ANALYSE 1. Espaces vectoriels normés. Séries à termes constants. Dérivation. Intégration SPÉ • PC • PSI • PT

\-\ \ Pov. Thomsen Professeur en Spé PC au lycée Sainte-Marie à Antony 5i5 i+10 AIIALYSE 1. Espaces yectoriels normés ...

Author: Povl Thomsen

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\-\ \ Pov. Thomsen Professeur en Spé PC au lycée Sainte-Marie à Antony

5i5 i+10

AIIALYSE 1. Espaces yectoriels normés Séries à termes constants Dériyation. Intésra(ion SPÉ • PC • PSI • PT Résumés de cours 63 exercices et problèmes avec solutions Coordination: Daniel FREDDN

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1

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© Masson, Paris. 1997

ISBN: 2-225-85531-5 MASSON

S.A.

120, bd Saint-Germain, 75280 Paris Cedex 06

TABLE DES MATIÈRES

Introduction . .................................................... 5 1. Espaces vectoriels normés .................................... 7

• Normes et distances • Suites dans un espace vectoriel normé • Étude locale d'une application • Applications continues Énoncés des exercices et problèmes ................................ 17 Coups de pouce ..... . ...... . ..... .................................. 19 Corrigés ................................. .. ...................... . . 20

2. Séries à termes constants ....... . . . .. . ...................... 31 • Séries réelles ou complexes • Convergence des séries à termes réels positifs • Convergence des séries à termes réels ou complexes • Séries alternées Énoncés des exercices et problèmes ....... . ............... . ........ 35 Coups de pouce ...................... ... . ............... . . . ........ 38 Corrigés . ..... " .......... . ........................................ 40

3. Dérivation des fonctions vectorielles ....................... 59 • Dérivée en un point • Fonctions de classe Ck • Ck-difféomorphismes Énoncés des exercices et problèmes ... . . . . . .......... . ............. 63 Coups de pouce ........ . ....... . ................................... 68 Corrigés . . ........ . ................... .. .. . ........................ 69

4

Table des matières

4. I ntégration sur un segment des fonctions vectorielles .... 85 • Fonctions en escalier, fonctions continues par morceaux • Définition de l'intégrale • Propriétés de l'intégrale Énoncés des exercices et probl(;me .................. . .............. 89 Coups de pouce ....................................... . ............ 90 Corrigés ........................................................... 91

5. Dérivation et intégration ................... .. . ... .......... 99 • • • •

Primitive et intégrale d'une fonction continue par morceaux Théorème du relèvement Étude globale des fonctions de classe Cl Développements limités

Énoncés des exercices et problèmes ...... . .. .. .................... 103' Coups de pouce ..... .............................................. 106 Corrigés ............................ .. ........... .. ... . .......... 107

6. Intégration sur un intervalle quelconque ................. 123 • Fonctions intégrables • Normes définies par des intégrales Énoncés des exercices et problèmes ............................... 127 Coups de pouce ................................................... 131 Corrigés ... .... .................................................. 132

7. Problèmes généraux

Énoncés . ........................... 153

Coups de pouce . .. ........ ... ...................... . .............. 161 Corrigés ............ ...... ................ .. ..... .. .. .... ........ 164

INTRODUCTION

Cet ouvrage est le premier d'une série de trois volumes destinés aux étudiants de seconde année des sections PC, PSI et PT. Comme dans les autres Flash, vous y trouverez: - un résumé bref, mais complet, des notions mathématiques actuellement au programme des concours des grandes écoles scientifiques; - des exercices variés. Certains exercices sont des applications directes du cours destinées à vous familiariser avec les notions étudiées, d'autres demandent plus de recherche, mais ils sont tous corrigés de façon détaillée et tous les raisonnements et calculs sont explicités. Nous sommes en effet convaincus que la réussite aux concours demande plus l'étude approfondie d'un nombre restreint d'exemples bien choisis, plutôt qu'un survol superficiel d'un nombre élevé d'exercices; - des coups de pouce, situés entre les énoncés et les corrigés, vous permettront d'avancer si vous êtes bloqué. Ils sont, bien sûr, à consommer . avec modération; - des problèmes généraux qui sont des problèmes donnés aux concours, mais adaptés aux programmes actuels. Les éléments de programme, et les exercices associés, spécifiques aux P SI sont signalés par un • en marge, et les indications concernant les PT par un •. Un conseil : quand vous avez terminé un exercice qui vous semble difficile, n'oubliez pas de le marquer afin de pouvoir le refaire au moment des révisions. Nous espérons que ces livres vous aideront de façon agréable et efficace. Bon courage!

ESPACES VECTORIELS , NORMES • Normes et distances • Suites dans un espace vectoriel normé • Étude locale d'une application • Applications continues

,

L'essentiel du cours On étudie des espaces vectoriels sur le corps K avec K

= IR ou

K

= cr: .

• Normes et distances

• Norme - Définition Une norme sur un espace vectoriel E est une application N de E dans IR qui vérifie : (l)VxEE N(x) ~ 0 ; (2) Vx E E N(x) =0 ==} x=O; (3) V), E K Vx E E N (),x) = 1),1 N(x) ; (4)VXEE VyEE N(x+y)~N(x)+N(y). On écrit souvent N(x)

Propriétés IIxii = 0 {==} x

= IIxii , ou

N(x)

=

IIxilE .

-

Illxii -lIylll

~

=0;

{ ::: ~ ~:: }

~ IIxli + lIyll .

Le couple (E, N) est appelé espace vectoriel normé.

-

Exemples classiques = K n ; pour x = (Xl, ... ,Xn) E E, on définit:

1. E

Nl(x)

= Ixt! + ... + Ixnl Jlxll2 + ... + Ix n l 2 sup {lxll,.·., Ix n !}.

8

Espaces vectoriels normés

2. E = C([a, b], K) étant l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a, b] et à valeurs dans K, pour J E E on pose :

N1(f) =

lb

.------

IJ(t)1 (ft ; N 2 (f) =

lb

IJ(t)1 2 dt.

N 1 est la norme de la convergence en moyenne, N 2 la norme de la convergence en moyenne quadratique. 3. E = B(A, F) étant l'espace vectoriel des fonctions bornées définies sur un ensemble A et à valeurs dans un espace vectoriel normé F, on pose :

Noe(f)

=

IIJ(t)11

sup tEA

1111 désigne la norme dans F. Noe est la norme de la convergence uniforme . 4. E étant muni d'un produit scalaire (x, y) f---+ (xly) ,

où

N(x)

= J(xlx),

xE E

définit une norme appelée norme euclidienne si K = IR et hermitienne si K = ([;. Les normes N2 des exemples 1 et 2 sont des normes euclidiennes ou hermitiennes.

*'

Dans la suite, E est un espace vectoriel normé. En PT, on se limitera aux cas E = IRn et E = ([;n .

• Distance associée à une norme - Définition La distance entre deux éléments x et y de E est :

= lIy - xII·

d (x, y)

-

Propriétés

d(x,y) ~ 0 ;

VxE E

VYE E

VxE E

Vy E E

d (x, y)

VxE E

VYE E

d(x,y) = d(y,x) ;

VxE E

VYE E

-

Vz E E

=0

{::::=>

d(x,y)

x = y; ~

d(x,y)

+ d(y,z).

La distance entre deux parties A et B non vides de E est : .

d(A,B) = inf{d(x,y); x E A, y E B}. -

Le diamètre d'une partie non vide A est: diamA

-

= sup{d(x,y);

xE A,y E A}.

Si diam A est fini, A est dite bornée.

- Une application J définie sur un ensemble U et à valeurs dans E est dite bornée si J(U) est une partie bornée de E.


9

• Boules La boule ouverte de centre a et de rayon r > 0 est: B(a,r)={xEE; IIx-ali O

3rElN

Vn~r

lIan-lll~é.

Untel élément l est alors unique; il est appelé la limite de (an) et on écrit: lim an = l . n--++oo

On dit alors que (an) est une suite convergente. -

Dans le cas où E = IR, on définit de plus: lim an =

+00

par:

Vk E IR

3 r E 1N 'In ~ r

an ~ k ,

=

-00

par:

Vk E IR

3 rEIN

'In ~ r

an ~ k .

n--++oo

lim an

n--++oo

- Opérations algébriques Si lim an = l et lim bn n -- +oo

n--++oo

= l',

alors:

lim (an+bn)=l+l',

n--++oo

et, pour

À E

K :

• Normes équivalentes A priori, la convergence d'une suite dépend de la norme choisie. N et N'étant deux normes sur E, pour que toute suite convergente dans (E, N) soit également convergente dans (E, N'), il faut et il suffit qu'il . existe a > 0 tel que N' ~ aN . N et N' sont équivalentes s'il existe a et N ~ a'N',

> 0 et a' > 0 tels que N'

~

aN

10


ou encore si les fonctions

~

et ;, sont bornées sur E \ {O} .

Alors une suite converge dans (E, N) si et seulement si elle converge dans (E, N'). • Cas d'un espace vectoriel de dimension finie - Dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équi valentes. - Soit E de dimension finie, (el, ... , es) une base de E. Une suite (an) dans E s'écrit: an = al n el + ... + asn es, où (al n ) , ""., (a sn ) sont des suites dans K. (an) converge vers l li el + ... + ls es si et seulement si (ajn) converge vers lj pour tout jE {l, ... ,s}. O."

Dans la suite du chapitre, les espaces vectoriels sont supposés de dimension finie .

• Comparaison de suites Soit (an) une suite dans E et (an) une suite réelle positive. - S'il existe M > 0 tel que, pour tout n E IN, (an) domine (an) et on écrit an = O(an ) .

Ilanli

~ Man, on dit

- Si, pour tout é > 0, il existe un rang à partir, duquel on a Il an Il ~é an, (an) est négligeable par rapport à (an) et on écrit an = o( an) . -

Si (an) ne s'annule pas, on a : an = O(a n ) si et seulement si an = o(a n ) si et seulement si

( ::) est bornée; lim n-t+oo

an an

= O.

Deux suites réelles ou complexes (an) et (b n ) sont équivalentes si, pour tout é > 0, il existe un rang à partir duquel on a : lan-bnl~élanl ·

On écrit an '" bn . +00

Si an ne s'annule pas, an '" bn si et seulement si +00

lim

n-++oo

bn = I . an

• Suites de Cauchy - Une suite (an) dans E est dite de Cauchy si, pour tout é > 0, il existe un rang r à partir duquel on a lIam - an Il ~ é, ce qui s'écrit:

'ié>O

3rEIN

'im~r

'in~r

lIam-anll~é,


Il

ou encore: 'rIê

> 0 3r E IN 'rIn ~ r 'rIp E IN Ilan +p

-

anll

~

ê.

- Toute suite convergente est de Cauchy. En dimension infinie, la réciproque est fausse. Mais: Dans un espace vectoriel normé de dimension finie sur Il ou CU, une suite converge si, et seulement si, elle est de Cauchy.

• Suites bornée.'/

•

-

Une suite (au) de E est bornée si l'ensemble {an; nE IN} est borné.

-

Toute suite cOllvergente est bornée.

- De toute suite bornée de /:.,,, on peut extraire une suite convergente (théorème de Bolzano - Weierstra..'>S) .

• Étude locale d'une application

• Limites - Définition Soit E et F deux espaces vectoriels normés et 1 une application de AcE dans F. Soit a E E adhérent à A et l E F. 1 admet la limite l au point a si, pour tout E: > 0, il existe 6 > 0 tel que 11/(x) -lll ~ ê dès que IIx - ail ~ 6 , ou encore:

IIx - ail

'rIx E A

'riE: > 0 36> 0 Cela revient à :

lim II/(x)

x ---< a

~

6 ===}

11/(x) -lll

~ ê.

-lll = 0,

et on écrit:

lim/(x)=l ou lim/=l.

x-.a

a

L'élément l, s'il existe, est unique.

----.:. Continuité en un point Si 1 admet une limite en a et si a E A, 1 est continue en A. Si f admet une limite en a f/- A, 1 est prolongeable par contiJ uité en a : la fonction Î définie de A U {a} dans F par: Î(x)

=

{/(X) s~ x l

SI X

E

A

= a

est continue en a. Lorsque F est muni d'une base (el, ... , es), on peut écrire, pour x E A :

I(x)

=

ft (x) el + ... + Is(x) es,

où les fonctions h sont définies sur A et à valeurs dans K. 1 admet alors la limite l = li el + ... + ls es en a si, et seulement si, chacune des fonctions fj admet la limite lj en a.

12


• Extensions de la définition Si A = la, +oo[ , on dit que f admet la limite l en +00 si : 'lé> 0 :3 k > a 'Ix ~_ A x ~ k ==} IIf(x) -lll ~ é,

-

ce qui se note

lim f(x)

x---++oo

=l

On définit de façon analogue

.

= l.

lim f(x)

x-+-oo

- Si F = R, on dit que f admet la limite +00 en a (où a E E est adhérent à A) si : '1k E R 36> 0 'Ix E A IIx - ail ~ 6 ==} f(x) ~ k,

ce qui se note

lim f(x)

+00 .

=

x---+a

On définit de façon analogue

lim f(x) = -00 .

x---+a

• Opérations sur les limites Si

Opérations algébriques E K, lim f = l et lim g

À

a

a

= l' , on

a:

limU+g)=l+l' et lim(Àf)=Àl. a

a

Composition Soit E, F et G trois espaces vectoriels normés, des parties ACE et BeF, des applications f : A --+ B, et g : B --+ F, des points a E E adhérent à A et b E F adhérent à B. Si lim f = b et lim g = l, alors lim g 0 f = l . a

a

b

Exemple d'utilisation: Pour. déterrrùner la lirrùte éventuelle de h(x) = ~ ~ x- lorsque x tend vers

~

2" ' on pose u

= x -

-sin (x

~

~

2

2" et on a, pour x i- 2" :

- ~2)

sinu

h(x) = - - - - = - - ,

x-

U

7r

'2

~ sinu donc h = gof,Où!(x)=x-2"' et g(u)=---;u-'

Comme limf ~

=0

et limg

= -1, on a

0

limh ~

= -1 ,

- Composition par une suite Soit f une application de A dans F et (an) une suite dans A, convergente vers a adhérent à A. Si lim f = l ,alors lim f (an) = l . a

n---++oo

Exemple d'utilisation: On veut étudier l'existence d'une limite en 0 de la fonction! de IR- dans R définie par f(x) = sin.!. . x

Espaces vectoriels normés Posons an

=

i +21 n

et bn 7f

= -

i +1 2 n

. On a 7f

Hm an n~+oo

= 0,

lim bn n~+oo

13

=0

et d'autre part J(a n ) = 1 et J(b n ) = -1 ; ce qui entraîne que J n'admet pas de limite en o.

Si a E A, f est continue en a si, et seulement si, pour toute suite (an) de points de A convergente vers a, on a lim f(a n ) = f(a) . n ..... +oo

• Comparaison de fonctions Soit ACE, f : A --> F , cp : A --> Dl et a un point adhérent à A. On suppose que cp ne s'annule pa..s sur A \ {a} . - S'il existe M > 0 et r > 0 tels que, pour tout x E B(a,r) nA, on ait :

Il;~:~II ~

M, f est dominée par cp quand x tend vers a et on note f(x) = Oa(CP(x)) . Si lim f«X)) = 0, on dit que f est négligeable par rapport à cp quand x ..... a cp X x tend vers a et on écrit f(x) = oa(CP(x)) .

-

• Applications continues

• Définition et premières propriétés - Une application f de A dans F est continue si elle est continue en tout point de A. Si F est muni d'une base (el, ... , es) et si f(x) = ft(x) el + .. . + fs(x)es , alors f est continue dans A si, et seulement si, toutes les fonctions fJ le sont. -

L'ensemble C(A, F) des fonctions continues dans A et à valeurs dans

F est un espace vectoriel. -

L'ensemble C(A, IR) ou C(A, B continue dans A et 9 : B --> G continue dans B. Alors l'application 9 0 f : A --> G est continue dans A.

-

Exemples

1. Une fonction f de A dans F est dite lipschitzienne de rapport k si :

"Ix E E

Vy E E IIf(y) - f(x)1I ~ klly - xii. Cette définition s'applique également en dimension infinie. Toute fonction lipschitzienne est continue.

14


2. Les fonctions:

E -+ x 1-> sont continues .

R

et

IIxli

Ex E

-+

(x,y)

1->

R d(x,y)

=

Ily - xii

• Parties ouvertes, parties fermées - Définitions Une partie A de E est ouverte si, pour tout a E A, il existe r > 0 tel que B(a,r) cA. A est fermée si E \ A est ouverte. Exemples: E et 0 sont en même temps ouvertes et fermées dans E. Dans E = IR, ~ n'est ni ouvert, ni fermé; la, +oo[ est ouvert, [a, +oo[ est fermé. - Propriétés La réunion d'une famille (finie ou non) de parties ouvertes est ouverte; l'intersection d'une famille finie de parties ouvertes est ouverte. L'intersection d'une famille (finie ou non) de parties fermées est fermée; la réunion d'une famille finie de parties fermées est fermée. Exemple: Pour tout n

E

N*, An

n

+00

+00

n=l

n= l

U An = ]-1, l[ est ouvert;

= ] - .!.., .!.. [ est ouvert dans R;

An

n n

=

{O} est fermé.

... À part le cas particulier de la page 15, le reste du chapitre n'est pas au progmmme de PT. - Points particuliers Soit A une partie de E . x est dit intérieur à A s'il existe une boule ouverte de centre x contenue dans A, soit: 3r > 0 B(x,r) cA. Un point x E E est dit adhérent à A si toute boule ouverte de centre x rencontre A, soit: Vr > 0 B(x,r)nA of 0.

x est adhérent à A si, et seulement si, il existe une suite (an) de points de A qui converge vers x. Une partie A est fermée si, et seulement si, pour toute suite de points de A qui converge dans E, la limite appartient encore à A .

• Images réciproques -

Soit

f une application continue de E dans K.


15

L'image réciproque d'une partie ouverte (resp. fermée) de K est une partie ouverte (resp. fermée) de E. -

Exemples f une application continue de E dans R et a E 1R.

1. Soit

-1

L'ensemble {x E E ; f(x)

> a} = f (la, +oo[) est ouvert.

L'ensemble {x E E; f(x)

= a} = f ({a}) est fermé.

- 1

2. Soit E = Mn(K) ; l'ensemble GLn(K) des matrices inversibles est - 1

ouvert dans Mn(K) car GLn(K) f:

=

Mn(K) M

f (K*) où -+ 1--->

K detM

est continue (cf. page 16) .

• Parties compactes - Définition Une partie fermée et bornée de E est dite compacte. Cette définition ne s'applique pas en dimension infinie. •

- Propriété Une partie A de E est compacte si, et seulement si, de toute suite de points de A, on peut extraire une suite convergente dans A - Soit E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie, AcE et f : A -+ F continue. Si A est compact dans E, f(A) est compact dans F. - Cas particulier U ne fonction f de A dans lR, continue sur un compact ACE est bornée et atteint ses bornes, c'est-à-dire qu'il existe Xl E A et X2 E A tels que: f(xI)

= sup f(x)

f(X2) = inf f(x) .

xEA

•

x EA

• Continuité uniforme - Une fonction f : A -+ K est uniformément continue dans A si, pour tout c > 0, il existe 8 > 0 tel que, pour tous x, y E A :

lIy - xII ::;; 8 ==>

If(y) - f(x)1 ::;; c.

Si A est compact, toute fonction f : A uniformément continue .

-+

K continue dans A y est

• Applications linéaires continues - Toute application linéaire f : E -+ F définie sur un espace vectoriel normé E de dimension finie est continue. Il existe k > 0 tel que: VxE

E

Ilf(x)IIF ::;; kllxllE .

16


- Toute application bilinéaire B : E x F -+ G , où E et F sont des espaces vectoriels normés de dimensions finie, est continue. Il existe k > 0 tel que : V(x,y) E Ex F IIB(x,y)lIc (kllxllE lIyllF . - Exemples 1. Les applications : ExE -+ E KxE -+ E et (>.,y) >-> >.x (x, y) >-> x +y sont continues.

2. Si E est un espace vectoriel euclidien, le produit scalaire: ExE -+ ID.

(x, y)

(xly)

~

est une application continue. 3. Si E est de dimension finie 8, alors C(E) est de dimension l'application: C(E) x C(E) -+ C(E) (I, g) 1-> go f est continue.

82

et

4. La propriété s'étend à des applications multilinéaires. Si E est de dimension finie muni d'une base B = (el, ... , es) , l'application: En -+ K (Xl,""X n ) >-> detB(xl,""X n ) est n-linéaire, donc continue. L'application de Mn(K) dans K: A ~ detA est continue (n-linéaire par rapport aux colonnes de A) .

