This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
0 . Die Funktion r.p : (0,00)
-7
lR ist von der K lasse C 1 un d erfii llt
0 (t ) = at a - 1 f( x) - x· f x(t x) = at a - 1 f(x) - aC 1 f(tx) = aC 1 r.p(t) . (29 )
Somit befriedigt r.p(t ) d ie homogene lineare Differ entialgleichung
0 (t ) = aC 1 r.p(t) und gen tigt de r Anfangsbedingung r.p(1) immer N ull" folgt r.p(t ) == 0 auf (0,00).
auf (0, 00)
= O. Nac h dem Prinz ip " Einmal Null, D
Absc hlieBend fuhren wir noch einige vielgebrauchte Bezeichnungen ein. Ist f = (il, . .. ,f n) ein Vektorfeld der Klasse C 1(n , lR n ) aufn man den Au sdruck
(31)
.
oil
oh
U Xl
UX2
div j' := ~ + ~ +
... +
c
lR n , so nennt
ofn
~ U Xn
die Divergenz von f. Offenbar ist div f die Spur der Jacobimatrix Df(x) ,
(32)
div
f = sp ur (Df) .
15
1.1 P ar ti elle Ableit unge n von Funktionen mehrerer Vari abler Die Physikerschreibweise hierfiir ist div f = \l . f = D Ill
(33)
+ ... + Dnfn ,
d.h. man faBt \l . f formal als Skalarprodukt zwischen \l f = (iI , · · · , fn ) a uf. F ur n = 3 und x = (X l,
X2, X 3 )
=
(D I , . .. , D n ) und
fuhrt man noch das Vekto rfeld
(34)
f : S1
ein, die Rotation des Vektorfeldes
-+
1R3 mit S1 C 1R 3 .
W ir ge ben ein ige Rechenregeln fur das Oper ieren m it 'V an , d ie ohne Miihe naeh gep r iift werden konnen . Da zu bezeichnen wir im folge nden mit A, Jt ska lare Fu nkt ione n n -+ JR und m it f , 9 Vek t orfu nk t ion en n -+ JR 3, wo bei n c JR3 ist : 'V(AJI)
(35)
'V . (AI)
('VA) ' f
'V x (AI)
('V>' ) x
'V · (f x g ) 'V x (f x g)
+
A'V ' f ,
f + >. 'V x f ,
g . ('V x I) - f · ('V x g ) , g. 'V f -
f · 'Vg
+
f ('V · g) - g('V . I) .
In d er let zt en For mel ist g . 'V f zu lesen a ls (g . 'V )f, und entsp rec hend f · 'Vg a ls (f . 'V)g . Warnung. In der a lteren Literat ur wird fur ein Vektorfeld f : n -+ JR3 d ie D ive rge nz oft a ls div f = 'V f (statt 'V . I) gesehrieb en , und 'V . f steht dort filr die J a cob im at rix D f bzw . fu r d eren Trans pon iert e (D I)T , je nach Sehreibweise . Desh alb ist es ratsam , sie h iib er di e Notation eines Autors zu informier en , bevor man seine Formeln iibernimmt .
Aufgab en. 1. Ma n b esti m m e d ie part iel!en Abl eitu ngen der folgend en Funkt ionen f , g, h : JR2 -+ JR: f(x , y ) := ax 2 + 2bxy + cy2 , g(x , y) := exp (x 2 + y2) , h (x , y) := si n (x y) + cos(xy) + exp(x 2y2). 2. F iir 'P E Cl (JR+) , JR+:= (0,00) , un d fest gewahlt es x o E JRn bereehne man 'Vf (x ) de r d ureh f(x) := 'P(lx - xol) d efinierten Funktion f : JRn \ {x o} -+ JR. 3 . F ixiere zwe i P unkte a, b E JR3 m it a 1
f(x) := - Ix - al
#
b und setze
+ - 1-
Ix - bl
fiir
x E JR3 \ {a ,b } .
Was s ind di e kri tisehe n Punk t e von f7 4. Fiir fest gewahlte Xo E JRn und
(I
E
>
0 sei k : JRn
I )
-+
JR defin iert dureh k( x) := 0 fiir
Ix - xol > E u nd k( x ) := exp 1 fur Ix - xo l < x xo to Ableitungen ex istieren iiberal! a uf JRn und si nd stetig.
e,
e
E.
ZU zeig en ist : Di e part iel!en
e,
5. Se i f (r , 'P) := (r sin cos 'P, rsin esin 'P, r eos 0 ) de finiert filr (r, 'P) E (0,00) x (0 , 7r) X (0, 27r). Man b ereehn e d ie J acobi m at rix Df un d d ie J aeobidet ermi na nt e Jf ' Liefert f einen C 1 -Diffeomorp his mus 7
16
Kapit el 1. Differentialrechnung fur Funktionen mehrerer Variabler 6. Man zeige ohne Rechn ung, daf3 r (x) := l / lx l, x E ]Rn\ {O} die Differentialgleichun g x · V'r (x ) = - r (x ) erfiillt. 7. Zu ber echnen sind di v v und rot v fur die Vektorfelder v : ]R3 -> ]R3 d er Form (i) v( x , Y, z ) := va, (ii) v (x,y , z ) := (exX ,(3y"Z) , (iii) v(x , y ,z ) .- (O,(3z, -(3z ) mi t Konstanten ex , (3,1 E ]R und Vo E ]R3. 8. Jedes Vektorfeld v : ]R3 -> ]R3 der Ge st a lt
v(x, Y, z ) := (ex l X + ex2Y + ex3 Z, (3lx + (32Y + (33 z, I lX
+ 12Y + 13Z)
,
exl, . . . ,, 3 E ]R, laf3t sich in der Form v = u + w mit rot u = 0 und div w = 0 schr eiben . Beweis? (Solche Vektorfelder u u nd v heif3en unrbelfrei bzw. quelt enfrei.) 9. Man berechne M( a) fur a E sn- l und I : rl -> ]R mit I (x) := Ix - xo l bzw . I(x) := Ix - (x·
ei
ier ] fur Xo E ]Rn und E1 = (1, 0, . . . , 0), rl := {x E ]Rn : I (x)
> O}
.
10. Fer mats P rob le m (a uch St ein erproblem gen annt; di e erst e Losung stam mt von C ava lieri 1647 .) Sei I : ]R2 -> ]R d efini er t durch I (x) := Ix - a l + Ix - bl + Ix - c ], x E ]R2, (i) Es gibt einen wob ei a, b, e drei verschieden e Punkte d es ]R2 sind . Zu zeigen ist : Minim ierer Xo von I . (ii) Fa lls Xo rt {a , b, e} ist u nd ex , (3, 1 E s» in Ric htung von a - xo , b - xo , c - Xo weisen , so gilt ex + (3 + 1 = O. Was bed eutet d ies geom etrisch ? (iii) Der Minimierer Xo ist einde ut ig bestimmt und liegt auf dem Abschl uf3 d es D reiecks mit de n Eckp unkten a, b, e. 11. Ist I ein C l - Diffeomorp h ismus mit D I > 0, so gilt D 1-1 > O. Beweis? 12. Sei F(x ,z, p) eine C l~Fu nkt ion der Vari ab len x = (x", h ::;",::; n , Z = (Zjh ::; j ::; N ' P = (Pj",h ::; j ::;N, l ::;", ::; n und se ien u ,
0 ein 0 > 0, so daf fur alle t E I und alle z, Xo E K mit Ix - Xo I < 0 die Abschatzung
gilt. Hieraus folgt
D
Satz 2 . Sei f(t , x) eine Funktian der Klasse CO auf dem Rechteck
Q = [a, b] x [a,,6] mit Wert en in JRN . Fern er existiere die parti elle Ableitung f x(t, x) iiberall aufQ und sei dart stetig. Dann ist die durch (1) definiert e Funkt ian : [a,,6] ----> JRN in allen Punkten x E [a,,6] differenzierbar, und es gilt (2)
'(x) = dx d
Beweis. Sei x E [a,,6] , h f(t , x +h) -f(t, x)
=1=
=
l
a
b
f(t, x )dt =
0 und x
l
a
b
f x(t , x)dt .
+ h E [a, ,6]. Dann gilt
d t' Jt' dJ(t ,x +sh)ds =h Jo f x(t , x+sh)ds o
28
Kap it el 1. Differenti alr echnung fur Funktionen mehrerer Vari abl er
und dami t 1 ~h(X) := h
= Wegen f x(t , x)
l~h(X)
[(x
i (1 b
+ h) 1
b
a
1 [j (t,x
+ h) -
f(t , x )]dt
f x(t , X + Sh)dS) dt .
= fo1 f x(t , x)ds
-i
Ih
(x) ] =
ergibt sich
b
f x(t, X)dt l =
<
0 ein 0 > 0, so daf fur alle (t , x ) und (t , x') aus Q mit Ix - xi i < 0 die Abschatzun g
If x(t , x )- f x(t , x' )1 < erfiillt ist . Folglich erhalte n wir fur
wor au s fur h
-+
2 (b ~a)
Ihl < 0 die Ungleichung
0 die Beh auptung folgt .
o
Das gerade bewiesene Result at ist auBerordent lich nu tzlich, wei! es sehr viele bemerkenswer te Anwendungen hat . Als eine erste beweisen wir den Satz von H.A. Schwar z ub er die Ver t au schbarkeit der par tiellen Ableitungen. Dazu betracht en wir eine Funkt ion f (t , x ) der beiden reellen Var iabl en t und x auf dem Rechteck (3)
Q :=
{( t ; x) E ]R2 :
a ::; t ::; b , a ::; x ::; ,6} .
Diese Funktion sei von der Klasse C 1 auf Q. Da wir bisher die Klasse C 1 nur a uf offenen Mengen 0 definiert hab en , also beispielsweise fur 0 = int Q, mtissen wir un sere bisherige Definition erweit ern .
Definition 1. Sei 0 eine offene Menge des ]Rn , S eine Teilmenge des Rand es ao, und es gelte int (O U S) = O. Wir sagen, dajJ eine Funktion f : 0 -+ ]RN von der Klasse C 1 a uf 0 U S isi, wenn f E CI (0, ]RN ) ist und fund D f sich zu stetigen Funktionen auf 0 U S fortsetzen lassen.
29
1. 3 P ar ameterabhan gige Integral e
Bemerkung 1. Die Vorausset zung " int (S1 U S) = S1" siehert die Eind eutigkeit der Definition von C 1 (S1 US ). In 1.5, Definition 2 geben wir eine andere, etwas einschrankendere Definitio n von C 1( M ) fur beliebige (nicht leere ) Mengen M des lftn an, die fur gutartig ber andete M mit der obigen Definition ub ereinstimmt. Bemerkung 2. Wi r fuhr en fur die Fort set zun gen von 1 und D 1 auf S1 uS kein e neuen Bezeiehnungen ein, miissen da nn ab er beachte n, daf a uf S die Funktion D 1 nicht notwendig die Ableitung von 1 ist. Falls abe r S1 = int Q , S = DQ und S1 U S = Q ist , hab en wir eine gilnst igere Situation ; dann gilt namli ch: Lemma 1. W enn die Funktion I (t ,x) au] dem R echt eck Q von der Klasse C 1 ist, so exis tieren ihre partiellen Ableitungen ft( t , x) und Ix (t,x ) auIQ un d sin d dor t m it samt 1(t , x ) ste tige Funktion en . (A uf DQ sind die Abl eitungen It und I x als einseitige pari ielle Abl eitungen zu deuten .) B eweis. Dieses Ergebnis kann man a us Band 1, 3.3, Korollar 6 und 4.1, Sat z 1 herleit en . Wir ilberlassen die Ei nzelheiten dem Leser als Ubungsa ufgabe.
o
F iir unsere gegenwart igen Zwecke reieht es vollig aus, wenn wir die Behauptung von Lemma 1 als vorlaufige Definition der Eigenschaft ,,1 E C 1(Q , lftN )" nehmen , falls der Leser zunac hst den Beweis dieses Lemmas ilberspringen mocht e. Wenn die Funktion I t bzw. I x iiber all a uf Q par tiell na ch x bzw. t differenzierbar ist , so konnen wir die gemischten zweiten Ableitungen I tx und I xt definier en als (4) Es st ellt sich nun die Frage, ob I xt = f tx gilt . Im allgemeinen ist dies nicht rich t ig, wie folgend es Gegenb eispiel von Peano (1884) lehrt. (Ein anderes, allerdings komplizierteres Beispiel wurde bereits von Schwar z (1873) angegeben. )
rn
Sei f (t , x) := tx
R Dan n ist fh E C 1 (IH:.) , Ma n zeige Iilr h > 0: 1
fh(x) = 2h [f (x
+ h) -
f (x - h )] =
1
'2 [~ h f (x ) + ~ - hf (x ) ]
,
wobei ~ h f ( x ) de n gewo hnlichen Differ en zen quoti enten von f an der Ste lle x zur Schri ttweite h bez eichnet . 3. Sei f(x , y) := .r;~x 2+y2 ) e- t dt , (x , y) E IH:. 2 , Was ist d ie G leichung d er Ta ngent ialeb ene T fu r die F lac he F := gra p h f im P un kte Po = (1, 1)? 4. Se i f E CO(IH:.) und iPn (x ) := .r; ~(x - y)n fr y) dy . Welc he r Zusa m menhan g best eh t zw ischen iPn un d iPn - l ? (Differenzi eren!)
4
Differenzierbarkeit parameterabhangiger uneigentlicher Integrale. Gamma- und Betafunktion
JI f( x)dx nicht notwendig beschr ankter Funktionen tiber nicht notwendig komp akte Intervalle I definier t . Nun wollen wir uneigentli che Integrale , deren Integranden noch von einem od er mehrer en P aramet ern abha ngen, als Funktionen dieser P ar am eter auffasse n, etwa Integr ale des Typs
In Band 1, 3.11 hat ten wir uneigentli che Integrale
1
00
(1)
F( x) :=
f (t , x )dt .
Auf di ese Weise gewinnt man eine ganze Reihe wichtiger spezieller Fu nktione n wie beispielsweise d ie Gammafun kt ion
r(x) :=
/ 00 ./0
t X- 1e-tdt ,
die di e Fa kultat interpoliert , de nn es gi lt r(n) = (n - 1)!, und d ie Betafun kt ion
B(x ,y) :=
/1
./0
t X- 1(1 _ t)y - 1dt,
d ie eng mit der Gam mafun kt ion zusarnmenhangt. Weit erh in benu t zt man so lche Int egral e, u rn wic ht ige Transformat ionen wie etwa d ie Fouriert ra nsformati on zu defi n iere n. W ir werd en h ier , was kein e neu en Schwierigkeiten au fwirft , di e Int egrand en sog leich a ls kom plexwertig a uffassen . Man tib erzeu gt sich ohne M iihe , d a B sich a ile Defin it ion en und Satze a us Band 1, 3.11 a uf di esen Fall libertragen lassen un d d a B d ie Beweise samtlich giilt.ig bleib en .
32
Kapitel 1. Differentialrechnung fur Funktionen mehrerer Vari abler
Sp ater werden wir a uch den reellen lnt egra t ionsb ereich ins Komplexe verschieb en . Damit k6nn en wir in vielen int ere ssanten Fallen a uf die Cau chysche Int egr alformol zur lickgreifen und du rch "Berechnung von Residuen " a uf sehr elega nte Weise den Wert uneigen tli cher Int egrale berechn en. Zugleich bringen wir so eine ge wisse System at ik in di e Berechnung solch er Int egral e, wenngleich auch di ese Met hode einige Erfahrung und et was Geschi ck erfor de rt .
In diesem Abschni t t unter suchen wir Funk tionen der Art (1) auf St etigkeit und Differen zierbarkei t , was beispielsweise fur die Disku ssion der Fouriertransformierten j (x) := - 1
J27f
] 00 -00
f(t)e - i x t dt
von grundlegend er Bedeutung ist . Abschliefend behandeln wir kurz die Gammaund die Betafunktion. Sei f : [a, (0 ) x [a ,,6] --> C eine stetig e Funktion. Wir betrachten ein fur jedes x E [a ,,6] konvergentes uneigentliches Integral
(2)
F( x) :=
100
f(t , x )dt .
Definition 1. Das Integral (2) heiftt gleichmafllg konvergent auf [a,,6], wenn es zu j edem
(3)
E
> 0 ein K > 0 gibt , so daft
Il oo
f(t , x ) dt I
K
gilt , und gleichmafiig a bsolut konvergent, falls es zu jedem (4)
l oo
If (t, x)1dt
0 ein K mit
fur alle x E [a ,,6] und alle R > K
gibt . Wir haben den folgenden einfachen
Konvergenztest . Das Integral (2) ist gleichmiiftig absolut kon vergent auf [a,,6], wenn es K onstanten c > 0, AI > 0 und a > 1 gibt, so daft If (t , x)1
o x=0 x 0, und es gilt
r(x)f(y) r(x +y)
Beweis. Den Beweis der Formel (17) fiihren wir auf den Bohr- Mollerupschen Satz zur uck. Es gilt na mlich B( l , y ) = l /y, und partielle Integr a tion liefert ,1 (
B (x+ l, y ) =
-
t- ) t
x
1-
./ 0
(l - t )x+y-I dt
_ x_ {I t X-I (I - t)y - I dt = _ x_ B(x ,y). x +y.fo x+ y Weiterhin zeigt di e Hold ersche Ungl eichung, daB B (x , y) fur jedes y > 0 eine logarithmisch konv exe Funkt ion von x ist. Da das P ro d ukt loga rithmisch konve xer Funktionen wiederum logarithmisch konvex ist , so ist auc h
F (x) := fiir jedes y
> 0 eine
rex + y) rey) B (x , y) ,
x> 0 ,
solche Funktion, und es gilt
F (l )
=
r(y
+ 1)
r eV)
B (l
,y
)
yr(y) r(y )
- - .y
1.4 Differenzierbark eit par am et erab han giger uneigentli cher Integrale
37
sow ie F (x
+ 1)
=
r (x
+ y + 1) B(x r( y)
+ 1, y )
+ y )r(x + y)
(x
=
r (y)
_ x_ B (x, y) x +y
xF(x) .
Also folgt F (x ) == r(x) fiir x > 0, und wir er ha lt en (17) .
~ Verm6ge der Substitu tion
= sin 2 B, 0
t
in der Form
r:
J
B( .T, y) = 2
(18)
o
< B
lR. n gegeben sei. Wir nehmen a n, daf f ein Potential
44
Kapitel 1. Differentialr echnung fur Funktionen mehrerer Variabler
U besit ze, also f = \1U gilt. Ein e solche Kr aft hei£t konservativ. Wir nennen V( x) := -U(x ) die potentielle Energie des Kr aftfeldes I, und T = ~ lx l2 hei£t kinetische Energie der Bewegung x = x (t) . Wir konnen (10) um schreiben in
x = - gr ad V( x)
(11)
.
Mul tiplizieren wir diese Gleichung skalar mit X, so folgt
0 = (x , x)
+ (\1V (x ), x) =
~
Damit ergibt sich, daf die Gesamtenerqie T chung (10) gentigt , konst ant ist :
T(t)
(12)
Dxl2+ V (X)] 1
+V
+ V( x (t )) == E
einer Bewegung, die der Glei-
.
[ID Die Gmvitationskmft c f( x ,y, z) = - 1'2
(X Y Z) - ,-,r
r
T
in JR3 \ {(O,O ,O)} hat das Po tenti al U(x,y ,z) = cf r , r = J x 2 + y2 + z2, wob ei c eine positive Kon st ante bezeiehn et. Die zugeordnete pote nt ielle Energie V ist dann V( x , y , z ) = - clr . Bemerkung 1. Die Bezeichnunge n 8f 8f 82 f 8x ' 8y ' 8 x 2
'
82 f 82 f 8 x8y ' 8 y 2
"
"
fur d ie partielle Abl eitung eine r Fu nkt ion f (x , y) ha t C .G. J . Jacob i eingefuhrt (m an vgl. hierzu seine Schri ft De determin antibus fun cti onalibus , J ournal fur di e rei ne und a ngewand te Mathem atik Ed . 22 (1841 ), S. 31 9~352; Ubersetz ung ins Deutsche: Uber die Function aldetermin anten , her au sgeg. von P. Stackel , Ostw ald s Kl assiker Nr. 78). Vor J acobi wurden - beispi elsweise von E uler - d ie Symbo le df df d 2f dx ' dy ' dx 2
'
d 2f d 2f dx dy ' d y 2
'
benutzt . Von Cauchy stamme n d ie sehr nlit zlichen Sym bo le D xf, Dyf, D ;, f , D xDy f , D; f , .. . ,
wobe i D;, als D x D x zu lesen ist ; sie bri ngen de n ope ra tio nellen algebraischen Stand pu nkt besonder s deutlich zum Aus druck. In der oben genannte n Arb eit ha t J acobi das Hanti ere n mi t Fu nkti ona ldetermi nante n sys t ema tisch entw ickelt . Sein Au sgan gsp unk t waren Unt ersuchungen ub er meh rfache Int egr ale, fiir di e er in den Jahren 1827 bis 1833 geschickte Umfor mungen zu deren Ber echnun g vornahm; diose m lind et en schliel3lich 1841 in den a llgemeine n Transformationssat z filr mehrfache Int egrale (vg l. Ab schnit t 5.2). F ur zweifache Int egrale hatte bereits E uler (1744 und 1770) eine solche Tr an sform ationsform el zur Behand lung des isop er imetrischen Problem s a ufgeste llt , und
45
1.5 P artielle Ableitungen hoh erer Ordnung
1775 formu lierte Lagran ge die Tr an sform at ionsformel fiir dreifache Int egrale, urn die An ziehun gskriiJte eines hom ogen mit Masse belegt en dr eidimen sionalen Vollellipsoids zu bestimmen . J acobi s Arbeiten tib er Determ ina nte n und insbesondere Funktionaldet erm inanten war en wegweisend und haben d iesen ein festes Btirgerrecht in An alysi s und Geometrie vers chafft ; ohne sie ist die mehrdimensionale An alysis nich t mehr denkbar. Zusa mme n mit Gr aBma nns Ausdehnunqslehre (1844 und 1861/62) und Sophus Lies Kalkill m it D erivationen (= Differentialop eratoren , a b 1868) bi lden sie d ie Basis eine r Analysis auJ MannigJaltigkeit en und insbesondere des Differ entialJormenkalkills von E. Cartan .
Bemerk ung 2 . Es ist dem Leser ver mut lich nicht ent ga ngen, d aB wir bislan g nur di e partiellen Ablei tungen hoherer Ord nun g D O: J = D ~ l D~2 .. . D~ n J und ihr e Zusammenfassung zum Symbol D SJ = (D O: J )lo: l=s betracht et haben , nicht a ber das hoh erdirnensionale An a logon zum Differ ential dJ (x) bzw. zur Ableitung f' (x) . Dies hat eine n guten Grund. Ftir den Anfanger sind die zur Defin it ion von J" , J ilt , . . . , J( s) erforde rl ichen Begriffe a us der linearen Algebra haufi g etwas verwirrend ; wir wollen das Erforderl iche hier wenigstens ski zzieren. Zu diesem Zweck fassen wir eine differenzi erbare Abbildung J : n -> jRN einer offenen Men ge n des jRn ins Aug e. Dann ist f' als eine Abbi ldung J' : n -> L( jRn, jRN) von n in den Vektorraum L (jRn, jRN ) der lin ear en Abbildungen au fzufassen , der mit dem euklid ische n Raum jRn N identifiziert werden kann. Woll en wir nun die zweite Abl eitung J" von J durch J" := (J')' definie ren , so ist dem ententsprechend J" als eine Abbi ldung
zu verste hen. Andererseits kann man L( jRn,L(jRn , jRN)) mit dem Vektorraum L (jRn , jRn; jRN) der Bili nearformen auf jRn mi t Werten in jRN ident ifizieren , und somit faBt man J" au ch als eine Abbi ldung d 2J : n -> L( jRn, jRn ; jRN ) au f. Diese Abbi ldung ordnet also jedem x E n eine "jRN -wert ige" Bilinearform d 2J( x) =f" (x) zu, d .h . jed em Tripel (x, h , k) E n x jRn X jRn wird ein Vektor d 2 f (x)(h , k ) = (f" (x)h)k
a us
jRN
zug eordnet , und man tib erz eugt sich , daB d 2 f( x)(h , k) =
L
DiDjf(x)hikj
i ,j
gilt , wenn h = (hi , ' . . , h n ), k = (k l , .. . , k n) ist und D iDj J die zweite n pa rt iellen Ableitungen von f bezeichn en . A llgem ein ist die s-te Ableit ung f( s) := (f( S-I») ' von J als Abbildung d S f von n in den Vektorraum der jRN - wer t igen s-Mult ilin earform en a uf jRn zu deuten , d .h . (x , h, k, . . . , I) E ~
n x jRn
X jRn X .. .
~
x
jRn
,
wird ein Vektor
s - mal
d BJ( x) (h , k , ... , l) = (. .. ((J( s) (x )h) k ) ...
)1
zugeord ne t . Dies all es ist reichlich miihsam und zudem tib erfltissig , solange wir uns auf dem elementaren Niveau des vorliegenden Lehrbuchs bewegen . In der nichtlinearen Funktionala nalysis und in der An alysis a uf Mannigfalti gkeiten werde n derlei Beg r iffsbi ld unge n ab er unentbehrlic h.
B emerkung 3 . Gleichungen zwischen den partiellen Ableitungen einer oder me hrerer Funktionen von mehreren Variablen bezeichn et man a ls partie lle DiffeTentialgleichungen (im Unterschied zu den qeuiohnlichen Differentialgleichungen,
46
Kapitel 1. Differentialrechnung fur Funktionen mehrerer Variabler
wo nur Ab leitungen nach einer einzigen Variablen auftret en) . Partielle Different ialgleichungen spielen in der An alysis, Geom etrie und insbesondere in der Physik eine fun damentale Ro lle, wei! sich die meisten Naturgesetze der physikalischen Welt in die Form von partiellen Differentialgleichungen bringen lassen. Die Theorie dieser Gleic hungen kann wegen ihres grofen Umfangs nicht in einftihrenden Analysisvorlesungen behandelt werden . Wir miiss en uns in der Folge mit einigen wenigen Hinweisen begniigen. An dieser Stelle wollen wir den Leser mit einigen Beispielen bekannt mach en .
@] Die Lap lace gl ei chung fur eine Funktion
U
E C 2 (fl ), fl
~
ein durch
c
jRn ,
ist die
Gleichung (13) Fiihren wir de n sogenannten Laplaceoperator
(14)
~
:= D?
+ D~ + ... + D~
82
= '" 2 uX l
82
82
+ uX '" 2 + ... + ~ , uX 2
n
so schreibt sich (13) in der Form
(15)
~U
=
o.
Wir bemerken, daf ~u die Spur der Hesseschen Matrix D 2u = (U X j X k ) ist . Laplace (1787) ent d eckt e, daf fur n = 3 die Fun kt ion u (x ) := 1;1 eine Losung von (15) in
n
:= IR3 \ {O} ist. Allg em einer rechnet man nach, daf filr jeden Punkt Xo E IR3 di e Funktion u(x ) := l /r mit r := Ix - xo l eine Losung von (15) in IR3 \ {xo} ist .
Ma n prilft ohne weit er es , d af fur n = 2 di e Funktion u (x ) := log -
r:=
Ix -
x ol ,
u (x ) :=
r :=
Ix -
x ol ,
r
und fur n :::: 3 di e Funktion
n
di e Gl eichung (15) in IR \ {xo} last. Da di e Gravitationskraft ein er im Punkte Xo E IR3 angeb racht en Punktmasse die Gesta lt f (x) = - c x - Xo mit r = Ix - xol r3 hat , wob ei c eine geeign et e Konstante bezeichnet (Newton, Ph ilo sophia e naturalis principia mathemati ca , 1687) , und nach llil di e Gleichung . c f( x) = V'u (x ) m it u (x ) := -I - -I ' x i= Xo , x - Xo
gilt, so nennt m an (15) a uch die Potentialglei chung . Damit wird a nged eut et , daB das Potenti a l der von einem M assenpunkt a usg elibte n An ziehungskraft d er G leichung (15) gen ligt . Allgemeiner erfiillt das N ew ton sch e P ot ential u (x ) =
ein e " Mas senbelegung" d es Korpers chung (vgl. 5.3 und 5.4 ).
nc
I' I j1(z ) I d z
.In
z - x
IR3 m it der Dichte j1(z ) in IR3 \
n di e Potentialglei-
47
1.5 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung
D efinition 7. Eine Funktion u E C 2(O) heiflt genau dann (in OJ harmonisch, wenn .6.u = 0 in 0 gilt. Diese Bezeich nung scheint auf T homson (Lord Kelvin) und Tait zuruckzugehen.
[§J Die W ellengl eichung (16) fur eine vom Ort x E 0 C lR n und von der Zeit t ab hiingende Funktion u(x, t) tritt , wie d'Alembert (1747) bemerkt hat , bei Schwingungsphiinomenen auf. Bezeichnen f : lR -+ lR eine beliebige Funktion der Klasse C 2 und a einen Einheit svektor des lRn , so ist (17)
XElR n
u( x,t) :=f(a · x-ct) ,
,
eine Losung von (16) . Diese spezielle Losung wird als ebene Welle bezeichnet , die mit der Geschwindigkeit c in Richt ung von a la uft ,
rru
Bei der Wiirmeausbreitung spielt die W a r m el eitungsgleichung
(18)
Ut
-
.6.u
=
0
fur Funktionen u(x , t) eine Rolle. Sie ist erstmals von Charles Fourier einge hend studiert worden, der zu diesem Zwecke die heute nach ihm be nannte Theorie der Fourierreihen und Fourierintegrale schuf.
I1J
E ine komplexe Va riante d er W armeleitungsgl eichung ist di e Schrod ingergleich u ng der Quantenmechanik (1924) , der eine jede Wellenfunktion 'IjJ E C 2 (!1 x IR , C) eines quantenmechan ische n Systems gentigt. Sie la utet
ih 271"
(19)
-'ljJt =
lJ'IjJ
wob ei H den Ham iltonoperator des Systems bezeichn et , etwa H = - .0. + V (x) mit einem " P ot ential V( x)" , wob ei .0. d ur ch (14) gegeb en ist und d ie Wellenfunktion 'IjJ (x, t) vom Ort x und der Zeit t abhangt .
rnJ
Die E u lergle ic h u ng fur das Ges chwindigkeitsfeld v( x , t ) = ner perfekten Flilssigkeit (d .h . ohne inn er e Reibung) lautet (20)
Vt
+V
.
V'v =
(Vj (x , t) , V2(X , t) , V3( X , t)) ei-
1
f - - V'p . P
Hierbei ist p(x , t) de r Flti ssi gkeitsdru ck , p(x , t) die Dichte und f( x , t) d as Feld d er (Einheits)K ra fte, die a uf d ie Fl tissigkeit wirken. Zu (20) kommt no ch di e Kont inu itat sgleic h ung (21)
Pt
+
div (pv ) = 0
hin zu , d ie sich bei inkompressiblen Flti ssigk eit en a uf di e Gleichung (22)
div v = 0
48
Kapitel 1. Differenti alre chnun g fur Funktionen mehr erer Variabler
reduziert. In (20) ist der Vektor v · \1 v zu int erpretieren a ls (u - \1 )v, d .h . als
Diese Gl eichungen hat Eu ler in se iner Arbeit Pr in cipes qen erau» du mouvem ents des fluid es (Memo ires de I' Acad emie Ro yal e des Sciences Berlin, Bd . 11 (1755), 274- 315 (1757) a ufges tellt. Die Glei chung (20) beschreibt a ber ein e ziihe (v iskose) Flti ssigkeit nicht korrekt. Der franzosische Ing eni eur C .L .M .H . Nav ier erkannte 1822 , daB in (20) ein weiterer Term hinzuzufiigen ist , der die inn ere Re ibung der F ltissigkeit berticksichtigt . Damit geht (20) in die sogenannten Navier-Stokesschen G leichungen
(23)
Vt
+v
~
. \1 v -
p
t>v =
f - ~
\1p , (fL = Reibungskoeffi zient ) ,
p
tiber , di e G. G . Stokes 1845 in E ng la nd bekannt machte.
[ill Die Maxwellschen G leichungen d er E lekt ro dy na mik la ute n (24)
B =
fJ +
- ro t E ,
=
J
rot H .
Hierbei sind di e im allgemein en orts- und zeitabhiingig en Vektorfelder B, H , D, E , J (in dieser Reihenfolge ) die magnetis che lnduktion , di e magnetische Feldstdrke , di e dielektrisch e Ver sch iebung , di e elekt rische Feldsiiirke und d er spezijische elekt rische S trom . Zu d en Gleichungen (24) treten di e Zusatzb edingungen div B = 0 ,
(25)
div D = p ,
Die skal ar e GraBe p ist di e Ladu ngsdichte. Zu (24) und (25) kommen weit ere Beziehungen , d ie nur im Vakuum ex ak t gelten (mit E = EO, fL = fLO , o = 0) und in ander en Med ien meist nur a ls Niihe rungen benutzt werden , namlich
(26)
D
=
EE,
B
=
J
{t H ,
=
CfE .
Hier bezeichnen E, u , a elekt ro mag net ische Mat erialkonstanten , nam lich di e Dielektrizi tiitskonstante , di e Permeabilitiitskonstante und di e elektrisc he Leitfiihigkeit . Die Gleichung J = Cf E ist d as Ohmsche Gesetz in " d ifferent ieller " Form . Di e linea ren Beziehunge n (26) rntissen vielfach durch wesentlich komplizierter e " fun kt ionale Beziehungen " erset zt werden , so etwa bei den Ferrornagneti ca, wo B = fLH durch eine G leichung der Form B = B( H) zu erse tzen ist , wob ei B (H ) neben H auch noc h von anderen Crobon (Tem perat ur , Druck , Frequenz , ...) und tiberdies von der Vorg eschi chte a b ha ngt . Denken wir uns (in ruhenden Medi en) die GraBe n G leichungen (24) tib er in (27)
{til = - rot E,
E,
u, a a ls von t unabhangig , so geh en di e
d;; + CfE
=
rot H .
Dazu tret en die Zusatzbedingungen (28)
di v (fLH ) = 0 ,
di v (d;; + CfE) = 0 ,
wob ei ers t ere a us d iv B = 0 und let zt ere wegen div ro t H = 0 a us
El;; + Cf E
= rot H folgt .
Die Gleichung B = -rot E ist das Faraday s che lnduktionsgesetz , wahrend di e Gleichung J = rot H d as Amperesche Gesetz d er " Mag net ostat ik" ist . In Verbindung mi t d er Gleichung div B = 0, d ie a usd r tickt , daB es keine freien rnagnetischen Ladungen gibt , folgt div J = O. Ander erseits sollt e a uch die K ontinuitiitsgleichung
(29)
p + di v
J = 0
1. 5 P ar t ielle Ableit ungen hoherer Ord nun g
49
er fullt sein, d enn es ist ein G r undgeset z d er klas sisch en Physik , d a f Lad ungen nich t vernicht et od er neu gesc haffen wer de n kiin nen . Strom ist ab er LadungsfluB, und nach d em G a u Bsche n In t egra lsat z (vgl. Abschnitt 6.3) b ed eutet " E r ha lt ung d er Lad ung " gerad e di e G leichung (29 ). Also b ed eu t et d iv J = 0 gerade p = 0, und somit ist Magnetostati k blof eine Approxi mation , di e d a nn ungefahr g Uitig ist , wen n sich grofsere Ladungsm en gen b ewegen und wi r ei ne n a n nahernd stationaren F luf von Lad ungen haben . Verlan gen wi r a lso (29) a ls Folgerung a us Ladungserhaltung und " Bila nzm at hem at ik", so muf di e Arnperesc he G leichung rot H = J a bgeandert wer de n . Zu di ese m Zweck hat Maxwell zum Strom J d en sogena nn t en Versc hie bun gsst rom D h inz ugefUgt und di e Arnp eresche G leichung in D+J = rot H abgeandert . Dan n folgt in d er Tat (29) , denn es gi lt
o=
div rot H
=
div
D + di v J =
(d iv D )'
+ di v J = P+ div J
.
Di e G leichu ng di v B = 0 erl a ubt es uns , d ie Ind uk tion B m it H ilfe eines Vekto rp otentials A in d er Form
(30)
B = rot A
zu sc hre ibe n , jed en falls a uf einfach gestalt eten Ge b ieten (vg l. 6.4 , P roposi tionen 1- 3) . Im Vak uum gilt (3 1)
co nst ,
EO
const
und
(32)
1
c :=
,jE0f.10
=
Licht geschw indi gkeit .
A us der G leichung B = - rot E folgt d ann rot (E + A) = O. Also ist E + A (auf eine m einfach zusam menhangenden Gebiet ) G rad ien t einer Funkt ion - ¢ , und wi r er halten
A.
E = - 'V¢ -
(33)
Di e Losung d er Maxwellsche n G leic hung w ird a lso d ur ch ¢ un d A b esch rieb en , d .h. durch vier ska la re Funkt.ion en ¢ , AI , A 2, A3, wenn A j di e j-te Kom po ne nte von A b ezeichnet . Nu n wollen wir G leic hu nge n fu r ¢ und A a ufst ellen. D ie Maxwellsc he n G leic hu ngen lauten jet zt
B
(34)
- rotE,
c-
2
E + J.LoJ
= rot B ,
un d fern er haben wir
(35)
d iv E
d iv B
pI Eo ,
P + di v
0 ,
J
O.
H iera us folgt zu nac hst (36)
1
··
- 2" (A c
.
+ 'V¢ ) + J.L oJ
=
ro t ro t A .
Weit erhin gilt fur A E C 2 di e ld ent it at rot ro t A = - b. A (3 7)
1 . + J.LoJ
b. A - c 2 A
= grad
+ grad d iv
A . Som it folgt
( A1 + ¢.) . d iv
c2
Wi r denken uns d as Vek t or p otent ial A so gewahlt , d af d ie Eic hbedin gung
(38)
d iv A
+
1 .
2" ¢ = 0 c
er fiillt ist. Dann ist (37) und folglich a uc h (36) gleichbedeut end mit
(39) Au s d iv E = pI Eo und E = - 'V¢ -
(40)
1
- 2 A tt c
b.A = J.L oJ .
A folgt b.¢
+ d iv A
- pi EO ,
50
Kapitel 1. Differentialr echnung fur Funkt ionen mehrerer Vari abl er
un d um gekehrt erg ibt sic h hierau s wege n E = - 'il<jJ - A di e Gl eichung d iv E = pl eo, wah rend di v B = 0 aus B = rot A folgt . Fern er fuh rt (36) zusammen m it E = - 'il <jJ - A zuriick zu d en G leichungen (34). Sch lieBlich ist (40) wegen (38 ) aq uivalent zu 1
c2 <jJtt - ~ <jJ =
(41)
pi eo .
Bestimmen wir a lso Losungen A , <jJ von (42)
c- 2 ¢ tt - ~<jJ = pl eo ,
c- 2 A tt - ~A = J.1.oJ ,
d ie miteinander durch di e Eichbedingung (38) ver kn iip ft sin d , so liefern (E , B ) = (- 'il<jJ -A , rot A ) Losungen der Maxwellschen G leic hungen (34) & (35) . W ird nun d iv a uf die erste und c- 2 D t a uf die zwei te Gl eichu ng von (42) a ngewendet , so folgt
fU r
(43) d ie Bez iehu ng
c- 2 1IJ tt - ~ 1IJ = J.1.o . (p und wegen d er K ontinuit at sgleichung
p + d iv J
+ di v J ) ,
= 0 ergibt sic h
c- 2 1IJ tt - ~'lt = O .
(44)
Di e an A, ¢ zu stellende n Ne be nb ed ing ungen (Rand- und A nfangswertbeding unge n) fuh ren zu Ne benbe di ng ungen ftlr 1IJ , di e in gewissen F all en siche rn, d af die zuge horige n Losungen von (44) au tomatisch d ie gew iinschte G estalt von 1IJ liefern, Ub r igens b est eh t noch ei ne gew isse Freih eit in der Wahl von A und <jJ . Wi r verme rken zu nachst , d af wi r d as Vekt orpoten ti al A durch ein b eliebi ges G radi entenfeld 'il f einer skalaren Funktion abander n durfen ; d as P otenti al A * := A + 'il f erfu llt d a nn ebe nfa lls B = rot A * . W ird nun noch ¢ d urch ¢ * := <jJ - j ersetz t , so folgt E = - 'il¢ * - A*, d .h . (33) bl eib t er halten. Also zerstort die Eic htrans form ati on (A , ¢ )
f-+
(A* , ¢* ) = (A + 'il f, <jJ- j )
b ei b eli eb iger Wahl von f E nicht d ie gr un d legenden G leichunge n (30) und (33). W ir ko nn en a lso ebensogut m it A *, <jJ * w ie mit A, ¢ operie re n. Setzen w ir C2
1IJ * '-
di v A*
+ c- 2 ¢ *
,
so folgt 1IJ = 1IJ *
+ [c- 2 j -
~f) .
Urn 1IJ * = 0 zu erreich en , mii ssen w ir f a ls Losung d er G leichung c- 2 j - ~f = 1IJ b estimmen; d ann ko nnen wi r vo n vornher ein a n ne h men , d af d ie Eichb ed ing ung (38) er fullt ist . Wenn P und J beide Nu ll sin d, so ergebe n sich a us (39) und (41) di e b eiden Gl eichungen 1 1 - 2 A tt - ~A = 0 , - ¢ tt - ~ ¢ = O . c c2 Somi t erfii llen A] , A 2, A3 , <jJ d ie skalare Wellen gleich un g (16) . Von hier aus gela ngt m an zur Theor ie elekt ro m agnet ischer Schw ing ungen , d er en ph ysisch e Existenz Heinri ch Hertz (1888) a ls ers ter nac hgewiesen hat.
Fur weiter e Beispi ele par t ieller Differentialgleichungen und eine gute Einfuhrung in die Theor ie dieser Gleichungen verweisen wir auf L.C . Evan s, Partial differential equations , Americ an Mathematical Society, Gr aduate Studies in Math., Vol. 19, 1988.
51
1.5 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung A ufgaben.
1. E ine C 2-Los ung u von l:I.u = 0 in JR3 \ {O} ist genau dann ro t a t ionssymmetrisch b ezuglich d es P un kte s 0 (d .h. u (x ,y, z ) = 0
1) und b ezeichne k (x , t) d en
, x E JR
eine C 2- Losung von Ut = Uxx in JR x JR+ defini er t . Beweis? Man zeige ferner, daf3 sich u (x , t ) zu einer ste tigen Funkt ion a uf JR x [0, 00 ) fortsetzen laf3t der ar t , d af u( x , t ) -+ f (xo) x2 fur (x, t ) -+ (x o, 0) gi lt . (Hinweis: J~co e- dx = yI7r). 7. Sei u E C 2 (D) harmonisch und f E C 2 (1) mit I" :2: 0 und u (D) C I (= ver a llgemein ertes Int ervall in JR). D ann ist v := f 0 u s ub harmo n isch in D, d.h , es gilt l:I.v :2: O. (Gi lt statt dess en f " :s: 0 , so folgt l:I.v :s: 0, d .h . v ist s uperharmonisch.) Beweis ? 8. Die Funkt ion v = f 0 u in Aufgabe 7 erfiillt au ch dann l:I. v :2: 0, wenn nur l:I.u :2: 0 gilt und zude m f' :2: 0 und f " :2: 0 vora usgeset zt wird . Beweis? 9. Warum gilt ro t grad u = 0 fur jedes u E C 2 (D)?
10. Zu zeigen ist , d af jed es Vektorfeld v E C 2( D, JR3) auf D C JR3 der G leichung div rot v = 0 gen ugt . 11. Sei
f (x)) fur alle x mit 0
0) , wenn (~ , AO > 0 fu r aile ~ E lR n \ {O} gilt , und positiv semidefinit (i n Z ei chen: A ::::: 0) , wenn (~ , A~ ! ::::: 0 fu r aile ~ E lR n ist. W eiter heijJt A negativ definit (A < 0) bzw. negativ semidefinit (A :::; 0), we nn - A > 0 bzw. ::::: 0 is t. S chLiejJLich heijJt A indefinit, wenn (~ , A~! sowohL positive als au ch n egati ve W erte annimmt. Die st etige Funktion Q (0 := ( ~ , A~ ! , ~ E s-: l , nimmt auf s»:' ihr Infimum A an, d .h. es gibt einen Vektor e E sr:' , so daf Q (e ) = A := infsn -l Q ist . FUr beliebiges ~ E lR n \ {O} ist I ~ I - l ~ E sr:' , und somit gilt Q (J~ I - l~) ::::: A, also Q(~) ::::: A I~ 12
(4)
fur alle ~ E lR n
.
Wegen ).. = Q(e) erha lten wir A > 0, falls A > 0 ist, und A ::::: 0 fur A ::::: Gilt um gekehrt (4) mit einer positiven Konst anten A, so folgt lR n \ {O} . Damit erg ibt sich
Q(~)
o.
> 0 fur alle
~ E
Proposition 1. Ein e M at rix A E M (n, lR) is t gen au dann positiv definit, wenn es ein A > 0 gibt m it
(5) Es gilt also: (6)
A
>0
¢?
A - AE ::::: 0
f ur ein A
>0.
Hierbe i bedeutet E die Einheit sm at rix in M(n, lR). Wie in 3.2, [2J von Band 1 gezeigt, besitz t eine symmet rische Ma tr ix A E M (n , lR) eine Or thonor malbasis {el ' e2, . .. , en } des lRn als Eigenvektoren zu reellen Eigenwerten AI , A2, '" , An , also A ej = Aj ej , (ej , ek! = Ojk . Dah er lii£t sich jedes ~ E lR n mittels der "P rojekt ionen" Cj := (~, ej ! in der Form ~ = Cle l + ...+cne n schr eibe n, und wir erh alten (~ , A~ ! = Alci + .. .+ AnC; . Dies liefert
59
1. 7 Lokale Extrema
Proposition 2. Sind AI, . . . , An die Eigenw erte ein er symmetrischen Matrix A E M(n, lR), die entsprechend ihrer Vielfachheit aufgeziihlt und durch die Ungleichungen Al :::; A2 :::; . .. :::; An geordn et sind, so gilt:
A >0 A 0 , An < 0 , Al < 0 und An > 0 .
A ;:: 0 A :::; 0
{o} {o}
AI ;:: 0 , An :::; 0 ,
Filr n = 2 sind die beiden reellen Eigenwerte Al und A2 von A =
(~ ~)
die
Nullstellen des charakteristischen Polynoms
p(A) Da auch p(A)
:= det(A -
AE)
=
= (A - Ad(A - A2) fur
A2 - (a + C)A
+ (ac -
b2) .
alle A E lR gilt , ergibt sich
(7)
Wegen Proposition 2 folgt dann Proposition 3. Fur A
=
(~ ~)
gilt :
A >O
det A > 0 und a > 0 ,
A 0 und a < 0 ,
A ;:: 0 oder A :::; 0
det A ;:: 0 ,
A ist indefinit
detA
M(n , lR) ein e st etige matrixw ertig e Funktion aufD und gilt A(xo) > 0 (bzw. < 0) fur ein Xo E D, so gibt es eine Kugel B ,.(xo) cD, so daft A(x) > 0 (bzw. < 0) fu r aile x E B,.( xo) gilt . B eweis. Sei A(xo) > O. Dann gibt es ein A > 0, so daf (~, A(xo)~) ;:: A I~ 12 fur alle ~ E lR n erfullt ist. Hieraus folgt mit B := A(x) - A(xo), daf
ist . Da A stetig ist , gibt es ein r > 0, so daf B,.(xo)
IBI =
IA(x) - A(xo) 1 < A/2
gilt, wor au s (~, A(x)~ ) ;:: ~ 1 ~ 1 2 fur alle ~
E
c D und
fur alle x E B,.( xo) lRn folgt .
o
60
Kapitel 1. Differentialre chnung fur Funktionen mehrerer Variabler
Satz 1. Damit ein kritischer Punkt x oEfl einer Funktion f EC 2(fl) ein lokaler Minimierer (bzw. Maximierer) von fist , mujJ die Hessesche Matrix Hf = D2 f die Bedingung (8)
erjiillen. Beweis. Sei V'f( xo) = 0 fur Xo E fl, und es gebe eine Ku gel Br(xo) C fl mit f(x) 2': f( xo) fur aile x E Br(xo) . FUr x = Xo + h mit Ihl < r folgt dann nac h 1.6, Korollar 2, die Ungleichung
o
0 fur aile x E Br(xo) wobei r eine hinreichen d kleine positive Zahl bezeichnet . Dann erha lten wir aus (11) die Abschatzung
f(x) - f(xo) > 0 fur 0 < Ix - xo l < r . D
m Di e Funkt ion I (x , y) au f ]R2 mi t
f( x , y) := x 2 + y2 hat im Urspr ung ein isoli ertes loka les Minimum, denn es gilt \7 f (O, 0) = 0 und Hf =
(~ ~)
>
O.
1. 7 Lokale Extrema
61
Wegen f(x , y) > f( O, O) fur a Ile (x, y ) =I- (0, 0) ist der Urspru ng sogar d er ei nde utig b estimmt e a bsolute Mi nimierer vo n f, und a us "Vf (x , y ) = (2x ,2 y)
=I-
°
fiir (x , y ) =I- (0 , 0)
sc hlieBen wir, d aB d er Urspr ung d er einzige kr it isch e P unkt von f ist . Der G raph von fist d as nach ob en geoff ne t e P a raboloid
{ (x ,y, z ) E ]R3 : z = x 2 + y2} . 2 Di e Fu nkt ion g(x , y ) := _ x - y2 hat entsprec he nd d en Ursprung (0, 0) a ls isoli erten lokal en Maxi m ierer und sogar als eind eut ig b est immten globalen Maximiere r.
~ D ie durch
Hf =
[i« , y )
(~ _ ~ )
:=
X2_
y2 d efin ierte Fun kt ion I : ]R2
--->
]Rha t wege n "Vf (O , 0) = (0, 0) un d
d en Urs pru ng (0, 0) a ls isolierten kr it isch en P unkt , d er weder M ini mierer
noch Maximier er ist , d a H f ind efini t ist . Der zugehor ige Grap h ist eine typi sch e S atte lflache in der Nahe von (0, 0) , d enn l (x ,O) = x 2 hat ein M ini mu m in x = 0, und 1(0, y) = _y2 ha t ein Maxi m um in y = 0.
lID
A us der Semidefi nitheit von H f in einem kr it isch en P unkt von I kann man im a llge me ine n ni chts sc h lieBen. Um di es einz use hen , b etracht en w ir a uf ]R2 di e drei Funktionen I( x , y) := x 2 + u" , g(x , y ) := x 2, h ex , y ) := x 2 + y3, di e (0, 0) a ls kr it ischen Punkt haben und deren Hessesch e Matr ix in (0 ,0) gleich
(~ ~) ,
a lso p osit iv semidefinit ist. Man tiberzeugt sic h
leicht , d af (0, 0) filr I ei n isol ierter Mini mi er er und fu r 9 ein n ich t isol ier t er M inimiere r ist , wahrend fur h d er Urs p ru ng wed er ein lokal er Minimierer noc h ein lokal er Maximierer ist .
Definition 3. Ein kritischer Punkt Xo E f2 von j E C 2(f2 ) heiftt nichtdegeneriert, wenn det H f (xo) =I- 0 gilt, anderenjalls degeneriert . Fur n = 2 heiftt ein kritischer Punkt von j Sattelpunkt, wenn detHf( xo) < 0 ist. Sind ..\dx) , . . . , ..\n(x ) die ihrer Vielfachheit ents prechend a ufgefuhrte n Eigenwerte von Hf( x) , so gilt det Hf (x) = ..\1 (X)..\2(X) ", ..\n(x) , Also ist ein kritischer Punkt Xo von j gena u dann nichtdegeneriert, wenn alle Eigenwerte ..\j( xo) von H f( xo) ungleich Null sind . Satz 3. Ein nichtdegenerierter kritischer Punk t Xo von j E C 2(f2 ) ist isoliert, d.h. es gibt eine Kugel Br(xo) in f2 , so daft in Br(xo) kein uieiterer kritischer
Punkt von j liegt. Beweis. Sei \7 j( xo) = 0 und det H f( xo) =I- 0 fur Xo E f2 . Wir durfen annehmen, daB det H f( xo) > 0 ist . Sei nun Br(xo) eine Kugel in f2 und z E Br(xo) . Dann gilt \7 j( z) = \7 j( z) - \7 j(xo) = A (z ) . (z - xo) mit
1 1
A( z) :=
Hf(xo
+ t( z -
xo))dt .
Die Funktionen A( z) und detA(z) han gen stet ig von z abo Wegen A( xo) H f (xo) und det H f (xo) > 0 kon nen wir also r > 0 so klein wahl en , daf
detA( z) =I- 0 fur alle z E Br( xo) gilt . Hieraus folgt A( z) . h =I- 0 fur alle h E JRn \ {O} , wenn z E Br( zo) ist , und damit \7j( z) =I- 0, falls 0 < [z - zol < r , D
62
Kapitel 1. Differenti alre chnung fur Funktionen mehrer er Var iabler
:= 'IjJ (a · x) fiir x E lRn , wob ei a einen kon st a nt en Vekt or des lRn bezeichnet , so ist jede r kr it ische Punkt von I degenerier t , den n es gilt IX Xk(x) 1/ J ' 'IjJ (a . x) aj ak und d et (aj ak ) = d et (a ]a, . . . , an a) = O.
@] Ist 'IjJ E C 2 (lR), n 2': 2 und I(x)
lID
Die Funktion [t; » , y) := 2 y 2 - x(x- 1) 2 , (x, y ) E lR2 , ha t d ie kri t ischen Punkte P = (1/3, 0) und Q = (1, 0). Wegen Hf (x ,y) =
(
4 - 6x
~
0
)
ist P ein isolier t er lokal er Minimierer , wahrend Q ein nichtdegen eri er t er kri ti sch er Punkt ist , und zwa r ein Sat te lpunkt , denn
Satz 4. (Maximumprinzip fur harmonische Funktionen) . Sei G ein nichtleeres beschriinktes Gebiet in jRn und u E CO (G) n C 2 (G) in G harmonisch, d.h. 6 u = 0 in G . Dann folgt: (i) max c u = maXBC u, (ii) Isi u( x ) == ca nst auf BG, so gilt u == canst auf G und folglich \7u(x) == 0 in G . (iii) W enn es ein x E G mi t u( x ) = m := maxc u gibt, so folgt u( x) == ca nst aufG . Mit anderen Warten: Nic htkonstante harmonische Funktion en nehmen ihr Maxi mum nur auf dem Rand an. B ew eis. (i) Die Fu nk t ion v ex ) := Ixl 2 orfullt .6.v = 2n > O. Folglich gilt fiir w := u + EV mi t E > 0 die Ung leichung .6.w > 0 in G. W ar e nu n Xo E G ein Maxim ierer von w, so ga lte wegen Sa tz 1, daf H w (xo ) 0 und folglich
:s:
.6.w (xo ) = sp ur H w (xo )
:s: 0
ware, was der Ungleichung .6.w(x o ) > 0 wide rsprac he . Also nimmt di e st et ige Funkt ion w : ---> lR ihr Maxi mum a uf dem Rand der kompakt en Me nge Can, und wir er halten
C
w (x)
< maXaG w
:s: max aG u + ER 2
fur aile x E G ,
wenn G in der K ugel BR(O) ent ha lt en ist , a lso w(x)
0.
:s:
Mit E ---> + 0 folgt u (x ) maXaG u fur aile x E G . Hieraus ergibt sich maxc u = max aG u . (ii) Es gilt a uch .6. ( - u) = 0 , woraus nach (i) die Beziehung maxc (- u) = maxaG( - u) folgt , also - m incu = - m inaG u und somi t minc u = mi naG u . In Verbindung mit (i) ergi bt sich (12)
max c lui = maxaG lui ·
Wenden wir nun (12) auf d ie Fu nkt ion u - van, wobe i u , v E C O(C) n C 2(G) beid e in G harmon isch sind , also .6.u
=0
in G
und
.6.v
=0
in G
erfullen , so folgt (13)
max c lu - vi = maXaG [rz -
vi .
1. 7 Lokale Extrema
63
Spezie ll fiir v(x ) := m := m a xc u ergib t sic h
(14)
maxc lu - m l = m axa c lu - ml
und d a mit u (x) == m aufO, wen n u(x) == m a uf aG gilt . (iii) Sci ~ ein P u nkt a us G m it u (~ ) = m . Da nn ist A := { x E G : u (x ) = m} n ichtl eer . W a re u(x) 'I- m a uf G, so ga be es ein Y E G \A , ein Xo E A u nd ei n R > 0, so d af
BR(Y) \ { xo} C G \A
(15)
un d
aBR(Y) n A = { xo}
ga lte. Ohne E insc hrank ung durfen wir Y = 0 a nne h men. Wi r setzen r :=
v (x) :=
2 -n {
r 10g Ut/ r )
Ixl und
n 2: 3 , n = 2.
fur fur
R2 - n
D ann gi lt b.v = 0 in B~( O) := BR(O)\ {O} un d v(x ) == 0 a uf aBR(O). A uf BR(O) \ { xo} gilt u( x) < u( xo) = m und som it u(x) - u(xo) ::; 0 a u f aBR( O) sow ie u (x) - u (xo) < 0 a uf aB R / 2( 0). Wi r set zcn T := BR(O) \ B R / 2( 0) . Da u a uf d er kompak t en Men ge aB R / 2 (0) stetig ist , existier t ein E > 0, so d af u(x ) - u (xo) + EV (X) ::; 0 fur x E aT und b.[u - u (xo) + w I = 0 in T gilt . Wenden w ir nun (i) a uf di e Funktion w := u - u (xo ) + Ev a n, so ergi bt sich
u(x) - u (x o) + w(x) ::; 0
(16) Se i a :=
1::1
E s» :» und x = Xo - ta mi t 0
fur a ile x E T .
]R
erfullt, hat hiichsiens
64
Kapit el 1. Differentialrechnung fur Funktionen mehr erer Variabler
Das Maximumprinzip HiBt sich ohne Muh e in der folgend en Weise verschar fen: Satz 5 . Eine in eine m beschriinkten Gebiet G des JRn harmo nische und nicht konstante Funktion u E C 2 (G) besitzt in G weder eine n Maximierer noch einen Minimierer. B eweis . Ange nommen , es gab e eine n Punkt Xo E G , so d a f u (x ) :::; u (xo ) fur aile x E G galte, Dann wahl en wir eine " Ausschopfu ng" von G d ur ch Geb iete G I , G 2, G3, . . . mi t Gj C G und Xo E Gj C Gj+ 1 fur j E N sow ie G = U ~I G] . Setzen wi r Uj := u lc ' so gilt Uj E CO(Gj) n C 2 (Gj ) und Uj (x ) :::; Uj (xo) fur a ile x E G j . 1
Nach Satz 4, (iii) folgt Uj (x ) == const a uf Gj fiir jedes j E N, woraus sich u (x) == cons t in G ergi bt. Wenn wir - u statt u bet rachten , folgt in der gle ichen Weise, daf U kein en Minim iere r in G besit zt . D B emerkung 2. Es laBt sich soga r zeigen, daf eine in eine m Ge biet G C jRn ha rmonische Funktion U wed er einen lokalen Minimierer no ch einen lokal en Maximierer besit zt . Gabe es namlich et wa einen lokalen Maximier er Xo E G , so ware U auf einer hinreichend klein en Ku gel B r (xo ) in G konstant. Hier au s folgt a ber, d af U a uf ga nz G kons t ant ist , da , wie man beweisen kann , j ed e in G harmonische Funktion ree ll a nalyt isch ist.
AbschlieBend behand eln wir Schwingungen urn sta b ile Gleichgewichtslagen . Die Newtonsche Gleichung x = f( x ) fur die Bewegung eines Systems von N Massenpunkten im JR3 , die wir als einen P unkt x( t) im JRn mit n = 3N a uffassen , laBt sich fur ein konservativ es Kr aftfeld f = - \7V mit der potentiellen En ergie V in die Form
x = - grad V (x )
(19)
bringen (vgl. 1.5, [2] , (11)). Wir wollen annehmen, daf V (x ) in x = 0 ein isoliertes lokales Minimum hat , indem wir grad V (O ) = 0
und
Hj (O) > 0
vor au ssetz en. Dann ist jedenfalls die Ruhelage x( t ) == 0 eine Gleichgewichtslosung von (19). Wir wollen nun zeigen, daB dieses Gleichgewicht dynarnisch st a b il ist : B ei klein en Auslenkung en x( O) = Xo und kleinen Anfangsgeschwindigkeiten x(O) = Vo fiihrt das System klein e Schwingungen um die Ruhelage aus. Urn dies einz use he n, schr eib en wir V (x ) = V(O ) + ~(x, Ax) + R( x) mit A: = Hf(O) > O. Wei! nur " kleine" Auslenkungen x ins Au ge gefaBt werde n sollen , lassen wir das Rest glied R( x) weg. Ferner normieren wir die pot enti elle En ergie V durch di e Forder un g V(O) = o. Dann erhalte n wir fur V (x ) die positi v defin it e qu adra tische Form
1 V (x) = - (x , A x ) . 2
(20)
Die Mat rix A = (ajk) ha t dann n pos it ive E igenwerte AI , A2, . . . , An , und wir konnen eine or t hogo na le Matr ix C E O(n ) find en , so daf C T A C = d iag (AI , A2, ... , An ) = : A wird . Durch EinfUhr un g neuer kar t esisch er Koordi nat en z vermoge z = C T X erha lte n wir x = C z und 1
1
2
2
V (x ) = - (x, A x ) = - (C z , A C z)
1 1 - (z , C T A C z ) = - (z, A z) = : (z ) . 2 2
1. 7 Lokale Ex trema
65
Unter del' Annahme (20) geht das System (19) tiber in x = - A x. M ult ipliziere n wir von links mi t C T, so folgt CTx = _C T Ax = _ C T A CCTx , und dies bed eut et
z= -
(21)
Az
=-
grad iI> (z ) ,
was sic h in Ko ordinaten als
(22) schre ibt . Diese Gleichunge n ha be n di e Losungen
(23) Aus (23) und z(t) = (Zl (t ) , .. . , Zn( t)) (a ls Spalte zu schrei be n!) sow ie x( t) = C z(t) ergibt sich dann di e Bewegung in den ur sp r tinglichen x - Ko ord inaten , wobei d ie 2n Kon st an t en aj , (3j a us den Anfa ngs date n XQ , VQ zu besti mmen sind . Au s (23) ersehen wir, daB das Syst em eine Bewegung a usfil hrt, d ie sich a us Schwingunge n in den E igenricht unge n mit den Ei ge nfreque nzen Wj = J >'j zusa mmenset zt . Bet rachten wir fill' n = 2 d ie Bahnkur ven, d ie Lissajousschen Figuren: Wenn di e Fre q uenzen WI, W2 kommensu mbel sind , d .h . wenn WI , W2 tiber iQ linear a bha ng ig sind (a lso n l WI + n2W2 = 0 mi t nl , n 2 E Z \ {O} gil t ), so bilden d ie Traje ktorie n geschlosse ne Kurven , wah re nd fill' inkommensur abl e WI ,W2 di e zugeh orige Tr aj ekto rie im Rec hte ck Q: = { (ZI , Z2) E IR 2: IZI I ~ a I , IZ21 ~ a2 } d ichtli egt . (Vg l. beispielsweise V.l. Arno ld , M at hem atical m ethods of classi cal m ech an i cs , Springer, Ber lin 1974, S. 24-28) .
Aufgaben. 1. Was sind d ie lokalcn Maxi ma und Minima del' durch f (x , y ) := x 3 + y 3 - 3x - 12y (x , y ) E IR 2 , gege be ne n Funkt ion?
+ 20,
2. Warum ka nn d ie Hesseschc Matrix Hu (x ) einer in !J ha rm on ischen Fu nktion u in keinem kr itisch en Punkt XQ E !J defini t sein?
3. F ur N Punkte aI, a2, . . . , a N E IR n gibt es genau einen Mini miere r XQ del' Fun kt ion
Beweis? Was ist x o? Man vera llgeme ine re d ieses Resultat au f d ie Funktion
wobei
m j
positi ve reel Ie Kon st an t en bed euten .
4. Die durch f (x) := I: f = l Ix - a j l, x E IRn, defini erte Funktion (mit N verschiede ne n P unkte n al , . . . , a N E IRn ) hat stets einen Minimierer Xo ("op t im ale Te lefonze ntrale") . Ist er einde utig bes t immt ? 5. Sei A E M (n , IR) sym met r isch und f : IR n \ {O} --+ IR del' Rayleighquoti ent f( x) := ( ~:li ;) ' Was sind d ie kritischen Punkte xo von fund d ie zugeho rige n kri t isch en Werte f (xo) ? Was sind di e Maximi crer und die Min imi erer von f ?
6. Seien A E M(n , IR) , s e IRn und det A i= O. Dann hat d ie Funkti on f (x ) := IAx l2 - 2(Ax , b) genau einen Min imi er er XQ in IR n . Beweis? 7. Man klassifizier e die kri ti schen Punkte del' Funktion f(x , y ) := exp (x 2 + y 2) - 8x 2 - 4 y 4 . 8. Konn en sich die kritischcn P unk t e einer Funkt ion f E C 2 (!J ) a n einem strikten Min imier er von f hau fen ?
9. Man untersu che den kri t ischen Punkt (0, 0) del' Funkt ion f (x , y) := 2x 4 - 3x 2 y + y2 = (y - x 2 )(y - 2x 2 ) , di e a uf jeder Ger ad en du rch (0,0) cin lokales Minimum in (0, 0) hat.
66
8
Kapitel 1. Differentialrechnung fur Funktionen mehrerer Vari abl er
Konvexe Mengen und konvexe Funktionen
Konvexe Kurven (Ovale) finden sich schon bei Archimedes und Kepler, und a uch Cauchy, St einer und Carl Neumann haben konvex e geometrische Figuren unt ersucht . Den Begriff der konvexen Menge hab en Brunn (1887 und 1889) und Minkowski (1897, 1901-1909 ) eingefuhrt und a uf geomet rische und zahlent heoretische Probleme angewandt. Er gehort in der heutigen Mathematik zu den gr undlegenden Begriffsbildungen und ist uns bereit s in Abschni tt 1.5 begegn et. GleichermaBen nutzlich ist der Begriff der kon vexen Funktion, der mit dem Begriff der konvexen Menge eng verbunden ist . Die wesentli chen Eigenschaft en konvexer Funktionen wurden von Minkowski und Jensen zu Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts beschrieben . Nicht differenzierbar e konvexe Funkt ionen finden sich erst mals in dem Lehrb uch der Analysis von O. Stolz (1893) . Aus der Konvexit at spez ieller Funktionen erschlieBen wir wichtige Ungleichungen wie etwa die Ungleichungen von Young, Holder und Minkowski, die unentbehrliche Hilfsmittel geworden sind . Dan ach beweisen wir die Jensens che Ungleichung
f
(i
.. ~ I} zu K gehOrt. Wi r bem erken , d a f [x , y ] = [y , x ] ist un d d af fur n = 1 sowie x < y di e St rec ke [x, yJ gerade d as Int erval! {z E IR : x ::; Z ::; y} liefert. W ah lt ma n d ie Paramet r isier ung z = x + t (y - x) = (1 - t )x + t y , 0 ::; t ::; 1, fur d ie Punkte von [x, y], so ist z = x fur t = 0 und z = y fur t = 1, di e P un kte von [x, yJ werden a lso mo noton von x nac h y durchlaufen , wen n t von 0 nach 1 wandert .
[II J ed e affine Hypereb en e E in mit a E IR n , c E IR un d a
i= 0
jRn ist konvex . Ist namlich E durch di e Gleichung (a, x) = c be sch rieb en , so folgt aus x E E und y E E , d a f
(a, AX + (1 - A)Y) = A(a, x ) + (1 - A)(a, y ) = AC + (1 - ..\)c = c gilt , d .h. AX + (1 - A)Y E E . Hierbei haben wir n icht einmal benu t zt , d af 0 ::; ..\ ::; 1 ist , Ganz a hnlich ergibt s ich: Jeder affi ne Unterraum von jRn ist konvex. ~ Jeder Halbraum H := {x E jRn: (a, x) ~ c} ist konvex , d enn a us (a, x) ~ c un d (a, y) ~ c
folgt fiir 0 ::; A < 1 di e Be ziehung
(a, ..\x+ ( I- A)y) = A(a, x ) + (l -A )(a,y)
~
"\c + (l -A)c = c .
67
1.8 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen
1m
Die Sc hnittmenge beliebig me ier konuexer Meng en is t konvex . Die Schnittmen ge end lich viele r Halbra um e heilit. kon vexes Pohj eder (od er Poly top ).
@] Jede Kug el Br(x o) ist konvex , denn a us Ix - xol < r
Iy - xol < r
und
folgt Iiir 0 :::; A :::; 1
lAX + (1 - A)Y - xol = IA(X - x o) + (1 - A)(Y - xo)1 :::; Alx - xol + (1 - A)ly - xol < A1' + (1 - A)1' = r . A.hnlich zeigt man : Ist f : IR n B := {x
E IR n :
fur beliebige Xo E IR n und r
-+
IR konvex (vgl. Definition 5), so sind die Men gen
f (x - xo )
>0
< 1'}
K := {x E IR n : f( x - xo) :::; 1'}
und
konvex .
D efinition 2. Sind X l, X2, ... ,Xk E JRn und bezeichnen AI , .. . , Ak reelle Zahlen mit Al + A2 + ...+ Ak = 1 und Aj :::: 0 fur 1 :::; j :::; k , so nennt man (1)
eine konve x e K ombination der Punkte
Xl,
X2, ' " , Xk .
Satz 1. Eine Menge K des JRn ist genau dann konvex, wenn jede konvexe K ombination von Punkten aus K wiederum in K liegt. Beweis. (i) Die Bedingung ist offenbar hinreichend , den n man braucht in (1) nur den Fall k = 2 zu beachten. (ii) Wir zeigen durch Induktion, daf die Bedingung auc h notwendig fur die Ko nvexitat von Kist . FUr k = 1 ist nichts zu beweisen, womit der Indukt ionsan fang gesichert ist . Wir wollen nun annehmen , daf die konvexe Ko mb ination von k Punkten a us K wiederum in K liegt . Zu zeigen ist , daf das gleiche fur Kombinationen
von k + 1 Punkten X l, . . . ,Xk+l au s K gilt . Dies ist klar , wenn Ak+I = 1 ist. Wir konnen also Ak+l < 1 annehmen, woraus A := Al + ...+ Ak > 0 folgt . Setzen wir /1j := Aj / A fur 1 :::; j :::; k, so ergibt sich aus der Induktionsvoraussetz ung, daf
in K liegt, denn es gilt /1j :::: 0 und /11 Ay
+ (1 -
da K konvex ist , und dies bedeutet
X
+ ... + /1k
= 1. Dan n folgt
A)Xk+l E K , E K.
D
68
Kap itel 1. Differentialrech nun g fur Funktionen mehrerer Variabler
Definition 3. Sei k E {I , . . . , n} . Die Menge der konvexen Kombinat ionen von k + I Punkt en Xo, Xl , . .. , Xk des IR n , I :s; k :s; n , wird als k-Simplex mit den Endpunkten Xo, X l , . .. , Xk bezeichnet, falls die Vektoren X l - x o, . .. ,Xk - Xo linear unabMng ig sind.
Xo Xo
2-Simplex = Dreieck
I -Simplex = Strecke
3-Simplex = Tetraeder
Xl
Definition 4. Sei K eine abgeschlossene konvexe Menge des IR n mit K -:/=-0,K-:/=-IR n , Dann nennt man einen Halbmum H := {x E IR n : (a, x) 2: c}, a -:/=- 0, einen Stiitzhalbraum von K , wenn K c H ist und die Hyperebene
E
= fJH = {x
IR n
E
:
(a,x)
= c}
mindestens einen Punkt von K enthiilt; E heifJt Stiitzhyperebene von K . Sei ltK die Menge aller Stutzhalbraume von K
(2)
K c
n
( -:/=-
0, IR n ) . Dann gilt offenb ar
H = :K* .
H EHK
Satz 2. Fur jede abgeschlossene konvexe Menge K
(3)
K =
n
-:/=-
0, IRn gilt
H.
H EHK
Beweis. C ab e es einen Punkt ~ E K * \ K, so bestimmen wir einen Punkt Xo E K mit I ~ - xo l = d(~ , K ). Dies bedeutet (4) Sei H o := {x E IR n
fiir alle x EK .
1 ~ - xo l :S;I ~ - x [ :
(xo -
~,
X - x o) 2: O} . Wegen
(xo - ~, ~ - xo)
=
- I~
-
xol2 < 0
folgt ~ tf- Hi; And ererseit s zeigen wir K C H«. Wegen Xo E Hi, war e dann Hi, Stiitzhalbraum von K und daher ~ E K * c Ho, Wid erspruch.
