Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела на маятнике Обербека: Методические указания к лабораторной работе

Петрозаводский государственный университет

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА Методические указания к лабораторной работе

Петрозаводск 1999

Рассмотрены и рекомендованы к печати на заседании редакционной комиссии по отрасли науки и техники «общая и ядерная физика» 15 сентября 1998 года Печатается по решению редакционно-издательского Петрозаводского государственного университета

совета

Составители: Л. И. Бутина, ст. преподаватель; И. А. Малиненко, доцент; С. И. Крылова, доцент.

Данное издание осуществлено при поддержке АО "Кондопога"

2

ОТ СОСТАВИТЕЛЕЙ Методические указания посвящены теме «Основной закон динамики вращательного движения твердого тела». Описан способ экспериментальной проверки закона. Кратко изложены основные теоретические понятия, характеризующие вращательное движение твердого тела. Дано описание лабораторной установки «Маятник Обербека» и порядок измерений. В конце пособия приведены список литературы и правила по технике безопасности. Для закрепления знаний по изучаемой теме составлены индивидуальные задания (приложение 1). Приложение 2 содержит инструкцию по обработке результатов измерений на ЭВМ.

3

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА Цель работы: проверить II закон Ньютона для вращательного движения. Принадлежности: маятник Обербека, секундомер, рулетка, штангенциркуль. ВВЕДЕНИЕ Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, расстояние между которыми остается неизменным во время движения. Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки, перемещаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной прямой, называемой осью вращения. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, так как его положение однозначно определяется углом поворота φ между неподвижной плоскостью, проведенной через ось вращения, и плоскостью, проведенной через эту же ось, но жестко связанную с телом (рис. 1). Угол поворота ϕ меняется со временем, т. е. вращательное движение описывается уравнением: φ = f(t), где t – время. Основными кинематическими характеристиками вращающегося тела являются угол поворота φ, угловая скорость ω = dφ/dt, характеризующая быстроту вращения, и угловое ускорение ε = dω/dt, характеризующее быстроту изменения угловой скорости. Кинематические характеристики отдельных точек тела и тела в целом связаны друг с другом. Для любой точки тела А (рис.1), находящейся на расстоянии r от оси вращения, линейная 4

скорость V = ω⋅ r , тангенциальное ускорение аτ = ε⋅ r, нормальное ускорение an = ω2 ⋅ r и полное ускорение a = r ε 2 + w 4 .

Рис. 1 Мерой внешнего воздействия на тело, в результате которого изменяется его угловая скорость, является момент силы. Так как составляющая силы, направленная вдоль оси вращения, не вызывает вращения тела, то в дальнейшем будем считать, что сила F, действующая на тело, лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси (рис. 2). Моментом силы F относительно оси вращения называется векторное произведение радиуса - вектора r точки приложения силы относительно оси и вектора силы: M = [r·⋅ F]. Из этого определения следует, что численное значение момента силы M = r · F·sinα. Произведение r·sinα, равное длине перпендикуляра h, опущенного из точки О, лежащей на оси, на линию действия силы, называют плечом силы. Поэтому можно *Величины, указанные жирным шрифтом, являются векторными. 5

сказать, что момент силы численно равен произведению величины силы на ее плечо: М = F·⋅ h. Вектор М направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом определения направления векторного произведения векторов r и F.

Рис. 2 Инертность тела при вращательном движении определяется не только его массой, как это имеет место при поступательном движении, но и распределением массы относительно оси вращения. Поэтому мерой инертности тела при его вращательном движении служит особая величина, называемая моментом инерции. Моментом инерции тела относительно оси называется величина, определяемая равенством I = ∑ mi Ri2, где mi Ri2 – момент инерции материальной точки массы mi, находящейся на расстоянии Ri от оси вращения. Из этого определения следует, что момент инерции системы равен сумме моментов инерции ее частей. Таким образом, момент инерции системы так же, как и ее масса, есть величина аддитивная. Основной закон динамики вращательного движения (II закон Ньютона для вращательного движения) утверждает: угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, 6

прямо пропорционально результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси: ε = M/I,

(1)

ε - угловое ускорение тела, М – результирующий момент относительно неподвижной оси всех внешних сил, I – момент инерции тела относительно той же оси. Цель данной работы проверить на практике и убедиться в справедливости закона динамики вращательного движения твердого тела (1). где

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ. ИДЕЯ МЕТОДА Для экспериментальной проверки закона (1) в данной работе используется маятник Обербека (рис. 3а). Крестовина, состоящая из четырех взаимно перпендикулярных стержней с надетыми и закрепленными на них четырьмя одинаковыми грузами В, может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О О′. Крестовина жестко скреплена со шкивом А, на который намотана нить D. Один конец нити закреплен на шкиве, к другому прикреплена металлическая подставка П, на которую могут быть помещены грузы С различной массы. Если подставку П с грузом С отпустить, то он будет падать вниз, натягивая нить и приводя крестовину в равноускоренное вращательное движение. Грузы В можно перемещать вдоль стержней, меняя тем самым момент инерции системы. Проверку закона динамики вращательного движения можно осуществить двумя способами: 1. При неизменном моменте инерции системы изменять результирующий момент внешних сил. В этом случае из выражения (1) можно получить: ε1/ε2 = M1/M2 при I = const .

