Математика: Учебно-методическое пособие по специальности ''Микроэлектроника и твердотельная электроника''

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю РО С С И Й С К О Й Ф Е Д Е РАЦ И И В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У...

Author: Быкадорова Г.В.

9 downloads 245 Views 723KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю РО С С И Й С К О Й Ф Е Д Е РАЦ И И В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РС И Т Е Т

М А Т ЕМ А Т И К А У че б н о-м е тодиче ское пособ ие для студе нтовсре дне го профе ссионального образования спе циальности 210104 (2001) М ик роэле к троник аи тве рдоте льная эле к троник а

В ороне ж 2006

2

У тве рж де но научно-м е тодиче ск им от 27 января 2006 г. проток ол № 1.

сове том

физиче ск ого фак ульте та

С оставите льБы к адороваГ .В .

У че бно-м е тодиче ск ое пособие подготовле но на к афе дре физик и полупроводник ов и м ик роэле к троник и физиче ск ого фак ульте та В ороне ж ск ого государстве нного униве рсите та. Ре к ом е ндуе тся для студе нтов 2 к урса ве че рне го и 1 к урса дне вного отде ле ний физиче ск ого фак ульте та, обучаю щ ихся по програм м е сре дне го профе ссионального образования спе циальности 210104 (2001) "М ик роэле к троник аи тве рдоте льная эле к троник а".

3

С оде рж ание 1. Д иффе ре нциальное исчисле ние … … … … … ...… … … … … … … … … … … … … 4 1.1. Задачи, приводящ ие к понятию производной … … … … ...… … … … … … 4 1.2. О сновны е правилаи форм улы диффе ре нциального исчисле ния … … ... 7 1.3. Д иффе ре нциал функ ции … ....… … … … ...… … … … … ...… … … … … ...… 9 1.4. П роизводны е и диффе ре нциалы вы сш их порядк ов… … … … … ............. 10 1.5. Ч астны е производны е . П олны й диффере нциал … … … … … … … … … ... 11 1.6. П рилож е ние производны х к иссле дованию функ ций ..… … … … ... … … . 13 2. И нте гральное исчисле ние ..… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. 19 2.1. П е рвообразная функ ция и не опре де ле нны й инте грал … … … … … … … . 19 2.2. И нте грирование способом подстановк и … … … … ...… … … … … … … … .. 21 2.3. И нте грирование по частям … … … … … … … … … .… … … … … … … … … .. 23 2.4. О пре де ле нны й инте грал … … … … … … … … … … … … .… … … … ............. 25 2.5. Ре ш е ние прик ладны х задач спом ощ ью опре де ле нного инте грала… .... 26 3. О бы к нове нны е диффе ре нциальны е уравне ния ...… … … … … … … ........ … … .. 29 3.1. Задачи, приводящ ие к диффе ре нциальны м уравне ниям … ...… … … … . 29 3.2. О сновны е опре де ле ния… … … … … ..… … … … … … … … … … … … … .… . 31 3.3. Д иффе ре нциальны е уравне ния пе рвого порядк аи пе рвой сте пе ни … ... 32 3.4. Д иффе ре нциальны е уравне ния пе рвого порядк асразде ляю щ им ися пе ре м е нны м и ...… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 32 4. П осле довате льности и пре де лы … … … … … … ..… … … … … … … … … … … . 33 4.1. П ре де л числовой после довате льности … … .… … ....… … … … … … … … .. 33 4.2. П ре де л функ ции … … … … … … … … .… … … ..… … … … … … … … … … … 34 5. Ряды … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … … 36 5.1. О сновны е понятия и свой ства… … … … … ....… … .… … … … … … … … … 36 5.2. П ризнак и сходим ости … … … … … ...… … … … … … … ..… … … … … … … . 37 6. О сновы диск ре тной м ате м атик и … … … … … … … … … … ..… … … … … … … ... 39 6.1. П онятие м нож е ства… … … … … … … .… … … … … … … … ..… … … … … .. 39 6.2. О пе рации см нож е ствам и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 42 6.3. О тнош е ния и свой стваотнош е ний … … … … … … … .… … … … ...… … … 46 6.4. О сновны е понятия те ории графов… … … … … … … … … … ...… … … … . 49 7. О сновы те ории ве роятносте й и м ате м атиче ск ой статистик и .............… … … . 54 7.1. С лучай ны е собы тия и их ве роятности .… … … … … … … … … … .… … … . 54 7.2. Классиче ск ое опре де ле ние ве роятности ..… … … … … … … … .… … … … 56 7.3. С татистиче ск ое опре де ле ние ве роятности … … … … … … … … … … … … 58 7.4. Ф орм уласлож е ния ве роятносте й … … … .… … … … … … … ..… … … … … 59 7.5. У словны е ве роятности. Ф орм улаум нож е ния ве роятносте й .… … . … ... 59 7.6. Зак оны распре де ле ния случай ны х ве личин ...… … … … … … … … ...… … 60 7.7. Ч исловы е харак те ристик и случайной ве личины … … … … … .… ....… .… 63 7.8. Н орм альны й зак он распре де ле ния ...… … … … … … … … … … … … … … .. 65 8. О сновны е числе нны е м е тоды … … … … … … … … … … … … … … … ....… .… … . 67 8.1. Ч исле нное диффере нцирование .… … … … … … … … … … … … … … .… … 67 8.2. Ч исле нное инте грирование .… … … … … … … … … … … … … … … .… … .. 70 8.3. Ч исле нное ре ш е ние обы к нове нны х диффе ре нциальны х уравне ний … 73 Л ите ратура … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … … … … .. 77

4

1. Д иф ф е ре н циальн ое исчисле н ие 1.1. Задачи, приводящ ие к понятию производной М ож но установитьсре дню ю ск оростьне равном е рного движ е ния за не к оторы й пром е ж уток вре м е ни, но к ак най ти эту ск оростьдля данного м ом е нта? М ож но вы числитьсре дню ю плотностьлю бого не однородного те ла, но к ак опре де литье го плотностьв отде льно взятой точк е ? М ож но опре де литьугловой к оэффициент се к ущ е й, проходящ е й че ре здве данны е точк и к ривой, но к ак опре де лить угловой к оэффицие нт к асате льной к к ривой вданной точк е ? Ре ш е ние задач так ого харак те ра становится возм ож ны м лиш ь с пом ощ ью п роизв одной , являю щ е йся основны м понятие м м ате м атиче ск ого анализа, а изуче ние ф унк ций с пом ощ ью производной составляе т пре дм е т диффе ренциального исчисле ния. И зфизик и изве стно, что зак он паде ния м ате риальной точк и в пустоте не зависит от е е м ассы и вы раж ае тся форм улой s=

gt 2 , 2

где s –пройде нны й завре м я t путь; g –уск оре ние свободного падения. П устьвре м я возрастае т на ве личину ∆t . Н айде м сре дню ю ск орость υ с р заэтот пром е ж уток вре м ени к ак g (t + ∆t ) gt 2 − ∆s 2 2 = g t 2 + 2t∆t + ∆t 2 − t 2 = g (2t + ∆t ) . = υс р = ∆t ∆t 2 2 2

(

)

М гнове нная ск орость υ в м ом е нт вре м е ни t м ож е т бы ть найде на при ∆t → 0 : g (2t + ∆t ) = gt . ∆t → 0 2 В общ е м случае пусть задана ф унк ция y = f (x ) , график к оторой υ = lim

изображ ен нарис.1.1. y y = f (x)

y2 ∆y

y1

Рис.1.1. Г рафик ф унк ции y = f (x ) .

∆x

x1

x2

x

5

Д ля двух значе ний аргум е нта x1 и x2 разность ∆x = x2 − x1 назы вае тся п рира щ ением а ргум ент а , а разность ∆y = y 2 − y1 = f (x 2 ) − f (x1 ) п рира щ ением ф унк ции наотре зк е [ x1 , x2 ]. Д ля лю бого значе ния не зависим ой пе ре м е нной х м ож но найти пре де л отнош е ния приращ е ния ∆y ф унк ции к приращ е нию аргум е нта∆x вида ∆y f (x + ∆x ) − f (x ) = ∆x ∆x

при ∆x → 0 . Н ахож де ния этого пре де ла сущ е стве нны м образом связано с установле ние м основны х понятий в сам ы х различны х областях наук и и те хник и. П оэтом у в м ате м атиче ск ом анализе ук азанном у пре де лу уде ляе тся особое вним ание и присваивае тся спе циальное наим е нование п роизв одна я ф унк ции. Опре де ле н ие . Произв одной ф унк ции y = f (x ) по не зависим ой пе ре м е нной х в данной точк е х назы вае тся отнош е ние приращ е ния ∆y ф унк ции к приращ ению аргум е нта ∆x при стре м ле нии ∆x к 0. Д ля обозначе ния производной прим е няе тся сим вол y′ или f ′(x ) : y ′ = f ′(x ) = lim

∆x → 0

∆y f (x + ∆x ) − f (x ) . = lim ∆ x → 0 ∆x ∆x

П рим е р 1.1. Н айти производную ф унк ции y(x ) = 3x 2 + 5 производной вточк е х=3. Ре ш е ние . Н айде м приращ е ние ф унк ции

(

)

и значе ние

∆y = 3(x + ∆x ) + 5 − 3 x 2 + 5 = 3 x 2 + 6 x ⋅ ∆x + 3(∆x ) + 5 − 3 x 2 − 5 = 6 x ⋅ ∆x + 3(∆x ) . 2

2

2

Т огдапо опре де ле нию производная ф унк ции е сть ∆y 6 x ⋅ ∆x + (∆x ) = lim = lim (6 x + 3 ⋅ ∆x ) = 6 x . ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x Значе ние производной вточк е х=3 равно y′(3) = 6 ⋅ 3 = 18 . 2

y′ = lim

П рим е р 1.2. Зак он движ е ния точк и по прям ой вы раж ае тся зависим остью пути S (м ) от вре м е ни t (с ): S (t ) = 2t 3 − 5t + 1 . О пре де литьск орость точк и вм ом е нт вре м е ни t=2 с . Ре ш е ние . П устьв м ом е нт вре м е ни t точк а заним ае т полож е ние А, а в м ом е нт t + ∆t - полож е ние В. ∆S

А S

В S1

∆t

С ре дняя ск оростьυ с р за пром е ж уток вре м е ни ∆t е стьυ cp =

∆S . Т огда ∆t

при ∆t → 0 получим м гнове нную ск оростьυ м вм ом е нт вре м е ни t: υ м = lim υ cp = lim ∆t →0

∆t →0

∆S = S t′ . ∆t

6

С ле довате льно, ск орость в лю бой производная пути по вре м е ни. В условиях задачи

м ом е нт

(

вре м е ни

е сть

)

∆S = 2(t + ∆t ) − 5(t + ∆t ) + 1 − 2t 3 − 5t + 1 = 3

= 2t 3 + 6t 2 ∆t + 6t ⋅ (∆t ) + 2(∆t ) − 5t − 5∆t + 1 − 2t 3 + 5t − 1 = 2

3

= 6t 2 ∆t + 6t ⋅ (∆t ) + 2(∆t ) − 5∆t . 2

3

М гнове нная ск оростьυ м вм ом е нт вре м е ни t: 6t 2 ∆t + 6t ⋅ (∆t ) + 2(∆t ) − 5∆t ∆S = lim = ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t 2 = lim 6t 2 + 6t ⋅ ∆t + 2(∆t ) − 5 = 6t 2 − 5. 2

3

υ м = lim ∆t → 0

(

)

В м ом е нт вре м е ни t=2 с υ м = 6 ⋅ 2 2 − 5 = 19 м с . П рим е р1.3. Н ай ти нак лон к асате льной к к ривой y = 3x 2 + 5 вточк е (2;3). Ре ш е ние . Н ак лоном прям ой назы ваю т угловой к оэффицие нт k прям ой, заданной уравне ние м ная к к ривой в y = kx + b . Касате ль точк е M0 е сть пре де льное полож е ние M 0T се к ущ е й M 0 M , к огда точк а М , пе ре м е щ аясь вдоль по к ривой, стре м ится к совпаде нию с M 0 .

Y

y = f (x) M ∆y T M0

ϕ

0

k = tgα = lim

∆x → 0

N

y0

α

И зге ом е триче ск их соображ е ний

α

x0

∆x

х

∆y f (x0 + ∆x ) − f (x0 ) = lim = y′ . ∆ x → 0 ∆x ∆x

В прим е ре 1.1 бы ла найде на производная от ф унк ции y = 3 x 2 + 5 , а им е нно y ′ = 6 x . Т огда нак лон к асате льной в заданной точк е буде т k = y′(2) = 6 ⋅ 2 = 12 . 1.1.

1.2. 1.3.

Задания О пре де литьск оростьдвиж е ния точк и в к онце тре тьей се к унды , е сли путь в S м е тров, пройде нны й точк ой за t се к унд, вы раж ае тся зависим остью S = 2t 3 − 3 . Когда ск оростьточк и, движ ущ е йся по зак ону s = t 2 − 4t + 5 , равна нулю ? О пре де литьск оростьизм е не ния функ ции y = 3x 2 − 4 x + 2 при x =

2 . 3

7

f ( x ) = 3x 2 . Н айти f ′(2), f ′(− 3), f ′(− 1) .

1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.

x3 f (x ) = . Н айти f ′(0), f ′(1), f ′(− 2) . 3 Н ай ти производную от ф унк ции y = x 2 + 1 . Н ай ти производную от ф унк ции y = 2 x 2 − 4 x + 2 . Н ай ти нак лон к асате льной к к ривой y = x 2 − 4 в точк е , абсцисса к оторой равна2. Н ай ти нак лон к асате льной к к ривой y = x 2 − 2 x + 3 в точк е , абсцисса к оторой равна1. 1.2. О сновны е правилаи форм улы диффе ре нциального исчисле ния

П устьu и v – не к оторы е ф унк ции от х, им е ю щ ие производны е при рассм атривае м ы х значе ниях х, ас –постоянная. Ф орм улы диффере нцирования 2. (c ⋅ u )′ = c ⋅ u ′ ′  u  u ′v − uv ′ 5.   = v2 v

1. с =const, c ′ = 0 4. (u ⋅ v )′ = u ′v + uv ′

( )′ = e

′

3. (u ± v )′ = u ′ ± v ′ ′ 6. (x n ) = n ⋅ x n −1 и x ′ = 1

7. (a x ) = a x ln a

x 8. e

′ 10. (sin x ) = cos x

11. (cos x )′ = − sin x

12.

13. (tgx )′ =

′ 14. (ctgx ) = −

′ 15. (arcsin x ) =

1 cos 2 x

′ 16. (arccos x ) = −

′ 9. (ln x ) =

x

1 sin 2 x

′ 17. (arctgx ) =

1

1 1+ x2

1 x

( x )′ = 2 1 x

′ 18. (arcctgx ) = −

1− x В следую щ их прим е рах найти производны е ф унк ций. 2

1 1− x2 1 1+ x2

П рим е р1.4. y = 3 x − 2 x 5 + e 2 . ′ ′ ′ ′ y ′ = (3 x − 2 x 5 + e 2 ) = (3 x ) − 2 ⋅ (x 5 ) + (e 2 ) = 3 x ln 3 − 10 x 4 .

П рим е р1.5. y = 2 x ⋅ x 3 . ′ ′ ′ y ′ = 2 x ⋅ x 3 = 2 x x 3 + 2 x x 3 = 2 x ln 2 ⋅ x 3 + 2 x ⋅ 3x 2 = 2 x x 2 ( x ⋅ ln 2 + 3) .

(

) ( ) 1 3

( )

1 2

П рим е р1.6. y = 3x + 2 x − x − 2 + 4 . ′ 1 2 1 2 1 −  13  − 1 − 1 − − 2 y ′ =  3 x + 2 x 2 − x + 4  = 3 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 2 + 2 x −3 = x 3 + x 2 + 2 x −3 . 3 2  

8

П рим е р1.7. y =

2

x . 2 − x2 ′ ′ ′  x2  x2 2 − x2 − x2 2 − x2  = =. y ′ =  2  2 2 − x2 2− x 

( )(

=

(

)

2 x ⋅ 2 − x 2 − x 2 (− 2 x )

(2 − x )

2 2

П рим е р 1.8. y =

=

x2 ⋅ 3 x2 2 + − 1. В x x

(

)

)

(

4 x − 2 x 3 + 2 x3

(2 − x )

2 2

)

=

4x

(2 − x )

2 2

.

данном прим е ре ф унк цию

м ож но

пре образоватьк боле е простом увиду, азате м продиффе ре нцировать: 2 + −1 − − x2 ⋅ 3 x2 2 + − 1 = x 3 + 2x 2 − 1 = x 3 + 2x 2 − 1 ; x x ′ 1 2 3 − −  53  5 y ′ =  x + 2 x 2 − 1 = x 3 − x 2 . 3   2

y=

1

5

1

Задания 1.10. Н ай ти производны е ф унк ций. 1.10.1. y = − x 3 + 9 x 2 + 4 x − 5 . 

2



2

x 1.10.4. y = 1 −  . 2  

1.10.7. y = x +

1 1 − 5. 2 x 5x

x3

1.10.10. y = 3

x

1.10.2. y = x + 2 x . 1.10.5. y =

bx + c . a

1.10.16. y = x 2 ctgx . 1.10.19. x(α ) = arctgα − α −2 .

x5 2x3 − + x. 5 3

1.10.6. y =

5 . x + 2x

1.10.8. y = 6 ⋅ 3 x − 4 ⋅ 4 x . 1.10.9. y =

+ x 2 x 3 − 2 7 . 1.10.11. y = x − tgx .

1.10.13. r (ϕ ) = ϕ 4 + arcsin ϕ .

1.10.3. y =

1 1 − 3. 2 2x 3x cos x 1.10.17. y = 2 . x

1.10.14. y =

1.10.20. y = x − sin x .

3

10 . x3

1.10.12. y =

8 4

1.10.18. ϕ (x ) =

2

x

.

cos x . 1 − sin x

1.10.21. x = a(t − sin t ) .

x3 − x 2 + x . В ы числить f ′(0 ), f ′(1), f ′(− 1) . 3 1 1.12. Д анаф унк ция f (x ) = x 2 − 2 . В ы числить f ′(2) − f ′(− 2) . 2x

)

6

1.10.15. y = x 2 cos x .

1.11. Д анаф унк ция f (x ) =

( 1.13. Д анаф унк ция f (x ) =

x

−3

x −1 . В ы числить0,01 ⋅ f ′(0,01) . x x 1.14. Д анаф унк ция f (x ) = . В ы числить f ′(0), f ′(2), f ′(− 2) . 2x − 1

9

П роизводная слож ной ф унк ции Е сли y = f (u ) , а u = ϕ (x ) , т.е. y = f (ϕ (x )) , то y назы вае тся ф унк цией от ф унк цииили с лож ной ф унк цией от х. П равило диффе ре нцирования слож ной ф унк ции буде т им е тьвид y ′x = f u′ ⋅ u ′x . В сле дую щ их прим е рах найти производную от слож ной функ ции. П рим е р1.9. y = (1 + x 2 ) . 5

П рим е р1.10. y = sin 2 x .

((

))

5 ′ 4 ′ 4 y′ = 1 + x 2 = 5 1 + x 2 1 + x 2 = 10 x ⋅ 1 + x 2 . ′ ′ y ′ = (sin 2 x ) = 2 sin x ⋅ (sin x ) = 2 sin x ⋅ cos x = sin 2 x .

(

)(

)

(

)

x П рим е р1.11. y = xe . 2

( )′ = (x)′e

y′ = xex

2

x2

( )′ = e

+ x ⋅ ex

2

x2

+ x ⋅ ex ⋅ 2x = ex (1+ 2x2 ) . 2

2

Задания 1.15. Н ай ти производны е от слож ны х ф унк ций. 1.15.2. y = (1 + x 4 ) . 3

1.15.1. y = 1 + x 2 . 1.15.4. y = 5

1+ x2 . 1− x2

1.15.5. y = 3

1.15.3. y = sin 6 x .

1− x2 . 1+ x2

1.15.6. y =

1.15.7. y = 3 (4 + 3x )2 .

1.15.8. y = x 2 ⋅ 1 − x 2 .

1.15.10. y = sin x .

1.15.11. y =

1 . tg 3 5 x

1.15.9. arctge − x .

