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O. xf3
x~ o+
log x infinitesima per x 1 x campione cp(x ) = x , a b bia mo P ertanto ,
f (x) = - / - e
x log x . 1nn - - -
x~ o +
xC
La prima relazione si ottien e d all a (5.13) osservando ch e 0=
lim x ~ +oo
f(x) - rnx - q = x
lim x~+oo
f( x) _ lim rnx _ lim X
x~ + oo
X
2..
x ~ +oo X
=
lim x ~ + oo
f (x ) _ rn X
'
mentre la seconda relazione segue d irettamente dalla (5.13). Le condizion i (5.14) forniscono il metodo p er la determinazione dell 'eventual e as int ot o di u na funz ion e f . Infat ti , se entramb i i limiti es ist ono fin it i, allora f a m met te l'asintoto dest ro y = rnx + q; se , invece, anch e uno solo dei lim it i (5.14) non e finito , la funzione non ammette asi ntoto. Notiamo chc, se f ammette as intoto obliquo, cio e se rn =I- 0 , allora la prima d elle (5.14) ci dice che f e un infinito di ordine 1 ris petto a ll'infinito cam p ione ±oo
f (x ) = 1
e
lim
x ---> -l ±
f (x ) = =f00
la fun zion e ha un asintot o orizzontale di equazion e y di equazione x = - 1.
VI +
ii) Sia f (x) =
1 e un asintot o verticale
x 2. Risult a lim
lim f (x ) = +00,
e
=
x -±oo
f (x ) =
x --->±oo
(
lim
( ~ + x) =
x -> - oo
.:-lx.. :. .lv_ _ l _+_x_-_
x ---> ± oo
X
1 + x2
-
1 + x2
-
= ±1
x2
Vf+X2 = 0, x --->+oo 1 + x2 + X
~ - x ) = lim
lim
x ---> +oo
x
2
lim
Vf+X2 x -> -oo 1 + x2 lim
x2 = O. x
P ert anto la funzione ha un as intoto ob liquo p er x -+ +00 di equazione y = x e un as int ot o obl iquo per x -+ -00 d i equazione y = - x . iii) Sia f (x ) = x + log x . Si ha lim (x + log x )
x---+O+
= - 00,
lim (x + log x ) x-+oo
= + 00
. X + log x . lim = 1, hm (x + log x - x ) = + 00. x- +oo x x - +~ Dunque la funzione h a un as int ot o vertica le (des tro) di equazione x ha as int ot i ori zzon t ali od obliqui.
=
0 e non 0
5.4 Ulteriori proprieta d elle successiom Riprendiamo qui 10 stud io del com portament o limite delle succession i iniziat o nel P aragr afo 3.2. I teoremi gener ali sui limi ti delle funzi oni valgono anche per Ie successioni (che sono parti colari funzioni definit e sugli int eri). Per comp let ezza , ne ripo rtia mo gli enunc ia ti adattati a lia sit uazione specifica. In oltre enuncia mo e dimostriamo ult eriori propriet a specifiche delle succ essioni. Diremo che una success ione {an }n>no verifica definitivamente una certa propriet a se esiste un in t er o N ~ n o tale che la successione {an } n ~ N verifica tale pr opriet a .
142
5 Confront o loc ale di fun zio ni . Su ccessioni e serie nurncrich c
Teoremi sulle successiorii 1. Teorema di uniciia del limite: illimit e di una successione , se esiste, e unico . 2. Teorema di limit at ezza: un a successione convcrgente e limitat a. 3. Teorema di esist enza del limite delle successioni m onotone: un a su ccessione definit iva mente monotona, se e limit at a allora e converge nte; se non e limit at a allora e divergente (a + 00 se e crescente, a -00 se e decr escen t e). 4. Primo Teore ma del confronio: siano {an} e {b n} due successioni tali che esistano, finit i 0 infiniti , i lirniti lim an = e lim bn = t n: Se defini ti vamen t e n ---+ (X) vale an .:::; bn , allora e.: :; tn, 5. Seco ndo Teorema del confronto: siano {a n}, {b n } e {cn} t re succession i tali che lim an = lim Cn = e. Se definiti vament e vale an .:::; bn .:::; Cn , all or a Tl. --l' CX)
n ---+ oo
lim bn
n -+ oo
= e.
e
n -+ oo
G. Teorema: una successione {an }
e infi nitesima, cioe nlim an = 0, se e solo -> oo
se la succession e {Ianl} c infinitesima. 7. Teorema: sia {a n} una successione infini t csima e {bn } un a successione limit at a. Allora la successione {anb n} e infinit esim a . 8. A lgebra dei lirniti: siano {an} e {bn } d ue successioni tali che lim an = e e lim bn = t ri (e, m finit i n -> oo
0
lim (an ± bn )
n ---+ oo
lim an bn
n ----+CXJ
n -> oo
infinit i) . Si ha
= e± t ti ,
= Em ,
. an e se defini ti vamen t e b =I- 0 , IlIn - = n b« m' ogniqualvolta l'espression e a seco ndo membra e defini t a sec on do la tabe lla di pag. 98. 9. Teorem a di sost ituzi one : sia {an } una successione tale che lim an = e e n -> oo
sia 9 una fu nzione defi nita in un intorno di e. a) se e E lR e 9 e continua in e, allora lim g (a n b) se
n-> oo
n -> oo
)
e tf. lR ed esiste il lim g(x ) = m, allora nlim -+ oo
Dimostraziono.
x---+I!.
= g(e); g(an ) = m.
Provi.uno solt a nt o il Tcorcma 2. in quanto gli nltri si ott cn gono udatt ando Iacihucntc lo nu a log hc duuostrazioui fornit.o p er lc h ui zioui . Supp onimno sia da ta la succcs sionc {a,,} " 2:Tl o couvcrgcntc a £ E R Allora. Iissato c = 1. cs ist e 111l intcro 111 ~ 110 talc che 1 0,, - £1< 1 per ogni 11 > /I) . Per tali /I si lin quindi . usanclo la disuguaglian za t riangolaro ( L 1),
Dunquc
J11. 1::/11 ~
10,,1 = 10,,- £+£1':::; 10,,- £1+1£1 < 1+ If! j· poncndo J\[ = lllax{ lo"ol.... .1 0/11 1.1+ I£I} si lia 10,,1 .: :; 710 .
0
5.4 Ulteriori proprieta d elle sueeession i
143
Esempi 5.18
= q" ; dove q e
i) Consideri amo la successione, detta succession e geometrica, an un numero fissa to in 1Ft Facciamo vedere che
lim qn =
n -> oo
{
o
se Iql < 1,
1
se q = 1,
+00
se q
non esiste
se q ::; - 1.
> 1,
Se q = () oppure q = 1, la successione e costante e dunque banalmente convergente a 0 e a 1 rispettivamente. Se q = -1 , la successione e ind et erminata . Sia or a q > 1; osserviamo ch e la successione e strettamente cres cent e e dunque am met te limite. P er mostrare che illimit e e +00, scriviamo q = 1 + r con r > 0 e applichia mo la formula (1.13) del binomio di Newt on : qn
=
(1 +
-r- = ~ (~)rk = 1 + nr+ ~ (~)rk.
Oss ervando che tutt i gli ad dend i dell 'ul tima somma sono po sitivi, otteni amo la disuguaglianza (1
+ r )"
2: 1 + nr ,
tin 2: 0 ,
(5.15)
detta disuguaglianza di Bernoulli" . Dunque qn 2: 1 + nr; passando al limite per n ----+ 00 e us ando il Primo teorema del confro nt o, si ha il risultato desiderato. 1 Esamini amo il caso Iql < 1 con q =1= 0; notiamo che IQT > 1 e quindi , per qu anto visto prima, nl.!...~ (
1 IQT
)n
=
+00.
Dunque la successione {Iqln}
pertan to pure la successione {q n} 10 Infine, sia q < - 1. Poiche lim q2k
k -+ CX)
la success ione
=
a"
lim (q 2 l =
k ---+(X)
e infinitesim a e
e.
+00,
lim q2k+1 = q lim lk
k ----> oo
k -w oo
= - 00,
e indeterminata.
ii) Sia p un numero fissato > 0 e consideriamo la successione applicando il Teorema d i sost it uzione con g( x ) = v", lim
n ---+(X)
1
fIP =
lim pl / n
fIP.
Si ha ,
= pO = 1 .
r ~ -+ oo
Usando il Principio di induzione , "" Principia di induziane, si puo dimostrare ehe la (5 .15) va le in realta p er ogni r 2: -1.
144
5 Confronto locale d i funzion i. Successioni e serie nurnerich e
iii) Consid eriamo la successione yin ; us ando ancora il Teorema di sostituzione e ricordando la (5.6) c), si ha lim y'n
n ---+<x>
log n
0
= nlim ex p - - = e = ---+ co n
1.
o
Esistono alcuni criteri di facile applicazione per d ecidere se una succ essione infinitesima 0 infinita . Tra questi , il pili usato e il seguente.
e
Teorema 5 .19 (Criterio del rapporto) Sia {a n } una su ccess ione per cui dejinitivamente valga an > o. Supponiamo che esist a jinito 0 injinito il
. an+l 1Hfl. - - = q. an
n ---+ CXJ
S e q < 1, allora lim an 71., ---+00
=
0; se q
> 1 allora lim an = +00 . n ---+<x>
Dimostraxionc . Supponianio chc a" > 0 , Vn 2: 110. Sia q < 1 c poniamo E: = 1 - q. Dalla d cfin iziou c di limite segue chc osistc 1111 iutcro l l-e 2: no talc chc per ogni II > liE; si ha a +1
-n - < q + E: = 1 , a /l
oss ia
an + 1
< a" .
Dunquo la succcssionc {all} C dcfinitivainoutc iuonotona de er esccnt o c portanto aunncttc lim it e fiuito c 2: O. So fosso i= 0 si avrcbbc . a ,,+1 e (] = 11111 - - = - = 1 11- ---+ 00 an e
e
contro l'ipotosi cho q < 1. Se q > i . c sufficicnt o con sidornrc la succcssionc {1/ a,,}.
e
0
Osservazione 5.20 E possibile dare una diversa dimostrazione del t eorema precedente che evid enz ia la velo cit a di convergenza a 0 0 a + 00 della su ccessione. Consid eri amo, ad esempio , il caso q < 1. Sempre d all a definizione di limite, per ogni r con q < r < 1, ponendo E: = r - q, esiste n E; 2: no t ale che p er ogni ti > n E; si ha an+1 - - < r ossi a an+l < r an an e, reiterando, (5.16) (la giustificazione rigorosa d i tale formula richi ede l'applica zione del Principio di induzione '"V7 Principio di i nduzione ). Concludiamo us ando il Primo criterio del confro nt o e il com portame nto lim it e d ella successione geome t rica (Es empio
5.4 Ulteriori pr oprieta delle successioni
145
5.18 i)) . La (5.16) mostra che la successione {an} tende a 0 tanto pili velocemente quanto q e piccolo. Analoghe con siderazioni valgono nel caso q > 1. 0 Da ultimo consideriamo alcune successioni significative che tendono a +00 . Confrontiamo illoro comportamento limite in base alla Definizione 5.10. Precisamente, prendiamo in esame le successioni
11
~g n ,
(a > 0, q > 1)
n a, n q , n., , n n
I
e facciamo ved er e che ciascun a e un infinito di ordine superiore rispetto alla pr ecedente. Il confronto tra le prime due su ccessioni e immediato usando il Teorema di sostituzione e la (5.6) c); otteni amo logn = o(na) per n ----700 . I successivi confro nt i possono essere effet t uat i considerando di volt a in volta la suc cessione quoziente delle due che si vogliono confront are e applica ndo il Cri terio del rapporto 5.19. Precisamente, poniamo dapprima an
a
= nqn .
q1 < 1, Dunque, lim an n--->CXJ
= 0 ovvero n a = o(qn) per n
. . qn d P om amo poi an = " a n.
Infine, sia an =
~; nn
n
----7 00 .
----700 .
.
CUI
qn+l n! (n + I)! qn e quindi qn = o(n!) per n
Allor a
q
+
( n ) 1 n!
n'. = -qn
+1
----7
0 < 1,
n
----7 00 ,
----7 00 .
allora
(n + l)n! n" (n) n (n + I)! nn (n + l)n+l ;r = (n + l)(n + 1)n n! = n + 1 1 1 1 n ----7 00 ,
( n~ 1
r
e dunque n! = o(nn) per n
(1 + ~
----7 00 .
r
----7
~
OC
= O.
Tn
lim (s - s,,)
ll ............. cx:;
=
S -
S
=
O.
o
Esempio 5.27 Consideriamo la serie, detta serie geo met r ica, 00
dove q e un numero fissato in lR. Se q = 1, risulta Sn = ao + a 1 + . .. + a n = 1 + 1 + . .. + 1 = n + 1 e lim Sn n -+ oo Dunque la serie diverg e a +00. Se q -=I- 1, si ha, grazie alia (5.18), 1 _ qn+1 Sn = 1 + q + q2 + . .. + qn = _ ----.::'-----_
= +00.
1-q
Ricordando l'Esempio 5.18 , otteniamo I
lim Sn
n -+ oo
= nlim -+ oo
1- q
se
1-q
1 _ qn+1 {
Iql < 1
+00
se q
non esist e
seq :S; -l .
>
1
In defin itiva converge a _ 1_
1- q
00
L(/ k=O
{
diverge a
+ 00
e ind eter rnin at a
se
Iql < 1
se q 2: 1 ,
se q :s; - 1 .
o
5.5 Seri e numeriche
151
L 00
ak, non sempre e possibile stabilire il suo comportamcnto k=O facendo uso della dcfinizione. Infatti puo accadere che la successione delle ridotte non sia calcolabile csplicitam ent e. E utile allor a avere dei criteri che garantiscano la convergenza 0 la divergenza della seri e. Nel caso in cui si abbia convergenza , l'eventual e problema di calcolare il valore numerico della serie potra essere affro ntato facendo ricorso a tecniche pili sofisticate, che esulano dallo scop o di questo t esto.
Data una serie
5.5 .1 S erie a t e rmini positivi 00
Si tratta di serie L ak per cui si ha ak ;::0: 0 p er ogni kEN . Vale allora il seguente k=O risultato. 00
Proposiz io ne 5 .28 Sia L ak una seri e a termini positivi . A llora la serie k=O converge 0 div erge positivamen te. Dim ost ra zione. La success ione
s.,
0
C mon otona cresce nte, infatti Vn;::O: O.
E sufficiente lim
Jl -
OO
8n
allora applicar e il Tearema 3.9 pCI' concluclere che esiste, finito 0 uguale a +00 . D
Enunciamo or a al cuni crit eri per 10 studio della convergenza di serie a termini positivi, per la cui dimostrazione rimandiamo a '"'-+ Serie numeriche .
00
00
Teorema 5 .29 (Criterio d el confronto) Siano L ak e L bk due serie k=O k=O numeri che a t ermini posi tivi e si abbia 0 :::; ak :::; bk , per ogni k ;::0: O.
Lb
00
00
i) S e la seri e 00
00
k
k=O
L ak :::; L bk; k=O k=O 00
conv erge, allora conv erge an che la seri e L ak e vale k=O
00
ii) se la seri e L ak div erge, allora div erge anc he la seri e L »: k=O k=O
152
5 Confronto local e di fun zioni. Successioni e se r ie nurneriche
Esempi 5.30 1
Lv 00
i) Si consideri la serie
PoicM
k=l
1
L 00
e la seri e di Mengoli
1
k2 < (k _ l)k Vk ~ 2, 1 (k _ l)k converge (E sempio 5.24 i)), possiamo conclu-
k=2 dere che anche la seri e data converge e la sua somma 2
e :::; 2.
Si puo dimostrare
'iT
che la sua somma vale
6 '
ii) Si consideri la serie
L
00
1
k' detta serie
k=l
armonica. Nel Capitolo 6 (Esercizio
12) , verifi ch er emo la disuguaglianza 10g(1 cui segue che 1 1 10g(1 + k) < k ' quindi , poiche la serie flog (1 k=l
+~)
+ x)
:::; x valida per ogni x > - 1, da
Vk ~ 1 ;
diverge (Esempio 5.24 ii)), possiamo
concluder e che anche la serie arrnonica diverge. iii) Per un'estensione dei casi precedenti si veda l'Esempio 10.14 i).
0
Enunciamo ora un utile criterio che gene ralizza quello del confronto.
L ak 00
Teorema 5 .31 (C r it e r io d el con front o asintotico) Dat e due serie
k=O
L bk a term ini positi vi, se le successiotii {ak }k2:0 e {bk }k2:0 sana equiqrasuli 00
e
k=O per k
----7
00,
allora il comportame nto delle due serie coin cide.
Esempi 5.32 i) Si consideri la serie
~ ak = ~ k 2+ 3 . Sia bk = ~ , allora L2k +5 k
L k=O
k=O
lim ak = ~. bk 2 Dunque la serie data ha 10 stesso comportamento della ser ie armonica e pertanto diverg e. k ~ oo
5.5 Serie numeriche
ii) 8i consideri la seri e
L
00
1
k=l
1 Poiche sin k 2
L sin v 00
ak =
k=l
serie data si com p orta come la serie
L
00
k=l
rv
1 k 2 p er k
153
----+ 00 ,
1 k 2 e dunque converge .
la 0
Enunciamo infine due crite ri, di natura algebrica e sovente di facil e applicazione , che forniscono condizioni .sufficient i per la convergenza 0 la divergenza di una serie.
L ak con ak > 00
T e o r ema 5.33 (C r it e r io d el r apporto) Sia data la serie 0 , 'r/k
O. Si supponga che esista, jinito
~
injinito, il lim ite
0
lim ak+1 = k->oo ak A llora se
k=O
e.
e < 1, la serie con verge; se e> 1, la serie
div erge.
L ak con ak ~ 0, 00
T eorema 5 .34 (C r iter io d ella radice ) Sia data la seri e 'r/k
~
O. Si supponga che esis ia, jinito lim k->oo
A llora se
0
injinito, il limit e
k=O
ifiik = e.
e < 1, la seri e converge; se e > 1, la seri e diverge.
Esempi 5.35 "
•
•
•
I) 81 consideri la sene
L
00
k
3 k ' Allora ak
k
= 3k
e akH
k+l
= 3 k+ 1 ; dunque
k=O . ak +1 . 1k +1 1 lim - - = Inn - - - = - < 1. k- oo a k k -s-co 3 k 3 P ertanto, applicando il Criterio del rapporto 5.33, la serie data converge. 00 1 ii) 8i consideri la serie kk . Allora k=l
L
.!.
lim if(ik = lim = 0 < 1. k- oo k- oo k Pertanto, applicando il Criterio della radice 5.34, la ser ie data converge .
0
154
5 Confronto locale di funzioni. Successioni e seri e numeri ch e
Si noti che, sia p er il Criterio del rapporto si a per il Criterio d ella rad ice, non si puo concluder e nulla nel caso in cui
e= 1. Ad esempio , Ie serie
f
~
f :2
e sono k=l k=l rispettivamente divergente e convergente, rna en trambe soddisfano la condizione in ciasc uno dei due cri teri con = 1.
e
5 .5.2 Serie a termini di segno alterno Si tratta di serie della forma 00
bk > 0 ,
con
Vk
~
o.
Vale il seg ue nte cr it erio dovuto a Leibniz. Teorema 5.36 (C r it e r io di Leibniz) Data una s eri e a termini di segn o 00
alierno l:) -l )kbk , se vaLgon o Le du e con dizioni k=O lim bk = 0 ; k-.oo ii) La su ccessione {bd k>O
i)
allora La eerie
e monotona decresc esite ,
e conue rqen ie . D etta s
La sua somma, per ogni n
~
0 si ha
e
Esempio 5 .37 00 1 Consideriamo la serie armonica a segni al t erni ' " ( _ l )k -k' Poich e lim bk ~ k ----+ oo k=l
lim k-. oo
~
=
0 e la successione
{~} e monotona strettamente decrescen te , la k k ~l
serie converge .
D
P er studiare Ie serie a termini di segno arbitrario , d i convergenza assoluta .
L ak converge asso lu tamente se 00
D efinizi o n e 5.38 Si dice che La serie
L
00
converge La serie a termini positivi
k=O
e u tile in trodurre il concet t o
k=O lak I·
5.6 Esercizi
155
Esempio 5.39 1
L (_l) k k 00
La serie
k=O
2
1
L v: 00
converge assolutarnente in quant a converge la serie
k=O 0
II segu en t e criterio assicura che la converge nza ass oluta irnplica la converge nza dell a serie.
L ak 00
Teorema 5.40 (C r it e r io di convergenza assoluta) S e la serie converge assolutamente, allora essa converge e si ha
k=O
Osservazione 5.41 Esistono serie che convergono rna non asso lutarnente. Ad esem p io, la serie arm onica a seg ni altern i
L
00
L (_l) kk1 converge, men tre la se rie 00
k=l
1
k di ver ge. Dunque la serie arrnonica a seg ni altern i non converge k=l ass olutarnente. Diremo in tal caso che la serie converge semplicemente oppure condizionatamente. 0 armo nica
II cr iterio precedente permet t e d i studiare seri e a segno vari abil e considerando ne la convergenza assoluta. Essend o la serie dei valori asso luti a te rmini posit ivi, si posson o a pp licare a tale serie i criteri visti nel P aragrafo 5.5.1.
5.6 Esercizi 1. Confro n tare gli infinitesimi:
~
x - I,
b)
-x 3 ' e-
1
V~ -
x
,
x 2 e-
(JX - 1) 2 per x ----d
1, x
,
x 2 3-
x
per x
--+
+00
2. Confrontare gli in fi niti:
.'1)
~ b)
3/.11
4 --+
+00
x -log -x ' x log x , x 23 x , 3 x log x per x
--+
+00
2
Vx
- 2x 2 ' I
pe r x
x4,
(X ) og 1 + x
156
[I]
5 Confront o local e d i fun zioni . Succession i e se r ie numerich e
Verificare che f (x) = VX + 3 - J3 e g(x ) = VX + 5 - V5 sono infinitesimi dello s tesso ordine p er x - 7 0 e determinare e E lE. tale che f (x ) '" eg(x) p er x - 7 o.
4 . Verificare che f (x ) = -Yx3 - 2x 2 + 1 e g(x ) = 2x + 1 sono infiniti dello stesso ordine p er x - 7 -00 e deten ni nare e E lE. tale clJe f (x ) rv fg(x) p er x - 7 - 00.
5. Determinare l'ordine di infinitesimo e la p arte prin cipale risp et to a ~(x) = ~ p er x - 7 + 00 delle Iun zioni : 2
L:2J f ( ) = 2x + l
x - I
l
si ha , p er x
----+
lim \I x (x - 1) x->l 1 --- x
=-
lim ijX(x - 1)2/ 3 = 0
x~ 1
I' (x - 1)2 I' x - I = x--->1( im = x---> im = 0, x-l)(yIX+l)2 1 ( fi + l )2
1,
X - - l= O ( ~)
,
(y'X - 1)2 = o(x - 1) .
Dunque possiamo ordinare , dall 'ordine minore al maggiore, i tre infinitesimi:
\I~x -I,
x -I ,
(y'X _ l)2 .
5.6 Ese rci zi
Si pu o a rr ivare a llo stesso risul t at o osservando che , per x
3~ V-;; - 1= e che
,fi - 1 = e dunqu e (,fi _ 1)2
rv
V
1 X - -x-
J1+ (x -
->
159
1,
- (x - 1) 1/3
rv
1) - 1 rv
~ (x 2
1)
t(x _1 )2.
1 b) In ordine crescente si ha : 3' x 2e x
x
e- x , x 2 3- x .
,
2. Couironto eli uiiiuiti:
a) Si ha
Dunqu e \lx ll inferior e a x 4 .
2x 2 = o(x 4 ) per x
-
x4 Si ha immedia t amen t e 1 ( ) og 1 + x
V'x ll
lim
x~ + oo
-
2x 2 log (l
->
+00 e V'x ll
= o(x 4 ).
+x)
--------;----=--"------'x4
.
ossia V'x ll
2x 2
-
degli infiniti
=
a
e:
COg(~~ x ) ). \lx 11
2x 2
-
,
log(l
+ x ) V'1 -
2x - 9
x 1/ 3
x~+oo
=
e un infinito di ordine
In oltre,
hm
=
2x 2
-
lim
log(l
+ x) = 0
x 1/ 3
X~ + OO
'
In concl usione, l'ordinam en to crescente
log (l
b) In ordine di infinit o cresce nte si ha : x log x,
+ x)
,
2
-x1 ,
og x
3 x log x , x 23 x .
3. P oiche lim
JX+3 - V3 =
X~O J x + 5 - J5
lim (x + 3 - 3)( JX+5 + J5) = lim JX+5 + J5 = ~ X~O (x + 5 - 5) ( J x + 3 + V3) X~O J x + 3 + V3 V3"
p ossiam o dir e che f (x ) rv 4. Risul t a f (x )
rv
Vi g(x )
~ g(x ) p er x
->
per x
-00 .
->
O.
160
5 Confro nt o local e d i fu nzion i. Successioni e serie numer ich e
5. Oniine di iuiinitesiuio c p ar tc prin cipele: a) Si ha lim
x~+oo
f (x ) -l / x c>
= lim z" x ~ + oo
2x 2 + x4
2 + X- 9/ 5 = lim 2x c> - 2. x ~ +oo x2 x~+oo
Tale limi t e e finito e uguale a 2 se 0' = 2. P ertant o I'ordine di infinit esim o di f (x ) e 2 e la sua part e princip ale e p(x ) = x22' In altern at iva , si puo osservare che , p er x ----+ + 00, sin ( ~ - x ) x ~ + oo
=
lim xC> ( ~ - x ) x~+oo
=
lim xC> x- +oo
sin ( Vx2 - 1 - x) VX2=l x2 - 1 - x
(~ - x) .
In alternat iva, si puo utilizza re la segue nt e osservaz ione : sin g(x) rv g(x ) p er x ----+ XQ se la funzione g(x ) e infinit esi m a p er x ----+ XQ. A llora, p er x ----+ + 00, si ha
sin ( ~ - x)
rv
~-x
e dunque , p er la Proposizion e 5.5, direttamente lim x C> sin
X~+~
(~ - x)
=
lim xC>
x ~+ ~
(~- x)
Co ns iderand o quest 'ultimo limite, si h a lim
x ~+ oo
rir:':
xC> ( V x 2 - 1 - x
)
=
xC> Xc>- l 1 = lim = 2 x ~+oo v x - 1 + x x ~ +oo ) l + 1 + 1 2 lim
se 0' = 1. Conclud ia mo che l' ord in e di infinit esimo 1 P(x ) = 2x '
x2
e1 e
la part e prin cipal e
e
5.6 Esercizi
161
d) Risul t a log
(9 + sin ~) - 2log 3= log 9(1 + ~ sin ~) - log 9= log (1+ ~ sin ~) x 9 x 9 x i
Poi che, per x ----. +00, sin ~ '" g~ (si veda I'osservazion e fatta nell 'esercizio precedente) e log(I + y) '" y per y ----. 0 si ha .
hm xC> f (x)
x-+ +oo
=
.
1 . 2
hm xC> - sm 9 x
x-++oo
=
.
hm
x-++oo
2x C> -9x
9 parte princip ale
e
se a = 2. P ertanto I'ordine di infinit o di f e 2 e la sua parte princip ale p( x) = - x 2 . b) L 'ordine di infinito di f e 1 e la sua par te prin cip ale e p(x) = 2x .
e
se a = 1. Dunque I'ordine di infini t esim o di p( x) = g2x '
f
e 1 e la su a
2
6. Ordin e di infinit o e parte principale:
a) Si ha
7. Online eli infinitesim o e parte prin cipale: a) Si ha VI
+ 3x
. VI IHfl.
- 1 '" ~x p er x ----. 0; infat ti
+ 3x
x -+O
~x
Inoltre sin 2x 2
'"
- 1
= I'Hfl. -2 x -+O 3
1 + 3x - 1 . = hm x ( VI + 3x + 1) x-+ O VI
2
+ 3x + 1
= 1.
2x 2 p er x ----. 0 e quindi
f( x) '"
~x . 2x 2 2
ossi a
f( x) '" 3x 3,
X ----.
O.
e 3 e la sua part e prin cip ale e p(x) = 3x 3. f e 2 e la sua parte principale e p(x) = - ix2. f e 3 e la sua par te principale e p(x) = _~ x3 .
Pertanto I'ordine di infinite simo di f b) L'ordine di infinitesimo di c) L'ordine di infinitesimo di
d) Usando la relazione eX = 1 + x
+ o(x)
per x ----. 0, si ha
se a = 1. Dunque I'ordine di infinitesimo di p( x) = x .
f e 1 e la su a par t e principale e
162
5 Confronto loc al e di funzioni. Su ccessioni e serie numeriche
e 2 e la sua parte principale e p(x)
c) L'ordine di infinitesimo di f
= _~x2 .
f) Ricordando che 1 cos x = 1- 2 X2 +o(x 2)
~=
(1 + x 3)1 /2
et= 1 + t + o(t ) si ha
f(x) =
:r
= 1 + ~x3 + o(x 3)
Pertanto
x
2
----+
1 2 +0(2) e l -2x x _ e1
+ 21 x 3 +0(x 3) = e ( e - '2 X 2 + 0(2) x 0
1 3 +0 (3)) _ e2X x
(3) x )
e( - ~ x2 +o(x 2)) = _~ x2 +o(x 2) ,
X ----+ 0 .
f ha ordine di infinitesimo 2 e parte principale p(x)
8. Online eli infinitesimo e part e ptincipnle: a) Poniamo t
=x-
log x -log3 Poiche log (1
3 e osserviarno che t
= log(3 + t)
+ ~) '"
~ per
0,
t----+O ,
1 3+ 1 2 + o(x 2) - 1 - 2x = e ( 1 - 2x
=
0,
----+
- log 3
°per x
----+
= IOg3(1 +
----+
= _ ~X2 .
3. Allora
D
= log (1 +
- log 3
D·
t ----+ 0, risulta 1
f(x) = logx - log 3 '" 3(x - 3) ,
x
----+
3.
= ~(x - 3) . e p(x) = 1" (x - 2).
Dunque f ha ordine di infinitesimo 1 e parte principale p(x)
b) L'ordine di infinitesimo di f e 1 e la parte principale c) Ricordando che e t - 1 '" t per t ----+ 0, si ha
f(x)
= e(e
X2
= e(x
-
1
-
1) '" e(x 2
+ 1)(x -
-
1)
1) '" 2e(x - 1)
per
x
----+
1.
Dunque f ha ordine di infinitesimo 1 e parte principale p(x) = 2e(x - 1) . d) L'ordine di infinitesimo di f e 1 e la parte principale e p(x) = -(x - 1f). e) Poniamo t = x - 1f . Allora
Poiche t
----+
°
per x
1 + cos x ----+ 1f ,
f( x)
= 1 + cos (t + rr) =
1 - cos t .
risulta 1 - cos t '" ~t2 e dunqu e 1
= 1 + cos x '" 2(:1; - 1f)2,
X ----+ zr.
P ertanto f ha ordine di infinitesimo 2 e parte principale p(x) = ~(x - 1f)2 . f) L'ordine di infini tesimo di f e 2 e la parte principale e p(x) = -~( x - 1f)2.
5.6 Eser cizi
163
9. Luniii:
a) Ricordando che , p er x
0,
----t
e
si ha lim
VI +
3x 2
cos x
-
x 2 COS X
x-+O
=
lim
1 + 1x 2 2
x -.O
.
= lim
-
1 + .!x 2 + o(x 2 ) 2 x2
2x 2
+ o(x 2 ) = 2 . x2
=
lim log(3 -
x -'O
b) O. c) Posto Y = 3 - x , risulta L
lim log(3 - VX+T) 3- x
=
x-+ 3 -
lim log(3 - 2)1 - y/4) .
=
Y
Y -'O+
Poiche )1 - y/4 L
=
J4=Y)
Y
Y -' O+
1 - ~y + o(y), Y
=
lim log(3 - 2+ Y-'o +
= lim Y -+ O+
Y
----t
0, si ha
t +o(y)) =
lim
log(1 +
y
Y -+O+
t +o(y) = ~ . Y
t + o(y))
4
d) II limi te no n esist e, rna illimit e destro vale + 00 e qu ello sinist ro -00 .
10. Doiuiuio e nsintoti: a) La fun zione e definita per x 2 - 1 > 0, ossia per x < - 1 e per x > 1; pert anto dom f = (-00, -1) U (1, +00). Si osservi che la funzion e e pari , pertan to il suo comportamento per x < 0 si puo dedurre da qu ello p er x > O. Si ha
x 2 (1 + x -+ ±oo Ixl
lim
f( x) =
lim
f( x) = : = +00 ,
x-+±oo
x -+ -] -
lim
0
...L) 2
y'1 _ -fx x
=
lim
x - d oo
lim f( x)
x-. j +
x2 [z]
=
+ 00
= 0: =
+ 00 .
Quindi la retta x = - 1 e as intoto verticale sinistro e la retta x = 1 e asint ot o verti cale destro; non vi sono asintot i orizzont ali . Cerchi amo l'eventuale asint ot o obliquo per x ----t + 00:
164
5 Confront o locale d i fun zion i. Su cces sioni e se rie nurnerich e
f (x ) · -- = 1Hfl x~+oo x
x
1·un
x~ +oo
x
+ x\-) =
2
(1
2
~1 1 VL- X:;:
1
x 2 + 1 - x VX2=1 ~ x~+oo V x2 - 1 . (x 2 +1)2 - x 4 + x 2 = Inn x ~ + oo v x 2 - l( x 2 + 1 + x vx 2 - 1)
lim (J( x ) - x ) =
x~+ oo
=
lim
lim
x~+oo x 3
VI-
+1 (1 + x\ + 3x 2
x\
VI -
lim
x~ + oo
x\ )
3x 2 2x
-:3
=0
dunque la retta y = x e asi nt oto obliquo destra. Pe r x -+ - 00 , si puo proced ere in m aniera analoga, ot t en endo che la ret t a y = -x e as intot o obliquo sinistro . b) dom f = JR; y sinistro. c) La fun zione
= x + 1f
asint oto obliquo destra , y
e defini t a per x #-- ~' dunque dom f
· f( x ) = 1·Hfl x 1un
x~-oo
x ~ -oo
2-
(x+ l) (2 -x ) = 2x + 3
= x-
=
1f
as int oto obliquo
JR \ {- ~ }. Inoltre
1·un
x~ -oo
2 2x - x -2 = 2x + 3
- 00
2 1·1m x - (x + l )(x - 2) = 1·Hfl x+ 2 1 -- = X ~ + OO x~+oo 2x + 3 x~+oo 2x + 3 2 x 2 - (x + 1)(2 - x ) 4 lim f( x) = lim = - = ± oo ; x-t -~ ± X~ -~ ± 2x + 3 O±
· 1un
f() x =
quindi la retta y = ~ e asint oto or izzontale de stro e la ret t a x as int oto ver ti cale. Cerchiamo l'eventual e as intoto obliquo sinistro: lim x ~ -oo
e un
2
f (x) = lim 2x - x - 2 = 1 x x ~ - oo x (2x + 3)
lim (J( x) - x ) =
x~-oo
pertanto la rett a y = x - 2 d) dom f = JR \ { ±1}; x comp let o.
-23
lim
x~+ oo
-4x - 2 = -2 ; 2x + 3
e as int oto obliquo sinistra .
= ± 1 as int oti ver tical i; la ret t a
y
=x
e asint oto obliquo
e) dom f = (- 00, -1) U (0, +00 ); asi ntoto or izzontale y = e, as int oto verticale sinistra x = - 1.
f) La fun zione f e defini ta per x + eX > O. P er ris olvere tale d isequaz ione , osserviamo che g(x) = x + eX e una funzione stre ttame nte cresce nte su JR (somma di due fun zioni avent i t ale proprieta) con g( - 1) = - 1 + ~ < 0 e g(O) = 1 > O. Applicando il Teorema di esistenza degli zeri 4 .23 , si deduce l'esistenz a di un uni co punto Xo E (-1 ,0) tale che g(xo) = o. Dunque g( x) > 0 per x > Xu e dom f = (xo , +00 ). Inoltre
5.6 Esercizi
lim f( x)
x---+xt
=
log lim (x
x---+xt
+ eX) = - 00
e
lim
x ----.. +CX)
165
f( x) = +00 ;
qu indi x = Xo e un asintoto verticale destro e non vi sono asintoti ori zzontali p er x ----+ +00. Cerchiamo I'eventuale asintoto obliquo destro:
f( x) =
lim
x
x ---> +oo
log ex (1 + xe- X) =
lim
X
x ---> +oo
= 1
+
x+ log(l+ xe-
lim
X)
X
x --->+oo
log(1 + xe - X) = 1 , x lim log (1 + xe - X) = 0 lim
x --->+oo
=
lim (f(x) - x)
X ---++CX)
in quanto
lim xe- x
x --->+ oo
=
x- +oo
0 (si ricordi Ia (5.6) a)). Pertanto la retta y
=x e
asi nt ot o obliquo destro. 11. Com portamen to di successioui:
a) Div erge a
+00.
b) Indet errninat a .
c) Ricordando il com portament o della successione geometrica (Esempio 5.18 i)) si ha lim an
n ---> oo
= lim
n ---> oo
4n ((~) n 4
4n(4 - n
1)
+ 1) =
-1
,
quindi la successione converge a - 1. d) Diverge a
+00.
e) Scriviamo
2n(2n-l) .. · (n + 2)(n + l ) 2n 2n-1 n+2 n+l = - · - - - · · · - - · - - >n +l n(n -l) .. · 2 · 1 n n -l 2 1 '
an=
poiche lim (n + 1) = n ---> oo
si deduce che la
+00, p er il secondo Teorema del succession e div erge a +00.
confro nto (caso infinito) ,
f) Converge a 1.
g) Poiche
2
~ + 2 log n 2 -n+l )
an = exp ( V n 2
n +n+2
'
studiarno la successione b., = V
2-n n +l n + 2 log n 2 + n + 2 =
~ 2
Osserviarno che
. I im
n--->oo
e quindi
V
~ 2
( 2n+l ) n + 2 log 1 - -n"'"2-+- n-+----,-2
2n + 1 n2 + n + 2
=0
166
5 Confront o locale d i fun zroni. Snccessioni e se rie numeri che
log ( 1 - 22n + 1 ) n +n+2
rv
2n
n2
+
1
+n+2
n-> oo.
'
Allora · bn -I Hfl
-
n~ oo
Jn2+2 (2n + 1)
I·l Hl
n2
n~ oo
lim
+n +2
2n 2
- 2-
n~ oo
n
= - 2;
du nque la successione {an} converge a e- 2 . h) Post o x = 2- n 7l", osserviam o che x -> 0+ p er n . hm an
n --+ oo
e la success ione {an} converge a
----> 00 .
Dunque
. sin x = x-lim 7l" - - = 7l" o+ X tt .
i) Osser viamo che n + 17l" cos - n-"2
=
quindi , post a x
tt ) = cos (7l""2 + 2n =-
.
Sill
7l" 2n ;
2:' si ha
7l" lim an == - lim n sin - == n ~ OO 2n
n ~ oo
lim
x~ o +
7l" sinx == 2 x
7l" 2
e la successione {an} converge a - ~ .
e) Converge a - ~ . 12. Limiti:
a) O. b) Poiche ~ -> 0 per n
J+ ~ 1
n
----> 00,
si ha
= 1 + J:..+0 2n
e quindi nlim ~ oo n (
c)
o.
(~) n
e
Q)
Vr:;I T ; - V 1
1 -
;
= nlim ~ oo n
(~ 2n + O (~)) n
3 2
d) Non esist e.
e) Scr iviamo
2
V 3n 3 + = exp
(~IOg(3n3 + 2))
e osse rv ia mo che 3
~ log(3n3 + 2) = log (3n (1 + ~ ) ) = log 3 + 310g n + log (1 + ~) n
n
n
n
n
5.6 Esercizi
167
Inoltre n dunque
.
1
lim - log(3n 3
n ---+ oo
n
---+
00 ;
(n
+ 3)(n + 2)(n + 1) -
+ 2) = 0
e quindi il limite cerc at o vale eO = 1.
f) Scriviamo
n'((n + 3)(n + 2)(n + 1) - 1) n 2(n + l)n!
(n+3)! -n! n 2(n + I)!
n 2(n
1
+ 1)
e quindi
+ 3)' - n! = lim (n n 2(n + I)! n -> co
lim (n n -> co
g) Poi che
R1 1 (3 ) Vr;;I-1
+ 3)(n + 2)(n + 1) n 2(n + 1)
1+-=1 + - +0 n 3n
si ha lim n
n -> co
1
(1) n
,
n
---+
= nlim n (~+ -> co 3n 0
--r ;
1
=
1.
00,
(~)) = ~3 . n
h) 1.
13. Studio della convergenza di scrie a termini positivi: a) Converge . b) Osserviamo che il t ermine generale ak t ende a + 00 p er k ---+ 00 . Pertanto per la Propriet a 5.25 la serie div erge po sitivam en te. In alte rnativa, e possibile utilizzare il Criterio della radice 5.34. c) Applich iamo il Criterio del rapporto 5.33: · ak+1 - = I'Hfl IHfl
scrivendo (k
+ I)!
=
(k
'
'
k-s- oo
ak
+ l)k!
e sernplificando, si ottiene
a k +1 · Iim -
k-> co
ak
Ne segue che la seri e conver ge.
k-> co
3 k + 1 k'. (k + I)! 3k
=
I'im -k-3
k -> co
+ 1 = O.
168
5 Con fronto locale d i fun zioni. Successioni e serie numeriche
d) Applichiarno nuovarnente il Criterio del rapporto 5.33 : ' ak+1 I' I l Hl - - = Hfl
k-..oo ak
k -r-- oo
1 < 1. e
(k+l)! . -kk = lim ( -k- )k (k + 1)k+1 k! k -s- cx: k+1
Dunque La serie converge. e) Osserviamo che
7
7
=-
k ---7 00 , per k k Pertanto, applicando il Criterio del confro nt o asintotico 5.31 e ricordando che la seri e armonica diverge, possiamo concludere che la serie data diverge.
ak '" k - 2
f) Converge. 14, St udio della convergenza di serie a termini di segno nltern o: b) non converge.
a) Converge semplicernente; c) Poiche sin la serie ass egn ata
(br + ~) =
cos ( k1f) sin
~ = (-
1)
e a termini di segno a lterno con bk
k
=
~, sin t , Risu lta
sin
e P ertanto, per il Criterio di Leibniz 5.36 , la serie converge. Osserviamo che la per k ---7 00 , dunque la seri e non converge assolutamente in quanto sin seri e dei valori assoluti si comporta corne la serie armonica che diverge. d) La serie converge assolutamente in quanto, usando una delle equivalenze di p ag . 131, si ha
t '" t
k
---7
00 ,
e quindi, ricordando l'Esempio 5.30 i) , possiamo applicare il Criterio del confronto as int ot ico 5.31 alia ser ie dei va lori assoluti. 15. St udio della convergenz a di serie: a) Converge. b) Osserviamo che 1
I S~2kl 0)
1
e la fun zione g'( x) =
Se poi eons ide ria mo la fun zione h(x)
=
(I ) . oga x loga( - x) (con x < 0), ehe
dalle fun zioni x ~ -x e g(y) , abbiamo ancora h'( x) 1
( loga ) x
= (I
1
e eomposta
)( )( -1) = oga -x
. Sintetizzando i due preeedenti risult ati , possiamo dire ehe la derivata
della fun zione g(x)
=
log a Ixl (con x =I- 0)
e la funzione
g'( x) = ( 1) log a x
Notiamo che, con la seelta della base a = e, si ha ehe la derivata della fun zion e
g(x) = log Ixl
e la fun zione g'( x) = .!.. x
D
Osservazione 6 .11 Sia f( x) una fun zion e deri vabile e st rettame nte po sitiva in un intervallo I . Grazie a l ri sultato preeed ente e al Teor ema 6.7 , la der ivata della fun zione eomp osta g(x) = log f( x) e dat a da
'( ) _ 1'(x) f( :1;) '
9 x -
L 'espressione
j
vien e detta derivata logaritmica della fun zion e
f.
D
Concludiamo questo paragrafo con un'ut ile eon segu enz a del Teorem a 6.7 .
I una Junzion e pari (rispettiv ame nte dispari) derivabile in tutto il suo dominio. A llora la derivata l' e una Junzion e dispari (rispettiv ame nte pari) .
