Применение системы MAPLE к решению геометрических задач: Учебное пособие

Œˆˆ‘’…‘’‚Ž Ž€‡Ž‚€ˆŸ Ž‘‘ˆ‰‘ŠŽ‰ ”…„…€–ˆˆ ³¡¶®¢±ª¨© ¨­¤³±²°¨ «¼­»© ¨­±²¨²³²

ž.ƒ. ¨ª®­®°®¢, ž.‚. ¨ª®­®°®¢ 

ˆŒ……ˆ… ‘ˆ‘’…Œ› MAPLE Š …˜…ˆž ƒ…ŽŒ…’ˆ—…‘Šˆ• ‡€„€— “·¥¡­®¥ ¯®±®¡¨¥ ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢ ±¯¥¶¨ «¼­®±²¨ "°¨ª« ¤­ ¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª "

³¡¶®¢±ª 2002

“„Š 514/519 ¨ª®­®°®¢ ž.ƒ., ¨ª®­®°®¢  ž.‚. °¨¬¥­¥­¨¥ ±¨±²¥¬» MAPLE ª °¥¸¥­¨¾ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ § ¤ ·: “·¥¡­®¥ ¯®±®¡¨¥ ¤«¿ ±²³¤¥­²®¢ ±¯¥¶¨ «¼­®±²¨ "°¨ª« ¤­ ¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª " / ³¡¶®¢±ª¨© ¨­¤³±²°¨ «¼­»© ¨­±²¨²³². - ³¡¶®¢±ª: ˆ0, 2002. - 80 ±. “·¥¡­®¥ ¯®±®¡¨¥ ¯®±¢¿¹¥­® ¨§«®¦¥­¨¾ ®±­®¢­»µ ¢®§¬®¦­®±²¥© ±¨±²¥¬»  ­ «¨²¨·¥±ª¨µ ¢»·¨±«¥­¨© MAPLE ¨ ¥¥ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¾ ¯°¨ °¥¸¥­¨¨ § ¤ · ª®¬¡¨­ ²®°­®© £¥®¬¥²°¨¨. °¨¢¥¤¥­» °¥¸¥­¨¿ ­¥±ª®«¼ª¨µ ¤®±² ²®·­® ¨§¢¥±²­»µ § ¤ · ± ¯®¿±­¥­¨¿¬¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ±¨±²¥¬ ±¨¬¢®«¼­»µ ¢»·¨±«¥­¨©. ®±®¡¨¥ ¯°¥¤­ §­ ·¥­® ¤«¿ ·²¥­¨¿ ±¯¥¶ª³°±®¢ ¯® ±¨¬¢®«¼­»¬ ¢»·¨±«¥­¨¿¬ ¨ ª®¬¡¨­ ²®°­®© £¥®¬¥²°¨¨  ±¯¨° ­² ¬ ¨ ±²³¤¥­² ¬ ±² °¸¨µ ª³°±®¢ ±¯¥¶¨ «¼­®±²¨ "°¨ª« ¤­ ¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª ".  ±±¬®²°¥­® ¨ ®¤®¡°¥­® ­  § ±¥¤ ­¨¨ ª ´¥¤°» "°¨ª« ¤­ ¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª " °®²®ª®« N 2 ®² 11.10.2002 ¥¶¥­§¥­²»: ¤.´.-¬.­., § ¢¥¤³¾¹¨© ª ´¥¤°®© £¥®¬¥²°¨¨  °­ ³«¼±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥­­­®£® ¯¥¤ £®£¨·¥±ª®£® ³­¨¢¥°±¨²¥²  ….„. ®¤¨®­®¢ ¨ ª.´.-¬.­., ¤®¶¥­² ª ´¥¤°» £¥®¬¥²°¨¨  °­ ³«¼±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥­­­®£® ¯¥¤ £®£¨·¥±ª®£® ³­¨¢¥°±¨²¥²  Š.Ž. Š¨§¡¨ª¥­®¢

c ³¡¶®¢±ª¨© ¨­¤³±²°¨ «¼­»© ¨­±²¨²³², 2002

‚¢¥¤¥­¨¥

 ±²®¿¹¥¥ ³·¥¡­®¥ ¯®±®¡¨¥ ¯®±¢¿¹¥­® ¨§«®¦¥­¨¾ ­®¢»µ ¬¥²®¤®¢ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» Maple ª °¥¸¥­¨¾ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ § ¤ ·. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¢ ¯°®¶¥±±¥ °¥¸¥­¨¿ ¨±±«¥¤®¢ ­­»µ § ¤ · ¨±¯®«¼§®¢ «¨±¼ ¢®§¬®¦­®±²¨ ±¨¬¢®«¼­»µ ¢»·¨±«¥­¨©, ¯°¥¤®±² ¢«¿¥¬»¥ ¯ ª¥²®¬ Maple. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥ ¯®«³·¥­­»¥ °¥¸¥­¨¿ ¬®£³² ¡»²¼ ¨§«®¦¥­» ¨ ¢¥°¨´¨¶¨°®¢ ­» ¡¥§ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¢»·¨±«¨²¥«¼­®© ²¥µ­¨ª¨. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ­¥ª®²®°»¥ ¨§ ¯®«³·¥­­»µ °¥¸¥­¨© ²°³¤­® ¯®«³·¨²¼, ­¥ ¯®«¼§³¿±¼ ª®¬¯¼¾²¥°­»¬¨ ¢»·¨±«¥­¨¿¬¨. Š ª ¡³¤¥² ¯®ª § ­® ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬, ª®¬¯¼¾²¥° ¬®¦¥² ­¥ ²®«¼ª® ¯°®¤¥«»¢ ²¼ °³²¨­­³¾ ° ¡®²³, ­® ¨ ¯®¤±ª §»¢ ²¼ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¯®¨±ª  °¥¸¥­¨¿. ®±®¡¨¥ ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ±®±²®¨² ¨§ ¤¢³µ · ±²¥©. ¥°¢ ¿ · ±²¼ (¯¥°¢»© ¨ ¢²®°®© ° §¤¥« ¯®±®¡¨¿) ¯®±¢¿¹¥­  ®¯¨± ­¨¾ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» Maple ° §«¨·­»µ ¢¥°±¨© ¨ ±° ¢­¥­¨¾ ±  ­ «®£¨·­»¬¨ ¯°®£° ¬¬­»¬¨ ±¨±²¥¬ ¬¨ ª®¬¯¼¾²¥°­®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¨. “¯®¬¿­³²» ² ª¦¥ ¯°¨¬¥°» § ¤ · ¨§ ª« ±±¨·¥±ª¨µ ° §¤¥«®¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, °¥¸¥­­»¥ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ª®¬¯¼¾²¥°­»µ ¢»·¨±«¥­¨©. ‚ ¯¥°¢®¬ ° §¤¥«¥ ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ° §«¨·­»¥ ±¨±²¥¬» ª®¬¯¼¾²¥°­®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ¯°¨·¥¬ ¢ ª ·¥±²¢¥ ­ ¨¡®«¥¥ ¬®¹­»µ ¢»¤¥«¿¾²±¿ MatLab, Mathematica ¨ Maple. Š° ²ª® µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿ ®¤¨­ ¨§ «¨¤¥°®¢ ±¨±²¥¬ ±¨¬¢®«¼­®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ¯ ª¥² Mathematica 2/3, ¨¬¥¾¹¨© ²»±¿·¨ ¢±²°®¥­­»µ ¨ ¡¨¡«¨®²¥·­»µ ´³­ª¶¨© ¨ ®¡« ¤ ¾¹¨© ®£°®¬­»¬¨ ¢®§¬®¦­®±²¿¬¨ £° ´¨·¥±ª®£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ °¥¸¥­¨©. Ž¯¨±»¢ ¾²±¿ ®¡« ±²¨ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ±¨±²¥¬ ª®¬¯¼¾²¥°­®©  «£¥¡°», ­ ·¨­ ¿ ± ®¡° §®¢ ­¨¿ ¨ ª®­· ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­»¬¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿¬¨. °¨¢®¤¿²±¿ ª®­ª°¥²­»¥ ¯°¨¬¥°», ª®£¤  ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ±®¢°¥¬¥­­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¯ ª¥²®¢ ¯°¨¢®¤¨«® ª °¥¸¥­¨¾ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© § ¤ ·¨.

4

‚® ¢²®°®¬ ° §¤¥«¥ ¯®¤°®¡­® ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ®±­®¢­»¥ ¢®§¬®¦­®±²¨ ±¨±²¥¬ ª« ±±  Maple, ¢²®°®£® «¨¤¥°  ±°¥¤¨ ±¨±²¥¬ ª®¬¯¼¾²¥°­®©  «£¥¡°». “¯®¬¨­ ¥²±¿ ¨±²®°¨¿ ±®§¤ ­¨¿ ±¨±²¥¬ ½²®£® ª« ±± ,   ² ª¦¥ ¤¥² «¼­® ¨§³· ¥²±¿ ­ ¨¡®«¥¥ ¯®¯³«¿°­ ¿ ¢¥°±¨¿ Maple V Release 4. ‚²®° ¿ · ±²¼ (° §¤¥«» 3-6) ¯®±®¡¨¿ ¯®±¢¿¹¥­  °¥¸¥­¨¾ ­¥ª®²®°»µ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ § ¤ · ± ¯®¬®¹¼¾ ±¨±²¥¬» ª®¬¯¼¾²¥°­®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ Maple V R4. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¯°¨¢¥¤¥­­»¥ °¥¸¥­¨¿ ¿¢«¿¾²±¿ ¯°¨®°¨²¥²­»¬¨ ¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ¶¥­­®±²¼ ¨ ¢­¥ ª®­²¥ª±²  ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ¢»·¨±«¨²¥«¼­®© ²¥µ­¨ª¨. ’°¥²¨© ° §¤¥« ¯®±¢¿¹¥­ °¥¸¥­¨¾ ®¡®¡¹¥­­®© § ¤ ·¨ ’. ®¯®¢¨·¨, ¢ ·¥²¢¥°²®¬ ° §¤¥«¥ ¬» § ­¨¬ ¥¬±¿ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¥¬ ±¢®©±²¢ ¢­³²°¥­­¥£® ° ±±²®¿­¨¿ ­  ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¯°¿¬®³£®«¼­®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¢ ¯¿²®¬ ° §¤¥«¥ °¥¸ ¥²±¿ § ¤ ·  „¦.‚. ”¨ª¥, ¸¥±²®© ° §¤¥« ¯®±¢¿¹¥­ °¥¸¥­¨¾ § ¤ ·¨ ‚.Š. ˆ®­¨­  ® § ¬ª­³²®© «®¬ ­®© ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨. ‚ ¯®±®¡¨¨ ² ª¦¥ ¯°¨±³²±²¢³¾² ²°¨ ¯°¨«®¦¥­¨¿. Ž­¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±®¡®© ° ¡®·¨¥ «¨±²» ±¨±²¥¬» Maple, ±®§¤ ­­»¥ ¤«¿ °¥¸¥­¨¿ ª®­ª°¥²­»µ § ¤ · ¢ ° ¬ª µ ­ §¢ ­­®© ±¨±²¥¬». ‚ ¯°¨«®¦¥­¨¨ 1 ¯°¨¢®¤¨²±¿ °¥¸¥­¨¥ ®¡®¡¹¥­­®© § ¤ ·¨ ®¯®¢¨·¨, ¯°¨«®¦¥­¨¥ 2 ¤¥¬®­±²°¨°³¥² ¯°¨¬¥° ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±¯¥¶¨ «¼­®£® ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª®£® ­¥° ¢¥­±²¢ ,   ¯°¨«®¦¥­¨¥ 3 ¯®±¢¿¹¥­® ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ¢»¯³ª«®±²¨ ­¥ª®²®°®© ¢±¯®¬®£ ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨. ‚ § ª«¾·¥­¨¨ ®¡±³¦¤ ¾²±¿ ¯¥°±¯¥ª²¨¢» ¤ «¼­¥©¸¨µ ¨±±«¥¤®¢ ­¨© ¢ ®¡« ±²¨ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¯ ª¥²®¢ ±¨¬¢®«¼­»µ ¢»·¨±«¥­¨© ª °¥¸¥­¨¾ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ § ¤ ·. °¨¢¥¤¥­­»¥ ¢ ¯®±®¡¨¨ °¥¸¥­¨¿ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ § ¤ ·, ­¥ª®²®°»¥ ¨§ ª®²®°»µ ®±² ¢ «¨±¼ ­¥°¥¸¥­­»¬¨ ¢ ²¥·¥­¨¥ ¬­®£¨µ «¥², ¯®§¢®«¿¾² ­ ¤¥¿²¼±¿, ·²® ¨±¯®«¼§®¢ ­­ ¿ ¬¥²®¤¨ª  °¥¸¥­¨© ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¨¬¥­¥­  ¨ ª® ¬­®£¨¬ ¤°³£¨¬ § ¤ · ¬ £¥®¬¥²°¨¨. €¢²®°» ­ ¤¥¾²±¿, ·²® ½²® ¯®±®¡¨¥ ¡³¤¥² ¯®«¥§­® ¯°¨ ° §° ¡®²ª¥ ±¯¥¶¨ «¼­»µ ª³°±®¢ ¯® ¬¥²®¤ ¬ ±¨¬¢®«¼­»µ ¢»·¨±«¥­¨© ¨ ª®¬¡¨­ ²®°­®© £¥®¬¥²°¨¨.

5

1.

ˆ±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ±¨±²¥¬  ­ «¨²¨·¥±ª¨µ ¢»·¨±«¥­¨© ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿µ

‚ ¯®±«¥¤­¨¥ £®¤» ¢ ­ ³·­®© ±°¥¤¥ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬ ®¡° §®¢ ­¨¨ ¯°¨®¡°¥«¨ ¡®«¼¸³¾ ¯®¯³«¿°­®±²¼ ­®¢¥©¸¨¥ ¯°®£° ¬¬­»¥ ±¨±²¥¬» ª®¬¯¼¾²¥°­®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ² ª¨¥ ª ª Derive, MathCad, MatLab, Mathematica ¨ Maple [8, 5, 6, 7]. ®«¼§®¢ ²¥«¼ ½²¨µ ¯°®£° ¬¬­»µ ¯°®¤³ª²®¢ ¯®«³· ¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ®±¢®¡®¤¨²¼±¿ ®² ¬®­®²®­­»µ ¨ £°®¬®§¤ª¨µ ¢»·¨±«¥­¨© ¨ ±®±°¥¤®²®·¨²¼±¿ ­   ­ «¨²¨·¥±ª®© ®¡° ¡®²ª¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¤ ­­»µ. ˆ±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ª®¬¯¼¾²¥°­»µ ±¨±²¥¬ ½´´¥ª²¨¢­® ­¥ ²®«¼ª® ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥, ­® ¨ ¢ ¤°³£¨µ ®¡« ±²¿µ ­ ³ª¨; °¥¸¥­¨¨ ¯°¨ª« ¤­»µ § ¤ · ¢ ²¥µ­¨ª¥ ¨ ½ª®­®¬¨ª¥.  ¯°¨¬¥°, ±¨±²¥¬  Maple V R4 ¨ ¯®±«¥¤³¾¹¨¥ ¢¥°±¨¨ ½²®© ±¨±²¥¬» ¬®£³² ¯°¨¬¥­¿²¼±¿ ¤«¿ °¥¸¥­¨¿ ± ¬»µ ±¥°¼¥§­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ § ¤ ·  ½°®¤¨­ ¬¨ª¨, ²¥®°¨¨ ¯®«¿, ²¥¯«®¯°®¢®¤­®±²¨, ²¥®°¥²¨·¥±ª®© ¬¥µ ­¨ª¨ ¨ ¤°³£¨µ ®¡« ±²¥© ¥±²¥±²¢®§­ ­¨¿. ˜¨°®ª® ¯°¨¬¥­¿¾²±¿ ª®¬¯¼¾²¥°­»¥ ²¥µ­®«®£¨¨ ¨ ¢ ³·¥¡­®¬ ¯°®¶¥±±¥ ¢»±¸¥© ¸ª®«» [18, 17]. ®¬¨¬® ¯°¥ª° ±­»µ ±°¥¤±²¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿, ±®¢°¥¬¥­­»¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ¯ ª¥²» ®¡« ¤ ¾² ¯®²°¿± ¾¹¨¬¨ ¢®§¬®¦­®±²¿¬¨ £° ´¨·¥±ª®© ¢¨§³ «¨§ ¶¨¨ °¥¸¥­¨©, ª ª ¯°®±²»µ, ² ª ¨ ±«®¦­»µ § ¤ ·. Š ¯°¨¬¥°³, ¢¥°±¨¿ Maple V R5 ¨ ¯®±«¥¤³¾¹¨¥ ¢¥°±¨¨ ¯®§¢®«¿¾² "¢° ¹ ²¼" ¬»¸¼¾ ±«®¦­¥©¸¨¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ²°¥µ¬¥°­»¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¨ ´¨£³°», ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¨ ¨£° ¾¹¨¥ ¢±¥¬¨ ¶¢¥² ¬¨ ° ¤³£¨, ¡« £®¤ °¿ ¯°¨¬¥­¥­¨¾ ´³­ª¶¨®­ «¼­®© ®ª° ±ª¨. ‘¨±²¥¬» ª®¬¯¼¾²¥°­®©  «£¥¡°» ° ¡®² ¾² ¢ ¤¨ «®£®¢®¬ °¥¦¨¬¥ ¨ ­¥ ²°¥¡³¾² £«³¡®ª®© ¯®¤£®²®¢ª¨ ¢ ®¡« ±²¨ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿ ¨ ¨­´®°¬ ²¨ª¨, ¯®½²®¬³ ¤®±²³¯­» ¤«¿ ¸¨°®ª®£® ª°³£  ¯®«¼§®¢ ²¥«¥©. ‚ ¦­»¬ ²°¥¡®¢ ­¨¥¬ ¿¢«¿¥²±¿ ²®«¼ª® ­ «¨·¨¥ ¯®­¨¬ ­¨¿ ¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ® ²¥µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¬®¤¥«¿µ, ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥­¿¾²±¿ ¢ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿µ. ‚ ¤¨ «®£¥ ± ¯ ª¥² ¬¨ ±¨±²¥¬ ª®¬¯¼¾²¥°­®©  «£¥¡°» ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ²° ¤¨¶¨®­­»¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿ ¨ ±¯®±®¡» ­ ¯¨± ­¨¿ ´®°¬³«. ®¬¨¬® ½²®£®, ±®¢°¥¬¥­­»¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ¯ ª¥²» ¨¬¥¾² µ®°®¸¨¥ ²¥ª±²®¢»¥ °¥¤ ª²®°», ¯®§¢®«¿¾¹¨¥ £®²®¢¨²¼ ­ ³·­»¥ ¯³¡«¨ª ¶¨¨.

6

®¢±¥¬¥±²­®¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ¢»·¨±«¨²¥«¼­®© ²¥µ­¨ª¨ ¯°¨¢®¤¨² ª ±®§¤ ­¨¾ ­®¢»µ ¯°®£° ¬¬­»µ ª®¬¯«¥ª±®¢, ­®¢»µ ¬¥²®¤®¢ °¥¸¥­¨¿ ª« ±±¨·¥±ª¨µ § ¤ ·, ­®¢»µ  «£®°¨²¬®¢. ®¿¢¨«®±¼ ­®¢®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ - ª®¬¯¼¾²¥°­ ¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª , ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¥ ­  ±®§¤ ­¨¥ ­®¢®©  «£®°¨²¬¨·¥±ª®© ¡ §» ¤«¿ ¬ ¸¨­­»µ ¢»·¨±«¥­¨©. ‘®±² ¢¨²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ® ¡³°­®¬ °®±²¥ ½²®© ®²­®±¨²¥«¼­® ¬®«®¤®© ¤¨±¶¨¯«¨­» ¬®¦­® ¯® ª­¨£ ¬ [8, 9], ¢ ª®²®°»µ ¯°¨¢¥¤¥­  ®¡¸¨°­ ¿ ¡¨¡«¨®£° ´¨¿. ‚ ­ ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ¤®±² ²®·­® ¥±²¥±²¢¥­­® ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ª®¬¯¼¾²¥°­»µ ° ±·¥²®¢ ­¥ ²®«¼ª® ¢ ¯°¨ª« ¤­»µ, ­® ¨ ¢ ´³­¤ ¬¥­² «¼­»µ ­ ³·­»µ ¤¨±¶¨¯«¨­ µ. ®¤®¡­»¥ ° ±·¥²» ¯®§¢®«¿¾² ¯°®¢¥°¨²¼ ° §­®®¡° §­»¥ ®¡¹¨¥ £¨¯®²¥§» ¢ · ±²­»µ ±«³· ¿µ. …±«¨ ¦¥ ¯®«³·¥­­»¥ ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤ ­­»¥ ®¯°®¢¥°£ ¾² £¨¯®²¥§³, ²® ± ¨µ ³·¥²®¬ ¬®¦­® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ¡®«¥¥ ¯° ¢¤®¯®¤®¡­®¥ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥. ¥°¥¤ª® ¤®ª § ­­»¥ °¥§³«¼² ²» ¡»«¨ ° ­¥¥ ±´®°¬³«¨°®¢ ­» ¢ ª ·¥±²¢¥ £¨¯®²¥§ ¯®±«¥ ±² ²¨±²¨·¥±ª®© ®¡° ¡®²ª¨ ½ª±¯¥°¨¬¥­² «¼­»µ ¤ ­­»µ, ¯®«³·¥­­»µ ± ¯®¬®¹¼¾ ¢»·¨±«¨²¥«¼­®© ²¥µ­¨ª¨. ’ ª®¥ ¯®¢±¥¤­¥¢­®¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ª®¬¯¼¾²¥°®¢ ±² «® ­®°¬®© ¤«¿ ±®¢°¥¬¥­­»µ ¨±±«¥¤®¢ ­¨© ¨ ¢ ª« ±±¨·¥±ª¨µ ° §¤¥« µ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨. „®±² ²®·­® ¨­²¥­±¨¢­® ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ ¢»·¨±«¨²¥«¼­ ¿ ²¥µ­¨ª  ¯°¨ ­ µ®¦¤¥­¨¨ ­³«¥©  -´³­ª¶¨¨ ¨¬ ­  [30, 33]. ˜¨°®ª® ¨§¢¥±²­® ² ª¦¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® £¨¯®²¥§» ·¥²»°¥µ ª° ±®ª, ®±³¹¥±²¢«¥­­®¥ Š. €¯¯¥«¥¬ ¨ ‚. • ª¥­®¬ [21, 22, 23]. …±²¥±²¢¥­­® ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ª®¬¯¼¾²¥°­»µ ° ±·¥²®¢ ¢ § ¤ · µ ¤¨±ª°¥²­®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¨. Š°®¬¥ ²®£®, ¨§¢¥±²­» ¯°¨¬¥°», ª®£¤  ¯³²¼ ª  ­ «¨²¨·¥±ª®¬³ ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ª ª¨µ-«¨¡® ³²¢¥°¦¤¥­¨© ­¥®¦¨¤ ­­® "¯®¤±ª §»¢ «" ª®¬¯¼¾²¥°. ®ª § ²¥«¼­®© ¢ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¡®²  Ž. Š®¢ «¼±ª®£® ¨ ‡. ‚« ¸¥ª  [29], ¯®±¢¿¹¥­­ ¿ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¨ ¨­¢ °¨ ­²­»µ ¬¥²°¨ª ©­¸²¥©­  ­  ¯°®±²° ­±²¢ µ €«®´´ “®«« · . Š«¾·¥¢»¬ ¬®¬¥­²®¬ ¢ °¥¸¥­¨¨ ³° ¢­¥­¨© ©­¸²¥©­  ±² «® ° §«®¦¥­¨¥ ¬­®£®·«¥­  ®² ²°¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ ±²¥¯¥­¨ 8 (¬­®¦¥±²¢® ­³«¥© ª®²®°®£® ¨ ¯°¥¤±²®¿«® ¨±±«¥¤®¢ ²¼) ¢ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¬­®£®·«¥­®¢ ¢²®°®© ¨ ¸¥±²®© ±²¥¯¥­¨, ·²® ±³¹¥±²¢¥­­® ³¯°®±²¨«® § ¤ ·³. €­ «®£¨·­»¬ ¯°¨¬¥°®¬ ¬®¦¥² ±«³¦¨²¼

7

°¥¸¥­¨¥ ®¡®¡¹¥­­®© § ¤ ·¨ ®¯®¢¨·¨ [12], ¨§«®¦¥­¨¾ ª®²®°®£® ¯®±¢¿¹¥­ ®¤¨­ ¨§ ¯ ° £° ´®¢ ¨ ¯°¨«®¦¥­¨¥ 1 ­ ±²®¿¹¥© ° ¡®²». ‘°¥¤¨ ±¨±²¥¬ ª®¬¯¼¾²¥°­®©  «£¥¡°», ² ª¨µ ª ª Reduce,

Macsyma, Matlab, Axiom, Mathematica, Derive, MathCad, Maple, Eureca, Mercury, ¬®¦­® ¢»¤¥«¨²¼ ­ ¨¡®«¥¥ ¬®¹­»¥,   ¨¬¥­­®: Mathematica, Matlab ¨ Maple [5, 6, 7].