69
1.8 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen
Urn K C Hi, zu zeigen, betrachten wir einen belieb igen Punkt x von K . Dann folgt tx + (1 - t) xo E K fur aIle t E [0, 1], und wegen (4) folgt fur aIle t E [0, 1], d af I ~ - x ol2 :::; I (~ - x o) - t (x - x oW gilt , also I~
-
xol2
:::;
I~
- xol2 -
2t (~ - Xo , x - xo) + t 2 1x -
xol 2
.
Hieraus folgt (xo - ~ , x - xo) + ~ Ix - xol 2 ?: a fur aIle t E [0, 1]. Mit t - 7 +0 ergibt sich (x o - ~ , x - x o) ?: a fur aIle x E K , womit K c Ho gezeigt ist ,
o
Definition 5. Eine auf einer konvexen Menge K des f : K - 7 jK heijJt konvex, wenn
f(A X + f-LY) :::; Af(x)
(5)
jKn
definierte Funktion
+ f-Lf (y)
fur beliebige A, f-L E [0, 1] mit A+ /L = 1 und fur aile x , Y E K gilt. Wir nenn en f strikt konvex, wenn sogar f(A X + f-LY) < Af(x)
(6)
fur x =I- Y und
a < A, f-L < 1 , A + f-L = 1 , x , Y E
+ f-Lf(y) K erfiillt ist.
! f(x) I I I I I
I I I
I I
I I I
I I I
I
Y
Z =AX+ (I -A )y
•
x
Definition 6. Die Menge (7)
Epi (1) := {(x ,z ) E
heijJt Epigraph der Funktion f : K
jKn x jK: -7
X E K , z?: f( x)}
lK.
Das folgende Resultat ist evident . Proposition 1. Eine auf einer konvexen Menge K C jKn definierte Funktion f : K - 7 jK ist genau dann konvex, wenn ihr Epigraph konvex ist.
[ill Jede Norm N : jKn
- 7 jK des jKn ist konvex , ab er keine Norm ist st rikt konvex, denn auf den Strahlen {t x : t ?: a} ist jede Norm linear.
70
Kapitel 1. Differentialrechnung fur Funktionen mehr erer Variabler
D efi nitio n 7. Man nennt f ko n kav bzw. str ikt konkav , wenn statt (5) bzw. (6) die Ungleichung
+ MY)
:::: Af(x)
+ Mf(y)
f(A X + MY) > Af(x)
+ Mf(Y)
f(AX bzw.
gilt. Mit anderen Wort en: Die Funktion fist konkav bzw. strikt konkav, wenn - f konvex bzw. strikt konvex ist. Sa t z 3. Sei 0 eine offene konvexe Menge des JRn . Dann gilt:
(i) Ein e Funktion f ECI (0) ist genau dann konvex, wenn die Ungleichung f(x
(8)
+ h)
:::: f( x)
+ (\7f( x) , h )
fur alle x und x + h E 0 erjiiil; ist. (ii) f E C 1(0) ist genau dann strikt konvex, wenn (9)
f( x
fur aile x, x + h
+ h) > f( x) + (\7f( x), h )
« 0 mit h =I- 0 gilt.
B eweis. (a) Seien f konvex, t E (0,1) und x ,x + und f( x
+ th)
::; (1 - t)f( x)
ne
O. Dann gilt x
+ tf(x + h)
+ th
E 0
,
somit
f( x
+ th)
- f(x) ::; t If (x
+ h) -
f(x) ] ,
und daher auch
t1 If (x + th) -
f( x) ] - (\7 f( x) , h) ::; f( x
Die linke Seite strebt mit t
-+
0 ::; f( x
+ h) -
f( x) - (\7 f( x) , h ) .
+ 0 gegen Null, und wir er ha lten
+ h) -
f( x) - (\7 f( x) , h ) .
(b) Umgekehrt nehmen wir jctzt an, daf (8) gilt. Fur beliebige x, y EO mit x =I- Y set zen wir z := tx + (1 - t)y mit t E (0,1) llnd h := x - z . Dann folgt
z
E 0 und
l
I
Y = - - (z - tx) = - - (z - tz - tx 1 -t 1 -t
t = z - -- h , x = z
+ tz)
1 -t
+h
.
71
1.8 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen Aus (8) erg ibt sich
t f(y) :::: f( z) - 1 _ t (\1 f( z) , h) , f (x) :::: f( z)
+
(\1 f(z), h) .
Multiplizieren wir die erste Ungleichung mit 1 - t , die zweite mit t und addieren die resu ltierend en Ungleichungen, so folgt
tf(x)
+ (1 - t)f(y) :::: f( z)
fiir 0 < t < 1 ,
und damit ist f konvex . (c) Gilt statt (8) die st arkere Ungleichun g (9) , so folgt wegen
h = x - z = (1 - t)( x - y) =I- 0 die Ungleichung
tf( x)
+ (1 -
t)f(y) > f(z)
fur t E (0,1) und x =I- y ,
und somit ist f st rikt konvex. (d) Sei jetzt f als st rikt konvex vorausgesetzt. Wir wahlen t E (0, 1) und x , x mit h =I- O. Nach (a) wissen wir bereits, daf
f( x
(10)
+ th) - f( x) ::::
+ hE 0.
(\1 f( x) ,th )
ist . Die strikte Konvexitat liefert
f(x
+ th)
=
f(t( x
+ h) + (1 - t)x) < tf( x + h) + (1 - t)f(x) ,
also
f( x
(11)
+ th) - f(x) < t [j (x + h) - f( x)] .
Aus (10) und (11) folgt nun f(x
+ h) - f( x) >
Satz 4 . Sei n eine offene konvexe Menge des
(\1 f( x) , h).
jRn ,
Dann gilt:
o
f E C 2 (0. ) und Hf = D 2 f.
(i) fist konvex (konkav) {=} Hf( x) :::: 0 (:=; 0) auf 0. . (ii) Wenn Hf( x) > 0 « 0) ist, so ist f strikt konvex (strikt konkav).
Beweis. Fur x, x + h E 0. liegt [x , x + h] in f(x
n. Dann liefert die Taylorsche Formel 1
+ h) = f( x) + (\1 f( x) , h) + 2 (h, Hf( x + 7Jh)h )
mit einem 7J E (0,1) . Aus Hf( z) :::: 0 bzw. > 0 fur aile z E 0. folgen fur h =I- 0 die Re lationen (8) bzw. (9). Wegen Satz 3 ist f konvex bzw. strikt konvex. Ist umg ekehrt f konvex, so ergibt sich (8) und damit (12)
72
Kapitel 1. Differenti alrechnung fur Funktionen mehrerer Variabler
fur Ihl « 1 und ein 0 E (0,1) . W ahlen wir h = ta mit a E sn-l und 0 < t « 1 und multiplizieren wir (12) mit t:" , so folgt (a, Hf( x + tOa)a ) ~ o. Mit t ----* + 0 bekommen wir (a , Hf( x)a ) ~ 0 fur aIle a E s-:' , und dies liefert Hf(x) ~ 0 fur jedes x E Sl. D Bemerkung 1. Die Bedingung " H f (x ) > 0 auf Sl" ist nicht notwendig fur die st rikt e Konvexitat von I , wie das Beispiel f : JR ----* JR mit f( x) = x 4 zeigt .
Satz 5. S ei I ein Intervall in JR und f ECI (I) . Dann gilt: (i) fi st genau dann konvex, wenn f' schwach monoton wiichst. l' monoton wiichst.
(ii) fist genau dann strikt konvex, wenn
Beweis . Aus Satz 3 folgt fur x , y E int I mit y
und
f( x) - f(y) ~ f'(y)( x - y)
< x, daf
f(y) - f( x) ~ f'( x)(y - x )
und damit 1'(y)(x - y) ::; f'( x)( x - y) gilt , falls f konvex ist . Dann ergibt sich f'(y) ::; f'( x) fur x,y E int I mit y
<x .
Ein Stetigkeitsar gument zeigt , daf man au ch x, y E I wahlen kann . A.hnlich erhalten wir f'(y) < f'(x) fur y < x mit x -I y, falls f st rikt konvex ist. 1st f' schwach monoton wach send auf I , so folgt mit einem 0 E (0,1), daf f( x
gilt. 1st
l'
+ h)
- f(x)
= f'( x + Oh)h
monoton wachsend und h f( x
+ h)
- f( x)
=
~ f'( x)h
-I 0, so folgt f'( x
+ Oh)h > f'(x)h
.
D Aus Satz 5 ergibt sich sofort
Satz 6. S ei I ein Intervall und f E C 2 (I ). Dann gilt : Die Funktion fist genau dann konvex, wenn j"(x) ~ 0 auf list, und fist strikt konvex, falls j"(x) auf I ist mit A usnahme von hiichsiens en dlich vielen Punkten in I .
>0
ffi] Die Fun kt ion f (x ) := eX , x E JR , ist st rikt konvex wegen f" (x ) > O.
[TI Die Funktion f (x ) := xC< , x > 0 , ist strikt konvex fur und str ikt konvex fiir Q < 0, denn wegen f " (x ) = Q < 0 sowie f" (x ) < 0 fur 0 < Q < 1.
Q (Q -
Q
>
1, st rikt konkav fur 0
1)x c< -2 gilt f "(x) > 0 fiir
Q
0, ist strikt konkav, denn
!,, (x ) = _ x- 2 < O .
>0
F ur x , y
mit x
i=
y und 0
< A
Alog x + (1 -
A) log Y = log (x.\yl -.\) .
Hier a us erhalten wir durch " Exponenzieren" d ie Ungleichu ng x .\y l - .\ < AX + (1 - A)Y
(13)
fiir 0 < A < 1 und x , y
>0,
x
i= y
.
Dann erg ibt sich
(14) Mit a - x.\ -
,
b - yl - .\ -
(15)
1m
1 - )., - ~ -
q '
< ~ a P + ~ bq
ab
fur a, b 2: 0 und p , q
\ - ~
, /I- p '
-
>
p
P
+ -1 q
-
p- l
(Yo u n g sche Ung leichu ng)
q
1 1 mi t -
q - _ P- folgt
= 1.
H Old ers che Ungl eichung. Fur beliebige I, g
t
(16)
U:
f( x)g(x)dx :5
1 wenn p , q > 1 und -
P
mi t
A :=
(
.Ie,
' j3
+ -1 = 1 ist. q
If (x )IPdx
+E
If (X)jPdX) ' /p
E
R( [a, ,6)] gilt
U:
19(X) I'dx) 1/,
Zum Beweis setzen wir in (15) a := f'
.
Dies liefer t
l ex) - j (xo ) ::; >' [JI - f(xo) ] , f (xo ) - f (x ) ::; >' [JI - j(xo) ] un d som it
Ij(x) - j(xo) 1::; >' [JI - f(x o)] . Wegen x
= Xo + >'h
und
Ihl = r , Ix - xo l = p folgt >. = plr und da mit Ij(x ) - j (xo )1::;
(22) fiir alle x E Br(xo) mit x
oF xo . Folglich
JI - f(x o) r
Ix - xo l
ist j in Xo und damit a uch in
n stet ig.
(ii) Sci K cine kompakte Menge in n; dann ist d := dist (K , an) > 0 (wobe i dist ( K, an) = 00 gese tzt ist , falls n = lII. n ist ). Wir wahl en r E (0, dl -Jii ). Dann ist K' := {x E lII. n : dist (x, K ) ::; r-Jii } eine a bgeschlossene und beschrankt e, somi t kompak t e Menge des lII. n dera rt, daf K C K ' C n gilt . F Ur M := s UPK ' j , m := inf K' j gilt - 00 < m ::; M < 00, da j a uf K' st etig ist . Sei nun y ein belieb iger P unkt a us K. Dann gilt W r (y ) C K' , und wegen (22) folgt fur jed es x E Br( y) di e Absc ha tz ung
M- m
If( x ) - f( y) l ::; - - Ix - y l · r
FUr x, y E K ' mi t
Ix - yl > r gilt m ::; f (x ), f ey) ::; M und dah er M- m
Ij (x ) - f(y) l ::; M - m::; - - Ix - y l· r
Als o erfii llt j fur x, y E K di e Lipsch it zb edin gung
(23)
Ij (x ) - j (y )1::; L lx -
yl
mit L := (M - m )r- l .
D
Bemerkung 2. Eine konvexe Funktion f : K --+ lR auf einer nichtoffenen konvexen Menge K kann unstetig sein, wie das Beispiel f : [0, (0) --+ lR mit f(O) := 1 , f (x ) := x fur x > 0 zeigt.
Aufgaben. 1. Sei K ein konvexer Kerper des lII. n (d .h. ein konvexes Kompaktum mit nicht leerem Inneren ).
Dann nimmt eine nicht konstante, konvexe Fu nkt ion j : K von K a n . Beweis?
--->
lII. ihr Supr emum a uf dem Rand
2. Ma n zeige, daf d ie Me nge K der konvexe n Kombination en von N vorgegeb en en Punkt en Xl , .. . , XN E lII. n die " kleinste" konvexe Men ge in lII. n ist , welche d iese Punkt e ent halt . Man nen nt K di e konvexe Htille von Xl, ... , XN.
3. Ist f (x) := a · x + b eine affine Funkt ion m it a oF 0, so nimm t sie ihr Maxi mum max r- j a uf der kon vexen Hiille von Punkt en z i , . .. , x N E lII. n in mindes ten s einem der Eckpunkte Xv von K a n. Beweis?
1.9 Inver tierb are Abbildungen
77
4. Man zeige , d aB ei ne Funk t ion I : jRn -. jR a ffin (d. h. von der Form I (x) = a . x wen n sie sowo h l kon vex a ls a uch konkav ist .
+ b) ist ,
5. Man beweise: Wenn I : jRn -. jR strikt kon vex und koer ziv ist (d. h. lim lx l_ oo I(x ) = 00) , so besit zt I genau eine n loka len M inimierer xo , und es gi lt I( x o) = m in p» I . 6. Man ze ige, d af I (x ) := d ist (x, K ) a uf jRn kon vex ist, fall s K eine nichtl eer e konvexe Teilm en ge des jRn ist . 7. Man beweise, d a B mit /I , h , . .. ,1i a uch d ie durch I (x ) := max { /I (x ), h(x) , . .. , ft (x )} delin ier t e Funktion I konvex ist , d ie mit /I V 12 V . .. V ft bezeichnet wird . Wi e kann man di eses Ergeb nis ver all gem ein ern? 8 . 1st I : n -. jR konvex a uf d er offenen kon vexen Menge { x E n : I (x) < c} offen und kon vex . Beweis?
n, so
sind a uch di e Menge n
nc
:=
9. Man beweise d ie Ungleichung
fiir beliebi ge P j E (1, 00) m it
2::;=1 t
= 1 und beliebi ge integr ierbare Funktione n
/I ,. .. , Ii
a uf [a, b].
9
Invertierbare Abbildungen
Das Hauptziel dieses Abschnitts ist der Beweis des Umkehrsatzes. Dieses fundamentale Theorem besagt, daB eine C1-Abbildung 1 : n --+ jRn einer offenen Menge n des jRn in jedem Punkt Xo E n, wo die Jacobideterminante Jf(xo) nicht ver schwindet , einen lokalen Diffeomorphismu s liefert. Hieraus folgt , daB eine injektive C1-Abbildung 1 : n --+ jRn mit nirgend s ver schwindend er Jacobideter min ante die Menge n diffeomorph auf ihr e Bildmenge n* := l(n) abbildet . Dieser Satz und der ih m gleichwer t ige Sa tz tiber im plizi te Funktion en (vg l. Kapitel 4) gehoren zu d en wic ht igsten Hilfsmi t teln der Analys is, ob woh l sich ihre Bed eu tung dem Anfa nge r nicht au f d en ersten Blick ersch lieBt. Die a lten Mathemat iker ha tton n icht gezweifelt , d aB man eine G leichung I (x ) = y " in der Regel" nach x a uflose n kan n, und tiberd ies hat.t en sie sich I nicht a ls eine a bst rakt e Abbildung, sondern a ls d ur ch einen " a na lyt ischen Au sdruck " gegeb en e Vorschrift gedacht, fur d ie man di e Au flosbarkeit d er Gleichung I (x) = y nach x unm it t elbar nachpriifen kann . Erst m it d em A ufko mmen d es a bstrakten Funkt ion sbegr iffes, wie ih n Cauchy und Diri chl et in voller Klarheit formulier t haben, und mi t d er Schopfung der Me ngenlehre durch Cant or wur de deu tli ch , d aB klar e a llgemei ne Bedi ng u nge n zu formulier en sind, welche d ie Au flosb arkeit nichtl in ear er G leichu ngen I (x ) = yoder , a llge me ine r , von G leichungen der Form [i » , y) = 0 sichern . J acob i (1841) , d er d ie Sa chlage durchsch aute, gab d en Mathematikern m it der Punktio naldeterm inan te d as ric ht ige Hil fsm it t el in d ie Hand , doch p razise Formulierungen d es Umk ehr sat zes (bzw. de s Satzes ub er implizit e Funktionen) m it vollstand igen Beweisen linden sich erst in d en Leh rblichern von Din i (1878), P ean o (1893) , J ordan (1893-96) , und St olz (1893-99). Der in d iesem A bschnitt a ngegebe ne Beweis lehnt sic h a n d en Beweis von Carat heo d ory ( Vari ati onsrec hnung und partielle Differen tialgleichungen erster Ordn un g , Teubner , Leip zig 1935) a n ; die Beweisidee stam mt von G . Kowalewsk i (D eterm inantentheorie 1909, §126). Urn ihn durchsicht ig zu gestalten , ist es nlit zlich , d ie Begri ffe reguUire Abbildung u nd offen e Abbildung zu formuli er en und zu zeigen, d a f regulate A bbildunge n offen si nd, was m it Hilfe eines Mi n im u mverfa hr ens geschieht (P ro position 2).
78
Kapitel 1. Differentialr echnung fur Funktionen mehrerer Variabl er
Satz 1. (Umkehrsatz). Sei n eine offene Menge des lR n und f : n Abbilduru; der Klasse C 1 . Dann gilt:
-+
lR n eine
(i) Zu j edem Punki Xo E n, in dem Jj (xo) = det D f( xo) =I- 0 gilt, gibt es eine ojJene Umgebung U von Xo mit U c n, so dajJ U* := f( U) ojJen ist und f lu einen C 1-D iffeomorphismu s von U auf U* liefert. (ii) Wenn f die Menge n bij ektiv auf n* := f(n ) abbildet und Jj( x) =I- 0 ist f11r alle x E n, so ist n* ojJen, und f bildet einen C 1-DijJeomorphismus von n aufn*. Im Fall (i) besitzt also f .Lokol" eine differenzierb ar e Umkehrabbildung, wahrend im Fall (ii) die Abbildung f " global" eine C 1-Umkehrabbildung hat. Urn die wicht igst en Ideen des Beweises von Satz 1 herauszuheben, fuhren wir zwei neue Begriffe ein. Uberdies sei fur das folgend e vereinb ar t , daf n ste ts eine offene nichtleere Menge des lR n bezeichnet .
t:'
Definition 1. Eine Abbildung f E C 1 (n , lR n ) heijJt regular, wenn (1)
Jj( X) =I- 0
fur alle x E
n
gilt. Man nennt f regular im Punkte Xo E n , falls Jj( xo ) =I- 0 isi, und f heijJt regular a uf M fur M en , wenn Jj (x ) =I- 0 fu r alle x E M gilt. Definition 2. Eine Abbildung f : n -+ lR n heijJt offen, wenn das Bild f(n') jeder ojJenen Teilmenge n' von n wiederum ojJen ist. Offene Abbildungen konnen wir - was kunftig nlit zlich sein wird etwas anderer Weise cha rakterisiere n.
auch in
Lemma 1. Eine Abbildung f : n -+ lR n ist genau dann ojJen, wenn es zu jedem Xo E n eine Kugel B8(XO) e n , 0 > 0, gibt, so dajJ folgendes gilt: Zu j edem r E (0,0 ) existiert ein p > 0, so dajJ
(2)
B eweis. (i) Die Bedingung ist notwend ig, was sich sofort aus Definition 2 ergibt , wenn wir zu Xo E n die Zahl 0 > 0 nicht grofier als dist (xo , an) wahl en . (li) Urn zu zeigen, daf die Bedingung auch hinreicht , wahlen wir irgendein e nichtleere offene Teilmenge n' von n sowie einen beliebigen Punkt Yo E f(n') . Dann existi ert ein Xo E n' mit f( xo) = Yo , und wir konnen ein r E (0,0) mit B r(xo) C n' finden . Da es ein p > 0 mit der Eigenschaft (2) gibt, so folgt B p(Yo) C f(n ') , wornit die Offenh eit von f (n ') gezeigt ist.
o
79
1.9 Invertierbare Abbildungen
Lemma 2. Sind .p : M
----7
jRn
und 7j; : M
----7
Abbildungen von M c
jRn ,
die
'Y lx - x'i
l gilt fur f :=
0, so
fur alle x ,x' E M ,
Daher liefert f eine bijektive Abbildung von M au] M * := f(M) , und die In verse ist Lipschitzstetig.
9 :=
r:'
Beweis. Mit x , x' E M folgt If (x ) - f(x') 1 > l 0, wobei f2 eine offene konv exe Menge des JRn bezeichn et, so gilt
(8)
f*(~)
= max
{~ .
x - f(x) : x E f2}
fur alle
~ E
f2*
= f x(f2) .
Bew eis. Wir fixieren ~ E f2* und bilden g E C 2 (f2 ) als g(x) :=
~ .
x - f( x)
, x E f2 .
Wege n gxx(x) = - f xx(x) < 0 ist g strikt konkav , und die Ab leitung gx(x) verschwind et genau dann, wenn ~ = f x(X) ist , was wegen [2] fur gen au ein x E f2 der Fall ist . Fur x + h E f2 mit h i= 0 folgt nach Taylor
g(x Damit gilt
g(z)
+ h) = g(x)
1
- "2 (h, f xx(x
< g(x) = f*(~)
+ Bh)h) , 0 < B < 1 .
i= x .
fur aile z E f2 mit z
D
Aus Proposition 2 folgt sofort Korollar 2 . Unter der Voraussetzung von Proposition 2 gilt
(9)
min~ En* f* (~) = min~ En*
maxxEn {~ . x -
f (x)}
und, falls f2* konvex ist , auch (10)
Dieses Re su lt at liiBt sich sofort auf das Beisp iel vorausgesetzt wird .
rnJ
anw enden, wenn A
>
0
Weiterhin ergibt sich aus Proposition 2 die Youngsche Ungleichung fur konjugierte konv exe Funktionen fund f * : K orollar 3 . Unter der Voraussetzung von Proposition 2 gilt (11)
~ .
x
~
f( x)
+ f*(~)
fur alle x E f2 und alle
~ E
f2* .
Wenden wir (11) auf die Funktion f( x) := x P [p, x > 0, n = 1, p > 1, an , so ist f* (~) = ~q / q fur ~ > 0, 1/ P + 1/ q = 1, un d damit ergibt sich die spezielle Youngs che U n gleichung
(12)
~.
x
~
xP p
~q
+-
q
fur
x, ~ ~
o.
88
Kapitel 1. Differentialrechnung fiir Funktionen mehrerer Vari abler
Bei vielen Anwendungen werd en nicht aIle Variablen , sond ern nm ein Teil von ihn en Legendre-t ransformi ert. In einem solehen Fall miiBten wir eigent lich von einer " p a r t ie lle n Legendretransformation" sprechen, do ch wollen wir auch soleh allgemeineren Op er ationen die Bezeichnung "Legendret ransformat ion" geben . Betrachten wir einen Spezialfall, der die fur (pa rtielle) Legend retran sformationen typi schen Merkmale hat : Gegeb en sei eine reelle Funktion L (t , x , v) auf jR x jRn X jR n der Klasse C 2 . Mit ihrer Hilfe erzeuge n wir eine Legendretran sformation als einen zweist ufigen ProzeB:
(i) Wir betrachten die Variablentransformation : (t , x, v) (13)
t
=
t ,x
=
f---+
(t , x ,p), die durch
x , p := Lv(t , x , v ) = : cp(t,x,v)
definiert ist . Wir setzen voraus, dajJ diese Abbildung einen CS- Diffeomorphismus von lR x jRn X jRn auf sich mit s :::: 1 liefert; insbesondere ist dann
(ii) Es wird eine zu L du ale Funkt ion H : jR x lR n x (14)
jRn ----+ jR
durch
H(t , x, p) := p - v - L(t , x, v ) mit v := 'ljJ (t, x , p)
definiert, wobei w : (t , x ,p) f---+ (t, x, 'ljJ(t , x ,p)) die Inverse von bezeichne. Man nennt H die Legendretransformierte von Loder die Hamiltonfunktion zu f . Die Abbildung des (erweiterten) Phasenraumes jR x jRn X jRn heijJt Legendretransformation und wird mit L L bezeichnet. An alog zu Proposit ion 1 erha lt en wir Proposition 3. Wenn L von der Klasse CS mit s :::: 2 ist, so ist auch H von der Klasse C", unddieInversew(t , x ,p) = (t, x, 'ljJ(t , x ,p)) derAbbildung(t , x , v) = (t , z, cp(t, x , v)) mit sp = L; wird durch 'ljJ = H p geliefert. Ferner haben wir die
involutorischen Formeln
(15)
Ht (t , x ,p) + Lt(t, x , v) = 0 , Hx(t , x ,p) + Lx(t , x , v) = 0 , p = L v(t , x , v ) , v = Hp(t, x ,p) , L (t , x , v ) + H( t , x, p) = p ' v ,
falls (t , x , v) und (t, x , p) durch bzw. W umk ehrbar eindeutig aufeinand er bezogen sind. Beweis. Aus (14) folgt H (t , x, p) = p· 'ljJ(t, x , p)- L(t , z, 'ljJ(t, x, p)) . Differ enzier en wir beide Seit en na ch t bzw. X j bzw. P j , so ergeben sich die folgend en Relationen:
H, = p ' 'ljJt - L v (-' ·,'ljJ)'ljJt - L t (-, ·,'ljJ) , H Xj = p·'ljJXj - Lv(·, ·, 'ljJ )'ljJXj - Lxj ("" 'ljJ ) , H pi = 'ljJj + P: 'ljJPi - L v("" 'ljJ)'ljJPj ,
89
1 .10 Legend retran sformat ion und wegen (13) ist p = L v(t , x , 1/J (t, x, p)) . Dami t folgt (16) und (13) , (14) liefern (17)
p
= L ; 0 III sowie
L o lli + H
= p . 1/J .
c
Dies sind die For meln (15). Wegen L E e s ist grad L E s - 1 und III c s - 1 ; in Verbi ndung mit (16) folgt grad H E s - 1 , also H E C",
c
=
q, - l E
o
Damit gelte n fur die von L bzw. H erze ugten (par tiellen ) Legendretran sformatio nen L L bzw. L H die Beziehu ngen (18)
In sbesondere hab en wir : Isi H die Legen dretmnsjormiert e von L , so ist L die Legen dretm nsjormierte von H. Durch (15) wird der involu torische Charakter der Legendretran sformation in ga nz symmetrischer Weise ausgedrUckt.
@) Ubergang von d en Euler-Lagrangeschen Differentialgleichungen der Variationsrechnung zu den Hamiltonschen Gleichungen. Wir betracht en jet zt fur Bewegungen x(t) = (Xl(t) , . . . ,xn(t )) , tE l c JR, der Klasse C 2 ein Syst em von gewohnlichen Differentialgleichungen zweiter Or dnung der For m (19)
d dtLv(t , x(t ), x (t )) - L x (t , x(t ), x(t)) = O.
In der Variationsrechnung nenn t man (19) die Eulerschen Gleichungen des In tegr ales W (x) :=
1
L(t, x (t), x (t) )dt
(vgl. Abschn itt 2.4), und die Funktion L wird Lagm ngejunkt ion des "Variat ionsintegrales" W gena nnt. In der klassischen P hysik t reten die Gleichungen (19) als sogena nnte Lagrangesche Gleichungen zweiter Art a uf, und das Hamilt onsche P rinzip besagt , daf die tatsachliche Bewegun g unter allen virtuellen (d .h. denk baren ) Bewegungen dadurch a usgezeichnet ist , daf sie das Wi rkungsint egral stat ionar macht , was gleichbedeutend mit (19) ist , Auf diesen Zusam menhan g werden wir in Abschnitt 2.4 nah er eingehen. (Insbesondere sei auf Th e Feynman Lectu res on Physics , vol. 2, chapter 19 verwiesen) . Indem wir v( t ) := x (t ) setze n, wan deln wir (19) urn in ein Syst em von 2n Differenti algleichun gen erster Ordnung fur die 2n Funktionen x (t ), v( t ): (20 )
dx = v dt
-
90
Kapitel 1. Differentialr echnung fur Funktionen mehrerer Variabler
Geht man von der Phasenkur ve (x(t), v (t )) zur dualen Phasenkurve (x(t) ,p(t)) ub er , wobei die kanonischen Impulse durch
p(t) := Lv(t , x(t) , v(t)) definiert sind, so ergibt sich au s (15) , daf auch
v(t) = Hp(t, x(t) ,p(t)) , Lx(t, x(t), v(t)) = - Hx(t , x (t ), p(t )) ist , und wir erhalt en aus (20) fur die du ale Phasenkurve (x(t) ,p(t)) das System der Hamiltonschen (kanonischen) Differentialgleichungen (21)
dp dt = - Hx(t,x , p) .
dx dt = Hp(t , x ,p)
Vielfach ist es bequ emer , mit dem System (21) st at t mit (19) zu ar beit en, zumal (21) bereit s nach X, p aufgelost und somit von der in Band 1 beh andelten Form X = F(t ,X) ist . Ist umgekehr t (x(t),p(t)) eine Losung von (21) und setzt man v (t ) := Hp(t , x (t) ,p(t)) , so folgt wegen (15)
p = Lv(t , x , v) ,
- Hx (t , x, p) = Lx(t , x , v)
und damit (19) . Somit haben wir gefunden: Proposition 4. Wenn die Legendretransformation LL einen C 1 _Diffeomorphismus des eruieiierten Phasenraumes JR x JRn X JRn a1Lj den dualen Phasenraum
JR x JRn X JRn liefert und H die Legendretransformi erte von L ist, so ist das Lagrangesche Syst em (20) zum Hamiltonschen Syst em (21) iiquiualent. Genauer gesagt: Lost die C1-Phas enkurve (x(t) ,v(t)) das Syst em (20) , so lost die duale Phasenkurve (x(t),p(t)) mit p(t) = Lv(t , x(t) , v(t)) das Syst em (21) , und umgekehrt: Ist (x(t) ,p(t)) eine Losunq von (21) , so erfiillt (x(t) ,v(t») mit v(t) = Hp(t , x (t ), p(t )) das System (20) .
lID
Die Legenclretransformation in der Punktmechanik. Da mit wir P ro pos it ion 3 a nwende n konnen , mull LL eine n Diffeomorphismus 1> von IR x IR n x IR n a uf sich liefern. Dies ist b eispielsweise de r Fall , wenn di e Lagrangesche Funkt ion L (t , x, v) von der Form (22)
L(x,v) = T (x , v ) - V (x )
ist , wobei T (x , v ) in v eine positiv defin it e quadratische Form ist :
(23)
1
T (x, v ) = 2
L n
Cjk(X )VjVk
j ,k= ]
mi t C(x) = ( Cj k( X ) ) > 0 und Cjk(X ) = Ckj (X) fU r x E IRn. Wi e in Be ispiel @] zeigt m an , d all LL eine n globalen Diffeomorphismus liefer t. Hierbei konnen wir a n ne hme n , da ll L(x, v) nu r fUr (x , v) E ll x IR n defini ert ist , wobei Il ein Ge biet des IRn bezeichnet . Diese Bem erkung ist nil t zlich , wenn wir a nnehmen, d all x nicht kar t esische Ko ordinaten in eine m In ertialsyst em d er New t onschen Mec han ik zu sein brau chen, son de rn gen emlisiert e Koo rdinaten se in konnen , di e sich na ch E limination von Zwangsbedingungen erge be n . Der Schlull bleibt richt ig, wenn wir Lagr angefunk ti on en
(24)
L (t , x , v ) = T( x , v ) - V (t , x , v )
91
1 .10 Legendretransform ation b etr acht en , wo T d ie Gestalt (23) hat un d V durch V (t , x , v ) = ¢(t,x ) + (A( t ,x ),v)
(25)
mi t eine m zeit lich vcrande rliche n Vek t orfeld A( t , ·) :
n -> jRn
gegebe n ist .
Denken wir un s be isp ielsweise eine n Massenpunkt im jR3 mi t del' Mass e m und del' Ladung q in einern elektromagnetische n Feld mi t d el' ska la re n po t en ti ellen Energ ie ¢(x) und d em Vektorpot en ti a l A (x ) , so hat L d ie G est al t 1 L (x , v) = - mlv l 2 - q¢( x) 2
(26)
+ q(A( x ), v ) .
Di es liefer t
(27)
p
= L v (x , v) = mv + qA (x ) v = m-
(28)
1
,
[p - qA (x )] .
D ann ergib t sicht d ie Hami ltonfunktion H( x , p) a ls H (x , p) = p . v - L (x, v) 1 = m- 1 [Ip l2 - q(A (x ) , p)] - _ m- 1Ip - qA (x )12
2
+ q¢( x)
- qm - 1 (A (x ), p - qA(x) )
und d amit 1
H (x ,p) = - Ip - qA(x )1 2 + q¢ (x ) . 2m Bezeich ne n E bzw . B di e elekt risc he Felds t.arke b zw . d ie m agn etisch e Induktion d es elektrornagnetisch en Feld es , d as a uf den Massenpunkt wirkt, so gil t (29)
E
(30)
=-
grad ¢ , B
= rot A
, d iv A
=0.
(Di e zweite Relation in (30) b esagt , d aB A ein Vektorpotent ial von B ist, und di e dritt e ist eine Norm ieru ngsb ed ingu ng fur A. ) Die Lagr an gesch en Bewegu ngsg leic hungen laut en rn ii: = q[E
(31)
+ x /\ BJ.
Die rec hte Seite von (31 ) ist di e sogenann te Lorenizsch e Kraft (vgl. L.D. Landau und E .M . Lifschitz , Lehrbu ch der Th eoretischen Physik, Band 2: Feldth eorie, §§16- 19) .
[ill Der E nergiesatz . Wenn d ie Harniltonfunktion H ni cht von t a b hangt , d.h, wenn H i = 0 gi lt , so ist H ein erstes Integral des Hamilto nsystem s (21) ; es gi lt a lso
(32)
H( x (t ),p(t ))
== con st
fur jed e Losu ng (x (t) , p(t )) von (21). Dies folgt a us d di H(x, p)
= H x (x ,p) · x + H p(x ,p) · P = - (p,x) + (x,p) = O.
A us Hi = 0 folgt L t = 0, und (32) liefert v( t) . L v( x(t) , v (t) ) - L(x (t ), v (t ))
(33 )
== const
fur j ed e Losung (x (t ), v (t) ) von (20). Di es bleibt a uc h d ann r icht ig, wenn m an die Legendretransformation LL n icht a usfiihren kann , d enn die Forrnel la Bt sich direk t a us (20 ) herleiten . Urn d ies zu zeigen , mii ssen w ir nur di e linke Seite von (33 ) nach t a b leiten; b er iicksichti gen wir (20), so folgt wegen L; = 0 d di
lv
Lv (x , v ) - L(x , v )]
= ii - L v (x , v ) + v ·
~Lv (x , v) dt
- L x (x ,v) · x- L v (x ,v) · i; = O .
92
Kapitel 1. Differentialrechnung fur Funktionen mehr erer Variabler
[f] Legendretransformationen in der Thermodynamik. Denken wir uns ein t her mo dy -
namisches Syste m , das a us vielen Teilch en best eht . Es gebe n Typ en von solchen Pa rt ikeln ; vom Typ der Numme r j se ien Nj Teilchen vorhand en . W ir setzen N = (NI , . . . , N n ) und denken un s NI , .. . , N n als reelle Vari able (vgl. 4.3) . Nebe n N sei das Sys te m durch d ie Var iabIen T , die a bsol ute Tem per atur , un d V , das Volumen , cha rakterisier t . Dann sind die anderen t hermodyn amischen Gra Ben E ,5, p , IJj , .. . , fJn Funkti one n von T , V, N , namlich die innere E nergi e E = E(T , V, N) , die En tropie 5 = 5 (T , V, N) , der D ru ck p = p (T, V, N ) un d das chemis che P oten tial fJj = fJj (T, V, N) der j -t en Substanz . Die Va riabl en T , V, N und d ie Funkt ionen E , 5, p, fJj sind durch die Gibbssche Gleic hung gekop pelt , (34)
dE = Td5 - pdV
L
+
fJjdN j ,
j = I
die zu dem folgenden Sys t em partieller Differen ti algleichungen aquivalent ist
(35)
ET
=
T5T ,
=
Ev
T 5v - p ,
=
E Nj
T 5 Nj
+ fJj, 1 :S: j :s: n
.
Besteht das Sys tem (etwa ein Gas ode r eine F liissigkeit) nur a us N Te ilche n eines einzigen Typs , so lautet d ie G ib bssche Gleichung (36)
dE = Td5 - pdV
+ IJ.dN
.
Weil au f der rechte n Seite di e Differen tiale von 5 , V, N vorkommen , liegt es nahe, von den Variablen T , V, N zu den na tiirli chen Var i ablen 5 , V, N iiber zu geh en , also E als Funkti on E (5, V, N) von 5 , V, N a ufzufassen . (Hi er bei ist zu be acht en , daf in der Physik iiblicherweise fur verschi eden e Funktion en dassel be Symbol benutzt wird , etwa E fur E(T, V, N) und E( 5 , V, N), weil man sich zunac hst Iilr E als Wer t und oft nur in zweiter Linie filr d ie funktionale Abhiingigkeit int eressiert . In der alte re n mathem ati schen Lite ratur finde t sich eine solche Symbolik hau fig, d ie j a gelege nt lich a uch in diesem Lehr buch benutzt wird .) Be i dem P rozeB, T , V, N durch 5 , V, N zu ersetzen, bleibt d ie Gibbssche Gl eichung (36) er ha lte n, wie man mit Hilfe der Kettenregel zeigt . (Diese r Beweis ist a ber umstandlich , und dah er fiih rt man den Nac hweis viel elega nter und kiirzer m it der Oper ation de s Zuriic kholens von Different ialformen (vg l. Band 3).) Au s (36) erg ibt sich nunmehr (37)
T
=
Es,
p
= -
fJ
Ev ,
=
EN .
Nebe n dem Po ten ti al E( 5 , V, N) werd en in der T her mody nam ik a be r no ch weitere t her mody namische Potenti ale ver wendet , die au f a nde re nat iirlic he Variabl e bezogen sind . Die jeweils neuen na tiirlichen Vari ablen erge be n sich a us den alten (bis a uf Vorzeichenwechsel) durch Legend ret rans for mation, und die neu en Potentiale sind (bis a uf gewisse Vorzeichen anderungen) Legendret ransform ier t e der alte n Potent iale. Geh en wir beispielsweise gemaf T = Es von 5, V, N zu T , V, N und von E (5, V, N) zu F (T , V, N) mit F = E - T5 iib er , so folgt wegen dF = dE - Td5 - 5dT
a us (36) di e Gl eichung (38)
dF
-5dT - pdV
+ fJdN
,
di e zu
5 = - FT,
P = - F v,
IJ = F N
aq uivalent ist . Man nennt F (T, V, N) die freie Energie des Syst em s. E nts preche nd liefert di e Tr an sformati on (5, V, N ) f-> (5, p ,N), E (5, V, N) f-> H (5, p , N ) m it p = - Fv ,
H = E
+ pV
93
1.10 Legendretran sformation wege n (36) d ie Form el dH = T dS
+ V dp + ud .N ,
=
=
(39) di e zu T
lis ,
V
lip ,
f-t
=
HN
iiquivalent ist; d ie Funkt ion H (S, p, N) heiBt Enthalpie. Die fr ei e Enthalpie (G ib b ssc h es Potential) CrT , p , N) gewi nnt man a us F(T, V , N) dureh
+ pV ,
p = -Fv,
C = F
dC = - SdT
+ Vdp + ud .N ,
und (38) geht tib er in (40) also S
=
- CT ,
V
=
Cp
It
,
=
CN .
Das statistische Potential II (T , V , f-t ) entste ht a us F(T , V , N) d ure h II = F - p.N ,
f-t = F N ,
und wir erhalte n dll = - SdT - pdV - N df-t ,
(41 ) dah er
= -
S
liT ,
P
= -
N
IIv ,
= -
II" .
Die Entropiefunktion S(E, V, N) entsteht dureh Auflo sung der G leiehung E(S, V, N ) = E
naeh S ; wir er halte n also S = S( E , V , N) , und (36) erg ibt (42)
T dS = dE
+ pdV
- ud .N ,
also T SE
1,
P = TSv ,
f-t = - T SN
und folglieh p
=
SV / SE ,
f-t
=
- SN/ SE.
Die Bezeiehnung t hermodynamische Potentiale ist in Anl eh nun g a n die Meehani k gew ahlt , So wie man do rt di e Kr aftkompon ent en dureh Di ffer enti ati on des Potent ia ls nach den Ortskoordi naten find et , gewin nt man a us den t her modynamisehe n Pot enti alen dureh Differ entiation a ile Zustands var iablen .
Aufgaben. 1. Sei U : II -+ IR eine C 2 -Funkt ion a uf II C IR 2 , fiir welch e d ie zuge hor ige Legendretransform at ion (x , y) 1-* (~ , 1)) mit ~ = u x (x , y) , 1) = uy(x , y) einen Diffeomorph ismus von II a uf 11* liefert , und bezeiehn e v E C 2 (11* ) die Legendret r an sform ati erte von u . Man zeige: p := Ux x Uy y - U;y
=
l /( v~~ v1)1) - v~1) ) , Ux x
= pV1)1)
wob ei Ux x , u x y , U y y m it den Arg ume nten x , y und
, Ux y
v~ ~ , v~1) '
=
-pv~1) , U y y
v1)1) mit ~ ,
1)
= pv~~
2. D ureh d ie Lege ndretra nsfor mation (vg l. Aufgab e 1) wird di e Minimalflachengleichung
(1 + u~)uxx
- 2 uxuyux y
+ (1 + u ; )U y y
=
0
in di e linea re Gl eiehung t ransfor miert . Beweis ? 3. Mittels Legendretran sform ation lose man di e Cla ira ut sehe Differentialgleiehung XU x
+ YU y
- U = A (u x , u y ) .
,
zu nehmen sind .
94
11
Kapitel 1. Differentialrechnung fur Funktionen mehrerer Variabler
Satz von Heino-Bor el. Lipschitzstetigkeit . Nullmengen
In diesem Abschnitt wollen wir kompakte Mengen in neuer Weise mittels des Satzes von Hein e-Borel (1872 , 1895) charakterisieren . Die Nutzlichkeit dieses Theor ems zeigen wir , indem wir zunachst ein Kriterium fur Lipschit zstet igkeit und dann ein Kriterium fur Nullmengen im jRn herl eit en . Als Nullmengen bezeichnet man Mengen vom Mafl e N71ll ; dies sind Mengen , die sich von hochstens abzahlbar vielen Zellen mit beliebig klein wahlbar er' Inhaltssumme ilberdecken lassen . In der Leb esgu eschen Integrationstheorie spielen Nullmengen eine wesentli che Roll e.
D e fin it ion 1. Unter einer offenen U b erd e ckung ein er Menge M des jRn uerstehen uiir ein e Familie U = {On}n EA, von offen en Mengen On des jRn mit der Eigenschaft
E in e solche Uberdeckuno heiflt endlic h , wenn si e nur en dlich viele M engen enthiilt.
On
IlJ
J ede nichtleere Meng e M des jRn besit zt eine offene Ub erdeckung durch Kugeln vom Radius r > 0, namlich U = {Br( X)}xEM '
~ Ist 0 offen, so ist U
= {O} eine
endliche offen e Uberdeckung von O.
ill] 1st M c
jRn beschrankt, so gib t es ein e Ku gel B = BR(O) mit M ist {B} eine endliche offene Uberdeckung,
c B . Dann
Sat z 1. Eine Menge K des
jRn ist genau dann kompakt, wenn sich a71S jeder offen en Uberdeckung von K ein e en dliche Uberdeckunq von K auswiihlen liiflt.
B eweis. Zur AbkUrzung wollen wir die im Satz genannte Auswahleigenschaft mit (AE) bezeichnen. (i) Wir zeigen zuerst: Di e B edingung (AE) ist hinreichend fur Kompaktheit . Sei also K eine Meng e des jRn, die (AE) erfilllt. Wir wollen zeigen , daf K abgeschlossen und beschrankt, also kompakt ist . Jedenfalls ist U = {BN(O) : N E N} eine offene Uberdeckung von K. Dah er gibt es Zahlen N 1 , N 2 , . . • , N p mit N 1 < N 2 < . . . < N p , so daf p
K
c
U B N;(O) = B N,,(O) j= 1
gilt , und folglich ist K bes chr ankt . Ware K nicht abgeschlossen, so gabe es ein Xo E 8K\K . Sei ON := {x E jRn : Ix - xol > l iN} fur N E N. Dann
1.11 Sat z von Heine-Borel. Lipschit zstetigkeit . Null mengen
95
ware U := {O N} NEN eine offene Uberdeckung von K , a us der sich eine endliche Ub erd eckung auswa hlen lassen mufite. Wegen 0 1 C O2 C . . . C ON C ' " ga be es also ein N E N, so daf K C ON und somit (1)
Ix - xol
> liN
fur aile x E K
ga lte . And erers eits folgt aus Xo E oK \ K , daf Xo Haufungspunkt von Kist , sich also beliebig genau durch Punkte x E K approximieren lassen mufi, was aber wegen (1) nicht m6glich ist . Also ist K doch abgeschlossen und folglich kompakt. (ii) Nun beweisen wir: D i e B edingung (AE) ist aucii not wendig fur K ompaktheit. Sei also K ein Kompaktum in JRn, somit abgeschlossen und beschr ankt . Dann gibt es einen abgeschlossenen W iirfel W des JRn mit K C W . Angeno mm en, K hatte nicht die Eigenscha ft (AE) . Dan n gabe es eine offene Uberdeckung U von K , aus der sich keine endliche Uberd eckun g von K a uswa hlen lief e, S chriit 1 . Wi r zerlegen W in N := 2n kongru ente a bgeschlossene Wu rfel W i , . .. , W N mit W = W i U Wi U . .. U W N, indem wir die Kant en von W halb ieren. Dann ist U auch eine offene Uberdeckung fur jede der Mengen K j := K n W], 1 :::; j :::; N , un d fur mindest ens ein j E {1, 2, . . . , N } gilt : Aus U laBt sich keine endliche Uberdeckung von K j aus wa hlen, den n andere nfalls ga be es ja eine end liche Uber decku ng von K . Wir wahl en ein solches K j := K n W j* und bezeichnen den zugehorigen Wurfel W j* mit W I .
Schrit t 2. Wiederum zerlegen wir W I in N = 2n kongruente abgeschlossene Wurfel W i * , . . . , W N* , so d af WI = Wi* U Wi * U . .. U W N* ist , ind em wir die Kanten von W I halbieren. Da U eine offene Uberdeckung von K n WI ist , a us der sich keine endliche Uberdeckun g von K n WI a uswa hlen laBt, gibt es mindest ens ein W; * derart , daf zwar U eine offene Uberdeckung von K n W; * ist , sich aber aus U keine endliche Uberdeckung von K n W; * auswa hlen laBt. Dieser W lirfel W; * werde mit W 2 bezeichnet. So fahren wir fort und erha lte n induk t iv eine W lirfelschacht elung {WdIEN mit folgender Eigenschaft : (*) Fur jedes lE N ist U eine offe ne Uberdeckunq von K n WI , aus der sich keine endliche Uberdeckunq von K n WI cusuuihlen ltiflt. Bekanntlich erfaBt eine Wlirfelschachtelung gena u einen Punkt Xo E JRn ; es gilt
also
n
WI
=
{ xo} .
1= 1
Wegen (*) ist jede der Mengen K n WI nichtleer . Also gibt es eine Folge {xd von Punkten XI E K n WI , und wegen IXI - xol :::; diam WI
--+
0 mit l
--+ 00
folgt Xo = liml->oo XI. Da die XI sa mt lich in der abgeschlossenen Menge K liegen, ist auch Xo ein Element von K. Also gibt es eine offene Menge 0 , die zu U gehort und Xo enthalt . Dann exist iert eine Kugel B r( xo) mit B r( xo) C O. Wegen Xo E WI fur aile l EN und diam WI --+ 0 fur I --+ 00 gibt es einen Index Io E N,
96
Kapi tel 1. Different ialrechnung fur Funkt ionen mehrerer Vari abl er
so daf Wi C B r(xo) fur aile I
> 10 gilt. Hier au s folgt
n
K n Wi C
fur aile I
~ 10 ,
d .h . die Mengen K n Wi mit I ~ 10 besit zen die Uberd eckung U' = {n} , die aus U ausgewa hlt ist und nur aus einern Element n von U besteht , also endlich ist. Dies wider spr icht aber der Eigenschaft (*).
o
Wi r bem erken , daf d ie Aussage (ii):
'*
K ist kompakt
K erjiill t (AE)
der klassische Satz von Heine-Bore l ist . Heute ist es nach dem Vor bi ld von Bourbaki iibli ch geworde n zu de finieren : Eine Menge K des IR: n heijJt kompakt, wenn sic h aus jeder ofJenen Uberdeckunq von K eine en dliche Uberdeckunq von K ausuitihlea WjJt. Diese De finit ion benu t zt man a uch in be liebigen met rischen oder to po logisc he n R au men, urn kompakte Me ngen einzufiihren . In so lchen Raume n ist es im allgeme ine n nicht me hr richtig, daf eine abgeschlossene und beschrankte Men ge kompak t ist .
Nun wollen wir zwei Anwendungen des Sat zes von Heine-Borel angeben. Als er ste s zeigen wir , daf jede lokal Lipschit zsteti ge Funktion f : A1 -+ ~N a uf je dem Kompak tum K in M Lipschit zst etig ist. Weil sich jedes f ECI (n, ~N) als lokal Lipschit zstetig erweist, ist f IK Lipschitzst eti g fur jedes Kom pak tum K in n. Es gilt namli ch
Proposition 1. 1st n eine beschriinkte, offene und konvexe Menge des E c 1(n, ~ N), so gilt
f
If (x ) - f (x') 1:::; L lx -
x'i
fur aile x ,x'
~n
und
En
mit L:= sUPn- IDf l < 00 . B eweis. Nach Had amards Lem ma gilt f (x ) - f (x' ) = Hier au s folgt
If (x ) - f (x' )I :::;
1 1
D f (x'
+ t (x -
III
Df(x'
x')) dt . (x - x') .
+ t(x -
x' ))dt l ' lx -
x'i
< l1 1Df( X' + t(x - x' ))ldt · Ix - x'i
jRN fur offen e Men gen M mit de r in Band 1, Absehnitt 4.1, gege be nen Definiti on 1 iibe reins ti mmt . Aus P roposition 1 folgt sofort
Proposition 2. Isi n eine offene Menge des lokal Lipschitzstetig.
jRn
und f E C1(n , jRN ), so ist f
Proposition 3. 1st f : K ---c> jRN auf einer kompakten Menge K C Lipschitzstetig, so gilt f E Lip (K, jRN ).
jRn
lokal
Beweis. Zu jedem x E K gibt es ein r (x ) > 0 und eine Zahl L( x) > 0, so daf (2)
If (x' ) - f (x" )1::; L (x) lx' - x" I fur aile x' ,x" E B 2r(x)(x) n K
gilt. Weit erhin ist U := {Br(x)(x ) : x E K} cine offene Uberdeckung von K . Au s dieser laBt sieh eine endliehe Ub erdeckung U' = {B j } l ::; j ::; p von K mit s, := Br(xj)(Xj) auswahlen, Set ze B; := B 2r(xj)(Xj) und
r" := min{ r(x I) , .. . , r (x p )}
,
L * := max{ L( x I), ... , L (x p )}
•
Dann gilt fur beliebige x'; x" E K mit lx' - x" I < r* die Ab schatzung
If (x' ) - f (x" )I ::; L*lx' - x" I, denn x' muf in einer der Ku geln B j liegen , womit x" in B; liegt. Wegen (2) erg ibt sich in der Tat
If (x' ) - f (x") 1::; L( x j) lx' - x"I::; L*lx' - x"I · Ferner ist
f
beschrankt , d .h. es gibt eine Konstante c > 0 mit If (x )1 ::; c fur aile
x E K . Also gilt fur beli ebi ge x' , x" E K mit lx' - x" I ~ r* die Abschatzung If (x' ) - f( x") I ::; If (x' )1
+ If (x" )1
::; 2c ::; 2c lx' - x"I · r*
Set zen wir L := max{L *, 2c/ r "} , so folgt
If (x' ) - f(x" ) I ::; L lx - x'i fur aile x' , x" E K . D
Wir bem erken no eh , daf P roposit ion 3 gerade das Lemma 1 a us Ab schnitt 4.2 von Band 1 ist , dessen Beweis hiermit naehgetragen ist .
Definition 3. Ein e Teilmenge M' einer Menge M aus jRn heijJt kompakt in M enthalten (in Zeichen: M' CC M ), wenn M ' beschriinkt ist und M' C M gilt.
98
Kapitel 1. Differenti alrechnung fur Funktionen mehrerer Var iabler
Proposition 4. Sind r2 und r2' offene Mengen des JRn mit r2' f E C 1(r2 , JR N ), so folgt f ir}' E Lip (r2' , JR N).
c c r2 und gilt
B ew eis . Die Beh au ptung ergibt sich sofort aus den P roposit ionen 2 und 3.
o
Als zweite Anwendung des Heine-Borelschen Satzes beweisen wir zwei Er gebnisse, die sich bei der Einfuhrung des mehrfachen Riemannschen Integrales als nutzlich erweisen werden. Definition 4 . Un ie r einer Zelle Z in JRn vers t ehen wir das kartesische P rodukt
Z =h
(3) von Intervallen
h ,h , ... , I n
X
12
X ...
x In
in JR .
OfJene Z ellen sind von der Form Z = Il ~=1 h mit h = (ak ' bk) , 1
also
:s;
k
:s;
ti ,
(4) wah rend abges chlo ssen e Z ellen die Gest alt Z k < n , hab en , d .h.
=
Il~= 1 t, mit
t, =
[a k , bk], 1
:s;
(5)
Fur n B
=
= 2 ist Zein achsenpa ralleles Rechteck mit den Eckpunkten A = (a1 ' a 2), = (b1 , b2) und D = (a1 , b2), und eine dr eidimension ale Zel-
(b1,a 2) , C
Ie ist ein achsenparalleler Qu ad er im JR3 . Im allgemeinen st eht "Zelle" fur "ndim ension aler achsenparalleler Qu ader ". Definition 5. D er (n -d im e n s io n a le ) Inhalt IZI einer Z elle Z aus (3) ist n
(6)
IZI :=
II
k=1
Ih l .
Ist Z von der Form (4) oder (5), so gilt also (7)
Wir wollen nun "dtinne Mengen " auf zweierlei Weise definieren , naml ich als "Mengen vom Inhalt Null " bzw. "vom MaBe Null" ; es wird sich zeigen, daf die beiden Definitionen La. nicht tibereinst imme n. Es sei im folgend en stets vor au sgeset zt , d af die auftretenden Mengen ~M Teilmengen des JRn sind und daf es sich bei "Zellen" um n-dimensionale Zellen handelt .
1.11 Satz von Heine-Borel. Lipschitzst eti gkeit . Nullmengen
99
D efin it ion 6. (i) M hat den I n halt Null (in Zeichen: IMI = 0), wenn es zu je dem E > a eine en dliche Uberdeckutiq von M durch offene Zellen Z I, . . . , Z N gibt, so daft IZII + IZ21 + ... + IZN I < E gilt. (ii) M hat das Mall N u ll (in Zeichen: meas M = 0), wenn es zu j edem E > a eine en dliche oder abziihlbare Uberdeckunq {Zj }j EJ von M durch offen e Zellen gibt m it L;j EJ IZjl < E. Ein e Menge vom Mafte Null heiftt N ullmenge .
z,
Das Symbol meas ste ht fiir m easure, also " Mail" .
B e m erku ng 1. Eine Menge vom Inhalt Null ist offensichtlich a uch eine N ullmen ge, wahrend da s Umgekehrte im allgemeinen nicht gilt, wie das folgend e Beispiel lehrt.
°
= 1 und 1\1 := Q n [0, 11. Diese Menge ist a bza hlbar; es gibt also eine bij ektive Abbildung j >--+ Xj von N a uf M: W ir wa hlen ein e > und set zen I j := (Xj - 2- j- 1 e, Xj + 2- j - 1 e) fur j E N. Durch {Ij} j E N wird eine a bzahlbare Uberdec kung von M durch offene Zellen Ij m it
@] Sei n
00
L j= l
00
IIj l = L T j e = e j= l
geliefer t ; somit ist 1\1 ein e Nullme nge . Nun zeigen wir , daf 1\1 nicht den Inh alt Null hat. Ist nam lich {Zl , . . . , Z N } irgendein e end liche Uberdeck ung von M durch offen e Int ervall e Zl, . . . , Z N , so folgt [0, 11 C ZjUZ2U ... UZN , wei! M in [0, 1] dicht liegt , also 1\1 = [0, 1] gilt. Dies liefert
1::; IZII + IZ21 + .. . + IZNI . Also kann 1\1 kein e Menge vom Inh alt Null se in.
B eme rkun g 2. (i) Die in @] benutzte SchluBweise laBt sich offensichtlich zum Beweis des folgenden Resultates verwend en : Jede abziihlbare M enge des jRn ist eine Nullm enge. (ii) Offenb ar gilt auch: Jede endliche M enge des jRn hat den Inhalt Null . P r op osit io n 5. Jede kompakte Nullmenge hat den Inhalt Null. B eweis. Sei K eine kompakte Menge des jRn mit meas K = O. Dann gibt es zu beliebig vorgegebenem E > a eine hochstens abzahlbare Uberdeckung U = {ZI, Z2 ," '} von K durch offene Zellen Zj mit IZl l + IZ21+ ... < E. Weil K komp akt ist , kann man nach dem Sat z von Heino-Borel ein N E N mit K C ZI U Z2 U ... U ZN finden , und es gilt dann erst rech t IZII+ IZ21 + ...+ IZN I < E. Somit folgt IKI = O. D
P r oposi tion 6. (i) Die Vereinigung endlich vieler Mengen vom Inhalt Null ist eine Menge vom Inhalt Null. (ii) Die Vereinigung hiichsi ens abziihlbar vieler Nuilmenqen ist eine Nullmenge.
100
Kapitel 1. Differentialrechnun g fur Funktionen mehrerer Vari ab ler
Beweis. (i) ist evident. Urn (ii) zu beweisen , betrachten wir eine Verein igung M = M I U M 2 U lvh U .. . von Mengen M j mit meas M j = 0, j = 1, 2, 3, . . . . Wir wahlen irgendein E > 0 und set zen Ej := 2- j E, j = 1,2, . . . . Zu jedem j konnen wir eine hochst ens ab zahlbare Uberdeckung Uj = {Zl} von M j durch offene Zellen Z{, mit IZ{ I + !Z41 + ... < Ej finden . Die Menge U := Ul U; ist hochstens abzahlbar: wir konnen also die Zellen zu einer endlic hen od er unendlichen Folge {Zj} von offenen Zellen Z I,Z2, . . . anordnen, die 1\11 iiberdecken. Fiir jede Partialsumme I:f=l IZj I gilt
z4 ,...
ZI
L (X)
j=l
Ej = E.
Folglich ist meas M = O.
o
Proposition 7. Ist n ;::: 2 und cp E CO(Q) , wobei Q eine kompakte Menge des
JRn- 1 bezeichnet, so hat graph cp den ( n -dimensionalen) Inhalt Null.
Beweis. Es gibt einen Wiirfel W = {x E JRn- I : [z ], s:; r} in JRn-I mit Q c W ; set ze q := IWI = (2r)n-I . Wir wa hlen ein beliebiges E > 0 und bestimmen dann ein 7) > 0 mit 4q7) < E. Da cp gleichmafiig ste t ig ist , gibt es ein 0 > 0, so daf Icp(x ) - cp(x') 1 < 7) gilt fur aile x , x' E Q mit Ix - x' ! < o. AnschlieBend wahlen wir ein p EN und t eilen jede Kante von W in p gleich groBe Intervalle. Dies induziert eine Zerlegung von W in N = pn -I kongruente abgeschlossene Wiirfel W{ , . .. ,W~ derart, daf diam W; < 0 ist . Sei ~j der Mittelpunkt von und bezeichne Zj die Zelle
W;
Zj Dann gilt gr ap h cp
:=
c
Wi x Ij , Ij := (cp(~j) - 7) , cp(~j)
Z~ U . . . U Z~
+ 7)) .
und
IZj l = IW;I 27) sowie
IWI = IW{!
+ ... + I W~!
.
Dies erg ibt I Z~I
+ .. · IZ~ I
=
27)' [ I W~I
+ ... + IW {!
] = 27) ·I WI = 27)q < E/2 .
Ersetzen wir nun W{ , ... , W~ durch offene achsenparallele Wiirfel WI , . .. ,WN mit W; C Wj und IWj l < 2IW;I,j = 1, . . . , N , so sind die Zellen ZI := WI x Ii , . . . , ZN := WN x I N offen, liefern eine end liche Uberdeckung von graph sp und erfiillen IZII + ... + !Z N I < Eo Damit ist [graph cp l = 0 gezeigt .
o
D efinition 7. Ein e kompakte Menge K des JRn heijJt dunn, wenn es zu jedem Xo E K eine Kugel Br( xo) und eine stet ige reelle Funktion cp(y ) mit y = (Xl , . . . ,Xj- I, Xj+I, ... ,X n ) E Q gibt derari , dajJ
M := K n Br(xo) = {(Xl, . . . , Xn ) : Xj = cp(y) , Y E Q}
1.11 Satz von Heine -Borel, Lipschitzstetigkeit. Nullmengen
101
und Q eine kompakte Teilm enge von JRn- l ist . Kurzum, eine kompakte Menge K des JRn hei£t dunn, wenn sie lokal der Graph einer stetigen Funktion sp : Q ----> JR iiber einem kompakten Definitionsbereich Q ist , der in einer der Hyperebenen {x E JRn : Xj = O} liegt . Proposition 8. Eine diinne kompakte Menge K des JRn hat den n-dimensionalen Inhalt Null .
Bewe is. Nach dem Satz von Heine-Borel kann K durch endlich viele Kugeln Br(xo) von der in Definition 7 beschriebenen Art iiberdeckt werden. Wegen Proposition 7 ist also K eine endliche Vereinigung von Mengen des Inhalts Null , und nach Proposition 6 gilt IKI = O.
o
Kapitel2
Kurven und K urvenintegrale Dieses Kapi tel ist der Unte rs uchung von Kurven und von Integralen lan gs Kuryen gewidmet . In Abschnitt 2.1 werden zunachst rektifizierbare Kurven und deren Bogenliinge eingefiihrt, und es wird gezeigt, daf sttickweise glatte Kurven a uf den P ar am eter der Bogenlange transform iert werd en konnen, woraufhin ihr e Absolutgeschwindigkeit (Bahngeschwindi gkeit) gleich Eins wird. Verrnoge orient ierungst re uer P aramet ertransfo rm ationen wird eine Aquivalenzrelation unter Kurven definiert, die es erla ubt, aquivalente Kurven zu W egen zusa mmenzufassen. Lan gs Kurven und Wegen werd en Ku rven- und W egintegrale fur Vektorfelder definiert. Es wird unter sucht , wie man mit Wegint egr alen rechnet und wann sie wegunabhan gig sind . Aus diesen Unte rs uchungen erg ibt sich insbesonder e Cauchys Int egralsatz . Dieser liefert einen bequ emen Zugang zur "Funkt ionent heorie", der Theorie holomorpher Funkt ionen und der Potenzreihen (vgl. Kapit el 3). Abschni t t 2.2 be ha nde lt einige differenti algeometrische Begriffe und Resultate der Kurventheor ie, beispielsweise K riimmung, Win dung, Hauptnormalenvektor und die Frenetschen Form eln. Abschnitt 2.3 befaBt sich mit der st etigen und differ enzierbar en Abh an gigkeit der Losungen von Anfangswert pro bleme n fur gewohnliche Differentialgleichungen hinsi chtli ch P ar am et ern, etwa mit der Abhan gigkeit von ihren Anfangsdat en. Mit diesen Resul t aten erkennt man , daf der Phasenfluf glatte r vollst andiger Vektorfelder eine Einparam etergruppe von Diffeom orphism en des Phasenrau mes liefert . Ferner liefern diese Er gebnisse a uch die Grundlage fur Lineari sierungen von Fliissen tPoincoresche Variat ion sgleichung). In Abschnitt 2.4 leiten wir die Eul er-Lagrangeschen Differentialgleichungen fur eindimensionale Var iationsp robleme her. Anschlie£end beh andeln wir das Fermatsche Prin zip der geometr ischen Optik, das Ham ilt onprinzip der Punktmechanik und den S atz von Em rny Noether ftlr invari ante Variationsintegrale, S. Hildebrandt, Analysis ©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
104
Kapi tel2. Kurven und Kurvenintegral e
der beispielswese die klassischen algebraischen In tegrale des Dreikorperproblems liefer t .
1
Bogenlange. Kurven- und Wegintegrale
Die folgenden Betracht ungen iiber so schein bar einfache geometrische O bjekte wie K urven wird d er Leser woh l zu niichst la ngweilig und iiberfliissig find en, doch si nd s ie fiir d as weitere noti g, Das Beisp iel der P ea nokurven zeigt ja , daf3 stetige Ku rve n sehr kornpl iziert sein konn en . W ir wer den Ku rven auf sp ezie lle Klas sen beschra nken , d a mit sie un serer geometrischen Vorst ell un g von einer K u rve entsprechen.
Unte r den stetigen Kurven f : I ----+ JRn mit I = [a, b] wollen wir zunac hst diejenigen auszeichnen, denen man eine endliche Lan ge zuordnen kann. Zu diesem Zwecke betrachten wir eine beliebige Zerlegung Z von I = [a, b] durch Teilpunkte to , tl , . .. , tk E JR mit (1)
und setzen !:ltj := t j -
tj - l
sowie k
(2)
.cz (f ) :=
L
If (t j ) - f (t j -d l .
j =l
Dies ist die elementargeomet rische Lan ge des P olygon zuges p z den Eckpunkte n P j := f (t j), der durch (3)
._ tj - t pz(t ) .- ~ Pj w tj
l
+
I
----+
JRn mit
t - tj - l !:l Pj tj
fur t E [t j- l, t j], j = 1,2, . . . ,k, definiert ist . D efinition 1. Man bezeichn et
(4)
.c(f ) := sup{.c z (f ) : Z ist Zerlegung von I}
als die Lange oder Totalvariation der Kuroe f E CO (1, JRN ) un d benutzt
J:
WI. W enn .c(f ) hierfur auch das Symbol rektifizierbar ( d .h. "streckbar").
IR n for muli er en und beweisen , do ch mull man sich hier fiir et was t iefer in das Ge biet der reellen Fu nkt ione n , insb esondere in die Mall- und Integr at ionstheor ie begeb en . Wi r werde n un s dah er a uf die Betracht ung von glat te n bzw. st ilckweise glatte n Kurven beschr iinken , was fu r viele interessant e Anwe nd unge n vo llig a usreicht .
Zun achst betracht en wir ein Beispiel.
[I] Ist f : [a,b] L , so ist
(5)
f
----+ JRn eine Lipschitzst eti ge Kurve mit der Lipschitzkonstanten rektifizierbar und es gilt (vgl. Formel (13) in Band 1, 3.12):
£(f) ::; L · (b - a) .
Bekanntlich ist fur I = [a , b] jede Kurve f E C 1 (I , JR n ) Lipschitzst eti g mit der Lipschitzkonst anten L = max r ID f l. Somit ist j ede Kurue aus C 1 (I , JRn ) rekt ifizierbar , Hieraus ergibt sich ohne weiteres, daf j ede K uroe der K lasse D 1 (I , JRn ) rektifiz ierbar ist , wob ei D 1 folgend ermaBen definier t ist :
D efi nition 2. E in e ste tige Kuroe f : I ----+ JRn m it I = [a, b] heijJt stiick weise glatt, wenn es ein e Zerlegun g a = to < tl < . .. < tk = b von I in en dlich
vi ele Teilintervall e I j = [t j- l, tj l gibt, so dajJ die E in schriinkungen f lI von der .1 Klasse C 1 (Ij, JRn) sind. Mit D 1 (I , JRn) wird die Kla sse der stetigen , stiickweise glatten K urven f : I ----+ JRn bezeichn et.
Wir bemerken , daf in den Zerlegungspunkten t j mit 1 ::; j ::; k -l die einseitigen Ableitungen j + (t j ) und j_ (t j) exist ieren und daf
gilt, wahrend j (t j) nicht zu exist ieren braucht . Die Param eterwerte tj fuhren also mog iicherweise zu Kurvenpu nkten, wo die Spur r = f(I) geknickt ist . In solchen Punkten exist ieren die rechts- und linksseit igen Tangenten , nicht abe r die Tan gente selbst.
106
Kapi tel2 . Kurven und Kurvenintegrale
Verabredung. Wenn unr im folgenden von einer stiickweise glat te n Kurve f : I ........ lR n sprechen, meinen wir immer eine ste t ige, stilckweise glatte Kurue, also ein Element f E D 1(I , lRn ) . Diese Konvention weicht von Definit ion 2 in Band 1, 4.6 ab, wo wir auch unst et ige stiickweise glatte Funktionen zugelassen hab en , und dient der Bequemlichkeit. Satz 1. Jede Kuroe f : I ........ lR n der Klasse C 1 oder D 1 ist rektifizie rbor, und
£(1 ) =
(6)
l
b
Ij(t )! dt .
Beweis. Die Rektifizierbarkeit von Kurven der Klasse C 1 bzw. D 1 hab en wir
rn
bereit s in festgestellt. W ir miissen also noch Formel (6) beweisen . Es genugt , dies fur C 1-Kurven auszufuhren, weil k
£(1)
2: £ (fJ )
=
lind
j =l
gilt, wenn Z eine Zerlegung von I in Teilintervalle h ,. .. ,h bezeichn et und i s := f II J gesetzt ist . Urn (6) fur f E C 1 (I,lR n ) zu beweisen, betrachten wir zunachst eine beliebige Zerlegung Z von I = [a, b] der Form (1). Wegen
f(t j ) - f (tj-d
=
t.
j (T) dr
folgt
£ Z (l) Also ist
f rekt ifizierba r , und es gilt
(7) Bezeichnet a (t ) die Lan ge des Kurvenstiicks f l[a,t] mit a < t ::; b und set zen wir noch a (a) := 0, so ist a(t + h) - a(t ) die Lange des Kurvenstii cks f ![t,t+h]' falls a ::; t < t + h ::; b ist . Wegen (7) ergibt sich
(8)
1
1
h [a (t + h) - a( t) ] ::; h
Trivialerweise gilt If (t
+ h) -
I t
1
+
.
If (r )ldr .
f( t) 1::; a(t + h) - a(t) lind somit
h1 I t t+h j(T)dT I ::; h1 [a (t
(9)
t h
+ h) -
a (t) ] .
107
2.1 Bogenlange. Kurven- und Wegintegrale Aus (8) und (9) erhalten wir
1*
I
t h
+ j(T)dT
*
I
0 .
Der Name di eser Kurve er klart sich a us der Bez iehung log If (t )1 = Ri: Wegen
j et ) = e R t . (R cos t - si n t , R sin t folgt
+ cos t)
Ij (t)1= e Rt v'R2.+l und d amit L (f )
Ein e Kurve
=
of
e Rt JR2
+1
dt
= eR tV I + R - 21 :=
VI
+ R -2(e Rb -
eRa) .
f mit dem Definitionsintervall I = [a, b] konnen wir als einen Fohrr := f(I) durchlaufen wir d. Man nennt
plan a uffassen, der angibt , wie die Spur
P := f (a) den Anfangspunkt und Q := f( b) den Endpunkt der Kurve f . Ist die Abbildung f injektiv, so heiBt f einfache Kurve oder auch: Jordanscher K urvenbogen.