Proprieta 6.12 Sia
Dirnost razionc. Se la funzionc J e pari , si ha f (- .1; ) = f (x ) per ogni x E dornf . Deri viam o ambo i me mbri di questa ugu agli anza , osservando ehe la funzione f ( -:r) e composta dalla fun zione x ~ -x e dalla funz ione y ~ f (y) e, per t an t o, la sua deri vat a e la fun zione -1'( -.1;). Ne segue che 1'(-:r) = - 1'(1;) per ogni .» E dorn j, cioe la funzio ne l' e disp ari , In modo ana logo si rag iona se f c dispari. D
180
6 Calcolo difTerenz iale
Per cornod it a dell'allievo , Ie derivate delle principali funzioni eleme nt ari sono raccolt e nella sottostante Iista,
(vo E ffi.) D sin x
= cos x
D cos x = - sinx 2
D t an x = 1 + tan x = D arcsin x =
-2X
1
Vf=X2 1
= - --=== 2
D arct an x
=
=
1
COS
~==
D arccos x
D a"
. -
J1 - x 1
--2
l+x
(log a) aX
in par ticolar e,
1
D log, Ix l = (Ioga ) x
in particolare,
1
D log lx l = -
x
6.3 Punti di non derivabilita Abbiamo gia osservato che la funzione f(x) = [z] e continua rna non derivabile nell'origine. D 'altra parte, essa e derivabile in ogni altro punto della retta reale, in quanta coincide con la semiretta y = x per :1; > 0 e con la semiretta y = - x p er x < O. Abbiamo quindi f'(x) = +1 p er x > 0 e 1'(.7:) = - 1 per x < O. Ricordando la definizione della funzione Segno (Esempio 2.1 iv)), possiamo scrivere sinteticamente che D Ixl
= sign(x) ,
p er ogni x =1= O.
L'originc e dunque un punto isolato di non derivabilita per la funzione y = Ixl. Tornando all 'espressione (6.2) del suo r apporto incr ementale nell 'origine, notiamo pero che esistono finiti i limiti da destra e da sinistra: . L\f I im ~=1,
X~o+
Cia suggerisce la seguente
.wX
. L\f hm =-1. L\x
x ~o-
6.3 Punti di non derivabilita
181
Definizione 6.13 Sia f una fun zion e definita in un intorn o destro di Xo E K Essa dicesi derivabile da destra in Xo se esiste fini to il limit e destro del
L1f rapporto incrementale tra Xo e x, per x tendente a Xo. Il numero Teale L1x ., ( ) j + Xo =
l'
Hfl
x-xci
f( x) - f( xo ) . x - Xo
=
li
l Hl
Llx -O+
f (xo + L1x ) - f( xo ) L1 x
dicesi derivata destra di f in Xo. La definizion e di derivata sin ist r a I': (x o) e analoga. Se la funzione f e definita solo in un intorno destro (sinistro) di Xo ed e derivabile da destra (sinistra) in x o, diremo piu sempliceme nte che la funzione e derivabile in Xo e scrivcr emo f'( xo) = f~(xo) (J'( xo) = f~( xo)) . Ri cordando la Proposizione 3.24 sui limiti, abbiamo innanzitutto il seguente criterio di derivabilita , Proprieta 6 .14 Una fun zion e f definita in un in torna di un punta Xo E lR c derivabile in Xo se e solo se e derioabile da destra e da sinis tra in .TO e le derivate destra e sinistra coincidono. In tal caso si ha
.f'(xo)
= f~(xo) = f~ (xo ) .
Se invece f e derivabile da dcstra e da sini stra in Xo rna le derivate destra e sinistra sono diver se (come accade alla funzione f( x) = Ixl nell 'origine) , diciamo chc Xo e un punto angoloso per f (si ved a la Fi gura 6.2). II tcrmine deriva dal fatto che, da un punto di vista geome t rico, la derivata destra di f in Xo rappresenta il coe fficiente angola re della retta tang ent e destra al grafi co di f in Po = (xo , f( xo)) , ossia della posizione limite delle rette secanti il grafico di f in Po e in punti P = (x , f( x)) con x > Xo via via piu vicino a xo. Se la tangen te des tra e la tangente sinistra (definita in modo a nalogo) non coincidono, esse formano un angola in Po.
Figura 6.2. Punti di non derivabilita: l'o rigine e un punta a ngoloso (a sinist ra}, un punto a tangen te verticale (al ce nt ro ), un punta d i cuspide (a destra)
182
6 Calcolo differ cn ziale
Altri casi ril evanti di non derivabilit a si hanno qu ando in Xo esistono (fini ti oppure infiniti) i limiti destro e sinistro del rapporto inc rem entale d i 1, che ind ichiamo ancora ri sp ettivamen te con i simb oli I~( :ro) e I~(xo) , rna uno almeno di essi e infinito. Precisamente , se uno solo t ra I~ (x o) e I~ (xo) e infinito, di ciamo ancora che Xo e un punto angoloso per 1. Se I~(xo) e I~ (x o ) sono entrambi infiniti e di segno concorde (e dunque il limi t e completo del rappor to inc reme ntale esiste e val e +00 oppure - 00), di ciamo che Xo e un punto a tangente verticale per 1. Tale e il caso della fun zione I( x) = ijX nell 'o rigine ; si ha infatti
I'nn -ijX = I'1m 3ro± x x--->o± V x 2 Se invece I~ (xo) e I~ (xo) sono ent rambi infiniti rna di segno dis cord e, dici amo che Xo e un punto di cuspide per 1 . Tal e e il caso d ella fun zionc 1(·1:) = nell'origine; si ha infatti
v1XT
I~(O) = x--->o± lim v1XT = lim v1XT = x--->o± lim 1 = ±oo. x x--->o± sign (x ) I:rl sign (.1:) v1XT Diamo infin e un utile criterio pe r stabilire la der ivabilit a di una funzione in un punto xo. La dimostrazione, che utilizza il Teo rema di de l'Hopital , verra presentata nel P aragrafo 6.11. Teorema 6.15 Sui 1 una fun zion e continua in Xo e derivabile in tutti i punti -I Xo di un iniorn o di xo. Be esiste finito il limite per x -+ Xo della [un zion e l' (x) , allora 1 e derivabile anche in Xo e si ha
x
.f'( xo) = lim .f'( x). X-tXo
Esempio 6.16 Consideri amo la funzione
a sin 2x - 4
I( x) = { b(x -l)+ ex
se x < 0,
sex2 0, e chied ia moci se esistono valori dei parametri real i a e b per i quali 1 risulti derivabile nell 'origin e. Imponiamo innanzitutto la continuita di 1 nell 'origine (ri cordiamo che un a fun zion e derivabile e necessariamente con tinua). Abbiamo lim I( x)
x--->o-
=
- 4,
lim I(x)
x--->o+
= 1(0) = - b + 1;
uguagliando i due valori , ot t eniamo b = 5. Con t al e val or e di b, po ssiamo all or a imporre che i limi ti destro e sinistro di I' (x) p er x -+ sia no uguali , in modo che illimi t e complet o di 1'(x) pe r x -+ esista finito , e p oi a pp licate il Tcorem a 6.15. Abbiamo
°
°
6.4 Punti di estremo e punti crit ici di una funzion e
lim j'( x)
x---+o-
=
= 2a, otteniamo a = 3.
lim 2a cos 2x
x ---+ o-
uguagliando i due valori ,
lim j'(x)
x---+ o+
=
lim (5 + e" )
x---+ o+
183
= 6; 0
Osservazione 6.17 Nell' ap plicaz ione del Te orema 6.15 non si dimentichi di verificare l'ipotesi di continu ita nel punta :l:o. Infatti la sola esis t enza del limi te della f' non bast a a garant ire la derivabilita di f in xo. Ad esem p io, f (x) = x + sign x e derivabile per ogni x =I=- 0 con f'( x) = 1. Pertanto lim f'( x) = 1 ma la fun zione, non essendo con t inua, n on
e derivabile in
x
=
x--->O
O.
0
6.4 Punti di estremo e punti critici di una funzione Definizione 6.18 Sia Xo E dorn f. Si dice cite xo e punto d i m a ssi m o relativo (0 lo cale ) per f se esis te un intorno Ir(xo) di Xo tale cite
f (x)
~
f(xo).
Il ualore f (xo) dicesi massimo relativo d i f . Si dice cite Xo e punto d i massimo assoluto (0 g lobale) per
Vx E dornf,
f( x)
~
f
se
f (xo).
Il ualore f (xo ) dicesi massimo assoluto d i f . In tutti i casi, il massirno si defini sce st retto se si Ita f( x) < f( xo) per x =I=- xo·
Le definizioni di punto di minimo relativo e assoluto si ot tengono dall e precede nti sost it uend o il simbolo ~ con 2:: nelle disu gu aglianze . Un punta d i minimo o di rnassimo verra indicato genericame nte come punto di estremo per f .
(I~ XQ
XQ
~I
,
Figura 6.3. Va ri ti pi d i punti d i m assimo di una funzion e
XQ
184
6 Calcolo differ enziale
Esempi 6.19 i) P er la parabola 1(.7:) = 1 + 2x - x 2 = 2 - (x - 1)2, il punta Xo = 1 e punto di massimo assoluto st ret to. II valore 2 e il massimo assoluto della fun zione. Si noti che la der ivata 1' (x) = 2(1 - x ) si annulla nel punto di mas sirno . Non vi sono punti di minimo (ne rela t ivi, ne assoluti).
ii) Pe r la funz ione g(x) = arcsinx (si veda la Fi gura 2.24 ), il punto Xo = 1 e punto di m assimo ass olut o stret to , ed il valoro massirno e l Invece, il punto X l = - 1 e punta di minimo ass olut o stretto , con valore m inimo - ~ . In quest a caso, i punti di estremo di 9 sono punti di non derrvabilit a della funzione. D Siamo int eressati ad individuare i punti di est remo d i un a fu nzione. A t al e scop o, se la funzione e derivabile, puo essere utile cere are i punti in cui la deriva t a si annulla. D efinizione 6.20 Di cesi punto critico (0 stazionario) di una fun zion e ogni punio Xo in cui f sui deri uolnle e si abbia l' (x o) = O. Un punto critico orizzontale.
e dunque un
f
punta in cu i la t angente al grafico della funzione
(,
,, ,, ,
, ,
Xo
Xl
Figura 6.4 . Vari ti pi d i punti cr it ici di una fu nzione
Teorema 6.21 (d i Fermat) Sia f definita in iuiio uri iniorno di uri punio XQ e deriuabile in XQ. Be Xo e punic di esirem o per i, allora
.f' (xo ) = 0, cioe Xo
e punta
criiico per f .
e
6.4 Punti di est remo e punti critici di una fun zione
185
Dimostrazione. Supponiamo, per fissar e le idee, che Xo sia un punto di massimo relati ve per f e sia IT(:ro) un suo intorno t alc che f (x ) ::::: f (xo ) per ogni x E IT(:ro). In tale intorn o si ha quincli Lif = f( x) - f(x o) ::::: o. . , Ll:r " = x - Xo > 0, I'1 rapporto incr . em en t a 1e --;:;Lif e, Sex> xo, cioe Ll X
::::: 0; pert an to , grazie al Corollario 4.3 del Teore ma di perrn an en za del segno, si ha ·
1l Ifk x --->xt
f (:r) - f (xo) < 0 X -
·'];0
-
.
Viceversa .. se x < xo., cioe Lix < 0, il rapporto increm en t al e
e 2: 0; pertanto,
·
1l Hl x ---> x ,-;-
f (x ) - f (xo) > 0 .1; -
·'];0
-
~f Ll X
.
Ricordando la Proprieta 6.14, si ha
.'( )-
.t Xo -
li
Hfl x --->xt
f (x ) - f (:ro) _ li -
X -
Xo
un
x --->x,-;-
f (x ) - f (xo ) X -
·'];0
,
dunque f' (xo) deve essere conte mpora neamente ::::: 0 e 2: 0 e pert an to deve essere null a. In modo analogo si ragiona quando .'];0 e punta di minimo re lat ive 0 per f . II Teorema di Fermat garantisce che, per un a funzione derivabile, i punti di estremo int erni al dominio vanno ricercati tra i punti crit ici della fun zione. Tuttavia, una fun zione puo avere punti crit ici che non sono punti di est remo (si veda la Figura 6.4) . Ad ese m pio, la fun zione f(x) = x 3 ha I'origin e com e punto cri tico (p erche j'(x) = 3:r;2 = 0 se e solo se x = 0), rna non ha punti di est remo essendo st ret t am ent e cres cente su t utt o ffi.. D 'aitro canto, una funz ione puo avere punti di estre mo che non sono punti critici (si ved a Ia Figura 6.3) ; cio accade qu ando un punto di estremo interno al dominio e punta di non derivabilita (come ad esempio Ia fun zione f( x) = [z], che ha ii suo minimo assolut o nell 'origin e) , oppure quando un punto di estremo non e interno al dominio (come visto nell'Esempio 6.19 ii)) . Dunque, per trovare tutti i punti di est rem o di una funzione, puo non essere suffieiente eereare i punti erit iei della fun zione. Riassumendo, i punti di est re mo di una funzione vanno rieereati t ra i punti del dominio di f eh e sono i)
0
punti crit ici;
ii)
0
punti d i non derivabilita ;
iii)
0
est rem i (in ffi.) del dominio.
186
6 Ca lcolo differenziale
6.5 I Teoremi di Rolle e Lagrange I Teoremi di Rolle e di Lagrange , ch e ora present iamo, so no di fondamental e importanza nello stud io delle funzioni derivabili su un in t ervallo.
Teorema 6.22 (di Rolle) Sia f una funzion e definita su uri intervallo chiuso e limitato [a, b], continua su [a , b] e derivabile (alme no) su (a, b). Be f(a) = f(b) , allora esiste Xo E (a, b) tale che
f'(Xo)
=
0,
cioe esiste almena uri punto critico di f in (a,b).
f( a) = f(b)
{]~ ---,, ,, ,
, ,
,,
a
, , , , , , , , ,
---- - -
XQ
, , , , , , , , , b
Figura 6.5. II Teorema di Rolle
Dimostra ziono. 11 Teorcma di Weierstra ss ass icura che l'irnmagin e f ([a , b]) di f e un int ervallo chiuso e limitate [rn, !II], essc ndo m c 111 rispett ivame nte il minimo e il massirno della fun ziou e sull' interva llo: rn
= min f (:r ) = f (x m ) , " E[a,b]
111 = max f (x ) = f (XfIl ), " E[a,bl
per op port un i x m , :l;fIl E [a, b]. Sc tti = !II, a llora f c costantc su [a , b]' dunque in particolare f' (:1:) = 0 p er ogni x E (a, b) e la t csi e dimostrata . Sia inve cc m < PoicltC m ~ f (a) = f (b) ~ !II , un a alrn en o t ra lc discqua zioni st rette f(a) = f (b) < 111 oppure m < f (a ) = f (b) do vr a cssc re soddisfatta. Sc f( (1) = f (b) < 111, il punta di m assim o as solu t o .TAl non pUG coinc idere ne con a ne con b; pertanto , .Till E (a, b). Abbia rno dunquc trovato un punta eli cstre mo p er la fun zion e [, interno al
u.
6.5 I Teoremi d i Roll e e Lagr ange
187
elominio c in cui f e dcri vabilc, 11 Teorerna eli Fermat ga ra nt isce allora chc z Ai e il punto critico :z;o cerc ato. Se m < f (a) = f (b), si dimostra con un ragion amento analogo D cite :f", e il punta cr it ico Xo cerca to. 11 t eorema assicura l'esistenza eli almeno un punto crit ico eli mostra la Figura 6.5 , i punti crit ici possono essere pili eli uno.
f
in (a, b). Come
Teorema 6 .23 (d i Lagrange 0 del valor m edio) Sia f una fun zion e definita su un intervallo chiuso e limitato [a, b]' continua su [a , b] e derivabile {alm eno) su (a , b). Allora, esiste Xo E (a , b) tale che
f(b ) - f(a) = b- a
r: .)
(6.9)
Xo .
Ogni punio Xo che soddisfi talc relazionc dicesi punto d i Lagrange per f in (a, b) .
f (b)
,,
, " ;,, ---------:;y----------, ,
( ; I
/
/ '
" " :
I I I
"
f (a) __ _____ 1/: a
XQ
"
"
.,
'
, I
: I
, , :
,
:
b
Figura 6 .6 . Punta d i La grange p er f in (a, b)
Dimost razion e. Cons ide riamo la fun zione a usi liaria dcfinita su [a, b]
g(;z;) = f (:l: ) -
f (b) - f(a ) (.1; - a). b -a
Essa e cont inua su [a, b] e eleri vabi le su (a, b), pcrch e elifferen za elella funzion c i, chc ha p er ipo t esi t ali propriet a , c eli un a funz ione affine, che e cont inua c eler ivabilc su t utto R Not iarno chc si ha
g' (x ) = f' (x ) _ f (b~ - f (a). - a
188
6 Calcolo d ifferenziale
Si vcrifica facilmente che
g(a) = f (a),
g(b) = f (a).
Pert anto, t ut te le ipotesi del Tcorem a di Rolle sono soddisfat te dalla fun zione g. Ne segue che esiste un punta Xo E (a, b) t ale che
' ( . ) -1" (,. ) f (b)b - f(a ) -- 0, :£ 0 - a
g .T O -
che
e pr ecisarnente la (6.9) .
D
II significato geometrico del Teorema di Lagrange e illu st rato dalla Figura 6.6. In ogni punta di Lagrange, la retta tange nte al grafico di f e parallela alla ret t a secante il grafico nei punt i di asc issa a e b. Esempio 6.24 Sia f (x) = 1 +x + VI - x 2 , definit a neIl'intervallo [-1 ,1]. Essa e cont inua su t ale intervaIlo, in quanto ottenuta componendo funz ioni elernentari cont inue . Inoltre, essa e derivabile neIl'int ervallo ape rto (-1 ,1) (rna non nei punti est re mi): si ha infat ti
f' (x) =I - ~2 .
1- x Dunqu e, le ip ot esi del Teor em a di Lagr ange sono soddisfat t e da i , che quindi am met te alme no un punta di Lagrange in (-1 ,1) . La (6.9) diven t a
1 = f(1) - f( -I) = f' (x o) = 1 -
che
e soddis fatta da Xo =
1 -( -1 ) O.
Xo , J1- x 6 D
6 .6 Prima e seconda formula dell'incremento finito Stabiliamo ora du e utili for mul e per rappresent are l'increm ento di una fun zione tra due punti del suo dominio. In iziamo supponendo che f sia una funz ione der ivabile in un punto xo. P er definizione, si ha lim f( x) - f( xo) = j' (xo) , x->x o
X - Xo
vale a dire lim (f( X) - f (x o) _ f'( x X -> X o
X - Xo
o))
=
lim f( x) - f( xo) - f'( xo)( x - x o) X -> XO
X - Xo
ossia, con la simbologia di Landau int rodot t a nel P aragr afo 5.1,
f( x) - f( xo) - j'(xo)(x - x o) = o(x - x o),
x
-+
Xo.
= 0,
6.6 Prim a e seconda formula dell'inc remento finito
f (.7;O+ L1.x ) L1.f f (x o)
/
-------------------: --- --------------
----/ y =
:
-1
y
=
189
f( x)
~ (.d x )
-
: f'( xo)L1.x I
- - - - - -r - - - -
t(x )
L1x
: I
:
I
I I
I I
I
I
I
xo
xo
+ L1. x
Figura 6 .7. La prima formul a dell'increm ento finito
Tale relazione puo essere scritta in forma equivalente come
f( x ) - f (xo) = f' (xo)(x - xu) + o(x - xu),
x
-->
xu,
(6.10)
ovvero , ponendo .:1x = .7.: - Xo e .:1f = f( x) - f( xo) ,
l .:1 f = .t'( xo).:1x + o(.:1x) ,
.:1x
-->
o.
(6.11)
Le (6.10)-(6.11) sono espressioni equivalenti dell a prima formula dell'incremento finito il cu i significato geometrico e illustrato nella Fi gura 6.7. Essa dice che , se f '(xu) #- 0, l'incremento .:1f dell a variabile dipendente, corr ispo ndente ad un incremento .:1x della variabile indipe ndente , e proporzionale a .:1x stesso, a meno di un infinitesimo trascurabile risp etto a .:1x . In pratica, cio significa che, per .:1x abbastanza pic colo, siamo aut orizzati a confondere .:1f con f '( xo).:1x . Consideria mo ora una fun zion e f continua su un int ervallo I di ffi. e deri vabile nei suoi punti int erni . Fi ssiamo du e punti X l < X2 in I e osserviamo che f e cont inua su [Xl, X2 ] e derivabile su (Xl , X2 ). Pertanto, le ip ot esi del Teorem a di Lagrange sono sodd isfat te dalla funzione f ristretta all'int ervallo [Xl , X2]. Dunque esiste X E (Xl , X2 ) t ale che
f( X2) - f( xd = f'( x) , X2 - X l ovvero esiste X
E
(Xl , X2) t ale che (6.12)
190
6 Calcolo d ifferen ziale
Tale formu la viene ch iamata secon da for mula dell'incremento finito. Si noti che il punt a x dipende dai punti Xl e X2 m a , in gen erale, tale dipendenza non e esp licita. L'importanza della formula viene d al fatto ch e essa permette di ottenere delle informazioni sull 'incremento J( X2) - J( xd d al com p ort a me nt o della funzione f' nell 'int ervallo [Xl , X2]. La seconda formula dell'incr em ento finito puo essere us ata per descrivere il comportamento di una fun zione nell'intorno di un punto Xo in modo piu preciso rispetto a quanta fat to d alla prima formula d ell ' incremento finito . Supponiamo che J sia una funzione continua in Xo e derivabile in tutto un intorno di Xo t ranne eventualmente in Xo . Detto X un punta di tale intorno e applicando la (6.12) nell 'intervallo di est rem i Xo e X otteni amo la relazione
IL1J = J' (x )L1x , I
(6.13)
con x compreso tra Xo ex. Tale espressione della seconda formula dell'incremento finito rappresenta l'incr emento della variabile dipendente L1J come se fosse proporzionale all 'in cr em ento della variabile indipendente L1x ; in realt a , il co efficiente di proporzionalita, che e il valore de lla derivata prima in un punta vicino a Xo e in generale non noto, dipende ess o stesso da L1x (e da xo). Un 'al tra a pp licaz ione della seconda formu la d ell'incremento finito , che tornera utile nel seg uito, e la seguente.
Proprieta 6 .25 Una Jun zione definita e deri uabile su un inieruallo I della retia Teale e costan te su I se e solo se la sua deri uaia e ivi id enticam ente nu lla . Dirnostrazion e. Indichiarno con
f la fun zionc, Supponiamo dapprima chc J sia . ;)':0
cost ante; per ogm
E
I , I·1 rapporto incrementa . Ic "---'''---'--''----''----'-J(x) - f( xo) :y - :yo
con x E I , X i=- xo , e nu llo e dunque, per dcfinizionc eli derr vata, J' (:r;o ) = O. Vicevcrsa, supp oniamo chc J abbia dcrivata nulla su I c facciamo vcd erc che f e costante su I . Osserviarno che cia equivale al fatto che Siano dunquc Xl, ;)':2 E I ; applichiamo la seconda formu la dcll'incremento finito (6.12) alia funzione dcrivabile f . Allora, per un opportune x compreso tra X l c :Y2, si ha
Concludiamo che
fled =
f( :Y2 ).
o
6.7 Intervalli d i rnonotonia di un a funz ione
191
6.7 Intervalli di monotonia di una funzione Come prima rileva nte a p p licazione dei ri sult ati a pp ena stab ilit i, affront iam o 10 studio della monotonia di una funzione.
Teorema 6 .26 Sia I un in te rv allo ed f una [uiizion e deri vabil e su I . Valgono le seque n ti im plicazioni: a) Se
f
e cresce n te su
I , allora f' (x) 2': 0 per ogni x E I .
bl } Se f' (x ) 2': 0 per ogni x E I , allora f b2) se f' (x )
>0
per ogni x E I , allora f
e cresce n te su I ; e strett arnen te cresce n te
si: I .
Dimostrazione . Dirnostriamo a). Sia f crescente su I . Co ns ide ria mo dapprima un punto Xo interno ad I . Pe r ogni x E I tale che x < ;ro, si ha
f( :1:) - f (x o) ::; 0
~f
Per t an t o, il rap port o incremcntale canto, per ogni ;r E I talc chc
x - Xo
0 per ogni z E I , a llora la (6. 12) implica f(X2) - f (.1: t} > 0 e dunque anche la b2) e ver ificata. D
192
6 Calcolo differ en ziale
b" " : ~ ~
7/ //' ./ ~
f( xI)
"
/
" "
"
'"
/
'" "
I
:
,," I
1
I
, ,, , ,
,
I
Xl
Figura 6.8. Dimostra zione delle implica zioni b) rela ti ve a l Teorem a 6.26
II t eorem a app ena dimostrato affer ma dunque che se su I si ha l' equivalen za logica
1 j' (x ) :::,: O, 'VxE I
1 e una funzi one deriv abile
1 e cres cente su
I
I
e l'implicazione
j' (x) > 0,
'Ix
E
I
===:}-
1 e strettame nte
crescente su I .
Osserviamo che non e possibile rovesciare l'ultima implicazione, cioe dedurre dal fatto che 1 sia strett ame nte crescente su I il fatto che I' (x) > 0 p er ogni x E I . Come gia osservato, la funzione l( x) = x 3 e st ret t amen t e cr escente su JR, rna la sua der ivata si annulla nell'origine. Un enunciat o analogo al teorema preced ente val e sost it ue ndo 'crescente ' con 'dec rescente' e i simboli :::,: , > rispettivamente con:S, t (x ) per x
i- x o.
6.9 Convessit a e flessi
/
195
y = t (x)
:r:o
xQ
Figura 6.9. Funzione st re t tame nte convessa in concava in X Q (a destra)
Xo
(a sinist ra) e fun zion e st ret tamente
Le definizioni di funzione concava (0 avent e conoavita rivolta verso il basso) e strettamente concava si otten gono dalle pr ecedenti sostituendo i simboli 2 e > rispet tivamente con ::; e 0 per ogni .1: E I , allora f e stretiame nie cotiuessa
bl ) Be .f"(x) ::::: 0 per ogni x E L, allora f b2)
su f.
6.9 Convessit a e flessi
Dirnostrazione.
197
L'enunc iato segue dal teo rerna pre cedente, applica ndo alia fun zione l' il Tcore ma 6.26. D
Tal e risul t ato si puo enunciar e nella seguente forma. Se derivabile due volte su J si h a I'equivalenza logica
j"( x) 2 0 ,
f
Vx E I
e convessa
f
su I
e un a
funz ion e
I
e l'irnplicazione
j"(x) > 0,
Vx E I
==::}
f
e st ret t amente convessa su I .
An che in qu esto caso, come per la caratte rizzazione della monotonia di un a funzione, l'ultima implicazione non pu o essere rovesciata. Ad esempio, f( x) = x 4 e st ret tarnent e convessa su JR., rna la de rivata seconda si a nnulla nell'origine. An aloghi enunciati , con le ovvi e modifiche, valgono p er le funzioni concave. Corollario 6.38 Sia f derivabile due volt e in un intorno di xo. Valgono le seguenti implicazion i:
a) Se Xo
e pun to di fl esso
di [ , allora 1" (xo) =
o.
b) Sia I" (xo) = O. Se f" e di segno diverso a destra e a sinistra di xo, allora Xo e punto di fl esso per f (precisament e, il fl esso e ascendent e se 1"(x ) :S 0 a sinistra di Xo e 1"(x) 2 0 a destra di xo, discendent e n ella situazione opposta) . S e invece f" non cam bia segno a destra e a sinistra di xo, allora tale punto non e di fl esso per f . La dimostrazione, che si appoggia sull 'uso della formula di Taylor , verra data nel successivo P aragrafo 7.4. Si pr esti at te nz ione al fatto che la condizione f"( xo) = 0 da sola non e sufficiente a garantire che :.co sia un punto di fiesso per f. Se ad esempio consideriamo la funzione f( x) = x 4 , la sua derivata seconda f"( x) = 12x 2 si annulla in Xo = O. Tuttavi a, l'origine non e punto di fiesso per f : la t angente al grafico di f in Xo e l'asse delle as cisse y = 0, ed il grafico di f si trova sempre al di sopra di t ale retta . Si noti che f" non cam bia segno in xo. Esempio 6.28 (s eguito) Per la funzione f (x) = x e2 x si ha 1"(x) = 4( x + 1 )e2x , che si annulla in X l = -1. Poiche f" (x) > 0 se e solo se x > -1 , la fun zione f risulta strettamente concava nell'intervallo (-<Xl, -1) e strettarnente convessa nell 'intervallo (-1 , +oo). II punto X l = -1 e punto di fiesso ascendente. II grafico dell a funzione f (x) C riprodotto in Figura 6.11. D
198
6 C alcolo differenzial e
Xl
Xo
F igura 6 .11. G rafico della fu nz ione f dell 'Esempio 6.28
6.9.1 Estensione del concetto di convessita Una definizione di fun zione eonvessa su un intervallo, pili generale di quella da noi pr esentata nel P aragrafo 6.9, puo essere dat a sulla base di eonsidera zioni di natura geometrica. Ricordiamo cho un sot t oinsiem e C del piano e detto convesso se per ogni eoppia di punti P, e Pz appartene nt i a C , il segmento PIPZ d i est re m i PI e P z e eonten ut o in C . Data una funzion e f : I 0, cioe x < 2; che la fun zione J x 2 - 2x e definit a per x 2 - 2x ::::: 0, cioe x ::; 0 oppur e x ::::: 2; che essendo tale fun zione a denominator e, dovr a essere x i= 0,2. P ertant o, si ha dom f = (- 00, 0). In oltre, lim f (x ) = + 00 , dunque la ret t a x = 0 e as intoto f (x~ ) 0 - I' log (2 - x ) . I . . I' vert ica e sinistro e im x = im Ix I = 0 , d unque Ia retta y = 0 e' x --~ x - -~ asintoto or izzontale sinist ro. Intervalli di monotonia ed estremi II primo passo consiste nel det erminar e la deri vat a prima f' e individuarne il dominio dom I' . Si osser vi che dovr a essere sem pre dom I' S;;; dom f , anche se I'espressione analit ica della derivata puo essere defini t a su un insiem e pili arnpio. Ad esernpio, se f(x) = log x , si ha f ' (X) = ~ e dornf = dorn j" = (0, +00 ) anche se la funzione g(x) = ~ e definita per ogni x i= o. Su ccessivamente si deterrninano gli event ua li zer i e il segno di I'. Cia perrnette di trovare gli intervalli di rnonotonia di f e d i dis cutere la natura dei punti critici (gli zeri di f') , a lia luce di quanto vist o nel P aragr afo 6.7. Segn aliarno una sit uazione che richied e una a t tenta analisi, senz a la qu ale si pu o pervenire a conclusioni errate . Supponiarno che una fun zion e f sia derivabile nell'unione (a, b) U (b, c) di du e intervalli contigu i, in cui si abbia I' > O. Se f non e deri vabile in b, allor a n on e cor ret to dedurre che f e crescent e sull'unione (a, b) U (b, c). Ad esernpio la fun zione f (x ) = -~ so ddisfa I' (x ) = xl, > 0 in (- 00, 0) U (0, +00) , rna la funzione no n e crescente su t a le insierne (ad esernpio si ha che f ( - 1) > f (1)); possiarno solo affer mare che f e cres cente su (- 00, 0) e su (0, +00) .
6.10 Stud io di fu nzion i
201
Ricordiamo che i punti di est remo di un a funzione non vanno ricercati soltanto t ra i suoi punti crit ici. Ad esem pio, la funzione f( x)
V
=
1 : x 2 ' definita per
x 2: 0, ha come punto crit ico x = 1 che e punto di massimo assoluto, e come ulteriore punta di est remo il punta di non derivab ilit a x = 0, che e di minimo assoluto. Intervalli di convessita e ftessi
La det erminazion e degli intervalli di convess ita 0 conca vita e degli event uali punti di flesso segue le lin ee guida tracciate precedentemente, considerando ora la derivata seconda di f e a pplicando i risultati del P ar agr afo 6.9 . Segno della funzione
0
delle sue derivate
Ne l tracciare il grafico qu alitativo di f puo essere ut ile (rna non indispens abile) determinare il segno della fun zion e nel suo dominio e i suoi eventuali zeri (che rappresentano le as cisse dei punti di intersezione del grafic o con Passe ori zzontale) . Non sempre p ero l'equazione f( x) = 0 puo essere risolt a analit ica me nt e. In tali cas i, si puo event ualme nte fare ricorso al Teor em a 4.23 di esistenza degli zeri , al fine di dedurre che in un certo intervallo esiste necessariament e uno e un solo zero di f . Analo ghe consielerazion i si possono applicare a llo st udio del segno della deri vata prima 0 della de rivata seconda . Si cons ider i, ad esempio, la fun zione f (x) = x logx - 1, definita p er x> O. Si ha f( x) < 0 per x ::; 1. P er x 2: 1, la fun zion e e stret tamente cresce nte (infatti f'( x ) = log x + 1 > 0 per x> l /e) ; inoltre f(l) = -1 < 0 mentre f( e) = e -1 > O. Dunque la fun zione ha esattame nte una zero, apparte nente a ll' intervallo (1, e) ed e negativa a sinistra e po sitiva a dest ra di tale punto. 6.10.1 Le funzioni iperboliche A t itolo eli esem pio, studiarno una famiglia di funzioni , dette iperboliche, che int erven gon o in varie applicazioni. Definiamo dapprima le fun zioni f( x ) = sinh x e g(x) = cosh z, dove
e
cosh x
=
eX + e-
2
x
'
I
dette rispe ttivament e fun zion e seno iperbolico e fun zion e coseno iperbolico. II nome deriva dal fatto che vale la relazione fondament ale cosh''
X -
sinh 2 x = 1 ,
\:Ix E JR ,
e dunque il punto P di coordina te (X, Y) = (cosh x, sinhx ) per corre, al var iare eli z , il ramo destro dell'iperbole equila te ra eli equazion e X 2 - y 2 = 1.
202
6 Calcolo differenziale
Osserviamo innanzitutto che domf = domg = JR; inol tre f( .1:) = - f (- x ) c g(x) = g( - .1:) , ossia il seno iperbolico e una funzione disp ari mentre il coseno iperbolico e una funzione pari. P er qu anto riguard a il com portament o limite, si ha lim cosh x = +00.
lim sinh z = ±oo ,
x----:,. ±oo
X--+ ±CXJ
P ertanto le fun zioni non hanno as intoti verticali 0 orizzontali. Non esist ono neppure asint ot i obliqui in qu anto, per x ----+ 00, le funzioni si comportano come degli espone nziali; precisament e si ha 1 sinh x "-' ±_e 1xl .
2
cosh z
'
r-;»
1 _e 1xl , 2
x
----+
±oo .
E immediato verificare che sinh x = 0 se e solo se x = 0 e sinh x > 0 pe r z > 0; invece, cosh x > 0, per ogni x E R Lo st ud io della monotonia delle Iunzioni segue facilmente dal fa t t o che D sinh x = cosh x
e
D cosh x = sinh x ,
\:Ix E JR .
Dunque il seno iperbolico e stret t amente cr escente su tutto R Il coseno iperbolico e strettamente crescente su [0, + 00) c st re t t ame nte decrescente su ( - 00, 0]; il punto x = 0 e punta di minimo assoluto con cosh 0 = 1 (e quindi cosh x :2': 1 su JR). Derivando ulteriorrncnte si ha D 2 sinh x
= sinh x
e
D 2 cosh x
= cosh x ,
\:Ix E JR.
P er t anto la fun zione seno ipe rbolico e strettamente convessa su (0 , + 00) e strett amente concava su (- 00,0) e l'origine e punta eli flesso asce ndente. Invece la funzione coseno ip erbolico e stret tamente convess a su tutto R I gr afici delle funzioni iperboliche sono mostrati nella Figura 6.14.
1
Figura 6.14. Grafici delle funzioni seno iperbolico (a sinistra) e coseno iperbolico (a
destr a)
6.10 Studio di funzioni
203
Figura 6.15. Gr afico della funzione tangent e iperbolica Analogamente a quanto visto per le fun zioni t rigonomet riche , si definisce la fun zione tangente iperbolica come e 2x - 1 sinhx tanh x = - - = -2x- - . cosh x e +1
Essa e definit a su tutto JR., e una fun zion e disp ari st ret tame nt e crescente a valori nell 'intervallo aperto (-1 ,1) (vedasi la Figura 6.15). La funzione inve rsa del se no ip erbolico , definita su t utt o JR., vien e de t t a funzione settore seno iperbolico, ed e facilmen te esprimibile medi ante la funzione logaritmo (inversa dell 'esponenziale) come
I settsinhx =
log(x
+
vx + 1) , 2
XE JR. · I
(6.14)
La funzione settore coseno iperbolico e ottenuta inver t endo la funzione coseno iperbolico ris tretta a ll'int erva llo [0, +00 ) e si esprime come
I set tcoshx =
log(x
+ ~),
xE [I ,+oo) .
e l'inver sa
della fun zione tan-
.'EE( - I, I ) .
(6.16)
Infine, la funzione settore tangente iperbolica gente iperbolica su JR. ed e espressa da 1
1 +x , I - x
set t tanh x = - log - -
2
(6.15)
Le de rivat e delle funzioni ip erboliche inverse sono D sett sinh x =
~ , 2 x +1
D set t tanh x =
D sett cosh x 1 1 - x2
.
=
1
vx -1 '
-;:=== 2
(6.17)
204
6 Ca lcolo differenziale
6.11 II Teorema di de l'H6pital II seguente risul tato fornisce un utile strumento per il calcolo di limiti di forme indeterminate. Come pr eced entem ente, indichiamo con c uno dei simboli x o, xt , x(j, +00, - 00 . T eorema 6.40 Siano j e 9 due ju nzioni definit e nell 'intorno di c, tranne eventualme nte in c, e tali che
lim j( x ) = lim g(x ) = L ,
x ---+c
x --+c
con L = 0 oppure +00 oppure - 00 . Se j e 9 sono derivabili nell 'intorno di c, tranne eventualmente in c, con g' =I=- 0, e se esiste (finito 0 infinito)
.
f' (x)
lim -g' (X-) '
x->c
allora esiste anche
lim j(x ) x-> c
e tale lim it e
Dimostrazione.
(6.18)
g(:r )
c uguale al precedence. 'V+
o
Teorema di de Hopital.
II teorema afferma dunque che, se sono verifi cate Ie ipot esi , val e la formula
j (x ) f' (x ) - = lim - - . g(x ) x->c g'( x)
lim -
x ->c
(6.19)
Esempi 6.41
i) Si voglia calcolare
e 2 x _ e- 2 x lim-- - x-> O sin 5x
*.
che e un a forma indeterminata di tipo Le funzioni a numeratore e a denominatore sono derivabili , e si ha 2e2 x + 2e- 2 x 4 lim--- - x-> O 5 cos 5x 5 Pertanto,
e 2 x - e- 2 x lim - - - x -> O sin 5x
4
5
6.11 II Teorem a di de I'Hopital
205
ii) Se il quoziente l' (x) / g' (x) e an cora una forma indeterminata , e se f e g sono derivabili due volte nell 'intorno di c, tranne event ualme nte in c, possiamo reiterare l'applicazione della formula (6.19) , studiando il limite del quoziente f"( x) /gl/( x) , e COSl via . Si voglia, ad ese m pio, studiare la forma indeterminat a 0/0 . 1+3x -J(1 +2x) 3 1Hfl. . X sin X
x~o
Derivando numer atore e denominatore, siamo condotti a st ud iare
3 - 3)1 + 2x lim . , x~ o sin x + x cos x che e ancora un a forma indeterminata 0/0. Derivando an cor a numeratore e denominatore , arriviamo a · 1im
x~ o
3
-~
3
2cos x - x sinx
2
Applicando quindi due volte la (6.19) , conclud iamo ch e . 1 + 3x - J (1 + 2x) 3 hm x~o sin 2 x
3 2
o
= --.
Osservazione 6.42 Il Teorema di de l'Hopital fornisce una condizion e solt anto sufficient e all' esistenza del limite (6.18) . In alt ri te rmini, si puo pr esentare il caso in cui non esiste il limite del rapporto delle derivate rna esis t e qu ello del rapporto delle fun zioni. Ad esem pio, poniamo f( x) = x + sin x e g(x) = 2x + cos x . II quoziente 1'/ g' non ha limite per x --+ +00 come si ved e facilmen te applicando il Criterio di non esistenz a del limite (Osservazione 4.19) . Tuttavi a , il limite del rapporto f / g esiste e val e
· 11m
x ~ +oo
x+ sinx = 2x + cos x
li
1m
x ~+ oo
x + o(x ) 2x + o(x)
1 2
o
6.11.1 Applicazioni del Teorema di de I'Hopital Vediamo ora come il t eorema possa essere utilizzato in varie situazioni . Limiti notevoli
II Teorema di de l'Hopit al permette di ottenere gli import anti limiti
eX = +00 , xC
xo
1
o
il che d imostra la tesi .
( C a lc o lo di ordini di infinitesimo e infinito Illustriamo con a1cun i esem pi corne il Teorema di de I'Hopital possa essere utilizzato p er il calcolo di ordini di infinitcsimo e infinito di funzioni e delle relative parti principali. Consideriamo la fun zione
f (x) = eX -
1 - sin x
6.12 Eserc izi
20 7
che e un infinit esimo per x -+ O. Scelto 0 ,
se x< O.
La funzione e cont inua su tutto ~ (p erche com posizione e prodotto di fun zioni continue) , in par ticolare 10 e in x = O. Inoltre lim t' (x) = lim (x) = 0 e qu indi
f
e derivabil e anche
b ) Derivabile in
in x = f'( x) = - sinx .
~,
r
{2:
lim (x 2
x----+ l +
e quindi
x---> o-
se x :2: 0 , ~, f'( x) = e - 1 se x < O. e con tinua per x =I- 1; inol tre
c) Derivabile in d) La fun zione
x---> o+ 0 con f' (0) = O.
+x -
5)
e cont inu a anche in x =
= f(1) = - 3 =
lim (x - 4)
x-+ l ~
1. Risult a
f I (x) = {2X+ 1 1
sex> l, sex< l ,
pertanto f e derivabile almena in ~ \ {I}. Inoltre, applicando il Teorem a 6.15 alla derivat a destra e sinist ra separat amente, otteni amo f~(1)
Dunque x = 1
= x-+l lim f'( x ) = 3 , +
f~(1)
=
lim f'( x)
x-+ l -
e un punto di non der ivabilita , essendo
=
1.
un punta angoloso.
3. Calcolo di derivat e: I
a) f (x)
5x 2
+3
= (1 + X 2 ) 2/3
b) f'( x) = cotan x
d)
'( ) f x =
log x + 1 x
----'--~ 2 10g 2 X
4. Messimi e minimi: Notiamo che ent rambe le fun zioni sono cont inue e dunque i valori massimo e minimo esistono certame nte per il Teorema di Weier strass . a) Valore mas simo V2 nel punto x = ~ ; valo re minimo -V2 nel punto x = % 1l'. (Gli estre m i dell'int ervallo sono rispettivament e punto di minimo e m as simo relativo, ma non as solut o, della funz ione. )
6.12 Esercizi
213
1 1
"2
, , , ,
----- - 1:
Figura 6 .16. Grafico della fun zione f(x) = x 2
b) Si ha
2
-
Ix
+ 11-
2
1 se x < - 1 , 3 se:r 2': -1 . Per x < - 1, la funzione coincid e con la parabola y = (x + ~)2 - ~ . Essa ha vertice in ( -~, - ~ ) ed e convessa, quindi , nell'intervallo [- 2, - 1] di nostro interesse, essa e sempre decr escente; assume valore massimo 1 in x = -2 e va lore minimo - 1 in x = - 1. P er x 2': -1 , la funzione coincide con la parabola y = (x - ~)2 - 143 che e rivo lt a verso l'al t o e ha vertice in (~ , - Ii) . Pertanto, nell'intervallo [-1 ,1], essa ha un punto d i minimo in x = ~ con f(~) = _ 143. Inoltre f( -l) = - 1 e f( l) = - 3, quindi ass ume val ore massimo - 1 in x = - 1. In conclusione, la fun zione f ha valore minimo - 143 (r aggi unto in x = ~) e valore massimo 1 (raggiunto in x = - 2) (si veda la Figura 6.16).
f (x) = { x + x2 -
X X -
5. R ette tangenti: a) Poiche
j'(x) = 3x 3_ 2 '
l'equazione della retta tangente richiesta y
j'(2) =~ ,
f(2) = log 4 ,
e 3
= f(2) + j'(2)(x - 2) = log 4 + 4(x - 2) .
b) y = ~ . c) Poiche
j'(x) =
e v 2x + 1
V2XTI'
l'eq uazione de lla retta tangente y
f(O) = 1'(0) = e ,
e
= f(O) + 1'( O)x = e + ex .
214
6 Ca lcolo differen ziale
6. La funzi one e stret tamente crescent e su JR. in quanto som ma di fun zioni elem entari con tale propriet a , p er t anto e invertibile su JR.. In olt re, p oich e f e continua e lim f (x ) = ± oo, dal Corolla rio 4.30 d educiamo che irn f = JR.. La fun zion e e x~±oo
deri vabile su JR. co n j' (x ) = 5 + 3x 2 + l Oz " > 0 p er og n i x E JR.; dunque, per il Teorem a 6.9 , i ' e deri vabile su t utto R Inoltre f (O ) = 0 e f (l ) = 8, p ertanto
(f
- 1
1
I
) (0) = 1' (0) =
1
e
"5
(f
- 1
I ) ) (8
1
= 1' (1) =
1 18 .