2x − 1 . x

π 1.15.12. r = 2ϕ + cos 2  2ϕ +  . 

4

π 3π 1.16. Д анаф унк ция f (t ) = a 2 + b 2 − 2ab cos t . В ы числить f ′ , f ′(π ), f ′ . 2

 2 

1.17. Д анаф унк ция f (x ) = x + 2 x . В ы числить f ′(1).  π  2

1.18. Д анаф унк ция f (t ) = 1 + cos 2 t 2 . В ы числить f ′

 .  

1.3. Д иффере нциал ф унк ции С огласно опреде ле нию производной y ′ = ∆lim x →0

∆y , где y = f (x ) . ∆x

∆y = y ′ + α , где α - бе ск оне чно м алая ве личина, отсю дасле дуе т ∆x ∆y = y ′ ⋅ ∆x + α ⋅ ∆x . Т ак к ак ∆x → 0, ∆α → 0 , то ∆x ⋅ ∆α → 0 - бе ск оне чно

Т огда

м алая ве личинавторого порядк а, а y ′ ⋅ ∆x - главное слагае м ое .

10

y = f (x ) Опре де ле н ие . Д иф ф еренциа лом ф унк ции назы вае тся главное слагае м ое (главная часть) приращ е ния ф унк ции, лине йное относите льно ∆x .

О бозначим d – диффере нциал, тогда по опре де ле нию dy = y ′ ⋅ dx , dy сле довате льно, y ′ = , что читае тся dy по dx. dx В сле дую щ их прим е рах найти диффе ре нциалы ф унк ций. 3 П рим е р1.12. y = x cos x .

′ dy = (x 3 cos x ) ⋅ dx = (3x 2 cos x + x 3 (− sin x )) ⋅ dx = x 2 (3 cos x − x sin x )dx . 1− x2 . П ре образовав исходное вы раж е ние, получим 1+ x (1 − x )(1 + x ) = 1 − x ′ y . Т огда dy = (1 − x ) dx = − dx . 1+ x

П рим е р 1.13. y =

Задания 1.19. Н ай ти диффере нциалы ф унк ций. n 1.19.1. y = x .

1.19.4. s =

1.19.2. y = x 3 − 3x 2 + 3x . 1.19.3. y = 1 + x 2 .

gt 2 − 2t . 2

1.19.5. y =

1.19.7. r = 2ϕ − sin 2ϕ . 1.19.10. y =

x2 +1 x x − 5x 3 + x . 1.19.6. y = . x x

1.19.9. d (sin 2 t ) .

1.19.8. d (1 − cos u ) .

3x 2 − 2 x − 4 . 2x − 1

a x 1.19.11. d  + arctg  . 1.19.12. d (α + ln α ) .

3x

1.19.14. d (x 2 ⋅ cos x ) .

1.19.13. d (e ⋅ sin 2 x ) .

x

a

1.19.15. y = x 3 ⋅ 2 x .

1.4. П роизводны е и диффере нциалы вы сш их порядк ов Произв одна я в т орого п орядк а (вторая производная) от функ ции y = f (x )

е стьпроизводная от е е пе рвой производной: y ′′ = [ f ′( x )]′ . Произв одна я n-го п орядк а (n-я производная) от функ ции y = f (x ) е сть производная от е е (n-1)-й производной: y (n ) = [ f (n −1) (x )]′ . Д иф ф еренциа л в т орого п орядк а – это диффе ре нциал от диффе ре нциала пе рвого порядк а: d 2 y = y ′′dx 2 .

Д иф ф еренциа л n-го п орядк а – это диффе ре нциал от диффе ре нциала (n-1)-го порядк а: d n y = y (n ) dx n . П рим е р 1.14. Н айти тре тью производную от ф унк ции y = x ln 2 x в точк е х=2. Ре ш е ние. Н аходим сначала пе рвую производную : y ′ = ln 2 x + x ⋅

2 = ln 2 x + 1 . 2x

11

Д иффе ре нцируя

пе рвую

производную : y ′′ = ( y ′)′ =

производную

y ′ , находим вторую

1 1 ⋅ 2 = . Т ак им образом , тре ть я производная 2x x

1 1 1 ′ y ′′′ = ( y ′′) = − 2 . П ри х=2 им е е м y ′′′(2 ) = − 2 = − . 4 x 2

П рим е р1.15. Н айти диффере нциал второго порядк аот ф унк ции y = Ре ш е ние. y ′ =  5 y ′′ =  2  ( x + 5)

x . x+5

x+5− x 5 = . 2 (x + 5) (x + 5)2

′ 2 ′  − 5 ( x + 5) − 10(x + 5) 10 10  = =− = и d2y = − dx 2 . 4 4 3 3  ( ) ( ) ( ) ( ) 5 + 5 + 5 5 x + x x x + 

(

)

Задания 1.20. Н айти производны е второго порядк аот ф унк ций. 1.20.1. y = 3 x 3 − 5 x 2 + 2 x − 3 . 1.20.2. y = (2 x + 5)3 . 1.20.4. y = arctg 3 x .

1.20.3. y = cos 2 x . x 1.20.6. y = e cos x .

1.20.5. x = t sin 2t .

π   π 1.21. Д анаф унк ция f ( x ) = sin 3x . Н айти f ′′ − , f ′′(0 ), f ′′  . 2  2 x 1.22. Д анаф унк ция f ( x ) = xe . Н айти f ′′′(− 3), f ′′′(− 1), f ′′′(0) .

1.23. Д анаф унк ция r (ϕ ) = ϕ e . Н айти r ′′(− 1), r ′′(0) . 1.24. Н айти диффе ре нциалы второго порядк адля функ ций . 2

1.24.1. y = sin x ⋅ ln x .

−ϕ

1.24.2. y = cos x ⋅ 3 x .

1.24.3. y =

3x . x+2

1.24.6. y =

1 3 x + x −5 . 3

5

1 1 x 1.24.4. y = sin 2 x + e 3 x . 1.24.5. y = 5 + 4 x 2 . 2 3

1.5. Ч астны е производны е . П олны й диффе ре нциал Опре де ле н ие . П роизводная от функ ции двух пе ре м е нны х z (x, y ) = f (x, y ) по х, най де нная в пре дполож е нии, что y остае тся постоянны м , назы вае тся ∂z или f x′(x, y ) . Аналогично ∂x ∂z опре де ляе тся и обозначае тся ча с т на я п роизв одна я от z по y: = f y′ (x, y ) . ∂y

ча с т ной п роизв одной от z по х и обозначае тся

Ч астны е производны е от частны х производны х первого порядк а назы ваю тся частны м и производны м и 2-го порядк а:  ∂z  ∂  2  ∂x  = ∂ z ; ∂x ∂x 2

 ∂z  ∂  2  ∂x  = ∂ z - см е ш анная производная; ∂y ∂x∂y

12  ∂z   ∂z  ∂  ∂  2 2  ∂y  = ∂ z ;  ∂y  = ∂ z - см е ш анная производная. ∂y ∂y 2 ∂x ∂y∂x Е сли функ ция z (x, y ) = f (x, y ) им е ет в точк е (x; y ) не пре ры вны е частны е производны е , то главная частьполного приращ е ния dz назы вае тся п олны м ∂z ∂z диф ф еренциа лом пе рвого порядк а: dz = dx + dy . ∂x ∂y

П олны й диффе ре нциал второго порядк ае сть: d 2z =

∂2 z 2 ∂2 z ∂2z 2 dx + dxdy + dy . ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

П рим е р 1.16. Н айти частны е производны е пе рвого и второго порядк ов ф унк ции z (x, y ) = x3 y + x 2 y 4 . Ре ш е ние . Ч астны е производны е пе рвого порядк а: ∂z = 3x 2 y + 2 xy 4 ; ∂x

∂z = x3 + 4 x 2 y 3 . ∂y

Ч астны е производны е второго порядк а: ∂2 z = 6 xy + 2 y 4 ; 2 ∂x

∂2z = 12 x 2 y 2 ; 2 ∂y

∂2z = 3x 2 + 8 xy 3 ; ∂x∂y

С ле дуе т обратитьвним ание , что

∂2 z = 3x 2 + 8 xy 3 . ∂y∂x

∂2 z ∂2 z = . ∂x∂y ∂y∂x

П рим е р 1.17. Н айти полны е диффе ре нциалы пе рвого и второго порядк ов ф унк ции z (x, y ) = x3 y + x 2 y 4 . В ы числитьзначе ние dz при изм е не нии хот 1 до 1,1, ау –от 1 до 1,2. Ре ш е ние . В прим е ре 1.11 для данной функ ции бы ли найде ны частны е производны е пе рвого и второго порядк ов, сле довате льно: dz = (3x 2 y + 2 xy 4 )dx + (x 3 + 4 x 2 y 3 )dy ; d 2 z = (6 xy + 2 y 4 )dx 2 + 2(3x 2 + 8 xy 3 )dxdy + 12 x 2 y 2 dy 2 . dz (1;1) = (3 ⋅ 12 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 14 ) ⋅ 0,1 + (13 + 4 ⋅ 12 ⋅ 13 ) ⋅ 0,2 = 1,5 . Задания 1.25. Н ай ти частны е производны е пе рвого порядк а от сле дую щ их ф унк ций. 1.25.1. z = x 3 + 3x 2 y − y . 1.25.2. z = ln (x 2 + y 2 ) . x y 2x − t 1.25.5. u = . x + 2t y z x 1.25.7. u = + − . x y z

1.25.3. z = .

1.26. z = x sin

xy . x− y  1 1  1.25.6. u = ln −  . t  x y 1.25.8. z = tg . x

1.25.4. z =

y ∂z ∂z 1 . Д ок азать , что x + y = . ∂x ∂y 2 x

13

Ре ш е ние .  1 y  y   y  x sin + x cos  ⋅  − 2   + x  x   x  2 x

  y 1 z y x cos  ⋅  = ,  x x 2 

x y y y y y z z z sin − cos + cos = = . ⇒ x x 2 x 2 2 2 x x

1.27. z = ln ( x + y ). Д ок азать , что x

∂z ∂z 1 = . +y ∂y 2 ∂x 1.28. С огласно те оре м е Э йле ра, е сли z = f ( x, y ) - однородная ф унк ция n-го ∂z ∂z порядк а, то x + y = nz . П рове ритьэтуте оре м удля функ ций. ∂x ∂y

1.28.1. z = x 3 + xy 2 − 2 y 3 . 1.28.3. z =

x3 . x− y

1.28.2. z = x 2 + xy + y 2 . 1.28.4. z =

1 . x + y2 2

2

∂u   ∂u   ∂u   +   +   = 1 .  ∂x   ∂y   ∂z 

, что  1.29. u = x 2 + y 2 + z 2 . Д ок азать

2

2

1.30. Н айти полны е диффере нциалы пе рвого порядк адля функ ций . 1.30.1. z = x 2 y .

1.30.2. z =

xy . x− y

1.30.3. z = x 2 + y 2 .

1.31. В ы числить полны й диффе ре нциал пе рвого порядк а для ф унк ции z = xy при х=5, y=4, ∆x = 0,1 , ∆y = −0,2 . 1.32. П ри де форм ации цилиндра е го радиус R уве личился с 2 до 2,05 с м , а вы сота H ум е ньш илась с 10 до 9,8 с м . Н айти приближ е нно изм е не ние объе м аV. 1.33. П ри де форм ации к онуса радиусR е го основания уве личился с30 до 30,1 с м , авы сотаH ум е ньш иласьс60 до 59,5 с м . Н айти приближ е нно изм е не ние объе м аV. 1.34. К ате ты прям оугольного тре угольник а, изм е ре нны е с точностью до 0,1 с м , ок азалисьравны м и 7,5 и 18 с м . О пре де литьабсолю тную погре ш ностьпри вы числе нии гипоте нузы . 1.35. Н айти частны е производны е второго порядк а. x2 y2 . 1.35.2. z = 2 . 1− 2y x 2 ∂ z ∂2z t 1.36. z = 2 cos 2  x −  . Д ок азать, что 2 2 + = 0. ∂x∂t 2 ∂t 

1.35.1. z =

1.35.3. u = y ln x .

1.6. П рилож е ние производны х к иссле дованию функ ций Знание особенносте й поведе ния функ ций (областе й убы вания/возрастания, вы пук лости/вогнутости, точе к эк стре м ум а, пе ре гибов, асим птот) позволяе т им е тьполное пре дставле ние о харак те ре пове де ния функ ции, что дае т возм ож ностьправильно построитье е график . I. Э ле м е нтарное иссле дование I.1. У становитьобластьопре де ле ния функ ции.

14

Обла с т ью оп ределения D(f) ф унк ции f(х) назы вае тся м нож е ство все х де йствите льны х значе ний не зависим ой пе рем е нной х, при к оторой ф унк ция опре де ле на(им е е т см ы сл). I.2. О пре де литьобластьдопустим ы х значе ний ф унк ции. Обла с т ью доп ус т им ы х зна чений Е(f) ф унк ции f(х) назы вае тся м нож е ство все х де йствите льны х значе ний, к оторы е приним ае т зависим ая пе ре м е нная y. I.3. И ссле доватьфунк цию наче тность: - е сли f (− x) = f ( x) , то функ ция че тная, т.е . сим м е трична относите льно оси 0х; - е сли f ( − x ) = − f ( x) , то ф унк ция не че тная, т.е . сим м е трична относите льно точк и началак оординат; - е сли f ( − x) ≠ f ( x ) и f ( − x) ≠ − f ( x) , то ф унк ция ни че тная и ни не че тная. I.4. Н ай ти точк и пе ре се че ния сосям и: - сосью 0y: (0; f (0)) ; - сосью 0х: изусловия f ( x) = 0 . II. И ссле дование ф унк ции по пе рвой производной П о опре де ле нию производная е стьy ′ = ∆lim x →0

∆y . ∆x

II.1. О пре де лить области возрастания и убы вания функ ции y = f (x) из условия: - y ′ > 0 - функ ция возрастае т; - y ′ < 0 - функ ция убы вае т. II.2. Н айти эк стре м ум ы из условия y ′ = 0 . Корни этого уравне ния е сть к ритиче ск ие точк и I рода: - е сли при пе ре ходе че ре з точк у эк стре м ум а производная y ′ м е няе т знак с+ на- , то это точк ам иним ум а; - е сли при пе ре ходе че ре з точк у эк стре м ум а производная y ′ м е няе т знак с- на+ , то это точк ам ак сим ум а; - е сли производная y ′ не м е няе т знак , то это точк апе ре гиба. Д але е вы числитьзначе ния функ ции вк ритическ их точк ах I рода. III. И ссле дование функ ции по второй производной ′

В торая производная находится по пе рвой: y ′′ = ( y ′) . III.1. Д ля к ритиче ск их точе к I рода: - е сли y ′′ < 0 , то это точк ам ак сим ум а; - е сли y ′′ > 0 , то это точк ам иним ум а; - е сли y ′′ = 0 , то иссле довать пе рвую производную в ок ре стности данной точк и. III.2. О пре де ле ние пром е ж утк оввы пук лости/вогнутости график аф унк ции.

15

Кривая назы вае тся в ы п ук лой , е сли она це лик ом ле ж ит под к асате льной, прове де нной к не й в лю бой точк е инте рвала вы пук лости (рис.1.2,а). Кривая назы вае тся в огнут ой , е сли она це лик ом ле ж ит над к асате льной, прове де нной к не й в лю бой точк е инте рвалавы пук лости (рис.1.2,б). y

y

y(x+Δ x) dy

y(x+Δ x)

Δy

Δy y(x)

dy y(x)

x

x+Δ x x

x

x+Δ x

x

а) б) Рис. 1. 2. Х арак те р вы пук лости к ривы х: а) –к ривая вы пук ла; б) –к ривая вогнута. Е сли ф унк ция y = f (x) дваж ды диффе ре нцируе м а, то: - при y ′′ < 0 график функ ции вы пук лы й вданной диапазоне ; - при y ′′ > 0 график функ ции вогнуты й вданной диапазоне . III.3. О пре де ле ние к ритиче ск их точе к II рода. Т очк а хк , принадле ж ащ ая области опре де ления функ ции, назы вае тся к рит ичес к ой т очк ой II рода , е сли в этой точк е вы полняе тся одно из3 условий: либо y ′′(x к ) = 0 , либо y ′′(x к ) = ∞ , либо y ′′( xк ) не сущ е ствуе т. Е сли хк - к ритиче ск ая точк аII родаи в е е ок ре стности изм е нился знак второй производной, то хк - точк апе ре гиба. IV. Н ахож де ние асим птот график а IV.1. В е ртик альны е асим птоты . Е сли к ривая ф унк ции y = f (x) не ограниче нно приближ ае тся к ве ртик альной прям ой x = a при x → a , то этапрям ая, паралле льная оси 0y, назы вае тся в ерт ик а льной а с им п т от ой . П рям ая x = a являе тся ве ртик альной асим птотой, е сли вы полняе тся одно изтре х условий (рис.1.3): lim f (x ) = ∞ ,  x →a  lim f (x ) = ∞ ,  x→a −0  lim f (x ) = ∞ .  x→a + 0

IV.2. Н ак лонны е асим птоты . Е сли к ривая ф унк ции y = f (x) при x → +∞ ( x → −∞ ) не ограниче нно приближ ае тся к не к оторой прям ой y = kx + b , то эта прям ая

16

назы вае тся а с им п т от ой к ривой (рис.1.4), приче м при k ≠ 0 на к лонной а с им п т от ой , апри k = 0 - горизонт а льной а с им п т от ой . Д ля асим птот вы полняе тся раве нство: lim [ f (x ) − kx − b] = 0 . x →+∞

( x →−∞ )

y

y

а

а)

y

а

x

а

x

x

б) в) Рис. 1.3. В е ртик альны е асим птоты : а) при x → a ; б) при x → a − 0 ; в) при x → a + 0 .

Д ля нахож де ния к оэффицие нтаk разде лим данное раве нство нах:

b  f (x ) lim  − k −  = 0 , или x →+∞ x x ( x →−∞ )

lim

x →+∞

( x →−∞ )

f (x ) b f (x ) . − k − lim = 0 , отк уда k = lim x →+∞ x x →+∞ x x ( x → −∞ ) ( x →−∞ )

[ f (x ) − kx]. [ f (x ) − kx − b] = 0 находится и b: b = x→lim И зусловия x→lim +∞ +∞ ( x→ −∞ )

( x → −∞ )

y

y y=f(x)

y=f(x)

y=kx+b

y=kx+b

f(x)-kx-b

f(x)-kx-b

x

x

а)

б) Рис. 1.4. Н ак лонны е асим птоты : а) при x → +∞ ; б) при x → −∞ .

Е сли хотя бы один изпре де лов при вы числе нии k и b не сущ е ствуе т или бе ск оне че н, то к ривая не им е е т нак лонны х асим птот. П рим е р1.18. И ссле доватьф унк цию

y ( x) =

x2 + 4 и построитье е график . x

Ре ш е ние . Д анная функ ция пре дставляе т собой дробь, а значит, она не опре де ле на, е сли знам е нате ль x = 0 . С ле довате льно, область опре де ле ния x ∈ (− ∞;0) U (0;+∞ ) . Д анная ф унк ция являе тся не че тной: y (− x) =

(− x )2 + 4 = − x 2 + 4 = − y ( x) , −x

x

сле довате льно, онасим м е тричнаотносите льно началак оординат.

17

Т очк а пере се че ния с осью 0y отсутствуе т, т.к . х=0 не принадле ж ит области опре де ле ния функ ции. Т очк и пе ре се че ния сосью x2 + 4 = 0 долж но бы тьx 2 + 4 = 0 , x что ни при к ак их значе ниях хне вы полняе тся, поск ольку x 2 + 4 > 0 . x2 − 4 И ссле дуе м дале е функ цию по пе рвой производной y ′( x) = 2 . x И з условия y ′( x) = 0 находим к ритиче ск ие точк и I рода: x 2 − 4 = 0 ⇒

0х так ж е отсутствую т, т.к . изусловия

x1 = −2 , x2 = 2 .

