Сибирский математический журнал Июль—август, 2003. Том 44, № 4
УДК 517.957
О Wql –РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ, КОГДА УРАВНЕНИЯ СТРОЯТСЯ НА ОСНОВЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ А. П. Копылов Аннотация: Получено в определенном отношении окончательное решение проблемы регулярности с точки зрения теории пространств Соболева решений системы (вообще говоря) нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными в случае, когда эта система локально близка к эллиптическим системам линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Главными следствиями этого результата являются теоремы 5 и 8. Согласно первой из них старшие производные эллиптического C l -гладкого решения системы l-го порядка нелинейных дифференциальных уравнений, построенных на основе C 1 -гладких функций, удовлетворяют локально условию Г¨ ельдера с любым показателем α, 0 < α < 1 (по поводу доказательства см. [6]). Вторая же теорема гласит о том, что если система линейных дифференциальных уравнений l-го порядка с измеримыми коэффициентами и правыми частями равномерно эллиптична, то при условии (достаточно) медленного изменения старших ее коэффициентов степень локальной суммируемости частных производных l l-го порядка каждого Wq,loc -решения, q > 1, системы совпадает со степенью локальной суммируемости младших коэффициентов и правых частей. Ключевые слова: системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, линейные равномерно эллиптические системы с разрывными коэффициентами, Wql -регулярность решений
В статьях [1–3] изучались свойства решений систем нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые преобразованиями типа преобразования Кордеса (см. [4]) локально приводятся к виду L(x; f (x); f 0 (x); . . . ; f (l) (x)) = V (x; f (x); f 0 (x); . . . ; f (l) (x)) + T (x; f (x); f 0 (x); . . . ; f (l−1) (x)) = 0 (1) (T (x; v 0 ; v 1 ; . . . ; v l−1 ) = L(x; v 0 ; v 1 ; . . . ; v l−1 ; 0)), где оператор V близок к эллиптическим линейным дифференциальным операторам с постоянными коэффициентами. Результаты работ [1–3] легли в основу недавних исследований, позволивших установить, что старшие производные эллиптического C l -гладкого решения системы нелинейных дифференциальных уравнений l-го порядка, которые строятся с использованием C 1 -гладких функций, удовлетворяют локально Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02–01–01009), Международной ассоциации INTAS и государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации.
c 2003 Копылов А. П.
750
А. П. Копылов
условию Г¨ельдера с любым показателем α, 0 < α < 1 [5, 6, см. также теорему 5 настоящей статьи] (это утверждение является распространением на случай систем любого порядка хорошо известных результатов Л. Ниренберга и Ч. Морри о г¨ельдеровости старших производных решений одного уравнения 2-го порядка (Ниренберг) и системы 2-го порядка (Морри) [7, 8]). В связи с последним обстоятельством представляется естественным подвергнуть более тщательному анализу системы, приводимые упомянутым выше способом к виду (1). Данную работу мы как раз и посвящаем решению этой задачи. Основные ее результаты — теоремы 2, 3 и 6–8, причем последние три теоремы касаются случая систем линейных уравнений. Поясним существо дела, остановившись на случае систем линейных уравнений более подробно. P Предположим, что система ap (x)∂ p f (x) = h(x) l-го порядка, состав|p|≤l
ленная из k линейных уравнений с частными производными относительно m искомых вещественных функций n вещественных переменных (см. ниже систему (110 )), обладает измеримыми коэффициентами и правыми частями, причем для нее выполнены также следующие условия. (◦) Система (110 ) равномерно эллиптическая: существует число t ∈ ]1, ∞[ такое, что почти всюду в U jκ ap (x) ≤ t, |p| = l, j = 1, 2, . . . , k, κ = 1, 2, . . . , m, и X 1 p ζ ap (x)u ≥ , t
ζ ∈ Rn , u ∈ Rm , |ζ| = 1, |u| = 1.
|p|=l
(◦◦) Для старших коэффициентов ajκ p , |p| = l, системы выполняется условие медленного изменения, т. е. существует неотрицательное число ε такое, что у каждой точки x ∈ U найдутся окрестность Ux (⊂ U ) и измеримое множество E ⊂ Ux , mes(Ux \ E) = 0, для любых двух точек x0 и x00 которого справедливы неравенства jκ 0 00 ap (x ) − ajκ |p| = l, j = 1, 2, . . . , k, κ = 1, 2, . . . , m. p (x ) ≤ ε, (◦◦◦) Существует такое число q0 ∈ [1, ∞[, что остальные коэффициенты ajκ p , |p| < l, и правые части hj рассматриваемой системы принадлежат пространству Lq0 ,loc (U, R). Замечание 1. Условия (◦) и (◦◦) не являются независимыми: из условия (◦) вытекает условие (◦◦) с ε = 2t. Для нас важно то обстоятельство, что параметр ε медленного изменения старших коэффициентов рассматриваемой системы (110 ) может принимать любое значение, меньшее 2t. Замечание 2. К числу систем (110 ), удовлетворяющих условиям (◦)–(◦◦◦), относятся, например, система Бельтрами и ее различные многомерные обобщения, а также равномерно эллиптические системы с непрерывными коэффициентами и правыми частями. При выполнении условий (◦)–(◦ ◦ ◦) для линейных систем (110 ) с измеримыми коэффициентами и правыми частями имеет место следующее утверждение о Wql0 ,loc -регулярности их решений (см. ниже теорему 8): 1) если при фиксированных q0 ∈ ]n, ∞[ и t ∈ ]1, ∞[ и при достаточно малом ε система (110 ) l удовлетворяет условиям (◦)–(◦ ◦ ◦), то каждое W2,loc -решение f системы есть ее
О Wql -регулярности решений
751
(l−1)+(1−n/q )
0 ), и 2) если 1 ≤ q0 ≤ n, Wql0 ,loc -решение (и, следовательно,1) f ∈ Cloc 0 то при любых t > 1, ε ≥ 0 существует система (11 ) первого порядка, удовлетворяющая условиям (◦)–(◦ ◦ ◦) и обладающая неустранимо разрывным Wq10 ,loc l решением (в силу замечания 2 к теореме 8 W2,loc -решения в первом ее утверждеl нии могут быть заменены на Wq,loc -решения, где q — любое число, большее 1). Другими словами, если система (110 ) с измеримыми коэффициентами и правыми частями является равномерно эллиптической, то при достаточно медленном изменении старших ее коэффициентов ajκ p , |p| = l, степень (локальной) l суммируемости частных производных l-го порядка каждого W2,loc -решения системы та же, что и у ее младших коэффициентов и правых частей. Заметим, что теорема 8 (наряду с теоремой 5 о г¨ельдеровости старших производных эллиптических C l -гладких решений систем (11) нелинейных уравнений) является одним из главных итогов наших исследований Wql -регулярности решений систем, приводимых локально преобразованиями типа преобразований Кордеса к виду (1).