7. La funzione e d efinita su lla sem iretta (0, + (0 ); e st re ttam ente crescent e su I suo dominio p er ch e somma di fun zioni COn t al e proprieta e p er t anto e inv ertibile. (La stretta m onotonia si puc a nc he verifi care osservando che la deriva t a
f'( x) = (2x - 2.1: + l) eX 2
2
+
1
2
x (I+ log :r)
e > 0 per ogni
x > 0.) Inoltre f e cont inua nel su o dominio e, p er il Corollario 4.30 , la sua immagine e un int ervall o di estrem i inf f e sup f . P oiche .
mf f
=
.
7r
lim f (x ) = -1 - 2
x~o+
7r
+2=1- -
sup f =
e
2
lim
x----.+oo
f (x ) = +00 .
risult a imf = (1 - ~ , +oo) .
8. La funzione e defini ta p er x > -2, do m inio in quanto 1
I
e continua e st rettamente cr escente nel suo 2
"Ix > - 2 .
f (x ) = x + 2 + (x + 2)2 > 0 , Dunque f (x )
< f (l ) = 0 p er x < 1, f(x) > f (l ) = 0 p er x > 1.
9. La fun zione condiz ione
e d efini t a
p er x
> O.
x logx - 1 = 0 Post o h( x)
= logx e g(x) = ~,
Gli zeri della fun zione
f
devon o so d disfa re la
1 log x = -.
ossi a
x
osservia m o che
h(l) = 0 < 1 = g(1)
e
1
h(e) = 1 > e
= g(e) ;
quindi , p er il Corollario 4.27 , esiste un punta Xo E (1, e) tale che h( xo ) = g(x o). Inoltre t al e punto e unico in quanto h e stre t t a mente crescente e 9 e st ret t a mente decr escente. Possiamo conclude re che la funzione f ha un unico zero , ap p artenente all' inte rvallo (1, e). P er elet erminare il numer o eli punti crit ici , calcolia mo la d eri va t a prima : 2
j' (x ) = x (logx + 1) - 2x (xlog x -1 ) x4
;c + 2 - x logx
x3
6.12 Esercizi Gl i zer i di
l'
215
sono det erminati dall a condizione
x
+2-
x log x = 0
2+ x
log x = - x
ossia
.
Posto g(x ) = 2~X = 1 + ~ , osserviamo che
2 h(e) = 1 < 1 + e
g(e)
=
e
quindi , ancora per il Cor ollario 4.27 , esiste un uni co punto Xo E (e, e 2) tale che h(xo) = g(xo) (I'unicit a e conseguenza della stret t a mon otonia di h e g). In definiti va, f ha un unico punto crit ico, appartenente all 'intervallo (e, e 2). 10. Si ha, r icor dando le formule di duplicazione (2.13) ,
f ' (x) = 2 cos x - sin 2x = 2 cos x(1- sinx). Quindi 1'(x) = 0 per x = ~ ex = ~ 7f, f'( x) > 0 per 0 < x < ~ e ~ 7f < X < 27f; cosi x = ~ e un punta di massimo assoluto con fG) = ~ , x = ~ 7f e un punta di minimo ass olut o con f( ~1f) = -~. Inoltre f(O) = f(27f) = ~ e ag li est re mi dell'intervallo [0, 27f] si hanno due punti estrem i, Pin pr ecisament e, x = 0 e un punto di minimo e x = 27f e un punta di massimo. 11. Osserviamo che la funzio ne f e definita per x > 0 e x i=- 1, per cui il piu grande inter vallo contene nte Xo = ~ dove f e invertibile e al piu (0,1) . Studiamo allora, in tale int ervallo , la monotonia stret ta di f , che e equivalente alla sua inver tibilita essendo la funzione cont inua nel suo do minio. Poi che 1
1
X
x log x
f'( x)=- +
log2 X + 1 X log2 X
2
si verifi ca immedi atamente che 1'(x) > 0 per ogni x E (0 ,1) , ossi a f e monotona strettame nt e crescente su (0,1) . P er qu an ta det to pr im a possiamo con cludere che il piu grande intervallo di invertibilit a cerc ato e proprio (0,1) . P er scrivere esplicitame nte la funzion e inversa poniamo t = log x , e otteniamo
t2
-
ty - 1
= 0,
t=
Tornando alla variabile x, si ha
x
=e
y±VJi2+4 2
Poiche siamo interessa ti a x E (0 ,1) , si avra x
= f - 1 (y) = e
y-VJi2+4
Scambiando i simboli delle variabili, si ottiene
2
•
y ± V y2 + 4 . 2
216
6 Calc olo differenziale
Y=f -I(x) = e Infine si ha f - I(O) = e-
I
x-y?±! 2
•
e pertanto 1 2e
12. Consid eri amo la fun zion e f( x) lim
x--->- I +
f( x) = - 00 ,
= log(l + x ) - x. E defini t a
lim
x ---+ + oo
Inoltre
pe r x > - 1 e
f( x) = lim ( - x+o( x)) = - 00. x ---++oo
1
x
1'(x) = - 1= -- , l+ x l + :r dunque x = 0 e un punto crit ico di i , 1'(x) > 0 p er x < 0 e f 'ex) < 0 per x > o. P ertanto f e cres cente in (-1 , OJ e decr escent e in [0, +(0); x = 0 e il punto di massimo assolut o della fun zione con f(O) = O. In conclusione f( .1:) :::::; f(O) = 0, per ogni x > - l. 13. Si verifica che
f
e dispari e
1'(x) = 15x 4 - 150x 2 + 135 = 15(x 4 - lOx 2 + 9) = 15(x 2 - 1)(x 2 - 9) = 15(x + l)( x - l)( x + 3)(x - 3) . Lo studio del segno di
l' e riportat o
nella seguente t abella :
~------J-~~~==~------~ -3
- 1
o
3
1
Quindi la fun zion o e crescente in (- 00, - 3], in [- 1, 1J e in [3, + (0) ed e decr escente in [- 3, - l J e in [1,3]; i punti x = -1 ex = 3 sono punti di minimo relativo e i punti x = 1 e x = - 3 SOll O punti di massimo relati vo con
f (1) = - f (-1) = 88
e
f( 3)
= -
f( - 3) = - 216.
lnoltre lim
X ---+- oo
Pertanto il grafi co di
f
f( x) = -00,
lim
x ---+ +oo
f( x) = + 00.
e qu ello disegn ato nella F igura 6.17.
II secondo problem a post a e equivalente a studiare, a l variar e del parametro k , il numero di soluzioni dell'equazion e f( x) = -k, ossi a il numero di intersezioni tra il grafico di f e la ret t a Y = - k.
6.12 Esercizi
Figura 6 .17. G ra fico della funz ione f( x) = 3x 5
Risulta
per k
> 216 oppure k < -216
per k
=
=
50x 3
+ 135x
un a soluzione
± 216
due soluzioni
p er k E (-21 6, -88) U (88 , 216) per k
-
217
± 88
t re soluzioni quattro solu zioni
p er k E (-88 , 88)
cinque solu zioni .
Quindi il massimo e il minimo numero di radi ci reale del polinomio 3x 5 135x + k sono risp ettivament e 5 e 1.
14. S tudio della huizion e f( x) = x 4
-
50x 3 +
2y'log x:
-
a) Po iche deve essere x > 0 e log x ~ 0, ossia x ~ 1, ris ulta domf = [1, + 00). b) Si ha
f'( x)
=
4
4x y1IOgX - 1 x y'logx
e quindi
f'( x) = 0
91(X) = log x =
1
-8
16x
= 92(X).
Graficamente ot t en iamo, p er x ~ 1, un punto di inter sezione tra i grafici di > 1 (si ved a la F igura 6.18) . Pertanto f'( x) > 0 p er x > Xo e f e decrescente in [1, x o] e crescente in [xo , + 00). Allora Xo e un punto di minimo e, p er la monotonia , la funzione sar a invertibile negli inte rvalli [1, x o] e [xo , + 00). Inoltre, 0 = log 1 < /6 e log2 > ~. Cosl1 < Xo < 2. c) P oiche f( e) = e 4 - 2, il punt o (e4 - 2, e) appartiene al grafico di e 9 1 e 92, sia Xo
r:'
(f - l )' (e4 - 2 ) =
1
l' (e) =
4e4
e
-
1.
218
6 Calcolo d ifferen ziale
Figura 6 .18. Grafico delle funzi o ni gl(X ) = log X e .92(X) = 161x 8
15. Studio della fun zione f (x ) = ";::"]3 : a) 11 dominio e det erminato dalle condiz ioni x 2 domf = (-00, -V3] u [V3, + 00). Si ha lim
x ---> ± oo
f( x ) = f( x) =
lim x--->- y"3-
-
3 >
°
e x
i-
lim
IX Iy/1- ~ Ixl 1x = lim - = .'1:(1 + x ) x ---> ± oo x
lim
f( x ) = 0,
x ---> ± oo
- 1, e dunque
±1,
x--->y"3 +
quindi la ret ta y = 1 or izzontale sinistro.
e as int oto
orizzontale destro e y
- 1
e as intoto
b) Ri sul t a
J' (x)
=
(x
x+3
+ 1)2v x 2 -
°
3
,
quindi f' (x ) = 0 per x = - 3 e f' (x) > p er x E (- 3, -V3) U (V3, + 00). P ert anto f e crescente in [-3, -V3] e in [V3, +00), decrescen te in (- 00, -3] ; < - l. in punto x = - 3 e un punta di minimo ass oluto con f( - 3) = Inoltre, i punti x = ±V3 sono anch' ess i punti di est re mo, pili prccisam ente x = -V3 e un punto di massim o relat ivo e .1: = V3 e un punto di minimo relat ivo con f( ±V3) = O.
V;
c) 11 grafico dell a funzione
f
e mos trato
nella F igura 6.19 (a sinist ra).
d) La fun zione 9 e ot t enu t a traslando di V3 la fun zion e f verso destra p er x < 0, verso sinistra per x > O. 11 grafico della funz ione 9 risul t era qu indi qu ello most rato nella F igura 6.19 (a dest ra). La funzi one 9 risulta cont inua su t utto ffi. , in p articolare lim g( x) =
x .--;.o -
lim f( x - V3) = f( -
x ---+o-
°
V3) = = f( V3) =
lim g(x ).
x-" O+
6.12 Esercizi
1 1--- - - - - - -
1 1--- - - - - - -
- 3 - )3
- 3+ )3
- - - -~_j'-_j
- 1
------~ _+I
Figura 6.19. Grafici delle fu nzioni
Inoltre lim l(.'r)
x-> O±
e quindi g non
x-> V3+
e derivabile in x
lim
e definita su
x->+ oo
f( x) =
- 1
f (a sinistra) e 9 (a destra) relative all 'Esercizio 15.
= lim f'( x) =
16. Studio della funzione f( x) a) La funzione
219
lim
x -> -V3-
f'(x)
= +00
o.
=
= Jl x 2
-
41 -
x:
tutto IR e si ha
lim
x2
x -> + oo
4 - x2
-
~
x2
-
4
+x
= 0-,
lim
x ---+-oo
f( x)
= +00.
Cost y = 0 e asint ot o ori zzontale destro. Verifichiamo I'esistenza dell 'eventuale asintoto obliquo sinistro. Risulta
. f( x) Inn x
X ~ -CX)
(8
. = x ---+lim oo
U (x) + 2x) = x->-oo lim
lim
x->- oo
4
1- - 2 -1 ) x (
J x2
-
= - 2,
4 + x)
x2 -
4-
x2
= x ->lim ~ =0 - oo x2 - 4 - x
e asintoto obliquo sinistro. E sufficiente risolvere la disequazione J lx 2 - 41 - x :::: o. Osserviamo che J lx 2 - 41 :::: x e verifi cata per ogni x < O. Per x :::: 0, distinguiamo due
ossi a la retta y = -2x b)
casi: x 2 - 4 < 0 (cioe 0 :::; x < 2) e x 2 - 4 :::: 0 (cioe x :::: 2) . Sia 0 :::; x < 2, elevando al quadrato si ha
Sia x :::: 2, elevando al quadrato si ha x 2 - 4 :::: x 2 che non e mai verificata. In conclusione, la fun zione si annulla solo per x = J2, e strettamente positiva p er x < J2 e stret tamente negativa per x > J2.
220
6 Ca lcolo diffe renziale
c) Poiche
f(x)
=
f'( x)
=
~-x
{vx
si ha
2 -
4- x
se - 2
< x < 2,
se x :::; - 2, x 2: 2 ,
~2 -1 se-2 < x 2 . 2 v x -4
Per -2 < x < 2, 1'(x) 2: 0 se x + V 4 -x 2 :::; 0 ovvero V4- x 2 :::; - x . La disequazione non e verificata pe r alcun valore di x > 0; per -2 < x < 0, elevando al quadrato si ha
- 2 :::; x :::; -v'2 . Quindi 1'(x) = 0 per x = - v'2, f '( X) > 0 per - 2 < x < - V2 e f'( X) < 0 per -V2 < x < 2. Se x < - 2 oppure x> 2, f'( X) 2: 0 se x - vx 2 - 4 2: 0 ovvero v x 2 - 4 :::; x. La disequazione non e verific ata per alcun valore di x < - 2; p er x > 2, elevando al qu adrato si ha x 2 2: x 2 - 4 che e sem pre verifi cat a. Quindi l' (x) > 0 pe r x > 2 e l' (x) < 0 per x < - 2. In conclus ione f risulta decrescent e negli in tervalli (- 00, - 2] e [-V2, 2], erescente negli int ervalli [-2 , -V2] e [2, + 00). I punti x = ±2 sono punti di minimo relativo, il punto x = - V2 e un punto di massimo relati vo. Le ordinate valgono f( -2) = 2, f(2) = - 2 e f( - V2) = 2V2. Quindi x = 2 e pili precisamente un punto di minimo assolut o. d) La fun zione f e cont inua su t ut t o il suo dominio in quant o comp osizione di funzioni eleme ntari con tinue. P er 10 studi o della d erivabilita , e sufficien t e esaminare il comp ortame nt o di f' per x ----+ ±2. P oiche lim j'(x) = 00,
x--->± 2
la funz ion e non
e derivabile nei punti x = ± 2. f e mo strat o nell a Figura 6.20 .
e) II grafico della funzione
17. Studio della iiui zion e a) La funzione
f (x)
e defini t a su lim
x--+
+ <x:>
=
ije 2x
1:
-
tutto JR. e risulta
f( x) = + 00
e
lim
X --+-()Q
f( x) = -l.
b) Si ha 2
j'(x) = 3" (e2 x
e 2x _ 1)2/ 3 '
pe r cui l' (x) > 0 per ogni x E JR. \ {O} , f non e derivabile per x limj'(x) = + 00. La funzione e crescente su tutto JR.. x--->o
=0
in quanto
6.12 Eser cizi
Figura 6 .20 . Grafico della funzione f( x)
f
x
4
lx 2
-
41-
x
i= 0, ot t en endo
c) Calcolia mo la deri vat a seco nda per x /I ( )
=J
221
2x
= ge
e
2x
(e 2x
_
-
3
1 )5/3 .
Risul t a f" (x ) = 0 p er x = ~ log 3 e f" (x ) > 0 per x E (-00, O ) U ( ~ log 3, +00) . Quindi il punta x = ~ log 3 e un flesso ascende nt e, f e convessa in (-00, 0] e in [~ log3,+00) , f e co ncava in [0, ~ log3] . Can un 'est ension e della definiz ione, anche il punta x = 0 puo essere conside rato un flesso (a tange nte verticale) . d) 11 grafico della funzion e
f
e mostrata nella F igura 6.21.
~ log 3
======---- - -1 -1 F igura 6.21. G rafico della fun zione f (x )
=
Ve 2x
-
1
222
G Calco lo d iffer en ziale
18. S t udio della Iunzionc f (x ) a) Chiarament e d om
=
1 - e- 1xl + ~ :
f = R Osser vanelo che lim
x--±oo
e - [:c [
= 0,
otten iamo immediatamente lim f (x ) = ± oo , x-- ±oo
.
.
f (x )
lim - - = lim x-±oo x x-±oo
(1x
1)
e - 1xl - - - -
+-
x
e
1
e
lim ( f (x ) - :: ) = lim (1 - e - 1xl) = 1 x-±oo e x- ±oo e quineli la ret t a Y =
ix + 1 e asi ntoto obliquo complet o.
b) La funzione e continua su t utto lR e non vi sono problemi eli der ivabilita per x =I- O. R isulta - x
J' (x ) =
+
1
se x > 0 ,
+ -1
se x < 0 ,
e {
-e
x
~
e
da cui lim J' (x ) x-o-
= x-olim
( _ ex +
~e ) = ~e -
=I- lim J'( x) = lim x- o+
x-o+
1
(e- + ~) = ~ + x
e
e
1
e quindi f non e deriva bile in :1; = O. Inoltre, per x> 0, j' (x ) > O. Per x < 0, j' (x ) > 0 se eX < ~ ossia se x < - 1. In conclus ione f e crescente su (-00, - 1] e su [0, +00), decr escen t e su [- 1, 0].
c) Per qu anto ap pena visto possiamo affermare che x = - 1 e un punto d i mas simo locale con f( - 1) = 1 - ~, ment re x = 0 e un punto di minimo locale con f (O ) = O. d) II grafi co della fun zion e
f
19. St udio della Iunzion c f( x) a) La funz ione
e most rato nella F igura 6.2 2. = e (x 2 X
e definit a su t utto R
-
81x -
31-
8):
Scriviamo se :c < 3 , se
e qu incli
:1: ~
3,
6.12 Esercizi
Figura 6.22. Grafico della funzione f( x)
j'( x) =
=
223
I - e- 1xl + ~
e X (X2 + 10X - 24) se x 3 .
Cost se x < 3, si ha j'( x) = 0 se x + lOx - 24 = 0 ossia p er x = -12 e per x = 2, mentre f '( x) > 0 se x E (- 00, - 12) U (2,3) . Se x > 3, f'(x) = 0 se x 2 - 6x + 8 = 0 ossia p er x = 4 (si noti che x = 2 e soluzione dell 'equazione rna non e da consieler arsi in qu anta 2 < 3), mentre j'(x) > 0 se x E (4, + 00). In elefinitiva , f e cre scente negli intervalli (- 00, - 12], [2, 3], [4, +00 ) e deere2
sce nt e negli intervalli [-12,2] e [3, 4]. b) Dallo studio effettuato nel punto a ) si ricava che x = -12 e x = 3 sono punti eli massimo relativo, x = 2 e x = 4 sono punti di minimo relat ivo. Inolt re f( -12) = 16e- 12 , f(2) = -12e 2 , 1(3) = e3 e f( 4) = O. Per determinare I'immagine di f , calcolia mo lim
f (x) =
lim
f( x)
X ---+ - (X)
x --->+ oo
Poi che la fun zion e
=
e continua,
lim eX( x 2 + 8x - 32)
= 0,
lim eX (x 2
=
X - - (X)
x--->+oo
-
8x + 16)
+ 00.
risulta
im f = [m in f( x) , sup f( x)) = [f (2), + 00) = [-12e 2 , +00 ). c) Non vi sono punt i eli dis continuita in qu anta la funzione e un a comp osizione di funzioni continue. P er la derivabilit a , l' unico punto da studiar e e x = 3. Risulta lim j'( x)
x ---+3-
=
lim j'(x) =
x---+3+
quindi 1 non
e derivabile in
lim eX( x 2 + lOx - 24)
=
lim eX (x 2
_ e3 ,
x ---+3-
x ---> 3 +
x = 3.
-
6x + 8)
=
15e3
,
224
6 Calco lo differenziale
e3
- 12
2 .10 - 4
- 14 - 2 . 10- 4
-1 2
' - - - - - - - - - - --
-
-'----'
-12e2
--
Figura 6.23. Grafico della fu nzio ne f( x) = e X( x 2
-
31-
81x -
8)
d) P er il grafico della funzione si ved a la Fi gura 6.23; nel riquadro compare, in scala differente, il grafico di f in un intorno del punto x = - 12. e) La funzione g
e cont inua
su tutto l'asse reale e si ha se x < 3 , se x> 3 .
Affinche g sia derivabile in x
= 3 deve
essere
lim g'( x) = 15e3 + a =
x-+3-
concludiamo che , per a = -8e3 , g
e di
lim g' (x ) = _ e 3
x-+3+
-
a;
classe C1 su tutto l'asse reale.
20. Studio dell a fun zione f(x) = l(i~lx~~ I :
a) Risulta domf = IR \ {-I} . Applicando la (5.6) c), si ottiene lim
x----+±oo
f( x) = 0+
mentre lim
x -+ - l±
Da cio si deduce che x orizzontale completo .
f( x) =
00 +
0
=
-00.
= -1 e un asintoto vertical e, m entre y = 0 e un asintoto
6.12 Ese rc izi
225
1
2C
-e* -- 1JC- l
T
T
e*- 1
JC- I
Figura 6 .24. G rafico della funz ione f( x)
=
1(~~lx~~ 1
b) Si ha
f'( x)
=
1-2Iogl x +ll . (x + 1)3
Osservi amo che 1 (.7;) risul t a deri vabile in ogn i punta del suo dominio e che f'( x) = 0 se Ix + 11 = vie e quindi se x = -1 ± vie. Inolt re f'( x) > 0 se x E (- 00 , - vie - 1) U (-1 , vie - 1) ; pertanto la funzione e cresce nte negli intervalli (- 00 , - vie - 1] e (-1 , -1 + vie]' decrescen t e in [- vie - 1, -1) e [- 1 + vie, + 00) ; i punt i x = - 1 ± vie son o punti di massimo (assoluto) con
f( -1 ±
vie)
= zle '
c) Si ha
j"(x ) = - 5 + 6 log Ix + 11 (x + 1)4
da cui risulta che la derivata seconda e defini ta in ogni punta del dominio di f e j"(x) = 0 p er Ix + 11 = e 5 / 6 , ossi a per x = -1 ± e 5 / 6 . In oltre j"(x) > 0 per x E (-00, _ I _ e 5 / 6 ) U (e 5 / 6 - 1, + 00) ; p ertanto f e convessa in (- 00, _ 1 _ e 5 / 6 ] e in [e 5 / 6 - 1, + 00) e concava in [- 1 - e5 / 6 , - 1) e (-1 , e5 / 6 - 1]; i punti x = - 1 ± e 5 / 6 sono punti di flesso . d) Il grafico della fun zione
f e mostrato ne lla Fi gura 6.24.
21. St udio della fun zion e f( x) a)
E chia ro
= l~:::JI; I:
che dam f = lR \ {O} e poi che lim 1(x) = 0 (x pr evale sul logar itmo) x ---> O
la fun zione puo esser e prolungata con conti nuita su t utto lR ponendo g(O) = O. Inoltre la fun zione e di sp ari ed e quindi sufficiente studiarne il compo rtame nto p er x > O. P er qu anta riguarda la derivabilit a si ha , per x > 0,
f'( x) = log3 X -logZx ,+ log x + 1 (1 + logZx )2
226
6 Calcolo di fferenzial e
e , p osta t = log x ,
.
,
f (x) x~o lim
t3
.
lim
=
t~ - oo
-
(
t2 + t + 1 2)2 = 1+t
lim
t~-oo
t3 t
- 4 = O.
D unque la fun zione g , prolungat a come detto prim a , e n on so lo cont inu a rna, a pp licando il Teorem a 6.1 5, a nc he derivabile su tutto JR ed, in part icolare ,
g'(O) = o.
b) Dal p unto a ) si ved e che x = 0 e un punta stazionario di g . P er individ uare gli event u ali altri punti in cui la derivata prima si a nnulla , studiamo gli zeri d ella funzione ausiliaria h( t) = t 3 - t 2 + t + 1 dove t = log x con x > o. P oich e lim h(t)
t ---+ - oo
= -00,
h(O ) = 1,
lim h (t )
t ---+ (X)
h' (t ) = 3t 2
-
2t
= +00,
+ 1 > 0,
Vt E JR ,
la funzione h e crescente p er og n i t ed h a un so lo zero, sia esso to, negativo. II suo grafico quali t at ivo e mostrato ne lla F igura 6.25 (a sinistra). Allora t o = log Xo < 0, im pli ca 0 < Xo = e t o < 1. Cost , p er la d isparita d ella funz ion e, 9 h a alt ri due pu nt i stazionari, risp ettivamente in Xo e -Xo. c) P er quanto ottenuto nel p unto b) , risu lta g' (x) > 0 in (x o, + 00) e g' (x) < 0 in (0 , x o). Ri assumendo , e ten endo conto d ella disparita , risul t a 9 crescente in (-oo,-x o] e in [x o, + 00), 9 decr escente in [- x o, xo]. Inol t re lim g(x ) = + 00
x ~+oo
e
· g(x ) 1l Hl - -
x~+oo
X
=
log x x ~ +oo 1 + 10g2 X
I.
Hfl
.
t
lim - - = 0, t--->+ oo 1 + t 2
cosicche la funzione 9 non ha as intot i. II grafico della fun zion e 9 e mostrato nella F igura 6.25 (a d estra).
to - I
Figura 6.25. Gra fici d elle funzi oni h (a sinistra) e g (a d est r a ) re lative a ll'Esercizio 21
6 .12 Eserc izi
227
22. St udio della funzione J (x ) = arctan 1~ ~33 : a) Si ha dom J
= lR \
{3} e, esplicit ando,
= arctan (-
a rct a n - x + 3
J (:r )
=
1)
x- 3 { a rc tan -x+- 3 x- 3
= -~
se x ::; 0 ,
4
se x > 0,
da cui lim
x - - oo
71'
J (x ) = lim
lim J( x)
=
lim f( x)
= arctan
x - 3-
x-3+
Allora le rette y sinistro e destro) .
=
arctan
-~
71'
x - + oo
71'
= arctan 1 = -4 ,
~ = arctan( -oo ) = - ~2 ,
a
= arct an (+oo ) = ~ .
:
a
2
=
e y
~
sono asintoti or izzontali (rispe t t iva ment e
b) Abbiamo
j' (x ) =
lim J (x )
-- , 4
4
x - - oo
{ ~_3_
se x < 0 ,
se x > 0, x # 3, x2 + 9 cosi j' (x ) < a p er og ni x > 0, x # 3 e J risult a strettame nte decrescente in
[0, 3) e in (3, +00), decrescen te (in senso non stretto) in (- 00, 3). Lo studente osservi che sarebbe sbagliato d ire che J e strettament e decrescente nell'ins iem e [0,3) U (3, +00) (si ri cordi quant o det to a pag. 200) . Tht ti i pu nt i x E (-00 , 0) sono punti di m as simo e d i m inimo relativo non stret to , con J (x ) = - ~ , men tre x = a e punto d i m assimo relati vo. Infine inf J (x) = - ~ , sup J( x) = ~ (si noti chc non esist ono ne il minimo ne il massim o della funz ione) . c) La fun zione e se nz'alt ro deri vabile in lR \ x = 0, dove f e continua, si ha lim j'( x)
:r - O-
e quind i
= a#
f e effettiva ment e
d) Si ha
lim j'( x)
x _ O+
6x
ogni x > 0, x
#
(x 2
cosi J" (X) > (3, +00).
a per
=
x = 3,
J non e definit a ; in
-~ O+ X +9
lim
x-
der ivabile solo in lR \
{a
J" (x ) =
{a, 3} . In
1
3
{a, 3}.
se x < 0 ,
+ 9)2
se x> 0,
3 e quindi
x # 3,
f risult a convessa in [0,3) e in
228
6 Calcolo differenziale
-------1------I
7r
:2 4
Figura 6.26 . Gr aftco della funzione f( x)
e) 11 grafico della fun zion e
23. Studio della fun zione
f
e mostrato
= a rct an Ixl + 3 x -3
nella Figura 6.26 .
f (x) = arcsin v'2 e x
-
e 2x :
a) Imponiamo che sia 2e x _ e2 x :::: 0 e - 1 :::; v'2e x - e 2 x :::; 1; la prima disequazione equivale a 2-e x :::: 0 ossia x :::; log 2. Essendo una radice se m pre :::: 0, la seconda disugu aglianza si riduce a 2e X - e2 x :::; 1. Ponendo y = e", la disuguaglianza diventa y2 - 2y + 1 = (y - 1)2 :::: 0, che e sempre verifica t a. Quindi dom f = (- 00, log 2]. Inoltre lim
x---+ -oo
La retta y = 0
f (x ) = 0 ,
f(log 2) = O.
e asint oto orizzontale sin ist ro .
b) Dall'espressione
si ved e che lim
x ---> (log 2)-
f'( x ) = - 00 ,
lim f'( x) = - 1,
x ---> o +
Qu indi i punt i di non derivabilit a di e x = 0, punta angoloso.
f sono x
lim f' (x )
x---+o -
=
1.
= log 2, punto a tangente ver ti cale
6.12 Esercizi
229
log 2
Figura 6.27. Grafico dell a fun zione f( x) = a rcs in y!2e x
-
e2x
c) Si ha f'( x) > 0 p er x < 0 e j' (x ) < 0 pe r 0 < x < log2 . Cost x = 0 e un punta di massimo assolut o con f(O) = ~ e x = log 2 e un punta di minimo assoluto con f(log 2) = 0; gli int ervalli di monotonia sono (- 00, 0] (in cui f e crescent e) e [0, log 2] (in cui f e decrescente) .
e most rat o nella Fi gura Una possibile estens ione cont inua di f e
d) II grafico dell a fun zione e)
f
j(x) = {
~(x)
6.27.
se x ::; log 2 , se x > log 2 .
7 Sviluppi di Taylor e applicazioni
Lo sviluppo di Taylor di una fun zion e, nell 'intorno di un punto Xo dell'asse reale, rappresentazione dell a fun zion e come somm a di un polinomio e di un infini tesimo di ordine sup er iore a l grado del polinomio. Esso costit uisce uno strumento di a na lisi est rem amente efficace , a livello sia qu ali tativo sia quantitativo. Infatti, in un intorno abbastanza piccolo di Xo, e possibile approssimare la funzione (che magari ha una forma com plessa) con il polinomio, di cui invece e immediato st abilire le propriet a qu ali t ative e che e facilmente ca lcola bilo. In oltre, gli sviluppi di Taylor delle principali fun zioni eleme nt a ri possono esse re age volme nte combinati in modo da fornire gli sviluppi di funzi oni pili complesse, dando luogo a un 'algebra degli sv iluppi non di ssimile dall 'algebra dei polinomi.
e la
7.1 Le formule di Taylor In qu esta paragrafo, affront ia mo il problem a dell'approssim az ion e di un a funzione Xo E JR, medi ante polinomi algebrici di gr ado via via pili elevat o. Ini ziamo supponendo che la funzione sia almena cont inua in Xo. Vale allora la formul a (5.4) ; se introduciamo il polinomio costante (di grado 0)
f , nell 'intorno di un punta
Tfo ,xo(x)
= f(xo),
\:Ix E JR ,
possiamo scrivere tale formula come
I f (x ) = T fo,xo(x) + 0(1),
x
-7
xo· 1
(7.1)
In alt ri t ermini, possiamo a ppross ima re la funzione f , in un intorno di Xo, mediante un polinomio di grado 0 in modo che la differenza f (x ) - Tfo,xo(x ) (de t t a errore di approssi mazione , 0 resto ) sia un infinitesimo in Xo (si veda la Figura 7.1). La relazione (7.1) e il primo ese m pio di formula di Taylor.
232
7 Sv ilu ppi di Tay lor e ap plicazioni y
=
f( x )
y = T fo (x )
f (xo)
Xo
Figura 7.1. Appross irna zione locale d i f me diante il p olinorni o T f o
= T fo ,xo
Supponiamo ora che la funzione f sia non solo continua rna anche de rivabile in xo. Vale dunque la prima formula dell'incr em en to fini t o (6.10) ; introducendo il polinomio di pr imo grado in x
T!J, xo (x ) = f( xo) + j'(xo)( x - xo), il cui grafico e, come sappiamo , la retta t angente al grafic o di Fi gura 7.2) , la relazione (6.10) si scrive come
I f( x) = T!J, x"(x) + o(x - xo),
x
---> X O,
I
f in
Xo (si veda la
(7.2)
che e una nuova formula di Taylor: essa dice che una funzione derivabile in Xo PUQ essere appross imata nell 'intorno di tale punto medi a nt e un po lino mio di primo grado, con un err ore di appross imazione che non solo te nde a 0 p er x ---> Xo, rna che e un in finitesimo di ordine superiore al pr imo. Se invece f e derivabile in t utto un intorno di xo, t ranne a l pili in x o, possiamo usar e in t ale int orno la seconda formula dell 'incr em en t o finit o (6.12) , in cui poniamo Xl = Xo e x2 = x e che scriviamo come
I f (x ) =
T fo,x"(x)
+ j'(x)( x -
xo), I
(7.3 )
dove x e un opportuno pu nt o compre so tra Xo ex. Si confro nti t ale relazione con la form ula (7.1): abbiamo or a a disposizione una espressione qu anti t ativamente pili pr ecisa dell 'errore di appross imazione, 0 rest o . Es sa permet t e ad esem pio di dare un a st ima numeri ca dell'errore, una volta noti l'increm ento x - Xo e una st ima numeri ca della grandezza di l' in un intorno di x o. An che la (7.3) e una formula di Taylor, in cui il resto e espresso nella cosidde tta fo rma di Lagrange. Di ciamo invece che nelle (7.1) e (7.2) il rest o e nella forma di P eano.
7.1 Le formule di Taylor
233
Y = f (x)
f (x o)
Xo
Figura 7.2 . Approssimazione locale di
f
mediante il polinomio TfJ
= TfJ ,xo
Dopo aver approssimato la funzione mediante polinomi di grado 0 oppure 1, commettendo un errore che e rispettivamente 0(1) = o((x - xo)O) e o(x - xo) pe r x ----7 Xo , e naturale chiedersi se sia possibile approssimare f mediante un polinomio di secondo grado, commettendo un errore che sia o((x - XO)2) per x ----7 Xo. Cerchiamo dunque se esiste un numero reale a tale che si abbia
f( x) = f(xo)
+ J'(xo)(x -
x o) + a(x - xO)2
+ o((x -
XO)2),
X ----7 Xo.
(7.4)
Cio significa che lim f(x) - f(xo) - f'(xo)( x - xo) - a(x - XO)2
(x - xo)2
X ~Xo
=0 .
Applicando il Teorema di de l'Hopital, tale condizione
e verific ata se
f'(x) - f'( xo) - 2a(x - xo) 0 · IHfl. 2(x - xo) - ,
X ~Xo
ovvero se lim X ~X o
ossia an cora se
!
2
(! f'(x) - Xof'(xo) _ a) 2
x -
=
0,
lim f'( x) - f'(xo) = a. x ~X o
x - Xo
Concludiamo che la (7.4) e soddisfatta se il limite a primo membro esist e finito, cioe se f e derivabile due volte in xo; in tal caso, il coefficiente a vale ~ f" (xo) . Siamo quindi giunti alia nuova formula di Taylor (con resto nella forma di Peano):
(7.5)
234
7 Sviluppi di Tay lor e ap plicazion i y
= f (x)
y=Th(x)
f(xo)
;:r;o
Figura 7 .3. Approssimazione loc ale di f mediante iI p olinomio T h = Th ,xo dove
T h,xo (:J:) = f( xo) + f'( xo)( x - x o) + dicesi polinomio di Taylor di
~f"(xo )(x -
xO)2
f in Xo di grado (0 ordine) 2 (si ved a la Fi gura 7.3) .
II procedimento appe na descri tto per la cost ruzione dell 'approssimazione di f di ordine 2 puo essere reiterato, al fine di cost ruire appross imazioni polinomiali di f di ordine via via crescente. II risultato pre ciso e cont enuto nel seguente teorema . Teorema 7.1 Sia ti 2: 0 ed f derioabile ti volte in Xo. A llam, vale la formula di Taylor (7.6) f (x ) = Tfn ,xo(x) + o((x - xoY' ), x ----7 Xo, dove 1 'r (k)(Xo)(. . )k Tfn,xo(z) X -- ~ L k! ·'r - Xo
(7.7)
k=O
= f( xo) + f' (.'ro)(x - xo) + ... + ~.rcn)(xo) (x - xo)n . n.
II polinomio T f n,xo (x ) dicesi polinomio di Taylor di f in Xo di grado (0 ordine) n , mentre il te rmine o(( x - x o)n) nella (7.6) di cesi resto di ordine n nella forma di Peano. La rappresen t azione di f d at a d all a formula (7.6) di ccsi sviluppo di Taylor di f in Xo di ordine n , con resto nella forma di P eano. Con un 'ipot esi pili fort e su f , siarno in grado di dare urr'espressione pili precisa del rcsto nella formula di Taylor ; essa estende la (7.3).
7.2 Svilu ppi di Tay lor not evoli
235
Teorema 7.2 Sia n 2: 0 ed f derivabile n vo lte, con deri uaia n -esima con iinua, in Xo; ino lire, sia f deriuain le n + 1 vo lte in un in iorno di x o, tranne eve n tu almen te nel punto xo . A llora , va le la form ula di Taylor
per un opporiuno
x
compreso ira Xo ex .
L 'espression e preceelente del resto elicesi resto di ordine n nella forma di Lagrange, e la (7. 8) rappresen t a 10 svilup po eli Taylor eli f in Xo eli oreline n, con resto nella forma eli Lagrange. P er le dimostrazioni dei Teorem i 7.1 e 7.2 ~ Sviluppi d i Ta ylor . No t iamo infine che uno sv iluppo eli Taylor nell 'origin e (xo = 0) si chia ma anche sviluppo di Maclaurin. Un' utile proprieta che permette eli semplificare il ca1colo elegli sviluppi eli Maclaurin e la seg ue nte. Propriet.a 7.3 Il polinomio di Mac laurin di una f un zion e pari (rispettivam ente dispari) contiene so ltanto pote nze pari (rispettivamen te dis pori] della uariabile indipendente . Dimostraz ione.
Supponiarno che f sia una funzione pari, elerivabil e n volte in un intorno dell'origine . La pro prieta segue dalla (7.7) con Xo = 0, se faccia mo vedere che t utte le derivate di ordine disp ari di f si an nullano nell'origine . Ricordando la Proprieta 6. 12, dall'ipotesi che f sia pari d educiarno che I' e dispari , f" e pari , I'" e dispari e cosi via. In generale, le der ivate di ord ine pari f (2k ) sono funzioni pari, ment re le deri vate di oreline dis pari f (2k + l ) sono fun zioni elisp ari . Per concl uelere, e sufficiente osservare che un a fun zione elisp ari 9 definit a nell'origine necessariamente si an nulla in tale punto; infat ti , pon endo x = 0 nella relazione g(-x) = -g(x) si ottiene g(O ) = - g(O), da cui g(O ) = O. Analogamente si rag iona nel caso in cui f sia disp ari . 0
7.2 Sviluppi di Taylor notevoli Det erminiamo ora gli sv ilup pi eli Taylo r di a1cune funzioni eleme ntari. Nel successivo Paragrafo 7.3, usererno t ali risult a ti p er ot ten ere gli svilu ppi eli diverse a lt re fun zioni.
236
7 Sviluppi di Taylor e applicazioni
Funzione esponenziale Sia f (x) = e" . Ricordando che tutte le su e derivate coincidono con eX, abbia mo f Ck) (0) = 1 per ogni k 2': o. P ertanto, 10 sviluppo di Maclaurin di ordine neon resto di P eano della funzione y = eX e e
X
x2
xk
xn
2
.
n.
= 1 + x + - + .. .+ -k l + ... + , + o(x
n
)
= L kI + o(x n
xk
k=O
.
n
),
(7.9)
mentre se esprimiamo il resto nella forma di Lagrange , abbiamo n
X
~
e = Z::
k=O
x
k
e
x
kT + (n + l)'x
n +l
,
per un certo
x compreso
tra 0 e x .
(7.10)
I polinomi di Maclaurin della fun zion e eX di ordine n = 1,2 ,3,4 sono rappresentati in Figura 7.4. Osservazione 7.4 Poniamo x = 1 nella formula preced ente: (con 0
=
x2 1- 2
4!
_,,( v x - L - 1 (2k) ! + rn
2rn
4
x + -x - ... + (_ l)rn _'__ + O(X 2rn+ 1)
(2m) !
.2k
0
(
x
2rn +l)
(7.15)
.
k =O
Valgono per t ale sviluppo cons ide raz ioni analoghe a quelle fatte per 10 sv iluppo della funzione sin x. I polinomi di Maclaurin della funzione y = cos x di ordine 2m per 1 :S m :S 6 sono rappresentati in Fi gura 7.7 . Funzioni elevamento a potenza Co nside ria mo la famiglia di fun zioni p ot enz a f (x ) = (1+ x )Q, con a E IR arbitrario . Abbiam o
= a( l + x)Q- l f " (x ) = a(a - 1) (1 + x)Q-2 J" ' (x ) = a(a - l )(a - 2) (1 + x) Q-3 f' (x )
e, in generale, f (k)(x) = a(a - 1) .. . (a - k
+ 1) (1 + x) Q-k . Dunqu e
7.2 Sviluppi di Taylo r notevoli
j CkJ(O)
j(O) = 1 ,
0:( 0: -
- --
1) . . . ( 0:
k!
k
-
+ 1)
k!
241
per k :::: 1 .
E allora conveniente estende re la defini zione di coefficiente binomiale dat a in al cas o in cui
0:
(1.10) sia un numero reale qu alsiasi , ponendo, in analogia con la (1.11) ,
0:) = 0:(0: - 1) . .k!. (0: (k
k + 1)
per k :::: 1 .
Ne segue che 10 sv ilupp o di Macl aurin di ordine n di j(x)
I
(7.16)
e
(7.17)
Dettagliamo alcuni casi particolar i notevoli dell a pr eced ente famiglia di sviluppi . P er 0: = - 1 si ha
- 1) = (-1)( -2) = 1 2 ' ( 2
(-1) = (-1)(-2)( - 3) =_ 3
3!
(-1) _(-1)(-2) · · ·(-k ) __ 1) , k
-
k!
- (
1, ... ,
k
e dunque 1
-- = 1 -
1+ x
Inve ce, per
x
+ x2 -
.. .
+ (_l) nxn + o(.1;n) =
2) -llx n
k
+ o(x n) .
(7.1S)
k =O
0:
= ~ abbiamo
1) 2 _ 1(1 2 2 _1) (2 2 -
_1
S'
( 3~ ) = ~ ( ~ -1)(~ 3!
2) = ~ 16 '
e dunque 10 svilupp o arrest a to a ll'ordine 3 della funzione j(x) =
I polinomi di Maclaurin della funz ione y = rapprese ntati in Fi gura 7.S.
Vf+X
Vf+X e
di ordine n = 1,2,3,4 sono
242
7 Sviluppi di Taylor e ap plicazion i
Figura 7 .8. Approssim azione locale d i f( x) per n = 1,2 , 3,4
= VI + x
mediante i polinomi T i « = T f n,o
P er comodita dell 'allievo, riportiamo nella sottostante lista gli sviluppi di Maclaurin con resto di P eano ottenuti finor a . Una list a pili completa si trova a pag.444. .
eX
x2 2
xk .
= 1 + x + - + ... + -kl + ...
10g(1
+ x) = x
x2 - 2
x3
x5
+, + xn
n.
o(x n )
n
+ ... + (_1) " -1 _x + o(x n) n
X 2rn+ 1
. . _. . sin x - x - "I 3.
+ "I 5.
x2 cosx = 1 - ~ 2
x + -x - .. . + (_ l )rn _ _ + O(.T 2rn+ 1)
- . ..
. ( 2rn+2) + ( - L)?' (2m + 1)'. + 0 x
4
2rn
4!
0:(0' 2- 1) x
(l + x )<X= l +o:x + 1
-- = 1 - x + x2
l +x
1 2
v'l+X = 1 + - .T -
-
.. .
1 _x 2 8
(2m)!
2
+ ...+
(0:) n x n + o(x n )
+ (-l)" x n + o(x" ) 1 3 x 16
+_
+ o(x 3 )
7.3 Operazioni sugli sviluppi di Taylor Se la fun zion e f ha una espressione piuttosto com plica ta, che fa int ervenire diverse fun zioni elementari, puo non essere agevole ca1cola re 10 sviluppo di Taylor
7.3 Operazioni sugli sviluppi di Taylor
243
di f usando Ia definizione, cioe ca1colando il valore in Xo dell e derivate di f fino all'ordine n . Al contrario, partendo d agli sviluppi noti delle funzioni elementari, e spesso pili convenient e combinarli - secondo procedimenti illustrati qui di seguito in modo d a pervenire a quello di f . Questo approccio e giustificato dal seguente risultato. Proposizione 7.5 Sia f : (a, b) -+ lR una [un zioti e deriuabile n volte in Xo E (a, b). Se esiste un polinomio Pn di qttulo :s: n, tale clie
per x allora Pn coincide con il polinomio di Taylor Tn daf in xo · Dimostrazionc.