О бласти возрастания находятся изусловия y ′( x) > 0 : x2 − 4 > 0 , (x − 2 )(x + 2 )x 2 > 0 ⇒ x ∈ (− ∞;−2 ) U (2;+∞ ) . x2 О бласти убы вания находятся изусловия y ′( x) < 0 : x2 − 4 < 0 , (x − 2 )(x + 2 )x 2 < 0 ⇒ x ∈ (− 2;0) U (0;2) . x2

П родолж им иссле дование ф унк ции с использование м второй 8 производной y ′′( x) = 3 . В к ритиче ск ой точк е I рода x1 = −2 x но, это точк а м ак сим ум а. Значе ние ф унк ции y ′′(−2) = −1 < 0 , сле довате ль в точк е м ак сим ум а y (−2) = x2 = 2

(− 2)2 + 4 = −4 . В к ритиче ск ой точк е I рода

−2 но, это точк а м иним ум а. Значе ние y ′′(2) = 1 > 0 , следовате ль

2 ( 2) + 4 ф унк ции вточк е м иним ум а y (2) = = 4.

2 ′ ′ И з условия y ( x) < 0 опре де лим область вы пук лости график а:

8 но, x ∈ (− ∞;0) . Аналогично, из условия < 0 при x < 0 , сле довате ль x3 8 >0 y ′′( x) > 0 опре де лим область вогнутости: при x > 0 , x3 сле довате льно, x ∈ (0;+∞ ) .

Д ля опре де ле ния ве ртик альны х ф унк ции

при

приближ е нии

к

точк е

x2 + 4 = −∞ . С ле довате ль но, прям ая x → −0 x lim

асим птот найде м х=0:

пре де лы x +4 = +∞ , x 2

lim

x → +0

х=0 являе тся ве ртик альной

асим птотой. И ссле дуе м наличие нак лонны х асим птот. П ре де л y ( x) 4   = lim 1 + 2  = 1 , тогда k = 1 ; x →+∞ x → +∞ x x    x2 + 4  4   4 b = lim [ y( x) − kx] = lim  − x  = lim  x + − x  = lim   = 0 . x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x   x  x  lim

Аналогично, пре дел xlim → −∞

y( x) 4   = lim 1 + 2  = 1 и k = 1 , b = 0 . x → −∞ x x  

18

С ле довате льно, нак лонная асим птотае стьпрям ая y ( x) = x . О бобщ ая данны е иссле дования функ ции, м ож но построитьграфик . 10 8 6 4 2

2

x +4 x 10

8

6

4

x

2

2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

x

Задания 1.37. О пре де литьобласти возрастания и убы вания ф унк ций. 1.37.1. y = x 2 − 2 x + 1 . 1.37.2. y = 4 x − x 2 . 1.37.3. y = x 2 + 4 x + 5 . −

x

1.37.5. y = xe 2 . 1.37.7. y = x 2 (1 − x ) .

1.37.4. y = 3 x 2 − 1 . 1.37.6. y = e− x . 1.37.8. y = x ln x . 2

1.37.10. y = e x − 1 . 1.37.9. y = sin x 2 . 1.38. Н айти эк стре м ум ы ф унк ций. 2

1.38.1. y = 4 x −

x3 . 3

x4 1.38.3. y = 1 + 2 x − . 4 1.38.5. y = x 1 − x . 1 1  1.38.7. y = 2 − 2  . x x  2

x3 − x2 − 3x . 3 x4 3 1.38.4. y = − x . 4 2 1.38.6. y = x 3 ( x + 2) .

1.38.2. y =

2 1.38.8. y = 3 3 (x + 1) − 2 x .

1.38.9. y = x + ln(cos x ) . 1.38.10. y = x (x + 2) . 1.39. Н айти эк стре м ум ы ф унк ции и области вы пук лости/вогнутости. 3 − x2 . x+2 2x 2 −1 1.39.3. y = . x4

1.39.1. y =

1.39.5. y = x − 2 ln x . 1.39.7. y =

4 x . x+2

1 x

1.39.2. y = x + . 1.39.4. y =

x

(x − 1)(x − 4) .

1.39.6. y = x 3 + 6 x + 9 x . 1.39.8. y =

x3 . x2 − 4

19

1+ ln x 1.39.9. y = . x

1.39.10. y = 4 x − tgx .

1.40. П остроитьграфик и функ ций. x2 1.40.1. y = 2 . x −4 x2 − x + 1 y = . 1.40.3. x2 − 2 x

4 − x3 1.40.2. y = 2 . x 2 x − 6 x + 13 1.40.4. y = . x−3

1.40.5. y = x 4 − 6x 2 .

1.40.6. y = 3 1 − x 2 .

3x 4 + 1 . x3 − 1 (x + 1)(x + 2) 1.40.9. y = . x2

1.40.7. y =

x3 + 2 x2 + 7 x − 3 . 2x2 12 1.40.10. y = x + 2 . x −4

1.40.8. y =

2. И н те гральн ое исчисле н ие 2.1.

П е рвообразная ф унк ция и не опре де ле нны й инте грал

П усть ф унк ция y = F (x ) им е е т производную y′ = f (x ) , тогда е е диффе ренциал dy = f ( x )dx . Ф унк ция F (x ) по отнош е нию к е е диффере нциалу f (x )dx назы вае тся п ервообра зной . Опре де ле н ие . Перв ообра зной ф унк цией для вы раж е ния f ( x )dx назы вае тся функ ция F (x ) , диффе ре нциал к оторой раве н f (x )dx . Н о диффе ре нциалу ф унк ции соотве тствуе т не е динстве нная пе рвообразная, а м нож е ство их, приче м они отличаю тся друг от друга постоянны м слагае м ы м :

(F (x ) + C )′ = F ′(x ) + C ′ = f (x ) + 0 = f (x ) .

Опре де ле н ие . С овок упностьвсе х пе рвообразны х функ ций F ( x ) + C для диффе ренциала f ( x )dx назы вае тся неоп ределенны м инт егра лом и обозначае тся ∫ f (x )dx . Т ак им образом ,

∫ f (x )dx = F (x ) + C ,

где

f (x )dx - поды нте гральное

f (x ) - поды нте гральная ф унк ция; С – произвольная вы раж е ние ; постоянная инте грирования. 2 П рим е р2.1. ∫ 2 xdx = x + C , так к ак (x 2 + c )′ = 2 x . П роце сс нахож де ния пе рвообразной ф унк ции назы вае тся инт егриров а нием . И нте грирование – это де йствие , обратное диффе ренцированию .

20

С войстване опре де ле нного инте грала 1. d ∫ f (x )dx = f ( x )dx - диффе ре нциал не опре де ле нного инте грала раве н поды нте гральном увы раж е нию . 2. ∫ dF ( x ) = F ( x ) + C - не опре де ле нны й инте грал от диффе ре нциала ф унк ции раве н этой функ ции, слож е нной спроизвольной постоянной. 3. ∫ a ⋅ f ( x )dx = a ⋅ ∫ f ( x )dx - где а –const, т.е . постоянны й м нож ите льм ож но вы не сти зазнак инте грала. 4. ∫ [ f1 (x ) + f 2 (x ) − f 3 (x )]dx = ∫ f1 (x )dx + ∫ f 2 (x )dx − ∫ f 3 ( x )dx - инте грал сум м ы или разности раве н сум м е или разности инте гралов. Ф орм улы инте грирования x n+1 + C , где n ≠ 1 . 2. ∫ x dx = n +1

1.

∫ dx = x + C .

3.

∫ x dx = ln x + C .

n

1

5. ∫ a x dx =

ax +C. ln a

7. ∫ cos xdx = sin x + C . 9.

1

∫ sin

2

dx = −ctgx + C .

x

1 ∫ 1 + x 2 dx = arctgx + C . 1 x dx = arcsin + C . 13. ∫ 2 2 a a −x

11.

∫

15.

1 x ±a 2

2

x x 4. ∫ e dx = e + C .

6. ∫ sin xdx = − cos x + C . 8.

1

∫ cos

2

x 1

dx = tgx + C .

10.

∫

12.

1 1 x dx = arctg +C . ∫ a2 + x2 a a

14.

∫x

1− x2

2

dx = arcsin x + C .

1 1 x−a dx = ln +C . 2 2a x + a −a

dx = ln x + x 2 ± a 2 + C .

П рим е р2.2. Н айти не опре де ле нны й инте грал:

∫ (5x

4

)

− 4 x 3 + 3x 2 − 1 dx = 5∫ x 4 d x − 4 ∫ x 3 d x + 3∫ x 2 dx − ∫ dx =x 5 − x 4 + x 3 − x + C .

′ П рове рк а: (x 5 − x 4 + x 3 − x + C ) = 5 x 4 − 4 x 3 + 3x 2 − 1 . П рим е р2.3. Н айти не опре де ле нны й инте грал:

x2 +1 1 1 x2  dx = x + dx = xdx + dx = + ln x + C .   ∫ x ∫ x  ∫ ∫x 2

П рим е р2.4. Н айти не опре де ле нны й инте грал:

cos 2 x cos 2 x − sin 2 x 1   1 ∫ cos 2 x sin 2 x dx = ∫ cos 2 x sin 2 x dx = ∫  sin 2 x − cos 2 x dx = 1 1 = ∫ 2 dx − ∫ dx = −ctgx − tgx + C sin x cos 2 x

21

Задания 2.1. Н айти не опре де ле нны е инте гралы . 2.1.2. ∫ x 4 dx . 2.1.1. ∫ xdx . 2.1.5. ∫ (2 − x )dx .

2.1.4. ∫ 2 xdx .

∫ (4 x + 4 x − 3)dx . 2.1.11. ∫ 4(2 x − 1) dx .

2.1.7. ∫ 3(x − 2)dx .

∫

2.1.14.

∫2

2.1.19.

∫(

2.1.22.

∫

x−2 dx . x3

∫

x −1

3

x

.

2.1.17.

)

x

2

2.1.26. ∫

dx .

∫

(2

2

2

2

2.1.15.

∫

2.1.18.

∫

1 3

x4

dx .

x⋅ x

dx . x3 10 x 8 + 3 2.1.21. ∫ dx . x4  2 3 1.24. ∫  − 2 1− x2 1+ x

)

)

4

 1

3

x −1 dx . x 

2.1.27. ∫ 

 x

−



4

−x

 dx .  

1  dx . 3  x  −x

 dx . 

3 − 2ctg 2 x 1 dx . 2.1.33. ∫ 2 dx . 2 cos x cos x sin 2 x  2 1 4 2.1.35. ∫  x 2 + 2 x + dx . 2.1.36. ∫  2 − + 33 x 2 x x x  

2.1.32. ∫

2.2. Н айти инте гралы . 2

(

∫ (3x − x )dx . 2.1.9. ∫ x (1 + 2 x )dx . 2.1.12. ∫ x(1 − x ) dx . 2.1.6.

 e a 2.1.29. ∫ a x 1 + 3 dx . 2.1.30. ∫ e x 1 − 2 x x   

x 2 x 2.1.34. ∫ cos 2 dx . 2

2.2.4.

x

∫ 4 x dx .

(

2.1.31. ∫ sin 2 dx .

∫

x 2 dx .

x4 ∫ 1 + x 2 dx . 2 x2 +1 2.1.23. ∫ dx . x3

2.1.28. ∫ ctg 2 xdx .

2.2.1.

3

x + 3 x dx . 2.1.20.

3

(x

∫

5

2.1.16.

2.1.25.

2

x dx . xdx

2

2.1.8.

2.1.10. ∫ (x + 3)2 dx . 2.1.13.

2.1.3. ∫ 5dx .

− 1) dx . x3

 dx . 

 1 x−2 1  dx . 2.2.3. ∫ dx . 2.2.2. ∫  3 2 −  3

2

 x

)

2

x +1 dx . x2 

e−x 





2.2.7. ∫ e x 1 + 2 dx . cos x

x x

x

2

x x 2.2.5. ∫  sin − cos  dx . 2.2.6. ∫ tg 2 xdx . 

2

2



a −x 

2.2.8. ∫ a x 1 + 5 dx . x  

1 1 2.2.9. ∫  + 3 dx . x

x 

2.2. И нте грирование способом подстановк и О дин из сильне йш их прие м ов инте грирования – м ет од за м ены п ерем енной , или п одс т а нов к и. В основе е го ле ж ит свойство инвариантности форм ул инте грирования, к оторое зак лю чае тся в сле дую щ е м : е сли ∫ f (x )dx = F (x ) + C , то

∫ f (u )du = F (u ) + C , где u(x ) -

диффе ренцируе м ая ф унк ция от х.

22

С ам ы й распростране нны й прие м зам е ны пе ре м е нной е сть подстановк а вида z = ϕ (x) , где z – новая пе ре м е нная. В этом случае форм улазам е ны пе ре м е нной буде т им е тьвид

∫ f [ϕ (x )]ϕ ′(x )dx = ∫ f (z )dz .

В получе нном после инте грирования по пе ре м е нной z вы раж е нии надо пе ре й ти сновак аргум е нтух. 5 П рим е р2.5. ∫ (1 + x ) dx .

С де лае м зам е ну пе ре м е нной 1 + x = z . П родиффе ре нцируе м это раве нство: d (1 + x ) = dz ⇒ dx = dz .

С де лае м зам е нувинте грале : ∫ (1 + x )5 dx = ∫ z 5 dz = П рим е р2.6.

z6 1 6 + C = (1 + x ) + C . 6 6

x 2 dx 1 dz 1 1 3 ∫ 1 + x 3 = 3 ∫ z = 3 ln z + C = 3 ln 1 + x + C .

Зде сьбы лапрове де насле дую щ ая зам е напе ре м е нной: 1 + x 3 = z :

(

)

= −2∫

dz 2 2 = +C = +C. 2 z z 1− ex

d 1 + x 3 = dz

П рим е р2.7.

2e x dx

∫ (1 − e )

x 2

⇒ 3x 2 dx = dz ⇒ x 2 dx =

dz . 3

Зам е на: 1 − e x = z ⇒ d (1 − e x ) = dz ⇒ e x dx = dz . П рим е р2.8.

∫

sin 3 xdx 9 − cos 3 x 2

=∫

dt 3 = −1 3∫ 9 −t2

−

t d   3

1 1 cos 3 x t = − arcsin + C = − arcsin +C. 3 3 3 3 t 1−    3 2

Зам е на: cos 3 x = t ⇒ sin 3xdx = −

dt . 3

Задания 2.3.

Н ай ти не опре де ле нны й инте грал м е тодом зам е ны пе ре м е нной.

2.3.1.

∫

2 x + 3dx .

2.3.2. ∫ (3 + 5 x )4 dx .

2.3.3.

2.3.4.

∫

x + 2dx .

2.3.5. ∫ (x + 3)2 dx .

2.3.6. ∫ 4(2 x − 1)2 dx .

∫

10 + e x dx . ex

2.3.8. ∫ cos 3 xdx .

2.3.9. ∫ sin dx .

6 2.3.11. ∫ sin xdx .

2.3.12. ∫ e −3 x dx .

2.3.7.

2.3.10. ∫ cos 5 xdx . 2.3.13.

dx ∫ cos 2 5 x .

2.3.16.

∫

4 x − 1dx .



x

−

x

dx

∫ (3x + 1)

2

.

x 2



2.3.14. ∫  e 2 + e 2 dx .   4 2.3.17. ∫ (3 − 2 x ) dx .

2.3.15.

∫

2.3.18.

∫

dx 3 − 2x 3

.

5 − 6 x dx .

23

2.4.

Н айти

не опре де ле нны е инте гралы , используя зам е ну

∫

u ′dx du =∫ = ln u + C , u u

т.е . е сли числите ль поды нте гральной дроби е сть производная от знам е нате ля, то инте грал раве н логарифм ум одуля знам е нате ля. 2x − 5

∫ x − 5x + 7 dx . 2.4.4. ∫ ctgxdx .

2.4.1.

2.4.7.

2

x dx . x +1 2.4.5. ∫ sin 2 x cos xdx .

2.4.2. ∫

1

∫ 1 − 10 x dx . 2.4.6. ∫ tgxdx . 2.4.3.

e2x ∫ 1 − 3e 2 x dx .

2.4.8.

∫ 1 + 2 sin x dx .

2.4.9.

∫ sin x cos x dx .

cos x dx . 4 x

2.5.2.

∫ cos

sin x dx . 3 x

2.5.3.

∫

2.5. Н айти инте гралы . 2.5.1.

2

∫ sin

2.5.4. ∫ sin x cos xdx .

cos x

2.5.5. ∫ e cos x sin xdx .

cos 2 x

1 − 2 cos x dx . sin 2 x

∫

3

x 2 2.5.6. e x dx .

2.3. И нте грирование по частям П устьu и v –диффе ре нцируе м ы е ф унк ции от х. Т огда, к ак изве стно, d (uv ) = udv + vdu , отк удасле дуе т udv = d (uv ) − vdu . И нте грирование обе их часте й этого равенствадае т ∫ udv = ∫ d (uv ) − ∫ vdu , ∫ udv = uv − ∫ vdu .

Э то форм ула инте грирования по частям , позволяю щ ая пе ре ходитьот

∫

заданного инте грала ∫ udv к инте гралу vdu . П осле дний инте грал при удачном разбие нии поды нте грального вы раж е ния на u и dv м ож е т ок азаться боле е просты м , че м пе рвоначальны й. Э та форм ула часто прим е няе тся, к огда поды нте гральной ф унк цие й являе тся: - логарифм иче ск ая или обратная тригоном е триче ск ая ф унк ция; - произве де ние к аж дой изэтих ф унк ций наалге браиче ск ую ; - произве дение , соде рж ащ е е алге браиче ск ие , тригоном е триче ск ие, пок азате льны е ф унк ции, и вне к оторы х других случаях. Д ля инте гралов вида ∫ P (x )e ax dx , ∫ P (x )sin mxdx , ∫ P (x ) cos mxdx заu приним ае тся м ногочле н P(x ) , а для инте гралов вида

∫ P(x)lnxdx,

∫ P(x )arcsin xdx, ∫ P(x )arctgxdx заu приним ае тся ln x, arcsin x, arctgx .

П рим е р2.9. Н айти не опре де ле нны й инте грал ∫ ln xdx . Ре ш е ние . П рим е ним м е тод инте грирования по частям : dx u = ln x ⇒ du = ; dv = dx ⇒ v = x . x

24

П о форм уле инте грирования по частям

∫ ln xdx = x ln x − ∫ x

dx = x ln x − x + C . x

П рим е р2.10. Н айти не опре де ле нны й инте грал ∫ arcsin xdx . Ре ш е ние . П рим е ним м е тод инте грирования по частям : dx u = arcsin x ⇒ du = ; dv = dx ⇒ v = x . 1− x2 П о форм уле инте грирования по частям dx arcsin xdx = x arcsin x − x ∫ ∫ 1− x2 . И нте грал

dx

∫x

1− x

находится прим е не ние м подстановк и 1 − x 2 = z ,

2

к оторая дае т: − 2 xdx = dz ⇒

xdx = −

dz dx 1 dz =− ∫ = − z = − 1− x2 . , поэтом у ∫ x 2 2 2 z 1− x

∫ arcsin xdx = x arcsin x + 1 − x + C . П рим е р2.11. Н айти не опре де ле нны й инте грал ∫ (2 x − 5)e dx . В ре зультате получим

2

−3 x

Ре ш е ние . П рим е ним м е тод инте грирования по частям :

1 dv = e −3 x dx ⇒ v = − e −3 x . 3 П о форм уле инте грирования по частям u = 2x − 5 ⇒

∫ (2 x − 5) e

−3 x

du = 2dx;

1 (2 x − 5) e −3 x − ∫  − 2 e −3 x dx = − 1 (2 x − 5)e −3 x + 2 ∫ e −3 x dx = 3 3 3  3  1 2 13 − 6 x −3 x = − (2 x − 5) e −3 x − e −3 x + C = e +C. 3 9 9

dx = −

Задания 2.6. М е тодом инте грирования по частям най ти сле дую щ ие инте гралы . 2.6.1. ∫ xarctgxdx . 2.6.2. ∫ (x 2 − 3x + 2)cos 5 xdx . 2.6.3. ∫ 4 − x 2 dx .

∫ x ln xdx . 2.6.7. ∫ ln xdx .

2.6.4.

2.6.5. 2.6.8.

∫ xe

∫ (x

2.6.10. ∫ x ln(x − 1)dx . 2.6.11. 2 2.6.13. ∫ (ln x ) dx .

2.6.16.

x ∫ sin 2 x dx .

2

∫x

−2 x

dx .

− 3 x + 2 )cos 5 xdx . 2

cos xdx .

