Математическое моделирование и оптимизация тепловой эффективности зданий

ТаОунщиков №. А. Бродач М. М.

Математические моделирование и оптимизация тепловой эффективности зданий

Москва АВОК-ПРЕСС 2002

Табунщиков Ю.А., Бродач М.М. Математическое моделирование и оптимизация тепловой эффективности зданий. М.: АВОК-ПРЕСС, 2002. - 194 с : ил.

Книга посвящена применению математических методов системного анализа для изучения теп­ ловой эффективности зданий. Приведены научные основы и методологические принципы проекти­ рования энергоэффективных зданий. Рассмотрены особенности разработки математических моде­ лей для систем управления тепловым режимом интеллектуальных зданий. Книга предназначена для широкого круга специалистов в области отопления, вентиляции, кон­ диционирования воздуха, строительной теплотехники и может быть использована в качестве посо­ бия для преподавателей и студентов высших учебных заведений.

© Издательство «АВОК-ПРЕСС», 2002 © Табунщиков Ю.А., 2002 © Бродач М.М., 2002

ISBN 5-94533-002-7

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ

ГЛАВА 1 М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь ТЕПЛОВОГО Р Е Ж И М А З Д А Н И Я

I. I Системный подход к построению математической модели теплово­ го баланса здания 1.2 Математическая модель лучистого теплообмена в помещении 1.3 Математическая модель конвективного теплообмена в помещении 1.4 Математическая модель теплопередачи через ограждающие конст­ рукции 1.5 Математическая модель теплопередачи через заполнение светово­ го проема 1.6 Учет внутреннего оборудования в тепловом балансе помещения 1.7 Математическая модель теплового баланса помещения и здания в целом

ГЛАВА 2 РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БАЛАНСА З Д А Н И Я

МОДЕЛИ

10 15 23 30 39 45 47

ТЕПЛОВОГО

2.1 Уравнение теплопроводности обобщенного вида и метод его реше­ ния 2.2 Реализация математической модели теплового баланса помещения 2.3 Реализация математической модели теплового баланса здания

54 70 71

ГЛАВА 3 ТЕПЛОУСТОЙЧИВОСТЬ З Д А Н И Й В Л Е Т Н И Й П Е Р И О Д

3.1 3.2 3.3 3.4

Обобщенные переменные Оценка показателей комфортности теплового режима помещения Исследование теплоустойчивости зданий Исследование теплового баланса помещения как объекта с распре­ деленными параметрами (на примере помещения животноводче­ ского здания)

79 90 93

104

ГЛАВА 4 ТЕПЛОУСТОЙЧИВОСТЬ З Д А Н И Й В З И М Н И Й П Е Р И О Д

4.1 Теплоустойчивость здания при прерывистой подаче тепла 4.2 Теплоустойчивость помещений с конвективными и лучисто-кон­ вективными системами отопления

ПО 114

ГЛАВА 5 О П Т И М И З А Ц И Я ТЕПЛОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ З Д А Н И Я

5.1 Принципы проектирования энергоэффективных зданий 5.2 Энергоэффективное здание как критерий оценки мастерства архи­ тектора и инженера 5.3 Энергетические возможности наружного климата 5.4 Оптимальный учет воздействия наружного климата в тепловом балансе здания 5.5 Инженерная методика оптимального учета воздействия наружного климата 5.6 Оптимизация затрат энергии на климатизацию помещения 5.7 Минимизация затрат энергии при прерывистом режиме отопления 5.8 Задача оптимизации затрат энергии на разогрев здания

124 126 128 134 148 152 161 166

ГЛАВА 6 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Д Л Я УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛОВЫМ Р Е Ж И М О М ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОГО ЗДАНИЯ

6.1 Интеллектуальное здание 6.2 Особенности математической модели теплового режима здания для системы управления 6.3 Идентификация математической модели 6.4 Самообучающаяся математическая модель 6.5 Пример разработки системы управления тепловым режимом про­ изводственного здания 6.6 Рекомендации по разработке системы управления

172 174 182 185 186 188

ОБОЗНАЧЕНИЯ И С И М В О Л Ы

190

ЛИТЕРАТУРА

194

ПРЕДИСЛОВИЕ Проблема принятия решения при проектировании системы климатизации и тепло­ защиты здания, то есть выбор одной из возможных альтернатив, является сложной ввиду многообразия факторов, влияющих на этот выбор. Каждый вариант решения обладает какими-то преимуществами и какими-то недостатками, причем в силу многообразия факторов не сразу ясно, какой из вариантов лучше (предпочтительнее) других и почему. Как правило, у специалистов возникают сомнения в том, что принятое решение яв­ ляется наилучшим. В этом случае возникает необходимость в наличии научного метода, позволяющего вести поиск «наилучшего решения». Чем сложнее, дороже и масштабнее проектируемый объект, тем большую опасность представляют «волевые» решения и тем важнее становятся научные методы, позволяю­ щие заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные. Слишком опасно в таких случаях опи­ раться на свою интуицию, на «опыт и здравый смысл» и даже на наиболее распростра­ ненный в наше время метод поиска наилучшего решения, так называемый «метод проб и ошибок». В наше время техника и технология меняются настолько быстро, что «опыт» просто не успевает накапливаться, а «здравый смысл» легко может обмануть, если не опирается на научный метод поиска наилучшего решения. В современной науке методом поиска наилучшего решения является «системный анализ» - это дисциплина, занимающаяся проблемами принятия решения в условиях, когда выбор альтернативы требует анализа сложной информации различной физической природы /1,2/. Истоки системного анализа, его методических концепций лежат в тех дисциплинах, которые занимаются проблемами принятия решений - теории исследова­ ния операций и общей теории управления /3/. Таким образом, в нашем случае системный анализ - это совокупность методов и принципов выбора технических параметров системы климатизации и теплозащиты зда­ ния, наилучшим образом отвечающих достижению цели, ради которой создается эта система. Методология системного анализа (методология «принятия решения») включает в себя следующие три этапа: 1. Системный подход к объекту как к части другой более обширной системы, ус­ тановление связей между его элементами и описание этих связей на языке мате­ матики, то есть построение математической модели изучаемого явления или объекта. 2. Анализ ограничений и формулировка целевой функции. На этом этапе задача принятия решения трактуется как некоторая оптимизационная задача. Опти­ мальными здесь называют решения, которые по тем или иным признакам пред­ почтительнее других. 3. Решение полученной оптимизационной задачи. Иногда (относительно редко) в результате решения удается указать одно единствен­ ное строго оптимальное решение, гораздо чаще - выделить области практически равно­ ценных «наилучших решений», в пределах которых может быть сделан окончательный выбор.