1◦ . Между системами, приводимыми (локально) к виду (1) (см. также ниже систему (8)), и эллиптическими системами нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных общего вида в случае, когда эти уравнения строятся на основе гладких функций, существует весьма тесная связь. Для описания этой связи, а также для изложения дальнейшего нам необходимо напомнить ряд понятий. Мы начнем с точной характеризации систем, приводимых локально преобразованиями типа преобразования Кордеса к виду (1). С этой целью обозначим символом O = O n,m,k,l , n ≥ 2, m ≥ 1, k ≥ 1, l ≥ 1, множество всех эллиптических линейных дифференциальных операторов l-го порядка с постоянными коэффициентами, имеющих вид X D = (D1 , D2 , . . . , Dk ) = ap ∂ p , (2) |p|=l
где ap =
ajκ p
j=1,2,...,k κ=1,2,...,m
— вещественная (k × m)-матрица2) . Напомним [9], что
оператор D эллиптичен в том (и только том) случае, когда его символ σD (ζ) = P p ζ ap удовлетворяет условию rank σD (ζ) = m для каждого ζ ∈ Rn \ {0}. |p|=l
Используя следующую, эквивалентную, запись оператора (2): Dg(x) =
k X
X
{Dj g(x)}ej =
j=1
◦
aµ1 ...µl ∂µ1 ...µl g(x)
1≤µ1 ≤···≤µl ≤n
=
( m k X X j=1
)
X
◦ ajκ µ1 ...µl ∂µ1 ...µl gκ (x)
ej
(20 )
κ=1 1≤µ1 ≤···≤µl ≤n
1) Символом C µ+α (U, Rm ), где U — открытое множество в вещественном арифметичеloc ском евклидовом пространстве Rn , мы обозначаем пространство всех непрерывных отобраm жений h : U → R , обладающих всеми частными производными вплоть до порядка µ, непрерывными в U , причем производные µ-го порядка этих отображений удовлетворяют локально в U условию Г¨ ельдера с показателем α (0 < α < 1). 2) Запись в (2) и, как правило, ниже мультииндексная: p = (p , p , . . . , p ) — мультиn 1 2 n P индекс, |p| = ps — его порядок, ∂ p = (∂1 )p1 ◦ (∂2 )p2 ◦ · · · ◦ (∂n )pn — символ частной s=1
производной, соответствующей мультииндексу p (∂s = ∂/∂xs ).
752
А. П. Копылов
(e1 , . . . , ek — канонический базис в Rk ; ∂µ1 ...µl = ∂µ1 ◦ ∂µ2 ◦ · · · ◦ ∂µl ), построим в случае l ≥ 2 линейный дифференциальный оператор 1-го порядка3) m X X ◦ D0 F (y) = a1κ µ1 ...µl ∂µ1 Fµ2 ...µl ,κ (y), . . . , κ=1 1≤µ1 ≤···≤µl ≤n m X
◦
X
akκ µ1 ...µl ∂µ1 Fµ2 ...µl ,κ (y), . . . , ∂ν1 Fν2 ...νl ,κ (y)
κ=1 1≤µ1 ≤···≤µl ≤n
! − ∂νϕ(1) Fνϕ(2) ...νϕ(l) ,κ (y), . . . ,
(3)
присоединенный в смысле понятий из [10] (см. также [2, 6]) к оператору D из (2), (20 ). Замечание. При l = 1 мы полагаем D0 = D (ср. с замечанием 2 к теореме 2 в [6]). Пусть далее Ot = Otn,m,k,l (1 < t < +∞) есть множество эллиптических линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, определяемое следующим образом: n X ≤ t, j = 1, . . . , k, κ = 1, . . . , m, |p| = l, Ot = D = ap ∂ p ∈ O, ajκ p |p|=l
inf m
ζ∈Rn , u∈R , |ζ|=1, |u|=1
(обращаем внимание на то, что в силу (4)
S
X o ζ p ap u ≥ 1/t (4) |p|=l
Ot = O). Положим (при 1 < t
1
+∞)4) χ(t) = inf (D0 ),
(5)
D∈Ot
(D0 ) =
min
ζ∈Rn ,u∈Rmnl−1 , |ζ|=1, |u|=1
|σD0 (ζ)u|,
(n+l−2)! , где D0 — линейный дифференциальный оператор 1-го поnl−1 = (l−1)!(n−1)! рядка, присоединенный посредством соотношения (3) к оператору D из Ot , и 1 D0 1 χ (t) = sup sup q . (6) (D0 ) D∈Ot 2≤q ε и для любой точки x ∈ U открытой окрестности Z (⊂ U ) этой точки, обратимых линейных отображений β : Rm → Rm и ω : Rn → Rn и локально ограниченного в sup-норме измеримого матричнозначного отображения ψ : U → Rk×k , значения ψ(x) которого для почти всех x ∈ U являются l обратимыми матрицами, таких, что если, исходя из Wq,loc -решения f : Z → Rm в Z системы (8), q ≥ 1 (см. ниже определение 1), построить новое отображение l -решением в ω(Z) системы f¯ = β −1 ◦ f ◦ ω −1 , то это отображение будет Wq,loc Lψ,β,ω (z; vl−1 (f¯, z); v l (f¯, z)) = Vψ,β,ω (z; vl−1 (f¯, z); v l (f¯, z)) + Tψ,β,ω (z; vl−1 (f¯, z)) = ψ(ω −1 (z))V (ω −1 (z); vl−1 (β ◦ f¯ ◦ ω, ω −1 (z)); v l (β ◦ f¯ ◦ ω, ω −1 (z))) + ψ(ω −1 (z))T (ω −1 (z); vl−1 (β ◦ f¯ ◦ ω, ω −1 (z))) = 0
(9)
типа (8) уравнений с частными производными, причем для этой системы найP дется эллиптический линейный дифференциальный оператор D = ap ∂ p ∈ |p|=l
Ot , который для почти каждой точки z ∈ ω(Z) удовлетворяет условию X |Vψ,β,ω (z; vl−1 ; v l ) − ap vep | ≤ ε0 |v l |, (vl−1 ; v l ) ∈ RNl −n
(10)
|p|=l
(e v p — вектор пространства Rm с компонентами vp,κ = vpl ,κ , κ = 1, 2, . . . , m). Заметим, что в силу (10) |Vψ,β,ω (z; vl−1 (f˘, z); v l (f˘, z)) − Df˘(z)| ≤ ε0 |v l (f˘, z)| l для почти всех точек z ∈ ω(Z), если f˘ ∈ W1,loc (ω(Z), Rm ). Кратко условие (iii) можно охарактеризовать так: система (8) преобразованиями типа преобразования Кордеса локально приводится к виду (9), (10). l l Определение 1. Решение класса7) Wq,loc (U, Rm ) (Wq,loc -решение), q ≥ 1, системы (8), для которой выполнены условия (i) и (ii), — это любое отображение l f ∈ Wq,loc (U, Rm ), удовлетворяющее системе (8) почти всюду в U . 7) W l (U, Rm ) q
— пространство Соболева всех отображений h = (h1 , h2 , . . . , hm ) : U → Rm таких, что каждая их функция-компонента hj , j = 1, 2, . . . , m, принадлежит пространству Лебега Lq (U ) и обладает всеми обобщенными частными производными вплоть до l-го порядка, l также суммируемыми в U в q-й степени; Wq,loc (U, Rm ) — пространство всех отображений h : U → Rm , обладающих следующим свойством: у каждой точки x ∈ U существует окрестность Ux ⊂ U , ограничение h|Ux отображения h на которую принадлежит Wql (Ux , Rm ).
