Курс теорії міри та інтеграла

ÊÓÐÑ ÒÅÎÐI ÌIÐÈ ÒÀ IÍÒÅÃÐÀËÀ Â. Ì. Ðàä÷åíêî Êè¨â 2012 Âñòóï Ìåòîþ äàíîãî êóðñó ¹ ïîáóäîâà îñíîâ çàãàëüíî¨ òåîði¨ ìið...

Author: В. М. Радченко

52 downloads 238 Views 700KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

ÊÓÐÑ ÒÅÎÐI ÌIÐÈ ÒÀ IÍÒÅÃÐÀËÀ Â. Ì. Ðàä÷åíêî Êè¨â

2012

Âñòóï Ìåòîþ äàíîãî êóðñó ¹ ïîáóäîâà îñíîâ çàãàëüíî¨ òåîði¨ ìiðè, âèçíà÷åííÿ òà äîñëiäæåííÿ îñíîâíèõ âëàñòèâîñòåé iíòåãðàëà Ëåáåãà. Ïîíÿòòÿ ìiðè ¹ óçàãàëüíåííÿì òàêèõ ÷èñëîâèõ õàðàêòåðèñòèê ìíîæèí ÿê äîâæèíà, ïëîùà, îá'¹ì. Öi õàðàêòåðèñòèêè çàñòîñîâóþòüñÿ â ðiçíèõ ïðîñòîðàõ, äëÿ ðiçíèõ êëàñiâ ìíîæèí, àëå ¨õ çíà÷åííÿ ìàþòü ñïiëüíi ðèñè: âîíè íåâiä'¹ìíi, i äëÿ îá'¹äíàííÿ äâîõ íåïåðåòèííèõ ìíîæèí äîðiâíþþòü ñóìi çíà÷åíü öèõ äâîõ ìíîæèí. ßê öå ÷àñòî ðîáèòüñÿ â ìàòåìàòèöi, çàìiñòü îêðåìîãî âèâ÷åííÿ äîâæèíè, ïëîùi, îá'¹ìó i ò.ï., ìè äîñëiäæó¹ìî çàãàëüíó ÷èñëîâó ôóíêöiþ ìíîæèí ìiðó, ùî âèçíà÷åíà íà ïåâíîìó àáñòðàêòíîìó íàáîði ìíîæèí i çàäîâîëüíÿ¹ äâîì âêàçàíèì âëàñòèâîñòÿì. Äîäàòêîâî, âiä ìiðè ìè ùå áóäåìî âèìàãàòè âèêîíàííÿ óìîâè σ -àäèòèâíîñòi: ìiðà îá'¹äíàííÿ çëi÷åííî¨ êiëüêîñòi íåïåðåòèííèõ ìíîæèí äîðiâíþ¹ ñóìi ìið îêðåìèõ ìíîæèí. Öÿ óìîâà äàñòü ìîæëèâiñòü øèðîêîãî çàñòîñóâàííÿ ãðàíè÷íîãî ïåðåõîäó â íàøèõ ìiðêóâàííÿõ. Íåòðèâiàëüíèìè ïðîáëåìàìè ¹ ìîæëèâiñòü âèçíà÷åííÿ òàêî¨ σ -àäèòèâíî¨ ôóíêöi¨ íà äîñòàòíüî øèðîêîìó êëàñi ìíîæèí, ìîæëèâiñòü ïðîäîâæåííÿ ìiðè ç îäíîãî êëàñó ìíîæèí íà iíøèé. Öèì ïèòàííÿì ïðèñâÿ÷åíà çíà÷íà ÷àñòèíà íàøîãî êóðñó. Íà ïiäñòàâi ïîíÿòòÿ ìiðè ìè äàìî îçíà÷åííÿ iíòåãðàëà Ëåáåãà. Íå ðîçáèðàþ÷è çàðàç äåòàëi, âiäìiòèìî îñíîâíó ðiçíèöþ iíòåãðàëà Ëåáåãà òà iíòåãðàëà Ðiìàíà. Iíòåãðàë Ðiìàíà âiä îáìåæåíî¨ ôóíêöi¨ f : [a, b] → R öå ãðàíèöÿ iíòåãðàëüíèõ ñóì âèãëÿäó n−1 X

f (ξk )(xk+1 − xk ),

a = x0 < x1 < · · · < xn = b, ξk ∈ [xk , xk+1 ],

k=0

max(xk+1 − xk ) → 0 . k

Iíòåãðàë Ëåáåãà âiä öi¹¨ æ f çà ìiðîþ λ äîðiâíþ¹ ãðàíèöi ñóì âèãëÿäó j−1 X

ci λ {x ∈ [a, b] : f (x) ∈ (yi , yi+1 ] ,

−M = y0 < y1 < · · · < yj = M,

i=0

ci ∈ (yi , yi+1 ],

max(yi+1 − yi ) → 0 , i

(òóò M òàêå çíà÷åííÿ, ùî |f (x)| < M íà [a, b]). Ìè áà÷èìî, ùî äëÿ iíòåãðàëà Ðiìàíà áåðåòüñÿ ðîçáèòòÿ ìíîæèíè çíà÷åíü àðãóìåíòó, äëÿ iíòåãðàëà Ëåáåãà ìíîæèíè çíà÷åíü ôóíêöi¨, àëå ïðè öüîìó òðåáà ìàòè îçíà÷åííÿ ìiðè λ âiäïîâiäíèõ ìíîæèí. Ìè ïîêàæåìî, ùî âñi ôóíêöi¨, iíòåãðîâíi çà Ðiìàíîì íà [a, b], áóäóòü iíòåãðîâàíèìè çà Ëåáåãîì (äëÿ âiäïîâiäíî¨ ìiðè λ). Äëÿ iíòåãðàëà Ëåáåãà ¹ çðó÷íi â çàñòîñóâàííÿõ ãðàíè÷íi òåîðåìè. Òàêîæ äîñèòü çàãàëüíèìè ¹ óìîâè çâåäåííÿ êðàòíîãî iíòåãðàëà Ëåáåãà äî ïîâòîðíîãî. Çðó÷íi âëàñòèâîñòi iíòåãðàëà Ëåáåãà ðàçîì ç ïðèðîäíiñòþ éîãî îçíà÷åííÿ ïðèâåëè äî òîãî, ùî âií ñòàâ ïåâíèì ñòàíäàðòîì â ìàòåìàòèöi. Â áiëüøîñòi ìàòåìàòè÷íèõ ðîáiò ïðè çàïèñi iíòåãðàëà íåÿâíî ââàæà¹òüñÿ, ùî âçÿòî ñàìå iíòåãðàë â ñåíñi Ëåáåãà. Ðîçâèòîê òåîði¨ ìiðè i iíòåãðàëà Ëåáåãà áóâ íàäçâè÷àéíî øâèäêèì. Ïåðøå îçíà÷åííÿ ìiðè äîâiëüíî¨ ìíîæèíè äàâ Êàíòîð â 1883 ð., â ðîáîòàõ Ïåàíî (1887 ð.) i Æîðäàíà (1892 ð.) áóëî âèâ÷åíî ïîíÿòòÿ, ÿêå ìè çàðàç íàçèâà¹ìî ìiðîþ Æîðäàíà. Ìiðà Æîðäàíà ñòàëà âàæëèâèì iíñòðóìåíòîì â îçíà÷åííi iíòåãðàëà Ðiìàíà, ïðîòå ìàëà iñòîòíèé íåäîëiê çëi÷åííå îá'¹äíàííÿ âèìiðíèõ çà Æîðäàíîì ìíîæèí íå îáîâ'ÿçêîâî âèìiðíå. Áîðåëü â ñâî¨é ðîáîòi 1898 ð. âiäìiòèâ íåäîëiêè ìiðè Æîðäàíà i íàêðåñëèâ øëÿõè ¨õ âèïðàâëåííÿ. Êîðèñòóþ÷èñü öèìè âêàçiâêàìè, Ëåáåã â ñâî¨é äèñåðòàöi¨ 1902 ð. ïîáóäóâàâ ìiðó íà ïiäìíîæèíàõ R, íàâiâ íîâó êîíñòðóêöiþ iíòåãðàëà i îñíîâíi éîãî âëàñòèâîñòi. Ìàéæå îäðàçó ïî÷àëè äîñëiäæóâàòè 2

iíòåãðàë Ëåáåãà é iíøi ìàòåìàòèêè, ç'ÿâèëèñÿ âàæëèâi ðîáîòè Ôóáiíi (1907 ð.) ãîðîâà (1911 ð.), Ðiñà (1912 ð.), Ðàäîíà (1913 ð.), Êàðàòåîîäîði (1918 ð.). Öi ïóáëiêàöi¨ âæå ìiñòÿòü ïðàêòè÷íî âñi îñíîâíi òâåðäæåííÿ íàøîãî êóðñó. Ìiðà ìà¹ âèçíà÷àòèñÿ íà ïåâíîìó íàáîði ìíîæèí, òîìó ìè ïî÷íåìî íàø êóðñ ç âèâ÷åííÿ îñíîâíèõ êëàñiâ ìíîæèí (ðîçäië 1). Â ðîçäiëi 2 ïîêàçàíî, ÿê âèçíà÷à¹òüñÿ ìiðà íà äîñòàòíüî áàãàòîìó íàáîði ìíîæèí, íàâåäåíî äåÿêi êîíêðåòíi ïðèêëàäè ìið. Ðîçäië 3 ïðèñâÿ÷åíî äîñëiäæåííþ òàê çâàíèõ âèìiðíèõ ôóíêöié, ñàìå äëÿ òàêèõ ôóíêöié ìà¹ ñåíñ îçíà÷åííÿ iíòåãðàëà Ëåáåãà, ùî ðîçãëÿäà¹òüñÿ äàëi â ðîçäiëi 4. Ïîòiì ìè ðîçãëÿíåìî ôóíêöi¨ ìíîæèí, ùî íå îáîâ'ÿçêîâî ¹ íåâiä'¹ìíèìè (ðîçäië 5), çâ'ÿçîê ìiæ êðàòíèì òà ïîâòîðíèì iíòåãðàëàìè (ðîçäië 6), âëàñòèâîñòi íàáîðó iíòåãðîâíèõ ôóíêöié ÿê ëiíiéíîãî ìåòðè÷íîãî ïðîñòîðó (ðîçäië 7). Íàïðèêiíöi êîæíîãî ðîçäiëó ïîäàíî êiëüêà âïðàâ. ßê ïðàâèëî, â íèõ ìiñòèòüñÿ ïåâíå äîïîâíåííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðiàëó ðîçäiëó. Âiä ÷èòà÷à ïîñiáíèêà î÷iêó¹òüñÿ âîëîäiííÿ îñíîâàìè ìàòåìàòè÷íîãî àíàëiçó (íàïðèêëàä, â ìåæàõ ìàòåðiàëó ïîñiáíèêà [6]). Ïîñiáíèê íàïèñàíî íà îñíîâi êóðñó òåîði¨ ìiðè òà iíòåãðàëà, ùî ÷èòà¹òüñÿ ñòóäåíòàì òðåòüîãî êóðñó ìåõàíiêî-ìàòåìàòè÷íîãî ôàêóëüòåòó Êè¨âñüêîãî íàöiîíàëüíîãî óíiâåðñèòåòó iìåíi Òàðàñà Øåâ÷åíêà (îáñÿã ëåêöié 60 ãîäèí). Àâòîð âäÿ÷íèé âñiì ñâî¨ì êîëëåãàì ïî êàôåäði ìàòåìàòè÷íîãî àíàëiçó âêàçàíîãî óíiâåðñèòåòó, ¨õíi ïîðàäè ñóòò¹âî ñïðèÿëè ïîêðàùåííþ âèêëàäåííÿ ìàòåðiàëó.

3

Îñíîâíi ïîçíà÷åííÿ 2X íàáið âñiõ ïiäìíîæèí X ∀ äëÿ âñiõ ∃ iñíó¹ := ïîêëàäåìî ðiâíèì çà îçíà÷åííÿì, ¹ ðiâíèì çà îçíà÷åííÿì |A| êiëüêiñòü åëåìåíòiâ ìíîæèíè A (|A| = +∞ äëÿ íåñêií÷åííî¨ ìíîæèíè A) S∞ An ↑ A ïîñëiäîâíiñòü ìíîæèí, äëÿ ÿêî¨ An ⊂ An+1 , Tn=1 An = A An ↓ A ïîñëiäîâíiñòü ìíîæèí, äëÿ ÿêî¨ An ⊃ An+1 , ∞ n=1 An = A A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) (ñèìåòðè÷íà ðiçíèöÿ ìíîæèí A i B ) AC([a, b]) ìíîæèíà ôóíêöié, àáñîëþòíî íåïåðåâíèõ íà [a, b] B (Y) áîðåëüîâà σ -àëãåáðà ïiäìíîæèí ìåòðè÷íîãî ïðîñòîðó Y BV([a, b]) ìíîæèíà ôóíêöié, ùî ìàþòü îáìåæåíó âàðiàöiþ íà [a, b] Ex1 = x2 ∈ X2 : (x1 , x2 ) ∈ E , äå E ⊂ X1 × X2 , x1 ∈ X1 (x1 ïåðåðiç ìíîæèíè E ) f+ (x) = f (x)1{f ≥0} (x) f− (x) = −f (x)1{f 0 êîæåí ç öèõ áðóñiâ çàìiíèìî íà âiäêðèòèé áiëüøèé áðóñ d Y

ki 2−n1 − δ, (ki + 1)2−n1 + δ

i=1

i ïîçíà÷èìî ÷åðåç A(n1 ) (δ) îá'¹äíàííÿ öèõ âiäêðèòèõ áðóñiâ. Òîäi A(n1 ) ⊂ A(n1 ) (δ) ⇒ m A(n1 ) ≤ m A(n1 ) (δ) , d X Y (n1 ) m A (δ) ≤ m ki 2−n1 − δ, (ki + 1)2−n1 + δ → i=1 d X Y −n1 m ki 2 , (ki + 1)2−n1 = m A(n1 ) , δ → 0 i=1

(ñóìè òóò âçÿòî ïî âñiõ áðóñàõ, ùî âõîäÿòü â A(n1 ) ). Òîìó m A(n1 ) (δ) → m A(n1 ) , δ → 0. Ìè ìîæåìî âèáðàòè δ1 > 0 òàêå, ùî

m A(n1 ) (δ1 ) − m A(n1 ) < ε/2,

(2.3)

i ïîêëàñòè Uε = A(n1 ) (δ1 ). Ç (2.2) i (2.3) âèïëèâà¹, ùî äëÿ öi¹¨ ìíîæèíè ñïðàâäæó¹òüñÿ ïîòðiáíå òâåðäæåííÿ. 15

Òåîðåìà 2.3. Ìiðà Æîðäàíà m ¹ ìiðîþ íà êiëüöi Km â ñåíñi íàøîãî îçíà÷åííÿ (òîáòî íåâiä'¹ìíîþ σ àäèòèâíîþ ôóíêöi¹þ ìíîæèí).

Äîâåäåííÿ. Äîñòàòíüî äîâåñòè σ àäèòèâíiñòü m íà Km . Íåõàé A=

∞ [

An ,

An íåïåðåòèííi.

A, An ∈ Km ,

n=1

Íàãàäà¹ìî, ùî m ¹ íåâiä'¹ìíîþ i ñêií÷åííî-àäèòèâíîþ, òîìó ¹ ìîíîòîííîþ (äèâ. çàóâàæåííÿ 2.1), i äëÿ áóäü-ÿêîãî j ≥ 1 ìè ìà¹ìî

A⊃

j [

j j [ X m(A) ≥ m An = m(An ).

An ,

n=1

n=1

n=1

Âçÿâøè ãðàíèöþ ïðè j → ∞, ìè îòðèìà¹ìî ∞ X

m(A) ≥

(2.4)

m(An ).

n=1

Äàëi ìè îòðèìà¹ìî îöiíêó â iíøèé áiê. Âiçüìåìî äîâiëüíå ε > 0, i, êîðèñòóþ÷èñü ëåìîþ 2.1, âèáåðåìî ìíîæèíè Fε , Uε/2n ∈ Km , n ≥ 1 òàêi, ùî

Fε çàìêíåíà, Uε/2n âiäêðèòi,

Fε ⊂ A,

A ⊂ Uε/2n ,

Ìà¹ìî, ùî

∞ [

Fε ⊂ A =

m(A) − m Fε < ε, m Uε/2n − m(A) < ε/2n .

An ⊂

n=1

∞ [

(2.5) (2.6)

(2.7)

Uε/2n .

n=1

Ìíîæèíà Fε ⊂ Rd çàìêíåíà i îáìåæåíà, òîìó ¹ êîìïàêòíîþ, i (2.7) äà¹ ïîêðèòòÿ öüîãî êîìïàêòó âiäêðèòèìè ìíîæèíàìè. ßê âiäîìî, ç âiäêðèòîãî ïîêðèòòÿ êîìïàêòó ìîæíà âèäiëèòè ñêií÷åííå ïiäïîêðèòòÿ, i äëÿ äåÿêîãî j ≥ 1 áóäå j [ Fε ⊂ Uε/2n . n=1

Âðàõîâóþ÷è âëàñòèâiñòü ìiðè 5 òà çàóâàæåííÿ 2.1, ìà¹ìî j j ∞ âëàñò. 5 X (2.6) X X n m An + ε. m(A) − ε < m Fε ≤ m Uε/2n < m An + ε/2
0, âèêîðèñòîâóþ÷è íåïåðåðâíiñòü F ñïðàâà, âiçüìåìî:

a0 > a : b0n

F (a0 ) − F (a) < ε,

F (b0n )

> bn :

Òîäi

n

− F (bn ) < ε/2 , ∞ [

0

[a , b] ⊂ (a, b] =

(an , bn ] ⊂

n=1

∞ [

(2.10)

n ≥ 1.

(2.11)

(an , b0n ).

n=1

Òóò ç ïîêðèòòÿ êîìïàêòó âiäêðèòèìè ìíîæèíàìè ìîæíà âèäiëèòè ñêií÷åííå ïiäïîêðèòòÿ, i òîìó äëÿ äåÿêîãî j ≥ 1 ìè îòðèìà¹ìî

[a0 , b] ⊂

j [

(an , b0n )

⇒

n=1

(a0 , b] ⊂

j [

(an , b0n ].

n=1

17

Âëàñòèâiñòü ìiðè 5 i çàóâàæåííÿ 2.1 äàþòü íàì, ùî òîäi

λF

j X (a , b] ≤ λF (an , b0n ] . 0

(2.12)

n=1

Òàêîæ

λF

(2.10) λF (a, b] − λF (a0 , b] = F (a0 ) − F (a) < ε, (2.11) (an , b0n ] − λF (an , bn ] = F (b0n ) − F (bn ) < ε/2n .

Çâiäñè i ç (2.12) ìà¹ìî, ùî

λF

j ∞ X X n (a, b] − ε < λF (an , bn ] + ε/2 < λF (an , bn ] + ε . n=1

n=1

Ïðè ε → 0+ îòðèìó¹ìî, ùî ∞ ∞ X (2.9) X λF (a, b] ≤ λF (an , bn ] ⇒ λF (a, b] = λF (an , bn ] . n=1

n=1

Ìè áà÷èìî, ùî äîâåäåííÿ òåîðåì 2.3 i 2.4 ñõîæi, â îáîõ âèêîðèñòîâó¹òüñÿ àäèòèâíiñòü äàíî¨ ôóíêöi¨ ìíîæèí òà iñíóâàííÿ ñêií÷åííîãî âiäêðèòîãî ïiäïîêðèòòÿ êîìïàêòó. Öi òåîðåìè ¹ ÷àñòèííèìè âèïàäêàìè îäíîãî çàãàëüíîãî òâåðäæåííÿ, ÿêå ìè çàðàç íàâåäåìî. X Íàáið êîìïàêòíèì êëàñîì , ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ïîñëiäîâíîñòi An ∈ T T∞ ìíîæèí H ⊂ 2 íàçèâà¹òüñÿ H ç n=1 An = ∅ iñíó¹ òàêå j , ùî jn=1 An = ∅. Ïðèêëàäîì òàêîãî êëàñó ìîæå áóòè íàáið êîìïàêòíèõ ïiäìíîæèí Rd . Íåõàé λ ñêií÷åííà íåâiä'¹ìíà àäèòèâíà ôóíêöiÿ ìíîæèí íà àëãåáði A. Ïðèïóñòèìî, ùî iñíó¹ êîìïàêòíèé êëàñ H, ùî íàáëèæà¹ A â íàñòóïíîìó ñåíñi: ∀ ε > 0, A ∈ A ∃ Kε ∈ H, Aε ∈ A : Aε ⊂ Kε ⊂ A, λ A \ Aε < ε. Òîäi λ σ -àäèòèâíà íà A. Äîâåäåííÿ öüîãî òâåðäæåííÿ ìiñòèòüñÿ, íàïðèêëàä, â ïóíêòi 1.4 [3]. Â äàíîìó ïóíêòi ìè íàâåëè äåÿêi ïðèêëàäè ìið íà ïiâêiëüöÿõ i êiëüöÿõ. Íàøà ïîäàëüøà ìåòà ïîêàçàòè, ÿê ìíîæèíó âèçíà÷åííÿ ìiðè ìîæíà ïîøèðèòè íà σ -àëãåáðó.

Îçíà÷åííÿ 2.3. Íåõàé H, H˜ ⊂ 2X , λ : H → (−∞, +∞], λ˜ : H˜ → (−∞, +∞]. Ôóíêöiÿ ìíîæèí λ˜ íàçèâà¹òüñÿ ïðîäîâæåííÿì ôóíêöi¨ ìíîæèí λ, ÿêùî:

˜ ∀ A ∈ H : λ(A) = λ(A).

˜ H ⊂ H, ˜. Ïðè öüîìó λ íàçèâà¹òüñÿ çâóæåííÿì λ

Ïðèêëàä 2.4. Ìiðà Æîðäàíà m, ðîçãëÿíóòà â òåîðåìi 2.3, ¹ ïðîäîâæåííÿì ìiðè λd , âèçíà÷åíî¨

â íàñëiäêó 2.1.

Çàóâàæåííÿ 2.2. ßêùî H i H˜ ïiâêiëüöÿ, λ˜ ìiðà íà H˜ , òî, î÷åâèäíî, λ ¹ ìiðîþ íà H.

2.3 Çîâíiøíi ìiðè Â êîíñòðóêöi¨ ïðîäîâæåííÿ ìiðè íà σ -àëãåáðó âàæëèâó ðîëü âiäiãðà¹ íàñòóïíå ïîíÿòòÿ.

Îçíà÷åííÿ 2.4. Ôóíêöiÿ ìíîæèí λ∗ : 2X → [0, +∞] íàçèâà¹òüñÿ çîâíiøíüîþ ìiðîþ , ÿêùî: 1) λ∗ (∅) = 0, S 2) äëÿ áóäü-ÿêèõ A, An ⊂ X, n ≥ 1, A ⊂ ∞ n=1 An áóäå ∗

λ (A) ≤

∞ X n=1

18

λ∗ (An ) .

(2.13)

Ïðèêëàä 2.5. Áóäü-ÿêà ìiðà, âèçíà÷åíà íà 2X , ¹ çîâíiøíüîþ ìiðîþ. Óìîâè 1) òà 2) îçíà÷åííÿ 2.4 öå âëàñòèâîñòi ìiðè 1 i 5 (äèâ. ïóíêò 2.1).

Ïðèêëàä 2.6. Ïîêëàäåìî λ∗ (∅) = 0, à äëÿ âñiõ A 6= ∅ âiçüìåìî λ∗ (A) = 1. Òîäi λ∗ çîâíiøíÿ ìiðà (i ïðè öüîìó íå ¹ ìiðîþ).

Âëàñòèâîñòi çîâíiøíiõSìið. Íåõàé λ∗ çîâíiøíÿ P ìiðà. 1. Äëÿ A, An ⊂ X, A ⊂ jn=1 An , áóäå λ∗ (A) ≤ jn=1 λ∗ (An ). Äîâåäåííÿ. Â óìîâi 2) îçíà÷åííÿ

çîâíiøíüî¨ ìiðè ïîêëàäåìî Aj+1 = Aj+2 = . . . = ∅, i ñêîðèñòà¹ìîñÿ òèì, ùî λ∗ (∅) = 0. 2. λ∗ ìîíîòîííà. Äîâåäåííÿ. Âèïëèâà¹ ç âëàñòèâîñòi 1 ïðè j = 1.

Îñîáëèâå çíà÷åííÿ äëÿ ïîáóäîâè ïðîäîâæåííÿ ìiðè áóäå ìàòè çîâíiøíÿ ìiðà ç íàñòóïíîãî îçíà÷åííÿ.

Îçíà÷åííÿ 2.5. Íåõàé λ ìiðà íà ïiâêiëüöi P . Çîâíiøíüîþ ìiðîþ, ïîðîäæåíîþ ìiðîþ λ, íàçèâà¹òüñÿ ôóíêöiÿ ìíîæèí λ∗ , âèçíà÷åíà çà ïðàâèëîì: ∗

1) λ (A) := inf

∞ nX

∞ o [ λ(An ) An ∈ P, A ⊂ An ,

n=1

(2.14)

n=1

ÿêùî iñíó¹ õî÷à á îäíå çëi÷åííå ïîêðèòòÿ ìíîæèíè A åëåìåíòàìè P ; 2) λ∗ (A) := +∞ â iíøîìó âèïàäêó.

Òåîðåìà 2.5. Ôóíêöiÿ ìíîæèí λ∗ , âèçíà÷åíà â îçíà÷åííi 2.5, ¹ çîâíiøíüîþ ìiðîþ. Äîâåäåííÿ. Î÷åâèäíî, ùî λ∗ âèçíà÷åíà íà âñiõ ïiäìíîæèíàõ X i ïðèéìà¹ íåâiä'¹ìíi çíà÷åííÿ. S Çà âëàñòèâiñòþ ïiâêiëåöü, ∅ ∈ P , ìè ìîæåìî âçÿòè ïîêðèòòÿ ∅ ⊂ ∞ ∅ n=1 i îòðèìàòè, ùî ∞ (2.14) X

∗

λ (∅) ≤

λ(∅) = 0 ⇒ λ∗ (∅) = 0.

n=1

S Çàëèøèëîñÿ ïåðåâiðèòè óìîâó 2) îçíà÷åííÿ 2.4. Íåõàé A ⊂ ∞ n=1 An . ßêùî õî÷à á îäíå çíà÷åííÿ λ∗ (An ) = +∞, òî (2.13), î÷åâèäíî, ñïðàâäæó¹òüñÿ. Ïðèïóñòèìî, ùî âñi λ∗ (An ) < +∞, i âiçüìåìî äîâiëüíå ε > 0. Òîäi λ∗ (An ) âèçíà÷àþòüñÿ çà (2.14), i äëÿ êîæíîãî n ≥ 1 çíàéäóòüñÿ ìíîæèíè Bkn ∈ P òàêi, ùî ∞ ∞ X [ (2.15) λ Bkn < λ∗ An + ε/2n . Bkn , An ⊂ k=1

k=1

Ìà¹ìî, ùî

A⊂

∞ [ n=1

An ⊂

∞ [ ∞ [

Bkn ,

∞ X ∞ (2.14) X

Bkn ∈ P ⇒ λ∗ (A) ≤

λ Bkn

∞ (2.15) X < λ∗ An + ε.

n=1 k=1

n=1 k=1

n=1

Ñïðÿìóâàâøè ε → 0+, îòðèìà¹ìî (2.13).

Çàóâàæåííÿ 2.3. Â (2.14) ìè ìîæåìî îáìåæèòèñü íàáîðàìè íåïåðåòèííèõ ìíîæèí ç ïiâêiëüöÿ, îá'¹äíàííÿ ÿêèõ ìiñòèòü A, ïðè öüîìó çíà÷åííÿ λ∗ íå çìiíèòüñÿ. Ðîçãëÿíåìî

Bn = An \

n−1 [

Ak ,

Bn ∈ k(P) ⇒ Bn =

in [

(n)

Ci ,

i=1

k=1 (n)

äå Ci

∈ P íåïåðåòèííi, íàáið ìíîæèí (n) Ci , 1 ≤ i ≤ in , n ≥ 1 âiçüìåìî çàìiñòü An , n ≥ 1 . Òîäi in ∞ [ [ n=1 i=1

(n) Ci

=

∞ [

An , An ⊃ Bn =

n=1

in [ i=1

(n) (∗) Ci ⇒

λ(An ) ≥

in X

(n)

λ Ci

,

i=1

iíôiìóì â (2.14) íå çáiëüøèòüñÿ (ñëiäóâàííÿ (*) ìîæíà ëåãêî îá ðóíòóâàòè, àíàëîãi÷íî (2.8)). Òàêîæ öåé iíôiìóì íå çìåíøèòüñÿ, îñêiëüêè ìè çâóæó¹ìî ìíîæèíó íàáîðiâ ìíîæèí. 19

2.4 Òåîðåìà Êàðàòåîäîði. Ïîâíi ìiðè Îçíà÷åííÿ 2.6. Ìíîæèíà A íàçèâà¹òüñÿ âèìiðíîþ çà Êàðàòåîäîði âiäíîñíî çîâíiøíüî¨ ìiðè λ∗ , ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ìíîæèíè E ⊂ X

λ∗ (E) = λ∗ (E ∩ A) + λ∗ E ∩ A .

(2.16)

Ðiâíiñòü (2.16) ìîæíà çàïèñóâàòè ó âèãëÿäi

λ∗ (E) = λ∗ (E ∩ A) + λ∗ (E \ A) . Ñåíñ îçíà÷åííÿ ïîëÿãà¹ â òîìó, ùî äàíà ìíîæèíà A äà¹ ðîçáèòòÿ áóäü-ÿêî¨ ìíîæèíè E ⊂ X íà äâi ÷àñòèíè, äå λ∗ àäèòèâíà.

Çàóâàæåííÿ 2.4. Äëÿ âèìiðíîñòi A âiäíîñíî λ∗ äîñòàòíüî, ùîá äëÿ áóäü-ÿêî¨ ìíîæèíè E ⊂ X λ∗ (E) ≥ λ∗ (E ∩ A) + λ∗ E ∩ A .

(2.17)

Àäæå ïðîòèëåæíà íåðiâíiñòü

λ∗ (E) ≤ λ∗ (E ∩ A) + λ∗ E ∩ A , A, E ⊂ X âèïëèâà¹ ç âêëþ÷åííÿ E ⊂ (E ∩ A) ∪ E ∩ A òà ïåðøî¨ âëàñòèâîñòi çîâíiøíiõ ìið. Ç ïåðøîãî ïîãëÿäó, âèìiðíiñòü çà Êàðàòåîäîði íå ïîâ'ÿçàíà ç âèçíà÷åííÿì σ -àäèòèâíî¨ ôóíêöi¨ ìíîæèí, àëå íàâåäåíà íèæ÷å òåîðåìà âêàçó¹ íà òàêèé çâ'ÿçîê.

Òåîðåìà 2.6. (òåîðåìà Êàðàòåîäîði) Íåõàé λ∗ äîâiëüíà çîâíiøíÿ ìiðà, S êëàñ ìíîæèí, âèìiðíèõ çà Êàðàòåîäîði âiäíîñíî λ∗ . Òîäi S ¹ σ -àëãåáðîþ i çâóæåííÿ λ∗ íà S ¹ ìiðîþ. Äîâåäåííÿ. Êðîê 1. S àëãåáðà. Ïiäñòàíîâêà E = X äî (2.16) ïîêàçó¹, ùî X ∈ S . Íåõàé A ∈ S . Òîäi áåçïîñåðåäíüî ç îçíà÷åííÿ îòðèìó¹ìî, ùî A ∈ S . Íåõàé òàêîæ B ∈ S , i ïîêàæåìî âèìiðíiñòü îá'¹äíàííÿ A ∪ B . Ìà¹ìî, ùî B∈S A∈S λ∗ (E) = λ∗ (E ∩ A) + λ∗ E ∩ A = λ∗ (E ∩ A) + λ∗ E ∩ A ∩ B + λ∗ E ∩ A ∩ B .

(2.18)

Òàêîæ ìà¹ìî, ùî

A∈S λ∗ E ∩ (A ∪ B) = λ∗ E ∩ (A ∪ B) ∩ A + λ∗ E ∩ A ∪ B ∩ A = (2.18) λ∗ E ∩ A + λ∗ E ∩ B ∩ A = λ∗ (E) − λ∗ E ∩ A ∩ B = λ∗ (E) − λ∗ E ∩ A ∪ B . Îòæå, A ∪ B çàäîâîëüíÿ¹ îçíà÷åííþ âèìiðíîñòi. Îñêiëüêè äîïîâíåííÿ òà îá'¹äíàííÿ ìíîæèí ç S áóäóòü âèìiðíèìè ìíîæèíàìè, ìà¹ìî, ùî A\B = A ∪ B ∈ S . Îòæå, S ¹ àëãåáðîþ. Êðîê 2. S σ -àëãåáðà. Ñïî÷àòêó ðîçãëÿíåìî íåïåðåòèííi Ak ∈ S , k ≥ 1. Äîâåäåìî çà iíäóêöi¹þ, ùî äëÿ äîâiëüíèõ E ⊂ X òà n ≥ 1 áóäå n n X [ λ∗ E ∩ Ak = λ∗ E ∩ Ak . k=1

k=1

Ïðè n = 1 ðiâíiñòü ¹ î÷åâèäíîþ, à ïåðåõiä âiä n äî n + 1 îòðèìó¹ìî òàêèì ÷èíîì: n+1 A ∈ [ n+1 λ∗ E ∩ Ak =

S

n+1 n+1 [ [ λ∗ E ∩ Ak ∩ An+1 + λ∗ E ∩ Ak ∩ An+1 =

k=1

k=1 ∗

k=1

∗

λ E ∩ An+1 + λ

E∩

n [ k=1

∗

Ak = λ E ∩ An+1 +

n X

λ∗ E ∩ Ak ,

k=1

ùî i ïîòðiáíî áóëî äîâåñòè (â ïåðåòâîðåííÿõ ìè âèêîðèñòàëè íåïåðåòèííiñòü Ak i íàøå òâåðäæåííÿ äëÿ n äîäàíêiâ). 20

S Òåïåð ïîêàæåìî, ùî ∞ k=1 Ak ∈ S . Âèêîðèñòîâóþ÷è äîâåäåíå âèùå òâåðäæåííÿ òà ìîíîòîííiñòü ∗ λ , äëÿ áóäü-ÿêèõ E ⊂ X i n ≥ 1 ìà¹ìî λ∗ (E)

∪n k=1 Ak ∈ S

=

n n n ∞ X [ [ [ λ∗ E ∩ Ak + λ∗ E ∩ Ak ≥ λ∗ E ∩ Ak + λ∗ E ∩ Ak . k=1

k=1

k=1

k=1

Â îòðèìàíié íåðiâíîñòi âiçüìåìî n → ∞, âèêîðèñòà¹ìî (2.13) i îòðèìà¹ìî

λ∗ (E) ≥

∞ X

∞ ∞ ∞ [ [ [ λ∗ E ∩ Ak + λ∗ E ∩ Ak ≥ λ∗ E ∩ Ak + λ∗ E ∩ Ak .

k=1

k=1

k=1

(2.19)

k=1

S Òîìó äëÿ A = ∞ k=1 Ak ñïðàâäæó¹òüñÿ (2.17), i öÿ ìíîæèíà ¹ âèìiðíîþ. Âiçüìåìî Bk ∈ S, k ≥ 1, ùî ìîæóòü ïåðåòèíàòèñÿ. Âñi ìíîæèíè Ak = Bk \

k−1 [

Bi

i=1

âèìiðíi (îñêiëüêè S ¹ àëãåáðîþ) i íåïåðåòèííi, i òîìó ∞ [

Bk =

k=1

∞ [

Ak ∈ S.

k=1

Çíà÷èòü, S σ -àëãåáðà

Êðîê 3. S Çâóæåííÿ λ∗ íà S ¹ ìiðîþ. Çíîâó ðîçãëÿíåìî íåïåðåòèííi Ak ∈ S, k ≥ 1, âiçüìåìî ∞

â (2.19) E =

k=1 Ak

∈ S , i îòðèìà¹ìî

λ∗

∞ [

∞ X λ∗ Ak . Ak ≥ k=1

k=1

Íåðiâíiñòü â ïðîòèëåæíèé áiê âèïëèâà¹ ç (2.13) äëÿ A = ðiâíiñòü, i λ∗ ¹ σ àäèòèâíîþ íà S .