5

Заметим, что «принятие решения» выходит за рамки исследований и относится к компетенции ответственного лица, чаще - группы лиц, которым дано право окончатель­ ного выбора и которые при выборе учитывают также другие обстоятельства и факторы. Хотя системный подход уже проявил свои большие возможности, его нельзя рас­ сматривать как совокупность строго установленных правил, применение которых позво­ ляет автоматически получить решение сложной задачи. Анализ каждой сложной системы - это уникальная проблема, требующая не только разносторонней культуры, но и изобретательности и таланта - это творческий процесс. Любое руководство - это всего лишь помощник. В первой главе изложены принципы системного анализа здания как единой тепло­ энергетической системы. Авторы предлагают методику построения математической мо­ дели здания, основанную на его декомпозиции тремя основными теплоэнергетически взаимосвязанными подсистемами: энергетическим воздействием наружного климата на оболочку здания; энергией, содержащейся в оболочке здания; энергией, содержащейся внутри объема здания. Математическая модель энергетического воздействия наружного климата на оболочку здания представлена в главе 5, параграф 5.3. Энергия, содержащая­ ся в оболочке здания, представлена в главе обобщенными уравнениями теплопередачи для наружных ограждений и для заполнений световых проемов. Уравнения теплового баланса энергии, содержащейся внутри объема здания, учитывают длинноволновую и коротковолновую радиацию в помещении, конвективный теплообмен, внутренние ис­ точники и теплоаккумуляционные характеристики оборудования. Расчет потерь тепла за счет фильтрации воздуха через ограждающие конструкции учитывает аэродинамические коэффициенты здания и изменение температуры и давления воздуха по высоте помеще­ ния. Тепловой режим помещения, математические модели элементов которого рассмот­ рены, представляет собой элемент системы более высокого порядка - теплового режима здания. Связями между этими элементами является теплообмен между помещениями, происходящими, главным образом, за счет воздухообмена и теплопередачи через внут­ ренние ограждения. Во второй главе описаны методы реализации математической модели помещения и здания как единой теплоэнергетической системы. Предлагаемые модели имеют нагляд­ ную расчетную схему, обеспечивают необходимую надежность и точность результатов расчета, позволяют достаточно просто корректировать расчетные формулы при творче­ ском развитии математических моделей и необходимости учета дополнительных факто­ ров. В третьей главе изложены примеры применения математического моделирования для исследования теплового режима помещений в теплый период года, получены анали­ тические зависимости для определения области оптимальных показателей тепло- и солнцезащиты помещения. Показано влияние теплозащитных характеристик материалов конструкций на снижение расхода энергии при кондиционировании воздуха помещений и на улучшение показателей комфортности теплового режима. В четвертой главе изложены примеры применения математического моделирова­ ния для исследования теплового режима помещений в холодный период года. Дана сравнительная оценка конвективной и лучистой систем отопления по величине энерго­ затрат на создание одинакового теплового режима.

6

В пятой главе предложены принципы проектирования энергоэффективных зданий, которые основаны на применении оптимизационных математических методов системно­ го анализа. Мировой энергетический кризис 70-х годов привел, в частности, к появлению ново­ го научно-экспериментального направления в строительстве, связанного с понятием «здание с эффективным использованием энергии». Первое такое здание было построено в 1974 году в г. Манчестере (штат Нью-Хэмпшир, США). Цель строительства этого зда­ ния, как впрочем и всех последовавших за ним в рамках нового направления, заключа­ лась в выявлении суммарного эффекта энергосбережения от использования архитектур­ ных и инженерных решений, направленных на экономию энергетических ресурсов. Ши­ рокое распространение в мировой практике проектирования систем климатизации зда­ ний получила программа DOE-2, разработанная в лаборатории Беркли, Калифорния, США. Программа определяет почасовой расход энергии зданием, делает оценку здания в энергетическом отношении с учетом часовых показателей погоды (температура, ско­ рость и направление ветра, солнечная радиация), системы климатизации, других факто­ ров. Используя DOE-2 проектировщик определяет параметры здания, которые повыша­ ют теплоэнергетическую эффективность при сохранении теплового комфорта в помеще­ ниях. В последние годы значительно увеличился объем строительства зданий различного технологического назначения с эффективным использованием энергии. С точки зрения современной науки задача проектирования энергоэффективных зданий относится к так называемым задачам «системного анализа» или задачам «исследования операций», по­ иск решения которых связан с выбором альтернативы и требует анализа сложной ин­ формации различной физической природы. Цель методов системного анализа или ис­ следования операций - предварительное количественное обоснование оптимальных ре­ шений. Оптимальными здесь называются решения, которые по тем или иным признакам предпочтительнее всех других. Занимаясь длительное время проблемой создания научных основ проектирования энергоэффективных зданий, авторы стремились ответить на следующие вопросы: 1. Энергоэффективные здания: нужны ли архитектору и инженеру специальные знания для их проектирования? 2. Что такое «энергоэффективное здание»: система энергетически независимых инновационных решений или системный подход к зданию как единой энергети­ ческой системе и энергетически взаимосвязанные инновационные решения? 3. Как измерить успех (мастерство) архитектора и инженера при проектировании энергоэффективного здания? 4. Могут ли принципы проектирования энергоэффективного здания явиться новым подходом к проектированию любых зданий? 5. Почему до настоящего времени энергоэффективные здания не стали новым ар­ хитектурным стилем? Материалы международной конференции CLIMA 2000, Неаполь, сентября 2001 года показывают, что в настоящее время энергоэффективные здания рассматриваются как совокупность энергетически независимых инновационных решений. Архитекторы поня­ ли красоту, возможности и выразительность камня, дерева, стекла и построили много замечательных зданий с их применением. Энергоэффективные здания остаются для ар­ хитекторов набором сложных технических решений, которыми, как они считают, вла-