О Wql -регулярности решений
755
Аналогично определяется понятие Wql -решения системы (8). Замечание. Придерживаясь соглашения, принятого в работах [1–3], мы полагаем далее, что отображение L в (8) — это лучший представитель отображений, совпадающих с L почти всюду в U1 : Z 1 Lj (w)dw, y ∈ U1 , j = 1, 2, . . . , k Lj (y) = lim N r&0 r l vNl {w∈RNl ,|w−y| n, где χ и χ — это функции, определенные соотношениями (5) и (6), и o X Xn ap ∂ p = t ∂vpl ,κ Lj (y0 ) j=1,2,...,k ∂ pl = max{2, τ }, t = t(D) = t |p|=l
κ=1,2,...,m
|pl |=l
(13) y0 = (x0 ; . . . , ∂ p0 fκ (x0 ), . . . ; . . . , ∂ p1 fκ (x0 ), . . . ; . . . ; . . . , ∂ pl fκ (x0 ), . . . ), при этом τ представляет собой наименьшее из чисел λ, удовлетворяющих неравенствам |ajκ p | ≤ λ,
j = 1, 2, . . . , k, κ = 1, 2, . . . , m, |p| = l, X p inf ζ a u p ≥ 1/λ m
ζ∈Rn ,u∈R ,|ζ|=1,|u|=1
|p|=l
(apjκ — коэффициенты оператора D из соотношений (13)), можно указать окрестность Ux0 точки x0 , для которой выполнено следующее: ограничение f − l l Pf,x на Ux0 разности отображения f и его многочлена Pf,x Тейлора сте0 0 Ux0 пени l в точке x0 является решением системы вида (8), локально близкой к эллиптическим системам линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, причем эта близость измеряется на основе условий (i)–(iii) с указанными выше значениями параметров ε, q0 и t. Замечание. Новая система, о которой идет речь в утверждении теоремы 1, получается перестройкой исходной системы (11) каноническим способом, предложенным в доказательстве теоремы 10 статьи [6]. Доказательство теоремы 110) . Предполагая, что f : U → Rm есть l C -решение эллиптической системы (11), где Lj , j = 1, 2, . . . , k, — C 1 -гладкие 10) Ср.
с доказательством теоремы 10 в [6].
О Wql -регулярности решений
757
функции, и рассматривая произвольную точку x0 ∈ U , построим на основе системы (11) новую систему e vl−1 (fe, x); v l (fe, x)) = L x; vl−1 (fe, x)+vl−1 P l , x ; v l (fe, x)+v l P l , x = 0. L(x; f,x0 f,x0 (14) Ясно, что система (14) также образована с использованием C 1 -гладкого отобраe и эллиптична и что отображение f˜ = f −P l является ее C l -решением. жения L f,x0 Пусть далее числа ε, q0 и t те же, что и в условии теоремы (где f и x0 сейчас — это выбранные выше решение системы (11) и точка из U = dom f ). e рассмотрим множество Принимая во внимание C 1 -гладкость отображения L, G = Bn (x0 , r1 ) × BNl−1 −n (0, r2 ) × Bmnl (0, r3 )
(15)
eи такое, что cl G ⊂ Ye = dom L e 0 l (x; vl−1 ; v l ) − L e 0 l (x0 ; 0; 0)k ≤ ε, kL v v
(x; vl−1 ; v l ) ∈ cl G
(16)
(в (15) и (16) Bn (x0 , r1 ), BNl−1 −n (0, r2 ) и Bmnl (0, r3 ) — n-мерный, (Nl−1 − n)мерный и mnl -мерный шары: Bn (x0 , r1 ) ⊂ Rn , BNl−1 −n (0, r2 ) ⊂ RNl−1 −n , Bmnl (0, r3 ) ⊂ e 0 l — производная (частный дифференциал) отображения L e по переRmnl ; L v l менному v и kλk — операторная норма линейного отображения λ). А затем, учитывая, что vl−1 (f˜, x0 ) = 0 и v l (f˜, x0 ) = 0, выберем число ρ, 0 < ρ < r1 , так, чтобы для x ∈ cl Bn (x0 , ρ) выполнялись соотношения vl−1 (f˜, x) ∈ BNl−1 −n (0, r2 ) и v l (f˜, x) ∈ Bmnl (0, r3 ), и построим отображения Vρ : cl Gρ → Rk и Tρ : cl{Bn (x0 , ρ) × BNl−1 −n (0, r2 )} → Rk , где Gρ = Bn (x0 , ρ) × BNl−1 −n (0, r2 ) × Bmnl (0, r3 ), полагая e vl−1 ; v l ) − L(x; e vl−1 ; 0) Vρ (x; vl−1 ; v l ) = L(x; и e vl−1 ; 0) Tρ (x; vl−1 ) = L(x; при (x; vl−1 ; v l ) ∈ Gρ . Для отображения Vρ имеем e vl−1 ; v l ) − L(x; e vl−1 ; 0) Vρ (x; vl−1 ; v l ) = L(x; 1 Z e 0 l (x0 ; 0; 0)v l + e 0 l (x; vl−1 ; τ v l ) − L e 0 l (x0 ; 0; 0) dτ v l . =L L v v v 0
Поэтому в силу (16) e 0 l (x0 ; 0; 0)v l | ≤ ε|v l |, |Vρ (x; vl−1 ; v l ) − L v
(17)
если (x; vl−1 ; v l ) ∈ cl Gρ . 0 00 Далее, если |x − x0 | ≤ ρ, |vl−1 | ≤ r2 и |vl−1 | ≤ r2 , то 00 0 e v 00 ; 0) − L(x; e v 0 ; 0)| ≤ Eρ (x)|v 00 − v 0 |, (18) |Tρ (x; vl−1 ) − Tρ (x; vl−1 )| = |L(x; l−1 l−1 l−1 l−1
где Eρ (x) =
max
|x−x0 |≤ρ,|vl−1 |≤r2
e 0 (x; vl−1 ; 0)k = C1 < +∞. kL vl−1
758
А. П. Копылов
Кроме того, при x ∈ Bn (x0 ; ρ) e 0; 0)| ≤ |Tρ (x; 0)| = |L(x;
e 0; 0)| = C2 < +∞. max |L(x;
|x−x0 |≤ρ
(19)
Продолжим теперь отображения Vρ и Tρ в цилиндрическую область Bn (x0 , ρ) × RNl −n ⊂ RNl (второе отображение достаточно продолжить в Nl−1 -мерную область Bn (x0 , ρ)×RNl−1 −n ) следующим образом. Продолжение Vbρ отображения Vρ есть отображение Vbρ : Bn (x0 , ρ) × RNl −n → Rk такое, что Vbρ (y) = Vρ (y), если y ∈ {cl Gρ } ∩ {Bn (x0 , ρ) × RNl −n }. А в том случае, когда y = (x; vl−1 ; v l ) ∈ {Bn (x, ρ) × RNl −n } \ cl Gρ , ∗ e 0 l (x0 ; 0; 0)(v l − v l∗ ), Vbρ (y) = Vbρ (x; vl−1 ; v l ) = Vρ (x; vl−1 ; v l∗ ) + L v ∗ где (vl−1 ; v l∗ ) — точка пересечения (в RNl −n ) границы множества BNl−1 −n (0, r2 ) ×Bmnl (0, r3 ) и луча, выходящего из точки (vl−1 (f˜, x0 ); v l (f˜, x0 )) = (0; 0)∈ RNl−1 −n в направлении точки (vl−1 ; v l ). Что же касается отображения Tρ , то его продолжение
Tbρ : Bn (x0 , ρ) × RNl−1 −n → Rk строится так. Для (x; vl−1 ) ∈ Bn (x0 , ρ)×cl BNl−1 −n (0, r2 ) мы полагаем Tbρ (x; vl−1 ) = Tρ (x; vl−1 ). Если же (x; vl−1 ) ∈ {Bn (x0 , ρ)×RNl−1 −n }\{Bn (x0 , ρ)×cl BNl−1 −n (0, r2 )}, то тогда ∗∗ Tbρ (x; vl−1 ) = Tρ (x; vl−1 ), l−1 ∗∗ Nl−1 −n где vl−1 = r2 |vvl−1 ) граничной сферы шара | — точка пересечения (в R BNl−1 −n (0, r2 ) и луча, выходящего из центра этого шара в направлении точки vl−1 . Не составляет труда проверить, что Vbρ и Tbρ наследуют следующие свойства отображений Vρ и Tρ . Во-первых, эти отображения непрерывны, и для первого из них остается справедливым неравенство (17):
e 0 l (x0 ; 0; 0)v l | ≤ ε|v l |, |Vbρ (x; vl−1 ; v l ) − L v
(x; vl−1 ; v l ) ∈ Bn (x0 , ρ) × RNl−1 −n .