Œ®¦­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ±¨±²¥¬» ° §¢¨¢ ¾²±¿ ¢ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¤°³£ ± ¤°³£®¬. ‚ · ±²­®±²¨, ¨­²¥£° ¶¨¿ ± "¶ °¥¬" ¯°®£° ¬¬ ·¨±«¥­­®£® ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿ Matlab 5.0 ³¦¥ ¤®±²¨£­³²  ¢ ±¨±²¥¬¥ Maple V R5. ‘¨¬¢®«¼­®¥ ¿¤°® Maple V ¨±¯®«¼§®¢ ­® ¢ ±¨±²¥¬¥ Mathcad ­ ·¨­ ¿ ± ¢¥°±¨¨ 3.0 ¨ ª®­· ¿ MathCad 7.0 PRO. ˆ±¯®«¼§³¥²±¿ ®­® ¨ ¢ ¬®¤³«¥ ±¨¬¢®«¼­»µ ®¯¥° ¶¨© ±¨±²¥¬» Matlab 5.0. „«¿ ¯®¤£®²®¢ª¨ ­ ³·­»µ ª­¨£, ±² ²¥©, ¤®ª« ¤®¢ ±®§¤ ­®  ¢²®¬ ²¨§¨°®¢ ­­®¥ ° ¡®·¥¥ ¬¥±²® Math Oce for Word 6.0 ­  ¡ §¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ Maple V ¨ ²¥ª±²®¢®£® °¥¤ ª²®°  MS Word 6.0. …±²¼ ¨ ¤°³£¨¥ ° §° ¡®²ª¨ [5]. ‚® ¬­®£¨µ ®¡§®° µ ±¨±²¥¬ ª®¬¯¼¾²¥°­®©  «£¥¡°» ­  °®«¼ «¨¤¥°  ¢»¤¢¨£ ¾²±¿ ¤¢¥ ¬®¹­¥©¸¨¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ±¨±²¥¬»: Maple V (  §­ ·¨² ¨ ­®¢ ¿ ³±®¢¥°¸¥­±²¢®¢ ­­ ¿ ¢¥°±¨¿ Maple 6) ¨ Mathematica (¢¥°±¨¨ 2 ¨ 3) [5, 6].  §° ¡®² ­­»© ¡®«¼¸®© £°³¯¯®© ¬ ²¥¬ ²¨ª®¢ ¨ ¯°®£° ¬¬¨±²®¢ ´¨°¬» Wolfram Research Inc. ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ¯ ª¥² Mathematica ¯®§¢®«¿¥² ¯°®¨§¢®¤¨²¼ ¢±¥ ®±­®¢­»¥ ¢¨¤» ¢»·¨±«¥­¨©. Š ·¨±«¥­­»¬ ¢»·¨±«¥­¨¿¬ ±¨±²¥¬» ®²­®±¿²±¿: ¬ ²°¨·­»¥ ®¯¥° ¶¨¨, ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥, ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥, ­ µ®¦¤¥­¨¥ ª®°­¥©, ¢»·¨±«¥­¨¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨©, «¨­¥©­®¥ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¥ ¨ ¤°. Š ±¨¬¢®«¼­»¬ ¢»·¨±«¥­¨¿¬:  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿, ° ¡®²  ± ¯®«¨­®¬ ¬¨, ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥, °¥¸¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨© ¨ ¤°. € 2- ¨ 3-¬¥°­ ¿ £° ´¨ª  ­®¢®© ¢¥°±¨¨ Mathematica 3 ¯°¥¢®±µ®¤¿² £° ´¨·¥±ª¨¥ ¢®§¬®¦­®±²¨ ­ ¨¡®«¥¥ ¯®¯³«¿°­®© ³ ­ ± ¢¥°±¨¨ Maple V R4 [5, 7]. „°³£®© ¬®¹­¥©¸¥© ±¨±²¥¬®© ±¨¬¢®«¼­®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ ¨«¨ ª®¬¯¼¾²¥°­®©  «£¥¡°» ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®£° ¬¬­»© ¯°®¤³ª² Maple V (¨ ¡®«¥¥ ­®¢»¥ ¢¥°±¨¨ Maple 6 ¨ Maple 7).

8

2.

Ž±­®¢­»¥ ¢®§¬®¦­®±²¨ ±¨±²¥¬»  ­ «¨²¨·¥±ª¨µ ¢»·¨±«¥­¨© Maple

‘¨±²¥¬  ª®¬¯¼¾²¥°­®©  «£¥¡°» Maple V ¡»«  ±®§¤ ­  £°³¯¯®© ±¨¬¢®«¼­»µ ¢»·¨±«¥­¨© (The Symbolic Group), ®°£ ­¨§®¢ ­­®© Š¥©²®¬ ƒ¥¤¤®¬ (Keith Geddes) ¨ ƒ ±²®­®¬ ƒ®­½ (Gaston Gonnet) ¢ 1980 £®¤³ ¢ ³­¨¢¥°±¨²¥²¥ Waterloo, Š ­ ¤ . ‚­ · «¥ ®­  ¡»«  °¥ «¨§®¢ ­  ­  ¡®«¼¸¨µ ª®¬¯¼¾²¥° µ, ¯°®¸«  ¤®«£¨© ¯³²¼  ¯°®¡ ¶¨¨, ¢®¡° ¢ ¢ ±¢®¥ ¿¤°® ¨ ¢ ¡¨¡«¨®²¥ª¨ ° ±¸¨°¥­¨© ¡®«¼¸®¥ ª®«¨·¥±²¢® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨© ¨ ¯° ¢¨« ¨µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© [5]. ¥ «¨§®¢ ­  ­  Š ±¨±²¥¬  Maple V ¡»«  ´¨°¬®© Waterloo Maple Inc. (Š ­ ¤ ), ±¯¥¶¨ «¼­® ±®§¤ ­­®© ¤«¿ ° §° ¡®²ª¨ ¨ ±¡»²  ±¨±²¥¬ ª« ±±  Maple. °®£° ¬¬­»¥ ¯ ª¥²» ½²®£® ª« ±± , ² ª¦¥ ª ª ¨ ¯ ª¥²» ±¨±²¥¬» Mathematica, ¯®§¢®«¿¾²  ¢²®¬ ²¨§¨°®¢ ²¼ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ° ±·¥²» «¾¡®© ±²¥¯¥­¨ ±«®¦­®±²¨, ¨ ¯®½²®¬³ ®²ª°»¢ ¾² ¡®«¼¸¨¥ ¢®§¬®¦­®±²¨ ¤«¿ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¸¨°®ª®© ª ²¥£®°¨¨ ¯®«¼§®¢ ²¥«¥© - ­ ³·­»¬ ° ¡®²­¨ª ¬, ¨­¦¥­¥° ¬, ¯°¥¯®¤ ¢ ²¥«¿¬ ¢³§®¢, ±²³¤¥­² ¬ ¨  ±¯¨° ­² ¬. ˆ ¯®½²®¬³ ¯®«¼§³¾²±¿ ®£°®¬­®© ¯®¯³«¿°­®±²¼¾ ¢ ­ ³·­®© ±°¥¤¥, ª ª ¢® ¢±¥¬ ¬¨°¥, ² ª ¨ ¢ ®±±¨¨. ‚ ­ ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ­ ¨¡®«¥¥ ° ±¯°®±²° ­¥­­®© ¢¥°±¨¥© ¿¢«¿¥²±¿ Maple V Release 4, ¯®±ª®«¼ª³ ®­  «¥£ «¼­® ¢»±² ¢«¥­  ¤«¿ ª®¯¨°®¢ ­¨¿ ­  Internet-³§«¥ ´¨°¬» Waterloo Maple. « £®¤ °¿ ®²ª°»²®¬³ ¨ ¡¥±¯« ²­®¬³ ° ±¯°®±²° ­¥­¨¾ ½²  ±¥°¨©­ ¿ ¢¥°±¨¿ ¯®¯ «  ­  ¬­®£¨¥ CD-ROM, ±¢®¡®¤­® ° ±¯°®±²° ­¿¥¬»¥ ¨ ¢ ®±±¨¨. ”³­ª¶¨®­ «¼­»¥ ¢®§¬®¦­®±²¨ ¯ ª¥²  ®µ¢ ²»¢ ¾² ¬­®£¨¥ ° §¤¥«»  «£¥¡°» ¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£®  ­ «¨§ . ® ª ¦¤®¬³ ° §¤¥«³ ­ ¯¨± ­® ¡®«¼¸®¥ ª®«¨·¥±²¢® ¯°®¶¥¤³° ¨ ´³­ª¶¨© ­  ¢±²°®¥­­®¬ ¿§»ª¥ Maple, ·²® ¤ ¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ¯°®±¬®²°¥²¼ ¨µ ±®¤¥°¦ ­¨¥. ‚»·¨±«¥­¨¿ ¢ ¯ ª¥²¥ ¬®¦­® ¯°®¢®¤¨²¼ ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨: ¢ ±¨¬¢®«¼­®¬ ( ­ «¨²¨·¥±ª®¬) ¢¨¤¥ ¨ ·¨±«¥­­»¬¨ ¬¥²®¤ ¬¨ [5, 17]. ‘¨±²¥¬  ±¨¬¢®«¼­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ±®±²®¨² ¨§ ¿¤°  - ¯°®¶¥¤³°, ­ ¯¨± ­­»µ ­  ¿§»ª¥ ‘; ¡¨¡«¨®²¥ª¨, ­ ¯¨± ­­®© ­  Maple-¿§»ª¥; ¨­²¥°´¥©± . Ÿ¤°® ¢»¯®«­¿¥² ¡®«¼¸¨­±²¢®

9

¡ §¨±­»µ ®¯¥° ¶¨©. ¨¡«¨®²¥ª  ±®¤¥°¦¨² ¬­®¦¥±²¢® ª®¬ ­¤¯°®¶¥¤³°, ¢»¯®«­¿¥¬»µ ¢ °¥¦¨¬¥ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. °®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¥ ±®¡±²¢¥­­»µ ¯°®¶¥¤³° ¯®§¢®«¿¥² ¯®«¼§®¢ ²¥«¾ ¯®¯®«­¨²¼ ¨¬¨ ±² ­¤ °²­»© ­ ¡®° ¨, ²¥¬ ± ¬»¬, ° ±¸¨°¨²¼ ¢®§¬®¦­®±²¨ Maple.  ª¥² Maple ±­ ¡¦¥­ ±¯° ¢®·­»¬ ´ ©«®¬ usermenu.mws, ¿¢«¿¾¹¨¬±¿ ½ª±ª³°±¨¥© ¯® ¢®§¬®¦­®±²¿¬ ¯ ª¥² . Ž±­®¢­»¬¨ ¢®§¬®¦­®±²¿¬¨ ±¨±²¥¬» Maple V ¿¢«¿¾²±¿: ¢®§¬®¦­®±²¨ ¨­²¥°´¥©± , ±¨¬¢®«¼­»¥ ¨ ·¨±«¥­­»¥ ¢»·¨±«¥­¨¿, ·¨±«¥­­®¥ ¨ ±¨¬¢®«¼­®¥ °¥¸¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨©, ¢»·¨±«¥­¨¥ ½«¥¬¥­² °­»µ ¨ ±¯¥¶¨ «¼­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨©, «¨­¥©­ ¿  «£¥¡° , £° ´¨·¥±ª ¿ ¢¨§³ «¨§ ¶¨¿ ¢»·¨±«¥­¨©, ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¥. Œ®¦­® ¢»¤¥«¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¢®§¬®¦­®±²¨ ¨­²¥°´¥©± :

° ¡®²  ±® ¬­®£¨¬¨ ®ª­ ¬¨; ¢»¢®¤ £° ´¨ª®¢ ¢ ®²¤¥«¼­»µ ®ª­ µ ¨«¨ ¢ ®ª­ µ ¤®ª³¬¥­² ; ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¢»µ®¤­»µ ¨ ¢µ®¤­»µ ¤ ­­»µ ¢ ¢¨¤¥ ¥±²¥±²¢¥­­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ´®°¬³«; § ¤ ­¨¥ ²¥ª±²®¢»µ ª®¬¬¥­² °¨¥¢ ° §«¨·­»¬¨ ¸°¨´² ¬¨; ¢®§¬®¦­®±²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ £¨¯¥°±±»«®ª ¨ ¯®¤£®²®¢ª¨ ½«¥ª²°®­­»µ ¤®ª³¬¥­²®¢; ³¤®¡­®¥ ³¯° ¢«¥­¨¥ ± ª« ¢¨ ²³°», ± ¯®¬®¹¼¾ £« ¢­®£® ¬¥­¾ ¨ ¨­±²°³¬¥­² «¼­®© ¯ ­¥«¨; ³¯° ¢«¥­¨¥ ± ¯®¬®¹¼¾ £° ´¨·¥±ª®£® ¬ ­¨¯³«¿²®°  - ¬»¸¨. ‘¨±²¥¬  Maple ½´´¥ª²¨¢­® ®±³¹¥±²¢«¿¥² ±«¥¤³¾¹¨¥ ±¨¬¢®«¼­»¥ ¨ ·¨±«¥­­»¥ ¢»·¨±«¥­¨¿:

¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ´³­ª¶¨©; ·¨±«¥­­®¥ ¨  ­ «¨²¨·¥±ª®¥ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥; ¢»·¨±«¥­¨¥ ¯°¥¤¥«®¢ ´³­ª¶¨©; ° §«®¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨© ¢ °¿¤»; ¢»·¨±«¥­¨¥ ±³¬¬ ¨ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨©; ¨­²¥£° «¼­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ‹ ¯« ± , ”³°¼¥ ¨ ¤°.; ¤¨±ª°¥²­»¥ Z-¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿; ¯°¿¬®¥ ¨ ®¡° ²­®¥ ¡»±²°®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥; ° ¡®²  ± ª³±®·­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨.

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¥ «¨§®¢ ­» ¢®§¬®¦­®±²¨ ½²®© ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ¨ ¢ ®¡« ±²¨ ·¨±«¥­­®£® ¨ ±¨¬¢®«¼­®£® °¥¸¥­¨¿ ³° ¢­¥­¨©. Š ­¨¬ ®²­®±¿²±¿:

°¥¸¥­¨¥ «¨­¥©­»µ ¨ ­¥«¨­¥©­»µ ±¨±²¥¬ ³° ¢­¥­¨©; °¥¸¥­¨¥ ±¨±²¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨©; ±¨¬¢®«¼­®¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ °¿¤®¢; ° ¡®²  ± °¥ª³°°¥­²­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨; °¥¸¥­¨¥ ²° ­±¶¥­¤¥­²­»µ ³° ¢­¥­¨©; °¥¸¥­¨¥ ±¨±²¥¬ ± ­¥° ¢¥­±²¢ ¬¨.

°®¨§¢®¤¿²±¿ ¢ Maple V ¢»·¨±«¥­¨¿ ½«¥¬¥­² °­»µ ¨ ±¯¥¶¨ «¼­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨©, ¤®±²³¯­»¬¨ ¿¢«¿¾²±¿:

¢»·¨±«¥­¨¥ ¢±¥µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨©; ¢»·¨±«¥­¨¥ ¡®«¼¸¨­±²¢  ±¯¥¶¨ «¼­»µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨©; ¯¥°¥±·¥² ª®®°¤¨­ ² ²®·¥ª ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ª®®°¤¨­ ²­»µ ±¨±²¥¬; ¢»·¨±«¥­¨¥ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ´³­ª¶¨©, § ¤ ­­»µ ¯®«¼§®¢ ²¥«¥¬. ‚ ®¡« ±²¨ «¨­¥©­ ¿  «£¥¡°» ®±³¹¥±²¢«¿¥²±¿: ±¢»¸¥ 100 ®¯¥° ¶¨© ± ¢¥ª²®° ¬¨ ¨ ¬ ²°¨¶ ¬¨; °¥¸¥­¨¥ ±¨±²¥¬ «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨©; ´®°¬¨°®¢ ­¨¥ ±¯¥¶¨ «¼­»µ ¬ ²°¨¶ ¨ ¨µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿; ¢»·¨±«¥­¨¥ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© ¨ ±®¡±²¢¥­­»µ ¢¥ª²®°®¢ ¬ ²°¨¶. „«¿ £° ´¨·¥±ª®£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢»·¨±«¥­¨© Maple V ±®§¤ ¥²:

£° ´¨ª¨ ¬­®£¨µ ´³­ª¶¨©; ° §«¨·­»¥ ²¨¯» ®±¥© (± «¨­¥©­»¬ ¨ «®£ °¨´¬¨·¥±ª¨¬ ¬ ±¸² ¡®¬); £° ´¨ª¨ ´³­ª¶¨© ¢ ¤¥ª °²®¢®© ¨ ¢ ¯®«¿°­®© ±¨±²¥¬ µ ª®®°¤¨­ ²; ±¯¥¶¨ «¼­»¥ ¢¨¤» £° ´¨ª®¢ (²®·ª¨ ¬ ±±¨¢®¢, ¢¥ª²®°­»¥, ¤¨ £° ¬¬» ³°®¢­¥© ¨ ¤°.); ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ², ®¯°¥¤¥«¿¥¬»¥ ¯®«¼§®¢ ²¥«¥¬; £° ´¨ª¨, ¯°¥¤±² ¢«¿¾¹¨¥ °¥¸¥­¨¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨©;

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£° ´¨ª¨ ²°¥µ¬¥°­»µ 3D-¯®¢¥°µ­®±²¥© ± ´³­ª¶¨®­ «¼­®© § ª° ±ª®©; ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ®¡º¥ª²»; ®ª° ±ª³ £° ´¨ª®¢, § ¤ ­­³¾ ¯®«¼§®¢ ²¥«¥¬; £° ´¨ª¨, ¨¬¯®°²¨°®¢ ­­»¥ ¨§ ¤°³£¨µ ¯ ª¥²®¢ ¨ ¯°®£° ¬¬­»µ ±¨±²¥¬;  ­¨¬ ¶¨®­­»¥ £° ´¨ª¨;  ­¨¬ ¶¨®­­»¥ ´ ©«», ¯°®¨£°»¢ ¥¬»¥ ± ¯®¬®¹¼¾ ±¯¥¶¨ «¼­®£® ¯°®¨£°»¢ ²¥«¿. • ° ª²¥°­»¬¨ ®±®¡¥­­®±²¿¬¨ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿ ¢ ±°¥¤¥ Maple V ¿¢«¿¾²±¿:

¬®¹­»© ¢±²°®¥­­»© ¿§»ª ¯°®¶¥¤³°­®£® ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿; ¯°®±²®© ¨ ²¨¯¨·­»© ±¨­² ª±¨± ¿§»ª  ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿; ®¡¸¨°­»© ­ ¡®° ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ²¨¯®¢ ¤ ­­»µ; ²¨¯» ¤ ­­»µ, § ¤ ¢ ¥¬»µ ¯®«¼§®¢ ²¥«¥¬; ±°¥¤±²¢  ®²« ¤ª¨ ¯°®£° ¬¬; ¬®¹­»¥ ¡¨¡«¨®²¥ª¨ ° ±¸¨°¥­¨¿ ¿§»ª  ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿; § ¤ ­¨¥ ¢­¥¸­¨µ ´³­ª¶¨© ¨ ¯°®¶¥¤³°; ¯°®£° ¬¬­»© ¨­²¥°´¥©± ± ¿§»ª ¬¨ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿ C, Fortran ¨ LaTeX.

®¤°®¡­®¥ ®¯¨± ­¨¥ ¢±¥µ ®±­®¢­»µ ¢®§¬®¦­®±²¥© ±¨±²¥¬» Maple V ¬®¦­® ­ ©²¨ ¢ [5, 3, 27, 31]. „«¿ ­ ¯¨± ­¨¿ ¯°®£° ¬¬ ­  ¿§»ª¥ Maple ­¥ ²°¥¡³¥²±¿ £«³¡®ª¨µ §­ ­¨©  «£®°¨²¬¨·¥±ª¨µ ¿§»ª®¢ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿. ‚±¥ ¤¥©±²¢¨¿ ¤®±²³¯­» «¾¡®¬³ ¯®«¼§®¢ ²¥«¾, §­ ª®¬®¬³ ± Windows. ‚­¨¬ ­¨¥ ª®­¶¥­²°¨°³¥²±¿ ­  ²¥®°¥²¨·¥±ª®© ±²®°®­¥ °¥¸ ¥¬®© § ¤ ·¨, ­  £«®¡ «¼­®¬  «£®°¨²¬¥,   ¢»·¨±«¥­¨¿ ¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¢»¯®«­¿¥² Maple.

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Š ª ³¦¥ ¡»«® ®²¬¥·¥­®, ¢ ­ ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ­ ¨¡®«¥¥ ° ±¯°®±²° ­¥­­®© ¢¥°±¨¥© ¿¢«¿¥²±¿ Maple V Release 4, ­® °¥¸¥­¨¥ ­¥ª®²®°»µ § ¤ ·, ­ ¯°¨¬¥°, ¨§ ²¥®°¨¨  ¢²®¬ ²¨·¥±ª®£® ³¯° ¢«¥­¨¿, ²°¥¡³¥² §­ ·¨²¥«¼­»µ °¥±³°±®¢ ¯°®¶¥±±®° , ¯ ¬¿²¨, ¢°¥¬¥­¨ ¨ ²¥°¯¥­¨¿ ¤«¿ ¤®±²¨¦¥­¨¿ ¯°¨¥¬«¥¬»µ °¥§³«¼² ²®¢. ®½²®¬³ ¡®«¼¸®© ¨­²¥°¥± ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ¢®§¬®¦­®±²¨, ¯°¥¤« £ ¥¬»¥ 6 ¢¥°±¨¥© ±¨±²¥¬» Maple. ‚ Maple 6 ¬­®£® ­®¢¸¥±²¢ ¨ ³«³·¸¥­¨©. Ž¡° ¹ ¾² ­  ±¥¡¿ ¢­¨¬ ­¨¥ ­®¢»¥ ¢®§¬®¦­®±²¨ [28, 32, 10]. ®¢»© ¯ ª¥² LinearAlgebra ¯®§¢®«¿¥² ¯®«¼§®¢ ²¥«¾ ±¨±²¥¬» ®¡° ¹ ²¼±¿ ª ®²ª®¬¯¨«¨°®¢ ­­®¬³ ª®¤³ ¯°®£° ¬¬ «¨­¥©­®©  «£¥¡°» ¨§ ¨§¢¥±²­®© ±°¥¤¨ ±¯¥¶¨ «¨±²®¢ ¯® ·¨±«¥­­»¬ ¬¥²®¤ ¬ ¯ ª¥²  NAG (North Algorithmic Group), ¯°¨·¥¬ ± ¢®§¬®¦­®±²¼¾ § ¤ ­¨¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ·¨±«  §­ · ¹¨µ ¶¨´° ¢ ¬ ­²¨±±¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ·¨±¥« c ¯« ¢ ¾¹¥© ²®·ª®©. ‚®§¬®¦­®±²¼ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ·¨±¥« ¬ ­²¨±±³ ¯° ª²¨·¥±ª¨ ­¥®£° ­¨·¥­­®© ¤«¨­» - ½²® ¡®«¼¸®¥ ¤®±²¨¦¥­¨¥ ° §° ¡®²·¨ª®¢ Maple 6. ®¤®¡­®¥ °¥¸¥­¨¥ ¯° ª²¨·¥±ª¨ ±­¨¬ ¥² ¯°®¡«¥¬³ ¢»·¨±«¨²¥«¼­®© ­¥³±²®©·¨¢®±²¨  «£®°¨²¬®¢, ¨§¢¥±²­³¾ ±¯¥¶¨ «¨±² ¬ ¯® ·¨±«¥­­»¬ ¬¥²®¤ ¬. ¥ «¨§ ¶¨¿ ½²®© ¢®§¬®¦­®±²¨ ®±³¹¥±²¢«¥­  ± ¯®¬®¹¼¾ ±¯¥¶¨ «¼­® ° §° ¡®² ­­®© ²¥µ­®«®£¨¨ ¢»§®¢  ¢­¥¸­¨µ ¯°®¶¥¤³°, ­ ¯¨± ­­»µ ­  ª®¬¯¨«¨°³¥¬®¬ ¿§»ª¥, ­ ¯°¨¬¥°, ‘++ ¨«¨ Fortran. °¨·¥¬ ¯®«¼§®¢ ²¥«¼ ±¨±²¥¬» Maple 6 ¤«¿ ³±ª®°¥­¨¿ ·¨±«¥­­»µ ° ±·¥²®¢ ¨«¨ °¥ «¨§ ¶¨¨ ®²±³²±²¢³¾¹¥£® ·¨±«¥­­®£®  «£®°¨²¬  ¬®¦¥² ¨ ± ¬ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ®¤­¨¬ ¨§ ³¯®¬¿­³²»µ ¿§»ª®¢ ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿, ±®§¤ ²¼ ­  ­¥¬ ²°¥¡³¥¬®¥ °¥¸¥­¨¥ ¨ ®¡° ¹ ²¼±¿ ª ­¥¬³ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨§ ° ¡®·¥£® «¨±²  Maple. “«³·¸ ¥²±¿ ¯°®¶¥±± ®¡° ¡®²ª¨ ¤ ­­»µ ¢ ¢¨¤¥ ½«¥ª²°®­­»µ ² ¡«¨¶ ± ¯®¬®¹¼¾ ±¯¥¶¨ «¼­®© ­ ¤±²°®©ª¨. „«¿ ¯®±²°®¥­¨¿ £° ´¨ª  ´³­ª¶¨¨ ­¥ ­ ¤® ¡³¤¥² ´®°¬¨°®¢ ²¼ ² ¡«¨¶³ ¥¥ §­ ·¥­¨©,   ¤®±² ²®·­® ¢»§¢ ²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹³¾ ª®¬ ­¤³ ¨§ £° ´¨·¥±ª®£® ¯ ª¥² . “±®¢¥°¸¥­±²¢®¢ ­ ¯°®¶¥±± ¯¥°¥­®±  ±®¤¥°¦¨¬®£® ° ¡®·¥£® «¨±² . …±«¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ¢¥°±¨¿µ ¢¥±¼ ¢»¢®¤ °¥§³«¼² ²®¢ ¢»¯®«­¥­¨¿ ª®¬ ­¤ ¢ ´®°¬¥ ®¡¹¥¯°¨­¿²®© ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ­®² ¶¨¨ ¯°¥¢° ¹ «±¿ ¯°¨ ¯¥°¥­®±¥ ±®¤¥°¦¨¬®£® ° ¡®·¥£® «¨±²  ¢