7

деют только инженеры. Для инженеров проектирование энергоэффективных зданий не стало новой научной дисциплиной, опирающейся на систему строгих правил. В то же время очевидным для архитекторов и инженеров является тезис: принципы проектиро­ вания энергоэффективных зданий должны быть принципами проектирования любых зданий. По существу эти принципы содержатся в материале главы. Авторы также наде­ ются, что материал главы дает ответы на первые четыре вопроса. В шестой главе изложены методологические основы построения математической модели управления системой для управления тепловым режимом интеллектуального здания. Учитывая, что до настоящего времени отсутствует строгое определение понятия «интеллектуальное здание», авторы сочли целесообразным привести различные бытую­ щие определения. Математическая модель может быть использована в любых системах управления и обеспечивает высокий эффект энергосбережения, что демонстрирует спе­ циальный пример, изложенный в главе. Материал книги рассчитан на читателя, знакомого с современной прикладной мате­ матикой, и в любом случае применяемый в книге математический аппарат не выходит за пределы обычного втузовского курса математики. Что касается идейных, методологиче­ ских моментов, то их понимание требует от читателя внимания и известного напряжения мысли. Среди многих трудностей, которые авторы встретили, особое место занимает про­ блема терминологии. В нашей специальности есть много понятий, например, микрокли­ мат помещений, тепловая эффективность здания, система климатизации, система конди­ ционирования воздуха и ряд других, которые не имеют достаточно строгих определе­ ний, но которые правильно понимаются и различаются специалистами. Книга рассчита­ на на специалистов, которых многочисленные оговорки, делаемые в угоду «безукориз­ ненной строгости», могли бы только отвлекать от существа дела. И еще: список литературных ссылок максимально ограничен. По оценке авторов удовлетворительный список содержал бы более двухсот наименований. Думаем, что для «введения в предмет» список литературных ссылок, представленный в книге, является достаточным. Читателям, которые захотят развивать материал, изложенный в книге, авторы хотят дать следующий совет: 1. Для изучения сложных систем, к которым относится здание как единая энерге­ тическая система, принципиально необходимо построение множества моделей и научно неправомерно пытаться искать какую-то одну всеобъемлющую. Напри­ мер, в физике существует несколько квантовых теорий, объясняющих одни и те же явления, исходя из разных принципов и позиций. 2. Построение сложных моделей не должно быть самоцелью: решение, полученное с помощью приближенной модели, дает результаты несколько «размытые» по сравнению с результатами решений на основе сложных моделей, но при этом сохраняется «правильность» самих результатов. Авторы считают принципиально важным отметить: теория теплового режима здания в ее сегодняшнем виде была создана трудами замечательных специалистов О.Е. Власова, В.Д. Мачинского, Г.А. Селиверстова, СИ. Муромова, Л.А. Семенова, A.M. Шкловера, К.Ф. Фокина, В.Н. Богословского, В.В. Константиновой, М.Я. Поза и многих, многих других, принесших нашей стране мировую известность и во многих направлениях за­ крепивших приоритет нашей специальности. Изучение работ этих специалистов всегда

8

вызывает чувство глубокого восхищения их талантами ученых и исследователей, и час­ то - самоотверженностью в отстаивании своих принципиальных теорий и положений. И в науке, и в жизни авторы стремились быть достойными последователями своих учите­ лей, памяти которых посвящается эта книга. В заключение: Чрезвычайно важно - может быть, это самая главная идея для строительства XXI ве­ ка - природа - не пассивный фон нашей деятельности: при правильном подходе может быть создана новая природная среда, обладающая более высокими комфортными пока­ зателями для градостроительства и являющаяся в то же время энергетическим источни­ ком для климатизации зданий. Логика развития современной архитектуры во многом есть результат стремления к гармонии окружающей здание природной среды и микроклимата в помещениях. Sustainable Building (жизнеудерживающее здание), Energy-Efficient Building (энерго­ эффективное здание), Intelligent Building (интеллектуальное здание), Bioclimatic Architecture (биоклиматическая архитектура), Healthy Building (здоровое здание) - это отдельные направления в современной архитектуре и инженерии зданий, связанные с экономией энергетических ресурсов, защитой интересов последующих поколений и по­ вышением качества среды обитания человека. Каждое из этих направлений содержит ряд серьезных незаконченностей и неопределенностей и требует долгой и масштабной корпоративной работы всех заинтересованных специалистов. В то же время изучения отдельных направлений недостаточно, чтобы понять принципы гармонии человека, зда­ ния и природы. «Исходным пунктом для понимания этого является некоторое интуитив­ ное представление, интуитивная убежденность в существовании законов, единых для всей живой и неживой, "разумной" и "неразумной" материи, одухотворенности, осмыс­ ленности природы - представление, столь характерное для русской интеллектуальной традиции» (Н.Н. Моисеев).