Ein e C 1-Kurv e f : I ---+ JRn heiBt Immersion von I od er auch r eguHire C 1 _ Kurve (oder immergierte C 1-Kurv e) , wenn j (t) =j:. a ist fur alle i e t . Eine D 1-Kurve heiBt reguliir, wenn a uf jedem Differenzierb arkeit sintervall I j
/ l.
gilt, d .h. wenn die E inschrank ung von f auf jedes der endlich vielen DiffeJ ren zierbarkeit sintervalle I j von f regul ar ist . Eine Kurve f : [a, b] ---+ JRn heiBt geschlossene Kurve (oder auc h Schleife) , wenn f( a) = f (b) gilt , also Anfangs- und E ndpunkt von f zusa mmenfa llen. Ein e Abbildung f E D1([a,b], JR n ) mit f (a) = f (b) beze ichnen wir als geschlossene D1-Kurve. Wir nenn en f E C 1([a , b],JRn) eine geschlossene C1 -Kurve, wenn f (a)
= f (b)
und j (a+O) = j(b- O) gilt . Geometrisch bedeutet dies, daB die Spur r in P = Q keinen "Knick" hat , falls j(a + O) =j:. a ist, denn sie besit zt ja dann eine Tan gente in f (a). Entspr echend zur ob en gege benen Definit ion nennen wir eine geschlossene C 1 _ (bzw. D 1 )-Kurve f : 1 ---+ JRn eine requliire (oder immergiert e ) geschlossene C 1 _
109
2 .1 Bogenliinge. Kurven- und Wegintegrale (bzw. D 1 )-Kurve, wenn j(t) tervall von f) gilt.
f- 0
auf I (bzw. auf jedem Differen zierbarkeitsin-
Eine Kurve f E CO ([a , b], JRn) heiBt e infache gesch lossene K u r ve oder auch gesch lossene J o rdan k u rve, wenn f (a) = f (b) gilt und die Einschriinkung von f a uf das halboffene Intervall [a, b) injekti v ist. Oft wird auch die Spur von r = f([a , b]) einer einfachen geschlossenen Kurve als Jordankurve in JRn bez eichnet. Der G rund fur diese Bezeichnung ist de r be rlihmte Jordansche Kurvensatz , der folgendes besagt : Ist I' die Spur einer Jordankurve in IR 2 , so besteht IR 2 \ r aus genau zwei (bogenweise) zu sammenluinqeruien offenen Komponenten Sl (beschrtinkt } und Sla (unb eschriinkt}, fur die a Sl = a Sla = I' gilt. Man nennt Sl das Innere und Sla das Auflere von I' . Wenn wir an die Peanokurven denkcn , erkenne n wir leicht , daf fur beliebige geschlossene Kurven kein ents prec hendes Resul tat gelten kann . In der Tat liegt der Beweis des Jordanschen Kurvens at zes nicht auf der Hand; wir verweisen hierz u a uf Lehrbucher der Topo logie.
D e finition 3. (i) Unter einer P a r a m et ert r ansform a t io n verstehen unr eine bijektive stetige Abbildung 'P : 1* --+ I eines Int ervalles 1* = [a, ,6] auf ein Ini eruall I = [a, b]. Wir nenn en 'P o r ie nt ie r u ngstreu , wenn die Abbildung monoton wiichst, und o rient ie rungsu m ke h rend , wenn sie mono ton fiillt.
(ii) Zwei Kuroen f E C° (I,JRn ) und 9 E C°(I*, JR n) heiften (CO -)aqu ivale n t , in Zeichen: f rv g, wenn es eine orientierunqstreue Parometertransformation 'P : I * --+ I von 1* auf I gibt, so daft 9 = f 0 'P ist. Man uberlegt sich leicht, daf
(i) f
f f
(ii) (iii)
rv rv rv
f;
'*
9 9 rv i 9 und 9 rv h
,
'*
f
"f
rv
rv
g" eine Aquivalenzrelatio n ist , d .h .:
hi
Damit konnen wir Aquivalenzklassen [j] von CO-aquivalent en Kurven betrachte n; sie sind die geom etrische Substan z, die ubrig bleibt, wenn man die Wi llkur des jeweiligen Fa hrplans entfernt. D efinition 4 . Wir nennen jede CO-Aquivalen zklasse 'Y Weg in JRn . Aus (i) (ii) (iii) (iv) (v)
f
rv
9 folgt sofort :
fund 9 hab en den gleichen Anfangs- und Endpunkt. Liegt f in der Menge M des JRn, so au ch g. Ist f eine einfache Kurve, so au ch g . Mit fi st auch 9 eine geschlossene Kurve. Ist f eine geschlosse ne Jord ankurve, so auch g .
Deshalb konnen wir in eindeut iger Weise festlegen:
[j] einen (st etigen)
110
Kapitel2 . Kurven und Kurvenintegrale
Definition 5. Ein W eg 'Y = [I] mit dem R epriisentanten f : [a , b] -7 jRn heijJt einfacher Weg , wenn f eine einfache K uroe isi, und geschlossener Weg, wen n f eine geschlossene Kurve ist, und f unrd Parameterdarstellung oder Parametrisierung des W eges 'Y gen annt. Die M enge r := f ( [a , b]) heijJt Spur des W eges 'Y , un d f( a) bzw. f(b) nennen wir den Anfangs- bzw. Endpunkt von 'Y . Ferner nennen wir eine n einf achen W eg Jordanbogen, und ein geschlossetier einf acher W eg wird auch geschlossener J ordanweg oder (eigentlich ni cht korreki ) geschlossene Jordankurve genan n t. Wir bemerken , daf selbst ein geschlossener Jordanweg 'Y eigent lich nicht gena u dem ents pr icht, was man in der Umgangssprache als "gesc hlossenen Weg" od er "gesc hlossene Kurve" bezeichnet , denn wir hab en auf der Spur r einen Punkt P ausgeze ichnet, der zugleich Anfan gs- und Endp unkt ist . Ferner kann man I' in zwei Richtungen durchlaufen , beispielsweise einen Kr eis link sherum od er recht sherum. Die Essenz eines geschlossenen Jordanweges 'Y ist also die Spur
r
plus ausgezeichn et er Punkt P plu s Durchlaufsin n .
Zwei geschlossene Jo rd anwege 'Y l und 'Y2 mit der gleichen Spur sind genau dann gleich, wenn sie denselben a usgezeichnete n Punkt P und denselb en Du rchlaufssinn hab en . Unterscheiden sie sich im Durchlaufssinn , wollen wir sie auf jeden Fall als verschiedene Objekte ansehen; wir sagen dann , 'Y l und 'Y2 seien entgegengesetzt orienti ert . Dagegen kommt dem a usgezeichneten Punkte P im allgemeinen keine Bedeutung zu. Gewohnli ch "identi fiziert" man zwei Jordanwege mit gleicher Spur und gleichem Durchlaufssinn a uch dann , wenn sie verschiedene ausgezeichnete Punkt e hab en . Dazu konnt e man einen schwachere n Aqui valenzb egriff fur geschlossene Kurven einfuhren, be i dem der ausgezeichnet e Punkt keine Rolle spielt . Dies geschieht am einfachsten dadurch, daf man eine geschlossene Kurve in jRn als ste t ige Abbildung f : C -7 jRn der Kreislinie C = SI = {w E C : Iwl = I} in den jRn auffaBt und dann eine andere solche Kurve 9 : C -7 jRn als zu f aquivalent an sieht, wenn es einen Homo omorphismus sp : C -7 C von C auf sich gibt, so daf 9 = f 0 r.p gilt und die Punkte r.p (w) den Kr eis C im mathem atis ch positiv en Sinne (also gegen den Uhrzeigersinn) du rchlaufen , wenn dies die Punkte w t un. Damit ist folgend es gemeint : W ahlt man fur C etwa die P ar am et r isier ung x: [0, 2Jr] -7 jR 2 mit X(t) = (cost, sint) , so ist r.p(X (t )) = (cose(t) , sin e(t)) mit einer monoton wachsenden Funktion e(t) , die e(O) = eo und e(2Jr ) = eo + 2Jr erfiillt , wob ei eo einen Winkelwer t mit r.p (0, 0) = (cos eo , sin eo) bezeichnet . Uberhaupt ist es gesc hickter und tib rige ns a uch natti rli ch er , fur gesc hlosse ne Wege di e Paramet erd arst ellungen f tiber d em Ei n heitskreis C zu wa hlen a ls f : C ---; IRn , und di ese erst bei Bedarf auf d as Intervall [0,21T] zu ziehen , ind em man f( e i t ) bzw . f( cos t , sin t ) betrachtet . W ir tibe rl assen es d em Leser , di e fur d as weitere erfor derl ichen Begriffe von den Darstellunge n f : I ---; IR n a uf di e Darstellungen f : C ---; IR n zu iibertragen , beispielsweise zu d efin ieren , was unt er Cl_ un d D I-Darst ellungen und unter regul aren Cl _ bzw. D I-Darstellunge n von Wegen zu verst eh en ist. Da mit wird auch sofort klar , warum wir fiir gesc hlossene CI -K ur ven
f : [a, b] ---; IRn neben f (a) = f (b) a uch j( a + 0) = j(b - 0) verlangt haben .
111
2.1 Bogenliinge. Kurven- und Wegintegrale
Hinweis. In der Lit eratur heiBen di e hier als "Wege" bezeichn et en Objekt e vie lfach " K ur ven" , und di e hier " K ur ven" genan nte n Ge bilde werden statt dessen als "Wege" oder " P ara met erd arst ellungen (einer Ku rve) " bezeichn et . Diese Sprachverwirr ung ist zu beklagen , a be r wohl nicht zu andern , (A hnlich ste ht es urn den Begriff "Fliiche" , den wir spater definieren werden .) Aus dem Zusamme nhang d iirft e immer hervorgehen , was gemei nt ist .
Nun wollen wir zeigen, daf es sinnvoll ist, von rekt ifizierbaren W egen und deren L ange zu reden . Dazu beweisen wir folgendes Resultat .
Satz 2. Sind f E C°(I, lRn ) und 9 E C °(I*, lRn ) zwei CO-aquivalente Kurv en und ist f rekt ifizierbar, so auch g, und es gilt £(f) = £(g) . B eweis. Wegen f
rv
9 gibt es eine orient ier ungstreue P ar ameter tran sformat ion = f 0
a bis a uf die endlich vielen Kni ckpunkt e t j von f , wo &(tj ± 0) = Ij (t j ± 0)1 ist . Also ist o eine orient ierungserha lte nde, regulare und sttickweise glatte P ar ametertran sformat ion von [a, b] auf [0,1:]. Bezeichne 7 = iJ- 1 die Inver se von o ; sie ist eine orientierungserhaltende, reg ulare, st tickweise glatte Parametertransformat ion von [0,1:] a uf [a, b], und es gilt .
7(S)
1
1
= &(7(S))
Ij (7(S))1
Zu den Werten t j , die Kn ickpunkten von f entsprechen, gehore n Knickwer te Sj := iJ(tj) von 7 , und die vor an st ehend e Gleichung ist zu int erpretieren als
i(S j ± 0) = 1/ lj(7(sj ± 0)) 1. Nun bilden wir die zu
f aquivalente regulare D 1-P aramet risierung 9 :=
f
0 7 :
[0,1:] ----; JRn .
Wegen
9(S) = j(7 (s))i (s) = Ij tt )! j(t) [t=r(s) folgt 19(s)1 = 1 fur 19(5j ± 0)1= 1.
a < S < 1:.
In den Kn ickwer ten S = Sj bedeutet dies
Falls f E CI ist , so sind auch a, 7 und 9 von der Klasse C 1 . Ist f eine geschlossene reg ulare C 1 -Kurve, so auch g . Man nen nt 9 die Parametrisierung von I nach der BogenUinge. Diese Paramet er darst ellung von 'Y ist eindeutig bestimmt , d .h. un abhan gig von der Wahl der regularen D 1-Darstellung f von 'Y, von der aus wir zu 9 gelangt sind. Urn d ies zu beweisen , wa hlen wir eine andere D 1-Para rneterdarstellung [: : [0 , ,8] -> jRn von 'Y. Es gilt fr rv f , d .h . es gibt eine or ientierungserhaltende Parametert ra ns format ion I{) von [0 , ,8] a uf [a,b] mit fr = [ oip, W ir wissen aber nicht , daf I{) eine regul a t e D 1 -Parametert ransformation ist. J edoch konnen wir a nalog zu (12) die Funkt ion 0'1 E D 1 ([0,,8]) durch
O'I (U)
:= .f
Ij l (l!.) 1dl!.
bilden , d ie a-l (U) = Ij l (U)1> 0 (bzw . a-l(Uj ± O) = tjl (Uj ± O)I in den Knickstellen Uj von fr ) erfiillt und [0 ,,8J bijektiv und orientierungstreu auf [O, .C] ab bi ldet, wie man a us Satz 2 ers ieht .
2 .1 Bogen lange, Kurven- und Wegintegrale
115
Sei 71 := 0"1 und tn := II 0 7 1 , also Iill (s)1 = 1 a uf [O, L] . Au s f ~ II , f ~ 9 und II ~ gl folgt 9 ~ s» . d .h. es gibt eine st etige, ori entierungserhaltende Bij ektion 'ljJ von [0, L ] a uf [0, L ] mit g l = g o 'ljJ. Wi r beh aupten , daB 'ljJ (s) == s ist . And er enfalls giibe es eine n Wert s E [0, L] mi t s := 'ljJ (s) # s. Dann sind 1
0 ::::; t ::::; s
h(t ) := get) fur und
hl (u ) := gl (U) = g('ljJ(u )) fur
0 ::::; u ::::; s
aqui valen t e Darstellungen und somit Para met erd arst ellungen eines Weges folgt L b *) = L(g) = L(gIl . Anderer seits gilt
L(g) = l S lg(t )1dt =
./0
und
L (gl ) = l SIg(u )ldu =
./0
so mit L (g)
# L (gl ), Widerspru ch . Wir er ha lte n
r dt
./0
'"(* .
Nac h Satz 2
s
=
rs du = s ,
./0
also
'ljJ( s) = s fur aile s E [O, L ] und som it
g(s) = gl (s) filr aile s E [0, L ] .
Wir fassen diese Ergebnisse in dem folgenden Satz zusamme n.
Satz 3. Sei v ein qlaiter bzw. stiickweise qlatter Weg mit der reguliiren C 1 _ bzw. D r-Porameterdarsteuunq f : [a, b] ----+ jRn . Dann unrd durcli
J(t) :=
it
liW I dt
ein e requliire C1 -bzw. D r-Porometertromsjormation t
f--*
S
=
J(t)
von [a , b] auf das Inieruall [0, £] defini ert, E := £( "Y) = £ (f ), die
o-(t) = Ij(t )! erfiillt und somit orieniierunqserholi etul ist. Die Inverse T = J - 1 ist ein e reguliire orieniierunqserhalierul e C1-b zw. Dr -Poram etertronejor-maiion von [0, £] auf [a , b], und 9 := f 0 T liefert eine Parametrisierunq g(s) , s :::; L , von "Y nach der Bogenliinge, d.h. es gilt Itt( s) I = 1 auf [0, Z]. Diese ausgezeichnete Darst ellunq ist eindeutig bestimmt, d.h. j ede and ere reguliire Cl-bzw. Dr -Darstellunq von "Y fuhrt auf dieselbe Porametrisierunq nach der Bogen liinge. Die gleichen Behauptungen gelten auch f iir geschlossene glatte bzw. stiickweis e glatte W ege.
°::;
Bemerk u ng 5 . Au ch hier bewiihrt sich die Leibn izsche Symbolik: Aus g(s) = f (t) mit s = set ) und set )
. 1 folgt I dg = If(t) ds (s) I = 1, weil dg (s) tis
df (t ) dt dt ds
.
1
f (t ) dB dt
.
1
f (t ) Ij (t )1 .
116
Kapitel2. Kurven und Kurvenintegr ale
Definition 9. Zwei Cl -bzw. Dr -Kurue n J und 9 heiften C l-b zw. Dl-aquivalent (in Z eichen: J ~ g in C l bzw. D l ) , wenn es eine requliire C' JRn der Gestalt F (c) = /
F( c(t) , c( t») dt
,
120
Kap itel 2. Kurven und Kurvenintegr ale
wob ei F( x ,p) eine stet ige Funktion von (x , p) E 0 x rn;n, 0 C rn;n, bezeichn et , d ie beztiglich p positi v homogen von erste r Ordnung ist. Fur J hat dann F die Gest alt F (x ,p) = v (x) · p. Insb esonder e ers et zt man v(x ) . dx durch eine lineare Differentialform (ode r Ko vektorfeld auf 0 , vgl. Abschnit t 1.2) w(x ) = 'L. J=l wj(x) dx j und definiert .I~ w mittels der "vermoge c zur uckgeholten For m c*w " durch
. W = / . c*w
./ c
. I
wob ei der " P ull-back" c*w durch n
(c*w)(t) :=
L
Wj (c( t) )cj(t)dt
j= l
definier t ist. Formal gesehen ist dies von unserem jet zigen " na iven " St and punkt aus gesehen nichts anderes als di e ursprtingliche Definition (15). Geht man hing egen mit Hilfe eines Diffeomorphismus y t--> X = 0 finden , so daf die Kugeln B" j (c(tj)) in n liegen und r := c([a, b]) liberdecken. Dann laBt sich ohne Milhe ein wiederum mit c
124
Kapitel2 . Kurven und Kurvenintegrale
bezeichnet Polygon konstruieren, das P mit Q verbindet, regul ar ist und in der Vereinigung der ob en gewa hlten Kugeln , also au ch in n liegt. Damit ist VMP,Q) fur alle P, Q E n mit P =I Q nichtleer. Das gleiche gilt auch fur eMP,Q), denn wir konnen durch "Abr undung der Ecken" den Polygonzug c in eine regulare C1-Kurve verwandeln , die in n verlauft und P mit Q verbindet . Die Abrundung der Ecken laBt sich erreichen, indem man c in der Na he der Ecken durch hinreichend kleine Kr eisbogen ersetzt, die glatt an die jeweiligen Kanten von c anschlieBen. D Bevor wir Kriterien fur die Wegun abhangigkeit von Wegint egr alen a ufst ellen, wollen wir uns zunachst davon uberzeugen , daf nicht alle Wegintegrale wegunabhangig sind .
lID
In
n=
IFI. 2 se i d as Vektorfeld v : IFI.2 --; IFI.2 durch
v(x, y) = (v d x , y) , V2(X, y )) = (x
+ y , y2)
definiert und
W (r) := /' ,
VI
(x , y )dx
+ V2(X, y)dy
=
~
/ ' (x
+ y)dx + y 2dy
.
.~
Wir betracht en drei Wege, die P = (0,0) und Q = (1, 1) ver bi nde n: y
y
y
Q
Q
Q
1'2
_--_-.....J-- x 1'1
p
(i)
X
p
(ii)
X
P
(iii )
(i) I' = 1'1 + 1'2 , wob ei C1 (t) = (t, O), 0 S t S 1, ei ne P arametrisierung von 1'1 und C2(t ) = (0, t ), 0 S t S 1, eine Parametrisierung von 1'2 sei . Dann gilt
(ii) Der Weg I' habe di e P a ramet erdarstellung crt) = (t , t 2 ) mit 0
W (r)
=
' / v l dx + v2dy
. c
=
/" 1[(t + t 2) . 1 + t 4 ·2t ]dt
,0
StS
1. Dann ist
= -1 + -1 + -1 = -7 . 2
3
3
(iii) Der Weg I' habe di e Darst ellung crt) = (t , t) m it 0 S t S 1. Dann ist
W (r)
= / ' v l dx + v2dy = , c
{ I [2t . 1 + t 2 . 1]dt
./0
= 1+~ = ~ . 3
6
6
125
2 .1 Bogenl an ge. Kurven- und \'Vegintegrale
W ir er ha lten d rei versc hiede ne Wert e fur W e, ), d as Wegin t egr al ist a lso im vorliegenden Fa ll wegab hangig. Hatt en wir abe r beispielsweise vex , y) = (x
+ y , x + y 2)
gewah lt , so ergabe sich fur d iese drei Wege und iiberhaupt fur jeden Weg " d er P = (0, 0) mit Q = (1,1 ) ver bindet , der Wert W ('y) =
¥.
Wir wollen nun Kriter ien fur die Wegunabhangigkeit von f-y v (x ) . dx aufste llen. F ur n = 2 stammen die wesentlichen Ideen schon von Clair au t (1743) . 1m folgend en sei v : n -.-, jRn stet s ein ste tiges Vektorfeld in n c jRn.
Proposition 3. Das W egintegral W (r) = f-y v (x ) . dx ist genau dann wegunabhiingig in n, wenn W (r) = 0 f ur j eden geschlossenen, si iickuieise glatt en W eg "( in n gilt. Beweis .
(i) Sei W (r)
=
"(1,"(2 E V b(P,Q) mit P
Dann folgt (23)
0 a uf den geschlossenen Wegen . F ur zwei beliebige
i=
Q bilden wir den geschlossenen Weg "(0 := "(1 - "(2.
0 = W (ro) = W (r1 - "(2) = W (r1)
+ W ( -"(2) =
W (rI) - W (r2) ,
also W (rI) = W (r2). Hierau s ergibt sich W (r ) == const fur "( E vb(P, Q). (ii) 1st umgekehrt W (r) wegunabhangig und bezeichn et "( einen beliebi gen geschlossenen und stiickweise glatten Weg in n, so zerlegen wir "( in zwei st uckweise glatte Kurven "(1 und "(2 derart , daf "( = "(1 + "(2 = "(1 - ( - "(2) ist und "(1, -"(2 E V 1(P,Q) gilt . Dann folgt W (rI) = W( - "(2) und somit
W (r) = W (r1) + W (r2) = W (r1) - W( -"(2 ) = 0 .
o Q
P
Nun wollen wir noch eine Varian te von Proposition 3 angebe n, die sich in Kurze als sehr nutzlich erweisen wird .
Proposition 4. Das W egintegral W (r) = f-y v(x ) . dx ist genau dann wegunabhiingig in n, wenn W (r ) = 0 f ur j eden glatt en geschlossen en W eg "( in n gilt. B eweis. Wegen Proposit ion 3 ist die Bed ingung, daf W (r) = 0 fur aile glatt en geschlossenen Wege in n gilt, jedenfalls notwendig fur die Wegunabhan gigkeit in n. Um zu zeigen, daf sie auch hinreichend ist , betracht en wir einen beliebigen stii ckweise glatten geschlossenen Weg "( in n und eine reg ulare D 1 _ P arametrisierung c : I -.-, jRn von "(. Durch "Abr undung der Ecken " von c kann man eine Folge {cd von regular en C 1 -Kurve n Ck : I -.-, jRn finden , die a uf demselben Intervall I wie c definiert sind und die folgend en Eigenschaft en hab en :
126
Kapitel2 . Kurven und Kurvenintegrale
(i) Ck(t ) unterscheidet sich von c(t) nur auf endlich vielen Teilintervallen Ijk' 1
< j < n;
(ii) Es gilt Ck(t) =::+ c(t ) auf I fur k (iii) ~~';1 {Jl
----+ 00 .
jkIdcl + h kIdck I} < to
.
Wegen (ii) gibt es eine kompakte Teilmenge K von 0 , die die Spuren aller Kurven c, C1, C2 , ... , Ck, .. . ent halt . Sei}VI := sUPK Ivl. Dann ergeben sich wegen (iii) und Satz 4, (ii) die Ungleichungen
11v( x) . dx l
:s: 11kv (x ) . dx l +
M /k .
Da nach Vorau ssetzung.J:Ck v (x ) · dx verschwindet, erhalt en wir fur k auch I c v (x ) . dx = 0 gilt .
----+ 00,
daf
o
Satz 5. Fur ein Gebiet 0 in jRn ist Wh) := 1'"'1 v (x ) . dx genau dann wegunabhiingig in 0 , wenn das Vektorfeld v : 0 ----+ jRn eine Potentialfunktion U E C 1 (0) besitzt, also konservativ ist.
Beweis. (i) Angenommen , es gibt ein U E C 1(O) mit v = "VU. Wir betrachten einen Weg "( E V~(P, Q) mit der P arameterdarstellung C : [a, b] ----+ jRn . Dann gilt
Wh)
=
1
v (x ) . dx =
l
b
v(c(t)) . c(t ) dt
b
Jb
=
l
=
U(c(b)) - U(c(a)) = U(Q) - U(P) ,
a
"VU(c(t)) . c(t)dt =
. a
d dU(c(t)) dt t
und folglich ist Wh) wegunabhiingig. (ii) Sei Wh) wegunabhiingig. Wir fixieren einen Punkt Xo E 0 und definieren die Funktion U : 0 ----+ jR durch
U(x) := Wh) =
1
v(O . d~
,
x EO,
wobei ry E vMxo, x) sei. Fur hinreichend kleines 0 > 0 liegt x + ta in 0, wenn a E Sl und It I :s: 0 ist . Dann verbindet der Weg "( + "( t den Anfangspunkt Xo in 0 mit dem Endpunkt x + ta, wenn wir "( t durch die Parameterdarstellung c(u) := x + uta mit 0 :s: u :s: 1 definieren. Es folgt
U(x
=
+ ta)
1 1
- U(x) = Wh + ,,(t )
v(c(u)) . c'(u)du =
-
1
Wh) = Wh t )
1
v (x
+ uta)
. ta du
127
2 .1 Bogenl an ge, Kurven- und Wegintegr ale und dah er
~ t
[U(x + ta ) - U(x) ] =
t' v(x + uta) . a du .
Jo
Also exist iert oU( x )/ oa, und es gilt ~~ (x) = v(x )·a. F ur a = el,' " ,en erha lt en wir g~ (x) = V k (X ) , 1 ::; k ::; n . Hier au s ergibt sich '9 U = v und damit U E C l (D). D W ir wissen , daf fur die Existenz einer Potentialfunkt ion U E C 2 (D) eines Vektorfeldes v E Cl(D , ~n) und damit fiir die Wegunabhangigkeit von W (/') = dx notwendig ist, daf die Integrabilitatsbedingungen
Il' v.
(24)
OV j _ OV k -OXk OXj
a,
1_ < ],. k < _ n ,
in D erfiillt sind. Ferner wissen wir, daf (24) fur die Exist enz eines P otent ials U fur das Vektorfeld v hinr eichend ist , falls D konvex oder wenigstens ste rnformig oder zum indes t eine Hydra ist . Nun wollen wir zeigen , daf dies a uch fur einfach zusommenhiinqetuie Gebiete D der Fall ist. Dazu mussen wir zunachst den Begriff "ei nfach zusammenhangend " erklaren, Definition 16. Eine geschlossene C l- Ku rve c : [a, b] ----+ ~n in D heifJt nullhomotop in D, wenn es eine Cl -Abbildung (t , s ) f---+ h(t , s ) von [a, b] x [0, 1] in die Menge D gibt, die folgende vier Eigenschaften hat:
(i) h(t , 0) = c(t ) fur alle t c L. (ii) Es gibt einen Punkt Po E D, so dafJ gilt: h(t, 1) = Po fur alle t El. (iii) h(a , s ) = h(b, s ) fur alle s E [0,1]. oh oh o2h . . d . . (iv) at (a,s) = ot(b, s)fur s E [O, l ]; ot8s exisiiert un ist steiiq. Ein glatter geschlossener Weg , in D heifJt nullhomotop in D, wenn es eine regulare C'<Parometerdorstellunq c von , gibt, die in D nullhornotop ist. Ans chauli ch gespr ochen bedeutet dies, daf eine Cl-Kurve gen au dann nullhomotop ist , wenn sie sich in D tiber eine Schar geschlossener C l- Kur ven in differenzierbar er Weise auf einen Punk t Po zusammenziehen laBt. Ubli cherweise setz t man nur h E C O vor au s und laBt (iv) weg. Dami t ist der Begriff "nullhomotop " auch fur geschlosse ne stetige Kurven (bzw. Wege) erklart, und mittels einer "Glat t ungsoperat ion" kann man zeigen, daf die beiden Definitionen fur C l -Kur ven (bzw. Wege) dasselbe bedeuten . Aus (iv) folgt nach dem Satz von Schwar z, daf a uch ist: (25)
o2h osot
h st
exist iert und gleich
hts
128
Kapitel2 . Kurven und Kurveninte gr ale
Definition 17. Ein Gebiet n in lR n heifJt einfach zusammenhangend, wenn jeder glatt e geschlossene Weg in n dort auch nullhomotop ist. In der Tat ist n gena u dann einfach zusa mmenhangend, wenn jede geschlossene Kurve in n dort nullhomotop ist.
ein einfach zusammenhiingendes Gebiet in lRn , und v : n ~ lRn bezeichne ein Vektorfeld der Klasse C 1, das die Int egrabilitiitsbedingungen
Satz 6. Sei
n
()Vk
-() = a ,
(26) in
n
Xj
erfii llt. Dann ist das Wegint egral
.
J, k
= 1,2, . . . ,n ,
J"I v (x ) . dx
in
n wegunabhiingig.
Beweis. Sei c : [a, b] ~ lRn eine regular e C 1-Par am eterdar st ellung eines geschlossenen Weges 'Y in n. Dann gibt es eine C 1- Abbildung h : [a, b] x [0, 1] ~ n mit den Eigenschaft en (i) - (iii) der Definition 16. Bezeichne 'IjJ (s ) die Funktion
l
'IjJ (s ) :=
b
v( h(t , s )) . h(t , s )dt ,
wob ei hier und im folgenden . die Ableitungen nach t und ' die Ableitung nach s bezeichne. Wir werd en zeigen, daf 'IjJ' (s) = a ist fur alle s E [0, 1], wor au s 'IjJ (s ) == const und insbesondere 'IjJ (1) = 'IjJ(0) folgt. Wegen (ii) erha lte n wir h(t , 1) == a auf [a, b] und somit 'IjJ (1) = 0, dahe r a uch 'IjJ (0) = O. Hier au s ergibt sich
1
v (x) . dx =
=
l
1
v(x) . dx =
b
v (h(t , 0)) .
l
b
v(c (t) ) . c(t )dt
j~(t, O)dt = 'IjJ (0) = a,
und Proposition 4 liefert, daf das Wegintegr al J v (x ) . dx in n wegunabhangig . "I ist . Es bleibt also zu zeigen, daf 'IjJ'(s) == a ist. Sei h(t , s ) = (h 1(t , s) , ... , hn(t , s )) und 0 d ie
Bez ieh u ng
W (r ) = /. v I( x, y) dX +V2(X ,y)dy = / . R- 2 (x dy - y dx ) = 211" . ' ''1
' ''1
130
Kap itel 2. Kurven und Kurvenintegr ale
AbsehlieBend wollen wir uns noeh einmal dem in Definition 13 eingeftihrte n komplexen Wegint egral I T f (z)dz zuwenden. Hier ident ifiziere n wir wieder den ]R2 mit der komplexen Ebene C , indem wir Punkte (x, y) E ]R2 mit den komplexen Zahl en z = x+i y identifiziere n, ohne daf dies jedesma l ausdr ucklich hervorgehoben wird . Dementspreehend wird jede offene Menge n von Punkten (x , y) E ]R2 mit der korrespo ndierenden Menge kompl exer Zahl en z = x + iy identi fiziert , die wir wieder mit n bezeiehnen wollen. Wir betraeht en nun eine komplexwer tige Funkt ion Menge n a us C ~ ]R2 und sehreiben (27)
mit u( x , y) (28)
f : n ----+ C au f einer offenen
f( z) =u(x ,y) + i v (x , y )
= Re
f( z) , v (x, y)
= Im
w(x , y)
=
f (z ), z
(u(x, y), v (x,y )) .
Definition 18. E in Vekto rfeld w : wenn div w = 0 ist , d.h . wen n (29)
= x + iy und
Ux
n ----+
der Kl asse C 1 heijJt quellenfrei,
]R2
+ vy = 0
gilt, und es heijJt wirbelfrei, wen n
(30)
uy -
Vx
=0
ist .
Die Bedeutung der Bezeichnungen quellenfrei und wirbelfrei werden wir spater im Zusammenh an g mit den Integralsat zen von GauB und Stokes kennenlernen . Die Gleichungen (29) bzw. (30) k6nn en wir mit Hilfe des Nabla-Oper ators '9 (a/ax , a/ay) a ueh als (31)
=
'9 . w = 0 bzw. '9 x w = 0
sehreib en , wobei '9 x w form al als die Determinante
I
~ ~
I
definiert ist . ('9 x w ist die "Rotation" des zweidimensionalen Vekt orfeldes w = (u,v).) Definition 19. E ine komplexwertige Funkti on f : n ----+ C m it u( x ,y) = R ef( z ) und v (x, y ) = Im f (z) heijJt holomorph, wenn das zugeordne te Vektorfeld w : n ----+ ]R2 m it w (x, y) = (u( x , y ), v(x, y) ) in n von der Kl ass e C 1 ist un d die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (32) erfu llt.
Ux
=
vy , u y
=
-V x
2.1 Bogenl an ge, Kurven- und Wegintegrale
131
Gleichbedeutend ist : f = u + i v ist genau dann holomorph in n, wen n das Vektorf eld w* = (u , -v ) von der Klass e C 1 und in n sowohl quellen- als auch wirbelfrei ist . Hieraus folgt , daf 1 = u - iv gena u dann holomorph ist , wenn w = (u,v) aus C 1 und qu ellen- sowie wirbelfrei ist . Die Bedeutung der CauchyRiemannschen Gleichungen (32) besteht darin , daf sie, wie wir spater zeigen werd en , zur komplexen Differenzierbark eit von f aquivalent sind, d .h. daf in allen Punkten zE n die komplexe Abl eitung f'( z) existiert ,
1'( ) .- r
(33)
z .- h~~
+ h)
f (z
h
- f( z)
.
Satz 8. (Cauchys Integralsatz) 1st f( z ) holomorph in eine m einf ach zus am m enh iinqetuien. Gebiet n aus C, so gilt
1
(34)
f( z)dz
=0
fu r je den geschlossenen , stilc kweise glatten W eg r in B ewei s. Nach Formel (17) hab en wir
1
(35)
f( z)dz =
1
(udx - vdy ) + i
1
n.
(vdx
+ udy)
.
Das Int egr al auf der linken Seit e von (35) ist genau dann Null , wenn die beid en reellen Wegintegrale auf der rechten Seite Null sind, und nach Proposition 3 und Satz 6 vers chwinden diese beiden Integrale, wei! die Vektorfelder (u , - v) und (v, u) a ufgrund von (32) den Integrabilitatsb edingungen genligen . D Wir bemerken noch, daf der ob ige Beweis des Cauchyschen Integralsatzes eine Variante von Cau chys ursprlinglichem Beweis aus dem J ahre 1825 ist. Cau chy zeigt e, daf die Lagrangefunktionen FI( x , Y ,P , q)
= u (x , y)p - v(x, y)q und F 2 (x , y ,p, q) = v (x, y)p + u( x , y )q
Null-Lagrangesche im Sinne der Vari ationsre chnung (vgl. 2.4) sind; dies bedeutet , j ede C 2 -Kurve c(t ) = (x(t) ,y(t» ist Losung der Eul er-L agran geschen Different ialgleichungen der Integrale
I
t2
F 1 (x(t) , y(t) , x(t) , y(t»dt und
tl
It2 tJ
F 2( x (t) , y(t ), x(t) , y(t»dt .
Fur man che Anwendungen ist die folgend e Varian te von Sat z 8 nutzlich.
Satz 9. (Variante des Cauchyschen Integralsatzes) 1st f holomorph in so gilt
(36)
1
f(z )dz = 0
n,
132
Kapite12 . Kurven und Kurvenintegrale
fu r j ede geschlossen e c 1 _K urve c in n, die in n nullhomotop ist. Allg em ein er ist (36) fur je de geschloss en e D 1-Kurve in n richtig, die sich so durch eine Folge {Ck} von geschloss en en , in n nullhomotopen C 1-K urven Ck approximieren liifJt, dafJ gilt :
(37)
j f (Z)dZ
=
C
}~~ ~
JCk
f( z)dz .
B eweis. Wegen (32) und (35) erg ibt sich die ers te Behauptung durch die im Beweis von Satz 6 verwend et e SchluBweise, und die zweit e Behauptung ist dann evident.
o
Bemerkung 9 . D urch "Ab r undu ng der Ec ken" (vg l. d en Beweis von Proposit ion 4) laBt s ich in vielen Fallen d ie Ap proxi mat ion von c durch nullhomotope Cl - K urven Ck m it d er Approxi mationseigensc haft (37) erreichen. Bemerkung 10. In d er Funkt ione nt heo r ie wer de n wir in d er Regel m it Kurvenint egral en statt mi t Wegintegr al en op eri er en , weil d ies d ie Darstellung erhe b lich verei nfac ht . Beispi elsweise b enu t zen w ir d en Cauc hysc hen Int egral sat z m eist in d er Form (36) statt (34). Es ist aber n ilt zlich , sic h a n d ie In varian z von Kurven inte gra len .f~ f (z )dz bei Um parametrisierung von e zu er innern , was d ur ch d ie Forme l .f~ f (z )dz = .f ~ f(z) dz fUr 'Y = [e] a usgedriic kt wi rd .
Aufgaben. 1. Was ist d ie Bogenl ange £ (e) d er Sehmubenlinie e : [0, 21r] -> jR3, d ie durch e(t) := (Rcos t , R sin t , at) mi t R > 0 und a > 0 definier t ist? W ie a ndert s ich £ (e), wenn m an e a uf dem Int ervall [0, 27r k] mit k = 2, 3, . . . (a lso eine Schraube mit k Windungen ) b et rachtet? Man b est im m e Ge schwi ndigkeit v = c und Beschl eunigu ng b = v d er " Bewegu ng" e und zeige, d aB di ese au f d em Mantel ci nes K reiszylinders verl auft , Ferner zerle ge m an e : I -> jR3 in eine Kreisbewegung und ein e Trans lations bewegung. 2. Ftlr di e Lange £ (e) einer E llipse e(t):= (a cos t ; b sint ), O :S; t :S; 21r , mi t a (a + b) 1r < £ (e) < vfa2+ij2 V21r. Beweis? Weit er zeige man, d aB
£ (e) =a
r:
.fa
> b >
0 gi lt
V 1 -c2cos2 t dt =: I(c)
mi t c := a- I Ja 2 - b2 (= " n umerische Exzen trizit at " der Ellipse) gilt , b est imme d as Tayl orp olyn om vierter O rd nung von I(E) zum E ntwicklu ngs pu nkt E = 0 und sc hatze d as zuge hor ige Restgli ed filr c :s; 1/2 ab . 3. Ist di e durch e(t) := (cos" t , sin 3 t ), 0 :s; t :s; 27r, d efini ert e ebe ne Kurve e : [0, 21r] -> jR2 ges chlossen , von de r Kl as se C l , reg ula r ? Man skizziere d ie Sp ur von e in jR2 und geb e eine Funkt ion F(x , y) a n, so d af [' ge rade di e Losungsm en ge d er Gl eichung F (x , y ) = 0 ist . Was ist d er Wer t des K ur ven integr al s .f~ x dx + y dy ? 4. Man zeige, d aB d ur ch e(t) := (t ,f(t )) , 0 :S; t :s; 1, m it f rO) := 0, f( t) := t 2 cos (7r/ t 2 ) fiir o < t :s; 1 eine nicht rektifizierb are J ordankurve defin iert wird . 5. Sei K ein Kreis vom Radius a urn den Ursprung 0 und b ezeichne C einen weiteren Kreis vom Rad ius r mi t 0 < r < a, der m it kon stanter W ink elg eschwi ndi gkeit auf der Innen seite von K abrollt , oh ne zu gleiten. (i) Was ist di e geo metr ische Gestalt der Bahnkurve t f-> m (t ), die d er Mit t elpunkt m (t ) d es ro llende n Kreises d urc hla uft ?
133
2.1 Bogenl an ge, Kurven- und Wegintegral e
(ii) Ma n bestimme die Kurve t >-+ c(t) = (x(t) , y(t)) , d ie ein a uf C befestigt er P unkt P beschr eib t , der sich zur Zeit t = 0 im Punkte (a, O) a uf K befind et. Die Spur I' eine r solchen K ur ve he iBt Hy pozykloid e. (iii) Man besc hrei be T ftir a = 2r un d zeige, daB im Fa ile a = 3r d ie Sp ur I' den a uBere n Kreis in genau d rei Punkt en trifft (Skizze von I"), wa h ren d fur a = 4r di e Li nie r gerade vom in Au fgab e 3 betracht eten Typ ist . (iv) Die Epiz ykloiden ent stehen, wen n C a uf der AuBen seit e von K a broilt . Wi e ko nn en sie beschrieb en wer de n7 6. F ur eine Folge {Cj} von Ku rven Cj E c l (I , jRn ) , 1 = [0, 1], mi t Cj(O) -> Xo fiir j -> 00 und Cj(t) =t vet) a uf I gibt es eine Kurve C E c l(I , jRn) der art , da B Cj(t) =t c(t) a uf I , c(O) = x o, c(t ) == vet) un d £ (Cj ) -> £ (c). Beweis? 7. Sei {Cj} eine Folge re kti fizierbare r Kurven Cj E c°(I, jRn) , I = [0, 1], mi t gleichmafiig beschrankt en Langen £ (Cj ) (d .h. £ (Cj ) ::; L fiir a ile j EN) , und es gelte Cj (t) =t c(t) au f I. Dann ist di e Grenzkurve C E C°(I, jRn ) rekt ifizierb a r , un d es gilt £ (c) ::; lim inf £ (Cj ), a ber J ~OO
nicht notwe nd ig £ (c) = 8. Sei a Ct ) :=
I; Idfl =
limj ~ oo
£ (Cj ).
Vd (f ), a ::; t ::; b, di e B ogen liingenfunktion eine r rekti fizier ba ren Ku rve ohne Doppelpunkt e, d.h, f sei eine st et ige, injektive Ab bi ld ung des Int ervail s I = [a, bJ in den jRn mit L := £ (f ) < 00. Ma n zeige: (i) a ist stetig und st re ng mon ot on , b ildet also I ho rnoomorph a uf 1* := [0, LI abo (ii) Mittels T := a- I und 9 := f 0 T er ha lt man eine Um param etrisieru nq von t, die Ig(81) - g(82)1 ::; 181 - 821 fiir a ile 81, 82 E 1* erfii llt . (Bemerkung: Man kan n 8 = Idgl = Ig' (u )ldu beweisen , woraus Ig'(8) 1 = 1 fu r fas t aile 8 E [0, LJ folgt ; vg l. Gra uert / Lieb , Differential- und Int egralrechnung III, Kap . 3, § 5 und § 6.)
f :I
-> jRn
J;
J;
9. Aufgabe 8 ka nn benutzt wer den, urn d ie t rigonometrischen Fu nktione n Sinus und Cos inus ohne Infinit esimal rechnung einzuflihre n . Dazu verscha fft man sic h zunachs t eine stetige Abbildung f : [a,bJ -> jR2 mi t f (a) = f eb) = (1, 0), d ie [a, b) bijekt iv (und in p osit iver Orient ierung) a uf den E inheitskreis C := { (x , y ) E jR2 : x 2 + y2 = I } a bbi ldet , et wa f : [0, 4J -> jR2 mi t
f( t)
:=
(1 - t ,
J1 -
und
f (t ) := (- 3 + t , -
(1 - t)2) fur 0 ::; t ::; 2
J1 - (t - 3)2)
fiir
2::; t
::; 4 ,
und defin ier t tt durch 21r := £(J ) = V04 (J ). Dann defin iert man a , T , 9 wie obe n und set zt g(8) = : (cos a.sin s). Offen sichtlich ist C das bij ek ti ve Bild von [0, 21rJ unter g. Man setze 9 per iodi sch auf jR fort und beweise die Additionstheo reme COS( 8+Cp) = cos 8 cos cp-sin 8 sin cp, sine 8 + cp) = sin 8 cos cp + cos 8 sin ip , IIi eraus folgen nun di e bekan nten Eigenschaften von Sinus und Cosinus . 10. Was ist der Wert des Kur venintegrals .f~ vex) . dx fUr das Vektor feld v : jR3 -> jR3 mi t v(x ):= (X3,XI ,X2) a uf den durch c(t) := (cos 21rt, sin 21rt,t ) bzw. c(t): = (t 2, t 2 , t) gegebenen K urven c : [0, 11 -> jR3 7 11. Sei 0 ein einfac h zusamrnen ha ngendes Gebiet in jR 2 und u E C 2 (0 ) har mon isch in 0 . Man zeige, daB d as Integral .f~ u xdy - u ydx wegunabhangig ist . Weit erh in beweise man, daB d ur ch vex, y) := .f~ uxdy - u ydx , "I = C I-Weg in 0 mi t eine m festen Anfangs punkt und dem varia blen E ndpunkt (x, y) E 0 , eine ha rmon ische Funkt ion v de finiert wird und daB d ie Gleichun gen U x = v y, u y = -Vx erfil llt sind. 12. Man bew eise , daB fur n :::: 3 d ie folgende n Ge biete 0 einfac h zusammenhangend sind : (i) 0 := jRn \ {O} , (ii) 0 := jRn \ M, Meine en d liche Punktmenge in jRn , (iii) 0 := jRn \ B R(a). Warum ist jR2 nicht hom oomorph zu jRn filr n i= 27 13. E rf ullt v E C I (0, jRn ) in dem Ge biet 0 C jRn d ie Int egrabilit atsbedingu ngen, so gilt
.I~ vex)
. dx =
L
vex) . dx
134
Kapitel 2. Kurven und Kurvenintegr ale
fur jed es Paar geschlosse ne r C I-Kurven c und c* in n, di e [rei homotop sind . (Dies bed eu t e: Es gebe eine Schar tii-, s) : [a, bJ ---+ n geschlosse ner C 1-Kurven in n mit dem Scharparamete r s E [0, 1], fur d ie h : (t ,s) >--> h (t , s ) von der K lasse C I a uf [a, bJ x [0, 1J ist, ht s existier t und stet ig ist und h (-,O ) = c, h t -, 1) = c* gilt.) Beweis? (Vg l. Satz 6.) 14. Unt er der Windungszahl einer reg ularen gesch losse ne n C I- K urve c in ]R2 bezUglich eines P unktes zo = (xo, YO) vers te ht man den Wert n( c,zo) := -
1 ; . x - Xo
27r.
c
-
-
r2
Y - Yo dy - - 2- dx r
m it r 2 = (x - x O)2 + (y - YO )2. Ma n zeige, daf zwei be liebige, frei homot op e, gesc hlosse ne Kurven c und c* in ]R2 \ { zo} die gleiche Wi ndungszahl bezUglich zo haben und daf insb esondere n (c, zo) eine ganze Zah l ist . F Ur die Kreislini e c(t) := (x o + Rcos kt , Yo + Rsin k t ) m it R > 0 und k E Z \ {O} ist n (c, zo) = k. Die Za hl n (c, zo) besagt, wie oft e de n Punkt zo um schl ingt (die Wi ndungen mit Orient ierung geza hlt ). In komplexer Schreibwe ise (z = x + iy , zo = Xo + i yo) ist (*) gerade di e Forme l n(c,zo) = -
1
.
27r ~
;.
.
-
dz
c Z -
-
zo
.
Die Wi ndungszahl ist eine wicht ige Inva riante der zweid imensionalen Topologie.
15. F Ur beliebi ges m E Z berechn e man den Wer t des komplexen Wegin t egr als .f~( z - zo)-m dz , wobe i "I ein Weg in I(; mit der P ar am et erd ar st ellung c : [0, 27rJ ---+ 1(;, c(t) := Zo + Re i t ist, R > O. Was ist die geometrische Ges talt von r := Spur c?
2
Kriimmung und Windung. Frenetsche Formeln
Im folgenden wollen wir einige differentialgeometrisehe Begriffe aus der T heorie der Kurven bzw. Wege beh andeln, insb esondere den Begriff der Kriimmunq , der von fundamentaler Bedeutung ist. Die einz ufuhrende n Crofen sollen nur vom Weg selbst und nieht von einer spez iell gewa hlte n Paramet erdar stellung des betreffenden Weges abhange n, Um dies zu erreiehen, wahlen wir fur jed en glatten Weg als P aramet erdarstellung seine einde ut ig bestimmte P ar ametrisierung naeh der Bogenl an ge, Ers t dan aeh werden wir ub erlegen , welehe Gest alt die Grofen anne hmen , wenn wir den Weg in beliebiger Weise par am etrisier en . Sei also 'Y ein glat ter Weg der Klasse C" in JRn, k ;::: 2, und bezeiehne X : I --+ JRn sein e P ar amet erdar st ellung naeh der Bogenl an ge s. Dann ist au eh X von der Kl asse und es gilt
c-.
(1)
IX(s)1 == 1 .
Man nennt T( s) .- X(s) den Tangentenvektor von 'Y an der St elle X(s) ; genauer gesagt, handelt es sich um ein Vektorfeld von Einheitsvektoren am Weg 'Y , die in den Punkten X (s) an den Weg 'Y " angeheftet " und dart zu 'Y t angentiell sind ; zudem weisen sie in die "Fortsehreit ungs richt ung " von 'Y . Allerdings ist diese Au ssage im st re nge n Sinne nur fur einfaehe Wege riehtig, deren Spur r in JRn das bijektive Bild eines Intervalles ist (bzw. eines Kreises, falls der Weg gese hlossen ist) . Bei nichtein faehen Wegen gibt es Paramet erwerte S1 und S2 mit S1 =I- S2, so daf X( S1) = X( S2) gilt, die Kurve X(s) also zu versehied en en Zeiten S1 und
135
2.2 Krummung und Windung. Frenetsche Formeln
82 durch denselb en Punkt X geht. In diesem Fall muf man die obige Aussage "lokal", also fur geniigend kleine Stucke von I verstehen.
T(8' )
o
Eine ebene, nichteingebettete Kur ve s s>-+ T (s) in 3 1 .
>-+
X (s ) m it
IXI == 1 und
IX (8)1
, 8E I ,
ihr Tangenten bild
Die Funkt ion
K(8) := 11'(8)1
(2)
nennt man die Kriimmung des Weges I an der Stelle X( 8). Der Wert K(8) ist gerade die K ippgeschwind igkeit des Ta ngent ialvektors T zum Zeitpunkt 8 . Kippt T schne ll an der Stelle X (s) , so ist I dort stark gekrtimmt ; kippt T lan gsam, so ist die Krummung ger ing . Ist K(8) == 0, so gilt X( s) == 0, also
X (8) = X o + (8 - so)To
(3)
mit kon st anten Vektoren X o,To, wenn X( 80) = X o und ITol = 1 ist . In diesem Fall ist der Weg I also eine Gerade. Im folgend en wollen wir
K(S ) =1= 0 fur aile
(4)
8 E
I
vor au sset zen . (Wenn dies nicht der Fall sein sollte, bet racht en wir kleine Stucke von I mit nichtverschwindender Kriimmung.) Dann konnen wir den Einheitsvekt or (5)
N(s)
:=
1
.
K(8 ) T( s)
bild en . Es gilt
(T (8), N (8)) = 0 fur aile
(6)
W
8
E I ,
denn aus IX (s = (X (8), X (8)) = 1 erg ibt Differentiation nach 8 die Identitiit 2(X (8), X (s)) = 0, und dies liefert (6).
136
Kapitel 2. Kurven und Kurvenintegr ale
T(s) x = X (s)
N(s) Die beiden Einheitsvektoren T(s) und N(s ) sind also fur alle s zueina nder sen krecht . Ma n sagt, der Vektor N( s) sei in X (s) norm al zum Wege 'Y (bzw. nor mal zu T (s)) . N(s ) gehort zum Normalraum N(s ) := 7 (s) .l der zum Ta ngentialraum 7( s ) := span {T( s)} senkrechte n Vektoren. Der Raum 7 (s ) ist eindimension al und sein ort hogona les Komplement N( s) in IR n ist (n - 1)-dimension al. Der spezielle Nor malenvektor N (s) aus (5) hei£t Hauptnormalenvektor. Die skalare Funktion (7)
p(s)
:=
1
"'(s)
ist der Kriimmungsradius von 'Y an der St elle X (s). Der Grund fur diese Bezeichnung wird ers icht lich werd en , wenn wir den Spezialfall n = 3 betracht en . Zun achst wollen wir aber noch eine kinematische Formel angeben, die a uf Huygens zuriickgeht und die bei der Einfiihr ung der Zentrifugalkraft in der Mechanik eine Rolle spielt . Zu diesem Zweck denken wir uns eine andere Darstellung Z(t) von 'Y, fur die nicht IZ(t)1== 1 gilt, sondern wo der Weg 'Y mit "zeit lich ver anderlicher " Absolu tgeschwin digkeit (= Bahngeschwindigkeit )
(8)
v(t) :=
IZ(t)1
durchlaufen wird . Der Zusammenha ng zwischen dem P arameter der Bogenl ange s und der "wahren Zeit " t sei durch (9)
s = s(t)
gegebe n. (Eigentlic h sollte n wir s = (J (t ) schreiben, also den Wer t s von der Funktion (J unter scheiden , die den Zusam menh an g zwischen t und s vermittelt , abe r die laxe Schreibweise (9) liefer t bei kompliziert a ufgeba ute n Formeln ein viel iibersichtlicheres Bild und unt erstii t zt das schnelle Erfassen.) Wir hab en dann Z( t ) = X (s(t)) , un d hierfur genehm igen wir uns die noch laxer e Schr eibweise (10)
Z( t ) = X (s) .
Um jet zt die Differe ntiationen nac h t und s a useinanderzuhalte n, bezeichnen wir erstere mit ' und let ztere mit ' . Differenzieren wir nun (10) nach t , so liefert die Ket t enregel
(11)
Z= X'
ds
dt '
2.2 Krtimmung und Windung. Frenet sche Formeln
137
und erne ute Differenti ation nach t fuhrt zu (12)
z = X ' ddt2s + X " (dS) 2 dt 2
Weit erhin wird der funk tionale Zusammenhan g zwischen s und t durch die skalare Differenti algleichung s = IZI geliefert , also durch die For mel ds dt
(13)
=v.
Setzen wir dies in (12) ein und berti cksichtigen die Forrn eln X' so ergibt sich die Formel von H u y gens : (14)
Z
= T , X " = iN,
v2 iJ T + -N . p
=
Mittels dieser Formel haben wir die Beschleunigung Z in eine Tangent ialkomponente iJT und eine Normalkomponent e (v 2 jp) N zerlegt .
rn
Wir erkennen , daf beispi elsweise bei eine r gleichf6rm igen Kreisb ewegung, wo also die Ab solutgeschwindi gkeit v kon st an t und som it iJ(t) == 0 ist , zwar kein e Tange nt ialkomponente der Beschleun igung, wohl a be r eine Nor malkompone nt e (v 2 / p)N vorhanden ist . Bet ra cht en wir di eses Beisp iel gena uer. Sei Xo der Mittelpunkt eines Kreises von Rad ius R , der in eine r zweidimension alen affinen Ebene liegt , d ie d ur ch zwei zuei nander or thogon a le Ei nhe itsvekt oren El , E 2 E IRn best immt wird. Dann wird eine Bewegung a uf diesem Kr eis mit der konstanten Absolutgeschwindigkeit v := IZI = Rw durch (15)
Z( t) = Xo
+ R cos (wt )E l + Rsin (wt )E2
geliefert , wie man ohne Muhe nach rechn et ; w ist die "W inkelgesc hwindig keit" dieser Beweg ung . Aus s = Rw bekommen wir (bis a uf eine ad d iti ve Konstant e, d ie keine Rolle spi elt) s = Rw t bzw . wt = s ] R und somi t T(s) = X ' (s ) = - sin(s / R ) El
+ cos(s/ R ) E 2 ,
(16) K(s )N (s ) = X " (s ) =
1
- Ii
[cos (s/ R )E l + sin (s/ R )E 2J .
Dies liefert
(17)
K(S) == I /R
un d
p(s) == R ,
d .h . der Krlimmungsrad ius ein es Kr eises vom Radi us R ist durchweg R , und d ie Krlimmung ist ub er a ll 1/ R . Au s (15) und (16) ergibt sich fiir den Hauptnormalenvektor no ch
(18)
1
N(s) = - [X o - X (s )] . R
Di es ist der E inheits vekt or, der vom Punkt e X (s ) a uf der Kr eisb ahn zu der en Mittelpunkt Xo weist . Die Beschleunigung Z der Bewegung Z ist also
(19)
.. v2 Z= - N R
und di ese ist nach Newt ons Bewegungsgleichung der wirkende n Zentri pet alkraft proportional.
Kapite l 2. Kurven und Kurvenin tegr ale
138
Bemerkung 1. Ist X (s) die Darstellung eines Weges , nach de r Bogenl ange, so hat der ent gege ngesetzt orie nt ierte Weg - , eine Dar stellung Y (s) nach der Bogenl an ge, die von der For m
Y (s) =
(20)
mit einer geeigneten Konst anten
S1
X( S 1 -
s)
ist , denn es gilt
Y(s) = - X (S1 - s)
(21)
und daher IY(s )1= IX (S1 - s) 1= 1. Ferner ist
17 (s) = X (S1 - s) .
(22)
Kehren wir also die Or ient ierung des Weges , urn, so kehrt nach (21 ) auch der Tangentenvektor seine Richtung urn , wahrend wegen (22) der Hauptnorrn alenvekt or unver andert bleibt ; damit andert sich auch die Krlimmung nicht: N und r: sind orientierungsinvariante Grojlen , Per definiti onem gilt ferner : '" ;::: O. Betrachten wir den wichtigen Spezialfall n = 3. Wir setzen jet zt vor au s, daf , ein glatte r Weg der Klasse C 3 mit der P ar amet erdar st ellung X (s) nach der Bogenl ange ist; dann ist a uch X : 1 -+ lR3 von der Klasse C 3 . Wi ederum sei (4) vorausgeset zt , so daf neben T = X auch der Hauptnormalenvektor N definiert ist . Das durch
B :=Tx N
(23)
definierte Vektorfeld B lan gs der Kurve ist dann ein weiteres Feld von Einheitsvekt oren B( s) , die sowohl auf T( s) als auch auf N (s) senkrecht stehen. Man nennt B den Binormalenvektor des Weges , . Fur jed es s E I bilden die drei Vektoren T(s), N( s), B (s) ein (rec htshandlges ) orthonormales System in lR 3 , das man als das begleitende Dreibein des Weges , bezeichn et . J ed en Vektor des Tripels (T (s) , N(s ), B(s )) denkt man sich im Punkte X (s) ange heftet, so daf das Dr eib ein ent la ng des Weges , ru t scht, wenn s das Inter vall I durchlauft . Oftmals ist es glinst iger, vekto rielle GraBen im Syst em (T( s) , N( s) ,B(s)) darzustellen stat t im ur sprlinglichen kartesischen Koo rdinaten system des lR ; dies hab en wir bereit s bei der Huygensschen Formel (14) und im Beispi el [] a usgenut zt . Nun wollen wir die Frenetschen Formeln aufste llen, ein Syst em von drei vektoriellen Differenti algleichungen erste r Ordnung, das beschr eibt, wie sich das begleit ende Dreibein mit s andert. Dazu gehen wir von den sechs Gleichungen (24)
IT I = 1,
INI = 1, IBI = 1 ,
(T,N) = 0, (T , B) = 0, (N , B) = 0
aus. Ferner fuh ren wir die Funktion
(25)
7 :
I
-+
lR ein vermoge
7(S ) := -(13(s ), N (s)) ;
139
2.2 Krummung und Windung. Frenet sche Formeln
sie wird als W indung (oder Tor si o n ) des Weges "y im Punkte X(s) bezeichnet. (Man beachte, daf manche Autoren das entg egengesetz t e Vorzeichen wahlen, also T = (B, N ) setze n.) Aus (B , B ) = 1 folgt du rch Differentiation (B , B ) = O. Dies liefert in Verbindung mit (25) als Darstellung von 13 im Dreibein T , N , B die Formel B = o/T - TN, wobei a : 1 --* JR noch zu bestimmen ist . Mu ltiplizieren wir die Gleichung skalar mit T , so ergibt sich zunachst a = (13, T ), und Differentiation der Gleichung (B ,T ) = 0 nach s liefert
(B, T ) = -( B ,T ) = - I"( B, N ) = 0 , also a
= O. Damit
erhalten wir
B=
(26)
Nun st ellen wir Jil im Dreib ein dar als folgt (Jil , T ) + (N ,T ) = 0 und damit (31
- TN .
iv = (3lT + (32 N + (33 B . Aus (N, T ) =
= (Jil ,T ) = - (N, T ) = - I"(N , N ) =
0
- I" .
Aus (N , N ) = 1 ergibt sich (N , Jil ) = 0 und dami t (32 = (Jil, N ) = O. SchlieBlich liefert (N , B ) = 0 die Gleichun g (Jil , B ) + (N , 13) (33
=
0 und folglich
= (Jil, B ) = - (N,B ) = T .
Damit erhalten wir (27) Die Formeln (5) , (26) und (27) fuhr en zu den Frene t schen Formeln (1847) :
T = I"N (28)
Jil = - I"T+ TB
B = - TN . In Matrixschreibweise lauten sie I"
(29)
o
- T
wob ei die Koeffizientenmatrix, wie zu erwart en war , schiefsymmetrisch ist. Nun wollen wir drei paarweise zueina nder senkrechte affine Eb enen E l , E 2 , E 3 einftihren, die zum Dreibein T(s),N( s),B(s) gehoren . In den kartesischen Koordinaten x = (Xl, X 2 , X3) schreiben sie sich als
E l :={x E JR3 : (X - X( s) , B(s) ) = O} , E 2 :={x E JR3 : (X - X(s), T( s) ) = O} , E 3 :={x E JR3 : (X - X( s) , N( s) ) = O} .
140
Kapitel 2. Kurven und Kur venintegrale
Man nenn t sie - in der angegebenen Reihenfolge - Schmiegebene, Normalebene und Streckebene (oder rektifizierende Ebene ). D ie Be zeichnung Normalebene ftir E 2 ist offens icht lich woh lb egru ndet , da E2 a ile Normalvektoren zu 'Y im P unkte X( s) ent ha lt. Urn den Namen S chmiegebene zu erkla ren, betrachten wir drei Wert e s , SI , S2 mit s < SI < S2, di e na he beiei nander liegen mogen und setzen
P := X(s) , PI := X (sJ) , P2 := X (S2) . We n n sic h P, PI, P2 in a llgemeiner Lage befinden , bestimmen sie eine E be ne
E, in
de r d ie
Vektoren PI - P und P2 - PI = (P2 - P) - (PI - P) liegen , d eren R icht u nge n sich nu r wenig von d en Richtungen der Vektoren X (s ) und X(s) unt erscheiden, die E1 a ufs pannen. Also ist E nur wen ig von E1 verschiede n , und mi t s i --> S, S2 --> s strebt E geg en E1. Die E bene E1 schmiegt sich d em Wege 'Y im Punkt e X(s) a lso best rnoglich a n. Diese heuri st isch e Betracht ung, d ie sich mit der Tay lorsc he n Forme! prazisier en laBt , wollen wir no ch d ur ch eine a nd ere, und zwar strenge Ube rlegung erga nzen, d ie den Namen "Schmiegebe ne " rechtfertigt.
Sei (e1,e2,e3 ) die kano nisc he Basis von ]R3 . Wi r d en ken uns durch ein e Translation und ei ne Drehu ng die Kurve so verschoben und gedreht , da f fur s = So der P un kt X (so) mit d em Ursprung und (T (so), N (so) , B(so )) mit (ej , e2, ea) zusammenfallen. Mit eine r Translation der Paramet erwerte erreichen wir aul3erdem , d af So = 0 ist . Dann gilt X (O ) = 0 , T( O) = e1,
N (O) = e2, B (O) = e3·
Aus der Taylorsche n Formel
X( s) = X (O) + sX (O)
2
3
2
6
+ ~X( O) + ~X(O) + 0(s3)
folgt wegen
d ie E nt wicklung
X(s) = s e i wobei (30)
"0 :=
S2
+ -2
" Oe2 +
s3
-6
2 . (-"Oe 1 + "Oe2
+ " OTo e3) + o(s
3
),
,, (0), TO := T(O ), Ko := K(O) gesetzt ist . Dies bedeutet
X(s) =
( S -
Ko 3 6"02 s3 , 2"0 s2 + 6s ,
"OTO 3 ) - 6- s
+ o(s 3 ) .
Hieraus liest man ab, daf sic h d ie X1, x 2-E be ne am best en an X(s ) a nsc hm iegt fur lsi « 1, d enn nur di e orthogonale Projekt ion a uf d iese Ebene weicht von X (s) urn eine n Term d er O rdnung 0(s3) ab; d ie Projektionen auf a ile a ndere n Ebenen durch d en Urs prung un t ersch eid en sich d urc h Terme, d ie mi ndestens von der O rdnung O( S2) sind . Die z i , x2 -E ben e ist a ber gerade di e Schm iegebene, worni t d iese Bezeichnung streng ger echt fertigt ist . Nun wollen wir u ns noch ein Bild d avon machen , wie d ie P rojektione n d es Weges 'Y a uf d ie E ben en E1, E2 , E3 in der Nahe von 0 a ussehen . Dazu schreiben wir (30) naher ungsweise a ls (31)
X (s ) ~
(
"0 2 s, 2s '
-"OTo 6- s 3)
, lsi «
1;
in jeder Ko ordinat e ist nu r d er fu hre nde Te rm berucks ichtigt . Da nn er ha lten wir naher u ngsw eise (d .h. fiir folgende Gestalt :
lsi «
1) fu r d ie or thogon alen P rojekti one n d ie
Projektion a uf d ie Schmiegebene El: (32)
(P arabel) ;
2. 2 Krtimmung un d Windung. Fre netsche For meln
141
Proje ktion a uf d ie Normaleb ene Ez :
(33)
mit c: = v2To /(3v;;;o)
(Nei lsche Parabel)
Projektion a uf d ie rekt ifizier ende E bene E3 : (34)
(kubische P ar a bel) .
Xz
---~+"""'---_
X3
Xl
Xl
----+oE---... X z
P roj ekti on auf
Proje ktion auf di e
P roj ekt ion a uf
d ie Schmiegebene
rekt ifizierend e Eb ene
die Normaleb ene
Die P ro jek t ion des Weges auf Ez hat im Urs prung eine "Singularitat ", narnl ich eine Spitze. Weit er hin sehen wir, daB der Weg I di e Schmiegebene im Ursprung du rchstOBt , falls TO i= 0 ist , also in der Na he von 0 a uf beiden Seite n der Schmiegebene verlauft.
Nun betrachten wir einen Kr eis K in der Schmi egeb ene von 'Y im Punkte P := X( s), der den Radius p(s) und den Mittelpunkt Q := X (s) + p(s)N(s) hat . W ir nennen K den Schmiegkreis von 'Y im Punkte P . E r hat in P mit 'Y eine gemeinsame Tan gent e. Fii r eine Kr eislinie 'Y fallt K in allen Punkten P von 'Y mit 'Y zusa mmen, und der Radius von 'Y ist uberall gleich dem Krti mmungsr ad ius. Man kann zeigen, daf unter allen die Kurv e in P beriihr end en Kr eisen der Schmiegkr eis am best en bertihrt, und zwar mindeste ns von zweite r Ordnun g. Betrachte n wir noch einmal (30) . Wir sehen, daB die Hohe des Kurvenpun ktes X( s ) tiber der Schm iegebene durch 1
X 3(S) = 6"I'.:OTOS 3 + 0(s3) gege be n ist . Die Za hl TO = T(O ) ist also ein MaB dafiir, wie schnell sich die K urv e X (s ) a us der Schm iegebene " herausw indet". Dies legt nah e zu ver muten: Ein W eg I mit I'.: > 0 ist genau dann eben, wenn seine Tors ion T identisch Null ist , In der Tat ist B(s) == const fiir eine ebe ne Kurve und som it 13(s) == O. Wegen 13 = - TN folgt T(S) == O. Umgekehrt folgt a us der gleichen For me l 13(s) == 0, falls T(S) == 0 ist , was B(s ) == const = : Bo liefert . Wegen (B, T ) = 0 folgt .
d
0 = (B o, X (s)) = - (Bo, X (s )) ds un d damit (Bo, X (s)) == const = : c. Also liegt X(s) in der Ebe ne E := { x E mit dem Normalenvektor Bo, ist also eine ebe ne K ur ve.
]R3 :
iB« , x) = c}
Kapitel2. Kurven und Kurvenintegr ale
142
Oft ist ein Weg "y nicht nach der Bogenlan ge s, sondern mittels einer andere n Vari abl en par amet risiert, bei physikalischen Problemen etwa mit Hilfe des Zeitpar am eters t . Sei also "y ein glatter Weg der Klasse C 3 in ]R3 , und sei Z (t ), t E J , eine regul ar e C 3 -Paramete rdarstellung von "y mit der Ab solutgeschwindigkeit v(t ) im Punkte Z( t) , die durch
(35)
v(t) :=
IZ(t)1
definiert ist . W ir gehen von Z (t) zur P ar am et erd arst ellung X (s) von Bogenl ange s tiber , ind em wir die Differenti algleichu ng
"y
nach der
ds dt = v(t )
(36)
durch eine Funkt ion s = lJ"(t) losen , etwa durch (37)
lJ"(t) =
it
v(u) du,
«
t: »,
c»
wenn J = [a, b] ist . Diese Fun kt ion ist von der Klasse und erfullt iT(t) = v(t ) > 0, liefert also eine orienti erungst reue P ar am et ertran sformation von J a uf I := [0, £ ], wob ei £ = £ ("'() die Lange des Weges "y bezeichn et . Sie besit zt eine C 3 -Inverse cp, und wir haben zwischen s und t die Relat ionen (38)
s = iJ"(t )
und
t=cp(s ) .
Die P ar ametrisierung X (s) von "y nach dem P ar am eter der Bogenl ange wird dann durch X = Z 0 cp geliefert, also
(39)
X( s) = Z (cp (s))
und
Z(t) = X (IJ"(t )) .
W ir wollen nun K rilmm ung und Windung auf den Zeitpar ameter t t ransfor mieren; die res ult iere nden Funktionen seien mit k(t ) und w(t ) bezeichn et :
(40)
k(t ) := ",(iJ"(t )) , w(t ) := r( lJ"(t)) .
Es ist nu t zlich , Formeln zur Berechnung von k und w zu finden , die nur die Abl eitungen von Z und nicht die von X benu t zen. Dies ist insb esondere dann von Wert, wenn man explizite Rechnungen fur spez ielle Wege ausfuhren mochte, die durch irgend eine P ar ametrisierung Z(t) gege ben sind . Meist kann man narnlich weder das In tegr al in (37) explizit berechnen , noch ist es moglich, die Gleichung lJ"(t ) = s durch einfache For meln aufzulosen. Beginnen wir mit der Berechnung der Krtimmung k(t) des Weges "y im Punkte Z(t) . Die Form eln werden etwas ubersichtll cher , wenn wir X(IJ" ) fur X 0 IJ" schre ibe n. Au s Z = X (IJ" ) und iT = v folgt dann (41) (42)
Z= Z=
X(IJ" )v X(IJ" )v 2
+ X(lJ" )v
2.2 Krummung und Windung. Frenet sche Formel n
143
(vgl. (11) und (12)). Hier au s erg ibt sich fur das Vektorprodukt
t
x
Z, daf
t x Z = v3 X (a) x X(a) .
(43) And ererseits gilt
IX x XI = IT x 1'1= KIT x N I, und
(44)
K =
wegen IT
x N I = 1 folgt
IX xX I·
Aus (40), (43) und (44) erhalte n wir dah er in Verbindung mit v Beziehung k
(45)
It I die
= It ~ ZI
IZl3
Wegen der Lagran geschen Id entitat
kann (45) auch in der For m
(46) geschrieben werd en.
+ x§ = R 2 } vom Rad ius R mit del' x3-Achse als Zylinder achse liegt d ie (rechtswindend e) Sc hraubenlinie (oder Helix )
~ Auf dem Kreiszylinder {x E lR3 : xi
(47)
Z (t )= (Rcos t , R sin t , at ), t E lR, a > O .
Die C an ghohe bei einer Umdrehung ist h = 21l"a. Wegen Z(t)
=
(- Rsint , Rcos t , a ) , Z(t )
=
- (R cos t , R sin t, O)
folgt und a us (46) ergibt sich
R
(48)
k(t ) := R2 + a 2 =
1
R [I +(a / R)2 ] '
Die Schrauben linie hat also konstan t e Kr ilmmung. F ill' a = 0 geht d ie Schraubenlinie in einen Kr eis vom Radius R ilber, und wir er ha lte n wieder k(t ) := 1/ R.
Die Formel fur die Windung w(t) wird sehr iibersi chtlich, wenn wir das Spatprodukt
[a, b, c] := a : (b x c) = det(a, b, c) drei er Vektoren a, b, c des JR3 benutzen . Mit dem Kriimmungsr adius p N = pX, IV = pX + pX, und wir erhalte n a us (23) und (25) : .
T
d
.
.
= - (B , N ) = - (N , ds(T x N) ) = -(N ,T x N + T x N )
= -[N,T,IV] = - [pX ,X ,PX] ,
= 1/ K ist
144
Kapitel 2. Kurven und Kurvenintegrale
woraus 2
(49)
.