2.6.14. ∫ ln (x 2 + 1)dx . 2.6.17.

ln x ∫ x 2 dx .

2.6.6.

∫ x cos 2 xdx .

2.6.9.

∫

4 − x 2 dx .

2.6.12. ∫ e x sin xdx . 2.6.15. ∫ x 3 e − x dx . 2.6.18.

∫

arcsin x 1+ x

dx .

25

2.4.

О пре де ле нны й инте грал

Опре де ле н ие . П риращ е ние F (b ) − F (a ) лю бой из пе рвообразны х ф унк ций F (x ) + C при изм е не нии аргум е нта от x = a до x = b назы вае тся b

оп ределенны м инт егра лом и обозначае тся

∫ f (x )dx . a

b

Т ак им

∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ) ,

образом ,

где

а

– ниж ний

пре де л

a

инте грирования; b – ве рхний пре де л инте грирования. П осле дняя форм ула назы вае тся ф орм улой Н ьют она -Лей бница . b

Д ля вы числе ния опре де ле нного инте грала

∫ f (x )dx

нуж но най ти

a

соотве тствую щ ий не опре де ле нны й инте грал, в получе нное е го вы раж е ние подставить вм е сто х сначала ве рхний, а зате м ниж ний пре де лы опре де ле нного инте гралаи изпе рвого ре зультатавы че стьвторой: b

∫ f (x )dx = F (x )

b a

= F (b ) − F (a ) .

a

С войстваопре де ле нного инте грала b

b

a

a

1. ∫ A ⋅ f (x )dx = A∫ f (x )dx - где А –const. b

2.

a

b

3.

b

b

b

a

a

a

∫ [ f1 (x ) + f 2 (x ) − f 3 (x )]dx = ∫ f1 (x )dx + ∫ f 2 (x )dx − ∫ f 3 (x )dx . a

∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx . a

b

П рим е р2.12.

 x3  x + 1 dx =  + x   3 

∫( 1

−1

2

)

1

−1

2 1   1  =  + 1  −  − − 1 = 2 . 3 3   3 

П ри нахож де нии опре де ле нного инте грала м е тодом зам е ны пе ре м е нной не обходим о изм е нитьпре де лы инте грирования всоотве тствии сподстановк ой. 2

3

dt П рим е р2.13. ∫ 4(2 x − 1)dx = 4 ∫ t 1

1

2

= t2

3 1

= 3 2 − 12 = 9 − 1 = 8 .

Зде сьбы ласделаназам е на: 2 x − 1 = t ⇒ dx =

dt . 2

Задания 2.7. В ы числитьопре де ле нны й инте грал. 3

2

2.7.1.

∫ xdx . 1

2.7.2.

∫x 0

1

2

dx .

2.7.3.

∫ x dx . 3

1 2

26 1

∫ (2 x + 1)dx .

2.7.4.

∫ (3x 0

2.7.5.

+ 1)dx .

2.7.6. ∫ tgxdx .

−1

0

3

 1 2

3 2.7.7. ∫ x dx .

2.7.8. ∫  x 2 +

1

3

2

π 4

0

4

1  dx . x4 

2.7.9.

∫ π 6

π 4

x 3

2.7.10. ∫ e dx .

2.7.11. ∫ sin 4 xdx .

0

x dx .

1

2.7.12.

0

dx

∫ cos

π 8

2

x

.

2.5. Ре ш е ние прик ладны х задач спом ощ ью опре деле нного инте грала В ы числе ние площ аде й П устьнаотре зк е [a,b] опре де ленаф унк ция f (x ) . Разобьем отре зок [a,b] на n часте й точк ам и a = x0 < x1 < x 2 < ... < x n = b . Н а к аж дом отре зк е ( xi −1 , xi ) возьм е м произвольную

точк у ξ i и составим сум м у

n

∑ f (ξ )∆x i =1

i

i

, где

n

∆xi = xi − xi −1 . С ум м а вида ∑ f (ξ i )∆xi назы вае тся инт егра льной с ум м ой и i =1

им е е т см ы сл площ ади фигуры (рис.2.1), ограниче нной ф унк цие й f (x ) , прям ы м и х=а , x = b и ось ю 0х. Y

П ре де л инте гральной сум м ы при max ∆xi → 0 , е сли он сущ е ствуе т и к оне че н, е сть опре де ле нны й инте грал b

∫ f (x )dx = a

n

lim

max ∆xi →0

∑ f (ξ )∆x . i

i =1

y=f(x)

x = x a

i

х

b

Рис. 2.1. Г е ом е триче ск ий см ы сл опре де ле нного инте грала. П рим е р 2.14. О пре де литьплощ адьфигуры , зак лю че нной м е ж ду ве твью

x3 S = ∫ x dx = 3 0

3

=

2

0

33 0 3 − = 9. 3 3

y=x2

x=3

3

Y

x=0

2 к ривой y = x , осью 0хи прям ы м и x = 0 , x = 3 . Ре ш е ние .

0

3

х

П рим е р 2.15. О пре де литьплощ адьфигуры , зак лю че нной м е ж ду осью 0х и 2 к ривой y = x − 4 x .

27

Ре ш е ние. Как правило, не обходим о графиче ск и пре дставить условие задачи, чтобы проанализировать границы инте рвала и вид иск ом ой площ ади. Н айдем точк и пе ре се че ния к ривой y = x 2 − 4 x с осью 0х из условия y=0: x(x − 4) = 0 ⇒

x 2 − 4x = 0 ⇒

Y

y=x2 -4x 2

0

х

4

-

x1 = 0; x 2 = 4 .

И ск ом ая площ адь ограниче на све рху осью 0х, снизу y = x 2 − 4 x , сле ва x = 0 , справа x = 4 . Т ак к ак y u 2 > u 3 ... и lim u n = 0 . n →∞ Абс олют на я с ходим ос т ь: ряд u1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ... (3) сходится, е сли сходится ряд u1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ... . (4) В этом случае ряд (3) назы вае тся а бс олют но с ходящ им с я. Е сли ж е ряд (3) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) назы вае тся ус лов но (неа бс олют но) с ходящ им с я. Задания 5.1.

Н ай ти сум м уряда:

1 1 1 1 + + ... + + ... . 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 (2n − 1) ⋅ (2n + 1) 1 1 1 1 5.1.2. + + ... + + ... . 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅10 (n + 1) ⋅ (3n + 1)

5.1.1.

5.2.

В ы полняе тся ли не обходим ое условие сходим ости ряда:

5.2.1.

1 3 5 7 + + + + .... 2 4 6 8

Ре ш е ние. Э ле м е нты ряда зависят от ном е ра n к ак

2n − 1 . П рове рим , 2n

вы полняе тся ли не обходим ое условие сходим ости ряда: 1  2n − 1  = lim1 −  = 1 . n →∞ 2n n →∞  2n 

lim a n = lim n →∞

Н е обходим ое условие сходим ости рядане вы полняе тся. 5.2.2.

1 1 1 1 + + + + .... . 1 3 5 7

5.2.3.

2 4 6 8 + + + + .... . 3 9 27 81

5.3. И ссле доватьпо инте гральном упризнак усходим остьряда: 1 3

1 5

1 7

1 9

5.3.1. 1 + + + + + .... . Ре ш е ние. Э ле м е нты ряда зависят от ном е ра n к ак

f (n) =

1 . 2n − 1

Ф унк ция f (n) - убы ваю щ ая, т.к . отнош е ние после дую щ е го эле м е нта к пре ды дущ е м ум е ньш е 1: 1 1 2n − 1 + 1 − 1 2 n + 1 − 2 2 : = = = 1− < 1. 2( n + 1) − 1 2n − 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 ∞

∞

1 1 dy 1 dx = ∫ = ln y В ы числим инте грал ∫ 2 x − 1 2 y 2 1 1

∞

= 1

1 (∞ − 0) = ∞ . 2

П ри вы числе нии инте гралабы ласде ланазам е на2х-1=y. Т ак к ак значе ние инте грала равно ∞ , то по инте гральном у признак у ряд расходится.

39

5.3.2. 1 + 5.3.4. 5.3.5. 5.3.6. 5.3.7.

1 4

+

1

+

1

+ .... .

7 10 1 1 1 1 + + + + .... . 2 2 2 1+1 1+ 2 1 + 3 1 + 42 1 2 3 4 + .... . + + + 2 2 2 1+1 1+ 2 1 + 3 1 + 42 1 1 1 1 + .... . + 2 + 2 + 2 2 3 −1 5 −1 7 −1 9 −1 1 1 1 1 + + + + .... . 2 2 2 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4 5 ln 2 5

5.3.3.

1 2 3 4 + 3 + 3 + 3 + .... . 3 2 3 4 5

5.4. П о признак уД алам бе раиссле доватьсходим остьрядов. 2 4 6 8 2 4 8 + + + + .... . 5.4.2. 1 + + + + .... . 3 9 27 81 2! 3! 4! 3 32 33 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 5.4.3. 1 + + + + .... . 5.4.4. 1 + + 2 + 3 + .... . 1⋅ 3 1⋅ 3 ⋅ 5 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2⋅3 2 ⋅5 2 ⋅7 1 3! 5! 7! + + + .... . 5.4.5 + 2 2⋅ 4 2⋅ 4⋅6 2 ⋅ 4⋅6⋅8 1 5 9 13 + + + .... . 5.4.6. + 2 3 3 2⋅3 3⋅3 4 ⋅ 34

5.4.1.

5.5.С равне ние м субы ваю щ е й прогре ссие й иссле доватьсходим остьряда 1+

1 1 1 + + + .... . 2 2⋅5 3⋅5 4 ⋅ 53

5.6. И сследоватьсходим остьрядов. 5.6.1. 1 −

1 2

+

1

−

1

+ .... .

3 4 1 1 1 5.6.3 − − + .... . 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4

5.6.2. 1 −

1 1 1 1 + 2 − 2 + 2 − .... . 2 3 5 7 9

5.7. И сследоватьсходим остьрядов. 5.7.1. 1 +

1 3 3

+

1

+

1

+ .... .

5 5 7 7 1 2 3 4 + + + + .... . 5.7.3. 4 4 4 1+1 1+ 2 1 + 3 1 + 44 1 1 1 5.7.5. 1 + 2 + 2 + 2 + .... . 4 7 10 21 41 61 81 5.7.7. + + + + .... . 3 9 27 81

1 1 1 1 + + + + .... . 101 201 301 401 3 5 7 9 5.7.4. 1 + + + + + .... . 4 9 16 25 1 3 5 7 5.7.6. + 2 + 3 + 4 + .... . 2 2 2 2 2 4 6 8 10 5.7.8. + + + + + .... . 1 3! 5! 7! 9!

5.7.2. 1 +

6. Осн овы дискре тн ой м ате м атики 6.1. П онятие м нож е ства Опре де ле н ие . М нож ес т в о М е сть совок упность не к оторы х объе к тов, к оторы е назы ваю тся э лем ент а м им нож е стваМ . П ринадле ж ностьэле м е нта х м нож е ству М обозначае тся к ак x ∈ M , а е сли эле м е нт хне принадле ж ит м нож е ствуМ , то x ∉ M .

40

Е сть два способа задания м нож е ства: пе ре числе ние м принадле ж ащ их е м у эле м е нтов или аналитиче ск и (алге браиче ск и) с ук азание м свойств, к оторы м эле м е нты м нож е ствадолж ны удовле творять. Е сли x1 , x 2 ,..., x n - эле м е нты м нож е стваМ , то записы ваю т M = {x1 , x 2 ,..., x n } . Е сли е стьм нож е ство А, эле м е нты к оторого м огут обладатьили не обладатьсвой ством Р, то м нож е ство М , состоящ е е изэле м е нтовм нож е ства А со свойством Р, м ож е т бы тьзаписано всле дую щ их пре дставле ниях:

M = {x ∈ A x обла да ет с в ой с т в ом Р}

или M = {x x обла да ет с в ой с т в ом Р}, M = {x P(x )}, M = {x}P ( x ) , е сли из к онте к стаясно, о к ак ом м нож е стве А иде т ре чь. Д ля числовы х м нож е ствиспользую тся сле дую щ ие обозначе ния: N = {1, 2, 3, … } –м нож е ство натуральны х чисел; Z = {0, ±1, ±2, ±3, … } – м нож е ство це лы х чисе л; Q = p q p, q ∈ Z , q ≠ 0 –м нож е ство рациональны х чисе л;

{

}

R –м нож е ство ве щ е стве нны х чисе л. П устое м нож е ство не соде рж ит ни одного эле м е нта и обозначае тся сим волом ∅. П рим е р 6.1. М нож е ство М арабск их цифр м ож но записать двум я способам и: пере числе ние м M = {0,1, 2, 3, ..., 9} или с описание м свойства M = { x x − а ра бс к а я циф ра }. П рим е р6.2. Задатьалге браиче ск и м нож е ство че тны х чисе л {0, ± 2, ± 4, ... }. Ре ш е ние . M = { x x = 2k для k ∈ Z }. Э ле м е нтам и м нож е ства сам и м огут являться м нож е ства, к оторы е назы ваю тся п одм нож ес т в а м и. Опре де ле н ие . М нож е ство В назы вае тся п одм нож ес т в ом м нож е ства А, е сли все эле м е нты м нож е стваВ принадле ж ат А: B ⊆ A ⇔ ∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A) ,

где ⊆ - отнош е ние вк лю че ния. Э та записьозначае т, что для лю бого эле м е нта ∀ х, е сли x ∈ B , то x ∈ A . П ри этом говорят, что м нож е ство В соде рж ится в м нож е стве А, или им е е тся вк лю че ние м нож е стваВ вА. Опре де ле н ие . М нож е ства А и В назы ваю тся ра в ны м иили с овп а да ющ им и А=В, е сли они состоят изодних и те х ж е эле м ентов. В этом случае B ⊆ A и A ⊆ B . П рим е р6.3. П ок азать, что м нож е ства М 1 = {x sin x = 1 } и М 2 = {x x = совпадаю т.

π + 2kπ , k ∈ Z } 2

41

Ре ш е ние . Е сли x ∈ M 1 , то х являе тся

ре ш е ние м

sin x = 1 , т.е . х м ож но пре дставитьв виде x =

x ∈ M 2 . С ле довательно, M 1 ⊆ M 2 .

уравне ния

π + 2kπ , k ∈ Z . П оэтом у 2

π Е сли ж е x ∈ M 2 , т.е . x = + 2kπ , k ∈ Z , то sin x = 1 , т.е . M 2 ⊆ M 1 . 2

С ле довате льно, M1 = M 2 . В лю бой им е ю щ е й см ы сл задаче обы чно рассм атриваю т подм нож е ства не к оторого “наибольш е го” м нож е ства, к оторое назы ваю т универс а льны м или унив ерс ум ом и обозначаю т че ре зU. С овок упность все х возм ож ны х подм нож е ств м нож е ства А, соде рж ащ е го n эле м е нтов, назы вае тся е го булеа ном или м нож ес т в ом с т еп енью и обозначае тся P(А): P(А)= { B B ⊆ A}. Буле ан соде рж ит 2n эле м е нтов. П рим е р6.4. Н айти буле ан для м нож е стваA={1, 2, 3}. Ре ш е ние . P(А)= {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A} . Г е ом е триче ск и м нож е ства обы чно изображ аю т к ак не к оторы е подм нож е ства точе к плоск ости, к оторы е назы ваю тся диа гра м м а м и Э й лера -Венна (рис. 6.1). U A

B

Рис. 6.1. Д иаграм м аЭ йле ра-В е нна: униве рсум U, м нож е ство А и подм нож е ство В⊆А. Н е сле дуе т см е ш иватьотнош е ние принадле ж ности ∈ и отнош е ние вк лю че ния ⊆. Н априм е р, 0∈ {0} и {0}∈ {{0}}, но 0 ∉ {{0}} , поск ольку е динстве нны м эле м е нтом м нож е ства {{ 0}} являе тся эле м е нт {0} . Задания 6.1. Задатьспом ощ ью пе ре числе ний : а) м нож е ство дне й вне деле ; б) м нож е ство м е сяце ввгоду; в) м нож е ство м е сяце в, число дне й вк оторы х 31; 30; 29 или 28; г) м нож е ство к вадратоварабск их цифр д) м нож е ство де йствите льны х к орне й уравне ния x 2 − 9 = 0 ; е ) м нож е ство чисе л Ф ибоначчи, задавае м ы х алгоритм ом : а 1=а 2=1, а i=ai-1+ai-2 для 3 ≤ i ≤ 7 . 6.2. Задатьпосре дством описания свойств: а) м нож е ство не че тны х натуральны х чисе л; б) м нож е ство че тны х натуральны х чисе л;

42

6.3.

6.4.

6.5. 6.6.

в) м нож е ство к вадратов це лы х чисе л; г) м нож е ство эле м е нтоварифм е тиче ск ой прогре ссии; д) м нож е ство эле м е нтовге ом е триче ск ой прогре ссии; е ) м нож е ство де йствите ль ны х к орней уравне ния x 2 − 9 = 0 ; ж ) м нож е ство де йствите льны х к орне й уравне ния x 2 + 9 = 0 ; ж ) м нож е ство чисел Ф ибоначчи, задавае м ы х алгоритм ом : а 1=а 2=1, а i=ai-1+ai-2 для 3 ≤ i ≤ 10 ; з) м нож е ство просты х чисе л, м е ньш их 23. Д ано м нож е ство A={0, 1, 5, 9, 10, 13, 18, 20}. Как ое из м нож е ств являе тся подм нож е ством м нож е стваА: а) A1={4, 8, 12}; б) A2={0, 1, 4, 5, 9}; в) A3={∅}; г) A4={9, 10, 18, 20}? Н ай ти буле ан для сле дую щ их м нож е ств: а) A={0, -1}; б) В={13, 20}; в) С ={-10, 13}; г) С 1={1, 5, 9}; д) В3={9, 10, 18}; е ) В7={0, 13, 18}; ж ) A1={m, n, p}; з) A2={7, n}; и) A3={sun}; к ) A4={∅}; л) A5={♠, ♣ , ♥, ♦ }; м ) A6={∅, 0, 1}. С пом ощ ью диаграм м Э йле ра-В е ннаизобразитьм нож е стваU, А, В: U –униве рсум и А ≠ В ( A, B ∈ P (U)). П ок азать, что сле дую щ ие м нож е ствасовпадаю т: М 1 ={x sin x = 1 } и М 2 = {x x =

π + 2kπ , k ∈ Z }. 2

6.7. С овпадаю т ли м нож е ства: а) С 1={x х2=25} и С 2 = {-5, 5}? б) В1={x х3=25} и В2 = {-5, 5}? 6.8. Ч е м у равно число все х подм нож е ств из k эле м е нтов для не к оторого м нож е ства? Рассчитать число все х подм нож е ств для м нож е ства, состоящ е го: а) из2 эле м е нтов; б) из4 эле м е нтов; в) из7 эле м е нтов. 6.2. О пе рации см нож е ствам и О сновны м и опе рациям и над м нож е ствам и являю тся пе ре се че ние , объе дине ние и разность. Опре де ле н ие . Объединением или с ум м ой м нож е ств А и В назы вае тся м нож е ство С, состоящ е е изэле м ентов, принадле ж ащ их хотя бы одном у из м нож е ствА и В. О бъе дине ние м нож е ств обозначае тся сим волам и + и U . Е сли А,В∈P (U), то объе дине ние АUВ м нож е ствА и В опре де ляе тся раве нством АUВ = { x x ∈ A или x ∈ B} . U А

В

Г е ом е триче ск и объе дине ние изображ е но нарис. 6.2.

м нож е ств

Рис.6.2. О бъе дине ние двух м нож е ств АUВ.

43

П рим е р 6.5. Н айти объе дине ние м нож е ств A={0, -1, 9, -10, 13, 20} и В={0, 1, 5, 9, 10, 13, 18,}. Ре ш е ние . С ={-10, -1, 0, 1, 5, 9, 10, 13, 18, 20}. Опре де ле н ие . Перес ечением или п роизв едением м нож е ств А и В назы вае тся м нож е ство С, состоящ ее из эле м е нтов, принадле ж ащ их одновре м е нно и м нож е ствуА, и м нож е ствуВ. П е ре се че ние м нож е ств обозначае тся сим волам и · и ∩ . Е сли А,В∈P (U), то объе дине ние А∩ В м нож е ствА и В опре де ляе тся раве нством А∩ В = { x x ∈ A и x ∈ B}. U А

Г е ом е триче ск и пе ре се че ние изображ е но нарис. 6.3.