И, во-вторых, для отображения Tbρ сохраняют свою силу соотношения (18) и (19), причем с прежними постоянными C1 и C2 : 00 0 00 0 |Tbρ (x; vl−1 ) − Tbρ (x; vl−1 )| ≤ C1 |vl−1 − vl−1 |
и |Tbρ (x; 0)| (= |Tρ (x; 0)|) ≤ C2 , 0 00 если x ∈ Bn (x0 , ρ), vl−1 , vl−1 ∈ RNl−1 −n . Тем самым ограничение f˜|Bn (x0 ,ρ) отображения f˜ на шар Bn (x0 , ρ) представляет собой C l -гладкое решение системы
Vbρ (x; vl−1 ; v l ) + Tbρ (x; vl−1 ) = 0 вида (8), удовлетворяющей условиям (i)–(iii), в которых ε, q0 и t — это числа из условия теоремы. Доказательство завершено. Пусть теперь система (11) является линейной, т. е. имеет вид (110 ). Тогда теорему 1 можно усилить следующим образом.
О Wql -регулярности решений
759
Теорема 10 . Предположим, что коэффициенты ajκ p и правые части hj си0 стемы (11 ), j = 1, 2, . . . , k, κ = 1, 2, . . . , m, |p| ≤ l, являются Pнепрерывными функциями, а сама эта система — эллиптической (т. е. rank ζ p ap (x) = m |p|=l
для каждой пары точек ζ ∈ Rn \ {0} и x ∈ U ). Тогда для любого ограниченного открытого множества U0 ⊂ Rn , содержащегося в U вместе со своим замыканием cl U0 , существует число t = tU0 > 1, для которого выполнено следующее: если l Q n < q0 < ∞ и 0 ≤ ε < q0χ(t) (Rm )nν система (110 ) удовлетворяет χ1 (t) , то в U0 × ν=0
условиям (◦)–(◦ ◦ ◦) с указанными значениями параметров ε, q0 и t. Теорема 10 вытекает непосредственно из условий эллиптичности системы 0 (11 ) и непрерывности ее коэффициентов ajκ p и правых частей hj . 2◦ . Имеет место Теорема 2. Пусть параметры ε (≥ 0), q0 (> n) и t (> 1) связаны соотношением χ(t) , ε< q0 χ1 (t) где функции χ и χ1 (как и в теореме 1) определяются соотношениями (5) и (6). Предположим, что система (8) удовлетворяет условиям (i)–(iii) с этими знаl чениями параметров ε, q0 и t. Тогда каждое W2,loc -решение рассматриваемой l системы является ее Wq0 ,loc -решением. Замечание. Теорема 2 представляет (существенное) усиление теоремы 1 из [1, 2] и уточненного ее варианта — теоремы 4 статьи [3]. Напомним, что в l -решений системы (8) рассматриваются последних утверждениях вместо W2,loc l , где q > n. Отметим также, что в случае, когда (8) решения пространства Wq,loc — система первого порядка, теорема 2 была получена в статье [3], причем в несколько более общей форме (см. теорему 3 в [3]). Доказательство теоремы 2 осуществляется по схеме, использованной нами ранее в [2, 3] для доказательства упомянутых в замечании теорем из статей [1–3] с внесением в рассуждения необходимых изменений и дополнений. Поэтому мы не будем приводить его в полном объеме, а сосредоточим внимание на вносимых изменениях. l Итак, полагая l ≥ 2 и рассматривая W2,loc -решение системы (8), удовлетворяющей условиям теоремы, и следуя ходу доказательства теоремы 1 статьи [2], мы приходим к отображению f˜ : B → Rm (B — единичный шар в Rn ), определяемому соотношением (19) в [2], т. е. к отображению f˜(y) = β −1 (f (ω −1 (τ y + z0 ))),
y∈B
(z0 = ω(x0 )),
(20)
которое в нашем случае является W2l -решением системы (12) в работе [2]. Заметим, что в действительности отображение f˜ естественным образом (т. е. посредl ством соотношений (20)) продолжается до W2,loc -решения системы (12) из [2] в −1 e области U = τ (ω(U ) − z0 ). При этом мы будем полагать далее τ столь малым, что e. cl B(0, 2) ⊂ U (21) Следующим этапом доказательства теоремы 1 в статье [2] является построение системы интегродифференциальных уравнений (20) (см. [2]). В рассматриваемом в настоящей статье случае на этом этапе вносится главное изменение в
760
А. П. Копылов
доказательство. Суть его состоит в том, что вместо разложения Тейлора с интегральной формой остатка для отображения f˜, использованного при построении системы (20) в [2], мы будем исходить из разложения, которое доставляет Лемма 1. Пусть h : V → R, где V — открытое, ограниченное и достаточно регулярно устроенное множество в Rn (например, V — это компактное n-мерное C 1 -гладкое многообразие с краем, ориентированное внешней нормалью ν к краю ∂V ), является функцией пространства Соболева W11 (V, R). Тогда для x ∈ V имеет место представление Z Z hy − x, ν(y)i hy − x, grad h(y)i 1 1 dy. (22) h|∂V (y) dsy − h(x) = Sn |y − x|n Sn |y − x|n V
∂V
Здесь Sn — площадь (n − 1)-мерной единичной сферы в Rn , второй из интегралов справа понимается в смысле главного значения по Коши (и почти во всех точках x ∈ V — как обычный интеграл Лебега), первый интеграл вычисляется относительно поверхностной меры на ∂V , причем h|∂V в нем означает след на ∂V в смысле теории пространств Соболева функции h, наконец, символ h·, ·i обозначает скалярное произведение векторов в Rn . Лемма 1 типична для представлений значений функции внутри ее области определения через значения частных производных первого порядка и граничные значения этой функции. Она непосредственно вытекает, например, из следствия 3.2.2 теоремы 3.2.2 из [11, гл. 3], если в качестве эллиптического линейного дифференциального оператора D рассмотреть в нем оператор М. Рисса ! n X DR = DR (H1 , . . . , Hn ) = ∂s Hs , . . . , ∂i Hj − ∂j Hi , . . . . s=1
Действительно, предположим, что в формуле (3.2.6) в [11, гл. 3] D и f — это оператор DR и отображение H = (H1 , . . . , Hn ) = (h, 0, . . . , 0). Тогда несложными, хотя и громоздкими выкладками можно убедиться в том, что для первой компоненты h отображения H формула (3.2.6) из [11, гл. 3] превращается в формулу (22) леммы 111) . Далее мы будем рассматривать тот случай, когда множество V в лемме 1 — это шар Br = B(0, r). В этом случае формула (22) обретает вид h(x) =
1 rSn
Z
r2 − hx, yi 1 h|∂Br (y) dsy − n |y − x| Sn
|y|=r
= ∂Br h|∂Br
Z |y|≤r
n X ys − xs ∂s h(y) dy |y − x|n s=1
(x) + Br (grad h) (x) = r h|∂Br (x) + (r (grad h))(x) = r (x) + r (x),
(220 )
x ∈ Br . Отметим следующие, необходимые для дальнейшего свойства интегральных операторов r и r . 11) Доказательство леммы 1 можно осуществить и прямыми выкладками, основывающимися на формуле Гаусса — Остроградского в случае гладких функций h и на последующем использовании предельного перехода от гладких функций в случае h ∈ W11 .
