Основы дифференциальной геометрии

Ш.Кобаяси, К.Номидзу ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ, Т. I Книга является первым томом двухтомной монографии «Основы дифференциальной геометрии». В первом томе рассмотрены дифференцируемые многообразия, теория связностей, линейные и аффинные связности, римановы связности, кривизна и пространственные формы, преобразования. Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов физико-математических специальностей. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие переводчика Предисловие Взаимозависимость глав и параграфов I. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ § 1. Дифференцируемые многообразия § 2. Тензорные алгебры § 3. Тензорные поля § 4. Группы Ли § 5. Расслоенные пространства II. ТЕОРИЯ СВЯЗНОСТЕЙ § 1. Связности в главном расслоенном пространстве § 2. Существование и продолжение связностей § 3. Параллелизм § 4. Группы голономии § 5. Форма кривизны и структурное уравнение § 6. Отображения связностей § 7. Теорема редукции § 8. Теорема о голономии § 9. Плоские связности § 10. Локальные и инфинитезимальные группы голономии § 11. Инвариантные связности III. ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ § 1. Связность в векторном расслоении § 2. Линейные связности § 3. Аффинные связности § 4. Развертки § 5. Тензоры кривизны и кручения § 6. Геодезические § 7. Выражения в локальных системах координат § 8. Нормальные координаты § 9. Линейные инфинитезимальные группы голономии IV. РИМАНОВЫ СВЯЗНОСТИ § 1. Римановы метрики § 2. Римановы связности

5 7 11 11 11 25 34 45 56 68 68 71 73 75 79 83 86 91 94 96 104 113 113 118 123 128 130 135 137 143 147 150 150 153

§ 3. Нормальные координаты и выпуклые окрестности § 4. Полнота § 5. Группы голономии § 6. Теорема разложения де Рама § 7. Аффинные группы голономии V. КРИВИЗНА И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ § 1. Предварительные алгебраические рассмотрения § 2. Секционная кривизна § 3. Пространства постоянной кривизны § 4. Плоские аффинные и римановы связности VI. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 1. Аффинные отображения и аффинные преобразования § 2. Инфинитезимальные аффинные преобразования § 3. Изометрии и инфинитезимальные изометрии § 4. Голономия и инфинитезимальиые изометрии § 5. Тензор Риччи и инфинитезимальные изометрии § 6. Продолжение локальных изоморфизмов § 7. Проблема эквивалентности ПРИЛОЖЕНИЯ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 2. Связное локально компактное метрическое пространство сепарабельно 3. Разбиение единицы 4. Дугообразно связные подгруппы группы Ли 5. Неприводимые подгруппы в O(n) 6. Теорема Грина 7. Лемма о факторизации ПРИМЕЧАНИЯ 1. Связности и группы голономии 2. Полные аффинные и римановы связности 3. Тензор Риччи и скалярная кривизна 4. Пространства постоянной положительной кривизны 5. Плоские римановы многообразия 6. Параллельный перенос кривизны 7. Симметрические пространства 8. Линейные связности с рекурентной кривизной 9. Группа автоморфизмов геометрической структуры 10. Группы изометрии и аффинных преобразований максимальных размерностей 11. Конформные преобразования римановых многообразий Библиография Добавление. Методы неассоциативной алгебры в дифференциальной геометрии (Л.В.Сабинин) Список основных обозначений Предметный указатель

158 166 173 180 185 189 189 191 194 198 212 212 216 222 230 233 236 241 249 249 250 252 254 255 259 261 263 263 266 268 269 272 274 275 279 281 282 283 286 293 340 342