В

м нож е ств

Рис.6.3. П е ре се че ние двух м нож е ствА∩ В. П рим е р 6.6. Н ай ти пе ре се че ние м нож е ств A={0, -1, 9, -10, 13, 20} и В={0, 1, 5, 9, 10, 13, 18}. Ре ш е ние . С ={0, 9, 13}. Опре де ле н ие . Ра знос т ью м нож е ств А и В назы вае тся м нож е ство С , состоящ ее изэлементовмнож естваА, к оторы е не принадлеж ат множ ествуВ. Разностьм нож е ств обозначае тся сим волам и - и \ . Е сли А,В∈P (U), то разностьА\В м нож е ствА и В опре де ляе тся раве нством А\В = { x x ∈ A и x ∉ B}. Д оп олнением м нож е стваА вU е стьм нож е ство A = U \ A Г е ом е триче ск и разностьм нож е ств (а) и дополне ние м нож е стваА в U (б) изображ ены нарис. 6.4. П рим е р 6.7. Н айти разностьм нож е ствA={0, -1, 9, -10, 13, 20} и В={0, 1, 5, 9, 10, 13, 18}. Ре ш е ние . С ={-10, -1, 20}. U

U А

А

В

A

а) б) Рис. 6.4. Разностьм нож е ствА\В (а) и дополне ние A = U \ A м нож е стваА вU (б). Задания 6.9. Н ай ти объе дине ние м нож е ств и изобразитьре ш ение в виде диаграм м Э йле ра-В е нна:

44

а) A={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и В={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}; б) M 1 = { x x = k для k ∈ Z п ри− 10 ≤ k ≤ 20} и M 2 = { x x = 2k для k ∈ Z п ри0 < k < 10}, атак ж е записать

аналитиче ск ое пре дставле ние М 1U М 2; в) C1 = { c c = k для k ∈ Z п ри0 ≤ k ≤ 20}и

C 2 = { c c = 2k для k ∈ Z п ри− 10 < k < 10} , атак ж е записать

аналитиче ск ое пре дставле ние С 1U С 2; г) A={-2, 7, 6, -10, 11, 14, -17}, В={-1, 4, 7, -12, 11, -17, 20} и С ={0, 1}; 6.10. Н айти пе ре се че ние м нож е ств и изобразитьре ш е ние в виде диаграм м Э йле ра-В е нна: а) A={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и В={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}; б) M 1 = { x x = k для k ∈ Z п ри− 10 ≤ k ≤ 20} и M 2 = { x x = 2k для k ∈ Z п ри0 < k < 10}, атак ж е записать аналитиче ск ое пре дставле ние М 1∩ М 2; в) C1 = { c c = k для k ∈ Z п ри0 ≤ k ≤ 20}и

C 2 = { c c = 2k для k ∈ Z п ри− 10 < k < 10} , атак ж е записать аналитиче ск ое пре дставле ние С 1∩ С 2; г) A={-2, 7, 6, -10, 11, 14, -17}, В={-1, 4, 7, -12, 11, -17, 20} и С ={0, 1}; 6.11. Н айти разностьм нож е ств и изобразитьре ш ение в виде диаграм м Э йле ра-В е нна: а) A={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и В={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}; б) M 1 = { x x = k для k ∈ Z п ри− 10 ≤ k ≤ 20} и M 2 = { x x = 2k для k ∈ Z п ри0 < k < 10}, атак ж е записать аналитиче ск ое пре дставле ние М 1\ М 2; в) C1 = { c c = k для k ∈ Z п ри0 ≤ k ≤ 20}и

C 2 = { c c = 2k для k ∈ Z п ри− 10 < k < 10} , атак ж е записать аналитиче ск ое пре дставле ние С 1\ С 2; г) A={-2, 7, 6, -10, 11, 14, -17}, В={-1, 4, 7, -12, 11, -17, 20} и С ={0, 1}; 6.12. Н ай ти дополне ние м нож е ству А в униве рсум е U = { X X = n и0 ≤ n ≤ 20} и изобразить ре ш е ние в виде диаграм м Э йле ра-В е нна: а) A={0, 3, 9, 10, 13, 20}; б) A={1, 4, 5, 9, 10, 17, 19}; в) A = { X X = n и0 ≤ n ≤ 10}; г) A = { X X = n и5 < n ≤ 15};

д) A = { X X = 2 n + 1 и 0 ≤ n ≤ 20}; е ) A = { X X = 2 n и0 ≤ n ≤ 20}; 6.13. Д аны м нож е ства А={1,3,5,7,9} и В={2,4,6,8}. Ч е м у равно число эле м е нтоввобъе дине нии м нож е ствА и В? 6.14. М нож е ство A ⊕ B = ( A \ B ) U (B \ A) назы вае тся к ольцев ой с ум м ой или с им м ет ричес к ой ра знос т ью м нож е ств А и В. И зобразитьм нож е ство A ⊕ B ввиде диаграм м Э йле ра-В е нна.

45

6.15. Д ля м нож е ств A={0, 3, 9, -10, 13, 20} и В={0, 1, 5, 9, -10, 13, 18} найти дополне ние , пе ре се че ние , разностьи к оль це вую сум м у. 2 6.16. П усть А - м нож е ство к орне й уравне ния x − 3 x + 2 = 0 , B={0,2}. Н айти м нож е ства A U B , A I B , A \ B , B \ A . О сновны е свойстваобъе дине ния, пе ре се че ния и дополне ния 1. К ом м ут а т ив нос т ь опе раций объе дине ния и пе ре се че ния: AU B = B U A,

AI B = B I A.

2. Ас с оциа т ив нос т ь опе раций объе дине ния и пе ре се че ния: A U (B U C ) = ( A U B ) U C ,

A I (B I C ) = ( A I B ) I C .

3. Зак оны иде м поте нтности: A U A = A , 4. Зак оны дистрибутивности:

AI A = A.

A U (B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) ,

A I (B U C ) = ( A I B ) U ( A I C ) .

A I (A U B) = A . 5. Зак оны поглощ е ния: A U ( A I B ) = A , 6. Зак оны де М органа: AU B = AI B, AI B = AU B 7. Зак оны нуля и е диницы : полож им 0 = ∅ , 1=U, тогда AU 0 = A,

AI0 = 0,

A U1 = 1,

A I 1 = A , A U A = 1,

AI A = 0.

8. Зак он двойного отрицания: A = A . В се эти зак оны м ож но проиллю стрировать с пом ощ ью диаграм м Э йле ра-В е нна. У порядоченная после довате льность из n эле м е нтов обозначае тся ( x1 , x 2 , ..., x n ) или x1 , x2 , ..., xn , где xi - i-я к оордината. Т ак ая после довате льность назы вае тся уп орядоченны м на бором длины n, к орт еж ем длины n или просто n-к ой . Д вак орте ж а x = (x1 , x 2 , ..., xn ) и y = ( y1 , y 2 , ..., y n ) равны x = y тогдаи только тогда, к огда x1 = y1 , x2 = y 2 , . . . , xn = y n . Н априм е р, пары (1, 2) и (2, 1) не совпадаю т, хотя м нож е ства{1, 2} и {2, 1} равны . Д ек а рт ов ы м (п рям ы м ) п роизв едением м нож ес т в А1, А2, … , Аn, назы вае тся м нож е ство n

∏A i =1

i

= A1 × A2 × ... × An = {( x1 , x2 ,..., xn ) x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 , ..., x n ∈ An ,}.

Е сли А1= А2= … = Аn=А, то их прям ое произве де ние Аn назы вае тся n-й дек а рт ов ой с т еп енью м нож е стваА. П рим е р 6.8. Д ля м нож е ств А={1,2} и В={3,4} найти де к артовы произве де ния A × B , B × A , А2. Ре ш е ние . A × B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} ; B × A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} ; A 2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} .

46

Задания 6.17. П роиллю стрироватьс пом ощ ью диаграм м Э йле ра-В е нна основны е свойстваобъе дине ния, пе ре се че ния и дополне ния. 6.18. Д ля м нож е ствА и В найти де к артовы произве дения A × B , B × A , А2: а) А={0, 2} и В={3, 5}; б) А={10, 20} и В={3, 4}; в) А={a, b} и В={c, d}; г) А={m, n} и В={7, 9}; д) А={1, 2, 3} и В={3, 4}; е ) А={a, b} и В={m, n, k}. 6.3. О тнош е ния и свойстваотнош е ний Ч асто при ре ш е нии задач не обходим о вы биратьэле м е нты , связанны е не к оторы м соотнош е ние м . П рим е рам и так их связе й м е ж ду эле м е нтам и м огут служ итьф унк циональны е зависим ости или отнош е ния типа y}; г) A = {x x ∈ Z , x 2 ≤ 4} и P = {(x, y ) x, y ∈ A}. 6.20. Д ля эле м е нтов м нож е ства А изобразитьграфиче ск и в де к артовой систе м е к оординат бинарное отнош е ние Р : а) A = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} и P = {(2, 8), (3, 9), (6, 3), (7, 2), (4, 4), (4, 9)}; б) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и P = {( x, y ) x, y ∈ A, x − нечет ное, y − чет ное}; в) А={2, 4, 3} и P = {(x, y ) x ∈ A, x ≥ y}. 6.21. С оединить стре лк ам и эле м е нты м нож е ств А и B, связанны е бинарны м и отнош е ниям и: а) A = {a1 , a 2 }, B = {b1 , b2 , b3 }, P = {(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a 2 , b1 ), (a 2 , b2 ), (a 2 , b3 )}; б) A = {1, 2}, B = {b1 , b2 , b3 }, P = {(1, b1 ), (1, b3 ), (2, b1 ), (2, b3 )}; в) A = {n, m}, В={♠, ♣ , ♥, ♦ }, Р={(n, ♠), (n, ♣ ), (m, ♠), (m, ♥), (n, ♥)}; г) A = {@, %, $ }, B = {∀, I, U}, P = {(@, ∀), (@, U ), (@, I ), (@, ∀), (%, ∀), ($, ∀)} ; д) А={а , b, c}, B = {b b ∈ N , 2 ≤ b ≤ 5} и P = {(x, y ) x ∈ A, y ∈ B}.

49

6.22.

Д ля заданного бинарного отнош е ния Р и м нож е ства Х най ти областьопре де ле ния и областьзначе ний Р, обратное к Р отнош е ние , образи прообразм нож е стваХ относите льно отнош е ния Р: а) Р={(1,3), (1,4), (3,4), (3,6), (1,6), (4,2), (4,6), (0,5), (2,6)} и Х ={1}; б) Р={(0,2), (1,2), (0,4), (3,4), (3,7), (2,4), (3,6), (2,7), (0,6)} и Х ={0}; в) Р={(2,3), (2,5), (2,7), (4,3), (4,5), (4,7), (8,3), (8,5), (8,7)} и Х ={4}. 6.4. О сновны е понятия те ории графов

Г рафы пре дставляю т собой наиболе е абстрак тную струк туру, с к оторой приходится сталк иваться вте ории Э В М . Г рафы использую тся для описания алгоритм ов автом атиче ск ого прое к тирования, в диаграм м ах м аш ин к оне чны х состояний, при ре ш е нии задач м арш рутизации поток ов и т.д. Л ю бая систе м а, пре дполагаю щ ая наличие диск ре тны х состояний, объе к тов или наличие узлов и пе ре ходов м е ж ду ним и, м ож е т бы ть описанаграфом . О бъе к ты в графах назы ваю тся 2 ● в ерш ина м и и отм е чаю тся точк ам и, а связи 3 м е ж ду ним и назы ваю тся дуга м и и ● отм е чаю тся стре лк ам и м е ж ду соотве тствую щ им и точк ам и (рис.6.5). 1● Г раф м ож е т изображ ать се ть улиц в ● городе : ве рш ины графа – пе ре к ре стк и, а 4 дуги – улицы с разре ш е нны м направле ние м Рис. 6.5. И зображ е ние движ е ния. графа. Опре де ле н ие . Г ра ф ом G = M ; R назы вае тся пара двух к оне чны х м нож е ств: м нож е ство М точе к и м нож е ство R линий, сое диняю щ их не к оторы е пары точе к . Э ле м е нты м нож е стваМ назы ваю тся в ерш ина м и или узла м играфаG, аэле м е нты бинарного отнош е ния R ⊆ M 2 - дуга м и. Т ак ом образом , дугам и являю тся пары ве рш ин (a, b )∈ R . П ри этом дуга (a, b ) назы вае тся ис ходящ ей из верш ины а и за ходящ ей в в ерш ину b. И зображ е ние графа G = M ; R получае тся путе м располож е ния различны х точе к на плоск ости для к аж дой ве рш ины a ∈ M , приче м , е сли (a, b )∈ R , то проводится стре лк а(дуга) изве рш ины а вве рш инуb. П рим е р 6.16. И зобразить граф G = M ; R с 2 ● M = {1, 2, 3, 4} и м нож е ством ве рш ин м нож е ством дуг 3 ● R = {(1, 1), (1, 2 ), (2, 3), (3, 4 ), (4, 3), (4, 1)} . 1 ●

Ре ш е ние .

●

4

50

П ри задании графа природа связи м е ж ду ве рш инам и не им е е т а b значе ния, важ но только то, что связь ● ● сущ е ствуе т и информ ация о связях соде рж ится во м нож е стве R. О днак о часто возник ае т ситуация, к огда так ой информ ации не достаточно, наприм е р, в Рис. 6.6. И зображ е ние случаях, к огда им е е тся не ск олько дуг, м ультиграфа. исходящ их из ве рш ины а в ве рш ину b (рис. 6.6). Т ак ие дуги назы ваю тся к ра т ны м и и для описания так их графов используе тся понятие м ультиграфа. Опре де ле н ие . М ульт игра ф ом G назы вае тся трой к а M ,U , P , в к оторой М – м нож е ство ве рш ин, U – м нож е ство дуг, а P ⊆ M × M × M - тре хм е стны й пре дик ат, назы вае м ы й инцидент ором и пре дставляе м ы й к ак : (a, u, b ) ∈ P тогда и только тогда, к огда дуга u исходит из ве рш ины а и заходит в ве рш инуb. Г раф G = M , R назы вае тся ориент иров а нны м (оргра ф ом ), е сли найде тся дуга (a, b ) ∈ R так ая, что (b, a ) ∉ R . Е сли отнош е ние R сим м е трично, т.е . из (a, b ) ∈ R сле дуе т (b, a ) ∈ R , то граф G назы вае тся неориент иров а нны м или неогра ф ом . Е сли одновре м е нно пары (a, b ) и (b, a ) принадле ж ат R (рис. 6.7,а), то информ ацию об этих дугах м ож но представить м нож е ством [a, b] = {(a, b), (b, a )}, назы вае м ы м ребром , сое диняю щ им ве рш ины а и b. П ри этом верш ины а и b назы ваю тся к онца м иребра [a, b] . Ре браизображ аю тся линиям и бе зстре лок , сое диняю щ им и ве рш ины (рис. 6.7,б). а

●

b ●

а

b ●

●

а) б) Рис. 6.7. Э ле м е нт не ографа(а) и ре бро [a, b] (б). Е сли в м ультиграфе вм е сто дуг рассм атриваю тся ре бра, то так ой м ультиграф так ж е назы вае тся не ориентированны м . Ре бро графа являе тся инцидент ны м по отнош е нию к ве рш инам , к оторы е оно сое диняе т. П ри этом инциде нтны е ре бру ве рш ины назы ваю тся с м еж ны м и (рис.6.8,а). Д ва ре бра являю тся см е ж ны м и, е сли они им е ю т общ ую ве рш ину. Е сли начало и к оне ц ре бра совпадаю т, то так ое ре бро являе тся п ет лей (рис.6.5).

51

М е ж ду двум я ве рш инам и м ож е т бы тьне ск олько ре бе р (ре бра x3 , x 4 , x5 на рисунк е 6.8,а), и их число назы вае тся к ра т нос т ью ребра . Ре бро АВ им е е т к ратность, равную 3. Ч исло ре бе р, инциде нтны х ве рш ине , назы вае тся с т еп енью в ерш ины и обозначае тся deg(A). Н априм е р, ве рш ина А на рис. 6.8,а им е е т сте пе нь deg(А)=5. В е рш ина являе тся чет ной (нечет ной ), е сли е е сте пе ньче тное (не че тное ) число. В е рш ина графа, им е ю щ ая сте пе нь, равную нулю , назы вае тся изолиров а нной , а граф, состоящ ий из изолированны х ве рш ин, назы вае тся нуль-гра ф ом . В е рш инаграфа, им е ю щ ая сте пе нь1, назы вае тся в ис ячей . Г раф назы вае тся п олны м , е сли лю бы е две е го различны е ве рш ины сое дине ны одним и только одним ре бром . Д оп олнением графа G = M ; R являе тся граф G = M ; R ′ с те м и ж е ве рш инам и М и им е ю щ ий те и только те ре бра R ′ , к оторы е не обходим о добавитьк граф уG, чтобы он стал полны м (рис.6.8,в,г). c А • • • • х5 d x1 b •• • • • • x4 x3 x2

• В

С•

a•

•e

•

•

•

•

б) в) г) Рис. 6.8. Г раф со см е ж ны м и ве рш инам и (а), полны й граф (б), графы (в) и (г), дополняю щ ие другдруга. a)

П осле довате льность ре бе р не орие нтированного графа, в к оторой вторая ве рш ина пре ды дущ е го ре бра совпадае т с пе рвой ве рш иной сле дую щ е го, назы вае тся м а рш рут ом . Ч исло ре бе р м арш рута е стьдлина м арш рута. Е сли начальная ве рш ина м арш рута совпадае т с к оне чной, то так ой м арш рут являе тся за м к нут ы м или цик лом . Е сли ре бро встре тилосьтолько один раз, то м арш рут назы вае тся цеп ью. Ра с с т оянием м е ж ду двум я ве рш инам и назы вае тся м иним альная длина из все х возм ож ны х м арш рутов м е ж ду этим и ве рш инам и: d(a,b)=min|a… b| . В орграфе м арш рут являе тся орие нтированны м и назы вае тся п ут ем . П ри этом направле ние к аж дой дуги долж но совпадатьс направле ние м пути и ни одно ре бро не долж но встре чаться дваж ды . Д ругим и словам и, путь–упорядоче нная после довате льностьдугорие нтированного графа. Ц е пь, путьи цик л в орие нтированном графе назы ваю тся п рос т ы м и, е сли они проходят че ре злю бую ве рш инуне более одного раза.

52

Н е ограф назы вае тся с в язны м , е сли м е ж ду лю бы м и е го ве рш инам и е стьм арш рут. П ри этом две ве рш ины являю тся связны м и, е сли м е ж ду ним и сущ е ствуе т м арш рут. Ре бро связного графаявляе тся м ос т ом , е сли после е го удале ния граф становится не связны м и распадае тся надвасвязны х графа. П ри графовом задании бинарного отнош е ния ре фле к сивность для к аж дой ве рш ины пре дставляе тся пе тле й (рис.6.9,а). С ле дствие м сим м е тричности являе тся наличие м е ж ду всяк ой парой ве рш ин двух противополож но направле нны х дуг (рис.6.9,б), а при транзитивности для всяк ой пары дуг, так их, что к оне ц пе рвой совпадае т с началом второй, сущ е ствуе т тре тья дуга, им е ю щ ая общ е е начало спе рвой и общ ий к оне ц со второй (рис.6.9,в). m •mk i

•

mi •

mj

mi •

mj •

а)

•

б)

в)

Рис.6.9. Г рафы эле м е нтов ре фле к сивны х (а), сим м е тричны х (б) и транзитивны х (в) бинарны х отнош е ний. Задания 6.23. И зобразитьграф G = M ; R ,заданны й м нож е ствам и M и R: а) M = {a, b, c, d } и R = {(a, a ), (a, b ), (b, c ), (c, d ), (d , c ), (d , a )}; б) M = {a, b, c} и R = [a, b] U [b, b] U [b, c ] U {(a, c )}; в) M = {1, 2, 3, 4} и R = [1, 2] U [3, 4] U {(1, 3), (2, 4 ), (3, 2 ), (4, 1)}; 6.24. В аналитиче ск ой форм е пре дставитьграфы , изображ е нны е ниж е : 2● 1●

●

2 ●

4● а)

3 ●

a2 ●

a3 ●

a1 ●

a4●

3

2●

4 ●

● a5

1●

●3 в)

б) 3 ●

1● ● 1 г)

2 ●

4● д)

Как ой из графов являе тся связны м ? К ак ие из данны х графов являю тся орие нтированны м и?