О Wql -регулярности решений
761
Лемма 2. Если h = (h1 , . . . , hM ) : fr Br → RM — интегрируемое относительно поверхностной лебеговой меры на границе fr Br шара Br отображение и Z r2 − hx, yi 1 h(y) dy, x ∈ Br , (r h)(x) = rSn |y − x|n |y|=r
то для x ∈ cl Br0 , где r0 < r, имеют место неравенства Z r + r0 1 |(r h)(x)| ≤ (r (|h|))(x) ≤ (r − r0 )n Sn
|h(y)| ds
|y|=r
(|h| : fr Br → R — это функция, определяемая соотношениями |h|(y) = |h(y)| = M 1/2 P 2 hi (y) , y ∈ fr Br ). i=1
Лемма 3. Предположим, что H = (H1 , H2 , . . . , Hn ) : Br → Rn — измеримое и ограниченное в существенном отображение (ess sup |H(z)| < +∞). Тогда z∈Br
для каждого x ∈ Rn выполняются соотношения Z Z 1 hy − x, H(y)i 1 |(r H)(x)| = dy = Sn |y − x|n Sn |y|≤r
1 ≤ Sn
|y|≤r
n X ys − xs H (y) dy n s |y − x| s=1
1 |H(y)| dy ≤ {ess sup |H(z)|} |y − x|n−1 S n z∈Br
Z |y|≤r
Z
dy |y − x|n−1
|y|≤r
≤ (r + |x|) ess sup |H(z)|. (23) z∈Br
Доказательства лемм 2 и 3 не составляют труда, поэтому мы их опускаем. Замечание. Неравенство (23) распространяется и на случай отображений M P H = (H1 , H2 , . . . , Hn ) : Br → (RM )n , где Hs (y) = Hsi (y)eµ (e1 , e2 , . . . , eM — i=1
канонический базис в RM ): Z X Z n 1 1 ys − xs ≤ H (y) dy s Sn Sn |y − x|n s=1 |y|≤r
|y|≤r
≤
1 Sn
Z |y|≤r
|H(z)| =
n P
s=1
2
|Hs (z)|
1/2
=
n P M P
n X |ys − xs | s=1
|y − x|n
|Hs (y)| dy
|H(y)| ≤ (r + |x|) ess sup |H(z)|, |y − x|n−1 z∈Br 2
(230 )
1/2
(Hsi (z))
.
s=1 i=1
Возвращаясь к доказательству теоремы 2, отметим прежде всего, что непосредственно из определения понятия обобщенной производной по Соболеву [12] вытекает следующее. Если 0 ≤ l0 < l, то каждая из частных производных n P ∂ p f˜κ , p = (p1 , p2 , . . . , pn ), порядка |p| = ps = l0 , каждой из функций f˜κ , s=1
l−l0 e κ = 1, 2, . . . , m, принадлежит пространству W2,loc (U , R) и тем самым простран1 e ству W2,loc (U , R). Кроме того, при s = 1, 2, . . . , n обобщенная производная ∂s (∂ p f˜κ ) функции ∂ p f˜κ вычисляется по формуле ¯ ∂s (∂ p f˜κ ) = ∂ p(s,p) f˜κ ,
762
А. П. Копылов
где p¯(s, p) — мультииндекс порядка l0 + 1, определяемый по числу s и мультииндексу p следующим способом12) : p¯(s, p) = (p1 , . . . , ps−1 , ps + 1, ps+1 , . . . , pn ). Учитывая последние замечания, исходя из множества чисел rν = 2 − ν−1 l−1 , ν = 1, 2, . . . , l − 1, представляя соотношения (25) из [2] в виде Fpl−1 ,κ = ∂ pl−1 f˜κ , Ff˜ = {Fpl−1 ,κ , |pl−1 | = l − 1, κ = 1, 2, . . . , m}, (24) и используя формулу (220 ), включение (21), лемму 1, теорему Фубини и математическую индукцию, последовательно получаем13) при x ∈ B(= B(0, 1)) ∂ pl−2 f˜κ (x) = (r1 (∂ pl−2 f˜κ ))(x) + (r1 (grad(∂ pl−2 feκ )))(x) Z X n ys − xs p(s,p 1 pl−2 ˜ (∂ ¯ l−2 ) f˜κ )(y) dy = (r1 (∂ fκ ))(x) − n Sn |y − x| s=1 |y|≤r1
= (r1 (∂ pl−2 f˜κ ))(x) −
Z
1 Sn
|y|≤r1
n X ys − xs Fp(s,p (y) dy; ¯ l−2 ),κ |y − x|n s=1
(25)
∂ pl−3 f˜κ (x) = r2 ∂ pl−3 f˜κ (x) + r2 grad ∂ pl−3 feκ (x) Z X n ys − xs 1 pl−3 ˜ ∂s ∂ pl−3 f˜κ (y) dy = r 2 ∂ fκ (x) − n Sn |y − x| s=1 |y|≤r2
1 = r2 ∂ pl−3 f˜κ (x) − Sn
Z |y|≤r2
−
n X ys − xs p(s,p ∂ ¯ l−3 ) f˜κ (y) dy = r2 ∂ pl−3 f˜κ (x) n |y − x| s=1
Z X n ys − xs ¯ ¯ l−3 ) ˜ l−3 ) ˜ r1 ∂ p(s,p fκ (y) + r1 grad ∂ p(s,p fκ (y) dy n |y − x| s=1
1 Sn
|y|≤r2
= r 2 ∂
pl−3
Z
1 f˜κ (x) − Sn
|y|≤r2
1 + 2 Sn
Z |y|≤r2
Z n X ys − xs |y − x|n s=1
|z|≤r1
Z
1 = r2 ∂ pl−3 f˜κ (x) − Sn
|y|≤r2
+
1 Sn2
Z |y|≤r2 , |z|≤r1
12) В
n X ys − xs ¯ l−3 ) ˜ r1 ∂ p(s,p fκ (y) dy n |y − x| s=1 n X zj − y j p(s,p ¯ l−3 ) ˜ ∂ ∂ f (z) dz j κ |z − y|n j=1 n X ys − xs ¯ l−3 ) ˜ r1 ∂ p(s,p fκ (y) dy n |y − x| s=1
n X ys − xs zj − yj p(s,j,p l−3 ) ˜ ∂¯ fκ (z) dydz n |z − y|n |y − x| s,j=1
частности, p¯(s, p) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) в случае p = p0 (= (0, 0, . . . , 0)). Ниже | {z } s−1
мы используем также следующее обобщение операции p¯: p¯(s1 , s2 , . . . , sν , p) = p¯(s1 , p¯(s2 , . . . . . . , p¯(sν , p)) . . . ), если sλ = 1, 2, . . . , n, λ = 1, 2, . . . , ν. 13) Всюду далее p — мультииндекс порядка ν и при построении интегралов по сферам ν используются следы (в смысле теории пространств Соболева) функций f˜κ и их производных ∂ p f˜κ , |p| = 1, 2, . . . , l − 2.