-+
Xo,
(7.19)
= Tfn,xo di ordui e n qen eraio
Dalla (7.19) si ricava chc
Pn(x)
= f(x) + cp(x) ,
con cp(:r:)
= o((x - xo)n)
Analogamente, dalla form ula di Taylor pCI'
per x
-+
Xo .
f in Xo,
con 'ljJ (.T ) = o((x - xoy'). Dunque
Pn(:r) - Tn (:r) = cp(x) - 't/J (x ) = o((x - .ToY'). D 'altro canto, la diffcrcnza Pn (:r) - Tn (x) :s: n , c dunquc si potra scrivere corne
(7.20)
e un po linomio eli graelo
n
Pn(x) - Tn(x)
= L cd·T - xO)k . k=O
Dobbiarno elimostrare che tutti i coefficienti Ck sono nu lli. Pe r assurdo, supponiamo che esistano dei Ck no n nulli, e sia m il pill piccolo iudice cornpreso t ra 0 eel n tale che Cm =1= O. Allora n
L
Pn(.T) - Tn(x) =
cdx - XO)k
k =nl-
c, dividendo per (x - x oy n, si ha
Passando allimite per x
-+
Xo e ricorelando la (7.20) , si ottiene 0=
contra l'ipot esi.
Cm ,
o
244
7 Svilu pp i d i Tay lor e a pp licaz ioni
La pro posizione app en a d imost rat a ci as sicura che, qu a lu nque sia la strada co n cu i a rrivia mo ad u na espress ione del t ipo (7.19) (p urc he m a temati camen t c leci t a ), essa fornisce precisament e 10 sv ilup po di T aylor d i ord ine n in Xo d i f . Esempio 7.6 Suppon iamo d i sapere che un a funzion e f (x ) soddi sfa
f (x ) = 2 - 3(x - 2) + (x - 2)2 -
~ (x -
2)3 + o((x - 2)3)
p er x
~
2.
Allora , ricordando la (7.7), deducia mo che
1"(2)
f (2) = 2,
1' (2) = - 3,
-2- = 1,
f(2 ) = 2,
1' (2) = -3 ,
1"(2) = 2,
1'" (2) 3!
e qui nd i
1'''(2) --
- ~2 '
D
P er sern p licita, supporremo nel segu ito ch e Xo = 0, A quest a sit u azione ci si puo semp re ridurre con il ca mbia me nto di variabile indipenden te x ~ t = x - Xo. Sia no ora
e
g(x ) = bo + b1 x
+ ... + bnx n + o(x n ) = qn(x ) + o(x n )
gli sv ilup p i d i Maclaurin di d ue fun zioni
f
e g.
Somma algebrica di sviluppi Abbiamo , usando la (5.5) a) ,
f (x ) ± g(x ) = [Pn(x ) + o(x n) ]± [qn (x ) + o(x n )] n n)] = [Pn(x) ± qn(x )] + [o(x ) ± o(x n) = Pn(X) ± qn(x) + o(x . Dunque 10 svilu p p o di una somma algebrica di funzioni sv iluppi.
e la somma alge brica dcgli
Esempio 7.7 Calc oliamo gli sv ilu ppi di Taylor nell 'origine d elle fun zioni se no e coseno ip erbolico introda t t e nel P aragrafo 6.10.1. Ab b ia mo x2 x 2n + 2 x- I + ( ,2n+2) , e x + 2" + ...+ (2n + 2)! + 0 x
7.3 Oper azioni sugli sv ilu p pi di Taylor
245
e, ca mb ia ndo x in -x, e -x -_ 1. - x
+ -x
2
Dunque 1
X)
2
- ... + ( x3
X 2n + 2
+2
2n
)1 + 0 (x 2n +2) . .
x5
=
_ (eX - e-
= x + I" + I" + ...+ (
x 2n + !
)1 + o(x 2n + ) . 2 3. 5. 2n + 1 . Proced endo in modo analogo, si perviene allo sviluppo 2 4 2n 1 X X cosh x = -·(e X + e -X ) = 1 + -X + I" + ... + ( )1 + 0 ( X 2n+!) . 2 2 4. 2n . Si not i l'analogia con gli svi lu p pi d i sinx e cos x . sinhx
2
0
Nello svilu ppare la di fferen za f - g, si puo ver ificare la canc ellazione di t utte le pot en ze di x di es pone nte :S n , se ciasc una di qu est e com pare nei due sviluppi con 10 stesso coefficient e. P er otten ere la prima pot en za di x con coefficiente non nullo , e necessario allora partire da svilup pi di f e di 9 di ordine n' > n. In gene rale, non si puo dire a priori qu ale sia il valore minimo di n' necessario, e si pr oced e per tentativi. Si ri cordi com unq ue che se si usano svilup pi pill 'lunghi' dello stretto necessario, si fanno calcoli che a p ost eriori si riveler anno inu tili, rna no n si commette errore . Al contrario, se gli svi luppi sono pill 'cort i' de l necessario, si pe rviene a risult a ti no n significativi, 0, peggio ancora, in certe situaz ioni si com mette er rore. A buon int enditor ... Esempio 7.8 Si voglia det erminare l'ordine di infinitesimo in 0 di h( x) = eX -
VI + 2:1:
medi ante 10 sv ilu p po d i Maclaurin della funzione h (si veda a tale prop osit o il successivo P aragrafo 7.4). Se si usano gli svilu p pi al primo ord inc d i f (x )
e di g( x) =
= eX = 1 + x + o(x )
VI + 2:1: = 1 + x + o(x),
si ha un a cancellaz ione, e si puo solo dire che h( x ) = o(x ),
il che non basta a determinare l'ordine di infinitesimo di h . Se invece usiamo gli sv ilup pi del secon do ordine x2 2 f (x ) = eX = 1 + x + 2 + o(x ) g (x )
= VI + 2x = 1 + x
-
x2
2 + o( x 2 ) ,
a llora h (x )
dunque h (x )
= x 2 + o(x 2 ) ,
e un infinit esimo del seco ndo
ordine nell 'origine.
o
246
7 Sviluppi di Tayl or e applicazioni
Prodotto di sviluppi Abbiamo, us ando rip etutam ent e la (5.5) d) e poi la (5.5) a ),
f( x)g(x) = [pn(X) + o(xn)][qn(x) + o(x n)] = Pn(x)qn(x) + Pn(x)o(x n) + qn(x)o(x n) n) + o(x n) + o(x 2n) = Pn(x)qn(x) + o(x = Pn(X)qn(x) + o(x n) .
+ o(xn)o(x n)
Nell'eseguire il prodotto Pn(X)qn(x) ot t errem o potenze di x di esponente > n ; ciascuna di esse e un o(x n ) , dunque potremo fare a meno di ca1colarla. In altri termini, scriveremo dove Tn (X) cont iene t ut te e sole le pot en ze di x di esponent e :::; n. Be ne conclude che
f( x)g(x) = Tn(X) + o(x n).
Esempio 7.9 Ca1coliamo 10 sviluppo al secondo ordine nell 'origine di
VI + z e" ,
hex) = Abbiamo
f( x) =
x2
VI + x = 1 + "2 - 8 + o(x 2), X
g(x) = eX = 1 + x
2
+ ~ + o(x 2) ,
dunque
hex) = =
(
X 1 +"2
2
x - 8
)
x2 ) ( 1 + x+ 2
= 1
(
1+x
2
x +2
2
)
+ o(x 2)
I:iil)
x +L:IJ + ( "2x + 2
I:iil
2 (8 x +m+llij +o(x 2)
~)
+ "2 x + sx2 + o(x 2). 3
7
Abbiamo riquadrato i termini di ordine supe riore al secondo nel prodotto dei due polinomi, cioe qu elli che vengono inglob ati nel simbolo o(x 2) (e dunque possono D non essere ca1colat i esplicit ament e). Quoziente di sviluppi Supponiamo che g(O) =I- O. Posto
hex) = f( x) , g(x)
7.3 Operazioni sugli sviluppi di Taylor
247
cerc hia mo uno sviluppo di n
con rn( x) = 2:::Ckxk. k=O Dovra essere
h( x)g(x)
e dunque rn(x)qn(x)
=
f( x)
+ o(x n ) = Pn( x) + o(x n) .
Cio significa che la part e di grado :::; n del polinomio (di grado 2n ) rn (x )qn(x ) deve coinci de re con Pn (x). Cio permette di det erminare i coefficienti Ck di rn (x) , in ordine crescente di indice, a part ire da Co. II calcolo puo essere organiz zat o seco ndo le regole di divisione de i p olino mi, purche qu esti siano ordinati secon do le potenze crescen ti di x : aO + a lX + a2x 2 + ao + a~x + a~ x2 + 0+ ihx + 0'2 x2 + o'l X + 0,~x2 +
+ anx n + o( x n) + a~ xn + o( x n) + o'nx n + o(x n) + o'~xn + o(x n)
bo + b1x + b2x 2 + ...+ bnx n + o( x n) Co + CIX + ... + cnx n + o(x n)
Esempi 7.10 i) Calcoliamo 10 sviluppo al secondo ordine di h( x) (7.9) e (7.13), si ha eX = eseg uia mo la division e 1+x
2 3
3
1
+ "2 x 2 + o(x 2) 1 3
2
54
3
3 + 2x - x 2 + o( x 2)
11 2 2 + o(x 2 ) -31 + -91 x + -54 x + o( x )
+ -1 x + _11 x 2 + o(x 2) . 9
x
2 1e ( ). Usando le + og 1 + x l+ x+~ x2+ o(x2) , e 3+210g(1+ x) = 3 + 2x -x 2 + o(x 2);
1+ - x - - x
. 1 da cm h(x) = -
=
248
7 Sviluppi di Taylor e ap plicazion i
ii) Calcoliamo 10 sviluppo al qu arto ordine di h(x) = tanx . Poiche la fun zione e disp ari , e sufficient e ca lcola re il polinomio di Maclaurin del terzo ordine che coincide con qu ello del qu arto . Abbiamo sin x = x -
x3
6 + o( x 3 )
e
dividendo XX -
x3
6 + 0( x 3) x3
2 + o(x
3
1-----"'------
)
x3
:3 + 0( x 3 ) x3
:3 + 0( x 3 ) 0( x
3)
otteni amo D
Sviluppo di una funzione composta Sia
f( x)
=
al x
+ a2x 2 + ...+ anx n + o(x n)
10 sviluppo di Maclaurin di una funzione infinit esirna per x Sia poi
g(y)
-->
0 (dunque ao = 0) .
= bo + b1 y + ...+ bnyn + o(yn )
10 sviluppo di Maclaurin (rispetto a y) di un'altra fun zion e g(y) . Si noti che
significa
infini tesirno di orditie superi orc a yn
p er y
-->
0,
che possiamo anche scrivere con 0(1)
-->
0 p er y
Possiamo dunque formare la funzione com p osta h(x) f( x) nello sviluppo di g(y ) abbiamo
g(f( x))
-->
O.
= g(J(x)) . Sostituendo
y
=
= bo + bd(x) + b2[f( x)] 2 + ...+ bn[f(x)] n + [f( x)] no (l ).
Si noti che , p er la cont inuita di f( x) in 0, si ha che y = f( x) --> 0 p er x --> 0, dunque nell'espressione pr eceden te 0(1) --> 0 anche p er x --> O. Inoltre, dallo sviluppo di un prodotto si ha che
7.3 Oper azioni sugli sviluppi di Taylor
249
Dunque
[j (x )]no (l ) = o(x n)
per x
----+
o.
Sviluppando le po t enz e [j( x)]k (1 < k < n) risp etto ad x fino all' ordine n, si p ervien e a llo svilupp o di g(J(x)) . Esempi 7 .11 i) Calcolia mo 10 sviluppo di ordine 2 in 0 di h(x)
= evl+ x -
1.
Poniamo
Allo ra
h(x) = 1 + (
2
"2X - 8x + o(x 2)) + 2"1 (x"2 - 8x 2 + o(x 2 ) ) 2 + o(x 2 )
= 1+
(~ _ ~2 + O( X2)) + ~ (:2 + o(x 2)) + o(x 2)
= 1+
"2 + o(x 2 ) .
X
ii) Calcol iamo 10 svilupp o di ordine 3 in 0 di 1
h (x ) - ----,------,----1+10g(1+ x) Quest o svilupp o puo esse re calcolat o come sviluppo di un qu oziente. In alte rnativa, possiamo pen sare h(x) corne una funzione composta, precisamen t e da
f( x)
x2
x3
= 10g(1 + x ) = x - 2 + 3 + o(x 3 )
e da 1
Allora
g(y) = _ _ = 1 _ y +y2 _ y3 + o(y3). l+y
250
7 Sviluppi di Taylor e applicazioni
Osservazione 7.12 Qu ando f(x) e un infinitesim o di or d ine superiore al primo nell 'origine, e possibil e 'risparmiare' calcoli, nel senso che si puo ottenere uno sviluppo di ordine n di h(x ) = g(J(x)) par t endo da sviluppi di ordine < n di g(y ). Ad esempio, se f e un infini t esim o di ordine 2 nell 'ori gin e (cioe al = 0, a2 =I- 0), allora [f(x)jk = a~ x2 k + o(x 2k) , dunque per ot tenere uno sviluppo di ordine n di h(x ) e sufficiente partire da uno sviluppo di ordine -i (se n e pari ) op pure (se n e dispar i) per la fun zione g(y ) (me ntre, in gene rale, f (x ) deve esse re sviluppata fino all'o rdine n). 0
n!1
Esempio 7.13 Calcoliamo 10 sviluppo al secondo ordin e di h(x) = J cos x = J~ 1+---'(c o-s-x---1-""") . P oniamo x2 (2° ordine ) f( x) = cos x - 1 = - 2 + o(x 2)
g(y)
= Jf+Y = 1 + ~ + o(y)
(1° ordine ).
Allor a
h(x ) = 1 +
=
1-
~ ( _ ~2 + o(x 2)) + o(x2) x2
4 + o(x 2)
(2° ordine).
o
Sviluppi asintotici (non di Taylor) Qu an do un a fun zione f (x ) e infinita per x --+ 0 (opp ure per x --+ xo), e in molti casi possibile dare un o sviluppo 'as intot ico' di f (x ) seco ndo pot enze crescenti di x (0 di x - xo), ammettendo anche pot enz e negati ve. In a ltri termini,
f (X ) = -a-m xm
m+l n (n) . a- I + -a- 1- + ... + - - + ao + alx + ...+ anx + 0 x xm X
Qu esto permette di meglio comp re ndere il modo con cui f tende a infinito. Infat ti , se a _ m =I- 0, f risul t era un infinito di ordine m risp et t o all' infinito cam pione X- I . Sp esso e po ssibi le arrivare a un o sviluppo del tipo precedente, partendo da 1
sviluppi di Taylor di f( x) (che
e infini t esima per x --+ 0).
Anche in qu esto caso, ci limitiamo ad illu strare il procedimento con un esempio. Esempio 7.14 Si voglia dar e un o sviluppo 'asintotico' per x
--+
0 della fun zione
1
f (x ) = eX _ 1 . Dallo sviluppo della funzione espo nenz iale, arrestato ad ese mpio al terzo ordine, abbiamo
7.4 Uso degli svilu pp i di Taylor nello studio local e di un a funzione
251
Dunque 1
1
f( x) = -
X
X
1 + 2"
X
2
+ 6 + o(x
2
.
)
La seconda frazione puo essere sviluppata usando 10 sviluppo di Maclaurin di 1 __ = 1 - y + y2 + 0(y 2) ;
ponendo
l+y
si otterra
2) = + -x12 + o(x) 2
1 + -x + o(x) , 2 12 che rappresenta uno sv iluppo asintot ico della funz ion e f nell 'origine. Da esso si puo dedurre ad ese m pio che, per x ----> 0, la fun zion e f( x) e un infinito di ordine 1 ri sp et to a ll' infinit o campione cp(x ) = ~ . Inoltre, trascurando il term ine in x e scrivendo f( x) = ~ + 0(1) , otteniamo che la fu nzione e asint ot ica a ll'ipe rbole 2- x o g(x) =~ .
f( x) = -1 ( 1 - -X x 2
1 x
- - -
!
7.4 Uso degli sviluppi di Taylor nello studio locale di una funzione Lo sviluppo di Taylor di una fun zion e f( x) in un punto permette di studiare il com p ortamento local e d i f in un intorno di t al e punto. Esaminia mo nel seg uit o a lcune significat ive ap plicazioni.
Ricerca di ordini di infinitesimo e di parti principali Sia
xot + o(( x - xo)n) 10 sv iluppo d i Taylor di ordine n di f in un punto xo, e supponiamo che per un cert o intero m tale che 1 :s: m :s: n si ab bia ao = al = ... = am- l = 0, rn a am i=- 0. Allora
f( x) = ao + alex - xo) + ...
+ an(x -
f( x) = am(x - x oyn
+ o(( x
- xo)m)
e dunque f( x) , in un intorno di Xo sufficientemente piccolo, si comportera come la fun zione polinomial e
p(x) = am(x - x o)m, che ne costituisce la parte prin cipale rispetto all 'infinitesimo campione y = x - xo. In particolare , f( x) sara un infinitesimo di ord ine m rispetto a tale campione.
252
7 Sviluppi di Taylor e appli cazioni
Esempio 7.15 Si voglia calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte principale per x -+ 0 della funzione f (x) = sin x - x cos x - ~ x 3 rispetto all'infinitesimo campione rp(x ) = x . Usando gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni seno e coseno si ottiene facilmente
f( x)
= -
310x5 + o(x 5) ,
X -+
o.
f e un infinitesimo di ordine 5 e la sua parte princip ale vale p(x) Si osservi che ottenere 10 stesso risultato con il Teorema di de l'Hopital sarebbe risultato ben pili gravoso dovendosi derivare 5 volte la funzione. 0 Dunque - 310x5 .
Comportamento locale di una funzione Se di una funzione f conosciamo 10 sviluppo di Taylor del secondo ordine nell'intorno di una punto Xo,
x
-+
Xo ,
allora dalla (7.7) deduciamo che
f( xo) = ao ,
1'(xo)
=
aI ,
Supponiamo che f e la sua derivata prima e seconda siano continue in un intorno di xo. Allora, grazie al Teorema della p ermanenza del segno, i segni di ao, al e a2 (qualora tali quantita siano diverse da 0) coincideranno rispettivamente con i segni di f(x) , 1'(x), 1"(x) in tutto un intorno di x o. Cia permette, in particolare, di conoscere la monotonia e la convessita di f in t ale intorno, applicando il Teorema 6.26 b2) e il Corollario 6.37 b2). Esempio 7.6 (seguito)
I
Riprendendo l'Esempio 7.6, abbiamo f(2) > 0, 1'(2) < 0 e 1"(2) > O. Dunque, in un intorno di Xo = 2, f sara strettamente positiva , strettamente decrescente e strettamente convessa. 0
I casi in cui al = 0 oppure a2 = 0 sono considerati nel seguito. Studio della natura di un punto critico Sia Xo unpunto critico di una funzione f , derivabile in un suo intorno. Sappiamo (Corollario 6.27) che se l' e di segno diverso a destra e a sinistra di Xo, allora Xo e un punto di est remo per i: invece, se l' e di segno costante a destra e a sinistra di Xo, allora Xo e punta di Besso a tangente orizzontale p er f . In alternativa all'analisi del segno della derivata prima nell 'intorno di xo, quando f ammette derivate di ordine superiore in Xo e possibile studiare la natura del punto critico analizzando la prima derivata di f che non si annulla in tale punto. Vale infatti il seguente risultato.
7.4 Usa degli sv ilu ppi di Taylor nella st ud io loc ale di un a funzione
253
Teo rem a 7.16 Si a j derivabile n volte (n 2: 2) in Xo e si abbia j " (Xo) =, .. = j (m -l ) ( Xo) = 0 ,
(7,21)
per un certo m talc che 2 ::s: m ::s: n. A llora:
c pari, ,TO C punto di estrem o per j , e precisameni e e pun to di m assim o se j (rn )(xo) < 0, punto di minimo se f (rn )(xo) > 0; ii) se m e dispari , Xo c pun to di flesso a tang ent e orizzontale per I , e precisame nte e punto di flesso discendent e se j (m ) (xo) < 0, ascendent e se f (m)(.To ) > O. i) se m
Dimostrazionc,
Confro nt iamo j (x) con j (xo) in un intorno eli Xo. P art endo dalla formula eli Tay lor (7.6)-( 7,7) c usand o lc ipot esi (7.21), ottcniarno
f'(X ) - ,f'(:1:0) =
,
j ("' ) (:1:0) , UL
(:1: - Xo )'"
+ 0 (( .T - :z:o)111) '
Scr ivcndo 0(( :1: - xo)',,) = (:r - :r o)"' o(l ) e ra ccogliendo il fattore (:r - :r o)' '' , abbiarno
j (x ) - f (x o) = (x - ,Tor'"
I' (m ) (T [
,' ()
rn ,
)
+ h(:z: )]
,
dove h(x) C una opp ortuna fun ziono infini t esim a per :r ----+ :z:o' Pertanto, in un int orno eli Xo abbastanza piccolo, il te rminc racchiuso tra parentcsi qu ad re avra 10 stosso segno eli j (111 ) (:1:0); dunque il segno eli f (x) - j (:1;0) in talc intorno sa ra determinat e dai segni eli f (111)(XO) c (x - XO)111. Esaminando i vari casi possibili , si giungc alia tcsi . 0
Esempio 7.17 Supponiamo che in un intorno eli Xo = 1 si ab bia
f( x)
=
2 - 15(x _1) 4 + 20(x - 1)5 + o((x - 1)5).
(7.22)
Deduciamo che
1"(1) = 1"'(1) = 1""(1) = 0 ,
mentre
f (4 )(I) = -360 < O.
P ertanto , Xo e punta eli massimo rela t ive per f (si ved a la Fi gura 7.9 a sinistra) . Supponi amo invece chc in un intorno eli X l = - 2 si abbia
f( x) = 3 + 10(x
+ 2)5 -
35(x
+ 2)7 + o((x + 2)7).
(7.23)
Deeluciamo che
1"( - 2)
= 1"'( -2) = f'lI( - 2) = f (4 )( - 2) = 0,
mentre
f(5 )( -2)
Pertanto , Xl e punta eli fless o ascenelente a t angente orizzon t ale la Fi gura 7.9 a elestra).
= 10 · 5! > O. p er f (si veela 0
254
7 Sviluppi d i Taylo r e a pplicazioni
y
=
y
f (x )
2 ----------
= f( x)
--------------
3
-2
Figura 7.9. Comport amen to della funzion e f( x) definita in (7.22) nell 'intorno di X Q = 1 (a destra) e della funz ione f( x ) definita in (7 .23) nell 'intorno di X Q = - 2 (a sinistra) Ricerca d ei punti di fle sso Sia f una funzione derivabile due volte in un in torno d i x o. Mediant e le formule di Taylor, e possibile decidere se Xo sia 0 m eno punto di fiesso p er f . R icordiamo innanzitutto che nel Capitolo 6 abbiamo enu nciato il Corollario 6.38, rimandandone la giustificazione al presente p aragr afo. Vediamo ora t al e dimostrazione. Di mostrazion e. a) Sia Xo punta di flesso p er
f . Indi cat a
come al solito con y
=
t(x) = f (xo) + f' (xo)(x - xo) l'equazione della ret t a tange nte al grafico di f in Xo , dall a formula di Taylor (7.6) con n = 2 ricaviamo
Raccogliendo a secondo membra il fat t or e (x - xO)2 p ossiamo scrivere
f( x ) - t (x ) = (x - xO) 2 D!" (XO)
+ h(X)]
,
p er un a opp ortuna fun zion e h infinitesirn a in xo. Se p er ass ur do fosse f" (xo) =I 0, in un intorno a bbastanza piccolo di Xo il secondo membra av rebbe seg no costante a destra e a sinist ra di Xo, cont raddicendo l'ipo tesi che Xo sia punta di flesso. b ) In qu est o caso, usiamo la formula d i Taylor (7.8) , sem pre con n = 2. P er ogn i x =I Xo in un intorno di Xo, esiste un punta X cornpres o Lra Xo e x tale che f (x) - t (x ) =
~!" (x)(x -
XO)2.
La conclusi one seg ue allora dall 'analisi del seg no dei t ermini a 0 secondo membro.
7.4 Uso degli svilu ppi di Taylor nello studio locale d i una funzi on e
255
Supponiamo, d 'ora in avanti , di sapere che I "( XO) = O. In alternativa all'analisi del segno della derivat a seconda nell 'intorno di Xo, quando 1 amme t te derivat e di ordine superiore a l secondo in Xo e possibile studiar e la natura di Xo analizza ndo la prima derivat a di 1 di ordine > 2 che non si annulla in t ale punto . Vale infat ti il segu ente risultato. Teorema 7.18 Sia 1 derivabile n valle (n > 3) in Xo e si abbia
I Xo - . . . - I Cm- 1) ( Xo ) -- 0 , II (
)
-
(7.24)
-
per un certo m tale che 3 :::; m :::; n . Allam :
i) se m e dispari, Xo e punta di fiessa per I , e precisam ent e e punta di fiessa discendent e se I Cm)(xo ) < 0, ascendent e se f Cm)(xo) > OJ ii) se m e pari,xo nan e un punta di fi esso per I . Dirnostrazione. Procedendo in modo ana logo a quanto fatto nella dimost ra zione del Teorema 7.16, otteni amo Ia relazione
f (:r ) - t( x) = (.r - xo )m [
f cm)(x o) m!
+ h(x)
]
,
dove h(x) indi ca un a opportuna fun zione infinitesim a per x ----+ XO. II risul tato segue allora dalla discussione dei segni dei termini a secondo membra. 0 Esempio 7.19 Supponi amo che in un int orn o di Xo = 3 si abbia
f( x)
=
- 2 + 4(x - 3) - 90(x - 3)5 + o((x - 3)5) .
(7.25)
Deduciamo che 1"(3) = 1"'( 3) = I (4)(3) = 0, mentre I (5)(3) = -90 · 5! < O. Concludiamo che Xo = 3 e punto di flesso discendent e per 1 (si ved a la F igura 7.10) . 0
3
/ - 2 - - --- -- - -- -- -- -i
y =t(x ) /
y
=
f( x)
Figura 7 .10. Com portamento locale della fun zione f(x ) defin it a in (7 .25)
256
7 Sv iluppi d i Taylor e applicazioni
7.5 Esercizi 1. Usando la definizione, scrivere il polinomio di Tay lor delle seg uenti funzioni, di ordine n e centrat o nel punto Xo:
[ill
= eX, n =4 , Xo = 2 b) f (x ) = sinx, n = 6, Xo = ~ [ill f( x) = log x , n =3 , Xo = 3 d) f( x) = v'2x + 1 , n = 3, Xo = 4 2 3 @] f (x) = 7 + x - 3x + 5x , n= 2 , f) f (x) = 2 - 8x 2 + 4x 3 + 9x 4 , n = 3, f (x )
Xo
=
Xo
1
=0
2. Determinare 10 sviluppo di Tay lor delle segu enti funzioni, centrato nel punto Xo e con il res to eli Peeno, sino al massimo ordine possibile:
[ill b)
f( x)
= x 2 1xl + e2x
f (x) = 2 + x
+ (x
Xo
,
Vx
- 1)
=0 1,
2 -
Xo = 1
3. Usando gli s viluppi delle fun zioni clem entari, detertninere 10 sviluppo di Maclaurin delle seg uenti funzioni, con il resto di Peano e sino all 'ordine indicato:
GJ
f (x) = x cos 3x - 3 sin x , 1+x log -1 - 3- ,
Qill [ill
f (x ) =
d)
f( x) =
e)
f( x) = Veos (3x -
rf)l ~
f( x) =
~
f( x) = cosh' x -
h)
f (x ) =
.
+
2
I)
f( x) =
£)
f( x)
=
e - x cosx
n =4
X
f( x) = eX sin 2x ,
n =2
n= 5
+ sinx -
cos x ,
x2) ,
n = 4
~ - sin x, 6 1 + x2 e 2x
-
1
C=O= '
v cos 2x
n =2
n = 5
vII + 2x 2 ,
n =4
n =3
1 10 ' -y8 sin x - 2 eos x
Vs + sin 24x 2 -
n = 3
2( 1 + x 2 eos x 2 )
,
n =4
4. Colcolere l'ordine di infinitesimo e I« parte prineipale p er x all 'in finitesim o cam pione 'f/(x ) = x, delle seguenti funzioni: a) f( x)
= ecos2x - e
fb)l f( x) ~
= cos 2x
---7
0, risp etto
+ log( 1 + 4x 2 ) eos h 2x
_
1
7.5 Eserci zi
~ f( x) ~
~ f( x) L.!J
=
3
JX3 -
sin Vi e 3 v'x - l
= x - arc tan
d) f( x) = 2x x
VI -
4x 2
f) f( x)
+ (x 2
{II -
=
x2
-
-
l+ x 1) log-I - x
~ X2
f (:1;) =
b)
f (x ) =e -~- 1
[ill d)
1
f (x)
X -
3
----+
+00 , rispe tto
1 2 - 2( x - 2) -log( x - 1)
= ~II + 3x 2 + x 3
f (:1:) =
4
VI - 3 + sin x18
5. Calcolare l'ordine di iniiiii tesuno e la parte principale per :r ell 'iniiniiesim o campione rp (x ) = ~, delle seguenti fun zioni:
Gill
257
2 + sinh 22
V'2 + 5x 4 + x 5
-
~
-
X
6. Calcolare i seg uenti limiti: lim (1 x ---> O
+ X 6 ) 1/( x
4
s in
2
b)
3x)
lim
cos .:J. 7rX 4
x ---> 2
d)
lim
[2]
e)
x ---> O
(e
x 7
-
~ 7r log :r. 2
2
(4 - x 2 ) 2
+ sin 2 x_sinh'' x)1/ x
4
lim 3x 4 [log(1 + sinh x )] cosh x x--->O 1 - VI + x 3 cos JX3 2
[2J
Determinare, al veriere di a in 1Ft, l'ordine di intinitesimo per x funzion e h(x) = log cos x + log cosh(ax) .
[]J
Cslcolere i1 valore della derivata sesta nel punta x
2
----+
0 della
= 0 della funzione
4
h(x) = sinh(x + 2sin x ) . 1 + x lO 2
[QJ
Posto rp (x ) = log(1
+ 4x) - sinh4x + 8x 2 ,
det erminare i1 segno della fun zione y = sin rp(x ) risp et tivamente in un intorno destro e in un in torno sinistro di Xo = o.
[]QJ
Provare cbe esiste un intorno di 0 nel quele vale la relazion e 2 cos( x
[ill
Celcolere, al variare di
0:
E
+ x2)
:::;
2 - x2
-
1Ft+ , i1limite lim
x--->o +
eX / 2
-
(x +
cosh
Vi
V'X )a
2x 3 .
258
7 Sviluppi di Taylor e applica zioni
~ Det erminare a E lR in modo cbe
f( x) = (arctan2x) 2 - o z sin z sia infinitesima del quarto ordine per x
----'>
O.
7.5 .1 Solu zioni
1. Polinomi di Taylor: a) Po iche t utte Ie derivate di f( x) = eX coincidono con la fun zione stessa, risulta f 0 , se x < 0 ,
pertanto
=
lim g'( x)
x---+ o+
lim g' (x)
x---+o-
= 0,
lim g"( x)
x --+ o+
= lim g" (x) = 0. x--o -
Quindi, usando il Teorem a 6.15, deduciamo che g e derivabile due volt e nell'origin e con derivat a prima e seconda null e. D'altro can to , g"( x) = 61 xl , che no n e der ivabile nell 'origine; dunque g non e derivabile tre volt e in t ale punto . In conclus ione, la fun zione f e sviluppabile nell'origin e solo fino all'ordine 2. Poiche h'(x) = 2e2x e h"(x) = 4e2x , risul t a f(O) = 1, 1'(0) = 2,1"(0) = 4 e 10 sviluppo di Maclaurin di ordine 2 e:
f (x ) = 1 + 2x b) La fun zione
e derivabile
+ 2x 2 + o(x 2) .
solo un a volt a in Xo
f( x) = 3 + (x - 1) + o(x - 1).
=
1 e 10 sviluppo cercato
e
3. Sviluppi di Macla urin :
a) f( x)
= -2x + o(x 2).
b) Possiamo scrivere f (x ) = 10g(1 + x ) - 10g(1 + 3x) e utilizzar e 10 sviluppo notevole di log(l + t) con t = x e t = 3x . Si ottiene
f (x ) = X =
x2
x4
x3
2" + 3 - 4 -
-2x
+ 4x 2 -
d) f( x) = x 2 + o(x 2).
+ x3 -
(3X)2
+ -2- -
(3x) 3 (3x) 4 -3- + -4-
+ o(x
26 _ x 3 + 20x 4 + o(x 4) . 3
c) Utilizzando gli sviluppi di e t con t
e) f (x ) = 1 - ~x2
3x
~~X4
= x 2 e di sin t con t = 2x , si ha
+ o(x 4).
4
)
260
7 Sviluppi di Taylor e a pplicazion i
f) Utilizzando 10 sviluppo notevole della fun zione (1 si ha
+ t )D:
con
0'
=
-i e t = x
2
,
e quindi f( x) ,
=x
1 7 1 1 - _ x 3 + _x 5 - X + _ x 3 - _x 5 + o( x 5) 6 72 6' 5!
=
g) Usando gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni cosh x, (1 t = 2x 2 si ha f( x) = =
1 + x 2 + ~ X4 , 4
+ ~X4 + o( x 4) _ 4!'
1 3
=
+ t) D:
con
0' =
~ e
(1+~X2 + :! X4 +0(X4 )Y_(1+2x 2)1/2
= 1 + x2 + _ x4 h) f( x)
4 5 _ x 5 + o( x ). 45
2x
(1
+ ~2X2 + (1 2/2) 2
1
1 - x 2 + _ x 4 + o( x 4) 2
=
(2 X2)2
+ o( x 4))
5 _ x 4 + o( x 4) . 6
+ 2x 2 + 130 x 3 + o( x 3 ) .
i) Sostituendo a sin x e cos x i loro sviluppi di Macl aurin si ha 1 2 -2 - V8x + x + ~x3
f( x) =
+ o( x 3)
.
Proced endo alia divisione per potenze crescent i di x risulta f( x)
5 2 = --1 + -V2 x - -x + -17yin2 x 3 + o(x 3 ) . 2
2
4
4. Ordini eli iniiuites im o c parti prin cipali p er a) L'ordine di infini tesimo
12
:1;
---->
0:
e 2 e la parte principale e p( x)
b ) Scriviamo
=
+ 10g(1 + 4x 2 ) -
cosh 2x , cosh 2x e notiamo che per calcola re I'ordine di infinitesimo della funzione per x ----> 0 e sufficien t e st ud iare iI numer atore in quanta iI denominatore t ende a 1 p er x ----> O. Utilizzando gli sviluppi di Maclaurin delle fun zioni cos t , log( 1 + t) e cosh t si ha h(x)
cos 2x
= - 2e x 2 .
7.5 Esercizi cos 2x
+ log(1 + 4x 2) -
cosh 2x 1 2 1 4 1 = 1 - -(2x) 2+1 -(2x) 4 + (2x) - - (2x ) - 1 - -(2x) 2- 1 -(2x) 4 2 4! 2 2 4!
=
261
- 8x 4
+ O(X4 )
+ 0(x 4 )
e quindi l'ordine di infin itesimo richiesto e 4 e la parte princip ale
c) Usando gli sviluppi di Macl aurin di sin t e di et e pon endo t =
e p(x) = -8x 4 . VX, per t ----+ 0,
si ha 9 (t ) -
t 3 - sin 3t
e 3t - l
-
t 3_(t _.!.t 3+0(t3)) 3 1 +3t+o(t) - 1
-
_-----'-_-"6 -----,------,------'--'-----
cioe
f( x)
=
1
6' x 2 + 0(x 2).
e 2 e la part e princip ale e p(x) infinitesimo e 3 e la parte princip ale e p(x) = ~x3.
Dunque l'ordine di infinit esimo d) L'ordine di
e) Usando gli sviluppi di Macl aurin dell e funzi oni (I + t )'" (con si ha (1 - 4x 2) -1 / 2 = 1 + 2x 2 + o(x :l) ,
arctan
x
VI -
X
= x + 2x 3 + 0(x 4 )
4x 2
x
=
-
0'
=
i x 2.
= - ~)
e ar ct an t,
= X + 2x 3 + 0(:r4)
Vl- 4x 2 ~(x - 2x 3 + 0(X4)) 3 + 0(x 3) 3
5
+ 3 x 3 + 0(x 3) .
Dunque
f( x) =
_~ x3 + 0(x:3)
3 e quindi l'ordine di infinitesimo e 3 e la par t e principale f) L' ordine di infinitesimo 5. Orelini eli iniini tesuuo
a) P er x
----+
e 6 e la parte principale e p(x ) =
e p(x) (- 3~
=
+
-i x3. 2.13 )x 6.
e pert: pruicipnli per z ----+ +00:
+00, possiamo scr ivere x - 2 -log( x - 1) - 2(x - 2)2 - (x - 2) log( x - 1) x - 2 - 1og (x- l ) 2 2x - 8x + 8 - (x - 2) log( x - 1)
f (x ) -
=
-::-:-------=--,-;;------,-----=--:-::-:----;------,-
x + o(x) 2x 2 + 0(x 2)
=
1+ (1)~
2x
da cui si ved e che l'ordine di infinitesimo di principale e p(:r) = 2~ '
0
f per x
----+
+00
e1 e
la parte
262
7 Sviluppi d i Taylor e a p plicazion i
e 1 e la parte princip ale e p(x)
b) L'ordine di infinitesim o c) Possiamo scrivere
f( x) =
3
=x
(1 +~ +~) - x (1 +~ +~) (1 +~ +~) (1 +~ +~) x3
x3
5
5
x3
X
X
1/ 3 _
x5
X
x
1/5
x5
X
e, utilizzando 10 sviluppo di (1 +t)Q con (} = risp ettivamente, si ot t iene
f( x) = x
= - 4~ .
i, t = ~ + x\
e (} = ~, t = ~ +
[1 +~3 (~+~) _(i)2 (~ + ~) 2 + (~) + x x x 3
X
- 1_
0
3
X
2
~5 (~ +~) _(~)2 (~+ ~) 2 + (~)] x x x X
5
0
5
X
e 1 e la part e principale e p(x) L'ordine di infinitesimo e 2 e la parte princip ale e p(x) = 3~ Pertanto l'ordine di infinitesimo
d)
2
= ~
G. Limiti:
a) Possiamo scrivere lim (1 + x 6 ) 1 / ( x
4
2
si n
3x )
= lim exp (
x --->O
x ---> O
.1 10g(1 + x 6 ) ) x 4 sln 2 3x
= exp (lim 10g(1 +2 x x ---> O
6
x sin 3x 4
))
= eL .
Per calcolare L , utilizziamo gli sviluppi delle funzioni 10g(1
+ t)
e sin t :
. x + o(x ) x + o(x ) 1 = lim = 2 6 6 x ---> O x (3x + o(x ) ) 2 x--->O 9x + o(x ) 9· 6
.
L = lim
6
6
6
4
P ertanto il limite cercat o vale e 1 / 9 . b) 11 limite vale 2~6 tt . c) Usa ndo gli sviluppi del seno e della t an gent e, si ha
i
· x - sin(tan x) . x - t an x + t an'' x + o(x 3 ) = lim -----,;:-:---''------,-------,-----'------'L = 11m 2 x--->o x sin (t a nx ) x ---> O x 2 (tanx + o(x )) x - x - l x 3 l x 3 o(x 3 ) _l6 x 3 o(x 3 ) = lim 3 6 = lim '-::-_ -:--:,..,..----x ---> o x 3 + o(x 3 ) x --->o x 3 + o(x 3 )
+ +
---.0
+
1
6
;5
7.5 Eserciz i
263
c1 ) II limi t e vale e- 2 / 3 . e) II limi t e va le -l. f) Si osservi che, p er x
-t
0, si ha
3x 4[10g(1 + sinh 2 x)] cosh 2 X rv 3x 4 sinh 2 x
rv
3x 6 .
Inoltre, usando gli sv iluppi di Maclaurin possiam o scrivere il denomin at ore come seg ue: Den : 1 - (1 + x 3 ) 1/ 2 cos x 3 / 2 = 1 - (1
=
+ ~x3 + (1;2) x 6 + o(x 6) )
1 6 1 3 1 - ( 1 +"2 x - SX
- "21 x 3 -
1 6 4" x
(1 _
~x3 + ~! x 6 + o(x6) )
6 ) 1 6 + 24 x + o(x) =
1 6 3" x
+ o(x 6 ).
P ertanto il limite proposto diventa
6
6)
+ o(x = 9. x -> O ~x6 + o(x 6 ) lim 3x
7. Utilizziamo gli sv iluppi noti di Maclaur in delle fun zioni 10g (1 + t ), cos t , cosh t. Si ha
h (x )
=
log (1 -
~X2 + ~, x4 + o(x 5 ) ) + log (1 + ~ (axf + ~! (ax) 4 + o(x 5 ) )
1 = - - x2 +1-4! x 4- 1-2 2
(
1 - - x 2+1 - x4) 2 4!
2 (-a2 x
1 2
- 1 2 = _(a 2
_
1)x 2
+ ( _1 - -1) 4!
8
2
2
2
4
+ o(x 5 ) + -a2 x 2 + -a4! x 4
4 )2 + o(x
+ -a x 4 4!
5
-
)
(a 4 + 1)x 4 + o(x 5 )
da cui si ricava che , se a =1= ± 1, h (x ) ha or dine di infinit esimo 2 per x - t 0, men tre se a = ± 1 il primo coefficien t e non nullo della sviluppo di h (x ) e qu ello di x 4, quindi la fun zione risult a infinit esim a di ordine 4 per x - t O. 8. Per ca lcola re M6 )(X) in x
=
0 sfruttiamo le ca rat te rist iche della sviluppo di Macl aurin in cui il coefficiente di x 6 e a6 = h(6~/O) . Occor re quindi ca lcolare 10 sviluppo di Macl aurin del sesto ord ine di h (x ). Utilizzando gli sviluppi delle fun zioni sin t e sinh t , il numerat or e di h div enta Num : sinh ( x
2
= sinh ( x 2
+ 2(x 4 -
; ,x
6
+ o(x 6) ) )
+ 2x 4 - ~x6 + o(x 6) ) 3
7 -- x 2 + 2x 4 - _6 x 6 + o(x 6 ) .
= x2
+ 2x 4 - ~ x6 + ~x6 + o(x 6) 3
3!
264
7 Sv iluppi d i Tay lor e a p plicaz ion i
1Q Operando la d ivisione per potenz e crescent i tra x 2 + 2x 4 - t x 6 + o(x 6 ) e 1 + x si ha 7 h (x ) = x 2 + 2x 4 - _ x 6 + o(x 6 ) 6 6! = - 840. e per t anto h(6)(0) =
-t .
9. Utilizzando gli svilup pi d i Macl aurin delle funzioni 10g(1 + t ) e sinh t , possiamo scrivere
poiche la fun zione seno nell'int orn o dell'o rigine e concorde con il suo argo mento la fun zione y = sin cp(x ) risult er a negativa p er x < 0 e positiva p er x > O. 10. Ut ilizzando 10 svilup po di Maclaurin della funzion e cos t , si ha
Allor a , nell'into rno dell 'ori gine in cui vale questo sv ilu ppo, si ha la relaz ione richi esta in quant a la par te principale della di fferenza t r a il primo e il sec ondo membra della d isequaz ion e e cost it uita dalla qu ant it a , sicurament e nega t iva , x4.
g
11. Consid eri amo separatame nte gli svilup pi di Maclaurin del numeratore e del den ominatore Num :
l +~X + ~ (~ f +o(x 2) - (l +~X + ~! x2 +0(x2))
( ~8 _ Den:
~) x 2 + o(x 2) = ~x2 + o( x 2 )
(1 + x 5 (1 + x 4/ 5 )
1 5 [X /
= xa /
r
4!
4 5 / )
a
12
'
= x a / 5 (1 + a x 4/ 5 + O(X4/ 5) )
.
Allor a lim
x-. Q+
e X / 2 - cosh (x
Vi.
+ {/X)a 1
12
o
=
l x 2 + o( x 2) x-.Q+ x a / 5 (1 + a x 4/ 5 + o(x 4/ 5) )
lim
_~-;-",,-,12=-----:~-,----,---:--,--~
a se 2 = 5 ' se2 > "5 '
+00 se
~12
a
2
a
< "5
{
se a
= 10 ,
sea < lO ,
+00 se a > 10.
7.5 Es erci zi
265
12. Usando gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni arctan t e sin t , si ottiene
e f( x) risultera infinitesima di online 4 nell'origine se a si ha
= 4 p erche per
tale valore
8 Rappresentazioni del piano e della spazio
Qu est o ca pit olo ha una duplice funzione. Da un lato , esso si ricollega al Capitolo 1 introducendo vari oggetti ma t em atici nel piano e nella spazio. Pili precisamente ver ranno trattati altri sist emi di coordinate oltre a qu ello cartesiano, i vet t ori con le lora propriet a element ari e l'in sieme C dei numeri complessi. D' altro lato esso forni sce una prima t r att azione di concett i che saranno approfonditi in cors i succes sivi qu ali le curve e Ie fun zioni di pili variabili.
