1 2 sin t dt = − cos x2 − sin x2 + cos x2 3 2 2 2x 2·2 x 2 · 2 · 2 x5 0 1·3·5 1 1·3·5·7 1 (6.13) + sin x2 − cos x2 − . . . . 2 · 2 · 2 · 2 x7 2 · 2 · 2 · 2 · 2 x9

Die außergewöhnliche Präzision dieser Näherungen für große x wird in Abb. 6.5 dargestellt. Die Zahlen 1, 3, 5 stehen dabei für die jeweils letzte betrachtete Potenz von 1/x.

1

0

Z

3

cos t2 dt

0

1 2

10 1

1

20 2

Z

x

1

30 3

3

0

sin t2 dt

0

2 1

x

10

20 2

30 3

ABB. 6.5. Asymptotische Entwicklungen (6.12) und (6.13) mit 1, 2, 3, 10, 20, 30 Termen

(6.1) Bemerkung. Wir können den Fehler der Partialsummen von (6.12) auf einfache Weise abschätzen. Wenn wir beispielsweise nach dem Term (2x)−1 sin x2 abbrechen, zeigt die obige Ableitung, dass der Fehler durch den Wert des Integrals in (6.11) gegeben ist (im Bereich x ≤ t < ∞). Setzen wir | cos t2 | ≤ 1 ein, erhalten wir als obere Schranke (2x3 )−1 , was für x > 2 weniger als 0,0625 beträgt. (6.2) Bemerkung. Die unendlichen Reihen (6.12) und (6.13) konvergieren nicht für festes x. Dies liegt daran, dass der allgemeine Term den Faktor 1 · 3 · 5 · 7 · 9 · . . . im Zähler enthält, der alle anderen Faktoren dominiert. Solche Reihen wurden von Poincaré asymptotische Entwicklungen genannt.


¨ Ubungen 6.1 (Joh. Bernoulli 1697). Leiten Sie die series mirabili“ her: ” Z 1 1 1 1 1 xx dx = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 &c. 2 3 4 5 0 Hinweis. Benutzen Sie die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion für R xx = ex ln x und berechnen Sie xn (ln x)n dx durch partielle Integration. √ R 6.2 Das Integral x2 dx/ 1 − x4 ist Jak. Bernoulli in seinen Studien u¨ ber das elastische Band und Leibniz in seiner Untersuchung der Isochrona Paracentrica begegnet. Bestätigen Sie die Formel (Leibniz 1694b) Z x2 dx 1 1 1·3 1·3·5 √ = x3 + x7 + x11 + x15 &c. 3 7·2·1 11 · 4 · 1 · 2 15 · 8 · 1 · 2 · 3 1 − x4 6.3 Leiten Sie wie in (6.7) die Newton-Cotes-Formeln durch Integration der Interpolationspolynome der Grade 3 und 4 her, jeweils in den Intervallen [x0 , x3 ] and [x0 , x4 ]. 6.4 Beweisen Sie für die in (6.5) definierte Kurve (siehe Abb. 6.2), dass a) die Bogenlänge zwischen dem Ursprung und (x(t), y(t)) gleich t ist; und b) der Krümmungsradius am Punkt (x(t), y(t)) gleich 1/(2t) ist. 6.5 Zeigen Sie, dass die Simpson-Regel für alle Polynome vom Grad 3 exakt ist. 6.6 Berechnen Sie mit Hilfe der Simpson-Regel Z 1 ln(1 + x) dx . 1 + x2 0 Untersuchen Sie, wie der Fehler mit wachsendem N abnimmt. Ergebnis. Der wahre Wert beträgt (π/8) ln 2 = 0,2721982613 . R∞ √ 2 6.7 Leiten Sie unter Einsatz von 0 e−t dt = π/2 (siehe (IV.5.41) unten) Rx 2 eine asymptotische Entwicklung der Fehlerfunktion Φ(x) = √2π 0 e−t dt her, die für große Werte von x gilt (Laplace 1812, Livre premier, No. 44). 2 e−x 1 1 1·3 1·3·5 Ergebnis. Φ(x) = 1 − √ − + − + . . . . π x 2 · x3 22 · x5 23 · x7 6.8 Berechnen Sie numerisch das Integral √ p √ Z ∞ 1 π 2 2+ 2 2 √ cos x dx = ≈ 1,674813394 . 4 · Γ (3/4) x 0 Wählen Sie zwei Zahlen A ≈ 1/10, B ≈ 10 und berechnen Sie das Integral a) im Intervall (0, A] mittels einer Reihe; b) im Intervall [A, B] nach der Simpson-Regel; und c) im Intervall [B, ∞) mit einer asymptotischen Entwicklung.


II.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen Ergo & horum integralia aequantur.

(Jak. Bernoulli 1690)

In den Abschnitten II.4 und II.5 haben wir das Problem behandelt, wie man eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion f (x) findet, d.h. wir suchten nach einer Funktion y(x), die die Gleichung y ′ (x) = f (x) erfüllt. Nun betrachten wir das deutlich schwerere Problem, in dem f zusätzlich von der unbekannten Funktion y(x) abhängt. Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Beziehung der Form y ′ = f (x, y).

(7.1)

Wir suchen nach einer Funktion y(x), für die y ′ (x) = f (x, y(x)) für jedes x in einem vorgegebenen Intervall gilt. Lassen Sie uns mit einigen historischen Beispielen beginnen (für weitere Details siehe Wanner 1988). Das Isochronenproblem von Leibniz. Galilei entdeckte, dass ein Körper, der aus dem Koordinatenursprung √heraus entlang der y-Achse nach unten fällt, seine Geschwindigkeit gemäß v = −2gy erhöht, wobei g die Schwerebeschleunigung ist. Während seiner Auseinandersetzungen mit den Kartesianern u¨ ber Mechanik veröffentlichte Leibniz (in der September-Ausgabe 1687 des Journals Nouvelles de la République des lettres) das folgende Problem: Man finde eine Kurve y(x) (siehe Abb. 7.1) derart, dass, wenn ein Körper auf dieser Kurve nach unten gleitet, seine Vertikalgeschwindigkeit dy/dt u¨ berall gleich einer vorgegebenen Konstante −b ist. 1 1

S1 x

−1

r

−1 −

2gy b2

dx

−1

S2

y dy

ABB. 7.1. Die Leibnizsche Isochrone

Ein Monat später gab Vir Celeberrimus Christianus Hugenius“ (Huygens) ” eine Lösung an, sed suppressa demonstratione & explicatione“. Die demon” ” stratio“, die sodann von Leibniz (1689) veröffentlicht wurde, bleibt unzufriedenstellend, da die Lösung geraten wurde und erst dann die ihr zugeschriebenen Eigenschaften gezeigt wurden. Ein allgemeiner Ansatz zur Lösung wurde unter Zuhilfenahme der modernen“ Differentialrechnung von Jak. Bernoulli (1690) ”

II.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen 147

¨ spektakulärer Entdeckungen durch Jak. und veröffentlicht. Dies eröffnete eine Ara Joh. Bernoulli, später auch durch Euler und Daniel Bernoulli, und machte Basel für viele Jahrzehnte zum weltbedeutendsten Zentrum mathematischer Forschung. Lassen Sie uns Galileis Formel schreiben in der Form ds 2 dx2 + dy 2 (7.2) = = −2gy (s = Bogenlänge), dt dt2 und dann durch (dy/dt)2 = +b2 teilen (dies ist die gesuchte Bedingung): dx 2 −2gy dy −1 (7.3) +1= oder = p . dy b2 dx −1 − 2gy/b2

Dies ist eine Differentialgleichung der Art (7.1). Um nun Bernoullis Idee zu verstehen, schreiben wir (7.3) als r 2gy (7.4) dx = − −1 − 2 dy, b was die Tatsache ausdrückt (siehe Abb. 7.1), dass die zwei gestreiften Rechtecke stets gleich große Flächen haben. Jakob schrieb hierzu Ergo & horum Integralia ” aequantur“ (hier erscheint das erste Mal u¨ berhaupt in der Mathematik das Wort Integral“), d.h. dass die Flächen S1 und S2 ebenfalls gleich sein müssen. Nach ” Integration finden wir die Lösung b2 2gy 3/2 x= −1 − 2 , 3g b und die Solutio sit linea paraboloeides quadrato cubica . . .“ (Leibniz). ” Die Traktrix.

Der ausgezeichnete Pariser Arzt Claude Perrault, gleichermaßen berühmt für seine Arbeiten u¨ ber Mechanik wie Architektur, wohlbekannt für seine Ausgabe des Vitruv, und zu Lebzeiten ein wichtiges Mitglied der königlichen Pariser Akademie der Wissenschaften, stellte mir und vielen anderen vor mir dieses Problem vor, wobei er aufrichtig eingestand, dass er nicht in der Lage war, es zu lösen . . . (Leibniz 1693)

Während sich Leibniz in Paris aufhielt (1672–1676) und dort von Huygens unterrichtet wurde, stellte der berühmte Anatom und Architekt Claude Perrault das folgende Problem: Für welche Kurve hat die Tangente an jeden Punkt P von P zu ihrem Schnittpunkt mit der x-Achse die konstante Länge a (Abb. 7.2)? Um seine Frage zu illustrieren, zog er die Kette seiner Taschenuhr hervor, eine horologio portabili suae thecae argenteae“, und zog sie ” u¨ ber den Tisch, wodurch die Kette eine Kurve beschrieb. Er behauptete, dass kein Mathematiker aus Paris oder Toulouse (Fermat) in der Lage war, die Formel dieser Kurve, Traktrix“ oder auch Schleppkurve“ genannt, zu ” ” bestimmen.


ABB. 7.2. Die Traktrix

ABB. 7.3. Skizze von Leibniz (1693)1

Leibniz publizierte seine Lösung 1693 (siehe Leibniz 1693), in der er versichert, er hätte die Lösung bereits seit geraumer Zeit in der Form p dy y a2 − y 2 = −p bzw. − dy = dx 2 2 dx y a −y

gekannt, und fand ( ergo & horum . . .“) eine Lösung durch Quadratur (Abbil” dungen 7.2 und 7.3). Leibniz stellte weiter fest, es sei wohlbekannt“, dass diese ” Fl¨ pache durch den Logarithmus ausgedrückt werden kann, mittels der Substitution 2 2 2 a2 − y 2 = v, a − y = v , −y dy = v dv findet man also (7.5)

x=

Z

a

y

p p p a2 − y 2 a − a2 − y 2 2 2 dy = − a − y − a log , y y

¨ was sich als Lösung herausstellt (siehe auch Ubung 7.1). Wir wollen kurz erwähnen, dass Leibniz an dieser Theorie auch in umgekehrter Richtung Interesse fand: Perraults Uhr als mechanische Integrationsmaschine zur Berechnung des Integrals (7.5) (und damit des Logarithmus) zu benutzen, sowie weitere mechanische Geräte für a¨ hnliche Integrale zu entwickeln. Die Katenoide. Aber um die Qualität Ihres Algorithmus sicher bewerten zu können, warte ich ungeduldig auf die Ergebnisse, die Sie für die Form eines hängenden Seils oder einer hängenden Kette erhalten haben, welche Mr. Bernouilly Ihnen als Untersuchungsobjekt vorgeschlagen hatte, weshalb ich ihm sehr dankbar bin, denn diese Kurve besitzt bemerkenswerte Eigenschaften. Ich habe sie vor langer Zeit in meiner Jugend untersucht, als ich erst 15 Jahre alt war, und ich bewies Vater Mersenne, dass sie keine Parabel sein kann ... (Brief von Huygens an Leibniz, 9. Okt. 1690) Die Mühen meines Bruders waren ohne Erfolg, ich selbst hatte etwas mehr Glück, da ich den Weg gefunden habe . . . Es stimmt, dass dies tiefer ¨ Uberlegungen bedurfte, die mir den Schlaf einer ganzen Nacht raubten . . . (Joh. Bernoulli, siehe Briefwechsel, Band 1, S. 98) 1



Galilei (1638) bemerkte, dass eine Kette, die von zwei Nägeln herabhängt, ad ” unguem“ eine Parabel formt. Etwa 20 Jahre später entdeckte ein 16 Jahre alter niederländischer Junge (Christiaan Huygens), dass dieses Ergebnis falsch sein musste. Schließlich wurde die Lösung des Problems der Form eines hängenden beweglichen Fadens ( Linea Catenaria vel Funicularis“, die Katenoide“ oder ” ” auch Kettenlinie“) durch Leibniz (1691b) und Joh. Bernoulli (1691) ein u¨ ber” ragender Erfolg des neuen“ Kalküls. Hier stellen wir Johanns Ansatz vor (Opera, ” Band III, S. 491–493).

y A s B

H

E V

x

ABB. 7.4. Die Katenoide

ABB. 7.5. Katenoide (Leibniz 1691)2

Sei B der tiefste Punkt und A ein beliebiger anderer Punkt auf der Kurve (Abb. 7.4). Als nächstes zeichnen wir die Tangenten AE und BE und stellen uns vor, dass die Masse der Kette von Länge s zwischen A und B im Punkt E konzentriert ist, und u¨ ber zwei masselose Fäden ( duorum filiorum nullius gravitatis“) ” mit A und B verbunden ist. Da die Masse in E proportional zu s ist, zeigt das Kräfteparallelogramm in E, dass die Steigung in A proportional zur Bogenlänge ist, d.h. (7.6)

c · y ′ = s.

Von da ab werden Johanns Berechnungen sehr kompliziert, er benutzt Differentiale zweiter Ordnung (siehe Opera, Band III, S. 426). Sie werden allerdings einfach, wenn wir im Geiste Riccatis (siehe (7.21) unten) die Ableitung y ′ durch die neue Variable p ersetzen und nun nach Differentiation p (7.7) c · dp = ds = 1 + p2 dx finden, eine Differentialgleichung zwischen den Variablen p und x. 2



Integration liefert Z Z dp c p = dx, 1 + p2 x − x 0 p = sinh c

(7.8)

also

und

arsinh(p) =

y = K + c · cosh

x − x0 , c

x − x 0 . c

Die Brachistochrone. Gegeben zwei Punkte A und B in einer vertikalen Ebene, bestimme man denjenigen Pfad AM B, auf dem ein bei A startendes und sich nur aufgrund seines Gewichts bewegendes Teilchen M den Punkt B in kürzestmöglicher Zeit erreicht. (Joh. Bernoulli 1696) Dieses Problem scheint mir eines der kuriosesten und schönsten zu sein, die je erörtert wurden, und ich würde mich sehr gerne um seine Lösung bemühen, aber dafür ist es notwendig, dass Sie es mir auf reine Mathematik reduzieren, denn die Physik verwirrt mich . . . (de L’Hospital, Brief an Joh. Bernoulli, 15. Juni 1696)

Galilei bewies 1638, dass ein Körper, der von A nach C gleitet (Abb. 7.7) weniger Zeit auf dem Umweg ADC benötigt als auf der geraden Verbindung (aufgrund seiner größeren Anfangsgeschwindigkeit). Er fuhrt fort und bewies, dass ADEC, ADEFC und ADEFGC stets schneller sind, und schlussfolgert, dass der Kreis der schnellste aller Pfade ist. Als er hörte, dass sein Bruder Jakob denselben Fehler gemacht hatte, ergriff Johann (1696) diese Gelegenheit, um einen o¨ ffentlichen Wettbewerb auszuschreiben, wer die sogenannte Brachistochrone“ ” finden kann (β̺αχ´ υ ς = kurz, χ̺´ oνoς = Zeit). Die zeitig eingereichten Lösungen, einschließlich der von Jakob, waren leider alle fehlerfrei; allerdings war Johanns eigene die eleganteste: Er zog eine Analogie zu Fermats Prinzip“ (siehe ” Gl. (2.5)): B A A x D

dx ds

E

α

y ABB. 7.6. Die Brachistochrone

F

C

C

G

ABB. 7.7. Galileis falsche Brachistochrone

Er dachte an viele√Schichten, in denen die Geschwindigkeit des Lichts“ ” gegeben ist durch v = 2gy (siehe (7.2) und Abb. 7.6). Der schnellste Pfad ist nun derjenige, der u¨ berall das Brechungsgesetz (also Fermats Prinzip) erfüllt: v = K. sin α


Aufgrund von sin α = dx/ds finden wir also r dy 2 p (7.9) 1 + 2 · 2gy = K bzw. dx

dx =

r

y · dy. c−y

¨ Nach wie vor in Ubereinstimmung mit ergo & horum integralia æquantur“ führt ” die Ersetzung (7.10)

y = c · sin2 u =

c c − cos 2u 2 2

zur Formel (7.11)

x − x0 = c u −

c sin 2u 2

ex qua concludo Curvam Brachystochronam esse Cycloidem vulgarem“. ”

Einige Klassen integrabler Gleichungen Wir diskutieren nun einige der einfachsten Formen von Differentialgleichungen, die sich durch Berechnung von Integralen lösen lassen. Gleichung mit getrennten Variablen. (7.12)

y ′ = f (x)g(y).

Alle vorhergehenden Beispiele, namentlich (7.3), (7.5), (7.7) und (7.9), sind von diesem Typ. Man löst sie durch Separation der Variablen“, d.h. man setzt y ′ = ” dy/dx ein, bringt dann x und y auf verschiedene Seiten des Gleichheitszeichens und integriert anschließend ( ergo & . . .“), also ” Z Z dy dy (7.13) = f (x) dx und = f (x) dx + C. g(y) g(y) Falls G(y) und F (x) Stammfunktionen von 1/g(y) bzw. f (x) sind, so lässt sich die Lösung ausdrücken durch G(y) = F (x) + C. Homogene lineare Differentialgleichung. (7.14)

y ′ = f (x)y.

Dies ist ein Spezialfall von (7.12). Seine Lösung lautet Z Z (7.15) ln y = f (x) dx + C, also y = C · exp f (x) dx . Inhomogene lineare Differentialgleichung. (7.16)

y ′ = f (x)y + g(x).


Joh. Bernoulli schlug vor, die Lösung als Produkt zweier Funktionen y(x) = u(x) · v(x) zu schreiben (vergleiche Tartaglias Ansatz in Gl. (I.1.5)). Wir erhalten dann du dv ·v+ · u = f (x) · u · v + g(x). dx dx Wir können nun beide Terme einzeln gleichsetzen, und erhalten (7.17a) (7.17b)

du = f (x) · u dx dv g(x) = dx u(x)

um u zu berechnen, um v zu berechnen.

Gleichung (7.17a) ist eine homogene lineare Differentialgleichung für u, und ihre Lösung ist gegeben durch (7.15). Die Funktion v(x) erhält man dann durch Integration von (7.17b). Entsprechend lautet die Lösung von (7.16): Z x Z x g(t) (7.18) y(x) = C · u(x) + u(x) dt, u(x) = exp f (t) dt . 0 u(t) 0 Diese Beziehung ist Ausdruck der Tatsache, dass die Lösung von (7.16) eine Summe der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Bernoullis Differentialgleichung. In Wahrheit gibt es keine genialere Lösung als die, die Sie für die Gleichung Ihres Bruders angegeben haben; und diese Lösung ist so einfach, dass man u¨ berrascht ist, wie schwierig das Problem zuvor erschien: Dies ist wahrlich, was man eine elegante Lösung nennt. (P. Varignon, Brief an Joh. Bernoulli 6 Aoust 1697“) ”

Im Jahr 1695 hat sich Jak. Bernoulli monatelang abgemüht, (7.19)

y ′ = f (x) · y + g(x) · y n .

zu lösen. Dies erschien Jakob eine geeignete Gelegenheit zu sein, einen o¨ ffentlichen Wettbewerb zu organisieren. Unglücklicherweise hatte Johann gleich zu Beginn zwei elegante Ansätze (siehe Joh. Bernoulli 1697b). Den ersten Ansatz ¨ behandeln wir in Ubung 7.2. Der zweite ist derselbe wie der oben beschriebene, nämlich die Lösung in der Form y(x) = u(x) · v(x) zu schreiben. Für die Differentialgleichung (7.19) führt dies wieder zu (7.17a) für u und (7.20)

dv = g(x)un−1 (x)vn dx

für v, eine Differentialgleichung, die sich durch Separation der Variablen lösen lässt. Dies führt zur Lösung Z x 1/(1−n) y(x) = u(x) C + (1 − n) g(t)un−1 (t) dt , 0

mit u(x) wie in Gl. (7.18).


Differentialgleichungen zweiter Ordnung Um die obige Formel von ihren zweiten Differenzen zu befreien, . . ., bezeichnen wir die Subnormale BF mit p. (Riccati 1712)

Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist von der Form y ′′ = f (x, y, y ′ ). Die analytische Lösung einer solcher Gleichung ist nur selten möglich. Es gibt aber einige Ausnahmen. Gleichungen, die nicht von y abhängen. Es ist natürlich, p = y ′ einzusetzen, um so die Differentialgleichung y ′′ = f (x, y ′ ) auf die Gleichung erster Ordnung p′ = f (x, p) zurückzuführen. Wir bemerken dabei, dass die Differentialgleichung (7.7) der Katenoide tatsächlich von diesem Typ ist. Gleichungen, die nicht von x abhängen. y ′′ = f (y, y ′ ).

(7.21)

Der Ansatz (Riccati 1712) lautet, y als unabhängige Variable zu betrachten, und dann nach einer Funktion p(y) zu suchen mit y ′ = p(y). Die Kettenregel liefert dann dp dp dy y ′′ = = · = p′ · p, dx dy dx und Gl. (7.21) wird zur Gleichung erster Ordnung (7.22)

p′ · p = f (y, p).

Sobald man die Funktion p(y) aus (7.22) gefunden hat, bleibt einem nur noch u¨ brig, y ′ = p(y) zu integrieren, was eine Gleichung vom Typ (7.12) ist. Beispiel. Die Bewegung eines Pendels (s. Skizze von Leonardo da Vinci) wird durch die Gleichung (7.23)

y ′′ + sin y = 0

beschrieben (y beschreibt die Auslenkung aus dem Gleichgewichtszustand). Da Gl. (7.23) nicht von t abhängt (wir schreiben t statt x, da diese Variable in diesem Beispiel für die vergangene Zeit steht), können wir unsere obige Transformation benutzen und finden p · dp = − sin y · dy

und

c

Bibl. Nacional, Codex Madrid I 147r

p2 = cos y + C. 2


Wenn wir nun die Amplitude der Schwingungen mit A notieren (in diesem Moment gilt p = y ′ = 0), so gilt C = − cos A und wir erhalten (7.24)

p=

dy p = 2 cos y − 2 cos A, dt

was eine Differentialgleichung für y darstellt. Separation der Variablen liefert schließlich die Lösung in impliziter Form, als Ausdruck eines elliptischen Integrals Z

(7.25)

0

y

√

dη =t 2 cos η − 2 cos A

(die Integrationskonstante bestimmt sich aus der Annahme y = 0 für t = 0). Wenn T die Periodendauer der Schwingungen ist, wird die maximale Auslenkung A zum Zeitpunkt t = T /4 angenommen. Folglich gilt für die Periodendauer (7.26)

T =4

Z

0

A

√

dy =2 2 cos y − 2 cos A

Z

A

0

dy q . sin2 (A/2) − sin2 (y/2)

Wir sehen, dass dies von der Amplitude A abhängt, und für kleine A nahe an 2π ¨ liegt (Ubung 7.5). Das isochrone Pendel. Das Problem besteht darin, das normale Pendel derart zu modifizieren, dass seine Periodendauer unabhängig von der Amplitude wird. Der Ansatz von Huygens (1673, Horologium Oscillatorium) bestand darin, den Kreis, auf dem sich ein normales Pendel bewegt, so zu verändern, dass die Beschleunigungskraft proportional zur Bogenlänge s wird. Die Bewegung des Pendels wäre dann beschrieben durch s′′ + Ks = 0,

(7.27)

dessen Schwingungen von der Amplitude unabhängig sind. ¨ Lösung. Wir sehen aus der Ahnlichkeit der Dreiecke in Abb. 7.8 (rechts), dass die Beschleunigungskraft f = −dy/ds beträgt, mit unserer Bedingung f = −Ks also: (7.28)

dy = K · s ds.

Falls s = 0 für y = 0 gilt (d.h. der Ursprung wird im niedrigsten Punkt platziert), erhalten wir durch Integration (7.29)

K 2 y= ·s 2

bzw.

s=

r

2y . K


Für unsere Kurve ist also die Höhe proportional zum Quadrat der Bogenlänge (Joh. Bernoulli 1691/92b, S. 489–490). Setzen wir s aus (7.29) in (7.28) ein, finden wir √ p dy √ = 2K dx2 + dy 2 y oder nach Quadrieren r c c−y 2 2 (7.30) − 1 dy = dx und dy = dx y y mit c = 1/(2K). Abgesehen von einer Verschiebung in y ist dies genau die Gleichung (7.9) der Brachistochrone, und wir erkennen, dass das isochrone Pendel auf einer Zykloiden läuft, so wie Joh. Bernoulli (1697c) sagte: animo revol” vens inexpectatam illam identitatem Tautochronae Hugeniae nostrae que Brachystochronae“ (siehe Abb. 7.8).

ds dy

f

1

ABB. 7.8. Das isochrone Pendel von Huygens

¨ Ubungen 7.1 Berechnen Sie das Integral (7.5) für die Traktrix mit der Substitution y = a cos t, durch Einsetzen von sin2 t = 1 − cos2 t, und Anwendung der Substitution (5.21). 7.2 (Joh. Bernoulli 1697b). Lösen Sie die Differentialgleichung de mon Frére“ ” (7.31) y ′ = g(x) · y + f (x) · y n

durch die Transformation y = vβ . Bestimmen Sie diejenige Konstante β, für die (7.31) zu einer linearen Differentialgleichung in v wird. 7.3 Die logistische Gleichung des Bevölkerungswachstums (Verhulst 1845) wird durch die Differentialgleichung y ′ = by(a − y)

beschrieben, wobei a, b Konstanten sind. Wählen Sie a = 5, b = 2 und finden Sie eine Lösung mit der Anfangsbedingung y(0) = 0,1.


7.4 Zeigen Sie, dass eine Differentialgleichung der Form y y′ = G x

durch die Substitution v(x) = y(x)/x gelöst werden kann. Wenden Sie diese Methode an, um 9x + 2y y′ = 2x + y zu lösen.

7.5 Die Lösung der Pendelgleichung y ′′ + ω 2 sin y = 0, die zu den Anfangswerten y(0) = A, y ′ (0) = 0 gehört, hat die Periodendauer Z −1/2 2 A 2 T = sin (A/2) − sin2 (y/2) dy ω 0

(siehe Gl. (7.26)). Setzen Sie k = sin(A/2), wenden Sie die Ersetzung sin(y/2) = k · sin α an, und berechnen Sie die ersten Terme der Entwicklung von T nach Potenzen von k. Ergebnis. 2π A2 11A4 173A6 2π 1 2 4 1 · 3 2 1+k 2 +k +. . . = 1+ + + +. . . ω 2 2·4 ω 16 3072 737280 7.6 Lösen Sie die Differentialgleichung y′ =

4 + y2 . 4 + x2

7.7 Die Bewegung eines Körpers im Schwerefeld der Erde wird durch die Differentialgleichung gR2 y ′′ = − 2 y beschrieben, dabei ist g = 981 m/s2 , R = 6,36 · 106 m und y ist der Abstand des Körpers zum Erdmittelpunkt. Bestimmen Sie die Konstanten in der Lösung, so dass y(0) = R und y ′ (0) = v ist. Finden Sie nun die niedrigste Geschwindigkeit v, für die der Körper nicht mehr zur Erde zurückkehrt (seine Fluchtgeschwindigkeit).

II.8 Lineare Differentialgleichungen 157

II.8 Lineare Differentialgleichungen . . . es ist ganz unmöglich, heute noch eine Zeile von d’Alembert hinunterzuwürgen, während man die meisten Eulerschen Sachen noch mit Entzücken liest. (Jacobi, siehe Spiess 1929, S. 139)

Seien a0 (x), a1 (x), . . . , an−1 (x) fest vorgegebene Funktionen. Wir nennen (8.1)

y (n) + an−1 (x)y (n−1) + . . . + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0

eine homogene lineare Differentialgleichung der Ordnung n und (8.2)

y (n) + an−1 (x)y (n−1) + . . . + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = f (x)

eine inhomogene lineare Differentialgleichung. Die linke Seite dieser Gleichungen wollen wir abkürzen als (8.3)

L(y) : = y (n) + an−1 (x)y (n−1) + . . . + a0 (x)y,

so dass sich (8.1) und (8.2) jeweils schreiben lassen als (8.4)

L(y) = 0

und

L(y) = f.

Wir nennen L einen Differentialoperator. Er operiert auf Funktionen y(x) und liefert als Resultat die Funktion L(y) zurück, die durch (8.3) gegeben ist. Die Haupteigenschaft dieses Operators ist seine Linearität, d.h. (8.5) L c1 y1 + c2 y2 = c1 L(y1 ) + c2 L(y2 ). Eine offensichtliche Folgerung aus dieser Linearität ist das folgende Lemma.

(8.1) Lemma. Seien zur homogenen Gleichung (8.1) bereits n Lösungen y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) bekannt, dann ist für beliebige Konstanten c1 , . . . , cn auch die Funktion (8.6)

c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + cn yn(x)

eine Lösung dieser Gleichung.

⊓ ⊔

Bemerkung. Die Lösungen der Gleichungen von Ordnung 1 benötigen eine Integrationskonstante (siehe Abschnitt II.7) und die Gleichungen von Ordnung 2 benötigen zwei Konstanten (siehe beispielsweise Gl. (7.23)). Analog können wir annehmen (Euler), dass die Gleichungen von Ordnung n genau n Konstanten benötigen, und dass (8.6) die allgemeine Lösung von (8.1) ist, falls y1 (x), . . . , yn (x) voneinander linear unabhängige Funktionen sind. Dabei heißen die Funktionen y1 (x), . . . , yn (x) linear unabhängig, wenn die Linearkombination (8.6) nur dann identisch verschwindet, wenn sämtliche ci selber Null sind. Beispielsweise sind 1, x, x2 , x3 linear unabhängige Funktionen.


(8.2) Lemma. Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (8.1) + eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung (8.2) = allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung (8.2). Beweis. Sei ye eine spezielle Lösung von (8.2), d.h. L(e y ) = f . Für eine allgemeine Lösung y von (8.1) (d.h. L(y) = 0) gilt dann L(y + ye) = f nach (8.5), so dass y + ye eine Lösung von (8.2) darstellt. Sei nun andererseits yb eine weitere Lösung von (8.2) (also L(b y ) = f ). Dann ist, wieder aufgrund von (8.5), L(b y − ye) = 0 und yb = ye + (b y − ye) ist die Summe von ye und einer Lösung der homogenen Gleichung (8.1). ⊓ ⊔ Folgerung. Um die Differentialgleichungen (8.1) und (8.2) zu lösen, muss man – n verschiedene (linear unabhängige) Lösungen von (8.1) bestimmen, sowie – eine Lösung von (8.2) finden.

Homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten Nur selten ist es möglich, Gl. (8.1) vollständig zu lösen. Es gibt allerdings ein paar Ausnahmen. Die wichtigste ist sicherlich, wenn die Koeffizienten ai (x) alle unabhängig von x sind, d.h. (8.7)

y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y ′ + a0 y = 0.

Eine weitere Ausnahme ist der Fall ai (x) = ai xi−n ( Cauchy-Gleichung“). ” Diesen Fall werden wir am Ende dieses Abschnitts betrachten. Der grundlegende Ansatz, um (8.7) zu lösen (Euler kommunizierte diesen am 15. Sept. 1739 in einem Brief an Joh. Bernoulli und veröffentlichte ihn 1743) besteht darin, Lösungen der Form y(x) = eλx

(8.8)

zu suchen, wobei λ eine noch zu bestimmende Konstante ist. Berechnet man die Ableitungen y ′ (x) = λeλx ,

y ′′ (x) = λ2 eλx ,

...

, y (n) (x) = λn eλx ,

und setzt sie in Gl. (8.7) ein, erhält man (8.9)

(λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 )eλx = 0.


Daher ist die Funktion (8.8) eine Lösung von (8.7) dann und nur dann, wenn λ eine Wurzel der sogenannten charakteristischen Gleichung ist: (8.10)

χ(λ) = 0,

χ(λ) := λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 .

Verschiedene Wurzeln. Falls Gl. (8.10) n paarweise verschiedene Wurzeln hat, nennen wir sie λ1 , . . . , λn , dann sind die Funktionen eλ1 x , . . ., eλn x gerade n ¨ linear unabhängige Lösungen von (8.7) (siehe Ubung 8.1). Die allgemeine Lösung ist also gegeben als (8.11)

y(x) = c1 eλ1 x + c2 eλ2 x + . . . + cn eλn x .

Vielfache Wurzeln. Betrachten wir zunächst die einfache Differentialgleichung (8.12)

y (n) = 0,

deren charakteristische Gleichung λn = 0 die Wurzel Null mit Vielfachheit n besitzt. Offensichtlich ist die allgemeine Lösung von (8.12) c1 + c2 x + c3 x2 + . . . + cn xn−1 , ein Polynom vom Grad n − 1. Als nächstes studieren wir die Gleichung (8.13)

y ′′′ − 3ay ′′ + 3a2 y ′ − a3 y = 0,

deren charakteristische Gleichung (λ − a)3 = 0 die Wurzel a mit Vielfachheit 3 besitzt. Wir führen eine neue, noch unbekannte Funktion u(x) ein durch die Beziehung (Euler 1743b) (8.14)

y(x) = eax · u(x).

Dann führt dreifaches Ableiten dieser Gleichung und Einsetzen der Ergebnisse in (8.13) zu Gl. (8.12) für u mit n = 3. Folglich ist die allgemeine Lösung von (8.13) gegeben durch (8.15) y(x) = eax · c1 + c2 x + c3 x2 . Differentialoperatoren. Die obigen Berechnungen werden besonders elegant, wenn wir zu einer gegebenen Konstante a den Differentialoperator Da wie folgt einführen: (8.16)

Da y = y ′ − a · y.

Die Komposition zweier solcher Operatoren Da und Db liefert (8.17) Db Da y = (y ′ − ay)′ − b(y ′ − ay) = y ′′ − (a + b)y ′ + aby = Da Db y.


Wir stellen fest, dass Da und Db miteinander vertauschen, und dass die Differentialgleichung (8.7) mit Da Db Dc . . . y = 0 u¨ bereinstimmt, so dass die Koeffizienten diejenigen des charakteristischen Polynoms (λ − a)(λ − b)(λ − c) . . . sind. Daher ist Gl. (8.13) gleichbedeutend mit Da3 y = 0.

(8.13′)

Wenden wir nun Da auf (8.14) an, so erhalten wir Da y = aeax · u + eax · u′ − aeax · u = eax · u′ , Da2 y = eax · u′′ , und schließlich Da3 y = eax · u(3) . Dies bestätigt, dass (8.15) eine allgemeine Lösung von (8.13) ist. (8.3) Satz (Euler 1743b). Angenommen, das charakteristische Polynom (8.10) besitzt die Faktorisierung χ(λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 · . . . · (λ − λk )mk (mit verschiedenen λi ), dann ist die allgemeine Lösung von (8.7) gegeben durch (8.18)

y(x) = p1 (x)eλ1 x + p2 (x)eλ2 x + . . . + pk (x)eλk x ,

wobei die pi (x) beliebige Polynom vom Grad mi − 1 sind (diese Lösung umfasst Pk genau i=1 mi = n Konstanten).

Beweis. Wir veranschaulichen den Beweis am Fall zweier vielfacher Wurzeln χ(λ) = (λ − a)3 (λ − b)4 . Aufgrund der Vertauschbarkeit von Da und Db können wir die Differentialgleichung auch schreiben als oder als Da3 Db4 y = 0. Die Lösung y = eax · c1 + c2 x + c3 x2 von Da3 y = 0 löst offensichtlich zugleich die linke Version von (8.19); die Lösung y = ebx · c4 + c5 x + c6 x2 + c7 x3 von Db4 y = 0 zeichnet sich dagegen durch die rechte Version als Lösung von (8.19) aus. Daher sind beides Lösungen und haben gemeinsam sieben freie Konstanten ¨ (siehe Ubung 8.2 zur linearen Unabhängigkeit der involvierten Funktionen). ⊓ ⊔ (8.19)

Db4 Da3 y = 0

Vermeidung komplexer Arithmetik. Das Ergebnis von Satz 8.3 gilt auch für komplexe λi . Falls jedoch die Koeffizienten ai von Gl. (8.7) alle reell sind, sind wir auch vornehmlich an reell-wertigen Lösungen interessiert. Die Tatsache, dass komplexe Wurzeln reeller Polynome stets in zueinander konjugierten Paaren auftreten, erlaubt es uns, (8.18) zu vereinfachen. Seien λ1 = α + iβ und λ2 = α − iβ zwei solche Wurzeln. Der entsprechende Teil der Lösung (8.18) ist dann ein Polynom multipliziert mit (8.20) eαx c1 eiβx + c2 e−iβx .


Dank Eulers Formel (I.5.4) wird dieser Ausdruck zu eαx d1 cos βx + d2 sin βx ,

(8.21)

wobei d1 = c1 + c2 und d2 = i(c1 − c2 ) neue Konstanten sind. Dieser Ausdruck kann weiter vereinfacht werden, wenn man d2 +id1 = Ceiϕ = C cos ϕ+iC sin ϕ einsetzt. Wir erhalten dann mit Gl. (I.4.3) (siehe Abb. 8.1) Ceαx sin ϕ cos βx + cos ϕ sin βx = Ceαx sin βx + ϕ .

α0

ABB. 8.1. Stabile und instabile Schwingungen

Beispiel. Die Pendelgleichung (7.23) kann für kleine Auslenkungen vereinfacht werden, indem man sin y durch y ersetzt, also y ′′ + ω 2 y = 0,

(8.22)

ω 2 = g/ℓ,

wobei g = 9,81m/s2 und ℓ die Länge des Pendels ist. Die charakteristische Gleichung λ2 + ω 2 = 0 besitzt die Wurzeln ±iω. Daher lautet die allgemeine Lösung von (8.22) y(t) = C sin(ωt + ϕ), mit der Periodenlänge T = 2π/ω = 2π

p ℓ/g .

Inhomogene lineare Gleichungen Das Problem besteht darin, eine spezielle Lösung von L(y) = f zu finden, d.h. (8.23)

y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y ′ + a0 y = f (x).

Aus der Linearität von (8.5) folgt dann unmittelbar das folgende Resultat. (8.4) Lemma (Superpositionsprinzip). Seien y1 (x) und y2 (x) zwei Lösungen von L(y1 ) = f1 und L(y2 ) = f2 , dann ist c1 y1 (x) + c2 y2 (x) eine Lösung von L(y) = c1 f1 + c2 f2 . ⊓ ⊔ Falls also die Inhomogenität f (x) in (8.23) in eine Summe einfacherer Terme zerfällt, können diese Terme separat behandelt werden.


Die schnelle Methode (Euler 1750b). Dieser Zugang ist dann möglich, wenn f (x) eine Linearkombination der Funktionen xj , eax , eαx sin(ωx), . . . ist; um genau zu sein, wenn f (x) selbst Lösung einer homogenen linearen Gleichung mit konstanten Koeffizienten ist. Der Ansatz besteht nun darin, nach einer Lösung mit derselben Struktur zu suchen. Beispiel. Wir betrachten den Fall, dass f ein Polynom vom Grad 2 ist, d.h. (8.24)

y ′′′ + 5y ′′ + 2y ′ + y = 2x2 + x.

Wir suchen daher eine Lösung der Form (8.25)

y(x) = a + bx + cx2 .

Setzen wir die Ableitungen von (8.25) in (8.24) ein, erhalten wir cx2 + (b + 4c)x + (a + 2b + 10c) = 2x2 + x. Koeffizientenvergleich liefert c = 2, b = −7 und a = −6, eine spezielle Lösung von (8.24) ist folglich y(x) = 2x2 − 7x − 6. Beispiel. Nehmen Sie nun an, f (x) ist eine Sinusfunktion (8.26)

y ′′ − y ′ + y = sin 2x.

Es reicht nicht aus, y(x) = a·sin 2x anzusetzen, da y ′ auch Terme cos 2x erzeugt. Daher versuchen wir (8.27)

y(x) = a · sin 2x + b · cos 2x,

berechnen die Ableitungen und setzen sie in (8.26) ein. Wir erhalten die Bedingung (a + 2b − 4a) sin 2x + (b − 2a − 4b) cos 2x = sin 2x und damit ein lineares Gleichungssystem −3a + 2b = 1, −2a − 3b = 0 mit der Lösung a = −3/13, b = 2/13. Daher ist eine spezielle Lösung gegeben durch (8.28)

y(x) = −

2 3 sin 2x + cos 2x. 13 13

Eine weitere Möglichkeit, (8.26) zu lösen, besteht darin, die Gleichung (8.29)

y ′′ − y ′ + y = e2ix

zu betrachten, und nun nach Lösungen der Form y(x) = Ae2ix zu suchen. Einsetzen der Ableitungen gibt uns −4A − 2iA + A = 1 und A = (−3 + 2i)/13. Daher ist eine Lösung von (8.29) (8.30)

y(x) =

−3 + 2i 2ix e . 13


Da nun (8.26) der Imaginärteil von (8.29) ist, können wir eine Lösung von (8.26) finden, indem wir den Imaginärteil von (8.30) berechnen. Rechtfertigung für diesen Zugang. Nach Annahme erfüllt f (x) die Bedingung L1 (f ) = 0, wobei L1 = Dam Dbp . . . ein Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten ist. Wenden wir diesen Operator auf Gl. (8.23) an, d.h. L(y) = f , so finden wir (L1 L)(y) = 0 und wir sehen ein, dass die Lösung von (8.23) die lineare homogene Differentialgleichung (L1 L)(y) = 0 lösen muss. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist nach Satz 8.3 bekannt. 100

ω = 1,0

50 0

ω = 1,015

ω = 1,03 ω = 1,09 100

200

300

−50 −100

ABB. 8.2. Lösung von y ′′ + y = sin ωx, y(0) = 0, y ′ (0) = 1, ω = 1,09; 1,03; 1,015; 1.

Resonanzfall. Betrachten wir beispielsweise die Gleichung (8.31)

y ′′ + y = sin x.

Wir können hier nicht y(x) = a sin x + b cos x benutzen, da diese Funktion selber Lösung einer homogenen Gleichung ist. Lassen wir uns von der Diskussion u¨ ber doppelte Wurzeln inspirieren (siehe auch Fig. 8.2), so können wir den Ansatz (8.32)

y(x) = ax sin x + bx cos x

testen. Die u¨ bliche Vorgehensweise (Einsetzen der Ableitungen von (8.32) in (8.31)) liefert dann 2a cos x − 2b sin x = sin x, so dass a = 0 und b = −1/2 gilt. Eine spezielle Lösung von (8.31) ist daher (8.33)

1 y(x) = − x cos x. 2

Diese Funktion explodiert für x → ∞ (siehe Abb. 8.2).

Methode der Variation der Konstanten (Lagrange 1775, 1788). Dies ist eine allgemeine Methode, die es uns erlaubt, eine spezielle Lösung von (8.2) in jenen Fällen zu finden, in denen die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung (8.1) bekannt ist. Um die Notation zu vereinfachen, erklären wir diese Methode nur für den Fall n = 2.


Betrachten wir das Problem (8.34)

y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = f (x)

und nehmen wir an, y1 (x) und y2 (x) sind zwei bekannte und linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0. Die Idee besteht nun darin, nach einer Lösung der Form (8.35)

y(x) = c1 (x)y1 (x) + c2 (x)y2 (x)

zu suchen (daher der Name Variation der Konstanten“). Die Ableitung von (8.35) ” ist (8.36)

y ′ = c′1 y1 + c′2 y2 + c1 y1′ + c2 y2′ .

Um Schwierigkeiten mit höheren Ableitungen aus dem Weg zu gehen, fordern wir zusätzlich (8.37)

c′1 y1 + c′2 y2 = 0,

so dass die Ableitung von (8.35) zu y ′ = c1 y1′ + c2 y2′ wird. Die zweite Ableitung ist dann (8.38)

y ′′ = c′1 y1′ + c′2 y2′ + c1 y1′′ + c2 y2′′ .

Wenn diese Formeln alle in (8.34) eingesetzt werden, verschwinden die Terme, die c1 und c2 enthalten, da wir angenommen haben, dass y1 (x) und y2 (x) bereits Lösungen der homogenen Gleichung sind. Was noch u¨ brig bleibt, ist (8.39)

c′1 y1′ + c′2 y2′ = f (x).

Dies, zusammen mit (8.37), bildet ein lineares Gleichungssystem ′ y1 (x) y2 (x) c1 (x) 0 (8.40) · ′ = . y1′ (x) y2′ (x) c2 (x) f (x) | {z } | {z } | {z } W (x) F (x) c′ (x)

Die Matrix W (x) wird Wronski-Matrix genannt. Berechnen und integrieren wir c′ (x) aus (8.40), so erhalten wir Z x c(x) = W −1 (t)F (t) dt, 0

und die folgende Lösung von (8.34): Z x c1 (x) (8.41) y(x) = y1 (x), y2 (x) = y1 (x), y2 (x) W −1 (t)F (t) dt. c2 (x) 0 Beispiel. Wir betrachten die Gleichung mit konstanten Koeffizienten (8.42)

y ′′ + 2ay ′ + by = f (x),

II.8 Lineare Differentialgleichungen 165 (α+iβ)x mit a2 < b. Die homogene Gleichung besitzt , √ die Lösungen y1 (x) = e (α−iβ)x 2 y2 (x) = e mit α = −a und β = b − a . Die Wronski-Matrix und ihr Inverses sind eiβx e−iβx W (x) = eαx , (α + iβ)eiβx (α − iβ)e−iβx e−αx (−α + iβ)e−iβx e−iβx −1 W (x) = . 2iβ (α + iβ)eiβx −eiβx

Folglich gilt wegen (8.41) Z 1 x α(x−t) eiβ(x−t) − e−iβ(x−t) y(x) = e f (t) dt β 0 2i (8.43) Z x 1 = eα(x−t) sin β(x − t) f (t) dt. β 0 Diese Formel ist für jede Funktion f (t) erfüllt.

Die Cauchy-Gleichung Eine Gleichung der Form (8.44)

y (n) +

an−1 (n−1) a1 a0 y + . . . + n−1 y ′ + n y = 0 x x x

wird u¨ blicherweise Cauchy-Gleichung“ genannt. Ihre analytische Lösung wurde ” in vollem Umfang von Euler (1769, Sectio Secunda, Caput V“) diskutiert. ” Anstelle von eλx sucht man nun nach Lösungen der Form y(x) = xr .

(8.45)

Beispiel. Wir betrachten das Problem y ′′ +

(8.46)

1 ′ 1 y − 2 y = 0. x x

Einsetzen von (8.45) liefert r(r − 1) + r − 1 xr−2 = 0.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind r = 1 und r = −1. Daher ist die allgemeine Lösung von (8.46) gegeben durch (8.47)

y(x) = c1 x +

c2 . x

Eine weitere Möglichkeit, (8.44) zu lösen, besteht in der Substitution (8.48)

x = et ,

y(x) = z(t).


Wegen (8.49)

z′ =

dz dy dx = · = xy ′ , dt dx dt

z ′′ = . . . = xy ′ + x2 y ′′

wird Gl. (8.46) zu einer Gleichung mit konstanten Koeffizienten z ′′ − z = 0, auf die wir die obige Theorie anwenden können (Satz 8.3). So erhalten wir z(t) = c1 et + c2 e−t , was wiederum nach Rückeinsetzen der Substitution zu (8.47) wird.

¨ Ubungen 8.1 Sind λ1 , . . . , λn paarweise verschiedene komplexe Zahlen, so ist für alle x (8.50)

c1 eλ1 x + c2 eλ2 x + . . . + cn eλn x = 0

dann und nur dann, wenn c1 = c2 = . . . = cn = 0. Pn Hinweis. Ableiten von Gl. (8.50) an der Stelle x = 0 zeigt, dassP i=0 ci λki = n 0 für k = 0, 1, . . . gilt. Betrachten Sie dann den Ausdruck i=1 ci p(λi ), wobei p(x) ein Polynom ist, das für λ1 , . . . , λj−1 , λj+1 , . . . , λn verschwindet, jedoch nicht für λj . 8.2 Für paarweise verschiedene Werte λ1 , . . . , λn gilt n X ci + di x + ei x2 eλi x = 0 i=1

für alle x dann und nur dann, wenn alle Koeffizienten ci , di , ei verschwinden. Hinweis. Beweisen Sie, dass für ein beliebiges Polynom p gilt: Pn ′ ′′ i=1 ci p(λi ) + di p (λi ) + ei p (λi ) = 0.

8.3 Ein zweiter Zugang zum Fall mehrfacher charakteristischer Werte (d’Alembert 1748). Angenommen λ ist eine doppelte Wurzel von (8.10). Spalten Sie die Wurzel in zwei benachbarte Wurzeln λ und λ + ε auf (mit unendlich kleinem ε). In diesem Fall sind eλx , e(λ+ε)x und auch die Linearkombination y(x) =

e(λ+ε)x − eλx ε

Lösungen des Problems. Zeigen Sie, dass aus letzterer für ε → 0 die Lösung xeλx wird. 8.4 Suchen Sie eine spezielle Lösung von y ′′ + 0,2y ′ + y = sin(ωx) und studieren Sie die Amplitude als Funktion von ω. Welches Phänomen können Sie beobachten?


8.5 Berechnen Sie eine spezielle Lösung von y ′′ − 2y ′ + y = ex cos x a) durch Einsetzen von y = Aex sin x + Bex cos x; b) durch Variation der Konstanten; und c) durch Lösen von y ′′ − 2y ′ + y = e(1+i)x . 8.6 Lösen Sie die folgenden homogenen und inhomogenen Cauchy-Gleichungen: x2 y ′′ − xy ′ − 3y = 0,

x2 y ′′ − xy ′ − 3y = x4 ,

x2 y ′′ − 3xy ′ + 4y = 0.

Die letzte Gleichung führt auf ein Problem mit doppelten Wurzeln. Meet the situation with determination (Laurel & Hardy 1933, The Sons of the Desert). 8.7 Seien y1 (x) und y2 (x) zwei Lösungen von y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0. Zeigen Sie dann, dass für die Wronski-Matrix (8.40) gilt: Z x det W (x) = det W (x0 ) · exp − a(t) dt . x0

Hinweis. Finden Sie eine Differentialgleichung für z(x) = det W (x) .


II.9 Numerisches Lösen von Differentialgleichungen Ich habe immer wieder beobachtet, daß Mathematiker und Physiker mit abgeschlossenem Examen u¨ ber theoretische Ergebnisse sehr gut, aber u¨ ber die einfachsten Näherungsverfahren nicht Bescheid wußten. (L. Collatz 1951, Num. Beh. Diffgl., Springer-Verlag)

Oftmals ist es unmöglich, eine Differentialgleichung y ′ = f (x, y)

(9.1)

auf analytischem Wege zu lösen (bspw. y ′ = x2 + y 2 ). Falls es doch gelingt, kann es passieren, dass die auftretenden Integrale nicht elementar sind (z.B. bei y ′′ + sin y = 0, siehe (7.23)). Selbst wenn alle Integrale elementar sind, können die erhaltenen Formeln noch immer nutzlos sein. Beispielsweise ist die Lösung von y ′ = y 4 + 1 gegeben durch (siehe Gl. (5.16)) √

√ √ √ √ 2 y 2 + 2y + 1 2 √ ln + arctan(y 2 + 1) + arctan(y 2 − 1) = x + C, 8 4 y 2 − 2y + 1

was sich als a¨ ußerst sperrige Formel erweist, speziell wenn wir daran interessiert sind, y als Funktion von x auszudrücken. Darum ist es interessant, nach numerischen Methoden zu suchen, um (9.1) direkt anzugehen.

Das Euler-Verfahren PROBLEM 85: Gegeben eine beliebige Differentialgleichung, finde man eine gute Näherung für ihr Integral. (Euler 1768, §650)

Gleichung (9.1) schreibt für jeden Punkt (x, y) einen Wert f (x, y) vor, der die Steigung der Lösung benennt. Man kann sich also ein Feld von vielen kleinen Richtungspfeilen vorstellen (Joh. Bernoulli 1694). Diejenigen Kurven, die diesen Richtungen folgen, sind die Lösungen von (9.1). In Abb. 9.1 finden Sie das Ex” emplo res patebit“ (genannt Riccatische Differentialgleichung) (9.2)

y ′ = x2 + y 2 ,

welches keine elementare Lösung besitzt (Liouville 1841, J’ai donc pensé qu’il ” pouvait eˆ tre bon de soumettre la question a` une analyse exacte . . .“). Offensichtlich sind die Lösungen nicht eindeutig. Daher schreiben wir einen Anfangswert vor: (9.3)

y(x0 ) = y0 .

II.9 Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 169

1

−1

0

1

−1

ABB. 9.1. Vorgegebene Steigungen für y ′ = x2 + y 2 mit vier Lösungen

Eulers Verfahren (Euler 1768, Sectio Secunda, Caput VII). Wir wählen h > 0 und ersetzen die Lösung im Bereich x0 ≤ x ≤ x0 + h durch ihre Tangente ℓ(x) = y0 + (x − x0 ) · f (x0 , y0 ). Für den Punkt x1 = x0 + h finden wir y1 = y0 + hf (x0 , y0 ). An diesem Punkt berechnen wir wieder eine neue Richtung und wiederholen den obigen Prozess mit dem Ziel, valores successivi“ zu erhalten: ” (9.4)

xn+1 = xn + h,

yn+1 = yn + hf (xn , yn ).

Dies ist das Euler-Verfahren. Die Funktion, die man durch Verbindung all dieser Tangenten erhält, heißt Euler-Polygon. Wenn wir h → 0 streben lassen, nähern sich diese Polygone der Lösung an (siehe Abb. 9.2). Numerisches Experiment. Wir betrachten die Differentialgleichung (9.2), wählen die Anfangswerte x0 = −1,5, y0 = −1,4 und die Schrittweiten h = 1/4, 1/8, 1/16, 1/32. Die resultierenden Euler-Polygone sind in Abb. 9.2 abgebildet. Die numerische Approximation und ihre Fehler bei x = 0 sind in Tabelle 9.1 gelistet. Wir beobachten, dass sich die Fehler um einen Faktor 2 verringern, wann immer wir die Schrittweite halbieren ( Quot“ steht für den Quotienten zwischen ” den Fehlern zweier aufeinanderfolgender Schrittweiten). Eine Erklärung dieser Beobachtung kann in jedem Lehrbuch u¨ ber numerische Analysis gefunden werden (bspw. Hairer, Nørsett & Wanner 1993, Abschnitt II.3, S. 159).

170 II. Differential- und Integralrechnung TABELLE 9.2. Ansatz (9.5)

TABELLE 9.1. Das Euler-Verfahren 1/h

y(0)

Fehler

4 8 16 32 64 128 256 512

0,7246051 0,2968225 0,1577289 0,0999576 0,0734660 0,0607632 0,0545412 0,0514618

−0,6762019 −0,2484192 −0,1093256 −0,0515543 −0,0250628 −0,0123599 −0,0061380 −0,0030586

Quot

1/h

2,722 2,272 2,121 2,057 2,028 2,014 2,007

2 −0,7330279 0,7814312 4 −0,1063739 0,1547771 5,049 8 0,0153874 0,0330159 4,688 16 0,0409854 0,0074179 4,451 32 0,0466509 0,0017523 4,233 64 0,0479776 0,0004257 4,116 128 0,0482984 0,0001049 4,058 256 0,0483772 0,0000260 4,029

Fehler

y(0)

Quot

h = 1/4

1

1 h = 1/8

x2 , y2 x1 , y1

−1

0

1

−1

h = 1/4

1 h = 1/2

x2 , y2

−1

x1 , y1

x0 , y 0

x0 , y 0

ABB. 9.2. Polygone für y ′ = x2 + y 2

ABB. 9.3. Parabeln der Ordnung 2

Taylorreihen-Ansatz PROBLEM 86: Man gebe eine deutliche Verbesserung der obigen Methoden für eine näherungsweise Integration von Differentialgleichungen an, so dass das Ergebnis näher an der Wahrheit liegt. (Euler 1768, §656)

Wir stellen fest, dass (9.4) die ersten zwei Terme einer Taylorreihe darstellt. Um nun die Genauigkeit zu verbessern, können wir drei Terme verwenden, also (9.5)

yn+1 = yn + hyn′ +

h2 ′′ y . 2 n

Wir haben yn′ = f (xn , yn ), und um yn′′ zu berechnen, leiten wir die Differentialgleichungen einfach bezüglich x ab. Wir erhalten für y ′ = x2 + y 2 (9.6)

y ′′ = 2x + 2yy ′ = 2x + 2x2 y + 2y 3 .

Die numerischen Ergebnisse, die aus (9.5) mit h = 1/2, 1/4, 1/8 und 1/16 folgen, sind in Abb. 9.3 dargestellt. Wir haben die Polygone aus dem EulerVerfahren durch Polyparabeln“ ersetzt, die sich aus der gekürzten Taylorreihe ”


v

−π

π

2π

y

ABB. 9.4. Vektorfeld der Pendelgleichung (9.8′ )

v

−π

π

2π

y

ABB. 9.5. Lösungen für das Pendel (9.8′ ) v

Startwert −π

Startwert π

Euler, h = 0,15

2π

y

Taylor2, h = 0,3

ABB. 9.6. Numerische Lösungen für das Pendel (9.8′ )


zusammensetzen. Die Fehler bei x = 0 sind in Tabelle 9.2 notiert. Für kleine h sind die Ergebnisse deutlich besser als mit dem Euler-Verfahren; Halbierung der Schrittweise liefert einen um den Faktor 4 kleineren Fehler. Bemerkung. Es ist natürlich möglich, weitere Terme der Taylorreihe in die Rechnung einzubeziehen, z.B. (9.7)

yn+1 = yn + hyn′ +

h2 ′′ h3 ′′′ y + y . 2! n 3! n

Die höheren Ableitungen erhält man durch wiederholte Ableitung der Differentialgleichung. Aus der Riccatischen Differentialgleichung folgt so aus (9.6): y ′′′ = 2 + 2y ′ y ′ + 2yy ′′ = 2 + 4xy + 2x4 + 8x2 y 2 + 6y 4 , y ′′′′ = 4y + 12x3 + 20xy 2 + 16x4 y + 40x2 y 3 + 24y 5 ,

usw.

Gleichungen zweiter Ordnung Betrachten wir exemplarisch die Pendelgleichung (7.23) y ′′ = − sin y.

(9.8)

Wir führen eine neue Variable für y ′ ein, so dass aus (9.8) y′ = v v′ = − sin y

(9.8′ )

wird. Dieses System kann als Vektorfeld gesehen werden, das an jedem Punkt (y, v) dem Punkt (y(x), v(x)) eine Geschwindigkeit zuordnet, mit der er sich in der Zeit x bewegt (Abb. 9.4). Die Lösungen (y(x), v(x)) besitzen zu jedem Zeitpunkt genau diese Geschwindigkeiten. Sie sind in Abb. 9.5 skizziert. Die Ovale stellen Oszillationen dar; die sinus-artigen Kurven sind diejenigen Fälle, in denen das Pendel u¨ berschlägt. Euler-Verfahren. Der Ansatz (Cauchy 1824) besteht darin, das Euler-Verfahren (9.4) auf beide Funktionen y(x) und v(x) anzuwenden. Falls y(x0 ) = y0 und v(x0 ) = v0 die gegebenen Anfangswerte sind, und h > 0 die gewählte Schritt¨ weite ist, ist das Aquivalent von (9.4) im Fall von (9.8′ ) einfach (9.9) xn+1 = xn + h,

yn+1 = yn + h · vn ,

vn+1 = vn − h · sin(yn ).

Abb. 9.6 zeigt die Euler-Polygone für die Anfangswerte y(0) = 1,2, v(0) = 0 und für h = 0,15. Wir stellen fest, dass unser primitives Verfahren im Gegensatz zur physikalischen Realität vorhersagt, dass das Pendel mehr und mehr beschleunigt und schließlich u¨ berschlägt. Taylorreihen-Ansatz. Ableiten von (9.8′ ) bezüglich x liefert (9.10)

y ′′ = v′ = − sin y,

v ′′ = − cos y · y ′ = − cos y · v,


was es uns erlaubt, einen zusätzlichen Term aus der Taylorreihe unserem Verfahren hinzuzufügen. Das Analogon zu Gl. (9.5) lautet

(9.11)

h2 ′′ h2 yn = yn + hvn − sin yn , 2 2 h2 ′′ h2 = vn + hvn′ + vn = vn − h sin(yn ) − cos yn · vn . 2 2

yn+1 = yn + hyn′ + vn+1

Die Ergebnisse (siehe Abb. 9.6 rechts) sind deutlich besser selbst für doppelte Schrittweite h.

¨ Ubungen 9.1 Wenden Sie das Euler-Verfahren mit h = 1/N auf die Gleichung y ′ = λy,

y(0) = 1

an, um eine Näherung für y(1) = eλ zu finden. Das Ergebnis ist eine wohlbekannte Formel aus Kapitel I. 9.2 (Umgekehrte Fehlerfunktion). Definieren Sie eine Funktion y(x) implizit durch die Beziehung Z y 2 2 x= √ e−t dt. π 0

Leiten Sie diese Formel ab und zeigen Sie, dass y(x) die Differentialgleichung √ π y2 y′ = e , y(0) = 0 2 erfüllt. Berechnen Sie die ersten vier Terme der Taylorreihe für y(x) (entwickelt um den Punkt x = 0).

9.3 (Van-der-Pol-Gleichung). Berechnen Sie y (i) und v (i) für i = 1, 2, 3 für die Lösungen der Differentialgleichung 2

y ′ = v,

1

v′ = ε(1−y 2 )v − y, und berechnen Sie numerisch die Lösung aus einem Taylorreihen-Ansatz dritter Ordnung für ε = 0,3, die Anfangswerte y(0) = 2,00092238555422, v(0) = 0, und für 0 ≤ x ≤ 6,31844320345412. Die richtige Lösung ist periodisch in diesem Intervall und für die gegebenen Anfangswerte.

−2

−1 −1 −2


II.10 Die Euler-Maclaurin-Formel Der König nennt mich meinen Professor“, und ich bin der glücklichste Mensch auf der Welt! ” (Euler ist stolz darauf, Friedrich II. in Berlin zu dienen) Ich habe hier einen großen Zyklopen von einem Geometer . . . der nur noch ein Auge besitzt, und eine neue Kurve, die er gegenwärtig berechnet, könnte ihn vollständig erblinden lassen. (Friedrich II., siehe Spiess 1929, S. 165–166.)

Diese Formel wurde unabhängig von Euler (1736) und Maclaurin (1742) als kraftvolles Hilfsmittel zur Berechnung von Summen entdeckt, wie beispielsweise der harmonischen Summe 1 + 12 + 13 + . . . + n1 , der Summe der Logarithmen ln 2+ln 3+ln 4+. . .+ln n = ln n!, der Summe der Potenzen 1k +2k +3k +. . .+nk oder der Summe der reziproken Potenzen 1 + 21k + 31k + . . . + n1k . Dabei baut sie auf der Differentialrechnung auf. Problem. Zu einer gegebenen Funktion f (x) suchen wir eine Formel für die Summe (10.1)

S = f (1) + f (2) + f (3) + . . . + f (n) =

n X

f (i)

i=1

( investigatio summae serierum ex termino generali“). ”

Eulers Herleitung der Formel Die erste Idee (siehe Euler 1755, pars posterior, § 105, Maclaurin 1742, Band II, Kap. IV, S. 663f) besteht darin, auch die Summen mit verschobenem Argument zu betrachten: (10.2)

s = f (0) + f (1) + f (2) + . . . + f (n − 1).

Wir berechnen die Differenz S−s u¨ ber die Taylorreihe (Gl. (2.8) mit x−x0 = −1) f (i − 1) − f (i) = −

f ′ (i) f ′′ (i) f ′′′ (i) + − + ... 1! 2! 3!

und finden f (n) − f (0) =

n X i=1

n

f ′ (i) −

n

n

1 X ′′ 1 X ′′′ 1 X ′′′′ f (i) + f (i) − f (i) + . . . 2! i=1 3! i=1 4! i=1

P P Um nun diese Formel für f ′ (i) in eine Formel für f (i) zu u¨ berführen, ersetzen wir f durch seine Stammfunktion, die wir wiederum mit f schreiben: (10.3) Z n n n n n X 1 X ′ 1 X ′′ 1 X ′′′ f (i) = f (x) dx + f (i) − f (i) + f (i) − . . . . 2! i=1 3! i=1 4! i=1 0 i=1

II.10 Die Euler-Maclaurin-Formel 175

P P P Die zweite Idee ist nun, die Summen f ′ , f ′′ , f ′′′ etc. auf der rechten Seite zu entfernen, indem wir dieselbe Formel immer wieder einsetzen, wobei wir f jeweils durch f ′ , f ′′ , f ′′′ usw. ersetzt haben. Dies führt uns auf eine Gleichung der Form Z n n X f (i) = f (x) dx − α f (n) − f (0) + β f ′ (n) − f ′ (0) (10.4) 0 i=1 − γ f ′′ (n) − f ′′ (0) + δ f ′′′ (n) − f ′′′ (0) − . . . Um die Koeffizienten α, β, γ, . . . zu berechnen, ersetzen wir nun wiederum in (10.4) f durch f ′ , f ′′ , . . ., und erhalten Rn P f (i) = 0 f (x) dx −α(f (n) − f (0)) +β(f ′ (n) − f ′ (0)) − . . . 1 P ′ 1 α − 2! f (i) = − 2! (f (n) − f (0)) + 2! (f ′ (n) − f ′ (0)) − . . . P 1 1 f ′′ (i) = + 3! (f ′ (n) − f ′ (0)) − . . . 3! .. . Rn Die Gesamtsumme muss dann nach (10.3) 0 f (x) dx sein. Daraus folgt 1 α 1 β α 1 = 0, β+ + = 0, γ+ + + = 0, . . . , 2! 2! 3! 2! 3! 4! 1 1 woraus wir α = − 21 , β = 12 , γ = 0, δ = − 720 , . . . berechnen können, und wir finden (10.5)

(10.6)

α+

n X i=1

f (i) =

Z

n

f (x) dx + 0

1 1 f (n)−f (0) + f ′ (n)−f ′ (0) 2 12

1 1 − f ′′′ (n)−f ′′′ (0) + f (5) (n)−f (5) (0) + . . . . 720 30240

(10.1) Beispiel. Diese Formel, angewendet auf die folgende Summe von nahezu einer Million Terme, gibt uns bereits nach wenigen Rechenschritten eine ausgezeichnete Näherung des exakten Resultats: 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = ln(106 ) − ln(10) + 10−6 − 11 12 13 1000000 2 20 1 1 1 + − 10−4 + 10−6 + . . . ≈ 11,463758469, 1200 120 252 Die Formel ist allerdings ohne Nutzen bei der Berechnung der ersten Terme 1 + 1 1 + . . . + 10 . 2 Die Bernoulli-Zahlen. Es ist u¨ blich, die Koeffizienten α, β, γ, . . . als Bi /i! (B0 = 1, α = B1 /1!, β = B2 /2!, . . .) zu schreiben, in (10.5) also k−1 X k (10.5′) 2B1 + B0 = 0, 3B2 + 3B1 + B0 = 0, . . . , Bi = 0. i i=0


Diese sogenannten Bernoulli-Zahlen lauten, so weit wie Euler sie berechnet hatte: 1 1 , B8 = − , 42 30 5 691 7 3617 43867 = , B12 = − , B14 = , B16 = − , B18 = , 66 2730 6 510 798 174611 854513 236364091 =− , B22 = , B24 = − , 330 138 2730 8553103 23749461029 8615841276005 = , B28 = − , B30 = , 6 870 14322

B0 = 1, B10 B20 B26

1 B1 = − , 2

B2 =

1 , 6

B4 = −

1 , 30

B6 =

und B3 = B5 = . . . = 0. In dieser Schreibweise wird Gl. (10.6) zu

(10.6′)

n X

f (i) =

i=1

Z

n

f (x) dx + 0

+

1 f (n) − f (0) 2

X B2k f (2k−1) (n) − f (2k−1) (0) . (2k)!

k≥1

Beispiel. Für f (x) = xq ist die Reihe von Gl. (10.6′) endlich und liefert uns die wohlbekannte Formel von Jak. Bernoulli (I.1.28), (I.1.29). Erzeugende Funktion. Um ein besseres Verständnis für die Bernoulli-Zahlen zu erlangen,wenden wir eine von Eulers großen Ideen an: Wir betrachten die Funktion V (u), deren Taylorkoeffizienten gerade die uns interessierenden Zahlen sind, d.h. wir definieren (10.7)

V (u) = 1 + αu + βu2 + γu3 + δu4 + . . . B1 B2 2 B3 3 B4 4 =1+ u+ u + u + u + ... . 1! 2! 3! 4!

Nun lautet die Aussage von Formel (10.5) bzw. (10.5′) einfach

also

u u2 u3 V (u) · 1 + + + + . . . = 1, 2! 3! 4!

(10.8)

V (u) =

u . eu − 1

So haben wir unendlich viele algebraische Gleichungen in eine einzige analytische Formel u¨ berführt. Die Tatsache, dass (10.9)

V (u) +

u u u u eu/2 + e−u/2 = u + = · u/2 2 e −1 2 2 e − e−u/2

eine gerade Funktion ist, zeigt auf elegantem Wege B3 = B5 = B7 = . . . = 0.


De Usu Legitimo Formulae Summatoriae Maclaurinianae Wir setzen nun f (x) = cos(2πx) in Gl. (10.6′) ein, für diese gilt f (i) = 1 für alle i. Wir finden auf der linken Seite 1 + 1 + . . . + 1, während auf der rechten 0 + 0 + 0 + . . . steht, da cos(2πx) ebenso wie alle seine Ableitungen periodisch mit Periode 1 sind. Wir sehen, dass die Formel in dieser Form offensichtlich falsch ist! Ein weiteres Problem besteht darin, dass für die allermeisten Funktionen f die unendliche Reihe in (10.6′) noch nicht einmal konvergiert. Daher ist es erforderlich, die Formel nach einer endlichen Zahl an Termen abzubrechen und einen Ausdruck für den Rest anzugeben. Dies wurde von Jacobi (1834) in wunderschönem Latein ausgeführt (siehe oben), indem er Eulers Beweis rearrangierte und durchgängig den Fehlerterm (4.32) von Bernoulli-Cauchy benutzte. Erst später entdeckte Wirtinger (1902), dass der Beweis durch wiederholte partielle Integration nach Art des Beweises von Gl. (4.32) viel leichter bewerkstelligt werden kann. Die Hauptzutat des Beweises besteht in den sogenannten Bernoulli-Polynomen. Bernoulli-Polynome. Die Polynome B1 (x) = B0 x + B1 B2 (x) = B0 x2 + 2B1 x + B2 B3 (x) = B0 x3 + 3B1 x2 + 3B2 x + B3 B4 (x) = B0 x4 + 4B1 x3 + 6B2 x2 + 4B3 x + B4 oder allgemein (10.10) erfüllen die Beziehungen (10.11)

= x − 12 = x2 − x + 16 = x3 − 32 x2 + 12 x = x4 − 2x3 + x2 −

1 30

,

k X k Bk (x) = Bi xk−i , i i=0

Bk′ (x) = kBk−1 (x),

Bk (0) = Bk (1) = Bk

(k ≥ 2).

Tatsächlich ist die erste Formel von (10.11) eine Eigenschaft der BinomialKoeffizienten (siehe Satz I.2.1); die zweite Formel folgt direkt aus der Definition und (10.5′ ). (10.2) Satz. Es gilt n X i=1

f (i) =

Z

n

f (x) dx +

0

+

1 f (n) − f (0) 2

k X (−1)j Bj j=2

j!

mit (10.12)

k−1 ek = (−1) R k!