О Wql -регулярности решений 1 = r2 ∂ pl−3 f˜κ (x) − Sn
Z |y|≤r2
+
Z
1 Sn2
|y|≤r2 , |z|≤r1
763
n X ys − xs ¯ l−3 ) ˜ r1 ∂ p(s,p fκ (y) dy n |y − x| s=1
n X ys − xs zj − yj Fp(s,j,p (z) dydz; ¯ l−3 ),κ |y − x|n |z − y|n s,j=1
(26)
............................................................; ζ l−2 X 1 −1 ˜ e fκ (x) = rl−1 (fκ ) (x ) + Sn ζ=1
n X
Z × |x2 |≤rl−1 , |x3 |≤rl−2 , ............, |xζ+1 |≤rl−ζ
+
−1 Sn
s1 ,...,sζ
l−1
ζ ν Y xν+1 sν − xsν ¯ 1 ,...,sζ ,p0 ) e fκ ))(xζ+1 ) dx2 . . . dxζ+1 ( (∂ p(s ν+1 − xν |n rl−1−ζ |x =1 ν=1
n X
Z
|x2 |≤rl−1 , |x3 |≤rl−2 , ............, |xl |≤r1
l−1 Y
ν xν+1 sν − xsν F ¯ 1 ,...,sl−1 ,p0 ),κ (xl ) dx2 . . . dxl , ν+1 − xν |n p(s |x s1 ,...,sl−1 =1 ν=1 (27)
x1 = x. Отправляясь от полученных соотношений, примем в качестве оператора Kl−2 из работы [2] (см. соотношения (22)–(24) в [2]) оператор с компонентами
−1 Sn
γ
Z |x2 |≤rγ , |x3 |≤rγ−1 , ............, |xγ+1 |≤r1
γ ν Y xν+1 sν − xsν F ¯ 1 ,...,sγ ,pl−γ−1 ),κ (xγ+1 ) dx2 . . . dxγ+1 , ν+1 ν n p(s |x − x | s1 ,...,sγ =1 ν=1 (28) n X
|pl−γ−1 | = l − γ − 1, κ = 1, 2, . . . , m, γ = 1, 2, . . . , l − 1, а в качестве оператора l−2,f˜ из той же статьи — оператор с компонентами (r1 (∂ pl−2 f˜κ ))(x1 )
(29)
и γ−1 X −1 ζ rγ ∂ pl−γ−1 f˜κ (x1 ) + Sn ζ=1
Z |x2 |≤rγ , |x3 |≤rγ−1 , ............, |xζ+1 |≤rγ−ζ+1
n X s1 ,...,sζ
ζ ν Y xν+1 sν − xsν |xν+1 − xν |n =1 ν=1
¯ 1 ,...,sζ ,pl−γ−1 ) ˜ × (rγ−ζ (∂ p(s fκ ))(xζ+1 ) dx2 . . . dxζ+1 ,
|pl−γ−1 | = l − γ − 1,
κ = 1, 2, . . . , m,
γ = 2, 3, . . . , l − 1.
(30)
764
А. П. Копылов
Для этих операторов при |y| < 1 выполняются следующие неравенства: 1/2 Z n X l−1 o1/2 3(l − 1)n X (16n)l−ι − 1 |l−2,f˜(y)| ≤ |∂ p f˜(x)|2 ds Sn 16n − 1 ι=1 |x|=rι
|p|=l−ι−1
(31) и 2
2 1/2
{|(Kl−2 H)(y)| + |H(y)| }
1/2 (16n)l−1 − 1 ≤ 9n +1 ess sup |H(x)|, 16n − 1 |x|≤r1
(32)
где отображение H : cl B(0, 2) → Rmnl−1 ,
H = {Hpl−1 ,κ , |pl−1 | = l − 1, κ = 1, 2, . . . , m}
(n+l−2)! ), измеримо и в существенном ограничено. (nl−1 = (l−1)!(n−1)! Действительно, применяя лемму 3 (точнее, неравенства (230 ) из замечания к этой лемме), теорему Тонелли и математическую индукцию и отправляясь от определения (28) оператора Kl−2 , мы приходим при x1 ∈ B(0, 1) к соотношениям ( l−1 Z γ n ν X −1 γ X Y xν+1 sν − xsν 1 |Kl−2 H(x )| ≤ Sn |xν+1 − xν |n γ=1 s ,...,s =1 ν=1 |x2 |≤rγ , |x3 |≤rγ−1 , ............, |xγ+1 |≤r1
m X
X
×
1
γ
γ+1
Hp(s ¯ 1 ,...,sγ ,p),κ (x
2
)ep,κ dx . . . dx
|p|=l−γ−1 κ=1
( l−1 " X 1 ≤ Snγ γ=1
Z |x2 |≤rγ , |x3 |≤rγ−1 , ............, |xγ+1 |≤r1
n X s1 ,...,sγ
2 )1/2
γ+1
γ ν Y xν+1 sν − xsν ν+1 ν |x − x |n =1 ν=1
#2 )1/2 γ+1 Hp(s × )ep,κ dx2 . . . dxγ+1 ¯ 1 ,...,sγ ,p),κ (x |p|=l−γ−1 κ=1 ( l−1 " Z γ X 1 Y 1 ≤ γ ν+1 Sn |x − xν |n−1 γ=1 ν=1 X
m X
|x2 |≤rγ , |x3 |≤rγ−1 , ............, |xγ+1 |≤r1
×
n X
X
m X
!1/2 2 γ+1 Hp(s ) ¯ 1 ,...,sγ ,p),κ (x
#2 )1/2 2
γ+1
dx . . . dx
s1 ,...,sγ =1 |p|=l−γ−1 κ=1
( l−1 " X 1 ≤ Snγ γ=1
Z |x2 |≤rγ , |x3 |≤rγ−1 , ............, |xγ+1 |≤r1
γ Y
1/2 m X X 1 γ 2 γ+1 n Hp,κ (x ) |xν+1 − xν |n−1 ν=1 κ=1 |p|=l−1
О Wql -регулярности решений #2 )1/2 2
γ+1
× dx . . . dx
≤
( l−1 " X nγ/2 γ=1
|H(xγ+1 )| dxγ+1 |xγ+1 − xγ |n−1
Z ··· |xγ+1 |≤r
765
dx2 |x2 − x1 |n−1
Z
Snγ |x2 |≤rγ
#2 )1/2
|x3 |≤rγ−1
( l−1 " X
≤
dx3 ... |x3 − x2 |n−1
Z
n
γ/2
(rγ + 1)
γ=1
γ−1 Y
(rν + rν+1 )
ν=1
1
#2 )1/2 × ess sup |H(x)|
≤
X l−1
x∈B(0,r1 )
9n(16n)γ−1
1/2
= 3n1/2
ess sup |H(x)| x∈B(0,r1 )
γ=1
(16n)l−1 − 1 16n − 1
1/2 ess sup |H(x)| (33) x∈B(0,r1 )
(ep,κ , |p| = ν, κ = 1, 2, . . . , m, — канонический базис пространства (Rm )nν , где, как и в (8), nν = (n+ν−1)! ν!(n−1)! ). Тем самым в силу (33) неравенство (32) доказано. Приступая к доказательству неравенства (31), заметим прежде всего, что непосредственно из определения оператора l−2,f˜ (см. (29), (30)) вытекает следующее неравенство: 2 ! ( m l−2 X X X p˜ 1 (rι (∂ fκ ))ep,κ (x ) |l−2,f˜(x )| ≤ ι=1 |p|=l−1−ι κ=1 Z η l−1−ι n ν X −1 η X Y xν+1 sν − xsν + Sn |xν+1 − xν |n η=1 s ,...,s =1 ν=1 1
|x2 |≤rη+ι , |x3 |≤rη+ι−1 , ............, |xη+1 |≤rι+1
m X
X
×
(rι (∂
p(s ¯ 1 ,...,sη ,p)
|p|=l−1−ι−η κ=1
1
η
2 )1/2 ! η+1 2 η+1 ˜ fκ ))ep,κ (x ) dx . . . dx
m l−2 ( ! )1/2 l−1−ι X X X 2 2 + (rl−1 f˜κ )eκ (x1 ) = δ1,ι + δ2,ι,η + δ3 , ι=1
κ=1
(34)
η=1
|x1 | < 1. Далее, рассуждая аналогично тому, как это было сделано при выводе неравенств (33), и используя при этом лемму 2, последовательно получаем14) δ2,ι,η
1 = η Sn
Z r ι
s1 ,...,sη
|x2 |≤rη+ι , |x3 |≤rη+ι−1 , ............, |xη+1 |≤rι+1
×
X
m X
|p|=l−1−ι−η κ=1
14) Как
n X
η ν Y xν+1 sν − xsν |xν+1 − xν |n =1 ν=1
(xη+1 ) dx2 . . . dxη+1
!! ¯ 1 ,...,sη ,p) ˜ (∂ p(s fκ )ep,κ
и в (34), в следующих ниже соотношениях (35)–(37) мы полагаем |x1 | < 1.