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®¡»·­»¥ ª®¬ ­¤» Maple, ²® ¢ ¢¥°±¨¨ Maple 6 ¤®¡ ¢«¥­  ¢®§¬®¦­®±²¼ ±®µ° ­¥­¨¿ ° ¡®·¨µ «¨±²®¢ ¢ ´®°¬ ²¥ RTF (Rich Text Format), ¯®¤¤¥°¦¨¢ ¥¬®¬ Word. ‘®¤¥°¦ ¹¨¥±¿ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥© ¢¥°±¨¨ ´®°¬ ²» ±®µ° ­¥­¨¿ LaTeX ¨ HTML, ¥±²¥±²¢¥­­®, ¯°®¤®«¦ ¾² ¯®¤¤¥°¦¨¢ ²¼±¿ ¨ ¢ ­®¢®© ¢¥°±¨¨ Maple. ®¬¨¬® ½²®£® ±«¥¤³¥² ®²¬¥²¨²¼ ±³¹¥±²¢¥­­®¥ ° ±¸¨°¥­¨¥ ¢®§¬®¦­®±²¥© ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿ ¢ Maple, ¢ · ±²­®±²¨ ¢»§®¢ ¢­¥¸­¨µ ¯°®£° ¬¬, ­ ¯¨± ­­»µ ­  ¿§»ª¥ ‘. „«¿ ®¡° ¡®²ª¨ ®¸¨¡®ª ¢¢¥¤¥­» ¢ ¿§»ª Maple ­®¢»¥ ®¯¥° ²®°» try ¨ catch, § ¨¬±²¢®¢ ­­»¥ ¨§ ¿§»ª  Java ¨ ¯®§¢®«¿¾¹¨¥ ®°£ ­¨§®¢ ²¼ ¯¥°¥µ¢ ² ¨ ®¡° ¡®²ª³ ®¸¨¡®ª ­®¢»¬ ®¯¥° ²®°®¬ error ¢® ¢°¥¬¿ ¢»¯®«­¥­¨¿ ¯°®¶¥¤³° Maple, ° §° ¡®² ­­»¬ ¯®«¼§®¢ ²¥«¥¬. ’ ª¦¥ ³«³·¸¥­» ¢®§¬®¦­®±²¨ ®²« ¤ª¨ ¨ ¯°®´¨«¨°®¢ ­¨¿ ° §° ¡ ²»¢ ¥¬»µ ¯°®¶¥¤³°. ®«¥¥ ²®£® ¢ ¢¥°±¨¨ Maple 6 ­¥ ²®«¼ª® ¤®¡ ¢«¥­» ­®¢»¥ ´³­ª¶¨®­ «¼­»¥ ¢®§¬®¦­®±²¨ ¢ ³¦¥ ±³¹¥±²¢³¾¹¨¥ ¯ ª¥²», ­® ¨ ° §° ¡®² ­» ­®¢»¥ ¯ ª¥²», ° ±¸¨°¿¾¹¨¥ ´³­ª¶¨®­ «¼­®±²¼ ± ¬®© ±¨±²¥¬»  ­ «¨²¨·¥±ª¨µ ¢»·¨±«¥­¨©. ’ ª, ³¦¥ ³¯®¬¿­³²»© ¢»¸¥, ¯ ª¥² LinearAlgebra ¯®§¢®«¿¥² ®¡° ¹ ²¼±¿ ª ¯°®£° ¬¬ ¬ °¥¸¥­¨¿ § ¤ · «¨­¥©­®©  «£¥¡°».  ª¥² Slode ±®¤¥°¦¨² ´³­ª¶¨¨ ¤«¿ ¯®±²°®¥­¨¿ °¥¸¥­¨¿ «¨­¥©­»µ ±¨±²¥¬ ®¡»ª­®¢¥­­»µ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨© ¢ ¢¨¤¥ ´®°¬ «¼­»µ ±²¥¯¥­­»µ °¿¤®¢. ‚ ¯ ª¥² Polytools ±®¡° ­» ´³­ª¶¨¨ ¤«¿ ° ¡®²» ± ¯®«¨­®¬ ¬¨, ª®²®°»¥ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ¢¥°±¨¿µ ­ µ®¤¨«¨±¼ ¢ ¿¤°¥ ±¨±²¥¬».  ª¥² Spread °¥ «¨§³¥² ¯°®£° ¬¬­»© ¤®±²³¯ ª ½«¥ª²°®­­»¬ ² ¡«¨¶ ¬ Maple. ’¥¯¥°¼ ¬®¦­® ¨§ ¯°®¶¥¤³°» Maple ¯®«³·¨²¼ ¤®±²³¯ ª ®²¤¥«¼­®© ¿·¥©ª¥ ¨«¨ ­¥¯°¥°»¢­®¬³ ¡«®ª³ ¿·¥¥ª ½«¥ª²°®­­®© ² ¡«¨¶», ¢±²°®¥­­®© ¢ ° ¡®·¨© «¨±², ¨ ¨§¢«¥·¼ ¨«¨ ¨§¬¥­¨²¼ ¨µ ±®¤¥°¦¨¬®¥. ®¬¨¬® ¯¥°¥·¨±«¥­­»µ ¥±²¼ ¨ ¤°³£¨¥ ³«³·¸¥­¨¿. ®±ª®«¼ª³ ¢»·¨±«¥­¨¿ ¢ ° ¬ª µ ­ ±²®¿¹¥© ° ¡®²» ¯°®¨§¢®¤¨«¨±¼ ¢ Maple V R4, ²® ¶¥«¥±®®¡° §­® ¡®«¥¥ ¯®¤°®¡­® ®±² ­®¢¨²¼±¿ ­  ° ±±¬®²°¥­¨¨ ¢®§¬®¦­®±²¥© ½²®© ¢¥°±¨¨.  ¤® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¯®¬¨¬® ¢»·¨±«¨²¥«¼­»µ ¤¥©±²¢¨© ¢ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»© ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ¯ ª¥² Maple V R4 ¢ª«¾·¥­ °¥¤ ª²®° £¨¯¥°²¥ª±²®¢»µ ¤®ª³¬¥­²®¢. ®«¼§®¢ ²¥«¼ ¨¬¥¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ °¥¸ ²¼ ±¢®¨ § ¤ ·¨, ®´®°¬«¿²¼ ¨ ° ±¯¥· ²»¢ ²¼ ¤®ª³¬¥­²»

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¢»±®ª®£® ª ·¥±²¢  ¨ ±«®¦­®±²¨. ¥®¡µ®¤¨¬® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¢±²°®¥­­»© °¥¤ ª²®° ¯®¤¤¥°¦¨¢ ¥² ¬¥µ ­¨§¬ ±®§¤ ­¨¿ ±²¨«¥©, ¨±¯®«¼§³¥² ­ ¡®° ¸°¨´²®¢ ®¯¥° ¶¨®­­®© ±¨±²¥¬», ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥² ±®§¤ ­¨¥ ¨¥° °µ¨¨ ¤®ª³¬¥­²®¢, ±¢¿§»¢ ¿ ¨µ £¨¯¥°²¥ª±²®¢»¬¨ ±±»«ª ¬¨, ¨ ¬­®£®¥ ¤°³£®¥.   ¦¥±²ª®¬ ¤¨±ª¥ ±¨±²¥¬  § ­¨¬ ¥² ®² 16 ¤® 30 Œ¡ ©² (ª®­ª°¥²­»© ®¡º¥¬ § ¢¨±¨² ®² ° §¬¥°  ¯®±² ¢«¿¥¬»µ ¢¬¥±²¥ ± ±¨±²¥¬®© ¡¨¡«¨®²¥ª) ¨ ®°¨¥­²¨°®¢ ­  ­  Š ª« ±±  IBM PC AT, ¯®±²°®¥­­»¥ ­  ¡ §¥ ¬¨ª°®¯°®¶¥±±®°®¢ 386/486/Pentium/Pentium MMX/Pentium Pro/Pentium II, ¨¬¥¾¹¨µ Ž‡“ ­¥ ¬¥­¥¥ 8 Œ¡ ©². ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®²°¥¡­®±²¨ Maple V R4 ­  ¯ ¬¿²¼ Š ¨ ­  ¨µ  ¯¯ ° ²­»¥ °¥±³°±» ³¬¥°¥­­».  ±±¬®²°¨¬ ¬¥µ ­¨§¬ ¢»¯®«­¥­¨¿ ¢»·¨±«¥­¨© ¢ ±°¥¤¥ Maple V Release 4. ‚±¥ ¢»·¨±«¥­¨¿ ¢»¯®«­¿¾²±¿ ¢ ° ¡®·¥¬ ¤®ª³¬¥­²¥ (² ª ­ §»¢ ¥¬®¬ worksheet), ¢ ª®²®°®¬ ¬®¦­® ¢»¤¥«¨²¼ ±²°®ª¨ ¢¢®¤  (ª®¬ ­¤»), ±²°®ª¨ ¢»¢®¤  (°¥§³«¼² ²»), ²¥ª±² (ª®¬¬¥­² °¨©),   ² ª¦¥ £° ´¨ª³, ²°¥µ- ¨ ¤¢³µ¬¥°­³¾. °¨ § £°³§ª¥ ­®¢®£® ° ¡®·¥£® ¤®ª³¬¥­²  ¢ ¥£® ­ · «¥ ¯®«¼§®¢ ²¥«¼ ³¢¨¤¨² §­ ª ">" - ¯°¨£« ¸¥­¨¥ ±°¥¤» ª ¢¢®¤³ ª®¬ ­¤». Š®¬ ­¤  - ½²® ±²°®ª , ­ ¯¨± ­­ ¿ ­  ¿§»ª¥ Maple ¨ ®ª ­·¨¢ ¾¹ ¿±¿ ±¨¬¢®«®¬ ":" ¨«¨ ";". ‚ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ª®¬ ­¤  ¡³¤¥² ¨±¯®«­¥­ , ­® °¥§³«¼² ² ­¥ ¡³¤¥² ¢»¢¥¤¥­ ­  ½ª° ­, ¢® ¢²®°®¬ ±«³· ¥ ®²¢¥² ¡³¤¥² ®²®¡° ¦¥­ ­  ½ª° ­¥. ¥§³«¼² ²» ¢»·¨±«¥­¨© ®¡»·­® ¢»¢®¤¿²±¿ ±° §³ ¯®±«¥ ¢»¯®«­¥­­»µ ª®¬ ­¤ ¢ ²®© ¦¥ ±¥ª¶¨¨. ‚ ²¥ª±² ¯°®£° ¬¬» ¬®¦­® ¢±² ¢«¿²¼ ª®¬¬¥­² °¨¨, ª®²®°»¥ ¿¢«¿¾²±¿ ®¡»·­»¬ ²¥ª±²®¬, ±«³¦ ¹¨¬ ¤«¿ ¯®¿±­¥­¨¿ ° ¡®²» ¯°®£° ¬¬». °¨ ° ¡®²¥ ¢ ±°¥¤¥ ±«¥¤³¥² ®¡° ²¨²¼ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  ¢¥°²¨ª «¼­»¥ «¨­¨¨ (ª¢ ¤° ²­»¥ ±ª®¡ª¨), ° ±¯®«®¦¥­­»¥ ±«¥¢  ®² ²¥ª±²  ¯°®£° ¬¬». Ž­¨ ° §¤¥«¿¾²±¿ ­  ¤¢¥ ª ²¥£®°¨¨: ¯ ° £° ´» ¨ ±¥ª¶¨¨. ‘¥ª¶¨¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ±ª®¡ª , ®µ¢ ²»¢ ¾¹ ¿ ®¤­³ ¨«¨ ­¥±ª®«¼ª® ª®¬ ­¤, °¥§³«¼² ²» ¢»·¨±«¥­¨© ¨ ª®¬¬¥­² °¨¨.  ° £° ´ - ½²® ±ª®¡ª , ®µ¢ ²»¢ ¾¹ ¿ ­¥±ª®«¼ª® ±¥ª¶¨©.  ° £° ´ ¨¬¥¥² ª­®¯ª³, ¯°¨ ­ ¦ ²¨¨ ­  ª®²®°³¾ ¥£® ¬®¦­® ±¢¥°­³²¼ ¨«¨ ° §¢¥°­³²¼. ‘¢¥°­³²»¥ ¯ ° £° ´» ¨§®¡° ¦ ¾²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ª­®¯®ª ± ¯«¾±®¬. „«¿ ½´´¥ª²¨¢­®© ° ¡®²» ¢ Maple ­¥®¡µ®¤¨¬® §­ ²¼ ­¥ª®²®°»¥ ²®­ª®±²¨

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¿§»ª . Š ­¨¬ ®²­®±¿²±¿, ­ ¯°¨¬¥°, ª®¬ ­¤  restart ¨ ¯¥°¥¬¥­­ ¿ Digits. Š®¬ ­¤  restart ®·¨¹ ¥² ¯ ¬¿²¼ Maple-±¨±²¥¬». ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢±¥ ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ¤® ½²®£® ¢ ¯°®£° ¬¬¥ ¯¥°¥¬¥­­»¥ ¨ ¤°³£¨¥ ®¡º¥ª²» ¡³¤³² ³­¨·²®¦¥­». °¨ ½²®¬ ²¥ª±² ¯°®£° ¬¬» ®±² ­¥²±¿ ­¥¨§¬¥­­»¬. ¥°¥¬¥­­ ¿ Digits ³±² ­ ¢«¨¢ ¥² ª®«¨·¥±²¢® §­ · ¹¨µ ¶¨´° (²®·­®±²¼), ª®²®°»¬¨ ¡³¤¥² ®¯¥°¨°®¢ ²¼ Maple ¯°¨ ¢»·¨±«¥­¨¿µ. Š®¬ ­¤  alias ¢»¯®«­¿¥² ¯¥°¥®¡®§­ ·¥­¨¥ ¨¤¥­²¨´¨ª ²®°®¢ ¢»° ¦¥­¨©. ‚ ¦­»¬ ¯®­¿²¨¥¬ ±¨±²¥¬» Maple V ¿¢«¿¥²±¿ ¯®­¿²¨¥ ´³­ª¶¨¨. ”³­ª¶¨¿ ¢ ¢»° ¦¥­¨¿µ ¢¢®¤¨²±¿ § ¤ ­¨¥¬ ¥¥ ¨¬¥­¨ ¨ ±¯¨±ª  ¨§ ®¤­®£® ¨«¨ °¿¤  ¯ ° ¬¥²°®¢ ¢ ª°³£«»µ ±ª®¡ª µ, ­ ¯°¨¬¥° sqrt(5) § ¤ ¥² ´³­ª¶¨¾ - ¢»·¨±«¥­¨¥ ª¢ ¤° ²­®£® ª®°­¿ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ 5 (·¨±«¥­­®© ª®­±² ­²®©). Ž±­®¢­»¬ ¯°¨§­ ª®¬ ´³­ª¶¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ ¢®§¢° ² ¥¾ §­ ·¥­¨¿ ¢ ®²¢¥² ­  ®¡° ¹¥­¨¥ ª ´³­ª¶¨¨ ¯® ¥¥ ¨¬¥­¨ - ¨¤¥­²¨´¨ª ²®°³ ± ³ª § ­¨¥¬ ±¯¨±ª  ¯ ° ¬¥²°®¢ ´³­ª¶¨¨. Š ª®¬ ­¤ ¬ ¦¥ ®²­®±¿²±¿ ² ª¨¥ ³ª § ­¨¿ ±¨±²¥¬¥, ª®²®°»¥ £®²®¢¿² ¥¥ ª ®¯°¥¤¥«¥­­»¬ ¤¥©±²¢¨¿¬, ­® ± ¬¨ ½²¨µ ¤¥©±²¢¨© ­¥ ¢»¯®«­¿¾². ®¬¨¬® ´³­ª¶¨© ¤«¿ § ¯¨±¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¢»° ¦¥­¨© ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ±¯¥¶¨ «¼­»¥ §­ ª¨ - ®¯¥° ²®°». Ž¤­¨¬ ¨§ ± ¬»µ ° ±¯°®±²° ­¥­­»µ ¿¢«¿¥²±¿ ®¯¥° ²®° ¯°¨±¢ ¨¢ ­¨¿ ":=". Ž­ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¤«¿ § ¤ ­¨¿ ¯¥°¥¬¥­­»¬ ª®­ª°¥²­»µ §­ ·¥­¨©. „®±² ²®·­® ¯°®±²® ±²°®¨²¼ ¢ ±¨±²¥¬¥ £° ´¨ª¨ ´³­ª¶¨©. „«¿ ½²®£® ¨±¯®«¼§³¾²±¿ £° ´¨·¥±ª¨¥ ´³­ª¶¨¨: plot - ¤«¿ ¤¢³¬¥°­®£® ±«³· ¿ ¨ plot3d - ¤«¿ ¯®±²°®¥­¨¿ £° ´¨ª  ²°¥µ¬¥°­®© ¯®¢¥°µ­®±²¨. ‚ ±¨±²¥¬¥ Maple ¯®·²¨ 2500 ´³­ª¶¨©, ¨ ·²®¡» ° §®¡° ²¼±¿ ¢ ½²®¬ ¬ ±±¨¢¥, ¯®«¼§®¢ ²¥«¼ ¬®¦¥² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ±¯° ¢®·­³¾ ±¨±²¥¬³. ‚ ¡¨¡«¨®²¥ª¥ ±®®¡¹ ¥²±¿ ¨¬¿ ´³­ª¶¨¨, ¥¥ ®¯¨± ­¨¥,   ² ª¦¥ ¯°¨¢®¤¿²±¿ ª®­ª°¥²­»¥ ¯°¨¬¥°» ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ¤ ­­®© ´³­ª¶¨¨.  ¤® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¡¨¡«¨®²¥·­»© ¬®¤³«¼ § ­¨¬ ¥² ¡®«¥¥ 12Œ¡ ©². ‚ · ±²­®±²¨, ± ¯®¬®¹¼¾ ´³­ª¶¨¨ solve °¥¸ ¾²±¿ ±¨±²¥¬» «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨©, ´³­ª¶¨¿ di ¢»·¨±«¿¥² ¯°®¨§¢®¤­»¥, addcoords ¯°¨ª« ¤»¢ ¥² ­®¢³¾ ª®®°¤¨­ ²­³¾ ±¨±²¥¬³, iscont ²¥±²¨°³¥² ¨­²¥°¢ « ­  ­¥¯°¥°»¢­®±²¼, int ¢»·¨±«¿¥² ¨­²¥£° «, ´³­ª¶¨¿ subs ¢»¯®«­¿¥² ¯®¤±² ­®¢ª³ ¢ ¢»° ¦¥­¨¥.

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Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ¯ ª¥² Maple V R4 ¨¬¥¥² ¤¢¥ ¢§ ¨¬®±¢¿§ ­­»¥ ±¨±²¥¬» ¯®¬®¹¨. Ž¤­  ¨§ ­¨µ online ¯®§¢®«¿¥² ¢»§¢ ²¼ ­³¦­³¾ ±¯° ¢ª³ ¢ ª®¬ ­¤­®¬ °¥¦¨¬¥. „«¿ ½²®£® ­¥®¡µ®¤¨¬® ­ ¡° ²¼ ¢ ª®¬ ­¤­®© ±²°®ª¥ ±«®¢® help ¨«¨ ¢®¯°®±¨²¥«¼­»© §­ ª. ‚ ®²¢¥² ­  ½ª° ­ ¡³¤¥² ¢»¢¥¤¥­® ±®®¡¹¥­¨¥ ­   ­£«¨©±ª®¬ ¿§»ª¥ ® ­ §­ ·¥­¨¨ ¨ ¯° ¢¨« µ § ¯¨±¨ ´³­ª¶¨¨, ®¯¥° ²®°  ¨«¨ ¯ ª¥²  ¯°¨¬¥­¥­¨© ± ­¥±ª®«¼ª¨¬¨ ¯°¨¬¥° ¬¨. ‚²®°®© ¢ °¨ ­² ¯®«³·¥­¨¿ ¯®¬®¹¨ - ¯°¥¤®±² ¢«¥­¨¥ ®¯¥° ²¨¢­®© ª®­²¥ª±²­®-§ ¢¨±¨¬®© ±¯° ¢ª¨ ¯® «¾¡®© ´³­ª¶¨¨. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ­¥®¡µ®¤¨¬® ³ª § ²¼ ¥¥ ¬ °ª¥°®¬ ¨ ­ ¦ ²¼ ª« ¢¨¸¨ Ctrl + F1. ‚ ®²¢¥² ¡³¤¥² ¢»¢¥¤¥­® ®ª­® ±¯° ¢ª¨ ¯® ¤ ­­®© ´³­ª¶¨¨. ’ ª¦¥ ¬®¦­® ¢»¤¥«¨²¼ ±«®¢® ¨ ¯®«³·¨²¼ ±¯° ¢ª³ ¯® ­¥¬³. ‚ ±¨±²¥¬¥ Maple V R4 ¯®«¼§®¢ ²¥«¿¬¨ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ´ ©«» ° §«¨·­»µ ´®°¬ ²®¢, ª®²®°»¥ § ¤ ¾²±¿ ° ±¸¨°¥­¨¥¬ ´ ©« . € ¨¬¥­­®: ª ´ ©« ¬ ± ° ±¸¨°¥­¨¥¬ :ms ®²­®±¿²±¿ ´ ©«» ¤®ª³¬¥­²®¢ ¤«¿ ±¨±²¥¬ ± £° ´¨·¥±ª¨¬ ¨­²¥°´¥©±®¬ (Windows/Macintosh)(§­ ª "" ®§­ · ¥² ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¨¬¿ ´ ©« ); ° ±¸¨°¥­¨¾ :mws ±®®²¢¥²±²¢³¾² ´ ©«» ¤®ª³¬¥­²®¢; :txt - ²¥ª±²®¢»¥ ´ ©«» (¢ª«¾· ¿ ´®°¬ ² Maple-²¥ª±²); ª ´ ©« ¬ ± ° ±¸¨°¥­¨¥¬ :tex ®²­®±¿²±¿ ´ ©«» ´®°¬ ²  LaTeX; ° ±¸¨°¥­¨¿¬¨ :ind ¨ :lib § ¤ ¾²±¿ §  °µ¨¢¨°®¢ ­­»¥ ´ ©«» ¡¨¡«¨®²¥ª; ° ±¸¨°¥­¨¾ :m ±®®²¢¥²±²¢³¾² ´ ©«» ¢­³²°¥­­¥£® Maple-¿§»ª  [5].

17

3. Ž¡®¡¹¥­­ ¿ § ¤ ·  ’. ®¯®¢¨·¨  ±±¬®²°¨¬ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ ¢»¯³ª«»© ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª ABCD. ³±²¼ A1 , B1 , C1 , D1 - ² ª¨¥ ²®·ª¨ ®²°¥§ª®¢ AB , BC , CD ¨ DA ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ·²®

jAA1 j jBB1j jCC1j jDD1j jA1B j = jB1 C j = jC1 Dj = jD1Aj = k

¤«¿ ­¥ª®²®°®£® k > 0. °¿¬»¥ AB1 , BC1 , CD1 , DA1 ®¡° §³¾² ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª KLMN (K , L, M , N | ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯¥°¢®© ¨ ·¥²¢¥°²®©, ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®©, ¢²®°®© ¨ ²°¥²¼¥©, ²°¥²¼¥© ¨ ·¥²¢¥°²®© ¯°¿¬»µ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®), «¥¦ ¹¨© ¢­³²°¨ ABCD. B1

B

C

L M

A1

C1

K N

A

D1

D

¨±³­®ª 1

Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ S ¨ s ¯«®¹ ¤¨ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª®¢ ABCD ¨ KLMN ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ‡ ¤ ·  ’. ®¯®¢¨·¨ (T. Popoviciu) (±¬., ­ ¯°¨¬¥° ¢ [20], ±.39) ±®±²®¨² ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ­¥° ¢¥­±²¢  1S  s  1S 6 5

18

¯°¨ k = 1. ¥¸¥­¨¥ ®°¨£¨­ «¼­®© § ¤ ·¨ ’. ®¯®¢¨·¨ ¡»«® ¯®«³·¥­® ž.ƒ. ¨ª®­®°®¢»¬ ¢ [11]. ‚ ½²®¬ ¯ ° £° ´¥ ¬» ¯®«³·¨¬ ¡®«¥¥ ®¡¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ±¯° ¢¥¤«¨¢®¥ ¤«¿ ¢±¥µ k > 0 [12].

’¥®°¥¬  3.1.

­  ¯«®±ª®±²¨ ¨

„«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¢»¯³ª«®£® ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ±¯° ¢¥¤«¨¢® ­¥° ¢¥­±²¢®

k>0

1 1 (k + 1)(k2 + k + 1) S  s  2k2 + 2k + 1 S ; ±«³· ¥ S > 0 ° ¢¥­±²¢® (k + 1)(k 2 + k + 1)s = S

¯°¨·¥¬ ¢ ¢»¯®«­¿¥²±¿ «¨¸¼ ¤«¿ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª®¢ ± ¤¢³¬¿ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨ ¢¥°¸¨­ ¬¨,   «¾¡®© ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª ±® ±¢®©±²¢®¬ 2 ¯®¬¥¹ ¥²±¿ ¢ ­¥¯°¥°»¢­®¥ ±¥¬¥©±²¢® ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª®¢ ± ²¥¬ ¦¥ ±¢®©±²¢®¬, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ ­¥ª®²®°»© ¯ ° ««¥«®£° ¬¬.