Z

ek , f (j−1) (n) − f (j−1) (0) + R n

0

ek (x) f (k) (x) dx. B


ek (x) gleich Bk (x) für 0 ≤ x ≤ 1 und wird periodisch mit Periode 1 Dabei ist B fortgesetzt (siehe Abb. 10.1). .5 .0 −.5 .5 .0 .5 .0

e1 (x) B

1

2

3

4

e2 (x) B

1

2

3

4

e3 (x) B

1

2

3

4

ABB. 10.1. Bernoulli-Polynome

Beweis. Wir beginnen mit dem Beweis im Fall n = 1. Mit B1′ (x) = 1 und durch partielle Integration finden wir Z 1 Z 1 1 Z 1 f (x) dx = B1′ (x)f (x) dx = B1 (x)f (x) − B1 (x)f ′ (x) dx. 0

0

0

0

1 2 (f (1) + f (0)). Im

Der erste Term ist zweiten Term setzen wir B1 (x) = 12 B2′ (x) aus (10.11) ein und integrieren abermals, mit dem Ergebnis Z 1 B 1 Z 1 1 2 ′ ′ f (x) dx = f (1) + f (0) − f (1) − f (0) + B2 (x)f ′′ (x) dx 2 2! 2! 0 0

und, wenn wir derart fortfahren, (10.13) k Z 1 X 1 (−1)j Bj (j−1) f (1) + f (0) = f (x) dx + f (1) − f (j−1) (0) + Rk , 2 j! 0 j=2

mit

(−1)k−1 Rk = k!

(10.14)

Z

1

Bk (x) f (k) (x) dx.

0

Als nächstes wenden wir Gl. (10.14) auf die verschobenen Funktionen f (x+i−1) an und stellen fest: Z 1 Z i ek (x)f (k) (x) dx. Bk (x)f (k) (x + i − 1) dx = B 0

i−1

Wir erhalten die Behauptung von Satz 10.2, indem wir diese Formeln von i = 1 bis i = n aufsummieren. ⊓ ⊔


Abschätzung des Restglieds. Die Abschätzungen (für 0 ≤ x ≤ 1) √ 1 1 3 1 |B1 (x)| ≤ , |B2 (x)| ≤ , |B3 (x)| ≤ , |B4 (x)| ≤ , 2 6 36 30 Rn lassen sich leicht prüfen, und zeigen zusammen mit der Beziehung | 0 g(x) dx| ≤ Rn |g(x)| dx, dass gilt: 0 Z Z n 1 n ′ 1 e e (10.15) |R1 | ≤ |f (x)| dx, |R2 | ≤ |f ′′ (x)| dx, . . . . 2 0 12 0 Dies sind die strengen Abschätzungen für das Restglied der Euler-Maclaurin-Formel, die wir gesucht haben. Weitere Maximal- und Minimalwerte der Bernoulli¨ Polynome wurden von Lehmer (1940) berechnet; siehe Ubung 10.3. (10.3) Bemerkung. Wenn wir die Formel aus Satz 10.2 auf die Funktion f (t) = hg(a+ th) mit h = (b − a)/n anwenden, und wenn wir dann den Term f (n) − f (0) /2 auf die linke Seite bringen, erhalten wir (mit xi = a + ih) Z b n−1 X h h g(x0 ) + h g(xi ) + g(xn ) = g(x) dx 2 2 a i=1

(10.16)

+

k X hj j=2

j!

Bj g (j−1) (b) − g (j−1) (a)

k+1 k−1 h

+ (−1)

k!

Z

0

n

ek (t)g (k) (a + th) dt, B

worin wir auf der linken Seite die Trapezregel wiedererkennen. Gleichung (10.16) zeigt, dass der dominante Fehlerterm (h2 /12) g ′ (b) − g ′ (a) ist. Falls nun allerdings g periodisch ist, so verschwinden alle Terme der Euler-Maclaurin-Reihe ek für ein beliebiges k; dies erklärt die unerwartet guten und der Fehler gleicht R Ergebnisse von Tabelle 6.2 (Abschnitt II.6).

Die Stirling-Formel Wir setzen f (x) = ln x in die Euler-Maclaurin-Formel ein. Wegen n X

f (i) = ln 2 + ln 3 + ln 4 + ln 5 + . . . + ln n = ln (n!),

i=2

können wir eine Näherung für die Fakultät n! = 1 · 2 · . . . · n erwarten. (10.4) Satz (Stirling 1730). Wir finden √ 1 2πn nn 1 1 1 e9 , (10.17) n! = · exp − + − + R en 12n 360n3 1260n5 1680n7


e9 | ≤ 0,0006605/n8. Wir erhalten für n → ∞ die Näherung mit |R (10.18)

n! ≈

√ 2πn nn . en

Bemerkung. Diese berühmte Formel ist besonders nützlich in der kombinatorischen Analysis, der Statistik und in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dabei haben wir Gleichung (10.17) schlicht nach dem vierten Term abgebrochen, da jeder weitere Term nicht mehr auf dieselbe Zeile gepasst hätte. Die numerischen Werte von (10.18) und (10.17) (mit jeweils einem, zwei und drei Korrekturtermen) haben wir in Tabelle 10.1 für n = 10 und n = 100 dem echten Wert von n! exemplarisch gegenüber gestellt. TABELLE 10.1. Fakultätsfunktion und ihre Näherungen durch die Stirling-Formel

n = 10 : Stirling 0 Stirling 1 Stirling 2 Stirling 3 n!

= = = = =

0,35|9869561874103592162317593283 · 107 0,36288|1005142693352994116531675 · 107 0,36287999|7141301292538591223941 · 107 0,3628800000|21301281279077612862 · 107 0,362880000000000000000000000000 · 107

n = 100 : Stirling 0 Stirling 1 Stirling 2 Stirling 3 n!

= = = = =

0,93|2484762526934324776475612718 · 10158 0,93326215|7031762340989619195146 · 10158 0,933262154439|367463946383356624 · 10158 0,9332621544394415|32371338864918 · 10158 0,933262154439441526816992388563 · 10158

¨ Beweis. Wir haben bereits zuvor in Ubung 10.1 gesehen, dass die Euler-MaclaurinFormel ineffizient wird, wenn die höheren Ableitungen von f (x) auf dem betreffenden Intervall zu groß sind. Wir wenden deshalb die Formel mit f (x) = ln x auf die Summe von i = n + 1 bis i = m an. Aufgrund von Z dj (j − 1)! ln x dx = x ln x − x, ln x = (−1)j−1 , j dx xj erhalten wir aus Satz 10.2, dass m X

i=n+1

(10.19)

1 ln m − ln n 2 1 1 1 1 1 1 e + − − − 3 +R 5 3 12 m n 360 m n

f (i) = ln m! − ln n! = m ln m − m − (n ln n − n) +

e5 | ≤ 0,00123/n4 für alle m > n ist. Diese Abschätzung wiederum gilt, wobei |R erhalten wir aus (10.12), (10.15) und dem Fakt, dass |B5 (x)| ≤ 0,02446 für 0 ≤


x ≤ 1 ist. Die Terme ln n!, n ln n, n und (1/2) ln n in (10.19) divergieren jeder für sich für n → ∞. Wir fassen sie deshalb zusammen und setzen 1 γn = ln n! + n − n + ln n, 2

(10.20) womit aus (10.19) wird: (10.21)

γn = γm +

1 1 1 1 1 1 e − − − − R5 . 12 n m 360 n3 m3

Für genügend große n und m nähern sich γn und γm einander beliebig an. Daher scheint es, dass die Werte γm für m → ∞ gegen einen Wert konvergieren, den wir γ nennen wollen (den genauen Beweis werden wir im Satz von Cauchy III.1.8 sehen). Wir betrachten dann den Grenzwert für m → ∞ in Gl. (10.21) und erhalten 1 1 1 b5 , ln n! + n − n + ln n = γ + − +R 2 12n 360n3

b5 | ≤ 0,00123/n4. Wenden wir die Exponentialfunktion auf diesen Ausmit |R druck an, finden wir (10.22) n! = Dn

√

n nn en

mit

1 1 b5 . Dn = eγ · exp − +R 3 12n 360n

Damit sind sowohl (10.18) als auch (10.17) bewiesen, √ sobald wir einsehen, dass der Limes von Dn (d.h., D = eγ ) tatsächlich gleich 2π ist. Hierfür rechnen wir mittels (10.22) den Ausdruck √ √ Dn · Dn n! · n! · (2n)2n · e−2n 2n 2 · 4 · 6 · 8 · . . . · 2n 2 √ = = · D2n n2n · e−2n · n · (2n)! 1 · 3 · 5 · 7 · . . . · (2n − 1) n aus, der ebenfalls gegen D strebt. Diese Formel erinnert uns an das Wallissche Produkt aus Gl. (I.5.27). Tatsächlich strebt ihr Quadrat D · D 2 2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · · · (2n)(2n) 2(2n + 1) n n = · , D2n 1 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · · · (2n − 1)(2n + 1) | {z n } | {z } →4 → π/2

√ e9 folgt aus gegen 2π, so dass D = 2π ist. Die behauptete Abschätzung für R (10.12) und |B9 (x)| ≤ 0,04756. ⊓ ⊔


Die harmonische Reihe und die Eulersche Konstante Wir versuchen, 1+

1 1 1 1 + + + ...+ 2 3 4 n

durch Einsetzen von f (x) = 1/x in Satz 10.2 zu berechnen. Wegen f (j) (x) = (−1)j j!x−j−1 erhalten wir anstelle von (10.19) Z m m X 1 1 1 1 1 1 1 1 = dx + − − − 2 2 i 2 m n 12 m n n x (10.23) i=n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 e + − − − + − + R9 , 120 m4 n4 252 m6 n6 240 m8 n8

e9 | ≤ 0,00529/n9 gilt. Die divergenten wobei dank |B9 (x)| ≤ 0,04756 diesmal |R Terme, die wir diesmal wie zuvor in (10.20) einsammeln, lauten γn =

n X 1 i=1

i

− ln n,

was genau wie oben untersucht wird, mit der Erkenntnis, dass die Folge γn konvergiert. Der von uns gefundene Wert (10.24)

1+

1 1 1 + + . . . + − ln n → γ = 0,57721566490153286 . . . 2 3 n

ist eine neue mathematische Konstante und trägt den Namen Euler-Mascheroni” Konstante“ oder schlicht Euler-Konstante“ (siehe Abb. 10.2 für einen Ausschnitt ” eines Briefs von Euler, der seine Konstante und ihren Einsatz in der Berechnung der Summe aus Beispiel 10.1 enthält). Lassen wir wie zuvor m → ∞ in (10.23) streben, finden wir (10.25)

n X 1 i=1

i

= γ + ln n +

1 1 1 1 1 e9 , − + − + +R 2n 12n2 120n4 252n6 240n8

e9 | ≤ 0,00529/n9. Um nun die Konstante γ zu finden, setzen wir beispielsmit |R weise n = 10 in Gl. (10.25) ein (so machte es Euler) und erhalten den Wert von (10.24). D. Knuth (1962) hat diese Konstante mit großer Genauigkeit berechnet. Doch bis heute ist unbekannt, ob sie rational oder irrational ist. 1

Abbildung mit Genehmigung des Birkhaeuser Verlags, Basel.


ABB. 10.2. Euler u¨ ber seine Konstante (Brief an Joh. Bernoulli 1740, siehe Fellmann 1983, S. 96)1

¨ Ubungen 10.1 Die Spirale des Theodoros setzt aus rechtwinkligen Dreiecken zusam√ sich √ men, deren Seitenlängen 1, n und n + 1 betragen. Nach 17 Dreiecken hat sie eine komplette Drehung ausgeführt (dies √ scheint der Grund zu sein, warum Theodoros keine Wurzeln jenseits von 17 betrachtete). Von solchen Skrupeln unberührt wollen wir nun berechnen, wieviele Drehungen eine Milliarde dieser Dreiecke vollführen. Dies bedarf der Berechnung von (siehe Abb. 10.3) 1000000000 X 1 1 1+ arctan √ 2π i=18 i ¨ mit einem Fehler kleiner als 1. Diese Ubung ist nicht nur eine weitere Gelegenheit, die Stärke der Euler-Maclaurin-Formel auszuspielen, sondern gibt uns zudem ein interessantes Integral zu lösen. 10.2 (Taylorreihe für tan x). Wenn wir cot x = 1/ tan x und coth x = 1/ tanh x definieren, sehen wir, dass Gl. (10.9) die Taylorreihe von (x/2) coth(x/2) darstellt. Sie können hieraus die Taylorreihenentwicklung von x · coth x ableiten, und, indem Sie x durch ix ersetzen, auch die von x·cot x. Benutzen Sie schließlich den Zusammenhang 2 · cot 2x = cot x − tan x, um die Entwicklungskoeffizienten des Tangens zu bestimmen. Vergleichen Sie sie mit Gl. (I.4.18).


1

1

1

√ 5

√

4

√

0

3 √

0

5

1

2 1

ABB. 10.3. Die Spirale des Theodoros von Kyrene, 470–390 v.Chr.

10.3 Bestätigen Sie numerisch die Abschätzungen (Lehmer 1940) |B3 (x)| ≤ 0,04812, |B9 (x)| ≤ 0,04756, für 0 ≤ x ≤ 1.

|B5 (x)| ≤ 0,02446,

|B11 (x)| ≤ 0,13250,

|B7 (x)| ≤ 0,02607,

|B13 (x)| ≤ 0,52357

III Grundlagen der klassischen Analysis

Weierstraß erklärt Cauchy die gleichmäßige Konvergenz, der u¨ ber ein Gegenbeispiel von Abel nachdenkt (Zeichnung von K. Wanner)

. . . Ich bin mir nicht sicher, ob ich in zehn Jahren noch immer Geometrie machen werde. Ich denke auch, dass die Mine beinahe schon zu tief ist, und früher oder später aufgegeben werden muss. Heutzutage eröffnen Physik und Chemie glanzvollere Entdeckungen, die einfacher auszunutzen sind ... (Lagrange, 21. Sept. 1781, Brief an d’Alembert, Oeuvres, Band 13, S. 368)

Auf Eulers Tod im Jahr 1783 folgte eine Periode des Stillstands in der Mathematik. Er hatte virtuell jedes Problem gelöst: zwei unübertroffene Abhandlungen u¨ ber die Analysis des Unendlichen und der Differentiale (Euler 1748, 1755), lösbare Integrale gelöst, lösbare Differentialgleichungen gelöst (Euler 1768, 1755), E. Hairer, G. Wanner, Analysis in historischer Entwicklung, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-13767-9_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

186 III. Grundlagen der klassischen Analysis

die Geheimnisse der Flüssigkeiten (Euler 1755b), der Mechanik (Euler 1736b, Lagrange 1788), des Variationskalküls (Euler 1744), der Algebra (Euler 1770) alle offenbart. Es schien, als bliebe keine Aufgabe mehr u¨ brig, die Euler nicht schon in den 30.000 Seiten seines Lebenswerkes abgearbeitet hätte. Die Théorie des fonctions analytiques“ von Lagrange (1797), befreit von ” ¨ ” allen Uberlegungen zu unendlich kleinen Werten, verschwindenden Zahlen, Grenzwerten und Fluxionen“, die Doktorarbeit von Gauß (1799) u¨ ber den Fundamen” talsatz der Algebra“ und die Studien zur Konvergenz der hypergeometrischen Reihe (Gauß 1812) markierten den Beginn einer neuen Epoche. Bolzano bemerkte, dass es Gauß’ erstem Beweis an Strenge gemangelt hatte; er gab sodann 1817 einen rein analytischen Beweis des Satzes, dass zwischen ” zwei Werten, die verschiedene Vorzeichen hervorbringen, mindestens eine Wurzel der Gleichung existieren muss“ (Satz III.3.5 unten). 1821 etablierte Cauchy neue Maßstäbe an die Strenge in seinem berühmten Cours d’Analyse“. Die Fragen lauteten wie folgt: ” – Was ist eine Ableitung in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert. – Was ist ein Integral in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert. – Was ist eine unendliche Reihe a1 + a2 + a3 + . . . in Wahrheit? Antwort: Ein Grenzwert. Dies führt zu: – Was ist ein Grenzwert? Antwort: Eine Zahl. Und schließlich die letzte Frage: – Was ist eine Zahl? Weierstraß und seine Mitstreiter (Heine, Cantor), sowie Méray, beantworteten diese Frage um 1870–1872. Sie füllten auch viele Lücken in Cauchys Beweisen, indem sie die Begriffe der gleichmäßigen Konvergenz (siehe Bild unten), der gleichmäßigen Stetigkeit, der termweisen Integration einer unendlichen Reihe und der termweisen Ableitung einer unendlichen Reihe klärten. Das Herz dieses Kapitels bilden die Abschnitte III.5, III.6 und III.7, die jeweils die Integralrechnung, die Differentialrechnung und unendliche Potenzreihen behandeln. Die vorbereitenden Abschnitte III.1 bis III.4 werden uns in die Lage versetzen, unsere Theorien auf ein festes Fundament zu stellen. Abschnitt III.8 vervollständigt die Integralrechnung und Abschnitt III.9 stellt zwei Ergebnisse von Weierstraß u¨ ber stetige Funktionen vor, die jede für sich aufsehenerregende Entdeckungen dieser Epoche waren.

III.1 Unendliche Folgen und reelle Zahlen 187

III.1 Unendliche Folgen und reelle Zahlen Wenn wir jeder positiven ganzen Zahl n eine Zahl sn zuordnen, so sprechen wir von einer (unendlichen) Folge und schreiben (1.1)

{sn } = {s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , . . .}.

Die Zahl sn nennen wir den n-ten Term oder allgemeinen Term der Folge. Ein erstes Beispiel sei (1.2)

{1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .},

welches eine arithmetische Folge oder auch arithmetische Progression darstellt. Dies bedeutet, dass der Abstand zweier aufeinander folgenden Terme konstant ist. Die Folge (1.3)

{q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 5 , . . .}

heißt geometrische Folge oder Progression (der Quotient zweier aufeinander folgenden Terme ist konstant).

Konvergenz einer Folge Man sagt, eine Größe ist der Grenzwert einer anderen Größe, wenn die zweite sich der ersten bis auf jede beliebig kleine Größe nähert . . . (D’Alembert 1765, Encyclopédie, tome neuvieme, a` Neufchastel.) Wenn eine variable Größe gegen einen festen Grenzwert konvergiert, ist es oftmals nützlich, diesen Grenzwert durch eine besondere Notation zu bezeichnen, was wir durch das Setzen der Abkürzung lim vor die betroffene Variable erzielen wollen . . . (Cauchy 1821, Cours d’Analyse)

Wenn die Terme sn einer Folge (1.1) einer Zahl s für genügend großes n beliebig nahe kommen, so nennen wir diese Zahl den Grenzwert oder Limes von (1.1). Dieses Konzept ist sehr wichtig und bedarf einer exakteren Definition: – beliebig nahe“ heißt näher als jede positive Zahl ε“, d.h. |sn − s| < ε. Dabei ” ” steht | · | für den Betrag und zwingt sn dazu, s sowohl in positiver als auch in negativer Richtung nahe zu sein. – für genügend großes n“ heißt, dass es ein N geben muss, so dass die obige ” Abschätzung für alle n ≥ N gilt. Mit den Symbolen ∀ ( für alle“) und ∃ ( es gibt“) können wir die obige Idee in ” ” folgender kompakter Form beschreiben: (1.1) Definition (D’Alembert 1765, Cauchy 1821). Wir sagen, dass die Folge (1.1) konvergiert, falls es eine Zahl s gibt, so dass gilt: (1.4)

∀ε > 0 ∃N ≥ 1 ∀n ≥ N

|sn − s| < ε.

188 III. Grundlagen der klassischen Analysis 1.5

s2

1.4 s6

1.3

s10 1.2

s3

1.1

s7 s5

1.0 s 1 .9

s14

s11 s9

s8

s13

s12

s15

s18 s19

ε

s17

ε

s

s16

N

s4

ABB. 1.1. Konvergenz der Folge (1.6)

Wir schreiben dann (1.5)

s = lim sn n→∞

oder

sn → s.

Falls (1.4) für kein s gilt, so sagen wir, dass die Folge (1.1) divergiert. (1.2) Beispiele. Betrachten wir die Folge n1 2 3 4 5 o , , , , , ... , 2 3 4 5 6

also

sn =

n . n+1

Diese Folge konvergiert gegen 1, da n 1 |sn − 1| = − 1 = 1/ε − 1 gilt. Zu einem gegebenen ε > 0 können wir also unser N als irgendeine ganze Zahl wählen, die größer als 1/ε − 1 ist, wodurch Bedingung (1.4) verifiziert ist. Als nächstes Beispiel wählen wir die Folge 1 1 1 s2 = 1 + , s3 = 1 + − , 2 2 3 n X 1 1 1 1 s4 = 1 + − − , ... , sn = (−1)[(i−1)/2] 2 3 4 i s1 = 1, (1.6)

i=1

(dabei steht [i/2] für die größte ganze Zahl k, die nicht größer ist als i/2; also [i/2] = k falls i = 2k oder i = 2k + 1). Diese Folge ist in gewissem Sinne weniger trivial und wir haben sie in Abb. 1.1 dargestellt. Sie scheint gegen eine Zahl nahe 1,13 zu konvergieren (die wir nach unseren Erfahrungen aus Kap. I auf π/4 + ln 2/2 schätzen). Wir stellen fest, dass es für gegebenes ε (hier ε = 0,058)


stets ein letztes sn gibt (hier s16 ), das |sn −s| < ε verletzt. Daher ist (1.4) für N = 17 erfüllt. Die Tatsache, dass bereits einige frühere Terme (s3 , s5 , . . .) ebenfalls diese Abschätzung erfüllen, widerspricht (1.4) nicht im geringsten. (1.3) Satz. Wenn eine Folge {sn } konvergiert, dann ist sie beschränkt, d.h. (1.7)

∃B ∀n ≥ 1

|sn | ≤ B.

Beweis. Wir setzen ε = 1. Wir wissen aus der Definition der Konvergenz, dass es eine ganze Zahl N gibt, so dass |sn − s| < 1 für alle n ≥ N gilt. Benutzen ¨ wir die Dreiecksungleichung (siehe Ubung 1.1), so erhalten wir |sn | = |sn − s + s| ≤ |sn − s| + |s| < 1 + |s| für n ≥ N und die Behauptung gilt wegen B = max {|s1 |, |s2 |, . . . , |sN −1 |, |s| + 1}. ⊓ ⊔ Umgekehrt ist es für die Beschränktheit einer Folge nicht nötig, dass sie konvergiert. Beispielsweise ist die Folge (1.8) {sn } = 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .

zwar beschränkt (mit B = 1) aber nicht konvergent. Die Folge (1.2) ist weder beschränkt noch konvergiert sie. Die allgemeine arithmetische Folge (1.9) {sn } = d, 2d, 3d, 4d, 5d, . . . ist ebenfalls unbeschränkt (für d 6= 0). Für d > 0 erfüllt die Folge (1.10)

∀M > 0 ∃N ≥ 1 ∀n ≥ N

sn > M.

Um dies zu sehen, wählt man für N eine ganze Zahl mit N > M/d. Falls (1.10) erfüllt ist, so sagen wir, dass die Folge {sn } gegen Unendlich strebt und schreiben lim sn = ∞

n→∞

bzw.

sn → ∞.

In a¨ hnlicher Weise definieren wir limn→∞ sn = −∞. Als nächstes untersuchen wir die Konvergenz der Folge (1.3). (1.4) Lemma. Für die geometrische Folge (1.3) finden wir:   0 für |q| < 1, lim q n = 1 für q = 1, n→∞  ∞ für q > 1. Die Folge (1.3) divergiert für q ≤ −1.

Beweis. Wir beginnen mit dem Fall q > 1, schreiben q = 1 + r (mit r > 0) und wenden Satz I.2.1 an, mit dem Ergebnis q n = (1 + r)n = 1 + nr +

n(n − 1) 2 r + . . . ≥ 1 + nr. 2


Folglich streben die Terme q n gegen Unendlich (zu einem gegebenen M wähle man für (1.10) N ≥ M/r). Für q = 1 ist die Aussage trivial. Für |q| < 1 betrachten wir die Folge sn = (1/|q|)n , welche nach obigen ¨ Uberlegungen gegen Unendlich strebt. Zu einem gegebenen ε > 0 setzen wir nun M = 1/ε ein und wenden (1.10) auf die Folge {sn } an. So beweisen wir die Existenz einer ganzen Zahl N , so dass für jedes n ≥ N gilt sn > M oder, a¨ quivalent dazu, |q n | < ε. Wir schlussfolgern q n → 0. Für q = −1 oszilliert die Folge zwischen −1 und 1 und für q < −1 ist sie unbeschränkt und oszillierend. ⊓ ⊔ Der folgende Satz vereinfacht die Berechnung von Grenzwerten. (1.5) Satz. Seien sn → s und vn → v zwei konvergente Folgen. Dann konvergieren auch die Folgen, die durch termweise Addition, termweises Produkt sowie termweisen Quotienten aus den zwei Folgen {sn } und {vn } hervorgehen, und es gilt (1.11) (1.12) (1.13)

lim (sn + vn ) = s + v

n→∞

lim (sn · vn ) = s · v s s n lim = falls n→∞ vn v n→∞

vn 6= 0 und v 6= 0.

Beweis. Wir beginnen mit dem Beweis von (1.11). Dazu schätzen wir |(sn + vn ) − (s + v)| = |sn − s + vn − v| ≤ |sn − s| + |vn − v| < 2ε = ε′ | {z } | {z } 0 so, dass 2ε = ε′ ist. Nach Voraussetzung konvergieren die Folgen {sn } und {vn } gegen s bzw. v. Daher gibt es N1 und N2 , so dass |sn − s| < ε für n ≥ N1 und |vn − v| < ε für n ≥ N2 gelten. Wählen wir nun N = max(N1 , N2 ), so sehen wir, dass (1.4) für die Folge {sn + vn } erfüllt ist. Sind wir erst einmal an dieses Argument gewöhnt, ist eine Wiederholung seiner Erklärung nicht nötig. Für den Beweis von (1.12) müssen wir sn vn − sv abschätzen. Wir addieren und subtrahieren die gemischten Produkte“ −svn + svn , mit dem Ergebnis ” |sn vn − sv| = |sn vn − svn + svn − sv| ≤ |vn | · |sn − s| + |s| · |vn − v| < (B + |s|) ε = ε′ . Hier wenden wir Satz 1.3 auf die Folge {vn } an. Es reicht aus, (1.13) für den Spezialfall sn = 1 für alle n zu beweisen, also s = 1. Das allgemeine Resultat folgt dann aus (1.12), da sn /vn das Produkt von (1/vn ) und sn ist. Wir stellen zuerst fest, dass die Werte von |vn | nicht beliebig

III.1 Unendliche Folgen und reelle Zahlen 191 s2

s2

1.4

1.4 s6

1.2

s6 s10

s3

s7 s5

1.0 s 1

s9 s8

s4

s14

s18 s19

s11 s15 s13 s17 s16 s 12

N

ε

1.2

s10 s3

s7 s5

ε 1.0 s 1

s9 s8

s14

s11

s18 s19

s15 s13 s17 s16 s

ε ε

12

N

s4

ABB. 1.2. Folge (1.6) als Cauchy-Folge

klein werden können. Denn wählen wir ε = |v|/2 in der Definition der Konvergenz, erhalten wir |vn − v| < |v|/2 (und damit |vn | > |v|/2) für genügend große n. Aus dieser Abschätzung folgt 1 − 1 = |v − vn | ≤ 2|vn − v| ≤ 2ε = ε′ . ⊓ ⊔ vn v |vn | · |v| |v|2 |v|2 (1.6) Satz. Angenommen, die Folge {sn } konvergiert gegen s und sn ≤ B gilt für alle genügend großen n. Dann erfüllt auch der Grenzwert s die Bedingung s ≤ B.

Beweis. Wir werden zeigen, dass s > B zu einem Widerspruch führt. Hierfür setzen wir ε = s − B > 0. Gl. (1.4) impliziert nun, dass für genügend große n s − sn ≤ |sn − s| < ε = s − B,

gilt, also sn > B, was unserer Annahme widerspricht.

⊓ ⊔

Bemerkung. Das entsprechende Resultat für strikte Ungleichungen (sn < B für alle n impliziert s < B) ist falsch. Man sieht dies am Gegenbeispiel sn = n/(n + 1) < 1 mit limn→∞ sn = 1. Cauchy-Folgen. Lassen Sie uns nun ein wichtiges Problem angehen. Die Definition der Konvergenz in (1.4) zwingt uns zur Abschätzung von |sn − s|; der Grenzwert s muss also bereits bekannt sein. Aber was machen wir, wenn der Grenzwert s nicht bekannt ist, oder, wie in Beispiel (1.6), nicht mit beliebiger Genauigkeit angegeben werden kann? Es ist dann unmöglich, |s − sn | < ε für ε > 0 mit der gehörigen mathematischen Strenge zu beweisen. Um dieses Hindernis zu umgehen, hatte Cauchy die Idee, den Ausdruck |sn − s| < ε in (1.4) durch |sn − sn+k | < ε für alle Nachfolger sn+k von sn zu ersetzen. (1.7) Definition. Eine Folge {sn } heißt Cauchy-Folge, wenn gilt: (1.14)

∀ε > 0 ∃N ≥ 1 ∀n ≥ N ∀k ≥ 1

|sn − sn+k | < ε.


Beispiel. Abb. 1.2 illustriert die Bedingung (1.14) anhand der Folge (1.6). Wir sehen, dass beispielsweise für ε = 0,11 die Bedingung (1.14) für n ≥ 17 erfüllt ist. Auf a¨ hnliche Weise sieht man, dass (1.14) für jedes ε > 0 gilt, da 1/(n + 2) + 1/(n + 3) gegen Null strebt. (1.8) Satz (Cauchy 1821). Eine Folge {sn } reeller Zahlen ist genau dann konvergent (mit einer reellen Zahl als Grenzwert), wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Aus |sn − sn+k | ≤ |sn − s| + |s − sn+k | < 2ε folgt unmittelbar, dass konvergente Folgen Cauchy-Folgen sein müssen. Ein strenger Beweis der Umkehrung, der u¨ ber Cauchys Intuition hinaus geht, ist erst möglich, nachdem man das Konzept der irrationalen und reellen Zahlen verstanden hat. Im Gegensatz zu den Ergebnissen, die wir bis jetzt gesammelt haben (Sätze 1.3, 1.5 und 1.6) ist Satz 1.8 im Rahmen rationaler Zahlen nämlich falsch. Beispielsweise ist die Folge (1.15) 1 , 1,4 , 1,41 , 1,414 , 1,4142 , 1,41421 , . . . . durchaus eine Cauchy-Folge rationaler Zahlen (es gilt |sn − sn+k | < 10−n+1 ), √ aber ihr Grenzwert 2 ist nicht rational.

Konstruktion der reellen Zahlen . . . Je mehr ich ueber die Principien der Functionentheorie nachdenke — und ich thue dies unablässig —, um so fester wird meine Ueberzeugung, dass diese auf dem Fundamente algebraischer Wahrheiten aufgebaut werden muss . . . (Weierstraß 1875, Werke, Band 2, S. 235) Bitte vergiß alles, was Du auf der Schule gelernt hast; denn Du hast es nicht gelernt. . . . indem meine Töchter bekanntlich schon mehrere Semester studieren (Chemie), schon auf der Schule Differential- und Integralrechnung gelernt zu haben glauben und heute noch nicht wissen, warum x · y = y · x ist. (Landau 1930) √ 3 ist also nur ein Zeichen für eine Zahl, welche erst noch gefunden werden soll, nicht aber deren Definition. Letztere wird jedoch in meiner Weise, etwa durch (1.7, 1.73, 1.732, . . .) befriedigend gegeben. (G. Cantor 1889) . . . Definition der irrationalen Zahlen, bei welcher Vorstellungen der Geometrie . . . oft verwirrend eingewirkt haben. . . . Ich stelle mich bei der Definition auf den rein formalen Standpunkt, indem ich gewisse greifbare Zeichen Zahlen nenne, so dass die Existenz dieser Zahlen also nicht in Frage steht. (Heine 1872) Für mich war damals das Gefühl der Unbefriedigung ein so u¨ berwältigendes, dass ich den festen Entschluss fasste, so lange nachzudenken, bis ich eine rein arithmetische und völlig strenge Begründung der Principien der Infinitesimalanalysis gefunden haben würde. . . . Dies gelang mir am 24. November 1858, . . . aber zu einer eigentlichen Publication konnte ich mich nicht recht entschliessen, weil erstens die Darstellung nicht ganz leicht, und weil ausserdem die Sache so wenig fruchtbar ist. (Dedekind 1872) Die Analysis zu einem blossen Zeichenspiele herabwürdigend . . . (Du Bois-Reymond 1882, Allgemeine Funktionentheorie, Tübingen)


Für viele Jahrzehnte wusste niemand, wie man irrationale Zahlen in den strengen mathematischen Rahmen einordnen könnte, oder wie man den abschließenden ” Term“ einer Cauchy-Folge wie in (1.15) genau verstehen sollte. Dieser gordische ” Knoten“ wurde schließlich unabhängig voneinander von Cantor (1872), Heine (1872), Méray (1872) (und auf vergleichbare Weise von Dedekind 1872) durch die folgende waghalsige Idee aufgelöst: Die ganze Cauchy-Folge selbst ist“ be” reits die reelle Zahl, die wir suchen (siehe Zitate). Das bedeutet, dass wir einer Cauchy-Folge von rationalen Zahlen sn (im weiteren als rationale Cauchy-Folge bezeichnet) eine reelle Zahl zuordnen. Dies scheint Satz 1.8 auf elegante Weise zu lösen. Aber es bleibt dabei noch einiges zu tun: Wir müssen verschiedene rationale Cauchy-Folgen miteinander identifizieren können, wenn sie dieselbe reelle Zahl beschreiben, wir müssen algebraische und Ordnungsrelationen für diese neuen Objekte definieren, und wir werden schließlich den Beweis von Satz 1.8 viel schwieriger vorfinden, als wir anfänglich dachten, da die Terme sn in (1.4) nun ihrerseits wieder reelle Zahlen sind, d.h. rationale Cauchy-Folgen. Alle diese Details wurden detailliert von Landau (1930) in einem berühmten Buch ausgearbeitet, in dem er selber zugibt, dass viele Teile nur eine langweilige Mühe“ sind. ” ¨ Die Aquivalenzrelation. Angenommen, dass √ 2 beschrieben wird durch {1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; . . .} √ 3 beschrieben wird durch {1,7 ; 1,73 ; 1,732 ; . . .}, √ √ dann sollte 2 · 3 beschrieben sein durch die Folge der Produkte √

{2,38 ; 2,4393 ; 2,449048, . . .}.

Andererseits wird 6 auch durch {2,4 ; 2,44 ; 2,449 ; . . .} beschrieben. Daher müssen wir die zwei Folgen miteinander identifizieren. Zwei rationale Cauchy-Folgen {sn } und {vn } heißen a¨ quivalent, wenn limn→∞ (sn − vn ) = 0 gilt, also (1.16)

∀ε > 0 ∃N ≥ 1 ∀n > N

|sn − vn | < ε.

Wir schreiben dann {sn } ∼ {vn }. Es ist nicht schwer zu u¨ berprüfen, dass (1.16) ¨ eine Aquivalenzrelation auf der Menge aller rationalen Cauchy-Folgen definiert. Das bedeutet, wir haben {sn } ∼ {sn }

(Reflexivität)

{sn } ∼ {vn } =⇒ {vn } ∼ {sn } (Symmetrie) {sn } ∼ {vn }, {vn } ∼ {wn } =⇒ {sn } ∼ {wn }

(Transitivität).

¨ Dadurch können wir die Menge aller rationalen Cauchy-Folgen in Aquivalenzklassen n o {sn } = {vn } {vn } ist eine rationale Cauchy-Folge mit {vn } ∼ {sn } ¨ zerlegen. Die Elemente einer Aquivalenzklasse heißen Repräsentanten.


¨ (1.9) Definition. Reelle Zahlen sind Aquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen, d.h. n o R = {sn } {sn } ist eine rationale Cauchy-Folge . Die Menge Q der rationalen Zahlen kann nun in folgender Weise als Untermenge von R interpretiert werden: Wenn r ein Element von Q ist (abgekürzt: r ∈ Q), dann ist die konstante Folge {r, r, r, . . .} eine rationale Cauchy-Folge. So identifizieren wir die rationale Zahl r mit der reellen Zahl {r, r, . . .}. Addition und Multiplikation. Um nun mit R arbeiten zu können, müssen wir die u¨ blichen Operationen definieren. Seien s = {sn } und v = {vn } zwei reelle Zahlen. Wir definieren dann ihre Summe (Differenz) und ihr Produkt (Quotient) (1.17)

s + v := {sn + vn },

s · v := {sn · vn }.

Wir müssen dabei sorgsam mit dieser Definition umgehen. Zunächst einmal müssen wir sicherstellen, dass die Folgen {sn + vn } und {sn · vn } wieder rationale Cauchy-Folgen sind (dies folgt aus |(sn + vn ) − (sn+k + vn+k )| ≤ |sn − sn+k | + |vn − vn+k | für die Summe und wird für das Produkt aus dem Beweis von Satz 1.5 gewonnen). Dann müssen wir zeigen, dass (1.17) wohldefiniert ¨ ist. Denn wenn wir verschiedene Repräsentanten der Aquivalenzklassen s und v wählen, beispielsweise {s′n } und {vn′ }, so muss das Ergebnis mit s + v u¨ bereinstimmen. Hierfür müssen wir zeigen, dass aus sn − s′n → 0 und vn − vn′ → 0 folgt (sn + vn ) − (s′n + vn′ ) → 0 und (sn · vn ) − (s′n · vn′ ) → 0. Aber dies finden wir exakt so wie im Beweis von Satz 1.5. Im nächsten Schritt müssen wir die bekannten Regeln zum Rechnen mit reellen Zahlen u¨ berprüfen (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität). Und hier setzt Landau’s langweilige Mühe“ ein. Wir u¨ berspringen diese Details und ” u¨ berlassen es dem Leser, entweder Landaus fabelhaftes Buch oder ein anderes Lehrbuch u¨ ber Algebra zu lesen. Ordnung. Seien s = {sn } und v = {vn } zwei reelle Zahlen. Wir definieren (1.18)

s < v :⇐⇒

∃ ε′ > 0 ∃ M ≥ 1 ∀ m ≥ M

s ≤ v :⇐⇒ s < v oder s = v

sm ≤ vm − ε′ ,

(dabei muss die Zahl ε′ rational sein, um eine Mehrdeutigkeit zu vermeiden). Die eher komplizierte Definition von s < v bedeutet, dass für genügend große m die Elemente sm und vm weit genug voneinander entfernt sein müssen. Sie impliziert auch die Wohldefiniertheit der Relation. Offenbar reicht es nämlich nicht aus, sm < vm für alle m zu fordern (die Folgen {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .} und {0, 0, 0, . . .} stellen beide die reelle Zahl 0 dar und dienen als Gegenbeispiel). Die Relation s ≤ v aus (1.18) definiert eine Ordnungsrelation. Das bedeutet, wir haben s ≤ s (Reflexivität) s ≤ v, v ≤ w =⇒ s ≤ w (Transitivität) s ≤ v, v ≤ s

=⇒

s=v

(Antisymmetrie).


Wir deuten nur kurz den Beweis der Antisymmetrie an. Angenommen, es gilt s ≤ v und v ≤ s, aber s 6= v. Dann gibt es positive rationale Zahlen ε′1 und ε′2 , so dass sm ≤ vm − ε′1 für m ≥ M1 und vm ≤ sm − ε′2 für m ≥ M2 gilt. Für m ≥ max(M1 , M2 ) finden wir somit ε′2 ≤ sm −vm ≤ −ε′1 , was ein Widerspruch ist. (1.10) Lemma. Die Ordnung ≤ aus (1.18) ist total, d.h. für zwei beliebige reelle Zahlen s und v mit s 6= v gilt stets entweder s < v oder v < s. Bemerkung. s 6= v ist die Negation von s = v, was durch Gl. (1.16) ausgedrückt wird. Um die Negation einer Aussage wie die von (1.16) zu formulieren, rufen wir uns ein wenig Logik in Erinnerung. Sei S(x) eine Aussage, die von x ∈ A abhängt (A sei irgendeine Menge) und ¬S(x) ihre Negation. Dann gilt: 2 ∀ x ∈ A S(x) ∃ x ∈ A S(x)

ist die Negation von ist die Negation von

∃ x ∈ A ¬S(x), ∀ x ∈ A ¬S(x).

Um nun die Negation einer langen Aussage zu finden, müssen wir alle Quantoren umkehren ( ∀ ↔ ∃ ) und die letzte Aussage durch ihre Negation ersetzen. Daher erhält man s 6= v aus (1.16) in der Form (1.19)

∃ε > 0 ∀N ≥ 1 ∃n ≥ N

|sn − vn | ≥ ε.

Beweis von Lemma 1.10. Seien s = {sn} und v = {vn } zwei verschiedene reelle Zahlen, so dass (1.19) gilt. Wir setzen ε′ = ε/3. Da {sn} und {vn } CauchyFolgen sind, gibt es N1 , so dass |sn − sn+k | < ε′ für n ≥ N1 und k ≥ 1 gilt, und es gibt N2 , so dass |vn − vn+k | < ε′ für n ≥ N2 und k ≥ 1 gilt. Wir wählen nun N = max(N1 , N2 ) und leiten aus (1.19) die Existenz einer ganzen Zahl n ≥ N ab, für die |sn − vn | ≥ ε gilt. Es gibt jetzt zwei Fälle: (1.20)

oder

sn − vn ≥ ε

vn − sn ≥ ε.

≥ε

≥ε

ε′

ε′ vn

≥ ε′

sn

ε′

ε′ sn

≥ ε′

vn

ABB. 1.3. Darstellung der zwei Fälle in (1.20)

Für k ≥ 1 bleiben die Zahlen sn+k und vn+k in den Bereichen mit Radius ε′ = ε/3 (siehe Abb. 1.3). Daher ist (1.18) mit M = N erfüllt und wir haben s > v im ersten Fall, bzw. v > s im zweiten. ⊓ ⊔ 2

Die Behauptung alle (∀) Eisbären sind weiß“ ist falsch, wenn es mindestens einen ” gefärbten (nicht weißen) Eisbären gibt; und umgekehrt.


Der Betrag. Sobald wir gezeigt haben, dass die Ordnung total ist (Lemma 1.10), ist es möglich, den Absolutwert oder Betrag einer Zahl s als s (für s ≥ 0) und −s (für s < 0) zu definieren. Eine einfache Folgerung dieser Definition ist (1.21)

|s| = {|sn |}

für

s = {sn }.

Die Dreiecksungleichung |s + v| ≤ |s| + |v| und alle ihre Konsequenzen gelten für reelle Zahlen. Bemerkung. In den Definitionen und Sätzen 1.1 bis 1.7 waren wir nicht sonderlich genau beim Konzept der Zahl“. Um es logisch einwandfrei zu schreiben, ” hätten sie nur für rationale Zahlen behauptet werden sollen. Nachdem wir nun mit viel Schmerz und Mühe das Konzept der reellen Zahlen eingeführt haben, können wir diese Definitionen auf reelle Zahlen ausdehnen und prüfen, dass die Behauptungen der Sätze im nun allgemeineren Kontext noch immer gültig sind. Beweis von Satz 1.8. . . . bis jetzt wurden diese Propositionen als Axiome aufgefasst. (Méray 1869, siehe Dugac 1978, S. 82)

Sei {si } eine Cauchy-Folge von reellen Zahlen, so dass jedes si seinerseits eine ¨ Aquivalenzklasse rationaler Cauchy-Folgen ist, also si = {sin }n≥1 . Der Ansatz ist nun der, zu jedem i eine Zahl zu wählen, die immer kleiner und kleiner wird (beispielsweise 1/2i) und hierauf die Definition der rationalen Cauchy-Folge anzuwenden, mit dem Ergebnis ∃ Ni ≥ 1 ∀ n ≥ Ni ∀ k ≥ 1 |sin − si,n+k |
0 ein αn , so dass αn > ξ − ε erfüllt ist. Da αn keine obere Schranke von X ist, kann auch ξ − ε keine sein. ⊓ ⊔ (1.13) Satz. Sei {sn} eine Folge, die monoton wächst (sn ≤ sn+1 ) und nach oben beschränkt ist (sn ≤ B für alle n). Dann konvergiert sie gegen einen reellen Grenzwert.


Beweis. Nach Voraussetzung ist die Menge X = {s1 , s2 , s3 , . . .} nicht leer und nach oben beschränkt (siehe Abb. 1.5). Daher existiert ξ = sup X nach Satz 1.12. Nach Definition von sup X ist der Wert ξ − ε für ein gegebenes ε > 0 keine obere Schranke von X. Folglich gibt es ein N , so dass sN > ξ − ε ist. Da X nach oben durch ξ beschränkt ist, gilt ξ − ε < sN ≤ sN +1 ≤ sN+2 ≤ sN +3 ≤ . . . ≤ ξ, also ξ − ε < sn ≤ ξ (bzw. |sn − ξ| < ε) für alle n ≥ N . Damit ist die Konvergenz von {sn } gegen ξ bewiesen. ⊓ ⊔ (1.14) Korollar. Wir betrachten zwei Folgen {sn } und {vn }. Nehmen wir an, {sn } ist monoton wachsend (sn ≤ sn+1 ) und sn ≤ vn gilt für alle (genügend großen) n. Dann gilt: {vn } konvergiert

=⇒

{sn} divergiert

=⇒

{sn } konvergiert, {vn } divergiert.

Beweis. Falls die Folge {vn } konvergiert, so ist sie nach Satz 1.3 beschränkt. Damit ist auch die Folge {sn } beschränkt und ihre Konvergenz folgt aus Satz 1.13. Die zweite Zeile ist die logische Umkehrung der ersten. ⊓ ⊔ Bemerkung. Auf a¨ hnliche Weise können wir eine untere Schranke einer Menge definieren, ebenso von unten beschränkte und monoton fallende Folgen. Wir benutzen die Notation (1.23)

ξ = inf X

für die größte untere Schranke oder auch Infimum von X (d.h. x ≥ ξ für alle x ∈ X und ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X mit x < ξ + ε). Es gibt dann Sätze, die analog zu den Sätzen 1.12 und 1.13 funktionieren.

Häufungspunkte Ich finde es wirklich u¨ berraschend, dass Mr. Weierstraß und Mr. Kronecker so viele Zuhörer — zwischen 15 und 20 — für ihre Vorlesungen gewinnen können, obwohl sie so schwierig und auf so hohem Niveau sind. (Brief von Mittag-Leffler 1875, siehe Dugac 1978, S. 68)

Die Folge (1.24)

1 , 3

⌣

2 , 3

⌣

1 , 4

⌣

3 , 4

⌣

1 , 5

⌣

4 , 5

⌣

1 , 6

⌣

5 , 6

⌣

1 , 7

⌣

6 , 7

⌣

... →0 →1

konvergiert nicht. Entfernt man jedoch jeden zweiten Term, so konvergiert der Rest entweder gegen 0 oder gegen 1. Eine Folge, in der Terme fehlen, heißt Teil” folge“. Oder genauer:


(1.15) Definition. Eine Folge {s′n } heißt Teilfolge von {sn }, falls es eine steng monoton wachsende Abbildung σ : N → N gibt mit s′n = sσ(n) (streng monoton wachsend heißt, dass σ(n) < σ(m) ist, wann immer n < m ist). (1.16) Definition. Ein Punkt s heißt Häufungspunkt einer Folge {sn }, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen s konvergiert. Beispiele. Die Punkte 0 und 1 sind Häufungspunkte der Folge (1.24). Ein interessantes Beispiel ist die Folge (1.25)

n1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 o , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,... , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8

für die alle Zahlen zwischen 0 und 1 (einschließlich 0 und 1 selber) Häufungspunkte sind. Um dies einzusehen, betrachten wir beispielsweise ln 2, und finden, dass die Folge n 6 69 693 6931 69314 693147 o , , , , , ,... 10 100 1000 10000 100000 1000000

gegen ln 2 strebt, und sicherlich als Teilfolge irgendwo in (1.25) enthalten ist; damit ist ln 2 ein Häufungspunkt von (1.25). Die unbeschränkten Folgen {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, {−1, −2, −3, −4, −5, . . .} und {1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . .}, besitzen keine Häufungspunkte. (1.17) Satz von Bolzano-Weierstraß (Weierstraß’ Vorlesung von 1874). Eine beschränkte Folge {sn } besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Beweis. Weierstraß’ ursprünglicher Beweis benutzt ein Halbierungsargument a¨ hnlich dem aus dem Beweis von Satz 1.12. Steht uns dieser Satz bereits zur Verfügung, können wir die Menge (1.26)

X = x sn > x für unendlich viele n

betrachten und einfach ξ = sup X setzen, was sich sofort als Häufungspunkt herausstellt (siehe Abb. 1.6). Diese Zahl existiert, weil X nicht leer und nach oben beschränkt ist (die Folge {sn } ist beschränkt). Nach Definition des Supremums kann nur eine endliche Zahl an sn die Bedingung sn ≥ ξ + ε erfüllen, weshalb unendlich viele Terme sn größer als ξ − ε sein müssen (ε ist dabei eine beliebige positive Zahl). Folglich liegen unendlich viele Terme sn im Intervall [ξ − ε, ξ + ε]. Wir wählen nun ein beliebiges Element der Folge, das in [ξ − 1, ξ + 1] liegt, und nennen es s′1 = sσ(1) . Sodann wählen wir ein Element in [ξ − 1/2, ξ + 1/2], dessen Index größer ist als σ(1) (dies ist sicherlich möglich, da es unendlich viele gibt), und nennen es s′2 = sσ(2) . Im n-ten Schritt wählen wir für s′n = sσ(n) ein Element der Folge in [ξ − 1/n, ξ + 1/n] mit Index größer als σ(n − 1). Die so erhaltene Teilfolge konvergiert gegen ξ, da |s′n − ξ| ≤ 1/n. ⊓ ⊔


X

ξ − 1/n

ξ + 1/n ξ = sup X

ABB. 1.6. Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß

Bemerkung. Dieser Beweis bringt nicht etwa irgendeinen beliebigen Häufungspunkt hervor, sondern genau den größten Häufungspunkt. Wir nennen ihn den Limes superior“ der Folge, und schreiben ihn als ” (1.27) ξ = lim sup sn = sup x ∈ R sn > x für unendlich viele n n→∞

¨ (siehe auch Ubung 1.12). Für den kleinsten Häufungspunkt schreiben wir entsprechend (1.28) ξ = lim inf sn = inf x ∈ R sn < x für unendlich viele n . n→∞

Beispiel. Für die Folge 32 , − 21 , 43 , − 31 , 54 , − 14 , 65 , − 51 , 76 , − 16 , 87 , − 71 . . . finden wir lim supn→∞ sn = 1, lim inf n→∞ sn = 0, sup{sn} = 3/2, inf{sn } = −1/2.

¨ Ubungen 1.1 (Dreiecksungleichung). Zeigen Sie, indem Sie alle möglichen VorzeichenKombinationen untersuchen, dass für zwei beliebige reelle Zahlen u und v gilt: (1.29)

|u + v| ≤ |u| + |v|.

Zeigen Sie dann, dass für drei beliebige Zahlen u, v und w stets (1.29′ )

|u − w| ≤ |u − v| + |v − w|

erfüllt ist. 1.2 Zeigen Sie, dass die Folge {sn } mit sn =

2n − 1 n+3

gegen s = 2 konvergiert. Finden Sie zu einem gegebenen ε > 0, beispielsweise ε = 10−5 , eine Zahl N , so dass |sn − s| < ε für alle n ≥ N gilt.


1.3 Zeigen Sie, dass die Folgen sn =

1 1 1 1 1 + + + + ...+ 1 · 5 3 · 7 5 · 9 7 · 11 (2n − 1)(2n + 3)

sn =

1 1 1 1 + + + ...+ 1·2·3 2·3·4 3·4·5 n(n + 1)(n + 2)

Cauchy-Folgen sind und bestimmen Sie ihre Grenzwerte. Hinweis. Zerlegen Sie die rationalen Funktionen in Partialbrüche.

1.4 Konstruieren Sie zwei Folgen sn und vn mit lim sn = ∞ und lim vn = 0, n→∞ n→∞ um jede der folgenden Möglichkeiten zu realisieren: a) lim (sn · vn ) = ∞; n→∞

b) lim (sn · vn ) = c, wobei c eine beliebige Konstante ist; und n→∞

c) sn · vn ist beschränkt aber nicht konvergent. 1.5 Betrachten Sie die drei Folgen sn =

√

√ n + 1000− n, vn =

q

n+

√

√ n − n, un =

r

n+

√ n − n. 1000

Zeigen Sie, dass sn > vn > un für n < 106 gilt und berechnen Sie lim sn , lim vn , lim un , sofern diese Grenzwerte existieren. Sortieren Sie n→∞ n→∞ n→∞ die Grenzwerte nach Größe. ¨ 1.6 Zeigen Sie mit Hilfe der Abschätzungen aus Ubung I.2.5, dass 1 n vn = 1 + n

eine Cauchy-Folge ist. Finden Sie für ε = 10−5 eine ganze Zahl N , so dass |vn − vn+k | < ε für alle n ≥ N und k ≥ 1 gilt.

1.7 Seien {an } und {bn } zwei Cauchy-Folgen, so wollen wir ihr termweises Produkt als {an · bn } schreiben. Zeigen Sie: a) Die Folge {an · bn } ist wieder eine Cauchy-Folge, und b) falls mit den Bezeichnungen aus (1.16) {an } ∼ {sn } und {bn } ∼ {vn } ist, dann ist auch {an · bn } ∼ {sn · vn }. Dies demonstriert, dass das Produkt zweier reeller Zahlen, wie es in (1.17) definiert wurde, unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. 1.8 Zeigen Sie, dass, wenn s der einzige Häufungspunkt einer beschränkten Folge {sn } ist, die Folge konvergent sein muss und gegen limn→∞ sn = s strebt. Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass dies für unbeschränkte Folgen nicht mehr gelten muss.


1.9 (Cauchy 1821, S. 59; auch unter dem Namen Cesàro-Summe“ bekannt). Es ” sei limn→∞ an = a und n X 1 bn = ak . n k=1

Zeigen Sie, dass limn→∞ bn = a ist. √ 1.10 Sei α eine irrationale Zahl (beispielsweise α = 2 ). Betrachten Sie die Folge {sn }, die durch sn = (nα) mod 1 definiert wird, d.h. sn ∈ (0, 1) ist die Zahl, die man aus nα erhält, wenn man den Ganzteil der Zahl entfernt. Berechnen Sie s1 , s2 , s3 , s4 , . . . und skizzieren Sie diese Werte. Zeigen Sie, dass jeder Punkt in [0, 1] ein Häufungspunkt dieser Folge ist. Hinweis. Für ε > 0 und n ≥ 1/ε sind mindestens zwei der n + 1 Punkte s1 , s2 , . . . , sn+1 einander näher als ε (wir nennen sie sk und sk+ℓ ). Dann formen die Punkte sk , sk+ℓ , sk+2ℓ , . . . ein Netz mit Maschenweite < ε. Bemerkung. Am Anfang des Computerzeitalters war diese Vorgehensweise die Standardmethode, um Pseudozufallszahlen zu erzeugen. 1.11 Seien {sn } und {vn } zwei beschränkte Folgen. Beweisen Sie lim sup (sn + vn ) ≤ lim sup sn + lim sup vn n→∞

n→∞

n→∞

lim inf (sn + vn ) ≥ lim inf sn + lim inf vn . n→∞

n→∞

n→∞

Zeigen Sie anhand von Beispielen, dass die Fälle “ explizit ” ” auftreten können. 1.12 Beweisen Sie, dass für eine Folge {sn } gilt: lim sup sn = lim vn mit vn = sup sn , sn+1 , sn+2 , . . . . n→∞

n→∞

1.13 Berechnen Sie sämtliche Häufungspunkte der Folge

{sn } = p11 , p21 , p22 , p31 , p32 , p33 , p41 , p42 , . . . ,

pkℓ =

k X 1 . i2 i=ℓ

Beweisen Sie lim sup sn = π /6 (siehe Gl. (I.5.23)), und dass lim inf sn = 0 ist (siehe Abb. 1.7). 2

0

π2/6 − 1

1

ABB. 1.7. Folge mit einer abzählbaren Zahl an Häufungspunkten

π2/6


III.2 Unendliche Reihen Ich möchte meine ganze Kraft dafür einsetzen, Licht in die immense Dunkelheit zu bringen, die heutzutage in der Analysis herrscht. Ihr fehlt es so an einem Plan oder einem System, dass man wirklich erstaunt ist, dass sich ihr so viele Menschen hingeben — und, noch schlimmer, ihr fehlt es an jeder Strenge. (Abel 1826, Oeuvres, Band 2, S. 263) Cauchy ist verrückt, und es gibt keine Möglichkeit, sich mit ihm gut zu stellen, obwohl er zur Zeit der einzige Mensch ist, der weiß, wie man Mathematik behandeln muss. Was er macht, ist exzellent, aber sehr verwirrend ... (Abel 1826, Oeuvres, Band 2, S. 259)

Seit Newton und Leibniz waren unendliche Reihen (2.1)

a0 + a1 + a2 + a3 + . . .

das universelle Werkzeug für Berechnungen aller Art (siehe Kap. I). Wir wollen hier nun präzisieren, was (2.1) wirklich bedeutet. Die Idee besteht darin, die Folge {sn } der Partialsummen (2.2)

s0 = a0 ,

s1 = a0 + a1 ,

...,

sn =

n X

ai ,

...

i=0

zu betrachten und die Definitionen und Ergebnisse des vorhergehenden Abschnitts anzuwenden. Eine klassische Referenz zu unendlichen Reihen ist das Buch von Knopp (1922). (2.1) Definition. Wir sagen, dass die unendliche Reihe (2.1) konvergiert, falls die Folge {sn } von (2.2) konvergiert. Wir schreiben dann ∞ X

n→∞

i=0

1

q 1

q2 q

ai = lim sn . n→∞

i≥0

q3 q2

X

oder

ai = lim sn

q4 q3

q4

....

ABB. 2.1. Geometrischer“ Blickwinkel auf die geometrische Reihe ”

1 1−q

(2.2) Beispiel. Betrachten Sie die geometrische Reihe, deren n-te Partialsumme durch sn = 1 + q + q 2 + . . . + q n gegeben ist (siehe Abb. 2.1). Wenn wir diesen Ausdruck mit 1 − q multiplizieren, heben sich die meisten Terme weg, und wir finden (für q 6= 1) sn = 1 + q + q 2 + . . . + q n =

1 − q n+1 . 1−q

III.2 Unendliche Reihen 205

Aus Lemma 1.4 in Verbindung mit Satz 1.5 folgt  1    1−q 1 + q + q2 + q3 + q4 + q5 + . . . = divergiert → ∞    divergiert

falls |q| < 1, falls q ≥ 1,

falls q ≤ −1.

Konvergenzkriterien

¨ Ublicherweise ist es nicht möglich, einen einfachen Ausdruck für sn zu finden, und dementsprechend schwer, den Grenzwert von {sn } explizit zu berechnen. In diesem Fall ist es am natürlichsten, das Cauchy-Kriterium aus Satz 1.8 auf die Folge der Partialsummen anzuwenden. Wegen sn+k − sn = an+1 + an+2 + . . . + an+k erhalten wir (2.3) Lemma. Die unendliche Reihe (2.1) konvergiert gegen eine reelle Zahl genau dann, wenn gilt: ∀ ε > 0 ∃ N ≥ 0 ∀ n ≥ N ∀ k ≥ 1 an+1 + an+2 + . . . + an+k < ε. ⊓ ⊔ Setzen wir k = 1 in diesem Kriterium, so finden wir, dass

(2.3)

lim ai = 0

i→∞

eine notwendige Bedingung für die Konvergenz von (2.1) ist. Allerdings ist (2.3) keineswegs hinreichend. Dies sieht man beispielsweise am Gegenbeispiel 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + . . . → ∞. 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 Im folgenden wollen wir einige hinreichende Bedingungen für die Konvergenz von (2.1) diskutieren. Das Leibniz-Kriterium. Wir betrachten eine unendliche Reihe, deren Terme alternierende Vorzeichen haben, also X (2.4) a0 − a1 + a2 − a3 + a4 − . . . = (−1)i ai . i≥0

(2.4) Satz (Leibniz 1682). Die Terme ai einer alternierenden Reihe (2.4) mögen für alle i die Bedingungen ai > 0,

ai+1 ≤ ai ,

lim ai = 0

i→∞

erfüllen. Dann konvergiert die Reihe (2.4) gegen eine reelle Zahl s und es gilt die Abschätzung (2.5)

|s − sn | ≤ an+1 ,

d.h. der Fehler der n-ten Partialsumme ist nicht größer als der erste vernachlässigte Term.


− a1 − a3 − a 5 s1

s3 s5

s4 + a4 + a2

s2

s0

ABB. 2.2. Beweis des Leibniz-Kriteriums

Beweis. Wir bezeichnen mit sn die n-te Partialsumme von (2.4). Sodann folgt aus der Monotonitätsbedingung s2k+1 = s2k−1 + a2k − a2k+1 ≥ s2k−1 und s2k+2 = s2k − a2k+1 + a2k+2 ≤ s2k . Aus der Positivität von a2k+1 finden wir s2k+1 < s2k , so dass wir durch Kombination dieser Ungleichungen s1 ≤ s3 ≤ s5 ≤ s7 ≤ . . . ≤ s6 ≤ s4 ≤ s2 ≤ s0 schlussfolgern (siehe Abb. 2.2). Infolgedessen liegt sn+k für alle k zwischen sn und sn+1 , also insbesondere (2.6)

|sn+k − sn | ≤ |sn+1 − sn | = an+1 .

Hieraus folgt die Konvergenz von {sn } nach Satz 1.8, da an+1 für n → ∞ gegen 0 strebt. Schließlich erhalten wir die Abschätzung (2.5) aus der Betrachtung des Grenzwertes k → ∞ in (2.6) (z.B. mit Satz 1.6). ⊓ ⊔ Beispiel. Die Konvergenz der Reihen (siehe (I.4.29) und (I.3.13a)) 1−

1 1 1 + − + ... 3 5 7

und

1−

1 1 1 + − + ... 2 3 4

ist damit bewiesen. Allerdings haben wir so noch nicht streng bewiesen, dass die erste Summe π/4 und die zweite ln 2 darstellt (siehe Beispiel 7.11 unten). Wenn ein Kettenbruch (I.6.7) in eine unendliche Reihe u¨ berführt wird, erhalten wir (siehe Gl. (I.6.16)) q0 +

p1 p1 p2 p1 p2 p3 p1 p2 p3 p4 − + − +... . B1 B1 B2 B2 B3 B3 B4

Wenn wir davon ausgehen, dass die ganzen Zahlen pi und qi positiv sind, so ist dies eine alternierende Reihe (zumindest ab dem zweiten Term). Desweiteren gilt Bk = qk Bk−1 + pk Bk−2 > pk Bk−2 , woraus folgt, dass die Terme der Reihe monoton fallen. Unter der zusätzlichen Annahme, dass 0 < pi ≤ qi für alle i ≥ 1 ist (siehe Satz I.6.4), haben wir 2 Bk Bk−1 = qk Bk−1 + pk Bk−1 Bk−2 > 2pk Bk−1 Bk−2


und damit auch Bk Bk−1 > 2k−1 pk pk−1 ·. . .·p1 . Dies beweist, dass die Terme der Reihe gegen Null streben, und nach Satz 2.4, dass die von uns betrachtete Reihe konvergiert. Majoranten- und Minorantenkriterium. Für unendliche Reihen mit nicht-negativen Termen sind die folgenden Kriterien ausgesprochen hilfreich. (2.5) Satz. Es sei 0 ≤ ai ≤ bi für alle (genügend große) i. Dann gilt: P∞ P∞ =⇒ ai konvergiert, i=0 bi konvergiert P∞ Pi=0 ∞ =⇒ i=0 ai divergiert i=0 bi divergiert.

P P Beweis. Setzen wir sn = ni=0 ai und vn = ni=0 bi , so ist diese Aussage eine direkte Folgerung aus Korollar 1.14. ⊓ ⊔ Als erste Anwendung präsentieren wir einen einfachen Beweis für die DiverP genz der harmonischen Reihe i≥1 1i (N. Oresme, um 1350; siehe Struik 1969, S. 320). Wir wenden das Minorantenkriterium wie folgt an: P

P

bi = 1 +

1 2

+ 31 +

1 4

+ 15 +

1 6

+

ai = 1 +

1 2

+ 14 + 14 + 18 + | {z } |

1 8

+1+1 + 1 + {z 8 8} |16

1/2

1 7

+

1 8

1/2

+ 91 +

1 10 1 16

+ ... +

1 16

1 + 17 + ...

1 + . . . + 16 + 1 + ... . {z } 32

1/2

P P Da ai divergiert, folgt aus 0 < ai ≤ bi , dass auch die harmonische Reihe bi divergieren muss. Als zweites Beispiel betrachten wir die Folge (I.2.18) für ex (z.B. für x = 10): (2.7)

1 + 10 +

102 103 104 105 + + + +... . 2! 3! 4! 5!

Wir lassen die ersten 10 Terme aus (dies beeinflusst die Konvergenz nicht), und vergleichen die restliche Reihe mit der geometrischen Reihe (Beispiel 2.2 mit q = 10/11 < 1) 1010 1011 1012 1010 + + +... = 1+ 10! 11! 12! 10! 10 10 ≤ 1+ 10!

10 10 · 10 10 · 10 · 10 + + + ... 11 11 · 12 11 · 12 · 13 10 102 103 + 2 + 3 + ... . 11 11 11

Die Konvergenz der geometrischen Reihe demonstriert also die Konvergenz von (2.7). Auf a¨ hnliche Weise zeigt man, dass die Reihe (I.2.18) für alle x konvergiert. Einen solchen Vergleich mit der geometrischen Reihe werden wir noch o¨ fters nutzen (siehe Kriterien 2.10 und 2.11, Lemma 7.1 und die Sätze 7.5 und 7.7).


(2.6) Lemma. Die Reihe 1 1 1 1 1 + + α + α + α + ... 1α 2α 3 4 5

(2.8)

konvergiert für alle α > 1. Sie divergiert für α ≤ 1.

Beweis. Die Divergenz der Reihe für α = 1 (harmonische Reihe) haben wir oben bereits bewiesen. Für α < 1 sind die einzelnen Terme sogar noch größer, so dass die Folge nach Satz 2.5 divergieren muss. Als nächstes beweisen wir die Konvergenz von (2.8) für α = (k + 1)/k, wobei k ≥ 1 eine ganze Zahl sei. Der Ansatz besteht nun darin, die Reihe X 1 1 1 1 1 1− √ + √ − √ + √ − ... = (−1)i+1 √ , k k k k k 2 3 4 5 i i≥1

zu betrachten, die nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert. Auf Summen von je zwei aufeinander folgenden Termen wenden wir nun das Minorantenkriterium an: √ √ k 1 1 2i − k 2i − 1 1 (2.9) − = √ √ √ ≥ Ck · (k+1)/k , √ k k k i 2i − 1 2i 2i − 1 · k 2i wobei Ck = 1/(k · 2(k+1)/k ) eine von i unabhängige Konstante ist. Die letzte Ungleichung in (2.9) erhalten wir aus der Identität ak − bk = (a − b)(ak−1 + √ √ k k−2 k−3 2 k−1 a b+a b +...+ b ) mit a = 2i und b = k 2i − 1 wie folgt: √ k

2i −

√ k 2i − 1 =

1 1 ≥ . (2i)(k−1)/k + . . . + (2i − 1)(k−1)/k k · (2i)(k−1)/k

Danach ist nach Satz 2.5 die Reihe (2.8) konvergent für α = (k + 1)/k. Schließlich gibt es zu jedem beliebigen α > 1 stets eine ganze Zahl k, so dass α > (k + 1)/k ist. Wenden wir ein weiteres Mal Satz 2.5 an, finden wir die gesuchte Konvergenz für alle α > 1. ⊓ ⊔

Absolute Konvergenz Beispiel. Die Reihe (2.10)

1−

1 1 1 1 1 + − + − +... 2 3 4 5 6

konvergiert aufgrund des Leibniz-Kriteriums (und zwar gegen ln 2). Wenn wir nun die Reihe wie folgt umordnen: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1− − + − − + − − + − − + ... , | {z 2} 4 |3 {z 6} 8 |5 {z 10} 12 |7 {z 14} 16 1/2 1/6 1/10 1/14


so finden wir 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − ... = 1 − + − + −... , 2 4 6 8 10 2 2 3 4 5

was nunmehr nur noch die Hälfte der ursprünglichen Summe darstellt. Dies zeigt, dass der Wert einer unendlichen Summe von der Reihenfolge der Summation abhängen kann. P∞ ′ P∞ (2.7) Definition. P∞ Eine Reihe P∞ ′ i=0 ai heißt Umordnung von i=0 ai , wenn jeder Term von i=0 ai in i=0 ai genau einmal auftaucht und umgekehrt (d.h. es gibt eine bijektive Abbildung σ : N0 → N0 mit a′i = aσ(i) ; dabei sei hier N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}). Erklärung. Eine elegante Erklärung des obigen Phänomens wurde von Riemann gegeben (1854, Werke, S. 235, . . . ein Umstand, welcher von den Mathematikern ” des vorigen Jahrhunderts u¨ bersehen wurde . . .“). Tatsächlich hat Riemann weit mehr feststellen können: Zu jeder gegebenen reellen Zahl A ist es möglich, die Terme von (2.10) so umzuordnen, dass die resultierende Summe gegen A konvergiert. Der Grund liegt darin, dass die Summe der positiven Terme von (2.10) ebenso wie die Summe der negativen Terme 1+

1 1 1 1 + + + + ... 3 5 7 9

und

−

1 1 1 1 1 − − − − − ... 2 4 6 8 10

divergieren (oder anders gesagt: Die Reihe (2.10) divergiert, wenn man jeden Term durch seinen Betrag ersetzt). Die Vorgehensweise (für A > 0) besteht darin, zunächst soviele positive Terme 1 + 1/3 + . . . zu addieren, bis ihre Summe A u¨ bersteigt (dies muss irgendwann passieren, da die Reihe der positiven Terme divergiert). Dann addieren wir soviele negative Terme, bis die Summe wieder unter A fällt (auch dies muss irgendwann eintreten, da −1/2 − 1/4 − . . . divergiert). Dann fügen wir wieder positive Terme hinzu, bis A abermals u¨ berschritten wird, und so fort. Auf diese Weise erhalten wir eine umgeordnete Reihe, die gegen A konvergiert (vergl. die Beispiele in Abb. 2.3). (2.8) Definition. Die Reihe (2.1) heißt absolut konvergent, wenn |a0 | + |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . konvergiert. P∞ (2.9) Satz (Dirichlet 1837b). Wenn die Reihe i=0 ai absolut konvergiert, dann konvergiert jede ihrer Umordnungen gegen denselben Grenzwert. Beweis. Nach dem Cauchy-Kriterium bedeutet absolute Konvergenz:

∀ ε > 0 ∃ N ≥ 0 ∀ n ≥ N ∀ k ≥ 1 |an+1 | + |an+2 | + . . . + |an+k | < ε

210 III. Grundlagen der klassischen Analysis 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0

1,2 = 1 +

1 3

−

1 2

+

1 5

+

20

1 7

+

1 9

−

1 4

+

1 11

+ ...

40

1,5 = 1 +

1 3

+

1 5

20

−

1 2

+

1 7

+

60

1 9

+

1 11

+ ...

40

60

ABB. 2.3. Umordnungen der Reihe (2.10)

Zu einem gegebenen ε > 0 und dem dazugehörigen N ≥ 0 wählen wir eine ganze Zahl dass alle Terme a0 , a1 , . . . , aN in der M -ten Partialsumme PMM derart, ′ s′M = a der Umordnung erscheinen. Dadurch verschwinden in der Difi=0 i ferenz sm − s′m sämtliche Terme a0 , a1 , . . . , aN (für m ≥ M ) und wir finden |sm − s′m | ≤ |aN +1 | + |aN +2 | + . . . + |aN +k | < ε, wobei k eine genügend große ganze Zahl ist. Damit ist bewiesen, dass sm − s′m gegen 0 strebt, und dass die Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert wie die ursprüngliche Reihe. ⊓ ⊔ Als nächstes stellen wir zwei hinreichende Kriterien für die absolute Konvergenz einer unendlichen Reihe vor. (2.10) Quotientenkriterium (Cauchy 1821). Wenn die Terme an einer Reihe (2.1) die Bedingung (2.11)

lim sup n→∞

|an+1 | 1 ist, so divergiert sie. Beweis. Wir wählen eine Zahl q, so dass lim supn→∞ |an+1 |/|an | < q < 1 gilt. Dann ist nur eine endliche Anzahl an Quotienten |an+1 |/|an | größer als q und wir finden |an+1 | ∃N ≥ 0 ∀n ≥ N ≤ q. |an |

Hieraus folgt wiederum |aN+1 | ≤ q|aN |, |aN+2 | ≤ q 2 |aN |, |aN +3 | ≤ q 3 |aN | usw. Da die geometrische Reihe konvergiert (hier ist 0 < q < 1), konvergiert P auch die Reihe i≥0 |ai |.