766 ≤
Z
1 Snη
|x2 |≤rη+ι , |x3 |≤rη+ι−1 , ............, |xη+1 |≤rι+1 m X
X
×
А. П. Копылов η n ν X Y xν+1 sν − xsν r ι ν+1 ν |x − x |n s ,...,s =1 ν=1 1
η
!! (∂
p(s ¯ 1 ,...,sη ,p)
f˜κ )ep,κ
η+1
(x
|p|=l−1−ι−η κ=1
Z
1 ≤ η Sn
r ι |x2 |≤rη+ι , |x3 |≤rη+ι−1 , ............, |xη+1 |≤rι+1 m X
X
×
(∂
p(s ¯ 1 ,...,sη ,p)
|p|=l−1−ι−η κ=1
n X s1 ,...,sη
η Y
1 ν+1 − xν |n−1 |x ν=1
r ι |x2 |≤rη+ι , |x3 |≤rη+ι−1 , ............ |xη+1 |≤rι+1
" ×
n X
m X
X
η ν Y xν+1 sν − xsν |xν+1 − xν |n =1 ν=1
!! ˜ fκ )ep,κ (xη+1 ) dx2 . . . dxη+1
Z
1 ≤ η Sn
) dx2 . . . dxη+1
#1/2 !! (∂
p(s ¯ 1 ,...,sη ,p)
f˜κ )
2
(xη+1 ) dx2 . . . dxη+1
s1 ,...,sη =1 |p|=l−1−ι−η κ=1
1 ≤ η Sn
η Y
Z
1 r ι ν+1 − xν |n−1 |x ν=1
( n
X
η
m X
)1/2 !! ∂ f˜κ p
2
(xη+1 )
|p|=l−1−ι κ=1
|x2 |≤rη+ι , |x3 |≤rη+ι−1 , ............ |xη+1 |≤rι+1
× dx2 . . . dxη+1 ≤ nη/2 (rη+1 + 1)
η−1 Y
(rι+ν + rι+ν+1 )
ν=1
× ess sup
h
r ι
n
x∈B(0,rι+1 )
×
1 Sn
X
|∂ p f˜|2
o1/2
|p|=l−1−ι
Z |y|=rι
n
X
|∂ p f˜(y)|2
o1/2
i rι + rι+1 (x) ≤ 3nη/2 4η−1 (rι − rι+1 )n
ds = 3(l − 1)n (4n1/2 )η
|p|=l−1−ι
×
1 Sn
Z |y|=rι
n
X
|p|=l−1−ι
|∂ p f˜(y)|2
o1/2
ds. (35)
О Wql -регулярности решений
767
Оценим теперь величину δ1,ι : !! m X X pe 1 δ1,ι = rι (∂ fκ )ep,κ (x ) |p|=l−1−ι κ=1 !! m X X p˜ (x1 ) (∂ fκ )ep,κ ≤ r ι |p|=l−1−ι κ=1
rι + 1 1 ≤ (rι − 1)n Sn
Z |y|=rι
( X
m X
)1/2 (∂ f˜κ (y)) p
2
ds
|p|=l−1−ι κ=1
≤ 3(l − 1)n
1 Sn
Z
n
|y|=rι
X
|∂ p f˜(y)|2
o1/2
ds. (36)
|p|=l−1−ι
Наконец, в случае величины δ3 имеем rl−1 + 1 1 δ3 = rl−1 f˜ (x1 ) ≤ rl−1 (|f˜|) (x1 ) ≤ (rl−1 − 1)n Sn
Z
|f˜(y)| ds
|y|=rl−1
3(l − 1)n ≤ Sn
Z
|f˜(y)| ds. (37)
|y|=rl−1
Принимая во внимание оценки (35)–(37), мы легко убеждаемся в том, что неравенство (31) непосредственно вытекает из соотношений (34). С учетом того, что в силу (25)–(27) отображение Ff˜ из соотношений (24) является W21 -решением (в смысле определения 2 из [2]) системы (20) интегродифференциальных уравнений работы [2], завершение доказательства нашей теоремы осуществляется почти дословным повторением соответствующей части доказательства теоремы 1 упомянутой статьи15) . Подробности изложения мы опускаем. В заключение пункта отметим, что внося незначительные изменения в доказательство теоремы 216) , можно получить следующее ее усиление. Теорема 20 . Пусть r > 1. Если выполнены условия теоремы 2, в которых сейчас функция χ1 заменена функцией D0 1 1 q , (60 ) χr (t) = sup sup (D0 ) D∈Ot r≤q 1 и выполнены условия теоремы 20 , приl чем отображения β и ω в (iii) — это квазиизометрии, то каждое Wr,loc -решение m f : U → R системы (8) удовлетворяет локально в U условию Г¨ельдера с показателем α = 1 − qn0 . Теорему 3 естественным образом дополняет теорема 4, согласно которой в случае l = 1 условие q0 > n в теореме 3 является точным.17) Теорема 4 (см. замечание 3.4.1 в [11, с. 179]). Если l = 1 и q0 = n, то для каждой пары чисел t и ε такой, что t > 1 и ε ≥ 0, существует система вида (8), для которой выполнены условия (i)–(iii) с указанными значениями параметров 1 ε, q0 и t и у которой есть (неустранимо) разрывное Wn,loc -решение. Напомним доказательство теоремы 4. Пусть f = (f1 , f2 , . . . , fm ) : B → Rm — отображение единичного шара B = B(0, 1) пространства Rn такое, что при x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ B 1 f1 (x) = ln ln (38) |x| и fs (x) = 0, s = 2, 3, . . . , m. (39) Учитывая, что отображение (38), (39) принадлежит пространству Соболева 1 Wn,loc (B, Rm ), рассмотрим число t > 1 и произвольный эллиптический линейный дифференциальный оператор D 1-го порядка из множества Ot = Otn,m,k,1 , определенного выше соотношениями (4), и затем построим следующую систему уравнений с частными производными: Lg = Dg − G = 0,
(40)
k
где G = Df ∈ Ln,loc (B, R ). Для системы (40) имеем V = D, поэтому отклонение оператора V от линейных эллиптических операторов из Ot , подсчитанное способом, предложенным в (iii), равно 0 (т. е. ε = 0). Нам осталось заметить, что в силу сказанного выше отображение f являет1 ся неустранимо разрывным Wn,loc -решением системы (40). Теорема 4 доказана. Замечание. Идея строить контрпримеры, относящиеся к проблеме регулярности решений систем дифференциальных уравнений с частными производ1 ными, на основе функции x 7→ ln ln |x| использовалась ранее (и, по-видимому, впервые) в [13, 14]. В завершение п. 3◦ отметим, что из теорем 10 , 2–4 вытекают следующие утверждения. 17) Теорема 4 — это теорема с тем же номером в [15]. Обращаем внимание читателя на то, что в формулировке теоремы 4 в [15] допущена неточность в записи: параметр l в ней должен быть равен 1.