•

- Norme d'une application linéaire continue Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie . En posant, pour f E C(E, F) :

IIfll =

sup Ilx l lE~l

IIf(x)!IE,

on définit une norme dans C(E, F) dite subordonnée aux normes de E et F. En particulier, si E = F, Ilfll = sup IIf(x)IIE IlxllE~l

définit dans C(E) la norme subordonnée à la norme dans E. Cette norme vérifie: Vf E C(E) Vg E C(E) IIg 0 fil ( IIgllllfll . Attention, cette relation n'est pas vérifiée par une norme quelconque dans C(E) (cf Problème 9).

Espaces' vectoriels normés

17

Les énoncés d'exercices

[I]

Pour f E C([O, 1J, IR), on pose NU) =

11

et

If(t)1 dt .

Montrez que N est une norme. Est-elle équivalente à la norme de la convergence uniforme?

~ Dans IR 2 normé par N (x, y) = max{lxl, Iyl} , on considère la droite F = {(x,O); x E IR}. Déterminez l'ensemble des points de F dont la distance au point (3,2) est minimale.

rn

Dans IR 2 , on pose N(x,y)

= sup lx +t;1 . tER

1+t

1. Montrez que N est une norme. 2. Comparez cette norme à la norme euclidienne e en déterminant le meilleur encadrement de la forme a N ~ e ~ b N .

[!]

Soit A une partie convexe non vide d'un espace vectoriel normé E. Montrez que l'application x f-4 d(A, x) est convexe.

[Il' Soit E un espace vectoriel normé. Pour toute partie A de E fermée et non vide, on note dA l'application x f-4 d(A,x). Montrez que l'application A f-4 dA est injective.

ffiJ

Soit E un espace vectoriel normé sur 1R et f : E --4 E une application bornée sur B (0, 1) et vérifiant f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous x et y appartenant à E. Montrez que f est linéaire.

ŒJ

Soit E

= C([O, 1], il)

muni de la norme de la convergence en moyenne.

Pour f E E et xE [0,

lJ, on pose

TU) (x) =

fox f(t) dt.

1. Montrez que T est un endomorphisme de E. 2. Déterminez lI(T)

=

sup N (TU») . N(f)=l

lI(T) est appelé la norme de l'endomorphisme T.

18


Les énoncés de problèmes ________ ~ Théorème du point fixe Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, A une partie fermée non vide de E et f : A -+ A une application lipschitzienne de rapport k < 1 . On note = f 0 ... 0 f .

r

'-v--' n fois

1. Montrez que, pour tout Xo limite lE A.

E

A, la suite (Jn(xo)) converge vers une

2. Montrez que l est l'unique point fixe de 3. Donnez une majoration de

IIx n

f.

III .

-

4. Application. Montrez que l'équation x = 2 solution l unique et déterminez l à 10-

œ

On considère l'espace vectoriel

(:n

Pour A E Mn( 0 . On a : 'P~(t) =

où tl = tan

i

0

et t2 = - cot

t

{::==}

i.

-

'Pa

On en déduit les variations de 'Pa. :

t2

-00

1

tE {tl, t2} ,

0

li

+

0

+00 -

0

'Pa d'où N (x,y) Or 'Pa.(tt}

'"

'"

/

0

= max {'Pa(tt}, -'Pa (t2)} .

= cos

2

Q

2

et 'Pa(l2)

.

=

-sm

2

Q

2·

Donc, quand Q parcourt ]0,7r[, N(x,y) parcourt

1

[2,1].

PourQ = OOuQ = 7r,ona (x,y) = (1,0) ou (x,y) = (-1,0) et N (x,y) = 1 . Comme N (-x, -y) = N (x, y) , on obtient les mêmes résultats pour Q E]- 7r, 0[.


23

1

= 1, on a 2":( N (x, y):( 1, et on conclut comme

En tout, pour e (x, y) ci-dessus.

[I]

Soit xl. X2 E E et ÀI' À2 E IR+ tels que X = ÀIXI + À2X2' Il s'agit de montrer que

d(A, x) :( ÀI d(A, Xl) Une figure peut donner de bonnes idées. Soit t: > 0 . Il existe YI, Y2 E E tels que: d(XI, yr)

:(

d(A, xt)

+ t:

d(X2, Y2)

:(

d(A, X2)

+ t:

= Àl Yl + À 2 Y2 . Comme A est convexe, = IIx - yli = IIÀl (Xl - yr) + À 2 (X2 - Y2)1I

:( Àl

d(xl, yr)

t:

posons

y E A et on a :

>0 :

d(A, x) ~ d(A, x) :(

1

+ À2 d(x2, Y2) :( Àl d(A, xr) + À2 d(A, X2) + t:.

On a donc, pour tout d'où

+ À2

+ À2 d(A, X2) .

Posons y d(x, y)

Àl

Àl

Àl

d(A,

d(A, Xl)

Xl)

+ À2 d(A, X2) + t: ,

+ À2 d(A, X2) .

[~l Notons P* l'ensemble des parties fermées et non vides de E, et F(E, IR) l'ensemble des applications de E dans R. Pour A E P., on a dA E F(E, IR) , et il s'agit d'étudier l'application: cp:

P*

----+

F(E, Il)

A

1---->

dA

Soit A et B appartenant à P* tels que cp(A) = cp(B) , c'est-à-dire: \Ix E E

d(A, x) = d(B,x) .

En particulier, pour xE B, on a d(A, x) = O. Comme A est fermé, ceci implique x E A . En effet, comme d(A, x) = inf {d(a,x); a E A}, il existe une suite (an) de points de A telle que lim IIx - an Il = 0, donc lim an = x, d'où n~+~

X

E

n~+oo

A puisque A est fermé.

On a donc montré que x E B implique x E A , donc BeA. On montre de même Ac B, donc A = B. Ainsi:

cp(A)

= cp(B) ===> A = B , donc l'application cp est injective.

24

ŒJ


= >..f(x) pour tout>.. E 1R.

Montrons, par étapes, que f(>..x)

a) Si >.. = 0, on a f(O) = f(O +0) = f(O)

+ f(O) , donc

f(Ox) = Of(x).

À

b) Si >.. E lN', on a >..x

= LX, d'où par récurrence: k=l À

À

f(>..x) = f(Lx) = Lf(x) = >..f(x). k= l

c) Si >.. E 7l', on a f(->..x) f(>..x)

= -

k=l

+ f(>..x) = f(O) = 0 , d'où:

f( ->..x) = - (->..) f(x)

=

>.. f(x) ,

d'après b puisque ->.. E IN'.

d) Si >.. E Q, posons>..

=!?

q

où p E 7l et q E IN', donc q>..

f(q>..x) = qf(>..x) f(>..x)

on déduit

et

= p . De

f(px) = pf(x) ,

=!? f(x) = >..f(x). q

e) Si >. est un réel quelconque, il existe une suite rationnelle (>'n) telle que lim >'n = >. et donc, pour tout xE E, on a lim (>"nx) = >..x. n~ +oo

Or

n~+~

f(>'n x)

=

>"n f(x)

et

lim >"n f(x)

n-->+oo

=

>.. f(x) .

f est continue, car alors on a : lim f(>'nx) = f(>..x).

Pour conclure, il suffit de montrer que n-->+oo

Comme f(x en O.

+ h) -

f(x) = f(h) , il suffit de montrer que f est continue

Considérons donc une suite (h n ) dans E convergente vers O. Il existe alors une suite rationnelle positive (an) telle que:

On a donc

VnEIN

Ilhnll:::;on

Il On h n Il :::; l,

soit

hn On

et

lim on=O.

n-++oo

E B(O, 1) .

f est bornée sur B(O, 1) , il existe K > 0 tel que, pour tout n, on ait II!( hn) Il :::; K . D'après b on a f(h n ) = On f( hn) , d'où: Comme

On

On

IIf(hn)ll:::;

On

Ilf(hn)ll:::; Ko n , On

Espaces vectoriels normés puis Ainsi,

Hm

n--++oo

=0.

f(h n )

f est continue en 0, donc continue dans E, et on a bien:

f(Ax) = f( lim (An x ) = n --+ +oo

:;IJ .

1. Pour A E IR et

T (Af

25

f et

lim f(Anx) =

n --++ oo

lim (Anf(x)=Af(x).

n--++oo

g dans E, on a:

fox (Af + g) (t) dt = A fox f(t) dt + fox g(t) dt

+ g) (x) =

+ T(g)) (x), + g) = AT(f) + T(g) . = (AT(f)

donc

T(A f

De plus, si f est continue, on sait que la fonction x

1-+

.

classe Cl (cf chap. 5) donc continue. Ainsi T est bien un endomorphisme de E . 2. Soit f E E tel que N(f)

r f(t) dt est de

~

= 1. On a donc N(T(f)) ~ 1, d'où v(T) ~ 1 .

Pour montrer que v(T) ~ 1, considérons, pour n E ]N*, la fonction définie par fn(t) = n (1 - t)n-I . On a N(fn)

.

rI (1 -

=n

Jo

et T(fn) (x) = n donc N(T(fn) .

fox (1 -

=

t)n - l dt

= l,

t)n-I dt = 1 - (1 - x)n ,

rI (1 -

~

(1 _ x)n) dx

Ainsi, pour tout n E ]N*, on a v(T) En conclusion: v(T)

=

1.

~

= 1 _ _1_ . n+l

1 1 - --, n+l

d'où v(T)

~

1.

26


Les corrections de problèmes _______

'Œ]

1. Posons Xn = fn(xo) , donc Xn +1 = f(xn) pour tout nE Il'J' . Comme f(A) CA, la suite (xn) est bien définie. On a IIx2 - xIII = IIf(xd - f(xo)1I ~ kllxl - xoll , et, par récurrence :

IIxn +1 - xnll ~ knllxl - xoll . Montrons que (xn) est une suite de Cauchy. Pour n et p dans Il'J' , on a : 'in E IN

Ilxn+p

-

Xn

Il (; (;

Ilxn+p - xn+p-III

(k n + p - I

+ ... + kn)llxI

~ kn 1 - k P Il 1- k

-...;::

+ ... + Ilxn+ 1 -

XI

Xn

Il

- xoll

Il ~ k n IIxI - Xo Il . Xo -.. ;:: 1- k

_

lim k n = 0 , pour é > 0 donné, il existe rEIN tel que, pour n-> +oo tout n;? r et pour tout p E Il'J' , on ait:

Comme

Ilxn+p -

Xn

Il (;

é .

Ainsi (xn) est bien de Cauchy et donc convergente, puisque E est de dimension fini e. Posons [ = lim X n ; comme X n E A pour tout n et que A est fermé, n--+ +CX,l

on a bien [ E A .

2. - Existence est continue car lipschitzienne, d'où:

f

f(l) = f( lim xn) = n --+ +~

donc [ est un point fixe de

lim f(xn)

n--+ + ~

= lim Xn +1 = [ , n - +~

f.

- Unicité Soit [' un point fixe de

f. On a : Ill' -lll = Ilf(l') - f(l)11 (; k Ill' -lll ,

d'où (1 - k) Ill' - III (; 0, donc l' = l . - Remarque On déduit de l'unicité que l ne dépend pas du choix de Xo, ce que l'on peut vérifier directement. En effet, si x~ = r(x~) et Xn = r(xo), on a facilement IIx~ -xnll (; knllx~-xoll, d'où le résultat en passant à la limite. .

/"'

3. On avaIt Ilxn+p - xnll : : : : k

n

Il XI - xoll 1_ k '

d'où, en faisant tendre p tend vers +00,

III - xnll (; k n IlxI - :011 1-

.

Espaces vèctoriels normés

27

1

4 .• Soit f l'application de R dans IR définie par f(x) = 2 + 10 sinx.

On

a

f'(x) =

1~

If'(x)1 ~ 1~ ,

cosx d'où

et donc, d'après l'inégalité des accroissements finis:

"Ix E

f

IR

1

If(x) - f(y)1 ~ 10 Iy -xl·

Vy E IR

est donc lipschitzienne de rapport

admet un point fixe unique. • Posons Xo

= 2 et, pour tout n

~ < 10

1 et comme IR est fermé,

f

E lN, Xn+l = f(x n) .

/'(l)nlxl-xol On a IXn-ll:::::::: 1 10 1- 10

1/,1 ,-

l . ::::::::-, dou: et IX1-Xol = I -sm2 10 10

IXn - li ~

1 )n 91 ( 10 .

Pour obtenir la précision demandée, il suffit de prendre n = 4 . On obtient X4 ~ 2,08697, d'où l ~ 2,0870.

!]]

1.. Soit A E Mn(<e) ; l'application f de <en dans <en définie par f(X) = AX est linéaire, donc continue puisque l'espace de départ est

de dimension finie. Or {X E <en ; IIXII ~ 1} = B(0,1) est borné et fermé, donc compact (toujours la dimension finie), donc f est bornée sur B(O,l) Ainsi, l'application N de Mn(<e) dans IR est bien définie. • Soit X E <en \ {O} ; on a AX = Comme

IIXII A( II~II)'

111;~il = IIA( II~II )11·

d'où

IIXII, - 1, on a d one I ~II-

IIAXII IIXII

IIAXII

~ N(A) ,ou d' ""

~

~10 lïXlI"" N(A). • Réciproquement, soit X E B(O, 1) avec X On a 0
IR+ une fonction positive, continue par morceaux et décroissante.

Séries à termes constants

33

Alors, la série de terme général Wn

=

1~1 f(t) dt -

f(n)

~ 1)

(n

est convergente. La série ment si, "

y=j(x)

L

f(n) converge si, et seuleest intégrable sur [0, +oo[ .

f

En PT, on énonce:

«

L

f(n) et

10+

n-l

00

n

f(t) dt sont de même nature ».

Formule de Stirling (cf. Problème 10) n! -

rv

+00

v'27rn

(!!:) e

n

Série de Riemann

'""' ~ converge si, et seulement si, ~ net

0:

> 1.

n~l

~

Règle de d'Alembert

. stnctement . . . teIl e que SQI't (Un) une sUIte posItive

Si l

< 1 , alors

L

Un

converge; si l

> 1 , alors

l'lm un + -1 = 1 .

n--4+oo

Un

L Un diverge.

_. Convergence des séries à termes réels ou complexes

• Critère de Cauchy

L

?oit (un) une suite réelle ou complexe. Un converge si, et seulement si, la suite (Sn) est de Cauchy, c'est-à-dire:

• Convergence absolue Si

L

Alors

Iunl

L

converge, on dit que

Un

L

Un

converge absolument.

converge et la somme vérifie:

I~unl ~ ~Iunl. La réciproque est fausse.

L n~1

(_1)n-l n converge, mais

L n~l

1

~ diverge.

i

, 1

1

·1,


34

• Exemples 1. Série géométrique

L

zn est absolument convergente si et seulement si

+00

Lz

1 n

= 1-

n=O

Si Izl

?

1 , la série

L zn

Izl < 1 ; alors

z·

diverge.

L;n. converge pour tout z 0, d'où:

+ -111 ,


[I]

Déterminez la nature de la série de terme général cas suivants:

a) Un = e- n d)

g)

Un

Un

b) Un=e - Vn ;

;

1 = (ln n)lnn

= VI +

e)

~ -1 ;

j)

Un

=

arctan n ) arctan (n + 1)

= -;

dans chacun des

c)

Un

h)

,

Un =

1 I-cosn

= e- 1/ n ln (n 2 ) n2

f)

Un

= ---

i)

U

=-'

n

n3

(

ln n

Un

Un

n!

n

nn'

;

36


.1]]

Calculez les sommes partielles des séries suivantes. Déduisez-en la nature de la série et, éventuellement, la somme. 1 b) l:)cosot cos nO où oE IR; a) n (n+1);

L L

n~O

n~l

c)

nx n -

1

1 L arctan l+n+n 2 ;

d)

où xE]-l,l[;

n~O

n~l

e)

LIn

(1-

1 n2 )

L

f)

;

n~O

n~2

L

g)

n~l

[K]

7r

+oo /p 1 x 3 x ... x (2p - 1)

(cf. chap. 6, ex. 12).

Quelques coups de pouce

II]

b) et d)

Comparez avecL

~ . n

1

f) Comparez avec , , _ . ~nQ

g) et h) Utilisez un développement limité. 7r 1 j) Rappelez vous que arctan n = - - arc tan -, puis utilisez des déve2 n loppements limités.

œ

a) et g)

Décomposez la fraction en éléments simples.

b) un = Re [(eilicosBt]. c)

Un

est la dérivée d'une fonction simple!

d) U ne factorisation dans

rappelle la formule: x+y arctan x + arc tan y = arctan - - - + k7r . 1-xy Un

e) u n = ln(n+1)+ln(n-1)-2Inn. f) Appliquez la formule sin 2x = 2 sin x cos x le nombre de fois nécessaire.

-


~ Faites un développement limité de bn

!J

39

.

Dans chaque cas, utilisez un développement limité.

~ a) et b) Faites un développement limité du terme général. c) Utilisez l'équivalence sin x '"" x. o ;]] 1. Encadrez

lk+l

f(x) dx .

2. Intégrez - f'(x) ~ é f(x) sur [k, k + IJ et manipulez astucieusement les inégalités obtenues.

l1J Si 2.: Si 2.:

Un

Un

converge, déterminez un équivalent simple de

diverge, montrez que:

v ~ [s" dt ~ Sn - Sn-l n '.;:: I~ tex '.;:: sex S,,-1 n- l Traitez d'abord le cas

,~ Considérez les cas SI' 0 < Si

Œl

Ct

Ct

Vn •

Ct

Ct>

1 , puis

Ct

.

= 1 et enfin

~ 0, 0 < Ct < 1,

Ct

=

1 et

Ct

< 1.

Ct

>1.

. an par une mtegra . ' 1e por t an t sur 1. < 1 ,maJorez -b CX ~

X

= 1 , cherchez à minorer par une intégrale portant sur

1

x

1. et 2. À partir d'un certain rang, on a :

(1 - é)ak ::::;; al.::::;; (1

+ é)ak.

3. Encadrez d'abord H(n) par des intégrales pour obtenir un premier équivalent El(n), puis cherchez un équivalent E2(n) de H(n) - El(n), et enfin de H(n) - El(n) - E2(n) .

1101

1. Encadrez ln k, puis ln (n!) par des intégrales portant sur lnx.

On obtient alors S(n) = f1(n)

+ o(n) .

Ensuite, posez SI(n) = S(n) - f(n) et 6 1 (n) étudiez la série 6 1 (n) .

l:

= SI(n+ 1) - SI(n), puis

40


On obtient Sen) = h(n) + o(ln n) , puis on recommence: S2(n) = "', 62(n) = .. .. 3. Exprimez la fraction dans la formule de Wallis à l'aide de factorielles .

Les corrections d'exercices ~ On remarque que toutes les séries sont à termes positifs.

2...:

a) e- n est une série géométrique de raison q = e- 1 avec Iql · < 1 . Elle est donc convergente. " Un et '~ " n12 . En posant qn b) Comparons '~

lnqn

=

=

Un -1-'

on a :

nr

-vn+2Inn,

d'où: lim ln qn

n~+oo

Par conséquent

L

Comme

c) On a

~2

=

lim qn = 0 .

-00 ;

n~+~

o( -;) . n converge, il en est de même de

Un

=

Hm e- 1/ n

n--->+oo

=

2...:

Un .

1 -=1 0 ; la série est donc divergente.

d) La même méthode qu'en b) conduit à : d'où

lnqn = In(n 2 u n ) Hm lnqn = -00 ;

L

e) Pour n

L

Un

(2lnn -ln(lnn)) Inn,

n--->+oo

Par conséquent Un Comme

=

~2 ~

=

o( -;) . n

converge, il en est de même de

ln n 3, on a Un = n

puisque

L

~

diverge.

1 n

>- ,

L

Un .

d'où la divergence de la série

Séries à termes constànts

41

1

'Ln

f) Comparons avec

:

a

2lnn n 2- a ·

Pour a

3

= 2 (par exemple), on a donc : qn

2lnn .jiï

= -- ,

d'où

n

lim qn --+

=

+00

.

0,

SOit Un

=

1

o(n3 / 2 ).

On en déduit la

converge~ce de la série puisque 'L n;/2

g) On a

Un rv -

1 • Comme n

h) On a

Un

1

L -n1

converge.

diverge, la série diverge.

1

= 2n2 + o(n2 ) ; la série

L

converge.