Falls lim inf n→∞ |an+1 |/|an | > 1 gilt, so wächst die Folge {|an |} monoton an für n ≥ N , und die zur Konvergenz notwendige Bedingung (2.3) ist nicht erfüllt. ⊓ ⊔ Beispiele. Der allgemeine Term der Reihe für ex lautet an = xn /n!. Hier ist nun |an+1 |/|an | = |x|/(n + 1) → 0, so dass die Reihe (I.2.18) für alle reellen x absolut konvergiert. Analog zeigt man die absolute Konvergenz der Reihenentwicklungen von sin x und cos x für alle x. Für die Reihe (2.8) kann dieses Kriterium nicht angewendet werden, da |an+1 |/|an | = (n/(n + 1))α → 1 strebt. (2.11) Das Wurzelkriterium (Cauchy 1821). Wenn p (2.12) lim sup n |an | < 1 n→∞

gilt, dann ist die Reihe (2.1) absolut konvergent. Wenn lim supn→∞ ist, so divergiert sie.

p n

|an | > 1

Beweis. Wie bereits im Beweis des Quotientenkriteriums wählen wir eine Zahl p q < 1, die strikt größer ist als lim supn→∞ n |an |. Damit gilt p ∃ N ≥ 0 ∀ n ≥ N n |an | ≤ q.

Hieraus folgt |an | ≤ q n für n ≥ N und Vergleich mit der geometrischen Reihe p Pein ∞ liefert die absolute Konvergenz von i=0 ai . Falls lim supn→∞ n |an | > 1, so ist Bedingung (2.3) nicht erfüllt und die Reihe kann nicht konvergieren. ⊓ ⊔

Doppelreihen Wir betrachten eine zweidimensionale Anordnung reeller Zahlen

(2.13)

a00 + a10 + a20 + a30 + : = v0

+ a01 + + a11 + + a21 + + a31 + : = + v1

+ a02 + + a12 + + a22 + + a32 + : = + v2

+ a03 + + a13 + + a23 + + a33 + : = + v3

+... = +... = +... = +... =

+... =

s0 + s1 + s2 + s3 + : = ???

und wollen versuchen, sie alle aufzusummieren. Es gibt eine Vielzahl natürlich anmutender Methoden hierzu. Man könnte alle der i-ten Zeile summieren, PElemente ∞ das Ergebnis mit si bezeichnen, und dann i=0 si berechnen; man könnte ebensogut alle Elemente der j-ten Spalte summieren, ihr Resultat mit vj bezeichnen

212 III. Grundlagen der klassischen Analysis M

1 − 1 + 0 + 0 +... = 0 + + + + + 0 + 1 − 1 + 0 +... = 0 + + + + + 0 + 0 + 1 − 1 +... = 0 + + + + + 0 + 0 + 0 + 1 − . . .= 0 + + + + + .. .. .. .. .. . . . . . = = = = = 1 + 0 + 0 + 0 + . . . = 1 6= 0

a00 a01

b1

a10 b2

b0

bN+1 b3

bN+3

bN−1

bN

M

bN+2

bN+4

ABB. 2.4a. Gegenbeispiel

bN+k

ABB. 2.4b. Doppelreihe

P und ∞ onnte auch zunächst alle Elemente linear hinj=0 vj berechnen. Man k¨ tereinander schreiben, und dann summieren. Beispielsweise könnten wir mit a00 starten, dann die Elemente aij hinzufügen, für die i + j = 1 ist, dann diejenigen mit i + j = 2 und so weiter. Dies führt dann zu (2.14)

a00 + (a10 + a01 ) + (a20 + a11 + a02 ) + (a30 + . . .) + . . . .

Wir notieren nun die Paare (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), . . . als σ(0), σ(1), σ(2), σ(3), . . . , so dass σ eine Abbildung σ : N0 → N0 × N0 wird, wobei N0 × N0 = {(i, j) | i ∈ N0 , j ∈ N0 } das sogenannte kartesische Produkt von N0 und N0 ist. Für den Allgemeinfall definieren wir also: P∞ (2.12) Definition. Eine Reihe k=0 bk heißt lineare Anordnung der Doppelreihe (2.13), falls es eine bijektive Abbildung σ : N0 → N0 ×N0 gibt, so dass bk = aσ(k) ist. Die Frage lautet nun: Führen die verschiedenen Möglichkeiten, die Doppelreihe zu summieren, auch alle zum selben Ergebnis? Gilt also

(2.15)

s0 + s1 + . . . =

∞ X ∞ X i=0

j=0

∞ X ∞ X aij = aij = v0 + v1 + . . . j=0

i=0

und konvergieren alle linearen Anordnungen gegen denselben Wert? Das Gegenbeispiel aus Abb. 2.4a zeigt uns, dass dies nicht stimmt – zumindest nicht ohne zusätzliche Forderungen.


(2.13) Satz (Cauchy 1821, Note VII“). Wenn für die Doppelreihe (2.13) ” m X m X (2.16) ∃B ≥ 0 ∀m ≥ 0 |aij | ≤ B i=0 j=0

gilt, dann sind die Reihen in (2.15) konvergent und die Identitäten von (2.15) erfüllt. Desweiteren konvergiert dann jede lineare Anordnung der Doppelreihe gegen denselben Wert. Beweis.P Sei b0 + b1 + b2 + . . . eine lineare Anordnung der Doppelreihe (2.13). Die Folge { Pni=0 |bi |} wächst monoton an und ist beschränktP(nach Annahme (2.16)), ∞ ∞ so dass i=0 |bi | konvergiert,Pund infolgedessen P auch i=0 bi . Analog können ∞ ∞ wir die Konvergenz von si = j=0 aij und vj = i=0 aij feststellen. MotiviertP vom Beweis von Satz 2.9 wenden wir nun das Cauchy-Kriterium ∞ auf die Reihe i=0 |bi | an und finden ∀ ε > 0 ∃ N ≥ 0 ∀ n ≥ N ∀ k ≥ 1 |bn+1 | + |bn+2 | + . . . + |bn+k | < ε.

Zu einem gegebenen ε > 0 und dem entsprechenden N ≥ 0 wählen wir eine ganze Zahl M derart, dass sich alle Elemente b0 , b1 , . . . , bN in dem Rechteck 0 ≤ i ≤ M , 0 ≤ j ≤ M befinden Pl (siehe Abb. 2.4b). Mit dieser Wahl Pm erscheinen Pn b0 , b1 , . . . , bN in der Summe i=0 bi (für l ≥ N ) ebenso wie in i=0 j=0 aij (für m ≥ M und n ≥ M ). Daher gilt für l ≥ N , m ≥ M , n ≥ M , m n l X X X (2.17) aij − bi ≤ |bN +1 | + . . . + |bN +k | < ε i=0 j=0

i=0

P∞ für ein genügend großes k. Wir definieren s = i=0 bi und betrachten den Grenzwert für l P → ∞P und n → ∞ Pnin (2.17). Pm Dann vertauschen wir die endlichen Summ n mationen i=0 j=0 ↔ j=0 i=0 und betrachten die Grenzwerte für l → ∞ und m → ∞. Nach Satz 1.6 führt uns dies zu X X m n ≤ ε. s − s ≤ ε und v − s i j i=0

Folglich konvergieren

j=0

P∞

i=0 si

und

P∞

j=0

vj gegen denselben Grenzwert s.

⊓ ⊔

Das Cauchy-Produkt zweier Reihen P∞ P∞ Wenn wir das Produkt zweier unendlicher Reihen i=0 ai und j=0 bj ausrechnen wollen, so müssen wir alle Elemente der zweidimensionalen Tabelle

(2.18)

a0 b0 a1 b0

a0 b1 a1 b1

a0 b2 a1 b2

a0 b 3 a1 b 3

... ...

a2 b0 a3 b0 :

a2 b1 a3 b1 :

a2 b2 a3 b2 :

a2 b 3 a3 b 3 :

... ... .


addieren. Wenn wir die Elemente wie in Gl. (2.14) anordnen, bekommen wir das sogenannte Cauchy-Produkt der zwei Reihen. (2.14) Definition. Das Cauchy-Produkt der Reihen definiert als ∞ X n X

n=0

j=0

an−j · bj

P∞

i=0

ai und

P∞

j=0 bj

ist

= a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) + . . . .

Die Frage lautet nun, ob das P Cauchy-Produkt P konvergiert, und ob es tatsächlich das Produkt der zwei Reihen i≥0 ai und j≥0 bj beschreibt. (2.15) Gegenbeispiel (Cauchy 1821). Die Reihe

1 1 1 1 1 − √ + √ − √ + √ − ... 2 3 4 5 konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Wir betrachten ihr Cauchy-Produkt mit sich selbst. Wegen n n X X 1 2n + 2 √ √ a · b = ≥ n−j j n+2 n + 1 − j · j + 1 j=0 j=0

(diese Ungleichung folgt aus (n + 1 − x)(x + 1) ≤ (1 + n/2)2 für 0 ≤ x ≤ n) ist die notwendige Bedingung (2.3) für die Konvergenz des Cauchy-Produktes nicht erfüllt (siehe Abb. 2.5). Dieses Beispiel zeigt auf, dass das Cauchy-Produkt zweier konvergenter Reihen nicht konvergieren muss.

1

0

50

100

−1

ABB. 2.5. Divergenz des Cauchy-Produktes aus Gegenbeispiel 2.15


P∞ P∞ (2.16) Satz (Cauchy 1821). Wenn die zwei Reihen i=0 ai und j=0 bj absolut konvergieren, dann konvergiert ihr Cauchy-Produkt und es gilt: X X X ∞ ∞ ∞ X n (2.19) ai · bj = an−j · bj . i=0

n=0

j=0

j=0

P∞ P∞ Beweis. Nach Voraussetzung gilt i=0 |ai | ≤ B1 und j=0 |bj | ≤ B2 . Daher finden wir für die zweidimensionale Tabelle (2.18) für alle m ≥ 0 m X m X i=0 j=0

|ai ||bj | ≤ B1 B2

und lässt sich anwenden. Die P∞Satz 2.13P P∞ P∞Summe der i-ten Zeile gibt si = ai · ∞ b und s = ( a )( j i i j=0 i=0 i=0 j=0 bj ). Nach Satz 2.13 konvergiert das Cauchy-Produkt, das eine lineare Anordnung von (2.18) ist, gegen diesen Wert. ⊓ ⊔ Beispiele. Für |q| < 1 betrachten wir die zwei Reihen 1 + q + q2 + q3 + . . . = Ihr Cauchy-Produkt ist

1 1−q

und

1 − q + q2 − q3 + . . . =

1 + q2 + q4 + q6 + . . . =

1 . 1+q

1 , 1 − q2

was tatsächlich auch das Produkt von (1 − q)−1 und (1 + q)−1 ist. Das Cauchy-Produkt der absolut konvergenten Reihen ex = 1 + x +

x2 x3 + +... 2! 3!

und

ey = 1 + y +

y2 y3 + + ... 2! 3!

liefert die Reihenentwicklung für ex+y (benutzen Sie den binomischen Lehrsatz I.2.1). Bemerkung. Die Aussage von Satz 2.16 ist auch dann noch wahr, wenn nur eine der zwei Reihen absolut konvergiert und die zweite konvergiert (F. Mertens 1875, ¨ siehe Ubung 2.3). P P Unter der Annahme, dass die Reihen i ai , j bj und auch ihr CauchyProdukt (Definition 2.14) konvergieren, gilt die Identität (2.19) (Abel 1826, siehe ¨ Ubung 7.9).

Vertauschen von unendlichen Reihen und Grenzwertbildung An verschiedenen Stellen in Kap. I standen wir vor dem Problem, eine unendliche Reihe mit einem Limes zu vertauschen (beispielsweise bei der Herleitung der Reihenentwicklung von ex in Abschnitt I.2 und von sin x und cos x in Abschnitt I.4).


P∞ Wir betrachteten Reihen dn = j=0 snj , die von einem ganzzahligen ParameP∞ ter n abhängen, und nutzten die Tatsache limn→∞ dn = j=0 limn→∞ snj aus. Bereits in Abschnitt I.2 (nach Gl. (I.2.17)) haben wir festgestellt, dass dies nicht immer gelten muss, und dass einige Vorsicht angebracht ist. Der folgende Satz gibt nun hinreichende Bedingungen an, unter denen eine solche Vertauschung erlaubt ist. (2.17) Satz. Angenommen, die Glieder der Folge {s0j , s1j , s2j , . . .} haben alle dasselbe Vorzeichen und |sn+1,j | P ≥ |snj | gilt für alle n und j. Wenn außerdem n eine Schranke B existiert, so dass j=0 |snj | ≤ B für alle n ≥ 0 gilt, dann ist (2.20)

lim

n→∞

∞ X

snj =

j=0

∞ X j=0

lim snj .

n→∞

Beweis. Der Ansatz besteht in einer Umformulierung der Voraussetzungen auf eine Weise, die die direkte Anwendung von Satz 2.13 erlaubt. Zu Beginn dieses Abschnitts haben wir gesehen, dass jede Reihe als unendliche Folge ihrer Partialsummen (2.2) aufgefasst werden kann. Umgekehrt bestimmen die Partialsummen Pn s0 , s1 , s2 , . . . diejenigen Elemente ai auf eindeutige Weise, für die i=0 ai = sn ist. Wir müssen dafür nur a0 = s0 und ai = si − si−1 für alle i ≥ 1 setzen. Wenden wir nun diesen Ansatz auf die Folge {s0j , s1j , s2j , . . .} an, so definieren wir a0j := s0j ,

aij := sij − si−1,j

mit

n X

aij = snj .

i=0

Ersetzen wir snj durch diesen Ausdruck, wird aus (2.20) (2.21)

lim

n→∞

∞ X n X j=0 i=0

aij =

∞ X j=0

lim

n→∞

n X

aij .

i=0

Vertauschen wir die Summationen auf der linken Seite von (2.21) (dies ist nach Satz 1.5 erlaubt), so sehen wir, dass (2.21) a¨ quivalent zu (2.15) ist. Daher müssen wir nur noch Bedingung (2.16) nachweisen. Aus den Annahmen an {s0j , s1j , . . .} folgt, dass die Elemente a0j , a1j , . . . alle dasselbe Vorzeichen haben. Deshalb gilt n X i=0

|aij | = |snj |

und

n X n X i=0 j=0

|aij | =

n X j=0

|snj | ≤ B.

Nach Satz 2.13 impliziert dies (2.21) und damit auch (2.20).

⊓ ⊔

(2.18) Beispiel. Wir geben nun einen strengen Beweis von Satz I.2.3. Aus dem binomischen Lehrsatz folgt (2.22)

1+

y 2 (1 − n1 ) y 3 (1 − n1 )(1 − n2 ) y n =1+y+ + +... , n 1·2 1·2·3


was eine vom Parameter n abhängige Reihe charakterisiert. Wir setzen sn0 = 1,

sn1 = y,

sn2 =

y 2 (1 − n1 ) , 1·2

sn3 =

y 3 (1 − n1 )(1 − n2 ) , 1·2·3

... .

Zu einem festen y haben die Elemente der Folge {s0j , s1j , . . .} alle dasselbe Vorzeichen und {|s0j |, |s1j |, . . .} ist monoton wachsend. Desweiteren haben wir n X j=0

|snj | ≤

n X |y|j ≤B j! j=0

P j da nach dem Quotientenkriterium ∞ j=0 |y| /j! konvergiert. Satz 2.17 liefert uns dann schließlich y n y2 y3 y4 lim 1 + =1+y+ + + +... . n→∞ n 2! 3! 4!

¨ Ubungen 2.1 Berechnen Sie das Cauchy-Produkt der zwei Reihen f (x) = x −

x3 x5 + − ... 3! 5!

und

g(y) = 1 −

y2 y4 + −... 2! 4!

und finden Sie die Reihenentwicklung von f (x)g(y) + g(x)f (y). Rechtfertigen Sie Ihre Berechnungen. Kommt Ihnen das Ergebnis bekannt vor? 2.2 Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der zwei divergenten Reihen 2 + 2 + 22 + 23 + 24 + . . . −1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . . absolut konvergiert. P∞ 2.3 (Mertens 1875). P Die Reihe i=0 ai ∞ sei konvergent, j=0 bj sei absolut konvergent. Beweisen Sie, dass ihr Cauchy-Produkt aus Definition 2.14 konvergent ist, und dass (2.19) gilt. Hinweis. Wenden Sie die Dreiecksungleichung auf die Pnfolgende Identität mit cn = j=0 an−j bj an (aber nur auf die ersten Summen): 2n X i=0

ci −

n X i=0

ai

n X j=0

n a0b0 a0b1 a0b2 a0b3 a0b4 a0b5 a0b6 a1b0 a1b1 a1b2 a1b3 a1b4 a1b5 a2b0 a2b1 a2b2 a2b3 a2b4 n a3b0 a3b1 a3b2 a3b3 a4b0 a4b1 a4b2 a5b0 a5b1 a6b0

2n−j 2n n−1 X 2n−j X X X bj = bj ai + bj ai . j=0

i=n+1

j=n+1

i=0


2.4 Bestimmen Sie Konstanten a1 , a2 , a3 , a4 , . . . so, dass das Cauchy-Produkt der zwei Reihen 1 − a1 + a2 − a3 + . . . 1 − a1 + a2 − a3 + . . . = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . die divergente Reihe 1 − 1 + 1 − . . . ist. Zeigen Sie, dass die Reihe 1 − a1 + a2 − a3 + . . . konvergiert (Abb. 2.6). Konvergiert sie auch absolut? Hinweis. Die Verwendung der erzeugenden Funktion für die Zahlen 1, −a1 , ¨ a2 , −a3 , . . . führt diese Ubung auf eine bekannte Formel aus Kapitel I und auf das Wallissche Produkt zurück. 1

X

(−1)n an

n

0

50

1

X n

0

(−1)n

n X i=0

ai · an−i

50

¨ ABB. 2.6. Divergenz des Cauchy-Produktes aus Ubung 2.4

2.5 Rechtfertigen Sie Gl. (I.5.26), indem Sie den Logarithmus nehmen und die ¨ Ideen aus Ubung 2.18 anwenden.

III.3 Reelle Funktionen und Stetigkeit 219

III.3 Reelle Funktionen und Stetigkeit Wir wollen hier mit Funktion einer variablen Größe einen Wert bezeichnen, der in jeder beliebigen Weise aus dieser variablen Größe & aus Konstanten zusammengesetzt ist. (Joh. Bernoulli 1718, Opera, Band 2, S. 241) Wenn also f ( xa + c) eine beliebige Funktion bezeichnet . . . (Euler 1734, Opera, Band XXII, S. 59) Entspricht nun jedem x ein einziges, endliches y, . . . so heisst y eine . . . Function von x für dieses Intervall. . . . Diese Definition schreibt den einzelnen Theilen der Curve kein gemeinsames Gesetz vor; man kann sich dieselbe aus den verschiedenartigsten Theilen zusammengesetzt oder ganz gesetzlos gezeichnet denken. (Dirichlet 1837)

Reelle Funktionen y = f (x) einer reellen Variablen x sind seit Descartes das universelle Werkzeug zum Studium geometrischer Kurven, und seit Galilei und Newton auch Grundlage mechanischer und astronomischer Berechnungen. Das Wort functio“ wurde von Leibniz und Joh. Bernoulli vorgeschlagen, das Symbol ” ¨ von Leiby = f (x) wurde von Euler (1734) eingeführt (siehe Zitate). In der Ara niz und Bernoulli stellte man sich unter reellen Funktionen zumeist nur solche vor, die sich aus elementaren Funktionen zusammensetzen lassen. ( expressio √ ” analytica quomodocunque . . . . Sic a + 3z, az − 4z 2 , az + b a2 − z 2 , cz etc. sunt functiones ipsius z“, Euler 1748), möglicherweise noch mit verschiedenen Formeln für verschiedene Definitionsbereiche ( curvas discontinuas seu mixtas ” et irregulares appellamus“). Im 19ten Jahrhundert setzte sich eine breitere Begriffsfassung durch, vornehmlich unter dem Einfluss der Wärmeleitungsgleichung (die vom Fourierschen Gesetz der Wärmeleitung abgeleitet wurde) und Dirichlets Studium der Fourierreihen: jede zeichenbare Kurve“ oder jeder Wert y, der von ” ” einem Wert x abhängt“ (siehe obige Zitate). (3.1) Definition (Dirichlet 1837). Eine Funktion f : A → B besteht aus zwei Mengen, dem Definitionsbereich A und dem Bildbereich B, sowie aus einer Regel, die jedem x ∈ A ein eindeutiges Element y ∈ B zuweist. Diese Zuordnung wird notiert als y = f (x) oder x 7→ f (x). Wir sagen: y ist das Bild von x, und x ist das Urbild von y. In diesem gesamten Abschnitt sei der Bildbereich stets R (oder ein Intervall) und der Definitionsbereich ist ein Intervall oder eine Vereinigung von Intervallen der Form (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} oder [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} oder (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b} oder [a, ∞) = {x ∈ R | a ≤ x < ∞} etc. Das Intervall (a, b) heißt offen, während [a, b] als abgeschlossen bezeichnet wird. In den folgenden Beispielen verwenden wir große geschweifte Klammern für stückweise definierte Funktionen, also Funktionen mit verschiedenen Ausdrücken für verschiedene Teile des Definitionsbereichs A.


Beispiele. 1. Die Funktion f : [0, 1] → R, (3.1)

f (x) =

0 ≤ x ≤ 1/2 1/2 ≤ x ≤ 1,

x 1−x

0,5

ist rechts skizziert. Wir stellen fest, dass einige y ∈ R kein Urbild besitzen, und andere mehr als eines. 2. Unsere zweite Funktion kann entweder als Limes eines einzelnen Ausdrucks geschrieben werden oder mit Klammern durch Fallunterscheidung:

0,0

0,5

1,0

1

(3.2)

f (x) = lim arctan(nx) n→∞  x>0   π/2 = 0 x=0   −π/2 x < 0.

3. Die folgende, sehr schwer zu zeichnende Funktion geht auf Dirichlet zurück (s. Werke, Band 2, S. 132, 1829, On aurait un exemple ” d’une fonction . . .“): (3.3)

f (x) =

0

x irrational

1

x rational.

4. Diese Funktion ist von a¨ hnlicher Natur wie Dirichlets, aber ihre Peaks werden für wachsende Nenner von x kleiner: (3.4)

f (x) =

0

x irrational

1/q

x = p/q gekürzt.

5. Für x → 0 strebt 1/x gegen ∞, daher oszilliert (3.5)

f (x) =

sin 1/x 0

−2

−1

0

0

−1

1

2

n = 1, 2, 4, 8, 16, . .

1

0

1

0,5

0

1

x 6= 0 x=0

unendlich oft in der Umgebung des Ursprungs (Cauchy 1821).

0,5


6. Hier sind die Oszillationen nahe dem Nullpunkt aufgrund des dämpfenden Faktors x weniger heftig, aber es sind nach wie vor unendlich viele (Weierstraß 1874): (3.6)

f (x) =

x · sin 1/x 0

x 6= 0 x = 0.

7. Unser letztes Beispiel wurde laut Weierstraß (1872) von Riemann vorgeschlagen (vgl. Abschnitt III.9 unten) und wird als unendliche konvergente Summe definiert: (3.7)

f (x) =

∞ X sin(n2 x) . n2 n=1

0,5

1

0

1

2

3

Stetige Funktionen . . . f (x) heißt stetige Funktion, falls . . . die Zahlenwerte der Differenz f (x + α) − f (x) mit jenen von α unbegrenzt fallen . . . (Cauchy 1821, Cours d’Analyse, S. 43) Wir nennen dabei eine Grösse y eine stetige Function von x, wenn man nach Annahme einer Grösse ε die Existenz von δ beweisen kann, sodass zu jedem Wert zwischen x0 − δ . . . x0 + δ der zugehörige Wert von y zwischen y0 − ε . . . y0 + ε liegt. (Weierstraß 1874)

Cauchy (1821) führte das Konzept der stetigen Funktionen ein, indem er forderte, ¨ ¨ dass unbegrenzt kleine Anderungen von x zu unbegrenzt kleinen Anderungen von y führen sollen (siehe Zitat). Bolzano (1817) und Weierstraß (1874) präzisierten (zweites Zitat): Die Differenz f (x) − f (x0 ) muss beliebig klein sein, sofern die Differenz x − x0 hinreichend klein ist. (3.2) Definition. Sei A eine Untermenge von R und x0 ∈ A. Die Funktion f : A → R ist stetig bei x0 , wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x ∈ A mit |x − x0 | < δ gilt |f (x) − f (x0 )| < ε, oder in Symbolen: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A : |x − x0 | < δ

|f (x) − f (x0 )| < ε.

Die Funktion f (x) heißt stetig, falls sie bei allen x0 ∈ A stetig ist. Siehe Abb. 3.1a für eine stetige Funktion und Abb. 3.1b–3.1f für Funktionen mit Unstetigkeiten.


b)

a) f(x0) εε

c)

f(x0) εε δ δ x0

d)

f(x0) εε

x0

e)

f)

f(x0) εε

f(x0) εε

x0

x0

f(x0) εε

x0

x0

ABB. 3.1. Stetige und unstetige Funktionen

Diskussion der Beispiele (3.1) bis (3.7). Die Funktion (3.1) ist u¨ berall stetig, selbst bei x0 = 1/2; die Funktion (3.2) ist unstetig bei 0; (3.3) ist u¨ berall unstetig; ¨ (3.4) ist stetig bei allen irrationalen x0 und unstetig für rationales x0 (Ubung 3.1); (3.5) ist unstetig bei x0 = 0; (3.6) ist u¨ berall stetig, selbst bei x = 0; (3.7) ist, obwohl sie heftigen Schwankungen zu unterliegen scheint, nichtsdestotrotz u¨ berall stetig (wie wir später in Satz 4.2 sehen werden). (3.3) Satz. Eine Funktion f : A → R ist stetig bei x0 ∈ A dann und nur dann, wenn für jede Folge {xn }n≥1 mit xn ∈ A gilt: (3.8)

lim f (xn ) = f (x0 )

n→∞

falls

lim xn = x0 .

n→∞

Beweis. Zu einem gegebenen ε > 0 wählen wir δ > 0 wie in Definition 3.2. Wegen xn → x0 existiert ein N , so dass |xn − x0 | < δ für alle n ≥ N ist. Nach Stetigkeit bei x0 gilt dann |f (xn ) − f (x0 )| < ε für n ≥ N und (3.8) ist erfüllt. Nehmen wir nun an, (3.8) gilt, aber f (x) ist dennoch unstetig bei x0 . Die Negation der Stetigkeit bei x0 lautet ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ x ∈ A : |x − x0 | < δ

|f (x) − f (x0 )| ≥ ε.

Die Idee besteht darin, δ = 1/n zu wählen und an x einen Index n zu setzen, welcher von δ abhängt. So erhalten wir eine Folge {xn } in A, so dass |xn − x0 | < 1/n gilt (und folglich xn → x0 ) während zugleich |f (xn ) − f (x0 )| ≥ ε ist. Dies widerspricht (3.8). ⊓ ⊔


(3.4) Satz. Seien f : A → R und g : A → R stetig bei x0 ∈ A und sei λ eine reelle Zahl. Dann sind auch die Funktionen f + g,

λ · f,

f · g,

f /g

( falls g(x0 ) 6= 0)

stetig bei x0 . Beweis. Wir wählen eine Folge {xn } mit Elementen aus A, die gegen x0 konvergiert. Die Stetigkeit von f und g erzwingt dann f (xn ) → f (x0 ) und g(xn ) → g(x0 ) für n → ∞. Nach Satz 1.5 gilt nun f (xn ) + g(xn ) → f (x0 ) + g(x0 ), so dass f + g offenbar stetig bei x0 sein muss (Satz 3.3). Die Stetigkeit der anderen Funktionen kann auf dieselbe Weise hergeleitet werden. ⊓ ⊔ Beispiel. Es ist offensichtlich, dass die konstante Funktion f (x) = a stetig ist. Die Funktion f (x) = x ist ebenfalls stetig (man wähle δ = ε in Definition 3.2). Eine Folgerung aus Satz 3.4 ist dann, dass sämtliche Polynome P (x) = a0 + a1 x + . . .+an xn stetig sind, ebenso wie alle rationalen Funktionen R(x) = P (x)/Q(x) an Punkten x0 mit Q(x0 ) 6= 0.

Der Zwischenwertsatz Dieser Satz ist seit langer Zeit bekannt . . . (Lagrange 1807, Oeuvres, Band 8, S. 19, siehe auch S. 133)

Dieser Satz scheint geometrisch offensichtlich zu sein, und wurde von Euler und Gauß ohne Skrupel eingesetzt (siehe Zitat). Erst Bolzano fand, ein rein analyti” scher Beweis“ sei nötig, um der Analysis und Algebra mehr Strenge zu verleihen. (3.5) Satz (Bolzano 1817). Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Falls f (a) < c und f (b) > c, so gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit f (ξ) = c.

Beweis. Die Menge X = {x ∈ [a, b] ; f (x) < c} ist nicht leer (a ∈ X) und wird durch b beschränkt. Folglich existiert nach Satz 1.12 ihr Supremum ξ = sup X. Wir werden zeigen, dass f (ξ) = c gilt (Abb. 3.2). Angenommen, es ist f (ξ) = K > c. Wir setzen ε = K − c > 0 und folgern aus der Stetigkeit von f (x) bei ξ, dass es ein δ > 0 geben muss mit |f (x) − K| < ε

für |x − ξ| < δ.

Dies bedeutet, dass f (x) > K − ε = c für ξ − δ < x ≤ ξ gilt, was der Tatsache widerspricht, dass ξ das Supremum von X ist. In a¨ hnlicher Weise schließen wir den Fall f (ξ) = K < c aus. ⊓ ⊔


f(b)

X c

ξ = sup X

f(a) a

b ABB. 3.2. Beweis des Satzes von Bolzano

Satz vom Maximum und Minimum In seinem Satze, dem zufolge eine stetige Funktion einer reellen Veränderlichen ihre obere und untere Grenze stets wirklich erreicht, d. h. ein Maximum und Minimum notwendig besitzt, schuf WEIERSTRASS ein Hilfsmittel, dass heute kein Mathematiker bei feineren analytischen oder arithmetischen Untersuchungen entbehren kann. (Hilbert 1897, Gesammelte Abh. , Band 3, S. 333)

Der folgende Satz wurde von Weierstraß in seinen Vorlesungen von 1861 Haupt” lehrsatz“ genannt und wurde von Cantor (1870) veröffentlicht. (3.6) Satz. Es sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion, dann ist sie auf [a, b] beschränkt und besitzt ein Maximum und ein Minimum, d.h. es gibt u ∈ [a, b] und U ∈ [a, b] mit (3.9)

f (u) ≤ f (x) ≤ f (U )

für alle

x ∈ [a, b].

Diskussion der Voraussetzungen. Die Funktion f : (0, 1] → R, die durch f (x) = 1/x definiert ist, ist nicht auf A = (0, 1] beschränkt. Daher ist die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich A geschlossen ist, unverzichtbar. Die Funktion f : [0, ∞) → R, die durch f (x) = x2 gegeben ist, zeigt, dass auch die Beschränktheit des Definitionsgebietes von f (x) eine notwendige Voraussetzung ist. Die Funktion f : [0, 1] → R mit f (1/2) = 0 und f (x) = (x − 1/2)−2

für

x 6= 1/2

ist bei x = 1/2 unstetig und unbeschränkt. Daher ist auch die Voraussetzung notwendig, dass die Funktion u¨ berall stetig ist. Unser letztes Beispiel beschreibt eine beschränkte Funktion f : [0, 1] → R, die kein Maximum besitzt:

III.3 Reelle Funktionen und Stetigkeit 225 1,0

f (x) =

−3x + sin(1/x)

0,5

falls x 6= 0

0 falls x = 0 . Das Supremum der Menge {f (x) ; x ∈ [0, 1]} ist 1, aber es gibt kein U ∈ [0, 1] mit f (U ) = 1, d.h. das Supremum wird nicht angenommen.

0,0 0,0

0,1

0,2

−0,5 −1,0

Beweis von Satz 3.6. Wir beweisen zunächst, dass f (x) auf [a, b] beschränkt ist. Wir nehmen dafür das Gegenteil an: (3.10)

∀ n ≥ 1 ∃ xn ∈ [a, b]

|f (xn )| > n.

Die Folge x1 , x2 , x3 , . . . besitzt nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (Satz 1.17) eine konvergente Teilfolge. Wir umgehen es, neue Symbole einzuführen, und schreiben die Teilfolge wieder als x1 , x2 , x3 , . . ., mit der kurzen Bemerkung: ¨ nach Ubergang zu einer Teilfolge, gelte“ limn→∞ xn = ξ. Da f bei ξ stetig ist, ” folgt aus Satz 3.3 limn→∞ f (xn ) = f (ξ). Dies widerspricht (3.10) und beweist somit die Beschränktheit von f (x). Um nun die Existenz von U ∈ [a, b] zu beweisen, für das (3.9) gilt, betrachten wir die Menge Y = {y ; y = f (x), a ≤ x ≤ b}. Diese Menge ist nicht leer und beschränkt (wie wir soeben gesehen haben). Daher existiert das Supremum M = sup Y . Nach Definition 1.11 des Supremums ist der Wert M − ε (für beliebiges ε > 0) bereits keine obere Schranke von Y mehr. Wir wählen ε = 1/n und finden eine Folge von Elementen xn ∈ [a, b], die (3.11)

M − 1/n < f (xn ) ≤ M

erfüllen. Wenden wir nun den Satz von Bolzano-Weierstraß an; dazu gehen wir zu einer Teilfolge u¨ ber, für die {xn } konvergiert und schreiben den Grenzwert als U = limn→∞ xn . Aufgrund der Stetigkeit von f (x) bei U folgt aus (3.11), dass f (U ) = M ist. Die Existenz des Minimums beweist man a¨ hnlich. ⊓ ⊔

Monotone und Umkehrfunktionen (3.7) Definition. Es seien A und B Untermengen von R. Die Funktion f : A → B heißt • injektiv, falls f (x1 ) 6= f (x2 ) für x1 6= x2 , • surjektiv, falls ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A f (x) = y , • bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist, • steigend, falls f (x1 ) < f (x2 ) für x1 < x2 , • fallend, falls f (x1 ) > f (x2 ) für x1 < x2 , • nicht-fallend, falls f (x1 ) ≤ f (x2 ) für x1 < x2 , • nicht-steigend, falls f (x1 ) ≥ f (x2 ) für x1 < x2 , • monoton, falls sie nicht-steigend oder nicht-fallend ist, und • streng monoton, falls sie steigend oder fallend ist.


Streng monotone Funktionen sind injektiv. Interessanterweise ist für reelle Funktionen auf einem Intervall auch die umgekehrte Aussage wahr. (3.8) Lemma. Sei f : [a, b] → R stetig und injektiv, dann ist f streng monoton. Beweis. Für je drei beliebige Punkte u < v < w liegt (3.12)

f(v)

f (v) zwischen f (u) und f (w) .

Denn angenommen, f (v) liegt außerhalb dieses Intervalls, und zwar beispielsweise näher an f (u). Dann gibt es ein ξ zwischen v und w mit f (u) = f (ξ) (Satz 3.5). Dies widerspricht der Injektivität von f . Daher sind für a < c < d < b die einzig möglichen Anordnungen f (a) < f (c) < f (d) < f (b)

oder

f(u) f(w)

u

v

ξ

w

f (a) > f (c) > f (d) > f (b);

alle anderen Reihenfolgen der Ungleichungen widersprechen (3.12).

⊓ ⊔

Surjektivität der Funktion f : A → B bedeutet, dass jedes y ∈ B mindestens ein Urbild besitzt. Injektivität dagegen bedeutet, dass das Urbild eindeutig ist, falls es existiert. Daher besitzt eine bijektive Funktion eine Umkehrfunktion f −1 : B → A, die definiert ist durch (3.13)

f −1 (y) = x

⇐⇒

f (x) = y.

(3.9) Satz. Sei f : [a, b] → [c, d] stetig und bijektiv. Dann ist auch die Umkehrfunktion f −1 : [c, d] → [a, b] stetig. Beweis. Sei {yn } mit yn ∈ [c, d] eine Folge, die limn→∞ yn = y0 erfüllt. Nach Satz 3.3 müssen wir zeigen, dass limn→∞ f −1 (yn ) = f −1 (y0 ) ist. Dafür betrachten wir eine Folge {xn } = {f −1 (yn )}. Sei {x′n } eine konvergente Teilfolge (diese existiert nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß) und schreiben ihren Grenzwert als x0 . Aus der Stetigkeit von f (x) bei x0 folgt f (x0 ) = lim f (x′n ) = lim yn′ = y0 , n→∞

n→∞

und damit x0 = f −1 (y0 ). Deshalb konvergiert jede konvergente Teilfolge von {xn } = {f −1 (yn )} gegen f −1 (y0 ). Dieser Punkt ist der einzige Häufungspunkt ¨ der Folge {f −1 (yn )} und wir finden f −1 (yn ) → f −1 (y0 ) (siehe auch Ubung 1.8). ⊓ ⊔ Beispiel. Jede der reellen Funktionen x2√ , x3 , √ . . . ist streng monoton auf [0, ∞) und besitzt daher eine Umkehrfunktion: x, 3 x, . . . . Nach Satz 3.9 sind diese Funktionen alle stetig.


Limes einer Funktion Der Begriff des Grenzwertes einer Funktion ist wohl zuerst von Weierstrass mit genügender Schärfe definiert worden. (Pringsheim 1899, Enzyclopädie der Math. Wiss., Band II.1, S. 13)

Nehmen wir an, f (x) ist nicht stetig bei x0 oder sogar nicht definiert bei x0 ; in so einer Situation stellen wir uns die Frage, ob zumindest der Grenzwert von f (x) existiert, wenn x gegen x0 strebt. Offenbar muss dafür x0 nahe am Definitionsbereich von f liegen. Wir sagen, x0 ist ein Häufungspunkt der Menge A, wenn (3.14)

∀ δ > 0 ∃ x ∈ A 0 < |x − x0 | < δ

erfüllt ist. Für ein beschränktes Intervall besteht die Menge der Häufungspunkte aus dem Intervall selbst und seinen zwei Endpunkten. (3.10) Definition. Es sei f : A → R eine Funktion und x0 ein Häufungspunkt von A. Wir sagen, dass der Grenzwert von f (x) bei x0 existiert und gleich y0 ist, also (3.15)

lim f (x) = y0 ,

x→x0

falls gilt: (3.16)

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A : 0 < |x − x0 | < δ

|f (x) − y0 | < ε.

Diese Definition kann man variieren, um auch Fälle der Art x0 = ±∞ und/oder y0 = ±∞ abzudecken (siehe beispielsweise Gl. (1.10)). Die Annahme, dass x0 ein Häufungspunkt ist, impliziert, dass die Menge der x ∈ A, die 0 < |x − x0 | < δ erfüllen, niemals leer ist. Mittels Definition 3.10 kann nun die Stetigkeit von f (x) bei x0 wie folgt ausgedrückt werden (siehe Definition 3.2): (3.17)

lim f (x)

x→x0

existiert

und

lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Beispiele. Die Funktion aus Abb. 3.1b besitzt den Grenzwert limx→x0 f (x), der sich von f (x0 ) unterscheidet. Für die Funktion (3.4) existiert der Grenzwert ¨ limx→x0 f (x) für alle x0 (siehe Ubung 3.1; erinnern Sie sich daran, dass der Punkt x0 in Definition 3.10 explizit ausgeschlossen wurde) und es ist limx→x0 f (x) = 0. Eine noch schwächere Eigenschaft ist die Existenz eines einseitigen Grenzwertes. (3.11) Definition. Wir sagen, dass der linksseitige (bzw. rechtsseitige) Grenzwert von f (x) bei x0 existiert, falls (3.16) unter der Einschränkung x < x0 (bzw. x0 < x) gilt. Diese Grenzwerte schreiben wir als (3.18)

lim f (x) = y0

x→x0 −

bzw.

lim f (x) = y0 .

x→x0 +


Die Funktionen aus Abb. 3.1b, 3.1c und 3.1d besitzen links- wie rechtsseitige Grenzwerte (oftmals = f (x0 )); diese Grenzwerte existieren nicht für die Funktionen in den Abb. 3.1e and 3.1f. Der folgende Satz ist ein Analogon zum Cauchy-Kriterium aus Satz 1.8. (3.12) Satz (Dedekind 1872). Der Grenzwert limx→x0 f (x) existiert dann und nur dann, wenn gilt: (3.19) 0 < |x − x0 | < δ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, x b∈A : |f (x) − f (b x)| < ε. 0 < |b x − x0 | < δ Beweis. Der nur dann, wenn“-Teil folgt aus ”

|f (x) − f (b x)| ≤ |f (x) − y0 | + |y0 − f (b x)| < 2ε. Für den dann, wenn“-Teil wählen wir eine Folge {xi } mit xi ∈ A, die gegen x0 ” konvergiert. Wegen (3.19) ist die Folge {yi } mit yi = f (xi ) eine Cauchy-Folge und konvergiert nach Satz 1.8 gegen, sagen wir, y0 . Für ein x mit 0 < |x−x0 | < δ gilt nun, wieder aufgrund von (3.19), |f (x) − y0 | ≤ |f (x) − f (xi )| + |f (xi ) − y0 | < 2ε für genügend große i.

⊓ ⊔

¨ Ahnliche Ergebnisse finden sich für den Fall x0 = ±∞ sowie für einseitige Grenzwerte.

¨ Ubungen 3.1 Zeigen Sie, dass die Funktion (3.4) an allen irrationalen x0 stetig ist und natürlich für alle rationalen x0 unstetig. √ Hinweis. Falls Sie auf Schwierigkeiten stoßen, setzen Sie x0 = 2 − 1 und ε = 1/10 und bestimmen Sie jene Werte von x, für die f (x) ≥ ε ist. Dies gibt Ihnen ein δ, für das die Aussage in Definition 3.2 erfüllt ist. 3.2 (Pringsheim 1899, S. 7). Zeigen Sie, dass sich die Dirichlet-Funktion (3.3) schreiben lässt als m f (x) = lim lim cos(n!πx) . n→∞ m→∞

III.3 Reelle Funktionen und Stetigkeit 229 0

3

1

0

2

0

0

1 0

0

0

0 −1

1

2

3

4

5

6

−2

−1

−3 1

1

0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

0

−1

−1

0

2

1

1

7

0

0

1

1

−1 0

1

0

0

1

2

3

1 0

1 0 −4 −3 −2 −1 0

−1

1

2

3

0

4

0

−2 0

−3

0

1

2

3

¨ ABB. 3.3. Zwölf der Funktionen aus Ubung 3.5

3.3 Berechnen Sie die Grenzwerte √ √ x2 + 3x + 2 4+x− 4−x lim , lim . x→−1 x→0 x2 − 1 2x √ √ √ √ Hinweis. Erinnern Sie sich an ( a − b)( a + b) = a − b.

3.4 Beweisen Sie: Falls f : [a, b] −→ [c, d] stetig bei x0 und g : [c, d] −→ [u, v] stetig bei y0 = f (x0 ) ist, so ist die Komposition (g ◦ f )(x) = g(f (x)) stetig bei x0 . 3.5 Hier ist eine Liste von Funktionen f : A → R: 1) 2)

f (x) = x · sin(1/x) − 2x f (x) = x/(x2 + 1)

3)

wie (2)

4) 5)

f (x) = (1/ sin x) − 1 wie (4) √ f (x) = x · sin(x2 )

6) 7) 8) 9)

√

wie (6) f (x) = arctan((x − 0,5)/(x2 − 0,1x − 0,7)) f (x) = sin(x2 )

A = [0, 15 ] A = [−4, +4] A = (−∞, +∞) A = (0, π) A = [0, π] A = [0, 7] A = [0, ∞) A = [− 23 , 32 ] A = [−5, 5]


10) wie (9) √ 11) f (x) = 3 x

A = (−∞, ∞) A = [−1, 1]

12) wie (11) 13) f (x) = cos x + 0,1 sin(40x)

A = (−∞, ∞) A = [− 58 , 85 ]

14) f (x) = x − [x] √ √ 15) f (x) = x · sin(1/x) − 2 x p 16) f (x) = 3 − 1/ x(1 − x) 17) f (x) = sin(5/x) − x

A = [0, 3] 1 A = [0, 10 ] A = (0, 1) A = [0, 25 ]

Hierbei steht die Gauß-Klammer [x] für die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Wann immer eine der obigen Definitionen für f (x) keinen Sinn macht (beispielsweise weil ein bestimmter Nenner Null wird), setzen Sie f (x) = 0. Bestimmen Sie, welche der Funktionen in Abb. 3.3 skizziert wurden. ¨ 3.6 Welche der Funktionen aus Ubung 3.5 sind stetig auf A? An welchen Punkten sind sie unstetig? ¨ 3.7 Welche der Funktionen aus Ubung 3.5 besitzen einen maximalen Wert auf A; welche besitzen einen minimalen Wert auf A?

III.4 Gleichmäßige Konvergenz und gleichmäßige Stetigkeit 231

III.4 Gleichmäßige Konvergenz und gleichmäßige Stetigkeit Der folgende Satz findet sich in der Arbeit von Mr. Cauchy: Wenn die ” sind, . . . diversen Terme der Reihe u0 + u1 + u2 + . . . stetige Funktionen dann ist die Summe s der Reihe ebenfalls eine stetige Funktion von x.“ Mir scheint es aber, dass dieser Satz Ausnahmen kennt. Beispielsweise ist die Reihe sin x − 12 sin 2x + 13 sin 3x . . . an jeder Stelle (2m + 1)π für x unstetig . . . (Abel 1826, Oeuvres, Band 1, S. 224–225)

¨ von Cauchy und Bolzano (erste Hälfte des 19ten Jahrhunderts) hinterDie Ara ließ zwei wichtige Lücken im Gebäude der Analysis: erstens das Konzept der gleichmäßigen Konvergenz, das den Grenzwert stetiger Funktionen und das Integral von Grenzwerten klärt; und zum zweiten das Konzept der gleichmäßigen Stetigkeit, welches die Integrabilität stetiger Funktionen sichert. Beide Lücken wurden von Weierstraß und seiner Schule geschlossen (zweite Hälfte des 19ten Jahrhunderts).

Der Grenzwert einer Folge von Funktionen Wir betrachten eine Folge von Funktionen f1 , f2 , f3 , . . . : A → R. Für ein festes x ∈ A bilden die Werte f1 (x), f2 (x), f3 (x), . . . eine Folge von Zahlen. Falls der Grenzwert (4.1)

lim fn (x) = f (x)

n→∞

für alle x ∈ A existiert, so sagen wir, dass {fn (x)} auf A punktweise gegen f (x) konvergiert. Cauchy behauptete in seinem Cours (1821, S. 131; Oeuvres II.3, S. 120), dass, falls (4.1) für alle x in A konvergiert und alle fn (x) stetig sind, auch f (x) stetig sein muss. Hier sind vier Gegenbeispiele zu dieser Behauptung; das erste stammt von Abel (1826, siehe obiges Zitat). Beispiele. a) (Abel 1826, siehe Graph oben-links in Abb. 4.1) (4.2a)

fn (x) = sin x −

sin 2x sin 3x sin 4x sin nx + − + ...± . 2 3 4 n

Abb. 4.1 zeigt f1 (x), f2 (x), f3 (x) und f100 (x). Offenbar konvergiert {fn (x)} gegen die lineare Funktion y = x/2 für −π < x < π (man kann dies mit der Theorie der Fourierreihen beweisen), während fn (π) = 0 ist und für π < x < 3π ist der Grenzwert gar y = x/2 − π. Folglich ist die Grenzfunktion unstetig. b) (Graph oben-rechts in Abb. 4.1) 0 x 1.

d) (Graph unten-rechts in Abb. 4.1) 2 n

(4.2d) fn (x) = (1 − x )

auf A = [−1, 1],

lim fn (x) =

n→∞

0 1

x 6= 0 x = 0.

Ein weiteres Beispiel, dem wir bereits begegnet sind, ist fn (x) = arctan(nx) (siehe (3.2)).

1

0

ε = 0,140

1

0

ε = 0,070

1

0

ABB. 4.2. Folge gleichmäßig konvergenter Funktionen

ε = 0,035


Erklärung (Seidel 1848). Wir betrachten den Graph oben rechts in Abb. 4.1. Je näher x dem Punkt x = 1 kommt, desto langsamer ist die Konvergenz und desto größer müssen wir n wählen, um eine vorgeschriebene Genauigkeit ε zu erreichen. Dies gewährt die Entstehung einer Unstetigkeitsstelle. Wir müssen deshalb fordern, dass zu einem gegebenen ε > 0 die Differenz fn (x)−f (x) für alle x ∈ A kleiner ist als ε für alle n ≥ N (siehe Abb. 4.2). (4.1) Definition (Weierstraß 1841). Die Folge fn : A → R konvergiert gleichmäßig auf A gegen f : A → R , falls (4.3)

∀ε > 0 ∃N ≥ 1 ∀n ≥ N ∀x ∈ A

|fn (x) − f (x)| < ε.

In dieser Definition ist es wichtig, dass N nur von ε abhängt, und nicht etwa von x ∈ A. Darum steht in (4.3) ∀ x ∈ A“ auch hinter ∃ N ≥ 1“. ” ” Wie in Abschnitt III.1 (Definition 1.7) können wir f (x) in (4.3) durch alle Nachfolger von fn (x) ersetzen. Wir erhalten dann das Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz: (4.4) ∀ ε > 0 ∃ N ≥ 1 ∀ n ≥ N ∀ k ≥ 1 ∀ x ∈ A |fn (x)−fn+k (x)| < ε. (4.2) Satz (Weierstraß’ Vorlesung von 1861). Falls fn : A → R stetige Funktionen sind und fn (x) auf A gleichmäßig gegen f (x) konvergiert, dann ist f : A → R stetig. f(x) 0 ∀ x0 ∈ A ∀ x ∈ A : |x − x0 | < δ

|f (x) − f (x0 )| < ε

erfüllt ist. Bemerkung. Die gleichmäßige Stetigkeit einer gegebenen Funktion kann man oft mit Hilfe des Lagrangeschen Mittelwertsatzes zeigen (siehe Satz III.6.11 unten): (4.11)

f (x) − f (x0 ) = f ′ (ξ)(x − x0 ).

Falls A ein Intervall und f differenzierbar auf A ist mit (4.12)

M = sup |f ′ (ξ)| < ∞, ξ∈A


dann können wir für ein gegebenes ε die Bedingung aus Definition 4.4 dadurch ¨ erfüllen, dass wir δ = ε/M wählen (siehe auch Ubung 4.3 unten). Allerdings ist Differenzierbarkeit keinesfalls notwendig, und es gilt der folgende erstaunliche Satz. (4.5) Satz (Heine 1872). Sei A ein geschlossenes Intervall [a, b] und f : A → R eine stetige Funktion auf A; dann ist f gleichmäßig stetig auf A. Erster Beweis (nach Heine 1872, S. 188). Wir nehmen die Negation der Bedingung in Definition 4.4 an und wählen δ = 1/n für n = 1, 2, . . . . Damit erhalten wir (4.13a) (4.13b)

∃ ε > 0 ∀ 1/n > 0 ∃ x0n ∈ A ∃ xn ∈ A : |xn − x0n | < 1/n mit

|f (xn ) − f (x0n )| ≥ ε.

¨ Nach Ubergang zu einer konvergenten Teilfolge aus {xn } (die wir wieder mit {xn } notieren; siehe Satz 1.17) finden wir limn→∞ xn = x, und aufgrund von |xn − x0n | < 1/n gilt auch limn→∞ x0n = x. Da f stetig ist, gilt also (siehe Satz 3.3) lim f (xn ) = f (x) = lim f (x0n ), n→∞

n→∞

in Widerspruch zu (4.13b).

⊓ ⊔

Zweiter Beweis (Lüroth 1873). Sei ε > 0 beliebig. Zu jedem x ∈ [a, b] sei δ(x) > 0 die Länge des größten offenen Intervalls I mit Zentrum x, so dass noch |f (y) − f (z)| < ε für y, z ∈ I gilt. Genauer gesagt: (4.14)

δ(x) = sup{δ > 0 ; ∀ y, z ∈ [x − δ/2, x + δ/2] |f (y) − f (z)| < ε}

(wobei natürlich die Werte x, y und z in A zu liegen haben). Gemäß der Stetigkeit von f (x) bei x ist die Menge {δ > 0 | . . .} in (4.14) nicht leer, so dass δ(x) > 0 für alle x ∈ A ist. Falls δ(x) = ∞ für ein x ∈ A sein sollte, so gilt die Ungleichung |f (y) − f (z)| < ε ohne jede Einschränkung und jedes δ > 0 erfüllt die Bedingung von Definition 4.4. y

z

x

I

δ(x) x x+η

I' 2η

ABB. 4.6. Lüroth’s Beweis von Satz 4.3

Falls δ(x) < ∞ für alle x ∈ A ist, wechseln wir von x zu x±η. Das neue Intervall I ′ kann nicht länger sein als δ(x) + 2|η|, da sonst I komplett in I ′ enthalten wäre und vergrößert werden könnte. Ebensowenig kann es kürzer sein als δ(x) − 2|η|. Folglich ist δ(x) eine stetige Funktion. Weierstraß’ Satz vom Maximum und


Minimum (Satz 3.6) versichert uns in seiner Minimum“-Version, dass es einen ” Wert x0 gibt, für den δ(x0 ) ≤ δ(x) für alle x ∈ A ist. Dieser Wert δ(x0 ) ist nach Konstruktion positiv und kann dazu verwendet werden, die Bedingung in Definition 4.4 zu erfüllen. ⊓ ⊔ Bemerkung. Falls Sie mit beiden obigen Beweisen unzufrieden sind, können Sie gerne noch einen dritten lesen, der von Darboux (1875, S. 73–74) veröffentlicht wurde, und der auf einer Intervallschachtelung basiert.

¨ Ubungen 4.1 Zeigen Sie, dass die Funktionen fn (x) = (n + 1)xn (1 − x),

x ∈ A = [0, 1]

für alle x ∈ A gegen Null konvergieren, aber ein Maximum der asymptotischen Höhe 1/e bei x = n/(n + 1) besitzen. Somit haben wir keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen, obwohl die Grenzfunktion stetig ist. 4.2 (Pringsheim 1899, S. 34). Zeigen Sie, dass die Reihe f (x) =

x2 1 n 1 + x2 1 + x2 n=1 ∞ X

a) für alle x ∈ R absolut konvergiert und b) auf [−1, 1] nicht gleichmäßig konvergiert. c) Berechnen Sie f (x). Ist die Funktion stetig? 4.3 Die Funktion f : [0, 1] → R, die durch √ x · sin x1 + 2 für 0 < x ≤ 1, f (x) = 0 für x = 0 definiert ist, ist auf [0, 1] stetig und sollte daher gleichmäßig stetig sein. Finden Sie zu einem gegebenem ε > 0, beispielsweise ε = 0,01, explizit ein δ > 0, für welches gilt: ∀ x1 , x2 ∈ [0, 1] : |x1 − x2 | < δ

|f (x1 ) − f (x2 )| < ε.

Hinweis. Benutzen Sie den Mittelwertsatz für Werte weit weg vom Ursprung und eine direkte Abschätzung für Werte in der Nähe von 0. ¨ 4.4 Welche der Funktionen aus Abb. 3.3 (siehe Ubung 3.5) sind gleichmäßig stetig auf A ?

III.5 Das Riemann-Integral 239

III.5 Das Riemann-Integral Also zuerst: Was hat man unter

Rb

f (x) dx zu verstehen? (Riemann 1854, Werke, S. 239) Der berühmte Geometer [Riemann] . . . verallgemeinerte mit einer Einsicht, zu der nur ein Geist höchsten Ranges in der Lage ist, das Konzept des bestimmten Integrals . . . (Darboux 1875) a

Die Diskussion, die wir in den Abschnitten II.5 und II.6 u¨ ber das Integral geführt haben, basierte auf der Formel Z b (5.1) f (x) dx = F (b) − F (a), a

wobei F (x) eine Stammfunktion von f (x) ist. Wir haben dabei implizit angenommen, dass eine solche Stammfunktion immer existiert und (bis auf eine additive Rb Konstante) eindeutig ist. Jetzt werden wir eine genaue Definition für a f (x) dx angeben, die von der Differentialrechnung unabhängig ist. Dies erlaubt es uns, Rb f (x) dx für eine größere Klasse von Funktionen zu verstehen, einschließlich a unstetiger Funktionen oder Funktionen mit unbekannter Stammfunktion. Wir werden dann in Abschnitt III.6 einen strengen Beweis von (5.1) für stetige Funktionen f präsentieren. Cauchy (1823) beschrieb, mit der damals möglichen Strenge, das Integral einer stetigen Funktion als den Grenzwert einer Summe. Riemann (1854) definierte, eher als Nebenbemerkung in seiner Habilitationsarbeit u¨ ber trigonometrische Reihen, das Integral für allgemeinere Funktionen. In diesem Abschnitt wollen wir Riemanns Theorie und ihre Erweiterungen durch Du Bois-Reymond und Darboux vorstellen. Noch allgemeinere Theorien, die wir hier nicht behandeln wollen, gehen auf Lebesgue (im Jahr 1902) und Kurzweil (im Jahr 1957) zurück. Allgemeine Annahmen. In diesem gesamten Abschnitt wollen wir Funktionen f : [a, b] → R betrachten, wobei [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} ein beschränktes Intervall und f (x) eine beschränkte Funktion ist, d.h. (5.2)

∃ M ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]

|f (x)| ≤ M.

Ansonsten wäre die Definition der Darboux-Summen (siehe unten) nicht möglich. Situationen, in denen eine dieser Annahmen nicht erfüllt ist, werden in Abschnitt III.8 besprochen.

Definitionen und Kriterien für Integrabilität Wir wollen das Integral als Fläche zwischen der Funktion und der horizontalen Achse definieren. Der Ansatz besteht nun darin, das Intervall [a, b] in kleine Teilintervalle zu zerlegen und die Fläche als Summe kleiner Rechtecke zu nähern. Eine Unterteilung in Teilintervalle schreiben wir als


(5.3)

D = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn }

(wobei a = x0 < x1 < . . . < xn = b ist) und die Länge eines Teilintervalls ist δi = xi − xi−1 . Wir definieren dann die untere und obere Darboux-Summe (siehe Abb. 5.1) durch (5.4)

s(D) =

n X

fi δ i ,

S(D) =

i=1

n X

Fi δi

i=1

mit (5.5)

fi =

inf

xi−1 ≤x≤xi

f (x),

Fi =

sup

f (x).

xi−1 ≤x≤xi

Rb Offenbar gilt s(D) ≤ S(D) und jede sinnvolle Definition des Integrals a f (x) dx muss einen Wert zwischen s(D) und S(D) liefern. Eine Unterteilung D′ von [a, b] heißt Verfeinerung von D, wenn sie alle Punkte von D enthält, d.h. falls D′ ⊃ D ist. Fi

(Fi −fi )δi

fi

x0 δi

xnx0 δi s(D)

S(D)

xnx0 δi S(D) − s(D)

ABB. 5.1. Darboux-Summen

s(D)

s(D′ )

S(D′ )

ABB. 5.2. Verfeinerung einer Unterteilung

S(D)

xn


(5.1) Lemma. Wenn D ′ eine Verfeinerung von D ist, dann ist s(D) ≤ s(D′ ) ≤ S(D′ ) ≤ S(D). Beweis. Das Hinzufügen eines einzelnen Punktes zur Unterteilung D erhöht die untere Darboux-Summe (oder verändert sie nicht) und verringert die obere Summe (oder verändert sie nicht, Abb. 5.2). Wiederholtes Hinzufügen von Punkten liefert die Behauptung. ⊓ ⊔ (5.2) Lemma. Es seien D1 und D2 zwei beliebige Unterteilungen, dann gilt s(D1 ) ≤ S(D2 ). Beweis. Wir wählen D′ = D1 ∪ D2 , also diejenige Unterteilung, die sämtliche Punkte beider Unterteilungen enthält (dabei werden doppelt auftretende Punkte nur einfach gezählt). Da D′ eine Verfeinerung sowohl von D1 als auch von D2 ist, folgt die Behauptung aus Lemma 5.1. ⊓ ⊔ Lemma 5.2 besagt unter anderem, dass die Menge der unteren DarbouxSummen einer festen Funktion f : [a, b] → R nach oben durch jede obere Darboux-Summe beschränkt ist (und umgekehrt): s(D) (5.6)

S(D)

| || | |||

|

{z ?

}

||| | ||| ||

.

Nach Satz 1.12 macht es also Sinn, das Supremum der unteren Summen und das Infimum der oberen Summen zu betrachten. In der Tradition Darboux’ (1875) notieren wir diese als Z b (5.7) f (x) dx = inf S(D) das obere Integral, D

a

(5.8)

Z

a

b

f (x) dx = sup s(D)

das untere Integral.

D

(5.3) Definition. Eine Funktion f : [a, b] → R, die (5.2) erfüllt, heißt integrierbar (im Riemann-Sinn), falls die oberen und unteren Integrale (5.7) und (5.8) u¨ bereinstimmen. In diesem Fall entfernen wir die Balken in (5.7) und (5.8) und erhalten das Riemann-Integral“. ” (5.4) Satz. Eine Funktion f : [a, b] → R ist genau dann integrierbar, wenn gilt: (5.9)

e ∀ε > 0 ∃D

e − s(D) e < ε. S(D)

Beweis. Nach Definition ist eine Funktion f (x) genau dann integrierbar, wenn die beiden Mengen in (5.6) einander beliebig nahe kommen. Das heißt, dass es für ein


gegebenes ε > 0 zwei Unterteilungen D1 und D2 gibt, so dass S(D2 ) − s(D1 ) < e = D1 ∪ D2 und wenden Lemma 5.1 an, so erhalten wir die ε ist. Wählen wir D Behauptung. ⊓ ⊔ (5.5) Beispiel. Betrachten wir die Funktion f (x) = x auf einem Intervall [a, b]. Für eine a¨ quidistante Unterteilung Dn = {xi = a + ih | i = 0, 1, . . . , n, h = (b − a)/n} finden wir nach (I.1.28): s(Dn ) =

n X i=1

S(Dn ) =

n X i=1

xi−1 · (xi − xi−1 ) = xi · (xi − xi−1 ) =

b 2 a2 (b − a)2 − − 2 2 2n

b 2 a2 (b − a)2 − + , 2 2 2n

so dass S(Dn ) − s(Dn ) = (b − a)2 /n ist. Für genügend großes n ist dieser Ausdruck kleiner als ein beliebig vorgegebenes ε > 0. Daher ist die Funktion integrierbar und das Integral lautet b2 /2 − a2 /2. (5.6) Beispiel. Dirichlets Funktion f : [0, 1] → R ist definiert als (siehe (3.3)) f (x) =

1

x rational

0

x irrational,

und ist nicht integrierbar im Riemann-Sinn, da es in jedem Teilintervall rationale und irrationale Zahlen gibt, so dass fi = 0 und Fi = 1 für alle i gilt. Folglich ist s(D) = 0, S(D) = 1 für alle Unterteilungen. (5.7) Beispiel. Die Funktion f : [0, 1] → R (siehe (3.4)) f (x) =

0 1/q

x irrational oder x = 0 x = p/q gekürzter Bruch

ist unstetig an jeder positiven rationalen Zahl x. Allerdings erfüllt für ein festes ε > 0 nur eine endliche Anzahl (sagen wir k) Werte für x die Bedingung f (x) > ε. Wir wählen nun eine Unterteilung D mit maxi δi < ε/k, so dass diejenigen xWerte mit f (x) > ε im Inneren der Teilintervalle liegen. Aufgrund von f (x) ≤ 1 führt dies zu S(D) ≤ ε + k · max δi < 2ε. i

Da s(D) = 0 ist, stellen wir fest, dass unsere Funktion integrierbar ist mit R1 f (x) dx = 0. 0


Der Satz von Du Bois-Reymond und Darboux. Ich fühle indessen, dass die Art, wie das Criterium der Integrirbarkeit formulirt wurde, etwas zu wünschen u¨ brig lässt. (Du Bois-Reymond 1875, S. 259)

(5.8) Satz (Du Bois-Reymond 1875, Darboux 1875). Eine Funktion f (x), die (5.2) erfüllt, ist genau dann integrierbar, wenn ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ D ∈ Dδ

S(D) − s(D) < ε

gilt. Dabei ist Dδ die Menge aller Unterteilungen mit maxi δi ≤ δ.

a)

b)

e 0 fest vorgegeben und es sei D e e e d.h. die graue Fläche ∆ = S(D)−s(D) in Abb. 5.3a ist kleiner als ε. Der relevante e = {e Punkt ist nun der, dass D x0 , x e1 , . . . , x en˜ } nur aus endlich vielen Punkten besteht. Wir wählen eine beliebige Unterteilung D ∈ Dδ (siehe Abb. 5.3b) und setzen ∆ = S(D) − s(D). Wir müssen beweisen, dass ∆ beliebig klein wird, wenn δ gegen 0 strebt. e der zwei Unterteilungen und Wir betrachten die Vereinigung D′ = D ∪ D setzen ∆′ = S(D′ ) − s(D′ ) (siehe Abb. 5.3c). Die Darboux-Summen von D ′ e enthalten und D sind u¨ berall gleich, außer auf jenen Intervallen, die Punkte aus D (Abb. 5.3d). Da wir höchstens n e − 1 solcher Intervalle haben, da ihre Länge ≤ δ ist, und da −M ≤ f (x) ≤ M gilt, finden wir ∆ ≤ ∆′ + 2(e n − 1)δM.

(5.10)

e < ε (wir stellen fest, dass D′ eine Verfeinerung von D e Zusammen mit ∆′ ≤ ∆ ist), führt diese Abschätzung zu ∆ < 2ε unter der Annahme δ ≤ ε/(2(e n − 1)M ). ⊓ ⊔ Riemann-Summen. Wir betrachten eine Unterteilung (5.3) und wählen ξ1 , ξ2 , . . . , ξn so, dass x0 ≤ ξ1 ≤ x1 ≤ ξ2 ≤ x2 ≤ ξ3 ≤ . . . erfüllt ist. Dann nennen wir (5.11)

σ=

n X i=1

f (ξi ) · δi

eine Riemann-Summe. Aufgrund von (5.5) gilt fi ≤ f (ξi ) ≤ Fi , also s(D) ≤ σ ≤ S(D). Aus Satz 5.8 folgt daher, dass Z b n X (5.12) f (ξi ) · δi → f (x) dx für max δi → 0 i=1

i

a

gilt, vorausgesetzt, dass f : [a, b] → R eine integrierbare Funktion ist. Riemann-Summen sind sehr nützlich, wenn man Eigenschaften des Integrals beweisen möchte. Beispielsweise führt der Grenzwert maxi δi → 0 der trivialen Identität n X i=1

n n X X c1 f1 (ξi ) + c2 f2 (ξi ) · δi = c1 f1 (ξi ) · δi + c2 f2 (ξi ) · δi i=1

i=1

auf (II.4.13), sofern die beteiligten Funktionen integrierbar sind.


Integrierbare Funktionen Wir wollen nun untersuchen, welche Klassen von Funktionen integrierbar sind. (5.9) Satz. Es seien f und g zwei integrierbare Funktionen auf [a, b] und es sei λ eine reelle Zahl. Dann sind die Funktionen f + g,

λ · f,

f · g,

|f |,

f /g (falls |g(x)| ≥ C > 0 )

ebenfalls integrierbar. Beweis. Wir werden im gesamten Beweis die Tatsache verwenden, dass Fi −fi die kleinste obere Schranke für Differenzen von Funktionswerten f (x) auf [xi−1 , xi ] darstellt, also (5.13)

sup x,y∈[xi−1 ,xi ]

|f (x) − f (y)| = Fi − fi .

Sei nämlich ε > 0 eine vorgegebene Zahl. Nach Definition von Fi und fi gibt es dann ξ, η ∈ [xi−1 , xi ] mit f (ξ) > Fi − ε, f (η) < fi + ε und daher gilt f (ξ) − f (η) > Fi − fi − 2ε. Entsprechend ist Fi − fi nicht nur eine obere Schranke für |f (x) − f (y)|, sondern auch die kleinste obere Schranke. a) Es sei h(x) = f (x) + g(x). Wir notieren mit Fi , Gi , Hi bzw. fi , gi , hi die Suprema bzw. Infima der Funktionen f , g, h auf [xi−1 , xi ] (siehe (5.5)). Wenden wir dann die Dreiecksungleichung und (5.13) an, so finden wir für x, y ∈ [xi−1 , xi ]: (5.14)

|h(x) − h(y)| ≤ |f (x) − f (y)| + |g(x) − g(y)| ≤ (Fi − fi ) + (Gi − gi ).

Gleichung (5.13), angewendet auf die Funktion h, zeigt dann, dass (Hi − hi ) ≤ (Fi − fi ) + (Gi − gi ) gilt, und dass die Differenzen der oberen und unteren Darboux-Summen die Ungleichung X X X (5.15) (Hi − hi )δi ≤ (Fi − fi )δi + (Gi − gi )δi

erfüllen. Zu einem gegebenen ε > 0 wählen wir eine Unterteilung D (Satz 5.4), so dass jeder Term der Summe auf der rechten Seite von (5.15) kleiner ist als ε (tatsächlich haben wir zwei verschiedene Unterteilungen für f und g, aber wir können derenP Vereinigung nehmen und so davon ausgehen, es seien dieselben). Daraus folgt i (Hi − hi )δi < 2ε und die Funktion h(x) = f (x) + g(x) ist integrierbar nach Satz 5.4. b) Die Beweise der verbleibenden Behauptungen sind dem obigen sehr a¨ hnlich. Beispielsweise benutzen wir für h(x) = λ · f (x) |h(x) − h(y)| = |λ| · |f (x) − f (y)| anstelle von (5.14), schlussfolgern (Hi − hi ) ≤ |λ| · (Fi − fi ) und leiten daraus die Integrierbarkeit wie oben gezeigt ab.


Für das Produkt h(x) = f (x) · g(x) benutzen wir |h(x) − h(y)| ≤ |f (x)| · |g(x) − g(y)| + |g(y)| · |f (x) − f (y)| ≤ M · |g(x) − g(y)| + N · |f (x) − f (y)|

(beide Funktionen f (x) und g(x) sind nach Annahme (5.2) beschränkt). Für die letzte Behauptung reicht es schließlich aus zu zeigen, dass 1/g(x) integrierbar ist (wegen f (x)/g(x) = f (x) · (1/g(x)). Wir definieren h(x) = 1/g(x) und ersetzen (5.14) durch |h(x) − h(y)| =

|g(y) − g(x)| |g(x) − g(y)| ≤ . |g(y)| · |g(x)| C2

⊓ ⊔

Da die konstante Funktion und f (x) = x beide integrierbar sind (Beispiel 5.5) folgt aus dem obigen Satz, dass auch Polynome und rationale Funktionen (außerhalb ihrer Singularitäten) integrierbar sind. Der folgende Satz wurde von Cauchy (1823) behauptet, aber erst gut 50 Jahre später mit dem Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit streng bewiesen. (5.10) Satz. Wenn f : [a, b] → R stetig ist, dann ist f (x) integrierbar.

Beweis. Der wesentliche Punkt ist, dass f gleichmäßig stetig ist (Satz 4.5). Das heißt, dass für ein gegebenes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass |x − y| < δ

=⇒

|f (x) − f (y)| < ε

gilt. Wir wählen eine Unterteilung D, die maxi δi < δ erfüllt. Für x, y ∈ [xi−1 , xi ] haben wir dann |f (x) − f (y)| P < ε und nach (5.13) Pauch Fi − fi ≤ ε. Hieraus folgt, dass S(D) − s(D) = ni=1 (Fi − fi )δi ≤ ε ni=1 δi = ε(b − a) sein muss, und Satz 5.4 liefert die Integrierbarkeit von f (x). ⊓ ⊔ (5.11) Satz. Falls f : [a, b] → R monoton ist, dann ist f (x) integrierbar.