О Wql -регулярности решений
769
Теорема 5. Предположим, что функции Lj в (11) принадлежат классу C 1 (Y ), т. е. являются непрерывными и обладают непрерывными частными производными 1-го порядка относительно всех своих аргументов в Y . Тогда частные производные l-го порядка любого эллиптического C l -решения f : U → Rm , U ⊂ Rn , системы (11) локально в U удовлетворяют условию Г¨ельдера с любым показателем α, принадлежащим интервалу ]0, 1[: если 0 < α < 1 и E — компактное подмножество U , то существует число Cα,E ≥ 0 такое, что |∂ pl fκ (x0 ) − ∂ pl fκ (x00 )| ≤ Cα,E |x0 − x00 |α , x0 , x00 ∈ E, |pl | = l, κ = 1, 2, . . . , m. Теорема 6. Если коэффициенты ajκ p и правые части hj (j = 1, 2, . . . , k; κ = 1, 2, . . . , m; |p| ≤ l) системы (110 ) линейных дифференциальных уравнений с частными производными — непрерывные функции, а сама система элl липтична, то тогда каждое ее W2,loc -решение при любом q ∈ [1, ∞[ являетl ся Wq,loc -решением и, следовательно, принадлежит каждому из пространств (l−1)+α
Cloc
(U, Rm ), α ∈ ]0, 1[.
Теорема 7. Предположим, что старшие коэффициенты ajκ p , |p| = l (j = 1, 2, . . . , k; κ = 1, 2, . . . , m), системы (110 ) являются непрерывными функциями. Пусть далее существует число q0 ≥ 1 такое, что все остальные ее коэффициенты ajκ p , |p| < l, и правые части hj (j и κ те же, что и выше) принадлежат пространству Lq0 ,loc (U, R). Наконец допустим, что эта система эллиптическая (т. е. X p rank ζ ap (x) = m |p|=l n
для каждой пары точек ζ ∈ R \ {0} и x ∈ U ). Тогда в случае q0 > n каждое l -решение этой системы является ее Wql0 ,loc -решением и тем самым приW2,loc (l−1)+α
(U, Rm ), где α = 1 − qn0 , а в случае 1 ≤ q0 ≤ n надлежит пространству Cloc существует система (110 ) первого порядка и обсуждаемого сейчас вида, которая обладает неустранимо разрывным Wq10 ,loc -решением. Теорема 8. Пусть числа t и q0 удовлетворяют неравенствам 1 < t < ∞ и n < q0 < ∞. Тогда существует положительное число εt,q0 = εn,m,k,l такое, t,q0 что если система (110 ) с измеримыми коэффициентами и правыми частями равномерно эллиптическая, точнее, удовлетворяет условию (◦) из введения с указанным выше значением параметра t, старшие ее коэффициенты ajκ p , |p| = l, удовлетворяют условию медленного изменения (◦◦) с ε < εt,q0 , а остальные коэффициенты ajκ p , |p| < l, и правые части hj локально суммируемы в U в степени l q0 , то каждое W2,loc -решение этой системы является ее Wql0 ,loc -решением и, сле(l−1)+(1−n/q )
0 довательно, принадлежит пространству Cloc (U, Rm ). В то же время если q0 ∈ [1, n], то для любой пары чисел t > 1 и ε ≥ 0 существует система (110 ) первого порядка, для которой условия (◦)–(◦ ◦ ◦) выполнены с этими значениями параметров t, q0 и ε и которая обладает неустранимо разрывным Wq10 ,loc -решением.
За доказательством теоремы 5 мы отсылаем читателя к работе [6]. Что касается теорем 6 и 7, то первая из них является непосредственным следствием второй, а вторая, в свою очередь, вытекает из теоремы 8 (при доказательстве
770
А. П. Копылов
теорем 6 и 7 необходимо также принять во внимание теорему 10 и ее естественный аналог в случае систем из формулировки теоремы 7). Наконец, так как система (110 ), удовлетворяющая условиям (◦)–(◦ ◦ ◦), является частным случаем систем (8), для которых выполнены условия (i)–(iii), то первая часть утверждений теоремы 8 следует из теорем 2 и 3, а доказательство второй — это (фактически) приведенное выше доказательство теоремы 4. Замечание 1. Сама нелинейная система (8), удовлетворяющая условиям (i)–(iii), представляет собой прямой аналог линейной системы (110 ) с измеримыми коэффициентами и правыми частями, для которой выполнены условия (◦)– (◦ ◦ ◦). Такая тесная связь между этими системами позволяет в формулировке теоремы 8 положить, например, εt,q0 = √
χ(t) . kmnl q0 χ1 (t)
(41)
Замечание 2. В силу теорем 20 и 30 можно усилить теорему 8, заменяя в l l -решениями, где r — любое чис-решения Wr,loc первом из ее утверждений W2,loc ло, большее 1 При этом в случае любого r > 1 (как и в случае r = 2) роль числа εt,q0 может играть число, определяемое формулой (41), в которой в качестве функции χ1 принимается функция χ1r из (60 ). Данное замечание распространяется и на теоремы 6 и 7, причем в случае последних возможна формальная l l замена W2,loc -решений на Wr,loc -решения, r > 1, без внесения каких-либо других изменений. В заключение статьи отметим, что некоторые из ее основных результатов анонсированы в [15]. ЛИТЕРАТУРА Wql -регулярности
1. Копылов А. П. О решений систем уравнений с частными производными, локально близких к эллиптическим системам линейных уравнений с постоянными коэффициентами // Докл. РАН. 1999. Т. 368, № 3. С. 303–306. 2. Копылов А. П. О регулярности решений систем уравнений с частными производными, локально близких к эллиптическим системам линейных уравнений с постоянными коэффициентами. I // Сиб. мат. журн.. 1999. Т. 40, № 4. С. 861–879. 3. Копылов А. П. О регулярности решений систем уравнений с частными производными, локально близких к эллиптическим системам линейных уравнений с постоянными коэффициентами. II // Сиб. мат. журн.. 2000. Т. 41, № 1. С. 98–117. 4. Кордес Г. О. О первой краевой задаче для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка более чем с двумя переменными // Математика. 1959. Т. 3, № 2. С. 75–108. 5. Копылов А. П. Устойчивость классов отображений и непрерывность по Г¨ ельдеру старших производных решений эллиптических систем нелинейных уравнений с частными производными произвольного порядка // Докл. РАН. 2001. Т. 379, № 4. С. 442–446. 6. Копылов А. П. Устойчивость классов отображений и г¨ ельдеровость старших производных эллиптических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений // Сиб. мат. журн.. 2002. Т. 43, № 1. С. 90–107. 7. Nirenberg L. On a generalization of quasi-conformal mappings and its application to elliptic partial differential equations // Contributions to the theory of partial differential equations. Ann. Math. Stud.. 1954. N 33. P. 95–100. 8. Morrey C. B., Jr. Second order elliptic systems of differential equations // Contributions to the theory of partial differential equations. Ann. Math. Stud.. 1954. N 33. P. 101–159. 9. Шварц Л. Комплексные аналитические многообразия. Эллиптические уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 10. Копылов А. П. Устойчивость в C l -норме классов решений систем линейных уравнений с частными производными эллиптического типа // Сиб. мат. журн.. 1999. Т. 40, № 2. С. 352–371.
О Wql -регулярности решений
771
11. Копылов А. П. Устойчивость в C-норме классов отображений. Новосибирск: Наука, 1990. 12. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Изд-во СОАН СССР, 1962. 13. Frehse J. A discontinuous solution of a mildly nonlinear elliptic system // Math. Z. 1973. Bd 134. S. 229–230. 14. Frehse J. A note on the H¨ older continuity of solutions of variational problems // Abhandlung. Math. Sem. Hamburg. 1975. Bd 43. S. 59–63. (l−1)+α -регулярности решений 15. Копылов А. П. Об одном достаточном условии всюду Cloc систем нелинейных дифференциальных уравнений l-го порядка // Докл. РАН. 2002. Т. 385, № 2. С. 151–155. Статья поступила 12 апреля 2002 г. Копылов Анатолий Павлович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
[email protected] 