Un

i) On sait que 1

(1 + ~r n

~ . Si vous avez oublié cette limite,

tend vers

1

e

étudiant ln (1

+ -n

r. L

Corinne e- 1 < 1, la série j) Pour n arctan n .

vous pouvez la retrouver en

converge.

Un

> 0, on a : l n

'Ir

'Ir

1 n

1 n

= - - arctan - = - - - + O( - 3 ) 2

arctan(n+l)

=2-

2

1

'Ir

n+

l 1 +0(n3 )

1

'Ir

=

2- ~+

1

en écrivant _ _1_ - . n

En simplfi i ant par

Vn

=

'Ir 2'

arctan n

=

arctan (n + 1) 2

'lrn

+1 -

n (1

+

*) --__1(1+_1)-1 n

n

2 1 1 - ; ; + O(;J) 1_

2. + ~ + 0 ( ~ ) 'lrn 2

224 - - 2 + -) +

'lrn

1

on 0 b· tient:

'lrn

= (1 - - ) (1 + -

1

n2 +0(n 3 )

'lrn

'lr 2 n 2

n3

1

0(-) = 13 n

2

1

'lrn 2

n3

~ + O( -).

.

42


Par conséquent

La série

d'où:

L e- t

converge (cf. a), donc la série

n

L

Un

converge.

œ

Cet énoncé est atypique puiqu'il est rare que l'on sache expliciter les sommes partielles d'une série. Mais quand c'est le cas, il ne faut pas s'en priver!

a) De la décomposition

Un

n

n+ 1

(1 1)

1

= ~ ;: - n + 1 = 1 - N + 1 ' N

SN

= ~ - _1_, on déduit:

d'où:

+00

LUn= n=l

b) On peut écrire

Un =

Re

[(e

N

En posant T N

=

L (e

iO

cos

iO

lim SN=l. N---++oo cos

of] .

Of, on a donc SN = Re (TN ) .

k=O

• Pour 0".0 (-rr), on a e iO cos 0 i l , d'où:

TN =

1 - (e iO cosO)N+1 ----~-~-1 - e iO cos 0

On en déduit facilement SN , mais pour trouver la somme de la série, il est plus facile de passer à la limite d'abord. Comme le i8 cos 01

< 1, on a:

T = lim T N = N---++oo

D'où

S=

.1

1 - e tO cos 0 1 _ cos 2 0

+00

L Un = Re (T) = 1 - cos n=O

2

0

1 - e- iO cos 0 1 - cos 2 0

= 1.

• Si 0 == 0 (7r), on a eiO cos 0 = 1 , et la série diverge. • En conclusion,

L

somme étant alors 1.

Un

converge si, et seulement si,

0".

0 (7r) , sa


43

N

c) La fonction de x définie par SN(X) =

L nxn- 1 est la dérivée de la n=l

fonction TN définie par TN(x)

N

1 _ xN+l

~

1-x

= '"" xn = - - - n=O

N + NX N + 1 1 1 1 • D ,ou' S N -- TfN ( x ) -_ 1 - (N +(11)x _ x)2 ; pUisque x < ,on a :

+00

s= '""nxn-l ~ n=l

=

SN

lim N---++oo

=

1

(1 - x)2

.

On retrouve ce résultat plus simplement à l'aide de la notion de série entière (cf Tome 2). 1

=

d) On a arctan 1 + n + n 2

1

arctan 1 + n (n + 1) , ce qui fait penser

à la formule pour arctan x + arctan y . En effet:

= arctan (n +

arctan (n + 1) - arctan n

= arctan où k

=

°

On a donc

car arctan (n + 1) Un

1) + arctan (-n)

(n+l)+(-n) + 1) ( -n ) + br

1- (n 7f

El 0'"2 [

et arctan (-n)

7f

El - 2'

°[.

= arctan (n + 1) - arctan n, d'où: N

SN =

L

(arctan (n + 1) - arctan n) = arctan (N + 1) ,

n=O +00 '"" ~ Un

et, par conséquent,

n=O N

2

e) SN = Lln n n~ n=2

1

. = N---++oo hm SN = -7f . 2

N

=L(In(n+l)+ln(n-1)-2Inn) n=2

N

SN =

L

N

(in (n + 1) - ln n) -

Donc:

(in n - ln (n - 1»)

n=2

n=2

=

L

(ln (N + 1) -ln 2) - (ln N -ln 1) = ln

1

(I + N) -ln 2.

+00

L

n=2

Un

=

lim SN N---++oo

= -

ln 2 .


44

N

f)

SN

=

N

L

Un

= ln PN

où

n=O

sin 2x = 2 sin x cos x = 4 sin

=

PN

i i cos

II cos;'" . Comme: n=O

cos x = ...

2N + 1 sin 2~

=

PN ,

on en déduit:

P

N

=

sin2x

puis

x '

2 N +1 sin-

. 1lm

P

N -++OCJ

sin 2x 2x

N = --'

2N

et par conséquent:

2X) .

+00 x (Sin "'lncos - n = ln - ~ 2 2x

n=O

g) De X 4 + X 2

+ 1 = (X 2 + 1)2 - X 2 = (X 2 + X + 1) (X 2 - X + 1) ,

on déduit la forme de la décomposition en éléments simples :

X aX+b cX+d X4 + X2 + 1= X2 + X + 1 + X2 - X + 1 ' puis la décomposition : X X 4 + X2

1(

1

1)

+ 1 ="2 X2 - X + 1 - X2 + X + 1

.

et par conséquent : 1

+OCJ

'" 4 n ~ n +n2 n= 1

@]

Comme an bn an rv bn .

=

+1

= lim

N--++oo

Vn

=

spécial des séries alternées,

= an

1

- n

(_l)n)

.jiï 1

+ o( -) . n

+00 , on a

Jn décroît et tend vers o. D'après le critère L an est donc convergente.

D'autre part:

(1 +

2

.jiï

On a an = (ltv n où

y'n

=- .

1 + ~ -1 )n tend vers 1 quand n tend vers

+OCJ

bn = (_l)n

SN

-1

= (_l)n y'n

(1 _ y'n

(_l)n

+ 0(_1 )) y'n

Séries à termes constants On a donc Comme Comme

bn=

an

+ W noù

W

'" n+00

1 n

L!n diverge avec!n > 0, '~"

L

45

Wn

diverge.

L ndiverge, L bndiverge. +~ b n n'entraîne pas que Lan et Lbn soient

converge et

an

W

Conclusion: an de même nature lorsque an et bn ne sont pas de signe consta.nt.

Cherchons un développement limité en •

!n

du terme général.

Jn2+n+1=nJ1+(!+~) n n 111 1112 1] =n [1+-(-+-)--(-+-) +0(-) 2 n n2 8 n n2 n2 =

n

1 2

3 8n

1 n

+ - + - + O( -) . 3

On a donc: an

= cos (mr+

~ + ~: +0(~2)) = -(-ltsin

G: +0(~2))

= (_l)n+l 37r + O(~) . n2

8n

On a donc an Un

~:

=

(-l)n+l Un

+ Vn

où:

décroît et tend vers 0, ce qui entraîne la convergence de la

série alternée Vn

=

L( _l)n+lun ;

= O( ~) , ce qui entraîne la convergence absolue de L

n Donc la série

Vn .

L an converge.

• On peut écrire bn = (_l)n (1 _ 1:n ) n De ln (1_1:n) bn

=

(-1

t

(_l)n

_I:n +0 ((I:n)2), on déduit:

exp ( -In n .

= --+On. n

=

+ O( (ln:)2))

=

(-1

t ~ (1 + O( (In:)2) )

46


L

(-lt . - converge pUIsque -1 d"ecrOi t et ten d vers 0 ; n n

On a an = 0 (( I:n) 2 )

,

d'où an =

0(n;/2) , ce qui

entraîne la con-

vergence absolue de Lan. En conclusion,

Lb

n

converge.

,. n+l 1 1 1 1 1 • On peut ecnre ln - - = ln (1 + -) = - - - 2 + - 3 + 0 ( -4) n n n 2n 3n n • 2 n+l 1 1 1 pUIS n ln - - = n - - + - + 0(-), et enfin: n 2 3n n2

en = cos =

(mr - ~ + ~ + 0(~2)) = (-I)nsin (3: +0(~2))

(_l)n 37rn +a n .

,,",(_I)n~ converge puisque c'est une une série alternée et que ~

3n décroît et tend vers O. De plus, comme an Par conséquent,

[§J

,

=

O( ~) , la série

L en

n

L an

7r

3n

converge.

converge. 1 n

2 n

a) Un = (1 +a+b) Inn+aln(1 + -) +bln(1 +-) 1

1

2

1

= (1 + a + b) Inn + a [-n + O( 2")] + b [- + O( 2")] n n n a + 2b =(l+a+b) Inn+--+a n , n où an

=

Comme

1

0 ( 2" ) ,donc n

L

~n

L an

diverge, la série {

l+a+b a+2b

converge.

L Un converge si, et seulement si : = =

0 0

~

{ a = -2 b=1

Dans le cas où la série converge, vous pouvez calculer sa somme (cf Exercice 2).

Séries à termes constants b) On peut écrire: 1 1 1 ln (1 + -) = - - -22

n

ln (1+;;)

n

n

+0

47

1 , ( ---:3 ) , ce qui entrame :

n

(1

1) =e[1- 2n1+O(n1

=exp 1- 2n +O(n2 )

2 )]

e 1 =e- 2n +O(n2 )' Le développement limité d'ordre 1 de arctan x au point e s'écrit: arctan (e

+ h)

h = arctan e + - - 2 l+e

+ O(h 2 )

et entraîne: arctan où

an

[(1 +.!. r]

( e 2) x .!. 21+e n

= arctan e -

n

+ an,

1 = 0 ( "2" ) ,donc ~ an est absolument convergente. n

On a obtenu:

1 n

e

Un

Comme

L .!.n diverge, la série L {

+ b] - + an .

= (arctan e - a) - [ ( 2) 2 1 +e

arctan e - a e b 2 (1 + e2 ) +

Un

o o

converge si, et seulement si : a = arctan e

{==}

que, pour tout n ~ r , on a :

e

b=-

2 (1

c) Utilisons l'équivalence sinx"-'x. Soit

o

{

é

> 0, il existe un rang r tel

(1 - é) x f3 ~ (sin x)f3 ~ (1 d'où:

donc On en déduit: 1rf3 - 1

1

{3 + 1

n f3 + 1 - a

--x

+ e2 )

.

+ é) x f3 ,

48


Comme

L

~c:r

converge si, et seulement si, a

converge si, et seulement si, f3

[.ill

> 1 , la série

L

Un

>a .

n

=

1. Posons Sn

L f(k) . Comme f est décroissante on a: k=O (k+l

f(k

+ 1) ~ Jk

f(x) dx ~ f(k) ,

d'où en sommant pour k variant de 0 à Sn - f(O)

f(O) puis 1 - - - ~ Sn

ln 0

d'où

Hm n __ +oo

ln 0

1:

~ Ion f(x) dx ~ Sn - l ~ Sn ,

f(x) dx Sn

~ 1.

Comme" f(n) diverge, on a ~

n -

lim Sn

n-++oo

= +00,

f(x) dx

= 1 et donc:

Sn

Sn

rv

+00

r

Jo

f(x) dx.

+00

2. Posons Rn

=

L

f(k). En sommant les inégalités de la question

k=n+l précédente pour k E {n, ... , n + p - 1} , on obtient: n+p n+p n+p-l f(k) ~ f(x) dx ~ f(n) + f(k) . k=n+l n k=n+l

1

L

L

On en déduit d'abord que la suite croissante p bornée par f(n) En posant In

=

l

n +p

n

f(x) dx est

+ Rn, donc convergente. lim

p--+oo

l

n +p

f(x) dx, on a alors:

n

Rn ~ In ~ f(n) S'il existe a tel que f(a)

Rn = In

t-+

pour n ~ a .

= 0, on a

+ Rn .

f(x)

= 0 pour tout x

~

a et donc

Séries à termes constants Supposons que

49

f ne s'annule pas, donc que Rn > 0 pour tout n.

On a alors: f(n)

In Rn

1~-~1+--,

et il suffit de montrer que

lim

Rn

fR(n) = .n

n-->+oo

Soit

· f'f(x)() 1lm x

> 0 . Comme

F;

00-->+00

o.

O ·,· 1 ,1 eXiste Xo te que, pour tout

=

x ~ Xo , on ait:

1~(~11 ~ > 0 et f'(x)

ou encore, puisque f(x)

- f'(x) En intégrant sur [k, k

+ IJ , avec k

~

~

0:

êf(x) .

E lN et k ~ Xo , on en déduit:

(Hl

+ 1) ~ ê Jk

f(k) - f(k

ê,

f(x) dx ~ êf(k),

puis (1 - ê) f(k) ~ f(k Pour n

~ Xo,

+ 1) .

on a donc pour tout p E Il'J : ~

f(n+l)

f(n)

~

f(n + 2)

(l-ê)Pf(n)

~

f(n+p).

(l-ê)f(n) (1 -

ê)2

D'où en additionnant membre à membre:

f(n)

p

P

k=l

k= l

2)1 - ê)k ~ L

f(n

+ k) .

+00

O n peut supposer

_ c~)k __ 1 < 1 et on a ~(1 ~

ê

ê

comme somme

ê

k=!

d'une série géométrique. l-ê

En faisant tendre p vers +00, on obtient f(n) - ê

d'où

f(n) ~ _ ê _ Rn l-ê

.

~

Rn ,

50


~,

En supposant ê
1. Posons

= ~: .

Vn

n

a) Cas a Comme

~

L

0

an converge, on a

lim bn

n--++oo

=

0 et, par conséquent, bn ~ 1

à partir d'un certain rang. On a alors b~ ~ 1 et donc La convergence de

Vn

~ an .

L an entraîne alors la convergence de L

b) Cas 0 < a < 1 Cherchons à majorer les sommes partielles de

entraîne:

Donc

L

Vn

est encore convergente.

i bn

bn+l

L

dx -~ ba ~ n

Vn .

ibn

dx -a

bn+1 X

Vn

.

52


c) Cas a

=

1

1

dx

1>0

= ln bo - ln bN + 1 tend vers x précédent n'est plus valable.

Comme

+00 , le raisonnement

bN+l

Cherchons à montrer la divergence de Vn

= bn

-

L

Vn .

On a :

bn + 1 = 1 _ bn + 1 bn bn

.

• SI· ( bnb+ ~Vn n 1 ) ne t en d pas vers 1, (V n) ne t end pas vers 0 , d onc ""' diverge. n

lim b + n-+oo bn

• Supposons que

on a v n

Or

)

= 1 . Comme

Wn

LNibn n=O

1

dx ~ =

l

bo

dx ~ = lnbo -lnb N + 1 tend vers +00 lorsque

bN+l

bn+l

N tend vers +00 . Par conséquent,

L

Wn ,

et donc

L

Vn ,

diverge.

d) Cas a> 1 On montre que vn encore.

Conclusion:

)

L

~: à partir d'un certain ~ang, donc Vn

L

converge si, et seulement si, a < 1 .

Vn

diverge


53

i.Les corrections de problèmes _______

J

Soit

E

> O.

Comme a~

rv

an, à partir d'un certain rang r on a:

(l-E)ak ~ a~ ~ (1 +E)ak . 1. Supposons que les séries convergent. En sommant les inégalités précédentes pour k E {n + l, n + 2, . .. } , où n + 1 ~ r , il vient: +00

L

(1 - E)

+00

L

ak ~

k=n+l

a~ ~ (1 + E)

k=n+l

+00

L

ak,

k=n+l

ou encore :

(1 - E) Rn ~ R~ ~ (1

Rn '"

Ainsi, on a bien

+00

+ E) Rn .

R~,

2. Supposons que les séries divergent, En sommant, pour k variant de r + 1 à n, les inégalités de départ, on obtient: n

n

L

(1 - E)

n

L

a. ~

k=r+l

a~ ~ (1

+ E)

L

ak,

k =r + l

k= r+l

ou encore:

(1 - E) (Sn - Sr) ~ S~ - S; ~ (1 + é) (Sn - Sr), et a fortiori : (1 - ê) Sn - Sr ~ S~ ~ (1 + ê) Sn - S; , d'où : Sr /' S~ /' S; 1-E--:::::::,-:::::::,1+ê+-' Sn Sn Sn Sr C omme . 1·lm -S n ---+ +oo

on a 0
0; il existe f5 E ]0, a] tel que, pour x E [0, f5], on ait: IIf(x) -lxll ~cx.

1

Pour nE IN· tel que - - ~ f5, on a donc, pour tout p E {1, ... , n} :

n+1 __l_11 ~ _c_ ~ ~ , Il f(-1-) n+p n+p" n+p" n

nI

l

n

p= l

l

n+pll ~ Lllf(n+p) - n+pll

IILf(n+p) - L

d'où

1

n

p=l

p= l

n

~L~n = c. p= l

t

Donc, la limite cherchée est celle de

_k_, si elle existe. n +p

p= l

n

1

= "" -~ n +p

Posons Sn

et cherchons

p=l

1

Sn

=

lim Sn. On a :

n-t+cx:>

1

n

~ L 1+~ ' p= l

n

donc Sn est une somme de Riemann de la fonction:

[O,lJ

IR

-->

1

t

1·lm S n =

d "ou

n->+oo

11 0

-dt- = 1n 2 . 1+ t

En conclusion: 1

n

lim "" f ( - ) = (ln2)l.

n->+oo~ p=l

Autre méthode Écrivez

I

n +p + 1

n+p

dx 1 - ~ -- ~ x n +p

n+ p

I

n +p

dx

n-tp - l

X

puis sommez.

°

~ Soit c > O. Il existe 8> tel que, pour Ixl ~ f5 , on ait: IIf(2x) - f(x) - xlII ~

c Ixl.

Dérivation des fonctions vectorielles

71

Pour appliquer cette inégalité, écrivons: n

f(x) - f(2:)

=

L

(!(2k~1) -

f(;))

k=l

et xlI x + ... + -) l = f(x) - f(-) - x 2n 2 2n 2n

f(x) - f(-) - x (-

n

L

=

1 2

(1 - -) l n

(! (2k~ 1) - f (;) - ;

l) .

k=1

x Soit xE [-28,28] ; alors, pour tout k E IN*, on a 2k E [-8,8] et, pour tout n E ]N"* :

Ilf(x)- f(;) - x(l - 21n) III :(

t

IIf(2:- 1 )

f(;) - ;

-

III

k=1

Or

1

lim -2 =

n--++=

n

°

et, puisque

f est continue en

lim f(~)

n--++=

2n

°:

= f(O).

En passant à la limite lorsque n tend vers

+00 , on obtient donc:

IIf(x) - f(O) - xlII :(

€

Ixl·

Ainsi f(x) - f(O) - xl = o(x) , ce qui montre que f est dérivable en avec 1'(0) = l .

° [Il

Étudions la pente de la droite (DM) lorsque M varie sur la courbe:

+n

°,on a donc

donc:

-~T+3+"'+--1 Xn 2" 2 n - 2

1

1

3

2n - 1

=2{1+-+ ... + - - )

1

=2(H2n-- H n).

2


73

En tout:

Or, pour k E

]N"

,

l

on a :

k+l

.!. ~~ k

d'où, en sommant:

l

k

dx,

k-l

ln (n

1

-~-,

x" k

k

et, pour k 'c;;:; 2 :

dx

X

+ 1) !( Hn

!( 1 + ln n. On en déduit:

1 1 1 ln (n + 1) !( - !( 2 (1 + ln (2n) - - ln (n + 1)) !( 2 (1 + -In (n + 1) + ln 2) ,

2

Xn

d'où

-

1

~

+00

Xn

Inn,

ou encore

2

1

3. Pour tout x E [O,n] , on a:

°

!( f(x) !( f(x n ) = X n (1- x n ) (2 - x n ) . . . (n - x n ) .