Beweis. Der kleinste Wert einer nicht-fallenden Funktion liegt am a¨ ußersten linken Punkt und der größte Wert am a¨ ußersten rechten Punkt des Intervalls [xi−1 , xi ]. Daher ist fi = f (xi−1 ), Fi = f (xi ) und somit fi+1 = Fi für alle i = 1, . . . , n−1. Der Ansatz besteht nun darin, eine a¨ quidistante Unterteilung zu betrachten, in der alle Teilintervalle δ lang sind. Wir finden dann X (Fi −fi)δ = F1 δ−f1 δ+F2 δ−f2 δ+F3 δ−f3 δ+. . . = f (xn )−f (x0 ) ·δ < ε, wenn δ genügend klein gewählt wird. Dies beweist die Integrierbarkeit von f (x). ⊓ ⊔

(5.12) Bemerkung. Wenn wir eine integrierbare Funktion an einer endlichen Zahl an Punkten abändern, so bleibt die Funktion integrierbar und der Wert des Integrals a¨ ndert sich nicht. Dies folgt aus einem a¨ hnlichen Argument wie dem in Beispiel 5.7 oben.


(5.13) Bemerkung. Es seien a < b < c und wir nehmen an, dass f : [a, c] → R eine Funktion ist, deren Einschränkungen auf [a, b] und [b, c] jeweils integrierbar sind. Dann ist f auch auf [a, c] integrierbar, und wir finden Z c Z b Z c (5.16) f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a

a

b

Dies gilt, weil die Addition von Darboux-Summen der Einschränkungen auf [a, b] und [b, c] zu einer Darboux-Summe auf [a, c] führt. Für a > b oder a = b definieren wir Z b Z a Z a (5.17) f (x) dx = − f (x) dx und f (x) dx = 0, a

b

a

so dass Gl. (5.16) für jedes Tripel (a, b, c) gilt.

Ungleichungen und der Mittelwertsatz Die folgenden Ungleichungen sind oftmals sehr nützlich, wenn man Integrale abschätzen will. Wir haben sie bereits in Abschnitt II.10 benutzt, um die Abschätzungen (II.10.15) zu erhalten. (5.14) Satz. Wenn f (x) und g(x) auf [a, b] integrierbare Funktionen sind (mit a < b), und wenn f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ [a, b] gilt, dann ist Z b Z b f (x) dx ≤ g(x) dx. a

a

Pn

Pn Beweis. Die Riemann-Summen erfüllen i=1 f (ξi )δi ≤ i=1 g(ξi )δi wegen δi > 0. Für maxi δi → 0 erhalten wir die obige Ungleichung (siehe (5.12) und Satz 1.6). ⊓ ⊔ (5.15) Korollar. Für integrierbare Funktionen folgt Z b Z b f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a

a

Beweis. Wir wenden Satz 5.14 auf −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| an.

⊓ ⊔

Wenn wir Korollar 5.15 auf das Produkt f (x) · g(x) zweier integrierbarer Funktionen anwenden und |f (x) · g(x)| ≤ M · |g(x)| benutzen, wobei M = supx∈[a,b] |f (x)| ist, so erhalten wir die folgende, nützliche Abschätzung: Z b Z b (5.18) f (x) · g(x) dx ≤ sup |f (x)| · |g(x)| dx. a

x∈[a,b]

a

Die nächste Ungleichung a¨ hnelt (5.18), behandelt aber die zwei Funktionen f und g auf symmetrische Art und Weise.


(5.16) Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (Cauchy 1821 für Rn , Bunyakovski 1859 für Integrale, Schwarz 1885, §15, für Doppelintegrale). Für integrierbare Funktionen f (x) und g(x) gilt: s Z b sZ b Z b 2 (5.19) f (x)g(x) dx ≤ f (x) dx · g 2 (x) dx· a

a

a

Beweis. Nach Satz 5.9 wissen wir, dass f ·g, f und g integrierbar sind. Benutzen wir Satz 5.14 und die Linearität des Integrals, so finden wir Z b 2 0≤ f (x) − γg(x) dx 2

a

=

Z

a

b

f 2 (x) dx − 2γ

Z

2

b

f (x)g(x) dx + γ 2

a

Z

b

g 2 (x) dx. a

Rb Rb Rb Wir setzen A = a f 2 (x) dx, B = a f (x)g(x) dx, C = a g 2 (x) dx und sehen, dass A − 2γB + γ 2 C ≥ 0 für alle reellen γ gilt. Aus C = 0 folgt B = 0. Für C 6= 0 kann die Diskriminante der quadratischen Gleichung nicht positiv sein (siehe (I.1.10)). Daher muss B 2 ≤ AC sein, und das ist (5.19). ⊓ ⊔ (5.17) Der Mittelwertsatz (Cauchy 1821). Wenn f : [a, b] → R eine stetige Funktion ist, dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit Z b (5.20) f (x) dx = f (ξ) · (b − a). a

Beweis. Es seien m und M das Minimum bzw. Maximum von f (x) auf [a, b] (siehe Satz 3.6), d.h. es gelte m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ [a, b]. Wir wenden Satz 5.14 an und teilen durch (b − a), mit dem Ergebnis Z b 1 m≤ · f (x) dx ≤ M. b−a a Rb Der Wert a f (x) dx/(b − a) liegt zwischen m = f (u) und M = f (U ). Aus dem Satz von Bolzano (Zwischenwertsatz 3.5) leiten wir nun die Existenz eines ξ ∈ [a, b] ab, für das der Wert gerade f (ξ) gleicht. Damit ist Gl. (5.20) erfüllt. ⊓ ⊔ (5.18) Satz (Cauchy 1821). Es sei f : [a, b] → R stetig und es sei g : [a, b] → R eine integrierbare Funktion, die u¨ berall positiv (oder u¨ berall negativ) ist. Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit Z b Z b (5.21) f (x)g(x) dx = f (ξ) g(x) dx. a

a

Beweis. Angenommen, es gilt g(x) ≥ 0 für alle x (ansonsten ersetzen wir g durch −g). In diesem Fall ist


m · g(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M · g(x)

für alle

x ∈ [a, b],

wobei m und M Minimum und Maximum von f (x) sind. Der Rest des Beweises gleicht dem des Mittelwertsatzes. ⊓ ⊔

Integration unendlicher Reihen Bis in die neueste Zeit glaubte man, es sei das Integral einer convergenten Reihe . . . gleich der Summe aus den Integralen der einzelnen Glieder, und erst Herr Weierstrass hat bemerkt . . . (Heine 1870, Ueber trig. Reihen, J. f. Math., Band 70, S. 353)

Wir haben bereits o¨ fter die sehr nützliche termweise Integration einer unendlichen Reihe eingesetzt (beispielsweise in der Herleitung der Mercator-Reihe (I.3.13) und in den Beispielen von Abschnitt II.6). Der Hintergrund ist dabei, dass wir die Integration eigentlich mit einer Grenzwertbildung von Funktionen vertauscht haben. Hier wollen wir nun untersuchen, unter welchen Umständen dies erlaubt ist. Erstes Beispiel. Es sei r1 , r2 , r3 , r4 , . . . eine Folge, die alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 enthält, beispielsweise 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , ... . 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 Wir definieren nun 1 falls x ∈ {r1 , r2 , r3 , . . . , rn } (5.22) fn (x) = 0 sonst. Nach Bemerkung 5.12 ist jede der Funktionen fn : [0, 1] → R integrierbar mit Integral Null. Jedoch ist die Grenzfunktion f (x), welche mit Dirichlets Funktion aus Beispiel 5.6 u¨ bereinstimmt, nicht integrierbar. (Das Lebesgue-Integral löst dieses Problem.) Zweites Beispiel. Die Graphen der Funktionen  2 0 ≤ x ≤ 1/n  n x 2 (5.23) fn (x) = 2n − n x 1/n ≤ x ≤ 2/n   0 2/n ≤ x ≤ 2 sind Dreiecke mit fallender Basis und wachsender Höhe und der Eigenschaft Z 2 fn (x) dx = 1 für alle n.

4

3

2

n=4

n=3

n=2

0

Jedoch ist die Grenzfunktion f (x) = 0 für alle x ∈ [0, 1]. Nun ist f (x) zwar integrierbar, aber Z 2 Z 2 lim fn (x) dx 6= lim fn (x) dx. n→∞

0

0 n→∞

n=1

1

0 0

1

2


(5.19) Satz. Wir betrachten eine Folge fn (x) integrierbarer Funktionen und nehmen an, sie konvergiert gleichmäßig auf [a, b] gegen eine Funktion f (x). Dann ist f : [a, b] → R integrierbar mit Z b Z b lim fn (x) dx = f (x) dx. n→∞

a

a

Beweis. Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass es für ein gegebenes ε > 0 eine ganze Zahl N gibt, so dass für jedes n ≥ N und für alle x ∈ [a, b] gilt |fn (x) − f (x)| < ε. Folglich haben wir nun für alle x, y ∈ [a, b]: |f (x) − f (y)| ≤ |fN (x) − fN (y)| + 2ε. Mit (5.13) finden wir (Fi − fi ) ≤ (FN i − fN i ) + 2ε, wobei wir wie in (5.5) die Notation FN i = supxi−1 ≤x≤xi fN (x) und fN i = inf xi−1 ≤x≤xi fN (x) benutzen. Die Funktion fN (x) ist integrierbar, so dass für eine geeignete Unterteilung P von [a, b] die Differenz zwischen oberer und unterer Darboux-Summe, also i (FN i −fN i )δi , kleiner ist als ε (Satz 5.4). Hieraus folgt P (F − f )δ < ε 1 + 2(b − a) und f (x) ist mithin integrierbar. i i i i Sobald die Integrierbarkeit der Grenzfunktion f (x) gesichert ist, folgt aus Korollar 5.15, dass für n ≥ N Z b Z b Z b fn (x) − f (x) dx ≤ ε(b − a) fn (x) dx − f (x) dx ≤ a

a

a

gilt. Hieraus folgt die Behauptung des Satzes.

⊓ ⊔

(5.20) Korollar. Es sei P∞fn (x) eine Folge integrierbarer Funktionen und wir nehmen an, die Reihe n=0 fn (x) konvergiert gleichmäßig auf [a, b]. Dann gilt Z bX ∞ Z b ∞ X fn (x) dx = fn (x) dx. n=0

a

a n=0

Riemanns Beispiel.

Da diese Functionen noch nirgends betrachtet sind, wird es gut sein, von einem bestimmten Beispiele auszugehen. (Riemann 1854, Werke, S. 228)

Riemann (1854) schlug das folgende Beispiel zur Demonstration der Stärke seiner Integrationstheorie vor, eine Funktion, die in jedem Intervall unstetig ist (siehe Abb. 5.4): ∞ X B(nx) x − hxi falls x 6= k/2 (5.24) f (x) = , mit B(x) = 0 falls x = k/2, n2 n=1


.5

.5

B(x)

f(x)

B(2x)/4 B(3x)/9 0

1

−.5

0

1

−.5

ABB. 5.4. Riemanns Beispiel einer integrierbaren Funktion

wobei hxi die an x am nähesten liegende ganze Zahl ist. Diese Funktion ist unstetig bei x = 1/2, 1/4, 3/4, 1/6, 3/6, 5/6, . . . , und doch konvergiert die Reihe (5.24) nach Satz 4.3 gleichmäßig. Die Funktionen fn (x) sind nach Bemerkung 5.13 integrierbar. Folglich ist auch f integrierbar.

¨ Ubungen 5.1 Konstruieren Sie für die Funktion 1 falls x = 0, 12 , 13 , 14 , 15 , . . . f (x) = x sonst und ein gegebenes ε > 0, beispielsweise ε = 0,01, explizit eine Unterteilung D mit S(D) − s(D) < ε. Dies verdeutlicht, dass f im Riemann-Sinn integrierbar ist. 5.2 Betrachten Sie die Funktion f (x) = x2 auf dem Intervall [0, 1]. Berechnen Sie die oberen und unteren Darboux-Summen für die a¨ quidistanten Unterteilungen xi = i/n, i = 0, 1, . . . , n. Schließen Sie aus den Ergebnissen, dass f integrierbar ist. 5.3 Zeigen Sie, dass die numerischen Näherungen, die man mit der Trapezregel Z b f (ξ ) f (ξN ) 0 f (x) dx ≈ h + f (ξ1 )+ f (ξ2 )+f (ξ3 )+ . . .+ f (ξN−1 )+ 2 2 a

(h = (b − a)/N und ξi = a + ih) erhält (siehe Abschnitt II.6), sowie jene aus der Simpson-Regel (N gerade) Z b h f (x) dx ≈ f (ξ0 ) + 4f (ξ1 ) + 2f (ξ2 ) + 4f (ξ3 ) + . . . + f (ξN ) , 3 a


Riemann-Summen für bestimmte Unterteilungen D darstellen. Daher ist die Konvergenz dieser Methoden für N → ∞ für sämtliche im Riemann-Sinn integrierbare Funktionen gesichert. 5.4 (Dini 1878, Kap. 13). Zeigen Sie Z π ln 1 − 2α cos x + α2 dx = 0 für α2 < 1, Z0 π ln 1 − 2α cos x + α2 dx = π ln α2 für α2 > 1, 0

indem Sie Riemann-Summen für a¨ quidistante Unterteilungen xi = iπ/n berechnen, wobei ξi der linke Endpunkt xi−1 sein soll. Die Riemann-Summen werden so zum Logarithmus eines uns wohlbekannten Produktes (siehe Abschnitt I.5).

5.5 Für die Funktion f : [a, b] → R gelte: i) f ist stetig, ii) ∀x ∈ [a, b] ist f (x) ≥ 0 und iii) ∃x0 ∈ (a, b) mit f (x0 ) > 0. Zeigen Sie Z

(5.25)

b

f (x) dx > 0. a

Beweisen Sie mit Hilfe von Gegenbeispielen, dass jede der drei Behauptungen i), ii) und iii) zum Beweis von (5.25) notwendig ist. 5.6 Berechnen Sie die Integrale Z

π/2

sin2n x dx =

0

Z

π 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) · , 2 2 · 4 · 6 · . . . · 2n

π/2

sin2n+1 x dx =

0

2 · 4 · 6 · . . . · 2n . 3 · 5 · 7 · . . . · (2n + 1)

Benutzen Sie dann 0 < sin x < 1 für 0 < x < π/2 sowie Satz 5.14, um Z

π/2

sin2n x dx >

0

Z

0

π/2

sin2n+1 x dx >

Z

π/2

sin2n+2 x dx

0

zu beweisen. Die obigen Werte, eingesetzt in diese Ungleichungen, führen auf einen Beweis des Wallisschen Produktes (I.5.27) mit rigider Fehlerabschätzung. 5.7 Beweisen Sie Z Z 1 4 Z 1 1 1 4 x (1 − x)4 x (1 − x)4 dx ≤ dx ≤ x4 (1 − x)4 dx. 2 2 0 1 + x 0 0 Die tatsächliche Berechnung dieser Integrale führt auf ein amüsantes Resultat (alte Souvenirs aus Abschnitt I.6). R1 4 ¨ Hinweis. Um x (1 − x)4 dx zu berechnen, siehe Ubung II.4.3. 0


5.8 Zeigen Sie, dass die Reihe 1 = 1 − x2 + x4 − x6 + x8 − . . . 1 + x2 auf A = [−b, b] für jedes b mit 0 < b < 1 gleichmäßig konvergiert. Folglich kann diese Reihe termweise auf A = [0, b] (oder A = [−b, 0]) integriert werden und führt auf die wohlbekannte Reihe für arctan b. a)

b)

n=4

1

1 n=3

n=2 n=1

n=1

n=2 0

1

0

1

ABB. 5.5. Vertauschen von Limes und Integral

5.9 Berechnen Sie für folgende Funktionsfolgen fn : [0, 1] → R (Abb. 5.5) a)

fn (x) =

nx , (1 + n2 x2 )2

b)

fn (x) =

n2 x , (1 + n2 x2 )2

den Grenzwert limn→∞ fn (x) (unterscheiden Sie die Fälle x = 0 und x 6= 0). Finden Sie das Maximum von fn (x) und entscheiden Sie, ob die Konvergenz gleichmäßig ist. Prüfen Sie schließlich, ob folgende Gleichungen erfüllt sind: Z 1 Z 1 lim fn (x) dx = lim fn (x) dx. n→∞

0

0 n→∞


III.6 Differenzierbare Funktionen . . . die Strenge, welche ich mir in meiner Cours d’analyse als Gebot auferlegte, . . . (Cauchy 1829, Leçons) Die vollständige Veränderung f (x + h) − f (x) . . . lässt sich im allgemeinen in zwei Teile zerlegen . . . (Weierstraß 1861)

Die Ableitung einer Funktion wurde von uns in Abschnitt II.1 eingeführt und untersucht. Nun, da uns der Begriff des Grenzwertes zur Verfügung steht, können wir auch eine genaue Definition angeben. (6.1) Definition (Cauchy 1821). Es sei I ein Intervall und x0 ∈ I. Die Funktion f : I → R ist differenzierbar bei x0 , wenn der Grenzwert f ′ (x0 ) = lim

(6.1)

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

existiert. Dieser Grenzwert f ′ (x0 ) heißt die Ableitung von f bei x0 . Falls die Funktion f an jedem Punkt von I differenzierbar ist, und falls f ′ : I → R stetig ist, so heißt f stetig differenzierbar. Manchmal ist es vorteilhaft, x = x0 + h zu setzen, also (6.2)

f ′ (x0 ) = lim

h→0

f (x0 + h) − f (x0 ) . h

Man kann auch für ein festes x0 die Funktion r : I → R betrachten, die durch r(x0 ) = 0 und (6.3)

r(x) =

f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 ) x − x0

für x 6= x0

definiert ist. Dann ist Gl. (6.1) a¨ quivalent zu limx→x0 r(x) = 0 und wir erhalten das folgende Kriterium. (6.2) Formulierung von Weierstraß (Weierstraß 1861, siehe obiges Zitat). Eine Funktion f (x) ist differenzierbar bei x0 genau dann, wenn es eine Zahl f ′ (x0 ) und eine Funktion r(x) gibt, so dass r(x) stetig bei x0 mit r(x0 ) = 0 ist und gilt: (6.4)

f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + r(x)(x − x0 ).

⊓ ⊔

Gleichung (6.4) besitzt den Vorteil, dass sie nicht auf den Begriff des Grenzwertes zurückgreifen muss (dieser wird gegen die Stetigkeit von r(x) eingetauscht) und die Gleichung y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) der Tangente an f (x) im Punkt x = x0 einbringt. Außerdem ist sie die Grundlage für die Theorie der differenzierbaren Funktionen in mehreren Variablen. Noch einfachere Formeln und Beweise erhält man, wenn man die zwei hinteren Terme in Gl. (6.4) zusammenfügt durch: (6.5)

ϕ(x) = f ′ (x0 ) + r(x).

III.6 Differenzierbare Funktionen 255

(6.3) Formulierung von Carathéodory (Carathéodory 1950, S. 121). Eine Funktion f (x) ist differenzierbar bei x0 genau dann, wenn es eine Funktion ϕ(x) gibt, die bei x0 stetig ist, so dass gilt: (6.6)

f (x) = f (x0 ) + ϕ(x)(x − x0 ).

Der Wert ϕ(x0 ) ist die Ableitung f ′ (x0 ) von f bei x0 . Wir sehen sofort aus (6.6), dass, falls f bei x0 differenzierbar ist, f auch stetig bei x0 sein muss. Darüber hinaus folgt aus (6.5) und (6.3) (oder auch direkt aus (6.6)), dass (6.7)

ϕ(x) =

f (x) − f (x0 ) x − x0

für x 6= x0

eindeutig bestimmt ist (natürlich nur für x 6= x0 ), und daher auch die Ableitung f ′ (x0 ) eindeutig bestimmt sein muss, sofern sie u¨ berhaupt existiert. Bemerkungen und Beispiele. 1. Offensichtlich sind die Funktionen f (x) = 1 und f (x) = x differenzierbar. Die Differenzierbarkeit von f (x) = x2 folgt beispielsweise aus (6.6) mit Hilfe der Identität x2 − x20 = (x + x0 )(x − x0 ) (siehe auch Abschnitt II.1). 2. Wir wollen betonen, dass die Differenzierbarkeit bei x0 eine lokale Eigen¨ schaft ist. Andern wir nämlich die Funktion außerhalb von (x0 − ε, x0 + ε) für irgendein ε > 0 ab, a¨ ndert sich weder die Differenzierbarkeit bei x0 , noch die Ableitung f ′ (x0 ). 3. Ist I = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall und x0 = a, dann sollte (6.1) durch den rechtsseitigen Grenzwert ersetzt werden. 4. Betrachten wir die Funktion f (x) = |x| (Betragsfunktion). Bei x0 > 0 ist sie differenzierbar mit f ′ (x0 ) = 1; bei x0 < 0 ist sie ebenfalls differenzierbar, jedoch mit der Ableitung f ′ (x0 ) = −1. Diese Funktion ist bei x0 = 0 nicht differenzierbar, da f (x)/x = |x|/x keinen Grenzwert für x → 0 besitzt. 5. Die Funktion 0 falls x irrational oder ganzzahlig ist f (x) = 2 1/q falls x = p/q (gekürzter Bruch) ist unstetig bei jeder nicht-ganzzahligen rationalen Zahl x0 . Jedoch ist sie differenzierbar bei x0 = 0, da die Funktion ϕ(x) von Gl. (6.6) die Form ϕ(x) = f (x)/x annimmt. Wegen |f (x)| ≤ |x|2 gilt somit limx→0 ϕ(x) = 0 und damit f ′ (x0 ) = 0.

0

(6.4) Satz. Falls f : (a, b) → R bei x0 ∈ (a, b) differenzierbar ist, und f ′ (x0 ) > 0 gilt, dann gibt es ein δ > 0 mit f (x) > f (x0 ) f (x) < f (x0 )

für alle x mit x0 < x < x0 + δ, für alle x mit x0 − δ < x < x0 .

Falls f ein Maximum oder Minimum bei x0 annimmt, so ist f ′ (x0 ) = 0.


Beweis. f ′ (x0 ) > 0 bedeutet, dass ϕ(x0 ) > 0 ist (siehe (6.6)). Aufgrund der Stetigkeit gilt ϕ(x) > 0 in einer Umgebung von x0 . Die behaupteten Ungleichungen folgen nun aus (6.7). Falls die Funktion ein Maximum bei x0 annimmt, so finden wir f (x) ≤ f (x0 ) auf beiden Seiten von x0 . Dies ist nur möglich, wenn f ′ (x0 ) = 0 ist. ⊓ ⊔ (6.5) Bemerkung. Die Aussage von Satz 6.4 impliziert keineswegs, dass eine Funktion, die f ′ (x0 ) > 0 erfüllt, in einer Umgebung von x0 monoton wächst. Als Gegenbeispiel betrachten wir die Funktion f (x) (siehe Abb. 6.1), die durch f (0) = 0 und f (x) = x + x2 sin 1/x2 für x 6= 0.

definiert ist. Sie ist u¨ berall differenzierbar mit f ′ (0) = 1 (da f (x) = x + r(x) · x mit |r(x)| ≤ |x|). Für x 6= 0 oszilliert die Ableitung 1 2 1 f ′ (x) = 1 + 2x sin 2 − cos 2 x x x in der Nähe des Ursprungs sehr stark. Obwohl also f (x) zwischen zwei Parabeln eingesperrt ist, gibt es beliebig nahe am Ursprung stets Punkte mit negativer Ableitung. Nach Satz 6.4 gibt es daher beliebig nahe an 0 Punkte ξ1 < ξ2 mit f (ξ1 ) > f (ξ2 ). Wir werden später sehen (Korollar 6.12), dass, falls f ′ (x) > 0 für alle x ∈ (a, b) gilt, die Funktion dort monoton wächst. Das obige Gegenbeispiel ist also nur möglich, da f nicht stetig differenzierbar ist.

0,5

f′

50

f

0

0,5

0

0,5

ABB. 6.1. Graph der Funktion y = x + x2 sin(1/x2 ) und ihrer Ableitung

(6.6) Satz. Sind f und g bei x0 differenzierbar, so auch f + g,

f · g,

f /g ( falls g(x0 ) 6= 0).

Die Formeln aus Abschnitt II.1 für ihre Ableitungen sind korrekt.


Beweis. Wir wollen zwei verschiedene Beweise für das Produkt f · g präsentieren. Für f + g und f /g sind die Beweise a¨ hnlich. Der erste Beweis gründet auf der Identität f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 ) g(x) − g(x0 ) f (x) − f (x0 ) = f (x) + g(x0 ) , x − x0 x − x0 x − x0 die man durch Addition und Subtraktion des Terms f (x)g(x0 ) erhält. Verbinden wir die Stetigkeit von f bei x0 aus (Gl. (6.4)) und die Differenzierbarkeit von f und g mit Satz 1.5, so sehen wir, dass für x → x0 der Ausdruck auf der rechten Seite den endlichen Grenzwert f (x0 )g ′ (x0 ) + g(x0 )f ′ (x0 ) besitzt. Daher ist das Produkt f · g bei x0 differenzierbar. Unser zweiter Beweis basiert auf der Formulierung 6.3 von Carathéodory. Nach Voraussetzung gilt: (6.8)

f (x) = f (x0 ) + ϕ(x)(x − x0 ), g(x) = g(x0 ) + ψ(x)(x − x0 ),

ϕ(x0 ) = f ′ (x0 ), ψ(x0 ) = g ′ (x0 ).

Multiplizieren wir beide Gleichungen von (6.8), so erhalten wir f (x)g(x) = f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )ψ(x) + g(x0 )ϕ(x) + ϕ · ψ · (x − x0 ) (x − x0 ).

Die Funktion in den großen Klammern ist offenbar stetig bei x0 und ihr Wert bei x = x0 beträgt f (x0 )g ′ (x0 ) + g(x0 )f ′ (x0 ). ⊓ ⊔ (6.7) Satz (Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen). Wenn y = f (x) bei x0 differenzierbar und z = g(y) bei y0 = f (x0) differenzierbar ist, so ist die zusammengesetzte Funktion (g ◦ f )(x) = g f (x) bei x0 differenzierbar, und es gilt: (6.9)

(g ◦ f )′ (x0 ) = g ′ (y0 ) · f ′ (x0 ). Viele unserer Studenten werden die prägnante Eleganz dieses Beweises zu Schätzen wissen. (Kuhn 1991)

Beweis. Wir benutzen Gl. (6.6), um die Voraussetzung in der Form f (x) − f (x0 ) = ϕ(x)(x − x0 ), g(y) − g(y0 ) = ψ(y)(y − y0 ),

ϕ(x0 ) = f ′ (x0 ), ψ(y0 ) = g ′ (y0 )

zu notieren. Setzen wir nun y − y0 = f (x) − f (x0 ) aus der ersten Gleichung in die zweite ein, so finden wir g f (x) − g f (x0 ) = ψ f (x) ϕ(x)(x − x0 ). Die Funktion ψ f (x) ϕ(x) ist wiederum stetig bei x0 und ihr Wert bei x = x0 beträgt g ′ f (x0 ) · f ′ (x0 ). ⊓ ⊔


(6.8) Satz (Umkehrfunktionen). Es sei f : I → J bijektiv, stetig und bei x0 ∈ I differenzierbar. Angenommen, es gilt f ′ (x0 ) 6= 0. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 : J → I differenzierbar bei y0 = f (x0 ) und es gilt: (f −1 )′ (y0 ) =

(6.10)

1 . f ′ (x0 )

Beweis. Nach Carathéodorys Formulierung (6.6) haben wir nach Voraussetzung ϕ(x0 ) = f ′ (x0 ).

f (x) − f (x0 ) = ϕ(x)(x − x0 ),

Wir ersetzen x und x0 durch f −1 (y) und f −1 (y0 ), sowie f (x) und f (x0 ) durch y und y0 , und finden: y − y0 = ϕ f −1 (y) f −1 (y) − f −1 (y0 ) .

Aus dem Beweis von Satz 3.9 folgern wir, dass f −1 (y) beiy0 stetig ist. Aufgrund −1 der Voraussetzung ϕ f (y0 ) 6= 0 gilt daher ϕ f −1 (y) 6= 0 in einer Umgebung von y0 , und wir dürfen durch diesen Term teilen, mit dem Ergebnis f −1 (y) − f −1 (y0 ) =

1 ϕ

(y − y0 ).

f −1 (y)

Dies beschließt den Beweis, da die Funktion 1/ϕ f −1 (y) bei y0 stetig ist.

⊓ ⊔

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Formel (II.4.6) ist das zentrale Resultat aller Berechnungen in Abschnitt II.4. Wir wollen nun einen strengen Beweis für diese Formel liefern. Insbesondere werden wir zeigen, dass jede stetige Funktion f (x) eine Stammfunktion besitzt, die bis auf eine additive Konstante eindeutig ist. (6.9) Satz (Existenz einer Stammfunktion). Es sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Dann ist die Funktion Z x (6.11) F (x) = f (t) dt a

(die nach Satz 5.10 existiert) auf (a, b) differenzierbar und erfüllt F ′ (x) = f (x). Folglich ist sie eine Stammfunktion von f (x). Beweis. Nach Gl. (5.16) gilt (6.12)

F (x) − F (x0 ) =

Z

x

f (t) dt. x0

Wenden wir den Mittelwertsatz 5.17 hierauf an, so finden wir F (x) − F (x0 ) = f (ξ)(x − x0 ),


wobei ξ = ξ(x, x0 ) zwischen x und x0 liegt. Für x → x0 strebt der Wert ξ(x, x0 ) notwendigerweise gegen x0 . Da f bei x0 stetig ist, haben wir somit limx→x0 f (ξ) = f (x0 ). Dies beweist die Differenzierbarkeit von F (x) (siehe (6.6)) und es ist F ′ (x0 ) = f (x0 ). ⊓ ⊔ Eindeutigkeit der Stammfunktion. Dies gestattet nun der Mittelwertsatz; und es ist der große Verdienst Cauchys, diese zentrale Stellung voll erkannt und demgemäß den Mittelwertsatz an die Spitze der Differentialrechnung gestellt zu haben; es ist nicht zuviel gesagt, wenn man ihn deshalb als Begründer der exakten Infinitesimalrechnung im modernen Sinne feiert. (F. Klein 1908, 3.III.1, oder S. 465 in der Autographie) Siehe den wundervollen Beweis dieses Satzes durch Mr. O. Bonnet, in Traité de Calcul différentiel et intégral von Mr. Serret, Band I, S. 17. (Darboux 1875, S. 111)

Unser nächstes Ziel soll sein, die Eindeutigkeit der Stammfunktion (bis auf eine additive Konstante) zu beweisen. Die folgende Aneinanderreihung von Sätzen, die den gesuchten Beweis bewerkstelligt, wurde seit Serrets Buch (1868; Serret schreibt diese Ideen O. Bonnet zu; siehe Zitate) zu einem Eckstein der Grundlagen der Analysis. (6.10) Satz (Rolle 1690). Es sei f : [a, b] → R stetig auf [a, b], differenzierbar auf (a, b) und es gelte f (a) = f (b). Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit (6.13)

f ′ (ξ) = 0.

Beweis. Dank Satz 3.6 wissen wir, dass es u, U ∈ [a, b] gibt, so dass f (u) ≤ f (x) ≤ f (U ) für alle x ∈ [a, b] gilt. Wir unterscheiden nun zwei mögliche Fälle. Falls f (u) = f (U ) ist, dann ist die Funktion f (x) konstant und ihre Ableitung ist u¨ berall Null. Falls f (u) < f (U ) ist, so unterscheidet sich zumindest einer dieser zwei Werte von f (a) = f (b), sagen wir f (U ). Es gilt dann a < U < b und nach Satz 6.4 folgt f ′ (U ) = 0. ⊓ ⊔ (6.11) Satz (Lagrange 1797). Es sei f : [a, b] → R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Dann gibt es eine Zahl ξ ∈ (a, b) mit (6.14)

f (b) − f (a) = f ′ (ξ)(b − a).

Beweis. Der Ansatz besteht darin, von der Funktion f (x) die gerade Linie zu subtrahieren, die die Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) verbindet. Diese besitzt die Stei gung f (b)−f (a) /(b−a). Danach wenden wir den Satz von Rolle an (Abb. 6.2). Wir definieren f (b) − f (a) (6.15) h(x) = f (x) − f (a) + (x − a) . b−a


Aufgrund von h(a) = h(b) = 0 und h′ (x) = f ′ (x) −

f (b) − f (a) b−a

folgt Gl. (6.14) aus h′ (ξ) = 0 (Satz 6.10).

⊓ ⊔

f(b) f(b)

f(a)

a

b

a f(a)

b

ABB. 6.2. Beweis der Sätze von Rolle und Lagrange

(6.12) Korollar. Es seien f, g : [a, b] → R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Es gilt dann: a) b) c) d)

Ist f ′ (ξ) = 0 für alle ξ ∈ (a, b), so ist f (x) = C (konstant); ist f ′ (ξ) = g ′ (ξ) für alle ξ ∈ (a, b), so ist f (x) = g(x) + C; ist f ′ (ξ) > 0 für alle ξ ∈ (a, b), so ist f (x) streng monoton wachsend, d.h. f (x1 ) < f (x2 ) für alle a ≤ x1 < x2 ≤ b; und ist |f ′ (ξ)| ≤ M für alle ξ ∈ (a, b), so ist |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ M |x1 − x2 | für alle x1 , x2 ∈ [a, b].

Beweis. Wenden wir Gl. (6.14) auf das Intervall [a, x] an, so erhalten wir Aussage (a) mit C = f (a). Aussage (b) folgt direkt aus (a). Die verbleibenden Aussagen erhält man, wenn man Satz 6.11 auf das Intervall [x1 , x2 ] anwendet. ⊓ ⊔ (6.13) Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Es sei f (x) eine stetige Funktion auf [a, b]. Dann gibt es eine Stammfunktion F (x) von f (x), die bis auf eine additive Konstante eindeutig ist, und es gilt (6.16)

Z

a

b

f (x) dx = F (b) − F (a).

Beweis. Die Existenz von F (x) ist die Aussage von Satz 6.9. Eindeutigkeit (bis auf eine Konstante) folgt aus Korollar R x 6.12b. Ist F (x) nun eine beliebige Stammfunktion von f (x), so ist F (x) = a f (t) dt + C. Setzen wir x = a, so erhalten wir C = F (a) und Gl. (6.16) durch Einsetzen von x = b. ⊓ ⊔

III.6 Differenzierbare Funktionen 261 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Satz 6.11 Lagrange

Satz 5.10R Existenz

Satz 6.10 Rolle

R cBem. R b5.13R c a

=

a

+

Satz 6.4 f ′ > 0 ⇒ ...

b

RSatz 5.14 R f≤

g

Satz 1.6 lim ↔≤ Satz 1.5 lim ↔ +

Satz 5.17 Mittelwert

Satz 3.5 Zwischenwert

Satz 1.12 ∃ sup

Satz 4.5 Gleichm. Stet.

Satz 3.6 Max, Min

Satz 1.17 Bolz. Weier.

Satz 3.3 stet. Funk.

Satz 1.8 Cauchy Folg. konv.

Def. der reellen Zahlen, Def. des Limes, Logik ABB. 6.3. Stammbaum des Hauptsatzes

Abb. 6.3 zeigt den beeindruckenden Stammbaum der Sätze, die wir für einen strengen Beweis des Hauptsatzes verwendet haben. Hätte Leibniz von diesem Diagramm gewusst, hätte er vielleicht nicht den Mut gehabt, den Hauptsatz zu formulieren und zu benutzen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung“ erlaubt es uns, Sätze ” der Differentialrechnung (Abschnitt III.6) als Sätze der Integralrechnung (Abschnitt III.5) zu formulieren und umgekehrt. Diese Eigenschaft wurde bereits in Abschnitt II.4 an verschiedenen Stellen ausgenutzt. Die Substitutionsregel der Integration (Gl. (II.4.14)) und die partielle Integration (Gl. (II.4.20)) basieren hierauf und haben nun ein sicheres Fundament. Man muss nur voraussetzen, dass die betrachteten Funktionen stetig sind, so dass ihre Integrale existieren.


Die Regeln von de L’Hospital . . . ganz u¨ ber dem unnützen Ruhm, den die Mehrzahl der Wissenschaftler so gierig sucht . . . (Fontenelles Meinung u¨ ber Guillaume-François-Antoine de L’Hospital, Marquis de SainteMesme et du Montellier, Comte d’Antremonts, Seigneur d’Ouques, 1661– 1704) Desweiteren bekenne ich, dass ich den Einsichten der Bernoulli-Brüder sehr viel verdanke, insbesondere dem jüngeren, der derzeit Professor in Groningen ist. Ich habe mich ihrer Entdeckungen ohne Scham bedient. . . . (de L’Hospital 1696)

Wir beginnen mit folgender Verallgemeinerung des Satzes 6.11 von Lagrange. (6.14) Satz (Cauchy 1821). Es seien f : [a, b] → R und g : [a, b] → R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Falls g ′ (x) 6= 0 für alle a < x < b gilt, so ist g(b) 6= g(a) und es gibt ein ξ ∈ (a, b) mit f (b) − f (a) f ′ (ξ) = ′ . g(b) − g(a) g (ξ)

(6.17)

Beweis. Zunächst stellen wir fest, dass nach dem Satz von Rolle g(b) 6= g(a) gilt, da g ′ (ξ) 6= 0 für alle ξ ∈ (a, b) ist. Dann bemerken wir, dass sich für g(x) = x die Aussage auf Satz 6.11 zurückführen lässt. Lassen wir uns vom Beweis dieses Satzes inspirieren und ersetzen (6.15) durch f (b) − f (a) (6.18) h(x) = f (x) − f (a) + g(x) − g(a) . g(b) − g(a) Die Voraussetzungen des Satzes 6.10 von Rolle sind erfüllt und folglich gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit h′ (ξ) = 0. Dies ist a¨ quivalent zu (6.17) ⊓ ⊔ Problem. Nehmen wir an, wir wollen den Grenzwert eines Quotienten f (x)/g(x) berechnen. Falls beide Funktionen f (x) und g(x) für x → b gegen 0 oder ∞ streben, so sind wir mit unbestimmten Ausdrücken der Form 0 ∞ oder 0 ∞ konfrontiert. Die folgenden Sätze und Beispiele zeigen uns, wie man mit solchen Situationen umgehen kann. (6.15) Satz (Joh. Bernoulli 1691/92, de L’Hospital 1696). Es seien f : (a, b) → R und g : (a, b) → R differenzierbar auf (a, b) und es gelte g ′ (x) 6= 0 für alle a < x < b. Falls (6.19)

lim f (x) = 0

x→b−

und

lim g(x) = 0

x→b−

erfüllt sind, und falls lim f ′ (x)/g ′ (x) = λ existiert, so ist x→b−

(6.20)

f (x) f ′ (x) = lim ′ . x→b− g(x) x→b− g (x) lim


Beweis. Die Existenz des Grenzwertes von f ′ (x)/g ′ (x) für x → b− bedeutet, dass zu jedem gegebenen ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass gilt: (6.21)

f ′ (ξ) − λ < ε ′ g (ξ)

für

b − δ < ξ < b.

Für u, v ∈ (b − δ, b) folgt dann aus Satz 6.14: (6.22)

f (u) − f (v) f ′ (ξ) − λ = ′ − λ < ε. g(u) − g(v) g (ξ)

In dieser Formel lassen wir nun v → b− streben, benutzen (6.19), und erhalten |f (u)/g(u) − λ| ≤ ε für b − δ < u < b. Damit ist (6.20) bewiesen. ⊓ ⊔ (6.16) Bemerkung. Mit kleinen Modifikationen am Beweis findet man, dass – der Satz auch für b = +∞ gilt; – der Satz auch für λ = +∞ oder λ = −∞ gilt; und – der Satz auch für den Grenzwert x → a+ gilt. (6.17) Satz. Unter den Voraussetzungen von Satz 6.15 gilt (6.20) auch dann, wenn (6.19) ersetzt wird durch (6.23)

lim f (x) = ∞

x→b−

Beweis. Wir multiplizieren (6.22) mit (6.24)

und

lim g(x) = ∞.

x→b−

g(v) − g(u) g(u) = 1− , was uns g(v) g(v)

f (v) − f (u) g(u) g(u) −λ 1− < ε 1 − g(v) g(v) g(v)

liefert. Wir wollen nun den Ausdruck |f (v)/g(v) − λ| auf der linken Seite frei stellen. Hierzu verwenden wir die abgewandelte Dreiecksungleichung |A|−|B| ≤ |A − B| (bzw. |A| ≤ |A − B| + |B|) und finden f (v) g(u) f (u) − λg(u) − λ < ε 1 − + . g(v) g(v) g(v)

Nun halten wir u fest und lassen v → b− streben. Aufgrund von (6.23) strebt dann der rechtsseitige Ausdruck gegen ε. Daher ist |f (v)/g(v) − λ| < 2ε, sobald v genügend nahe an b ist. Dies beweist die Behauptung. ⊓ ⊔ Beispiele. Der Quotient der Funktionen f (x) = sin x und g(x) = x liefert für x → 0 den unbestimmten Ausdruck 0/0. Mit Satz 6.15 berechnen wir nun: (6.25)

lim

x→0

sin x cos x = lim = 1. x→0 x 1


Offenbar müssen die Gleichungen dabei von rechts nach links gelesen werden: Nur weil limx→0 cos x = 1 existiert, existiert auch limx→0 sin x/x und ist 1. Jetzt betrachten wir f (x) = eαx (α > 0) und g(x) = xn , die beide für x → ∞ gegen ∞ streben. Wiederholte Anwendung von Satz 6.17 (und Bemerkung 6.16) zeigt uns: (6.26)

eαx αeαx α2 eαx αn eαx = lim = lim = . . . = lim = ∞. x→∞ xn x→∞ n xn−1 x→∞ n(n − 1)xn−2 n! Damit ist bewiesen, dass die Exponentialfunktion eαx (für x → ∞) schneller anwächst als jedes Polynom. Für a > 0 erhalten wir aus Satz 6.17 und Bemerkung 6.16: lim

ln x 1/x 1 = lim = lim = 0. a a−1 x→∞ x→∞ x ax axa Folglich wächst jedes nicht-konstante Polynom schneller als jeder Logarithmus. Unbestimmte Ausdrücke der Form (6.27)

lim

x→∞

oder

0·∞

00

oder

∞0

können wie in den folgenden Beispielen behandelt werden:

ln x 1/x = lim = lim (−x) = 0, 1/x x→0+ −1/x2 x→0 (6.29) lim xx = lim exp(x ln x) = exp lim x ln x = exp(0) = 1, x→0+ x→0+ x→0+ √ ln x (6.30) lim x x = lim x1/x = exp lim = exp(0) = 1. x→∞ x→∞ x→∞ x In den letzten beiden Beispielen haben wir die Stetigkeit der Exponentialfunktion eingesetzt. (6.28) lim (x · ln x) = lim x→0+

x→0+

Ableitungen einer unendlichen Reihe Wo ist bewiesen, dass man die Ableitung einer unendlichen Reihe dadurch erhält, dass man die Ableitung für jeden Term berechnet? (Abel, Janv. 16, 1826, Oeuvres, Band 2, S. 258)

Die termweise Differentiation einer unendlichen Reihe wird durch den folgenden Satz gerechtfertigt. (6.18) Satz. Es sei fn : (a, b) → R eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen. Falls i) lim fn (x) = f (x) auf (a, b) ist und n→∞

ii)

lim fn′ (x) = p(x) ist, wobei die Konvergenz auf (a, b) gleichmäßig ist,

n→∞

dann ist f (x) auf (a, b) stetig differenzierbar und für alle x ∈ (a, b) gilt (6.31)

lim f ′ (x) n→∞ n

= f ′ (x).


Beweis. Wie wir leicht erraten können, ist die Hauptzutat“ für diesen Beweis ” (abgesehen vom Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Satz 5.19 u¨ ber die Vertauschbarkeit von Grenzwerten mit Integralen. Wir halten x0 ∈ (a, b) fest. Da {fn′ (x)} auf (a, b) gleichmäßig konvergiert, finden wir Z x Z x p(t) dt = lim fn′ (t) dt = lim fn (x) − fn (x0 ) = f (x) − f (x0 ). x0

n→∞

n→∞

x0

Nach Satz 6.9 zeigt dies, dass p(x) = f ′ (x) ist, und dass (6.31) gilt. Die Stetigkeit von f ′ (x) folgt aus Satz 4.2. ⊓ ⊔ 2

n=1

−1

0

n=1

1

n=2 1

−2

n=2 0

2

−1 −2 ABB. 6.4. Gleichmäßige Konvergenz mit lim fn′ 6= (lim fn )′

(6.19) Gegenbeispiele. Die Funktionen (siehe Abb. 6.4) (6.32)

fn (x) =

x 1 + n 2 x2

und

fn (x) =

1 sin(nx) n

zeigen, dass Voraussetzung (i) alleine (selbst unter gleichmäßiger Konvergenz) nicht ausreicht, um (6.31) zu beweisen.

¨ Ubungen 6.1 Gegeben sei eine positive ganze Zahl n. Wir definieren fn : R → R durch fn (x) =

xn sin(1/x3 ) 0

falls x 6= 0, falls x = 0.

Wie oft ist fn differenzierbar und welche der Ableitungen von fn sind stetig? 6.2 Zeigen Sie auf zwei verschiedene Weisen (nämlich unter Verwendung von (6.11), sowie der Formulierung (6.6) von Carathéodory), dass, falls f (x) bei x0 differenzierbar ist mit g(x0 ) 6= 0, die Funktion 1/g(x) ebenfalls bei x0 differenzierbar sein muss.

266 III. Grundlagen der klassischen Analysis 1,00 0,75 0,50 0,25

0

1/3

2/3

1

ABB. 6.5. Die Teufelstreppe

6.3 Zeigen Sie, dass die Funktion x · 2 − cos(ln x) − sin(ln x) f (x) = 0

0<x≤1 x = 0,

auf [0, 1] anwachsend ist, jedoch dass es unendlich viele Punkte gibt mit f ′ (ξ) = 0. Steht dies im Widerspruch zu Gl. (6.14)? Ist f (x) im Ursprung differenzierbar? 6.4 a) Es sei h : [a, b] → R stetig auf [a, b] und n-fach differenzierbar auf (a, b). Zeigen Sie, dass, falls h(x) mindestens n + 1 Nullstellen in [a, b] hat, ein ξ ∈ (a, b) existiert mit h(n) (ξ) = 0. Hinweis. Wenden Sie den Satz von Rolle mehrfach an. b) Setzen Sie h(x) = f (x)−p(x), wobei p(x) das Interpolationspolynom mit a¨ quidistanten Stützpunkten ist (siehe Gl. (II.2.6)) und stellen Sie fest, dass für eine n-fach differenzierbare Funktion f (x) (siehe Gl. (II.2.7) gilt: (6.33)

∆n y 0 = f (n) (ξ). ∆xn

6.5 Die Funktion in Abb. 6.5, oftmals Teufelstreppe“ genannt, zeigt, dass der ” Satz von Lagrange (siehe Korollar 6.12a) nicht so trivial ist, wie er erscheinen mag. Stellen wir x in Basis 3 dar, also z.B. x = 0,20220002101220 . . . , so erhalten wir f (x) in Basis 2, indem wir jede 2“, die vor der ersten 1“ er” ” scheint, durch eine 1“ ersetzen, und alle Ziffern hinter der ersten 1“ entfer” ” nen, in unserem Beispiel also f (x) = 0,101100011. Insbesondere ist f (x) = 12 für x ∈ 13 , 23 , f (x) = 14 für x ∈ 19 , 29 , f (x) = 34 für x ∈ 79 , 89 . Zeigen Sie, dass diese Funktion stetig und nicht-fallend ist. Sie ist auf einer Menge vom Maß 1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + . . . = 1 differenzierbar mit Ableitung f ′ (x) = 0; man sagt, fast u¨ berall. Dennoch ist f (0) 6= f (1).


6.6 Berechnen Sie mit der Regel von de L’Hospital (und mittels Logarithmen) 1 x lim 1 − . x→∞ x 6.7 (Näherungsweise Bestimmung der Bogenlänge auf einem Kreis). Gegeben sei ein Kreis vom Radius 1. Für einen Punkt M auf dem Kreis sei N derjenige Punkt auf der Tangente an O, für den N O = arc M O gilt. Berechnen Sie die Position desjenigen Punktes P auf dem senkrechten Durchmesser OC, der auf einer Linie mit N und M liegt (siehe Abb. 6.6). Wo ist die Grenzposition für P , wenn α gegen Null strebt? N

M

O

α

C

2

P

ABB. 6.6. Näherungsweise Bestimmung der Bogenlänge auf einem Kreis

Bemerkung. Die Antwort lautet 3“. Wenn man also P exakt auf den Punkt ” x = 3 positioniert, so ist N O eine ausgezeichnete Näherung für arc M O. 6.8 Betrachten Sie die Folge fn (x) =

r

1 + x2 n2

n = 1, 2, 3, 4, . . . .

Zeigen Sie, dass fn (x) auf [−1, 1] gleichmäßig gegen eine Funktion f (x) konvergiert. Ist f (x) differenzierbar? Für welche Werte von x ist lim fn′ (x) = f ′ (x) ?

n→∞


III.7 Potenzreihen und Taylorreihen Nach einem wissenschaftlichen Treffen, auf dem Cauchy seine Theorie der Reihenkonvergenz vorgestellt hatte, eilte Laplace nach Hause und zog sich zurück, bis er die Reihen in seiner Mécanique céleste untersucht hatte. Glücklicherweise stellte sich jede von ihnen als konvergent heraus. (M. Kline 1972, S. 972)

Es sei c0 , c1 , c2 , c3 , . . . eine Folge reeller Koeffizienten und x eine unabhängige Variable. Dann nennen wir (7.1)

∞ X

cn xn = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + . . .

n=0

eine Potenzreihe. In diesem Abschnitt wollen wir die Menge derjenigen Werte für x untersuchen, für die die Reihe (7.1) konvergiert. Wir studieren auch die Eigenschaften der Funktion, die durch (7.1) beschrieben wird (Stetigkeit, Ableitung, Stammfunktion). (7.1) Lemma. Angenommen, die Reihe (7.1) konvergiert für ein bestimmtes x e. Dann konvergiert sie auch für alle x mit |x| < |e x|. Desweiteren konvergiert die Reihe (7.1) für jedes η mit 0 < η < |e x| absolut und gleichmäßig auf dem Intervall [−η, η]. P Beweis. Die Konvergenz der Reihe cn x en impliziert, dass die Folge {cn x en } n beschränkt ist (siehe Gl. (2.3) und Satz 1.3), d.h. es gibt ein B ≥ 0 mit |cn x e |≤B für alle n ≥ 0. Daher finden wir für |x| ≤ η : η n η mit q= < 1. |cn xn | ≤ |cn |ηn = |cn x en | · ≤ Bq n x e |e x| P Nach Satz 2.5 folgt hieraus die Konvergenz und absolute Konvergenz von cn xn . Die gleichmäßige Konvergenz folgt aus Satz 4.3. ⊓ ⊔ (7.2) Definition. Wir setzen (7.2)

P∞ ̺ = sup |x| ; n=0 cn xn konvergiert

und nennen ̺ den Konvergenzradius der Reihe (7.1). Wir setzen desweiteren ̺ = ∞, falls (7.1) für alle reellen x konvergiert. (7.3) Satz. Die Reihe (7.1) konvergiert für alle x mit |x| < ̺, divergiert für alle x mit |x| > ̺, und wir finden gleichmäßige Konvergenz auf jedem Intervall [−η, η] mit 0 < η < ̺. Beweis. Es sei x ein Wert mit |x| < ̺. Dann gibt es ein x e mit |x| < |e x| < ̺, so dass (7.1) für x e konvergiert (man setze ε = (̺ − |x|)/2 in Definition 1.11). Nach Lemma 7.1 finden wir dann für x Konvergenz. Die gleichmäßige Konvergenz auf [−η, η] sieht man auf dieselbe Weise. ⊓ ⊔

III.7 Potenzreihen und Taylorreihen 269

Dieser Satz sagt nichts aus u¨ ber die Konvergenz bei x = −̺ und x = ̺. Tatsächlich kann an diesen Punkten alles passieren, wie wir im folgenden Beispiel sehen werden. (7.4) Beispiel. Die Reihe (7.3)

∞ X xn x x2 x3 x4 = α + α + α + α +... α n 1 2 3 4 n=1

ist (abgesehen vom ersten Term; Beispiel 2.2) für α = 0 schlicht die geometrische Reihe, reduziert sich für α = 1 auf −ln(1 − x) (siehe Gl. (I.3.14)), und wird für α = 2 zu Eulers Dilogarithmus“ (Euler 1768, Inst. Calc. Int., Sectio Prima, Ca” put IV, Exemplum 2). Unabhängig von α beträgt der Konvergenzradius von (7.3) stets ̺ = 1 (siehe Beispiel 7.6 unten). Für α = 0 divergiert die Reihe an beiden Enden des Konvergenzintervalls. Für α = 1 finden wir eine Divergenz nur bei x = +1 (harmonische Reihe), aber Konvergenz bei x = −1 (nach dem LeibnizKriterium). Für α = 2 konvergiert die Reihe sowohl für x = +1 als auch x = −1 (siehe Lemma 2.6).

Bestimmung des Konvergenzradius Die folgenden Sätze liefern nützliche Formeln für die Berechnung von Konvergenzradien. (7.5) Satz (Cauchy 1821). Falls lim |cn /cn+1 | existiert (oder ∞ ist), so gilt: n→∞

(7.4)

c n ̺ = lim . n→∞ cn+1

Beweis. Wir wenden das Quotientenkriterium 2.10 auf die Reihe cn xn an. Wegen

P

n

an mit an =

a c c c . n+1 n+1 xn+1 n+1 n lim = |x| lim = |x| lim = lim n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ cn+1 an cn xn cn

konvergiert die Reihe (7.1) im Fall |x| < lim |cn /cn+1 |. Für |x| > lim |cn /cn+1 | divergiert sie. Daraus folgt Gl. (7.4). ⊓ ⊔ (7.6) Beispiele. Setzen wir cn = 1/nα in Reihe (7.3) ein, so gilt |cn /cn+1 | = (1+1/n)α → 1 für n → ∞. Daher ist der Konvergenzradius ̺ = 1. Analog finden wir für die Binomialreihe für (1+x)a (Satz I.2.2) |cn /cn+1 | = (n+1)/|a−n| → 1 und ̺ = 1. Für die Reihenentwicklungen von ex (siehe Satz I.2.3), sin x und cos x (siehe Gleichungen (I.4.16) und (I.4.17)) haben wir die Konvergenz bereits für alle


reellen x bewiesen (Abschnitt III.2). Folglich sind ihre Konvergenzradien ̺ = ∞. Ein Beispiel für eine Reihe mit ̺ = 0 ist 1 + x + 2! x2 + 3! x3 + 4! x4 + . . . . Hier ist cn = n! und |cn /cn+1 | = 1/(n + 1) → 0. Die Formel aus Satz 7.5 lässt sich nicht direkt auf die Reihe (7.5)

arctan x = x −

x3 x5 x7 + − +... 3 5 7

anwenden, da |cn /cn+1 | abwechselnd die Werte 0 und ∞ annimmt. Wenn wir durch x teilen und x2 durch P die neue Variable z ersetzen, dann wird die durch x dividierte Reihe (7.5) zu n cn z n mit cn = (−1)n /(2n + 1). Für diese Reihe finden wir ̺ = 1 nach Satz 7.5. Infolgedessen konvergiert die Reihe (7.5) für |x2 | < 1 (also |x| < 1) und es ist ̺ = 1. Während Gl. (7.4) noch die Existenz des Grenzwertes benötigt, gilt das ¨ nächste Resultat ohne Einschränkungen (siehe auch Ubung 7.1 unten). (7.7) Satz (Hadamard 1892). Der Konvergenzradius der Reihe (7.1) beträgt (7.6)

̺=

1 lim sup n→∞

p . n |cn |

Beweis. Wir wenden das Wurzelkriterium 2.11 auf die Reihe cn xn an. Damit ist p p lim sup n |an | = |x| · lim sup n |cn | n→∞

P

n an

mit an =

n→∞

und wir sehen, dass die Reihe (7.1) p für |x| < 1/ lim sup divergiert für |x| > 1/ lim sup n |cn |.

p n |cn | konvergiert. Sie ⊓ ⊔

Stetigkeit Es sei D der Konvergenzbereich, definiert als (7.7) D = x | Reihe (7.1) konvergiert ,

womit die Reihe (7.1) eine Funktion f : D → R beschreibt, die ihrerseits gegeben ist durch ∞ X (7.8) f (x) = cn xn für x ∈ D. n=0

Aus der gleichmäßigen Konvergenz auf [−η, η] für jedes 0 < η < ̺ (siehe Sätze 7.3 und 4.2) schließen wir, dass f (x) auf dem offenen Intervall (−̺, ̺) eine stetige Funktion ist. Der folgende berühmte Satz von Abel behandelt die Frage der Stetigkeit an den Endpunkten des Konvergenzintervalls.


(7.8) Satz (Abel 1826). Angenommen, die Reihe (7.8) konvergiert für x0 = ̺ (oder für x0 = −̺). Dann ist die Funktion f (x) stetig bei x0 = ̺ (bzw. bei x0 = −̺).

Beweis. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass ̺ = 1 und x0 = +1 ist. Ansonsten strecken oder stauchen wir das Konvergenzintervall und kehren es gegebenenfalls um, indem wir x0 durch ±x0 /̺ ersetzen. Nach Voraussetzung finden wir Konvergenz bei x0 = 1 vor, daher folgt aus Lemma 2.3, dass für n ≥ N und k ≥ 1 gilt: (7.9)

|cn+1 + cn+2 + . . . + cn+k | < ε.

Nun sei x eine beliebige Zahl in [0, 1]. Dann finden wir für fn (x) = (7.10)

Pn

i i=0 ci x :

fn+k (x) − fn (x) = cn+1 xn+1 + cn+2 xn+2 + . . . + cn+k xn+k .

Falls alle ci ≥ 0 sind, so wird aus Gl. (7.9) offensichtlich, dass |fn+k (x) − fn (x)| < ε ist. Ansonsten spalten wir (7.10) etwas vorsichtiger auf (hier einmal für k = 4): cn+1 xn+4

+

cn+2 xn+4

+

cn+3 xn+4

+cn+4 xn+4

+cn+1 (xn+3 −xn+4 )+cn+2 (xn+3 −xn+4 )+cn+3 (xn+3 −xn+4 ) +cn+1 (xn+2 −xn+3 )+cn+2 (xn+2 −xn+3 ) +cn+1 (xn+1 −xn+2 )

¨ (diesen Prozess nennt man Abelsche partielle Summation, siehe Ubung 7.2). In jeder Spalte können wir nun einen gemeinsamen (positiven) Faktor xn+k , xn+k−1 − xn+k , . . . ausklammern und erhalten nach (7.9) und mittels der Dreiecksungleichung, dass |fn+k (x) − fn (x)| < ε · (xn+k + xn+k−1 −xn+k + . . . + xn+1 −xn+2 ) ≤ ε gleichmäßig auf [0, 1] erfüllt ist. Somit folgt die Stetigkeit von f (x) bei x0 = 1 aus Satz 4.2. ⊓ ⊔

Differentiation und Integration √ Da n n → 1 strebt für n → ∞ (siehe Gl. (6.30)), folgt aus Satz 7.7, dass die (termweise) abgeleiteten und integrierten Potenzreihen denselben Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe besitzen. Wir finden dann das folgende Resultat. P∞ n (7.9) Satz. Die Funktion f (x) = ur |x| < ̺ differenzierbar n=0 cn x ist f¨ (wobei ̺ der Konvergenzradius und ̺ > 0 ist) und es gilt: (7.11)

f ′ (x) =

∞ X

n=1

ncn xn−1 .


Die Funktion f (x) besitzt eine Stammfunktion auf (−̺, ̺), die gegeben ist durch: Z x ∞ X xn+1 (7.12) f (t) dt = cn . n+1 0 n=0 Beweis. Für 0 ≤ η < ̺ ist die Konvergenz der Reihe auf [−η, η] gleichmäßig (und natürlich auch auf (−η, η)). Sodann folgt aus Satz 6.18, dass die Funktion f (x) auch auf (−η, η) differenzierbar ist, und dass ihre Ableitung durch (7.11) gegeben ist. In a¨ hnlicher Weise folgt Gl. (7.12) aus Korollar 5.20. ⊓ ⊔ (7.10) Bemerkung. Falls die Reihe (7.1) konvergiert, beispielsweise bei x = ̺, so muss die abgeleitete Reihe (7.11) dort keineswegs auch konvergieren. Dies ist z.B. der Fall für α = 2 in Reihe (7.3). Die Konvergenz von (7.1) bei x = ̺ ¨ impliziert jedoch die Konvergenz von (7.12) bei x = ̺ (siehe Ubung 7.3). Mit Satz 7.8 sehen wir damit, dass die Identität (7.12) für alle x ∈ D erfüllt ist. (7.11) Beispiel. Die geometrische Reihe (Beispiel 2.2) besitzt den Konvergenzradius ̺ = 1. Termweise Integration, Satz 7.9 und die Definition des ln (siehe Abschnitt I.3) liefern dann für x ∈ (−1, 1) Z x dt x2 x3 x4 x5 (7.13) ln(1 + x) = =x− + − + − ... . 2 3 4 5 0 1+t Desweiteren konvergiert Reihe (7.13) für x = 1 und nach Satz 7.8 erhalten wir somit abermals ln 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + . . . , dieses Mal aber mit strengen Mitteln.

Taylorreihen . . . und um die Größe des Restes dieser Reihe abzuschätzen. Dieses Problem, eines der wichtigsten in der Theorie der Reihen, wurde bislang nicht gelöst . . . (Lagrange 1797, Oeuvres, Band 9, S. 42–43, 71)

Im Jahr 1797 (zweite Auflage 1813) schrieb Lagrange eine ganze Abhandlung, in der er die Taylorreihenentwicklung von Funktionen (siehe Gl. (II.2.8)), (7.14)

f (x) =

∞ X (x − a)i i=0

i!

f (i) (a),

als Grundlage der Analysis nutzte. Dies erlaubte es ihm, so dachte er zumindest, unendlich kleine Größen, Grenzwerte und Fluxione aus dem Kalkül zu entfernen ( dégagés de toute considération d’infiniment petits, d’évanouissans, de limites ou ” de fluxions“). Dieser Traum währte jedoch gerade mal 25 Jahre. Betrachten wir x − a als neue Variable, so ist die obige Reihe von der Form (7.1) und die vorigen Resultate u¨ ber die Konvergenz der Reihe lassen sich anwenden. Das erste Problem besteht darin, dass es unendlich oft ableitbare Funktionen


¨ gibt, für die die Reihe (7.14) für kein x 6= a konvergiert (siehe Ubung 7.6 unten). Aber selbst die Konvergenz der Reihe (7.14) bedeutet nicht zwangsläufig, dass die Identität (7.14) gilt, wie wir im folgenden Gegenbeispiel sehen werden. (7.12) Gegenbeispiel. . . . Taylors Formel, die nicht länger als allgemein gültig betrachtet werden kann . . . (Cauchy 1823, Résumé, S. 1)

f ′′/2

−3

−2

−1

0

f

f′

1

0

1

−1

2

3

f ′′′/6 2

ABB. 7.1. Graph der Funktion e−1/x und ihrer Ableitungen

Cauchy (1823) betrachtete die Funktion −1/x2 e (7.15) f (x) = 0

falls x 6= 0

falls x = 0,

welche u¨ berall stetig ist. Diese Funktion ist im Ursprung so ungeheuer flach (siehe Abb. 7.1), dass für alle i die i-ten Ableitungen f (i) (0) = 0 sind. Tatsächlich folgt aus den Ableitungsregeln (für x 6= 0) 6 2 2 2 4 f ′ (x) = 3 · e−1/x , f ′′ (x) = − 4 + 6 · e−1/x x x x 2

und wir sehen, dass f (i) (x) ein Polynom in 1/x ist, multipliziert mit e−1/x . Da 2 die Funktionen x−n e−1/x für alle n und x → 0 gegen Null streben (siehe die Beispiele nach Satz 6.17), gilt f (i) (x) → 0 für x → 0. Da sogar f (i) (x)/x → 0 für x → 0 ist, bedeutet dies f (i+1) (0) = limh→0 f (i) (h)/h = 0. Doch damit ist die Taylorreihe der Funktion f (x) in (7.15) einfach 0 + 0 + 0 + . . . und konvergiert offensichtlich für alle x. Nach Formel (7.14) ist sie jedoch falsch für alle x 6= 0. Um nun Gl. (7.14) für bestimmte Funktionen zu etablieren, müssen wir Partialsummen der Taylorreihen betrachten und ihre Restglieder bestimmen. Eine nützliche Formel haben wir in diesem Zusammenhang bereits am Ende von Abschnitt II.4 hergeleitet. Sie ist in folgendem Satz zusammengefasst.


(7.13) Satz. f (x) sei k + 1-fach stetig differenzierbar auf [a, x] (oder auf [x, a] falls x < a). Dann gilt: f (x) =

k X (x − a)i

i!

i=0

f (i) (a) +

Z

a

x

(x − t)k (k+1) f (t) dt. k!

⊓ ⊔

Die binomische Reihe. . . . aber derjenige Artikel, der mir am meisten Freude bereitet . . . u¨ ber die einfache Reihe m(m − 1) 2 1 + mx + x + ... 2 Ich wage zu behaupten, dass dies der erste strenge Beweis für die binomische Formel ist . . . (Abel, Brief an Holmboe 1826, Oeuvres, Band 2, S. 261)

Ein strenger Beweis des binomischen Lehrsatzes (1 + x)a = 1 + ax +

(7.16)

a(a − 1) 2 a(a − 1)(a − 2) 3 x + x + ... 2! 3!

für |x| < 1 und beliebige a wurde zuerst von Abel im Jahr 1826 gesucht. Ein Beweis auf der Basis der Taylorreihen findet sich in der Vorlesung von Weierstraß von 1861 (siehe Weierstraß 1861). Setzen wir f (x) = (1 + x)a und berechnen die Ableitungen f ′ (x) = a(1 + a−1 x) , f ′′ (x) = a(a − 1)(1 + x)a−2 , . . . , so stellen wir fest, dass die Reihe (7.16) einfach die Taylorreihe von f (x) = (1 + x)a ist. Ihr Konvergenzradius wurde in Beispiel 7.6 als ̺ = 1 berechnet. Um nun die Gleichheit (7.16) für |x| < 1 zu beweisen, müssen wir zeigen, dass das Restglied (siehe Satz 7.13) (7.17)

Rk (x) =

Z

0

x

(x − t)k a(a − 1) · . . . · (a − k)(1 + t)a−k−1 dt k!

für k → ∞ gegen Null konvergiert. Benutzen wir Satz 5.17 und setzen ξ = θk x mit 0 < θk < 1, so erhalten wir (x − θk x)k a(a − 1) · · · (a − k)(1 + θk x)a−k−1 · x k! k (a − 1)(a − 2) · · · (a − k) k 1 − θk = ·x · · (1 + θk x)a−1 · ax. k! 1 + θk x

Rk (x) =

Der Faktor ax ist eine Konstante; (1 + θk x)a−1 liegt zwischen (1 + x)a−1 und 1 und ist beschränkt; wegen 0 < 1 − θk < 1 + θk x für alle x mit |x| < 1 ist auch k der Faktor (1 − θk )/(1 + θk x) durch 1 beschränkt. Da der verbleibende Faktor (a − 1)(a − 2) · · · (a − k) k ·x k!


für |x| < 1 der allgemeine Term einer konvergenten Reihe ist, strebt er nach (2.3) gegen Null. Folglich ist Rk (x) → 0 für k → ∞ und die Identität (7.16) ist für |x| < 1 bewiesen. Wann immer die Reihe (7.16) für x = +1 oder x = −1 konvergiert, beschreibt sie eine stetige Funktion und enstpricht also auch (1 + x)a an diesen Punkten (Satz 7.8). Abschätzung des Restgliedes ohne Integralrechnung. Die Versuche Lagranges (1797), das Restglied in der Taylorformel zu berechnen, wurden von den folgenden eleganten Formeln gekrönt ( ce théorème nouveau et remarquable par sa ” simplicité et sa généralité . . .“): f (x) = f (a) + (x−a)f ′ (ξ) (7.18)

(x−a)2 ′′ f (ξ) 2! (x−a)2 ′′ (x−a)3 ′′′ f (x) = f (a) + (x−a)f ′ (a) + f (a) + f (ξ), 2! 3! f (x) = f (a) + (x−a)f ′ (a) +

etc., wobei ξ eine unbekannte Zahl zwischen a und x ist. (7.14) Satz (Lagrange 1797). Es sei f (x) stetig auf [a, x] und k + 1-fach differenzierbar auf (a, x). Dann gibt es ein ξ ∈ (a, x) mit f (x) =

k X (x − a)i i=0

i!

f (i) (a) +

(x − a)k+1 (k+1) f (ξ). (k + 1)!

Bemerkung. Man kann diesen Satz aus Satz 7.13 mit Hilfe von Satz 5.18 erhalten. Aber wir wollen den folgenden eleganten Einfall von Cauchy den Lesern nicht ¨ vorenthalten. Für den Originalbeweis von Lagrange verweisen wir auf Ubung 7.8 unten. Beweis. Wir benutzen hier einen Ansatz von Cauchy (1823), schreiben das Restglied als (7.19)

Rk (x) = f (x) −

k X (x − a)i i=0

i!

f (i) (a)

und vergleichen es mit der Funktion Sk (x) = (x − a)k+1 /(k + 1)! . Es ist Rk (a) = 0, (i)

Rk′ (a) = 0,

...

(k)

, Rk (a) = 0

und analog Sk (a) = 0 für i = 0, 1, . . . , k. Wenden wir nun Satz 6.14 wiederholt an, so finden wir


Rk (x) − Rk (a) R′ (ξ1 ) R′ (ξ1 ) − Rk′ (a) Rk (x) = = ′k = k′ Sk (x) Sk (x) − Sk (a) Sk (ξ1 ) Sk (ξ1 ) − Sk′ (a) (k+1)

(7.20)

=

Rk (ξk+1 ) Rk′′ (ξ2 ) Rk′′ (ξ2 ) − Rk′′ (a) = = . . . = (k+1) , ′′ ′′ ′′ Sk (ξ2 ) Sk (ξ2 ) − Sk (a) Sk (ξk+1 )

wobei ξ1 zwischen x und a liegt, ξ2 zwischen ξ1 und a und so weiter. Da (k+1) (k+1) Sk (x) = 1 und Rk (x) = f (k+1) (x) ist, folgt aus (7.20), dass Rk (x) = Sk (x) · f (k+1) (ξ) mit ξ = ξk+1 gilt. Damit ist der Beweis des Satzes vollständig.

⊓ ⊔

¨ Ubungen 7.1 Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe f (x) = 1 + 2x + x2 + 2x3 + x4 + 2x5 + . . . und zeigen Sie, dass Satz 7.5 nicht anwendbar ist, Satz 7.7 aber sehr wohl. 7.2 (Partielle Summation, Abel 1826). Es seien {an} und {bn } zwei Folgen. Beweisen Sie N X

n=0

an bn =

N X

n=0

An (bn − bn+1 ) + AN bN +1 − A−1 b0 ,

wobei A−1 = α eine beliebige Konstante und An = α + a0 + a1 + . . . + an ist. Hinweis. Benutzen Sie die Gleichung an bn = (An − An−1 )bn = An (bn − bn+1 ) − An−1 bn + An bn+1 . 7.3 Betrachten Sie die Reihen ∞ X

n=1

cn

und

∞ X cn . n n=1

Beweisen Sie, dass die Konvergenz der ersten Reihe die Konvergenz der zweiten Reihe bedingt. Im Beweis werden Sie dabei auf ein Problem stoßen, das dem im Beweis von Satz 7.8 a¨ hnelt, und das mit einer a¨ hnlichen Idee ¨ gelöst werden kann (partielle Summation, siehe vorhergehende Ubung).