S∞

k=1 Ak .

Òàêèì ÷èíîì, ìè îòðèìó¹ìî

Âèçíà÷åíà â òåîðåìi Êàðàòåîäîði ìiðà ìà¹ âàæëèâó âëàñòèâiñòü ¹ ïîâíîþ.

Îçíà÷åííÿ 2.7. Ìiðà λ íà σ -àëãåáði F íàçèâà¹òüñÿ ïîâíîþ , ÿêùî ∀A ∈ F, λ(A) = 0, ∀B ⊂ A : B ∈ F. Ç ìîíîòîííîñòi ìiðè âèïëèâà¹, ùî òîäi λ(B) = 0. Iíêîëè ãîâîðÿòü, ùî σ -àëãåáðà F ¹ ïîâíîþ âiäíîñíî ìiðè λ. Ïîâíîòà ôàêòè÷íî ¹ âëàñòèâiñòþ ïàðè îá'¹êòiâ λ òà F .

Íàñëiäîê 2.2. Âèçíà÷åíà â òåîðåìi Êàðàòåîäîði ìiðà λ∗ íà S ¹ ïîâíîþ. Äîâåäåííÿ. Íåõàé λ∗ (A) = 0, B ⊂ A, E ⊂ X. Òîäi, çîêðåìà, áóäå E ∩ B ⊂ A, λ∗ (E ∩ B) = 0, i ìè ìà¹ìî λ∗ (E ∩ B) + λ∗ E ∩ B = λ∗ E ∩ B ≤ λ∗ (E) , ùî, çãiäíî çàóâàæåííþ 2.4, äîâîäèòü âèìiðíiñòü B .

2.5 Ïðîäîâæåííÿ ìiðè ç ïiâêiëüöÿ íà ïîðîäæåíå σ -êiëüöå Âèçíà÷åíà â òåîðåìi Êàðàòåîäîði σ -àëãåáðà S ìîæå âèÿâèòèñÿ òðèâiàëüíîþ.

Ïðèêëàä 2.7. Ðîçãëÿíåìî çîâíiøíþ ìiðó λ∗ ç ïðèêëàäó 2.6 (λ∗ (A) = 1 äëÿ âñiõ A 6= ∅). Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñÿ, ùî òîäi êëàñ λ∗ -âèìiðíèõ ìíîæèí S = {∅, X}.

Íàñòóïíå òâåðäæåííÿ ïîêàçó¹, ùî íàáið âèìiðíèõ ìíîæèí áóäå äîñòàòíüî áàãàòèì, ÿêùî λ∗ âèçíà÷åíà çà äåÿêîþ ìiðîþ. 21

Òåîðåìà 2.7. (òåîðåìà ïðî âèìiðíiñòü åëåìåíòiâ âèõiäíîãî ïiâêiëüöÿ) Íåõàé λ ìiðà

íà ïiâêiëüöi P , çîâíiøíÿ ìiðà λ∗ ïîðîäæåíà ìiðîþ λ, S êëàñ âñiõ λ∗ -âèìiðíèõ ìíîæèí. Òîäi P ⊂ S i çâóæåííÿ λ∗ íà P ñïiâïàäà¹ ç λ. Äîâåäåííÿ. Êðîê 1. λ∗ (A) = λ(A), A ∈ P . Âèêîðèñòîâóþ÷è ïîêðèòòÿ A ⊂ (A ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ . . . ), îòðèìà¹ìî, ùî (2.14)

λ∗ (A) ≤ λ(A) + λ(∅) + λ(∅) + . . . = λ(A). Ç iíøîãî áîêó, ÿêùî A ⊂

S∞

n=1 An ,

An ∈ P , òî çà âëàñòèâiñòþ 5 ìiðè ∞ X

λ(A) ≤

λ An

⇒ λ(A) ≤ λ∗ (A),

n=1

àäæå, çà (2.14), λ∗ (A) ¹ iíôiìóìîì âêàçàíèõ ñóì. Ç äâîõ îòðèìàíèõ íåðiâíîñòåé âèïëèâà¹, ùî λ = λ∗ íà P . Êðîê 2. A ∈ P ⇒ A ∈ S . Ïåðåâiðèìî, ùî A ∈ P çàäîâîëüíÿ¹ óìîâi âèìiðíîñòi (2.17), òîáòî λ∗ (E) ≥ λ∗ (E ∩ A) + λ∗ E \ A , E ⊂ X . (2.20) Äîñòàòíüî ðîçãëÿíóòè âèïàäîê λ∗ (E) < +∞. Âiçüìåìî äîâiëüíå ε > 0. Çà îçíà÷åííÿì 2.5 ïîðîäæåíî¨ çîâíiøíüî¨ ìiðè, iñíóþòü An ∈ P òàêi, ùî

E⊂

∞ [

An ,

∗

λ (E) + ε >

n=1

Îñêiëüêè P ïiâêiëüöå, An \ A = ∞ X

λ(An ) =

n=1

àäæå

∞ X n=1

λ(An ∩ A) +

jn X

λ(An ).

n=1

Sjn

i=1 Bin ,

λ Bin

∞ X

=

Bin ∈ P i â öüîìó îá'¹äíàííi íåïåðåòèííi. Òîìó ∞ X

λ(An ∩ A) +

n=1

i=1

jn ∞ X X

λ Bin ≥ λ∗ (E ∩ A) + λ∗ E \ A ,

n=1 i=1

∞ [ E∩A ⊂ An ∩ A ,

jn ∞ [ [ E\A ⊂ Bin .

n=1

n=1 i=1

Òàêèì ÷èíîì, äëÿ áóäü-ÿêèõ E ⊂ X i ε > 0 áóäå

λ∗ (E) + ε > λ∗ (E ∩ A) + λ∗ E \ A , çâiäêè ïðè ε → 0+ ìè îòðèìà¹ìî (2.20). Òåîðåìà 2.7 ôàêòè÷íî äà¹, ùî âêàçàíà λ∗ áóäå ïðîäîâæåííÿì λ ç ïiâêiëüöÿ P íà σ àëãåáðó S . Çàãàëüíà ñõåìà ïðîäîâæåííÿ ìiðè çà Êàðàòåîäîði âèãëÿäà¹ íàñòóïíèì ÷èíîì. Ïî÷àòêîâî ìiðà λ âèçíà÷à¹òüñÿ íà ïiâêiëüöi P . Îçíà÷åííÿ 2.5 çàäà¹ íà 2X çîâíiøíþ ìiðó λ∗ çà çíà÷åííÿìè λ, λ∗ áóäå ìiðîþ íà σ -àëãåáði âèìiðíèõ ìíîæèí S ⊃ P , ïðè öüîìó λ = λ∗ íà P . Îòðèìàíå ïðîäîâæåííÿ ìiðè λ ç P íà S òàêîæ ÷àñòî ïîçíà÷àþòü ÷åðåç λ. Îäíîçíà÷íiñòü ïðîäîâæåííÿ λ ìè äîâåäåìî ëèøå äëÿ σ -ñêií÷åííèõ ìið.

Òåîðåìà 2.8. Íåõàé λ σ -ñêií÷åííà ìiðà íà ïiâêiëüöi P , ùî ïîðîäæó¹ çîâíiøíþ ìiðó λ∗ , i S

˜ äîâiëüíå ïðîäîâæåííÿ λ íà S , òî êëàñ ìíîæèí, âèìiðíèõ çà Êàðàòåîäîði âiäíîñíî λ∗ . ßêùî λ ˜ ∀ A ∈ S : λ(A) = λ∗ (A).

Äîâåäåííÿ. Êðîê 1. Ñïî÷àòêó S ïðèïóñòèìî, ùî X ∈ P i λ(X) < ∞. Äëÿ A ∈ S âiçüìåìî äîâiëüíi An ∈ P, n ≥ 1 òàêi, ùî A ⊂ ∞ n=1 An (âîíè iñíóþòü, íàïðèêëàä, ç A1 = X). Òîäi, çà âiäïîâiäíîþ âëàñòèâiñòþ ìiðè, ∞ ∞ X X An ∈ P ˜ ˜ λ(A) ≤ λ(An ) = λ(An ) . n=1

n=1

22

˜ Ç îçíà÷åííÿ 2.5 ïîðîäæåíî¨ çîâíiøíüî¨ ìiðè îòðèìó¹ìî, ùî λ(A) ≤ λ∗ (A). Ïîâòîðèâøè àíàëîãi÷íi ìiðêóâàííÿ äëÿ X \ A ∈ S , áóäåìî ìàòè ˜ X \ A ≤ λ∗ X \ A ⇒ λ(X) ˜ ˜ ˜ λ − λ(A) ≤ λ∗ (X) − λ∗ (A) ⇒λ(A) ≥ λ∗ (A). ˜ (ìè âèêîðèñòàëè, ùî λ(X) = λ∗ (X) = λ(X) < +∞). Ç äâîõ ïðîòèëåæíèõ íåðiâíîñòåé ìà¹ìî, ùî ˜ λ(A) = λ∗ (A). Êðîê 2. Òåïåð ðîçãëÿíåìî çàãàëüíèé âèïàäîê â òâåðäæåííi. Îñêiëüêè λ ¹ σ -ñêií÷åííîþ, ∞ [

∃ Xn ∈ P, n ≥ 1 : X =

Xn , λ Xn < +∞.

n=1

Ïåðåéäåìî â îá'¹äíàííi äî íåïåðåòèííèõ ìíîæèí ç P . Äëÿ öüîãî âiçüìåìî

Y1 = X1 ,

Yn = Xn \

n−1 [

Xk , n ≥ 2, Xn ∈ k(P) ⇒ Yn ∈ k(P) ⇒ Yn =

k=1

i ìà¹ìî X =

Zkn , Zkn ∈ P íåïåðåòèííi,

k=1

S∞ Skn

k=1 Zkn .

n=1

kn [

(1.5)

˜ i λ∗ , äëÿ A ∈ S îòðèìó¹ìî Âèêîðèñòîâóþ÷è êðîê 1 òà σ -àäèòèâíiñòü λ

kn kn ∞ X ∞ X X X ∗ ˜ ˜ ˜ λ A ∩ Zkn = λ A ∩ Zkn ⇒ λ(A) = λ A ∩ Zkn = λ∗ A ∩ Zkn = λ∗ (A . n=1 k=1

n=1 k=1

Íàñëiäîê 2.3. Íåõàé λ σ -ñêií÷åííà ìiðà íà ïiâêiëüöi P , ìiðè λ˜ 1 i λ˜ 2 äâà ¨¨ ïðîäîâæåííÿ íà σk(P). Òîäi

˜ 1 (A) = λ ˜ 2 (A). ∀ A ∈ σk(P) : λ

Äîâåäåííÿ. Ìà¹ìî P ⊂ S ⇒ σk(P) ⊂ S .

Òåîðåìà 2.9. (òåîðåìà ïðî íàáëèæåííÿ ìiðè ¨¨ çíà÷åííÿìè íà êiëüöi) Íåõàé ìiðà λ

σ -ñêií÷åííà ìiðà íà ïiâêiëüöi P , äîâiëüíèì ÷èíîì ïðîäîâæåíà íà σ -àëãåáðó S ìíîæèí, âèìiðíèõ çà Êàðàòåîäîði âiäíîñíî ïîðîäæåíî¨ λ∗ . Òîäi ∀ A ∈ S, λ(A) < +∞ ∀ ε > 0 ∃ B ∈ k(P) : λ A∆B < ε. (2.21)

Äîâåäåííÿ. Çà òåîðåìîþ 2.8, ïðîäîâæåííÿ λ ç P íà S âèçíà÷à¹òüñÿ îäíîçíà÷íî, i, çîêðåìà, ìà¹ ñïiâïàäàòè ç λ∗ . Çíà÷èòü, λ(A) = λ∗ (A), i ç (2.14) ìè ìà¹ìî ∃ An ∈ P, n ≥ 1 : A ⊂

∞ [

An , λ(A) >

n=1

∞ X n=1

ε λ(An ) − . 2

Òóò â çáiæíîìó ðÿäi âèáåðåìî òàêå j ≥ 1, ùî ∞ X

λ(An )
0 ∃B ∈ A : λ∗ A∆B < ε.

Ìîæíà äîâåñòè, ùî êëàñ öèõ âèìiðíèõ ìíîæèí ¹ σ -àëãåáðîþ i ñïiâïàäà¹ ç êëàñîì S ìíîæèí, âèìiðíèõ çà Êàðàòåîäîði. Ïîáóäîâó ïðîäîâæåííÿ ìiðè, ùî ñïèðà¹òüñÿ íà öå îçíà÷åííÿ âèìiðíîñòi, ïðîâåäåíî, íàïðèêëàä, â [3], [4], [8], [9]. 23

2.6 Ìiðà Ëåáåãà â Rd . Ìiðà ËåáåãàÑòiëòü¹ñà â R Âiçüìåìî óíiâåðñàëüíó ìíîæèíó X = Rd . Íà êëàñi ïiäìíîæèí

Pd =

d nY

o (ak , bk ] ak , bk ∈ R

k=1

âèçíà÷èìî ôóíêöiþ

λd

d Y

d Y (ak , bk ] := (bk − ak ) .

k=1

k=1

Òîäi λd ¹ ìiðîþ íà ïiâêiëüöi Pd (äèâ. íàñëiäîê 2.1), çà λd âèçíà÷èìî çîâíiøíþ ìiðó λ∗d . ×åðåç Sd ïîçíà÷èìî êëàñ ìíîæèí, âèìiðíèõ çà Êàðàòåîäîði âiäíîñíî λ∗d . Òîäi ìíîæèíè ç Sd íàçèâàþòüñÿ âèìiðíèìè çà Ëåáåãîì â Rd , çâóæåííÿ λ∗d íà Sd íàçèâà¹òüñÿ ìiðîþ Ëåáåãà â Rd . Ìiðó Ëåáåãà íà Sd òàêîæ áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç λd . Ç ïóíêòó 2.5 ìà¹ìî, ùî Sd ¹ σ -àëãåáðîþ, ùî ìiñòèòü Pd , òîìó Sd ⊃ σa (Pd ) = B Rd . Çíà÷èòü, êîæíà áîðåëüîâà ìíîæèíà ¹ âèìiðíîþ çà Ëåáåãîì. Ç íàñëiäêó 2.2 âèïëèâà¹, ùî λd íà Sd ïîâíà ìiðà. (Âiäìiòèìî, ùî çâóæåííÿ λd íà B Rd âæå ïîâíîþ ìiðîþ íå áóäå.)

Çàóâàæåííÿ 2.6. Ìiðà Ëåáåãà iíâàðiàíòíà âiäíîñíî çñóâiâ, òîáòî ∀A ∈ Sd , c ∈ Rd : A + c := x + c x ∈ A ∈ Sd , λd (A + c) = λd (A). Àäæå ïðè çñóâàõ çáåðiãàþòüñÿ ìiðè áðóñiâ ç Pd , òîìó íå çìiíþþòüñÿ çíà÷åííÿ çîâíiøíiõ ìið, λ∗d (E + c) = λ∗d (E), E ⊂ Rd . Ç îçíà÷åííÿ âèìiðíîñòi çà Êàðàòåîäîði ëåãêî îòðèìó¹òüñÿ, ùî

A + c âèìiðíà âiäíîñíî λ∗d ⇔ A âèìiðíà âiäíîñíî λ∗d , i ïðè öüîìó λ∗d (A + c) = λ∗d (A). Âèêîðèñòîâóþ÷è òåîðåìè ïðî íåïåðåðâíiñòü ìiðè, σ -àäèòèâíiñòü ìiðè i òå, ùî λ1 ((a, b]) = b − a, ìè çíàéäåìî çíà÷åííÿ ìiðè Ëåáåãà äåÿêèõ ïiäìíîæèí R. 1. Ìiðà Ëåáåãà îäíîòî÷êîâî¨ ìíîæèíè äîðiâíþ¹ íóëþ. Ìà¹ìî

λ1 ({b}) = lim λ1 n→∞

1 i 1 b − , b = lim = 0. n→∞ n n

2. Ìiðà Ëåáåãà áóäü-ÿêî¨ ñêií÷åííî¨ àáî çëi÷åííî¨ ìíîæèíè äîðiâíþ¹ íóëþ, îñêiëüêè öå ñêií÷åííà àáî çëi÷åííà ñóìà ìið îäíîòî÷êîâèõ ìíîæèí. 3. Ìiðà Ëåáåãà êîæíîãî ç iíòåðâàëiâ [a, b] , (a, b) , (a, b] äîðiâíþ¹ b − a. Íàïðèêëàä, ìà¹ìî λ1 ([a, b]) = λ1 ({a}) + λ1 ((a, b]) = 0 + (b − a) = b − a, iíøi iíòåðâàëè ðîçãëÿäàþòüñÿ àíàëîãi÷íî. 4. Ìiðà Ëåáåãà âñi¹¨ ìíîæèíè R äîðiâíþ¹ +∞. Àäæå

λ1 (R) = lim λ1 ((−n, n]) = lim 2n = +∞. n→∞

n→∞

Íàñòóïíå òâåðäæåííÿ ïîêàæå, ùî ìiðà Ëåáåãà λd ¹ ïðîäîâæåííÿì ìiðè Æîðäàíà m.

Òåîðåìà 2.10. Íåõàé ìíîæèíà A ⊂ Rd âèìiðíà çà Æîðäàíîì. Òîäi A âèìiðíà çà Ëåáåãîì,

i çíà÷åííÿ ìið Æîðäàíà i Ëåáåãà äëÿ íå¨ ñïiâïàäàþòü.

24

Äîâåäåííÿ. Çà òåîðåìîþ 2.3, m ¹ ìiðîþ íà êiëüöi âèìiðíèõ çà Æîðäàíîì ìíîæèí Km . Íà ìíîæèíàõ ç Pd ìè ìà¹ìî d d d Y Y Y λd (ak , bk ] = (bk − ak ) = m (ak , bk ] . k=1

k=1

k=1

Íàñëiäîê 2.3 äà¹, ùî ïðîäîâæåííÿ λd i m ñïiâïàäàþòü íà σk Pd , ïðè öüîìó σk Pd = B Rd (òåîðåìà 1.6). Êîðèñòóþ÷èñü ëåìîþ 2.1, äëÿ êîæíîãî n ≥ 1 âiçüìåìî çàìêíåíó ìíîæèíó Fn ∈ Km i âiäêðèòó ìíîæèíó Un ∈ Km òàêi, ùî 1 1 Fn ⊂ A ⊂ Un , m(A) − m Fn < , m Un − m(A) < . n n Ìà¹ìî, ùî Fn , Un ∈ B Rd , òîìó m Fn = λd Fn , m Un = λd Un .

(2.22)

(2.23)

Äëÿ êîæíîãî j ≥ 1

λd

∞ \ n=1

Un \

∞ [

Fn ≤ λd Uj \ Fj = λd Uj

n=1

∞ ∞ \ [ (2.22),(2.23) 2 ⇒ λd − λd Fj < Un \ Fn = 0 . j n=1

n=1

Îñêiëüêè ìiðà λd ïîâíà íà σ -àëãåáði Sd , ∞ ∞ ∞ ∞ \ [ [ [ A\ Fn ⊂ Un \ Fn ⇒ A \ Fn ∈ Sd ⇒ A ∈ Sd . n=1

n=1

n=1

n=1

Ïðè öüîìó äëÿ êîæíîãî j ≥ 1

(2.23) Fj ⊂ A ⊂ Uj ⇒ λd Fj ≤ λd A ≤ λd Uj ⇒ (2.22) 1 1 j→∞ m Fj ≤ λd A ≤ m Uj ⇒ ∀ j ≥ 1 : m A − ≤ λd A ≤ m A + =⇒ λd A = m A . j j

Ïðèêëàä 2.8. (ïiäìíîæèíà R, ùî íå ¹ âèìiðíîþ çà Ëåáåãîì). Iñíóâàííÿ íåâèìiðíî¨ ìíîæèíè ìè ïîêàæåìî â ïðèïóùåííi, ùî ñïðàâäæó¹òüñÿ àêñiîìà âèáîðó. Äëÿ ÷èñåë âiäðiçêà [0, 1] ââåäåìî âiäíîøåííÿ åêâiâàëåíòíîñòi íàñòóïíèì ÷èíîì:

x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q. S Öå âiäíîøåííÿ äà¹ ðîçáèòòÿ íà êëàñè åêâiâàëåíòíîñòi [0, 1] = α Aα . Âçÿâøè ðiâíî ïî îäíîìó åëåìåíòó ç êîæíîãî êëàñó Aα , óòâîðèìî ìíîæèíó B ⊂ [0, 1] (ñàìå ìîæëèâiñòü ñòâîðåííÿ òàêî¨ ìíîæèíè ¹ òâåðäæåííÿì àêñiîìè âèáîðó). Ïðèïóñòèìî, ùî B ∈ S1 , òîäi âèçíà÷åíî çíà÷åííÿ λ1 (B). Íåõàé λ1 (B) = 0. Ìè ìà¹ìî, øî [ [0, 1] ⊂ (B + r), B + r íåïåðåòèííi. (2.24)

Q

r∈ ∩[−1,1]

Äiéñíî, äëÿ êîæíîãî x ∈ [0, 1] çíàéäåòüñÿ åêâiâàëåíòíèé éîìó y ∈ B i òîäi x ∈ (B + r) äëÿ r = x − y , r ∈ Q. ßêáè x ∈ (B + r1 ) ∩ (B + r2 ) ⇔ x − r1 , x − r2 ∈ B, òî â B çíàéøëèñÿ á äâà ðiçíèõ åëåìåíòà ç ðàöiîíàëüíîþ ðiçíèöåþ, ùî ñóïåðå÷èòü ïîáóäîâi B . Íàãàäà¹ìî, ùî ìiðà λ1 íå çìiíþ¹òüñÿ ïðè çñóâàõ ìíîæèí, òîìó âñi λ1 (B + r) = 0. Ç (2.24) ìè îòðèìà¹ìî X λ1 ([0, 1]) ≤ λ1 (B + r) = 0.

Q

r∈ ∩[−1,1]

Íåõàé λ1 (B) > 0. Ìà¹ìî, ùî [

Q

(B + r) ⊂ [−1, 2],

r∈ ∩[−1,1]

25

B + r íåïåðåòèííi.

Òîìó

X

λ1 ([−1, 2]) ≥

Q

X

λ1 (B + r) =

r∈ ∩[−1,1]

Q

λ1 (B) = +∞.

(2.25)

r∈ ∩[−1,1]

Â îáîõ âèïàäêàõ çíà÷åíü λ1 (B) îòðèìàíî ñóïåðå÷íiñòü. Òåïåð ââåäåìî ìiðó ËåáåãàÑòiëòü¹ñà. Íåõàé X = R, F : R → R íåñïàäíà íåïåðåðâíà ñïðàâà ôóíêöiÿ. Íà ïiâêiëüöi P1 = (a, b] a, b ∈ R âèçíà÷èìî ôóíêöiþ ìíîæèí

λF ((a, b]) := F (b) − F (a) . Òîäi λF ¹ ìiðîþ íà P1 (òåîðåìà 2.4), çà íåþ âèçíà÷èìî çîâíiøíþ ìiðó λ∗F . ×åðåç SF ïîçíà÷èìî êëàñ ìíîæèí, âèìiðíèõ çà Êàðàòåîäîði âiäíîñíî λ∗F . Òîäi ìíîæèíè ç SF íàçèâàþòüñÿ âèìiðíèìè çà ËåáåãîìÑòiëòü¹ñîì , çâóæåííÿ λ∗F íà SF áóäåìî íàçèâàòè ìiðîþ ËåáåãàÑòiëòü¹ñà i òàêîæ áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç λF . Âiäìiòèìî, ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ôóíêöi¨ F áóäå SF ⊃ P1 , i òîìó SF ⊃ σa P1 = B(R).

Çàóâàæåííÿ 2.7. Áóäü-ÿêà ìiðà λ íà B(R), ùî ïðèéìà¹ ñêií÷åííi çíà÷åííÿ íà îáìåæåíèõ ìíîæèíàõ, ¹ ÷àñòèííèì âèïàäêîì ìiðè ËåáåãàÑòiëòü¹ñà. Ìè ìîæåìî, íàïðèêëàä, âçÿòè ôóíêöiþ λ (0, x] , x ≥ 0, F (x) = −λ (x, 0] , x < 0, i òîäi λ = λF .

2.7 Ðåãóëÿðíiñòü ìið Â öüîìó ïóíêòi ìè äîâåäåìî âàæëèâó âëàñòèâiñòü ìið, âèçíà÷åíèõ íà ïiäìíîæèíàõ Rd . Íåõàé ìiðà λ âèçíà÷åíà íà ïiâêiëüöi Pd i çà ñõåìîþ Êàðàòåîäîði ïðîäîâæåíà íà σ àëãåáðó S . Íàãàäà¹ìî, ùî òàêå ïðîäîâæåííÿ ¹äèíå i ñïiâïàäà¹ ç λ∗ , i S ìiñòèòü áîðåëüîâó σ àëãåáðó B Rd .

Òåîðåìà 2.11. Íåõàé λ ìiðà íà S , ñêií÷åííà íà îáìåæåíèõ ìíîæèíàõ. Òîäi äëÿ áóäü-ÿêèõ

A ∈ S , λ(A) < +∞ i ε > 0 çíàéäóòüñÿ êîìïàêòíà ìíîæèíà Kε i âiäêðèòà ìíîæèíà Uε òàêi, ùî Kε ⊂ A ⊂ Uε , λ(A) − λ Kε < ε, λ Uε − λ(A) < ε.

Äîâåäåííÿ. Çà òåîðåìîþ 2.8, λ(A) = λ∗ (A) = inf

∞ nX

∞ o [ λ(An ) An ∈ Pd , A ⊂ An .

n=1

n=1

Òîìó çíàéäóòüñÿ An ∈ Pd òàêi, ùî

An =

d Y

(akn , bkn ] , A ⊂

∞ [

An ,

n=1

k=1

∞ X

λ(An ) < λ(A) +

n=1

ε . 2

(2.26)

Äëÿ êîæíîãî n ≥ 1 áóäåìî ðîçãëÿäàòè âiäêðèòi ìíîæèíè

Un =

d Y

(akn , bkn + δ) ,

Un ↓ An , δ ↓ 0.

k=1

Çà íåïåðåðâíiñòþ ìiðè çâåðõó, ìà¹ìî, ùî λ Un → λ An , δ ↓ 0, i äëÿ êîæíîãî n ≥ 1 ìè ìîæåìî âèáðàòè δ = δn > 0 òàêå, ùî ε λ Un < λ An + n+1 . 2 26

Òîäi Uε =

S∞

n=1 Un

çàäîâîëüíÿ¹ òâåðäæåííþ òåîðåìè. Ìà¹ìî

∞ ∞ X X λ Uε ≤ λ Un < λ An + n=1

n=1

ε 2n+1

=

∞ X n=1

ε (2.26) λ An + < λ(A) + ε. 2

Âèêîíàííÿ iíøèõ óìîâ äëÿ Uε ç î÷åâèäíiñòþ âèïëèâàþòü ç ¨¨ ïîáóäîâè. Ïîáóäó¹ìî Kε . Çà íåïåðåðâíiñòþ ìiðè çâåðõó, ìà¹ìî A \ [−j, j]d ↓ ∅ ⇒ λ A \ [−j, j]d ↓ 0, j ↑ ∞, i çàôiêñó¹ìî òàêå j , ùî

ε λ A \ [−j, j]d < . 2

(2.27)

˜ε/2 òàêó, ùî Âèêîðèñòîâóþ÷è äîâåäåíå â òåîðåìi âèùå, âèáåðåìî âiäêðèòó U ˜ε/2 , [−j, j]d \ A ⊂ U i ïîêëàäåìî

˜ε/2 − λ [−j, j]d \ A < ε , λ U 2

(2.28)

˜ε/2 . Kε = [−j, j]d \ U

˜ε/2 i x ∈ U ˜ε/2 ). Ìíîæèíà Òîäi Kε ⊂ A (ÿêùî x ∈ Kε i x 6∈ A, ìè îäíî÷àñíî îòðèìà¹ìî, ùî x 6∈ U ˜ε/2 , ¹ êîìïàêòîì îñêiëüêè òàêîæ Kε çàìêíåíà ÿê ïåðåòèí äâîõ çàìêíåíèõ: [−j, j]d i äîïîâíåííÿ äî U ¹ îáìåæåíîþ. Êðiì òîãî, ëåãêî ïåðåâiðÿ¹òüñÿ âêëþ÷åííÿ [ ˜ε/2 \ [−j, j]d \ A , A \ Kε = A \ [−j, j]d U i, âèêîðèñòîâóþ÷è äëÿ äâîõ åëåìåíòiâ îá'¹äíàííÿ íåðiâíîñòi ç (2.27) i (2.28), îòðèìà¹ìî

ε ε λ A \ Kε < + = ε. 2 2 Î÷åâèäíèì íàñëiäêîì òåîðåìè 2.11 ¹ íàñòóïíà âëàñòèâiñòü λ, ÿêó ÷àñòî i íàçèâàþòü âëàñòèâiñòþ ðåãóëÿðíîñòi ìiðè . Íàñëiäîê 2.4. Íåõàé λ ìiðà íà B Rd , ñêií÷åííà íà îáìåæåíèõ ìíîæèíàõ, A ∈ B Rd , λ(A) < +∞. Òîäi λ(A) = sup λ(K) K ⊂ A, K êîìïàêò = inf λ(U ) U ⊃ A, U âiäêðèòà . Íàñòóïíå òâåðäæåííÿ ïîêàçó¹, ùî ìíîæèíè, âèìiðíi çà Êàðàòåîäîði, ¹, â ïåâíîìó ñåíñi, áëèçüêèìè äî áîðåëüîâèõ ìíîæèí.

Íàñëiäîê 2.5. Íåõàé λ ìiðà íà S ⊃ Pd , ñêií÷åííà íà îáìåæåíèõ ìíîæèíàõ, A ∈ S . Òîäi ∃ B, C ∈ B Rd : B ⊂ A ⊂ C, λ(B) = λ(A) = λ(C).

Äîâåäåííÿ. Ñïî÷àòêó ïðèïóñòèìî, ùî λ(A) < +∞. Êîðèñòóþ÷èñü òåîðåìîþ 2.11 äëÿ ε = 1/n, äëÿ âñiõ n ≥ 1 âiçüìåìî êîìïàêò K1/n i âiäêðèòó ìíîæèíó U1/n òàêi, ùî K1/n ⊂ A ⊂ U1/n ,

1 λ(A) − λ K1/n < , n

Ïîêëàäåìî

B= î÷åâèäíî, ùî B, C ∈ B Rd ,

∞ [

K1/n ,

C=

n=1

∞ \

1 λ U1/n − λ(A) < . n

U1/n ,

n=1

K1/n ⊂ B ⊂ A ⊂ C ⊂ U1/n . Òàêîæ äëÿ êîæíîãî n ≥ 1

1 ⇒ λ(A) − λ(B) = 0, λ(A) − λ(B) ≤ λ(A) − λ K1/n < n 1 λ(C) − λ(A) ≤ λ U1/n − λ(A) < ⇒ λ(C) − λ(A) = 0. n 27

ßêùî λ(A) = +∞, ìè äîâiëüíèì ÷èíîì ïðåäñòàâèìî Rd ó âèãëÿäi çëi÷åííîãî îá'¹äíàííÿ áðóñiâ: d

R =

∞ [

Dj ,

Dj ∈ Pd íåïåðåòèííi.

j=1

Òîäi λ A ∩ Dj < +∞, äëÿ êîæíîãî òàêîãî ïåðåòèíó âiçüìåìî Bj , Cj ∈ B Rd : Bj ⊂ A ∩ Dj ⊂ Cj . Ìíîæèíè

B=

∞ [

Bj ,

C=

j=1

∞ [

Cj ,

j=1

î÷åâèäíî, çàäîâîëüíÿþòü òâåðäæåííþ íàñëiäêó.