53

6.25. И зобразитьне ограф см остом . 6.26. В приве де нны х графах а) и б) ук азатьи пе ре числить: - м нож е ство ве рш ин, дуг, ре бе ри пе тель; - ре бра, инциде нтны е ве рш инам а , с , е; - см е ж ны е ве рш ины для ре бра[a,c], дуги (e,g); - см е ж ны е ре брадля ве рш ин с , d, m; - м нож е ство ре бе р ск ратностью больш е или равной 2; - сте пе ньвсе х ве рш ин; - м нож е ство изолированны х ве рш ин сук азание м их сте пе ни; - м нож е ство висячих ве рш ин сук азание м их сте пе ни; - м нож е ство че тны х (не че тны х) верш ин; - являе тся ли данны й граф полны м ; - являе тся ли данны й граф связны м (не связны м ); - м нож е ство м остов, просты е це пи, пути и цик лы . k ● p

l● ● n

●

● m

● a ●

a

•

а)

t

•

• s

•

● f ● e

p

•

h ●

s

● d

b

d

g ●

c ●

b ●

c•

n

f•

•

• • m

б)

•g

e•

6.27. Н арисоватьдополне ние к сле дую щ им графам : 2 ●

а● ● 3

1●

4

● d

b●

5 ●

● ●3

2●

● c

1●

а)

б) 3 ●b

а

в) 4 ●

●

a●

●

2 ●

●

г)

1

e

c

●

● 5

д)

b●

d● е)

●

54

7. Осн овы те ории ве роятн осте й и м ате м атиче ской статистики 7.1.

С лучайны е собы тия и их ве роятности

В основе те ории вероятносте й ле ж ит понятие случай ного собы тия, т.е . ре зультата эк спе рим е нта, к оторы й м ож е т зак ончиться лю бы м исходом из возм ож ны х, но не изве стно заране е к ак им им е нно. Т ак , бросая игральную к ость, м ож но гарантировать, что вы паде т к ак ое -либо число от 1 до 6, но не льзя заране е бы ть уве ре нны м , что вы паде т граньсном е ром , наприм е р, 5. Опре де ле н ие . Прос т ра нс т в ом э лем ент а рны х ис ходов Ω назы вае тся м нож е ство все х взаим но иск лю чаю щ их (к оторы е не м огут произой ти одновре м е нно) исходовэк спе рим е нта. С обы тие м ож е т состоятьиз одного или не ск ольких исходов, а так ж е м ож е т вк лю чать сче тное или даж е не сче тное число исходов. С обы тия обозначаю тся боль ш им и бук вам и A, B, C, … или описы ваю тся словам и. Г оворят, что собы тие А наступило, е сли эк спе рим е нт зак анчивае тся одним изисходов, входящ их всобы тие А. П рим е р 7.1. П ри бросании игральной к ости м нож е ство исходов Ω={1,2,3,4,5,6}. Ре ш е ние . С обы тие А={вы пало не че тное число} состоит из тре х исходов, т.е. А={1,3,5}. Д ля графиче ск ого изображ е ния пространств исходов прим е няю тся диаграм м ы Э йле ра-В е нна (рис.7.1). Зде сь изображ е но пространство исходовΩ, вк лю чаю щ е е подм нож е стваА и В. А

Ω

Рис. 7.1. П ространство исходовΩ.

В

Опре де ле н ие . С ум м ой A ∪ B (А+В; А или В) назы вае тся собы тие , состоящ е е извсе х исходов, принадле ж ащ их либо А, либо В (рис.7.2). Опре де ле н ие . Произв едением A ⋅ B двух собы тий назы вае тся собы тие , состоящ е е изте х исходов, к оторы е входят вА и В одновре м е нно (рис.7.3). Опре де ле н ие . Ра знос т ью A − B двух собы тий назы вае тся собы тие , состоящ е е из исходов, входящ их вА , но не входящ их вВ (рис.7.4). П рим е р 7.2. П ри бросании игральной к ости ре ализованы два собы тия: А={1,3,5}={вы пало не че тное число} и В={3,6}={вы пало число, к ратное тре м }. Т огдаА+В={1,3,5,6}, A ⋅ B ={3}, A − B ={1,5}, B-A={6}. Опре де ле н ие . Прот ив оп олож ны м (дополните льны м ) для собы тия А назы вае тся собы тие A , состоящ е е из все х исходов, не входящ их в А: A = Ω − A (рис.7.5).

55 Ω А

А

В

Рис. 7.2. С ум м а собы тий А+В.

Ω В

Ω А

Рис. 7.3. П роизве де ние собы тий A ⋅ B .

В

Рис. 7.4. Разность собы тий A − B .

Опре де ле н ие . С обы тие Ω назы вае тся дос т ов ерны м , т.к . оно обязате льно происходит. С обы тие Ω = ∅ назы вае тся нев озм ож ны м (∅ - знак пустого м нож е ства). Опре де ле н ие . С обы тия А и В назы ваю тся нес ов м ес т ны м и, е сли они не м огут наступать одновре м е нно. Е сли A ⋅ B =∅, то собы тия А и В обязате льно не совм е стны . Опре де ле н ие . С обы тие А соде рж ится в собы тии В ( A ⊂ B ), е сли все исходы собы тия А входят всобы тие В (рис.7.6). Ω А

А

Ω В

A

Рис. 7.5. С обы тия А и A .

Рис.7.6. Н е совм е стны е собы тия.

Н е к оторы е свойстваопе раций над собы тиям и 2. A ⋅ B = B ⋅ A . 5. A ⋅ B ⊂ A. 8. A − B = A B. 11. A ⋅ B = A + B.

1. A + B = B + A . 4. A ⋅ Ω = A . 7. A = A. 10. A ⋅ B ⊂ B.

3. A + A = Ω . 6. A ⋅ A = ∅. 9. ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C . 12. ( A − B ) ⋅ C = A ⋅ C − B ⋅ C .

Задание 7.1. И спользуя диаграм м ы Э йле ра-В е нна, док азатьсвойства1-12. Ре ш е ние для свойства5. Ω А

А⋅В

В

⇒ A ⋅ B ⊂ A.

7.2. В группе 25 студе нтов, из к оторы х 19 че лове к изучаю т английск ий язы к , 4 – не м е цк ий, 2 – французск ий. П ри этом дваче лове к а изучаю т

56

одновре м е нно и английск ий и не м е цк ий язы к и. И зобразить пре дставле нны е м нож е стваввиде диаграм м ы Э йле ра-В е нна. 7.2. Классиче ск ое опре де ле ние ве роятности П усть дано м нож е ство (пространство) эле м е нтарны х исходов Ω = {ω1 , ω 2 ,..., ω n } , где n≤∞. П оставим в соотве тствие к аж дом у исходу ω i не отрицате льное число p(ω i ) , так чтобы вы полнялосьусловие норм ировк и n

∑ p(ω ) = 1 . i

i =1

Т ак задае тся ра с п ределение в ероят нос т ей . Опре де ле н ие . Вероят нос т ью собы тия A = {ω l , ω l ,...ω l } назы вае тся число, равное сум м е ве роятносте й исходов, составляю щ их собы тие А: P( A) = ∑ p(ωl ) . 1

2

k

ωl ∈ A

В к лассиче ск ой схе м е те ории ве роятносте й рассм атриваю тся равновозм ож ны е исходы . В этом случае ве роятность к аж дого исхода одинак оваи равна1/n: p (ω1 ) = p (ω 2 ) = ... = p (ω n ) = p =

1 n

⇒

p + p + ... + p = n

1 = 1. n

К лассиче ское опре де ле н ие ве роятн ости. Е сли собы тие А соде рж ит m эле м е нтов, то ве роятностьэтого собы тия равна отнош е нию числа m благоприятны х исходовк общ е м учислуn исходов: P ( A) =

m . n

П рим е р 7.3. В ящ ик е находятся че ты ре к расны х м ячаи два белы х. Как ова ве роятностьвы нутьнаугад к расны й м яч? Как оваве роятностьвы нуть наугад бе лы й м яч? Ре ш е ние . В се го возм ож ны х исходов4+2=6. В е роятностьР(А) собы тия А вы нутьк расны й м яч равна P ( A) =

4 2 = , 6 3

аве роятностьР(В) собы тия В вы нутьбе лы й м яч равна P (B ) =

2 1 = . 6 3

П рим е р7.4. И зтре х к лассовспортивной ш к олы надо составитьк ом андупо одном у уче ник у от к ласса. С к олько различны х к ом анд м ож но составить, е сли вк лассах 18, 20 и 22 уче ник асоотве тстве нно? Ре ш е ние . И з пе рвого к ласса одного уче ник а м ож но вы брать 18 способам и, извторого – 20, изтре тьего – 22. В се го м ож но составить 18·20·22=7920 к ом анд. П рим е р 7.5. С к олько тре хзначны х чисе л с не повторяю щ им ися цифрам и м ож но составитьизтре х эле м е нтов{1,2,3}? Ре ш е ние . Э то задача о числе пе ре становок изn эле м е нтов: Pn=n!, где n!=1·2·3·… ·n. Т огдаР=3!=1·2·3=6 вариантов.

57

Ре ш е ние так ой де ре вавозм ож носте й.

1-я цифра

задачи м ож но

изобразить с пом ощ ью

*

1

2

3

2-я цифра

2

3

1

3

1

2

3-я цифра

3

2

3

1

2

1

П олуче ны сле дую щ ие пе ре становк и-числа: 123, 132, 213, 231, 312, 321. П рим е р 7.6. С к оль к о им е е тся вариантов занятия тре х призовы х м е ст 8 спортсм е нам и одного уровня? Ре ш е ние . Л ю бой из восьм и м ож е т занять пе рвое м есто – это 8 возм ож носте й, дале е лю бой изоставш ихся се м и м ож е т занятьвторое м е сто –7 возм ож носте й, и лю бой изоставш ихся ш е сти м ож е т занять тре тье м е сто –6 возм ож носте й: 8·7·6=336 вариантов. Э то задача о числе разм е щ е ний из n эле м е нтов по k, к оторое опре де ляе тся форм улой Ank = n(n − 1)(n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) =

n! . В этом (n − k ) !

случае ре чьиде т об уп орядоченны х(различим ы х) эле м е нтах. В условиях данной задачи A83 =

8! 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 . (8 − 3)! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

П рим е р 7.7. В ф утбольном турнире участвую т 6 к ом анд. Каж дая к ом анда долж насы гратьск аж дой однуигру. С к олько игр сы грано втурнире ? Ре ш е ние . Ч исло возм ож ны х вариантов вы бора пе рвой к ом анды из двух 6, число возм ож ны х вариантоввы боравторой к ом анды - 5, итого игр 6·5=30. Н о зде сьучте ны варианты спорядк ом (вариант к ом анд А и В и вариант к ом анд В и А одно и то ж е ). П оэтом упе ре становк и внутри вы борк и надо иск лю чить. П е ре становок внутри вы борк и 2!=2, сле довате льно, игрбуде т в2 разам е ньш е : 30:2=15 игр. В случае неуп орядоченны х наборов вы борк и изn эле м е нтов по k назы ваю тся с очет а ниям и n эле м е нтов по k и вы числяю тся по форм уле Ank n! C = = . Pk k!(n − k )! k n

В условиях данной задачи C nk =

6! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 6 ⋅ 5 = = = 15 игр. 2!(6 − 2 )! 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2

Задания 7.3. С к ольким и способам и м ож но составитьтре хцве тны й полосаты й флаг изтре х цве тов: к расны й, синий, зе ле ны й?

58

7.4. С к ольким и способам и м ож но вы братьтри различны е к раск и изим е ю щ ихся пяти? 7.5. С к олько словаре й надо издать , чтобы м ож но бы ло не посре дстве нно вы полнять пе ре воды с лю бого из пяти язы к ов – русск ого, английск ого, французск ого, не м е цк ого и итальянск ого – на лю бой из этих пяти язы к ов? 7.6. С оставляю тся знак и, состоящ ие из ге ом е триче ск их фигур: тре угольник , ок руж ность, к вадрат, ш е стиугольник . С к олько так их знак овм ож но составить? 7.7. С оставляю тся знак и, состоящ ие из ге ом е триче ск их фигур: тре угольник , ок руж ность, к вадрат, ш е стиугольник , и из двух бук в. С к олько так их знак овм ож но составить? 7.8. П ри составле нии иде нтифик аторов (им е н пе ре м енны х) в систе м ах програм м ирования м ож но использоватьбук вы английск ого алфавита и арабск ие цифры , приче м на пе рвом м е сте долж на бы тьбук ва, а так ж е строчны е и прописны е бук вы не различим ы . С к олько различны х иде нтифик аторов из ш е сти знак ов м ож но составить? С к олько иде нтифик аторовслю бы м числом знак овот 1 до 3 м ож но составить? 7.9. С туде нт знае т отве ты на40 вопросовиз60, вк лю че нны х в програм м у. Н айти ве роятностьтого, что студе нт отве тит на три вопроса из тре х, соде рж ащ ихся вэк зам е национном биле те . 7.10. В одном ак вариум е находятся 5 бе лы х, 4 к расны х и 3 полосаты х ры бк и. Д вух случайно вы бранны х ры бок пе ре носят в другой ак вариум . Как ова ве роятностьтого, что обе ры бк и бе лы е ? обе ры бк и к расны е ? обе ры бк и полосаты е ? однабелая, другая полосатая? 7.11. И зде сяти биле товлоте ре и вы игры ш ны м и являю тся два. О пре де лить ве роятностьтого, что сре ди взяты х наудачупяти биле тов: а) один вы игры ш ны й; б) двавы игры ш ны х; в) хотя бы один вы игры ш ны й. 7.3. С татистиче ск ое опре де ле ние ве роятности В эк спе рим е нте условие равновозм ож ности установитьпрак тиче ск и не возм ож но, поэтом у для опре де ле ния ве роятности того или иного собы тия используе тся с т а т ис т ичес к ий п одход. Опре де ле н ие . Вероят нос т ью Р(А) собы тия А назы вае тся объе к тивно сущ е ствую щ ая ве личина, ок оло к оторой группирую тся относите льны е частоты

mA наступле ния этого собы тия при не ограниче нном уве личе нии n

mA , где mA –частотаили число испы таний, n вк оторы х собы тие А произош ло.

числаиспы таний n: P( A) = lim n →∞

С войстваве роятносте й 1. P(Ω ) = 1 всилуусловия норм ировк и.

59

2. Р(∅)=0, так к ак не т ник ак их исходов. 3. 0 ≤ P( A) ≤ 1 . 4. P (A) = 1 − P( A) . П осле дне е свойство оче нь важ но, так к ак позволяе т вы числить ве роятность собы тия А, е сли изве стна ве роятность противополож ного собы тия A . 7.4. Ф орм уласлож е ния ве роятносте й Д ля лю бы х собы тий А и В ве рнаф орм ула с лож ения в ероят нос т ей : P ( A + B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ⋅ B ) . Э та форм ула ле гк о док азы вае тся на основе диаграм м Э йле ра-В енна (рис.7.2,7.3), инте рпре тируя ве роятности собы тий к ак площ ади соотве тствую щ их им изображ е ний. Е сли собы тия нес овм ес т ны , т.е . не м огут происходитьодновре м е нно, P то ( A + B ) = P ( A) + P(B ) . П рим е р 7.8. В м арте 7 дне й ш е л сне г, 10 – дож дь, из них 4 дня – сне г с дож де м . Н айти вероятностьтого, что в наугад вы бранны й де ньш е л сне гили дож дь. Ре ш е ние . П устьА={ш ел с нег}, В={ш ел дож дь}, Р(АВ)={ш ел с нег с дож дем }. В се го дне й вм арте 31, сле довате льно, P ( A) =

7 10 4 , P(B ) = , P( AB ) = . 31 31 31

Т огда ве роятность Р(ш ел дож дь или с нег) по форм уле слож е ния ве роятносте й е сть: P( A + B ) =

7 10 4 13 + − = . 31 31 31 31

7.5. У словны е ве роятности. Ф орм улаум нож е ния ве роятносте й Ч асто рассм атривае тся вопрос об опре де ле нии ве роятности к ак оголибо собы тия А при условии, что уж е произош ло другое собы тие В: Р(А/В). Опре де ле н ие . У с лов на я в ероят нос т ь Р(А/В) собы тия А при условии, что произош ло собы тие В сР(В)>0, вы числяе тся по форм уле P( A B ) =

P( A ⋅ B ) . P (B )

Ф орм ально это м ож но объяснить сле дую щ им образом : так к ак собы тие В произош ло, то в к аче стве нового пространства эле м е нтарны х исходов служ ат все исходы , к оторы е принадле ж ат В, а благоприятствую щ им и наступле нию собы тия А считаю тся исходы , входящ ие вА и В одновре м е нно (рис.7.3). И зопре де ле ния сле дуе т форм улаум нож е ния ве роятносте й: P ( A ⋅ B ) = P ( A) ⋅ P ( B A) = P (B ) ⋅ P ( A B ) . П рим е р 7.9. Как ова ве роятностьтого, что из к олоды из 36 к арт наугад будут вы браны дватуза? Ре ш е ние . В е роятностьР(А) того, что пе рвая к арта–туз, равна

4 1 = . 36 9

П осле этого вк олоде остались3 тузаи все го 35 к арт. С ле довате льно,

60

условная ве роятность Р(В/А) собы тия В буде т

(вы бор второго туза)

3 . Т огда, ве роятностьP( A ⋅ B ) собы тий А и В буде т 35 1 3 1 P ( A ⋅ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B A) = ⋅ = . 9 35 105

Задания 7.12. Н а к лум бе растут 20 к расны х, 30 синих и 40 бе лы х астр. Как ова ве роятностьсорватьв те м ноте цве тную астру, е сли сры ваю т один цве ток ? 7.13. С туде нт приш е л на заче т, зная толь 24 вопроса из 30. Как ова ве роятность сдать заче т, е сли после пе рвого отк аза отве чать на пе рвы й вопрос, пре подавате льзадае т е щ е один вопрос? 7.14. В читальном зале 6 уче бник ов по те ории ве роятносте й, изк оторы х 3 в пе ре пле те . Библиоте к арь взял наугад 2 уче бник а. Н ай ти ве роятностьтого, что обауче бник аок аж утся впере пле те . 7.15. Д ва стре лк а стре ляю т по м иш е ни. В е роятностьпопадания в м иш е нь при одном вы стре ле для 1-го стре лк а равна 0,7, а для второго – 0,8. Н ай ти ве роятностьтого, что при одном залпе в м иш е ньпопаде т только один изстре лк ов. 7.16. С туде нт знае т 20 из 25 вопросов програм м ы . Н ай ти ве роятность того, что студе нт знае т пре длож е нны е е м уэк зам е натором 3 вопроса. 7.17. В лаборатории работае т 7 м уж чин и 3 ж е нщ ины . П о табе льны м ном е рам отобраны 3 че лове к а. Н айти ве роятность того, что все отобранны е лицаок аж утся м уж чинам и. 7.18. Н е к то написал 3 письм а, запе чатал их в к онве рты , азате м наугад на к аж дом изних написал адре са. О пре де литьве роятностьтого, что на все х к онве ртах написаны правильны е адре са. 7.6.

Зак оны распре де ле ния случайны х ве личин

С лучайное собы тие е стьк аче стве нная харак те ристик а испы тания, а случайная ве личинаявляе тся к оличе стве нной харак те ристик ой. П рим е ры случайны х ве личин: вре м я бе зотк азной работы лю бого те хниче ск ого устрой ства, погре ш ность лю бого изм е ре ния, прибы ль пре дприятия за лю бой фик сированны й отре зок вре м е ни, отк лоне ние парам е тровданного устройстваот ном инальны х значе ний и т.д. Д ля полной харак те ристик и случайной ве личины не обходим о знать: - м нож е ство е е возм ож ны х значе ний ; - к ак часто, т.е . с к ак ой ве роятностью , случайная ве личина приним ае т те или ины е значе ния. Т ак ая харак те ристик а случай ной ве личины назы вае тся за к оном ра с п ределения. Зак он распре де ле ния м ож е т бы ть в разны х форм ах в зависим ости от типа случай ной ве личины . Д ля те хниче ск их прилож е ний важ ны случай ны е ве личины диск ре тного и не пре ры вного типа.