(2k + 2k + 1)s = S

Œ» ¯°¨¢¥¤¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®, ­¥ § ¢¨±¿¹¥¥ ®² ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ¢»·¨±«¨²¥«¼­®© ²¥µ­¨ª¨. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ° §«®¦¥­¨¿ ¬­®£®·«¥­®¢ ­  ¬­®¦¨²¥«¨, ¨±¯®«¼§³¥¬»¥ ¢ ¯°®¶¥±±¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ , ¯®«³·¨²¼ ¢°³·­³¾ ¤®±² ²®·­® ²°³¤­®. „«¿ ®§­ ª®¬«¥­¨¿ ± ¬¥²®¤¨ª®© °¥¸¥­¨¿ ¯®¤®¡­»µ § ¤ · ¬» ¯°¨¢¥«¨ ¢ ¯°¨«®¦¥­¨¨ 1 ° ¡®·¨© «¨±² Maple. „®ª § ²¥«¼±²¢®. Œ®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ¢¥°¸¨­» A, B ¨ D | ¯®¯ °­® ° §«¨·­»¥ ²®·ª¨. €´´¨­­»¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬ (®²­®¸¥­¨¥ ¯«®¹ ¤¥© ¯°¨ ½²®¬ ­¥ ¨§¬¥­¨²±¿) ¬®¦­® ±¢¥±²¨ § ¤ ·³ ª ±«³· ¾, ª®£¤  \BAD ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ABCD ¯°¿¬®©, ¨ ±²®°®­» AB ¨ AD ¨¬¥¾² ¥¤¨­¨·­³¾ ¤«¨­³. ‚¢¥¤¥¬ ­  ¯«®±ª®±²¨ ¤¥ª °²®¢³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ¯°¨­¨¬ ¿ ²®·ª³ A §  ¶¥­²° ¨ «³·¨ AD ¨ AB §  ª®®°¤¨­ ²­»¥ «³·¨, ¯°¨ ½²®¬ ²®·ª¨ A, B , D, C ¡³¤³² ¨¬¥²¼ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ª®®°¤¨­ ²» (0; 0), (0; 1), (1; 0), (a; b), £¤¥ a  0, b  0, a + b  1. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§

¬­®¦¥±²¢®

f(a; b) 2 R2ja  0; b  0; a + b  1g :

’¥¯¥°¼ ­ ©¤¥¬ ¢¥«¨·¨­» s ¨ S , ¯®«¼§³¿±¼ ±°¥¤±²¢ ¬¨  ­ «¨²¨·¥±ª®© £¥®¬¥²°¨¨. ¥²°³¤­® ¯®¤±·¨² ²¼, ·²® 2S = a + b.

19

¥±«®¦­®© § ¤ ·¥© ¿¢«¿¥²±¿ ¢»·¨±«¥­¨¥ ª®®°¤¨­ ² ²®·¥ª     k ak 1 + kb A1 = 0; k + 1 ; B1 = k + 1 ; k + 1 ;  k ; b  ; D =  1 ; 0 : C1 = ak + 1 +1 k+1 k+1  ©¤¥¬ ³° ¢­¥­¨¿ ¯°¿¬»µ DA1 , CD1 , AB1 ¨ BC1 . kx + (k + 1)y , k = 0; (k + 1)bx + (1 , a(k + 1))y , b = 0; (kb + 1)x , kay = 0; (k + 1 , b)x + (a + k)y , (a + k) = 0: ‚»·¨±«¨¬ ª®®°¤¨­ ²» ²®·¥ª K , L, M , N ª ª ª®®°¤¨­ ²» ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¯°¿¬»µ. Ž¯³±ª ¿ ®·¥¢¨¤­»¥ ¢»ª« ¤ª¨, ¯®«³· ¥¬   2 ( + 1) = 2+ + +1+ 2 2+ + +1+ 2  ( + 1)( + )  = 2 + (+ ++ ) 2 + 2 + + + 2+  2 + 2 + , + + 2 = , +, + 2 +2 , 1 + + + 2 + (,1 + + + + 2 ) , + 2+2 ,1+ + + 2+   2 2 + , + + = 2+2 + , + 2+ 2 +2 + , + 2+ Ž·¥¢¨¤­®, ·²® 2s = 2S
ANM + 2S
AML , 2S
ANK : ®«¼§³¿±¼ ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ¯«®¹ ¤¥© ²°¥³£®«¼­¨ª®¢ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿¬¨, ¯®«³· ¥¬ ak

K

bk

bk

ak a

L

ak

ak

k

2S

2S

bk

bk

a

k

k

ak

k

ak

M

N

k

bk

ak

ak

b

ak

ak

b

k

b

ak

k

k bk

bk

ak

a k

bk

a

a

ak

k

;

ak

a

ak

a

ak

ak

ak

bk

bk

;

ak

b

bk

k

;

a

b

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k

bk

ab

bk

a

bk

k

b

bk

k

;

;

;

;

bk

bk

bk

bk

b

k

ak

ak

:

2 2 2 2 2 2 2 ak , bk , k + ak b + ak + a k + b k + bk , a + ab + a
AML = (a + k) (,k + ak2 + 2ak , 1 + a + b + bk2 + bk) (ak2 + ak + a + bk2 + k) ;


ANM = b

2

+ k , b , 2bk + ab , 2ak , ak2 + bk2 + b2 k + a2 k + b2 + 3bka + a2 k2 ; 2 (bk + 2bk + b , k + ak2 + ak) (,k + ak2 + 2ak , 1 + a + b + bk2 + bk)

ak b

20

2S

2 2 2 2 2 2 b k + b k , bk + ak b + bk + b , k + ak + ak
ANK = k (bk2 + bk + k + 1 + ak2 ) (bk2 + 2bk + b , k + ak2 + ak) :

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, £¤¥

s P (a; b) S = Q(a; b) ;

P (a; b) = ,2a2 k2 b + 6ab4 k3 , 4ak2 b + 12a2 k3 b2 + 9ab4 k5 + +16a2 k4 b2 + 19a2 k4 b3 + 9a2 b3 k2 + 8a3 k2 b2 + 17a3 k3 b2 + 2a2 k6 b+ +2a4 k6 b +8a3 k5 b , b2 a , 3b2 k2 + a2 k + bk2 + ak2 , 8ab3 k5 +9a4 k4 b+ +2b3 ak , 4a2 k5 b + 6a3 kb + 3b4 k3 , 5a2 kb + 3ab4 k2 + 14a3 k5 b2 + +18a2 k5 b3 ,4a2 k5 b2 +6a3 k6 b2 +15a2 k3 b3 +11ab4 k4 +ab2 k2 ,9ak3 b2 + +12a3 k4 b+4ab3 k4 +8a3 k2 b+a4 k3 +3a4 k2 ,4a2 k6 b2 ,3a3 k2 +8a4 k3 b+ +a3 k3 , 2a2 k3 , 5a3 k4 + 6a2 k6 b3 + 2b2 k3 , a2 b , 2a3 k + 2ab4 k6 + +17a3 k4 b2 + 5a4 k5 b + a4 k4 + a5 k5 + 4a3 k3 b + 12ab3 k3 + 4ab3 k2 + +7a2 k2 b2 , 2b2 ka +7a2 b2 k +8ak4 b +8ak5 b2 , 5b3 k3 + b3 k4 +4b3 k5 , ,2bk4 +2b2k4 +6a2k4 , 4b2k5 , 2ak4 +4a2k5 + a4k +2a2b2 + a3b+ +2ak6 b2 ,11ak4 b2 ,3a2 k3 b,17a2 k4 b,b2 k +2a4 k6 +4a4 k5 ,8a3 k5 + +2a5 k4 + 2b4 k6 , b4 k4 , a2 k2 + a5 k3 + a3 b2 k , 2a3 k6 + 2a2 b3 k, ,2b3k6 + 2a4 k2b + b4ak + b3 a + b5k3 + 2b4 k2 + b3 k + 2b5 k4 + b5k5 ; ,




Q(a; b) = (a + b) ak2 + ak + a + bk2 + k  ,
 , k + ak2 + 2ak , 1 + a + b + bk2 + bk  ,
,
 bk2 + bk + k + 1 + ak2 bk2 + 2bk + b , k + ak2 + ak : Ž²¬¥²¨¬, ·²® ,k + ak2 + 2ak , 1 + a + b + bk2 + bk = = (a + b , 1) + k(a + b , 1) + ak + k2 (a + b) > 0; bk2 + 2bk + b , k + ak2 + ak = k(a + b , 1) + bk + b + k2 (a + b) > 0 ­  ¬­®¦¥±²¢¥ . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ± ³·¥²®¬ ²®£®, ·²® Q(a; b) > 0 ­  ¬­®¦¥±²¢¥ , ±¢®¤¨²±¿ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ¤¢³µ ­¥° ¢¥­±²¢ ¤«¿ (a; b) 2 : 1)(k + 1)(k2 + k + 1)P (a; b) , Q(a; b)  0,

21

2)Q(a; b) , (2k2 + 2k + 1)P (a; b)  0 ¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¾ ±«³· ¥¢ ¢»¯®«­¥­¨¿ ° ¢¥­±²¢.  ±±¬®²°¨¬ ¯¥°¢®¥ ­¥° ¢¥­±²¢®. °¿¬»¬¨ ¢»·¨±«¥­¨¿¬¨ ¬®¦­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® ,
(k + 1)(k2 + k + 1)P (a; b) , Q(a; b) = k3 (a + b) 1 + 2k + 2k2  ,




 ak2b + ak2 + 2ak + a + b , 1 , k + b2 k , bk2 + b2k2  ,
 a2 k2 + a2k + ba , 2ak + k + 2bak , ak2 + ak2 b + bk2 :

‡ ¬¥²¨¬, ·²® ak2 b + ak2 + 2ak + a + b , 1 , k + b2 k , bk2 + b2k2 = = (a + b , 1)(k2 b + 1) + ak2 + (2a + b2 , 1)k;

a2 k2 + a2 k + ba , 2ak + k + 2bak , ak2 + ak2b + bk2 = ak2 (a + b , 1) + ab + bk2 + (a2 + 2ab , 2a + 1)k:

Ž²¬¥²¨¬, ·²® ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® a + b  1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¯¥°¢®© · ±²¨ ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·­® ³¤®±²®¢¥°¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® ­  ¬­®¦¥±²¢¥

¢»¯®«­¿¾²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢  2a+b2 ,1  0 ¨ a2 +2ab,2a+1  0. ’ ª ª ª ¯°¿¬ ¿ a + b = 1 ª ± ¥²±¿ ¢»¯³ª«®© ª°¨¢®© (¯ ° ¡®«») 2a + b2 , 1 = 0 ¢ ²®·ª¥ (0; 1), ²® ¤®±² ²®·­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ¢»¯®«­¥­¨¨ ­¥° ¢¥­±²¢  2a + b2 , 1 > 0 µ®²¿ ¡» ¢ ®¤­®© ²®·ª¥ ¬­®¦¥±²¢  . ‚ ª ·¥±²¢¥ ² ª®¢®© ¬®¦­® ¢§¿²¼ ²®·ª³ (1; 1). ‡ ¬¥²¨¬, ·²® 2a+b2 ,1 = 0 ¨ (a+b,1)(k2 b+1)+ak2 +(2a+b2 ,1)k = 0 ²®«¼ª® ¯°¨ (a; b) = (0; 1). „ «¥¥, ¯®±ª®«¼ª³ ´³­ª¶¨¿ f (a) = , 21a , a2 + 1 ¯°¨ a  0 ¤®±²¨£ ¥² ¬ ª±¨¬³¬  ¢ ²®·ª¥ a = 1, ¯°¨ ½²®¬ f (1) = 0, ²® ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® a2 + 2ab , 2a + 1  0, ° ¢¥­±²¢® ¤®±²¨£ ¥²±¿ «¨¸¼ ¯°¨ (a; b) = (1; 0). ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¯°¨ ½²¨µ §­ ·¥­¨¿µ ¯¥°¥¬¥­­»µ ² ª¦¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢® ak2 (a + b , 1) + ab + bk2 + (a2 + 2ab , 2a + 1)k = 0. Žª®­· ²¥«¼­® ¯®«³· ¥¬, ·²® (k + 1)(k2 + k + 1)P (a; b) , Q(a; b)  0

22

­  ¬­®¦¥±²¢¥ , ¯°¨·¥¬ ° ¢¥­±²¢® ¯®«³· ¥²±¿ «¨¸¼ ¤«¿ (a; b) = (1; 0) ¨«¨ (a; b) = (0; 1), ²® ¥±²¼ ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  ³ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ¤¢¥ ¢¥°¸¨­» ±®¢¯ ¤ ¾². „®ª § ²¥«¼±²¢® ¢²®°®© · ±²¨ ²¥®°¥¬» ­ ¬­®£® ¯°®¹¥. ¥¯®±°¥¤±²¢¥­­»¬¨ ¢»·¨±«¥­¨¿¬¨ ¯®«³· ¥¬, ·²® Q(a; b) , (2k2 + 2k + 1)P (a; b) = = k4 (a + b) (bk + 1 , a , ak)2 (b + bk , 1 + ak , 2k)2 : Ž²¬¥²¨¬, ·²® ° ¢¥­±²¢® ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­  ¯°¿¬»µ bk + 1 , a , ak = 0; b + bk , 1 + ak , 2k = 0; ²®·ª  (1; 1) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¿¬ ®¡¥¨µ ¯°¿¬»µ ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ±«³· ¾, ª®£¤  ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª ABCD ¿¢«¿¥²±¿ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬®¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ²¥®°¥¬  ¯®«­®±²¼¾ ¤®ª § ­ .

‡ ¬¥· ­¨¥ 3.1.

‡ ¬¥²¨¬, ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» 3.1 ±¯° ¢¥¤«¨¢® ¨ ¯°¨ . ¥®¡µ®¤¨¬® «¨¸¼ ¯° ¢¨«¼­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ³±«®¢¨¥.

k 2 (,1; 0)

23

4. Ž £¥®¬¥²°¨¨ ­  ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤   ±±¬®²°¨¬ ¢ ²°¥µ¬¥°­®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¯°¿¬®© ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ P = ABCDA0B 0 C 0 D0 ±® ±²®°®­ ¬¨ ¤«¨­» jAB j = a, jADj = b, jAA0 j = c, a  b  c. Ž¡º¥ª²®¬ ­ ¸¥£® ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ¢­³²°¥­­¥¥ ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ ­  ¯®¢¥°µ­®±²¨ S = @P ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  P .  ¯®¬­¨¬, ·²® ¢­³²°¥­­¨¬ ° ±±²®¿­¨¥¬ d(M; N ) ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ M 2 S ¨ N 2 S ­ §»¢ ¥²±¿ ¬¨­¨¬³¬ ¤«¨­ «®¬ ­»µ, «¥¦ ¹¨µ ¢ S ¨ ±®¥¤¨­¿¾¹¨µ ²®·ª¨ M ¨ N . ¥´®°¬ «¼­® ¢­³²°¥­­¥¥ ° ±±²®¿­¨¥ ¥±²¼ ¤«¨­  ª° ²· ©¸¥£® ¯³²¨, ª®²®°»© ¤®«¦¥­ ¯°¥®¤®«¥²¼ ¯ ³ª ¬¥¦¤³ ¤¢³¬¿ ²®·ª ¬¨ ­  £° ­¨¶¥ ª®¬­ ²» (±²¥­», ¯®«, ¯®²®«®ª). „®±² ²®·­® ±«®¦­®© § ¤ ·¥© ¿¢«¿¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ± ¬®© ¤ «¥ª®© ²®·ª¨ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ®² § ¤ ­­®© ²®·ª¨ ¢ ±¬»±«¥ ¢­³²°¥­­¥£® ° ±±²®¿­¨¿. „ ¦¥ ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  ¢ ª ·¥±²¢¥ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²®·ª¨ ¡¥°¥²±¿ ¢¥°¸¨­  ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ­¥ ¢¯®«­¥ ¿±­®, ª ª ¿ ²®·ª  ¡³¤¥² ®² ­¥¥ ± ¬®© ³¤ «¥­­®©.  ¯°¨¬¥°, ¤«¿ ª³¡  ± ¬®© ¤ «¥ª®© ²®·ª®© ®² ¢¥°¸¨­» ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­ ¿ ¢¥°¸¨­ , ¢ ±«³· ¥ ¦¥ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  c ° §¬¥° ¬¨ 1  1  2 ¯°®²¨¢®¯®«®¦­ ¿ ¢¥°¸¨­  ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®© ³¤ «¥­­®© ²®·ª®©.  ±²®¿¹¨© ¯ ° £° ´ ®±­®¢ ­ ­  ±² ²¼¥ [13]. –¥«¼¾ ¤ ­­®£® ¯ ° £° ´  ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¿¢«¥­¨¥ ª°¨²¥°¨¿ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ²®·ª¨, ³¤ «¥­­®© ¢ ±¬»±«¥ ¢­³²°¥­­¥£® ° ±±²®¿­¨¿ ®² ¤ ­­®© ¢¥°¸¨­» ¡®«¥¥, ·¥¬ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­ ¿ ¢¥°¸¨­ . ‘¯° ¢¥¤«¨¢  ±«¥¤³¾¹ ¿

’¥®°¥¬  4.1.

„«¿ ¯°¿¬®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  ¢ ²°¥µ¬¥°­®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ± ¤«¨­ ¬¨ ±²®°®­ ­¥®¡µ®¤¨¬»¬ ¨ ¤®±² ²®·­»¬ ³±«®¢¨¥¬ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ²®·ª¨ ­  ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ° ±¯®«®¦¥­­®© ¤ «¥¥ ¢ ±¬»±«¥ ¢­³²°¥­­¥£® ° ±±²®¿­¨¿ ®² § ¤ ­­®© ¢¥°¸¨­», ·¥¬ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­ ¿ ¢¥°¸¨­ , ¿¢«¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢®

abc

2c2 , 2bc , ac , ab > 0: ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ­¥° ¢¥­±²¢® ¢ ²¥®°¥¬¥ § ¤ ¥²±¿ ®¤­®°®¤­»¬ ¬­®£®·«¥­®¬, ·²® ­¥³¤¨¢¨²¥«¼­®, ¯®±ª®«¼ª³ ¨§³· ¥¬®¥ ­ ¬¨ ±¢®©±²¢® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  ¨­¢ °¨ ­²­® ®²­®±¨²¥«¼­® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ¯®¤®¡¨¿.

24

B’

C’

D’

A’ B

C

c

A

y M x b D

a

¨±³­®ª 2 „«¿ ³¤®¡±²¢  ¢¢¥¤¥¬ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¤¥ª °²®¢³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ­ · «® ª®²®°®© ±®¢¯ ¤ ¥² ± ²®·ª®© A,   ª®®°¤¨­ ²­»¥ «³·¨ ±³²¼ «³·¨ AB , AD, AA0 . ‚ ª ·¥±²¢¥ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ¢¥°¸¨­» ¢»¡¥°¥¬ ²®·ª³ C 0 = (a; b; c). ³±²¼ M = (x; y; z ) 2 S | ± ¬ ¿ ³¤ «¥­­ ¿ ®² ¢¥°¸¨­» C 0 ²®·ª  ¢ ±¬»±«¥ ¢­³²°¥­­¥£® ° ±±²®¿­¨¿. Œ» ¤®«¦­» ¢»¿±­¨²¼, ª®£¤  M 6= A = (0; 0; 0). „®ª ¦¥¬ ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­® ¤¢¥ «¥¬¬».

‹¥¬¬  4.1.

‚­³²°¥­­¥¥ ° ±±²®¿­¨¥ p ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨

¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥

d(A; C 0 ) =

(a + b)2 + c2 .

A ¨ C0

„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬ ²°¨¢ ¿ «®ª «¼­® ª° ²· ©¸¨¥ «®¬ ­»¥, ±®¥¤¨­¿¾¹¨¥ ¤¢¥ § ¤ ­­»¥ ²®·ª¨ ­  ¯®¢¥°µ­®±²¨, ¬» (A; C 0 )  minfd1 ; dp2 ; d3 g, £¤¥ d1 = p ¯®«³· ¥¬, ·²® dp (a + b)2 + c2 , d2 = (a + c)2 + b2 , d3 = (b + c)2 + a2 . ®±ª®«¼ª³ a  b  c, ²® d1  d2 , d1  d3 . …±«¨ ¦¥ ° ±±¬®²°¥²¼ «®¬ ­»¥, ±®¥¤¨­¿¾¹¨¥ ¤¢¥ § ¤ ­­»¥ ¢¥°¸¨­» ¨ ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ ¢­³²°¥­­¨¥ ²®·ª¨ ²°¥µ ¨«¨ ¡®«¥¥ £° ­¥©, ²®p«¥£ª® ¯®­¿²¼, ·²® ¨µ ¤«¨­» ¡³¤³² ¯°¥¢»¸ ²¼ ¢¥«¨·¨­³ d1 = (a + b)2 + c2 . ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ .

25

B’

C’

b d

D’

a

C

D

b B

C C’ a B’

C’

d

c

A

b

c

C

C

B’

c d

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A’ a D’

C’

C’

d

D’

A’

a

b

A’

d

B

A

¨±³­®ª 3 p

‚¢¥¤¥¬ ®¡®§­ ·¥­¨¥ d = (a + b)2 + c2 ¤«¿ ³¯°®¹¥­¨¿ ¤ «¼­¥©¸¨µ ¢»ª« ¤®ª.

‹¥¬¬  4.2.

³±²¼ | ± ¬ ¿ ³¤ «¥­­ ¿ ®² ¢¥°¸¨­» 0 ²®·ª  ¢ ±¬»±«¥ ¢­³²°¥­­¥£® ° ±±²®¿­¨¿. ’®£¤  «¥¦¨² ­  £° ­¨ .

ABCD

M 2S

M

C

„®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ ²®·ª  M ­¥ «¥¦¨² ­  £° ­¨ ABCD, ²® ­¥²°³¤­® ¯®±²°®¨²¼ «®¬ ­³¾, ±®¥¤¨­¿¾¹³¾ ²®·ª¨ M ¨ C 0 ¨ ¨¬¥¾¹³¾ ¤«¨­³ ¬¥­¼¸³¾, ·¥¬ d. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ²®·ª  M ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®© ³¤ «¥­­®©. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» 4.1. ‘®£« ±­® ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ± ¬ ¿ ³¤ «¥­­ ¿ ²®·ª  ®² ¢¥°¸¨­» C 0 ®¡¿§ ­  ¨¬¥²¼ ª®®°¤¨­ ²» M = (x; y; 0), £¤¥ 0  x  a, 0  y  b. …±«¨ ° ±±¬®²°¥²¼ ª° ²· ©¸³¾, ±®¥¤¨­¿¾¹³¾ ¤¢¥ ²®·ª¨ ­  ¯®¢¥°µ­®±²¨, ²® ¥¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ± «¾¡®© £° ­¼¾ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  ®¡¿§ ­® ¡»²¼ ±¢¿§­»¬ (ª° ²· ©¸ ¿, ®·¥¢¨¤­®, ¤¢ ¦¤» ­¥ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ®¤­³ £° ­¼, ¨­ ·¥ ¬®¦­® ¡»«® ¡» ­ ©²¨ ¡®«¥¥ ª®°®²ª³¾ «®¬ ­³¾, ±®¥¤¨­¿¾¹³¾ § ¤ ­­»¥ ²®·ª¨). ®±ª®«¼ª³ ¢¥°¸¨­  C 0 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ±° §³ ²°¥¬ £° ­¿¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ²® ª®«¨·¥±²¢® ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­® ° §­»µ ° ±¯®«®¦¥­¨©

26

b

1)

a

3)

b

c

c

c

a

a

2)

b x

4)

b

a

y

x

y

y 5)

b

x

6)

a

a

b

b c

c

a

c y

x y

x

b

y

a

x

¨±³­®ª 4 ª° ²· ©¸¥© °¥§ª® ±®ª° ¹ ¥²±¿. ‹¥£ª® ¯®ª § ²¼, ·²® ¢®§¬®¦­» «¨¸¼ ¤¥±¿²¼ ¯®¤®¡­»µ ¢®§¬®¦­®±²¥©. Œ» ¨µ ¯°®¨««¾±²°¨°³¥¬ ± ¯®¬®¹¼¾ ° §¢¥°²®ª ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  (°¨±³­ª¨ 4, 5). ¥²°³¤­® ¢»¯¨± ²¼ ¤«¨­» «®ª «¼­® ª° ²· ©¸¨µ «®¬ ­»µ, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ª ¦¤®© ±µ¥¬¥ ° ±¯®«®¦¥­¨¿. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ­¥ ª ¦¤ ¿ ±µ¥¬  ¤ ¥² ¯°¨¬¥° °¥ «¼­®© «®ª «¼­® ª° ²· ©¸¥© (¯°¨ ­¥ª®²®°»µ ±®®²­®¸¥­¨¿µ ¤«¨­ ±²®°®­ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  ®²°¥§ª¨, ¨§®¡° ¦ ¾¹¨¥ ª° ²· ©¸¨¥, ­¥ ¯®¬¥¹ ¾²±¿ ¶¥«¨ª®¬ ¢ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ £° ­¥©). ²® ª ± ¥²±¿ ¢±¥µ ±µ¥¬, ª°®¬¥ ¯¥°¢®©, ¢²®°®©, ·¥²¢¥°²®© ¨ ¯¿²®©. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ¯®­¿²­®, ·²® °¥ «¼­ ¿ ª° ²· ©¸ ¿ ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ®¤­®© ¨§ ±µ¥¬.