Âïðàâè Âïðàâà 2.1. Íàâåñòè ïðèêëàä íåâiä'¹ìíî¨ àäèòèâíî¨ ôóíêöi¨ ìíîæèí íà ïiâêiëüöi, ùî íå ¹ ìiðîþ. Âïðàâà 2.2. Íåõàé λ àäèòèâíà ôóíêöiÿ ìíîæèí íà êiëüöi K. Äîâåñòè, ùî äëÿ A1 , . . . , An ∈ K n [ X Ak = λ Ak − λ k=1

1≤k≤n

X 1≤k 0} ∈ F . Òîìó {f < a} ∈ F , ç íàñëiäêó 3.1 âèïëèâà¹ F -âèìiðíiñòü. Çðîçóìiëî, ùî âêàçàíå òâåðäæåííÿ ðîçïîâñþäæó¹òüñÿ íà âèïàäîê ñóìè, äîáóòêó i ò.ï. äîâiëüíî¨ ñêií÷åííî¨ êiëüêîñòi âèìiðíèõ ôóíêöié.

Íàñëiäîê 3.3. Íåõàé ôóíêöi¨ f1 , f2 : X → R F -âèìiðíi. Òîäi {f1 < f2 } , {f1 ≤ f2 } , {f1 = f2 } ∈ F .

Äîâåäåííÿ. Öi ìíîæèíè öå âiäïîâiäíî ïðîîáðàçè áîðåëüîâèõ ìíîæèí f −1 ((−∞, 0)) , f −1 ((−∞, 0]) , f −1 ({0}) äëÿ âèìiðíîãî âiäîáðàæåííÿ f = f1 − f2 .

Òåîðåìà 3.5. Íåõàé ôóíêöi¨ fn : X → R, n ≥ 1 F -âèìiðíi. Òîäi F -âèìiðíèìè ¹ ôóíêöi¨ g (1) (x) = inf fn (x),

g (2) (x) = sup fn (x),

n≥1

g

(3)

(x) = lim n→∞ fn (x),

g

n≥1

(4)

(x) = lim n→∞ fn (x) .

ßêùî äëÿ êîæíîãî x ∈ X âèçíà÷åíà g (5) (x) = lim fn (x), n→∞

òî g (5) F -âèìiðíà. Äîâåäåííÿ. Äëÿ êîæíîãî a ∈ R ìà¹ìî: \ x : g (1) (x) ≥ a = x : gn (x) ≥ a ,

\ x : gn (x) ≤ a , x : g (2) (x) ≤ a =

n≥1

n≥1

i çàïèñàíi ïåðåòèíè ìíîæèí ç F òàêîæ ëåæàòü â öié σ -àëãåáði. Ç íàñëiäêó 3.1 ìè îòðèìó¹ìî F âèìiðíiñòü g (1) i g (2) . Âèìiðíiñòü g (3) i g (4) òåïåð âèïëèâà¹ ç âiäîìîãî ïðåäñòàâëåííÿ âåðõíüî¨ òà íèæíüî¨ ãðàíèöü

g (3) (x) = sup inf fk (x),

g (4) (x) = inf sup fk (x) . n≥1 k≥n

n≥1 k≥n

ßêùî äëÿ âñiõ x ∈ X âèçíà÷åíà g (5) (x), òî öÿ ôóíêöiÿ ñïiâïàäà¹ ç g (3) i òîìó ¹ F -âèìiðíîþ.

Íàñëiäîê 3.4. Íåõàé ôóíêöi¨ fn : X → R, n ≥ 1 F -âèìiðíi,

A = x ∈ X : iñíó¹ lim fn (x) . n→∞

Òîäi A ∈ F . Äîâåäåííÿ. Çà ïîçíà÷åííÿìè òåîðåìè 3.5, A = x ∈ X : g (3) (x) = g (4) (x) . Çàëèøà¹òüñÿ ñêîðèñòàòèñÿ òâåðäæåííÿìè òåîðåìè 3.5 i íàñëiäêó 3.3. 32

3.3 Íàáëèæåííÿ âèìiðíèõ ôóíêöié ïðîñòèìè Ïðè ïîáóäîâi iíòåãðàëà Ëåáåãà âàæëèâó ðîëü áóäóòü âiäiãðàâàòè ïðîñòi ôóíêöi¨.

Îçíà÷åííÿ 3.6. Ôóíêöiÿ íàçèâà¹òüñÿ ïðîñòîþ , ÿêùî ¨¨ ìíîæèíà çíà÷åíü ñêií÷åííà. Íåõàé (X, F) äåÿêèé âèìiðíèé ïðîñòið, ôóíêöiÿ p : X → R ïðîñòà, {a1 , . . . , an } ¨¨ ìíîæèíà çíà÷åíü. Ïîêëàäåìî Ak = {x ∈ X : p(x) = ak } , 1 ≤ k ≤ n. Òîäi

p(x) =

n X

(3.1)

ak 1Ak (x).

k=1

Ëåìà 3.1. Íåõàé ïðîñòà ôóíêöiÿ p çàïèñàíà ó âèãëÿäi (3.1), äå çíà÷åííÿ ak ïîïàðíî ðiçíi, à ìíîæèíè Ak ïîïàðíî íåïåðåòèííi. Òîäi

p ¹ F − âèìiðíîþ

⇔

∀k : Ak ∈ F.

Äîâåäåííÿ. (⇒) Ak = p−1 ({ak }), {ak } ∈ B (R), òîìó äëÿ F -âèìiðíî¨ p áóäå Ak ∈ F . (⇐) Ïðèêëàä 3.4 ïîêàçó¹, ùî âñi 1Ak (x) F -âèìiðíi. Çà òåîðåìîþ 3.4, áóäå âèìiðíîþ i ¨õ ëiíiéíà êîìáiíàöiÿ ôóíêöiÿ p.

Òåîðåìà 3.6. Íåõàé ôóíêöiÿ f : X → R F -âèìiðíà i íåâiä'¹ìíà. Òîäi iñíó¹ ïîñëiäîâíiñòü F -

âèìiðíèõ íåâiä'¹ìíèõ ïðîñòèõ ôóíêöié pn : X → R, n ≥ 1 òàêèõ, ùî pn (x) ↑ f (x) äëÿ êîæíîãî x ∈ X. Äîâåäåííÿ. Ïîêàæåìî, ùî òâåðäæåííÿ òåîðåìè ñïðàâäæó¹òüñÿ äëÿ ôóíêöié pn (x) =

n −1 n2 X

k=0

k 1 2n {x:

k2−n n} (x) .

Òîäi êîæíà pn ïðîñòà i íåâiä'¹ìíà, pn (x) ≤ f (x). Îñêiëüêè ìíîæèíè â iíäèêàòîðàõ íàëåæàòü F , pn F -âèìiðíà. Ïîáóäîâó pn çà çíà÷åííÿìè f ìîæíà îïèñàòè íàñòóïíèì ÷èíîì. Íà ÷èñëîâié ïðÿìié âiäìi÷à¹ìî k òî÷êè n , 0 ≤ k ≤ n2n . Äëÿ êîæíîãî x ∈ X âèáèðà¹ìî íàéáiëüøå âiäìi÷åíå çíà÷åííÿ çëiâà âiä 2 f (x) öå i áóäå âåëè÷èíà pn (x). Ïðè ïåðåõîäi âiä n äî n + 1 âñi âiäìi÷åíi òî÷êè çáåðiãàþòüñÿ, i äåÿêi íîâi òî÷êè äîäàþòüñÿ. Ïðè öüîìó äëÿ êîæíîãî f (x) íàéáiëüøå âiäìi÷åíå çíà÷åííÿ çëiâà íå ìîæå çìåíøèòèñÿ, òîìó pn+1 (x) ≥ pn (x). ßêùî f (x) = +∞, äëÿ âñiõ n â öié òî÷öi áóäåìî ìàòè f (x) > n i pn (x) = n. ßêùî f (x) ñêií÷åííà, òî äëÿ n > f (x) áóäå k f (x) − n ≤ pn (x) < f (x). 2 Äëÿ êîæíîãî x ∈ X îòðèìó¹ìî, ùî lim pn (x) = f (x). n→∞

Äàëi ìè íåîäíîðàçîâî áóäåìî âæèâàòè ïîçíà÷åííÿ

f+ (x) = f (x)1{x:

f (x)≥0} (x)

= max {f (x), 0} ,

f− (x) = −f (x)1{x:

f (x) 0. Òîäi, çà îçíà÷åííÿì ãðàíèöi ÷èñëîâî¨ ïîñëiäîâíîñòi, ìà¹ìî ∀ x ∈ X \ N ∃ n ≥ 1 ∀ k ≥ n : |fk (x) − f (x)| < ε. Öå îçíà÷à¹, ùî

X\N⊂

[ \

{x : |fk (x) − f (x)| < ε} .

n≥1 k≥n

Äëÿ äîïîâíåíü îòðèìó¹ìî

N⊃

\ [

{x : |fk (x) − f (x)| ≥ ε} .

n≥1 k≥n

Ç íåïåðåðâíîñòi ìiðè çâåðõó òà óìîâè λ(X) < +∞ ìà¹ìî [ lim λ {x : |fk (x) − f (x)| ≥ ε} = 0. n→∞

k≥n

Çàìiíèâøè âñå îá'¹äíàííÿ íà îäíó ìíîæèíó ç íüîãî (ç k = n) ìè ìîæåìî ëèøå çìåíøèòè çíà÷åííÿ ìiðè. Òîìó lim λ {x : |fn (x) − f (x)| ≥ ε} = 0, n→∞

λ

ùî i îçíà÷à¹ çáiæíiñòü fn → f . Âiäìiòèìî, ùî öå òâåðäæåííÿ òàêîæ ìîæíà âèâåñòè ç òåîðåìè 3.10 (òåîðåìè ãîðîâà). 37

3.7 Ôóíäàìåíòàëüíiñòü çà ìiðîþ ßê i ðàíiøå, ðîçãëÿäà¹ìî F -âèìiðíi ôóíêöi¨ fn : X → R, n ≥ 1.

Îçíà÷åííÿ 3.11. Ïîñëiäîâíiñòü fn , n ≥ 1 íàçèâà¹òüñÿ ôóíäàìåíòàëüíîþ çà ìiðîþ λ, ÿêùî ∀ ε > 0, δ > 0 ∃ n0 ≥ 1 ∀ m, n ≥ n0 : λ ({x ∈ X : |fm (x) − fn (x)| ≥ ε}) < δ. Iíøèìè ñëîâàìè, ïîñëiäîâíiñòü fn , n ≥ 1 ¹ ôóíäàìåíòàëüíîþ çà ìiðîþ λ, ÿêùî

∀ ε > 0 : λ ({x ∈ X : |fm (x) − fn (x)| ≥ ε}) → 0,

m, n → ∞.

Òåîðåìà 3.13. ßêùî ïîñëiäîâíiñòü fn , n ≥ 1 çáiæíà çà ìiðîþ λ, òî âîíà ôóíäàìåíòàëüíà çà ìiðîþ λ.

λ

Äîâåäåííÿ. Íåõàé fn → f . Àíàëîãi÷íî íåðiâíîñòi (3.3), äëÿ äîâiëüíîãî ε > 0 ìà¹ìî, ùî n n ε o ε o λ ({x : |fm (x) − fn (x)| ≥ ε}) ≤ λ x : |fm (x) − f (x)| ≥ + λ x : |f (x) − fn (x)| ≥ . 2 2 Ïðè m, n → ∞ îáèäâà äîäàíêè ïðàâî¨ ÷àñòèíè íåðiâíîñòi çáiãàþòüñÿ äî íóëÿ. Òîìó ëiâà ÷àñòèíà íåðiâíîñòi ïðÿìó¹ äî íóëÿ, ùî i îçíà÷à¹ ïîòðiáíó ôóíäàìåíòàëüíiñòü. Íàñòóïíà òåîðåìà áóäå ìàòè êiëüêà âàæëèâèõ íàñëiäêiâ.

Òåîðåìà 3.14. Íåõàé ïîñëiäîâíiñòü fn , n ≥ 1 ôóíäàìåíòàëüíà çà ìiðîþ λ. Òîäi iñíóþòü âèìiðíà ôóíêöiÿ f : X → R òà ïiäïîñëiäîâíiñòü fnk , k ≥ 1 òàêi, ùî îäíî÷àñíî: 1) fnk → f (mod λ), k → ∞; λ

2) fnk → f , k → ∞. Äîâåäåííÿ. Êðîê 1. Âèáið fnk . Äëÿ êîæíîãî k ≥ 1 âèêîðèñòà¹ìî îçíà÷åííÿ ôóíäàìåíòàëüíîñòi äëÿ δ = ε = 2−k i âiçüìåìî nk òàêi, ùî äëÿ âñiõ m, n ≥ nk n o λ x ∈ X : |fm (x) − fn (x)| ≥ 2−k < 2−k . Ïðè öüîìó êîæíîãî ðàçó áóäåìî áðàòè nk+1 > nk . Òàê ìè îòðèìà¹ìî, ùî n o λ x ∈ X : fnk+1 (x) − fnk (x) ≥ 2−k < 2−k .

(3.4)

Äàëi ìè ïîêàæåìî, ùî ñàìå ïiäïîñëiäîâíiñòü fnk , k ≥ 1 çàäîâîëüíÿ¹ òâåðäæåííþ òåîðåìè. Êðîê 2. Âèçíà÷åííÿ f , fnk → f (mod λ). Ðîçãëÿíåìî ìíîæèíó o \ [n N= x ∈ X : fnk+1 (x) − fnk (x) ≥ 2−k

(3.5)

j≥1 k≥j

(òîáòî ìè âêëþ÷à¹ìî äî N âñi x ∈ X, äëÿ ÿêèõ çàïèñàíi íåðiâíîñòi âèêîíóþòüñÿ äëÿ íåñêií÷åííî¨ êiëüêîñòi çíà÷åíü k ). Äëÿ êîæíîãî j ≥ 1 ìà¹ìî

[ n o λ(N) ≤ λ x : fnk+1 (x) − fnk (x) ≥ 2−k ≤ k≥j

o (3.4) X X n λ x : fnk+1 (x) − fnk (x) ≥ 2−k < 2−k = 21−j . k≥j

k≥j

Îñêiëüêè j ìè ìîæåìî âçÿòè ÿê çàâãîäíî ìàëèì, áóäå λ(N) = 0. Äëÿ êîæíîãî ôiêñîâàíîãî x ∈ X \ N íåðiâíîñòi ç (3.5) áóäóòü ñïðàâäæóâàòèñÿ äëÿ ñêií÷åííî¨ êiëüêîñòi çíà÷åíü k . Òîìó äëÿ äåÿêîãî j (çàëåæíîãî âiä öüîãî x) äëÿ âñiõ k ≥ j áóäå fn (x) − fn (x) < 2−k . (3.6) k+1 k

38

Òîìó äëÿ ôiêñîâàíîãî x ∈ X \ N ÷èñëîâà ïîñëiäîâíiñòü fnk (x), k ≥ 1 áóäå ôóíäàìåíòàëüíîþ. Àäæå äëÿ l > k ≥ j

|fnl (x) − fnk (x)| ≤

l−1 l−1 ∞ X X (3.6) X −i fn (x) − fn (x) < 2 < 2−i = 21−k , i+1 i i=k

i=k

i=k

ùî ïðÿìó¹ äî íóëÿ ïðè k → ∞. Çíà÷èòü, äëÿ êîæíîãî x ∈ X \ N iñíó¹ ãðàíèöÿ ïîñëiäîâíîñòi fnk (x), k ≥ 1 i ìè ìîæåìî ïîêëàñòè limk→∞ fnk (x), x ∈ X \ N, f (x) = 0, x ∈ N. Îñêiëüêè λ(N) = 0, áóäå fnk → f (mod λ), k → ∞. Òàêîæ f ¹ âèìiðíîþ ÿê ãðàíèöÿ âèìiðíèõ ôóíêöié: f (x) = lim fnk (x)1X\N (x) . k→∞

λ Êðîê 3. fnk → f . Âiçüìåìî äîâiëüíi ε, δ > 0 i çàôiêñó¹ìî j ≥ 1 òàêå, ùî 21−j < min{ε, δ}.

Ïîêëàäåìî

M=

[n

o x ∈ X : fnk+1 (x) − fnk (x) ≥ 2−k .

(3.7)

k≥j

Ç (3.5) áà÷èìî, ùî N ⊂ M, äëÿ x ∈ X \ M áóäå f (x) = limk→∞ fnk (x), i òàêîæ fn (x) − fn (x) < 2−i , i ≥ j. i+1 i

(3.8)

Òîìó äëÿ âñiõ k ≥ j i x ∈ X \ M ìè ìà¹ìî ∞ l−1 l−1 X X (3.8) X −i 2 < 2−i = 21−j < ε. |f (x) − fnk (x)| = lim |fnl (x) − fnk (x)| ≤ lim fni+1 (x) − fni (x) < l→∞

l→∞

i=k

i=k

i=j

Çíà÷èòü, äëÿ âñiõ k ≥ j

{x ∈ X : |f (x) − fnk (x)| ≥ ε} ⊂ M, i ìè îòðèìó¹ìî, ùî (3.7)

λ ({x : |f (x) − fnk (x)| ≥ ε}) ≤ λ(M) ≤ ∞ ∞ n o (3.4) X X λ x : fnk+1 (x) − fnk (x) ≥ 2−k < 2−k = 21−j < δ. k=j

k=j

Ôàêòè÷íî ìè ïåðåâiðèëè çà îçíà÷åííÿì çáiæíiñòü

λ ({x : |f (x) − fnk (x)| ≥ ε}) → 0,

k → ∞,

λ

i òîìó fnk → f . λ f , òî iñíó¹ ïiäïîñëiäîâíiñòü fnk → f (mod λ), k → ∞. Íàñëiäîê 3.6. (òåîðåìà Ðiñà) ßêùî fn →

Äîâåäåííÿ. Îñêiëüêè ïîñëiäîâíiñòü fn , n ≥ 1 çáiæíà çà ìiðîþ, âîíà ôóíäàìåíòàëüíà çà ìiðîþ (òåîðåìà 3.13). Çà íàøîþ òåîðåìîþ, çíàéäóòüñÿ ôóíêöiÿ g : X → R òà ïiäïîñëiäîâíiñòü fnk , k ≥ 1 λ

òàêi, ùî fnk → g (mod λ) i fnk → g . Çàëèøà¹òüñÿ äîâåñòè, ùî òóò ìè ìîæåìî âçÿòè g = f . λ

λ

ßêùî fn → f , òî i áóäü-ÿêà ïiäïîñëiäîâíiñòü fnk → f (öå ïðÿìî âèïëèâà¹ ç îçíà÷åííÿ çáiæíîñòi λ

çà ìiðîþ). Òàêîæ fnk → g , i òîìó f ∼ g (mod λ) (òåîðåìà 3.11). Àëå òîäi çáiæíiñòü fnk → g (mod λ) åêâiâàëåíòíà çáiæíîñòi fnk → f (mod λ) (çàóâàæåííÿ 3.2).

Íàñëiäîê 3.7. Ïîñëiäîâíiñòü fn , n ≥ 1 ôóíäàìåíòàëüíà çà ìiðîþ λ òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè âîíà çáiæíà çà ìiðîþ λ.

39

Äîâåäåííÿ. Â òåîðåìi 3.13 ìè äîâåëè, ùî iç çáiæíîñòi âèïëèâà¹ ôóíäàìåíòàëüíiñòü. λ ßêùî ïîñëiäîâíiñòü fn , n ≥ 1 ôóíäàìåíòàëüíà, ìè ìîæåìî âèäiëèòè ïiäïîñëiäîâíiñòü fnk → f . Çàôiêñó¹ìî ε > 0, i äëÿ êîæíîãî íîìåðà n ≥ 1 áóäåìî äîâiëüíèì ÷èíîì áðàòè íîìåð ç âèäiëåíî¨ ïiäïîñëiäîâíîñòi nk > n. Òîäi ïðè n → ∞ áóäå nk → ∞, i ìè ìà¹ìî n n ε o ε o λ ({x : |fn (x) − f (x)| ≥ ε}) ≤ λ x : |fn (x) − fnk (x)| ≥ + λ x : |fnk (x) − f (x)| ≥ . 2 2 Â ïðàâié ÷àñòèíi íåðiâíîñòi ïåðøèé äîäàíîê ïðÿìó¹ äî íóëÿ, îñêiëüêè íàøà ïîñëiäîâíiñòü λ ôóíäàìåíòàëüíà, à äðóãèé äîäàíîê ïðÿìó¹ äî íóëÿ òîìó ùî fnk → f . Òàê ìè îòðèìó¹ìî, ùî

λ ({x : |fn (x) − f (x)| ≥ ε}) → 0, λ

i, çíà÷èòü, fn → f . Âiäìiòèìî, ùî ç äîïîìîãîþ òåîðåìè Ðiñà òà òåîðåìè ãîðîâà ìîæíà îòðèìàòè íàñòóïíå âiäîìå òâåðäæåííÿ. Q Òåîðåìà 3.15. (òåîðåìà Ëóçiíà) Íåõàé A = dk=1 [ak , bk ], λd ìiðà Ëåáåãà, ôóíêöiÿ f : A → R âèìiðíà çà Ëåáåãîì. Òîäi äëÿ êîæíîãî ε > 0 iñíó¹ íåïåðåðâíà ôóíêöiÿ g : A → R òàêà, ùî

λd ({x ∈ A : f (x) 6= g(x)}) < ε. Äîâåäåííÿ òåîðåìè Ëóçiíà ìîæíà çíàéòè, íàïðèêëàä, â [3] òà [8]

Âïðàâè Âïðàâà 3.1. Äîâåñòè, ùî âiäíîøåííÿ f ∼ g (mod λ) ¹ âiäíîøåííÿì åêâiâàëåíòíîñòi. Âïðàâà 3.2. Íåõàé f : R → R ìà¹ ïîõiäíó â êîæíié òî÷öi R. Äîâåñòè, ùî ôóíêöiÿ f 0 áîðåëüîâà. Âïðàâà 3.3. Íåõàé λ ñêií÷åííà ìiðà íà F . Äëÿ F -âèìiðíèõ ôóíêöié f i g ïîêëàäåìî ρ(f, g) = sup δ λ x : |f (x) − g(x)| ≥ δ ≥ δ . Äîâåñòè, ùî ρ ¹ ìåòðèêîþ íà ïðîñòîði êëàñiâ åêâiâàëåíòíèõ âèìiðíèõ ôóíêöié (êëàñiâ, îòðèìàíèõ çà âiäíîøåííÿì åêâiâàëåíòíîñòi ç âïðàâè 3.1), i çáiæíiñòü çà öi¹þ ìåòðèêîþ åêâiâàëåíòíà çáiæíîñòi çà ìiðîþ λ. Âïðàâà 3.4. Äîâåñòè, ùî λ

fn → f,

λ

λ

gn → g ⇒ fn + gn → f + g.

Âïðàâà 3.5. Íàâåñòè ïðèêëàä, â ÿêîìó λ

fn → f,

λ

gn → g,

λ

fn gn 9 f g.

λ λ Âïðàâà 3.6. Íåõàé λ ñêií÷åííà ìiðà, fn → f , gn → g , ϕ : R2 → R íåïåðåðâíà ôóíêöiÿ. λ

Äîâåñòè, ùî ϕ(fn , gn ) → ϕ(f, g). Âïðàâà 3.7. Íåõàé ôóíêöiÿ f : Rd → R âèìiðíà çà Ëåáåãîì. Äîâåñòè, ùî iñíó¹ áîðåëüîâà ôóíêöiÿ g : Rd → R òàêà, ùî f ∼ g (mod λd ).

40

Ðîçäië 4

Iíòåãðàë Ëåáåãà 4.1 Îçíà÷åííÿ iíòåãðàëà Iíòåãðàë, âèçíà÷åíèé â öüîìó ïóíêòi, âëàñíå i íàçèâà¹òüñÿ iíòåãðàëîì Ëåáåãà. Ìè äàìî îçíà÷åííÿ â òðüîõ ÷àñòèíàõ, ïîñòóïîâî ðîçøèðþþ÷è êëàñ ôóíêöié, äëÿ ÿêèõ âèçíà÷åíî iíòåãðàë. Íåõàé (X, F, λ) äîâiëüíèé âèìiðíèé ïðîñòið ç ìiðîþ, A ∈ F . Ìè ðîçãëÿäà¹ìî F -âèìiðíi (ÿê ïðàâèëî, áóäåìî ïðîñòî ãîâîðèòè âèìiðíi) ôóíêöi¨, ùî âèçíà÷åíi íà X i ïðèéìàþòü çíà÷åííÿ â R.

Îçíà÷åííÿ 4.1. (îçíà÷åííÿ iíòåãðàëà, ÷àñòèíà 1)

íåâiä'¹ìíà, âèìiðíà,

n X

p(x) =

ak 1Ak (x),

Íåõàé ôóíêöiÿ p : X → R ïðîñòà,

Ak ∈ F íåïåðåòèííi.

(4.1)

ak λ Ak ∩ A .

(4.2)

k=1

Òîäi ïîêëàäåìî

Z p dλ := A

n X k=1

Äëÿ iíòåãðàëà òàêîæ ìîæóòü âæèâàòèñÿ ïîçíà÷åííÿ âèãëÿäó Z Z p(x) dλ(x), p(x) λ(dx). A

A

Ïðè íàÿâíîñòi íåñêií÷åííèõ çíà÷åíü ó âèðàçàõ, ìè âèêîðèñòîâó¹ìî íàñòóïíi óçãîäæåííÿ äëÿ àðèôìåòè÷íèõ äié:

0 · (+∞) = 0,

a · (+∞) = +∞ (a > 0),

a · (+∞) = −∞ (a < 0) .

Ïîêàæåìî, ùî çíà÷åííÿ iíòåãðàëà íå çàëåæèòü âiä êîíêðåòíîãî çàïèñó p. Íåõàé äëÿ p ñïðàâäæó¹òüñÿ (4.1), à òàêîæ

p(x) =

j X

bi 1Bi (x),

Bi ∈ F íåïåðåòèííi,

i=1

S S ïðè÷îìó nk=1 Ak = ji=1 Bi = X (öüîãî ìè ìîæåìî äîñÿãòè, äîäàþ÷è, ïðè íåîáõiäíîñòi, äîäàíêè ç ak = 0 àáî bi = 0). Òîäi Ak ∩ A =

j [

λ Ak ∩ Bi ∩ A ,

Bi ∩ A =

i=1

n [

λ Ak ∩ Bi ∩ A ,

k=1

äå ìíîæèíè â îá'¹äíàííÿõ íåïåðåòèííi, i

Z

(4.2)

p dλ = A

Z

j n X X ak λ Ak ∩ A = ak λ Ak ∩ Bi ∩ A ,

k=1 j X

(4.2)

p dλ = A

n X

bi λ Bi ∩ A =

i=1

k=1 i=1 j X n X i=1 k=1

41

bi λ Ak ∩ Bi ∩ A .

ßêùî Ak ∩ Bi 6= ∅, áóäå ak = bi (àäæå äëÿ x ∈ Ak ∩ Bi ìà¹ìî p(x) = ak = bi ), i òîìó çíà÷åííÿ çàïèñàíèõ ñóì ðiâíi. Âëàñòèâîñòi iíòåãðàëà âiä ïðîñòèõ íåâiä'¹ìíèõ âèìiðíèõ ôóíêöié. Íåõàé p, p1 ôóíêöi¨ ç âêàçàíîãî êëàñó, A, B ∈ F . R R 1. ßêùî ∀ x ∈ A : p(x) ≥ p1 (x), òî A p dλ ≥ A p1 dλ.

Äîâåäåííÿ. Íåõàé p(x) = äå

Sn

k=1 Ak

=

n X

ak 1Ak (x),

p1 (x) =

i=1 Bi

bi 1Bi (x)

i=1

k=1

Sj

j X

= X i ìíîæèíè Ak , Bi íåïåðåòèííi â öèõ îá'¹äíàííÿõ. Òîäi Z

(4.2)

p dλ = A

Z A

n X

j n X X ak λ Ak ∩ A = ak λ Ak ∩ Bi ∩ A ,

k=1 j X

(4.2)

p1 dλ =

bi λ Bi ∩ A =

k=1 i=1 j X n X

bi λ Ak ∩ Bi ∩ A .

i=1 k=1

i=1

ßêùî Ak ∩ Bi ∩ A 6= ∅, áóäå ak ≥ bi , àäæå

x ∈ Ak ∩ Bi ∩ A ⇒ ak = p(x) ≥ p1 (x) = bi , i çâiäñè âèïëèâà¹ íàøà âëàñòèâiñòü. R R R 2. ßêùî A ∩ B = ∅, òî A∪B p dλ = A p dλ + B p dλ .

Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è çàïèñ (4.1), ç àäèòèâíîñòi λ îòðèìó¹ìî Z p dλ = A∪B

n X

n X ak λ Ak ∩ A + λ Ak ∩ B = ak λ Ak ∩ (A ∪ B) = k=1 n X

k=1

n X ak λ Ak ∩ B = ak λ Ak ∩ A + k=1

k=1

3. ßêùî A ⊂ B , òî

Z

Z

Z p dλ +

A

p dλ . B

Z p dλ ≤

(4.3)

p dλ .

A

B

Äîâåäåííÿ. Âëàñòèâiñòü 2 i íåâiä'¹ìíiñòü çíà÷åííÿ iíòåãðàëà íàì äàþòü. ùî Z Z Z Z p dλ = p dλ + p dλ ≥ p dλ . B

A

B\A

A

Îçíà÷åííÿ 4.2. (îçíà÷åííÿ iíòåãðàëà, ÷àñòèíà 2) Íåõàé ôóíêöiÿ f : X → R íåâiä'¹ìíà,

âèìiðíà,

K(f ) = p : X → R : p − ïðîñòà íåâiä'¹ìíà âèìiðíà, p(x) ≤ f (x) .

Òîäi ïîêëàäåìî

Z

Z f dλ := sup

A

(4.4)

p dλ .

p∈K(f ) A

Âiäìiòèìî, ùî K(f ) 6= ∅, òîòîæíié íîëü çàâæäè íàëåæèòü öüîìó íàáîðó. Â ïðàâié ÷àñòèíi (4.4) ñòîÿòü iíòåãðàëè, ÿêi ìè âèçíà÷à¹ìî çà îçíà÷åííÿì 4.1. Äëÿ îá ðóíòóâàííÿ êîðåêòíîñòi îçíà÷åííÿ 4.2 òàêîæ òðåáà ïîêàçàòè, ùî âîíî óçãîäæó¹òüñÿ ç îçíà÷åííÿì 4.1, i äëÿ ïðîñòî¨ p îáèäâà îçíà÷åííÿ äàþòü îäíó âåëè÷èíó iíòåãðàëà. Òóò â çàïèñi iíòåãðàëà ìè âiäìiòèìî öèôðîþ, çà ÿêîþ ÷àñòèíîþ îçíà÷åííÿ éîãî âçÿòî. Ç îäíîãî áîêó, p ∈ K(p), i Z Z Z (2) p dλ = sup (1) p1 dλ ≥ (1) p dλ, A

A

p1 ∈K(p)

42

A

R îñêiëüêè òóò ñåðåä åëåìåíòiâ ñóïðåìóìó ¹ (1) A p dλ. Ç iíøîãî áîêó, Z Z Z Z Âëàñòèâiñòü 1 Îçíà÷åííÿ 4.2 p1 ∈ K(p) ⇒ p1 (x) ≤ p(x) =⇒ (1) p1 dλ ≤ (1) p dλ =⇒ (2) p dλ ≤ (1) p dλ . A

A

A

A

Òîìó ìè ìà¹ìî ðiâíiñòü iíòåãðàëiâ ç äâîõ îçíà÷åíü. Äàëi ìè âèêîðèñòà¹ìî ïîçíà÷åííÿ

f+ (x) = f (x)1{f ≥0} (x),

f− (x) = −f (x)1{f 0 ðîçãëÿíåìî ìíîæèíè Bn = x ∈ A : pn (x) ≥ (1 − ε)p(x) . S Ç óìîâè 1) íàøî¨ ëåìè âèïëèâà¹, ùî Bn ↑, ç óìîâè 2) ùî ∞ n=1 Bn = A. Âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòi iíòåãðàëà âiä ïðîñòî¨ ôóíêöi¨ ç ïóíêòó 4.1, ìà¹ìî

Z A

pn dλ

Âëàñò.3

Z

≥

Bn

pn dλ

Çà íåïåðåðâíiñòþ ìiðè çíèçó, λ Ai ∩ Bn

≥

lim

(1 − ε)p dλ = Bn

j X (1 − ε)ai λ Ai ∩ Bn . i=1

→ λ Ai ∩ A , n → ∞. Òîìó

Z n→∞ A

Z

Âëàñò.1

pn dλ ≥ (1 − ε)

j X

ai λ Ai ∩ A = (1 − ε)

Z

i=1

p dλ A

(çàïèñàíà òóò ãðàíèöÿ iñíó¹ ÿê ãðàíèöÿ íåñïàäíî¨ ïîñëiäîâíîñòi). Ñïðÿìóâàâøè ε → 0+, îòðèìà¹ìî òâåðäæåííÿ ëåìè.

Òåîðåìà 4.1. Íåõàé f : X → R íåâiä'¹ìíà âèìiðíà ôóíêöiÿ, à pn : X → R, n ≥ 1 ïðîñòi íåâiä'¹ìíi âèìiðíi ôóíêöi¨ òàêi, ùî pn (x) ↑ f (x) äëÿ êîæíîãî x ∈ X. Òîäi Z Z lim pn dλ = f dλ . n→∞ A

(4.6)

A

Äîâåäåííÿ. Âiäìiòèìî, ùî çàïèñàíà â (4.6) ãðàíèöÿ iñíó¹ ÿê ãðàíèöÿ íåñïàäíî¨ ïîñëiäîâíîñòi. Îñêiëüêè pn (x) ≤ f (x), áóäå pn ∈ K(f ), i ç ÷àñòèíè 2 îçíà÷åííÿ iíòåãðàëà ìè îòðèìó¹ìî, ùî Z Z Z Z Z f dλ = sup p dλ ≥ pn dλ ⇒ f dλ ≥ lim pn dλ . A

p∈K(f ) A

A

n→∞ A

A

Ç iíøîãî áîêó, äëÿ áóäü-ÿêî¨ p ∈ K(f ) ìà¹ìî Z Z Z Z (4.4) Ëåìà 4.1 p(x) ≤ f (x) = lim pn (x) =⇒ p dλ ≤ lim pn dλ =⇒ f dλ ≤ lim pn dλ . n→∞

n→∞ A

A

A

n→∞ A

Ç äâîõ îòðèìàíèõ ïðîòèëåæíèõ íåðiâíîñòåé ñëiäó¹ ðiâíiñòü (4.6).