61

Опре де ле н ие . С лучайная ве личина назы вае тся ве личиной дис к рет ного т ип а , е сли она м ож е т приним ать к оне чное или сче тное м нож е ство значе ний. Опре де ле н ие . С лучайная ве личина назы вае тся ве личиной неп реры в ного т ип а , е сли онам ож е т приним атьлю бы е значе ния в одном или не ск ольких заданны х инте рвалах. Зак он распре де ле ния ве роятносте й диск ре тной случайной ве личины Зак он распре де ле ния случайной ве личины Х с к оне чны м или сче тны м м нож е ством значе ний x1 , x 2 ,..., x n задан, е сли изве стны все ве роятности P ( X = xi ) = p i , i = 1,2,..., n . П ри этом вы полняе тся условие норм ировк и

∑p

i

= 1.

i

С овок упностьхi и их ве роятносте й pi назы вае тся рядом распре де ле ния, к оторы й м ож е т бы тьзадан таблично: Х

x1

x2

. . .

xn

P( X = xi )

p1

p2

. . .

pn

Зак он распре де ле ния диск ре тной случайной ве личины м ож но задавать с пом ощ ью инте грального зак она распре де ле ния или ф унк ции распре де ле ния. Опре де ле н ие . Ф унк цией ра с п ределения F(x) случайной ве личины Х назы вае тся ве роятностьтого, что ве личина Х прим е т значе ние , м е ньш е е че м х: F (x ) = P( X < x ) , где х–произвольное ве щ е стве нное число. Д ля диск ре тной случайной ве личины F ( x ) = ∑ pi xi < x

П рим е р 7.10. П остроитьфунк цию распре де ле ния диск ре тной случайной ве личины Х , е сли изве сте н е е ряд распре де ле ния: хi P( X = xi )

0

1

2

0,3

0,2

0,5

Ре ш е ние . Е сли х≤0, F(x)≡ 0, поск ольку в данном случае собы тие {X<x} являе тся не возм ож ны м . Е сли 0<x≤1, то собы тие {X<x} равносильно собы тию {X=0}. П оэтом удля данного пром е ж утк аF(x)=P(X=0)=0,3. Аналогично, 1<x≤2, то F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0,5. Н ак оне ц, е сли х>2, то то F(x)≡ 1, поск ольку те пе рьсобы тие {X<x} становится достове рны м . И так , функ цию распре де ле ния и е е график м ож но пре дставитьввиде :

62 F(x) 1.0

x ≤ 0, 0, 0,3, 0 < x ≤ 1,  F (x ) =  0,5, 1 < x ≤ 2, 1, x > 2.

0,5 0,3

0

1

2

x

Ф унк ция распре де ле ния и плотностьве роятности не пре ры вной случайной ве личины С лучайная ве личина считае тся заданной, е сли изве стна е е функ ция распре де ле ния, т.е . ф унк ция F (x ) = P( X < x ) (рис.7.7). F(x) 1

0

α

β

x

Рис.7.7. Ф унк ция распре де ле ния не пре ры вной случай ной ве личины .

С пом ощ ью ф унк ции распре де ле ния F(x) все гда м ож но опре де лить ве роятность попадания случай ной ве личины Х в пром е ж уток [α;β): P(α ≤ X < β ) = F (β ) − F (α ).

Ф унк ция распре де ле ния для не пре ры вной случайной ве личины не позволяе т вы числитьве роятностьзначе ний х, поск ольку все ве роятности получаю тся равны м и нулю . Ч тобы пре одоле ть эту трудность вводится понятие плотности ве роятности. Опре де ле н ие . Плот нос т ью в ероят нос т и, или диф ф еренциа льны м за к оном ра с п ределения ве роятносте й случайной ве личины Х назы вае тся ф унк ция f (x ) , опре де ляе м ая раве нством P ( x < X < x + ∆x ) . ∆x → 0 ∆x

f (x ) = lim

Рассм отрим основны е свойстваплотности ве роятности. 1. f (x ) >0, так к ак ве роятностьне отрицате льна. 2. Т ак к ак P(x ≤ X < x + ∆x ) = F (x + ∆x ) − F (x ) , то на основании опре де ления производной f ( x) = F ′(x ) . 3. В е роятностьпопадания случайной ве личины Х в пром е ж уток [α;β) равна β

P(α ≤ X < β ) = ∫ f ( x)dx = F (β ) − F (α ) . α

63

4. Зам е няя в после дне м раве нстве β на х и устре м ляя α→ − ∞, м ож но найти ф унк цию распре де ления по изве стной плотности ве роятности: x

F ( x) =

∫ f ( x)dx .

−∞

5. Е сли ве рхний пре де л ф унк ции распре де ле ния устре м итьк ∞, то получим ∞

∫ f ( x)dx = 1 .

−∞

Э то означае т, что площ адь , ограниче нная осью абсцисс и график ом плотности вероятности, равна1. П рим е р 7.11. Д ана ф унк ция распре деле ния не пре ры вной случайной ве личины x ≤ 0, 0,  F (x ) = sin x, 0 < x ≤ π 2 , 1, x > π 2. 

Н айти плотностьве роятности f (x ) . Ре ш е ние .

x ≤ 0, 0,  f ( x) = F ′(x ) = cos x, 0 < x ≤ π 2 , 0, x > π 2. 

Задания 7.19. Д ля заданной плотности распре де ления ве роятности найти F(х). x ≤ 0, 0,  7.19.1. f ( x) = sin x, 0 < x ≤ π 2 , 0, x > π 2. 

x ≤ 1, 0,  7.19.2. f ( x) =  x − 1 2 , 1 < x ≤ 2, 0, x > 2. 

x ≤ π 6, 0,  7.19.3. f ( x) = 3 sin 3x, π 6 < x ≤ π 3 , 0, x > π 3. 

x ≤ 0, 0,  7.19.4 f ( x) = cos x, 0 < x ≤ π 2 , 0, x > π 2. 

7.20. Н е преры вная случайная ве личина Х задана плотностью ве роятности f ( x) =

2 в инте рвале 3 sin 3 x

(0; π 3) , вне этого инте рвала f(x)=0. Н ай ти

ве роятностьтого, что Х прим е т значе ние , принадле ж ащ е е инте рвалу (π 6 ; π 3) . 7.7. Ч исловы е харак те ристик и случайной ве личины Д ля полной харак те ристик и распре де ле ния случайной ве личины Х не обходим о знатье е ф унк цию распре де ле ния или, в случае не пре ры вной Х , е е плотностьве роятности. Н о вбольш инстве прак тиче ск их задач бы вае т достаточно знать: - прим е рное полож е ние того инте рвала значе ний, в к отором находится основная м асса ве роятности случайной ве личины Х , а так ж е полож ение «це нтра группирования» на числовой оси – это харак те ристик и полож е ния;

64

- наск олько ш ирок о разбросаны значе ния случайной ве личины Х по к аж дую сторону от «це нтра группирования» - это харак те ристик а рассе ивания. Н аиболе е часто употре бляе м ой харак те ристик ой полож е ния являе тся м а т ем а т ичес к ое ож ида ние случай ной ве личины Х , к оторое обозначае тся к ак М (Х ). Опре де ле н ие . М ате м атиче ск ое ож идание диск ре тной случайной ве личины е сть сум м а произве де ний все х е е возм ож ны х значе ний на n

соотве тствую щ ие им ве роятности: M ( X ) = ∑ xi pi . i =1

М ате м атиче ск ое ож идание не пре ры вной случайной ве личины е сть ∞

инте грал M ( X ) = ∫ x f ( x)dx . −∞

Н аиболе е употре бите льной харак те ристик ой рассе ивания случайной ве личины Х являе тся дис п ерс ия, к оторая обозначае тся к ак D(Х ). Опре де ле н ие . Д ис п ерс ией случайной ве личины назы вае тся м ате м атиче ск ое ож идание к вадрата отк лоне ния Х от свое го м ате м атиче ск ого ож идания: D( X ) = M ( X − M ( X ))2 . М ате м атиче ск ое ож идание не пре ры вной случайной величины е сть ∞

инте грал M ( X ) = ∫ x f ( x)dx . −∞

n

Д ля диск ре тной случай ной ве личины D( X ) = ∑ (xi − M ( X ))2 pi , а для i =1

∞

не пре ры вной случай ной величины D( X ) = ∫ (x − M ( X ))2 f ( x)dx . −∞

В вы числительном отнош е нии боле е удобна не диспе рсия, а другая м е ра рассе ивания случай ной ве личины Х , к оторая чащ е все го используе тся, - это к оре нь к вадратны й из диспе рсии, взяты й с полож ите льны м знак ом , - к оторая назы вае тся с редним к ва дра т ичны м от к лонением или с т а нда рт ны м от к лонением случай ной ве личины : σ ( X ) = D( X ) . Задания 7.21. С лучай ная ве личинаХ заданаф унк цие й плотности ве роятности x ≤ 0, 0,  f ( x) = 2 x, 0 < x ≤ 1, 0, x > 1. 

Н ай ти м ате м атиче ск ое ож идание ве личины Х . 7.22. С лучайная ве личинаХ заданаф унк цие й плотности ве роятности x ≤ 3, 0, 3 45  f ( x) =  x 2 + 6 x − , 3 < x ≤ 5, 4 4 x > 5. 0,

65

Н ай ти м ате м атиче ск ое ож идание ве личины Х . 7.23. С лучай ная ве личинаХ заданаф унк цие й плотности ве роятности 0, x ≤ −3,  1  f ( x) =  , − 3 < x ≤ 3, 2 π 9 − x 0, x > 3. 

Н ай ти диспе рсию ве личины Х . 7.24. П лотность ве роятности случайной ве личины распре де ле нной наотре зк е [a,b] заданаф унк цие й

Х,

равном е рно

x ≤ a, 0,  1  f ( x) =  , a < x ≤ b, b − a x > b. 0,

Н ай ти: а) ф унк цию распре де ле ния F(x) и наче ртитье е график ; б) м ате м атиче ск ое ож идание , диспе рсию и сре дне к вадратичное отк лоне ние случайной ве личины Х . 7.8. Н орм альны й зак он распре де ле ния С ре ди не пре ры вны х распре де ле ний наиболе е важ ную роль играе т норм а льное ра с п ределение, к оторое е щ е назы вае тся за к оном Г а ус с а . К норм альном у зак ону распре де ле ния при ве сьм а часто встре чаю щ ихся условиях приближ аю тся другие зак оны распре де ле ний. С лучайная ве личина, распре де ле нная по норм альном у зак ону, им е е т плотностьве роятности вида f (x ) =

− 1 e 2π σ

( x − a )2 2σ 2

, где постоянны е а и σ –

парам е тры распре де ле ния. Г рафик плотности ве роятности, подчине нной зак онуГ аусса, приве де н нарис.7.8. y

(σ

a-3σ

a-2σ

a-σ

a

2π

a+σ

)

−1

a+2σ

a+3σ

x

Рис.7.8. П лотностьве роятности норм ального распре де ле ния.

66

Л е гк о виде ть, что f (a − x ) = f (a + x ) , так что к ривая x = a . М е тодам и плотности сим м е трична относите льно прям ой диффе ренциального исчисле ния м ож но установить , что к ривая плотности им е е т один е динстве нны й м ак сим ум при x = a и две точк и пере гиба при x = a ±σ . В е роятностны й см ы сл парам е трова и σ вы ясняе тся после нахож де ния м ате м атиче ск ого ож идания и диспе рсии. О к азы вае тся, что 2 M ( X ) = a, D ( X ) = σ . О пре де ле нны й инте грал спе ре м е нны м ве рхним пре де лом вида x

t2

− 1 Φ(x ) = e ∫ 2 dt 2π 0 носит название норм ированной ф унк ции Ла п ла с а или просто ф унк ции Л апласа. Ф унк ция Л апласаобладае т сле дую щ им и свойствам и: Φ(0 ) = 0; Φ (∞ ) = 0,5; Φ (− x ) = −Φ (x ) . Ф унк ция распре де ле ния случай ной ве личины , подчине нной норм альном у зак ону распре де ле ния, м ож е т бы тьвы раж е наче ре зфунк цию

x−a .  σ 

Л апласа: F (x ) = + Φ 1 2

В е роятностьпопадания случайной ве личины Х в пром е ж уток (α , β ) равна P(α < X < β ) = F (β ) − F (α ) = Φ((β − a ) δ ) − Φ((α − a ) δ ) . Е сли пром е ж уток сим м е триче н относите льно точк и а =М (Х ), то получим форм улувида: P{ X − a < ε } = 2Φ(ε σ ) .

П ри ε = tσ получим P{ X − a < tσ } = 2Φ(t ) . В частности, при t=1,2,3 получим P{ X − a < σ } = 2Φ (1) = 0,6827, P{ X − a < 2σ } = 0,9545, P{ X − a < 3σ } = 0,9973

.

П осле дне е раве нство дае т основание к сле дую щ е м у прак тиче ск ом у правилу, к оторое часто назы ваю т п ра в илом «3σ »: все прак тиче ск и возм ож ны е значе ния случайной ве личины , подчине нной норм альном у зак онураспре де ле ния, зак лю че ны винте рвале (a − 3σ , a + 3σ ) . Задания 7.25. М асса заготовк и вы пуск ае м ого изде лия являе тся норм ально распре де ле нной случайной ве личиной со сре дним значе ние м 100 к г и стандартны м отк лоне ние м 8 к г. Н аудачу вы бираю т заготовк у. Н ай ти ве роятности сле дую щ их собы тий : а) м ассазаготовк и м е ньш е 90 к г; б) м ассазаготовк и больш е 110 к г; в) м ассазаготовк и находится винте рвале от 95 до 105 к г; г) м ассазаготовк и находится винте рвале от 97 до 112 к г.

67

8. Осн овн ы е числе н н ы е м е тоды 8.1. Ч исле нное диффе ре нцирование В больш инстве прак тиче ск их задач, наприм е р, при ре ш е нии диффе ренциальны х уравне ний или нахож де нии диффе ре нциалов от таблично заданны х ф унк ций, использую тся прие м ы числе нного диффе ренцирования. Э ти прие м ы основы ваю тся на опре де ле нии производной и диффе ре нциала. П усть не обходим о найти производную y ′(x) от ф унк ции y(x) . Разобьем областьдиффе ре нцирования точк ам и xi с постоянны м ш агом h (рис.8.1,а). М нож е ство {xi } назы ваю т ра знос т ной с ет к ой , а xi - узлам и се тк и. y y(xi-1) y(xi)

• • x• i

xi-1 y(xi)

•

•

• • •

y(xi-1) y(xi) y(xi+1)

• x•i x• i+1

xi-1

x

б)

•

• x• • x• • x• i+2 x i+1 i-1

xi-2

x

i

y(xi-1) y(xi) y(xi+1)

x

• • • • xi-1 xi xi+1 x в)

a)

Рис.8.1. Разбие ние области диффе ре нцирования: а) –общ е е разбие ние ; б) –двухточе чны е ш аблоны ; в) –тре хточе чны й ш аблон. Н ахож де ние производной в лю бой узловой точк е сводится к вы числе нию отнош е ния y ′( xi ) ≈

y ( x i ) − y ( xi −1 ) x i − x i −1

или y ′( xi ) ≈

y ( x i ) − y ( xi −1 ) . h

В этом случае использую тся только две точк и се тк и (xi −1 , xi ) , т.е . производная находится на двухточе чном ш аблоне (рис.8.1,б). П олуче нная двухточе чная форм ула для пе рвой производной ре ализуе т диффе ренцирование назад (ле вая разностная производная). Аналогично находится правая разностная производная. Боле е точной для пе рвой производной на двухточе чном ш аблоне (x i −1 , x i +1 ) являе тся це нтральная разностная производная, к оторая е сть полусум м але вой и правой разностны х производны х: y ( x i +1 ) − y ( x i ) y ( x i ) − y ( xi −1 ) + x i +1 − x i x i − x i −1 y ( xi +1 ) − y ( x i −1 ) y ц′ ( x i ) ≈ = . 2 2h

68

Д ля нахож де ния второй разностной производной используе тся тре хточе чны й ш аблон (рис.8.1,в). С начала найде м правую и ле вую разностны е производны е : y ′л( x i ) ≈

y ( x i ) − y ( x i −1 ) ; h

y п′ р ( x i ) ≈

y ( x i +1 ) − y ( x i ) . h

В торая производная по опре де ле нию равна y ( xi +1 ) − y ( xi ) y ( xi ) − y ( xi −1 ) − y ( xi +1 ) − 2 y ( xi ) + y ( xi −1 ) h h = . y′′( xi ) ≈ h h2

П огре ш ность числе нного диффе ре нцирования ум е ньш ае тся с ум е ньш е ние м ш агаразностной се тк и, и при h → 0 разностны е производны е стре м ятся к истинны м значе ниям производны х. П рим е р8.1. Н айти правую , ле вую и це нтраль ную разностны е производны е пе рвого порядк аот ф унк ции y( x) = x 2 −

1 вточк е х=2 на двухточе чном x

ш аблоне разностной се тк и сш агом h=0,1. С равнить поуче нны е данны е с те оре тиче ск им пе рвой производной взаданной точк е . 22 −

Ре ш е ние . y′п р =

значе ние м

1  2 1  1  2 1 − 1,9 −  2,12 − − 2 −  2  1,9  2,1  2 = 4,163 ; y′л = = 4,338 ; 0,1 0,1 1  2 1  − 1,9 −  2,12 − 2,1  1,9  yц′ = = 4,251 . 2 ⋅ 0,1

Т е оре тиче ск ое значе ние пе рвой производной вточк е х=2: 1 1 , y′(2) = 2 ⋅ 2 + 2 = 4,25 . 2 x 2 Абсолю тны е погре ш ности ∆ разностны х производны х при числе нном y′( x) = 2 x +

диффе ре нцировании составляю т сле дую щ ие значе ния: ∆ п р = y ′п р − y ′ = 4,163 − 4,25 = 0,087; ∆ п р = y ′л − y ′ = 4,338 − 4,25 = 0,088; ∆ п р = y ц′ − y ′ = 4,251 − 4,25 = 0,001.

