Алгебра и логика, 39, N 4 (2000), 379-394
УДК 512.54
О РАЦИОНАЛЬНЫХ М Н О Ж Е С Т В А Х В КОНЕЧНО-ПОРОЖДЕННЫХ НИЛЬПОТЕ...
5 downloads
169 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 39, N 4 (2000), 379-394
УДК 512.54
О РАЦИОНАЛЬНЫХ М Н О Ж Е С Т В А Х В КОНЕЧНО-ПОРОЖДЕННЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУППАХ*) Г. А. БАЖЕНОВА Введение
Следуя [1], определяем класс рациональных подмножеств произволь ного моноида М как минимальный класс, содержащий все конечные под множества М и замкнутый относительно рациональных операций, т.е. объединения, произведения и порождения подмоноида. Выбирая в каче стве моноида М группу G, получаем определение рациональных подмно жеств G. Известен (см. [2]) другой подход к определению рациональных подмножеств, основанный на понятии рациональной структуры в группе. В § 4 мы доказываем, что два определения в некотором смысле эквивалент ны тогда и только тогда, когда рациональные в смысле [1] подмножества G образуют булеву алгебру, т. е. класс, замкнутый относительно объедине ния, пересечения, взятия дополнения и теоретико-множественной разности множеств (поскольку объединение входит в число рациональных опера ций, достаточно говорить о замкнутости класса рациональных множеств относительно взятия дополнения). Известно (см., например, [1]), что рациональные подмножества сво бодного конечно-порожденного (к. п.) моноида образуют булеву алгебру. Нетрудно также показать, что рациональные подмножества свободной *' Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 98-01-00932.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
380
Г. А. Баженова
группы конечного ранга — булева алгебра. В данной статье доказывается, что рациональные подмножества к. п. нильпотентной группы G образуют булеву алгебру тогда и только тогда, когда группа G почти абелева. Кроме того, изучается, когда множества решений уравнений в к. п. нильпотентных группах не являются рациональными. Приводится пример уравнения от одной переменной в свободной нильпотентной группе ранга два и ступени три, множество решений которого не будет рациональным (пример 1), это решает известную в данной области проблему о существо вании таких уравнений над к. п. нильпотентными группами.
§ 1. Основные определения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть М — моноид. По индукции определим классы %, г = 0 , 1 , . . . , подмножеств из М следующим образом: 1. $ о ~~ э т о класс всех конечных подмножеств из М. 2. Если классы Ло,...,31п
уже определены, то 3£„4-i — класс всех
множеств 5 С М таких, что 5 не принадлежит ни одному из классов 3?о,..., # п , но существуют множества Т\ 6 %к, ?2 £ %, 0 ^ к, I ^ n такие, что либо 5 = Тх U Т 2 , либо 5 = Т{Г2 = {аЬ | а е Г ь Ь G Т 2 }, либо 5 = 2\* = = {1} U Тг U TiTi U Г1Г1Г1 U .. ..
Объединение всех классов %i, г = 0 , 1 , . . . , называется классом раци ональных подмножеств М и обозначается 31(М). Если множество 5 С М принадлежит 3 ^ , то число к будем называть сложностью множества S. Хорошо известно описание рациональных множеств с помощью конечных автоматов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Конечным автоматом Г
Г над моноидом М на
е
зывается четверка {Q,qoQt,ty-> Д Q ~ конечное множество (мноэюе стпво вершин), qo — элемент Q (начальная вершина), Qt — подмножество Q (мноэюестпво выходных вершин), £1 — конечное подмножество декартова произведения Q X М х Q (множество стрелок). Правильный путь тг в автомате Г — это конечная последовательность стрелок вида uj\,... ,и>п, где о;,- = (ft-i, то«?&)> причем qn € Qt- Меткой
О рациональных множествах
381
стрелки о;,* называется элемент гп{. Меткой пути я* называется произве дение т\ • • -тп. Говорят, что автомат Г задает множество R С М, если Л — это множество меток всех правильных путей автомата Г. Т Е О Р Е М А 1. Пусть М — моноид. Тогда любой конечный авто мат над М задает рациональное подмножество М, и наоборот, любое рациональное подмножество М задано некоторым автоматом. Следующая лемма, в основе которой лежит хорошо известная идея, дает полезное необходимое условие, при котором множество будет рацио нальным. Л Е М М А 1. Пусть М - моноид, и Re ЩМ). Тогда: 1) либо R конечно, либо существуют такие и, и, w из М, что v ф 1 и для всех целых п ^ 0 элемент uvnw принадлежит R; 2) существуют такие конечные множества То, Ti С М, что 1 £ Тх и любое г из R\ То можно представить в виде г = utv, где t 6 Т\ и ut*v С R. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ясно, что п. 1 следует из п. 2. Докажем п. 2. Пусть R задано с помощью конечного автомата Г. Число правильных пу тей без петель в Г конечно. Пусть Го — множество их меток. Множество петель, не содержащих подпетли, также конечно. Пусть Т\ — множество их меток, отличных от единицы. Если г £ (R \То), пусть 7г = u?i,... ,u;„, и;,- = = (qi-i>mi,qj)
— кратчайший правильный путь в Г с меткой г. Суще
ствуют индексы 0 ^ г < j ^ n такие, что qi = qj и 0 и yt- = ж; при ^ = 0. Пусть У = { у ь . . . , y s }. Существует конечное множество АГ такое, что Y* + K = М. Значит, достаточно показать, что У* имеет вид (2). Известно, что J2 £$у, = 0, и найдется 6i ф 0. Иначе говоря, имеем ^ у, = X) у,-, где множества / , J С {!,...,«} не пересекаются и одно из них (скажем, /) непусто. Тогда У = (j{yi'
• • •' » - ь Уй-ь • • •, У.}*-
(3)
Действительно, пусть и = £ /,-#, где /,• б Z и /, ^ 0. Положим А = «:=1
= min{/, | г Е / } , и пусть А = /,, где jf £ / . Можно считать, что lj > 0. Тогда
u
= Yllm+Х^' - А ) »•+ л ]Су* tg/
i€/
iel
Г. А. Баженова,
384
Получим равенство (3). Значит, по индукции У* имеет вид (2). Лемма доказана. Л Е М М А 4. Пусть А = Zn, Я Е Я(Л), а К С А конечно. Тогда (R\K)eOl(A). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Я -— свободный коммутативный моно ид, и X = { # 1 , . . . , х8} ~ множество его свободных порождающих. Пусть К
==
\ Yl ^ixi \ состоит из одного элемента. Тогда R \ К = R\ U Я2, где
# i = | Е l&i | О