Эконометрика

Международный консорциум «Электронный университет» Московский государственный университет экономики, статистики и информатики Евразийский открытый институт

В.С. Мхитарян М.Ю. Архипова В.П. Сиротин

Эконометрика Учебно-методический комплекс

Москва 2008 1

УДК 519.2 ББК 22.172 М 936

Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. ЭКОНОМЕТРИКА: Учебнометодический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 144 с.

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области статистики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 061700 «Статистика» и другим экономическим специальностям.

ISBN 978-5-374-00053-5

© Мхитарян В.С., 2008 © Архипова М.Ю., 2008 © Сиротин В.П., 2008 © Евразийский открытый институт, 2008

2

Содержание УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ .......................................................................................................

5

Введение ................................................................................................................................

6

1. Корреляционный анализ ..................................................................................................

7

1.1. Основы корреляционного анализа ...................................................................................... 1.2. Двумерная корреляционная модель .................................................................................... 1.3. Проверка значимости параметров связи ............................................................................ 1.4. Интервальные оценки параметров связи ............................................................................ 1.5. Проверка значимости множественного коэффициента корреляции ............................... 1.6. Задачи, решаемые при помощи статистики Фишера ........................................................ 1.7. Тренировочный пример ....................................................................................................... 1.8. Задание для самостоятельного решения ............................................................................

7 8 10 10 11 11 12 15

2. Регрессионный анализ ......................................................................................................

16

2.1. Основы регрессионного анализа ......................................................................................... 2.2. Проверка значимости уравнения регрессии ...................................................................... 2.3. Интервальное оценивание коэффициентов регрессии ...................................................... 2.4. Мультиколлинеарность ........................................................................................................ 2.5. Пример построения уравнения регрессий .......................................................................... 2.6. Тренировочный пример ....................................................................................................... 2.7. Задание для самостоятельного решения ............................................................................

16 18 19 20 20 22 25

3. Методы многомерной классификации. Кластерный анализ ........................................

27

3.1. Основные понятия кластерного анализа ............................................................................ 3.2. Расстояние между объектами (кластерами) и мера близости .......................................... 3.3. Функционалы качества разбиения ...................................................................................... 3.4. Иерархические кластер-процедуры .................................................................................... 3.5. Тестовый пример .................................................................................................................. 3.6. Задание для самостоятельного решения ............................................................................

27 29 32 33 33 37

4. Производственные функции ............................................................................................

38

5. Система одновременных эконометрических уравнений ..............................................

41

5.1. Тренировочный пример .......................................................................................................

45

Выводы ..................................................................................................................................

47

6. Список рекомендуемой литературы ...............................................................................

48

7. Приложения .......................................................................................................................

49

РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................

65

1. Цели, задачи изучения, сфера профессионального применения .................................

66

2. Необходимый объем знаний для изучения курса .........................................................

66

3. Основная информация о курсе и его структура ............................................................

67

4. Перечень основных тем и подтем ...................................................................................

67

Тема 1. Корреляционный анализ ............................................................................................... Тема 2. Регрессионный анализ ................................................................................................... Тема 3. Методы многомерной классификации. Кластерный анализ ......................................

67 69 70

3

Тема 4. Производственные функции ......................................................................................... Тема 5. Системы одновременных экономических уравнений ................................................

72 73

5. Итоговый контроль знаний по курсу ..............................................................................

75

6. Список рекомендуемой литературы ...............................................................................

76

7.1. Основная ................................................................................................................................ 7.2. Дополнительная .................................................................................................................... 7.3. INTERNET-ресурсы .............................................................................................................

76 76 77

7. Глоссарий ..........................................................................................................................

79

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ..................................................................................

85

Введение ................................................................................................................................

86

1. Цели, задачи изучения, сфера профессионального применения .................................

87

2. Содержание курса .............................................................................................................

88

3. Список рекомендуемой литературы ...............................................................................

89

4. Примеры решения типовых задач ...................................................................................

90

4.1. Корреляционный анализ ...................................................................................................... 4.2. Регрессионный анализ ......................................................................................................... 4.3. Нелинейные регрессионные модели ................................................................................... 4.4. Методы многомерной классификации. Кластерный анализ ............................................

90 94 97 99

5. Контрольные задания .......................................................................................................

106

6. Варианты заданий .............................................................................................................

107

Вариант 1....................................................................................................................................... Вариант 2....................................................................................................................................... Вариант 3....................................................................................................................................... Вариант 4....................................................................................................................................... Вариант 5....................................................................................................................................... Вариант 6....................................................................................................................................... Вариант 7....................................................................................................................................... Вариант 8....................................................................................................................................... Вариант 9....................................................................................................................................... Вариант 10.....................................................................................................................................

107 108 110 111 112 113 115 116 117 118

8. Приложение .......................................................................................................................

120

Таблица 1 ...............................................................................................................................

120

ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ...........................................................................................

123

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ................................................................................................