Or, il existe c>

°tel que x

!(

c ,donc nn f(xn) !( n! ~ (1 - x n ) (1 - x n ) ... (1 _ x n ) !( n! ~ . Inn 2 n Inn Donc, pour tout x E [0, n] , on a : n

-1

f(xn)!( _cn'.. Inn


[KI

1. a) • Pour x > 0, on peut écrire f(x) = g(h(x)) où 1

h(x)=-- et g(y)=e'J. x Comme h est de classe CCXl sur ]0, +oo[ et 9 de classe Coo sur R, de classe CCXl sur ]0, +00[.

f est

l '


74

• Montrons la propriété (Hn) :

>0

Vx

fCn)(x)

Pn(x) e-i x2n

=

où Pn est un polynôme. 1

1

Pour n = 1, on a f'(x) = 2"e- x , donc (Hd est vérifiée avec Pl(X) = l. x Soit

n~ 1 et supposons (Hn)

vérifiée, soit fCn)(x) = Pn2(x) e- i ,d'où: x n

p~(x)x2n - Pn(x) 2nx2n- l _ .1 Pn(x) _.1 1 fC n+l)() x = e x +--e x_ x 4n x2n x2 (1 - 2nx) Pn(x) + x 2P~(x) _.1 -e x . x 2n +2

Posons Pn+l (x) = (1 - 2nx) Pn(x) Pn + l est un polynôme et

+ x 2P~ (x) ;

-i , f Cn+l)( X) = Pn+l(X) x2n+2 e donc (Hn +1) est vérifiée. Par récurrence, on conclut que (Hn) est vraie pour tout n E IN* . • On a Pl(X)

=

1 et

Pn+l (x)

=

On en déduit Pn+1(O)

+ x2 P~(x)

(1 - 2nx) Pn(x) =

(1).

Pn(O) , et donc, pour tout nE IN*, Pn(O) = 1 .

• On a dO Pl = O. Supposons dOPn = n -1. De do(x2p~) =n et dO(1-2nx)Pn(x))~n,ondéduit dOPn+l~n. Soit an le coefficient de xn-l dans Pn . On a donc par hypothèse an =F 0 , et

= -2nan + (n - 1) an = - (n + 1) an, donc a n + 1 =F 0 et par conséquent dO Pn + 1 = n . an+l

Par récurrence, on a donc, pour tout n E IN· : dO Pn = n -1. b) Pour tout n E IN, on a : 1

y2n

1

lim e- x = lim =0. x -ox~ y- +oo ~ x>o

Pour n

=

0, on en déduit: lim f(x) = 0 x-a x>o

=

f(O) ,


f est de classe CO sur [0, +00[. Soit n ~ 1 et supposons f de classe Cn - l sur [0, +00[, donc

75

donc

fCn-l) est

continue en O. Or

lim fCn)(x) = 0; d'après le théorème du prolongement de la dérivée,

x--+O x>O

fCn-l) est donc dérivable à droite en 0 et fCn) est continue.

Par récurrence, on en déduit que

f est de classe Cao sur [0, +oo[ .

1 x donc x 2J'(x) - f(x) = 0, relation qui reste vraie pour x = 0 ; ainsi, f est solution de :

> 0, on a J'(x) = 2" f(x) ,

2. a) Pour x

sur [0, +oo[ . b) Pour x> 0, on a f(x)

x 2J'(x) , donc

=

fCn)(x) = x 2fCn+I)(x)

+ n 2xfCn)(x) + n (n -

1) fCn - I)(X) ,

pour nE lN* ; d'où, pour x > 0 :

Pn(x)

2

-x2n -=x

Pn+I(X) x2n+2

+

2nx Pn(X) x2n

+

n (n - 1) Pn- l(X) x2n- 2

'

= Pn+l(X) + 2nxPn(x) + n(n -1)Pn_I(X)X 2 , ou encore Pn+l(X) + (2nx -1) Pn(x) + n (n - 1)x 2 Pn-l(X) = 0 (2),

d'où Pn(x)

relation qui reste vraie pour tout x E IR, puisque le premier membre est une fonction polynôme. c) Des relations (1) et (2), on déduit:

x 2 P~(x) + n (n - 1) x 2 Pn - l (x) et donc, pour x i- 0 puis pour tout x : P~(x)

= -n (n - 1) Pn - l(X)

Comme Pn(O) = 1 , on a donc:

Pn(x) = 1 - n (n -1)

1 x

=

°

(*) .

Pn - l(X) dx

(3).

En dérivant (1), on obtient: P~+ 1 (x)

=

-2n Pn(x)

+ (1 + 2x (1 -

n)) P~(x)

+ x 2 P::(x) .

Or, d'après (*), on a P~+l(X) = -(n+ l)nPn(x); d'où:

n (n - 1) Pn ( x) - [( 2n - 2) x - 1] P~ (x)

+ X2 P~' (X) =

° (4 ) .

76


d) Montrons par récurrence la propriété:

(Hn): . les zéros de Pn sont réels et distincts pour n ~ 2. Pour n = 2, on a dO P2 = 1 ; donc P2 admet un zéro réel unique et (H2) est vraie. Soit n ~ 3 et supposons (Hn- 1) vérifiée. Comme dO Pn-l admet n - 2 zéros réels distincts : Zl

= n - 2, Pn-l

< Z2 < ... < Zn-2 .

Pour tout k E {I, ... , n - 3} , en appliquant le théorème de Rolle, il existe Ctk E ]Zk, Zk+1 [ tel que P~ - l (Ctk) = 0 . Comme dO P~-l = n - 3, les réels Ctl, ... , Ct n-3 sont toutes les racines de P~-l et elles sont simples. Ainsi, Ctk est l'unique racine de P~-l dans ]Zb zk+d et P~-l y change de signe, d'où: P~ _ l(Zk) P~-l(Zk+t}

o.

(x)

Vx E [a, b]

M(x-a)(x-b),

=

2

et donc f(x)=T1(x). De même, s'il existe Xo E]a, bl tel que f(xo) = T 2 (xo), alors f(x) = T 2 (x) pour tout x E [a, b] .

c) D'après 5, on a 1Il>'(x)l:( M (b2- a) . Or Il>'(x) = J'(x) - a, d'où: a-

M (b - a) 2

'(a) = _ M (b - a) , b-a 2 2 d'où, d'après 4 : cI>(x)

M(x-a)(x-b),

=

2

= Tl (x) pour tout

ou encore f(x)

{

7. a) On a

xE [a,b].

Tl(a) = f(a) > 0 Tl(b) = f(b) > 0

Comme Tl est un trinôme du second degré de coefficient dominant M 2 > 0, on a Tl(x) > 0 pour tout x E [a,b] si et seulement si Tl est monotone dans [a, b] , ou si Tl atteint son minimum en que Tl(xt} > O.

Xl

E

[a,

bl

La condition (C) peut donc s'écrire:

VxE[a,b]

T{(x)#O

, = M (Xa + b) On a Tl(x) - -2T{(x) = 0 Or

Xl

E [a,

b]

- O.

Le trinôme admet donc deux racines distinctes:

Ml = 2 ( .,fJ0) - VJ(b)) 2

,

(b-a)2

M 2 = 2 ( .,fJ0) + .jJ(b)) 2 (b-a)2

et T 1 (xt) >0 si et seulement si MEJMI ,M2 [. Posons Mo

= 2If(~~-a~(a)1 . La condition ME JO, Mo[

ou

(C) s'écrit alors:

ME JMo, +=[ n JM}, M2 [.

Comme Mo E lM!. M 2 [, tout ceci se résume à M < M2 Conclusion Tl (x) > 0 pour tout x E [a, M
F est dite en escalier s'il existe une subdivision (xQ, ... , x n ) de [a, b] telle que f soit constante dans chacun des intervalles ] Xi-l, Xi [ pour i E {l, ... , n} .

- f est dite continue par morceaux (ou de classe Ck par morceaux) s'il existe une subdivision (xQ, ... , xn) de [a, b] telle que la restriction de f à chacun des intervalles] Xi - l, Xi [, pour i E {l, .. . , n}, soit prolongeable en une fonction continue (ou de classe Ck ) sur [Xi - l, Xi ] . - Exemples La fonction J, de [-1, 1] dans IR, définie par: siXE[-l,O]

X { X 1->

X

+1

si XE] 0,1]

est continue (et de classe C+ OO ) par morceaux .

86

Intégration sur un segment des fonctions vectorielles

La fonction g, de [-1,1] dans IR, définie par: si x

-=1-

0

si x

=

0

n'est pas continue par morceaux.

• Cas d'un intervalle quelconque - Si l est un intervalle quelconque, f : l --+ F est dite un escalier sur l si la restriction de f à tout segment de l est une fonction en escalier. On définit de même la notion de fonction continue par morceaux ou de classe Ck par morceaux sur un intervalle quelconque. - L'ensemble des fonctions en escalier sur l (ou continues par morceaux ou de classe Ck par morceaux) et à valeurs dans F est un espace vectoriel. • Définition de l'intégrale

• Fonctions à valeurs réelles - Soit r.p: [a, b] --+ IR une fonction en escalier sur [a, b] associée à la subdivision (xo, ... ,xn ). L'intégrale de r.p est le réel:

r

r.p =

J[a,b]

t

r.p(Qi)

6Xi ,

i= l

où, pour tout i E {l, ... ,n}, on a: Qi

et

E lXi-l, Xi [

6Xi = Xi -

Xi-l .

- Soit f: [a, b] --+ IR continue par morceaux. En notant [: l'ensemble des fonctions réelles en escalier sur [a, b], on a : sup

r

;~~ J [a,b]

r.p

=

inf

r

:~~ J[a,b]

1j; .

La valeur commune de ces bornes est l'intégrale de

f notée

r

J[a,b]

• Fonctions à valeurs complexes Pour f: [a, b] --+ ([: continue par morceaux, on pose:

r

J[a,b]

f

=

r

Re f

J[a,b]

+i

r

J[a.b]

• Fonctions à valeurs vectorielles -

Soit

f : [a, b]

--+

F continue par morceaux.

lm f

.

f.


87

En notant (el. ... , es) une base de F, on a :

1 = ft el + ... + Is es , où les fonctions /j sont à valeurs dans K. Le vecteur :

t( r

Ij)ej,

J[a,b]

j= l

, qui ne dépend pas de la base, est appelé l'intégrale de On le note encore {

1 1·

f.

[a,b]

- Si 1 : [a, b] -+ F est en escalier sur [a, b], de subdivision associée (xQ, ... ,xn ) , on a :

11 t =

[a,b]

I(ai) D..xi,

i=l

où aiE]xi-1,Xi[ et D..xi=Xi-Xi-1 .

. • Propriétés de l'intégrale

1 et 9 sont des À

fonctions continues par morceaux et à valeurs dans F; appartient à K.

• Linéarité

r

(/+g) =

J[a,b]

r

1+

J[a,b]

r

()..j) =

À

J[a,b]

r

g.

J[a,b]

rI.

J[a,b]

Soit G un espace vectoriel normé de dimension finie et u : F linéaire, alors:

-+

r 1 (r 1) . u

=

0

u

J [a,b]

J[a,b]

• Inégalités

r

J[a,b]

• Si I(t)

1 ~

= g(t) , sauf en

r

J[a,b]

11/11 ~ (b - a)

sup

II/(t)II.

tE[a,b]

un nombre fini de points de [a, b] , alors:

r

J[a ,b]

1=

r

J[a,b]

9

G


88

• Cas des fonctions réelles -

r r

Si f"?:- 0, alors

f

J[a,b]

-

Si

f ~ 9 , alors

J[a,b]

~0.

f ~

r

9.

l[a,b]

Si f est continue et positive, alors:

r

f=O~VtE[a,bl

l[a,b]

f(t)=O.

• Propriétés relatives à l'intervalle - Notation Soit 1 c R un intervalle quelconque et f : 1 --+ F une fonction continue par morceaux. Pour a et b appartenant à l, on note:

1 b

f(t) dt

a

=

{1 r [a,b]

f f

si

a ~b

si

a> b.

l[b,a]

-

Relation de Chasles

V(a,b,c)EI 3 -

lb

f(t) dt =

le

f(t) dt +

lb

Invariance par translation

v (a, b) E 12

V k E 1R

l

b+ k

a+k

f (t - k) dt =

f(t) dt.

lb f (

t) dt .

a

Intégration sur un segment des fonctions vectorielles ;

89


. [TI

Déterminez les fonctions J, de [a, bJ dans R, continues et telles que

r J(t) dt = M (b - a) b

où M = sup J(t) .

Ja

[Il

J: [a, bJ

Soit

Déterminez l

-+

tE[a,b]

R une fonction continue et positive.

(r

= lim

n-->+oo

1 b

Ja

(J(t)r dt) n

o

Soit J et g deux fonctions réelles, positives et continues par morceaux sur [a, bJ telles que Jg ~ 1 . Montrez que :

rb Ja

, QJ

J(t) dt

1b

g(t) dt

~ (b -

a)2 .

Soit P E IN; étudiez la convergence de la suite de terme général:

1

. 7r ~ An = Sin - ~

n

lliJ

Pour

X

k=O

1

k7r

2 +cosn

E nt \ {-l, 1} , calculez: !(x) =

!arr ln (1 -

2xcost + x 2 ) dt

à l'aide de sommes de Riemann.

[ill

Soit

JE C ([0, 11, OJo h>O

[1J

Soit que:

J une fonction

h2 h

+x

2

J(x)dx =

~2 J(O).

de [0,1] dans +oo

r xn J(x) dx = ;~f J(x) . l

Jo

lim


90

L'énoncé du problème ~ On considère l'espace vectoriel réel E = C([a, b], R) muni du produit scalaire:

< fig> =

lb

f(x) g(x) dx .

Pour kEN, on note Ck la fonction x 1-+ xk . Soit P une fonction polynôme de degré n ~ 1 , orthogonale à toutes les fonctions Ck pour k E {O, ... , n - 1} . On se propose de démontrer que P admet alors n racines distinctes, réelles et toutes situées dans la, b[ .

la, b[ . Montrez que P n'admet aucune racine multiple dans la, b[. Soit {Xl, ... , xr } l'ensemble des racines de P dans la, b[ . Montrez

1. Montrez que P admet au moins une racine dans

2.

3. que r

= n.

Pour d'autres exercices et problèmes sur l'intégration, voyez les chapitres 5 à 7 et le tome 2.


rn

Introduisez M = sup f(t). tEla,b]

~ Utilisez l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

. 7r Remarquez que smn

+ <Xl

n

, puis comparez avec des sommes de

Riemann.

[[J

Vous savez transformer une somme de logarithmes. Puis vous aurez à utiliser la factorisation de x2n - 1 .

[ill

Écrivez

f(x) = (t(x) - f(O))

+ f(O)

.

Intégration sur un segment des fon~tions vectorielles

Ifo1 h ~x2

Pour majorer

(J(x) - f(O)) dx

2

1,

91

prenez a E [0,1] pour

couper l'intégrale en deux.

ŒJ

Considérez la fonction

Î

définie sur [0, IJ par:

Î(x) = f(x) si x < 1

. Î(I) = lim f(t) , t-+ l

puis écrivez Î(x) = U(x) - Î(I)) + Î(I) . Pour majorer l'intégrale du premier terme, on peut couper l'intervalle en deux.

Iol

' .. 2. Etudiez Q(x)

~

= (

P(x)

x -Xa

)2 où xa est une racine multiple de P dans

Ja,b[ . 3. P osez T(x)

P(x)

=

(x -

Xl)'"

(x - x r

)

Les corrections d'exercices

[Il

Si f est constante, on a f(t) = M pour tout tE [a,bJ et donc l'égalité proposée.

Sinon, il existe ta E [a, bJ tel que f(ta) < M. La fonction g(t) = M - f(t) est alors continue, positive et non identiquement nulle, d'où:

l ou encore:

lb

bg (t)dt > O,

f(t) dt < M (b - a) .

L'égalité est donc vérifiée si, et seulement si, f est constante dans [a, b].

92


[]] Posons an =

(lb

1

(J(t)r dt) n pour nE

et M = sup f(t).

]N'.

a

On a Soit a:

lb

tE[a,b]

(J(t)r dt::;;

Mn (b - a), donc an::;; M (b - a)ït. 1

€

> O. Comme lim (b - a)n = 1 , à partir d'un certain rang r on n->+oo

an

::;;M(l+€).

Cherchons une minoration de an. Comme f est continue dans un intervalle compact, il existe Xo E [a, b] tel que f(xo) = M et un sous-intervalle [c, d] C [a, b] où c < d, tels que xoE[c,d] et f(x)~M-€ pour tout xE [c,d] . Alors:

puis 1

an ~ (M - é) (d - c)n

en supposant M - é > 0, ce qui est possible car si M = 0 on a an = pour tout n, et si M > 0 on peut considérer é tel que M > €

°

•

Comme ci-dessus, on dispose d'un rang r' à partir duquel on a : an ~ (M - é) (1 - é) ~ M - é (1

+ M) .

Pour n ~ sup{r, r'} , on a donc: -€

ce qui montre que l =

(1

+ M) ::;; an

- M ::;;

€

M ,

lim an = M .

n---++oo

rn

En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz (cf. chap. 6 ou Flash SUP Analyse 1 p.116) aux fonctions continues par morceaux et V9, on obtient:

V7

lb

f(t) dt

lb

g(t) dt

~

lb J

f(t) g(t) dt

~

lb

d'où le résultat en élevant au carré . • Quand n tend vers +00, on a sin ~ '" ~ , donc n

n

dt = b - a,

93


Posons

ou,

f() 1 x = -::----

2+cosx On sait que, si f est continue par morceaux sur [a, b], b

aJ~rs :

lb /

b

n-l

'

lim ~ Lf(a+ k~) = / f(x) dx n

n-++oo

n

k=O

'a

cf. Flash SVP Analyse 1 p . 116.

lim Bn =

On en conclut ici que • Montrons que 6

n -+ +oo

Hm An

n-++oo

n

Jor f(x) dx .

= n-++oo Hm Bn . Pour ceci, posons:

= Bn - Cn = ~n

1

n- l

'"' L k=n - p+ l

br

2 + cosn

~ /

Pour tout k E {n - p + 1, ... , n - 1} , on a

3

~

1

br 2+cos-

./ ~

1,

n

= O.

n

p-l7r d'où - - - ~ 6 3 n

On a donc

lim An

t

=

=

l

lim Cn =

n -+ +oo

lim Bn =

n -+ +oo

r

Jo

Hm 6

n-++oo

dx

2 + cos

x

rr

dx , le changement de variable a 2 + cos x

x tan2

2dt dx = 1 + t2

r 2 +dxcos x = Jor

oo

Jo

• Conclusion:

ŒJ

n

n -+ +oo

• Pour le calcul de

donne:

n

7r ~ (p -1) et par conséquent

Hm An =

n-++oo

2dt 3 +t 2

;

1 - t2 cos X = 1 + t 2

[ 1

1 ] +00

= 2 J3 arctan J3 a

~.

J3

Pour x E lR et t E [0, 7rJ , on a : 'P(x , t) = 1 - 2x cos t + x 2 = (x - cost)2 + sin 2 t,

7r

= J3'


94

donc cp(x,t) > 0 saufsi sint si (x,t) = (-1,11").

=

0 et cost = x, soit si (x,t) = (1,0) ou

En supposant Ixl -=f 1 , la fonction: t

1-4

ln (1 - 2xcost + x 2 )

est donc continue sur [0,11"] . On a alors !(x) 11" n k1l" Sn = - LIn (x2 - 2xcosn k=l n k 2x cos :

n

en posant Pn =

rI (x2 -

lim Sn avec

=

n-t+oo

+ 1) =

11"

-lnPn n

+ 1) . Ce produit se transforme:

k=l n

Pn

=

rI (x _e k,i'") (x _ei

i

k=l

où

Zk

n

n

rI

~) =

(x _e i k,i'")

II

=

k=-n

(x -

Zk),

k=-n

kojO

kojO

i 2kTr = ei kTr n = e"""2n est une racine 2n-ième de l'unité. n-l

II (x -

On peut donc écrire la factorisation x2n - 1 =

Zk) •

k=-n

On en déduit Pn puis Sn =

~ ln n

= (x2n

[( x2n _

Pour Ixl < 1 , on a

_ 1) x + 1 , x-1

1) xx-1 + 1] .

lim x2n = 0, d'où

n -t+oo

lim Sn = 0 .

n-t+oo

Pour Ixl > 1 , on écrit: Sn

= ~ ln n

donc

[X2n(1 __1_) x + 1] x2n X - 1

lim Sn

n -t +oo

= 211" ln Ixl

= 211" ln Ixl + ~ ln [(1 __1_) n

x2n

x + 1] X- 1

.

Conclusion !(x)

={ 0 211" ln Ixl

Remarques - La fonction t cf. chap. 6. -

1-4

si Ixl < 1 si Ixl > 1

cp(x, t) est encore intégrable lorsque Ixl

Une autre méthode consiste à dériver sous le signe

J

= 1,

(cf. Tome 2).


]J

95

Introduisons 1(0) dans la fonction à intégrer. Pour h > 0, on a :

1 1

a

h 2 / (x)dx +x

h2

Comme

1

1

2

=

11

2

dx

h

a h +x

a

h2

11

h h 2 (f(x)-/(O))dx+/(O) h2 2 dx . +x a +x

= [ arctan -hX] 1 = arctan -1 , on a : a

lim h-+O h>O

laa

n

h

I

+

h2

dx

x2

1T

= -

2

.