8.1 Coordinate polari, cilindriche, sferiche Un punto P del piano cartesia no, di coordinate (x , y) , puo anche essere individua to mediante le su e coordinate polari (r,()) . Esse sono definite nel modo seguente. Indichi amo con r la distanza di P dall'origine O . Se r > 0, sia () la misura in radi anti , a meno di multip li di 211", dell'an golo formato dal semi asse positivo delle asc isse e dall a semiretta us cente dall'origine e passante per P (si veda la Fi gura s .i) . Usualme nte () e scelto nell'int ervallo (- 11", 11"], oppure, in alte rnativa, nell 'in-
p = (x , y) y - - - - -----------------~,
,, ,, ,, ,, , , ,, ,
o
x
Figura 8.1. Co ordinate cartesia ne e pol ari nel piano
268
8 Rappresent azioni d el pi ano e d ello spazio
tervallo [0, 27r) . Se r = 0, cioe se P coincide con l'origine , () puo assumere un qualunque valore. Il passaggio d alle coord ina te polari (1', ()) a qu elle cartesi ane (x , y) e esp resso d alle formule
1 x = l' cos () ,
y
= 1'sin() · 1
(8.1)
La trasformazione inversa , qu alor a () venga scelto nell 'intervallo (-7r, 7r],
y arctan -
se x> 0 ,
7J arctan > + 7r
se x < 0, u > 0 ,
arctan J!... -
se x
x
X
r = j x 2 + y2,
() =
x
7r
2
'if
7r
2
< 0, Y < 0 ,
se x = 0, y
> 0,
se x = 0, y
0 , abbiamo () = arc tan
2V6
V3
6,;2 = arc tan :3 =
tt
"6 .
7r Dunque le coor dinate polari di P sono d ate d a (1', 0) = (4v6, "6 ). ii) Sia ora P di coordinate cart esiane (x , y) = (-5 , -5) . Si ha r = 5,;2, ino ltre siccome x < e y < 0, si ha - 5 7r 3 () = arctan - 7r = arc t a n 1 - 7r = - - 7r = --7r
°
-5
e dunque (1',())
=
4
4
3 (5,;2, - 4 7r) .
2
iii) Infine se P ha coordinate polari (1', ()) = (4, "3 7r), le sue coord inate cart esiane sono 2 7r 7r X = 4 cos "3 7r = 4 cos (7r - "3) = -4 cos "3 = - 2 ,
Y = 4 sin
~7r = 4 sin (7r - ~) = 4 sin ~ = 203 . 3 3 3
o
Passiamo ora alla rappresentazione di un punto P E ]R3 di coordinat e cartesiane (x , y , z). Introduciamo due diversi sistemi di riferimento: le coord inate cilindriche e quelle sferiche .
8.1 Coordinate polari , cilindriche, sferiche
269
Le prime si ottengono semplicem ente sostituendo alle coordinate cartesiane (x , y) le coo rd inate polari (1" , B) de l punta P' proiezione ortogonale di P su l piano xy e mantenendo inva ri at a la coord inata z . Indicand o con (1", (), t) le coordinate cilindriche di P, abbiamo d unq ue
Ix = 1"
y
cos () ,
= r' sin e' ,
=t. 1
z
Anche in questa caso l'angolo () e definito a meno di mult ipl i di 2Jr ; qualora esso venga lim it at o all'intervallo (-Jr , Jr], le coordinate cilindriche si esprimono in funzione delle coordinate cartesiane definendo 1" e () mediante le (8.2) (si veda la F igura 8.2, a sinistra) . Le coordinate sferiche (1', cp , ()) sono definite nel modo seguente. Sia r = x 2 + y2 + Z2 la distanza di P dall'origi ne, cp l'angolo formato dal semiasse po sitivo de lle z e dalla semiretta uscente dall 'origine e passante pe r P, () l'angolo formato dal semiasse positivo de lle x e la semiretta nel piano xy uscente dall'origine e passante per la proiezione P' di P su tale piano (si veda la Figura 8.2, a destra) . Con linguaggio geografico, chiamiamo () la longitudine e cp la colatitudine de l punta P (m entre la qu an t it a ~ - cp e la latitudine , misurata qui in radianti) . Abbiamo quindi z = r cos cp, mentre x = 1" cos () e y = 1" sin (), essendo 1" la distanza di P' dall'origine; tale quantita puo essere espressa com e 1" = r sin ip , Sostit ue ndo, otten iamo la seg uente espressione delle coordi nate cartesiane di P in termini de lle sue coordinate sferiche (1', cp, ()):
J
Ix =
T
sin cp cos () ,
y
= r sin cp sin (),
z = T COS
cp .
1
Le trasformazio ni inverse si ottengono facilmente ricon d ucendosi al caso bid imensionale; osserviamo solo che e sufficiente far variare l'ango lo sp in un intervallo di
z
z
• p = (x , y, z)
0 x
T
0 X
Y
p i = (x, y, 0)
P = (:r: ,y , z)
cp
o
,
"\
\ 7",
, ,
Y
•
pi = (x , y, O)
Figura 8.2. Coordinate cartesiane e cilindriche (a sinistra) e cartesiane e sferiche (a destra)
270
8 R appresentazion i del piano e dello spazi o
ampiezza it ; ad esempio l'intervallo [0 ,1f], mentre come nel caso bidimensionale () vari a in un intervallo di ampiezza 21f , ad esem pio (- 1f,1f]. Esempio 8.2 Si consid eri il punt o P di coordinare ca rtesia ne (1,1 , V6). Le coordinate polari del punto P' = (1,1 ,0 ), proiezion e ortogona le di P sui piano xy, sono (r' , ()) =
(v'2, ~). Per tanto le coor dinate cilind r iche di P sono date d a
(r' ,(),t) = (v'2, ~ ,V6) . Det erminiamo or a le coordinate sferiche . Si ha r = VI + 1 + 6 = 2)2; inoltre sin e = ~ = ~ e quindi 'P = essendo 'P variabile nell 'intervallo [0, 1f] . Dunque
-i,
le coordinare sferi che di P sono (r,(), 'P) = (2v'2,~ ,
-i).
0
8.2 Vettori nel piano e nello spazio Introduciamo ora il concet t o di vettore e le principali op er azioni t ra vet tori ; consideriamo dapprima i vettori applicat i nell 'origin e e su ccessivamente qu elli applicati in un punta a rbi trario del piano e dello spa zio. 8.2.1 Vettori applicati nell'origine Consider iamo il piano munito di un sistema di coordinate ca rte siane or togonali. Una coppia (x ,y) E lR 2 con (x ,y) i- (0,0) defini sce un vettore v del piano applicato nell'origine, che si rappresenta come il segme nt o di est remi 0 = (0,0) e P = (x, y) orientato da 0 a P (l'orientamento vien e in genere indicato da una freccia avente la punta in P) ; si veda la Fi gura 8.3, a sinist ra.
P = (x , y)
/
p = (x, y, z )
o o
Figura 8 .3 . Vet tore del pi an o (a si nistra) e dello spazio (a destra)
8.2 Vettori nel piano e nello spazio
271
Le coord inate x e y del punt o P si dicono Ie componenti del vettore v (rispetto al sistema di coordinate ca rtesiane scelt o); si scrivera v = (x , y), identificando di fat t o il vettore v con la sua est remit a P . In modo del t utto analogo , si int roducono i vet to ri dello spaz io applicati nelI'origin e. Un vettore v di com po nent i (x , y , z ) -I- (0, 0, 0) si rappresent a come il segmento di estre mi 0 = (0, 0, 0) e P = (x, y, z) orientato da 0 a P (vedasi la Fi gura 8.3, a destra); scriveremo v = (x, y , z). Sia nel piano sia nello spazio, e conveniente introdurre il vettore 0 di componenti t utte null e, che ch iamia mo vet t o re nullo ; esso si rappresent a come il punt o origine 0 , privo di freccia. In qu esta mod o, i vet tori del pian o (rispe ttivame nte dello spazio) applicati nell 'ori gin e sono in corrisponde nza biunivoca con i punti di 1R2 (rispe ttivamente di 1R 3 ) . Nel seguito, sara conven iente considerar e i vettori applicati nell'origine senza dist inguere se siano del pian o 0 dello spa zio; il gener ico vet t ore v , di componenti (VI , V2 ) se vet tore del piano op pure (VI, V2 , V3 ) se vet tore dello spazio, sara indicat o come (VI , . . . ,Vd). II simbolo V indichera I'insieme dei vett ori del piano, oppure I'ins ieme dei vettori dello spazio. Una volt a fissato il punt o origine 0 , un vet tore e definito intrinsecamente (doe indipendentem ente dal sistema di coordinate cartes iane) dall a sua direzione , doe d alla retta passante per 0 su cui il vet t ore giace, dal suo verso , cioe dal verso di per correnza della ret ta risp et t o all'origine , e dal suo m o d u lo , doe dalla lungh ezza del segmento di estre mi 0 e P . Definiamo ora alcune ope razioni sui vet tori . Sian o v = (VI, "" Vd) e w = (WI , . .. ,Wd) due vet t ori . Chiamiamo somma di v e w il vettore v + w Ie cui compo nent i sono la som ma de lle componenti di ugu ale indice dei due vettori; ossia (8.3) Quand o si trattano i vettori, i numeri reali vengon o anche det ti scalari. Sia qu indi A E 1R; defini amo il p rodotto d ello scala r e A p er il v e t t o r e v come il vettore AV le cui com po ne nti so no il prod ot to di A per Ie compo nenti di v , vale a dir e (8.4) II vettore (-l)v viene indicato con - v e detto I'opposto di v . La differenza v - w di due vettori e definita come (8.5) Le usu ali proprieta della som ma e del prodot to (associa tiva , commutat iva, distribu tiv a , . . . ) valgono an che per tali operazioni, come si puo vedere ragionando com ponente per comp one nte. Le ope razioni or a introdot t e hanno un a semplice int erpret azione geomet rica. Se A > 0, il vettore AV giace su lla stessa ret t a su cui giace v , e orientato concordemente e ha modulo pari a A volt e il modulo di v (si veda la Fi gura 8.4); se A < 0, allora
272
8 Rappresentazioni del piano e dello spa zio
Q = (AX, AY)
AU/ / p
=
(x,y)
v
o Figura 8.4. Vet tori v e AV
'xv = - I'xl v = l'xI(-v) e dunque si applicano le considerazioni preeedenti con v sost it uito da -v. Dici am o ehe due vettori v e w sono allineati se w = 'xv per un qu alehe ,X -I- o. Diamo ora l'int erpret azione geomet rica della som ma di due vettori , v e w , non nulli . Se v e w sono allineat i, cioe w = 'xv , allora v + w = (1 + ,x)v e ancora allineat o con v e w . Altrimenti, v e w giaeeio no su ret te di st inte, rispettivam en t e Tv e T w , ehe si incontrano nell 'ori gin e. Sia II il piano individuato da t ali ret te (ovviamente, se v e w sono vettori del pi a no, II coincide ra con il piano stesso); i vet tori v e w indi viduano un parallelograrnrna in tale pi ano (si ved a la Figura 8.5) . Precisamente, se indichiarno con P l'estremo di v e con Q l'estremo di w , il par allelogr amma e defini to dalle rette T v , row , d alla retta p arallela a T w passante per P e dall a rett a parallel a a Tv pass ante per Q ; esso ha verti ci 0, P, Q ed R , essendo R il vertice opposto all' origine. Allora il vet t ore v + w e precisarnente la di agon ale 0 R del parallelogramrna, orientata da 0 a R . Modi equivalent i per ind ividuare l'estremo R di v + w sono qu elli di "rnuoversi" lungo due lati eont igui del par allelogramma: ad esempio, da P p ossiamo traeciare il scgm en to parallelo a OQ, di pari lunghezza e giaecnt e nello stesso semipiano , rispet to alla rett a T v , in
r
r
,, ,,, ,
,
r.; r" ,, ,
R " --+-,
, ,,
Q ""- -
_ - - -4
,
V +w
w
__.. / .... - -
v _ - - i
0,/ , ,
, ,, ,, , ,,
1"v
, ," P ,,, ,, ,,
Figura 8 .5. Rappresenta zion e geometrica del vet tore somma v
+w
8.2 Vettori nel pia no e nello spazio
,, ,, ,
R/
273
,,
-::'.,,
,
_ I- -
I
-- 9_~ __
,,
- - - '4 --
-
w
/ p - - - - --
• - ",,'-. E ~ , Ilv + wll ::::: [u]
II>,vll = 1>.lllvll ,
+ Ilwll ·
(8.6)
Un vet tore di modulo 1 vien e detto versore; geomet ri cament e, i versori hanno la loro est remit a P gia cente sulla cir conferen za oppure sulla sfer a di cent ro l'origine e rag gio 1. Dato il vettor e non nullo v , possiamo assoc ia re ad esso il versore v = I I ~II alline at o con v . Si ha elunqu e v = Ilv ll v, il che mostra che ogni vettore puo essere rappresentato come il prodotto della sua norma p er un versore. Defini amo infine l'operazione di prodotto scalare tra due vettori . Dati due vettori v = (VI, . . . ,Vd) e w = (WI, . . . ,Wd) , il loro prodotto scalare e il numero reale se d= 2, sed=3 . Valgono le seg uent i propriet a , eli facile verifica : p er ogni v , w , v!, V2 EV e >. , p, E si ha
v·w=w·v , (>'Vl + p,V2) . w = >'(Vl . w)
~,
(8 .7)
+ P,(V2 . w) .
(8.8)
Not ia mo poi che la norma di un vettore puo ess er e espressa mediante il prodotto scalare , essendo per ogni v E V Ilvll =
vv:v .
(8.9)
Vicever sa , per ogni v , wE V , si ha (p er la dimostrazione di ved a a pag. 278)
(8.10) il che permett e eli esprime re il prodotto scalare m ed iant e la norma . Vale inoltre la seguent e importante disuguaglianza , no t a come disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: per ogni v , wE V
Iv ,wl ::::: Ilvllllwl l·
(8.11)
8.2 Vet tor i nel piano e nella spaz io
275
R \
Q
\
--
\
\
v +w
\ \
w
P
v
o Figura 8. 7 . Rap present azione geometrica del Teorema di Pitagora Ancor pili precisamente , si puo scrivere
I
v ·w
= Ilvll llwll
cos O I
(8 .12)
e
dove misura l'a ngolo racchi uso t ra i vet tori v e w (si noti che il modo d i esprimer e l'angolo formato da i due vettori e ininfluent e risp etto a t ale form ula , essendo cos O = cos (- O) = cos(2n - 0)). Anche le relazioni (8.11) e (8 .12) saranno giustificate pili sot to. Med iante il prodot to sca lare, p ossiamo definire il concet t o d i ortogon alit a t ra vettori. Precisamente, d ue vettori v e w si dicono ortogonali se v·w =O;
la rappresen t a zione (8 .12) del prodotto sca lare mostra che d ue vet tori sono orto gonali qu ando uno di ess i e nullo oppur e qu ando l'angolo format o dai vettori e retto. Inoltre , ricorda nd o la (8 .10) , l'ortogonal it a d i due vet t ori v e w equivale all' ide nt ita
Ilv + wl1 2 = I vl12 + IIwl1 2 ,
ben not a a llo st ud ente come Teorem a di Pitagora (ved as i la Figura 8.7) . Se v e un vettore e u e un versore, la co m p o nent e di v lungo u e il vet tore
I
Vu
= (v · u ) u ,
mentre la c o m p o nen te di v ortogonale a u
I
e il vettore
Si ha dunque la rappresentazione d i v con
(8 .13)
det t a d ecomposizione ortogonale di v rispetto al versore u (ved asi la F igura 8.8) .
276
8 R app resentazioni d el piano e dello spaz io p
-o Figura 8 .8. Decomposizi on e ortogonale d i un vettore v rispetto a un versore u
Esempi 8.4 i) I vet tori v = (1,0, J3) e w = (1,2, J3) hanno modulo risp ettivamente ugu ale a
°
Ilvll = Vi + + 3 = 2,
Ilwll = VI + 4 + 3 = 2V2 ;
°
il lora prodotto scalare vale v . w = 1 + + 3 = 4. Volendo inol tre calcolare l'an golo form ato dai due vettori, possiamo ricavare d all a (8.12)
V2
v ·w
cos () = -------
Ilvll llwll
e dunque () = ~ . ii) I due vettori v
2
= (1,2 , -1) e w = (-1 ,1 ,1) sono tra loro ortogonali in qu anto v ·w= -1+2-1=0.
iii) Consideriamo il vers ore u risulta
= ( ~ , ~,- ~) . 1
1
J3
J3
Dato il vettore v
=
(3,1 ,1)
v·u = V 3 + - - - =V3
e dat a da = V3(~, ~ , - ~) = (1,1 , -1) ,
e dunque la component e di v lungo u vu
mentre la comp onent e ortogonale vale
E facile verific ar e che
= (3,1 ,1) - (1,1 , - 1) valgono le (8.13) .
v u ""-
= (2,0,2) . o
Introduciamo i versori dello spazio i = (1,0,0) , j = (0,1 ,0) e k = (0,0,1) , che sono allineat i risp et tivamente con gli assi x , y e z del sistema di riferimento car te siano (ved asi la Figura 8.9) ; t ali versori ven gono anche indicati con e l , e2, e3. E immediat o verificare che essi sono a due a due ortogon ali, cioe
i ·j =j ·k=i ·k =O ;
(8.14)
8 .2 Vettori ne l pia no e nello spazio
277
z
k i /~ ,
/ j~1i Figura 8.9 . Versori i ,j e k si d ice che i , i , k formano un sistema ortonormale in V (cioe un ins ieme d i vettori a d ue a due ortogonali e aventi modulo, 0 norma, ugu ale a 1) . Sia ora v = (VI , V2 , V3) un qualunq ue vet tore della spazio. Dalla definizione delle operazioni tra vettori , si ha
v = (VI ,O,O)
+ (0,V2, 0) + (0,0,V3)
= VI (1, 0,0)
e per t a nt o
Iv
=
+ V2(0, 1, 0) + V3( 0, 0,1)
vIi
+ v2j + V3 k · 1
Cio mostra che ogni vettore della spazio puo essere rappresentato come combinazione lineare dei versori i , i e k ; si dice che essi for mano una b a se ort onormale di V . II prodotto scalare di v con ciascuno dei vettori ortonormali i , j e k fornisce un 'espres sione de lle componenti di v, essendo
VI = v · i ,
V2
= v ·
i.
V3
=
v · k.
In definitiva, il generico vettore v E V ammette la rappresent azione
v
=
(v · i) i + (v · j ) i + (v · k ) k .
(8.15)
Analogamente, i vettori del piano ammettono la rappresentazione
v=(v· i)i+(v ·j) j , rispctto alIa base ortonormale costituita da i
= (1, 0) e j = (0, 1) .
Dimost razi o ne di alcune proprieta precedenti Dimostrazione. Per quanta rigu ard a la (8.6) , la prima ugu aglian za segue facilme nte dalla dcfinizione di norma ; la seconda disuguaglian za segue da tale uguaglian za se v e w son o allineati, mentrc traduce la nota pr oprieta che in un t riangolo la Iunghezza di un lato e minore della sornrna de lle Iun gh ezze degli altri du e lati , se i vcttori non sono
278
8 Rappresentazioni de l piano e de llo spazio
a lline a t i. Infat ti , con r iferime nt o al t r ia ngo lo OPR della Fi gura 8.5, si ha Il v + w ll = lO R I, Il vll = IO PI e Il wll = IPR I· La formula (8.10) si ottien e sv ilu p pand o Ia quantita Il v + w l12 me d iante la (8.9) e le (8.7) , (8.8) , com e Il v
+ w l12 =
(v + w ) . (v + w ) =v ·v +w ·v +v ·w +w·w
=
II vl1
2
+ 2v
.w
+ Il w11
2
(8.16 )
.
La disu gu aglian za di Cauchy-Schwa rz (8.11) pUG essere ottenuta partendo d all a secon da delle (8.6) , scr itta corne Il v+ w 112 :s; ( 11vII + Il wl l) 2. Usando l'id entita preced en t e a primo membra e svolgend o il qu ad r ato a secondo membra, si ottiene v . w :s; Ilv 1I IIw II, che e la (8 .11) nel caso in cui v . w ~ O. Se invece v . w < 0, e sufficiente ca m bia re v in - v , ottene ndo
Iv, w i = - v· w = (- v) · w :S; 11- vll llw il = Il vlll lwll · Dimost ri amo infine la (8. 12). Siano v e w vettori non nulli (a lt ri rnen ti la rela zione e banalmen t e ver ificata p er og ni valore di B). Non e restrit ti vo SUpp OITC B so d d isfacente 0 :s; B :s; tt . D ctto u = w = I I ~ II il versore ass oc ia t e a w , la com ponente di v lungo u si scri ve com e v ·w (8 .17) u. v U= M Sup po nia mo dapprima B ac uto, cioe 0 < B < 1r / 2. Cons iderand o il tria ng olo rettangolo OP' P (ved asi la Fi gu ra 8.10, a sinis tra) si ha Ilv u ll = IO P 'I = IO Pl cos B = Ilv ll cosB ; essend o V u conc or de con u , ot t eni amo (8. 18) V u = Ilv ll cos Bu .
Q
p
Figura 8.10. Proiezione del vettore v lungo iI vettore w (angolo tra i vettori a cuto, a sinistra, e ottuso , a dest ra )
8.2 Vettori nel piano e nella spazio
279
Se (j eot tuso, 7f/ 2 < (j < tt ; eonsicleranclo anco ra il triangolo 0 p i P (vedasi la F igura 8.10, a clest ra) si ha Ilv"II = IlvII eos (tt - (j ) = - llvII eos (j ; essendo ora v " discorde eon u , si ot tiene nuovarnente la (8 .18) . Anehe nei casi est remi (j = O, 7f/2 , 7f si giunge fac ilme nt e alia rneclesim a rela zione . Uguaglia ndo i seco ndi membri delle (8.17) e (8.18) , e osservando che AV = JLV equiva le a A = JL se v =1= 0, si pcrvi en e all'ug uaglianza v ·w M = Il vll cos (j
da cui otteniarno la (8. 12).
D
8.2.3 Vettori applicati in un punto
In molte applicazioni, e utile il concet to di vet tore applica to in un punta arbit rario del pi ano 0 della spazio (si pensi ad esem pio a un a forz a , rappresentabile come un vettore, che agisce su un punta mater ialc). Tale concet t o puo esser e definito nel seguente modo . Sia v un vet t ore non nullo del piano di componenti (VI ,V2 ) e sia Po un punto qual un qu e del piano, di coord inate (.'1:01 , X02). Definiamo il punto H di coor d inate (xu , X1 2) = (:1:01 + VI , X02 + V2 ) (si ved a la Figura 8.11). II segmento PaP!, orien t ato da Po e PI , e parallelo a l vet tore v ed e orientato in modo con corde . Diciamo che esso rappresenta il vettore v applicato in Po, e 10 indichiamo con (PO , v) . Viceversa , dato un qual un que segm ento di estremi Po = (XOl , X02) e PI = (XU , X12) , or ientato da Po a PI , definiamo il vettore v di compone nt i (VI ,V2) = (xu - XOl, X1 2 - X02 ). Allo ra il segm ento conside rato definisce il vet tore v ap plicato in Po. In defini t iva , da un punto di vista matematico, un vettore applicato del piano e una coppia (Po, v) la cui prima com ponente e un punta Po del piano, detto punta di applicazione, e la cui seconda comp onente e un vet tore v applicat o nell 'origine. Nell' uso comune , p ero, il vettore ap plica t o (Po, v) verra indicato semplicem ente con v, precisando pero il punto di ap plicaz ione Po. Analogh e definizi oni valgono nella spazio .
Po
---
-----;
(Po,v )/
o Figura 8.11. Vet tore v applicato in Po
280
8 Rappresentazioni del piano e dello spazio
Le ope raz ioni sui vettori (applicati nell'origine) introdot t e nei paragrafi preceden ti possono essere estese in mod o ovvio a i vettori a pplica t i in UIl O stcsso pun to. Ad esempio, dat i i vettori (Po, v) e (Po, w ) applica t i in Po, il vet tore somrna (Po, v ) + (Po, w ) sara defini t o come il vet tore (Po, v + w ) a nco ra applicato in Po. Non sa na invece defini te op er azioni t ra vet tori ap plicati in punt i di ver si.
8.3 Numeri complessi E ben nota che non t utte Ie cquazioni a lgebriche
p(x ) = 0 (d ove p e un polinornio di gr ado n nella variabile x ) ammet t ono soluzioni in campo reale. Ad csem pio la scmplice equazione X Z + 1 = 0, ossia (8 .19) corrisponde nte all'estrazion e della radice quadrata del numero negativo - 1, non risolubile in 1R; 10 stesso accadc per la generica cquaz ione di seco ndo grado
ax 2
+ bx + e =
e
(8.20)
0
qualor a il dis criminante L1 = bZ - 4ae sia negativo. Tanto nella matematica pu ra qu an ta in qu ella applicat a , risul t a utile poter gara nt ire l'esistcnza di soluzioni, oppor tunamen te definite, eli ogni equaz ione a lgebr ica. A tale sco po , I'insiem e dei numeri reali dota to delle ope raz ioni di som ma e prodot t o puo esserc am pliato, int roelucendo il cosiddetto insiem e dei numeri complessi , estende ndo nel contempo tali ope razioni e conservandon e Ie pr opriet a formali . E rim arch evolc il fatto che c sufficiente effett uare tale am plia rncnto in modo da gara nt ire la risolubi lit a dell'equ azione (8 .19) p er ott en ere, attraverso un profondo risult a to noto come Teor em a Fondam entalc dell 'Al gebra, la risolubilita di ogni equazione a lgebrica . 8.3.1 Operazioni algebriche Un numero co m p lesso z puo essere definito come una copp ia ordinata z = (x, y) di num eri reali x e y . Indichcrcmo con C I'in sieme eli tali coppie, che quindi puo essere identificato con I'insiemc IR z . I numeri reali x e y sono d etti rispettivamente p arte r eale c parte immaginaria di z e in dicati con :r
= 'Re z
e
y
=Im z.
II sot toins ieme dei numeri com pless i della forma (x , O) puo esse re idcntificato con I'i nsieme dei numeri rea li 1R; in tal sense , scr iviamo IR c C. Numeri compless i della forma (0, y) sono invece detti immaginari pur-l. Diremo che d ue numer i corn p less i Zl = (Xl, yd e Zz = (xz , yz) sono ugu ali se hanno le stesse parti reali e immaginari e, ossia Xl
= Xz
e
Yl
= yz .
8 .3 Num eri com pless i
281
In C, definiamo le operazioni di SOIIlma e prodotto come Zl
+ Z2 =
Z l Z2
yd + ( X 2 , Y2) = ( Xl + X 2 , Yl + Y 2) = (Xl , yd ( X2 , Y2) = (X l :[;2 - Yl Y2 , X l Y2 + X 2 yd · ( Xl ,
(8.21) (8.22)
Osserviamo che
(X,O) + (O ,y) = (x ,Y), e quindi
(X, y)
(O ,l)(y,O) = (O,y)
= (x ,O) + (0, 1) (Y, 0) .
(8.23)
Inoltre le (8.21) e (8.22) diventano Ie usu ali op erazioni di somm a e prodotto quando sono ristrett e a i numer i reali :
e In t al senso, l'insieme dei numeri complessi e un'estensione naturale dell 'insiem e dei numeri reali . Denotiamo con i il numero immagin ario puro (0,1). Id en tificando il numero complesso (r ,O) con il numero reale r , possiamo riscrivere la (8.23) nella form a
I detta forma cartesiana Osserviamo che
Ii
Z
=
X
+ iy , I
0
algebrica del numero complesso
2
= (0, 1) (0, 1) = (- 1, O) = - 1 ,
Z
= (x , y).
I
e quindi il numero complesso i e soluzione dell'equazione (8.19). Usando la forma cartesiana di un numero cornplesso, Ie operazioni di somm a e prodotto (8.21) e (8.22) diventano
(8.24) (8.25) come si ved e e sufficiente operare con le usuali regole dell'algebra, t en endo conto della relazione i 2 = - 1. Elenchi amo di seguito a lcune proprieta della somma e del prodotto, lasciando la facile verifica allet tore; per ogni Z l , Z2 , Z3 E C. si ha Zl
+ Z 2 = Z2 + Zl , + zd + Z3 = Z l + ( Z2 + Z3 ) , ( Z2 + Z3 ) = Z l Z2 + Z l Z3 .
( Zl Zl
Z l Z2
=
Z2 Z l ,
( Zl Z2 ) Z3
= Z l ( Z2 Z3 ) ,
282
8 Rappresentazioni del pi an o e dello spa zio
I numeri 0 = (0, 0) e 1 = (1, 0) sono risp etti vamen t e I'identi t a additiva e moltiplica tiva , in quanta soddis fa no
z + o= o+ z = z
z 1 = 1 z = z,
e
Vz E C .
L' o p p ost o (addit ivo) di z = (x , y) e il numer o - z = (- x , - y); ovvero si ha z + (- z ) = O. Utilizza ndo tale nozione possiamo definire, p er ogni Z l, Z2 E C , la sottrazione: ovve ro Xl
+ i Yl
- (X2 + iY2)
= Xl
- X2 + i (Yl - Y2) .
Il reciproco (moltiplicativo) di un numero z i= 0, indicato con ~ oppure definito dalla relazion e zz - l = 1; non e difficile verifi care che 1
- = Z
Z
- 1 X
2
X
+ Y2
Defini am o dunque la divisione, per ogni
+.
Z
Z l , Z2
x2
- Y + Y2
E C con
Z - l,
e
.
Z2
i=
0, come
Infin e, sott olineiamo che l'usu ale ordinamen to dei numeri reali non e este ndib ile all'insieme dei numeri complessi, in mod o da co nse rvare t utte le pr op riet a elenca te nel P ar agrafo 1.3.1. 8.3.2 Coordinate cartesiane
E na turale associare al nu mero z = (x, y) = x + i y il punt a del pian o ca rtesiano di coo rdinate x e y (si veda la Figura 8.12) . Il numer o z puo anche essere pen sa to come il vettor e applicato nell'ori gin e e avent e talc punt o come est remo. L'asse x e det to asse reale e l' asse y asse immaginario . Osserviamo che, dati Z l , Z2 E C , la somma Zl + Z2 corrisp onde al vet to re som m a ottenuto m edi ante la regola del Tm z
z= x
+ iy
~ - - - - - - - - - - - - - -
x
y
Re z
Figura 8.12. Coord inate ca rtesia ne del nu mero co m plesso z
= x + iy
8.3 Numeri complessi
Tm z
283
I rn z
~'
Z j
Re z
Figura 8 .13. Rappresentazione grafica della somma (a sinistra) e de lla differ enza (a destra) di due n umeri co m plessi Zl e Z 2
parallelogramma (si veda la F igura 8.13, a sinistra) , me ntre la differenza Zl - Z2 e rappresentata d al vettore differenza (si veda la Figura 8.13, a dest ra). I l modulo (0 valore a ssoluto) di Z = x + iy, denotato con [z], e il numero positivo
che rappresenta la distanza de l punta (x , y) dall'origine; si osservi che t ale definizione coincide con quella di modulo del vet tore v associat o a z , vale a dire Izi = Ilvll. Si osservi ino ltre che il modulo di un numero complesso coincide con il valore assoluto quando il numero e rea le, il che giustifica la not azione usata. Notiamo che , mentre l'affermazione Zl < Z2 non ha in generale sign ificato, la diseguaglianza IZl l < IZ21significa che il punto corrispondente a Zl e pili vicino all'origine del punta corrispondente a Z2. La dista nza tra i punti corrispondenti a Zl e Z2 e data da IZl - z2 1 . Per ogni Z E C, si ottengono facilmente le seguenti relazioni:
Izi ~ 0 ; Izi = 0 se e solo se Z = 0; IzI 2 = ('Rez)2 + (Imz)2 ; 'Rez ~ l'Re zl < Izl , I m z ~ IImzl ~ Izl ; Ilzl l-l z211 ~ IZl + z21 ~ IZll + IZ21· Il complesso coniugato, 0 sem plicement e il coni ugato, di un numero complesso z = x + iy , indicato con Z , e definito come
IZ = x -
iy · 1
(8.26)
Graficarnente il coniug ato Z e rappresentato dal punta (x , - y ) che si ottiene mediant e riflessione rispetto all'asse real e del punta (x,y) . Per ogni Z,Zl ,Z2 E C, valgono Ie seg uenti proprieta
284
8 Ra ppresen t azioni d el p ian o e della s pazio z
Izl = [z]:
=z,
(8. 27)
E im medi a to
ver ifica re che , p er og ni z E O. Ri cordando 10 sviluppo del quadrato di un binomio, possiamo scrivere
0= z
2
b + -z + -ac = a
2
ossia
(z
2
b z + - b ) + -C - - b ( Z 2 + 22a 4a 2 a 4a 2 b
+ 2a
)2
L\
= 4a 2
< 0;
'
8. 3 Nu m er i co m plessi
dunque otten ia mo
. V-
b
z+- = ±z- 2a
cioe Z=
289
L\
2a
-b ±iy'=;1 2a
. e puo, esse re sc ntta . com e T a Ie espression
Z
=
- b±
2a
V::1 , .m
' con 1'1 caso d'1 anaI ogia
di scriminante ~ 0. Notia mo che il p ro cedimen to segu ito puo esse re ap plicat o a nc he nel caso in cu i i coefficient i a =I 0, b e e siano numeri co m plessi, P ert ant o I'espression e
z=
- b ± V b2 2a
-
4ac
definisce Ie due soIuz ion i dell'equazione di secondo grad o a z 2 + bz + c = 0, nella sit uazione pili genera le p ossibile, Le equazion i algeb riche di terzo e quarto grado ammcttono rispet t ivamen t c tre e quattro so Iuz ion i (co ntate con Ie opportune molteplicita ) ch e so no es prim ibili in forma es p licita m edi ant e Ie op erazioni algebriche e l'estrazione di radici qu adrate c cu biche ' , No n esist e invece una esp ressio ne a na lit ica per lc so Iuz ioni di equaz ion i di ordine su p eriore a l q uarto . II Teorem a Fondarn en tal e dell 'A Igebra garant isce pero che ogn i equ az ione alge b rica p(z ) = 0, dov e p un polin ornio di gr ado n a coe fficienti rca li 0 complessi, a m m et te esa ttame nte n solu zioni in cam p o cornplesso , ciascu na con I'op p or tun a rno ltep licita. L' en u nci ato prcciso e il segu ente.
e
T eorema 8.6 Sia p(z) = a"zn + ... + 0lZ + (Lo, can an =I 0, un polinornio :S k :S 11. Allam esistono TTl :S n di qrado n avente coefjicienti Ok E C, tiumeri complessi Zl . . . . . Zm, distinti ira loro, ed U] numeri interi Ill, . ... Jim maqqiori a uquali ale soddisjacenti Jll + ... + /1m = 11, tali cite p(z) si [aitorizza come
°
1
Ad esem p io , I'equazione di t.erzo gr ad o x 3 + a:r 2 + bx+ c = 0 si riduce co n la sost it uz ione x = y - fr a ll'e q ua zione y 3 + py + q = () p er opportuni coefficient i p c q fac ilm ente ca lcolab ili. Le so luz ion i d i t al e eq uazione so no es press e dall a formula
nota co m e for mu la di C ardano . P oich e og ni est razione di rad ice fornisce un numero di so luz ion i (event u a lm ent e coin cide nt i) pa ri a ll'o rd ine (2 0 3) d ella rad ice , apparent crn cn t e tale formul a fornisce fino a 12 so luz ion i; tutt avia , e possibile ver ificarc che Ie solu zion i di stinte so no a l pili 3 .
290
8 R appresentazion i del piano e dello spazio
I numer i
sono le radici del polinomio p , ossi a le uniche soluzioni dell 'equazione e la rnolteplicita dell a radice Z k. Una radice si di ce semplice se la sua molteplicit a e 1, doppia se la su a molteplicit a e 2, e cosi via. E opportuno osservare che se i coefficient i di p sono reali e se Zo e una radice complessa del polinomio, allora anche Zo e una radice di p. Infat ti se p(zo) = 0, allora, prendendo il coniugato di amb o i m embri e usando le proprieta del passaggio al coniugato in una somma 0 in un prodotto (vedasi le (8.27)) , otteniamo Zk
p(z) = 0; l'esponente ILk
0= 0 = p(zo) = anzg
+ ...+ alZO+ 0,0
= anzg
+ ...+ al zO + ao =
p(zo) .
Pertanto p(z) e divisibile per (z - zo)(z - zo), che risult a essere un t rinom io di secondo grado a coefficient i reali . Un enunciato del Teorema Fondamentale dell 'Algebra, valido per i polinomi a coefficient i reali e che non fa intervenire la variabile complessa , e fornito nel Teorem a 9. 15.
8.4 Curve nel piano e nello spazio Ritorniamo ora allo studio di funzioni ed in particolare introduciamo il concetto di curva nello sp azio e nel pi ano. Un a curva descrive, ad esem pio, il modo di per correre il bordo di un a regione piana Quale un poligono 0 un ellisse, oppure la traiettoria det erminata dal movimento in fun zion e del tempo di un punta m at eri ale sott o l'effetto di una forza ad esso applicata. Come vedremo nel Capitolo 10, e possibile definire un calcolo integrale sull e curve . Cio perrnettera, ad esempio, di esprimere matem aticament e il concet t o fisico di lavoro. Sia I un qu alunque int ervallo della retta reale e sia , : I ---+ lR3 una funzione. Indichiamo con ,(t) = (x(t) , y(t) , z(t)) E lR 3 il punta immagine di tEl at t raverso I- Diciamo che , e una funzione continua su I se le comp onent i x , y, z : I ---+ lR sono funzioni cont inue. Definizione 8.7 Una [un zionc continua , : I ~ lR ---+ lR 3 dicesi curva (ne llo spazio) . L 'irnrnagine C = ,(I) ~ lR 3 uiene delta sostegno della curua. Se il sostegno della cur va giace su un piano, diremo che la curva e piana. Un caso notevole e dato dalle curve ,(t) = (x(t), y(t) , 0) che giacciono nel pi ano x y e che indicher emo semplicemen t e come ry : I ---+ lR2 , ,(t) = (x(t) ,y(t)) . Not ia mo che un a curva e una funzi one di var ia bi le reale mentre il sost egno di una curva e un insieme nello spazio (0 nel piano) . Una curva defini sce un modo di par ametrizzare il suo sostegno associando ad ogni valore del par ametro t c t uno e un solo punta del sostegno. Tu ttavi a l'insiem e C puo esse re il sostegno di cur ve diverse, ovvero puo essere parametrizzato in modi diver si. Ad esem pio la curva piana ,(t) = (t , t) con t E [0,1] ha come sostegno il segm ento di est re mi A = (0,0) e B = (1,1) . Tale segme nt o e anche il sostegno della curva 8( t) = (e , t 2 ) , t E [0, 1];
8.4 Curve nel piano e nello spazio
291
I( b)
I(a )
Figura 8.17. R appresent azione grafiea del sostegno C
= Ina , b]) di un a rea sempliee (in a lt o a sinistra), un are a non se m pliee (in a lto a destra) , un area ehiuso e sem pliee (in basso a sinistra) e un a rc o ehiuso non sempliee (in basso a destra)
le cur ve , e 8 cost it uiscono due par am etrizzazioni del segment o AB . Il punto med io di AB, ad esempio, e individuato dal parametro t = ~ nel primo caso e t = nel secondo. La eurva , si dice sempliee se , e un 'applicazione iniettiva, ossia se valori diver si del parametro individuano punti diversi del sost egno. Se l'intervall o I = [a , b] e chiuso e limitato, come negli esempi precedenti , la curva v si chia mera areo. Un area si dice ehiuso se ,(a) = ,(b) ; ovvi amente un arco chiuso non e una curva semplice. Tu ttavia , si parla di area ehiuso e sempliee (0 area di Jordan) se il punto ,(a) = ,(b) e l'unico punto del sost egno ad essere immagine di due valori diversi del param etro. La Figura 8.17 illustra diversi esempi di archi. Come per le curve, vi e differ en za concettuale tra un arco e il suo sostegno. Va tuttavi a detto che frequentemente si indica con il termine 'arco' un sottoinsieme del piano 0 dello spazio (ad esem pio si parla comunemente di 'arco di circonferenza ') ; in t al caso vien e sot t intesa una parametrizzazione dell'oggetto geometrico, solit amente de finita nel modo pili naturale.
1
Esempi 8.8 i) La curva piana e semplice
,(t) = (at .
+ b, et + d) , .
ha com e sostegno la retta di equazlOne y
=
t e - x
a
a
E ~,
i- 0 ,
ad - be
+ --a
292
8 Rapprcsent a zion i del pi ano c dell a spazio
Infatti , posto :r
= x (t ) = at + b ey = yet) = et + d, a bb iam o t = x - b, d a cu i a
ad - be y = -(x-b ) +d= - x + . a a a c
e
ii) La eurva
'"Y(t) = (:r( t) , y(t)) = (1 + cos t , 3 + sin t ) ,
t
E
[0 ,21r],
ha eome sostegno la circ on fere nza di centro (1 ,3) e r ag gio 1; infatti vale la relazione (x(t) - 1)2 + (y(t) - 3) 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1. Si t ratta d i un a rc o ch ius o e sem p lice e cos t it uisce il modo pili naturale p er p a rametrizzare t al e circ on fere nza p ercor rendola in sens o a nt iorario a parti re dal punto (2 , :~ ). In gen er ale l'arco chiuso e sem p licc
'"Y(t) = (x(t) , y(t)) = (xo + r cos t , Yo
+ r sin t) ,
t E [0, 21r] ,
h a come sos tegno la circ on fere nza centrata in (x o, Yo) di raggio r. Si osservi che se t varia in un intervallo d i tipo [0, 2k lr], con k intero positivo 2: 2, l'arco h a an cor a come sos tegno la circ on fcrenza rna essa vienc percorsa k volte; dunque l'ar co non e sem plice. Se invece t varia nell 'int ervallo [0 ,1r], la corrispondente curva circ onfere nza ) sernplice rna non ch iuso.
e un
a rc o (di
iii) Sirnilrnente, as segn ati a , b > 0 , l' arco chiuso e sem p lice
'"Y(t) = (x(t) ,y(t)) = (aco st ,bsint) ,
t E [0 ,21r] ,
pararnetrizza l'ellisse centrat o nell 'o rigine e con sem iassi a e b. iv) La curva
'"Y( t) = (x(t) , Yet)) = (t cost, t sint).
t
E [0, +(0 ) ,
ha com e sostegno la sp irale rappre senta ta in Figura 8.18, a sinistra , che viene p er corsa in sen so a nt iora rio a p artire dall'origine. Infatti il punto '"Y(t) ha di stanza 2 (t ) + y2(t) = t , ch e cresc e a l cr escer e di i : La curva e d all 'origine uguale a semplice.
J:r
v) Siano P = (xp, yp , zp ) e Q cu rva sernp lice
=
(:1:Q , YQ , zQ) punti di stinti della sp az io. La
'"Y(t) =P +(Q -P) t , t E JR , ha com e sost egno la retta passante p er P e Q. Infatti '"Y(O) = P , '"Y(1) = Q e il vettore '"Y(t) - P h a direzione costantc cssendo p arallclo a Q - P. Una pili gene rale parametrizzazione d ell a st essa retta
e data d a
P + (Q - P) t - to , t E JR, tl - to con to =I- tl ; in tal caso si ha '"Y(t o) = P , '"Y(td = Q. '"Y(t)
=
vi) La cu rv a sernplice
'"Y(t) = (:r(t) ,y(t) , z(t)) = (cos t , sint , t),
t E JR ,
(8.40)
8.4 Curve nel piano e nello spazio
293
/
Figura 8 .18. R appresentazione della sp ira le e dell 'eli ca circolare d efinite ne gli Esempi 8.8 iv) e vi)
ha come sost egno l' elica cir colar e rappresentata in Figura 8.18, a destra. Si noti che il sostegno giac e sul cilindro infinito di asse coincide nt e con l'asse z e raggio 1, ovvero l'insieme {( x ,y, z) E]R3 : x 2 + y2 = 1}. D Diremo che una curva , : I ----+ ]R3 e derivabile se le su e componenti x , y , z : I ----+ ]R sono fun zioni derivabili su I (ricordiamo che una fun zione e derivabile su un int ervallo I se e derivabile in tutti i punti interni ad I ed e derivabile unilateralmente negli event uali est re mi appartenenti ad 1). Indichiarno con " : 1----+]R3 la funzione derivata ,'(t) = (x'(t) ,y'(t) , z'(t)) . Definizione 8.9 Una curva , : I ----+ ]R3 dicesi regolare se e deriva bile S11 I con derivata conti nua (ovvero le compone nti sono ju nzioni di classe C1 su I ) e se ,'(t ) i- (0,0,0), per ogni t c: L. Una curva , : I ----+ ]R3 dicesi r e go la r e a tratti se I !inito di intervalli su cui, e reqolare.
e un ion e di uti numero
Se, e una curva regol are e se to E I , il vet tore ,'(to) dicesi vettore tangente al sostegno della curva nel punto Po = ,(to) . Tale definizione puo essere giustificata geometricamente nel modo segue nte (si veda la Figura 8.19). Sia to +.:1t E I t ale che il punto PL1t = ,(to + .:1t) sia diverso da Po. Consideri amo la retta passante p er Po e PL1t ; ricordata la (8.40) , t a le retta puo esser e parametrizzata come S(t)
=
R
o
+ (pL1t -
R ) t - to 0.:1t
= 'V(t0 ) + ,(to + .:1t) .:1t I
,(to) (t - t ) 0
•
(8.41 )
Facendo tendere .:1t a 0, il punta P L1t t ende a Po (nel senso che ogni comp one nte di P L1t t ende verso la corrispondente componente di Po) . Nel contempo, grazie ,(to + .:1t) - ,(to) a ll'ip ot esi di regol arita di " il vettore a = rr(to, .:1t) = t ende .:1t
294
8 Rappresentazioni del piano e dello spazio
I
" T (t) /
I
I I
,,
S(t )
,/
I I I
I I
I
Figura 8 .19. Vettori tangente e secante a una curva nel punto Po
a ,'(to ). Dunque la posi zione limite della retta (8.41)
T(t)
=
e la rett a
,(to) + , '(to)(t - to),
t
E
ITt ,
tange nte al sostegno della cur va in Po . A rigore, il vet tore t angent e al sostegno in Po
e il vettore applicato (Po,,'(to)) (si veda il P aragrafo 8.2.3) , rna comunemente 10 si
indica sempliceme nte con ,'(to). Si puo verificare che la re tta t an gente al sostegno di un a curva in un punto e intrinseca al sostegno, cioe non dip ende dall a paramet rizzaz ione scelt a ; invece il vettore t angente d ipende dall a p arametrizzazion e pe r qu anto rigu ard a modulo e ver so. Da un punto di vista cinemat ico, una curva rappresent a la t rai ettoria di una particella che al tempo t occupa la posizione ,(t) nello spazio. Se la cur va e regolare, il vet tore ,'(t) rappresenta la velocita della particella al t empo t. Esempi 8.10 i)
E facile ver ificare che tutte le cur ve cons ide rate negli Esem pi 8.8 sono regolari .
ii) Sia ! : I
-->
ITt un a fun zione derivab ile con cont inuita sull'inte rvallo I ; la curva ,(t) = (t ,!(t)) , t El ,
e una curva regolar e avente come sostegno il grafico della
fun zion e ! . Si osservi
infatti che
,'(t) iii) L' ar co , : [0,2]
= (1 , !,(t)) -I-
(0,0) ,
per ogni i
et
.