(1а) 7

2. При неизменном моменте внешних сил изменять момент инерции системы. Тогда выражение (1) примет вид: ε1/ε2 = I2/I1

при М = const.

Проверка зависимостей (1а) и (1б) содержание предлагаемых ниже упражнений.

(1б) и

составляет

Рис. 3

Упражнение 1

Задача: Проверить зависимость углового ускорения ε от момента внешних сил М, то есть убедиться в правильности равенства (1а). Преобразуем выражение (1а) к более удобному для экспериментальной проверки виду. Для этого применим II закон Ньютона к поступательному движению груза С. Будем считать, что в системе отсутствуют силы трения. 8

Из рис. 4 следует, что для груза С T + mg = ma . (2а) В проекции на ось Х ma = mg – T, отсюда T = m (g – a) . (2б) Очевидно (рис. 4), что сила натяжения нити Т создает момент силы М, действующий на крестовину относительно оси О О´: M = m (g – a)·r . (3а) Согласно основному закону динамики вращательного движения этот момент силы сообщает крестовине угловое ускорение: M=I⋅ε. (3б) Из (3а) и (3б) следует, что угловое ускорение крестовины можно изменять, меняя массу падающего груза С.

Рис. 4: T – сила натяжения нити, r – радиус шкива, на который намотана нить, m – масса падающего груза С, g – ускорение свободного падения При равноускоренном падении груза с высоты h с нулевой начальной скоростью (Vo = 0) a = 2h / t2. Это ускорение равно 9

тангенциальному ускорению вращающихся точек на ободе шкива и может быть выражено через угловое ускорение крестовины: aτ = a = ε·r . (4a) Отсюда ε = a / r = 2h / t2 ‚r . (4б) Подставляя в уравнение (1а) выражения (3а) и (4б), получим соотношение для двух масс падающего груза С:

⎛ 2h ⎞ m1 ⎜⎜ g − 2 ⎟⎟ t1 ⎠ t 22 ⎝ = 2 ⎛ 2 h ⎞ t1 m2 ⎜⎜ g − 2 ⎟⎟ t2 ⎠ ⎝ где

,

(5)

t1 – время падения груза m1 (время вращения маятника); t2 – время падения груза m2. Выполнение равенства (5) следует проверить на опыте.

ПОРЯДОК РАБОТЫ 1. Грузы В (рис. 3а) расположите на концах (или на серединах) стержней, причем подберите такое их положение, чтобы до приложения к шкиву вращающего момента крестовина находилась в безразличном равновесии. 2. Измерьте высоту падения груза. 3. Проверьте справедливость равенства (5). Для этого, помещая на подставку П грузы m1 и m2 различной массы, но не менее 350 г (подумайте, почему должно выполняться это условие), измеряйте по 5 раз время их падения. 4. Оцените погрешность левой и правой частей равенства (5). 10

Для обработки результатов измерения можно воспользоваться программой для ЭВМ (см. инструкцию в конце данных указаний).

Упражнение 2

Задача: Проверить зависимость углового ускорения ε от момента инерции I, то есть убедиться в справедливости равенства (1б). Преобразуем выражение (1б) к виду, удобному для экспериментальной проверки. Пусть при положении добавочных грузов В (рис.3а) на концах стержней момент инерции крестовины равен I1. Тогда I1 = I0 + I1' , I0 – момент инерции крестовины без грузов на стержнях, I1' - момент инерции грузов, насаженных на концы стержней. Если размеры грузов достаточно малы по сравнению с расстоянием до оси вращения, то их можно считать материальными точками, поэтому где

где R1, то:

I1' = Σ Δmi R' i2, Δmi – масса насаженного на стержень груза В, Ri' - расстояние от центра i–го груза до оси вращения. Если Δm1 = Δm2 = Δm3 = Δm4 = Δm и R1' = R2' = R3' = R4' = I1' = 4 Δm R12 и I1 = I0 + 4 Δm R12 .

(6) (7)

Положению добавочных грузов В на серединах стержней соответствует момент инерции крестовины I2, причем I2 = I0 + 4 Δm R22 .