Il suffit donc de démontrer que la première intégrale tend vers 0 quand h tend vers 0 par valeurs supérieures. Soit a E JO, 1J . On a :

111 h ~ x 2

2

(f(x) - 1(0)) dx

1

~ Jot

h 2 h 2 I/(x) - 1(0)1 dx +x

=r h

h 2 h 2 I/(x) - 1(0)1 dx +x

+

Lh rI

2

h 2 I/(x) - 1(0)1 dx. +x

Soit ê > O. Comme 1 est continue en 0, il existe a EJO ..1J tel que, pour tout xE [O,aJ, on ait I/(x) - 1(0)1 ~ ê et donc:

la a

h2

h 2 I/(x) - 1(0)1 dx ~ +x

ê

~

ê

la

1na

h 2 dx +x

h2

a

1

h2

h

+x

2

dx

1

= ê arctan -

n

1T

~ -2

ê.

Comme la fonction X 1---+ I(x) - 1(0) est continue dans le segment [0, 1J, elle y est bornée. Posons M = sup I/(x) - 1(0)1 ; alors: xE [O~ll

11 h

2

~ x 2 I/(x) -

1(0)1 dx ~ M

1

~ M

Or

h

1

a

h

2

+X

2

1 a dx = M (arctan -h - arc tan -h) a

1T

(2 - arctan h) .

lim arctan -ha = ~2' donc il existe t5 >

h-+O h>O

on ait:

2-

1

1T

al

arctan h ~

°tel que, pour

ê .

h E JO, t5J ,


96

En tout, pour h E ]0,6] , on a :

t

1 Jo

h2

h

+ x2

7r

(2" + M) ê

(J(x) - f(O) ) dx 1 :s;;

,

ce qui montre que:

r

1

lim h 2 h 2 (J(x) - f(O)) dx = 0, h-+OJo +x

d 'où le résultat demandé.

Variante Pour tout a E ]0, 1] , on a :

r

1

où g(h) =

la o

h2

1 1

a

h2 h

+x

Jo

f(x) dx

2

=

r h +x h

Jo

2

2

f(x) dx

+ g(h)

h 2 h 2 f(x) dx. Or +x

h 2 f(x)dx +x

=

la

h2

0

h 2 (J(x)- f(O))dx+ f(O) +x

la 0

h2

h 2 dx . +x

Comme ci-dessus, on fixe a tel que

r h2 + x2 (J(x) - f(O)) dxl :s;; 2"

1 Jo

et on montre que

lim h-+O h>O

h

l

7r

a

0

ê

h 7r dx = - . 2 2 h +x 2

Il reste à étudier g(h) . Cùmme la fonction (h, x)

1--+

h2

h 2 f(x) +x

est continue sur IR x [a, 1], g est continue sur 1R (cf. tome 2), d'où: lim g(h) h-+O h>O

=

g(O) = O.

Remarque Vous pouvez rencontrer ce genre d'exercice sous la forme plus désagréable 1 h Calculer Hm h2 2 f(x) dx. h-+O 0 +x h>O Il faut alors sentir que le problème se situe en x = 0 pour avoir la bonne idée d'introduire f(O) .

1


11

Considérons la fonction

Î

l' et

n

xn Î(x) dx

r' xn dx

Jo

=

l' l'

•

définie sur [0,1] par:

Î(I) = lim f(t) .

Î(x) = f(x) si x < 1 Î est continue en 1 et

97

xn f(x) dx =

t-+'

l'

xn Î(x) dx. On a :

xn U(x) - Î(I)) dx

+ Î(I)

l'

xn dx

_n_, donc:

=

n+ 1

lim nÎ(I) n-++oo

Jor' xn dx =

Î(I) .

Majorons le module de la première intégrale; on a, pour a

E

]0, 1[ :

Soit ê > 0 ; fixons a tel que, pour tout x E [a, 1], on ait IÎ( x ) - Î(I)1 ~ê; d'où:

r' xn IÎ(x) -

Î(I)1 dx

Ja

~

êl'

xn dx

a

êr'

~

Jo

xn dx =

_ê_. + n

1

La fonction x 1----+ lÎ(x) - Î(I)1 est continue par morceaux dans [0,1], donc bornée. En posant M = sup IÎ(x) - Î(I)1 ' on obtient ensuite: xE [O,']

r xn IÎ(x) - Î(I)

h Comme

1 dx

~M

r xn dx

Jo

=

M an+! . n+l

= 0, nous disposons d'un rang r à partir duquel

lim a n +' n-++oo

Ma n +' ~ê. Pour n;:::: r , on a alors : n

l, a

r'

1

2nê

xn If(x) - f(l) dx ~ - - ~ 2ê ; A

A

donc

lim n xn lÎ(x ) - Î(I) 1 dx n-++oo Jo

d 'où

lim n n-+ +oo

n+l

= 0,

r' xn f(x) dx = Î(I) = :;,;f lim f(x) .

Jo


98

La correction du problème ,

œ

1 b

1. On a 0 =

< Pico>

=

P(x) dx, donc P n'est pas de signe

la, b[ et admet au moins une racine dans cet intervalle. 2. Considérons Xo une racine multiple de P dans la, b[ et posons:

constant dans

Q(x) =

P(x) (x - xo)2

Alors Q est une fonction polynôme de degré n - 2 , donc combinaison linéaire des fonctions Co, Cl, .. . , Cn - 2 , d'où < P 1 Q > = o. Or

< P 1Q > =

l

b

a

(

{p(x))2 )2 dx > 0 puisque c'est l'intégrale d'une X -

Xo

fonction continue positive et non nulle. Il y a donc une contradiction et on rejette l'hypothèse formulée . P n'admet donc aucune racine multiple dans

la, b[ .

3. Supposons r < n et posons:

S(x)

=

(x - xd .. . (x - x r )

Comme ci-dessus, on obtient < PIS > Le polynôme T(x)

=

~gj

=

.

0 puisque dO S < n .

n'admet pas de racines dans

conséquent, est de signe constant. On a alors:

< PIS>

=

Ceci est contradictoire, d'où r

lb

S2(x)T(x)dx -=1

= n.

o.

la, b[

et, par

PÉRIVATION , ET INTEGRATION • Primitive et intégrale d'une fonction continue par morceaux • Théorème du relèvement • Étude globale des fonctions de classe Cl • Développements limités

L'essentiel du cours l désigne un intervalle de IR et F un espace vectoriel normé de dimension finie sur IR ou ([;.

• Primitive et intégrale d'une fonction continue par morceaux

• Définitions - Une primitive d'une fonction continue f : l g : l ,..... F , dérivable sur l et telle que g' = f .

-->

F est une fonction

- Une primitive d'une fonction f : l --> F continue par morceaux est une fonction g : l --> F, continue sur l et telle que g'(X) = f(x) en tout point x où f est continue. -

f(x)

Exemple =

{

si x < 0 si x = 0 1 si x> 0

-1 0

; g(x) =

Ixl ;

h(x) = {

-x+ 1 si x < 0 0 si x = 0 x+2 si x> o.

g est une primitive de f sur IR. h vérifie aussi h'(x) = f(x) pour tout x f. 0, mais ce n'est pas une primitive de f sur IR car elle n'est pas continue .

• Théorème - Deux primitives d'une même fonction continue par morceaux sur un intervalle l diffèrent d'une constante. Attention, le mot intervalle est important.

100

Dérivation et intégration

f, g et h les fonctions définies sur IR· par:

Exemple Soit

1 x

f(x) = ln Ixl

h(x) =

g(x) = -

{

~ +1

si x < 0

- +2

si x> O.

~

x On a g' = h' = f , mais g - h n'est pas une constante.

• Théorème fondamental - Soit f : l -t F continue par morceaux et a E J. La fonction ga définie de J dans F par : ga(x) =

lX f(t) dt,

est une primitive de f sur J. C'est l'unique primitive de f sur J qui s'annule en a. Pour toute primitive h de

-

f, on a :

lX f(t) dt = h(x) - h(a) . Si

f est continue sur J et de classe Cl par morceaux, alors: f(x)

=

f(a) +

lX !,(t) dt .

• Intégration par parties Soit u : J -t IR (ou ~) et v : J -t F des fonctions continues sur J et de classe Cl par morceaux. Alors, pour tous a, b E J , on a :

lb

u'(t) v(t) dt

=

[u(t)

v(t)]~

-lb

u(t) v'(t) dt.

On utilise souvent cette formule de façon itératiue .

• Intégration par changement de variable -

Soit f: J

-t F

continue et tp: [a, .Bl-t J de classe Cl; alors:

1

'f'({3)

'f'(a)

-

f(t) dt =

1{3 f(tp(u»

tp'(u) du.

a

Remarques

1. tp n'est pas nécessairement une bijection de

[a,.el

sur son image.

2. Par contre, si l'on suppose tp croissante, la formule s'étend au cas où

f est seulement continue par morceaux.

3. On est souvent amené à décomposer l'intervalle d'intégration pour pouvoir employer la bonne substitution (cf Exercice 1).


101

4. Le changement de variable transforme parfois une intégrale "ordinaire" en une intégrale sur un intervalle non borné ou d'une fonction non bornée (cf. Exercices 1 et 2). -

Cas particulier: changement de variable affine

Pour ramener une intégrale sur [a, bJ à une intégrale

* sur

[-1, lJ , posez: t

* sur

b-a

a+b

2

2

= +oo

ou encore

ln (nI)

=

1

(n+"2) Inn-n+0(1).

On a donc:

1 (x) = x + (n +

ln n - n - n ln x + O( 1)

n 1 (x - n) + n ln ; + "2 ln n + 0 (1) .

=

Or

1

"2)

x 1 0 ~ x - n ~ 1 et 0 ~ n ln - ~ n ln (1 + -) . n n

Comme

lim nln (1 +

n->+oo

.!.) = n

1 , la fonction x

1-+

nln:: est bornée. n

En tout: l(x)

1

lIn

1

= "2lnn+0(1) = "2lnx+ "2ln; +0(1) = "2lnx+0(1).

En conclusion:

1 l(x) '" -lnx. +00 2

ŒJ • Noyau On a les équivalences suivantes : u(J)

= 0 - fil = 0 - 1'(x)

=

a - f(x)

= ax + b

où a et b sont des constantes. Comme f est périodique, on a nécessairement a = O. Donc Ker u est l'ensemble des fonctions constantes . • Image - Supposons 9 E lm u et soit f E E tel que u(J) = g, donc!" = g, d'où

f'(x

Comme donc

+ 1) -

1'(x)

f est périodique de période J'(x

+ 1) - J'(x) = 0

et

=

1 lxt+ g(t) dt.

1, il en est de même de

l

x

1

+ g(t) dt =

1 1

l' et de f",

g(t) dt.


116

On a donc montré l'implication:

fol g(t) dt = O.

g E lm u ==>

Réciproquement, soit g E E tel que

-

fox g(t) dt

Posons h(x) = a +

h(x + 1) - h(x) =

l

lai g(t) dt = o.

où a est une constante. On a : x

l

+ g(t) dt =

fol g(t) dt = 0,

d'où h de période 1 et de classe Coo , donc h E E .

fox h(t) dt , alors :

Posons encore f(x) =

f(x+ 1) - f(x) =

l

x

Posons enfin a = Alors -

f

E E et

+

l (foU g(t) dt + a) du = fol (foU g(t) dt) du+a.

fol (foU g(t) dt) du.

u(f) = g . On a donc bien g E lm u .

Conclusion

lm u

101

L.!!J

a) On a Imln =

J1< -

est impaire.

,

Donc In est reel et In

1f

=

= {g 5

E E;

fol g(t) dt = O} .

sin 0 , 4 0 dO = 0, puisque la fonction à integreJ + cos

J" - 1f

cos 0 0 dO . 5 + 4 cos

b) On a: cos nO + cos (n - 2) 0 = 2 cos 0 cos (n - 1) 0 . En écrivant 2 cos 0 cos (n - 1) 0

1 5 (5 + 4 cos 0) - -] cos (n - 1) 0 , 2 2

= [-

on obtient: cos nO cos(n-2)O 1 ( ) 5cos(n-1)O ---,---::-+ = -cos n-1 0-. 5+4cosO 5+4cosO 2 25+4cosO

Puisque

i:

Dérivation et intégration cos (n - 1) BdB

117

= 0 pour n ~ 2 , en intégrant sur [-'Ir, 'Ir]

on en déduit que:

ou encore:

In

5

+ '2 In-l + In-2 = o.

c) On a:

10 =

=2 J-'If'If 5 + dB 4 cos B

1" 0

dB

-:c:----:---:;-

5

+ 4 cos B

Le changement de variable

B

tan 2

=t

.

'

dB=~2 1 +t

donne:

r+

10 = 2 Jo

oo

5

1 - t2

cosB = 1 +t2

1 2dt 1 - t2 1 + t 2 +4 1 + t 2

roo

= 4 Jo

dt

t] +00

4 [

t2 + 9 = 3" arctan 3"

0

2'1r

=""3.

On en déduit:

Il =

J-''IIff

J'If (1 5 'Ir ) dB = - -'If 5 + 4 cos B 2

cosB

1 dB = 5 + 4 cos B 4

d) Les racines de X 2 + ~X

Ct

~r.

et {3, prenons n = 0 et n

=

2'1r 3

1101

o

1 = ( _ ~)n 2'1r .

f est de classe COO sur 1 f' (t) = 1 + cos t + i sin t

J(1 + cost)2 + sin

2

n

1.

/f'(t)/ =

1: 2'1r 3

3

En conclusion, on obtient

'Ir

·

+ 1 sont -2 et - ~ ; on en déduit:

In =Ct(-2)n+,B( Pour déterminer

5 4

- 10 = -- .

2t

'Ir, 'Ir [

=

3

et

V2 (1 + cost) = J4COS 2 ~,

3

118


t d'où, puisque cos 2 > 0 :

1J'(t)1 = 2 cos ~ . On a donc: 2 t . t t 2cos 2+2sln2COS2 t t ,t 1f'(t)1 = 2cos!. =cos 2 +isin 2 =el~, 2 t t d'où

(a

J,

de [0,

il

dans IR, donnée par:

2acos8 b) sin 2 B

+ b) + (a -


1 est

119

bien définie sur [0, ~] et de classe COO avec:

1'(0) = 2a cos 0 [(a + b) - (a - b) sin 2 0] [(a + b) + (a - b) sin 2 0]2 Dans ] 0,

.

7r

"2 [ , on a l' (0) > 0, donc 1 est strictement croissante. Comme 7r

7r

1(0) = 0 et 1("2) = 1 , on a donc 0 < 1(0) < 1 pour 0 E ]0, "2 [ .

~:e~o~ction g définie par g( 0) = arcsin 1(0) est de classe C dans] 0, ~ [, OO

'(0) _ g

-

1'(0)

VI - 1(0)2 2a cos 0

x

V[(a+b)+(a-b)sin20]2-4a2sin20

Or

a + b - (a - b) sin 2 0 2

a+b+(a-b)sin 0

[a+b+(a-b)sin20]2-4a2sin20 =

(a + b)2 - 2(a 2 + b2) sin 2 0 + (a - b)2 sin 4 0

=

(1 - sin 2 0) [(a

=

cos 2 0 [(a+b)2 - (a- b)2 sin 2 0] ,

+ b)2 -

(a - b)2sin2 0]

d'où: g

'(0) -

2a v(a+b)2-(a-b)2sin20

X

a+b-(a-b)sin 2 0. 2 a+b+(a-b)sin 0

Le théorème du prolongement de la dérivée montre que g est de classe

Cl

dans [O,~]. La substitution r.p = g(O) donne alors:

a2 cos2 r.p+b 2 sin 2 r.p = a2 _(a 2 _b 2 ) 1(0)2 = a2

(0 +

b - (a - b) sin 2 0) 2 a+b+(a-b) sin 2 0

d'où

dr.p Va 2 cos 2 r.p + b2 sin 2 r.p

2dO v(a + b)2

+ (a _

b)2 sin 2 0 dO

120


dO

J

(a; b) cos 2 0 + absin 2 0

Vai

dB cos 2 B +

br sin2 0

Comme g(O) = 0 et g( ~) = ~ , on en déduit:

r/ G= Jo

dO

2

Vaîcos20+brsin20

2. Considérons les suites (an) et (b n ) définies par ao pour tout n E ]N" :

= a, bo = b et,

On montre par récurrence que, pour tout n E ]N., on a :

bn- 1 < bn < an < an-l . La suite (an) est donc décroissante et minorée par b, donc convergente vers une limite Q. De même, la suite (b n ) converge vers une limite f3. Or, en passant à la limite dans (*), on a

Q= Q; f3 , d'où Q= f3 .

Ainsi, les suites (an) et (b n ) sont adjacentes et, par récurrence, on a pour tout nE ]N : G = ["/2 ---r===::=d='P====; K continue par morceaux. S'il existe une fonction
IR+ continue par morceaux et intégrable sur I telle que

III ~
K continues sur l et telles que 1f1 2 soit intégrable sur l, est un espace vectoriel. Si

f et

g appartiennent à L~(I, K) , le produit

L'application: (J, g)

1-4

17 Jl lf,2 g = (J

1

f g est intégrable sur 1.

g)

est un produit scalaire sur L~(I, K) . La norme associée : N 2 (J)

=

est appelée norme de la convergence en moyenne quadratique .

• Comparaisons -

f et g appartenant à

Pour

L~(I, K) , on a:

I(J 1g)1 ~ N1(Jg) I(J 1g)1

~ N2(J) N 2 (g)

~ N2(J) N 2(g) .

est l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace

préhilbertien L~(I, K) . -

Lorsque 1 = [a, b] est compact,

L~(I, K)

=

L~(I, K)

= C (I, K) et, pour f N 2 (J)

~

N 1(f)

~

Vb Vb -

E

C (I, K) , on a :

a Nao(f), a

N 2 (f) .


'1J

Étudiez l'intégrabilité des fonctions suivantes: earctan

a) f(t) =

t

t _ 1

sur ]0,1] ;

128

Intégration sur un intervalle quelconque

b) g(t)

= arc~ant

sur [1,+00[;

c) h(t) = arc::nt sur ]0, +oo[ ; d) i(t)

=

arc::nt sur [1, +oo[ ;

e) j(t)

=

e -tr - e-tr

a2

f) k(t) = (

b2

t

t

e - e

sur ]0, +oo[ ;

1) 1

"2 sur ]0, +oo[ .

-2

-t -

t

°

~ Pour a > et (3 réels, calculez: I(a,(3)

f

[]] Soit

= 10+ e- at cos(3tdt 00

et J(a,(3)

= 10+ e- at sin(3tdt . 00

une fonction de [0, +oo[ dans IR, de classe C2 , telle que

12 et

(f") 2 soient intégrables sur [0, +00 [ . Montrez que

1

[!]

(f') 2 est intégrable.

Montrez que x

t

1-+

1-+

t Jo

sin t dt admet une limite finie en +00, mais que t

sin t , . , ble sur ]0 , +00 [ . - - n est pas mtegra t

[]] Soit a> O. Étudiez suivant les valeurs de x et de y l'intégrabilité sur [a, +oo[ de la fonction définie par:

..

~ Montrez que la fonction : t

est intégrable sur ] 0,

[f]

1-+

ln (sint)

'Ir

"2 [ et calculez son intégrale.

Montrez que la fonction calculez son intégrale.

1 :x

1-+

ln (tan x) est. intégrable sur ] 0, ~ [ et


ŒJ

> et b > O. Calculez les intégrales:

Soit a 1=

°

1

+00

e-ax - e- bx

o

x

dx et J

=

1+

00

arctan ax - arctan bx

x

0

(_l)E(t)

[Q]

Pour t;? 1 soit f(t) =

et g(t) = f(t)

t

+t

1. Montrez que les fonctions f et g sont équivalentes en Sont-elles intégrables sur [1, +00 [ ?

2. Étudiez les limites éventuelles de tend vers

,110 1

129

1 ln(t

dx .

+ 1)

+00.

JX f(t) dt et JX g(t) dt lorsque x

+= .

1+

00

-t

_e_ dt est équivalent à -ln x lorsque x tend vers o x +t par valeurs supérieures.

Montrez que

° lliJ

Soit f de ]0, a] dans rn. une fonction continue par morceaux, décroissante et intégrable sur ]0, a] . Montrez que

Jor f(t) dt =

n

lim

Sn

où Sn

=

n--->+oo

~ ~f(k~). n

k=l

1f

Application: Calculez On pourra factoriser

1a"'I ln (sin t) dt .