--> ]R2
,(t) = {(t ,l) , t E[O,l), (t,t) , t E [1 ,2]'
e una param etrizzazione della p oligon ale ABC (si ved a la Figura 8.20 , a sini stra) ; invece l' arco
8.4 Curve ne l piano e nello spazio
A
o
295
A
1
o
2
2
Fig ura 8 .20. Poligonal e ABC, a sinistra, e ABCA , a des tra, definite nell'Esempio 8.10 iii)
,(t)=
{
(t,I) ,
tE [0,1),
(t ,t) ,
tE [I,2) ,
(t ,2 -~(t -2)) ,
tE[2,4]'
e Una
paramet r izzazione della poligonale ABCA (si veda la F igura 8.20, a dest ra ). E ntrambe le curve sono rego lari a tratti. iv) Le cur ve
,(t) ;;Y(t)
+ v2 cos t , v2 sin t) , t E [0,27f], = (1 + v2cos2t, -v2sin2t) , t E [0,7f] ,
= (1
SOnO due parametrizzazioni (la prima ant ioraria, la seconda oraria) de lla stessa circonferenza C , avente centro in (1,0) e raggio V2. Ess e sono regolari e le loro derivat e sono date da
" (t) = v2 ( - sin t , cos t ) ,
;;y'(t) = 2v2 ( - sin 2t, - cos 2t) .
11 punto Po = (0,1) E C e immagine mediante, del valore to = ~7f del paramet ro e mediante ;;Y del valore to = ~7f del parametro, ossia Po = ,(to) = ;;y(to) . Nel primo caso il vettore tangente e" (to) = (-1 , - 1) e la retta tangente a C in Po e data da
T(t)=(0, 1)-(1 ,1) (t -
333 -t+ ,1 -t+
47f)=(
47f
47f) ,
mentre nel secondo caso si ha ;;y'(to) = (2,2) e 5 5 5 T(t) = (0,1) + (2, 2)(t - 87f) = (2(t - 87f), 1 + 2(t - 8 7f)) ,
tElR ,
t E lR .
I vettori tangenti in Po hanno verso e lunghezza diversi , rna la retta tangente stessa. In effetti, ricordando l'Esempio 8.8 i), in ent rambi i casi si ottiene y = 1+x. D
e la
296
8 Rappresentazioni de l piano e dello spazio
8.5 Cenni aIle funzioni di pili variabili Nei capitoli precedenti , abbiamo studiato funzioni reali di u n a variabile reale , ossia funzioni definite su un sottoinsieme della retta re ale lR (ad esempio un intervallo) a valori in R Vogliamo ora est ende re alcuni dei concetti vis ti in precedenza, ed introdurne di nuovi, relativamente alle funzioni re ali d i due 0 tre variabili r e ali , va le a dire Ie funzioni definite su un sottoinsiem e d el piano lR2 0 dello sp azio lR3 a valori in lR. Le funz ioni che considereremo si scr ivera n no dunque come
j : dom j ~ lR d
-+
(d = 2 oppu re 3) ,
lR
Xf---+j(x) .
Q ui x ind ica il generico elem ento di lRd , vale a dire la coppia x = (XI , X2) se d = 2 oppure la terna x = (XI, X2, X3) se d = 3 ; talvolta per semplicita scriveremo (XI ,X2) = (x,y) e (XI, X2, X3) = (x,y ,z) ; indicheremo ino ltre le coordin ate di x con (XI , .. . , .'rd) quando non e necessario precis are se d = 2 oppure 3. Ricordiamo che ogni x E lRd e univocamente associato a un punto P nel piano o nello spazio, le cu i coo rdinate rispetto a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale sono le componenti di x. A sua vo lta, P indiv idua un vettore applicato nell'origine, di com p one nti XI , . . . ,Xd; p ertanto, l'elem ent o x E lRd puo essere pensato com e tale vettore. In lR d sono dunque definite le operazioni di somma x + Y = (XI + YI , .. . ,Xd + Yd), di prodotto AX = (AXI , . . . , AXd) e di prodotto scalare x . Y = XIYI + ... + XdYd gia introdotte e studiate per i vettori. Inoltre e definita la norma euclidea [rc] = )xi + .. .+ x~ , che rappresenta la distanza euclidea del p unta P di coordinate x dall 'origine O. Si not i ch e la quantit a IIx - yll = )(.'rl - YI )2 + ' " + (Xd - Yd)2 rappresenta la distanza t ra i due p un ti P e Q d i coordinate x e y rispettivamente.
8.5.1 Cont.inuita Mediante il concetto di dis tanza, possiamo d efin ire gli intorni di un punto in lR d e quindi est en de re i concetti di continuita e lim it e a lle fun zioni di pi li variabili .
Definizione 8.11 Sia XQ E lR d e sia r intorno di XQ di raggio r l'insierne
> 0 uti numero reale. Chiamiarno
costiiuito da tut ti i punti di lR d che distano menD di r da Posto Xo
=
(XOI ' . .. ,.'rOd), la condizione
(XI - x od 2 + (X2 - X02)2
Ilx -
XQ.
Xo II < r eq uivale a
< ,2
(XI - xod 2 + (X2 - X02 )2 + (X:l - X03)2
se d = 2 ,
< ,2
se d
= 3;
8 .5 Cenni aile funzioni di pill variabili
297
dunque I r(xo) e rispettivamente il cerchio oppure la sfera di centro Xo e raggio r , privi di frontiera. La definizione di cont inuita e form alm ente identica a qu ella data p er funzioni di una variabile reale. Definizione 8.12 Sia f : dom f 0 esisie un (j > 0 tale che \/x E dom f ,
Ilx - xo ll < (j
If (x ) - f (x o)1
O} .
o
Le derivate parziali risp etto a ile vari abili X i , i = 1, .. . , d, sono casi particolari di de rivata direzionale lungo un vettore, che or a introduciamo. Sia f una funzione definita in un int orno di un punto Xo E ]Rd e sia v E ]Rd un vettore non nullo fissato. Dici amo che f a mmett e derivata parziale lungo v in Xo se esiste finit a la qu antit a 8f (
) _ I.
"?l Xo uV
1m
t --->O
f (xo
+ tv) t
f( xo)
.
300
8 Rappresentazioni del piano e dello spazio
Un altro simbolo usato per tale espre ssione c Dvf(xo) . La condizione precedente esprime la derivabilita in to = 0 della funzione t f--t f(xo + tv) (d efinita in tutto un intorno di to = 0 in quanta se t e abbastanza piccolo, Xo + tv sta nell 'intorno di Xo in cui f e definita) . Si noti che la curva t f--t Xo + tv = i(t) e una parametrizzazione della retta passante p er Xo e avente la stessa direzione di v e si ha (f 0 i) (t) = f (xo + tv) . Dunque, la derivata parziale di f lungo v in Xo puo anche essere espressa come
of ov (xo)
=
(d
dt
f
0
i
)
(0) .
La derivata parziale di f in Xo rispetto a Xi si ottiene ponendo v = e. , dove e, indica il versore la cui i-esima componente vale 1, m entre tutte Ie a lt re componenti valgono 0 (dunque el = i , e2 = i , e 3 = k) . Si ha cioo
Of of oei (x o) = O.Ti (x o), Infatti, ponendo ad esempio d
f(xo
+ ted =
=
2e i
=
f( (.To, Yo)
e p ertanto, con la sostituzione x
i = 1, . .. , d.
1, abbiamo
+ t(l , 0)) =
f( xo + t ,Yo)
= Xo + t , otteniamo
of ( . ) _ I. f( xo + t, Yo) - f(xo, Yo) -;::;-- xo,Yo - im oe, t ->o t _ I. f( x , Yo) - f(xo, Yo) _ of ( ) 1m - Xo, Yo . x -> xo X - Xo O.T
E possibile dimostrare che se f ammette derivate parziali rispetto a ogni Xi in tutto un intorno di Xo e se tali funzioni sono ivi continue, allora f ammett e in Xo derivate direzionali lungo un qualunque vettore v =I- 0 ; tali d erivate si esprimono m ediante il gradiente di f in Xo come Of
of
of
uV
UXI
UX d
i- (xo) = v · \7f (x o) = VI ~ (xo) + ... + Vd~ (x o) . Si noti che tale formula fornisce Ie espressioni, talvolta utili , i
=
1, .. . , d.
Inoltre , sotto Ie ipotesi fatte su f , se i I ---+ IR d e una qualunque curva derivabile in to E I e t ale ch e i(t o) = Xo , allora la funzione composta (f 0 i)(t) = f (l( t)) e derivabile in to e si ha
8.6 Ese rcizi
(~t
f
0
--y) (t)
--y'(to) . V'f(xo) ;
=
301
(8.42)
tale espressione estende la regola di derivazion e della catena vista p er le fun zioni reali di varia bile real e. Esempio 8.16 Sia f( x , y) = j x 2 + y2 la funzione distanza dall 'origine, e sia --y : (0, +00 ) -+]R2 la spirale --y( t) = (t cos t ,t sin t) . Essendo
f (--y (t)) = V"-t2-c-o-s2-t-+-t2-s-in--::2C-t = t , per calcolo di retto otteniamo immedi atamen te
~t
f(--y(t)) = 1 per ogni t >
0. Verifi chi amo che il secondo membro della (8.42) fornisce 10 stesso risult ato . Poniarno x = --y(t) ed introduciamo il versor e x = II ~II = (cost, sint) . Si ha
--y'(t) = (cost, sint) + t(-sin t ,cost) = x + tx l.. ; la notazione per il versore x l.. = ( - sin t, cos t) e motivata dal fatto che esso e or to gonale a x , cioe soddisfa x l.. . x = 0. D 'altro cant o, ab bia rno verificato nell 'Esempio 8.15 che V'f(x) = x per ogni x =1= O. Per t anto, --y'(t) · V'f(x) = (x + tx l..) . X = x· X + txl..· X = IIxl12 = 1 , o come previsto.
8.6 Esercizi
OJ De terminare 1e coordina te poleri dei seguenti pun ti del piano: A = (5V6,5V2) ,
B
= (5V6 , - 5V2) ,
c = (-5V6, 5V2) ,
D
=
(-5V6, - 5V2) .
2. Det erminare 1e coordinate pouui dei seguenti pun ti del piano:
a) A = (-5,0)
b) B
=
(0,4)
c) 0=(0 , -3)
3. Determinare le coordina te poleri dei seguenti punti del piano (si lesci l 'etgom enta espresso in funzion e dell 'ercot engenie}:
~ A
=
b) B = (3V2 - 2V3 , 3V2 + 2V3)
(2V3 - 3V2, 1)
[[] Determinare 1e coordina te polari dei seguenti punti del piano (si lesci l 'ergom enta espresso in fun zione dell'arco tangente) :
A
=
(cos
7r
9"
.7r
sin
9' ),
B
= (-
cos
7r
9"
.7r
sin
9' ),
7r
0 = (sin 9" cos
7r
9' ).
302
8 Rappresentazioni del piano e dello spazio
5. Determinare Ie coordinate poleri dei seguenti punti del piano;
Q ~ A b)
B
V2
Jr
V2 .JrV2
=
(2 cos "9 - 2
=
(2 cos
28
9
it ,
sin "9'
2
cos
Jr
V2 .Jr
"9 + 2
sin
"9 )
. 28 2 sin 9 Jr)
[QJ
Dati VI = (1,0, - 2) e V2 = (0,1 ,1), determinare die VI + AV2 sia ortogonale a V3 = (-1 ,1 ,1).
[2J
Determinare l'insieme dei vettori nel piano ortogonali al vet tore
[§J
j]
nurnero reale A in modo
V
= (2, - 5).
Determinare l 'insieme dei vettori nello spezio or togonali ei vettori VI V2 = (2, - 1, 3).
= (1,0,2)
e
[QJ
Determinare VI
j]
modulo dei veitori:
= (0, V3, 7) ,
V2
= (1,5, -2) ,
V3
Jr .Jr
Jr
= (cos -
Jr .Jr
sm - cos - - sin - sm - ) . 5' 5 7' 5 7
10. Determinare il cosetio dell 'angolo formato dalle seguenti coppie di vettoii:
a) v =(O,l,O),
[!IJ
w=(0,~ ,2)
b) v =(1 ,2,-I) ,
w =(-l,I ,I)
Dato il vettore w = (5, -3, -V2), se n e det ermini j] versore u . Dato poi il vettore V = (2, - 1, 2V2) , se ne determinino la componente lungo u e la com p oncnte ortogonale.
12. Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi:
(i + /oi)
a) (2 - 3i)(-2 + i)
b) (3 + i)(3 - i)
1 + 2i c) 3 - 4i
5 d) (1 - i)(2 - i)(3 - i)
2- i
+ 5i
13. Sciivere in forma trigonometrica ed esponenziale i segueuti numeri complessi:
a) Z = i
b) Z = -1
c) z = l + i
d) z = i(1 + i)
l+i e) Z = -1 -i
f) z = sin a + i cos a
14. Calcolare il modulo dei seguent: numeri cottiplessi: 1 2i a) Z= -. -+ - L-i i -I
.
i 1 - 2i
b) z = l + z - --
8.6 Esercizi r,-;:-] ~
303
3Z
~ i I = 1. Verincare che se 1 z I = 1 si ha 1 --.3 + 2Z
16. Risolvere le seguenti equazioni:
a)
[ill e)
[!1J
Z2
~
2z + 2
zlzl z2
2z
+ iz =
~ Z2 + 3iz + 1 = 0
=0
+i
=
0
1
d)
Izl 2z 2
OIJ
z3
Verincare che 1 +·i e radice del polinomio le altre radici.
Z4 -
=
= i
Izl 4
5z 3
+ 10z 2 -
lOz
+4
e trovare
18. Calcolare z2, z9, Z20 per l-i
2
1
b) z=--+--;~ V3 - i
a) Z= - . 2
2
19. Calcolare e rappresentare greiicemenie i seguenti numeri complessi:
c) z=V2-2i
a) z=M 20. Determinare i1 dominio delle seguenti funzioni:
~ f(x, y)
=
x - 3y ~ 7 x-y
f(x, y)
=
VI ~ 3xy
f(x,y)
=
V3x+y+ 1-
L.!J
Qi] i0l ~ @2J
f(x, y, z)
=
log(x 2
~ 2y-x
+ y2 + Z2
- 9)
21. Calcolare le derivate pexzieli delle seguenti funzioni nei punti indicati:
a) f(x, y) = V3x
+ y2
x
b) f(x,y,z) =ye +
yZ
in (xo, Yo) = (1,2) in (XO,YO,zo) = (0,1,-1)
22. Determinare le funzione gradiente delle seguenti funzioni: x+y a) f(x, y) = arctan-x-y c) f(x, y, z) = sin (x
+ y) cos(y - z)
b) f(x, y) = (x
+ y) log(2x - y)
d) f(x, y, z) = (x + yy
304
8 R appresentaziani d el piano e della sp azio
23. Calcolare le derivate dir ezionali delle seguen ti Iun zioni luti go i vettori v e nei punti indicati:
a) f( x ,y)
xv y - 3
=
b) f( x ,y, z) =
x
+ 2
v
1
y-
3
(-1,6)
=
Xo = (2,12)
v = (12 , - 9, -4)
z
Xo = (1,1 , -1)
8.6.1 Soluzioni 1. Per tutti i punti si ha r per il punto A risulta ()A
= v'2 5 . 6 + 25 . 2 = 5V8. Utilizzando la formula (8.2) , 5V2 5V6
= arctan -
=
1 ar ct an v'3
7r
=-
6
in quanto x > O. Analogam ent e per il punto B , si ha ()B
1 - ) v'3
= arctan ( -
=-
1 arctan v'3
7r
=-- . 6 '
per il punta C , essendo x < 0 e y > 0, si ha
1 -) v'3
ee = arctan ( -
+ tt
7r
=--
6
+ 7r
=
=
5 6
5 6
-7r'
'
per il punta D , essendo x < 0 e y < 0, si ha
eD
1 v'3
= arc tan -
7r
7r
=- 6
7r
- - 7r .
2. Coordina te polari di pun ti del piano:
a) r = 5 ,
()
=
7r j
b) r
= 4,
c) r
() =!! . 2 '
=
3,
e = - ~.
3. Coordinate polari eli punti del piano: a) Risulta r = V31 - 12V6j inoltre no tando che 2v'3 < 3V2, si ha
+ 3V2 e = arctan 2 v'33 -1 3 V22 + 7r = arct a n 2v'3-6 +7r = b ) r = 5V6 ,
() = arct an (5 + 2V6) .
4. Per tut t i i punti risul ta r
= 1.
eA
Per il punto A , si ha 7r
7r
= arctan t an 9" = 9" .
v'3 V2 arc tan ( - + 3 2
) + 7r .
8.6 Esercizi
305
Per il punto B , tenend o conto che x < 0 e y > 0, si ha
oB
= arct an
( - t an
Per il punto C , si ha
7[
7[
"9 ) + 7[ = - "9 + 7[ =
cos 1C Oe = arctan ~ ; sm g
ricordando le (2.17) e il fatto che la tangente cos_ 1C _ 9
sin( ~ (7r cos "9
sin ~ dunque Oe =
8 g7[ .
+ ~)
e periodica con periodo 7[ , abbia mo
11 t an 187[ =
7r) = +"2
-
7 tan ( - 187[)
= t an
7 187[ ,
78 1 7[.
5. Coordinate polari di pun ti del p ian o; a)
'{( = sin i = cos per il seno e il coseno, p er ottenere
E sufficiente notare che
(
A = cos
7[
7[
.
7[
i
e applicate le for mul e di addizione
7[)
(-4 + "9 ), sin (-4 + "9) =
(cos 367[, 13 . 13 ) sin 367[
Osservando ch e ~~ 7[ < ~ , si ha immediatamente r b) r=2 , 6. J vettori
=
1e 0
=
~~ 7[ .
O=-~7[. VI
+ AV2
e
V3
sono ortogonali se
(VI
+ AV2) . V 3 = O. Ma
da cui A = ~ . 7. Jl vettore (x , y) e or togonal e a V se (x , y) . (2, -5) = 2x - 5y = O. P ertanto l'insierne cer cato e costituito dai vettori che giac ciono sulla retta di equazionc 2x - 5y = o. Ad ese m pio, l'insiem e si puo de scrivere come {A(5, 2) : A E 1R} .
8, Imponendo l'ortogonalita del vettore w = (x, y , z) con VI e V2 otten iamo W ·Vl = x + 2z = 0 e W . V2 = 2x - y + 3z = 0, da cui x = - 2z e y = - z . Ponendo z = A, I'insierne cercato e quindi {A(-2 , - 1, 1) : A E 1R} . 9. [vi]
= V52 ,
10. A ngolo Era vettori: a)
cosO = ~ ;
11. Risulta
b) cose
=
1.
Ilwll = 6 e dunque u = (~ , -~ , -1). Poiche v
· w = ~ , si ha
306
8 R appresen t a zioni del pi a no e dell o spazio
vu = v
u
.L
5 3 V2 (4' - 4' - 4) ,
= (2" -
5
V2 = (-3 - -1 -9 v2) . 4' 4' 4
3
1 2v2) - (- -- - - ) 4' 4' 4
12. Form a algebrica di numeri com plessi:
a) - 1 + 8i;
2 .
b) 2 + i ;
c ) -5 '
13. Forma trigonom et rica e esponenziale di nurn eri com plessi: H
'.
H
a)
z = cos '2 + i sin '2 = e' 'j ;
c)
Z
e)
cos ~+isin ~ = ei-!f;
b) z = cos H +isin H = e''7r;
H) = v In2e''.4 ; = vIn( 2 cos 4H+isiIl4
d)
Z
In ( cos 43 H+isin 4H) 3 In , :j"3 7r ; = v2 = v2e'
f) cos ( ~ -O:) +isin (~ -o:) =ei ( -!f -a ) .
14. Modulo di numeri com plessi:
a)
~ .
V'5. '
b)
[ii .
15. In vece di compiere la verifica diret t a , moltiplichi amo il den ominatore per (= 1) e otteniamo
Ii i
16. Risoluzione di equazioni:
a)
Z
= 1± i .
b) Applichia mo la formula risolu ti va per equazioni di seco ndo grado e otteni amo Z=
- 3i ± j=9=4 2
-3i ± Vl3i 2
- 3 ± Vl3 , 2
i .
c) Scri vendo Z = x + i y, l'equazion e diventa
(x + iy) J x 2 + y2 - 2x - 2iy + i = 0 , ovvero
x J x 2 + y 2 - 2x + i ( y J x 2 + y 2 - 2y + 1) = 0 .
Uguag lia ndo par t e rea Ie e part e im maginaria del p rimo e del secondo membro , ottenia mo il sistema X ( J x 2 + y2 = { 2 y x + y2 - 2y + 1 = 0 .
J
2) 0
8.6 Esercizi
307
vi
Dall a prima equazione, dov ra essere x = 0 oppure x 2 + y2 = 2. Qu est 'ultima rel azione inserita nella seconda equazione del sistem a da un risultato impossibile. Pertanto le uniche soluzioni possibili saranno X
{
=0
ylyl -
2y + 1 = O.
Distinguendo i due casi y ::::: 0 e y < 0, otteniamo = 0 y2 _ 2y
X {
+1= 0,
e dunque
{~ :~ , Pertan to le soluzioni sono z non e accettabile). d) z
=±
V;
e)
(1 + i ) ;
f) Ricordando che
=i
Izl
2
=
zz,
Allora una soluzion e e z si pervien e al sistem a
z
{~:~I±J2.
e ez
=
= i( - 1- J2) (in
qu anto y
v: -i~; v: -i~ .
= -1 + J2 > 0
=-
z
I'cqu azione diventa
= 0 c le alt re soddisfano z -Z2 = O. Ponendo z = x + iy , x2 - y2 - X = 0 { 2xy + Y = O.
Riscrivendo la seconda equazione come y(2 x+ 1)
y= O { x (x - I ) = O,
=
0, si ot tengono i du e sist emi X
=- ~
=
!! 4 '
{
Y2
1
. ±V3 -z.
In definitiva , Ie soluzioni sono z = 0;
z
=
1;
z = --
2
2
17. Poiche il polinomio e a coefficient i reali , oltre alIa radice z = 1 + i , vi e anche la radice coniugata z = I- i. P ertanto il polinomio edivisibile per (z -l - i)( z-l +i) = z 2 - 2z + 2 e si ha
Le radici sono quindi
z=l + i,
z = l -i ,
z
=
1,
z = 2.
308
8 Rappresentazioni d el piano e dell o spazio
18. Potcu zc eli nu m er! coiu pleesi:
a)
z2
= 2i ,
z9
=
- 16( 1 + i),
z 20
=
-2 10
.
b) R azion ali zzando i d en om in at ori si h a
z
= 2 -v'3+i 4
.
- t
1 = -(v'3 2
. t).
Scrivendo il numero in forma espone nzia le, si h a
e quindi
19. Cnlcolo c rapp resen tazione grniicn di numeri com plcss i:
a)
Zo
= i,
Zl
=
- Hv'3 + i) ,
Z2
=
Hv'3 -
i) .
I numeri so no rappresentati nella F igura 8 .21, a sin istra. b) Scriviamo il numer o 1 in form a esp onenziale 1 = eO rri . Allora , ricordando che ca +21r = e a , si ot ti en e
c)
I numeri son o rappresentati nella Fi gura 8.21 , al ce ntro . Z o = -YSe~1ri, Z l = -YSe- k1ri . I numeri son o rappresen t ati nella F igura 8.21 , a d estra . Tm z
Tui z
Irn z zo
zo
Re z
Re z
Zo Re z Z1 /
Figura 8 .21. R adici cu biche di - i (a sin istra) , rad ici q uinte di 1 (al ce nt ro) , e radici qu adrat e d i 2 - 2i (a d est ra )
8.6 Esercizi
309
20. Doiuiuio eli iun zioui: a) 11 dominio e l'insieme {(x, y) E ]R2 : x # y2}, ossia l'insieme di tutti i punti del piano esclusi quelli appartenenti alla parabola di equazione x = y2. b ) La funzione e l'insieme
e definita dove l'argomento della radice e :2': 0; dunque
{(x, y)
E ]R2 :
1
1
y ::; 3x se x> 0, y :2': 3x se x < 0, Y
E ]R
il dominio
se x = O}
ossia l'insieme dei punti del piano compresi tra i due rami dell'iperbole y = 3~' (') La funzione l'insieme
e definita quando 3x + y + 1 :2': 0 e 2y {(x,y)
E]R2:
v > -3x -I} U {(x,y)
x > 0; ossia il dominio
E]R2:
e
y >~}.
e rappresentato nella Figura 8.22. La funzione e definita dove l'argomento dellogaritmo e > 0; pertanto il dominio e l'insieme Esso
1.
1, si ha
1
1
-2 + C j = - -:3 + C2.
D a tale relaz ione, ponendo
Cj
=
C,
~ x2
F (x)= {
risult a
+c
~ (x- 2)3 +~ +c
se x
< 1,
se x ;:: 1.
Su pponiamo ora d i voler determ inare la primit iva di f (x ) che si an nulia in Xo = 3. Poich e Xo > 1, usiamo la second a espre ssione d i F (x ) e im p oni amo la cond izione 1 5 F (3) = :3 (3 - 2)3 + "6 + C = 0, d a cu i
C
=
-toNe segu e che la primi tiva cercat a e F (x ) = {
:;~ =;)3 _~ :::: ~:
Si noti che sareb be stato concett ua lmente errato imporre l'a n nullament o dell 'espress ione ~ X2 + Cin X o = 3, in qu a nto t a le es p ressione ra p p resent a una primiti va di f( x ) solo per x < 1. Se invece vog liamo determin a re la primitiva di f (x ) ch e si annulla in Xo = 1, p ossiamo imporr e l' annullamen to dell 'una 0 dell 'al tra esp re ssione di F (x ), in quant o esse coi n cido no in t ale p unto. La p rimitiva ce rcat a e se x
< 1,
se x ;:: 1.
D
9.2 Regole di integrazione indefinita A partire d agli int egrali ind efini ti delle funzio n i elemen tari, e possib ile otten ere gli int egrali indefini t i di alt re fun zion i, usando Ie rega le d i integrazione qui so tto riporta t e.
9.2 Regal e di int egr azia ne indefinita
317
Teorema 9.8 (P r o p r ie t a di linear-ita dell'integrale) Siano f( .T) e g(x ) fun zioni inieqrabili S'U un inierualio I. A llora , per ogni a , (3 E IR, la funzionc a f (x) + (3g(x ) e int egmbile su I e si ha
./ (a f(x) + (39(x))dx =a'/ f(x)dx + (3'/9(.1;) dX.
Dimostrazione.
(9.2)
Sia F(:r) un a qua lunque prirni t iva di f (.T ) e G(.1;) un a qu alunqu e prirnit iva cli g(.T). Rico rdando la propriet a di linearit a della deri vat a , si ha
( a F (x )+ (3G (x ))' = aF/(.T)+(3G'(:r) = a f (.T )+(3g(:r),
Vx E I .
Cia significa che la funzione aF(x) + (3G(x) c un a prirniti va di 8 U I , il che, ricordando la definizionc di int egrale ind efinito , equivale alia (9.2). 0
a f(x) + (3g(x)
La proprieta permette d i int egrare term ine a t ermine un a somma a lgeb rica di fun zioni, portanclo fuori clal segno di int egrale le costant i mol tiplica tive.
Esempi 9.9 i) Si voglia int egrare il polinomio 4x 2 + 3x - 5. R icordando la (9.1) a ), si ha
./(4x
2
+ 3x
2 - 5) d x = 4 ./ x dx = 4
4
+ 3 ./ x clx -
5 ./ dx
(~x3 + Cl ) + 3 (~X2 + C2 )
= -x 3
3
+ -32 x 2 -
5x
- 5 (x
+ C3 )
+ c.
Si no ti che Ie varie cost ant i a rbitrarie Cl, C2, C3 ass ociate a i singoli integrali indefini ti sono state ing lobate in u n'unica costa nte arbitraria c. ii) Si consideri ora la funzion e f( x) = cos 2 x. Si noti che cos 2 x
=
1
'2( 1 + cos 2x )
e che D sin 2x = 2 cos 2x ; dunque ,
J
2
cos x d x
J J.
=
Analogamente , si trova
~
dx
2
+ ~ ./ cos 2x dx = ~x + ~ sin 2x + c.
sm x dx
1 1. = '2 x - 4" sm 2x + c .
0
318
9 Calcolo int egrale I
T eorema 9.10 (R e go la di integrazione per parti) Sian o j (x ) e g(x ) junzioni derivabili su un intervallo I . Se la junzione j '(x) g(x) e integrabile su I , allora lo e anche la Junzione J (x )g' (x ) e si ha
J
j(x)g'(x) dx
= j (x )g(x ) -
J
(9.3)
1' (x )g(x )dx.
Dim ostrazionc. Sia H (:I: ) un a qualunquc primitiva dclla fun zione f' (:r )g(x ) S Il I . Ricordando la formula (6.4) di dcri vazione eli un prodot to , abbiamo
[f (;I: )Y(:I: ) - H (:l;)]' = (f (;r )g(;I: ))' - [-['(;1: ) = l' (x )g(;l: ) + f(:l;)g' (:1:) = f (x)g'( x).
I' (:l; )g(:r)
Pert anto, la funziouc j (;l: )g(x )-H (:I: ) C una primitiva della fun ziono f (:l;)g' (;1:), il chc C prc cisam entc qu an ta espresso dalla formula
(0.3).
0
In prati ca , se si deve integr are il prodot to di due fun zioni, si inden tifi cher a uno dei d ue fattori con la fun zione J( x) e l'altro con la fun zion e g'( x); successiva rnent e, si risalira alla funzion e g(x) , det erminando una prim it iva d i g'( x) ; infin e , si t rove ranno le primiti ve di j' (x)g(x) e si app lichera la (9.3). Esempi 9.11 i) Si voglia ealcolare
J
x x e dx .
Si p on ga J (x )
= x e g'( x) = e" . Abbia mo j' (x ) =
e convenient e seegliere
J
xe x dx
1, m ent re come funzione g(x) la funzione eX stessa. Usando la (9 .3) si ha quindi
= ze" -
J
= x ex - (e" + c) = (x - l )eX + c.
eXdx
Nell'ult irno passaggio si e sostit uito aHa costante arbitraria -c la eostante c, altrettant o arbit raria. Si noti che se avessimo fatto la seelta j (x ) = eX e g' (x) = x (cioe f' (x) = eX e g(x) = 1x2), sa remmo p erv enu ti alla formula
J
x ex dx =
~ x2ex 2
-
~
2
J
x 2ex dx
'
ehe non ci avrebbe p ermesso di ealcola re l'int egr al e eereato. ii) Si voglia ora ca lcola re
J
log xdx .
Conviene porr e j (x )
=
log x e g' (x )
=
1. In tal modo si ha J' (x )
=
~ e
g(x ) = x.
9.2 Regole di integrazione indefini t a
319
P ertanto, con la stessa avvertenza sulla arbit rarieta della eostant e d i integrazione, si ottien e
J
=
5 =
f (x)
x dx = x log x -
=
eXsin x dx .
_ex cos x
+
=
_ ex cos x
+ eX sin x -
eX e g(x)
- eos x .
J
eXeos xdx .
Integriamo nuovamen t e p er parti an eora con f( x) Si ha quindi f'(x) = eX e g(x) = sin x , da cui
5
dx
J
e" e g'( x) = sin x . Abbiamo f'( x)
5
J
x log x - (x + c) = x (log x - I ) + c.
iii) Si voglia ealcolare
Poniamo P ertanto
J~
= x log x -
log x dx
= eX mentre ora g'( :r) = eosx.
J
eX sinx dx = eX (sin x - cos x ) - 5.
Cia significa ehe ogni primitiva F( x) di eXsin x si scriv e come F( x) = eX(sin x cos x ) - G( x) , dove G( x) e ancora una primitiva di eXsinx. Dunque, rieordando il Teorema 9.4 di ca ratterizza zione delle primitive, otteniamo 25
ovvero
5
=
= eX(sinx 1
cos x ) + c
.
o
2e X(sm x - cos x ) + c.
Teorema 9.12 (R e go la di integrazione per sostituzione) Sui f (y ) una fun zion e integrabile su un inieruallo J e sia F (y) una sua primitiva . Sia poi O. Le due espress ioni trovate coincidono, in quanta - log ( ~ - x ) = log(~ + x ) = set t sinhx . iv) L'integrale
J
1 d ~ x
puo esser e calcolato come nell'esempio precedente. Infatt i, eseguendo la sost it uzion e V = O. Con se m p lici passaggi algebrici, p on endo 8 = p2 > 0,
iii) Sia g (x )
2
Jq-
a bb ia mo x2
+ 2p x + q =
x 2 + 2p x
+ p2 + (q _
+ p) 2 + 82 =
p2) = (x
82[1+ ( x :
p)
2] .
() x+ p . . . Esegu encI0 Ia sos tituzione y = cp x = - - , ottemamo s
I
.
:r 2
1
+ 2p.7: + q
dx =
~2 8
J+
_ 1_ . - s dy 1 y2
e d unque, ricordando la (9 .1) f), conclud ia m o ch e
I
1 1 x+ p -2; : - - - - - dx = - arctan - x + 2p.7: + q S 8
.
iv ) Sia 9 () x
=
x
2
ax
ax
+b
+ 2px + q +b=
ax
a bb ia mo
J
ax + b d x = -a x 2 + 2px + q 2
Usando la (9.6) con cp(x)
J
x
2
ax + b 2 dx px + q
+
=
'
a ncora con p 2 - q
+ ap + b -
a
2x + 2p dx x 2 + 2px + q
= x 2 + 2px + q e a - log( x 2 2
+ 2p ) + (b -
+ (b -
J
1 x 2 + 2p x
+q
b - ap
x
+p
+ 2p x + q) + - - arcta n - - + c. 8
=
J
ap )
ap)
(x2
1
dx
.
la (9.9), otteniamo
ax +b , con p2 - q < 0 ed r (x 2 + 2px + q)r integr az ione p er par t i nel calcolo delI'integrale
v) Sia g( x)
(9.9)
. , < O. G raz'ie a 11id ' I ent it a
ap = 2 (2 x
J
+ c.
+ 2px + qy-l
d
S
(9. 10)
> 1. Us a ndo la regola d i
X
e la regola di integrazione p er sostit u zione con cp(x) = x 2 + 2p x + q, si giunge ad esp rime re l' integrale eli 9 co me som m a d i funzioni note e delI'integrale di una fun zion e a naloga alIa g , in cui r e sos titu it o d a r - 1. In questo modo, p arten do d a l caso r = 1 gift t rattato in iv), si ca lcola l'int eg rale eli f nel caso r = 2, p oi r = 3, e cosi via . I d et tagli sono lascia ti a l let t ore volent eroso.
9.2 Regol e di integr az ion e indefini ta
325
Esempi 9.14 Si ha
f J J .
.!.
_1_ dx = log 2x - 4 2
1
21
+ c,
1
+ 5)2 d x = -
(3x
x2
Ix -
4x - 5 d x= 2 2x + 10
-
=
+ 5) + c,
J
3(3 x
x2
21og( x 2
2x - 2 e1x2x + 10
-
-
2x
J
1 dx (x - 1)2 + 9
1
x- I
+ 10) - 3 arctan -3- + c.
0
Ritorniamo a l problema dell' int egr azione della gene ric a funzione razi on ale R((x) x) ' .·1:>er n.cond urci. ai . cas i. parti.co1an. sopra consiider ati e• necess ano . 9 () x = Q erati, de comporre il denominatore nel prodott o di fa ttori element ari del tipo
(x - oY
oppur e
con p2 - q < O. L'esistenza d i una tale decomposizione e garantita dal segu ente te orema, che e una forma del cosid det t o Teorema jondamentale dell'Algebra. T eorema 9.15 Ogni polinornio Q(x ) di qttuio m a coeffic ienti reali si scrive in modo un ico corne
con d, ai , Pj , qj numeri reali, e con ri , Sj interi tali che 1'1
+ ... + rh + 2s 1 + ...+ 2Sk = m .
I numeri a i , distinti ira loro, sotio le radici reali del polinomio, ciascuna con moliepliciia ri . Ogni [aitore x 2 + 2pj x + qj 10 distinto dagli aliri ed irruiucibile in JR, cioe tale che P] - qj < 0; ad esso corris potulono due radici com plesse (coniugate) (3j,±, che hanno mo lieplicita Sj '
E possibile dimostrare che la decomposizione (9.11) del polinomio Q(x) permet t e di scrivere il quoziente g(x) nell a form a R( x) = -1 -
Q(x)
in cui ogni F; (x)
d
[
Fl(x)
] + ...+ Fh(x) + Fl( x) + ...+ Fk(x)
e del t ipo Fi () X
A il =---+ x - (Xi
A i2 (X - a i)2
+ ... + (X -A ir(XiYi ' '
'
(9.12)
326
9 Calcolo integrale I
mentre ogni Fj(x)
e del tipo
per opportune costanti A iR, B j ,"" Cj w Notiamo che il numero di t ali costant i + ... rh + 2s l + ...+ 2S k = m .
e
rl
Per det erminare il valoro dell e costanti, scriviamo l' espressione a secondo membro della (9.12) in form a di unica frazione, il cui denominatore comune e ovviament e Q( x ). Il numeratore R(x ) e un polinomio d i grado :s; m - 1, che deve coincidere con R( x ); i suoi coefficienti sono combinazioni delle costant i incognite. Ricordiamo or a un altro risultato di Algebra, noto come Principio di ident.it a dei polinomi.
Teorema 9 .16 Du e polinomi di qrado
Tn -
1 coinculono
a) se e solo se hanno ordinauimeni e uquoli i coeffic ien ii di ciascuna potenza della ooriabile uuiipend euie; oppure b) se e solo se assumono oalori uquali in m punii disiinii. Osserviamo che la prima equivalenza puo essere facilment e dedotta dalla Proposizione 7.5. Per determinare le m incognite A iR, B j IL , Gj IL , possiamo quindi 0 uguagliare i coefficienti di ciascuna potenza di x nei polinomi R(x ) e R( x) , oppure sceg liere in modo oculato m valori di x in cui far coincide re i due polinomi. Nel secondo caso, conviene sempre considerare gli zer i reali di Q (x) e , qualora qu esti fossero in numero < m, il punto x = O. Una volta det ermina ti i valori di t a li costanti , possiamo integrare t ermine a t er mine l'espressione che compare a secondo me mbro della (9.12) . In t al modo, siamo ricondotti ai casi i)-v) discussi a ll'inizio del P aragrafo. Illu striamo la procedura ora descritta at t raverso a lcun i ese mpi.
Esempi 9.17
i) Si voglia integrare la funzione
+
+
2x 3 x 2 - 4x 7 f(x) --~---
Poiche il numer atore divisione, ottenendo
e
-
x2
+X
2 . di grado maggiore del denominatore, eseguiamo la -
x+5 2 2 x +xIl polinomio a denominatore si fattorizza come Q( x) cerchia mo costanti Al = All e A 2 = A 2 l tali che
f (x)
=
2x - 1 +
=
(x - 1)(x + 2) . Dunque
9.2 Regole di integrazione indefinita
x
+5
Al
x~ 2-+x------::2 = -x -- -l
327
A2
+ -x -+-2 '
vale a dire (9.13) ossia
x
+5=
(AI
+ A 2)x + (2A I -
A 2) .
(9.14)
Uguagliando i coefficienti di x nella (9.14) , otteniamo il sistema
A I + A 2 = 1, { 2A I - A 2 = 5, che ammette come soluzione A l = 2 e A 2 = - 1. In alternativa, possiamo ca lcolare la (9.13) nei due zer i x = 1 e x = -2 di Q(x) , otten endo Ie relazioni 6 = 3A I e 3 = -3A 2 dalle quali si ricava immediatamente Al = 2 e A 2 = - 1. In conclusione, abbiamo
f (X) d X = j(2X - 1) dx
j
= x2
-
X
+
-i
+ 2 log Ix -
_1_ dx - j _1_ dx x - I x+ 2
I I - log Ix
+ 21+ c.
ii) Si voglia ora integrare la funzione
2 f (x) = x - 3x + 3 . x 3 - 2x 2 + x II denominatore si fattorizza come Q(x) = x(x -1)2 . Dunque cerchiamo costanti Al = All , A 2I e A 22 tali che x 2 - 3x + 3 Al A 2I A 22 x 3 - 2x 2 + X = -;- + x - I + (x _ 1)2 ' vale a dire
x 2 - 3x
+3 =
Al (x - 1)2 + A 2IX(X - 1) + A 22X .
P er x = 0 si ricava Al = 3, per x = 1 si ottiene A 22 = 1. Per determinare A 2I si puo scegliere arbitrariamente un valore di x -I- 0, 1. Ad esempio, per x = - 1 si ha 7 = 12 + 2A 2I - 1 da cui A 2I = -2. In concl usione, abbiamo
j
f (x) dx
~x dx -
=
3j
2 j _ 1 _ dx x - I
=
3 log Ixl- 2 log Ix -
+j
(
1)2 dx x -I
1
11 - - + c. x-I
iii) Si voglia infine integrare la funzione
f (x)
=
x3
3x 2 + x - 4 + 5x2 + 9x + 5 .
II denominatore si a nnulla in x = - 1 (perche la somma dei coefficienti di grado dispari uguaglia que lla di grado pari). Pertanto, usando la regola di R uffini, il denominatore si fattorizza come Q(x) = (x + 1)(x 2 +4x + 5). Dunque cerchiamo cost ant i A = All, B = Ell e C = C ll tali che
328
9 C a lcolo integrale I
x3
3x 2 + x - 4 + 5x 2 + 9x + 5
A
=
x
+1 +
+C + 4x + 5 '
Bx x2
vale a dire
3x 2 + X Ponendo x = - 1 e x ponendo ad esempio x
Jf
(x) dx
=-
=
4 = A(x 2 + 4x + 5) + (B x + C)(x + 1). 0 si ottengono le costant i A = -1 e C 1 si ricava B = 4. In conc1usione, abbia mo
J+ J+ =
_1_ dx x 1
_1_ dx x 1
J +++ + J + + + +
x2
4x
4x
1
5
dx
1. Infine,
J
2x 4 dx - 7 1 dx x 2 4x 5 1 + (x + 2)2 - log Ix + 11+ 210g( x 2 + 4x + 5) - 7 arc tan (x + 2) + c.
= -
=
-
2
0
Con cludiamo il paragr afo osservando che molte fun zioni f( x) , che non sono razionali nella va riab ile x, pos sono esscre integrate mediant e una opportuna sostituzione t = cp(x ), che cond uce all'int egrale di una funzione r azionalc nella nuova variabile t. Casi not evoli sono:
e fun zion e raz ion ale di y1x - a per un cert o p intero e a reale . In tal caso si pone da cui x = a + t P e dx = ptp - 1dt. t = y1x - a,
i)
f
ii)
f
e fun zione razion ale di ea x
per un certo a
i-
0 reale. In tal caso si pone
1
1
da cui x = -logt e dx = -dt .
a at iii) f e fun zione razionale di sin x e/ 0 di cos x. In t al caso si puo porre x t = t an "2 e fare ricorso alle identita trigonometriche .