П рим е р 8.2. Н а тре хточе чном ш аблоне разностной се тк и с ш агом 0,2 вы числитьвторую разностную производную в точк е х=1 для ф унк ции y ( x) = e 2 x − x 3 и сравнить е е с те оре тиче ск им значе ние м второй производной взаданной точк е . Ре ш е ние . В торая разностная производная вточк е х=1 равна: y′ра′ зн(1) =

(

) (

)

e(2⋅1, 2 ) − 1,23 − 2 e 2⋅1 − 13 + e 2⋅0,8 − 0,83 = 23,952 . 0,2 2

Т е оре тиче ск ое значе ние второй производной взаданной точк е : ′ y′(x ) = 2e 2 x − 3 x 2 ; y′′(x ) = ( y′(x )) = 4e 2 x − 6 x ; y′′(1) = 2e 2⋅1 − 6 ⋅ 1 = 23,556 . О тносите льная погре ш ность∆ числе нного диффере нцирования равна: ∆=

y′ра′ зн(1) − y′′(1) 23,952 − 23,556 ⋅ 100% = ⋅ 100% = 1,681% y′′(1) 23,556

69

Задания 8.1. Н айти правую , ле вую и це нтральную разностны е производны е первого порядк а на двухточе чном ш аблоне и сравнитьпоуче нны е данны е с те оре тиче ск им значе ние м пе рвой производной взаданной точк е : а) от функ ции y ( x) = x 2 + 7 x − 3 вточк е х=5 при h=0,1; б) от ф унк ции y ( x) = 2 x + x(x + 1) вточк е х=0 при h=0,05; x3 + 5x вточк е х=2 при h=0,2; 2x г) от функ ции y( x) = 4 x 2 − 5 x вточк е х=0,3 при h=0,3;

в) от ф унк ции y ( x) =

e 2 + 2 x(2 x − 3) вточк е х=1 при h=0,1; x е ) от функ ции y ( x) = ln x 2 + 6 вточк е х=2 при h=0,25;

д) от ф унк ции y ( x) =

( )

ж ) от функ ции y ( x) = (1 − x 2 ) вточк е х=0,5 при h=0,15; з) от ф унк ции y ( x) = x 2 cos x вточк е х=-1 при h=0,05; 2

x вточк е х=-2 при h=0,3; x +6 к ) от ф унк ции y ( x) = x − tgx вточк е х=0,5 при h=0,1;

и) от функ ции y ( x) =

2

л) от ф унк ции y ( x) = sin 6 x вточк е х=1 при h=0,02. 8.2. И ссле довать зависим ость абсолю тной погре ш ности числе нного диффере нцирования на двухточе чном ш аблоне от ш ага разностной се тк и для правой , ле вой и це нтральной разностной производной пе рвого порядк а, оце нивая абсолю тную погре ш ность к ак ∆(h ) = y ′ра зн − y ′ : а) ф унк ции y ( x) = x 2 + 7 x при h = {0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=4; б) функ ции y( x) = 3 sin 2 x при h = {0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,025} вточк е х=π/6; в) функ ции y ( x) = 3 x при h = {0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=1; г) ф унк ции y ( x) = ln cos x при h = {0,8; 0,4; 0,2; 0,1; 0,05; 0,01} вточк е х=0,5; д) функ ции y ( x) = x sin 2 x при h = {0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02} вточк е х=2. П остроитьграфик и зависим осте й ∆(h ) = f (h) . 8.3. Н а тре хточе чном ш аблоне разностной се тк и с ш агом h вы числить вторую разностную производную для ф унк ции y(x) и сравнитье е с те оре тиче ск им значе ние м второй производной взаданной точк е х: а) y ( x) = sin 2 x вточк е х=-1 при h=0,05; б) y ( x) = 1 + x 2 вточк е х=3 при h=0,1; 1 вточк е х=1 при h=0,5; x2 г) y( x) = x sin x вточк е х=-0,5 при h=0,2; д) y ( x) = xe − x вточк е х=2 при h=0,06;

в) y ( x) =

е ) y( x) = sin 2 x вточк е х=π/2 при h=0,01; ж ) y ( x) = x 2 ln x вточк е х=3 при h=0,3.

70

8.4.

И ссле довать зависим ость относите льной погре ш ности числе нного диффе ре нцирования от ш ага разностной се тк и для разностной производной второго порядк а на тре хточе чном ш аблоне , y′ра зн − yт′ еор ⋅ 100% : yт′ еор

оце нивая относите льную погре ш ностьк ак ∆(h ) =

а) ф унк ции y ( x) = x 2 + 7 x при h = {0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=4; б) функ ции y ( x) = x 2 sin 2 x при h = {0,4; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=1; x2 + 7x при h = {0,5; 0,3; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01} вточк е х=2; x2 г) ф унк ции y ( x) = x 3 + 4 x 2 − 3x при h = {0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,025} вточк е х=0.

в) функ ции y ( x) =

П остроитьграфик и зависим осте й ∆(h ) = f (h) . 8.5. Н аинте рвале [0;5] таблично заданаф унк ция y(x) : xi yi

0,0 0,1

0,5 0,7

1,0 0,9

1,5 1,2

2,0 1,5

2,5 1,6

3,0 1,7

3,5 1,9

4,0 2,0

4,5 2,1

5,0 2,2

Рассчитать и построить график и все х разностны х производны х пе рвого и второго порядк ов. С равнитьре зультаты числе нного диффе ре нцирования с график ам и те оре тиче ск их производны х y ′(x ) =

1 2 x

и y ′′(x ) = −

1 4 x3

.

8.2. Ч исле нное инте грирование В больш инстве научны х и те хниче ск их задач нахож де ние опре де ле нного инте грала от эле м е нтарны х ф унк ций, или от ф унк ций, заданны х таблично, не м ож е т бы тьсве де но к аналитиче ск им вы раж е ниям . В этих случаях прим е няе тся приближ е нное инте грирование . b

П усть надо вы числить опре де ле нны й инте грал I =

∫ f ( x)dx

для

a

ве щ е стве нной функ ции f(x), к оторая опре де ле на и ограниче на на зам к нутом инте рвале [a,b]. С огласно ге ом е триче ск ом у см ы слу, опре де ле нны й инте грал I е стьплощ адь, ограниче нная к ривой f(x), осью 0х и прям ы м и х=а и х=b (рис.8.2). Разбив инте рвал [a,b] на n y часте й, найде м инте гральную f(ξi)

n

сум м уS: S = ∑ f (ξ i )( xi +1 − xi ) , i =1

f(x)

x0= a x1

x2

xi ξi xi+1

Рис. 8.2.

xn-1 xn= b

x

к оторая при стре м ле нии ∆ x = x инте рвалов i i +1 − x i к нулю для не пре ры вны х ф унк ций стре м ится к точном у значе нию инте грала:

lim

max ∆xi →0 i

S=I.

71

В ы числе ние инте гральной сум м ы S е стьпросте й ш ий способ числе нного инте грирования. П ри этом ве рхняя SM и ниж няя Sm границы сум м ы S опре де ляю т ве личинупогреш ности вы числе ния инте гралаI: n −1

S M = ∑ M i ( xi +1 − xi ) , где M i = max f ( x) ; x i ≤ x ≤ x i +1

i =0 n −1

mi = min f ( x) ;

S m = ∑ mi ( xi +1 − xi ) , где

xi ≤ x ≤ x i +1

i =0

I − S = SM − Sm .

Ч ащ е все го поды нте гральная функ ция на к аж дом отре зк е ( xi , xi +1 ) зам е няе тся не к ой приближ е нной ф унк цие й, инте грал от к оторой вы числяе тся аналитиче ск и. В общ е м случае отре зок [a,b] разбивае тся на че тное число n=2m отре зк ов длины h=(b-a)/n и на к аж дом из отре зк ов длины 2h зам е няю т ф унк цию вспом огате льной ф унк цие й. Е сли ф унк ция зам е няе тся е е значе ние м в сере дине отре зк а (рис.8.3,а), то площ адь к риволине йной фигуры зам е няе тся на площ адь прям оугольник а. Е сли функ ция зам е няе тся лине йной ф унк цие й (рис.8.3,б), то площ адьк риволине йной фигуры зам е няе тся на площ адьтрапе ции. А е сли ф унк ция зам е няе тся параболой, проходящ е й че ре з точк и (xi,f(xi)), (xi+1,f(xi+1)), (xi+2,f(xi+2)) (рис.8.3,в), то площ адь к риволине йной фигуры зам е няе тся наплощ адьк риволине йной трапе ции. y

xi

y

f(x)

f(ξi)

xi+1

x

xi

y

f(x)

f(ξi)

xi+1

x

f(x)

f(ξi)

xi

xi+1

x

а) б) в) Рис. 8.3. Аппрок сим ация исходной поды нте гральной функ ции по м е тоду: а) прям оугольник ов; б) трапе ций; в) С им псона. Н а се тк е с к оординатам и xi=a+ih, где i=0,1,2,… ,2m, составны е форм улы для приближ е нного вы числе ния инте грала и оце нк и погре ш ности вы числе ний по правилуРунге им е ю т вид: - форм улапрям оугольник ов b

∫ a

(

)

n −1 h  f ( x)dx = h∑ f  xi +  + R1 , где R1 = I h 2 − I h 3 ; 2  i =0

- форм улатрапе ций b h n−1 f ( x ) dx = ∑ ( f (xi ) + f (xi+1 )) + R2 , где R2 = (I h 2 − I h ) 3 ; ∫a 2 i =0 - форм улаС им псона

72

(

)

h m−1 ∑ ( f (x2i ) + 4 f (x2i +1 ) + f (x2i +2 )) + R3 , где R3 = I h 2 − I h 15 . ∫a 2 i =0 Н а прак тик е задае тся начальное значе ние n и проводится вы числе ние приближ е нного значе ния инте грала Ih. Зате м n ← 2n, и проводится вы числе ние Ih/2. Е сли погре ш ность R м е ньш е заданной точности вы числе ний ε, то за ок ончате льны е значе ния инте грала приним аю тся сле дую щ ие ве личины : I ≅ I h 2 + (I h 2 − I h ) 3 - для форм улы прям оуголь ник ов; I ≅ I h 2 − (I h 2 − I h ) 3 - для форм улы трапе ций; b

f ( x)dx =

I ≅ I h 2 − (I h 2 − I h ) 15 - для форм улы С им псона.

Е сли погре ш ностьR больш е заданной точности вы числе ний ε, то снова уве личивае тся значе ние n вдваразаи процессвы числе ний продолж ае тся. П рим е р 8.3. С пом ощ ью составны х форм ул прям оугольник ов, трапе ций и 2

x С им псонавы числитьинте грал I = ∫ xe dx сточностью ε = 0,001 . 0

Ре ш е ние. MathCAD2003.

Н иж е

приве де но

ре ш е ние

задачи

в

сре де

73

Анализре зультатов пок азы вае т, что наиболе е точной являе тся форм ула С им псона. О на обе спе чивае т заданную точностьвы числе ний при оце нк е по правилуРунге уж е при m=2, тогдак ак форм улатрапе ций дае т ре зультат сзаданной точностьпри m=12, аформ улапрям оугольник ов- при m=14. Задания 8.6. В ы числитьопре де ле нны е инте гралы с точностью ε = 0,05 по форм уле прям оугольник ов. 3

8.6.1. ∫ ( x + 1)dx . 3

0

4

8.6.4. ∫ ( x + 1)dx . 3

1

8.6.2. ∫ ln(x + 2)dx . 1

2

−1

π

8.6.3. ∫ sin x 2 dx . −π

2,5

1

8.6.5. ∫ ( xe − x )dx . 2x

8.6.6.

∫ (x

2

− 3 x 3 )dx .

−0,5

0

8.7. В ы числитьопре деле нны е инте гралы с точностью ε = 0,01 по форм уле трапе ций. 2

4

dx . x

8.7.2.

∫ x cos xdx .

8.7.5.

8.7.1. ln 2 = ∫ 1

∫ (1 + 1

π 2

8.7.4.

5

dx x

)

2

.

∫

∫ 1

xdx 4x + 5

.

1

2

0

8.7.3.

2 − x 2 dx .

1

8.7.6. ∫ ln( x + 1)dx . 0

8.8. В ы числитьопре де ленны е инте гралы сточностью ε = 0,001 по форм уле С им псона. 8.8.2.

1

π 2

8.8.4.

2 ∫ x cos xdx . 0

π dx =∫ . 4 0 1+ x2 1

5

8.8.1. ∫ x 3 dx .

1

8.8.3. π = 6∫ 0

∫

4 − x2

.

π 2

2

8.8.5.

dx

1 + x 2 dx .

8.8.6.

0

∫

3 − cos 2 x dx .

0

8.3. Ч исле нное ре ш е ние обы к нове нны х диффере нциальны х уравне ний Рассм отрим исходную задачу Кош и в виде обы к нове нного диффе ренциального уравне ния пе рвого порядк а y ′( x) = f (x, y ) с начальны м условие м y(x0 ) = y 0 . Д анное уравне ние наразностной се тк е {xi }0≤i ≤n им е е т вид dy (xi ) = f ( xi , y i ) , dx

y (x0 ) = y 0 .

И спользуя правую , ле вую и це нтраль ную разностную производную , получим :

y i +1 − y i = f ( xi , y i ) , 0 ≤ i ≤ n − 1 , y (x 0 ) = y 0 ; h y i − y i −1 = f ( xi , y i ) , 1 ≤ i ≤ n , y ( x 0 ) = y 0 ; h y i +1 − y i −1 = f ( xi , y i ) , 1 ≤ i ≤ n − 1 , y ( x 0 ) = y 0 . 2h

74

П е рвая форм ула назы вае тся яв ной ра знос т ной с хем ой , поск ольку дае т возм ож ностьвы числитьзначе ние yi +1 в сле дую щ е й точк е се тк и по явной форм уле yi +1 = yi + hf (xi , yi ) . Д ве другие форм улы пре дставляю т неяв ны е ра знос т ны е с хем ы . М е тодЭ йлера О снову м е тода Э йле ра составляе т явная разностная схе м а на равном е рной разностной се тк е . И нте рвал инте грирования [a,b] обы к нове нного диффе ре нциального уравне ния пе рвого порядк а разбивае тся на n часте й узловы м и точк ам и xi = x0 + ih , i = 1,2,..., n , и значе ния yi вэтих точк ах вы числяе тся по форм уле yi +1 = yi + hf (xi , yi ) , i = 0,1,2,..., n − 1 . М е тод Э йле ра относится к группе однош аговы х м е тодов, в к оторы х для расче та точе к (xi +1 , yi +1 ) не обходим а информ ация о пре ды дущ е й вы числе нной точк е (xi , yi ) . Н а прак тик е для оце нк и погре ш ности расче та функ ции y(x ) используе тся правило Рунге . С начала проводится вы числе ние y ih с ш агом h = (b − a ) n . Зате м число инте рвалов разбие ния удваивае тся (n ← 2n ) , и h 2 i

проводятся вы числе ния y . Заоце нк у погре ш ности вы числе ний насе тк е с h 2 2i

y −y . ш агом h 2 приним ае тся ве личина 1max ≤i ≤ n −1 h i

П рим е р 8.4. Н айти м е тодом Э йле ра числе нное ре ш е ние задачи Кош и y ′ = e x −1 при y(1) = 1 в инте рвале [1;3] с ш агом 0,5. П ри к ак ом числе разбие ний буде т обе спе че напогре ш ностьε = 0,1 ? Ре ш е ние . П рове де м ре ш е ние данной задачи всре де MathCAD.

75

И ссле дование

погре ш ности ре ш е ния пок азало, что при числе

y −y разбие ний 2n=64 1max ≤ i ≤ n −1 h i

h 2 2i

< ε = 0.1 .

М е тоды Рунге -К утта Г руппа м е тодов Рунге -К утта разного порядк а позволяю т проводить числе нное ре ш е ние диффе ре нциальны х уравне ний с хорош е й точностью бе зиспользования производны х. Т ак , м е тод Э йле ра – м е тод Рунге -К утта пе рвого порядк а. М е тод Рунге -К утта второго порядк а записы вае тся в сле дую щ е й форм е : h   y i +1 = y i + 2 (k1 + k 2 ), 0 ≤ i ≤ m − 1,  k1 = f (xi , y i ), k = f ( x + h, y + hk ) . i i 1  2 

П рим е р 8.5. М е тодом Рунге -К утта второго порядк а ре ш итьзадачу Кош и dy = x2 + y2 , dx

y (0 ) = 1, 0 ≤ x ≤ 0,2 сш агом h = 0,1 .

Ре ш е ние . Н аходим ре ш е ние вузловы х точк ах 0, 0,1, 0,2: y0 = 1; 0,1   y1 = 1 + 2 (k1 + k 2 ) = 1,111,  k1 = 1,  2 2 k 2 = (0,1) + (1 + 0,1) = 1,22;   y 2 = 1,111 + 0,05(k1 + k 2 ) = 1,2515307,  2 2 k1 = (0,1) + (1,111) = 1,244321,  2 2 k 2 = (0,2 ) + (1,111 + 0,1244321) = 1,5662924.

76

П одче рк нуты пре дполагае м ы е ве рны е значащ ие цифры точного ре ш ения y(0,1) , y(0,2) . Н аиболе е популярны м сре ди м е тодов Рунге -К утта являе тся м е тод че тве ртого порядк а, соотве тствую щ ие форм улы к оторого им е ю т вид:  h  y i +1 = y i + (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ), 0 ≤ i ≤ m − 1, 6  k1 = f (xi , y i ),  h h    k 2 = f  xi + , y i + k1 , 2 2     h h   k 3 = f  xi + , y i + k 2 , 2 2    k 4 = f (xi + h, y i + hk 3 ) . 

В ы полним один ш агдля задачи Кош и, поставле нной вприм е ре 8.5: y0 = 1; 0,1   y1 = 1 + 6 (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) = 1,114 629,  k1 = 1,  2 2 k 2 = (0,05) + (1 + 0,05) = 1,105,  2 2 k 3 = (0,05) + (1 + 0,05 ⋅ 1,105) = 1,1160525, k = (0,1)2 + (1 + 0,1 ⋅ 1,116 )2 = 1,2456663.  4 

Д ля оце нк и погре ш ности расче та ф унк ции y(x ) используе тся правило Рунге , согласно к отором у для м е тода Рунге -К утта второго порядк а за оце нк у погре ш ности вы числе ний на се тк е с ш агом h 2 приним ае тся ве личина max

1≤i ≤ n −1

h

h

y ih − y 22i

y ih − y 22i

3

, адля че тве ртого порядк а - max

1≤i ≤ n −1

15

.

Задания 8.9. М е тодом Э йле ра найти числе нное ре ш е ние задачи Кош и. П ри к ак ом числе разбие ний буде т обе спе че напогре ш ностьε = 0,1 ? x 8.9.1. y ′ = e при y (0) = 1 винте рвале [0;2] сш агом 0,5. 2 8.9.2. y ′ = y − x + 2 x при y (0) = 0 винте рвале [0;1] сш агом 0,1. −2 8.9.3. y′ = − x при y (1) = 0 винте рвале [1;3] сш агом 0,5. 8.9.4. y ′ = 2 y − 2 x( x − 1) при y (0) = 2 винте рвале [0;1] сш агом 0,2.

1 при y(0) = 0 винте рвале [0;2] сш агом 0,4. x +1 8.9.6. y ′ = 2 y ⋅ ctgx при y(0) = 0 винте рвале [0;π/2] сш агом π/10.

8.9.5. y′ =

77

8.10. М е тодом Рунге -К утта второго порядк а ре ш ить задачу К ош и с заданной точностью . 2 8.10.1. y ′ = − y + 2 y − 1 винте рвале [1;2] при y (1) = 2 и ε≤ 0,01.

8.10.2. y ′ = 2 y − 2 x( x − 1) винте рвале [0;1] при y (0) = 1 и ε≤ 0,05. 8.10.3. y′ =

1 2 x cos 2

(

) винте рвале [1;2] при y(1) = 0 и ε≤ 0,1.

x −1

2x винте рвале [8;10] при y (8) = 2 и ε≤ 0,02. x + 36 3y 8.10.5. y′ = винте рвале [1;3] при y (1) = 2 и ε≤ 0,1. 2x 8.10.6. y′ = 2 x − 1 винте рвале [1;2] при y(1) = 1 и ε≤ 0,01. 8.11. М е тодом Рунге -К утта че тве ртого порядк а ре ш ить задачу Кош и с заданной точностью . 2x y (0) = 0 и ε≤ 0,05. 8.11.1. y ′ = 1 − (x + 1)2 винте рвале [0;2] при 8.11.2. y′ = y винте рвале [0;1] при y (0) = 2 и ε≤ 0,01. 8.10.4. y′ =

2

8.11.3. y ′ = y − x + 1 винте рвале [0;2] при y (0) = 0 и ε≤ 0,1. 8.11.4. y′ =

3( y + 6) винте рвале [2;4] при y (2) = 2 и ε≤ 0,05. x

2 8.11.5. y′ = 1 − y винте рвале [π 2; π ] при y (π 2) = 1 и ε≤ 0,02.

8.11.6. y ′ = − y + 10 винте рвале [1;3] при y (1) = 10 и ε≤ 0,1.

78

Л ите ратура 1. Ф илим онова Е .В . М ате м атик а : уче бн. пособие для ср. спе ц. уч. заве де ний / Е .В . Ф илим онова. –Ростовн/Д : Ф е ник с, 2003. 2. О сновы вы сш е й м ате м атик и / И .В .П авлуш к ов [и др.]. – М . : Г Э О Т АР, 2004. 3. С пирина М .С . Д иск ре тная м ате м атик а: уче бник для студ. учре ж де ний сре д. проф. образования / М .С . С пирина, П .А. С пирин. –М . : Ак аде м ия, 2004. 4. Калинина В .Н . М ате м атиче ск ая статистик а / В .Н . К алинина, В .Ф . П анк ин. –М . : В ы сш . ш к ола, 1998.

79

С оставите льБы к адороваГ алинаВ ладим ировна Ре дак тор: Т ихом ироваО .А.

Математика: Учебно-методическое пособие по специальности ''Микроэлектроника и твердотельная электроника''

Recommend Documents