..
.. .
T =p [X , X, X ]
folgt . Wegen 1
1
IXI
p= ~ = konnen wir (49) umformen in (50)
T=
[X,X,x]
IXI2
Aus (42) folgt
und zusammen mit (41) und (42) ergibt sich nun .
.. . . .
6
.
..
.. .
[Z , Z , Z] = v ·[X , X , X] o O'
And erer seit s liefert (45) die Beziehung
Wegen (49) ergibt sich damit schlieBlich fur (51)
W
= T OO' die Formel
[Z,Z,z] IZ X ZI2
W =
bzw.
(52) [ID D ie Windung w et) d er Schraubenlinie a us (53) denn
w et)
[2, Z, i F =
R 2a ,
12 x ZI =
==
III ist
konst ant , und zwar ist
a
R2 + a2 '
(R 2 + a 2 )R 2 .
[1] Die linkswindend e S chraubenlinie (54)
Z (t ) = (R cost , R sint , -at ), t E JR, a > 0
mit der Ganghoh e 21fa und d em Radius R hat di eselb e Krlimmung wie di e rechtswindende Helix glei ch er C an ghohe und gleich em Rad ius , a be r di e ent gegengesetz te Windung, a lso
(55)
k = _ _R_ - a R 2 + a2 ' w = R 2 + a2 .
2. 2 Krilmmung und W indung. Frenetsehe Formeln
145
Bei Spiegelung an der Ebene {x E ]R3 : X3 = O} geht d ie Rechtsschrau be (47) in di e Linksschraube (54) tiber (und um gekehrt) , und die W indung w andert ihr Vorze ichen, wah rend Iwl gleich bleibt. Dies ist ein generelles Phano men , denn a us (51) liest man a b , daB w sein Vor zeichen andert , wen n eine Kurve Z gespiegelt wird, wa hrend sich Iwl nicht an de rt. A llgemeiner ergibt sich a us (51), d af sich w nicht andert , wenn man die K ur ve Zei ner orthogonalen Transfor mation U mit det U = 1 unterwi rft, wahrend das Vorzeichen von w wechselt, wen n detU = -1 ist; in beiden Fallen ist Iwl invari an t , ebe nso wie k (vgl. (45)) .
Nun wollen wir zeigen , wie die Fren etsehen Formeln mit der Bewegung starrer Korper verbunden sind. Zu diesem Zweek fixieren wir in de m Korper einen Punkt Po und dr ei Aehsen, die dureh ein Orthonormalsystem L von dr ei Vektoren E l , E 2 , E 3 besehrieben seien, das in Po ange heftet und fest mit dem Korper ver bunden sei. Die Bewegung des Punktes Po sei dureh die Kurve X( s) besehrieben und erfolge mit der Absolutgesehwindi gkeit IX(s) 1= 1. Der Korper ma ge sieh wahrend der Bewegung von Po relativ zu dem festen kartesisehen Koordinatensystem Lo = {el ' e2,e3} dr ehen , das im Ursprung angeheftet ist. Wir besehreib en diese Drehung dadureh , daf wir die Vektoren E j als Funktionen von s auffassen . Ein beliebiger Punkt P des starren Korpers fuh rt dann eine Bewegung Z( s) aus, die dureh
besehrieb en ist , wob ei Y = (Yl' Y2, Y3 ) die unveranderliche Position von P relati v zum System L angibt. Die Gesehwindi gkeit von P im Koordinaten system Lo ist dann dureh Z( s) = X(s) + Y (s ) gege ben, wobei X( s) die Translationsgeschwindigkeit des Punktes Po bezeiehnet und Y (s) = yl E 1(s) + Y2E2(S) + Y3E3 (S) die Drehgeschwindigkeit von P relat iv zu Lo bezeichnet , wenn wir un s den Punkt Po des starren Korpers in den Ursprung von Lo verpflan zt denken .
Wir wollen d ie Drehgesehwindigkeit von Y(s) analysieren. Zu diesem Zweek fuhren wir den Darbouxschen Drehvektor D( s) ein als
146 und schr eiben
Kapitel2. Kurven und Kurvenintegrale
EI
in der Form E I = (E I, E I/ E 1 + (E I , E 2/ E 2 + (E I, E 3/ E 3 .
Aus IEl 12 = 1 und (E I, E 3/ = 0 folgt (EI , E I/ daher E I = (E I , E 2/E 2 - (E 3, E I /E3. Fiir positiv orientierteI: ist E 3 = E I E I = (E I , E 2/E3
X
X
EI
= 0 und
E 2, E 2 = E 3
X
(E I , E 3/
=
- (E 3, E I / ,
E I , und wir bekommen
+ (E 3, E I /E 2 X
EI .
Addieren wir hierzu die Gleichung 0 = (E2 , E 3 /E I X E ], so ergibt sich EI D x E I . Da der Ausdruck fur D symmetrisch in den Indizes 1,2,3 ist, erhalten wir ents prechende Gleichungen fur E 2 lind E 3 , insgesamt also
Ej
=
D x E, , j = 1,2 ,3 .
Damit ergibt sich (56)
Y =D xY.
Zum Zeitpunkt s dreht sich also der st arre Korper im mathematisch positiven Sinne urn eine orientierte Achse A durch X(s) , die in dieselbe Richtung wie D(s) weist , und
(57)
w(s) := ID (s)1
ist die momentane Winkelgeschwindigkeit dieser infinitesimalen Drehung urn die momentane Drehachse A . Wahlen wir spe ziell I: als das begleitende Dreibein {T , N, B} der Kurve X(s) , so ergibt sich a us den Frenetschen Formeln fur den Drehvektor D( s) die Darstellung
(58)
D = TT
+ nB .
Diese Formelliefert eine schone kinern atische Deutung von r: und
T.
Bei ebenen Kurven (T = 0) dr eht sich das begleit end e Dreibein urn die Binormale, und zwar mit r; als Winkelgeschwindigkeit . Nun wollen wir noch ebe ne Wege betrachten , die in der Ebene {(x ,y,z): z = O} liegen und die Darstellung Z(t) = (x(t), y(t) , 0) haben. Aus (45) erhalten wir fur die Krummung k(t) den Ausdruck (59)
k=
Ixjj - yx l + y2)3/2
(x2
.
Fur Kurven (x(t) , y(t)) in der x , y-Ebene ist es aber ublich, der Krummung k ein Vorzeichen zu geben. Anst elle von (59) setzt man (60)
147
2.2 Kr iimmung und Windung. Frenetsche Formeln
Diese Kriimmung mit Signum wechselt ihr Vorzeichen , wenn man zur entgegengesetzt orientierten Kurve iibergeht, wahrend sich die unsignierte Kriimmung (59) nicht andert. Unterwirft man den JR2 einer orthogon alen Transformation U , so bleibt Ikl erhalten, sign k aber nur, wenn dot U = 1 ist ; ansonste n kehrt sich das Vorzeichen von k urn, beispielsweise dann, wenn U Spiege lun g an einer Ger aden durch ist .
°
Wir wollen nun das Vorzeichen der durch (60) definierten geometrischen Krummung deuten , wobei vorausgesetzt sei, daf k nir gends vers chwindet. Ferner sei die Kurve X(s) = (x(s) , y(s)) nach der Bogenlange s parametrisiert, also IX (s ) 1 = l. Dann gilt
k = ± jj -
(61)
yi = det(X,X) .
Seien T und N Tangenten- und Hauptnormalenvektor der Kurve X(s), also (62) Sie bild en das begleitende Zwe ib e in T , N zur ebe nen Kurve X . Weiter seien el = (1,0) und e2 = (0,1) die kanonischen Einheit svektoren des zugru ndeliegenden kartesischen Koordinatensy st ems . Dann lesen wir aus (61) ab:
Es gilt k > 0, wenn {T, N} und {ei , e2} gleichorientiert sind, und k < 0, wenn sie entgegengesetzt orientiert sind. Dieses Ergebnis konnen wir noch in eine etwas andere Form bringen, wenn wir den Normalenvektor N *(s) zu T( s) einfuhren, der so gewahlt sei, daf das Paar T(s) ,N*(s) fur alle Param eterwerte gleichorientiert zu el , e2 ist, d.h.
det(T, N*) = 1 .
(63)
Nach dem ob en Gesagten folgt:
(64)
N*(s)
N( s) =
{
falls
-N(s)
°, k(s) < ° .
k(s) >
Wegen Ik l = IX I und (62) erhalten wir dann
x = kN* .
(65)
Bezeichne nun B( s) den im positiven Sinn e gemessenen Winkel zwischen dem Tangentenvektor T(s) und der x-Achse. Dann kann man den Einheitsvektor T(s) = X(s) in der Form
X(s)
(66)
=
cos B(s ) el
+ sinB(s) e2
schr eiben. Mit Hilfe des Satzes von Heine-Borel zeigt man leicht , daf B(s) global als stetige Funktion von s eingefuhrt werden kann, und man erhalt B E C l , falls X E C 2 ist . Differenzieren wir (66) nach s , so folgt
X(s)
=
8(s) [- sinB( s) el
+ cos B(s ) e2]
.
148
Kap it e12 . Kurven und Ku rvenintegrale
Der Vektor N (s)
= - sin O(s )el + cos O(s)e2 erfullt offenb ar INI
Also ist
N=
= 1,
(T ,N)
=0,
det (T , N)
=1.
N*, und wir erha lte n
x = BN * .
(67)
Aus (65) und (67) ergibt sich nunmehr die Deutung (68)
der Kril mmung k als Winkelgeschwindi gkeit des Tan gentenvektors T
= X.
Sei nun n ein einfach zusa mmenha ngendes beschranktes Gebiet des ]R2 , das von der Spur r einer glatte n Jordankurve der Klasse C 2 berandet wird . Wir wahl en eine Par ametrisierung X (s) von r nach der Bogenlange derar t, daf n imm er links von der Kurve X( s) liegt , wenn man sie in Richtung wachsender P ar am et erwerte durchlauft. Sei wie zuvor (T, N) da s begleitende Zweibein der Kurve, und es gelte ub erall k(s) =1= o. N T N*
r
r
Falls n konvex ist, zeigt der Haup tnormalenvektor N und damit auch der Krummun gsvektor X ste ts in das Innere n der Jordankurve r , und es gilt auch das Umgekehrte: Wenn X stets ins Innere von r weist, so ist n konvex. (Um dies zu zeigen, ilberlege man sich, daf der Durchschni tt seiner Stutzhalbr aume sein muB). Aus dem oben Gesagten folgt dann: n ist genau dann konvex, wenn iiberall k( s) > 0 gilt. (Im allgemeinen ist Konvexit at von n gleichbedeutend mit k( s) ~ 0.)
n
Fu r eine nichtpar ametrische Kurve Z (x) = (x ,I(x)) mit I E C 2(I), 1 = [a, b] folgt aus (60) fur die Krilmmung mit Vorzeichen die Formel
f" (x)
(69)
k( x ) = (1 + I'( x )2)3/2 .
Also ist I konvex, wenn I"
~
0 gilt , und konkav, wenn I" ::; 0 ist .
Betracht en wir noch eine Kurve X (s) Gleichun g (70)
= (x (s), y( s)) mit IX (s)1
F(x, y) = 0
:= 1, die einer
149
2.2 Kriimmung und W indung. Frenetsche For meln
geniigt , wob ei F von der Klasse 0 2 ist auf einer offenen Umgebung U der Spur von X . Dann folgt
(71) Somit ist grad F normal zum Tan gentenvektor zu X. Sei
X, und
(F y , - Fx ) ist proportio nal
(72) und
(73) Dann ist (t, n ) ein Orthonormalsystem in ]R2 , das wegen det( t, n) = 1 pos iti v orientiert ist, sich also durch eine Drehung in das kan onische Syst em (ei , e2) ub erfuhren laBt . Wir wollen vorau ssetzen , daf t (X(s) ) = X (s)
(74) gilt , also (75)
Dann be rechnet sich die orientierte Kr iimmung k( s) als
(76)
k
=-
F;Fx x
-
2F x F yFx y + F; F y y (Fi + FJ )3/ 2
Wir wollen das Vor zeichen von k fur eine einfache geschlossene gla tte Ku rve X( s) der Klasse 0 2 int erpretieren , deren Spur der Gleichung (70) geniigt und die so orientiert ist , daf (74) bzw. (75) gilt. Bezeichne n das beschrankte Innere und na das AuBere von r := spur X. "Vir denken uns F so beschaffen , daf F
> 0 auf
na n U
, F
< 0 auf
nnU
gilt . Dann weist grad Fund somit auch n ins AuBere von I' , und die Kurve X (s) umlauft n im mathematisch negativ en Sinne. Sei nun n konvex. Die entgegengesetzt orientierte Kurve X *(8) := X (-8) umschlingt n im mathematisch positiven Sinne; ihre Kriimmung k * ist also gleich - k in eina nder ent sprechenden Kurvenpunkt en . Wir wissen bereit s, daf dies der Ungleichung k * 2 0 ents pricht; som it sind glatt bemndete konvexe Gebiete durch k :::; 0 oder, iiquivalent dam it, durch k* 2 0 charakierisiert , wenn k* den Ausdruck
(77)
* F; F x x - 2F x F y F x y + F; F y y k := (Fi + FJ )3/ 2
150
Kapit el 2. Kurven und Kurvenintegrale
bezeichnet . Die beiden Krummungsfunktionen k( x , y) und k *(x , y) sind einander entgegengeset zt gleich , k*(x , y)
(78)
= - k (x , y) .
Ma n nennt in diesem Zusammenhang k die Krilmmung von an hinsichtli ch der aufJeren Normaleti n = J,rgrad Fund k* die Krilmmung von an hinsichtlich der inneren N annalen n * = -
J,r grad F .
n
an
Anschaulich gesprochen: ist konvex, wenn sich in jedem Punkte zur inneren Normalen hin und von der auferen Normalen wegkrumrnt.
Fur rechnerische Zwecke ist es bequem , die Formel fur die Krummung mit Vorzeichen in Polarkoordinaten r, rp bereit zustellen, die der Formel (69) fur kartesische Koordinaten ent spricht : y"
k = (1 + ly' 12)3/ 2 ' wenn die Kurv e in der nichtparam etrischen Form y = y( x) gegeben und Y
,
=
dy " -d , y x
gesetzt ist. Ahnlich erhalten wir , wenn die Kurve in der Form r = r(rp) gegeben und dr /I d 2r r = drp , r = drp2 ,
gesetzt ist , fur die Krtimmung k(rp) als Funktion von sp den Ausdruck (79)
Wir ub er lassen es dem Leser , dies nachzurechnen.
2.2 Kru mm ung und Windung. Frenetsche Formeln
lID
Die Kriimmung der A rchimedisch en Spirale
r(0,
ist
Die Kriimmung der logarithmis ch en Sp iral e
r(
b > 0
X (t ) = (a cost , bsint ) , 0 ::; t ::; 211" , paramet risi ert word en , d .h . X liefert eine 1 - l-Abbildung von [0, 211") a uf E, und di e Kurve X(t) um schl ingt das Innere von E im mathemati sch po sitiven Sinne . Da d ie von E ber andete Vollelli pse
{ (x, y) E konvex ist , wissen wir be reits, daf k (t )
k (t ) =
]R2 : : :
+ ~:
0 erftlllt . E ine solch e Kurve wollen wir Eilinie nennen. Man kann beweisen, daf di e Spur r eine r jeden Eilinie den Rand eine r konvexen Men ge S1 in ]R2 bild et . Dariiber hinau s gilt fiir sie der sogena nnt e V iersche it el satz. Jede Eilinie besitzt m ind estens vier Scheit elpunkt e. F lir den Beweis di eser beid en Sat ze ver weisen wir z.B . a uf J .J. Stoker, Different ial Geom etry , Wil ey, New York 1969, S. 46- 50.
153
2.2 Krtimmung und Windung. Frenetsc he Formeln Aufgaben.
1. Sind d ie Vektoren X(t) und X( t) ein er K urve X E C 2(I, jR3 ) fiir a ile t E J linea r ab hangi g, so ist d ie Sp ur T = X (I) ein Ge rade nstuck. Beweis? 2. Sei X E C3(I , jR3), T := X u nd [X(s)1== 1 sowie IT ( s) [ == 1. Dann gilt ITI2 _ 1 1'14 = ITI2 - (T · T)2 = [T , 1', TF (m it [a, b, c] := det(a, b, c) fiir a, b, c E jR3). Beweis? 3. Sei X E Cl(I , jRn) eine Kurve in jRn , d ie n icht durch den P u nkt P ge ht , a lso ret) := IX (t ) - P I > 0 auf J erfiillt . Dan n gilt r = - A· X, wo be i A (t ) ein Ei nhe itsvektor ist , d er von X (t) na ch P weist . Beweis?
4. Zu skizzieren ist das cartesisehe Blatt X( t) := [O, oo)?
r , d as
Sp ur der K urve X : jR\ {-I}
->
jR2 m it
(1 ~~3 ' 1~:3 ) ist. Welche Stucke von r sind Bi ld er d er 1nter valle (-00, -1), (-1, 0]'
5. Zwei reg ulate C1 - K urven X : J
-> jRn, Y : J -> jRn mogen sich im Punkt e P sc hneide n , a lso P = X (u ) = Y (v ) fur ein u E J bzw. v E J . D ann wird d er S chnittwin ke l 'P d er b eid en Kurven in P d ur ch d ie Gl eichu ng
X (u ) . Y(v)
cos
jR3 ein es " P a ra met ergeb iet es" n in jR2 gegeben s ind un d d ie IZ u /\ Z v l > 0 erfiillt , so sin d d ie K urven u f-+ X (u ) := Z(u ,vo) (vo fixiert) und v f-+ Y( v ) := Z( u o,v) (u o fixiert) reg ula r und sch ne ide n sich ge na u dann im P u nkte Po := Z( uo ,vo) orthogonal, wen n Zu (uo ,vo ) ' Zv (uo , va) = 0 ist . 6. Man besti mme d ie G leichung ax + by + ez = d (m it a 2 + b2 + e 2 = 1) der Schmiege be ne E d er d urch X (t) := (r cos t, r sin t, et), r
> 0 , e> 0 ,
d efin ier t en Helix X : jR -> jR3 im Punkt e X (t ) u nd zeige, d al3 di e durch u f-+ Z(u) := (ucost ,usin t ,et) , u E jR, definier t e Gerade in E liegt , p ar all el zur x, y-E be ne ist und sowoh l d ie Heli x a ls auch d ie Achse der d ie Hel ix ent ha lt end en Zy lind er flac he or thogon al sc h neidet, a lso di e Schnittgerade von Schmiegebene und Nor malebene ist . 7. Was ist d ie Torsion der K urve X(t) := (t, t 2 / 2, t 3 /6), t E R? 8. E ine C1 - K urve X : J -> jR3 heil3t Bos chumqslinie, wenn X (t ) mi t eine r vo rgegebe ne n R ichtung fu r a ile t E J eine n festen W inkel einschl ieBt . Man b eweise: (i) J ed e Heli x ist eine Bosc hungslin ie. (ii) 1st X E C 3 , IXI = lund K i 0, so gilt : X ist ge na u d ann Boschungslinie, wenn T(S)/ K(S) == const . 9. Fur zwe i be liebige stetige Fu nktione n k , () : [0, L ] -> jR mi t k > 0 zeige m an , d af es eine Kurve X : [0, L ] -> jR3 m it (*) K = k un d T = () gibt (vg l. Ba nd 1, 3.6 , Be merku ng 2 und 4.4 , [ITJ ). 1nwieweit ist d iese Kurve d urch die vorgegeb ene n Dat en b est immt ? (Man nennt (*) d ie n atii rli eh en Gleiehungen der Kurve X .) 10. Di e nattirlich en Gl eichungen
K
:= const
> 0, T
= 0 haben K reise a ls Losungen,
11. Was si nd K ru mrnung und Windu ng eine r ellip tisehen S ehraub enl in ie t a > b > 0, e> O?
f-+
(a cos t , b sin t , et) ,
12. Man skizziere d ie Kardioid e r = a (1 + cos e) , 0 ~ .p ~ 271", a > 0 und b esti mme ih re Bogenla nge und Kriimmung (r ,
0) d ie ebene K urve (= Klothoid e od er W iek elku rv e ) Xes) =
(f (;c:) cos
du ,
.f (;c s in
22 ) dU) = (x(s) , yes))
b estimmt , der en beid e "End en" sic h fur s ---+ ±oo u rn d ie b eid en P unkte p ± = ± (c/2)y7i'(1, 1) wicke ln. (Hinweis : Ist
0, eine L iisumq der Integmlungleichung (1)
z (t ) < K + L
mit Konstant en K , L (2)
~
r z(s )ds
O. Dann folgt
z (t ) :s; K eL( t -
Beweis. Wir wahlen ein beliebi ges tp(t ) := (K Dann gilt 0 und setzen
+ f )eL( t-t o )
fur t El .
= Lip und tp(to) = K + f, wor au s sich tp(t ) = K
+f +L
r tp(s)ds t
ito
erg ibt. Wir beh aupten , daf (3)
z (t ) < tp(t ) fur alle t e :
gilt. W ar e dies falsch , so ga be es ein t l E (to, to + a] mit
z (t ) < tp(t ) fur to :s; t < tl und Z(t l ) = tp(t I) .
155
2.3 Das Anfangswertproblem III Hieraus folgte
z (t d
:::; K
+L
r
z(s )ds < K
}to
+E+L
r tp(s)ds
t;
tp(td ,
=
Widerspruch. Also ist (3) richtig und wir hab en
z (t ) < (K und fur jedes
E
> O. Mit
E ----+
+ E) eL(t -t o )
fur t E I
+ 0 folgt (2).
o
Wir benutzen das Gronwallsche Lemma zuerst, urn abzuschatzen, inwieweit eine Niiherungs16sung fiir eine Anfan gswertaufgabe von der t atsachlichen Losung a bweicht .
°
Satz 1. Seien C IR d , X , Y E C1(I, IR d ) , I Y(I) c 0 , F E C°(I x 0, IR d ) , und es gelte
(4)
= [to, to + a], a > 0, X(I) c 0,
[F (t , x ) - F (t , x )[ < Llx - x [
fur aile t E I und aile x , x E 0 . SchliefJlich sei X Losung des Anfangswertproblems (5)
x=
F(t , X)
in I ,
X(to) = Xo ,
wiihrend Y die Ungleichungen (6)
[Y(t) - F(t , Y(t)) [ < E fur t
mit Konstanten E > 0 und (7)
EO
E
I,
(EO
+ aE) eL(t- to )
Beweis. Setze Z(t) := Y(t) - X(t) und K := to :::; t :::; to + a, daf
+
t Z(s)ds r i:
= Y(to) - X(to) + +
EO
> 0 erfuile. Dann folgt
[X(t) - Y(t)[ :::;
Z(t) = Z(to)
IY(to) - xo[
0, und X (I) c D die Liisunq von
X = F(X)
(8)
X(to) = Xo .
auf I ,
Dann gibt es eine Kugel Br(xo ) in D, r > 0, so daft fur jeden Punkt Xo E Br( xo) die Losung X * von X * = F (X*) ,
X *(to ) = xC;
zumindest auf [to, to + a] existiert. Beweis. Da die Spur R > 0, so daf B R(x)
X(I) eine kompakte Teilmenge von D ist, gibt es ein D ist fur aile x E ~. Die Menge
~ :=
C
U
D* :=
Bn(x )
xE E
ist offen ,
n* ist komp ak t , und man sieht oh ne weiteres , daB n* = K * := U B R(X) C D xE E
gilt. W ir betracht en die Einschr ankung F* := F ino des Vektorfeld es F : D ----+ IR d auf die Men ge D* cc D. Nach Proposition 3 von 1.11 ist F !Ko und damit ers t recht F * Lip schitzst eti g; sei L die Lipschitzkonstante von F *. Aus X(I) c D* und (8) folgt (9)
X = F*(X)
X (to) = Xo .
auf I
Bezeichne Br( xo) eine Ku gel in D und Xo E Br(xo) den Anfan gswert der maximalen Losung X * : (n *, w*) ----+ IR d von (10 )
X * = F *(X*)
X *(to) = xC;
mit X *(t) E D* fur n* < t < w* , wob ei to < w* ist. Wir wahlen jet zt r > klein , daf (11 )
r e L a < R /2
°
so
157
2.3 Das Anfangswertproblem III
ist und behaupten, daf dann w* > to + a gilt. Aus 4.1, Satz 3 von Band 1 folgt namlich, falls w* < 00 ist, daf X *(t) gegen einen Punkt P* konvergiert , falls t von links gegen w* strebt, und daf P * E 8D* gilt . Ga lte nun w* ::::: to + a, so wend en wir Satz 1 a uf (9) und (10) an und erhalten aus (7) und (11) die Abschatzung
IX (t ) - X *(t) 1 < R /2
fur aile t E [to,w*) .
Hieraus folgt mit t --> w* - 0 die Abschatzung IX (w* ) - P* I ::::: R /2 . Somit erhalten wir P* E BR(X(w*)) C D*, was der Relation P* E 80: widerspricht, da D* eine offene Menge ist. Also gilt w* > to + a, und folglich ist X * mindestens auf [to, to + a] definiert, und es ergibt sich X* = F(X*) auf I , X *(to) = Xo sowie
IX (t) - X *(t) 1::::: R /2 < R
(12)
fur aile t E [to , to + a] = I . D
K orollar 1. Sei F : D
--> JRd lokal Lipschitzstetig in der offenen Menge D C JRd . Ferner sei K eine kompakte Teilmenge von D, und fur x E K sei X (t, x) die maximale Losunq von
x=
F(X)
mit
X(to, x) = x,
die auf dem Definitionsbereich B :={(X,t) E JRd xJR : XE K, a( x) < t< w(x )} definiert ist und X (B) c D erfullt. Dann ist X E CO (B , JRd) sowie X E CO (B, JRd). Beweis. Die Stetigkeit der Abbildung X : B --> JRd ergibt sich sofort aus der Stetigkeit von X( ·, x) : (a( x) , w(x)) --> JRd fur jedes x E K in Verbindung mit Satz 2 und den im Beweis von Satz 2 verwendeten Argumenten, vgl. insbesondere Formel (12) . Wir tiberlassen es dem Leser, die erforderlichen Schltisse im Det ail zu formulieren. Die Behauptung X E CO(B, JRd) folgt nunmehr aus der Gleichung
X=
F(X) .
D
B emerkung 2. Aus der Ann ahme "F E C1(D ,JRd)" folgt, daB F lokal Lipschitzstetig ist (vgl. 1.11 , Proposition 2) . B emerkung 3. Betrachten wir ein Vektorfeld F( x , u), das neben den Ortsvariablen x noch von gewissen Paramet ern u = (Ul' . . . , ut) abhangt , die in einem Parameterbereich P des JRd variieren. Dann ha ngt die Losung X(t , x, u) des Anfangswert problems
X(t , x, u) = F(X(t , x, u) , u)
X(to , x , u)
=
x
158
Kapite12 . Kurven und Kurvenintegrale
steti g von (t, x, u) ab , falls wir geeignete Vorausset zungen an F( x, u) machen. Dies laBt sich wie folgt zeigen. (i) Wenn wir grobzugig annehmen , daf F( x ,u) lokal Lipschitz st etig bezuglich (x , u) ist, so folgt die Stetigkeit von X(t, x ,u) sofort aus Korollar 1 durch folgende n Kunstgriff: Man betrachtet das neu e Anfangswertproblem
x-
U
F(X, U)
X(to, x, u)
x ,
°
U(to, x, u)
u,
das den Vorausset zungen von Koro llar 1 genli gt . Somit hangt die Losung
(X(t , x,u) , U(t , x ,u))
°
stetig von (t ,x,u) ab o Wegen U = folgt aber U(t , x ,u) == tz; somit geniigt X(t, x, u) der Gleichung X- = F(X, u), und wir erhalten die Behauptung.
(ii) In manchen F allen ist es abe r zuviel verlangt, wenn wir anne hmen, daf F Lipschitzstetig ist (vgl. etwa den Beweis des nachsteh enden Satzes 3) . Die beh auptete Stetigkeit der Abbildung (t , x,u) f----* X(t, x ,u) folgt aber bereits au s der Annahme, daf F(x, u) stetig ist und IF( x, u) - F(x,u) [ :::: L [x - x l
(13)
mit einer von x, x, u un abhangigen Konstanten L erfiil lt . Der Beweis kann wiederum mit Hilfe von Satz 1 erbracht werden; die Det ails seien dem Leser uberlassen, Ist F von der Form
F(x,u) = A(u) ·x oder
(14)
F(t,x,u) = A(t,u) , x
mit einer stetigen d x d-M atrix A(u) bzw . A(t,u) , so ist (13) bzw .
[F (t ,x , u) - F (t ,x ,u)[ :::: L [x-x [ er fiillt , und nun kann der Stetigkeitsbeweis fur X ohne weiteres nach obigem Muster mit Hilfe von Satz 1 gefuhrt werden . Nun wollen wir zeigen , daf die Losung des Anfangswertproblems (5) nicht nur stetig, sondern stet ig differenzierbar von den Anfangsdaten Xo abhangt, wenn das Vektorfeld F von der Kl ass e 0 1 ist . Fa lls F E C" gilt, erhalte n wir die entsprechende hohere Differen zierbarkeit der Losung bezliglich Xo und t . Ergebnisse dieses Typs hat woh l 1. Bendixson (1899) zuerst bewiesen. Betrachten wir folgende Situation, a uf die sich wegen Satz 1 und Satz 2 aIle Falle zuruckfuhren las sen :
Voraussetzun g (8). Sei n eine offene Menge in jRd, F E 01(n , jRd) , r> 0, o> 0, a > 0, I = [to, to + a], und W, W' c n seien zwei Wiirfel, die durch
W = {x gegeben sind.
E jRd :
Ix -
xo[* :::: r} , Wi = { x
E
jRd: Ix - xol* :::: r
+ o}
2.3 Das Anfan gswertproblem III
Fiir (t , x)
E
I
X
159
W' sei eine Liisunq X(t , x ) der Anfangswertaufgabe
X=
F (X) ,
X(to , x) = x,
mit X(t , W')
en.
Wir setzen voraus, dafJ
gilt. Da wir die Gleichung X (t , x) = F (X (t , x )) zunac hst nicht nach Xl, . . • ,X n differenzier en durfen , wend en wir Differen zenquotienten-Oper atoren f:::.. h an. Zu diesem Zwecke wahl en wir zuna chst einen beliebigen Vektor eE jRn mit lei = 1 und eine beliebi ge Schrittweit e h E jR mit 0 < Ihl :::; J. Dann sind die Ausdrucke
Xh(t , X)
(15)
X(t, x +he)
:=
und
(f:::..hX)(t, x )
(16)
1
h [X h(t , x ) - X (t , x )]
:=
fur (t , x ) E I x W definiert, und wir er hal te n auf I x W die beid en Gleichungen
wor au s sich (17)
ergibt . Mit Had am ard s Lemma schr eiben wir die recht e Seit e von (17) als 1
1
h [F (X h) - F(X) ] = h
Jr
1
1 1
Setzen wir
(18)
B(t , x , h)
fur (t , x) E I x W und
(19)
1 1
:=
o
d ds F(X
+ shf:::..hX) ds
Fx(X + shf:::.. hX ) ds .
s,» .
Fx(X(t , x ) + s [X h(t, x ) - X(t , x )]) ds
Ihl :::; J, so folgt
d dt f:::..hX(t , x) = B(t , x ,h) · f:::..hX(t , X) .
Weit erhin ergibt sich aus
X (to, x ) = x
und
X (to, x + he)
x + he
160 fur 0
.hX(t , x ) fiir 0
.hX (t , X)
(23)
h.......O
= Z(t, x,O) .
Die linke Seite von (23) ist nicht s anderes als die Richtungsableitung der Funktion X (t, .) an der Stelle x in Richtung von e.
%e X(t , x)
Aus (18) folgt, daf B(t , x,O) unabhangig von der Wahl von e E sn-1 ist , denn es gilt
(24)
B(t , x ,O)
Fx(X(t,x))
fur (t ,x) E I x W ,
und (21) liefert dann
(25)
Z(t, x,O) = Fx(X(t, x)) ·Z(t, x ,O) , Z(to,x ,O) =e .
Da Z( ' , ', 0) und Fx(X) auf I x W ste t ig sind , ist also auch Z( ., ·, 0) auf I x W stetig. Wahlen wir also e suk zessive als die kanonischen Basisvektoren e1,e2, . .. , ed, so folgt
Satz 3. Aus Voraussetzung (S) ergeben sich die folgenden Resultate.
2.3 Das Anfan gswertproblem III
161
(i) Die part iellen A bleitungen a at
a
x , a Xl X
a a a .!!.-~X , . . . , aXd X , at a Xl X , .. . , at a Xd
von X = X (t , x ) exis tie ren auf I x W und sind dort ste tig. Na ch dem S chwarzschen Satze exis tie ren dann auch die Abl eitungen a~ . %t X , un d es 1 gilt l ~ j ~ d .
(ii) Die Jacobimatrix
(26) m it den Spalt env ektoren l ~ j ~d ,
LOst das Anfangswertproblem
(27)
C (t , x ) = A(t , x ) , C (t , x) , t
e
I,
C(to , x) = E ,
wobei E die Einh eitsm atrix in G L (d , JR) bezeichnet und
(28)
A (t, x) := Fx (X (t , x))
gesetzt ist.
Ma n bezeichnet die Matrixdifferent ialgleichung riationsgleichung.
C=
A . C als Poincares Va-
Fixieren wir t El , so ist
(29)
J := detC = det X;
die J acobidet erminante der Abbildung x f---' X(t, x) von W in Sl . Dann folgt aus 3.6, Sat z 6 von Band 1 die Formel j = spur A · J . Wegen spur A = (div F)(X) er ha lte n wir also Korollar 2 . Die Ja cobid et erminante J (30)
= det X x geniigt der Gleichung
j = div F (X ) . J .
Korollar 3 . Is t das Vektorf eld divergenzfrei, d.h. gilt div F (x ) fo lgt J (t , x ) == 1 auf I x W .
=
0 in Sl , so
162
Kapitel2. Kurven und Kurvenintegrale
A ufgaben.
= (c i , ... , an ) , b = (h , . . . bn ) zwei C 1 -Vektor felde r auf dem Gebi et no in jRn und A = L f=l ai (x)Di , B = Lk=l bk(X)Dk mit D, = O/OXi die ihn en zugeordneten Differentialoperatoren. Man beweise: (i) Der Kommutator [A , B ] := AB - BA ist ebe nfalls ein linea rer Differentialop er ator erster Ordnung Lk=l ck(x) Dk mit den Koeffi zienten Ck := L f=l (ai Di bk- biDi ak) ' (ii) Ist 12 cc no , J = (- E, E) , E > 0, und bezeichnet ~ t ( x ) = ipit ; x ) ein e Losung von
1. Seien a
0(t,x ) = a( ~(t , x ))
fiir (t ,x) E J x 12 , ~ ( O , x ) = x E n,
so gilt fur jede Funktion f E CI (n o) die G leichung d dt
- Uo ~ t ) =
insbesondere
feu
0
(AI) o ip
auf J x 12 ,
~t) l t=o = A] ,
2. Sind a und b zwei C 2 _Vektorfelder a uf no und bezeichnen ~ t und 'lj;s die zugehorigen F lusse, d.h. ist ~O(x ) = x = 'lj;° (x ) und 0 t = a o ip '' , oJ;8 = b o ib" ; so gilt (fur " hinreichend kur ze Zeit en " t , s auf 12' cc 12): ~ t 0 'lj;s = 'lj;s 0 ~ t gen au dann , wenn [A, B] = 0 ist , d.h. die F ltisse ~ t und 'lj;s kommuti eren genau dann, wenn die den er zeugenden Vektorfeldern a und b zugeord net en Operatoren A = a· \7 und B = b · \7 kommutieren, d .h . AB = BA erfli llen .
3. Ist ( ~(t, c), 17(t, c)) mit (t, c) E I x P , P c jRr , eine Losung des Anfangswertproblems 0 = Hx(~ , 'Ij;) , oJ; = - Hy (~ , 'Ij;) mit ~ (to ,c) = f(c ), 'Ij; (t o, c) = g(c) fur ein e Ha m ilt onfunkt ion H(x , y) de r K lass e C 3 und fur Anfangswertc f , 9 E C 2 , so sind die Lagrangeschen Klammern [c., Ck] := 17Ci . ~Ck - 17Ck . ~Ci Bahninvarianten , d .h , es gilt [Ci, Ck ] = O. Hieraus folgt ins besondere [c. , Ck ] = 0, wenn d ie Bah nkurven x = ~ ( t, c) fiir t = to samtlich durch dens clb en Punkt gehen .
ft
4
Eindimensionale Variationsrechnung
Gewohnlich da t iert man den Beginn der Variationsrechnung a uf den Juni 1696, als in den Acta E rud it orum die folgende Anzei ge von Johann Bernoulli ers chien : Problema no vum ad cuius solutionem mathematici inv itantur. Das neue Problem , zu dess en Losung die Mathematiker eingeladen wurden , la ut et e: W enn in ein er vertikal en Ebene zwei Punkte A und B gegeben sind, soli man dem beweglichen Punkte Meine Bahn AMB anweisen, auf welcher er von A ausgehend »ermoqe sein er eigen en Schwere in kiirzesier Zeit von A nach B gelangt . ... Um eine m voreilig en Urteile entgeg enzutreten, mag e noch bem erkt werd en, daft die gerade Linie AB zwar die kilrz esi e zwischen A und B ist, j edoch nicht in kiirzester Zei t durchlaufen wird. Wohl aber ist die Kurve AMB ein e den Geom etern sehr bekannte .... In der Tat: Die K urve kiirzester Fallzeit ist ein Zyklo idenbogcn (s . Beispiel lID). In der von Johann gesetzten Frist fand en flinf Mat hemat iker die richtige Losung: sein Br ud er Jacob, und ferner De L'Hospit al, Huygens , Leibniz und Newt on. Mit welchen Methoden kann man Aufgaben wie das soeben beschriebene Bra chystochronenproblem systematisch a ngreifen? Dies ist der Gegenstand der Vari ationsrechnung, einer naheliegendcn Ver allgem ein erung der Extremwertrechnung fur Funktionen von n ree llen Variablen .
In Abschnitt 1. 7 hat ten wir Extrema von Funktionen fEC I (S1) au f einer offenen Menge S1 des JRn behande lt . Als notwendige Bedingung fur eine Ext remwertstelle Xo E S1 von f ergab sieh, daf Xo kritischer P unkt von fist , also die Gleiehung (1)
V'f(xo)
=
a
163
2.4 Eindimension ale Var iat ionsrechnun g erfiillen muB. Wegen
(2)
f
E C 1( D )
8f
oa (xo)
ist diese Bedingun g gleichbedeut end mit fur aile a
= a
E s n- l C jRn .
W ir wollen nun eine analoge Bedingu ng fur die statio na ren Stellen eines Funktionals F : M ----> jR herleit en , wobei M eine Teilmenge eines Funk t ionenr aumes und F ein Integr al ist , das auf den Funkt ionen von M gebildet wird. Wi r konnen un s beispielsweise M als die Menge aller Kurv en X : I ----> jR3 von der Klasse C 1 denken, deren Spur auf einer Flache S im jR3 liegt und die zwei fest vor gegeb ene Punkte P, Q E S verbinden . Dann ste llt sich die Frage nach der kiirzest en Verbindung von P und Q unt er allen Kurven X E AI , oder zumindest nach einer notwend igen Bedingung, der ein Minimi erer X der Bogenliinge
£ (X) = l
(3)
IX (t )ldt
in der Menge M genugen muB, und die der Bedingung (2) fur Funkt ionen Klasse C 1 (D) ents pric ht .
f
der
Eine andere int eressante Aufgab e ist es, die elastische Energie
(4)
~
D (X ) =
2
r IX (t )1 dt
if
2
einer Kurve X : I ----> jR3 zu minimieren unter allen C 1_Verbindungskurven zweier Punkt e P und Q des jR3 . Hier inte rpretie re n wir "Kurve n" als mathematisches Mod ell fur Saiten eines Musikin st rumentes. Urn all diese P ro bleme unt er einen Hu t zu brin gen , wollen wir unser e Betrachtungen etwas form alisieren . Zunachst wahlen wir ein als erweiterter Phasenraum bezeichnet es Gebiet U im Raume jR2n+l = jR x jRn X jRn , in dem eine Lagrangefunktion F : U ----> jR der Klasse C 1 definier t ist . Wir betrachten Abbildungen u E C 1 (I , jRn) , I = [a, b], der en I -Graph in U liegt , d.h.
(5)
l -graphu: = {(x ,u(x) , u' (x)): x E I} c U .
Dann ist die Komposition F (x , u (x ), u' (x)) wohld efiniert und stetig auf I ; somit konnen wir das Funktional (6)
F( u ) :=
l
b
F (x , u( x), u' (x)) dx
a uf der Menge C1(I, U ) := {u E C l (I, jRn ) : L-graph u c U} bilden . Wir wahl en zwei Punkt e P und Q des jRn mit P i= Q und definieren die Menge M als
(7)
M := {u
E
C1 (I , U) : u(a ) = P , u(b) = Q}.
Es stellt sich dann beispielsweise die Aufgab e, das Funktional F , auch Variationsintegral gena nnt, auf der Menge M zu minimieren , wofur wir symbolisch " F( u) schreibe n.
---->
min in M "
164
Kapitel2. Kurven und Kurvenintegrale
Um die folgenden Betrachtungen moglichst einfach zu halten , nehmen wir a n, daf der Phasenraum U mit JR. x JR.n x JR.n zusammen fallt, also
(8) gilt; dann ist (5) von selbst erfullt . Dem Leser wird es nicht schwer fallen, durch geeignete Modifikationen das folgend e auf den allgemein en Fall zu ub ertragen . Als erstes untersuchen wir , wie sich F(u) andert , wenn wir u variieren. Dazu wahlen wir ein Vektorfeld rp E C 1(I , JR.n) und bilden die K urvenschar h( ·, E) mit dem Scharparamet er E E (-Eo , EO) , EO> 0, die durch
h(x, E)
(9)
:=
u(x)
+ Erp(X)
fur x E I , lEI < EO,
definiert sei. Man sagt hierfur, die Kurve u sei in die Variationsschar h( ·, E) eingebette t. Nun betracht en wir eine Funktion : (-EO , EO)
(E)
(10)
:=
----+
JR., die durch
F(u + Erp )
definie rt ist , und bilden deren Ableitung an der St elle .
(11)
E
= 0:
I
d
(O) = dEF(U + Erp) 0, so dajJ
F(u) :::; F(v) fur aile v E C 1(1, ]Rn ) mit gilt. Dannfolgt 6F(u, cp) = 0 fur aile cp E
Iv-
u lo,l < r
c 1 (1, ]Rn).
1st aujJerdem u von der Klasse c 2 auf (a, b), so gelten die Eulerschen Gleichungen (33) und dazu die nat iir lic he R and bedingung Fp(x ,u(x) , u'( x)) = 0 fur x = a und x = b . Beweis. Sat z 4 wird unter Verwendung von Satz 1 ahnlich wie Satz 3 bewiese n.
o
B eme rk ung 1. Ein C 1-Minirnierer von F bei fest en Randwerten ist nicht notwendig von der Klasse C 2 und darni t nicht notwendig eine F-Ext rernale. Urn dies einzusehen, betrachten wir folgend es Beispiel.
171
2 .4 Eindimensio na le Vari at ionsrechn ung [II Sei F d as Poly nom F(x, z , p ) = z 2(2x - p )2 und I Variat ionsintegral
= [-
1, 1]. Wir b et racht en d as zuge horige
,1
F(u) = ,
/
- I
u (x)2. (2x - u' (x) )2 dx
a u f d er K lasse C d er Funktionen u E C l (1) mit u( - 1) = 0 und u( 1) = 1. Offe nbar gi lt F (v) flir jedes vEe . Ferner ist di e Fu nkt ion u( x) := {
2': 0
flir
0
x2
flir
vo n d er K lasse C, aber n icht vo n der K lasse C , de nn u" ( - 0) = 0, u" (+0) = 2, und sc hliel3lich gilt F(u) = 0 , Somit ist u E C ein Minimierer vo n Fin e m it u rf- C 2(1 ). 2
B emerkung 2. Das nachste Beisp iel zeigt, daf es Minimumproblem e ga nz ahnlicher Ar t gibt, die unlosb ar sind, obwohl ihr Infimum end lich ist. ~ W ahlen wi r F (p ) a ls d as Poly nom F (p) = (p2 - 1)2 un d set ze n
C := {u E C I([ - I, 1]) : u (-I) = 0 , u ( l) = O} , so gilt
infe F = 0 flir d as zugeho r ige Fu nkt ional F (u ) =
den n jed enf a lls ist infe F
L1I
[u ' (x )2 - 1]2 dx ,
2': 0, un d flir d ie D I-Funktion u(x) := 1 - [z ]
fur Ix l :'::: 1
haben wir F (u ) = O. D ur ch Abrunden der Ecke b ei x = 0 kon nen wir u fiir jedes E > 0 so mo d ifizier en , daf d ie "geglattet e Fu nktion" u < die Ungleichun g F (u t2 verschwin den .
jRn
der Klass e
c 1 qeniiqen , die nahe h
und
W ir werd en in Kurze zeigen, daf wegen der speziellen Gestalt (55) der Lagrangefunktion L die C 1-Los ung en von (56) notwendig von der Klasse C 2 sind und dah er der Euler-Lagrangeschen Gleichung genugen, die dem Vari ationsintegral (51) zugeordnet ist , also:
F ur konstantes A ist diese Gleichung aquivalent zu (57)
d . - Ax dt
= - Vx (x ).
F uhren wir das Kraftfeld K = - grad x V
(= - Vx )
ein, so schreibt sich die Bewegungsgleichun g (57) als (58)
!i Ax dt
= K( x) ,
176
Kapi tel2 . Kur ven und Kurvenintegr ale
und in dieser Gleichung sind die Newt onschen Bewegungsgleichungen fur ein konservatives Kraftfeld K enthalten . Das Hamilton sche Prinzip erla ubt zwei Fass ungen, die wir (i) als urspriinqliche Form des Prinzips, (ii) als eruieiierie Form des Prinzips bezeichn en wollen (was nicht historisch gemeint ist, da beide Fassungen etwa gleichze itig entstande n sind) . (i) Urspriinqliclie Fassung des Hamilton schen Prinzips . Hier ste llt man sich die Massenpunkte im IR 3 als frei beweglich, also durch keinerl ei Neb enb edingungen eingesc hrankt vor. Im einfachsten Fall ist dan n A eine konst an te Diagon almatrix de r Form (59) und die Bewegungsgleichungen (58) schreiben sich als (60)
, j
= 1,2 , .. .
,N ,
mi t K j (x ) = - VXj (x ), wob ei VXj E IR3 der xj -Gradient de r potentiellen Energie V ist . Dies sind die klassischen Newtonschen Gleichungen in der Form, die ihnen E uler gegeben hat . (ii) Eruieiteri e Fassung des Hamiltonschen Prin zips. Diese Fass ung wird verwendet , wenn die N Massenpunkt e nicht mehr in IR 3 frei beweglich, sondern Nebe nbedingu ngen unt erworfen sind , et wa von der Art, daf sie sich nur auf Kurven od er Fl achen bewegen d urfen. Damit verringer t sich die Zahl der Freiheitsgr ade von 3N a uf 3N - r , wenn r voneinan der un abh angige "Bindungsgleichungen" vorli egen . Die prazise Beschr eibung dieses Mechani smu s liefert der Satz tiber implizite Funktionen , de n wir in 4.1 behandeln. Die Bind ungsg leichungen kann man auf zweierlei Weise elimi nieren. Die erste Mog lichkeit ist, sie als Qu elle fiktiver Zusatzkriifte (" Zwangskriifte" ) anzuse hen und di e Bind ungen dadurch zu ent fern en , daB man sie du rch solche Zwan gskraft e ersetzt. Dies fuhrt a uf das soge nannte d ' Alembertsche Prinzip, auch Prinzip der v irtuellen Arbeit genannt. Die zu diesem P rinzip ge horenden Eu ler-Lagrangeschen G leichunge n werde n als Lagrangesche Bewegungsgleichungen ersier A rt bezeich net . Diese Vorgehensweise wird in Absc hnit t 4.3 a useina ndergesetzt ; das hierbei benotigte algebraische Hilfsmittel sind die sogenannt en Lagrangeschen Mu ltiplikatoren. Die zweite Moglichkelt, Bind ungsg leichungen zu eliminieren, besteh t dar in, di e Men ge der zulassigen Positionen x = (Xl , . . . , XN ) der N Massenp unkte d ur ch eine G leichung der For m
(61)
x = r.p(q)
zu beschr eiben , wobei q = (ql , .. . , qn ), n = 3N - r , " ungebundene Ortsvariable" si nd , di e in lRn bzw. in einer offenen Menge des lRn frei variieren d urfen .
177
2 .4 Eindimension ale Vari ationsrechnung
Be isp ielswe ise kann m an di e zu lassigen P ositi on en x = ( ~ , 1], ( ) E IR3 eines einz ige n Massenpunkt es , d er a n ei ne Kreisb ahn vom Radius R geb u nde n ist, dureh d ie Gl eiehungen
(62)
~ =
17 = R sine
R eose
( =0
be sehreiben, wenn m an d as Sys tem d er kartesis eh en Koordinaten ~ ,1] , ( gee igne t wahlt . Hi er gi bt es eine einzige fre ie Vari able q, namlich di e Winkelvariable und jed e Bewegung a uf der Kreisbahn (62) wi rd dureh
e,
W ) = R eose(t ) , 17(t)
(63)
= R sinO(t ) , «t ) = 0
b eseh ri eben; kennt m an e(t ) , so er gibt sieh di e Bewegung des Massenp unktes in IR 3 aus d en D arstellungsfo rmeln (63). Ganz entspree he nd erg ibt sieh im a llgemeine n Fall di e Be weg ung t f-> x (t) de r N Punkte des ph ysikaliseh en Sys te ms , wenn t f-> q(t) b eka nnt ist ; m an braueht bl oB q(t) in (61) einz use tzen und er halt
(64)
x(t.) = 'f/(q(t) ) .
Wi e a ber ergibt s ieh d ie K urve t f-> q(t )? Hier zu di ent di e er weit erte Fassung d es Ham ilt onsche n P rin zips. Urn di ese zu b esehreiben , ver wenden wir zu nachst di e Kett enregel , urn x (t ) mi ttels q(t ) und q(t ) a uszud rtieken . Differenzieren wir namli ch (64) naeh t, so folgt x(t) = D 'f/(q (t ))·q (t) und d am it :21 (x( t), A (x(t ))x(t) ) T (x (t ), x(t))
~ 2
(D 'f/(q(t ))q(t ), A ('f/(q(t) ))D'f/(q (t )) q( t )) .
Mi t A * (q) := D'f/(q)T . A (q) . D'f/(q) ftihr en wir nun neu e Fu nkt ione n T * (q, w ), V* (q) u nd L * (q, w) a uf IRn x IRn ein durch
(65)
V * (q) := V ('f/( q) ) , T * (q, w) :=
~ (w,A*(q)w) ,
2 L *(q,w) := T * (q, w ) - V *(q) .
(66)
D ann kon nen w ir ein neu es Wirkungsintegr al A * (q) defini eren, d as de r K urve t Wirkung (ode r Aktion)
(67)
A * (q) :=
zuord ne t . Si nd t
f->
q(t) und t
(68)
f->
j
. t2
. t,
f->
q( t ) di e
L *(q(t ), q(t )) dt
x( t) m iteinande r d ur eh di e G leie hung (64) verb unde n , so gilt A* (q) = A (x ) .
Di e erwei t erte Fassung des Hami lt onschen Pr inzip s b esagt nun , d aB m an d ie wahren Bewegungen x (t) der N M ass enpun kt e d adureh bekommt , d aB zunachst d ie Losungen q(t) der G leiehu ng (69)
8A* (q, 'IjJ )
= 0 Iiir
jed es 'IjJ E C 1 ([t1 ,t2 ], IR n
)
m it 'IjJ (t )
= 0 nah e t1
und t 2
b esti mmt un d d ann di e x(t) a us (64) gew in nt . D ieses Prin zip wird d er Punktmeeh anik gleiehsam a ls Axiom vorangest ell t , was den Vorteil hat , d aB sowoh l di e frei en als a ue h di e geb unde nen Bewegunge n in ein heitliche r Weise b eh and elt werden. Weit erhin hat di eses Vorgehe n d en Vorzug, d aB man eine koordin ateninva riant e (ge nauer gesa gt : kovar iant e) Besehreib ung d es Beweg u ngs a b la ufes gewi nnt , weil di e G leichung (69) aqu iva lent zu
(70) ist , was b esagt, d a B di e Kurve t f-> q(t) eine stationare St ell e (d .h. ein kri t iseh er Punkt) der " W ir kung" A* ist , und di e E ige nse haft d es " St at ionarseins" bl eibt er halten, wen n m an zu neu en K oo rd in at en ilberge ht , denn sie ist ja eine geo me t risehe E ige nse haft .
178
Kapitel2 . Kurven und Kurvenintegral e
Es zeigt sich wied erum , daf di e Losungen q(t) von (69) aufgrund der sp eziellen Struktur von L* von der Kl asse C 2 sind und somit den Gleichungen (71)
!!: dt
L;;'(q(t ), q(t )) -
L~ (q(t) , q(t))
= 0
genii gen; in der Tat sind (69) und (71) hier zueinande r aquivalent. Ma n nennt (71) gewohnlich die Lagmngeschen B ewegungsgl eichungen zweit er A rt. Sie erwe isen sich als aquivalent zu den G leichungen erst er Ar t , die a us dem Prinzip von d 'A lembert gewonne n werd en . Somit ist dieses Prinzip aq uivalent zum Hamilton schen Prinzip in seiner erweit erte n Fass ung. Wir tib erl ass en es dem Leser , diese Aquivalenz zu ver ifizieren . Die Formulier un g der Grundgeset ze der Punktmechanik mi t Hilfe des Ha mi ltonschen Ext remalprinzips ist nicht nur niitzlich , so nde rn dient a uch als Vorbild fiir a nde re Feld t heor ien der Physik , der en Geset ze au s eine m Ext re malpr inzip her geleitet werden. Der ph ysikalische Ansat z zur Besch reibung de r jeweils ins Aug e gefaBten Felde r ist im Wirkungsintegral A und seiner Lagrangefunktion komprimiert. Das Hami ltonsche Prinzip ha t eine lange Geschichte, die mit den Na me n Leibniz, Maupertuis, Euler , Lagrange, Hamilton, J acobi verbunden und vielfach eingehe nd erorte rt worden ist . Hier sei nur a uf Kapitel 19 im zweit en Buch der Feynm an Lectures on Physics (1964) hingewiesen , in dem Fey nm a n sein e - sehr personlich gefa rbte - Sicht des Hamiltonschen Prinzips (das in der englischsprachigen Literatur gewohnlich als Least A ction Principle, d .h . Prin zip der kleinsten Wirkung , bezeichn et wird ) amiisant und eind rucks voll wied ergibt . Erset zen wi r q, q durch x, x und T *, V* , L* , A * durch T , V, L , A , so seh en wir , daf in der zu Anfan g mittels (5 1)- (56) beschri eb enen Form des "W irkungspri nzips" sowohl die ur sprtingliche Fassung wie a uch die erweite rte Fas sung des Hamiltonsche n Prinzips steckt.
[ill Ene r gi e satz, Legen d retransfo r mat io n , H amilt ongl ei c hungen. Wir betracht en wied er die Lagrangefunktion a us ffi] , nam lich
L (x , v ) = T (x , v) - V( x ) , wob ei T (x , v) gem af (53) eine quadratische Form in v ist . Nach Eulers Relation gilt v·Tv( x , v ) = 2T(x , v) , un d wegen L ; = Tv folgt , daB das erst e In tegral 1> (x , v) := v . Lv(x, v ) - L( x , v ) der Euler gleichung nichts ande res als (72)
1> (x , v) = T (x , v)
+ V (x )
ist , d .h . 1>(x , v) ist d ie durch (54) definie rte Gesamten ergie des betracht eten physikalischen Syst ems, die langs jeder Ext re malen x (t) des Wirkungsfunktionals A(x ) konstant ist , also (73)
E(x(t ), x( t))
== ca nst .
Dies rechtfertigt die Bezeichnung " E nergieint egral" fiir 1> , di e wir schon friiher b enutzt haben , und Satz 5 ist nichts anderes als der Energiesatz in der Punktmech an ik: Liinqs des Phasenbildes (x (t), x (t)) ein er jed en B ewegung x(t ) in eine m konserv ativen Kmftfeld K = - grad x V ist die Ges am te nergie E konstant. Der E nergiesa tz ist also eine Folge des Ha miltonschen Prinzips. Betrachten wir nun die durch L erzeugte Legendretransformation. Die kanonischen Impulse y zum Basispunkt x werden durch (74) geliefert . Wegen A (x ) (75)
y = L v (x , v ) = A(x)v
> 0 exist ier t A -l(x ). Set zen
wir
B(x) := A - 1(x) ,
2.4 Eindimensionale Variationsrechnung
179
so folgt
v = B (x )y .
(76)
Die zugehorige Hamilt onfunktion H( x , y ) ist a lso
H (x ,y) =
[y . v - L (x , V)] v=B(x )y = [v · Lv (x , v ) - L( x , V)]v=B(x)y
[~ (v, A(x )v ) + v ex)] v=B(x)y
(x, v)lv =B(x )y = Wegen A
= AT
ist B
= B T = A- I
und so mit 1
H (x ,y) = - (y, B(x) y ) + V ex) .
(77)
2
Di e von L erzeugte Legendretran sformation (t ,x,v) durch di e Forme ln
(78)
.
y
= A (x) v , v = B (x )y ,
L (x , v) =
L (x , v)
1
2(v, A( x) v ) -
(t , x ,y) und ihre Inverse werden also
I->
+ H (x , y ) = u : v ,
Ve x ) , H( x , y ) =
1
2 (y, B (x )y) + V ex)
b eschrieb en , d .h . L liefert in dem ph ysikal isch re leva nt en Fa ll eine n globalen Diffeomorphismus des Phasenraums der Punkt e (t, x , v) a uf den Kophas enraum der Punkt e (t , x , y ). Dabei werden d ie E ulerg leichunge n fur x (t) , x (t) in di e Hamiltonschen kanonischen G leichunge n (79)
x
= Hy (x ,y) , yet) = - Hx(x, y)
fu r x (t) , yet ) mi t yet ) = L v( x (t ), x( t )) t ra nsform iert , und d iese la ut en
(80)
x
=
B (x) y ,
Y = - Hx (x , y ) .
[l] E indimensionale Bewegungen eines Massenpunktes auf einer Geraden. Hier sind
N = 1 und n = 1; m sei di e Mass e des betrachtet en P unk t es (m > 0) , und die x-Achse sei in di e Gerade verl egt , in der di e Bewegung stattfindet . Diese liiJ3t sich volli g a us dem E nergiesat z
T(x)
+ V ex) == const
=:
h
gew in ne n, wob ei 1
T (v ) = -m v 2 2
di e kin et ische E ne rg ie und V ex) d ie potentielle E nergie bezeichn e. Dann folgt
~x 2 2
+ Vex ) =
h ,
und hier au s erg ibt sic h
dx = ± / ~ [h _ Ve x )] . dt Vm Separation der Variablen liefer t t = t( x ) als (81)
t (x) = to ± / x . x()
d;t;.
J~ [h - V (;t;.)]
Hier aus liHlt sich x( t ) lokal als Dmkeh rfunktion von t = t (x) bestimmen .
[§] Das Problem der B rachystochrone (Johann und Jacob Bernoulli , 1696). Hier handelt es sich ebe nfalls urn eind ime nsionale Bewegungen eines P unktes der Masse m , di esm al jedo ch ent la ng Bahne n , d ie gekr iim mt sein ko nnen , W ir fassen eine zum E rd bode n vertikale Ebe ne ins Au ge, die wir zur x , z-Ebe ne machen , und in dieser zwei Punkt e A = (a, H ) und B = (b, H)
180
Kapit el 2. Kurven und Kurvenintegr ale
mi t a < b un d 0 S H < H . Die Schwerkraft K mage in Ri chtung der negativen z-Ac hse wir ken , also K = (0, - mg) ; d ie potentielle Energie ist da nn V = mg z , wenn wir sie a uf de m Erd bo den (z = 0) a uf Nu ll norm ieren . W ir betrachten nun eine belieb ige nichtparam et r ische K ur ve 'Y = { (x ,u(x ») : a S x S b} der Klasse C 1 in der x,z-Ebene , d ie A m it B ver bindet , also u(a) = lJ , u (b) = H er fiillt . E in Massenpunkt der Masse m > 0 mage sich unter dem E influf der Schwer kr aft K reibungsfrei a uf v von A nach B bewegen . Die Bewegung beginne zur Zeit t = 0 in A mit der Geschw indi gkeit Null und werde d urch t f-> c( t) besch ri eb en; wir erlaube n nur Bewegungen c(t) = (x(t) , z( t» , d ie nie zur tickla ufen, also x(t) > 0 fur t > 0 er fiillen. Wir nehmen a n , daf c(t ) de n P unkt B zur Zeit t = 0 erre icht, also x (O) = b erfilllt. Der Wer t 0 hangt von der gewa hlt en Bahn 'Y , also von der Fu nktion u a b: 0 = O(u ). Wi r ver su chen nu n , d iejenige Bahn zu bestim men , a uf der der Massenpun kt moglichst schne ll von A nac h B gelangt, und dies bed eut et , d iejeni ge Funkt ion u : [a, b] -> IR de r Kl asse C 1 m it u (a ) = H , u(b) = H zu finden , fiir die O(u ) de n kleinst en Wert an nimmt. Die zu die sem Minim iere r ge horende Ba hn 'Y wir d als Brachysto chrone bezeichn et , B ahn m it der kiirzestesi Fallzeit. Urn dieses P ro blem zu losen , mtissen wir zunac hst di e Fa llzeit O(u) zu gege be ne m u ber echnen. Ei ne Bewegung c( t) = (x(t), z(t» la ngs der Ba hn 'Y wird also durch z (t) = u(x(t») beschrieb en ; di e Fu nktion x(t ) sp ielt hier d ie Ro lle der Fun kt ion q(t ) in ffi], (64). Urn d ie wah re (d .h. d ie ph ysikal isch richtige) Beweg ung von A nach B zu lind en , milssen wir x (t ) mi t der erweiterten Fas sung des Ha mil tonschen Prinzips besti mm en . Wi e wir in [§] gezeigt hab en , mull jede Extremale t f-> x(t) des Wirkungsin t egr ales den E nergiesatz
+ V (x ) =
T( x ,x)
cons t =: mh
er fiillen . Die kin eti sche E ne rgie T (x , x ) berechn et sic h a us T (x , x)
~ Ic(tW
=
2
=
~ [1 + U' (X)2]x 2 . 2
Damit er ha lt en wir
~ [1 + u'(x)2 ]x 2 + m gu(x) = m h .
(82)
2
Hierau s erg ibt sic h fur x (t) d ie Differenti algleichung .2 x -
d ie wir wegen x(t)
> 0 fur t > 0
umschr eiben kon nen in x
Ge hen wir von x (83)
= x (t)
2[h - gu (x) ] l + u ' (x )2 ,
=
{
2[h- gu (x» ) 1 + u ' (x )2
zur Umkeh rfunkti on t
-dt (x ) = dx
- 1
.j2g
.
= t (x )
}1/2
tiber , so erh alten wir di e G leichung
1 . V( h /g ) - u (x )
J1 +u'(x)2 .
D ie Kon st ante h in (82) ber ech net sich a us den An fan gsb edingun gen c(O) = (a, H ), C(O) u (a ) = H als h = gH . Somit folgt a us (83) durch Int egrati on
(84)
O(u ) = t( b) - t (a ) =
~
v 2g
r
.Ja
w (u )V l
+ u ' 2dx
=
0,
, mi t w (z) := l /vH - z
Aus (84) bestimmt sich d ie Fa llzeit O(u ) langs der d ur ch u besch rieb enen Bahn 'Y von A nach B . Die Extremalen a ndern sich nicht , wenn man den kon st an t en Fak tor 1/.j2g weglallt . Dah er best immen wir jet zt die Ex t re malen z = u (x ), a S x S b, m it u (x ) < H fur a < x S b zur Lagran gefunktion
(85)
F( z ,p) = w( z )
VI + p2
m it w(z );= l / v H - z ,
2.4 Eindimension ale Variation srechnung
181
di e von dem in Beisp iel @] b etracht eten T yp ist. J ede F - Extre male erfiillt Gl eichung (49 ), und di es liefert "I H - u( x) . "I I + u' (X)2 = const , also
[1 + u' (x )2J . [H - u (x )] = 2r
(86) mit einer Konstanten r
> O.
N u n fiihre n wir a nstelle von z eine neue Va ri abl e r ein vermiige cos r = (87)
=
H - z
r(l -cos r)
z-;.H+ 1. D ann ist
2r sin 2 (r/ 2) ,
=
wo b ei r zunachs t a ls eine Funktion von z aufgefaBt werd e, a lso r = r (z) . Ander erseits wird die extre male Ba hnkur ve d ur ch z = u(x) beschrieb en , wobei si ch u a us (86 ) besti m mt. Wir setze n diese Funktion in r( z) ein und erhalten eine Bezie hu ng zwischen x un d r durch r(u(x)) . Diese Funkti on sch reib en wir - etwas sch lampig - a ls r = r (x ) und erha lt en so a us (87)
H - u (x ) =
(88)
2r sin 2 r(x) 2
Differen ti a tion nach x liefer t
- u' (x )
2rr' (x) si n r (x) cos r (x)
2
2
d ah er (89) Ander er seits kiinn en wi r (86) ver miige (88) umsch reib en in (90)
[1 + u'(x)2 ] sin 2 r (x ) 2
=
1.
Aus (89) und (90 ) folgt 4r 2r '(x )2 s in4
r~)
= 1,
und wegen 1 - cos t: = 2 sin 2 ~ er gibt sich schli eBlich
[rr ' (x). (I-cos r (x ))]2 =
1.
Wenn wir verlangen , d aB r( x ) monoton wachst, so muB r'(x) (91)
:2:
0 sein , und es folgt
rr' (x ) · (1 - cos r (x )) = 1 .
Wird noch d er Anfangswert a ls r (a ) = 0 festgelegt , so folgt a us (91) durch Integration b eziiglich x d ie G leichu ng
rr (x) -r sinr(x ) =
x - a.
G eh en wir hier noch von x >--+ r(x) zur Um kehr fun kti on r >--+ x( r ) iib er , so erg ibt si ch in Verbindung mi t (87) fiir di e gesuchte extremale Balm 'Y die Parameterdar st ell ung (92 )
x= a+r(r -sinr ), z= H- r( l -cos r ) .
Wi e in 2.2, [1] festgestellt , beschreib en di e Formeln (92) eine Zykl oid e. Gen au er ges ag t, handelt es sich urn di e Rollkurve eines Kreises vom Radius r , der a uf d er Unterse ite der G er aden g = {(x , z ) E ]R2 : z = H} nach rech ts a bro llt . Fiir P ar amet er werte r E [0, 2rr] ent st eht ein Zykloidenbogen , d er in den Punkten A = (a , H) und A* = (a + 2rrr , H) der Gerade n g a u fge hangt und d ess en ti efste St ell e der Punkt (a + ttr, H - 2r ) ist . Wir verzichten d arauf, di e D ar stellung z = u( x ) d er Extrem a lkurve a nzuge be n, und vermerken bloB, daf di e Steigung u'( x) der Tan gente a n d en Stellen a und a* = a + 2rrr d en Wert - 00 bzw. 00 h at. Bereits das historisch erste Problem der Variationsrechnung fiihrt also a uf Liisungen z = u(x) , d eren Ablei tung in x = a eine Singularitat au fweist .
182
Kapitel2. Kurven und Kurvenint egrale
AbschlieBend sei bemerkt , d aB d ie obige Dis kuss ion kein eswegs d ie Zykl oidenbogen a ls Minimierer d er Fall zeit 0 erweist. V ielme hr zeigt sie nur, d aB bloB Zyk loide nbogen C 2 -M in imierer sei n konnen , d och brauchte es tiberh aup t keine M inimierer zu gebe n , wie das Beispiel ~ zeigt. In der Tat kann ma n a ber beweisen, daB es zu beliebi gen Punkten A , B genau eine Brachystochro ne , d .h. gena u ei ne n M inim ierer d er Fallzeit gi bt, wen n a < b un d H < H ist . Hierzu verwendet man Hilfsmittel, d ie den Met ho d en von 1.7 und 1.8 nachgeb ildet sind und d iese in gee igneter Weise ver all gem ein ern, so d aB sie a uf Variations integrale a nwendbar sind .
Nun wollen wir zeigen, daf sich die Eul er-L agran geschen Gleichungen auch dann aufst ellen lassen, wenn u nur ein C1-Minimierer von :F bzw . eine C 1-Losung von o
o:F(u,
0
0
a uf a uf in
[bl , az] ; [a, « i ] U [bz, b] ; (a l ,b)) , 0, eine Abbildung der Kla sse 0 2 derart , dafJ ¢( t, ', E) eine zweiparametrige S char von Diffeomo rphismen des JRn auf sich lief ert , ¢ (t, " E) : JRn --+ JR n, die f ur E = 0 in die Ideniiiii; ubergeht, d.h. (106)
¢ (t ,x, O)=x
f ur x E JRn
und f ur beliebiges t E JR. B ezeichn e
(107) die sogen annte infinitesimale Transformation in x- Richtung; dann liefert die Taylorentwicklung beziiqlich. E die Darst ellung
(108)
¢(t, x, E) = X + E1J(t, x ) + O(E) .
186
Kap ite12. K urven und Kurvenintegr ale
c
(ii) Es gebe eine Funktion W (t , x , E) der K lasse 2 auf JR x JRn X (- EO , EO), so dafJ fur j ede Kurue X E C 2 (I , JRn) und deren durcli
(109)
Y(t, E) := ¢ (t , X (t) , E)
defin iert e ¢- Transjormi eri e Y (·, E) gilt :
(110)
L(t, Y (t , E), Y(t , E))
Wir set zen
d
= L(t , X (t) , X(t)) + dt W(t , X(t) , E) .
a
(111)
w (t ,x) := OE W(t, x, E) I€=o
=
W €(t , x,O ) .
Satz 7. (Satz von Emmy Noether). Unier der Vomussetzung (V) ist die Funktion (112)
\II (t , x , v):= ry(t, x )· L v(t , x , v ) - w(t , x)
ein erstes Integml der Eul er-Lagmngeschen Differentialgleichungen
d . . dt L v(t , X(t) , X(t) ) - L x (t, X(t) , X (t ))
=
°.
Wir n ennen \II das zur Tm nsformation ¢ gehorige N oetherintegral. B eweis. Differen zieren von (110) nach (113)
8 . 8E L (t , Y (t , E), Y (t , E))
€
ergi bt
8 [d 8 [W (t, X(t) , E)] . = 8E ill W (t , X (t ), E)] = illd 8E
Andererseits gilt, wenn wir das Argument (t , Y (t , E) , Y (t , E)) d ur ch . . . a nde ute n ,
8 - L( . . . ) 8E
L x(. . . ) · Y€ (t , E)
+ L v (. . . ) · (Y )E(t , E) d
L x (. . . ) . Y«t, E) + L v (. . . ) . ill Y 0, und fist eine offen e Abb ildung. B ewe is. Aus den Cauchy-Riemann-G leichung en folgt
(12)
ux vy - uy v x
Wegen 1'(z)
=I=-
=
2 + V x2 = If'12 .
Ux
0 fur aile z E O ergibt sich die Behauptung.
o
Wir halten noch die Formel (13)
fest , die aus (10) und (12) folgt . Korollar 4. Lsi
f
E H(O) und bezei chn et
0 ein Gebiet in C, so gilt : Aus
Re f( z) == const , oder Im f( z) == const, oder If( z) 1== const folgt
f (z) ==
const.
B eweis . (i) Aus u( x , y) = Re fe z) == const folgt V'u (x , y) == 0, und wegen (10) ergibt sich V'v( x , y) == 0, folglich fez) == const nach Koroll ar 1 und 2. Ahnlich konnen wir argumentieren , wenn 1m f ez) == const vor au sgesetzt wird. Ne hme n wir jet zt If l2 = u 2 + v 2 = const an, so folgt u ux
+ v vx
= 0 , u uy
+ v Vy =
0
198
Kapitel 3. Holomorphe Funktionen, Residuen, Fouriertransformation
und d ah er 11 v y
+ v Vx
= 0 ,
-11 V x
+ v vy =
0,
somit 2 11 V y
+ l1 V V x = 0,
-l1V V x
+ v 2v y = O .