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Голоморфное преобразование 11 Абсолютный параллелизм 121 Гомоморфизм расслоений 59 Автоморфизм алгебры Ли 47 Гомотопия 261 — группы Ли 47 Горизонтальная компонента 68 — связности 84 — кривая 73, 90 Алгебра Ли 45 Горизонтальное подпространство Альтернация 35 68, 90 Аналитическое продолжение 238 Горизонтальный вектор 68 Атлас 12 — лифт 69, 73, 90 — полный 12 Группа голономии 75, 76 Аффинная группа голономии 128 — — аффинная 128 — связность 127 — — инфинитезимальная 98, 147 — — обобщенная 125 — — линейная 128 Аффинное отображение 212 — — локальная 96, 147 — преобразование 124, 213 — — однородная 128 — — инфинитезимальное 217 Группа голономии суженная 75, 76 — пространство 123 — изотропии линейная 150 — — касательное 123 — Ли 45 Аффинный параллельный перенос — — преобразований 48 128 Дивергенция 259 — параметр 135 Диффеоморфизм 19 — репер 124 Дифференциал ковариантный 122 Бутылка Клейна 210 — отображения 17 Вектор 14 Векторное поле 15 — функции 17 — — Киллинга 223 Дифференцирование алгебры 38, 41 — расслоение 113 — Ли 37 Вертикальная компонента 68 — тензорной алгебры 33 Вертикальное подпространство 68, Длина дуги 157 90 Евклидов тор 199 Вертикальный вектор 68 — цилиндр 199 Вещественное проективное Евклидова метрика 150 пространство 52 Евклидово движение 204 Вложение 18, 59 — касательное пространство 185 — изометрическое 156 — подпространство 206 Внешнее дифференцирование 17, 43 Естественный лифт векторного поля — — ковариантное 80 216 Внешняя производная 80 Изометрическое вложение 156 — — ковариантная 80 — погружение 156 Внутреннее произведение 42 Изометрия 52, 156, 222 Выпуклая окрестность 146, 161 — инфинитеэимальная 223 Геодезическая 135, 142 Иммерсия 18 — минимизирующая 161 Гиперповерхность 18

Инвариантная риманова метрика 150 — связность 84, 104 Инволютивное распределение 19 Индуцированная риманова метрика 150 — связность 85 Индуцированное расслоение 66 Интегральная кривая 21 Интегральное многообразие 19 Каноническая инвариантная риманова метрика 151 — — связность 110, 276 — линейная связность 302 — метрика 151 — плоская связность 94 — форма на L (М) 118 — 1-форма на группе 48 Канонический параметр на геодезической 158 Каноническое разложение (разложение де Рама)178, 184 Карта 12 Касательное пространство 15 — — аффинное 123 — расслоение 62 Касательный вектор 14 Ковариантная производная 114, 115, 121 Ковариантное дифференцирование 115, 121 Ковариантный дифференциал 122 — тензор 29 Ковектор 16 Компактно открытая топология 52 Компоненты векторного поля 15 — линейной связности 138 — тензора 29 — тензорного поля 34 — 1-формы 16 Контравариантный тензор 29 Конформное преобразование 283 — — инфинитезимальное 284 Координатная окрестность 13

Косое дифференцирование 41 Кривизна 130 — постоянная 192 —, преобразование 130 — рекуррентная 279 — риманова 191 — секционная 192 — скалярная 269 —, тензорное поле 130, 142 —, форма 80 Кручение двух тензорных полей типа (1,1) 44 — тензорного поля 130, 142 —, трансляция 130 —, форма 119 Кубическая окрестность 13 Лассо 77, 177, 261 Линейная группа голономии 128 — — изотропии 150 — связность 118 Линейный репер 61 Лист Мёбиуса 210 Лифт (подъем) 69, 73, 90 — горизонтальный 69, 73, 90 — естественный 216 Локальная координатная система 13 Локальный базис распределения 19 Лоренцева метрика 267 Метрическая связность 117, 154 Многообразие 12 — аналитическое действительное 12 — — комплексное 12 — дифференцируемое 12 — локально аффинное 199 — ориентированное 12 — ориентируемое 18 Накрывающее пространство 67 Неопределенная риманова метрика 151 Неприводимая группа евклидовых движений 206 Неприводимое риманово многообразие 173