27

8)

7) b

b

a

a

a

a

c c

y

b y x 9)

x

b a 10)

b

a

b

b

b

c

x y

a

c

x y

a

¨±³­®ª 5 ®½²®¬³ d(C 0 ; M ) = mindi , 0  i  10, £¤¥ ·¨±«  di ±®®²¢¥²±²¢³¾² ¤«¨­ ¬ «®ª «¼­»µ ª° ²· ©¸¨µ ­  ±®®²¢¥²±¢³¾¹¨µ ±µ¥¬ µ ¨ ¢»·¨±«¿¾²±¿ ¯® ±«¥¤³¾¹¨¬ ´®°¬³« ¬. d21 = (a + c , x)2 + (b , y)2 ; d22 = (b + c , y)2 + (a , x)2 ; d23 = (a + b , x)2 + (c + y)2 ; d24 = (a + c + x)2 + (b , y)2 ; d25 = (b + c + y)2 + (a , x)2 ; d26 = (a + b , y)2 + (c + x)2 ; d27 = (a + c + y)2 + (b + x)2 ; d28 = (a + b + x)2 + (c + y)2 ; d29 = (a + b + y)2 + (c + x)2 ; d210 = (b + c + x)2 + (a + y)2 :

28

Ž²¬¥²¨¬ ®·¥¢¨¤­»¥ ­¥° ¢¥­±²¢  d1  d4 , d1  d7 , d2  d5 , d2  d10 , d3  d8 , d3  d9 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, d(C 0 ; M ) = minfd1 ; d2 ; d3 ; d6 g. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® «¾¡ ¿ ¨§ ®±² ¢¸¨µ±¿ ·¥²»°¥µ «®ª «¼­® ª° ²· ©¸¨µ ¯°¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ±®®²­®¸¥­¨¿µ ¬¥¦¤³ ¤«¨­ ¬¨ °¥¡¥° ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  ¬®¦¥² ¿¢«¿²¼±¿ £«®¡ «¼­® ª° ²· ©¸¥©.  ±±¬®²°¨¬ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ £° ­¨ ABCD ·¥²»°¥ ²®·ª¨

O1 = (a + c; b); O2 = (a; b + c); O3 = (a + b; ,c); O4 = (,c; a + b) ¨ § ¬ª­³²»¥ ª°³£¨ Bi = B (Oi ; d) ± ¶¥­²° ¬¨ ¢ ½²¨µ ²®·ª µ ¨ p ° ¤¨³±®¬ d = (a + b)2 + c2 . …±«¨ ²®·ª  A ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®© ³¤ «¥­­®© ®² ¢¥°¸¨­» C 0 ­ °¿¤³ ± ²®·ª®© M , ²® d(C 0 ; M ) > d, ¨ ½²® ½ª¢¨¢ «¥­²­® ²®¬³, ·²® ­  ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ¯«®±ª®±²¨ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ABCD ­¥ ­ ª°»¢ ¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥¬ ª°³£®¢ Bi . Ž±² «®±¼ ¢»¿±­¨²¼, ¯°¨

ª ª¨µ ±®®²­®¸¥­¨¿µ ¤«¨­ °¥¡¥° ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ² ª.  ±±¬®²°¨¬ ²°¨ ¢§ ¨¬®¨±ª«¾· ¾¹¨µ ±«³· ¿: 1) b = c, 2) a + b  c, 3) 0 < a + b , c < a. ‘ ³·¥²®¬ ³±«®¢¨¿ ­  ¤«¨­» ±²®°®­, ®¤¨­ ¨§ ½²¨µ ±«³· ¥¢ ®¡¿§ ­ °¥ «¨§®¢»¢ ²¼±¿. 1) ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ° ±±¬®²°¨¬ ²®·ª³ L = (a; a). ¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® A; D; C; L 2 B4 , A; L; B 2 B3 . ‚ ±¨«³ ¢»¯³ª«®±²¨ ª°³£®¢ ­  ¯«®±ª®±²¨ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª ADCL «¥¦¨² ¢ ª°³£¥ B4 ,   ²°¥³£®«¼­¨ª ALB «¥¦¨² ¢ ª°³£¥ B3. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ABCD ¯®ª°»¢ ¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥¬ ª°³£®¢ Bi . 2) ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¢ ¯¥°¥±¥·¥­¨¨ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ A ¨ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ABCD ­ ©¤³²±¿ ²®·ª¨ M ±® ±¢®©±²¢®¬ jO3 M j > d, jO4 M j > d. Š°®¬¥ ²®£®, ¯®±ª®«¼ª³ jAO1 j > d ¨ jAO2 j > d, ²® ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª  ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  ABCD, ­¥ ­ ª°»¢ ¾¹ ¿±¿ ­¨ ®¤­¨¬ ¨§ ª°³£®¢ Bi . 3) ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ®¡° ²¨¬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  ²®·ª³

L = (a + b , c; a + b , c) 2 int(ABCD):

29

.

Y

O2=(a,b+c)

. O4=(-c,a+b) D

Q

.

C

O1=(a+c,b)

L

A

B

X

.

O3=(a+b,-c)

¨±³­®ª 6 ’ ª ª ª ®ª°³¦­®±²¼ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¯°¿¬³¾ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ¢ ¤¢³µ ²®·ª µ,   ®ª°³¦­®±²¨ ± ¶¥­²° ¬¨ ¢ ²®·ª µ O3 ¨ O4 ± ° ¤¨³± ¬¨ ¤«¨­» d ¯¥°¥±¥ª ¾² ¯°¿¬³¾ y = x ¢ ²®·ª µ A ¨ L, ²® ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ L ­ ©¤³²±¿ ²®·ª¨ p M ±® ±¢®©±²¢®¬ jO3 M j >pd, jO4 M j > d. „ «¥¥, jO1 Lj = (2c , b)2 + (a , c)2 , jO2 Lj = (2c , a)2 + (b , c)2 , jO1 Lj  jO2 Lj. …±«¨ p p jO1 Lj = (2c , b)2 + (a , c)2 > (a + b)2 + (c)2 = d; ²® ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ L ­ ©¤³²±¿ ²®·ª¨ M , ­¥ ­ ª°»¢ ¾¹¨¬¨±¿ ­¨ ®¤­¨¬ ª°³£®¬ Bi .  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ¢ °¨ ­² p p jO1 Lj = (2c , b)2 + (a , c)2  (a + b)2 + (c)2 = d: ³±²¼ Q | ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ®ª°³¦­®±²¨ p 2 S (2O4 ; d) ± ®²°¥§ª®¬ DC . ‹¥£ª® ¯®¤±·¨² ²¼, ·²® Q = ( c + b + 2ab , c; b). p2 2 jO1 Qj = a + 2c , c + b + 2ab < d. ®±«¥¤­¥¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¤®ª §»¢ ¥² ±«¥¤³¾¹ ¿ ¶¥¯®·ª  ¢»ª« ¤®ª. ¥° ¢¥­±²¢® p p a + 2c < c2 + b2 + 2ab + (a + b)2 + (c)2 ½ª¢¨¢ «¥­²­® ­¥° ¢¥­±²¢³

30

a2 + 4ac p + 4c2 < p < c2 + b2 + 2ab + a2 + b2 + 2ab + 2 c2 + b2 + 2ab (a + b)2 + (c)2 ;

¨«¨

p

p

c2 + 2ac , 2ab , b2 < c2 + b2 + 2ab (a + b)2 + (c)2 :

’ ª ª ª ¢ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®¬ ±«³· ¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® a + b > c, ²® 2ab + 2a2 > 2ac ¨ c2 + 2ac , 2ab , b2 < c2 , b2 + 2a2  a2 + c2 ; ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ®·¥¢¨¤­®, ·²® p p a2 + c2 < c2 + b2 + 2ab (a + b)2 + (c)2 ; p ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥° ¢¥­±²¢® jO1 Qj = a +2c , c2 + b2 + 2ab < d ³±² ­®¢«¥­®. ®±ª®«¼ª³ jO1 B j < d, ¯®«³· ¥¬, ·²® ²®·ª¨ B , L, Q, C «¥¦ ² ¢ ª°³£¥ B1 . ‚ ±¨«³ ¢»¯³ª«®±²¨ ª°³£  ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª BLQC  B1 . €­ «®£¨·­®, ²®·ª¨ A, D, Q, L «¥¦ ² ¢ ª°³£¥ B4 , ²® ¥±²¼ ADML  B4 . ˆ, ­ ª®­¥¶, ²®·ª¨ A, L, B «¥¦ ² ¢ ª°³£¥ B3 , §­ ·¨², ALB  B3 . ˆ² ª, ¥±«¨ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ±®®²­®¸¥­¨¥ p p (2c , b)2 + (a , c)2  (a + b)2 + (c)2 ; ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª ABCD ¯®ª°»¢ ¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥¬ ª°³£®¢ Bi . ‡ ¬¥²¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¯°¨ b = c ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® p p c2 + (a , c)2 = (2c , b)2 + (a , c)2  p p  (a + b)2 + (c)2 = (a + c)2 + (c)2 ;   ¯°¨ ³±«®¢¨¨ a + b  c ±¯° ¢¥¤«¨¢® ­¥° ¢¥­±²¢® p p (2c , b)2 + (a , c)2 > (a + b)2 + (c)2 : ‚ ½²®¬ «¥£ª® ³¡¥¤¨²¼±¿, ¥±«¨ ° ±±¬®²°¥²¼ ½ª¢¨¢ «¥­²­®¥ ­¥° ¢¥­±²¢®, ¯®«³· ¾¹¥¥±¿ ¯®±«¥ ¢®§¢¥¤¥­¨¿ ¢ ª¢ ¤° ². 2c2 , 2bc , ac , ab > 0: „¥©±²¢¨²¥«¼­®, 2c2  2c(a + b) > 2bc + ac + ab. ¥§¾¬¨°³¿ ¢»¸¥¨§«®¦¥­­®¥, ¯°¨µ®¤¨¬ ª ¢»¢®¤³, ·²® ª°¨²¥°¨¥¬ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ­  ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  ²®·ª¨,

31

³¤ «¥­­®© ®² ­¥ª®²®°®© ¢¥°¸¨­» ¡®«¥¥, ·¥¬ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­ ¿ ¢¥°¸¨­ , ¿¢«¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® 2c2 , 2bc , ac , ab > 0: ’¥®°¥¬  ¤®ª § ­ .

‡ ¬¥· ­¨¥ 4.1.

¥° ¢¥­±²¢®, ¯°¨¢¥¤¥­­®¥ ¢ ´®°¬³«¨°®¢ª¥ ²¥®°¥¬», ½ª¢¨¢ «¥­²­® ±«¥¤³¾¹¥¬³ ±®®²­®¸¥­¨¾:

 2 2 a 3 2 2c , 2 , b + 2a > b + 2 a ;



®¯¨±»¢ ¾¹¥¬³ ¢­¥¸­®±²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ª®­³± .

‡ ¬¥· ­¨¥ 4.2.

a = b = 1, c = p, ­¥° ¢¥­±²¢®

‚ ±«³· ¥, ª®£¤  ¢ ²¥®°¥¬¥ ¯°¨®¡°¥² ¥² ±«¥¤³¾¹¨© ¢¨¤:

2p2 , 3p , 1 > 0

¨ ¿¢«¿¥²±¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­»¬ ²®¬³, ·²®

p

p > 3+8 17 .

32

5. ‡ ¤ ·  „¦.‚. ”¨ª¥  ±±¬®²°¨¬ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ ¤¢  ª®­£°³½­²­»µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  P1 = ABCD ¨ P2 = EFGH . ³±²¼ L1 - ¤«¨­  ²®© · ±²¨ £° ­¨¶» @P1 ¯¥°¢®£® ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª , ª®²®° ¿ ¯®¯ ¤ ¥² ¢® ¢­³²°¥­­®±²¼ int(P2 ) ¢²®°®£®. €­ «®£¨·­®, L2 - ¤«¨­  · ±²¨ £° ­¨¶» @P2 ¢²®°®£® ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª , ¯®¯ ¤ ¾¹¥© ¢® ¢­³²°¥­­®±²¼ int(P1 ) ¯¥°¢®£®.

¨±³­®ª 7 ‡ ¤ ·  „¦.‚. ”¨ª¥ (J.W. Fickett) [25, 24] § ª«¾· ¥²±¿ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ­¥° ¢¥­±²¢  1 L  L  3L : 1 3 1 2 ¥±¬®²°¿ ­  ½«¥¬¥­² °­®±²¼ ¯®±² ­®¢ª¨, ­ ±ª®«¼ª® ¨§¢¥±²­®  ¢²®° ¬, °¥¸¥­¨¥ ½²®© § ¤ ·¨ ­¥ ¡»«® ¨§¢¥±²­® ¢¯«®²¼ ¤® ¯³¡«¨ª ¶¨¨ [14]. ‚ ¶¨²¨°³¥¬®© ° ¡®²¥ ¯°¥¤«®¦¥­® °¥¸¥­¨¥ ½²®© § ¤ ·¨, ¯® ±³¹¥±²¢³ ±¢®¤¿¹¥¥±¿ ª ¨±±«¥¤®¢ ­¨¾ ° §«¨·­»µ ª®¬¡¨­ ²®°­»µ ¢®§¬®¦­®±²¥© ¤«¿ ±²°®¥­¨¿ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S = P1 \ P2 . ‘¯° ¢¥¤«¨¢  ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬  [14].

’¥®°¥¬  5.1.

„«¿ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ª®­£°³½­²­»µ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ, ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ¢»¸¥, ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢®

1 L < L < 3L ; 1 3 1 2 ¯°¨·¥¬ ¯°¨¢¥¤¥­­®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ­¥³«³·¸ ¥¬®.

(1)

33

‘­ · «  ¬» ®¯¨¸¥¬ ­®¢»© ¯®¤µ®¤ ª °¥¸¥­¨¾ § ¤ · ¯®¤®¡­®£® ª« ±± . ³±²¼ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ ¤ ­» ¤¢  ¯°®¨§¢®«¼­»µ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S1 ¨ S2 ¢ ®¡¹¥¬ ¯®«®¦¥­¨¨; ²® ¥±²¼ ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ±²®°®­» ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S1 , ¯ ° ««¥«¼­®© ­¥ª®²®°®© ±²®°®­¥ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S2 . ³±²¼, ª ª ¨ ¢»¸¥, L1 - ¤«¨­  ²®© · ±²¨ £° ­¨¶» @S1 ¯¥°¢®£® ¬­®£®³£®«¼­¨ª , ¯®¯ ¤ ¾¹¥© ¢® ¢­³²°¥­­®±²¼ int(S2 ) ¢²®°®£®. ’®·­® ² ª ¦¥, L2 - ¤«¨­  · ±²¨ £° ­¨¶» @S2 ¢²®°®£® ¬­®£®³£®«¼­¨ª , ¯®¯ ¤ ¾¹¥© ¢® ¢­³²°¥­­®±²¼ int(S1 ) ¯¥°¢®£®. ’°¥¡³¥²±¿ ®²»±ª ²¼ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¢¥«¨·¨­» Q = L1 =L2 ¯°¨ ¢±¥¢®§¬®¦­»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯¥°¥­®± µ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S2 ¨ ­¥¯®¤¢¨¦­®£® ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S1 .  ·­¥¬ ° ±±³¦¤¥­¨¥ ± ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¯°®±²®© «¥¬¬».

‹¥¬¬  5.1.

 ±±¬®²°¨¬ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ ²°¥³£®«¼­¨ª ± ¤«¨­ ¬¨ ±²®°®­ , ¨ . ³±²¼ | ³£®« ¬¥¦¤³ ±²®°®­ ¬¨ ¤«¨­» ¨ . ’®£¤  ±¯° ¢¥¤«¨¢® ­¥° ¢¥­±²¢®

a b

£¤¥

 = 1=sin('=2).

a b c

'

a + b  
c;

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¢®¤¿ ¢ ª¢ ¤° ² ®¡¥ · ±²¨ ­¥° ¢¥­±²¢  ¨§ ´®°¬³«¨°®¢ª¨ «¥¬¬» ¨ ³·¨²»¢ ¿ ²¥®°¥¬³ ª®±¨­³±®¢, ¯®«³· ¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥: (2 , 1)a2 , 2(1 + 2 cos('))ab + (2 , 1)b2  0: ® ¯®±ª®«¼ª³ 1 + 2 cos(') = 2 , 1, ²® ¯®±«¥¤­¥¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ½ª¢¨¢ «¥­²­® ®·¥¢¨¤­®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢³ (2 , 1)(a , b)2  0: ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . ‚¢¥¤¥¬ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ ¤¥ª °²®¢³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ² ª ·²®¡» ¶¥­²° ¬ ±± ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S1 ¨¬¥« ª®®°¤¨­ ²» (0; 0). ®«®¦¥­¨¥ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S2 ¯°¨ ½²®¬ ¯®«­®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ (x; y) ¥£® ¶¥­²°  ¬ ±±. ³±²¼

= f(x; y) j S1 \ S2 6= ;g: Ž·¥¢¨¤­®, ·²® £° ­¨¶  ¢¢¥¤¥­­®£® ¬­®¦¥±²¢  @ ®¯¨±»¢ ¥² ¨¬¥­­® ²¥ ±«³· ¨, ª®£¤  S1 \ S2 = @S1 \ @S2 .  ±±¬®²°¨¬

34

K  { ¬­®¦¥±²¢® ² ª¨µ ¯®«®¦¥­¨© ¶¥­²°  ¢²®°®£® ¬­®£®³£®«¼­¨ª , ¯°¨ ª®²®°»µ £° ­¨¶  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ @ (S1 \ S2 ) ±®¤¥°¦¨² ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ®¤­³ ¨§ ¢¥°¸¨­ S1 ¨«¨ S2 . ¥²°³¤­® ¯®­¿²¼, ·²® @  K , ¨ K ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿

ª®­¥·­®£® ·¨±«  ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®²°¥§ª®¢.  ¬ ¯®«¥§­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ±¥¡¥ ¬­®¦¥±²¢® K ª ª ¢«®¦¥­¨¥ ­¥ª®²®°®£® £° ´  ¢ ¥¢ª«¨¤®¢³ ¯«®±ª®±²¼ ± ¯°¿¬®«¨­¥©­»¬¨ °¥¡° ¬¨. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢¥°¸¨­» ¢«®¦¥­­®£® £° ´  K ®¯¨±»¢ ¾² ±«³· ¨, ª®£¤  £° ­¨¶  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ @ (S1 \ S2 ) ±®¤¥°¦¨² ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¤¢¥ ¢¥°¸¨­» ¬­®£®³£®«¼­¨ª®¢ S1 ¨ S2 . ³±²¼ G0 , G1 , G2 ,...,Gm { £° ­¨ ¯« ­ °­®£® £° ´  K . ‡¤¥±¼ G0 { ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ­¥®£° ­¨·¥­­ ¿ £° ­¼. ‚¥«¨·¨­³ Q ¬®¦­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª ´³­ª¶¨¾ Q : ! R. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ½²  ´³­ª¶¨¿ ­¥¯°¥°»¢­  ­  ¢­³²°¥­­®±²¨ . ˆ±¯®«¼§³¿ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ®¡ ®¡¹¥¬ ¯®«®¦¥­¨¨ ¬­®£®³£®«¼­¨ª®¢, ¬®¦­® ¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¤®®¯°¥¤¥«¨²¼ §­ ·¥­¨¥ ¢¥«¨·¨­» Q ¨ ¤«¿ ²¥µ ±«³· ¥¢, ª®£¤  S1 \S2 = @S1 \@S2 . ˆ±ª«¾·¨²¥«¼­»¬ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¸¼ ±«³· ©, ª®£¤  ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ S1 \ S2 ±®±²®¨² «¨¸¼ ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨ (®¡¹¥© ¢¥°¸¨­»). ‚ ½²¨µ ²®·ª µ @ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¢¥«¨·¨­³ Q ¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ­¥¢®§¬®¦­®, ¢ ·¥¬ ­¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿. ® ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ®¶¥­ª³ ±¢¥°µ³ ­  ¢¥«¨·¨­³ Q ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ª ¦¤®© ¨§ ² ª¨µ ²®·¥ª £° ­¨¶»

. ³±²¼ ²¥¯¥°¼ | ° ¤¨ ­­ ¿ ¬¥°  ­ ¨¬¥­¼¸¥£® ¨§ ³£«®¢ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S1 ¨
= 1=sin( =2): (2) ‹¥¬¬  5.2. ³±²¼ x 2 @ , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ®¤­®²®·¥·­®¬³

S1 \ S2 . ’®£¤  ¤«¿ ¢±¥µ y 2 int( ) ±¯° ¢¥¤«¨¢  ®¶¥­ª  Q 
:

¯¥°¥±¥·¥­¨¾ ²®·¥ª

¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª¨µ ª

x

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Œ» ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ­ ±²®«¼ª® ¡«¨§ª¨¥ x ²®·ª¨ y, ·²® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ S1 \ S2 ¯°¥¤±² ¢«¿¥² «¨¡® ²°¥³£®«¼­¨ª, «¨¡® ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª. ‚®§¬®¦­» «¨¸¼ ²°¨ ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­® ° §«¨·­»µ ±«³· ¿. 1) ‚ ¯¥°¥±¥·¥­¨¨ ¯®«³· ¥²±¿ ²°¥³£®«¼­¨ª KLM , ±²®°®­» KL ¨ LM ¿¢«¿¾²±¿ · ±²¿¬¨ £° ­¨¶» ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S1 ,  

35

±²®°®­  KM ¿¢«¿¥²±¿ · ±²¼¾ £° ­¨¶» ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S2 . ³±²¼ ' | ³£®« ¬¥¦¤³ KL ¨ LM . ® «¥¬¬¥ 5.1 ¯®«³· ¥¬ Q = jKLj + jLM j  1=sin('=2)  1=sin( =2) =
:

jKM j

2) ‚ ¯¥°¥±¥·¥­¨¨ ¯®«³· ¥²±¿ ²°¥³£®«¼­¨ª KLM , ±²®°®­» KL ¨ LM ¿¢«¿¾²±¿ · ±²¿¬¨ £° ­¨¶» ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S2 ,   ±²®°®­  KM ¿¢«¿¥²±¿ · ±²¼¾ £° ­¨¶» ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S1 . ’®£¤  ¯® ­¥° ¢¥­±²¢³ ²°¥³£®«¼­¨ª  ¨¬¥¥¬

j  1 
: Q = jKLjKM j + jLM j

3)  ª®­¥¶, ¯³±²¼ ¢ ¯¥°¥±¥·¥­¨¨ ¯®«³·¨²±¿ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª KLMN , ±²®°®­» KL ¨ LM ¿¢«¿¾²±¿ · ±²¿¬¨ £° ­¨¶» ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S1 ,   ±²®°®­» KN ¨ MN ¿¢«¿¾²±¿ · ±²¿¬¨ £° ­¨¶» ¬­®£®³£®«¼­¨ª  S2 . ³±²¼ ' | ³£®« ¬¥¦¤³ KL ¨ LM . ® ­¥° ¢¥­±²¢³ ²°¥³£®«¼­¨ª  ¨ ¯® «¥¬¬¥ 5.1 ¯®«³· ¥¬ KLj + jLM j < jKLj + jLM j  Q = jjKN j + jMN j jKM j  1=sin('=2)  1=sin( =2) =
: ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ´³­ª¶¨¿ Q ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¥­  ¨ ­¥¯°¥°»¢­  ­  ¬­®¦¥±²¢¥ §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ²¥µ ²®·¥ª, ª®²®°»¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾² ®¤­®²®·¥·­®¬³ ¯¥°¥±¥·¥­¨¾ S1 \ S2 . ® ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ½²¨µ ²®·¥ª ¢¥«¨·¨­  Q ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³ ·¨±«®¬
. ‘¯° ¢¥¤«¨¢  ±«¥¤³¾¹ ¿

’¥®°¥¬  5.2.

Q y 2 int( )

„®¯³±²¨¬, ·²® ¢¥«¨·¨­  ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¿ ¡®«¼¸¨¥ ¢ ­¥ª®²®°»µ ²®·ª µ . ’®£¤  ¬®¦¥² ¤®±²¨£ ²¼ ¬ ª±¨¬ «¼­®£® §­ ·¥­¨¿ «¨¸¼ ¯°¨ ²¥µ ° ±¯®«®¦¥­¨¿µ 2 ®²­®±¨²¥«¼­® 1 , ª®£¤  £° ­¨¶  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ 1 2 ±®¤¥°¦¨² ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¤¢¥ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨ ° §«¨·­»¥ ¢¥°¸¨­» ¬­®£®³£®«¼­¨ª®¢ 1 ¨ 2 .




S

@ (S \ S )

S

S

Q

S

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Š ª ¨ ° ­¼¸¥, ¢¥«¨·¨­³ Q ¡³¤¥¬ ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª ´³­ª¶¨¾ Q : ! R. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ½²  ´³­ª¶¨¿ ­¥¯°¥°»¢­  ¨ ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¥­  ­  «¾¡®© £° ­¨ Gi (1  i  m) ¯« ­ °­®£® £° ´  K . Ž±­®¢­»¬ ±¢®©±²¢®¬ ½²®©

36

´³­ª¶¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¥ ¤°®¡­®-«¨­¥©­®±²¼ ¯® ¯¥°¥¬¥­­»¬ x, y ­  «¾¡®© ¨§ £° ­¥© Gi. ³¤³·¨ ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¥­­®© ¨ ¤°®¡­®«¨­¥©­®© ­  Gi ´³­ª¶¨¿ Q, ª ª ­¥²°³¤­® ¯®ª § ²¼, ¤®±²¨£ ¥² ¬ ª±¨¬ «¼­®£® §­ ·¥­¨¿ ­  £° ­¨¶¥ @Gi ¬­®¦¥±²¢  Gi , ²® ¥±²¼ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ K . ’®·­® ² ª ¦¥ ° ±±³¦¤ ¿, «¥£ª® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® Q ®¡¿§ ­  ¤®±²¨£ ²¼ ±¢®¥£® ¬ ª±¨¬ «¼­®£® §­ ·¥­¨¿ ¢ ¢¥°¸¨­ µ £° ´  K , ¯®±ª®«¼ª³ ­  ª ¦¤®¬ ¥£® °¥¡°¥ ®­  ®¯¿²¼ ¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¤°®¡­®-«¨­¥©­®©. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¢¥°¸¨­» £° ´ , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ®¤­®²®·¥·­®¬³ ¯¥°¥±¥·¥­¨¾ S1 \ S2 , ¨±ª«¾· ¾²±¿ ¨§ ° ±±¬®²°¥­¨¿, ¯®±ª®«¼ª³ ¢ ®ª°¥±²­®±²¿µ ½²¨µ ²®·¥ª Q 
. ’¥®°¥¬  ¤®ª § ­ .

‡ ¬¥· ­¨¥ 5.1.

¥²°³¤­® ¯®­¿²¼, ·²® ¯®±«¥¤­¿¿ ²¥®°¥¬  ®¡®¡¹ ¥²±¿ ­  ±«³· © ¬­®£®¬¥°­»µ § ¤ · ¯®¤®¡­®£® ª« ±± . °¨¢¥¤¥­­ ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ § ¤ ·¨, ¯® ±³¹¥±²¢³, ¿¢«¿¥²±¿ ­¥ª¨¬  ­ «®£®¬ § ¤ · «¨­¥©­®£® ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿.