Addier en w ir d ie beid en Gl eichungen , so erha lten wir 2 ( 11
+v 2 )
Vy
= O.
Ahnlich folgt
und d ami t
Ist 112 + v 2 = canst f= 0, so b ekommen wir '\7v a us 112 + v 2 = 0 folgt f = O.
=0
und d arnit
'\711
= 0, a lso f = ca ns t,
und
o
Diese Ergebnisse sind Spezialfalle des folgenden Sat zes, den wir spater beweisen werden .
Sa tz von der G e biet streue . Ist f1 ein Gebiet in C , f E 1i (f1 ) und f(z) =i=- const, so ist f(f1) ein Gebiet in Co Vorlaufig liefert Korollar 3 nur (vgl. 1.9, Proposition 2):
K orolla r 5. Ist f1 ein Gebiet in C , f E 1i(f1) und 1'(z) ist f offen, und insbesondere ist f(f1) ein Gebiet.
=1=
0 fur alle z E f1, so
Ferner ergibt sich aus dem Umkehrsatz:
K o rollar 6. Sei f E 1i (f1 ), und es gelte 1'(z) =1= 0 fur alle z E f1. Dann gibt es zu j edem Zo E f1 eine K reisscheibe B = B; (zo) c f1 derart, daft f iB eine holomorphe Umkehrfunktion auf der offenen Menge U = f(B) besitzt. Ist f inj ektiv, so besitzt f eine holomorphe Umkehrfunktion g = f1* ----+ C auf der offenen Menge f1* := f(f1) , und es gilt g'(J( z)) = 1/1'( z).
r:' :
Beweis. Ordnen wir der komplexen Abbildung z
1--+
f( z) = u(x , y) + iv (x, y) , z = x
f( z) mit
+ iy
,
die reelle Abbildung
(x ,y)
1--+
tp(x, y ) = (u(x,y) , v (x , y))
zu, so gilt fur die J acobimatrix J.p von sp
T ) = det -8(u-,v) 8(x,y)
det ( Jep
11'1 2 > 0 .
3 .1 Holomorphe Funktionen Folglich besit zt 'lj; (~ ,
1]) =
(a(~ ,
(D 'lj;)
= (u, v) fur jeden Punkt (xo,Yo)
ip
1]), 0
199 E 0 eine lokale Inverse
1])) (vgl. 1.9, Sat z 1), und es gilt
b(~ ,
- uy ) . ux
(a~
ifJ =
b~
Wegen der Cauchy-Riemannschen Gleichun gen (10) ftir ifJ sehen wir , daf 'lj; die Cauchy-Ri emannschen Gleichungen a~ = bTl ' a Tl = - b~ erfullt . Somi t ist die 'lj; = (a , b) zugeordnete komp lexe Funktion ~ ~ g(~, 1]) := a(~, 1]) + ib(~ , 1]) holomorph. Aus g(J(z)) = z folgt schlieJ3lich g'(J( z))f'( z) = 1. D
D efinition 3. (i) Eine Funktion j E 1i(0) heijJt biholo mor p he A bbildung von 0 aujO* := j(O), wenn sie eine Umk ehrjunktion 9 E 1i (0 *) besitzt .
(ii) Zwei Gebiet e 0 und 0 * in C heijJen biholomorph aquivalent , wenn es eine biholomorphe Abbildung j von 0 auf 0 * gibt (Symbol: 0 '" 0 *). Wir bemerken , daf die Relat ion 0 '" 0 * eine .Aquivalenzrelation ist . Ein es der zentralen Ergebnisse der Theorie holomorpher Funktionen ist der folgend e Satz, der in Band 3 bewiesen wird: Riemannsche r A bbildungssa tz. J edes einf ach zusam me nhiingen de Gebiet zu B = { z E C : Iz I < I} biholomorph iiquivalent.
o =I- C ist
Sa tz 2. W enn f E 1i(0) ist und f'( z) =I- a fu r alle z E 0 gilt, so ist j konform, d.h, w in keltreu und orie ntieru ngserhaltend.
Hierbei nennen wir eine Abbildung f : 0 ----+ C win keltreu , wenn sie zwei regu lare Kurven c, c, in 0 , die sich in Zo unter einem Winkel ex schneiden, auf zwei Kurven 1,1* in f(O) abbildet , die sich in Wo := j(zo) ebenfalls unter dem Winkel ex schn eiden. Be weis des Satzes 2. Seien c : 1---; !1 und c. : / ---; !1 zwei regulars C1-Kurven in!1, 1= [- £,£] und c > 0, m it
c(O) und r 'Y := f
= c. (O) = Zo , c(O) = r ei
0 sowie a = 'P - 'P. c und 'Y. := f 0 c•. Dann gilt
= Schnit twinkel von c, c. im Punkt e zoo Weit er sei
0
'Y (O) Set zen wir
i' (zo)
= 'Y.(O) = Wo ,
= pe
i IJ
,
p
"y (0)
= j'(zo) c(O) ,
"y. (0)
= !, (zo)c.(O) .
> 0, so folgt
Der Schnit twinkel von 'Y und 'Y. in Wo = j (zo) ist also
('P + 0) - ('P'
+ 0) =
'P - 'P.
= a
und st immt som it mit dem Schnittwinkel a von c und c. in Zo iiberein , wie behauptet.
D
200
Kapi tel 3. Holomorphe Funktionen , Residu en , Fouri ertransformation
[1J Die Vorau sset zung f' (z) i= 0 ist wesentlich fiir die W ink eltreue. Ist beispielsweise f E ?i (e) du rch
f (z ) := zn
,
Z E C,
n E f:l
gege be n, so ist die Abbild ung f im Punk t e z = 0 nicht winkeltreu , fall s n 2': 2 gewa hlt wird, sonde rn ver-n -facht den Schnittwinkel zweier Kurven, di e sich in z = 0 schne ide n .
n = 2
o Wir erinnern nun an Cauchys Integralsatz (vgl. 2.1, Sat z 8): Ist 0 ein einfac h zus am menhiingen des Gebiet in C und f E 1i(0 ), so gilt filr je den geschloss en en , st ilckweise glatten Weg 'Y = [c] in 0, daft
1
(14)
f (z)dz = 0
ist. Ist also 'Y durch die requliire Kurve c E D1(I, C), 1 = [a , b], parametrisi ert, so gilt
1
(15)
f( z) dz =
l
b
f (c(t) )c(t ) dt = 0 .
lID
Die Be haupt ung ist im allgemei ne n falsch , wen n das Geb iet n nicht einfac h zusamme n ha ngt. Beis pie lsweise ist f(z) := (z - zO) -l in n = C~o := C \ {zo} holomorph . W ahlen wir fiir c di e Kreislini e c = Cdzo) := {crt ) = Zo + R e i t : 0 :::; t :::; 21r } mit dem R adi us R und dem Mittelpunkt Zo, d ie Zo im posit iven Sin ne ein mal umlauft , so gilt f (c(t )) = R -1 e- i t , crt) = i Re i t und da mi t
1
Cn(zo )
f(z) dz =
{ 21r i dt
.fo
=
21ri .
Also hab en wir
dz z - Zo
(16)
21ri .
Jedoch gilt (17)
{
.fC n (zo )
(z - zo)m dz = 0
fur aile m E L mi t m i= -l ,
denn
= i Rm +1
1
i( m + 1)
[ei(m+ l) t ] 021r
=
O.
3 .1 Holomorphe Funktionen
201
W ir haben also gefunde n:
P r oposi tio n 4 . B eschreibt C R (zo) die K reislinie c(t) = Zo + R eit , 0 ::; t ::; 27f, so gilt fur m E Z fur m -=I- - 1 , fur m = - 1 .
(18)
Wie wir in Abschnitt 2.1 gesehen haben , kann man dem Cauchyschen Int egralsatz auch die folgende Form geben:
Kor olla r 7. Wenn Sl ein einf ach zusam me nhiingendes Gebiet in 0 gerade der reelle Logar it hmus d:, d .h. der Hauptzweig des Logarithmus log z ist eine holomorphe Fortsetzung des reellen Logarithmus in die geschlit zte Ebene C- . Es gilt
J;
(32)
log z = log r
+ up
fur z = r ei
0,
rp E (-1T, 1T)
Zum Beweis verbinden wir z mit 1 in C- durch die D1-Kurve C = Cl Cl(t) := t , 1 ::::; t ::::; r , cz(t ) = r eit
0
ist z
f--7
aZ
= ez loga
eine holomorphe Funktion auf C , die
und
d - a' = a" log a
dz
erfullt. W ahlen wir statt des Hauptwertes log z in (36) eine ande re holomorphe Logarithmusfunkti on I , die auf Q definiert ist, so liefert z f--7 e°e/(z) eine andere Pot en zfunktion Po: E H(Q ), die sich im allgemeinen von (36) un t erscheid et, obwohl sie ebenfalls Po:+{3 = Po:P{3, P~ = ap o:-l und Pn(z ) = z" in Q erftillt . Benutz t man zwei ver schiedene, in C * definierte Zweige h und h des Logarithmus zur Defini tion von Po:( z) , so unter scheid en sich die ents tehenden Wer t e urn eine n Fak tor e 2 7l" m o:i mit m E Z, weil h (z) = 11 (z) + Ztcmi ist . Fur irrationale a liefern also die po: (z) a bzahlbar un endlich viele Wer te fur die "a -te Poten z von z " , wahrend fur a E Z nur ein Wert ents te ht, namlich die ubliche n-t e Poten z z" . Ist a = l in mit n E Z , n ~ 2, so t re te n un t er allen Wer ten Pl/ n(l) ger ade n ver schi ed ene Werte (1 , ... , ( n auf, namlich (1 := e 27l" i/ n , ( k = (f fur 1 < k < n , (n = = 1. Man nennt die ( 1, . .. , ( n die n-ten Einheitswurzeln, denn sie sind Wurzeln der Gleichung zn = 1. Unt er allen Werten Pl/n(Z), die in eine m Punkt z =I- 0 de finiert sind , tret en genau n ver schiedene Werte W I, W 2 , . .. , W n auf, d ie man di e n-ten Wurzeln von z nennt und mit yZ bezeichnet. Fur n = 2 ist y'z das Symbol fur eine Qu ad ratwurzel von z . Mit andere n Worten : yZ bezeichnet n ver schiedene holomorphe Funktionen ( k e ,;;l (z) , k = 1, .. . , n, wob ei I (z ) eine holomorphe Logarithmusfunkt ion ist . Fur z E C- heiBt z f--7 e';; log Z der Hauptwert (oder Hauptzweig) von yZ. Er st im mt auf der po sitiven reellen Achse mi t der gewohnlichen n-te n Wurzel u ber eln.
(r
Die Riemannsche Zetafunktion (38)
1
L
00
«(z) :=
n
n= l
m it n Z = e zl og n = e x log nei y log n , x beweisen , bet racht en wir zunac hst fur 00 /, ,1
dx
-
x '"
=
das ofIensicht lich d ie Reihe
. lim
00
j'N
N r-ecx» , 1
I:~=2
=
Re z , y
> 1 das dx x'"
=
Z
Imz ist filr Re z > 1 defi niert. Urn dies zu " une igent liche Integr al "
=
. lim
x
N -oo
1-'" N
[1 _00 ] 1
1
-
00 - 1 '
n-'" majorisiert, de nn es gilt
N
~2
1
n '"
{ N dx
::; '/1
x", '
da d ie Sum me a uf der link en Seite das Unterintegral von .fIN x -"' dx zur aq uidistanten Zerlegun g von [1, N ] mit der Schrittweite 1 ist . Also ist I: ~= l n-'" fu r 00 > 1 konvergent , und folglich ist d iese Reihe eine konvergent e Majorante der Reih e (38) in der Halbebene
207
3 .1 Holomorphe Funktionen
{z E I[ : R e z ~ a }, so d af d ie Reih e in (38) sogar gleichmiiBig kon ver giert. Da di e Funkti on en z ......, n Z dort stetig sind, ist (( z ) eine steti ge Funktion a uf {z E I[ : Re z > I} . In K iirze werden wir sehe n , daf ( (z) dort a uch hol omorph ist (vgl. 3.2, Satz 5). Diese Funkt ion liiBt sich ho lomorph a uf I[ ~ := 1[\ { I } fortset zen. An der St elle z = I hat di ese Fortset zung eine n einfach en Pol. Dies bed eutet , daf (z - 1) . ( (z) konver gier t m it z ---> 1. In der Tat gilt lim [(z - 1) . ( (z)] = 1 .
(39)
z~ 1
E s stellt sich her aus , daf ( (z ) a n den St ellen
(40)
z = -2, - 4, - 6, .. . ,-2n , . . . , m it n E N
verschwindet . Weiter kann m an zeige n , d af ( (z ) f. 0 ist fUr R e z ~ 1 und R e z ::; 0 bis auf di e obigen Nu llstellen . Ail e von d en Nu llst ellen z = - 2n, n E N, verschiedenen Nu llst ellen von (( z) miissen a lso im Streifen {z : 0 < Re z < I } liegen . Die bertihmte Vermutung von Ri emann , die er in seiner Arbeit Uber die Anzahl der Pr imzahlen unter ein er gegebenen Groj1e (Monatsberichte d er Berliner Akademie 1859 ; vgl. a uch Math. W erk e [1. Aufl ag e, S. 136- 144, insb esonder e S. 139 ; 2. Aufl age, S. 145- 153]) a ufges tellt ha t , besagt , d af a ile von (40) verschi ed en en Nullst ellen von ( (z) auf der Geraden {z E I[ : Rez = 1/ 2} liegen. David Hilbert hat di ese Vermutung als ach tes P roblem unter di e drei undzwanzig mathematischen Problem e aufgenommen , di e er in 1900 auf d em Internationalen Mathem atikerkongreB in Paris zur Losung vorgesch lag en ha t. (Naheres find et de r Leser in d em schonen Leh rbuch von H.M . Ed wa rd s, Ri emann's Z eta FUnction, Academ ic Press , New York 1974.) Bereits E uler hat sich mit de r Zet afunktion befaBt. Ausgangspunkt wa r Iiir ihn die geometrische R eih e 1
1
1
1+ -pS + -p 2-S + -pS - + ", 3
=
-
Ordnen wir die abzahlbar vielen Primzahlen zu ei ne r Folg e endliche Produkt
OO ( 1 IT ~1
1)-1
t:
=
~
nl~~
n (1 IT ~1
1
-1 .
I -ps
PI ,P2 ,P3.. .
1) -1
-; ~
filr s
>
und bi lden das un1,
so ergibt sich a ls Resultat L ~=1 n- s = (( s) , weil jede natiirliche Zahl n > 1 auf gen au eine Weis e a ls Produkt von P r imzahlpoten zen gesch r ieb en werden kann u nd daher beim Ausmultiplizieren von IT~= 1 (L ~=oP;:;- CtS) jeder Summand von (( s) genau ein ma l vorkommt. Also :
IT 00
(( s) =
(41)
(
1 1 - -;
1'=1
)-1
fur s
>1.
P1'
Freilich muf d iese Eulersche Formel no ch insofern gerechtfertigt werden , daf man die er forderli chen " Umord nu ngen " beim Ausmult ip lizier en des unendl ichen Produktes a ls zulas s ig nachweist.
Aufgaben. 1. Mit Hilfe der Wir tin g eroper a t oren
:z =~(:x - i:y)' :2 =~(:x+i:J
definier en wir fur f : n
n c I[ die
Wirtingerableitungen 0 1 fz = oz f := 2 (fx - ify) , fz = 0 2 f := 2(fx + i fy) . ---> I[
e
mit
1
Man beweis e: Sind u(x ,y) := R ef( z) und v (x ,y) := Im f (z ) mit x = Rez und y = Im z stet ig differenzierbare Funktionen de r Vari ablen x , y mit z = x + iy E n, so ist f genau dann ho lomorph, wenn fz = 0 ist . FUr f E 'H(n) gilt f' = fz .
208
Kapitel 3. Holomorphe Funktionen , Residu en , Fouriertran sformation
2. F Ur f : C 2 (rl , C) und 9 := f gelte n d ie folgend en Rechenr egeln: (i) f z = gi , (ii) f zz = ~ ~ f = ~(Jxx + fy y ); (iii) ~~ = 1, ~~ = 0, ~; = 0, ~; = 1 . 3. Ist f E 7t (rl ) und gilt Im j' (z ) == const , so folgt f(z) == const . Beweis? 4. Sind die folgend en Funkti onen f : C
-+
i»
= gz ;
C holomor ph : f (z ) := z, z - i ; z + z, Im z?
5. Man beweise die P ropositionen 2 un d 3. 6. Man ber echn e die Abl eitungen von f : iC\ {zo}
-+
C, wobei f (z ) :=
n
2:
v =- k
av(z - zo)V ,
k , n E No. 7. Man zeige, daB e Z = 1 genau dann gilt , wenn z = 27rni mit n E 12 ist .
8. Wann gilt e Z +w = e Z fur alle z E C, d .h . was sind die " Periode n" w der Exponent ialfunktion? Antwo rt : w = 27rni mit n E 12. Beweis? 9. Die Abbildung z f-> e Z bild et fur be liebig gewahltes a E lR den St re ifen 2: a := { z E C : a S Im z < a + 27r } biholomorph auf C" := C \ {O} a b o Beweis? 10. Was sind d ie (Ha upt-) Wert e von i -, 2-
i ,
i i , i" , e i ?
11. Die Abbildung z f-> (= f (z ) := ~ ( z + z- I) bild et konzent rische Kr eise vom Radius r -I- 1 urn den Urs pr ung auf konfokal e Ellipsen mit den Hau pt ach sen r + r - I und Ir - r - I I ab oDie vom Nullpunkt a usge hende n Strahl en werde n a uf konfokale Hyp erb eln abge bildet , die jene Ellipse n ort hogo na l schneide n. Beweis? Ma n zeige
+ J (2 -
und tibe rlege , wo z = ( bezeichnet . 12. Beze ichne
z
f->
1 gilt , wenn
r
az + b
( = J (z ) := -
cz
-
+d
~~i
=
( ;~ i) 2 und
(z - () 2 = (2 - 1
den Haupt zweig der Wurzelfunk tion
, ad - be
-I-
0 ,
die Abbildung von iC\ { -di e} a uf C \ {al e} fur c -I- 0 bzw. von C a uf C fiir c = O. Man zeige, daB f bih olomo rph ist und bestimme die Umkehrfunkt ion f - I (w) sowie die Abl eit un g f' (z ). 13. Man zeige, daf je de holom orphe Funkt ion f der Differentialgleichung ~ IJ I2 = 4IJ ' I2 genUgt, wora us ~ l f l 2 2: 0 folgt . 14. Ist f E 7t (rl ), c(t) := R ei t , c(t) C rl , und definieren wir 9 E 7t (rl ) du rch g(z) := i zf' (z) , so ist di e Bahngesc hwi ndig keit "y der Kurve v := J o e gegebe n durch "y = g o c. Die Krummung K(t) der Ku rve ry im Punkte w = ,(t) ist
K(t )
1
= Iz f ' (z )1
[
f"(Z) ] 1 + Rez j'(z) mit z
= c(t ) ,
falls wir f' (z ) -I- 0 a uf Spurc annehme n . Beweis? Man untersu che das Vorzeichen von K(t ) fur den Spez ialfall f (z ) := Wo + zn mit nEZ, n -I- 0, und Iwol > 1. 15. Die in Aufgab e 14 betrachtet e Kurve ,(t) , 0 S t S 27r , sei eine geschlossene J ordankurv e, di e den Rand orl eines einfa ch zusa mme nhange nde n , bes chr ankten Ge bietes rl in iC parametrisiert und beziiglich rl positiv orient iert ist. Man zeige, daB rl genau dann konvex ist , wenn Re [z f" (z) lf'(z) ] 2: -1 fiir z = c(t), t E lR gilt , und daf (fur f ' (z ) -I- 0 auf c) das Gebiet ste rnfOrm ig b ezUglich des P unktes w = 0 ist , falls Re [z f' (z )l f (z )] > 0 ist .
2
Cauchys Integralformel
Im folgenden denken wir uns den Rand EJBR(ZO) einer Kr eisscheib e
BR(zo)
=
{z
E
C : [z - zol < R}
209
3. 2 Cauchys Integralformel durch die Kr eislinie c = GR(Z O) par ametrisier t , die du rch c(t) := Zo + Reit
(1)
,
O :S; t
:s;
21f
gegeben ist. Lemma 1. W ir betra cht en zwei K reisscheiben B r( z) un d BR( zo) in einer offen en M enge
nc
C, die
(2) erfii llen , und eine Funktion g E 1{(n~ ) mit n ~: = n \ { z} . Dann gilt
r
(3)
} C n( zo)
g( ( )d(
=
r
i.;
g (() d( .
B eweis. Wir bild en eine geschlossene D1-Kurve c, die sich a us GR( ZO) und der zu
C; (z) entgegengesetzt orientierten Kreislinie - Gr (z) sowie zwei entgegengesetzt
orientierten Geradenstii cken c+ und c- zusa mmensetzt, die GR( ZO) und Gr (z ) verbinden . (Man nennt das Paar (c+ , c- ) einen R uckk ehrs chnitt.)
Die Kurve c UiBt sich (durch "Abrunden der Ecken") offenb ar so durch eine Folge {cd geschlossener, in n~ nullhomotoper G1-Kurven Ck approximieren, daf f Ck g (() d( ----7 f cg(()d( fur k ----7 00 gilt . Aus 2.1, Sat z 9 ("Variante des Cau chyschen Integral satzes") folgt dann wegen g E 1{(n~) , daf (4)
Hieraus ergibt sich 0=
r
} C n (zo)
g( ( )d(
+
1
- C,. (z )
g(()d(
+
1 c+
g(()d(
+
1 c-
g (() d(.
210
Kapitel 3. Holomorphe Funktionen , Residuen, Fouriertrans formation
Wegen
j
-C,(z )
g(()d( =
folgt
-1
g(()d(
Cr (z)
0=1
CR (ZO)
g(Od(
1+
g(()d( =
und
-1
Cr (z )
-1-
g(Od(
g(Od( .
o Satz 1. (C a uchys Int e gralformel fur den Krei s) . 1st f E H (n ), so gilt fur j ede Kreisscheibe BR( Za) c c n
fe z)
(5)
=~ 27fZ
1
f(O d(
g(O := f(()
fur
( -z
H(n~),
1
1
(6)
( En~=n \{z} .
1
g(Od(
f(() d( =
1
f(O d( = Z
C r (z ) ( -
f (O
c,. (z ) ( - z
Das zweit e Integr al schreiben wir als
1
g(()d( ,
C, (z )
C R (ZO ) ( - z
(7)
BR( Za) .
und aus Lemma 1 folgt C R (ZO )
d.h.
E
n und
Beweis. Sei Br(z) cc B R(Za ) cc
Da nn ist 9 E
fur alle z
C R (z o) ( - z
1
fez) d( + Z
C r(z ) ( -
1
C, (z )
ac . f(O - fe z) ( - Z
.u; .
Aus P roposition 4 von 3.1 folgt
1
(8)
Md(
C, (z ) ( - z
27fi fe z) ,
und fem er gilt die Abschatzung
1
1
Cr (z )
~
f(O - fez) d( 1 ::::: 27fr · . sup{ lf(O - f(z) 1: (E C , ( - z r
woraus sich (9)
lim r--->+a
1
C, (z)
I( -
z ] = r} ,
f(() - fez) d( = 0 ( - z
ergibt . Aus (6)-(9) erha lten wir schlieJ3lich die Behaupt ung (5).
o
211
3.2 Cauchys Int egr alformel Lemma 2. (i) Ist
ip E
C O(8BR(Z O) ' C) , so wird durch
1 f(z) := -2.
(10)
m
1
zp(( ) d(
,z E BR(zo) ,
1 -
C R(ZO)
." -
Z
ein e Funktion f : BR( zo) ----> C definiert, die unendlich oft dijJeren zierbar ist, und es gilt fUr aile z E BR( zo)
(11)
fen) (z)
~
=
27ft
zp(0n+l d( z)
(
fu r aile n E No .
J C R( ZO) (( -
Izp(OI auf 8 B R(ZO), so gilt n!M tr» fu r aile n E No .
(ii) B ezeichnet M das Ma ximum von
(12)
If (n)(z o)! ::;
B eweis. (i) Der Integrand g ((, z ) :=
[~(~
von (10) ist eine beliebig oft (kom-
plex) differen zierb are Funktion des Par amet ers z . Dann zeigt man ahnlich wie im Beweis des Satzes 2 von 1.3, daf f( z) differen zierb ar ist und
j'(z) = ~ ( 2 7ft
J C lI( ZO)
~ zp(( )
dz ( - z
.u;
= ~ (
2 7ft J Cn( zo)
zp(O
(( -z)
2
d(
gilt . So konnen wir fortfahren und erha lte n durch Induktion die Formel (11). (ii) Mittels Abs chat zun g (19) von Abschn itt 2.1 ergibt sich aus (10) und (11) fur alle n E No, daf
ist . D
Aus Satz 1 und Lemma 2 folgt Satz 2. Ein e holomorphe Funktion f : n ----> C ist beliebig oft dijJeren zierbar. Damit sin d aile komplexen Ableitungen f' , I",... in n holomorphe Funktionen , und fur je de Kreisscheibe B R( zo) cc n und aile z E B R( ZO) gilt
.r» ,...,
(13)
f (n ) ( Zo)
= ~
27ft·
1
C R (z o)
(I."
f(() dl z )n+l'" .
-
W eit erhin erhalten wir Cauchys Abschatzungen
(14) wobei
(15) geset zt ist.
M( zo, R) := max If C R(zo)
I
212
Kapitel3. Holomorphe Funktionen, Residu en , Fouriertran sformation
Die Klasse H(O) der in 0 holomorphen Funktionen f : 0 ---* C bildet also eine Algebra tiber dem Korper C , die gegentiber der Op eration des Differenzierens abges chlossen ist , d .h . aus f E H(O) folgt l' E H(O ). Bemerkung 1. Die A ussage von Satz 2 laBt sich no ch verscharfen . Wi e Go ursat (1884) beme rkt hat , kan n man d en 1nt egralsatz von Cauchy be reit s unter der Vor a usset zung beweisen , daf f : 0 ---+ I[ (kom plex) d iffer en zierbar ist. F Ur di ffer en zierbar e Funkt ione n folgt d ann schon di e Int egralformel (5) , und wege n Lem ma 2 ergi bt sich sog leich di e Exis tenz und St etigkeit a ller Ableitungen f ' (z ), f " (z ), . . . a uf 0 ; insbesonder e ist es a lso iib erflussig zu fordern, d af f ' stetig sei, denn di es folgt bereits a us d er Ex iste nz von f l. Defin it ion 2, (ii) a us 3. 1 kann so m it durch folgende aq uivalente Defini ti on ersetzt werden: Eine Funk ti on f : 0 ---+ I[ heiflt holomorp h, wenn sie differenzierbar ist. Diese Beo bacht ung von Go ursat ist iib erras ch end, a ber filr de n wei teren Aufbau der Fu nkt ione nt heo rie bed eu tungslos, d a sie n irgends b en ot igt wird. Der Leser find et d en Beweis d er Goursatsche n Beo bac ht ung in der von P rings heim gegebene n For m in d en meist en mode rnen Leh rbiichern der Funkt ione nt heorie. Wir skizzie re n hier d en Beweis; er b eruht a uf folgend em Lemma von Goursat . Jst f : 0 ---+ I[ differenzierbar auf der offen en M enge 1[ , so gilt f(z) dz = 0 fiir je de reguliire Dt - Kuroe c, die ein Dreieck 6. CC 0 berandet .
Ie
Beweis. Wi r wollen stets a nnehmen, d af c d as Dreieck 6. im posi t iven Sinne urnl a uft und sch reib en suggestiv / (6. ) fur .f~ f (z )dz und L(86.) fu r d ie Lange von C. Halbier en wir d ie Seiten von 6. und verbinden di e Seitenmittelp u nkte gerad linig, so entstehen vier kon gruente D reiecke 6.' ,6." ,6. 111 ,6." " ; fur d iese gilt
/ (6. ) = / (6. ' ) + / (6. " ) + J(6. " ' ) + / (6. " " ) . Bez eichne 6. 1 eines di eser D reiecke, fur d as d er Wert d es Betrages d er zuge horigen Int egr ale J(6. ' ), . .. , / (6. '" 1) am groflten ist . Dann folgt 1/ (6. )1
s
41/ (6.Il I und
L (86. ) = 2L(86. 1 )
.
Bei m nachsten Schritt wen den wir di e gleiche Prozed ur a uf 6.1 statt 6. an u nd er ha lten ein Dreieck 6. 2 C 6. 1 mi t
Au f d iese Weise entsteht eine Dreiecksschachtelung {6. n } , di e sich a uf eine n Punk t Zo E 0 zusam menzieht und fur d ie
gilt. Aus 3.1, P ro positi on 1 folgt
f (z ) = f (zo ) + a(z - zo)
+
g(z )· (z - zo)
mi t a:= f' (zo ) und eine r Fun kt ion g : 0 ---+ 1[, d ie lim z _ zo g(z ) = 0 er fullt . O h ne Verwendung des Cauchysc hen Int egralsat zes rec hnet man a us , d af
I'
.JM n
f (zo )dz = 0
gilt . Damit bekom men wir
/ (6. n ) = Setze M n := max 8ll.n folgt
Igl,
a lso M n
---+
r
und
I
ea ;
.JM n
a(z - zo)dz = 0
g(z ) . (z - zo) dz .
0 m it n
---+
O. Wegen Iz - zo l
S L (86. n ) fur z E 8 6. n
213
3 .2 Cau chys Integr alformel und dah er fiir aile n EN .
Mit n ----; 00 erg ibt sich also 1(6:,) = O. Von Goursats Lemma a usge hend konn en wir Cauchys Integr alsat z zunac hst Iiir geschlossene Po lygone und dann filr geschlossene reg ulars DI- Kurven beweisen , indem wir d ie stetige Ab ha ng igkeit des Kurven int egrals gegenii ber geeigneten Deform at ionen des Int egrat ionsweges beacht en . D
Definition 1. Eine auf ganz C holomorphe Funktion f : C ----. C heiftt ganze Funktion. J edes P olyno m ist eine ga nze Funkt ion. Wir nennen eine ga nze Funktion transzendent , wenn sie kein Pol ynom ist . Beisp ielsweise ist die Exponent ialfunkt ion tran szendent.
Satz 3. (Satz von Liouville) . Eine beschriinkt e ganze Funktion ist notwendig konstant .
Beweis. Sei f E H( C) , und es gelt e sUPe If I Zo E C die Abschat zun g
1f'( zo)1 < 1'.1R- 1 Mit R ----.
00
::;
1'.1
0
folgt f'( zo) = 0 fur alle Zo E C und damit fe z) == const .
D
Satz 4. (Fundamentalsatz der Algebra) . Jedes Polynom p vom Grade > 1 besitzt mindestens eine Nullstelle.
Beweis. Ware p(z) ein Polynom vom mind est ens erste n Gr ad e ohne NuIlste Ilen , so war e die Funktion f := l ip eine ga nze Funkti on . Wegen Ip(z)1 ----. 00 ftir Izl ----' 00 (vgl. Band 1, 2.7, Beweis von Sat z 3) gibt es eine Zahl R : : : 1, so daf Ip(z )1 ::::: 1/2 fur alle z mit
Izl : : :
R
gilt . Somit war e If( z)1 auf C beschrankt , und nach Liouvilles Satz war e fe z) kon st ant, folglich auch p(z) == const , Wid erspruch . D
Satz 5. (WeierstraBscher Konvergenzsatz) . 1st U n} eine Folge holomorpher Funktionen f n : n ----. C derart, daft
(16)
f n(z) =l fe z) mit n ----.
00
auf jedem
n' c c n
gilt, so folgt f E H (n) und ferner (17)
fur aile k EN.
f~k ) (z ) =l f (k)(z ) mit n ----.
00
auf jedem
n' c c n
214
Kapitel 3. Holomorphe Funktionen , Residuen, Fouriertransformation
B eweis. Sei B R(ZO) cc n. Dan n gibt es Zahlen R o und R 1 mit R 1 > Ro > R , so daf B R(ZO) c c B Ro(ZO ) CC B R1(zo) cc n erfullt ist . Fur alle n E N und alle Z E B Ro (zo) folgt naeh Satz 1 fn (z )
(18)
= ~
2 1rZ
Fur Z E B R(ZO) und ( E oBRo(zo) gilt wir dann fur jedes Z E B R(ZO), daf
(f n(() _ Z =::+ (f _(()Z
b
1
GRo(zo)
fn(( ) d( . ( - Z
I( - zi 2': R o -
R > O. Wegen (16) er ha lte n
.. li h { :::IB ( ) it ezug ic ." E v Ro Zo rru n
----> 00
gilt. Dann ergi bt sieh a us (18) die Gleiehung
f( z ) =
(19)
~
21rZ
1
GRo(zo)
f(() d( Z
( -
fur alle Z E B R(ZO ) und alle R E (0, R o). Somit ist (19) soga r fur alle Z E B Ro(zo) erfullt , und wir erha lte n naeh Lemma 2, daf f E H(n) ist . Wegen (18) und (19) ergi bt sieh
j(k)( ) = ~ n Z 21r i
j'GR()(ZO)
f n(() d( f (k)( ) = ~ (( _ Z)k+l ' Z 2 1ri
1
f(() d( Gn(zo) (( _ z )k+l
fur alle Z E B Ro(zo), und dam it bekommen wir f~k)( z) =::+ f (k)(z) fur Z E B R(ZO)
mit n
----> 00 ,
Ein Uberdeckungsar gument liefert nunmehr (17) . D
Definition 2. S ei f E H(n) , Wir nenn en Zo E o n eine isolierte Singularltat von I , wen n fur ein r m it 0 < r +O
1
2Jri
1
C,. (zo)
f(()d(
das Residuum von f in ZO o Es gilt (21)
.1
1 R es(j, zO) =-2 Jr2
Cr(zo)
f(()d(
fiiralle r mitO < r « l .
Aus Sat z 1 erhalten wir dann folgend e nu t zliche Aussage. Proposition 1. Ist f E 'H(0.) und z E 0., so hat die durch g((): =
{~~
,
( E0. \{ z},
definiert e Funktion g E 'H(0.\ {z}) an der Stelle z das Residuum f( z), d.h. R es(g , z ) = f( z) .
Ahnlich wie in Lemma 1 ergibt sich Lemma 3. S ei f E 'H(0.) und bezeichn e C ein Gebiet m it C cc 0., dess en R and sich in der Form 8C = r 1 u r 2 u ... r p schreiben liijJt, wobei jede Randkomponente r j die Spur einer geschlossenen , reguliiren , eingebette te n D1-Kurve Cj ist, die beziiqlich. C positiv orientiert sei. Dann gilt (22)
t1 j=l
f( z)dz = O .
Cj
B eweis. Zun achst ist zu klar en, was dam it gemeint ist , die Kurven Cj : I j ---.., C mit Cj (I j) = r j seien beziiglich C positiv orientiert. Dies soli bed euten , daf C imm er link s von der Randkomponente r j liegt , wenn wir sie ver rnoge Cj (t ) in Richtung wachsend er P aramet erwer t e t durchlaufen . (W ir wollen uns gegenwa rt ig mit dieser "anscha ulichen" Definit ion begnugen , die in all den Spezialfallen von Gebiet en gre ift , die wir betracht en werd en . Bei dieser Wahl der x dy - yd x = x dy - yd x den Ori entierungen der Kurven Cj liefert 2:j=l
JCj
Jae
216
Kapitel 3. Holomorphe Funktionen, Residuen , Fouriertransformation
Fl acheninhalt IGI des Gebiet es G. Mit einer form aleren Definition des Orienti erungsb egriffs werden wir un s in 4.6 bzw. 6.2 und in Band 3 befassen.) Dann kann man (bei geeigneter Wahl der Numerieru ng der Randkomponenten von G) p - 1 Polygone 5 1, .. . ,5 p - 1 finden, so daf 5 j die Komponenten I'j und f )+ 1 verbindet, indem es seinen Anfan gspunkt P j auf f j , seine n Endpunkt Q j a uf f )+l hat und im iibrigen die Kurven I' 1 , . .. . T p nicht trifft; gewohnlich lassen sich 51, .. . ,5 p - 1 als geradlinige Segm ent e wahl en ,
An schlieBend wahl en wir zwei D 1 -Kur ven Sj und sj , die 5 j als Spur hab en , aber ent gegengeset zt orient iert sind, beispielsweise sj = - si - Der Anfan gspunkt von Sj sei P j und Qj der Endpunkt . Ein solches P aar (Sj , sj ) nennen wir einen Riickkehrschnitt von G. Dann konnen wir die Kurven C1 , " " cp und die Rii ckkehrschnitte Sl , s~, . . . ,Sp- 1, S~_ l Zll einer geschlossenen D 1 -K urve c zusamme nsetzen , die sich so durch eine Folge {cd von in D nullhomotopen C 1-Kur ven approximiere n lassen, daf Jf_Ck j( z)dz -+ Jtc j( z)dz fur k -+ 00 folgt. Aus 2.1, Satz 9 erg ibt sich dann j( z)dz = 0, und dies bedeutet
tl
Wegen
Ie
j( z)dz j
+
~ [ljj( z)dz
Is; j( z)dz = - Is; j( z )dz erha lte n wir
+
1;
j( Z)d Z] =
°.
nunmehr die Formel (22).
o
Wir betrachten jet zt folgend e Situati on : S ei D eine offe ne M eng e in C, 5 = { Zl , Z2 ," '} eine nichtleere en dliche oder abziihlbare un endlich e Teilmenge von D, die sic h in D nicht hiiuft (d.h. die in D kein en Hiiujungspunkt besit zt ) . Ferner sei G ein Gebiet mit G cc D, BG n 5 = 0, G n 5 = { Zl , ' " , ZN }, das von einer geschloss en en reguliiren Dv-Jordankun»: c berandet wird, die G im posit iven Si nne um liiuft .
217
3.2 Cauchys Integralformel
Dann er halte n wir
Satz 6. (Cauchys Residuensatz) . Unter den soeben genannten Voraussetzungen gilt jur jede Funktion j E H(n \ S) die Formel
1
N
j( z)d z = 21fi
(23)
C
L
j=1
Res (j , Zj)
Beweis. Er set zen wir G durch das Gebiet G' := G \ U~=1 B r(Zj), 0 < r so folgt nach Lemma 3
1
f; l c,(zj)j( z)d z
«
1,
N
j(z)dz
+
=
0,
und dies liefert nach (21)
1
L 1 j=1 N
j( z)d z =
C
C,, (Zj)
N
j( z)d z =
L 21fi Res (j, Zj) . j=1 D
Der Residuensatz ist ein starkes Hilfsmittel, das beispielsweise bei der Berechnung "uneigentl icher Int egral e" gute Dienst e leist et (vgl. 3.8). Wenn G nicht von einer , sondern endlich vielen geschlossenen , regulare n D 1 _ Jordankurven C1, •.• , cp ber andet wird , die positiv bezuglich G orientiert sind, so erhalte n wir stat t (23) den Residuensatz in der Form p
(24)
L
j=1
1
N
j( z)dz = 21fi
Cj
L
j=1
Res(j, zj) .
Ais wichtigen Spezialfall (p = 2, N = 1) erha lte n wir , wenn wir j(() durch
g(() := j(()
(- z
erset zen und R es(g , z) = j( z) verwenden:
218
Kapitel 3. Holomorphe Funk tionen, Residuen, Fouriertransformation
Satz 7. (Darstellungsformel von auf einem Kreisring holomorphen Funktionen). Sei j E H(A( zo)) , wobei A( zo) den .Kreisrinq"
(25)
A( zo)
{z E C : rl < Iz - zol < r2} mit 0 :::; rl < r2
:=
bezeichne. Dann gilt fiir beliebige p und r mit rl < p < r < r2 die Darstellung (26)
f( z)
:=
tp(z , r)
+ 'l/J(z , p)
fur aile z mit p < [z - zo l < r ,
wobei tp(z, r) die in B ,.(zo) holomorphe Funktion (27)
tp(z, r)
:=
~
r
f(( ) d( , z
2 11"2 } C r( zo) ( -
z
E
B,.(zo) ,
bezeichnet und 'l/J (z , p) die in C \ Bp( zo) holomorphe Funktion (28)
'l/J (z , p):= - 1.
r
f(() d( z '
211"2 } Cp(zo) ( -
[z - zol > p.
Die Darstellung (26)- (28) benu tzen wir in 3.7 zur Herleitung der Laurententwicklung . Zun achst gewinnen wir aus ihr das folgende Resultat:
Satz 8. (Riemanns Hebbarkeitssatz) . Wenn f E H(B'n( zo)) ist und wenn es eine K onstante K > 0 gibt, so dajJ auf der punkt ierten K reisscheibe
die Abschiitzung sup B~( zo)
If I
0 mit p < Iz - zol· Dann folgt 1'l/J (z , p)l :::;
1
1
"
[z - zol - p
2~·2 11"p .K .
also ist f (z) = tp(z , r) fur aile z E die Behauptung.
B~ ( zo)
----+ 0
mit
p ----+ +O ;
und beliebiges r E (0, R) . Hieraus folgt
3 .2 Cauchys Integr alfo rm el
219
z
D
Satz 9. W enn f E It (Bk (zo)) ist und Ko nstanten K > 0 und mE N exis tie ren, so dafJ
[z - zolm f (z ) ::::: K
fu r aile z E Bk(zo)
gilt , so gibt es f ur j edes r E (O ,R) eine Fun ktion rp E It(B r (zo)) derart, dafJ f (z ) = (z - zo)-mrp(z )
fur aile z m it
0 < Iz - zol < r
gilt. B eweis. Die Fu nkti on g(z ) := (z - zo)m f( z ) erfiillt d ie Vorau sset zung von Satz 8. Dah er exist iert zu r E (0, R) eine holomorphe Funkti on rp : B r( zo) ~ C , so daf g(z) = rp (z) ftir alle z E B~( zo) ist. Dies liefert die gewiinschte Darstellu ng von f. D Nun wollen wir no ch eine allgem ein ere Version der Cauchyschen Integralformel ange be n .
Satz 10. (Cauchys Integralformel). Sei f E It (0,) , und bezeichne G ein (einfa ch zusa m me nhiingen des) Gebiet m it G e e 0" dessen R and von einer geschlossenen, reguliiren D 1-Jordan kurve c param etrisiert wird, die G im posit iven Si nne um liiuft . Da nn gilt (29)
f( z)
=
-2
1
.1c "-
7fZ
!(() d( Z
fur aile z E G .
B eweis. Die Formel (29) erg ibt sich sofort a us dem Residuensat z, wenn wir ihn a uf d ie durch
g(() :=
{~~
, ( E
0, \ {z}
,
definierte Funktio n g an wenden und Definit ion 3 sowie Sat z 1 beachten. D
220
Kapitel 3. Holomor ph e Funktionen, Residuen, Fouriertransformation
B emerkung 2. Die Formel (29) bleibt richtig, wenn wir blojJ f E CO(G)n 'H(G) vomussetzen, wobei G ein einfach zusammenhiingendes, beschriinktes Gebiet in C ist, dessen Rand 8G von einer geschlossenen, reguliiren D 1-Jordankurve c pammetrisi ert wird, die G im positiven Sinne umliiuft. Der Beweis dieses Res ultats erg ibt sieh , wen n wir G von innen her in "glat ter Weise" durch Gebiete Gj c c G IX>
mit j
U Gj
= G ausschopfen , auf diese Satz 10 anwenden und dann zur Grenze
j =l
-+ 00
ubergehen ,
Wend en wir (29) auf [" statt
r( z) = -2
1
f
an , so folgt
.J~n(o
7n
c .,, - z
d(
fur aile z E G und n E N .
Mit
L
:= Lang e von c ,
r
:= dist
(z , 8G) > 0 und M := sup {If(OI : ( E 8G}
ergibt sieh If (z )ln < (27rr)-1 LM n und daher If (z )1 < (27rr) -1 /n L 1/ n M . F ur n -+ 00 er halten wir das folgende Maximumprinzip:
(30)
If (z )1 :s; max Ifl fur aile z E G , also max If I = max If I . G
8G
8G
Eine Vers charfung dieses Maximumprinzips findet sieh in 3.4 (vgl. Satz 2). Nun wollen wir das Schwarzsche Spie gelungsprinzip aufstellen , das auch Riemann beka nnt war . Zur Vorbereitung betrachten wir zwei disjunkte offene Meng en D und D* mit aD n aD* = r , wob ei r die Spur einer regularen D1-Jordankurve c : [0, 1] -+ iC und Do := D u r u D* eine offene Menge sei.
Le mma 4. 1st f E H (D) n CO(D U f) , 9 E H(D* ) n CO(D* U I' ), und gilt j (z ) = g(z) fur aile z E r , so wird durch
(31)
F( z ) :=
j (z ) {
g(z )
zE D U r
fur
z E D*
ein e holomorphe Funktion auf Do := D u r u D* defin iert .
3 .2 Cau chys Integr alformel
221
Beweis. Es gsnugt zu zeigen , d af es fur jed en Punkt za E na eine Kr eisscheibe B r( zo ) CC gibt, so d aB ftir d ie stet ige Funktion F : na ---+ iC di e Gleichu ng
(32)
F( z ) =
~ 2n~
F( )
/'
, C ,, ( z o ) ( -
z
na
.u:
fur a ile z E Br(zo ) gilt, denn nach Lemma 2 folgt hie raus F E H(na) . F ur zo E n liefert Satz 1 sofo rt d ie Formel (32) , wenn wir r > 0 so klein wah len , d aB B r( za ) C C n gilt , und entsprec he nd gilt (32) fiir Br(za) CC n*, Som it mii ssen wi r nur no ch den Fall Zo E I' \ no betrachten . Wir konn en r > 0 so klein wahlen , daB Br(zo) CC no gilt , I' n BBr (za) = {e i , Z2} ist und I' r- := Br(za) n r ein en J ord a nbogen d arst ellt , d er von Zl und Z2 ber and et wird. Se ien j + und j - P ar amet risierungen von r r, so d aB S + := n n Br(za ) liegt . Weiter zerlegen wir d en K reis C r( za) bzw . S - := n* nBr (zo ) zur Linken von j + bzw . in di e beiden Bogen C+ und C- , deren Spu r in n u r bzw. n* u T liegt .
r
Offenbar gi lt
und d amit 1
2n i
(
.fCr( zo)
F ( ) d( Z
(-
2ni '/C++j +
[~~ d(
(
+
F( ) d( ( - z
2ni
.fc +
+
2ni '/C- +j -
F() d(
(- z
2n i
%~)z ac .
Betracht en wir nun einen Punkt z E S +. lnd em wir die Ku rven C+ + j + und C - + j - erst ein klein es biBchen in Kurven 1'+ und 1'- d eformieren, di e in n b zw. n* liegen , er halt en wir a us Satz 6 in Verbindung mi t Proposition 1 di e Formeln
j.
' ''1+
f~) .u; =
(
2n i f ez) ,
/' ' ''1-
Z
g~)
(
z
d(
=
0,
und eine St etigkeitsb etrachtung liefert schlieBlich
jc' ++j+
f () (- Z
s;
=
2nif(z) ,
'/C- +j ')'+
%~~ .u;
o.
222
Kapi tel 3. Holomorp he Funktio nen , Resi duen, Fouriertransformation
Somit folgt (33)
F(z) = ~ 21ft
j.
F (( ) d(
C r(ZO ) ( - Z
Iiir aile z E S+ , und a nalog zeigt man diese For mel a uch fiir z E S- . Lassen wir nu n z von S + od er S- her gegen eine n P unkt z' E I' n Br (za) streben, so folgt a us Stetigkeitsgrli nde n F(z') =
~ 2m
F (( ), d( ,
(
J c ,.( zo ) ( -
z
da beide Seiten de r Gleichu ng (33) stetig von z a bha ngen . Da m it ist (32) bewiesen .
o
Sei nun I ein offenes Intervall auf einer Ger aden fund fl ein Gebiet in e mit Bezeichne fl * das Spiegelbild von fl an f . Wir set zen vor au s, daf fl ga nz auf einer Seit e von f liegt ; dann liegt fl * auf der entgegengesetzten Seit e, un d flo := fl U I U fl * bildet ein Gebiet in Co
1 = ofl n f.
z I
z*
Wir betracht en eine Funktion f E H(fl ) n CO(fl u 1) mit der Eigenschaft, daf das Bild f(1) von I c I' a uf einer Geraden Q liegt. Welt er bezeichn e z* den Spiegelpunkt eines Punktes z E C an der Geraden I' , und f( z) * sei der Spiegelpunkt von f( z) an der Ger ad en Q. Set zen wir noch
(34)
f( z) F( z) := { f (z*)*
fur fur
zE fl U I, z E fl * ,
so gilt : Satz 11. (Schwarzsches Spiegelungsprinzip) . Unter den obigen Voraussetzungen ist die durch (34) definierte Funktion F : flo --f C holomorph.
Beweis. Wir set zen vor aus , daf sowohl I' als a uch Q mit der reellen Achse zusa mmenfallen, was keine Einschrankung bedeutet , da man den allgemeinen Fall durch eine Bewegung des Bildes und des Urbildes stets a uf diesen Spezialfall zur uckfuhre n kann. Dann gilt I c lR und f(1) c R Sei f( z ) = u(x , y) + iv (x , y) , z = x + i y E fl U I , x = Re z , y = Im z. Wir bild en fur z = x + iy E fl * U I die Funktion g(z) := o (z , y) + i(J(x, y ) mit a (x, y) := u(x , -y) , (J (x, y ) := -v (x , - y ) .
223
3.2 Cau chys Integralform el
Offenb ar hab en wir g(z) = f( z*)*. Also ist die durch (34) definierte Funktion
F( z) von der Form
F (z) =
f (z)
zE n U I
fur
{ g(z )
zE n*.
Wegen v(x, 0) = 0 fur x E I folgt f( z) == g(z) auf I , und gist auf dem Spiegelbild n * U I von n ul st etig . U m Lemma 4 anwenden zu konnen , miissen wir noch 9 E 1t(n*) zeigen, was dadurch geschieht, daf wir fur 9 die Cau chy-Ri em annschen Differenti algleichungen nachweisen. Da f = u+iv diese Gleichungen erftillt, folgt das Cewun schte aus
ux(x, -y) = vy(x, - y) = O:x(x , y) = o:y(x, y ) = - uy(x , - y ) = vx (x, -y) = fur x
+ i y E n * . Lemma
f3y(x, y) - f3x(x, y)
4 liefert nu nmehr die Behauptung.
o
Man b ezeichnet di e A ussage von Sat z 11 a ls For tsetz ung du rch S pie gelu ng . Di e Be hauptu ng bl eib t richt ig, wen n w ir d ie Ge raden T und g du rch zwei Kreise C und C' ersetzen, den n d ur ch geeigne te a ffine Abbildu ngen (35)
z >->
az + b cz +d
m it ad - be
i-
0
ka nn man vorgegeb ene K reise a uf vorgegebene Geraden ab bil den . Beis p ielswe ise liefert d ie Cayleyabbildung (36)
z- i
z >-> z
+i
'
z
i-
-i ,
eine b ihol omorphe Abbildung von C \ {- i} au f C \ { I}, di e di e reelle Achse auf a B1 (0) \ {1} und d ie ob er e Halbeb en e a uf d ie K reissch eibe 81 (0) abbi ldet. Da d ie A b bild u ngen (35) b ezUgli ch d er K om p osition a ls " M u lt ip likat ion" eine Gruppe bil d en , kan n m a n (36) m it Bewegu ngen von C zusam mensetzen und er halt so d ie gewUnsc hte A bb ild u ng "Gerade ---. K reis " .
Aufgaben. 1. (S atz von Morera) Ist f : 0 ---. iC im Ge biet 0 stetig und verschwi ndet J~ f(z) dz fur je de gesc hlosse ne D 1 -Kurve c in 0, so ist f holom orph . Be weis? 2. A us d er Cauc hyschen 1nt egralfo rmel leit e m an di e folgende Mittelwertformel ab: FUr f E H (O) und Br(zo) CC 0 gilt
/'211' f (zo + reiO) dO .
f (zo ) = - 1 271" • 0
3. Besitzt d ie hol om or phe Fu nktion
f E iC\ {O} ---. C mi t f (z ) := _z_ eZ - 1
eine hebba re Singu laritiit im Urspr ung? 4. Ma n b eweise: Wenn f in d er p unktierten Kreisscheib e B'n(zo) holom or ph ist und Iz - zo llf(z) 1 ---. 0 fur z ---. Zo gilt , so liiBt sic h f zu einer in BR(ZO) ho lom orphen Fu nkt ion fortsetzen .
224
Kap it e1 3. Holomorp he Funkt ionen, Residuen, Fouriertransformation
5. Ist f E H(Il ) und BR(O) C C 11, so gilt ] (0) =
~ l
f(O d( flir a ile z E B R(O) .
211"2 .f Cn CO) ( - z
(Hinweis: Man beac ht e, daB flir z E BR(O) die Funktion h (O := ;:!~~( in einer Umgebung von SR (O) holomorph ist und daB g() := f~O fur
1(1
=
R geschr ieb en werden kann als
g() = g( )((( - Z) - l - h() .) 6. Ma n leite mittels Aufgabe 5 aus der Cauchyschen Int egralforrnel das folgende Res ultat her (H.A. Schwarz) : Ist f E H(Il) und BR (O) CC 11, so gilt fur aile z E BR(O) , daB
l
f(z) =~
211"2 .f Cn CO)
Ref () ( + zd( +il mf(O ) . ( -z
(
sc = ./.Cn CO) f co+7co dl" - 1. J' f(O+7co dl" .) ( Hinweis: Es gilt ./.C n CO) Ref( CO ~ ( -z" (- z ., 2 C n CO) ( ., 7. Ist u in 11 C ]R2 Integralf orm el
== C
har monisch und B R(ZO) CC 11 , so gilt flir 0 ::; r .
1
u (zo + re'''') = 211"
; '21T u (zo + Re to. ) 0
R 2_ r 2 () R - 2R r cos 0 - 'P 2
0, R > 0 und n E 1'1, so daB If (z )1 ::; clz ln flir aile z E iC mit Izi > R gilt , so ist f ein Po lynom von hochstens n-tem Grade. Beweis? 10. Man zeige, daB das Bi ld f (C) flir jede nichtkonstante ganze Funktion f in iC dicht liegt .
11. Seien Zl , . . . , Zn E G cc 11, f E H (Il ) , un d bezeichne G ein Geb iet , das von ein er gesch lossen en D 1-Jordankurve berandet wird , die G im positiven Sinn e umsch lingt . Weiter sei w(z) := (z - Zl )(Z - Z2 ) . . . (z - zn) . Dann ist
p(z) := _1 l f ( ) w( ) - w(z ) d( 211"i .f e w() ( - z das Polynom (n - I) -ten Grades, welches in Zl, . . . , Zn dense lben Wert wie f hat. Beweis?
3
Potenzreihen und holomorphe Funktionen
W ir erinnern in diesem Abschn itt zuerst an einige Definit ionen und Res ultate aus der T heori e der Reihen un d Potenzreihen , die wir im ersten Kapitel von Ba nd 1 entwickelt haben. Dann zeigen wir, daf sich jede holomorphe Funktion lokal durch eine konvergent e Potenzreihe darstellen laBt. Hieraus folgt der Identitiitssatz fur holomorphe Funktionen und das Permanenzprinzip fur analytisch e Identitiiten . Let zt eres gestattet, analyti sche Gleichungen vom Reellen ins Komplexe fortzuset zen. Betrachte n wir zunachst Reihen der Form co
oo
(1)
L n =O
an
bzw.
L n =l
an
mit an E
c.
3 .3 Pot enzreihen und holomorphe Funktionen
225
Eine Reihe (1) hei£t absolut kon vergent , wenn die Reihe 00
00
n =O
n= l
(2) konvergiert. Wegen k+ p
I
L
n = k+l
ani
00 .
Satz 3. (Mi nor a ntenkriterium) . (i) Die Rei he L ~=o an is t nic ht absolut konvergen t, wenn sie eine divergent e Min om nt e besitzt, d.h. wenn es eine Folge nic htnegativer Za hlen Cn E ffi. un d einen Ind ex n o E N gibt, so daft
L
00
fur n 2': no und
Cn
00
n=O
gilt. (ii) Eine divergente Min om nt e liegt vor, wenn es ein q 2': 1 und ein no E No gibt, so daft
I un d la na I > 0 gilt.
an+l an
I
2': q
fur n E No mit n 2': n o
Beweis. (i) D ie ers te Be hauptu ng folgt sofort aus N
L
Omit
gibt , so ist P( z) a14 j eder Kreisscheibe Bp( zo) m it 0 < p < r gleichm iifJig absolut konvergen t. B eweis. FUr p E (0, r ) hab en wir q := plr E (0,1 ). Daher gilt fur aile Z E Bp( zo) die Abschat zung
Somit ist 2:~=o Kq" eine konvergente Maj orant e fur P( z) auf Bp( zo) , und nach dem Majorantenkriterium ist P( z ) gleichmaftlg absolut konvergent auf Bp( zo) , D
Lemma 2. Lsi die R eih e P( Zl) konvergent, so ist P( z ) auf j eder Kreis scheibe Bp( zo) m it 0 < p < IZI - zol gleichmiifJig absolut kon vergent. B eweis. FUr Zl = Zo ist nichts zu beweisen. Sei also IZI - zol > 0. Aus der Konverg enz von 2: ~=o an( zl - zo)n folgt , daf {an( zl - zo)n } eine Nullfolge, insbesondere also beschrankt ist. Somit existiert ein K, daf
gilt, und Lemm a 1 liefert die Behaup tung. D
Nun er innern wir an folgende Definition : J eder Poten zreih e P( z) = 2: ~o an (z - zo)n ordn en wir eine als Konvergenzradius der R eih e bezeichn et e GrofJe R = R(P) E [0, 00] zu durch
(11)
R(P) := sup{ lz -zol: P( z) istkonve rgent} .
Aus Lemm a 2 ergibt sich
= 2:~=o an( z - zo)n, so konvergiert P (z) fur je des z E e mit [z - zol < R(P) und divergiert fur je des z E emit [z - zol > R(P) . Ist R(P ) > 0, so konvergiert P( z) absolut und gleichmiifJig auf j eder K reiss cheibe Bp( zo) mit p E (0, R (P)) .
Satz 4. Ist R(P) der Konvergenzradius der R eihe P (z )
Bemerkung 1. Die Potenzreihe
P(z) = 1 + z
+ z2 + ". + zn + " .
hat den Konvergenzrad ius R(P) = 1. Satz 4 sagt abe r nichts darilber a us , ob P (z ) in den Pu nkten z a uf dem Rande OBI (0) des Ko nvergenzkre ises B , (0) konver giert. Die Re ihe ist
3 .3 Potenzreih en und holomorphe Funktionen iibe ra ll au f &B1(0) divergent , denn Auch d ie Logar ithmusreih e
Izn l
P (z ) =
= 1, und somit bilden d ie Gliede r keine Nullfolge.
f
n=1 hat den Konvergenzrad ius R(P) denn
229
(_ l)n - 1 zn n
= 1; die Rei he konvergier t
fur z
-( 1 +
= 1 und d iverg iert
1
1
1
fur z
=
- 1,
1
-2 + -3 + -4 + -5 + ...) .
Satz 5. (Formel von Cauchy-Hadamard) Der Konvergenzmdius R(P) ein er Potenzreihe P( z) = L:~=o an(z - zo)n berechn et sic h zu R(P) =
(12)
Hi erbei ist
Is
:=
00
1
lim sUPn->oo
yilan I
.
und ~ := 0 gesetzt .
B eweis. Fiir Zo = 0 hab en wir dieses Resultat in Band 1, 1.20 (Sat z 5) bewiesen . Durch die Sub st itution z f---+ ( = Z - Zo ergibt sich dann das obige Result at . D
Satz 6. B esit zt eine Poten zreihe P (z ) = L: ~=o an( z - zo)n den Konuerqetizradius R > 0, so stellt ihre Su mme eine in der Kreisscheibe BR(ZO) holomorphe Funktion f( z) dar, deren Ab leiiunq f'( z) du rcli
L 00
(13)
f'( z) =
n an (z - zo)n-l
n= l
gegeben unrd. Diese Poten zreihe hat den selben Konvergen zmdius wie P( z) . B eweis. Die n- te P ar ti alsumme
L av( z - zo)V v=o n
fn( z )
der Reihe ist ein Polynom und somit holomorph auf 0, un d erhalten aus Sat z 8, daf j( z) == 0 in Br(zo) ist . Wi r beh aupt en , daf hier au s j( z ) == 0 in S1 folgt . Anderenfalls gabe es eine n Punkt Z l E S1 mit j( Zl) =I- O. Wi r kon nen Zo und Zl durch eine stet ige Kurve ip : [0,1 ] - t S1 verbinde n, so daf 0 finden, fur das
Ij (z ) - wal >
E
fur alle z E 8Br( zo)
erfullt ist . Dann gilt fur w E B mina n If I fur ail e z En, fall s f in n keine Nullstelle besit zt . Beweis? 3. Ist f im Kreisr ing A (R1 , R 2) := { z E C : R1 < Izi < R 2} mi t 0 < R 1 < R 2 hol omorph und Q E JR , so besit zt di e Fu n kti on z I-> Iz l"' lf (z )1 genau d a nn ein lokales Maximum ih res Bet rages, wenn sie kon st ant ist . Ist tib erd ies f E C O(A (R1 ' R 2)) , so folgt (B eweis?) : Iz l"' lf (z )1
:s: max { lzl "'lf (z )l :
z E o A(R 1, R 2)} filr a ile z E A (R1 , R 2) .
(Hinweis: Die Fu n kt ion z I-> z'" laBt sich fiir jedes Zo E A( R 1, R 2) a ls holom orphe Funkti on in B R(ZO ) C A (R1 , R 2) de finieren d er art , d aB Iz "' l = Izl '" ist. Nun wende man di e in den Beweisen von Satz 1 und Satz 2 verwendeten Schltisse a n.)
242
Kap itel 3. Holomo rphe Funktionen , Residu en, Fouriertransfo rmation
4. Man beweise den Hadamardschen Dreikreisesatz: Ist f im Kreisring A(Rl, R z ) = { z E iC: R i < Izi < R z} mi t 0 < R 1 < Ra holomorph und auf dem A bschlufJ des Ringes noch stetig , so gilt fur M (R ) := m ax { If (z )1: Izi = R} un d Rl < R < Rz die Ungleichung
M(R)
:s; M( Rd' . M( R z) 1-' ,
wobei die Zahlen A und J1 durch A := log Rz / R J1 '= log R / R l log R z / R l ' . log R z / R,
defin iert sin d un d 0 < A, J1 < 1 sowie A + J1 = 1 erjiillen . (Hinweis: Man wende das Resul t at von Aufgabe 3 a uf den Ex ponente n ex := log ~~~~ ~ / log ~~ an , fur den R'fM (R l ) = R~ M(Rz) ist .) 5. Sei f E H( B R (O )) und M (r ) := max { If (z )1: Izl = r } fiir 0 < r < R . Man beweise: (i) FUr f (z ) =j const ist M (r ) eine monoton e Funkt ion von r E (0, R ). (ii) Ist f ein Polyn om n -ten Gr ad es, so ist r -n M( r) schwa ch mono ton (und sogar monot on , falls nicht f (z) == cz" gilt) . 6. Ist f E H( Bl (O )) und gilt If (z )1 < 1 fur [z] < 1, so folgt
If(z) Beweis? FUr welch e
f
- f (O ) I < _
1 -I f (O)IZ
l -lf(O)llzl Izl
fiir 0
< Izi
')},xE[O,l] der in
n holomorphen
Funk-
tionen
+ >.cp(z)
g(z, >') := f( z)
, zE n ,
mit dem Scharpar amet er >. E [0, 1]. Sei c positiv orientiert bezuglich des (einfach zusammenha nge nde n) Gebietes G. Dann wird
n (>.)
(6)
:=
N(g (·, >')) , >. E [0, 1] ,
wegen Sat z 1 durch
!
1 2rri
n(>.)
(7)
. c
gege be n, denn es gilt
Ig(z, >') 1 2 If (z )I -l cp(z )1 >
g' (z , >') dz g(z , >')
°
fur (z, >') E 8G x [0, 1] .
Au s (7) lesen wir a b, daf die Funktion n : [0, 1] sind ihr e Werte ga nzza hlig. Hier au s folgt
~
JR stetig ist , und wegen (6)
n(>.) == const a uf [0, 1] und somit n(O) = n (l) .
D
°
Bemerkung 1. (i) Das Pol ynom f( z ) := z" hat z = als n-fache Null st elle in C. Ist nun cp(z ) ein beliebiges Pol ynom von hochst ens (n -1)-tem Gr ad e, so gibt es ein R > der art , daf
°
If (z )1 >
Icp(z)1
fur alle z E e mit
Izl 2
R
gilt. Wegen Satz 2 besit zt dann das Polynomp(z) = zn+cp(z ) gena u n Null st ellen in B R(O) , der Vielfachh eit nach gezahlt, womit wir einen weiteren Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra gefunde n hab en. (ii) E ine Vari ante dieser Schlufiweise liefert sofort :
Sei >'0 ein v-facher Eigenwert der Matrix A E M(n, q. Dann gibt es zu hinreichend kleinem r > ein 8 > 0, so dajJ [iir jede "Storung" B E M(n , q mit IBI < 8 die gestorte Matrix A + B in Br( >'o ) genau v Eigenwerte besitzt, falls die Eigenwerte ihrer Vielfachheit gemiijJ aufgeziihlt sind.
°
Bemerkung 2. Erset zen wir in Satz 1 die holomorphe Funktion f durch die Funktion f - a, wobei a eine beliebig gewa hlte komplexe Zahl bezeichn e, und nehmen wir f( z) =1= a auf 8G an , so folgt fur die Anz ahl N U , a) der a-Stellen von f in G, mit Vielfachh eit gezahlt, die Formel (8)
N U, a)
:= -
1
.
2m
1 c
f' (z ) f( ) dz . z - a
3 .5 Nullstellen holomorpher Funktionen . Satze von Hurwitz und Rouche
245
N(f ,a) ist also die Anzahl der gemaf ihrer Vielfachheit gezahlte n Losungen E G der Gleichung f (z) = a.
Z
Bemerkung 3. Erfullen I , G, 0 , c di e Vorau ssetzung von Sa t z 1 und ist 9 E 1t(0), so erhalten w ir a ls Ver all gem ei nerung von (1) di e folgende Summationsjormel:
Sind ZI, . . . , Zl die Null st ellen von I mit den Viellachheit en VI, ... , VI, so gilt 1
(9)
j' (z ) -( -) g(z) dz =
/'
21l'i .
I
c
Z
LI
j= 1
Vj g(Zj ) ,
1st a lso I holomorph in 0 und hat in G nur di e ei nfac he n N ullst ell en ZI , . . , , ZI, so folgt fur jedes p E N d ie Formel I
L
(10)
rt Gist , konnen
(11)
21l'i -r/ c
J
j = 1
fall s 0
. zPj'(z) dz : I (z) ,
zP =
wir in ( 10) jede s p E Z zu las se n und er halten b eispi elsweis e
Sp (n)
:=
f=
jP =
j=1
.L
f
21l'~ .
c
zPj'( z ) dz I (z )
fur I (z) := (z - 1)(z -2) . .. (z - n), wob ei c eine gla t te gesc h losse ne Jordankurve in der rec ht en Halbeb ene {z E C : Re z > O} ist , d ie di e Za h len 1, 2, ... , n im p osit iven Sin ne umschlingt.
B eme r kun g 4. 1st I E 1t (0 ) ein e biholomorphe Abbildung von 0 auf 0* := 1(0) mi t d er Umkehrfunktion 9 := 1-1 und ist G c c 0 ei n ein fach zusam me nhange nd es G ebi et in 0 , d essen Rand von einer regul ar en D 1-J ordankurve c p ar amet risi er t wird, d ie bezliglich G positiv or ien ti er t ist, so kann m an 9 a uf G* := I (G ) in der Form (12)
g(w) =
~
f
21l'~.c
zl'(z) dz , wE G* , I(z ) - w
d a rstell en .
Aus dem Satz von Rou che ergibt sich
Satz 3. S ei n ein Gebiet in C, Un} eine Folge von Funktionen fn E 1i(n) m it fn(z) ==l f( z) in n' fur je de offene Menge n' c c n und f( z) =j. 0 in n. Es gilt : Die Funktion f E 1i(n) hat genau dann in Zo E n eine Nullstelle der Vielfachheit i/ , wenn es ein N E N und eine K reissch eibe Br(zo) cc n gibt, so daft fur j edes n > N die Funktion fn in Br( zo) genau v Nullstellen (mit Vi elfachheit geziihlt) besitzt . B eweis. Wegen 3.3, Proposition 3 gibt es eine Kreisscheibe Br( zo) c c n, so daf f(z) -=I- 0 fur 0 < Iz- zol :::; r gilt. Sei E > 0 das Minimum von If I auf 8B r( zo) . Dann konnen wir ein no E N bestimmen , so daf
fur alle n > no gilt . Nunmehr folgt die Behauptung aus Satz 2. D
246
Kapitel 3. Holomorphe Funktionen, Residu en , Fouriertransformation
Als Folgerung aus Satz 3 ergibt sich der Satz von A. Hurwitz (1889): Satz 4. Ist 0 ein Gebiet und gilt f n(z) =4 f (z) in jedem Of c e O fur eine Folqe von Funktionen I« E 'H(O) ohne Nullstellen in 0, so ist entweder f(z) == 0 in 0 oiler f( z) =1= 0 fur alle z E O. Hieraus erhalten wir sofort das folgend e niitzlich e Ergebnis: Satz 5. Isi Un} eine Folqe von holomorphen und inj ektiven Abbiidungen fn 0 -+ C eines Gebietes 0 c e mit fn( z) =4 f(z) in Of fur jedes Of cc 0 , so ist f : 0 -+ C entweder konstant oder injektiv.
B eweis. Sei f(z) ¢. const. Es geniigt, daf wir die Behauptung unter der starkeren Voraussetzung fn(z) =4 f(z) in 0 beweisen. Sei also Zo ein beliebiger Punkt in 0, und bezeichne 0 0 das Gebiet O\{ zo} . Dann sind alle Funktionen gn := fn - fn(zo) ohne Nullstellen in 0 0 und konvergieren dort gleichmaflig gegen die nichtkonstante Funktion f - f (zo), die nach Satz 4 nirg ends in 0 0 verschwindet. Also gilt f( z) =1= f( zo) fur jed es z E 0 mit z =1= zo° D Aufgaben. 1. Seien p(z) und q(z) zwei Polynome n- t en Grades mit p(z) = z n + an _I Zn- 1 + .. . + ao, q(z) = z" + bn_IZ n- 1 + ...+ boo Zu zeigen ist : (i) Hat p(z) nur einfache N ullst ellen, so au ch q(z), sofern die Koeffi zienten bo, . . . , bn-I von q nur " h in reiche nd wenig" von den Ko effizienten ao, . . . , an-I von P a bweiche n . (ii) 1st Zo eine N ullstelle von p(z) der Ordnung v ~ 1, so gibt es zwei (von ao, a I , .. . , an-I abhangend e) Zahlen r > 0 und 8 > 0 der art , daf q(z) in der Kreisscheibe Br(zo) genau v Nullstellen hat , sofern laj - bj I < 8 ist fur j = 0,1 , . . . , n - 1. (Hierbei wird jede der voneinander verschied enen Nullstellen Zl, . . . , zk von q(z ) mit den Ordnungen VI , · ·· , Vk so oft gezahlt , wie ih re Ordnung es a ngib t. Die Behauptung lautet also: v = VI + ... + Vk. Man zeige, d af jed e dieser P artitionen (VI , . . . , Vk) von v a uft reten kann .) 2. Man zeige: Zu jeder Matrix A E M(n , C) mit einfachen Eigenwer t en AI , ... , An gibt es ein 8 > 0, so daf fur jedes B E M(n , C) mit IBI < 8 a uch die gest6rte Matrix A + B nur einfache E ige nwerte M , ... , I' n b esitzt . Zu b eliebig vor gege be ne m E > 0 JaBt sich 8 > 0 noch so wahlen , d aB b ei geeign et er Numeri erung der Ei genwerte von A + B gilt:
II' I - All < E, 3 . Seien t.o E H(n ) und B r (zo ) BBr (za) und
... ,
Il'n - An I
5 ge na u eine N u llst elle in
5. Sei 1 E H(n) , BI(O) cc n und I(BB I (O)) C B I (O). Dann b esitzt Fixpunkt Zo (d .h . es gibt gen au ein Zo E BI (O) mit I (zo) = zo).