Нормальная система координат 144, 158 Однопараметрическая группа преобразований 21 — подгруппа 45 Однородное пространство риманово 150, 170 — — симметрическое 275 Орбита 21 Ориентация 12, 13 Ортонормальный репер 65 Паракомпактность 63 Параллельное сечение 90 — тензорное поле 122 Параллельный перенос 74, 90, 91 — — аффинный 128 Плоская связность 94 — — аффинная 198 — — каноническая 94 — — линейная 199 Плоское риманово многообразие 198, 199 Погружение 18 — изометрическое 156 Подгруппа изотропии 55 — Ли 46 Подмногообразие 18 — вполне геодезическое 174 Подрасслоение 59 Полная линейная связность 137 — риманова метрика 166 Полное векторное поле 22 — риманово многообразие 166 Полный дифференциал 16 Послойная метрика 116 Постоянная кривизна 192 Преобразование 19 — гомотетии 227, 284 — — инфинитезимальное 284 Присоединенное представление 47 Проекция 56 Производная Ли 36 Простое покрытие 162 Пространственная форма 198

Пространство базисное 56 — ковариантных тензоров 29 — контравариантных тензоров 29 — постоянной кривизны 192, 194 — расслоения 56 — тотальное 56 Псевдогруппа преобразований 11 Псевдотензориальная форма 79 Разбиение единицы 252 Развертка 129 Разложение де Рама 178, 184 Разрывная группа 51 Ранг отображения 18 Распределение 19 — инволютивное 19 Расслоение ассоциированное 60 — аффинных реперов 124 — векторное 113 — главное 56 — голономии 87 — индуцированное 66 — касательное 62 — линейных реперов 61 — ортонормальных реперов 65 — редуцированное 59 — тензорное 62 — тривиальное 57 Редукция связности 84, 86 — структурной группы 59 Редуцированное расслоение 59 Редуцируемая связность 84, 86 — структурная группа 59 Рекуррентная кривизна 279 Рекуррентный тензор 279 Репер аффинный 124 — линейный 61 — ортонормальный 65 Риманов тензор кривизны 191 Риманова метрика 35, 150, 151 — — инвариантная 150 — — — каноническая 151 — — индуцированная 150 — — неопределенная 151 — связность 153

Риманово многообразие 65, 150 Риманово многообразие гиперболическое 198 — — локально евклидово 188, 198, 199 — — неприводимое 173 — — непродолжаемое 172 — — плоское 198, 199 — — полное 166 — — приводимое 173 — — эллиптическое 198 — однородное пространство 150 Свертывание 30 Свободное действие группы 48 Связность 68 — аффинная 127 — — обобщенная 125 — — плоская 198 — инвариантная 84, 104 — — при параллелизме 246 — индуцированная 85 — каноническая 110, 276 — — линейная 277 — — плоская 94 — Леви-Чивита 154 — линейная 118 — — локально симметрическая 278 — метрическая 117, 154 — плоская 94 — риманова 153 — универсальная 265 —, форма 68 Сегмент 163 Секционная кривизна 192 Сечение 63 —, адаптированное к нормальной координатной системе 241 Символы Кристоффеля 138 Симметризация 36 Симметрия 276 Скалярная кривизна 269 Скалярное произведение 32 Скрученный тор 210 — цилиндр 210 Слой 60

Слой-транзитивность 107 Собственно разрывная группа 50 Стандартное горизонтальное векторное поле 118 Структурная группа 56 Структурные константы 48 — уравнения 80, 81, 117, 120, 127 Тензор ковариантный 29 — контравариантный 29 Тензориальная форма 79 Тензорная алгебра 30, 32 Тензорное поле 34 — — Риччи 233 — произведение 25 — пространство 29, 30 — расслоение 62 Теорема голономии 91 — Грина 259 — редукции 86 — Фробениуса 20 — Шура 192 Тип тензора 30 — adG 80 Тождества Бианки 82, 120, 132 Top 67 — евклидов 199 — скрученный 210 Точечное поле 128 Тривиальное расслоение 57 Универсальное факторизационное свойство 26 Уравнения Маурера — Картана 47, 48 Факторпространство 50 Форма Киплинга — Картана 151 — кривизны 80 — кручения 119 — псевдотензориальная 79 — связности 68 — Тензориальная 79 Формула Лейбница 21 Фундаментальное векторное поле 57 Функции переноса 57

Функция расстояния 153 Цилиндр 210 — евклидов 199 — скрученный 210 Эйнштейново многообразие 268 Экспоненциальное отображение 46, 137, 143

Эффективное действие группы 48 Сk-гомотопия 261 G-структура 264 r-форма 16 1-форма 16