Çàóâàæåííÿ 4.2. Âêàçàíà â òåîðåìi 4.1 ïîñëiäîâíiñòü ïðîñòèõ ôóíêöié pn iñíó¹ äëÿ áóäü-ÿêî¨

íåâiä'¹ìíî¨ âèìiðíî¨ f (öå âèïëèâà¹ ç òåîðåìè 3.6).

4.3 Çëi÷åííà àäèòèâíiñòü iíòåãðàëà Òåîðåìà 4.2. Íåõàé f : X → R íåâiä'¹ìíà âèìiðíà ôóíêöiÿ. Òîäi ôóíêöiÿ ìíîæèí Z

µ(A) =

f dλ,

A ∈ F,

A

¹ ìiðîþ íà F . Ïîòðiáíî äîâåñòè σ -àäèòèâíiñòü µ. Íåõàé An , n ≥ 1 íåïåðåòèííi ìíîæèíè ç F , A = Äîâåäåííÿ. S∞ A . n n=1 Êðîê 1. Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê f (x) = 1B (x), B ∈ F . Òîäi ∞ ∞ X X λ B ∩ An = µ(An ) . µ(A) = λ B ∩ A = n=1

44

n=1

Êðîê 2. Íåõàé ôóíêöiÿ f (x) ïðîñòà f (x) =

j X

bi 1Bi (x),

Bi ∈ F.

i=1

Òîäi

µ(A) =

j X

j X bi λ Bi ∩ A = bi µi A ,

i=1

i=1

äå êîæíà µi A = λ Bi ∩ A σ -àäèòèâíà ôóíêöiÿ ìíîæèí. Ìiðà, ïîìíîæåíà íà íåâiä'¹ìíèé êîåôiöi¹íò, ¹ ìiðîþ, i ñóìà êiëüêîõ ìið ¹ ìiðîþ. Òîìó µ σ -àäèòèâíà. Êðîê 3. Íåõàé f (x) äîâiëüíà íåâiä'¹ìíà âèìiðíà ôóíêöiÿ. Âiçüìåìî ïðîñòi íåâiä'¹ìíi pr ↑ f (âîíè iñíóþòü çà òåîðåìîþ 3.6). Òîäi Z ∞ Z ∞ Z (4.4) X Êðîê 2 X pr dλ = pr dλ ≤ f dλ . A

n=1 An

n=1 An

Âçÿâøè ãðàíèöþ ïðè r → ∞, ç òåîðåìè 4.1 îòðèìà¹ìî, ùî Z ∞ Z X f dλ ≤ f dλ . A

(4.7)

n=1 An

Ç iíøîãî áîêó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòi 2 i 3 iíòåãðàëiâ âiä ïðîñòèõ ôóíêöié, äëÿ áóäü-ÿêèõ r, q ≥ 1 ìà¹ìî Z Z Z q Z (4.4) Âëàñò. 3 Âëàñò. 2 X pr dλ = pr dλ . f dλ ≥ pr dλ ≥ S A

q n=1

A

An

n=1 An

Âçÿâøè ãðàíèöþ ïðè r → ∞, áóäåìî ìàòè

Z f dλ ≥ A

q Z X

f dλ .

n=1 An

Òåïåð, ñïðÿìóâàâøè q → ∞, îòðèìà¹ìî Z

f dλ ≥ A

∞ Z X

f dλ .

n=1 An

(4.8)

Ç ïðîòèëåæíèõ íåðiâíîñòåé (4.7) i (4.8) îòðèìó¹ìî ðiâíiñòü, ùî i îçíà÷à¹ σ -àäèòèâíiñòü µ.

4.4 Åëåìåíòàðíi âëàñòèâîñòi iíòåãðàëà Äîâåäåìî îñíîâíi âëàñòèâîñòi iíòåãðàëà Ëåáåãà, ÿêèìè ïîòiì áóäåìî íåîäíîðàçîâî êîðèñòóâàòèñÿ. ßê i ðàíiøå, (X, F, λ) âèìiðíèé ïðîñòið ç ìiðîþ, ìè ðîçãëÿäà¹ìî F -âèìiðíi ôóíêöi¨ f, g : X → R, A, B ∈ F . Z 1. ßêùî λ(N) = 0, òî f dλ = 0. N

Äîâåäåííÿ. ßêùî f (x) =

n X

ak 1Ak (x) ïðîñòà íåâiä'¹ìíà ôóíêöiÿ, òî

k=1

Z f dλ = N

n X

ak λ Ak ∩ N) = 0,

k=1

àäæå âñi λ Ak ∩ N) = 0. ßêùî f äîâiëüíà íåâiä'¹ìíà ôóíêöiÿ, òî iñíó¹ ïîñëiäîâíiñòü ïðîñòèõ íåâiä'¹ìíèõ pr ↑ f , i òîäi Z Z Òåîðåìà 4.1 f dλ = lim pr dλ = 0. N

r→∞ N

45

Äëÿ äîâiëüíî¨ âèìiðíî¨ f áóäå Z Z Z Z Z f+ dλ = f− dλ = 0 ⇒ f dλ = f+ dλ − f− dλ = 0.

Z

2.

X

Z f 1A dλ =

N

A

N

N

N

N

f dλ (ïðè óìîâi, ùî õî÷à á îäèí ç öèõ iíòåãðàëiâ iñíó¹).

Äîâåäåííÿ. ßêùî f (x) =

n X

ak 1Ak (x) ïðîñòà íåâiä'¹ìíà ôóíêöiÿ, òî

k=1

f (x)1A (x) =

ak 1Ak (x)1A (x) =

k=1

Z X

n X

n X k=1

f (x)1A (x) dλ =

n X

ak 1Ak ∩A (x), Z

ak λ Ak ∩ A) =

k=1

f (x) dλ . A

Äëÿ äîâiëüíî¨ íåâiä'¹ìíî¨ f âiçüìåìî ïðîñòi íåâiä'¹ìíi ôóíêöi¨ pr ↑ f , òîäi pr 1A ↑ f 1A , i ìè ìà¹ìî Z Z Z Z f (x)1A (x) dλ = lim pr (x)1A (x) dλ = lim pr (x) dλ = f (x) dλ . r→∞ X

X

r→∞ A

A

ßêùî f äîâiëüíà âèìiðíà ôóíêöiÿ, òî f 1A + = f+ 1A , f 1A − = f− 1A , Z Z Z Z Z Z f 1A dλ = f+ 1A dλ − f− 1A dλ = f+ dλ − f− dλ = f dλ .

Z

3.

X

Z

cf (x) dλ = c A

A

X

X

Z

f (x) dλ , c ∈ R (ïðè óìîâi, ùî

Äîâåäåííÿ. Íåõàé c ≥ 0. ßêùî f (x) =

n X

A

A

A

A

f (x) dλ iñíó¹).

ak 1Ak (x) ïðîñòà íåâiä'¹ìíà ôóíêöiÿ, òî cf (x) òàêîæ

k=1

ïðîñòà íåâiä'¹ìíà, i Z Z Z X n n X cak λ Ak ∩ A = c f (x) dλ . cak 1Ak (x) dλ = cf (x) dλ = A

A k=1

A

k=1

(4.9)

Äëÿ äîâiëüíî¨ íåâiä'¹ìíî¨ f áåðåìî ïðîñòi íåâiä'¹ìíi ôóíêöi¨ pr ↑ f , òîäi cpr ↑ cf , i ìè ìà¹ìî: Z Z Z Z (4.9) cf (x) dλ = lim cpr (x) dλ = lim c pr (x) dλ = c f (x) dλ . (4.10) A

r→∞ X

r→∞

X

A

Îñêiëüêè c ≥ 0, äëÿ äîâiëüíî¨ f ìà¹ìî:

(cf )+ = cf+ ,

(4.11)

(cf )− = cf− ,

i òîìó Z Z Z (4.11),(4.10) cf (x) dλ = (cf (x))+ dλ − (cf (x))− dλ = A A A Z Z Z c f+ (x) dλ − c f− (x) dλ = c f (x) dλ . (4.12) A

A

A

ßêùî c < 0, òî

(cf )+ = (−c)f− ,

(cf )− = (−c)f+ ,

i ìè îòðèìó¹ìî Z Z Z Z Z (4.12),(−c)>0 cf (x) dλ = (cf (x))+ dλ − (cf (x))− dλ = (−c)f− (x) − dλ − (−c)f+ (x) dλ = A A Z AZ A ZA Z Z (−c) f− (x) dλ − (−c) f+ (x) dλ = c f+ (x) dλ − f− (x) dλ = c f (x) dλ . A

A

A

46

A

A

Z

4. ßêùî f (x) ≤ g(x), òî

Z f dλ ≤

A

A

g dλ (ïðè óìîâi, ùî îáèäâà çàïèñàíi iíòåãðàëè iñíóþòü).

Äîâåäåííÿ. Íåõàé f i g íåâiä'¹ìíi. Òîäi äëÿ âiäïîâiäíèõ êëàñiâ ïðîñòèõ ôóíêöié ç îçíà÷åííÿ 4.2 ìà¹ìî: K(f ) ⊂ K(g). Òîìó Z Z Z Z f dλ = sup p dλ ≤ sup p dλ = g dλ (4.13) A

p∈K(f ) A

p∈K(g) A

A

(â iíòåãðàëi âiä g áåðåòüñÿ ñóïðåìóì áiëüøî¨ ìíîæèíè). Â çàãàëüíîìó âèïàäêó áóäå Z Z Z Z (4.13) f (x) ≤ g(x) ⇒ f+ (x) ≤ g+ (x), f− (x) ≥ g− (x) =⇒ f+ dλ ≤ g+ dλ, f− dλ ≥ g− dλ ⇒ A Z Z Z A Z A Z A Z f+ dλ − f− dλ ≤ g+ dλ − g− dλ ⇔ f dλ ≤ g dλ . A

A

5. ßêùî f (x) ≥ 0, A ⊂ B , òî

A

Z

A

Z

f dλ ≤ A

A

A

f dλ . B

Äîâåäåííÿ. Âiçüìåìî ïðîñòi íåâiä'¹ìíi ôóíêöi¨ pr ↑ f . Ç âèêîðèñòàííÿì âiäïîâiäíî¨ âëàñòèâîñòi iíòåãðàëà âiä ïðîñòèõ ôóíêöié, ìà¹ìî: Z Z Z Z (4.3) f dλ = lim pr dλ ≤ lim pr dλ = f dλ . A

6. Íåõàé A ⊂ B i iñíó¹ f ∈ L(A, λ).

r→∞ A

Z B

r→∞ B

f dλ, òîäi âèçíà÷åíèé i

Äîâåäåííÿ. Âëàñòèâiñòü 5 äà¹ íàì, ùî Z Z f+ dλ ≤ f+ dλ, A

B

Z

A

f dλ. ßêùî ïðè öüîìó f ∈ L(B, λ), òî

Z

B

Z

A

f− dλ ≤

B

f− dλ .

Õî÷à Zá îäèí ç iíòåãðàëiâ ïî B ¹ ñêií÷åííèì, òîäi áóäå ñêií÷åííèì i âiäïîâiäíèé iíòåãðàë ïî A, òîìó iñíó¹

A

f dλ. Äëÿ f ∈ L(B, λ) âñi çàïèñàíi iíòåãðàëè áóäóòü ñêií÷åííèìè, i çíà÷èòü f ∈ L(A, λ).

7. Íåõàé

Z

Z

X

f− dλ < +∞. Òîäi ôóíêöiÿ ìíîæèí ν(A) = Z

A

f dλ ¹ σ -àäèòèâíîþ íà F .

f dλ, i, çà âëàñòèâiñòþ 6, ν(A) âèçíà÷åíà äëÿ âñiõ A ∈ F . Äîâåäåííÿ. Ç óìîâè âèïëèâà¹, ùî iñíó¹ X S∞ Íåõàé A = n=1 An , An ∈ F íåïåðåòèííi. Òîäi Z

Z f dλ =

A

A

Z f+ dλ − ∞ Z X n=1

An

A

f− dλ

Òåîðåìà 4.2

=

An

f+ dλ −

n=1 An ∞ Z X

Z f+ dλ −

∞ Z X

f− dλ =

∞ Z X n=1 An

f− dλ=

f dλ .

n=1 An

8. f ∈ L(A, λ) ⇔ |f | ∈ L(A, λ), ïðè öüîìó

Z Z f dλ |f | dλ . ≤ A

A

Äîâåäåííÿ. Âiäìiòèìî, ùî Z Z Z Òåîðåìà 4.2 Âëàñò. 2 |f | dλ = |f | dλ + |f | dλ = A A∩{f ≥0} A∩{f 0 , n → ∞ ⇒ λ A ∩ f > 0 = lim λ A ∩ f ≥ = 0. n→∞ n n Z 12. ßêùî f dλ = 0 äëÿ âñiõ A ∈ F , òî f = 0 (mod λ) íà X. A

Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâó äëÿ ìíîæèí A = {f ≥ 0} i A = {f < 0}, âëàñòèâiñòü 11 äëÿ f+ i f− , ìà¹ìî: Z Z Z f+ dλ = f 1{f ≥0} dλ= f dλ = 0 ⇒ f+ = 0 (mod λ), X X {f ≥0} Z Z Z Z f− dλ = (−f )1{f 0. Íåïåðåðâíiñòü f â z äà¹ íàì, ùî ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : |x − z| ≤ 2−n (b − a)

⇒

|f (x) − f (z)| ≤ ε .

ßêùî â ïîäiëi πn òî÷êà z íàëåæèòü iíòåðâàëó (xk , xk+1 ] (ùî ìà¹ äîâæèíó 2−n (b − a)), òî (4.35)

∀ x ∈ [xk , xk+1 ] : |f (x) − f (z)| ≤ ε . Îñêiëüêè

mk =

inf

x∈[xk ,xk+1 ]

f (x),

Mk =

sup

(4.36)

f (x) ,

x∈[xk ,xk+1 ]

i öå ¹ çíà÷åííÿ f n (z) i f n (z), ç (4.35) ìè ìà¹ìî:

|mk − f (z)| ≤ ε,

|Mk − f (z)| ≤ ε

⇔

|f n (z) − f (z)| ≤ ε,

|f n (z) − f (z)| ≤ ε,

f n (z) ≤ f (z) ≤ f (z) ≤ f (z) ≤ f n (z) ⇒ f (z) − f (z) ≤ 2ε. Òàê ÿê ε > 0 äîâiëüíå, áóäå f (z) = f (z). 2) ⇒ 1). Ìà¹ìî

f (z) = lim f n (z), n→∞

f (z) = lim f n (z), n→∞

56

f (z) = f (z).

Òîìó äëÿ äîâiëüíîãî ε > 0 çíàéäåòüñÿ n ≥ 1 òàêå, ùî (4.37)

f n (z) − f n (z) < ε. Äëÿ öüîãî n âiçüìåìî âiäïîâiäíèé ïîäië πn , i íåõàé z ∈ (xk , xk+1 ]. Ðiâíiñòü (4.37) îçíà÷à¹, ùî Îñêiëüêè z ∈ /

S∞

n=1 πn ,

(4.38)

Mk − mk < ε. òî z âíóòðiøíÿ òî÷êà iíòåðâàëà (xk , xk+1 ], i òîìó çíàéäåòüñÿ îêië

(z − δ, z + δ) ⊂ (xk , xk+1 ],

δ > 0.

Ç (4.38) i (4.36) âèïëèâà¹, ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ òî÷êè x ç öüîãî îêîëó (4.39)

|f (x) − f (z)| < ε .

Òàêèì ÷èíîì, äëÿ áóäü-ÿêîãî ε > 0 ìè ìîæåìî çíàéòè îêië òî÷êè z , â ÿêîìó ñïðàâäæó¹òüñÿ (4.39). Öå i îçíà÷à¹ íåïåðåðâíiñòü f â z .

Òåîðåìà 4.11. (êðèòåðié Ëåáåãà iíòåãðîâíîñòi çà Ðiìàíîì) Íåõàé ôóíêöiÿ f : [a, b] → R îáìåæåíà. Íàñòóïíi òâåðäæåííÿ åêâiâàëåíòíi: 1) f iíòåãðîâíà çà Ðiìàíîì íà [a, b]; 2) λ1 z ∈ [a, b] : f ðîçðèâíà â z = 0.

Äîâåäåííÿ. 1) ⇒ 2). Äëÿ iíòåãðîâíî¨ çà Ðiìàíîì f ïðè äîâåäåííi òåîðåìè 4.8 áóëî îòðèìàíî, ùî ∞ [ f = f (mod λ1 ) (ðiâíiñòü (4.32)). Çíà÷èòü, äëÿ âñiõ z ∈ [a, b] \ πn , êðiì ìíîæèíè íóëüîâî¨ ìiðè, ìè n=1

ìîæåìî ñëiäóâàííÿ 2) ⇒ 1) ç ëåìè 4.2, i îòðèìàòè íåïåðåðâíiñòü f ó âñiõ öèõ z . Òàêîæ S∞ âèêîðèñòàòè λ1 n=1 πn = 0 ÿê ìiðà Ëåáåãà çëi÷åííî¨ ìíîæèíè, i òîìó íåïåðåðâíiñòü f ìîæå ïîðóøóâàòèñÿ ëèøå íà ìíîæèíi ìiðè íóëü. ∞ [ 2) ⇒ 1). Òóò äëÿ âñiõ z ∈ [a, b] \ πn , êðiì ìíîæèíè íóëüîâî¨ ìiðè, ìè ìîæåìî âèêîðèñòàòè n=1

ñëiäóâàííÿ 1) ⇒ 2) ç ëåìè 4.2 i îòðèìàòè â öèõ òî÷êàõ f (z) = f (z). Íàãàäà¹ìî, ùî

f (z) = lim f n (z),

f (z) = lim f n (z) .

n→∞

n→∞

Âñi öi ôóíêöi¨ âèìiðíi çà Ëåáåãîì i îáìåæåíi (¨õ çíà÷åííÿ çà ìîäóëåì íå ïåðåâèùóþòü supx∈[a,b] |f (x)|), òîìó âîíè iíòåãðîâíi çà Ëåáåãîì íà [a, b] âiäíîñíî λ1 . Âèêîðèñòîâóþ÷è òåîðåìó ïðî ìàæîðîâàíó çáiæíiñòü, ìà¹ìî, ùî n −1 n −1 Z Z Z Z 2X 2X f dλ1 = lim f n dλ1 = lim mk ∆xk , f dλ1 = lim f n dλ = lim Mk ∆xk . n→∞ [a,b]

[a,b]

n→∞

n→∞ [a,b]

[a,b]

k=0

n→∞

k=0

Ïðè öüîìó

Z f ∼f

(mod λ1 )

⇒ [a,b]

Z f dλ1 =

[a,b]

f dλ1 ⇔ lim

n→∞

n −1 2X

k=0

mk ∆xk = lim

n→∞

n −1 2X

Mk ∆xk .

k=0

Ìè îòðèìàëè, ùî äëÿ äåÿêî¨ ïîñëiäîâíîñòi ïîäiëiâ πn ãðàíèöi íèæíiõ i âåðõíiõ ñóì Äàðáó ðiâíi. Òîìó f iíòåãðîâíà çà Ðiìàíîì íà [a, b].

4.9 Iíòåãðàë, ùî çàëåæèòü âiä ïàðàìåòðà. Çàìiíà çìiííî¨ Íåõàé (X, F, λ) öå äåÿêèé âèìiðíèé ïðîñòið ç ìiðîþ, T äîâiëüíà ìíîæèíà, i ìè ðîçãëÿäà¹ìî ôóíêöiþ f : X × T → R. Ïîêëàäåìî

Z I(t) =

f (x, t) dλ(x) X

äëÿ âñiõ t ∈ T, äëÿ ÿêèõ öåé iíòåãðàë âèçíà÷åíî. Ìè äîâåäåìî òåîðåìè ïðî íåïåðåðâíiñòü i äèôåðåíöiéîâàíiñòü ôóíêöi¨ I . 57

Òåîðåìà 4.12. Íåõàé T ìåòðè÷íèé ïðîñòið, i ñïðàâäæóþòüñÿ íàñòóïíi óìîâè: 1) f (x, ·) íåïåðåðâíà íà T äëÿ êîæíîãî x ∈ X; 2) f (·, t) F -âèìiðíà äëÿ êîæíîãî t ∈ T; 3) f (x, t) ≤ g(x) äëÿ äåÿêî¨ ôóíêöi¨ g ∈ L(X, λ). Òîäi I íåïåðåðâíà íà T.

Äîâåäåííÿ. Ç óìîâ 2) i 3) âèïëèâà¹, ùî f (·, t) ∈ L(X, λ) äëÿ âñiõ t ∈ T, I âèçíà÷åíà íà T. Äëÿ äîâiëüíî¨ ïîñëiäîâíîñòi tn → t0 â T ìà¹ìî, ùî óìîâà 1)

∀ x ∈ X : f (x, tn ) → f (x, t0 ), n → ∞, Z Z (∗) I(tn ) = f (x, tn ) dλ(x) → f (x, t0 ) dλ(x) = I(t0 ) . X

X

Òóò â (*) ìè çàñòîñóâàëè òåîðåìó ïðî ìàæîðîâàíó çáiæíiñòü i îáìåæåíiñòü |f (x, tn )| ≤ g(x). Òàêèì ÷èíîì, I íåïåðåðâíà â äîâiëüíié òî÷öi t0 , à çíà÷èòü i íà T. Â íàñòóïíîìó òâåðäæåííÿ ìè âiçüìåìî T = G, G äåÿêà âiäêðèòà ïiäìíîæèíà R.

Òåîðåìà 4.13. Íåõàé ñïðàâäæóþòüñÿ óìîâè: 1) f (·, t) ∈ L(X, λ) äëÿ êîæíîãî t ∈ G;

∂f âèçíà÷åíà íà X × G; ∂t ∂f (x, t) ≤ g(x) äëÿ äåÿêî¨ ôóíêöi¨ g ∈ L(X, λ). 3) ∂t

2)

Òîäi

dI(t) = dt

Z X

∂f (x, t) dλ(x). ∂t

(4.40)

Äîâåäåííÿ. Ïåðåâiðèìî ðiâíiñòü (4.40) â äîâiëüíié òî÷öi t0 ∈ G. Äëÿ äîâiëüíî¨ ïîñëiäîâíîñòi tn → t0 â G ðîçãëÿíåìî Z Z (∗) I(tn ) − I(t0 ) 1 lim = lim f (x, tn ) dλ(x) − f (x, t0 ) dλ(x) = n→∞ n→∞ tn − t0 tn − t0 X X Z f (x, tn ) − f (x, t0 ) lim dλ(x) (4.41) n→∞ X tn − t0 (òóò â ðiâíîñòi (*) ìè âèêîðèñòàëè ëiíiéíiñòü iíòåãðàëà äëÿ iíòåãðîâíèõ ôóíêöié f (x, tn ), f (x, t0 )). Ç óìîâè 2) âèïëèâà¹, ùî äëÿ êîæíîãî x ∈ X

f (x, tn ) − f (x, t0 ) ∂f (x, t) → , tn − t0 ∂t

n → ∞.

Ç ôîðìóëè Ëàãðàíæà îòðèìó¹ìî, ùî äëÿ äåÿêî¨ t∗ ∈ G áóäå f (x, tn ) − f (x, t0 ) ∂f (x, t∗ ) óìîâà = ≤ tn − t0 ∂t

3)

g(x).

Òîìó òåîðåìà ïðî ìàæîðîâàíó çáiæíiñòü, çàñòîñîâàíà äî iíòåãðàëà â (4.41), äà¹ íàì Z ∂f (x, t0 ) I(tn ) − I(t0 ) = dλ(x), lim n→∞ tn − t0 ∂t X ùî i îçíà÷à¹ âèêîíàííÿ (4.40) â òî÷öi t0 . Äàëi ìè ðîçãëÿíåìî çàìiíó ìiðè â iíòåãðàëi. Íåõàé äàíî ùå îäèí âèìiðíèé ïðîñòið (X0 , F 0 ) i äîâiëüíå âiäîáðàæåííÿ T : X → X0 , ùî ¹ F, F 0 -âèìiðíèì. Ìà¹ìî, ùî

∀A ∈ F 0 : T −1 A ∈ F,

58

i ìè ìîæåìî âèçíà÷èòè ôóíêöiþ ìíîæèí λ0 íà F 0 çà ïðàâèëîì λ0 (A) = λ T −1 A .

(4.42)

Òîäi λ0 öå ìiðà íà F 0 . Äiéñíî, äëÿ íåïåðåòèííèõ An ∈ F 0 áóäå

λ0

∞ [

∞ ∞ ∞ ∞ (∗) [ (∗∗) X [ X An = λ T −1 An = λ T −1 An = λ T −1 An = λ0 An .

n=1

n=1

n=1

n=1

n=1

Òóò â ðiâíîñòi (*) âèêîðèñòàíî ñòàíäàðòíó âëàñòèâiñòü ïðîîáðàçiâ ìíîæèí. Ïðè öüîìó ìíîæèíè T −1 An òàêîæ ¹ íåïåðåòèííèìè, i òîìó ñïðàâäæó¹òüñÿ (**). Íàñòóïíå òâåðäæåííÿ äà¹ çâ'ÿçîê ìiæ iíòåãðàëàìè çà λ i çà λ0 .

Òåîðåìà 4.14. Íåõàé ôóíêöiÿ f : X0 → R F 0 -âèìiðíà. Òîäi Z

Z

f T x dλ(x) =

f x0 dλ0 (x0 )

(4.43)

X0

X

(ÿêùî iñíó¹ îäèí ç öèõ iíòåãðàëiâ, òî iñíó¹ é iíøèé, i âîíè ðiâíi). Äîâåäåííÿ. Âiäìiòèìî, ùî ôóíêöiÿ f T x : X → R F -âèìiðíà ÿê ñóïåðïîçèöiÿ âèìiðíèõ. Êðîê 1. Íåõàé f (x0 ) = 1A (x0 ), A ∈ F 0 . Òîäi 1, T x ∈ A, 1, x ∈ T −1 A, f T x = 1A (T x) = = = 1T −1 A (x) . 0, T x 6∈ A 0, x 6∈ T −1 A Ìè ìà¹ìî, ùî Z

−1

f T x dλ(x) = λ T

Z

A ,

f x0 dλ0 (x0 ) = λ0 (A),

(4.42) λ T −1 A = λ0 (A),

X0

X

i òîìó (4.43) ñïðàâäæó¹òüñÿ. Êðîê 2. Íåõàé

f (x0 ) =

n X

ak 1Ak (x0 ),

Ak ∈ F 0 ,

ak ≥ 0.

k=1

ßê ïîêàçàíî â êðîöi 1, äëÿ êîæíî¨ ôóíêöi¨ 1Ak (x0 ) ñïðàâäæó¹òüñÿ (4.43). Äîìíîæèâøè êîæíó ç öèõ ðiâíîñòåé íà âiäïîâiäíó ak i äîäàâøè, ìè îòðèìà¹ìî (4.43) äëÿ äàíî¨ f (íàãàäà¹ìî, ùî äëÿ íåâiä'¹ìíèõ ôóíêöié ëiíiéíiñòü iíòåãðàëà ìà¹ ìiñöå). Êðîê 3. Íåõàé ôóíêöiÿ f íåâiä'¹ìíà F 0 -âèìiðíà. Âiçüìåìî ïðîñòi íåâiä'¹ìíi F 0 -âèìiðíi ôóíêöi¨ pn : X0 → R, pn (x0 ) ↑ f (x0 ). Òîäi pn (T x) ↑ f (T x), çà êðîêîì 2 Z X

Z

pn T x dλ(x) =

X0

pn x0 dλ0 (x0 ).

Âçÿâøè ãðàíèöþ ïðè n → ∞ i âèêîðèñòàâøè â îáîõ ÷àñòèíàõ ðiâíîñòi òåîðåìó ïðî iíòåãðóâàííÿ íåâiä'¹ìíî¨ ìîíîòîííî¨ ïîñëiäîâíîñòi, îòðèìà¹ìî (4.43) äëÿ âêàçàíî¨ f . Êðîê 4. Íåõàé ôóíêöiÿ f äîâiëüíà F 0 -âèìiðíà. Òîäi f (T x) + = f+ (T x), f (T x) − = f− (T x). Êðîê 3 äà¹, ùî Z X

f+ T x dλ(x) =

Z 0

X0

Z 0

0

f+ x dλ (x ),

X

f− T x dλ(x) =

Z X0

f− x0 dλ0 (x0 )

(çîêðåìà, ÿêùî ñêií÷åííèé õî÷à á îäèí ç iíòåãðàëiâ â ëiâèõ ÷àñòèíàõ ðiâíîñòåé, òî ñêií÷åííèé i âiäïîâiäíèé iíòåãðàë â ïðàâié ÷àñòèíi, i íàâïàêè). Âiäíiìàþ÷è òóò âiä ïåðøî¨ ðiâíîñòi äðóãó, áóäåìî ìàòè (4.43). 59

Ïðèêëàä 4.5. Íåõàé (X, F, λ) = (Ω, F, P) öå äåÿêèé éìîâiðíiñíèé ïðîñòið, (X0 , F 0 ) = R, B(R) , â ÿêîñòi âiäîáðàæåííÿ T : X → X0 âiçüìåìî äîâiëüíó âèïàäêîâó âåëè÷èíó ξ : Ω → R. Â öüîìó âèïàäêó λ0 âèçíà÷åíà íà B(R) òàê, ùî λ0 ((−∞, a)) = P(ξ −1 ((−∞, a))) = P ξ < a = Fξ (a),

äå Fξ ïîçíà÷à¹ ôóíêöiþ ðîçïîäiëó ξ . Iíòåãðàë çà öi¹þ ìiðîþ ÷àñòî ïîçíà÷àþòü ÿê iíòåãðàë çà dFξ (âií ñïiâïàäà¹ ç iíòåãðàëîì çà ìiðîþ ËåáåãàÑòiëòü¹ñà, ïîðîäæåíîþ ôóíêöi¹þ F (a) = Fξ (a+)). Äëÿ äîâiëüíî¨ áîðåëüîâî¨ ôóíêöi¨ f : R → R â äàíîìó âèïàäêó ìè ìà¹ìî: Z Z Z Z Òåîðåìà 4.14 f T x dλ(x) = f (ξ(ω)) dP(ω) = f (x0 ) dλ0 (x0 ) = f (x0 ) dFξ (x0 ) . X

R

Ω

R

Òàê ìè îòðèìàëè âiäîìó ôîðìóëó äëÿ ïiäðàõóíêó ìàòåìàòè÷íîãî ñïîäiâàííÿ. Z Ef (ξ) = f (x0 ) dFξ (x0 ) .

R

Âïðàâè Âïðàâà 4.1. Äîâåñòè, ùî ÿêùî f ∈ L(A, λ) i f ∈ L(B, λ), òî f ∈ L(A ∪ B, λ). Âïðàâà 4.2. Íåõàé ôóíêöiÿ f : X → R F -âèìiðíà, λ i µ ìiðè íà F . Äîâåñòè, ùî Z

Z

Z

f d(λ + µ) =

f dλ +

X

X

f dµ, X

ÿêùî f ≥ 0 àáî f ∈ L(X, λ) ∩ L(X, µ). Âïðàâà 4.3. Íåõàé ôóíêöiÿ f : X → [0, +∞) F -âèìiðíà, ìiðà λ σ -ñêií÷åííà íà F . Äîâåñòè, ùî ìiðà Z µ(A) = f dλ, A ∈ F, A

σ -ñêií÷åííà íà F . Âïðàâà 4.4. Íåõàé ôóíêöiÿ f : X → [0, +∞) F -âèìiðíà, ìiðà λ ñêií÷åííà. Äîâåñòè, ùî íàñòóïíi òâåðäæåííÿ åêâiâàëåíòíi: 1) fP∈ L(X, λ); 2) P∞ n=1 nλ {x : n < f (x)≤ n + 1} < +∞; 3) ∞ n=1 λ {x : f (x) > n} < +∞. Âïðàâà 4.5. Íåõàé f, fn : X → R íåâiä'¹ìíi âèìiðíi ôóíêöi¨, fn → f Äîâåñòè, ùî

(mod λ),

fn ≤ f

Z

Z

X

fn dλ →

(mod λ).

f dλ . X

Âïðàâà 4.6. (òåîðåìà Þíãà ) Äàíî ôóíêöi¨ fn , gn , hn ∈ L(X, λ) òàêi, ùî fn (x) ≤ gn (x) ≤ hn (x), lim fn (x) = f (x), lim gn (x) = g(x), lim hn (x) = h(x), n→∞ Z Z Z Z n→∞ lim fn dλ = f dλ, lim hn dλ = h dλ, f, h ∈ L(X, λ). n→∞

n→∞ X

n→∞ X

X

Äîâåñòè, ùî òîäi g ∈ L(X, λ) i

Z lim

n→∞ X

X

Z gn dλ =

60

g dλ . X

Ðîçäië 5

Çàðÿäè. Àáñîëþòíà íåïåðåðâíiñòü 5.1 Îçíà÷åííÿ çàðÿäó. Ðîçêëàäè Ãàíà òà Æîðäàíà Íåõàé F äîâiëüíà σ -àëãåáðà ïiäìíîæèí óíiâåðñàëüíî¨ ìíîæèíè X.

Îçíà÷åííÿ 5.1. Çàðÿäîì íàçèâà¹òüñÿ σ -àäèòèâíà ôóíêöiÿ ìíîæèí ν : F → (−∞, +∞] . Íà âiäìiíó âiä ôóíêöié ìíîæèí, ùî ìè ðîçãëÿäàëè âèùå, ν ìîæå ïðèéìàòè âiä'¹ìíi çíà÷åííÿ. Îñêiëüêè −∞ íå ¹ ìîæëèâèì çíà÷åííÿì ν , ïðè çíàõîäæåííi ñóìè ðÿäó çàðÿäiâ íåïåðåòèííèõ ìíîæèí ìè íå îòðèìà¹ìî íåâèçíà÷åíîñòi âèãëÿäó ∞ − ∞. Äàëi â öüîìó ïóíêòi ν áóäå ïîçíà÷àòè çàðÿä, çàäàíèé íà F .