1+
inoltre si ha x
1 - t2
2t
Sln x = --
= 2 ar ct an t , da
cos x = 1 + t2;
t2 '
(9.15)
cui dx
=
2 --d t. 1 + t2
(9.16)
iv) Se pero f e funzione razionale degli argomenti sin 2 x, cos 2 x, t anx, convenient e porre t = t an x e usar e le identita trigonometriche . 2
sin x inol tre x
t
2
1
cos 2 x = - - -2 '
= 1 + t2 '
1+t
'
e pili (9.17)
= arctan t , da cui dx =
1
--2
l +t
dt.
(9.18)
9.3 Integrali definiti
329
Presentiamo nel seguito a lcuni esernpi che illustrano qu este sostituzioni . Ci limitiamo ad ottenere di volta in volta una funzione razionale dell a nuova variabile t , lasciando allo studente il com pito di com pletare l'integrazione e di ritornare alla vari abile originaria x. Esempi 9.18
j. +VX=I
i) Si consideri dapprima l'integrale
S= Poniamo t
x
1
dx.
= vx-=-I, da cui x = 1 + t 2 e dx = 2t dt . Sostituendo, otteniamo S =2
J
(1 + tz)t dt .
l+t
ii) Si consideri ora l'int egrale
J t J =J
S =
e-x
dx .
e2 x - 2ex + 2 dt . Sostituendo, otteniamo
Poniamo t = eX da cui dx =
S
1
dt t 2(t2 -2t+2) .
=
iii) Si cons ideri poi l'integrale
sin x dx . 1 + sin z Usando le formule (9.15) e (9.16) , otteniamo
S
S
=
4J
iv) Si consideri infine l'integrale
S =
t
(1 + t)2(l
J+
+ t2 )
1
1 sin 2 x Usando le formule (9.17) e (9.18) , abbiamo
dt.
dx.
S=J~22dt. 1+ t
D
9.3 Integrali definiti Consideriarno una funzione f definita su un intervallo chiuso e limitato I = [a, b] C lR e ivi limitata. Definiamo il t rapezoide di f sull'intervallo [a, b], che indichiamo con T(J ; a, b), come la regione piana delimitata dall 'intervallo [a , b], dalle parallele all'asse delle ordinate passanti per gli estremi dell 'intervallo, e dal grafico di f (si veda la Figura 9.2) . In formule,
330
9 Calcolo int egrale I
Figura 9.2. Tr apezoide di f sull'intervallo [a, b]
T (f ;a, b) = { (x ,y)
E
JR2 : a ::::: x ::::: b, 0 ::::: y ::::: f (x ) op pure f (x ) ::::: y ::::: O}
(nella definizion e, la scelta del vincolo su y dipende ovviamente dal segno di f (x)) . Sotto opportune ipotesi su f , e possibile associare al t rapez oide di f su [a , b] un numero detto 'inte grale definito di f su [a ,b] ' . Nel caso in cui f sia po sitiva tale numero rappresen t a l'area del trapezoide. In particolare, qu alora il trapezoide di f sia una figura element ar e (ad esempio un rettangolo, un triangolo, un trapezio , etc .) esso fornisce la class ica espress ione deH'ar ea di t ale figura. Esi stono vari modi per costruire l'integrale definito di una funzione; essi richiedono ipo tesi diverse sulla fun zione da integrare. Illustriamo nel seguit o due diver se cost ru zion i: la prima, comunemente associat a al nome di Cauchy, opera su funzioni cont inue 0 cont inue a tratti su [a, b]; la seconda, as sociata al nome di Ri emann, porta alla definizione di un a classe piii am pia di funz ioni integr abili" . Espli citiamo la defini zion e di funz ion e cont inua a tratti, che sara us at a nel seguit o. Definizione 9.19 Una funzione f : [a, b] ---. JR dicesi cont in ua a t r a t ti se e continua in ogni punto dell'int eroallo tranne che in un nurn ero fini to di pun ti , in cui si ha una discontinuita elirninabile 0 di salto.
9.4 Integrale secondo Cauchy Supponiamo dapprima che f sia continua su [a , b] ; su ccessivamente, prenderemo in considerazione un a situazione appena pili gene ra le. P er a rrivare alla definizione 1
Un' ult er iore costruzione, rifer ita a l nome di Lebesgu e, conduce ad un a differente c1asse d i funzioni integrabili , cIasse che risult a essere quella piu naturale in moIte applicazioni della Ma t ematica moderna . La defini zione d ell'integr al e di Lebesgue es ula t uttavia dagli sca pi del presente testa.
9.4 Integr ale secondo Cauchy
331
del numero che ci interessa, costruiamo una successione di ap prossimazioni sempre pili accurat e d el trapezoide di f e poi facciamo ricorso a un procedimento di limite. Vediamo i dettagli . Sia nun qualunque intero > 0. Suddividiamo l'intervallo [a , b] in n p arti uguali, di ampiezza Llx = b-;;a, mediante i punti di suddivisione Xk = a + kLl x per k = 0,1 , . . . , n . Si noti che tali punti sono ordinati in modo cr escente , avendosi precis amente a = X Q < X l < . . . < X n - l < X n = b. Per k = 1, . . . , n , indichiamo con h l'intervallo chiuso e limitato [Xk- I , Xk]. Po iche la funzione f e per ipotesi conti nua su [a, b], 10 sara in p articolare su ogni h i dunque, per il Teorema di Wei erstrass (Teorema 4.31), f assumera valore minimo e valore massimo su h . Poniamo quindi tru; = min f( x), Mi. = maxf(x) . xE 1k
xE h
D efini amo or a le quantita n
s., =
L rnkl1 x k= l
n
e
s; = L
l\!hl1x ,
k =l
che chi amer emo rispett ivamente som m a inferiore e som m a superi ore di f su [a , b], relative a lla sudd ivisione d ell 'intervallo in n parti. Notiamo che, esse ndo p er definizione m i; :::; l\!h e Ll x > 0, si ha sempre Sn :::; Sn .
L 'interpretazione geometrica di t ali somme e immediata nel caso in cui f sia positiva su [a , b] (si veda la Figura 9.3) . La quantita mkl1x rappresen t a l'area d el rett angolo r k = h x [0, mk], che e contenuto nel trapezoide di f relativo all' intervallo I k . P ertanto, s., rappresenta l'area della regione piana unione dei rettangoli r ki t al e regione approssima per dife tto il t rapezoide di f su [a, b] . In modo del tutto simile, Sn rappresent a l'ar ea della regione pi ana unione dei rettangoli R k = I k X [0, M k] , che cost it uisce un 'approssimazione pe r eccesso d el t rapezoide d i f su [a , b] . Usando proprieta delle funz ioni cont inue su un intervallo chiuso e limitato, possibile dimostrare (~ I nt e gr al e di Cauchy ) il segue nte risult ato.
Jj
rnk/ ~
= f (x)
r--"' :;7
/ co---
-
/ c'---/ -'-
---r~ a
---
.1.
Ih\
Xk - l
Xk
Ii
----;/
~ ~
r-r-r-
.1,, '
a
Figura 9.3 . Somme inferiori (a destra) e sornme superiori (a sinist ra ) di
[a, b]
Y = f( x)
!VIk
~
e
Ii
f sull 'int ervallo
332
9 Calcolo int egrale I
Teorema 9 .20 Le successioni n e convergon o allo stesso lirnite.
s., e n
f---t
f---t
S n sono entrarnbe conve rgenti,
Cia giustifica la seguentc Definiz ione 9. 21 Chiarniarno integrale definito di
l
b
f su
[a, b] il tium ero
f (x) dx = lim s., = lim s; n ---+(X)
n ---+ OCl
·a
(che leggiarno int egrale t ra a e b di t ra a e b di f) .
f (x ) in dx
0
pi1L sernplicernen te int egrale
Esempi 9.22
i) Sia f costante su [a, b] . Detto c il suo valore , si ha mi; dunque
= Mi; =
c per ogni
k,
n
sn = S n = c L
l
qualunque sia n . Pertanto,
L\x = e(b - a)
k=l b
f( x) dx
=
e(b - a) .
ii) Consideri amo la fun zion e f( x) = x sull'intervallo [0 , 1]. II suo T( x ; 0,1) e il triangolo rettangolo isoscele di vertici A = (0, 0) , B C = (1,1), la cui area e ~ . Verifichiarno che l'integrale definito di fornisce 10 stesso valore. Sia n > 1 fissato. Abbiamo L\x = ~ e, per k Xk = ~ . Inoltre, essendo n
s., = L
xk - l L\x
f
t rapezoide = (1 ,0) e f su [0,1 ] = 0, ... ,n, crescent e, ab bia m o mk = Xk- l e Mi: = Xk . P ertanto,
=
1 n 2" L(k - 1),
k=l
ti
s; =
k= l
n
LXkL\x k= l
=
1 n 2" L k.
n
k=l
n
La qu antita
L
k rappresenta la sornm a dei numeri interi da 1 a n ; essa vale
k=l n(nz+l l
n
(si ricordi la (3.2)) . Analogamente, L(k - 1) rappresenta la sornma dei
°
k=l
numeri interi da (0, che e 10 stesso, da 1) an - 1; pertanto, ca mbia ndo n in n - 1 nell 'espressione precedentc, essa val e (n-;l ln . Dunque,
_ n(n - 1) Sn -
Passan do al limite per n
----7
2n z
00 ,
'
S
_ n(n + 1) n -
2n z
.
entrambe Ie successioni t endono al valore ~ .
0
9.5 Integrale secondo Ri em ann
333
Come si vede, anche per una fun zion e molto semp lice qual e f( x ) = x , il calcolo dell 'integr ale definito in base alla definizione e tutt 'altro ch e ag evole. Sorge quindi l'esigenza di dota rsi di efficie nt i strumenti di calcolo dell' int egr ale definito di una funz ione cont inua. A t ale problema si d ara risposta nel P aragr afo 9 .8. lntroduciamo ora una sem p lice estens ione del concet to di integrale definito. A tale scop o, osserviamo che se I e una funzione continua su [a, b] e se x* e un punto int erno a t ale intervallo, e possibile di mo strare che 'b -r a /
I( x) d x
=
I X'f( x) dx + l a
b
I( x) dx .
x.
Questa formul a, il cu i sign ifica t o geomet rico e ovvio , suggerisce come estende re la definizione di in tegral e definito al caso in cu i la funzione I sia cont inu a a tratti sull' intervallo [a, b]. lndichi amo con X o = a < X l < ... < Xm - l < X m = b i punti di di scontinuita int erni e gli est re rni dell 'intervallo (che possono essere a nch'essi punt i di discontinuita di J) . Su ogni inter vallo [Xi -I, Xi ], introduciamo la fun zion e Ii che coin cide con I nei punti interni e la prolunga per continuita agli est re rni: lim
I( x) , p er
X
= Xi -
I,
X -'fx t _l
I( x) ,
l i( X) =
lim_ I( x) , X-'f X
p er
Xi -l
pe r
X
O. Dalla rcla zionc
.r :::; z( L1.r) :::; :r + L1:1:. e d al Tc orcm a L1. 5 d el con fro nt o sui liiuiti . dcduciaiuo chc lim
Ll :l' ----:'( )+
Siniihncutc
lim
~ J : -O -
z (L1:r) = z.
z( L1:r) = :r c quiudi lim z( L1:J:) = :1:. U sa n d o Llx -O
la continuita eli f ill :r c ricordando la (4.11) . si ha allora lim f( z (L1:r ))
.cl:l'-> 0
= f(
lim z( L1:r) )
.cl:r:->O
= f (:r ).
Pertanto. passando al limitc nella (9 .24 ). si otticnc la tesi F
I( .) :1'
. F (:r + L1:r) - F (:r ) = .clxlim = ./.(:r ) . ->O L1:r
N cl casu ill cui il punto :E sia 1111 cstrcmo dc ll'intorvallo 1 c sufficicntc proccderc come sopra consideraudo lim it i unilaternli destro o sinistro. 0
Corollario 9 .38 Sia Fxo una funzione in tegrale di una funzione contin ua f
su I . S e G
e una
qualunqu e prirnitiva di f su I , allora
Fxo(x) = G(.T) - G(xo) ,
\Ix E I .
9.8 II Teorcrna fondarn en tale del calcolo integrale
347
Dimostrazione. Per il Tcorcma 9.4. esistc uua cost ante (; ta le chc Pro (:e) = G(:1:)c.. V:I: E I. II valorc della costanto e determinate dalla cond iziouc F.rJI:O) = 0,
0
II corollario seguente, di fond a mentale importanza , fornisce l'espressione di un integr ale definito, nota una qu alunque primitiva della funzione integranda . Corollario 9.39 Sia J una Junzione continua sull 'interva llo [a, b], e sia G una prirnitiva di J su tale interva llo. A llora
/b
Ja J( x) dx = G(b) -
G(a) .
(9.25)
Dimostrazionc. Sc 1\ / indica la fuuzionc iutcgrale eli f chc si anuulla in a. si ha
/
' /)
,
f( :I: ) cl.r = Fo (b),
It
II ris ultato segue allora dal corollario prcccdcnto con
:1' =b ,
,1:0
a c 0
E piuttosto comune indicare la differenz a G(b) - G(a) con un a delle seguent i espressi oni:
I [G(x)]~
oppure
G(x) I~· 1
Esempi 9.40 I seguenti int egr ali definiti sono calcolat i applica ndo la formula (9.25).
/ 1x 2dx = [~x3] 1 ~
Jo
i
3
1r
sin xdx=
0
3
[-cosx]~ =2.
/6 ~ dz = [log x]~ = J2 X
log 6 -log 2 = log 3.
0
E possibile est endere il Teor em a fond amentale del calcolo inte grale a l caso delle funzioni cont inue a trat t i. L'enunciato si modifica come seg ue . Sia f un a funzi one cont inu a a t rat t i su ogni sot t oint ervallo chiuso e limita to di I . Ogni funzione int egrale F di f su I e cont inua su I ; essa e derivabile in t ut t i i punti di I in cu i J e continua, e ivi si ha F'( x) = J( x) . In ogni punto di discontinuita (di salto) di J interno ad I , la F presenta un punto angoloso. Si dic e che la fun zione F e una prirnit iva generalizzata di J su I . 0
348
9 Calcolo integr ale I
Il seguente risultato fornisce una rappresentazione integrale d i una fun zione derivabile, ed e ut ile in diverse circost a nze . Corollario 9.42 Si a f una [urizione deriuabile in uri in ieru allo I , con derivata continua. A llora, per ogni Xo E I , vale la rappresetii azi on e
f(x)
= f (x o) +
l
x
Vx E I.
1"(05 ) ds ,
(9.26)
XQ
Dirnostrazionc.
E sufficiente osscrvarc che f C, in modo ovvio, una prirnitiva della sua derivata. Dunque, usando la (9.25), otteniamo
j
'X
1"(8) ds
= f( :r) - f(:1:o),
• Xo
da cui segue il risultato.
0
Come applicazione di t ale corollario, giustifichi amo gli sviluppi di Maclaurin de lle fun zioni f (x) = arcsin x e f (x) = arct an x . A tale scopo, premettiamo il seguente lem ma tecnico. L emma 9.43 Sia cp una [unzi on c conti nua in uri iniorno di 0, soddisf acente cp(x ) = 0(.1:0: ) per x ----> 0, con 0' ~ O. A llora, la sua primiiiua
'ljJ (x ) = Jo cp(s ) ds soddisfa 'ljJ (x ) = 0(x O: +1 ) per x ----> O. In [ormule, possiamo scriuere che 0(050:) ds = 0(xO:+1 ) per x ----> o. (9.27) .fo x
t
Dimostrazionc.
Applicando il Tcorema di de I'Hopital 6.40, abbiamo che lim 'ljJ (x ) "; ~ O X ,, +l
=
'ljJ' (x ) + l)x"
lim
=
X ~ O (0:
_1_ lim cp(x ) 0' + 1 X ~ O x"
= O.
Consideriamo dapprima 1a funzione f( x) = arctan x . La sua derivata 1 -1- - 2 e dunque , grazie a lla (9.26) , possiamo scrivere
e f'(x)
o =
+x
arct an x =
I
. 0
x
1 - --2
1 + 05
ds .
Lo sviluppo di Maclaurin dell a funzione f'( s), ottenuto d alla (7.18) con 1a sostituzione x = 05 2, e dato da 1 1 + 05 2
=
1 - 05 2 + 05 4 - . . . + (_1) m s 2m + 0( s2m+l)
=
'L) _ 1)ks 2k + o( s2m+l) . m
k=O
9.9 Regole di in tegr azione defin it a
349
Integrando t ermine a te rm ine e usando la (9.27) , otten ia mo 10 sviluppo di Maclaurin della funzione fl c): a rct an x
x3
=x-
~
3
X·2 m + 1
x5
+ ~ - ... + (_l )m_"_ _ + O(x 2m+2) 5 2m + 1
Tn
.2k+ l
~
2k + 1
= ~ ( _ l )k _ X_ _ k=O
+ O(X2m+2).
P er quant a riguarda la funzione f( x) a rcsinx = Usando la (7 .17) co n a
=
= a rcsin x,
infox
possiamo scriver e
hdS. 1-
s2
=
-~ e con la sostituzione x
_ S2 ,
otteni amo
Integr ando term ine a termine e us ando la (9.27) , otteniamo 10 sv iluppo d i Maclaurin d ella fun zione f( x) :
+ -x + -3x + ... + I 3
arcsin z = x
5
6
40
(_1. ) I 2m ++ 1 + m 2
X
2m
1
O(X2m+2)
rn I( 2k+ l + o(x 2m +2). =~ -'21) I ~
c: k=O
k
2k + 1
9.9 Regole di integrazione definita Il 'Ieorema fondamentale del calcolo integrale e le regole di integrazione indefini t a p er parti e per sostit uz ion e, viste nel Paragr afo 9.2, permettono di ottener e regole a nalog he di integr a zione definita . Teorema 9 .44 (Regola di int e g r a z ione p e r parti) Sia n o f e g fun zioni derivabili 8 U un inieruallo [a , b], con derivat e continue. A llom
fb
.fa f (x )g' (x ) dx
=
[f (x) g(x) J ~ -
ja.bf' (x )g(x ) dx .
(9. 28)
350
9 Calcolo inte grale I
Diruostrnz ionc.
Sia f-l (:1:) un a qua lunq uc pri n iit.iva de lla h m ziou e f' (:1: )g(:l:) su [a,b]. La rcgola di intcgrn xionc indefinita pCI' patti dice prccisaiuentc che la funzio ue f (:1: )g(:I:) - H (:1:) e una priuiit i va de lla funzionc f(:I:)g'(:I:) . Pert.auto, grnz ic alia (9.25), si Ita
•
j
.b
f(:I:)g'(:I:) d:/: = [f (:I: )g(:I: )]:: -
[H(x)] ::.
(J
II risultato segue ancora dalla (9.25) applicata alia funzionc
f' (:1: )g(:I:).
D
Teorema 9.45 (R e gola di integrazione per sostituzione) S ia f(y) una [usizione continua su. uti intervallo [a , b]. Sia poi ip(x ) una junzione definita su. un in te rv allo [0:,,8] a valori n ell 'interva llo [a , b], derivabile con deri vata con tinu a. A llora
1
{3
f (ip(x) ) ip'(x) dx
=
1
a ,
pCI'
375
ogni
.ef(:1:)
1
+00 rispetto all 'infinitesimo cam pi on e cp(x) = - . X
i) Se ex > 1, allora 1 E R ([a , +00));
1
+ 00
ii) se ex ::; 1, allora
Dirnostrazion c.
~
a
l (x ) dx diverge.
Integrali impropri.
o
376
10 Calcolo integr ale II
Esempi 10.11 i) Consideria mo I'in t egr ale
/ +00
2 a rctan x) dx .
( 7r _
Osserviamo che la funz ione f (x) = 7r - 2 arctan x e infinit esima di ord ine 1 per ----> +00; infa t t i, ap plicando il Teor ema di de l'H opi t al , si ha
x
. IHfl
2x 2 = 2. x~ + oo 1 + x 2
2 arctan x
7r -
I'
Hfl.
Ijx
x~ +oo
---
e d ivergente.
P er t ant o I'integr ale cons iderato
ii) St ud ia mo la conver genza dell'int egrale
1
+00 x
1
Poiche cos x
X
3
+ cos x
. + sm x
= o(x) e sinx = o(x 3 ) per
x
x
1
x3
+ cos x
+ sin x
---->
dx.
+00 , si ha x
'"'-' x 2
---->
+ 00.
Dunque I'int egr ale conve rge.
D
Nel successivo esempio stud ia mo un a famiglia di int egr ali im propri che estende qu ella cons ide rata nell'Esempio 10.4 i). Esempio 10.12 Prendiamo ora in esame la famiglia d i int egr ali
F" J2
con a , {3 > O.
_--,----1_----,,- dx x a (log x) f3
i) II cas o a = 1 pu o esse re st ud ia to a ttraverso un 'integr azion e esplicita; infat ti , introducendo il cambiamento di varia bile t = log x , si ha
+00 ----,-- 1 ....,--" d x 1+00
1 2
x (l ogx )f3
=
1 dt t f3
-
lo g 2
e quind i l'int egr ale converge se {3 > 1 e di ver ge se {3 :::; 1. ii) Se a > 1,
e sufficiente osservare che
log x ~ log 2 se x ~ 2 e dunque 1 1 ---~ < \/x ~ 2. a a x (log x )f3 - x (log 2) f3 ' Ap plicando il Criterio del confro nt o, conclud ia mo che l'int egra le converge per ogni valore di {3. iii) Se a < 1, scriviamo 1 Xa
(log X)f3 Xl - a
1
x l-a
x (log X)f3
e osserviamo che la funzione v-' f3 t ende a +00 per ogn i {3. (log x )
10.1 Integrali impropri
Dunque esiste una costante M > 0 tale che 1 M
"Ix 2: 2;
--,------...,--,;- > -
x a(1ogx) f3 -
377
x '
pertanto, applicando a ncora il Cr iterio de l confronto, l'int egrale diverge. In alcuni casi
0
e conveniente pensare il valore assunto p er x = k da una funzione
f definita su una semiretta reale [ko, + 00) come
il t ermine generale ak di una serie. In questo modo, sotto opportune ipotesi e possibile mettere in relazione il comportamento de lla serie con qu ello dell'integrale improprio della funzione su [ko , + 00). Vale infatti il seguente risultato.
Teorema 10.13 (C r it e r io integrale) Sia f una [urizioti e positiva, deerescente e con tinua in [ko , +00 ), con k o E N. A llora valgono le sequenii disuquaqlian ze
=f( x ) dx::; L=f (k ) ; L= f(k) ::; 1+ ko
k =k o +l
(10.3)
k =k o
pertanio , la seri e e l 'in tegrale improprio hanno lo st esso com poriamen io. Precisamenie a)
l+=f( x) dz
oo
converge
L
{==}
. ko
b)
1+=
f (x) clx div erge
L
{==}
ko
Dimo straziou c.
f (k ) conoerqe;
k= k o co
f(k) diverge.
k =k o
'V+
o
Integrali impropri.
Esempi 10.14 i) II Criterio integrale permette di studiare la convergenza della serie a r m o n ica co
g e ner a lizza t a ' "
~
~ ka
per tutti i valori ammissibili del parametro a . Osserviamo
k =l
infatti che la funzione
~a ,a > 0, x
soddisfa le ipotesi de l teorema e ha integrale
improprio su [1, + 00) convergente se e solo se a > 1. In conc1usione
t; oo
1 k
a
{ converge se a > 1 , diverge se 0 < a ::; 1 .
ii) Studiamo la convergenza della serie
=
L
k =2
1
k logk '
378
10 Calcolo int egrale II
Consideriamo f(x) in qu anto
Pertanto la serie
1
= -1--
00
L
k= 2
x ogx
e rieordiamo ehe il suo integrale su [2, +(0) diverge
+00 - 1 1 +00 -dt 1 dx = = + 00.
1
X log x 1 k 10 k diverge.
2
lo g 2
t
D
g
Osserviamo infine ehe il eon eet to di integrale improprio puo essere defini to sulla semiretta (-00, b] , ponendo
Le propriet a e i eriteri di eonvergenza presentati sopra si adattano faeilmente a questa situazione. 10.1.2 Integrali di funzioni non limitate Consideriamo ora un intervallo limitato [a, b). Introdueiamo l'insieme R1oe([a, b)) delle funzioni definite su [a , b) e integr abili su ogni so ttointervallo ehiuso e lim it ato [a, c] con a < c < b. Se f E R1oe([a ,b)) risulta quindi definita su [a , b) la funzione integrale
F( c)
=
l
e
f( x) dx .
Studiamo il eomportamento limite di t ale funzione p er c
f
Definizione 10.15 Sia
l
a
b
----+
b:' ,
E Rloe([a, b)). Poniamo {fo rmolme nte)
f (x) dx
=
lim_ C -4 b
j.ef (:r) dx ; a
il sim bolo a pr ima m embra viene detto integrale improprio di i)
(10.4)
f su [a , b).
Be illimite esis te ed efinito , si dice che la fun zione f eintegmbile (in sens o impraprio) su [a, b) 0 , equiu aleniemen te , che il suo integrale improprio e co n v e r gen te .
ii) Be il limit e esiste ed divergente .
e infinit o,
si dice che l 'integrale improprio di f
iii) Be il lim ite n on esis te, si dice che l ' int e g r a le improprio di f
e
e oscillante.
10.1 Integrali irnpropri
379
L'insiem e delle fun zioni integr abili su [a, b) verra indicato con il simbolo R( [a, b)). Osservi amo innanzitutto che se un a fun zione definit a in [a, b] e limitata e integrabile su [a, b] (nel senso di Cauchy 0 di Riem ann) , allora essa e pure integrabile in senso improprio su [a, b) ed il suo int egrale improprio coinci de con qu ello definito . In fatti , posta M = sup If (x) I, si ha
ib
x E[a, b] c
lib f( x) dx - i
f (x ) dxl =
lib
If( x) 1dx < M(b - c);
f( x) dxl
1. sc a
vi=x sull'intervallo [~ , 2)
380
10 Calcolo int cgra le II
Se a = 1,
l
b
a
_1_ dz b- X
=
lim log bb - a -
c-> b-
C
= + 00.
In concl usione a bbiamo
j
b 1 { converge - - --,----- dx . a (b - x) a diverge
se a
< 1,
se a 2: 1.
D
Analogamente a quanto fatto p er gli int egrali impropri su in tervalli non limita ti , e possibile di most rare ch e se la funz ione f e positiva su [a, b), I'integrale improprio di f su [a , b) e o converge nte oppure divergent e a + 00. Valgono criteri di convergen za a nalogh i a quelli visti p er gli int egrali impropri su intervalli iIIimitati . Ci Iimitiamo a enunciare esp licit a mente i Criteri del con fro nt o e del confronto asintoti co ; Ie dimo straz ioni verranno omesse, in quanto sim ili a quelie del caso precedente.
Teorema 10.17 (C r it e r io del confronto) Siano i ,g E R1oc( [a, b)) du e f unzioni tali che 0 ::; f (x ) ::; g( x ) per ogni x E [a , b). A llora
0 ::;
l
a
b
f( x ) dx ::;
{b
J
a
g(x) dz..
(10.5)
In part icolare,
i) se l'integrale improprio di g converge, allora converge anc he l'in t egrale improprio di f ; ii) se l'int egrale improprio di f improprio di g.
div erge, allora div erge an che l 'in tegrale
Teorema 10.18 (Criterio del confronto asintotico) Sia .f E R loc([a, b)). Supponiamo che f abbia ordine di infinito a per x ----+ u: rispetto all 'infinito 1 campione ip(x ) = -b - .
- x
i) S e a < 1, allora f E R ( [a , b)); ii) S e a 2: 1, allora
l
b
f (x ) d x diverye.
10.1 Integrali impropri
381
In modo analo go a quanta fat to per introdurre l'integral e improprio di funzi oni defini te S11 [a, b), p ossiamo consi de rare l'integr ale improprio su (a, b], pone ndo
l
·bf (:1; ) dx =
a
jbf (x ) dx .
lim
c ~a + . c
Tutte le propriet a vist e preced entem ente valgono con le ovvi e mod ifiche di not azioni. Esempi 10.19 i) Studiamo l'integrale
J [7=X 3
1
V~
dx .
La fun zione f( x) = J ;= ~ e defini t a e continua in [1 ,3) ed e infinita pe r x ---+ 3- . P oiche, 7 - x ::; 4 per ogni x E [1,3) , ap plica ndo il Criterio del confro nt o, si ha dx < 3 -x J3)73- xx dx < 2J3d-=x 1
+ 00
1
in base a ll'E sem pio 10.16. Dunque l'integrale cons ide rato converge. ii) Prendiamo ora in esame
J
eX + 1
2
1
P oiche, p er x
E
(1, 2]'
( x-
e+1
I)
2
dx .
eX + 1 (x-IF per il Criterio del confronto si deduce che l'integrale assegnato diverge a
...,---....,..",. < (x-IF
...,---~
+00 .
iii) Studiamo
1 1r
Per x
---+
0+ , f (x) =
l'integr ale converge . iv) Sia
!X
sm z
o
rv
/
2
VX
- - dx . sinx
~ ; dunque, per il Criterio del confront o asintotico,
yX
1 4
log( x - 3)
d
x 3 - 8x 2 + 16x x . . log(x - 3) , . . La funz ione f (x) = 3 2 e defimta 1Il [7f, 4) e t ende a x - 8x + 16x 1r
Inoltre,
f( x) = 10g(1 + (x - 4)) x (x - 4F
1 4( x - 4) '
+ 00
per x
---+
4- .
382
10 C alcolo integr al e II
quindi , ancor a per il Cri t erio del confranto as int ot ico, l'integr ale diverge a -00 (si osservi che la fun zione f( x) = l /( x - 4) e negativa in un intorno sinist ra di D x = 4).
10.2 Altri integrali impropri Supponiamo, infine, di voler st udiare l'int egr abilita di un a funzione definita su un int ervallo I , limi t ato 0 non limitato , la Quale event ualme nte presenti un numero finito di punti in cui non sia limitata . E allora possibile suddivider e l'intervallo I nell 'unione di un numero finito di sottointe rvalli I j , j = 1, ... , ri , su ognuno dei qu ali si verifichi soltanto un a delle sit uaz ioni esamin ate nei due paragrafi preceden t i (si ved a la Fi gura 10.4). Scelta la suddivisione, p oniamo formalmente
I
f (x ) dx =
~ lj f (x )dx .
Si dic e che l'integrale improprio di f su I converge se convergo no tut ti gli integrali a secondo membra. Inoltre, non e di fficile verifi care che il comp ortame nt o dell'int egrale e il suo valore in caso di converge nza sono indipendenti dalla suddivisione pr escelta dell'intervallo I . Esempi 10.20 i) Studiamo l'int egrale
s=
1+ + 00
- 00
_1_ dx. 1 x2
Scegliendo ad esempio l'origin e come punta di suddivisione della retta reale, scriviamo
Figura 10.4. Trapezoide di una fun zion e illimitata su un inter va llo illimit a to
10.3 lntegrali curvilinei
5 =
1
1 -1- -
0
+X
- 00
1+ + 00
dx+
2
0
entrambi gli integrali convergono e valgono
-1+
ii) Consideriamo I'integrale
00
51 -
Jr
383
1 -1 2 dx ; X
/ 2, dunque 5
=
Jr .
sin x dx .
-2-
o
X
La funzione integranda e infinita nell'origine, pertanto suddividiamo la semiretta (0, +00) ad esempio nei due sottointervalli (0,1] e [1, +00) e scriviamo 51 =
1
~
per
poiche sm X
x2
rv
X
1
o
.
SIn X 2 X
X
d
x+
J+oo sm. 1
~ 0+
X
2
d .
X
X,
Isin2X I < .l.2
e
x
-
x
'
il primo integrale diverge per il Criterio del confronto asintotico 10.18, mentre iI secondo converge per il Criterio del confronto 10.5. In definitiva 51 diverge a +00. Se invec e consideriamo l'integrale + 00 sin x 52 = ~dx o X con un ragionamento analogo, possiamo concludere che l'integrale converge.
1
iii) Sia
5 -
J6
-
1
(x
X- 5
+ 1)~ x 2 -
6x
+8
dx
La funzione integranda e infinita in -1 (che pero integrazion e) , in 2 e in 4. Dunque possiamo scrivere
5=
(J2 Jr t +
1
+
2
./3
6
+1 4
)
.
e fuori
dell 'intervallo di
x- 5 dx. (x+l)V(x-2)(x-4)
Poiche la funzione ha ordine di infinito 1/3 sia per l'integrale converge.
X
~ 2± sia per X ~ 4± , 0
10.3 Integrali curvilinei Passiamo ora al ca lcolo integrale sulle curve, che verra trattato in questa e nel successivo paragrafo. In molte applicazioni, e utile int egrare una funzione reale definita sul sostegno di una curva (si veda il Paragrafo 8.4) . Introduciamo quindi il concetto di integrale curvilineo; esso rappresenta il primo esempio di int egrazione di una funzione di pili variabili reali. Sia ry : [a,b] ~ ]Rd (con d = 2,3) un arco di curva regolare, e sia C = ,([a,b]) il suo sostegno. Sia poi f : dom f O.
COli
D1l11C\1lC
./~ I =
I" ,r'
I(8(T)) 1 8'(T)11 dr fb(y(T))) 1II' (cp (T))y' (T)11 dr
I"fbCp(T))) 1II' (cp (T))ll cp'( T) elT . Ora escgui.uno la sost i tuziouc t ottcncndo
tf .18
=
= cp( T). da cui elt
I,ll fb(t)) Ib '(1.)11
.1/
elf =
t I, .I,
o
In base alla proposizione precedente, si ha immediatamente il seguente risultato. Corollario 10.26 L 'inieqrale curviline o di un a funzione non cam bia se alia curva sos ti tuiam o 11TW CUT'Va ad ess a congruen te . Notiamo che, detto c un qualunque punto in (a, b) e posta I I
=
e
'2all'intervallo ' I si ha , per la proprieta di additivita dell 'integrale definito rispetto di integrazione, =
' I[a,e]
[e,b] ,
(10.7) Tale proprieta suggerisce come estende re in modo naturale il concetto di integrale curvilineo agli archi regolari a tratti . Pili precisamente sia , : [a , b] ---> JRd un arco regolare a tratti e siano a = ao < al < .. . < an = b punti di [a, b] tali che gli archi di curva Ii = 'I[a i-l ,ai ]' i = 1, ... , n, siano archi regolari. Sia ora I , come prima, una funzione definita almena su C e tale che la funzione composta I sia continua a tratti su [a, b]. Si pone allora p er definizione
0,
jI=tl' if . ,
Tale definizione
e coerente con la
i= 1
proprieta additiva (10.7) delle curve regolari.
Osservazione 10.27 11 calcolo di un integrale curvilineo relativo a un arco regolare a tratti , puo essere reso pili agevole usando il Corollario 10.26. Infatti si ha
388
10 Calcolo integrale II
j'"Y f = ti= 1 ./rs, f
(10 .8)
dove ogni ~ i e un arco di curva congruente a '"Yi' i = 1, ... ,n, scelt o in modo da sem plificare il calcolo del corrispondente integrale a secondo mernbro. D Esempio 10.28 Si voglia ca lcolare I'"Y x 2, dove '"Y : [0, 4] ----> ]R.2 del bordo del quadrato uni tario [0, 1] x [0, 1]: '"Y1 (t ) = (t ,O)
e la
seguente parametrizza zione
°
:s:; t < 1 , '"Y2(t) = (1, t - 1) 1 < t < 2 , '"Y(t) = '"Y3(t) = (3 - t, 1) 2 :S:; t < 3 , { '"Y4(t) = (0 ,4 - t) 3 :s:;t:S:;4 (si ved a la Fi gura 10.6, a sinist ra), In troduciamo Ie parametrizzazioni dei lati del quadrato ~1 (t) = '"Y1 (t)
= (t , 1) (0, t)
1,
~4(t) =
(1, t)
°< t
IR un arco regolare e sia s l'asci ssa curvilinea defini t a dall a (10 .11) con to = a; allora s(a) = 0 e s(b) = II,'(T)II dr = f (r ). Usando tale parametro per esprime re l'int egr al e cur vilineo di un a funzione i , si ha
(
i, f
=
( { e(, )
I;y f
=i
o
f(7( S)) ds
r:
= io
D
f(r(t(s))) ds.
La definizione preced ente di ascissa cur vilinea puo esse re estesa in modo ovvio alle curve regolar i a tratti . Esempio 10.30 Sia , : IR
---->
1R3 la curva ,(t) = (cos t , sin t , t ) il cui sostegno
(ved asi l'Esempio 8.8 vi)). Si ha 1Ir'(t) II = II(- sin t , cos t , 1) II 1)1/ 2 = V2. P ert anto, scegliendo to = 0, abbia mo
s (t ) =
it
1Ir'(T) IIdr
= V2it
dr
e l' elica
=
2
(sin t
circola re
+ cos 2 t +
= V2t .
Ne segue che t = t (s ) = 1s, con s EIRe l'elica circolare puo essere riparamet r izzata mediante l' as cissa curvilinea come
7( S) = ( cos
~ s ,sin ~ s,~ s)
D
10.4 Integrali di linea In qu esto paragrafo , introduciamo le nozioni d i campo vet toriale e di integrale di linea , che permettono di tradurre in t ermini mat em ati ci concet t i fisici fond amentali, qu al i ad ese m pio quelli di cam p o di forze e di lavoro di un a for za . Definizione 10.31 Sia f2 uti soitoinsie m e n on V110to in IR d , d = 2,3 . Una junzi one F : f2 ----> IR d dicesi campo vet toriale in f2. Indichi amo con Ii : f2 ----> IR, i = 1, . . . , d, Ie componenti di F , ossi a scriviamo F = (il , .. . , fd)' Usando i ver sori i , j e k int rodotti nel Paragr afo 8.2.2 , po ssiamo anche scrivere F = f l i + hj se d = 2 e F = I, i + hj + 13k se d = 3. Il concetto di integraIe curvilineo puo essere este so ai cam pi vet t ori ali dando origine al concetto di in t egrale di linea . P recisamente sia , : [a, b] ----> IR d un arco
392
10 Calcolo integrale II
regolare tale che il sostegno C = ,( [a , b]) sia cont enut o in f?; in tal moelo e elefinita t f-+ F(,(t)) a valori in lR d . Supporremo che su [a, b] la fun zion e composta F tale fun zion e sia cont inua, vale a elire che tutte le componenti f i (,(t)), elefinite su [a, b] a valori in lR sia no funzioni cont inue. Per ogni t E [a , b], inelichi amo con
0, :
,'(t)
r(t) = 1II'(t) II
il versore tangente al sost egno elell 'arco nel punto P(t) scalare F; = F . r elefinita com e Fr(t)
= (F . r)(t) =
,(t) . La funzione
F(,(t)) . r(t)
rappresenta la componente elel campo F lungo il versore tangente al sostegno eli
,inP=,(t). D efinizione 10 .32 L 'integrale eli linea di F Sl1 , Sl1 , della [u nzi otie Fr . Ponuuno dunque
r
l-, F·
elP
=
e l'inieqrale curin iin eo
1,
Fr·
Si osservi che l'integrale a seconelo membra val e
Per t anto l'integrale eli linea eli F su , puo essere espresso come
1,
F · elP =
l
b
F(, (t)) ·,'(t) elt .
(10 .12)
II significato fisico e eli particolar e importanza . Se F elescrive un campo eli forze applica t e al sost egno elella curva, l'integrale eli lin ea rappresenta il lavora compiuto elalla forz a F nello spostamento lungo il sostegno elell 'arco ,. La seguente praposizione e la cont ropar te elella Praposizione 10.25 per gli int egrali eli linea. Proposizione 10 .33 Sia,: [a, b] ~ lRd uri arco di C117'va reqolore, di sostegno C, e sia F l1n campo uettori ole definito Sl1 C e tale che F o, sia cont inua. A llora si ha
r F · elP
l-,
=
-1-,
F · elP
per ogni C1l7"Va 8 equioalenie a ,.
e
1,
F · elP =
10 F · elP ,
10.5 Esercizi
393
Da un punto di vist a fisico la proposizione assicura che il lavoro di una forza cambia segno cambiando il verso di percorrenza del sostegno dell'arco; una volt a scelt o il verso, il lavoro dipende soltanto dal sostegno e non dal modo con cui esso viene percorso. Esempi 10.34 i) Consideriamo il campo vettoriale piano F : 1R,2 --+ 1R,2 definito da F (x , y) = 2 2 (y, x ). Consid eriamo poi l' ellisse xg + ~ = 1 che parametrizziamo mediante
,(t) = (3cost ,2sint) . Si ha F (I (t )) ,'(t) = (-3sint ,2cost) . Allora 21r(2sint F · dF = 1 ,3 cost) . (-3sint ,2 cost)dt I'ar co ry : [0, 27f]
--+ 1R,2 ,
= (2s int ,3 cost)
e
1,
= 61 =
21r(
-sin 2t+ cos2t)dt
12121r cos 2 t dt - 127f
= 61
21r(2cos
2t-1)dt
= 0,
poiche, ricordando l'Esempio 9.9 ii), si ha
21r
1 ()
cos 2 tdt =
[ -t 1 + -1 sin2t] 21r = 2
4
tt .
()
ii) Sia ora F : 1R,3 --+ 1R,3 il campo vettoriale definito da F (x , y , z ) = (e" , x + y, y+ z ) e sia, : [0,1] --+ 1R,3 l'arco , (t ) = (t,t 2,t3 ) . Abbiamo F (I (t )) = (e t , t + t 2, t 2 + t 3 ) e ,'(t) = (1, 2t, 3t 2) . Pertanto
o
10.5 Esercizi 1. Verificare la convergenza dei seguenti integrali impropri e ca1colarne
1 Ql + a
1
+ 00
)
()
00
~
2
x2
+ 3x + 2 dx 1
x yX=2dx x - 2
1
+00
b)
o
X
(
x + 1)3 dx
jJ
valore:
394
10 Ca lcolo integr ale II
2. Discu tere la convergenza dei seg uenti in tegrali impropri:
+00 -sin-x & 1o x,jX
~
~
~
1 1
e)
';x - x 2
o
rg)l
r
.
sin 7fX
00
Ql + 1
t": xe- x dx io
c)
1+ 0
oo
~
e
1r
x - 7f / 2
/
f)
dx
0
r
fh)l
dx
L.!Ji o
~ io cos xvsin x
1 log2(2 + eX)
&
log x {IX2 dx
2
1
- - dx , ;sin
x
(7f - x) log x dx Vl log (l - sinx )!
QJ St udiare la convergenza dell 'integrale
al variare di n E N. Calco larlo p er il piii pi ccolo valore p er cui con verge.
00 ar ctan x d )1+ a -00 Ixl x
4. Stabilire p er qu ali valori di
c) r +
oo
io
[TI
1
x(4 + 9X)2
0:
JR con vergono i seg uen ti in tegrali im propri:
00 fh\l1+ ~ -00 Ix
E
1d5l1+00
dx
~
Determin are p er qu ali valori di
0:
3
1
+ 5x 2 + 8x + 41 1
(x - 2) VTX=3f
dx
dx
E JR con verge l 'in tegrale
r x(sin(x2- 2» dx 3
i2 e calcolarlo p er
0: =
v x -4
O.
6. St udiare la convergenza dei seguenti in tegrali impropri:
J
+oo
»: a)
c)
[2J
1
2
(log( x+l) -log x)dx 1 {Y"X-=2 log -x - -2 dx
x- 2
x+ l
b)
r +oo eX - 1 - sin x
io
errx - l -sin 7fx dx
00 @I]1+ d) dx sinx- (x+ x ) log(e +x ) X
0
Calcolare l 'integrale curvilineo della fun zi on e
f (x , y , z) =
x
2(
1 + 8y)
VI + y+ 4x
2
y
sull'etco -v defini to da , (t ) = (t, e, log t), t E [1, 2].
2
10.5 Es erci zi
395
8. Calcolare l 'integrale curvilineo della funzion e f( x , y) = x sull 'arco chiuso e sem plice , il cui sostegno c l'unione dell'arco di p arab ola di equazion e y = 4 - x 2 p ercorso da A = (-2,0) a C = (2,0) e dell 'arco di circonferenza di equazion e x 2 + y2 = 4 di estrem i C e A .
[J[J
Calcolare l 'integrale curvilineo della funzion e f( x, y) = x + y s ull'arco chi uso e semplice , il cui sostegno, contenuto nel primo quadrant e, e l'unione del segm en to di estrem i 0 = (0,0) e A = (1,0) , dell'arco di ellisse di equazione 4x 2 + y2 = 4 di estrem i A e B = y'2) e del segmento che unisce B all 'origine .
(1",
10. Calcolare l 'integrale curvilineo della funzion e f( x , y) =
1
2 sull 'arco x +y + 1 cbiuso e sem plice , i1 cui sostegno e l 'unione del segmento di est rem i l 'origin e e i1 punta A = (y'2, 0), dell'arc o di cerchio di equazione x 2 + y2 = 2 di estrem i A e B = (1,1) e del segm ento che unisce B all 'origine.
II[]
2
Calcolare l 'integrale di linea del cam p o F(x ,y) = (x 2, xy) sull'arco ,(t) (t 2 , t ), t E [0,1] .