9

Табунщиков Ю. А., Бродач М. М.

Глава 1 М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь ТЕПЛОВОГО Р Е Ж И М А ЗДАНИЯ 1.1 Системный подход к построению математической модели теплового баланса здания Здание представляет собой сложную архитектурно-конструктивную систему с мно­ гообразием составляющих ее элементов ограждающих конструкций и инженерного обо­ рудования, в которых протекают различные по физической сущности процессы погло­ щения, превращения и переноса теплоты. Под действием разности температур наружного и внутреннего воздуха и солнечной радиации помещение через ограждающие конструкции в зимнее время теряет, а в летнее получает теплоту. Гравитационные силы, действие ветра и вентиляция создают перепа­ ды давлений, приводящие к перетеканию воздуха между сообщающимися помещениями и к его фильтрации через поры материалов и неплотности ограждений. Атмосферные осадки, влаговыделения в помещениях, разность влажности внутреннего и наружного воздуха приводят к влагообмену через ограждения, под влиянием которого возможно увлажнение материалов и ухудшение их теплозащиты. Наружные ограждающие конструкции защищают помещения от неблагоприятных воздействий климата, специальные системы отопления, вентиляции и кондиционирова­ ния воздуха поддерживают в помещении в течение всего года определенные параметры внутренней среды. Совокупность всех инженерных средств и устройств, обеспечиваю­ щих заданный тепловой режим в помещениях здания, называется системой климатизации здания. Здесь дадим определение двум следующим понятиям - «тепловой режим здания» и «тепловая эффективность здания», которые являются основополагающими для наших исследований. Тепловым режимом здания называется совокупность всех факторов и процессов, определяющих тепловую обстановку в его помещениях. Тепловая эффектив­ ность здания характеризуется затратами энергии на его климатизацию, отнесенными к расчетному периоду времени. Задача обеспечения в помещениях здания определенного теплового режима пред­ ставляет собой организацию взаимодействующих и взаимосвязанных тепловых потоков в сложной архитектурно-конструктивной системе с многообразием составляющих ее элементов ограждающих конструкций и инженерного оборудования, каждый из которых является энергоносителем и энергопередатчиком. Принципиальной особенностью этой системы является то обстоятельство, что здание как единая энергетическая система

10

Глава 1 «Математическая модель теплового режима здания» представляет не простое суммирование этих элементов, а особое их соединение, при­ дающее всей системе в целом новые качества, отсутствующие у каждого из элементов. В настоящее время для построения и реализации математических моделей сложных энергетических объектов, к которым может быть отнесено здание, используется методо­ логия системного подхода 141. Системный подход в рассматриваемом нами случае построения математической мо­ дели теплового режима здания предполагает выполнение следующих этапов: 1. Выделение из общей энергопотребляющей системы рассматриваемого объекта, например, выделение здания из микрорайона, цеха в здании завода или отдельно­ го корпуса, помещения в жилом или общественном здании. 2. Выяснение состава элементов, их внутренней структуры и видов связей между ними. 3. Расчленение объекта с помощью метода декомпозиции на более простые элемен­ ты и его последующее восстановление с помощью теории граф. 4. Разработка системы взаимосвязанных математических моделей отдельных эле­ ментов здания и обобщенной математической модели теплового режима здания в целом. Технический прогресс приводит к появлению большого многообразия архитектур­ ных, объемно-планировочных и конструктивных решений зданий с существенно раз­ личными особенностями формирования теплового режима в помещениях, обусловлен­ ными их технологическим назначением и применяемыми системами регулирования микроклимата. Основной предпосылкой для использования в рамках системного подхо­ да метода декомпозиции является наличие ограниченного числа основных типовых эле­ ментов, из которых складывается здание как единая теплоэнергетическая система. Декомпозиция здания как единой энергетической системы может быть представлена тремя основными энергетически взаимосвязанными подсистемами (рис. 1.1): 1. Энергетическим воздействием наружного климата на оболочку здания. 2. Энергией, содержащейся в оболочке здания, то есть в наружных ограждающих конструкциях здания. 3. Энергией, содержащейся внутри объема здания, то есть во внутреннем воздухе, внутреннем оборудовании, внутренних ограждающих конструкциях и т.д. При необходимости каждая из указанных подсистем может быть представлена мето­ дом декомпозиции более мелкими энергетически взаимосвязанными элементами. Тогда математическая модель здания как единой энергетической системы будет со­ стоять из трех подмоделей: 1. Математической модели наружного климата. 2. Математической модели теплопередачи через оболочку здания. 3. Математической модели лучистого и конвективного теплообмена в помещениях здания. Систему элементов и связей, моделирующую тепловой режим помещения, можно представить в виде графа, в котором каждому элементу помещения как единой тепло­ энергетической системы соответствует вершина графа, а связи между элементами по­ мещения или с внешними элементами - дуга графа. На рис. 1.2А показана упрощенная схема теплового баланса помещения, а на рис 1.2Б - соответствующий ей граф. Не сни­ жая дальнейшей общности рассуждений, граф на рис. 1.2Б включает одну наружную

11

Табунщиков Ю А , Бродач М. М.