(8)

11

Для исключения неизвестного нам момента инерции крестовины без грузов I0 вычтем из равенства (7) равенство (8) и получим: I1 – I2 = 4 Δm (R12 – R22) . С другой стороны, момент инерции крестовины с грузами В можно определить, применяя основной закон динамики вращательного движения: I = M / ε. Таким образом, I1 – I2 = M1 / ε1 – M2 / ε2. Тогда проверка исходного уравнения (1б) сведется к проверке равенства:

M1

ε1

−

M2

ε2

(

= 4 ⋅ Δm ⋅ R12 − R22 ) .

(9)

Из соотношений (3), (4) и (9) получим равенство, содержащее величины, определяемые на опыте:

t12 − t 22 = 8 ⋅ h

Δm R12 − R22 . 2 mr g

(

)

(10)

ПОРЯДОК РАБОТЫ 1. Расположите грузы на концах стержней (рис. 3б). 2. Штангенциркулем измерьте расстояния, S ΔR, d (рис. 3б) и расстояние R1 от центра груза В, насаженного на стержень, до оси вращения вычислите по формуле: R1 = S – ΔR/2 – d/2. 3. Измерьте радиус r шкива, на который намотана нить. 4. На подставку П (рис. 3) поместите груз массой 400 – 500 г. Измерьте (не менее 3 – 5 раз) время падения груза t1. 5. Аналогичный опыт проделайте для случая, когда добавочные грузы В находятся на серединах стержней. Определите R2 и t2. 12

6. Используя данные измерений, проверьте выполнение равенства (10). Оцените погрешность левой части уравнения (10). Данные установки: масса одного груза 50 г, масса подставки 50 г. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Перечислите кинематические характеристики вращательного движения твердого тела. Укажите их физический смысл и единицы измерения. Перечислите динамические характеристики вращательного движения твердого тела (ознакомиться по литературе 1, 2, 3). Что называется моментом силы относительно точки вращения? Что называется моментом силы относительно оси вращения? Как найти направление вектора момента силы? Что называется плечом силы? Дайте определение момента инерции материальной точки, твердого тела. Каковы единицы измерения этой величины? Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Выведите выражение (5). Выведите выражение (10). Объясните, почему при возрастании массы падающего груза С время вращения маятника уменьшается. Объясните, почему при перемещении добавочных грузов В на середины стержней крестовины время вращения маятника уменьшается. Получите выражение для момента инерции пустой крестовины I0 (вывод сделать самостоятельно). 13

14. 15. 16.

Почему масса падающих грузов не может быть меньше некоторой критической величины? *Какой вид будет иметь уравнение движения маятника Обербека при учете сил трения? *Как можно оценить момент сил трения, действующих на маятник Обербека? ЛИТЕРАТУРА

1. Грабовский Р. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1980. С. 71 – 73. 2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М.: Высшая школа, 1989. С. 39 – 48. 3. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. М.: Наука, 1972. Т.1. С. 59 – 69. 4. Савельев И. В. Курс общей физики. М.: Наука, 1977. Т.1. С. 132 – 145. 5. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1985. С. 28 – 32. 6. *Хайкин С. Э. Физические основы механики. М.: Наука, 1971. С. 297 – 303.

Для обработки результатов измерений можно воспользоваться программой, разработанной для ЭВМ «Ямаха», каб. 434.

* Отмеченные звездочкой вопросы и литература рекомендуются студентам физической специальности.

14

Приложение 1 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕРИАЛАМ РАБОТЫ 1. По данным упражнения 1 рассчитайте скорость v, которой обладал движущийся груз m через 1, 2, 3 секунды после начала движения и в момент приземления. Постройте график зависимости v = f (t): а) для груза m1; б) для груза m2. 2. По данным упражнения 1 рассчитайте угловую скорость w вращения маятника Обербека через 1, 2, 3 секунды после начала движения и в момент приземления груза m. Постройте график зависимости w = f (t): а) для груза m1; б) для груза m2. 3. Рассчитайте момент инерции маятника, когда грузы находятся: а) на концах стержней; б) на серединах стержней. 4. Используя результаты эксперимента, проверьте справедливость закона сохранения механической энергии для случаев движения маятника, когда грузы находятся: а) на концах стержней; б) на серединах стержней. 5. Рассчитайте скорость груза m в момент приземления на основе закона сохранения механической энергии (используя определяемые в опыте величины) для случаев, когда грузы находятся: а) на концах стержней, б) на серединах стержней. 6. Определите полный угол поворота маятника Обербека от начала движения до момента приземления груза m. Сколько оборотов совершил маятник за это время? 7. Рассчитайте работу силы, создающей вращающий момент, за все время вращения маятника в течение одного опыта по данным 1-го упражнения: а) для груза m1; б) для груза m2. 8. Рассчитайте момент импульса L маятника Обербека через 1, 2, 3 секунды после начала движения и в момент приземления груза m по экспериментальным данным для случаев, когда грузы находятся: а) на концах стержней; б) на серединах стержней. Постройте графики зависимости L = f (t). 15