Ïðèêëàä 5.1. Äîâiëüíà ìiðà, çàäàíà íà σ -àëãåáði, ¹ çàðÿäîì. Ïðèêëàä 5.2. Äëÿ áóäü-ÿêèõ xk ∈ X, ak ∈ (−∞, +∞] ν(A) =

n X

ak 1A (xk )

k=1

¹ çàðÿäîì íà 2X .

Ïðèêëàä 5.3. ßêùî µ1 ìiðà íà F , µ2 ñêií÷åííà ìiðà íà F , òî ν = µ1 − µ2 ¹ çàðÿäîì íà F . Â íàñëiäêó 5.1 íèæ÷å ìè ïîêàæåìî, ùî âñi çàðÿäè ìàþòü òàêå ïðåäñòàâëåííÿ.

Âëàñòèâîñòi çàðÿäiâ. 1. ν (∅) = 0. Äîâåäåííÿ. Çà íàøèì óçãîäæåííÿì ùîäî ôóíêöié ìíîæèí,

äëÿ äåÿêî¨ ìíîæèíè A ∈ F áóäå ν(A) < +∞. Òîäi çà σ -àäèòèâíiñòþ ν ìè îòðèìó¹ìî, ùî ν(A) = ν(A) + ν (∅) + ν (∅) + . . . . Îñòàííié ðÿä ìà¹ çáiãàòèñÿ, à öå ìîæëèâå ëèøå ïðè ν (∅) = 0. 2. ν ñêií÷åííî àäèòèâíèé. Äîâåäåííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è çëi÷åííó àäèòèâíiñòü ν i ðiâíiñòü ν (∅) = 0, äëÿ íåïåðåòèííèõ Ak ∈ F, 1 ≤ k ≤ n ìà¹ìî

ν

n [ k=1

n n n [ X X Ak = ν Ak ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ . . . = ν (Ak ) + ν (∅) + ν (∅) + · · · = ν (Ak ) . k=1

k=1

k=1

3. ßêùî ν(A) < +∞, òî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ìíîæèíè B ⊂ A, B ∈ F , áóäå ν(B) < +∞. Äîâåäåííÿ. Çi ñêií÷åííî¨ àäèòèâíîñòi çàðÿäó ìà¹ìî ν(A) = ν(B) + ν (A \ B). ßêáè áóëî ν(B) = +∞, òî, âðàõîâóþ÷è ùî ν (A \ B) > −∞, ìè á îòðèìàëè ν(A) = +∞. Îçíà÷åííÿ 5.2. Ìíîæèíà A ∈ F íàçèâà¹òüñÿ äîäàòíîþ (âiäíîñíî çàðÿäó ν ), ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ìíîæèíè B ⊂ A, B ∈ F , áóäå ν(B) ≥ 0. Ìíîæèíà A ∈ F íàçèâà¹òüñÿ âiä'¹ìíîþ (âiäíîñíî çàðÿäó ν ), ÿêùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ìíîæèíè B ⊂ A, B ∈ F , áóäå ν(B) ≤ 0. Ïîðîæíÿ ìíîæèíà ¹ äîäàòíîþ i âiä'¹ìíîþ îäíî÷àñíî. Òîìó íàáîðè äîäàòíèõ i âiä'¹ìíèõ ìíîæèí ¹ íåïîðîæíiìè. ßêùî â ïðèêëàäi 5.2 ïîêëàñòè X+ = {xk : ak > 0} , X− = X\X+ , òî X+ áóäå äîäàòíîþ ìíîæèíîþ, à X− âiä'¹ìíîþ. Âèÿâëÿ¹òüñÿ, ùî òàêå ðîçáèòòÿ X íà äîäàòíó i âiä'¹ìíó ìíîæèíè ìà¹ ìiñöå i äëÿ äîâiëüíîãî çàðÿäó. 61

Òåîðåìà 5.1. (ðîçêëàä Ãàíà) Äëÿ áóäü-ÿêîãî çàðÿäó ν iñíóþòü ìíîæèíè X+ , X− òàêi, ùî: 1) X+ äîäàòíà ìíîæèíà, X− âiä'¹ìíà, 2) X+ ∪ X− = X, 2) X+ ∩ X− = ∅.

Äîâåäåííÿ. Êðîê 1. Âèçíà÷åííÿ X− . Íåõàé α = inf ν(A) A − âiä'¹ìíà

(5.1)

(ìè íå âèêëþ÷à¹ìî çàðàç ìîæëèâîñòi α = −∞). Âiçüìåìî âiä'¹ìíi ìíîæèíè An , n ≥ 1 òàêi, ùî

ν(An ) → α, i ïîêëàäåìî X− =

S∞

n=1 An .

n → ∞,

Ïîêàæåìî, ùî ìíîæèíà X− âiä'¹ìíà. Äëÿ öüîãî ðîçãëÿíåìî ìíîæèíè

B1 = A1 ,

Bn = An \

n−1 [

Ak , n ≥ 2,

k=1

òîäi Bn íåïåðåòèííi,

X− =

∞ [

Bn ,

n [

An =

n=1

Bk .

k=1

Äëÿ äîâiëüíî¨ B ⊂ X− , B ∈ F ìà¹ìî

ν(B) =

∞ X

ν(B ∩ Bn ),

An − âiä'¹ìíà ⇒ ν(B ∩ Bn ) ≤ 0 ⇒ ν(B) ≤ 0,

(B ∩ Bn ) ⊂ An ,

n=1

òîìó X− âiä'¹ìíà. (Òàê ìè ôàêòè÷íî äîâåëè, ùî çëi÷åííå îá'¹äíàííÿ âiä'¹ìíèõ ìíîæèí ¹ âiä'¹ìíîþ ìíîæèíîþ. Áåðó÷è â öèõ îá'¹äíàííÿõ äåÿêi ìíîæèíè ïîðîæíiìè, ìè îòðèìà¹ìî, ùî i ñêií÷åííå îá'¹äíàííÿ âiä'¹ìíèõ ìíîæèí ¹ âiä'¹ìíîþ ìíîæèíîþ). Êðiì òîãî, n ∞ X X ν(Bk ) = lim ν(An ) = α ν(Bk ) = lim ν(X− ) = k=1

n→∞

n→∞

k=1

(çâiäñè, çîêðåìà, âèïëèâà¹, ùî α > −∞). Êðîê 2. Âèçíà÷åííÿ X+ . Âiçüìåìî X+ = X \ X− . Ùîá çàâåðøèòè äîâåäåííÿ, äîñòàòíüî ïîêàçàòè, ùî X+ äîäàòíà ìíîæèíà. Ïðèïóñòèìî, ùî öå íå òàê, i çíàéäåòüñÿ ìíîæèíà C ⊂ X+ , ν(C) < 0. ßêùî ìíîæèíà C âiä'¹ìíà, ìè ìîæåìî ðîçãëÿíóòè X0− = X− ∪ C . Òîäi X0− ¹ âiä'¹ìíîþ ìíîæèíîþ ÿê îá'¹äíàííÿ äâîõ âiä'¹ìíèõ ìíîæèí, i

ν(X0− ) = ν(X− ) + ν(C) < ν(X− ) = α,

(5.2)

ùî ñóïåðå÷èòü âèçíà÷åííþ α â (5.1). Çíà÷èòü, ìíîæèíà C íå ¹ âiä'¹ìíîþ, i â C çíàéäåòüñÿ ïiäìíîæèíà ç äîäàòíèì çíà÷åííÿì çàðÿäó. Âiçüìåìî íàéìåíøå ìîæëèâå k1 ∈ N òàêå, ùî

∃ C1 ⊂ C : ν(C1 ) >

1 . k1

Ìà¹ìî, ùî

ν(C \ C1 ) = ν(C) − ν(C1 ) < 0,

C \ C1 ⊂ X+ .

Òàê ñàìî, ÿê i C , ìíîæèíà C \ C1 íå ìîæå áóòè âiä'¹ìíîþ, i òîìó ìà¹ ïiäìíîæèíó ç äîäàòíèì çàðÿäîì. Âiçüìåìî íàéìåíøå ìîæëèâå k2 ∈ N òàêå, ùî

∃ C2 ⊂ (C \ C1 ) : ν(C2 ) >

62

1 . k2

Äàëi òàêîæ ìà¹ìî ν C \(C1 ∪C2 ) < 0, ìíîæèíà C \(C1 ∪C2 ) íå ìîæå áóòè âiä'¹ìíîþ, â íié àíàëîãi÷íî âèáèðà¹ìî ïiäìíîæèíó C3 i ò.ä. Íà êîæíîìó n-ìó êðîöi ìè âèáèðà¹ìî íàéìåíøå ìîæëèâå kn ∈ N, äëÿ ÿêîãî n−1 [ 1 ∃ Cn ⊂ C \ Ck : ν(Cn ) > , kn k=1

i öå áóäå ìîæëèâî, îñêiëüêè âñi îòðèìóâàíi òàê Ck áóäóòü íåïåðåòèííèìè, n−1 n−1 [ X ν C\ Ck = ν(C) − ν(Ck ) < 0, k=1

k=1

Sn−1

à ìíîæèíà C \ k=1 CSk íå ìîæå áóòè âiä'¹ìíîþ. ∞ Òàêîæ ν(C) < 0, n=1 Cn ⊂ C , òîìó, çà âëàñòèâiñòþ 3 çàðÿäó, ñêií÷åííèì ìà¹ áóòè çíà÷åííÿ

ν

∞ [

∞ X Cn = ν(Cn ).

n=1

n=1

Çíà÷èòü, ïðè n → ∞ áóäå ν(Cn ) → S 0, òîìó i kn → ∞. ∞ Ðîçãëÿíåìî ìíîæèíó D = C \ n=1 Cn . Ìà¹ìî, ùî

D ⊂ X+ ,

ν(D) = ν(C) −

∞ X

ν(Cn ) < 0.

n=1

Ïðèïóñòèìî, ùî ìíîæèíà D íå ¹ âiä'¹ìíîþ. Òîäi iñíó¹ D1 ⊂ D, ν(D1 ) > 0. Çíàéäåòüñÿ l ∈ N òàêå, ùî ν(D1 ) > (1/l), à òàêîæ iñíó¹ kn > l. Òàê ìè îòðèìàëè ñóïåðå÷íiñòü ç âèáîðîì kn , àäæå íà n-îìó êðîöi iñíóâàëà n−1 ∞ [ [ 1 1 Ck , ν(D1 ) > > Ck ⊂ C \ , D1 ⊂ C \ l kn k=1

k=1

i kn íå áóëî á íàéìåíøèì ìîæëèâèì íà öüîìó êðîöi. Çíà÷èòü, D âiä'¹ìíà ìíîæèíà, D ⊂ X+ , ν(D) < 0. Òîäi X− ∪ D ¹ âiä'¹ìíîþ ìíîæèíîþ, i, ÿê i â (5.2), ìè ìà¹ìî ν(X− ∪ D) = ν(X− ) + ν(D) < ν(X− ) = α, ùî ñóïåðå÷èòü âèáîðó α. Îòæå, ïðèïóùåííÿ, ùî ìíîæèíà X+ íå ¹ äîäàòíîþ, ¹ õèáíèì.

Íàñëiäîê 5.1. (ðîçêëàä Æîðäàíà) Äëÿ çàðÿäó ν íà F ïîêëàäåìî ν+ (A) = ν(A ∩ X+ ),

ν− (A) = −ν(A ∩ X− ),

A∈F.

(5.3)

Òîäi ν+ ìiðà, ν− ñêií÷åííà ìiðà, i ν(A) = ν+ (A) − ν− (A),

A∈F.

Ïðè öüîìó, ÿêùî ν ñêií÷åííèé, òî ν+ ñêií÷åííà, à ÿêùî ν σ -ñêií÷åííèé, òî ν+ σ ñêií÷åííà. Äîâåäåííÿ. Îñêiëüêè X+ äîäàòíà ìíîæèíà, à X+ âiä'¹ìíà, áóäå ν+ (A) ≥ 0, ν− (A) ≥ 0. Òàêîæ ν(A) = ν(A ∩ X+ ) + ν(A ∩ X− ) = ν+ (A) − ν− (A). Ç σ -àäèòèâíîñòi ν ëåãêî îòðèìó¹òüñÿ σ -àäèòèâíiñòü ν+ i ν− . Âñi çíà÷åííÿ ν− ñêií÷åííi, îñêiëüêè ν(A ∩ X− ) > −∞. ßêùî âñi ν(A) S < +∞, òî ν+ (A) = ν(A) + ν− (A) < +∞, i ìiðà ν+ ñêií÷åííà. ßêùî X = ∞ n=1 Xn , ν(Xn ) < +∞, òî, ÿê ìè òiëüêè ùî ïîêàçàëè, ν+ (Xn ) < +∞ , i ìiðà ν+ σ -ñêií÷åííà.

Çàóâàæåííÿ 5.1. Ðîçêëàä Ãàíà, âçàãàëi êàæó÷è, íå ¹äèíèé. Çîêðåìà, â ïðèêëàäi 5.2 ìîæíà âçÿòè X+ = {xk : ak > 0} àáî X+ = X \ {xk : ak < 0}, i ïîòiì ïîêëàñòè X− = X \ X+ . 63

Çàóâàæåííÿ 5.2. Ðîçêëàä Æîðäàíà ¹äèíèé. Ïîêàæåìî öå. Ïðèïóñòèìî, ùî X = X+ ∪ X− = X0+ ∪

X0− äâà ðiçíèõ ðîçêëàäè Ãàíà, i ðàçîì ç ìiðàìè ν+ , ν− ç (5.3) ðîçãëÿíåìî äðóãèé ðîçêëàä Æîðäàíà 0 ν+ (A) = ν(A ∩ X0+ ),

0 ν− (A) = −ν(A ∩ X0− ) .

Òîäi

ν+ (A) = ν(A ∩ X+ ) = ν(A ∩ X+ ∩ X0+ ) + ν(A ∩ X+ ∩ X0− ) = ν(A ∩ X+ ∩ X0+ ), 0 ν+ (A) = ν(A ∩ X0+ ) = ν(A ∩ X+ ∩ X0+ ) + ν(A ∩ X− ∩ X0+ ) = ν(A ∩ X+ ∩ X0+ ), 0 ν+ (A) = ν+ (A),

0 0 ν− (A) = ν+ (A) − ν(A) = ν+ (A) − ν(A) = ν− (A).

(òóò âðàõîâàíî, ùî ìíîæèíè A ∩ X+ ∩ X0− i A ∩ X− ∩ X0+ ¹ äîäàòíèìè i âiä'¹ìíèìè îäíî÷àñíî, òîìó ìàþòü çàðÿä ðiâíèé íóëþ).

Îçíà÷åííÿ 5.3. Ïîâíîþ âàðiàöi¹þ çàðÿäó ν íàçèâà¹òüñÿ ìiðà |ν| = ν+ + ν− . Çàóâàæåííÿ 5.2 ïîêàçó¹, ùî öå îçíà÷åííÿ ¹ êîðåêòíèì.

Ïðèêëàä 5.4. Íåõàé ôóíêöiÿ f : X → R ¹ òàêîþ, ùî âèçíà÷åíî

Òîäi ôóíêöiÿ ìíîæèí

R

Xf

dλ, ïðè÷îìó

R

X f− dλ

< +∞.

Z ν(A) =

f dλ,

A ∈ F,

A

¹ σ -àäèòèâíîþ íà F (äèâ. âëàñòèâiñòü 7 ç ïóíêòó 4.4). Òàêîæ Z Z ν(A) ≥ (−f− ) dλ ≥ (−f− ) dλ > −∞, A

X

òîìó ν çàðÿä. Ïðåäñòàâëåííÿ

X = {x : f (x) ≥ 0}

[ {x : f (x) < 0}

¹ ðîçáèòòÿì X íà äîäàòíó i âiä'¹ìíó ìíîæèíó, i òîìó ¹ ðîçêëàäîì Ãàíà äëÿ äàíîãî çàðÿäó. Âiäïîâiäíèé ðîçêëàä Æîðäàíà: Z Z Z ν+ (A) = ν(A ∩ X+ ) = f dλ = f 1{f ≥0} dλ = f+ dλ, A∩{f ≥0} A A Z Z Z ν− (A) = −ν(A ∩ X− ) = − f dλ = (−f )1{f 0.

Âçÿâøè A â (5.12), ìè á îòðèìàëè

|ν|(A) ≤ (−1/n)λ(A) < 0, ùî íåìîæëèâî äëÿ ìiðè |ν|. Òàêîæ áóäå f ≤ 1 (mod λ). Àíàëîãi÷íî, ÿêáè öå áóëî íå âiðíî, äëÿ äåÿêîãî n ≥ 1 áóëî á

A = {x ∈ X : f (x) ≥ 1 + 1/n},

λ(A) > 0.

Äëÿ A â (5.12), ìè á îòðèìàëè

|ν|(A) ≥ (1 + 1/n)λ(A) = (1 + 1/n)(|ν|(A) + λ(A)), ùî íåìîæëèâî. Ïîêëàäåìî

X1 = {x ∈ X : 0 ≤ f (x) < 1},

X2 = {x ∈ X : f (x) = 1}, ν1 (A) = ν(A ∩ X1 ),

ν2 (A) = ν(A ∩ X2 ),

A ∈ F. (5.13)

Òîäi

X = X1 ∪ X2 , Ìè ìà¹ìî

Z |ν|(A ∩ X1 ) = Z

(∗)

ν = ν1 + ν2 . Z

Z

f dµ = A∩X1

f d|ν| + A∩X1

Z

(1 − f ) d|ν| = A∩X1

f dλ ⇔ A∩X1

(5.14)

f dλ. A∩X1

Ðiâíiñòü (*) äëÿ µ = |ν| + λ i íåâiä'¹ìíî¨ f ëåãêî îá ðóíòîâó¹òüñÿ ñòàíäàðòíèìè ìåòîäàìè ÷åðåç âèêîðèñòàííÿ ïðîñòèõ ôóíêöié. Îñêiëüêè |ν|, λ, µ ñêií÷åííi, òî çàïèñàíi â iíòåãðàëàõ ôóíêöi¨ ¹ iíòåãðîâíèìè, ëiíiéíiñòü iíòåãðàëiâ ñïðàâäæó¹òüñÿ. ßêùî λ(A) = 0, ç (5.14) ìè ìà¹ìî, ùî

Z (1 − f ) d|ν| = 0, A∩X1

1 − f > 0 íà A ∩ X1

Âëàñò. 11 iíòåãðàëà

=⇒

1−f =0

(mod |ν|) íà A ∩ X1 .

Òóò ç îäíîãî áîêó 1 − f > 0 â óñiõ òî÷êàõ A ∩ X1 , à ç iíøîãî 1 − f 6= 0 ìîæëèâî ëèøå íà ìíîæèíi íóëüîâî¨ ìiðè |ν|. Òîìó

|ν|(A ∩ X1 ) = 0 ⇒ ν(A ∩ X1 ) = 0 ⇔ ν1 (A) = 0. Çíà÷èòü, ν1 λ. 68

Äîâåäåìî, ùî ν2 ⊥ λ. Ìè ïåðåâiðèìî îçíà÷åííÿ 5.5 äëÿ B = X2 . Î÷åâèäíî, ùî äëÿ (5.15)

∀ A ∈ F, A ⊂ (X \ X2 ) : ν2 (A) = 0. Ïiäñòàâèìî â (5.12) A = X2 . Îñêiëüêè f = 1 íà X2 , ìè îòðèìà¹ìî

|ν|(X2 ) = µ(X2 ) = |ν|(X2 ) + λ(X2 ) ⇒ λ(X2 ) = 0 (òóò âàæëèâî, ùî |ν|(X2 ) < +∞). Êðîê 2. Îá ðóíòó¹ìî ¹äèíiñòü ðîçêëàäó. Íåõàé ìè ìà¹ìî ùå îäèí ðîçêëàä:

ν = η1 + η2 ,

η1 λ,

η2 ⊥ λ.

Êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì 5.5, âiçüìåìî ìíîæèíó B ∈ F òàêó, ùî

λ(B) = 0, ∀ C ∈ F, C ⊂ (X \ B) : η2 (C) = 0 .

(5.16)

Òàêîæ äëÿ äîâiëüíî¨ C ∈ F ìè ìà¹ìî

ν(C) = η1 (C) + η2 (C) = ν1 (C) + ν2 (C)

⇒

η1 (C) − ν1 (C) = ν2 (C) − η2 (C) (îñêiëüêè çíà÷åííÿ ν1 i ν2 ñêií÷åííi, òàêå ïåðåòâîðåííÿ ðiâíîñòi ¹ ìîæëèâèì). Ðîçãëÿíåìî äîâiëüíó A ∈ F . Ç (5.15) i (5.16) âèïëèâà¹, ùî (5.17) ν2 A \ (X2 ∪ B) = η2 A \ (X2 ∪ B) = 0 =⇒ ν1 A \ (X2 ∪ B) = η1 A \ (X2 ∪ B) . Òàêîæ

ν1 ,η1 λ λ A ∩ (X2 ∪ B) ≤ λ(X2 ) + λ(B) = 0 =⇒ ν1 A ∩ (X2 ∪ B) = η1 A ∩ (X2 ∪ B) = 0.

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Äîäàâøè (5.18) i (5.19), ìè îòðèìà¹ìî, ùî η1 (A) = ν1 (A). Ç (5.17) ìà¹ìî, ùî η2 (A) = ν2 (A), i òîìó äâà äàíi ðîçêëàäè ñïiâïàäàþòü. Êðîê 3. Íåõàé ν i λ σ -ñêií÷åííi. ßê i â (5.10), ïîáóäó¹ìî íàáið íåïåðåòèííèõ ìíîæèí Vn ∈ F , S V n ≥ 1 íà êîæíié ç ÿêèõ ν i λ ñêií÷åííi, X = ∞ n=1 n . (1) (2) Àíàëîãi÷íî (5.13), äëÿ êîæíî¨ Vn âiçüìåìî ðîçêëàä Vn = Vn ∪ Vn i äëÿ A ∈ F ïîêëàäåìî νn(1) (A) = ν A ∩ Vn(1) , νn(2) (A) = ν A ∩ Vn(2) , (1)

(2)

äå νn λ, νn ⊥ λ íà ïiäìíîæèíàõ Vn . Âèçíà÷èìî

ν1 (A) = ν2 (A) =

∞ X n=1 ∞ X

∞ \[ ν A ∩ Vn(1) = ν A Vn(1) , n=1 ∞ \[ ν A ∩ Vn(2) = ν A Vn(2) .

n=1

n=1

Ìà¹ìî ν1 λ, àäæå äëÿ áóäü-ÿêî¨ ìíîæèíè A ç λ(A) = 0 áóäå (1) ν λ λ A ∩ Vn(1) = 0 n=⇒ νn(1) (A) = ν A ∩ Vn(1) = 0 ⇒ ν1 (A) = 0. (2) (2) Òàêîæ ν2 ⊥ λ, îñêiëüêè, çà âèçíà÷åííÿì ìíîæèí Vn , âñi λ Vn = 0, òîìó äëÿ ν2 i λ ñïðàâäæó¹òüñÿ S (2) îçíà÷åííÿ 5.5 ç B = ∞ n=1 Vn . Ïîêàæåìî, ùî ðîçêëàä ¹äèíèé. Íåõàé

ν = η1 + η2 ,

η1 λ,

η2 ⊥ λ.

Òîäi äëÿ çâóæåíü çàïèñàíèõ òóò ôóíêöié ìíîæèí íà Vn òàêîæ áóäå η1 λ, η2 ⊥ λ. Ç âiäìi÷åííî¨ â êðîöi 2 ¹äèíîñòi ðîçêëàäó ìè îòðèìó¹ìî, ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ A ∈ F η1 ( A ∩ Vn ) = ν1 ( A ∩ Vn ), η2 ( A ∩ Vn ) = ν2 ( A ∩ Vn ). Âçÿâøè ñóìó ïî n ≥ 1, áóäåìî ìàòè η1 (A) = ν1 (A), η2 (A) = ν2 (A). 69

5.4 Àáñîëþòíî íåïåðåðâíi ôóíêöi¨ íà [a, b] Íåõàé ôóíêöiÿ f : [a, b] → R ìà¹ îáìåæåíó âàðiàöiþ íà [a, b] (ìíîæèíó âñiõ òàêèõ ôóíêöié ìè áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç BV([a, b]), âiäïîâiäíi îçíà÷åííÿ òà âëàñòèâîñòi âàðiàöi¨ äèâ., íàïðèêëàä, â [6, 9.2]). ×åðåç V(f, [c, d]) ìè áóäåìî ïîçíà÷àòè âåëè÷èíó âàðiàöi¨ f íà [c, d]. Ðîçãëÿíåìî äâi ôóíêöi¨

F (x) = V(f, [a, x]),

F1 (x) = F (x) − f (x),

x ∈ [a, b].

Âiäîìî, ùî ôóíêöi¨ F òà F1 íåñïàäíi, ìè ìà¹ìî f = F − F1 . ßêùî F òà F1 íåïåðåðâíi ñïðàâà, âîíè âèçíà÷àþòü ìiðè ËåáåãàÑòiëòü¹ñà λF i λF1 íà ïiäìíîæèíàõ [a, b] (äèâ. ïóíêò 2.6), öi ìiðè áóäóòü ñêií÷åííèìè. Äëÿ ôîðìàëüíî íåîáõiäíîãî âèçíà÷åííÿ ôóíêöié F òà F1 íà âñüîìó R ìîæåìî ïîêëàñòè

F (x) = F (a),

F1 (x) = F1 (a),

x < a,

F (x) = F (b),

F1 (x) = F1 (b),

x > b,

ïðè öüîìó ìîíîòîííiñòü i íåïåðåðâíiñòü ñïðàâà çáåðiãàþòüñÿ. Ìè ìîæåìî âèçíà÷èòè ñêií÷åííèé çàðÿä νf = λF − λF1 íà áîðåëüîâié σ -àëãåáði B (a, b] . Òîäi ìà¹ìî νf (c, d] = λF (c, d] − λF1 (c, d] = F (d) − F (c) − F1 (d) − F1 (c) = f (d) − f (c). (5.20) Íàøà ïîäàëüøà ìåòà ç'ÿñóâàòè, ïðè ÿêèõ óìîâàõ νf àáñîëþòíî íåïåðåðâíèé âiäíîñíî ìiðè Ëåáåãà λ1 . Äëÿ öüîãî ìè ââåäåìî íàñòóïíå ïîíÿòòÿ.

Îçíà÷åííÿ 5.6. Ôóíêöiÿ f : [a, b] → R íàçèâà¹òüñÿ àáñîëþòíî íåïåðåðâíîþ íà âiäðiçêó [a, b], ÿêùî ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ (ak , bk ) ⊂ [a, b], 1 ≤ k ≤ n (íåïåðåòèííèõ), n ≥ 1 : n n X X f (bk ) − f (ak ) < ε . (5.21) (bk − ak ) < δ ⇒ k=1

k=1

Â öüîìó âèïàäêó áóäåìî âæèâàòè ïîçíà÷åííÿ f ∈ AC([a, b]).

Ïðèêëàä 5.6. Íåõàé f çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó Ëiïøèöÿ íà [a, b], f (x) − f (y) ≤ L|x − y|,

x, y ∈ [a, b].

Òîäi f ∈ AC([a, b]). Äîñòàòíüî â (5.21) ïîêëàñòè δ = ε/L, i ìè áóäåìî ìàòè n n X X f (bk ) − f (ak ) ≤ L|bk − ak | < Lδ = ε. k=1

k=1

Âëàñòèâîñòi ôóíêöié, àáñîëþòíî íåïåðåðâíèõ íà [a, b]. 1. f ∈ AC([a, b]) ⇒ cf ∈ AC([a, b]). Äîâåäåííÿ. Âèïàäîê c = 0 ¹ î÷åâèäíèì, íåõàé c 6= 0. Âiçüìåìî â îçíà÷åííi 5.6 δ > 0 òàêå, ùî n n X X f (bk ) − f (ak ) < ε . (bk − ak ) < δ ⇒ |c| k=1

k=1

Òîäi äëÿ ôóíêöi¨ cf áóäå ñïðàâäæóâàòèñü (5.21) ç äàíèìè δ , ε.

2. f, g ∈ AC([a, b]) ⇒ f + g ∈ AC([a, b]).

70

Äîâåäåííÿ. Â îçíà÷åííi 5.6 âèáåðåìî δ1 , δ2 > 0 òàêi, ùî n n X X f (bk ) − f (ak ) < ε , (bk − ak ) < δ1 ⇒ 2 k=1 n X

k=1 n X

k=1

k=1

(bk − ak ) < δ2 ⇒

Ïîêëàäåìî δ = min{δ1 , δ2 }. Òîäi, ÿêùî íåðiâíîñòi, i ìè îòðèìà¹ìî, ùî

Pn

k=1 (bk

g(bk ) − g(ak ) < ε . 2

− ak ) < δ , òî ñïðàâäæóþòüñÿ âñi çàïèñàíi òóò

n X (f (bk ) + g(bk )) − (f (ak ) + g(ak )) < ε . k=1

3. f ∈ AC([a, b]) ⇒ f ∈ C([a, b]). Äîâåäåííÿ. Ïðè n = 1 (5.21) ïåðåòâîðþ¹òüñÿ íà îçíà÷åííÿ ðiâíîìiðíî¨ íåïåðåðâíîñòi f íà [a, b]. Â íàñòóïíèõ äîïîìiæíèõ òâåðäæåííÿõ ìè îòðèìà¹ìî çâ'ÿçîê ìiæ âëàñòèâîñòÿìè ôóíêöi¨ òà âëàñòèâîñòÿìè ¨¨ âàðiàöi¨.

Ëåìà 5.2. Íåõàé f ∈ BV([a, b]) i f íåïåðåðâíà ñïðàâà â òî÷öi x0 ∈ [a, b). Òîäi ôóíêöiÿ F (x) =

V(f, [a, x]) íåïåðåðâíà ñïðàâà â x0 .

Äîâåäåííÿ. Äëÿ äîâiëüíîãî ε > 0 âiçüìåìî ðîçáèòòÿ x0 < x1 < · · · < xn = b òàêå, ùî V(f, [x0 , b]) −

n X f (xk ) − f (xk−1 ) < ε .

(5.22)

k=1

Îñêiëüêè f íåïåðåðâíà ñïðàâà â x0 , ìà¹ìî

∃ δ > 0 ∀ x ∈ (x0 , x0 + δ) : |f (x) − f (x0 )| < ε. Ìè ìîæåìî ââàæàòè, ùî x1 ∈ (x0 , x0 + δ) (ÿêùî öå íå òàê, ìè ìîæåìî äîäàòè âiäïîâiäíó òî÷êó äî ðîçáèòòÿ ìiæ x0 i x1 , ïðè öüîìó ñóìà â (5.22) ìîæå ëèøå çáiëüøèòèñü, íåðiâíiñòü áóäå ñïðàâäæóâàòèñü). Òîäi n X f (x1 ) − f (x0 ) < ε (5.22) f (xk ) − f (xk−1 ) < 2ε, =⇒ V(f, [x0 , b]) −

(5.23)

k=2 n X f (xk ) − f (xk−1 ) ≤ V(f, [x1 , b]) (5.23) =⇒ V(f, [x0 , b]) − V(f, [x1 , b]) < 2ε ⇔ k=2 F↑

V(f, [x0 , x1 ]) = F (x1 ) − F (x0 ) < 2ε =⇒ F (x) − F (x0 ) < 2ε, x ∈ (x0 , x1 ).

Ëåìà 5.3. Íåõàé f ∈ AC([a, b]). Òîäi f ∈ BV([a, b]). Äîâåäåííÿ. Ïðèïóñòèìî, ùî âàðiàöiÿ f íåîáìåæåíà. Òîäi ∀ j ≥ 1 ∃ a = x0 < x1 < · · · < xn = b :

n X f (xk ) − f (xk−1 ) ≥ j.

(5.24)

k=1

Äî âêàçàíîãî ðîçáèòòÿ äîäàìî òî÷êè

a + (b − a)i/j,

1 ≤ i ≤ j − 1,

ïðè öüîìó ñóìà â (5.24), âçÿòà äëÿ íîâîãî ðîçáèòòÿ, áóäå íå ìåíøîþ, i íåðiâíiñòü â (5.24) ñïðàâäæó¹òüñÿ. Äîäàíi òî÷êè ðîçáèâàþòü âiäðiçîê íà j ðiâíèõ ÷àñòèí, äëÿ ñóìè ïî âiäðiçêàõ õî÷à á ç îäíi¹¨ ç öèõ ÷àñòèí ìè áóäåìî ìàòè X f (xk ) − f (xk−1 ) ≥ 1. 71

Ïðè öüîìó ñóìà äîâæèí öèõ âiäðiçêiâ X xk − xk−1 = (b − a)/j,

j ìè ìîæåìî âçÿòè ÿê çàâãîäíî âåëèêèì. Òîäi îçíà÷åííÿ 5.6 íå ñïðàâäæó¹òüñÿ ïðè ε = 1.

Ëåìà 5.4. Íåõàé f ∈ AC([a, b]), F (x) = V(f, [a, x]). Òîäi F ∈ AC([a, b]). Äîâåäåííÿ. Ç ëåìè 5.3 âèïëèâà¹, ùî ôóíêöiÿ F âèçíà÷åíà i ñêií÷åííà. Âiçüìåìî ε, δ , (ak , bk ) ç îçíà÷åííÿ 5.6, i ðîçãëÿíåìî n n X X F (bk ) − F (ak ) = V(f, [ak , bk ]). k=1

(5.25)

k=1

Êîæíå çíà÷åííÿ âàðiàöi¨ V(f, [ak , bk ]) ìè ìîæåìî íàáëèçèòè ñóìàìè ìîäóëiâ ïðèðîñòiâ íà íåïåðåòèííèõ âiäðiçêàõ:

V(f, [ak , bk ]) −

ik X (i) f (b ) − f (a(i) ) < ε , k k n

(i)

(i)

ak , b k

⊂ [ak , bk ].