Рис. 1.1 Декомпозиция здания как единой энергетической системы

стену, одну внутреннюю стену и одно заполнение светового проема. Соединение смеж­ ных вершин графа не одной, а двумя одинаково направленными дугами отражает нали­ чие двух связей, осуществляемых при помощи разных способов передачи энергии. Схема теплового баланса помещения может быть задана в виде матрицы соединений вершин графа (рис. 1.2Б). Единицы в первом столбце матрицы на рисунке 1.2В дают логический признак «Ь>-го элемента помещения как единой теплоэнергетической систе­ мы, из которого исходит (знак плюс) или в который входит (знак минус) данная связь. При этом строка, соответствующая связи между элементами помещения (внутренняя связь), всегда имеет в правой части два ненулевых члена +1 и -1 , а строка, соответст­ вующая связи элемента помещения с внешним элементом (климатическими воздейст­ виями), имеет один ненулевой член: +1 для исходящих и -1 для входящих внешних связей. Матрица отображает топологическую структуру графа теплового баланса помещения. В соответствии с природой изучаемого процесса формирования теплового режима помещения и здания будем различать вероятностные и детерминированные математиче­ ские модели, описывающие этот процесс. Вероятностные математические модели обыч­ но описывают стохастические процессы, которые отражают законы распределения дис­ кретных и непрерывных переменных, а также распределение статистик (выборок). Де­ терминированные модели обычно описывают процесс без применения статистических вероятностных распределений. Но из этого не обязательно следует, что лежащие в их основе явления не имеют статистической природы. Это говорит только о том, что в этом случае оперируют со средними значениями, а не с распределениями величин. Введем следующую классификацию вероятностных математических моделей: будем различать частично вероятностные математические модели теплового режима здания, в

Глава 1 «Математическая модель теплового режима здания»

Рис. 1.2А Схема теплового баланса здания 1 - теплопотери или теплопоступления через ограждающие конструкции (стены, покры тия, перекрытия и т д ), 2 - тепловыделения от отопительных приборов, 3 - теплопоступления от технологического оборудования, 4 - теплопотери или теплопоступления через заполнение светового проема, 5 _ теплопотери за счет воздухообмена

которых изменение параметров наружного климата рассматривается как стохастический процесс, а все остальные факторы и процессы - как детерминированные и вероятност­ ные математические модели, в которых, помимо параметров наружного климата, рас­ сматриваются стохастическими другие факторы и процессы. Введем следующую классификацию вероятностных и детерминированных матема­ тических моделей теплового режима помещения: 1. Математические модели теплового режима помещения как объекта с распреде­ ленными параметрами. Сюда будем относить математические модели, которые описывают температурное поле в плане и по высоте помещения и раздельно учи­ тывают лучистый и конвективный теплообмен в помещении. 2. Математические модели теплового режима помещения как объекта с частично распределенными параметрами. Сюда будем относить математические модели, которые раздельно учитывают лучистый и конвективный теплообмен в помеще­ нии, а температура воздуха принимается одинаковой по объему помещения.

Табунщиков Ю. А., Бродач М. М.

13

10 \

^ ^ ^ ^ 4

(iu: 11/

6

5

^

—о—

,

/ "\

,-C 2

2

к-с,) ^]

где обоз начено:

с с> • "' °\°2 > \ -

"'

с -

с

2 ~

°2

о,о2

д =о,о2

а

>

охо2

*1 =

охо2

0,0 ,iv2

D2 =

о,о2

в2 = ь7 о,1^2 а

(1.15)

На рис. 1.4 и 1.5 показаны геометрические параметры, входящие в формулы (1.11)(1.15). Формулы (1.9), (1.12) и (1.14) дают универсальный алгоритм для определения сред­ него коэффициента излучения для различных поверхностей помещения, удобный для расчета. Значения коэффициента £,__, легко вычисляются для следующих трех простейших слу­ чаев: 1. Для двух параллельных поверхностей, расстояние между которыми мало по срав­ нению с их размерами: 1 е,

е,

(1.16)

Табунщиков Ю. А., Бродач М. М.

VI

n

\ \

I

\ о

I

II

11/1//// II Отопительный прибор (радиатор)

1.0

2.0

,

р

, 1.0

1

IV

1

Рис. 1.6 Схема проектируемого помещения

2. Одна поверхность со всех сторон окружена другой поверхностью (сфера в сфере, цилиндр в цилиндре, невогнутая поверхность окружена большей поверхностью такой же геометрии): 1 г l

F +

'

1

Л

(1.17)

3. Поверхности малы или велико расстояние между ними: е

= £ •£

(1.48)

где е„ £j - интегральные или средние степени черноты серых поверхностей. Третий случай определяет наинизший предел значения £,_,; второй случай при FJFj-^0 определяет наибольшее значение £,_,; первый случай определяет среднее между вторым и третьим случаями значение £,_,. При произвольном расположении поверхно­ стей точно вычислить значение £,_; сложно. Так как поверхности в помещении, как правило, имеют большие значения коэффи­ циентов излучения, разница в расчете £,_, по формулам (1.16) и (1.18) не превышает 5% 151. В помещении имеется оборудование и мебель, площадь поверхности которых, уча­ ствующую в лучистом теплообмене, определить трудно. Опыт проведения расчетов лу­ чистого теплообмена в помещении показывает, что целесообразно принять некоторую стандартную модель помещения, которая существенно упростит трудоемкость выполне­ ния расчетов и уменьшит возможность ошибок. В заключение приведем пример расчета количества лучистого тепла в помещении. Схема помещения показана на рис. 1.6. Расчетные данные: - температуры поверхностей

Глава 1 «Математическая модель теплового режима здания»

ТАБЛИЦА 1.1 Матрица средних коэффициентов облученности поверхностей в помещении Поверхности помещения (рис. 1.6) Радиа­ Сум­ II VI I III IV V Окно тор ма I 0 0,200 0,270 0,270 0,130 0,0843 0,0307 0,0150 1,0 II 0,200 0 0,270 0,270 0.130 0,0843 0,0307 0,0150 1,0 III 0,200 0,200 0,340 0,130 0,0781 0,0394 0 0,0125 1,0 0,200 0,200 0,340 0 0,130 0,0614 0,0278 0,0410 IV 1,0 V 0,195 0,260 0,260 0 0,0510 0,0240 0,0150 1,0 0,195 0,217 0,087 0 VI 0,217 0,268 0,211 0 0 1,0 0,184 0,184 0,221 0,096 0 0 Окно 0,315 0 1,0 Радиа­ 0,135 0 0,135 0,150 0.490 0,090 0 0 1,0 тор ТАБЛИЦА 1.2 Лучистые тепловые потоки EFflj, Вт