X 2n -1 X2 _ 1 dans ([; puis dans

rn. .

Les énoncés de problèmes

[1]J

(D'après le concours Centrale) 1. Pour nE N* et t E [0, v'n] , montrez l'encadrement:

n

130


10 Vn e-

2. Déduisez-en un encadrement de

dt à l'aide d'intégrales de

t2

'If

la forme Ip

= 1o"'! cosP x dx

avec p

E

IN .

3. Déterminez un équivalent de Ip lorsque p tend vers +00 et déduisez-en

la valeur de

10+

00

e- t2 dt .

]J

(D'après le concours X) 1. Soit 9 et h deux fonctions numériques définies, continues et strictement positives sur l'intervalle [a, +oo[ et dont le quotient admet la limite 1 en +00.

a) On suppose 9 intégrable sur [a, +oo[ . (+oo

Montrez que les fonctions x

f-+

lx

g( t) dt et x

f-+

1+

00

h(t) dt sont

équi valentes lorsque x tend vers +00 .

b) On suppose que 9 n'est pas intégrable sur [a, +00[. Montrer que les fonctions x

f-+

lX

g(t) dt et x

f-+

lX

h(t) dt sont alors

équivalentes lorsque x tend vers +00 . 2. Soit f une fonction numérique définie, strictement positive et de classe

Cl sur [a, +oo[ . On suppose que

x J'(x)

lim - f ( )

X- +CXl

X

=0.

a) Montrez que:

lnf(x) = 0 . lnx b) Si 0 < -1 , montrez que f est intégrable sur [a, +oo[ et que les +00 () xf(x) , fonctions x f-+ f t dt et x f-+ - - - sont equivalentes en +00 . lim

x~+oo

1

0

X

c) Si 0> -1, montrez que

+1

f n'est pas intégrable sur [a, +oo[ et qu'alors:

r f(t) dt +='" x f(x) . +1

la

0

d) Montrez par des exemples que, dans le cas où 0 = -1, on ne peut rien dire concernant l'intégrabilité de f sur [a, +oo[ .


131


Il

Cherchez des fonctions équivalentes.

~ Étudiez K

1 + iJ .

=

!

lim r (J' (t)) 2 dt . Jor (J' (t») 2 dt, puis étudiez l'hypothèse x~+ooh

@J

Intégrez

[I]

Pour démontrer l'existence de la limite de

r sint t dt , vous pouvez

Jo

intégrer par parties pour obtenir un dénominateur en t 2 ; choisissez bien la primitive de sin t ou n'intégrez que sur JI, x[ .

,

Une autre methode est de transformer

lmr

d'une série convergente. Cette méthode s'applique aussi à

[]] Considérez les cas y > 0, y

=

a

sin t - - dt en somme partielle

t

r" 1sint tl dt.

Jo

0 et y

0 et 13 > a on a :

1 {3

g( x ) dx

=

a

La fonction x

1-+

1

00

~

l

arctan x d x b{3 arctan x d x. ~

X

X

arctanx est intégrable sur x . ]0,1 [ , donc

Ibo arctan x dx = a .

lim ~>8

x

ao

Supposons a ~ b . Pour x E [af3, bf3] , on a : arctan af3 ./' arctan x ~ x x d'où, en intégrant sur [af3, bf3] : b arctan( af3) ln a

Comme

~

Ib(3 arctan x a(3 X

lim arctan(af3) =

{3-++00

Hm

~

"

arctan bf3 ' x

dx

Hm arctan(bf3)

(3-++00

a

7r

= -2 ' on a donc:

b

2

x

g est donc bien intégrable sur ]0, +oo[ et J

1. Quand t tend vers +00, on ag(t)

On a If(t)1

b arctan (bf3) ln - .

r (3 arctan x dx = ~ ln ~ .

(3-++oo}a(3

f9l ~

~

a 7r

a

= "2 ln b .

= f(t)+o(I), donc f(t)

rv

+00

g(t).

= ~ . Or ~ n'est pas intégrable sur [1, +00[, donc f n'est

t t pas intégrable sur cet intervalle.

142


Il en est de même de g, puisque g '" f

. En f.

l 'intégrabili té de g entraînerait celle de

2 .• Étude de

effet, comme

f = O(lgl) ,

r f(t) dt .

lim

x->+oo JI

Soit x > 1 et n E N tel que 2n + 1 :::;; x < 2n + 3 .

lX f(t) dt . f(t) dt + J1xf(t) dt = J2n+1 1 2n+ 1

Alors

Or

11

1 lX

X

f(t) dt :::;;

2n+1

donc

2n+1

r

lim

f(t) dt

=

-dt :::;; -2- , t 2n + 1 0.

x->+oo J2n+1

Par ailleurs :

J

zn+l

l

n

f(t) dt =

1

L k=l

=

Zk+1

(_I)E(t) t dt

Zk - l

(r2k _ dt + r2k +

~ J n

1

J2 k

t

2k-1

dt) t

n

=

L (- ln (2k) + ln (2k -

1) + ln (2k + 1) - ln (2k))

k= l

1

n

=

Lin ( 1 - 4k 2 )

•

k= l

1 Comme ln (1 - 4k 2 )

-t-:O -

1 4k 2 et comme la série

L - 4k1

avec ses termes de signe constant, Lin

(1 - - 2)

converge.

4k

k= l

En notant S la somme de cette série, on a dOlic:

J x

lim

x->+oo

• Étude de

1

r

lim

1

Tt

f(t) dt = lim ' " ln (1 - -z) = S. n->+oo

L..t

4k

k= 1

g(t) dt.

x--->+oo JI (

On a

f 1

x

g(t) dt

=

fX f(t) dt + fX 1

I

2

1

+00

dt 1 (

l nt+l

)

converge


r

Or

JI

dt >tln(t+1)/

143

r (t+l)ln(t+I)dt - [ln ( ln (t l) ) r +

JI

1

= ln (In (x + 1)) - ln (ln 2) lim r g(t) dt = +00. x--->+oo JI

Donc

Remarque Cet exemple montre que l'équivalence des fonctions

f et g n'entraîne pas

celle des intégrales JX f(t) dt et JX g(t) dt ( cf. la remarque analogue concernant les séries chap. 2, ex. 3). - t

101 Pour x > 0, la fonction f(t) = _e_ est continue sur [0, +00[.

x +t De plus, quand t tend vers +00, on a f(t) = O(e- t ) . Comme t 1-+ e- t est intégrable sur ]0, +00 [ , il en est de même de

On a

1+

11+

Or

00

00

f(t) dt

= 1 1 f(t) dt +

f(t) dtl

~ f+oo e - t dt ~ 1+

f.

J+oo f(t) dt. 00

e- t dt

= 1.

D'autre part

1

e-t --dt= o x+t 1

.

où J(x)

1

[e- t

1

1

In(x+t)]o+J(x) = -ln(x+l)-lnx+J(x), e

1

=

e- t ln (x + t) dt vérifie : IJ(x)1

~

11

Iln(x + t)1 dt.

La fonction t 1-+ ln (x + t) change de signe lorsque t Pour x E 10, 1[ , on a donc: l11In(x+t)ldt = -11-xln(x+t)dt+ ~-

~ puisque t

1-+

l i-x o

-1 1

lntdt+

ln t dt +

fi

11

-lnt est intégrable sur

1- x

=

1- x .

J~xln(x+t)dt In(l+t)dt

ln (1 + t) dt

~ l + ln 2 ,

10, l[ et d'intégrale l

(cf. ex. fj).

144

IntégTation sur un intervalle quelconque

Ainsi, J(x) est borné dans un voisinage de O. Il en est de même de x

1

1 1-+ -

e

.

ln (x + 1) .

+00 e-t

En tout

lI] • Pour

o

- - dt = -lnx + 0(1), donc x+t +00 - t _e_ dt rv - ln x . o x +t

1

k E {l, . . . , n - 1} et t E [k ~, (k + 1) ~] , on a : n n

: a ( a) l(k+l)* f(t) dt ~ -af (k -a) , - f (k + 1) - ~ n n k* n n

d'où, en intégrant sur

[k~, (k + 1)~]

puis en sommant sur {l, ... , n

I}, on a :

-

~tf(k~)~ rf(t)dt~~~f(k~). n n J~ n ~ n n

k= 2

k=l

On a encore: a -a f( -)

n

n

~

1*

f(t) dt ,

0

d'où:

Sn~ Jorf(t)dt~Sn-~f(a)+ {* f(t)dt, n Jo

"

ou encore: !!

a

°~ Jo( f(t) dt - Sn ~ Jo(n f(t) dt - ~n f(a) . a

Comme

f est intégrable sur ]0, a] , on a

lim

n-++oo

et de même: lim

n-++oo

~ f (a) = n

Conclusion lim Sn

n-++oo

=

°.

r f(t)

Jo

dt .

{n f (t) dt =

Jo

°,


145

• Application

f

La fonction

définie sur ]O,~] par f(t)

ln(sint) est intégrable (cf

=

ex. 6) . On a ici : IT

br

n

IT

= 2n Llnsin 2n

Sn

=

2n InPn

k=1

où

n II

n F

.

kIT

=

sm 2n

n =

k= 1

nII-l. kIT sm 2n . k=l

Pour déterminer la valeur de ce produit, étudions Q(X) = qui est un polynôme puisque X 2 n

_e i ~)

(X

II

-

- 1

= k(;~11) (X + 1)

Q(X)

1 divise X 2n

-

n- 1

II

. k"

. k"

(X -e1n ) (X _e- 1n ) =

k= 1

II (X _ e k; ) i

k= 1 n- 1

II (X

2

kIT -2cos-;- +

1)

k=1

fi [(X - k:)2

=

1 . On a :

n- l

(X - e i k;)

II k = -n+l

=

~2; ~ Il

cos

+sin2

k:],

k= 1

d'où, en posant X = 1 : n-l [ k k] Q( 1) = II (1 - cos ~ ) 2 + sin 2 ~ n n k=1 n-l =

4n -

1

II sm.

2

kIT 2n

= 4n -

k II (2 - 2 cos ~ ) n

n- l =

k= l

1 p2 n·

k=1

Or Q(l) d'où 4 n -

1 p2 n

=n ,

=

2n 1 lim z z~1 z2-1

= lim

z~ l

2n z2n-l 2z

= n,

ou encore

On en déduit:

Sn

IT (1 'Ir ln n n - 1 IT - ln n - (n - 1) ln 2) = - - - - - x - ln 2, 2n 2 4 n n 2

=7T

d'où

Jo['lln(sint) dt =

lim Sn n~+oo

= - ~2

In2.

,

146



1121

1. La fonction exponentielle étant convexe, son graphe est situé audessus de sa tangente en x = O. On a donc: 1 + x :::;; eX .

'Ix E IR

t2 t2 t2 Pour tE [0, fol , on en déduit 1- -:::;; e- n , d'où, puisque 1- - ~ 0 : n

n

(1- t )n :::;;e- t2 • 2

n

On obtient de même

( 1 + -t2)n n

:::;;e t2 ,

puis, en passant aux inverses : e

1 ::::::: --...,.--

_t2 / '

(1 + t 2 n

En tout:

/' _t2 / ' (1 -t2- )n :::::::e::::::: n

r

1 2

(1 + ~r

n 2. En intégrant membre à membre, on obtient:

1

vin (1 - -t2 a n

La substitution

1

vin

a

t

dt :::;;

.5n = sin x

1

1

a

a

vin e- t2 dt :::;;

v1n

dt 2

(1+~r n

dans la première intégrale donne:

1~

t2

{1--tdt = (1-sin 2 xtfocosxdx n a rr

=

La substitution

{vin

Jo

.5n = tan x

dt (1

+ t 2r n

{'l

fo Jo (cosx) n

=

2 +1

dx = fohn+1.

dans la seconde intégrale donne :

(i fo (1 + tan 2 x) dx Jo (1 + tan 2 x)n

1 rr

=

.;n

4

{'i = fo Jo

1'1

dx (1

+ tan 2 x)n-l

71'

(cosx)2n-2 dx:::;;

Vn

(cœx)2n-2 dx

= fo hn-2

Intégration sur un intervalle quelconque En tout:

Vn 12n+l ~ 1,,1n e- t2 dt ( Vn 12n - 2 . 3. En intégrant par parties,on obtient:

Tf

=n

1"'1 (1 - cos x) cos 2

n - 1

x dx

= n (In - l - In+!) ,

~1 In-l, puis: n+ (n + 1) In+l In = n In In - l,

d'où In+l =

ce qui montre que la suite n

f-+

n In In-l est constante, d'où:

n In In-l = 1 ft la = 1 x 1 x Montrons que In - l

'Ir

'Ir

"2 = "2 .

'Ir

In. Pour xE [0, -] , on a: 2

rv

+00

cosn + 1 x ( cos n x, donc la suite (In) est décroissante, soit In+l ( In ( In - l, d'où, puisque In - l > 0 : n

/'

In

/'

--:::::::;:--:::::::;:1 n+ 1 In - l

et donc

. In 1lm - - = 1. n--->+oo In - l

Ainsi, In - l

rv

+00

ou encore In

In, d'où l'équivalence nI~

rv

+00

[7r.

V~

"2'

+00

Ainsi:

de même:

On a donc: lim n--->+oo

1,,1n 0

2

..fi

e -t dt = -

2

.

147

148


Comme e- t2

~ 0, la fonction

On a donc de même : lim

x

r e-

x->+oo Jo Ainsi, t

f-+

e- t

2

f-+

fox e- t2 dt t2

dt

est monotone.

= ..fi[ . 2

est intégrable sur ]0, +(X)[, avec:

fo +OO e _ t2 dt =..fi[ -· o

2

Remarques • Les intégrales Ip sont appelées intégrales de Wallis. Leur étude est un exercice classique qu'il faut bien connaître . • Pour un autre calcul de

·1131

fo+oo e- t2 dt,

+00 h(x) , on a

1. a) Comme g(x)

rv

cf. Flash SVP Analyse 2.

h(x) = O(lg(x)l) quand x tend

vers +(X), donc h est intégrable puisque 9 l'est. Soit

ê

> 0; il existe

r ~ a tel que, pour tout t ~ r :

(1 - ê) g(t) ~ h(t) ~ (1

(*) d'où en intégrant sur

(1 - ê)

lx, +(X)[,

pour

x~ r

+ ê) g(t) ,

:

00 x h(t) dt ~ (1 + ê) 1+ x g(t) dt, 1x+00 g(t) dt ~ 1+00

ce qui montre l'équivalence:

1+00 g(t) dt + 1+00 h(t) dt. ~

x

x

b) En intégrant (*) sur [T,X] pour X ~ T, on a: (1 - ê)

lX g(t) dt ~ lX h(t) dt ~ (1 + ê) lX g(t) dt.

On en déduit: (1 - ê)

lX g(t) dt - (1 - ê) l g(t) dt + l ~ (1 + ê) lX g(t) dt + l r

r

h(t) dt r

~ lX h(t) dt

h(t) dt - (1

+ ê)

l

r

g(t) dt,

Intégration sur un intervalle quelconque ou, a fortiori :

(l-é) lX g(t)dt-l

r

g(t)dt~lX h(t)dt~(1+é) lX g(t)dt+

l

149

r

h(t)dt,

ou encore:

l

r

g(t) dt

l

lX h(t) dt ~

(l-é)lX g(t) dt

l

? r

r

lX g(t) dt

lX g(t) dt

?

tel que, pour tout x

~é

et

Hm lX g(t) dt =

x------t+oo

r

+00 .

h(t) dt ~

a

lX g(t) dt

a

ri , on ait:

l

g(t) dt

a

h(t) dt

~l+é+----

Comme 9 est positive et non intégrable, on a

Il existe donc ri

r

é,

lX g(t) dt

et alors: lX h(t) dt 1-2é~

~1+2é .

a

lX g(t) dt lX h(t) dt

lim a "'-++00 lX g( t) dt

Ainsi

2. a) • Cas a

-=J

=

1

f"'g(t)dt ""

et donc

O. On a alors

la

J'(x)

+00

f"'h(t)dt.

la

a

+:0 ;;- .

f(x)

.

.

f'(x)

On dispose donc de b? sup{l, a} tel que, pour x? b, on ait f(x) > O. Comme x

1-+

~ n'est pas intégrable sur x

lb, +00[, en appliquant 1. h, on

obtient l'équivalence pour x tendant vers +00 :

l

b

x

f'(t)

-f() dt "" t

lX b

a

- dt , t

ou encore: lnf(x) -lnf(b) "" alnx - alnb,

150


d'où lnf(x) '" alnx, c'est-à-dire: lim lnf(x) = a. lnx

x->+oo

• Cas a = O. Soit ê > 0; il existe r on ait

1

f'(t) 1 ~ ~ f(t) '" t

~

sup{a, 1} tel que, pour t

~

r,

,

d'où, en intégrant sur [r, xl, pour x ~ r :

l

r

x 1 f'(t) 1

f(t)

dt:S;:E(lnx-lnr):S;:clnx,

Or

IX

1

jgj

1

dt

~ Ilx Ijgj dtl =

lin f(x) -ln f(r)1

~ Ilnf(x)I-llnf(r)1

d'où

IInf(x)l:S;:dnx+lInf(r)l,

ou encore Comme

!lnf(X)I:S;:ê+!lnf(r)!. lnx ln x lim ln x

=

x->+OO

+00 , il existe r'

~

r, tel que, pour tout x

~ 1-' ,

on ait: lnf(r)l:S;:ê I ln x

et donc

I

lnf(X) 1 ~ 2 l nx '" e,

c'est-à-dire: lim lnf(x) = 0. ln x

x->+oo

• Dans les deux cas, nous avons donc montré que

lim x -> +oo

.

b) SOIt ;J Ela, -1[. Comme

tout x

~

.

Inf(x)

hm -1-nx

x - '+OO

ln f(x) lnx

=

a .

..

= a, Il eXiste r tel que, pour

r , on ait:

lnf(x)~;J lnx

'"

,

d'où

f(x):S;:x{3.

Comme x f-+ x{3 est intégrable sur [r, +00[, f est intégrable sur ce même intervalle, donc aussi sur [a, +oo[ . En intégrant par parties sur [x, yl , on a, pour x

l

Y

f(t) dt

=

Y f(y) - x f(x)

-l

Y

:s;: y

:

t f'(t) dt .

Intégration sur un intervalle quelconque Or, pour y ~ r, on a 0 Comme i3 + 1

< 0,

~ y!3+1.

< y J(y)

lim y!3+ 1

on a

151

y ~ +~

= 0,

donc

Hm y J(y)

y ~ +~

=0.

En faisant tendre y vers +00 , on a donc: r+~

Jx

J(t) dt = -x J(x) -

r+~

Jx

t J'(t) dt,

ou encore: r+~

Jx Or d'où

lim

x ~ +~

x J'(x) J(x)

x J'(x)

=

+ J(x)

a

(J(t) +tJ'(t)) dt

'" (a

-xJ(x).

Hm x J'ex)

donc

,

=

+ 1) J(x)

+ J(x)

J(x)

x ~ +~

=

a

+1

,

.

On peut apppliquer 1. a aux fonctions

g(x)=(a+l)J(x) et h(x) = xf'(x)+J(x) car g est négative, donc h aussi à partir d'un certain rang. On obtient: r+~

Jx

r+ ~

(t J'(t)

+ J(t)) dt +:0 (a + 1) Jx

J(t) dt .

On a donc: r+~

(a+l)

Jx

J(t) dt '" -xJ(x),

ou encore:

1x +~ J(t) dt c) Soit i3 E]- 1, a[. Il existe

T

InJ(x)~i3 ~ lnx

~

xJ(x) '" - - - . a

+1

sup{ a, 1}, tel que, pour x ~ T, on ait: donc

J(x )-;::-'

x !3 .

Comme XI-> x!3 n'est pas intégrable sur [T, +00[, sur ce même intervalle, donc

J n'est

J n'est

En intégrant par parties, il vient:

lX J(t)dt = xJ(x)-aJ(a)-lXtJ'(t)dt, ou

pas intégrable

pas intégrable sur [a, +oo[ .

lX (tJ'(t) + J(t)) dt = xJ(x) - aJ(a).


152

En appliquant 1. b aux mêmes fonctions g et h que ci-dessus, on a :

lX (tf'(t) + f(t)) dt '" (a + 1) lX f(t) dt, et donc:

l

x

f(t) dt '" x f(x) - af(a) .

a+ 1

a

Comme

t

lim

f(t) dt = +00, on en déduit:

x-++<x> la

r f(t) dt += rv

la d) • Pour x

~ 1 ,posons

f'(x) On a - f ( ) x

1 = - -,

x

f(x) =

donc

• Pour x ~ 2, posons g(x)

~ ;f x

X

f(x) .

a

+1

n'est pas intégrable sur ]1, +oo[ .