7.4 Untersuchen Sie die Konvergenz der Newton-Gregory-Reihe arcsin(x) = x +

1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · 5 x7 + + +... 2 3 2·4 5 2·4·6 7

für x = 1 und x = −1. Hinweis. Das Wallissche Produkt erweist sich als nützlich, wenn man das asymptotische Verhalten der Koeffizienten verstehen möchte. 7.5 Es sei D ′ der Konvergenzbereich der Reihe in Gleichung (7.11). Zeigen Sie, dass die Identität in Gl. (7.11) für alle x ∈ D′ erfüllt ist. 7.6 Unendlich oft differenzierbare Funktion, deren Taylorreihe nicht konvergiert (siehe Lerch 1888, Pringsheim 1893); zeigen Sie, dass die Reihe

cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x + + + +... 1! 2! 3! 4! und alle ihre Ableitungen gleichmäßig in R kon- −1

1

f (x) =

0 0

1

vergieren. Zeigen Sie, dass ihre Taylorreihe im Ursprung f (0) + f ′ (0)x + . . . = (e − 1) −

e4 − 1 2 e16 − 1 4 e64 − 1 6 x + x − x +... 2! 4! 6!

ist und für alle x 6= 0 divergiert. Dennoch erweisen sich zur Berechnung von beispielsweise f (0,01) (korrekter Wert f (0,01) = 1,71572953) die ersten zwei Glieder der Reihe als nützlich. Warum? 7.7 Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe (7.16) für x = 1 und x = −1. 7.8 Folgen Sie den Fußspuren Lagranges und finden Sie die Formeln (7.18) durch Einsatz eines, wie wir heute sagen würden, Homotopie-Arguments“. ” Hinweis. Definieren Sie (7.21) f (x) = f (x − zx) + zxf ′ (x − zx) +

z 2 x2 ′′ x3 f (x − zx) + R(z), 2! 3!

wobei z eine Variable zwischen 0 und 1 ist, und wobei x als feste Konstante angesehen wird. Wählen Sie z = 0, so finden Sie R(0) = 0, und für z = 1 sehen Sie, dass (x3 /3!)R(1) der Fehlerterm ist, nach dem Sie suchen. Leiten Sie nun (7.21) bezüglich z ab mit dem Ergebnis R′ (z) = 3z 2 f ′′′ (x − zx) . Integrieren Sie dies nun von 0 bis 1 und wenden Sie Satz 5.18 an. P P 7.9 (Abel 1826). Zeigen Sie, dass, falls die Reihen i ai , j bj und ihr CauchyProdukt konvergieren, Gleichung (2.19) gilt. Hinweis. Wenden P Sie den Satz 7.8 von P Abel auf die Funktion f (x) · g(x) an, wobei f (x) = i ai xi und g(x) = j bj xj ist.


III.8 Uneigentliche Integrale Rb Die Theorie des Riemann-Integrals a f (x) dx in Abschnitt III.5 basiert auf den Annahmen, dass [a, b] ein endliches Intervall und die Funktion f (x) auf diesem Intervall beschränkt ist. Wir wollen zeigen, wie man diese Beschränkungen umgehen kann. Sofern zumindest eine dieser zwei Annahmen verletzt ist, sprechen wir von einem uneigentlichen Integral.

Beschränkte Funktionen auf unendlichen Intervallen (8.1) Definition. Es sei f : [a, ∞) → R auf jedem Intervall [a, b] mit b > a integrierbar. Falls der Grenzwert Z ∞ Z b f (x) dx := lim f (x) dx b→∞

a

a

existiert, dann sagen wir, dass f (x) auf [a, ∞) integrierbar und konvergentes Integral ist.

R∞ a

f (x) dx ein

Nur Feiglinge machen den allgemeinen Fall. Wahre Lehrer lösen Beispiele. (Parlett, siehe Math. Intelligencer, Band 14, Nr. 1, S. 35)

(8.2) Beispiele. Betrachten wir zunächst die Exponentialfunktion auf dem Intervall [0, ∞). Nach Definition 8.1 ist Z ∞ Z b b e−x dx = lim e−x dx = lim −e−x = lim (1 − e−b ) = 1. 0

b→∞

b→∞

0

0

b→∞

Sobald wir uns einmal an diese Definition gewöhnt haben, schreiben wir einfach Z ∞ ∞ (8.1) e−x dx = −e−x = 1. 0

0

Als nächstes betrachten wir die Funktion x auf [1, ∞): Z ∞ Z ∞ divergiert dx x1−α ∞ −α (8.2) = x dx = = α x 1−α 1 (α − 1)−1 1 1 −α

falls α < 1 falls α > 1 .

Für α = 1 lautet eine Stammfunktion ln x und das uneigentliche Integral divergiert. Aber wie können wir die Integrabilität auf [a, ∞) nachweisen, wenn wir keine Stammfunktion explizit kennen? (8.3) Lemma. Es sei f : [a, ∞) → R integrierbar auf jedem Intervall [a, b]. R∞ a) Falls |f (x)| ≤ g(x) für alle x ≥ a gilt und a g(x) dx konvergent ist, so ist R∞ auch a f (x) dx konvergent. R∞ b) Falls 0 ≤ g(x) ≤ f (x) für alle x ≥ a gilt und a g(x) dx divergent ist, so R∞ ist auch a f (x) dx divergent.

III.8 Uneigentliche Integrale 279

Beweis. Aussage (a) folgt aus dem Cauchy-Kriterium (Satz 3.12) in Verbindung R bb R bb R bb mit Satz 5.14, da | b f (x) dx| ≤ b |f (x)| dx ≤ b g(x) dx < ε für hinreichend große b < bb ist. Aussage (b) ist offensichtlich. ⊓ ⊔ (8.4) Beispiel. Für α > 0 betrachten wir die Funktion (1+xα )−1 auf dem Intervall [0, ∞). Wir spalten das Integral auf gemäß Z ∞ Z 1 Z ∞ dx dx dx (8.3) = + . α α 1+x 1 + xα 0 0 1+x 1 Das erste Integral ist eigentlich“. Für das zweite Integral benutzen wir die Ab” schätzungen 1 1 1 ≤ ≤ α für x ≥ 1. 2xα 1 + xα x Somit folgt aus Lemma 8.3 und Gl. (8.2), dass das Integral (8.3) für α > 1 konvergiert und für α ≤ 1 divergiert. 1

sin x x + 0

+ π

–

2π

3π

–

4π

+

ABB. 8.1. Graph von sin x/x

(8.5) Beispiel. Lassen Sie uns die Existenz des Integrals Z ∞ sin x (8.4) dx. x 0 untersuchen. Die Funktion f (x) = sin x/x ist bei x = 0 stetig, wenn man f (0) = 1 setzt, und bereitet uns somit keine Probleme an diesem R ∞Punkt. Die Abschätzung | sin x| ≤ 1 wäre für uns ohne Nutzen, da das Integral 1 x−1 dx divergiert. Aber der Graph von f (x) (siehe Abb. 8.1) zeigt, dass das Integral als alternierende Folge der Form a0 − a1 + a2 − a3 + . . . geschrieben werden kann, mit Z π Z 2π Z 3π sin x sin x sin x a0 = dx, a1 = − dx, a2 = dx, . . . . x x x 0 π 2π Diese Folge konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium (Satz 2.4). Die Bedingung ai+1 ≤ ai kann man mit Hilfe der Ersetzung x 7→ x − π verifizieren und ai → 0 folgt aus der einfachen Abschätzung 0 < ai ≤ 1/i.


(8.6) Satz (Maclaurin 1742). Es sei f (x) ≥ 0 eine nicht-steigende Funktion auf [1, ∞). Dann gilt: ∞ X

f (n)

konvergiert

Z

⇐⇒

n=1

∞

f (x) dx

konvergiert .

g

g

1

f g

1

g h

g h

0

1

2

h 3

h 4

h 5

6

ABB. 8.2. Majorante und Minorante für f (x)

Beweis. Es seien g(x) = f ([x]) und h(x) = f ([x] + 1) die Treppenfunktionen, die in Abb. 8.2 dargestellt sind (dabei steht [x] für die größte ganze Zahl, die nicht größer ist als x). Diese Funktionen sind auf endlichen Intervallen integrabel (Satz 5.11) und wir finden, weil f (x) monoton ist, dass h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) für alle x gilt. Folglich ist Z N N N −1 X X f (n) ≤ f (x) dx ≤ f (n) n=2

1

n=1

und die Behauptung folgt aus Satz 1.13, da f (x) ≥ 0 ist.

⊓ ⊔

Da Integrale sich oftmals leichter berechnen lassen als Summen, ist dieser Satz a¨ ußerst nützlich, will man die Konvergenz einer Reihe bestimmen. Beispielsweise liefert die Berechnung von Gl. (8.2) einen eleganten und neuen Beweis für Lemma 2.6. P Wenn wir untersuchen wollen, zwischen“ der divergenten Reihe 1/n P was ” und den konvergenten Reihen 1/nα (für α > 1) geschieht, werden wir auf das Studium der Reihen (8.5)

∞ X

1 n(ln n)β n=2

III.8 Uneigentliche Integrale 281

gelenkt (für große n und beliebige α > 1 und β > 0 ist n < n(ln n)β < nα nach Gl. (6.27)). Mit Hilfe der Transformation u = ln x finden wir Z ∞ Z ∞ dx du = β β x · (ln x) u 2 ln 2 und Satz 8.6 in Verbindung mit Gl. (8.2) beweist, dass die Reihe (8.5) für β > 1 konvergiert, für β ≤ 1 jedoch divergiert. Integrale von −∞ nach +∞. Es wäre unüberlegt, die Definition Z ∞ Z r (8.6) f (x) dx = lim f (x) dx r→∞

−∞

−r

zu treffen (selbst wenn der Grenzwert existiert). Diese Festlegung würde Unsinn hervorbringen, beispielsweise, wenn man die Transformationsformel (II.4.14) mit z = x + 1 (dz = dx) anwenden will. Nach obiger Definition wäre beispielsweise Z +∞ Z +∞ z dz = 0, aber (x + 1) dx = ∞. −∞

−∞

(8.7) Definition. Es sei f : R → R auf jedem beschränkten Intervall [a, b] integrierbar. Dann sagen wir, dass Z ∞ Z 0 Z ∞ f (x) dx := f (x) dx + f (x) dx −∞

0

−∞

existiert, wenn die beiden uneigentlichen Integrale der rechten Seite existieren. Die zwei Integrale Z ∞

−∞

dx 1 + x2

Z

und

∞

2

e−x dx

−∞

konvergieren im Sinne der Definition 8.7. Das erste strebt gegen π (eine Stammfunktion ist arctan x). Die Konvergenz des zweiten Integrals sieht man anhand 2 von Lemma 8.3 ein, wenn man e−x ≤ e−x für x ≥ 1 benutzt.

Unbeschränkte Funktionen auf endlichen Intervallen (8.8) Definition (Gauß 1812, §36). Falls f : (a, b] → R auf jedem Intervall der Form [a + ε, b] integrierbar ist, so schreiben wir Z

b

f (x) dx := lim

a

falls der Grenzwert existiert.

ε→0+

Z

b

a+ε

f (x) dx,


Diese Definition umfasst solche Fälle, in denen |f (x)| → ∞ strebt für x → a. Eine a¨ hnliche Definition ist möglich, wenn |f (x)| → ∞ strebt für x → b. Um die Integrabilität einer solchen Funktion zu prüfen, kann Lemma 8.3 problemlos angepasst werden. (8.9) Beispiele. Für die Funktion x−α gilt auf dem Intervall (0, 1]: (8.7) 1 Z 1 Z 1 divergiert falls α > 1 dx dx x1−α = lim = lim = (1 − α)−1 α α ε→0+ ε→0+ x x 1 − α falls α < 1. 0 ε ε

Der Fall α = 1 führt ebenfalls auf ein divergentes Integral. Damit ist die Hyperbel y = 1/x (also α = 1) der Grenzfall, mit unendlicher Fläche sowohl links (für 0 < x ≤ 1) als auch rechts (für x ≥ 1). Ist α auch nur geringfügig größer, wird die linke Fläche endlich, ist α dagegen kleiner als 1, so wird die rechte Fläche endlich. Das Integral Z 1 Z 1 sin x sin x 1 dx = · α−1 dx α x x x 0 0 konvergiert dann und nur dann, wenn α − 1 < 1, also α < 2, ist. Dies liegt darin begründet, dass f (x) = sin x/x bei Null stetig ist mit f (0) = 1.

Die Eulersche Gammafunktion Sein ganzes Leben lang hat sich Euler dafür interessiert, die Fakultät 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, . . . für nicht-ganze Zahlen zu interpolieren“. ” Er schrieb hierfür 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · x ( De Differentiatione Functionum Inexplica” bilium“, siehe 1755, Caput XVI in Inst. Calc. Diff., Opera, Band X). Schließlich fand er 1781 die Definition, die wir noch heute verwenden (und zwar vollständig explicabilium“): Man wende partielle Integration auf das folgende Integral an ” (mit u(x) = xn , v ′ (x) = e−x ): Z ∞ Z ∞ ∞ n −x n −x (8.8) x e dx = −x e + n xn−1 e−x dx. 0

0

0

Der Term xn e−x verschwindet für x = 0 (n > 0) als auch für x → ∞, also folgt mit Induktion nach n: Z ∞ (8.9) xn e−x dx = n! . 0

Nun ist es für uns kein Problem mehr, n durch eine nicht-ganze, reelle Zahl zu ersetzen: (8.10) Definition. Für α > 0 definieren wir Z ∞ (8.10) Γ (α) := xα−1 e−x dx. 0

III.8 Uneigentliche Integrale 283 6

Γ(x)

3!

5 4 3 2

2!

1 −4

−3

−2

−1

0

0

0!

1!

1

2

3

4

−1 −2 −3 −4

ABB. 8.3. Gammafunktion

Wir müssen zeigen, dass das Integral in Gl. (8.10) konvergiert. Es gibt hier zwei Schwierigkeiten: Die integrierte Funktion ist unbeschränkt für x → 0 (falls α < 1) und das Integrationsintervall ist unendlich groß. Daher spalten wir das Integral auf in die Summe Z 1 Z ∞ (8.11) xα−1 e−x dx + xα−1 e−x dx. 0

1

Aus der Abschätzung xα−1 e−x ≤ xα−1 , aus Lemma 8.3 und aus Gl. (8.7) folgt, dass das erste Integral in (8.11) für α > 0 konvergiert. Für das zweite Integral in (8.11) benutzen wir die Abschätzung xα−1 e−x = xα−1 e−x/2 · e−x/2 ≤ M e−x/2 (vgl. die Beispiele nach Satz 6.17) und abermals Satz 8.3. Gleichung (8.9) und die Berechnung in Gl. (8.8) zeigen uns (8.12)

Γ (n + 1) = n!,

Γ (α + 1) = αΓ (α)

für α > 0.

Mit Hilfe der zweiten Identität in (8.12) können wir die Definition von Γ (α) auf negative α (allerdings α 6= −1, −2, −3, . . . ) ausdehnen, indem wir (8.13)

Γ (α − 1) =

Γ (α) α−1

fordern (siehe Abb. 8.3). Wir werden in Abschnitt IV.5 sehen, dass Γ (1/2) = ist.

√

π


¨ Ubungen 8.1 Zeigen Sie, dass die Fresnelschen Integrale (siehe Abb. II.6.2) Z ∞ Z ∞ 2 sin x dx , cos x2 dx 0

0

konvergieren (Sie können auch einen Koordinatenwechsel nutzen, um ein Integral in der Art von (8.4) zu finden; vergleichen Sie mit Abb. 8.1). 8.2 Zeigen Sie, dass für die Folge n X √ 1 √ an = 2 n − k k=1

der Grenzwert limn→∞ an Rexistiert √ und 1 ≤ √ limn→∞ an ≤ 2 erfüllt (es kann hilfreich sein, sich an (1/ x) dx = 2 x zu erinnern).

8.3 Berechnen Sie das Gauß-Integral mit Hilfe eines geeigneten Koordinatenwechsels: Z ∞ 2 1 1 e−x dx = Γ . 2 2 0

III.9 Zwei Sätze u¨ ber stetige Funktionen 285

III.9 Zwei Sätze u¨ ber stetige Funktionen Dieser Abschnitt widmet sich zwei Resultaten von Weierstraß. Das erste beweist die Existenz stetiger Funktionen, die nirgends differenzierbar sind. Das zweite zeigt, dass eine stetige Funktion f : [a, b] → R beliebig genau durch Polynome approximiert werden kann.

Stetige, aber nirgends differenzierbare Funktionen Bis auf die neueste Zeit hat man allgemein angenommen, dass eine . . . continuirliche Function . . . auch stets eine erste Ableitung habe, deren Werth nur an einzelnen Stellen unbestimmt oder unendlich gross werden könne. Selbst in den Schriften von Gauss, Cauchy, Dirichlet findet sich meines ¨ Wissens keine Ausserung, aus der unzweifelhaft hervor ginge, dass diese Mathematiker, welche in ihrer Wissenschaft die strengste Kritik u¨ berall zu u¨ ben gewohnt waren, anderer Ansicht gewesen seien. (Weierstraß 1872) Vor hundert Jahren wäre eine solche Funktion als Beleidigung des gesunden Menschenverstands aufgefasst worden. (Poincaré 1899, L’oeuvre math. de Weierstrass, Acta Math., Band 22, S. 5)

n=3

n=1

0,05

n=2

n=4

3,1

π

3,2

−0,05

ABB. 9.1. Riemanns Funktion (9.1) nahe x = π

¨ Riemanns und Weierstraß’ glaubte man gemeinhin, dass jede stetige Vor der Ara Funktion auch u¨ berall differenzierbar sein müsse, vielleicht mit Ausnahme einiger vereinzelter Punkte (siehe Zitate). 1806 veröffentlichte A.-M. Ampère (ein Ihnen sicherlich bekannter Name) gar einen Beweis“ dieser Annahme (J. Ecole Polyt., ” Band 6, S. 148). Der erste Schock war Riemanns Beispiel (5.24), welches, nach Integration, eine Funktion hervorbringt, die an einer u¨ berall dichten Menge an Punkten nicht differenzierbar ist. Dies ebnete der Suche nach Funktionen den Weg, die nirgends differenzierbar sind. Etwa um 1861 (siehe Weierstraß 1872) dachte Riemann, dass die Funktion (siehe Gl. (3.7)) (9.1)

f (x) =

∞ X sin(n2 x) 1 1 = sin x + sin(4x) + sin(9x) + . . . , 2 n 4 9 n=1


die aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe stetig ist (siehe Sätze 4.3 und 4.2), nirgends differenzierbar ist. Weierstraß erklärte sich daraufhin außerstande, diese Behauptung zu beweisen und tatsächlich fand Gerver (1970), dass (9.1) an ausgewählten Punkten tatsächlich differenzierbar ist, beispielsweise bei x = π (siehe Abb. 9.1). (9.1) Satz (Weierstraß 1872). Es gibt stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind. Beweis. Weierstraß zeigte nach zwei Seiten Rechnungen, dass die Reihe (9.2)

f (x) =

∞ X

bn cos(an x),

n=1

welche für b < 1 gleichmäßig konvergiert, für ab > 1 + 3π/2 eine nirgends differenzierbare Funktion beschreibt. Viele Forscher fanden später, fasziniert von diesem Phänomen, weitere Beispiele; zu nennen sind hier Dini (1878, Kap. 10), von Koch (1906, siehe Abb. IV.5.6 unten), Hilbert (1891, siehe Abb. IV.2.3 unten) und Takagi (1903). Takagis Funktion wurde ein zweites Mal von Tall (1982) gefunden und Blancmange-Funktion“ getauft. Diese Funktion ist wie folgt definiert: ” Wir betrachten die Funktion x 0 ≤ x ≤ 1/2 (9.3) K(x) = 1−x 1/2 ≤ x ≤ 1 und setzen sie periodisch fort (d.h. K(x + 1) = K(x) für alle x), so dass wir eine stetige Zick-Zack-Funktion erhalten. Dann definieren wir (siehe Abb. 9.2) (9.4) f (x) =

∞ X 1 1 1 1 K(2n x) = K(x)+ K(2x)+ K(4x)+ K(8x)+. . . . n 2 2 4 8 n=0

Da |K(x)| ≤ 1/2 ist und 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . konvergiert, sehen wir, dass Reihe (9.4) gleichmäßig konvergiert (Satz 4.3) und eine stetige Funktion f (x) darstellt (Satz 4.2). Um nun zu zeigen, dass diese Funktion nirgends differerenzierbar ist, benutzen wir ein elegantes Argument von de Rham (1957). Es sei x0 ein beliebiger Punkt. Der Ansatz besteht nun in der Wahl αn = i/2n und βn = (i + 1)/2n , wobei i diejenige ganze Zahl ist, die αn ≤ x0 < βn erfüllt, und dann den folgenden Quotienten zu betrachten: (9.5)

rn =

f (βn ) − f (αn ) . βn − αn

Da die SummeP (9.4) an den Punkten αn und βn endlich ist, ist rn die Steigung der n−1 Partialsumme j=0 21j K(2j x) auf dem Intervall (αn , βn ) (siehe Abb. 9.2, in die die Steigungen für x0 = 1/3 eingetragen sind, und zwischen 0 und 1 wechseln). Mit wachsendem n finden wir stets rn+1 = rn ± 1, so dass die Folge {rn } nicht konvergieren kann.


2/3

0

1

1/3 ABB. 9.2. Die Blancmange-Funktion“ ”

Andererseits ist {rn } der Mittelwert der Steigungen rn = λn

f (βn ) − f (x0 ) f (x0 ) − f (αn ) + (1 − λn ) βn − x0 x0 − αn

mit λn = (βn − x0 )/(βn − αn ) ∈ (0, 1] (für αn = x0 ist λn = 1 und der zweite Term entfällt). Differenzierbarkeit bei x0 würde daher erfordern, dass |rn − f ′ (x0 )| < λn ε + (1 − λn )ε = ε für genügend große n ist, was einen Widerspruch darstellt.

⊓ ⊔

Der Approximationssatz von Weierstraß Dies ist der von Weierstraß begründete fundamentale Satz. (Borel 1905, S. 50)

¨ Wir haben gerade die erste von Weierstraß’ Uberraschungen verdaut, welche die Existenz stetiger Funktionen ohne Ableitung ist; nun kommt die zweite: Wir können sie so oft differenzierbar machen, wie wir wollen, sogar zu Polynomen, solange wir nur einen beliebig kleinen Fehler ε erlauben. (9.2) Satz (Weierstraß 1885). Es sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Zu jedem ε > 0 gibt es ein Polynom p(x), so dass gilt: (9.6)

|p(x) − f (x)| < ε

für alle

x ∈ [a, b].


Mit anderen Worten: f (x) − ε ≤ p(x) ≤ f (x) + ε, d.h. das Polynom p(x) ist auf dem gesamten Intervall [a, b] nach unten und oben beschränkt durch f (x) − ε und f (x) + ε. Die Liste der Mathematiker, die Beweise für diesen Satz gefunden haben, von Borel (1905, S. 50) und Meinardus (1964, S. 7) zusammengestellt, demonstriert, wie fasziniert die Mathematiker von diesem Resultat sind: Weierstraß (1885), Picard (1890, S. 259), Lerch 1892, Volterra 1897, Lebesgue 1898, Mittag-Leffler 1900, Landau (1908), D. Jackson 1911, S. Bernstein 1912, P. Montel 1918, Marchand 1927, W. Gontscharov 1934. Dieser Satz, der mit der Approximation durch trigonometrische Polynome verwandt ist, wurde auch auf verschiedene Weisen verallgemeinert (siehe Meinardus 1964, §2). Der folgende Beweis gründet auf der Idee der, wie wir heute sagen würden, Dirac-Folgen“. ” ¨ Dirac-Folgen. In Ubereinstimmung mit Landau (1908, siehe Abb. 9.3a) setzen wir µn (1 − x2 )n falls −1 ≤ x ≤ 1 (9.7) ϕn (x) = 0 sonst, wobei der Faktor (9.8)

µn =

so gewählt ist, dass

1 · 3 · 5 · 7 · . . . · (2n + 1) 2 · 2 · 4 · 6 · . . . · 2n Z

(9.9)

+∞

ϕn (x) dx = 1

−∞

¨ gilt (siehe Ubung II.4.3). Diese Funktionen sammeln für zunehmendes n mehr und mehr ihrer Masse“ im Ursprung an: ” (9.3) Lemma. Es sei ϕn (x) gegeben durch (9.7). Zu jedem ε > 0 und jedem δ > 0 mit 0 < δ < 1 gibt es eine ganze Zahl N , so dass für alle n ≥ N (siehe Abb. 9.3b) gilt: Z δ (9.10) 1−ε< ϕn (x) dx ≤ 1, (9.11)

Z

−δ

−1

−δ

ϕn (x) dx +

Z

1

ϕn (x) dx < ε.

δ

Beweis. Wir beginnen mit dem Beweis von (9.11). Da 1 − x2 ≥ 1 − x für 0 ≤ R1 R1 x ≤ 1 ist, haben wir 0 (1 − x2 )n dx ≥ 0 (1 − x)n dx = 1/(n + 1), und daher µn ≤ 12 (n + 1). Folglich gilt für δ ≤ |x| ≤ 1: 0 ≤ ϕn (x) ≤ ϕn (δ) ≤ 12 (n + 1) · (1 − δ 2 )n .

III.9 Zwei Sätze u¨ ber stetige Funktionen 289 n = 20

n = 30

ϕn (x)

ϕn (x) 2

2

>1−ε 1

1

n=1

< ε/2

−1

0

1

ABB. 9.3a. Dirac-Folge (9.7)

< ε/2 0

−1

1

δ

ABB. 9.3b. Massen-Konzentration

Nun sei q := 1 − δ 2 < 1. Dann fällt (1 − δ 2 )n = q n exponentiell ab, so dass (n + 1) · (1 − δ 2 )n → 0 strebt (siehe (6.26)). Hieraus folgt, dass für n genügend groß 0 ≤ ϕn (x) ≤ ε/2 für δ ≤ |x| ≤ 1 sein muss, und Gl. (9.11) ist dann eine Folgerung aus Satz 5.14. Die Abschätzung (9.10) erhält man dann, indem man (9.11) von (9.9) subtrahiert. ⊓ ⊔ Ein Beweis des Approximationssatzes von Weierstraß. Wir dürfen annehmen, dass 0 < a < b < 1 ist (der allgemeine Fall reduziert sich auf diesen durch eine Transformation der Art x 7→ α+βx mit geeignet gewählten Konstanten α und β ). Sodann dehnen wir f (x) zu einer stetigen Funktion auf [0, 1] aus, beispielsweise indem wir f (x) = f (a) für 0 ≤ x < a und f (x) = f (b) für b < x ≤ 1 setzen. Dann definieren wir für ξ ∈ [a, b] (9.12)

pn (ξ) :=

Z

1 0

f (x)ϕn (x − ξ) dx = µn

Z

1 0

f (x) 1 − (x − ξ)2

n

dx.

Wenn wir den Faktor (1 − (x − ξ)2 )n mit dem binomischen Lehrsatz ausmultiplizieren, erhalten wir ein Polynom in ξ vom Grad 2n, dessen Koeffizienten Funktionen von x sind. Setzen wir dies in (9.12) ein, so finden wir, dass pn (ξ) ein Polynom vom Grad 2n ist. Motivation. Zu einem festen ξ ∈ [a, b] wird sich die Spitze der verschobenen Funktion ϕn (x − ξ) am Punkt ξ befinden (Abb. 9.4). Desweiteren vervielfacht das


ϕn(x−ξ) f 1

ε

δ 0 0

ξ−δ

a

ξ

ξ+δ

b

1

ABB. 9.4. Landaus Beweis

Produkt f (x) · ϕn (x − ξ) die Spitze (mehr oder weniger) um den Faktor f (ξ). Daher erwarten wir aufgrund von (9.9), dass das Integral (9.12) nahe bei f (ξ) liegen wird. Fehlerabschätzung. Für die Differenz zwischen pn (ξ) und f (ξ) wollen wir die Dreiecksungleichung wie folgt anwenden: Z ξ+δ Z 1 |pn (ξ) − f (ξ)| ≤ f (x)ϕn (x − ξ) dx − f (x)ϕn (x − ξ) dx (9.13)

Z +

0 ξ+δ

ξ−δ

Z + f (ξ)

ξ−δ Z ξ+δ

f (x)ϕn (x − ξ) dx − ξ+δ

ξ−δ

ξ−δ

f (ξ)ϕn (x − ξ) dx

ϕn (x − ξ) dx − f (ξ) .

Wir halten ein ε > 0 fest. Da f auf [0, 1] stetig ist, ist f dort auch gleichmäßig stetig (Satz 4.5). Daher existiert ein δ > 0, das unabhängig von ξ ist und (9.14)

|f (x) − f (ξ)| < ε

für

|x − ξ| < δ

erfüllt. Dieses δ können wir, falls nötig, weiter verringern, bis es auch δ ≤ a und δ ≤ 1 − b erfüllt. Somit gilt stets [ξ − δ, ξ + δ] ⊂ [0, 1]. Desweiteren ist die Funktion f (x) beschränkt, d.h. sie genügt |f (x)| ≤ M für x ∈ [0, 1] (Satz 3.6).


Die drei Terme auf der rechten Seite von Gl. (9.13) können wir nun wie folgt abschätzen: Für den ersten benutzen wir die Beschränktheit von f (x) und Gl. (9.11) und finden, dass er durch M ε beschränkt wird; auf a¨ hnliche Weise benutzen wir Gl. (9.10), um zu zeigen, dass der dritte Term ebenfalls durch M ε beschränkt wird; schließlich folgt aus (9.14) und (9.9), dass der zweite Term durch ε beschränkt wird. Zusammenfassend finden wir also |pn (ξ) − f (ξ)| ≤ (2M + 1)ε für hinreichend große n. Da diese Abschätzung auf ganz [a, b] gilt, ist der Satz bewiesen. ⊓ ⊔ 1,0

0,8

0,6

n = 100

0,4 n = 10 n = 1000 0,2

0,0

0,25

0,50

0,75

1,00

ABB. 9.5. Konvergenz der Polynome (9.12) gegen f (x) aus (9.15)

(9.4) Beispiel. Wir betrachten die Funktion f : [1/8, 7/8] → R, die definiert ist als  −3,2x + 0,8 falls 1/8 ≤ x ≤ 1/4 ,   p   1/64 − (x − 3/8)2 falls 1/4 ≤ x ≤ 1/2 , p (9.15) f (x) = 2  7 · 1/64 − (x − 5/8) falls 1/2 ≤ x ≤ 3/4 ,    7,6x − 5,7 falls 3/4 ≤ x ≤ 7/8 .

Wie im obigen Beweis erweitern wir sie zu einer stetigen Funktion auf [0, 1]. Die Polynome pn (ξ) aus Gl. (9.12) sind in Abb. 9.5 dargestellt für n = 10, 100, and 1000. Wir können feststellen, dass sie auf [1/8, 7/8] gleichmäßig konvergieren, jedoch nicht auf [0, 1]. Dies liegt daran, dass bei ξ = 0 und ξ = 1 jeweils die


Hälfte der Spitze von ϕn (x) in (9.12) abgeschnitten wird. Die Annahme 0 < a < b < 1 im obigen Beweis kann daher nicht umgangen werden. Die Graphen in Abb. 9.5 wurden genau genommen numerisch durch Auswertung des Integrals (9.12) für 400 Werte von ξ mit einer Methode a¨ hnlich der in Abschnitt II.6 beschriebenen berechnet. Es wäre Zeitverschwendung, die 2000 Koeffizienten des Polynoms zu berechnen.

¨ Ubungen 9.1 Zeigen Sie mit Hilfe des Wallisschen Produkts, dass sich die Faktoren µn p in (9.8) für n → ∞ asymptotisch wie n/π verhalten, und dass die Abschätzung im Beweis von Lemma 9.3 ein wenig grob ist. 9.2 Zeigen Sie, dass r n −nx2 (9.16) ϕn (x) = e , n = 1, 2, 3, . . . π eine Dirac-Folge ist, d.h. die Gleichungen ud (9.11) erfüllt (wir R ∞ (9.9),2 (9.10) √ werden in Abschnitt IV.5 sehen, dass −∞ e−x dx = π ist). Dies ist die Folge, auf der Weierstraß seinen ursprünglichen Beweis aufbaute.

9.3 Finden Sie Konstanten cn derart, dass ( πx n cn cos (9.17) ϕn (x) = 2 0

−1 ≤ x ≤ 1, sonst

¨ eine Dirac-Folge ist (siehe Ubung 5.6). Diese Folge führt mit Hilfe trigonometrischer Formeln wie (I.4.4′) zu Approximationen durch trigonometrische Polynome auf [−π, π]. 9.4 Es sei ϕn (x) =

n

falls |x| ≤ 1/(2n),

0 sonst. Zeigen Sie, dass für jede stetige Funktion f (x) gilt: Z b lim ϕn (x − ξ)f (x) dx = f (ξ) für alle a < ξ < b. n→∞

a

9.5 Multiplizieren Sie (1 − (x − ξ)2 )3 in Potenzen von ξ aus und zeigen Sie, dass √ Z 1 3 4 + cos(x4 + x) − sin(3x) 2 1 − (x − ξ) dx 72 ln(x + 1) + xx 0 ein Polynom in ξ ist.

IV Differentialrechnung in mehreren Variablen

Zeichnung von K. Wanner Der Einfluss der Physik auf die Motivation, mathematische Objekte wie die Quaternionen, Grassmannsche Hyperzahlen und Vektoren zu erschaffen, ist nicht zu unterschätzen. Diese Objekte wurden Teil der Mathematik. (M. Kline 1972, S. 791)

Funktionen mehrerer Variablen haben ihren Ursprung in der Geometrie (z.B. in Form von Kurven, die von Parametern abhängen (Leibniz 1694a)) und in der Physik. Ein im ganzen 17ten Jahrhundert berühmtes Problem bestand in der Berechnung der Bewegung einer schwingenden Saite (d’Alembert 1748, Abb. 0.1). Der Ort einer Saite u(x, t) ist tatsächlich sowohl eine Funktion von x, der Ortskoordinate, als auch von t, der Zeit. Ein wichtiger Durchbruch für das systematische Studium solcher Funktionen gelang in der Mitte des 19ten Jahrhunderts, und besteht in der Idee, Paare (und später n-Tupel) (x1 , x2 ) = : x

(x1 , x2 , . . . , xn ) = : x

E. Hairer, G. Wanner, Analysis in historischer Entwicklung, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-13767-9_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

294 IV. Differentialrechnung in mehreren Variablen

durch einen einzigen Buchstaben zu notieren und sie gemeinsam als neues mathematisches Objekt zu betrachten. Sie wurden von Graßmann (1844, 1862) exten” sive Grössen“ genannt, von Peano (1888) Komplexe“ und von Hamilton (1853) ” Vektoren“. ” 5

t

0 x 1 ABB. 0.1. Bewegung einer schwingenden Saite (Cembalo)

Der erste Abschnitt IV.1 wird Normen im n-dimensionalen Raum einführen, die es uns erlauben, die Definitionen und Sätze u¨ ber Konvergenz und Stetigkeit recht einfach zu u¨ bertragen (Abschnitt IV.2). Jedoch führen die Differentialrechnung (Abschnitte IV.3 und IV.4) ebenso wie die Integralrechnung (Abschnitt IV.5) in mehreren Variablen zu neuen Problemen (Vertauschbarkeit partieller Ableitungen, von Integrationen untereinander und Vertauschbarkeit von Integrationen mit Ableitungen).

IV.1 Topologie des n-dimensionalen Raumes 295

IV.1 Topologie des n-dimensionalen Raumes Es mag auffallend erscheinen, dass diese so einfache Idee, welche im Grunde genommen in weiter nichts besteht, als dass eine Vielfachsumme verschiedener Grössen (als welche hiernach die extensive Grösse erscheint) als selbstständige Grösse behandelt wird, in der That zu einer neuen Wissenschaft sich entfalten soll; . . . (Grassmann 1862, Ausdehnungslehre, S. 5) . . . es ist sehr nützlich, komplexe“ Zahlen oder Zahlen mit verschiedenen Einheiten zu betrachten”. . . (Peano 1888a, Math. Ann., Band 32, S. 450)

Paare reeller Zahlen wollen wir als (x1 , x2 ) schreiben, n-Tupel entsprechend als (x1 , x2 , . . . , xn ), und wir nennen sie Vektoren. Die Menge aller Paare ist (1.1) R2 = R × R = (x1 , x2 ) ; x1 , x2 ∈ R und die Menge aller n-Tupel schreiben wir als (1.2) Rn = R × R × . . . × R = (x1 , x2 , . . . , xn ) ; xk ∈ R, k = 1, . . . , n .

Vektoren kann man (komponentenweise) addieren und mit einer festen reellen Zahl multiplizieren. Rn , zusammen mit diesen zwei Operationen, nennen wir einen n-dimensionalen reellen Vektorraum.

Abstände und Normen Man kann sich den zweidimensionalen Raum R2 als Ebene vorstellen, die Komponenten x1 und x2 sind dann die kartesischen Koordinaten. Der Abstand zwischen zwei Punkten x = (x1 , x2 ) und y = (y1 , y2 ) ist nach dem Satz des Pythagoras (Abb. 1.1) p (1.3) d(x, y) = (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 .

Dieser Abstand hängt nur von p der Differenz y − x ab und wird daher als ky − xk2 bezeichnet, wobei kzk2 = z12 + z22 für z = (z1 , z2 ) gesetzt ist. Im dreidimensionalen Raum erhält man den Abstand zwischen den Vektoren x = (x1 , x2 , x3 ) und y = (y1 , y2 , y3 ), indem man den Satz des Pythagoras zweimal anwendet (zunächst auf das Dreieck DEF, dann auf ABC, p siehe Abb. 1.2). Auf diese Weise erhalten wir d(x, y) = ky − xk2 , wobei kzk2 = z12 + z22 + z32 ist. Für den n-dimensionalen Raum Rn definieren wir nun ganz analog q (1.4) kzk2 = z12 + z22 + . . . + zn2 , und nennen dies die euklidische Norm von z = (z1 , z2 , . . . , zn ). Der Abstand zwischen x ∈ Rn und y ∈ Rn ist dann definiert als d(x, y) = ky − xk2 .

296 IV. Differentialrechnung in mehreren Variablen F = (y1, y2, y3) y2

y3−x3

D = (x1, x2, x3)

y2−x2 x2

E

y1−x1

A

1 x1

y2−x2

y1

ABB. 1.1. Abstand im R2

B C

y1−x1

2

ABB. 1.2. Abstand im R3

(1.1) Satz. Die euklidische Norm (1.4) besitzt die folgenden Eigenschaften: (N1) kxk ≥ 0 und kxk = 0 ⇔ x = 0, (N2) kλxk = |λ| · kxk für λ ∈ R, (N3) kx + yk ≤ kxk + kyk (Dreiecksungleichung).

Beweis. Eigenschaft (N1) ist trivial. Wegen λx = (λx1 , . . . , λxn ) ist kλxk22 = (λx1 )2 + . . . + (λxn )2 = |λ|2 · kxk22 , womit auch (N2) bewiesen ist. Um (N3) zu beweisen, rechnen wir wie folgt: kx + yk22 = ≤

n X

(xk + yk )2 =

k=1

kxk22

n X

x2k + 2

k=1

+ 2kxk2 kyk2 +

n X

xk yk +

k=1

kyk22

n X

yk2

k=1

= (kxk2 + kyk2 )2 .

⊓ ⊔

Bemerkung. Im obigen Beweis haben wir die Abschätzung v v u n X uX uX n u n 2 t t (1.5) x y ≤ x · yk2 , k k k k=1

k=1

k=1

eingesetzt, Pnwelche als Cauchy-Schwarz-Ungleichung bezeichnet wird. Man erhält sie aus k=1 (xk − γyk )2 ≥ 0 auf genau die gleiche Weise wie (III.5.19). Mit der Notation n X (1.6) hx, yi := xk y k k=1

für das Skalarprodukt zweier Vektoren x und y kann Ungleichung (1.5) kürzer geschrieben werden in der Form (1.5′ )

|hx, yi| ≤ kxk2 · kyk2 .

Im weiteren werden wir nur selten die explizite Formel (1.4) benötigen. Zumeist reichen uns die allgemeineren Eigenschaften (N1) bis (N3).


(1.2) Definition. Eine Abbildung k · k : Rn → R, die (N1), (N2) und (N3) erfüllt, heißt Norm auf Rn . Der Raum Rn zusammen mit einer Norm nennen wir normierten Vektorraum. Beispiele (Jordan 1882, Cours d’Analyse, Band I, S. 18, Peano 1890b, Fußnote auf S. 186, Fréchet 1906). Neben der euklidischen Norm (1.4) gibt es auch (1.7) (1.8) (1.9)

kxk1 =

n X

k=1

ℓ1 -Norm,

|xk |

kxk∞ = max |xk | k=1,...,n

kxkp =

X n

k=1

|xk |p

Maximumsnorm,

1/p

ℓp -Norm, p ≥ 1.

Die Bestätigung der Eigenschaften (N1) und (N2) für all diese Normen ist, ebenso wie der Beweis von (N3) für (1.7) und (1.8), recht einfach. Wir werden später sehen ( Hölder-Ungleichung“, siehe (4.42)), dass die Dreiecksungleichung (N3) ” auch für (1.9) für beliebige p ≥ 1 erfüllt ist. (1.3) Satz. Für ein beliebiges x ∈ Rn gilt (1.10)

kxk∞ ≤ kxk2 ≤ kxk1 ≤ n · kxk∞ .

Beweis. Wir beweisen nur die zweite Ungleichung (die u¨ brigen Ungleichungen sind sehr einfach, wir u¨ berspringen sie daher). Quadriert man Gl. (1.7) zu P kxk21 und multipliziert die Formel aus, so erhalten wir die Summe der Quadrate x2k (was kxk22 ist), zuzüglich den gemischten Produkten |xk | · |xl |, welche alle nichtnegativ sind. Daraus folgt kxk21 ≥ kxk22 . ⊓ ⊔ Jede dieser Normen lässt sich durch jede der anderen von oben wie von unten abschätzen (durch Wahl eines genügend großen positiven Faktors). Dies zeigt, dass die Normen kxk1 , kxk2 und kxk∞ alle im folgenden Sinn a¨ quivalent sind. (1.4) Definition. Zwei Normen k · kp und k · kq heißen a¨ quivalent, wenn es positive Konstanten C1 und C2 gibt, so dass (1.11)

C1 · kxkp ≤ kxkq ≤ C2 · kxkp

für alle

x ∈ Rn

gilt.

Konvergenz von Vektorfolgen Unser nächstes Ziel besteht darin, die Definitionen und Resultate aus Abschnitt III.1 auf unendliche Folgen von Vektoren zu verallgemeinern. Wir betrachten also {xi }i≥1 , wobei jedes xi seinerseits ein Vektor ist, d.h. (1.12)

xi = (x1i , x2i , . . . , xni ),

i = 1, 2, 3, . . . .


(1.5) Definition. Wir sagen, dass die durch (1.12) gegebene Folge {xi }i≥1 gegen den Vektor a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn konvergiert, wenn ∀ε > 0 ∃N ≥ 1 ∀i ≥ N

kxi − ak < ε

erfüllt ist. Wie im eindimensionalen Fall schreiben wir dann lim xi = a. i→∞

x21 x22

x1

x2 x3

x23 a2

x13

x12

a1

x11

ABB. 1.3. Konvergente Folge in R2

Diese Definition gleicht (III.1.4) in jeder Hinsicht, außer dass die Betragsstriche durch die Norm ersetzt wurden. (1.6) Bemerkung. Um genau zu sein, müsste man die in Definition 1.5 benutzte Norm spezifizieren, z.B. auf die euklidische Norm zurückgreifen. Falls jedoch k · kp zu k · kq a¨ quivalent ist, gilt (1.13)

Konvergenz in k · kp

⇐⇒

Konvergenz in k · kq .

Tatsächlich folgt aus kxi − akp < ε und (1.11), dass kxi − akq < C2 ε ist. Da ε > 0 in Definition 1.5 beliebig ist, können wir ε durch ε′ = C2 ε ersetzen und finden, dass die Konvergenz in k · kp die Konvergenz in k · kq nach sich zieht. Satz 1.3 sagt aus, dass k · k1 , k · k2 und k · k∞ zueinander a¨ quivalent sind und später werden wir in Satz 2.4 sehen, dass alle Normen auf Rn a¨ quivalent sind. Folglich können wir in Definition 1.5 jede beliebige Norm wählen; die Konvergenz der Folge {xi } bleibt von der konkreten Wahl der Norm unabhängig. (1.7) Satz. Für eine Folge von Vektoren (1.12) finden wir lim xi = a

i→∞

⇐⇒

lim xki = ak

i→∞

für

k = 1, 2, . . . , n,

d.h. Konvergenz in Rn ist gleichbedeutend mit komponentenweiser Konvergenz.


Beweis. Für die Maximumsnorm (1.8) gilt (1.14) kxi − ak∞ < ε

⇐⇒

|xki − ak | < ε

für

k = 1, 2, . . . , n.

Wählen wir k · k∞ als Norm in Definition 1.5, folgt die Behauptung.

⊓ ⊔

Mit den obigen Vorbereitungen fällt es uns nun leicht, die verbleibenden Definitionen und Resultate aus Abschnitt III.1 auf den höherdimensionalen Fall auszudehnen. Beispielsweise heißt eine Folge {xi }i≥1 von Vektoren beschränkt, falls es eine Zahl B ≥ 0 gibt, so dass kxi k ≤ B für alle i ≥ 1 ist. Wiederum ist Beschränktheit von der konkreten Wahl einer Norm unabhängig. Und wie in Satz III.1.3 können wir beweisen, dass konvergente Folgen von Vektoren beschränkt sind. Eine Folge {xi }i≥1 heißt Cauchy-Folge, falls gilt: (1.15)

∀ε > 0 ∃N ≥ 1 ∀i ≥ N ∀ℓ ≥ 1

kxi − xi+ℓ k < ε.

Durch Einsatz der Maximumsnorm in (1.15) können wir diesen Fall wieder auf den komponentenweisen Fall zurückführen: {xi }i≥1 ist eine Cauchy-Folge genau dann, wenn die reellen Folgen {xki }i≥1 für jedes k = 1, . . . , n Cauchy-Folgen sind. Damit finden wir auch sofort die folgende Verallgemeinerung von Satz III.1.8. (1.8) Satz. Eine Folge von Vektoren in Rn ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. ⊓ ⊔ Die Verallgemeinerung des Satzes von Bolzano-Weierstraß ist allerdings etwas komplizierter. (1.9) Satz (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte Folge von Vektoren in Rn besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis. Es sei {xi }i≥1 unsere beschränkte Folge. Zunächst betrachten wir die Folge {x1i }i≥1 der ersten Komponenten. Sie ist ebenfalls eine beschränkte Folge, so dass wir nach Satz III.1.17 eine konvergente Teilfolge extrahieren können, beispielsweise (1.16)

x1,1 , x1,5 , x1,9 , x1,22 , x1,37 , x1,58 , x1,238 , x1,576 , . . . .

Sodann betrachten wir die zweiten Komponenten. Die wesentliche Idee besteht nun aber darin, anstelle der gesamten Folge nur noch die zweiten Komponenten derjenigen Folgenmitglieder zu betrachten, deren erste Komponenten bereits die in (1.16) erwählte Teilfolge bilden. Diese Folge ist beschränkt, und wiederum können wir Satz III.1.17 anwenden, um eine konvergente Teilfolge zu bestimmen, beispielsweise (1.17)

x2,1 , x2,9 , x2,58 , x2,576 , . . . .


Nun konvergiert die Folge x1 , x9 , x58 , x576 , . . . in der ersten und zweiten Komponente. Für n = 2 ist der Beweis damit vollständig. Ansonsten betrachten wir nun die dritten Komponenten, die zu (1.17) korrespondieren, und so weiter. Nach der n-ten Wahl einer konvergenten Teilfolge werden noch immer unendlich viele Folgenglieder verbleiben und wir finden eine Folge, die in jeder Komponente konvergiert. ⊓ ⊔

Umgebungen, offene und abgeschlossene Mengen Unter einer Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von be” stimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente“ von M genannt werden) zu einem ” Ganzen. (G. Cantor 1895, Werke, S. 282) Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. (Hilbert, Math. Ann., Band 95, S. 170)

Als Dedekind (um 1871) und Cantor (um 1875) erstmals Mengen von Punkten als ¨ der Mathematik an. neue mathematische Objekte einführten, brach eine neue Ara n Für Mengen A, B in R wollen wir die folgenden Symbole benutzen: (1.18) (1.19) (1.20) (1.21) (1.22)

A⊂B

falls alle Elemente von A auch zu B gehören,

A ∩ B = {x ∈ Rn ; x ∈ A und x ∈ B}, A ∪ B = {x ∈ Rn ; x ∈ A oder x ∈ B}, A \ B = {x ∈ Rn ; x ∈ A aber x 6∈ B}, ∁A = {x ∈ Rn ; x ∈ 6 A}.

Die Rolle der offenen Intervalle wird im mehrdimensionalen Fall von den Mengen (1.23) Bε (a) = x ∈ Rn ; kx − ak < ε gespielt, welche wir Scheiben (oder Kugelumgebungen) vom Radius ε um den Mittelpunkt a nennen wollen (siehe Abb. 1.4).

p = 1,0

p = 1,5

p = 2,0

p = 3,0

p = 100,0

ABB. 1.4. Scheiben vom Radius ε = 1, 1/2, 1/4 für kxkp , p = 1, 32 , 2, 3, 100

(1.10) Definition (Hausdorff 1914, Kap. VII, §1; siehe auch S. 456). Es sei a ∈ Rn gegeben. Eine Menge V ⊂ Rn heißt Umgebung von a, falls es ein ε > 0 gibt, so dass Bε (a) ⊂ V ist.


Die Scheiben Bε (a) hängen von der gewählten Norm ab; (k · k1 , k · k2 oder k · k∞ , . . .); die Definition der Umgebung“ jedoch ist von der Wahl der Norm un” abhängig, solange die verwendeten Normen a¨ quivalent sind. Jedes zu einer Norm gehörige Bε (a) wird stets in einem Bε′ (a) jeder anderen a¨ quivalenten Norm enthalten sein (Abb. 1.5). (1.11) Definition (Weierstraß, Hausdorff 1914, S. 215). Eine Menge U ⊂ Rn heißt offen (ursprünglich: ein Gebiet“), falls U eine Umgebung all seiner Punkte ist, ” d.h. U offen ⇐⇒ ∀ x ∈ U ∃ ε > 0 Bε (x) ⊂ U.

ABB. 1.5. Umgebungen

(1.12) Definition (G. Cantor 1884, S. 470; siehe Ges. Abhandlungen, S. 226). Eine Menge F ⊂ Rn ist abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge {xi }i≥1 mit xi ∈ F ebenfalls in F liegt, d.h. F abgeschlossen

⇐⇒

aus a = lim xi i→∞

und xi ∈ F

folgt a ∈ F.

Beispiele in R. Das sogenannte offene Intervall“ (a, b) = {x ∈ R ; a < x < b} ” ist eine offene Menge. Tatsächlich ist für jedes x ∈ (a, b) die Zahl ε = min(x − a, b − x) strikt positiv und es gilt Bε (x) ⊂ (a, b). Andererseits ist die Folge {a + 1/i} (für i ≥ 1) konvergent, ihre Elemente liegen in (a, b) für hinreichend großes i, aber ihr Grenzwert liegt nicht in (a, b). Daher ist die Menge (a, b) nicht abgeschlossen. Die Menge [a, b] = {x ∈ R ; a ≤ x ≤ b} ist abgeschlossen (siehe Satz III.1.6). Jedoch besitzt weder a noch b eine Umgebung, die komplett in [a, b] enthalten ist. Folglich ist [a, b] nicht offen. Das Intervall A = [a, b) ist weder offen noch abgeschlossen, da a keine Umgebung in [a, b) besitzt und sich andererseits der Grenzwert der konvergenten Folge {b − 1/i} nicht in [a, b) befindet.


Schließlich ist die Menge R = (−∞, +∞) sowohl offen als auch abgeschlossen. Dasselbe gilt für die leere Menge ∅. (1.13) Lemma. a) b)

Die Menge A = {x ∈ Rn ; kxk < 1} ist offen.

Die Menge A = {x ∈ Rn ; kxk ≤ 1} ist abgeschlossen.

p = 1,0

p = 1,5

p = 2,0

ABB. 1.6. Offene Mengen

p = 1,0

p = 1,5

p = 3,0

p = 100,0

x ∈ R2 ; kxkp < 1

p = 2,0

ABB. 1.7. Abgeschlossene Mengen

p = 3,0

p = 100,0

x ∈ R2 ; kxkp ≤ 1

Beweis. a) Für ein festes a ∈ A wählen wir ε = 1 − kak, was offenbar positiv ist. Mit dieser Wahl ist Bε (a) ⊂ A (siehe Abb. 1.6), denn aufgrund der Dreiecksungleichung gilt für jedes x ∈ Bε (a): kxk = kx − a + ak ≤ kx − ak + kak < ε + kak = 1. Folglich ist A offen. b) Es sei {xi }i≥1 eine Folge mit xi ∈ A (für alle i), die gegen a konvergiert. Wir müssen zeigen, dass a ∈ A ist. Angenommen, dies gilt nicht, also a 6∈ A (d.h. kak > 1, siehe Abb. 1.7), so wählen wir ε = kak − 1. Für dieses ε gibt es ein N ≥ 1, so dass kxi −ak < ε für i ≥ N ist. Benutzen wir die Dreiecksungleichung ¨ (oder besser noch Ubung 1.1), so können wir kxi k = kxi − a + ak ≥ kak − kxi − ak > kak − ε = 1 für hinreichend großes i herleiten. Dies widerspricht jedoch der Voraussetzung, dass xi ∈ A ist für alle i. Folglich ist A = {x ∈ Rn ; kxk ≤ 1} abgeschlossen. ⊓ ⊔ Weitere Beispiele. Die Menge A = {x ∈ R2 ; x1 , x2 ∈ Q, kxk ≤ 1} ist weder offen noch abgeschlossen. Tatsächlich enthält jede Scheibe irrationale Punkte und ein Limes rationaler Punkte kann durchaus irrational sein.


0

ABB. 1.8. Cantor-Menge

1

Die berühmte Cantor-Menge (1883, s. Werke, S. 207, Beispiel 11; Abb. 1.8) ist definiert als A = [0, 1] \ (1/3, 2/3) ∪ (1/9, 2/9) ∪ (7/9, 8/9) ∪ . . . ∞ n o X (1.24) = x= ai 3−i ; ai ∈ {0, 2} . i=1

Sie ist nicht offen (beispielsweise hat x = 1/3 keine Umgebung in A), ist jedoch abgeschlossen (siehe Bemerkung 1.16 unten). Das Sierpiński-Dreieck (Abb. 1.9) und der Sierpiński-Teppich (Abb. 1.10) (siehe Sierpiński 1915, 1916) sind zweidimensionale Verallgemeinerungen der CantorMenge. Die Zeichnungen in den Abbildungen 1.9 und 1.10 wirken nicht nur unter a¨ sthetischen Gesichtspunkten ansprechend, sondern erinnern uns auch daran, dass Mengen sehr komplizierte Objekte sein können.

ABB. 1.9. Sierpiński-Dreieck

ABB. 1.10. Sierpiński-Teppich

(1.14) Satz. Es gilt: i) ii)

F abgeschlossen U offen

=⇒ =⇒

∁F offen, ∁U abgeschlossen.


Beweis. i) Angenommen ∁F ist nicht offen. Dann gibt es ein a ∈ ∁F (d.h. a 6∈ F ), so dass für jedes ε > 0 gilt Bε (a) 6⊂ ∁F . Wählen wir ε = 1/i, so können wir eine Folge {xi }i≥1 mit xi ∈ F und kxi − ak < 1/i wählen. Da F abgeschlossen ist, folgt a ∈ F , was der Annahme widerspricht. ii) Angenommen ∁U ist nicht abgeschlossen. Das bedeutet, dass es eine Folge xi ∈ ∁U (also xi 6∈ U ) gibt, die gegen ein a 6∈ ∁U (also a ∈ U ) konvergiert. Da U offen ist, gibt es ein ε > 0 mit Bε (a) ⊂ U . Damit ist xi 6∈ Bε (a) für alle i, was der Annahme widerspricht. ⊓ ⊔ (1.15) Satz (Hausdorff 1914, S. 216). Für eine endliche Zahl an Mengen gilt: i) U1 , U2 , . . . , Um offen =⇒ U1 ∩ U2 ∩ . . . ∩ Um ist offen, ii) F1 , F2 , . . . , Fm abgeschlossen =⇒ F1 ∪F2 ∪. . .∪Fm ist abgeschlossen. Für eine beliebige Familie von Mengen (mit Indexmenge Λ) gilt: S n iii) Uλ offen für alle λ ⇒ λ∈Λ Uλ = {x ∈ R ; ∃ λ ∈ Λ, x ∈ Uλ } ist offen, T n iv) Fλ abgeschlossen für alle λ ⇒ λ∈Λ Fλ = {x ∈ R ; ∀ λ ∈ Λ, x ∈ Fλ } ist abgeschlossen. Beweis. Wir beginnen damit, (i) zu beweisen. Es sei x ∈ U1 ∩ . . . ∩ Um , so dass x ∈ Uk für alle k = 1, . . . , m ist. Da Uk offen ist, gibt es ein εk > 0 mit Bεk (x) ⊂ Uk . Wählen wir ε = min(ε1 , . . . , εm ), so haben wir ein positives ε gefunden, für das Bε (x) ⊂ U1 ∩ . . . ∩ Um gilt. Der Beweis von (iii) ist noch einfacher, wir u¨ berspringen ihn deshalb. Die ¨ Aquivalenzen (i) ⇔ (ii) und (iii) ⇔ (iv) folgen nunmehr aus den De Mor” gan’schen Gesetzen“ ∁ U1 ∩ U2 = ∁U1 ∪ ∁U2 (1.25) ∁ U1 ∪ U2 = ∁U1 ∩ ∁U2 in Kombination mit Satz 1.14.

⊓ ⊔

(1.16) Bemerkung. Mittels dieses Satzes können wir beweisen, dass die CantorMenge aus Gl. (1.24) abgeschlossen ist. Tatsächlich ist ihr Komplement ∁A = (−∞, 0) ∪ (1, ∞) ∪ (1/3, 2/3) ∪ (1/9, 2/9) ∪ (7/9, 8/9) ∪ . . . eine unendliche Vereinigung offener Intervalle und laut Satz 1.15 also offen. (1.17) Bemerkung. Die Behauptungen (i) und (ii) in Satz 1.15 gelten nicht für unendlich viele Mengen. Wir können beispielsweise die Familie n o (1.26) Ui = x ∈ R2 ; kxk < 1 + 1/i offener Mengen betrachten; ihre Schnittmenge U2 ∩ U3 ∩ U4 ∩ . . . = 2 R ; kxk ≤ 1 ist nicht offen (Abb. 1.11).

x ∈


U2 U3 U4 U5 F2

ABB. 1.11. Offene Mengen mit abgeschlossener Schnittmenge

F3 F4 F 5

ABB. 1.12. Abgeschlossene Mengen mit offener Vereinigung

Analog ist die Vereinigung der Familie n o (1.27) Fi = x ∈ R2 ; kxk ≤ 1 − 1/i

abgeschlossener Mengen (Abb. 1.12) F2 ∪ F3 ∪ F4 ∪ . . . = x ∈ R2 ; kxk < 1 , was nicht abgeschlossen ist.

Kompakte Mengen Wir haben bereits auf die Wichtigkeit der kompakten Mengen hingewiesen und werden sie im Verlauf dieses Buches immer wieder sehen. Alle, die mit der allgemeinen Analysis befasst sind, haben erkannt, dass es unmöglich ist, ohne sie auszukommen. (Fréchet 1928, Espaces abstraits, S. 66)

(1.18) Definition (Fréchet 1906). Eine Menge K ⊂ Rn heißt kompakt, wenn jede Folge {xi }i≥1 , deren Elemente aus K sind, eine Teilfolge besitzt, die gegen ein Element a ∈ K konvergiert. (1.19) Satz. Für K ⊂ Rn gilt: K kompakt

⇐⇒

K beschränkt und abgeschlossen.

Beweis. Es sei K eine abgeschlossene und beschränkte Menge (d.h. es ist kxk ≤ B für alle x ∈ K). Wir wählen dann eine Folge {xi }i≥1 mit Elementen aus K. Diese Folge ist beschränkt und besitzt nach Satz 1.9 eine konvergente Teilfolge. Der Grenzwert dieser Teilfolge liegt in K, da K abgeschlossen ist. Folglich ist K kompakt.


Sei nun andererseits K eine kompakte Menge. Dann ist K abgeschlossen, da jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen denselben Grenzwert konvergiert. Um zu zeigen, dass K beschränkt ist, gehen wir zunächt vom Gegenteil aus, d.h. wir nehmen an, dass es eine Folge {xi } gibt mit xi ∈ K für alle i und kxi k → ∞. Offenbar ist es unmöglich, eine konvergente Teilfolge zu bestimmen, so dass K in diesem Fall nicht kompakt sein kann. ⊓ ⊔ (1.20) Bemerkung. Kompakte Mengen sind nach Definition 1.18 genau diejenigen Mengen, in denen der Satz von Bolzano-Weierstraß angewendet werden kann. Da dieser Satz die Grundlage aller tieferen Ergebnisse u¨ ber gleichmäßige Konvergenz, gleichmäßige Stetigkeit, Maximum und Minimum bildet, hat Fréchet in seinem obigen Zitat nicht u¨ bertrieben. (1.21) Satz (Heine 1872, Borel 1895). Es sei K eine kompakte Menge und es sei {Uλ }λ∈Λ eine Familie offener Mengen Uλ mit [ ¨ (1.28) Uλ ⊃ K (offene Uberdeckung). λ∈Λ

Dann gibt es eine endliche Zahl an Indizes λ1 , λ2 , . . . , λm , so dass gilt: Uλ1 ∪ Uλ2 ∪ . . . ∪ Uλm ⊃ K. Gegenbeispiele. Bevor wir mit dem Beweis des Satzes fortfahren, wollen wir zeigen, dass auf keine der Voraussetzungen verzichtet werden kann. Im Beispiel n o K = x ; kxk < 1 , Ui = x ; kxk < 1 − 1/i , i = 1, 2, . . .

¨ ist es nicht möglich, eine endliche Uberdeckung von K zu finden. Dies liegt daran, dass K nicht abgeschlossen ist. Im Fall K = Rn , Ui = x ; kxk < i , i = 1, 2, . . . ,

ist die Menge K nicht beschränkt. Wiederum ist es nicht möglich, eine endliche ¨ Uberdeckung von K zu finden. Folglich ist auch die Beschränktheit von K notwendig. Schließlich wollen wir die kompakte Menge K = x ; kxk ≤ 1 betrachten, u¨ berdecken sie jedoch mit Mengen Ui , die nicht offen sind: Ui =

n

(r cos ϕ, r sin ϕ) ; 0 ≤ r ≤ 1,

1 2i+1

≤

ϕ 1 o ≤ i . 2π 2

¨ Keine der Mengen Ui ist in der Uberdeckung {Ui }i≥1 verzichtbar (Abb. 1.13).


K1

U2

U1

K2

U3 U4 U5 U6

K3

K

K4

U0

I ¨ ABB. 1.13. Nicht-offene Uberdeckung von K

ABB. 1.14. Heines Beweis

Beweis. Wir orientieren uns an Heine (1872) und umschließen die kompakte Menge K mit einem n-dimensionalen Würfel I (ein Quadrat für n = 2; siehe Abb. 1.14). Wir nehmen an, wir benötigen unendlich viele der Uλ , um K zu u¨ berdecken. Der Ansatz besteht nun darin, I in 2n kleinere Würfel zu zerlegen, indem wir die Seitenlängen halbieren (hier I1 , I2 , I3 , I4 ). Mindestens eine der Mengen K ∩ Ij (j = 1, . . . , 2n ) benötigt eine unendliche Zahl an Uλ zu ihrer ¨ Uberdeckung. Diese sei K ∩ Iℓ und nennen sie K1 . Wiederum zerlegen wir Iℓ in 2n kleinere Würfel, und so weiter. Auf diese Weise erhalten wir eine Folge von Mengen K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K 3 ⊃ . . . , ¨ von denen jede einer unendlichen Zahl an Uλ zur Uberdeckung bedarf. In jedem Ki wählen wir nun nach Belieben ein xi ∈ Ki . Die Folge {xi } ist eine Cauchy-Folge, da die Durchmesser der Ki gegen Null streben. Nach Satz 1.8 muss die Folge daher konvergieren, den Grenzpunkt nennen wir a. Da K kompakt ist (und folglich abgeschlossen) ist a ∈ K. Nach (1.28) gibt es ein λ mit a ∈ Uλ . Da dieses Uλ offen ist, gibt es ein ε > 0 mit Bε (a) ⊂ Uλ . Wenn wir jetzt einsetzen, dass die Durchmesser der Ki gegen Null streben, schlussfolgern wir, dass Km ⊂ Bε (a) ⊂ Uλ für hinreichend große m gelten muss. Folglich wird Km von einem einzigen Uλ u¨ berdeckt. Dies widerspricht jedoch der Annahme, K könne nicht mit einer endlichen Zahl an Uλ u¨ berdeckt werden. ⊓ ⊔


¨ Ubungen 1.1 Es sei k · k eine Norm auf Rn . Beweisen Sie: kxk − kyk ≤ kx − yk.

Hinweis. Wenden Sie die Dreiecksungleichung auf kxk = kx − y + yk an.

1.2 Zeigen Sie, dass gilt:

kxk2 ≤ kxk1 ≤

√

∀ x ∈ Rn .

n · kxk2

Zeigen Sie dann, dass diese Abschätzungen auch optimal“ sind, d.h. falls ” ∀ x ∈ Rn

c · kxk2 ≤ kxk1 ≤ C · kxk2 erfüllt ist, dann ist auch c ≤ 1 und C ≥

√

n.

1.3 Herr C.L. Ever könnte auf die Idee kommen, die Norm“ ” n X 2 kxk1/2 = |xi |1/2 i=1

zu definieren. Zeigen Sie, dass diese Norm“ dieDreiecksungleichung nicht ” erfüllt. Untersuchen Sie auch die Menge B = x ∈ R2 ; kxk1/2 ≤ 1 und zeigen Sie, dass diese nicht konvex ist.

1.4 Definieren Sie für jede Menge A in Rn ihr Inneres A◦ als ◦ A= {x A ist Umgebung von x}

und ihren Abschluss A als A = {x der Schnitt von A mit jeder Umgebung von x ist nicht leer}.

Zeigen Sie, dass A eine abgeschlossene Menge ist (tatsächlich sogar die ◦

kleinste abgeschlossene Menge, die A enthält), und dass A eine offene Menge ist (die größte offene Menge, die in A enthalten ist). 1.5 Zeigen Sie, dass für zwei beliebige Mengen A und B in Rn gilt: ◦

A ∪ B = A ∪ B,

z }| { ◦ ◦ A ∩ B =A ∩ B .

Finden Sie zwei Mengen A und B in R mit

◦

A ∩ B 6= A ∩ B

z }| { ◦ ◦ A ∪ B 6=A ∪ B .


1.6 (Sierpiński-Dreieck 1915). Es seien a, b, c drei Punkte in R2 , die ein gleichseitiges Dreieck bilden. Betrachten Sie die Menge ∞ ∞ ∞ n X X X λi µi νi o T = λa + µb + νc ; λ = , µ = , ν = , 2i 2i 2i i=1 i=1 i=1

wobei λi , µi , νi jeweils 0 oder 1 sind, so dass λi + µi + νi = 1 gilt für alle i. Bestimmen Sie die Form von T . Ist diese Menge offen, abgeschlossen, kompakt? 1.7 Zeigen Sie, dass 2 1 kxk = |x1 | + |x2 | + max |x1 |, |x2 | 3 3 eine Norm auf R2 beschreibt. Bestimmen Sie für diese Norm die Form der Einheitsscheibe“ ” B1 (0) = x ∈ R2 ; kxk ≤ 1 .

1.8 Beweisen Sie, dass die Abbildung N : R2 −→ R, die durch q N (x1 , x2 ) = ax21 + 2bx1 x2 + cx22

definiert ist, genau dann eine Norm auf R2 ist, wenn a > 0 und ac − b2 > 0 erfüllt ist. 1.9 Leiten Sie den Satz von Bolzano-Weierstraß aus dem Satz von Heine-Borel ab. Hinweis. Nehmen Sie an, {xn } ist eine Folge mit kxn k ≤ M , aber ohne Häufungspunkt. Dann gibt es für jedes a mit kak ≤ M ein ε > 0, so dass Bε (a) nur eine endliche Zahl an Folgengliedern von {xn } enthält. 1.10 Beweisen Sie, dass Rn und ∅ die einzigen Untermengen von Rn sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.


IV.2 Stetige Funktionen . . . ist die Schwierigkeit, welche nach dem Urtheile aller Mathematiker . . . das Studium jenes Werkes wegen seiner . . . mehr philosophischen als mathematischen Form dem Leser bereitet . . .. Jene Schwierigkeit nun zu beheben, war daher eine wesentliche Aufgabe für mich, wenn ich wollte, dass das Buch nicht nur von mir, sondern auch von anderen gelesen und verstanden werde. (Grassmann 1862, Professor am Gymnasium zu Stettin“) ”

Sei A eine Untermenge des Rn . Eine Funktion

f : A → Rm

(2.1)

bilde den Vektor x = (x1 , . . . , xn ) ∈ A auf den Vektor y = (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm ab. Jede Komponente von y ist eine Funktion von n unabhängigen Variablen. Daher schreiben wir

(2.2)

y = f (x)

oder

y1 = f1 (x1 , . . . , xn ) .. . ym = fm (x1 , . . . , xn ).

y

y2

y1

x1 ABB. 2.1a. Die Funktion y = x21 + x22

x

x2 ABB. 2.1b. y1 = cos 10x, y2 = sin 10x, 0 ≤ x ≤ 3

Beispiele. a) Eine Funktion (m = 1) von zwei Variablen (n = 2) kann als Oberfläche im R3 interpretiert werden. Beispielsweise stellt die Funktion y = x21 + x22 einen Paraboloiden dar (Abb. 2.1a). b) Zwei Funktionen (m = 2) von nur einer Variablen (n = 1) repräsentieren eine Kurve im R3 . Beispielsweise wird die Spirale aus Abb. 2.1b durch y1 = cos 10x, y2 = sin 10x beschrieben. Wenn wir die Kurve auf die (y1 , y2 )-Ebene projizieren, erhalten wir eine parametrische Darstellung“ einer Kurve im R2 (in ” unserem Beispiel von einem Kreis).

IV.2 Stetige Funktionen 311

(2.1) Definition. Eine Funktion f : A → Rm , A ⊂ Rn heißt stetig bei x0 ∈ A, wenn gilt: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ A : kx − x0 k < δ

kf (x) − f (x0 )k < ε.

Dies entspricht exakt der Definition III.3.2, wenn man die Betragsstriche durch Normen ersetzt. Unsere Definition hängt nicht von der konkret gewählten Norm ab, solange diese zueinander a¨ quivalent sind (hier gilt dasselbe Argument wie in Bemerkung 1.6). Wenn wir im Rm die Maximumsnorm verwenden, so finden wir in Analogie zu Satz 1.7 das folgende Resultat. (2.2) Satz. Eine Funktion f : A → Rm , A ⊂ Rn mit den Bezeichnungen aus (2.2) ist genau dann stetig bei x0 ∈ A, wenn die Funktionen fj : A → R bei x0 für alle j = 1, . . . , m stetig sind. ⊓ ⊔ Als Konsequenz dieses Satzes reicht es also aus, sich auf den Fall m = 1 zu beschränken, wenn man Stetigkeit studieren will. Eine konstante Funktion f (x) = c ist offensichtlich u¨ berall stetig. Die Projektion von x = (x1 , . . . , xn ) auf die k-te Koordinate, also p(x) = xk , ist ebenfalls in jedem Punkt x0 = (x10 , . . . , xn0 ) stetig, da |xk − xk0 | ≤ kx − x0 k ist (wähle δ = ε in Definition 2.1). Es ist nahezu trivial, Definition III.3.10 (Grenzwert einer Funktion) und die Aussagen der Sätze III.3.3 und III.3.4 auf den Fall mehrerer Variablen auszudehnen, solange Produkt und Quotient noch Sinn machen (man ersetze einfach die Betragsstriche durch Normen). Folglich sind Polynome mehrerer Variablen wie beispielsweise f (x1 , x2 , x3 ) = x41 x52 − x1 x32 x3 + 4x52 − 1 u¨ berall stetig, und rationale Funktionen sind an allen Punkten stetig, an denen ihr Nenner nicht verschwindet.

y

y x2

x1

x2 x1

ABB. 2.2. Stereogramm der unstetigen Funktion f (x1 , x2 ) aus Gl. (2.3). (Halten Sie das Bild nahe an Ihre Augen (20 cm) und fokussieren Sie durch das Papier hindurch einen Punkt 20 cm hinter dem Papier an. Dann werden die zwei Bilder zu einem dreidimensionalen Eindruck verschmelzen.)