„ «¥¥ ¬» ¢®§¢° ¹ ¥¬±¿ ª ¯¥°¢®© ²¥®°¥¬¥. „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» 5.1. ‚ ±«³· ¥, ª®£¤  ®¤­  ¨§ ±²®°®­ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  P1 ¯ ° ««¥«¼­  ­¥ª®²®°®© ±²®°®­¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  P2 , ­¥° ¢¥­±²¢® (1) ®·¥¢¨¤­®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ½²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨ ¯°¥¤¥«¼­»¬ ¯¥°¥µ®¤®¬ ¨§ "­¥®±®¡»µ" ±«³· ¥¢. „ «¥¥ ¬» ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª P1 ­¥ ¨¬¥¥² ±²®°®­», ¯ ° ««¥«¼­®© ª ª®©-«¨¡® ±²®°®­¥ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª  P2 . ³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ a ¨ b (a  b) ¤«¨­» ±²®°®­ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢. ¥²°³¤­® ¯®­¿²¼, ·²® ¢ ­ ¸¥¬ ±«³· ¥ ±®£« ±­® ´®°¬³«¥ (2) p
= 2 ¤«¿ ®¡®¨µ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ­¥²°³¤­® ¯°¨¢¥±²¨ ¯°¨¬¥° p ° ±¯®«®¦¥­¨¿ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢, ¤«¿ ª®²®°®£® L1 =L2 > 2. ®½²®¬³ ¬» ¢¯° ¢¥ ¯°¨¬¥­¨²¼ ²¥®°¥¬³ 5.2. ®«¥¥ ²®£®, ¢ ±¨«³ ª®­£°³½­²­®±²¨ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¨ ¬¨­¨¬ «¼­®¥ §­ ·¥­¨¿ ¢¥«¨·¨­» Q = L1 =L2 ¤®±²¨£ ¾²±¿ ¯°¨ ² ª¨µ ° ±¯®«®¦¥­¨¿µ P1 ¨ P2 , ª®£¤  £° ­¨¶  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ @ (P1 \ P2 ) ±®¤¥°¦¨² ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¤¢¥ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨ ° §«¨·­»¥ ¢¥°¸¨­» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢. ˆ±¯®«¼§³¿ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» 5.2, ­¥²°³¤­® ®¯¨± ²¼ ¢±¥ ±«³· ¨ ¢§ ¨¬­®£® ° ±¯®«®¦¥­¨¿ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢, ¯°¨ ª®²®°»µ

37

¨±³­®ª 8 ¬®¦¥² ¤®±²¨£ ²¼±¿ ½ª±²°¥¬ «¼­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¢¥«¨·¨­» Q. °¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» ¬» ¤®«¦­» ³·¥±²¼ ² ª¦¥ ° §«¨·­»¥ §­ ·¥­¨¿ ³£« , ¯®¤ ª®²®°»¬ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¯°¿¬»¥, ±®¤¥°¦ ¹¨¥ ±²®°®­» ¤¢³µ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢.

38

¥±«®¦­»©  ­ «¨§ ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ­ ¬ ¤®±² ²®·­® ¨±±«¥¤®¢ ²¼ ¢ °¨ ­²» ¯¥°¥±¥·¥­¨¿, ¯°¥¤±² ¢«¥­­»¥ ­  °¨±³­ª¥ 8.  ±±¬®²°¨¬ ±­ · «  ±«³· © ²°¥³£®«¼­®£® ¯¥°¥±¥·¥­¨¿, ²® ¥±²¼ ±«³· © 6) (°¨±. 9) .

¨±³­®ª 9 ®­¿²­®, ·²® ª ²¥²» ²°¥³£®«¼­¨ª  S ¿¢«¿¾²±¿ · ±²¿¬¨ £° ­¨¶» ®¤­®£® ¨§ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¢, ¢ ²® ¢°¥¬¿ ª ª £¨¯®²¥­³§  ¿¢«¿¥²±¿ · ±²¼¾ £° ­¨¶» ¤°³£®£® ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª . ¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® L1 = jKLj + jLM j, L2 = jKM j, L2  L1  2L2 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥° ¢¥­±²¢® (1) ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ®·¥¢¨¤­®.  §¡¥°¥¬ ²¥¯¥°¼ ±«³· ¨ 1), 4), 5) ¨ 14). Ž­¨ ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­® ­¨·¥¬ ­¥ ° §«¨· ¾²±¿ (°¨±. 10).

¨±³­®ª 10 ‡¤¥±¼ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® L1 = jKLj + jLM j; L2 = jKN j + jMN j: ®±ª®«¼ª³ ²°¥³£®«¼­¨ª¨ KLM , KNM ¯°¿¬®³£®«¼­»¥, ²® L1  2jKM j  2L2  4jKM j  4L1 :

39

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­¥° ¢¥­±²¢® (1) ¢»¯®«­¥­®. ³±²¼ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ±«³· © 3) (°¨±. 11).

¨±³­®ª 11 Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª S ¿¢«¿¥²±¿ °®¬¡®¬. ®½²®¬³ L1 = L2 . Ž²¬¥²¨¬, ·²® ±«³· ¨ 2), 10) ¨ 13) ¬®£³² ¡»²¼ ®¯¨± ­» ª ª · ±²­»¥ ±«³· ¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿, ¯°¥¤±² ¢«¥­­®£® ­  °¨±³­ª¥ 12.

¨±³­®ª 12 ¥±«®¦­»¥ ¢»·¨±«¥­¨¿ ¯®ª §»¢ ¾², ·²® (t) + sin(t) , 1) : L1 = L2 = (a + b)(cos sin(t)cos(t) ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ®·¥¢¨¤­®. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­ ¬ ®±² «®±¼ ° §®¡° ²¼ ¢ °¨ ­²» 7), 8), 9), 11) ¨ 12) (¢»·¨±«¥­¨¿ ¢ ±«³· ¥ 15)  ¡±®«¾²­®  ­ «®£¨·­» ¢»·¨±«¥­¨¿¬ ¢ ±«³· ¥ 8)).

40

¨±³­®ª 13  §¡¥°¥¬ ±­ · «  ¢ °¨ ­² 7) (°¨±. 13). ³±²¼ \BEF = t. ’ ª ª ª jEF j = a; ²® ­¥±«®¦­® ¯®«³·¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¢»° ¦¥­¨¿ ¤«¿ ¤«¨­ ®²°¥§ª®¢: jBF j = asin(t); jBE j = acos(t); jFC j = b , asin(t); t))sin(t) ; jDI j = a , (b , asin(t))sin(t) ; jCI j = (b , asin( cos(t) cos(t) acos(t) ; b , a sin( t ) jFI j = cos(t) ; jAE j = a , acos(t); jEJ j = a ,sin( t) t))cos(t) ; jJDj = b , (a , acos(t))cos(t) : jAJ j = (a , acos( sin(t) sin(t) „ «¥¥ ¢»·¨±«¿¥¬ + jEF j + jEJ j = U7 = f (b); Q = jFI jjJD j + jDI j V7 7 £¤¥ U7 = bsin(t) , a + acos(t)sin(t) + acos(t); V7 = bcos(t)sin(t) , acos(t)2 + acos(t)3 + acos(t)sin(t) , b+ +bcos(t)2 + asin(t) , asin(t) cos(t)2 : ®±ª®«¼ª³ jCI j  a, ²® ¤®«¦­® ¢»¯®«­¿²¼±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® b  a(cos(t) + sin2 (t))=sin(t). ’ ª ª ª ´³­ª¶¨¿ f7 ¤°®¡­®«¨­¥©­ ¿ ®²­®±¨²¥«¼­® b, ²® ¤®±² ²®·­® ° ±±¬®²°¥²¼ ±«³· ¨ b = a ¨ b = a(cos(t) + sin2 (t))=sin(t). ¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® f7 (a) = u1 =u2 , £¤¥ u1 = sin(t) , 1+cos(t) sin(t)+cos(t),

41

u2 = 2 cos(t) sin(t) + cos(t)3 + sin(t) , sin(t) cos(t)2 , 1. ®±ª®«¼ª³ u1  0 ¨ u2  0, ²® ­ ¬ ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼ ¢»¯®«­¥­¨¥ ­¥° ¢¥­±²¢ u1 , u2  0 ¨ 2u1 , 3u2  0 ­  ¨­²¥°¢ «¥ (0; =2). ¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® u1 , u2 = cos(t) (1 , cos(t)) (1 + cos(t) , sin(t))  0: ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», 2u1 , 3u2 = ,sin(t) + 1 , 4 cos(t) sin(t)+

+2 cos(t) , 3 cos(t)3 + 3 sin(t) cos(t)2 ; ¯®±«¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ³­¨¢¥°± «¼­®© ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª®© ¯®¤±² ­®¢ª¨ sin(t) = 2x=(1 + x2 ), cos(t) = (1 , x2 )=(1 + x2 ), £¤¥ 0 < x < 1, ¯®«³· ¥¬ 4 3 2 2u1 , 3u2 = 2 x(x , 1)(x +(17+x x+2 )33x , 5x + 2) : ®±ª®«¼ª³ x4 + 7x3 + 3x2 , 5x + 2 > 0 ¯°¨ 0 < x < 1, ²® ­³¦­®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ®¡®±­®¢ ­®. „ «¥¥ ­ µ®¤¨¬ §­ ·¥­¨¥ f7(a(cos(t) + sin2 (t))=sin(t)) = ,cos(t) + sin(t) + 2: ’ ª ª ª ,1 < cos(t) , sin(t) < 1 ¯°¨ t 2 (0; =2), ²® ±«³· © 7) ¯®«­®±²¼¾ ° §®¡° ­. ’¥¯¥°¼ ° §¡¥°¥¬ ¢ °¨ ­² 8) (°¨±. 14).

¨±³­®ª 14

42

®«®¦¨¬ \BEF = t. ®±ª®«¼ª³ jEF j = a; ²® ­¥²°³¤­® ¯®«³·¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¢»° ¦¥­¨¿: , cos(t)) : jFI j = jJI j = sin(a t) ; jAE j = a(1 , cos(t)); jEJ j = a(1 sin( t) „ «¥¥ ¢»·¨±«¿¥¬ Q = jFI j + jEF j + jEJ j = 2 + sin(t) , cos(t):

jJI j ®±ª®«¼ª³ ,1 < sin(t) , cos(t) < 1 ¯°¨ t 2 (0; =2), ²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¢±¥ ¯®­¿²­®.  ±±¬®²°¨¬ ±«³· © 9) (°¨±. 15).

¨±³­®ª 15 ³±²¼ \BEF = t. ’ ª ª ª jEF j = b; ¢»·¨±«¿¥¬ ¤«¨­» ­³¦­»µ ®²°¥§ª®¢: jBF j = bsin(t); jBE j = bcos(t); jFC j = b , bsin(t); bsin(t) ; jCI j = (b , bsin(t))sin(t) ; jAE j = a , bcos(t); jFI j = b ,cos( t) cos(t) t) , b + bcos(t)2 ; jEJ j = a , bcos(t) ; jDI j = , ,acos(t) + bsin( cos(t) sin(t) t))cos(t) ; jJDj = b , (a , bcos(t))cos(t) : jAJ j = (a , bcos( sin(t) sin(t) „ «¥¥ ¢»·¨±«¿¥¬ + jEF j + jEJ j = U9 = f (b); Q = jFI jjJD j + jDI j V9 9

43

£¤¥

U9 = bsin(t) , b + bcos(t)sin(t) + acos(t); V9 = bcos(t)sin(t) , acos(t)2 + bcos(t)3 + acos(t)sin(t) , b+ +bcos(t)2 + bsin(t) , bsin(t)cos(t)2 : ®±ª®«¼ª³ jAE j  0, ²® b  a=cos(t). ’ ª ª ª ´³­ª¶¨¿ f9 ¿¢«¿¥²±¿ ¤°®¡­®-«¨­¥©­®© ¯® b, ²® ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ¯°¨ b = a ¨ b = a=cos(t). Œ» ¯®«³· ¥¬ sin(t) , 1 + cos(t) sin(t) + cos(t) f9(a) = 2 cos(t) sin( t) + cos(t)3 + sin(t) , sin(t) cos(t)2 , 1 ;

­® ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ¯³­ª²  7) ¬» ³¦¥ ¯®ª § «¨, ·²® ¤ ­­ ¿ ¢¥«¨·¨­  ­ µ®¤¨²±¿ ­  ¨­²¥°¢ «¥ (1; 3=2) ¯°¨ t 2 (0; =2). ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ f9 (a=cos(t)) = 1, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ±«³· © 9) ¯®«­®±²¼¾ ° §®¡° ­. ¥°¥©¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ª ¢ °¨ ­²³ 11) (°¨±. 16).

¨±³­®ª 16 ³±²¼ \GIC = t. ¥²°³¤­® ¯®«³·¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¥ ° ¢¥­±²¢ : t) , a jIGj = sin(a t) ; jFI j = b , sin(a t) ; jBF j = bsin( cos(t) ; t) , bsin(t) ; jEB j = a + acos(t) , bsin(t) ; jBK j = a + acos( cos(t)2 cos(t) bsin(t) , a ; jAK j = bcos(t) , asin(t)2 , acos(t) ; jBI j = sin( t)cos(t) cos(t)2

44

asin(t)2 , acos(t) : jGJ j = sin(a t) ; jKJ j = bcos(t) ,cos( t)2 sin(t)

„ «¥¥ ­ µ®¤¨¬ ¢»° ¦¥­¨¥ ¤«¿ Q. + jBK j + jGJ j = U11 = f (a); Q = jBI jjKJ j + jIGj V11 11 £¤¥ U11 = bcos(t)sin(t) , acos(t) + asin(t)cos(t) , b + bcos(t)2 +

+asin(t) + acos(t)2 ; V11 = 2acos(t)2 , acos(t) , a + bsin(t): ’ ª ª ª jEB j  0 ¨ jAK j  0, ²® ¤®«¦­® ¢»¯®«­¿²¼±¿ ­¥° ¢¥­(t) bsin(t) ±²¢® 1+bsin cos(t)  a  sin2 (t)+cos(t) . ®±ª®«¼ª³ ´³­ª¶¨¿ f11 ¤°®¡­®«¨­¥©­  ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© a, ²® ¤®±² ²®·­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ¢¥°­®±²¨ (t) bsin(t) ­¥° ¢¥­±²¢  1 «¨¸¼ ¢ ²®·ª µ a = 1+bsin cos(t) ¨ a = sin2 (t)+cos(t) . ®   (t) f11 sin2(bsin t) + cos(t) = 2 , cos(t) + sin(t);   bsin ( t ) f11 1 + cos(t) = 1; ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥° ¢¥­±²¢® (1) ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ®¡®±­®¢ ­®. ’¥¯¥°¼ ¨±±«¥¤³¥¬ ±«³· © 12) (°¨±. 17).

¨±³­®ª 17

45

®«®¦¨¬ \GIC = t. Š ª ¨ ° ­¥¥, ­ µ®¤¨¬ ¤«¨­» ­³¦­»µ ®²°¥§ª®¢: t) , a ; jIGj = sin(a t) ; jFI j = b , sin(a t) ; jBF j = bsin( cos(t) bsin(t) , a ; jAGj = b , asin(t) ; jAB j = a: jBI j = sin( t)cos(t) cos(t) „ «¥¥ ¯®«³· ¥¬ ¢»° ¦¥­¨¥ Q = jBI j + jAB j + jAGj = U12 = f (a);

V12 12 £¤¥ U12 = 2bsin(t) , 2a + asin(t)cos(t) + acos(t)2 , V12 = acos(t). ®±ª®«¼ª³ jBF j  0 ¨ jAGjsin(t)  a, ²® ¤®«¦­® ¢»¯®«­¿²¼(t) ±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® cos(bsin t)+sin2 (t)  a  bsin(t). ’ ª ª ª ´³­ª¶¨¿ f12 ¿¢«¿¥²±¿ ¤°®¡­®-«¨­¥©­®© ¯® a, ²® ¤®±² ²®·­® ° ±±¬®²°¥²¼ (t) §­ ·¥­¨¿ a = cos(bsin t)+sin2 (t) ¨ a = bsin(t). ’¥¯¥°¼ ­¥±«®¦­® ³¡¥-

jIGj

¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²®

f12 (bsin(t)) = sin(t) + cos(t);  bsin ( t ) f12 cos(t) + sin2 (t) = 2 + sin(t) , cos(t): 

°¨¬¥­¿¿ ° ±±³¦¤¥­¨¿,  ­ «®£¨·­»¥ ²¥¬, ·²® ¬» ¨±¯®«¼§®¢ «¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ±«³· ¿µ, ¯®«³· ¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥° ¢¥­±²¢  (1). ‚ ­¥³«³·¸ ¥¬®±²¨ ­¥° ¢¥­±²¢  (1) ¬®¦­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ­ ¯°¨¬¥°, ¨±µ®¤¿ ¨§ ¢»·¨±«¥­¨© ¢ ±«³· ¥ 8). „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ­¥²°³¤­® ¯®­¿²¼, ·²® 2 + sin(t) , cos(t) ! 3 ¯°¨ t ! =2. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ²¥®°¥¬  5.1 ¯®«­®±²¼¾ ¤®ª § ­ .

46

6. ‡ ¤ ·  ‚.Š. ˆ®­¨­   ±²®¿¹¨© ¯ ° £° ´ ¯®±¢¿¹¥­ °¥¸¥­¨¾ ±«¥¤³¾¹¥© § ¤ ·¨ ‚.Š. ˆ®­¨­ .  ±±¬®²°¨¬ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ ¯°®±²³¾ § ¬ª­³²³¾ «®¬ ­³¾, ±®±²®¿¹³¾ ¨§ ­¥·¥²­®£® ·¨±«  §¢¥­¼¥¢ ¤«¨­» 1. ’°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ¯«®¹ ¤¼ ®¡« ±²¨, ®£° ­¨·¨¢ ¥¬®© ¤ ­­®© «®¬ ­®©, ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¯«®¹ ¤¨ ° ¢­®±²®°®­­¥£® p ²°¥³£®«¼­¨ª  ±® ±²®°®­®© 1, ²® ¥±²¼ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ 3=4. Œ» ° ±±¬®²°¨¬ ­¥±ª®«¼ª® ¡®«¥¥ ®¡¹³¾ ¯®±² ­®¢ª³. ³±²¼ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ ¤ ­  ¯°®±² ¿ § ¬ª­³² ¿ «®¬ ­ ¿ ± m §¢¥­¼¿¬¨, ®¤­® ¨§ ª®²®°»µ ¨¬¥¥² ¤«¨­³ a 2 [0; 1],   ¤«¨­» ®±² «¼­»µ §¢¥­¼¥¢ ° ¢­» 1. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ S ¯«®¹ ¤¼ ®¡« ±²¨, ®£° ­¨·¨¢ ¥¬®© ¤ ­­®© «®¬ ­®©. Ž±­®¢­»¬ °¥§³«¼² ²®¬ ¤ ­­®£® ¯ ° £° ´  ¿¢«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ’¥®°¥¬  6.1. p °¨ m = 2n , 1 ±¯° ¢¥¤«¨¢® ­¥° ¢¥­±²¢® S  a4 4 , a2 . °¨ m = 2n ±¯° ¢¥¤«¨¢® ­¥° ¢¥­±²¢® p S  1,4 a 4 , (1 , a)2 . Ž¡  ­¥° ¢¥­±²¢  ­¥³«³·¸ ¥¬». °¨¢¥¤¥­­ ¿ ²¥®°¥¬  ¤®ª § ­  ¢ [15]. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¯¥°¢®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¢ ²¥®°¥¬¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢® ¤«¿ ²°¥³£®«¼­¨ª  ± ¤«¨­ ¬¨ ±²®°®­ 1, 1 ¨ a,   ² ª¦¥ ¤«¿ «¾¡®£® ¢»°®¦¤¥­­®£® ¬­®£®³£®«¼­¨ª , ¢­³²°¥­­®±²¼ ª®²®°®£® ¨§®¬¥²°¨·­  ¢­³²°¥­­®±²¨ ² ª®£® ²°¥³£®«¼­¨ª . ‚²®°®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢® ¤«¿ ¬­®£®³£®«¼­¨ª®¢, ¢­³²°¥­­®±²¼ ª®²®°»µ ¨§®¬¥²°¨·­  ¢­³²°¥­­®±²¨ ²°¥³£®«¼­¨ª  ±® ±²®°®­ ¬¨ 1, 1 ¨ 1 , a. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¨§ ¯¥°¢®£® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ²¥®°¥¬» ¯°¨ a = 1 ¯®«³· ¥²±¿ °¥¸¥­¨¥ ±´®°¬³«¨°®¢ ­­®© ¢»¸¥ § ¤ ·¨ ‚.Š. ˆ®­¨­  [15].

’¥®°¥¬  6.2.

‹¾¡ ¿ ¯°®±² ¿ § ¬ª­³² ¿ «®¬ ­ ¿ ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨, ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ ­¥·¥²­®£® ·¨±«  §¢¥­¼¥¢ ¤«¨­» , ®£° ­¨·¨¢ ¥² ®¡« ±²¼ ± ¯«®¹ ¤¼¾ ­¥ ¬¥­¥¥ ·¥¬ .

p

1

3=4 „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» 6.1 ­ ¬ ¯®­ ¤®¡¿²±¿ ­¥ª®²®°»¥ ¢±¯®¬®£ ²¥«¼­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. ‹¥¬¬  6.1. „«¿ ª ¦¤®£® n-³£®«¼­¨ª  (n  4) ­  ¥¢ª«¨¤®¢®©

¯«®±ª®±²¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¤¨ £®­ «¼, «¥¦ ¹ ¿ ¢ ¬­®£®³£®«¼­¨ª¥.

47

n  4 P ­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ Q  P , ¢¥°¸¨­» ª®²®°®£® ±®¢P.

n

„«¿ ª ¦¤®£® -³£®«¼­¨ª  ( ) ±³¹¥±²¢³¥² ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª ¯ ¤ ¾² ± ­¥ª®²®°»¬¨ ¢¥°¸¨­ ¬¨

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥¬¬» µ®°®¸® ¨§-

¢¥±²­® ¨ «¥£ª® ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ([16], § ¤ ·  21.20). „®ª ¦¥¬ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨ ¢²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. °¨ n = 4 ¯°®±²® ¯®«®¦¨¬ Q = P . “²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥¬¬» ¢ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥, ®·¥¢¨¤­®, ¢»¯®«­¥­®. ³±²¼ ¤«¿ ¢±¥µ k-³£®«¼­¨ª®¢ ¯°¨ 4  k < n ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª § ­®.  ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© n-³£®«¼­¨ª P . ‘®£« ±­® ¯¥°¢®¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾ «¥¬¬» ¢ ­¥¬ ±³¹¥±²¢³¥² ¤¨ £®­ «¼, ° §¡¨¢ ¾¹ ¿ ¥£® ­  ¬­®£®³£®«¼­¨ª¨ P1 ¨ P2 ± ·¨±«®¬ ¢¥°¸¨­ n1 ¨ n2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ®­¿²­®, ·²® n1 + n2 = n + 2  7. ¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® n1  n2 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, n1  4. ®±ª®«¼ª³ ¤«¿ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  P1 ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥¬¬» ±¯° ¢¥¤«¨¢® (n1 < n), ²® ¬®¦­® ° ±±¬®²°¥²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª Q  P1 . ®±ª®«¼ª³ ¢¥°¸¨­» P1 ¿¢«¿¾²±¿ ² ª¦¥ ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  P ,   P1  P , ²® ¢ ª ·¥±²¢¥ ¨±ª®¬®£® ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ¤«¿ P ¬®¦­® ¢§¿²¼ Q, ¯®±²°®¥­­»© ¤«¿ P1 . ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . ‹¥¬¬  6.2. „«¿ ª ¦¤®£® ¬­®£®³£®«¼­¨ª  A1 A2 :::Al ¯°¨ l  4

­  ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®±ª®±²¨ ­ ©¤¥²±¿ ±ª®«¼ ³£®¤­® ¡«¨§ª¨© ª ­¥¬³ 0 ± ² ª¨¬¨ ¦¥ ¤«¨­ ¬¨ ±²®°®­ ¨ ¬¥­¼¬­®£®³£®«¼­¨ª 01 02 l ¸¥© ¯«®¹ ¤¼¾.