(5.26)

i=1

Òîäi ik n X n X (i) X (5.21) b − a(i) ≤ (bk − ak ) < δ =⇒ k k k=1 i=1

k=1 ik n X n X (i) ,(5.26) X f (b ) − f (a(i) ) < ε (5.25) F (bk ) − F (ak ) < 2ε, =⇒ k k k=1 i=1

k=1

i îñòàííÿ íåðiâíiñòü ñïðàâäæó¹òüñÿ, ÿê òiëüêè

Pn

k=1 (bk

− ak ) < δ . Òîìó F ∈ AC([a, b]).

Òàêîæ íàì áóäå ïîòðiáíå ùå îäíå äîïîìiæíå òâåðäæåííÿ.

Ëåìà 5.5. Íåõàé λ ìiðà íà σ -àëãåáði F , µ ñêií÷åííà ìiðà íà F . Íàñòóïíi òâåðäæåííÿ åêâiâàëåíòíi: 1) µ λ. 2) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ A ∈ F, λ(A) < δ : µ(A) ≤ ε. Äîâåäåííÿ. 1) ⇒ 2). Ïðèïóñòèìî, ùî 2) íå ñïðàâäæó¹òüñÿ, òîáòî ∃ ε0 > 0 ∀ δ > 0 ∃ A ∈ F, λ(A) < δ : µ(A) > ε0 . Âèêîðèñòîâóþ÷è öå äëÿ δ = 2−n , n ≥ 1, âiçüìåìî An òàêi, ùî λ(An ) < 2−n , µ(An ) > ε0 . Ïîêëàäåìî T∞ S∞ A = n=1 k=n Ak . Äëÿ êîæíîãî n ≥ 1 ìà¹ìî ∞ ∞ ∞ [ X X λ(A) ≤ λ Ak ≤ λ(Ak ) < 2−k = 21−n ⇒ λ(A) = 0. k=n

k=n

k=n

Ç iíøîãî áîêó, âèêîðèñòîâóþ÷è òåîðåìó 2.2 ïðî íåïåðåðâíiñòü ìiðè çâåðõó i ñêií÷åííiñòü µ, îòðèìó¹ìî ∞ ∞ [ [ µ(A) = lim µ Ak , µ Ak ≥ µ(An ) > ε0 ⇒ µ(A) ≥ ε0 . n→∞

k=n

k=n

Çíà÷åííÿ ìið ìíîæèíè A äàþòü ñóïåðå÷íiñòü ç óìîâîþ µ λ. 2) ⇒ 1). Íåõàé λ(A) = 0, òîäi A çàäîâîëüíÿ¹ 2) äëÿ áóäü-ÿêîãî δ > 0. Òîìó ìà¹ áóòè µ(A) ≤ ε äëÿ äàíî¨ A äëÿ êîæíîãî ε > 0. Çíà÷èòü, µ(A) = 0, i µ λ.

72

5.5 Àáñîëþòíà íåïåðåðâíiñòü âiäíîñíî ìiðè Ëåáåãà íà [a, b] Äëÿ ôóíêöi¨ f : [a, b] → R ìè áóäåìî ðîçãëÿäàòè çàðÿä νf íà B (a, b] , ïîðîäæåíèé çà öi¹þ ôóíêöi¹þ, ÿê öå ïîêàçàíî íà ïî÷àòêó ïóíêòó 5.4.

Òåîðåìà 5.4. Íåõàé ôóíêöiÿ f : [a, b] → R ìà¹ îáìåæåíó âàðiàöiþ i íåïåðåðâíà ñïðàâà íà [a, b]. Òîäi äëÿ çàðÿäó νf íàñòóïíi òâåðäæåííÿ åêâiâàëåíòíi: 1) νf λ1 ; 2) f ∈ AC([a, b]).

Äîâåäåííÿ. Îñêiëüêè f íåïåðåðâíà ñïðàâà, òî íåïåðåðâíèìè ñïðàâà ¹ F (x) = V(f, [a, x]) (çà ëåìîþ 5.2) i F1 (x) = F (x) − f (x) (ÿê ðiçíèöÿ íåïåðåðâíèõ ñïðàâà ôóíêöié). Òîìó êîðåêòíî âèçíà÷åíèìè ¹ ìiðè ËåáåãàÑòiëòü¹ñà λF i λF1 òà çàðÿä νf = λF − λF1 . Êðîê 1. 1) ⇒ 2). Îñêiëüêè νf λ1 , äëÿ âàðiàöi¨ çàðÿäó ìè òàêîæ ìà¹ìî νf λ1 (ëåìà 5.1). Òîäi ëåìà 5.5 íàì äà¹, ùî ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ A ∈ F, λ1 (A) < δ : |νf |(A) < ε. S Âiçüìåìî òóò A = nk=1 (ak , bk ], äå (ak , bk ] ⊂ (a, b] äîâiëüíi íåïåðåòèííi (öå åêâiâàëåíòíî òîìó, ùî (ak , bk ) ⊂ [a, b] íåïåðåòèííi). Òîäi ç óìîâè n X λ1 (A) < δ ⇔ (bk − ak ) < δ k=1

âèïëèâà¹, ùî

|νf |(A) < ε ⇔

n X

n n X (∗) X νf (ak , bk ] < ε (5.20) f (bk ) − f (ak ) < ε |νf | (ak , bk ] < ε ⇒ ⇐⇒ k=1

k=1

k=1

(â (*) ìè âèêîðèñòàëè, ùî |νf (B)| ≤ |νf |(B) äëÿ äîâiëüíî¨ ìíîæèíè B ). Òàêèì ÷èíîì, äëÿ öèõ δ i ε ñïðàâäæó¹òüñÿ (5.21), i òîìó f ∈ AC([a, b]). Êðîê 2. 2) ⇒ 1), f íåñïàäíà. Â öüîìó âèïàäêó

F (x) = f (x) − f (a),

F1 (x) = f (a) = const,

λF1 = 0,

νf = λF ,

νf ¹ ìiðîþ. Âiçüìåìî ε i δ , ùî çàäîâîëüíÿþòü (5.21) â îçíà÷åííÿ àáñîëþòíî¨ íåïåðåðâíîñòi f . Âiçüìåìî äîâiëüíó A ∈ B (a, b] , λ1 (A) < δ . Çíà÷åííÿ ìiðè Ëåáåãà λ1 ñïiâïàäà¹ iç çíà÷åííÿì âiäïîâiäíî¨ çîâíiøíüî¨ ìiðè λ∗1 (äèâ. ïóíêò 2.6). Âðàõîâóþ÷è çàóâàæåííÿ 2.3, âiçüìåìî íåïåðåòèííi (ak , bk ] ⊂ (a, b] òàêi, ùî A⊂

∞ [

(ak , bk ],

k=1

Òîäi

n X

∀n ≥ 1 :

∞ X

∞ X (bk − ak ) < δ. λ1 (ak , bk ] =

k=1

k=1 n X f (bk ) − f (ak ) < ε.

(5.21)

(bk − ak ) < δ =⇒

k=1

k=1

Ñïðÿìóâàâøè n → ∞, îòðèìà¹ìî ∞ ∞ X X f (bk ) − f (ak ) ≤ ε ⇔ νf (ak , bk ] ≤ ε ⇔ k=1 ∞ [

νf

(ak , bk ] ≤ ε,

A⊂

k=1

k=1 ∞ [

(ak , bk ] ⇒ νf (A) ≤ ε.

k=1

Ç ëåìè 5.5 ìè îòðèìó¹ìî, ùî νf λ1 . Êðîê 3. 2) ⇒ 1), f íå îáîâ'ÿçêîâî íåñïàäíà. Çà ëåìîþ 5.4, F ∈ AC([a, b]). Òîäi âëàñòèâîñòi 1 i 2 àáñîëþòíî íåïåðåðâíèõ ôóíêöié äëÿ F1 = F − f äàþòü, ùî F1 ∈ AC([a, b]). Ç êðîêó 2 ìà¹ìî, ùî λF λ1 , λF1 λ1 . Òîìó äëÿ νf = λF − λF1 îòðèìó¹ìî, ùî νf λ1 . 73

Ïðèêëàä 5.7. Íåõàé ôóíêöiÿ f : [a, b] → R íåïåðåðâíî äèôåðåíöiéîâàíà íà [a, b], |f 0 (x)| ≤ L < +∞. Ç ôîðìóëè Ëàãðàíæà ìè ìà¹ìî, ùî f (x) − f (y) = f 0 (θ)(x − y) ≤ L|x − y|,

x, y, θ ∈ [a, b].

Òîìó f çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó Ëiïøèöÿ, ïðèêëàä 5.6 ïîêàçó¹, ùî f ∈ AC([a, b]). Òîìó νf λ1 , i â öüîìó âèïàäêó f 0 ¹ âiäïîâiäíîþ ïîõiäíîþ ÐàäîíàÍèêîäèìà. Ìà¹ìî, ùî Z ∀ A ∈ B((a, b]) : νf (A) = f 0 (x) dλ1 A

(ïðè A = (c, d] ìà¹ìî ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöÿ, äâi ÷àñòèíè ðiâíîñòi ÿê äâi ìiðè áóäóòü ñïiâïàäàòè íà ïîðîäæåíié áîðåëüîâié σ -àëãåáði). Ùå îäíó âàæëèâó âëàñòèâiñòü àáñîëþòíî íåïåðåðâíèõ ôóíêöié ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöÿ â çàãàëüíîìó âèïàäêó ìè íàâåäåìî áåç äîâåäåííÿ. Òåîðåìà 5.5. 1) Íåõàé f ∈ AC([a, b]). Òîäi ∃ f 0 (x) (mod λ1 ) íà [a, b], f 0 ∈ L [a, b], λ1 , i ïðè öüîìó Z f (x) − f (a) = f 0 (t) dλ1 (t) , a ≤ x ≤ b. [a,x]

2) Íåõàé g ∈ L [a, b], λ1 , Z f (x) = [a,x]

g(t) dλ1 (t) ,

a ≤ x ≤ b.

Òîäi f ∈ AC([a, b]), f 0 (x) = g(x) (mod λ1 ) íà [a, b]. Äîâåäåííÿ òâåðäæåíü öi¹¨ òåîðåìè ìîæíà çíàéòè, íàïðèêëàä, â [3, ðîçäië 5], [8, ðîçäië 5], [10, ðîçäië 9].

Ïðèêëàä 5.8. (Ôóíêöiÿ Êàíòîðà.) Íàâåäåìî ïðèêëàä íåïåðåðâíî¨ íåñïàäíî¨ ôóíêöi¨ f : [0, 1] → [0, 1], ùî íå ¹ àáñîëþòíî íåïåðåðâíîþ íà [0, 1]. Íà ïåðøîìó êðîöi ïîêëàäåìî f (0) = 0,

f (1) = 1,

1 1 2 f (x) = , ≤ x ≤ . 2 3 3

Ôóíêöiÿ f çàëèøèëàñÿ íåâèçíà÷åíîþ íà äâîõ âiäðiçêàõ äîâæèíîþ 1/3 êîæåí. Íà äðóãîìó êðîöi â ñåðåäíié òðåòèíi êîæíîãî ç öèõ âiäðiçêiâ ïîêëàäåìî f ðiâíîþ ïiâñóììi ñóñiäíiõ çëiâà i ñïðàâà âæå âèçíà÷åíèõ çíà÷åíü f . Òîáòî âiçüìåìî

1 1 2 f (x) = , ≤ x ≤ , 4 9 9

3 7 8 f (x) = , ≤ x ≤ . 4 9 9

Ïðîäîâæèìî öåé ïðîöåñ íåñêií÷åííî. Ïåðåä êîæíèì n-ì êðîêîì ó íàñ áóäå 2n−1 âiäðiçêiâ, êîæåí äîâæèíè 3−(n−1) , äå ùå f íåâèçíà÷åíà. Ìè áóäåìî áðàòè ñåðåäíþ òðåòèíó êîæíîãî ç öèõ âiäðiçêiâ i âèçíà÷àòè òàì f ðiâíîþ ïiâñóìi ñóñiäíiõ ðàíiøå âèçíà÷åíèõ çíà÷åíü. Çíà÷åííÿ, ÿêi ìè áóäåìî íàäàâàòè f "çëiâà íàïðàâî"íà [0, 1] âiäïîâiäíî äîðiâíþþòü

1 3 2n − 1 , n, ..., . n 2 2 2n Ïiñëÿ öüîãî êðîêó ìiðà òî÷îê, äå f ùå íå âèçíà÷åíà, äîðiâíþ¹ (2/3)n . Â öiëîìó, çà öèì ïðàâèëîì ìè âèçíà÷èìî f â óñiõ òî÷êàõ âiäðiçêà [0, 1], êðiì ìíîæèíè ìiðè 0. Â çàëèøåíèõ òî÷êàõ ìè ïîêëàäåìî f (x) = sup{f (y) y < x, f (y) âèçíà÷åíà â îäíîìó ç êðîêiâ}. Ïiñëÿ êîæíîãî ç êðîêiâ îòðèìàíà f áóëà íåñïàäíîþ, òîìó i ïiñëÿ îñòàííüîãî âèçíà÷åííÿ âîíà íåñïàäíîþ i çàëèøèòüñÿ. 74

Ìà¹ìî, ùî f ∈ C([0, 1]), àäæå f íåñïàäíà, à ¨¨ ìíîæèíà çíà÷åíü ùiëüíà íà [0, 1] (äî íå¨ âõîäÿòü âñi äâiéêîâî-ðàöiîíàëüíi äðîáè k2−n ∈ [0, 1]). ßêáè â ÿêiéñü òî÷öi x ∈ [0, 1] f ìàëà á ñòðèáîê, ìè á îòðèìàëè iíòåðâàë ç [0, 1], ùî íå ìiñòèòü æîäíîãî çíà÷åííÿ f . Âiäìiòèìî, ùî f 0 (x) = 0 (mod λ1 ) íà [0, 1]. (Âíóòðiøíi òî÷êè âñiõ âiäðiçêiâ, äå ìè âèçíà÷àëè f ïðîòÿãîì íàøèõ êðîêiâ, ìàþòü çàãàëüíó ìiðó 1. Â îêîëi êîæíî¨ òàêî¨ òî÷êè x0 f ïîñòiéíà, òîìó f 0 (x0 ) = 0.) Ìà¹ìî, ùî Z

f (1) − f (0) = 1 6= [0,1]

f 0 (x) dλ1 = 0.

Îñêiëüêè íå ñïðàâäæó¹òüñÿ òâåðäæåííÿ òåîðåìè 5.5 1), f 6∈ AC([0, 1]).

Âïðàâè Âïðàâà 5.1. Ïîêàçàòè, ùî äëÿ ñêií÷åííîãî çàðÿäó ν ìàþòü ìiñöå àíàëîãè òåîðåì ïðî íåïåðåâíiñòü ìiðè: 1) An ∈ F, An ↑ A ⇒ ν(A) = limn→∞ ν(An ); 2) An ∈ F, An ↓ A ⇒ ν(A) = limn→∞ ν(An ). Âïðàâà 5.2. Íåõàé ν çàðÿä i λ ìiðà òàêi, ùî Z ν(A) = f dλ, A ∈ F. A

Äîâåñòè, ùî

Z |ν|(A) =

|f | dλ,

A ∈ F.

A

Âïðàâà 5.3. Íåõàé λ, µ i ν σ -ñêií÷åííi ìiðè òàêi, ùî µ λ i ν µ. Äîâåñòè, ùî dν dν dµ = · dλ dµ dλ

(mod λ) .

Âïðàâà 5.4. Íåõàé g ∈ L [a, b], λ1 ,

Z f (x) = [a,x]

g(t) dλ1 (t),

a ≤ x ≤ b.

Äîâåñòè, ùî f ∈ AC([a, b]). Âïðàâà 5.5. Íåõàé f : [0, 1] → [0, 1] ôóíêöiÿ Êàíòîðà (äèâ. ïðèêëàä 5.8), λf ïîðîäæåíà öi¹þ ôóíêöi¹þ ìiðà ËåáåãàÑòiëòü¹ñà íà B([0, 1]). Äîâåñòè, ùî λf ⊥ λ1 .

75

Ðîçäië 6

Iíòåãðóâàííÿ íà äîáóòêó ïðîñòîðiâ 6.1 Ìíîæèíè òà ôóíêöi¨ íà äîáóòêó ïðîñòîðiâ Íåõàé (X1 , F1 ) i (X2 , F2 ) äâà âèìiðíèõ ïðîñòîðè. Ìè ðîçãëÿíåìî äåêàðòiâ äîáóòîê X = X1 × X2 i, âèêîðèñòîâóþ÷è σ -àëãåáðè F1 i F2 , âèçíà÷èìî íà íüîìó íàñòóïíi êëàñè ìíîæèí.

Îçíà÷åííÿ 6.1. Âèìiðíèìè ïðÿìîêóòíèêàìè â X íàçèâà¹òüñÿ êëàñ ìíîæèí F1 × F2 := A1 × A2 , A1 ∈ F1 , A2 ∈ F2 . Íàáið ìíîæèí F1 × F2 ¹ ïiâêiëüöåì ÿê äåêàðòiâ äîáóòîê ïiâêiëåöü (äèâ. òåîðåìó 1.1), i íi÷îãî áiëüøîãî, âçàãàëi êàæó÷è, ïðî öåé êëàñ ìè ñòâåðäæóâàòè íå ìîæåìî. σ -àëãåáðó íà X ìè âèçíà÷èìî íàñòóïíèì ÷èíîì.

Îçíà÷åííÿ 6.2. Äîáóòêîì σ -àëãåáð F1 i F2 íàçèâà¹òüñÿ êëàñ ìíîæèí F1 ⊗F2 := σa(F1 × F2 ). Ðîçãëÿíåìî äîáóòîê áîðåëüîâèõ σ -àëãåáð â Rd . Íàãàäà¹ìî, ùî, çà òåîðåìîþ 1.6, d

B R

= σa(Pd ), äå Pd =

d nY

o ak , bk ak , bk ∈ R .

k=1

Òåîðåìà 6.1. B R

m+n

= B Rm ⊗B Rn .

Äîâåäåííÿ. Ç îäíîãî áîêó, ìà¹ìî m+n Y

(ak , bk ] =

m Y

m+n Y (ak , bk ] × (ak , bk ] ∈ B Rm ×B Rn ,

k=1 m

k=1

k=m+1 m

×B R ⊂ B R ⊗B Rn − σ − àëãåáðà ⇒ σa Pm+n =B Rm+n ⊂ B Rm ⊗B Rn .

Pm+n ⊂ B R

n

(6.1)

Òåïåð îòðèìà¹ìî âêëþ÷åííÿ â iíøèé áiê. m Y

m+n m+n Y Y (ak , bk ] × (ak , bk ] = (ak , bk ] ∈ B Rm+n .

k=1

Äëÿ äîâiëüíîãî ôiêñîâàíîãî

k=m+1

Qm+n

k=m+1 (ak , bk ]

(6.2)

k=1

ðîçãëÿíåìî êëàñ ìíîæèí

m+n Y m H1 = A ∈ B R : A × (ak , bk ] ∈ B Rm+n .

(6.3)

k=m+1

Ç (6.2) âèïëèâà¹, ùî H1 ⊃ Pm . Ñòàíäàðòíèìè äiÿìè ëåãêî ïåðåâiðÿ¹òüñÿ, ùî H1 çàìêíåíèé âiäíîñíî âçÿòòÿ çëi÷åííîãî îá'¹äíàííÿ òà ðiçíèöi ìíîæèí, i òîìó ¹ σ -àëãåáðîþ. Çíà÷èòü, H1 ⊃ σa Pm = B Rm . 76

Òåïåð äëÿ äîâiëüíî¨ ôiêñîâàíî¨ A ∈ B Rm = H1 âiçüìåìî êëàñ ìíîæèí H2 = B ∈ B Rn : A × B ∈ B Rm+n . Ç (6.3) ìà¹ìî, ùî H2 ⊃ Pn . Ñòàíäàðòíèì ÷èíîì ïåðåâiðÿ¹òüñÿ, ùî H2 σ -àëãåáðà, òîìó H2 ⊃ σa Pn = B Rn . Öå îçíà÷à¹, ùî

∀A ∈ B Rm , B ∈ B Rn : A × B ∈ B Rm+n ⇔ B Rm × B Rn ⊂ B Rm+n − σ − àëãåáðà ⇒ σa B Rm × B Rn = B Rm ⊗ B Rn ⊂ B Rm+n .

(6.4)

Ç äâîõ ïðîòèëåæíèõ âêëþ÷åíü (6.1) i (6.4) âèïëèâà¹ òâåðäæåííÿ òåîðåìè. Íåõàé E ⊂ X, x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 .

Îçíà÷åííÿ 6.3. x1 -ïåðåðiçîì ìíîæèíè E ⊂ X íàçèâà¹òüñÿ

Ex1 = x2 ∈ X2 : (x1 , x2 ) ∈ E .

x2 -ïåðåðiçîì ìíîæèíè E ⊂ X íàçèâà¹òüñÿ Ex2 = x1 ∈ X1 : (x1 , x2 ) ∈ E .

Ïðèêëàä 6.1. Íåõàé E âèìiðíèé ïðÿìîêóòíèê, E = E1 × E2 , E1 ∈ F1 , E2 ∈ F2 . Òîäi

Ex1 =

E2 , x1 ∈ E1 , ∅, x1 6∈ E1 ,

Ex2 =

E1 , x2 ∈ E2 , ∅, x2 6∈ E2 .

Âiäìiòèìî, ùî çàâæäè Ex1 ∈ F2 , Ex2 ∈ F1 .

Ëåìà 6.1. Íåõàé E ∈ F1 ⊗ F2 . Òîäi ∀ x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 : Ex1 ∈ F2 ,

Ex2 ∈ F1 .

Äîâåäåííÿ. Äîâåäåìî, íàïðèêëàä, ùî Ex1 ∈ F2 . Ðîçãëÿíåìî êëàñ ìíîæèí H = E ∈ F1 ⊗ F2 ∀ x1 ∈ X1 : Ex1 ∈ F2 . Ïðèêëàä 6.1 ïîêàçó¹, ùî êëàñ âèìiðíèõ ïðÿìîêóòíèêiâ F1 × F2 ⊂ H. Êðiì òîãî, H σ -àëãåáðà. Àäæå äëÿ äîâiëüíèõ E (n) ∈ H, n ≥ 1 ìè ìà¹ìî ∞ ∞ [ [ E (n) = E (n) x1 ∈ F2 n=1

x1

n=1

ÿê îá'¹äíàííÿ åëåìåíòiâ σ -àëãåáðè F2 . Àíàëîãi÷íî E (1) \ E (2) x1 = E (1) x1 \ E (2) x1 ∈ F2

⇒

E (1) \ E (2) ∈ H.

Çíà÷èòü, H ⊃ σa(F1 × F2 ) = F1 ⊗ F2 . Äàëi äëÿ ôóíêöi¨ f : X1 × X2 → R,÷åðåç fx1 (x2 ) áóäåìî ïîçíà÷àòè ôóíêöiþ f (x1 , x2 ), â ÿêié x1 ââàæà¹òüñÿ ôiêñîâàíèì, x2 àðãóìåíòîì. Àíàëîãi÷íî fx2 (x1 ) ïîçíà÷à¹ ôóíêöiþ f , â ÿêié ôiêñîâàíèì ¹ x2 .

Ëåìà 6.2. Íåõàé ôóíêöiÿ f : X → R F1 ⊗ F2 -âèìiðíà. Òîäi ∀ x1 ∈ X1 : fx1 F2 − âèìiðíà,

∀ x2 ∈ X2 : fx2 F1 − âèìiðíà.

Äîâåäåííÿ. Äëÿ äîâiëüíèõ B ∈ B(R), x1 ∈ X1 ìà¹ìî fx−1 (B) = x2 ∈ X2 : f (x1 , x2 ) ∈ B = x2 ∈ X2 : (x1 , x2 ) ∈ f −1 (B) = f −1 (B) x1 . 1 Ç âèìiðíîñòi f âèïëèâà¹, ùî f −1 (B) ∈ F1 ⊗ F2 , çà ëåìîþ 6.1 f −1 (B) x1 ∈ F2 , i òàê ìè îòðèìó¹ìî âêàçàíó âèìiðíiñòü fx1 . Àíàëîãi÷íî îòðèìó¹ìî âèìiðíiñòü fx2 : fx−1 (B) = f −1 (B) x2 ∈ F1 . 2 77

6.2 Äîáóòîê ìið Òåïåð ìè ðîçãëÿíåìî ìiðó íà äîáóòêó ïðîñòîðiâ. Íåõàé (X1 , F1 , µ1 ) i (X2 , F2 , µ2 ) äâà âèìiðíèõ ïðîñòîðè ç ìiðàìè, X = X1 ×X2 . Ñïî÷àòêó âèçíà÷èìî ìiðó íà êëàñi âèìiðíèõ ïðÿìîêóòíèêiâ F1 ×F2 , öåé êëàñ ¹ ïiâêiëüöåì ïiäìíîæèí X.

Ëåìà 6.3. Ôóíêöiÿ ìíîæèí

µ(E1 × E2 ) = µ1 (E1 )µ2 (E2 )

¹ ìiðîþ íà F1 × F2 . Äîâåäåííÿ. Òðåáà äîâåñòè σ -àäèòèâíiñòü µ. Âiçüìåìî íåïåðåòèííi E (n) ∈ F1 × F2 , òàêi, ùî ∞ [

E (n) = E ∈ F1 × F2 ,

(n)

E (n) = E1

E = E1 × E2 ,

(n)

× E2 .

n=1

Òîäi äëÿ x = (x1 , x2 ) ∈ X, x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 ìà¹ìî

1E (x) =

∞ X

1E (n) (x) ⇔ 1E1 (x1 )1E2 (x2 ) =

n=1

∞ X n=1

1E (n) (x1 )1E (n) (x2 ). 1

2

Äëÿ êîæíîãî ôiêñîâàíîãî x1 ∈ X1 ïðîiíòåãðó¹ìî äâi ÷àñòèíè îñòàííüî¨ ðiâíîñòi íà X2 çà ìiðîþ µ2 . Âèêîðèñòîâóþ÷è íàñëiäîê 4.1 ïðî iíòåãðóâàííÿ ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó, îòðèìà¹ìî

1E1 (x1 )µ2 (E2 ) =

Z X ∞ X2 n=1

1E (n) (x1 )1E (n) (x2 ) dµ2 (x2 ) = 2

1

∞ X n=1

Z 1E (n) (x1 ) 1

X2

1E (n) (x2 )dµ2 (x2 ) = 2

∞ X n=1

(n)

1E (n) (x1 )µ2 E2

.

1

Òåïåð îòðèìàíó ðiâíiñòü ïðîiíòåãðó¹ìî íà X1 çà ìiðîþ µ1 . Çíîâó âèêîðèñòîâóþ÷è íàñëiäîê 4.1, áóäåìî ìàòè ∞ ∞ X X (n) (n) ⇔ µ(E) = µ E (n) . µ1 (E1 )µ2 (E2 ) = µ1 E1 µ2 E2 n=1

n=1

Ëåìà 6.3 îá ðóíòîâó¹ êîðåêòíiñòü íàñòóïíîãî îçíà÷åííÿ.

Îçíà÷åííÿ 6.4. Äîáóòêîì ìið µ1 i µ2 íàçèâà¹òüñÿ ïðîäîâæåííÿ çà Êàðàòåîäîði ìiðè µ(E1 × E2 ) = µ1 (E1 )µ2 (E2 ), âèçíà÷åíî¨ íà ïiâêiëüöi F1 × F2 . Öåé äîáóòîê ìið áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç µ1 × µ2 , âiäïîâiäíèé êëàñ âèìiðíèõ ìíîæèí ÷åðåç F1 ⊗F2 . Îñêiëüêè F1 ⊗F2 σ -àëãåáðà, ùî ìiñòèòü ïî÷àòêîâå ïiâêiëüöå F1 × F2 , áóäå F1 ⊗F2 ⊃ σa F1 × F2 = F1 ⊗F2 . Âiäìiòèìî, ùî êëàñ F1 ⊗F2 çàëåæèòü âiä ìið, ÿêi ìè ðîçãëÿäà¹ìî íà F1 i F2 , à íàáið F1 ⊗F2 âèçíà÷à¹òüñÿ ëèøå çà ñàìèìè σ -àëãåáðàìè.

Ïðèêëàä 6.2. Ïîêàæåìî, ùî äëÿ ìið Ëåáåãà áóäå λm × λn = λm+n . Äëÿ ìíîæèíè E ∈ Pm+n ìà¹ìî E=

m+n Y k=1

(ak , bk ] =

m Y

m+n Y (ak , bk ] × (ak , bk ] ,

k=1

λm+n (E) = (λm × λn )(E) =

k=m+1 m+n Y

(bk − ak ) .

k=1

Ïðîäîâæåííÿ çà Êàðàòåîäîði öèõ äâîõ ìið, âèçíà÷åíèõ íà E ∈ Pm+n äàñòü îäèí i òîé æå ðåçóëüòàò λm+n íà Sm+n . 78

Çàëèøà¹òüñÿ ïîêàçàòè, ùî ïðîäîâæåííÿ λm × λn ç äâîõ ðiçíèõ ïiâêiëåöü Pm × Pn i Sm × Sn ïðèâîäèòü äî îäíi¹¨ ìiðè. Äiéñíî, äëÿ E ⊂ X1 × X2 , äëÿ ïðîäîâæåííÿ ç Sm × Sn i âèêîðèñòàííÿì âiäïîâiäíî¨ çîâíiøíüî¨ ìiðè, ìà¹ìî (2.14)

(λm × λn )∗ (E) = inf

∞ nX

(k)

λ1 E1

∞ o [ (k) (k) (k) (k) E1 × E2 . E1 ∈ Sm , E2 ∈ Sn , E ⊂

(k)

λ2 E2

k=1

k=1 (k)

(k)

Òóò E1 ∈ Sm i çi ñõåìè ïðîäîâæåííÿ çà Êàðàòåîäîði âèïëèâà¹, ùî λ1 E1 áëèçüêî íàáëèçèòè ñóìàìè âèãëÿäó ∞ X

(i) λm (A1 ),

(i) A1

∈ Pm ,

(k) E1

i=1 (k)

∞ nX

(i)

A1 ,

i=1

àíàëîãi÷íå íàáëèæåííÿ ñïðàâäæó¹òüñÿ äëÿ E2

(λm × λn )∗ (E)= inf

⊂

∞ [

ìîæíà ÿê çàâãîäíî

∈ Sn . Òîìó

∞ o [ (i) (i) (i) (i) (i) (i) λ1 A1 λ2 A2 A1 ∈ Pm , A2 ∈ Pn , E ⊂ A1 × A2 .

i=1

i=1

Çíà÷èòü, äëÿ ïðîäîâæåíü ç îáîõ ïiâêiëåöü Pm ×Pn i Sm ×Sn ìè îòðèìó¹ìî îäíó âåëè÷èíó çîâíiøíüî¨ ìiðè, à òîìó ñïiâïàäàþòü êëàñè âèìiðíèõ ìíîæèí i çíà÷åííÿ îòðèìàíèõ ìið.

Òåîðåìà 6.2. Íåõàé ìiðè µ1 íà F1 i µ2 íà F2 σ -ñêií÷åííi i ïîâíi, µ = µ1 × µ2 , F = F1 ⊗F2 , E ∈ F . Òîäi 1) Ex1 ∈ F2 (mod µ1 ); 2) µ2 Ex1 RF1 -âèìiðíà ÿê ôóíêöiÿ àðãóìåíòà x1 ∈ X1 ; 3) µ(E) = X1 µ2 Ex1 dµ1 (x1 ).

Ïðèêëàä 6.3. Íåõàé X1 = X2 = R, σ -àëãåáðè F1 , F2 i ìiðè µ1 , µ2 ëåáåãîâi, f ∈ C([a, b])

íåâiä'¹ìíà ôóíêöiÿ. Ðîçãëÿíåìî

E = {(x1 , x2 ) ∈ [a, b] × R : 0 ≤ x2 ≤ f (x1 )}. Òîäi

Ex1 =

f (x1 ), x1 ∈ [a, b], [0, f (x1 )], x1 ∈ [a, b], µ2 Ex1 = 0, x1 6∈ [a, b], ∅, x1 6∈ [a, b], Z Z µ2 Ex1 dµ1 (x1 ) = f (x1 ) dµ1 (x1 ). X1

[a,b]

Ìè áà÷èìî, ùî ñïðàâäæóþòüñÿ òâåðäæåííÿ 1) i 2) òåîðåìè 6.2, à òâåðäæåííÿ 3) öi¹¨ òåîðåìè ¹ óçàãàëüíåííÿì ôîðìóëè ïëîùi êðèâîëiíiéíî¨ òðàïåöi¨.