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion f : R2 → R, die durch ( x1 x2 falls x21 + x22 > 0 (2.3) y = f (x1 , x2 ) = x21 + x22 0 falls x1 = x2 = 0


definiert ist (siehe Abb. 2.2). Sie ist stetig an allen Punkten mit x21 +x22 > 0. Um ihr Verhalten in der Nähe des Ursprungs zu erklären, benutzen wir Polarkoordinaten x1 = r cos ϕ, x2 = r sin ϕ, so dass (für r > 0) gilt: y=

r2 cos ϕ sin ϕ 1 = sin 2ϕ. 2 r 2

Folglich ist die Funktion konstant entlang allen Geraden, die durch den Ursprung gehen, wobei die Konstante vom Winkel ϕ abhängt. In jeder Umgebung von (0, 0) nimmt nun die Funktion (2.3) sämtliche Werte zwischen +1/2 und −1/2 an. Als Konsequenz kann sie bei (0, 0) nicht stetig sein. Das Interessante an diesem Beispiel ist, dass die partiellen Funktionen x1 7→ f (x1 , 0) und x2 7→ f (0, x2 ) sehr wohl im Ursprung stetig sind. Das bedeutet, dass es kein Analogon zu Satz 2.2 für die unabhängigen Variablen x geben kann, wie Cauchy (1821, S. 37) noch dachte. Er wurde von Peano (1884, Annotazione ” N. 99“) mittels Beispielen wie dem obigen widerlegt.

Stetige Funktionen und Kompaktheit Wir fahren damit fort, die Ergebnisse aus Abschnitt III.3 auf Funktionen mehrerer Variablen zu verallgemeinern. Viele dieser Verallgemeinerungen sind unkompliziert. Beispielsweise liest sich das Analogon von Satz III.3.6 wie folgt: (2.3) Satz. Es sei K ⊂ Rn eine kompakte Menge und f : K → R stetig auf K. Dann ist die Funktion f auf K beschränkt und nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an, d.h. es gibt Vektoren u ∈ K und U ∈ K mit für alle

f (u) ≤ f (x) ≤ f (U )

x ∈ K.

⊓ ⊔

Mit diesem Satz lässt sich das folgende Resultat beweisen, das wir bereits in Bemerkung 1.6 angekündigt haben. (2.4) Satz. Alle Normen im Rn sind a¨ quivalent. Ist also N : Rn → R eine Abbildung, die die folgenden Bedingungen (N1) bis (N3) aus Satz 1.1 erfüllt, (N1) (N2) (N3)

N (x) ≥ 0

und

N (λx) = |λ| N (x)

N (x) = 0 ⇔ x = 0, für

N (x + y) ≤ N (x) + N (y)

λ ∈ R,

(Dreiecksungleichung),

so gibt es Zahlen C1 > 0 und C2 > 0 mit (2.4)

C1 kxk2 ≤ N (x) ≤ C2 kxk2

für alle

x ∈ Rn .

Beweis. Wir wollen zunächst zeigen, dass N (x) stetig ist. Dafür schreiben wir x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en , wobei e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) etc. ist. Dann folgt aus (N3), (N2) und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung (1.5)


(2.5)

N (x) = N (x1 e1 + . . . + xn en ) ≤ N (x1 e1 ) + . . . + N (xn en ) ≤ |x1 | · N (e1 ) + . . . + |xn | · N (en ) ≤ kxk2 · C2 ,

p mit C2 = N (e1 )2 + . . . + N (en )2 . Damit ist die zweite Ungleichung von (2.4) bewiesen. Die Stetigkeit von N (x) sieht man nun wie folgt: N (x) − N (x0 ) = N (x − x0 + x0 ) − N (x0 )

≤ N (x − x0 ) + N (x0 ) − N (x0 ) ≤ C2 kx − x0 k2

und entsprechend N (x0 ) − N (x) = . . . ≤ C2 kx0 − xk2 , so dass (2.6)

|N (x) − N (x0 )| ≤ C2 kx − x0 k2

erfüllt ist. Wir betrachten nun die Funktion N (x) auf der kompakten Menge K = x ∈ Rn ; kxk2 = 1 . Nach Satz 2.3 nimmt sie für ein u ∈ K ihr Minimum an, d.h. (2.7)

N (z) ≥ N (u)

für alle

z ∈ K.

Setzen wir C1 = N (u), was nach (N1) positiv sein muss, so gilt für ein beliebiges x ∈ Rn (x 6= 0), dass x/kxk2 ∈ K ist und folglich x 1 C1 ≤ N = N (x) kxk2 kxk2 sein muss. Damit ist auch die erste Ungleichung von (2.4) bewiesen.

⊓ ⊔

Gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz Genauso wie in Abschnitt III.4 nennen wir eine Funktion f : A → Rm , A ⊂ Rn gleichmäßig stetig, wenn sie auf A stetig ist und das δ in Definition 2.1 unabhängig von x0 ∈ A gewählt werden kann. Dann gilt die folgende Verallgemeinerung von Satz III.4.5. (2.5) Satz (Heine 1872). Es sei f : K → Rm eine auf K stetige Funktion und es sei K ⊂ Rn eine kompakte Menge. Dann ist f gleichmäßig stetig auf K.

Beweis. Die zwei Beweise von Satz III.4.5 können leicht an den Fall mehrerer ¨ Variablen angepasst werden. Zum Vergnügen und auch als Ubung präsentieren wir nun einen dritten Beweis, der den Satz 1.21 von Heine-Borel verwendet. Nach Voraussetzung wissen wir (2.8) ∀ x0 ∈ K ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ K : kx − x0 k < δ kf (x) − f (x0 )k < ε. Der Ansatz besteht nun darin, die Gesamtheit aller Scheiben {Bδ (x0 )}x0 ∈K als ¨ ¨ offene Uberdeckung von K zu betrachten, und daraus eine endliche Uberdeckung


zu gewinnen. Wir werden allerdings schnell feststellen, dass dieser Ansatz noch Probleme bereitet. Seien wir darum etwas vorsichtiger. Wir halten ein ε > 0 fest. Wir definieren für jedes a ∈ K die offene Menge Ua = x ; kx − ak < δ/2 wobei δ wie in (2.8) von x0 = a abhängt .

¨ Diese Mengen bilden eine offene Uberdeckung von K. Da K kompakt ist, reicht bereits eine endliche Zahl an Mengen Ua1 , . . . , UaN aus, um K zu u¨ berdecken. Es seien δ1 , . . . , δN die zugehörigen Werte für δ und wir setzen δ = min δ1 /2, δ2 /2, . . . , δN /2 . Nun seien x ∈ K und y ∈ K beliebige Punkte, die kx − yk < δ erfüllen. Wir wollen zeigen, dass kf (x) − f (y)k < 2ε gilt. Da x ∈ K ist, gibt es einen Index i mit x ∈ Uai , also kx − ai k < δi /2. Aus kx − yk < δ ≤ δi /2 und der Dreiecksungleichung folgt dann ky − ai k < δi . Nach (2.8) finden wir also kf (x) − f (y)k ≤ kf (x) − f (ai )k + kf (ai ) − f (y)k < ε + ε = 2ε,

womit die Aussage bewiesen ist.

⊓ ⊔

Sämtliche Definitionen und Ergebnisse aus Abschnitt III.4, die sich mit der gleichmäßigen Konvergenz einer Folge von Funktionen befassen, lassen sich unmittelbar auf den Fall mehrerer Dimensionen ausdehnen. Wenn also eine Folge stetiger Funktionen fk : A → Rm , A ⊂ Rn auf A gleichmäßig gegen eine Funktion f (x) konvergiert, so ist diese Grenzfunktion stetig (eine direkte Verallgemeinerung von Satz III.4.2). Wir betrachten hierfür ein interessantes Beispiel. Die Peano-Hilbert-Kurve. Eine stetige Kurve kann Flächenstücke enthalten: das ist eine der merkwürdigsten Tatsachen der Mengenlehre, deren Entdeckung wir G. Peano verdanken. (Hausdorff 1914, S. 369)

Cantor (1878) fand das sensationelle Ergebnisse, dass es eine eineindeutige Korrespondenz zwischen den Punkten eines Intervalls und jenen eines Quadrates gibt. Jedoch war Cantors Abbildung nicht stetig. Peano (1890) fand dann durch gekonnte Manipulation der Koordinaten in Basis 3 eine stetige Kurve, die das ganze Quadrat ausfüllt. Wenig später entdeckte Hilbert (1891) Kurven dieser Art durch eine wundervolle geometrische Anschauung“: Er unterteilte die Quadrate ” wiederholt in vier kleinere Quadrate und benannte ihre Mittelpunkte nach der Richtung, die die vorhergehende Kurve durchlief (siehe Abb. 2.3). Noch eine Konstruktion. Es sei ϕ(t) = (x(t), y(t)), 0 ≤ t ≤ 1 eine beliebige stetige Kurve, die die Punkte A = (0, 0) für t = 0 und B = (1, 0) für t = 1 miteinander verbindet (siehe Abb. 2.4). Sodann definieren wir eine neue Kurve Φϕ durch 1 y(4t), x(4t) falls 0 ≤ t ≤ 14   2    1 x(4t − 1), 1 + y(4t − 1) falls 14 ≤ t ≤ 24 (Φϕ)(t) = 21  1 + x(4t − 2), 1 + y(4t − 2) falls 24 ≤ t ≤ 34  2   1 falls 34 ≤ t ≤ 1. 2 2 − y(4t − 3), 1 − x(4t − 3)

IV.2 Stetige Funktionen 315 6

2

7

10

22

11

3

21

5

8 3

4

1

13

4 1

2

15

16

27

25 19 30

38

28 37 29 36 32

17 16

14

24

20

12

9

23 26

14

2

3

9

46

34

47

10 55 7

8

48 52

58

56

57

44 45

53

5 4

41 35

11 54 12

15

1

40

43

33

18 31 13

39 42

49

51

50

62

63

60 6

59

61

64

ABB. 2.3. Die Peano-Hilbert-Kurve

Φψ Φψ

ψ

Φψ Φψ

Φϕ

ψ

Φϕ Φψ

Φϕ

ϕ

Φψ Φψ

Φϕ

Φψ

A

BA

BA

B

ABB. 2.4. Aufbau der Kurve von Hilbert

Dies liefert wiederum eine stetige Kurve, die A = (0, 0) für t = 0 und B = (1, 0) für t = 1 miteinander verbindet (siehe zweites Bild in Abb. 2.4), so dass die Prozedur wiederholt werden kann (drittes Bild in Abb. 2.4). Dies führt zu einer Folge von Funktionen ϕ0 = ϕ, ϕ1 = Φϕ0 , ϕ2 = Φϕ1 und so weiter. Wenn wir von einer anderen Startkurve ψ(t) mit kϕ(t) − ψ(t)k∞ ≤ K für t ∈ [0, 1] ausgehen, so ist kΦϕ(t) − Φψ(t)k∞ ≤ K/2 (siehe Abb. 2.4). Daraus folgt (2.9)

kϕk (t) − ψk (t)k ≤ K · 2−k


und wenn man ψ(t) = ϕm (t) und K = 1 einsetzt, findet man kϕk (t) − ϕk+m (t)k ≤ 2−k .

(2.10)

Aus (2.10) sehen wir, dass die Folge ϕk (t) gleichmäßig konvergiert (CauchyKriterium (III.4.4)) und folglich eine stetige Grenzfunktion ϕ∞ (t) besitzt (siehe Satz III.4.2). Desweiteren folgt aus (2.9), dass die Grenzfunktion von der ursprünglichen Funktion ϕ0 (t) unabhängig ist. Hilberts Kurve aus Abb. 2.3 besitzt im Vergleich zu den Kurven aus Abb. 2.4 kleine Veränderungen an den Endpunkten der Intervalle [i/4k , (i + 1)/4k ], die aber für k → ∞ verschwinden. ¨ Es ist im Ubrigen interessant, dass die beiden Koordinaten x(t) und y(t) neue Beispiele für stetige Funktionen sind, die nirgends differenzierbar sind (vgl. Abschnitt III.9).

Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind wichtige Beispiele für gleichmäßig stetige Funktionen. Sei A eine Matrix   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  (2.11) A= . .. ..   ... . .  am1

am2

. . . amn

Wir betrachten die Abbildung x 7→ y = Ax mit (2.12)

yi =

n X

aij xj ,

i = 1, 2, . . . , m

j=1

(wenn wir mit Matrizen arbeiten, ist es bequemer, Vektoren als Spaltenvektoren zu schreiben, so dass (2.12) einfach das gewöhnliche Produkt zweier Matrizen ist). (2.6) Satz (Peano 1888a, S. 454). In der euklidischen Norm gilt für alle x ∈ Rn v uX n um X (2.13) kAxk2 ≤ M · kxk2 mit M =t a2ij . i=1 j=1

Beweis. Wenden wir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (1.5) auf die Summe in Gleichung (2.12) an, also yi2 ≤

n X j=1

a2ij

n X j=1

x2j ,

und summieren die Terme von i = 1 bis m, erhalten wir die Behauptung.

⊓ ⊔


Als Folgerung aus der Linearität von Ax finden wir kAx − Ax0 k ≤ M · kx − x0 k, wobei M wie in Satz 2.6 definiert ist. Dies zeigt, dass die Abbildung x 7→ Ax auf Rn gleichmäßig stetig ist (man wähle δ = ε/M unabhängig von x0 ). Beispiel. Wir betrachten die zweidimensionale Matrix √ q √ 2 + 1 √1 A= mit M = 6 + 2 2 = 2,9713. 0 2 In Abb. 2.5 sind die Mengen {x ; kxk2 ≤ 1} und {y = Ax ; kxk2 ≤ 1} dargestellt. Wir stellen fest, dass die zweite Menge im Inneren der Scheibe vom ¨ Radius M liegt, in Ubereinstimmung mit der Abschätzung (2.13). Allerdings stellen wir auch fest, dass der Wert M nicht optimal ist. x2

M

2

y2 2

f −2

0 0

2

x1

−2

−2

0 0

−2

2

y1

kAk2

ABB. 2.5. Majorisierung einer linearen Funktion

Die Matrix-Norm. Die kleinstmögliche Zahl M , die die Ungleichung (2.13) erfüllt, heißt die Norm (oder Matrix-Norm) von A. Sie wird bezeichnet mit (2.14)

kAk2 := sup{kAxk2 ; kxk2 ≤ 1}.

Offensichtlich ist kAk2 ≤ M mit dem M aus (2.13) und außerdem gilt (2.15)

kAxk2 ≤ kAk2 kxk2

für alle Vektoren x. Die genaue Berechnung von kAk Eigenwerte q2 benötigt die p √ √ von AT A und liefert im obigen Beispiel kAk2 = 3+ 2+ 5+2 2 = ¨ 2,6855 (siehe Abb. 2.5 und Ubung 4.9).


Hausdorffs Charakterisierung stetiger Funktionen Wir interessieren uns für eine weitere Charakterisierung von Stetigkeit, die eleganter ist als die, die wir in Definition 2.1 benutzt haben. Anstelle mit Normen zu arbeiten, wollen wir dafür Umgebungen und offene Mengen benutzen. Für eine gegebene Funktion f : Rn → Rm und für Mengen U ⊂ Rn , V ⊂ Rm bezeichnen wir mit (2.16) f (U ) = f (x) ∈ Rm ; x ∈ U das Bild von U , −1 n (2.17) f (V ) = x ∈ R ; f (x) ∈ V das Urbild von V . (2.7) Beispiel. Wir wählen eine Funktion f : R2 → R2 , die gemäß y u=x+ , 2

(2.18)

3 x v = (x + 2)y 3 − (x + 1)y + 2 4

(x, y) auf (u, v) abbildet. Diese Funktion ist für −1,1 ≤ x,y ≤ 1,1 in Abb. 2.6 skizziert. Für eine Untermenge U (hellgraues Tier der Spezies Katze“ 1 ) haben ” wir die Menge f (U ) und für V (dunkles Tier der Spezies Katze“) die Menge ” f −1 (V ) gezeichnet. Wir stellen fest, dass das Urbild einer zusammenhängenden Menge nicht notwendigerweise wieder zusammenhängend sein muss. Dies liegt daran, dass in unserem Beispiel die Funktion f nicht bijektiv ist.

y

v

1 f −1(V)

0

−1

0

1

f 1

x

−1

0 0

V

1

u

f −1(V)

U −1

f(U)

−1

ABB. 2.6. Bild und Urbild der Funktion (2.18)

Charakterisierung von Stetigkeit mittels Umgebungen. Die Menge aller x ∈ Rn , die kx − x0 k < δ erfüllen, heißt Bδ (x0 ) (siehe Gl. (1.23)), die Menge der x ∈ Rn mit kf (x) − y0 k < ε ist also f −1 Bε (y0 ) . Wenn also y0 = f (x0 ) und A = Rn ist, so lässt sich die Bedingung von Definition 2.1 folgendermaßen ausdrücken: 1

Kot ArnoƩda.


(2.19)

∀ε > 0 ∃δ > 0

Bδ (x0 ) ⊂ f −1 Bε (y0 ) .

Da eine Umgebung V von y0 durch die Existenz eines ε > 0 mit Bε (y0 ) ⊂ V definiert ist, muss (2.19) a¨ quivalent sein zu (2.20)

für jede Umgebung V von y0 ist f −1 (V ) eine Umgebung von x0 .

Diese Interpretation der Stetigkeit bei x0 ist nicht nur eleganter, sondern lässt sich auch in allgemeineren topologischen Räumen“ einsetzen. ” Die Charakterisierung einer u¨ berall stetigen Funktion f : Rn → Rm mit Hilfe von offenen und abgeschlossenen Mengen ist ebenfalls möglich, wie der folgende Satz demonstriert. (2.8) Satz (siehe Hausdorff 1914, S. 361). Für eine Funktion f : Rn → Rm sind die folgenden drei Aussagen a¨ quivalent: i) f ist stetig auf Rn ; ii) für jede offene Menge V ⊂ Rm ist die Menge f −1 (V ) in Rn offen; iii) für jede abgeschlossene Menge F ⊂ Rm ist f −1 (F ) in Rn abgeschlossen. Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei V ⊂ Rm eine offene Menge. Wir wählen x0 ∈ f −1 (V ) so, dass f (x0 ) ∈ V ist. Da V offen ist, ist dies eine Umgebung von f (x0 ) und nach (2.20) ist f −1 (V ) eine Umgebung von x0 . Dies gilt für alle x0 ∈ f −1 (V ). Daher ist f −1 (V ) nach Definition 1.11 offen. (ii) ⇒ (i): Unter der Annahme, dass (ii) erfüllt ist, wollen wir zeigen, dass f an einem beliebigen Punkt x0 ∈ Rn stetig ist. Dafür sei ε > 0 gegeben und wir setzen y0 = f (x0 ). Die Menge Bε (y0 ) ist offen, so dass nach Annahme (ii) f −1 (Bε y0 ) ebenfalls offen ist. Definition 1.11 liefert dann die Existenz eines δ > 0 mit Bδ (x0 ) ⊂ f −1 (Bε y0 ) . Aber dies ist einfach die Stetigkeit von f bei x0 (siehe (2.19)). ¨ (ii) ⇔ (iii): der Aussagen (ii) und (iii) folgt aus der Gleich Die Aquivalenz heit f −1 ∁V = ∁ f −1 (V ) in Kombination mit Satz 1.14. ⊓ ⊔ (2.9) Beispiel. Sei f : R → R definiert als f (0) = 0 und (2.21)

f (x) = sin(1/x2 )

für

x 6= 0.

Diese Funktion ist nicht stetig bei x = 0. Wir wollen zeigen, dass für unstetige Funktionen die Bedingungen (ii) und (iii) im allgemeinen nicht gelten. Beispielsweise ist die Menge V = (1/3, 2/3) offen und ihr Urbild f −1 (V ) = (x2 , x1 ) ∪ (x4 , x3 ) ∪ . . . ist ebenso offen (siehe Abb. 2.7). Jedoch ist die Menge F = [1/3, 2/3] abgeschlossen, während f −1 (F ) = [x2 , x1 ] ∪ [x4 , x3 ] ∪ . . . nicht abgeschlossen ist, da der Grenzwert der Folge {xi } nicht in f −1 (F ) liegt. Das Urbild der offenen Menge V = (−1/2, 1/2) ist f −1 (V ) = (x0 , ∞) ∪ (x2 , x1 ) ∪ . . . ∪ {0} und nicht offen, da sie keine Umgebung der 0 ist (siehe Abb. 2.8). Dagegen ist das Urbild der abgeschlossenen Menge F = [−1/2, 1/2], also f −1 (F ) = [x0 , ∞) ∪ [x2 , x1 ] ∪ . . . ∪ {0}, wiederum abgeschlossen.

320 IV. Differentialrechnung in mehreren Variablen 1

V 0 0

x5

x4x3

1

x2

x1

−1

ABB. 2.7. Urbild der Funktion (2.21) 1

V

0 0

x4x3

x2 x1

x0

1

−1

ABB. 2.8. Urbild der Funktion (2.21)

(2.10) Beispiel. Unser letztes Beispiel soll demonstrieren, dass ein Analogon von Satz 2.8 für Bildmengen nicht gilt. Wir betrachten dafür die stetige Funktion f : R → R, die gegeben ist durch (siehe Abb. 2.9) (2.22)

f (x) =

2x . 1 + x2

Das Bild der offenen Menge U = (3/4, 2) ist f (U ) = (4/5, 1], was offensichtlich nicht offen ist; das Bild der abgeschlossenen Menge F = [3, ∞) wiederum ist f (F ) = (0, 3/5], was nicht abgeschlossen ist. 1

f(U)

f(F) 1

U

ABB. 2.9. Bild der Funktion (2.22)

F

...


Integrale mit Parametern Angenommen, wir haben eine Funktion f (x, p) von zwei Variablen, die auf dem Rechteck x ∈ [a, b], p ∈ [c, d] definiert ist. Wenn wir diese Funktion bezüglich x integrieren, so erhalten wir eine Funktion von p: Z b (2.23) F (p) = f (x, p) dx, a

Die Frage lautet nun, unter welchen Voraussetzungen F (p) stetig ist. ¨ (2.11) Gegenbeispiele. In Formel (b) von Ubung III.5.9 ersetzen wir n2 einmal durch 1/p und einmal durch p, (2.24)

f (x, p) =

x/p , (1 + x2 /p)2

p > 0, 0 ≤ x ≤ 1,

(2.25)

f (x, p) =

px , (1 + px2 )2

p > 0, 0 ≤ x < ∞,

und setzen außerdem in beiden Fällen f (x, p) = 0 für p = 0. Im ersten Fall entspricht p → 0 dem Grenzwert n → ∞ in Abb. III.5.5.b, R1 weshalb F (p) = 0 f (x, p) dx gegen eine nicht verschwindende Konstante strebt, wohingegen F (0) = 0 ist. Wir stellen fest, dass f (x, p) u¨ berall stetig ist, außer im Punkt x = p = 0. Im zweiten Fall beschreibt die Funktion f (x, p) einen Buckel, der für p → 0 unter Ausdehnung ins Unendliche abflacht, während er seine Fläche beibehält. Wiederum ist F (p) bei p = 0 nicht stetig. Dieses Mal jedoch ist f (x, p) u¨ berall stetig, allerdings ist der Integrationsbereich unbeschränkt. Ist nun f (x, p) u¨ berall stetig, als auch der Integrationsbereich ein kompaktes Intervall, so wissen wir, dass f (x, p) gleichmäßig stetig ist (Satz 2.5), und es ist ¨ eine einfache Ubung, den folgenden Satz zu beweisen (vergleiche den Beweis von Satz 3.11 unten). (2.12) Satz. Falls f (x, p) eine auf [a, b] × [c, d] stetige Funktion ist, so ist Z b F (p) = f (x, p) dx a

eine auf [c, d] stetige Funktion.

⊓ ⊔


¨ Ubungen 2.1 Zeigen Sie, dass es drei verschiedene Werte für t gibt, für die die Hilbertkurve ϕ∞ (t) gleich (1/2, 1/2) ist. 2.2 Beweisen Sie, dass die Matrix-Norm“ (2.14) tatsächlich eine Norm auf ” Rn·m ist.

ABB. 2.10. Peanos Kurve

2.3 a) Abb. 2.10 zeigt Peanos ursprüngliche Formeln (siehe Peano 1890), programmiert und ausgedruckt. Erklären Sie ihre Konstruktion in der Art der Erklärung zu Abb. 2.4 (Sie werden ein Tier benötigen, dass entgegengesetzte Ecken eines Quadrates verbindet). b) Im letzten Satz seines Artikels behauptet Peano ohne weitere Begründung, dass x und y als Funktionen von t an keiner Stelle differenzierbar sind ( Ces ” x et y, fonctions continues de la variable t, manquent toujours de dérivée“). Beweisen Sie diese Aussage. Hinweis. Passen Sie den Beweis von Satz III.9.1 von de Rham an, indem Sie αn = i/9n und βn = (i + 1)/9n wählen. Für diese Wahl liegt die PeanoKurve in entgegengesetzten Ecken eines Quadrates mit Seitenlänge 3−n , so dass rn = 3n ist. 2.4 Zeigen Sie, dass für kompaktes K ⊂ Rn und stetiges f : K −→ Rm die Menge f (K) ⊂ Rm ebenfalls kompakt ist. 2.5 Die Funktion f : R2 −→ R, die durch  2  x1 − x22 f (x1 , x2 ) = x21 + x22  0

für x21 + x22 > 0 für x1 = x2 = 0

definiert ist, ist unstetig bei (0, 0) (warum?). Finden Sie eine offene Menge U ⊂ R und eine abgeschlossene Menge F ⊂ R, so dass f −1 (U ) nicht offen und f −1 (F ) nicht abgeschlossen ist.

2.6 Definieren Sie eine Abbildung P : R2 −→ R2 (mit dem Namen Projektion) durch P (x1 , x2 ) = (x1 , 0).


a) Zeigen Sie, dass P stetig ist. b) Finden Sie eine offene Menge U ⊂ R2 , für die P (U ) nicht offen ist. c) Finden Sie eine abgeschlossene Menge F ⊂ R2 , für die P (F ) nicht abgeschlossen ist. Bemerkung. (b) ist sehr einfach, (c) jedoch ist schwieriger. Aufgrund von ¨ Ubung 2.4 müssen Sie nach einer unbeschränkten Menge F suchen.

z y x

ABB. 2.11. Graph von (cos x − cos y)/(x − y)

2.7 Ein naiver Benutzer eines Computeralgebrasystems (wie bspw. Maple“) ” möchte einen dreidimensionalen Graphen der Funktion g(x, y) =

cos x − cos y x−y

− 8 ≤ x ≤ 8, −8 ≤ y ≤ 8

anfertigen und erhält ein Resultat in der Art von Abb. 2.11. Wie muss g für x = y definiert werden, um eine stetige Funktion zu erhalten? Prüfen Sie dann die Bedingungen von Definition 2.1 für die Stetigkeit einer Funktion von zwei Variablen.


IV.3 Differenzierbare Funktionen von mehreren Variablen Wir Deutsche gebrauchen statt dessen nach Jacobi’s Vorgange für partielle Ableitungen das runde ∂. (Weierstraß 1874)

Unser nächstes Ziel besteht darin, den Begriff der Differenzierbarkeit für Funktionen einzuführen, die von mehr als einer Variablen abhängen. Da die Division durch den Vektor x − x0 keinen Sinn macht, gibt es keinen direkten Weg, Definition III.6.1 zu verallgemeinern. Partielle Ableitungen. Wenn wir bei einer Funktion f : U → R, U ⊂ Rn sämtliche Variablen bis auf eine festhalten und f als Funktion von nur dieser einen Variablen betrachten, können wir Definition III.6.1 anwenden. Beispielsweise können wir eine Funktion y = f (x1 , x2 ) von zwei Variablen in der Umgebung des Vektors (x10 , x20 ) betrachten. Wir schreiben dann ihre Ableitungen als ∂f f (x10 + h, x20 ) − f (x10 , x20 ) =: x10 , x20 h→0 h ∂x1 f (x10 , x20 + h) − f (x10 , x20 ) ∂f lim =: x10 , x20 h→0 h ∂x2 lim

(3.1)

und nennen sie partielle Ableitungen von f bezüglich x1 bzw. x2 . Weitere Notationen lauten u.a. fxi (x10 , x20 ), Di f (x10 , x20 ) und ∂i f (x10 , x20 ). Geometrisch kann man diese partiellen Ableitungen wie folgt verstehen: Die Funktion y = f (x1 , x2 ) beschreibt eine Oberfläche im R3 (mit Koordinaten x1 , x2 und y). Deren Schnitt mit der Ebene x2 = x20 ist eine Kurve x1 7→ f (x1 , x20 ). Folglich ist die partielle Ableitung ∂f /∂x1 die Steigung dieser Kurve und ∂f y = f (x10 , x20 ) + x10 , x20 (x1 − x10 ) ∂x1 ist die Tangente an diese Kurve bei (x10 , x20 ). In a¨ hnlicher Weise ist die Tangente der Kurve x2 7→ f (x10 , x2 ) einfach y = f (x10 , x20 ) + ∂f /∂x2 x10 , x20 (x2 − x20 ) und die Ebene, die von beiden Tangenten aufgespannt wird, lautet (3.2) y = f (x10 , x20 ) +

∂f ∂f x10 , x20 (x1 − x10 ) + x10 , x20 (x2 − x20 ). ∂x1 ∂x2

Die Funktion f (x1 , x2 ) nennen wir differenzierbar bei (x10 , x20 ), wenn die Ebene (3.2) eine gute“ Näherung an f (x1 , x2 ) in einer ganzen Umgebung von ” (x10 , x20 ) ist und nicht nur entlang der Geraden x1 = x10 und x2 = x20 . 2

2

(3.1) Beispiel. Die Oberfläche der Funktion y = e−x1 −x2 ist in Abb. 3.1 skizziert. Die partiellen Ableitungen dieser Funktion lauten 2 2 ∂f (x1 , x2 ) = −2x1 e−x1 −x2 , ∂x1

2 2 ∂f (x1 , x2 ) = −2x2 e−x1 −x2 . ∂x2

IV.3 Differenzierbare Funktionen von mehreren Variablen 325

In dem wir diese Ableitungen bei (x10 , x20 ) = (0,8, 1,0) auswerten, finden wir die Tangentialebene an diesen Punkt mit Hilfe von Gl. (3.2). Sie ist ebenfalls in Abb. 3.1 dargestellt.

x1

x2

x2

x1

2

2

ABB. 3.1. Tangentialebene an die Fläche y = e−x1 −x2 (Stereogramm)

Zwei abhängige Variablen. Haben wir zwei Funktionen zu je zwei Variablen, (3.3)

y1 = f1 (x1 , x2 ),

y2 = f2 (x1 , x2 ),

so können wir (3.2) für jede der zwei Funktionen aufschreiben: (3.4) ∂f1 ∂f1 y1 = f1 (x10 , x20 ) + x10 , x20 (x1 − x10 ) + x10 , x20 (x2 − x20 ), ∂x1 ∂x2 ∂f2 ∂f2 y2 = f2 (x10 , x20 ) + x10 , x20 (x1 − x10 ) + x10 , x20 (x2 − x20 ). ∂x1 ∂x2 Diese Formel schreibt sich bequem in Vektorschreibweise als (3.4′ )

y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ),

wobei f ′ (x0 ) nun eine Matrix ist, die sogenannte Jacobi-Matrix (s. Jacobi 1841): ∂f1 ∂f1 (x0 ) ∂x (x0 ) ′ ∂x1 2 (3.5) f (x0 ) = ∂f2 . ∂f2 ∂x1 (x0 ) ∂x2 (x0 ) Diese Schreibweise erlaubt es uns, die meisten Formeln aus Abschnitt III.6 auf den Fall mehrerer Variablen zu u¨ bertragen. (3.2) Beispiel. Wir betrachten die Funktion f : R2 → R2 , die gegeben ist durch √ f1 (x1 , x2 ) 2x1 + sin(x1 + x2 ) √ (3.6) f (x) = = . f2 (x1 , x2 ) 2x2 + cos(x1 − x2 ) Diese Funktion bildet den Ursprung (x1 , x2 ) = (0, 0) auf den Punkt (y1 , y2 ) = (0, 1) ab, Geraden bildet sie auf Kurven ab und kleine Quadrate auf Mengen, die Parallelogrammen a¨ hneln (siehe Abb. 3.2). Die Jacobi-Matrix von (3.6) lautet


f ′ (x) =

(3.7)

√

2 + cos(x1 + x2 ) − sin(x1 − x2 )

√ cos(x1 + x2 ) 2 + sin(x1 − x2 )

,

und Gl. (3.4) wird für x0 = (0, 0)T und y0 = f (x0 ) zu: √ y1 − y10 2 + 1 √1 x1 − x10 (3.8) = . y2 − y20 0 2 x2 − x20

Die lineare Abbildung, die zu (3.8) gehört, ist gerade die aus Abb. 2.5. Vergleicht man die zwei Bilder, sieht man, dass die nichtlineare Abbildung (3.6) in einer kleinen Umgebung von x0 durch die lineare Abbildung genähert wird, die durch die Jacobi-Matrix beschrieben wird. Wir stellen fest, dass für kleine √ Werte von x − x0 die x1 -Achse (also x2 = x20 = 0) auf ein Vielfaches von ( √2 + 1, 0)T abgebildet wird, während die x2 -Achse auf ein Vielfaches von (1, 2)T abgebildet wird (vgl. die Pfeile in Abb. 3.2). Folglich sind die Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix die Bilder der infinitesimalen Einheitsvektoren“. ” x2

y2

f

5

−5

5

x1

5

−5

−5

5

y1

−5

ABB. 3.2. Graph der Abbildung (3.6)

Differenzierbarkeit . . . daß Weierstraß’ unmittelbarer Unterricht die Spontanität der Hörer zu sehr unterdrückte und in der Tat nur für den voll verständlich war, der schon anderweitig mit dem Stoff sich vertraut gemacht hatte. Die größeren Werke sind von Ausländern geschrieben . . . Wohl das erste stammt von meinem Freunde S t o l z (Innsbruck): Vorlesungen u¨ ber all” gemeine Arithmetik“ . . .. (F. Klein 1926, Entwicklung der Math., S. 291)

Wir betrachten eine Funktion (3.9)

f : U → Rm ,

U ⊂ Rn

und einen Punkt x0 ∈ U , der ein innerer Punkt von U ist (d.h. U ist eine Umgebung von x0 ).


(3.3) Definition (Stolz 1887, Fréchet 1906). Die Funktion (3.9) ist differenzierbar bei x0 , wenn es eine lineare Abbildung f ′ (x0 ) : Rn → Rm und eine Funktion r : U → Rm gibt, die bei x0 stetig ist und r(x0 ) = 0 erfüllt, so dass gilt: (3.10)

f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + r(x)kx − x0 k.

(3.4) Bemerkung. Falls eine Funktion bei x0 differenzierbar ist, so ist sie in diesem Punkt auch stetig. Desweiteren existieren alle ihre partiellen Ableitungen bei x0 . Dies folgt aus der Tatsache, dass Gl. (3.10) für x − x0 = hej (mit ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)T , d.h. die j-te Komponente ist 1) zu f (x0 + hej ) − f (x0 ) |h| = f ′ (x0 )ej + r(x0 + hej ) h h wird. Da r(x) bei x0 stetig ist, existiert der Grenzwert für diesen Ausdruck für h → 0 und ist gleich ∂f ∂fi (x0 ) = f ′ (x0 )ej , wobei (x0 ) = fi′ (x0 )ej ∂xj ∂xj ist (mit f (x) = f1 (x), . . . , fm (x) ). Folglich ist die lineare Abbildung eindeutig bestimmt. (3.11)

Das folgende Lemma ist ein Analogon zu Carathéodorys Formulierung (Gl. (6.6) in Abschnitt III.6). (3.5) Lemma. Die Funktion f (x) aus (3.9) ist genau dann differenzierbar bei x0 , wenn es eine matrix-wertige Funktion ϕ(x) gibt, die von x0 abhängt und bei x0 stetig ist, so dass (3.12)

f (x) = f (x0 ) + ϕ(x)(x − x0 )

erfüllt ist. Die Ableitung von f (x) bei x0 ist dann f ′ (x0 ) = ϕ(x0 ). Beweis. Für eine gegebene Funktion ϕ(x) setzen wir f ′ (x0 ) := ϕ(x0 ),

(x − x0 ) r(x) := ϕ(x) − ϕ(x0 ) kx − x0 k

und stellen fest, dass (3.10) gilt. Da (x − x0 )/kx − x0 k durch 1 beschränkt ist, folgt aus der Stetigkeit von ϕ(x) bei x0 , dass r(x) → 0 strebt für x → x0 . Nehmen wir nun andererseits an, dass (3.10) gilt. Wir definieren ϕ(x0 ) := f ′ (x0 ) und für x 6= x0 (3.13)

ϕ(x) := f ′ (x0 ) + r(x)

(x − x0 )T kx − x0 k

(wir stellen fest, dass das Produkt des Spaltenvektors r(x) mit dem Zeilenvektor (x − x0 )T eine Matrix liefert) und finden ϕ(x)(x − x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) + r(x)kx − x0 k. Die Funktion ϕ(x) ist stetig bei x0 , da kϕ(x) − f ′ (x0 )k ≤ kr(x)k nach Satz 2.6 gilt und kr(x)k → 0 strebt für x → x0 . ⊓ ⊔


Das folgende Resultat gibt uns eine hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit an die Hand, für die es ausreicht, partielle Ableitungen zu berechnen. (3.6) Satz. Wir betrachten eine Funktion f : U → R und x0 ∈ U (innerer Punkt). Wenn alle partiellen Ableitungen ∂f /∂xi in einer Umgebung von x0 existieren und bei x0 stetig sind, so ist f bei x0 differenzierbar. Beweis. Wir wollen den Beweis nur für den Fall n = 2 angeben. Der allgemeine Fall für beliebige n geht genauso. Der Ansatz besteht darin, f (x) − f (x0 ) als f (x1 , x2 )−f (x10 , x20 ) = f (x1 , x2 )−f (x10 , x2 ) + f (x10 , x2 )−f (x10 , x20 )

zu schreiben und Lagranges Satz III.6.11 auf jede der Differenzen anzuwenden. Wir erhalten auf diese Weise ∂f ∂f ξ1 , x2 (x1 − x10 ) + x10 , ξ2 (x2 − x20 ). ∂x1 ∂x2 ∂f ∂f Die Wahl ϕ(x1 , x2 ) = ξ1 , x2 , x10 , ξ2 erfüllt bereits (3.12). Die ∂x1 ∂x2 Stetigkeit von ϕ(x) bei x0 folgt aus den Annahmen. ⊓ ⊔ f (x1 , x2 ) − f (x10 , x20 ) =

T Eine vektor-wertige Funktion f (x) = f1 (x), . . . , fm (x) ist nach Definition 3.3 genau dann differenzierbar bei x0 , wenn fi (x) bei x0 für alle i = 1, . . . , m differenzierbar ist. Somit folgt aus Satz 3.6, dass Funktionen, deren Komponenten Polynome in x1 , . . . , xn , rationale Funktionen oder elementare Funktionen sind, an jedem Punkt differenzierbar sind, an denen sie auch wohldefiniert sind.

Gegenbeispiele Unstetige Funktion, deren partielle Ableitungen uberall ¨ existieren. Wir betrachten die durch ( x1 x2 falls x21 + x22 > 0 (3.14) f (x1 , x2 ) = x21 + x22 0 falls x1 = x2 = 0 definierte Funktion f : R2 → R (siehe Abb. 2.2). Ihre partiellen Ableitungen verschwinden im Ursprung, da f (x1 , 0) = 0 für alle x1 und f (0, x2 ) = 0 für ¨ alle x2 ist. Uberall sonst ist die Existenz der partiellen Ableitungen offensichtlich. Dennoch ist die Funktion (3.14) nicht stetig im Ursprung (siehe Abschnitt IV.2). Unstetige Funktion, deren Richtungsableitungen uberall ¨ existieren. Partielle Ableitungen sind ein Spezialfall für sogenannte Richtungsableitungen. Wir betrachten eine Funktion f : R2 → R und einen Vektor v der Länge 1 (also kvk2 = 1). Dann beschreibt g(t) := f (x0 +tv) diejenige Kurve, die als Schnitt der Oberfläche y = f (x1 , x2 ) mit der vertikalen Ebene {(x, y) | x = x0 + tv, t ∈ R} entsteht. Ihre Ableitung schreiben wir als


(3.15)

f (x0 + hv) − f (x0 ) ∂f (x0 ) := lim h→0 ∂v h

und nennen sie Richtungsableitung von f (in Richtung von v ). Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen für v = (1, 0)T und v = (0, 1)T . Nun wählen wir als Beispiel die Funktion  2  x1 x2 falls x21 + x22 > 0 (3.16) f (x1 , x2 ) = x41 + x22  0 falls x1 = x2 = 0. Für v = (cos θ, sin θ)T finden wir

g(t) = f (tv) =

t cos2 θ sin θ . t2 cos4 θ + sin2 θ

Diese Funktion ist für jeden Wert von θ differenzierbar bei t = 0 (für sin θ = 0 stellen wir fest, dass g(t) = 0 ist für alle t). Folglich existieren alle Richtungsableitungen. Jedoch ist die Funktion entlang der Parabel x2 = ax21 konstant, nämlich f (x1 , ax21 ) = a/(1 + a2 ), und sämtliche Werte zwischen −1/2 und 1/2 werden in jeder Umgebung des Ursprungs angenommen (siehe Abb. 3.3). Folglich kann die Funktion dort nicht stetig sein.

y

x1

y

x2

x1

x2

ABB. 3.3. Die Funktion (3.16) (Stereogramm)

Eine geometrische Interpretation des Gradienten Für eine Funktion f : U → R, also im Fall m = 1 und n beliebig, ist die Matrix f ′ (x0 ) aus (3.5) ein Zeilenvektor. Er wird u¨ blicherweise bezeichnet als (3.17) grad f =

∂f ∂f ∂f ∂ ∂ ∂ , ,..., = , ,..., f = ∇f. ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂x1 ∂x2 ∂xn

In diesem Zusammenhang nennt man den formalen Vektor (Hamilton 1853, Art. 620) ∂ ∂ ∂ ∇= , ,..., ∂x1 ∂x2 ∂xn


¨ Nabla angesichts ihrer vorgestellten Ahnlichkeit mit einer assyrischen Harfe“ ” (J.W. Gibbs 1907, S. 138). Gleichung (3.10) schreibt sich nun (3.18)

f (x) = f (x0 ) + grad f (x0 ) · (x − x0 ) + r(x)kx − x0 k

und die Gleichung y = f (x0 ) + grad f (x0 ) · (x − x0 ) der Tangentialebene an die Oberfläche y = f (x) (siehe (3.2)) taucht wieder auf. Um nun die Funktion f (x) in einer Umgebung von x0 zu untersuchen, setzen wir x = x0 + tv und vernachlässigen den letzten Term in (3.18). Wir finden (3.19)

f (x0 + tv) = f (x0 ) + t grad f (x0 ) · v + . . . .

Nehmen wir an, dass v ein Vektor der Länge 1 ist, so können wir die folgenden Eigenschaften herleiten: • Der Vektor grad f (x0 ) steht senkrecht auf der Höhenlinie {x ; f (x) = f (x0 )}. Dies folgt aus (3.19) für t → 0, denn aus f (x0 +tv) = f (x0 ) folgt grad f (x0 )· v = 0. • Die Funktion wächst in jene Richtungen v an, für die grad f (x0 ) · v > 0 gilt. v = grad f (x0 )/k grad f (x0 )k ist aufgrund der Cauchy-SchwarzUngleichung (1.5) diejenige Richtung, in die f (x) am schnellsten wächst. Die Richtung des steilsten Abstiegs ist entsprechend der entgegengesetzte Vektor v = − grad f (x0 )/k grad f (x0 )k. • Falls f (x) ein Maximum (oder Minimum) bei x0 besitzt, so erhalten wir die notwendige Bedingung grad f (x0 ) = 0. x2

−1

0 0

1

x1

ABB. 3.4. Höhenlinien und Gradienten der Funktion (3.20)

Abb. 3.4 zeigt die Höhenlinien f (x) = C (mit C = i/20; i = 1, . . . , 30) der Funktion (3.20)

f (x1 , x2 ) = x21 − 4x1 x2 + 5x22 .

Ihr Gradient grad f (x1 , x2 ) = (2x1 −4x2 , −4x1 +10x2 ) ist durch Pfeile skizziert. Wir stellen fest, dass der Gradient senkrecht auf den Höhenlinien steht, und dass die Länge von grad f (x0 ) die Steigung der Oberfläche y = f (x) beschreibt.


10

t 0,6

−0,8 −0,6 −0,4 −0,2

ϕ

0,6

y

0,4

0,2 0,0

5

0,4

0,2

0,4

f

0,2

0,6

g 1,0

1,2

1,4

0,8

r

−0,2

1,0

−0,4

1,2

−0,6

1,4

0

1,6

x

ABB. 3.5. Bewegung eines elastischen Pendels

Die Kettenregel. Wir betrachten zwei Funktionen Rn x

f −−− − −→ 7−→

Rm y

g −−− − −→ 7−→

Rp z

und untersuchendie Differenzierbarkeit der zusammengesetzten Funktion (g ◦ f )(x) = g f (x) . Wie in Abschnitt III.6 verwenden wir Carathéodorys Charakterisierung (hier Lemma 3.5). Unter der Annahme, dass f bei x0 und g bei y0 = f (x0 ) differenzierbar ist, gilt f (x) = f (x0 ) + ϕ(x)(x − x0 ),

g(y) = g(y0 ) + ψ(y)(y − y0 ).

Setzen wir y = f (x), y0 = f (x0 ) und fügen die erste Gleichung in die zweite ein, so erhalten wir (3.21) g f (x) = g f (x0 ) + ψ f (x) ϕ(x)(x − x0 ). Da das Produkt ψ f (x) ϕ(x) bei x0 stetig ist, ist die Ableitung von g ◦ f , ausgewertet bei x0 , also (3.22)

(g ◦ f )′ (x0 ) = g ′ (y0 ) · f ′ (x0 ).

Ausgeschrieben in Koordinaten stellt sich das Produkt (3.22) dar als m

(3.23)

X ∂zi ∂yj ∂zi = · , ∂xk ∂yj ∂xk j=1

was die Formel von Leibniz verallgemeinert (Gl. (II.1.16)).


Beispiel. Angenommen die Bewegung eines elastischen Pendels ist in PolarkoorT dinaten f (t) = r(t), ϕ(t) gegeben, siehe Abb. 3.5.1 Wir wollen die Geschwindigkeit in kartesischen Koordinaten x r cos ϕ (3.24) = g(r, ϕ) = y r sin ϕ berechnen. Hierfür müssen wir x und y bezüglich t ableiten. Da die Jacobi-Matrix von (3.24) gegeben ist als cos ϕ −r sin ϕ ′ (3.25) g (r, ϕ) = , sin ϕ r cos ϕ erhalten wir aus (3.22) die Beziehungen x˙ = cos ϕ · r˙ − r sin ϕ · ϕ, ˙

y˙ = sin ϕ · r˙ + r cos ϕ · ϕ˙

(die Ableitungen bezüglich der Zeit t sind mit einem Punkt notiert). Dies erlaubt beispielsweise die Berechnung der kinetischen Energie m m 2 T (t) = (x˙ 2 + y˙ 2 ) = r˙ + r2 ϕ˙ 2 . 2 2

Der Mittelwertsatz Wir wollen die Formel f (b) − f (a) = f ′ (ξ)(b − a) aus dem Satz von Lagrange (Abschnitt III.6) auf den Fall mehrerer Variablen ausdehnen. Der Fall m = 1. Wir betrachten eine Funktion f : Rn → R, sowie zwei gegebene Punkte a ∈ Rn und b ∈ Rn . Der Ansatz besteht nun darin, die beiden Punkte durch die gerade Strecke x = a + (b − a)t,

0≤t≤1

zu verbinden und dann g(t) := f a + (b − a)t

zu definieren. Wenn f (x) an jedem Punkt der Strecke {a+(b−a)t ; t ∈ (0, 1)} differenzierbar ist, so ist auch g(t) differenzierbar, und aus (3.22) folgt

t=1

b2

t=0

a2 a1

b1

g ′ (t) = f ′ a + (b − a)t (b − a).

Wegen g(0) = f (a) und g(1) = f (b) lässt sich Satz III.6.11 auf die Funktion g(t) anwenden und liefert g(1) − g(0) = g ′ (τ )(1 − 0), insbesondere also auch (3.26) 1

f (b) − f (a) = f ′ (ξ)(b − a),

Die Kurven in dieser Abbildung sind die Lösungen von Differentialgleichungen und wurden mit numerischen Methoden berechnet (siehe Abschnitt II.9).


wobei ξ ein Punkt auf der Verbindungsstrecke zwischen a und b ist. Gleichung (3.26) a¨ hnelt (III.6.14), jedoch ist nun f ′ (ξ)(b − a) das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren. Der allgemeine Fall. Auf eine Funktion f : Rn → Rm können wir (3.26) komponentenweise anwenden. Wir erhalten so    ∂f1  ∂f1 (ξ ) . . . ∂x (ξ1 )  b1 − a1  f1 (b) − f1 (a) ∂x1 1 n     .. .. .. .. , (3.27)  =  . . . . ∂fm ∂fm bn − an fm (b) − fm (a) ∂x1 (ξm ) . . . ∂xn (ξm ) wobei sämtliche ξi ∈ Rn auf der Strecke zwischen a und b liegen. Der Nachteil dieser Formel ist, dass das Argument ξi in jeder Zeile verschieden sein kann. Es besteht auch keine Hoffnung, dass (3.26) für alle Funktionen f : Rn → m R wahr sein kann. Ein Gegenbeispiel hierfür ist f1 (x) = cos x, f2 (x) = sin x, a = 0, b = 2π. Solange wir uns mit einer Ungleichung abfinden können, ist die Situation die folgende. (3.7) Satz. Es sei f : U → Rm , U ⊂ Rn an allen Punkten der offenen“ Strecke ” (a, b) := {x = a + (b − a)t ; 0 < t < 1} differenzierbar (wir nehmen an, diese Punkte sind innere Punkte von U ) und in der Norm (2.14) gelte kf ′ (x)k ≤ M

für alle x ∈ (a, b).

Dann gilt (3.28)

kf (b) − f (a)k ≤ M · kb − ak.

Beweis. Die Idee besteht in der Wahl der Funktion (3.29)

g(t) :=

m X i=1

ci fi a + (b − a)t = cT f a + (b − a)t ,

wobei die Koeffizienten c1 , . . . , cm vorerst beliebig sein sollen. Die Ableitung von g(t) lautet g ′ (t) =

m X i=1

ci

n X ∂fi a + (b − a)t (bj − aj ) = cT f ′ a + (b − a)t (b − a). ∂xj j=1

Satz III.6.11 lässt sich darauf anwenden mit dem Ergebnis (3.30) cT f (b) − f (a) = g(1) − g(0) = g ′ (τ ) = cT f ′ (ξ)(b − a),

wobei ξ = a + (b − a)τ auf der Verbindungsstrecke (a, b) liegt. Wir wählen nun c = f (b) − f (a) geschickt so, dass der Ausdruck auf der linken Seite von (3.30) so groß wie möglich wird. Wenden wir dann die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf die rechte Seite von Gl. (3.30) an, erhalten wir zusammen mit (2.15): kf (b) − f (a)k2 ≤ kf (b) − f (a)k · M · kb − ak.


Nach Division durch kf (b) − f (a)k haben wir damit Behauptung (3.28) bewiesen (für kf (b) − f (a)k = 0 gilt Aussage (3.28) bereits offensichtlich). ⊓ ⊔

Der Satz von der impliziten Funktion Implizite Gleichungen f (x, y) = C waren das zentrale Thema von Descartes’ Géométrie“ von 1637 (siehe beispielsweise Gl. (I.1.18)). Niemand zweifelte ” daran, dass solche Gleichungen geometrische Kurven y = y(x) definieren würden und Leibniz wusste sogar, wie man solche Funktionen ableitet. Erst die Mathe¨ (siehe Genocchi-Peano 1884, S. 149–151) fanden es matiker der Weierstraß-Ara notwendig, einen etwas strengeren Beweis zu finden, der garantieren kann, dass f (x, y) = C in einer Umgebung des Punktes (x0 , y0 ) mit f (x0 , y0 ) = C zu y = y(x) a¨ quivalent ist. Wir sagen dann, dass die implizite Gleichung f (x, y) = C nach y aufgelöst werden kann. Nehmen wir beispielsweise die Kreise x2 + y 2 = C und halten einen √ Punkt (x0 , y0 ) fest, der x20 + y02 = C√ erfüllt. Ist y0 > 0, so finden wir y(x) = C − x2 , für y0 < 0 dagegen y(x) = − C − x2 , jedoch ist es für y0 = 0 unmöglich, eine Funktion y(x) zu finden, die x2 + y(x)2 = C für sämtliche x in einer Umgebung von x0 erfüllt. Im folgenden setzen wir F (x, y) = f (x, y) − C und ersetzen die Bedingung f (x, y) = C durch F (x, y) = 0. (3.8) Satz von der impliziten Funktion. Gegeben sei eine Funktion F : R2 → R und ein Punkt (x0 , y0 ) ∈ R2 . Angenommen, die partiellen Ableitungen ∂F/∂x und ∂F/∂y existieren und sind stetig in einer Umgebung von (x0 , y0 ). Falls außerdem (3.31)

F (x0 , y0 ) = 0

und

∂F (x0 , y0 ) 6= 0 ∂y

gelten, so gibt es Umgebungen U von x0 und V von y0 , sowie eine eindeutige Funktion y : U → V , so dass y(x0 ) = y0 ist mit (3.32) F x, y(x) = 0 für alle x ∈ U. Die Funktion y(x) ist differenzierbar in U und erfüllt ∂F/∂x x, y(x) ′ . (3.33) y (x) = − ∂F/∂y x, y(x)

Beweis. Wir dürfen annehmen, dass ∂F/∂y(x0 , y0 ) > 0 ist (ansonsten arbeiten wir mit −F anstelle von F ). Aufgrund der Stetigkeit von ∂F/∂y gibt es ein δ > 0 und ein β > 0, so dass (3.34)

∂F (x, y) ≥ β > 0 ∂y

für |x − x0 | ≤ δ

und |y − y0 | ≤ δ


y δ1 δ

y(x)

x

(x0, y0) δ1

ABB. 3.6. Beweis des Satzes von der impliziten Funktion

gilt. Dies impliziert, dass F (x0 , y) eine monoton wachsende Funktion von y ist, und aufgrund von F (x0 , y0 ) = 0 ist also F (x0 , y0 − δ) < 0 < F (x0 , y0 + δ). Aus der Stetigkeit von F folgt nun die Existenz eines δ1 > 0 (mit δ1 ≤ δ), so dass gilt (siehe Abb. 3.6): F (x, y0 − δ) < 0 < F (x, y0 + δ)

für

|x − x0 | ≤ δ1 .

Nun setzen wir U = (x0 − δ1 , x0 + δ1 ), V = (y0 − δ, y0 + δ) und wenden Bolzanos Satz III.3.5 auf F (x, y) für jedes x ∈ U an, dabei verstehen wir F (x, y) als Funktion von y. So zeigen wir die Existenz einer Funktion y : U → V , die (3.32) erfüllt. Die Eindeutigkeit von y(x) in V folgt aus der Monotonizität von F (x, y) als Funktion von y. Wir müssen aber noch beweisen, dass y(x) an jedem beliebigen Punkt x1 ∈ U differenzierbar ist. Wie im Beweis von Satz 3.6 benutzen wir hierfür die Beziehung ∂F ∂F F x, y(x) = F (x1 , y1 ) + ξ, y(x) (x − x1 ) + x1 , η y(x) − y1 , ∂x ∂y dabei ist y1 = y(x1 ), ξ liegt zwischen x und x1 , und η zwischen y(x) und y1 . Aus (3.32) und (3.34) folgern wir somit ∂F/∂x ξ, y(x) (3.35) y(x) − y1 = ϕ(x)(x − x1 ), ϕ(x) = − . ∂F/∂y x1 , η

Die Funktion ∂F/∂x ist stetig und folglich beschränkt für |x − x0 | ≤ δ1 und |y − y0 | ≤ δ, sagen wir mit Schranke M . Zusammen mit (3.34) erhalten wir daraus |ϕ(x)| ≤ M/β und die Stetigkeit von y(x) ist eine Schlussfolgerung aus (3.35). Sobald die Stetigkeit von y(x) bewiesen ist, ist ϕ(x) auch stetig bei x1 , so dass y(x) bei x1 differenzierbar sein muss. Formel (3.33) erhält man aus der Berechnung von limx→x1 ϕ(x). ⊓ ⊔ Bemerkung. Wenn die Differenzierbarkeit der Funktion y(x) gesichert ist, erh¨ a lt man Gl. (3.33) durch Ableiten der Gleichung F x, y(x) = 0. Diese Methode heißt implizites Ableiten und wurde von uns bereits am Ende von Abschnitt II.1 eingesetzt.


y

p

y

p

x

x

ABB. 3.7. Die Funktion (3.38) (Stereogramm)

Differenzierbarkeit von Integralen bezüglich eines Parameters Wir wollen nun wissen, ob ein Integral, das einen Parameter p enthält (siehe Gl. (2.23)), eine differenzierbare Funktion von p darstellt; und, falls ja, ob ihre Ableitung durch Vertauschen von Integration und Ableitung berechnet werden kann, d.h. durch die Integration von ∂f /∂p. (3.9) Beispiel. Das Integral Z π/2 eaπ/2 − a (3.36) eax cos x dx = a2 + 1 0

R π/2 lässt sich am einfachsten berechnen, indem man den Realteil von 0 e(a+i)x dx bestimmt. Wenn wir beide Seiten von (3.36) mehrfach bezüglich a ableiten, so finden wir Z π/2 d n eaπ/2 − a (3.37) xn eax cos x dx = . da a2 + 1 0 Diese Formel ließe sich mit anderen Mitteln nur deutlich schwerer finden.

(3.10) Gegenbeispiel. Schauen wir uns Abb. III.5.5a an, so stellen wir fest, dass sich das Integral von fn (x) für n → ∞ wie C/n verhält. Dies motiviert die Definition (3.38)

f (x, p) =

x/p xp3 = (1 + x2 /p2 )2 (p2 + x2 )2

für

p 2 + x2 > 0

und f (0, 0) = 0. Dann besitzt (3.39)

F (p) =

Z

1

f (x, p) dx = 0

p 2(p2 + 1)

die Ableitung F ′ (0) = 1/2. Andererseits ist aber limp→0 (siehe Abb. 3.7).

∂f (x, p) ∂p

identisch Null


(3.11) Satz. Es sei f : [a, b] × [c, d] → R eine Funktion, deren partielle Ableitungen ∂f (x, p) auf [a, b] × [c, d] existieren und stetig sind. Falls das Integral ∂p (3.40)

Z

F (p) :=

b

f (x, p) dx

a

für alle p ∈ [c, d] existiert, so ist F (p) differenzierbar auf (c, d) mit der Ableitung (3.41)

F ′ (p0 ) =

Z

b

a

∂f (x, p0 ) dx. ∂p

Beweis. Wir betrachten die Differenz Z b (3.42) F (p) − F (p0 ) = f (x, p) − f (x, p0 ) dx. a

Wir wenden den Satz von Lagrange (III.6.11) auf die rechte Seite an und finden F (p) − F (p0 ) =

Z

|a

b

∂f (x, η) dx · (p − p0 ). ∂p {z } ϕ(p)

Dabei hängt η von x ab und liegt zwischen p und p0 . Da ∂f /∂p auf der kompakten Menge [a, b] × [c, d] stetig ist, sehen wir im Beweis von Satz 2.12, dass ϕ(p) bei p0 stetig sein muss. Die Behauptung folgt nun aus Gl. (III.6.6). ⊓ ⊔

¨ Ubungen 3.1 Betrachten Sie die Funktion f : R2 −→ R (siehe Abb. 3.8a) mit  3  x1 + x32 falls x21 + x22 > 0 f (x1 , x2 ) = x21 + x22  0 falls x1 = x2 = 0.

Ist f stetig? Besitzt f im Ursprung alle Richtungsableitungen? Sind die partiellen Ableitungen ∂f /∂x1 und ∂f /∂x2 stetig? Ist f differenzierbar? p 3.2 Die gleiche Frage wie zuvor für die Funktion f (x1 , x2 ) = |x1 x2 | (siehe Abb. 3.8c; das Opernhaus von Sydney). 3.3 Zeigen Sie, dass f : R2 −→ R,  1  x x sin 1 2 f (x1 , x2 ) = x21 + x22  0

falls x21 + x22 > 0 falls x1 = x2 = 0

338 IV. Differentialrechnung in mehreren Variablen y

y

x2

x2 x1

x1

y

y x2

x2 x1

x1

y

y

x1

x1

¨ ABB. 3.8. Stereogramme zu den Ubungen 3.1, 3.2 und 3.3

(siehe Abb. 3.8b) u¨ berall differenzierbar ist, die partiellen Ableitungen aber im Ursprung nicht stetig sind. Diese Funktion ist ein zweidimensionales Analogon der Funktion aus Abb. III.6.1. 3.4 Zu einer festen Konstanten a definieren wir f : R2 −→ R durch |x1 x2 |a falls x1 x2 6= 0 f (x1 , x2 ) = 0 falls x1 x2 = 0. Bestimmen Sie diejenigen Werte für den Parameter a, für die f a) stetig ist und b) differenzierbar ist. 3.5 Gegeben sei eine konstante n × n-Matrix A. Zeigen Sie, dass die Ableitung der Funktion f : Rn → R mit f (x) = xT Ax bestimmt ist durch f ′ (x) = xT (A + AT ) (falls Sie auf Probleme stoßen, schreiben Sie die Komponenten von f für den Fall n = 2 explizit auf). 3.6 Es sei V (x, y) eine differenzierbare Funktion und W (r, ϕ) := V (r cos ϕ, r sin ϕ). Wenden Sie die Kettenregel an, um folgende Identität zu zeigen: ∂V 2 ∂x

+

∂V 2 ∂y

=

∂W 2 ∂r

+

1 ∂W 2 . r2 ∂ϕ


3.7 Wir nennen eine differenzierbare Funktion f : Rn → R homogen vom Grad p, falls a > 0, x ∈ Rn p erfüllt ist. Zeigen Sie, dass die Funktionen tan(x1 /x2 ), 2x21 + 3x22 + 4x23 und x41 − 5x1 x32 + x21 x22 homogen sind (von welchem Grad?), und zeigen Sie weiter, dass homogene Funktionen die folgende Identität erfüllen, die im Eulerschen Satz u¨ ber homogene Funktionen auftritt: (3.43)

f (ax) = ap f (x)

x1

für

∂f ∂f (x) + . . . + xn (x) = pf (x). ∂x1 ∂xn

Hinweis. Leiten Sie (3.43) bezüglich a ab. 3.8 Studieren Sie die Funktionen y(x), die durch die implizite Gleichung (x2 + y 2 )2 − 2x2 + 2y 2 = C

(3.44)

definiert sind. Für C = 0 ist dies Jak. Bernoullis (1694) berühmte Lem” niskate“ (s. Abb. 3.9). Bestimmen Sie die Positionen aller Punkte, an denen ∂F/∂y = 0 gilt, d.h. diejenigen Punkte, an denen der Satz von der impliziten Funktion nicht angewendet werden kann. Finden Sie auch die Positionen der Maximalwerte der Lösungen von (3.44), d.h. diejenigen Punkte, an denen y ′ (x) = 0 ist, und zeigen Sie, dass diese auf einem Kreis liegen.

−1

0

1

ABB. 3.9. Bernoullis Lemniskate und Cassinische Kurven

3.9 Gleiche Frage für das folium cartesii“ ” x3 + y 3 = 3xy (siehe Abb. 4.2 unten). 3.10 Berechnen Sie die Punkte x ∈ R2 , an denen die Spalten der Matrix f ′ (x) aus (3.7) Vektoren mit derselben Richtung sind (d.h. det f ′ (x) = 0). Diese Punkte sind in Abb. 3.2 jeweils durch ◦“ und ×“ markiert. ” ” Antwort. (k+l+3/4)π, (k−l+1/4)π und (k+l+3/4)π, (k−l−3/4)π für k, l ∈ Z.


3.11 Welches der zwei folgenden Integrale ist Ihrer Meinung nach leichter zu berechnen: Z 1 Z 1 2 2 ln x dx oder xa ln x dx ? 0

0

Nun, das zweite lässt sich bezüglich des Parameters a ableiten. Machen Sie dies (nach Rechtfertigung) und berechnen Sie damit beide Integrale.

3.12 Berechnen Sie unter Zuhilfenahme der Formel Z π dx π = √ 2−1 a − cos x a 0 die zwei Integrale √ Z π dx 5 6π = 2 288 0 (5 − cos x)

und

Z

π 0

für

a>1

√ dx 11 5π = . (6 − 4 cos x)3 1000

3.13 Zeigen Sie, dass gilt: Z α log (1 + αx) 1 dx = arctan(α) · log(1 + α2 ) 2+1 x 2 0

für

α ≥ 0.

Hinweis. Leiten Sie nach einer Rechtfertigung das Integral bezüglich α ab. 3.14 Beweisen Sie Z ∞ sin x π dx = . x 2 0

Hinweis. Zeigen Sie mit Hilfe von Definition III.8.1, den Sätzen 3.11 und ¨ III.6.18, sowie Ubung II.4.2.h, dass Z ∞ Z ∞ sin x −1 F (α) = e−αx dx ⇒ F ′ (α) = − e−αx sin x dx = x 1 + α2 0 0 für α > 0 gilt. Beweisen Sie schließlich durch eine Modifikation des Beweises von Beispiel III.8.5, dass F (α) bei α = 0+ einseitig stetig ist.

IV.4 Höhere Ableitungen und Taylorreihen 341

IV.4 Höhere Ableitungen und Taylorreihen Jetzt sieht man leicht ein, dass Differentiale dieser Art ihren Wert behalten, wenn man die Reihenfolge der Ableitungen bezüglich der verschiedenen Variablen verändert. (Cauchy 1823, Résumé, S. 76)

Zunächst wollen wir uns Funktionen f (x, y) von zwei Variablen anschauen. Partielle Ableitungen, wie beispielsweise ∂f /∂x, sind wiederum Funktionen von zwei Variablen, so dass wir abermals ihre partiellen Ableitungen berechnen können, wie in folgendem Diagramm dargestellt: f (x, y) ∂ ∂y

| | | ↓

∂f ∂y ∂ ∂y

| | | ↓

∂ 2f ∂y 2

∂ ∂x

∂f ∂x | ∂ | ∂y | ↓

−−− − −→

∂ ∂x

−−− − −→

∂2f ? ∂ 2f = ∂x∂y ∂y∂x ∂ ∂y

∂ ∂x

−−− − −→

∂ ∂x

−−− − −→

∂ ∂x

−−− − −→

| | | ↓

∂3f ? ∂ 3f = 2 ∂x∂y 2 ∂y ∂x

∂ ∂x

−−− − −→

∂ 2f ∂x2

...

...

... .

Es stellt sich die Frage, ob diese Ableitungen von der Reihenfolge der Differentiationen abhängen. (4.1) Beispiel. Wie einst Euler (1734, p Comm. Acad. Petrop., Band VII, S. 177) betrachten wir die Funktion f (x, y) = x2 + ny 2 und berechnen ihre partiellen Ableitungen (für x2 + ny 2 > 0): ∂f x (x, y) = p , 2 ∂x x + ny 2 ∂f ny (x, y) = p , ∂y x2 + ny 2

∂ 2f −nxy (x, y) = 2 , ∂y∂x (x + ny 2 )3/2 ∂ 2f −nxy (x, y) = 2 . ∂x∂y (x + ny 2 )3/2

Euler hat danach behauptet (siehe auch Euler 1755, §226), dass auch allgemein (4.1)

∂ 2f ∂2f (x, y) = (x, y) ∂y∂x ∂x∂y

gilt. Dies ist jedoch ohne weitere Voraussetzungen falsch, wie man an folgendem Gegenbeispiel sehen kann. (4.2) Gegenbeispiel. H.A. Schwarz (1873) fand ein erstes, eher kompliziertes ¨ Gegenbeispiel zu (4.1) (siehe Ubung 4.1). Ein einfacheres Gegenbeispiel geht auf


Peano (1884, Annotazione N. 103“) zurück. Dieses basiert auf einer Funktion der ” Form (4.2)

f (x, y) = x y g(x, y),

wobei g(x, y) in einer Umgebung des Ursprungs beschränkt (nicht notwendigerweise stetig) sein soll. Für diese Funktion ist ∂f f (x, y) − f (0, y) (0, y) = lim = lim y g(x, y). x→0 x→0 ∂x x Die Ableitung dieses Ausdrucks bezüglich y lautet (4.3)

∂ 2f (0, 0) = lim lim g(x, y) , y→0 x→0 ∂y∂x

sofern der Grenzwert existiert. Analog gilt (4.4)

∂ 2f (0, 0) = lim lim g(x, y) . x→0 y→0 ∂x∂y

Wir müssen nun nur noch eine Funktion g(x, y) finden, für die die Grenzwerte in (4.3) und (4.4) verschieden sind. Dies ist beispielsweise für (4.5)

g(x, y) =

x2 − y 2 x2 + y 2

falls

x2 + y 2 > 0

der Fall, mit limx→0 g(x, y) = −1 für alle y 6= 0 und limy→0 g(x, y) = +1 für alle x 6= 0. Folglich sind die gemischten partiellen Ableitungen ∂2f (0, 0) = −1 ∂y∂x

und

∂2f (0, 0) = 1 ∂x∂y

für die durch (4.2) und (4.5) definierte Funktion f (x, y) verschieden. (4.3) Satz. Es sei f : R2 → R eine Funktion, für die die partiellen Ableitungen 2 ∂f ∂f ∂2f , , ∂ f in einer Umgebung von (x0 , y0 ) existieren, und für die ∂y∂x bei ∂x ∂y ∂y∂x (x0 , y0 ) stetig ist. Dann existiert auch

∂2f ∂x∂y

bei (x0 , y0 ) und es gilt

∂2f ∂ 2f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ). ∂x∂y ∂y∂x Beweis. Der Ansatz besteht darin, ein kleines Rechteck der Seitenlängen h und k zu betrachten. Die Werte von f an den Eckpunkten seien f00 , f01 , f10 und f11 . Näherungsweise sind die partiellen Ableitungen bestimmt durch

y0 + k

f01

f11

f00

f10

k y0

x0

h

x0 + h


(4.6)

∂f f10 − f00 (x0 , y0 ) ≈ , ∂x h ∂f f11 − f01 (x0 , y0 + k) ≈ , ∂x h

(4.7)

∂ 2f ≈ ∂y∂x

∂f ∂x (x0 , y0

+ k) − k

∂f ∂x (x0 , y0 )

(x0 + h, y0 ) −

∂f (x0 , y0 ) ∂y

≈

f11 − f01 − f10 + f00 h·k

≈

f11 − f10 − f01 + f00 . k·h

und analog (4.8)

∂2f ≈ ∂x∂y

∂f ∂y

h

Die Ausdrücke auf der rechten Seite von (4.7) und (4.8) stimmen u¨ berein (Euler, . . . huius theorematis veritatem exercitati facile perspiciant . . .“) und die Behaup” tung des Satzes scheint offensichtlich zu sein. Um nun diesen Ansatz zu einem strengen Beweis zu formen, sollten wir die Differenzen in (4.6) mit Hilfe des Satzes III.6.11 von Lagrange ersetzen. Es gibt allerdings ein kleines Problem, da die Zwischenpunkte ξ nicht für beide Differenzen dieselben sind. Um dieses Problem zu u¨ berwinden, betrachten wir stattdessen die Funktion (4.9)

g(x) := f (x, y0 + k) − f (x, y0 ),

wenden den Satz von Lagrange in der Form g(x0 + h) − g(x0 ) = hg ′ (ξ) an, und finden ∂f ∂f f11 − f10 − f01 + f00 = h (ξ, y0 + k) − (ξ, y0 ) . ∂x ∂x Dabei liegt ξ zwischen x0 und x0 + h. Als nächstes wenden wir den Satz von Lagrange auf ∂f (ξ, y) an, was wir als Funktion von y verstehen wollen, und er∂x halten: (4.10)

f11 − f10 − f01 + f00 ∂2f = (ξ, η) h·k ∂y∂x

(η liegt zwischen y0 und y0 + k). ∂2 f Aufgrund der Stetigkeit von ∂y∂x bei (x0 , y0 ) folgt aus (4.10), dass es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle h und k mit h2 + k 2 < δ 2 f − f − f + f ∂2f 11 10 01 00 − (x0 , y0 ) < ε h·k ∂y∂x erfüllt ist. Für k → 0 streben die Differenzen (f11 − f10 )/k und (f01 − f00 )/k gegen ∂f (x0 + h, y0 ) bzw. ∂f (x0 , y0 ). Für |h| < δ folgt somit: ∂y ∂y 1 ∂f ∂f ∂2f (x0 + h, y0 ) − (x0 , y0 ) − (x0 , y0 ) ≤ ε. h ∂y ∂y ∂y∂x


Dies bedeutet jedoch, dass lim

h→0

1 ∂f ∂f ∂ 2f (x0 + h, y0 ) − (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) h ∂y ∂y ∂y∂x

gilt, womit die Behauptung des Satzes gezeigt ist.