141

4

Учебное пособие

5

ВВЕДЕНИЕ

Введение В условиях перехода страны к рыночной экономике возрастает интерес и потребность в познании статистических методов анализа и прогнозирования, к количественным оценкам социально-экономических явлений. Как найти связи между переменными, как доказать их значимость и оценить их параметры? На эти вопросы можно ответить с помощью эконометрики, занимающейся применением методов математической статистики в экономическом анализе. Эконометрика – это дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, методов и приемов, экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария для количественного решения социальноэкономических задач. Курс эконометрики призван научить различным способам выражения связей и закономерностей через эконометрические модели и методы проверки их адекватности, основанные на данных наблюдений. Эконометрический подход характеризует также внимание, которое уделяется в нем вопросу соответствия выбранной модели изучаемому объекту, рассмотрению причин, приводящих к необходимости пересмотра модели на основе более точной системы представлений. Эконометрика занимается, по существу, статистическими выводами, т. е. использованием выборочной информации для получения некоторого представления о свойствах генеральной совокупности. В данном учебном пособии излагаются основные теоретические положения таких математико-статистических методов, как корреляционный, регрессионный, компонентный и кластерный анализы, а также такие распространенные эконометрические модели, как производственные функции и системы одновременных уравнений. Значительное внимание в учебном пособии уделяется логическому анализу исходной информации и экономической интерпретации получаемых результатов. Пособие снабжено достаточным количеством экономических примеров и задач для самостоятельного решения.

6

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

1. Корреляционный анализ 1.1. Основы корреляционного анализа Корреляционный анализ, разработанный К.Пирсоном и Дж.Юлом, является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков – компонент случайного вектора x. Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке степени зависимости между случайными величинами. Степень линейной зависимости между количественными переменными характеризуется с помощью парных, частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Парный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между двумя переменными на фоне действия всех остальных показателей, входящих в модель. Частный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между двумя переменными при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Данные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до +1, причем чем ближе коэффициент корреляции к +1, тем сильнее зависимость между переменными. Если коэффициент корреляции больше 0, то связь положительная, а если меньше нуля – отрицательная. Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель; изменяется в пределах от 0 до 1. Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием всех остальных переменных (аргументов), входящих в модель. Исходной для анализа является матрица:  x11 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x1 j ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x1k     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   X=  xi1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xij ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xik   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅x  nj nk  n1  размерности (n x k), i-я строка которой характеризует i-е наблюдение (объект) по всем k-м показателям (j=1, 2, ..., k). В корреляционном анализе матрицу X рассматривают как выборку объема n из k-мерной генеральной совокупности, подчиняющейся k-мерному нормальному закону распределения. По выборке определяют оценки параметров генеральной совокупности, а именно: вектор средних ( x ), вектор средне-квадратических отклонений s и корреляционную матрицу (R) порядка (k×k):  x1   s1       x2   s2   1 r12 . . r1k     .    . x =   , s =   , R=  r21 1 . . r2 k  .  .   .  r     .   k1 rk 2 . . 1   .    s  x   k  k 7

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Матрица R является симметричной (rjl = rlj) и положительно определенной: 2 1 1 n x = ∑ xij , s j = (1.1) ∑ xij − x j , n i =1 n 1 n ∑ xij − x j xil − xl n r jl = i =1 , (1.2) s j sl

(

(

)(

)

)

где xij – значение i-го наблюдения j-го фактора; ril – выборочный парный коэффициент корреляции, характеризует тесноту линейной связи между показателями xj и xl. При этом rjl является оценкой генерального парного коэффициента корреляции. Кроме того, находятся точечные оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции (k-2)-го порядка между факторами X1 и X2 равен: R12 r12 / 3, 4..., k =, (1.3) R11 R22 где Rjl – алгебраическое дополнение элемента rjl корреляционной матрицы R. При j+l

этом Rjl =(-1) × Мjl, где Mjl – минор, определитель матрицы, получаемой из матрицы R путем вычеркивания j-й строки и l-го столбца. Множественный коэффициент корреляции (k-1)-го порядка фактора (результативного признака) X1 определяется по формуле: R r 1 / 2,3,...,k =r 1 = 1 − , (1.4) R11 где R – определитель матрицы R. 1.2. Двумерный нормальный закон распределения

Рассмотрим генеральную совокупность с двумя признаками x и y, совместное распределение которых задано плотностью двумерного нормального закона 1 (1.5) f ( x, y ) = exp{Q2 ( x, y )} , 2 πσx σ y 1 − ρ2 −1

где Q2 ( x, y) =

2

2 (1− ρ )

[(

y − µy 2 x − µx 2 x − µx y − µ y ) − 2ρ ) ] , определяемого пятью параметрами: ⋅ +( σx σx σy σy 2

M ( x) = µ , D( x) = σ , x x M ( y) = µ , D( y) = σ 2 , y y

M[

x − µx y − µ y ] = ρ, ⋅ σx σy 2

ρ ≠ 1.

