Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1
УДК 517.51
ВЕСОВАЯ ОЦЕНКА ПРОМЕЖУТОЧНОГО ОПЕРАТОРА Н...
28 downloads
159 Views
389KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2002. Том 43, № 1
УДК 517.51
ВЕСОВАЯ ОЦЕНКА ПРОМЕЖУТОЧНОГО ОПЕРАТОРА НА КОНУСЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Р. Ойнаров Аннотация: Рассматривается интегральный оператор Zx Kβ f (x) =
K β (x, t)f (t) dt,
x > 0, 0 ≤ β ≤ 1, K ≡ K1 .
0
При некотором ограничении на положительную непрерывную функцию K(x, s) получены необходимые и достаточные условия на весовые функции u, v и ρ, при которых справедливо неравенство kuKβ f kq ≤ C(kρf kp + kvKf kr ), f ≥ 0, когда 1 < p, q, r < ∞, q ≥ max{p, r}. Библиогр. 8.
1. Пусть R+ = (0, +∞), µ и λ — неотрицательные борелевские меры на R+ , u, v и ρ — весовые функции на R+ , т. е. неотрицательные локально интегрируемые на R+ функции. Пусть K — интегральный оператор вида Zx Kf (x) =
K(x, t)f (t) dt,
x > 0,
(1)
0
с непрерывным при 0 < s ≤ x < +∞ ядром K(x, t), удовлетворяющим условиям: (а) K(x, s) > 0 при x > s; (б) существует постоянная d ≥ 1 такая, что 1 (K(x, t) + K(t, s)) ≤ K(x, s) ≤ d(K(x, t) + K(t, s)) (2) d для всех x, t, s таких, что 0 < s < t < x < ∞. Оператор вида (1) с условием (б) был введен в работе [1], а различные его свойства исследованы в работах [2, 3]. Класс операторов вида (1) с условиями (а) и (б) включает в себя почти все известные операторы дробного интегрирования, в частности, оператор Римана — Лиувилля 1 Rα f (x) = Γ(α)
Zx
(x − s)α−1 f (s) ds,
α ≥ 1,
0
где Γ(·) — гамма-функция. Введем «промежуточный» оператор вида Zx Kβ f (x) = 0
c 2002 Ойнаров Р.
K β (x, t)f (t) dt,
(3)
162
Р. Ойнаров
где 0 ≤ β ≤ 1, который при β = 1 сводится к оператору (1), а при β = 0 — к оператору интегрирования Zx K0 f (x) =
f (s) ds. 0
Рассмотрим неравенство kKβ f kq,µ ≤ C(kρf kp + kKf kr,λ ),
f ≥ 0,
(4)
где 1 < p, q, r < ∞, k · kp — обычная норма пространства Lp (R+ ), ∞ q1 Z kgkq,µ = |g(x)|q dµ(x) . 0
В случае, когда в (4) dµ(x) = uq (x) dx, dλ(x) = v r (x) dx, K ≡ Rn , β = m = n − k, 0 ≤ k ≤ n − 1, имеем неравенство kuRm f kq ≤ C(kρf kp + kvRn f kr ),
f ≥ 0,
m−1 n−1 ,
(5)
которое эквивалентно весовой оценке промежуточных производных kuy (k) kq ≤ C(kρy (n) kp + kvykr )
(6)
на классе функции M = {y : y (n) ≥ 0, y (i) (0) = 0, i = 0, 1, . . . , n − 1}. Оценка вида (6) используется в различных задачах математического анализа, и проблема заключается в нахождении необходимых и достаточных условий на весовые функции u, v и ρ таких, что справедливо (6) для всех функций y, для которых конечна правая часть (6). При n = 1, p = r решение этой задачи дано в работах [4–6], а в общем случае вопрос остается открытым. Неравенство (4) в случае, когда dµ(x) = uq (x) dx, dλ(x) = v r (x) dx, 1 < p = r ≤ q < ∞, исследовано в [7] при β = 0, a при β = 1 и 0 < β < 1 основные результаты анонсированы соответственно в [1, 8]. 1 1 −p0 Пусть ρ−1 ≡ ρ1 ∈ Lloc (·)χ[t,z) (·), где p0 (R+ ), p + p0 = 1, и для функции ρ χ[t,z) (·) — характеристическая функция интервала [t, z) ⊂ R+ , правая часть (4) конечна. Тогда из (2) и (4) вытекают следующие необходимые условия на µ и λ: +∞ Z
µ([t, +∞)) ≡
Z dµ(x) < ∞,
t
K
βq
Z∞ (x, t) dµ(x) ≡ t
[t,+∞)
Z∞
+∞ Z
dλ(x) < ∞, t
K βq (x, t) dµ(x) < ∞,
K r (x, t) dλ(x) < ∞
∀t > 0,
t
которые далее будем считать выполненными. В R+ определим функции ϕ(·) и ϕβ (·): z − 10 ∞ r1 −1 p Z Z 0 ϕ(z) = inf ρ−p ds + K r (x, t) dλ(x) , 0 0) функции K(x, s), вытекающие из левого неравенства (2). 0
Необходимость. Полагая f (·) = ρ−p (·)χ[t,z) (·), имеем
Z∞
kKβ f kq,µ >>
q1 K βq (x, z) dµ(x)
z
kKf kr,λ
Zz
0
ρ−p (s) ds,
Zz
kρf kp =
t
t
∞ r1 z Z Z 0
Zτ
dµ(x)
0
(7)
t
z
0
K βp (z, s)ρ−p (s) ds,
Zτ
kρf kp =
p1 0
0
K βp (z, s)ρ−p (s) ds ,
(8)
t
kKf kr,λ
z r1 τ Z Z 0 0 r(1−β)