12. Calcolare l'in t egrale di linea del cam po F(x , y , z ) = (z , y , 2x) sull 'arco ,(t) (t , t 2 , t 3 ) , t E [0,1] .
=
13. Calcolare l 'integrale di lin ea del cam p o F(x , y , z ) = (2ft, x, y) sull 'arco ,(t) (- sin t ,cost,t2 ) , t E [0, ~].
=
ill]
Calcolare l 'iutegrele di linea del cam po F(x , y) = (x y2, x 2y ) sull'arco sem plice , i1 cui sostegn o e Formato dai tre segm enti consec utivi di estremi A = (0,1) , B = (1,1) , C = (0, 2) e D = (1,2) .
15. Calcolare l 'integrale di linea del cam p o F( x , y) = (0, y) sull 'arco chiuso e semplice i1 cui sostegno e l 'unione del segmento di estrem i l 'origine e A = (1,0) , dell 'arco di circonferenza di equazione x 2+y2 = 1 di estrem i A e B = e del segm ento che unisce B all 'origine.
(1",1")
10.5 .1 Soluzioni 1. Verifi ca eli convergcnza c ca lcolo eli int cgrali impropri:
a) log 2 ;
b) ~ .
c) La funzione integranda f( x) = Xv'~ -2 non e limi t ata in x = 0 e in x = 2. Il punto x = 0 e esterno all'inte rvallo di integrazione e quindi non 10 pr endiamo in conside razione. Possiamo p ert an to suddivide re l'integrale come
396
10 Cal colo int egra le II
1
+ 00
2
1 - -dx xy'X"=2"
=
Osserviarno che per x
1 3
1 dx x ";x - 2
2
2+, f(x)
--+
+
1+
2(x _
rv
00
3
12 )' / 2
1 dx x";x - 2
=
51
+ 52 .
e dunque l'ordine di infini-
t o della fun zione e ~ < 1. Pertanto, per iI Criterio del confronto asintotico 10.18, l'integrale 51 converge. Per verificare la convergenz a di 52, studiamo il comport amento di f per x --+ +00. Si ha f( x)
rv
1
1
X . Xl/2
x 3/ 2
x
'
+00 .
--+
Dunque per Criterio del confronto asintotico 10.10 anche 52 converge. Per calcolar e l'integrale, poniamo t 2 = X - 2, da cui 2tdt = dx e x = t 2 Quindi
r: t +
= Jo
5
2
2
2 dt
2
t
= v'2 arctan v'2
+ 2.
10+ = 2v'2 7f · 00
d) La funzione integranda e infini t a pe r x = 0 e x = 4. Quest 'ultimo punto non appart iene all'intervallo di int egr azione. In x = 0, si ha 1
f( x)
4M
rv - - -
per
x
--+
0,
quindi l'inte gralc converge p er Criterio del confront o asintotico 10.18 applicat o ai due integrali 51 =
1
1
0
- 1
"j=X( x - 4)
Pe r calcolare 51, poniamo t 2 51
=-
=
11- 2
o t2
+4
An alog amente, ponendo t 2
=x
52 =
1
2
1 - - dt
o t
2
-
4
= -1 2
11
0
dx
e
- x da cu i 2tdt dt
=-
1 1
52 =
= t
arc tan 2
. 0
1
r;:;.( . ) dx . y X x - 4
- dx e x - 4
11 = 0
=
_t 2 - 4. Allora
1 arc t an - . 2
si ha
(1t- 2
Dunque 5 = 51 + 5 2 = - (arctan ~
- -1 -) t
+2
dt
= -1 2
It - 21]
[log - t +2
1 = -1 log -1 .
0
2
3
+ ~ log3) .
2. St udio della conve rgenza eli integrali impropri: a) Converge. b) La fun zione f( x) = log2 (~ +eX ) e definita su tutto JR. in qu anta 2 + eX > 2, \:Ix E JR.. Quindi e sufficicnte st udiarne il com por tament o per x --+ +00. Si ha
10.5 Esercizi
quindi
1
1
f( x) = (x + log(1 + 2e- X ))2 "-' x 2 '
397
X ---t +00.
Dunque l'integrale converge per il Criterio del confronto asintotico 10.10. c) Converge. d) Nell 'intervallo di integrazione la fun zione int egranda e limitata. Inoltre log x
1
v z-
v z-
- >-3/"2 - 3 ~'
Vx 2 e .
Dunque, per il Criterio del confro nt o 10.5, l'integrale diverge. e) Converge; f) Converge. g) La funzione integranda non e definita per x = 0, x = ~ e x = tt . Oss erviamo che per x = ~ , la funzione e prolungabile pe r continuita a - 1 in quanto, ponendo t = x - ~ , risulta cos x = cos(t
+~) = - sint = -sin(x -~)
e dunque
f( x) = Quindi l'integrale in x = tt
f( x) "-'-2y'X'
~
x- ~
~
"-' -1 ,
1f
X---t - .
cos xvsm x non e improprio. Inoltre
x---tO+;
f( x),,-,-
2
1f 2V1f -
,
x ---t 1f- .
X
Quindi l'integrale converge p er il Criterio del confronto asintotico 10.18. h) La fun zione integranda non e definita per x = 0, x = ~ e x = tt . Per x ---t 0+, risulta 1f log x 1f log x f( x) "-' Ilog(1- x)11 / 2 "-' fi La funzione non ha ordine di infinito rispetto all'infinito campione ~; tuttavia
essa e sicuramen t e un in finito di ordine inferiore ad ogni poten za x~ con ~ < a < 1, in qu anto illogaritmo e un infinito di ordine inferiore a una qualunque poten za x\ con q > 0, p er x ---t 0+ . Pertanto, per il Criterio del confro nt o asintotico 10.18, l'integrale in 0 converge. P er x ---t ~ , la funzione t ende a 0; dunque in x = ~ l'integrale non e improprio. Per x ---t 1f- , si ha (log1f)(1f-x) (log1f)(1f- x) + sin (x _ 1f))!1 /2 "-' I sin(x _ 1f)11/ 2
f( x) "-' Ilog(1
"-'
(log1f)(1f - x )
1/2
e quindi, ancora, l'integrale in x = 1f non e improprio in qu anto la fun zion e tende a O. In defini tiva, l'integrale assegnat o converge.
398
10 Calcolo int egrale II
3. Osserviamo che la fun zione
e defini t a su t utto ffi. e x
1
f (x ) '" -x Tl - 1 x Tl-
x ---. +00 .
'
P ert an to I'int egr ale converge se n - 1 > 1 oss ia per n > 2. Dunque il pili piccolo va lor e di n per cui si ha convergcnza e n = 3. Calcoliamo quindi I'int egr ale
S=
1
+00
X
J (x 2 + 3)3
2
dx .
P on end o t = x 2 + 3, si ha dt = 2xd x , da cui si ot ti ene
4. lniervnllo di convergcnza eli intcgrali impropri:
a) a E (1, 2). b) Osserviamo che x 3 + 5x 2+ 8x + 4 = (x+ 2)2(x+ 1); pertanto dobbia mo studia re il comport ament o della fun zion e per x ± 00, x ---. -2 e x ---. - 1. Risul t a
f (x ) '"
1
Ix13
x ---. ± oo ;
'
1
f (x ) rv Ix + f (x ) rv
x ---. -2 ;
2 12 '
1
Ix + 1 1
x---. - 1 .
'
P er avere converge nza, si devono quindi imporre Ie condizioni 3a > 1, 2a < 1 e a < 1. P ertanto deve esserc a E (1, ~) .
c) aE (- l, l ). d) La fun zion e int egr anda non
e limi t at a
per x
1
f( x) '" x 3 / 2 ' f( x)
1 rv X _
=
2e x
= 3. Osserviamo che
x ---. + 00 ,
2 ' 1
f (x ) '"
Ix- 311 / 2
'
Dunque non vi sono probl emi di conve rgenza per x ---. + 00 oppure x ---. 3; mentre se x = 2 e incluso nell 'inter vall o di int egr azion e, I'int egr ale diver ge. P ert ant o dovra essere a > 2. 5. a > -~ e S
= V5.
10.5 Escrcizi
399
6. Studio della convergenza di uitegreli Jmpropri.
a) Diverge;
b) Converge.
e limitata in
c) Nell 'intervallo (2, +00), la funzione non
x-2 log - -
x+1
x = 2. La funzione
1
rv
log -(x - 2) , 3
e un infinito di ordine inferiore a qualsiasi potenza positiva di X ~ 2 per x ----. 2+ . P ertanto f e un infinito di ordine inferiore a (x _ 2~1/3+a (p er ogni a > 0) . Tale ordine, per unopportuna scelta di a (ad esempio a = ~) e minore di 1 e quindi l'integrale converge in x = 2. P er x ----. + 00, si ha
x - 2 log--
x+1
rv
x+1
e, dunquc,
f(x)
3)
log ( 1- - -
3
rv -
X
1/3
3
x+1
3
·x
3
rv - - - rv - - ,
x
x ----. +00.
X 4/3 '
In definitiva , l'integrale converge. d) Esaminiamo il comportamento della funzione integranda in x = O. Si ha sinx - (x + x 2 ) log( e + x ) = x + o(x 2 )
= _ x 2 + o(x 2 )
-
(x + x 2 )
(~ + o(x))
e quindi
f(x)
-
1
rv -
(1 + ~) x '
(x + x 2 ) = -
(1 + log (1 + ~ ) )
(1 + ~) x
2
+ o(x 2 ) ,
X ----.
0
x ----. O.
Dunque l'integrale diverge p er x = O. Non e nec essario studiare il comportamento per x ----. +00 (anche se non e difficile vcrifi care che pure in qu esta caso si ha divergcnza) per concludere che l'integrale assegnato diverge. 7. Poiche p er t E [1,2], si ha
,'(t) risulta
8. O.
=
(1, 2t,~) ,
400
10 Calcolo integrale II
9. Calcoliamo dapprima le coordinate del punta B apparten ente a l primo quadrante e punto di inter sezione t ra la retta y = 2x e l'ellisse 4x 2 + y2 = 4. Si otti ene facilmente B = v'2). Osserviamo che l'arco regolare a tratt i I puo essere suddiviso nei t re archi regol ari 11 ' 12 e 13 i cui sostegni sono risp ettivamente il segmento OA , l' arco d i ellisse AB e il segmento BO . E possibile definire archi 01, 02 e 03 congrue nt i rispettivamente a'l' 1 2 e 1 3' nel modo seguente
(V; ,
01(t ) = (t ,O)
0 ::: t
0 per ogni valore di y , dunqu e non vi sono
integrali sin golari . Sep ar ando le vari abili , ot t eniamo
J
(e"
da cui
+ 1) dy
=
J
(e"
+ 1) dx ,
eY + Y = eX + x + C, C E !R. In t al caso, non e po ssibile esplicitare y in fun zion e di x .
o
11.2 Equazioni d el p rimo ordine
411
11.2.2 Equazioni lineari
Tali eq uazion i sono del t ipo
Iyl + a(x)y
= b(x )
I
(11.1 3)
con a e b funzioni contin ue su I. In tal caso, la fun zion e f( x , y) = - a(x)y + b(x) primo grad o in y, a coefficienti dipenden ti d a x . L 'equazion e si di ce omogenea se b(x) = 0, non omogenea di versament e. Risolvi amo innanzi tut to l'equazione omogenea , che scriviamo come
e un polinomio di
= - a(x) y.
yl
(11.14)
Essa e una part icola re equazione a variabi li separabili, in cui, facendo riferimento a lla (11 .10) , si ha g(x) = - a(x ) e h(y) = y. Una soluzione e la funzione costante y(x ) = O. Altrimen ti , separando lo variabili , ott eni amo
.I ~dY = .I -
a(x)dx .
Se A( x) indica una primitiva di a(x) , cioe se
.I
ab bia mo allora
a(x) d x
A( x)
=
log Iyl
+0,
c
E
JR,
(11.15)
= - A(x ) - 0
vale a dire e dunque
y(x)
= ±Ke -
A (x) ,
avendo posta K = e - c > O. Notiamo poi che la soluzion e particolare y(x) = 0 e contenuta nella for mula precedente se ammet t iamo che K possa assume re anche il valo re O. Pert anto , tutte le soluz ioni dell'equazione line are omogenea (11.14) sono rappresentat e d alla formula
y(x) =
K e - A (x ) ,
K E JR,
ove A(x) e defini t a dall a (11.15) . P assiamo or a a ll'equaz ione non omogen ea . Applichi amo il cosiddett o m etoda di variazione delle costanti, che consiste nel cereare la soluzione nella forma
y(x)
=
K( x) e -A( x) ,
dove ora K( x) e una funz ione della variabile x , da determinarsi . Tal e rappresent azione di y(x) e sempre possibile, essendo e -A (x ) > O. Sostituendo nell 'equazi one (l1.1 3) , ot t eniamo
4 12
11 E quazion i differ en ziali ord ina rie
K ' (x )e- A(x) + K (x )e- A(x)( - a(x) ) ossia
+ a(x) K (x) e- A(x) =
b(x ),
K ' (x ) = eA(x)b(x) .
Det t a B (x ) un a primiti va della funzion e eA(x)b(x) , cioe
J
eA(x)b(x) dx
abbiamo quindi
=
B (x ) + C ,
C E lR,
(11.16)
K (x ) = B (x ) + C,
e dunque la soluzione generale della (11.13) risul t a essere
I y(x ) = c-A(x)(B(x ) + C ) , I
(11.17)
con A (x ) e B (x ) definit e rispettivamente nelle (11 .15 ) e (11.1 6). Essa viene t al volta scr itta nella forma pili espressiva
y(x ) = e-J a(x)dx
J
eJ a(x)dx b(x ) dx ,
(11.18)
che mette in luce i passi da compiere per risolvere un 'equ azion e lin eare non omogenea : si devono det erminar e in successione due prim iti ve. Se si deve risolvere il probl em a di Cauchy
y' + a(x )y = b(x ) nell 'inter vall o I , { y(xo) = Yo , con Xo E I e Yo E lR ,
(11.19)
pu o essere conven iente scegliere come primitiva di a( x) qu ella che si annulia in xo , che in base al Teor em a fondam ent ale del ca lcolo int egrale rappresen ti amo come
A (x ) =
r a(s) ds ; possiam o operare analoga me nte p er B (x ), definendo
l XD
(si ricordi che Ie vari abili di integr azione sotto segno di int egrale definito sono mu t e). Usando qu est e espress ioni per A (x ) e B(x ) nella (11.17) , ricavi amo y(x o) = C e qu indi la soluzione del pr obl em a di Cauchy (11.19) sara que lla per cui C = Yo, cioe precisamen t e (11.20)
11.2 Equazioni d el primo ord ine
4 13
Esempi 11.7
i) Si voglia determinare l'int egrale generale dell 'equ azion e lineare
y'
°
+ ay = b,
-b eax, si a
dov e a i= e b sono costanti reali . Scegliendo A( x) = ax e B (x) ottiene l'int egrale generale b y( x) = C e- ax + - . a
Noti amo che se a = - 1 e b = 0, la formula precedente mostra che t utte le soluzioni dell 'equazion e y' = y sono dell a forma y( x) = Ce", Se inve ce si vuole risolvere il problem a di Cau chy y' + ay = b in [1, +(0),
{ y(l)
= Yo ,
conviene scegliere A(x) = a( x - 1) e B(x) =
y( x)
=
~
(YO - ~) e- a(x-l) + ~ .
Si noti che se a > 0, la soluzi one tende al valore
Yo) per x
--t
(e a(X-l) - 1) , ot t enendo
+00.
~ a
(indipendente dal dato inizi ale
ii) Si vogliano de t erminare le curve int egrali dell'equazione differen ziale
x y' + y = x 2 che giacc iono nel primo qu adrante del piano (x , y). L 'equazione si scrive nella form a (11.13) come y
dunque a(x) = ~, b (x ) ~ ; consegue ntemente,
=
,
x x. Scegliendo A(x)
J
eA(xlb(x) dx
Ne segue che, per x
~
0, si ha y( x ) >
x> {l3 ICI.
=
J
x,
= log x , si ha eA(x) = x
x 2 dx
ed e- A(x) =
= ~x3 + C.
> 0, l'integr ale generale dell 'equazione e y( x)
Se C
1
+ -y =
= -1 (1- x 3 + C ) = -1 x 2 + -C .
x 3 3 x p er ogni x > 0, mentre se C
°
p er
o
11.2.3 Equazioni omogenee
Tali equazioni sono del tipo
(11.21)
414
11 Equazioni differenziali ordinarie
dove cp = cp ( z ) e un a fun zione con tinua della variabile z . Dunque , Ia funzione f (x , y) dipende da x e y solt ant o at t raverso il lora rapporto 1{ ; in forma equiva lente , si
x
puo dire che f (AX, AY) = f( x , y) per ogn i A > O.
Un 'equazione omo gen ea si riconduce ad un'equazione a variabili separabili medi ante la ov vi a sosti t uzione z = 1{, da intendersi corne z (x ) = y( x) . Si ha dunque
x x y( x) = xz (x ) e y'( x) = z (x ) + xz' (x ). Sostituendo nella (11.21) , si ot tiene
cp(z )-z x
=
z'
che e appunt o un'equazion e a variabili separab ili nell 'incognita z. Possiamo p ert ant o applicare la te cn ica risolutiva discussa nel Paragrafo 11.2 .1. Ogni soluzione z dell 'equazione cp(z ) = z da luogo a un integrale singolare z (x ) = z, cioe y( x) = zx . Supponendo invece cp(z ) diverso da z , otteniamo
J
I
dz
dx
cp(z ) - z = . --;;;- '
da cui
H( z) = log
dove H( z) indica un a primitiva di avre mo
Ixl + C ,
1
()
cp z - z
.
. Indicando con H
_
1
I'inversa di H ,
z (x ) = H - 1(log Ixl + C) ,
o dunque , tornando alla incogni t a y , l'integr al e gene rale della (11.21) sara I
y(x) = x H - 1(log Ixl + C ).
1
Esempio 11.8 Si voglia ri solvere I'equazione
x 2y' = y2 + x y + x 2.
(11.22)
Riscrivendola in form a norrnale , si ha
, (Y) 2+ ;;Y+ 1, ;;
Y =
che y
e un'equazione omogenea, con
= x z , si ot tiene
cp(z ) = z2 + z + 1. Eseguendo la sostituzione
I'equazion e a variab ili sep arabili
z
,
z2 + 1
= ---.
x Non vi sono integrali singolari , perche z2 + 1 separazione di variabili , si ha arctan z
e sempre positi vo . Integr ando p er
= log Ixl + C
11. 2 E quazion i d el p ri mo ord ine
415
e perta nto I'int egr ale genera le della (11.22) risulta
y(x ) = x tan (log Ixl + C ). Si no t i che la costante C puo essere scelt a indipend ent em en t e in (-00, 0) e in (0, + (0), a ca usa della singo la r ita in x = O. Si noti altresi che il dominio di ogni soluzione dipende dal valor e della costant e C . D 11.2.4 Equazioni del secondo ordine riconducibili al primo Se in un 'equazion e differen ziale del secondo ordine non com pare esplicit ament e la va riabile dipenden t e non deriva t a , cioe se I'equazione e del t ipo
I y" = f (y' , x) , I
(11.23)
a llora la sos t it uzione z = y' cond uce all'equazione del primo ord ine Z'
=
f (z , x )
nell 'incogni t a z = z (x ). Se tale equazione e risolubile e se z (x; Cr) ne indi ca l'int egr ale gene rale, ot t errem o t utte Ie soluzioni della (11.23) risolvendo I'equazione y'
= z,
oss ia ca lcola ndo t utte le primitive di z (x; C 1 ) ; cio introd urr a un a nu ova cost ante di int egr azion e C 2 . L'int egr ale ge nerale dell'equ azione (11.23) ha dunque la forma
dove Z (x ; Cr) indica una parti colar e primitiva di z (x ; C r) . Esempio 11.9 Si voglia risolvere I'equazion e del secondo ordine y" _ (y') 2 = 1. P on endo z = y' otteniamo I'equazion e del primo ordine a variabili separabili Z ' = Z 2 + 1, il cui int egr ale gener ale
e da t o da arctan z =
x + C 1 , vale a dire
z (x, C 1 ) = t an (x + Cr) . In t egr ando ulteri ormen t e, a bbia mo
y(x ;C 1 , C 2 ) =
J
tan (x + C 1 ) dx =
Jsin~x
+
cos x +
= - log( cos (x +Cr) ) +C2
,
~l~ 1
dx
C 1,C2 E IR .
D
116
11 Equazioni differ en ziali or d inarie
11.3 II problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine Nei paragr afi precedenti , abbia mo considerat e alcune fam iglie di equazioni differenziali del primo ardine, p er le quali abbi amo fornito procedimenti che permettono di esprime re gli int egrali gen era li delle equazioni mediante integrali indefiniti di funzi oni note. Le fami glie pr ese in esame non esauriscono affatto l'insiem e delle equaz ioni differen ziali delle qu ali e possibile det erminar e per via analit ica le soluzioni ; varie altre tecni che sono state sv iluppate, p er risolvere in modo esat t o equazioni differenziali di int eresse app lieat ivo. Tut tavia , non p er tutte le equazioni sono disponibili metodi ana lit ici di risoluzione, oppure ove di sponibili t ali me todi po ssono rivela rsi di limi tata efficacia pr ati ca, In qu esti casi, e necessario ricorr ere a t ecniche di approssimazione, soven te d i t ip o numer ieo; nelle situazion i pili comuni, ei si limi t a ad appros simare un integrale p articolare dell 'equazion e, ad esempio qu ello definito da un problem a ai valo ri iniziali di Cauchy. L' uso di metodi di appros sim azione deve pero sem pre seg uire uno studio qualitative del problema differenziale di interesse , che garantis ca alme no l'esist enza di una soluz ione esatta cia appross imare . Le prop riet a qu ali t ative delle soluzioni di un 'equazione differenziale hanno cornunque interesse in se , ad esem pio p er ca pire come la soluzione di un problema di Cauchy sia sensibile alla scelta del valo re ini ziale. Consideri amo quindi il problem a di Cauchy (11 .9) e diamo una sem plice eondizion e su f la Quale garant isce che il problema am mette una soluzione, defin it a in un intorno di x o, che tale soluzione e uni ea e che essa dipende in modo cont inuo dal dato iniziale Yo. Qu ando cio aeeade, dici amo che il problema (11.9) e ben posto (secondo Hadamard). 11.3.1 Funziani lipschitziane
Premettiamo alcuni concet ti relativi al modo con cui una fun zion e di una vari abili dipende dai suoi argoment i.
0
pili
D efinizione 11.10 Un a [iui zioru: reale di variabile reale ! : J -> lR, dove J e un in terv al/a, dicesi lipschitziana in J se esiste una cost ante L 2': 0 ta le che (11.24) La eondiz ione puo essere anehe scritta corne
1!(Yl) - !(Y2)1 < L !Yl - Y21
-
(11.2 5)
,
o quindi equivale al fat to che il rapporto incr emen t ale di degli argoment i Yl =1= Y2 in J .
f
e limi t ato, al variare
11. :~
II problema eli Cauchy per Ie equazioni differenziali del primo ordine
417
Si noti che se la (11. 24) e soddisfatt a p er un certo valore di L , 10 e a nc he per va lori maggiori . La p ili pi cco la cost a nte per cui la (11.24) e verificata prende il nome di cost a n te di Lipschitz di f in J . Essa non e altro ch e l'est rem o superiore della quantita a p rimo m embra de lla (11.25), al variare degli a rgom ent i in J . Non sempre e facile d eterminare esattamente t ale valore , rna in genere e sufficiente conoscere una sua approssimazione p er eccesso. Una funzione lipsch it ziana in J e necessariamente cont inua in ogni punta di J (anzi , e uniformem ente continua in J '"'-+ Funzioni continue ); la Definizione 3.14 di cont inu ita e infatti soddisfatta con la scelta 0 = e] L . Tuttavia, non tutte le funzioni continue sono lipschitziane. Ad esem pio, la funzione f(y) = vY non 10 e su ll' interva llo J = [0 , + 00); scegliendo infatti Y2 = 0 si ha 1
If(Y1) - f(Y2)1
VYl '
IY1 - Y2 1
e facendo tendere Y1 a 0 si vede ch e il quoziente a primo membra non e sup eriormente limitato. Si noti ch e tale funzione ha derivat a (destra) infinita in Y = o. La condizione espressa nell 'enunciato seguente e sove nte la pi li im med iat a da verificare tra quelle che assicurano la lipsch it zia nit a di una fun zione. Proposizione 11.11 Si a f : J
JR una fun zion e deriva bile n ell' intervallo J con deriuaia ivi lim itata; poni amo L = sup 11"(y)1< +00 . Altom f e
lipschitziana
8 11
--+
J con costante di Lip schitz L .
yEJ
Dimost razion e. P er verificare la condizione (11.24) , e sufficiente applicate la seconda formula dell 'in cr em ento finito (6.12) a f sull 'intervallo di est re m i Y1, Y2, otten endo
per
lUI
cer to f) cornpreso tra Yl e Y2; ne segue che
Cia dirnostra che la cost ante di Lipschitz L * di f c :::; L. Viceversa, sia Yo E J a rb itrario . Osservando che per la (11.25) ,
I
f(y ) - f(yo) I :::; L * , lt - Yo
\/ y E J ,
si ha l'Hl 1.f"(Yo)1 = 11 y ---> y o
e dunque L :::; L * .
f (y ) - f (yo) I = I'Hfl I f(y) - f(yo) I < _ L* y - Yo
y --->Yo
Y - Yo
,
D
418
11 Equazioni differen ziali ord ina rie
Vedi a mo ora alcuni semplici esempi di fun zioni lip schi t ziane. Esempi 11.12
e lipschit ziana su ogni int er vall o del t ipo
i) La funzione f (y ) = ,jY a > 0, essendo
[a, +(0) con
O 0, sono complesse coniugate quando Ll < O. Se Ll = 0, si ha una radice doppia A, a cui corrisp onde la soluzione Yl (x) = eAX • La condizione di radice doppia implica che X'(A) = 0; po sto Y2(X) = xe AX , si ha 2
y~(x) = (1 + Ax) e AX
e
e dunque sostituendo nell'equazione otteniamo con semplici passaggi algebrici
pertanto la funzione Y2 e una soluzione dell 'equazione, distinta dalla soluzione Yl . In tutti i casi, dunque, abbia mo determinato due soluzioni distint e Yl e Y2 dell 'equazione omogenea (11.32). Osserviamo or a che, per la proprieta di lin earit a (11.31) , se Yl e Y2 sono due soluzioni della (11.32) e C l , C2 due cost ant i, allor a
cioe a nche ClYl +C2Y2 e un a solu zion e dell 'equazione omogenea .Inoltre, e possibile dimostrare che se Y e una soluzion e di t ale equa zione, allora esist ono due cost anti C l e C 2 tali che Y = ClYl + C 2Y2, essendo Yl e Y2 le soluzioni distinte trovate sopra. In conclusione, I'integrale gener ale dell'equazione omogen ea (11.32) si scr ive nell a form a
Iy(x ; C
l,
C2)
= C l Yl (x) + C2 Y2(X), I
dove C l e C 2 sono costant i e Yl( X) , Y2(X) sono definite nel modo seguen te : se Ll -=J 0, si pone Yl( X) = eAlX e Y2(X) = e A2X dov e Al e A2 sono le radi ci distinte dell 'equazione ca ra t t erist ica X(A) = 0;
11.4 Equazioni lin eari del secondo ordine a coe fficie nti cost an ti
se L1 = 0, si pone YI (x) = e AX e Y2 (x) = xe AX dov e A dell 'equazione ca rat t eristica X(A) = O.
e la
423
radice doppia
Nel caso L1 < 0, e po ssibile esprimere le soluzioni mediante funzioni reali, anzich e complesse coniugate come sopra. E sufficiente sost ituire a YI( X) e a Y2(X) rispettivamente la parte reale eA ,.x cos AiX e la parte immaginaria e Ar X sin AiX di YI(x) , avendo posta Al = '\ 2 = Ar + iAi. Infat t i, se Y e una soluzione dell'equazione omogenea , si ha
£(Rey) = Re(£y) =ReO =O,
£ (I m y ) = Im(£y) = ImO = 0 ,
in qu anta i coefficient i dell' equazione sono rea li; dunque anche Rey e Imy sono solu zioni dell 'eq uazione. Ri assumendo, l'integrale generale dell'equazione omogenea (11.32) si esprime medi ante funzioni re ali nel modo seguente. Caso L1 > O. L'equazione caratt erist ica ha du e raclici reali clistinte
A
_ - a ± V2l
1 ,2 -
e l'int egrale generale
2
e clato cla
con C I , G2 costanti ar bitrarie. Caso L1 = O. L 'equazione carat t erist ica ha clue raclici reali coinciclenti, il cui valore comun e e
A= - ~ 2'
e l'integrale generale ha la forma
Caso L1
< O. L'equazione cara t terist ica non ha raclici reali . Ponenclo a
a
= Ar = - 2" '
W =A'=
0,
=
11.5 Esercizi
431
ovvero, log Iy - 1 I = log C log2 X y +1
C> 0 ,
,
e, passando ag li esp one nziali, y - 1
Y
+
CI 2 og x ,
1 =
C # o;
in definitiva , esplicitando risp etto a y , I'integrale generale 1 + C log 2 X
Y = 1 - Clog 2 x
avendo recup erat o I'integrale singolare y d) y =
- ! ± ~ [ ~(tan x -
x
+ C)] 3/2
C
'
E
e
1R ,
= 1 pe r C = o.
e la soluzione costa nte y =
- !.
2. Equazioni diffcrcnziali omogenee: a) Supponendo x
#
0 e dividendo per 4x 2 , si ot tiene
Con la sostit uzione z
=
~,
si ha y'
= z + xz'
da cui
, 1 2 3 3 z +xz =- z + -z- 4 2 4' ovvero 4x z' = (z - l)( z
+ 3) .
Oss erviamo che 0,
ossia, passando ai logaritmi, 1
- - = log log C lz] ,
z
C > o.
Infine, esplicit ando rispetto a z , ot teniamo
z- -
-
-
1
-c-:--,
log log Cl xl '
C > 0,
e, tornando alla funzione y , 'If =
.
x log log Cl xl '
-c:-----::---:::cc--,
C >
o.
11.5 Es ercizi
433
3. Equezion! di[fcrcllziali Iuienri :
a) y
=
~
(x2
- ~) +Ce- ~ x2 .
b) Applichiamo la formula (11 .18) con a(x) = -~ e b(x) = _3~t2, otten endo y = e
J.l dXJ e -J.ldX ( x
x
-
3X+2)d x = c 3
-
x
ri
J + J + J(- ~ -~) = (~ + ~ + c)
=
IX I
=
x
3 = 2x
-(3x 2) d 11 X xx 3
2
+ 3x 2 + C x ,
x
-(3x 2) d X xx 3
.
X
x
dx
x4
x3
=
e log-l... Ix l ( -3X+2)d -X 3
2x 2
3x 3
C E JR .
c) Possiamo scrivere
1 2x y' +--y= - x- I x- I
e , applicando la formula (11.18) con a( x) = x ~ l e b(x) = x2~1' ottenere y = e-
J x ':',
= - 1lx-I I
dx
J
J
e J X':' l dx ~ dx = e- 1og lx- II
x - I
Ix- l l- 2x- dx = -1-
x- I
x - I
J
J
elog lx- II ~ d x
x- I
1 ( x 2 +C) , 2xdx= - x- I
C E JR .
d) y =2x arctan x +Cx , CEJR . 4. Si t rat ta di un'equazione differenzial e a variabili sep arabili. La soluzione costante
e accettabile in quanta non soddisfa la cond izione iniziale y(O) = 1. Sep arando le variabili , otteniamo
y = 0 non
J
-1-__I_ _-y dy =
e-
J
-2x-'~-1 dx .
11 primo integral e mediante la sostituzione t = dt = dy) diventa
-t
J -1.:I_e _-
y
dy =
Allora
11-
(da cui dt = - e-Ydy , ossia
J t(t ~ 1) dt = J (-t_ _1-1 - ~ ) dt
= log It
log
«»
eYI =
~ 1 I+ c = 1
log 11 -
"2 log 12x + 11 +
~ I+ c =
logC ,
log 11 - eY I + c.
C > 0,
11 Equa zioni differenziali ordinarie
434
ovvero log 11 - eYI = logCVl 2x
+ 11,
C
>
0;
passando agli esponenzia li, si ha 11 - eYI = CvI2.'r + 11,
C > 0,
cioe
+ 11,
1 - e Y = Cvl2x
Infine, esplicit ando risp etto ay e inglobando la soluzione cost ant e y dente a C = 0, si ottiene I'integrale generale dell 'equazione:
C
#- O.
= 0 corrispon-
C E ffi.. Imponiamo ora la condizione inizi ale y(O) = 1: si ha C = 1- e, quindi la soluzione cerc ata sara y = log (1 + (e -1)vI2:x; + 11) . 5. L'integrale generale dell' equazione differ enziale lineare risult a
C E JR . La condizione richiesta si esprime com e y'(O) = O. Ponendo x = 0 nell 'equazione differ enzi ale y'( x) = - 2y(x ) + e- 2 x , tale condizione equiva le a y(O) = da cui si ottiene C = Pertanto la soluzione cercat a e
!
!.
6. y
= log (2e x 4 (lOg X-
;}l -
1) .
7. Notiamo che, per x E (-2 , 2), risulta x 2 -4 < 0; inoltre, dall a condizione iniziale y(O) = -1 , possiamo supporre y( x) < 0 in un intorno di x = O. Allora, separando le variabili , si ha 1 -dy = -23x - dx. y x - 4 Integrando, si ottiene
J
J
-log Iy l = -Iog( -V)
3
= "2 log Ix 2
-
41 + c,
ossia
C > 0 o anche
C < O.
C
E
JR ,
11.5 Esercizi
Im ponendo la condizione y(O) = -1 , si ha C
435
= - 8 e quindi la soluzione cer cata e
8
y
= - (4 - x 2)3/ 2 .
Oss erviamo che no n si e considerata la soluzione costante y = 0, in quanta no n soddisfa la condizione iniziale y(O) = - l. 8. Utilizzando la formula trigonomet rica sin 2.1: = 2 sin x cos x , si ha y' sin x cos x = y + cos x .
Poiche x E (0, ~ ), sin x cos x
iI
0 e possiamo scrivere
y =
1 1 . y+ - .- . sm xcos x sm x
Si t ratta di un 'equazione differ enzia le lineare e l'int egrale gen erale y == e J
-lc osx - dx • -s i n x 1-cos x dXJ e - Js i nx
Calcoliamo d apprim a
S=
J
1
.
sm xcos x
e dato da
1 d x. sm x
- .-
dx ,
usando la sostituzione t = sin x (da cui dt = cos x dx e cos? x = 1 - t 2 ) e la tecnica dei fratti semplici:
S - [ 1 dt _ [ - • - . t(l - t 2 )
(~ t
1 1 = loglt l - "2 11 - t l - "2 10g11
= 10
g
Allora si ha y = sin x cos x
It I J 11 - t 2
1
+ 2(1 +tl
t)
_
2(1
1
+ t)
) dt
+ c
sin x + c= logcosx + c,
1
J
cos x dx = sin x ( _ _ 1_ + sin 2 x cos x sin x
e l'integrale generale de H'equazione
c)
'
E
JR,
e
Csinx - 1 - - cos x
y= -
C
E
JR .
Cerchiamo ora la soluzione che si mantiene limitata per x condizione . Csinx - 1 1im ER x ---> ~ -
C
cos x
----+ ~ -
imponen do la
436
11 Equazioni differ enziali ord ina rie
Ma
Csinx -1 cos x
lim
x~~ -
se e solo se C
=
=
I
1 - C cos t
im
sin t
t ~O -
=
1. La soluzione cercata quindi y =
11.111
1 - C( 1 + o(t
t
t ~O -
+
2
) ) -_
0
o(t 2 )
e
sinx - 1 cos x
9. L' equazione da risolvere e un 'equazione differ enzial e lin eare e si ottiene immedi at ament e l'integrale generale y
= e! (2+a )d x
J
e - ! (2+a ) dx ( _ 2e a x ) d x
= e( 2+ a )X(e- 2 x + C) = e a x (1 + C e 2x) Imponendo la condizione yeO) cerca ta e quindi
=
3, si ha 3
=
,
C ER
1 + C , ossia C
=
2. La soluz ione
L'integr ale improprio 00
1 +
(e ax
+ 2e (a +2)X) dx
conve rge se e solo se l'esp onent e dell'espone nz iale che preval e e negat ivo, ossia deve risult are 0' + 2 < o. P ert ant o l'i ntegral e converge se 0' < -2. 10. Diret t a ment e dall a formul a risolutiva p er Ie equazioni differenziali lin eari , si ha
y = ea! ~dx xa ( {
=
(3Je-a ! ~ dXxb dX) 3 +C )
b - a +1
x a (310g x
+ C)
__3__ xb+ l {
b-a+l
3x a log x
Xb- a+ l
= xa
(3J
Xb-a dX )
se b - a =f=. - 1,
se b -a = - l ,
+ C xa
se b - a =f=. - 1,
+ C x"
se b - a= - l.
Imponendo la cond izione iniziale y(2) = 1, nei due casi, risulta
{
3 2b+ 1 b - a +1
+ C 2a
3 . 2 a log 2 + C 2 a
=1
= 1
se b - a=f=.- l, se b -a= - l ,
11.5 Eserci zi
da cui
e= { e=
T T
a a
(1 -
b_
~ + 12b+l)
#
- 1,
se b -a = -1.
31og2
-
se b - a
43 7
P ert anto la soluzione cercata sara
y=
(1 _ 3
3
xb+1 + 2-a 2b+l) x a b -a+1 b-a +l 3x a log x + (T a - 3 log 2) x a
{
seb-a#-I , se b - a=- 1.
11. Risoluzione dell 'equ ezioue differenziale y'( x) = - 3x y (x ) + k x:
a) Si t ratta di uu'equazione differ enzial e lin eare e si ottiene facilmente l'integrale generale
e E JR. Imponendo la condizione y(O) = 0, si ha 0 = ~ soluzione cercata e quindi
+e
da cui
e
- ~ . La
b) La soluzione deve soddisfare la condizione
per x
Ma
3 2 3 2 e-'x = 1 - - x 2
+ o(x 2 )
--+
per x
O.
--+
0,
quindi per x Dunque la soluzione y
--+
O.
e determinat a dalla condizione ~ = 1, ossia k = 2.
12. Risolnzioiie dell'eque zioue differenziale y' = Y22(~~~~)3 : a ) 1y (x)
+ e /11 + 4xl
= 3 1-
e/ll +4xl
con
e
E lR e la soluz ione costante y (x ) =-1.
438
11 Equa zioni differ enziali ordinarie
J il + 4:rl., 1+Jll +4:rl
_ 31)) Yo () x -
I:l.
Eqllil/jOlli diffi)J'()Jj;;.:iali liuenri
a ) y = 2e x
+ G1 x + G2 , G1 , G2
del secou d o otdiuc ricoucui cibili n] priuio: E
IE. .
h) Ponendo z = y' otteniamo l'equazione lineare del primo ordine
+z =
Zl
il cui integrale generale
x2
,
e
l ntegr ando due vol te per parti , otteniamo
Integrando ulteriormente , abbiamo
14. Eqlla;;.:iolli difIiJrell;;.:iidi liu cnii d el sccoudo otcliuc:
"23 x. + "49 ' G1, G2 E 111> irs, , h) Ri solviamo d apprima l'equazione omogenea associa ta. L' equazione caratterist ica ,\2 - 4,\ + 4'\ = a ha un 'unica soluz ione ,\ = 2 di molt eplici t a doppia ; dunque l'integr ale gener ale dell 'equazione omogenea sara
a
)
y --
GIe - x
+ G2 e - 2x + "21 X 2 -
Poiche fl = ,\ = 2, cer chi amo l'integrale parti colare nella forma yp( x) Calcolando y~ e y~ e sostit ue nd o nell 'equazione, abbiamo
da cui 0: = ~ . P er t anto YP (x) assegnata e
= o:x 2e2x.
~ x2 e2x e l'integrale generale dell 'equazione
c) L' equazione caratteristica ,\ 2 + 1 = a h a di scriminante L\ = -4; a b biam o a e w = 1. Dunque l'int egrale generale d ell'equazione omogenea sara Yo(x ; G1, G2 )
= G1 cosz + G2 sin x , G1, G2 E IE. .
=a
11.5 Es ercizi
439
Poiche 11 = (J = 0, cerchiamo l' integrale particolare nella forma Yl'(x) = x(acosx + ,8 sinx ). Calcolando Y~ e Y~ e sostit uen do nell'equazione, abbiamo - 2a sin .1: + 2,8cos x = 3 cos x , da cui a = 0 e f3 = ~. P ertanto Yp(x) de ll'equazione assegnata e
=
~xcosx e I'integrale gen erale
d) Y = C 1 e x + C 2e 2x - xe x , C 1,C2 E IR. e) L'equazione caratteristica ).2 - 9 = 0 ammette Ie soluzioni ). I'int egr ale ge nerale dell 'equazion e omogenea sara Yo ( x ; C 1 , C) 2 = C I e -3x
=
3x y( x ·, C 1 , C) 2 = C1e -
Dunque
+ C2 e 3x ,
Ce rchiamo I'int egrale particolare nella forma yp( x) y~ e sostit uendo nell'equa zione, abbiamo
da cui a = - i . Pertanto Yp(.1:) assegnata e
= ± 3.
= axe- 3x . Calcolando y~
e
- i x e- 3x e I'int egrale generale dell'equ azione
+ C2 e3x - ~xe-3X 6 '
C 1 , C2 E IR .
15. Probl cmi di Ca uchy:
a) y = e- x sin 2x . b) Risolviamo dapprima I'equazione omogenea associata. L' eq uaz ione caratteristica ). 2 - 5). + 4 = 0 ammette Ie soluzioni ). = 1 e ). = 4. Dunque I'integrale generale de ll'equazione omogenea sara
Cerchiamo I'integrale particolaro nella forma yp( x) = ax + ,8. Calcolando y; e e sostituendo nell 'equ azione, abbiamo
y~
- 5a
da cui a = ~ e f3 de ll' equazione e
+ 4ax + 4,8 = 2x + 1 ,
~ . P ertanto yp(x)
=
~ x + ~ e I'integrale generale
440
11 Equazioni differenziali ordinarie
Imponendo le condizioni iniziali, si perviene al sistema
da cui 0 1
==
i
e O2
== -
i· Dunque la soluzione cercata e y
1 x == -e 6
1 4x - -e 6
1 + -x + -87 . 2
Tavole e Formulari
Formule notevoli
cos 2x +sin 2x sin z = 0
= 1, Vk E
se x = k7r ,
sin x = 1 se x =
"27r +
;Z; ,
7r
sin x = - 1 se x = - - + Zk:n sin( ex
se x
7r
= "2 + len
cos X = 1 se x = 2k7r
2k7r ,
2
cos x = 0
'
cos X = - 1 se x =
± (3) = sin ex cos (3 ± cos ex sin (3
cos (ex ± (3) = cos ex cos (3 =f sin ex sin (3 sin 2x
= 2 sin x cos x
.
.
cos Zz
,
. x - y
sm x - sm y = 2 sm - 2 cos x - cos y sin(x +
7r)
.
sm (x +
I
x+ y
cos - 2-
. x - y . x + y 2- sin - 2-
= - 2 sin -
=-
cos (x +
sinx ,
7r "2) = cos x ,
= log a x + log a y , V.'1:, Y > 0 x log; - = log, x - log, y , Vx, y > 0 y
= y log,
.'1:,
7r )
=
- cosx
cos (x +~ ) = - sin x
loga(x y )
log a (z ")
= 2 cos2 x-
Vx > 0 , Vy E JR
7r
+ 2k7r
442
Tavole e for rnular i
Limiti notevoli
lim xC>
x -+ + oo
= +00 ,
lim xC> = 0 ,
lim xC> = 0 , x-- +oo
x ---> o +
lim a" = +00 , x- +oo
x --+- oo
lim xC>
>0
0
x -+ o+
0 1
lim a" = 0 , lim a X = +00 ,
a
X - + - (X)
lim log" x
= + 00 ,
lim log" x
= -00 ,
x ---+ + oo
X ---t + OO
lim
x ---> (
if +kIT )±
a ± oo
x ---> + l
lim
= + 00 ,
t an x = =t=oo , Vk E Z,
x ---> ±l
x--->±oo
lim log" x lim t a n x
= ± - = a rcs in (±l)
sm x I im - x
a >l
x--->±oo
lim ar csin x
x ---> o
= -00 ,
x----.. o+
x-+ ±oo
2
lim ar ccos x =
I
1,
'
1 - cos x
1
x2
2
l Ifl. x ---> o
( l + ~) x = ea , x
aX - 1 lim - - X
a E lR ,
= log a , a > 0;
' (1 + x )C> - 1 Iun
x ---> o
X
= 0,
n , L
o
in p art icolare, lTJ)
l.l">.
= arcc os ( - 1)
=e
1 a > 0; in particolare , log a ' x ---> o
1
lim log" x
x ---> o +
lim cos x ,
lim sinx ,
X __ ±OCl