⊓ ⊔

Wenn wir diesen Satz mehrfach anwenden, können wir nun höhere Ableitungen miteinander vertauschen. Beispielsweise ist ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f= f= f = ... . ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y | {z } | {z } | {z } |{z} g տր տր g

Der Satz lässt sich auch auf Funktionen von mehr als zwei Variablen anwenden. Tatsächlich können wir stets zwei partielle Ableitungen vertauschen, da die u¨ brigen Variablen als konstant angesehen werden können.

Taylorreihen in zwei Variablen Unser nächstes Ziel besteht darin, die Taylorreihen von Funktionen von zwei Variablen zu verstehen. Der Ansatz (Cauchy 1829, S. 244) besteht darin, das Problem auf eine Variable zurückzuführen, indem man die Punkte (x0 , y0 ) und (x0 + h, y0 + k) durch ein gerades Streckenstück verbindet. Wir betrachten also die Funktion (4.11)

g(t) := f (x0 + th, y0 + tk)

und wenden Gl. (III.7.18) an (Taylorreihe in einer Variablen). Hierfür müssen wir die Ableitungen von g(t) berechnen. Falls f (x, y) genügend oft ableitbar ist, liefert die Kettenregel (4.12)

g ′ (t) =

∂f ∂f (x0 + th, y0 + tk) h + (x0 + th, y0 + tk) k ∂x ∂y

und eine weitere Ableitung liefert (4.13)

g ′′ (t) =

∂ 2f ∂2f ∂ 2f ∂ 2f (·)hh + (·)hk + (·)kh + (·)kk. 2 ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y 2

Dabei steht (·) für das Argument (x0 + th, y0 + tk). Die zwei mittleren Terme in (4.13) sind nach Satz 4.3 gleich (weitere Ableitungen lassen analog die Binomialkoeffizienten in Erscheinung treten). Setzen wir die obigen Ableitungen von g(t) beispielsweise in g(1) = g(0) + g ′ (0) + ein (mit 0 < θ < 1), so finden wir

1 ′′ 1 g (0) + g ′′′ (θ) 2 6


∂f ∂f (x0 , y0 )h + (x0 , y0 )k ∂x ∂y 1 ∂ 2f ∂2f ∂ 2f 2 2 + (x , y )h + 2 (x , y )hk + (x , y )k 0 0 0 0 0 0 2 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 3 3 1 ∂ f ∂ f + (ξ, η)h3 + 3 2 (ξ, η)h2 k 6 ∂x3 ∂x ∂y ∂ 3f ∂ 3f 2 3 +3 (ξ, η)hk + (ξ, η)k , ∂x∂y 2 ∂y 3

f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) +

(4.14)

wobei ξ = x0 + θh und η = y0 + θk die Zwischenpunkte sind. Es ist natürlich ebenso möglich, Satz III.7.13 mit dem Restglied in Integralform zu verwenden. (4.4) Beispiel. Wir betrachten die Funktion f (x, y) = e−x Ihre partiellen Ableitungen lauten

2

−y 2

¨ (vgl. Ubung 3.1).

2 2 2 2 ∂f ∂f (x, y) = −2xe−x −y , (x, y) = −2ye−x −y , ∂x ∂y 2 2 2 2 ∂2f ∂2f (x, y) = (4x2 − 2)e−x −y , (x, y) = (4y 2 − 2)e−x −y , 2 ∂x ∂y 2 2 2 ∂ 2f ∂ 2f (x, y) = (x, y) = 4xye−x −y . ∂x∂y ∂y∂x

Wenn wir das Restglied in (4.14) vernachlässigen und x0 = 0,9, y0 = 1,2 wählen, erhalten wir die quadratische Approximation f (0,9 + h, 1,2 + k) ≈ e−2,25 1 − 1,8h − 2,4k + 0,62h2 + 4,32hk + 1,88k 2 .

Abb. 4.1 zeigt einen Vergleich zwischen dieser Näherung und der Funktion f (x, y). Der dargestellte Definitionsbereich ist dabei das Rechteck −1 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2.

y x

y x

ABB. 4.1. Zweite Taylor-Näherung für f (x, y) = e−x

2

−y 2


Taylorreihen in n Variablen Wir verallgemeinern nun unsere Formeln auf Funktionen f : Rn → Rm ,

T wobei f (x) = f1 (x), . . . , fm (x) aus m reellen Funktionen von x ∈ Rn zusammengesetzt ist. Wir halten x0 ∈ Rn und h ∈ Rn fest und wenden die Resultate aus Abschnitt III.7 auf g(t) := fi (x0 + th) an. Wir erhalten so zum Beispiel fi (x0 + h) = fi (x0 ) +

n n n X ∂fi 1 X X ∂ 2 fi (x0 )hj + (x0 ) hj hk ∂xj 2! j=1 ∂xj ∂xk j=1 k=1

(4.15)

+

1 3!

n X n X n X j=1 k=1 ℓ=1

3

∂ fi (x0 + θi h) hj hk hℓ . ∂xj ∂xk ∂xℓ

Wir können noch weiter gehen und schreiben (formal, ohne die Konvergenz zu berücksichtigen): fi (x0 + h) = fi (x0 ) +

∞ n n n X 1 X X X ∂ q fi (x0 ) ... hj . . . hjq . q! j =1 j =1 j =1 ∂xj1 ∂xj2 . . . ∂xjq 1 q=1 1

q

2

Diese Formeln sind ziemlich sperrig und rufen nach einer kompakteren Schreibweise, die, in den Worten Dieudonnés, die Index-Horden verjagt“. Der lineare ” Term in (4.15) ist gerade die i-te Komponente des Produktes f ′ (x0 )h (JacobiMatrix angewendet auf den Vektor h). Um den quadratischen Term zu vereinfachen, betrachten wir die bilineare Abbildung f ′′ (x) : Rn × Rn → Rm , deren i-te Komponente, angewendet auf ein Paar von Vektoren u und v, definiert ist als

(4.16)

f ′′ (x)(u, v)

i

:=

n X n X ∂ 2 fi (x) uj vk . ∂xj ∂xk j=1 k=1

Daher ist der quadratische Term in (4.15) der i-te Eintrag im Vektor f ′′ (x0 )(h, h). Wir können diese Notation fortsetzen, indem wir höhere Ableitungen als entsprechende multilineare Abbildungen verstehen. Beispielsweise ist f ′′′ (x) : Rn × Rn × Rn → Rm definiert als (4.17)

n X n X n X f ′′′ (x)(u, v, w) := i

j=1 k=1 ℓ=1

∂ 3 fi (x) uj vk wℓ . ∂xj ∂xk ∂xℓ

Mit dieser Schreibweise wird aus Gleichung (4.15): (4.18)

f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 )h +

1 ′′ f (x0 )(h, h) + R3 . 2!


Für den Rest R3 dürfen wir allerdings nicht R3 = (1/3!)f ′′′ (x0 + θh)(h, h, h) schreiben, da die Zwischenpunkte x0 + θi h in (4.15) für jede Komponente verschieden sein könnten. Jedoch können wir die Integraldarstellung (Satz III.7.13) nutzen, mit dem Ergebnis Z 1 (1 − t)2 ′′′ (4.19) R3 = f (x0 + th)(h, h, h) dt. 2! 0 T (4.5) Bemerkung. Für eine vektor-wertige Funktion g(t) = g1 (t), . . . , gm (t) verwenden wir die Notation Z 1 Z 1 Z 1 T (4.20) g(t) dt := g1 (t) dt, . . . , gm (t) dt . 0

0

0

Desweiteren nutzen wir im folgenden die Abschätzung

Z 1

Z 1

(4.21) g(t) dt ≤ kg(t)k dt,

0

0

die mittels Dreiecksungleichung und Riemann-Summen erschließt: Pman wie folgtP k i g(ξi )δi k ≤ i kg(ξi )kδi .

Abschätzung des Restglieds. Angenommen, wir wollen den Rest R3 in (4.19) abschätzen. Angesichts der Ungleichung (4.21) müssen wir dafür nur den Ausdruck kf ′′′ (x)(h, h, h)k abschätzen. Für die euklidische Norm ist dies durch wiederholte Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung möglich. Schreiben wir den Ausdruck aus Gl. (4.17) als ai , so finden wir ai := bij := cijk :=

n X

j=1 n X

k=1 n X

a2i ≤

bij uj ,

b2ij ≤

cijk vk ,

c2ijk ≤

dijkℓ wℓ ,

ℓ=1

n X j=1

n X k=1

n X ℓ=1

b2ij kuk2 ,

c2ijk kvk2 ,

d2ijkℓ kwk2 ,

3

fi (x) wobei dijkℓ = ∂x∂j ∂x ist. Setzen wir aus der letzten Ungleichung c2ijk in k ∂xℓ die vorhergehende ein, und setzen wir danach b2ij in die erste Ungleichung ein, so erhalten wir n X n X n X a2i ≤ d2ijkℓ kuk2 kvk2 kwk2 . j=1 k=1 ℓ=1

Wir können nun die Summe (4.22)

P

2 i ai

und ihre Quadratwurzel berechnen:

kf ′′′ (x)(u, v, w)k ≤ M (x) kuk kvk kwk


mit (4.23)

v uX n X n X n um X M (x) = t i=1 j=1 k=1 ℓ=1

2 ∂ 3 fi (x) . ∂xj ∂xk ∂xℓ

(4.6) Lemma. Es sei f : Rn → Rm dreimal differenzierbar; dann gilt für das Restglied R3 in Gl. (4.18) kR3 k ≤

khk3 sup M (x0 + th), 3! t∈[0,1]

wobei M (x) in (4.23) definiert ist. Beweis. Wenden wir die Abschätzung (4.21) auf (4.19) an, so finden wir Z 1 (1 − t)2 ′′′ kR3 k ≤ kf (x0 + th)(h, h, h)k dt. 2! 0 Aufgrund von (4.22) ist der Ausdruck kf ′′′ (x0 + th)(h, h, h)k höchstens gleich supt∈[0,1] M (x0 + th)khk3 und die Behauptung folgt aus Gl. (III.5.18). ⊓ ⊔

Optimierungsprobleme Unser nächstes Ziel besteht darin, die Ergebnisse aus Abschnitt II.2 u¨ ber notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Maxima (und Minima) auf Funktionen z = f (x, y) von zwei Variablen auszudehnen. Wir haben bereits in Abschnitt IV.3 (geometrische Interpretation des Gradienten) gesehen, dass grad f (x0 , y0 ) = 0 ist, d.h. (4.24)

∂f (x0 , y0 ) = 0, ∂x

∂f (x0 , y0 ) = 0 ∂y

ist eine notwendige Bedingung für ein Maximum (oder Minimum). Punkte, die (4.24) erfüllen, heißen stationäre Punkte von f (x, y). In einer genügend kleinen Umgebung eines stationären Punktes (x0 , y0 ) (wenn also |x − x0 | und |y − y0 | genügend klein sind), kann man das Restglied in (4.14) vernachlässigen und die Bedingung (4.25)

∂ 2f ∂ 2f ∂2f (x0 , y0 )h2 + 2 (x0 , y0 )hk + (x0 , y0 )k 2 > 0 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2

garantiert einem, dass f (x0 + h, y0 + k) > f (x0 , y0 ) ist (falls die Funktion nur zweimal stetig differenzierbar ist, nehmen wir einen Term weniger aus der Taylorreihe und nutzen die Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen aus). Folglich finden wir ein lokales Minimum vor, wenn (4.25) für alle (h, k) 6= (0, 0) gilt.


Falls der Ausdruck in Gl. (4.25) für alle (h, k) 6= (0, 0) negativ ist, haben wir entsprechend ein lokales Maximum vorliegen. Falls (4.25) abhängig von (h, k) sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, hat die Funktion einen Sattelpunkt bei (x0 , y0 ), d.h. es gibt Richtungen, in denen die Funktion wächst und andere Richtungen, in denen sie abnimmt. Um zu u¨ berprüfen, ob eine quadratische Form Ah2 + 2Bhk + Ck 2 für sämtliche Werte (h, k) 6= (0, 0) positiv ist, setzen wir λ = h/k ein und betrachten Aλ2 + 2Bλ + C. Dieses Polynom nimmt nur positive Werte an, falls A > 0 und AC − B 2 > 0 erfüllt sind, und nur negative Werte im Fall A < 0 und AC − B 2 > 0. Wir haben damit das folgende Resultat bewiesen, welches aus dem allerersten Artikel des jungen Lagrange stammt. (4.7) Satz (Lagrange 1759). Es sei f : R2 → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Außerdem sei (4.24) erfüllt. a)

Der Punkt (x0 , y0 ) ist ein lokales Minimum, falls bei (x0 , y0 ) gilt: (4.26)

b)

und

∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f 2 − > 0. ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y

Der Punkt (x0 , y0 ) ist ein lokales Maximum, falls bei (x0 , y0 ) gilt: (4.27)

c)

∂2f >0 ∂x2

∂2f 0. ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y

Falls ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f 2 − 0 für alle h 6= 0 erfüllt, dann ist der Punkt x0 ein lokales Minimum. Ein stationärer Punkt x0 ist ein lokales Maximum, wenn H(x0 ) negativ-definit“ ” ist, also hT H(x0 )h < 0 für alle h 6= 0 ist. Um festzustellen, ob eine Matrix der Dimension ≥ 3 positiv- (bzw. negativ-)definit ist, verweisen wir auf die Standardliteratur u¨ ber lineare Algebra, beispielsweise Halmos (1958, S. 141, 153).


Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange-Multiplikatoren) Problem. Gesucht ist ein lokales Maximum (oder Minimum) einer Funktion f (x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0. Wenn wir die Höhenlinien von g mit A = {(x, y) | g(x, y) = 0} notieren, so suchen wir also (x0 , y0 ) ∈ A, so dass f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ) für alle (x, y) ∈ A gilt. Ein direkter Ansatz besteht darin, die Gleichung g(x, y) = 0 nach y aufzulösen, mit Satz 3.8 von der impliziten Funktion also y = G(x) zu erhalten, und dann nach einem Extremum von F (x) = f x, G(x) zu suchen. Allgemein könnten wir versuchen, eine Parametrisierung x(t), y(t) der Höhenlinie A zu finden und die Funktion F (t) = f x(t), y(t) zu betrachten. Eine notwendige Bedingung an ein Extremum bei (x0 , y0 ) = x(t0 ), y(t0 ) ist dann F ′ (t0 ) = 0, also (4.32)

∂f ∂f (x0 , y0 )x′ (t0 ) + (x0 , y0 )y ′ (t0 ) = 0. ∂x ∂y

Dies ist eine Gleichung für t0 und sucht alle denkbaren Kandidaten für die Lösung heraus. Allerdings ist dieser Ansatz selten praktikabel, da eine geeignete Parametrisierung meist schwer zu finden ist. Lagranges Idee (Lagrange 1788, première partie, Abschnitt IV, §1, Oeuvres, Band 11, S. 78). Gleichung (4.32) lässt sich dahingehend interpretieren, dass grad f (x0 , y0 ) senkrecht auf dem Tangentialvektor x′ (t0 ), y ′ (t0 ) der Höhenlinie A steht. Nach Abschnitt IV.3 zeigen daher bei einem lokalen Extremum die Vektoren grad f (x0 , y0 ) und grad g(x0 , y0 ) in dieselbe Richtung (siehe Abb. 4.3), und wir finden die notwendige Bedingung (4.33)

grad f (x0 , y0 ) = λ grad g(x0 , y0 ),

g(x0 , y0 ) = 0

(falls grad f (x0 , y0 ) 6= 0 ist). Der Parameter λ heißt Lagrange-Multiplikator. Die Gleichungen (4.33) entsprechen zusammen drei Bedingungen an die drei Parameter x0 , y0 und λ. Mit Hilfe der Funktion (4.34)

L(x, y, λ) := f (x, y) − λg(x, y)

lässt sich Bedingung (4.33) also wie folgt elegant ausdrucken: (4.35)

grad L(x0 , y0 , λ) = 0.

(4.9) Beispiel. Es seien die positiven Zahlen a, b und p > 1 gegeben. Wir suchen das Maximum von (4.36)

f (x, y) = ax + by

im Bereich x > 0, y > 0 unter der Nebenbedingung g(x, y) = xp + y p − 1 = 0 (siehe Abb. 4.3). Benutzen wir Lagranges Idee, so müssen wir die Funktion

352 IV. Differentialrechnung in mehreren Variablen grad g

y

grad f

grad f und grad g

max

grad g

grad f

grad f

x

grad g

grad f

Geraden ax+by=const

grad f

min grad g

grad g

ABB. 4.3. Maximum mit Nebenbedingung für f (x, y) = x + 2y, p = 3

L(x, y, λ) = ax + by − λ(xp + y p − 1) betrachten, und aus der notwendigen Bedingung (4.35) wird (4.37)

a − pλxp−1 = 0, 0

b − pλy0p−1 = 0,

xp0 + y0p = 1.

Die ersten zwei Gleichungen liefern (4.38)

x0 =

a 1/(p−1) , λp

y0 =

b 1/(p−1) . λp

Setzen wir diese Werte in die letzte Gleichung in (4.37) ein, finden wir a q b q + =1 λp λp

(4.39) mit (4.40)

q=

p p−1

bzw.

1 1 + = 1. p q

Gleichung (4.39) erlaubt es uns nun, λ zu berechnen. Setzen wir das Ergebnis in (4.38) ein, finden wir schließlich die Lösung (4.41)

x0 =

aq/p aq + b

, q 1/p

y0 =

bq/p aq + bq

1/p .

In Abb. 4.3 sehen wir, dass dies das gesuchte Maximum ist.


Höldersche Ungleichung (Hölder 1889). Es seien ξ, η und p > 1 positive Zahlen. Dann erfüllen ξ η x= y= 1/p , 1/p ξp + ηp ξp + ηp die Bedingung xp + y p = 1 und aus Beispiel 4.9 folgt

aξ + bη aq + bq = ax + by ≤ ax + by = 0 0 1/p . ξ p + η p )1/p aq + bq

Wir erhalten also die Ungleichung

aξ + bη ≤ ξ p + η p )1/p aq + bq

1/q

,

wobei p und q nach (4.40) zusammenhängen. Durch Induktion nach n lässt sich diese Ungleichung verallgemeinern zu n X

(4.42)

i=1

xi y i ≤

n X i=1

xpi

n 1/p X

yiq

i=1

1/q

für beliebige positive Zahlen xi und yi . Dies ist die sogenannte Hölder-Ungleichung. Der Spezialfall p = q = 2 ist wieder die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (1.5). Mittels (4.42) können wir nun die Dreiecksungleichung für die Normen kxkp aus Gl. (1.9) beweisen: Gegeben zwei Vektoren x, y ∈ Rn gilt nämlich kx + ykpp =

n X i=1

|xi + yi |p ≤

n X i=1

|xi | · |xi + yi |p−1 +

n X i=1

|yi | · |xi + yi |p−1 .

Wenden wir (4.42) auf die zwei Summen auf der rechten Seite der Ungleichung an, finden wir: n X i=1

p−1

|xi | · |xi + yi |

≤

n X i=1

|xi |

p

n 1/p X i=1

|xi + yi |q(p−1)

1/q

= kxkp · kx + ykp−1 . p Dies führt auf kx + ykpp ≤ kxkp + kykp · kx + ykp−1 und es folgt die Dreiecksp ungleichung kx + ykp ≤ kxkp + kykp .


¨ Ubungen 4.1 (H.A. Schwarz 1873). Zeigen Sie, dass die zweiten Ableitungen der Funktion 2 x arctan xy − y 2 arctan xy falls xy 6= 0 f (x, y) = 0 falls xy = 0, ∂ 2f ∂ 2f 6= . ∂x∂y ∂y∂x 4.2 Zeigen Sie, dass die Taylor-Formel (4.14) nur dann gilt, wenn alle beteiligten Ableitungen stetig sind. Dies steht im Kontrast zum Fall mit nur einer Variablen (siehe bspw. Satz III.6.11). Wir betrachten das folgende Gegenbeispiel von Peano (1884, Annotazione N. 109“), ” ( xy p falls x2 + y 2 6= 0 f (x, y) = x2 + y 2 0 sonst im Ursprung voneinander abweichen:

am Punkt x0 = y0 = −a, h = k = a + b. Schreiben wir Gl. (4.14) mit dem Fehlerterm erster Ordnung f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) +

∂f ∂f (ξ, η)h + (ξ, η)k ∂x ∂y

mit den Zwischenpunkten ξ = x0 + θh und η = y0 + θk, so sehen wir anhand von Peanos Gegenbeispiel, dass diese Gleichung nicht immer erfüllt ist. Dieses Beispiel verbesserte einen Fehler in Serrets Buch. 4.3 Analysieren Sie in Beispiel 4.4 die Schnittmengen des Graphen der Funktion f (x, y) mit dem Graphen ihrer Taylornäherung zweiten Grades in einer Umgebung von (x0 , y0 ), und erklären Sie die sternförmigen Kurven (siehe Abb. 4.1). Was war Ihrer Meinung nach die Intention des Autors, den Punkt (0,9; 1,2) für die Grafik zu wählen, und nicht etwa, wie in Abb. 3.1, den Punkt (0,8; 1,0)? Hinweis. Benutzen Sie die Fehler-Formel in (4.14). 4.4 Es sei f : R2 → R eine differenzierbare Funktion, die grad f (x) = g(x) · xT für eine Funktion g : R2 → R erfüllt. Zeigen Sie, dass f auf dem Kreis {x ∈ R2 ; kxk = r} konstant ist.

4.5 Zeigen Sie, dass U = (x2 + y 2 + z 2 )−1/2 die Differentialgleichung von Laplace erfüllt: ∂ 2U ∂2U ∂ 2U + + =0 2 2 ∂x ∂y ∂z 2

für

x2 + y 2 + z 2 > 0.


4.6 Finden Sie die stationären Punkte der Funktion 2 f (x, y) = x2 + y 2 − 8xy

und studieren Sie die Höhenkurven f (x, y) = Const in deren Umgebungen. ¨ (Jede Ahnlichkeit zwischen diesen Kurven und bereits bekannten Kurven ist beabsichtigt.) √ 4.7 Finden Sie den Maximalwert von 3 xyz unter der Nebenbedingung (x + y + z)/3 = 1 . Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen? (Wir haben bereits in Beispiel 4.9 gesehen, dass die Berechnung eines Maximums mit Nebenbedingungen ein ausgezeichnetes Werkzeug ist, um interessante Ungleichungen zu erzeugen.) 4.8 Finden Sie die Maxima und Minima von x2 + y 2 + z 2 unter den Nebenbedingungen x2 y2 z2 + + =1 und z = x + y. 4 9 25 Bemerkung. Wenn es zwei Nebenbedingungen zu erfüllen gibt, müssen Sie auch zwei Lagrange-Multiplikatoren einführen. 4.9 Es sei A=

√

2+1 0

√1 2

die Matrix aus dem Beispiel in Abschnitt IV.2. Finden Sie das Maximum der Funktion f (x) = kAxk22 unter der Nebenbedingung kxk22 − 1 = 0. Das Ergebnis ist der Wert kAk2 , wie er in Gl. (2.14) definiert wurde.

4.10 Zeigen Sie, dass die Funktion f : R2 → R,

f (x, y) = (y − x2 )(y − 2x2 ), im Ursprung einen stationären Punkt besitzt, jedoch kein lokales Minimum. Jedoch besitzt die Funktion ein lokales Minimum auf jeder Geraden, die durch den Ursprung geht. Mit diesem Gegenbeispiel berichtigte Peano (1884, Annotazioni N. 133–136“) einen weiteren Fehler in Serrets Buch. Der” art respektlose Kritik eines 25-jährigen italienischen Niemand“ am Werk ” der größten französischen Mathematiker wurde nicht von allen begeistert aufgenommen (siehe bspw. Peanos Opere, S. 40–46).


IV.5 Mehrdimensionale Integrale Wir wissen, dass die Auswertung oder auch nur die Zurückführung eines Vielfachintegrals im allgemeinen sehr große Probleme aufwirft . . . (Dirichlet 1839, Werke, Band I, S. 377)

Das Riemann-Integral einer Funktion von einer Variablen (Abschnitt III.5) misst die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse. Wir wollen dieses Konzept auf Funktionen f : A → R (mit A ⊂ R2 ) von zwei Variablen erweitern, dabei soll das Integral das Volumen zwischen der Oberfläche z = f (x, y) und der (x, y)Ebene messen. Viele Definitionen und Ergebnisse aus Abschnitt III.5 können dann direkt u¨ bertragen werden. Allerdings treten zusätzliche technische Probleme auf, da beliebige Bereiche im R2 oft deutlich komplizierter sind als beliebige Bereiche in R (siehe Abb. 5.1). Die Verallgemeinerung auf Funktionen von mehr als zwei Variablen ist dann mehr oder minder offensichtlich.

d

I

A A

c a

b

Rechteck

nicht konvex

nicht zusammenhängend

ABB. 5.1. Mögliche Integrationsbereiche im R2

Doppelintegrale u¨ ber ein Rechteck Wir beginnen mit Funktionen f : I → R, deren Definitionsbereich I = [a, b] × [c, d] = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} ein abgeschlossenes und beschränktes Rechteck im R2 ist. Darüber hinaus soll die Funktion beschränkt sein, also es soll gelten: (5.1)

∃ M ≥ 0 ∀ (x, y) ∈ I

Wir betrachten Unterteilungen (5.2)

Dx = {x0 , x1 , . . . , xn } Dy = {y0 , y1 , . . . , ym }

|f (x, y)| ≤ M. von [a, b], von [c, d],

mit a = x0 < x1 < . . . < xn = b und c = y0 < y1 < . . . < ym = d, bezeichnen die kleinen in Abb. 5.2 dargestellten Rechtecke mit Iij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] und ihre Flächen mit (5.3)

µ(Iij ) = (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ).

IV.5 Mehrdimensionale Integrale 357

ym=d

yj Iij yj−1 : y1 c a

x1

x2 . . .

xi−1

xi

xn = b

ABB. 5.2. Unterteilung eines Rechtecks und ein Iij

Mit der Notation (5.4)

fij =

inf

(x,y)∈Iij

f (x, y),

Fij =

sup

f (x, y)

(x,y)∈Iij

lassen sich obere und untere Summen definieren: n X m n X m X X (5.5) s(Dx × Dy ) = fij µ(Iij ), S(Dx × Dy ) = Fij µ(Iij ). i=1 j=1

i=1 j=1

Wenn wir der Unterteilung Dx (oder Dy ) Punkte hinzufügen, wird die untere Summe nicht weniger und die obere Summe nicht mehr (vgl. Lemma III.5.1). Außerdem kann eine untere Summe niemals größer sein als eine obere Summe (Lemma III.5.2). Somit macht die folgende Definition Sinn. (5.1) Definition. Die Funktion f : I → R erfülle (5.1). Falls (5.6)

sup s(Dx × Dy ) =

(Dx ,Dy )

inf

(Dx ,Dy )

S(Dx × Dy )

ist, dann ist f (x, y) auf I integrierbar und wir bezeichnen den Wert (5.6) mit Z ZZ (5.7) f (x, y) d(x, y) oder f (x, y) d(x, y). I

I

Als direkte Folgerung aus dieser Definition und den oben genannten Eigenschaften sehen wir, dass f : I → R genau dann integrierbar ist, wenn gilt (siehe Satz III.5.4): (5.8)

∀ε > 0

e x, D e y ) S(D ex × D e y ) − s(D ex × D e y ) < ε. ∃ (D

Der Satz von Du Bois-Reymond (Satz III.5.8) besitzt ebenfalls ein Analogon.


(5.2) Satz. Es sei Dδ die Menge aller Paare von Unterteilungen (Dx , Dy ) mit maxi (xi − xi−1 ) < δ und maxj (yj − yj−1 ) < δ. Eine Funktion f : I → R, die (5.1) erfüllt, ist genau dann integrierbar, wenn gilt: ∀ε > 0

∃ δ > 0 ∀ (Dx , Dy ) ∈ Dδ

S(Dx × Dy ) − s(Dx × Dy ) < ε.

e x, D e y ) wie in (5.8). Diese Unterteilung Beweis. Für ein gegebenes ε > 0 sei (D definiert ein Gitter im Inneren von [a, b] × [c, d]. Die Gesamtlänge aller Strecken im Gitter beträgt L = (e n − 1)(d − c) + (m e − 1)(b − a) (siehe Abb. 5.3 links). Wir wählen nun eine beliebige Unterteilung (Dx , Dy ) ∈ Dδ , setzen ∆ = S(Dx × e x , D ′ = Dy ∪ D e y und ∆′ = S(D′ × Dy ) − s(Dx × Dy ) sowie Dx′ = Dx ∪ D y x Dy′ ) − s(Dx′ × Dy′ ). Genauso wie in Gl. (III.5.10) erhalten wir dann (sieh Abb. 5.3 rechts) ∆ ≤ ∆′ + L · δ · 2M. Die Schlussfolgerung ist nun dieselbe wie im Beweis von Satz III.5.8.

⊓ ⊔

ex × D ey (links), Unterteilung Dx′ × Dy′ , Elemente Iij von ABB. 5.3. Unterteilung D ex × D e y schneiden (rechts) Dx′ × Dy′ , die D

Es seien ξ1 , . . . , ξn und η1 , . . . , ηm derart, dass xi−1 ≤ ξi ≤ xi und yj−1 ≤ ηj ≤ yj ist. Dann folgt aus Satz 5.2, dass unter der Voraussetzung maxi (xi − xi−1 ) < δ und maxj (yj − yj−1 ) < δ (5.9)

X ZZ m n X f (ξi , ηj )(xi − xi−1 )(yj − yj−1 ) − f (x, y) d(x, y) < ε i=1 j=1

I

sein muss. Die Ungleichung gründet darauf, dass sowohl die Summe als auch das Integral in (5.9) zwischen s(Dx × Dy ) und S(Dx × Dy ) liegen. Pm Iterierte Integrale. Die innere Summe in Gl. (5.9), also j=1 f (ξi , ηj )(yj − yj−1 ), ist eine Riemann-Summe der Funktion f (ξi , y). Wenn wir annehmen, dass


diese Funktion für alle i (im Sinne der Definition III.5.3) integrierbar ist, erhalten wir aus (5.9): n Z d ZZ X (5.10) f (ξi , y) dy (xi − xi−1 ) − f (x, y) d(x, y) ≤ ε. c

i=1

I

Wieder werden wir hier Rmit einer Riemann-Summe konfrontiert, doch dieses Mal d für die Funktion x 7→ c f (x, y) dy. Die Absch¨ RRatzung (5.10) drückt daher die Tatsache aus, dass die Riemann-Summen gegen I f (x, y) d(x, y) konvergieren, ¨ falls maxi (xi − xi−1 ) → 0 strebt. Folglich gilt (siehe Ubung 5.1) Z b Z d ZZ (5.11) f (x, y) dy dx = f (x, y) d(x, y) a

c

I

und wir haben den folgenden Satz bewiesen. (5.3) Satz (Stolz 1886, S. 93). Es sei f : I → R integrierbar und die Funktion y 7→ f (x, y) sei für jedes x ∈ [a, b] auf [c, d] integrierbar. Dann ist auch die Rd Funktion x 7→ c f (x, y) dy auf [a, b] integrierbar und die Gleichheit (5.11) gilt. ⊓ ⊔ Somit lässt sich die Berechnung eines Doppelintegrals auf die Berechnung zweier einfacher (iterierter) Integrale zurückführen, so dass wir die Techniken einsetzen können, die wir in den Abschnitten II.4, II.5 und III.5 entwickelt haben. Aus Symmetriegründen gilt natürlich auch Z d Z b ZZ (5.12) f (x, y) dx dy = f (x, y) d(x, y), c

a

I

vorausgesetzt, f : I → R ist integrierbar und die Funktion x 7→ f (x, y) ist für jedes y ∈ [c, d] auf [a, b] integrierbar. Die zwei Identitäten (5.11) und (5.12) zusammen zeigen, dass das iterierte Integral (unter den genannten Voraussetzungen) von der Reihenfolge der Integration unabhängig ist. Gegenbeispiele. Wir wollen zeigen, dass die Existenz eines der Integrale in (5.11) keineswegs die Existenz des jeweils anderen erzwingt. 1) Es sei f : [0, 1] × [0, 1] → R definiert als (Abb. 5.4a) (5.13) 1 falls (x, y) = ( 2k−1 , 2ℓ−1 ) mit ganzen Zahlen n, k, ℓ, 2n 2n f (x, y) = 0 sonst. Für ein festes x ∈ [0, 1] gibt es nur endlich viele Punkte mit f (x, y) 6= 0. Folglich R1 ist 0 f (x, y) dy = 0 und das iterierte Integral auf der linken Seite von (5.11) existiert. Jedoch enthält jedes Rechteck [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] sowohl Punkte mit f (x, y) = 1 als auch Punkte mit f (x, y) = 0. Entsprechend gilt für sämtliche Unterteilungen s(Dx × Dy ) = 0 und S(Dx × Dy ) = 1 und das Integral auf der rechten Seite von (5.11) existiert nicht.


ABB. 5.4a. Nichtintegrierbare Funktion

ABB. 5.4b. Integrierbare Funktion

2) Die Funktion (Abb. 5.4b)   1 falls (x = 0 oder x = 1) und y ∈ Q (5.14) f (x, y) = 1 falls (y = 0 oder y = 1) und x ∈ Q  0 sonst

ist integrierbar, da die Punkte mit f (x, y) 6= 0 eine vernachlässigbare Menge bilden (siehe unten). Jedoch ist die Funktion y 7→ f (x, y) für x = 0 oder x = 1 die Dirichlet-Funktion aus Beispiel III.5.6 und daher nicht integrierbar.

Nullmengen und unstetige Funktionen Stetige Funktionen f : I → R sind gleichmäßig stetig (I ist kompakt, Satz 2.5) und folglich integrierbar. Der Beweis ist in der Tat analog zum Beweis von Satz III.5.10. Im folgenden wollen wir die Integrierbarkeit von Funktionen beweisen, deren Menge der Unstetigkeitsstellen nicht zu groß ist. (5.4) Definition. Eine Menge X ⊂ I ⊂ R2 heißt Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 endlich viele Rechtecke Ik = [ak , bk ] × [ck , dk ], (k = 1, . . . , n) gibt, so dass gilt: (5.15)

X⊂

n [

k=1

Ik

und

n X

µ(Ik ) < ε.

k=1

Typische Nullmengen sind die Ränder normaler“ Mengen, also Ränder von ” Dreiecken, Scheiben, Polygonen etc. (siehe das Beispiel in Abb. 5.51 ). Dies ist eine Konsequenz des folgenden Lemmas. 1

Natürlich nur eine Nullmenge im streng-mathematischen Sinn!


1

1

0

1

δ=

1 10 ,

1

2 0

Σµ = 0,880

1

δ=

1 20 ,

2 0

Σµ = 0,475

1

δ=

1 40 ,

2

Σµ = 0,263

ABB. 5.5. Eine Nullmenge

(5.5) Lemma. Eine Kurve in der Ebene sei beschrieben durch ϕ : [0, 1] → R2 und es gelte (5.16)

für alle s, t ∈ [0, 1].

kϕ(s) − ϕ(t)k∞ ≤ M · |s − t|

Dann ist die Bildmenge ϕ [0, 1] eine Nullmenge.

Beweis. Wir unterteilen [0, 1] in n a¨ quidistante Intervalle J1 , J2 , . . . , Jn der Länge 1/n. Für s, t ∈ Jk finden wir kϕ(s) − ϕ(t)k∞ ≤ M/n, also ist ϕ(Jk ) im Quadrat Ik der Seitenlänge ≤ 2M/n enthalten. Entsprechend ist die gesamte Kurve enthalten in einer Vereinigung von n Quadraten I1 , . . . , In , deren Gesamtfläche beschränkt ist durch n X

k=1

µ(Ik ) ≤

n X 2M 2 k=1

n

=

4M 2 < ε, n

für genügend großes n. Damit ist (5.15) bewiesen.

⊓ ⊔

Bedingung (5.16) ist hinreichend, jedoch nicht notwendig für eine Kurve, um Nullmenge zu sein. Beispielsweise ist die Koch-Kurve (von Koch 1906) aus ¨ Abb. 5.6 eine Nullmenge (siehe Ubung 5.5) mit unendlicher Gesamtlänge (deshalb kann (5.16) nicht erfüllt werden). Die Kurve von Peano-Hilbert (Abb. 2.3) ist natürlich keine Nullmenge. Dagegen sind Sierpiński-Dreick und -Teppich (Abb. 1.9 und Abb. 1.10) interessante Beispiele für Nullmengen. (5.6) Satz. Es sei f : I → R eine beschränkte Funktion (die also (5.1) erfüllt). Wir definieren X = (x, y) ∈ I ; f ist nicht stetig bei (x, y) .

Falls X eine Nullmenge ist, dann ist die Funktion f (x, y) integrierbar.


ABB. 5.6. Die Koch-Kurve, eine Nullmenge

Sn ¨ Beweis. Es sei ε > 0 gegeben und k=1 Ik eine endliche Uberdeckung von X, die (5.15) erfüllt. Wir vergrößern Ik geringf¨ u gig und betrachten offene Rechtecke Pn J1 , .S. . , Jn mit Jk ⊃ Ik für alle k und k=1 µ(Jk ) < 2ε. Die Menge H := n I \ k=1 Jk ist dann abgeschlossen (Sätze 1.15 und 1.14) und folglich kompakt (Satz 1.19). Die Funktion f (x, y), eingeschränkt auf H, ist gleichmäßig stetig (Satz 2.5), weshalb ein δ > 0 existieren muss, so dass |f (x, y) − f (ξ, η)| < ε ist, wann immer |x − ξ| < δ und |y − η| < δ erfüllt sind. Wir beginnen nun mit einem Gitter Dx × Dy , das sämtliche Eckpunkte der Rechtecke J1 , . . . , Jn enthält, und verfeinern es solange, bis die Abstände xi − xi−1 und yj − yj−1 kleiner sind als δ. Sodann spalten wir die Differenz S(Dx × Dy ) − s(Dx × Dy ) auf in die zwei Summen X

Iij ⊂H

X Fij − fij µ(Iij ) + Fij − fij µ(Iij ). Iij 6⊂H

Die Summe auf der linken Seite ist ≤ εµ(I), da f (x, y) auf H gleichmäßig stetig ist; die Summe auf der rechten Seite ist S ≤ 4M ε, weil die Vereinigung der Rechtecke Iij (die nicht in H liegen) in nk=1 Jk enthalten ist, was seinerseits einen Flächeninhalt < 2ε hat. Beide Abschätzungen zusammen zeigen, dass S(Dx × Dy ) − s(Dx × Dy ) beliebig klein gemacht werden kann. ⊓ ⊔


Beliebige beschränkte Integrationsbereiche Besonderen Stolz legte Dirichlet auf seine Methode des diskontinuierlichen Faktors zur Bestimmung vielfacher Integrale. Er pflegte zu sagen, es ist das ein sehr einfacher Gedanke, und schmunzelnd hinzuzufügen, aber man muss ihn haben. (H. Minkowski, Jahrber. DMV, 14 (1905), S. 161)

Es sei A ⊂ R2 ein beschränktes Gebiet, das in einem Rechteck I enthalten ist (d.h. A ⊂ I), und es sei f : A → R eine beschränkte Funktion. Wir wollen das Volumen unter der Fläche z = f (x, y) bestimmen, wobei (x, y) auf A eingeschränkt sein soll. Der Ansatz (Dirichlet 1839) besteht darin, die wie folgt definierte Funktion F : I → R zu betrachten: (5.17)

F (x, y) =

f (x, y) falls (x, y) ∈ A 0 sonst.

Falls F im Sinne der Definition 5.1 integrierbar ist, definieren wir ZZ

(5.18)

f (x, y) d(x, y) = A

ZZ

F (x, y) d(x, y). I

In einer typischen Situation ist f : A → R auf A stetig und der Rand von A, also die Menge (5.19)

∂A :=

jede Umgebung von (x, y) enthält (x, y) ∈ R , Elemente von A und von ∁A 2

ist eine Nullmenge. In diesem Fall befinden sich sämtliche Unstetigkeitsstellen von F in ∂A und aus Satz 5.6 folgt die Integrierbarkeit von F . Iterierte Integrale. Die Menge A ist oftmals von einer der folgenden Formen: (5.20) (5.21)

A = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) }, A = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y) },

wobei ϕi (x) und ψj (y) bekannte Funktionen sind (siehe Abb. 5.7). Unter dieser Voraussetzung liefern die Formeln (5.11) und (5.12) zusammen mit (5.18) (5.22) (5.23)

ZZ ZZ

f (x, y) d(x, y) = A

a

f (x, y) d(x, y) = A

Z b Z

f (x, y) dy dx,

ϕ1 (x)

Z d Z c

ϕ2 (x)

ψ2 (y) ψ1 (y)

f (x, y) dx dy.


d ϕ2(x)

A

A

ψ1(y) ϕ1(x)

a

A

ψ2(y)

c

b Typ (5.20)

Typ (5.21)

Nicht vom Typ (5.20)

ABB. 5.7. Gebiete im R2

Beispiele. 1) Für die Menge A = (x, y) | − a ≤ x ≤ a, x2 ≤ y ≤ a2 wollen wir den Schwerpunkt RR y d(x, y) 3a2 y = RRA = d(x, y) 5 A berechnen. Wir haben die Wahl zwischen (5.22) und (5.23): ZZ Z a Z a2 4a5 (5.22) y d(x, y) = y dy dx = , 5 2 A −a | x {z } a4 /2 − x4 /2

−a

a

a2 4a3 dx dy = . √ 3 A 0 − y | {z } √ 0 2 y 2) Wir berechnen das Trägheitsmoment der Scheibe A = (x, y) | x2 +y 2 ≤ a2 , die um einen ihrer Durchmesser rotiert: ZZ Z a Z √a2 −x2 2 (5.24) I= y d(x, y) = y 2 dy dx. √

ZZ

(5.23) d(x, y) =

A

Z

a2

Z

√ y

−a

− a2 −x2

Der Wert des inneren Integrals beträgt 23 (a2 − x2 )3/2 , so dass wir für das a¨ ußere √ Integral die Substitution x = a sin t, dx = a cos t dt, a2 − x2 = a cos t ansetzen können. Wir erhalten so Z π/2 2 4 π I= a cos4 t dt = a4 . 4 −π/2 3 Der folgende Hauptsatz u¨ ber Koordinatenwechsel wird die Berechnung von Integralen wie (5.24) deutlich vereinfachen (siehe Beispiel 5.8 unten).


Die Transformationsformel für Doppelintegrale RR

. . . dies funktioniert füRR r jede andere Formel Zdxdy, da sie durch dieselben Substitutionen in Z(V R − ST ) dtdu u¨ berführt werden kann . . . (Euler 1769b)

Integration durch Substitution gemäß Gl. (II.4.14), also Z g(b) Z b f (x) dx = f g(u) g ′ (u) du, g(a)

a

ist ein wichtiges Werkzeug, wenn man Integrale berechnen möchte. Falls g : [a, b] → [c, d] bijektiv (und stetig differenzierbar) ist, lässt sich diese Formel auch schreiben als Z d Z b f (x) dx = f g(u) |g ′ (u)| du, c

a

wobei die Betragsstriche das Vorzeichen korrigieren, falls g ′ (u) < 0 eintritt (und damit ja auch g(b) < g(a)). Der folgende Satz stellt ein Analogon für Doppelintegrale dar. (5.7) Satz (Euler 1769b, Opera, Band XVII, S. 303 für n = 2; Lagrange 1773, Oeuvres, Band 3, S. 624 für n = 3; und Jacobi 1841, Werke, Band 3, S. 436 für beliebige n). Es sei f : A → R eine stetige Funktion, g : U → R2 (U ⊂ R2 offen) stetig differenzierbar und wir setzen voraus: i) A = g(B); die Mengen A, B ⊂ R2 sind kompakt; ∂A, ∂B sind Nullmengen; ii) g ist injektiv auf B \ N , wobei N eine Nullmenge ist. Dann gilt: ZZ ZZ f (x, y) d(x, y) = f g(u, v) det g ′ (u, v) d(u, v). (5.25) A

B

Polarkoordinaten. Eine der wichtigsten Anwendungen von Satz 5.7 ist der Fall (5.26)

g(r, ϕ) = (x, y),

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ

(Polarkoordinaten, siehe Abschnitt I.5) mit A = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ R2 }. Durch die Wahl B = [0, R] × [0, 2π] ist Voraussetzung (i) von Satz 5.7 erfüllt. Die Funktion g aus (5.26) ist nicht injektiv auf B (es ist g(r, 0) = g(r, 2π) für alle r, und g(0, ϕ) = (0, 0) für alle ϕ), jedoch können wir von B die Nullmenge N = ({0} × [0, 2π]) ∪ ([0, R] × {2π}) abziehen (siehe Abb. 5.8b), die Funktion g ist dann injektiv auf B \ N . Wegen cos ϕ −r sin ϕ det g ′ (r, ϕ) = det =r sin ϕ r cos ϕ folgt aus Satz 5.7 und Gl. (5.11) ZZ Z (5.27) f (x, y) d(x, y) = x2 +y 2 ≤R2

0

2π

Z

0

R

f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ.


2π

ϕ

N

6

y

2

g

B

3

−2

1 0

−1

A 0

1

2

x

−1

N 0 0

R

1

ABB. 5.8a. Flächeninhalt eines Parallelogramms

r

−2

ABB. 5.8b. Polarkoordinaten

y 2 v 2

B

g

A

Jβ

b

g(Jβ)

(uβ, vβ)

a

u 0

2

δ

x 0

2

ABB. 5.9. Transformation eines Gitters

Beweis von Satz 5.7. Grundideen. Wir u¨ berdecken B mit abgeschlossenen Quadraten Jβ der Seitenlänge δ (siehe Abb. 5.9, links), wählen B = {β | Jβ ∩ B 6= ∅} und definieren (uβ , vβ ) als den unteren linken Eckpunkt von Jβ . Wir nehmen an, dass δ hinreichend klein ist, so dass sämtliche Jβ (β ∈ B) noch immer in U liegen. Die Bildmenge g(Jβ ) von Jβ ist näherungsweise ein Parallelogramm mit den Seitenlängen (Abb. 5.9, rechts; Abb. 5.10) (5.28)

a=

∂g (uβ , vβ ) δ, ∂u

b=

∂g (uβ , vβ ) δ ∂v

(siehe Beispiel 3.2). Aus der Elementargeometrie wissen wir, dass der Flächenin-


halt dieses Parallelogramms gleich der Determinante ist2 a1 b1 (5.29) Parall.-Fläche = | det(a b)| = det = |a1 b2 − a2 b1 | a2 b2 und inspiriert von Gl. (5.9) sehen wir ZZ X f (x, y) d(x, y) ≈ f g(uβ , vβ ) · Flächeninhalt von g(Jβ ) A

β∈B

≈ ≈

X

β∈B

ZZ

B

f g(uβ , vβ ) det g ′ (uβ , vβ ) µ(Jβ ) f g(u, v) det g ′ (u, v) d(u, v).

Dies sollte die Gültigkeit von Gl. (5.25) motivieren.

Strenge Abschätzungen. Die Integranden in Gl. (5.25) sind jeweils auf A und B stetig. Da A und B kompakt sind, sind diese Funktionen außerdem beschränkt. Darüber hinaus sind ∂A und ∂B Nullmengen, so dass nach (5.18) die zwei Integrale in Gl. (5.25) existieren. Im folgenden wollen wir den Definitionsbereich von f auf den ganzen R2 ausdehnen, indem wir f (x, y) = 0 außerhalb von A setzen. Um nun die genaue Bedeutung des linken Integrals in (5.25) zu verstehen, führen wir zusätzlich zur obigen Unterteilung von B eine weitere Unterteilung von A in Quadrate Iα ein, setzen A = {α | Iα ∩A 6= ∅} und wählen (xα , yα ) ∈ Iα ∩A (dies sind die Fischaugen“ in Abb. 5.10). Wir werden Gleichung (5.25) beweisen, ” indem wir zeigen, dass die Differenz der Riemann-Summen der zwei Integrale (siehe Satz 5.2 und Gl. (5.9)) X X (5.30) f (xα , yα ) µ(Iα ) − f g(uβ , vβ ) det g ′ (uβ , vβ ) µ(Jβ ) α∈A

β∈B

für jedes gegebene ε > 0 kleiner ist als ε (oder zumindest ≤ Const· ε). Dabei stellt sich heraus, dass die Seitenlängen der Quadrate Iα kleiner als δ sein müssen (die Seitenlänge von Jβ ). Wir wählen sie als ≤ ε · δ.

Unterteilung von A. Die linke Summe in (5.30) umfasst wesentlich mehr Terme als die rechte. Um nun einander entsprechende Terme in dieser Differenz miteinander zu vergleichen, zerlegen wir die Menge A gemäß [ A= Pβ (disjunkte Vereinigung) β∈B

mit folgenden Bedingungen: 2 Die zwei Ausdrücke auf der linken und rechten Seite von (5.29) sind i) invariant unter Transformationen des Typs b 7→ b + λa (Prinzip von Cavalieri) und ii) offensichtlich gleich für achsenparallele Rechtecke ≡ Diagonalmatrizen; siehe Abb. 5.8a. Für weitere Details siehe Strang (1976, S. 164).


Rβ+ g(Jβ)

Rβ −

b

g(uβ, vβ)

Rβ

2√2εδ 2√2εδ

a

ABB. 5.10. Quadrate Iα , für die α zu Pβ gehört

(5.31a) (5.31b)

(xα , yα ) ∈ g(Jβ ) falls α ∈ Pβ ,

α ∈ Pβ falls Iα ⊂ g(Jβ ) und Jβ ⊂ B \ N

(siehe Fig. 5.10). S Zu einem gegebenen α ∈ A können wir nun wegen (xα , yα ) ∈ A = g(B) ⊂ β∈B g(Jβ ) stets ein β finden, dass (5.31a) erfüllt. Um außerdem (5.31b) zu erfüllen, müssen wir noch zeigen, dass es höchstens ein β ∈ B gibt mit Jβ ⊂ B \ N und Iα ⊂ g(Jβ ). Angenommen, es ist Iα ⊂ g(Jβ ) ∩ g(Jβ ′ ) für ein β 6= β ′ . Da g auf B \ N injektiv ist, haben wir g(Jβ ) ∩ g(Jβ ′ ) ⊂ g(Jβ ∩ Jβ ′ ), so dass auch Iα ⊂ g(Jβ ∩ Jβ ′ ) ist. Doch Jβ ∩ Jβ ′ ist entweder leer, ein einzelner Punkt oder ein Streckenabschnitt, so dass g(Jβ ∩ Jβ ′ ) nach Lemma 5.5 in jedem ′ Fall eine Nullmenge ist. Folglich ist Iα ⊂ g(Jβ ∩ Jβ ′ ) nicht P möglich P für βP6= β . Mit den so bestimmten Mengen Pβ können wir nun α∈A = β∈B α∈Pβ P einsetzen, schreiben den Ausdruck aus Gl. (5.30) als β∈B Dβ mit X (5.32) Dβ = f (xα , yα ) µ(Iα ) − f g(uβ , vβ ) det g ′ (uβ , vβ ) µ(Jβ ) α∈Pβ

und schätzen diese Terme ab. Für den Anfang betrachten wir nur die sogenannten inneren“ Jβ , d.h. wir nehmen an, dass Jβ ⊂ B \ N ist. Wir schreiben Dβ in der ” Form X (5.33a) Dβ = f (xα , yα ) − f g(uβ , vβ ) µ(Iα ) α∈Pβ

(5.33b)

+ f g(uβ , vβ )

X

α∈Pβ

µ(Iα ) − det g ′ (uβ , vβ ) µ(Jβ )

und schätzen die beiden Ausdrücke separat ab.


Abschätzung von (5.33a). Da g(u, v) stetig differenzierbar ist, ist g ′ (u, v) auf der kompakten Menge B beschränkt (Satz 2.3), also kg ′ (u, v)k ≤ M1

(5.34)

für

(u, v) ∈ B.

Damit liefert der Mittelwertsatz 3.7 √

(xα , yα )T − g(uβ , vβ ) ≤ M1 · δ · 2

für

α ∈ Pβ

(tatsächlich liegt √ (xα , yα ) in g(Jβ ) und die Punkte von Jβ liegen höchstens im Abstand δ · 2 von (uβ , vβ )). Sodann folgt aus der gleichmäßigen Stetigkeit f (xα , yα ) − von f auf A (f ist stetig auf der kompakten Menge A), dass f g(uβ , vβ ) < ε für hinreichend kleines δ sein muss (wir erinnern uns daran, dass g(Jβ ) ⊂ A ist, da wir Jβ als innen liegend annehmen). Folglich ist (5.35)

X X f (x , y ) − f g(u , v ) µ(I ) µ(Iα ). α α β β α ≤ε α∈Pβ

α∈Pβ

Abschätzung von (5.33b). Wir müssen uns nun ernsthafter mit der Frage auseinandersetzen, wie genau die Menge g(Jβ ) durch das Parallelogramm angenähert wird, das von den Vektoren a und b in (5.28) aufgespannt wird. Wir nennen diese Menge n o ∂g ∂g Rβ = g(uβ , vβ ) + (uβ , vβ ) s + (uβ , vβ ) t s ∈ [0, δ], t ∈ [0, δ] . ∂u ∂v

Wir berechnen folgendermaßen den Abstand zwischen zwei einander entspre∂g chenden Punkten g(uβ + s, vβ + t) in g(Jβ ) und g(uβ , vβ ) + ∂u (uβ , vβ ) s + ∂g (u , v ) t in R : Setzen wir in Gleichung (III.6.16) F (τ ) = g(u +τ s, vβ +τ t) β β β β ∂v ein, so folgt g(uβ + s, vβ + t) − g(uβ , vβ ) =

Z

1

s g (uβ + τ s, vβ + τ t) · dτ. t ′

0

Davon ziehen wir ∂g/∂u(uβ , vβ ) · s + ∂g/∂v(uβ , vβ ) · t auf beiden Seiten ab, wir erhalten

∂g ∂g

(uβ , vβ ) s + (uβ , vβ ) t

g(uβ + s, vβ + t) − g(uβ , vβ ) + ∂u ∂v

Z 1 s

√ = g ′ (uβ + τ s, vβ + τ t) − g ′ (uβ , vβ ) · dτ ≤ 2εδ t 0

für 0 ≤ s, t ≤ δ. Die letzte Abschätzung folgt aus der gleichmäßigen Stetigkeit von g ′ auf der kompakten Menge B (wieder setzen wir ein, dass Jβ im Inneren liegt).


Als nächstes umfassen wir Rβ mit zwei Mengen Rβ− ⊂ Rβ ⊂ Rβ+ , die definiert sind als (siehe Abb. 5.10) √ Rβ+ = Menge aller Punkte mit Abstand ≤ 2 2εδ vom nächsten Punkt in Rβ √ Rβ− = Menge aller Punkte in Rβ mit Abstand ≥ 2 2εδ vom Rand .

√ √ Wir haben den Abstand 2 2εδ in dieser Definition als Doppeltes von 2εδ gewählt, welches einerseits der maximale Abstand zwischen einander entsprechenden Punkten von g(Jβ ) und Rβ ist, und andererseits auch der maximale Durchmesser der Quadrate Iα ist. Durch diese Wahl enthalten die Mengen Rβ− und Rβ+ aufgrund von (5.31a) und (5.31b) auch die Vereinigung aller Iα mit α ∈ Pβ (siehe wiederum Abb. 5.10): [ Rβ− ⊂ Iα ⊂ Rβ+ . α∈Pβ

√ Da Rβ+ \ Rβ− ein Ring“ der Länge ≤ 4M1 δ (siehe (5.34)) und Dicke“ ≤ 4 2εδ ” ” ist, führen die obigen Inklusionen zu der Abschätzung X √ µ(Iα ) − µ(Rβ ) ≤ µ Rβ+ \ Rβ− ≤ (4M1 δ)(4 2εδ). α∈Pβ

Infolgedessen ist (5.36) X µ(Iα ) − det g ′ (uβ , vβ ) µ(Jβ ) ≤ Cεδ 2 = Cεµ(Jβ ) f g(uβ , vβ ) α∈Pβ

√ mit C = M · 4M1 · 4 2.

Fazit. Falls Jβ 6⊂ B \ N ist (so dass Jβ die Nullmenge ∂B ∪ N schneidet), können wir Dβ aus Gl. (5.32) mittels |Dβ | ≤ M2 µ(Jβ ) abschätzen, dabei ist M2 eine Konstante, die von den Schranken von f und g ′ abhängt. Ist δ hinreichend klein, folgt dann aus (5.15), dass die Summe dieser |Dβ | kleiner oder gleich M2 ε sein muss. Für die verbleibenden Jβ benutzen wir (5.35) und (5.36) zusammen mit (5.33) und finden X |Dβ | ≤ ε µ(Iα ) + Cεµ(Jβ ). α∈Pβ

Alles in allem ist die Differenz (5.30) der Riemann-Summen, also beliebig klein (≤ Const · ε).

P

β∈B

Dβ , ⊓ ⊔

(5.8) Beispiel. Es sei A = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ R2 } die Scheibe vom Radius R. Ihr Flächeninhalt lässt sich elegant berechnen durch


ZZ

A

1 · d(x, y) =

Z

2π 0

Z

R

r dr dϕ = 0

R2 · 2π = R2 π. 2

Ihr Trägheitsmoment bezüglich einer Rotation um einen Durchmesser ist ZZ Z 2π Z R R4 π 2 y d(x, y) = r2 sin2 ϕ · r dr dϕ = . 4 A 0 0

Das Trägheitsmoment bezüglich einer Rotation um die senkrechte Achse durch ihren Mittelpunkt beträgt ZZ Z 2π Z R R4 π (x2 + y 2 ) d(x, y) = r2 · r dr dϕ = . 2 A 0 0 z

r sinθ dϕ

θ ϕ

r r dθ

dr

y x ABB. 5.11. Sphärische Koordinaten

Sphärische Koordinaten. Die Ergebnisse dieses Abschnitts lassen sich ohne größere Mühen auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Als Beispiel wollen wir eine interessante Anwendung der Transformationsformel (5.25) in drei Dimensionen vorstellen. Wir betrachten sphärische Koordinaten g(r, ϕ, θ) = (x, y, z), wie sie durch (siehe Abb. 5.11) (5.37)

x = r cos ϕ sin θ,

y = r sin ϕ sin θ,

z = r cos θ

definiert sind, und interessieren uns für Dreifachintegrale u¨ ber eine Kugel A = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }. Mit B = [0, R] × [0, 2π] × [0, π] und N = ∂B sind sämtliche Voraussetzungen für Satz 5.7 erfüllt. Wir berechnen die JacobiMatrix von g,   cos ϕ sin θ −r sin ϕ sin θ r cos ϕ cos θ g ′ (r, ϕ, θ) =  sin ϕ sin θ r cos ϕ sin θ r sin ϕ cos θ  , cos θ 0 −r sin θ


und finden ihre Determinante det g ′ (r, ϕ, θ) = −r2 sin θ, also ist (Lagrange 1773) ZZZ ZZZ (5.38) f (x, y, z) d(x, y, z) = fe(r, ϕ, θ) r2 sin θ d(r, ϕ, θ) A

B

e ϕ, θ) = f (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ). Angesichts von Abb. 5.11 mit f(r, kann diese Formel auch, wie Lagrange sagt, directement sans aucun calcul“ ” eingesehen werden. Das Volumen der Kugel finden wir durch die Wahl f (x, y, z) = 1: ZZZ Z π Z 2π Z R 4R3 π 1 · d(x, y, z) = r2 sin θ dr dϕ dθ = . 3 A 0 0 0 Das Trägheitsmoment bezüglich einer Rotation durch ihren Mittelpunkt beträgt ZZZ Z π Z 2π Z R 8R5 π 2 2 (x + y ) d(x, y, z) = r2 sin2 θ · r2 sin θ dr dϕ dθ = . 15 A 0 0 0

Integrale mit unbeschränktem Integrationsbereich Gelegentlich findet man sich damit konfrontiert, ein Integral mit unbeschränktem Integrationsbereich berechnen zu müssen. Wie in Abschnitt III.8 (uneigentliche ¨ Integrale) kann man dies durch Ubergang zu einem Grenzwert bewerkstelligen. Wir wollen dies an einigen interessanten Beispielen veranschaulichen. R∞ 2 Das Gauß-Integral. Angenommen, wir wollen I = 0 e−x dx berechnen. Der Ansatz besteht darin, das Quadrat von I zu betrachten und in ein Doppelintegral zu u¨ berführen, (5.39) 2

I = lim

R→∞

Z

R

−x2

e 0

Z dx

0

R

e

−y 2

dy = lim

R→∞

ZZ

2

e−x

−y 2

d(x, y),

AR

wobei AR = [0, R] × [0, R] ist. Der Integrand des Doppelintegrals lädt dazu ein, zu Polarkoordinaten u¨ berzugehen. Wir setzen DR = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0} und finden ZZ Z π/2 Z R 2 2 2 π (5.40) lim e−x −y d(x, y) = lim e−r r dr dϕ = . R→∞ R→∞ 0 4 DR 0 Das zusätzliche r“ stammt hier aus Gl. (5.27) und ist uns a¨ ußerst willkom” men, da es die Integration des inneren Integrals durch eine einfache Substitution ermöglicht. Die Frage lautet nun, ob die zwei Grenzwerte in (5.39) und (5.40) gleich sind. Falls f (x, y) ≥ 0 ist (wie in unserem Fall), ist ZZ ZZ ZZ f (x, y) d(x, y) ≤ f (x, y) d(x, y) ≤ f (x, y) d(x, y) DR

AR

D√2 R


eine Folgerung aus der Inklusion DR ⊂ AR ⊂ D√2 R (siehe kleine Skizze rechts). Daher folgt aus der Existenz von 1 RR limR→∞ DR f (x, y) d(x, y) die Existenz des RR Grenzwerts limR→∞ AR f (x, y) d(x, y), und beide müssen √ denselben Wert besitzen. Folglich ist I = π/2. Es gibt auch einen interessanten Zusammenhang zur Gammafunktion: 1 Z ∞ Z ∞ 0 √ −x2 −t dt (5.41) π = 2I = 2 e dx = e √ = Γ (1/2) t 0 0 (siehe Definition III.8.10).

v

y

4

4

3

3

2

2

1

1

5

5

1

2

3

4

5

6

7

u

1

2

3

4

5

6

7

x

¨ ABB. 5.12. Uberlegungen zur Transformation (5.43)

Eine Produktformel fur ¨ die Gammafunktion. Nach Definition III.8.10 ist Z ∞ Z ∞ −x α−1 Γ (α) = e x dx, Γ (β) = e−y y β−1 dy, 0

0

so dass (siehe Jacobi 1834, Werke, Band VI, S. 62) ZZ (5.42) Γ (α)Γ (β) = lim e−x−y xα−1 y β−1 d(x, y) R→∞

AR

ist, wobei AR = [0, R] × [0, R] wie oben gewählt wurde. Dieses Mal verwenden wir die Transformation (Abb. 5.12) x+y =u x u−v (5.43) bzw. = g(u, v) = , y v y=v 1 −1 deren Jacobi-Matrix die Determinante det g ′ (u, v) = det = 1 besitzt. 0 1 Mit BR = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ R} finden wir ZZ Z R Z u −x−y α−1 β−1 −u lim e x y d(x, y) = lim e (u − v)α−1 vβ−1 dv du

R→∞

(5.44)

R→∞

BR

= lim

R→∞

Z

0

0

0

R

e−u uα+β−1 du ·

Z

1

0

(1 − t)α−1 tβ−1 dt,


wobei wir die Substitution v = u · t (0 ≤ t ≤ 1) eingesetzt haben. Dasselbe Argument wie beim Gauß-Integral garantiert nun, dass die zwei Grenzwerte (5.42) und (5.44) u¨ bereinstimmen. In (5.44) taucht die sogenannte Betafunktion (5.45)

B(α, β) :=

Z

1

0

(1 − t)α−1 tβ−1 dt

auf, so dass wir unser Ergebnis in der Formel (5.46)

B(α, β) =

Γ (α)Γ (β) Γ (α + β)

zusammenfassen können. Sie verallgemeinert Gleichung (II.4.34) auf beliebige Exponenten. Gegenbeispiel. Die Funktion f (x, y) = (x − y)/(x + y)3 ist stetig auf A = ¨ [1, ∞] × [1, ∞]. Dennoch gilt (siehe auch Ubung 5.3) (5.47)

Z

|1

∞

Z

∞

1

Z ∞Z ∞ x−y x−y dx dy 6= dy dx , (x + y)3 (x + y)3 1 {z } |1 {z } +1/2 −1/2

was den Gleichungen (5.11) und (5.12) widerspricht. Dieses Phänomen ist nur möglich, wenn eine Funktion f u¨ ber einen unbeschränkten Integrationsbereich A integriert werden soll und auf A ihr Vorzeichen wechselt.

¨ Ubungen 5.1 Es sei g : [a, b] → R eine beschränkte Funktion, deren Riemann-Summen für maxi (xi − xi−1 ) → 0 alle gegen den festen Wert α konvergieren. Beweisen Rb Sie, dass g(x) (im Riemann-Sinn) integrierbar und a g(x) dx = α ist. 5.2 Definieren Sie f : I → R für I := [0, π] × [0, 1] durch f (x, y) =

n

cos x 0

falls y ∈ Q sonst.

Welches der zwei Integrale Z 1 Z 0

0

π

f (x, y) dx dy

und

Z π Z 0

existiert? Ist die Funktion f : I → R integrierbar?

1 0

f (x, y) dy dx


5.3 Zeigen Sie Z

1

|0

Z

Z 1Z 1 x−y x−y dx dy 6= dy dx (x + y)3 (x + y)3 {z } |0 0 {z } −1/2 +1/2

1 0

(Abb. 5.13). Steht diese Beziehung im Widerspruch zu den Gleichungen (5.11) und (5.12)? ∂ −x x−y Hinweis. Nutzen Sie = . ∂x (x + y)2 (x + y)3

x

x y

ABB. 5.13. Funktion

x−y (x+y)3

y

mit nicht vertauschbaren iterierten Integralen (Stereogramm)

5.4 Versuchen Sie, das folgende Integral zu berechnen:

I=

Z π Z 0

0

R

−2 cos ϕ + 2r dr dϕ, 1 − 2r cos ϕ + r2

0 0 bis B, vertauschen Sie die Reihenfolge der Integration im iterierten Integral und betrachten Sie die Grenzwerte B → ∞ und A → 0. Rechtfertigen Sie alle Schritte. Bemerkung. Mit tieferen Einblicken in die komplexe Analysis wird dieses ¨ Integral zu einer einfachen Ubung.