1 in B I(O) genau ein en
3 .6 Ab elscher Gren zwertsatz. Sat z von Tauber
247
6. Mi t Hilfe des Satzes von Rouch e beweis e m an di e folgende Fassung des Maximumprinzips : Ist Sl ein beschrankt es G ebi et in C und f E H (Sl) n C O(D), so gi lt If (z )1 ~ m ax8f! If I Iiir a ile z E Sl. Wenn ilberdi es f nirge nd s in Sl ver sch windet , so folgt If (z )1 2: min8f! Ifl fur a ile z E Sl. (Hinweis : Man b etrachte zuerst G ebi et e Sl m it "guten" Random und schop fe d ann ein b eli ebi ges Sl m it soIchen Geb ieten a us .) 7. Wenn ein Polynom p(z ) = zn + an _ pn - l +.. + ao di e Ungleichung Ip(z)1 ~ 1 fur a ile z E iC mit Izl = 1 erfiillt , so gilt p(z ) = z" , d .h. ao = al = .. . = a n -l = O. Bewe is? (Hinw eis : Man be trachte (1 - +0
2~" ".
r
f (()
} Cr (Zo)
de
dureh
(7)
Res (j , zo)
gegeben ist. Satz 1. (Casorati- WeierstraB) . Ist ZQ E an eine wesentliche SingulariUit einer Fun ktion f E H (n) , so ko mmt di ese in j eder Umgebung Br(zQ) C n von ZQ jedem W ert e a E iC beliebig na he .
Beweis . Anderenfa lls existiere n ein a E iC und ree lle Za hlen
(8)
If (z ) - al 2':
E
E
°
> und
fu r aile z E B~(zQ)
r
> 0, so daB
252
Kapitel 3. Holomorphe Funktionen , Residu en , Four iertransformation
ist . Setzen wir 1
g(z) :=
flir z E B~(zo) ,
f (z ) _ a
so er fullt diese Funkt ion di e Ab sch atzun g 1
Ig(z) [ ::; -
E
fur a ile z E B~(zo) ,
ka n n a lso zu einer holom orphen Fun kt ion cp : B,..(zo) wi r
(9)
1
f (z ) = a + cp(z)
--->
iC fortgeset zt werden . D amit er halten
fur z E B~(zo) , cp E H (B ,.. (zo)) .
Galte nun cp(zo) =J 0, so ware Zo eine hebbare Si ng ularitat von f , was de r Annahme widerspricht , d af Zo eine wesen tl iche Si ng ularitat vo n f ist . Dah er ist cp(zo) = O. Wegen
1
cp(z) = g(z ) =
fiir z E B~(zo)
f (z ) _ a
und (8) gilt cp(z) =J 0 fur 0 < Iz - zol < r , ins bes ondere cp(z) '1= O. Also existiert ein m ~ 1, so d a f cp(V) (zo) = 0 fur v < m und cp(m) (zo ) =J 0 gi lt , und wir er halten
cp(z) = (z - zor 1l>(z) a uf B,..(zo) m it 1I>(zo) =J 0 un d 11> E H (B,.. (zo )). Dann ist 1/ 11> a uf Bp(zo) mit 0 w ir b ekommen au s (9) [z -
< p«
1
zo lm . If (z) 1 ::; lal · [z - zolm + 11I> (z )I ::;
1 holomorph, und
const
a u f Bp( zo ) fur 0 < p «; 1. Hieraus sch lieBen w ir , d af zo hochsten s ein Pol m- t er Ordnung fur f , a lso un wesen tli ch ist , W id erspruch zur Vora usset zung. Also ist d ie Beh auptung r icht ig.
D
Bemerkung 1. E. Picard (1879) hat eine b em erken swerte Ver sch arfung d es Satzes von C aso ratiWeier st r af ent deckt , di e un t er der Bezeichnung Grofter Satz von Pi card b ekannt ist: Ist Zo E fl eine wesen tliche Singularitiit der Funktion f E H (fl \ {zo} ), so n im mt f a uf j ed er K reis sch eib e B,..(zo) hoctistens einen Wert nic ht an.
Wir erwa hne n a uc h den Kleinen Satz von Picard, d er folgendes b esagt :
Jede nic htk onstante ganze Funktion nimmt hbchsieris eine kom plexe Zahl nicht als W ert an. Beisp ielsweise laBt di e Expone nt ia lfun ktion z f-> w z f-> w = si n z jede n ko mplexen Wert ann im mt .
= e"
nur d en Wert w
=
0 a us, wahre nd
Im folgend en bezeichne A( zo) das Rin ggebiet
A (zo) := { z E oo 'ljJ (z ) = o. (iii) f(z) = R'
gleichmiifJig und
00
(17)
'ljJ (Z )
a _n(z - zo)- n
n=l
dargestellt, deren K oeffi zienten a_ n durch a_ n
(18)
= ~ 21fZ
r
J e r( zo) (( -
f(()
zo)-n+l
d(
gegeben sind, wobei r beliebig aus (R', R) gewiihlt werden darf. (iii) Wi r fassen (i) und (ii ) zusammen zu
L 00
(19)
f( z)
=
an(z - zo)n
fur z E A(zo) ,
n = - oo
wobei die Koeffizi enten an durch
(20) gegeben sind und r beliebig aus (R' , R) gewiihlt ist.
Bemerkung 2. Die Reihen (15) und (17) konvergieren absolut und somit unbedingt im Kreisring A(zo) . Dies rechtfertigt (19) , also
L an(z 00
n=O
+L 00
zo)n
L 00
a_n(z - zo)- n =
an( z - zo)n ,
n=- oo
n =l
wenn wir die rechtsstehend e Summe als limN _ oo L,~=-N an(z - zo)n definieren.
Beweis von Satz 3. Wir miissen nur noch Behauptung (ii) beweisen . Fur z definieren wir w durch
w .-
f- Zo
1
z - Zo
so daf z = Zo + l /w gilt . Die Abbildung z f---7 w bildet ER' (zo) auf die punktierte Kreisscheibe B~(O) mit p := 1/ R' ab oWir bilden die Funktion x(w) := 'ljJ (zo
+ ~) ,
wE
B~(O) ,
256
Kapitel 3. Holomorphe Funktionen , Residu en , Fouriertransformation
die holomorph ist und wegen limlzl-'oo 'ljJ (z ) = 0 die Relation limw-.o X(w ) = 0 erfiillt . Somit ist w = 0 eine hebb are Singularitat von X, und durch X(O) := 0 wird X zu einer auf B p(O) holomorphen Funktion fort geset zt. Daher bekommen wir
L 00
X(w )
bnw n fur
n=1
wE
Bp(O)
und folglich
'ljJ (z ) = X
(_1_) = f bn(z - zo)-n Z - Zo n=1
fur z
EE R'(ZO) .
Diese Reihe ist absolut und gleichma fiig konver gent auf {z E C : [z - ZoI 2 r } fur jedes r > R' . Setz en wir noch a_ n := bn ftir n 2 1, so erhalte n wir die Dar stellung (17) . Es bleibt (18) zu zeigen. In der Tat ist 2:= ~=- 00 an(z - zo)n absolut und gleichma llig konvergent auf 8Br (zo) fur jedes r E (R', R) . Also ergibt sich fur jedes k E Z, daf
1
C,.(zo ) ((
f (() d( = - zo)k+1
1
L 00
C r( zo) n=-CX)
an(( - zo)n- k- I d(
o Definition 4. Die Reihe (19) nennt man die Laurententwicklung der Funktion f E 'H (A( zo)) im Kreisring A( zo), und fur f E 'H (Bk (zo)) wird sie die Laurententwicklung von f an der Stelle Zo gena nnt . Korollar 1. Aus der Laurent entwicklung
L 00
f (z ) =
an(z - zo)n
n= -oo
von f
(21)
E 'H (Bk(zo))
an der St elle Zo erhiilt man ihr Residuum in Zo als Res(j, zo) = a- I
Korollar 2. Ist f E 1i(A(zo)) mit A( zo) gilt fur ein r E (R' , R ) die Abschiitzung
If (z )1 :::; M
= {z
E C :
R' < [z - zol < R} und
fur alle z E 8B r (zo) ,
3 .7 Isolierte Singul ari t iit en. Laurentreihen. Meromorphe Funktionen
257
so folgen fur die K oejJizienten an der ein deutig bestimmten Laurententwicklung (19) von f die Abschiitzungen (22)
Die Laurententwicklun g einer in B~ (zo) holomo rphen Funkt ion ist nach dem fran zosischen Ingen ieu r P.A . Laurent ben annt , dessen E ntdeckung Cauchy im J ah re 1843 bekannt gemac ht hat (Laurents Arb eit wurde er st 1863 pu bliziert ). Weierst raB fand diese Entwic klung bereits 1841, hat sie a ber nie in seinen zahlre ichen Vorl esungen tiber Fu nkt ionent heorie vorgetragen, sondern erst 1894 publiziert (Mathematische Werke , Band 1, S. 51-66 ).
Gewohnlich bestimmt man die Laurent entwicklung nicht durch die Integralformeln (20), sondern vers ucht , spezielle Eigenschaft en der dar zustellenden Funktionen zu nutzen . Vielfach kann man auf bekannte Po t enzreihenentwicklungen zur lickgreifen, wenn die Laurentzerlegung f = ip + 'l/J bereit s vorli egt oder durch eine einfache algebraische Manipulation her gest ellt werden kann. [l] I (z ) := e"
+ e l / z , [z] > 0, hat
in C \ {O} di e Laurentent wicklung 00
I (z ) = 1 +
L I~I ! z" , Izi > 0 .
n = -<X)
Der P unkt z = 0 ist eine wesentl iche Singular itat von
I,
und Res (J, 0) = 1.
1 ,z E iC\ {1, 2}, besit zt in AI( O):= {z E iC : z - l)(z - 2) . 1 1 Zerl egu ng 1 =
2}
d ie La ure nte nt-
1,
n= 2
d ie vollig verschiede n von der Entw icklung in [1J ist. Dies ist aber kein Widerspruch zur Eindeu ti gkeitsau ssage des Satzes 2, da d ie Ringgebiete A l (0) und E2( 0) nicht dieselben sind.
258
Kapitel 3. Holomorphe Funk tionen , Residuen , Four iertransform ation
N un wollen wir ei ne K lasse von Funktionen un t ersu chen , di e um fan greicher a ls di e Kl as se d er holomorp hen Fu nktione n ist , d iese aber in nattirl iche r We ise erweitert . Dies ist d ie Kl as se d er Fu n kt ione n , di e hoc hstens isoli ert e Sing u la ritaten besitz en , un d zwar nur Pole , ab er keine wesent lichen Si ngula r itaten; solche Funkt ionen heiBen merom orph. Urn di ese Kl as se p razi se defini eren zu konnen, formulieren wir zunac hst
D efinition 5. Eine Teilm enge S ein er offe nen Meng e 0 C C heiftt diskret in 0 (oder di sk ret e Tei lmenge vo n 0), wenn es zu je dem Zo E 0 eine Kreisschei be Br(zo) gibt, in der
tuichs tens en dlich viele Punkte von S liegen .
Proposition 1. Eine in 0 diskrete Me nge S ist hochsi ens abztihlbar.
Beweis. Wir wah len eine Folge kom pak t er Me ngen K! , K 2 , . .. mi t K n C K n +! C 0
fu r a ile n EDl und 0 = U~= ! K n
.
D a in jed em Kompaktum K n hochst en s end lich viele P unkt e von S liegen kon nen , ist S entweder leer oder en d lich od er a bzah lbar un endl ich.
D
Definition 6. Ei ne Funktion f heiftt meromorph in 0, wenn es eine diskret e Teilm enge S von D gibt, so daft (i) f auf 0 \ S definiert un d dort holomorph ist, un d wenn (ii) jeder Punkt von S ein P ol von fis t. Die Menge S heiftt Polstellenmenge von f und werde m it 'P(f) bezei chn et, uitihrend .A!(f) die Nullstellenmenge von f sei .
M it M (O) bezei chn en wir die Kla sse der in 0 merom orphen Funkti one n . Proposition 2 . (i) Fur jede (nichtleere) offe ne Menge 0 C iC ist M (O) eine iC -A lgebra m it Eins (beziiqlidi punktweiser Additi on und Mu ltipli katio n von F'unktionen).
(ii)
Fur ein (nichtleeres) Ge biet 0 ist M (O) sogar ein Ko rper.
Beweis. D ie Be hauptu ng (i) ist leicht zu se hen. (ii) Sei f E M (O ). Dann ist m it D a uc h 0 \ P (f ) zusammenhangend, und folgli ch gi lt ent wede r f (z ) == 0 in 0, oder N(f) ist d isk ret. Im ersten Fa ll ist f d ie N ull in M (O ), wahrend im zwe iten Fa ll 1/ f auf 0 \ N (f ) de finiert und ho lomorph , d.h , 1/ f E M (O) ist .
D
@] H (O) b ild et eine U nteralgeb ra von M (O ).
rID (23)
Sind p(z ) und q(z ) Polyn ome a uf C und ist q(z)
f(z) :=
p(z) q( z)
t o, so wird durch z
~
N (q) ,
eine Fu n ktion f E M (iC) m it P (f ) C N( q) de finiert . Ma n beachte, d af P (f ) eine echte Teilme nge von N( q) se in kan n. 1st namlich Zo zug leic h Nu llstelle von p und q, so ist Zo hebbare Sing ula r itat vo n t, wen n di e Ordnung von eo b ezu gli ch p grofer oder gleic h der Ordnung vo n Zo bezu glich q ist . Di e Quoti en t en (23) von P olynom en werden a ls rationale Funktione n b ezeichnet . Die Kl as se d er rat ionalen Fu nktion en b ild et offenbar eine n Unterkorper vo n M (iC).
[ill Ist f E M (iC ), so gibt es , wie wi r in Band 3 zeigen werde n , ei ne ga nze Fu nktion 'l/J d era rt , d af N ('l/J ) = P (f ) und j ed er Pol von f d er O rdnung v eine N ullstelle von 'l/J d er gleiche n O rdnung ist . Dan n sind aile Sing u la ritat en von 'P := f · 'l/J hebbar , und folglich ka nn 'P a ls eine ganze Funkti on a ngesehe n werde n . Dam it ist f al s Qu oti en t 'P/'l/J zweie r ga nze r Fu nktion en d ar gest ell t .
3.7 Isolierte Singularitaten. Laur entreihen. Meromorphe Funktionen
259
[TI Die durch C~S1fZ
I(z) := ctg rrz =
definierte Funktion
I
,
Z
E iC \Z ,
sm zrz ist von der Klasse M (iC) , un d es gilt
PU) = z.
Proposition 3. Ist I eine rationaLe Funktion (23) mit den N verschiedenen Po Len ZI, . . . , ZN del' Ordnung VI, . .. , VN , so gibt es ein deu ti g best immte PoLynome po(z) , PI (z) , . . . , PN (Z) m it grad P j ::; Vj - 1 jiu: 1 ::; j ::; N , so daft sic h I in del' Form (24)
I(z) = po(z )
+
N
L
(z - Zj)-Vi Pj (z - Zj) ,
Z =F ZI, . . . , ZN ,
j=1
schreibeti Laftt. M an bezeichn et die Darstellung (24) aLs die Partialbruchzerlegung der rati onaLen Fun ktion I . Beweis. Bezeichne Vi
(25)
h j (z ) =
L
ajk (z - Zj) -k
k =1
den Hauptteil der La ur en tent wicklung von I(z ) an der Ste lle Z = Zj. Die Fu nktione n h I , ... , h N sin d rationa l, und folglich ist a uch (26)
Po :=
I -
(h I
+ ...+ h N )
rat ion al un d zugleich ga nz, weil ZI , . .. , Z N hebbare Singu laritaten von Po sind . Damit ist Po notwend ig ein Polynom. Aus (25) und (26) erg ibt sich di e Darstellung (24) von I . Umge kehrt folgt aus (24) , d af h j (z ) := (z -Zj) -Vi pj (z -Zj)
mi t grad p j ::; Vj - 1 der Hau pt teil der Laurentent wicklun g von I an der Ste lle Z = Zj ist, Hier au s ergibt sich die einde ut ige Best imm th eit von PI , . .. , PN und dami t a uch di e von Po .
D
In di esem Zusam menh an g ist es nah eliegend , das Verha lte n von Fu nktionen I E M(iC ) im " unend lich fernen P unkt " zu bet rachten , den wir m it 00 bezeichn en wollen. Diesen fikt iven = C U {oo] auf solche Weise P un kt fiihr en wir ein, urn die kompl exe Ebene iC zur Menge zu vervollst an digen , daB d ie Abbi ld ung Z f-> w = l / z di e Menge t bijekti v au f sich a bb ildet . Daz u setzen wir 1 = 00 = 0 , a · 00 = 00' a = 00 fur a E t \ {O} ;
c
o
00
a + oo = oo +a
00 ,
la l
< 100 1 .-
00
ftir a E iC .
W ir bezeichn en dann d ie Mengen (27)
UR.-{zE t :lz l > R }
als Um gebungen von 00 . E ntsprechend fassen wir fur I E M (iC) den P unkt 00 als isolierte Sing ularitat au f und legen folgendes fest : Definition 7. Fur IE M (iC) ist del' Punkt Z = 00 eine hebbare Slngularitat bzw. ein Pol v -ter Ordnung bzw. eine wesentliche Singularitat , [all s del' Punkt O} mit R > 1. Dieses Gebiet enthalt den Pol i von j im Inneren , wahrend der Pol - i im AuBeren liegt. Die Berandung von G besteht aus dem Intervall I R = [- R, R ] auf der reellen Achse und aus dem Ha lbkreisbogcn C~ = {Rei'!' : 0 ::;
a}.
Wegen £ (c t ) =
(R2
1) -2 folgt
I
Jr
R, M R
::;
-
fc+f( z)d z I
O
Zj
von
f mit posi tivem Im ag inart eil zu erstrecken ist .
2
Betrach t en wir beispielsweise .r~oo I ~ x 4 dx . Dieses Integral ist absolut konvergent . Setze J (z) :=
Z2
1
+ z4
.
Der Nenne r hat die vier einfachen Nullste llen Cl
= e i rr ! 4 =
~ (1 + i) ,
C2
= iCI ,
C3
=
- CI ,
C4
= - iCI .
Sie sind Po le ers te r Ordnung der rat ionalen Funkt ion f (z ), von den en CI, C2 in der ob eren, C3 , C4 in der unter en Halbeben e liegen. W ah len wir G wie in so liefert der Grenztibergang R -> 00 j etzt
L:
rn ,
f (x)dx = 2rri {Re s (t, Cl)
+ Res
(t , C2 )
Set zen wir (j)(z) := Z2, 1jJ(z) := 1 + z4, so liefert Proposition 1 jet zt k = 1,2 ;
} .
3 .8 Berechnung uneigent iicher Integraie mit dem Residuensatz
265
dam it c ZI
Res (I, CI )
Wegen 2ni {
i CI -
~
CI }
4Cj
4" CI
4cz
4 Cz
cZ Z
Res (I, cz) =
I'
4V2 ' i
1
4c~
= ~ { iCj +
1- i
1
4cr
en = ~ . ,fi
oo ----=-=-- dx . _= 1 + x 4
.
Jz erg ibt sich
= =
- 4 CI
n
V2 '
lID
Wenn die rationale Funktion f (z) a uf der reellen Aehse einfaehe Po le Xk , 1 S k S I , hat , mtiss en wir a us G noeh Ha lbkreisscheib en {Z E iC : !z - x k I S E, Im z > O}
her ausstanzen .
-R
R
Dann ver and ert sieh (5) urn den Summand en ni L~=I Res (I, Xk ) auf der reeht en Seite, und das un eigentliehe Integr al auf der linken Seit e von (5) ist nieht mehr im strengen Sinne konverg ent, sondern muB als Cau ehys eher Hauptwert verstanden werden :
1'=
f(x)dx =
lim
R --'l-CX>
. - 00
mit (6)
J'R
:=
t
( lim
€- O./ I n
f( X)dX)
[- R , R ]\ (U~=I [Xk - E, x k + EI. In dies em Sinne gilt dann im mer noeh
L:
f( x)dx = 2ni
L
Res (J, zj )
+
Im zj >O
L
tt i
Res (I , Xk) .
Im xk = O
@] Integral e tiber die Halbachse (0,00) . Das Integral
roo
./0
dx
1 + x3
ist absolut konverg ent. Auf der negativen reellen Aehse liegt der Pol
Z
= -1 von
1 f(z ) := 1 + z3 .
Die ander en beiden Pol e sind e 1fi / 3 und e 51fi / 3. Bier wahlen wir Gals den Kr eissektor '0
G := {re' : 0
00 st re be n der zweite und der d rit te Sum mand in der let zt en Zeile gege n Null. Also gibt es ein RO (E) > 1, so daB 1121< E fur aile R > RO (E) a usfallt , und som it gilt l im R ~ oo 12 = 0 auch fur cp = 1r/ 4. Folglich er halte n wir
:::; - + 2
{ R e-t 2[cos2
l )a mit n E Z P ole, ,)Jr/2 und bezeichne
273
3.9 Das Fouriersche Integral
Orr) das Recht eck mit den Eckpunkten r , r + iJ1r/2, r-- T + i J 1r/2, - r . Dann liegt nur = a/2 in Orr ), und zwa r gilt Zl E Orr) und Res (f, z j ) = 2--:.irr .
Zl
9. Man zeige J~oo e- dx = .j7r, ind em man den Residu ensat z au f die in Aufgabe 8 betrachtete Funktion f beztiglich des Recht eckgebi et es Orr ) anwende t und dann r -- 00 streben laBt . x2
10. Man zeige J~oo e-
x2
(Hinweis : Man wende an; darauf r -- 00.)
9
= e-et 2 / 4.j7r , a E JR, mit Hilfe der Forme l I~oo e- x 2 dx = .j7r. z2 e- dz = a a uf das Recht eck Orr) mit den Ecken ± r , ± r + ia/ 2
cos a x dx In( r)
Das Fouriersche Integral
Wie wir in Band 1, 4.6 gesehen haben , laBt sich jede glatte periodi sche Funktion auf JP!. in eine Fourierreihe entwickeln, also beliebig genau dureh trigonometrisehe Funktionen mit der gleiehen Periode approximieren. Dies bedeutet , daf sich periodische Funktionen sehr allgemeiner Natur als Uberlagerungen harmonischer Schwingungen darstellen lassen. Das Fouriersehe Integral liefert eine entspreehende Darstellung fur nichtperiodische glatte Fun ktionen mit einem in geeigneter Weise kontrollierbaren Verhalten im Unendlichen, das Ko nvergenz des Fourierintegrals siehert. Das Analogon des Entwicklungssatzes bei Fourierreihen ist der Fouriersche Integm lsatz . Er spie lt nicht nur in der mathematisehen P hysik, sondern au eh in der Informat ionst eehnologie eine wesentliche Ro lle, also bei Problemen , wo Signale gesend et, iibertragen , empfangen und weiterverarbeitet werden . Zunachst wollen wir die Funktionenklassen besehr eiben, die bei der Four iertransformation auftreten. Hierfur definieren wir in Anlehnung an 2.1, Definition 2: Eine auf einem Intervall I = [a, b] C JP!. definierte Funktion f : I ---+ C heijJt stiick weise g latt oder von der Klasse '0(1), wenn es eine Zerlegung a = to < tl < t2 < . .. < tN = b von I in endlich viele Intervalle I j
=
[t j - l , tj ] und dazu Funktion en 'Pj E
C1(Ij,q gibt, so dajJ f(t) = 'Pj(t) fur tj - l < t < tj und j = 1, . .. ,N gilt.
Mit anderen Worten: Ist f E '0(1), so sind fund t' stiiekweise st etig in I , durfen also endli eh viele Sprungstellen haben; anderwart s ist f glatt un d besitzt nebst seiner erste n Ableitung Grenzwerte bei links- oder reehtsseitiger Annaherung an die Sprungstellen. W eit er n ennen wir f : JP!. ---+ C stiiekwei se glatt, wenn f iI fur jedes abgeschlossene Int ervall I C JP!. stiickweise glatt ist . Man beachte, daB wir hier - ande rs als im Abs chnitt tiber Kurvenintegr ale - nicht vor aussetzen, daB stiic kweise glatte Funktionen ste t ig sind .
274
Kapi t el3. Holomorphe Funk tionen , Residu en , Fouri ertransform ation
Definition 1. (i) Eine Funktion f : JR
I:
f stilckweise glatt und
(1)
--->
C heiflt von der Klasse
If (t )1 dt
C heijJt von der Klasse
1
2 [f (t + 0) + f(t -
1)* ,
wenn f E V ist und
0)] [iir alle t E JR
gilt.
I:
(iii) Eine Funktion f E C k (JR, C ) heijJt von der Klasse (3)
II f ll k .-
(If(t) 1+ 1J'(t)!
+ ... +
c»,
wenn
If (k)(t )l) dt
C ste t ig oder auch nur sttickweise ste t ig und konvergiert J~oo If (t )ldt , so konvergiert au ch das sogena nnte Fourierintegral
I:
(5)
f (t)e-
ixt
dt
fur jedes x E JR absolut . Wir benutzen dieses Int egral, urn jeder Funktion eine neue Funktion j : JR ---> C zuzuordnen durch
(6)
j(x)
:=
_1_1 v'27f
00
f (t)e- ixt dt ,
x
f
E
V
E JR .
- 00
Man nennt j die Fouriertransformierte von I , und die mit F bezeichn et e Zuordnung f I---t j heiBt Fouriertransformation; wir schreiben auch F f fur j. Nach 1.4 ist fur f E CO die zugehorige Fouri ertransformi erte j st et ig, da das Integr al (5) wegen If (t )e-ixtl = If(t)1gleichmafiig konvergiert. Wei! der Beweis der Stetigkeit fur (6) besonders einfach und verallgem einerungsfahig ist , wollen wir ihn auf andere Weise erne ut fuhr en.
275
3.9 Das Fouriersche Integral
P ropos it ion 1. Sei f : JR
-7
i:
0 so klein , daf M Ro Ix - yl < 0 die Abschatzung
i:
Damit erhalt en wir fur
~. Ig(x )
1
fUr
x = ±1
setzen . Da sich f (x) und XI( X) nur fur x = ± 1 unterscheiden, gilt j Augenblick noch nicht bewi esen e - Fouriersche Int egra lth eor em liefert
(12)
() _ ~ /'00 -00
f x -
1r
,
cos(xt) sin t d t
Xl , und das - im
t .
Man nenn t die Funktion f D ir ichle t s d isko n tinu ierlichen Fak tor. Sie zeigt , daB ein uneigentliches Integral unstetig von einem Parameter abhang en kann , obwohl sein Integrand eine stetige Funktion des Paramet ers ist. Dies ist eine hochst bem erkenswerte Tats ache, die bei Dirichlets Zeit genossen groBe Aufmerksamkeit erregt hat . (Vgl. hier zu au ch d ie Formeln (9) und (10) von 3.8.)
278
Kapite1 3. Holomorphe Funk tionen, Residuen , Fouriertran sform ation
L:
~ Wenden wir di e Forme ! (7) aus 3.8,
und som it
f(x)e
/'00 V27r . -00 1
(13)
iux
[1] a uf die Fu nkt ion f ez ) = 1/ (1 + z2) an , so folgt u >O fiir
dx =
u
iux - e - 2 dx = 1+x
~ -2 e- Iul
O. Ihre Four iertra nsform ierte f eu) berechnet sich
feu)
_ 1_
=
V27r
Z ll
1
c + i( u -w)
[ill Die sogena nnte Diracsche Deltafunktion t=O
00
o(t) :=
{
0
filr
t "'" 0 , die in der physikalischen Literatur auftritt, hab e d ie Eigenschaft
L:
o(t)d t = 1 .
Zwar gibt es keine solche Fu nkt ion im klassischen Sinne, do ch kann man sich approximative Deltafunktionen in der Ges talt
mi t 0
L:
< E R>0
R :=
j~k
konnen wi r dann
j~k L:, -l
k
(.i
R
f( x
+ t) cos(ut)dt )
R'
M
L:
0 -
If (t )1dt
dimF =: 1' , so hat T genau dann den maximalen Rang 1', wenn T surjekt iv ist ; in diesem Fall gilt dim K(T) = N - r, d.h. das Losungsgeb ilde der Gleichung Th = 0 hat die Dimension n := N - r , Ist E = ~N , F = ~r und wird T : ~N ---7 ~r mit Hilfe der r x N-Matrix A gegeb en durch Th = A · h , so ist r an gT = rangA, und fur r < N hat A also genau dann den maximalen R an g 1', wenn T : E ---7 F surje ktiv ist . Ist T die Abl eitung f'( x) = df (x) einer C 1-Abbildung
so hat diese die J acobimatrix A = D f (x) als dar stellend e Matrix, d.h. es gilt df( x)(h) = Df(x) · h, h E ~N. Dem gernaf gilt fur r < N: ran g Df( x) = r
¢:}
df( x) : ~N
---7
~r ist surjekt iv .
Sei Xo E n eine Losung von f( x) = O. Dann gilt nach der Taylorschen Formel fur Punkte Xo + h in der Nahe von Xo die Entwicklung f( xo
+ h) =
df( x o)(h )
In "ers ter Nah erung" hat die Gleichung f (xo df( xo) (h)
+ o(lhl) .
+ h)
=
0 somit die Gestalt
= O.
Wir konnen also erwarten, daf das Losungsgebilde der Gleichung f( x) = 0 ein "n-dimensionales Objekt" ist, n := N - 1' , wenn der R an g von Df( xo) maximal, also gleich r ist, d .h. wenn df( xo) : ~N ---7 ~r surjekt iv ist. Dies ist der Inhalt des Satzes tiber implizite Funktionen , den wir in Ktirze formulieren und beweisen werden. Urn zu zeigen, daf der Ran g von D f( xo) maximal ist, bestimmt man gewohnlich eine nichtverschwin dende r x r-Unterdeterminante der J acobimatrix D f( xo) . In manchen Fallen ist dies abe r recht kompliziert, und es erweist sich als einfacher, statt dessen die Surjektivit at von df( xo) zu zeigen. Das soebe n Gesagte fuhrt un s zu
Definition 3. S ei f :
n
---7
~r eine C 1 -A bbildung eine r offen en M eng e
n
des
~N . E in Punkt x E n heifJt regularer Punkt von f , wen n die Abbildung df( x) : ~N ---7 ~r surjekt iv ist, und y E ~r heifJt reguHirer Wert von f , wenn
r:' (y) leer ist oder nu r aus reguliiren Punkten best eht . E in nicht requltirer Punkt
heifJt singularer oder kritischer Punkt von i, ein nichtreguliirer W ert wird singuIarer oder kritischer Wert von f genannt.
Offenbar kann es regul ar e Punkte hochstens dann gebe n, wenn r ::::; N ist; wir betrachten hier den Fall r < N . Aus Definit ion 2 folgt :
4 .1 Sat z tiber implizite Funkt ionen. Mannigfaltigkeit en im
299
jRn
Iet Y E jRT reguliirer Wert einer Abbildung j E C 1 (n, jRT), n c jRN und r < N , so ist das Urbild j-l(y) von y entweder leer oder eine (gleichungsdejinierte) M annigjaltigkeit in jRN • Es stellt sic h nun sofo rt di e Fr age, wie " groB" di e Men ge der kritisch en Werte sein kann . Hie rtiber gibt d as folgende Resul t at Auskunft , d as w ir a ber nic ht b eweisen werde n .
Satz von Sard (1942 ). Sei D eine offe ne Me nge des jRN, f E e k(D, R" ) und k 2:: N - r Dann is t die M enge der kri tischen W ert e von f eine N ullme nge in jRr .
+ 1.
E ine n Beweis findet m an b eispi elsweise in : S.N . C how, J .K. Hale, Method s of bifurcation th eory , Springer (2nd print ing), Berlin 1996, S. 54-57. Verfeinerungen des Sardsche n Satzes hi nsich tlich Ha usdorffsch er Mafie si nd a ngegebe n in : H. Federe r , Geome tric m easure theory , Sp ri nger, Be r lin 1969 , S. 316-318. Dor t find et m a n a uc h Beispi ele , d ie zeigen, daB d ie Me nge d er kri t isc he n Werte von f kein e r -dimen sional e Nu llmenge zu sei n b rau cht , wenn f nich t " h inreiche nd glatt " ist . D a Nu llme ngen in jRT kein e in ne re n Punkte ent halten kon nen , ergi bt sich a us dem Sa rd sch en Satze in sb esondere:
W en n I E e k( D, jRr) , DC von I dicht in jRr.
jRN
und k 2:: N - r
+ 1 ist,
so liegt die M eng e der reguliiren W ert e
In sbesonder e er halten wir im Fa lle r = 1:
Ist D ein Gebiet des jRN, Xo E D und I eine ni chtko nst ant e Funkti on der Kla ss e e N (D) m it V'/ (xo) = 0 , so gibt es zu jedem E > 0 einen W ert c E jR mit [c - l (xo)1 < E, so daft I - I (c) eine (N - 1)- dimension ale gleichungs definie rte Manniglaltigkeit in jRN ist . M it a nderen Wor t en : Fur I E eN (D) wird durch M e := {x E D: I (x ) = e} "generisch " eine (N -1 )-dimen sionale Mann igfa lt igkeit (=" Hy perflache") in jRN d efin ier t , d .h . wenn n icht sc hon M e eine Man nig fa lt igkeit ist, so brau cht m an b loB ein klein es biBch en a n e zu wa ckeln und er halt m it M e' eine Man nig fa ltigkeit fur wenigst en s eine n Wer t e' mit 0 < [c - e'l « 1.
Bet racht en wir einige Beispiele; dab ei benutzen wir abwechselnd Definition 1 od er 2.
I1J
Sei (1) ein System von r affine n G leichungen
(5)
aj lXI
+ aj2X2 + ... + aj N XN + Cj
= 0 ,
1 ::; j ::; r .
F u hren wir d ie r x N -Matrix A = (ajk) ein und int er preti eren wi r
x = (x I
e = (cj , . . . .c-)
, . . . , XN ),
a ls Spaltenve ktore n , so laBt sich (5) sc hreiben a ls
Ax
(6)
+e =
O.
F ur I(x ) := A x + e ist DI(x) := A. Neh me n wir r an g A = r mi t 1 ::; r n = N - r, so ist d er n -d ime nsionale affine Raum M := {x E
jRN :
ei ne n -d ime ns ionale Man n igfa ltigkeit der Kl as se ~ Sei
D=
jRN -
e , y > e } und f(x , y ) := x y - u", (x , y ) E 0 . Ist M := { (x , y) EO: f(x , y ) = o} eine eindi me ns ionale Mannigfa lt igkeit in jR2 ?
9. SO(n) ist eine bogenweise zusamme nhiinge nde Man n igfa ltigkeit. Be weis? (Hinweis: Ind ukt ion nach n 2: 2.) 10. Sind M u nd N gleichu ngs defi nierte Mannigfaltigkeiten in jRm bzw . jRn , so ist M x N eine gleic hungs defi n ierte Mannigfa lt igke it in jRm x jRn . Die Dimen sion di eser Produkt ma nnigf altigkeit ist d im M + dim N. Beweis? 11. Man zeige , daB es ei ne inj ektive Cl -K urve c : (- 1, 1) -+ jR2 gibt , d ie durch den Ursprung o = (0, 0) ge ht und ganz in der Me nge M := { (x , y) E jR2 : xe X + ye Y + x y = O} verlauft . Im Urspr ung steht der Vekt or a := (1/V2, - 1/V2) se nkrecht a uf c.
12. Sei f E C l(jRn) , Xo E jRn, M := {x E jRn : f (x ) = f(xo) } , und es ge lte f Xj (x o) i= 0 fu r j = 1, .. n . D ann gibt es ein E > 0, so daB sich in M€ := M n B € (x o) jede Variab le Xi a ls eine Funktion d er tibrigen Var iablen Xk, k i= i , a us dr ticken liiBt , d.h . es exist ieren offene Mengen Ul , .. . ,Un in jRn - l und Funkti on en CPj E Cl(Uj) , so daB sic h M€ := MnB€(xo) sc hreiben = { 1' n (~n ) : ~n E Un } , wobei 6 := (X2, .. . ,Xn), liiBt al s M € = {1'l (6 ) : 6 E ud = 1'1(6) := (CP l (6 ) ,6) , 0 " , ~n := (Xl, ,Xn -l) , 1'n(~n) := ( ~n , CPn (~n)) ist . Man zeige 0
,
306
2
Kapi te1 4. Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten
Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit
Als nachst es werden die Begriffe Tangent ialraum und N ormalraum fur Man nigfaltigkeit en M definiert. Dazu rniissen wir festlegen , was wir unt er einem Tang entialvektor von M im Punkte x E M vers te hen wollen . Sei I'll eine n-dimension ale Mannigfaltigkeit der Klasse C 1 in n~N , N die durch (1)
M
:=
{x E n : f (x)
= n + r;
O}
=
defini ert ist , wobei n eine offene Menge des R N ist und f : n ----+ Rr eine Abbildung der Klasse C 1 bezeichnet , die tiberall den Maxim alrang T hat.
Definition 1. (i) Ein Vektor VERN heiflt Tangentialvektor von M im Punkte x E M , wenn es eine C 1 -K uTve c: I ----+ RN , I = [0,0], 0> a gibt m it
(2)
c(O) = x , c(O)
v und c(I) e M.
=
(ii) Unier dem Tangentialraum TxM von M im Punkte x verstehen wir die M enge der Tangentialvektoren von M in x.
Satz 1. Der Tangentialraum TxM einer n-dim ens ional en Mannigfaltigkeit M in R N ist filr aile x E M ein n-dim ensional er lin earer Un terraum des R N . B eweis. (i) Betrachten wir zunac hst den Spezialfall einer n-dimensionalen Ebene E = {(y , z) E R r x R n : y = a} durch den Ursprung o. Dann tiberzeugt man sich ohne Mtih e, daf ToE = E ~ Rn der Ta ngent ialraum an E im Ursprung ist . (ii) Ist nun x ein beliebi ger Punkt einer durch (1) gegebe nen Mannigfaltigkeit M , so gibt es einen C 1-Diffeomorphismus F : U ----+ B einer offenen Umgebung U von x E M in R N auf eine Kugel B = B 1 (0) des RN , so daf F( x) = a und F(M n U) = {(y , z) ERr
x Rn
:
y = 0,
Izi
0 die Ungleichung f( xo) ::; f(x)
(bzw. f(xo)
~
f( x))
fur alle x E Bp( xo) , die den Nebenbedingungen
(7)
gl(X) = 0, g2(X) = 0, .. . , gr(x) = 0
genugen. Dann gibt es reelle Zahlen AI, A2, ' " , Ar , so dafJ k = 1,2 , .. . , n
(8)
gilt, d.h. Xo ist kritisch er Punkt der Funktion r
'P := f
+L
j=l
Ajgj
E
C 1 (fl ) .
B eweis. Aus (6) folgt rang C'Vg 1(x), . . . , 'Vgr(x)) = r fur alle x E Bp(x), wenn wir p > 0 geeignet verkleinern . Dann ist Sat z 2 aber nichts anderes als eine Umformulierung von Satz 1.
o
Bemerkung 1. Man nennt die Zahlen AI , . . . , Ar Lagrangesche Multiplikatoren. Die Bezeichnung "Eulersche Mult iplikat oren" ware zutreffender, wei! Euler di e Regel bereits system at isch in sein em Lehrbuch tibe r Variationsrechnung (M ethodu s invenie n di lin eas curvas ma ximi m in imiv e propri etat e gaud entes (1744) ) ver wendet hat . Lagr an ge hat in se iner Me chan iqu e an aliti que (1788) mi t Hilfe der Mul t iplikatorenregel di e Stat ik und Dyn amik gebunde ne r Systerne von Mas senpunkt en b eh andelt; hierh er ruhrt die Bezeichnung Lagr an gesche Multiplikat ore n. Die Multiplikatoren Aj sind nicht blof Hilfsgrofsen , sondern verd iene n in vielen F all en eigenstand iges Int er esse. Sie konnen sich beispi elsweise a ls Eigenwerte ent p up pe n (vg l. ~ ) ; in der St atik er weise n sie sich als Spannungen . Auch der Dru ck in der Hydromechanik kann als Multi plikator ged eutet werd en (vg l. A. Somme rfeld , Vorlesung en tiber Th eoretis che Physik, Band 2, AVG , Leip zig, 1954). Es se i a uch au f den nach st eh end en Satz 3 verwiesen . Bemerkung 2. In der Mul t iplikatorenregel t reten r
(9)
gj (x ) =O
,
+n
Gl eichungen
l ~j ~r ,
1 ~k ~n ,
4 .3 Extrema mit Neb enbedingungen . Lagrangesche Mu ltiplikatoren zu r Bestimmung von r
+n
313
Unbeka nnte n AI , . . . , Ar , Xl, . . .
,X n
auf, wenn x = (X], . . . , x n ) lokaler Minimier er (Max im iere r) von f unter den Neb enbedingungen g] = 0, ... , gr = 0 ist . Diese n + r Gleichun gen (9) muB man losen , urn die Kandidaten x fur Extremstellen zu linden. Diese Prozedur kann man auch so beschreiben: Erst bestimmt man a ile "ungebundenen" kritischen Punkte x samt licher Funktionen
+ A]g ] + ... + Argr
'P = f
b ei beliebiger Wahl von A] , . .. , Ar , und d ann sortiert man di ejenigen kritischen Punkte von 'P aus , die den Bindungsgl eichungen g] = 0, .. . , gr = 0 geniigen.
rn
n :=
B eispiel von Maclaurin (1729) .Sei
g(x) := X]+ X2 + . . . +Xn
{x E jRn : x ]
> 0, X2 > 0, . . . , Xn > O} sowie
f( x) := XjX2 . . . Xn fur xE n .
und
Dann ist M := {x E n: g(x) - 1 = O} ein e (n - l)-d im ensionale Mannigfaltigkeit in jRn. Ihr Absch luB M = {x En: g(x ) - 1 = O} ist kompakt; folgli ch nimmt f a uf M sein Maximum m in eine m Punkt Xo E Men an. Wegen f(x) > 0 fur x E M und f (x) = 0 fur x E M \M folgt Xo E Men . Nach d er Mu ltiplikatorenregel gibt es also ein A E jR mit
\l f( xo ) + A\lg(xo) = O . Wegen \lg(x) = (1 ,1 , . . . ,1) fur a ile x E
n folgt
fXj (xo ) = -A fur j = 1,2, .. .
Andererseits gilt
f x (x)
=
J
f(x) Xj
fur aile x E n ,
und gelt en filr die Komponenten des Maximier ers Xo = (XOl , X02, ... , x on ) die G leichungen
XO]
= X02 = ... = XOn
.
Weg en g(xo) = 1 folgt Xo = (l /n , l /n , . . . , 1/n ), und hieraus ergibt sich m = f(xo) = n -n . Daher gilt f( x) = X]X2 . . . Xn :::; n-n fur a ile x E n mit g(x) = 1, wobei das Gleichheitszeichen genau im Punkte Xo eintritt. Fiir a = (a ], . . . , an ) E n und A := a] + a2 + .. . + an folgt g(a /A) = 1 und daher f(a /A) :::; n -n , d .h. f(a)A-n :::; n - n , a lso f(a) :::; A /n . Damit ergibt
\!
sich die woh lbekannte Unglei chung
\ya]a2 . . . an :::;
a]
+ a2 + .. .+ an
n zwischen dem geometris chen und dem a rit hme t ischen Mittel positiver Zahlen a ], a2 , . . . , an ' G leichh eit tritt genau dann ein , wenn a] = a2 = .. . = an ist , ~ In Beis pi el [1] von Band 1, 3.2 haben wir di e Eig enwerte Aj einer symmetrischen Matrix A E
M(n , IR) und eine Orthonormalbasis {e i , . . . , en } von zugehorigen Eig envektoren ej bestimmt. Das dart angewandte Verfahren liefert d ie Aj in der Anordnung A] :::; A2 :::; . . . :::; An . Wir bemerken nun , d aB sich die Aj a ls Lagrangesch e Multiplikatoren deuten las sen . Zu diesem Zweck ftihren wir di e (frtiher mi t B(x) bez eichnet e) Funktion f( x) := (Ax, x ) a uf n := jRn\ {O} ein. A uf d er kompakten Mannigfaltigkeit M] := {x En : g]( x) = O}, g](x) :=
existiert ein Minimierer e i von so d aB
I , und
Ixl2
- 1,
die Mu ltiplikatorenregel besagt , daB es ein M E
jR
gibt,
314
Kapi tel 4. Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten
ist. Mit Al := -/11 ergi bt sich di e Beziehung Ae1 = AI el . Als nachst es bet racht en wir M: := {x En: 9l (X) = 0, 92(X) = O} ,
wob ei 91 wie oben und 92 durch 92(X) := (x , el ) defini ert ist . Auf der kompak t en Man nigfa lti gkeit M 2 existiert ein Mi n imi erer e2 von f , und d ie M ulti plika t orenregel besagt , d aB fur geeignet e M ult iplikatore n /11 und /12 di e Gleichung
gilt, di e zu
aq ui va lent ist . Wegen
(A e2, el ) = (e2, Ael ) = Al (e2, el) und
lerl
= 1 sow ie (e2 ,el) = 0 folgt dann /12 = O. Setz en wir A2 = - /11, so ergibt sich
Ae2 = A2e2.
So konnen wir fortfa hre n : Beze ichnet Mj mit 2
:s: j :s: n
di e kom pak t e Mann igfa lt igkeit
Mj := {x E n : 9l (X) = 0, . . . , 9j(X) = O} , wob ei 9l (X) := IxI 2 - 1, 92(X) := (x, el ), ' " , 9j(X) := (x, ej _ l ) gese tz t ist , so ex istiert ei n Mi nimierer ej von f a uf M j , und nach der Mu lti plikatorenregel gibt es Zahlen /11 , . . . , /1j, so daf
ist, was
2A ej
+ 2/ll ej + uaei + /13e2 + ...+ /1 j ej - 1 =
0
bed eut et . Wegen lej - 11 = 1, (ej,e 1) = . . . = (ej , ej_ 1) = 0 und
(A ej , ek ) = (ej , A ek ) = Ak (ej , ek) fiir 1 :s: k
:s: j
-1
folgt
112 = 0, /13 = 0, . . . , /1j = 0 und d aher A ej = Aj ej , wenn wir Aj := - /11 setzen . Man vergleiche hierzu Band 1, 3.2, [1].
lID
Hadam ard 's Dete rmirumiena oschiitzunq , F ur n beliebi ge Vektor en z i , X2, . . . ,X n E lRn gi lt
(H)
Idet(x 1, X2, .. . , xn) 1
:s:
n
II
IXj I ,
j= l
und fiir IXII
#
0 , . .. , Ixnl
#
0 gilt d as G leichhe itszeiche n in (H) genau d ann , wenn
(Xj , Xk ) = 0 fu r a ile
i ,k
= 1, . .. , n m it j
#
k ist.
Be weis . Sei x := (X1,X2 , ... , Xn) E M (n , lR) .{:;, lRn2 , f (x) := d et x , und bezeichne M di e M annigfal t igkeit
M := {x E GL( n , lR) : IXl12
=
1 , . . . , Ix n l2 = I } .
F ur x E BO(n) ist f (x ) = 1, und folglich m := s UPM f ~ 1. Andererseits besitzt f : M -- lR auf der kom pakten Menge Meine n Maxim ierer I; =
(6, · . . , I;n )
4 .3 Extrema mit Nebenbed ingungen. Lagrangesche Multiplikatoren
315
mit
f( x) ::; f (E, ) = m
filr aile x E M .
Wegen f( E,) > 0 folgt E, E M. Also gibt es Mu lti plikatoren AI, A2, .. . , An E JR, so daf E, ein kr it isch er Punkt von ist . Dies bed eut et
\lxj F (E, ) =O
fUr j = l , ... , n .
Bei sp ielsweise ist d ie vektorielle G leichung \l X l F( E,) = 0 gleichbedeute nd zu den n skala ren G leichungen wobei e i , . .. , en d ie kanonische Basis von JRn ist . Hier au s folgt fur
h = tii e:
+ ... + hne n E JRn
di e Beziehung
und a nalog ergeben sich die G leichungen
fu r beliebi ge h E JRn. Set zen wir h = 6 in der ersten Gleichu ng, h = h = E,n in der n- t en , so folgt wegen 16 1= 161 = .. . = lE,n l = 1, d aB 1 1 Al = A2 = .. . = An = - - f(E,) = - - m
2
=f.
2
6
in der zweite n,
0
ist . Damit geht die erste Gleichung in 1 - f (h ,6 , · · · , E,n )
(h , 6 ) =
m
~b er , und m it h = 6 , .. . , E,n erg ibt sich (E,j , 6 ) = 0 filr j = 2, . . . , n . Ahnlich argu me nt iere n wir bei den a nderen n - 1 G leichungen und er ha lten so (E,j , E,k ) = 0 fiir j =f. k . Wegen 1 6 1= . . . = lE,n l = 1 folgt schlieBlich (E,j , E,k ) = Oj k. Also ist jed er Maxi mierer E, = (6 , ... , E,n) von f : M -+ JR eine orthogonale Matrix, und wege n det E, = f( E, ) = m 2: 1 b ekommen wir m = 1 und E, E SO (n ). Ana log sind d ie orthog onalen Matrize n E, E O (n) \ SO(n) d ie Min im ierer von f( x ) auf M , und es gilt infM f = - 1. Hiera us folgt
1det xl ::;
1 fiir aile x E M ,
und das G leichheitszeiche n t ritt nur fur x E O(n ) a uf. Hieraus ergi bt sich oh ne Mii he die obi ge Behaup t ung .
D 1
[1] Seien p,q > 1, F'unktione n
p
+ -1 q
1, rl .-
f (x , y ) := x y
{ (x , y) E JR2
und
>
X
1
0, y
g(x , y ) := - x P p
+ -1 q
>
O}, und a uf TI seien di e
yq
gege be n. W ir definieren d ie eind ime ns ionale Mannigfaltig keit M e durch M e: ={(X , Y) E rl : g(x , y ) = c}
fur c > O.
316
Kapitel4. Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten
Maximie rt man f au f M e , so folgt sofort, dal3 der Maxim ierer (xo, Yo) in M e liegt und som it
Xo + AY6- 1 = 0
Yo + AXb- 1 = 0 ,
bei geeigneter Wahl von A er fiillt. Damit erha lte n wir
x oYo = - Ax b also x b
= Y6, und
wegen g(XO ,yo )
XoYO = - AY6 '
und
= c folgt xb = c und Y6 = c,
also
Lal3t man nun c alle positiven reellen Zahlen durchlaufen , so erg ibt sich
f (x , y)
~
g(x , y )
fur aile X, Y
>0,
und Gleichh eit tritt gena u dann ein, wenn x P = yq ist. Dam it ist erneut di e Youngsche Ungleichung
xy
~
fur aile x , y > 0 und aile p,q E lE. mit l /p Holdersche Ungleichung
11Mf (x )9(X)dV !
0, eine Umgebung von Xo mit (x , u(x)) E U fur x E 10. Dann konnen wir schreiben: rp(x ) = rpl (X)'Tl (X, u( x))
+ ... + rpn(x )'Tn(x , u( x))
n
r
1jJ (x ) = :L>j( X)'Tj( X, u( x)) j=l
+ 2::)
k(X)Vk(X, u( x)) ,
k =l
fur x E 10, wobei aj , bk E G°(I) sind und rpj beliebig aus G~ (Io) gewa hlt werden du rfen , urn rp E G~(Io, JRN ) mit rp(x ) E Tu(x)M( x) fur aile x E I zu er halten. Nach Voraussetzung folgt dann
o =
l
b
1jJ(x ) . rp(x )dx =
l~~:ii ~ aj(x) . rpj (x )dx
fur aile rp l , . . . , rpn E G~(Io) , und das Fundamentallemma der Variationsrechnung liefert aj( x) = 0 fur aile x E 10 und j = 1, .. . , n , also 1jJ(x ) E T.-1<x)M( x) fur aile x E 10 . Da Xo ein beliebiger Punkt au s 10 ist , gilt dies auch fiir aile x E int lund schlieBlich aus Stetigkeitsgrtinden a uch fur aile x E I . Dies ist gleichbedeut end mit II(x ,u(x)) 1jJ(x) = 0 fur aile x E I . D
Betrachten wir jetzt eine Lagrangefunktion F (x , z, p) au f JR x JR N XJRN mit dem zugehorigen Variationsintegrai
(14)
F(u) =
l
b
F( x , u(x) , u'( x))dx
Kapi tel 4. Gleichungsdefiniert e Mannigfaltigkeit en
318
fur u E C l (I , JRN ); es sei F E C 2 vor au sgeset zt . Bezeichne C die Klasse der Abbildungen v E C l (I, JRN) mit vorgege benen Randwerten v (a) = P und v (b) = Q, P E M(a) , Q E M(b) , die den Nebenbedingungen
G(x , v(x )) = 0 fur aile x E 1
(15)
genugen. Mit anderen Worten : Wi r fixieren zwei Punkte P , Q mit P E M(a), Q E M(b) und definieren die Klasse C der zuliissigen Vergleichsfunktionen als
C := { v E Cl(I, JRN) : v(a ) = P, v( b) = Q und v (x) E M( x ) fur aile x E I} . Proposition 1. Ist u E C ein lokales Minimum von F in C, d.h. gilt
F(u ) :s: F( v) fur alle v
E
C mit sup Iv I
ul < E o
fur ein E > 0, so folgt of( u, rp) = 0 fur alle sp E C~ (I, JRN ) mit rp(x ) E Tu(x)M(x). Beweis. Mit te ls des Sat zes ub er impli zite Funktionen konstruieren wir eine Ab bildung w : 1 x [- 0,0] - 7 JRN, 0 > 0, der Klasse C t, fur die Wtx exist iert und stetig ist, und die w(x , 0) = u(x ) , Wt(x,O) = rp(x) , w(a , t ) = P, w(b, t) = Q fur t E [- 0,0] , w(x, t) E M( x ) fur (x , t ) E 1 x [- 0, 0] erfiillt . Insb esondere gilt
w(x , t) = u(x)
+ trp(x) + o(t )
fur t
-7
0.
Die C l -Funktion (t) := F( w( ·, t)) , t E [- 00, 00] erfiillt dann
(t) :::: (0) fur It I < < 1 und damit /(0) = O. Wegen / (0) = of(u, rp) folgt of(u, rp) =
o.
D
Definition 3. Eine Abbildung u E C l (I,JRN ), die der Nebenbedingung
G(x , u (x )) = 0 fur alle x E 1
(16)
genugt, von der Klasse C 2 (1, JRN) ist und die Relation of(u , rp ) = 0
(17) o
fur alle rp E C~ (I, JR N) erfullt, die tangentiell entlang u bezuglich der Nebenbedingung G(x ,u(x)) = 0 sind, nennen wir eine G-gezwungene Extremale von F , oder einfach eine bedingte Extremale.
4 .3 Ex trema mit Nebenb edingungen . Lagrangesehe Multiplikatoren
319
Proposition 1 besagt , daf jeder lokale Minimierer in C eine G-gezwungene Extremale ist . Satz 3. fst u eine G-gezwungene Extremale von F , so gibt es Funktionen AI, . . . , Ar E CO (1), so dafJ u eine Extremale der Lagrangefunktion (18)
F*(x , z ,p) := F(x , z , p)
+
r
L x, (x)G j (x , z) j=l
ist. o
Beweis. Fur u E C 2(f , JE.N ) und
stationer unter Gl
= 0, . ..
, G;
= 0"
gilt , d.h. x( t) muft die bedingten Eulergleic hungen L F* (x) = 0
(23)
mit F *(t , x ,v) := F( x ,v) + 2: = l Aj(t) Gj (t ,x) erjii llen , wobei Al(t) , ... , Ar (t ) geeign ete, m itzubest immend e Multiplikatoren sind.
J
Man bezeichn et di e Gleichungen (23) in der Punktmechanik als La g r ange s che B ew egun g sg leichun gen e rster A rt . Wegen LF* (x) =
( - VXj (x ) +
t
AvGv,Xj (" x) - m / i j)
v=l
l~ j ~N
er halten wir dann di e Lagr angeschen Glei chungen erster Art in der Form
die wie die Newt onschen Gleichungen (25) fur die Bewegung des Systems ohne Zwan gsb edingungen a usse hen . Man kann
(26) als "Zwangskriifte" interpreti eren, di e von den Zwangsbedingungen Gl = 0, .. . , G« = 0 erzeugt werden und neb en den von a uBen eingep ragte n Kraften K 1 , . . . , K N auf di e Massenpunkte PI , . . . , PN wirken; also lauten di e Lagrangeschen Gleichungen erste r Art
mj xj =
(27)
Kj
+ K;
und haben dami t die ver traute " Newt onsche Gestalt" . Es sei bem erkt , daf Newt on niem als sein e Gleichungen in der Form (25) geschrieb en hat; diese Formulierung ist woh l ers t von Eul er benutzt word en, der der Mechanik in seinen beiden groBen Lehrbiichern die uns heute vertraute Gestalt gegebe n hat. Die endgiilt ige Formulier ung stammt von Lagrange. Betrachten wir noch zwei Beispiele.
[§] Sei F(p) (28)
:= ~
Ipl2 di e Lagrangefunktion F(u) =
des eindimension alen Dirichletintegrals
[blu'(x) 1 dx ,
1 2 .a
-
2
das wir auf Kurven u E C l (I , jRn+ l ) betracht en , I = [a, b], die der Nebenbed ingung (29)
lu (x)1= 1
fur aIle x E I
unterworfen sind, d .h. di e I in die n-dimensionale Einheitssphare abbilden. Die Eu lergle ichung einer jed en durch (29) gezwungenen Extremalen u E C 2 (I , jRn+ l ) lau tet LF(U)
+ AU =
0.
Set zen wir f.l := - A und beachten LF (U) = -u" , so folgt
(30)
- u" = f.lU .
322
Kapi t e14 . Gleichun gsdefinierte Mannigfalt igkeit en
Urn di e Mult ipl ika t orfun kt ion p,(x ) zu best im men , beachten w ir , d aB a us (30) wegen luI 2 = 1 di e G leichung p, = -u . u" folgt. A ndererseits erg ibt sic h , wenn wir d ie G leic hung lul2 = 1 zwe imal di ffer enzieren , d aB u . u" + lu'1 2 = 0 ist , woraus fur di e M ultip likatorfu nktion p, d ie G leic hung p, = lu'1 2 folgt . Dies liefert d ie gezw unge ne E u lerg leichung
- u"
(31)
=
ulu'12 .
In skala rer Form gesc hr ieben ist (31) d as nichtlinea re G leichu ngssystem
- u j' (x ) = u j (x )lu' 12 ,
j = 1,2, . . . , n+ 1.
Was sin d d ie Losungen von (31) , die der Ne benbe di ngung (29) ge niigen? Urn dies hera uszu finde n, d ifferenzieren wir lul2 = 1 nach x un d er halten u' . u = o. Ist u'(x)
=I 0
fiir aile x E I , so folgt wege n (31) die G leic hu ng u'· u" = 0, und di es be de utet
~ lu' 12
= 0,
dx d .h. lu' (x W = const > 0, a lso lu' (x W == A2 m it A > O. Wegen (31) er halten wi r a lso filr di e b ed in gt en Extremalen u mit lu (x )1 == 1 und u' (x ) =I 0 filr a ile x E [a, b] d ie lineare G leichung u" + AU =
(32)
o.
H iera us leit et man ohne Miihe her , d a B d ie b edingt en Extremalen Stiicke vo n GroBkrei se n a uf d er S" sind (Ubungsaufga be) . G ilt an einer Stelle Xo E I
(33)
u(xo)
= Uo
luol = 1
m it
u' (xo ) = 0 ,
und
so folgt u(x) == Uo a uf I. Betrachten wir niim lich d as A nfa ngswertpro b lem (31) & (33), so hat d ieses d ie Losung u = uo , und wege n de r eind eutigen Losbarkeit des An fan gs wert probl ems gibt es keine andere Losung. D ie einzigen Losungen u von (3 1) m it u( xo) = Uo E S" u nd u'(xo) E Tu(xo)sn sind a lso ent wed er Punkte auf S" oder GroBkreisstlicke a uf S": A.hn lich zeigt man , d aB die nach d er (euklidischen) Bogenl iinge parametrisierten Geodiitischen X : I --+ S" C IRn+ 1 auf de r S'" , a lso di e Extremalen d es Liingenfunktionals, ge nau die Grobkreisbogen auf S" si nd . Man er hiilt niimli ch a ls bedingt e Extremalen von .c(X ) = zur Zwangsb ed ingung IX (t )1 A(t ) d ie G leic hung
.f
IX(t)1 dt
== 1, analog zur obigen Rec hnung, mit einer Mult iplikat orfunkti on
(34) Von hi er a us kon nen wi r wie obe n weitersch lieBen. Ubrigens gilt wege n K riim mu ng K von X die Bez iehu ng
1 fu r die
K(t) = !X (t )1 .
(35) A us
IX(t)! _
IXI
2
= 1 folgt mit zweimalige r D ifferenti at ion nach
t
(36) und d am it A(t )
==
- 1, a lso
X+X = O.
(37) Fiigen wir d ie A nfa ngsb ed ingun gen (38)
X( a) = Xo
m it
IXol
= Vo
m it
Vo E Tx oS n ,
X(a)
= 1,
lVol = 1 ,
h in zu , so sieht m an sog leich a us (37) , d aB X eine ebene Kurve auf S" ist, di e in der von X o und Vo a ufgespannten Ebene E liegt ; des halb d urchl auft X (t ) ein Stiick d es GroBkreises S" n E , h at a lso die K rii mmung Eins, was sic h au ch aus (35) und (37) ergibt: K = IXI = IXI = 1.
323
4 .4 Enveloppe n
D ie A ufgabe, zw ische n zwe i P unkten auf einer F lac he d ie klirzeste Verbi nd ung zu bestimmen , wurde 1697 von J oh ann Bernoulli gestellt. Er fa nd d ie folgende notwendige Bedi ngu ng (1698, p ubliziert 1742) : In jedem Punkt einer Kiirzest en schneidet deren S chm iegeben e die Tang entia lebene orth ogonal. Die erste ged ru ckt e Arbeit tiber Klirzest e stam mt von Be rn oullis Sch iiler Leonh a rd E uler (De lin ea brevissim a, Co m me ntarii St. P et ersburg 1728) .
Aufgaben. 1. Se i M ein e r -d ime ns ionale Mann igfa ltigkeit in ]Rn , 1 ::; r ::; n - 1, a 't M, und bezeichne Xo eine n Punkt a us M mit la - xol = in f {Ia - xl : x EM } . Da nn gilt a - Xo 1- TxoM , d .h, a - Xo steht sen krecht a uf M . Beweis? 2. Welch er P un kt p a uf d er Ebene E := { (x , y , z ) E ]R3 : a = (1, 0, 0) d en kleinst en Ab stand ?
X
+ Y- z =
o}
hat vom P unkte
3. Was si nd d ie Ext re mstellen und d ie Extremwerte der Fu nktion I(x , y ) := xy a uf d er E inheit skreislin ie { (x , y ) E ]R2 : x 2 + y2 = 1} ?
4. Au f de r dreidimen sion alen Sp ha re S3 in ]R4 bestimme man d ie Ex tremstellen und Extremwerte d er Funktion I(x) = X1X4 - X2X3. 2
2
5. Was ist d as Recht eck griiBten Umfa ngs, d as innerhalb d er d urc h ~ + ~ = 1 beschrieb en en E llipse liegt ? 6. Wir nehmen an , d a f I ,gl, .. . , gr E C 2 (0) sind , wobei 0 eine offene Me nge in ]RN mit 1 ::; r ::; N ist und Xo ei n P un kt in 0 mit
gl (x o) = . .. = gr (XO ) = 0 und ran g (\7 gl (x o), . . . , \7 gr (XO )) = r . Ferner gebe es Zahlen A1, ... , Ar E ]R, so d af d ie Hilfsfunkti on
c E JR. Dann wird durch f (x , y , c) = eine Schar von Kreisen Me, c E JR, mit Rad ius r definier t , der en Mit te lp unkte (c, O) a uf der liefer t x - c = 0, und so mit er halten wir a ls x-Achse liegen . Die G leichung fe( x, y , c) = Bestimmungsg leichung fur die E nvelop pe E der Kreiss char di e Gleichung y2 - r 2 = 0. Som it best eht E a us den beiden Ge ra den {(x ,y) E JR2 : y = ± r }, d ie im Abstand r par all el zur x Achse verl au fen . Es ist offensicht lich, d af E den Kre is Me = {(x , y ) E JR2 : (x - c)2 + y2 = r 2 } in de n beid en Punkten (c, ± r ) berlihrt.
°
f(x, y, c) := (x - c)2 - y3 handelt es sich bei {Me}eEIR urn eine Schar kon gru ent er Ne ilscher P arab eln Me in der oberen Halbeb ene, deren Sp itzen a uf der x-Ac hse Iiegen. In den Spitzen verschwi ndet 'l f = (ix, fy) , die Me verl iere n do rt also ihre n "Mannigfalt igkeitscharak t er" . Die G leichung fe(x , y , c) = liefer t x - c = 0, un d somit erg ibt sich die x-Achse als Enveloppe E der Scha r { Me}, wenn man form al Definition 2 zugrunde legt , ohne darauf zu ac hten, ob d ie Vorau sset zung 'l f (x , y) t= erfilllt ist, die wir ja gefor dert hatten . Offen sichtli ch ber uh rt E di e Neilsche n Para be ln a ber nicht in den Sp itzen, wenn man deren Tangent ia lraume in den Spitzen a ls Grenzlagen der Tange nt ialraume in benachb a rt en Punkt en ans ieht .
~ Fur
°
°
W ahlt man hingegen f (x , y , c) := (x -c)3 + y2, so erha lt man fur {Mc}eEIR eine Scha r Neilscher Parabe ln, deren Sp itzen wied erum auf de r x-Ac hse liegen und d ie (im verall gemeiner t en Sin ne) von d ieser beriihrt werden . Die x-Achse erg ibt sich hier als "echt e" Enveloppe .
°
Will man a lso a uf die Vor au sset zung 'l f (x , y) t= verzichten, Definition 2 a be r beib eh alt en , so soll t e E als "schwac he En veloppe " bezeichn et werden. E ine genauer e Unt ersu chung mu f dann zeigen , ob E d ie Kurve n Me im strenge n Sinne ber uhrt , falls sie diese in sing ularen P unkten trifft.
Nun wollen wir zeigen, wie - zumindest lokal - die Enveloppe E einer Kurvenschar {Me} eEI aus den Gleichungen (7) gewonnen werd en kann. Nehmen wir an, daf (xo , Yo, co) E Sl x I eine Losung von (7) ist und daf neb en f auch fe in einer Umge bung von (xo, Yo , co) stetig differenz ier ba r ist und (8)
erfullt. Dann kann man die Gleichun g (9)
f e(x , y , c) = 0
in einer hinre ichend kleinen Umgebung U von Po = (xo , Yo) ein deut ig nach c a uflosen und er ha lt eine Funktion ry E C 1 (U) mit ry(x o,Yo) = co, so daf (10)
f e(x ,y, ry(x, y)) = 0
fur (x , y) E U
327
4.4 Enveloppen ist . Set zen wir c = 1'(x, y) in die Gleichung f( x, y, c) Diskrimin antengl eichung
= 0 ein, so erha lt en wir
die
f( x , y, 1'(x, y)) = 0 ,
(11)
deren Losungsgebilde lokal die Enveloppe E beschreibt. Setzen wir
g(x,y) := f(x,y , 1'(x ,y)) ,
(12)
so ergibt sich fur die definierende Funktion 9 der Diskriminant enkurve
{( x ,y) E lR 2 : g(x ,y) =
o} ,
daf gx(x , y) gy(x,y)
fx( x ,y, 1'(x,y)) f y(x ,y, 1'(x ,y))
+ +
f e(x , y, 1'(x , Y))')'x(x ,y) , f e(x ,y, 1'(x,y) )')'y(x,y) ,
und wegen (10) gilt, falls V f( x, y , c) =I- 0 a uf n x list,
(13)
Vg( x , y) = V f( x , y,1'(x, y)) =I- 0
fur aIle (x, y) E U .
Da En U das Losungsgebilde der Diskriminanteng leichung g(x, y) = 0 ist , folgt aus (13) , daf En U , ebenso wie jede Kurve Me, eine eindimensiona le Mannigfaltigkeit ist und som it Scharkurven in Treffpu nkten beruhrt. Nun wollen wir noch untersuchen, unter welchen Voraussetzungen sich die Envelopp e Emit Hilfe des Scharparameters c in der Form c f--* rp(c) parametrisieren laBt . Dazu benot igen wir die Funktionald et erminante
to .= 8U, f e) = I f x
(14)
.
8(x, y)
f ex
fy I f ey .
P roposi t ion 1. Seien [, fe E c 1 (n x 1), und es gebe einen Punkt (xo, Yo , co) E n x I , der (7) erfilllt und fur den die beiden Ungleichungen
to(xo, Yo , co) =I- 0 , fee(xo,YO ,co) =I- 0
(15)
(16)
gelten. Dann kann man die beiden Gleichungen (7) lokal nach x , y aufiosen und erhiilt eine C1-Losung x= von (7) mit Xo =
~( c),
~(co),
Yo
y = TJ( c), =
c E 10 :=
(co - 15,
TJ( co), wobei 0 < 15
«
Co +
15) ,
1 ist.
Die Kurv e c f---+ rp(c) = (~(c) , TJ( c)), c E 10 , liefert eine Parametrisierung der Env eloppe E in einer Umgebung U von Po = (xo, yo), und es gilt rp' (c) =I- 0 fur c E 10. Somit ist En U eine eindimensionale Mannigfaltigkeit, die jede der Kurv en M e der Schar (3) jeweils im Punkte rp(c) beriihrt.
328
Kapite1 4. Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeit en
B eweis. Nach dem Sat z tiber impli zite Funktionen kann man wegen (15) das Gleichungssystem (7) in einer Umgebu ng U von (xo, YO) a uflosen und erha lt eine einde utig bestimmte C1-Lasung x = ~ ( c) , Y = ry(c) mit Xo = ~ ( co), Yo = ry(co ), also f(~(c) ,ry ( c) , c)
=0 ,
= o.
fc (~( c) ,ry (c) , c)
Differ enzieren wir diese Gleichungen nach c, so ergibt sich (17)
fx(~ ( c) , fcx (~ (e) ,
ry(c), c)( (c) + fy (~( e), ry(e), c)ry' (c)
0,
ry(e), e)( (e) + fcy(~ ( e) , ry(e), e)ry'(e )
-
fcc (~( e) ,
ry(e), c) .
Wegen (16) ist die Losung (e( e),ry'(e)) dieses Gleichun gssyst ems fur Ie - col « 1 von Null verschieden.
o
lID
Sei
(18)
f (x , y , c)
:=
~ eose
+
Y - 1, sine
e E [ := (0, 21f) \ {1f/2, 1f,31f/ 2} .
Hier wird durch f(x , y , c) = 0 eine Schar von Gerad en Me definiert ; M e schneidet die x-Achse im P un kte P , = (cose, 0) und die y-Ac hse in P2 = (0, sin c); d ie Steigung von M e ist -tge. Das Segment a uf M e zwischen Pi und P2 ha t d ie La nge 1. Die Gleichung f c(x , y , c) = 0 schrei bt sic h als sine x cos? e
- -
cose sin2 e y =
0,
woraus (19)
xsin 3 e - y cos 3 e
o
folgt . Die Los ung von (7) wird d ur ch (20)
x = cos 3 e , y = sin 3 e
gege be n . Die Fu nktion 0, wird ein e Sch ar von Kugeln M e mit dem R adius r d efini er t , d er en Mit telpunkte auf der x-Achs e liegen. Di e Gl eichung f e(x , y , z, c) = 0 liefer t x - c = 0; di e Disk riminantengl eichung d er Enveloppe E ist d ann y2 + z2 _ r 2 = 0; somit ist E ein Kreiszylinder vom Radius r mi t der x-Achse als Zylinderachse.
(ii) Ist {.iVle}eEB eine Zweiparam et ers char von Flachen Me, die von den Paramet ern c = (Cl' C2) E B c JR2 abhangen und durch
M e := {(x ,y, z) E JR3 : f(x ,y, Z,Cl , C2) = O} defini ert sind, f E C 2 , so definiert man die Enveloppe E der Fl achen Me als Losungsgebilde des Gleichungssystems
[ill Durch f (x ,y, z , cl , C2 ) = 0 m it f (x ,y, z, q , C2): = (x - q )2
+ (y -
C2)2 +z2 _r 2 , r > 0, c = (Q,C2) E JR2 ,
wird eine Schar von Kugeln m it dem Radius r defini ert , d er en Mi ttelpunkte auf d er x , y- Eben e liegen . A us d en G leichungen f Cl = 0 und f e2 = 0 ergeben sich di e Relationen x - Q = 0 und y - C2 = 0 , womit wir di e Diskriminan t engl eichung z2 - r = 0 erhalten . Folglich best eht di e E nveloppe E a us d en beid en durch z = ± r beschrieb en en E be ne n, di e im Abstand r parall el zur x, y- Eben e verlaufen.