A A :::A

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ l = 4. ‘®£« ±­® ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥ ¢ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª¥ P = A1 A2 A3 A4 ±³¹¥±²¢³¥² ¤¨ £®­ «¼, «¥¦ ¹ ¿ ¢ P . ¥ ®£° ­¨·¨¢ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ½²® ¤¨ £®­ «¼ A1 A3 . Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ a, b, c, d, e ¤«¨­» ®²°¥§ª®¢ A1A2 , A2A3 , A3 A4 , A4 A1 , A1 A3 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.  ±±¬®²°¨¬ ¨§¬¥­¥­¨¿ ¯«®¹ ¤¨ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ¯°¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ¤«¨­» ¥£® ¤¨ £®­ «¨ e. ³±²¼ S1 ¨ S2 | ¯«®¹ ¤¨ ²°¥³£®«¼­¨ª®¢ A1A2 A3 ¨ A3A4 A1 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ‘®£« ±­® ´®°¬³«¥ ƒ¥°®­  p

S1 = p1 (p1 , a)(p1 , b)(p1 , e); p

S2 = p2 (p2 , c)(p2 , d)(p2 , e);

48

£¤¥ 2p1 = a + b + e, 2p2 = c + d + e. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® S = S (e) = S1 + S2. ¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ¶¥¯®·ª¥ ° ¢¥­±²¢.  2 2 , e2 c2 + d2 , e2  e a + b 0 S (e) = 8 + = S1 S2   e ab cos  cd cos = 2 ab sin  + cd sin = 2e (ctg + ctg ): ‡¤¥±¼ ·¥°¥§  ¨ ®¡®§­ ·¥­» ³£«» \A1 A2 A3 ¨ \A3 A4 A1 ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  P ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. …±«¨ S 0 (e) 6= 0, ²® ¯«®¹ ¤¼ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ¬®¦­® ³¢¥«¨·¨²¼, ³¬¥­¼¸ ¿ ¨«¨ ³¢¥«¨·¨¢ ¿ §­ ·¥­¨¥ e. ¥²°³¤­® ¯®­¿²¼, ·²® ° ¢¥­±²¢® S 0 (e) = 0 ¢»¯®«­¿¥²±¿, ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨,  + = . ® ²®£¤  ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª P ¢¯¨± ­ ¢ ®ª°³¦­®±²¼ ¨ S (e) ¤®±²¨£ ¥² ­  ­¥¬ ¬ ª±¨¬³¬  ([16], § ¤ ·  4.45). ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ «¾¡®£® ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ­ ©¤¥²±¿ e~, ±ª®«¼ ³£®¤­® ¡«¨§ª®¥ ª e, ±® ±¢®©±²¢®¬ S (~e) < S (e). „®ª ¦¥¬ ²¥¯¥°¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥¬¬» ¯°¨ l  5. ®«¼§³¿±¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥¬ «¥¬¬» 6.1 ¤«¿ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  P = A1 A2 :::Al , ¬®¦­® ­ ©²¨ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª Q  P , ¢¥°¸¨­» ª®²®°®£® ±®¢¯ ¤ ¾² ± ­¥ª®²®°»¬¨ ¢¥°¸¨­ ¬¨ P . „¥´®°¬¨°³¿ Q ± ³¬¥­¼¸¥­¨¥¬ ¯«®¹ ¤¨ ¨ ®±² ¢«¿¿ P n Q ­¥¨§¬¥­­»¬ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ±²®°®­ ¬ Q, ¯®«³· ¥¬ ­³¦­³¾ ¤¥´®°¬ ¶¨¾ ¬­®£®³£®«¼­¨ª  P . ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ .

‹¥¬¬  6.3.p ”³­ª¶¨¨ f1 (b) = b 4 , p b2 ¯°¨ 0  b  2, f2(b) = (1p, b) 4 , (1 , b)2 ¯°¨ ,1  b  1, f3 (b) = ((2 , b)2 , a2 )(a2 , b2 ) ¯°¨ 0  b  minfa; 2 , ag ¢»¯³ª«» ¢¢¥°µ.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚»¯³ª«®±²¼ ¯¥°¢®© ¨§ ½²¨µ ´³­ª¶¨© «¥£ª® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ¯®±ª®«¼ª³ 2 f100(b) = 2 (4b(,b b,2 )6) 3=2 < 0: Ž²¬¥²¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® f2 (b) = f1 (1 , b), ¯®½²®¬³ ´³­ª¶¨¿ f2 ² ª¦¥ ¢»¯³ª«  ¢¢¥°µ.

49

¥°¥©¤¥¬ ª ¨±±«¥¤®¢ ­¨¾ f3 . ®­¿²­®, ·²® minfa; 2 , ag  1. ¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¨ ° ¢¥­±²¢  a; b) ; f300(b) = TS ((a; b) £¤¥ T (a; b)

=

 ,2 6 , (3 2 , 6 a

4 + (3b4 , 12b3 + 24b2 , 24b + 8)a2 , b6 + 6b5 , 12b4 + 8b3 ;

b + 4)a

b

S (a; b)

=

 ±±¬®²°¨¬ ¬­®£®·«¥­ p(u)

=

3

u

, (3 2 , 6 b

2

b +4)u



(2

4 +(3b

 , )2 , 2 )( 2 , 2 ) 3=2 b

a

a

b

, 12 3 +24 2 , 24 b

b

:

b +8)u

,

b

6

+6b

5

, 12 4 +8 3 b

b :

„¨±ª°¨¬¨­ ­² D ½²®£® ¬­®£®·«¥­  ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥ D = ,64(27b4 , 108b3 + 148b2 , 80b + 16)(b , 1)4 : ®±ª®«¼ª³ 27b4 , 108b3 + 148b2 , 80b + 16 = 27(b , 1)4 , 14(b , 1)2 + 3 > 0; ²® D < 0 ¯°¨ b 6= 1. ²® ®§­ · ¥², ·²® ¬­®£®·«¥­ p ¨¬¥¥² ¥¤¨­±²¢¥­­»© ¢¥¹¥±²¢¥­­»© ª®°¥­¼ ([2], ±.220). Š°®¬¥ ²®£®, p(0) = ,b3 (b , 2)3  0, ¯®½²®¬³ ½²®² ª®°¥­¼ ­¥¯®«®¦¨²¥«¥­. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, p(u)  0 ¯°¨ u  0. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, T (a; b)  0, ¨ ´³­ª¶¨¿ f3 ¢»¯³ª«  ¢¢¥°µ. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ .

‹¥¬¬  6.4.

p

ˆ¬¥¾² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ­¥° ¢¥­±²¢ :

p

p

a 4 , a2 + b 4 , b2  (a + b) 4 , (a + b)2 ; £¤¥ a  0, b  0, a + b  2; p p 2 3 , b 4 , b  0; £¤¥ 0  b  1; p p (1 , a) 4 , (1 , a)2 + (1 , b) 4 , (1 , b)2  p

 (a + b) 4 , (a + b)2 ; £¤¥ a  0, b  0, a + b  1; p p p b 4 , b2 + ((2 , b)2 , a2)(a2 , b2 )  a 4 , a2 ;

(3) (4)

(5) (6)

50

£¤¥

0  a  2, 0  b  a; p p (1 , b) 4 , (1 , b)2 + ((2 , b)2 , a2 )(a2 , b2 )  p

 (1 , a) 4 , (1 , a)2; (7) £¤¥ 0  a  1, 0  b  a. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥° ¢¥­±²¢® (3) ®·¥¢¨¤­®, ¯®±ª®«¼ª³ p p a 4 , a2  a 4 , (a + b)2 ; p p b 4 , b2  b 4 , (a + b)2 : p¥°¥©¤¥¬ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ­¥° ¢¥­±²¢  (4). ³±²¼ h(b) = b 4 , b2 , ²®£¤  2 h0 (b) = p4 , 2b 2 > 0: 4,b ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®,p ¯°¨ 0  b  1 ´³­ª¶¨¿ h ¢®§° ±² ¥². ®½²®¬³ h(b)  h(1) = 3. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥° ¢¥­±²¢® (4) ®¡®±­®¢ ­®.

„®ª ¦¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® (5). ³±²¼ p p F (a; b) = (1 , a) 4 , (1 , a)2 + (1 , b) 4 , (1 , b)2 , p ,(a + b) 4 , (a + b)2 : ¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® @F = ,p4 + 2(1 , a)2 , p 4 , 2(a + b)2 < 0: @a 4 , (1 , a)2 4 , (a + b)2 €­ «®£¨·­® ¯®«³· ¥¬, ·²® @F @b < 0. ‘ ³·¥²®¬ ³±«®¢¨© ­  a ¨ b § ª«¾· ¥¬, ·²® ¬¨­¨¬³¬ ´³­ª¶¨¨ F ¯°¨ b = 1 , a. ³±²¼ p p p g(a) = F (a; 1 , a) = (1 , a) 4 , (1 , a)2 + a 4 , a2 , 3: ‹¥¬¬  6.3 £ ° ­²¨°³¥² ¢»¯³ª«®±²¼ ¢¢¥°µ ´³­ª¶¨¨ g. ®±ª®«¼ª³ g(0) = g(1) = 0, ²® F (a; b)  g(a)  0, ¨ ­¥° ¢¥­±²¢® (5) ®¡®±­®¢ ­®. ¥°¥©¤¥¬ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ­¥° ¢¥­±²¢ (6) ¨ (7). ³±²¼ p

p

p , 2) , 4 , 2 p 2 )( 2 , 2 ),(1, ) 4 , (1 , )2 ‘ ³·¥²®¬ ¢»¯³ª«®±²¨ ¢¢¥°µ ´³­ª¶¨© f1 , f2 ¨ f3 ¨§ «¥¬¬» 6.3 ³±² ­ ¢«¨¢ ¥¬ ¢»¯³ª«®±²¼ ¢¢¥°µ ´³­ª¶¨© G1 ¨ G2 . ®±ª®«¼ª³ , 2 + ((2 , )2 , p p 2 ( ) = (1, ) 4 , (1 , )2 + ((2 , )2 , G1 (b)

G

b

b

=

b

4

b

b

b

b

2 )(a2

a

a

a

b

b

a

a ;

a

a

:

51

G1 (0) = G1 (a) p = 0, ²®p G1 (b)  0, ¨ p ­¥° ¢¥­±²¢® (6) ¤®ª § ­®. 2 „ «¥¥, G2 (0) = 3+a 4 , a ,(1,a) 4 , (1 , a)2  0 ±®£« ±­® ­¥° ¢¥­±²¢³ (2), G2 (a) = 0. ®½²®¬³ G2 (b)  0, ¨ ­¥° ¢¥­±²¢® (7) ®¡®±­®¢ ­®.

„®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» 6.1. „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°®¢¥¤¥¬

¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ª®«¨·¥±²¢³ §¢¥­¼¥¢ «®¬ ­®© m. …±«¨ m = 3, ²® ¬» ¯®«³· ¥¬ ²°¥³£®«¼­¨ª p ±® ±²®°®­ ¬¨ ¤«¨­» 1, 1, a. …£® ¯«®¹ ¤¼ ª ª ° § ¨ ° ¢­  a4 4 , a2 . …±«¨ m = 4, ²® ¯®«³· ¾²±¿ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª¨ ±® ±²®°®­ ¬¨ ¤«¨­» 1, 1, 1, a. ¥²°³¤­® ¯®­¿²¼, ·²® ¬¨­¨¬³¬ ¯«®¹ ¤¥© ² ª¨µ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª®¢ ° ¢¥­ ¯«®¹ ¤¨ ²°¥³£®«¼­¨ª  ± ¤«¨­ ¬¨ ±²®°®­ 1, 1, 1 , a, ²® ¥±²¼ p ° ¢¥­ 1,4 a 4 , (1 , a)2 . ³±²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ®¡®±­®¢ ­® ¯°¨ m < k, £¤¥ k > 4. „®ª ¦¥¬ ¥£® n = k. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ S  ­¨¦­¾¾ £° ­¼ ¯«®¹ ¤¥© ®¡« ±²¥© ®£° ­¨·¥­­»µ «®¬ ­»¬¨, ª®²®°»¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³±«®¢¨¾ ²¥®°¥¬». ³±²¼ fLk g | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ «®¬ ­»µ ² ª ¿, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¯«®¹ ¤¥© ®£° ­¨·¥­­»µ ¨¬¨ ®¡« ±²¥© fSk g ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ Sk ! S  ¯°¨ k ! 1. ¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® «®¬ ­»¥ Lk ­ µ®¤¿²±¿ ¢ ª ª®¬-²® ª°³£¥ ¨ ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fLk g ±µ®¤¨²±¿ ª ­¥ª®²®°®© «®¬ ­®© L~ (¯®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¯® ¢±¥¬ ¢¥°¸¨­ ¬). ‹®¬ ­ ¿ L~ ¬®¦¥² ­¥ ¡»²¼ ¯°®±²®©. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¥¥ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ¯°®±²»µ «®¬ ­»µ ¨ ¤¢ ¦¤» ­ ª°»²»µ ®²°¥§ª®¢. ³±²¼ 1 ,..., t | ®¡« ±²¨, ®£° ­¨·¥­­»¥ ² ª¨¬¨ ¯°®±²»¬¨ «®¬ ­»¬¨ ± ¯«®¹ ¤¿¬¨ S1 ,...,St ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.  ¬ ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® p S1 + ::: + St  a4 4 , a2 ¯°¨ m = 2n , 1 ¨ p S1 + ::: + St  1 ,4 a 4 , (1 , a)2 ¯°¨ m = 2n. ‚®-¯¥°¢»µ ®²¬¥²¨¬, ·²® ¢ ±¨«³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ «¥¬¬» 6.2 ¢±¥ ®¡« ±²¨ i ®¡¿§ ­» ¡»²¼ ²°¥³£®«¼­¨ª ¬¨. Š°®¬¥ ²®£®, ¥±«¨ ¤¢  ª ª¨µ-«¨¡® ±¬¥¦­»µ °¥¡°  ±®¢¯ ¤ ¾², ²® ¤®ª § ²¥«¼±²¢®

52

±¢®¤¨²±¿ ª ° ±±¬®²°¥­¨¾ «®¬ ­®© ± m , 2 °¥¡° ¬¨. …±«¨ °¥¡°® ¤«¨­» a ±®¢¯ ¤ ¥² ± · ±²¼¾ ±¬¥¦­®£® °¥¡°  ¤«¨­» 1, ²® § ¤ ·  ±¢®¤¨²±¿ ª ±«³· ¾ «®¬ ­®© ± m , 1 °¥¡°®¬ (®¤­® ¨§ ª®²®°»µ ¨¬¥¥² ¤«¨­³ 1 , a, ¤«¨­» ¦¥ ®±² «¼­»µ ° ¢­» 1). ³±²¼ ®²°¥§®ª A1 Am «®¬ ­®© L~ ¨¬¥¥² ¤«¨­³ a,   ¢±¥ ®±² «¼­»¥ ®²°¥§ª¨ Ai Ai+1 (1  i  m , 1) ¨¬¥¾² ¤«¨­³ 1. ‘­ · «  ° §¡¥°¥¬ ±«³· © m = 2n , 1. …±«¨ ­  ®²°¥§ª¥ A1 Am «¥¦¨² ª ª ¿-²® ¨§ ¢¥°¸¨­ «®¬ ­®© Ai (2  i  m , 1), ²® «®¬ ­³¾ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ¤¢³µ «®¬ ­»µ L~ = L~ 1 [ L~ 2 , £¤¥ L~ 1 = A1 A2 :::Ai , L~ 2 = Ai Ai+1:::Am . ³±²¼ a1 , a2 | ¤«¨­» ®²°¥§ª®¢ A1 Ai ¨ Ai Am ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ‚®§¬®¦­» ¤¢  ¢ °¨ ­² : ³ ®¡¥¨µ «®¬ ­»µ L~ 1 , L~ 2 ­¥·¥²­®¥ ·¨±«® §¢¥­¼¥¢, «¨¡® ³ ®¡¥¨µ ½²¨µ «®¬ ­»µ ·¥²­®¥ ·¨±«® §¢¥­¼¥¢. ‚ ¯¥°¢®¬ ~ ~ ¢ °¨ ­²¥ ±®£« ±­® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨ «®¬ ­»¥ p L1 ¨ L2 a 1 ®£° ­¨·¨¢ ¾² ´¨£³°» ¯«®¹ ¤¼¾ ­¥ ¬¥­¥¥ ·¥¬ 4 4 , a21 ¨ p a2 4 , a2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ®½²®¬³ 2 4 q q S   a41 4 , a21 + a42 4 , a22  p p  a1 + a2 4 , (a + a )2 = a 4 , a2

1 2 4 4 ±®£« ±­® ­¥° ¢¥­±²¢³ (3). ‚® ¢²®°®¬ ¢ °¨ ­²¥ ®¯¿²¼ ¦¥ ±®£« ±­® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨ «®¬ ­»¥ L~ 1p¨ L~ 2 ®£° ­¨·¨¢ ¾²p´¨£³°» ¯«®¹ ¤¼¾ ­¥ ¬¥­¥¥ ·¥¬ 1,4a1 4 , (1 , a1 )2 ¨ 1,a2 4 , (1 , a2 )2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ®½²®¬³ 4 p p S   1 ,4 a1 4 , (1 , a1 )2 + 1 ,4 a2 4 , (1 , a2 )2  p p  a1 +4 a2 4 , (a1 + a2 )2 = a4 4 , a2 ±®£« ±­® ­¥° ¢¥­±²¢³ (5). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ±«³· ¥ ª®£¤  ¢¥°¸¨­  Ai «¥¦¨² ­  ®²°¥§ª¥ A1 Am , ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ±¯° ¢¥¤«¨¢®. …±«¨ ¦¥ ² ª®© ¢¥°¸¨­» ­¥², ²® ®¤­  ¨§ ¢¥°¸¨­ «®¬ ­®© ¤®«¦­  ®ª § ²¼±¿ ­  ®¤­®¬ ¨§ ®²°¥§ª®¢ A1 A2 ¨«¨ Am,1 Am (¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ®¡« ±²¼ i , ±®¤¥°¦ ¹ ¿ A1 Am ¢ ª ·¥±²¢¥ · ±²¨ £° ­¨¶» ­¥ ¡³¤¥² ²°¥³£®«¼­¨ª®¬). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, «®¬ ­³¾ L~ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ «®¬ ­»µ L~ 3 ¨ L~ 4, ¯¥°¢ ¿ ¨§ ª®²®°»µ ¿¢«¿¥²±¿ ²°¥³£®«¼­¨ª®¬ ±® ±²®°®­ ¬¨

53

¤«¨­» a, 1 ¨ 1 , b (0  b  1);   ¢²®° ¿ ¨¬¥¥² m , 2 §¢¥­ , ®¤­® ¨§ ª®²®°»µ ¨¬¥¥² ¤«¨­³ b,   ®±² «¼­»¥ ¨¬¥¾² ¤«¨­³ 1.p«®¹ ¤¼ ²°¥³£®«¼­¨ª , ®£° ­¨·¨¢ ¥¬ ¿ «®¬ ­®© L~ 3 , ° ¢­  1 4 ((2 , b)2 , a2 )(a2 , b2 ). «®¹ ¤¼ ¦¥ ´¨£³°», ®£° ­¨·¨¢ ¥¬¥© «®¬ ­®© L~ 4 , ¯® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ b p4 , b2 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, 4 p p p S   4b 4 , b2 + 14 ((2 , b)2 , a2 )(a2 , b2 )  a4 4 , a2 ±®£« ±­® ­¥° ¢¥­±²¢³ (6). ‘«³· © m = 2n ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ¯® ²®© ¦¥ ±µ¥¬¥. …±«¨ ­  ®²°¥§ª¥ A1 Am «¥¦¨² ª ª ¿-²® ¨§ ¢¥°¸¨­ «®¬ ­®© Ai (2  i  m , 1), ²® «®¬ ­³¾ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ¤¢³µ «®¬ ­»µ L~ = L~ 1 [ L~ 2 , £¤¥ L~ 1 = A1 A2 :::Ai , L~ 2 = AiAi+1 :::Am . ³±²¼ a1 , a2 | ¤«¨­» ®²°¥§ª®¢ A1 Ai ¨ AiAm ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ®­¿²­®, ·²® ¢ ®¤­®© ¨§ ½²¨µ «®¬ ­»µ (¡¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨, ¯¥°¢®©) ·¥²­®¥,   ¤°³£®© | ­¥·¥²­®¥ ª®«¨·¥±²¢® §¢¥­¼¥¢. ‚ ±¨«³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ¨­¤³ª¶¨¨ «®¬ ­»¥ p L~ 1 ¨ L~ 2 ®£° ­¨·¨¢ ¾² ´¨£³°» ¯«®¹ ¤¼¾ ­¥ ¬¥­¥¥ p a 1 , a 2 1 2 ·¥¬ 4 4 , (1 , a1 ) ¨ 4 4 , a22 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ®½²®¬³ q p S   1 ,4 a1 4 , (1 , a1 )2 + a42 4 , a22  p p  1 , a41 , a2 4 , (1 , a1 , a2)2 = 1 ,4 a 4 , (1 , a)2 ±®£« ±­® ­¥° ¢¥­±²¢³ (3). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  ¢¥°¸¨­  Ai «¥¦¨² ­  ®²°¥§ª¥ A1 Am , ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ±¯° ¢¥¤«¨¢®. …±«¨ ¦¥ ² ª®© ¢¥°¸¨­» ­¥², ²®  ­ «®£¨·­® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ®¤­  ¨§ ¢¥°¸¨­ «®¬ ­®© ¤®«¦­  ®ª § ²¼±¿ ­  ®¤­®¬ ¨§ ®²°¥§ª®¢ A1 A2 ¨«¨ Am,1 Am (¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ®¡« ±²¼

i, ±®¤¥°¦ ¹ ¿ A1 Am ¢ ª ·¥±²¢¥ · ±²¨ £° ­¨¶», ­¥ ¡³¤¥² ²°¥³£®«¼­¨ª®¬). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, «®¬ ­³¾ L~ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ «®¬ ­»µ L~ 3 ¨ L~ 4 , ¯¥°¢ ¿ ¨§ ª®²®°»µ ¿¢«¿¥²±¿ ²°¥³£®«¼­¨ª®¬ ±® ±²®°®­ ¬¨ ¤«¨­» a, 1 ¨ 1 , b (0  b  1);   ¢²®° ¿ ¨¬¥¥² m , 2 §¢¥­ , ®¤­® ¨§ ª®²®°»µ ¨¬¥¥² ¤«¨­³ b,   ®±² «¼­»¥ ¨¬¥¾² ¤«¨­³ 1. «®¹ ¤¼ ²°¥³£®«¼­¨ª , ®£° ­¨·¨p ¢ ¥¬ ¿ «®¬ ­®© L~ 3 , ° ¢­  41 ((2 , b)2 , a2 )(a2 , b2 ). «®¹ ¤¼

54

¦¥ ´¨£³°», ®£° ­¨·¨¢ ¥¬¥© p«®¬ ­®© L~ 3 , ¯® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ ¨­¤³ª¶¨¨ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ 1,4 b 4 , (1 , b)2 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, p p S   1 ,4 b 4 , (1 , b)2 + 14 ((2 , b)2 , a2 )(a2 , b2 )  p  1 ,4 a 4 , (1 , a)2 ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ­¥° ¢¥­±²¢®¬ (7). ‘®£« ±­® ¯°¨­¶¨¯³ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨ ²¥®°¥¬  ¯®«­®±²¼¾ ¤®ª § ­ .

55

°¨«®¦¥­¨¥ 1

>

restart;

>

with(linalg):with(geometry):

 ¡®·¨© «¨±² MAPLE ¤«¿ °¥¸¥­¨¿ ®¡®¡¹¥­­®© § ¤ ·¨ ®¯®¢¨·¨ (­ ¯¨± ­ ¯®¤ MAPLE V R4). Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace

°®¶¥¤³°  kdivision ¯®§¢®«¿¥² ­ µ®¤¨²¼ ²®·ª³ v3 ­  ®²°¥§ª¥ [v1,v2] ² ª³¾, ·²® ®²­®¸¥­¨¥ ¤«¨­» ®²°¥§ª  [v1,v3] ª ¤«¨­¥ ®²°¥§ª  [v3,v2] ° ¢­¿¥²±¿ k. >

kdivision:=proc(v1::vector,v2::vector,k)

local i,j; i:=simplify(1/(k+1)*v1[1]+k/(k+1)*v2[1]); j:=simplify(1/(k+1)*v1[2]+k/(k+1)*v2[2]); vector(2,[i,j]); end:

°®¶¥¤³°  linep ¯®§¢®«¿¥² ±®±² ¢¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®© ­  ¯«®±ª®±²¨, ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ ²®·ª¨ v1 ¨ v2. >

linep:=proc(v1::vector,v2::vector)

numer(simplify(dotprod([x-v1[1],y-v1[2]], [v2[2]-v1[2],v1[1]-v2[1]])))=0; end:

°®¶¥¤³°  areatr ¯®§¢®«¿¥² ¢»·¨±«¿²¼ ¯«®¹ ¤¼ ²°¥³£®«¼­¨ª  ± ¢¥°¸¨­ ¬¨ v1, v2 v3. °¨ ½²®¬ ¯®¤° §³¬¥¢ ¥²±¿, ·²® ¢¥ª²®°» v3v1 ¨ v3v2 ®¡° §³¾² ¯° ¢»© ¡ §¨±. >

areatr:=proc(v1::vector,v2::vector,v3::vector)

local j; j:=simplify(det([[v1[1]-v3[1],v1[2]-v3[2]], [v2[1]-v3[1],v2[2]-v3[1]]])); simplify(1/2*j); end:

56

‡ ¤ ¥¬ ª®®°¤¨­ ²» ¢¥°¸¨­ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª . >

AA:=vector(2,[0,0]);

AA := [0 0] ;

>

BB:=vector(2,[0,1]);

BB := [0 1] ;

>

CC:=vector(2,[a,b]);

CC := [

]

a; b

>

DD:=vector(2,[1,0]);

DD := [1 0] ;

‚»·¨±«¿¥¬ ª®®°¤¨­ ²» ²®·¥ª A1, B1, C1, D1. >

A1:=kdivision(AA,BB,k);





A1 := 0 + 1 ;

>



1+  +1 +1

ka

k

kb

;

k

C1:=kdivision(CC,DD,k);

C1 := >

k

B1:=kdivision(BB,CC,k);

B1 := >

k



a k

+ +1 k

;

b

k

+1

D1:=kdivision(DD,AA,k);

D1 :=

 k

1 0 +1 ;



57

‡ ¤ ¥¬ ³° ¢­¥­¨¿ ·¥²»°¥µ ¯°¿¬»µ. >

line1:=linep(AA,B1);

line1 := + x

>

,

xb

, ,

xk

x

,

ya

+ + =0

yk

a

k

line3:=linep(CC,D1);

line3 := ,

,

xkb

>

=0

yka

line2:=linep(BB,C1);

line2 := >

,

xkb

+

xb

yka

+

ya

, + =0 y

b

line4:=linep(DD,A1);

line4 :=

xk

, + k

yk

+ =0 y

 µ®¤¨¬ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯ ° ­ ©¤¥­­»µ ¯°¿¬»µ. > LL:=solve(fline1,line2g,fx,yg); LL := f = x