Äîâåäåííÿ òåîðåìè 6.2. Íåõàé H êëàñ ìíîæèí ç F , äëÿ ÿêèõ ñïðàâäæóþòüñÿ òâåðäæåííÿ 1), 2) i 3) íàøî¨ òåîðåìè. Ïðèïóñòèìî ñïî÷àòêó, ùî ìiðè µ1 i µ2 ñêií÷åííi. Êðîê 1. Äîâåäåìî, ùî F1 × F2 ⊂ H. Íåõàé E = E1 × E2 , E1 ∈ F1 , E2 ∈ F2 . â öüîìó âèïàäêó E2 , x1 ∈ E1 , Ex1 = ∅, x1 6∈ E1 , îáèäâà ìîæëèâi ïåðåðiçè íàëåæàòü F2 , òîìó 1) ñïðàâäæó¹òüñÿ. Äàëi ìà¹ìî, ùî µ2 (E2 ), x1 ∈ E1 , µ2 Ex1 = 0, x1 6∈ E1 , ôóíêöiÿ µ2 Ex1 F1 -âèìiðíà ÿê ïðîñòà ç ïîñòiéíèìè çíà÷åííÿìè íà ìíîæèíàõ ç F1 , òîìó ìà¹ ìiñöå 2). Çíàõîäèìî iíòåãðàë âiä öi¹¨ ïðîñòî¨ ôóíêöi¨ i îòðèìó¹ìî, ùî Z µ2 Ex1 dµ1 (x1 ) = µ1 (E1 )µ2 (E2 ) = µ(E). X1

79

Îòæå, äëÿ öi¹¨ ìíîæèíè ñïðàâäæó¹òüñÿ i 3). Êðîê 2. Äîâåäåìî, ùî σk F1 × F2 ⊂ H. Ñïî÷àòêó ïîêàæåìî, ùî

E (k) ∈ F1 × F2 ⊂ H,

E (k) íåïåðåòèííi ⇒ E =

n [

E (k) ∈ H.

k=1

S (k) Àäæå â öüîìó âèïàäêó Ex1 = nk=1 Ex1 ∈ F2 ÿê îá'¹äíàííÿ åëåìåíòiâ F2 . Òàêîæ ôóíêöiÿ µ2 Ex1 = Pn (k) F1 -âèìiðíà ÿê ñóìà âèìiðíèõ. Ïðîiíòåãðóâàâøè îñòàííþ ðiâíiñòü i âèêîðèñòàâøè 3) k=1 µ2 Ex1 (k) äëÿ E , ìà¹ìî Z

X1

µ2 Ex1 dµ1 (x1 ) =

n Z X X1

k=1

µ2 Ex(k) 1

3)

dµ1 (x1 ) =

n X

µ E (k) = µ(E) .

k=1

Òîìó äëÿ E ñïðàâäæó¹òüñÿ i 3), E ∈ H. Îòæå, â H âõîäÿòü âñi ìíîæèíè ïîðîäæåíîãî êiëüöÿ k(F1 × F2 ) (äèâ. òåîðåìó 1.3). Òåïåð âiäìiòèìî, ùî

E (k) ∈ H,

E (k) ↑,

∞ [

E=

E (k) ⇒ E ∈ H.

k=1

Òåîðåìà 2.1 S (k) (k) Àäæå òîäi Ex1 = ∞ îá'¹äíàííÿ åëåìåíòiâ F1 , µ2 Ex1 = limk→∞ µ2 Ex1 k=1 Ex1 ãðàíèöÿ F1 -âèìiðíèõ ôóíêöié, ðiâíiñòü 3) äëÿ E îòðèìó¹òüñÿ ãðàíè÷íèì ïåðåõîäîì ïðè k → ∞ ç âiäïîâiäíèõ ðiâíîñòåé, çàïèñàíèõ äëÿ E (k) (òóò âèêîðèñòîâó¹ìî òåîðåìó 4.4). Àíàëîãi÷íî, ç âèêîðèñòàííÿì òåîðåì 2.1 i 4.7, ìà¹ìî: E (k) ∈ H,

E (k) ↓,

∞ \

E=

E (k) ⇒ E ∈ H.

k=1

Òàêèì ÷èíîì, H ìîíîòîííèé êëàñ, ùî ìiñòèòü êiëüöå k(F1 × F2 ). Òîìó H ìiñòèòü ìîíîòîííèé êëàñ, ïîðîäæåíèé öèì êiëüöåì, òîáòî σ -êiëüöå σk(F1 × F2 ) (äèâ. òåîðåìó 1.5). Êðîê 3. Äîâåäåìî, ùî F ⊂ H. Âiäìiòèìî, ùî

∀ E ∈ F ∃ A ∈ σk(F1 × F2 ) ⊂ H : E ⊂ A, µ(A \ E) = 0.

(6.5)

Àäæå µ îòðèìàíà çà ñõåìîþ Êàðàòåîäîði ç ïiâêiëüöÿ F1 × F2 , µ íà F ñïiâïàäà¹ ç ïîðîäæåíîþ çîâíiøíüîþ ìiðîþ (äèâ. îçíà÷åííÿ 2.5), i äëÿ êîæíîãî j ≥ 1 iñíó¹ ïîêðèòòÿ

E⊂

∞ [

E

(kj)

,

E

(kj)

∈ F1 × F2 ,

k=1

k=1

Âiçüìåìî ìíîæèíó A =

T∞ S∞ j=1

∞ X

k=1 E

(kj) .

1 µ E (kj) < µ(E) + . j

Òîäi E ⊂ A,

∀j ≥ 1 : µ(A) − µ(E) ≤ µ

∞ [ k=1

1 E (kj) − µ(E) < ⇒ µ(A \ E) = 0, j

i (6.5) ñïðàâäæó¹òüñÿ. Ðîçãëÿíåìî E ∈ F òàêó, ùî µ(E) = 0, i âiçüìåìî ìíîæèíó A ç (6.5). Òîäi A ∈ H, µ(A) = 0, i, çà òâåðäæåííÿì 3), áóäå Z 0 = µ(A) = µ2 Ax1 dµ1 (x1 ).

X1

Âëàñòèâiñòü 11 iíòåãðàëà äà¹, ùî µ2 Ax1 = 0 (mod µ1 ). Îñêiëüêè Ex1 ⊂ Ax1 , à ìiðà µ1 ïîâíà ∀x1 ∈ X1 , µ2 Ax1 = 0 : Ex1 ∈ F2 , µ2 Ex1 = 0.

80

Òîìó Ex1 ∈ F2 (mod µ1 ). Òàêîæ µ2 Ex1 = 0 (mod µ1 ), òîòîæíié íîëü ¹ F1 -âèìiðíîþ ôóíêöi¹þ, ìiðà µ1 ïîâíà, i ç òåîðåìè 3.7 ìè îòðèìó¹ìî, ùî ôóíêöiÿ µ2 Ex1 F1 -âèìiðíà. Êðiì òîãî, Z µ2 Ex1 dµ1 (x1 ) = 0 = µ(E). X1

Òîìó E ∈ H. Òåïåð âiçüìåìî äîâiëüíó ìíîæèíó E ∈ F , i äëÿ íå¨ ìíîæèíó A ç (6.5). Òîäi

E = A \ (A \ E),

µ(A \ E) = 0 ⇒ A \ E ∈ H, Ex1 = Ax1 \ (A \ E)x1 ∈ F2 (mod µ1 ), (∗) (mod µ1 ) ⇒ µ2 Ex1 F1 − âèìiðíà, µ2 Ex1 = µ2 Ax1 − µ2 (A \ E)x1 Z Z Z 3) µ2 Ex1 dµ1 = µ2 Ax1 dµ1 − µ2 (A \ E)x1 dµ1 = µ(A) − µ(A \ E) = µ(E) X1

X1

X1

(òóò â (*) ìè âèêîðèñòàëè 2) i òå, ùî µ1 ïîâíà, i òîìó ïðè ïåðåõîäi äî åêâiâàëåíòíî¨ ôóíêöi¨ âèìiðíiñòü çáåðiãà¹òüñÿ). Îòæå, E ∈ H, äëÿ äîâiëüíî¨ ìíîæèíè ç F ñïðàâäæóþòüñÿ 1), 2) i 3). Êðîê 4. Íåõàé µ1 i µ2 σ -ñêií÷åííi. Âiçüìåìî ìíîæèíè X(n) ∈ F1 , íà ÿêèõ ñêií÷åííîþ ¹ µ1 , 1 S∞ S (n) (n) (n) = X1 , i ìíîæèíè X2 ∈ F2 , íà ÿêèõ ñêií÷åííîþ ¹ µ2 , ∞ = X2 . Ïåðåéäåìî äî n=1 X1 n=1 X2 íåñïàäíèõ ïîñëiäîâíîñòåé ìíîæèí (n)

Y1

=

n [

(k)

X1 ,

(n)

Y2

k=1 (n)

=

n [

(k)

X2 ,

(n)

(n)

Y(n) = Y1 × Y2 .

k=1 (n)

Íà êîæíié ç ìíîæèí Y1 ¹ ñêií÷åííîþ µ1 , íà Y2 µ2 . ßê âèïëèâà¹ ç êðîêiâ 1,2,3, äëÿ ìíîæèíè E ∩Y(n) , E ∈ F , ñïðàâäæóþòüñÿ òâåðäæåííÿ 1), 2) i 3) íàøî¨ òåîðåìè, E ∩ Y(n) ↑ E . Âçÿâøè ãðàíèöþ ïðè n → ∞, âèêîðèñòîâóþ÷è íåïåðåðâíiñòü ìiðè µ2 çíèçó i òåîðåìó 4.4 ïðî iíòåãðóâàííÿ ìîíîòîííî¨ ïîñëiäîâíîñòi, îòðèìà¹ìî 1), 2) i 3) äëÿ E .

6.3 Òåîðåìè Òîíåëëi i Ôóáiíi Íåõàé, ÿê i ðàíiøå, (X1 , F1 , µ1 ) i (X2 , F2 , µ2 ) äâà âèìiðíèõ ïðîñòîðè ç ìiðàìè, X = X1 ×X2 . Â öüîìó ïóíêòi ìè îòðèìà¹ìî, ùî iíòåãðàë çà µ1 × µ2 äîðiâíþ¹ ïîâòîðíîìó iíòåãðàëó çà µ1 i µ2 .

Òåîðåìà 6.3. (òåîðåìà Òîíåëëi) Íåõàé ìiðè µ1 i µ2 σ -ñêií÷åííi i ïîâíi, µ = µ1 ×µ2 , F = F1 ⊗F2 , ôóíêöiÿ f : X → R F -âèìiðíà i íåâiä'¹ìíà. Òîäi 1) fx1 F2 -âèìiðíà (mod µ1 ); R 2) g(x1 ) = X2 fx1 (x2 ) dµ2 (x2 ) F1 -âèìiðíà; R R R 3) X f (x1 , x2 ) dµ(x1 , x2 ) = X1 dµ1 (x1 ) X2 fx1 (x2 ) dµ2 (x2 ).

Äîâåäåííÿ. Äëÿ f = 1E , E ∈ F òâåðäæåííÿ 1), 2) i 3) íàøî¨ òåîðåìè áåçïîñåðåäíüî âèïëèâàþòü ç òâåðäæåíü 1), 2) i 3) òåîðåìè 6.2 âiäïîâiäíî. Àäæå ìè ìà¹ìî, ùî fx1 = 1Ex1 , i ïðè Ex1 ∈ F2 iíäèêàòîð áóäå F2 -âèìiðíèì. Òàêîæ òóò g(x1 ) = µ2 Ex1 , Z Z Z Z dµ1 (x1 ) fx1 (x2 ) dµ2 (x2 ) = µ2 Ex1 dµ1 (x1 ) = µ(E) = f dµ . X1

X2

X1

X

ßêùî 1), 2) i 3) ñïðàâäæóþòüñÿ äëÿ äâîõ ôóíêöié f (1) i f (2) , òî, ÿê ëåãêî áà÷èòè, âîíè ìàþòü ìiñöå äëÿ f (1) + f (2) i cf (1) , c ∈ R. Çíà÷èòü, âîíè ñïðàâäæóþòüñÿ äëÿ âñiõ ïðîñòèõ íåâiä'¹ìíèõ F -âèìiðíèõ ôóíêöié íà X. (n) Äëÿ äîâiëüíî¨ íåâiä'¹ìíî¨ âèìiðíî¨ f âiçüìåìî ïðîñòi íåâiä'¹ìíi âèìiðíi p(n) ↑ f . Òîäi px1 ↑ fx1 , fx1 ¹ F2 -âèìiðíîþ äëÿ x1 , äëÿ ÿêèõ âèìiðíèìè ¹ âñi p(n) , òîìó ñïðàâäæó¹òüñÿ 1). Çàïèñàâøè 2) i 3) äëÿ p(n) , ãðàíè÷íèì ïåðåõîäîì çà n ìè îòðèìà¹ìî 2) i 3) äëÿ f .

81

Òåîðåìà 6.4. (òåîðåìà Ôóáiíi) Íåõàé ìiðè µ1 i µ2 σ -ñêií÷åííi i ïîâíi, µ = µ1 × µ2 , f ∈ L(X, µ).

Òîäi 1) fx1 ∈ L(X2 , µ2 ) (mod µ1 ); R 2) g(x1 ) = X2 fx1 (x2 ) dµ2 (x2 ) ∈ L(X1 , µ1 ); R R R 3) X f (x1 , x2 ) dµ(x1 , x2 ) = X1 dµ1 (x1 ) X2 fx1 (x2 ) dµ2 (x2 ).

Äîâåäåííÿ. Ñïî÷àòêó ðîçãëÿíåìî âèïàäîê íåâiä'¹ìíî¨ f . F2 -âèìiðíiñòü fx1 i F1 -âèìiðíiñòü g âèïëèâàþòü ç òåîðåìè 6.3. Òàêîæ Z Z Z Z Òåîðåìà 6.3 f ∈ L(X, µ) ⇒ f dµ < +∞ =⇒ dµ1 fx1 dµ2 = g dµ1 < +∞ ⇒ g ∈ L(X1 , µ1 ) . X

X1

Êðiì òîãî, çâiäñè ìè îòðèìó¹ìî Z g < +∞ (mod µ1 ) ⇔

X2

X2

X1

fx1 dµ2 < +∞ (mod µ1 ) ⇒ fx1 ∈ L(X2 , µ2 )

(mod µ1 ) .

Òâåðäæåííÿ 3) íàøî¨ òåîðåìè äëÿ f ≥ 0 ñïiâïàäà¹ ç âiäïîâiäíèì òâåðäæåííÿì ç òåîðåìè Òîíåëëi. Òåïåð íåõàé f ∈ L(X, µ) íå îáîâ'ÿçêîâî íåâiä'¹ìíà. Òîäi f = f+ − f− , f+ , f− ∈ L(X, µ). Çàïèñàâøè òâåðäæåííÿ íàøî¨ òåîðåìè äëÿ f+ i f− i ðîçãëÿíóâøè ðiçíèöi ôóíêöié, ìè îòðèìà¹ìî ïîòðiáíi òâåðäæåííÿ äëÿ f . Ïðè öüîìó âèêîðèñòîâó¹ìî òå, ùî fx1 = (f+ )x1 − (f− )x1 , i äëÿ iíòåãðîâíèõ ôóíêöié ìà¹ ìiñöå ëiíiéíiñòü iíòåãðàëà.

Âïðàâè Âïðàâà 6.1. Íåõàé µ1 i µ2 σ -ñêií÷åííi ìiðè. Äîâåñòè, ùî ìiðà µ1 × µ2 σ -ñêií÷åííà. Âïðàâà 6.2. Íåõàé A ⊂ [0, 1] ìíîæèíà, íåâèìiðíà çà Ëåáåãîì. Äîâåñòè, ùî A × {0} ∈ S2 ,

A × {0} ∈ / S1 ⊗ S1 .

Âïðàâà 6.3. Äëÿ äîâiëüíîãî âèìiðíîãî ïðîñòîðó ç ìiðîþ (X, F, λ) i F -âèìiðíî¨ ôóíêöi¨ f : X → [0, +∞) äîâåñòè, ùî Z Z f (x) dλ(x) = λ {x : f (x) > t} dλ1 (t) . X

[0,∞)

Âïðàâà 6.4. Íåõàé (X, F, λ) âèìiðíèé ïðîñòið ç σ -ñêií÷åííîþ ìiðîþ, λ1 ìiðà Ëåáåãà íà R, ôóíêöiÿ f : X → R F -âèìiðíà. Ãðàôiêîì ôóíêöi¨ f íàçèâà¹òüñÿ ìíîæèíà Γ = (x, y) ∈ X × R : y = f (x) ⊂ X × R. Äîâåñòè, ùî Γ ∈ F ⊗ B(R) i (λ × λ1 )(Γ) = 0.

82

Ðîçäië 7

Ïðîñòîðè iíòåãðîâíèõ ôóíêöié 7.1 Íåðiâíîñòi Ãåëüäåðà i Ìiíêîâñüêîãî Â öüîìó ïóíêòi ìè îòðèìà¹ìî äâi âàæëèâi íåðiâíîñòi äëÿ iíòåãðàëiâ. Ïî÷íåìî ç ïðîñòîãî äîïîìiæíîãî òâåðäæåííÿ.

Ëåìà 7.1. Íåõàé a, b ≥ 0,

1 p

1 q

+

= 1, p, q > 1. Òîäi ab ≤

ap bq + . p q

Äîâåäåííÿ. Äîâåäåìî öþ íåðiâíiñòü çà äîïîìîãîþ ïîõiäíî¨. Ðîçãëÿíåìî f (a) =

ap b q + − ab, a ≥ 0 ⇒ f 0 (a) = ap−1 − b, p q

1

1

Çíà÷èòü, f ñïàäà¹ äëÿ a ≤ b p−1 , çðîñòà¹ äëÿ a ≥ b p−1 , i òîìó

min f (a) = f b

1 p−1

a≥0

(òóò ìè âèêîðèñòàëè, ùî

p p−1

=q⇔

1 p

p 1 1 p b p−1 bq = + − b p−1 = bq + −1 =0 p q p q

1 q

+

= 1). Îòæå f (a) ≥ 0 äëÿ âñiõ a ≥ 0.

Íåõàé (X, F, λ) âèìiðíèé ïðîñòið ç ìiðîþ. Äëÿ F -âèìiðíî¨ f : X → R i p ≥ 1 áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ïîçíà÷åííÿ Z 1 p kf kp = |f |p dλ . X

Òåîðåìà 7.1. (íåðiâíiñòü Ãåëüäåðà) Íåõàé ôóíêöi¨ f, g : X → R F -âèìiðíi, ÷èñëà p, q > 1 òàêi,

ùî

1 p

+

1 q

= 1. Òîäi

Z

Z

1 Z 1 p q |f | dλ |g|q dλ . p

|f g| dλ ≤ X

Äîâåäåííÿ. Òðåáà äîâåñòè, ùî

X

X

(7.1)

Z X

(7.2)

|f g| dλ ≤ kf kp kgkq .

ßêùî kf kp = 0, òî, çà âëàñòèâiñòþ 11 iíòåãðàëà, áóäå |f | = 0 (mod λ), i (7.2) ñïðàâäæó¹òüñÿ. Àíàëîãi÷íî äëÿ âèïàäêó kgkq = 0. Òîìó äàëi ìè ìîæåìî ââàæàòè, ùî kf kp , kgkq > 0. ßêùî kf kp = +∞ àáî kgkq = +∞, òî ïðàâà ÷àñòèíà (7.2) äîðiâíþ¹ +∞, íåðiâíiñòü ñïðàâäæó¹òüñÿ, i öåé âèïàäîê ìè òàêîæ äàëi íå ðîçãëÿäà¹ìî. Â óñiõ iíøèõ âèïàäêàõ (7.2) åêâiâàëåíòíà íåðiâíîñòi Z |f | |g| · dλ ≤ 1. X kf kp kgkq Çà ëåìîþ 7.1,

|f | |g| 1 · ≤ kf kp kgkq p

|f | kf kp 83

p

1 + q

|g| kgkq

q .

Âçÿâøè iíòåãðàë âiä îáîõ ÷àñòèí öi¹¨ íåðiâíîñòi, ìè îòðèìà¹ìî Z Z Z |f | |g| 1 1 1 1 p · dλ ≤ |f | dλ + |g|q dλ = + = 1. p q p (kf kp ) X q (kgkq ) X p q X kf kp kgkq

Òåîðåìà 7.2. (íåðiâíiñòü Ìiíêîâñüêîãî) Äëÿ F -âèìiðíèõ f, g : X → R i p ≥ 1 áóäå (7.3)

kf + gkp ≤ kf kp + kgkp . R Äîâåäåííÿ. Äëÿ p = 1 ìà¹ìî, ùî kf k1 = X |f | dλ, òîäi (7.3) çàïèñó¹òüñÿ ÿê Z Z Z |f + g| dλ ≤ |f | dλ + |g| dλ, X

X

X

à öÿ íåðiâíiñòü âèïëèâà¹ ç òîãî, ùî |f + g| ≤ |f | + |g|. Äàëi ââàæà¹ìî, ùî p > 1 i âiçüìåìî q òàêå, ùî p1 +

p

Z

Z

1 q

= 1. Ìà¹ìî: Z

=

p−1

Z

(∗)

|f + g| |f + g| dλ ≤ |f + g| |f | dλ + |f + g|p−1 |g| dλ ≤ X X X X Z 1/q Z 1/p Z 1/q Z 1/p (∗∗) |f + g|(p−1)q dλ |f |p dλ + |f + g|(p−1)q dλ |g|p dλ =

kf + gkp

p

|f + g| dλ =

X

p−1

X

X

X

kf + gkp

p/q

kf kp + kgkp . (7.4)

Òóò â (*) ìè äëÿ êîæíîãî ç äâîõ iíòåãðàëiâ çàñòîñóâàëè íåðiâíiñòü Ãåëüäåðà, â (**) âèêîðèñòàëè, p/q ùî (p − 1)q = p. Òåïåð ñêîðîòèìî (7.4) íà kf + gkp , âiäìiòèìî, ùî p − pq = 1, i îòðèìà¹ìî (7.3) (òðåáà çàóâàæèòè, ùî äëÿ âèïàäêó kf + gkp = 0 íåðiâíiñòü (7.3) ¹ î÷åâèäíîþ).

7.2 Ïðîñòið Lp ßê i ðàíiøå, (X, F, λ) âèìiðíèé ïðîñòið ç ìiðîþ, i äëÿ p ≥ 1 ìè ðîçãëÿíåìî ìíîæèíó ôóíêöié ˜p (X, λ) = f : X → R f F -âèìiðía, |f |p ∈ L(X, λ) . L

˜p (X, λ) ââåäåìî íàñòóïíå âiäíîøåííÿ åêâiâàëåíòíîñòi: ÂL f ∼g ⇔ f =g

(mod λ).

Î÷åâèäíî, ñïðàâäæóþòüñÿ íàñòóïíi âëàñòèâîñòi: 1) f ∼ f ; 2) f ∼ g ⇔ g ∼ f ; 3) f ∼ g, g ∼ h ⇒ f ∼ h. ˜p (X, λ) íà êëàñè åêâiâàëåíòíîñòi. ßê âiäîìî, òàêå âiäíîøåííÿ ðîçáèâà¹ ìíîæèíó L

Îçíà÷åííÿ 7.1. Ïðîñòîðîì Lp = Lp (X, λ), p ≥ 1 íàçèâà¹òüñÿ ìíîæèíà êëàñiâ åêâiâàëåíòíîñòi, ˜p (X, λ) ç äîïîìîãîþ âiäíîøåííÿ åêâiâàëåíòíîñòi f ∼ g ⇔ f = g (mod λ). îòðèìàíà ç L

Ðîçãëÿäàþ÷è åëåìåíòè Lp , ÿê ïðàâèëî, áåðóòü ÿêóñü ôóíêöiþ â ÿêîñòi ïðåäñòàâíèêà âñüîãî êëàñó åêâiâàëåíòíîñòi i ãîâîðÿòü, ùî åëåìåíòàìè Lp ¹ ôóíêöi¨. Ïðè öüîìó ââàæàþòüñÿ îäíàêîâèìè ïðåäñòàâíèêàìè ôóíêöi¨, ùî ñïiâïàäàþòü ìàéæå ñêðiçü. Ëiíiéíi îïåðàöi¨ ç åëåìåíòàìè Lp öå îïåðàöi¨ iç âçÿòèìè ôóíêöiÿìè. (Âiäìiòèìî, ùî â ÿêîñòi ïðåäñòàâíèêà êëàñó áåðåòüñÿ ôóíêöiÿ, ùî íå ìà¹ íåñêií÷åííèõ çíà÷åíü öå âàæëèâî äëÿ ëiíiéíèõ îïåðàöié. ßêùî |f |p ∈ L(X, λ), òî |f | < +∞ (mod λ), i âiäïîâiäíà ôóíêöiÿ, åêâiâàëåíòíà f , iñíó¹.) Íàøà ïîäàëüøà ìåòà äîñëiäèòè Lp ÿê íîðìîâàíèé ïðîñòið. Íàãàäà¹ìî âiäïîâiäíå îçíà÷åííÿ. Íåõàé L äîâiëüíèé ëiíiéíèé ïðîñòið íàä ÷èñëîâèì ïîëåì K (K = R àáî K = C).

Îçíà÷åííÿ 7.2. Íîðìîþ íà L íàçèâà¹òüñÿ ôóíêöiÿ k · k : L → R òàêà, ùî: 1) kxk ≥ 0; kxk = 0 ⇔ x = 0 â L; 2) kcxk = |c|kxk, c ∈ K; 3) kx + yk ≤ kxk + kyk. Ïðè öüîìó (L, k · k) íàçèâà¹òüñÿ íîðìîâàíèì ïðîñòîðîì . 84

Â íîðìîâàíîìó ïðîñòîði ìîæíà ââåñòè ìåòðèêó ρ(x, y) = kx − yk. Çáiæíiñòü â (L, k · k) öå çáiæíiñòü â (L, ρ) (òîáòî xn → x ⇔ kxn − xk → 0). Ïîâíîòà, ñåïàðàáåëüíiñòü íîðìîâàíîãî ïðîñòîðó öå ïîâíîòà, ñåïàðàáåëüíiñòü âiäïîâiäíîãî ìåòðè÷íîãî ïðîñòîðó. Íîðìîâàíèé ïðîñòið (L, k · k) íàçèâà¹òüñÿ äiéñíèì àáî êîìïëåêñíèì ó âèïàäêàõ K = R àáî K = C âiäïîâiäíî. Äàëi ìè ðîçãëÿäà¹ìî ëèøå äiéñíi ïðîñòîðè. Äëÿ åëåìåíòiâ Lp ìè áóäåìî âæèâàòè âæå âiäîìå íàì ïîçíà÷åííÿ Z 1 p p kf kp = |f | dλ X

(çíîâó âiäìiòèìî, ùî òóò åëåìåíò Lp ðîçãëÿäà¹ìî ÿê ôóíêöiþ, ïðè çàìiíi f íà åêâiâàëåíòíó ôóíêöiþ çíà÷åííÿ kf kp íå çìiíèòüñÿ). Âèìiðíà ôóíêöiÿ f íàëåæèòü Lp , êîëè kf kp < +∞.

Ëåìà 7.2. (Lp , k · kp ), 1 ≤ p < +∞, ¹ äiéñíèì íîðìîâàíèì ïðîñòîðîì. Äîâåäåííÿ. Ñïî÷àòêó âiäìiòèìî, ùî Lp ëiíiéíèé ïðîñòið íàä ïîëåì R. ßêùî f , g ∈ Lp , òî kf kp , kgkp < +∞, íåðiâíiñòü Ìiíêîâñüêîãî (7.3) òîäi äà¹, ùî kf + gkp < +∞, i òîìó f + g ∈ Lp . Òàêîæ, î÷åâèäíî, ùî òîäi kcf kp < +∞, c ∈ R, i òîìó cf ∈ Lp . Òåïåð ïåðåâiðèìî, ùî äëÿ k · kp ñïðàâäæó¹òüñÿ âñi òðè óìîâè ç îçíà÷åííÿ íîðìè.R Ñïðàâäæó¹òüñÿ 1): î÷åâèäíîþ ¹ íåðiâíiñòü kf kp ≥ 0, à ÿêùî kf kp = 0, òî X |f |p dλ = 0, ç âëàñòèâîñòi 11 iíòåãðàëà âèïëèâà¹, ùî f = 0 (mod λ), òîìó f = 0 ÿê åëåìåíòè Lp . Ëåãêî áà÷èòè, ùî ñïðàâäæó¹òüñÿ 2): Z 1 Z 1 p p p kcf kp = |c|kf kp ⇔ |cf | dλ = |c| |f |p dλ . X

X

Óìîâà 3) äëÿ k · kp öå íåðiâíiñòü Ìiíêîâñüêîãî (7.3).

Ëåìà 7.3. (íåðiâíiñòü ×åáèøåâà) Äëÿ F -âèìiðíî¨ ôóíêöi¨ i äîâiëüíîãî ε > 0 áóäå 1 λ {x ∈ X : |f (x)| ≥ ε} ≤ ε

Äîâåäåííÿ. Ìà¹ìî, ùî Z

Z

Z

|f | dλ ≥ X

(7.5)

|f | dλ . X

ε dλ = ελ {|f | ≥ ε} .

|f | dλ ≥ {|f |≥ε}

Z

{|f |≥ε}

Òåîðåìà 7.3. Íîðìîâàíèé ïðîñòið (Lp , k · kp ), 1 ≤ p < +∞, ¹ ïîâíèì. Äîâåäåííÿ. Âiçüìåìî ïîñëiäîâíiñòü fn ∈ Lp , n ≥ 1, ùî ¹ ôóíäàìåíòàëüíîþ, òîáòî kfn − fm kp → 0,

(7.6)

n, m → ∞.

Òîäi äëÿ áóäü-ÿêîãî ε > 0 ìà¹ìî, ùî

(7.5) 1 λ {x ∈ X : |fn (x) − fm (x)| ≥ ε} ≤ ε

Z

p

X

|fn − fm |p dλ = kfn − fm kp

p

→ 0,

n, m → ∞.

Òîìó ïîñëiäîâíiñòü fn , n ≥ 1 ¹ ôóíäàìåíòàëüíîþ çà ìiðîþ (äèâ. îçíà÷åííÿ 3.11). Çà òåîðåìîþ 3.14, òîäi çíàéäóòüñÿ âèìiðíà ôóíêöiÿ f : X → R òà ïiäïîñëiäîâíiñòü fnk , k ≥ 1 òàêi, ùî fnk → f (mod λ), k → ∞. Çàôiêñó¹ìî ε > 0. Ç ôóíäàìåíòàëüíîñòi fn , n ≥ 1 â Lp âèïëèâà¹, ùî Z p

∃ k0 ∀ k, l ≥ k0 : fnk − fnl p ≤ ε ⇔ fnk − fnl dλ ≤ εp . X

Iç çàñòîñóâàííÿì òåîðåìè Ôàòó (òåîðåìà 4.6), äëÿ k ≥ k0 îòðèìó¹ìî:

Z X

fn − f p dλ = k

Z

p lim fnk − fnl dλ =

X l→∞

Z

(4.26) p lim l→∞ fnk − fnl dλ ≤ X Z p lim l→∞ fnk − fnl dλ ≤ εp < +∞ . (7.7) X

85

Çâiäñè, çîêðåìà, âèïëèâà¹, ùî fnk − f ∈ Lp . Îñêiëüêè Lp ëiíiéíèé ïðîñòið i fnk ∈ Lp , ìà¹ìî, ùî f ∈ Lp . Òàêîæ â (7.7) îòðèìàíî, ùî äëÿ k ≥ k0 áóäå Z

fn − f p dλ ≤ εp ⇔ fn − f ≤ ε. k k p X

Âiäïîâiäíå k0 ìè âèáðàëè äëÿ äîâiëüíîãî çàôiêñîâàíîãî ε > 0. Òèì ñàìèì ìè ïåðåâiðèëè îçíà÷åííÿ ãðàíèöi ÷èñëîâî¨ ïîñëiäîâíîñòi äëÿ çáiæíîñòi

fn − f → 0, k → ∞. (7.8) k p Çàëèøèëîñÿ ïåðåâiðèòè, ùî âñÿ ïîñëiäîâíiñòü fn , n ≥ 1 çáiãà¹òüñÿ äî öi¹¨ f . Äëÿ êîæíîãî n ≥ 1 äîâiëüíèì ÷èíîì âiçüìåìî åëåìåíò íàøî¨ ïiäïîñëiäîâíîñòi fnk (n) òàêèé, ùî nk (n) ≥ n. Òîäi ïðè n → ∞ áóäå nk (n) → ∞, i ìè îòðèìà¹ìî:

kfn − f kp ≤ kfn − fnk (n) kp + kfnk (n) − f kp , (7.6)

kfn − fnk (n) kp → 0,

(7.8)

kfnk (n) − f kp → 0,

n → ∞, ⇒ kfn − f kp → 0 ⇒ fn → f,

n → ∞.

7.3 Ùiëüíi ïiäìíîæèíè Lp Â ïîïåðåäíüîìó ïóíêòi ìè äîâåëè ïîâíîòó íîðìîâàíîãî ïðîñòîðó Lp , â öüîìó ïóíêòi äîñëiäèìî äåÿêi ïèòàííÿ, ïîâ'ÿçàíi ç éîãî ñåïàðàáåëüíiñòþ, ìîæëèâiñòþ íàáëèæåíü åëåìåíòiâ Lp ôóíêöiÿìè ç ïåâíèõ êëàñiâ. Âiäìiòèìî, ùî íîðìîâàíèé ïðîñòið (L, k · k) íàçèâà¹òüñÿ ñåïàðàáåëüíèì , ÿêùî â íüîìó iñíó¹ çëi÷åííà ñêðiçü ùiëüíà ìíîæèíà. Ìíîæèíà M ⊂ L íàçèâà¹òüñÿ ñêðiçü ùiëüíîþ, ÿêùî

∀ x ∈ L, ε > 0 ∃ y ∈ M : kx − yk < ε .

Òåîðåìà 7.4. Äëÿ áóäü-ÿêèõ f ∈ Lp i ε > 0 çíàéäåòüñÿ ïðîñòà ôóíêöiÿ q ∈ Lp òàêà, ùî kf −qkp < ε. Äîâåäåííÿ. Êðîê 1. Íåõàé f ≥ 0. Òîäi, çà òåîðåìîþ 3.6, iñíóþòü ïðîñòi íåâiä'¹ìíi âèìiðíi ôóíêöi¨ qn òàêi, ùî qn ↑ f . Ìà¹ìî, ùî 0 ≤ f − qn ≤ f ⇒ |f − qn |p ≤ |f |p ,

lim |f (x) − qn (x)|p = 0.

n→∞

Âèêîðèñòà¹ìî òåîðåìó Ëåáåãà ïðî ìàæîðîâàíó çáiæíiñòü (òåîðåìà 4.7), âçÿâøè ìàæîðàíòîþ |f |p ∈ L(X, λ) i îòðèìà¹ìî, ùî Z |f − qn |p dλ → 0 ⇔ kf − qn kp → 0, n → ∞. X

Ñåðåä öèõ qn çíàéäåòüñÿ ôóíêöiÿ q òàêà, ùî kf − qkp < ε. Êðîê 2. Íåõàé f íå îáîâ'ÿçêîâî íåâiä'¹ìíà. Òîäi f = f+ − f− , äå f+ , f− ≥ 0. Çà êðîêîì 1, çíàéäóòüñÿ ïðîñòi q+ i q− ∈ Lp òàêi, ùî

ε kf+ − q+ kp < , 2

kf− − q− kp
0 çíàéäåòüñÿ ïðîñòà ôóíêöiÿ q ∈ Lp ,

q(x) =

n X

ak 1Ak (x),

k=1

òàêà, ùî kf − qkp < ε. 86

Ak ∈ P,

(7.9)

Äîâåäåííÿ. Êðîê 1. Íåõàé f = 1C , C ∈ F . Ìà¹ìî, ùî Z Z p p |f | dλ < +∞ ⇔ 1C dλ = λ(C) < +∞. X

X

Çà òåîðåìîþ íà êiëüöi (òåîðåìà 2.9), çíàéäåòüñÿ B ∈ k(P) òàêå, ïðî íàáëèæåííÿ ìiðè ¨¨ çíà÷åííÿìè S ùî λ C∆B < εp . Òåîðåìà 1.3 äà¹, ùî B = nk=1 Ak , Ak ∈ P íåïåðåòèííi. Ïîêëàäåìî

q(x) = 1B (x) =

n X

1Ak (x).

k=1

Òîäi q ìà¹ âèãëÿä (7.9) i

Z Z 1/p p 1/p 1/p 1C∆B p dλ 1C − 1B dλ kf − qkp = = = λ(C∆B) < ε. X

X

Pj

Êðîê 2. Íåõàé f ∈ Lp ïðîñòà, f = Z |f |p dλ = X

j X

i=1 ci 1Ci ,

Ci ∈ F íåïåðåòèííi, ci 6= 0. Òîäi ci 6=0

|ci |p λ(Ci ) < +∞ =⇒ λ(Ci ) < +∞ ⇔ 1Ci ∈ Lp .

i=1

Êîðèñòóþ÷èñü êðîêîì 1, äëÿ êîæíîãî i âiçüìåìî ïðîñòó ôóíêöiþ qi âèãëÿäó (7.9) òàêó, ùî

1C − qi < P ε i j p

(7.10)

i=1 |ci |

i ïîêëàäåìî q = íîðìè, ìè ìà¹ìî

Pj

i=1 ci qi .