4 .4 Enveloppen
331
Enveloppen im IR n , n ~ 2. Entsprechend konn en wir verfahren, wenn wir Env eloppen (Hul lfiachen) von k-parametrigen Scharen {Mc}cEB von Hyperflachen (= Mannigfaltigkeiten der Kodimension 1) im IRn definieren wollen , l ::::;k::::;n-l. Hier zu denken wir uns eine reellwertige Funktion f (x , c) der Variablen x = (Xl , . .. ,xn ) , c = (CI , . . . ,Ck) gegeben, wobei X in einer offenen Meng e n des IRn variiere und c in einem Par ameterbereich B des IRk ver laufe. Wir set zen f , f c E C I (n x B) sowie (23)
Dxf(x, c) -=I-
vor au s, wobei wie zuvor Dxf
°
= f x = (fX!' f X2 ' • •• ,fx,,) gesetz t ist .
Die Fliichen M; der Schar seien durch
M c := {x E IR n : f( x, c) = O}
(24) gegeben.
Definition 3 . Die Enve lopp e E einer Schar {Mc}cEB von Fliichen, die durch (24) definiert sind, ist die Menge der Punkte x E n, zu denen es ein c E B gibt derart, daft die k + 1 Gleichungen (25)
f (x, c) = 0, f c! (x , c) = 0, . . . , f Ck(x , c) =
°
simultan erfiillt sind. Falls die Hessesche Matrix f cc also
= (fCjCk) in (xo, co)
E n x B nichtsingular ist ,
(26) und (xo, co) eine Losung von (25) ist, kann man das Gleichungssystem
(27) in einer hinreichend kleinen Umgebung U von Xo in IRn nach c auflosen und erhalt eine CI -Losung c = ')'(x ). Dann ist E n U das Losungsgebilde der Disk r im in a nt engl eichung (28)
f( x ,')'(x)) = 0 .
Wie im Faile n = 2, k = 1 zeigt ma n, daf E n U eine (n - l)-dimension ale Mannigfaltigkeit ist, was wegen (23) auch fur jed e Flache M; gilt . Somit beriihrt E' = E n U die Fl iichen u; in den Treffpunkten. Env elopp enko nstruktionen treten an vielen St ellen in Physik und Geom etrie auf. Wohlbekannt ist das sogenannte Huygenssche Prin zip in der geomet rischen Optik. Danach ist jed er Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt von Elementarwellen, die sich mit forts chreit end er Zeit entwickeln, und die neue Wellenfro nt
332
Kapite14 . Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten
zu einem festen Zeitpunkt erhalt man als Enveloppe der Element arwell en , die zu dieser Zeit ent st anden sind (man vgl. hierzu auch Abschni tt 5.6, insbesondere die Ausfuhrungen tiber die Distanzfunktion und die Eikonalgl eichung) . Seit lan gem bekannt ist auch das Verfahren , durch Enveloppenbildung a us mehrpar am etrigen Losungen partieller Differentialgleichungen neue Losungen zu konstruieren. Da man hierfiir mit Differenti ationen und Elimina t ionen auskommt , ist dieses Verfahren viel fruh er entstanden als die Methoden , a uf denen die klassischen Exist enzsat ze von Cau chy, Pi card, Lipschit z und andere n beruhen (vgl. Band 1, 3.6 und 4.1). Wir wollen die Idee des Auffindens von Losungen durch Enveloppenbildung zunac hst an einem einfachen Beispiel erla utern, [TI Sei u (x , y, a, b) eine zweiparame trige Losu ng der parti ellen Differen ti algleichu ng F(x, y , u , U x , u y ) = 0 .
(29)
(Dies ist di e etwas unkor re kte , aber iibl iche Schrei bweise fur
F(x , y, u (x , y, a , b), ux (x , y, a , b), Uy(x , y , a, b)) = 0 , was nicht gerade iibe rsic ht lich ist .) W ir behaupten : Die Enve loppe z = w (x ,y) j eder aus z = u(x , y, a, b) erzeugten einparametrigen Losungsfamilie ist wiederum eine Losuru; von (29). Zum Bewe is bet racht en wir zwei C l -Fu nkt ione n
a = o-(c) , b = (3(c) , c
et ,
un d bilden
V(x , y, c)
(30)
:=
u(x , y , o (c) , (3(c))
sowie
f (x , y , z , c)
(31)
:=
Z -
v (x , y , c) .
Durch die G leichunge n
f (x ,y, z , c)=O ,
f e(x ,y, z , c) =O
wird die E nveloppe der einpara metrigen F 'lachenschar {Me}eEI mit
M e = (( x , y , z ) E
]R3:
f (x ,y, z, c) = O} = {(x ,y, z)
E]R3 :
z = v(x, y,c)}
gegebe n . W ir best imm en c a us der Gleichung f e(x , y, Z , c) = 0, die sich als
Ve(x, y, c) = 0
(32)
sch reibt, und er ha lte n di e Losung c in der Form c = ['(x , y ). Setze
w (x , y )
(33)
:=
v(x , y, ['(x, y )) .
Die Scha r {Mc}eEI hat als E nvelopp e E eine Fl ache, d ie d ur ch di e Disk riminant engleichung f( x ,y, z , ['(x ,y)) = 0 besch rieb en ist , und wegen (31) ist E das Losungsgebi lde der Gleichung z = w (x , y ) fiir (x , y , z ) E ]R3. Aus (32) folgt insbes ondere
Ve(X, y,['(x, y)) = O .
(34)
Differen zieren von w( x , y ) nach x bzw. y fuhr t wegen (33) und (34) zu
wx(x, y ) =
vx( x, y, ['(x, y )) + ve(x, y, ['(x, y )) . ['x(x, y ) = vx(x, y , ,(x, y ))
wy(x , y)
Vy(x , y , ['(x , y) ) + ve(x, y, ['(x, y )) . ['y (x , y)
(35)
Vy(x , y ,['(x,y)) .
4.4 Enveloppen
333
Wegen (29) ha ben wir fiir belieb ige e
et
F(x , y ,v(x,y,c) , vx(x , y,c) , vy(x , y,c)) = 0 , und (35) liefer t
wx(x, y) = vx(x , y , c) , Wy(x , y) = Vy(x, y , c)
fur c = -y(x, y ) .
Damit erg ibt sich, wie beh auptet , di e G leichung
F(x , y ,w(x, y) , wx(x, y),Wy(x , y)) =
(36)
o.
Zum Schluf behandeln wir Jacobis Methode zur Los ung H a milt o n sche r Systeme
x = Hy(t , x, y)
(37)
,
if = -Hx(t , x, y) .
Die wesentli che Idee von J acobis Methode best eht darin , eine vollstiindige Liisunq S(t , x, a) der H amilt o n-Ja co bisch en partiellen D iffe r e nt ialgle ich ung
S, + H(t , x, S x) = 0
(38)
a ufzufinden und aus dieser durch eine Art Enveloppenbildung eine Losungsschar von (37) zu konstruieren . Der Einfachheit halber set zen wir vor au s, daf die Hamiltonfunktion H(t , x, y) eine C 2 -Funktion auf lR x lR n x lR n ist , wob ei X= (XI , . . . , Xn ) , Y =(YI , · · · ,Yn)
sei. Ferner betrachten wir reellwertige Losungen S(t , x, a) der Gleichung (38) , die neben den "akt iven" Variabl en (t, x ) E lR x lR n noch von n P aramet ern a = (aI, . . . , an ) E B c lR n abha ngen, D efi n it io n 4. Ein e Funktion S(t , x, a) heijJt vollstandige Lo sung der HamiltonJa cobi-Gl eichung (38) , wenn die folgend en Annahmen erfiill: sind:
(i) S
E
C 2( lR x lR n x B) , und es gilt
(39) (ii) Fur j edes a E B is t die Funktion S(t , x ,a) eine Liisunq von (40)
St(t , x ,a)
+ H (t , x, S x(t , x ,a)) =
O.
Satz von Jacobi. S ei S(t , x ,a) eine vollstiindige Losung von (38) und x = X(t, a , b) ein e CI -Losung von (41)
S a(t ,X(t,a,b) ,a)
=
- b.
Setzen wir (42)
Y(t ,a,b) := S x(t ,X(t, a ,b) ,a) ,
so liefern x = X( ·, a, b), Y = Y( ·, a , b) eine Losunq des Hamiltonschen Systems (37), die von den 2n Parametern a = (al , ' " ,an), b = (bl , . . . , bn ) abhiingt.
334
Kapitel4. Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten
Beweis. Wir bemerken zunac hst , daf (39) die Auflosungsb edingung fur das Gleichungssystem Sa(t , x, a) = - b ist , so daf wir anne hme n konnen , daf eine lokale Losung x = X(t , a, b) existier t . Differen zieren wir (40) nach ai , so ent steht
s.; + Setzen wir x
= X(t , a, b) in
n
L
k=l
H Yk(t, x , SX)SXkai =
o.
diese Gleichung ein , so folgt
Sta;(t ,X,a) +
n
L
k=l
Hyk(t,X, Y)SXkai(t ,X,a) =
o.
Differentiation von (41) nach t liefert
Sait(t , X , a)
+
n
L
k=l
Saixk(t ,X, a)Xk =
o.
Subtraktion der vorlet zten von der let zt en Gleichung fuhrt zur Gleichung n
L
k=l
[X k - Hyk(t ,X,Y) ]SXkai(t ,X, a) = 0 ,
und wegen (39) bekommen wir
x = tt.u .»; Y ) .
(43)
Als nachst es differen zieren wir (40) nach
Stx;(t , x , a) + HXi(t , x,Sx(t, x,a)) Dann setzen wir x
= X(t, x, a) und
+
und erhalten
Xi
n
L
k=l
Hyk(t , x , Sx(t , x , a))SXk X;(t, x , a) =
o.
gela ngen wegen (42) und (43) zur Gleichung
- HXi (t , X , Y) = Stxi(t,X,a)
+
n
L
k=l
SXiXk(t ,X, a)Xk .
SchlieBlich differ en zieren wir (42) nach t und bekommen
Yi
= SXit(t ,X,a) +
n
L
k=l
SXiXk(t ,X,a)Xk .
Folglich ist (44)
- Hx (t, X ,Y ) .
o
4.4 Enveloppen
335
Betracht en wir dr ei Beispiele zur Anwendung des J acobischen Satzes.
lID
x + w 2 x = 0, W > 0, n = 1, hat
D er harrno n ische Oszillator
d ie Hamilt onfunkt ion
(45) denn die Hamiltons chen G leichunge n (37) zur Ha miltonfunktion (45) lau t en
x=
iJ
w y,
= - wx ,
was zu den G leichu ngen x = und ii = fuhrt . (Im tibri gen ist die Lagrangefunkti on L(x , v) zu H (x , y) gerade u «,v ) = (1/ 2) . (w- 1 v 2 - wx 2 ). )
w2 x
_ w2 y
Die zugehori ge Ha m ilton-Jacobi-Gleichung fur di e W irkungsfunktion S et , x ) ist (4 6)
St
1
2 + 2 w (x 2 + SX)
+ g(x)
Mit dem Sep ar ationsansatz Se t, x ) = f (t)
geht (46) tiber in
- ~ w [x2 + g' (x) 2] ,
j et ) =
wor aus j et)
= O.
2
== const folgt , also j et)
==
± V 2aw- 1
g' (x ) =
- a ,
-
x2
m it einer Konstant en a. Folglich ist S(t , x ,a) =
( X V2aw- l _~2 d~ - at
.fo
eine Losun g von (46) mi t w- 1
S x a(t , x ,a) =
v 2aw
1 _
x2
=!= O .
Nunme hr betracht en wir di e G leichung S a(t , z , a) = - b, d ie zu -1 w
£x
[2aw -
1 -
. 0
~2 )- 1/ 2 d~ - t =
- b
aq uivalent ist . Mit A := V2aw- 1
,
(3 := - wb - arc cos O
konnen wir sie in - a rc cos (x /A ) = wt + (3 umschr eib en , womit wir die wohlbekannte Los ung x(t ) = A cos(wt + (3) fur den harmonischen Os zillator bekommen. Wir tib erl ass en es dem Leser zu zeigen , daf yet ) = - A sin(wt
A2
Set, x , a ) = -
2
+ (3) , X
a rc sin A
+
1 / -- x V A 2 - x 2 - at 2
gilt .
[ill D ie Brachystochrone. Hier ist n
= 1 und
L(x ,v) = w (x) ~ ,
w (x ) = 1/V 2g( h -x ) .
(Diese Konst ante h entspricht der "H oh e" H in 2.4, lID . Hier ist H in h umbenannt , weil H im folgenden die Hamilton funktion zu L bezeichn en soil.) Die Hamiltonfunktion H( x ,y) ergibt sich als H(x , y) =
-Jw(x )2 -
y2 ,
336
Kapi te14. Gleichun gsdefinierte Mannigfaltigkeit en
und die Hamilton-J acobi-Gleichun g fur S( t ,x) ist
s,
=
Jw
2
Si ·
-
Mit dem Separationsansatz S( t, x) := f (t ) + k (x ) gela ngen wir zu
j(t ) =
JW 2(x ) -
wob ei a eine po sit ive Kon stante bezeichnet . Dann folgt
t f (t ) = 2y'a9
+
I
1
2y'a9
- 2 - - -1 . h - x a
2v0
t 2y'a9
=: - - ,
J
k , (x) = - 1
Wir erhalten som it
S(t, x, a) =
1
k' (x )2 == const
~
/ _ 2_ -
2v0 . V h -
x
a
dx .
Statt S a(t , x , a ) = -b losen wir die rechnerisc h einfachere G leichung - b
Sa(t ,x,a) = - - 4a y'a9 d .h .
1 ;.(_2_ _~)
t_ _
va .
h- x
- 1/ 2
dx
b.
a
Die Substi tu tio n x = h - a(1 - cos
s, die [- 1,1 ] monoton wachse nd auf [SI, s21 a bbildet, geht di e - ('I'
+ b2)
j
-
'U
. Uo
du --) 1 - u2
tiber. Hier au s folgt - ('I' + b2) = arc cos u - arc cos u o .
W ahlen wir noch d ie Int egrati onskon stan te Uo als Uo = 1, so er halten wir
(64) Setzen wir rj
:=
l / s j , r2:= 1/ S2, so folgt
2rjr2 r
=
ri
> r2 und
(r j + r 2) + (r r - r2) cos(
0
,
die ebe nfalls von der Klasse Coo ist , wahrend ihre Abstandsfunktion d(x) Ilxl - nur Lipschitzstet ig und nicht von der Klasse C 1 ist . In beiden Fallen laBt sich dieser Ma ngel aber leicht beheben, wenn man beru cksichtigt , daf H wie auch S zwei Seit en hat und dementsprechend der Abstand zur einen Seit e hin positi v und zur an deren negativ gerechnet wird , kurzum, wenn wir einen "Abstand mit Vor zeichen " , also eine signierte Abstandsfu nktion 0 einftihre n. 1m Beispiel (2) ist dies etwa o(x) := Xn+l , also o(x) = d(x ) fur X n +1 > 0 und o(x ) = -d(x ) fiir X n + 1 < 0, und fur die Sphare (3) konnen wir o(x ) := [z ] - R wahl en , d .h . o(x) = d(x ), wenn x im AuBenraum von S liegt , und o(x) = - d(x ), falls sich x innerhal b von S befindet . In beiden Fallen ist 0 E Coo in jRn+1 bzw. in lR n +1 \ {O}, und es gilt dort die Eikonalg leichung 1\701= 1, die beispielsweise in der geometrischen Op tik eine wicht ige Rolle spielt . Freilich ist die signierte Abst andsfunk tion keineswegs eindeut ig besti mmt , denn fur H hatten wir auch o(x ) := - X n + 1 wahl en konnen , und fur S ware auch o(x ) := R - Ixl in Fr age gekom men. In beiden Fallen hab en wir jeweils die Seit en von H bzw. S vert au scht , nach denen hin o(x) posi tiv bzw. negativ gerechnet werde n solI. Mocht e man nu n diese Uber legung auf eine beliebige (nicht leere ) Hyp erflache
RI
M := { x E n o :
ub ertragen , wobei no eine offene Menge in in no ist , so bedient man sich des durc h (4)
u:
no
-t
S"
C jRn +l ,
f (x) = o} jRn+l
und f E Ck (n o) mit \7f (x ) =I- 0
v(x) := \7f (x) fur x 1\7 f( x) 1
E
no,
definierten Vekt orfeldes v E C k - 1 (no , jRn + 1) . Die Einschrankung N von u auf M , also (5)
ist ein stetiges N ormalenfeld von Einh eitsvektoren auf M . Das entgegengesetzte Vektorfeld - N ist ein anderes solches Feld; weitere gibt es nicht, falls M bogenweise zusamrnenhangend ist. Wir sagen , durch Wahl eines der beiden ste t igen Norm alenfelder M - t S" werde eine Orientierung von M fest gelegt . Wi r nennen M positiv orientiert , wenn die Ori enti erung durch v bestimmt wird , und negativ orientiert bei Wahl von - v . Diese Konvent ion hat keine geometrische Bedeu tung, weil man in der Definition von M die Funktion f durch - f erse tzen kann , ohne M zu andern, wahrend N dab ei in - N und - N in N iibe rgeht . Denken wir uns je tzt M pos itiv orientiert. Die Menge no \ M zerfallt in die disjunkt en offenen Mengen := { x En : f( x) > o} und no := { x En: f( x) < o}. Aus Sat z 2 von 4.1 folgt :
nt
348
Kapitel4. Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten
(i) M eant und M e anD . (ii) Zu jedem ~ E M gibt es ein E > 0, so daf die Punkte ~ + tN(~ ) fur 0 < t < in und fur - E < t < 0 in liegen .
nt
no Fur diesen Sachverhalt sage n wir: nt ist die positive Seite und no
E
die negative Seite von M beziiqlich. der durch N definiert en positiven Orientierung von M, und ferner : N weist nach der posit iven Seit e von Ail und - N na ch der negativen. Ist M spezie ll Teil des Randes eines Gebiet es G C JRn+1, so heiBt N die auBere Normale von aG (auf dem Teil M) und - N die innere Normale , wenn es zu jedem ~ E M ein E (~) > 0 mit folgend er Eigenschaft gibt: Fur - E < t < 0 gilt ~ + t N(O E G , und fur 0 < t < E ist ~ + t N(~) 1:- G. Definition 1. Best eht der R and aG eines beschriinkten Gebietes G des JRn+1 aus en dlich vielen kompakten, bogenweise zusam menhiingenden CI -Mannigfaltigk eit en M I , . . . , M p , so heifJt G positiv (negativ) orientiert, wenn siimtliche Randkomponent en Aih , . .. , M p durch Wahl der iiuBeren (inn eren) Normalen als Einh eitsnormalenfeld N : aG -+ S" positi v orientiert sind. Diese Definition spielt bei der Formulierung der Sat ze von GauB und Gr een (vgl. K apitel 6) eine wichtige Rolle. Zurtick zur Definition der signierten Abstandsfunktion 8 einer Mannigfaltigkeit M , die wir jetz t als komp akt und bogenweise zusammenhiingend vor au ssetzen. Zun ach st bezeichnen wir die Menge
S ,(M) := { x E no : dist (x , M ) :s;
E}
als die (0- Verdickung von M in no . Im folgenden werden wir nicht in no , sondern auf S , (M) op erieren . Daher nenn en wir S:(M) := S ,(M) n die positive Seite von S€(M) und S;(M) := S ,(M) n die negative Seite. Also weist N nach S:(M) und - N nach S; (M) .
no
Nunmehr definieren wir 0 : S , (M)
(6)
o(x ) := {
-+
d(x) - d(x )
nt
JR durch fur
x E S:( M ) U M x E S ;(M) U M
wob ei o(x ) = 0 ist fur x E M , da d(x) auf M verschwind et. Das Haupt ergebnis dieses Abs chnitts ist das folgend e Resultat (vgl. Satz 1 und Sat z 3) :
(i) 1st k > 2 und 0
0 un abhan gig von Po erreichen. Dann laBt sich auch noch (7) einrichten, wenn wir r geeignet verkleinern .
o
350
Kapite14. Gleichungsd efinierte Mannigfaltigkeit en
D
z
Wo
Lemma 2. Sei P ein Punkt auf der z -Achse und Q ein beliebiger Punkt auf M n W o = graph h mit Q =I- O. Dann gilt PO < PQ .
B eweis. In dem neuen Koordinatensystem , das wir in Lemma 1 eingefuhrt haben , gilt: P = (O ,t), It I :s; r ; Q = (y,h(y)) =: [y12+ Itl2- J.lr lyl2 = (1 - W) lyj2+ Itl2.
Wegen (7) und y =I- 0 ergibt sich PQ >
It I =
PO .
?:
lyl2+ Itl2- J.lltl· ly\2
o
Satz 1. Fur jede kompakte n-dim ensionale gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeit M der Klasse C 2 in jRn+ l existie rt ein E > 0 mit folgender Eigenschaft :
351
4.6 Abst andsfunktion und Eikonalgleichun g
(i) Zu jedem x E BE(M) gibt es genau ein en Punkt ~ E M und genau eine Zahl t E IR, so daft ItI = [z - ~I = d(x) ist, und es gilt x = ~ + tN(O
(8) Man nennt
~
den FuBpunkt von x auf M .
(ii) Ist x von der Form (8) m it
~ E
x E BE(M) (iii) Di e
(9)
ItI :::; e .
m it
f- Verdickung
BE(M)
M , so gilt :
und
ItI =
d(x ) =
Ix -
~I
.
BE(M) liiftt sich schreiben als
=
{ x E IR n +1
:
x
= ~ + t N(O ,
~ E M,
ItI :::; f}
.
B eweis . Wir wahlen f := r / 2 mit r aus Lemma 1. (i) Da M kompakt ist , gibt es zu jedem P E BE(M) einen Punkt Po E M der art , daf PPo = dist (P, M) = d(P) :::; fist . Fur P E M ist Po = P , und fur P rf- M ist Po =1= P , und der Vektor PoP steht senkrecht auf der Tang entialebene Epo an M in Po. Also liegt P auf der Geraden 9 = {Po + tv(Po) : t E IR}. Benutzen wir nun das "oskulierende" neue Koordinatensystem von Lemma 1 mit Po als neuem Ursprung, so hat P die Form (0, t) mit ItI :::; f , und aus Lemma 2 ergibt sich ~
P Po < PQ
fur aile
Q E M n W o mit Q
=1=
Po .
v 0
P
Ist aber Q ein Punkt auBerhalb von W o, so gilt nach Wahl von f sicherli ch PQ > f. Somit ist Po der eindeut ig bestimmte nachste Nachbar von P auf M, also der FuBpunkt von x auf M . Hat Po im ursprunglich zugrunde gelegt en Koordinatensystem die Koordinaten ~ und P die Koordinaten x, so gilt daher
x =
~
+ t v(~)
mit
ItI :::; f ,
und wegen Ix - ~I = d(x) folgt It I = d(x). Also laBt sich x in der Form (8) schreiben. (ii) Ist x von der Form (8), so folgt aus Lemm a 1 und 2 wegen ItI :::; f = r /2 sofort, daf ~ der eind eutig bestimmte Fufipunkt von x ist und ItI = d( x) = I x-~ I gilt . (iii) Die Darstellung (9) ergibt sich unmittelbar aus (i) und (ii).
o
352
Kapitel4. Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten
Die durch Sat z 1 definierte Abbildung IT: x auf M x [- E, E]; wir schreiben
1--+
(~,
t) ist eine Bijektion von 8£(M)
IT(x) = (p(x) , £5(x)) .
(10)
Die Zuordnung x 1--+ ~ = p(x) ist die FuBpunktprojektion, und x ist die signierte Abstandsfunktion; es gilt
(11)
d(x)
=
x
18(x)1
fur alle
~ =
p(x), t = 8(x)
E
1--+
t = 8(x)
8£(M) .
Durch
(12)
werd en globale Fermikoordinaten (oder Normalkoordinaten) (~ , t) auf 8£(M ) definiert; diese sind fur vielerlei Zwecke niitzli ch. Wir wollen zuerst zeigen , daf £5 von der Klasse C k - 1 , also mindestens C 1 ist ; eine Ableitung geht, weil £5 mit Hilfe von (8) gewonn en wird , iiberall dort verloren , wo der Norm alenvektor v auftrit t , denn bei der Definition von v wird eine Ableitung von f verbraucht (vgl. (1)) . Uberraschenderweise HiBt sich aber zeigen, daf die Funktion £5 (x) von der Klasse C k auf 8£(M) ist , k 2: 2. Um dieses Programm zu entwickeln, op erieren wir mit den lokalen Fermikoordinaten (y , t) E W o = W X[-E , E]. Zur Vereinfachung der Not ation nehmen wir an, daf die "alte n" kartesischen Koordinat en x mit den in Lemma 1 eingefiihrte n neuen kartesischen Koordinaten (y, z) iibereins t imm en . Eigentlich miiBten wir (y, z ) = Ax + b = B(x) mit einer geeignete n Bewegung B des lR n + 1 schreiben; da ab er B ein C oo-Diffeomorphismus ist, ver andert sich beim Ubergan g von der Transformation (y, t) 1--+ (y , z) zur Tr an sformation (y, t) 1--+ X nicht s an den Differenzierbarkeitseigenschaften der Transformation (y, t) 1--+ (y, z), so daf wir zur Vereinfachung der Notation x = (y, z ) annehmen diirfen . Wir betracht en die Abbildung : (y, t ) 1--+ x, die durch
(13)
x = (y, t) := ~ + tv(~) ,
~ =
cp(y) := (y, h(y))
definiert ist , auf dem Qu ader W£ := {(y , t) E lR n x lR: y EW, ItI :::; E}. Offenb ar ist eine Bijektion der Klasse C k- 1 von WE auf WE * := (WE). W ir set zen
(14)
v(y) := v( cp(y ))
und hab en dann
(15)
x = cp(y) + tv(y) .
Wenn wir fur den Augenblick z , cp(y) und v (y) als Spaltenvektoren auffassen, so konnen wir diese Gleichung in der Form
Y1 Y2
+ +
tVl(y) tV2(y)
Yn h(y)
+ +
tvn(y) tvn+l (Y)
n(y ,t) n+l (y , t)
4 .6 Ab st andsfunk ti on und Eikon algleichung
353
schreibe n. Wi r wollen die J acob imatrix der Ab bildung cI> a uf dem Int ervall 1 = {O} X[-E , E], 0 E JRn, berechnen. Die Rechnungen werd en besond ers einfach , wenn wir die Koordinaten achsen der Vari abl en Yl, . . . , Yn in Richtung der Eigenvektoren der Hessematrix D 2h (0) legen. Die zugehorigen n ree llen Eigenwerte KI, K2 , . · · , Kn von D 2h (0) werden die Hauptkriimmungen von M im Punkte Po = und III haben wir lokal III 0 1> = id , genauer: TJ(1)(y ,t)) = y,
o(1)(y ,t)) = t
fur (y ,t) E W' O".
Insbesondere gilt also t = o(cp(y) + tv(y)) fur (y , t) E W ' o," Differentiation naeh t ergibt 1 = \7o(cp(y) + tv(y)) . v(y) . Wegen x = ~ + tv(~) = cp(y) + tv(cp(y)) = cp(y) + tv(y) und v(p( x) )
v(~)
v(y)
v( cp(y))
ergibt sich 1 wobei ~ I v (~ )1
=
=
\7o(x) . v(p( x))
fur aile x E S,(M) ,
p(x) der FuBpunkt von x ist . Beaehten wir noeh l\7o(x)1 ::; 1 und
= 1, so folgt aus der Sehwar zsehen Ungleichung, daf fur 0 < o(x) < l\7o(x)1 = 1 und
E
\7o(x) = v(TJ(x)) = v (p(x ))
gilt . Analog verfahren wir fur XE S, (M) mit -E < 0(x) < O. Da sowohl \70 als au eh v 0 p auf S,(lvI) st eti g sind, erhalten wir \7o(x)
=
v(p( x))
fur aile x
E
S ,(M) .
Mit v und p ist au eh \70 von der Klasse C k- 1 und folglieh 0 E Ck(S,(M)) .
o
Bemerkung 1. Man be zeiehnet die partielle Differentialgleiehung (28)
l\7u(x)1 = 1
als Eikonalgleichung; sie spielt in der geom etrisehen Optik eine wiehtige Rolle . Aus Satz 3 sehlieBen wir, daf die signierte Abst andsfunktion eine Losung von (28) mit den "Anfangswerte n" u(x) = 0 auf Mist . Weiterhin ergibt sich aus der obigen Diskussion, daf dureh
(29)
M, := { x E S ,(M) : o(x) = t} ,
ItI ::; E ,
eine Einparametersehar von n-dimensionalen Mannigfaltigkeit en der Klasse mit den folgend en Eigensehaften definiert wird:
c:
356
Kapi tel 4. Gleichungsdefinier te Mannigfaltigkeit en
(i) Mo = M ; (ii) dist (M t , M s ) = It - s ], insbesond ere dist (Mt> M ) = [z]; (iii) Die n- param etrige Schar {gd~ E M der zu M or t hogonalen Ger ad en (30)
g~ : = {~ + tN (~ ) :
tElR }
mit
~ E
M
durchsetz t jede der Flachen M, or thogon al. Man nennt die Flachen M; ParallelfHichen zu M, und die durc h (30) definierten Ger aden g~ sind die orthogonalen Trajektorien der Schar {Md ltl::;E" Denken wir un s den lR3 als ein isotropes und ho mogenes optisches Mediu m und M als eine kompakte zweidimensionale F lac he in lR3 , von der ort hogo nal zu M Licht st rahlen g~ , ~ E M , a usgehen. Dann konnen wir d ie Parallelflachen M« als W ell enjUichen und t als di e Zeit deut en , d ie das Licht beno ti gt , urn von einem P unkt ~ E M zum P unkt x = ~ + tlJ( ~) a uf M« zu gelan gen . FUr t > 0 ka nn ma n M t als Enveloppe oder Ei n hiillen de der Ku gelscha r { Kt ( ~)} ~ E M int erpreti eren , und d ies ist nichts a nderes als das beruhrnt e Huygenssche Prinzip (Tmite de la lum i ere, 1690) der geo metrischen Optik ftlr ein homo gen es isot ropes Me d ium , mit dem H uygen s di e Wellenn atu r des Licht es ins Spie l bringen wollt e. Wi e wir he ute wissen , ist di eses E rklarungsmuster zu simpe l, weil das Licht nicht wie de r Scha ll eine longitudinale Schwing ung sei nes Mediums (d .h, eine Schwing ung in Fortpflanz ungs ric ht ung) verur sacht , so nde rn t ra nsver sal zur Fort pflanz ungsricht un g schwingt , und wei! das P ha nomen der "We llenlange" nicht beru cksicht igt wird. Als eine erste Approximation spielt d ie geometrische Op tik a ber immer noc h eine wicht ige Rolle beim Bau op t ischer Instrumente.
Korollar 1. Wenn M eine kompakte gleichungsdefinierte n -dimensionale Mannigfaltigkeit der Klasse C 2 in lRn + 1 ist, so erfullt M eine gleichmiijJige zweiseitige Kugelbedingung, d.h. es gibt ein p > 0, so dajJ fur jeden Pun kt ~ E M
gilt, wobei K p(x+) bzw. K p(x-) die abgeschlossenen Kugeln im lRn +1 mit Radius p und den Mittelpunkten x+ = ~ + pN(~) bzw. X- = ~ - pN(~) bedeuten. B eweis. Die Behauptung folgt mit p := E/2 sofort aus der obigen Diskussion.
v(Po)
Po
o
357
4 .6 Abstandsfunktio n und Eikon algleichung Aufgaben. 1. Man best im me ei ne Losung S : Hyperebene
jRn + l -+ jR
H := {x E
jRn+ l :
del' Eik ona lgleichung I'VS I
a·x
1, d ie a uf d el'
+ b = o}
mit a E S'", b E jR versc hwi ndet . Was si nd die Parallelflachen zu S und d ie zuge ho rige n orthogonalen Trajektorien? 2. Man gebe ei ne Los ung S : jRn + l \ {a} -+ jR von I'VS I = 1 a n, d ie a uf del' Sp hare M := { x E jRn+ l : Ixl = I} verschw indet. Was si nd d ie Parallelfiache n un d d ie ort hogon al en Trajekt orien zu diesen? Wa ru m ka nn man S nicht zu einer Losung auf jRn + l fortsetzen? 3. Sei M E C 2 del' Rand eines beschrankten kon vexen Ge bietes G in jRn . Man zeige , d af sich Ferrnikoordi naten bezug lich M a uf ganz jRn \ G einfuhren lassen , wa hre nd sie in G nur in del' Nahe d es Randes AI ex istiere n . 4. Bezeichne X E C k (I , jR2 ) , k :2: 3, eine reg ulate K urve in d el' E be ne mit n icht ver schwind ender Kriim mung K(t) , d em K r iimmungsr adius p(t ) und del' Normalen N( t) im P unkte X (t ) fiir i e ). Dann heiBt di e durch Y (t ) := X (t ) + p(t )N (t ) defin ierte Kurve Y : I -+ jR2 di e Evalut e von X . Ist X(t) = (x (t ),y(t)) und Y = (~ (t ) ,1) (t )) , so gilt a lso
iJ J ±2 + iJ 2 . ±2 + iJ2
x- p X -
---;o~==
y +p
Y -.-..- -.-.. , x y - yx
Y+x
/ '2
'2
y x +y
. ±2 + iJ2 ±y _ iJ3;
Man zeige: (i) Die Evolute einer Zykloide ist ei ne Zykl oide (Huygens , Horologium ascillata rium, 1673). Die Zykl oid e sei etwa in d el' folgenden For m gewah lt :
x (t )
= R(1r + t + sin t ) ,
y(t )
=-
R (1 + cos t) .
(ii) Die Evolute einer E llipse x(t) = acos t , y(t ) = b sint mi t a > b > 0 gen iigt del' G leich ung ( a~)2 /3 + (b1) )2/3 = (a 2 - b2 )2/ 3, ist a lso eine A straide. (iii) Die E volute einer E pizykloide (Hy pozy kloide) ist eine Epizykloide (Hy pozykloide ) . (iv) Die Evolut e ei ner P a rabel y = x 2 /2 ist di e Neilsc he P arabel 8 (y - 1)3 = 27x 2 . (v ) Die Evolut e del' Ket t enl in ie y = cos h x ist d ie Ku rve ~ (x ) = x - si n h x cosh x, 1)(x) = 2cosh x .
5. Die Evolute eines K reisb ogen s red uziert sic h a uf eine n fest en Punkt. Gil t a uch di e Um kehr ung ? 6. Man zeige : Di e Normalen einer ebene n Kurve X sind d ie Tangenten ih rer Evo lute Y ; let ztere ist a lso di e E nveloppe del' Normalenschar zu X , und zwar ber iih rt di e Normale eines Kurvenpunkt es d ie E volute im zugeord neten K r iim mungsmit t elpunk t . Beweis? 7. E ine loga rithmische Sp irale m it d em Po l Oist in P ola rkoo rd inaten r , ip urn 0 d ur ch d ie G leic hu ng log r = a + brp m it b f. 0 gege be n . Man zeige: (i) Die Evolute einer logar ithmischen Spirale ist eine kongrue nte loga r ithmische Sp irale mit d emselb en Pol. (ii) Es gibt (une nd lich v iele) solc her Spira len , d ie m it ih ren Evoluten zusam me nfa llen . 8. F lir di e Evolute Y ei ner K urve X E C 3 (I , jR2 ) mi t IXI = 1 und K(t) = IX (t)1 > 0 und p = I / K gilt : (i) Y( t) = 0 ¢} t.(t ) = O. (ii) Hat p a n de l' Stelle to ei n striktes Extremum , so besit zt Y d ort eine Sp itze, d .h . fur T( t ) := IY(t ) I- 1Y (t ) gilt lim
t -to-O
T(t ) = -
lim
t- t o +O
T(t) .
(iii) Die Bog enla nge J~? IY(t )ldt ei nes Evol utenbogens ist gleich p(t2) - p(t l ), sofern p(t ) f. 0 ist filr tl ::; t ::; t2. (Warum ist di ese Anna h me n icht iiberfliissig ?)
Kapite14 . Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten
358
(iv) Mech ani sche Interpret ation von (iii). Man denk e sich langs des Evolutenbogens E = {Y (t ) : ts ::; t ::; t 2} zwischen Yj := Y (tj ) und Y2 := Y (t2 ) einen undehnbaren Fad en gespannt , der - bei Yj beginnend - allma hlich vorn Bogen abge hobe n wird, und zwar so, d af der abge loste Teil st raff gespannt , also geradlinig ist und zude m d ie Evolute im Abh eb epunkt Y(t) ber tihrt (d .h . dieselbe Tangente wie Y hat). Der Fade n sei langer als der Evolutenbogen E; sein E nd punkt Z(t ) befind e sich zur Zeit tj im Punkte X (t j ). Dann beschr eib t Z( t) di e ursp r tingliche Kurve X (t) fur t : ::; t ::; t a. Verl angert od er verkurzt man den Fad en , so beschreib t Z(t) Parallelku rv en zu X . All di ese Parallelkurven nennt man Ev olven ten der Ku rve E . Insbesonder e ist also jede Kurve die Evolvente (= Ab gewickelt e) ihr er Evolute , sofern d ie ob igen Vorau sset zungen erfu llt sind . 9. Wi ev iele Sp itzen hat die Evolute ein er geschlossenen Eilinie mi nd est ens?
10. Man zeige, daf Z( t) = (cos t + tsint ,sint - tcost ) di e Evo lvent e des Kreises Y (t) = (cos t., sin t ) ist , wenn wir vom Punkte Y(O) = (R, O) a us den Abwicklungsprozef beginn en , Skizze? 11. Die Ket tenlinie y = cosh x besit zt , wenn wir di e von x = 0 a us gemessene Bogenl ange s = sinhx als P ar amet er einftihre n, die Dar stellung Y (s ) = (Ar sinh s , Vl+S"2) . Man bestimme (vom Punkte (0,1) a usgehend) die Evolvente E und zeige, daf sie sich nichtparametrisch in der Form x = f (y ) := Ar cosh (l jy) - J l - y2 schre ibe n laBt und daf der Abstand PQ des Punktes P := (J(y ), y ) zum Schni t tpunkt der Tang ente an E in P mit der z -Achse gleich Eins ist . Dar um heiBt E Traktrix (Sc hleppkurve).
IZ40
TRAITE' DE LA LUMIERE. CHAP. VI.
l'endroit K en 101, alorsles courbes r, N , propagatton de cetre pattie.
NM
feronr enfemble la
lit ainfi. cette onde repliee avan-
A t - - -'-f-........- - : - t - - - - ! - - - - 1
cera rousjours , juf.. qll 'a ce que la pointe N foit parvenue au foyer E. La ccurbe A l:' E fe voir dans la fumee , ou dans la poufliere qui vole, lorfqu'un miroir concave eft °oppcte au
c Ioleil., & il faur f~a voir qu'elle ll'dt'autre chofe , que celle
qui Ie decrit par le point E de la circonference du cercle E B ,lorfqu'onfait rouler ce cercle fur un autre dont le demidiamerre ell: f: 1>, & le centre D . De forte que c'ell: une maniere de Cycloide , mais de Iaquelleles points Ce peuventtrouver geometriqucmcnt. Konst ruktion der Kau stik nach Huygens (s. 4.4 , Aufgab e 4) .
Kapitel5
Integralrechnung im IR n Kapi tel 5 ist der mehrdimension alen Integr ationstheorie gewidmet, wob ei wir uns hier auf das Riem annsche Integral beschr anken , urn schnell zu interessante n Beispielen und Anwendungen zu gelangen. Uberdies ist das Riem annsche Integral fur viele Zwecke vollig ausreichend . Erst subt ilere Fragen der An alysis erzwingen den Ubergan g zum Leb esgueschen Integral. Die grundlegenden Ideen der Leb esgueschen MaB- und Int egrationstheorie werden in Band 3 dar gest ellt. In Abschnitt 5.1 werd en da s m ehrjach e R iemannsche Integral und insbesondere die Berechnung von Volumina qu adrierbar er Mengen beh andelt , und in 5.2 wird mittels des Transjo rmatumssaizes beschri eb en , wie sich mehrfache IntegraIe bringen , wenn man die Int egr ationsvari abl en tran sformiert. Dieses Ergebnis wird in 5.3 benutzt , urn die Lapl acesche Differentialgleichung auf "krummlinige Koo rdinat en " zu bringen; zuvor werd en die Euler-Laq rosiqeschen Diffe'rentialgleichungen fur mehrfache Integrale hergeleit et . Abschni t t 5.4 ist den uneigentlichen Integralen auf offenen Mengen des jRn gewidmet . Beispiele hierfur sind das Newto nsche Pot enti al , das mehrdimension ale Four ierintegral und das Leb esguem aB offener Mengen .
1
Quadrierbare Mengen, Inhalt und Integral im~n
In diesem Abschni tt wollen wir das Riem annsche In tegr al (1)
auf quadrierbareti Mengen M des jRn definieren und seine wichtigst en Eigenschafte n herleit en . Zun achst gebe n wir eine n Ub erblick uber die Resultate dieses Abschnitts.
S. Hildebrandt, Analysis ©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
Kap it el 5. Integr alrechnung im lR n
360
Wi r begi nnen mit der Definiti on des Int egrales j , I dV a uf a bgesch losse nen Zellen Z des lRn . Hierbei konn en wir uns eng an die AusfUhrungen in 3.7 liber das ein d imens ionale Rie mannintegral I(x) dx an lehnen. Na hezu alle Beweise lassen sich - mutatis mutand is - a uf das
J:
" Zellenintegral" libertragen. Urn nun das Int egral (1) einzufuhren, besch ranken wir uns auf qu ad rierbare Mengen M ; d ies sind besch rankte Mengen, deren Ran d den Inh al t Nu ll hat . Ein e solche Menge M sperren wir in eine abgeschlossene Zelle Zein, und set zen
(2)
g(x) :=
I (x ) 0
{
xE M ,
fUr
x E Z \M .
Ei ne beschr ankte Funkti on I : M -. lR heiBt R iem ann- integrab el , wen n ihre d ur ch (2) definiert e kan on ische E rweiterung 9 : Z -. lR integrabel ist , und wir setzen
!
(3)
. M
IdV:= ; · gdV . . Z
Die Eigenschaften von ./~ I dV gewin nen wir dan n leicht aus denen von J z 9 dV . Wi r zeigen ferner , wie man mit Hilfe des Cava lierischen Prinzips di e Berechn ung me hr facher Integrale a uf di e von ein fache n Integr alen zurlickflihren kann . Dieses P rinzip rechtfert igt , daB wir statt JM I dV a uch d ie Bezeic hn ung ./~f I (x )dx benut zen , wobe i dx statt dV das n -dimensionale Volume neleme nt bezeich net , das wir a uch als dXldx 2 . . . dx -, schrei ben. Die Schrei bweise JM I (X)dx ldx 2 . . . dXn deutet an, daB wir diesen Ausdruck sowohl a ls n -faches Volumeni ntegral wie auch als n -fac h iteriertes Integral deuten konnen , Als einfache SchluBfolgerungen ergeben sich a us dem Cavalierisc hen Prinzi p der Gauftsc he Sa tz in der E bene und d ie K eplersc he Fltichenj orm el.
Beginnen wir mit der Definition des Integrals a uf Zellen. Im folgend en wollen wir unt er einer Zelle Z im lRn stets eine abgeschlossene Zelle des lRn verst ehen , also das kartesische Produkt (4)
Z
=
II X
h x .. . x
von n abgesc hlossenen Intervallen I j = schre iben als
Der Inhal t (5)
!ZI
von
Z war
ra j, b j ]
In
in lR. Dann konnen wir Z auch
definiert als
IZI
n
II
k= 1
n
(bk -
ak)
=
II Ihl
k=l
Nun wollen wir eine Zelle Z in Teilzellen zerlegen. Dazu betrachten wir Zerlegungen Z (l ) von Ii , Z (2) von h, . .. , z (n ) von I n ; sei die Zerlegung Z (j) von I j durch die Zerlegungspunkte Xj ,O, Xj ,l, . . . , X j ,k j gegeben, die a j = X j, O
< Xj,l < Xj ,2 < . .. < Xj ,kj
= bj
5.1 Qu adrierbar e Mengen, Inhalt und Integral im
361
jRn
erfullen, Bezeichn e a = (a I , a2, . an ) einen Multiindex mit 1 :S a 1 :S k 1, 1 :S an :S k« , und sei h a; := { Xj E jR : Xj,a;_l :S Xj :S Xj,a; } das ar t e Teilinte rvall der Zerleg ung z'» von I j • Dann erha lte n wir eine Zerlegung Z der Zelle Z in eina nder nicht tiberlap pend e Teilzellen Z a , die durch Z a := h ,al x I 2,a2 X . . . x In,a n definier t sind . 0
"
0
0
'
,
Sei A := {a = (a 1, ' 0 " a n ): 1 :S aj :S kj , j = 1, . . . , n} die Menge der hierbei a uft retenden k 1k2 . .. k n Multii ndizes, und fer ner sei ~ (Z) := max{ ~Z (1 ), ~Z( 2) , . .. , ~ z ( n) }
gesetz t . Man zeigt leicht , daf
IZI = L IZal.
(6)
aEA
Definition 1. Wir sagen, der soeben beschriebene ProzefJ liefere eine Zerlegung Z = Z(1 ) X Z (2) X . . . x z (n) der Zelle Z in Teilzellen Z a , a E A , von der . Feinheit ~ (Z) . Bezeichne B(M ) bzw. B(M , jRN ) wie iiblich die Klasse der beschr ankten Funktionen f : M ----+ jR bzw, f : M ----+ jRN auf einer Menge M C jRn .
Definition 2. Fur eine Zerlegun g Z von Z in Teilzellen Z a , a E A , un d ein f E B (Z) setze n wir rna := inf l
z;
,
rn a := sup f
z:
.
Dann heifJen
Sz(f)
:=
L
aEA
rna lZa l
un d S-z(f ) :=
L
aEA
rna lZal
Obersumme und Untersumme von f zur Zerlegung Z . W ahlen wir aus j eder Teilzelle Za von Z einen Punkt
Sz(f)
:=
L
aEA
~a ,
so wird
f(~a) IZa l ,
als eine Riemannsche Zwischensumme zur Zerlegung Z bezeichnet; ihr W ert hangt im allgemeinen von der Auswahl der Punkie ~a abo
Definition 3. (i) W ir n ennen eine Zerlegun g Z * = zi 1) x ·· · x z i n ) von Z eine Verfeinerung der Zerlegung Z = Z(1 ) x .. . X z (n) von Z, wenn z Y ) fur je des j E {I , 2, . .. ,n} eine Verfeinerung von Z (j ) ist.
Kapitel 5. Integr alrechnung im JRn
362
(ii) Unt er der gemeinsamen Verfeinerung Z V Z * zweier Zerl equnqer; Z uiul Z * von Z verstehen wir die Zetlequnq
Wie in Band 1, 3.7 ergeben sich die folgenden Resultate.
Lemma 1. 1st Z * eine Verfein ernng von Z , so folgt
Lemma 2. Sind Zl und Z 2 zwei beliebige Zerl equnqeti von Z , so gilt
Dies fuhrt zu
Definition 4. Fur f E B(Z) defin ieren wir das Unterintegral 'l(f) usul das Oberintegral1(f) als
'l(f)
:= sup
1(f)
:=
{S-z(f) : Z ist Zerlegung von Z} ,
inf {Sz(f) : Z ist Zerlegung von Z} .
Wi e in Band 1, 3.7 folgt
Lemma 3. Fur j ede Zerlegung Z von Z gilt
S-z(f) < 'l(f) < 1(f) < Sz(f) . In An alogie zu Definition 4 von Band 1, 3.7 formulieren wir
Definition 5. Eine Funktion f E B(Z) heiflt (Riemann- )integrierbar ( auf Z) , wenn 'l(f) = 1(f) ist, und wir setzen dann
I(f ) := 'l(f)
(7)
=
1(f) .
Wir nennen die Zahl I(f) das Riemannsche Integral von f auf Z und bezeichnen diesen W ert m it den Symbolen
(8)
~f
dV ,
~ f( x)dx
oder
I(f) .
Di e Kla sse der (Riemann-)integrierbaren Funktion en f E B(Z) wird m it R (Z) bezeichn et.
5 .1 Quadrier bare Mengen, Inhalt und Integral im JR.n
363
Bemerkung 1. Das Volumenelement t ragt die Bezeichnung dV oder dx. Letzt ere ist leider vield eu t ig, da wir sie in 2.1 a uch fur das "vektorielle Linieneleme nt" dx = (dX l ' dX2, , dx n ) benu t zt haben . Dah er schre ibt man fur dV oft auch d": » od er dx 1dx 2 dx n . Der Leser beachte, daf dies alles nur Symbole sind, die den Definitionsprozef des In tegrales in Erinneru ng rufen sollen . Wie in Band 1, 3.7 folgt Satz 1. (IntegrabilWitskriterium I) . Eine Funktion f E 13(Z) liegt gena u dann in R( Z ), wenn es zu j edem E > 0 ein e Zerlegung Z von Z gibt mit Sz (f) - ~z(f )
0 ein J > 0 gibt, so daft fur je de Zerlegung Z von Z mit b.(Z ) < J die Ungleichung S z (f) - ~z(f) < E gilt. Dies ist das entscheide nde In tegrab ilit atskri ter ium, mit dessen Hilfe wir in Band 1, 3.7 nahezu aile wich t igen Eigen schaften des eindimens ionalen Riemannschen In tegr ales hergeleitet hab en . Gen au so beweist man vermoge Sat z 2 die entspreche nden Eigenschafte n eines n-dimensiona len Riem an nschen In tegr ales auf einer Zelle , so daf wir die Beweise der folgend en Ergebnisse unterdrucken wollen . Korollar 1. Isi {Zd eine Folge von Zerlegun gen der Zelle Z mit b.(Zk) ~ 0 fur k ~ 00 und f E R (Z) , so gilt fur je de Folge R iemannscher Zwischensummen S z; (f ) von f auf Z die Grenzwertbeziehung
r
Jzf
dV = lim S Zk(f ) . k ---> oo
Satz 3. R (Z ) ist ein lin earer R aum ilbe« JR., un d durcli f f---7 I(f ) unrd ein liti eares Funkt ionalI aufR(Z) defi niert, d.h . f ur t. s E R(Z) und 0'.,(3 E JR. gilt O'. f
+ (3g E R (Z)
und I (O'. f
+ (3g ) =
O'. I(f ) + (3 I( g ) .
Satz 4. A us f , g E R (Z) folgt f · 9 E R (Z ) un d If I E R(Z) . Gilt auft erdem Igl 2': c fur eine Ko nstan te c > 0, so ist auch f to E R( Z) .
364 Satz 5. A us
Kapitel 5. Integralreehnung im JRn
t. 9 E R( Z)
und f < 9 folgt T(f) < T(g). In sbesondere gilt
IT (f ) I :::; T( lf J)
und
IT (f · g )1:::; sup If I· T ( lgl) .
z
Satz 6. Fur beliebige I, 9 E R (Z) folgt
Satz 7. Fur j ede Zelle Z gilt CO(Z) c R(Z). Satz 8. S ei Uk} eine Folge von Funktionen f k E R(Z ) m it fk (X) =l f( x) auf Z fur k
J
J
Dann gilt f E R( Z) un d z f dV = limk ~ oo z
---7
00 .
!k dV.
Definition 6. Ein e Funktion f : JRn ---7 lR heijJt (Riem ann- )integrierbar a uf der Zelle Z c JRn , wenn f Iz E R( Z) ist. Fur diesen Sa chverhalt schreiben wir " f E R( Z ) " und setzen
Wenn f auf Z integrierbar ist, so aueh auf jeder Zelle Z ' mit Z'
c
Z.
Die weit eren Betraehtungen beruhen wesentli eh auf dem folgenden Resultat.
Satz 9. Eine beschriinkte Funktion f : Z ---7 JR ist in tegrie rbar, falls die M eng e S(f ) der Uns te tigkei tspunkte von f den Inhalt Nuli hat. B eweis . Fur f E B(Z) gibt es eine Kon st ante c > 0 mit sUpz If I :::; c. Sei nun f > 0 beliebig vorgegeben. Wegen IS(f)1 = 0 existie rt eine Uberdeckung {Z;h:Sj:S N von S(f) dureh offene Zellen Z; , deren Ab schluf Zj in der (abgesehlossenen) Zelle Z liegt und die N
(9)
L
IZjl < (4C) -lf
j=1
erfullen. Wir definieren die offene Figur F als F := Z i U Z 2 U ... U Z jy. Dann ist f auf der komp akten Menge Z \ F stetig und somit gleichmafiig ste t ig. Also gibt es ein r5 > 0, so daf fur jede Teilmenge Evon Z \F mit diam E < r5 die Ungleiehung ose (f , E) < (2 IZ!)- l f fur die Oszillation von f auf E gilt. Von der Figur F a usgehend konnen wir eine Zerlegung Z = {Z"} " EA von Z in nieht ub erl appende Zellen Z", 0: E A , finden , so daf gilt :
5 .1 Quadrierbare Mengen, Inhalt und Integral im
365
jRn
(i) diam ZQ < 6. (ii) Die Indexmenge A kann in zwei disjunkte Mengen A' und A" zerlegt werden , so daf gilt: ZQ C Z \F , falls
0:
E
A', und ZQ C F , falls
0:
E
A" .
Wegen (9) folgt
L
(10)
IZQI < (4C) -lE .
QEA"
Setzen wir nun m Q := infz"
s..z(f) :=
L
t .m
Q
:= sUPz" fund
mQIZQ I ,
Sz(f) :=
QEA
L
mQ IZQI ,
QEA
so folgt
L em; - mQ) IZQ I :::; (2IZ I)-lE L IZQI + 2c L IZQI < E/2 + E/2 = E
Sz(f) - s..z(f) =
QEA
QEA'
QEA"
wegen (10) und
L
IZQI
0 eine Me nge vom Inhalt Null. Zu vor gegeb en em E > 0 konnen wir also eine Uberdeckung von Z( E) du rch end lich viele Zellen finde n, deren Inhalt ssumme kleiner als E ist . Mit Hilfe die ser Uberdeck ung konnen wir eine Zerlegung Z von Z in Zellen Z"" a E A , kons truieren , d ie in zwei d isjunkt e Klas se n {Z"'}"'EA' und {Z"' }"'E AII, A = A' U A " , zer fallen, so daf
5 .1 Qu adrierbare Mengen , Inhalt und Integr al im
367
jRn
ist . Wegen o t ], Z , x) < E fiir x E Z", mit a E A' konnen wir ohne Besch rankung der Allgemeinh eit annehme n, d af
0
IZ",I
+ 2sup If I
L
IZ",I :s:
E
IZI
+ 2sup If IE •
"' E A "
Z
osc(f,Z",) IZ",1
a:EA "
beliebi g klein gewahlt werden kann , ist
Z
f nach Satz 1 integrierba r .
D
Nunmehr konnen wir das Riem annsche Integral auf qu adrierbar en Mengen 11.1 des jRn definieren . Zun achst wollen wir den Begriff "quadrierbar" erklaren, Definition 7 . Ei ne beschriinki e Menge 11.1 des Jordan-meBbar) , wenn ihre durch
(11)
1 x E 11.1 XM( X) := { 0 f ur x E jRn
definierte charakteristische Funktion XM : 11.1 C in t Z in tegrierbar ist. Wir nenn en (12)
jRn
v (M): =
lz
heijJt quadrierbar (oder
\
11.1
jRn ----+ jR
auf einer Zelle Z mit
XM dV
den (n -dime nsionalen) Inhalt von M (oder auch: das Volumen oder das (ndim ension ale) J ordansche MaB der Menge 11.1 ). Wenn wir andeut en wollen, dajJ v( M ) der n -dimensionale Inhalt ist, schreiben wir vn(M ) statt v (M ). Bemerkung 2. Der Leser kann sich leicht davon ilberzeugen , daf die Definition der Qu adrierb arkeit einer beschrankten Menge 11.1 und ihres Inhalt s v (M ) una bhangig von der gewa hlte n Zelle Z mit 11.1 C int Z ist . Weit erhin sieht man ohne Muhe, daf der Inhalt einer quadrierb ar en Menge 11.1 tran slationsinvarian t ist, d .h. v (M + b) = v (M) fur aIle b E jRn . Proposition 1. Ein e Menge M C IRn ist genau dann eine Nul/me nge, d.h. IM I = 0, wen n M quadrierbar und v (M) = 0 ist .
Beweis. (i) Sei M qu adr ier bar und v(M) = O. Dann gilt nach Koroll ar 1 fur je de Foige von Zwischensu mmen S Zk (X M) m it ~ ( Zk ) -+ 0 fur k -+ 00 , daB lim k_ oo S Zk (XM) = 0 ist . Hier aus gewi nnt m an sofort d ie Aussage IM I = 0 (Beweis: Ubungsa ufga be ). (ii) Ist IM I = 0 und M C int Z , so konnen wir eine Foige {Zd von Zerle gu ngen von Z mit ~ (Zk) -+ 0 gewi nnen, so daB SZk (XM) -+ 0 fur k -+ 00 gilt (Beweis: Ubungsaufgabe ). Wegen 0 :S: ~Zk (XM) :S: 5 Zk (XM) folgt nach Satz 1, daf XM E R (Z ) ist , und daher I (XM) = I (XM ) = O. Somi t ergi bt sich v( M) = XM dV = I (X M ) = o.
Iz
D
Kapitel 5. Integr alr echnung im IR n
368
Proposition 2 . Jede Zelle Z ist quadrierbar, un d es gilt
(13)
v(Z) =
IZI =
/' 1dV
,Z
B eweis. Ub u ngsaufgabe.
D
Bemerkung 3. Die Propositionen 1 und 2 zeigen, daf wir , ohne mit Definition 2 aus 1.11 ins Gehege zu kom men und Verwirrung zu st ifte n, den Inhalt einer quadrierb ar en Menge M c IRn au ch mit IMI statt mit v(M ) bezeichnen durfen, Wi r setzen also
IMI:=
(14)
l
XM dV ,
wob ei Z eine n-dimensionale Zelle mit M C int Z bezeichn et .
Satz 11. (Kriterium I ftir Quadrierbarkeit) Ein e beschriinkte M enge M des IRn ist genau dann quadri erbar, wenn ihr Rand eine Nullmenge ist , d.h. 8MI= 0 gilt . wenn 1 B eweis. Der Rand einer beschr ankten Menge ist komp akt; folglich ist 8M genau 8MI = 0 gilt. dann Nullmenge, wenn 1 8MI = O. Da 8 M gerade die Menge der Unst etigkeit spunkte der charak(i) Sei 1 teristischen Funktion XM : IRn -> IR ist , so folgt aus Satz 9, daf XM a uf einer (und damit auf jeder) Zelle Z mit M C int Z int egrierbar ist . (ii) Sei jet zt umgekehrt vor au sgeset zt , daf XM E R(Z) gilt fur eine Zelle Z mit M e int Z . Wir gebe n eine beliebige Zahl I'. > 0 vor. Wegen XM E R(Z) gibt es eine Zerle gung Z von Z in Teilzellen Z a , a E A , so daf S z (XM) - liz (XM) < 1'./2 ist , und dies bedeutet
L
[ma -
mal , IZ a I < 1'./2,
wobei m a := sup XM, m a := Zm
a EA
W! XM .
Dann gilt erst recht
L
(15)
[m a -
mallZa! < 1'. / 2 ,
a EA"
mit der Indexmenge A o .- {a E A : Z a n 8 M =f. 0}. Wir zerlegen A o in die disjunkten Teilmengen
A'
:=
{O'
E
A o : (int Z a) n 8M =f. 0} , A"
:=
A o\ A'
und beacht en , daf m a = 1, m a = 0 fur a E A' gilt. Wegen (15) folgt (16)
5.1 Quadrierb ar e Mengen , Inh alt und Integr al im JRn
369
Nach Definiti on von A o ist {ZaJ oEAo eine Uberdeckun g von 8M , und fur gilt 8M n Zo = 8 M n 8 Z o c 8 Z o . Somit erh alten wir (17)
8M
c
[u
oEA'
[u
Zo ] U
oEA"
0: E
A"
8Zo] .
Nach 1.11, Proposition 7, hat jede Seit e einer Zelle den Inh alt Null, und wegen 1.11, Proposition 6 folgt
I Also gibt es Zellen
Zi,... , Ziv
=
o.
mit
U 8Zo
(18)
u 8Zo 1
oEA"
c Zi U z.; U . .. U z;
o:EA"
und (19)
IZil + IZ'; I+ . .. + IZN I < € /2 .
Wegen (16)-(19) bilden 8M durch Zellen, die
z.; Z;
L
oEA'
mit
0:
E AI, 1
0; (iii) f (x) := r > 0,0 ::::: x ::::: h ist und charakterisiere M . 8. Ein Kegel od er eine Pyramide in jR3 mit der Grundfliiche B vom Inh al t A und der Hohe h sind quadrierbar und haben d en In ha lt ~ A h . Beweis ? 9. Wenn B di e Kreisscheibe { (x , y ) E jR2 : x 2 + (y - h) 2 ::::: r 2} mit 0 < r < h in der ob er en Halb eb en e ist , so entsteht a ls Drehkorper M bei Rotation von B urn di e x -Achse ein " K reist orus" vom Volumen 2r 2hrr 2 . Beweis? 10. FUr eine qu adrierbare Menge M und f E C O(M ) mit f
> 0 gilt I I f M(11f )dV
::::: .fM f dV.
Kapitel 5. Integralr echnung im IR n
390
11. Man berechne d en Fl a chen inhalt d er Vollellipse n , d er en Rand durch X (t) = (a cos t , bsin t ) pa rametrisiert ist , a 2: b > 0, mittels Kepl ers Forme!.
12. Ist der Jord anbogen r in jRz durch X (t ) = r (t )( cos rp (t) , sin rp(t)), tl S; t S; t z, gege be n , so geht d ie Leibnizsche For me l (58) fur den Sekto r n = OPIPz tib er in Inl = ~ j~t12 rZ (t )ep (t)dt. Man bestimme In l fur
r
:= { (a cos t , bsin t ) : t l S; t S; t z } .
13. Durch di e Hypozykloide X (t ) = (a cos 3t ,a sin 3t ), 0 S; t S; 2rr, wird di e Me ng e n := { (x , y) E jRz : x Z/ 3 + y 2/ 3 S; a 2/ 3} berandet . Man zeige , d aB Inl = 3rra z /8.
14. Mi ttels des GauBsch en Sat zes in der Eben e beweise man d en Cauchysche n Integr alsatz fur holomor ph e Funktionen. 15. Unter geeignet en Vorausset zungen a n n d em GauBschen Satz
c
jRz und das Vekt orfeld u = (a, b) auf
1 n
Best eht a n a us der Sp ur IX (s )1 == 1, so gilt
r
(bx - ay) dx dy =
r
.Jon
adx +bdy .
einer geschlossen en DI-Jordankurve X
r a dx + bdy = .Jr .Jon
L
Ut
[0, L ] -; jR2 m it
ut (s)ds ,
0
wo
n folgt a us
:= (u a X , X ) di e Ta nge nt ia lkom pone nte von u ent la ng
r
bed eutet . Beweis?
16. A us (52) leite man di e For me l j~ b,f dV = .f~n '?,;ds her . Wi e sind di ese Integrale zu interpretieren? 17 . Man zeige : Sind W ein a bge schlossener Wti rfel d er Kantenl an ge h in jRn , U E Cl (W) und u low = 0 , so gilt Jw lu i dV S; h Jw I\i' ul dV und Jw lul z dV S; h Z Jw I\i' ul z dV .
Hinweis: lu (t , y ) - u (a , y )1 = lJ; ux l(x l , y )dxll S; .f: IUx1(x I, y ) ldx I fur a S; t S; b. Welche Ungleichungen gelt en, wenn man W durch eine Kugel B bzw. eine Zelle der kleinsten Ka nt enlan ge h ersetzt?
18. Unter ei ner Figur F im jRn ver st eht man eine Ver einigung end lich vieler Zellen Z I , ..., Z l o
0
des jRn . Man kann zusatz lich a nneh me n , d aB Z j n Z k = 0 fur j i= k gilt . Ferner gelte a uch di e leer e Menge a ls F igur . Man beweise: M ist genau dann qu adri erbar , wen n es zu jed em E:
>0
Figuren F und F ' mit F C M
c
o
F ' und v( F') - v(F )
< E: gibt.
19. Man zeige : M it Ml und Mz si nd a uch M l \ M 2, MI U M 2 und MI es gilt
n M 2 qu adrierba r , und
20. Sei M eine beschrankte Men ge des jRn und bezeichn e :F di e Men ge der Fi guren in
.F}
jRn .
Dann heiBt v (M ) := inf { v( F ) : F E :F und Me iiu 13e re r Inhalt von M und :!!.(M ) := sup { v (F) : F E :F und F C M} innerer Inhalt von M (v( 0) := 0) . Man zeige: Mist genau d a nn qu adrierbar , wenn v( M) = 'Il.(M) ist; in di esem Fall gilt v( M) = v( M) = :!!.( M ). 21. Fur qu adrierba re Me nge n MI , . .. , M ; gilt V(MI U · · · U M r ) S; v (M r)
+ ...+ v (M r ) .
22. Man beweise, d af MI x M2 eine qu adrierbare Men ge von jRn + m ist , falls MI und M 2 quadrierbar e Menge n von jRn bzw. jRm si nd , und d af IMI x M z l = IM II· IM 21 gilt. Hinweis : a (MI x M2 ) = (a M I x M 2) U (M 1 X aM2) und Aufgabe 18. 23. Sind M ' , Mil quadrier bare Men gen des jRn und gilt f E R(M' U M il ), so folgt
f
I. Beweis?
M'
f dV -
r
J MII
f dv i S;
f
. l'vl
Ifl dV mi t M := (M' U M il ) \ (M ' n Mil) .
5 .2 Der Tr an sformationssatz
2
391
Der Transformationssatz
Dieser Abschn it t ist der Ubertragung der Subst itu tionsform el
l
b
f( x )dx =
J:
f (cp(u)) cp/(u)d u
fur einfache Int egral e aus Abschnit t 3.9 von Band 1 auf mehrfache Integrale gewidmet, dem Jacobischen Transform ationssatz. In Spezialfallen (n = 2 und 3) war er bereit s Eul er (1759) und Lagrange (1773) bekannt. J acob i hat dieses gru ndlegende Ergebnis 1833 in Band 12 von Crelles Journal ver offent licht (s. Werke III, S. 193-274). Mittels des Tr an sformationssat zes und des Cavalierischen Prinzips kann man int eressant e mehrfache Integral e explizit berechnen , beispielsweise das Volumen einer Kug el. Im folgenden sei ein C I-Diffeomorphismu s cp : 0 des jRn au f ihr offenes Bild 0 * := cp(O) gegeben.
----+ jRn
einer offenen Menge 0
Lemma 1. (i) Ist M C C 0 und M * := cp(M ), so gilt 8M* = cp(8 M) .
(ii) Ist M quadrierbar und M cc 0 , so ist auch M * quadrierbar. Beweis. (i) Zunachst macht man sich klar , daf cp(8 M ) c 8cp(M) = 8M* gilt, und entsprechend cp-l (8 M *) C 8 M. Dah er folgt 8M* = cp(8 M ). (ii) Da 1 8MI = 0 ist , gibt es zu jedem E > 0 eine Uberd eckung von 8M durch Zellen Z I , . .. , Zl mit IZl l + ...+ IZl l < E. Wir durfen annehmen, daf die Kan t enl an gen einer jeden Zelle ZI , . .. , Zl rational sind. Dann konnen wir die Zj in kongruente Wiirfel zerlege n und erha lte n eine Uberdeckung von 8M durch endlich viele kongruente abgeschlossene Wurfel WI , . .. , Wk mit IWI I+ + IW k I < Eo Wir du rfen annehme n, daf fur 0 < E 0 un abhangigen komp ak ten Teilmenge K von o liegt . Auf Kist sp Lips chitzst et ig mit einer Lipschitzkon st anten L ; also pafit das Bild cp(W j ) jedes Wiirfels W j in einen Wurfel W] , dessen Kan tenl an ge das L vn-fache der Kan tenl ange von Wj ist. Hierau s folgt k
k
8M* c
U W]
und
IWj*1< nn / 2L n . E
j =1
j =I
wegen (i). Damit ergibt sich qu ad rierbar ist.
L
18M*1 =
0; also ist M * qu adrierbar , wenn M
o
J etzt konnen wir das Haupt ergebnis formu lieren, den Jacobischen
Transformationssatz. Sei cp : 0 ----+ jRn ein CI-Diffeomorphismu s einer offenen Menge 0 des jRn auf 0 * = cp(O). Ferner sei M eine quadrierbare Menge des
392 jRn
f
E
Kapi tel 5. Integralrechnung im
jRn
mit M cc D und dem Bild M * = cp(M ). Dann gilt fUr jede Funktion CO(M *) die Transformationsformel
r
(1)
rf
f dV =
JM'
JM
0
IJ 0, und somit gilt AT A > O. (ii) N un behaupten wir , daB es eine Matrix S E M(n , IR ) mit S = ST > 0 gibt , so daB S2 = AT . A ist. Dazu schr eib en wir AT A in der Form mit geeigneten Matrizen Y EO(n ) und A = diag (AI, . . . , An), 0 ren
< Al ::; . . . ::; An. Wir definie-
Vi\.:= di ag ( JA 1, .. . , J An ) ; dann folgt
Vi\. Vi\. =
A und
Vi\. =
Vi\.T
>0.
Nunmehr setzen wir S: =yTVi\.y ; es ergibt sich wegen Y y
T =
S2
I , daB
= S S = v" Vi\. Y v" Vi\. Y = v" Vi\. Vi\. Y = v" A v
= AT A
ist , und man pruft ohne Miihe nach , daB S = S T > 0 gilt . Damit ist gezeigt , daB wir aus AT . A di e Wurzel S = VAT . A mit S = ST > 0 ziehen konnen , falls A E GL(n , IR) ist.
397
5 .2 Der Tr an sform at ionssatz (iii) Nu nmehr definieren wir U E M(n , IR) durch U: = AS- I. Wege n S2 = A T A > 0 folgt S-2 = S-1 S- 1 = (S2) - 1 = A - I (A T)- 1 ,
und dah er ergi bt sic h wegen (S - I) T = S- I , daB U TU =S-I A T AS- l = S - I S2 S- 1 = 1
ist . Also hab en wir U E D (n ) und A = US m it S = ST
>0
bew iesen .
o
Beweis des Transformationssatzes. Der Beweis verl auft in vier Schritten . Die erste n drei dienen zum Beweis der Ungleichung f
0 mit
Kapitel 5. Integr alrechnung im
398
jRn
fur A = (ai k ) E M (n , IR). Es gilt [Az] ; :::; IAI_ · Ix l_ fur aile x E IRn. Aus dem Mittelwertsat z der Differentialrechnung er ha lt en wir dann fiir jede s x E Wj die Absch atzung
und wegen Ix -
~j l _
:::; l f q fur x E Wj folgt
:::; [1 + 0q] l/q
I Xj ( x )- Xj(~j )l _
fur XE Wj , l :::; j :::;N .
Somit Iiegt Xj(Wj ) in eine m Wtirfel Wj mit dem Mit t elp unkt Xj (~j ) und der Kantenl ange (1 + Oq ) ' (21 /q ), und wir bekommen fur den Inh alt von Xj(Wj) die Ab sch atzung
IXj( Wj )1:::; IWjl = (1 + Oq )n ' (21 /q) n . Wegen IWjl = (21/ q)n erg ibt sich (22) SchlieBlich hab en wir noch I'I = 1 folgt (g 0 1/J ) · IJ>I' I = fund
rp
IJ/J(y)
In Verbindung mit Koroll ar 1 gelangen wir schlie£lich zur Formel (49).
o
Aufgaben.