Результаты вычислений лучистых тепловых потоков Поверхности помещения

Радиа­ тор 376,2 376,2 385,7 415,1 396,2 346,6 679,0 375,5 в -384,8 -179,9 -667,8 -252,0 571,8 -159,1 -119,8 -143,9 QRAD, > т -354,4 -163,9 -231,4 -lF'

(1.19)

где b,_j - корректирующий коэффициент. При комнатных температурах величину корректирующего коэффициента допускает­ ся определять по формуле /5/: bl_/ = 0,81 + 0,005(7;- Tt)

(1.20)

Распространение коротковолновой радиации в помещении поясняется с помощью рис. 1.7. Коротковолновое излучение на поверхность i (или характерную ее часть) рассчиты­ вается как сумма потока коротковолновой радиации (У,), падающей на поверхность / не­ посредственно от источника, и потоков коротковолновой радиации (£,), отраженной от других поверхностей в помещении. Суммарная коротковолновая радиация, падающая на поверхность /, отраженная от других поверхностей, есть

£,=£р> 7 +/>,_,

(1.21)

Значения Е, рассчитываются путем решения системы уравнений (1.26). Расчет можно упростить, если воспользоваться дельтой Кронекера. Перепишем формулу (1.21) так:

1ДА=Д.

(1.22)

Глава 1 «Математическая модель теплового режима здания»

где Г|,;=8,-р;ф,_;; 8(/ - дельта Кронекера, равная 1, когда «=/', и равная 0, когда tej;

j

В матричной форме последнее уравнение может быть записано: М [ я ] = |«]

(1.23)

Отсюда Е, можно рассчитать вычислением обратной матрицы: [£]=[П]" 1 И

(1-24)

В результате радиационный баланс /-поверхности для коротковолновой радиации описывается формулой: e«AD.,=0-p,fe+-A)

(1.25)

1.3 М а т е м а т и ч е с к а я модель к о н в е к т и в н о г о теплообмена в помещении Натурные исследования показывают, что в большинстве помещений в результате перемешивания воздуха наблюдается сравнительно равномерное распределение его тем­ пературы в плане и по высоте помещения. Исключение составляют помещения с большими избытками тепла или с подачей воздуха неизотермическими струями. Чем выше помещение, чем больше в нем источников тепла, чем дискретнее эти источники и чем больше их температура отличается от температуры внутреннего воздуха, тем боль­ ше изменяется температура в плане и по высоте помещения. Расчет конвективного теп­ лообмена в помещении может быть выполнен на основе решения уравнений сохранения количества движения (уравнения Навье-Стокса), энергии и массы 161:

dt

'

дхк

— + yVr=divA,VT— dt pc

(1.26)

- ^ + divpy=0 at где t - время; V=V(x,y,z,t) - скорость движения воздуха; р - плотность воздуха; T=T(x,y,z,t) - температура воздуха; X - теплопроводность воздуха; П, к - тензор плотно­ сти потока импульса, равный для вязкой сжимаемой жидкости /6/ П,,*=р8,*+рУ,У/г-о\*; здесь 5,к - единичный тензор; р - плотность воздуха; о\_к -«вязкий» тензор; индексы г и к пробегают значения 1, 2, 3, соответствующие компонентам векторов и тензоров, по осям х, у и z. Физический смысл первых двух слагаемых тензора плотности потока им­ пульса состоит в том, что П,к есть /-ая компонента количества импульса, протекающего в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси хк. «Вязкий» тензор для сжимаемой жидкости определяется выражением:

Табунщиков Ю. А., Бродач М. М.

(dV VO-fy

dVk axt

2_ 5

ЭУЛ dxtJ

t_

dV, dxl

где ц и ^ - коэффициенты вязкости, а для несжимаемой жидкости: а

(dV, dVk) ' к = ^ ^ +^ - \ Vcte^ dxt У

(1-28)

При необходимости в систему уравнений (1.26) следует включать источники энер­ гии и массы. Граничные условия для системы уравнений определяются исходя из физи­ ческой модели процесса. Вместе с тем, следует отметить, что на поверхностях, омывае­ мых потоком воздуха, должны выполняться условия «прилипания» (скорость равна ну­ лю). В подавляющем большинстве случаев движение воздуха в помещении является тур­ булентным. Исключение могут составлять пограничные слои, например, у внутренних поверхностей ограждающих конструкций или у поверхностей оборудования. Течение жидкости принято характеризовать числом Рейнольдса (Re) или Релея (Ra). В гидромеханике установлено, что для турбулентных течений при больших числах Рей­ нольдса велики также числа Рейнольдса крупномасштабных движений. При этом боль­ шие Re эквивалентны малым вязкостям и, следовательно, для крупномасштабного дви­ жения, являющегося как раз основным во всяком турбулентном потоке, вязкость жидко­ сти не играет роли и может быть принята равной нулю, так что движение можно описать уравнением Эйлера для идеальной жидкости. Вязкость жидкости существенна только для мелкомасштабных пульсаций, которые характерны для движения воздуха у поверх­ ностей ограждающих конструкций, или, как принято говорить, в пограничном слое. Гра­ диент скорости в пограничном слое также велик, поэтому вязкие члены в уравнении движения, содержащие производные от скорости по координатам, велики, несмотря на малую величину вязкости воздуха. Распределение температуры в жидкости при больших Re обладает теми же особен­ ностями, которые характерны для распределения скоростей. Поскольку число Прандтля v Рг = — не мало, то вместе с v должен рассматриваться как очень малый и коэффициент а температуропроводности а , это свидетельствует о том, что воздух можно рассматривать как идеальную жидкость. Однако, в пограничном слое происходит быстрое падение не только скорости, но и температуры воздуха. Механизм теплопередачи внутри турбу­ лентной области характеризуется коэффициентом турбулентной температуропроводно­ сти ат. Можно выделить три подхода к решению уравнений конвективного теплообмена в помещениях. В первом подходе осуществляется решение уравнений конвективного теп­ лообмена без перехода к осредненным уравнениям течения и без введения искусствен­ ной или вихревой вязкости. Система уравнений конвективного теплообмена в этом слу­ чае записывается в виде:

Глава 1 «Математическая модель теплового режима здания»

Эю a(vt(o)

— +- Ш at

ах

ДЧ' = -ш; дт

Э/

|

Э(УЛЮ) и эт + - 5 — = - Асо + р > — ay

эч*

Vr=—; Эу

Э(УГГ)

|

Э*

p

ах

эч*

V, = - — Эх ^Э 2 Г

Э(У,Г

дх2+

Эу

(1.29)

Э2Г

ду2

где со - завихренность; Ч* - функция тока; V, и V, - проекции скорости на оси ОХ и OY; (3 - коэффициент объемного расширения воздуха. Для решения системы уравнений используется специально сконструированный ал­ горитм, основанный на применении метода конечных разностей и метода последова­ тельных приближений. С этой целью вводится конечно-разностная сетка с шагами Дх:, Ду, At. Вначале ищется решение уравнения энергии без учета передачи тепла за счет чистой теплопропроводности, то есть члены, стоящие в правой части уравнения энергии, полагаются равными нулю. Затем осуществляется решение уравнения энергии с учетом чистой теплопроводности. Аналогичная процедура применяется для вычисления со с дополнительным промежуточным шагом, на котором Т используется для получения конвективной добавки к со. Такие последовательные добавки обеспечивают максималь­ ный интервал устойчивости различных частей конечно-разностной схемы. Следует от­ метить, что из-за вычислительных сложностей шаг сетки необходимо принимать нерав­ номерным и достаточно мелким вблизи границы, где имеют место течения в погранич­ ном слое. Указанным методом удается получить решения для чисел Релея, равных 109. Большие возможности для решения уравнений конвективного теплообмена пред­ ставляет, на наш взгляд, использование интегро-интерполяционного метода. Особен­ ность использования этого метода для решения уравнений конвективного теплообмена состоит в следующем. В области изменения переменных х, у, t вводится разностная сетка с переменными шагами Ах,, Аук,

At . Затем осуществляется интегрирование

уравнений конвективного теплообмена в параллелепипеде, образованном отрезками х , " dVK

—-+v x —-+v —dt dx dy dV. dV. dVv — - + Vx r ^ - + V , — - = g dt dx ' dy

1 ЭР p dx 1 ЭР 3p dx

(1.39)

dx dy P = ppT

Эта система уравнений справедлива как для ламинарного, так и для турбулентного течения и ее решение трудностей не встречает. В ряде случаев систему (1.39) можно дополнительно упростить, если принять, что движение воздуха в рассматриваемом объеме (за исключением пограничных слоев) яв­ ляется одномерным и стационарным. Тогда получим, что температура изменяется ли­ нейно по высоте помещения. Особый класс задач составляют задачи о струйных течениях в основном объеме по­ мещения. Здесь опять же может быть использован предложенный нами подход раздель­ ного рассмотрения и последующей стыковки решений в пограничном слое и основном объеме помещения. Следует отметить, что к настоящему времени накоплен обширный материал по исследованию и расчету струйных течений в пограничном объеме. Для решения задачи расчета теплового режима здания с учетом изменения темпера­ туры воздуха в плане и по высоте помещения может быть использован метод представ­ ления температуры внутреннего воздуха в виде критериального уравнения. Это наибо­ лее простой подход, позволяющий без существенных затрат учесть особенности конвек­ тивного теплообмена в помещении. В ряде зданий, главным образом производственных, с естественной или искусственной вентиляцией, происходит взаимодействие приточных струй и конвективных потоков от оборудования. При этом лишь незначительную часть объема помещения занимает зона упорядоченного детерминированного движения. В остальной части помещения состояние воздушных потоков хаотично, зависит от ряда случайных факторов. В этом случае целесообразно изменение температуры и скорости воздуха изучать и обобщать с использованием теории подобия и методов математиче­ ской статистики. Полученное критериальное уравнение для температуры внутреннего воздуха затем используется в уравнении теплового баланса теплового режима помеще­ ния как объекта с частично распределенными параметрами. Ниже приведен пример удачного решения для варианта одноточечной модели кон­ вективного теплообмена помещения. Рассмотрим уравнения энергии общего вида: ЭГ . д _ .. ЭГ „ ЭТ w ЭГ (1.40) cp— = \AT-cpV-—cpV-—cpVz — dt dx ay dz Пусть помещение имеет размеры: 8 - высота; / - длина; Н - ширина. Первое упрощающее допущение: движение воздуха в помещении одномерное, то есть У = 0; V = 0

Глава 1 «Математическая модель теплового режима здания»

Второе упрощающее допущение: конвективный перенос тепла вдоль оси ОХ значи­ тельно превышает передачу тепла путем теплопроводности, то есть . д2Т Ъх1

.. дТ ох

Третье упрощающее допущение получим, усредняя температуру воздуха по высоте или длине помещения, то есть

\ дт . Л э 2 г

ъ л/

\cp—dy = X\cp--Tdy-cpVx о dt о ot

гдт А \-z-dy оЭх

18 или, обозначив Т =— \Tdy, получим из (1.40): 8

о

дТ . оТ 1=8 ср х

^Г э7

* „ af -ScpV.-H-

(141)