Ôóíêöiÿ q , î÷åâèäíî, ìà¹ âèãëÿä (7.9), i, êîðèñòóþ÷èñü âëàñòèâîñòÿìè

kf − qkp ≤

j X

(7.10) |ci | 1Ci − qi p < ε .

i=1

Êðîê 3. Íåõàé f ∈ Lp äîâiëüíà. Çà òåîðåìîþ 7.4, çíàéäåòüñÿ ïðîñòà ôóíêöiÿ f0 ∈ Lp òàêà, ùî kf − f0 kp < 2ε . Çà êðîêîì 2 äàíî¨ òåîðåìè, iñíó¹ ôóíêöiÿ q âèãëÿäó (7.9) òàêà, ùî kf0 − qkp < 2ε . Òîäi kf − qkp < ε. Â íàñòóïíèõ íàñëiäêàõ ìè âiçüìåìî X = Rd , F = Sd , λ = λd ìiðà Ëåáåãà.

Íàñëiäîê 7.1. Ïðîñòið Lp (Rd , λd ) ñåïàðàáåëüíèé. Äîâåäåííÿ. Ðîçãëÿíåìî çëi÷åííå ïiâêiëüöå ìíîæèí P˜d =

d nY

o (ak , bk ] ak , bk ∈ Q .

k=1

Ïîêàæåìî, ùî çëi÷åííà ìíîæèíà M ôóíêöié âèãëÿäó j X

ri 1Ci ,

ri ∈ Q,

Ci ∈ P˜d ,

j ≥ 1,

(7.11)

i=1

¹ ùiëüíîþ â Lp = Lp (Rd , λd ). Ëåãêî áà÷èòè, ùî ôóíêöiÿìè ç M ìîæíà ÿê çàâãîäíî áëèçüêî çà íîðìîþ k·kp íàáëèçèòè áóäü-ÿêó ôóíêöiþ âèãëÿäó j X ci 1Ci , ci ∈ R, Ci ∈ P˜d . (7.12) i=1

ßê íåñêëàäíî ïåðåêîíàòèñÿ,

σk P˜d ⊃ Pd ⇒ σk P˜d ⊃ σk Pd = B Rd . 87

Ç òåîðåìè 7.5 ìà¹ìî, ùî ôóíêöiÿìè âèãëÿäó (7.12) ìîæíà ÿê çàâãîäíî áëèçüêî íàáëèçèòè äîâiëüíó áîðåëüîâó ôóíêöiþ ç Lp . Âiçüìåìî äîâiëüíó (íå îáîâ'ÿçêîâî áîðåëüîâó) f ∈ Lp . Çà òåîðåìîþ 7.4, f ìîæíà íàáëèçèòè ïðîñòîþ ôóíêöi¹þ q ∈ Lp . Íåõàé

q=

n X

si 1Ai ,

si ∈ R,

Ai ∈ Sd .

i=1

Çà íàñëiäêîì 2.5,

∃ Bi ∈ B Rd : Bi ⊂ Ai , λ(Bi ) = λ(Ai ) ⇒ 1Ai = 1Bi (mod λd ). Pn Ðîçãëÿíåìî q˜ = ˜ = q ÿê åëåìåíòè Lp . ßê ìè âiäìiòèëè âèùå, áîðåëüîâó ôóíêöiþ i=1 si 1Bi , q q˜ ìîæíà ÿê çàâãîäíî áëèçüêî íàáëèæàòè ôóíêöiÿìè âèãëÿäó (7.12), à çíà÷èòü f íàáëèæà¹òüñÿ åëåìåíòàìè M. Rd

Äàëi ÷åðåç C0 (Rd ) ìè ïîçíà÷èìî êëàñ íåïåðåðâíèõ ôóíêöié f : Rd → R, äëÿ ÿêèõ ìíîæèíà {x ∈ : f (x) 6= 0} îáìåæåíà. Òîäi, çîêðåìà, ôóíêöiÿ f îáìåæåíà, ìè ìà¹ìî Z Z p |f | dλd = |f |p dλd ≤ sup |f (x)|p λd {f 6= 0} < +∞,

Rd

{f 6=0}

x∈

Rd

i òîìó f ∈ Lp (Rd , λd ), C0 (Rd ) ⊂ Lp (Rd , λd ). Âiäìiòèìî, ùî C0 (Rd ) äiéñíèé ëiíiéíèé ïðîñòið.

Íàñëiäîê 7.2. Ìíîæèíà C0 (Rd ) ùiëüíà â Lp (Rd , λd ). Äîâåäåííÿ. Ñêîðèñòà¹ìîñÿ ïîçíà÷åííÿìè ç äîâåäåííÿìè íàñëiäêó 7.1. Îñêiëüêè ìíîæèíà ôóíêöié M ùiëüíà â Lp , äëÿ äîâiëüíèõ f ∈ Lp , ε > 0 çíàéäåòüñÿ ôóíêöiÿ q âèãëÿäó (7.11) òàêà, ùî kf − qkp < 2ε . Q Äëÿ C = dk=1 (ak , bk ] i δ > 0 iñíó¹ ôóíêöiÿ g ∈ C0 (Rd ) òàêà, ùî g(x) = 1, x ∈

d Y

[ak + δ, bk − δ] ,

d Y

g(x) = 0, x 6∈

(ak , bk ) ,

k=1

k=1

i 0 ≤ g(x) ≤ 1. Òîäi ïðè g → 1C â Lp ïðè δ → 0. Âèêîðèñòîâóþ÷è çàïèñ (7.11), âiçüìåìî

gi ∈ C0 (Rd ) : 1Ci − gi p < Òîäi h ∈ C0

(Rd ),

kh − qkp
0 ñóïåðå÷èòü (2.25) i òîìó, ùî λ [−1, 2] ≤ 3. 3.1. Áåçïîñåðåäíüî ïåðåâiðÿ¹òüñÿ îçíà÷åííÿ âiäíîøåííÿ åêâiâàëåíòíîñòi. 3.2. Ôóíêöiÿ f áîðåëüîâà ÿê íåïåðåðâíà, fn (x) = (f (x + 1/n) − f (x))n ëiíiéiíi êîìáiíàöi¨ áîðåëüîâèõ, f 0 ïîòî÷êîâà ãðàíèöÿ fn . 3.3. Ëèøå ïîêàæåìî, ùî äëÿ ρ ñïðàâäæó¹òüñÿ íåðiâíiñòü òðèêóòíèêà. Ïðèïóñòèìî, ùî ρ(f, g) + ρ(g, h) < ρ(f, h). Òîäi

∃ δ1 , δ2 : ρ(f, g) < δ1 , ρ(g, h) < δ2 , δ1 + δ2 < ρ(f, h), λ |f − g| ≥ δ1 < δ1 , λ |g − h| ≥ δ2 < δ2 , [ |g − h| ≥ δ2 ⇒ λ |f − h| ≥ δ1 + δ2 < δ1 + δ2 , |f − h| ≥ δ1 + δ2 ⊂ |f − g| ≥ δ1 i ìè îòðèìàëè ñóïåðå÷íiñòü ç òèì, . ùî ρ(f, h) > δ1 + δ2 3.4. λ |fn + gn − f − g| ≥ ε ≤ λ |fn − f | ≥ ε/2 + λ |gn − g| ≥ ε/2 → 0, n → ∞. 3.5. fn (x) = gn (x) = x + 1/n, f (x) = g(x) = x íà R ç ìiðîþ Ëåáåãà. 3.6. ßêùî äàíå òâåðäæåííÿ íåâiðíå, òî çíàéäóòüñÿ ε0 > 0 i ïiäïîñëiäîâíiñòü {nk } òàêi, ùî äëÿ âñiõ k ≥ 1 λ x : ϕ fnk (x), gnk (x) − ϕ(f (x), g(x)) ≥ ε0 ≥ ε0 . (7.13) Çà òåîðåìîþ Ô.Ðiñà, ç {nk } ìîæíà âèäiëèòè ïiäïîñëiäîâíiñòü {mk } òàêó, ùî îäíî÷àñíî fmk → f , gmk → g (mod λ). Ç íåïåðåðâíîñòi ϕ òîäi îòðèìó¹ìî, ùî ϕ fmk , gmk → ϕ f, g (mod λ). Îñêiëüêè λ λ ñêií÷åííà, çâiäñè âèïëèâà¹ çáiæíiñòü çà ìiðîþ ϕ fmk , gmk → ϕ f, g , i ìè îòðèìàëè ñóïåðå÷íiñòü ç (7.13). 3.7. Ðîçãëÿíåìî ìíîæèíè Ar,s = f −1 ((r, s]), r, s ∈ Q. Îñêiëüêè Ar,s ∈ Sd , çà íàñëiäêîì 2.5, çíàéäåòüñÿ áîðåëüîâà ìíîæèíà Br,s ⊂ Ar,s , λd Ar,s \ Br,s = 0. Ïîêëàäåìî

g(x) = 0, x ∈

[

Q

Ar,s \ Br,s ,

g(x) = f (x) äëÿ iíøèõ x.

r,s∈

4.1. Çà ïiâàäèòèâíiñòþ ìiðè

R

A f+ dλ,

Z A∪B

ìà¹ìî Z Z f+ dλ ≤ f+ dλ + f+ dλ < +∞. A

B

R

Àíàëîãi÷íî ïîêàçó¹ìî, ùî A∪B f− dλ < +∞. 4.2. Ìiðêó¹ìî ñòàíäàðòíèì ÷èíîì ñïî÷àòêó äîâîäèìî äëÿ ïðîñòî¨ íåâiä'¹ìíî¨ f , ïîòiì äëÿ íåâiä'¹ìíî¨, ïîòiì äëÿ äîâiëüíî¨ iíòåãðîâíî¨. 4.3. ßêùî Xn ìíîæèíè ç îçíà÷åííÿ σ -ñêií÷åííîñòi äëÿ λ, òî µ çàäîâîëüíÿ¹ öüîìó îçíà÷åííþ ç ìíîæèíàìè Xn ∩ {f ≤ n}. 4.4. Ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ ∞ X g(x) = n1{x: n n} = λ {x : k < f (x) ≤ k + 1} , k=n

ïåðåñòàíîâêîþ äîäàíêiâ ðÿäó ïåðåêîíó¹ìîñÿ, ùî 2)⇔3). 4.5. Ðîçãëÿíåìî gn (x) = inf k≤n fk (x). Òîäi 0 ≤ gn ≤ fn ≤ f , Z Z Z Z gn ↑ f (mod λ) ⇒ gn dλ → f dλ ⇒ fn dλ → f dλ . X

X

X

X

4.6. Ç óìîâè ìà¹ìî, ùî f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), g ∈ L(X, λ) îñêiëüêè |g| ≤ |f | + |h|. Âèêîðèñòîâóþ÷è òåîðåìó Ôàòó, ìà¹ìî: Z

Z g dλ −

X

Z

Z

f dλ = X

X

lim n→∞ (gn − fn ) dλ ≤ lim n→∞

Z Z (gn − fn ) dλ = lim n→∞ gn dλ − f dλ ⇒ X X Z Z X g dλ ≤ lim n→∞ gn dλ . X

X

Ðîçãëÿäàþ÷è àíàëîãi÷íî h − g , îòðèìà¹ìî, ùî Z Z g dλ ≥ lim n→∞ gn dλ . X

X

5.1. Âiçüìåìî X = X+ ∪X− ðîçêëàä Ãàíà çàðÿäó ν . Ó âèïàäêàõ 1) i 2) ç òåîðåì ïðî íåïåðåðâíiñòü

ìiðè ìà¹ìî

ν(A ∩ X+ ) = lim ν(An ∩ X+ ), n→∞

−ν(A ∩ X− ) = lim (−ν(An ∩ X− )). n→∞

Çàëèøà¹òüñÿ âiäíÿòè çàïèñàíi ðiâíîñòi. 5.2. Âiçüìåìî X+ = {f ≥ 0}, X− = −{f ≥ 0}, òîäi X = X+ ∪ X− ðîçêëàä Ãàíà çàðÿäó ν . Çà íèì ¹äèíèì ÷èíîì âèçíà÷à¹òüñÿ ðîçêëàä Æîðäàíà ν = ν+ − ν− , Z Z Z ν+ (A) = f+ dλ, ν− (A) = f− dλ, |ν|(A) = ν+ (A) + ν− (A) = |f | dλ. A

5.3 Ïîçíà÷èìî f =

A

dν dµ ,

A

dµ dλ ,

òîäi f, g ≥ 0 (äèâ. êðîê 2 äîâåäåííÿ òåîðåìè ÐàäîíàÍèêîäèìà). P n (n) ak 1A(n) . Âèêîðèñòîâóþ÷è â (*) òåîðåìó 4.4, äëÿ A ∈ F Âiçüìåìî ïðîñòi íåâiä'¹ìíi fn ↑ f , fn = kk=1 k ìà¹ìî

Z ν(A) =

(∗)

Z

f dµ = lim A

g=

n→∞ A

fn dµ = lim

n→∞

kn X

(n) (n) ak µ Ak ∩ A =

k=1

lim

kn X

n→∞

Z (n) ak

k=1

Z

A

g1A(n) dλ = lim

n→∞ A

k

(∗)

Z

fn g dλ =

f g dλ . A

5.4. Ìà¹ìî n n Z X X f (bk ) − f (ak ) = k=1

k=1

[a,b]

n Z X g1(ak ,bk ] dλ ≤ k=1

[a,b]

Z |g|1(ak ,bk ] dλ =

[a,b]

|g|1∪nk=1 (ak ,bk ] dλ ,

n X λ (bk − ak ) → 0 ⇒ |g|1∪nk=1 (ak ,bk ] →1 0. k=1

Ç íàñëiäêó 4.2 (äå áåðåìî |g| â ÿêîñòi iíòåãðîâíî¨ ìàæîðàíòè) âèïëèâà¹, ùî îñòàííié iíòåãðàë ïðè öüîìó ïðÿìó¹ äî íóëÿ. 91

5.5. Îçíà÷åííÿ 5.5 äëÿ λf i λ1 ñïðàâäæó¹òüñÿ, ÿêùî â ÿêîñòi ìíîæèíè B âçÿòè äîïîâíåííÿ äî

îá'¹äíàííÿ âñiõ âiäðiçêiâ, íà ÿêèõ âèçíà÷àëàñÿ f â ïåðøîìó, äðóãîìó i ò.ä. êðîêàõ. S∞ (m) (n) 6.1. Íåõàé µ1 ñêií÷åííà íà ìíîæèíàõ X(m) 1 , X1 = m=1 X1 , µ2 ñêií÷åííà íà X2 , X2 = S∞ S (n) (m) (n) (m) (n) × X2 , X1 × X2 = 1≤m,n t} dλ1 (t) =

Z

Z

[0,∞)

dλ1 (t)

X

1{f (x)>t} (x) dλ(x) = Z Z Z dλ(x) 1{f (x)>t} (x) dλ1 (t) = f (x) dλ(x) . X

[0,∞)

X

k k + 1 i k k + 1 i (−1) f , × , ∈ F ⊗ B(R), n=1 k=−∞ n n n R n R (λ × λ1 )(Γ)= X λ1 Γx dλ(x) = X λ1 {f (x)} dλ(x) = 0. r s s 7.1. fr1{|f |≥1}p | ≤ |fp| , |f | ∈ L(X, λ) ⇒ f 1{|f |≥1} ∈ Lr , f 1{|f | kf k∞ + 1/n0 > 0,

6.4. Γ =

T∞ S+∞

n→∞

â îçíà÷åííi kf k∞ ðîçãëÿäàëèñÿ á ëèøå C > kf k∞ + n10 , ùî ïðèçâîäèòü äî ñóïåðå÷íîñòi. Äëÿ k · k∞ â îçíà÷åííi íîðìè äîñèòü ïåðåâiðèòè óìîâó 3).

|f + g| ≤ |f | + |g| ≤ kf k∞ + kgk∞

(mod λ) ⇒ kf + gk∞ ≤ kf k∞ + kgk∞ .

2) Íåõàé kfm − fn k∞ → 0, m, n → ∞. Âiäêèíåìî âñi x ∈ X, äëÿ ÿêèõ ïîðóøó¹òüñÿ õî÷à á îäíà ç íåðiâíîñòåé |fm (x)−fn (x)| ≤ kfm − fn k∞ . Äëÿ êîæíîãî çàëèøåíîãî x ÷èñëîâà ïîñëiäîâíiñòü fn (x), n ≥ 1 ¹ ôóíäàìåíòàëüíîþ, iñíó¹ limn→∞ fn (x) = f (x). Äëÿ ε > 0 áóäå

∃ n0 ∀ m, n ≥ n0 : kfm − fn k∞ < ε ⇒ |fm (x) − fn (x)| < ε. Ñïðÿìóâàâøè n → ∞, áóäåìî ìàòè

|fm (x) − f (x)| ≤ ε, m ≥ n0 ⇒ kfm − f k∞ ≤ ε, m ≥ n0 , ùî i îçíà÷à¹ çáiæíiñòü fm → f â L∞ . 7.3. 1) Äîñèòü ïåðåâiðèòè íåðiâíiñòü òðèêóòíèêà äëÿ d. Çà äîïîìîãîþ ïîõiäíî¨ ëåãêî äîâîäèòüñÿ íåðiâíiñòü (1 + x)p ≤ 1 + xp , x ≥ 0, 0 < p < 1. Çâiäñè âèïëèâà¹, ùî (|a| + |b|)p ≤ |a|p + |b|p ,

|f − g|p ≤ |f − h|p + |h − g|p ⇒ d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g). 2) ßêùî f, g ∈ Lp , òî, ÿê i â 1), îòðèìó¹ìî, ùî |f + g|p ≤ |f |p + |g|p ⇒ f + g ∈ Lp . Òàêîæ î÷åâèäíî, ùî cf ∈ Lp , c ∈ R. 3) Ïîâòîðþ¹ìî äîâåäåííÿ òåîðåìè 7.3, â ÿêîìó çàìiñòü íåðiâíîñòi kf −gkp áåðåìî d(f, g) i çàìiñòü âëàñòèâîñòi kf + gkp ≤ kf kp + kgkp âèêîðèñòîâó¹ìî íåðiâíiñòü òðèêóòíèêà äëÿ d. 7.4. Çà íàñëiäêîì 7.2, äëÿ äîâiëüíîãî ε > 0 çíàéäåòüñÿ h ∈ C0 (Rd ) òàêà, ùî kf − hkp < ε. Îñêiëüêè ôóíêöi¨ ç C0 (Rd ) ðiâíîìiðíî íåïåðåðâíi i âiäìiííi âiä íóëÿ íà îáìåæåíié ìíîæèíi, äëÿ äîñèòü ìàëîãî δ > 0 i |t| < δ áóäå kh(x + t) − h(x)kp < ε. Òîäi, ðîçãëÿäàþ÷è x ÿê çìiííó â ôóíêöiÿõ, ìà¹ìî

ωp (f, δ) = sup kf (x + t) − f (x)kp ≤ sup 0≤|t|≤δ

0≤|t|≤δ

kf (x + t) − h(x + t)kp + kh(x + t) − h(x)kp + kh(x) − f (x)kp < 3ε.

92

Áiáëiî ðàôiÿ [1] Àíòîíåâè÷ À.Á., Ðàäûíî ß.Â. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ìèíñê: Óíèâåðñèòåòñêîå, 1984, 351 ñ. [2] Áåðåçàíñêèé Þ.Ì., Óñ Ã.Ô., Øåôòåëü Ç.Ã. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Êèåâ: Âûùà øêîëà, 1990, 600 ñ. [3] Áîãà÷åâ Â.È., Îñíîâû òåîðèè ìåðû. Ò. 1, 2. 2-å èçä. ÌîñêâàÈæåâñê: ÐÕÄ, 2006, 584 ñ., 680 ñ. [4] Áîãà÷åâ Â.È., Ñìîëÿíîâ Î.Ã. Äåéñòâèòåëüíûé è ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. ÌîñêâàÈæåâñê: ÐÕÄ, 2009, 724 ñ. [5] Ãîðîäåöêèé Â.Â., Íàãíèáèäà Í.È., Íàñòàñèåâ Ï.Ï. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. Êèåâ: Âûùà øêîëà, 1990, 479 ñ. [6] Äîðîãîâöåâ À.ß. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Êðàòêèé êóðñ â ñîâðåìåííîì èçëîæåíèè. 2-å èçä. Êèåâ: Ôàêò, 2004, 560 ñ. [7] Äîðîãîâöåâ À.ß. Ýëåìåíòû îáùåé òåîðèè ìåðû è èíòåãðàëà. 2-å èçä. Êèåâ: Ôàêò, 2007, 164 ñ. [8] Äüÿ÷åíêî Ì.È., Óëüÿíîâ Ï.Ë. Ìåðà è èíòåãðàë. Ìîñêâà: Ôàêòîðèàë, 1998, 160 ñ. [9] Êàäåö Â.Ì. Êóðñ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Õàðüêîâ: Õàðüêîâñêèé íàö. óí-ò, 2006, 608 ñ. [10] Íàòàíñîí È.Ï. Òåîðèÿ ôóíêöèé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé. 3-å èçä. Ìîñêâà: Íàóêà, 1974, 480 ñ. [11] Ïîðîøêèí À.Ã. Òåîðèÿ ìåðû è èíòåãðàëà. 2-å èçä. Ìîñêâà: ÊîìÊíèãà, 2006, 184 ñ. [12] Óëüÿíîâ Ï.Ë., Áàõâàëîâ À.Í., Äüÿ÷åíêî Ì.È., Êàçàðÿí Ê.Ñ., Ñèôóýíòåñ Ï. Äåéñòâèòåëüíûé àíàëèç â çàäà÷àõ. Ìîñêâà: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2005, 416 ñ. [13] Õàëìîø Ï. Òåîðèÿ ìåðû. Ìîñêâà: Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2003, 256 ñ. [14] Capi nski M., Kopp E. Measure, integral and probability. 2nd ed. London: Springer-Verlag, 2004, xvi+311 pp. [15] Pap E. (ed.) Handbook of measure theory. V. 1, 2. Amsterdam: North-Holland, 2002, 1607 pp. [16] Rao M.M. Measure theory and integration. 2nd ed. New York: Marcel Dekker, 2004; xx+761 pp. [17] Taylor S.J. Introduction to measure and integration. New York: Cambridge University Press, 1973, 266 pp. [18] Vestrup E.M. The theory of measures and integration. Hoboken, New Jersey: Wiley-Interscience, 2003, xviii+594 pp.

93

Ïîêàæ÷èê σ -àëãåáðà, 6 σ -êiëüöå, 6 àáñîëþòíà íåïåðåðâíiñòü ôóíêöi¨ íà âiäðiçêó, 70 çàðÿäó âiäíîñíî ìiðè, 64 àëãåáðà, 5 áîðåëüîâà σ -àëãåáðà, 10 äîáóòîê σ -àëãåáð, 76 äîáóòîê ìið, 78 åêâiâàëåíòíi ôóíêöi¨, 34 ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöÿ, 74 ôóíäàìåíòàëüíiñòü çà ìiðîþ, 38 ôóíêöiÿ F -âèìiðíà, 30 (FX , FY )-âèìiðíà, 29 Êàíòîðà, 74 áîðåëüîâà, 31 iíòåãðîâíà, 43 îáìåæåíî¨ âàðiàöi¨, 70 ïðîñòà, 33 âèìiðíà, 29 âèìiðíà çà Ëåáåãîì, 31 ôóíêöiÿ ìíîæèí σ -àäèòèâíà, 12 σ -ïiâàäèòèâíà, 12 σ -ñêií÷åííà, 12 àäèòèâíà, 12 ìîíîòîííà, 12 íåâiä'¹ìíà, 12 ïiâàäèòèâíà, 12 ñêií÷åííà, 12 iíòåãðàë ËåáåãàÑòiëòü¹ñà, 55 ÐiìàíàÑòiëòü¹ñà, 55 Ëåáåãà, âiä äîâiëüíî¨ âèìiðíî¨ ôóíêöi¨, 43 Ëåáåãà, âiä íåâiä'¹ìíî¨ ôóíêöi¨, 42 Ëåáåãà, âiä ïðîñòî¨ íåâiä'¹ìíî¨ ôóíêöi¨, 41 iíòåãðàë Ðiìàíà, 53 íåâëàñíèé, 54 êiëüöå, 5 êîìïàêòíèé êëàñ, 18 ìiðà, 13 Ëåáåãà, 24 ËåáåãàÑòiëòü¹ñà, 26 Æîðäàíà, 15 ïîâíà, 21 ìíîæèíà

áîðåëüîâà, 10 äîäàòíà, 61 âèìiðíà çà Êàðàòåîäîði, 20 âèìiðíà çà Ëåáåãîì, 24 âèìiðíà çà ËåáåãîìÑòiëòü¹ñîì, 26 âiä'¹ìíà, 61 ìîíîòîííèé êëàñ, 7 íàñëiäîê ïðî iíòåãðóâàííÿ ôóíêöiîíàëüíîãî ðÿäó, 51 ïðî ïîâíîòó ìiðè íà S , 21 íåðiâíiñòü ×åáèøåâà, 85 Ãåëüäåðà, 83 Ìiíêîâñüêîãî, 84 íîðìà, 84 ïåðåðiç ìíîæèíè, 77 ïiâêiëüöå, 5 ïîõiäíà ÐàäîíàÍèêîäèìà, 67 ïîðîäæåíi êëàñè ìíîæèí, 7 ïîâíà âàðiàöiÿ, 64 ïðîñòið C0 (Rd ), 88 Lp , 84 íîðìîâàíèé, 84 ñåïàðàáåëüíèé, 86 âèìiðíèé, 29 ðåãóëÿðíiñòü ìiðè, 27 ðîçêëàä Ãàíà, 62 Ëåáåãà, 68 Æîðäàíà, 63 ùiëüíiñòü çàðÿäó, 67 òåîðåìà Áåïî Ëåâi, 51 Ôàòó, 52 Ôóáiíi, 82 ãîðîâà, 35 Êàðàòåîäîði, 20 Ëåáåãà ïðî ìàæîðîâàíó çáiæíiñòü, 52 Ëåáåãà ïðî çâ'ÿçîê ìiæ çáiæíîñòÿìè, 37 Ëóçiíà, 40 ÐàäîíàÍèêîäèìà, 65 Ðiñà, 39 Òîíåëëi, 81 êðèòåðié Ëåáåãà iíòåãðîâíîñòi çà Ðiìàíîì, 57 ïðî σ -àëãåáðó, ïîðîäæåíó Pd , 11 ïðî äåêàðòiâ äîáóòîê ïiâêiëåöü , 6 94

ïðî

äèôåðåíöiéîâíiñòü iíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó, 58 ïðî ¹äèíiñòü ïðîäîâæåííÿ ìiðè íà S , 22 ïðî iíòåãðóâàííÿ íåâiä'¹ìíî¨ ìîíîòîííî¨ ïîñëiäîâíîñòi, 50 ïðî êiëüöå, ïîðîäæåíå ïiâêiëüöåì, 8 ïðî ìîíîòîííèé êëàñ, ïîðîäæåíèé êiëüöåì, 9 ïðî íàáëèæåííÿ ìiðè ¨¨ çíà÷åííÿìè íà êiëüöi, 23 ïðî íàáëèæåííÿ âèìiðíî¨ ôóíêöi¨ ïðîñòèìè, 33 ïðî íåïåðåðâíiñòü iíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó, 58 ïðî íåïåðåðâíiñòü ìiðè çíèçó, 14 ïðî íåïåðåðâíiñòü ìiðè çâåðõó, 14 ïðî ïîâíîòó ïðîñòîðó Lp , 85 ïðî ñóïåðïîçèöiþ âèìiðíèõ âiäîáðàæåíü, 31 ïðî âèìiðíiñòü åëåìåíòiâ âèõiäíîãî ïiâêiëüöÿ, 22 ïðî çàìiíó ìiðè â iíòåãðàëi, 59 âèìiðíèé ïðÿìîêóòíèê, 76 çàðÿä, 61 àáñîëþòíî íåïåðåðâíèé âiäíîñíî ìiðè, 64 ñèíãóëÿðíèé âiäíîñíî ìiðè, 67 çáiæíiñòü ìàéæå ñêðiçü, 35 â íîðìîâàíîìó ïðîñòîði, 85 çà ìiðîþ, 36 çîâíiøíÿ ìiðà, 18 ïîðîäæåíà ìiðîþ, 19

95

Çìiñò Âñòóï

2

Îñíîâíi ïîçíà÷åííÿ

4

1 Îñíîâíi êëàñè ìíîæèí

1.1 Îçíà÷åííÿ îñíîâíèõ êëàñiâ ìíîæèí 1.2 Ïîðîäæåíi êëàñè ìíîæèí . . . . . . 1.3 Äâi òåîðåìè ïðî ïîðîäæåíi êëàñè . . 1.4 Áîðåëüîâi ìíîæèíè . . . . . . . . . . Âïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

2.1 Ôóíêöi¨ ìíîæèí. Ìiðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ïðèêëàäè ìið . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Çîâíiøíi ìiðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Òåîðåìà Êàðàòåîäîði. Ïîâíi ìiðè . . . . . . . . . . . . 2.5 Ïðîäîâæåííÿ ìiðè ç ïiâêiëüöÿ íà ïîðîäæåíå σ -êiëüöå 2.6 Ìiðà Ëåáåãà â Rd . Ìiðà ËåáåãàÑòiëòü¹ñà â R . . . . . 2.7 Ðåãóëÿðíiñòü ìið . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Âïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . ôóíêöié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

2 Ìiðè. Ïðîäîâæåííÿ ìið

3 Âèìiðíi ôóíêöi¨. Çáiæíiñòü

3.1 Îçíà÷åííÿ âèìiðíî¨ ôóíêöi¨. Ïðèêëàäè . . . . 3.2 Äi¨ ç âèìiðíèìè ôóíêöiÿìè . . . . . . . . . . . 3.3 Íàáëèæåííÿ âèìiðíèõ ôóíêöié ïðîñòèìè . . . 3.4 Åêâiâàëåíòíi ôóíêöi¨. Çáiæíiñòü ìàéæå ñêðiçü 3.5 Òåîðåìà ãîðîâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Çáiæíiñòü çà ìiðîþ . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Ôóíäàìåíòàëüíiñòü çà ìiðîþ . . . . . . . . . . . Âïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Iíòåãðàë Ëåáåãà

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

4.1 Îçíà÷åííÿ iíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Íàáëèæåííÿ çíà÷åííÿ iíòåãðàëà iíòåãðàëàìè âiä ïðîñòèõ 4.3 Çëi÷åííà àäèòèâíiñòü iíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Åëåìåíòàðíi âëàñòèâîñòi iíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . 4.5 Ëiíiéíiñòü iíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Ãðàíè÷íi òåîðåìè äëÿ iíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Ïîðiâíÿííÿ iíòåãðàëà Ëåáåãà òà iíòåãðàëà Ðiìàíà . . . . 4.8 Êðèòåðié Ëåáåãà iíòåãðîâíîñòi çà Ðiìàíîì íà [a, b] . . . . 4.9 Iíòåãðàë, ùî çàëåæèòü âiä ïàðàìåòðà. Çàìiíà çìiííî¨ . . Âïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

5

5 7 9 10 11

12

12 15 18 20 21 24 26 28

29 29 31 33 34 35 36 38 40

41

41 43 44 45 49 50 53 56 57 60

5 Çàðÿäè. Àáñîëþòíà íåïåðåðâíiñòü

5.1 Îçíà÷åííÿ çàðÿäó. Ðîçêëàäè Ãàíà òà Æîðäàíà 5.2 Òåîðåìà Ðàäîíà-Íèêîäèìà . . . . . . . . . . . . 5.3 Ðîçêëàä Ëåáåãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Àáñîëþòíî íåïåðåðâíi ôóíêöi¨ íà [a, b] . . . . . 5.5 Àáñîëþòíà íåïåðåðâíiñòü âiäíîñíî ìiðè Ëåáåãà Âïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Iíòåãðóâàííÿ íà äîáóòêó ïðîñòîðiâ

6.1 Ìíîæèíè òà ôóíêöi¨ íà äîáóòêó ïðîñòîðiâ 6.2 Äîáóòîê ìið . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Òåîðåìè Òîíåëëi i Ôóáiíi . . . . . . . . . . . Âïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Ïðîñòîðè iíòåãðîâíèõ ôóíêöié

7.1 Íåðiâíîñòi Ãåëüäåðà i Ìiíêîâñüêîãî 7.2 Ïðîñòið Lp . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Ùiëüíi ïiäìíîæèíè Lp . . . . . . . Âïðàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . íà [a, b] . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

61 61 64 67 70 73 75

76

76 78 81 82

83 83 84 86 88

Âêàçiâêè äî âïðàâ

89

Áiáëiî ðàôiÿ

93

Ïîêàæ÷èê

94

97

Курс теорії міри та інтеграла

Recommend Documents