1. Sei ip : JRn - t JRn gege be n durch r.p(x) = Ux + b mit U E O (n) , b E JRn. Man beweise 1r.p(M ) I = IMI fur je de quadrier ba re Menge des JRn. Der Inh alt ist also bewegungs- und spiege lungsinvaTian t defi nie rt . 2. Der F lac hen in halt einer Vollellipse
{ (x , y)
EJR2 :
::
+ ~: < I}
m it a
~ b>0
ist na b. Ma n be weise d iese For me l "ohne Rech nung " mit Hilfe des Transfor mat ionsatzes un t er Verwendu ng der Tatsache , d af die Einheits kre isscheibe d en F 'lacheninhalt 1[" ha t . 3. Was ist das Volume n des E llipsoi ds
x2 E := { (x ,y,Z)E JR 3 : a 2
+
y2 b2
z2
+ c2
~ 1
}
,
a ~b ~ c >O 7
4. Man berechn e v(E) fiir das n- di me nsionale E llipsoi d E := { x E JRn : L J=I "- j x J
o
1 und N > 1) die Klasse der Null-L agr an geschen erheb lich umfan greicher ist als fur n = 1 (vgl. auch 2.4 , Definition 5, Sat z 2 und Formel (29) ). Betrachten wir zwei Beispiele. ~ Die Eu ler-Lagrangesc he Different ialgleichung des Dirichletintegrals (n ~ 1, N = 1)
(23)
D (u ) =
~
2
r
.In
l\7ul2
dx
ist di e Laplacegleichung (24)
b.u = O .
[ID Die Eu ler-Lag rangesche Differentialgleichung des A1'eafunktionals (n (25)
ist di e Gleichung (26)
0,
~ 1, N = 1)
5 .3 P ar am et er abha ngige Integr ale. Eulersche Differentialgleichung
415
d ie sich fiir eine Fun kt ion u(x , y) von zwei Var iablen x, y in die Form (27)
(1 + u~)uxx - 2u xu yu xy
+ (1 + u~)Uyy
= 0
bringen laBt . Diese G leichung wurde zuerst von Lagrange (1760/62) hergeleitet . Da A (u), wie wir im nachst en Absc hni tt sehen werd en, den F'lach en inh alt der F 'lache graph u = {(x, u (x )) : X E O} a ngi bt , nennt man (26) bzw . (27) die Minirnalflachengfei chung. Aile Kapillarphiinomene lassen sich durch die G leichung (26) bzw. d ur ch die allgemeinere G leichung (28)
d iv J l
V'u
+ lV'u l2
=
n.Hi -, u)
beschreib en , wobei H (x , u (x )) d ie mitt lere K riim m ung der F lache S an de r Stelle (x ,u(x)) bezeichn et . Die Fu nktion H (x , z ) best im mt sich a us der Gestalt der Kap illarkrafte, die im bet rachteten p hysikalischen System wir ken .
@] Die Einsteinschen Feldgleichungen im Vakuum sind die E uler-Lag rangeschen Differe ntialgleichu ngen des Fun ktionals
r
(29)
.1 M
R dvol ,
wobei R die Ska larkrlimmung der bet rach teten Mannigfaltigkeit bezeich net . Eigent lich mliBten d ie E ulerg leichungen des Fu nktionals (29) von vierter Ordnung sein, doch wegen der spezie llen Gestalt von R redu zieren sie sich a uf G leichungen zweiter Ordnung, wie Einst ein und Hilbe rt bem erk t hab en (vgl. hierzu B.A. Dubrovin , A.T . Fome nko, S.P . Nov ikov, M odern Geometry M eth ods and Applicati ons , B d, 1, Springer, New York 1984, S. 374) .
Fur das nachst e Resultat set zen wir vor au s, daf Fund Fp von der Klasse C 1 sind.
Satz 4. S ei u E C 1 (0', JE.N) ein lokaler Minim ierer des durch (5) defini ert en Funktionals F bei f est en R andwert en auf 8n , d.h. es gelte F(u) :::; F (v) fur aile v E C 1(O', JE. N ) m it (30)
v(x )
u (x )
fur aile x E 8n ,
die die Ungleichung (31)
Iv-
u lo,IT
sUPITlv - u l
0 erjiillen, Dann folgt
ins besondere also fur aile cp E cgo(n, JE.N ). Ist u zudem von der Kla sse C 2(n, JE.N ) so ist u eine F -Ext rem ale, d.h. es gilt (14) bzw. (15) . Der B eweis dieses Sat zes folgt ga nz genau so wie der von Satz 3 in 2.4 , so daf wir ihn unterdrucken konnen. En tsprechend gilt folgende Variante von Satz 4:
Kapitel 5. Integr alrechnung im lR n
416
F(u)
0, so ist F E C n. Sc hritt 1 . Sei F I := WI und £ 1 := ~ dist (F 1 , a n) . Dann ist F 1 cc n und £1 > O. S chri tt 2 . Mit F 2 := F~l U W 2 gilt
und S chritt 3 . Mit F 3 :=
F~ 2
£2
U W 3 gilt
So fahren wir fort und erhalte n eine Folge {Fj } von Figuren mit F j Cc int F j+l und r, cc n. Sei x ein beliebiger Punkt aus n und 6 := ~ d; (x, an ). Dann ist 6 > 0, und weil Din n dicht liegt , gibt es einen Punkt x p E D mit Ix - x p !* < 6. F ur beliebiges y Ean erha lten wir
yl* 2:
Ix p -
Ix -
yl* -
[z - xp l* > 36 - 6
=
26
und somit r» 2: 6. Folglich gilt x E Wp , und dies liefert n = WI U W 2 U W3 U .. . und damit erst recht n = F 1 U F 2 U F 3 U . . . . Dah er ist Fj / n eine regul ar e Ausschopfung von n durch Figuren .
o
Figuren F sind qu adrierbar. Wegen Prop osition 1 und der nachfolgend en Bemerku ng 2 erweist sich die folgend e Definition als sinnvoll. Definition 2 . S ei n eine affen e M enge des lRn , j E C O(n ), und jur j ede regulare AusschOpfung M, / n van n durch quadri erbare M engen M, sei die Falge der Zahl en I M j(x)dx kanvergen t. Dann se tzen wir J
(4)
r j (x)dx
In
:=
lim ) --->00
r
Ju,
j (x )dx
5.4 U neigentliche Integrale im IR n . N ewtonsches Potential
423
und n ennen die durcli (4) erkuirie Zahlio f( x)dx das uneigentliche I n t e gr al von f tiber n. Fu r diesen Sa chv erhalt sagen wir au ch, das uneigentliche Integral 10 f( x)dx existi ere oder sei ko nve r ge nt .
B e m e rku n g 2. Die Definition (4) des unei gentlichen Integrales ist unabhiingig von der regularen Ausschopfung M, / n . Raben wir namlich zwei regu lare Auss chopfungen Mj / n und Mr / n , so konnen wir zwei Teilfolgen {ML} und {Mt} auswa hlen, so daf
fur alle v E N gilt. Urn dies einzusehen, brauchen wir nur zu beacht en , daf die o
0
Mengen Mj , Mr kompakt und {Mj}j 2 N , {M kh 2N fur jedes N E N offene Uberdeckungen von n sind . Bilden wir nun die Folge {Mj
}
durch "Mis chen" dieser beiden Teilfolgen,
' ' Milk 1' l"1' Milk2 " M j1 V. J2 ' so ist M, /
.. ,
n eine regu lare Ausschopfung von n ; also existi ert limj--->oo
und st immt sowohl mit limj --->oo ub erein ; folglich gilt a uch lim )--->00
}
r.
M'
f(x)d x
J
=
1M2;
1M
J
f( x)dx
f( x)dx als a uch mit limj --->oo I M 2;+1 f( x)dx
r
lim f( x)dx ) --->00 } M J.
=
lim k --->oo
}
r
M"
f( x)dx ,
k
womit wir gezeigt hab en , daf 10 f( x)dx wohldefiniert ist . B eme rkung 3 . Ist n qu adrierbar und f : n ~ IR st etig und beschrankt , so stimmt das in 5.1 definierte Riemannsche Integral 10 f( x)dx mit dem uneigentlichen Integral (4) ub ereln . In der Tat: Zu beliebigem f > 0 kann man eine Figur F en finden, so daf In \ FI < f ist . Bezeichnet M j / n eine regu late Ausschopfung von n durch qu adrierbar e M j , so gilt F c M, fur j » 1 und daher In \Mjl < e, woraus
i :» 1 folgt .
110 fdx -
1M;
fd x l :::; IO \M; If ldx :::; f · SUpO If I fur
Der neue Integralbegriff kann also in einem gewissen Sinne als Ausdehnung des alten aufgefaBt werd en . D efin it ion 3 . Das uneigentliche Integral 10 f(x)dx eine r Funktion f E cO(n) auf eine r offenen M enge n des IR n heifJt absolut konvergent , wenn das Integral 10 If (x )ldx konvergiert. Propos ition 2. Das un eigentlich e Integral 10 f( x)dx konvergiert, falls es absolu t konvergiert.
Kapitel 5. Int egr alr echnung im jRn
424
Beweis. Sei M , /' 0 eine regul ate Ausschopfung von 0 durch qu adrierbare Men gen. Wenn In Ij (x )ldx konver gier t , so ist die Zahlenfolge {fM Ij (x )ldx } eine Cauchyfolge. Zu vor gegeb en em E > 0 exist iert also ein N E N, so daf )
f Mk \ M; Ij (x )ldx
fur alle
I
r
JM
i . kEN
E
mit N < j < k gilt. Hierau s folgt
j( x)d x -
k
Lt. Ij (x )ldx - L[j Ij (x )ldx
jR eine nichtnegative stet ige Funktion auf der offenen Men ge 0 des jRn . Wenn j(x)d x nicht konvergier t , d .h . wenn es kein e Konst ante c > 0 gibt, so daf (5) fur alle qu adrierbaren M cc 0 gilt , sagen wir , das Integr al j (x )dx sei eigentlich divergent , und setzen
In
In
in
j (x)d x
:=
00 .
5 .4 Uneigent liche Integrale im ]Rn . Newt onsches Potenti al
425
In diesem Fall folgt fur jede regulare Ausschopfung M j / D von D durch qu adrier bar e Mengen M j Cc D, daf 1M f( x )dx --> 00 fur j --> 00 . J
In sbesondere konnen wir das Vor an gehend e a uf die stetige Fun kt ion f( x ) auf D anwenden. Dies fuhrt uns zur
== 1
Definition 4. Das Lebesguesche MaE m( D) einer offenen Menge D aus]Rn 1 dx , also ist das Int egral
In
(6)
m(D) :=
in
o::; m(D ) ::; 00
Idx ,
.
Bemerkung 5 . Aus Proposition 1 folgt ohne Miih e, daB man das Lebesguesche MaB m(D) einer offenen Menge D in aquivalenter Weise auch als
(7)
m (D) := sup{
IFI: F
E F , F eD}
definieren kann. Wegen Bemerkung 3 gilt fur qu adrierbar e offene Mengen D, daf m(D)
= v (D)
ist . d .h. auf qu adri erbar en offenen Mengen st immt das Leb esguesche Ma B mit dem Jord an schen Inhalt iiberein. Wir werd en spater sehen, daf es bereit s in ]R beschr ankte offene Mengen gibt, die nicht quadrierb ar sind . In ]Rn, n ::::: 2, gibt es sogar nichtquadrierb ar e Gebiete. Nun wollen wir noch einige Eigenschaft en konvergenter uneigent licher Integr ale herleit en .
In
Proposition 4 . Sei f E CO(D), f ::::: 0, und f( x)dx konvergiere. Dann gilt fur jede offene Menge D' mit D' e D die Ungleichung
r f(x) dx::; Inr f (x) dx .
In'
In'
In
Beweis. Das Integral f( x )dx ist absolut konvergent; somit ist auch f( x )dx absolut konvergent fur jedes D' C D. Sei E > 0 beliebig gewa hlt . Dah er gibt es eine Figur F eD' der art , daB
r f( x)dx
In'
::;
gilt . Wegen F eD und f ::::: 0 folgt
1,
r f( x )dx +
JF
f (x )dx
0.
+ 0 ergibt sich die Behauptung.
o
Proposition 5 . Konvergieren die Integrale tionen i. 9 E CO(f1) und gilt f ::::: g, so jolgt
l
f(x)dx :::::
l
In
f(x)dx und
In g(x)dx der Funk-
g(x)dx .
Beweis. Diese Ungleichung folgt sofort aus Definit ion 2 und 5.1, (31).
o
Proposi tion 6. Sind j , 9 : f1 ~ lR stetige Funktion en, deren Integrale iiber f1 konvergieren, so konvergiert auch [a f (x ) + ,8g(x) ]dx jur beliebige a ,,8 E lR, und es gilt
In
l
[a f (x ) + ,8g(x )]dx
= a
l
j (x )dx
+,8
l
g(x)dx
Beweis . Die Beh auptung folgt aus Definition 2 und 5.1 , (27).
o
Propo sition 7. Ist f1 j / f1 eine AusschOpj1Jng der offenen Menge f1 durch offene Mengen f1 j , so gilt m(f1 j ) ~ m(f1) , insbesondere also m(f1 j ) ~ 00, falls m(f1) = 00. Diese Aussage ist ein Spez ialfall von
Proposition 8. Ist f1j / f1 eine AusschOpjung von f1 durch offene Mengen f1j und gilt j ~ 0 jUr j E CO(f1) , so jolgt
r f( x)dx
in
~
j
Beweis. (i) Ist
In
l
j(x)dx
jo gilt . Wegen Proposition 4 folgt
r j(x)dx ::::: i;r f( x)dx
iF
:::::
r f( x)dx
in
fur j > jo
5 .4 Uneigentliche In tegrale im und somit
Ii
also 10 j (x )dx J
---7
Newtonsches Potenti al
jRn .
ij
j(x )dx -
j(X )dXI
~
427
fiir j > j o ,
E
In j (x )dx.
(ii) Ist 10 j(x)dx = 00, so gibt es zu jedem k EN eine Fi gur F en mit j (x )dx > k , un d wir hab en wie ob en F c nj fur j » 1, also
IF
k
fur
j (x )dx
1.
J
00 .
j (x )dx
s } m it e gilt (vgl. 5.2, [1]) :
>0
und Xo E IRn , a E IR und S1R := S1 n B R( XO )
(8)
Die recht e Seite strebt gege n Unendlich mit R -> 00 , falls a ::; n ist , und konver giert gege n ",w::n cn -"" falls a > n gilt . Also is t ./'n Ix - xo [-"' dx absolut kon vergent [ilr a > n und eigen tlich divergen t [iir a ::; n . ~ Betracht et man eine Ku gel S1 := B R(X O) st att ihr es Auf3enraums, so erg ibt sich a us (8):
Das uneigentli che Int egral div ergent f ilr a :2: n.
J'n [x
- x o[-'" ist absolut kon vergent [iir a
(x ) :=
rn
l·
.n
f (Y)V'xly - x l2- n dy = (n - 2)
l·
.n
f( y)I y- - x-In dy y -x
abs olut konver gent e In t egr ale , und man kann zeigen , daf sowoh l U a ls a uch <j> a uf 0 stetig von x a b hange n. Weit er erg ibt sich, d a f U a uf 0 d iffer en zierbar ist und V'x U (x) = <j>(x ) gilt, d .h . man d arf in (10) di e Differentiati on V' x mit dem Integral zeichen vertausc hen . In sb esondere ist a lso U in 0 von d er Kl as se C 1 . Da gegen ist U nicht, wie man vermuten konnt e, von der Kl as se C 2 , wenn wir blof f E C O vorausset zen. Dagegen ist d ies richtig, wen n wir f E C I a n ne hme n . Nicht sd est owen iger d arf man a ber in (10) nic ht D~ mi t d em Int egr al zeich en ver t auschen , urn D~ U (x) zu gew in nen. W are di es namlich richt ig, so folgt e wegen D. x1'2- n = 0 fur 1':= Iy- x l # 0 di e Gleichu ng D. U (x ) = 0 fiir x E 0 . Die G leichung D.U( x ) = 0 gilt a ber nur im Au Benra um Poissongleichung
im In nenraum d ie
(n 2: 3) ,
D.U(x ) = - (n - 2)w n f(x ) ,
(12)
jRn \o, wahre nd
erfullt ist . Aller d ings konnen wir di es hier noch nicht beweisen, weil der Be weis d en GauBschen Satz benoti gt . Statt de ssen werd en wir im nachst en Beispiel zeige n, daf d as Newtonsc he P ot enti al ein er homogen m it d er Dicht e f (x) == 1 belegt en Ku gel B d er G leichung
ilU (x ) = - 47r in B gentlgt. Zu vor sei bem erkt , d af GauB (1840) den erst en st re nge n Beweis filr (12) unt er der Vorausset zu ng f E C I angegeben hat. O . Hold er zeigte 1882 in sei ne r Dissert ation , d af ma n nur eine Bedi ng u ng d er Form
(13)
If (x' ) - f( x) 1 :s: H lx ' - x l" fur x ,x' E 0
(Holderbe dingung)
m it Kon st a nt en H > 0 und Q E (0,1) zu verl angen b raucht , urn U E C 2 und (12) zeigen zu konnen, Diese gru nd lege nde En t deckung fiihrte zur mode rnen T heorie der elliptische n parti ellen Differen ti al gleichu ngen .
lID
Das Newtonsche Potential einer homogen belegten Kugel. Sei f( x) == 1 d ie homo gen e Be leg ungs dic hte der Ku gel B := BR(XO) in jR3 und U (x) := l y~x l ihr New t onsc hes P ot ential. Wi r setzen l' := Ix -xol,p := IY- Yol, d efini eren IJ durch (x - x o)· (y - Yo) = 1'p cos lJ und betrac hten Ku gelkoordinat en p, IJ,
..)(c2 + >..) , wobei v die eindeutig bestimmte Wurzel von 2 2 2 _ x_1_ + _ x _2_+ _ x _3_ - 1 = 0 2 2 2 a + v b + v c + v ist . Auf IT hat Un( X1 , X2, X3) dies elb e Gestalt , nur daB jetzt v = 0 zu nehmen ist, also Un( X1 , X2, X3) = obex 1'0 Beweis?
00 ....
432
Kapi t el 5. Integralrechn ung im
jRn
Hinweis. 1. Dir ichlet (Werke, Bd. I, S. 383-4 10) benut zt den dis kont inuierlichen Fakto r oo 8(s) = ~ I o cos(st ) Si ~ t dt und d ie Gammafunktion. 2. Einen elementare n Beweis der Dir ichletschen For meln er halt man durch Zer legung von n in konzent rische, ahnlic he Ellipsoidsc ha len. Frei lich mull hier mit F lac henintegralen (vgl. 6.2 ) op eriert werde n . Zusatz( Nikliborc). Wenn das Potent ia l Un(Xj , X 2 , X3) in n ein q uadratisches Polyn om der Var ia blen z i , X2, X3 ist , so ist n ein Ellipsoid .
PHILOSOPHIlE NAT1IRALIS
PRINCIPIA MATHE MA 1." ICA· Autore J s. N E TVTo N, Trill. ColI. Cantab. Soc. Marhefeos Profelfore Lllcafrallo, & Societatis Regalis Sodali,
s,
I MP RI MA TllR· PEP Y S,
Reg. Soc. P R JE S E S.
'JIIlii ) . 1686.
- - - - - - - - - - - - - - --_ . .L ON DIN I, J utTll Socie/lt/if Regi.£ ae T ypis ] ofepl;i Streater. Proflant :'en~ les apud Sall1. SlI1itlJad inlignia Principis TValli.c in Crcmirerio D. [',m/i, aliolq; nonn ullos Bibliopolas, AIl/IO MDCLXXX VIL
Kapitel6
F'lachenintegrale und Integralsatze In 6.1 und 6.2 werden die Begriffe Inh alt und Integral von qu adrierbar en Men gen des jRn auf F lachenst ttcke bzw . Mannigfalt igkeiten iibertragen. Die Abschnitte 6.3 und 6.4 sind dem P rozef der partiellen Integration in Gest alt der Integralsat ze von GauB, Gr een und Stokes gewidmet .
1
Placheninhalt
In diesem Abschnitt solI der Flacheninh alt einer k-dim ensionalen Fltiche im jRn definiert werd en . Das Beispiel des Schwarzschen St iefels wird zeigen, daf sich der bei Kurven benutzt e Prozef der Langend efinition nicht ohne weit eres auf Fl achen iibertragen laBt . Dah er wahlen wir zunac hst die Moglichkeit , den Fl acheninhalt eines Flachenstucks X E C 1 (B, jRn ) mit B C jRk durch die Formel
A (X ) :=
l
J g(u ) du
, g:= det(DX T . DX) ,
zu definieren. Dies ist aber blof eine lokale Definition; in 6.2 wird mit Hilfe geeigneter Zerlegungen der Ei ns gezeigt , wie hier au s eine globale Definition des F lacheninha lts von kompakten , gleichungsdefinierte n Mannigfaltigkeit en M E C 1 gewonnen werden kann. Dab ei werden wir uns auf Hyp erfla chen , d .h. auf Mannigfaltigkeit en der Kodim ension Ein s beschr anken . Dan eb en skizziere n wir noch eine zweite Moglichkeit zur Definition des Fl acheninhalts , die zur vorangehenden aquivalent ist . Sie best eht darin, eine Hyp erflache M durch den in 4.6 beschri eb enen Prozef zu einer quadrierbaren Menge S€(M ) des jRn zu verdicken
S. Hildebrandt, Analysis ©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
434
Kapitel 6. Fl achenintegr ale und Integr alsatze
und dann A(M) durch . 1 IS, (M )I ,---> +0 2E
A(M) := lim -
zu definieren (vgl. auch 5.2, [4]) . Dies wird in Definition 5 und Proposit ion 6 gena uer ausge fUhrt . E ine b efried igende allgemeine T heo rie des F lac heninha lts wird erst du rch das k-d imension ale Hous dorffsche Map 'Hk (M ) von Men gen M a us jRn im R a hm en der allgemeine n MaB- un d ln t egr ationstheor ie geliefert. Als Lite ra t ur wird hierz u genan nt : 1. H. Federer, Geometric m easure theory, Spri nge r, Berlin 1969. 2. F. Morgan , Geome tric m easure theory. A beginner 's guide, Academic Press, Boston 1988 (2. Au flage 1995). 3. M . Giaq uinta, G. Modi ca , J . Souce k, Cartesi an currents in the calculus of variations, Springe r, vol. I & II , Berl in 1998.
In 2.1 hat ten wir die Bogenlange einer Kurve als das Supremum der Lan gen a ller in die Kurve einbesc hriebe nen PolygonzUge definiert. Daher liegt es nahe, bei F lachen in gleicher Weise vor zugehen und den Fl acheninhalt einer Fl ache S im dreidimension alen Raum als das Supremum der Fl ach eninhalte aller in S einbesc hriebe nen Po lyederflachen II zu definieren , die aus ebe nen Dr eiecken a ufgebaut sind . Aus der elementargeomet rischen Formel ftir den Inhalt eines Dr eiecks gewinnen wir den F lacheninha lt A(II) einer P olyederflache als die Summe der Inhalte ihr er Dr eiecksfacet t en , und der Fl acheninhalt (area) A( S) war e dann gege be n als (1)
A (S) := sup {A(II) : II --< S} ,
wob ei das Zeichen --< bedeute, daf II in S einbesc hriebe n ist . H.A. Schwarz (1881 /82) und, un abhan gig von ihm, O . Hold er (1882) und G . P eano (1890) haben ent deckt, daf diese Definition unbrauchbar ist . Beispielsweise ergabe sich so fur den Flacheninhalt A (Z) eines Kr eiszylinders vom Radius r und der Hohe h der 'Wert Unendlich, obwohl man den Wert 2n r h erwarte t, weil sich Z a uf ein ebe nes Rechteck mit den Seit enlan gen 2nr und h abro llen laBt, was man ja sogleich mit einer Malerrolle od er einem Nudelholz fest st ellen kann. Betrachte n wir d ieses von Schwa rz besch rieb ene Beispiel, den Schwarzschen Stiefel (eigentlich handelt es sich urn einen Stiefelschaft). Der Zylinder Z , zu dem nur der gekrti mmte Teil und nicht der Bo de n und der Deckel gerec hnet wird , se i du rch k - 1 ebe ne Schnitte senkrec ht zur Zylinde rachse in k kon gruent e Zyl ind er Z j , 1 :s: j :s: k, vom R ad ius r und de r Ho he h lk zerschnitten. Bezeichne Co, Cl , ... , Ck d ie k + 1 Kreise, welche paa rweise d ie Zylinder Z l , . .. , Z k ber anden . Sie seien so nu meri er t , daB C j - 1 und C j die R andkreise von Zj sind ; Co ber ande den Bod en und C k den Deckel von Z . W ir besch reib en in Co, Cl, . . . , Ck reg ulare Po lygone Po , P I , . . . , Pk m it n Eckpunkten ein , un d zwar so, daB d ie Orthogon al proj ek t ion en zweier ben achb a rt er Polygon e P j und P j +l a uf eine Ebene E sen krecht zur Zylinde rachse jeweils urn den W inkel 7r In gege neinander verd reht sind . Demn ach hab en P j und P j + 2 gleiche Proje kti one n .
6 .1 Fl acheninhalt
435
L
1r/n r
L/2
Nun ver binde n wir di e Ecken von Pj mit den nach stl iegend en Ecken von Pj - l und P j + 1 . Auf di ese Weise ents te ht eine Polyederfiache II mit Dreiecksfac etten, d ie in Z einbeschr ieben ist, und zwa r besteht II au s N := 2n k kongru enten Dreiecksfacet ten. Die Gr undlinie einer solchen Dr eiecksfacette fl. hab e die La nge Lund die Hohe von fl. sei If . Wegen sin( 1r/n) = (L/2 )/r gilt L = 2r sin (1r / n) , und die Hohe berechn et sich nach Pythagor as zu H = V /-!2 + (h /k)2 , wob ei /-! = r - A un d A = r cos (1r/n ) ist . Wegen 1 - cosrp = 2 sin 2(rp/ 2) foIgt If =
14r 2 sin4
V
2 (!!-) +h 2n k 2
und dah er
~LIf
4r 2 sin" ( -1r) 2n
2
A (II ) = N . 1fl. 1
m it
Sn
:=
s in( ,/ , /n) a- n
--t
1 fur n
2nk r sin ( ;)
--t
Une nd lich streben , so folgt A (II ) andere Wer t e, beis pielsweise A (II )
--t --t
00 .
J
+ 2hk
2
4r sin" ( 2:)
2
'
+ ~~
Lassen wir n und k un abhan gig voneinander gegen
21rrh genau dann , wenn k /n 2 00 , falls k = n 3 gewahlt wir d .
--t
0; so nst erhalt m an
Schwar z' Beispi el zeigt also, daf wir die Formel (1) nicht zur Definition des Fl acheninhalts benutzen konnen . Dagegen laBt sich die Formel
(2)
.c(X) =
l IX(t)1dt
zur Berechnung der Bogenl an ge .c(X) einer glatte n Kurve X : I ----+ IRn leicht ver allgemeinern. Zu diesem Zwecke schreib en wir den Ausdruck (2) zunachst etwas urn . Wir interpretieren den Geschwindigkeitsvektor X(t) als eine Spalte;
436
Kapi tel 6. Fl achen integr ale und In tegralsatze
dann ist X(tf eine Zeile, und wir bekomm en fur das Skal arprodukt von X(t ) mit sich selbst ( X (t ), X (t)) = X (t )T . X(t) , also
IX (t )1 = Schreib en wir DX fiir (3)
X, so geht
L:(X ) =
JX (t)T . X(t) .
(2) iiber in die Formel
1J
DX(t)T . DX (t) dt .
Will man diesen Ausdruck von Kurven X : I ---> IRn auf Fl achen ver allgem einern, muf zunachst festgelegt wer den, was unter einer "FHich e" od er einem "F lac hens t iick" im IR n zu verstehen ist . Definition 1. S ei B ein quadrierbares Gebiet in IRk, 1 ::; k ::; n - 1, und bezeichn e X : B ---> IRn eine Abbildung der Kla ss e C 1 • Dann nenn en wir X eine k-dimensionale F'lache im IRn m it der Spur :F := X (B) .
Die Abbildung X heifJt reguHire oder immergierte F'ldche, wenn sie eine Imm ersion ist, d.h. wenn rang D X (u ) = k fur alle u E B gilt. Isi X inje ktiv, also eine Einbettung, so heifJt X eingebettete FHiche . Die Me nge B wird Parameterbereich von X genannt. Ist X in der Form X : U f-+ X (u) geschrieben , so bezeichnet man u = (U1 , .. . , Uk) E B als die Parameter der Fl iiche X .
X
III11
B
' - - - - - - - - - - - U1
Bemerkung 1. Fl achen sind somit als Abbildungen und nicht als Punktmengen definiert, so wie Kurven als Abbildungen und nicht als Punktmen gen erklart sind . Im P rinzip ist also sorgfalt ig zwischen einer Fl ache X und ihrer Spur :F = X(B) zu unterscheid en , obwohl wir un s gestat te n wollen, auch :F eine Pl ache zu nennen , wenn es auf den Unte rsc hied nicht ankommt ; insb esondere bei einge be t teten Fl achen ist dies allgemeiner Sprachge brauch. Will man den geome t ris chen Asp ekt betonen , so nen nt man dann haufig :F eine Fl ache und X die Parameterdarstellung von F ; auch die Bezeichnung parametrisierte F'lache ist fur X iibli ch.
437
6.1 Fl acheninhalt
Die Begriffe k-dimensiona le Mannigjaltigkeit und k-d imension ale Fliiche im JRn sind nah e verwand t. W ie wir in 4.1 gesehen hat ten, laBt sich jede gleichungsdefiniert e k-d imension ale Mannigfalt igkeit M lokal als Gr aph von C1-Abbildungen schre iben, d.h. fur eine hinreichend kleine Umgebung U eines beliebigen Punktes Xo E JRn gilt M n U = F , wob ei F die Spur einer C 1-Abbildung X : B -+ JRn mit X (u) = (u , B sei durch u = cp(a ), a = (a l ,' " , a k ) E B *, U= (Ul, ... , Uk ) E B gegebe n. Wir benutzen die Bezeichnungen X u bzw. Yo: fur die J acobimatrizen DX bzw . DY von X bzw. Y. Aus Y = X (cp ) ergibt sich nach der Kettenregel
also
r
CPo:T . G( cp) . CPo:
441
6 .1 F lacheninhalt und
"( = det I' = det [rpc> T. G(rp)· rpc> ] Wegen J
folgt hieraus (16) .
o
Proposition 1. Ist X : B --. IRn eine k -dimensionale Fliiche in IR n, so gilt f ur jede P aram et ertransf ormation sp : B* --. B die Gleichun g
A (X)
(17)
=
A (X
0
rp) .
B eweis. Seien 9 und "( die Gramschen Det erminanten von X und Y Nach dem Tr ansformationssat z gilt
A(X)
=
l
Jg(u) du
(B' J "((a) da
(16) } f
l.
=
X
0
.p,
Jg (rp (a )) IJ
'bj+ J.L b'J, . .. , bk )' Wegen (i) folgt d ann , d af (51) fur beliebige n x k-Matrizen B richtig ist . D
B emerkung 6 . Wi e man sich leicht iiberzeugt, ist I det A j 1...j k I das k-d imensionale Volumen der orthogonalen Projektion des der Matrix A = (a1 , ' " ,ak) durch (46) zugeordneten Parallelotops ITA auf den von e j} , .. . ,ej k aufgespannten Unterraums von JRn . Bemerkun g 7. Betrachten wir jetzt den Spez ialfall k = n - 1 . Sei A = (al, . . . , an- I ) eine n x (n - I) -Matrix mit den linear unabhangigen Spaltenvektoren aI , . . . , a n - 1 und ITA das von a I, . .. , a n - 1 erzeugte Parallelotop. Weiterhin bezeichne A j die Determinante derj enigen (n - 1) x (n - I )-Mat rix , die
Kapitel 6. F lachenintegrale und Integralsatze
450
aus A durch Streichen der j-ten Zeile entsteht. Dann gilt fur die Gr amsche Determinante 9 von A nach (51) die Beziehung
9 = Ai
(54)
+ A~ + .. , + A;
,
und ITA hat den F lacheninhalt (55)
Bezeichne
1/
=
(1/1 , . .. ,I/n ) E
(56)
IRn den Einheit svektor mit den Komponenten
I/j
=
. 1
(-l)J -
1 ,;g Aj
,
d .h . (57)
I/j
=
(-l)j-lA j JAi
+ ... + A~
Nach dem Det erminantenentwicklungssatz gilt fur 1 ::; I ::; n - 1:
und dies ist gleichb edeutend mit (58)
(az, //) = 0 fur
1= 1,2 , . . . , n - 1 ,
somit 1/ .L Span {al , . .. , an-I} . Der Einheit svektor 1/ steht also senkrecht a uf dem Parallelotop ITA, dessen Inhalt wir der Kurze wegen mit IITA I stat t mit A(ITA) bezeichnen wollen. Dann gilt
(59) und (56) liefert (60)
d .h. (61)
wenn Vi = cos OJ = ( 1/, ej) die Richtungskosinus des Normalenvektors 1/ a uf ITA bezeichnen. Also ist, wie wir schon in Bemerkung 6 festgestellt hatten , IAj I das Volumen der Orthogonalprojektion von ITA auf eine Hyp erebene senkrecht zur xj -Achse.
451
6.1 Fl acheninhalt
v
ITA I I I I
Fur k
= 2 und
n
= 3 erhalten
wir (vgl. auch ITJ ):
k = n - 1, B c JRn-l un d X : B ----+ JRn eine (n - 1)-dimension ale Fl ache, eine H yperfiii che in JRn. (Es soll uns nicht storen, daf wir oft auch Mannigfalt igkeiten der Kod imension Ei ns als Hyperflachen beze ichnen.) Bezeichne A l ,A2 , .. . , An die (n - 1)-Minoren von DX , d. h. die (n - 1) x (n - 1)Unte rdet er mina nte n der J acobimat rix DX = (X U l ' X U 2 , • •• , X U n _ l ) ' Nach Bemerkung 7 gilt fur die Gr am sche Det erminante g von DX die Bezie hung
~ Sei
(62) wenn DX den maximalen Rang n - l bes itz t . Falls der Ran g von DX kleiner als n - 1 ist , sind beide Seit en von (62) gleich Null, so daf diese Relation in jede m Falle gilt. W ir haben also
(63)
A (X)
=
l
JAi + ... + A;
du .
Weiterhin folgt aus (56) , daf du rch (64)
vJ
1 = (-I F'- 1 -y'g AJ
ein Normalenvektorfeld zur Fl ache X gegeben wird , wenn wir diese als regul ar (d .h . als Immersion) vor au sset zen , und zwar ist v(u) Norm alenvektor zur Fl ache im Punkt e X(u) ; es gilt (65)
rID
Iv(u) 1 = 1
und
(v(u) , X U j (u) ) = 0,
1 :::; r
-: n -
1.
Nun ver allgemeinern wir [2J und betrachten eine nichtparametrische Hyperflache X (x ) = (x ,f(x )), x = (Xl, . . . ,x n ) E B e JR n , im JRn+! . Hier ist
Kap itel 6. Flachenintegr ale und Integr alsat ze
452
X Xj (x ) = (ej , f xj (x) ) , wobei
ej
de n j -ten kan onischen Basisvektor des
jRn
be-
zeichnet. Offen bar ist 1
.- VI + l\7f (x )12
(66)
(- \7f(x) , I)
ein Ei nh eit svekt or , de r auf den n Tan gentialvektor en X X!(x), . .. , X Xn (x) an die regul are eingebettete Flache senkrec ht ste ht. Nach den Ausflihrungen in llil muf (bis auf das Vorzeichen) N(x ) mit dem Nor ma lenvekt or
V(x ) = (Vl(X), . .. , Vn+l (x )) ,
. 1
1
Vj(x) = (-1)3- Vg(x ) Aj (x)
tibere instimmen , wob ei Aj(x) der j -te Min or von DX (x ) und g(x ) die Gr am sche Determinan t e von DX (x ) ist , also v(x) = ± N (x ) und insb eson dere Vn+ l (X) = ±Nn+1(x ). Dies liefert wegen A n+1(x) == 1 die Relati on
±
1
VI + 1\7 f (x )12
wor au s
V(x)
(67) und (68)
Vg(x) = VI + 1\7 f(x)12
folgt . Der Flacheninhalt der nichtpar am etrischen Hyperflache x X( x ), x E B , ist also durch (69)
A(f) =
l
f--t
(z, f (x ))
=
VI + 1\7 f (x )12 dx
gegebe n. Dies ist das A reafunktional von i . dessen Euler-Lagrangesche Differenti algleichung wir in 5.3, lm au fgeste llt hab en . Bislan g hab en wir den Flacheninh alt A (F) von eingebe t te te n Fl achenstucken F in jRn definier t , die eine regulare C 1-Parametrisieru ng X : B --> jRn besitzen. Solch e Flach enst tlcke konnen rauml ich sehr weit ausgede hnt sein , und man sollte sie sich nicht immer als kleine St ucke vor stellen. Nicht sdest oweniger ist es vielfach erforderlich, au ch komplizierter gebaute "F lachen" F zu betrachten , die keine homomorphen Bild er ebener P ar amet er bereiche B sind, beispielsweise Sph ar en oder Ringflachen (Tori). Zwar kan n man sie a ufschneide n und so in "topologisch einfache" Objekte verw andeln , aber dies wirkt gektinste lt und wird bei komplizierter Struktur recht untibersichtli ch. In man chen F allen ist das Verfahren freilich sehr wirkungsvoll. Beispielsweise kann man 5 2 langs eines Meridia ns von Nord zum Sudpol aufschlitzen und er ha lt die Dar st ellung
X (B ,cp)
=
(sin s cos c.sin e sin o, cos B)
6.1 Fl acheninhalt
453
in Pol arkoordinaten (8,
IR zerlegt in di e Summe [: + ... + f r mi t f j := 1]j f , wob ei fj a uBerhalb von Fj ver schwindet . Die lokal en Integrale f j dA las sen sich eindeutig d efinier en , und d an ach wird
IF
(72)
r f dA := '/ '
.IF
Fl
!I dA
+ ... + / . .
F
f rdA
r
gesetzt. Wir werd en zeige n , daf d iese Defin it ion weder von der Uberdeckung {Fj } j=l ,...,r der F'lac he F durch di e Schup pe n F j noch von d er Wahl d er zuge horigen Zerl egung d er E ins (71) a b hangt . Auf di ese Weise lernen wir a uch d as technische Hi!fsmi ttel " Zerl egung der E ins " kennen , d as sic h bei viele n P ro bleme n a ls nilt zlich erweist , wo man globale Au fgaben a uf lokal e re d uz ieren moc hte. Bei d er Redukt ion (72) ist es a llerd ings erforderlich , d af wir d as F lac he ni ntegral .f'.r fd A d efinieren und n icht blof mit A (F ) op erier en , denn selbst fur f = 1 entstehe n ja a uf der recht en Seit e von (72) di e Int egrale .f'.r 1]j d A . Erst di e a llgeme inere j Defin ition erlaubt u ns, m it t els Zerleg ung d er E ins d en Flachen in halt global zu erk laren .
Nun wollen wir noch, wie eingangs angede utet, den Fliichen inhalt durch Verdickung erklare n und skizziere n, warum dies zu einer aquivalente n Definition fuhr t. Zu diesem Zweck bet racht en wir eine kompakt e, gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeit M der Klasse C 2 und von der Kod imension 1. Sei N ein ste t iges Einheitsnormalenfeld auf M , das die Mannigfaltigkeit orientier t. Nach 4.6 gibt es ein EO > 0, so daf sich jedes x mit dist( x , M) < EO in eindeutig bestimmter Weise als x = ~ + tN(~) schreiben laBt , wobei ~ den FuBpunkt von x auf M und t = o(x) den signierte n Abst and des Punktes x von M bezeichne. W ir beacht en noch , daf N = v iM mit v E C 1 auf { x E M: dist (x, M) < E} ist .
Kapitel 6. F lachenintegrale und Integralsat ze
454
D efinition 5. Ist M' eine beschriinkte TeiLmenge von M und bezeichnen wir die Menge
(73)
SE(1,I1')
als
von M ' .
E- Verdickung
: ~ E M ',
:= {~+ tN(~)
a < e :::; fa, so
ItI :::; f}
M' heiflt quadrierb are F'la che, wenn SEeM') fur 0 < f « 1 eine quadrierbare Menge des JRn ist und limE.--.o dE ISE (M') I existiert. Wir nennen . .A(M') := lim -1
(74)
E'--'O 2f
1
S,(M' )
dx
den F Hich eninhalt von M' . Aus dem Cavalierischen Prinzip folgt, daf ebene Stucke M ' von M (also Stucke , die in einer Hyperebene H des JRn liegen) genau dann qu adrierbar sind , wenn sie quadrierbare Mengen von H ~ JRn-l (im Sinne von 5.1, Definition 7) sind, und daf .A(M ' ) = Vn-l (M') fur ebene quadrierbare Stucke gilt. Nun wollen wir zeigen , daf dieser Wert von .A(M') mit dem durch Definit ion 2 erklarten Wert iibe reinstimmt, sofern M' ein eingebettetes regulares F lachenstuck F von Mist.
Proposit ion 6 . Sei M' in M die Spur F = X(B) einer C 2 -Immersion X : B -+ JRn mit B C JRn- l . Dann ist M' eine quadrierbare Fliich e, und ihr durch (74) definierter Fliichetiuihalt stimmt mit dem in Definition 2 erkLiirten Wert .A(F) iibereui.
Beweis. Sei I E := [- f, f], und bezeichne ZE den Vollzylinder B x IE? 0 < f < fa. Dann wird durch (u ,t) := X(u) + tN(X(u)) ein Diffeomorphismus von ZE auf SE(M') definiert , den n N = v iM und u E C 1 auf SE(M). Da 8B Nullmenge in JR n- 1 ist , sind 8ZE und (8ZE) = 8SE(M') Nullmengen in JR n , und der Transformationssatz liefert
1
S, ( M ' )
dx
1
=
Z,
v "((u, t) dudt
mit "( (u , t ) := detr(u,t) und r (u , t ) := D(u,t)T . D(u,t) . Wir setzen aufierdem
G(u, t)
:=
u(u, tf . u(x, t), g(u , t)
:=
detG(u , t) .
Die Vektoren Uj (u, t) sind t angential zur Parallelflache M; von M im Punkte x := (u , t) und somit orthogonal zu t(u , t) = N(X (u)) . Also gilt (Uj' t ) = a und somit
r(u ,t) = ( Hieraus folgt 1 2f fs ,(M,)dX=;f
G(u ,t)
l,
a
0) 1
,also "( (u , t ) = g(u ,t) .
V "((u,t)dudt =;f l EE
(l
Vg(u ,t)dU )dt .
6 .2 Fl achen int egrale Mit
E
-+
455
+ 0 st re bt die rechte Seit e, wie be ha uptet, gegen
o Aufgab en. 1. 1st X : B -> ]R3 mit B C ]R2 eine regul are, eingebettete Fl ache in ]R3 mit der Sp ur F = X eS ), N = Xu II X v und Wo = (uo , vol E B , so ist E = {x E ]R : (x - Xo , No) = O} di e Ta nge ntialebene von F im Punkt e X o := X (w o), wobe i No := N(wo) . Beweis?
2. Sei D (X ) := ~ I s ( IX u !2 + IX v l2 )dudv das Diri chletint egral einer F lache X E C 1 ( B , ]R3 ) , Be ]R2 , mit de m Pl ach en inh alt A (X ) = IXullXv ldu dv . Man beweise: (i) A (X ) S D (X ); (ii) A (X ) = D (X ) gilt gena u dann , wenn IX u l2 = IX v l2 und Xu . X v = O. (In di esem Fa ll nen nt man u , v konforme Paramete r fur X .)
Is
3. Man berechn e A (X ) fiir d ie F lache X (u , v) := (1'cos u , (b + l' sin u) cos v , (b + r sin u) sin v ), (u, v ) E B := [0, 2rr] x [0, 2rr]. Welches geometrische Objekt ist F := X(B)? Ma n filh re Fer mi koo rdi naten a uf F ein und best imme A (F) d ur ch F'lachenverdi ckung. 4. Man be rec hne den F lacheninhalt A (X ) der F lache X : B
->
X (u , v ) := {u cos v , u sin v ,hv} , h
und B = { (u , v) E ]R2 : 0 SuS 1', 0 X parametrisiert?
2
S
V
]R3
mit
>0,
S Q}. Welches geometrische Objekt wird d ur ch
Flachenintegrale
Nachdem die Begriffe Fliiche und Fliicheninhait fest gelegt sind, konnen wir den Begriff des " Flacheni ntegm ls" einfuhre n, der das K urvenintegral ver allgemeinert. Hierfu r gibt es zwei Moglichkeit en. Wenn wir vom Fl acheninh alt , also let ztli ch von der Metrik des ~n ausgehen, gelangen wir zur "met rischen" Definition des Flachen int egrales. And erers eit s Hi£t sich das Flachenintegral , grob gesprochen, als Integr al iiber "mult ilinearformenwert ige Felder " definieren , wobei sich eine wirkli ch befriedigend e Darstellung erst mit dem K olkiil der Differentialfo rmen ergibt, den wir in Ban d 3 beh andeln werd en . Auf orientierbar en Fl achen gehen beid e Definitionen bei geeigneter In terpret ation ineinander uber . Im folgenden bezeichn e n stets eine offene Menge in ~n. Wir sage n, eine Flach e X : B -+ ~n liege in n (od er : sei eine Fliiche in n ), wenn ihr e Spur X(B) in n liegt.
Definition 1. S ei f E CO(n ). Dann ist fur jede Fliiche X : B -+ ~n in n m it der Gmmschen D et erminante das FIachenintegral x fdA defin iert als (1)
L
fdA :=
l
J
f(X( u )) Jg(u) du.
Kapi tel 6. Flachenintegrale und Integralsatze
456
W enn X eine im me rgierte, eingebette te Flache mit der Spur F = X(B) ist, so schreiben wir
(2)
L
fdA :=
1
fd A
L
oder
fdH k :=
1
fdA.
Wir bemerken , daf diese Integrale bereit s wohld efiniert sind, wenn wir blof f E CO (F ) voraussetzen. Analog zu Proposition 1 in 6.1 ergibt sich die Parameterinvarianz des Fl ach enint egr ales: Proposition 1. S ei f E CO(n) . Dann gilt fu r jede Fldche X : B un d fu r je de P aram etertransformation ip : B* ---* B die Form el
r fdA
(3)
i:
=
r
---* lR,n
in n
fdA .
i.:
Dieses Er gebnis in Verbindung mit Proposition 2 von 6.1 rechtferti gt die Definit ion (2); es er laubt uns, f dA unabhan gig von der P ar am eterd ar st ellung von F zu definier en .
IF
IF
Bemerkung 1. Ents prechend zu 6.1, Definition ?? konnen wir fdA auch durch Fl achenverdickung definieren: Is t M ' ein quadrierbarer Teil einer gleichu ngsdefinierten kompakten C 2-Ma nnigfalt igkeit der K odimension Eins und f E CO(SEa(M ')) und 0 < Eo « 1, so setze n wir
1
(4)
M'
. 11
f dA:= lim E---> + O 2E
S ,(M')
f dV.
Dann ergibt sich in der gleichen Weise wie in Propo sit ion 4 von 6.1:
=
X (B) einer C 2 -Im mersion X : B ---* lR,n m it B c lR,n-l und f E CO in einer offen en Um gebun g von M' , so stim m t der durch (2) fdA m it dem Integral M' fdA aus (4) iibereui. defin iert e W ert Ist M' in M die Spu r F
IF
I
Nun wollen wir das parametrische FHichenintegral (w, X ) eines Kovektorfeldes w :
n ---* lR,m, m := (~), auf einer offenen Menge n des lR,n definieren , wo-
bei X : B
---* lR,n
k-dimension ale Fl achenstucke in
n bezeichnen . Wir bemerken
zunachst, daf man aus der Indexmenge {I, . . . ,n} gena u m
=
(~) ver schiedene
k- Tupel I = (iI , i2 , ... ,ik ) auswa hlen kann, die du rch i 1 < i2 < .. . < ik geor dnet sind. Sei w : n ---* lR,m ein stetiges Kovektorfeld auf n mit den Komponenten
457
6 .2 Flachenintegr ale
WI = Wil ...ik. Wir bezeichn en die kanonische Basis des lR m (a us Grunden, die erst sparer ers icht lich wer de n) mit (5)
und konnen dann
(6)
L
W(X)
il 0 fiir a ile x E IR n . Set zen w ir n 'I)", := t;",/t; , so ist {'I) "'} "' EN ei ne Zerl egu ng der Eins a uf IR . (b) Ei ne Zerl egung d er E ins a uf IR n ist a ueh eine Zerl egung der E ins auf M e IR n , M '1 0. Also gibt es aue h auf j eder nicht leeren Tei lmenge M des IRn eine Ze rlegu ng der Eins {'I)"'} "'EI . Ist M kompakt , konnen wir 1 a ls end liehe Indexm en ge wah len .
(e) W ied erh olen wir d as in (a) benutzt e A uswah lverfahre n fur eine offene Ube rdec ku ng U = { B (x ) : x E M} einer gleiehungs definierten Mann igfa ltigkeit M mi t dem At las 0 der K uge ln B(x ) E U so klein gewah lt sind , d af es zu jed em x E Meinen Ind ex a E 1o gi bt , so d a f M n B(x) C F ", gilt . Au s 0 und n c jR3 mi t d er iiuf3ere n Normalcn N auf an d ru cke man - Jo( a, N )dA durch eine Formel a us, d ie In l ent halt . Diese Formel gibt den A uftrieb ei nes hom ogen mit Masse d er Di cht e p b elegt en Korpers n a n (Arch imedes) . 3 . Mit Hil fe d es Gauf3schen Mittelwertsatzes b eweise man: Wen n di e Fu nktion u in eine m Gebiet n des jRn harmon isch ist un d d or t ihr Maximum a n nim mt , so ist sie konst ant. Hinweis : Man verbinde eine n Maxim ierer XQ m it einem b elieb igen Punkt x E n d ur ch eine stet ige in n ge lege ne Kurve 'Y .
490
Kapitel 6. Flachenintegr ale und Integralsatze
4. Sei n ein be schranktes Ge biet in ]R3 , dessen Ran d an eine bogenweise zusa m me nha nge nde C 2 -M annigfa lt igkeit Mist , die m it der a uBeren Nor malen N : M -+ S2 or ient iert ist . Weit er b ezeichne M; die " nach a uBen" im Abstand t > 0 abgetragene Parallelflache. Dann gibt es von n , aber nicht von t ab hangend e Za hlen Cj(n) , j = 0, . . . ,3, so daB sich das Volu men des von M; ber andeten Korpers nt filr 0 < t « 1 als 3
L
In ti =
Cj(n )t
j
j=l
schre iben laBt , wobei co(n) = v(n) und Cl(M ) = A (M ) ist . Ma n berechn e die Cj(n) fur Ku gel und Tor us.
4
Satz von Stokes
Nun wollen wir den Stokesschen Int egralsatz im JR3 formulieren , der zusa mmen mit dem GauBschen Integralsat z in der Elektrodynamik und in der Stromungsmechanik eine fund ament ale Rolle spielt . AnschlieBend definieren wir den Begriff des Vektorpotentials im JR3 und zeigen, daf quellenfreie Vektorfelder auf einfach zusamrnenha ngenden Gebieten Vekto rpotentiale besit zen . Ausgan gspunkt fur den Beweis des Stokesschen Sat zes ist der GauBsche Integra lsatz in der Eb ene (vgl. 5.1, Sat z 22), den wir wegen 6.3 (Satz 1 und Koroll ar 1) unter etwas schwacheren Vorau sset zungen als zuvor aufste llen konnen. Satz 1. Sei B ein p-fach zusammenhiingendes, beschriinktes, ebenes Gebiet mit
einem glatten Rand, der durch ein p- Tupel v = (,1 , . . . " P) von paarweise disjunkten, glatten, geschlossenen Jordanwegen I j beschrieben ioerde, die bezilglich B positiv orienti ert sind. Ferner sei w(u ,v) = (A(U,V), f-l (u,v» ein Vektorfeld der Klasse c 1 auf B. Dann gilt
Jsr (Au + f-lv)dudv
(1)
wobei
r
(2)
JaB
Adv - u du.
=
r JaB
Xd» - u du ,
.- t 1 j =1
AdV -f-ldu
"Ij
gesetzt ist. Bemerkung 1. Sei c : I --* JR2 eine P ar ameterd arst ellun g des Weges Ij mit c(t ) = (a (t ),;3(t»), t e I , Dann ist
(3)
lj
Adv - u du. =
1
[A(C(t »)O(t ) - f-l( c(t) )a(t)] dt.
Der Vekto r c(t) = (a(t) , O(t)) ist Tangentenvektor an c im Punkte c(t ), und (O(t) , -a(t)) ist orthogonal zu c(t) und damit Normalvekt or zu 8B in c(t ). Da
491
6.4 Satz von Stokes
B nach Verabredung zur Linken eines jeden Weges
und damit insbesondere zur Linken von c liegt, weist (;3(t) , -a(t)) in Richtung der auferen Normalen n(u,v) von &B an der Stell e (u, v) = c(t). Indem wir gegebenenfalls c auf die Bogenlange transformieren, konnen wir annehmen, daf JC(t) I == 1 ist und somit a(t)2+ ;3(t)2 == 1 gilt. Damit ist auch (;3(t), -a(t)) ein Feld von Einheitsvektoren entlang c, und es gilt n(c(t)) = (;3(t) , -a(t)) . Folglich erhalten wir >..(c(t));3(t) - Ji(c(t))a(t)
und (3) schreibt sich als
lj
>..dv -Jidu =
=
"(j
(w (c(t )), n(c(t)) ) ,
1
(w , n) ds,
wobei ds das eindimensionale Flachenelement dA bezeichnet, und dieses ist gerade das Bogenelement ds, das nach der obigen Wahl von t gerade mit dt iibereinstimmt. Damit ergibt sich fiir das Randintegral (2):
r
JaB
>..dv-Jidu =
r (w, n) ds.
JaB
Die friiher getroffene Vereinbarung zur Orientierung von &B stimmt mit der Orientierung von &B durch die aufiere Normale n : &B ----7 Sl iiberein: Wenn der Rand &B des Pammetergebietes B so durchlaufen wird, daft B stets zur Linken liegt, entspricht dies der Orientierung von &B durch die auftere Normale n bezilglich B. Ferner erkennen wir , daB die Formulierung des GauBschen Satzes aus 5.1 mit der von Satz 1 zusammenfallt (abgesehen von der Tatsache, daB in beiden Satzen verschiedene Anforderungen an B, &B und w : B ----7 ]R2 gestellt werden) . Die Bezeichnungen haben wir so geandert, daB Satz 1 unmittelbar im Beweis von Satz 2 verwendet werden kann . Nun folgt die erste Formulierung des Stokesschen Satzes. Satz 2. Sei n eine offene Menge in]R3 , a E C 1 (n,]R3) ein Vektorfeld aufn und X E C 2(B, ]R3) eine Fliiche in n, d.h . X(B) c n. Ferner sei das Pammetergebiet B beschriinki und glatt bemndet, und &B sei durch seine auftere Normale n : &B ----7 Sl orientiert. Dann gilt
l
(4)
( rot a(X), Xu /\
.- JaB r
x, )dudv
a(X) . Xu du
r
( a(X ), dX )
JaB
+ a(X) . X v dv .
492
Kap it el 6. Flachenintegrale und Integralsat ze
Beweis. Mit 1 = a(X ) := aoX gilt I E C1(B, JR3 ). Wir definieren das Vektorfeld = (A, /-L ) E C1(B , JR2) durch A := I . X v, /-L := - I ' X U' Dann folgt
W
Au = lu' X v
+
I· X vu , /-Lv = - I v ' X u - I · X uv ,
=
Au + /-Lv = l u ' Xv - Iv . X u .
und sornit div
W
Urn die rechte Seite dieser Gleichu ng zu berechnen, schrei be n wir
X (u , v) = (X 1(u ,v) , X 2(u , v), X 3(u, v)) , a(x ) = (al (x), a2(x) , a3(x) ) . Fur I(u , v ) = a(X (u, v) ) = (a1(X(u, v)) , a2(X (u,V)), a3(X (u , v))) liefert die Kettenregel lu = Da(X ) . X u, I; = Da(X ) . X v, und darnit folgt div
W
~ oak = Z:: ox ' (X ) {Xj,uXk,v - X j,vXk,u } j,k=l
=
J
((rot a) 0 X , X u /\ X v ) .
Mit Hilfe von Sat z 1 ergibt sich
l
=
( (rot a) 0 X , X u /\ X v ) dudv =
r
JaB
Adv -p.du =
r
JaB
l
(Au + /-Lv) dudv
a(X) ·Xudu
+
a(X) .Xvdv ,
und das ist die Behauptung (4).
o
Nun wollen wir das Integr al I B (rot a(X) , X u /\ X v)dudv in (4) als ein Flachenintegral iI> (w, X ) = w vorn T yp (7) bzw. (8) in 6.2 urnschreiben und das Randintegral in (4) als ein Kurvenint egral irn Sinne von 2.1, Definition 11 interpr eti er en . Dazu setze n wir
Ix
Dann ist
l
( rot a(X) , X u /\ x, )dudv =
l i
[6 (X )A 1 + 6 (X )A 2
l ( ~(X),
A ) dudv
+ 6(X )A 3 ] dudv
6 dx 2 /\ dX3 - 6 dx l /\ dX3
+ 6 dxl
/\ dX2 ,
493
6.4 Sat z von Stokes denn es gilt
Da Det erminanten ihr Vorzeichen wechse ln , wenn man zwei Sp alten vertau scht , definieren wir dX3 /\ dXl := - dXl /\ dX3; der genaue Sinn dieser Bezeichnung erschlieBt sich ers t beim Rechn en mit alternierenden Differenti alformen , das wir in Kapit el 3 ause inandersetzen werden . Vorl aufi g fassen wir diese Festlegung und allgemeine r die Definition (5)
a ls ein formales Sp iel auf, urn die Erklarung
(6)
L
c(x )dxj /\ dXk :=
l
c(X (u, v))
8~~" ~k)
dudv
sinnfallig zu machen . Damit konnen wir schreibe n :
l L
( rot a(X), X u /\ x, ) dudv
=
6 dX2 /\ dX3 + 6 dX3 /\ dx; + 6 dXl /\ dX2 .
Fuhren wir die "Differenti alfo rm"
als Syn on ym fiir
~
= (6 ,6,6 ) = rot a ein, so
L l w
=
folgt
rot a(X) . (Xu /\ X v) dudv .
JaB
Nun zur Interpretat ion des R an dintegr ales a(X ) · dX . Urn die Schreibarbeit zu reduzieren , nehmen wir an, daf 8B nur a us einer geschlossene n Lini e best eht, die durch die Kurve c : 1 ----+ ]R2 parametrisiert wird, welche bezilglich B positiv ori entiert ist, also das Gebi et B bei ihrer Durchlaufung ste ts zur Linken hat . Dann wird durch Z := X 0 c eine geschlosse ne Kurve Z : 1 ----+ ]R3 in ]R3 definiert, die wir als orientiert en Rand des Fliichenstiicks X : B ----+ ]R3 auffasse n konnen . Mit c(t) = (a (t ),(3(t )) ist Z( t) = X( a(t) , (3(t )), d .h. Zj( t) = X j( a(t) , (3(t)) fur j = 1,2 , 3, und das Kurvenintegr al Jz al (X)dXl + a2(x )dx2 + a3(x )dx3 hat nach
494
Kapitel 6. Fl achenintegr ale und Int egralsatze
2.1, Definition 11 die folgende Bedeutung:
l
al (X)dXl
+ a2(x) dx2 + a3(x) dx 3 =
1
1
{al (Z ) [X 1, u(a, j3) ci:
1 1
a(x ) · dx
+ a2(Z )Z2 + a3(Z)Z3 ] dt
[al(Z )Zl
+ +
l
+ X 1 ,v(a ,,8) ,8]
+ X 2,v(a , ,8) ,8 ] a3(Z )[X 3,u(a, ,8) ci: + X 3,v(a , ,8) ,8]} dt a2(Z) [X2,u(a , j3) ci:
{a(X(c))· X u(c) ci: a(X) · X u du
+ a(X (c)) . X v(c) ,8 } dt
+ a(X) . x, dv .
Anderer seit s liegt die Schreibweise
l
a(x) . dx
=
nah e. Deshalb bekommen wir
1
a(X) · dX =
Lcca(x ) · dx _ . 1 a(X) · dX
1
a(X )· X u du
+ a(X) . x; dv ,
und nach der Ver abredung in 5.1 (vgl. Formel(49)) hab en wir
laBa(X) · X u du + a(X ) . x; dv = 1a(X ) · Xu du + a(X) . x; dv .
Somit liegt es nah e,
rBa(X) · dX Ja
:=
1c
a(X ) . dX
zu setze n, wei! sich so die in (4) ver abredete Formel
r
a(X) · dX
JaB
=
r
JaB
a(X ) · Xu du
+ a(X) . x, dv
ergibt . Selbst a uf die Gefahr hin , Verwirrung zu stifte n, hab en wir dem Leser ob ige Formelkr amerei nicht erspa rt, urn ihn in die Lage zu setze n, die in der Lit eratur auftrete nden Bezeichnungen richtig zu interpretieren. AuBerdem hat jede Schreibweise, je nach vorliegend er Situation, ihr e suggestive Bedeutung. Die
6.4 Sat z von Stokes
495
Aussage (4) des Stok esschen Sat zes konnen wir jet zt in folgend e Form bringen :
(7)
wenn wir 8X = Z := X
0
c setzen .
Bemerkung 2. Der Rand 8X := X 0 c st immt im allgemeinen kein eswegs mit dem "geom etrischen Rand" 8F der Fl ache F := Spur X ilberein; dies hatten wir bereit s in 6.2, 0J erortert. Wahl en wir wie in jenem Beispiel X als das Mobiusband 6.2, (23) und a(x) := (- X2r2, x Ir 2,0), r 2 := xi + x~ , so folgt fur die durch 6.2, (24) beschri ebene geometrische Randkurve c : [0, 211"] -+ ]R3 , daB fe aIdxI + a2dx 2 + a3dx3 = 411" ist . Hingegen ist ~ = rot a = a und damit fx 6 dX2 A dX3 + 6 dX3 A dXI + 6 dXI A dX2 = 0, folglich fax aIdxI + a2dx 2 + a3dx 3 = a na ch (7) .
Urn keine Verwirrung hinsichtlich der moglichen unterschiedlichen Interpret ationen des Ran dintegrals aufkommen zu lassen, wird X : B -+ ]R3 gewohnlich als eingebettete, regu lare CI-Flach e gewahlt, Dann sind X du rch v = IAI- I A und F := X(B) durch N := v 0 X-I orientiert, und Z := X 0 c liefert eine P ar ametrisierung des geom etrischen Randes von F = X(B), wenn c eine be zliglich B positiv orientierte P arametrisierung von 8B ist. Die oben bewiesenen Formeln (4) bzw. (7) beacht en nicht , ob X(B) orientiert, also zweiseit ig ist od er nicht, wahrend der in Band 3 formuli erte allgemeine Stokessche Satz nur fur orientierbare Mannigfaltigkeiten mit Rand a ufgestellt wird . F tihren wir neb en der " Zweifor m" w noch die " Einsform"
ein , so schr eibt sich (7) als
w -
r
'I) .
.fax
Mit Hilfe des Op erat ors d de r "auBeren Abl eitung" werde n wir in Band 3 zeigen , daB w = d'l) ist . Dann erhalt d ie Gleichung die su ggest ive Form
j.
d'l) =
X
r
.fax
'I) .
Auf ahnliche Weise wird der allgeme ine Stokessche Sat z fur orienti erbare, p-dimensi onale Mannigfaltigkeit en M mit Rand aM formuliert : Ist 'I) eine (p - I)-Form auf M, so gilt
j'
, M
dn =
r
JaM
'I) .
Noch einige andere Schreibweisen dieser magischen Formel, die wahrhaft die Inkarn at ion des Leibnizschen Kalkiils der Infinitesimalrechnung ist und erneut
496
Kapitel 6. Flachenintegrale und Integralsatze
seine form ale Leistungsfah igkeit zeigt, konnen wir dem Leser nicht erspare n. Zu diesem Zwecke nehmen wir jetz t an , daf X : B -; ]R3 regular und injektiv ist und somit F := X (B) ein immergiertes, eingebet tetes Flachenstuck ist , das durch das Nor malenfeld N : F -; 8 2 mit N :=
X - l und
/! 0
/!
Ix
orientiert wir d . Dann ist w gerade der Fluf (w, X ) der Zweiform w durch X bzw. der Fluf ¢ (rot a, F ) des Vektorfeldes rot a durch das orientierte Fl achenstuck (F , N ), und der Stokessche Satz lautet jet zt
(8)
¢( rot a, F ) =
r
l aF
a(x) ·dx ·-
r
l ax
a(x ). dx.
Man nennt den Ausdruck (9)
r
l ax
a(x )· dx
bzw.
r
l aF
a(x). dx
die Zirkulation des Vektorfeldes a lan gs der geschlossenen Kurve oX = Z X 0 c bzw. lang s des Randes of von F. Der Stokessche Satz lau t et also:
=
Der FlujJ ¢ (rot a, F) eines Vektorfeldes rot a durch die orientierte Fliiche F ist gleich seiner Zirkulation IaF a(x ) . dx langs des Randes von F .
Ie
Verschwindet rot a in n identisch , so ist die Zirkulation a(x ) . dx von a lan gs je der geschlossenen Kurve c in n Null , die ein Fl achenstuck in n berandet. Dah er nennt man solche Vektorfelder a wirbelfrei. F ur d ie Helmh olt zsche Wi r belt heorie sei a uf A. Sommerfeld , Vorlesungen tiber T heoretische Physi k, Band 2, Ka pitel 4 verwiesen . In der physikal ischen Literatur werde n Vekt oren oft durch fet t ged ru ckte Buc hstabe n oder d urc h P feile tiber den Buchstabe n markiert , und dA bezeichn et ein vektorielles F lachenelement der Ric htung 1l und der Lan ge dA , also dA = dA ·
1l .
Ferner seie n ds das Bogenelem ent ent la ng r := of und -; de r Ta nge ntenvekt or der Ku rve r , die beztiglich de r orientierten F lache F positi v or ient iert sei. Dies bedeu tet : 1st X E C 1 (J3, JR3) eine Darstellung von Fund bezeichn et c eine bezuglich B positiv orien t ierte Darstellung von oB, so tragt r di e Orientierung von Z := X 0 c. (1st F ein ebe nes Flachensttlck mit der Nor malenr ichtung N , 9 eine orie nt ierte Gerade mit der Richt ung N, die von Z ums chlu ngen wird, so wird du rch c eine "Rechtsschra ubung " urn die Achse 9 erze ugt .) Dann lau tet die Aussage des Stokesschen Satzes
(10) wob ei at =
j~
rot a . dA ./r at ds , =
a·-; die Ta nge ntialkompo nente von a beztiglich der Kurvent an gent e -; von r
ist .
Bemerkung 3 . Wir hab en Satz 2 unter der Vorau sset zun g X E C 2 (B, JR3) bewiesen. Die Existe nz und Stetigkeit der zweite n Ableit ungen von X hab en wir beno ti gt , urn Au , /.Lv und
497
6 .4 Sat z von Stokes
schliel3lich di v w = Au + /-tv bilde n und Satz 1 anwenden zu konn en . J edoch kommen in der For me l (4) nu r die ersten Ableit ungen von X vor. Tatsachlich ist di e Beha upt ung des Stokesschen Satzes a uch unt er der schwac heren Vorau sset zu ng X E c l (a , ]R3 ) ric ht ig. Urn dies zu beweisen , wahlt man zunachst ein glatt berandetes Gebiet B ' Cc B und dan ach eine Foige xs» von Abbi ldu nge n der Klasse COO(B, ]R3), so daf
X(j) (u , v ) ~ X(u,v),
D X(j)(u ,v) ~ D X( u ,v) a uf B '
gilt . W ir zeigen in Band 3, daf sich di es ste ts erre ichen laBt , ind em man auf X einen geeign eten C lattungsoperator S€ anwendet und xi» ; = S€j X mit einer Foige Ej --+ + 0 bildet . Sat z 2 liefert dann zunac hst
und fur j
--+
. ( rot a (X (j), x;P II X~j» ) dudv = I' ( a(X (j) , dX (j ») , ./ B' .laB' 00 folgt hier au s
I' ( a (X ), dX ) . .laB' Nun wa hlt man fiir B ' eine Foige von glat t ber and et en Ge biete n B j , deren Rander oBj glatt gege n o B konvergieren . Dann ergi bt sich a us (11) fiir j --+ 00 die G leichung (4). Let zt er es Ar gument kan n m an so mod ifizieren , daf sich (4) bereits unter den Vorausset zungen " oB ist stilckweise glatt " und X E c 1(a, ]R3) ergi bt . (11)
I' .IB'
( rot a(X ), Xu II X v ) dud v =
Bemerkung 4. G . St okes hat sein T heore m zuerst als P reisa ufgabe gestellt und di ese 1854 in A Smith prize paper , Cambridge univer sity ca lendar, publizier t ; vgl. G. St okes, Math ematical and Physical P apers (vol. V , pp. 320-321). Die Bede ut ung dieses Satzes fur d ie mathem atische P hys ik, insb esond er e fur die T heorie des Elektromag netismus und die St romungsleh re, hat sich durch d ie Unters uchungen von St okes, Helmh olt z, Ma xwell und W . Thom son (Lord Kelv in) herau sgestellt. In der Tat scheint Kelvin als erster den "St okesschen Sat z" for muli ert zu haben . J . Larmor , der Herau sgeb er von Band V der St okesschen Werke, verm erkte in einer FuBnot e zur P reisaufgab e Nr. 8 des J ahres 1854 (vgl. loc. cit .) : T his fund am ental theorem, traced by Maxw ell (Electricity, I, §24) to the present source, has of lat e years been kno wn universally as St okes ' Theorem . Th e same kin d of analy sis had been developed previou sly in part i cular cases in Ampere 's m emoirs on the electrodynamics of lin ear electric curre n ts. An d in a lett er f rom Lord K elvin, of dat e July 2, 1850, .. . s which has been f ound am ong St okes ' corres pon dence , th e th eorem in th e t ext is in fa ct explici tly stated as a postscrip t. Demg em af sollte man wohl b esser vom Sat z von K elvin sprechen , a ber dies laBt sich ebensowenig korrigier en wie andere Fehlbezeichnungen .
Zum Ende wollen wir uns noch mit dem Vektorpotential befassen , das in der Elektrodynamik eine wichtige Rolle spielt. Unsere Disku ssion wird allerdings unbefriedigend bleiben ; erst die Begriffe " geschlossene" und " exakte Differentialform " werd en in Zusammenh an g mit dem Poin careschen Lemma zeigen , wie sich die hier angesprochenen Ideen in zufriedenste llender Allgemeinheit und Klarheit beh andeln lassen. Definition 1. Sei a : n -+ 1R3 ein Vektorfeld der Klasse c 1 auf dem Gebiet n des 1R3 , und sei b : n -+ 1R3 ein st etiges Vektorfeld auf n. Wir nenn en a ein Vektorpotential von b, wenn b = rot a gilt, d.h. wenn b = \l x a ist. Bemerkung 5 . Eine Funktion u ; n --+ ]R der Kl asse C 1 heiBt be kannt lich Pot ent ial des steti gen Vekt or feldes b : n --+ ]R3, n C ]R3, wenn b = grad u gilt , d .h . wenn b = \7 u ist . 1st bE C l, so ist u E C 2 , und die Schwa rzsc hen Gleichungen U X j X k = U X k X j liefern di e Bed ingung rot grad u = O. Also ist die Gleichung rot b = 0 eine notwendi ge Bed ingung fur die Ex iste nz
498
Kap itel 6. Fliichenintegrale und Integr alsiitze
eines Potentials u , un d fiir einfach zusam me n ha nge nde Ge biete G ist d iese Bed ingung a uch hinreichend . Ferner ist das Potent ia l u eines Vekt or feld es einde ut ig bestimmt bis a uf add iti ve Konst an t en . Ahnliches gilt fiir Vektorpot enti ale:
Proposition 1. N otwendig fu r die Existenz ein es Vektorpotentials a der Kla sse C 1(D,JR3) von b E C 1(D,JR3) ist die B edingung divb = O.
B eweis. Es gelte b = rota . W ar e a E C 2( D, JR3) , so gilt div rot a = 0 und damit div b = O. Es bleibt also zu zeigen, daf d ie G leichung div b = 0 a uch unt er der schwac heren Voraussetzung a E C 1 (0 , jR3) folgt . Hier argument ier en wir a hnlich wie in Bemerk ung 3. W ir wahlen zuerst eine offene Menge 0' C C 0 und dann eine Foige von Vektorfeld ern a(j) E c oo (O ' , jR3) mit aU)(x)
=>
a( x) , D aU ) (x )
=>
D a(x) a uf 0 ' fiir j
-+ 00,
wenn a E C 1 (0, jR3) ein vorgegebenes Feld mit rot a = b ist . Wi r setzen bU ) := rot a(j). Dann gilt d iv bU ) = 0 a uf 0 ' , und somit folgt filr aile