9. Используя результаты эксперимента, проверьте справедливость закона изменения момента импульса при движении маятника Обербека, когда грузы находятся: а) на концах стержней; б) на серединах стержней. 10. Сделайте схематически рисунок установки. Изобразите направления векторов угловой скорости w, углового ускорения ε маятника Обербека, момента M действующей на него силы, момента импульса маятника L и изменения момента импульса ΔL. Рассмотрите случаи, когда: а) маятник движется ускоренно; б) маятник движется замедленно. Ниже приводится таблица вариантов заданий, выполняемых каждым студентом; № варианта указывает преподаватель.

Таблица вариантов Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

16

Задание 1а 1б 2а 2б 6а 3б 6 6 3а 2б

3а 3б 3а 3б 5а 5б 7а 7б 8а 8б

4а 4б 9а 9б 10а 10б 10а 10б 6 8б

Приложение 2 ИНСТРУКЦИЯ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ НА ЭВМ Лабораторная работа № 10 «Проверка основного закона вращательного движения» 1. Программа предназначена для проверки справедливости равенства (5) – упр.1 и равенства (10) – упр.2, приведенных в методических указаниях. 2. Экспериментальная часть лабораторной работы выполняется в соответствии с методическими указаниями к ней. 3. При подготовке к машинной обработке результатов эксперимента рекомендуется следующий порядок записи данных. 1) Упражнение 1: • • •

высота падения груза (среднее значение), масса первого груза, масса второго груза, таблица результатов измерений времени падения 1-го и 2-го грузов (число измерений с каждым разом должно быть не меньше трех). 2) Упражнение 2:

• • • •

радиус шкива, масса падающего груза, средняя масса грузика, насаженного на стержень, расстояния от центра грузика на стержне до оси вращения при двух его положениях (предварительно рассчитываются их средние значения по данным установки), 17

•

4. 5. 6. 7. 8. 9.

10.

11.

таблица результатов измерения времени падения груза для обоих положений грузиков на стержнях маятника (число измерений при каждом положении грузов на стержнях должно быть не меньше трех). Помните, что все величины должны быть выражены в одной системе единиц. В программе предусмотрено, что число измерений – целое, а все остальные величины – вещественные. Обратите внимание на форму ввода данных. Программа вводится оператором. Ознакомьтесь с порядком работы на ЭВМ «Ямаха». Обратите внимание на пункты 10 и 11 этих указаний. Численные данные вводите в соответствии с запросами, появляющимися на экране дисплея. По программе проводятся вычисления левой и правой частей равенства (5) для всех возможных комбинаций величин t1 и t2, измеренных в упражнении 1. М – номер проводимого расчета. Вам необходимо записать количество проведенных расчетов, средние значения левой и правой частей равенства, их среднеквадратичную погрешность. По программе проводятся вычисления левой части равенства (10) для всех возможных комбинаций величин t1 и t2, измеренных при выполнении упражнения 2. А – номер проводимого расчета. Вам необходимо записать количество проведенных расчетов, среднее значение и среднеквадратичную погрешность левой части. Результаты расчета записывайте в рабочий журнал и приводите их в отчете. ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

1. Перед началом работы внимательно изучите порядок ее выполнения. 2. Тщательно закрепляйте грузы на стержнях маятника. 3. После окончания работы выключите электронный секундомер и приведите рабочее место в порядок. 18

СОДЕРЖАНИЕ От составителей

3

Проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела на маятнике Обербека

4

Введение

4

Описание установки. Идея метода

7

Упражнение 1

8

Порядок работы

10

Упражнение 2

11

Порядок работы

12

Контрольные вопросы

13

Литература

14

Приложение 1. Индивидуальные задания по материалам работы

15

Приложение 2. Инструкция по обработке результатов измерений на ЭВМ

17

Правила техники безопасности

18

19

Составители: Лариса Иосифовна Бутина Инна Аврамовна Малиненко Светлана Ивановна Крылова ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА Методические указания к лабораторной работе

Редактор Ю. Г. Хромова ЛР № 040 110 от 10.11.96. Подписано к печати январь 99. Формат 60 х 84 1/16. Бумага газетная. Офсетная печать. 1,1 уч.-изд. л. 7 усл. кр.-отт. Тираж 300 экз. Изд. № 19. «С» Издательство Петрозаводского государственного университета 185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 20