>

2a

ka

+

ka

( + ) + + + a

k

a

k

k

2b

; y

=

( + ) (1 + ) + + + + a

k

2a

k

ka

kb

a

k

L:=subs(LL,vector(2,[x,y])); L

>

k

:=

 k

2a

+

( + ) + + +

ka a ka

k

a

k

k

2b

f

( + ) (1 + ) + + + + a

;

k

2a

gf

k



kb

ka

a

k

k

2b

g

MM:=solve( line2,line3 , x,y );

MM := f = + 2 2 = + +2 y

x

b

k

b

k

a

k

( ,1+ +2 , , + +2 ,

b

a

ka a

b

+ + 2) + ,1+ 2 + 2 + + , + 2g + ,1+ 2 +

ka

ka k

ka

k

ka

k

a

a

k

k

kb

a

ab

k

b

kb

a

b

;

a

kb

k

2b

g

58

>

M:=subs(MM,vector(2,[x,y]));

:=

M



, + + + , + + + 2 , + , 1 + + ( ,1+ + + ) + +2 , + ,1+ + k

2

+

a

b

k

ka

2a

b

2

kb

k

k

ab

a

ka

ka

k

a

k

2b

a

2

kb

;

2

a

k

gf

a

2b

kb

g

NN:=solve( line3,line4 , x,y );

NN := f = x

=

y

>

:=

ka

f

>

N

ka

b

2 k a

b

k

+ + 2 + , + 2 2+ + 2 + , +2 + + 2 + , g kb

2 k b

b

k

kb

b

k

k

2b

kb

a

ka

k

k

a

ka

ka

k

k

;

b

b

k

a

N:=subs(NN,vector(2,[x,y]));



+ + 2 + , +2 + + 2 + ,

kb

k2 b

b

k

kb

b

a

ka

k

a

k

ka

f

>

k

;

k2 b

gf

+2

k

kb

2



b

+ + b

k2 a

+

ka

,

k

g

KK:=solve( line4,line1 , x,y );

KK := f = + 1 + (12 ++ ) + k

y

>

k

kb

k

b

kb

2 k a

; x

= +1+ k

k

2

2 k b

a

+

kb

+

k

2a

g

K:=subs(KK,vector(2,[x,y])); K

:=

 k

+1+

k k

2

2b

a

+

kb

+

k

2a

;

(1 + ) +1+ 2 + + k

k

k



kb

b

kb

k

2a

‚»·¨±«¿¥¬ ¯«®¹ ¤¨ ²°¥³£®«¼­¨ª®¢ NMA, MLA, NKA, DCA, CBA. >

SNMA:=areatr(N,M,AA);

SNMA := 21 (, + 2 , 2 + 3 , 2 , 2 + + + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2) (( 2 + 2 + + 2 + , ) ( + 2 + 2 , + , 1 + 2 + )) b

b

ka

kb

b

k

k

b

b

k

k

kb

kb

a

kba

kb

ka

k

ab

k

ba

a

b

k

a

ka

k

b

k

a

ka

k

a

k

b

59

>

SMLA:=areatr(M,L,AA);

SMLA := 21 ( + )( 2 + ( + 2 +2 a

k

k

a

a

ka ka

+ 2 , , , + ,1+ k

ba

k

k

a

k

2

b

2 k b

b

k

>

SNKA:=areatr(N,K,AA);

+ 2 + + 2 2 + , + 2) + )( 2 + + + + 2 ) ka kb

k

kb

k

a

ka

b

a

ab

a

k

k

a

b

2 2 2 2 2 2 SNKA := 12 ( 2 ( + 2+ + ++ +2 + + , )+( + +1 + 2 ,+ ,+ 2) ) k

k

>

kb

b

k

kb

b

b

b

k

kb

a

k

ka

k

ka

k

k

ba

k

b

k

kb

k

b

k

a

SDCA:=areatr(DD,CC,AA);

SDCA := 21

>

a

b

SCBA:=areatr(CC,BB,AA);

SCBA := 12

a

‚»·¨±«¿¥¬ s - ¯«®¹ ¤¼ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  KLMN ¨ S - ¯«®¹ ¤¼ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ABCD. >

s:=simplify(SNMA+SMLA-SNKA);

60

s

:= 12 (,5 2 + 5 5 + 2 4 5 + 5 3 , 4 4 + 3 4 3 +2 6 2 +4 5 3+ 4 3,4 5 2,2 6 3,5 4 3 4 ,2 , 2 4 , 8 5 3 + 2 6 4 + 4 5 4 + 4 4 + 3 4 +4 5 2,2 6 3+ 3 3,3 2 3,2 3+6 4 2,2 3 ,3 3 2 + 2 + 2 + 2 3 2 , 2 + 2 4 2 , 5 3 3 , 2 , 2 2 2 + 3 2 4 + 3 + 4 , 11 4 2 , 17 4 2 + 2 2 + 2 2 2 + 3 + 2 4 2 , 9 3 2 + 2 4 , 2 2 + 8 5 3 + 4 3 3 + 7 2 2 2 + 12 3 2 2 ,4 5 2 2,4 5 2 +2 6 2 +8 2 3 4 3 + 12 + 7 2 2 + 5 5 + 8 5 2 + 16 4 2 2 , 4 6 2 2 3 4 +4 + 3 2 +2 4 2+2 4 5+ 5 3 3 3 2 +2 +4 , 8 5 3 + 3 + 12 3 3 6 3 2 5 3 2 +6 + 14 + 18 5 2 3 + 15 3 3 2 + 9 2 3 2 + 17 3 2 3 + 2 2 3 + 17 4 3 2 + 8 2 3 2 +6 4 3 + 9 5 4 + 3 4 2 + 4 + 11 4 4 + 2 6 4 + 6 6 3 2 + 19 4 2 3 + 2 6 4 + 5 5 4 + 6 3 + 8 3 4 +9 4 4 + 8 4 , 4 2 + 2 , 3 2 2 , 2 2 2 , ) (( 2 + 2 + + 2 + , ) ( + 2 +2 , + ,1+ 2 + ) ( 2 + + + + 2 )( + 1 + 2 + + 2 )) kba

b

k

k

k

k

a

b

a

ab

k

a

bk

k

b

k

a

b

k

b

a

a

a

b

a

k

bk

a

a

a

ka

ka

a

ba

k

a

b

k

k

b

a

b

a

k

a

k

a

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ak

bk

k

k

ba

a

k

k

ka

b

k

k

b

bk

k

6

b

k

k

a

a

k

a

b

2

k

b

b

a

a

b

a

a

k

ak

a

k

ab

k

b

a

b

b

a

k

b

k

b

b

k

a

k

k

kb

k

a

b

a

bk

a

a

k

b

b

k

k

k

a

k

a

a

k

k

ab

kb

k

b

b

k

b

b

a

a

b

k

b

a

b

b

k

a

ka

a

a

k

a

b

a

b

k

b

k

b

b

a

k

b

k

a

k

k

k

k

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ak

k

a

a

a

b

a

k

a

b

k

a

k

a

k

k

k

b

k

a

b

a

k

k

b

k

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ak

k

>

a

k

ab

a

b

a

ba

k

k

b

b

k

b

k

k

k

a

a

a

a

ka

ba

k

b

b

a

a

kb

b

b

k

k

b

k

k

a

a

k

b

k

b

a

b

b

k

b

k

k

k

k

b

a

k

b

a

bka

k

b

k

a

kb

k

kb

k

b

kb

S:=simplify(SDCA+SCBA);

S

:= 12 + 12 b

a

°¥¤±² ¢«¿¥¬ ®²­®¸¥­¨¥ ¯«®¹ ¤¥© s/S ª ª ®²­®¸¥­¨¥ ¤¢³µ ¬­®£®·«¥­®¢ P(a,b)/Q(a,b). >

Rat:=simplify(s/S):

>

P(a,b):=factor(numer(Rat));

61

) := 5 2 + 5 4 + 2 4 4 + 4 3 , 2 6 2 , 4 3 + 4 5 2+2 6 3+ 2+ 4 3+2 4 +6 4 +4 5 3+ 5 4+ 2 4 4+ 3 4,8 5 2+2 6 3+ 3 3+3 2 3 + 3,5 4 2+ 3 2,2 3 +3 3 2 ,2 2, 2 ,5 3 2+ 2 3 + 2 + 4 2+3 3 3+ 2 +2 3 2+5 2 2 + 5 4 2 + 11 4 2 + 2 2 2 , 4 3 , 2 4 +9 3 2 +2 2 ,4 5 +4 5 3 +2 6 3 +7 3 3 +6 2 2 2 + 10 3 2 2 + 10 5 2 2 + 4 5 2 , 2 6 2 + 2 2 3 +7 4 3 + 2 2 ,2 6 2+4 5 , 2 6 2 + 4 5 , 3 , 8 5 2 + 10 4 2 2 + 4 6 2 2 + 2 6 3 , + +9 3 4 + 3 +3 3 2+ 8 5 3 + 5 3 3 , , 12 4 + 2 , 3 2 + 2,3 2 2+4 6

P(

a; b

kba

k

b

k

a

k

k

k

a

b

b

a

k

b

k

b

a

k

b

a

a

k

a

a

k

kb

b

k

a

k

k

a

b

k

k

k

k

a

k

b

b

k

a

b

b

k

k

k

a

a

k

k

ba

k

a

a

b

a

a

k

b

k

b

k

k

ba

a

b

a

k

b

k

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a

ka

k

ak

k

k

k

b

ab

a

a

k

a

b

a

ab

a

k

a

k

kba

k

b

a

a

k

k

b

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ab

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ka

ab

k

k

k

b

ba

kb

a

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k

a

k

k

k

a

b

b

ba

a

b

b

a

k

k

kb

Q(

b

a

k

k

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a

k

>

k

k

k

k

k

a

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ba

k

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k

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a

ka

k

k

a

b

k

b

a

ak

ba

k

b

ab

Q(a,b):=factor(denom(Rat));

) := ( 2 + 2 + + 2 + , ) ( + 2 +2 , + ,1+ 2 + ) ( 2 + + + + 2 )( +1+ 2 +

a; b

k

b

k

k

a

b

kb

a

ka

ka

a

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k

k

k

a

ka

a

k

k

b

k

b

k

kb

k

b

kb

+

k

2

a

)

®±ª®«¼ª³ a>=0, b>=0 ¨ a+b>=1 (¢ ±¨«³ ¢»¯³ª«®±²¨ ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª  ABCD), Q(a,b)>0. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­ ¬ ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ¤¢³µ ­¥° ¢¥­±²¢: (k+1)*(k^2+k+1)*P(a,b)Q(a,b)>=0, Q(a,b)-(2*k^2+2*k+1)*P(a,b)>=0. MAPLE ¯®§¢®«¿¥² ° §«®¦¨²¼ «¥¢»¥ · ±²¨ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ­¥° ¢¥­±²¢ ­  ¬­®¦¨²¥«¨, ·²® ±³¹¥±²¢¥­­® ³¯°®¹ ¥² § ¤ ·³. >

U1:=factor((k+1)*(k^2+k+1)*P(a,b)-Q(a,b));

U1 := 3 (1 + 2 + 2 2) ( 2 2+ 2+ 2 , 2 + + ( 2 2+ 2,2 + , 2 + k

>

k

k

b

kb

k

a

ka

k

k

ba

ka

k

k

b

k

2

b

k

a

ab

+2 +2

a

ka

kba

+ ,1, ) + 2 + 2 ) a

k

k

b

k

ba

U2:=factor(Q(a,b)-(2*k^2+2*k+1)*P(a,b));

U2 := 4 ( + 1 , k

kb

ka

, ) ( + ,1,2 + ) a

2

kb

b

k

ka

2

62

°¨¢¥¤¥¬ ¯®¤®¡­»¥ ¢ ¢»° ¦¥­¨¨ k^2*b^2+k^2*b*ak^2*b+k^2*a+k*b^2+2*k*a-k-1+a+b ®²­®±¨²¥«¼­® ±²¥¯¥­¥© k. > >

UU1:=collect(k^2*a+b*k^2*a+2*k*a+a+b-1-k+k*b^2k^2*b+k^2*b^2,k);

UU1 := ( , + 2 + ) 2 + ( 2 + 2 , 1) + + , 1 ab

b

b

a

k

b

a

k

b

a

®±ª®«¼ª³ a+b>=1, ­ ¬ ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® -b+a+b^2+a*b >= 0 ¨ -1+b^2+2*a >= 0 ¯°¨ a>=0, b>=0, a+b>=1. >

V1:=a+a*b-b+b^2

ab

, + + 0 2

b

b

a

V2:=2*a-1+b^2

gf

g

solve( V1,a>=0,b>=0,a+b>=1 , a,b );

f = 1 = 0g b

; a

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥° ¢¥­±²¢® -b+a+b^2+a*b >= 0 ®¡®±­®¢ ­®. > solve(fV2,a+b=1g,fa,bg); f = 1 = 0g b

; a

®­¿²­®, ·²® ¯°¿¬ ¿ a+b=1 ª ± ¥²±¿ ¯ ° ¡®«» 1+b^2+2*a = 0 ¢ ²®·ª¥ (a,b)=(0,1). ‘«¥¤³¾¹¨¥ ¢»·¨±«¥­¨¿ ¯®ª §»¢ ¾², ·²® a>=0, b>=0, a+b>=1 ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® -1+b^2+2*a >= 0, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼. ‘«³· ¨ ° ¢¥­±²¢  «¥£ª® ¨±±«¥¤³¾²±¿. > solve(fV2,a+b=0.9g,fa,bg); f = ,1 + 9000000000  1 447213596 5527864045  g a

:b

:

; b

:

; :

b

63

2.5

2

1.5

1

0.5

-1.5

-1

0

-0.5

0.5

1

1.5

x

-0.5

¨±³­®ª 18 > >

f

g

plot( 1-x,0.9-x,(1-x^2)/2 ,x=-1.5..1.5, color=[red,blue,green]);

Ž·¥¢¨¤­®, ·²® U2>=0, ¯°¨·¥¬ U=0 ¢«¥·¥² «¨¡® k*b+b-1-2*k+k*a=0, «¨¡® k*b+1-a-k*a=0. >

V3:=k*b+b-1-2*k+k*a;

V3 := >

kb

+ ,1,2 + b

k

ka

V4:=k*b+1-k*a-a;

V4 :=

kb

+1,

ka

,

a

 µ®¤¨¬ ²®·ª³ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ³ª § ­­»µ ¯°¿¬»µ (a,b)=(1,1). ²® ±®®²¢¥²±²¢³¥² ²®¬³, ·²® ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª ABCD ¿¢«¿¥²±¿ ª¢ ¤° ²®¬. > solve(fV3,V4g,fa,bg);

64

3

2

1

0

0.5

1 x

1.5

2

-1

¨±³­®ª 19

f = 1 = 1g a

; b

°¨ ª®­ª°¥²­®¬ §­ ·¥­¨¨ ¯ ° ¬¥²°  k ±²°®¨¬ £° ´¨ª¨ ³ª § ­­»µ ¯°¿¬»µ. > VV3:=solve(subs(fa=x,b=y,k=2/3g,V3),y); VV3 := 75 , 25

>

x

f

VV4 := , 23 + 52 >

g

VV4:=solve(subs( a=x,b=y,k=2/3 ,V4),y);

f

x

g

plot( VV3,VV4 ,x=0..2,color=[red,blue]);

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, § ¤ ·  °¥¸¥­ .

65

°¨«®¦¥­¨¥ 2

>

restart;

„®ª ¦¥¬ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ­¥° ¢¥­±²¢  1-sin(t)-4*cos(t)*sin(t)+2*cos(t)-3*cos(t)^3+ 3*sin(t)*cos(t)^2

f2:=factor(f1);

4 3 2 f2 := 2 ( , 1) ( +(17+ +2 )33 , 5 + 2) x x

x

x

x

x

x

66

0.2

0.4

t 0.8

0.6

1

1.2

1.4

0

-0.05

-0.1

-0.15

-0.2

-0.25

-0.3

¨±³­®ª 20

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­ ¬ ¤®±² ²®·­® ¯®ª § ²¼, ·²® x^4+7*x^3+3*x^2-5*x+2>=0 ­  ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®¬ ®²°¥§ª¥. >

f3:=x^4+7*x^3+3*x^2-5*x+2;

f3 :=

4

x

+7 3+3 2,5 +2 x

x

x

®±²°®¨¬ £° ´¨ª ´³­ª¶¨¨ f3. >

plot(f3,x=0..1);

„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¯®±«¥¤­¥£® ­¥° ¢¥­±²¢  ¤®±² ²®·­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® ¢ ²®·ª¥ ¬¨­¨¬³¬  ­  ®²°¥§ª¥ [0,1] f3 ¯°¨­¨¬ ¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ §­ ·¥­¨¥.  ©¤¥¬ ª°¨²¨·¥±ª¨¥ ²®·ª¨ f3. ‘­ · «  ¢»·¨±«¿¥¬ ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­³¾. >

f4:=diff(f3,x);

67

8

7

6

5

4

3

2

1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

¨±³­®ª 21 f4 := 4 3 + 21 2 + 6 , 5 x

x

x

„¨±ª°¨¬¨­ ­² ¯®«³·¨¢¸¥£®±¿ ¬­®£®·«¥­  ¯®«®¦¨²¥«¥­. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®­ ¨¬¥¥² 3 ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ª®°­¿. >

dd:=discrim(f4,x);

 ©¤¥¬ ½²¨ ª®°­¨. >

dd := 141480

so:=solve(f4,x);

1 , 7 , 1 %11 3 , 41 so := 14 %11 3 + 41 4 %11 3 4 8 8 1 , 7 + 1 p3 ( 1 %11 3 , 41 1 ) 4 4 %11 3 %11 3 4 2 p , 81 %11 3 , 418 11 3 , 47 , 12 3 ( 41 %11 3 , 414 11 3 ) %1p %1 %1 := ,219 + 4 1310 =

=

=

I

=

=

=

=

I

=

;

I

;

=

=

68

®«³·¨¬ ¨µ ¯°¨¡«¨¦¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿. >

soo:=evalf(so);

soo := 356981078 ,4 891066419 + 2 10,9 , 715914659 + 2 10,9 :

;

:

:

I;

:

:

I

®±ª®«¼ª³ «¨¸¼ ¯¥°¢»© ª®°¥­¼ «¥¦¨² ­  ®²°¥§ª¥ [0,1], ²® ¯°®¢¥°¿¥¬ ­  ¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¼ §­ ·¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ f3 ¢ ½²®© ²®·ª¥. >

pr1:=simplify(subs(x=so[1],f3));

1 (154865364 p1310 , 21348120 %11 3 p1310, pr1 := , 256 p 80760411 %12 3 + 3129180 %123 1310 , 1052778771 + 329007185 %11 3 ) %17 3 p %1 := ,219 + 4 1310 I

=

I

=

=

I

=

=

I

®«³·¥­­®¥ ·¨±«® ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥, ¯®±ª®«¼ª³ ¥£® ¯°¨¡«¨¦¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¨© ¢¨¤. >

evalf("); :

9320853023 , 5800724258 10,8 :

I

Š°®¬¥ ¯°®²¥±²¨°®¢ ­­®© ²®·ª¨ ¬¨­¨¬³¬ f3 ¬®¦¥² ² ª¦¥ ¤®±²¨£ ²¼±¿ ¨ ­  ª®­¶ µ ®²°¥§ª  [0,1]. ®½²®¬³ ¬» ¯°®¢¥°¿¥¬ ­  ¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¼ §­ ·¥­¨¥ f3 ¢ ²®·ª µ 0 ¨ 1. >

pr2:=simplify(subs(x=0,f3));

pr2 := 2 >

pr3:=simplify(subs(x=1,f3));

pr3 := 8

®±ª®«¼ª³ ¢® ¢±¥µ £¨¯®²¥²¨·¥±ª¨µ ²®·ª µ ¬¨­¨¬³¬  f3 ¯°¨­¨¬ ¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ §­ ·¥­¨¿, ²® f3 ¯®«®¦¨²¥«¼­  ­  ¢±¥¬ ®²°¥§ª¥ [0,1]. ¥° ¢¥­±²¢® ®¡®±­®¢ ­®.

69

°¨«®¦¥­¨¥ 3

>

restart;

„®ª ¦¥¬ ¢»¯³ª«®±²¼ ¢¢¥°µ ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© b ´³­ª¶¨¨ (((2-b)^2-a^2)*(a^2-b^2)) ^(1/2) ¯°¨ ®£° ­¨·¥­¨¨ 0 g

g:=factor(simplify(f2));

:= 2(24 2 2 + 8 3 + 8 2 , 12 4 , 24 2 , 3 2 4 +3 4 2 + 6 4 , 12 2 3 + 6 5 , 6 + 6 , 4 4) (( , 2 + ) ( + 2 , ) ( , ) ( + ) p ,( , 2 + ) ( + 2 , ) ( , ) ( + )) a

b

b

b

a

b

a

a

b

a

b

a

a

b

b

a

a

ba

b

a

b

a

b

a

b

b

a

a

b

b

a

b

a

b

70

¥²°³¤­® ¯®­¿²¼, ·²® a-2+b0, a-b>0. ®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¨ ·¨±«¨²¥«¿. >

g1:=numer(g)/(-2);

g1 := ,24 2 2 , 8 3 , 8 2 + 12 4 + 24 3 4 2 , 6 4 + 12 2 3 , 6 5 + 6, 6+4 4 a

b

b

a

b

b

a

a

a

b

a

b

b

ba

2

+3

2

b

4

a

,

b

a

„®ª §»¢ ¥¬ ­¥¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¼ g1. „«¿ ½²®£® ¯°¨¢®¤¨¬ ¯®¤®¡­»¥ ¯°¨ ±²¥¯¥­¿µ a. >

g2:=collect(g1,a);

g2 := , 6 + (,6 + 3 2 + 4) 4 + (,24 2 + 24 , 8 + 12 3 , 3 4) 2 , 8 3 + 6 + 12 4 , 6 5 a

b

a

b

b

a

b

b

b

b

b

b

b

Ž¡®§­ ·¨¬ a^2 ·¥°¥§ x. ®«³· ¥¬ ¬­®£®·«¥­ ²°¥²¼¥© ±²¥¯¥­¨ ®²­®±¨²¥«¼­® x. ’ ª ª ª ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°¨ ±² °¸¥© ±²¥¯¥­¨ ° ¢¥­ -1

g3:=subs(a=x^(1/2),g2);

g3 := , 3 + (,6 + 3 2 + 4) 2 + (,24 2 + 24 , 8 + 12 3 , 3 4 ) , 8 3 + 6 + 12 4 , 6 5 x

x

b

b

b

b

x

b

b

b

b

b

b

‚»·¨±«¿¥¬ ¤¨±ª°¨¬¨­ ­² g3 ®²­®±¨²¥«¼­® x ¨ ° ±ª« ¤»¢ ¥¬ ¥£® ­  ¬­®¦¨²¥«¨. >

dd:=factor(discrim(g3,x));

dd := ,64 (27 4 , 108 3 + 148 2 , 80 + 16) ( , 1)4 b

b

b

b

b

71

16

14

12

10

8

6

4

2 0

0.5

1 b

1.5

2

¨±³­®ª 22

…±«¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® 27*b^4-108*b^3+148*b^2-80*b+16> 0, ²® ¤®ª ¦¥¬ ®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¼ ¤¨±ª°¨¬¨­ ­² . ²® ®§­ · ¥², ·²® g3 ¨¬¥¥² «¨¸¼ ®¤¨­ ¢¥¹¥±²¢¥­­»© ª®°¥­¼. >

g5:=27*b^4-108*b^3+148*b^2-80*b+16;

g5 := 27 4 , 108 3 + 148 2 , 80 + 16 b

b

b

b

®±²°®¨¬ £° ´¨ª ´³­ª¶¨¨ g5. ® £° ´¨ª³ ¬®¦­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® g5 ­¥ ¯°¨­¨¬ ¥² ®²°¨¶ ²¥«¼­»µ §­ ·¥­¨©. „®ª ¦¥¬ ½²®  ªª³° ²­®. „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® g5 ¯®«®¦¨²¥«¼­® ¢ ²®·ª¥ ±¢®¥£® ¬¨­¨¬³¬  (¬¨­¨¬³¬ ±³¹¥±²¢³¥²). ’®·ª  ¬¨­¨¬³¬  ­ µ®¤¨²±¿ ±°¥¤¨ ª°¨²¨·¥±ª¨µ ²®·¥ª. >

plot(g5,b=0..2);

72

 µ®¤¨¬ ª°¨²¨·¥±ª¨¥ ²®·ª¨ ´³­ª¶¨¨ g5. >

g6:=diff(g5,b);

g6 := 108 3 , 324 2 + 296 , 80 b

>

b

b

so:=solve(g6,b);

p p so := 1 1 + 91 21 1 , 19 21 ;

;

°®¢¥°¿¥¬, ·²® ¢ ª ¦¤®© ¨§ ½²¨µ ²®·¥ª g5 ¯°¨­¨¬ ¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ §­ ·¥­¨¿. >

pr1:=subs(b=so[1],g5);

pr1 := 3 >

pr2:=simplify(subs(b=so[2],g5));

pr2 := 32 27 >

pr3:=simplify(subs(b=so[3],g5));

pr3 := 32 27

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, g5 ¯®«®¦¨²¥«¼­®, ¨ ¤¨±ª°¨¬¨­ ­² ¬­®£®·«¥­  g3 ¯°¨ b1 ®²°¨¶ ²¥«¥­. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, g3 ¨¬¥¥² ¥¤¨­±²¢¥­­»© ¢¥¹¥±²¢¥­­»© ª®°¥­¼. “¡¥¤¨¬±¿ ¢ ²®¬, ·²® ®­ ­¥¯®«®¦¨²¥«¥­. „«¿ ½²®£® ¤®±² ²®·­® ³¤®±²®¢¥°¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® g3(0)

g7:=factor(subs(x=0,g3));

g7 := 3 ( , 2)3 b

b

®±ª®«¼ª³ ¯® ³±«®¢¨¾ § ¤ ·¨ 0