Anhang: Originalzitate Seite 1: Seite 2:

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. . . our students of mathematics would profit much more from a study of Euler’s Introductio in Analysin Infinitorum, rather than of the available modern textbooks. (André Weil 1979, zitiert nach J.D. Blanton 1988, S. xii) Tant que l’Algèbre et la Géométrie ont e´ té séparées, leurs progrès ont e´ té lents et leurs usages bornés; mais lorsque ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêté des forces mutuelles et ont marché ensemble d’un pas rapide vers la perfection. C’est a` Descartes qu’on doit l’application de l’Algèbre a` la Géométrie, application qui est devenue la clef des plus grandes découvertes dans toutes les branches des Mathématiques. (Lagrange 1795, Oeuvres, Band 7, S. 271) Diophante peut eˆ tre regardé comme l’inventeur de l’Algèbre; . . . (Lagrange 1795, Oeuvres, Band. 7, S. 219) Tartalea exposa sa solution en mauvais vers italiens . . . (Lagrange 1795, Oeuvres, Band 7, S. 22) . . . trovato la sua regola generale, ma per al presente la voglio tacere per piu rispetti. (Tartaglia 1530, siehe M. Cantor 1891, Band II, S. 485) Le Logistique Numerique est celuy qui est exhibé & traité par les nombres, le Specifique par especes ou formes des choses: comme par les lettres de l’Alphabet. (Viète 1600, Algebra nova, Französische Ausgabe 1630) ALGEBRA is a general Method of Computation by certain Signs and Symbols which have been contrived for this Purpose, and found convenient. (Maclaurin 1748, A Treatise of Algebra, S. 1) Ou ie vous prie de remarquer en passant, que le scrupule, que faisoient les anciens d’vser des termes de l’Arithmetique en la Geometrie, qui ne pouuoit proceder, que de ce qu’ils ne voyoient pas assés clairement leur rapport, causoit beaucoup d’obscurité, & d’embaras, en la façon dont ils s’expliquoient. (Descartes 1637) Here it will be proper to observe, that I make use of x−1 , x−2√ , x−3 ,√x−4 , &c. √ √ 1 3 5 1 2 for x1 , x12 , x13 , x14 , &c. of x 2 , x 2 , x 2 , x 3 ,x 3 , &c. for x, x3 , x5 , 3 x, √ 1 2 1 3 1 1 x2 , &c. and of x− 2 , x− 3 , x− 4 &c. for √1x , √ 3 2, √ 4 x , &c. And this by rule x of Analogy, as may be apprehended from such Geometrical Progressions as 5 3 1 1 3 these; x3 , x 2 , x2 , x 2 , x, x 2 , x0 , (or 1;) x− 2 , x−1 , x− 2 , x−2 , &c. (Newton 1671, Fluxiones, Engl. Veröffentl. 1736, S. 3) Quoy que cette proposition ait vne infinité de cas, i’en donneray vne demonstration bien courte, en supposant 2 lemmes. Le 1. qui est evident de soy-mesme, que cette proportion se rencontre dans la seconde base; car il est bien visible que ϕ est a` σ comme 1, a` 1. Le 2. que si cette proportion se trouue dans vne base quelconque, elle se trouuera necessairement dans la base suivante. (Pascal 1654, einer der ersten Induktionsbeweise) All this was in the two plague years of 1665 and 1666, for in those days I was in the prime of my age for invention, and minded mathematics and philosophy more than at any other time since. (Newton, zitiert nach Kline 1972, S. 357) Mense Septembri 1668, Mercator Logarithmotechniam edidit suam, quae specimen hujus Methodi (i.e., Serierum Infinitarum) in unica tantum Figura, nempe, Quadratura Hyperbolæ continet. (Brief an Collins, 26. Juli 1672) Sybil: It goes back to the dawn of civilization. (J. Cleese & C. Booth 1979, Fawlty Towers, The Psychiatrists)

E. Hairer, G. Wanner, Analysis in historischer Entwicklung, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-13767-9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

Anhang: Originalzitate 379 Seite 52:

Seite 57:

Seite 58: Seite 61: Seite 62: Seite 68:

A friend that hath a very excellent genius to those things, brought me the other day some papers, wherein he hath sett downe methods of calculating the dimensions of magnitudes like that of Mr Mercator concerning the hyperbola, but very generall. . . His name is Mr Newton; a fellow of our College, & very young . . . but of an extraordinary genius & proficiency in these things. (Brief von Barrow an Collins 1669, zitiert aus Westfall 1980, S. 202) . . . vous ne laisserez pas d’avoir trouvé une proprieté du cercle tres remarquable, ce qui sera celebre a jamais parmi les geometres. (Brief von Huygens an Leibniz, 7. Nov. 1674) Theref. the Diameter is to the Periphery, as 1,000,&c. to 3.141592653.589 7932384.6264338327.9502884197.1693993751.0582097494.4592307816 .4062862089.9862803482.5342117067.9+, True to above a hundred Places; as Computed by the Accurate and Ready Pen of the Truly Ingenious Mr. John Machin: Purely as an Instance of the Vast advantage Arithmetical Calculations receive from the Modern Analysis, in a Subject that has bin of so Engaging a Nature, as to have employ’d the Minds of the most Eminent Mathematicians, in all Ages, to the Consideration of it. . . . But the Method of Series (as improv’d by Mr. Newton, and Mr. Halley) performs this with great Facility, when compared with the Intricate and Prolix Ways of Archimedes, Viète, Van Ceulen, Metius, Snellius, Lansbergius, &c. (W. Jones 1706) Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousiours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c’est a dire qu’on peut bien tousiours en imaginer autant que iay dit en chasque Equation; mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu’on imagine. (Descartes 1637, S. 380) . . . quomodo quantitates exponentiales imaginariae ad sinus et cosinus arcuum realium reducantur. (Euler 1748, Introductio, §138) The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain. (Jacques Hadamard; zitiert nach Kline (1972), S. 626) 1 . . . et ie voy déja la route de trouver la somme de cette rangée 11 + 14 + 19 + 16 etc. (Joh. Bernoulli, 22. Mai 1691, in einem Brief an seinen Bruder) La Théorie des fractions continues est une des plus utiles de l’Arithmétique . . . comme elle manque dans les principaux Ouvrages d’Artihmétique et d’Algèbre, elle doit eˆ tre peu connue des géomètres . . . je serai satisfait si je puis contribuer a` la leur rendre un peu plus familière. (Lagrange 1793, Oeuvres, Band 7, S. 6–7) We say therefore; that the Circle is to the Square of the Diameter, as 1 to 1 × 9 × 25 × 49 × 81 ×&c, infinitely. Or as 1 to 8 24 48 80 1 +

1

2+

9 2+

25 2+

49

81 2 + &c, infinitely. How these Approximations were obtained . . . would be too long here to insert; but may by those be seen, who please to consult that Treatise. (J. Wallis 1685, A Treatise of Algebra, S. 318) L’étenduë de ce calcul est immense: il convient aux Courbes mécaniques, comme aux géometriques; les signes radicaux luy sont indifferens, & même souvent commodes; il s’étend a` tant d’indéterminées qu’on voudra; la comparaison des infiniment petits de tous les genres luy est e´ galement facile. Et de là naissent une infinité de découvertes surprenantes par rapport aux Tangentes tant courbes que droites, aux questions De maximis & minimis, aux 2+

Seite 80:

380 Anhang: Originalzitate points d’infléxion & de rebroussement des courbes, aux Dévelopées, aux Caustiques par réfléxion ou par réfraction, &c. comme on le verra dans cet ouvrage. (Marquis de L’Hospital 1696, Analyse des infiniment petits) Seite 81: Et j’ose dire que c’est cecy le problésme le plus utile, & le plus general non seulement que ie sçache, mais mesme que i’aye iamais desiré de sçauoir en Geometrie . . . (Descartes 1637, S. 342) Isaac Newton was not a pleasant man. His relations with other academics were notorious, with most of his later life spent embroiled in heated disputes . . . A serious dispute arose with the German philosopher Gottfried Leibniz. Both Leibniz and Newton had independently developed a branch of mathematics called calculus, which underlies most of modern physics . . . Following the death of Leibniz, Newton is reported to have declared that he had taken great satisfaction in ‘breaking Leibniz’s heart’. (Hawking 1988, A brief history of time, Bantam Editors, New York) Quel mépris pour les non-Anglois! Nous les avons trouvé ces methodes, sans aucun secours des Anglois. (Joh. Bernoulli 1735, Opera, Band IV, S. 170) Ce que tu me rapportes a` propos de Bernard Niewentijt n’est que quincaillerie. Qui pourrait s’empêcher de rire devant les ratiocinations si ridicules qu’il bâtit sur notre calcul, comme s’il e´ tait aveugle a` ses avantages. (Brief von Joh. Bernoulli, zitiert aus Parmentier 1989, S. 316). Nous appellerons la fonction f x, fonction primitive, par rapport aux fonctions f ′ x, f ′′ x, &c. qui en dérivent, et nous appellerons celles-ci, fonctions dérivées, par rapport a` celle-là. (Lagrange 1797) Seite 91: But the velocities of the velocities, the second, third, fourth, and fifth velocities, &c., exceed, if I mistake not, all human understanding. The further the mind analyseth and pursueth these fugitive ideas the more it is lost and bewildered; ... (Bishop Berkeley 1734, The Analyst, siehe Struik 1969, Source Book, S. 335) . . . our modern analysts are not content to consider only the differences of finite quantities: they also consider the differences of those differences, and the differences of the differences of the first differences. And so on ad infinitum. That is, they consider quantities infinitely less than the least discernible quantity; and others infinitely less than those infinitely small ones; and still others infinitely less than the preceding infinitesimals, and so without end or limit . . . Now to conceive a quantity infinitely small . . . is, I confess, above my capacity. But to conceive a part of such infinitely small quantity that shall be still infinitely less than it, and consequently though multiplied infinitely shall never equal the minutest finite quantity, is, I suspect, an infinite difficulty to any man whatsoever; . . . (Bishop Berkeley 1734, The Analyst) Seite 92: Je desire seulement qu’il sache que nos questions de maximis et minimis et de tangentibus linearum curvarum sont parfaites depuis huit ou dix ans et que plusieurs personnes qui les ont vues depuis cinq ou six ans le peuvent témoigner. (Brief von Fermat an Descartes, Juni 1638, Oeuvres, Band 2, S. 154–162) When a Quantity is the greatest or the least that it can be, at that moment it neither flows backward or forward. For if it flows forward, or increases, that proves it was less, and will presently be greater than it is. . . . Wherefore find its Fluxion, by Prob. 1 and suppose it to be nothing. (Newton 1671, engl. Veröff. 1736, S. 44) Seite 98: Mon Frére, Professeur a` Bâle, a pris de là occasion de rechercher plusieurs courbes que la Nature nous met tous les jours devant les yeux . . . (Joh. Bernoulli 1692) Je suis tres persuadé qu’il n’y a gueres de geometre au monde qui vous puisse eˆ tre comparé. (de L’Hospital 1695, Brief an Joh. Bernoulli) Seite 102: There are few Problems concerning Curves more elegant than this, or that give a greater Insight into their nature. (Newton 1671, engl. Veröff. 1736, S. 59)

Anhang: Originalzitate 381

R Seite 107: And whereas Mr Leibnits præfixes the letter to the Ordinate of a curve to denote the Summ of the Ordinates or area of the Curve, I did some years before represent the same thing by inscribing the Ordinate in a square . . . My symbols therefore . . . are the oldest in the kind. (Newton, Brief an Keill, 20. April 1714) Seite 112: The fluxion of the Length is determin’d by putting it equal to the square-root of the sum of the squares of the fluxion of the Absciss and of the Ordinate. (Newton 1736, Fluxions, S. 130) Seite 118: La quantité cy dessus ppads qqss − ppaa se reduit immediatement, sans autre changement, a` deux fractions logarithmicales, en la partageant ainsi 1 1 pds pds ppads = 2 − 2 ... qqss − ppaa qs − pa qs + pa (Anhang an einen Brief von Joh. Bernoulli, 1699, siehe Briefwechsel, Band 1, S. 212) Problema 3: Si X denotet functionum quamcunque rationalem fractam ipsius x, methodum describere, cuius ope formulae Xdx integrale investigari conveniat. (Euler 1768, Opera Omnia, Band XI, S. 28) Seite 126: Bien que le problème (des quadratures) ait une durée de deux cents ans a` peu près, bien qu’il e´ tait l’objet de nombreuses recherches de plusieurs géomètres : Newton, Cotes, Gauss, Jacobi, Hermite, Tchébychef, Christoffel, Heine, Radeau [sic], A. Markov, T. Stitjes [sic], C. Possé, C. Andréev, N. Sonin et d’autres, il ne peut eˆ tre considéré, cependant, comme suffisamment e´ puisé. (Steklov 1918)

R

x

On s’assurera aisément par notre méthode que l’intégrale e xdx , dont les Géomètres se sont beaucoup occupés, est impossible sous forme finie . . . (Liouville 1835, S. 113) Seite 135: Claudius Perraltus Medicus Parisinus insignis, tum & Mechanicis atque Architectonicis studiis egregius, & Vitruvii editione notus, idemque in Regia scientiarum Societate Gallica, dum viveret, non postremus, mihi & aliis ante me multis proposuit hoc problema, cujus nondum sibi occurrisse solutionem ingenue fatebatur . . . (Leibniz 1693) Seite 136: Mais pour juger mieux de l’excellence de vostre Algorithme j’attens avec impatience de voir les choses que vous aurez trouvées touchant la ligne de la corde ou chaine pendante, que Mr. Bernouilly vous a proposé a` trouver, dont je luy scay bon gré, parce que cette ligne renferme des proprietez singulieres et remarquables. Je l’avois considerée autre fois dans ma jeunesse, n’ayant que 15 ans, et j’avois demontré au P. Mersenne, que ce n’estoit pas une Parabole ... (Brief von Huygens an Leibniz, 9. Okt. 1690) Les efforts de mon frere furent sans succès, pour moi, je fus plus heureux, car je trouvai l’adresse . . . Il est vrai que cela me couta des meditations qui me deroberent le repos d’une nuit entiere . . . (Joh. Bernoulli, siehe Briefwechsel, Band 1, S. 98) Seite 137: Datis in plano verticali duobus punctis A et B assignare mobili M , viam AM B per quam gravitate sua descendens et moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B. (Joh. Bernoulli 1696) Ce problème me paroist des plus curieux et des plus jolis que l’on ait encore proposé, et je serois bien aise de m’y appliquer, mais pour cela il seroit necessaire que vous me l’envoyassiez réduit a` la mathematique pure, car le phisique m’embarasse . . . (de L’Hospital, Brief an Joh. Bernoulli, 15. Juni 1696)

382 Anhang: Originalzitate Seite 140: En vérité rien n’est plus ingenieux que la solution que vous donnez de l’égalité de Mr. votre frere; & cette solution est si simple qu’on est surpris que ce problême ait paru si difficile: c’est là ce qu’on appelle une e´ légante solution. (P. Varignon, Brief an Joh. Bernoulli “6 Aoust 1697”) Per liberare la premessa formula dalle seconde differenze, . . . , chiamo p la sunnormale BF. (Riccati 1712) Seite 154: PROBLEMA 85: Proposita aequatione differentiali quacunque eius integrale completum vero proxime assignare. (Euler 1768, §650) Seite 156: PROBLEMA 86: Methodum praecedentem aequationes differentiales proxime integrandi magis perficere, ut minus a veritate aberret. (Euler 1768, §656) Seite 160: J’ai ici un gros cyclope de géomètre . . . il ne reste plus qu’un oeil a` notre homme, et une courbe nouvelle, qu’il calcule a` présent, pourrait le rendre aveugle tout a` fait. (Friedrich II., siehe Spiess 1929, S. 165–166.) Seite 170: . . . et je ne réponds pas que je fasse encore de la géométrie dans dix ans d’ici. Il me semble aussi que la mine est presque déjà trop profonde et . . . il faudra tôt ou tard l’abandonner. La physique et la chimie offrent maintenant des richesses plus brillantes et d’une exploitation plus facile . . . (Lagrange, 21. Sept. 1781, Brief an d’Alembert, Oeuvres, Band 13, S. 368) Seite 172: On dit qu’une grandeur est la limite d’une autre grandeur, quand la seconde peut approcher de la première plus près que d’une grandeur donnée, si petite qu’on la puisse supposer, . . . (D’Alembert 1765, Encyclopédie, tome neuvieme, a` Neufchastel) Lorsqu’une quantité variable converge vers une limite fixe, il est souvent utile d’indiquer cette limite par une notation particulière, c’est ce que nous ferons, en plaçant l’abréviation lim devant la quantité variable dont il s’agit . . .

(Cauchy 1821, Cours d’Analyse) Seite 181: . . . jusqu’à présent on a regardé ces propositions comme des axiomes. (Méray 1869, siehe Dugac 1978, S. 82) Seite 184: Une chose e´ tonnante, je trouve, c’est que Monsieur Weierstrass et Monsieur Kronecker peuvent trouver tant d’auditeurs — entre 15 et 20 — pour des cours si difficiles et si e´ levés. (Brief von Mittag-Leffler 1875, siehe Dugac 1978, S. 68) Seite 188: Je consacrerai toutes mes forces a` répandre de la lumière sur l’immense obscurité qui règne aujourd’hui dans l’Analyse. Elle est tellement dépourvue de tout plan et de tout système, qu’on s’étonne seulement qu’il y ait tant de gens qui s’y livrent — et ce qui pis est, elle manque absolument de rigueur. (Abel 1826, Oeuvres, Band 2, S. 263) Cauchy est fou, et avec lui il n’y a pas moyen de s’entendre, bien que pour le moment il soit celui qui sait comment les mathématiques doivent eˆ tre traitées. Ce qu’il fait est excellent, mais très brouillé . . . (Abel 1826, Oeuvres, Band 2, S. 259) Seite 202: On appelle ici Fonction d’une grandeur variable, une quantité composée de quelque maniére que ce soit de cette grandeur variable & de constantes. (Joh. Bernoulli 1718, Opera, Band 2, S. 241) Quocirca, si f ( xa + c) denotet functionem quamcunque . . . (Euler 1734, Opera, Band XXII, S. 59) Seite 204: . . . f (x) sera fonction continue, si . . . la valeur numérique de la différence f (x + α) − f (x) décroˆıt indéfiniment avec celle de α . . . (Cauchy 1821, Cours d’Analyse, S. 43)

Anhang: Originalzitate 383 Seite 206: Ce théorème est connu depuis longtemps . . . (Lagrange 1807, Oeuvres, Band 8, S. 19, siehe auch S. 133) Seite 213: Dans l’ouvrage de M. Cauchy on trouve le théorème suivant: “Lorsque les différens termes de la série u0 + u1 + u2 + . . . sont des fonctions . . . continues, . . . la somme s de la série est aussi . . . fonction continue de x.” Mais il me semble que ce théorème admet des exceptions. Par exemple la série sin x −

1 2

sin 2x + 13 sin 3x . . .

est discontinue pour toute valeur (2m + 1)π de x, . . . (Abel 1826, Oeuvres, Band 1, S. 224–225) Seite 221: L’illustre géomètre [Riemann] . . . généralise, par une de ces vues qui n’appartiennent qu’aux esprits de premier ordre, la notion de l’intégrale définie, . . . (Darboux 1875) Seite 235: . . . la rigueur, dont je m’étais fait une loi dans mon Cours d’analyse, . . . (Cauchy 1829, Leçons) Seite 238: Many of our students will appreciate the pithy elegance of this proof. (Kuhn 1991) Seite 240: Voir la belle démonstration de ce théorème, donnée par M. O. Bonnet, dans le Traité de Calcul différentiel et intégral de M. Serret, t. I, p. 17. (Darboux 1875, S. 111) Seite 242: . . . tout a` fait au-dessus de la vaine gloire, que la plupart des Sçavans recherchent avec tant d’avidité . . . (Fontenelles Meinung u¨ ber Guillaume-François-Antoine de L’Hospital, Marquis de SainteMesme et du Montellier, Comte d’Antremonts, Seigneur d’Ouques, 1661– 1704) Au reste je reconnois devoir beaucoup aux lumieres de Mrs Bernoulli, sur tout a` celles du jeune presentement Professeur a` Groningue. Je me suis servi sans façon de leurs découvertes . . . (de L’Hospital 1696) Seite 245: Où est-il démontré qu’on obtient la différentielle d’une série infinie en prenant la différentielle de chaque terme? (Abel, Janv. 16, 1826, Oeuvres, Band 2, S. 258) Seite 248: After a scientific meeting at which Cauchy presented his theory on the convergence of series Laplace hastened home and remained there in reclusion until he had examined the series in his Mécanique céleste. Luckily every one was found to be convergent. (M. Kline 1972, S. 972) Seite 252: . . . et de juger de la valeur du reste de la série. Ce problème, l’un des plus importants de la théorie des séries, n’a pas encore e´ té résolu . . . (Lagrange 1797, Oeuvres, Band 9, S. 42–43, 71) . . . la formule de TAYLOR, cette formule ne pouvant plus eˆ tre admise comme générale . . . (Cauchy 1823, Résumé, S. 1) Seite 253: . . . mais celui qui me fait le plus de plaisir c’est un mémoire . . . sur la simple série 1 + mx +

m(m − 1) 2 x + ... 2

J’ose dire que c’est la première démonstration rigoureuse de la formule binôme ... (Abel, Brief an Holmboe 1826, Oeuvres, Band 2, S. 261) Seite 257: Only wimps do the general case. True teachers tackle examples. (Parlett, siehe Math. Intelligencer, Band 14, Nr. 1, S. 35)

384 Anhang: Originalzitate Seite 263: Il y a cent ans, une pareille fonction eut e´ té regardée comme un outrage au sens commun. (Poincaré 1899, L’oeuvre math. de Weierstrass, Acta Math., Band 22, S. 5) Seite 266: Telle est la proposition fondamentale qui a e´ té e´ tablie par Weierstrass. (Borel 1905, S. 50) Seite 271: The influence of physics in stimulating the creation of such mathematical entities as quaternions, Grassmann’s hypernumbers, and vectors should be noted. These creations became part of mathematics. (M. Kline 1972, S. 791) Seite 273: . . . il est très utile d’introduire la considération des nombres complexes, ou nombres formés avec plusieurs unités, . . . (Peano 1888a, Math. Ann., Band 32, S. 450) Seite 283: Nous avons déjà signalé et nous reconnaˆıtrons dans tout le cours de ce Livre l’importance des ensembles compacts. Tous ceux qui ont eu a` s’occuper d’Analyse générale ont vu qu’il e´ tait impossible de s’en passer. (Fréchet 1928, Espaces abstraits, S. 66) Seite 316: Or il est facile de voir que les différentielles de cette espèce conservent les mêmes valeurs quand on intervertit l’ordre suivant lequel les différentiations relatives aux diverses variables doivent eˆ tre effectuées. (Cauchy 1823, Résumé, S. 76) Seite 330: On sait que l’évaluation ou même la réduction des intégrales multiples présente généralement de très grandes difficultés . . . (Dirichlet RR 1839, Werke, Band I, S. 377) Seite 338: . . . locum habet pro quacunque alia formula Zdxdy, quippe quae per easRR dem substitutiones transformatur in hac Z(V R − ST ) dtdu . . . (Euler 1769b)

Literaturverzeichnis Kursive Zahlen in eckigen Klammern, die auf eine Referenz folgen, beziehen sich auf die Abschnitte, in denen aus dieser Referenz zitiert wird. A. Aaboe (1954): Al-Kashı’s iteration method for the determination of sin 1◦ , Scripta math. 20 (1954), S. 24–29. [I.4] A. Aaboe (1964): Episodes from the early history of mathematics, Random House, New Math. Library, Yale Univ. 1964. [I.4] N.H. Abel (1826): Recherches sur la série 1 + m x + m(m−1) x2 + m(m−1)(m−2) x3 + . . . , 1 1·2 1·2·3 ¨ Oeuvres 1, S. 219–250; deutsche Ubers. Journal reine u. angew. Math. (Crelle), 1 (1826), S. 311–339. [III.2], [III.4], [III.7] N.H. Abel (1881): Oeuvres complètes, veröff. von L. Sylow und S. Lie, 2 Bände, Christiania, MDCCCLXXXI. [III.2], [III.4], [III.6] ` J. le Rond d’Alembert (1748): Suite des recherches sur le calcul intégral, quatrieme partie: Méthodes pour intégrer quelques e´ quations différentielles, Hist. Acad. Berlin, Band IV, S. 275–291. [II.8], [IV.0] J. le Rond d’Alembert (1754): Calcul différentiel, Artikel unter D“ in der berühmten Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des” arts et des métiers, mis en ordre et publié par M. Diderot & par M. D’Alembert, tome quatrieme, S. 985, a` Paris, MDCCLIV. [II.1] J. le Rond d’Alembert (1765): Limite, Artikel unter L“ in der Encyclopédie, tome neuvieme, S. 542, a` Neufchastel, MDCCLXV.”[III.1] Al-Khowârizmˆı (830): Al-jabr w’al muqâbala, siehe: Robert von Chester (1145) und F. Rosen (1831). [I.1] ¨ Archimedes (∼ 240 B.C.): Uber die Vermessung des Kreises, (A̺χιµηδης, ´ K υκλoυ ´ µετ ´ ̺ησις), zahlreiche Ausgaben, insbesondere: J.L. Heiberg, Leipzig 1880; T.L. Heath, The works of Archimedes, Cambridge University Press, 1897. [I.4], [I.6] I. Barrow (1860): The mathematical works, Herausg. W. Whewell, xx+320 Seiten + 220 Abb. Cambridge 1860, Neuauflage G. Olms Verlag, 1973. [I.2] Jak. Bernoulli (1689): Positiones arithmeticae de seriebus infinitas, earumque summa finita, Basileae, 1689, Opera 1, S. 375–402. [I.2] Jak. Bernoulli (1690): Analysis problematis ante hac propositi, de inventione lineæ descensus a corpore gravi percurrendæ uniformiter, sic ut temporibus æqualibus æquales altitudines emetiatur: & alterius cujusdam Problematis Propositio, Acta Eruditorum 9, MDCLXXXX, S. 217–219. [II.4], [II.7] Jak. Bernoulli (1694): Constructio curvae accessus & recessus aequabilis, ope rectificationis curvae cujusdam algebraicae, Acta Eruditorum 13 (1694), S. 336–338, Opera 2 S. 608–612. [IV.3] Jak. Bernoulli (1702): Section indéfinie des arcs circulaires, en telle raison qu’on voudra; Avec la maniére d’en déduire les Sinus, &c., Hist. Acad. Sciences de Paris (1702), S. 281; Opera, S. 921. [I.4] Jak. Bernoulli (1705): Ars conjectandi, opus posthumum, published posthumously Basileæ MDCCXIII; Werke 3, S. 107–286, Basel, 1975. [I.1] Jak. Bernoulli (1744): Opera, 2 Bände, VIII+48+1139 Seiten, Herausg. G. Cramer, Genava 1744. Joh. Bernoulli (1691): Solutio problematis funicularii, exhibita a Joh. Bernoulli, Basil. Med. Cand., Acta Eruditorum 10, MDCXCVI, S. 274–276; Opera I, S. 48–51. [II.7] Joh. Bernoulli (1691/92): Die Differentialrechnung von Johann Bernoulli, Nach der in der Basler Universitätsbibliothek befindlichen Handschrift u¨ bersetzt von Paul Schafheitlin, Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig, 1924. [II.1], [II.2], [III.6] Joh. Bernoulli (1691/92b): Lectiones Mathematicæ, de methodo integralium, aliisque, consrciptæ in usum Ill. Marchionis Hospitalii, veröffentlicht 1742 in Opera 3, S. 385–558. [II.3]

386 Literaturverzeichnis Joh. Bernoulli (1692): Solutio curvæ causticæ per vulgarem geometriam Cartesianam; aliaque, Acta Erud. Lips. 11 (1692), S. 30; Opera I, S. 52–59. [II.3] Joh. Bernoulli (1694): Modus generalis construendi æquationes differentiales primi gradus, Acta Erud. Lips. 13 (1694), S. 435; Opera I, S. 123–125. [II.9] Joh. Bernoulli (1694b): Effectionis omnium quadraturam & rectificationum curvarum per seriem quandam generalissimam, Acta Erud. Lips. 13 (1694); Additamentum“ ” zum Artikel Joh. Bernoulli (1694). [II.4] Joh. Bernoulli (1696): Problema novum ad cuius solutionem Mathematici invitantur, Acta Eruditorum 15, MDCXCVI, S. 264–269. Opera I, S. 155–161. [II.7] Joh. Bernoulli (1697): Principia calculi exponentialium, seu percurrentium, Acta Erud. Lips. 16 (1697), S. 125; Opera I, S. 179–187; siehe auch Opera III, S. 376. [I.3], [II.6] Joh. Bernoulli (1697b): De Conoidibus et Sphaeroidibus quaedam. Solutio analytica Aequationis in Actis A. 1695, pag. 553 propositae (A Fratre Jac. Bernoullio), Acta Eruditorum 16, MDCXCVII, S. 113–118. Opera I, S. 174–179. [II.7] Joh. Bernoulli (1697c): Solutioque Problematis a se in Actis 1696, p. 269, proposit, de invenienda Linea Brachystochrona, Acta Eruditorum 16, MDCXCVII, S. 206; Opera I, S. 187–193. [II.7] Joh. Bernoulli (1702): Solution d’un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abregés par raport a` ce calcul, Histoire de l’Acad. Royale des Sciences a` Paris, Année MDCCII, Mémoire, S. 289–297. (1697), S. 125; Opera I, S. 393–400. [II.5] Joh. Bernoulli (1742): Opera Omnia, 4 Bände, Lausannæ & Genavæ 1742; Nachdruck (Curavit J.E. Hofmann) 1968, Georg Olms Verlag Hildesheim. [III.3] Joh. Bernoulli (1955,1988): Der Briefwechsel von Johann Bernoulli, 2 Bände, Birkhäuser Verlag Basel. [II.3], [II.5], [II.7] ¨ J.D. Blanton (1988): Introduction to analysis of the infinite, Englische Ubersetzung von Euler (1748), Springer-Verlag New York, 1988. [I.1] B. Bolzano (1817): Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege, Prag 1817; Ostwald’s Klassiker #153, 1905 (siehe auch Stolz 1881). [III.0], [III.3] E. Borel (1895): Sur quelques points de la théorie des fonctions, Thèse, parue aux Ann. Ecole normale sup. 3e série, 12 (1895), S. 9–55; Oeuvres 1, S. 239–285. Der Satz von ” Paris, Heine-Borel“ befindet sich in einer Anmerkung“ am Ende der Arbeit. ” 1905. [IV.1] E. Borel (1905): Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes, rédigées par M. Fréchet, Gauthier-Villars, Paris 1905. [III.9] H. Briggs (1624): Arithmetica Logarithmica, Londini, Excudebat Gulielmus Iones, 1624. [I.2], [I.3] R.C. Buck (1980): Sherlock Holmes in Babylon, Am. Math. Monthly 87, Nr. 5 (1980), S. 335–345. [II.5] V. Buniakowsky (1859): Sur quelques inégalités concernant les intégrales ordinaires et les intégrales aux différences finies, Mémoires de l’Acad. de St-Pétersbourg (VII), 1 (1859), Nr. 9. [III.5] J. Bürgi (1620): Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen, Prag, 1620. [I.3] G. Cantor (1870): Beweis, dass für jeden Werth von x durch eine trigonometrische Reihe gegebene Function f (x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt, Journal reine u. angew. Math. (Crelle), 72 (1870), S. 139–142; siehe insbesondere die Fußnote auf S. 141. Gesammelte Abhandlungen, S. 80–83. [III.3] ¨ G. Cantor (1872): Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Math. Annalen 5 (1872), S. 123–132. Gesammelte Abhandlungen, S. 92– 102. [III.1] G. Cantor (1878): Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Journal reine u. angew. Math. (Crelle), 84 (1878), S. 242–258. Gesammelte Abhandlungen, S. 119–133. [IV.2] G. Cantor (1880): Fernere Bemerkung u¨ ber trigonometrische Reihen, Math. Annalen 16 (1880), S. 267–269. Gesammelte Abhandlungen, S. 104–106. [III.4]

Literaturverzeichnis 387 G. Cantor (1883): Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, Nr. 5, Math. Annalen 21 (1883), S. 545–591. Gesammelte Abhandlungen, S. 165–209. [IV.1] G. Cantor (1884): Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, Nr. 6, Math. Annalen 23 (1884), S. 453–488. ( Fortsetzung folgt“); Gesammelte Abhandlungen, ” S. 210–246. [IV.1] G. Cantor (1889): Bemerkung mit Bezug auf den Aufsatz: Zur Weierstraß - Cantorschen Theorie der Irrationalzahlen, Math. Annalen 33 (1889), S. 476, Gesammelte Abhandlungen, S. 114. [III.1] G. Cantor (1932): Gesammelte Abhandlungen, Herausg. E. Zermelo, Springer-Verlag, Berlin, 1932. [IV.1] M. Cantor (1880–1908): Vorlesungen u¨ ber Geschichte der Mathematik, Band I 1880, Band II 1891, Band III 1898, Band IV 1908; viele weitere Ausgaben und Nachdrucke, Teubner Verlag, Leipzig. [I.1], [I.4] C. Carathéodory (1950): Funktionentheorie, Erster Band, Verlag Birkhäuser Basel, 1950, 288 S. [III.6] H. Cardano (1545): Ars magna de rebus algebraicis, Nürnberg, 1545. [I.1], [I.2], [I.5] A.L. Cauchy (1821): Cours d’analyse algébrique, Oeuvres série 2, Band III. [II.4], [III.1], [III.2], [III.3], [III.4], [III.5], [III.6], [III.7], [IV.2] A.L. Cauchy (1823): Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal, Oeuvres série 2, Band IV, S. 1–261. [II.1], [III.5], [III.7], [IV.4] A.L. Cauchy (1824): Résumé des Leçons données a` l’Ecole Royale Polytechnique. Suite du Calcul Infinitésimal; veröff.: Equations différentielles ordinaires, Herausg. Chr. Gilain, Johnson, 1981. [II.3], [II.9] A.L. Cauchy (1829): Leçons sur le calcul différentiel, Oeuvres série 2, Band IV, S. 265– 572. [III.6], [IV.4] L. van Ceulen (1596, 1616): Van de Circkel, daarin geleert wird te finden de naeste proportie des Circkels diameter tegen synen Omloop, Delft. [I.4] ´ G. Darboux (1875): Mémoire sur les fonctions discontinues, Annales. Ecole norm. sup. Sér. 2, 4 (1875), S. 57–112. [III.4], [III.5], [III.6] R. Dedekind (1872): Stetigkeit und irrationale Zahlen, erste Auflage 1872, vierte Auflage ¨ 1912, englische Ubersetzung Continuity and irrational numbers in Essays on the theory of numbers, Dover, 1963; Werke 3, S. 314–343. [III.1] R. Descartes (1637): La Geometrie, Anhang zu Discours de la methode, Paris 1637, eng¨ lische Ubersetzung, mit einem Nachdruck der ersten Auflage, D. E. Smith & M. L. Latham, The Oper Court Publishing Comp., 1925, Nachdruck 1954 durch Dover. [I.1], [I.2], [I.5], [II.1], [IV.3] U. Dini (1878): Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabili reali, Pisa, 1878, ¨ deutsche Ubersetzung von Lüroth und Schepp, Teubner Leipzig, 1892. [III.5], [III.9] ¨ G.L. Dirichlet (1837): Uber die Darstellung ganz willkürlicher Functionen durch Sinusund Cosinusreihen, Rep. der Physik, 1837; auch: Ostwald’s Klassiker Nr. 116, Leipzig, 1900; Werke 1, S. 133–160. [III.3] G.L. Dirichlet (1837b): Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält, Abh. der Königl. Preussischen Acad. der Wiss. Berlin, 1837, Werke 1, S. 313–342. [III.2] ¨ G.L. Dirichlet (1839): Uber eine neue Methode zur Bestimmung vielfacher Integrale, Ber. u¨ ber die Verh. der Königl. Preussischen Acad. der Wiss. Berlin, 1839, S. 18– 25; Werke 1, S. 381–390. [IV.5] P. Du Bois-Reymond (1875): Ueber eine veränderte Form der Bedingung für die Integrirbarkeit der Functionen, Journal reine u. angew. Math. (Crelle), 79 (1875), S. 259–262. [III.5] P. Dugac (1978): Sur les fondements de l’analyse, Thèse, Paris 1978; siehe auch Fondements de l’analyse, Kapitel VI von Abrégé d’histoire des mathématiques 17001900 sous la direction de Jean Dieudonnée, Hermann e´ diteurs, Paris, 1978. [III.1]

388 Literaturverzeichnis A. Dürer (1525): Underweysung der messung, mit dem zirckel uñ richtscheyt, in Linien ebnen unnd gantzen corporen, durch Albrecht Dürer zu samen getzog˜e, und zu nutz all˜e kunstlieb habenden mit zu gehörigen figuren, in truck gebracht, im jar. M.D.XXV. Nachdruck im Verlag Dr. Alfons Uhl, Nördlingen, 1983. [I.4], [II.3] ¨ Euklid (∼ 300 B.C.): Die Elemente, (EYKΛEI∆OY, ΣTOIXEIA); viele Ubersetzungen und Ausgaben, erstes je gedrucktes Buch u¨ ber Mathematik (Venedig 1482); der heutige, endgültige Text geht zurück auf J.L. Heiberg 1883–1888; englische ¨ Ubersetzung mit Kommentaren: Sir Thomas L. Heath 1908 und 1925; Nachdruck 1956 durch Dover Publications in drei Bänden. [I.1], [I.4], [I.6], [III.1] L. Euler (1734): Additamentum ad dissertationem de infinitis curvis eiusdem generis, (Enestr. 45), Comm. ac. sc. Petrop. 7 (1734/5), 1740, S. 184–200; Opera 22, S. 57– 75. [III.3] L. Euler (1736): Methodus universalis series summandi ulterius promota, (Enestr. 55), Comm. acad. scient. Petrop., Band 8, S. 147–158; Opera Omnia 14, S. 124– 137. [II.10] L. Euler (1736b): Mechanica, sive motus scientia analytice exposita: instar supplementi ad commentar, (Enestr. 15, 16), Acad. scient. Petrop. 1736; Opera Omnia, Ser. 2, 1,2. [I.2] [III.0] L. Euler (1737): De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi, (Enestr. 74), Comm. ac. sc. Petrop. 9 (1737), S. 222–236; Opera 14, S. 245–259. [I.4] L. Euler (1737b): De fractionibus continuis dissertatio, (Enestr. 71), Comm. ac. sc. Petrop. 9 (1737), S. 98–137; Opera 14, S. 187–215. [I.6] L. Euler (1740): De summis serierum reciprocarum, (Enestr. 41), Comm. ac. sc. Petrop. 7 (1734/5), 1740, S. 123–134; Opera 14, S. 73–86. [I.5] L. Euler (1743): De summis serierum reciprocarum ex potestatibus numerorum naturalium ortarum dissertatio altera in qua eaedem summationes ex fonte maxime diverso derivantur, (Enestr. 61), Miscellanea Berolinensia 7 (1743), S. 172–192; Opera 14, S. 138–155. [I.5] L. Euler (1743b): De integratione aequationum differentialium altiorum graduum, (Enestr. 62), Miscellanea Berolinensia, Band 7, S. 193–242; Opera Omnia 22, S. 108–149. Siehe auch: Brief von Euler an Joh. Bernoulli, 15. Sept. 1739. [II.8] L. Euler (1744): Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, (Enestr. 65), Lausannae & Genevae, Opera Omnia (intr. by Carathéodory) 24, S. 1–308. [III.0] L. Euler (1748): Introductio in analysin infinitorum, (Enestr. 101), Tomus primus, Lau¨ ¨ sannæ MDCCXLVIII, Opera 8. Franz. Ubers. 1785, 1796; deutsche Ubers. 1788, ¨ 1885 (Nachdruck Springer 1983); englische Ubers. Blanton (1988). [I.0], [I.2], [I.3], [I.4], [I.5], [I.6], [III.0], [III.3] L. Euler (1750): Animadversiones in rectificationem ellipsis, (Enestr. 154), Opuscula varii argumenti 2 (1750), S. 121–166; Opera 20, S. 21–55. [II.6] L. Euler (1750b): Methodus aequationes differentiales altiorum graduum integrandi ulterius promota, (Enestr. 188), Novi Comment. acad. scient. Petrop., Band 3, S. 3–35; Opera Omnia 22, S. 181–213. [II.8] L. Euler (1751): De la controverse entre Mrs. Leibniz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires, (Enestr. 168), Mém. ac. sc. Berlin 5 (1751), S. 139–179; Opera 17, S. 195–232. [I.5] L. Euler (1755): Institutiones calculi differentialis cum eius vsu in analysi finitorum ac doctrina serierum, (Enestr. 212), Imp. Acad. Imper. Scient. Petropolitanae, Opera 10. [I.2], [I.5], [II.1], [II.2], [II.10], [III.0], [III.8], [IV.4] L. Euler (1755b): Principes généraux du mouvement des fluides, (Enestr. 226), Mém. ac. sc. Berlin 11 (1755), S. 274–315; Opera Ser. II, 12, S. 54–91. [III.0] L. Euler (1768): Institutiones Calculi Integralis, (Enestr. 342), Volumen Primum, Opera 11. [II.4], [II.5], [II.9], [III.0], [III.7] L. Euler (1769): Institutiones Calculi Integralis, (Enestr. 366), Volumen Secundum, Opera 12. [II.8], [III.0] L. Euler (1769b): De formulis integralibus duplicatis, (Enestr. 391), Novi comm. acad. scient. Petrop. 14 (1769): I, 1770, S. 72–103; Opera 17, S. 289–315. [IV.5]

Literaturverzeichnis 389 L. Euler (1770): Vollständige Anleitung zur Algebra, (Enestr. 387, 388), von Hrn. Leonhard Euler, St. Petersburg. gedruckt bey der Kays. Acad. der Wissenschaften, 1770; Opera 1. [I.1], [III.0] L. Euler (1911–): Opera Omnia, mehr als 80 Bände in 4 Serien, Serie I enthält die mathematischen Arbeiten, Teubner Leipzig und Berlin, später Füssli, Zürich. [I.1], [III.0], [III.8] E.A. Fellmann (1983): Leonhard Euler, ein Essay u¨ ber Leben und Werk, in: Leonhard Euler 1707–1783, Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Birkhäuser Verlag Basel, 1983. [II.10] P. Fermat (1636): De Aequationum localium transmutatione et emendatione ad multimodam curvilineorum inter se vel cum rectilineis comparationem, cui annectitur proportionis geometricae in quadrandis infinitis parabolis et hyperbolis ¨ usus, Oeuvres, Band 1, S. 255–288; franz. Ubers. Oeuvres, Band 3, S. 216. [I.3] P. Fermat (1638): Methodus ad disquirendam maximam et minimam, Oeuvres Band 1, ¨ S. 133–179; franz. Ubers. Oeuvres, Band 3, S. 121–156. [II.2] P. Fermat (1891, 1894, 1896): Oeuvres, 3 Bände, Gauthier-Villars Paris. D. de Foncenex (1759): Reflexions sur les quantités imaginaires, Miscellanea Phil.-Math. Soc. Taurinensis, 1 Torino, 1759, S. 113–146. [I.4] J.B.J. Fourier (1822): La théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822; ein Manuskript von 1807 mit dem Titel Sur la propagation de la chaleur wurde aufgrund von Einwänden von Lagrange nicht veröffentlicht. [II.4] M. Fréchet (1906): Sur quelques points du calcul fonctionnel, Palermo Rend. 22, S. 1–74, Thèse Paris, 1906. [IV.1], [IV.3] A. Fresnel (1818): Mémoire sur la diffraction de la lumière, Mém. Acad. sc. 5, Paris, 1818, S. 339. [II.6] G. Galilei (1638): Discorsi e dimonstrazioni matematiche, intorno a` due nuove scienze, attenenti alla mecanica & i movimenti locali, del Signor Galileo Galilei Linceo, Filosofo e matematico primario del Serenissimo Grand Duca di Toscana, in Leida M.D.C.XXXVIII. [II.1], [II.7] C.F. Gauß (1799): Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, Helmstadii MDCCLXXXXIX, Werke, 3, S. 1–31. [I.5], [III.0] C.F. Gauß (1812): Disquisitiones generales circa seriem infinitam αβ 1 + 1·γ x + α(α+1)β(β+1) xx + α(α+1)(α+2)β(β+1)(β+2) x3 + etc, 1·2·γ(γ+1) 1·2·3·γ(γ+1)(γ+2) Werke, 3, S.123–162. [III.0] C.F. Gauß (1863–1929): Werke, Herausg. Königl. Ges. der Wiss. Göttingen, 12 Bände, Nachdruck Georg Olms Verlag, 1973. [I.4] A. Genocchi & G. Peano (1884): Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, pub” blicato con aggiunte dal Dr. Giuseppe Peano“ Torino, 1884; deutsche Ausgabe (G. Bohlmann & A. Schepp), 1899. [IV.3] J. Gerver (1970): The differentiability of the Riemann function at certain rational multiples of π, Amer. J. of Math. 92 (1970), S. 33–55. [III.9] J.W. Gibbs (1907): Vector analysis, ein Lehrbuch für den Gebrauch durch Studenten der Mathematik und Physik, basierend auf den Vorlesungen von J.W. Gibbs, von E.B. Wilson. New York 1907, 436 S. [IV.3] H.H. Goldstine (1977): A history of numerical analysis from the 16th through the 19th century, Springer-Verlag New York, 1977, 348 S. [I.1], [II.6] I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik (1980): Table of Integrals, Series, and Products, 1156 ¨ S., Academic Press; erste englische Ubers. 1965; russ. Ausgabe: I.S. Gradxtein, I.M. Ryжik, Tablicy Integralov, summ, rdov i proizvedenii, Fizmatgiz, Moskva, 1962. [II.4] H.G. Grassmann (1844, 1862): Die lineare Ausdehnungslehre, 1844, Nachdruck 1894 von Teubner, Leipzig ( mit dem Bildnis Graßmanns in Holzschnitt“); u¨ berarbeitete ” Ausgabe Die Ausdehnungslehre, 1862, Nachdruck Teubner, 1896. [IV.0], [IV.1], [IV.2] J. Gregory (1668): Exercitationes geometricae. Appendicula ad veram circuli et hyperbolae quadraturam, London, 1668. [I.3] W. Gröbner & N. Hofreiter (1949): Integraltafel, erster Teil: unbestimmte Integrale, 166 S., Springer-Verlag, Wien und Innsbruck, 1949. [II.4]

390 Literaturverzeichnis J. Hadamard (1892): Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de Taylor, J. de Math. (4), 8 (1892), S. 101–186. [III.7] E. Hairer, S.P. Nørsett, G. Wanner (1993): Solving ordinary differential equations I. Nonstiff problems, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1987, zweite Auflage 1993, 528 S. [II.9] E. Halley (1694): A new, exact, and easy method, of finding the roots of any equations generally, and that without any previous reduction, von Edm. Halley, Savilischer Lehrstuhl für Geometrie, Philosophical Transactions, Nr. 210, A.D. 1694; neuveröffentlicht als Anhang zu Newtons Universal Arithmetick, MDCCXXVIII, S. 258. [II.2] P.R. Halmos (1958): Finite-dimensional vector spaces, zweite Auflage, Van Nostrand, 1958, Springer UTM, 1974, 200 S. [IV.4] W.R. Hamilton (1853): Lectures on quaternions, veröffentlicht 1853, erweiterte Ausgabe ¨ Elements of quaternions 1866, deutsche Ubersetzung, 1882. [IV.0], [IV.3] F. Hausdorff (1914): Grundzüge der Mengenlehre, dem Schöpfer der Mengenlehre HERRN GEORG CANTOR in dankbarer Verehrung gewidmet, Leipzig, 1914; englische ¨ Ubersetzung: Chelsea, 1957. [IV.1], [IV.2] T. Hayashi (1902): The values of π used by the Japanese mathematicians of the 17th and 18th centuries, Bibliotheca mathematica, Ser. 3, 3 (1902), S. 273–275. [I.6] E. Heine (1870): Ueber trigonometrische Reihen, J. Reine und Angew. Math. (Crelle) 71 (1870), S. 353–365. [III.4], [III.5] E. Heine (1872): Die Elemente der Funktionenlehre, J. Reine und Angew. Math. (Crelle) 74 (1872), S. 172–188. [III.1], [III.4], [IV.1], [IV.2] ´ Ch. Hermite (1873): Cours d’Analyse de l’Ecole Polytechnique, Paris, Gauthier-Villars, 1873; Oeuvres 3, S. 35–54. [II.5] O. Hesse (1857): Ueber die Criterien des Maximums und Minimums der einfachen Integrale, J. Reine und Angew. Math. (Crelle) 54 (1857), S. 227–273. [IV.4] D. Hilbert (1891): Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück, Math. Annalen 38 (1891), S. 459–460. [III.9], [IV.2] D. Hilbert (1932–1935): Gesammelte Abhandlungen, erste Auflage Springer-Verlag, Berlin, 1932–1935, Nachdruck Chelsea, 1965, zweite Auflage Springer-Verlag, 1970. [III.3] O. Hölder (1889): Ueber einen Mittelwertsatz, Gött. Nachr. 1889, S. 38–47. [IV.4] G. de L’Hospital; siehe unter L“. ” A. Hurwitz (1962, 1963): Mathematische Werke, hrsg. Abtlg. Math. Phys. ETH Zürich, 2 Bände, Birkhäuser Verlag Basel und Stuttgart, 1962, 1963. [I.6] C. Huygens (1673): (Christiani Hugenii Zulichemii) Horologium oscillatorium, sive de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricæ, Paris, 1673. [II.1], [II.3], [II.7] C.G.J. Jacobi (1827): De singulari quadam duplicis integralis transformatione, J. Reine und Angew. Math. (Crelle) 2 (1827), S. 234–242; Werke 3, S.57–66. [II.3] C.G.J. Jacobi (1834): De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae, J. Reine und Angew. Math. (Crelle) 12 (1834), S. 263–272; Werke 6, S. 64–75. [II.10] C.G.J. Jacobi (1841): De determinantibus functionalibus, J. Reine und Ang. Math. (Crelle) 22 (1841), S. 319–359; Werke 3, S. 393–438. [IV.3], [IV.5] C.G.J. Jacobi (1881–1891): Gesammelte Werke, 8 Bände, hrsg. C.W. Borchardt, Berlin, 1881–1891, Neubearbeitung Chelsea New York, 1969. [I.1], [IV.5] W. Jones (1706): Synopsis palmariorum matheseos: or, New introduction to the mathematics: containing principles of arithmetic & geometry, demonstrated, in a short and easie method . . ., London, 1706. [I.4] C. Jordan (1882): Cours d’analyse de l’Ecole ploytechnique, Paris, 1882–1887 (3 Bände). [IV.1] ¨ W. Kaunzner (1980): Uber Regiomontanus als Mathematiker, S. 125–145 in: Regiomon¨ tanus-Studien, hrsg. G. Hamann, Osterr. Akad. der Wiss., Wien, 1980. [I.4] J. Kepler (1615): Nova stereometria doliorum vinariorum, in primis Austriaci, figuræ omnium aptissimæ, Authore Ioanne Kepplero, imp. Cæs. Matthiæ I. ejusq; fidd. Ordd. Austriæ supra Anasum Mathematico, Lincii, Anno M.DC.XV. [II.4]

Literaturverzeichnis 391 F. Klein (1908): Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Band 1 Arithmetik, Algebra, Analysis; dritte Auflage 1924, Grundlehren, Band XIV, SpringerVerlag Berlin; als Autographie, ausgearbeitet von E. Hellinger, B. G. Teubner. [II.1], [II.2], [III.6] F. Klein (1926, 1927): Vorlesungen u¨ ber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, 2 Bände, Springer-Verlag Berlin 1926, 1927, Nachdruck in einem Band Chelsea New York 1967, Springer-Verlag 1979. [IV.3] M. Kline (1972): Mathematical thought from ancient to modern times, New York, Oxford Univ. Press, 1238 S. [I.2], [I.3], [I.5], [II.6], [III.7], [IV.0] K. Knopp (1922): Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Grundlagen, Bd. 2, Springer-Verlag, Berlin, 1922, zweite Aufl. 1924, dritte Aufl. 1931, vierte Aufl. 1947. [III.2] D.E. Knuth (1962): Euler’s constant to 1271 places, Math. of Comput. 16 (1962), S. 275– 281. [II.10] H. von Koch (1906): Une méthode géométrique e´ lémentaire pour l’étude de certaines questions de la théorie des courbes planes, Acta Mathematica 30, (1906), S. 145– 174. [III.9], [IV.5] S. Kuhn (1991): The derivative a` la Carathéodory, Math. Monthly 98, Nr. 1 (1991), S. 40– 44. [III.6] J.L. de Lagrange (1759): Recherches sur la méthode de maximis et minimis, Misc. Taurinensia, Torino 1 (1759), Oeuvres I, S. 3–20. [II.2], [IV.4] J.L. de Lagrange (1773): Sur l’attraction des sphéro¨ıdes elliptiques, Nouv. Mém. Acad. royale Berlin année 1773, Oeuvres 3, S. 619–649. [IV.5] J.L. de Lagrange (1775): Recherche sur les Suites Récurrentes, Nouveaux Mém. de l’Acad. royale des Sciences et Belles-Lettres, Berlin. Oeuvres 4, S. 159. [II.8] J.L. de Lagrange (1788): Méchanique analitique, Par M. de la Grange, Paris, MDCC.LXXXVIII, Oeuvres 11 und 12. [II.8], [III.0], [IV.4] J.L. de Lagrange (1797, 1813): Théorie des fonctions analytiques, contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d’infiniment petits, d’évanouissans, de limites ou de fluxions, et réduits a` l’analyse algébrique des quantités finies, A Paris, de l’imprimerie de la république, Prairial an V (1797), deuxième e´ dition: Gauthier-Villars, 1813. [II.1], [III.0], [III.6], [III.7] J.L. de Lagrange (1867–1882): Oeuvres, 14 Bände, hrsg. J.-A. Serret und G. Darboux, Paris 1867–1882, Nachdruck 1973, Georg Olms Verlag Hildesheim. [I.1], [III.7] J.H. Lambert (1768): Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques, Mém. Acad. sc. Berlin 17 (1768), S. 265–322, Opera II, S. 112–159. [I.6] J.H. Lambert (1770a): Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen, Berlin 1770, Opera I, S. 194–212. [I.6] J.H. Lambert (1770b): Observations trigonométriques, Mém. Acad. sc. Berlin 24 (1770), S. 327–357, Opera II, S. 245–269. [I.4] J.H. Lambert (1770c): Algebraische Formeln für die Sinus von drey zu drey Graden, Berlin, 1770, Opera I, S. 189–193. [I.4] J.H. Lambert (1946, 1948): Opera Mathematica, 2 Bände, Orell Füssli Verlag Zürich. ¨ E. Landau (1908): Uber die Approximation einer stetigen Funktion durch eine ganze rationale Funktion, Rendiconti di Palermo 25 (1908), S. 337–346; Collected Works 3, S. 402–410. [III.9] E. Landau (1930): Grundlagen der Analysis, Akad. Verlagsges. Leipzig (1930), 134 S. amerik. Bearb. mit u¨ bers. Vorworten 1945, 1947, Chelsea Pub. Comp. [III.1] P.-S. de Laplace (1812): Théorie analytique des probabilités, Paris, 1812, zweite Auflage 1814, dritte Auflage 1820. [II.6] A.-M. Legendre (1794): Eléments de géométrie, erste Auflage 1794, vierte Auflage 1806, zahlreiche spätere Auflagen. [I.6] D.H. Lehmer (1940): On the maxima and minima of Bernoulli polynomials, Amer. Math. Monthly 47 (1940), S. 533–538. [II.10] G.W. Leibniz3 (1682): De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa, Acta Eruditorum 1, 1682, S. 41–46. [I.4], [III.2] 3

Leibniz usually signed, in Latin, G. G. L. (Gothofredo Gulielmo Leibnitio).

392 Literaturverzeichnis G.W. Leibniz (1684): Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quæ nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, & singulare pro illis calculi genus, Acta Eruditorum 3, 1684, S. 467. [I.2], [II.1], [II.2] G.W. Leibniz (1686): De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, Acta Eruditorum 5, Juni 1686, S. 292–300. [II.4] G.W. Leibniz (1689): De linea isochrona in qua grave sine acceleratione descendit et de controversia cum DN. Abbate D. C., Acta Eruditorum 8, 1689, S. 195. [II.7] G.W. Leibniz (1691): Quadratura arithmetica communis sectionum conicarum quae centrum habet, indeque ducta trigonometria canonica ad quantamcunque in numeris exactis exactitudinem a tabularum necessitate liberata, cum usu speciali ad lineam rhomborum nauticam, aptatumque illi planisphaerium, Acta Eruditorum 10, April 1691, S. 178–182. [I.4] G.W. Leibniz (1691b): De linea in quam flexile se pondere proprio curvat, ejusque usu insigni adinveniendas quotcunque medias proportionales & logarithmos, Acta Eruditorum 10, 1691, S. 277–281 und 435–439. [II.7] G.W. Leibniz (1693): Supplementum geometriæ dimensoriæ, seu generalissima omnium tetragonismorum effectio per motum: similiterque multiplex constructio linea ex data tangentium conditione, Acta Eruditorum 12, 1693, S. 385–392. [II.7] G.W. Leibniz (1694a): Nova calculi differentialis applicatio et usus ad multiplicem linearum constructionem ex data tangentium conditione, Acta Eruditorum 13, Juli 1694. [II.3], [IV.0] G.W. Leibniz (1694b): Constructio propria problematis de curva isochrona paracentrica, ubi et generaliora quaedam de natura et calculo differentiali osculorum, et de constructione linearum transcendentium, una maxime geometrica, altera mechanica quidem, sed generalissima. Accessit modus reddendi inventiones transcendentium linearum universales, ut quemvis casum comprehendant, et transeant per punctum datum, Acta Eruditorum 13, August 1694. [II.6] G.W. Leibniz (1702): Specimen novum analyseos pro scientia infinita circa summas et quadraturas, Acta Eruditorum 21, Mai 1702. [II.5] G.W. Leibniz (1710): Symbolismus memorabilis calculi algebraici et infinitesimalis in comparatione potentiarum et differentiarum, et de lege homogeneorum transcendantali, Miscellanea Berolinensia ad incrementum scientiarum, 1710. [II.2] ¨ M. Lerch (1888): Uber die Nichtdifferentiirbarkeit gewisser Functionen, J. Reine und Angew. Math. (Crelle) 103 (1888), S. 126–138. [III.7] G. de L’Hospital (1696): Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes, A Paris, de l’Imprimerie Royale. M.DC.XCVI. [II.1], [III.6] J. Liouville (1835): Mémoire sur l’intégration d’une classe de fonctions transcendantes, J. Reine und Angew. Math. (Crelle) 13 (1835), S. 93–118. [II.6] J. Liouville (1841): Remarques nouvelles sur l’équation de Riccati, J. de Math. pures et appl. (Liouville) 6 (1841), S. 1–13. [II.9] G. Lochs (1963): Die ersten 968 Kettenbruchnenner von π, Monatsh. f. Math. 67 (1963) S. 311–316. [I.6] J. Lüroth (1873): Bemerkung u¨ ber gleichmässige Stetigkeit, Math. Ann. 6 (1873) S. 319– 320. [III.4] C. Maclaurin (1742): A treatise of fluxions, in zwei Büchern, Edinburgh, MDCCXLII. [II.1], [II.2], [II.10], [III.8] G. Meinardus (1964): Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung, ¨ Springer Tracts in Nat. Phil., 180 S., Springer, 1964, engl. Ubers., Springer, 1967. [III.9] Ch. Méray (1872): Nouveau précis d’analyse infinitésimale, Paris, 1872. [III.1] N. Mercator (= Kaufmann) (1668): Logarithmo-technia; sive methodus construendi logarithmos nova, accurata, et facilis; . . ., geschr. 1667, veröff. London, 1668. [I.3] F. Mertens (1875): Ueber die Multiplicationsregel für zwei unendliche Reihen, J. Reine und Angew. Math. (Crelle) 79 (1875), S. 182–184. [III.2] G. Miel (1983): Of calculations past and present: the Archimedean algorithm, Amer. Math. Monthly 90 (1983), S. 17–35. [I.4] A. de Moivre (1730): Miscellania analytica de seriebus et quadraturis, Londini, 1730. [I.4] J. Napier (1614): Mirifici logarithmorum canonis descriptio, Edinburgi, 1614. [I.3]

Literaturverzeichnis 393 ¨ J. Napier (1619): Mirifici logarithmorum canonis constructio, Edinburgi 1619, engl. Ubers.: The construction of the wonderful canon of logarithms, von William Rae MacDonald, 1888. [I.3] I. Newton (1665): Annotations from Wallis, Manuskript von 1665, veröff. in The mathematical papers of Isaac Newton 1, Cambridge University Press, 1967. [I.2], [II.2] I. Newton (1669): De analysi per æquationes numero terminorum infinitas, Manuskript von 1669, veröff. in Newton (1711) von W. Jones, S. 1–21; Works 2, S. 165–173. [I.3], [I.4] I. Newton (1671): Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum, Manuskript von 1671, veröff. translated from the author’s Latin original not yet made publick, London ” ¨ 1736“; Opuscula mathematica, Band I; franz. Ubers. par M.de Buffon, Paris MDCCXL“; Nachdruck hrsg. Albert Blanchard, Paris,”1966. [I.2], [I.3], [I.4], [II.1], [II.2], [II.3], [II.6] I. Newton (1676): Methodus differentialis, Manuskript wurde in einem Brief vom Okt. 1676 an Oldenburg erwähnt, veröff. in Newton (1711) von W. Jones, S. 93–101. [I.1] I. Newton (1686): Philosophiæ naturalis principia mathematica, Autore IS. NEWTON, ¨ Londini, 1686, zweite Aufl. 1713, dritte Aufl. 1726, engl. Ubers. 1803, französ. ¨ Ubers. par feue Madame la Marquise du Chastellet“ a` Paris, 1756. [II.1] I. Newton (1711): ”Analysis per quantitatum series, fluxiones, ac differentias, veröffentlicht von W. Jones, London 1711. [I.4] I. Newton (1736): siehe Newton (1671). V. Notari (1924): L’equazione di quarto grado, Periodico di Matematiche, Ser. 4, Band 4 (Bologna 1924), S. 327–334. [I.1] M. Parmentier (1989): G.W. Leibniz, la naissance du calcul différentiel, 26 articles des Acta Eruditorum, Mathesis, Paris, Librairie Philosophique J. Vrin, 1989. [II.1] B. Pascal (1654): Traité du triangle arithmétique, avec quelques autres petits traitez sur la mesme matiere, geschrieben 1654, posthum veröff., Paris, 1665. [I.2] L. di Pasquale (1957): Le equazioni di terzo grado nei “Questi et inventioni diverse” di Nicolò Tartaglia, Periodico di Matematiche, Ser. 4, Band 35 (Bologna 1957), S. 79–93. [I.1] G. Peano (1884): “Annotazioni” al trattato di calcolo del 1884, (siehe Genocchi & Peano 1884), Opere scelte I, S. 47–73. [IV.2], [IV.4] G. Peano (1888): Calcolo geometrico, secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, Torino 1888; dt. Ausg.: Die Grundzuege des geometrischen Calculs, Teubner Leipzig, 1891; siehe auch: Math. Annalen 32 (1888), S. 451. [IV.0] G. Peano (1888a): Intégration par séries des e´ quations différentielles linéaires, Math. Annalen 32 (1888), S. 450–456. [IV.1], [IV.2] G. Peano (1890): Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane, Math. Annalen 36 (1890), S. 157–160. [IV.2] G. Peano (1890b): Démonstration de l’intégrabilité des e´ quations différentielles ordinaires, Math. Annalen 37 (1890), S. 182–228. [IV.1] G. Peano (1957–1959): Opere scelte, 3 Bände, Edizioni Cremonese, Roma 1957–1959. [IV.4] O. Perron (1913): Die Lehre von den Kettenbrüchen, Teubner Leipzig und Berlin, 520 S., zahlreiche spätere Auflagen. [I.6] E. Picard (1890): Traité d’Analyse, Band I, Gauthier-Villars, Paris 1890, 2ème e´ dition 1901. [III.9] A. Pringsheim (1893): Zur Theorie der Taylor’schen Reihe und der analytischen Functionen mit beschränktem Existenzbereich, Math. Annalen 42 (1893), S. 153–184. [III.7] A. Pringsheim (1899): Grundlagen der allgemeinen Funktionenlehre, in: Encyklopädie der math. Wiss. II.1.1, (1899), S. 1–53. [III.3], [III.4] Cl. Ptolemäus (∼ 150): µεγ αλη ´ σ υντ ´ αξις (= Great Collection = Almagest = Al µεγ ι´στ η), ¨ latein. Ubers. G. Peurbach & Regiomontanus (Epitoma almagesti per Magistrum Georgium de Peurbach et eius Discipulum Magistrum Jo. de Künigsperg . . .), vervollständigt 1462, gedruckt 1496. [I.4] J. Regiomontanus = Johannes Müller aus Königsberg (1464): De triangulis omnimodis libri quinque, geschrieben 1464, gedruckt 1533. [I.4]

394 Literaturverzeichnis G. de Rham (1957): Sur un exemple de fonction continue sans dérivée, L’Enseignement Mathématique 3, (1957), S. 71–72; Oeuvres, S. 714–715. [III.9] J. Riccati (1712): Soluzione generale del Problema inverso intorno a` raggi osculatori,.., determinar la curva, a cui convenga una tal’espressione, Giornale de’Letterati d’Italia, 11 (1712), S. 204–220. [II.7] N. Richert (1992): Strang’s strange figures, Amer. Math. Monthly 99, Nr. 2, S. 101–107. [I.4] B. Riemann (1854): Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, Habilitation, Göttingen, 1854, Werke, S. 227–271. [III.2], [III.5] Robert von Chester (1145): Liber algebre et almuchabolae de questionibus arithmeti¨ cis et geometricis, erste lateinische Ubersetzung von Al-Khowârizmˆı’s Al-jabr, krit. Neubearb.: B.B. Hughes, Steiner Verlag Wiesbaden, Stuttgart, 1989. [I.1] M. Rolle (1690): Traité d’Algebre, ov principes generaux pour resoudre les questions de Mathematique, Livre second, Kap. VI, S. 124f. (1690). [III.6] ¨ F. Rosen (1831): The Algebra of Mohammed ben Musa, Ubers. und hrsg. von Frederic Rosen, London 1831, Nachdruck Georg Olms Verlag, 1986. [I.1] H.A. Schwarz (1873): Ueber ein vollständiges System von einander unabhängiger Voraus ∂f (x,y) ∂f (x,y) ∂ ∂ setzungen zum Beweise des Satzes ∂y = ∂x , Verhandlun∂x ∂y gen der Schweizerischen Naturf. Ges. (1873), S. 259–270; Werke 2, S. 275–284. [IV.4] H.A. Schwarz (1885): Ueber ein die Flächen kleinsten Flächeninhaltes betreffendes Problem der Variationsrechnung, Acta soc. scient. Fenn. 15 (1885), S. 315–362; Werke 1, S. 223–269. [III.5] L. Seidel (Philipp Ludwig von) (1848): Note u¨ ber eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen, Denkschriften der Münchener Akademie, Jahrgang 1848. [III.4] J.A. Serret (1868): Cours de calcul différentiel et intégral, Paris, 1868 (siehe insbesondere ¨ S. 17–19), dt. Ubers. Teubner, 1884. [III.6], [IV.4] D. Shanks & J.W. Wrench Jr. (1962): Calculation of π to 100000 decimals, Math.Comp. 16 (1962), S. 76–99. [I.4] W. Sierpiński (1915): Sur une courbe dont tout point est un point de ramification, veröff. auf polnisch in Prace Mat.-Fiz. 27 (1916), S. 77–86; franz. Zusammenf.: C.R. 160 ¨ (1915), S. 302–305; franz. Ubers. Oeuvres choisies, Band II, S. 99–106. [IV.1] W. Sierpiński (1916): Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe donnée, veröff. auf russisch in Matematiqeskii sbornik 30 (1916), S. 267–287; franz. Zusammenfassung: C.R. 162 (1916), ¨ S. 629–632; franz. Ubers. Oeuvres choisies, Band II, S. 107–119. [IV.1] T. Simpson (1743): Math. dissertations on a variety of physical and analytical subjects . . ., London, 1743. [II.6] O. Spiess (1929): Leonhard Euler, Ein Beitrag zur Geistesgeschichte des XVIII. Jahrhunderts, Verlag von Huber, Frauenfeld, Leipzig, 1929. [II.8], [II.10] V. Steklov (1918): Remarques sur les quadratures, Bull. de l’Acad. des Sciences de Russie (6), Band 12, (1918), S. 99–118. [II.6] M. Stifel (1544): Arithmetica integra, Nürnberg, 1544. [I.2], [I.3] J. Stirling (1730): Methodus differentialis: sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum, Londini, MDCCXXX. [II.10] O. Stolz (1881): B. Bolzano’s Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung, Math. Ann. 18 (1881), S. 255–279. [III.1] O. Stolz (1886): Die gleichmässige Convergenz von Functionen mehrerer Veränderlichen zu den dadurch sich ergebenden Grenzwerthen, dass einige derselben constanten Werthen sich nähern, Math. Ann. 26 (1886), S. 83–96. [IV.5] O. Stolz (1887): Bemerkungen zur Theorie der Functionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen, Innsbrucker Berichte; siehe auch O. Stolz, Grundzüge der Differential- und Integralrechnung, Teubner Leipzig, 1893. [IV.3] G. Strang (1976): Linear algebra and its applications, Academic Press, New York, 1976, 374 S. [IV.5] G. Strang (1991): Calculus, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, Mass., 1991. [I.4]

Literaturverzeichnis 395 D.J. Struik (1969): A source book in mathematics 1200-1800, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1969. [II.1], [II.2], [III.2] T. Takagi (1903): A simple example of the continuous function without derivative, Tokio math. soc. 1 (1903), S. 176–177. [III.9] D. Tall (1982): The blancmange function, continuous everywhere but differentiable nowhere, Math. Gazette 66, Nr. 435 (1982), S. 11–22. [III.9] B. Taylor (1715): Methodus incrementorum directa & inversa, Auctore Brook Taylor, LL.D. & Regiæ Societatis Secretario, Londini, MDCCXV. [II.2] P.F. Verhulst (1845): Recherches mathématiques sur la loi d’accroissement de la population, Nuov. Mem. Acad. Roy. Bruxelles, 18 (1845), S. 3–38. [II.7] F. Viète (1591): In artem analyticam isagoge, Tours 1591, Opera, hrsg. Franciscus van Schooten, 1646, S. 1–12. [I.1] F. Viète (1591a): De aequationem recognitione et emendatione, posthum veröff. 1615, Opera, hrsg. Franciscus van Schooten, 1646, S. 84–158. [I.1], [I.5] F. Viète (1593): Ad angulares sectiones theoremata KAΘOΛIKΩT EP A, posth. veröff. 1615, Opera, hrsg. Franciscus van Schooten, 1646, S. 287–304. [I.1], [I.2] ¨ F. Viète (1600): Algebra nova, franz. kommentierte Ubers.: Introduction en l’art analytique ov novvelle Algebra, oeuvre dans lequel sont veus les plus miraculeux effects des sciences Mathematiques, pour l’inuention & solution, tant des Problemes, que Theoremes, 1630. [I.1] B.L. van der Waerden (1954): Science awakening I, Egyptian, Babylonian, and Greek Mathematics, Kluwer Acad. Publ. Dordrecht, The Netherlands; engl. Ausgaben 1961, 1969, 1975, 1988. [I.2] ¨ B.L. van der Waerden (1957): Uber die Einführung des Logarithmus im Schulunterricht, Elemente der Math. 12 (1957), S. 1–8. [I.3] J. Wallis (1655): Arithmetica infinitorum, sive nova methodus inquirendi in curvilineorum quadraturam, aliaque difficiliora matheseos problemata, Anno 1655 typis edita; Opera mathematica I (1695), S. 355–478; Nachdruck Georg Olms Verlag, 1972. [I.5], [I.6] G. Wanner (1988): Les e´ quations différentielles ont 350 ans, L’Enseignement Mathématique 34 (1988), S. 365–385. [II.7] K. Weierstraß (1841): Zur Theorie der Potenzreihen, Manuskript 1841, veröff. 1894 in Werke 1, S. 67–74. [III.4] K. Weierstraß (1861): Differential Rechnung, Vorlesung an dem Königlichen Gewerbeinstitute, Manuskript 1861, maschinengeschrieben von H.A. Schwarz, Math. Bibl. Humboldt Universität Berlin. [III.3], [III.4], [III.6], [III.7] ¨ K. Weierstraß (1872): Uber continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Königl. Akad. der Wiss. Berlin, Werke 2, S. 71–74. [III.3], [III.9] K. Weierstraß (1874): Theorie der analytischen Funktionen, Vorlesung an der Univ. Berlin 1874, Manuskript (ausgearbeitet von G. Valentin), Math. Bibl. Humboldt Universität Berlin. [III.1], [III.3], [IV.3] ¨ K. Weierstraß (1885): Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen reeller Argumente, Königl. Akad. der Wiss. Berlin, Werke 3, S. 1–37. [III.9] K. Weierstraß (1894–1927): Mathematische Werke, 7 Bände, Berlin und Leipzig, 1894– 1927. [III.1] R.S. Westfall (1980): Never at rest; a biography of Isaac Newton, Cambridge Univ. Press, 908 S. [I.4] W. Wirtinger (1902): Einige Anwendungen der Euler-Maclaurin’schen Summenformel, insbesondere auf eine Aufgabe von Abel, Acta Mathematica 26 (1902), S. 255–271. [II.10]

Symbolverzeichnis ◦

A A a0 + a1 + a2 + . . . (a, b) [a, b] a + ib arccos x arcsin x arctan x arcosh x arsinh x B(α, β) Bε (a) Bk Bk (x) cos x cosh x D det dx, dy d(x, y) dy/dx e ex exp x f (U ) f −1 (V ) f ′ (x) f ′′ (x) f (k) (x) grad f inf X L(y) limn→∞ sn limx→x0 f (x) lim inf n→∞ sn lim supn→∞ sn ln x loga x n! n j

Inneres von A 308 Abschluss von A 308 unendliche Reihe 204 offenes Intervall 219 abgeschlossenes Intervall 219 komplexe Zahl 61 Arkuscosinus 52 Arkussinus 52 Arkustangens 52 Areacosinus Hyperbolicus 60 Areasinus Hyperbolicus 60 Betafunktion 374 Scheibe (oder Kugelumgebung) mit Radius ε und Mittelpunkt a300 Bernoulli-Zahl 175 Bernoulli-Polynom 177 Cosinus 44 Cosinus Hyperbolicus 60 Unterteilung eines Intervalls 239f. Determinante 365, 367 unendlich kleine Größen 89 Abstand zwischen x und y 295 Ableitung von y 89 Eulersche Zahl 27 Exponentialfunktion 27f. Exponentialfunktion 27f. Bild(menge) von U 318 Urbild(menge) von V 318 Ableitung der Funktion f (x) 91 zweite Ableitung von f (x) 99 k-te Ableitung von f (x) 103 Gradient von f 329 größte untere Schranke (Infimum) 199 Differentialoperator 157 Grenzwert einer Folge 188 Grenzwert einer Funktion 227 kleinster Häufungspunkt (Limes inferior) 201 größter Häufungspunkt (Limes superior) 201 natürlicher Logarithmus (Logarithmus naturalis) 37 Logarithmus zur Basis a 32 Fakultät von n 21 Binomialkoeffizient 21

Symbolverzeichnis 397

Q R Rn |s| s(D) S(D) sin x sinh x {sn } sup X tan x x∈A (x1 , . . . , xn ) y′ y ′′ ∆y0 , ∆2 y0 , . . . ϕn (x) Φ(x) γ Γ (α) κ µ(I) π ̺ ∂A ∂f /∂x1 ∇f kAk2 kzk1 kzk2 kzkp kzk P∞∞ P a , i≥0 ai R i=0 i f (x) dx Rb f (x) dx Ra f (x, y) d(x, y) I A⊂B A∩B A∪B A\B ∁A ∀ ∃

Analysis in historischer Entwicklung (Springer-Lehrbuch)

Die ukrainische Frage in historischer Entwicklung

Kommunikation in Forschung und Entwicklung

Nachhaltige Entwicklung braucht Geldmarktreform

Bausteine der kindlichen Entwicklung

Loreley. Historischer Roman

Kleiner historischer Bibelatlas

Todfracht: Historischer Kriminalroman

1816 Ein historischer Roman

Jerusalem. Historischer Roman

Die Teufelsbibel Historischer Roman

Goldfasan (Historischer Kriminalroman)

Die Buchmalerin (Historischer Kriminalroman)

Die Henkerstochter (Historischer Kriminalroman)

Die Königsmalerin (Historischer Roman)

1814 Ein historischer Roman

Arminius. Historischer Roman

Die Teufelsbibel Historischer Roman

Die Ungehorsame (Historischer Roman)

Die Glasbläserin (Historischer Roman)

Der Bierzauberer: Historischer Roman

DieUngarischenRuthenen. Historischer zweiter Teil

Die Schwertkämpferin (Historischer Roman)

Die Heilerin (Historischer Roman)

1817 Ein historischer Roman

Der Blutkelch. Historischer Kriminalroman

1815 Ein historischer Roman

1813 Ein historischer Roman

Die Hofnärrin: Historischer Roman

Der Bierzauberer (Historischer Roman)

Die Giftmischerin (Historischer Roman)

Analysis in historischer Entwicklung (Springer-Lehrbuch)

Die ukrainische Frage in historischer Entwicklung

Kommunikation in Forschung und Entwicklung

Nachhaltige Entwicklung braucht Geldmarktreform

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Loreley. Historischer Roman

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1816 Ein historischer Roman

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Die Teufelsbibel Historischer Roman

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Die Königsmalerin (Historischer Roman)

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