Имея эти параметры, можно получить уравнения линий регрессии, показывающих изменение условных математических ожиданий в зависимости от изменения соответствующих значений случайных аргументов: 8

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

M ( y / x) − My = β yx ( x − Mx) – линейное уравнение регрессии y на x; M ( y / x) − Mx = β xy ( y − My ) – линейное уравнение регрессии x на y;

β

yx

=ρ

σ

y

σ

– коэффициент регрессии y на x;

x

σ

= ρ x – коэффициент регрессии x на y. σ y Полезно вспомнить, что квадрат коэффициента корреляции ρ2, т.е. коэффициент детерминации, в рассматриваемой модели указывает долю дисперсии одной случайной величины, обусловленную вариацией другой. Коэффициент регрессии βyx показывает, на сколько единиц своего измерения увеличится (β>0) или уменьшится (β Fкр (α, k – 1, n – k), где Fкр определяется по таблице F – распределения для заданных α, ν 1 = k – 1, ν 2 = n – k. 1.6. Задачи, решаемые при помощи статистики Фишера

Кроме нахождения интервальной оценки для ρ с помощью преобразования 1 1+ r Z = ln r 2 1− r

можно решить следующие задачи. 1. Проверить, согласуется ли выборочный коэффициент корреляции r с предполагаемым значением генерального коэффициента корреляции ρo. Для этого, взяв уровень значимости α, проверяем, попадает ли абсолютная величина разности | Z − Z | в инr ρo

тервал [0, t1−α / n − 3 ] . Если попадает, то гипотеза Ho:ρ =ρo не отвергается. В противном случае отвергается с вероятностью ошибки α. 2. Проверить гипотезу об однородности коэффициентов корреляции. Пусть r1, r2, ..., rk – коэффициенты корреляции, полученные из k нормально распределенных совокупностей по выборкам с объемами n1, n2, ..., nk. Проверяется гипотеза Ho:ρ1=ρ2= ...=ρk=ρ.

Статистика

( zri − z ρ ) 2 i =1 1 / ( n − 3) i k

Σ

имеет распределение χ 2 с k степенями свободы. Если заменить zρ на среднее арифметическое 11

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Σzi ni , Σni

zr =

то получим, что ( zri − zr ) 2 Σ i =1 1 / ( n − 3) i k

распределена по закону χ2 с ν=k−1 степенями свободы. Если теперь для заданных α и ν=k−1 ( z − z )2 ri r 2 χ набл , . < Σ i =1 1 /( n − 3) i k

то гипотеза однородности отвергается с вероятностью ошибки α. В противном случае гипотеза Ho не отвергается. В случае принятия гипотезы однородности предпочтительной точечной оценкой ρ является значение r, полученное обратным преобразованием из zr. 1.7. Тренировочный пример

Деятельность n = 8 карьеров характеризуется себестоимостью 1т. песка (X1), сменной добычей песка (X2) и фондоотдачей (X3). Значения показателей представлены в таблице. X1 (тыс.руб) Х2 (тыс.руб) Х3

30 20 20

20 30 25

40 50 20

35 70 15

45 80 10

25 20 30

50 90 10

30 25 20

Требуется: 1. Оценить параметры генеральной совокупности, которая предполагается нормально распределенной. 2. При α = 0.05 проверить значимость частных коэффициентов корреляции ρ 12/ 3 ,

ρ 13/ 2 и ρ 23/1 и при γ = 0.95 построить интервальную оценку для ρ 13/ 2 . 3. Найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции ρ 1 / 23 и при α =0.05 проверить его значимость. Решение: 1. Найдем значения средних арифметических (x j ) и средних квадратических отклонений (S j ), где j =1, 2, 3, а также парных коэффициентов корреляции r 12 , r 13 и r 23 по формулам: 30 + 20 + 40 + 35 + 45 + 25 + 50 + 30 x1 = = 34.375 тыс. руб. 8 x 2 = 48 .125 x3 = 18 .75

S1=9,49

12

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

S 2 = 26,68 .

S3 = 6,48 r12 =

x1 x2 − x1 x 2 1875 − 34.375 × 48,125 220.70 = = = 0.871, S1 S 2 9.49 × 26,68 9.49 × 26.68

1 n 1 ∑ xi1 xi 2 = (30 × 20 + 20 × 30 + 40 × 50 + ... + 30 × 25) = 1875 . n i =1 8 В результате расчетов получим: 0.871 −0.874  34.38  1  9.49        X =  4812 1 .  ; S=  26.68  ; R=  0.871 −0.879 .      6.48  1   18.75  −0.874 −0.879  

где x1 x2 =

2. Предварительно найдем точечные оценки частных коэффициентов корреляции из выражения R12 , r 12 / 3 = − R11 × R22 где R12 – алгебраическое дополнение элемента r 12 корреляционной матрицы R, а R11 и R22 алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы 0.871 − 0.879 3 R12 = (− 1) × = −0.103 − 0.874 1 R11 = (− 1) ×

− 0.879 1 = 0.227 − 0.879 1

R22 = (− 1) ×

− 0.874 1 = 0.236 − 0.874 1

2

4

0.103 = 0.445 0.227 × 0.236 Аналогично находим: r13/2=-0.462 и r 23/1 =-0.494. Для проверки значимости частных коэффициентов корреляции найдем rкр. (α = 0.05, ν = n−l−2 = 5) = 0.754, где l – порядок коэффициента корреляции (число фиксированных признаков). В нашем примере l = 1. Так как r