ах

,=о Далее будем принимать во внимание, что =5

= A,(7i-7')+A2(r2-7')

Х

~ду-

(1.42)

\=0

где Ту и Т2 - температуры поверхности, °С; Aj и h2- коэффициенты конвективного теп­ лообмена между внутренней ограждающей поверхностью и температурой воздуха по­ мещения, Вт/(м2-°С). Принимая, что течение является стационарным, то есть — = 0 , и интегрируя полуЭ/ ченное уравнение при условии, что при х = 0 Т = Т0, получим: Т = {т1)+АУах-А,

(143)

где A=hlTl+h2T2

5cpVx

a=

'

Mj^2. dcpVx

На участке, где наступает стабилизация течения по оси ОХ, то есть — = 0, получим:

дх T=_LA

2_j_

(144)

Aj +A2 Если принять, что Aj = A2 , то _

T, +Г,

(1.45)

I

Последний результат представляет интерес при рассмотрении течения в вентили­ руемых воздушных прослойках, устраиваемых в стенах или покрытиях здания. Оказыва-

Табунщиков Ю. А., Бродач М. М.

ется, что в прослойке на некотором расстоянии от входа потока воздуха наступает ста­ билизация течения, и температура воздуха в прослойке оказывается равной средней температуре ее образующих поверхностей.

1.4 М а т е м а т и ч е с к а я модель теплопередачи ограждающие конструкции

через

В общем случае ограждающие конструкции являются неоднородными и могут со­ держать вентилируемые или замкнутые воздушные прослойки, а также источники тепла. При определении математической модели теплопередачи через ограждающую конст­ рукцию будем считать: - теплотехнические характеристики материалов слоев не зависят от влажности и температуры материала; - влияние откосов оконного проема, стыков, наружных углов, теплопроводных включений на деформацию температурного поля ограждения корректируется с помощью введения эквивалентных теплотехнических показателей, так что темпе­ ратурное поле конструкции можно считать одномерным; - теплопередача через конструкцию происходит за счет теплопроводности и фильтрации воздуха; - имеют место потери (выделения) тепла, связанные с замерзанием (таянием) влаги в материале. С учетом принятых допущений уравнение теплопроводности для конструкции мож­ но записать в виде: ^

= divXVT±CRJF^-

+ Qmu

(1.46)

где т о

Т- температура фазового перехода вода-лед, °С; L - льдистость материала, доли единицы; w - весовая влажность материала, доли единицы; р н - плотность воды, кг/м'; imei - удельная теплота фазового перехода, Дж1кг\ 8(^-Г) - дельта-функция Дирака; JF- расход воздуха через единицу поверхности ограждения, кг1{м"-ч); Qsou - удельная мощность источников тепла в ограждении, Вш/м3; CR - удельная теплоемкость воздуха, Дж/(кг-°С); С, р - соответственно удельная теплоемкость в Дж/(кг-°С) и плотность материалов слоев ограждения, кг/м*, при этом: С • р = Сн{у)рн(у)

при Т > Г и С • р = С £ ( у К Ы при Т < Г.

Глава 1 «Математическая модель теплового режима здания»

CJPJ ,A,j

при 0 < у < 5,

С2р2Д2

пщЪ^'„ - толщина слоя воды на покрытии, м. ' Слой воды на покрытии обычно защищает поверхность покрытия от нагрева солнечной радиацией.

Табунщиков Ю. А., Бродач М. М.

Температурное поле многослойного ограждения, имеющего замкнутые воздушн прослойки, описывается также уравнением, эквивалентным (1.46). При этом с-р - о( емная теплоемкость воздуха, а значение коэффициента теплопроводности определяет по формуле Xs = —, где 8 - толщина прослойки, м; R - термическое сопротивление BI R душной прослойки с учетом конвективного и лучистого теплообмена, м2оС/Вт. Определение расхода воздуха через единицу поверхности ограждения производит на основе следующих предположений: при расчете давления на наружной поверхнос ограждения принимаем, что к рассматриваемому явлению применим принцип независ мости действия сил гравитационного и ветрового давления; связь между давлением температурой определяется уравнением состояния Клапейрона; уравнение проводим 1

( л '"

сти воздуха элементом конструкции имеет вид JFl = KF

, где KF, - коэффии ЛАр0)

ент проводимости воздуха элементом конструкции, равный расходу воздуха через ед ницу площади конструкции при разности давлений Ар=Ар0, кг/{м2-ч); Ар - разность да лений воздуха на наружной и внутренней поверхностях ограждающей конструкции, П п

-

показатель

степени,

М1 = I \dM, — I \JFldxdy, F,

устанавливаемый

экспериментально.

Запиш*

где М, - расход воздуха через /-ую ограждающую констру

F,

цию. Зависимость давления от высоты можно записать как dp=gpdz. Используя уравн ние состояния Р=рВТ, получим:

— = -^-dz Р ВТ

(1.4

где Р - давление, Па; В - газовая постоянная для воздуха, Дж/(кг-К); Т- температура воздуха, К; g - ускорение свободного падения, м/с2; р - плотность воздуха, кг/м . Интегрируя последнее уравнение, получим: In

Р

g)^

р-~1)Щ

где P=PZ - давление на высоте z м, Па; Ph - давление на высоте h м, Па.

(1 5

-

Глава 1 «Математическая модель теплового режима здания»

Температуру воздуха Г(^) представим как Г(^)=Д^)ТЛ, где TR - температура воздуха в рабочей зоне помещения, К. Применив к (1.50) теорему о среднем, получим: 1пРн

(Л-z)

BTR

1

(1.51)

71)

Здесь г