. x f'(x) Ilm - f ( ) = -1 . x-++= X 1 =

x (lnx)2

On a ln g( x) = - ln x - 21n (ln x) , donc :

g'(x) g(x) d'où encore

1 = -;; -

2 x Inx '

lim x g'(x) = -1 . Or x-++= g(x)

r

r

dt [1]X 1 1 l2 g(t) dt = l2 t (lnt)2 = - Int 2 = -ln-2 - -ln-x' donc

lim

x-++=

l

2

x

1 g(t) dt = -1 2' n

Comme la fonction g est de signe constant, ceci montre qu'elle est intégrable sur [2, +oo[ .

,

~

PROBLÈMES GÉNÉRAUX

Les énoncés de problèmes

II]

(D'après les concours communs polytechniques)

I. Questions préliminaires Dans tout le problème, n désigne un entier fixé, supérieur ou égal à 2. Dans ]Rn, considéré comme un espace vectoriel normé, on note

(et, e;;, ... ,e;:) la base canonique et ê

n

=

Let . i= l

On rappelle que: - un sous-ensemble K de IR n est convexe si, et seulement si, il vérifie la propriété suivante:

v (X', 1}) E K 2

"lÀ E [0,1]

- les sous-ensembles compacts de bornés.

]Rn

sont les sous-ensembles fermés et

On admettra que, de toute suite dans un compact K de IRn , on peut extraire une sous-suite convergente dans K . Soit K un sous-ensemble convexe et compact de IRn . Soit f une application linéaire de ]Rn dans 1Rn vérifiant f(K)

À tout élément lt de K, on associe la suite ----->

Ua

=

iLk =

(iLk)

c

K.

définie par:

----->

a,

-1k (lt

+1

+ f(lt) + f2(lt) + ... + fk(lt)) .

avec k

~

1,

où fk représente f composée k fois . 1. Montrez par récurrence que la suite de Je.

2. Montrez que

lim

k~+oo

[f(iLk) - iLk]

=

(iLk) kEN

est une suite d'éléments

0.

Déduisez-en qu 'il existe un élément de K invariant par

f.

154

Problèmes généraux

On note Kn l'ensemble des vecteurs?

=

de IR n qui vérifient:

Xnl ) X

(

n

o ~ Xi

Vi E {l,··· ,n} et Sn l'ensemble des matrices P

et

1,

LXi = i=l

= (Pij) 1 . / . /

~t,J~n

de Mn(IR) qui vérifient: n

o ~ Pij

V(i,j) E {l, ... ,n}2

et

L Pij i= l

=

1.

L'objectif du problème est l'étude d'itérations dans Kn du type:

avec ?(O) élément de Kn et P matrice donnée de Sn .

II. Convergence de la suite ?(k) Dans toute cette partie, P de Sn.

= (Pij) 1'/' . ./

::::::.:::t,J~n

est un élément fixé quelconque

L a) Montrez que Kn est un sous-ensemble compact convexe de IRn

b) Montrez que, si ? E

Kn ,

.

alors PI' est encore dans Kn .

c) Concluez qu'il existe? dans Kn vérifiant PI'

=

? .

Un tel vecteur? sera appelé un vecteur invariant par P. 2. Pour tout n entier supérieur ou égal à 2, donnez un exemple de matrice de Sn ayant plusieurs vecteurs invariants dans Kn. Donnez un exemple de matrice de S2 pour lequel la sui te (? (k)) définie par (*) ne converge pas. 3. Soit t P la matrice transposée de P. Pour? E IRn , on note:

me?) Montrez que 4. Soit w =

=

min Xi et M(?)

=

l(;i(;n

max Xi'

l(;i(;n

me?) ~ meP?) et M(?) ~ M (tp?). min Pi,j' Montrez que:

l(;i,j(;n

(1 - w) me?)

+ w M(?) ~ m

(t PI')

et

M crP?) ~ (1- w) M(?) +wm(?).

r-


155

Déduisez-en que: M (tpX') - m (tpX') ~ (1- 2w) (M(X') - m(X')). .

5. On suppose 0

1

< w < "2' Montrez qu'alors, pour tout vecteur

X' E IRn ,

il existe un réel h(X') tel que :

lim

t pkX'

k--->+oo

= h(X') e+ .

Déduisez-en que la suite de matrices

e

pk) converge vers une limite à

déterminer en fonction de h(ei), ... , h(e;:) . 6. Concluez que, pour toute matrice P de Sn à coefficients strictement positifs, il existe un unique vecteur X'(oo) dans Kn tel que pour toute valeur initiale X'(O) E Kn , la suite (X'(k)) définie par la récurrence X'(k + 1) = P7(k) converge vers 7(00) . Exprimez 7(00) en fonction de h(e(), ... h(e;:) .

~ (D'après concours Navale) Partie 1 1. a) Montrez que, si (un) est une suite strictement positive telle que la série de terme général Un diverge et si la suite (vn ) converge vers l, n

LUpv p alors la suite de terme général

=

Wn

p= o

~n:---

converge aussi vers 1 .

LU p

p=o

b) La convergence de (w n ) entraÎne-t-elle celle de (v n )? 2. Déterminez

t

lim n --> +oo

(fr

(1 + ~)) l i n

p= l

p

3. a) Montrez que, si (un) et (v n ) sont deux suites strictement positives et équivalentes, telles que les séries de termes généraux Un et V n divern

gent, alors les sommes partielles Sn

=

L p=o

suites équivalentes. n

b) Déduisez-en un équivalent de

L k= l

1

k.

n

Up

et S~ =

L p= o

Vp

sont des

156


4. Étudiez le sens de variation de la suite ('Yn) définie par: 1

n

'Yn

=L k-

ln n

,

k=1

et montrez qu'elle converge vers une limite deux entiers consécutifs. Calculez

'Y100

5. a) Soit pour n

Un

~ 1,

et

'Y

que vous encadrerez par

'Y1 000 •

le terme général d'une série strictement positive telle que,

~ +vn

Un+ 1 = 1 Un n

,

où v n est le terme général d'une série

absolument convergente. U n +1

Montrez que ln - -

À

= --

n série absolument convergente.

+ W n où

Wn

est le terme général d'une

Un

b) Déduisez-en qu'il existe A> 0 tel que

c) Étudiez la série de terme général

Un

=

Un

soit équivalent à

~.

n

1 x 3 x ... x (2n - 1) 2 x 4 x .. . x 2n X (2n + 2)

~--~----~~~~~~

6. a) On dit que la série de terme général Un converge au sens de Césaro ., So + S1 + ... + Sn ,~ SI la sUlte an = n 1 converge, ou Sn = ~ Uk •

+

k=O

Prouvez que, si une série converge, alors elle converge au sens de Césaro.

b) On suppose que la série de terme général Un converge au sens de Césaro et que lim nU n = O. Montrez que la série est convergente. n--++oo

Partie II 1. Soit la suite récurrente définie par ua et la relation: "In E IN

Étudiez sa convergence suivant les valeurs de ua et précisez sa limite. 2. a) On suppose que la suite converge mais n'est pas stationnaire et on pose

Vn

=

Montrez que .

Quelle relation de récurrence vérifie

-Un'

Vn

b) On pose an

Vn

?

est équivalent à v n +1. 1

1

= -- - - - .

un équivalent de

Vn vn .

V n -1

Montrez que (an) converge et déduisez-en


157

c) Quelle est la nature des séries de termes généraux : . ( 2) et Vn Vn ? V n , sm V . n

d) Soit bn = équivalent.

an -

1 . Montrez que bn tend vers 0 et trouvez-en un

e) Déduisez-en la nature de la série de terme général

tn = V n -

1

-

.

n 3. Pour quelles valeurs de Ua la suite (un) tend-t-elle vers l'infini? est équivalent à U n +l . Montrez qu'alors . P ln Un . . , Prouvez que 1a sUite n = ~ a une ltmlte À, sans chercher a la calculer .

u;.

4. Jusqu'à la fin de la partie II, on suppose Ua > 0 . La limite À est fonction de Ua seulement. Montrez que c'est une fonction croissante de Ua , que À > 0 et que, pour lnun 1 tout n E lN , on a À - - - ::;; - - . 2n 2n u n ~ 1 (-1) n n ? 5. Quelle est la nature des séries de termes généraux - et -=----'--Un

Un

Partie III 1. Étudiez la suite récurrente définie par Ua et la relation: 1 +Un Vn E IN U n +l = ~ -1. V 1 +u~

2. Étudiez les séries de termes généraux respectifs

...

@]

u;.

et

Un .

(D'après les concours communs polytechniques)

Dans tout le problème, on identifiera un polynôme de IR[X] et la fonction polynôme de IR dans IR qui lui est associée. Partie 1 Soit y une fonction, supposée deux fois dérivable, de la variable réelle x, yi et y" ses dérivées d'ordre let 2; n étant un entier positif ou nul, on considère l'équation différentielle: (En): (x 2 -I)y"+2xy' - n(n+l)y = O. Cette équation est appelée équation de Legendre d'ordre n.

.

1. Étude du cas n = O. On considère donc :

(Ea): (x 2

-

1) y"

+ 2xy' = O.

158


a) Pour x appartenant à l'un quelconque des intervalles ] - 00, -1 [ , ] - 1, 1[, ]1, +00[, déterminez la solution générale de (Eo) . b) Quel est l'ensemble Yo des solutions de (Eo) définies sur IR? Déterminez celle de ces solutions, soit Po, telle que po(l) = 1 . 2. Étude du cas n

=

1. On considère donc:

(Ed: (x 2

1) y"

-

+ 2xy' -

2y

0.

=

a) Déterminez l'ensemble Yl des polynômes solutions de (Ed sur IR et en particulier l'élément b) Soit

Pl

de Yl tel que

Pl (1)

= 1.

f une fonction définie sur D =]- 00, -1[ U ]-1, 1[ u]l, +oo[ et

z la fonction définie sur D* Montrez que, si

=

D \ {a} par z(x)

f(x) .

=

x

f est solution de (El) sur chacun des intervalles

] - 00,-1[, ]- 1,1[, ]1,+00[, alors z vérifie sur D* une équation différentielle du second ordre (E~) à préciser. Donnez alors, pour x appartenant à l'un quelconque des intervalles ] - 00, -1[, ] - l, 1[, ]1, +00[, la solution générale de (Ed . 3. Étude du cas général. On considère à nouveau:

(En): (x 2 -1)y"+2xy'-n(n+1)y=O, et on suppose n? 2. On se propose, dans ce cas, de déterminer l'ensemble Y n des polynômes solutions de (En) sur nt. Soit P défini sur IR par: P(x) = a q x q + aq-l x q - l + .. . + al x + ao avec a q =1

°.

a) Montrez que, si P appartient à Yn , on a q = n et a n - .1 = a . Déterminez alors ah en fonction de an pour tout hE {O, 1, ... , n - 2} .

b) Déterminez P2 E Y2 et P3 E Y3 tels que P2 (1)

=

1 et P3( 1)

=

1.

Partie II

Soit n E IN; si

Tl? l, on note

r ; si n =

polynôme (x 2 - 1

dn [(x2 _l)n] dxn

la dérivée d'ordre n du

0, on convient de poser

d" [(x 2 _1)n] " d:);n

=

1.

1. Montrez qu'il existe un entier Àn à déterminer tel que l'on ait pour

tout n : d n [(x2- 1t] dxn

= ÀnE~)

(-1)P(2n-2p)! xn - 2p ~ p! (n - p)! (n - 2p)! .

où E(~) désigne la partie entière de ~ .


159

d n [(X 2 _1)n] dxn est solution de (En) sur ffi.

Montrez que, pour tout n,

2. On appelle suite des polynômes de Legendre la suite (Pn) dans laquelle Pn est défini pour tout x réel par:

d n [(x 2 - 1)n] dxn On a donc en particulier Po(x) = 1 pour tout x. 1

Pn(x)

= -n2 n.1

a) Déterminez Pi(X) pour i E {l, 2, 3} . b) Pour n ~ 1, calculez Pn(l) et Pn( -1) . Partie III Dans cette partie, on se propose de mettre en évidence certaines propriétés de la suite (Pn) précédemment définie. Soit E l'espace vectoriel sur IR des polynômes à coefficients réels. On pose:

< PI Q >=

V(P,Q) E Ex E

ill

P(x) Q(x) dx.

1. Soit Pr et Ps deux éléments distincts de la suite (Pn) , P; et P; les polynômes respectivement dérivés de Pr et Ps , et U le polynôme P: P s - P; Pr. Exprimez

d[(x 2

-

dx

1) U]

en fonction de Pr et de PB , puis calculez

< Pr IP > . .. B

2. a) Montrez, à l'aide d'intégrations par parties, que l'on a :

VPEE Donnez la valeur de tement inférieur à n.

1

< PI Pn > = 2n n!

JI

- 1 (1

dnp - x2)n dxn dx .

< P 1 Pn > dans le cas où le degré de P est stric-

.

b) Exprimez < Pn 1 Pn > en fonction de In calculez In et < Pn 1 Pn

=

f

1

(1 - x2)n dx, puis

-1

>.

3. Pour nE ]N"*, on se propose d'établir une relation de récurrence entre les trois polynômes Pn - I , Pn et Pn+ l . a) Pour tout n fixé, montrez qu'on peut définir n + 2 réels ao, ... , a n +l tels que l'on ait pour tout x réel: n+1

x Pn(X) = Lai Pn+ 1- i (x) . i=O

160


b) Soit n;? 2 et q E {2, ... , n} ; calculez:

< x Pn-q 1 Pn > = ill X Pn-q(x) Pn(x) dx et déduisez-en a3, . . ·, an+l . c) Montrez que les trois polynômes Pn - l , Pn+ l et x Pn n'ont que des termes de degré impair si n est pair. Déduisez-en la valeur de al . d) Montrez que ao + a2 = 1 . Calculez ao et donnez alors la relation de récurrence cherchée entre Pn-l , Pn et Pn + l pour n E IN'*. 4. On considère l'endomorphisme de [ défini par:

(P)

=

[(1 - x 2 ) P']' .

a) Montrez que, pour (P, Q) E [ x [ , on a :

< (P) 1Q > = < PI (Q) > . b) En utilisant la base (Pk) kEN de [, déduisez-en que, pour tout Pn est vecteur propre pour .

n

E IN',

c) Calculez la valeur propre associée et retrouvez ainsi que Pn est solution de (En) .

@J

(D'après concours ENSAE)

Dans tout le problème, a et b sont deux réels tels que a < b et (u p ) désigne une suite donnée de IR[X] telle que dOup = p pour tout P E IN' . Soit (Xi)O~i~n E [a,b]n+l tel que Xi <Xi+! pourtoutiE {O, ... ,n-1} et f une fonction continue de [a, b] dans IR. On dit que P E IRn[X] est le polynôme d'interpolation de f pour le support (Xi)O// si, et seulement si, P(Xi) = f(Xi) pour tout i E {O, .. . ,n}. On identifiera IR n et Mn(IR) . ~l~n

1. Montrez l'existence et l'unicité de P.

2. On pose A = (Ui(Xj») E M n + 1(IR) , F U(x) = (Ui(X») E IRn+1 . Exprimez P(x) en fonction de A, F et U(x) . 3. On suppose dans cette question et dans la question 7 que f est de classe Cn + l . Montrez que, pour tout x E [a, b] , il existe ç E l tel que: f(n+ll(ç) f(x) - P(x) = (n + 1)! (x - Xi) .

II

O~i~n


161

4. On définit les polynômes de Tchebycheff Tp(Y) par la relation de récurrence :

T o(y)=I; T1(y)=y; \lp~1

Tp+l(y)=2yTp(y)-Tp_l(Y)'

= cos 8 ,on a Tp(Y) = cosp8 ; = ch8, on a Tp(Y) = chp8.

Montrez que si y E [-1,1], en posant y et que si y ~ 1, en posant y

5. S?it n ~ 1 et Q un polyn 0, appliquez la méthode de II.2. b.

.

Partie I

1. a) Calculez y' puis y. 2. a) Déterminez le degré d'une éventuelle solution polynomiale de (Et). b) Sur un intervalle où le coefficient de y" ne s'annule pas, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2. 3. a) Après substitution, vous obtenez un polynôme nul, donc tous ses coefficients sont nuls.

J Partie II 1. Le calcul donne Àn = n! . Vous pouvez substituer. Mais il est plus rapide de montrer que la fonction proposée est colinéaire à P. 2. b) Écrivez la dérivée n-ième du produit (x

+ l)n(x _l)n .

Partie III 2. b) Un changement de variable et une intégration par parties conduisent à une relation de récurrence entre In et In - l . 3. a) En prenant un polynôme de degré 0, un polynôme de degré 1, ... , un polynôme de degré n, on obtient une ba.se de Hl,-, [X] . d) Identifiez les coefficients de xn+l. 4. a) Calculez < (P) trique en Pet Q.

1Q

c) Considérez les termes

[Il

~

> de façon à obtenir une expression symédegré maximal.

2. Rappelez-vous que, dans JRn+l, < X 1 y > = t Xy .

3. Si x f/. {xo, .. . , Xn}, posez cp(t) = f(t) - P(t) - C (t - xo) ... (t - Xn) avec C bien choisi, puis appliquez le théorème de Rolle. 4. Étudiez d'abord le degré de Q - 2 1- n T n

.

6. Utilisez un changement de variable affine.

164


,Les corrections de problèmes _ _ _ _ _ __ 1

[]

Partie 1

1.1. On a

ua = ""i.t E K, .

Soit k ;::: 1 et supposons

E K,. On peut écrire:

k ---+ k + 1 Uk-l

-+

Uk

ïLk-i

=

1

+ k +1 f

Ck)-+

(a).

Comme f(K,) c K, , on a fCk)(""i.t) E K, , donc U; E K, puisque K, est convexe. Par récurrence, on en déduit que U; E K, pour tout k E lN .

K, étant compact, la suite (ut) admet donc une sous-suite convergente dans K, . 1.2. Pour k ;::: 1 , on a :

f(ut)

_1_ (J(""i.t)

k+1

+ f2(""i.t) + ... + fCk+l) (""i.t))

ut + _1_ (JCk+l) (""i.t) - ""i.t) . k+l

K étant borné, notons d

donc

= diam K, ; il vient:

lim (J(u,:) - -U\)

=

k--+oo

0

(*).

Comme K, est compact, nous pouvons considérer une sous-suite

(u;;(ki)

de (U;) convergente vers l E K, . Comme f est linéaire et définie sur un espace vectoriel de dimension finie, f est continue, donc: lim f(u;;(ki) = f(l).

k--++oo

Or, d'après la relation (*) , On a donc

-+

l =

-+

lim

k--++oo

f (u;;(ki)

-+

=

l .

f( l ) et l est un élément invariant par f. Partie II

II.1. a) • Montrons que K, est fermé. On a K, = Sl n S2 n··· n Sn n H ,


= {x E E; Xi

où, pour i E {l, .. . ,n}, Si

165

~ O}

n

et

H

= {X E E ; LXi =

l} .

i=1

Or Si = cp! ( [0, +oo[) donc Si est fermé.

,

où 'Pi est l'application continue x

-1

De même H = 'P (1), où 'P

=

f->

Xi ,

n

L 'Pi

est continue, donc H est fermé.

i=1

L'intersection d'une famille de parties fermées est fermée, donc K est fermé. n

Ilxll

• Montrons que K est borné. Avec la norme définie par

1

=

L

IXil ,

i=1

cela est évident puisque, pour tout x E K , on a : n

IIxli = LXi = 1 . i=1

Ainsi, K est compact puisque t!orné et fermé dans un espace vectoriel de dimension finie . • Soit X',

y

E

Kn et >. E [0,1] ; posons:

Z' = >. X' + (1 - >.) y . Pour tout i E {l, ... , n} , on a

donc

Zi =

n

n

n

i=1

i=1

i=1

Z'

E

b) Soit X'

>. Xi + (1 - >.) Yi

~

Kn . Ainsi K est bien une partie convexe de E

Kn et

y

=

PX'. Pour tout i

E

0,

]Rn.

{l, .. . ,n}, on a:

n

Yi = LPij Xj ~ O. j=1

~Yi =

De plus donc

y

E

t (~Pij) t Xj

=

Xj

= 1,

Kn.

c) Soit f E .c(lRn ) de matrice P par rapport à (et, .. . )ë;;). On a donc f(Kn} C Kn . Comme Kn est compact et convexe, d'après I.2, f admet un point invariant X' , c'est-à-dire tel que p;t = X' .

166


n.2. Soit 1 la matrice unité d'ordre n.

On aIE Sn et tout vecteur de

Kn est invariant par 1.

On suppose n = 2. Soit f la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation X2 = Xl. On a :

f(2k) (X')

---+ X

p 2k + 1 X'

f(2k+1)(X') où P

=

PX'

(~ ~) E $2 . (~,~)

Ainsi, la suite x(k) ne converge pas, sauf pour :t(O) =

n.3.

.

Soit? E Kn et 7 = tp? Pour tout i E {l, . . . ,n}, on a: n

Zi = LPji Xj . j=l

Or, pour tout jE {l, . .. ,n}, on a m(?) ~ Xj ~ M(?), d'où, puisque Pij ;? 0 , Pij m (X') ~ Pji Xj ~ Pij M (:t) ,

puis

m(?) ~ Zi ~ M(x).

On a donc :

mep?) = min Zi;? m(?)

M CP?)

et

l~i~n

= max

l~i~n

Zi ~ M (?).

n

II.4. Notons m = m(x) et M

= M(7). Comme

LPji

= 1, on

j=l

pour i E {l, ... , n} : n

n

Zi = 2:Pji Xj

= m + LPji (Xj

j =l

- m) .

j=l

Or, pour tout j, on a Xj - m ;? 0, donc: Tt

Zi;? m

+ W L(Xj -

m) .

j=l

Comme tous les termes de la somme sont positifs et que l'un vaut M - m, on a: Zi ;? m

donc

m)

=

(1 - w) m

+w M

(1-w)m(7)+wM(7)~m(tp?).

De même donc

+ w (M -

Zi ~ M

+ w (m -

M) = (1 - w) M

me P?) ~ (1 - w) M (7)

+ w m,

+ w m (7) .

,

a,


167

On en déduit :

M (t PX") - m (t Px) ~ [(l-w)M(x)+wM(x)] - [(l-w)m(T)+wM(T)] ,

donc

M (t PT) - m CPX") ~ (1- 2w) (M (X") - m (x)) . 11.5. On suppose

°
+oo

Vn+l · 1lm -

0, on déduit

=

n-++oo

, 1 , d'ou:

=

Vn

175

V n +~ Vn+l·

b) Le calcul 1

1

Vn

Vn-l

an = - - - - =

entraîne que

Vn - l -

Vn

Vn-l V n Vn-l

V n Vn - l

lim

an

= 1.

an

diverge et

n ---+ +CXJ

n

L

Par conséquent,

L

n

L

ak

k= l

L

111 ~ -

n

Or

Vn

k=J

1

Donc

. pUisque - 1 ten d vers

= - - -

ak

~

Vn

Vn

Vn

Va

n ou encore

1 = n.

k= !

+00 .

1 Vn

n ,/

c)

.!.n est de signe constant et L.!.n diverge, donc'"' Vn ~ 1 n2

ou encore v n2 = 21 n

.

+ 0 ( 2n1

) ' d'où

1 + 0 (1) 2 n

2

sm(vn } = 2n

diverge.

'

ce qui montre que Lsin(v;} converge. .

Par aIlleurs,

~/ 32

V

n Vii

cl) Sachant que

n

lim

an

n -+ +<x>

montre que

donc bn

rv

+00

e) La série on a:

v~

yn

converge.

= 1 , la suite de terme général bn =

converge vers O. On a : b _ Vn-l n -

L

-- Vn

_

1-

Vn - l - V n

V;_l

Vn

Vn

--.:..:.--=----.:..:.

an -

1

ou encore

Vn

Lb

n

diverge puisque bn ~ n

1 -

n

,

et quand n tend vers

+00 ,

176

Problèmes généraux n

Or

n

1

1

n

a

2:)k = ~)ak -1) =:;- -;- - n, k=l

d'où -

k=l

1

1

- -

Vn

1-

- n '"

Va

ou encore 1 - n V n

nV n

'" ln n ,

Vn

'" V n

ln n '"

= Vn

-

Inn n

On en dédui t : tn

1

-

n

nV n -

1

Inn

= ---

-

n

n2 '

1

et donc in = O(n 3 / 2 )

L

Comme

.

1

n 3 / 2 converge,

II.3. Posons 6 n = Pn +1

-

L tn converge.

Pn

=

1

Un+l

2n+l ln ~ . n

1

Alors 6 n = o(2n ) , donc L6n converge. n- l

Or Pn =

L 6 k + Po, d'où la convergence de (Pn) . k=O

lIA .• Considérons deux suites (un) et U~+l

=

(u~)

vérifiant Un+l

= f(u n )

et

f(u~) et telles que u~ ~ ua> O.

Soit n E IN" et supposons u~ ~ Un ; alors: U,n + 1

-

Un+ 1

= Un" +2 Un -

Un - Un2

=

(Un '

- Un ) (1

+ Un' + Un ) ,

donc u~+l ~ Un+l . Par récurrence, on a donc u~ ~ Un pour tout n, d'où:

Ainsi,

À

Inu~ '- l'lm 1·lm --;;::; n-->+oo 2n n-->+oo est une fonction croissante de Uo .

• Soit rEIN" tel que Ur > 1 . Alors Pr > 0 et donc (Pn) est croissante. Pour tout nE N, on a

U n +l

=

=

> 0 puisque la suite

u~ (1 + ~) ,

d'où: Inun+l

À

21nu n + ln

Un

1

(1 + -) n

1

~ 21nu n +Un

Problèmes généraux puisque, pour tout x> -1, on a ln (1

+ x) ~ x.

+ -1 ) .

ln U n + l ~ 2 (In Un

A fortiori on a

177

Un

Par récurrence sur p, on en déduit : ln u n + p ~ 2P (In Un

1

+ -) , Un

+

Pn +p ~ Pn

ou encore

1 ~

En faisant tendre p vers

~."

Un

.

+= , on a donc : ~

À-Pn

n.5 .• Nature

de

1

--. 2n Un

L -1

Un

In _1 ::::::: 1. _ 2n /\\, "':::: ~

,. · prece , 'dente s 'ecnt L a re1atlOn

Un

~ ~ el/un e- 2n À

d'où

•

lim el/un = l , on a donc:

Comme

Un

Un

n-+=

~ = o( e- 2n À)

lorsque n tend vers

+= ,

Un

L

d'où la convergence de la série "

e-: 2"

À

= O(~2) .

• Nature de

~

puisque

Un

L e- 2n

À

converge car

l)nn L -'( -----' -Un

Étudions le sens de variation de la suite (~) . On a : Un

dn =

n

+1 _

Un+l

Or

(n

Comme

+ 1) Un -

nUn+l

lim nUn

n-4+oo

~

=

+ 1) Un -

(n

=

(n

nUn+l

Un Un+l

Un

+ 1) Un

- n (Un

= +=, on a donc dn

~

+ u;') =

Un

(1 -

nun ) .

0 à partir d'un certain rang

et (~) est alors d"écroissante. Un

D'après le critère des séries alternées,

L

(-1)nn est donc convergente. Un


178

Partie III 111.1. • Étudions la fonction définie par f(x)

f est de classe Cl sur 1R et J'(x)

=

(1

~

=

l+x

1-x

+ x 2 )3/2

1.

-

\ d'où le tableau de

variations :

-=

x

+

J'(x)

+=

1 0

-

v'2 -1 f(x)

/

'\.

-2

0

• Le signe de la différence f(x) - x

= (1 + x)(

vrk l+x

1) est donné

par le tableau:

o o On en déduit que f(x) = x est équivalent à x les inclusions :

f( ] 0, +=[ ) c ]0, +=[

=

-1 ou x

= 0, ainsi que

f(]-l,O[)C]-l,O[

f(]- =, -1[) C]- =,-l[ • On en déduit l'étude de la sui te (un) : -

Les seules limites possibles sont -1 et

-

Si

Ua

E]-

=, -1 [

o.

on a, par récurrence,

Un

E]-

=, -1 [

pour tout

n. Comme f(x) > x dans cet intervalle, (un) est croissante et donc convergente vers l ~ -1 . La seule limite possible étant alors l = -1 , on a

-

Si

Ua

=

-1 , on a

Un

=

lim

n-++oo

Un

=

-1 .

-1 pour tout n.

- Si Ua E ] - 1,0 [, on a Un E]- 1,0 [ pour tout n. Comme f(x) < x dans cet intervalle, (un) est décroissante et on obtient de même que ci-dessus -

Si

Ua

=

0 , on a

Un

lim

n --+ +oo

=

Un

=

-1 .

0 pour tout n.


179

- Si Ua E ] 0, +oo[ , on a Un E 10, +oo[ pour tout n. Comme f(x) < x dans cet intervalle, (Un) est décroissante et le même raisonnement que ci-dessus montre que lim Un = 0 . n--->+oo

• En résumé, (un) converge quel que soit la valeur de Ua. Si Ua E] - 00,0 [,

lim Un

n--->+oo

=

-1; si Ua E [0, +00[,

lim Un

n--->+oo

=

O.

Nous vous conseillons de vérifier tous ces résultats à l'aide du graphe de la fonction f.

III.2 .• Si Ua E]- 00,0 [, on a les séries

L Un et L

lim Un

n~+~

= -1 et lim

n~+~

u~

= l, donc

u~ divergent.

• Si Ua = 0 , on a Un = 0 pour tout

n

et les séries convergent.

• Supposons Ua > 0 et appliquons la méthode'de la question II.2.b pour obtenir un équivalent de Un. 1 1 Comme Un > 0 pour tout n, on peut poser a n = - - - - · Un+l Un Un+l

On a

=

(1

+ un) (1 + u~) - 1/2

- 1

= (1 + Un) [1 - ~u~ + o(u;')] -1 = Un [1 - ~un + o(un )]

Ainsi

.

et

donc

L

SOIt

,

1 an '" -. 2

an diverge et n- l

L~ = ~'

k=a

1 1 l: ak = - - - , on a donc k=a Un ua

1

n:-l

Comme

ce qui entraîne Un

"-J

Par contre, puisque • En résumé,

~n u~

Un

et la divergence de '" 42 et n

1 1 - - Un Ua

n

2

l: Un'

L --4 converge, L U~ converge. n

L Un diverge quelle que soit la valeur de Ua, sauf si Ua = o.

LU;' converge si, et seulement si, Ua ~ 0 .


180

Partie 1 1.1. a) Sm:. un intervalle J inclus dans IR \ {-1, 1} , on a : ,,2x

(Ea)

-

y

1

=

2 xl,

on a aussi:

C

Il _ x 2 1 où C est une constante.

1 - x 2 est de signe constant sur J. Quitte à remplacer C par ,. 1 C -C, on peut d one ecnre y = -1--2 .

Or x

1---->

-x

En intégrant, on obtient: y = C ln

Il1-x + x 1+ K

où K est une autre constante.

La solution générale de (Ea) est donc de la forme: y(x)

= Clin Il + x 1 + Kl

y(x)

=

XE]-

1-x

-1[

00,

C2 1n l1 _ x

I +xl + K 2

XE]-l,l[

1+ x l y(x) = C3 In 11-x +K3

xE ]1, +oo[

b) Pour que y soit définie sur IR, il faut Cl = C 2 = C3 = 0 . Pour que y soit continue, il faut de plus que Kl Réciproquement, il est clair que y

=

=

K2

= K3 .

K est solution de (Ea) sur IR.

Donc Ya est l'ensemble des fonctions constantes et pa(x)

= 1.

p

1.2. a) Si y =

L ak xk

un polynôme de degré p, on a a p

-=1-

0 . Le

k=a

coefficient du terme de degré maximal du premier membre de (EI) est: (p (p - 1)

+ 2p -

2) a p

donc nécessairement p

=

=

(p2

+p -

2) ap

=

(p - 1) (p

+ 2) a p ,

1.

Réciproquement, posons y = ax + b , soit y' = a et y" Il s'agit d'une solution de (EI) si, et seulement si : 2ax - 2 (ax

+ b) = 0

Ç=>

=0.

b= 0 .

Donc les solutions polynômes sont les fonctions définies par y(x) etpl(x)=X.

=

ax


181

b) La fonction définie par z(x) = f(x) est deux fois dérivable dans D' x

et l'on a:

f(x)

xz(x) z(x) + xz'(x) 2z'(x) + xzl/(x)

J'(x)

f"(x) d'où, puisque

f

est solution de (Ed :

(x 2 -1) (2z'

+ xzl/) + 2x (z + xz')

- 2xz

=

0,

ou encore:

(x 2

X

-

1)

Z"

+ (4x 2 -

2) z' = 0

Dans tout intervalle de D*, cette équation est équivalente à :

z

1/

= -

4x 2

-

2

x(x 2 -1)

4x 2 - 2 2 La décomposition --:---,,-----,- = X (x 2 - 1) x

z

1 +x- 1

,

t 1

+-x +1

J

4x2 - 2 (2 2 dx = ln x lx 2 x ( x -1 )

conduit à:

11 ) .

Sur tout intervalle de D' , z' est donc de la forme:

z'

=

avec

Î

x 2 (x 2 -1)

E R.

Î

On peut supprimer les valeurs absolues comme ci-dessus. . . 1 J~a dé compositIOn x 2 (x 2 _ 1)

z

= Î (

1

~ ln 1x-II + ~ ) + a

2 x+ 1 x x-l -2 ln x+l

1

d'

.,

,

x 2 _ 1 - x 2 con Ult en mtegrant a: x

avec a E R,

1--1 + 1) + ax sur tout intervalle 1 de D·. x Ix-1 En posant '0 Uo ou encore P(x) = tU(x)A {==:}

= {

+ ... + >'n Un

tAU(x) . Alors:

>'0 uo(xo) + ... + ~n un(xo)

=

f(xo)

+ ... + >'n un(xn)

=

f(xn)

>'0 UO(xn) {==:}

,

tAA = F

-{=}

A

= eA)-1 F.

La matrice tA est inversible puisque le système admet une solution A unique. On a donc:

P(X)

=

tU(x)CAr l F == tU(x)t(A-1)F

ou encore P(x) = tFA - IU(x). 3. Posons w(x) = (x - xo)· · · (x - x n ) . Si xE {Xo, Xl, ... , Xn} , tout ç E 1 convient.

190


Sinon, pour xE 1 \ {XO, Xl,"" xn} fixé, posons :

cp(t)

=

f(t) - pet) - Cw(t),

où C est choisi de façon que cp(x)

=

0, ce qui est possible, puisque

w(x)#O . Ainsi, cp admet dans 1 au moins n

+ 2 zéros

xo, Xl , . . . , X n et x.

Par le théorème de Rolle, on en déduit que cp' admet n + 1 zéros, puis par récurrence, que cp(n+l) admet 1 zéro que l'on note ~ . Or cp(n+l)(t) = f(n+l)(t) - C (n

+ 1)!,

donc

C

=

f(n+l)(~)

(n + 1)!

,

soit

puisque cp(x) = 0 : f(n+l)(~)

f(x) - P(x)

(n + 1)! w(x).

=

4 .• Soit y E [0,1] et 0 E R. tels que y = cos 0 . Pour p? 0, notons Hp la propriété Tp(Y) = cospO . Comme cosO = 1 = To(y) et cos 0 = y = Tl(y) , Ho et Hl sont vraies. Soit p? 1 ; supposons H p- l et Hp, soit Tp- l(Y) = cos(p -1) () et Tp(Y) = cospO. Alors :

Tp+l(Y) = 2cosOcospO - cos(p - 1) 0 =

cos(p + 1) 0 + cos(p - 1) 0 - cos(p - 1) 0

= cos(p + 1) 0

d'où Hp+l' Par récurrence, on a donc démontré que T p (y) = cos pO pour tout P ~ 0 . • On raisonne de même lorsque y ch (p

+ 1) 0 + ch (p -

5 .• Montrons d'abord, pour p dO (Tp) = p

?

?

1 et y = ch 0 grâce à la formule 1) 0 = 2 ch 0 ch pO.

0, la propriété Kp :

le coefficient dominant de Tp est 2P -

Comme T o = 1 et Tl(y) = y = Soit p

?

2l - ly,

1 et supposons K p-l et K p

l

si p? 1.

Ko et Kl sont vraies.

;

On a donc dOTp_ l = P - 1 et Tp(Y) = 2P - l yP + R(y) où RE R.p- dX]. On en déduit:

Tp+l(Y)

=

2y (2P - lyP + R(y)) - Tp-l(y)

=

2Py p+l

+ Scy)

où SE IRp[X]

d'où Kp+l .

\


191

Par récurrence, on en déduit Kp pour tout p;? O. Le polynôme 2 l - n T n est donc unitaire et de degré n, donc 'II = Q - 2 1- n T n est un polynôme de degré n -1 au plus . • Soit Zj = cos j7r pour jE {O, . . . , n}; d'où 1 = ZO > Zl > ... > Zn = 1. n On a Tn(zj) = cos(j7r) = (-I)j , donc W(Zj) = Q(Zj) - 2l - n( -1)j . Raisonnons par l'absurde en supposant que

sup

IQ(y)1

< 2l - n. Alors

yEI-l,l]

< 2l - n

2l -

-

si j est pair W( Zj)

-

si j est impair W(Zj) > _2 l -

-

n

n =

0 ;

+ 2l - n

=

O.

Ainsi, le polynôme W admettrait une racine dans chacun des intervalles ]Zk, zk- d pour k E {1, . . . , n} , donc au moins n racines.

'II serait donc le polynôme nul, c'est-à-dire que Q = 2 l - n T n . Or Tn (1) = cos 0 = 1, donc Q(I) ~ 2 l - n , ce qui est contraire à l'hypothèse faite. Conclusion:

sup

IQ(y)1 ~ 2 l -

n .

yEI-l,l] n

6. Pour (YO, ... , Yn) E [-1, l]n+l , posons w(y)

west un polynôme unitaire

de~egré

n

=

+ 1, donc

II (y - Yj) . j=o sup

Iw(y)1 ~ T

n.

yEI-l,l ]

Cette inégalité étant vraie pour tout choix de (YO, . .. , Yn) , on a donc: inf

(Yo,···,Yn)EI - l,l ]n + l

(su p

fI

Iy - Yj

y EIO,l l j=O

1) ~ T

n .

Afin de montrer que cette borne est atteinte, cherchons d'abord les racines de 1~+l. Pour y E [-1,1], posons B = arccosy ; alors: 2j + 1 . Tn + l (y) = 0 -{::::=} cos(n+ 1) B = 0 -{::::=} B = - - 7r avec J E {O, ... ,n}. 2n+2 Ainsi, T n + l admet dans [-1, 1] n+ 1 racines distinctes Yj = cos On a donc TnTn+l(y)

=

~~: ~ 7r.

(y - Yo)··· (y - Yn) . n

Or ITn+l(Y)1 = 1cos(n + 1) BI :( 1, donc sup

II Iy -

Yjl :( 2- n

j=O n

ou encore d'après ce qui précède sup

II Iy - Yjl = 2- n . j=O

,

192


On a donc: (su p

inf

(YO,· .. ,Yn)E[ - I,I)n+l

fI Iy - Yjl) = 2-

n

yE[O,I) j = O

et \ette borne est atteinte lorsque les

Yj

sont les racines de

Tn + l .

7. Considérons l'application affine croissante "/ qui transforme [-1,1] en . b-a a+b [a, b], SOit ,,/(y) = -2- Y + -2-' n

Posons Xj = "/(Yj) , w(x) = II(x - Xj) et soit P le polynôme d'interj =O

polation de

f par rapport au support (xo, ... , x n )

En notant M

.

sup ln+1)(x) , on avait pour tout x :

=

xE[a,b)

M If(x) - P(x)1 ~ (n + 1)! Iw(x)1 .

Or, en posant x w(x) =

=

IIn ("!(y) -

,,/(y) , on a: ,,/(Yo)) =

b - a n+l ~ Yo) = (-2-) w(y) ,

j=O

j=O

d'où Iw(x)1

b- a IIn (-2-) (y -

~ (b; ar+ 1 w(Y)1 ~ (b; a I

r+ Tn . I

M (b - a)n+1 En tout lJ(x) - P(x)1 ~ (n + 1)! 22n+l ,donc:

(b - a)n +l sup If(x) - P(x)1 ~ 22n+l( + 1)' M .

xE[a,b]

n

.

MASSON Éditeur 120, boulevard Saint -Germain 75280 Paris Cedex 06 Dépôt légal: mars 1997

SNEL S.A. Rue Saint-Vincent 12 - 8-4020 Liège tél. 32(0)4 343 7691 - fax 32(0)4 343 77 50 mars 1997

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